Ubungsbuch Stromungsmechanik: Grundlagen, Grundgleichungen, Analytische und Numerische Losungsmethoden, Softwarebeispiele 5.Auflage

Herbert Oertel jr. Martin B/Shle Ulrich Dohrmann ee

Ubungsbuch Str6mungsmechanik

Herbert Oertel jr. Martin B/Shle Ulrich Dohrmann

00

Ubungsbuch S t r 6 m u n g s m e c han i k Grundlagen, Grundgleichungen, Analytische und Numerische Liisungsmethoden, Softwarebeispiele

5., iiberarbeitete und erweiterte Auflage Mit 166 Abbildungen

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Bibliografische Information Der I)eutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische I)aten sind im Internet fiber abrufbar.

Die Autoren:

Prof. Dr.-Ing. habil. Herbert Oertel jr., Ordinarius I)r.-Ing. Ulrich I)ohrmann, Akademischer Oberrat Institut ftir Str6mungslehre, Universit/it Karlsruhe, Kaiserstr. 12, 76128 Karlsruhe Prof. Dr.-Ing. Martin B6hle, Universitfitsprofessor Bergische Universitfit Wuppertal, Gaugstr. 20, 42097 Wuppertal

Die 1. Auflage des Buches erschien unter demselben Titel im Springer Verlag. 2., fiberarbeitete und erweiterte Auflage 1998 3., fiberarbeitete und erweiterte Auflage 2001 4., tiberarbeitete und erweiterte Auflage 2003 5., iiberarbeitete und erweiterte Auflage Januar 2006 Alle Rechte vorbehalten 9 Friedr. Vieweg & Sohn Verlag/GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden, 2006 Lektorat: Thomas Zipsner Der Vieweg Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media. www.vieweg.de Das Werk einschlieglich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschfitzt. Jede Verwertung augerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzul/issig und strafbar. I)as gilt insbesondere ffir Vervielf/iltigungen, Obersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de Druck und buchbinderische Verarbeitung: Wilhelm & Adam, Heusenstamm Gedruckt auf s~iurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Germany ISBN 3-8348-0122-4

Vorwort

Mit den Ubungsaufgaben zur StrSmungsmechanik H. Oertel jr., M. BShle 1992 sind wir einem oft ge~ut~erten Wunsch unserer Studenten nachgekommen, neben den Vorlesungen und Ubungen im HSrsaal, eine Grundlage fiir die eigenst~ndige Priifungsvorbereitung zu schaifen. Die Ubungsaufgaben wurden neu bearbeitet und den Vorle. sungen StrSmungslehre und Mathematische Methoden der StrSmungslehre angepasst, die an der Universit~t Karlsruhe im fiinften und sechsten Semester fiir Studenten des Maschinenbaus, des Chemieingenieurwesens, der Physik und der Technomathematik gelesen werden. Es werden zun~chst die Grundbegriffe der StrSmungsmechanik, die eindimensionale Stromfadentheorie und die vereinfachte Berechnung technischer Str5mungen vermittelt. Es folgen Ubungsaufgaben zu den Grundgleichungen der Str5mungsmechanik und zu den daraus abgeleiteten Modellgleichungen fiir laminare und turbulente, inkompressible und kompressible Str5mungen. In den darauf folgenden Kapiteln werden deren analytische und numerische L5sungsmethoden in einem ersten Ansatz behandelt. Diesen Kapiteln kommt im Ubungsbuch absichtlich eine besondere Bedeutung zu, da der Ingenieur in der Praxis zunehmend numerische Methoden und strSmungsmechanische Software auf vernetzten Grot~rechenanlagen fiir die Produktentwicklung nutzt. Um den Studenten ein erstes Uben mit L5sungssoftware zu ermSglichen, werden die analytischen LSsungswege von Software-Beispielen begleitet. Die Ubungsaufgaben zur StrSmungsmechanik erg~nzen das Lehrbuch StrSmungsmechanik H. Oertel jr., M. BShle 1995, 1999, 2002, 2004, das als Leitfaden der StrSmungslehre Vorlesungen an der Universit~t Karlsruhe dient. Dabei ist es fiir den Studenten auch im Zeitalter der Software-Nutzung unerl~slich, den Lehrstoff, angeleitet von den Ubungsaufgaben und detailliert beschriebenen L5sungswegen, selbst nachzuvollziehen. Das Erlernen der F~higkeit, strSmungsmechanische Probleme mathematisch zu formulieren und fiir ausgew~hlte Anwendungsbeispiele analytisch und numerisch zu 15sen, ist ein wesentliches Ausbildungsziel, das die aktive Mitarbeit der Studenten erfordert. Dafiir soll das Ubungsbuch Anregungen geben. Die Ubungsaufgaben sind von meinen langj~hrigen Assistenten und Mitautoren M. B5hle und U. Dohrmann entsprechend der Vorlesungskapitel zusammengestellt worden. Sie sind in unterschiedliche Schwierigkeitsgrade eingeteilt, so dass der Student sich entsprechend seines Wissensstandes den Lehrstoff an meist praktischen strSmungsmechanischen Ubungsbeispielen erarbeiten kann. Die Ubungsaufgaben sind mehrfach in den Ubungen im HSrsaal vorgerechnet und die LSsungswege mit den Studenten iiberarbeitet worden. Die Auswahl der Ubungsaufgaben ist zwangsl~ufig ein Kompromiss und orientiert sich an den Studienpl~nen der Universit~t Karlsruhe. Es werden aber auch Studenten h5herer Semester an anderen deutschsprachigen

VI Universit/iten zahlreiche Anregungen finden und die schwierigen 0bungsaufgaben als Prfifstein ihres strSmungsmechanischen Wissens empfinden kSnnen. Das Manuskript wurde in bew/fhrter Weise von meinem Assistenten U. Dohrmann angefertigt. Unserer Mitarbeiterin L. Huber gilt besonderer Dank ffir die ~)berarbeitung der Abbildungen. Wir danken dem Vieweg Verlag fiir die 0bernahme des 0bungsbuches und ffir die erfreulich gute Zusammenarbeit.

Karlsruhe, August 1998

Vorwort

Herbert Oertel jr.

z u r 5. A u f l a g e

Das ()bungsbuch StrSmungsmechanik hat sich zur Prfifungsvorbereitung und Vorlesungsbegleitung der Vorlesungen StrSmungslehre und Mathematische Methoden der StrSmungslehre inzwischen etabliert und bewSahrt. Die 0bungsaufgaben wurden bezfiglich der jfingsten Prfifungsaufgaben aktualisiert und Aufgaben zur Turbulenzmodellierung und Grobstruktursimulation sowie die neuen Kapitel StrSmungen Nicht-Newtonscher Medien und StrSmungen mit W~mezufuhr erg~hlzt. Der Zugang zur vorlesungsbegleitenden StrSmungsmechanik Software erfolgt fiber die Homepage des Instituts fiir StrSmungslehre der UniversitEt Karlsruhe w w w isl.mach, uni-karlsruhe.de. Die Abbildungen wurden von L. Huber in bew~hrter Weise fiberarbeitet. Dem Vieweg Verlag danken wir ffir die Fortffihrung der erfreulich guten Zusaxnmenarbeit.

Karlsruhe, November 2005

Herbert Oertel jr.

VII

Inhaltsverzeichnis 1 Einfiihrung 2

3

G r u n d l a g e n der StrSmungsmechanik 2.1 StrSmungsbereiche 2.2 Hydro- und Aerostatik 2.2.1 Hydrostatik 2.2.2 Aerostatik 2.3 Hydro- und Aerodynamik, Stromfadentheorie 2.3.1 Kinematische Grundbegriffe 2.3.2 Inkompressible StrSmungen 2.3.3 Kompressible StrSmungen 2.4 Berechnung von technischen StrSmungen 2.4.1 Turbulente StrSmungen 2.4.2 Impulssatz 2.4.3 Drehimpulssatz 2.4.4 Rohrhydraulik 2.4.5 StrSmungen Nicht-Newtonscher Medien 2.4.6 StrSmungsablSsung 2.4.7 StrSmungen mit W~rmeiibertragung 2.4.8 StrSmungsmaschinen

3 3 11 11 22 29 29 40 62

91 111 120 139 147 157 163

Grundgleichungen der StrSmungsmechanik 3.1 Kontinuit ~tsgleichung 3.2 Navier-Stokes- Gleichungen 3.2.1 Laminare StrSmungen 3.2.2 Reynolds-Gleichungen fiir turbulente StrSmungen 3.2.3 Turbulenzmodelle 3.3 Energiegleichungen 3.3.1 Laminare StrSmungen 3.3.2 Turbulente StrSmungen 3.4 Grenzschichtgleichungen 3.4.1 Inkompressible StrSmungen 3.4.2 Kompressible StrSmungen 3.5 Potentialgleichungen 3.5.1 Potentialgleichung fiir kompressible StrSmungen 3.5.2 Potentialgleichung fiir inkompressible StrSmungen

171 171 175 175 189 198 204 204 211 214 214 222 225 225 232

77 77

VIII 3.6 4

Grundgleichungen in Erhaltungsform

246

Numerische LSsungsmethoden

253

4.1

253 253 261 270 273 278 278 287 292 301

4.2

5

Inhaltsverzeichnis

Analytische Vorbereitung 4.1.1 Dimensionsanalyse 4.1.2 Linearisierung 4.1.3 Stabilit~tsanalyse 4.1.4 Strukturanalyse Diskretisierung 4.2.1 Galerkin-Methode 4.2.2 Finite-Elemente-Methode 4.2.3 Finite-Differenzen-Methode 4.2.4 Finite-Volumen- Methode

Anhang

312

5.1 5.2

312 317

Ubersicht fiber die Aufgaben StrSmungsmechanik Software

Bezeichnungen

321

Ausgew~ihlte Literatur

324

S a c h w o r t verz eich nis

325

1

Einfiihrung

Mit dem vorliegenden Ubungsbuch mSchten wir den Studentinnen und Studenten eine MSglichkeit bieten, den Vorlesungsstoff durch das Rechnen von Beispielaufgaben zu vertiefen und die technischen Anwendungen des Lehrstoffes kennenzulernen. Der Vorlesungsstoff, der auf den Lehrbfichern von H. Oertel jr., M. BShle 1995, 1999, 2002, 2004 basiert, ist zum Teil abstrakt und ffir Studierende sind die technischen Anwendungen nicht unmittelbar erkennbar. Man muss sich oftmals zuerst sehr viel theoretisches Wissen aneignen, um anschliet~end technische StrSmungsprobleme 15sen zu kSnnen. Mit dieser A ufgabensammlung mSchten wir dazu beitragen, dass der Lehrstoff ffir die Studierenden nicht nur abstraktes Wissen bleibt sondern, dass sie den Zweck des Erlernens des Vorlesungsstoffes erkennen und damit auch Spa~ an der LSsung strSmungsmechanischer Probleme gewinnen. Die Beispielaufgaben besitzen einen unterschiedlichen Schwierigkeitsgrad. Die meisten Kapitel dieses Buches sind so aufgebaut, dass die am Anfang des jeweiligen Kapitels stehenden Aufgaben leicht und mit wenig Aufwand zu 15sen sind. Der Schwierigkeitsgrad nimmt dann bis zum Ende des Kapitels zu. Mit dem Rechnen der einfachen Aufgaben kSnnen sich die Studierenden allm~hlich mit den in der Vorlesung behandelten Problemen vertraut machen. Die schwierigen Aufgaben sollen der Priifungsvorbereitung dienen. Darfiber hinaus enth~lt das Buch auch Aufgaben, die als Prfifungsaufgaben zu schwierig sind. In diesen Aufgaben werden StrSmungsprobleme vorgestellt, die entweder als Einffihrung in ein umfangreiches neues Thema oder als Anleitung zur selbst~ndigen LSsung von ausgew~hlten schwierigen technischen Problemen angesehen werden kSnnen. Dieses trifft insbesondere ffir die Kapitel 'Grundgleichungen der StrSmungsmechanik' und 'Methoden der StrSmungsmechanik' zu. Eine Ubersicht fiber den Schwierigkeitsgrad der einzelnen Aufgaben gibt eine entsprechende Tabelle im Anhang dieses Buches. Allerdings muss dazu gesagt werden, dass der Schwierigkeitsgrad einer Aufgabe nur subjektiv eingesch~tzt werden kann. Ffir den einen ist eine Aufgabe schwer zu 15sen, die von einem anderen wiederum als leicht eingestuft wird. Insofern gibt die Tabelle im Anhang dieses Buches den Studentinnen und Studenten die MSglichkeit den erlernten Wissensstand zu iiberpriifen. Obwohl einige Aufgaben als sehr schwierig eingesch~tzt werden kSnnen, empfehlen wir den Studierenden, jede Aufgabe selbst zu rechnen und sich dabei nicht sofort an den vorgerechneten LSsungen zu orientieren. Die LSsungen sind sehr ausffihrlich beschrieben und sollten nur zur Kontrolle dienen oder ggf. fiber Verst~ndnisschwierigkeiten hinweg helfen. Nur so hat man sicherlich den grSt~ten Nutzen von dem vorliegenden Ubungsbuch. Nachfolgend sollen die einzelnen Kapitel vorgestellt werden. Im ersten Kapitel

2

1 Einffihrung

'Grundlagen der Str5mungsmechanik' werden Beispielaufgaben behandelt, die mit den Grundkenntnissen der StrSmungsmechanik zu 15sen sind. Es werden Aufgaben zu ruhenden Fluiden und zur eindimensionalen Stromfadentheorie vorgerechnet, wobei das Verhalten von inkompressiblen und kompressiblen Fluiden betrachtet wird. Im Kapitel 'Berechnung von technischen StrSmungen' werden Beispiele turbulenter StrSmungen gezeigt, die grSigtenteils Auslegungsrechnungen fiir Rohrleitungssysteme mit und ohne StrSmungsmaschinen, UmstrSmungen sowie einfache Rechnungen fiir den Entwurf technischer Ger~te beinhalten. Im Kapitel 'Grundgleichungen der StrSmungsmechanik' werden Beispiele zu den wichtigsten Grundgleichungen der StrSmungsmechanik behandelt. Mit den Beispielen soll dem Lernenden gezeigt werden, dass die umfangreichen Navier-StokesGleichungen StrSmungen in bzw. um technische Ger~te beschreiben und dass sie fiir das jeweils betrachtete Problem angepasst werden miissen. Insbesondere soll dabei auch gezeigt werden, dass die vereinfachten Gleichungen (Grenzschicht- bzw. Potentialgleichungen) in der Technik ihre Anwendung finden. Das letzte iibergeordnete Kapitel 'Numerische LSsungsmethoden' beinhaltet Beispielaufgaben die zeigen, wie mit analytischen bzw. numerischen Methoden die im Kapitel 'Grundgleichungen der StrSmungsmechanik' behandelten Gleichungen ge15st werden kSnnen. Bevor eine numerische oder analytische Rechnung durchgefiihrt wird, sollte zun~ichst das strSmungsmechanische Problem mittels einer Dimensionsanalyse behandelt werden und falls mSglich, sollten die das Problem bestimmenden Gleichungen linearisiert bzw. gegebenenfalls eine Stabilit~itsanalyse durchgefiihrt werden. Beispielaufgaben dazu sind in den entsprechenden Kapiteln 'Dimensionsanalyse', 'Linearisierung' und 'Stabilit~tsanalyse' enthalten. Die Auswertung der berechneten StrSmungsfelder erfolgt mit den kinematischen Methoden der Strukturanalyse. Mit den einfachen numerischen Beispielaufgaben soll deutlich werden, dass Ingenieurprobleme zum Teil mit PCs, Workstations oder Grotgrechnern gelSst werden. Es soll in diesen Kapiteln nur ein erster Einstieg in das sehr umfangreiche Thema 'Numerische StrSmungsmechanik' gegeben werden, das in einem gesonderten Lehrbuch H. Oertel jr., E. Laurien 2003 behandelt wird. Die Theorie und Beispiele zur Anwendung der Stabilitiitsanalyse finden sich in dem erg~inzenden Lehrbuch 'StrSmungsmechanische Instabilit~iten', H. Oertel jr., J. Dells 1996, 2005. Die vorgestellten Beispielaufgaben sowie die Software-Beispiele sollen dazu dienen, dass sich die Studenten und Studentinnen auch nach dem Vorexamen gerne mit StrSmungsmechanik beschMtigen. Insbesondere das erste Uben mit strSmungsmechanischer Software soll den Weg weisen wie in der Industriepraxis strSmungsmechanische Probleme gelSst werden. Fiir eine erfolgreiche Software-Nutzung sind die im 0bungsbuch vermittelten analytischen F~ihigkeiten eine Voraussetzung.

2 2.1

Grundlagen der StrSmungsmechanik StrSmungsbereiche

A u f g a b e 2.1.1

Kraft fahrzeugumstrSmung

A b b . 2.1.1a KraftfahrzeugumstrSmung

Ein K r a f t f a h r z e u g wird von einer r e i b u n g s f r e i e n ParallelstrSm u n g d e r G e s c h w i n d i g k e i t U~ a n g e s t r S m t . A b b i l d u n g 2.1.1a zeigt das K r a f t f a h r z e u g u n d die P a r a l l e l s t r S m u n g im Mitt e l s c h n i t t d e r (x,z)-Ebene. Unt e r Vernachl~issigung von Bodeneinfliissen l~isst sich die U m s t r S m u n g des K r a f t f a h r z e u g M i t t e l s c h n i t t e s in drei u n t e r schiedliche B e r e i c h e einteilen.

a) M a n b e n e n n e die drei u n t e r s c h i e d l i c h e n S t r S m u n g s b e r e i c h e u n d g e b e ihre c h a r a k t e r i s t i s c h e n E i g e n s c h a f t e n an. b) M a n skizziere die S t r / i m u n g s b e r e i c h e u m das K r a f t f a h r z e u g im M i t t e l s c h n i t t u n d t r a g e zus~itzlich die S t a u p u n k t e sowie das G r e n z s c h i c h t p r o f i l a u f d e m D a c h des K r a f t f a h r z e u g s in die Skizze ein. Liisung: a) Im Staupunkt des Kraftfahrzeugs wird die reibungsfreie ParallelstrSmung auf die Geschwindigkeit Null verzSgert. Anschliefoend wird die StrSmung beschleunigt, wobei sich der Bereich der reibungsbehafteten GrenzschichtstrSmung in unmittelbarer N~he der Oberfl~che ausbildet. Aut~erhalb der Grenzschicht befindet sich der Bereich der reibungsfreien A uflenstrSmung. Durch die Verdr~ngungswirkung, die das Kraftfahrzeug der AnstrSmung entgegensetzt, wird die StrSmung beschleunigt, bis die maximale HShe des Kraftfahrzeugs erreicht ist. Stromab der maximalen HShe wird die StrSmung verzSgert, was zum AblSsen der Grenzschicht und zur Ausbildung des Bereichs der reibungsbehafteten NachlaufstrSmung ffihrt.

4

2 Grundlagen der StrSmungsmechanik

b)

A b b . 2.1.1b StrSmungsbereiche der KraftfahrzeugumstrSmung

A u f g a b e 2.1.2

Profilumstr6mung

In e i n e m W i n d k a n a l m i t p a r a l l e l e n h o r i z o n t a l e n W ~ i n d e n ist ein z u r x - A c h s e s y m m e t r i s c h e s schlankes Tragtifigelprofil e i n g e b a u t (siehe Abb. 2.1.2a). D a s P r o f i l e r s t r e c k t sich fiber die g e s a m t e K a n a l b r e i t e s e n k r e c h t z u r Z e i c h e n e b e n e u n d s t e h t in e i n e r s t a t i o n f i r e n P a r a l l e l a n s t r S m u n g d e r M a c h - Z a h l M ~ : 0, 1 (U~ : 34 m / s ) . a) M a n s e t z e e i n e a b l S s e f r e i e U m s t r S m u n g d e s P r o f i l h e c k s v o r a u s u n d s k i z z i e r e q u a l i t a t i v d e n V e r l a u f d e s D r u c k b e i w e r t e s cp(x/L) a m R a n d e d e r P r o f i l g r e n z s c h i c h t lllngs d e r O b e r s e i t e d e s Profils. b) D a s P r o f i l w i r d n u n u m e i n e n A n s t e l l w i n k e l ~ - 2 ~ z u r x - A c h s e ang e s t e l l t . Es g e l t e n die g l e i c h e n V o r a u s s e t z u n g e n wie ffir T e i l a u f g a b e a) u n d n a c h wie v o r ist die U m s t r S m u n g d e s P r o f i l h e c k s a b l S s e f r e i . Skizzie-

A b b . 2.1.2a Tragfliigelprofile

2.1 StrSmungsbereiche

5

r e n Sie q u a l i t a t i v d e n V e r l a u f des D r u c k b e i w e r t e s Cp(X/L') a m R a n d e d e r P r o f i l g r e n z s c h i c h t l~ings d e r O b e r s e i t e des a n g e s t e l l t e n P r o f i l s w o b e i die U n t e r s c h i e d e i m V e r g l e i c h z u m nicht a n g e s t e l l t e n Fall a u s T e i l a u f g a b e a) d e u t l i c h e r k e n n b a r sein sollen. c) D u r c h e i n e V e r g r S g e r u n g des A n s t e l l w i n k e l s ~ t r i t t u n t e r s o n s t weit e r h i n g l e i c h e n V o r a u s s e t z u n g e n A b l S s u n g bei d e r U m s t r S m u n g des P r o filhecks auf. S k i z z i e r e n Sie q u a l i t a t i v d e n V e r l a u f d e r S t r o m l i n i e n u m d a s a n g e s t e l l t e P r o f i l w o b e i die U n t e r s c h i e d e i m S t r o m f e l d z w i s c h e n O b e r u n d U n t e r s e i t e d e s Profils d e u t l i c h h e r v o r t r e t e n sollen. d) I m g l e i c h e n W i n d k a n a l w i r d a n s c h l i e g e n d ein so g e n a n n t e s L a m i n a r profil u n t e r s u c h t , bei d e m sich die m a x i m a l e P r o f i l d i c k e a m O r t x / L - O, 5 b e f i n d e n soil. D a s P r o f i l ist s y m m e t r i s c h z u r x - A c h s e , e r s t r e c k t sich fiber die g a n z e K a n a l b r e i t e s e n k r e c h t z u r Z e i c h e n e b e n e u n d s t e h t in e i n e r s t a t i o n ~ i r e n P a r a l l e l a n s t r S m u n g d e r M a c h - Z a h l M ~ = 0, 1. S e t z e n Sie eine a b l S s e f r e i e U m s t r S m u n g des P r o f i l h e c k s v o r a u s u n d s k i z z i e r e n Sie q u a l i t a t i v d e n V e r l a u f des D r u c k b e i w e r t e s Cp(X/L) a m R a n d e d e r P r o f i l g r e n z s c h i c h t l~ings d e r O b e r s e i t e des Profils. D i e U n t e r s c h i e d e z u r CpV e r t e i l u n g a u s T e i l a u f g a b e a) sollen d e u t l i c h zu e r k e n n e n sein. LSsung: Bei inkompressiblen Str5mungen gilt im Staupunkt Cp = 1. Str0mab des Staupunktes wird die StrSmung beschleunigt, wodurch der statische Druck und s0mit der cp-Wert abnimmt. Das Druckminimum stellt sich n~herungsweise am Ort der maximalen Profildicke ein. Durch Anstellung erh~lt man ein ausgepr~gteres Druckminimum.

:p o

Cp-Verlauf ohne Anstellung A b b . 2.1.2b Druckverlauf

c p-Verlauf mit Anstellung

6

2 Grundlagen der StrSmungsmechanik

A b b . 2.1.2c Stromlinienverlauf

A u f g a b e 2.1.3

A b b . 2.1.2d cp-Verlauf beim Laminarprofil ohne Anstellung

U m s t r S m u n g eines H a u s e s

Es soil die W i n d s t r S m u n g u m eine R e i h e n h a u s - Z e i l e b e t r a c h t e t w e r d e n , die im freien e b e n e n Gel/inde s t e h t . D e r a n k o m m e n d e W i n d k a n n n/iher u n g s w e i s e als station[ire S t r S m u n g mit e i n h e i t l i c h e r R i c h t u n g a n g e s e h e n werden. a) M a n skizziere d e n V e r l a u f d e r S t r o m l i n i e n im a n g e g e b e n e n U m f e l d des H a u s e s ( g e s t r i c h e l t e r R a h m e n ) , w o b e i die U n t e r s c h i e d e im S t r o m feld z w i s c h e n W i n d z u g e w a n d t e r u n d W i n d a b g e w a n d t e r Seite d e u t l i c h h e r v o r t r e t e n sollen~ die S c h o r n s t e i n e k S n n e n d a b e i u n b e r i i c k s i c h t i g t bleiben.

A b b . 2.1.3a Reihenhaus-Zeile in station~er Windanstr5mung

2.1 StrSmungsbereiche

7

b) M a n skizziere q u a l i t a t i v d e n V e r l a u f d e r H o r i z o n t a l k o m p o n e n t e u(z) d e r G e s c h w i n d i g k e i t ltlngs d e r v o r g e g e b e n e n z-Achse sowie d e n V e r l a u f des D r u c k e s p l~ings d e r v o r g e g e b e n e n x-Achse a u f d e r H S h e z - z0 (siehe A b b . 2.1.3a). Die S c h o r n s t e i n e k S n n e n vernachl~issigt w e r d e n . c) W a r u m ist P o s i t i o n Pa gfinstiger fiir d e n S c h o r n s t e i n als P o s i t i o n PD? d) W e l c h e R i c h t u n g h a t die aus d e r D r u c k d i f f e r e n z z w i s c h e n I n n e n u n d Auf~enseite eines e i n z e l n e n D a c h z i e g e l s r e s u l t i e r e n d e K r a f t (siehe A b b . 2.1.3a)~ w e n n v o r a u s g e s e t z t wird~ dass alle F e n s t e r g e s c h l o s s e n sind u n d n u r die H a u s t i i r a u f d e r W i n d z u g e w a n d t e n Seite des H a u s e s often s t e h t u n d dass v o m E r d g e s c h o s s bis z u m D a c h s t u h l eine offene V e r b i n d u n g besteht~ so dass im g e s a m t e n H a u s i n n e r n ein e i n h e i t l i c h e r D r u c k pi h e r r s c h t ? M a n b e g r f i n d e die A n t w o r t . LSsung: gesucht: a) Stromlinienverlauf, b) richtung

u(z), p(x),

c) Positionsbegriindung, d) Kraft-

a) Laut Aufgabenstellung sollen die beiden Schornsteine unberiicksichtigt bleiben und die Unterschiede zwischen Wind zugewandter und Wind abgewa~dter Seite des Hauses sollen deutlich hervortreten. Daher sind zur Skizzierung des Stromlinienverlaufs folgende Punkte zu beriicksichtigen: Das Haus wirkt als Hindernis gegeniiber der ankommenden Windstr5mung und iibt eine Verdr~ingungswirkung aus. Die urspriinglich parallelen Stromlinien werden um das Dach herum umgelenkt, wobei sich ihr gegenseitiger vertikaler Abstand aufgrund der Verdr~ngungswirkung des Hauses verringert. Auf der Wind zugewandten Hausseite ist also eine Konvergenz der Stromlinien oberhalb des Daches zu beobachten. Der hSchste Punkt des Dachgiebels wirkt als definierte Abrisskante d. h. die StrSmung reiigt ab und die Stromlinien kSnnen der Kontur des Daches auf der

A b b . 2.1.3b Stromlinienverlauf

8

2 Grundlagen der StrSmungsmechanik

wandabgewandten Seite nicht mehr folgen. Dort stellt sich hinter dem Haus ein so genanntes Rezirkulationsgebiet bzw. Nachlaufgebiet ein. Oberhalb des Rezirkulationsgebietes divergieren die Stromlinien wieder, da der Einfluss des Hauses mit zunehmendem Abstand stromab immer weiter abnimmt. Der sich aufgrund dieser 0berlegungen einstellende Stromlinienverlanf ist in Abbildung 2.1.3b gezeigt. b) Erster Anhaltspunkt zur Skizzierung des Geschwindigkeitsverlaufes u(z) ist die Haftbedingung am Dachgiebel an der Stelle z = 0. Folglich gilt u(z = O) = O. Da das Haus eine Verdr~ngungswirkung ansiibt, wird die StrSmung oberhalb des Dachgiebels auf Werte grSt~er als das Maximum U,~ der ungestSrten AnstrSmung beschleunigt. Relativ zum Wert U~ der AnstrSmung stellt sich oberhalb des Dachgiebels mit u(z - 0) = 0 eine 0bergeschwindigkeit mit Umax > U~ ein. Diese Ubergeschwindigkeit nimmt fiir Werte z ~ oc wieder auf den Wert U~ ab, so dass man den in Abbildung 2.1.3c skizzierten Geschwindigkeitsverlauf u(z) erh~lt. Aufgrund der StrSmungsbeschleunigung oberhalb des Daches steigt der dynamische Druck l~ngs x an und der statische Druck p nimmt somit l~ngs x ab. Die maximale Verdr~ngungswirkung findet oberhalb des Dachgiebels statt. Daher stellt sich an dieser Stelle das Geschwindigkeitsmaximum und somit ein relatives Druckminimum ein. Abbildung 2.1.3d zeigt qualitativ den sich anhand der Uberlegungen ergebenden Druckverlauf p(x ). c) In Abbildung 2.1.3b erkennt man, dass sich der oberste Punkt des Schornsteins an Position Pa im Bereich der Aui~enstrSmung oberhalb der gestrichelt dargestellten Grenze zum Rezirkulationsgebiet befindet. Die Emissionen des Schornsteins an der Stelle P~ werden daher von der Aui~enstrSmung weggetragen. Der Schornstein an der Stelle Pb emittiert die Abgase hingegen unterhalb der gestrichelten Grenze. Dies bedeutet, dass die Abgase im Rezirkulationsgebiet verbleiben. Daher ist Position Pa giinstiger.

Omax

H

Abb.

~(z)

2.1.3c Geschwindigkeit sverlauf

A b b . 2.1.3d Druckverlauf p(x)

2.1 StrSmungsbereiche

9

d) Der Druck p~ innerhalb des Hauses, der auf die Ziegelunterseite wirkt, entspricht dem Druck im Staugebiet der AnstrSmung vor der Haustiir. Der Druck pa, der aut~en auf die Ziegeloberseite wirkt, ist wegen der ErhShung der Geschwindigkeit und der damit verbundenen Abnahme des statischen Druckes kleiner als der Druck pi. Die resultierende Druckdifferenz iibt folglich eine Kraft auf den Ziegel nach augen aus. A u f g a b e 2.1.4

Fliissigkeit-Dampfabscheider

In A b b i l d u n g 2.1.4a ist eine vereinfachte Prinzipskizze eines FliissigkeitsD a m p f a b s c h e i d e r s dargestellt. a) In welchen S t r 6 m u n g s t e i l e n liegt eine Fliissigkeitsstr6mung vor, in welchen eine M e h r p h a s e n s t r 6 m u n g und in welchen eine GasstrSmung?

4

1

-V ~ .2

c

Drosselventil

,,,...

5

- k,..~ Pumpe

6

A b b . 2.1.4a Prinzipskizze eines Fliissigkeits-Dampfabscheiders

b) Welche c h a r a k t e r i s t i s c h e n physikalischen G r 6 g e n des S t r 6 m u n g s feldes sind im S t r S m u n g s t e i l 3 und welche im S t r S m u n g s t e i l 5 zu beriicksichtigen?

c) B e s c h r e i b e n Sie die S t r S m u n g s f o r m e n die im S t r S m u n g s t e i l 2 a u f t r e t e n kSnnen. d) Von welchen G r 6 g e n sind die S t r 6 m u n g s b e r e i c h e b e i m U b e r g a n g ein e t i n k o m p r e s s i b l e n Fliissigkeitsstr6mung zu einer k o m p r e s s i b l e n Gass t r 6 m u n g abh~ingig? L6sung: a) Im StrSmungsteil 1 wird das Mehrkomponentengemisch in der Regel in flfissiger Form dem Fliissigkeits-Dampfabscheider zugefiihrt, so dass hier eine inkompressible FlfissigkeitsstrSmung vorliegt. Danach wird durch die Drossel der Druck derart abgesenkt, dass die zu trennenden Komponenten in verschiedenen Phasen, d. h. fliissig bzw. gasfSrmig vorliegen. Damit liegt im StrSmungsteil 2 eine MehrphasenstrSmung vor. Im Demister wird dann die ftiissige yon der gasf6rmigen Komponente getrennt. Im StrSmungsteil 3 wird danach die gasfSrmige Komponente weiter gefSrdert, in den StrSmungsteilen 5 und 6 die fliissige Komponente. Damit liegt in dem StrSmungsteil 3 eine kompressible GasstrSmung vor, in den StrSmungsteilen 5 und 6 eine inkompressible FliissigkeitsstrSmung. Die Expansion in der Turbine fiihrt im Teil 4 im

10

2 Grundlagen der StrSmungsmechanik

Allgemeinen wieder zu einem Mehrkomponentengemisch. b) Im StrSmungsteil 3 liegt eine kompressible GasstrSmung vor, d. h. es mfissen Dichte, Druck, Temperatur und Geschwindigkeit beriicksichtigt werden. Im StrSmungsteil 5 ist die StrSmung inkompressibel, d. h. es mfissen nur Druck, Temperatur und Geschwindigkeit beriicksichtigt werden. c) Die entstehenden StrSmungsformen der MehrphasenstrSmung im StrSmungsteil 2 h~ngen von dem Druckabfall fiber dem Drosselventil ab. Ist die Druckabsenkung zu gering, bleibt die FliissigkeitsstrSmung erhalten. Mit steigendem Druckabfall nimmt der Dampfgehalt X der MehrphasenstrSmung immer stoker zu. Zungchst bildet sich eine BlasenstrSmung aus, in der die HauptstrSmung aus Fliissigkeit besteht, in der Blasen enthalten sind. Mit steigendem Dampfgehalt wachsen die Blasen und lagern sich zusammen, so dass sich eine Pfropfen- bzw. eine SchwallstrSmung ausbildet. Mit weiter steigendem Dampfgehalt entsteht eine so genannte Ring-TrSpfchenstrSmung, bei der am Rand des Rohres ein Flfissigkeitsfilm und in der Mitte des Rohres der Dampf strSmt. Dabei sind in der DampfstrSmung TrSpfchen enthalten. Als Grenzfall ergibt sich bei entsprechender Druckabsenkung die reine GasstrSmung. In Abbildung 2.1.4b sind die wichtigsten dieser StrSmungsformen dargestellt. d) Die StrSmungsformen h~ngen vonder Temperatur, vom Druck, vom Dampfgehalt X und vonder StrSmungsgeschwindigkeit ab.

Abb. 2.1.4b Die wichtigsten StrSmungsformen der MehrphasenstrSmung

2.2 Hydro- und Aerostatik 2.2

Hydro-

2.2.1

11

und Aerostatik

Hydrostatik

A u f g a b e 2.2.1

U-Rohrmanometer D r e i gleiche U - R o h r e sind h i n t e r e i n a n d e r g e s c h a l t e t . In d e n U - R o h r e n b e f i n d e t sich jeweils eine Fliissigkeit m i t d e r D i c h t e p. Die Fliiss i g k e i t s s p i e g e l w e i s e n die H~Shend i f f e r e n z e n hl~ h2 u n d h3 a u f (siehe A b b . 2.2.1). D e r Einfluss d e r E r d s c h w e r e a u f die Luft ist v e r n a c h l~issigbar. W i e grog ist d e r D r u c k u n t e r s c h i e d Ap : p3 - pl z w i s c h e n d e n freien E n d e n des e r s t e n u n d dritten Rohres?

A b b . 2.2.1 zusammengeschaltete URohre LSsung: g e g e b e n : hi, h2, h3, p, g gesucht:

Ap - p3 - pl

Zur LSsung der Aufgabe fiihren wir die Drficke p~ und p~/ ein (siehe Abb. 2.2.1). Zun~chst betrachten wit das linke U-Rohr in Abbildung 2.2.1. Unmittelbar auf der Fliissigkeitsoberfl~che im linken Schenkel des genannten U-Rohres herrscht der Druck p3. Der gleiche Druck existiert in der Flfissigkeit in dem rechten Schenkel auf der gleichen Niveauh5he, so dass nach dem hydrostatischen Grundgesetz folgender Zusammenhang gilt: p~ - p'~ + p 9

(1)

h~

Analoge 0berlegungen gelten ffir die Driicke in dem mittleren und rechten U-Rohr, so dass gilt" !

I!

P2 - - P 2 + P" g" h2 p'2~ - p l

,

+ P" 9 " h i

p~l g e m ~ Gleichung (3) in Gleichung (2) eingesetzt, ergibt:

(2) (3)

12

2 Grundlagen der StrSmungsmechanik !

(4)

P2 -- Pl + P" g " h l + p . g . h2

Gleichung (4) wiederum in Gleichung (1) eingesetzt, ergibt nach einer Umformung das gesuchte Ergebnis: A p - p3 - p l - p ' g " (hi + h2 + h3) A u f g a b e 2.2.2

U-Rohrmanometer Ein oftener Wasserbeh~ilter und ein d u r c h ein M a n o m e t e r g e g e n die A t m o s p h ~ i r e abgeschlossenes~ m i t O l geffilltes Gef'dg s i n d d u r c h ein U - R o h r v e r b u n d e n (siehe A b b . 2.2.2)~ in dessert u n t e r e m Tell sich eine Tetrachlorkohlenstoff-Ffillung (CCI4) b e f i n d e t . Die H S h e d e r Wassers~iule ( D i c h t e des W a s s e r s : pw : 1000 k g / m 3) betr~igt hi = 0, 4 m~ die Ols~iule ( D i c h t e des {~ls: P O l - 950 k g / m 3) h a t die H S h e h3 = 0, 13 m~ u n d die H S h e h2 d e r CCl4S~iule betr~igt h2 - 0, 1 m.

A b b . 2.2.2 CC14-Fiillung im U-Rohr W i e g r o g ist die D i c h t e pTck d e r CC14-Fiillung~ w e n n a m M a n o m e t e r ein ~ l b e r d r u c k g e g e n die A t m o s p h ~ i r e y o n 1200 N / m 2 a b g e l e s e n w i r d ? LSsung: g e g e b e n : h l - 0,4 m, h2 - 0,1 m, h3 - 0,13 m, pw 950 k g / m 3, p - po - 1200 N / m 2, g - 9, 81 m / s 2 gesucht:

1000 k g / m 3, PO1 =

PWck

Auf der NiveauhShe X-X (siehe Abb. 2.2.2) sind die Driicke in dem Tetrachlorkohlenstoff in dem linken und rechten U-Rohrschenkel gleich. Mittels des hydrostatischen Grundgesetzes berechnet sich der Druck p~ in der Fliissigkeit auf der Niveaulinie X-X in dem linken U-Rohrschenkel zu: p!

- P + P61 ~ g ~ h3 + pTck

~

g " h2

9

(1)

Fiir den Druck auf der HShe X-X in dem rechten U-Rohrschenkel gilt entsprechend: !

p -- p0 + pw-g" hi

(2)

2.2

Hydro-

und

13

Aerostatik

Durch Gleichsetzen der Gleichungen (1) und (2) erh~lt man die Bestimmungsgleichung ffir flWck, die nach Aufl5sung nach flWck der folgenden Ergebnisformel der Aufgabe entspricht: hi h3 PTck -- Pw" ~ -- POI" h2

p - po g" h2

Mit den angegebenen Zahlenwerten berechnet sich PTck zu: /gTck z

A u f g a b e 2.2.3

1541, 8

kg/m

s

.

W a s s e r b e h ~ i l t e r mit K l a p p e E i n e in e i n e n W a s s e r b e h i i l t e r eingebaute rechteckige Klappe der H S h e h u n d d e r B r e i t e b ist im P u n k t D u m eine h o r i z o n t a l e Achse d r e h b a r g e l a g e r t (siehe A b b .

2.2.3). a) W i e g r o g ist die r e s u l t i e r e n de D r u c k k r a f t FD a u f die K l a p p e in Abh~ingigkeit d e r H S h e H des Wasserspiegels? A b b . 2.2.3 exzentrisch gelagerte Klappe

b) Bei w e l c h e r H S h e H0 des Wasserspiegels 5ffnet sich die K l a p p e d u r c h die D r u c k k r a f t selbstt~itig?

Z a h l e n w e r t e : hi = 1 m, h 2 - - 0 , 45 m LSsung: g e g e b e n : hi, h2, b, p gesucht: a) Druckkraft FD = f(H), b) niedrigste HShe Ho des Wasserspiegels, bei dem sich die Klappe 5ffnet a) Der konstante Aufoendruck wirkt sowohl von rechts auf die Klappe als auch fiber die freie 0berfl~che des Wasserspiegels von links auf die Klappe. Damit ist die resultierende Kraft des Aut~endruckes gleich Null und der Aut~endruck braucht nicht berficksichtigt zu werden. Die Druckverteilung im Wasserbeh~lter ergibt sich somit zu:

;(~) = p 9

(H-

z)

14

2 Grundlagen der StrSmungsmechanik

Die Druckkraft auf ein Fl~i~henelement dA = b. dz der Klappe betr~gt dann: dFD = p ( z ) . d A = p . g . ( H - z ) . b . d z

.

Die resultierende Druckkraft erh~lt man aus der Integration fiber die gesamte Platte: hi y.

FD - - / p ( z ) .

dA -

p. g . (H - z) . b . dz

o

t.]

o

Damit l ~ s t sich die Abh~ngigkeit der Druckkraft FD von der Spiegelh5he wie folgt angeben: FD -

p. g. (H -

(1)

~-~ ) . h l . b

b) Die in Abbildung 2.2.3 dargestellte Klappe 5ffnet sich selbst~ndig, wenn das Moment der resultierenden Druckkraft grSt~er als Null ist. Das Moment d M das auf das Fl~chenelement dA ausgefibt wird, berechnet sich aus der Druckkraft auf dieses Fl~chenelement und dem Hebelaxm beziiglich des Drehpunktes D zu: d M = (z - h2)-dFD -- (z - h 2 ) - p ( z ) , d A = ( z - h2) . p . g . ( H - z ) . b . d z Durch Integration fiber die gesamte Klappe erh~ilt man das resultierende Moment: hi

at.

M =/(z

- h2).p.g.

(H-

z). b. dz

, , ]

o

M = p.g.b,

h i . ( - ~1 . H .

hi -

1.h21_h2.H+ -~

1 h2. hi) -~.

Ist das Moment gr5t~er als Null, 5ffnet die Klappe. Die Bestimmungsgleichung zur Berechnung der gesuchten H5he des Wasserspiegels lautet also: 1 . Ho . hl -~

1.h~_h2.Ho+ -~

1

.h2.hi-0

Diese Gleichung nach Ho aufgel5st, ergibt das gesuchte Ergebnis: Ho_

--h2

12. ( - ~ - h2) Zahlenwerte eingesetzt: Ho - 2, 2 m

[ hi

2

.

(2)

2.2 Hydro- und Aerostatik A u f g a b e 2.2.4

15

Kegelventil

In

zur

Abbildung

Hiihe

H

2.2.4a -

0,5

ist m

ein

mit

bis

Was-

s e r ( D i c h t e pw d e s W a s s e r s b e t r ~ i g t

A b b . 2 . 2 . 4 a Kegelventil als Verschluss

pw - 1000 k g / m 3) g e f i i l l t e r Beh~ilter dargestellt~ dessen BodenSffnung durch ein Kegelventil (Dicht e Pk d e s K e g e l m a t e r i a l s b e t r ~ i g t Pk -- 3910 k g / m 3) a b g e d i c h t e t ist. D e r D u r c h m e s s e r 2. r d e r G r u n d fl~iche d e s K e g e l v e n t i l s u n d d e s s e n HShe h betragen jeweils 2-r h - 0, 25 m ( s i e h e A b b . 2 . 2 . 4 a ) . D e r Durchmesser der Bohrung im Beh ~ i l t e r b o d e n ist m i t r b e z e i c h n e t . W e l c h e K r a f t IF[ ist z u m A n h e b e n des Ventils nStig?

L6sung:

g e g e b e n : H = 0,5 m, r = 0,125 m, h 3910 k g / m 3 gesucht:

0,25 m, pw -

1000 k g / m 3, Pk --

F

A b b . 2 . 2 . 4 b Kr~fte am Kegelventil

In Abbildung 2.2.4b sind die Kr~ifte eingetragen, die auf das Kegelventil wirken. Zus~tzlich ist das Ventil in zwei Volumenanteile V1 und V2 zerlegt worden. Das Volumen V1 erf~hrt durch das es umgebende Wasser eine Auftriebskraft FA. A uf das Volumen V2 wirken die Wasserlast FD1 und die Kraft FD2, die aus dem Atmosph~rendruck po herrfihrt. Die Gewichtskraft G und die gesuchte Kraft F wirken auf das gesamte Ventil.

16

2 Grundlagen

der Str5mungsmechanik

Die gesuchte Kraft F ergibt sich durch ein Krgftegleichgewicht am Kegel: F+FA-G-FD~

+FD2 = 0

.

(1)

Die Auftriebskraft FA berechnet sich gem&g der Auftriebsformel: h 9 ?.2

FA=pw'g'V1

, h

V1

=Tr.

,

6

9 ~.2

F a - - p w -g. yr.

6

(2)

Die Wasserlast FD1 l ~ s t sich mit dem hydrostatischen Grundgesetz ermitteln: 7. 2

FDI - - p " Tr" 4

'

P - - P o + Pw "g"

FD1

--

H-

+ pw-g"

0

-~

,

H - ~

.Tr. -~-

.

(3)

Auf das Kegelventil wirkt von unten der Luftdruck po. Er ist die Ursache fiir die Kraft FD2. Die Kraft FD2 berechnet sich zu: ?~2

FD2 - p o ' T r " -4

"

(4)

Die Gewichtskraft G ergibt sich aus der nachfolgenden Rechnung: G=pk

"g" Vk 2

yk

--

7T . T

,

h 9 __

3

G - - p k . g - 7 r . r 2 . _h 3

(5)

Gleichungen (2), (3), (4) und ( 5 ) i n Gleichung (1) eingesetzt, ergibt nach einer Umformung nach F das gewiinschte Ergebnis: F--pw.g.Tr.r

2.h.

Zahlenwerte eingesetzt, ergibt: F -

1 ~

182 N.

p___~k+ _ . pw 4

h

24

2.2 Hydro- und Aerostatik

17

A u f g a b e 2.2.5 R o t i e r e n d e s Gef'fif~

E i n k e i s z y l i n d r i s c h e s Gef'fig (Inn e n r a d i u s r2, H g h e h) r o t i e r t m i t konstanter Winkelgeschwindigkeit cv u m seine H o c h a c h s e . D i e in d e m GeFfig b e f i n d l i c h e Fliissigkeit ( D i c h t e p) r o t i e r t d a b e i wie ein S t a r r k g r p e r mit. U b e r i h r e r freie n Oberfl~iche, die b e i m R a d i u s rl a n d e n B e h ~ i l t e r d e c k e l grenzt~ h e r r s c h t d e r U m g e b u n g s d r u c k p0 (siehe A b b . 2.2.5)

A b b . 2.2.5 Rotierendes Gefs

a) W i e g r o g ist die K r a f t IF2l, die die Fliissigkeit a u f d e n B e h ~ i l t e r b o d e n ausiibt? b) W i e grolg ist die K r a f t IF1[, die die Fliissigkeit a u f d e n B e h f i l t e r d e c k e l ausfibt? c) W i e g r o g ist d e r A b s t a n d fl[iche v o m B e h f i l t e r b o d e n ?

hmin des t i e f s t e n P u n k t e s d e r f r e i e n O b e r -

Lgsung: g e g e b e n : p, p0, w, g, rl, r2, h gesucht:

[F21,

JEll, hmin

Durch die Rotation entsteht ein Zentrifugalfeld in radialer Richtung. Die Erdschwere wirkt in negative z-Richtung. Damit ergibt sich fiir die Druckverteilung in der Fliissigkeit 1 2 2 p ( r , z ) - -~ . p . w . r - p . g . z + C (1) Als Ursprung des Koordinatensystems (r = 0, z = 0) wird der Schittpunkt der Achse mit dem Behiilterboden gew/ihlt. Da die Oberfl/iche der Fliissigkeit eine freie Oberflgche ist, herrscht dort der Druck p0. Damit gilt am Schnittpunkt der Fliissigkeitsoberflgche mit dem BehSJterdeckel die Randbedingung: p(r--

r l , z - - h) - p o

Durch Einsetzten der Randbedingung in Gleichung (1) ergibt sich die Konstante zu: C - p o -

1 -~ . p . ~

2

9

r~+p

9

g

.h

18

2

Grundlagen der Str5mungsmechanik

Damit folgt fiir die Druckverteilung in der Fliissigkeit: 1 p(r,z)-po+~'p'~

2

"(r2-rl ~)+p'g'(h-z)

(2)

a) Fiir die differentielle Kraft d]F2] auf den Behglterboden gilt: dlF2l -

p(r, z - 0). dA

(3)

.

Mit der Fl~he (4)

dA - 2.7r. r - d r und der Druckverteilung 1

p(~, z - o) - po + ~ . p . ~

2

9(~ - ~) + p. g. h

am Boden erh~ilt man aus Gleichung (3) fiir die Kraft ]F2[ das Integral r2

[F21- S ( po + -~1 " p " ~ 9. " (r 2 - r~) + p " g " h ) . 2 . Tr . r . d r r:0

Nach der Integration ergibt sich die Kraft auf den Beh~lterboden zu ]F2]--Tr.r~.

(

po+p.g.h+-~.p'w

1

2 r~ "2"

[

1-2-

rl -r2

b) Fiir die differentielle Kraft d[Fll auf den Beh~lterdeckel gilt" (5)

dlF11 - p ( r , z - h) . d A

Mit Gleichung (3) und der Druckverteilung 1 p(r,z-h)-po+~.p.~

2

" ( r 2 - r l ~)

am Deckel erh~ilt man aus Gleichung (5) fiir die Kraft IF1] gas Integral r2

tFll-

f

( p 1o + ~ ~ . w2 ( ~ - ~ 1 ~) )

2 ~ ~.d~

r--r 1

Nach der Integration ergibt sich die Kraft auf den Beh~ltereckel zu [Fl[ -- Tr. (r~ - r~) .

(

1 2r2[ po + -~ . p . w . -~ " 1-

(r1)21) -~2

2.2

Hydro-

und

19

Aerostatik

c) Der tiefste P u n k t der Oberfl~iche befindet sich bei r = 0 u n d h = h m i n . Mit der Randbedingung

p(r -- O, z

= h m i n ) = Po

auf der freien Oberfl~che der Fliissigkeit folgt aus Gleichung (2) po - po - ~1 9p" ~ 2 . r l2 . + / 9 . g. ( h

hmin)

9

Hieraus ergibt sich als Ergebnis fiir den A b s t a n d des tiefsten P u n k t e s der freien Oberfl~iche vom Behiilterboden 1 O22 h m i n --~ h . . . .

2

Aufgabe

2.2.6

g

2 rl

Drehtisch

Ein rotationssymmetrischer

Dreh-

tisch hat ein zylindrisches, schwimmendes 2.2.6).

Axiallager Der

betriigt

d -- 2 m .

se besitzt

(siehe

Abb.

Zapfendurchmesser Die

Lagerhiil-

einen Durchmesser

yon

D -- 2, 2 m u n d ist m i t t o o l -- 1500 kg O l d e r D i c h t e P O l - 900 k g / m 3 g e fiillt. a) W i e g r o g ist d e r T i e f g a n g Zl d e s Zapfens, wenn die DrehkSrpermasAbb.

se m D - - 5

2 . 2 . 6 Drehtisch

b) W i e g r o g ist d e r D r u c k u n t e r s c h i e d

P B - P0 z w i s c h e n

am Boden des Lagers und dem Umgebungsdruck des Zapfens? c) M i t w e l c h e r M a s s e Zapfen aufsetzt ?

mL . . . .

kann

t betr~igt?

der

Tisch

dem

Oldruck

PB

p0 n a c h d e m E i n t a u c h e n

beladen

werden,

bis der

LSsung: g e g e b e n : d - 2 m, D = 2.2 m, PO1 = 900 k g / m 3, toO1 = 1500 kg, m D = g = 9, 81 m / s 2 gesucht:

zl, P B - Po, mL . . . .

5 t,

20

2 G r u n d l a g e n der S t r S m u n g s m e c h a n i k

a) Die Bestimmungsgleichung fiir die Eintanchtiefe zl erh/ilt man durch das nachfolgende Kr/fftegleichgewicht (Auftriebskraft=Gewichtskraft)"

F~ - c D

(1)

(FA ist die Auftriebskraft, die vom Fluid anf den Drehtisch wirkt, GD die Gewichtskraft des Drehtisches). Die beiden Kr/ifte b e s t i m m e n sich mit der folgenden Rechnung: GD

-- g"

mD

,

FA

-- PoI

" g"

YZyl

,

(2)

7r 9d 2 VZyl --

4

Zl

(3)

Gleichung (3) in Gleichung (2) eingesetzt und die so erhaltene Formel fiir FA zusammen mit der Formel fiir die Gewichtskraft in Gleichung (1) eingesetzt, ergibt die gesuchte Bestimmungsgleichung fiir Zl" 9 "roD

--

PO1 " g"

7"t"9d 2 4 z~

Diese Gleichung nach Zl aufgelSst und die gegebenen Zahlenwerte eingesetzt, ergibt die gesuchte Eintauchtiefe Zl zu: Zl =

4 9~D

PO1 " 7r. d 2

= 1, 77 m

(4)

b) Der Druckunterschied PB --Po ergibt sich mit dem hydrostatischen Grundgesetz zu: PB

- - PO =

(5)

POl " g " 2

(2 ist der A b s t a n d zwischen der Oloberfl/iche und dem Boden der Lagerhiilse, siehe Abb. 2.2.6). Zur Auswertung der Gleichung (5) muss zun~chst die L~nge 2 ermittelt werden. Dazu soll ausgenutzt werden, dass das F1/issigkeitsvolumen Vol = t o O l ~ p 6 1 in der Lagerhiilse bekannt ist. Die Liinge 2 setzt sich aus der bereits bekannten L~nge Zl u n d dem A b s t a n d z2 zusammen, also: 2 = zl + z2. (z2 ist der A b s t a n d zwischen dem Axiallager und dem Boden der Lagerh/ilse). Mit den eingefiihrten GrSf~en kann das Fliissigkeitsvolumen wie folgt ausgedriickt werden: V61 = m 0 1 _ 7t-. D 2 7r D2 PO1 -4 "Z2 + -~ " Z I " ( -- d 2)

(6)

Gleichung (6) nach z2 aufgelSst und die entsprechenden Zahlenwerte eingesetzt, ergibt die L/inge z2 zu: Z2 = 71"'/)61 . D2 - Zl 9 1 - ~

-- 0, 13 m

2.2

Hydro-

und

21

Aerostatik

und 2 zu 2 = Z l -~- z 2 = 1, 9 m. Mit der Gleichung (5) und der ermittelten Liinge 2 erh/ilt man den gesuchten Druckunterschied: pB - p o = 16787 N / m 2. c) Zur Berechnung der maximalen Traglast wird das Kr/iftegleichgewicht am Drehtisch in dem Zustand betrachtet, in dem das Axiallager nahezu den Boden der Lagerhiilse beriihrt. Die Auftriebskraft ist fiir den genannten Fall wieder gleich der Gewichtskraft. Die Gewichtskraft setzt sich aus der Gewichtskraft des Drehtisches und der Masse mL . . . . zusammen. Es ergibt sich also folgende Gleichung: FA

-- GD

-J- G L

(7)

(GD ist die Gewichtskraft des Tisches, GL die Gewichtskraft der Last und FA die Auftriebskraft). Die Auftriebskraft berechnet sich fiir den maximalen Olstand Z01,max. Dieser lfisst sich wieder mittels des bekannten Olvolumens bestimmen: V~ 1 _

mOl /901

7r

- - ZO1 . . . .

"

~-" ( D2

4-mOl Z(~l,ma x =

_

d2

)

1

7i"" /901

D 2 -

(8)

d2

Die Auftriebskraft ergibt sich also mit Gleichung (8) zu: 7r. d 2 FA

- - PO1 " g "

4

d2 ZO1 m a x

'

- - PO1 " g " t o O 1

PO1

D2 - d2

(9)

Die Gewichtskr~fte berechnen sich g e m ~ GD -- g ' m D

,

G L -- g " m L

(10)

,

so dass sich die Bestimmungsgleichung fiir m L,max durch Einsetzen der Gleichungen (9) und (10) in Gleichung (7) wie folgt ergibt" POl " g " toO1 /901

d2 D2

_

d2

-- g"

(roD

-Jr- m L , m a x )

Diese Gleichung nach rrtL,max aufgelSst, ergibt das gesuchte Ergebnis: d2 mL,max

- - TYt01 " D 2

_

d2

-

mD

Die Zahlenwerte eingesetzt, ergibt die Maximallast: rrtL. . . . -- 2143

kg.

22 2.2.2

2 Grundlagen der StrSmungsmechanik Aerostatik

A u f g a b e 2.2.7

Atmosph~ire

D e r D r u c k p0 u n d die T e m p e r a t u r To sind fiir eine Luftatmosph~ire (spezifische G a s k o n s t a n t e R - 287 m 2 / ( s 2 . K ) ) , in d e r H S h e z - 0 b e k a n n t (p0 -- 101300 N / m 2, To - 283 K). a) G e m ~ d e r Annahme~ dass sich d e r Z u s t a n d des G a s e s in d e r A t m o sph~ire i s o t h e r m ~indert~ sollen d e r D r u c k u n d die Dichte d e r Atmosph~ire in Abh~ingigkeit der H S h e z b e r e c h n e t w e r d e n . b) Gem~ig~ der A n n a h m e ~ dass sich d e r Z u s t a n d des Gases in d e r A t m o sph~ire p o l y t r o p ~indert~ sollen der D r u c k u n d die Dichte d e r Atmosph~ire in Abh~ingigkeit d e r H S h e z b e r e c h n e t w e r d e n . Zur B e r e c h n u n g ist d a z u zus~itzlich d e r T e m p e r a t u r g r a d i e n t d T / d z - - 0 , 0 0 7 K/m bekannt. LSsung: g e g e b e n : p0 - 101300 N / m 2, To -0,007 K / m

283 K , R -

287m2/(s 2. K),

dT/dz

-

gesucht: a) bzw. b) p - f(z), p - f(z) a) Fiir die Atmosph~e ist die folgende Gleichung giiltig: P

Z

--

----

1 / g

dp P

9

(1)

Po

Da eine isotherme Atmosph~e vorausgesetzt wird, ergibt sich mittels der Zustandsgleichung fiir ideale Gase: P-P-= R - T - R-To - konst. P P P-R.To

"

(2)

In Gleichung (1) p gem~f~ Gleichung (2) eingesetzt ergibt die folgende, noch zu 15sende Gleichung: P

R.To Z

--

-

-

~

p Po

Mit der LSsung des in dieser Gleichung vorhandenen Integrals und einer anschliet~enden Umformung der Gleichung nach z, erh~lt man das gesuchte Ergebnis: _

p -- po . e

9

RT~ "~ -- po " e

~o

2.2

Hydro-

und

23

Aerostatik

mit

R-To g

Ho =

(3)

Fiir die Dichte ergibt sich mit dem obigen Ergebnis und der Gleichung (2) das folgende Ergebnis: p--po.e

iSIo

,

mit po -= p o / ( R . To). b) Fiir die polytrope Zustandsgnderung des Gases gelten fiir die ZustandsgrSgen die nachfolgenden Gleichungen: n

po-

1

~

-

Foo

(4)

In Gleichung (4) ist n der Polytropenexponent. Ersetzt man in Gleichung (1) p gemfi~ Gleichung (4) durch: Z

p-

po

,

(5)

so erh/ilt man die folgende Gleichung: __1 Z------"

l g

p~ Po

p

9

lap 2

p.

po

Mit der LSsung des in der Gleichung vorhandenen Integrals und der anschliegenden Umformung nach p/po, ergibt sich die Gleichung

(1

z) 1

Po

n

/~o

12

(6)

12

Z

Z

103.m

103.m

8

\'~ 9X~

0 , 0.0 0.2

- - isotherm - - polytrop

|

8

_

0.4

0.6

0.8

.~

1.0

P/Po

X \\

0 0.0

012 ' 0:4

0.6

0.8

A b b . 2.2.7 Druck und Dichte in isothermer und polytroper Atmosph~e

l:0 =P/P0

24

2 Grundlagen der Str5mungsmechanik

(Ho gems Gleichung (3)). Die Gleichung (6) entspricht noch nicht der gesuchten L5sung, da der Polytropenexponent noch unbekannt ist. Da der Temperaturgradient d T / d z bekannt ist, ermittelt man zun~chst eine Funktion T = f(z, n) und differenziert sie anschliegend nach z. Mit den Gleichungen (4) und der Gleichung (6) ergeben sich die nachfolgenden Gleichungen: T n-1 = 1To n p ~o

9

n-1 n

_

1-

z Ho

(7)

'

z Ho

-~

"

(8)

Aus der Gleichung (7) ergibt sich durch Differenzieren die nachfolgende Bestimmungsgleichung fiir den Polytropenexponenten n: dT dz

To Ho

n-

1 n

oder nach n umgeformt"

To /to

n=

(9)

dT To dz+Ho

Mit den erstellten Gleichungen kann nun die Auswertung erfolgen: po = 1,247 k g / m 3 gemfi~ Gleichung (2), Ho = 8279 m gemfiag Gleichung (3) u n d n = 1,258 gem~g Gleichung (9). Fiir den Druck und die Dichte ergeben sich also in Abh~ngigkeit v o n d e r HShe z die nachfolgenden Berechnungsformeln (siehe Abb. 2.2.7): P = Po

(1-0,21.

Aufgabe 2.2.8

8279m

'

po --

(1 o, 1

z

8279 m

"

(10)

Ballon

E i n B a l l o n s c h w e b t in e i n e r i s o t h e r m e n A t m o s p h ~ i r e ( L u f t d r u c k a m B o d e n p 0 - 1,013 bar, L u f t d i c h t e a m B o d e n p 0 - 1,225 k g / m 3) in d e r H S h e z0 - 500 m. U m w i e v i e l s i n k t er a b , w e n n sich d i e L u f t d i c h t e a m B o d e n b e i g l e i c h b l e i b e n d e m L u f t d r u c k d u r c h W i t t e r u n g s e i n f l i i s s e a u f p~ - 1, 0 k g / m 3 ~indert? H i n w e i s : D a s V o l u m e n V d e s B a l l o n s ~indert sich b e i d e m H S h e n w e c h s e l nicht. LSsung: g e g e b e n : po - 1,013 bar, po - 1,225 k g / m 3, zo - 500 m, p~ - 1,185 k g / m 3

2.2 Hydro- und Aerostatik gesucht:

25

Az

Im Schwebezustand ist die Auftriebskraft F A des Ballons gleich dem Gewicht des Ballons. Fiir den Schwebezustand nach der Wetter/inderung bleibt die Auftriebskraft F A des Ballons erhalten, da sich das Gewicht nicht kndert. Mit der Auftriebsformel erh/ilt man: FA = Psoom " g" V = pz,x " g" V

(1)

.

(Psoom ist die Dichte in 500 m HShe vor der Wetter/inderung, pz,x ist die Dichte in der noch unbekannten HShe nach der Wetter/inderung). Aus der Gleichung (1) folgt: Psoom = p z ,x

(2)

Sowohl die Dichte psoom als auch die Dichte p z , x kSnnen mit der Ergebnisgleichung der Aufgabe 2.2.7 entsprechend ausgedriickt werden, so dass sich mit der Gleichung (2) fiir die noch unbekannte SchwebehShe Zx die folgende Bestimmungsgleichung ergibt: z0

po-e Ho _

R " To _ g

H0

Po

- - p ol - e ,

_ H0

(3)

,

H~

R"

g'po

_ g

Po g " P'o

(Der Index ' steht fiir die Atmosph/ire nach der Wetter~hnderung). Gleichung (3) nach zx aufgelSst, ergibt: zx-H;"

,[

ln(P~ \po/

+

zo] ~

(4) "

Mit der Zahlenrechnung erh/ilt man folgende Werte: Ho = 8430 m, H~ = 8714 m, z~ = 228 m. Der Ballon sinkt also infolge des Witterungseinflusses um Az = 272 m. A u f g a b e 2.2.9

Stratosph~irenballon

Ein Stratosph~irenballon wird a m B o d e n nur z u m Teil mit d e m rlYaggas W a s s e r s t o f f H2 gefiillt. B e i m A u f s t e i g e n bl~iht er sich d u r c h V o l u m e n z u n a h m e der F i i l l u n g auf. D a d u r c h wird ein zus~itzlicher A u f t r i e b s g e w i n n erzielt. A m B o d e n b e s i t z t der B a l l o n ein V o l u m e n V0 - 450 m 3, sein max i m a l e s V o l u m e n betr~igt V1 - 1400 m3. a) W i e s c h w e r d a r f die zu h e b e n d e Last Gmax h S c h s t e n s sein (die B a l l o n hiille ist ein Teil der Last, j e d o c h nicht das Traggas), w e n n der Stratosph~irenballon e i n e m a x i m a l e H S h e y o n Z m a x - 12 k m in e i n e r p o l y t r o p e n Atmosph~ire e r r e i c h e n soil? A m B o d e n herrscht der Luftdruck p0 - 1,013

26

2 Grundlagen der StrSmungsmechanik bar u n d die L u f t d i c h t e p0 betr~igt d o r t po = 1,234 k g / m 3. D i e W a s s e r s t o f f d i c h t e PH2,O i m B a l l o n b e s i t z t a m B o d e n d e n W e r t PH2,0 : 0.087 k g / m 3. W e i t e r h i n s i n d die T e m p e r a t u r T1 k m : 280 K in 1 k m H 6 h e u n d die s p e z i f i s c h e G a s k o n s t a n t e d e r L u f t R = 287 m 2 / ( s 2. K ) bekannt. b) I n w e l c h e r H S h e zl h a t d e r B a l l o n sein g r S g t e s V o l u m e n V1 1400 m3 e r r e i c h t ?

A b b . 2.2.9 Stratosph~enballon H i n w e i s : Bis z u m E r r e i c h e n s e i n e s m a x i m a l e n V o l u m e n s b e s i t z t d e r W a s s e r s t o f f d e s B a U o n s in j e d e r H S h e die T e m p e r a t u r u n d d e n Druck der Atmosphiire. LSsung: g e g e b e n : p0 - 1,013 bar, po - 1,234 k g / m 3, R - 287 m 2 / ( s 2. I f ) , PH2,O = 450 m 3 V1 1400 m 3 0,087 k g / m 3, T1 km -- 280 K, Vo 9, 81 m / s 2 g e s u c h t : a) Gm~x, b) Zl a) Zur LSsung der vorliegenden Aufgabe kSnnen die Formeln der Aufgabe 2.2.7 genutzt werden. Der Ballon schwebt in einer polytropen Atmosph~e. Um die Zust~nde der A t m o s p h ~ e fiir unterschiedliche HShen angeben zu kSnnen, wird der Polytropenexponent benStigt. Dieser berechnet sich mit der in der Aufgabe 2.2.7 hergeleiteten Beziehung:

n-

dT

To /-/o

To

-~+H0

,

Ho= R.To g

,

To-

p0 po" R

.

(1)

Zur Auswertung der Gleichungen (1) sind alle GrStgen auger der Temperaturgradienten d T / d z gegeben. Die Temperatur nimmt in einer polytropen A t m o s p h ~ e linear ab (siehe Aufgabe 2.2.7), so dass sich der Temperaturgradient mit den gegebenen Temperaturen am Boden und in der HShe Zlkm = 1 k m wie folgt berechnen l~st: d T = Tlk,~ - To dz Zlkm - 0

.

(2)

Mit der Auswertung der Gleichungen (1) und (2) ergeben sich die folgenden Zahlenwerte: To = 286 K, Ho - 8367 m, d T / d z - 0 , 0 0 6 K / m , n - 1, 21.

2.2 Hydro- und Aerostatik

27

Die maximal tragbare Last Gmax ergibt sich durch ein KrMtegleichgewicht am Ballon in der H5he Zmax -- 12 kin: FA,12km -- Gmax - GH2 -- 0

==~

Gmax - fA,12km -- GH2

9

(3)

(FA,12km ist die Auftriebskraft in 12 k m HShe, GH2 die Gewichtskraft des Traggases). Die Masse mH2 des Traggases ~ndert sich w~ihrend des Ballonaufstieges nicht. Ihr Gewicht berechnet sich also wie folgt" GH2 -- mH2 "g -- PH2,0 " 17o'9

(4)

9

Die Auftriebskraft FA,12km berechnet sich mit der Auftriebsformel: FA,12km -- p12km "g" V1

9

(5)

In der Gleichung (5) steht V1, da sich der Ballon in der HShe Zm~x -- 12 k m voll ausgedehnt hat. Zur Auswertung der Gleichung muss noch die Dichte p12km der Luft in der betrachteten HShe ermittelt werden. Sie 1/isst sich mit der in Aufgabe 2.2.7 bereitgestellten Formel (8) berechnen. Die Formel lautet:

Pl2km---po.(l _ n - 1 n

1 Zmax) n 1 H0

(6)

Die Auswertung der Gleichungen ergibt die folgenden Zahlenwerte: p12km = 0,316 k g / m 3 g e m ~ Gleichung (6), FA,12k,~ -- 4340 N g e m ~ Gleichung (5), GH2 384 N g e m ~ Gleichung (4). -

-

Die berechneten Werte in Gleichung (3) eingesetzt, ergibt die gesuchte Gr5ge Gm~x: Gmax - 3956 N. b) Die im Ballon befindliche Masse mH2 bleibt w~hrend des Aufstiegs unver~ndert. Es gilt also: (7)

mH2 -- fill2,0" Vo -- /9H2,1" V1 oder umgeformt: Vo /9H2,1 -- /9H2,0 " V1 (Der Index 1 steht fiir die GrSgen in der HShe

9

(s)

Zl).

Weiterhin gilt fiir den Wasserstoff die Zustandsgleichung fiir ideale Gase: PHz,1 -- fill2,1

" /~H2

THz,1

~

PH2,1

:

PH2,1 TH2,1

/~H2 .

"

(9)

Der Druck und die Temperatur des Wasserstoffes sind in der betrachteten HShe identisch mit dem Druck und der Temperatur der Atmosph/ire, so dass in Gleichung

28

2 Grundlagen der Str5mungsmechanik

(9) fiir den Druck PH2,1 und die Temperatur TH2,1 der Index 'H2' weggelassen werden kann. Die GrSt~en pl und T1 k5nnen mit den bereitgestellten Gleichungen (6) und (7) der Aufgabe 2.2.7 ausgedriickt werden. Man erh~ilt also: n

Pl

P0"( 1-n-ln

"~00) -1

RH2"To'( 1-n-ln

PH2'I=RH2"T1 _

po

9

1-

"Hoo21)

n-1

Zl

n

-RH2"To

-1

" Ho

"

(10)

Wird in Gleichung (10) PH2,1 gem~it~ Gleichung (8) ersetzt und beriicksichtigt man weiterhin, dass po/To = R . p o ist, so erh~ilt man die folgende Gleichung:

Vo

R

(

PH2'0" Yl -- RH2 "P0"

n-l 1-

n

1

Zl ) n l Ho

Diese Gleichung nach Zl aufgel5st, ergibt:

z .o

n El

n- 1

R ~oo~]/i

11

"

(11)

Da der Druck und die Temperatur des Wasserstoffs jeweils gleich den entsprechenden Werten der Atmosph~e sind, gilt gem~i/~ der Zustandsgleichung fiir ideale Gase: PH2,0 _ PO __ R ' p o TH2,0 To

-

-

/{H2 " PH2,0 ,

(12)

so dass man mit der Gleichung (11) unter Beriicksichtigung der Gleichung (12) die folgende L5sung fiir Zl erh~lt: " [1 - ( V ~ n-l]

zl-H~

Als Zahlenwert fiir

Zl

ergibt sich:

Zl

--

10224 m.

2.3 Hydro- und Aerodynamik, Stromfadentheorie 2.3 2.3.1

Hydro- und Aerodynamik,

29

Stromfadentheorie

K i n e m a t i s c h e Grundbegriffe

A u f g a b e 2.3.1

StaupunktstrSmung

Ein z w e i d i m e n s i o n a l e s S t r S m u n g s f e l d ist mit d e n G e s c h w i n d i g k e i t s k o m p o n e n t e n u - a.x und v - - a . y b e s c h r i e b e n (a ist eine p o s i t i v e K o n s t a n t e ) . a) Es sollen die S t r o m l i n i e n des Strfimungsfeldes b e r e c h n e t und gezeichnet werden. b) W i e grog ist die D r e h u n g des S t r S m u n g s f e l d e s ? c) Ein S t a u b t e i l c h e n wird z u m Z e i t p u n k t to = 0 a u f d e n P u n k t (x0, y0) einer b e l i e b i g e n S t r o m l i n i e gelegt. W i e grog ist die Zeit te, bis das Staubteilchen d e n P u n k t (Xl, yl) der Stromlinie, a u f die es anfangs gelegt wurde, erreicht? Es soil a n g e n o m m e n werden, dass das S t a u b t e i l c h e n eine sehr kleine M a s s e besitzt, so dass kein S c h l u p f z w i s c h e n i h m und der StrSmung entsteht. LSsung: g e g e b e n : a) und b) u - a .x, v - - a - y , (x0, y0), (Xl, Yl) gesucht: a) Stromlinien, b) Drehung des StrSmungsfeldes, c) te

a) Die Definitionsgleichung fiir eine Stromlinie lautet: dy dx

v u

(1)

In Gleichung (1) die gegebenen Geschwindigkeitskomponenten eingesetzt, ergibt: dy dx

y x

=

--~

dy y

=

dx x

(2)

Durch Integration der Gleichung (2) auf beiden Seiten erh~lt man die Funktionsgleichung fiir die Stromlinien" S dY . y

. I . dx. x

~

ln(y) - - l n ( x ) + C

==~

C y - -x

(3)

C ist eine Integrationskonstante. Sie besitzt fiir jede Stromlinie einen speziellen Wert. Die Stromlinien sind Hyperbeln (siehe Abb. 2.3.1). b) Die Drehung in der (x, y)-Ebene ist durch die folgende Gleichung definiert: Ov - Ox

Ou Oy

(4)

30

2 Grundlagen der Str5mungsmechanik

Die in Gleichung (4) stehenden partiellen Ableitungen sind Null, so dass das gesamte Str5mungsfeld drehungsfrei ist, also: a~=0

fiiralle

(x,y)

.

c) Das Staubteilchen wird zum Zeitpunkt to auf eine Stromlinie gelegt. Es bewegt sich dann entlang der Stromlinie, da es eine so kleine Masse besitzt, dass kein Schlupf zwischen ihm und der Str5mung entsteht. Die Wegl~inge s, die es vom Punkt (xo, yo) bis zum Punkt (Xl, yl) zuriicklegt, entspricht der L~i~ge der betrachteten Stromlinie zwischen den beiden genannten Punkten. Diese L~nge s berechnet sich g e m ~ der nachfolgenden Gleichung:

s-f

1+ ~

9 dx

.

(5)

xo

In Gleichung (5) ist dy/dx die Ableitung der Funktion fiir die betrachtete Stromlinie nach x. Innerhalb der Zeit dt legt das Staubteilchen den Weg ds mit der Geschwindigkeit c zuriick. Dazu gilt: dt - ds -

-

,

~

_ V/U2 + v2

.

(6)

C

Das Weginkrement ds g e m ~ der Gleichung (5) in Gleichung (6) eingesetzt, ergibt:

dt-

A b b . 2.3.1 Stromlinien

u2 + v2

9 dx

.

(7)

2.3

Hydro-

und

Aerodynamik,

31

Stromfadentheorie

In Gleichung (7) u - a . x , v - - a . y

und

dy/dx

-

- C / x

2

eingesetzt, fiihrt auf die

f01gende zu integrierende Gleichung: C 2

at-

1 + x-~ ( a - x ) : + (a. y)2

dx=l

1 + - - 4X C 2

a xe +

X

1

1

a

x

9dx . . . . .

2

dx

.

(8)

Mit der nachfolgenden Integration erh/ilt man das gesuchte Ergebnis zu: te

Xl --

-

9

& o

Aufgabe

2.3.2

~

t~ --

-

X

9

In

a

x0

EckenstrSmung

D i e station~ire, d r e h u n g s f r e i e e b e ne S t r S m u n g e i n e s i n k o m p r e s s i b l e n F l u i d s l~ings e i n e r I n n e n e c k e h a t die G e s c h w i n d i g k e i t s k o m p o nenten u

-

c~ . y

,

v

-

c~ . x

,

(1)

m i t c~ > 0. D i e B e r a n d u n g des halb u n e n d l i c h e n S t r o m f e l d e s ist geg e b e n d u r c h die b e i d e n G e r a d e n y-+x und y--x fiir x > 0 . A b b . 2 . 3 . 2 a Innenecke a) W i e viele S t a u p u n k t e e x i s t i e r e n i m S t r o m f e l d ? M a n g e b e die K o o r d i n a t e n an. b) M a n b e s t i m m e die G l e i c h u n g y - f(x) j e n e r S t r o m l i n i e , die d u r c h d e n P u n k t Pl(Xl - 1, yl - 0 ) g e h t , s k i z z i e r e q u a l i t a t i v d e n V e r l a u f d i e s e r u n d d e r b e n a c h b a r t e n S t r o m l i n i e n u n d g e b e die S t r S m u n g s r i c h t u n g l~ings d e r S t r o m l i n i e n an. c) M a n b e t r a c h t e a u f d e r d u r c h P1 g e h e n d e n S t r o m l i n i e e i n e n w e i t e r e n P u n k t P2, d e s s e n x - K o o r d i n a t e x2 - 2 sei. W e l c h e Zeit At v e r s t r e i c h t , bis sich ein F l u i d e l e m e n t l~ings d i e s e r S t r o m l i n i e v o m P u n k t P1 z u m P2 bewegt hat ? L6sung: g e g e b e n : a, xl - 1, yl - 0 , x2 - 2

32

2 Grundlagen der StriJmungsmechanik

gesucht:

a) Staupunkte, Koordinaten, b) y8 = f(x), Skizze, c) A t

a) In einem S t a u p u n k t gilt f/ir die Geschwindigkeitskomponenten: u = 0, v = 0. Da es sich bei den Gleichungen (1) u m lineare Gleichungen handelt, existiert folglich nur ein S t a u p u n k t im StrSmungsfeld. Die Koordinaten des S t a u p u n k t s S lauten somit (xs = 0, ys = 0) . Der S t a u p u n k t befindet sich also im Koordinatenursprung. b) Die Defmitionsgleichung der Stromlinie lautet: dy . dx

v a.x . . . . u c~-y

x y

--->

y.dy-x.dx

.

(2)

Eine u n b e s t i m m t e Integration von Gleichung (2) liefert: l y . dy - / x . d x + C

==>

1

~-y

2

1

2

=~.x

+C

.

(3)

Die Integrationskonstante C wird unter Berticksichtigung der R a n d b e d i n g u n g im P u n k t P1 mit yl - y ( x -- xl = 1) = 0 bestimmt: 1.y~=O_

[1.x2+C-

[+C1

==>

C -

1

(4)

2

Gleichung (4) in Gleichung (3) eingesetzt, ergibt" 1 -~ . y

2

1 =

-~ . x

2

1 2

___>

y2 = x 2 _ 1

==~

y = -+-V/X2 - 1

.

(5)

Die StrSmungsrichtung erhglt m a n aus einer Diskussion der Vorzeichen der Geschwindigkeitskomponenten u u n d v nach Gleichung (1). Im angegebenen Definitionsbereich ist v f/ir alle x positiv. F/ir y > 0 n i m m t u positive Werte an u n d f/ir y < 0 wird u negativ. Der Verlauf der Stromlinien ist in Abbildung 2.3.2b skizziert.

A b b . 2 . 3 . 2 b Stromlinienverlauf

2.3 H y d r o -

und

Aerodynamik,

33

Stromfadentheorie

c) Das Fluidelement legt im Zeitintervall At die Strecke Ax - x 2 - Xl zurfick. Daher wird als Ansatz die Differentialgleichung zur Bestimmung der x - K o m p o n e n t e der Teilchenbahn gew~hlt: dx

dt

= u

:=::>

dx -

u. dr-

a.

y(x)

9dt = a.

1

dx

a

v/x 2 -

dt = - .

V/x 2 -

1 9dt

=:~

(6)

1

Die bestimmte Integration von Gleichung (6) erfolgt in der Zeit in den Grenzen von 0 bis At und im Raum in den Grenzen von Xl bis x2, so dass folgt: /Xt

1 0

d t = .1 a

x2

/

. 1 .dx V/X2 - 1

==v .

At-- 1 a

In x + v / x 2 - 1

)Ixx.. 1

=:::>

Xl

(x.+

(Xl+Jx-1)] =

,, 1,.(x.+.x:_,) Xl -~- 4 X l 2 -- 1

"

(7)

Durch Einsetzen der Werte Xl = 1 und x2 - 2 erh~lt man das Endergebnis:

C~

A u f g a b e 2.3.3

Richtungsstation~ire StrSmung

G e g e b e n ist die i n s t a t i o n i i r e , e b e n e S t r S m u n g eines i n k o m p r e s s i b l e n F l u i d s in d e r ( x , y ) - E b e n e fiir x > 0 u n d y > 0 d u r c h die G e s c h w i n d i g keitskomponenten u(x,t)=-[A+B.sin(w.t)].x

,

v(y,t)=[A+B.sin(w.t)].y

,

(1)

m i t d e n K o n s t a n t e n A > B > 0. a) M a n b e s t i m m e die K o m p o n e n t e y ( t ) des B a h n k u r v e n v e k t o r s fiir j e n e s F l u i d t e i l c h e n , das sich z u m Z e i t p u n k t t - 0 im P u n k t P(xp, yp) b e f i n d e t . b) M a n e n t w i c k l e die G l e i c h u n g d e r S t r o m l i n i e , die d u r c h d e n P u n k t P g e h t , skizziere d e n V e r l a u f d e r S t r o m l i n i e d u r c h P sowie b e n a c h b a r t e r S t r o m l i n i e n u n d g e b e die S t r S m u n g s r i c h t u n g an. W e l c h e r S o n d e r f a l l beziiglich s t a t i o n ~ i r e m u n d i n s t a t i o n ~ i r e m V e r h a l t e n liegt hier vor? c) M a n e n t w i c k l e e i n e i m p l i z i t e B e s t i m m u n g s g l e i c h u n g fiir die Zeitdiff e r e n z At, die v e r s t r e i c h t , bis ein F l u i d t e i l c h e n v o m P u n k t P(xp,yp) bis z u m P u n k t Q(xQ,yQ) m i t y Q - 3 . y e g e l a n g t ist.

34

2 Grundlagen der StrSmungsmechanik

y - K o m p o n e n t e bx u n d by der s u b s t a n t i ellen B e s c h l e u n i g u n g im S t r o m f e l d in Abh~ingigkeit yon O r t u n d Zeit. d)

Man

bestimme

die

x- und

die

LSsung: g e g e b e n : A, B, w, xp, yp, yQ -- 3 . y p gesucht: a) y(t), b) Stromlinie, Skizze, Sonderfall, c) At, d) bx, by a) Die Definitionsgleichung fiir die Teilchenbahnkomponente lautet: dy d--t- = v

.

(2)

Die gegebene Geschwindigkeitskomponente v(y,t) aus Gleichung (1) in Gleichung (2) eingesetzt, ergibt: dy = v -- [A + B. sin(w, t)].y dt

1 - . dy - [A + B. sin(w, t ) ] - d t y

==~

(3)

Durch unbestimmte Integration von Gleichung (3) auf der linken Seite nach y und auf der rechten Seite nach t erhfilt man" In(y)-[ A't-Bw'c~

1 +Co

9

(4)

Die Integrationskonstante Co wird mit Hilfe der Anfangsbedingung y(t bestimmt zu: ln(yp) =

B

+ Co

B Co = ln(yp) + --

~

0.)

O) -

yp (5)

0.)

Co in Gleichung (4) eingesetzt, ergibt: l n ( y ) - l n ( y p ) -[ A . t In

Y

-

- B-

9 cos(~,

t)

]

+

B

-

A-t+--.[1-cos(w-t)]

(6)

0.)

Als Endergebnis erh~ilt man fiir y(t): y(t)

=

yp -exp

A. t + - - . [1 - cos(w, t)]

(7)

CO

b) Die Definitionsgleichung der Stromlinie lantet: dy dx

v u

[A + B - s i n ( w . t)].y - [ A + B. sin(w, t)].x 1 1 - -dy . . . . dx . y x dy dx

(8)

2.3

Hydro-

und

Aerodynamik,

35

Stromfadentheorie

Integration von Gleichung (8) fiihrt auf: ln(y) - - l n ( x ) +

C1

ln(y) § ln(x)

~

-

C1

ln(y. x) - C:

~

(9)

Die Integrationskonstante C1 wird unter Beriicksichtigung der Randbedingung y(x = xp) - yp ermittelt: Cl

--

ln(ye, xp)

,

(10)

Gleichung (10) in Gleichung (9) eingesetzt, fiihrt auf das Ergebnis: ~,r

- xp .yp

(11)

X

Xp

X

A b b . 2.3.3 Stromlinien

Die Stromlinien sind Hyperbeln in der (x, y)-Ebene und in Abbildung 2.3.3 eingezeichnet. Die Str5mungsrichtung erhalt man aus einer Vorzeichendiskussion der Geschwindigkeitskomponenten von Gleichung (1). Da laut Voraussetzung x>0sowieA>B>0gilt, folgt u < 0 iiberall im ersten Quadranten. Mit der gleichen Uberlegung fiir y > 0 erh~lt man v > 0 iiberall im ersten Quadranten. Damit liegt die Str5mungsrichtung fest.

Hinsichtlich s t a t i o n ~ e m bzw. instation~em Verhalten liegt hier der Sonderfall einer so genannten richtungsstation~en Str5mung vor. Dies bedeutet, dass die Geschwindigkeitsrichtung und damit der Verlauf der Stromlinien s t a t i o n ~ sind. Der Geschwindigkeitsbetrag hingegen ist instation~, was jedoch auf den Verlauf der Stromlinien keinen Einfluss hat. Dies ist auch daran zu erkennen, dass sich der zeitabh~ngige Faktor in der Definitionsgleichung der Stromlinie nach Gleichung (8) herauskiirzt. c) Das Fluidteilchen soll sich zum Zeitpunkt t - At am Ort yQ -~ 3 - y p befinden. Mit Gleichung (7) erh~lt man folgenden Ansatz zur Bestimmung von At:

y(t--At)--yQ--3.yp--yp.exp

( A . A t + - - .B[ 1 - c o s ( w . ~d

At)]

)

(12)

Durch Umformung von Gleichung (12) erh~lt man die gesuchte implizite Gleichung zur Bestimmung von At: B A.At+--.[1-cos(~.At)]--ln(3) O2

.

(13)

36

2 Grundlagen der StrSmungsmechanik

d) Die substantiellen Beschleunigungen b~ und by erh/ilt man durch substantielles Differenzieren der entsprechenden Geschwindigkeitskomponenten u u n d v zu:

du Ou Ou Ou b~ = d---t = 0---[+ u" ~ + v " Oy

dv Ov Ov Ov b y = d---t = 0---[+ u" ~ + v " -~y

'

.(14)

Mit Ou/Ot = - B . a;. cos(a;, t ) - x sowie Ou/Ox = - A + B . sin(a;, t) und cOu/Oy = 0 folgt fiir die x-Komponente der Beschleunigung: b~ - - B . a;. c o s ( a ; - t ) . x + [A + B . sin(a;, t ) ] 2 . x

(15)

Entsprechend erh/ilt man mit Ov/Ot = B - a ; . cos(a;, t ) . y sowie Ov/Ox = 0 und Ov/Oy = A + B 9sin(a;, t) fiir die y-Komponente der Beschleunigung: by - B . a ; . cos(a;, t ) . y + [A + B . sin(a;, t)] 2 . y

Aufgabe 2.3.4

(16)

Instation/ire ParallelstrSmung

G e g e b e n ist d i e i n s t a t i o n [ i r e e b e n e S t r S m u n g Fluids d u r c h die G e s c h w i n d i g k e i t s k o m p o n e n t e n : U(t) -- U0 -~- U l - c o s ( a ; .

m i t d e r K r e i s f r e q u e n z co =

t)

,

eines

inkompressiblen

v ( t ) -- ~/rl" sin(a;, t)

s -1 u n d d e n K o n s t a n t e n

,

(1)

U0, UI, V1 > 0.

a) M a n b e s t i m m e d i e K o m p o n e n t e n x(t), y(t) d e s B a h n k u r v e n v e k t o r s fiir j e n e s F l u i d t e i l e h e n , d a s sieh z u m Z e i t p u n k t t - 0 i m P u n k t P(xp, gp --O) b e f i n d e t . A n w e l e h e r S t e l l e Q(XQ, yQ) ist d a s T e i l e h e n z u r Z e i t t = 2 s? b) M a n e n t w i e k l e d i e G l e i e h u n g d e r S t r o m l i n i e , d i e d u r e h d e n P u n k t g e h t , fiir e i n e n f e s t e n Z e i t p u n k t t - to.

P

e) M a n s k i z z i e r e d e n V e r l a u f d i e s e r S t r o m l i n i e in d e r U m g e b u n g d e s P u n k t e s P fiir d r e i v e r s e h i e d e n e Z e i t p u n k t e to = 0 s, 2 s, 6 s u n d g e b e d i e j e w e i l i g e S t r g m u n g s r i e h t u n g a n . H i e r z u soil a n g e n o m m e n w e r d e n , d a s s U0 - U1 - 1/1 = 1 m / s ist. Lgsung: g e g e b e n : a ; - :r/4 s -1, U0, U1, 1/1, xp, yp gesueht:

x(t), g(t), Q(XQ, gQ), b) Stromlinie, c) Skizze

a) Die beiden Definitionsgleichungen zur Ermittlung yon x(t) und y(t) lauten: dx = u dt dy -- = v dt

==~

dx = u . dt - [Uo + UI. COS(a;" t)]" dt

=~

dy - v . dt - V~. sin(a;, t ) . dt

,

(2) (3)

37

2.3 Hydro- und Aerodynamik, Stromfadentheorie

Nach Integration erh/ilt m a n aus den Gleichungen (2) u n d (3)" x ( t ) - Uo. t + U-2-1.sin(w, t) + C~ 03

,

y(t) -- _ V l . 03

COS(0)" t) -Jr-C2

.

(4)

Die Integrationskonstanten C1 u n d C2 der Gleichungen (4) b e s t i m m t m a n mit Hilfe der Anfangsbedingungen zu: x(t=O)-xe

,

-C1

y ( t -- 0 ) - - 0

-- V l

V1

Jr- C2 03

03

Somit erh/ilt m a n als Ergebnis" UI

x ( t ) - x p + Uo . t + - - . 03

sin(w, t)

y(t) -

,

V 1 . [1 - cos(03, t)] 03

.

(6)

Zur Berechnung von XQ u n d yQ werden die Gleichungen (6) zum Zeitpunkt t - 2 s ausgewertet. Somit ergibt sich: x(t

- - 2 8) - - X Q - - X p q- 2 " No ~- 4 . 7r

Vl

,

y(t -

2 8) -

4

yQ -- --. 7r

V1

(7)

b) Die Definitionsgleichung der Stromlinie lautet zum Zeitpunkt t = to: dy v =dx u

--~

v dy--.dxu

V1 9sin(03 9to) Uo Jr- g l 9 cos(03, to)

.dx

.

(8)

Nach Integration yon Gleichung (8) erh~tlt man: V1 9sin(03 9to) (9)

Y -- Uo Jr- U I " cos(03- to) . x -~- C3

Die Integrationskonstante C3 wird unter Beriicksichtigung der R a n d b e d i n g u n g y ( x = xp) = yp = 0 ermittelt: yp

0 -

V1 9sin(03 9to) -

Uo -Jr U I " cos(03, to)

.xp

+

C3

==~

V1 9sin (co. to) C3 -- - U o

(10)

-~ U 1 . cos(03- to) - x p

Gleichung (10) in Gleichung (9) eingesetzt fiihrt mit co = rr/4 s -1 auf das Ergebnis: 1/1 9s i n ( ~ , to)

9 (x - xe)

(11)

~(x) - Uo + u , . co~(~, to) c) Die Stromlinien dutch den P u n k t P aus Teilaufgabe b) sind Geraden (y ~ x) mit zeitabh/iagiger Steigung. Die Str5mungsrichtung ergibt sich aus den Vorzeichen der betreffenden Geschwindigkeitskomponenten zu den jeweiligen Zeitpunkten to.

38

2 Grundlagen der Str5mungsmechanik

~ p

~

t~ 2s to= Os X

to= 6s xp---~, A b b . 2.3.4 Stromlinien Unter Beriicksichtigung der Annahme Uo = U1 = V1 = 1 m/s erhglt man die folgende Tabelle, mit deren Hilfe die Skizze 2.3.4 sofort erstellt werden kann. to=0:

y(x) =0

,

u=2>O ,

v=O

to=2:

y(x)=l.(x-x~)

,

u=l>o

,

~=1>o

to=6:

y(x)=-l.(~-x~)

,

~=1>o

,

~=-1
A u f g a b e 2.3.5

.

Instation~ire StrSmung

E i n z w e i d i m e n s i o n a l e s e b e n e s instation~ires S t r S m u n g s f e l d ist g e g e b e n durch: u=A

,

v=B.x-t.sin(w-t)

,

(1)

m i t t > 0 u n d d e n K o n s t a n t e n A u n d B. a) B e r e c h n e n Sie die S t r o m l i n i e n g l e i c h u n g e n z u m Z e i t p u n k t t = 0 u n d zu

e i n e m Z e i t p u n k t t > 0. b) B e s t i m m e n Sie die K o m p o n e n t e n x(t) u n d 9(t) des B a h n k u r v e n v e k t o r s fiir j e n e s F l u i d t e i l c h e n , d a s sich z u m Z e i t p u n k t t = 0 i m P u n k t P(zo, 90) befindet. c) B e s t i m m e n Sie die x- u n d y - K o m p o n e n t e substantiellen Beschleunigung im Stromfeld.

bx(x,y,t) u n d by(x,y,t) d e r

LSsung: g e g e b e n : A, B, w, xo, yo g e s u c h t : a) ys(t = O)= f(x), ys(t > O)= f(x), b) x(t), y(t), c) bx, by

2.3 Hydro- und Aerodynamik, Stromfadentheorie

39

a) Die Definitionsgleichung der Stromlinie lautet zum Zeitpunkt t dy dx

- -

=

v u

----,

-

dy

-

v u

-

9 dx

0 A

-

9 dx

-

0

0: (2)

"

Nach Integration von Gleichung (2) erhglt man: y(x)

-

C:

(3)

C1 ist eine Integrationskonstante. Sie besitzt fiir jede Stromlinie einen b e s t i m m t e n Wert. Die Stromlinien von Gleichung (3) beschreiben eine Parallelstr5mung entlang der x-Achse. Fiir einen festen Zeitpunkt t > 0 lautet die Definitionsgleichung der Stromlinie: dy . . dx

.

v . u

v B . x . t-sin(co, t) . dx dy - - 9dx u A

~,

(4)

Nach Integration von Gleichung (4) erhglt man: y(x)

-

sin(a:, t) 2.A +C2

B . x 2. t .

(5)

C2 ist wiederum eine Integrationskonstante. Die Stromlinien von Gleichung (5) fiir einen festen Zeitpunkt t > 0 sind zur y-Achse symmetrische Parabeln. b)Die beiden Definitionsgleichungen zur E r m i t t l u n g von x ( t ) u n d y ( t ) lauten: dx dt = u

~

dx-u.dt-A.dt

dy = v dt

~

d y - v . dt - B . x - t - s i n ( a : .

,

(6) t)-dt

(7)

Nach Integration von Gleichung (6) erh/ilt man" x(t)

-

A.

t +

Ca

(8)

Die Integrationskonstante C3 bestimmt m a n mit Hilfe der Anfangsbedingung zu" .

x(t-O)-xo-C3

(9)

Setzt m a n Gleichung (9) in Gleichung (8) ein erh/ilt m a n als Ergebnis: x(t)

-

A.

t + xo

(10)

.

Da x - f(t) eine Punktion der Zeit ist, muss m a n vor der Integration von Gleichung (7) die Punktion (10) einsetzen: d y - B . (A. t + xo)" t . sin(a;, t ) - d t = [A. B . t 2 sin(a;, t) + B - x o - t .

sin(a;, t)]. dt

(11)

40

2 Grundlagen der StrSmungsmechanik

Nach Integration yon Gleichung (11) erhglt man: y(t) = A . B 9

2 . t . sin(00 t) _ cos(00-t).

00

002

(sin(00. t) _ t . co8(00, t ) ~ + C4

+B.x0. \

~

(12)

]

Mit der Anfangsbedingung y ( t = O) = yo e r h ~ t m a n fiir die Integrationskonstante C4: 2

y ( t = 0) - y o - A . B . ~-5 + C4

2 C4 = Yo - A . B . 00--5 "

m

(13)

Gleichung (13) in Gleichung (12) eingesetzt liefert das Ergebnis: y(t) = A . B .

+B-x0 9

2. t . sin(w- t) _ cos(w, t ) . 002 sin(co- t) w2

t.cos(w-t)

CO

2 002

+ y 0 - A ' B ' w - - - g2

c) Die substantiellen Beschleunigungen bx u n d by erhglt m a n durch substantielles Differenzieren der entsprechenden Geschwindigkeitskomponenten u u n d v zu: bx

du dt

. . . .

Ou Ou Ou Ot +-u" ~ + v" Oy

'

by =

dv Ov Ov Ov = + u+ v. dt Ot ~ -~y

"

(14)

Mit Ou/Ot = 0 sowie O u / O x = 0 u n d O u / O y = 0 folgt fiir die x - K o m p o n e n t e der Beschleunigung: b~ = 0

(15)

Entsprechend erhglt m a n mit Ov/Ot = B . x . sin(w 9t) + B . t . w. x . cos(w 9t) sowie O v / O x = B . t . sin(w, t) u n d Ov/Oy = 0 fiir die y-Komponente der Beschleunigung: b~=B.x.sin(w.t)+B.t.w.x-cos(w't)+A'B-t'sin(w-t)

2.3.2

.

(16)

Inkompressible StrSmungen

A u f g a b e 2.3.6

Windkanaldfise

A n e i n e W i n d k a n a l d i i s e m i t d e m K o n t r a k t i o n s v e r h t i l t n i s A 1 / A 2 = 4 ist v o r der Verengung ein U-Rohrmanometer mit Wasserfiillung angeschlossen (siehe Abb. 2.3.6). Im Betrieb zeigt das Manometer eine HShendifferenz y o n h = 94 m m W S ( m m W S - M i l l i m e t e r W a s s e r s R u l e ) a n . W i e g r o g ist d i e A u s t r i t t s g e s c h w i n d i g k e i t c2 i m Q u e r s c h n i t t A2~ w e n n d i e D i c h t e d e s W a s -

2.3 H y d r o -

und

Aerodynamik,

41

Stromfadentheorie

sers im U - R o h r

pw - 1000 k g / m 3 u n d d i e D i c h t e d e r L uft pL -1,226 k g / m 3 b e t r a g e n ?

Hinweis: Es soil die reibungsfreie KernstrSmung angenommen werden (Kapitel 2.1, H. Oertel jr., M. B6hle 2004)

A b b . 2.3.6 Windkanaldiise

LSsung: gegeben: h = 0,094 m, pw = 1000 k g / m 3, pL : g = 9, 81 m / s 2 gesucht:

1,226 k g / m 3, A1/A2 = 4,

ce

Zur LSsung der Aufgabe wird ein Stromfaden vom Querschnitt A1 zum Querschnitt A2 gelegt. Entlang des Stromfadens wird die Bernoulli-Gleichung fiir inkompressible Str5mungen angewendet. Sie lautet (in diesem Fall ohne HShenglied):

(1)

pl Weiterhin gilt die Kontinuit~tsgleichung: PL -Cl 9A1 = PL "c2 9A2

(2)

oder umgeformt: A2

Cl - c2" A1

(3)

cl in Gleichung (1) gemfis Gleichung (3) eingesetzt, ergibt nach einer einfachen Umformung:

I

/

Der Druck auf die Querschnittsfl/iche A2 ist gleich dem Druck autgerhalb der Windkanaldiise. Die in Gleichung (4) stehende Druckdifferenz pl - p 2 , die den HShenunterschied h im U - R o h r m a n o m e t e r verursacht, 1/isst sich mit dem hydrostatischen Grundgesetz berechnen zu: P l -- P2 -- /gW " g " h

(5)

42

2 Grundlagen der StrSmungsmechanik

Die Druckdifferenz pl - p 2 gem/~ Gleichung (5) in Gleichung (4) eingesetzt, ergibt das gesuchte Ergebnis:

AIs Zahlenwert erhElt man f/ir c2 den Wert" c2 - 40 m / s . A u f g a b e 2.3.7

Uberlauf einer Badewanne Eine Badewanne der HShe H 0,6 m b e s i t z t in d e r H S h e h 0, 5 m e i n e n U b e r l a u f mit der Q u e r schnittsfl~iche A (siehe A b b . 2.3.7). Der maximale Zulauf betr/igt V = 0 , 5 . 1 0 -4 m 3 / s . W i e grog muss der Q u e r s c h n i t t A des U b e r l a u f s bem e s s e n werden~ damit die W a n ne bei g e s c h l o s s e n e m A b l a u f nicht iiberl/iuft ?

~Zulauf LOberlauf H h blauf I A b b . 2.3.7 Badewanne mit 0berlauf

Hinweis: Es soil die reibungsfreie K e r n s t r S m u n g a n g e n o m m e n werden. LSsung:

g e g e b e n : H = 0, 6 m, h = 0, 5 m, V = 0, 5- 10 -4 m 3 / 8 , g = 9, 81 m / s 2 gesucht: A

Zur Dimensionierung der UberlaufSffnung wird angenommen, dass die Badewanne bis zum oberen Rand gef/illt ist und, dass der Volumenstrom V zufliegt. Damit die Badewanne nicht fiberlEuft, muss der zufliet~ende Volumenstrom V durch die 0berlanfSffnung abfliet~en kSnnen. Deshalb muss folgende Ansatzgleichung anfgestellt werden: V = cA . A

===:V

A=

CA

(1)

.

Zur Berechnung der Fl~che muss noch die Ausflussgeschwindigkeit CA berechnet werden. Dazu wird die Bernoulli-Gleichung fiir inkompressible StrSmungen entlang eines Stromfadens von der Wasseroberfl~che bis zur 0berlauF6ffnung angewendet. Diese lautet:

p l + ~P

.c 2 +p.g.H--pA

+ -~ P.4+p.g.h

.

(2)

2.3 Hydro- und Aerodynamik, Stromfadentheorie

43

Da der zufliet~ende Volumenstrom gleich dem abfliet~enden Volumenstrom ist, sinkt der Wasserspiegel nicht ab, so dass gilt: Cl - 0. Weiterhin wirkt auf den Wasserspiegel und auf den Austritt der 0berlaufSffnung der Umgebungsdruck po, so dass in Gleichung (2) pl - P A --Po ist. Beriicksichtigt man dies in der Gleichung (2), so vereinfacht sie sich zu:

p . g . H - ~ P .C2A+ p . g . h oder umgeformt: CA -- V/2"g 9 (H - h)

(3)

Gleichung (3) in Gleichung (1) eingesetzt, ergibt das gesuchte Ergebnis zu:

A

u

V/2.g. ( H - h) AIs Zahlenwert erh~lt man: A -

A u f g a b e 2.3.8

3, 6 . 1 0 -5 m 2 - 0 , 36

cm 2.

Trichter W i e l a n g e sinkt der W a s s e r s p i e gel des in A b b i l d u n g 2.3.8 gezeigt e n Trichters v o n der H S h e z - H bis zur H S h e z - H/2? D e r Trichter b e s i t z t die H S h e H - 1 m und am oberen Rand einen Durchm e s s e r D - 0,8 m. D i e A u s f l u s s 5 f f n u n g hat die Q u e r s c h n i t t s f l i i c h e A = 3 . 1 0 -4 m 2.

A b b . 2.3.8 Mit Wasser gefiillter Trichter H i n w e i s : D i e A u s f l u s s s t r S m u n g soil als r e i b u n g s f r e i u n d als q u a s i - s t a t i o nfir a n g e n o m m e n w e r d e n (d. h. die z e i t l i c h e A b l e i t u n g der Ges c h w i n d i g k e i t in der B e r n o u l l i - G l e i c h u n g fiir instation~ire StrSm u n g e n kann vernachlfissigt w e r d e n ) . LSsung: gegeben:H-lm, gesucht:

D-0,

Absinkdauer T

Sm, A-3cm

2,g-9,81m/s 2

44

2 Grundlagen der Str5mungsmechanik

Zur LSsung der Aufgabe wird die Lage des Wasserspiegels an einer beliebigen Stelle z zum Zeitpunkt t betrachtet. An dieser Stelle x besitzt der Trichter den Durchmesser d. Der Wasserspiegel sinkt mit der Geschwindigkeit ~. Es gilt die nachfolgende Kontinuit~itsgleichung: 9d 2 (1)

9 ~ = A.CA

4

(CA ist die Ausflussgeschwindigkeit dutch die AusflussSffnung). Die Gr5t~e des Durchmessers d in Abh~ngigkeit von z und die Absinkgeschwindigkeit des Wasserspiegels kSnnen unter der Annahme A << ~. D 2//4 wie folgt ansgedriickt werden: D dz d- ~.z , cdt " (2) (Mit zunehmender Zeit nimmt z ab (~ < 0), deshalb steht in der zweiten Gleichung vor dem Differential ein Minuszeichen). Die Ausflussgeschwindigkeit CA in Abh~ngigkeit von z kann mittels der BernoulliGleichung fiir inkompressible StrSmungen ermittelt werden. Dazu wird sie entlang eines Stromfadens v o n d e r Wasseroberfl~iche (Stelle z) bis zur AusflussSffnung angewendet. Sie lautet also:

P-~

Pz + ~

+ p" g " z -- pA

P-4

+ -~

(3)

9

Die Driicke p z und PA an der Stelle z bzw. in der AusflussSffnung entsprechen dem Umgebungsdruck po. Sie heben sich also in Gleichung (3) anf beiden Seiten anf. Die Absinkgeschwindigkeit ~ ist so klein, dass der Ausdruck ~2 vernachl~ssigt werden kann. Wird dies in der Gleichung (3) beriicksichtigt, so ergibt sich fiir CA nach einer einfachen Umformung: CA - - V / 2

"g "z

(4)

9

Setzt man in Gleichung (1) fiir d, ~ und CA die entsprechenden Ausdriicke der Gleichungen (2) und (4) ein, so erhfilt man: . 9

4

--gi - A v / 2 g z

oder umgeformt: 3

- z ~ .dz

-

v/-2 9g.

4A 9

.dt

.

Mittels der nachfolgenden Integration erh~ilt man:

j3 H

-

z~

H

.dz

=

.g.

9

71"

9

dt

(5)

2.3 Hydro- und Aerodynamik, Stromfadentheorie

45

(Auf der linken Seite ist die untere Integralgrenze H, da zum Zeitpunkt t = 0 der Wasserspiegel an der Stelle z = H steht. T ist die gesuchte Zeit). Die LSsung der Integrale dieser Gleichung und eine anschlief~ende Aufl5sung nach T, liefert das Ergebnis: T-4"v/2-180

7r'D2A i H

AIs Zahlenwert erhglt man: T = 124, 6 s.

A u f g a b e 2.3.9

Abfluss eines BehKIters

A b b . 2.3.9a Instationgrer Ausfluss

Ein g r o g e r Beh~ilter ist bis zur H S h e H mit W a s s e r gefiillt (siehe A b b . 2.3.9a). A n d e n Beh~ilter ist ein langes R o h r d e r L~inge 1 ant = 0 geschlossen. Z u m Z e i t p u n k t ist das R o h r an der Stelle 2 verschlossen (siehe A b b . 2.3.9a). Fiir > 0 wird das R o h r an d e r Stelle 2 schlagartig geSffnet, so dass das W a s s e r ausfliegen kann. Nachfolgend soil folgendes b e r e c h n e t werden:

a) die stationfire Ausflussgeschwindigkeit c2,e an der Stelle 2, also c2(t) fiir t ---+cc. b) die Ausflussgeschwindigkeit c2 (t) f i i r t > 0. Hinweis: Es soil die r e i b u n g s f r e i e K e r n s t r S m u n g v o r a u s g e s e t z t w e r d e n . LSsung: g e g e b e n : l, H gesucht: a)c2,~, b) c2(t) a) Zur Berechnung der stationgren Ausflussgeschwindigkeit wird ein Stromfaden von der Wasseroberflgche (Stelle 0) bis zur Stelle 2 gelegt. Entlang des Stromfadens wird die Bernoulli-Gleichung fiir station/ire und inkompressible StrSmungen angewendet. Sie lautet: po + -~ p . c~ + p . g . H - p 2

+ ~P .c~ ,e

(1)

46

2

Grundlagen

der StrSmungsmechanik

Der Druck p2 in Gleichung (1) ist gleich dem Druck po auf der Wasseroberfl~che. Weiterhin ist die Absinkgeschwindigkeit des Wasserspiegels klein, so dass der Ausdruck c~ in der Gleichung (1) vernachlfissigt werden kann. Mit p2 - po und c~ ~ 0 ergibt sich aus Gleichung (1) die Geschwindigkeit C2,e ZU: C2,e - -

V/2-g 9H

.

(2)

b) Zur Berechnung der Austrittsgeschwindigkeit c2(t) wird die Bernoulli-Gleichung fiir inkompressible und instation~e Str5mungen entlang eines Stromfadens vonder Wasseroberfl~che (Stelle 0) bis zur Stelle 2 angewendet. Sie lautet: L

P . ~(t) + p. f Oc(~, Po + -~ p . c~ + p. g" H - p2 + -~ Ot t) 9ds

(3)

o

Die obere Integralgrenze L entspricht der L~nge des definierten Stromfadens. Es gelten, wie in Aufgabenteil a), wieder die Identit~t p2 - p o und die Vereinfachung c~ ~ 0, so dass sich die Gleichung (3) zur folgenden Gleichung vereinfacht: L

g . H-

c~(t)2 + / Oc(S,ott) . ds

(4)

o

Bevor Gleichung (4) weiter behandelt wird, soll das in ihr vorhandene Integral vereinfacht werden. Da die StrSmungsgeschwindigkeiten in dem Behiilter nahezu Null sind, ist auch die Gr5ge Oc(s, t)/Ot entlang des Stromfadens im Beh~lter sehr klein. Der Integrand ist also nur entlang des im Rohr verlaufenden Stromfadens wesentlich von Null verschieden, so dass die Integration von der Stelle 3 (siehe Abb. 2.3.9) bis zur Stelle 2 durchgefiihrt werden muss. Es gilt also: L

l

/ o~(~,t) -0i o

. ds - f

o~(~,t) 9ds Ot

.

(5)

o

In der Gleichung (5) steht, dass c abh~ngig von s und t ist. Da das Rohr iiberall den gleichen Durchmesser besitzt, gilt gemNg der Kontinuitiitsgleichung: c 7~ f(s). Die partielle Ableitung Oc/Ot wird deshalb in der nachfolgenden Gleichung (6) durch die gewShnliche Ableitung dc/dt ersetzt. Da diese auch keine Funktion von s ist, ergibt sich fiir das Integral in Gleichung (5) die folgende Rechnung: l

l

l 9z

o

o

o

.

(6)

47

2.3 Hydro- und Aerodynamik, Stromfadentheorie

Gleichung (6) in Gleichung (4) eingesetzt, ergibt die folgende Differentialgleichung fiir c 2 ( t ) " g . H

-

c~(t)

+

dc2 9 l

(7)

(Da c r f(s) ist, kann an c der Index "2" geschrieben werden). Durch eine Umformung der Gleichung (7) erhglt man: 1 c2't'2t 2 " dc2

dt -

(8)

g. H - --2-Gleichung (8) kann mit der station~en Endgeschwindigkeit c2,e erweitert werden: 1 C2,e

dr-

1 2

C2,e

-

2"

c-~,~

Unter Ausnutzung der Gleichung (2) aus dem Aufgabenteil a) erhglt man: dr-

2.1

1

c2,~ 1 - ( c @ , ~ ) 2 Durch die folgende Integration auf beiden Seiten der Gleichung ergibt sich mit der sich anschliegenden einfachen Rechnung das gesuchte Ergebnis:

1.O ~e

0.5

0.0 . . . . . 0.0 1.0 2.0

3:0 ' 4:0 '

t/r

A b b . 2.3.9b Ausflussgeschwindigkeit als Funktion der Zeit

48

2 G r u n d l a g e n der S t r 5 m u n g s m e c h a n i k c~ C2,e

t

/dt_2.1 o t----

/ o

(c~2,e)

1 ~

arctanh

C2,e

c2 _ earth ( t )

,

C2,e T--

2.1 C2,e

r ist eine ZeitgrSge. Die Auswertung der Ergebnisformel ist in Abbildung 2.3.9b dargestellt. A u f g a b e 2.3.10

Diffusor

A b b . 2.3.10 Instation~er Ausfluss

Ein g r o g e r Beh~ilter ist bis zur H S h e H mit W a s s e r gefiillt (siehe A b b . 2.3.10). A n d e n Beh~ilter ist ein l a n g e r Diffusor d e r L~inge 1 angeschlossen. D e r D u r c h m e s s e r des D i f f u s o r e i n t r i t t s q u e r s c h n i t t s bzw. A u s t r i t t s q u e r s c h n i t t e s ist d bzw. D (siehe A b b . 2.3.10). Z u m Zeitp u n k t t - 0 ist d e r Diffusor a n d e r A u s t r i t t s s t e l l e 2 (siehe A b b . 2.3.10) verschlossen.

F i i r t > 0 wird der Diffusor an d e r Stelle 2 s c h l a g a r t i g geSffnet, so dass das W a s s e r ausfliegen kann. N a c h f o l g e n d soil folgendes b e r e c h n e t w e r d e n : a) die station~ire Ausflussgeschwindigkeit c2,e an d e r Stelle 2, also c2(t) fiir t --+ c ~ .

b) die Ausflussgeschwindigkeit

c2(t) f i i r t

> 0.

Hinweis: Es soil eine r e i b u n g s f r e i e K e r n s t r S m u n g v o r a u s g e s e t z t w e r d e n . LSsung: g e g e b e n : H, d, D, l, g gesucht: c2,e, c2(t) a) die station~e Ausflussgeschwindigkeit berechnet sich analog zu der Aufgabe 2.3.9: c2,r = V/2"g "H

.

(1)

2.3 Hydro- u n d

49

Aerodynamik, Stromfadentheorie

b) Zur Bestimmung der Ausflussgeschwindigkeit c2(t) wird ein Stromfaden von der Wasseroberfl~che bis zur Austrittsquerschnittfl~che gelegt. Entlang des Stromfadens wird die Bernoulli-Gleichung ffir instation~e und inkompressible StrSmungen angewendet. Sie lautet: L

po + -~ P 9 c~ +

p.g.

H - p2 +

t) .as P .c~(t)+p. f Oc(s, -~ Ot

(2)

o

L ist wieder, wie in Aufgabe 2.3.9, die L~nge des Stromfadens. Der Druck p2 ist gleich dem Druck po und die Absinkgeschwindigkeit der Wasseroberfl~che ist klein, so dass der Ausdruck Co 2 in Gleichung (2) vernachlfissigt werden kann. Die StrSmungsgeschwindigkeiten sind im Beh~ilter nahezu Null. Das in Gleichung (2) vorhandene Integral kann deshalb, vgl. Aufgabe 2.3.9, mit den Integralgrenzen 0 und 1 berechnet werden. Mit diesen Vereinfachungen und der Identit~t p2 = po ergibt sich die folgende Gleichung: l

g .H -

c~(t)

+

f

Oc(s, t) Ot

ds

(3)

.

o

Bevor die Gleichung (3) weiter behandelt wird, soll zun~chst das in ihr vorhandene Integral gelSst werden. Die partielle Ableitung ( 9 c ( s , t ) / O t ist eine Funktion von s und t. Um sie angeben zu k5nnen, wird zuerst die Kontinuit~tsgleichung zwischen einem beliebigen Querschnitt d des Diffusors und der AusflussSffnung angewendet. Sie lautet: 4

4

9 c2(t)

=::v

.

c(s, t) - c 2 ( t ) .

(4)

Der Durchmesser d kann in Abh~ngigkeit von s wie folgt angegeben werden: d

D-d

s+d

1

(5)

Gleichung (5) in Gleichung (4) eingesetzt, ergibt" D c ( s , t ) - c2(t) .

D-

(6)

d .s

Gleichung (6) nach t partiell differenziert, ergibt die fiber s zu integrierende GrSt~e ~u:

c(s, t)

Oc(s, t)

D2 ----

Oc2(t) 2

dc2 (t)

D2 --

2

50

2 Grundlagen der StrSmungsmechanik

In das Integral der Gleichung (3) die rechte Seite der Gleichung (7) als Integrand eingesetzt, fiihrt auf die folgende Rechnung: l

l

f &(s,t) Ot

D2 .ds~

(Dd o 1

o

dc2(t)

.s+d l

_

-

dc2(t_____)), f dt

o

)2

9 ds

at

D2 (D

1

d

.s+d

)2

--

9d s = dc2(t) ._D.1 dt d

.

(8)

Das berechnete Integral in Gleichung (3) eingesetzt, ergibt die folgende Differentialgleichung fiir c2(t): _c~ + dc2 - -D- . 1 - g . H 2 dt d

(9)

Die LSsung der Differentialgleichung erfolgt in analoger Weise zu Aufgabe 2.3.9. Das Ergebnis lautet" c2(t) = t a n h

~.

A u f g a b e 2.3.11

7- z

2.1 C2,e

C2,e

Tornado

"4

P~

In e i n e m T o r n a d o w e r d e n D r u c k m e s s u n g e n d u r c h g e f f i h r t . I m Zent r u m des T o r n a d o s w i r d a n d e r Stelle 0 ein D r u e k p0 - 0 , 8 bar gem e s s e n (siehe A b b . 2.3.11). A n elh e r z w e i t e n D r u e k m e s s s t e l l e 1 in d e r E n t f e r n u n g rl - 50 m v o m Zent r u m w i r d ein D r u e k pl - 0 , 85 bar g e m e s s e n . D e r D r u e k in w e l t e r Entfernung yore Tornado betr/igt

p~ = 1 bar.

i r, P0

P,

A b b . 2.3.11 Tornado

a) W i e g r o g ist die m a x i m a l e U m f a n g s g e s c h w i n d i g k e i t Cmax die in d e m T o r n a d o a u f t r i t t u n d wie g r o g ist d o r t d e r D r u e k Pro?

2.3

Hydro-

und

Aerodynamik,

51

Stromfadentheorie

b) In w e l c h e r E n t f e r n u n g rm v o m Z e n t r u m des T o r n a d o s t r i t t die m a x i m a l e U m f a n g s g e s c h w i n d i g k e i t Cma• a u f ? Hinweis: D i e S t r S m u n g ist i n k o m p r e s s i b e l . Die S t r o m l i n i e n sind k o n z e n t r i s c h e K r e i s e . Die ~iul~ere S t r S m u n g im T o r n a d o ist r e i b u n g s frei. I m W i r b e l k e r n stellt sich eine r e i b u n g s b e h a f t e t e S t a r r k S r p e r r o t a t i o n m i t k o n s t a n t e r W i n k e l g e s c h w i n d i g k e i t ein. Die S c h w e r k r a f t soll nicht b e r f i c k s i c h t i g t w e r d e n .

LSsung: g e g e b e n : p0 = 0,8 bar, pl = 0,85 bar, p ~ = 1 bar, p = 1,226 k g / m 3, rx = 50 m g e s u c h t : a) c. . . . Pm, b) rm a) Die AugenstrSmung des Tornados wird durch einen Potentialwirbel beschrieben. Dabei nimmt der Druck mit abnehmendem Radius ab und die Umfangsgeschwindigkeit mit abnehmendem Radius zu. Die StrSmung im Wirbelkern wird durch eine Starrk5rperrotation beschrieben, bei der mit zunehmendem Radius sowohl der Druck als auch die Umfangsgeschwindigkeit zunimmt. Daraus folgt, dass die maximale Umfangsgeschwindigkeit dort auftritt, wo die Starrk5rperrotation in den Potentialwirbel iibergeht. Dort miissen sowohl die Umfangsgeschwindigkeit als auch der Druck in beiden Str5mungen den selben Wert haben. Fiir die Umfangsgeschwindigkeit der Starrk5rperrotation gilt:

(i)

c(r) = c o . r

Mit der Bedingung, dass c(r = r m ) --- C m a x ist, folgt aus Gleichung (1) w = Cmax//rm. Damit erhNt man fiir die Umfangsgeschwindigkeit: C(r)

-

Cmax

(2)

.~

rm

Das Kr~ftegleichgewicht in radialer Richtung am Volumenelement zwischen Zentrifugal- und Druckkraft ergibt: 1 p

_

.

dp dr

(3)

Gleichung (2) in (3) eingesetzt ergibt" 1 --"

p

dp dr

2

2 p " Cmax

Cmax ~

r2m

.r

dp-

r2m

.r.dr

(4)

.

Die Integration der Gleichung (4) von einem beliebigen Druck p(r) bis zum Druck p(rm) fiihrt auf:

/

Pm

p

2/

T'm

dp - fl" Cmax r2m 9

2

r-dr r

==~

p(r) -- Pm +

p" Cmax

2.~m

2

(~--~m)

9

(5)

52

2 G r u n d l a g e n der S t r S m u n g s m e c h a n i k

Diese Gleichung (5) gilt fiir den S t a r r k 5 r p e r w i r b e l im Bereich r < rm. Fiir den Potentialwirbel gilt die Bernoulli-Gleichung fiir W i r b e l s t r S m u n g e n auf konzentrischen Kreisen: P . c 2 (r) -- konst, p(r) + -~

fiir

(6)

r ~/'m

W i r d Gleichung (6) zwischen den R a d i e n rm u n d r -~ cc angewendet, ergibt sich fiir c(r ~ oc) = O, c(r - rm) - Cmax, p(rm) = Pm u n d p ( r --~ co) -- p ~ : P

2

Pc<) ----Pm + ~ "Cmax

P

~

2

P m - - P o o -- ~ "Cmax

(7)

Des Weiteren wird Gleichung (5) zwischen den R a d i e n r = 0 u n d rm mit c(r - O) - 0 u n d p ( r - O) = po angewendet: p 2 po - Pm -- ~ "Cmax

p 2 Pm = P0 + ~ "Cmax

~

(8)

Durch Gleichsetzen von (7) u n d (8) erh~lt m a n eine B e s t i m m u n g s g l e i c h u n g fiir Cm~x. Das Ergebnis lautet:

P

2

P

2

Pc<) -- ~ "Cmax - - P0 -~- ~ "Cmax

./p~ Cmax -- V

~

- po P

(9)

Als Zahlenwert erhglt m a n fiir Cmax den Wert: Cmax = 127, 7 m / s . Setzt m a n Gleichung (9) in Gleichung (8) ein, erh~lt m a n den zugeh5rigen Druck: Pm -- P0 -4- P ~ -- P0 2

___>

Pm = P ~ + P0 2

.

(10)

Als Zahlenwert erh~lt m a n fiir Pm den Wert" Pm -- 0, 9 bar. b) Der Druck pl ist kleiner als der Druck pm, d. h. der M e s s p u n k t befindet sich innerhalb des Bereichs des StarrkSrperwirbels. Zur B e s t i m m u n g von rm muss also Gleichung (5) verwendet werden. Mit p ( r l ) - p l

ergibt sich:

2

Pl --Pro + 2 "Cmax "r--~m . ( r ~ - - r 2 m )

(11)

Mit den Ergebnissen (9) u n d (10) erh~lt man:

Pl -- P0 +

p~-po 2

9

rl2 r2m

~

~

2 rm

p~-po 2- (Pl -- PO)

2 rl

9

D a m i t b e r e c h n e t sich die E n t f e r n u n g rm der m a x i m a l e n Umfangsgeschwindigkeit Cmax v o m Z e n t r u m des Tornados zu:

i rm -- r l 9

p~-po 2 . ( P l -- Po)

Als Zahlenwert erh~lt m a n fiir rm den Weft: rm -~ 70, 7 m.

2.3 Hydro- und Aerodynamik, Str0mfadenthe0rie A u f g a b e 2.3.12

53

Druckbehkilter mit R o h r leitu n g ssy st e m

A n e i n e m grof~en Beh~ilter (siehe A b b . 2.3.12) ist ein z y l i n d r i s c h e s R o h r l e i t u n g s s y s t e m mit d e m k o n s t a n t e n D u r c h m e s s e r D - 2. r angeschlossen. Die H S h e n d i f f e r e n z zwischen d e m k o n s t a n t e n Fliissigkeitsspiegel u n d d e m A u s t r i t t aus d e r R o h r l e i t u n g betr~igt H. D e r D r u c k pi a u f d e r Fliissigkeitsoberfl~iche ist fiber ein Ventil V r e g e l b a r . Die S t r S m u n g d u r c h das R o h r l e i t u n g s s y s t e m d e r L~inge L ist v e r l u s t b e h a f t e t . Die Fliissigkeit t r i t t a m E n d e d e r R o h r l e i t u n g in die U m g e b u n g ( U m g e b u n g s d r u c k pa) als F r e i s t r a h l aus. I m P u n k t 1 (siehe A b b . 2.3.12) ist im A b s t a n d L1 v o m R o h r e n d e eine D r u c k b o h r u n g a n g e b r a c h t . a) B e r e c h n e n Sie u n t e r B e r f i c k s i c h t i g u n g d e r R e i b u n g s v e r l u s t e die gem i t t e l t e G e s c h w i n d i g k e i t C2,m mit d e r die Fliissigkeit a m R o h r e n d e in die U m g e b u n g a u s t r i t t , w e n n das Ventil V geSffnet ist, so dass a u f die Fliissigkeitsoberfl~iche d e r U m g e b u n g s d r u c k pa w i r k t . Die k i n e m a t i s c h e Z~ihigkeit d e r Fliissigkeit ist ~. D a s Ventil V wird n u n g e s c h l o s s e n u n d im Beh~ilter ein k o n s t a n t e r D r u c k pi a n g e l e g t . b) A n d e r D r u c k b o h r u n g im P u n k t 1 wird ein D r u c k pi = 2.p~ g e m e s s e n . B e r e c h n e n Sie u n t e r B e r i i c k s i c h t i g u n g d e r R e i b u n g s v e r l u s t e die g e m i t t e l t e G e s c h w i n d i g k e l t C2,m a m A u s t r l t t . B e s t l m m e n Sle die R e y n o l d s - Z a h l ReD d e r S t r S m u n g .

X V

@

H

IA b b . 2.3.12 Str5mung aus einem Druckbeh/~lter

L1

~r

54

2 G r u n d l a g e n der S t r S m u n g s m e c h a n i k

c) W i e grog ist der D r u c k pi? Hinweis: Die S t r S m u n g ist i n k o m p r e s s i b e l . I m g e s a m t e n R o h r l e i t u n g s s y s t e m kann die S t r S m u n g zur B e r e c h n u n g der R e i b u n g s v e r l u s t e nRherungsweise als H a g e n - P o i s e u i l l e - S t r S m u n g b e t r a c h t e t werden. Die S t r S m u n g im Beh~ilter kann als verlustfrei a n g e s e h e n werden. LSsung: g e g e b e n : p~, p, r, H, L, L1, 9, u gesucht: a) C2,m, b) C2,m, t~CD, d) pi Zur L5sung dieser Aufgabe wird ein Stromfaden vom Fliissigkeitsspiegel (Index '0') bis zum Austritt der Rohrleitung (Index '2') gelegt. Entlang des Stromfadens wird die Bernoulli-Gleichung ffir inkompressible Str5mungen mit Verlustterm angewendet. Sie lautet: P . c~ + p . g . z2 + A p v zo -- P2 + -~

P 9 c~ + p . 9 . Po + -~

(1)

.

Wegen des grogen B e h ~ t e r s kann co = 0 gesetzt werden. Wird das Nullniveau auf die HShe des Austritts der StrSmung aus der Rohrleitung gelegt, gilt zo - H und z2 - 0. Ffir den Druck gilt bei offenem Ventil wegen der freien Oberflgche po - p~. Am Austritt gilt wegen der Freistrahlbedingung p2 = p~. Ffir die Geschwindigkeit c2 wird die gemittelte Geschwindigkeit C2,m eingesetzt. Damit ergibt sich aus Gleichung (1): P . c 22,m -~- A P V H -- -~

p.g.

-

(2)

Ffir die Hagen-Poiseuille-Str6mung im Rohr gilt: 1 Cm-

Mit d p / d s

= -Apv/L

r2

dp ds

o~

~ "Cmax---8"p'//

,

(3)

und Cm = C2,m folgt hieraus:

_ r2 Apv C2,m -- 8" p" U L

---V

Apv

_ 8-p.u.L r2

"C2,m

9

(4)

Gleichung (4) in (2) eingesetzt, ergibt nach einer einfachen Umformung eine quadratische Gleichung fiir C2,m: 2 16.u.L C2,m -JI7"2

"C2,m-- 2 " 9 " H -- 0

(5)

Es kommt nur die LSsung der quadratischen Gleichung (5) in Frage, bei der das Vorzeichen vor der Wurzel positivist, da nur LSsungen CZ,m > 0 physikalisch relevant sin& Damit lautet das Ergebnis: u.L

/

C2,m -- --8 " --79- + V64"

u 2 .L 2

r-----g---+ 2 " 9 " H

.

2.3

Hydro-

und

Aerodynamik,

Stromfadentheorie

55

b) Zur LSsung wird ein Stromfaden vom Punkt (Index '1') bis zum Austritt der Rohrleitung (Index '2') gelegt. Entlang des Stromfadens wird wieder die BernoulliGleichung fiir inkompressible StrSmungen mit Verlustterm angewendet. Sie lautet:

pl+~P 9 c~ +

9 z2

P.c~+p.g Zl - p2 + -~

p.g.

+ Apv , 1 - 2

(6)

Aus der Kontinuit~itsgleichung V1 = V2 im Rohrstiick von 1 nach 2 folgt wegen des konstanten Durchmessers Cl = c2 = C2,m. Fiir die HShe gilt bei gleichem Nullniveau wie in Aufgabenteil a) zl = z2 = 0. Fiir den Druck pl gilt pl = 2.p~. Am Austritt gilt wegen der Freistrahlbedingung p2 = po. Damit ergibt sich aus Gleichung (6): 2.p~ = pa + Apv,1-2

~

p~ = Apv,l-2

Mit der Gleichung (3) fiir die Hagen-Poiseuille-StrSmung und folgt hieraus:

(7) Cm

--

C2,m

und

dp/ds---/kpv,l_2/L1

8.p.u. P a --"

L1

?-.2

C2,m

(8)

Die Umstellung dieser Gleichung liefert das Ergebnis fiir die gemittelte Geschwindigkeit: P a " ?..2 C2,m :

8"fl"

(9)

/2" L 1

Die Reynolds-Zahl berechnet sich aus: ReD

--

C2,m

"

D

_

2 9 C2,m

/2

9r

(10)

/2

Mit Gleichung (9) erh~ilt man daraus die Reynolds-Zahl zu: Pa

ReD

"r 3

z

4.p.u2.L1

c) Fiir die StrSmung wird wie in Aufgabenteil a) ein Stromfaden vom Fliissigkeitsspiegel (Index '0') bis zum Austritt der Rohrleitung (Index '2') gelegt. Entlang des Stromfadens wird die Bernoulli-Gleichung fiir inkompressible StrSmungen mit Verlustterm angewendet. Es gilt wiederum co = 0, zo = H , z2 = O, p2 = pa und c2 = C2,m. Fiir den Druck po gilt bei geschlossenem Ventil, wegen der freien Obert:l~che po -- pi. Damit ergibt sich aus Gleichung (1) nach einer geringfiigigen Umformung: P pi -- pa - p" g " H + -~

. c 22,m + Apv

(11)

56

2 Grundlagen der Str5mungsmechanik

Fiir Apv kann wieder der Ausdruck aus Gleichung (4) eingesetzt werden, so dass man aus Gleichung (11) erh/flt:

P 2 8.p.v.L Pi-P~-p'g'H+-~'C2,m+ r2 "C2,m 9

(12)

Setzt man C2,m aus Gleichung (9) ein, ergibt sich fiir den Druck pi"

Pi--P~" A u f g a b e 2.3.13

(

1+~-~-i

-p'g'H+

128.p.~,2.L~

9

(13)

Wasserpumpe

Aus e i n e m See B1 wird m i t t e l s e i n e r v e r l u s t f r e i a r b e i t e n d e n P u m p e Wasser in e i n e n Beh~ilter B2 gef'6rdert (siehe A b b . 2.3.13). D a s W a s s e r t r i t t als F r e i s t r a h l in d e n Beh~ilter B2 o b e r h a l b des W a s s e r s p i e g e l s a u f d e r HShe h2 ein. D e r U m g e b u n g s d r u c k ist k o n s t a n t p0. D a s W a s s e r w i r d fiber ein R o h r l e i t u n g s s y s t e m m i t d e m k o n s t a n t e n D u r c h m e s s e r D fiber eine P u m p e P, d e r L e i s t u n g L z u m Beh~ilter B2 gefiihrt. D e r E i n l a u f d e r R o h r l e i t u n g ist in d e r H S h e hi u n t e r h a l b d e r Wasseroberfl~iche a n g e b r a c h t . A m Beh~ilter B2 ist eine L e i t u n g m i t d e m D u r c h m e s s e r D zur Versorg u n g e i n e r Bew~isserungsanlage a n g e s c h l o s s e n . A us d e m Beh~ilter w i r d d e r V o l u m e n s t r o m V fiir die B e w ~ i s s e r u n g s a n l a g e e n t n o m m e n . Aus d e m See w i r d jeweils soviel W a s s e r in d e n Beh~ilter B2 g e f S r d e r t , dass die H S h e des W a s s e r s p i e g e l s h3 k o n s t a n t bleibt. a) B e r e c h n e n Sie die n o t w e n d i g e H S h e h3 des W a s s e r s p i e g e l s im Beh~ilter B2, w e n n d e r V o l u m e n s t r o m V = 100 m3/h in d e r B e w ~ i s s e r u n g s a n l a g e b e n S t i g t wird u n d d e r D r u c k a n d e r Stelle 4 (siehe A b b i l d u n g ) p4 - 2 bar b e t r a g e n soil.

(--~

Po

V B2

h2

t

ha

4)i

Po B1 P

A b b . 2.3.13 Pumpanlage zur Bewfisserung

2.3 Hydro- und Aerodynamik, Stromfadentheorie

57

b) B e r e c h n e n Sie die n o t w e n d i g e L e i s t u n g L d e r P u m p e . Hinweis: I m g e s a m t e n R o h r l e i t u n g s s y s t e m u n d in d e r Bew~isserungsleit u n g soil die r e i b u n g s f r e i e K e r n s t r S m u n g a n g e n o m m e n w e r d e n . Die S t r S m u n g in d e n B e h f i l t e r n ist ebenfaUs r e i b u n g s f r e i .

LSsung: g e g e b e n : p = 1000 k g / m 3, po = 1 b a r , p4 : 2 b a r , hi = 20 m, h2 = 41 m, g = 1 0 m / s 2, D = 0 , 5 m , 1 / = 1 0 0 m 3 / h g e s u c h t : a) h3, b) Leistung L der Pumpe a) Zur LSsung dieser Aufgabe wird ein Stromfaden vom Fliissigkeitsspiegel (Index '3') des Beh/ilters B2 zum Austritt der Rohrleitung an der Stelle 4 (Index '4') gelegt. Entlang des Stromfadens wird die Bernoulli-Gleichung fiir inkompressible StrSmungen angewendet. Sie lantet: (1)

P " C24 -'[- p ' g ' z 4 P 3 + ~ p " c~ + p . g . Z3 -- P4 + -~

Wegen des grot~en Beh~ters kann c3 = 0 gesetzt werden. Wird das Nullniveau auf die H5he des Austritts der Str5mung aus der Rohrleitung an der Stelle 4 gelegt, gilt z3 = h3 und z4 = 0. Fiir den Druck p3 gilt wegen der freien Oberfl~che p3 = po. Damit ergibt sich aus Gleichung (1): P "c24 po + p " g " h3 - p4 + -~

h3 =- P4 -- Po

~

p.g

1 + ~-g .c~2

(2)

Fiir den Volumenstrom gilt an der Stelle 4: 7r . D2

lY- ~

(3)

.~4

Daraus ergibt sich die Geschwindigkeit c4 zu:

4.9 c4 = 7r- D:

(4)

Setzt man Gleichung (4) in Gleichung (2) ein erh~lt man fiir die gesuchte H5he h2: h3=P4-P~

+ 8

p. g

:r 2

l? 2 g. D 4

Als Zahlenwert erhiilt man fiir h3 den Wert: h3 = 10 m. b) Zur Bestimmung der Pumpleistung wird ein Stromfaden vom Fliissigkeitsspiegel (Index '1') des Beh~ters B1 zum Austritt der Rohrleitung (Index '2') fiber dem Beh~lter B2 gelegt. Entlang des Stromfadens wird die Bernoulli-Gleichung fiir inkompressible StrSmungen mit mechanischer Energiezufuhr angewendet. Sie lautet:

P ~+pgz~-~l~ p l + ~ p . c~ + p . g . Zl -- p2 + -~

(s)

58

2 Grundlagen der Str5mungsmechanik

Wegen des grot~en Beh~ilters kann Cl = 0 gesetzt werden. Wird das Nullniveau auf die H5he der Pumpe P gelegt, gilt zl = hi und z2 = h2. Fiir den Druck pl gilt wegen der freien Oberfl~iche pl - p0. Am Austritt ergibt sich aus der Freistrahlbedingung p2 - p 0 . Damit ergibt sich aus Gleichung (5): P 9c 2 + p ' g . po + p" g " h i ---po + -~

Alp -- p . g .

h2 - A I p

P . c2 (h2 - hi) + ~

(6)

Da die Spiegelh5he des Beh~lters B2 konstant bleiben soll, muss der Volumenstrom auch durch die Pumpe P geF6rdert werden. Da auch der Rohrdurchmesser des Rohrleitungssystems zwischen den Beh~tern B1 und B2 gleich D ist, gilt c2 = c4. Mit dieser Bedingung und Gleichung (4) erh~ilt man aus Gleichung (6):

s p.?~ Ale = p.g. (h2- hi) + ~2" D4

9

(7)

Die Leistung der Pumpe berechnet sich aus: L = V . Alp

(8)

Gleichung (7) in Gleichung (8) eingesetzt ergibt die Bestimmungsgleichung fiir die Leistung:

s L-V.

L-

p. ~72)

p.g.(h2-hl)+7~e.

l/.p

9" ( h i - h i ) -t- 71.2 D 4

~9-~

9

Als Zahlenwert erh~lt man fiir die Leistung der Pumpe den Wert: L - 5834 W.

A u f g a b e 2.3.14

ProfilumstrSmung

A b b . 2.3.14 ProfilumstrSmung

Ein schlankes s y m m e t r i s c h e s Profil (siehe A b b . 2.3.14) w i r d m i t d e r G e s c h w i n d i g k e i t c~ a n g e s t r S m t . D i e G e s c h w i n d i g k e i t ist so g e r i n g , d a s s die g e s a m t e S t r S m u n g u m das Profil als i n k o m p r e s s i b e l a n g e sehen w e r d e n kann. Die S t r S m u n g 15st a m P r o f i l nicht ab. D a s P r o f i l h a t die L~inge L, die T i e f e T u n d die D i c k e 2. hmax.

59

2.3 Hydro- und Aerodynamik, Stromfadentheorie

Die G e o m e t r i e des Profils ist g e g e b e n d u r c h die F u n k t i o n : x

- d.L.

h(x)

~

~

d - 4. hmax ~

L

(1) "

Die G e s c h w i n d i g k e i t s v e r t e i l u n g a m G r e n z s c h i c h t r a n d e n t l a n g des Profils k a n n d u r c h die F u n k t i o n

~(x)-~. a-- (3+10"~

~.~-b. 2~)

,

~

,

(2)

b-

(2+10"~

2~)

nNherungsweise b e s e h r i e b e n w e r d e n . Die Gleiehung

3[

a.

Tw(x)-e.p.cs

~

-5.

(x/01 ~

,

e-0,332.

(;

(3)

b e s c h r e i b t n~iherungsweise die W a n d s c h u b s p a n n u n g e n t l a n g der Profiloberfl~iche. W i e grog ist der W i d e r s t a n d W des Profils?

Hinweis: Die S t r S m u n g k a n n als e b e n e S t r S m u n g b e t r a c h t e t w e r d e n . Die g e s a m t e S t r S m u n g a u g e r h a l b d e r G r e n z s c h i c h t ist reibungsfrei. Die A n s t r S m u n g des Profils ist isoenergetisch. L~Ssung: g e g e b e n : c~, p, hmax, L , T , h ( x ) , c ( x ) , Tw(X) gesucht: W Der Widerstand des Profils berechnet sich aus der Gleichung: W -

P

2

-~ . c ~ . A . cw

(4)

,

mit dem Widerstandsbeiwert Cw und der Projektionsfl~che A des Profils. Der Widerstand setzt sich aus dem Druckwiderstand und dem Reibungswiderstand zusammen. Damit ist in dem Widerstandsbeiwert auch ein Druckanteil und ein Reibungsanteil enthalten. Der Widerstandsbeiwert berechnet sich aus:

Cw-

1

~"

Cp,oben "

dhoben . dx dx

j Cp,unten" duntn9dx dx

0

-~- /Cf,oben.dx-~-/Cf,unten.dx 0

0

)

9

(5)

Dabei ist % der Druckbeiwert und c f der Reibungsbeiwert auf der Profilober- bzw. P r o f i l u n t e r s e i t e . hoben und hunten ist die Kontur des Profils auf der Profilober- bzw.

60

2 Grundlagen der StrSmungsmechanik

Profilunterseite. Infolge der Symmetrie des Profils gilt Cp,oben - - C p , u n t e n : Cp, Cf,oben -- Cf,unten - - C f und d h o b e n / d x -dhunten/dx - dh/dx. Damit vereinfacht sich Gleichung (5) zu: 2 Cw = -~ .

Cw-2"

(0] (]

dh

Cp . -~x . d x +

cf . d x o

c p . ~ x .d

+

)

,

/ II)x

(6)

cf-d

o

Zur Berechnung des cw-Wertes ben5tigt man den Druckbeiwert cp und den Reibungsbeiwert cf. Da die AnstrSmung isoenergetisch ist, ist die Bernoulli-Konstante auf allen Stromlinien im reibungsfreien Aut~enfeld gleich. Um den Druckbeiwert zu bestimmen, kann deshalb die Bernoulli-Gleichung zwischen der AnstrSmung im Unendlichen und in einem Punkt am Rande der Grenzschicht mit der Geschwindigkeit c ( x ) aufgestellt werden. Man erh~lt fiir den Druckverlauf am Grenzschichtrand: -p . c ~2 + p ~

2

-- p 9 c(x)2 + p ( x )

P. ( ~ - ~(~)~)

-~

Mit der Definition

Cp -

2. (p-

p~)/(p.

(r)

c~) ergibt sich darans der Druckbeiwert cp 2

zu:

cp -

p(x) - P~

-

l -

( c(x) ) 2

Mit Gleichung (2) folgt ans Gleichung (8):

~ - ~ - ~ 9 (L)

~ +2.a.b.

(L)~-b ~ 9 (L) ~

.

(9)

erh~lt Aus der Definition fiir den lokalen Reibungsbeiwert cf - 2-Tw(X)/(p. c~) 2 man mit Gleichung (3)"

2el

~- ~ ~ Die Ableitung der Kontur

h(x)

x01

(~) - ~ (~)

~10/

ist"

dh _ d. ( 1 - 2 . x) dx

(11)

Fiir das erste Integral aus Gleichung (6) ergibt sich jetzt mit den Gleichungen (11)

2.3 Hydro- und Aerodynamik, Stromfadentheorie und (9)" 1 J dh

Cp.-~z.d

1 J[

(x)

Z -d.

o

x

61

9 (x) 2

1-2.z-a

9 ~

(x)'

+2.a.(a+b).

Z

o -b.(4.a+b).(~)

[x

X

l.b.(4.a+b). =d.

X 5] X +2.b2.(~) , .d(~)

(x) 9. 1 9 (L) 3 1 (x) Z -~-a 9 +~.a-(a+b). 2

=d-L-g

4

i. b. (X)611

(x)5 ~

+5

('... ~ - 10"a'b+

)

" L

o

(12)

.b 2

Fiir das zweite Integral aus Gleichung (6) ergibt sich mit der Gleichung (10)" 1 1 / c f ' d ( L ) - -cX7~ 2.e " f [a- ( ~x) 89 o o 2.e 2

-b" (L)~ ] "d(L ) -5"b"

Z

o

4-e (1~ ' ~ - g 1.b ) = ~c-2~"

(13)

Setzt man die Gleichungen (12) und (13) in Gleichung (6) ein, erh/ilt man fiir den cw-Wert: Cw-2 . d . (6. . a2.

3 a . b + 2 9b2) + cv/87~ 8.e (3 . a - g .1b ) 10

Aus Gleichung (4) folgt dann mit (14) und mit der Flgche A

W_p . L. .T . [d coo 2 ( ~1.2a

3 - 1--d.a.b+

(14)

= L . T:

2 ) .b 2

.(15 " a - g ' 1)1 b

+4.e.c~.

(15)

Mit den Konstanten a, b, d und e erh/ilt man damit fiir den Widerstand W des Profils das Ergebnis:

W-4.p.L.T. +o,332.

~

Coo "

~36.

ax

-3 (3

.c~.

7+104 hmax))

g+5.

c

62 2.3.3

2 G r u n d l a g e n der S t r S m u n g s m e c h a n i k

Kompressible StrSmungen

A u f g a b e 2.3.15

TragflfigelumstrSmung A u f e i n e m Tragfliigel b e t r i i g t die maximale StrSmungsgeschwindigkeit Cl a m G r e n z s c h i c h t r a n d das 1, 7-fache d e r A n s t r S m g e s c h w i n digkeit c~ (siehe A b b . 2.3.15). W i e grof~ ist a n der Stelle d e r grSf~ten U b e r g e s c h w i n d i g k e i t Cl die 5rtliche M a c h - Z a h l M1, w e n n die Ans t r S m - M a c h - Z a h l M ~ - 0 , 5 ist? Es soil die r e i b u n g s f r e i e Auf~enstrSmung behandelt werden.

A b b . 2.3.15 Tragfliigelumstr5mung

LSsung: g e g e b e n : M ~ , Cl - 1, 7 . c ~ , ~ gesucht:

1, 4

M~

Zur LSsung der Aufgabe wird die Bernoulli-Gleichung fiir kompressible und stationiire Str5mungen entlang eines Stromfadens v o n d e r ZustrSmung bis zur Stelle 1 angewendet. Sie lautet: 2 a~ ~-1

2 a~ t c ~ - -2 ~-1

t

c~

(1)

2

Gleichung ( 1 ) auf beiden Seiten durch c21 dividiert, ergibt: 1 n-l" oder nach

cl/al

a~ (_~_1)2

1 +2"

( _c~ ~()2 =

1 ~-1

( __al)2 _~_-1 cl 2

,

(2)

= M1 umgeformt: 1

M1 = Cl =

a l l

~2 1

9

.

(3)

[ (c~ ) 2 - ] 1 ( +) 2a ~ -5-i-~-

Setzt man die Gleichungen M~ -

Cc~

a~

,

Cl - 1, 7 9c~

in die Gleichung (3) ein, so erh~ilt man die folgende Berechnungsformel zur Bestimmung der gesuchten Mach-Zahl M~:

2.3 Hydro- u n d

63

Aerodynamik, Stromfadentheorie

= 0.893

M 1 --

(~/2-11

A u f g a b e 2.3.16

+ ( 1 - ~ ) 2"

1 Ms

Druckluftkessel

Ein groger Druckluftkessel (Kesseldruck Pk, K e s s e l t e m p e r a t u r Tk) besitzt eine AblassSffnung mit der A u s t r i t t s q u e r s c h n i t t f l [ i c h e A1 (siehe Abb. 2.3.16a). Es soil der sekfindlich in die Atmosph[ire (der Atmosph~irendruck ist p0) ausflief~ende M a s s e n s t r o m rh b e r e c h n e t w e r d e n . D a z u soil a n g e n o m m e n w e r d e n , dass a) die S t r S m u n g reibungsfrei und i n k o m p r e s s i b e l ist, b) die S t r S m u n g isentrop und k o m p r e s s i b e l ist. Vor die AblassSffnung mit der Querschnittsfl[iche A1 wird ein Erweit e r u n g s s t i i c k mit der A u s t r i t t s q u e r s c h n i t t f l [ i c h e A2 gesetzt (siehe Abb. 2.3.16b). W i e grog ist mit d e m E r w e i t e r u n g s s t i i c k der sekiindlich ausflieg e n d e M a s s e n s t r o m w e n n wieder a n g e n o m m e n w e r d e n soil, dass c) die S t r S m u n g reibungsfrei und i n k o m p r e s s i b e l ist~ d) die S t r S m u n g isentrop und k o m p r e s s i b e l ist. Folgende Z a h l e n w e r t e sind fiir die R e c h n u n g gegeben: Pk -- 3, 7 bar, Po -1 bar, Tk : 300 K, AI : 17 cm 2, A2 = 2. 10 -3 m 2, spezifische Gaskonstante R = 287 m 2 / ( s 2. K ) , Isentropenexponent n = 1, 4. LSsung: gegeben: Pk, PO, Tk, A1, A2, R, gesucht: Fiir a) - d) ~h

Abb. 2.3.16a GasstrSmung durch die Kessel5ffnung

Abb. 2.3.16b GasstrSmung durch die Laval-Dfise

64

2 Grundlagen der StrSmungsmechanik

a) Fiir die nachfolgenden Rechnungen wird die Dichte im Kessel benStigt. Sie l ~ s t sich mittels der idealen Gasgleichung berechnen: Pk -- pk" R . Tk

Pk pk -- R . Tk

~

"

Als Zahlenwert ergibt sich fiir die Luftdichte im Kesseh Pk = 4,297 Massenstrom rh berechnet sich mit der Kontinuit~tsgleichung: - - p k " CA " A 1

kg/m

3.

Der

(1)

.

In Gleichung (1) ist die Austrittsgeschwindigkeit CA noch unbekannt. Sie wird nachfolgend mit der Bernoulli-Gleichung fiir inkompressible StrSmungen ermittelt. Dazu wird die Gleichung entlang eines Stromfadens vom Inneren des Kessels bis zum Austrittsquerschnitt angewendet:

Die StrSmungsgeschwindigkeit Ck im Kessel ist sehr klein, so dass c~ ~ 0 ist. Der Druck pA entspricht dem Atmosph~endruck po. Fiir die Austrittsgeschwindigkeit CA erh~lt man unter Beriicksichtigung der genannten Vereinfachung und der Bedingung PA : PO: Pk --

9 c 2 -~- PO

2.

CA --

~

- po)

pk

(3)

I

CA gemfis Gleichung (3) in Gleichung (1) eingesetzt, ergibt fiir rh: rh = v/2- Pk" (Pk -- P0)" m i Als Zahlenwert erhs

man: ~h = 2, 6

(4)

kg/s.

b) Zur LSsung dieser Aufgabe muss zun~ichst gepriift werden, ob in der Austrittsquerschnittfl~i~he die Schallgeschwindigkeit erreicht wird. Das zwischen Kessel und AuslassSffnung anliegende Druckverhfiltnis p o / p k betr~gt p o / P k = 0, 27 und ist kleiner als das kritische Druckverhfiltnis P * / P k = 0,528 (vgl. dazu Kapitel 2.3.3 H. O e r t e l j r . , M . B b ' h l e 2004), d. h. im engsten Querschnitt mit der Fl~che A1 wird die Schallgeschwindigkeit erreicht. Der Massenstrom rh, der durch die AuslassquerschnittSffnung mit der F l ~ h e A1 strSmt, bestimmt sich mit der Kontinuit~itsgleichung zu: m=p*.c*.A~

(5)

.

GrSgen, die mit dem Zeichen "*" gekennzeichnet sind, bedeuten die so genannten kritischen Werte im engsten Querschnitt. Die Gleichung (5) wird wie folgt erweitert: :

p

* 9 C* " A 1 :

p

Pk

9

C

ak

" Al

" pk "ak

9

(6)

2.3 Hydro- und Aerodynamik, Stromfadentheorie

65

ak steht fiir die Schallgeschwindigkeit im Kessel und berechnet sich mit der nachfolgenden Formel zu: ak -- V/~ 9R - T k = 347,2 m / s

.

Das in Gleichung (6) stehende Verh~iltnis P*/Pk betr~igt P*/Pk = 0,634. Der Wert des Verh~iltnisses c*/ak muss noch ermittelt werden. Er l ~ s t sich mittels der nachfolgenden einfachen Rechnung bestimmen:

c--I~.R.T*_ ak ~" R" Tk

T~~kk

Das Verh~iltnis T*/Tk betr~igt T*/Tk = O, 833, so dass sich fiir das Verh~iltnis c*/ak der Wert c*/ak = O, 913 ergibt. Setzt man die ermittelten GrSt~en in die Gleichung (5) ein, so erhiilt man fiir den Massenstrom den Zahlenwert: ~h = 1, 5 kg/s. c) Die Austrittsgeschwindigkeit CA bleibt unver~indert (siehe dazu Aufgabenteil a). In Gleichung (1) fiir die Fl~iche A1 die Querschnittsfl~iche A2 eingesetzt, ergibt die Berechnungsformel fiir den Massenstrom rh:

Frt = pk " CA 9A2

(7)

Die Geschwindigkeit CA berechnet sich mit Gleichung (3) zu CA = 354, 5 re~s, so dass sich mit Gleichung (7) der Massenstrom zu Th = 3, 05 k g / s berechnet. Durch die VergrSfberung der Austrittsquerschnittfl~he kann also bei einer inkompressiblen StrSmung der Massenstrom erhSht werden. d) Bei einer kompressiblen StrSmung wird der Massenstrom durch den engsten Querschnitt des Ausflussrohres (bzw. Ausflussdiise) begrenzt, wenn sich im engsten Querschnitt die kritischen GrSi~en einstellen. Die GrSi~e des Massenstroms bleibt also durch das Erweiterungsstiick unver~indert. Der Massenstrom betr~igt also: dn = 1, 5 kg/s.

A u f g a b e 2.3.17

Oberschallmessstrecke

Fiir den B e t r i e b einer 0 b e r s c h a l l m e s s s t r e c k e wird eine LuftstrSmung unter d e m Druck pl mit der T e m p e r a t u r T1 und der Mach-Zahl Mx durch

A b b . 2.3.17 LTberschallversuchsanlage

66

2 Grundlagen der StrSmungsmechanik

ein R o h r mit der Querschnittsfl~iche A1 geleitet u n d einer Laval-Diise zugefiihrt (siehe A b b . 2.3.17). Sie e n t s p a n n t die S t r S m u n g a u f d e n D r u c k p2 der M e s s s t r e c k e , so dass d o r t ein U b e r s c h a l l - P a r a l l e l s t r a h l vorliegt. In diesen P a r a l l e l s t r a h l wird zu V e r s u c h s z w e c k e n ein s t u m p f e r Verdr[ing u n g s k S r p e r g e h a l t e n , w o d u r c h sich ein Verdichtungsstof~ einstellt, d e r im i n t e r e s s i e r e n d e n B e r e i c h vor d e m S t a u p u n k t des Verdr/ingungskSrp e r s als s e n k r e c h t e r Verdichtungsstof~ b e t r a c h t e t w e r d e n kann. Die Diis e n s t r S m u n g ist station~ir, e i n d i m e n s i o n a l u n d a b g e s e h e n v o m Verdichtungsstof~ isentrop. Folgende Z a h l e n w e r t e sind g e g e b e n : pl - 6, 5 bar, T1 = 440 K, M1 - 0, 5, A1 = 1, 6-10 -2 m 2, p2 = 1,0 bar, spezifische G a s k o n s t a n t e R = 287 m2/(s2.K), I s e n t r o p e n e x p o n e n t ~ = 1, 4. Fiir die V e r s u c h s a n l a g e sollen die nachfolgend a u f g e l i s t e t e n GrSf~en ermittelt werden: a) W e l c h e M a c h - Z a h l M2 wird in d e r M e s s s t r e c k e e r r e i c h t ? b) W i e grog miissen die Fliichen A* u n d A2 gew~ihlt w e r d e n ? c) W i e grog ist d e r M a s s e n s t r o m d u r c h die V e r s u c h s a n l a g e ? d) Welche W e r t e h a b e n die M a c h - Z a h l M3, d e r D r u c k p3 u n d die Temp e r a t u r T3 u n m i t t e l b a r s t r o m a b des Verdichtungsstof~es u n d wie grog ist die T e m p e r a t u r Ts im S t a u p u n k t des VerdrbingungskSrpers? LSsung: g e g e b e n : pl, T1, M1, A1, p2, R, gesucht: a) 5//2, b) A*, A2, c) rh a) Der Zusammenhang zwischen dem Druckverh~ltnis p2/po (po ist der Gesamtdruck der Str5mung) und der 5rtlichen Mach-Zahl M2 ist mit der nachfolgenden Formel fiir isentr0pe StrSmungen gegeben: p__~2= po

1

.

(1)

(1+ a2 1.M~)~

Gleichung (1) nach 3/2 umgeformt, ergibt:

M2 -

2 ~-1"

po ~

-1

(2)

Zur Auswertung der Formel (2) ist der Gesazntdruck p0 der StrSmung noch unbekannt. Da die StrSmung isentrop verl/iuft, ist er vor und hinter der Laval-Diise gleich.

2.3 Hydro- und Aerodynamik, Stromfadentheorie

67

Vor der Laval-Dtise sind der statische Druck pl und die 5rtliche Mach-Zahl M1 bekannt. Wird die Gleichung (1) f/ir die StrSmung vor der Laval-Dtise angewendet, so dient sie als Bestimmungsgleichung fiir den Gesamtdruck po" pl

1

po--pl"

(

1+... 2

-7,71bar

Setzt man die Zahlenwerte fiir p2 und po in die Gleichung (2) ein, so erhglt man fiir die Mach-Zahl M2 den Zahlenwert: M2 - 2, 0. b) Piir die Anwendung der Stromfadentheorie auf die Laval-DiisenstrSmung gilt zwischen dem Flg~chenquerschnittverhfiltnis A/A* und der 5rtlichen Mach-Zahl die folgende Gleichung (Kapitel 2.3.3, H. Oertel jr., M. BShle 2004):

1[

A* = M

~+1

1+

(M 2 - 1)

n+l

(3)

(A* ist die kleinste Querschnittsfliiche der Laval-Dtise, A ist eine beliebige Querschnittsfl~che im Unter- oder Uberschallbereich der Diise und M ist die Mach-Zahl, die im Querschnitt mit der Fl~che A vorherrscht). F/ir die UnterschallstrSmung vor der Laval-Diise sind die 6rtliche Mach-Zahl M1 und die Querschnittsfl~iche A1 bekannt. Mit der Gleichung (3) kann also unmittelbax die Querschnittsfl/iche A* berechnet werden. A* berechnet sich zu: A* -- -

A1 9M1

[1+ I ,~ +

9 (M1 ~ -

1)

]

~+1

=

1,2-10

-2

m

2

~.(~-1~

Da nun die Plgche des engsten Querschnitts der Diise und die Mach-Zahl der StrSmung in der Messstrecke bekannt sind, kann wieder unmittelbar mit der Gleichung (3) die Pl/iche A2 berechnet werden. Sie berechnet sich zu: ~-t-1

12"( m-1 ) = 2 . 1 0 - 2 m 2 (M~-I)

A* [ ~-1 A2-M--~2. 1 + ~ + 1

c) Zur Berechnung des Massenstroms rh durch die Laval-Dtise wird die Kontinuit~tsgleichung ftir den engsten Querschnitt der D/ise angewendet: rh -- p * -c * 9A *

(4)

Sie wird wie folgt erweitert: p po

c -A* p o ' a o ao

(5)

68

2 Grundlagen der Str5mungsmechanik

(po ist die entsprechende Dichte ffir die GesamtzustandsgrSgen po, To und ao die entsprechende Schallgeschwindigkeit ffir die GesamtgrSgen po, To). In Gleichung (5) betrs stimmt sich wie folgt:

das Verhfiltnis p*/po = 0,634. Das Verh~ltnis c*/ao be-

c*

a--o =

I ~ . R . T*

T~__~oo

a . R . To -

"

(6)

Dabei ist T*/To = 0,833. Das Verh~ltnis c*/ao besitzt dann nach Formel (6) den Wert c*/ao - 0,913. Weiterhin mfissen noch die GrSt~en po und ao ermittelt werden. Dazu ist es zun~chst erforderlich, die Gesamttemperatur To zu ermitteln. Sie berechnet sich mit der folgenden Gleichung zu: TITo - 1+

~ - 121

.M~

~

(

To=Ti"

1+

~ -21 .

M~)--462 K

Die Schallgeschwindigkeit ao berechnet sich mit ao = v/~ 9R. To zu ao = 430, 85 m/s und die Dichte po mit der idealen Gasgleichung po = po/(R.To) zu po = 5, 82 kg/m 3, so dass sich mit der Gleichung (5) und den bereits bekannten und ermittelten Zahlenwerten fiir den Massenstrom rh der Wert rh = 17, 3 kg/s ergibt. d) Die Ermittlung der StrSmungsgrSt~en stromab des Verdichtungsstot~es erfolgt mit den Stot~gleichungen, die die gesuchten StrSmungsgr5t~en mit der Mach-Zahl und den entsprechenden StrSmungsgrSgen stromauf des Verdichtungsstoges verknfipfen. Die Mach-Zahl M3 erhfilt man mit M2 ----2, 0 aus: 1+ ~ M32_ t~;l .(M~-I) -1 + ~2-+ n 1 . ( M ~ - 1 )

~

M3

-

O, 5 8

.

(7)

Den Druck p3 erh~lt man mit Hilfe der folgenden Stos 2-t~ p3 = 1 + (M~-I) ~ p3-4,5bar (8) p2 ~+1 Da die Mach-Zahl M3 bekannt ist, gilt ffir den Zusammenhang von T3 und der Staupunkttemperatur Ts die folgende Formeh

T~ = 1 Ts 1+ ~ 1

(9) M~

Zur Berechnung von T3 muss also zun~chst die Staupunkttemperatur Ts bekannt sein. Da der Energiesatz fiber einen senkrechten Verdichtungsstot~ hinweg angewandt werden daft, ist die Staupunkttemperatur Ts gleich der Ruhe- oder Gesamttemperatur To aus Teilaufgabe c). Mit Ts = To = 462 K folgt ffir T3: 773=T~.

1 1 + - ~ 9M{

~

T3=433K

.

(10)

2.3 Hydro- und Aerodynamik, Stromfadentheorie A u f g a b e 2.3.18

69

Laval-Dfise

A b b . 2.3.18 Laval-DiisenstrSmung

A u s e i n e m g r o g e n Beh~ilter, in d e m d e r D r u c k p0 u n d die T e m p e r a t u r To h e r r s c h e n , s t r S m t Luft d u r c h e i n e L a v a l - D i i s e in e i n e Atmosph~ire m i t d e m D r u c k pu (siehe A b b . 2.3.18). I m e n g s t e n Q u e r s c h n i t t m i t d e r Fl~iche A* h e r r s c h t Schallgeschwindigkeit und weiter s t r o m a b w i i r t s b e f i n d e t sich a n d e r Stelle m i t d e r Q u e r s c h n i t t s f l ~ i c h e Av ein s e n k r e c h t e r , station~irer V e r d i c h t u n g s s t og.

Es sind f o l g e n d e G r 6 g e n g e g e b e n : po - 5 bar, To - 273, 15 K, A* - 2-10 -4 m 2, A v - - 3 , 1 . 1 0 -4 m 2, A 2 - 4 . 1 0 -4 m 2, ~ - - 1, 4, R - 287 m 2 / ( s 2. K ) . Es sollen f o l g e n d e G r f g e n e r m i t t e l t w e r d e n : a) die D i c h t e po i m K e s s e l . b) die Z u s t a n d s g r f g e n pv, Tv, pv d e r L u f t sowie die S t r f m u n g s g e s c h w i n d i g k e i t Cv u n m i t t e l b a r v o r d e m V e r d i c h t u n g s s t o g . c) d e r G e s a m t d r u c k p0,v u n d die G e s a m t t e m p e r a t u r dem Verdichtungsstog.

To,v u n m i t t e l b a r v o r

d) die Z u s t a n d s g r f g e n P'v, Tv', p~ d e r Luft sowie die S t r f m u n g s g e s c h w i n d i g k e i t c'~ u n m i t t e l b a r h i n t e r d e m V e r d i c h t u n g s s t o g . e) d e r G e s a m t d r u c k P~,v u n d die G e s a m t t e m p e r a t u r ter dem Verdichtungsstog.

T~,v u n m i t t e l b a r hin-

f) d e r D r u c k pu d e r A t m o s p h ~ i r e . H i n w e i s : D i e S t r 6 m u n g verl~iuft iiberall i s e n t r o p , a u g e r a n d e r Stelle, wo sich d e r V e r d i c h t u n g s s t o g b e f i n d e t . L6sung: g e g e b e n : po, To, A*, Av, A2, ~, R gesucht:

a) po, b) pv, Tv, pv, Cv, c) po,v, To,v, d) p'v, Tv', p'~, C'v, e) P~,v, T~,v, f) pu

a) Die Dichte im Kessel berechnet sich mit der Gasgleichung fiir ideale Gase: p0 - po" R . To

~

po - R .P0To - - 6 ' 3 8 k g / m 3

b) Um die GrSgen pv, Tv, pv und Cv bestimmen zu kSnnen, wird z u n ~ h s t die 5rtliche

70

2 Grundlagen der StrSmungsmechanik

Mach-Zahl Mv fiir den Querschnitt mit der Fl~iche Av ermittelt. Sie berechnet sich mit der in diesem Buch bereits eingefiihrten Gleichung:

I

Av _ 1 . l + t ~ - i (Mve_l) A* Mv ~+ 1

~+1

]

.

(1)

Die Gleichung (1) ist nicht nach Mv auflSsbar, so dass die Mach-Zahl Mv iterativ bestimmt werden muss. Weiterhin liefert die Gleichung (1) zwei LSsungen: eine Unter- und eine Uberschall-Mach-Zahl. Da unmittelbar vor dem Verdichtungsstot~ eine 0berschallstrSmung vorliegt, muss die Uberschall-Mach-Zahl mit der Iteration bestimmt werden. Als Zahlenwert erh~ilt man: Mv = 1, 9. Die GrSt~en pv, Tv und p~ k5nnen nun mit den nachfolgenden Gleichungen bestimmt werden: Tv --

To pv

=

Po Pv --

Po

1

=

--~

1

(

pv -

~-

2

po

(

1+~_

1

,

= 0, 75 bar

1

~-l

2

po

-:

11

(I+~-I'M ~ ~ )-

= 158,9 K

1+ ~2 1.Mv2 ==a

1+~-1.

To

T~ =

1+ ~2 1.My2

~

PV---

2

1

( 1+~-1"Mv2)2 Pv = 1,65 k g / m 3

-i

.

Die Geschwindigkeit Cv bestimmt sich zweckm~is mit der Formel Cv = Mv .av. Die 5rtliche Schallgeschwindigkeit av berechnet sich mit av = v/~ 9R . Tv zu av = 253 re~s, so dass man fiir die Geschwindigkeit cv den Wert cv = 479 m / s erh~ilt. c) Da die StrSmung vom Kessel bis unmittelbar vor dem Verdichtungsstot~ isentrop verl~iuft, ist der Gesamtdruck po,v = po = 5 bar u n d die G e s a m t t e m p e r a t u r To,v = To = 273, 15 K. d) Da alle Gr5t~en vor dem Verdichtungsstof~ bekannt sind, berechnen sich die Gr5t~en unmittelbar hinter dem Verdichtungsstot~ mit den Gleichungen des senkrechten Verdichtungsstoi~es. Mit der Anwendung der Gleichungen erhiilt man die folgenden Zahlenwerte: M~'

'

=

Pv=l pv

1+ ~ t~+

" (MY2 - 1)

1 + ~ +2i. ~

. (Mv2 _ 1)

+

2 . ~

t~+ 1

= 0,36

.(My2 - 1 ) = 4 , 0 3

,

2.3 H y d r o -

~-v = ,

und

1+

Aerodynamik,

Stromfadentheorie

.(M~-I).

n+l

1-

n+l

71

(1

_

161

1

l

Pv__Pv.__Tv --2.51 pv pv Tv' Po,v_ po,v

1+

(M~-I)

1-

n+ 1

2 n+l

1-

1

'~- = 0,77

Mit den berechneten Zahlenwerten erh~lt man fiir die einzelnen GrSt~en die folgenden Ergebnisse: Mv~ - 0,596, p~v - 3, 02 bar, T~ - 255 K, P~v - 4, 13 k g / m 3. Die StrSmungsgeschwindigkeit c~ berechnet sich wieder zweckm~ig mit der Formel Cv - M v ' a v . Die 5rtliche Schallgeschwindigkeit unmittelbar hinter dem Verdichtungsstog berechnet sich mit a~v - v/n 9R . Tr - 320 re~s, so dass man fiir die Geschwindigkeit den Wert c~ - 191 m / s erh~lt. e) Die Gesamttemperatur ~indert sich fiber den Verdichtungsstog nicht. Sie betr~gt also T~,v -- To,v = To = 273.15 K. Im vorigen Aufgabenteil ist bereits das Gesamtdruckverh~ltnis p~o,~/po,, ermittelt worden. Mit diesem Zahlenwert berechnet sich der Gesamtdruck unmittelbar hinter dem Verdichtungsstog zu: P~,v - 3, 85 bar. f) In dem Austrittsquerschnitt mit der Fl~che A2 nimmt die Str5mung den Druck pu der A t m o s p h ~ e an. Zur Bestimmung des Atmosph~endrucks pu muss also der Druck im Austrittsquerschnitt ermittelt werden. Da die StrSmung fiber den Verdichtungsstot~ nicht isentrop verl~uft ist es ffir die weitere Rechnung zweckm~ig, die Str5mung im Querschnitt mit der Fl~che Av hinter dem Verdichtungsstog als eine StrSmung zu betrachten, die durch eine isentrope Entspannung in einer anderen Laval-Dfise vom Kesselzustand (P~,v, Tg,v) entstanden ist. Die "andere, nur gedachte" Laval-Diise wird in dieser Aufgabe als Ersatzdfise bezeichnet. Ffir sie kann mit der bereits angewendeten Formel die Fl~che A*' des engsten Querschnitts berechnet werden: n+l

Av 1_ _ A*' M"

1 + ..... .(Mv2 ' - 1 ) n+ 1

Av A*' = 1 ' 1 9

=:~

9 A '-2,56cm

2

Mit der bekannten Fl~che A*' ist die linke Seite der Gleichung: A*'-M--22"

(

l+n+l

.(3//22-1)

)

~-I-- 1

bekannt, so dass mit ihr die StrSmungs-Mach-Zahl 3//2 im Querschnitt mit der Fl~che A2 iterativ bestimmt werden kann. Das Fl~chenverh~iltnis betr~gt A 2 / A * ' = 1, 54, und ffir die Mach-Zahl erhi~lt man den Wert 3//2 = 0, 42.

72

2 Grundlagen der StrSmungsmechanik

Der Druck p2 der StrSmung im Austrittsquerschnitt ermittelt sich mit der Gleichung ZU: I

P2 = Pu =

A u f g a b e 2.3.19

Po,v (1 + ~; 2 1 . M~) ~ 1

= 3.41 bar

Laval-Diise

Ein K r e i s r o h r mit d e m I n n e n d u r c h m e s s e r D w i r d v o n e i n e m i d e a l e n G a s (spez. G a s k o n s t a n t e Re I s e n t r o p e n e x p o n e n t ~ = 1,4) station~ir d u r c h s t r S m t . In d e m R o h r b e f i n d e t sich koaxial ein r o t a t i o n s s y m m e t r i s c h e r V e r d r ~ i n g u n g s k S r p e r mit d e m m a x i m a l e n D u r c h m e s s e r dm~x u n d d e m D u r c h m e s s e r dB bei B. D a d u r c h e n t s t e h t eine Laval-Diise mit kreisringf'6rmigem Q u e r s c h n i t t . A n d e n Stellen A ( S t a u p u n k t ) u n d B w e r d e n fiber W a n d a n b o h r u n g e n die Driicke PA -- 0, 8.105 Pa u n d Ps -- 0, 1-105 Pa g e m e s sene auf~erdem w i r d bei B die T e m p e r a t u r TB des G a s e s b e s t i m m t . Die R e y n o l d s - Z a h l des S t r S m u n g s v o r g a n g e s ist so groge dass n~iherungsweise das M o d e l l e i n e r e i n d i m e n s i o n a l e n e i s e n t r o p e n S t r i i m u n g v e r w e n d e t w e r d e n kann. Die f o l g e n d e n GrSf~en sind zu b e s t i m m e n : a) Die M a c h - Z a h l Ms bei Be b) d e r M a s s e n s t r o m rh d u r c h das Rohr~ c) die R u h e t e m p e r a t u r

To des Gasese

d) d e r m a x i m a l e D u r c h m e s s e r dm~x des V e r d r ~ i n g u n g s k S r p e r s . L~Ssung: g e g e b e n : R, ~ -

1, 4, D, dB, TB, pA --0, 8" 105 Pa, PB --0, 1-105 Pa

gesucht: a) MB, b) rh, c) To, d) dmax a) Der Ruhedruck PA im Staupunkt A und der statische Druck PB an der Stelle B

A b b . 2.3.19 Laval-Diise mit kreisringFSrmigem Querschnitt

2.3 Hydro- und Aerodynamik, Stromfadentheorie

73

sind bekannt. Daher kann die folgende Gleichung zur Bestimmung der Mach-Zahl an der Stelle B benutzt werden" 1 PB t~ PA (1 + 15;2 1 9MB2) t~-i MB --

2 ~--1

[( 11 PA ~BB

-1

-2,01

.

(1)

b) Der Massenstrom rh berechnet sich nach der Formel rh = p. c. A = konst, und wird hier aufgrund der gegebenen Daten an der Stelle B ausgewertet: - - p B ' C B ' A B - - p B ' C B ' ~ "71- ( D2 - d ~ ) (2) Die in Gleichung (2) noch unbekannten GrStgen PB und CB lassen sich nach den folgenden Gleichungen auf bekannte Gr5tgen zuriickfiihren: PB PB -- R" TB ' CB -- MB "aB z MB 9 V/~ 9R. TB , (3) Gleichung (3) in Gleichung (2) eingesetzt ergibt: 7I"

rh-

PB . M B . v / n - R . T B . ~ . ( D R.TB

2-d~)

.

(4)

c) Die Ruhetemperatur To des Gases berechnet sich in Abh~ingigkeit der bekannten Mach-Zahl MB sowie der gegebenen Temperatur TB nach folgender Gleichung: TB

1

To = l+,~l.Mg

--~

To-TB.

(

1 +

~--1 2

M~)

(5)

Die Mach-Zahl MB in Gleichung (5) 1/isst sich nach Gleichung (1) noch auf gegebene GrSgen zuriickfiihren, so dass folgt: ~1

d) Der maximale Durchmesser d m a x des Verdr~i~gungsk5rpers f~llt mit der Stelle des engsten durchstrSmten Querschnitts der kreisringf6rmigen Laval-Diise zusammen. Da aus Teilaufgabe a) bekannt ist, dass die Str5mung stromab des engsten Querschnitts 0berschall erreicht weit~ man, dass am engsten Querschnitt A* Schallgeschwindigkeit mit M = M* = 1 herrscht. Daher daft die folgende Gleichung, die die Mach-Zahl mit den Diisenquerschnitten verkniipft, angewandt werden: ~+1 ~+1 2.(~--1) AB _-- 1 [1+ n--1 A* MB" [ ~ + 1 "~V~B--1]f~'2~ MB K+ 1 AB A*

7l" 1 7[" ( D2 - d ~ ) = MB ~ . (D2 - d2m~x)

[I+~;21"Mt~] ~+ 1 2

2"(~-1) (7)

74

2 Grundlagen der StrSmungsmechanik

Gleichung (7) nach dmax aufgelSst fiihrt auf das Endergebnis: ~+1

2 (~-1) dmax - D .

A u f g a b e 2.3.20

1-

1-

--

9MB.

2 1+ gl

(s)

Wiedereintrittsflugzeug

T,~ M,c

A b b . 2.3.20 Wiedereintrittsflugzeug

Vor einem W i e d e r e i n t r i t t s f l u g z e u g b i l d e t sich b e i m E i n t r i t t in die Atm o s p h R r e e i n e K o p f w e l l e aus. Diese k a n n n R h e r u n g s w e i s e als s e n k r e c h t e r Stof~ b e h a n d e l t w e r d e n (siehe A b b i l d u n g 2.3.20). M i t A u s n a h m e d e r K o p f w e l l e ist die StrSmung isentrop. Die Atmosphfire ist als i d e a l e s G a s zu b e t r a c h t e n m i t ~ - 1,4 u n d R 287 J / k g / K . D i e S t r S m u n g ist eben~ a d i a b a t und reibungsfrei.

a) B e r e c h n e n Sie die D i c h t e p ~ . W e l c h e M a c h - Z a h l M ~ sowie w e l c h e d a z u g e h S r i g e G e s c h w i n d i g k e i t c~ ist m a x i m a l e r l a u b t , d a m i t die zul~issige T e m p e r a t u r To,max i m S t a u p u n k t d e s O r b i t e r s nicht i i b e r s c h r i t t e n w i r d ? b) B e r e c h n e n Sie fiir d e n F l u g z u s t a n d a u s d e r v o r h e r i g e n T e i l a u f g a b e die M a c h - Z a h l M2, die G e s c h w i n d i g k e i t c2, d e n D r u c k p2 und die Dichte p2 u n m i t t e l b a r h i n t e r d e m V e r d i c h t u n g s s t o g . E r m i t t e l n Sie d o r t d e n S t a u d r u c k p0,2. LSsung: g e g e b e n : ~ - 1, 4, R - 287 m 2 / ( s 2. K ) , T ~ - 200 K, T0,max - 840 K, p ~ 1000 P a g e s u c h t : a) p ~ , M~,max, C~,max, b) 11//2, c2, p2, p2, p0,2 a) p ~ l ~ s t sich aus der idealen Gasgleichung bestimmen: P~ P~ - R . T ~

= 0,017 k g / m 3

(1)

Die Stautemperatur ~ndert sich fiber dem Verdichtungsstof~ nicht, so dass gilt T0,~ - T0,max. Damit kann aus der Gleichung Too T0,~

=

1 1 + ~;2 1 Ms

(2)

2.3 Hydro- und Aerodynamik, Stromfadentheorie

75

die Mach-Zahl Moo,max berechnet werden:

,

n_

1 9 \--~-

1

(3)

--4

Mit der Schallgeschwindigkeit am = v/n 9R - T ~ = 283, 48 Cox,,max -'- ao<~ 9 M ~

ergibt sich:

m/s

(4)

. . . . : 1133, 9 m / s

b) Die Mach-Zahl hinter dem Verdichtungsstotg kann aus der Stotggleichung M~ =

1+ n n-~- I" ( M ~ , m a x - 1) 2" 1 + n +nl" (M~,max - 1)

(5)

berechnet werden: I1+

M2--

n/,i; ~ I " ( M 2 , m a x 2"g

(

1+ n+l"

1)

-

.....

1)

M2

M2 - 0,44

--:~

(6)

Aus den weiteren Stotggleichungen p~=

c2

P2

=1-2

.(1-

Cox,,max

2-~

p2 = 1 + Pox:)

n

)

,

(7)

M2,max

9(Ms

/'~ -[- 1

1

+ 1 - 1)

(8)

. . . . .

lassen sich c2, p2 und p2 berechnen.Aus Gleichung (7) folgt fiir die Dichte p2: p2 -

P~

l-n+

(1

I

==~

1 ) M ~2 . . . .

p2 - 0, 08

kg/m

3

(9)

.

Ffir die Geschwindigkeit c2 ergibt sich aus Gleichung (7): n+l

(1

M2

1 )

==~

oo ~Illax

c2-248m/s

.

(10)

Mit Gleichung (8) erh/ilt man fiir den Druck p2:

)]

~ + 1 (M~,m~x- 1

.

==~

P2

_ _

1 85" 104 ~

Pa

(11)

Der Gesamtdruck hinter dem Verdichtungsstotg 1/isst sich entweder fiber die entsprechende Stotggleichung fiir den Gesamtdruck bestimmen oder direkt aus der Beziehung: p0,2 p2

1+

2

9M~

(12)

76

2 Grundlagen der StrSmungsmechanik

Hieraus folgt fiir den G e s a m t d r u c k hinter d e m Verdichtungsstot~ u n t e r Verwendung von Gleichung (11): t~

Po2-'

1+

2

.p~-1+

~+1

.(M~,max-1)

Als Zahlenwert erh~ilt m a n fiir po,2 den Wert: po,2 - 2, 11 9 10 4 Pa.

.

2.4 Berechnung von technischen Str5mungen 2.4 2.4.1

Berechnung

77

von technischen

StrSmungen

Turbulente StrSmungen

A u f g a b e 2.4.1

Plattengrenzschicht Es soil d e r R e i b u n g s w i d e r s t a n d W, d e r v o m F l u i d a u f e i n e l~ings a n g e strSmte ebene Platte fibertragen w i r d , ffir u n t e r s c h i e d l i c h e G r e n z schichtzust~inde b e r e c h n e t w e r d e n . A b b i l d u n g 2.4.1 zeigt i m Bild a) e i n e fiber die g e s a m t e L~inge L l a m i n a r e G r e n z s c h i c h t (Fall 1). I m Bild b) ist e i n e P l a t t e n g r e n z s c h i c h t d a r g e s t e l l t , die a n d e r V o r d e r k a n t e l a m i n a r ist u n d weiter stromabwfirts turbulent wird (Fall 2). D a s Bild c) schlieglich zeigt eine fiber die g e s a m t e L~inge d e r P l a t t e t u r b u l e n t e G r e n z schicht (Fall 3). D e r t u r b u l e n t e G r e n z s c h i c h t z u s t a n d wird, wie i m Bild c) a n g e d e u t e t , m i t e i n e m so genannten Stolperdraht erzwungen.

A b b . 2.4.1 Plattengrenzschichten

Z u r B e r e c h n u n g des R e i b u n g s w i d e r s t a n d e s W k S n n e n ffir die erl~iutert e n G r e n z s c h i c h t z u s t ~ i n d e die f o l g e n d e n B e r e c h n u n g s f o r m e l n v e r w e n d e t werden: 1. Ffir d e n Fall 1 die F o r m e l v o n B l a s i u s ( K a p i t e l 2 . 4 . 1 , H. Oertel jr., M. BShle

2004): Cw,1 --

W

1,328 =

~ " U~

. b. L

U ~ 9L ,

ReL

V/ReL

--

(1)

u

2. Ffir d e n Fall 2 die F o r m e l v o n Schlichting: W Cw,2 -- ~ . U ~ . b. L

O, 455 (log R e L ) 2 , 5 8

1700 ReL

U~ 9L '

Ren

u

(2)

78

2 Grundlagen

der StrSmungsmechanik

3. Fiir den Fall 3 das Prandtl-Schlichtingsche Widerstandsgesetz der l~ings angestrSmten ebenen Platte: W _ 0,455 Cw,3 = ~ 9 U ~ 9 b 9 L (log R e L ) 2'5s

U~ 9L '

ReL -

u

(3)

.

(p ist die D i c h t e d e s F l u i d s , U~ die A n s t r S m g e s c h w i n d i g k e i t , b die B r e i t e d e r P l a t t e u n d u die k i n e m a t i s c h e Viskosit~it d e s F l u i d s ) . In d e r G l e i c h u n g (2) w i r d v o r a u s g e s e t z t , d a s s die k r i t i s c h e R e y n o l d s Z a h l R e x , k r i t : ( V c ~ " X k r i t ) / / 2 d e n Z a h l e n w e r t R e x , k r i t - - 5 " 1 0 5 h a t . Xkrit ist d e r A b s t a n d y o n d e r V o r d e r k a n t e b e i d e m die t u r b u l e n t e G r e n z s c h i c h t einsetzt. Ffir die d r e i b e s c h r i e b e n e n F~ille sollen m i t d e n g e g e b e n e n F o r m e l n die P l a t t e n r e i b u n g s w i d e r s t ~ i n d e b e r e c h n e t w e r d e n . A n w e l c h e r Stelle a u f d e r P l a t t e w i r d die G r e n z s c h i c h t ffir d e n Fall 2 t u r b u l e n t ? Z a h l e n w e r t e : p = 1,234 k g / m 3, U~ = 10 re~s, L = 2 m, b = 1 m, ~ = 151 0 - 6 m2/s, ]:~r - - 5 " 105

LSsung: g e g e b e n : aufgefiihrte Zahlenwerte gesucht:

Wl (fall 1), W2 (Fall 2), W3 (Fall 3),

Xkrit

Die Reynolds-Zahl R e L berechnet sich zu: R e L = 1,33. 106. Mit den Formeln (1) bis (3) ergeben sich fiir die entsprechenden dimensionslosen Beiwerte die folgenden Werte: Cw,1 = 1, 15-

10 -3

Cw,2 = 2,96-

,

10 -3

Cw,3 = 4,24"

,

10 -3

.

Die entsprechenden Widerst~inde ergeben: W~=0,14N

,

W2=0,37N

,

W3=0,52N

Diese einfache Rechnung verdeutlicht, dass turbulente Grenzschichten einen vielfach grSf~eren Reibungswiderstand verursachen als laminare Grenzschichten. Die hier berechneten Zahlenwerte sind sehr klein. Bei einem Flugzeug sind z. B. die von Luft umstr5mten F1/ichen und die ZustrSmgeschwindigkeit wesentlich gr5ger, so dass der Reibungswiderstand etwa 50 % des Gesamtwiderstandes ausmacht. Daher ist man bestrebt, die Grenzschichten so weit es m5glich ist, laminar zu halten. Die Stelle mit (ter Koordinate

Rex '

krit - - Uc~ 9 Xkrit /2

Xkrit ~

berechnet sich zu" Xkrit ---

Rex,krit Vcx)

" /2

--- 0 , 7 5 m

.

2.4

Berechnung

v0n technischen

A u f g a b e 2.4.2

79

StrSmungen

Plattengrenzschicht

A b b . 2.4.2a Schichteneinteilung der Plattengrenzschicht

Luft ( k i n e m a t i s c h e Z~ihigkeit ~, D i c h t e p) s t r S m t m i t d e r Ges c h w i n d i g k e i t U~ fiber eine dfinne P l a t t e d e r L~inge L (siehe A b b . 2.4.2a). Die S t r S m u n g ist e b e n , inkompressibel und reibungsbehaftet.

A u f d e r P l a t t e bildet sich im v o r d e r e n B e r e i c h eine l a m i n a r e G r e n z schicht u n d s t r o m a b , nach d e m U b e r s c h r e i t e n d e r k r i t i s c h e n R e y n o l d s Zahl ReLkrit ~ eine t u r b u l e n t e G r e n z s c h i c h t aus. a) Skizzieren Sie d e n V e r l a u f d e r G r e n z s c h i c h t d i c k e 5 a u f d e r P l a t t e n oberseite. b) Skizzieren Sie die G e s c h w i n d i g k e i t s p r o f i l e u ( z ) a u f d e r O b e r s e i t e d e r P l a t t e an d e n Stellen Xl und x2 und b e g r f i n d e n Sie I h r e Skizze. c) Skizzieren Sie das G e s c h w i n d i g k e i t s p r o f i l u n d die B e r e i c h s e i n t e i l u n g des G e s c h w i n d i g k e i t s p r o f i l s an d e r Stelle x3. d) Sch~itzen Sie die Dicke A d e r v i s k o s e n U n t e r s c h i c h t bei x3 ab, w e n n das G e s c h w i n d i g k e i t s p r o f i l in d e r viskosen U n t e r s c h i c h t linear v o m W e r t Null a u f d e n W e r t 0, 5. U~ a n s t e i g t und ffir d e n lokalen R e i b u n g s b e i w e r t a u f d e r P l a t t e bei t u r b u l e n t e r S t r S m u n g gilt: cf(x) -

0, 0577

1

(1)

e) A u f g r u n d d e r g e r i n g e n v e r t i k a l e n A u s d e h n u n g d e r G r e n z s c h i c h t wird bei d e r n u m e r i s c h e n B e r e c h n u n g eine h o h e A n z a h l von R e c h e n z e l l e n benStigt u m diese aufzulSsen (siehe K a p i t e l 4.2 ). D e s h a l b w i r d die G r e n z schicht h~iufig mit e i n e m l o g a r i t h m i s c h e n W a n d g e s e t z m o d e l l i e r t . Das logarithmische Wandgesetz lautet:

~(~) UT-

= 2, 5 . l n ( z +) + 5, 5

In w e l c h e m B e r e i c h d e r G r e n z s c h i c h t ist das l o g a r i t h m i s c h e G e s e t z gfiltig? LSsung: g e g e b e n : U~ - 10 re~s, L/-- 1,511-10 -5 m 2 / s , L -- 2 m , x l -- 0, 05-L, x2 -- 0, 75-L, X3 - - L

80

2

Grundlagen

der Str5mungsmechanik

a) Skizze 5(x), b) Skizze u(xl,z), Skizze u(x2, z), c) Skizze u(x3, z), Bereichseinteilung, d) A(xs), e) Giiltigkeitsbereich des logarithmischen Wandgesetzes

gesucht:

Die Reynolds-Zahlen an den Stellen Xl, x2, x3 betragen:

Re1

- U~

Re2

- U~ .x2 = 9, 93.105

9 Xl

v

__= 6 ,

62 9 104

~

laminate StrSmung

,

=~

turbulente StrSmung

,

turbulente StrSmung

.

v

Re3=

Uo~.x3 = 1 , 3 2 . 1 0 ~

~) Fiir den laminar-turbulenten 0 b e r g a n g gilt" Rekrit

--

Uec " Xkrit

__ 5 "

105

A b b . 2 . 4 . 2 b Verlauf der Grenzschichtdicke Nach

Xkrit

aufgelSst erh~ilt man: Xkrit

]:~ekrit " /2

L

U~ 9L

= 0,38

In Abbildung 2.4.2b ist der Verlauf der Grenzschichtdicke eingetragen.

b) In Abbildung 2.4.2c sind die Geschwindigkeitsprofile an den Stellen Xl (laminar) und x2 (turbulent) skizziert.

A b b . 2.4.2c Geschwindigkeitsprofile an den Stellen L = x l und L - x2 c) An der Stelle x3 liegt ein turbulentes Geschwindigkeitsprofil vor. Die Bereichseinteilung ergibt sich entsprechend Abbildung 2.4.2d.

2.4 Berechnung von technischen S t r 5 m u n g e n

81

A b b . 2 . 4 . 2 d Einteilung des Grenzschichtprofils bei L = x3 d) Aus der Definition des Reibungsbeiwertes Tw Cf--

1

.p.us

folgt mit Gleichung (1) ~w-~

1

p

2

u~

0 0577 '

(2)

Entsprechend der Definition der Wandschubspannung nach dem Newtonschen Reibungsansatz ergibt sich: d~ Tw= #" dz Mit dem linearen Geschwindigkeitsprofil der viskosen Unterschicht erh~lt man: 0,5-U~ ~w - ~ . p -

A

"

(3)

Durch Gleichsetzen der rechten Seiten der Gleichungen (2) und (3) ergibt sich: 0, 5 9 U~

"P

/x

1

2

=~.p.us

0, 0577

(R~L)~

Nach der Dicke der viskosen Unterschicht aufgel5st, erh~lt man als Ergebnis: A -- ( R e L ) 1

9

1 0, 0577

" = 4, 4. 10 -4 m U~

e) Das logarithmische Gesetz ist nur im Bereich der Wandturbulenz, also im Bereich zwischen der viskosen Unterschicht und der freien Turbulenz giiltig. Fiir die Giiltigkeit des Wandgesetzes gilt 30 > z +.

82 A u f g a b e 2.4.3

2 Grundlagen der StrSmungsmechanik

Plattengrenzschicht Luft ( k i n e m a t i s c h e Z~ihigkeit ~, D i c h t e p) s t r S m t mit d e r Geschwindigkeit U~ fiber eine dfinne unendlich a u s g e d e h n t e P l a t t e (siehe A b b . 2.4.3a). Die S t r S m u n g ist e b e n , i n k o m p r e s s i b e l u n d reib u n g s b e h a f t e t . A u f d e r P l a t t e bild e t sich im v o r d e r e n B e r e i c h eine l a m i n a r e G r e n z s c h i c h t aus~ die nach d e m E r r e i c h e n d e r k r i t i s c h e n R e y n o l d s - Z a h l Rekrit in eine t u r b u lente G r e n z s c h i c h t fibergeht.

A b b . 2.4.3a GrenzschichtstrSmung

I m B e r e i c h d e r t u r b u l e n t e n G r e n z s c h i c h t k a n n das G e s c h w i n d i g k e i t s p r o fil an einer Stelle x nRherungsweise d u r c h die F u n k t i o n

~(z) = ~.Uoo- N-

i- ~.

(I)

b e s c h r i e b e n w e r d e n . D a b e i ist ~ die G r e n z s c h i c h t d i c k e u n d A die Dicke der viskosen U n t e r s c h i c h t an d e r Stelle x. Ffir d e n M i s c h u n g s w e g 1 k a n n n~iherungsweise die Gleichung 1

l(z) -- - ~ . z .

[1 - e x p ( - k . z)]

,

(2)

mit d e r K o n s t a n t e n k > 0 v e r w e n d e t w e r d e n . B e r e e h n e n Sie die t u r b u l e n te ZRhigkeit #t(z) mit d e m P r a n d t l s e h e n M i s e h u n g s w e g a n s a t z im B e r e i e h 0 <_ z <_ ~ u n d skizzieren Sie Q u a l i t a t i v d e n V e r l a u f yon pt(z). LSsung: g e g e b e n : U~, k, p, A, gesucht: #t(z) Fiir den Prandtlschen Mischungsweg gilt" ftt -- /9" 12

"

d~

~z

(3)

"

Aus dem Geschwindigkeitsprofil (1) folgt: d~ dzz-

d~ 1 dz = 2 "

U~ A

z (1-~)

.

2.4 Berechnung von technischen StrSmungen

83

Mit dieser Gleichung und mit Gleichung (2) ergibt sich aus (3) fiir die turbulente Z~ihigkeit" pt

-

1

-4 . p .

z

2 . [1 . e .x p (.- k

.

z)]2 .

1

.

2

U~ .

A

(1

z

~)

Daraus erh/ilt man: 1 z2 z #t(z) - ~ - p . U ~ . x 9 (1 - ~)-[1 - e x p ( - k .

z)] 2

Die turbulenten Z~higkeit ist an der Wand und am Grenzschichtrand Null. Das Maximum liegt im Bereich der freien Turbulenz (siehe Abb. 2.4.3b).

A b b . 2.4.3b Turbulenten Z~higkeit der Plattengrenzschicht

A u f g a b e 2.4.4

Reibungswiderstand

A b b . 2.4.4 Reibungswiderstand Plattengrenzschicht

der

der Plattengrenzschicht Luft ( k i n e m a t i s c h e Z~ihigkeit ~, D i c h t e p) s t r S m t m i t d e r Ges c h w i n d i g k e i t U~ fiber e i n e d finne P l a t t e m i t d e r L~inge L u n d d e r B r e i t e B (siehe A b b . 2.4.4). Die StrSmung ist eben~ inkompressibel und reibungsbehaft e t . A u f d e r P l a t t e b i l d e t sich im v o r d e r e n B e r e i c h eine l a m i n a re G r e n z s c h i c h t u n d s t r o m a b , n a c h dem Uberschreiten der kritischen R e y n o l d s - Z a h l RCLkrit, eine t u r b u l e n t e G r e n z s c h i c h t aus.

a) A us w e l c h e n W i d e r s t a n d s a n t e i l e n s e t z t sich d e r G e s a m t w i d e r s t a n d eines umstrSmten KSrpers zusammen? b) W i e g r o g ist d e r r e l a t i v e A n t e i l d e r e i n z e l n e n W i d e r s t ~ i n d e des . b e n genannten Beispiels?

2 Grundlagen der StrSmungsmechanik

84

c) B e r e c h n e n Sie die Stelle Xkrit d e s l a m i n a r - t u r b u l e n t e n U b e r g a n g s , w e n n die k r i t i s c h e R e y n o l d s - Z a h l R e L k r i t - - 5 " 1 0 5 b e t r i i g t . d) B e r e c h n e n Sie d e n G e s a m t w i d e r s t a n d W d e r P l a t t e n o b e r s e i t e ~ w e n n bis z u r SteUe Xkrit d e r W i d e r s t a n d s b e i w e r t m i t % -0,664/Rv/-R--~ u n d a b d e r Stelle Xkrit d e r W i d e r s t a n d s b e i w e r t m i t cft - 0 , 0609. ( R e x ) - 1 / 5 a p p r o ximiert werden kann. Z a h l e n w e r t e : U~ - 10 r e ~ s , p -

1 , 2 k g / m 3, v -

1 , 5 1 1 . 1 0 -5 m 2 / s ,

L = 2 m,

B-2m.

Liisung: g e g e b e n : U~ - 10 r e ~ s , p - 1, 2 k g / m 3, t / - 1,511.10 -5 m 2 / s , L = 2 m , B - 2 m g e s u c h t : a) Widerstandsanteile, b) GrSge der Widerstandsanteile, c) Xkrit, d) W a) Der Gesamtwiderstand auf einen umstrSmten KSrper setzt sich aus dem Druckwiderstand Wd und dem Reibungswiderstand Wf zusammen. b) Bei der PlattenstrSmung ist der Druckwiderstand im Gegensatz zum Reibungswiderstand vernachl/issigbar, d. h. Druckwiderstand ~0 %, Reibungswiderstand ~100 %. c.) Der laminar-turbulente Ubergang beginnt an der Stelle an der die kritische Reynolds-Zahl R e L k r i t erreicht wird.

ReLkri t -Xkrit :

Uc~ 9Xkrit //

ReLkri t 9// U~

:

0,76 m

.

d.) Der Widerstand eines umstrSmten KSrpers ergibt sich durch Integration der lokalen Werte der Wandschubspannung Tw entlang der Wandstromlinie. Laut Aufgabenteil b) tr/igt in diesem Beispiel der Druckwiderstand nicht zum Gesamtwiderstand bei. Die Berechnungen werden daher ausschlief~lich fiir den Reibungswiderstand durchgefiihrt. Es gilt :

7"w cf =

1 9p~

.c~

Daraus ergibt sich fiir den Gesamtwiderstand W auf der Oberseite der Platte:

(Xk/it W

/ Cf1 " dx +

--

0

) cf2 9dx

Xkrit

1 9~ . p ~ - c ~

2 9B

.

2.4 B e r e c h n u n g von technischen S t r S m u n g e n

85

Nach Einsetzen der lokalen Widerstandsbeiwerte fiir den Bereich der laminaren PlattenstrSmung % und den Bereich der turbulenten PlattenstrSmung cft ergibt sich: W -

0,644 . dx + V/7~'x/71

0, 0609 Xkrit

1

(_~)~-dx

2

p~ -c~ - B

.

-~-

Der Gesamtwiderstand der Plattenoberseite ist: W --0,38 N A u f g a b e 2.4.5

KanalstrSmung Es wird eine i n k o m p r e s s i b l e , e b e n e und turbulente Kanalstr6mung b e t r a c h t e t (siehe A b b . 2.4.5). Die S t r S m u n g ist beziiglich des zeitlich gemittelten Geschwindigkeitsprofils station~ir u n d in S t r S m u n g s r i c h t u n g a u s g e b i l d e t . Das zeitlich gemittelte Geschwindigkeitsprofil ~(z) k a n n n~iherungsweise d u r c h das 1 / 7 - P o t e n z g e s e t z b e s c h r i e b e n werden: _1

A b b . 2.4.5 Turbulente Kanalstr5mung

~ ( Z ) -- ~,max "

1 --

(1)

Die P r a n d t l s c h e Mischungswegl~inge k a n n d u r c h d e n folgenden analytischen A n s a t z angen~ihert w e r d e n : 1

mit d e r K o n s t a n t e n k > 0. D e r A b s t a n d der b e i d e n Q u e r s c h n i t t e 1 u n d 2 betr~igt L. D e r zeitlich g e m i t t e l t e D r u c k ~ ist q u e r zur S t r S m u n g s r i c h t u n g k o n s t a n t . Es soil der D r u c k v e r l u s t Apv = f l - f2 zwischen d e n b e i d e n Q u e r s c h n i t t e n 1 und 2 b e s t i m m t w e r d e n . H i e r z u soil wie folgt v o r g e g a n g e n w e r d e n : a) M a n stelle die Kontinuit~itsgleichung u n d die N a v i e r - S t o k e s - G l e i c h u n g in S t r S m u n g s r i c h t u n g in a l l g e m e i n e r F o r m auf.

86

2 Grundlagen der StrSmungsmechanik

b) M a n multipliziere die Kontinuit~itsgleichung mit der Geschwindigk e i t s k o m p o n e n t e in S t r S m u n g s r i c h t u n g und addiere die e n t s t e h e n d e Gleichung zur Navier-Stokes-Gleichung. Als Ergebnis erh~ilt m a n die partielle Differentialgleichung der K a n a l s t r S m u n g . c) Wie lautet der Reynolds-Ansatz ffir die StrSmungsgrSi~en dieser Differentialgleichung? Es ist dabei vorausgesetzt, dass die zeitlich gemittelte Geschwindigkeitskomponente quer zur S t r S m u n g s r i c h t u n g gleich Null ist. M a n setze den Reynolds-Ansatz in die Differentialgleichung ein. d) M a n ffihre eine zeitliche M i t t e l u n g der g e s a m t e n Differentialgleichung durch und vereinfache die e n t s t e h e n d e Differentialgleichung. e) Wie werden die jetzt zus~itzlich e n t s t a n d e n e n T e r m e genannt. Wie lautet die B o u s s i n e s q - A n n a h m e ffir diese zus~itzlichen Terme. M a n setzte die B o u s s i n e s q - A n n a h m e in die Differentialgleichung ein und vereinfache die Gleichung. f) Die resultierende Differentialgleichung beschreibt die t u r b u l e n t e KanalstrSmung. LSsen Sie die Differentialgleichung durch I n t e g r a t i o n und b e s t i m m e n Sie mit d e m gegebenen 1/7-Potenzgesetz und mit Hilfe des P r a n d t l s c h e n Mischungswegansatzes den gesuchten Druckverlust Apv in Abh~ingigkeit der gegebenen GrSi~en. LSsung: gegeben: p, h, "~max, k, L, gesucht: a) Kontinuit~tsgleichung, Navier-Stokes-Gleichung, b) Differentialgleichung der KanalstrSmung, c) Reynolds-Ansatz, d) vereinfachte Differentialgleichung, e) Boussinesq-Annahme, f) A~v. a) Die Kontinuit~tsgleichung lautet: Ou

Ow

O x + b-Tz - o

(3)

Die Navier-Stokes-Gleichung in Str5mungsrichtung (x-Richtung) ffir die ebene SchichtenstrSmung lautet: cgu

Ou

o~ _ _ !

Ot + u" -~x + W" Oz -

p

op + .. Ox

\ Ox 2

b) Die Multiplikation von Gleichung (3) mit u ergibt: Ou cgw ~.~+~.-~-o

+

(4)

2.4

B e r e c h n u n g yon t e c h n i s c h e n S t r S m u n g e n

87

Addiert man diese Gleichung zur Gleichung (4) erh/~t man die allgemeine partielle Differentialgleichung die die KanalstrSmung beschreibt" O___u_uOu Ow Ou _ o t ~ 2 "~ ' ~ + ~ ' 5-2 + ~ ' o z -

1 . Op + u . p o~ \ o~

+

(5) Oz~ j

c) Mit dem Reynolds-Ansatz wird eine StrSmungsgrSge in eine zeitlich gemittelte GrSge und eine SchwankungsgrSge aufgespalten. Mit ~ - 0 folgt" !

u--fz+u

,

!

w--w

,

p--~+p~

Setzt man den Reynolds-Ansatz in die Differentialgleichung (5) ein erhfilt man: o~ o~' o ( ~ + ~') + (~ + -g-i + -g-i- + 2 . (~ + V ) . Ox

_1_ p

.

O~ Ox .

.

(

1_ Op' p Ox +-u" .

.

,

o~' )-s

, o ( ~ + ~') + w 9 Oz

(6)

02(fz + u') + Ox 2

Oz 2

d) Die zeitliche Mittelung einer SchwankungsgrSge ergibt den Wert Null ( ~ = w' p~ - 0). Damit ffihrt die zeitliche Mittelung von Gleichung (6) zu O~

Og

o--i + 2 " ~ ' U x + 2 " ~ "

Ou'

Ow'

-g-~ + ~ "

-s

10~

+ ~"

. (02ft

- p ' O x + ~'

Ou ~ Oz

02~)

\ O x ~ + -d;~~

(7)

Die zeitlich gemittelte StrSmung im Kanal ist station~. Es gilt Og/Ot = 0. Der Druck ist konstant fiber den Querschnitt und ist damit nur eine Funktion der xKoordinate (15 = /5(x)). Das zeitlich gemittelte Geschwindigkeitsprofil ist in StrSmungsrichtung ausgebildet, d. h. die zeitlich gemittelten Geschwindigkeiten sind nur eine Funktion der z-Richtung (~ = ~(z)). Mit diesen Voraussetzungen kann die Gleichung (7) vereinfacht werden. Man erhiilt: Ou' 2

9 U t

9

U t

+

9

Ow' ~ +

W

t

9

Ou' Oz

--

.

.

1 d~ d2 g . . . p d x t-u" d z 2

Durch Umformung erh/flt man hieraus die vereinfachte Differentialgleichung der KanalstrSmung:

df

d2g

d x = #" -~z 2 +

O(-p. u' . u') Ox

O(-p. u' . w') +

Oz

(8)

e) Die zus~tzlich entstandenen Terme werden als Reynoldssche scheinbare Schubspannungen bezeichnet. Nach der Boussinesq-Annahme werden die unbekannten

88

2 Grundlagen der StrSmungsmechanik

scheinbaren Schubspannungen unter Verwendung eines unbekannten Proportionalitgtsfaktors pt (turbulente Z~ihigkeit) auf die bekannten zeitlich gemittelten GrSgen der Grundstr5mung zuriickgefiihrt. Damit gilt: -- p " Itt

" Ut

--

Ut

"

~X

-JV - ~ X

,

-- p "

"

--

]~t "

-~Z

-~- - ~ X

9

Setzt man die Boussinesq-Annahme in die Gleichung (8) ein ergibt sich: d--x = #" ~fz2 + ~xx

2""t" ~XX -~-OZZ ~tt" ~Z ~- -~-X--X

9

Mit den Voraussetzungen ~ = fi(z), @ = 0 und ~Ltt = pt(z) (wegen der ausgebildeten StrSmung kann pt nur von z abhgngen) erh/flt man schliet~lich die vereinfachte Differentialgleichung der KanalstrSmung: d/5 d2~ d#t d~ d--x = (# + ~t) " ~-'j2 ~- dz " dz

"

(9)

f) Aus dem 1/7-Potenzgesetz folgt fiir die Ableitungen des zeitlich gemittelten Geschwindigkeitsprofils: dg = _ 1 . U m a x . dz 7 h

(

1-

(10)

und d 2u 6 dz 2 = - 4 9 "

Umax

(

h2 " 1 -

.

(11)

Mit dem Prandtlschen Mischungswegansatz und der Gleichung (10) erh/flt man fiir die turbulente Z/ihigkeit: #t(z) - p ' l 2

d~

_

2 8 . P . h . ~ m ~ x . ( 1 _ ~ _ [ ) -~ . ( 1 - e x p ( - k . h . -

1

[1

~ ] )) 2

9 (12)

Die Ableitung der turbulenten Z~higkeit fiihrt zu:

d]_tt

!

dz = 7 "P"

Umax (1- ~J) 1 ( -exp(-k. h. [1 - ~ )) "

[-7" (X-exp(-k-h.

kl

[1-~Jl))+

l)" k 2 " h 2 " (]l - ~ - ~ ) 2 " e2x p ( - k ' h ' [ l - ~ - ~ ]

(13)

89

2.4 Berechnung von technischen StrSmungen

Aus der Integration yon Gleichung (9) folgt fiir den Druckverlust:

Apv = Pl - P2 -- L .

d2g d#t d~2) - ( # -]- ~ t ) " dz 2 - dz " dz

Unter Ber/icksichtigung der Gleichungen (10) - (13) ergibt sich daraus der Druckverlust: 1

-e L "D-Umax-~-"

/~Pv -- ~

14

(1 - e x p ( - k

1 k e 9h e 2

_

Aufgabe

.

1-

--~ 1--

h.

6. u

1-

h-Umax

[1 -

,)

2 + (1 - e x p ( - k - h .

0xp/kh [1

'1)

Couette-StrSmung

2.4.6

Die turbulente C o u e t t e - S t r S m u n g konstanter Dichte p zwischen zwei mit der Geschwindigkeit U entg e g e n g e s e t z t b e w e g t e r unendlich ausgedehnter Platten hat ein zeitlich gemitteltes Geschwindigkeitsprofil ~(z). Die turbulenten R e y n o l d s s c h e n scheinbaren S c h u b s p a n n u n g e n werden mit der P r a n d t l s c h e n Mischungswegl~inge berechnet: A b b . 2.4.6 Turbulente Couette-StrSmung

l(z) = K

( h ~ - z ~)

,

(1)

mit der K o n s t a n t e n K a) M a n b e s t i m m e

die K o n s t a n t e K derart, dass die B e d i n g u n g dl dz

erfiillt ist ( k -

konst.).

-:t:k z--::kh

(2)

90

2 Grundlagen der StrSmungsmechanik

b) M a n b e s t i m m e die G l e i c h u n g d e r t u r b u l e n t e n S c h u b s p a n n u n g Tt ffir die g e g e b e n e V e r t e i l u n g d e r P r a n d t l s c h e n Mischungswegl~inge. c) Ffir die t u r b u l e n t e C o u e t t e - S t r S m u n g gilt i6 = konst. D a r a u s resultiert~ dass a u c h it" d~t/dz-p, u ' . w' = konst, ist. A u g e r h a l b der viskosen Unt e r s c h i c h t k a n n die R e i b u n g s s c h u b s p a n n u n g ~ - #. d~/dz g e g e n i i b e r d e r t u r b u l e n t e n s c h e i n b a r e n S c h u b s p a n n u n g Tt vernachffissigt w e r d e n . M a n b e r e c h n e das G e s c h w i n d i g k e i t s p r o f i l ~(z') bezfiglich d e r o b e r e n W a n d ( z ' = z + h). LSsung: g e g e b e n : h, k,

p, l(z)

gesucht: a) K, b)Tt(z), 7~(zl) a) Aus Gleichung (1) folgt fiir den Gradienten der Mischungsweglgnge: dl =-2.K.z dz Setzt man in diese Gleichung die Bedingung (2) ein ergibt sich: +k-

4-2. K. h

Hieraus erhglt man die Konstante K zu K -

k 2.h

(3)

b) Fiir die scheinbare Schubspannung Tt gilt nach dem Prandtlschen Mischungswegansatz:

"rt---P'U"w'-p'12"

( d2u~)z z

Mit den Gleichungen (1) und (3) folgt hieraus:

7t(z)- P'k2"h24 " (1--~z2) 2. (d~t)_~z c) Mit der Annahme Tt = --p" u ' - w ' -- konst, ergibt sich aus Gleichung (4) k-h

9 (1-~).

(~}-

konst. - u*

Hieraus folgt die Differentialgleichung fiir die Geschwindigkeitsverteilung: d~ h 9u* =2" dz k. (h 2 - z 2)

(4)

2.4

91

Berechnung von technischen Str5mungen

Die Integration dieser Gleichung mit Izl < h fiihrt zu dem Ergebnis:

~*

h+Z)+c

(5)

5(z) -- --~-. l n ( h _ z

Die Integrationskonstante C l~st sich mit der Symmetriebedingung 5(z = 0) = 0 bestimmen:

~(z = 0 ) = c = 0 Damit ergibt sich aus Gleichung (5) nach der Division durch die Konstante u*: ~(z) _ _1 . l n ( h + z ) u*

--

k

k1 . ln(11 + ~)

h-z

(6)

Z

h

Aus z' = z + h folgt z / h = z ' / h - 1. In Gleichung (6) eingesetzt erh~lt man das Geschwindigkeitsprofil beziiglich der oberen Wand zu: ft(z')

u*

2.4.2

Z !

1

= ~.ln(

2

z') h

Impulssatz

Die in diesem Abschnitt vorgerechneten Aufgaben beziehen sich auf die Herleitung und Anwendung des Impulssatzes der StrSmungsmechanik, wie er im Lehrbuch von H. Oertel jr., M. BShle 2004 beschrieben ist. Die Vorgehensweise zur Anwendung dieses wichtigen Satzes zur Berechnung von Kr~ften technischer Str5mungen soll nachfolgend kurz aufgelistet werden: 1. Festlegung eines Koordinatensystems, 2. Wahl eines geeigneten raumfesten Kontrollraumes, 3. Eintragung aller Impulskr~fte FI auf die Berandung des Kontrollvolumens (Kapitel 2.4.2 H. Oertel jr., M. BShle 2004), 4. Eintragung aller ~utgeren Kr~ifte FA, die auf das Fluid und die Berandung des Kontrollraumes wirken. Bekannte Kr~ifte werden gem~fg ihres Vorzeichens in die entsprechende Richtung eingezeichnet, zu berechnende Kr~fte werden in positive Achsenrichtung eingetragen. Ihre endgiiltige Richtung wird durch die Rechnung bestimmt. 5. Eintragung aller Impulskr~ifte FI, die auf den Kontrollraumes wirken. Die Impulskr~fte sind immer auf den Kontrollraum gerichtet. Mit dieser Vorgabe oder aus der Definitionsgleichung FI

lp-v. . /

A

(v. n)

" d d

92

2 Grundlagen der Str6mungsmechanik ergibt sich ihr Vorzeichen. 6. Aufstellung der entsprechenden Impulsgleichung g e m ~ :

FI+EFA-O 7. Berechnung der unbekannten GrSt~en. Aufgabe 2.4.7

Prallstrahl

A b b . 2.4.7a Umgelenkter Wasserstrahl

Ein e b e n e r W a s s e r s t r a h l der D i c h te p - 1000 kg/m 3 tritt m i t der Ges c h w i n d i g k e i t c = 20 m/s aus einer r e c h t e c k i g e n D i i s e der H S h e h2 , 5 . 10 -2 m u n d der B r e i t e b - 2.10 -2 m aus u n d w i r d d u r c h ein U m l e n k b l e c h u m a = 135 ~ u m g e l e n k t (siehe A b b . 2 . 4 . T a ) . W i e g r o g ist die K r a f t F, m i t w e l c h e r der W a s s e r s t r a h l a u f das U m l e n k b l e c h wir kt ?

Hinweis: Es soil die r e i b u n g s f r e i e A u g e n s t r S m u n g ( K a p i t e l 2.1, H. Oertel jr., M. BShle 2004)

angenommen

werden

LSsung: g e g e b e n : p, c, h, b, a gesucht:

F

Die Aufgabe soll g e m ~ der oben angegebenen Vorgehensweise gelSst werden. Das Koordinatensystem ist bereits festgelegt. Als zweiter Schritt folgt nun die Wahl des Kontrollraumes. Er ist in Abbildung 2.4.7b eingezeichnet. In Abbildung 2.4.7b sind auch die Impulskrfis FI und die Kr~fte, die auf das Fluid wirken, eingetragen (Schritt 3, 4 und 5). Dazu sollen noch folgende Anmerkungen gemacht werden: 1. Die Impulskr~fte zeigen immer auf das Innere des Kontrollraumes. 2. In der Aufgabe ist die Kraft F gesucht, die von dem Fluid auf das Umlenkblech wirkt. In der Abbildung 2.4.7b ist die Kraft F eingezeichnet, die von dem Blech auf das Fluid wirkt. Es gilt der Zusammenhang: F - -/~. _

In Schritt 6 wird die entsprechende Impulsgleichung aufgestellt. Zuerst miissen die Impulskr~fte formuliert werden. Die Impulskraft FI1 lautet: FI1 -- p" c2 " h - b

.

(1)

93

2.4 Berechnung von technischen Str5mungen

A b b . 2.4.7b Kontrollraum Zur Formulierung der Impulskr~fte FI2 und FI3 muss zun~chst die Geschwindigkeit ermittelt werden, mit der die Str6mung das Kontrollvolumen verl~sst. Sie wird mit der Bernoulli-Gleichung f/ir inkompressible StrSmungen ermittelt. Wendet man sie entlang eines Stromfadens v o n d e r Eintrittsstelle zur Austrittsstelle des Wasserstrahls an, so erh~lt man folgende Gleichung: p0 + ~P . c 2 - p o + ~P . C3 ~

~- c

(~ ist die Geschwindigkeit der geteilten Wasserstrahlen an den Austrittsstellen des Kontrollraumes). Gemfis der Kontinuit~itsgleichung besitzen die Wasserstrahlen an den Austrittsstellen die H5he hi2. Die Impulskr~fte FIe und FI3 lauten daher: 2 h

f I 2 -- fI3 -- p" C 9 -~" b

(2)

Mit den bekannten und formulierten Impulskr/iften kann nun die entsprechende Bestimmungsgleichung aufgestellt werden. Sie wird nur fiir die x - R i c h t u n g formuliert: (3)

FI1 -t- FI2" cos(45 ~ -}- f I 3 " cos(45 ~ -]- P -- 0

Gleichungen (1) und (2) in Gleichung (3) eingesetzt, ergibt:

v~

p.c .h.b+--~-.p. / ~ - - - ( l"~+ - - =2 - ) . pJ .

~ . h . b + - - v~ ~.p. c2 . h . b

~

.h.b+F-O F=341N

.

94

2 Grundlagen der StrSmungsmechanik

A u f g a b e 2.4.8

Krfimmer

Ein 90~ (siehe A b b . 2.4.8a) m i t e i n e m l i c h t e n Q u e r s c h n i t t A1 - 0,1 m 2 ist a u f d e r e i n e n Seite als Dfise a u s g e b i l d e t ~ d u r c h die ein W a s s e r s t r a h l (Dicht e d e s W a s s e r s : p - 1000 kg/m 3) ins Freie austritt (Druck der Atmosph~ire p0). D e r D f i s e n q u e r s c h n i t t ist A2 - 0 , 0 5 m2. W i e g r o g ist bei e i n e r S t r a h l g e s c h w i n d i g k e i t c2 = 8 m / s die x- u n d y - K o m p o n e n t e der auf den Kriimmer wirkenden K r a f t ? D i e S c h w e r k r a f t w i r d vernachl~issigt. ( A n n a h m e : r e i b u n g s freie S t r S m u n g ) .

P0 r

A2

..]ALP1

..-

illlli

[c~ I A b b . 2.4.8a Kriimmer

LSsung: g e g e b e n : c2 = 8 re~s, A1 - O , 1 m 2, A2 - O , 05 m 2, p -

1000 kg/rn 3

g e s u c h t : Fx, Fy

PO

t FDy

A b b . 2.4.8b Kontrollraum

C

Das Koordinatensystem ist bereits festgelegt (siehe Abb. 2.4.8a). Der Kontrollraum ist in Abbildung 2.4.8b dargestellt. In dieser Abbildung sind weiterhin die Impulskr~ifte FI1 und FI2 eingetragen, die bestimmt werden sollen. Auf die Querschnittsfl~iche A2 wirkt die Impulskraft FI2 = p. c~ 9A2. Zur Bestimmung der Impulskraft /711 muss zuerst die Geschwindigkeit wl ermittelt werden. Mit der Kontinuit~tsgleichung erhiilt man fiir Wl" cl 9A1 - c2-A2 A2 Cl -- C2 "

(1)

95

2.4 Berechnung von technischen StrSmungen

Die Impulskraft FI1 lautet dann:

Fil-p.c~

All

.A1

Die resultierende Druckkraft FDx auf die Berandung des Kontrollraumes ist Null. In vertikaler Richtung wirkt auf die Berandung die Druckkraft FDy -- (Pl --Po)" A1, fiir deren Bestimmung noch der Druck pl ermittelt werden muss. Er kann mit der Anwendung der Bernoulli-Gleichung entlang eines Stromfadens yon der Querschnittsfl/iche A1 zur Austrittsquerschnittfl~che A2 wie folgt ermittelt werden: Pl -~- ~p " C12 -- P0 -~- ~p " C2

9

(2)

Cl g e m ~ Gleichung (1) in Gleichung (2) eingesetzt, ergibt:

P.c~. Pl-+-~

A2 2 A1

=po+~

,

p ~ - po + ~ .

~11

(a)

Die resultierende Druckkraft in FDy in y-Richtung betr~gt also: FDy -- -~ "

~1

. A1

.

Die unbekannten Kraftkomponenten/~x und Fy der Kraft F (/~ wirkt auf das Fluid) kSnnen nun mit dem nachfolgenden Impulssatz ermittelt werden: --FI2 -~- Fx -- 0 FIX + FDy + F y -

(4)

,

(5)

0

Die entsprechenden GrSt~en in Gleichung (4) und (5) eingesetzt, ergibt sich: - p . c~. A2 + / ~ - 0

,

- / ~ - F~ - - p . c~-A2 - -3200 g und

2 (A22

p'C2"

~11

P.c~.

[1 - (A22]

P c~.

1+

.AI+~

--~--fy--~.

~11

~1

.A1-+-~-'y--O

.A 1 - 4 0 0 0 N

96

2 Grundlagen der StrSmungsmechanik

A u f g a b e 2.4.9

Dfise

E i n m i t Fliissigkeit d e r Dicht e p = 1000 k g / m 3 gefiilltes R o h r d e r Q u e r s c h n i t t s f l ~ i c h e A1 = 0, 1 m 2 m i i n d e t in e i n e D i i s e d e r Q u e r sehnittsfl~iehe A2 - 0,01 m 2. E s w i r d d a d u r c h g e l e e r t , d a s s e i n Kolben mit der konstanten Geschwind i g k e i t Cl = 4 m / s d u r c h d a s R o h r geschoben wird (siehe Abb. 2.4.9a). R e i b u n g s e i n f l i i s s e s i n d zu vernachl~issigen. a) W i e g r o g ist die G e s c h w i n d i g keit c2 ?

A b b . 2 . 4 . 9 a Dfise

b) M i t w e l c h e r K r a f t F m u s s m a n d e n K o l b e n v e r s c h i e b e n ? c) W e l c h e Kr~ifte FA u n d FB t r e t e n a n d e n b e i d e n s y m m e t r i s c h e n L a g e r n auf~ m i t d e n e n d a s R o h r f e s t g e h a l t e n w i r d ? LSsung: g e g e b e n : A1 = 0, 1 m 2, A2 = 0,01 m 2, Cl = 4 re~s, p : 1000 k g / m 3 g e s u c h t : a) c2, b) F, c) FA, FB a) Mit der Kontinuit~tsgleichung erh~ilt man fiir die Geschwindigkeit c2 den Wert:

Cl" A1 - c2" A2

==V

c2

A1 --

C1

" ~ 2 "2

--

40 m / s

.

(1)

b) Die Kraft F, die auf den Kolben ausgeiibt werden muss, ergibt sich aus der Druckdifferenz pl - p 0 , die zwischen den beiden Kolbenfl~chen anliegt, also: F = (pl - po)" A1

(2)

Die Druckdifferenz wird mit der Bernoulli-Gleichung fiir inkompressible StrSmungen ermittelt. Sie wird entlang eines Stromfadens v o n d e r Stelle 1 bis zur Austrittsquerschnittfl~che A2 angewendet und lautet: pi+~ P

- po +

(3)

97

2.4 Berechnung yon technischen StrSmungen

c2 g e m ~ Gleichung (1) in Gleichung (3) eingesetzt, ergibt: pl+~

~

P l - - P o - - ~"

~

(4)

-- 1

Gleichung (4) in Gleichung (2) eingesetzt, ergibt das gesuchte Ergebnis zu:

11 79200N c) Zun~chst wird mit dem Impulssatz die Kraft /~x in x-Richtung ermittelt, die von dem Rohr auf die Fliissigkeit ausgeiibt wird. Das Koordinatensystem ist in Abbildung 2.4.9a eingezeichnet. In Abbildung 2.4.9b ist die Kontrollfl~he zur Anwendung des Impulssatzes gezeigt und es sind die Impuls- und Druckkr~fte eingezeichnet. Die Impulskr~ifte FI1 und FI2 lassen sich sofort angeben: Abb. 2.4.9b Kontrollraum

F I l - p " c21" A 1

,

(5)

FI2 = p " c~ " A 2

9

(6)

Ersetzt man in Gleichung (6) c2 gemfis der Gleichung (1), erh~lt man fiir die Impulskraft Fie: A1) FI2-p.c21 9 ~

.d2

(7)

Die resultierende Druckkraft FD~ in x-Richtung berechnet sich zu:

FDx = (Pl - - P 0 ) " A1

(8)

Die Impulsgleichung lautet mit den formulierten GrSgen: FI1 - fi~ + FDx + ~ = 0

(9)

98

2 Grundlagen der Str5mungsmechanik

Gleichungen (5), (7) und (8) ffir die entsprechenden Gr5i~en eingesetzt, ergibt:

N

.A

+(pl-po).AI+L-0

p" C21 " n l . (1 - ~--~2 A1 ) + (pl - p o ) " n l - - ~

, .

(10)

Wird die Druckdifferenz pl - p o gem/ig Gleichung (4) in Gleichung (10) eingesetzt, erhg]t man: -/?x-Fx-~

P . c 2 1 . A 1 . [ 1 - 2 .A1 ~+

(A1)21 ~ -64,8kN

.

(11)

F~ ist die Kraft, die von dem Fluid auf das Rohr wirkt und diese Kraft wirkt auf die beiden Lager. Die KrMte FA und FB, die auf die Lager wirken, betragen: FA ----FB -- F~/2 = 32, 4 kg. A u f g a b e 2.4.10

EinlaufstrSmung

Abb. 2.4.10a RohreinlaufstrSmung

Es ist mit Hilfe des I m p u l s s a t z e s der D r u c k v e r l u s t (pl - p2) im R o h r einlauf eines K r e i s r o h r e s v o m Radius R zu e r m i t t e l n . I m Einlaufq u e r s c h n i t t 1 ist die Geschwindigkeit k o n s t a n t fiber den R o h r q u e r schnitt. I m Q u e r s c h n i t t 2 herrscht die Geschwindigkeit der vollausgebildeten laminaren Rohrstr6mung, die nach d e m p a r a b o l i s c h e n Gesetz u2(r) -- U2max" [1 -- (T'/R) 2] verliiuft.

Die W a n d r e i b u n g wird bei der R e c h n u n g vernachl~issigt. W i e grog ist der Verlustkoeffizient der E i n l a u f s t r S m u n g (E = (Pl--P2)/((P/2)'~2)? (~ ist die fiber d e n Q u e r s c h n i t t g e m i t t e l t e Geschwindigkeit). LSsung: gegeben:

p, R, Ul

gesucht:

~E : 2. (Pl -- P2)/(P" ~2)

99

2.4 Berechnung von technischen StrSmungen

Der Verlustkoeffizient wird mit dem Impulssatz ermittelt. Die Wahl des Kontrollraumes und die Impuls- und Druckkr~fte sind in Abbildung 2.4.10b eingetragen. Die Impulskraft FI] kann sofort angegeben werden: FI1 - ,o. u21.7r 9R 2

(1)

A b b . 2.4.10b Kontrollvolumen Die Impulskraft FIe muss mittels einer Integration bestimmt werden, da die StrSmungsgeschwindigkeit fiber den Radius des Rohres an der Stelle 2 nicht konstant ist. Sie ermittelt sich mit der folgenden Integration: R

R

Fi - f

f

o

o

R

--2-Tv.p.

U2max

1--

~

.r.dr

R .- - 2

.

71" .p

U22max . .

/

.

[1

.

(R)21

2

r

. d r

--

2

_1 . Tr . p . -~

max " R 2

(2)

o

Mit der Anwendung des Impulssatzes ergibt sich die folgende Gleichung: (3)

FI1 -- FI2 -qt- (pl - p2) 9 71- R 2 -- 0

F~I und FI2 g e m ~ den Gleichungen (1) und (2) in Gleichung (3) eingesetzt, ergibt: p. u~. ~- R 2 -- ~1. T r ./9. u~ max" R 2 + (Pl -- P 2 ) " 71"" R 2 -- 0 1 2 2 P l -- P2 -- ~ 9 p ' u 2 max -- /9 " ?-tl

(4)

In Gleichung (4) entspricht Ul der fiber den Querschnitt gemittelten Geschwindigkeit ~. Die gemittelte Geschwindigkeit ist g e m ~ ihrer Definition in jedem Querschnitt der Rohrstr5mung gleich. Weiterhin gilt ffir die laminare RohrstrSmung, dass U2ma• = 2. ~ ist. Berficksichtigt man diese Zusammenh~inge in Gleichung (4), so erh~lt man: p l -

p2

--

1 -~ " p "

-2 4 " u

-

p

-2_ . u

1 -2 -~ . p . u

.

100

2 Grundlagen der StrSmungsmechanik

Fiir den Verlustkoeffizienten ~E ergibt sich mit der obigen Gleichung der Wert: ~E --

A u f g a b e 2.4.11

Pl

-- P2

~ .~2

__ 2

3

Plattengrenzschicht Mit Hilfe des I m p u l s s a t z e s ist d e r W i d e r s t a n d e i n e r einseitig benetzten~ l~ings a n g e s t r S m t e n ebeh e n P l a t t e in Abh~ingigkeit d e r G r e n z s c h i c h t d i c k e J zu b e r e c h hen. Fiir die G e s c h w i n d i g k e i t s v e r t e i l u n g u ( z ) v o n d e r W a n d bis z u m R a n d d e r G r e n z s c h i c h t gilt: u ( z ) = U ~ . ( z / J ) 1/7 fiir 0 < z < 6, u - U~ ffir z > ~.

A b b . 2.4.11a Plattengrenzschichtstr5mung Hinweis: Bei d e r A n w e n d u n g des I m p u l s s a t z e s a u f die Kontrollfl~iche K ist zu b e a c h t e n , dass d u r c h die o b e r e B e g r e n z u n g eine gewisse Menge ausstrSmt. LSsung: g e g e b e n : U ~ , u(z) - U ~ . (z/~) 1/7 gesucht: Fw

I J

Zur LSsung der Aufgabe sind in Abbildung 2.4.11a bereits ein Koordinatensystem und eine Kontrollfl~iche eingezeichnet. In Abbildung 2.4.11b sind die auf die Berandung des Kontrollraumes wirkenden Kr~fte eingezeichnet.

53

9

x

A b b . 2.4.11b Kontrollvolumen Auf die linke und rechte Seite wirken die ImpulskrMte FI1 und FI2. Da sich der

101

2.4 Berechnung von technischen StrSmungen

statische Druck sowohl in vertikaler als auch in horizontaler Richtung in einer Plattengrenzschicht nicht gndert, wirkt auf den Kontrollraum keine resultierende Druckkraft. Deshalb sind in Abbildung 2.4.11b die Druckkr/ifte nicht eingezeichnet. Auf die obere Berandung wirkt die Impulskraft FI3, da dort ein Massenstrom rh3 austritt. Er ergibt sich aus der Differenz des fiber die linke Berandung eintretenden und fiber die rechte Berandung austretenden Massenstroms (rh3 = rhl -rh2): 6

6

Ill 0

0

0

Die Kraft Fw ist die Kraft, die yon der Platte auf das Fluid wirkt. Sie wird in dieser

Aufgabe vom Betrag und vom Vorzeichen her als unbekannt betrachtet und soll mittels der nachfolgenden Rechnung ermittelt werden. Die Widerstandskraft Fw, die auf die Platte wirkt, ergibt sich dann mit Fw - - F w . Die Impulskraft FI1 kann unmittelbar angegeben werden: f I 1 -- p " U L " b . ~[

(2)

Die Impulskr/ifte FI2 und FI3 miissen mittels einer Integration bestimmt werden. Ffir FI2 ergibt sich die folgende Rechnung: 6

FI~ -

p. ~ ( z ) . 5. dz 0

R. U L

.b.dz

-g

0 1

= p ' U L .b.~.

9d ~z) - - ~7. p . U ~2 6.b

-~

(3)

0

LTber die obere Berandung (Fl~iche A3) des Kontrollraumes tritt der bereits erwfihnte Massenstrom rh3 aus. Die Vertikalkomponente der StrSmungsgeschwindigkeit ist dort wa(x), die Horizontalkomponente U~. Ffir den Widerstand wird nur die Horizontalkomponente der Impulskraft FIa,= benStigt. Sie berechnet sich mit Gleichung (1):

Fi3,x-- f

p.uoo.(

A3

9

W(X)

0

).dA-Uc~

1

p.w(x).dA--Uoo.m3

Aa

:U~'/p'(U~-u(z)).b.dz-p.U~

b. f (1 - u -(~z))

0

. dz

0 1

=p'UL.b.6.

(10

~

).d

?

- ~.p.Vs

.

(4)

102

2 Grundlagen der StrSmungsmechanik

Mit den berechneten ImpulskrMten kann nun die entsprechende Gleichung aufgestellt werden: F ~ - F~: - F,3,~ + F w = 0

(5)

In Gleichung (5) die Impulskr~fte g e m ~ der Gleichungen (2) bis (4) eingesetzt und nach - F w umgeformt, ergibt: 7

2

-/~w--Fw-~-~'p-U~'b-~

A u f g a b e 2.4.12

.

(6)

Strahlumlenkung

Ein Gebl~ise e r z e u g t einen L u f t s t r a h l mit d e m M a s s e n s t r o m rh u n d d e r G e s c h w i n d i g k e i t cl. D e r Luftstrahl~ an d e m eine K u g e l mit d e m G e w i c h t G "aufgeh~ingt" ist (siehe A b b . 2.4.12a), w i r d yon d e m S t r i i m u n g s w i n k e l s l a u f d e n S t r S m u n g s w i n k e l s2 u m g e l e n k t . In dieser A u f g a b e soll die Beziehung a~ = f ( G , m , ~ l , ~ l )

(1)

h e r g e l e i t e t w e r d e n u n d a n s c h l i e g e n d die U m l e n k u n g A s b e r e c h n e t werden. Es sind folgende Z a h l e n w e r t e g e g e b e n : G : 40 N, rh : 5 k g / s , Cl = 15 re~s, s l = 45 ~ LSsung: g e g e b e n : G, rh, Cl, Sl gesucht: s2 - f(G, ~h, cl, Sl), A s

A b b . 2.4.12a An einem Luftstrahl h~ngende Kugel

2.4 Berechnung von technischen StrSmungen

103

A b b . 2 . 4 . 1 2 b Kontrollraum Ein Koordinatensystem ist bereits in der Aufgabenstellung festgelegt worden. Zur L5sung der Aufgabe wird der Impulssatz auf den in Abb. 2.4.12b dargestellten Kontrollraum angewendet. Auf die Berandung des Kontrollraumes wirken nur die beiden Impulskr~fte FI1, FI2 und die Gewichtskraft G. Die Impulskriifte lassen sich sofort, wie folgt formulieren: FI1 = Cl -rn

,

FI2 = c2 9~h

.

(2)

Mit den formulierten Impulskr/iften FI1 und FI2 kSnnen die entsprechenden Gleichungen in x- und z-Richtung aufgestellt werden. Sie lauten: F~I. COS(OL1) - - F~2- cos(a2) = 0

,

(3)

FI1. sin(a~) - F~2. sin(a2) - G = 0

(4)

In die Gleichungen (3) und (4) die Impulskr~ifte FI1 und Fie gem~g der Gleichung (2) eingesetzt, ergibt die folgenden Gleichungen:

cos(~l) C 1 " T ~ " COS(OL1) - - C 2 " ?~t" COS(OL2) - - 0

C1"

~

C2 - - C 1 " COS(OL2)

~ " sin(or1) -- c 2 - r h , sin(c~2) - G = 0

'

(5)

(6)

c2 gem/ig Gleichung (5) in Gleichung (6) eingesetzt und Gleichung (6) anschliegend nach a2 umgeformt, ergibt das gesuchte Ergebnis zu: a2 = arctan

-~

tan(a1) - c1. rh. cos(al)

Als Zahlenwert erh~ilt man fiir a2 den Wert a2 = 13, 8 ~ Die Umlenkung A a betr~igt A o / = OL1 - - OL2 = 31, 2 ~

also:

104

2 Grundlagen der StrSmungsmechanik

A u f g a b e 2.4.13

Nadelventil

/

A 1,2

___

2

"~

3

i

.

.

I~

.

. L

4 ~l

/Pa An

Abb. 2.4.13a StrSmung durch ein Nadelventil Ein inkompressibles Fluid der Dichte p s t r S m t aus e i n e m g r o g e n Beh~ilter ( k o n s t a n t e r I n n e n d r u c k pi) d u r c h eine L e i t u n g (L~inge L, Q u e r s c h n i t t s fliiche A1,2) u n d t r i t t fiber ein N a d e l v e n t i l bei 4 als S t r a h l mit d e m Querschnitt A4 in die V m g e b u n g ( D r u c k pa) aus (siehe Abb. 2.4.13a). W e g e n der sehr h o h e n R e y n o l d s - Z a h l der S t r S m u n g sind die G r e n z s c h i c h t d i c k e n vernachl~issigbar klein, so dass eine eindimensionale reibungsfreie StrSm u n g z u g r u n d e gelegt w e r d e n kann. D e r Einfluss der Schwerkraft kann unberficksichtigt bleiben. a) Wie grog muss der Beh~ilterdruck Pi sein, d a m i t bei vollst~indig ge5ffnetem Ventil ein v o r g e g e b e n e r V o l u m e n s t r o m V d u r c h die L e i t u n g s t r S m t . W i e grog ist hierbei die Geschwindigkeit c20 im Q u e r s c h n i t t 2? b) W e n n das Nadelventil geschlossen wird, stellt sich im Z e i t r a u m 0 < t < At der folgende zeitliche Verlauf ffir die Geschwindigkeit c2 im q u e r s c h n i t t 2 ein: c2(t) - c2o . [1 + cos(Tr, t / A t ) ] / 2 . Es soil der zeitabh~ingigen D r u e k p2(t) im Q u e r s c h n i t t 2 ffir den Z e i t r a u m 0 < t < At b e s t i m m t w e r d e n . D e r Beh~ilterdruek ist hierbei als b e k a n n t anzusehen. m

A3 \ fiN

l_ \ ~ ~ ~ - - ~ / A 4

AN~ p ~ Abb. 2.4.13b Vollst~ndig geSffnetes Nadelventil

~w

2.4 Berechnung von technischen Str5mungen

105

I m F o l g e n d e n wird w i e d e r die D u r c h s t r S m u n g des vollst~indig geSffnet e n N a d e l v e n t i l s b e t r a c h t e t (siehe A b b . 2.4.13b). H i e r b e i ist eine station~ire S t r S m u n g mit d e m V o l u m e n s t r o m V v o r a u s g e s e t z t . A3 ist d e r d u r c h s t r S m t e K r e i s r i n g q u e r s c h n i t t bei 3, AN ist der Q u e r s c h n i t t des Nadelschaftes. Die m e c h a n i s c h e K r a f t FN, die yon auften a u f d e n Schaft d e r V e n t i l n a d e l w i r k t , ist nach GrSge und R i c h t u n g b e k a n n t (vgl. A b b . 2.4.13b) c) M a n b e s t i m m e die GrSge d e r H a l t e k r a f t FH, welche die F l a n s c h v e r b i n d u n g bei 3 a u f die Diise a u s i i b e n muss, d a m i t diese im Gleichgewicht ist. LSsung:

gegeben: p, L, A1,2, A3, A4, AN, p~, V, At, FN gesucht: Pi, C20, b) p 2 ( t ) , c) FH a) Es wird ein Stromfaden vom Beh~lterinneren bis zum Diisenaustritt an der Stelle 4 betrachtet. Unter Vernachl~sigung der Schwerkraft lautet die Bernoulli-Gleichung l~ngs des Stromfadens: 1

2

1

2

pi -~- -~ " p" ci - pa -~- -~ . p . c 4

(1)

Da es sich um einen grot~en Beh~ilter handelt, gilt ci ~ 0. Aus der Kontinuit~itsgleichung folgt: ?

--

C4"

A4

~

C4 - -

A4

(2)

Somit ergibt sich fiir den Innendruck pi:

(3) Die Geschwindigkeit c20 im Querschnitt A1,2 wird ebenfalls mittels der Kontinuit~tsgleichung bestimmt:

9

c 2 o-- AI,e

(4)

b) Zur Bestimmung des zeitabh~izlgigen Druckes p 2 ( t ) wird ein Stromfaden vom Beh~lterinneren bis zur Stelle 2 gelegt. Da es sich hier um einen instation~en Vorgang handelt, ist die instationiixe Bernoulli-Gleichung zu benutzen: 82

1 . p . c~(t) + p . f pi - p 2 ( t ) + -~ 8i

-Oc ~ . ds

(5)

106

2 G r u n d l a g e n der S t r g m u n g s m e c h a n i k

Das Integral kann nach dem Satz der Additivitgt des Integrals aufgespalten werden in die Summe zweier Integrale, so dass folgt: s2

Sl

s2

.l'~ IOc f~ --~ . ds -

si

--~ . d s +

8i

-~

. ds

(6)

.

Sl

Die Geschwindigkeit und die Geschwindigkeitsiinderung 1/ings des Stromfadens von si bis Sl sind sehr klein, so dass dieses Integral vernachlfissigt werden kann. Zwischen der Stelle 1 und der Stelle 2 fiaadert sich der Querschnitt der Leitung nicht, so dass 15~ngs des Stromfadens gilt: c ~ c(s). Daher kann die zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit vor das Integral gezogen werden und man erh/ilt der Reihe nach: 82

S2

S2

~ . i ds f --~. ~ d s - -~~ . I ds - -d" Sl

Sl

Sl s2

dt " f d s = ~ d c 2

dc2

. (82 -

81) --- d c 2

--~-.L

.

(7)

Die Geschwindigkeit c2(t) ist in der Aufgabenstellung vorgegeben, so dass dc2/dt einfach bestimmt werden kann:

d..

dt - - c 2 ~

.

2. A t ' s i n

(.,) -~-

.

(8)

Unter Berficksichtigung von Gleichung (8) und Gleichung (7) lautet Gleichung (5): Pi =

p2(t)

1

q- ~ ' p ' - - ~

. , o [9

-p.L.c2o.2.At.sin

1 +

cos

--~

-~-

.

(9)

Der gesuchte Druckverlauf p2(t) folgt aus Gleichung (9) unter Beachtung von Gleichung (4). Man erh/ilt: p2(/;) - - Pi -- ~ "

9

+ p . L . A1,2" 2 - A t ' s i n

-~

(10)

c) Zur Anwendung des Impulssatzes wird der in Abbildung 2.4.13c eingezeichnete g~ugere Kontrollranm angewendet. Aufgrund der Symmetrie der Anordnung heben sich die Druckkr~fte in y- und z-Richtung gegenseitig auf. Der Impulssatz muss daher

2.4 Berechnung von technischen Str5mungen

107

nur fiir die x-Richtung angeschrieben werden. Es wirken ImpulskrMte, Druckkr~fte, die mechanische Kraft FN und die gesuchte Haltekraft FH, so dass folgt: FI3

Ffir

-~- F D 3

--

FI4

-

FD4

--

FN

-Jr- F H

-~-- 0

(11)

.

die beiden Impulskr~fte gilt: ]FI3]- p" c32" A3

[Fi4[- p. c~. A4

(12)

Die Druckkraft FD4 wirkt auf den gesamten Kontrollraumquerschnitt an der Stelle 4, der sich aus der Summe aus durchstrSmtem Querschnitt A3 und dem Querschnitt des Nadelschaftes AN zusammensetzt. An der Stelle 3 wirkt die Druckkraft ausschlieglich auf den durchstrSmten Ringkreisquerschnitt A3, da die auf AN wirkende Kraft durch die Variable FN bereits beriicksichtigt wurde. Es gilt: IFD3I=p3"A3

,

(13)

[FD4I=P~'(A3+AN)

Aus Gleichung (11) folgt mit den Gleichungen (12) und (13): (14)

FH -- FN -- p. c~- A3 - p 3 - A 3 + p. c]. A4 + p a . (A3 + AN)

Gleichung (14) enth/ilt mit c3, c4 und p3 noch drei unbekannte Gr5gen, die auf gegebene Gr5gen zuriickzufiihren sind. p3 bestimmt man mit der Bernoulli-Gleichung, die lfiaags eines Stromfadens yon der Stelle 3 zur Stelle 4 angewandt wird: 1

2

1

2

P 3 + -~ " p " c3 = P ~ + -~ " p " ca

1

~

(c~ - c~)

P 3 - - P a + -~ " P "

(15)

9

Die Geschwindigkeiten c3 und c4 berechnen sich mittels der Kontinuit~tsgleichung aus dem gegebenen Volumenstrom: 9 c3 = ~43

? c4 -- A4

'

(16)

Mit den Gleichungen (16) und (15) folgt aus Gleichung (14): 1 F H - - F N -- ~ . p .

-~4 . A3 .

+p~. AN

-~3 - 1

(17)

F. m

...

.....

~

-

!A

"

~

'----

.

.

.

.

.

.~

Abb. 2.4.13c Kontrollraum und KrKfteskizze

~

.....

I

l

N

m

FD3:

n

m

I

I

I

I

I

L

.

.

.

.

.

I

-

FD4 =

108

A u f g a b e 2.4.14

2 Grundlagen der StrSmungsmechanik

Schubumkehr

Ffir U n t e r s u c h u n g e n d e s W i r k p r i n z i p s e i n e r T r i e b w e r k s c h u b u m k e h r z u m A b b r e m s e n y o n F l u g z e u g e n w i r d d e r in A b b i l d u n g 2 . 4 . 1 4 a s k i z z i e r t e Versuchsstand aufgebaut. Ein Flfissigkeitsstrahl der k o n s t a n t e n Dichte p tritt m i t d e r k o n s t a n t e n G e s c h w i n d i g k e i t cl a u s e i n e r r e c h t e c k i g e n Dfise d e r H 6 h e hi u n d d e r B r e i t e b s e n k r e c h t z u r Z e i c h e n e b e n e in die freie U m g e b u n g d e s D r u c k s p~ aus. M i t t e l s e i n e r in z - R i c h t u n g v e r s c h i e b b a r ang e o r d n e t e n U m l e n k s c h a u f e l w i r d e i n Teil d e s S t r a h l e s 1 u m g e l e n k t u n d verl~isst die U m l e n k s c h a u f e l m i t v e r ~ i n d e r t e r R i c h t u n g ( W i n k e l c~) u n d g e ~ i n d e r t e m R e c h t e c k q u e r s c h n i t t ( H 6 h e h2, B r e i t e b). D a s G e s c h w i n d i g k e i t s p r o f i l a n d i e s e r Stelle 2 ist d u t c h e i n e l i n e a r e F u n k t i o n m i t d e n W e t t e n c2 - 0 a n d e r S c h a u f e l w a n d s - 0 u n d C2,max a n d e r S t r a h l o b e r f l ~ i c h e s - h2 m o d e l l i e r t . D e r T e i l s t r a h l 3 h a t die v a r i a b l e H f h e z m i t 0 < z < hi u n d die B r e i t e b s e n k r e c h t z u r Z e i c h e n e b e n e . D i e G e s c h w i n d i g k e i t c3 ist k o n s t a n t fiber d e m Q u e r s c h n i t t a n d e r S t e l l e 3. D i e S t r 6 m u n g ist s t a t i o n~ir u n d d e r E i n f l u s s d e r E r d s c h w e r e ist v e r n a c h l ~ i s s i g b a r . a) B e s t i m m e n Sie die T e i l s t r a h l g e s c h w i n d i g k e i t c3 a n d e r Stelle 3. b) E r m i t t e l n Sie die G l e i c h u n g d e r G e s c h w i n d i g k e i t s v e r t e i l u n g c2(s) a n d e r Stelle 2 als F u n k t i o n y o n s in Abh~ingigkeit d e s n o c h u n b e k a n n t e n P a r a m e t e r s h2 sowie d e s v o r g e g e b e n e n P a r a m e t e r s C2,m~xC) B e s t i m m e n Sie die H 6 h e

h2(z) d e s

S t r a h l q u e r s c h n i t t e s a n d e r Stelle 2.

d) D i e U m l e n k s c h a u f e l w i r d n u n in e i n e r g e g e b e n e n P o s i t i o n z = h3 a r r e t i e r t . D a m i t s i n d a u c h h2 u n d C2,m~x f e s t g e l e g t . B e s t i m m e n Sie in Abh~ing i g k e i t g e g e b e n e r G r 6 g e n die H o r i z o n t a l - u n d V e r t i k a l k o m p o n e n t e d e r

A b b . 2 . 4 . 1 4 a Schubumkehr beim Triebwerk

109

2.4 B e r e c h n u n g von technischen S t r S m u n g e n

H a l t e k r a f t FH n a c h GrSfte und R i c h t u n g , die an der Schaufel angreifen muss, d a m i t sich diese im Gleichgewicht befindet. LSsung: g e g e b e n : p, Cl, hi, b, a, C2,max fiir Teilaufgabe d) zus~itzlich h2, h3 gesucht:

a) C3, b)c2(s), c) h 2 ( z ) , d) FH

a) Zur L5sung wird die Bernoulli-Gleichung vonder Stelle 1 bis zur Stelle 3 angesetzt: 1

2

1

2

P a at. -'~ " p " c1 - - P a + -~ " p " c3

9

(1)

Nach der AuflSsung von Gleichung (1) nach c3 erh~lt man fiir die gesuchte Geschwindigkeit: c3 = cl

(2)

b) Die Geschwindigkeitsverteilung an der Stelle 2 ist linear. Deshalb gilt der Ansatz c2(8) -- K 1 - 8

-+- K2

,

(3)

mit den Konstanten K1 und K2 und den Randbedingungen: c2(s=0)=0

,

(4)

h2) -- c2 . . . .

C2(8 :

(5)

Aus Gleichung (4) folgt K2 = 0. Setzt man dieses Ergebnis und die Randbedingung (5) in Gleichung (3) ein, erhiilt man C2,m~• = KI" h2. Daraus folgt K~ = C2,m~x/h2. Mit diesen Konstanten und Gleichung (3) ergibt sich fiir die Geschwindigkeitsverteilung an der Stelle 2: C2(8)-

C2,max

h2

.s

(6)

c) Um die HShe h 2 ( z ) zu bestimmen, wird die Kontinuitgtsgleichung verwendet. Es gilt ~hl = the + rh3. FOr die einzelnen Massenstr5me ergibt sich mit (6): ?:rtl = f l ' r

.hi . b

fn3 = p . c3 . z . b

(7)

,

(8)

,

h2

rh2 - p . b . /

h2

c2(s) . d s - p . b . f

o

.

p b .

.

c2'max h2 9s . ds

o

C2,max .

.

h2

82

h2

.

p.b. 2

o

h2 " C2,max

2

(9)

110

2 Grundlagen

der Str5mungsmechanik

Setzt man die Gleichungen (7) - (9) in die Kontinuit~itsgleichung ein, erh~lt man: hi - c3" z + h2 9C2,max 2

el"

.

(10)

Mit Gleichung (2) folgt daraus: C1-(hi-z)

h2 9 C2,max 2

-

h2(z) -

2. el-(hi

Z)

-

.

(11)

C2,max

d)

A b b . 2 . 4 . 1 4 b Kontrollraum mit Kr~ften

Zur Anwendung des Impulssatzes wird der in Abbildung 2.4.14b eingezeichnete ~iui~ere Kontrollraum verwendet. Da iiberall der Druck p~ herrscht gibt es keine resultierenden DruckkrMte. Die Kraft F~ ist die Kraft, die die Schaufel auf das Wasser ausiibt. U m die weitere Betrachtung zu vereinfachen wird sie positiv angenommen. Es wirken aut~er dieser Kraft nur noch die Impulskr~fte, so dass der Impulssatz in den beiden R a u m r i c h t u n g e n x und z wie folgt lautet:

]F~I[- [Fx3] + [FI2,~[ + F s , ~ - - 0

in x-Richtung

,

(12)

0

in z-Richtung

.

(13)

Fs,z -[F~2,z[-

Die ImpulskrMte ergeben sich unter Verwendung der Gleichungen (2) u n d (6) zu: [gil[ - fl. c21. h l . b

(14)

,

I F , 3 [ - - p . c~ . h 3 . b - - p . c~ . h 3 . b h2

o

- p.b.

(15)

, h2

[(

o

c2 . . . . h2

.

-

1

-~ " p ' c 2

2

. . . . 9h2 9b

(16)

o

Aus Gleichung (16) ergeben sich die beiden K o m p o n e n t e n der Impulskraft Fie zu: 1 2 ]FI2,~]- ~ . p . C2,max" h2. b. cos(a) 1

IYx~,zl- -5

2

" P " C2,m~x " h 2 " b .

sin(a)

,

(17)

.

(18)

2.4

Berechnung

yon

technischen

111

Str5mungen

Setzt man die Impulskr~fte (14), (15) und (17) in den Impulssatz in x-Richtung (12) ergibt sich: p. ~

1

2

h i . b - p. ~1~ 9 h ~ b + U p" ~,m~x

h~-b-cos(~)

+ F~,~ -- 0

Diese Gleichung nach Fs,x aufgel5st fiihrt zu:

Fs,x - - p . b.

[

1

c~. (hi - h3) -t- 5

cos/oil

....

Die x-Komponente Fs,~ der Kraft Fs die die Schaufel auf das Wasser ansiibt ist negativ, d. h. das Wasser iibt auf die Schaufel eine Kraft in positive x-Richtung alas. An der Schaufel selbst muss daher eine Kraft in negativer x-Richtung angreifen, damit sich diese im Gleichgewicht befindet. Zur Bestimmung der Komponente F~,z wird die Impulskraft (18) in den Impulssatz in z-Richtung (13) eingesetzt: Fs,z - ~1

" p"

2

C2,max

9

h2 " b " s i n ( a ) - 0

,

Fsz ,

--

1

~

" p"

2

C2,max"

h2. b. sin(a)

.

Die z-Komponente Fs,z der Kraft F~ die die Schaufel auf das Wasser ausiibt, ist positiv. Das Wasser iibt anf die Schaufel eine Kraft in negative z-Richtung aus. An der Schanfel selbst muss daher eine Kraft in positiver z-Richtung angreifen, damit diese im Gleichgewicht ist. 2.4.3

Drehimpulssatz

A u f g a b e 2.4.15

Rohrkriimmer In n e b e n s t e h e n d e r Skizze ist ein K r i i m m e r mit k o n s t a n t e r Q u e r schnittsfl~iche A1 gezeigt, d e r a n d e r SteUe 1 d u r c h eine F l a n s c h v e r bindung an einem Rohr befestigt ist. A n d e r Stelle 2 t r i t t W a s s e r d e r D i c h t e p mit d e r G e s c h w i n d i g k e i t c ins Freie aus. W i e grog ist das Mom e n t M, mit d e m die F l a n s c h v e r bindung belastet wird?

A b b . 2.4.15a Rohrkriimmer LSsung:

112

2 Grundlagen der StrSmungsmechanik

gegeben: p, c, l, A1

gesucht: M Die LSsungen der Aufgaben zur Anwendung des Drehimpulssatzes erfolgen in gleicher Weise wie die L5sungen der Aufgaben zur Anwendung des Impulssatzes. Das Koordinatensystem ist bereits in Abbildung 2.4.15a dargestellt. Abbildung 2.4.15b zeigt die Festlegung des Kontrollraumes, ffir den der Drehimpulssatz angewendet werden soll. Der Begriff "Impulsmoment" wird wie folgt eingeffihrt: Abb. 2.4.15b Kontrollraum

f

M~ = - ] p. (~- • v ) . ( v . n ) . aA

.

(1)

A

Wird das Integral ffir die in Abbildung 2.4.15b gezeigte Kontrollfl~che ausgewertet, so erh~ilt man den Vektor MI, dessen skalaxer Betrag M1 der rechten Seite der folgenden Gleichung entspricht: MI-p.l-c

2-A1

.

(2)

Zur Auswertung der Gleichung (1) soll folgendes angemerkt werden" An der Stelle 1 str5mt das Fluid fiber die Berandung des Kontrollraumes. Das Integral in Gleichung (1) ist aus Symmetriegriinden ffir diesen Abschnitt der Kontrollfl~che gleich dem Nullvektor. Fiir die Stelle 2 hingegen ergibt das Kreuzprodukt einen Vektor, der in negative Achsenrichtung zeigt. Er zeigt in die Zeichenebene hinein und deshalb wird sein Betrag mit einem Minuszeichen gekennzeichnet. Das Skalarprodukt ( n . v) ist positiv ffir die Stelle 2 und betr~gt w.A1. Unter Beriicksichtigung dieser Einzelheiten erh~lt man ffir MI den in Gleichung (2) formulierten skalaren Wert. Ansonsten wirken auf die Kontrollfl~iche keine resultierenden Kr~fte die ein Moment erzeugen. Der Krfimmer fibertr~gt auf das Fluid das Moment h:/. Die Drehrichtung von hT/wird zun~chst positiv angenommen. Die endgfiltige Drehwirkung wird mittels der Rechnung ermittelt. Gemfi$ der Gleichung (Kapitel 2.4.3, H. Oertel jr., M. BShle 2004)

2.4

113

B e r e c h n u n g von t e c h n i s c h e n S t r S m u n g e n

erh~lt man die folgende Gleichung fiir M - - M :

p.l.c2.Al +JQ-O -Y4

-

M

-

p.

l . c 2

9

,

A1

Vom Fluid wird also ein Moment auf den Kriimmer ausgeiibt, das in mathematisch positive Richtung wirkt. A u f g a b e 2.4.16

Wasserrad

Jl Ildrehbar CO

M'~. u

A b b . 2.4.16a Wasserrad

Durch ein Wasserrad (siehe A b b . 2.4.16a) fliegt d e r Volumens t r o m V, d e r d u r c h zwei Wassers t r a h l e n a u s t r i t t . Die W a s s e r s t r a h len b e f i n d e n sich jeweils im Abs t a n d R yon d e r D r e h a c h s e des W a s s e r r a d e s e n t f e r n t . A u f die Lag e r a c h s e w i r k t das R e i b u n g s m o m e n t M e n t g e g e n der D r e h r i c h tung. W i e grog ist die Winkelgeschwindigkeit ~v des W a s s e r r a d e s , w e n n das R e i b u n g s m o m e n t M, der R a d i u s R, die Dichte p des Wassers u n d die A u s t r i t t s g e s c h w i n d i g keit C u d e r W a s s e r s t r a h l e n relativ z u m W a s s e r r a d u n d d e r Volumens t r o m V b e k a n n t sind?

LSsung: g e g e b e n : R, V, M, p, c. gesucht:

Cu[

A b b . 2.4.16b Kontrollraum

Das zylindrische Koordinatensystem ist bereits in Abbildung 2.4.16a daxgestellt. Abb. 2.4.16b zeigt die Festlegung des Kontrollraumes, fiir den der Drehimpulssatz angewendet werden soll.

114

2 Grundlagen der Str5mungsmechanik

Da sich das Wasserrad dreht, rotiert auch der Kontrollraum. Damit addiert sich zum Drehimpuls fiir station~e UmstrSmungen MI noch ein zus~tzlicher Drehimpuls MI,rot, der durch die Rotation entsteht. Fiir den skalaren Wert des Impulsmoments MI ergibt sich mit der Definition: MI

i

_ / p . (~ • ~). (~..).

dA

A

der skalare Wert Mr-2"p'R'c2u

.A

,

(1)

mit der Austrittsfl~che A. Bei der Auswertung wurde beriicksichtigt, dass der Vektor des Kreuzproduktes r x v in negative Richtung zeigt und, dass das Skalarprodukt v. n an keiner Stelle der Berandung des Kontrollranmes negativ ist. Der Impulsmomentenvektor zeigt also in positive Richtung ("wirkt" also in positive Drehrichtung) und sein skalarer Wert, wird deshalb in Gleichung (1) mit einem positiven Vorzeichen beriicksichtigt. Der zus~tzliche Drehimpuls MI,rot durch die Rotation wird mit der Gleichung MI,rot -- - f

p . (T" X (co X / ' ) ) - ( v .

n ) - dA

o ,

A

bestimmt. Als skalaren Wert erhfilt man: MI,rot -- - 2 " p" co" R 2 "Cu" A

.

(2)

Bei der Auswertung wurde beriicksichtigt, dass sowohl der Vektor des Kreuzproduktes w x r als auch der Vektor des Kreuzproduktes r x (~ x r) in positive ~-Richtung zeigt. Der zus~tzliche Impulsmomentenvektor durch die Rotation zeigt damit in negative Umfangsrichtung und sein skalarer Wert wird deshalb in Gleichung (1) mit einem negativen Vorzeichen beriicksichtigt. Auf das Fluid wirkt das Lagerreibungsmoment M entgegen der Drehrichtung (mathematisch negative Drehrichtung). Gem~hg der Gleichung Mr + MI,rot -~- E

M~ = 0

ergibt sich also mit den Gleichungen (1), (2) und mit ~ M ~ Gleichung: 2.p.R.(cu-w.R).cu.A-M=0

.

= - M die skalare (3)

Mit den Volumenstrom V = 2.Cu. A folgt: p'R-(ca-w-R)'V-M=0 Die Umformung nach w fiihrt anf das gesuchte Ergebnis: Cu M R

p. R 2 . V

.

(4)

2.4 Berechnung von technischen Str5mungen A u f g a b e 2.4.17

115

Drallbehaftete RohrstrSmung

I n A b b i l d u n g 2.4.17 ist ein R o h r m i t e i n e r k r e i s r i n g f ' d r m i g e n Q u e r s c h n i t t s f l / i c h e g e z e i g t . A n d e r Stelle 1 s t r S m t e i n e d r a l l b e h a f t e t e StrSm u n g m i t d e r A x i a l g e s c h w i n d i g k e i t Czl - 3 m/s d u r c h d a s R o h r . S o w o h l die U m f a n g s k o m p o n e n t e Cu: - 5 m/s als a u c h die A x i a l g e s c h w i n d i g k e i t Czl s i n d fiber d e m R a d i u s k o n s t a n t . In d e m R o h r sind w e i t e r s t r o m a b L e i t b l e c h e e i n g e b a u t ~ die d e n D r a l l a u s d e r S t r S m u n g n e h m e n ~ so d a s s die S t r S m u n g a n d e r Stelle 2 d r a l l f r e i a u s s t r S m t . Ffir die R a d i e n gilt: rl = 5 - 1 0 -3 m u n d r2 = 0 , 1 m. a) W i e g r o g ist d a s M o m e n t M~, das von der S t r S m u n g auf das Rohr wirkt? b) W i e g r o g ist d a s M o m e n t MLager a u f d a s L a g e r A u n d in w e l c h e D r e h r i c h t u n g w i r k t es?

A b b . 2.4.17 Drallbehaftete RohrstrSmung LSsung: g e g e b e n : Cul - 5 gesucht:

re~s, Czl

= 3

re~s, rl

- 5 . 1 0 -3 m, 7"2 --O, 1 m

a) Ma, b) MLager

a) Es gilt der Drehimpulssatz fiir station~re StrSmungen: MI + E

M~ - 0

(I)

,

mit

MI

s /p.(r•

.

(2)

&

A steht fiir die Oberfl/iche der Kontrollfl/iche um das Rohr. Die Ein- und Austrittsfl/ichen 1 und 2 sind Teile der Kontrollfl/iche. Das Impulsmoment MI wird gem/iS der Kontrollfl/iche in zwei Anteile aufgeteilt (Berechnung des Impulsmoments auf den Teilkontrollfl~chen an den Stellen 1 und 2. Durch die restliche Kontrollfl/iche str5mt kein Massenstrom). Es gilt: MI = MI1 -}- M~2

.

(3)

116

2 Grundlagen der StrSmungsmechanik

Es wird zun~chst der skalare Wert von MI angegeben. Es gilt: I~ • vl = ~ . c u l

,

(4)

I(v. n ) . dA I - Czl. dA - Czl. 2-7r. r . dr

(5)

Das Vorzeichen von MI in Gleichung (2) ist positiv, da das Kreuzprodukt des Integranden in positive Koordinatenrichtung zeigt und da das Skalarprodukt (v. n ) - d A n e g a t i v i s t (EinstrSmrichtung zeigt nach innen, der Normalenvektor nach aui~en). Der skalare Wert des Impulsmoments MI ergibt folglich mit den Gleichungen (2), (4) und (5) r2 MI1

--

r2 2.71-.

p.

Cul

9 Czl

9 ?.2 .

dr - 2.7r. p - C u l

9 Czl

rl

2 3

= -.~.p.

9

9 dr rl

Cu~. c z l .

(~ - ~)

.

(6)

Das Impulsmoment MI2 ist gleich Null, da die StrSmung an der Stelle 2 drallfrei ist. Vom Rohr wirkt auf die StrSmung das Moment M~, so dass gilt: EM~

: -M~

(7)

Gemfis der Gleichung (1) erhglt man mit den Beziehungen (3), (6) und (7): 2 M~ : ~ . ~ . p. C u l - C z l - ( r ~ - r~) = 27,5 N,~

.

b) Da Ma > 0 ist, wiirde sich das Rohr gegen den Uhrzeigersinn drehen wenn es nicht gelagert w~re. Das Lagermoment dreht demnach im Uhrzeigersinn. Es gilt also: 2 MLager -- - M ~ -- - 5 . 7 r . p - C u l . Czl. (r23 - r~) - - 2 7 , 5 g m

A u f g a b e 2.4.18

Pumpenlaufrad

In A b b i l d u n g 2.4.18 ist ein r a d i a l e s P u m p e n l a u f r a d d a r g e s t e l l t . Bei d e m g e F S r d e r t e n F l u i d h a n d e l t es slch u m W a s s e r m i t d e r k o n s t a n t e n D i c h t e p - 1000 k g / m 3. A m E i n t r i t t in das L a u f r a d k a n n die A b s o l u t g e s c h w i n d i g keit Cl in die U m f a n g s g e s c h w i n d i g k e i t Ul u n d die R e l a t i v g e s c h w i n d l g k e i t Wl z e r l e g t w e r d e n . A n a l o g k a n n die A b s o l u t g e s c h w i n d i g k e i t cu a m A u s t r i t t in die K o m p o n e n t e n u: u n d w2 z e r l e g t w e r d e n . D a s L a u f r a d d r e h t sich m i t d e r k o n s t a n t e n D r e h z a h l n -- 3000 U/min. D e r E i n t r i t t liegt a u f d e m R a d i u s R1 - 0, 1 m, zus~itzlich gilt: R1/R2 = O, 5~ bl - 3 . 1 0 -2 m u n d b l / b 2 - 1, 5. D i e R e l a t i v g e s c h w i n d i g k e i t a m E i n t r i t t ist Wl = 2 m / s . D i e D i c k e d e r S c h a u f e l n ist v e r n a c h l ~ s s i g b a r .

2.4 Berechnung von technischen Str5mungen

117

A b b . 2.4.18 Pumpenlaufrad S t r S m u n g a u f die W e l l e f i b e r t r a g e n e Dreh-

a) W i e g r o g ist d a s v o n d e r

moment? b) W i e g r o g ist d a s M o m e n t ,

wenn am Austritt

fiber d e n U m f a n g die

Scherspannung 7 - ( ~ ) - a . sin ~-~) angreift

,

(1)

~ E [0, 2.7r]

(a = 2000 Pa, 7- =/= f(b2))? D i e S c h e r s p a n n u n g

z e i g t g e g e n die

Drehrichtung. LSsung: g e g e b e n : p = 1000 k g / m 3, W l : 2 re~s, n = 3000 U / m i n , R1 = O, 1 m, R1/R2 = 0, 5, bl - - 3 . 1 0 -2 m, bl/b2 = 1, 5, a = 2000 Pa gesucht:

Mw

a) Die L5sung erfolgt mit dem Drehimpulssatz fiir s t a t i o n ~ e Str5mungen: MI + E

Ma - 0

,

(2)

mit Mi--fp.(r•

.

(3)

Die F1/iche A ist die Kontrollfl~che, die aus den Kreiszylinderfl/ichen am Eintritt und Austritt und aus den Kreisfl~ichen neben den Schaufeln gebildet wird. Da das Fluid nur in radialer Richtung ein- und austritt, liefern die Kreisfl/~chen neben den Schaufeln keinen Beitrag zum Drehimpuls. Das Impulsmoment MI kann also in zwei

118

2 Grundlagen der StrSmungsmechanik

Anteile fiir den Eintritt und den Austritt aufgespaltet werden. Damit folgt fiir das gesamte Impulsmoment MI" M~ = MI1 -Jr- MI2

9

(4)

Das vonder Welle auf das Fluid iibertragene Drehmoment ist Mw, so dass gilt" EMa-

-Mw

.

(5)

Fiir die Eintrittsfl~iche ist das Skalaxprodukt aus Normaleneinheitsvektor mit den Komponenten (x, y, z) und dem Geschwindigkeitsvektor:

(V" 7/,)

(Ul sin,+Wlcos,,) (- cos,,)

--

cos(Q) + wl-sin(Q) 0

--Ul"

9

-sin(qD) 0

=

Das Kreuzprodukt aus Ortsvektor und Geschwindigkeit ist:

(r x v) --

/~:'c~ sin(Q) 0

x

I Ul'sin(Q)+Wl'C~ / / -Ul-cos(Q) + Wl-sin(Q) = 0

(6)

- ~

0/ 0 ~Z}l~l

.(7)

" '0,1

Das Fliichenstfick dA am Eintritt ist"

(8)

d A - bl 9R1 9dQ

Mit den Gleichungen (6) - (8) ergibt sich aus Gleichung (3) fiir das Moment MII" 2"71"

MI1 - - p " Wl 9 f bl 9R1 9dQ.R1 "Ul - - 2 . 7 r . 9

0

9 R21 9 b l

(9)

p " w 2 . u 2 9 R 2 9 b2

(~0)

p'wl

.ul

J

y-

ml Ganz analog folgt fiir das Moment MI2" 2.7r

MI2

-

-p.

w2 9 f

b2 9 R 2 9 d Q . R 2

" u2 -

-2.7r.

0 9

v-

,, 9

m2

Das positive Vorzeichen ergibt sich, da der Normaleneinheitsvektor n am Austritt in positive Achsenrichtung zeigt und deshalb (v. n) - +w2

2.4

Berechnung

von technischen

119

StrSmungen

ist. Da keine weiteren Kr~fte auf die Kontrollfl~che wirken, ergibt sich aus der Gleichung (2) mit den Gleichungen (4), (5), (9) und (10): E

M~ - - M w

-

-MI1

-

MI2

-

-2.71-.p.

(-Wl

.Ul./i~21

/ - - 2 . 7r . f l . W l

9 R1

~tl

9b l

w2

9 R1

Wl

9 bl

+ w2 "u2" R~.

9u2 9R2 9

R2 R1

9

b2 ~

)

"

b2)

(11)

Aus der Kontinuit~itsgleichung rhl - rh2 folgt: 2.7r.

p.

wl

9 R1

9 bl -

2.7r.

p.

w2 9 R2

9 b2

W2 - - W l "

==a

/~1 R2

9

bl b2

9 (12)

Damit vereinfacht sich Gleichung (11) fiir Mw zu: Mw

-

-2.7r.

9R1 9bl

p.wl

9 (Ul

9

(13)

R1 -- U2 9R2)

Die Umfangsgeschwindigkeit l ~ s t sich durch (14)

u - ~ . R - 2 . T c . n . R

berechnen. Damit folgt aus Gleichung (13)" Mw

-

(15)

" p " W l " I~1" 51" (]:~2 __ R 2 )

-4.7r2.n

Mit R2 - 2. R1 ergibt sich: Mw -- 12.7r 2

9 n . p.

wl

9 R~

9 bl -

355

Nm

b) Die L5sung erfolgt genauso wie im Aufgabenteil a) mit dem einzigen Unterschied, dass nun eine zus~tzliche Kraft auf dem Umfang angreift, die aus der wirkenden Scherspannung resultiert. Die Summe der augen angreifenden Momente (Gleichung(5)) ist dann: 2-7r

E

M~ - - M w + / ~-(~). b2" R 2 - d ~ - R 2

(16)

o

0

Mit Gleichung(1) erh~ilt man: 2-7r

sin ( ~ - ) - d ~

E M ~ - - M w + a . b 2 . R ~ .

0

:-Mw+a-b2-R~.

[-4.cos(~)]i

"~--

Mw + 4. a. b2. R~

(17)

Mit dem Drehimpulssatz (2), b2 = 2. bl/3 und R2 = 2. R1 folgt: 32 Mw - MI 4- 4 . a . b2. R~ - Mr + -~-. a.

bl-R12

.

(18)

120

2 Grundlagen der StrSmungsmechanik

In diese Gleichung wird fiir Mi das Ergebnis von Aufgabenteil a) eingesetzt. Damit ergibt sich fiir das gesuchte Moment:

Mw

= 4 . R ~ 9 bl 9

(

3.7c 2 9 n . p . wl

8)

9 R 1 + -~ 9 a

-

361

Nm

Durch die wirkende Scherspannung wird die Welle noch etwas s t o k e r belastet.

2.4.4

Rohrhydraulik

A u f g a b e 2.4.19

Springbrunnen

Ein Springbrunnen wird durch eine Rohrleitung (Durchmesser D 4.10 -2 m, Liinge l - 50 m) a u s e i n e m H o c h b e h i i l t e r g e s p e i s t , d e s s e n W a s s e r s p i e g e l ( D i c h t e d e s W a s s e r s p = 1000 k g / m 3) u m h0 fiber d e r Dfisenm f i n d u n g ( D u r c h m e s s e r d) s t e h t ( s i e h e A b b . 2.4.19). S t r S m u n g s v e r l u s t e t r e t e n in d e n b e i d e n 9 0 ~ ( V e r l u s t z a h l e n ~K = 0, 3) u n d d u r c h R o h r r e i b u n g ( V e r l u s t k o e f l i z i e n t A - 0, 03) auf. W i e g r o g m u s s die H S h e h0 sein, d a m i t die Font~ine b e i e i n e m D i i s e n d u r c h m e s s e r d - 1, 5 . 1 0 -2 m e i n e H S h e v o n h : 7 rn e r r e i c h t ? LSsung: g e g e b e n : p : 1000 k g / m 3, h A = 0, 03, ~ g -- 0, 3 gesucht:

:

7 m,

1 :

50 m, D : 4 . 1 0 -2 m, d : 1, 5- 10 -2 m,

ho

Zur LSsung wird die Bernoulli-Gleichung mit Verlustglied, die sich aus der NavierStokes-Gleichung herleiten l ~ s t , entlang eines Stromfadens v o n d e r Stelle 1 bis zur Stelle 2 angewendet, um zun~chst die Austrittsgeschwindigkeit c2 aus der Diise zu

Po //1

/3

i h0

h

i

i

~D

// A b b . 2.4.19 Springbrunnen

~2

121

2.4 Berechnung von technischen Str5mungen

ermitteln. Sie lautet:

pl+~P

P.d+~pv ho - p2 + -~

9 c21 + p . g .

(1)

Fiir die Driicke pl und pe gilt: pl = p2 -- po, wobei po der Druck der A t m o s p h ~ e ist. Die Absinkgeschwindigkeit Cl des Wasserspiegels ist klein, so dass c~ .~ 0 ist. Die Gleichung (1) vereinfacht sich zu:

P.d+~;v p" 9 " ho - -~

(2)

Die Rohrreibungsverluste Apv,a betragen Ap~,a = A . ( 1 / D ) . ( p / 2 ) . c 2 und die Verluste in den beiden Kriimmern Pv,K = 2. ~K" (p/2). C2 (C ist die StrSmungsgeschwindigkeit im Rohr). Fiir die gesamten StrSmungsverluste ergibt sich also: Apv--Pv,R+Pv,K--~

9 A'~+2"(K

9

(3)

Durch dan Einsetzen von Apv gemgg Gleichung (3) in Gleichung (2) erh~lt man: ~

p.g.ho--~

9 A.~+2.~K

(4)

Mit der Anwendung der Kontinuit~tsgleichung fiir einen beliebigen Querschnitt des Rohres und der AustrittsquerschnittsflS~che erhfilt man die Gleichung 7r.D 2

4

7r.d 2 9 c-

4

(d) .c~

~

c-c2.

2

D

'

(5)

die zusammen mit Gleichung (4) die nachfolgende Gleichung fiir c2 ergibt: 9"ho--~"

c2I(d)411 1+

~

C2 --

,k'~+2-~K

4

1+(d)

)]

2.g.ho

,

(6)

"(A'/+2"~K)

Die StrSmungsgeschwindigkeit c2 ist mit der Gleichung (6) bekannt. Um die HShe der Font/ine zu ermitteln, wird die Bernoulli-Gleichung fiir inkompressible StrSmungen (diesmal ohne Verlustglied, da die Luftreibung gering ist) entlang eines Stromfadens yon der Stelle 2 zur Stelle 3 angewendet. Sie lautet: p~ + -~P . d - p~ + -~P . ~ + p . 9 . h

(7)

Mit p2 = p3 = po und ca = 0 erhglt man mit Gleichung (7):

4

7 =g.h

(8)

122

2 Grundlagen der StrSmungsmechanik

c2 gem~i~ Gleichung (6) in Gleichung (S) eingesetzt, ergibt die Bestimmungsgleichung fiir den notwendigen HShenunterschied h0 der fiir die StrahlhShe h erforderlich ist: g 9 h0 1 + (d)4.

1+(

=g.h

(A. ~--- + 2 - ( K )

.

Als Zahlenwert ergibt sich mit der Ergebnisformel der Wert" h0 - 12, 3 m.

Aufgabe 2.4.20

Ausfluss aus e i n e m Druckbeh~ilter

In e i n e m grogen zylindrischen Beh~ilter der H 6 h e H wird Wasser mit d e m V o l u m e n s t r o m l/ g e p u m p t (siehe Abb. 2.4.20). Von hier gelangt das Wasser (Dichte p, k i n e m a t i s c h e Viskosit~it u) fiber ein g e k r i i m m t e s Ausflussrohr ( D u r c h m e s s e r D, L[inge l, ~iquivalente mittlere Sandkornrauhigkeit ks, A b s t a n d a v o m Ausfluss bis z u m Beh~ilterboden) ins Freie. D a b e i treten folgende Verluste auf: Eintrittsverluste ((E), Austrittsverluste ((A), K r i i m m e r v e r l u s t e ((K) und Rohrreibungsverluste. Zahlenwerte: V : 3, 6 . 1 0 -3 m3/8, D : 0, 0276 m, l : 2 m, a : 1 m, H : 6 m, po = 1 bar, ks = 10 -6 m, ~E = 0,05, ~A -- 0 , 0 5 , ~K = 0, 14, u = 1. 10 -6 m2/8, p = 1000 kg/m 3. (po ist der A t m o s p h ~ e n d r u c k ) . Hinweis: Der Wasserstand soil als konstant vorausgesetzt werden.

Po

Lfiftungsventil

1 /

H h

C2

_i~'-- 2 -

~a

A b b . 2 . 4 . 2 0 StrSmung aus einem Druckbeh~ilter

2.4 Berechnung v0n technischen Str5mungen

123

D a s e i n g e z e i c h n e t e Liiftungsventil ist zun~ichst geSffnet. Fiir diesen Fall soil folgendes e r m i t t e l t w e r d e n : a) W i e grog ist die A u s t r i t t s g e s c h w i n d i g k e i t c2 des W a s s e r s fiir d e n Vol u m e n s t r o m V? b) Ist die R o h r w a n d h y d r a u l i s c h g l a t t ? c) W i e grog ist die W a s s e r s p i e g e l h S h e h im Beh~ilter? Das Lfiftungsventil schliegt automatisch~ w e n n die W a s s e r s p i e g e l h S h e i i b e r s c h r i t t e n w e r d e n sollte. Fiir einen solchen Fall~ bei d e m W a s s e r mit d e m V o l u m e n s t r o m V' - 2. V in d e n Beh~ilter gefSrdert wird u n d die neue W a s s e r s p i e g e l h S h e sich nicht ver~indert~ soil folgendes e r m i t t e l t w e r d e n : d) W i e grog ist j e t z t die R o h r a u s f l u s s g e s c h w i n d i g k e i t c~? e) W i e grog ist d e r L u f t d r u c k p' im Beh~ilter in Abh~ingigkeit von d e r W a s s e r s p i e g e l h S h e h I u n t e r der Annahme~ dass das Gas i s o t h e r m verd i c h t e t wird? f) W i e grog ist die W a s s e r s p i e g e l h S h e h' fiir d e n v o r l i e g e n d e n Fall l / ~ = 2 - V u n t e r der A n n a h m e ~ dass das R o h r h y d r a u l i s c h glatt ist? g) Ist die u n t e r f) getroffene A n n a h m e " h y d r a u l i s c h g l a t t " richtig? LSsung: g e g e b e n : 0ben aufgefiihrte Zahlenwerte gesucht: a) c2, b) hydraulisch glatt?, c) h, d) c~, e) p' = f(h'), f) h', g) hydraulisch glatt fiir 1 / ' - 2 - I / ? a) Da der Volumenstrom 1 / u n d der Rohrdurchmesser D gegeben sind, berechnet sich die Austrittsgeschwindigkeit unmittelbar mit der Kontinuit~itsgleichung zu: 1~ = 7r. D2 4

.c2

:=:a

4.1/

c2 = 7r. D2 = 6 m / s

(1)

b) Die Berechnung der Dicke A der viskosen Unterschicht erfolgt mit der Formel (Kapitel 2.4.4, H . O e r t e l j r . , M. B 6 h l e 2004)" A -

D

12, 64 =

Cm 9D ,

Re D

R ~

-

(2)

u

Cm ist in Gleichung (2) die mittlere StrSmungsgeschwindigkeit. Sie betriigt fiir das betrachtete Rohr Cm -- C2. Fiir die Reynolds-Zahl R e D ergibt sich der Zahlenwert R e D -- 1, 66 9 105 und fiir das Verh~iltnis A / D der Wert A / D 1 , 5 4 - 1 0 -3, so dass man fiir die Dicke A der viskosen Unterschicht den Wert A - 4, 3 - 1 0 -5 m erh~ilt. Die mittlere Sandkornrauhigkeit ks ist kleiner als A, also ist die Innenwand hydraulisch glatt.

124

2 Grundlagen der StrSmungsmechanik

c) Zur Berechnung der HShe h wird die Bernoulli-Gleichung unter Beriicksichtigung der Str5mungsverluste Apv entlang eines Stromfadens vonder Stelle 1 zur Stelle 2 angewendet. Sie lautet" p l + ~ P-~1 + p - g . (a + h) - p ~ + P. ~ + Z~pv .

(3)

Die Absinkgeschwindigkeit des Wasserspiegels wird vernachl~ssigt, also ist c~ ~ 0. Fiir die Driicke pl und p2 gilt: pl - p2 = p0, so dass sich die Gleichung (3) zu der Gleichung:

P. ~ + Z~pv p. g. (a + h) = -~

(4)

vereinfacht. Die Str5mungsverluste Apv berechnen sich zu: ~/ -t- ~E -~- ~K -~- ~A

Z~pv = ~

)

(5)

Apv gem~l~ Gleichung (5) in Gleichung (4) eingesetzt, ergibt nach einer einfachen Umformung eine Berechnungsformel fiir h:

p.g.(a+h)=-~

-~

~ -'~-~E --~ ~K "~'-~a

h = 2--~g" I + A ' ~ + ~ E + ( K + ~ A

--a

,

.

(6)

Zur Auswertung der Gleichung (6) ist der Verlustkoemzient A noch unbekannt und kann mit Hilfe des Nikuradse-Diagramms (Kapitel 2.4.4, H. Oertel jr., M. BShle 2004) ermittelt werden. Im Nikuradse-Diagramm ist der Verlustkoeffizient A aJs Funktion der mit dem Rohrdurchmesser gebildeten Reynolds-Zahl und einem Maf~ fiir die Rauhigkeit des durchstrSmten Rohres aufgetragen. Als charakteristisches Ma~ fiir die Rauhigkeit dient die r~umlich gemittelte Sandkornrauhigkeit ks, der im Nikuradse-Diagramm als dimensionsloser Parameter D/ks angetragen wird, wobei ks mit dem Rohrdurchmesser D entdimensioniert wurde. Starke Rauhigkeiten (groge ks-Werte) fiihren also zu kleinen Werten von D/ks und bedeuten hohen Druckverlust aufgrund des zugehSrigen grot~en Wertes fiir A. Relativ glatte Rohre sind durch kleine ks-Werte ausgezeichnet und im Diagramm durch groi~e Werte von D/ks gekennzeichnet. Sie fiihren zu entsprechend niedrigeren Druckverlusten. Um mit dem Nikuradse-Diagramm arbeiten zu k5nnen, miissen Daten fiber den Rohrdurchmesser D, die Reynolds-Zahl ReD und die mittlere Sandkornrauhigkeit ks vorliegen. Fiir technisch wichtige F~lle ist ks in Datenbl~ttern aufgelistet. Als Anhaltspunkte seien Glas, Stahl und Gusseisen genannt. Man findet fiir Glas: 10 -6 m ~ ks ~ 3 . 1 0 -6 m, fiir Stahl: 3 . 1 0 -5 m _< ks < 8 . 1 0 -3 m u n d fiir Gusseisen: 2 . 1 0 -4 m < ks <_ 9 . 1 0 -3 m. Im behandelten Fall liegt mit dem gegebenen

125

2.4 B e r e c h n u n g von t e c h n i s c h e n S t r S m u n g e n

Wert ks = 10 -6 m also ein sehr glattes Rohr vor, das an die Oberfliichenqualitiit yon Glas heranreicht. Als Parameterwert D / k s erhiilt man also bier den sehr grot~en Wert D / k s = 27, 6 . 103. Im Nikuradse-Diagramm kommt folglich die Kurve flit glatte Rohre in Betracht. Auf der Abszisse zieht man an der Stelle der vorliegenden Reynolds-Zahl R e D = 1, 66. 105 eine Parallele zur Ordinate und bringt sie mit der Kurve fiir glatte Rohre zum Schnitt. Am Schnittpunkt wird eine waagerechte Linie angetragen und mit der Ordinate zum Schnitt gebracht, an der sich anschlief, end der gesuchte Wert fiir s ablesen l~st. Im Rahmen der Ablesegenauigkeit erh~ilt man bier 100 9s ~ 1, 6 und somit ~ = 0,016. Da die Innenwand des Rohres hydraulisch glatt ist, kann der Verlustkoeffizient ~ bei der vorliegenden Reynolds-Zahl R e D = 1,656. 105 auch mit der impliziten Formel von Prandtl bestimmt werden. Er bestimmt sich mit der Reynolds-Zahl R e D = 1, 66-105 und der zuletzt genannten MSglichkeit zu: ~ = 0, 0162, so dass sich mit der Gleichung (6) fiir h der Zahlenwert h = 3, 43 m ergibt. d) Da sich der Volumenstrom verdoppelt hat, verdoppelt sich g e m ~ Gleichung (1) anch die Austrittsgeschwindigkeit c2. Sie betr~gt also: c~ - 12 m / s . e) Fiir eine isotherme Verdichtung gilt gem~f~ der Gasgleichung fiir ideale Gase die Beziehung: p - V = konst. Im Behiilter herrscht vor der Verdichtung der Druck po der Atmosphiire und das Volumen betr~gt ( H - h)-(Tr, b 2 ) / 4 (/) ist der Durchmesser des Behiilters). Nach der Verdichtung wirkt der Druck p' im Behiilter und das Luftvolumen hat sich auf den Wert ( H - h'). (Tr./)2)/4 verkleinert. Gem~ia~ der idealen Gasgleichung gilt also: 7r- D 2 4

7~./~2 (H - h).po -

4

H( H - hi) . p '

~

p' = po" H -

h h'

(7)

f) Zur Berechnung von h' wird die Bernoulli-Gleichung fiir inkompressible StrSmungen unter Beriicksichtigung der Str5mungsverluste von der Stelle 1 zur Stelle 2 angewendet. Sie lautet:

pl+~

p

/2

(8)

Die Absinkgeschwindigkeit des Wasserspiegels ist gering, also: c 2 ~ 0. Der Druck pl auf der Wasseroberfl~che im Beh~lter betr~gt pl = p/ und fiir den Druck p2 gilt: p2 = po. Damit vereinfacht sich die Gleichung (8) auf die Gleichung: t9

t2

p' + p . g . (a + h') - po + -~ . c2 + A p v

(9)

p' g e m ~ Gleichung (7) und Apv g e m ~ A p v -- ( p / 2 ) . c 2 / 2 9 (A'. l / d + (s + ~S + ~A) in Gleichung (9) eingesetzt, ergibt die folgende Gleichung zur Berechnung von h':

126

2 Grundlagen der Str5mungsmechanik

H_h,.po+p.g.(a+h')=po+-~.c2.

1+

~ nt- ~E nt- ~g nt- ~A

.(10)

Mit einer einfachen Rechnung lgsst sich die Gleichung (10) auf die folgende Form bringen: h'2+A.h'+B=0

, c2

A-a-H-2"g B=Po'h

~-a.H+

.

(11) 1+)~. c2

1 ~+~E+~K+~A

9 1+

),.

1

Po

P'g

+~E+~'K+~A

' .H

Zur Auswertung der Gleichung (11) muss noch der Verlustkoeffizient A~ ermittelt werden. Da angenommen werden soll, dass die Innenwand des Rohres hydraulisch glatt ist, kann der Verlustkoeffizient mit der Formel von P r a n d t l berechnet werden. Fiir die Reynolds-Zahl Re~Derh~lt man den Wert ReID = 3, 31. 105 und fiir )~' den Wert )~ - 0,013. Die quadratische Gleichung (11) nach h ~ aufgelSst, ergibt die endgiiltige Formel zur Bestimmung von h~: ~q-

-~

-B

.

(12)

Die Berechnung der Zahlenwerte lieferte die folgenden Werte: A=-31,2m

,

B=125m

2

,

h 'i - 2 6 , 5 m

,

h~-4,7rn

.

Die physikalisch sinnvolle LSsung ist h' - h~ = 4, 7 m, da h~ grSt~er als H ist. g) Mit der Formel: A

12, 64

D

ReD

berechnet sich die Dicke A der viskosen Unterschicht fiir den Fall V~ - 2 . 1 ) zu (ReD = 3 , 3 1 . 10s) 9 A = 2 , 5 3 . 10 .5 m. A ist grStger als die mittlere Sandkornrauhigkeit k~; d.h. die Innenwand des Rohres kann als hydraulisch glatt angesehen werden. A u f g a b e 2.4.21

Pumpenanlage

E i n e P u m p e f S r d e r t a u s e i n e m S e e d e n V o l u m e n s t r o m V - 0, 06 m3/s d u r c h e i n R o h r d e s D u r c h m e s s e r s d - 0, 1 rn u n d d e r L i i n g e l - 18 m in einen um H15 m h S h e r l i e g e n d e n H o c h b e h i i l t e r ( s i e h e A b b . 2 . 4 . 2 1 ) . D a b e i t r e t e n f o l g e n d e V e r l u s t e auf:

127

2.4 Berechnung von technischen S t r 5 m u n g e n

R o h r r e i b u n g s v e r l u s t e (A - 0, 03), V e r l u s t e a m E i n t r i t t (~E -- 0, 3), V e r l u s t e im K r f i m m e r (~K -- 0, 4) u n d V e r l u s t e a m A u s t r i t t (~A -- 0, 8). a) W e l c h e H S h e z f i b e r d e m W a s s e r s p i e g e l d a r f d i e P u m p e hSchstens haben, damit im Rohr der D a m p f d r u c k PD d e s W a s s e r s (PD : 4000 N / m 2) n i c h t u n t e r s c h r i t t e n w i r d ? D e r A u g e n d r u c k po b e t r ~ i g t

~0 V

1

1/

d

H

po = 1 bar.

Iz V

b) Welche P u m p e n l e i s t u n g

L ist

erforderlich? A b b . 2.4.21 P u m p e n a n l a g e

LSsung: g e g e b e n : H = 15 m, d = 0, 1 m, 1 = 18 m, A = 0,03, ~E = 0,3, ~K = 0,4, ~A = 0,8, = 0, 06 m 3 / s , Po = 1 bar, PD = 4000 N / m 2, p = 1000 k g / m 3 gesucht:

a) z, b) L

a) Zur Berechnung der maximalen H5he z wird die Bernoulli-Gleichung fiir inkompressible StrSmungen entlang eines Stromfadens von der Stelle 1 zur Stelle 2 unter Beriicksichtigung der auftretenden Str5mungsverluste angewendet. Die Stelle 2 liegt unmittelbar unterhalb der Pumpe. Die Bernoulli-Gleichung lautet: p l + ~ p . c~ = p2 + -~ p . c~ + p" g . z + A p v

.

(1)

Die Geschwindigkeit cl ist Null und fiir den Druck pl gilt: pl - po. Da mit der Gleichung (1) die maximale H5he z berechnet wird, ist fiir den Druck p2 der Dampfdruck PD einzusetzen, also: P2 = PD. Von der Stelle 1 zur Stelle 2 treten Einlauf- und Rohrreibungsverluste auf. Fiir sie gilt:

p.~.(~, ~pv - ~

z ~ +r

(2)

Die entsprechenden Driicke fiir pl und p2 sowie die Str5mungsverluste Apv g e m ~ Gleichung (2) in Gleichung (1) eingesetzt, ergibt die folgende Gleichung:

p o - p~ + ~P . 4 + p . 9 . z + ~p.c~.(~, ~z + ~ ) PO --p PD Z--

2 C2rf 9 (1 + ~E ) 2

c2 9+7"-

,,~ d

(3)

128

2 G r u n d l a g e n der S t r S m u n g s m e c h a n i k

In Gleichung (3) ist die StrSmungsgeschwindigkeit c2 im Rohr noch unbekannt. Sie wird mit der Kontinuitiitsgleichung bestimmt: c2.

1r.d 2 4 = ~

4. c 2 = 7r.d 2

==~

(4)

c2 g e m ~ Gleichung (4) in Gleichung (3) eingesetzt, ergibt das gesuchte Ergebnis fiir die maximale H5he z: z=

P0--PD --~8 2 d 4 . ( l + { E ) P 8.17 2 g 4-

A

= 3, 13 m

.

2 d 4" 71" 9

b) Zur Berechnung der erforderlichen Pumpenleistung wird die Bernoulli-Gleichung entlang eines Stromfadens von der Stelle 1 zur Stelle 3 angewendet. Dabei werden die StrSmungsverluste und die Energiezufuhr durch die Pumpe beriicksichtigt. Die Bernoulli-Gleichung lautet:

pl+~P 9 c 2 4- A I p

=

p3 4- P . c~ + p . g . H 4- A p v

.

(5)

Alp ist die auf das Volumen bezogene Arbeit, die dem Medium zugefiihrt wird ([A/p] = [ N m / m 3] = [ N / m 2 ] ) . Die Driicke pl u n d P3 sind gleich dem Atmosph~endruck po. Sie heben sich also in der Gleichung (5) gegenseitig auf. Die Absink- bzw. Steiggeschwindigkeit der Wasseroberfl~chen an den Stellen 1 und 3 sind klein, so dass sie in der Bernoulli-Gleichung vernachl~sigt werden kSnnen. Man erh~lt also folgende vereinfachte Gleichung: AIp=p.g-H+Apv

(6)

.

Von der Stelle 1 bis zur Stelle 3 treten Rohrreibungs-, Einlauf-, Umlenk- und Austrittsverluste auf. Ihre Summe l ~ s t sich wie folgt formulieren: Apv-~

9 A'~+r162162

9

(7)

c ist die StrSmungsgeschwindigkeit im Rohr. Sie ist gleich der Geschwindigkeit c2. Apv g e m ~ Gleichung (7) in Gleichung (6) eingesetzt, ergibt mit c = c2 die folgende Gleichung: A l p -- p . g .

H + ~

)

~ + CE + CK + CA

9

(8)

Ersetzt man in Oleichung (8) die StrSmungsgeschwindigkeit c2 dutch die Oleichung (4), erhglt man fiir die auf das Volumen bezogene Pumpenarbeit die folgende Formel: Alp = p.g.

H + p. 7r2. d4

A- ~ + ~E + ~K + ~A

(9)

2.4 Berechnungv0n technischenStrSmungen

129

Die erf0rderliche Pumpenleistung ergibt sich mit der Gleichung L = Alp. r~ dann

zU: L=Alp.V=p-g.U-V+p-Tr2.d

4

)~'~ + ~ E + ~ K + r

-20,9kW

.

A u f g a b e 2.4.22 R o h r l e i t u n g s s y s t e m einer P u m p e n a n l a g e In e i n e m K r a f t w e r k wird mit einer P u m p e K o n d e n s a t mit d e m M a s s e n s t r o m rh aus e i n e m K o n d e n s a t b e h ~ i l t e r z u m Speisewasserbeh~ilter gef'6rd e r t . Die R o h r l e i t u n g und die R o h r l e i t u n g s e l e m e n t e sind e n t s p r e c h e n d der A b b i l d u n g 2.4.22 a n g e o r d n e t . Das R o h r l e i t u n g s s y s t e m hat einen D u r c h m e s s e r dx bis zur P u m p e u n d einen D u r c h m e s s e r d3 yon der P u m pe bis z u m Speisewasserbeh~ilter. I m K o n f u s o r 11 vor der P u m p e wird der D u r c h m e s s e r a u f die GrSf~e d2 r e d u z i e r t . D e r D r u c k im K o n d e n s a t b e h~ilter betr~igt PK -- 5 b a r u n d d e r des S p e i s e w a s s e r b e h ~ t e r s ps = 10 b a r . Das W a s s e r im K o n d e n s a t b e h ~ i l t e r ist ges~ittigt ( k i n e m a t i s c h e Viskosit~it v, Dichte p). In allen R o h r e n (L~ingen 12, /4, /6, /s, /10, /12, /14, /18, /20, /22, /24, /26, /2s) t r e t e n R o h r r e i b u n g s v e r l u s t e auf. Die R o h r e h a b e n eine ~iquivalente m i t t l e r e S a n d k o r n r a u h i g k e i t ks. Zus~itzlich sind folgende Sp Speisewassertank

[[--~

~27 hs

Kondensatbeh~ilter

|

k_..)__

1

Rtickschlagklappe|

[_it "-/[(" [~]------~/~ 3 [4 ~ ~.~

~2.2211 I I

;

~ II T1

II ~16 / I l l ~~T_

~~-1118 |~19

~

~,Pumpe

~9 /~10 \~1~1~pi1 Pv A b b . 2.4.22 Rohrleitungssystem einer Pumpenanlage

"

130

2 Grundlagen der StrSmungsmechanik

V e r l u s t e zu b e r i i c k s i c h t i g e n : E i n t r i t t s v e r l u s t e (~1), K r i i m m e r v e r l u s t e (~3, @, @, ~13, ~19, @1, @3, @5, @7), V e r l u s t e in d e r R i i c k s c h l a g k l a p p e (@), K o n f u s o r v e r l u s t e (~11), K o n u s v e r l u s t e (~15, ~17), V e n t i l v e r l u s t e (~16) i m R e g e l v e n t i l u n d A u s t r i t t s v e r l u s t e (@9). D i e z u g e h S r i g e n V e r l u s t k o e f l l z i e n t e n sind m i t d e n G e s c h w i n d i g k e i t e n in d e n j e w e i l i g e n R o h r l e i t u n g e n zu b e r e c h n e n . D i e F l i i s s i g k e i t s h S h e n hK u n d hs in d e n b e i d e n Beh~iltern k S n n e n als unver~inderlich a n g e s e h e n w e r d e n . a) M a n b e r e c h n e die D r i i c k e pv u n d Pn v o r u n d n a c h d e r P u m p e . b) M a n b e r e c h n e die g l e i c h w e r t i g e n L~ingen /Kr u n d 1R e i n e s R o h r e s des D u r c h m e s s e r s dl u n d d e r R a u h i g k e i t k~, in d e m die g l e i c h e n V e r l u s t e e n t s t e h e n wie in d e n K r i i m m e r n 3, 7 bzw. 9 u n d wie in d e r R i i c k s c h l a g k l a p p e 5. Hinweis: D i e D i c h t e u n d die k i n e m a t i s c h e Viskosit~it des W a s s e r s sind k o n s t a n t . M a n k a n n m i t d e n m i t t l e r e n S t r S m u n g s g e s c h w i n d i g k e i t e n rechnen. LSsung: g e g e b e n : rh = 23 k g / s , p = 915, 3 kg/rn 3, v -- 1, 9 7 . 1 0 -7 m 2 / s , g = 9,81 m / s 2, hK -- 5 rn, hs -- 15 m, dl = 0,2 m, d2 = 0, 15 m, d3 = 0,125 m, 12= 1 m, 1 4 = 1 2 o = 1 2 4 = 5 m , 16 = l s = / l O =122 = 3 m , 112 = 0 , 3 m , 114 =12s = 0 , 5 m , /is = 0 , 8 m , 126 = 7 m , ks = 5 . 1 0 -5 m, ~1 = 0 , 5 , ~15 : ~17 --- 0, 15, ~16 -- 3, 0, ~29 -- 1,0

g e s u c h t : a) p~, Pn, b) /Kr, 1R a) Die Verlustkoeffizienten vor der Pumpe sind auf die Geschwindigkeit in den Rohren mit dem Durchmesser dl bezogen. Die Geschwindigkeit vor der Pumpe wird mit cl bezeichnet. Sie ergibt sich aus dem Massenstrom: rh-

p.cl

cl =

. A1 - p . c l 4 . rh

rr . d21 . -4

= 0, 8 m / s

(1)

Der Druckverlust /kpv,l_ll in dem Rohrleitungssystem vor der Pumpe berechnet sich aus: APv,1_11 = ~1 . p "c 2-

E~i-Jr i

E)~j j

9 dll

mit

' j - - 2,4,6,8,10

.

Da die Rohre vor der Pumpe den gleichen Durchmesser und die gleiche Sandkornrauhigkeit besitzen, ist der Verlustbeiwert in allen Rohren gleich, d. h. ,~j ---- )~1.

2.4

Berechnung

131

yon technischen StrSmungen

Damit ergibt sich fiir den Druckverlust"

APv,l_ll

1

- - ~ 9 /9"

c~

9

E

~'i +

"E

~

i

lj

mit

. (2)

j - 2 4, 6 8, 10

j

~

Zur Bestimmung des Verlustbeiwertes A1 wird die Reynolds-Zahl benStigtC1 " d l Re

-

=

//

812000

.

(3)

Fiir das Verh~iltnis des Rohrdurchmessers zur Sandkornrauhigkeit ergibt sich: dx

ks

: 4000

(4)

Mit den Zahlenwerten aus den Gleichungen (3) und (4) kann man im NikuradseD i a g r a m m den Zahlenwert A1 - 0 , 0 1 5 fiir den Verlustbeiwert ablesen. Mit diesem Verlustbeiwert, der Geschwindigkeit aus Gleichung (1) und den gegebenen Zahlenwerten kann der Durckverlust mit Gleichung (2) berechnet werden. Man erh~lt als Zahlenwert A P v , l _ l l - - 1390 P a . Die Bernoulli-Gleichung zuziiglich der Druckverluste zwischen der Spiegeloberfl~iche des K o n d e n s a t b e h ~ t e r s (Stelle 0) und dem P u m p e n e i n t r i t t (Stelle Pv) lautet: 1 9p p o + -~

Co 2+

p " g " zo

1 - pPv + ~ 9p .

2

cpv + p. g .

Zpv + A p v , l - l l

.

(5)

Das Nullniveau wird auf die HShe der P u m p e gelegt. Damit gilt zo - hK und Zpv - 0. Der Druck auf der Spiegeloberfl~iche im Kondensatbeh~ilter ist gegeben (po - PK) und die Geschwindigkeit ist vernachl~sigbar klein (co - 0). Der Druck pPv ist der gesuchte Druck pv. Die Geschwindigkeit am Eintritt in die P u m p e wird mit c2 bezeichnet, sodass gilt Cpv - c2. Eingesetzt in Gleichung (5) ergibt sich fiir den gesuchten Druck: 1 pv

-

Pz

+ p" g " hK

- - -~ " p .

c~ - -

/kPv,l_ll

.

(6)

Mit der Kontinuit~itsgleichung folgt aus dem Massenstrom die Geschwindigkeit c:: -

p'c2

c2 -

9 A2

-

4.m 7r . p . d ~

p'c2

71" 9 ~ 9 d~

= 1 42

m/s

(7)

Setzt man Gleichung (7) in Gleichung (6) ein, erh~ilt man mit dem berechneten Zahlenwert fiir den Druckverlust Apv,1-11 und den gegebenen Zahlenwerten fiir den gesuchten Druck pv - 5, 45 b a r .

132

2 G r u n d l a g e n der S t r S m u n g s m e c h a n i k

Die Verlustkoeffizienten nach der Pumpe sind auf die Geschwindigkeit in den Rohren mit dem Durchmesser d3 bezogen. Die Geschwindigkeit nach der Pumpe wird mit c3 bezeichnet. Sie ergibt sich mit der Kontinuit~t ebenfalls aus dem Massenstrom: 71" ~n -

p.

~3

c3 . A 3

-

p.

c3 . ~

. d~

2, 05

m/s

4 . ~h -

=

7r . p . d~

,

(8)

Der Druckverlust Apv,12-29 in dem Rohrleitungssystem nach der Pumpe berechnet sich aus: 1 2( APv,12-29---~'p'c3"

mit

/j) E~i-~-E/~j" i j

~33

,

i -- 13, 15, 16.17, 19, 21, 23, 25, 27, 29 j -- 12, 14, 18, 20, 22, 24, 26, 28

Da die Rohre nach der Pumpe den gleichen Durchmesser und die gleiche Sandkornrauhigkeit besitzen ist der Verlustbeiwert in allen Rohren gleich, d. h. ,~j -- /~2. Damit ergibt sich fiir den Druckverlust: A P v , 1 2 - 2 9 -- 2 " P " c3 "

E

~i nt- ~ 3 " E i

mit

lj

,

(9)

j

i -- 13, 15, 16.17, 19, 21, 23, 25, 27, 29 j -- 12, 14, 18, 20, 22, 24, 26, 28

Zur Bestimmung des Verlustbeiwertes A2 wird die Reynolds-Zahl ben5tigt: Re-

c3.d3 = 1 , 3 . 1 0 6 //

.

(10)

Fiir das Verh~iltnis des Rohrdurchmessers zur Sandkornrauhigkeit ergibt sich: d-Aa= 2500 ks

.

(11)

Mit den Zahlenwerten aus den Gleichungen (10) und (11) kann man im NikuradseDiagramm den Zahlenwert A2 = 0,016 fiir den Verlustbeiwert ablesen. Mit diesem Verlustbeiwert, der Geschwindigkeit aus Gleichung (8) und den gegebenen Zahlenwerten kann der Durckverlust mit Gleichung (9) berechnet werden. Man erh~ilt als Zahlenwert Apv,12_29 = 15200 P a . Die Bernoulli-Gleichung zuziiglich der Druckverluste zwischen dem Pumpenaustritt (Stelle Pn) und der Spiegeloberfl~iche des Speisewasserbeh~ilters (Stelle Sp) lautet: 1

P P n nc ~ " fl" C~n -~- P ' g "

1

2 "]- P" g" ZSp Jr- Apv ,12-29

ZPn -- PSp -+- ~ " p'CSp

9

(12)

133

2.4 Berechnung von technischen Str5mungen

Das Nullniveau wird wieder auf die H5he der Pumpe gelegt. Damit gilt Zsp - hs und ZPn -- 0. Der Druck auf der Spiegeloberfl~che im Speisewasserbehfilter ist gegeben (psp - ps) und die Geschwindigkeit ist dort vernachl~ssigbar klein (CSp - 0). Der Druck PPn ist der gesuchte Druck Pn. Die Geschwindigkeit am Pumpenaustritt CPn ist gleich der Geschwindigkeit in dem Rohrleitungssystem c3. Eingesetzt in Gleichung (12) ergibt sich fiir den gesuchten Druck: Pn -- PS + P" g" hs - ~1 9p"

+

,12-29

(13)

Mit Gleichung (8) und dem berechneten Zahlenwert fiir den Druckverlust Apv,12-29 erh~lt man fiir den gesuchten Druck Pn -- 11, 5 bar. b) Zur Berechnung der gleichwertigen Rohrl~ngen miissen die Druckverluste in den Rohren gleich dem Druckverlust des Kriimmers bzw. der Riickschlagklappe sein. Damit ergeben sich folgende Bestimmungsgleichungen: 1

c2 ~ 3 - 1

"2 " P"

1

"

-2 " P"

--2 " p " C21" /~1"

c~ @ "

/Kr dl

1

'

1R

-2 " p " C21" /~1" d---1

(14) (15)

Gleichung (14) nach der gesuchten L~nge /Kr aufgelSst ergibt: dl /Kr = ~3 9 ~11 = 2 , 6 m Gleichung (15) nach der gesuchten L~inge 1R aufgel5st ergibt: dl 1R--~5.~=30m

.

Die gleichwertige L~nge der Rohrleitungselemente kann wesentlich grSfoer werden als die L~inge gerader Rohre. Die Berechnung von Rohrleitungssystemen wird vereinfacht, wenn fiir alle Leitungselemente die gleiche Bezugsgeschwindigkeit verwendet werden kann. Es ist aber immer darauf zu achten, dass die fiir die Verlustkoeffizienten maiggebende Geschwindigkeit eingesetzt wird. A u f g a b e 2.4.23

Speicher-Wasserkraftwerk

In d e m in A b b i l d u n g 2.4.23 skizzierten S p e i c h e r - W a s s e r k r a f t w e r k wird W a s s e r der D i c h t e p und der k i n e m a t i s c h e n Viskosit~it L/ aus e i n e m sehr g r o g e n Speicherbeh~ilter fiber eine R o h r l e i t u n g der L~inge l - 250 m und der m i t t l e r e n Sandkornrauhigkeit ks einer Turbine zugeffihrt, in der die

134

2 Grundlagen der StrSmungsmechanik

A b b . 2.4.23 Speicher-Wasserkraftwerk

k i n e t i s c h e E n e r g i e des W a s s e r s t r o m s in e l e k t r i s c h e E n e r g i e u m g e w a n d e l t wird. D i e L e i s t u n g L d e r T u r b i n e soil L = 10 M W 107 W b e t r a g e n . D a s W a s s e r s t r S m t m i t d e r G e s c h w i n d i g k e i t c2 - 5 m / s ins Freie. D e r H / S h e n u n t e r s c h i e d H z w i s c h e n d e m W a s s e r s p i e g e l des S p e i c h e r b e h ~ i l t e r s u n d d e r T u r b i n e betr~igt H - 200 m. I n d e r R o h r l e i t u n g t r e t e n Einlauf(~E), U m l e n k - (~K) u n d R e i b u n g s v e r l u s t e (A) auf. Z a h l e n w e r t e : 1 = 250 m, H = 200 m, p -- 1000 k g / m 3, u - 1 , 5 . 1 0 -6 m2/s, D/ks = 200, A - 0, 03, (E --0, 25, (K ---0, 15, L = 10 M W , c2 - 5 m / s . a) W e l c h e r R o h r d u r c h m e s s e r F a l l r o h r zu w~ihlen?

D ist u n t e r d i e s e n B e d i n g u n g e n fiir das

b) Es soil g e p r i i f t w e r d e n , ob d e r Z a h l e n w e r t A r i c h t i g gesch~itzt w u r d e . LSsung: g e g e b e n : oben aufgefiihrte Zahlenwerte g e s u c h t : a) D, b) Sch/itzwert A richtig? a) Die Ausgangsgleichungen zur LSsung des Problems sind die Kontinuit~tsgleichung und die Gleichung fiir die Leistungsaufnahme der Turbine. Sie lauten: 7r. D 2 V = c 2

"

4

,

(1)

2.4 Berechnung von technischen StrSmungen L=

135

A1T . V

(2)

.

ist der Volumenstrom durch das Fallrohr bzw. durch die Turbine und A/T entspricht der spezifischen Arbeit, die die Turbine pro Volumeneinheit Fluid aufnimmt. gemiit~ Gleichung (1) in Gleichung (2) eingesetzt, ergibt die folgende Gleichung: L - A/w .c2 9

~-D 2 4

--~

4.L D2

A/T -71" 9

(3) 9 C2

In der Gleichung (3) ist /klw noch unbekannt. Eine weitere Gleichung fiir A1w erhiilt man durch die Anwendung der Bernoulli-Gleichung entlang eines Stromfadens von der Stelle 1 zur Stelle 2 unter Beriicksichtigung der StrSmungsverluste und der Energieentnahme durch die Turbine. Die Gleichung lautet: P. c~ + Apv p l + -~ p 9 c~ + p . g . H - A1T -- P2 + -~

(4)

9

In Gleichung (4) steht auf der linken Seite --A/T, da dem Fluid Energie entzogen wird. Die Driicke pl und p2 sind gleich dem Umgebungsdruck p o u n d heben sich gegenseitig auf. Die Absinkgeschwindigkeit Cl des Wasserspiegels im Speicherbeh~lter ist klein, so dass c21 ~ 0 ist. Gleichung (4) vereinfacht sich mit einer einfachen Umformung zu: A/T -- p . g . H -

~;v

(5)

~ + ~ + 2. r

(6)

-~ P . c~ -

Fiir die Str5mungsverluste ergibt sich:

~Xpv = ~

Apv g e m ~ Gleichung (6) in Gleichung (5) eingesetzt, ergibt die endgfiltige Gleichung ffir A/T. Sie lautet: A 1 T -- p . g . H - P . c22 - ~ p . c~ . (,~ . ~l + ~ + 2. ~ )

(7)

Die Bestimmungsgleichung fiir D erh~lt man nun, indem man die rechte Seite der Gleichung (7) gleich der rechten Seite der Gleichung (3) setzt. Man erhiilt die folgende Gleichung: p.g.H_P.c~.(l+A.

1

-~

~

) + ~E + 2 " ~K

4.L -

. 75~ : C2

'

die mit einer einfachen Umformung auf die folgende Form gebracht wird: D e+A.D+B-0

,

(8) A.1 .c~

2.9.H-c~.[1+2.r 8.L p. Tr. (2.c2 . g . H - c~-[1 + 2. ~K + ~E])

136

2 Grundlagen der StrSmungsmechanik

Mit den gegebenen Zahlenwerten erh~ilt man fiir A und B: A=-0,0483m

,

B=-1,3108m

2

.

Die LSsungsformel fiir die quadratischen Gleichungen (8) -B

D1,2 =---~- i

ergibt die LSsungen D1 = 1, 17 m und D2 = - 1 , 12 m. Die physikalisch sinnvolle LSsung ist offensichtlich: D1 = D = 1, 17 m. b) Zur 0berpriifung, ob der Zahlenwert A richtig gesch~tzt wurde ist zuerst zu kl/iren, ob die Innenwand des Rohres hydraulisch glatt ist. Zur Berechnung der Dicke A der viskosen Unterschicht gilt die nachfolgende Formel: A D ReD =

12, 64 ReD c2. D lJ

.

Fiir die Reynolds-Zahl R e D erh~lt man den Wert R e D ---- 3,9-106, so dass sich mit der Formel der Wert A / D -- 1, 4 4 - 1 0 -4 ergibt. Das Verh~iltnis k s / D betr~gt k s / D - 1/200 - 5 - 1 0 -3, d.h. die mittlere Sandkornrauhigkeit ks ist gr5t~er als die Dicke A der viskosen Unterschicht. Die Innenwand des Rohres ist also nicht hydraulisch glatt, so dass der Wert fiir A zweckm/~ig mit dem Nikuradse-Diagramm iiberpriift wird. Das Diagramm zeigt, dass fiir .ReD -- 3, 9.106 und D / k s - 200 der Wert A - 0 , 03 ausreichend genau gesch~tzt wurde.

A u f g a b e 2.4.24

EinlaufstrSmung

A b b . 2.4.24a Einlaufstr5mung In e i n e m R o h r existiert das an der Stelle 1 skizzierte G e s c h w i n d i g keitsprofil mit e i n e m s p r u n g h a f t e n W e c h s e l der G e s c h w i n d i g k e i t von u l / 3

2.4

Berechnung

von technischen

137

Strbmungen

a u f U l0 E n t l a n g des R o h r e s b i l d e t sich ein p a r a b e l f ' 6 r m i g e s G e s c h w i n d i g k e i t s p r o f i l aus. a) W i e g r o g ist d e r M a s s e n s t r o m ? b) W i e g r o g ist die m i t t l e r e G e s c h w i n d i g k e i t U2,m des p a r a b o l i s c h e n Geschwindigkeitsprofils? c) W i e grot~ ist die m a x i m a l e G e s c h w i n d i g k e i t U2,max d e s p a r a b o l i s c h e n G e s c h w i n d i g k e i t s p r o f i l s bei r - 0? d) G e b e n Sie die G l e i c h u n g des p a r a b o l i s c h e n in A b h i i n g i g k e i t v o n r an.

Geschwindigkeitsprofils

u2(r)

e) Ist die S t r S m u n g l a m i n a r o d e r t u r b u l e n t ? f) S k i z z i e r e n Sie d e n S c h u b s p a n n u n g s v e r l a u f [r[2 fiber r ffir die S t r ~ m u n g a n d e r S telle 2. Lbsung: g e g e b e n : u l,/9, D gesucht:

a) rh, b) U2,m, C) U2,max, d) u 2 ( r ) , e) laminar oder turbulent, f) Irl2(r)

a) Fiir den Massenstrom in dem Rohr gilt: rh -

I

p" u ( r ) . d A

tl

A

Mit dA = 2. re. r . dr folgt hieraus fiir die inkompressible Strbmung: D 7

rh

2.

re"

p"

/

u(r)

9

r . dr

o

Der Massenstrom ist muss wegen der Kontinuitgt durch jeden Querschnitt gleich sein. Damit erhglt man an der Stelle 1: --ff

rh-

2 . rc . p . /

T

(r) . r . dr -

2 .

(r) . r . dr

o

= 2. ~ - p .

(r) . r . dr D__ 4

Ij } 1 Ul

~

.r.dr+

Ul . r . d r

.

D 4

Daraus berechnet sich der Massenstrom zu: 5

7J~-- X-7 " ~ ' p ' ~ Z l

"

D2

(1)

138

2 Grundlagen der StrSmungsmechanik

b) Aus der Kontinuit~it folgt: 7r D 2 . p . ~--4.

u2,m

9

Daraus ergibt sich die mittlere Geschwindigkeit U2,m zu: 4 rh D2 71" ./9

. . . . . . U2,m

=

9

Mit Gleichung (1) erh~ilt man: 5 U2,m

--

~

"Ul

(2)

c) Fiir ein parabolisches Geschwindigkeitsprofil bei einer RohrstrSmung mit der Maximalgeschwindigkeit auf der Achse gilt U2,m~x = 2" U2,m. Daraus berechnet sich die Maximalgeschwindigkeit zu 5 U2,max

--

3

"~tl

9

(3)

d) Allgemein beschreibt die Gleichung u2(r)

= A. r 2 + B.r + C

(4)

das parabolische Geschwindigkeitsprofil an der Stelle 2. Da die Maximalgeschwindigkeit auf der Achse (r = 0) erreicht wird, gilt d u 2 / d r ( r = O) = O. In Gleichung (4) eingesetzt folgt B = 0. Mit der Bedingung u 2 ( r = 0) = U2,max ergibt sich aus Gleichung (4) C = U2,max. Schliet~lich folgt aus der Haftbedingung u 2 ( r = D / 2 ) = 0: D2 0 - A . -~- + lt2,max A-

~

4

" lt2,max ~

,

.

D2

Setzt man die Konstanten A, B und C und die Gleichung (3) in Gleichung (4) ein e r h ~ t man fiir das Geschwindigkeitsprofil u2(r): 20"Ul u2(r)

-- -

3 . D 2 . r

2

5 + -~ . u x

,

5 u2(r)-- ~.ul-

(

r2 ) 1-4.~-{

.

(5)

e) Bei einem parabolischen Geschwindigkeitsprofil handelt es sich um eine laminare Str5mung. f) Der Schubspannungsverlauf berechnet sich aus: T2(r) -- #

du2(r) dr

2.4 Berechnung von technischen Str5mungen

139

lr

D

A b b . 2 . 4 . 2 4 b Schubspannungsverlauf der Rohrstr5mung

Mit Gleichung (5) erh~lt man fiir T2(r): T2(r) -- 40 3

Ul " ~ "

r

D2

Damit ist der Schubspannungsverlauf linear und auf der Achse gilt T2(r -- 0) -- 0. Es ergibt sich der in Abbildung 2.4.24b skizzierte Verlauf.

2.4.5

StrSmungen Nicht-Newtonscher Medien

A u f g a b e 2.4.25

RohrstrSmung

A b b . 2.4.25 Rohrstr5mung Newtonscher Medien

f(w)-O

f(~-)- _;_.

Nicht--

ftir

E i n R o h r d e r L~inge L w i r d y o n e i n e m N i c h t - N e w t o n s c h e n Bingham-Medium durchstrSmt. Die S t r S m u n g ist i n k o m p r e s s i b e l , rotationssymmetrisch, laminar und in S t r S m u n g s r i c h t u n g a u s g e b i l d e t . D i e s t a t i s c h e n D r f i c k e pl u n d p2 a n d e n S t e l l e n 1 u n d 2 sind k o n s t a n t fiber d e n Q u e r s c h n i t t . D i e Fliegf u n k t i o n du/dr = f(~) d e s B i n g h a m M e d i u m s s c h r e i b t sich:

O< T,r,(] ~ 1 Tf

~_

T(r) > 1 Tf

140

2 G r u n d l a g e n der S t r S m u n g s m e c h a n i k

m i t d e r k o n s t a n t e n Z~ihigkeit #. Es gilt w e i t e r h i n 7 ( r - R) > 7f. D a s F l u i d verh~ilt sich u n t e r h a l b d e r F l i e g s p a n n u n g Tf wie ein f e s t e r e l a s t i s c h e r K S r p e r u n d o b e r h a l b vf wie ein N e w t o n s c h e s M e d i u m . In d e r R a n d z o n e striimt das Newtonsche Medium mit einem parabollschen Geschwindigkeitsprofil. D i e K e r n z o n e verh/ilt sich wie ein f e s t e r K S r p e r . a) M a n b e r e c h n e d e n V o l u m e n s t r o m F l i e g f u n k t i o n f(7).

V in Abh~ingigkeit d e r a l l g e m e i n e n

b) M a n s e t z t e ffir f(T) die Flief~funktion des B i n g h a m - M e d i u m s b e r e c h n e d e n V o l u m e n s t r o m V.

ein u n d

LSsung: g e g e b e n : #, 7f, pl, p2, R, L gesucht: a) Fiir den Volumenstrom in dem Rohr gilt: - I u(r). dA ,] A

Mit dA = 2.7r. r . dr folgt hieraus: R

o

Mit der partiellen Integration erh~ilt man:

9-2.~.

(i

u(r) .

o

~ o

. -~ . dr

)

Wegen der Haftbedingung gilt u ( r - R) - 0 und f/ir r - 0 ist r 2 / 2 - O. Damit feillt der erste Summand in der Klammer weg und es ergibt sich fiir den Volumenstrom mit d u / d r - f(z)" R

-- - 2 9zr-

f(T). --~-. dr

(1)

0

Aus einem Kr/iftegleichgewicht an einem zylindrischen Volumenelement folgt f/ir die Schubspannung einer ausgebildeten RohrstrSmung (Kapitel 2.4.4, H. Oertel jr., M. B6hle 2004)" T(r)-

dp

r

dx "2

"

(2)

2.4

Berechnung

von

technischen

141

Str5mungen

An der W a n d gilt mit Zw - 7 ( r -

R)' dp R Zw = dx "-2

(3)

Dividiert m a n Gleichung (2) durch Gleichung(3) erhElt m a n fiir die Schubspannung:

T(r) -- ~w'~

?~

Nach dem Radius r aufgel5st ergibt sich"

r-

R-~,r,(~

(4)

Tw

dr-

R . dT(r)

(5)

Tw

Die Gleichungen (4) und (5) werden in die Gleichung (1) eingesetzt. Damit berechnet sich der Volumenstrom mit T(r - 0) - 0 und T(r - R) - Tw aus: 7"w

lJ

-

-Tr-

- ~ w3

9

f(T).

(6)

dr

7 2(r).

0

b) Durch Aufspaltung des Integrals in Gleichung (6) erh~ilt man: 1/-

-~.

~-~w 3 9

fiT). T 2 ( r ) . d T +

i

fiT)-T 2 ( r ) . dT

Tf

)

Im Intervall 0 < T(r) < Tf ist fiT) -- 0, SO dass das erste Integral zu Null wird. Fiir den Volumenstrom gilt damit: Tw

-- - ~ - -~-w39

fiT)-72 ( r ) - d T

Tf

Fiir die W a n d s c h u b s p a n n u n g gilt Zw > zf. Setzt m a n die gegebene Funktion fiir fiT) im Intervall r(r) > Tf ein, folgt: Tw ~

--7t" "

rw3. #

(T 3 (r) - T 2 ( r ) . r e ) . dT Tf

Die Integration fiihrt auf: r --

--7]" "

R3

1

Tw3. ~

~r

m

--TF .

?=__~. 4

R3

. T4(r)

1 . z2 ~

(r)

( 1 4 1 3

~w~., ~ r R 3 9 "rw

--

~

.

9 Tf

5r162 +/~ r

(()4) 1_4

1

Tf

Tf_l -

3"~w

1

3

.

Tf __

~w

)

(7)

2 Grundlagen der StrSmungsmechanik

142

Aus Gleichung (3) erhfi]t man fiir die Wandschubspannung:

Tw------

(pl - p 2 ) . R

2.L

Diese Wandschubspannung in (7) eingesetzt ergibt als Ergebnis fiir den Volumenstrom:

8"

#. L

A u f g a b e 2.4.26

3" (pl - p 2 ) " R + V "

(pl - p 2 ) " R

"

SchwebekSrper D u r c h ein s e n k r e c h t s t e h e n d e s R o h r d e r L[inge L u n d d e m D u r c h m e s s e r D wird ein N i c h t - N e w t o n sches M e d i u m d e r D i c h t e pf gep u m p t . A m E i n t r i t t des R o h r e s ist d e r D r u c k pl~ a m A u s t r i t t p2. Die Drficke sind fiber d e n Q u e r s c h n i t t k o n s t a n t . Die S t r S m u n g im R o h r ist fiber die g a n z e L~inge ausgebild e t . D a s G e s c h w i n d i g k e i t s p r o f i l ist in A b b i l d u n g 2.4.26 d a r g e s t e l l t :

Abb. 2.4.26a SchwebekSrper

RohrstrSmung

mit

]

(1)

I m R o h r s c h w e b t im A b s t a n d D/4 von d e r R o h r w a n d eine g l a t t e K u g e l m i t d e m D u r c h m e s s e r d u n d d e r D i c h t e Pk- Es gilt d << Dr d. h. die Ans t r S m g e s c h w i n d i g k e i t d e r K u g e l ist fiber d k o n s t a n t . Ffir die d y n a m i s c h e Z~ihigkeit des N i c h t - N e w t o n s c h e n M e d i u m s gilt f o l g e n d e B e z i e h u n g : K ~eff(~') -- ~ 0 -~- ~

ild~

9

(2)

mit d e r K o n s t a n t e n K. a) U m was ffir eine A r t von N i c h t - N e w t o n s c h e m M e d i u m h a n d e l t es sich?

2.4 Berechnung yon technischen StrSmungen

143

b) W i e g r o g ist d e r D r u c k v e r l u s t Apv - - p l - p 2 in d e m R o h r , w e n n k e i n e K u g e l in d e m R o h r s c h w e b t c) W i e g r o g ist die R e y n o l d s - Z a h l d e r K u g e l a n s t r f m u n g s t a n d s b e i w e r t Cw d e r K u g e l ffir d e n v o r l i e g e n d e n Fall?

und der Wider-

LSsung: gegeben:D

= 0,4 m, d = 5 . 10 -4 m, L = 5 m, Umax = 0,5 re~s, #o --- 9 . Xs/m 2, /Of = 1 0 0 0 kglTYt 3, ,Ok = 2 2 0 0 k g l ~ ~, g = lO m / s , K = 0.002 N X/-s/m 2 10 -4

g e s u c h t : a) Medium, b) Apv, c) R e , Cw a) Fiir die Schubspannung der RohrstrSmung gilt: du

du

_

K-du dr

v/l I Der Anstieg der Schubspannung nimmt nach Gleichung (3) mit steigendem d u / d r langsam ab. Damit handelt es sich um ein pseudoplastisches Medium.

b) In Abbildung 2.4.26b sind die am Kontrollraum wirkenden Kr~fte eingetragen. Dabei sind Fpl und Fp2 die Druckkr~fte, FR die Reibungskraft und F c das Gewicht der Fliissigkeit. Die Kr~ftebilanz in vertikaler Richtung ergibt: .(4)

[ F p l l - I F p 2 [ - ] F R I - IFGI = 0

Die Druckkr~te berechnen sich aus: 7r . D2 ]Fpl] - pl " A1 - pl " -~ IFp21

-

p2 . A2

-

7r . D 2 p2 . -~

, (5) (6) .

A b b . 2.4.26b Kontrollraum um die Fliissigkeit Fiir die Gewichtskraft ergibt sich: [FG[--

}Of " g " Yf - - Df " g "

L. 7r . D2

(7)

144

2 Grundlagen der StrSmungsmechanik

Die Reibungskraft schlieglich wird mit der Schubspannung an der Rohrwand berechnet: D t F R [ - --7-(r = -~-). L.Tr. D (8) Fiir den Geschwindigkeitsgradienten ergibt sich: du r2 dr - --24"Um~x D3 m

9

(9)

Damit gilt an der Wand du (r - D dr 2)--6"

Um~x D

Eingesetzt in Gleichung (3) und dann in Gleichung (8) erh~t man fiir die Reibungskraft: 'FR]--( #~

umaxD+ K "

(10)

l U m a x ) ' LD' T r ' D 6 "

Die Gleichungen (5) - (7) und (10) eingesetzt in die Kriiftebilanz (4) ergibt: ( p l - p2 - p f . g . n ) . ~

-

(

§

/

6 . ~

. L . Tc . D = O

Hieraus folgt fiir den gesuchten Druckverlust: Apv=pl-p2--4.~-

#o'6"

D

+K.

6.---D--

+ pf" g ' L = 0 ' 5 b a r

.

Vergleicht man den Druckverlust durch die Reibung (0, 61 N / m 2) mit dem Druckverlust durch die HSheniinderung (50000 N / m 2) erkennt man, dass der Anteil der Reibung vernachl~sigbar klein ist. c) Die AnstrSmgeschwindigkeit der Kugel ergibt sich aus dem gegebenen Geschwindigkeitsprofil (1) an der Stelle r - D / 4 : u(r-

D 7 --~-)- ~ "Umax--0.44

m/s

(11)

.

Zur Bestimmung der Z~higkeit des Mediums wird der Geschwindigkeitsgradient (9) an der Stelle r - D / 4 benStigt" du dr

- -

_

_

3 Umax 2 D .

.

Eingesetzt in Gleichung (2) ergibt sich die dynamische Zfihigkeit an der Stelle r D / 4 zu:

~o.(~-

5-)

-

.o + K.

9

= 2.4.10 U

m

a

x

-3 N~/~

~

(12)

145

2.4 Berechnung von technischen Str6mungen

Die Reynolds-Zahl der KugelanstrSmung ergibt sich dann mit den Zahlenwerten aus den Gleichungen (11) und (12) und den gebenen Zahlenwerten:

/Z(r -- ~)" d./gf

Red =

=

= 92, 8

Der Widerstandsbeiwert berechnet sich mit der Querschnittsfl/iche Ak der Kugel und der Widerstandskraft Fw aus: jEw[ Cw----1~ "/Of . u 2 ( r .

~ ).

Ak.

-

fw] ~.

iof. u 2 ( r -

~)

d2

"

(13)

Zur Bestimmung der Widerstandskraft der Kugel wird eine Kr/iftebilanz an der Kugel durchgef/ihrt: [Fr

[Fw] + [FA[

,

I S w l - I F c l - IFAI

(14)

Das Gewicht Fc ergibt mit dem Volumen Vk der Kugel:

IFGI -

Pk'g"

7r . d3 " p k ' g

Vk -- -~

(15)

Die Auftriebskraft FA berechnet sich mit 71" 3 IFAI -~- /gf " g - Vk -- ~ " d 9 pf "g

(16)

Setzt man die Gleichungen (15) und (16) in Gleichung (14) ein und diese dann in Gleichung (13) erh~ilt man mit Gleichung (11) f/ir den cw-Wert" 256 Cw-- 147

Aufgabe 2.4.27

d.g

u~•

(P~f - 10 - 0.042

Viskosit/it von Blut

Blut ist ein Nicht-Newtonsches Medium, dessen Schubspannung nblherungsweise mit der G leichung: v ~ = V/Pe~ " ~ = x/K" X/~ + v/C

(1)

angegeben w e r d e n kann, mit den K o n s t a n t e n C und K. W e i t e r h i n gilt fiir den Zusammenhang zwisehen der Sehubspannung T, der S e h e r r a t e -~ und der Viskosit/it des B l u t e s #p mit der K o n s t a n t e n t: i 7__ _ 1.53. vf~d

2

(2)

146

2 Grundlagen der StrSmungsmechanik

a) M a n b e r e c h n e die B l u t v i s k o s i t i i t #p in A b h i i n g i g k e i t yon d e r S c h e r r a t e . b) M a n bilde die G r e n z w e r t e d e r b e r e c h n e t e n F u n k t i o n #p(-~) fiir ~ --~ oo u n d 9 --* 0. c) M a n skizziere die B l u t v i s k o s i t l i t in A b h i i n g i g k e i t yon d e r S c h e r r a t e . LSsung: g e g e b e n : C = 4 , 8 . 1 0 -2 k g m - l s -2, K = 7 , 0 2 . 1 0 -4 k g m - l s -1, t = 1 s, T(~/) g e s u c h t : a) #p('~), b) l i m # _ ~ #p(-~), lim#-~0 #p(~/), c) Skizze #p(9) a) Durch Einsetzen von Gleichung (1) in Gleichung (2) ergibt sich:

v ~ . v ~ + ~/-C = 1.53. V~ + 2

/

Aufl5sen nach #p ergibt:

/2

b[tp - -

.

(3)

1.53 V/-~+ ~ t b) Der Grenziibergang ~ --* 0 von Gleichung (3) ergibt: lim ~lim o #p = -~---,o

v/-~" x/~ + ~~

/

= ~C. t - 1 , 2 - 1 0 -

2 kgm -1 s -1

(4)

/2

Der Grenziibergang ~ --~ c~ von Gleichung (3) ergibt: lim pip ~--*~

--

lim ~--*~

v/-~" x / ~ + ~ 1.53 v/~ + ~ t

_-- K -- 3 . 1 0 -4 2, 34

kgTYt-18

-1

9

(5)

c) Aus Gleichung (3) und mit den Grenziibergiingen (4) und (5) kann die Skizze 2.4.27 fiir die Funktion #p(~) erstellt werden.

101 10 ~ 10-1 . . . . = 10 -4 10 -2 10 ~ 102 104 1'06 y/S A b b . 2.4.27 Viskosit~t des Blutes

2.4 Berechnung von technischen StrSmungen 2.4.6

147

StrSmungsablSsung

Aufgabe

2.4.28

Schornstein

A b b . 2 . 4 . 2 8 a Sch0rnstein

A b b . 2 . 4 . 2 8 b c w - V e r l a u f fiber

Red

E i n F a b r i k s c h o r n s t e i n d e r H S h e H - 100 m, d e s s e n D u r c h m e s s e r v o n u n t e n (du = 6 m) n a c h o b e n (do = 0,5 m) l i n e a r a b n i m m t , w i r d m i t e i n e r l~ings d e r g a n z e n H S h e k o n s t a n t e n A n s t r S m g e s c h w i n d i g k e i t U ~ = 1, 6 m/s ( k i n e m a t i s c h e Z~ihigkeit d e r L u f t ~, - 1 5 . 10 -6 m2/s, D i c h t e d e r L u f t p : 1,234 kg/m 3) a n g e s t r S m t ( s i e h e A b b . 2 . 4 . 2 8 a ) . F i i r d e n W i d e r s t a n d s b e i w e r t Cw e i n e s S e g m e n t e s d e r H S h e dz w i r d d i e A b h ~ i n g i g k e i t Cw - f(Red) des Kreiszylinders zur Absch~itzung der Windbelastung des Schornsteins zugrunde gelegt. Unter der idealisierenden Annahme~ dass der Widerstandsbeiwert ffir d e n u n t e r k r i t i s c h e n B e r e i c h (Red < 3, 5. 105) d e n k o n s t a n t e n Z a h l e n w e r t Cw,u - 1, 2 b e t r ~ i g t u n d n a c h s p r u n g a r t i g e m U b e r g a n g i m i i b e r k r i t i s c h e n B e r e i c h (Red > 3 , 5 . 105) d e n k o n s t a n t e n W e r t Cw,a = 0,4 a u f w e i s t (sieh e g e s t r i c h e l t e r V e r l a u f in A b b . 2 . 4 . 2 8 b ) , soil d i e W i n d l a s t W a u f d e n Schornstein ermittelt werden. LSsung: g e g e b e n : du = 6 m, do = 0,5 m, H = 100 m, U ~ = 1,6 re~s, r, = 1 5 . 1 0 -6 p = 1,234 kg/m 3, R C k r i t = 3, 5 . 1 0 5 , Cw,u = 1, 2, Cw,a = 0, 4 gesucht:

m2/s,

W

Der W i n d wirkt an einer beliebigen Stelle z mit der Kraft d W auf ein Kreiszylin-

148

2

Grundlagen

der StrSmungsmechanik

dersegment des Durchmessers d ( z ) und der H5he dz. Mit der Definitionsgleichung ffir den Widerstandsbeiwert Cw erh~lt man fiir dW: d W - cw

P

2

-~ . U ~ . d ( z ) . d z

(1)

.

Die Windlast W wird durch Integration der rechten Seite der Gleichung (1) ermittelt. Mit ihr ergibt sich: H

W -

(2)

Cw. -~. U ~ . d ( z ) . d z 0

Der Durchmesser d ( z ) kann unmittelbar mit der folgenden Gleichung angegeben werden, da er linear fiber z von du auf do abnimmt. Man erh~lt" d(z)--

du -- do

H

.z+du

(3)

.

d ( z ) g e m ~ der Gleichung (3) in Gleichung (2) eingesetzt, ergibt:

/.. (.u_.o) H

W=

Cw'~-U&"

-

H

-z+du

(4)

.dz

0

Zur Durchfiihrung der Integration ist nun zu k l ~ e n , ob sich der cw-Wert in dem Intervall [0, HI ~ d e r t . Dazu sollen die Reynolds-Zahlen Reu und Reo berechnet werden: R e u -- U ~ . du - - 6 , 4 8 . 1 0 5

,

Reo -

U ~ . do - - 0 , 5 4 . 1 0 5

1,1

/2

Der untere Teil des Schornsteins wird also mit einer fiberkritischen, der obere Teil mit einer unterkritischen Reynolds-Zahl umstr5mt, da Reo < Rekrit < R e u ist. Mit der folgenden Rechnung wird die Stelle z = Z k r i t ermittelt, an der der cw-Wert schlagartig seinen Wert ~indert. An der Stelle z = Zkrit hat der Durchmesser d den Wert d - - d k r i t . Mit der Definitionsgleichung der Reynolds-Zahl und der Gleichung (3) ergibt sich die folgende Rechnung: Rekrit -- Uc~ "udkrit --

Zkrit - -

(

U~ - d~ u " ( - du H

//. Rekrit _ d~ Ucx)

9 Zkrit

-~- du I

) 9 do "- du = 50,2 m

.

Das in Gleichung (4) stehende Integral wird zur Berechnung in zwei Integrale anfgeteilt. Der erste Teil steht fiir das Intervall [0, Z k r i t ] , fiir den Cw den Wert Cw - Cw,~

2.4 Berechnung von technischen StrSmungen

149

annimmt. Der Bereich [Zkrit, H] ist der zweite Teil der Integration, fiir den Cw den Wert Cw - Cw,u annimmt. Man e r h ~ t also: Zkrit

W-

Cw,ii-~-U~" 0 H

+/

p

~w,u ~ . u s

-

H

2(du-do -

H

.z+du

.~+du

-dz+

)

-dz

(5)

Zkrit

Die in Gleichung (5) vorhandenen Integrale kSnnen nun gelSst werden. AIs Ergebnis ergibt sich die folgende Formel:

P2

W -- ~ 9 V L 9 Cw,ii 9

-J- Cw,u

( do2 -- Hdu " Zkrit 2

-'~ d u 9 Zkrit

do-du (H e - Zkrit e ) -+- Cw,u" d u . 2" O

)

--~

]

(O - Zkrit)j

(6)

Mit den entsprechenden Zahlenwerten ergibt sich fiir die Windlast W der Zahlenwert: W - 331, 2 N. A u f g a b e 2.4.29

Briickenpfeiler

u2

A b b . 2.4.29 Briickenpfeiler (Original)

Zur Ermittlung der Widerstandskraft, die ein Briickenpfeiler in einer WasserstriJmung erf'fihrt, wird ein verkleinertes Modell (siehe A b b . 2.4.29) i m W i n d k a n a l unt e r s u c h t . M o d e l l u n d Grogausfiihrung sind geometrisch iihnlich. A u g e r d e m wird fiir den Versuch das R e y n o l d s s c h e A h n l i c h k e i t s g e setz erfiillt. Wie grog ist unter diesen Voraussetzungen das Verhliltnis der Widerstandskrllfte W1/W2 v o n M o d e l l (index 1) und Original (index 2)?

Gegeben sind die Dichten pl bzw. p2 fiir Luft bzw. Wasser sowie die d y n a m i s c h e n Z~ihigkeiten #1 bzw. #2 d e r b e i d e n g e n a n n t e n F l u i d e .

150

2 Grundlagen der Str5mungsmechanik

Zahlenwerte: pl = 1,234 kg/m 3, p2 = 1000 kg/m 3, #1 = 18,2. 10 -6 N s / m 2, p2 = 1002-10 -6 N s / m 2. LSsung: gegeben: obige Zahlenwerte gesucht: W1/W2 Die Widerstandskr~ffte kSnnen mit der Definitionsgleichung fiir den cw-Wert ausgedriickt werden. Sie lauten: W1 -- Cw(.Red) " ~

(1)

" U 2 . dl . hi

W~ - C w ( n ~ ) 9 ~ - U ~ .

(2)

d~-h~

Die cw-Werte sind in den beiden Gleichungen gleich, da die Str5mungen sowohl um die Grogausfiihrung als auch um das Modell inkompressibel sind. Mit den Gleichungen (1) und (2) ergibt sich unmittelbax die folgende Gleichung: W1

p._.~l . f U l ~ 2

dl

hi

(3)

w~-p~ ~JE ~-~E

Da das Modell der Gro~ausfiihrung geometrisch ~hnlich ist, gilt fiir alle Abma~e ll (Modell) und 12 (Gro~ausfiihrung) folgender Zusammenhang: ll dl hi 1-2- d2 = h2

(4)

Mit der Gleichung (4) vereinfacht sich die Gleichung (3) zu:

w~ - p~

~

N

"

(5)

Da das Reynoldssche Ahnlichkeitsgesetz eingehalten wird, sind sowohl fiir den Modellversuch als auch fiir die Str5mung um die Grogausfiihrung die Reynolds-Zahlen gleich, so dass gilt:

Red-- p l ' U l ' d l

_ p2"U2"d2 #2

~tl

,

dl __ p___22,U 2 , ~1

d2

pl

U1

(6)

#2

Das Verh~iltnis dl/d2 g e m ~ der Gleichung (6) in Gleichung (5) eingesetzt, ergibt das gesuchte Ergebnis zu:

We

.

. . pl

.

0, 27

.

2.4 Berechnungv0n technischen StrSmungen Aufgabe 2.4.30

151

Kugelumstriimung

K S r p e r u m s t r S m u n g e n bei kleinen Reynolds-Zahlen ( R e D < 1 mit D = 2.R) werden in der Technik als schleichende StrSmungen bezeichnet. Sie treten z. B. auf~ wenn die AnstrSmgeschwindigkeit klein bzw. die Viskosit/it des s t r S m e n d e n M e d i u m s grog ist. In dieser Aufgabe soil die schleichende~ inkompressible StrSmung um eine Kugel mit d e m D u r c h m e s s e r D b e t r a c h t e t werden. Fiir eine solche StrSmung existiert eine analytische LSsung der Navier-Stokes-Gleichungen~ die nachfolgend in Polarkoordinaten r, 0 angegeben ist. Fiir die Geschwindigkeitskomponenten ur~ u~ und den Druck p gilt (vgl. Abb. 2.4.30a, U ~ p~ - ZustrSmgrSgen): 1+~-

7

-1+~

1 (R)3 9 -r

u,.-U~.cos(O).

[ uo-U~.sin(vg).

p - poo -

-

3 . # . Uoo 2 .r

( R \ /r

-~

+

, 3 4

(R)I -r

(1)

'

(2)

(3)

.cos(O)

Mit den Gleichungen (1) und (2) l/isst sich die vom Fluid auf die Kugel iibertragene Schubspannung Tk ermitteln. Fiir sie ergibt sich zusRtzlich die folgende G leichung:

3 rk--p'~"

(4)

Uoo. sin(0) R

Y

X

Abb. 2.4.30a Schleichende Kugelumstr5mung

152

2 Grundlagen der StrSmungsmechanik

Der U m s t r S m u n g s w i d e r s t a n d W eines KSrpers setzt sich aus e i n e m D r u c k w i d e r s t a n d WD und e i n e m R e i b u n g s w i d e r s t a n d WR z u s a m m e n , also: W ---- WD ~- WR (siehe K a p i t e l 2.3.2, H. Oertel, M. BShle 2004). In d i e s e r A u f g a b e soil der Druck-, Reibungs- und G e s a m t w i d e r s t a n d , der a u f eine K u g e l m i t d e m R a d i u s R in einer schleichenden S t r S m u n g mit den ZustrSmgrSgen U~ und p ~ wlrkt, b e r e c h n e t werden. D a s s t r S m e n d e F l u i d besitzt die Z~ihigkeit #. LSsung: g e g e b e n : U~, p~, R,/z gesucht: WD, WR, W 1. Berechnung des Druckwiderstandes: Der Druckwiderstand resultiert aus der Integration der in AnstrSmrichtung wirkenden Komponenten der DruckkrMte (horizontale Komponenten in dieser Aufgabe) dFD,x = Pk" cos(0)-dA (siehe Abb. 2.4.30b), also: WD -- -- / Pk" COS(~9). dA

(5)

A b b . 2.4.30b Druck- und SchubspannungskrMte Auf der Fl~che dA, die in Abbildung 2.4.30b angedeutet ist, ist der Druck Pk konstant. Das Minuszeichen auf der rechten Seite der Gleichung (5) beriicksichtigt, dass die Kr~fte dFD,x fiir 0 < z9 < 90 ~ in negative x-Richtung und fiir 90 ~ < z9 < 180 ~ in positive x-Richtung wirken. Das Fl~henelement dA wird wie folgt ausgedriickt: dA=2.Tr.b.R.dO

,

(6)

dA = 2- 7r- R 2 9sin(va) 9dO Gleichung (6) in Gleichung (5) eingesetzt, ergibt: WD -- -- f Pk" 2" 7r. R 2. COS(0). sin(0), dO

.

(7)

t ]

o

Der Konturdruck pk(0) ergibt sich mit der Gleichung (3) m i t r = R zu: Pk = - - ~3" ~. Ru ~ . cos(~) + p ~

.

(8)

2.4

153

Berechnung von technischen Str5mungen

Gleichung (8) in Gleichung (7) eingesetzt, ergibt die folgende Bestimmungsgleichung f/ir den Druckwiderstand WD" 7r

9cos(0) - Pool 92.7r- R 2- cos(0), sin(0)-dO

.

0

Mit der LSsung des Integrals ergibt sich die folgende Formel ftir WD"

(9)

W D - - 2 " 71"- p " Uo~ 9 R

2. Berechnung des Reibungswiderstandes: Der Reibungswiderstand WR bestimmt sich mit der Integration der horizontalen Komponenten der Tangentialkr~ifte dFR,x = [T]. sin(0), dA, die von dem Fluid auf die Kontur iibertragen werden, also: WR

I

~'[" sin(0), dA

(10)

A

Durch die Betragsstriche entf'~lt die Berticksichtigung des Vorzeichens, das ftir diese Berechnung nicht n5tig ist, da sin(0) ftir 0 < 0 < zr grSfber als Null ist. ~- gem~g Gleichung (4) und dA gem~it~ Gleichung (6) in Gleichung (10) eingesetzt, ergibt: 71"

W R - / ~. (3-~. U~176 R

"dO

0 7r

/3.zr

. # . Uo~. R-sin3(0) 9dO

(11)

0

Mit der LSsung des in Gleichung (11) vorhandenen Integrals erh/ilt man fiir WR die folgende Formel:

WR - 4.1r. p. U~ . R Der Gesamtwiderstand W setzt sich aus dem berechneten Druck- und Reibungswiderstand zusammen. Er berechnet sich also zu: W-

WD + WR -- 6.71-. p-Uoc

9R

Bildet man den dimensionslosen Beiwert" Cw

W ~ . U~.~./~2

so erh/ilt man die einfache Formel" 24 Cw - - R e D

,

U~ 9D '

RED

/Y

(12)

154

2 Grundlagen der StrSmungsmechanik

A u f g a b e 2.4.31

Wirbelstrage

A n e i n e m a n g e s t r S m t e n D r a h t s e t z t b e i e i n e r R e y n o l d s - Z a h l y o n Rekrit -40 e i n e p e r i o d i s c h e W i r b e l a b l S s u n g ein. B e i m E i n s e t z e n d e r W i r b e l s t r a f~e ist die S t r o u h a l - Z a h l S t r O, 11. D i e R e s o n a n z f r e q u e n z d e s D r a h t e s betr~igt 40 s-1. a) M a n b e r e c h n e die G e s c h w i n d i g k e i t u ~ bei d e r die F r e q u e n z d e r einsetzenden WirbelablSsung der Eigenfrequenz des Zylinders entspricht. b) M i t s t e i g e n d e r R e y n o l d s - Z a h l s t e i g t die S t r o u h a l - Z a h l a u f d e n fiir e i n e n w e i t e n B e r e i c h k o n s t a n t e n W e r t S t r - 0, 2. M a n d i m e n s i o n i e r e d e n D r a h t d u r c h m e s s e r so~ d a s s bis zu e i n e r S t r S m u n g s g e s c h w i n d i g k e i t y o n 10 m / s k e i n e R e s o n a n z a u f t r i t t . (Die S t r o u h a l - Z a h l u n d die R e s o n a n z f r e q u e n z sind k o n s t a n t ) . D e r D r a h t d u r c h m e s s e r soil m i n d e s t e n s 10 -2 m betragen. LSsung: g e g e b e n : Rekrit -- 40, S t r = 0,2, fR -- 40 8 -1, ~, -- 15. 10 -6 m 2 / 8 fiir b) u ~ _< lOm/s

gesucht:

a) u ~ , b) D

a) Reynolds-Zahl und Strouhal-Zahl sind definiert: R e D -- u ~ .

D

,

Str=

(1)

D. f

Y

ucx~

Aus der Definition der Strouhal-Zahl (1) ergibt sich: D=

Str.

u~

(2)

.

f Gleichung (2) in die Definition der Reynolds-Zahl (1) eingesetzt fiihrt zu: St?" RC D

--

2

/Rekrit

9 ~cx)

,. f

~

Ua<~ - -

V

" /]

-Str

fR "

Als Zahlenwert ergibt sich fiir die Geschwindigkeit u ~ bei der die Frequenz der einsetzenden Wirbelabl5sung der Eigenfrequenz des Zylinders entspricht: u ~ = 0, 47 m / s . b) Aus der Definition der Strouhal-Zahl (1) folgt" f=

Str . u~ D

"

Da die Frequenz mit steigender Geschwindigkeit steigt und mit steigendem Durchmesser sinkt, gibt es zwei M5glichkeiten: 1. Die Abl5sung muss schon bei h5heren Frequenzen f > 40 s -1 einsetzen.

2.4 Berechnung von technischen StrSmungen

155

Aus (1) erh~lt man: D. f u~-

(3)

Str

Gleichung (3) in die Definition der Reynolds-Zahl (1) eingesetzt fiihrt zu:

ReD

D2 " f -- S t r . u

--~,

D-

Str.

Rekrit'~

(4)

Aus Gleichung (4) ergibt sich fiir f > 40 s -1 ein Durchmesser D < 0, 001732 m. Dieser Wert ist kleiner als 10 .2 m, d. h. der Draht ist fiir diesen Fall zu dfinn. 2. Die AblSsefrequenz daft die Resonanzfrequenz nicht erreichen (f < 40 s - i ) . Aus Gleichung (2) folgt ffir f < 40 s -1 unmittelbar D > 0,05 m. Damit ist die Bedingung D > 10-2 m erffillt. A u f g a b e 2.4.32

Sekund~irstrSmung

Es w i r d ein K r f i m m e r b e t r a c h t e t , d e r fiber e i n e n k l e i n e n R a d i u s e i n e vertikale S t r 6 m u n g in e i n e h o r i z o n t a l e S t r S m u n g u m l e n k t . I m g e r a d e n vert i k a l e n R o h r s t f i c k vor d e m K r f i m m e r w i r d e i n e station~ire a u s g e b i l d e t e R o h r s t r 6 m u n g v o r a u s g e s e t z t . Die Str~imung w i r d d u r c h e i n e n D r u c k g r a d i e n t e n in S t r 6 m u n g s r i c h t u n g a n g e t r i e b e n . In d e n R o h r s t f i c k e n s t r o m a u f u n d s t r o m a b des K r f i m m e r s w i r d ein k o n s t a n t e r D r u c k q u e r z u r StrSmung vorausgesetzt. a) M a n s k i z z i e r e q u a l i t a t i v die S t r 6 m u n g in d e m K r f i m m e r m i t d e n Ab16segebieten. M a n erl~iutere die U r s a c h e n ffir d e r e n E n t s t e h u n g . b) W e l c h e s zus~itzliche S t r 6 m u n g s p h ~ i n o m e n t r i t t bei d e r K r f i m m e r s t r 6 m u n g auf. M a n skizziere q u a l i t a t i v das S t r 6 m u n g s p h ~ i n o m e n u n d erl~iutere dessen Ursache. c) W i e l a u t e t das A b l 6 s e k r i t e r i u m ? L6sung: g e g e b e n : KrfimmerstrSmung g e s u c h t : a) Skizze KrfimmerstrSmung, b) Skizze zus~tzliches StrSmungsph~nomen, c) AblSsekriterium a) Durch die Zentrifugalkr~fte ist der Druck an der Augenwand des Krfimmers hSher als an der Innenwand. Das hat zur Folge, dass an der Augenwand im Krfimmereinlauf ein positiver Druckgradient entsteht, der bei einem kleinen Krfimmungsradius so grog ist, dass er eine StrSmungsablSsung an der Augenwand bewirkt. Nach dem Krfimmer muss sich der Druck wieder fiber den Querschnitt ausgleichen (es wirken

156

2 Grundlagen der StrSmungsmechanik

A b b . 2.4.32a KriimmerstrSmung

keine Zentrifugalkr~fte mehr), so dass es zu einem negativen Druckgradienten an der Auf~enwand kommt, der zu einem Wiederanlegen fiihrt (siehe Abb. 2.4.32a). An der Innenwand des Kriimmers entsteht durch die Zentrifugalkr~fte ein niedrigerer Druck, der dazu fiihrt, dass der Druck an der Innenwand bis zum Kriimmer abnimmt. Nach dem Kriimmer muss der Druck sich wie bereits erw~hnt wieder ausgleichen. Das hat an der Innenwand einen Druckanstieg zur Folge, das heigt einen positiven Druckgradienten. Dieser fiihrt dann direkt nach dem Kriimmer zu einer weiteren AblSsung an der Innenwand (siehe Abb. 2.4.32a). b)

A b b . 2.4.32b Sekund~strSmung im Kriimmer

Infolge der Zentrifugalkraft tritt eine Sekund~strSmung auf (siehe Abb. 2.4.32b). In der Mitte des Kriimmers ist die Geschwindigkeit hSher als in der Grenzschicht an den Seitenw~nden. Damit ist auch die Zentrifugalkraft in der Mitte grS~er als an den Seitenw~nden. Dadurch wird das Fluid in der Mitte nach auf~en getrieben. Das ist auf Grund der Kontinuit~t nur mSglich, wenn in der Grenzschicht an den Seitenw~den sowohl oben wie unten eine Ausgleichsbewegung stattfindet. Das hat einen Doppelwirbel zur Folge, der der HauptstrSmung iiberlagert wird.

157

2.4 Berechnung von technischen StrSmungen

c) Das Abl5sekriterium lautet Zw = 0. Hieraus folgt fiir ein Newtonsches Medium in Wandn~he, mit "r = # . (Ou/On), der StrSmungsgeschwindigkeit u und der Koordinate n normal zur Wand OU

On

=0 w

Das heii~t, sobald der Geschwindigkeitsgradient an der Wand negativ wird tritt Abl5sung auf.

2.4.7

StrSmungen mit Wiirmefibertragung

Aufgabe 2.4.33

Aquarium E i n m i t W a s s e r geffilltes A q u a r i u m d e r Ltlnge L u n d d e r B r e i t e B soil die k o n s t a n t e T e m peratur To h a b e n (siehe A b b . 2.4.36a) . Dieser Forderung wirkt w f i r m e e n t z i e h e n d e Luft ( d y n a m i sche Viskosit/it PLuft) fiber d e r freien Oberfl/iche des A q u a r i u m s m i t d e r T e m p e r a t u r 7"1 u n d d e r S t r S m u n g s g e s c h w i n d i g k e i t Ul e n t gegen. Der W/irmefibergangskoeffizient b e r e c h n e t sich mit:

A b b . 2 . 4 . 3 3 a Aquarium

A. Nu

h -

L

"

(1)

D i e N u s s e l t - Z a h l N U L liisst sich ffir e i n e t u r b u l e n t e S t r S m u n g u n t e r d e r V o r a u s s e t z u n g k o n s t a n t e r P r a n d t l - Z a h l P r in d e r T e m p e r a t u r g r e n z s c h i c h t u n d d e r R e y n o l d s - Z a h l R e L n i i h e r u n g s w e i s e fiber die G l e i c h u n g 0,04. R e ~ . P r (Pr ~

N U L -- 1 + 2, 4. ReL ~

- 1)

b e r e c h n e n . Ffir L u f t b e t r i i g t die P r a n d t l - Z a h l P r -

(2) O, 71.

a) W e l c h e H e i z l e i s t u n g t~ m u s s e r b r a c h t w e r d e n , u m die A b k f i h l u n g zu vermeiden?

158

2 Grundlagen der StrSmungsmechanik

b) Ffir die Temperaturgrenzschicht gilt niiherungsweise: L = Rx/-R~ 1 5T = x/-P~

'

(3) "

(4)

Man zeichne den V e r l a u f d e r Grenzschichtdicke bzw der Temperaturgrenzschicht der Luft fiber dem A q u a r i u m i n x-Richtung. Hinweis: Verdunstungseffekte sind zu vernachl~issigen. LSsung: gegeben: L = 50 m, B = 10 m, To = 303 K , T1 - 283 K , Ul = 2 1, 1 k g / m 3, pLuft = 1, 7. 10 -5 N s / m 2, A = 2, 6 - 1 0 -3

re~s, PLuft --

Win-18 -1,

Pr =

0.71

gesucht: a) (~, b) Skizze

u(x), T(x)

a) Die Reynolds-Zahl der L u f t s t r S m u n g fiber der Oberfliiche des A q u a r i u m s berechnet sich aus ReL =

ul.l.p

= 6, 5- 106

(5)

/tLuft

D a m i t ist die S t r S m u n g t u r b u l e n t u n d Gleichung (2) kann zur B e r e c h n u n g der Nusselt-Zahl verwendet werden. Man erh~ilt aus den Gleichungen (2) u n d (1) ffir den W ~ m e f i b e r g a n g s k o e f f i z i e n t e n : h - -~. L

0,04. Re ~ Pr 1 + 2, 4 . R e L ~ 9 ( P r ~

= 0,46 W m - 2 K

-1

.

(6)

- 1)

Die v o m Wasser an die Luft fibertragene W i i x m e m e n g e pro Fliichen- u n d Zeiteinheit betriigt: q = h . (To - T1)

.

Mit Gleichung (6) ergibt sich daraus die b e n 5 t i g t e Heizleistung im A q u a r i u m u m den W ~ m e v e r l u s t zu vermeiden: (~ = q . L . B = h . (To - T1) . L . B = 4, 6 k W

b) Die Grenzschichtdicke b e r e c h n e t sich aus Gleichung (3): _

L

= 2 - 1 0 -2 m

.

Ffir die Dicke der T e m p e r a t u r g r e n z s c h i c h t ergibt sich aus Gleichung (4): 5T=6"X/-~r=l,7"10

-2m

.

In A b b i l d u n g 2.4.33b sind die Verl~iufe der beiden Grenzschichten entlang der Oberfl~che des A q u a r i u m s dargestellt.

159

2.4 B e r e c h n u n g von technischen S t r S m u n g e n

U1

r

To-

A b b . 2 . 4 . 3 3 b Reibungsgrenzschicht und Temperaturgrenzschicht

A u f g a b e 2.4.34

Fallende Kugel

A b b . 2.4.34 In O1 fallende Kugel

h(t)=a.w(t)+b mit

Eine Kugel mit dem Durchmess e r D1, d e r D i c h t e pl, d e r A n f a n g s g e s c h w i n d i g k e i t W1 u n d d e r T e m p e r a t u r 7"1 f'fillt s e n k r e c h t in e i n e n m i t Ol g e f i i l l t e n T a n k (sieh e A b b . 2.4.34) . D a s ()1 h a t die D i c h t e p2, die V i s k o s i t i l t #2 u n d die Anfangstemperatur T2. E i n e x p e rimentell bestimmter Zusammenhang zwischen dem W~irmeiibergangskoeffizient h und der Kugelg e s c h w i n d i g k e i t w(t) l a u t e t :

,

a - 0, 5 j m - 3 K -1

(1) und

b - 0, 05 W m - 2 K -1

.

Als Fl~iche fiir d e n W i i r m e i i b e r g a n g w i r d d i e h a l b e K u g e l o b e r f l i i c h e v e r w e n d e t . W e l c h e W ~ i r m e m e n g e w i r d y o n d e r K u g e l a n d a s (~1 in d e n e r s t e n 2 Sekunden abgegeben? H i n w e i s : D i e T e I n p e r a t u r e n d e s Ols u n d d e r K u g e l ~indern sich w i i h r e n d d e n e r s t e n 2 S e k u n d e n n i c h t . D i e G e s c h w i n d i g k e i t i i n d e r t sich in d e n e r s t e n 2 S e k u n d e n n u r g e r i n g f i i g i g , so d a s s z u r B e r e c h nung des Widerstandes die konstante AnstrSmgeschwindigkeit W1 a n g e n o m m e n w e r d e n k a n n . LSsung: g e g e b e n : D1 --- 1 . 1 0 -2 m, pl = 2,835. 104kg/m 3, W 1 - - O, 1 re~s, T1 - 500 K, p2 = 104 k g / m 3, #2 -- 10 N s / m 2, T2 = 300 K, g - 9, 81 m / s 2

160

2 G r u n d l a g e n der S t r S m u n g s m e c h a n i k

gesucht:

Q(At-

2 s)

Die Bewegungsgleichung fiir die Kugel ergibt sich aus dem Newtonschen Gesetz m . a = ~ F. An der Kugel greifen die Schwerkraft G, der Auftrieb FA und der Str5mungswiderstand Fw an. Damit erh~t man mit der Masse m l der Kugel: dw m l . ~ = [ G [ - [FA[- [ F w [ - pl "g" 1/1 - f12 "g" V1 - J E w [

(2)

Zur Widerstandsberechnung benStigt man zungchst die Reynolds-Zahl der Kugelanstr5mung: W 1 9 D I . p2

ReD =

= 1

.

#2

Fiir Reynolds-Zahlen R e D _< 1 handelt es sich um eine schleichende StrSmung so dass das Stokessche Widerstandsgesetz fiir eine Kugel gilt (Cw = 2 4 ~ R E D ) . Damit ergibt sich die Widerstandskraft zu:

IFwl-

~1 . p2 . w21. p-si . D ~ . c w

-

3.rr

R e D " p 2 " W21 9 D21 - 3 . r r " # 2 " D I " W 1

.

In Gleichung (2) eingesetzt erhglt man: dw pl'Vl'~-pl-g'l/1-p2"g'l/1-3"n'#2"Dl"W1 bzw.

mit 1/1 =

1 / 6 - 7r.

,

D3: dw dt

=g.

Mit der Anfangsbedingung Geschwindigkeit:

w(t

(p2) 1-7-11

-18.

-~-.dt=

pl"

D12

= O) - W1 folgt nach einer Integration fiir die

[(,,)

t

I-t2 " W l

g.

1-~11

-18.

P, " D 2

. t + Wl

.

t=0

Mit Gleichung (1) folgt fiir den Wgrmeiibergangskoeffizienten: h(t)-a,

[(.) g.

1-~11

-18"

pl D1

.t+a.

Wl+b

(3)

Die pro Zeit- und Flgcheneinheit iibertragene Wgrmemenge betrggt" q(t) -

h ( t ) . (Tx - T2)

.

Mit der halben Kugeloberflgche ergibt sich hieraus die pro Zeiteinheit iibertragene W~memenge zu: Q(t) =

dQ dt

_ h ( t ) . 7r . D21 " (T~ - T2) -2

2.4 Berechnungvon technischenStrSmungen

161

Die Integration in der Zeit fiber die ersten 2 Sekunden (At - 2 s) unter Verwendung von Gleichung (3) fiihrt auf die yon der Kugel abgegebenen W ~ m e m e n g e : t=At

t=At

dQ . dt - / h(t) . 7r. O12. (71-- Y2) .at Q(t) = / -~ t--0 t--0 t--At

= f ([g.(l_p__22)_18.#2.W1 ] b) -2 7r . a - D~-(T1 - T 2 ) - d t P~ P~ D12 9t + W~ + -a t=0 ([ ( / 9 2 ) #2"Wl At 5) 71= g. 1 - ~ 1 1 - 1 8 - pl" 021 -2- - ~ - W l - [ - -~ .At.a.D~.(T1-T2) Mit den Zahlenwerten ergibt sich ffir die durch die erzwungene KonvektionsstrSmung abgegebene W ~ m e m e n g e der Wert Q(t) -6.3-10 -3 J. A u f g a b e 2.4.35

RohrstrBmung In einem undurchl~issiges Rohr mit d e r L~inge L u n d d e m D u r c h m e s s e r D1 b e f i n d e t sich e i n F l u i d 1 d e r T e m p e r a t u r T1. D a s R o h r ist v o n einem Fluid 2 mlt der Temperatur T2 u m g e b e n ( s i e h e A b b . 2.4.35). D a b e i ist T1 > T2. D e r W ~ i r m e i i b e r gangskoefflzient vom Fluid 1 auf d a s R o h r ist hi, v o m F l u i d 2 a u f d a s R o h r ist h2. D i e Wfirmeleitf'fih i g k e i t d e s R o h r e s ist /k u n d d e r mittlere Durchmesser des Rohres Dm ist d e f i n i e r t d u r c h : .

A b b . 2.4.35 RohrstrSmung

~1 Dm -

D~-D~

2" In(D2) - In(D1)

(1) "

W i e groi~ ist d e r W f i r m e s t r o m p r o L ~ i n g e n e i n h e i t (~/L fiir d i e g e g e b e n e n W e r t e i m v e r l u s t f r e i e n e i n d i m e n s i o n a l e n s t a t i o n f i r e n Fall? LBsung: g e g e b e n : hi = 6000 Wm-2K -1, T1 = 330 K, h2 - 100 Wm-2K ,,~- 200 Win-is -1, D1 - 2 . 1 0 -2 m, D2 - 3 . 1 0 -2 m

-1,

T1 - 290 K,

162

2

gesucht:

Grundlagen

der Str5mungsmechanik

(~/L

Die vom Fluid 1 an das Rohr iibertragene W ~ m e m e n g e pro Fl~ichen- und Zeiteinheit betr~gt: h i . (T1

ql --

-

TR,1)

,

(2)

mit der T e m p e r a t u r Ta,1 der inneren Rohrwand. Die vom Rohr an das Fluid 2 iibertragene W ~ m e m e n g e pro Flgchen- und Zeiteinheit betrggt: q2=h2.(TR,2-T2)

,

(3)

mit der T e m p e r a t u r TR,2 der gugeren Rohrwand. Im Rohr gilt der eindimensionale Fourier-Ansatz fiir die W ~ m e l e i t u n g : --A.VT=-A.

dT___A.2.TR,2-TR,1 dr D2 - D1

.

(4)

Fiir die pro Zeiteinheit iibertragene W ~ m e m e n g e , d. h. der W ~ m e s t r o m vom Fluid 1 auf das Rohr bzw. vom Rohr auf das Fluid 2 berechnet sich aus den Gleichungen (2) und (3) zu: 0 :

qi 9 7r.

D1. L

= hi-(T1

-

TR,1)-Tr-

D1.

L

(~ = q2- It. D 1 - L = h2-(TR,2 -- T 2 ) - ~ - D 2 - L

,

.

Daraus kSnnen die beiden W a n d t e m p e r a t u r e n des Rohres bestimmt werden: TR,1-T1-

~.hl.D1.L

T R , 2 - T2 +

(5)

'

(6)

zc. h2 " D 2 9 L

Aus Gleichung (4) folgt mit (1) fiir den W ~ m e s t r o m im Rohr: (~ -- q. Tr. Dm" L - - A . 2. TR,2 -- TR,~ il D22 - D12 .L D2 - D1 .Tr. 2" l n ( D 2 ) - ln(D1) Mit den Gleichungen (5) und (6) folgt hieraus: 9

~1

7r. L. ( T2 - T1) --~--h2Q-]D -'~ hlQ-D (~ : - A . 2.

02 - D1

2

1

D~ - D~

2 " In(D2) - l n ( D 1 )

Nach einer Umformung erh~lt man hieraus den W ~ r m e s t r o m pro L~ngeneinheit: r5 L

=

71"-

(T1

T2)

D2 - D1 / 2 1 I n ( D 2 ) - l n ( D 1 ) 1 1 2. A " V 2D2 - D~ + h i - D 1 -~- h2. D2

= 458

W/m

2.4 Berechnung von technischen StrSmungen 2.4.8

163

StrSmungsmaschinen

A u f g a b e 2.4.36

Pumpenauslegung

A us e i n e m Beh~ilter mit d e m Atm o s p h f i r e n d r u c k pl = 0,98 bar soil W a s s e r m i t e i n e r P u m p e in e i n e n Beh~ilter m i t p5 - 4 bar g e p u m p t w e r d e n . Die P u m p e wird in e i n e r H 6 h e h l fiber d e m W a s s e r s p i e g e l 1 a u f g e s t e l l t (siehe A b b . 2.4.36). D e r W a s s e r s p i e g e l 5 im o b e r e n Beh~ilt e r b e f i n d e t sich in e i n e r H S h e yon h5 : 10 m fiber d e m W a s s e r s p i e gel 1. D e r E i n t r i t t d e r R o h r l e i t u n g in d e n o b e r e n Beh~ilter bei 4 liegt u m die H S h e h4 u n t e r d e m o b e r e n W a s s e r s p i e g e l 5. A b b . 2.4.36 Wasserpumpe D e r D u r c h m e s s e r d e r S a u g r o h r l e i t u n g (L~inge L2) betr~igt D 2 - - 0 , 1 2 5 m. Die G e s c h w i n d i g k e i t in d e r P u m p r o h r l e i t u n g (L~inge L3, D u r c h m e s s e r D3) betr~igt c3 - 4 m / s . Aus e i n e m K a t a l o g soil eine p a s s e n d e P u m p e ausg e s u c h t w e r d e n . Das W a s s e r s t r S m t a n d e r Stelle 4 als F r e i s t r a h l in d e n o b e r e n Beh~ilter. Aus d e m K a t a l o g ist ersichtlich, dass d e r N P S H - W e r t (nominal p u m p suction head) der P u m p e n mit NPSH = 4 m angegeben ist. Dies b e d e u t e t , dass m i n d e s t e n s die z u m k a v i t a t i o n s f r e i e n B e t r i e b d e r P u m p e b e n S t i g t e H a l t e e n e r g i e ( e n t s p r e c h e n d e i n e r Wassers~iule yon 4 m) v o n d e r A n l a g e als k i n e t i s c h e E n e r g i e u n d als L e i s t u n g d e r D r u c k k r a f t an d e r Stelle 2 abzfiglich d e r L e i s t u n g des D a m p f d r u c k e s d e r Flfissigkeit zur Verffigung g e s t e l l t w e r d e n muss. D e r D a m p f d r u c k pv ist 23, 4 m b a r . M a n b e s t i m m e d e n V o l u m e n s t r o m , die m a x i m a l mSgliche H S h e h l m a x in d e r die P u m p e a u f g e s t e l l t w e r d e n k a n n u n d die b e n S t i g t e F S r d e r h S h e H d e r P u m p e , u m eine g e e i g n e t e P u m p e ausw~ihlen zu kSnnen. Die D i c h t e u n d die Viskosit~it des W a s s e r s sind k o n s t a n t . Die P u m p e arb e i t e t v e r l u s t f r e i . Die Beh~ilter sind so grog, dass die W a s s e r s p i e g e l h 6 h e n als k o n s t a n t b e t r a c h t w e r d e n k 6 n n e n . Die R o h r l e i t u n g e n sind h y d r a u l i s c h glatt. LSsung:

164

2

Grundlagen

der

StrSmungsmechanik

g e g e b e n : pl = 0,98 b a r , p5 = 4 b a r , PD -- 23,4 m b a r , p = 998 k g / m 3, u = 10 -6 m e / s , ca = 4 m / s , D e = 0,125 m, D3 = 0,1 m,, L2 = 6 m, L3 = 6 m, h5 = 10 m , N P S H gesucht:

= 4 m, g = 9, 81 m / s 2

V, hlm~x, H

Der V o l u m e n s t r o m berechnet sich aus der Kontinuit~tgleichung: 71"

9 -

V3 -

-4 . D ~ . c 3 = 3 , 1 4 . 1 0

-2 m 3 / s

(1)

.

Die Geschwindigkeit im Saugrohr erh/ilt m a n mit der Kontinuit/itsgleichung: V2 -

~zr . D ~ . c 2 = V3 = -4 ~ 9D3"c3

e2=Ca.

~

,

=2,56m/s

(2)

Die Bernoulli-Gleichung zuziiglich der Verluste von der Stelle I bis zur Stelle 2 ergibt folgende Gleichung: P . c~ + p . g . z2 + P . c~ . )~2 . L 2 P l -+- -~P " c ~ + p " g " z l -- P 2 + -~ -~ D2

p~ - p ~

'

P "c22 9 ~ 2 "

+ ~P . c~ - p l

- p , + ~P . ~ - p . g . (z~ - Zl) - ~

L2

D~

Mit Cl ~ 0, z2 - zl - hi u n d der Definition der H a l t e h 5 h e der P u m p e folgt P < p2 + -~

p. g. NPSH

" C22 - - P D

=

Pl

-- PD

-- p"

g"

h l -

p -2

9 c 2 9 )~2 9 L 2

D2

9

(3)

Fiir die m a x i m a l e Aufstellh5he h l max der P u m p e gilt dann: p. g . NPSH

hi

max

:

- p l - pD - p " g " h l m a x

p l - PD _ N P S H p.g

-

-

P . c ~ - ) ~ 2 . L2 D2

~

1

. c~. A2" L2

2.g

D2

.

' (4)

Der Verlustbeiwert A h/ingt v o n d e r Reynolds-Zahl ab. Diese ergibt sich aus R e D = c 2 . D 2 / u zu R e D = 3 , 2 . 105. D a m i t kann der Verlustbeiwert aus der impliziten Gleichung von P r a n d t l : x/~ - 2- loglo

ReD

9

-- 0, 8

,

1 =

.

[loglo(R~

(5)

9 ~) - 0, s]~

berechnet werden. Die B e r e c h n u n g erfolgt iterativ m i t Gleichung (5). Es wird mit ein e m S t a r t w e r t von ~ = 0, 02 begonnen. Nach 2 I t e r a t i o n e n ist der Verlustbeiwert geniigend genau b e s t i m m t u n d m a n erh/ilt ~2 - 0,014. D a m i t kann jetzt mit Gleichung (4) die m a x i m a l e Aufstellh5he e r m i t t e l t werden. Sie ergibt sich zu hi max = 5, 6 m.

2.4 Berechnung von technischen StrSmungen

165

Zur Berechnung der ben5tigten F5rderhShe der P u m p e wird die Bernoulli-Gleichung zuziiglich der Verluste von der Stelle 3 bis zur Stelle 4 aufgestellt: P 9c2 + p'g" P3 + -~

Mit C 4 folgt:

--

C3,

Z4

--

Z3

=

P 9 c24 + p . g . z3 - p4 + -~

z4 + -~ p 9 c24 9 A3 9 D L33

h5 - h4 - hi und der Freistrahlbedingung p4 : p5 + p ' g "

P c 2 " A3 " D3 L3

P3 + '~ p " c~ -- P5 + -~ p " c~ + p . g . (h5 - hi) -/- ~ "

"

h4

(6)

Die Reynolds-Zahl ergibt sich hier zu R e D = c 3 . D 3 / u -- 4.105. Mit der impliziten Prandtl-Gleichung (5) folgt nach 2 Iterationen A3 = 0.014. Aus Gleichung (3) erh/ilt man: p~, +

~P

" c22 - p l - p ' g "

P.c~ h l - -~

9 A2 9

L2 D2

.

(7)

Fiir die benStigte FSrderhShe der P u m p e gilt: H -- A1 = Apges -- p3 + ~P ' c 3 2 - p 2 -

p.g.

p'c 2

Nach der FSrderhShe aufgel5st und die Gleichungen (2), (6) und (7) eingesetzt ergibt sich: H = h5 -~

p5 - p l p'g

Aufgabe 2.4.37

4-2-~g.

[

l+Aa-~33+

( 3/4 ~

.A2.~22:52,3m

Axiallaufrad

Zur B e s c h r e i b u n g der S t r S m u n g in e i n e m A x i a l l a u f r a d ( s i e h e A b b . 2 . 4 . 3 7 a ) b e n u t z t m a n G e s c h w i n d i g k e i t s d r e i e c k e , i n s b e s o n d e r e fiir d e n S t r S m u n g s v e r l a u f a m Laufrad- Ein- u n d A u s t r i t t . M i t Hilfe der Ges c h w i n d i g k e i t s d r e i e c k e in d e n drei e i n g e z e i c h n e t e n S c h n i t t e n an der N a b e ( S c h n i t t 1), a m Geh~iuse ( S c h n i t t 3) u n d in der M i t t e der S c h a u f e l ( S c h n i t t 2) u n d a u f der B a s i s f o l g e n d e r A u s l e g u n g s d a t e n : I n n e n r a d i u s R1 - 3 . 1 0 -2 m, A u g e n r a d i u s R3 - 6 . 1 0 -2 m, V o l u m e n s t r o m V = 120 m 3 / h , D r e h z a h l n = 3000 r a i n - 1 , G e s a m t d r u c k e r h S h u n g Apges = 40 P a , W i r k u n g s g r a d ~ = 0, 4 b e r e c h n e man: a) die s p e z i f i s c h e D r e h z a h l ns des A x i a l l a u f r a d e s , die W a h l e i n e s A x i a l l a u f r a d e s v e r n i i n f t i g ist,

u m zu i i be r pr i i f e n ob

b) die G e s c h w i n d i g k e i t s k o m p o n e n t e n Clu,i, Clm, C2u,i u n d C2m der A b s o l u t g e s c h w i n d i g k e i t i m Ein- u n d A u s t r i t t u n d die Ein- bz w. A u s t r i t t s w i n k e l

2 Grundlagen der Str/Smungsmechanik

166

A b b . 2 . 4 . 3 7 a Axiallaufrad

]~l,i

u n d /~2,i j e w e i l s in d e n d r e i K o a x i a l s c h n i t t e n m u n g a m E i n t r i t t d r a l l f r e i ist.

i = 1, 2, 3, w e n n d i e Strii-

L~isung: g e g e b e n : Axiallaufrad, R1 : 3 . 1 0 -2 m, R3 : 6 . 1 0 -2 m, V : 120 m 3 / h , n : 3000 m i n -1, /kPges : 40 Pa, r / : 0, 4, p : 1,205 k g / m 3, g : 9, 81 m / s 2 gesucht:

a) n~, b) Clu,i, Clm, C2u,i, C2m, /~1,i, /~2,i

a) Die spezifische Drehzahl ist definiert als:

n~--n.

HO,75

,

(1)

mit der FSrderhShe H = A a / g . Ffir die spezifische Arbeit A a gilt A a -- A 1 / p mit der volumenspezifischen Arbeit A1. Eingesetzt in Gleichung (1) erh~ilt man: .

(2)

Die volumenspezifische Arbeit entspricht der GesamtdruckerhShung fiber dem Laufrad (A1 = Apges). In Gleichung (2) eingesetzt, ergibt sich die spezifische Drehzahl:

/ 0,75 ns -- n . X / ~ .

P" g Apges

-- 220 m i n

-1

2.4

Berechnung

von technischen

167

StrSmungen

Ffir spezifische Drehzahlen ns > 150 m i n -1 werden Axiallaufr~ider verwendet. Damit ist mit den gegebenen Auslegungsdaten die Wahl eines Axiallaufrades verniinftig. b) Aus der Kontinuit~itsgleichung folgt, dass die beiden axialen Geschwindigkeitskomponenten gleich sein miissen ( C l m : C 2 m : C m ) . Mit der Kontinui~it folgt dann: ?-

Cm" 7r. (./~32 -- ~12)

Hieraus erh~lt man fiir die axialen Geschwindigkeitskomponenten: Cm - - C l m

-- C2m --

----

3, 9 m / s

Der Radius im Mittelschnitt berechnet sich als arithmetischers Mittel des ~iui~eren und inneren Radius: R2- ~l.(Rl+R3)-4,5-10

.2 m

.

(3)

Damit folgt fiir die Umfangsgeschwindigkeiten in den drei Schnitten: Ui=2.:r.

Ri.n

.

(4)

Eine drallfreie ZustrSmung bedeutet, dass am Eintritt in das Laufrad die Absolutgeschwindigkeit keine Komponente in Umfangsrichtung besitzt (Clu,1 = Clu,2 = Clu,3 = 0). Damit kSnnen die Geschwindigkeitsdreiecke, wie in Abbildung 2.4.37b gezeigt, skizziert werden. Fiir den Eintrittswinkel /31 folgt dann aus dem Geschwindigkeitsdreieck und Gleichung (4): / 3 1 ' i - a r c t a n ( c 1 U - - i m ) - a r c t a n ( 2"Tr'Ri'n)'clm--

/3,

u

u

A b b . 2.4.37b Geschwindigkeitsdreiecke des Axiallaufrades am Ein- und Austritt

168

2 Grundlagen der StrSmungsmechanik

Als Zahlenwerte ergeben sich daraus die Winkel 3 1 , 1 - - - - 7 5 ~ f l l , 2 -

82,9 ~ und

/~1,3 -- 87 ~

F/ir die Antriebsleistung Lges des axialen Laufrades gilt mit der Drallfreiheit am Eintritt (die Umfangsgeschwindigkeiten am Ein- und Austritt sind gleich): Lges - rh. U . (C2u - Clu) - rh. U.c2u Unter Beriicksichtigung des Wirkungsgrades Gleichung (5)" Aa r/ C2u --

(Lges "~

--

. L -

(5) A a . rh) folgt aus

Al Apges -- U C2u p.r / p.r / Apg~ 9

p.~.U

Damit ergibt sich fiir die Axialgeschwindigkeiten im Austritt mit Gleichung (4): Apges

(6)

C2u,i = 2.7r. r / - n - p. Ri

"

Die Zahlenwerte ergeben:" C2u,1 -- 8, 8 m/8, C2u,2 -- 5, 9 m/s und C2u,3 = 4, 4 m/s. Aus dem Geschwindigkeitsdreieck in Abbildung 2.4.37b ergibt sich die folgende Beziehung: / 3 2 - arctan ( U - C2u/C2m Mit Gleichung (4) erhElt man fiir den Austrittswinkel: /~2'i - arctan ( 2 " 7r " R-i) "-n C -2 c2u'i m Mit den gegebenen und berechneten /~2,2 - 71, 9 ~ und/~2,3 - 83, 2 ~ A u f g a b e 2.4.38

Zahlenwerten

(7) folgt

daraus

/~2,1-

10 ~

Radiallaufrad

Z u r K f i h l u n g v o n B a u e l e m e n t e n soil L u f t m i t e i n e m R a d i a l l i i f t e r gef'6rdert werden (siehe Abb. 2.4.38a). Der Radialliifter hat eine Antriebsleis t u n g y o n L - 20 W u n d f'6rdert e i n e n V o l u m e n s t r o m V - 180 rn3/h b e i e i n e r D r e h z a h l y o n n - 3600 m / n -1. D e r A u g e n r a d i u s d e s L f i f t e r r a d e s ist R 2 = 8 " 1 0 -2 m. a) M a n z e i c h n e die G e s c h w i n d i g k e i t s d r e i e c k e q u e r s c h n i t t ( S t e l l e 1 u n d Stelle 2).

am Eintritts- und Austritts-

2.4 Berechnung von technischen StrSmungen

169

A b b . 2 . 4 . 3 8 a Radialliifter

b) M a n berechne die U m f a n g s k o m p o n e n t e

Cuz der absoluten Geschwindigkeit c2 im Austrittsquerschnitt (Stelle 2)~ wenn der Liifter mit einer drallfreien EintrittstrSmung arbeitet.

LSsung: gegeben: Radiallaufrad, L = 20 W, V = 180 m3/h, n = 3600 rain -1, R2 = 8 . 1 0 -2 m, p = 1,205 k g / m 3 gesucht: a) Geschwindigkeitsdreiecke, b) Cu2 a) Im radialen Laufrad strSmt das Fluid senkrecht zur Drehachse ein und wird in die Laufradebene umgegelenkt. Dann tritt das Fluid radial an der Stelle 1 in die Schaufeln des Laufrades ein, erf~hrt einen Drehimpuls und tritt an der Stelle 2 radial mit erhShter kinetischer Energie wieder aus. In Abbildung 2.4.38b sind die zugehSrigen Geschwindigkeitsdreiecke an den Stellen 1 und 2 skizziert. Fiir den Radialliifter gilt immer c2 > Cl, u2 > Ul und wl :> w2. Je kleiner die Umfangskomponente der Absolutgeschwindigkeit Clu im Eintritt und je kleiner der Austrittswinkel a2 zwischen der Absolutgeschwindigkeit und der Umfangsgeschwindigkeits ist, d. h. je grS$er C2u ist, desto effizienter ist das Laufrad.

170

2 Grundlagen der Str5mungsmechanik

b) Die Antriebsleistung L des radialen Laufrades berechnet sich aus:

L-?:n.(u2.c2u-Ul

.Clu)

9

(1)

Fiir den Massenstrom gilt r h - p. 17. Damit folgt aus Gleichung (1): L-p'V'(u2"C2u-Ul'Clu)

(2)

9

Aus der Drallfreiheit im Eintritt folgt Clu - 0. Damit ergibt sich aus Gleichung (2)" C2u -

L

.

p. l/ .u2

(3)

Fiir die Umfangsgeschwindigkeit u2 gilt: u2 -

2.Tr.

R2 .n

.

In Gleichung (3) eingesetzt folgt schliet~lich fiir die Umfangskomponente der Absolutgeschwindigkeit im Austritt: - -

c2u

L 2. It. p. V . R2 9n

=

11

m/s

.

u2

elm Clu

II 1

A b b . 2 . 4 . 3 8 b Geschwindigkeitsdreiecke im Laufrad am Eintritt (Stelle 1) und am Austritt (Stelle 2)

171

3 3.1

Grundgleichungen der StrSmungsmechanik Kontinuit~itsgleichung

Aufgabe 3.1.1

Inkompressible StrSmung

Von e i n e m station~iren d r e i d i m e n s i o n a l e n und i n k o m p r e s s i b l e n m u n g s f e l d mit d e m d i m e n s i o n s l o s e n G e s c h w i n d i g k e i t s v e k t o r

sind die G e s c h w i n d i g k e i t s k o m p o n e n t e n u - x 2 + 2. z 2 und w in e i n e m kartesischen (x, 9, z ) - K o o r d i n a t e n s y s t e m gegeben.

-

9 2 -

StrS-

2"9"

z

a) D a s G e s c h w i n d i g k e i t s f e l d v = ( u , v , w ) erfiiUt die Kontinuit/itsgleichung. M a n berechne die K o m p o n e n t e v des G e s c h w i n d i g k e i t s f e l d e s in 9 - R i c h t u n g in a l l g e m e i n e r Form. b) Es soil iiberpriift werden, ob die v o r l i e g e n d e S t r S m u n g fiir alle (x, 9, z) drehungsfrei ist.

c) M a n berechne die Beschleunigung bx(x, y , z ) der gegebenen StrSmung in x-Richtung.

LSsung: g e g e b e n : u : x 2 + 2 - z 2, w = y 2 - 2 - y . z gesucht: a) v, b) Drehungsfreiheit, c) bx(x, y , z ) a) Die Kontinuit~itsgleichung f/ir eine station~e inkompressible Str5mung lautet: Ou

Ov

Ow

Ox + ~ + ~

(1)

-o

Aus den gegebenen Geschwindigkeitskomponenten u und w erhs Ou Ox = 2 " x

Ow Oz

,

-2

man: (2)

y

Mit den Gleichungen (2) folgt aus der Kontinuit/itsgleichung (1): Ov

2-X+~y

2.y-0

~

Ov Oy--2.x+2.y

.

(3)

Eine partielle Integration von Gleichung (3) nach y f/ihrt auf die gesuchte Komponente v, wobei C(x, z) eine Funktion bezeichnet, die ausschliet~lich von x und z abh/~ngt: v ( x , y, z) = - 2 . x . y + y2 +

C(x,z)

(4)

172

3 Grundgleichungen der StrSmungsmechanik

b) Zur Uberpriifung der Drehungsfreiheit wird der Drehungs-oder Wirbelst~kevektor w benStigt, der sich aus der Rotation des Geschwindigkeitsfeldes ergibt:

- V x v-

wy

=

x

~z

v

=

Ou _ Ow

w

~vv_~u

/

(5)

u und w sind in der Aufgabenstellung gegeben, so dass man wy berechnen kann" Ou wy = Oz

Ow =4.z:/:O Ox

fiir

z~O

.

(6)

Die gegebene StrSmung ist also nicht fiir alle (x, y, z) drehungsfrei. c) Die Beschleunigung b~ erh~lt man aus der totalen zeitlichen Ableitung der Geschwindigkeitskomponente u. Es gilt: bx=

du dt

Ou Ou Ou Ou Ot + U" Ox + V" Oy + W" Oz

(7)

Da eine s t a t i o n ~ e Str5mung vorliegt, verschwindet Ou/Ot, ebenso Ou/Oy, da u keine Funktion von y ist. Somit folgt: bx - (x 2 + 2. z2) 92 . x + (y2 _ 2 . y - z ) .

4-z

bx : 2. x 3 + 4- x . z 2 + 4. y2 . z - 8 . y . z 2

Aufgabe 3.1.2

Kompressible StrSmung

V o r g e g e b e n ist e i n i d e a l e s G a s (p - p. R . T, R - konst.) s o w i e d i e K o n t i nuit~itsgleichung: dp +p. (V. v)=0 dt

(1)

a) M a n zeige, d a s s sich a u s d e r K o n t i n u i t ~ i t s g l e i c h u n g (1) d i e f o l g e n d e B e z i e h u n g fiir die t o t a l e z e i t l i c h e A n d e r u n g d e s D r u c k e s a b l e i t e n l~isst:

1 dp .

p

~

1 _

dt

_

-

-

T

.

dT dt

V.v

b) Fiir das gegebene dimensionslose Geschwindigkeitsfeld

(2)

3.1 Kontinuit~tsgleichung

173

mit der Konstanten V0 sowie der konstanten Winkelgeschwindigkeit w und der ebenfalls g e g e b e n e n dimensionslosen Temperaturverteilung T ( x , y ) - Ao . v / x 2 + y2 + TO

(3)

,

mit den Konstanten A0 und To b e s t i m m e man die relative substantielle Temperatur~inderung ( l / T ) - (dT/dt)sowie die Divergenz ( V . v) des Geschwindigkeitsfeldes. oo

Hinweis: Man fiberfiihrt die substantielle Anderung von T zuerst in die lokale Anderung und in den konvektiven Anteil. LSsung: 6 ,

gegeben: R, Vo, w, Ao, To gesucht: a) Drucl~nderung, b) Temperaturgnderung, Divergenz a) In einem ersten Schritt wird die Dichte p in Gleichung (1) mit Hilfe der idealen Gasgleichung substituiert. Es folgt: 1

d (p)

.(V-v)-

-R " d---[ T

+ RPT

1 -R "

-~'T-P'T2

1

dp

R.T

d

P

d--i- R . T 2

p + R

T " ( V " v) - O

dt + R

P.T (v.~)-0

dT

, (4)

(5)

Durch Multiplikation yon Gleichung (5) mit R . T / p erh~lt man die zu beweisende Beziehung: 1 dp p dt .

.

.

.

.

.

1 T

dT dt + V . v

0

1 dp 1 dT p. . dt. . .T . .dt w

~

V.v

.

(6)

b) Die substantielle Anderung der Temperatur T lautet allgemein: dT

OT

OT

OT

dt = o-7 + ~ ~ O:I; + ~ ~ uy + ~

OT Oz

(7)

Da ein stationgres zweidimensionales Geschwindigkeitsfeld vorgegeben wurde, folgt: dT

dt

OT

cOT

Ux

Oy

= u 9 -a-: + v .

(8)

Aus Gleichung (3) erh~ilt man: OT x Ox = d ~ " v / x e + y2

'

i)T y Oy = A~ " V/xe + y2

"

(9)

Mit Gleichung (9) und den Geschwindigkeitskomponenten aus Gleichung (2) folgt aus Gleichung (8)" dT = Vo. A o . x . sin(w, t) + Vo. Ao . y . cos(w, t) dt

(10)

174

3 Grundgleichungen der StrSmungsmechanik

Unter Beriicksichtigung von Gleichung (3) erhiilt man schlies substantielle Temperatur~nderung: 1 T

_

_

.

fiir die relative

dT Vo-Ao = 9 [x. sin(co, t) + y - c o s ( w , t)] dt Ao. V/X2 + y2 + To

.

(11)

Die Divergenz des Geschwindigkeitsfeldes ergibt sich direkt aus Gleichung (2)"

Ou Ov Vo t = 9 [x. sin(a~, t) + y. cos(w, t)] Ox Oy v/x2 + y2

(12)

3.2 Navier-Stokes-Gleichungen 3.2

175

Navier- Stokes- Gleichungen

3.2.1

Laminare StrSmungen

A u f g a b e 3.2.1

Kanalstr6mung

h

l

X

1

m.

P0

A b b . 3.2.1 Laminaxe KanalstrSmung

In e i n e m s e n k r e c h t s t e h e n d e n K a nal (siehe A b b . 3.2.1) fliegt ein Fluid mit der konstanten Dichte p u n d d e r d y n a m i s c h e n Z~ihigkeit # u n t e r d e m Einfluss d e r E r d s c h w e re g. D e r K a n a l b e s i t z t die Breit e h u n d s e i n e E r s t r e c k u n g b senkr e c h t z u r Z e i c h e n e b e n e ist s e h r viel g r S g e r als h ( z w e i d i m e n s i o n a le S t r 6 m u n g ) . A n d e r Stelle 1 (x = 0) b e f i n d e t sich e i n e D r u c k b o h rung~ a n d e r d e r s t a t i s c h e D r u c k pl d e r S t r S m u n g g e m e s s e n w e r d e n kann. Der Abstand zwischen der Druckbohrung und dem A ustrittsq u e r s c h n i t t ist l. I m A u s t r i t t s q u e r schnitt herrscht der Umgebungsd r u c k p0.

Es w i r d a n g e n o m m e n , d a s s es sich u m e i n e a u s g e b i l d e t e s t a t i o n f i r e u n d l a m i n a r e K a n a l s t r 6 m u n g m i t D r u c k g r a d i e n t h a n d e l t . N a c h e i n a n d e r soil folgendes berechnet werden: a) D a s G e s c h w i n d i g k e i t s p r o f i l u(x, z) in Abh~ingigkeit des D r u c k g r a d i e n t e n Op/Ox. b) D e r D r u c k p - f(x, z). c) D e r D r u c k pl,m a n d e r Stelle 1~ d e r n o t w e n d i g ist~ u m e i n e n v o r g e g e b e n e n M a s s e n s t r o m ~h zu f'Srdern. LSsung: g e g e b e n : h, b, pl, po, l, p, #, 9 gesucht:

a) u = f(x, z), b) p = f(x, z), c) pl,ri~

a) Zur LSsung wird das in Abbildung 3.2.1 gezeigte Koordinatensystem zugrunde gelegt. Es gelten die Kontinuit~tsgleichung und die Navier-Stokes-Gleichungen fiir

176

3 Grundgleichungen der StrSmungsmechanik

inkompressible und station~e StrSmungen. Sie lauten: Ou

Ow

Ox + - ~ z = 0 p"

p .

u " --~x + W " --~z

,

(1)

- - --~x + # 9

u . --~-~x + W . - - ~z

-

+

- --~z + # 9

-~x 2 + --~z 2

q-Ix

+ fz

(2)

,

9

(3)

fx und f z sind die Komponenten der Volumenkr~fte, die auf das Fluid wirken. Auf die betrachtete StrSmung ist nur die Schwerkraft wirksam, so dass f x - p ' g und f z - 0 ist. Weiterhin handelt es sich um eine ansgebildete Str5mung, d. h. es ist O u / O x = 0 und O w / O x = 0. Gleichung (1) ergibt unmittelbar, dass auch O w / c g z = 0 gilt. An der Kanalwand haftet das Fluid, somit ist die w-Komponente dort gleich Null. Da O w / O z = 0 gilt, ist mit der genannten Randbedingung ( w ( z = + h / 2 ) = 0) die Geschwindigkeitskomponente w iiberall Null. Es gilt also: w = 0, fiir alle (x, z). Mit w = 0, und (3) zu:

cgu/Ox =

0,

und

fx = p'g

fz = 0

vereinfachen sich die Gleichungen (2)

cgp c92u O=--~x + #" ~ + p" g

0=

Op Oz

'

"

(4) (5)

Aus der Gleichung (5) folgt, dass p ~ f(z) ist und deshalb gilt: O p / O x = d p / d x . Beriicksichtigt man in Gleichung (4), dass u -~ fix), da O u / O x = 0, so erhiilt man nach einer Umformung eine gewShnliche Differentialgleichung fiir u ( z ) . Sie lautet:

l(d

d z 2 --ft.

)

~x - p . g

.

(6)

Durch zweimaliges Integrieren ergibt sich: du dz

l(dp # ~xx

u(z) = 2-#

) P g

-~z -- P" g

z+C1 "

, + C I " z + C2

(7)

(8)

C1 und C2 sind Integrationskonstanten, die gem~is der beiden folgenden Randbedingungen bestimmt werden miissen. Da das Fluid an der Kanalwand haftet, lauten die Randbedingungen (Haftbedingungen): h u(z-+~)-O

,

h

u(z--~)=O

(9)

177

3.2 Navier-Stokes-Gleichungen

G e m ~ der Gleichung (8) ergeben sich mit den beiden Randbedingungen die beiden folgenden Bestimmungsgleichungen fiir die Konstanten C1 und C2: 0--8.

l

# 9

O - 8 l. p

(dP

-"~x--p'g"

)

h2

h

-~-C1- ~ - ~ - C 2

,

tdP -dTz - P" g ) " h2 - C1. ~h + C2

(10) (11)

Die LSsung der Bestimmungsgleichungen ergibt:

C~-0

h2 C2- 8.#

,

(

dp)

(12)

P'g--~x

C1 und C2 gem/is der Gleichungen (12) in Gleichung (8) eingesetzt, ergibt die folgende gesuchte Ergebnisforme]: ~(z) -

h2

s.,

(P'g--~x)"

(1-4.

( h ) 2)

(13,

b) Im Aufgabenteil a) wurde bereits gezeigt, dass p r f(z). Weiterhin ist das Geschwindigkeitsprofil u(z) nicht von x abhgngig und deshalb kann der Druckgradient, der auf der rechten Seite der Gleichung (13) steht, ebenfalls nicht von x abhgngig sein. dp/dx ist folglich eine Konstante, d. h. der Druck verlguft linear in StrSmungsrichtung. An der Stelle 1 und im Austrittsquerschnitt ist der Druck bekannt. Da er in xRichtung linear verlguft, ergibt sich: p(X)

= PO - - P l

1

9x + PI

(14)

und fiir dp/dx entsprechend: dp po pl d--7 = 1 -

"

(15)

c) Der Massenstrom rh berechnet sich gemNg der folgenden Integration: h -ff

rh -- p. / u(z) . b . dz

(16)

h 2

u(z) gemgg der Gleichung (13) eingesetzt, ergibt" h

rh--p.

~. h 2

" P'g-~x

" 1-4.

(~)

.b.dz

(17)

178

3 Grundgleichungen der StrSmungsmechanik

Mit der folgenden Rechnung erhElt man fiir rh: 1

rh-p.

f

~

-

9

.b-d(~)

1

! 2

}

Gleichung (18) liefert eine Beziehung zwischen dem Massenstrom rh und dem Druckgradienten d p / d x . In Gleichung (18) den Druckgradienten g e m ~ Gleichung (15) eingesetzt, ergibt die folgende Bestimmungsgleichung fiir den erforderlichen Druck pl,~h"

rh _ P " h3 " b ( 12.# " pg-

p0-pl,m) 1

Px,m : P~ + l " ( 12 . # ' zh p.h3.b -P'g

Aufgabe 3.2.2

)

SpaltstrSmung

U b e r einer horizontalen e b e n e n Wand, die sich mit der k o n s t a n t e n Geschwindigkeit U bewegt, ist ein r u h e n d e s Maschinenteil so a n g e o r d n e t (siehe Abb. 3.2.2a), dass der linke Teil der U n t e r s e i t e z u s a m m e n mit der b e w e g t e n W a n d einen e b e n e n Spalt der L~inge l, der HShe s und der Breite b (senkrecht zur Zeichenebene) bildet. I m Spalt und in der sich anschlieigenden K a m m e r K befindet sich ()l (Newtonsches M e d i u m mit k o n s t a n t e r d y n a m i s c h e r Z~ihigkeit #), das im u n t e r e n Tell des Spalts

Abb. 3.2.2a Laminaxe SpaltstrSmung

3.2 Navier-Stokes-Gleichungen

179

infolge d e r b e w e g t e n W a n d in die K a m m e r K g e s c h l e p p t w i r d u n d im o b e r e n Tell des Spalts aus der K a m m e r w i e d e r a u s s t r S m t . A n d e r D i c h t l i p p e (Stelle 3) kann kein ()l a u s t r e t e n . D e r D r u c k a m linken E n d e des Spalts an d e r SteUe 1 ist pa~ a m r e c h t e n E n d e an d e r Stelle 2 h e r r s c h t d e r K a m m e r d r u c k pi. Die S t r S m u n g ist fiber die g e s a m t e L~inge 1 ausgebildet und laminar. a) W i e sieht das Geschwindigkeitsprofil im Spalt q u a l i t a t i v aus? b) W i e l a u t e t die Differentialgleichung fiir die G e s c h w i n d i g k e i t u(x, z) und wie l a u t e t die B e z i e h u n g fiir d e n D r u c k p in Abh~ingigkeit von p~ u n d pi? c) Es sollen das Geschwindigkeitsprofil werden.

u(z) u n d der D r u c k pi b e r e c h n e t

LSsung: g e g e b e n : U, s, l, p~, # gesucht: a) Skizze des Geschwindigkeitsprofils, b) Dgl. fiir u und Formel ffir p, c)

u(z), pi a) Das Geschwindigkeitsprofil ist in der Abbildung 3.2.2b skizziert. Folgendes gilt dazu: 1. Unmittelbar an der Wand wird das Fluid mit der Geschwindigkeit U bewegt, da es an der Wand haftet.

A b b . 3.2.2b Geschwindigkeitsprofil

2. Auf der Oberfl~che des Maschinenteils haftet das Fluid ebenfalls, dort ist die StrSmungsgeschwindigkeit Null.

3. Durch die Haftbedingung an Wand wird Fluid in die Kammer geschleppt. Die gleiche Menge, die pro Zeiteinheit hineingeschleppt wird, strSmt im oberen Bereich des Spaltes wieder zuriick, so dass die Geschwindigkeitspfeile des Profils im unteren Bereich nach rechts und im oberen Teil des Spaltes nach links zeigen. b) Die Differentialgleichung fiir u(x, z) ergibt sich mit der Vereinfachung des Gleichungssystems, bestehend aus der Kontinuit~tsgleichung und den Navier-StokesGleichungen fiir zweidimensionale, inkompressible und station~e StrSmungen (siehe Aufg. 3.2.1). Die Vereinfachungen der Gleichungen (1) bis (3) der Aufgabe 3.2.1 sind hier nochmals kurz zusammengefasst:

180

3 G r u n d g l e i c h u n g e n der S t r S m u n g s m e c h a n i k

9 Die StrSmung ist ausgebildet, d. h. O u / O x - 0 und O w / O x - O. Dann folgt mit Gleichung (1) aus Aufgabe 3.2.1 unmittelbar, dass O w / O z - 0 ist. Mit der Haftbedingung w = 0 ergibt sich dann: w -- 0 fiir alle (x, z). 9 Mit w - 0 und O u / O x - 0 erh~lt man mit Gleichung (2) bzw. mit Gleichung (3) aus Aufgabe 3.2.1 die beiden folgenden Gleichungen (die VolumenkrMte sind Null, also f x - f z = 0)"

op

o--~

O

C~2U

+ ~" Oz~

'

(1)

op ~

(2)

~

Oz

9 Da O p / O z = 0, h~ingt p nut von x ab und deshalb ist O p / O x = d p / d x . Weiterhin ist u nut eine Funktion von x ( O u / O x - 0), so dass sich fiir u bei dem beschriebenen Problem die folgende Differentialgleichung ergibt: d2u 1 = -. dz 2 #

dp dx

(3)

"

9 Die linke Seite der Gleichung (3) ist nur von z abh~ngig. Der Druckgradient d p / d x auf der rechten Seite ist also eine Konstante, d. h. der Druck verl~uft in x-Richtung linear. Fiir ihn gilt: p ( x ) = Pi -- Pa 1

"X + p ~

9

(4)

c) Durch zweimaliges Integrieren der Gleichung (3) auf beiden Seiten erh~lt man" du

dz

1

dp

#

dx

. . . . .

U--

1 2.p

9

Z+Cl

dp dx

(5)

9 z2 + C 1 9 z + C 2

(6)

C1 und C2 sind Integrationskonstanten. Sie lassen sich mit den folgenden beiden Randbedingungen bestimmen: 1.

u ( z = O) -

U

,

2.

u ( z = s) = O

.

(7)

Mit den Randbedingungen (7) und der Gleichung (6) ergeben sich die beiden folgenden Bestimmungsgleichungen fiir C1 und C2" C2~U

2.#

9d - - p - P . s 2 + C I ' s + C 2 - 0 dx

3.2

181

Navier-Stokes-Gleichungen

mit deren LSsung man fiir C1 und C2 erh~t: C 1 - . 1. ( . 1 . s 2.#

dp dx

2 ) s +U

,

C2

U

(8)

Die Konstanten C1 und C2 gemfitg der Gleichungen (8) eingesetzt, ergibt fiir u(z):

1 u(z) - 2 . #

dp s 2 . [ ( z ) 2 dx s

zl

-

+ V.

[

z] 1 - -s

"

(9)

Fiir den Druckgradienten dp/dx gilt gem~i~ der Gleichung (4) dp/dx = ( p i - pa)/1. Durch Einsetzen des Druckgradienten in Gleichung (9), erh~ilt man das Ergebnis fiir ~(z) ~,.: u(z)-2.p

1....

z (z).l

l

.s . . s . . s

+U.

~1

i1 -

(10)

Zuletzt wird noch der Druck pi in der Kammer berechnet. Der Druck an Stelle 2 ist gleich dem Druck pi (siehe Aufgabenstellung). Er stellt sich so ein, dass der Volumenstrom V durch den Spalt Null ist (siehe L5sung des Aufgabenteils a)). Die Bestimmungsgleichung fiir pi erh~lt man mit der Gleichung V - 0:

9 --/u(z)

9b. dz - 0

(11)

o

u(z) gem~ig der Gleichung (10) in Gleichung (11) eingesetzt, ergibt: (

1 2.#

-

pl

z ('~'] s +U. I 1 - s zl). b . d z - O

P~ - Pi 2 1 -s 9 s -

o 1

f

83

.

2.#

b

1 p~

l

[z s - (z).] s .d (.)I -s + U. s . b (1 - zs I.d (i sZ

=0

o

o

s3. b 12.p

p~ - pi

1

-----[-- -t- -~ . U . s . b - O.

Diese Gleichung nach pi aufgelSst, ergibt das gesuchte Ergebnis zu: pi ~

6.#.1 82

U + p~

182 A u f g a b e 3.2.3

3 Grundgleichungen der StrSmungsmechanik StrSmung an einer Wand Eine Fluidschicht der Dichte p und der dynamischen Z~ihigkeit # s t r S m t e i n e s e n k r e c h t steh e n d e W a n d d e r B r e i t e b (senkrecht zur Zeichenebene) hinunter. D i e S t r S m u n g ist l a m i n a r u n d ausg e b i l d e t . A u f die Oberfl~iche d e r Fluidschicht wird yon der umgeb e n d e n abwfirts s t r S m e n d e n Luft die S c h u b s p a n n u n g ~-0 i i b e r t r a g e n . Die D i c k e d e r F l u i d s c h i c h t ist h (siehe A b b . 3.2.3).

A b b . 3.2.3 Fluidschicht

Fiir diese StrSmung gilt die folgende Differentialgleichung (Herleitung a n a l o g zu A u f g a b e 3.2.1 u n d 3.2.2): d2w dx 2

p.g #

=

.

(1)

( D r u c k g r a d i e n t Op/Oz = O, fz - - p ' g ) . Es sollen d a s G e s c h w i n d i g k e i t s p r o f i l w(x) u n d die a u f die W a n d i i b e r t r a g e n e W a n d s c h u b s p a n n u n g rw e r m i t t e l t werden. Hinweis: b >> h LSsung: g e g e b e n : h, p, #, To, b, g g e s u c h t : w(x), 7% Durch zweimaliges Integrieren der Gleichung (1) erh$1t man die folgenden Gleichungen mit den Integrationskonsta~ten C1 und C2: ,

dw=p.g.x+C1 dx #

~(~)-

P ' g 9x 2 + C1 9x + C2

2

(2) (3)

Zur Bestimmung der Integrationskonstanten werden zwei Randbedingungen benStigt. Die erste folgt durch Haften des Fluids an der Wand zu w ( x - 0) - 0. Da auf die Oberfl~che des Fluids die Schubspannung To iibertragen wird, ergibt sich die zweite Randbedingung mit dem Newtonschen Reibungsansatz: dw

ro-~-~-X-X

(4) =h

3.2

183

Navier-Stokes-Gleichungen

Mit den Randbedingungen und den Gleichungen (2) und (3) ergeben sich die folgenden Bestimmungsgleichungen fiir die Konstanten C1 und C2" C2 - 0

~0-~

,

dw ~-~l~=~-~ Cl -

( P ", g

l

h + C1)

,

. (7"o - p . g . h )

#

C1 und C2 in Gleichung (3) eingesetzt, ergibt das gesuchte Geschwindigkeitsprofil

~(x). 2..

~

+~.(~o-p.g.h).

(x)~

.

(5)

Die Schubspannung ~-w,die auf die Wand wirkt, berechnet sich mit dem Newtonschen Reibungsansatz. Er lautet: dw

(6)

Tw x----0

Mit der Gleichung (2) ergibt sich fiir dw/dxlx=o" dw

t

--

dx x=o

C1

-

1

-

9 (TO - -

p.g.

h)

#

und mit Gleichung (6) erh~lt man schliet~lich das gesuchte Ergebnis zu: "rw - 7o - p. g . h

Aufgabe 3.2.4

Rayleigh- S t o k e s - P r o b l e m

Bei der LSsung des Problems der '~lStzlich in Gang gesetzten ebenen Platte" (Rayleigh-Stokes-Problem) muss eine lineare partielle Differentialgleichung 2. Ordnung gelSst werden, die z. B. durch Vereinfachung der Kontinuit~itsgleichung und der Navier-Stokes-Gleichung hergeleitet werden kann. In dieser A ufgabe soil die g e n a n n t e Differentialgleichung ohne Anwendung der Navier-Stokes-Gleichung aufgestellt werden. Die partielle Differentialgleichung soil mittels eines Kr~iftegleichgewichts a m Volumene l e m e n t hergeleitet werden. Dazu sollen n a c h e i n a n d e r die folgenden Teilaufgaben gelSst werden: a) An einem V o l u m e n e l e m e n t sollen die angreifenden Kr~ifte a n g e t r a g e n werden.

184

3 Grundgleichungen der StrSmungsmechanik

b) Es soil das Kr~iftegleichgewicht f o r m u l i e r t w e r d e n . c) Die in der resultierenden Gleichung v o r h a n d e n e S c h u b s p a n n u n g soil durch den Newtonschen Reibungsansatz ersetzt werden. d) Es sollen die Randbedingungen fiir dieses P r o b l e m a n g e g e b e n w e r d e n .

LSsung: gegeben: p, p, U gesucht: a) Kr~fte am Volumenelement, b) Kr~ftegleichgewicht aufstellen, c) Reibungsgesetz anwenden, d) Randbedingungen formulieren

~)

Die angreifenden Krgfte sind in der Abbildung 3.2.4 am Volumenelement angetragen. Dazu wird folgendes erg~inzend erwghnt:

~Tyx

[Vyx+ - ~ y .dy].dx-b

"

din. O___uu~

!

I

dy

~'yx.dx-b

x

A b b . 3.2.4 KrMte am Volumenelement

1. Auf dem unteren und oberen Schnittufer wirken die entsprechenden Schubspannungen. Der erste Index an der Variablen T bezeichnet das Schnittufer (in diesem Fall y - konst.), und der zweite zeigt an, in welche Richtung (in diesem Fall in x-Richtung) die Schubspannungskraft wirkt.

2. Zeigt die Normale des Schnittufers in positive Achsenrichtung so werden die Schubspannungskr~ifte in positive Achsenrichtung eingetragen, zeigt die Normale in negative Richtung werden die Schubspannungskr~fte entsprechend in negative Achsenrichtung eingezeichnet. 3. In Abbildung 3.2.4 sind die Druckkr~fte nicht eingezeichnet, da in der Str5mung kein Druckgradient wirksam ist. 4. Die Tr~igheitskraft d F T lautet allgemein: aFT--

Ou Ou Ou ) --~ + u . -~z + v . -~y .am

dFT - p .

(o~

o~

o~)

--~ + u " -~x + V " ~ y

,

. b . dx . d y

In Abbildung 3.2.4 ist die Tr~gheitskraft gemgs der Formel dFw - ( O u / O t ) . d m = p . ( O u / O t ) . b. d x . d y eingezeichnet, da fiir die StrSmung cOu/Ox - 0 und v - 0 sind.

3.2 Navier-Stokes-Gleichungen

185

b) Gemfig der eingetragenen Kr/ffte am V01umenelement, ergibt sich mit dem Krgftegleichgewicht: ~-~'dFi-O--p.-~.b.dx.dy+

ryx + - ~ y

. dy

. b . d x - ryx . b . d x

i

Ou

Oryx

(1)

P-o-I- Oy c) Mit dem Newtonschen Reibungsansatz erhglt man: Vyx

-

#

Ou Oy

OTyx = , Oy

--~

02 u Oy 2

(2)

Die partielle Ableitung von %x g e m ~ Gleichung (2) in Gleichung (1) eingesetzt, ergibt folgende Differentialgleichung ffir das Rayleigh-Stokes-Problem: Ou 02u p . --~ - # . Oy 2

(3)

d) Fiir t < 0 ist u fiberall Null. Ist t > 0 , so haftet das Fluid auf der plStzlich in Gang gesetzten Platte und bewegt sich auf der Wand mit der Geschwindigkeit U. Fiir y ) cc ist u auch zum Zeitpunkt t > 0 gleich Null. Die Randbedingungen lauten also: 1.

u(y)-O

fiir

t<0

,

2.

u(y-O)-U u ( y ---, oc ) - 0

A u f g a b e 3.2.5

fiir

t>0

fiir

t > 0

ZylinderspaltstrSmung

E i n Z y l i n d e r m i t d e m R a d i u s rl ist v o n e i n e m R u g e r e n Z y l i n d e r m i t d e m R a d i u s r2 u m g e b e n (siehe A b b . 3.2.5a). D e r i n n e r e Z y l i n d e r r o t i e r t mit

A b b . 3.2.5a Zylinderspaltstr5mung

A b b . 3.2.5b Polarkoordinaten

3 Grundgleichungender StrSmungsmechanik

186

der W i n k e l g e s c h w i n d i g k e i t Wl und der ~iugere Zylinder mit der W i n k e l g e schwindigkeit 0v2. Zwischen d e n b e i d e n Zylindern befindet sich ein Fluid. In dieser A u f g a b e soil das G e s c h w i n d i g k e i t s p r o f i l d e n b e i d e n Zylindern e r m i t t e l t w e r d e n (laminare setzt). D a z u soil von d e n N a v i e r - S t o k e s - G l e i c h u n g e n a u s g e g a n g e n werden. Sie l a u t e n fiir eine stationfire S t r S m u n g (siehe A b b . 3.2.5b):

des Fluids z w i s c h e n S t r 6 m u n g vorausgein P o l a r k o o r d i n a t e n und i n k o m p r e s s i b l e

Kontinuit~it sgleichung: Ou~

u~

1

O---r- -t- --r

+ -'r

Ou~ c9t9 = 0

p"

Ou~ u~" or

.

(1)

1. Navier- Stokes- Gleichung:

0]9 -o--; +~,.

( 02 u~

10u~ r -b-~ + . Or

u~ r

9

u~ 1 02 u~ 2 r 2 + .r 2 . 0# 2 r 2 . . .

Ou~ O0

u~) r

0uo ) 0~) + f~

.

(2)

2. Navier- Stokes- Gleichung:

Ou~ P

1 -r

u~

~ - - ~ +

Ouo

u~.u~)

~ "--+a~

Op (02u~ 10uo uo 1 02uo 2 " 0--0 + #" Or 2 + Or - r 2 + - -2 " 002 + - 2

~

=

0u~) 0~) + f~

(3)

D i e G l e i c h u n g e n sollen zuerst fiir das P r o b l e m vereinfacht w e r d e n und a n s c h l i e g e n d soil u(r) mit einer v e r e i n f a c h t e n G l e i c h u n g e r m i t t e l t w e r d e n . LSsung: g e g e b e n : rl, ?'2, Wl, w2 gesucht: u(r) Da sich die StrSmungsgrS~en in Umfangsrichtung nicht ~ndern, verschwinden in den Gleichungen (1) bis (3) alle Ableitungen nach 0 und die GrSi~en u~, u~ und p sind nur von r abh~ngig. Mit der Kontinuit~tsgleichung ergibt sich dann die folgende gewShnliche Differentialgleichung: du__y_~+ u__L~_ 0 dr r

(4)

Mit der folgenden einfachen Rechnung kann die Gleichung fiir u~ gelSst werden: du~ _e - u~ --0 dr r

~

du~ = Ur

dr r

~

u ~ = - -C r

.

(5)

3.2

Navier-Stokes-Gleichungen

187

C ist eine Integrationskonstante. Mit der Randbedingung u ~ ( r - r l ) - 0 ergibt sich fiir C der Wert C = 0. Gem~t~ Gleichung (5) ist u~ also fiir rl < r <_ r2 Null, was auch sofort erkennbar ist. Mit 0 / 0 0 - 0 und u~ - 0 erh~lt m a n mit den Gleichungen (2) und (3) die beiden folgenden gewShnlichen Differentialgleichungen fiir u mit u - u~ und p (Volumenkr~ifte f~ und f~ gleich Null)" P d2u dr 2

1 r

-~- - -

.

du dr

u2 dp r - dr

'

(6)

u =o r2

(7)

In der ersten Differentialgleichung (6) sind u und p als zu bestimmende Gr5gen vorhanden. Die zweite Differentialgleichung (7) enthglt nur u. Deshalb wird die zweite Differentialgleichung weiter betrachtet. Sie kann mit der nachfolgenden Umschreibung sofort einmal integriert werden: d2u 1 dr 2 + .r

du dr.

u d2u d /u\ . r 2 . dr .2 ~- .drr ~ r ) du u +--c~ dr r

0

(8) .

(9)

C1 ist eine Integrationskonstante. Sie muss sp~ter mittels der Randbedingungen ermittelt werden. Zur weiteren LSsung der Gleichung (9) wird zun~chst die LSsung fiir die homogene Differentialgleichung bestimmt. Dazu wird die folgende Rechnung durchgefiihrt" du

dr

t

u

r

-0

du

==~ ~

dr

=

~--~

--~

ln(u) -- - l n ( r ) + C

C

(10)

.

r

C ist in Gleichung (10) eine Konstante. In der weiteren Rechnung wird sie nun als eine Funktion C = fir) angesehen (Variation der Konstanten). Gleichung (10) auf beiden Seiten nach r differenziert, ergibt: du dr

1 r

--

,

dC dr

1 r2

C

.

(11)

d u / d r gem~it~ Gleichung (11) und u ( r ) g e m ~ Gleichung (10) (C = f i r ) ) i n Gleichung

(9) eingesetzt, ergibt die folgende Differentialgleichung fiir C(r), mit deren L5sung die Funktion C(r) ermittelt wird: _.

1

dC = C~

r

dr

==~

dC

r 2

--

C l . r .

dr

~

C(g) -- C ~ . - ~ + C2

(12)

C2 ist eine weitere Integrationskonstante, die mit den noch anzugebenden Randbedingungen bestimmt werden muss. C gemgg Gleichung (12) in Gleichung (10)

188

3 Grundgleichungen der Str5mungsmechanik

eingesetzt ergibt die folgende Funktion u(r), fiir die die Konstanten C1 und C2 mit den Randbedingungen noch zu bestimmen sind: ?.t(T)- Cl'~

r

C2

(13)

q- ?~

An dem inneren und ~ut~eren Zylinder haftet das Fluid, so dass sich die folgenden Randbedingungen ergeben:

u(r=r~)=Col.r~

1.)

,

u(r=r2)=w2.r2

2.)

(14)

Mit den Randbedingungen (14) und der Gleichung (13) erh~lt man die folgenden beiden Bestimmungsgleichungen fiir die Konstanten C1 und C2. Sie lauten: 1.)

rl C2 o21 .T1 - C1 9 -~- -~- ~ /'1

,

2.)

~22

"r2

--

r2 C2 C 1 . -~- --~ r2

.

(15)

Die LSsung des Gleichungssystems ergibt fiir C1 und C2:

~. ~ C~ - 2-

~. ~

~,. ~

-

r22 -

,

r~

Cz

-

r~ -

r~

"

(wa

(16)

-we)

Die Konstanten in die Gleichung (13) eingesetzt fiihren zum gesuchten Ergebnis:

1 [~. ( ~ : . ~

~(~) = ~ _ ~

- ~ 1 . ~ ) - ~1~'~~

( ~ - ~1)

]

u(r) ist unabh~ngig vonder Z~higkeit # des Fluids. Mit der Differentialgleichung (6) k5nnte nun mit dem bekannten Geschwindigkeitsprofil u(r) der Druck p(r) ermittelt werden. Er ist ebenfalls nicht v o n # abh~ingig, da in der Gleichung (6) die Z~higkeit nicht vorkommt.

1.0

1.0

u/ul

u/u2

1.0

0.5

0.4

0.5 0.8

i

0

0.5

I

a

A b b . 3.2.5c Geschwindigkeitsprofile

1.0

0

0.5

i

a

1.0

3.2 Navier-Stokes-Gleichungen

189

Das Ergebnis ist ffir die speziellen F~ille ((Zl ~ 0, 0-;2 ---- 0) und (031 --- 0, ~d2 ~ 0) in der Abbildung 3.2.5c dargestellt. Es werden dazu die folgenden Gr5t~en eingefiihrt: = rl/r2, ~ = r / r 2 , Ul = ~ 1 . r l und u2 = ~2 .r2. Mit diesen GrSt~en ergeben sich mit der Ergebnisformel fiir u ( r ) die nachfolgenden Formeln zur Auswertung:

u1( r )--- ~a1-~2 ( 2 ) u ,c~ " 3.2.2

u(r)_~(O~u2 -- I-to 2 -n-~)

,

Reynolds-Gleichungen fiir turbulente StrSmungen

Aufgabe 3.2.6

Zeitliche Mittelung

Zur H e r l e i t u n g der R e y n o l d s - G l e i c h u n g e n w e r d e n die in den NavierS t o k e s - G l e i c h u n g e n a u f t r e t e n d e n G r S g e n f (f steht fiir eine beliebige GrSge des StrSmungsfeldes) d u r c h die S u m m e aus zeitlichem M i t t e l w e r t plus SchwankungsgrSl~e f' e r s e t z t , also f - f + f'. Aus der sich anschlieg e n d e n zeitlichen M i t t e l u n g r e s u l t i e r e n d a n n die b e k a n n t e n R e y n o l d s Gleichungen. Zur D u r c h f i i h r u n g der M i t t e l u n g w e r d e n die nachfolgend a u f g e l i s t e t e n R e c h e n r e g e l n benStigt. In dieser A ufgabe soil gezeigt werden, dass diese R e c h e n r e g e l n giiltig sind. Sie lauten: 1.

~-~

4.

cg---s =

,

2.

Os

'

f+g-~+~ 5.

/

,

f . ds -

8

3.

/

~.g=f.~

,

f . ds

8

g i s t eine weitere beliebige S t r S m u n g s g r S g e , s ist eine L~ingskoordinate. LSsung: gegeben: oben aufgeffihrte Rechenregeln gesucht: Nachweis der Giiltigkeit der Rechenregeln Die Rechenregeln werden nacheinander fiberpriift. Rechenregel 1 ist trivial und wird nicht weiter betrachtet. Die zeitliche Mittelung einer GrSt~e f fiber das Intervall [0, T] geschieht mit T

f-~.

1I

f.at

.

(1)

0

Pormel (1) auf die Mittelung der Summe f + g angewandt ergibt Rechenregel 2: T

f + g - - ~1.

i 0

T

if

(f + g). dt -- ~ 9

T

f.dt+ 0

1 9i 0

_

g-dt-f+g

(2)

190

3

Grundgleichungen

der StrSmungsmechanik

Analog verl~uft die lJberpriifung der restlichen Rechenregeln. Rechenregel 3:

1/

1/

T

f.g--~,

T

f.g-dt--f.~,

0

g-dt-f.g

.

(3)

0

Rechenregel 4: Of

1 f Of

Os

T "

0

--~s " d t -

1

-~s

Of

T "

0

f . at

-

(4)

Os

0

Rechenregel 5:

/ f . d s - ~ - lo/

f.ds

8

/"

) / (1/ .dt-~-

( i ) / 1

~.

f.dt

.ds-

0

Aufgabe 3.2.7

f.dt

-f . d s

)

9d 8

-

(5)

.

s

Zweidimensionale Reynolds-Gleichungen

Mit den in der A ufgabe 3.2.6 fiberpriiften Rechenregeln werden die Navier-Stokes-Gleichungen zeitlich gemittelt. Aus deren Mittelung resultieren dann die Reynolds-Gleichungen. In dieser Aufgabe soil die Gleichung

P

Ou

Ou 2

-5i + ~

~

O ( u . v)

~

Op

-Ox-

F #.

~

+

oy~]

4- f x

(1)

mittels einer zeitlichen Mittelung in die entsprechende Reynolds-Gleichung iiberfiihrt werden. Gleichung (1) entspricht der ersten Navier-Stokes-Gleichung in x-Richtung fiir eine zweidimensionale instation~ire und inkompressible StrSmung. Bei der LSsung dieser Aufgabe sollen die folgenden beiden Teilaufgaben nacheinander bearbeitet werden:

a) Es

soil gezeigt werden, dass die linke Seite der Gleichung (1) der linken Seite der Gleichung (2) entspricht: p .

(~.

~

~.)

--~ + u " -~-~x + V " -O-~y

~

~ . ~)

- - - -~-~x + # " \ O x 2 + -~y 2

4- f ~

(2)

191

3.2 Navier-Stokes-Gleichungen

b) Die G r S g e n u, v und p sollen in Gleichung (1) d u r c h u = ~ + u ' , v = ~ + v ' und p = p + p~ e r s e t z t w e r d e n u n d die d a r a u s r e s u l t i e r e n d e Gleichung soil fiber das Zeitintervall [0, T] g e m i t t e l t werden. LSsung: gegeben: Gleichung (1) gesucht: a) Gleichung (1) - Gleichung (2)? b) entsprechende Reynolds-Gleichung a) Unter Anwendung der Produktregel ls in die folgende Form umschreiben:

P

~+-~x +

5~

p. ~ 7 + ~ . ~ + v -

-P

N

sich die linke Seite der Gleichung (1)

~+2~Ux+~N+vN

+p.~.

-

~+

Der Term Ou/Ox + Ov/Oy entspricht der linken Seite der Kontinuit~tsgleichung ffir eine inkompressible StrSmung. Er ist also Null, so dass gilt:

p. b T + ~ + ~ - y - - y

-p.

bT+~.~+~. N

(a)

b) u, v und p in Gleichung (1) durch die entsprechenden Ausdriicke ~ + u', ~ + v' und p + p' ersetzt ergibt die folgende Gleichung, die fiber das Zeitintervall [0, T] auf beiden Seiten gemittelt wird. Die zeitliche Mittelung wird durch das 0berstreichen der Gleichung angedeutet. Man erh~ilt:

( o(~ + ~,) P"

Ot

o(~ + ~,)~ +

O(p + p') + P" Ox

Ox

+v,)))

+

(o~(~ + ~,) + o~(~+ ~,)) Ox 2

Oy 2

(4)

+ fx

Werden nacheinander die Rechenregeln 2 und 4 auf die Gleichung (4) angewendet, erh~lt man:

P

(

o(~ + ~,) + o(~ + ~,): o((~+ ~,). (~ + v,))) ot

Ox

+

~

( 0 2 ( U '~ u l ) _ a ( p Ox + p') + ft.

Ox 2

/

O2 ( '~L-qt-Ul ) ) +

Oy 2

+ f~

-

(5)

Mit der nochmaligen Anwendung der Rechenregel 2 auf die Gleichung (5) und mit

192

3 Grundgleichungen der StrSmungsmechanik

fx = f~ ergibt sich:

P

(a~ o~~ a(~ + ~,)~ a((~ + ~,) . (~ + v,)) ) ~ + --5 + Ox + ~ o~ o~

Op-~ (o~-a o~-~ o~-~ o~-~) Ox ~ ~ " -~x~ + -O~x~ + -~y~ + o y ~ ] + f ~

(6)

Die Gleichung (6) vereinfacht sich nun weiterhin mit der Rechenregel 1 und mit u / = 0 sowie pl - 0 zu:

P"

a((~ + ~,~_~(o+v,))) =

( 0~ 0(~ + u') 2 -~ + ax

cOP I-ft.

-ax-

+

~

+ fx

(7)

Die Terme 1.

o ( ~ + ~')~ Ox

2.

a(~ +

'

~,). (~ +

v,)

Oy

werden nun noch gesondert behandelt. Fiir den 1. Term ergibt sich mit den Rechenregeln 1, 2, 3 und mit u' - 0 die folgende Rechnung: o ( ~ + u,)~ _ o ( ~ cOx 0~ 2 0u'2 § Ox Ox

+ 2.

~. ~, + ~'~) Ox

_ o~__~ + 0 ( 2 . ~ . u,) t o~'~ Ox cOx Ox (8)

Fiir den 2. Term ergibt sich mit der entsprechenden l%chnung:

a(~ + ~,). (~ + ~') Oy

CO(~. ~ + ~. v' + u' . ~ + u' . v') Oy

o(~. ~) + a(~. v,) + O(u' . ~) + O(u' . v') = 0 ( ~ . ~) + O(u' . v') coy Oy cOy cOy cOy cOy

(9)

Der 1. Term und der 2. Term gem~if~ den Gleichungen (8) und (9) in Gleichung (7) eingesetzt, ergibt die folgende Reynolds-Gleichung:

(cOt

p.

O~ 2

Ou '2

--5-i + -~x + --~x -~

oy

~

b~

0/~ l-#"

/ =

( co2~+ (02'~)+ f x

(10)

3.2 Navier-Stokes-Gleichungen

193

Mit einer einfachen Umformung kann die Gleichung (10) anders geschrieben werden. Sie lautet"

( O~ O~2 O(~.v) ) P

5-i +-g2~ ~

-O--x § #"

~

?iJ

-

§ Oy2] § fx + p"

Ox

Oy

Die Reynolds-Gleichung unterscheidet sich einmal durch die gemittelten GrSt~en ~, und p vonder Gleichung (1). Weiterhin treten auf der rechten Seite die ermittelten zus~tzlichen Terme auf, die als s c h e i n b a r e t u r b u l e n t e S c h u b s p a n n u n g e n bezeichnet werden, physikalisch gesehen jedoch Tr~gheitsterme sind. Bei der numerischen LSsung der Reynolds-Gleichungen miissen diese Terme geeignet modelliert werden (Aufgabe der Turbulenzmodellierung, Kapitel 3.2.3).

A u f g a b e 3.2.8

Dreidimensionale Reynolds-Gleichungen

Es wird eine stationSxe i n k o m p r e s s i b l e d r e i d i m e n s i o n a l e t u r b u l e n t e StrSm u n g b e t r a c h t e t . V o r g e g e b e n ist die N a v i e r - S t o k e s - G l e i c h u n g fiir die zRichtung:

u. ~

+ v .N

+ w . Oz = - - p " Oz + "

\ Ox~ + ~

+ Oz~ )

a)

M a n setze d e n R e y n o l d s - A n s a t z fiir die t u r b u l e n t s c h w a n k e n d e n Gr6f~en u, v, w u n d p in Gleichung (1) ein u n d multipliziere die d a b e i entsteh e n d e n P r o d u k t e aus. Hinweis: D e r R e y n o l d s - A n s a t z lautet: --

u--u§

I

,

--

v--v§

I

,

~

w--w§

I

,

p-p§

--

pl

.

Die Dichte p und die k i n e m a t i s c h e Z~ihigkeit u sind k o n s t a n t . b) M a n streiche alle T e r m e in d e r r e s u l t i e r e n d e n Gleichung a)~ die bei einer zeitlichen M i t t e l u n g dieser Gleichung zu Null w e r d e n . Anschlief~end s c h r e i b e m a n die sich ergebende~ zeitlich g e m i t t e l t e N a v i e r - S t o k e s Gleichung in z - R i c h t u n g in d e r Weise auf, dass alle v e r b l e i b e n d e n Terme~ die ausschlief~lich zeitlich g e m i t t e l t e G r u n d s t r S m u n g s a n t e i l e us v~ w u n d enthalten~ a u f d e r linken Seite d e r Gleichung s t e h e n . Alle a n d e r e n T e r m e sollen r e c h t s des G l e i c h h e i t s z e i c h e n s a u f g e s c h r i e b e n w e r d e n . M a n b e n u t ze d a b e i d e n Q u e r s t r i c h als a b k i i r z e n d e Schreibweise fiir das I n t e g r a l der zeitlichen M i t t e l u n g .

194

3 Grundgleichungen der StrSmungsmechanik

c) Man zeige unter Verwendung des Reynolds-Ansatzes in Verbindung mit der Kontinuit~itsgleichung~ dass die folgende Identit~it erffillt ist: ~,

ow,

Ow,

9~

+ ~' ~

+ ~'

o~,

o(~, . ~,) +

Oz =

Ox

o(v,.ov~')

+

o(~,.Oz~')

.

(2)

L6sung: gegeben: p, u a) Nach Einsetzen des Reynolds-Ansatzes in Gleichung (1) erhElt man:

(~ + , ) . a(~ + ~') + (v + ~'). a(~ + ~') + (~ + , ) . a(~ + ~') = Ox

Oy

Oz

_ _1 . ~O(~+p') + u. ( 02 (~ + w ') + 02 (~ + w ') + O(~ + w') ) p Oz Ox 2 Oy 2 Oz 2

(3) "

Durch Ausmultiplizieren s~xntlicher Produkte in Gleichung (3) folgt: O~

u'

~. yx + Ow'

O~

.~

Ow'

O~

*"--~y + ~

u'

+ ~. --5-~ +

Ow'

O~

v'

. -~x + ~. N +

O~

Ow'

aw' _

O~

Ow'

.~ ]

+~. --~y +

( o~

Op' ~

7z + ~ ' ~ +~-bS-z + ~ ' Oz - - - ~ , ~ + - ~ z ] + (o~ o~, a~ o~, o~ o*~ ,) /" b-~x~+-b-~x~ +-b~v~ +-b-Y~ +-~z~ + Oz~ "

(4)

b) Bei einer zeitlichen Mittelung von Gleichung (4) fallen all diejenigen Terme heraus die Schwankungsterme ausschlieglich in der ersten Potenz erhalten, denn fiir eine beliebige SchwankungsgrSf0e f' gilt bei einer zeitlichen Mittelung f' - 0. Man erh~lt also: m

O~

~ ~

0~

+~ ~

0~

1 0~

+ ~ Tz + -

(02~

az

02~

l~. ~

" --O-xz + v ' . ~

02~)

-b-Sy~+

-

+ w ' . -~z

(5)

c) Beim Differenzieren der rechten Seite von Gleichung (2) wird die Produktregel der Differentiation angewandt. Man erh~ilt:

a(~, .w,)

+

Ox

a(~, .~,)

+

Oy

Ow'

a(~, .~,)

=

Oz

Ou'

Ow'

Or'

Ow'

~ ' - ~ x + ~ ' b-x-x+ ~'-0-b-v + ~ ' b-~v+ ~'-bS-z + ~ ' ~, o~' " --O-xx + v ' .

a~'

a~'

-~y +w ' . -~z +w '

( o~, .

Ov'

Ow'

0z o~, )

-Zx + ~ +--~z

(6)

3.2 Navier-Stokes-Gleichungen

195

Da die zeitlich gemittelten Geschwindigkeitskomponenten die Kontinuit~itsgleichung erfiillen, muss fiir die SchwankungsgrSi~en gelten:

Ou' Or' Ow' 0 ; + ~ + -Siz - o

(7)

Aus Gleichung (6) folgt somit die Behauptung von Gleichung (2) 9

a~, ~, = _+~,

0~, = _+~,

Ox

A u f g a b e 3.2.9

a~, = a ( ~ , ~,) + 0 ( ~ , ~,) + 0 ( ~ , ~,)

Oz

Uy

Ox

Oy

Oz

Favre-Mittelung

Die Gleichungen fiir I m p u l s und Energie fiir ein kompressibles M e d i u m mit k o n s t a n t e n Stoffwerten # u n d cv e n t h a l t e n u n t e r a n d e r e m folgende Terme:

O(p.u-w) Oz

(I)

Ow2 IOu Ov Ow) ~ z ~ - 2 . . . o~ - - 5 . . . ~ x + ~ + ~ (OT OT) p . c v . - 0 ~ - + w 9 -~z

,

'

(2)

(3)

Oxx + Oyy

(4)

Die b e t r a c h t e t e S t r S m u n g ist quasi-station~ir k o m p r e s s i b e l u n d t u r b u lent. Die t u r b u l e n t e n SchwankungsgrSgen, die G e s c h w i n d i g k e i t s k o m p o n e n t e n und die T e m p e r a t u r sollen m a s s e n g e m i t t e l t (Le F a v r e - M i t t e l u n g ) und die Dichte einfach g e m i t t e l t w e r d e n . Es gelten die folgenden Ans/itze: U--U~U

T-T+

~

T"

,

V--V~V p - - p + p'

~ 9

W--W~W (5)

I m Folgenden sind einige Ans/itze aus den Gleichungen (5) in obige T e r m e (1) - (4) einzusetzen und anschliegend ist eine zeitliche M i t t e l u n g u n t e r V e r w e n d u n g der R e c h e n r e g e l n ffir t u r b u l e n t e S t r S m u n g e n durchzufiihren. V e r w e n d e n Sie dabei den Q u e r s t r i c h und das Tilde- bzw. Schlang e n s y m b o l als abkfirzende Schreibweise ffir das I n t e g r a l der zeitlichen Mittelung. a) M a n setze die Ans/itze fiir die G e s c h w i n d i g k e i t s k o m p o n e n t e n und die T e m p e r a t u r in die T e r m e ( 1 ) - (4) ein. U m die b e s o n d e r e n Eigenschaften der F a v r e - M i t t e l u n g a u s z u n u t z e n , ist die Dichte nicht in ~ und p' zu

196

3 Grundgleichungen der Str5mungsmechanik

zerlegen, s o n d e r n als Variable zu v e r w e n d e n . Multiplizieren Sie aus und fiihren Sie eine zeitliche M i t t e l u n g d u r c h . S t r e i c h e n Sie alle T e r m e , die bei der zeitlichen Mittelung

zu Null werden.

b) M a n s e t z e n u n d e n R e y n o l d s - A n s a t z p - ~ + p l in d e n sich in T e i l a u f g a b e a) e r g e b e n d e n A u s d r u c k fiir O(p.u. w)/Oz ein, m u l t i p l i z i e r e n Sie a u s u n d s t r e i c h e n Sie alle T e r m e die n u n b e i d e r z e i t l i c h e n M i t t e l u n g zu N u l l

werden. c) M a n zeige, dass die B e h a u p t u n g p. OT"/Ox 0 richtig ist. Hierfiir wende m a n den R e y n o l d s - A n s a t z fiir kompressible S t r S m u n g e n a u f die T e m p e r a t u r an. -

-

LSsung: gegeben: Terme (1)-(4), Favre-Mittelung (5) gesucht: a) zeitliche Mittelung der Terme (1) - (4) mit Favre-Mittelung, b) Reynolds-Ansatz fiir Term (1), c) Beweis a) Nach dem Einsetzen der Favre-Mittelung (5) in Gleichung (1) und der zeitlichen Mittelung erh/ilt man" O(p-u. w) Oz

O(p-[~ + u"]. [~ + w"]) Oz = O(p. ~. ~) + O(p. ~. ~,,) + O(p. ~,, . ~) + O(p. ~,, . ~,,) Oz Oz Oz Oz O(p. ~. ~) o ( ~ . p. ~,,) o ( ~ . p. ~,,) O(p. ~,, . ~,,) = Oz + + + Oz Oz Oz

. (6)

Mit p. u H - p - w " - 0 folgt aus Gleichung (6): O(p. u . w) O(p. ~. ~) + O(p. u" . w") = Oz Oz Oz

.

(7)

Setzt man die Favre-Mittelung (5) in Gleichung (2) ein und fiihrt die zeitliche Mittelung durch erh~lt man: Ow

2

( Ou

~zz - 2 . ~ . Oz - 5 . , .

+

= 2. ~.

Oz

~

Ov + ~

Ow I + -5-;z

2

+

- -5 . i t . ,

Ox

+

(0~

O~

Oy

+

Oz

_

. (8)

Aus Gleichung (8) folgt" O~

2

~zz - 2 . ~ . Oz - -5 " ~

+2...

-5-ix + ~

Ow"

2

[ Ou"

Oz

- 5 "

\ -~x

0~) + -h-iz

Or" + ~

Ow" ) + -~z

(9)

3.2 Navier-Stokes-Gleichungen

197

Nach dem Einsetzen der Favre-Mittelung (5) in Gleichung (3) und der zeitlichen Mittelung erh~t man: p.cv .

--~ + w . --~z

- - Cv

- Cv .

p.

O ( T + T " ) + P" ( ~ + ~ , , ) . O ( T + T " )

Ot

Oz

(

OT OT" ~ OT N OT" P" --~ + P" - - ~ + P ' W " -~z + P ' W " Oz + p . w"

OT

w" . OT"

" -g-2~ + p z

Cv " i

-g-2-z

OT OT" OT OT" ..... ..v P" --~ + P" - - ~ + P" ~ " -~z + ~ " p" Oz + p . w"

OT

OT"

9 -5-;+p.w".-SV

(10)

z

Unter Verwendung der Quasi-Stationarit~t (O/Ot - 0) und p. w" - 0 folgt aus Gleichung (10)" p . ~v .

-~

+ w . -5-;

- ~v .

p . ~ . -57z + ~ . p . - S z

(11)

+ p . w,, . - - ~

Fiir den Term (4) ergibt sich nach dem Einsetzen der Favre-Mittelung (5) und der zeitlichen Mittelung"

=

-~z

+ 2 . Ox Ou "

+ 2 . Ox

O---x-+

0"~ Ou " O----y+ 2" Ox

~

+ 2 . Ox

Oy +-2" Ox

Oy

Ov _'___~_' ( O0__~)y 2 0"~ Ov _'__~'_ ( O r " ) Oy ~+ 2 . Oy Oy F

2 9 (12)

Aus Gleichung (12) folgt" Ou

Or) 2

-5-;x + ~

= ~x

+2.Ox o~ + ~

+\-~x

+2. Ox o-V + \ o r

O~ Ou" 0"~ Ov" O~ Ou" 0"~ Ov" +2 . . . . p 2. ~ + 2. ~ + 2. Ox Ox Ox Oy Oy Ox Oy Oy

(13)

198

3 Grundgleichungen der StrSmungsmechanik

b) Unter Verwendung des Reynolds-Ansatzes in Gleichung (7) ergibt sich: o(p.~.

o([z+ p,]. ~. ~)

~)

Oz =

o(~. ~. ~) o(~. ~. ~) Oz

Mit p ' - 0

o([z + p,]. ~,,. ~,,) Oz

o ( ~ . ~,, . ~ , , ) o ( p , . ~,, . ~ , , ) + + Oz Oz Oz o(~.~,, .~,,) o(p, .~,, .~,,) O(p, . ~ . ~ ) + + + Oz Oz Oz

+

Oz =

+

Oz O(p, . ~ . ~ )

(14)

folgt aus Gleichung (14): o(p

~ . ~) o(~. ~. ~) o ( z . u,, . ~ , , ) o ( p , . ~,, . ~ , , ) = + + Oz Oz Oz Oz

c) Ausgehend von dem Term p . OT/Ox folgt nach der zeitlichen Mittelung und der Verwendung des Reynolds-Ansatzes fiir kompressible StrSmungen T = T + T" mit den Rechenregeln der zeitlichen Mittelung: N

N

~

N

OT O(T + T ' ) OT OT" OT OT" P" ~ -- P" Ox = P" ~ + P" Ox ---fi" ~ + P" Ox

"

(15)

Wendet man die Favre-Mittelung auf den Term OT/Ox an ergibt sich: OT Ox

OT

P" ox p

OT OT OT P ' Y x = -~ ' --~x = -~ ' O x

"

(~6)

Durch Gleichsetzen der rechten Seiten der Gleichungen (15) und (15) folgt direkt die Behauptung: (~T/t P" Ox

3.2.3

-0

Turbulenzmodelle

A u f g a b e 3.2.10

Prandtlscher Mischungsweg

V o r g e g e b e n ist eine i n k o m p r e s s i b l e t u r b u l e n t e C o u e t t e - S t r S m u n g in der ( x , z ) - E b e n e z w i s c h e n zwei sich mit jeweils k o n s t a n t e r G e s c h w i n d i g k e i t U gegeneinander bewegenden unendlich ausgedehnten ebenen Platten (siehe A b b . 3.2.10). U n t e r V e r n a c h l ~ s s i g u n g y o n M a s s e n k r ~ f t e n wird eine zeitlich g e m i t t e l t e S t r S m u n g b e t r a c h t e t , die nur eine G e s c h w i n d i g k e i t s K o m p o n e n t e ~ in x - R i c h t u n g aufweist, die ihrerseits nur yon z a b h ~ n g i g ist, d. h. ~ = ~(z). D i e u n b e k a n n t e S c h w a n k u n g s g r S g e u ~. w ~ soil nach

3.2

199

Navier-Stokes-Gleichungen

A b b . 3.2.10 Turbulente C0uette-Str5mung d e r B o u s s i n e s q - A n n a h m e m o d e l l i e r t w e r d e n . Die t u r b u l e n t e d y n a m i s c h e Viskosit~it pt soil nach d e m P r a n d t l s c h e n M i s c h u n g s w e g a n s a t z b e r e c h n e t werden~ wobei ffir die V e r t e i l u n g des M i s c h u n g s w e g e s l(z) die folgende B e z i e h u n g gilt: l(z) - K . (h 2 - z 2)

(1)

a) M a n b e s t i m m e die K o n s t a n t e K so, dass gilt: dl dz

z

m/~

z=+h

mit ~ - konst.. b) W i e l a u t e t die Gleichung fiir die t u r b u l e n t e s c h e i n b a r e S c h u b s p a n n u n g Tt - - p . u ' . w' in Abh~ingigkeit des g e g e b e n e n M i s c h u n g s w e g e s l(z) und der g e g e b e n e n G r u n d s t r S m u n g g(z)? LSsung: g e g e b e n : h, ~, p, ~(z), l(z) gesueht: K, Tt a) Ausgehend vom gegebenen Mischungsweg l(z) nach Gleichung (1) wird zun~chst die Ableitung d l / d z an der Stelle z - +h bestimmt. Man erh~lt" dl dz - - 2 - K . z

dl dzz

=:~

: z:+h

Mit der Bedingung dl dz

--z----}-h

m l~

-2.K.h

(2)

200

3

Grundgleichungen

der

StrSmungsmechanik

und dem Ergebnis aus Gleichung (2) folgt:

dl dz

=-~=-2.K-h

~

t~

K-

_ 2. h

z-= +h

.

(3)

b) Unter Verwendung der Indexschreibweise gilt fiir die Komponenten des Tensors Tij der scheinbaren Schubspannungen nach der Boussinesq-Annahme: Tij - -

--fl" Ui " Uj -- ftt

mit

iC{1,2,3}

~ (~Xj -~ ~ /

und

'

je{1,2,3}

.

(4)

Da in der Aufgabenstellung nach u ~. w t in kartesischer Schreibweise gefragt ist, gilt entsprechend fiir die Indexschreibweise i = 1 und j = 3, so dass folgt: T13 : - - p " u~ " Ut3 -- ftt "

b,.w.

~-~z-~-~ -

-p.

~'. ~ ' -

(0~1 ~

,~.

o~'~

-~- ~ X l ]

N

+ ~

.

(5)

Nach Voraussetzung ist N = 0 und g = g(z). Aus Gleichung (5) folgt somit: Tt

--- - - p "

U'

9 W'

--

~tt 9

d~(z) dz

(6)

ftt soll nach dem Prandtlschen Mischungswegansatz modelliert werden. Man erh/flt: ~tt

--

d~ p" 12(z)" ~ZZ

(7)

Das gesuchte Ergebnis folgt dutch Einsetzen von Gleichung (7) in Gleichung (6) sowie durch Verwendung des Ansatzes aus Gleichung (1) und der Konstanten K aus Gleichung (3) zu:

Tt_p.12(z).

A u f g a b e 3.2.11

du(z) dz

2

~

Tt -- p"

2-------~"(h2 -- z2)

"

dz

(8)

Baldwin-Lomax-Turbulenzmodell

Zur Berechnung von turbulenten Baldwin-Lomax-Turbulenzmodell

S t r S m u n g e n u m T r a g f l i i g e l hat sich d a s bew/ihrt.

a) Zu w e l c h e r K l a s s e v o n T u r b u l e n z m o d e l l e n g e h S r t d a s B a l d w i n - L o m a x T u r b u l e n z m o d e l l ? W a s ist d e r V o r t e i l d e r a r t i g e r M o d e l l e ? b) D a s B a l d w i n - L o m a x - T u r b u l e n z m o d e l l wird in zwei V a r i a n t e n zur Berechnung der t u r b u l e n t e n S t r S m u n g in G r e n z s c h i c h t e n und Nachl~iufen e i n g e s e t z t . W i e u n t e r s c h e i d e n sich diese Varianten?

3.2 Navier-Stokes-Gleichungen

201

LSsung: a) Das Baldwin-Lomax-Turbulenzmodell ist ein algebraisches Turbulenzmodell, da zur Bestimmung der turbulenten Viskosit~it pt lediglich die Gleichungen (#t)innen-

p" / 2

103]

( # t ) a u g e n -- p - K - C c p -

, fWAKE " fKLEB

(1) (2)

zu 15sen sind. Die Bedeutung der einzelnen Terme in den Gleichungen 1 und 2 sind in Kapitel 3.2.3, H. Oertel jr., M. B6hle 2004 zu finden. Der Vorteil der algebraischen Modelle liegt in den geringen Anforderungen an die benStigte Rechenzeit. Im Vergleich zu Ein- oder Mehrgleichungsmodellen miissen keine zus~itzlichen partiellen Differentialgleichungen gel5st werden. b) Die Funktion fWAKE berechnet sich mit der Gleichung: fWAKE -- min (fl, f2 ) fl -- Zmax " fmax f2 -- C W K " Zmax "

U~Ir fmax

Dabei ist fm~x das Maximum der Funktion Z+

f(z) -- z. [w I.[1 - e x p ( - ~ - ~ - ) ]

,

(3)

das an der Stelle z - Zmax auftritt. Die GrSt~e UDIF berechnet sich mit der Gleichung: UDIF -- (V/~t 2 -~- V 2 -~- W2)max - - ( V / ~ t 2 @ v 2 -~- W2)min

(4)

Index max bzw. min steht fiir den grSt~ten bzw. kleinsten Wert in der Grenzschicht. Der zweite Summand der Gleichung (4) wird fiir die Modellierung der Turbulenz in Grenzschichten zu Null gesetzt. Fiir die Modellierung der Turbulenz von Nachl~ufen muss die vollst~i~dige Gleichung (4) verwendet werden.

A u f g a b e 3.2.12

K-Gleichung

T u r b u l e n z m o d e l l e w e r d e n so entwickelt, dass sie e x p e r i m e n t e l l e B e f u n d e in e i n e m mSglichst groi~en P a r a m e t e r b e r e i c h b e f r i e d i g e n d w i e d e r g e b e n . Ein einfacher Spezialfall ist die i s o t r o p e G i t t e r t u r b u l e n z . Vor der M e s s s t r e c k e eines W i n d k a n a l s befinde sich zur B e r u h i g u n g der S t r S m u n g ein s o g e n a n n t e s T u r b u l e n z g i t t e r . Hinter d i e s e m stellt sich eine i s o t r o p e t u r b u l e n t e S t r S m u n g ein, welche im s t a t i s t i s c h e n M i t t e l stationer und e i n d i m e n s i o n a l ist. W e i t e r h i n sei wie bei GrenzschichtstrSm u n g e n die m o l e k u l a r e Diffusion in S t r S m u n g s r i c h t u n g vernachl~ssigbar klein.

202

3 Grundgleichungender Str5mungsmechanik

a) M a n vereinfache die allgemeine Gleichung ffir die Turbulenzenergle (K-Gleichung)

P

ot

+ p

zeitliche A n d e r u n g

- p ~

~j ' ~ Konvektion

~i ~-

Produktion

-

~ " o~ m o l e k u l a r e Diffusion

-g;~

+ P ~

~

t u r b u l e n t e Diffusion

mit der zeitlich g e m i t t e l t e n Turbulenzenergie K -

-"

Oxj " Ox~

(1)

Dissipation

--7 K und K ' -

(u~2 + ist die O r t s k o o r d i n a t e in S t r S m u n g s r i c h t u n g . D i e A n d e r u n g der m o l e k u l a r e n Diffusion ist in S t r S m u n g s r i c h t u n g vernachl~issigbar.

u~22 + u~32)/2. Die S t r S m u n g ist station~ir und eindimensional.

Xl

M a n beachte in der Gleichung (1) die S u m m a t i o n s k o n v e n t i o n . Im Prod u k t i o n s t e r m ist die zeitlich g e m i t t e l t e Kontinuit~itsgleichung zu berficksichtigen. b) Welche wichtige Beziehung zur e x p e r i m e n t e l l e n B e s t i m m u n g der Turbulenz ergibt sich bei zus~itzlicher Vernachl~issigung der t u r b u l e n t e n Diffusion? LSsung: a) Da es sich um eine station~e StrSmung handelt gilt fiir die zeitliche _Anderung:

OK =0 Ot Wegen der eindimensionalen StrSmung in Xl-Richtung fallen die Ableitungen in x2und x3-Richtung im Konvektionsterm weg:

Mit der selben Begriindung fallen auch die entsprechenden Terme bei der molekularen Diffusion weg. Zus~itzlich kann hier die Ableitung in x l-Richtung entfallen, da die Anderung der molekularen Diffusion in StrSmungsrichtung vernachl~sigbar ist"

"

0 ~K (0 ~K 0 ~K 0 ~K Ox~ = " \ ~-~X~l + ~ + -~x~ ] - o

Der Reynolds-Ansatz wird in die Kontinuit~tsgleichung eingesetzt und diese wird dann zeitlich gemittelt. Wegen der eindimensionalen StrSmung fallen ebenfalls die Ableitungen in x2- und x3-Richtung weg:

203

3.2 Navier-Stokes-Gleichungen 0Ul ~- 0u2 0u3 _ 0(~1 + u~) -~- 0 ( ~ + ~'~) + a ( ~ + u'~) __ 0x---~- ~ + 0x3 0Xl 0x2 0x3 0Ul .qt_ 0~2 _~_ 0~3 _~_ OU'l _Jr_ Ou'2 -~. Ou'3 . . . .0~ ~ ~ 0~2 -~. 0~3 . .

. 0~ ~

0

. (2)

OXl ~ ~ ~ ~ OX3 OXl ~ OX3 OXl Im Produktionsterm fallen wegen der Eindimensionalit~t die Ableitungen in x2- und x3-Richtung weg und es gilt fi2 = ~3 = 0. Mit der Kontinuit~tsgleichung (2) ergibt sich: 0'~i t t ( 0U 1 t 0"~ 1 t 0~, 1 t t P ' O X j "ui "?_tj -- p" k ~ "U 1 "U~ --~ ~2X2 " u l "U~ -~- ~ "U 1 "U 3

0~2

+ ~

~

~

0~2

07~3

0U3

+ b-~l ~

0~2

~ + b-~ ~ ~ + ~

~

u~ + ~ t

~

.u~ . ~

0'~3

)

~ + b-~x~ ~

~

- 0 .

Aus der Kontinuitgtsgleichung (2) folgt direkt Ou]/Oxj - O. Mit dieser Bedingung und den wegfallenden Ableitungen in x2- und x3-Richtung wegen der Eindimensionalitgt ergibt sich nach einer Umformung der turbulenten Diffusion:

o(p,. ~)

oK,

o(p,. ~)

Ox~+P-~x~ u~o(p, . ~ ) OXj

9

o(K, . ~ )

+ p

o(K,. ~)

Ox~ +P _

o(p, . ~'1)

OXj

+

o ~ . K, =

Ox~ - P ~ o(p, . ~'~) + o(p, . ~'~)

OXl

OX2

Ox3

"-~-P " \( O (p tx ;?'tit) + O ( I4['x 214f~ ) --~ O ( I-( ' _.O . ?'t _x3t3) /] _ O (pt x ;u tl ) + p . O ( I~ 'X l ?-ttl ) Die Dissipation kann nicht vereinfacht werden, da sich die Eindimensionalit~t nur auf statistisch gemittelte GrSgen bezieht. Damit erh~lt man:

" Oxj ' Ox~ = "

+(o~,'~

~

~Xl

+

-SUx~

+

~

+

~Xl

+

)+( )+( ) .( )

ou'~ ~ ~Xl

ou'~ ~

ou'~ ~]

ou~ ~

Setzt man alle vereinfachten Terme wieder in Gleichung (1) ein erhglt man Ms Ergebnis: OK _

O(pt . ul.______~))

p" (tl " OXl -- --

Oxl

- p"

O ( K ' . Ul) _ /_t"

(3)

OXl

b) Vernachlgssigt man in Gleichung (3) die turbulente Diffusion folgt die wichtige Beziehung:

oK _

(o~:)

p" U l . 0 x I - - - ] _ t . ~ 0xj

~.

204 3.3

3 Grundgleichungender StrSmungsmechanik Energiegleichungen

3.3.1

Laminare StrSmungen

Aufgabe 3.3.1

C o u e t t e - S t r S m u n g mit T e m p e r a t u r g r a d i e n t

In einem e b e n e n Kanal der HShe H mit einem sich in R u h e befindend e m inkompressiblen N e w t o n s c h e n M e d i u m sind an den W~inden die T e m p e r a t u r e n T1 und T2 aufgepr~igt. 0 b e r d e m K a n a l stellt sich eine lineare T e m p e r a t u r v e r t e i l u n g ein (siehe Abb. 3.3.1a). Zum Z e i t p u n k t t = 0 wird die untere B e r a n d u n g plStzlich mit der k o n s t a n t e n Geschwindigkeit U in Bewegung gesetzt. Dabei bildet sich im K a n a l eine ebene C o u e t t e - S t r S m u n g in der (x, y ) - E b e n e aus (siehe Abb. 3.3.1b) die, genau wie die T e m p e r a t u r v e r t e i l u n g , als in x-Richtung ausgebildet angenomm e n w e r d e n kann. Die )i.nderung der T e m p e r a t u r v e r t e i l u n g a u f g r u n d der C o u e t t e - S t r S m u n g im K a n a l soil untersucht werden. A u s g a n g s p u n k t ist die Energiegleichung fiir die massenspezifische innere Energie e bei StrSmungen mit konstanten Stoffeigenschaften: p-

(0e

~-~+(v.V)e

)

--A.AT-p.(V.v)+p-0s+#.~)

9

(1)

Die Terme in V e k t o r n o t a t i o n aus Gleichung (1) lauten ausfiihrlich: 0

(,,.v)~-

AT--

0

~.~x+V.~+w.

0 )

N

0e

0e

0e

~-~.Uxx+V.~+~.o~

,

( 02 02 02) 02T 02T 02T ~ +--~y2 +--~z2 T - ~ +--~y2 + Oz-----~ ,

- p ( v . ~) - - ; .

( Ox' or' o~

Abb. 3.3.1a Ruhendes Fluid mit Temperaturgradient

- -v.

(2) (3)

N + N + N

Abb. 3.3.1b Couette-Str5mung Temperaturgradient

,(41

mit

3.3 Energiegleichungen

9 -2.

~

205

+

N+-b-;x

N -5

+

-5;

+

ov)

+

~+N

+~

+ (5)

~+N+-b-Uz

a) Unter Beriicksichtigung der gegebenen Voraussetzungen und unter Vernachlfissigung von W~irmestrahlungseinfliissen vereinfache man die Energiegleichung zu einer partiellen Differentialgleichung fiir die Temperatur T. b) Man ermittle den Temperaturverlauf im station~iren Endzustand fiir die unter a) hergeleitete Differentialgleichung. c) Wie ~indert sich der Temperaturverlauf, wenn die untere Platte mit dem gleichen Geschwindigkeitsbetrag U, jedoch in die entgegengesetzte Richtung wie bei a) in B e w e g u n g gesetzt wird? LSsung: gegeben: U, H, T1, 7"2, p, Cv, A, # gesucht: a) Differentialgleichung ffir T(t, y), b) T(t --+ co, y), c) s

von

T(y) a) Da eine inkompressible StrSmung vorausgesetzt wurde, verschwindet nach der Kontinuit~tsgleichung die Divergenz des Geschwindigkeitsfeldes V - v = 0. Damit kSnnen Gleichung (3) sowie der letzte Summand aus der Dissipationsfunktion in Gleichung (5) vernachl~sigt werden. Das Fehlen von Strahlungseinfliissen fiihrt zur Vernachl~sigung von C)s. Weiterhin wurde eine zweidimensionale Couette-StrSmung in der (x,y)-Ebene vorausgesetzt. Dies bedeutet, dass fiir die Geschwindigkeitskomponente w gilt: w = 0. Aufgrund der Annahme eines ausgebildeten Temperaturprofils in x-Richtung gilt OT/Ox = 0 sowie Ou/Ox = 0 wegen der ausgebildeten Geschwindigkeitskomponente. Auigerdem verschwinden alle partiellen Ableitungen nach z. Beriicksichtigt man die bisherigen Vereinfachungen und die Beziehung e = Cv-T in Gleichung (1), so erh~lt man:

p

.

~

v

.

-

~. b-~v~+ , .

2.

+

+

.(6)

Die Kontinuit~tsgleichung fiir die vorliegende ebene StrSmung lautet:

Ou Ov Ox + ~ - 0

(7)

Wegen Ou/Ox = 0 nach Voraussetzung folgt aus Gleichung (7): Ov/Oy = 0. Mit der Haftbedingung v(y = O) = v(y = H) = 0 und Ov/Oy = 0 folgt bei einer

206

3 Grundgleichungen der StrSmungsmechanik

in x-Richtung ausgebildeten StrSmung v - 0. Berficksichtigt man diese weiteren Vereinfa~hungen in Gleichung (6) ergibt sich: p . ~ v . ot = a b T ~

+'

"

(81

Bei einer Couette-Str5mung ist d u / d y konstant, so dass mit der TemperaturleitF~higkeit k - A / ( p . Cv) aus Gleichung (8) folgt: k- ~

Ot

(9)

= konst. - m.Cv

b) Im station~en Endzustand gilt O T / O t = 0. Mit der Prandtl-Zahl P r - ~ / k folgt aus Gleichung (9)" d2T

Pr

dy 2 = - c---~-

(du) 2 ~yy

"

Ffir die vorliegende Couette-Str5mung gilt d u / d y - - U / H , d2T

Durch Integration erhs

Pr

U2

dy 2 = - c - ~ "

H2

(10) somit folgt"

"

(11)

man aus Gleichung (11):

dT

Pr

U2

. . . . y+C1 Cv H 2

dy

1 T(y) = -~

Pr . cv

,

U2 H 2 . y2 + Cl . y + C2

(12)

Die Randbedingungen zur Ermittlung der Konstanten C1 und C2 lanten" y-O"

T(y-O)

- T1

,

y-H"

T(y-

H ) = T2

Aus Gleichung (12) folgt mit den Randbedingungen: T1 - C 2

~

1 ( T2-TI

Cl-~.

T2 . . . .

1

1

Pr

2

Cv

9U 2 § 2 4 7

+ - ~ . Cv

Als Endergebnis erh~lt man: T(y)---~.

cv " H 2

+

T2-TI

+-~.

Cv

"-H § T1

.

(13)

c) Die Bewegung der Berandung geht fiber die Fluidreibung, also fiber den Geschwindigkeitsgradienten d u / d y in der Temperaturverlauf ein. Da dieser Term jedoch quadratisch in Gleichung (9) erscheint, spielt das Vorzeichen des Geschwindigkeitsgradienten keine Rolle. Der Temperaturverlanf ~ndert sich also nicht!

3.3 Energiegleichungen A u f g a b e 3.3.2

207

A b s a u g u n g mit W / i r m e t r a n s p o r t

A b b . 3.3.2 Absaugung Zwischen zwei h o r i z o n t a l e n p o r S s e n P l a t t e n ( B r e i t e b s e n k r e c h t zur Zeic h e n e b e n e ) s t r S m t im Spalt ( k o n s t a n t e S p a l t h S h e h) ein N e w t o n s c h e s M e d i u m ( k o n s t a n t e k i n e m a t i s c h e Z~ihigkeit ~, k o n s t a n t e Dichte p, kons t a n t e spezifische W~irmekapazit~it Cv) in a u s g e b i l d e t e r , station~irer u n d l a m i n a r e r S t r S m u n g . Die u n t e r e P l a t t e b e w e g t sich mit d e r Geschwindigkeit U0 > 0 in positive x - R i c h t u n g , die o b e r e P l a t t e ist in R u h e . D u r c h D r u c k a b s e n k u n g fiber der o b e r e n p o r S s e n P l a t t e wird M e d i u m aus d e m Spalt mit der k o n s t a n t e n G e s c h w i n d i g k e i t W0 > 0 parallel zur z-Achse abg e s a u g t (siehe A b b . 3.3.2). D u r c h die porSse u n t e r e P l a t t e k a n n M e d i u m parallel zur z-Achse nachfliegen. D e r s t a t i s c h e D r u c k im Spalt ~indert sich in x - R i c h t u n g nicht. Die Q u e r s c h n i t t e 1 u n d 2 im Spalt (siehe A b b . 3.3.2) h a b e n d e n A b s t a n d L v o n e i n a n d e r . Die u n t e r e W a n d wird a u f der kons t a n t e n T e m p e r a t u r T1 g e h a l t e n , w~ihrend die o b e r e W a n d die k o n s t a n t e T e m p e r a t u r T2 hat (T2 > T1). In S t r S m u n g s r i c h t u n g k a n n die T e m p e r a t u r v e r t e i l u n g im Spalt ebenfalls als a u s g e b i l d e t b e t r a c h t e t w e r d e n . Es soil keine zus~itzliche Energiezu- o d e r a b f u h r d u r c h S t r a h l u n g etc. s t a t t finden. D u r c h die A b s a u g u n g ~indert sich die W~irmeleitf'dhigkeit )~ nach der folgenden F u n k t i o n : ~ ( z ) -- ..,ko + p - W o - C v . Z

.

(1)

W e g e n d e r p o r S s e n W~inde ist die H a f t b e d i n g u n g an d e n W~inden nur fiir die H o r i z o n t a l k o m p o n e n t e d e r G e s c h w i n d i g k e i t zu erfiillen. Die Schwerk r a f t k a n n vernachl~issigt w e r d e n . a) M a n v e r e i n f a c h e die d r e i d i m e n s i o n a l e K o n t i n u i t / i t s g l e i c h u n g ffir ink o m p r e s s i b l e S t r S m u n g e n u n t e r d e n g e g e b e n e n V o r a u s s e t z u n g e n u n d be-

208

3 Grundgleichungen der Str5mungsmechanik

s t l m m e d a r a u s die z - K o m p o n e n t e der Geschwlndigkeit in Abh/ingigkeit g e g e b e n e r Grggen. b) M a n vereinfache die dreidimensionalen Navier-Stokes-Gleichungen fiir inkompressible S t r g m u n g e n u n t e r den g e g e b e n e n V o r a u s s e t z u n g e n und b e s t i m m e die Geschwindigkeitsverteilung u(z) in Abh~ingigkeit g e g e b e n e r Grggen. c) M a n b e r e c h n e den B e t r a g der Kraft die durch R e i b u n g v o n d e r Strgm u n g a u f die obere P l a t t e zwischen den Q u e r s c h n i t t e n 1 und 2 ausgefibt wird. d) Welche S t r g m u n g ergibt sich ffir W0 --* 0? e) M a n vereinfache die dreidimensionale Energiegleichung ffir inkompressible S t r g m u n g e n u n t e r den g e g e b e n e n V o r a u s s e t z u n g e n und b e s t i m m e u n t e r V e r w e n d u n g der Ergebnisses yon Aufgabenteil a) die T e m p e r a t u r verteilung T(z) in Abhiingigkeit g e g e b e n e r Grggen. Dabei kann die Dissipation gegenfiber der W~irmeleitung durch den T e m p e r a t u r g r a d i e n t e n vernachl;4ssigt werden. Lgsung: gegeben: W0, U0, v, p, T1, T2, h, L, b gesucht: a) w(x), b) u(z), c)IF~I, d)limw0-~0 u(z), e) T(z) a) Die Kontinuit~tsgleichung fiir inkompressible StrSmungen lautet" Ou

Ov

o~ + ~

Ow + ~

= o

.

(2)

Die StrSmung ist eben, das heigt es gilt fiir die Ableitungen in y-Richtung und fiir die Geschwindigkeitskomponente v: 0 02 = =o coy Oy 2

~-o

'

(3)

Mit der Vorraussetzung einer station/ixen StrSmung folgt" 0 0-7 = o

(4)

Die StrSmung ist in x-Richtung ausgebildet, das bedeutet die Geschwindigkeitskomponenten gndern sich in x-Richtung nicht: Ou . Ox

Ov . Ox

Ow 02u . . . Ox Ox 2

02v Ox 2

02w Ox 2

.

0

.

(5)

Mit den Gleichungen (3) und (5) folgt das w keine Funktion von x und y ist und aus Gleichung (2) ergibt sich" Ow dw ---0 Oz dz

.

(6)

3.3 Energiegleichungen

209

Die Integration fiihrt auf w = C mit der Intergrationskonstanten C. An den W/inden gilt wegen der PorSsitiit w ( z = O) = w ( z = h) = Wo. Die Randbedingung in die L5sung von (6) eingesetzt ergibt w ( z ) = Wo. b) Die dreidimensionalen inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen lauten: #-

~-~x2+~-y-Sy2+~--~z2

, (7)

,,--~ + u " -j-~x + V " -~Y + W " --~z, = fy - --~y + # . k, Ox 2 + --~y2 + Oz2 ]

, (8)

p.-~+u.-~x+V.-~y+w.-~z-fX-~x+

(ov p.

ov/

Die Schwerkraft ist vernachl~ssigbar, so dass gilt fx = fy = fz = 0. Mit den Gleichungen (3) - (5) und mit w = Wo folgt: p'Wo"

On

Op

Oz-

Ox +- #" Oz 2

O--

02u

'

(10) (11)

Op Oz

Dabei ergibt die 2. Navier-Stokes-Gleichung die Identit~t 0 = 0 und kann weggelassen werden. Aus den Gleichungen (3) und (11) folgt, dass p keine Funktion yon y und z ist. Der Druck im Spalt h~ngt nicht von x ab. Damit gilt p = konst.. Wegen der ebenen und ausgebildeten StrSmung (Gleichungen (3) und (5)) ist u keine Funktion von x und y. Es gilt u = u ( z ) und Ou/Oz = d u / d z . Eingesetzt in Gleichung (10) ergibt sich: du d2u W o - ~ z - u. dz 2 Die Substitution f ( z ) - d u / d z fiihrt auf die Gleichung df dz

Wo'f=u"

1 f-df

'

Wo u .dz

Die Integration dieser Gleichung ergibt: In f (z)

-

Wo

.zWC1

,

Wo .z ,

f(z)-C2.e

l]

mit der Integrationskonstanten C1 und C2. Die Riicksubstitution fiihrt auf: du

dz

Wo .z --" C2

9 c

-

Daraus folgt nach nochmaliger Integration: u u(z)

-

Wo z

C 2 . Woo . e ~

+C3

,

(12)

210

3 Grundgleichungen der StrSmungsmechanik

mit der Integrationskonstanten C3. Die Haftbedingung als Randbedingung lautet an der unteren Wand u ( z = O) = Uo und an der oberen Wand u ( z = h) = O. Verwendet man diese Randbedingungen zur Bestimmung der Integrationskonstanten in Gleichung (12) erh/ilt m a n als Ergebnis fiir die Geschwindigkeit u(z): Wo. z e

-

Wo. h ~ e

u(z) - Uo.

-

WO.h

(13)

.

l--ec) Die Kraft auf die obere Platte berechnet sich fiir ein Newtonsches Medium aus: dU(z_h) ~zz

[ F R [ - [~-(z = h)]. b - L - p . . .

.b.L

(14)

Der Geschwindigkeitsgradient berechnet sich aus Gleichung (13): du Wo dz = U o -

W0.

e -

z

Wo h 1 - e--~

Eingesetzt in die Gleichung (14) ergibt sich fiir den Betrag der Kraft: Wo. h e

lEvi = p. Uo. Wo. b. L-

l-e-

"

Wo. h

d) Fiir Wo ~ 0 ergibt sich aus Gleichung (13): ~ e

u ( z ) = Wo~olim( U o .

v

--

Wo .h 1-e -

(fro"

e

lira Wo~o

v

1-e

~ e

v

~

.h

-

Mit der l'Hospitalschen Regel erh~lt man: u(z)-Uo,

lim ~ Wo-~O

- - ; . - 7 " :;

- Uo- " h ~ = U o "

1-

z

v

v

Es handelt sich um eine Couette-Str5mung. e) Die dreidimensionale Energiegleichung lautet:

P

bT+~~+~~+~~ +Ozz A ' ~ z

-p"

-

~

~xx+~y+-~z

~~x

+~

+p'qs+#'~

~~ 9

(15)

Fiir ein inkompressibles Medium gilt e = cv 9T m i t c v = konst.. Mit der Vernach1/s der Dissipation (I) -- 0, keiner weiteren W ~ m e z u - o d e r abfuhr qs - 0, w = W o u n d den Gleichungen ( 3 ) - (5) folgt dann aus Gleichung (15):

P~

(~ T x + W ~

-

(o[ ~ ~~x

+~

o[ ~b-~zo 1)

(1o,

3.3 Energiegleichungen

211

Die Temperaturverteilung ist in x-Richtung ausgebildet, damit gilt O T / O x - 0. Mit Gleichung (3) folgt dass die Temperatur nur ein Funktion von z ist: T - T ( z ) und O T / O z = d T / d z . Die W~meleitf~higkeit A ist ebenfalls nur eine Funktion von z. Eingesetzt in Gleichung (16) erh~lt man: dT

d (A.dT)

p . c~ . Wo . d z

= dz

-~z

-

dA

dT

dz

d---z-t-A" d z 2

d2T

Hieraus folgt mit Gleichung (1)" dT p.Cv

dT

. Wo . -7:

-

p.~

d2T

. W o . =7-: + ( :~o + p . ~

OZ

. Wo . z) .

bzw.

OZ

d2T = O. dz 2

Die Integration dieser Gleichung liefert: T(Z)

--

C 4 " z -~- C5

,

mit den Integrationskonstanten C4 und C5. Fiir die Randbedingungen T ( z -- O) -- 771 und T ( z - h) - T2 ergibt sich die LSsung: T(z)

3.3.2

-

T I + (T~ - T 1 ) - s

Z

Turbulente S t r S m u n g e n

A u f g a b e 3.3.3

Favre-Mittelung der Energiegleichung

Es wird die Energiegleichung fiir die massenspezifische innere Energie e mit e - Cv T fiir ein kompressibles M e d i u m mit k o n s t a n t e n Stoffeigenschaften Cv und A unter Vernachl~issigung von Strahlungseinfliissen betrachtet: p. Cv.

( OT

OT

OT

~ + ~ . ~ + ~ . ~ + w . ~

OT )

Bei der B e r e c h n u n g der hier b e t r a c h t e t e n quasi-station~iren kompressiblen t u r b u l e n t e n StrSmung werden die turbulent schwankenden GrSgen fiir die G e s c h w i n d i g k e i t s k o m p o n e n t e n und die T e m p e r a t u r m a s s e n g e m i t telt a n g e s e t z t und Druck sowie Dichte jeweils einfach gemittelt. Es gelten die folgenden Ans~itze: u--~5 + u T-T+

II

T"

,

v -- ~ + v ,

!1

; -- ;+p '

,

w -- Cv + w

,

~ -- p+p'

I!

,

(2)

212

3 Grundgleichungen der StrSmungsmechanik

D i e A n s / i t z e a u s G l e i c h u n g (2) sind in die E n e r g i e g l e i c h u n g (1) e i n z u s e t z e n u n d a n s c h l i e f t e n d ist e i n e zeitliche M i t t e l u n g u n t e r V e r w e n d u n g d e r R e c h e n r e g e l n fiir t u r b u l e n t e S t r S m u n g e n d u r c h z u f i i h r e n . D a b e i b e a c h t e m a n die B e s o n d e r h e i t e n d e r F a v r e - M i t t e l u n g fiir e i n e b e l i e b i g e S c h w a n k u n g s g r S f t e f". Es gilt p. f " - 0 u n d f" # 0. H i n w e i s : D i e zeitliche M i t t e l u n g d e s D i s s i p a t i o n s t e r m s k a n n a u s Griind e n d e r V e r e i n f a c h u n g als # . (I) a n g e s c h r i e b e n w e r d e n u n d ist nicht in s e i n e E i n z e l t e r m e zu z e r l e g e n . LSsung: Zuerst wird der instation/ire Term betrachtet. Dabei wird p zun~ichst noch nicht in und p' zerlegt, um nach M5glichkeit die Rechenregel p. f" - 0 ausnutzen zu k5nnen. Es folgt:

p.~v. o t = ~ v . p . - g i - + - 0 T ] - ~ v ,

p.-07+p.-~

=0

.

(3)

Da es sich um eine quasi-station/ire StrSmung handelt, gilt OT/Ot - 0 und fiir den zweiten Summanden gelten iihnliche 0berlegungen wie bei der Rechenregel p. f" = 0, so dass der instation~re Term vollst~indig verschwindet. Stellvertretend fiir die anderen beiden konvektiven Terme wird hier die zeitliche Mittelung des ersten Terms genauer betrachtet. Es gilt unter Beachtung der Rechenregeln:

P ~ ~

OT b-~x- ~ V p :~v

(~+

u") . ( OT OT" ~ _ b-~x + - ~ x ]

aT p-~.~x+p.~.

aT" aT ~ +P~"~x +p~''

aT" . (4)

Ox

Auf der rechten Seite der Gleichung (4) verschwinden der zweite und der dritte Summand, so dass folgt"

0T ~v" p ' ~ ' ~ x + p

u" "

u" "-~x

-~v"

~'~'b-~x+p "

"-~x]

"

(5)

Analog dazu ergeben sich die zeitlichen Mittelungen der andern beiden konvektiven Terme zu:

OT p.~v .V. N - ~ v OT p.~v.~.N-~v.

OT v" 9 . -~.~. N + p. -~y _ _

0T

?.~.N+p.

w""

OT" ~ -~]

(6)

213

3.3 Energiegleichungen

Bei der zeitlichen Mittelung der diffusiven Terme wird stellvertretend der x-Anteil 0 2 T / O x 2 genauer betrachtet. Es gilt unter Beachtung der Rechenregeln:

o~

\ ~

+ Ox~

- ;~

~

(7)

+ Ox~

Analog dazu folgen die zeitlichen Mittelungen der anderen beiden diffusiven Terme zu:

o~

-57~~ + oy~ )

'

~ Oz~

(8)

-SYz~ + Oz~ )

Bei der zeitlichen Mittelung des Druckterms wird die Komponente p . (Ou/Ox) betrachtet. Dabei ist zu beachten, dass der turbulent schwankende Druck einfach gemittelt angesetzt wird und die Geschwindigkeitskomponenten massengemittelt. Somit folgt: Ou I" O~ Ou"'k O~ Ou" O~ Ou" P " --~x - (p + p') " ~ + --~x -- P " -~x + P " --~x + p ' " -~x + p' " Ox

,

Ou O~ On" Ou" P" --O-xx- P " -O-~x+ P" ~ + p ' ' Ox

(9)

(10)

Analog folgt fiir die zeitlichen Mittelungen des y- und z-Anteils: Ov

O~

Ov"

Ov"

P N-~

N + ~ --~ + p '

oy

Ow p. ~-~.

O~ Ow" Ow" ~ + ~. --~Z-Z + p '. Oz

(11)

Die vollst~ndige zeitlich gemittelte Energiegleichung fiir turbulente StrSmungen lautet:

~v.~.

~. -g~ + ~. -ff~y+ ~ . -g~; +Cv

(p

aT"

.u".~+p.v"--~y

aT"

~._~-~x~+==+~ -~.

~+N+-g-;~

-~

Ou"

+p-w".~

+~.

aT")

-

+ Oy 2 + Oz 2

+~.~

_-~__ + Or" _-z:-_ + ~Ow"

-

Ov" Ow" p'. -Ou" - ~ + p'. -g-g+ p'. ~

)

214 3.4 3.4.1

3 Grundgleichungen der StrSmungsmechanik

Grenzschichtgleichungen Inkompressible StrSmungen

A u f g a b e 3.4.1

Grenzschichtgleichungen

D e r W i d e r s t a n d Wr einer einseitig b e n e t z t e n P l a t t e (siehe A b b . 3.4.1) d e r L~inge x u n d der B r e i t e b ( s e n k r e c h t zur Z e i c h e n e b e n e ) betr~igt nach dem Impulssatz: ~(x)

x

Wr(X) -- /Tw(X)" b. dx

= p" /

o

u" (Uo~ - u)" b" dy

(I)

0

Tw b e z e i c h n e t die W a n d s c h u b s p a n n u n g . M i t Hilfe dieser Gleichung soil fiir eine l a m i n a r e G r e n z s c h i c h t eine F o r m e l fiir die G r e n z s c h i c h t d i c k e 5 in Abh~ingigkeit d e r Laufl~inge x, d e r k i n e m a t i s c h e n Z/ihigkeit t, u n d d e r A n s t r S m g e s c h w i n d i g k e i t U~ e r m i t t e l t w e r d e n . D a b e i soil fiir die Ges c h w i n d i g k e i t s v e r t e i l u n g in d e r G r e n z s c h i c h t das p a r a b o l i s c h e G e s e t z

Y

(2)

a n g e n o m m e n w e r d e n . Die a b z u l e i t e n d e F o r m e l ist mit d e r von Blasius a n g e g e b e n e n F o r m e l 5(x) - 5, 2. V/(r, 9x ) / U ~ zu vergleichen. LSsung: g e g e b e n : u(x, y), u, U~ gesucht: F0rmel fiir 5(x)

A b b . 3.4.1 Plattengrenzschichtstr5mung

3.4

215

Grenzschichtgleichungen

Zur LSsung der Aufgabe wird zun~ichst die linke Seite der Gleichung 5(~) ]'~-w(X) . d x -

p. f

0

(3)

u . ( U ~ - u) . d y

o

betrachtet. Die Wandschubspannung Tw l~st sich mit dem Newtonschen Reibungsansatz angeben: Ou

"rw--#"

(4)

Mit der parabolischen Geschwindigkeitsverteilung (2) erhglt man fiir die Ableitung Ou/Oyly=o: Oy - U ~ 9

- 2.

~

=

O--y

2"Ucc

6

,

(5)

y=0

so dass sich gem/it~ der Gleichung (4) die Wandschubspannung Tw wie folgt ergibt" Tw~

2-U~-p

(6)

Mit der Gleichung (6) erhglt man fiir die linke Seite der Gleichung (3)"

x f Tw(X). dx -

]

2. U~ .p.

o

dx

(7)

o

Zur weiteren LSsung der Aufgabe wird nun die rechte Seite der Gleichung (3) betrachtet. Mit der parabolischen Geschwindigkeitsverteilung wird die rechte Seite der Gleichung (3) berechnet. Es folgt: 6(x) 5(x) p .

/

u . ( V ~ -- u) . d y -- p . U L

o

/" (-) -~

.

1 - - -~--~

. dy -

o 1

p , U~2 . 6 , /

[2 . P~_ ( ~ ) 2 1 . [ 1 - 2 - ~ +P

(~)2]. d(~) _

o

2 , . u L .~ (8) 15 Die ermittelten Ausdriicke gemiflg der Gleichung (7) und der Gleichung (8) in die Gleichung (3) eingesetzt, ergibt:

2.U~ .#.

f

dx _ 2.p.3.U~

6 --

15

o

dx = p.c~.U~

6 o

15.#

(9)

216

3 Grundgleichungen der StrSmungsmechanik

Durch Differenzieren der Gleichung (9) auf beiden Seiten nach x ergibt sich die folgende Differentialgleichung fiir 5: 1

=

p. U~ d5 9 15.# dx

~

dx :

p-U~ 95. d5 15. #

Wird diese Gleichung auf beiden Seiten integriert ergibt sich mit einer zus~tzlichen einfachen Umformung das gesuchte Ergebnis: x

~(x)

/dx_/P'U~.5.dS=::::~

x__P "Uc~'52

15.it 0

30.#

'

0

p.v Die Blasius-Formel fiir

vVj

-5'4s

"

5(x) lautet: 5(x) = 5 , 2 -

v.x

Die mit dem parabolischen Geschwindigkeitsprofil ermittelte Grenzschichtdicke stimmt also recht gut mit der genauen LSsung von Blasius iiberein.

Aufgabe 3.4.2

Grenzschichtprofile

In d e r A b b i l d u n g 3.4.2a sind zwei G e s c h w i n d i g k e i t s p r o f i l e d e r i n k o m p r e s s i b l e n P l a t t e n g r e n z s c h i c h t s t r S m u n g g e z e i g t . I n d i e s e r A u f g a b e soil fiberprfift werden~ ob G r e n z s c h i c h t p r o f i l e a n v e r s c h i e d e n e n S t e l l e n x zue i n a n d e r 5hnlich sind. Die G r e n z s c h i c h t p r o f i l e sind z u e i n a n d e r ~ihnlich~ w e n n die G e s c h w i n d i g k e i t s p r o f i l e u(y) ffir zwei b e l i e b i g e S t e l l e n x fiber e i n e ( n o c h a n z u g e b e n d e ) K o o r d i n a t e ~ gleich sind. Z u r L S s u n g d e r A u f g a b e soll~ wie n a c h f o l g e n d aufgeffihrt~ v o r g e g a n g e n werden:

A b b . 3.4.2a Plattengrenzschichten

3.4 Grenzschichtgleichungen

217

a) Es sollen fiir die PlattengrenzschichtstrSmung die Kontinuit~its- und Grenzschichtgleichung mit den geltenden Randbedingungen formuliert werden. b) Es soil gezeigt w e r d e n , dass die S t r o m f u n k t i o n ~(x,y) - v~,.x,

a~.

f(~)

,mit

~ - y.

~,.x

die Kontinuit~itsgleichung erfiillt. c) M i t d e r S t r o m f u n k t i o n r y) und der K o o r d i n a t e r/ sollen die in der G r e n z s c h i c h t g l e i c h u n g s t e h e n d e n G e s c h w i n d i g k e i t e n u n d p a r t i e l l e n Ableitungen bestimmt werden. d) Die mit der S t r o m f u n k t i o n u n d der K o o r d i n a t e ~ a u s g e d r f i c k t e n Ges c h w i n d i g k e i t e n u n d p a r t i e l l e n A b l e i t u n g e n sollen in die G r e n z s c h i c h t gleichung e n t s p r e c h e n d e i n g e s e t z t w e r d e n ( R a n d b e d i n g u n g e n a n g e b e n ! ) . Erh~ilt m a n d a n n eine gewShnliche Differentialgleichung? W e n n ja~ wie ist dies zu i n t e r p r e t i e r e n ? LSsung: a) Die Kontinuit~ts- und Grenzschichtgleichung lauten allgemein ffir eine zweidimensionale inkompressible und station~e GrenzschichtstrSmung: Ou Ov 0x + ~ - 0

,

Ou Ou 1 u'--O-xx+V'Oy .... p

(1) dp

02u

1

dU 2

dx + y . Oy. 2 . . 2 . dx . . t- u dU

=U-Tx

02u Oy 2

02u

+ u - Oy 2

(2)

U ist die Geschwindigkeit am Grenzschichtrand. Sie ist fiir die Plattenstr5mung an jeder Stelle x gleich der ZustrSmgeschwindigkeit. Es ist also U - U~ und d U / d x - O. Die Grenzschichtdifferentialgleichungen fiir die Plattengrenzschicht lauten: Ou

Ov

Ox + ~ - o Ou

Ou

u 9 ~-~z+ V - ~ y - u.

,

(3)

02u Oy 2

(4)

Das Fluid haftet auf der Oberfl~che. Es gilt also die Haftbedingung: ~(x,y=0)

Ffir y gilt:

=0

,

~(x,y=0)

=0

(5)

> c~ geht die Geschwindigkeit u(x, y) in die freie AuigenstrSmung fiber. Es

u(x, y

, oo) = U ~

.

(6)

218

3 Grundgleichungender Str5mungsmechanik

b) GemS:g der Definition der Stromfunktion gilt: or u-

Die Stromfunktion r

or

Oy

'

v-

Ox

(7)

"

y) erfiillt die Kontinuit/itsgleichung.

c) Mit den Gleichungen (7) ergeben sich mit der Stromfunktion r (siehe Aufgabenstellung) durch partielles Differenzieren die folgenden Ausdriicke: or _ o r o~ = v ' ~ . ~ , u - - Oy -- Or~ "Oy 0 r -Ox

v--

u ~ . f'.

u~ u.x

= u ~ . f'

( Ov/u" x" U ~ -Ox " f + v/u" x " U ~ 9 f'

1 U~ V--~" l u . X

( f ' . r / - f)

(8) '

Or~

)

.

(9)

(f~ steht fiir die Ableitung der Punktion f nach r/). Die partiellen Ableitungen Ou/Ox, Ou/Oy und 0 2 u / O y 2 ergeben sich nun durch weiteres Differenzieren der Gleichung (8). Man erh~ilt im einzelnen: Ou

0 (U~

Ox-Ox

Ou Ox - - U ~

f,, Or/

f,

9 )=u~. "

f".

r/

2 .x

f,,

.Uxx-U~.

i_~ .v.

(1)

1

" -7

~.v~

'

(10)

'

O u = 0 (U~.f') = U ~ . f " - 0 r / Oy

Oy

Ou oy = U ~

Oy " f , " i uU. x~

Oy 2 = O--y U ~ . 02u = /5-2 9f'" Oy 2 u. x

9

'

(11)

'

- U~ .

Or/ 9 Oy

u. x

.

(12)

d) Die Geschwindigkeiten u und v gemfi/g der Gleichungen (8) und (9) sowie die Ableitungen Ou/Ox, Ou/Oy und 0 2 u / O y 2 in die Grenzschichtgleichung (4) eingesetzt ergibt: - U ~ . f ' - f " - ~ - 2 - - ~ x + ~ l 1 l u " U~x

(f'-~-f)-U~.f"

i

U~u. x - u . u . xU~ f,,,.

Durch Vereinfachung der Gleichung erh~lt man die folgende gewShnliche Differentialgleichung: f.f"+2-f'"=0

.

(13)

3.4 Grenzschichtgleichungen

219

Randbedingungen: r/=O: r/

f=O

>c~:

u / Uo~

0.6 Blasius

0.2 i

i

1.0

I

3.0

f~ = 0

f'=l Die Gleichung (13) entspricht der Blasius-Gleichung. Sie ist eine gewShnliche Differentialgleichung, die nur noch von ~ abhgngig ist, d. h. dass u / U = f'(~) (siehe G1. (8)) fiber ~ fiir beliebige x-Stellen den gleichen Verlauf hat. Der Verlauf des Profils ist in Abbildung 3.4.2b gezeigt. Die Geschwindigkeitsprofile sind ghnlich.

1.0

0.4

,

i

I

5.0

!

i

17 7.0

Abb. 3.4.2b Blasius-Geschwindigkeitsprofil

A u f g a b e 3.4.3

Rayleigh- Stokes-Problem

A b b . 3.4.3a Rayleigh-Stokes-Problem

Eine unendlich ausgedehnte Platt e w i r d plStzlich z u m Z e i t p u n k t t - 0 aus dem Stillstand mit der G e s c h w i n d i g k e i t U0 in i h r e r eig e n e n E b e n e b e w e g t (siehe A b b . 3.4.3a). B e s c h l e u n i g u n g s v o r g ~ i n g e d e r P l a t t e sind zu vernachl~issigen, d.h. die P l a t t e b e w e g t sich s o f o r t mit der angegebenen Geschwindigkeit.

A u f g r u n d d e r u n e n d l i c h e n A u s d e h n u n g d e r P l a t t e stellt sich s o f o r t ein in x - R i c h t u n g a u s g e b i l d e t e s G e s c h w i n d i g k e i t s p r o f i l ein. D e r D r u c k im Aui~enfeld e n t l a n g d e r P l a t t e ist k o n s t a n t . a) M a n s k i z z i e r e d a s G e s c h w i n d i g k e i t s p r o f i l fiir e i n e n Z e i t p u n k t t - tl > 0, d a s sich i m M e d i u m fiber d e r P l a t t e e i n s t e l l t .

b) Man vereinfache die Grundgleichungen ffir den skizzierten Fall (siehe Abb. 3.4.3a). Das M e d i u m ist inkompressibel (Dichte p, kinematische Viskosit~it u).

220

3 Grundgleichungen der Str5mungsmechanik

c) Welche Art von Gleichung ist das Ergebnis der Betrachtung. Formulieren Sie die Anfangs- und R a n d b e d i n g u n g e n fiir einen Zeitpunkt t > 0. Durch Einfiihren einer dimensionslosen )i.hnlichkeitsvariablen r ] - y / ( 2 . v~" t) ergibt sich eine gewShnliche Differentialgleichung der Form f" + 2. 7" f ' - 0 ~ mit der n o r m i e r t e n Geschwindigkeit f = u / U o . Die LSsung der Differentlalgleichung ergibt: ~7

u =1 Uo

~2 " 1 e - 'Tz 9 dr/ o

d ) M a n skizziere qualitativ das Geschwindigkeitsprofil fiir einen Zeitp u n k t tl > 0, ~7= f ( u / U o ) . Wie verhalten sich die Profile fiir unterschiedliche Z e i t p u n k t e t > 0 beziiglich der skizzierten Geschwindigkeitsverteilung? LSsung: gegeben: p, U0, ~, gesucht: a) Skizze u(y, t), b) Vereinfachte Grundgleichungen, c) Art der Gleichungen, Anfangs- und Randbedingungen, d) Skizze u/Uo(r])

~)

Abb. 3.4.3b Geschwindigkeitsprofil zum Zeitpunkt tl b) Die Grundgleichungen ffir eine instation~e ebene und inkompressible StrSmung lauten: Ou

Ov

0-~ + G = 0 ,

,.

P

+ ~.

+ ~. ~

=

(ov~ 7 + ~ N + ~ N ov) - - N

(1) +,.

+'\~x

+

~+0y~]

Folgende Vereinfachungen ergeben sich aus der Aufgabenstellung:

,

(2)

(a)

221

3.4 Grenzschichtgleichungen

1. Es handelt sich um ein rgumlich ausgebildetes Geschwindigkeitsprofil, d. h. u und v sind keine Funktionen von x. Damit sind alle Gradienten der Geschwindigkeit in x-Richtung gleich Null: Ou Ox

02u Ox 2

Ov Ox

02v Ox 2 = 0

(4)

2. Der Druck entlang der Platte ist konstant, d. h. p ist keine Funktionen von x. Damit gilt:

ov =0

(5)

0x

Setzt man die Gleichungen (4) und (5) in die Grundgleichungen (1) - (3) ein erhglt magi:

OV =0 Oy Ou )

( Ou

P p.

37 + ~ ~

(o~

(6) 09u

-"or

Ov)

by+~.N

~ '

Ov

(7)

o~v

--N+..ov~

(8)

Aus der Kontinuitgtsgleichung (6) folgt mit der Haftbedingung v]v=o - 0 an der undurchl/issigen Platte v - C(t) = 0. Dieses in die Gleichungen (7) und (8) eingesetzt ergibt: Ou Oeu p. - ~ - , . Oy 2 Op Oy = 0

,

(9) (10)

Aus der 2. Navier-Stokes-Gleichung (10) folgt fiir konstanten Druck entlang der Platte p - C(t) - konst., d. h. der Druck gndert sich im gesamten StrSmungsfeld nicht. Damit ergibt sich aus der 1. Navier-Stokes-Gleichung (9) die folgende Gleichung zur Beschreibung des Rayleigh-Stokes-Problems: Ou =u. Ot

02u Oy 2

(11)

c.) Die erhaltene Gleichung ist eine lineare partielle Differentialgleichung. Die Randbedingungen lauten u(y = O, t > O) = Uo und u(y ) co, t > O) = O. Die Anfangsbedingung lautet u(y > O, t < O) = O. d.) Die Profile sind fiir verschiedene Zeitpunkte t > 0 ghnlich, d.h. sie lassen sich durch Skalierung von y ineinander iiberfiihren (siehe Abb. 3.4.3c).

222

3 Grundgleichungen der Str5mungsmechanik

2. :7

v

1

U

u0

A b b . 3.4.3c Geschwindigkeitspr0fil ~ - f(u/Uo) 3.4.2

Kompressible StrSmungen

A u f g a b e 3.4.4

Grenzschichtgleichung

Fiir eine station~ire l a m i n a t e i n k o m p r e s s i b l e S t r S m u n g in d e r (x, y ) - E b e n e in G r e n z s c h i c h t a p p r o x i m a t i o n l a u t e n die G r e n z s c h i c h t g l e i c h u n g e n bei k o n s t a n t e r d y n a m i s c h e r Z~ihigkeit #: 0u 0v + ~ - o 0--~

(1)

,

(2)

Bei b e k a n n t e r G e s c h w i n d i g k e i t a m G r e n z s c h i c h t r a n d Us(x) l~isst sich d e r D r u c k g r a d i e n t mit Hilfe der B e r n o u l l i - G l e i c h u n g b e s t i m m e n : 1

v(x) + ~ . p .

U~ (x) -

konst

"

~

dp

~

dx

+ p. U~-

dp _ dx - - p ' U ~ "

dU5 ~x

-

dU~ dx

0

'

(3)

"

Somit stellen die G r e n z s c h i c h t g l e i c h u n g e n (1) u n d (2) ein S y s t e m von zwei p a r t i e l l e n D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g e n zur B e s t i m m u n g d e r zwei U n b e k a n n t e n u u n d v dar. N a c h f o l g e n d soil d i s k u t i e r t w e r d e n , welche P u n k t e b e i m A u f s t e l l e n der k o m p r e s s i b l e n G r e n z s c h i c h t g l e i c h u n g a u s g e h e n d von d e n G l e i c h u n g e n (1) u n d (2) b e s o n d e r s zu b e a c h t e n sind. D a b e i wird d a r a u f hingewiesen, dass

3.4 Grenzschichtgleichungen

223

die dynamische Ziihigkeit # bei kompressiblen StrSmungen eine Funktion der Temperatur ist, d. h. es gilt: p - p(T). a) Wie lauten die Gleichungen (1) und (2) fiir den Fall einer stationfiren laminaren kompressiblen GrenzschichtstrSmung in der (x, y)-Ebene? b) Welche unbekannten GrSgen enth~ilt das Differentialgleichungssystem aus Teilaufgabe a) und wie viele zus[itzliche Gleichungen sind zur Schliegung des Differentialgleichungssystems nStig? c) Man gebe die N a m e n der in Teilaufgabe b) zus~itzlich benStigten Gleichungen und (soweit mSglich) die zugehSrigen Formeln an. LSsung: a) Gleichung (1) stellt die Kontinuit~tsgleichung fiir eine inkompressible StrSmung dar. Sie ist somit durch die Kontinuit~tsgleichung fiir eine kompressible StrSmung zu ersetzen:

a(p.~) a(p.~)

O ~ + Oy

:

0

.

(4)

Die Formulierung der konvektiven Terme auf der linken Seite von Gleichung (2) ist im inkompressiblen und im kompressiblen Fall identisch und kann somit unver~ndert iibernommen werden. Gleiches gilt fiir den Druckgradienten, der sich auch im kompressiblen Fall durch die Geschwindigkeit U5 am Grenzschichtrand ausdriicken l~sst. Eine J{nderung ist jedoch beim Reibungsterm auf der rechten Seite von Gleichung (2) vorzunehmen, da laut Voraussetzung im kompressiblen Fall # = konst, gilt. Die Temperatur T ist eine skalare FeldgrSt~e die iiblicherweise eine Ortsabh~ngigkeit aufweist. Damit ist auch # ortsabhiingig.

Is(T) =/=

Der Reibungsterm auf der rechten Seite von Gleichung (2) folgt bei der Herleitung der Navier-Stokes-Gleichungen aus einem Gradienten des Schubspannungsterms T. Es gilt:

07

O(

oy - oy

Ou) "

N

(a)

Lediglich im inkompressiblen Fall mit # = konst, darf p in Gleichung (5) vor das Differential geschrieben werden. Im kompressiblen Fall ist aufgrund der Temperaturund somit der Ortsabh~ngigkeit der dynamischen Ziihigkeit in den Grenzschichtgleichungen die Formulierung aus Gleichung (5) zu verwenden. Man erh~t:

P ~N+~N

--~+N

"N

(6)

224

3 Grundgleichungen der StrSmungsmechanik

b) Die Differentialgleichungen (4) und (6) enthalten mit den Geschwindigkeitskomponenten u und v zun~hst die gleichen Unbekannten wie im inkompressiblen Fall. Bei einer kompressiblen StrSmung ist als weitere Unbekannte die Dichte p zu berechnen. Als zus~itzliche Unbekannte tritt weiterhin die Temperatur T auf, sowie die Funktion # ( T ) , die die dynamische Z~iJaigkeit mit der Temperatur T verkniipft. Da es sich um fiinf Unbekannte und zwei Differentialgleichungen handelt, sind zur Schliegung des Gleichungssystems drei zus~tzliche Gleichungen nStig. c) Eine zus~tzliche Gleichung, die bei Gasen die Dichte und die Temperatur miteinander koppelt, ist die thermische Zustandsgleichung fiir ideale Gase: P

-

R.T

(7)

P

Weiterhin wird die Energiegleichung zur Berechnung von T benStigt, die in Grenzschichtapproximation lautet:

p . cp .

u . --~x + V .

=

A . -~y 2 + # .

+ U . d x

.

Als Funktion #(T) wird bei Luft meistens das Sutherland-Gesetz verwendet:

o+11o #o

" T + l l 0 K

"

(9)

Die Konstante #o bezeichnet eine bekannte dynamische Zghigkeit bei einer bekannten Referenztemperatur To. Mit Gleichung (9) berechnet sich dann # bei der Temperatur T.

3.5 Potentialgleichungen 3.5 3.5.1

225

Potentialgleichungen P o t e n t i a l g l e i c h u n g fiir k o m p r e s s i b l e S t r S m u n g e n

Linearisierte P o t e n t i a l g l e i c h u n g

Abb. 3.5.0 Theorie kleiner StSrungen Die folgenden Aufgaben basieren auf der linearisierten Potentialgleichung fiir die reibungsfreie Aut~enstr5mung (siehe H. Oertel, M. B6hle 2004)"

(1 - M ~ ) . 02~

c92~

~-Yx2 +-~y2 - 0

.

(1)

ist das fiir die Linearisierung eingefiihrte St5rpotential. Die Gleichung (1) ist giiltig fiir die Umstr5mungen von schlanken Profilen bei Mach-Zahlen 0 <_ M~ < 0.5 und Mach-Zahlen 1.2 < M ~ < 1.4 (die angegebenen Bereiche entsprechen Anhaltswerten). Die Gleichung (1) ist fiir den transsonischen Mach-Zahlbereich und den Hyperschallbereich nicht giiltig. Ffir M ~ > 1 (0berschallanstrSmung) entspricht die Gleichung (1) der Wellengleichung. Im Rahmen der Theorie kleiner St5rungen kann mit ihr der dimensionslose Druckbeiwert cp,k auf der Kontur eines schlanken Profils analytisch bestimmt werden. Die Formel dazu lautet (siehe Abb. 3.5.0)" p~(x)

Cp,k(X) = 1

9.~

- p~ .uL

-- I

2. O(x) v~ML

-

(2) 1

"

0 ist bei sehnenparalleler ZustrSmung der Winkel zwischen der Horizontalen und der Tangente an der Kontur (siehe Abb. 3.5.0). Die Formel (2) wird mit einem Pluszeichen angewendet, wenn eine linksl~iufige Charakteristik vonder Konturoberfl/iche ins StrSmungsfeld verl~uft (siehe Abb. 3.5.0), verl~iuft hingegen eine rechtsl~iufige

226

3 Grundgleichungen der StrSmungsmechanik

Charakteristik von der Konturoberfl/iche ins StrSmungsfeld, so wird die Gleichung (2) mit einem Minuszeichen angewendet. A u f g a b e 3.5.1

Linearisierte P o t e n t i a l g l e i c h u n g

Es soil gezeigt werden, dass die F u n k t i o n ~ - f(x - a. y) + g(x + a. y) die linearisierte P o t e n t i a l g l e i c h u n g erffillt (a = v / M ~ - 1 ). LSsung: Zur Uberpriifung werden die folgenden GrSt~en eingef/ihrt: -- x - a . y

Mit diesen GrSs Ableitungen:

,

erh/flt man durch partielle Differentiation von ~ die folgenden

0 ~ _ Of 0~ Ox -o

0g

Ox +

02~

02f

0~

0 r / _ Of

0g

Ox -

o,7

02g

Or/

02f

(2) '

02

-----y Ox = O~ 2 " O---x + 0,12 9 Ox = O~ 2 t 0~72 g O~ .

(1)

r/ = x + a . y

Of .

Oy

.

O~ .

O~

02~__

.

(02g

Oy 2 -- a "

Og .

.

Oy + Or/

0r/

(0g

Or~

(3)

'

0f)

(4)

.

Oy

02f

Or~2 9 O---y-- O~ 2

Or~

0~) 0y

O~ a2

--

'

( 02f 02g) " \0-~ +~

"

(5)

Setzt man die Ableitungen gem~ig den Gleichungen (3) und (5) in die lineaxisierte Potentialgleichung

(1-ML). 02~ + ~0~

= 0

(6)

ein, so ergibt sich die linke Seite der Gleichung zu Null. Die angegebene Funktion = f(x - a. y) + g(x + a. y) erfiillt also die linearisierte Potentialgleichung.

Aufgabe 3.5.2

Angestellte Platte

Eine dfinne e b e n e P l a t t e der HShe Null, der L~nge L und der B r e i t e b senkrecht zur Zeichenebene (L << b) wird bei e i n e m kleinen Anstellwinkel a yon einer U b e r s c h a l l s t r S m u n g der M a c h - Z a h l M ~ a n g e s t r S m t (siehe Abb. 3.5.2). Die R e y n o l d s - Z a h l ist sehr grof~, so dass die StrSm u n g s g r e n z s c h i c h t e n vernachl~ssigt w e r d e n kSnnen. a) W i e grof~ sind die dimensionslosen D r u c k b e i w e r t e Ober- bzw. U n t e r s e i t e ?

Cp,o

und Cp,u a u f der

227

3.5 P o t e n t i a l g l e i c h u n g e n

l X

U~,M~ A b b . 3.5.2 Angestellte Platte in einer UberschallanstrSmung

b) Wie grog ist der Beiwert CN der Normalkraft FN (wirkt senkrecht auf die Platte) und der Beiwert CT der Tangentialkraft FT (wirkt l~ings der Platte)? FN CN- 1 2 "P~ .U~ . L . b ~=

1

'

(1)

FT

(2)

2 .p~.U~.L.b

c) W i e g r o g sind die Auftrlebs- und Widerstandsbelwerte ca und Cw?

LSsung: gegeben: a, M ~ gesucht: a) Cv,o, Cp,u, b) CN, CT, C) Ca, Cw a) Zur Bestimmung der Beiwerte %,0 und Cp,u kann unmittelbar die bereits erl~uterte Formel

;~(~) -

;o~

Cp,k(X)- 1 2 "P~ . U ~

=

+

2.0(~)

v/ML

1

(3)

angewendet werden. Von der Oberseite der Platte verl~uft eine linksl~ufige Charakteristik ins StrSmungsfeld. Die Formel (3) muss deshalb mit dem positiven Vorzeithen angewendet werden. Weiterhin betr~gt der Str5mungswinkel 0 fiir die Oberseite 0 = -c~, so dass sich fiir den Druckbeiwert %,o die folgende Formel ergibt: Pk,o -- P~ %,0 = 1 9 p ~ . u L

-

29 v/ML

1

(4)

Von der Unterseite der Platte l~uft eine rechtsl~ufige Charakteristik ins StrSmungsfeld. Die Formel (3) wird deshalb mit dem Minuszeichen angewendet. Der StrS-

228

3 G r u n d g l e i c h u n g e n der S t r 5 m u n g s m e c h a n i k

mungswinkel 0 ist 0 -

- a , so dass sich fiir Pk,u -- P ~ Cp,u = 1

Cp,u die

folgende Formel ergibt:

2 9a

=+

9p~.v~

.

(5)

4M~-

b) Die Driicke Pk,u u n d Pk,o sind gem~is der Formeln (4) u n d (5) auf der Unterbzw. Oberseite konstant. Die Normalkraft FN berechnet sich zu:

(6)

F N - - (Pk,u -- P k , o ) " L . b

Mit der Definitionsgleichung (1) u n d der Gleichung (6) erhglt man: FN

CN-- 1

2 "P~ . U ~ . L . b 1

Pk,u -- Pk,o

89.poo.U~

Pk,o -- Poo

Pk,u -- Poc =

=

-

89

9p ~ - U s

= C,,u -

Cp,o

(7)

.

-p~-Us

Cp,o u n d Cp,u gemgg der Gleichungen (4) u n d (5) eingesetzt, ergibt das gesuchte Ergebnis fiir den Beiwert CN: 4.oz

CN =

(8)

.

4Ms

-

1

Die Tangentialkraft ist Null, da die P l a t t e keine HShe bzw. Profildicke besitzt u n d die StrSmung als reibungsfrei a n g e n o m m e n wird. Also ist: cw = 0. C) Die Auftriebskraft FA wirkt in senkrechter Richtung zur parallelen Anstr5mung, die W i d e r s t a n d s k r a f t F w wirkt in StrSmungsrichtung. Es ist also: FA = FN" cos(a) u n d F w = FN 9sin(a). Da a ein kleiner Winkel ist, gilt cos(a) ~ 1 u n d sin(a) ~ a. D a m i t ergeben sich fiir ca u n d Cw die folgenden Formeln: 4.a

4.a 2

m

c~

Aufgabe 3.5.3

cN

Cw

v'M~-I

--

CN

'

" O~

=

.

4M~-1

ProfilumstrSmung

Ein Profil der Breite b senkrecht zur Zeichenebene, dessen Konturverlauf der Ober- und Unterseite durch zwei Parabelgleichungen (1) gegeben ist, wird mit einer LlberschallstrSmung der Mach-Zahl M~ angestrSmt (siehe Abb. 3.5.3a).

o=4

x (1

x)

x (1

x)

(1)

Zahlenwerte (siehe Abb . 3 . 5 . 3 a ) : M ~ = 1, 4, L = 4 m, b = 15 m, hi = 0, 1 m, h2 = 0,05 m, p ~ = 0,265

kg/m 3,

Uo~ = 413

m/s

3.5 Potentialgleichungen

229

A b b . 3.5.3a Parabelprofil in einer 0berschallanstrSmung

a) Es soil d e r D r u c k v e r l a u f a u f d e r O b e r - u n d U n t e r s e i t e d e s Profils q u a l i t a t i v fiber d e r x - A c h s e a u f g e t r a g e n w e r d e n . b) Es soll d e r V e r l a u f des c p - W e r t e s a u f d e r O b e r - u n d U n t e r s e i t e des Profils in Abh~ingigkeit v o n x a n g e g e b e n w e r d e n . c) W i e g r o g ist d a s u m d e n P u n k t D w i r k e n d e D r e h m o m e n t MD~ d a s a u s d e n D r u c k v e r t e i l u n g e n a u f d e r O b e r - u n d U n t e r s e i t e d e s Profils resultiert? LSsung: g e g e b e n : M ~ = 1, 4, L = 4 m, b = 15 m, hi = 0,1 m, h2 = 0,05 m, p ~ = 0,265 kg/m 3, U~ = 413 m/s g e s u c h t : a) Druckverteilung, b) Cp,o(X) und cp,~(x), c) MD a) Die Druckverteilung fiir die Ober- und Unterseite ist in Abbildung 3.5.3b dargestellt. Folgendes soll dazu erg~nzt werden:

A b b . 3.5.3b Druckverteilung auf Ober- und Unterseite

230

3 Grundgleichungen der StrSmungsmechanik

1. Die Druckverteilungen sind gem~i~ der Theorie kleiner StSrungen ermittelt worden (siehe Formeln zu Beginn dieses Abschnitts). An der Vorderkante wird die StrSmung schlagartig umgelenkt. Auf der Oberseite wird das Gas komprimiert und auf der Unterseite expandiert. Der Drucksprung der Kompression auf der Oberseite ist grSt~er als die Expansion auf der Unterseite, da auf der Oberseite die StrSmung stoker umgelenkt wird als auf der Unterseite. 2. Der Druck verl~uft sowohl auf der Ober- als auch auf der Unterseite linear, da der StrSmungswinkel 0 des Geschwindigkeitsvektors auf der Kontur linear fiber x verliiuft. (dyo,u/dx = tan(0) ~ 0). 3. An der Stelle x / L = 0.5 besitzt der Druck auf der Ober- und Unterseite den Wert po~ der AnstrSmung, da dort 0 = 0 ist. 4. An der Hinterkante geht die Str5mung wieder in eine Parallelstr5mung fiber. Die StrSmung der Oberseite wird anf den Druck der AnstrSmung po~ komprimiert, die StrSmung der Unterseite entsprechend expandiert. Der Drucksprung auf der Oberseite ist gem~it~ der Geometrie gr5ger als der Drucksprung anf der Unterseite (vgl. Vorderkante). b) Die dimensionslosen Druckbeiwerte cp,o und Cp,u berechnen sich mit der Formel: p~(x) - p~

= •

Cp,k(X)-- 1 2.p~.U~

2 . O(x)

(2)

v/ML

1

Mit der Gleichung (1) ergibt sich ffir O(x) ffir die Ober- und Unterseite:

Oo ~ tan(Oo) _ dyo = 4. hl dx

~--

(2.x) 1-~

,

Ou ~ tan(Ou) = dY~ - 4. h2 ( ~-~-) dx -L" 1 -

.

Auf der Oberseite lanfen linksl~iufige Charakteristiken ins Str5mungsfeld, auf der Unterseite rechtsl~ufige. Die Formel (2) muss deshalb ffir die Oberseite mit einem Pluszeichen und fiir die Unterseite mit einem Minuszeichen angewendet werden. Man erh~ilt also ffir Cp,o und Cp,u: 8. - ~ . ( 1 - ~ )

Cp,o =

v/ M ~ - 1

8.-~.

,

Cp,u = -

(1-~)

v/M 2 - 1

"

(3)

c) In Abbildung 3.5.3c ist der Nasenbereich des Profils grog herausgezeichnet. Die an einer festen Stelle x / L eingezeichneten Kr~fte Pk,o" dAo und Pk,u" dAn verursachen um den Punkt D das Moment dMD. Es berechnet sich zu: dMD = x" Pk,u" dAn" COS(0n) -- X" Pk,o" dAo. cos(0o) + yu "Pk,u" dAn" sin(0n) - Yo "Pk,o" dAo" sin(0o)

.

(4)

3.5 Potentialgleichungen

231

Die StrSmungswinkel 0o und 0u sind kleine Winkel, so dass mit guter N/iherung gilt: cos(0u,o) ~ 1 und sin(0u,o) ~ 0. Beriicksichtigt man diese Vereinfachungen in der Gleichung (4) erh~lt man: dMD = x "Pk,u dAu - x'pk,o 9dAo Fiir die Fl~chen dAu und dAo ergibt sich: dx d A u - cos(0u) b ~ d x . b , dAo

(5)

dx cos(0o) " b ~ d x ' b

.

(6)

dAu und dAo gem/ig Gleichungen (6) eingesetzt, ergibt die einfache Gleichung: dMD = (Pk,u -- Pk,o)"

b.x.

dx

.

(7)

Gleichung (7) kann, wie nachfolgend gezeigt, erweitert werden: dMD=

(_Pk_,2--.P_~_~ 89 . P ~ . U ~

_

_Pk,2--P~ ) 89 . P ~ . U ~

1 " -~ " p ~

2 " U~ " b " x " dx

(8)

Mit den Gleichungen (3) ergibt sich dann: dMD - (%,u [ =-8.

1

%,o)"

-~ " p ~

(2.x) 1 . -~

.

2

" U~

. b. x . dx -

(h2 hi)] . . -~--+-~

p~.U~.b

x.dx

2.v/Ms

(9)

.

Mit der folgenden Integration erhiilt man fiir das Moment MD die Gleichung:

I(xlx(x) 1

M D = - 4 p~

.

UL b ( h i + h 2 ) L . v/Ms - 1 .

.

.

1-2.~

0

2 . p ~ . u 2 . b. (hi + h~). L MD -- -~ 3. v/M~ - 1 Fiir MD erhglt man als Zahlenwert MD = 276, 8

kNm.

Abb. 3.5.3c DruckkrMte auf Ober- und Unterseite

.~.d

~

,

232 3.5.2

3 Grundgleichungen der StrSmungsmechanik P o t e n t i a l g l e i c h u n g ffir i n k o m p r e s s i b l e S t r S m u n g e n

In einer inkompressiblen Str5mung/indert sich die Dichte nicht, so dass aus der Deftnitionsgleichung der Schallgeschwindigkeit der Grenziibergang a ~ c~ hervorgeht. Mit a

~ oc ergibt sich fiir die reibungsfreie Aut~enstr5mung (siehe H. Oertel, M.

B6hle 2004) die lineare Potentialgleichung der inkompressiblen Str5mung::

02~

02~

Ox 2 + ~

- 0

,

mit dem Geschwindigkeitspotential (I). A u f g a b e 3.5.4

EckenstrSmung

Ein zweidimensionales StrSmungsfeld wird durch die Geschwindigkeitskomponenten u-U-~ Y

v_U

,

.x

Z

(1)

b e s c h r i e b e n . U und L sind Konstanten~ wobei U die D i m e n s i o n einer Geschwindigkeit und L die D i m e n s i o n einer L~inge besitzt. Es soil fiberprfift werden~ ob das g e g e b e n e S t r S m u n g s f e l d einer P o t e n t i a l s t r S m u n g e n t s p r i c h t u n d ggf. soil die e n t s p r e c h e n d e P o t e n t i a l f u n k t i o n (I) b e s t i m m t werden. W i e l a u t e t die S t r o m f u n k t i o n 9 ffir das g e g e b e n e StrSmungsfeld? LSsung: gegeben: u = U . y / L , v = U . x / L gesucht: 9 = f(x, y), 9 = f(x, y) Potentialstr5mungen sind reibungs- und drehungsfreie Str5mungen. Eine Str5mung ist genau dann eine Potentialstr5mung, wenn ihre Geschwindigkeitskomponenten u und v die Kontinuit~tsgleichung und die Gleichung fiir die Drehungsfreiheit erfiillen. Die genannten Gleichungen lauten: Ou Ov . Ox ~ ~

.

.

0

,

.

Ov Ox

Ou Oy

o

(2)

Fiir die benStigten Ableitungen erh~lt man folgende Gleichungen: o~

Ox

Ov

= o

'

Oy

Ou

= o

'

Oy

.

U

.

L

.

'

.

Ov

U

Ox

L

(3)

Durch Einsetzen der entsprechenden Ableitungen in die Kontinuit~itsgleichung und in die Gleichung fiir die Drehungsfreiheit wird ersichtlich, dass die Gleichungen (2) erfiillt sind: Das betrachtete StrSmungsfeld entspricht einer Potentialstr5mung.

3.5

233

Potentialgleichungen

Zur Bestimmung der Potential- und Stromfunktion werden zun~chst die vollst~ndigen Differentiale der Funktionen (P und 9 formuliert. Sie lauten:

de-

O~

dx +

O~

dy

(4)

Oq~ Oq) d~ - -0-7x " dx + N .dy

(5)

Fiir die partiellen Ableitungen in den Gleichungen (4) und (5) gelten die folgenden Gleichungen 0~ Ox

0~ = u

,

Oy

0~ = v

,

Oy

0~P = u

,

Ox

w

-v

,

(6)

so dass sich fiir die vollstgndigen Differentiale d(I) und d ~ mit den Gleichungen (4) und (5) folgende Beziehungen ergeben: d(I)=u.dx+v.dy

,

d ~ = - v . dx + u. dy

(7) (8)

u und v gem~i~ der Gleichungen (1) in die Gleichungen (7) und (8) eingesetzt, ergibt die Gleichungen (9) und (10): y

d ( I ) - U . ~ .dx + U . ~ d~-

X

.dy

x y - U . ~ 9dx § U. ~ 9dy

A b b . 3.5.4 Reibungsfreie EckenstrSmung

(9) (10)

234

3 Grundgleichungender StrSmungsmechanik

Durch Integration der Oleichungen (9) und (10) von einem beliebigen Punkt (xo, yo) zu einem zweiten beliebigen Punkt (Xl, yl) erhglt man:

/(

)

Xl

e ( X l , y~) - e ( x o , yo) -

/(x) Yl

u . $Y ~=~o .dx +

x0

U.~

Y0

/(x) Xl

9 ( x l , y ~ ) - ~ ( x o , yo)--

//

~=~1 .dy

(11)

Yl

-U.$

y=yo'dX+

x0

U.~

~=~'dY

(12)

Y0

Die Werte fiir xo und yo sind frei wghlbar. Ihnen wird der Wert Null zugeordnet. Die Durchfiihrung der angegebenen Integration ergibt dann die folgende LSsung: &(Xl y l ) - U

" -x 7 -l-. y l

~

~(x,

y) -

'

u . x .y L

und ~(xl,Yl) -- 2.u L . (y~ _ x~)

9 (x, y) -

2 U L 9 (y~ - x ~)

Das StrSmungsfeld ist in Abbildung 3.5.4 skizziert. Betrachtet man die geradlinig verlaufenden Stromlinien als feste Wgnde, so kann man das StrSmungsfeld als die reibungsfreie StrSmung in einer Ecke interpretieren. Aufgabe 3.5.5

U m s t r S m u n g eines KSrpers

Es soil die e b e n e StrSmung untersucht werden, die durch Uberlagerung einer TranslationsstrSmung (parallel zur x-Achse) mit einer Quellen- und SenkenstrSmung entsteht. Die TranslationsstrSmung habe die Geschwindigkeit U~ und die Quellen- bzw. Senkenst~irke betr~igt Q bzw. - Q . Die Quelle ist an der Stelle ( x - - a , y - 0) und die Senke an der Stelle ( x - +a, y - 0) angeordnet (siehe Abb. 3.5.5).

U~

Abb. 3.5.5 {)berlagerung einer Quellen-Senkenstr5mung mit einer TranslationsstrSmung

235

3.5 Potentialgleichungen

Ein spezielle Stromlinie der StrSmung entspricht einer geschlossenen ovalen Stromlinie, die im Folgenden als KSrperkontur aufgefasst werden soil. Die zu untersuchende StrSmung entspricht also der UmstrSmung eines zylindrischen KSrpers mit ovalem Querschnitt. a) Wie lauten die Potential- und Stromfunktion der StrSmung? b) In welchen Punkten (x~,i,ys,i) liegen die Staupunkte Si? c) Wie lautet die Gleichung zur Berechnung der Kontur des KSrpers? LSsung: gegeben: U~, Q, a gesucht: a) ~, ~, b)Xs,i, ys,i, c) f(xk, Yk)= 0

a) Die Potential- und Stromfunktionen fiir die Quellen- und Senkenstr5mung sind: (I)Q(X, y ) -

9In (V/x 2 + y2)

~s(x'Y) -- - 2 Q97v l n ( v / x 2 + y 2)

Q arctan ( y ) ~O(X, y) -- 2.7r

, '

~ s ( x , y ) - - 2 .Q ~ . a r c t a n ( yx)

Diese Funktionen sind angegeben fiir den Fall, dass die Quellen bzw. die Senken im Ursprung des Koordinatensystems (x = 0, y = 0) liegen. Daher erh/flt man zunKchst mittels einer einfachen Koordinatentransformation die hier benStigten und nicht im Lehrbuch angegebenen Potential- und Stromfunktionen: (I)q -- 2 - - ~ "

In

Q a r c t a n ( y-, ) ~Q-- 2.7r x+a

a)

(I)s - - 2 - ~Q . l n ( v / ( x _ a ) 2 +

y2)

~s -

-2.7r

'

(1)

x-a

Der Index "Q" deutet in Gleichung (1) auf die Quelle hin und in Gleichung (2) steht der Index "S" entsprechend fiir die Senke. Die Potential- und Stromfunktion fiir die Translationsstr5mung parallel zur x-Achse lauten (I)w = Ucxv. x und tX/T = Ucr . y , so dass sich fiir die betrachtete Str5mung unter Anwendung des Uberlagerungsprinzips die folgenden Funktionen (I) und 9 ergeben:

~ - U~ "x + 2Q-~ . ln (v/(x +a)2 + y2 ) - 2Q-~ . ln ( V / ( x - a ) 2 + y 2) und

x+a

2.~

arctan(Yxa)

(3)

236

3 Grundgleichungen der StrSmungsmechanik

b) In den Staupunkten gilt u = 0 und v = 0. Das StrSmungsfeld ist zur x - A c h s e symmetrisch. Die v-Komponenten der Geschwindigkeitsvektoren sind l~ngs der xAchse iiberall Null, also auch im Staupunkt. Die y-Koordinaten der beiden Staupunkte liegen somit auf der x-Achse mit ys,i - ys,1 - ys,2 - 0. Zur Bestimmung der Lage der Staupunkte (x~,i, 0) miissen nun noch die x-Koordinaten ermittelt werden, an denen die u-Komponente Null ist. Durch partielles Differenzieren der Stromfunktion nach y erh~lt man fiir die u-Komponente:

(x+a Oy

= u - U ~ +

"

(x+a)

2+y2

x 2a+ y )2

-

(x-a)

9

(5)

Die Bestimmungsgleichung fiir Xs,i lantet dann mit ys,i - 0:

0deren Umformung nach der Stanpunkte liefert:

v~

+

5(1

1)

9

x+a

Xs,1/2

,

(6)

x-a

die beiden folgenden Stellen Xs,1 und Xs,2 fiir die Lage

Xs,l/2 -- +a .

~/1 +

U~

#9 7r . a

(7)

"

c) Die Kontur entspricht der Stromlinie, auf der die Staupunkte liegen. Die Staupunkte liegen auf der x-Achse (also y = 0) und mit Gleichung (4) erh~ilt man fiir y = 0 den Stromfunktionswert ~I/k der Konturstromlinie zu ~k = 0. Die Gleichung, die die Kontur beschreibt, lautet also: U~'Yk+2.--~'(arctan(xkYk+a)--arctan(xkYk--a))--0

Aufgabe 3.5.6

.

DiisenstrSmung

Zwei entgegengesetzt drehende Potentialwirbel gleicher St~rke IF[ sind gem~[g Abbildung 3.5.6a im Abstand 2. a auf der Ordinate eines (x,y)K o o r d i n a t e n s y s t e m s angeordnet. Das so gebildete StrSmungsfeld besteht aus der Superpositlon ursprfingllch kreisf'6rmlger Stromlinien, deren Kreismittelpunkte auf der Verbindungslinie der beiden Wirbel liegen und ist symmetrisch zur x-Achse. Zwei dieser Stromlinien sollen als Bereichsbegrenzungen der reibungsfreien KernstrSmung einer ebenen Luftdfise der L~nge L und der AustrittshShe h aufgefasst werden. Aufgrund der S y m m e t r i e der Anordnung fallen Dfisen- und x-Achse zusammen.

237

3.5 P o t e n t i a l g l e i c h u n g e n

A b b . 3.5.6a DiisenstrSmung

Z a h l e n w e r t e : F = 20 m2/s, L - 0,6 m, a = 1 m, h = 0,4 m, p2 = 1 bar, p - 1,226 kg/m 3 (p2 ist d e r D r u c k im A u s t r i t t s q u e r s c h n i t t a u f d e r x-Achse, p ist die D i c h t e d e r L uft). Z u r A u s l e g u n g d e r Diise soil folgendes b e r e c h n e t w e r d e n : a) Die G e s c h w i n d i g k e i t s v e r t e i l u n g e n t l a n g d e r x-Achse i n n e r h a l b d e r Diise.

b) Die G e s c h w i n d i g k e i t s v e r t e i l u n g e n t l a n g d e r y-Achse im A u s t r i t t s q u e r schnitt. c) Die D r u c k v e r t e i l u n g e n t l a n g d e r x-Achse i n n e r h a l b d e r Diise. d) W i e g r o g ist d e r d u r c h die Diise s t r S m e n d e V o l u m e n s t r o m V? D e r V o l u m e n s t r o m soil e i n m a l m i t t e l s e i n e r I n t e g r a t i o n d e r Geschwindigk e i t s v e r t e i l u n g im A u s t r i t t s q u e r s c h n i t t d e r Diise b e s t i m m t w e r d e n , z u m a n d e r e n mit d e r A n w e n d u n g d e r S t r o m f u n k t i o n ~P. Die B r e i t e b d e r Dfise s e n k r e c h t zur Z e i c h e n e b e n e betr[igt b - 2 m. LSsung: gegeben:F=20m2/s,L=0,6m,

a=lm,

h=0,4m,

p2=lbar,

b=2m

gesucht: a) u(x, y = 0), b) u(x = O, y), c) p(x, y = 0), d) a) Zur Berechnung der Geschwindigkeitskomponente u(x, y) wird zuerst die fiir das StrSmungsfeld giiltige Stromfunktion ~ ermittelt. Die Stromfunktion fiir einen im

238

3 G r u n d g l e i c h u n g e n der S t r 5 m u n g s m e c h a n i k

Ursprung liegenden Potentialwirbel lautet fiir einen rechtsdrehenden Potentialwirbel: ~-2.~F

.ln(v/x2+y2)

.

(1)

Die beiden Wirbelzentren in dieser Aufgabe liegen nicht im Koordinatenursprung. Mittels einer einfachen Koordinatentransformation und der Anwendung des Oberlagerungsprinzips erh~lt man daher fiir die hier benStigte Stromfunktion: ~ - 2-7~[F[ (ln (V/X2 + (y + a ) 2) - I n (V/X2 + ( y - a ) : ) )

.

(2)

Der obere Wirbel ist linksdrehend. Deshalb steht in der Gleichung (2) ein Minuszeichen zwischen den ~ut~eren Klammern. Durch partielles Differenzieren der Funktion nach y ergibt sich die Geschwindigkeitskomponente u(x, y)" ay =u(x'Y)-

x2+(y+a)

2 - x2+(y_a)

2

(3)

Die Geschwindigkeitsverteilung entlang der x-Achse ergibt sich nun mit der Anwendung der Gleichung (3) fiir y - 0. Die v-Komponente ist wegen der Symmetrie des Str5mungsfeldes auf der x-Achse Null. Fiir y - 0 erh~ilt man nach einer einfachen Umformung der Gleichung (3)" ~(x, y -

0) -

Irl

rr.a

.

x (~)

1

2

.

(4)

+ 1

Die Geschwindigkeitsverteilung entlang der x-Achse ist fiir - L _< x _< 0 gemgg der Gleichung (4) in Abbildung 3.5.6b dargestellt. b) Die u-Komponente der StrSmung kann unmittelbar mit der Anwendung der Gleichung (3) fiir den Austrittsquerschnitt (x = 0) angegeben werden. Man erhglt mit einer einfachen Umformung die folgende Gleichung: u(x -- O, y) -- IF[ . 1 7r.a 1 _ (_ya)2

.

(5)

Gleichung (5) stellt bereits die L5sung dar. Die v-Komponente ist entlang der yAchse Null, da O~/Ox[~=o - 0 ist. Die Geschwindigkeitsverteilung ist in Abbildung 3.5.6c fiir - h / 2 <_ y <_ h/2 dargestellt. c) Zur Berechnung der Druckverteilung entlang der x-Achse wird die BernoulliGleichung fiir inkompressible StrSmungen entlang eines Stromfadens von einer beliebigen Stelle x ( - L _< x < 0) auf der x-Achse bis zur Stelle (x - 0) (siehe Abb. 3.5.6a) angewendet. Sie lautet" ;(x,y-

0) + ~1. p .

u 2(x, y - 0 ) - p ~ + ~1 . p . u 22

,

1 (u~ u 2 ;(x, 0) - ;~ + ~ . p (x, 0))

(6)

3.5 Potentialgleichungen

239

1.2

1.0

0.5

P/P2

u/u2

0.25

1.1

0.75

0.0

i

0.'975

"]:~ -X&

0.5

1.025 1.050 u/u2

.---,,=

-0.25

i I -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2

1.0

._f

y~

-0.5

0 x/1

A b b . 3 . 5 . 6 b Geschwindigkeitsverlauf entlang der Diisenachse

A b b . 3 . 5 . 6 c Geschwindigkeitsprofil im

Drisenaustrittsquerschnitt

Die Geschwindigkeitsverteilung u(x, 0) und die Geschwindigkeit u2 an der Stelle (x = 0) sind bereits mit der Gleichung (4) bekannt (u2 = u(O,0) = [F]/(~-a)). Die Ergebnisse fiir u2 und u(x, 0) gem~i~ Gleichung (4) eingesetzt, ergibt das gesuchte Ergebnis: ~_)4-~-2"

(X) 2

(7)

((~i-+2.(z)2+1)

d) 1. MSglichkeit: Der Volumenstrom wird mittels der folgenden Integration bestimmt:

y= h 2

h Y-- 2.a

1-

( rct nh

.

(8)

2. MSglichkeit" Der Volumenstrom wird mittels der Stromfunktion als Differenz zweier Stromfunktionswerte ermittelt. Dazu gilt" --

(~(x-0,

h

y-- ~)-~(x--0,

h)

y---~)

.b

(9)

Mit beiden Formeln (8) und (9) erhglt man fiir den Volumenstrom V den Wert

V-5,16m3/s.

240 A u f g a b e 3.5.7

3 Grundgleichungen

der StrSmungsmechanik

ZylinderumstrSmung

Die 0 b e r l a g e r u n g yon einer D i p o l s t r S m u n g u n d einer TranslationsstrSm u n g ergibt die m a t h e m a t i s c h e N a c h b i l d u n g der reibungsfreien Aul~ens t r S m u n g eines Kreiszylinders. Die S t r o m f u n k t i o n e n ~I/w u n d ~I/D der Translations- bzw. D i p o l s t r S m u n g lauten: ~l~W - - U c < ) . y

,

~ D -- -- X m .y 2 _+_ y 2

(1)

"

In dieser A ufgabe sollen die Geschwindigkeits- u n d die D r u c k v e r t e i l u n g a u f e i n e m K r e i s z y l i n d e r mit d e m R a d i u s R b e r e c h n e t w e r d e n . D a z u soil wie folgt v o r g e g a n g e n werden: o.

a) W i e grof~ muss das D i p o l m o m e n t m gew~ihlt werden~ d a m i t die U b e r l a g e r u n g aus Translations- und D i p o l s t r S m u n g der K r e i s z y l i n d e r u m s t r S m u n g u m den K r e i s z y l i n d e r mit d e m R a d i u s R e n t s p r i c h t ? W i e l a u t e t d a n n die S t r o m f u n k t i o n 9 ffir die K r e i s z y l i n d e r u m s t r S m u n g ? b) Es soU gezeigt werden~ dass die K o n t u r s t r o m l i n i e eine Kreislinie mit d e m R a d i u s R ist. c) Die G e s c h w i n d i g k e i t s k o m p o n e n t e n u und v des StrSmungsfeldes sollen in P o l a r k o o r d i n a t e n (r, ~) a n g e g e b e n w e r d e n . d) Es soil die S t r S m u n g s g e s c h w i n d i g k e i t Wk in Abh~ingigkeit yon ~ e r m i t telt w e r d e n . e) Es soll der dimensionslose D r u c k b e i w e r t Cp,k fiir die K o n t u r s t r o m l i n i e in Abh~ingigkeit yon ~ a n g e g e b e n w e r d e n . LSsung: gegeben: Gleichungen (1) gesucht: a ) m , b) K0nturgleichung, c) u(r, ~), v(r, ~), d)Wk(~), e) Cp,k(~) a) Die resultierende Str0mfunkti0n 9 der betrachteten StrSmung folgt aus dem 0berlagerungsprinzip: ~I/(x, y ) - - kX/T -~- II/D

9 (x, y) = U~ .y -

, m'y x2

+ y2

(2)

Das Dipolmoment in Gleichung (2) muss gerade so gew~hlt werden, dass auf der x-Achse an der Stelle x - - R (mit R als Radius des Kreiszylinders) ein Staupunkt liegt. Auf der x-Achse ist die v-Komp0nente des Geschwindigkeitsvektors Null, da das StrSmungsfeld symmetrisch ist. Die Bestimmungsgleichung fiir m i s t also die Gleichung u ( x = - R , y - O) = O. Durch partielle Differenzierung der Gleichung (2)

3.5

241

Potentialgleichungen

nach y erh/ilt man eine Gleichung fiir u(x, y). Sie lautet: 0~

u(x,y)-

2 . m . y2 t (x ~ + y ~ ) ~

m

0y = U ~

x~+f

(3)

Die Bestimmungsgleichung u ( x = - R , y = O) - 0 fiir m lautet dann also: m

u~

R~ = 0

(4)

und mit ihr erh/ilt man fiir m schlieglich: m = Uo~ 9R 2. Die Stromfunktion fiir die KreiszylinderumstrSmung lautet dann:

U~ R~Y

-U~.y-

(5)

x2+y2

b) Die Konturstromlinie ist die Stromlinie, auf der die Staupunkte liegen. Da die Staupunkte auf der x-Achse bei y = 0 liegen, ergibt sich mit der Gleichung (5) fiir ihren Stromfunktionswert ~k der Wert ~k = 0. Die Gleichung fiir die Kontur lautet dann gemfitg der Gleichung (5): Voc "Yk --

U ~ 9 R2 . yk = 0

(6)

x 2 + y2

die mit einer einfachen Umformung folgendermagen geschrieben werden kann: x~ + y~ = R ~

(7)

Die Gleichung (7) entspricht der Gleichung eines Kreises mit dem Radius R. Die Konturstromlinie ist also eine Kreislinie, deren Mittelpunkt im Ursprung liegt. c) Mit der Gleichung (3) und m = U ~ . R 2 ergibt sich fiir u(x, y):

( ~(x, y) - v ~ .

Re

2.R2-y___2_)

1 - x~" + y~ + ~-- + y~)~

.

(8)

sin(~)-- y

(9)

Nun gilt bei der Einfiihrung der Polarkoordinaten: x2 +y

2

--r

2

cos(~)

,

- - -x

7"

,

r

Unter Beriicksichtigung der Gleichungen (9) erh/ilt man fiir u(r, ~):

u(r,~) - V~.

1-

+ 2-

--

.sine(qp)

.

(10)

Zur Bestimmung von v(r, r wird zun/ichst v ( x , y ) mit der Stromfunktion ~ ( x , y ) der Gleichung (5) bestimmt. Man erh/ilt durch partielles Differenzieren:

v-

OtP R2 x .y Ox = 2" U ~ " (x 2 + y 2 ) 2

9

(11)

242

3 Grundgleichungen der S t r S m u n g s m e c h a n i k

Unter Beriicksichtigung der Gleichungen (9) erh/ilt man fiir v(r, T): cos(T), sin(T )

v(r, T) - 2 . Vo~ .

.

(12)

d) Fiir die u- und v-Komponente auf der Kontur gilt nach Gleichung (10) und (11): u ( T ) l r = R = 2 . Uo~. sin2(T)

,

v(T)[r=n = 2-Vo~-cos(T)" sin(T)

. (13)

Die Geschwindigkeit Wk(T) auf der Kontur ergibt sich dann mit der folgenden Rechnung: V/U2(T)Ir=R

Wk(T) =

Jr V 2 ( T ) [ r = R

- - 2 " Voo .

sin(T)

(14)

e) Der dimensionslose Druckbeiwert Cp,k ist fiir den Kreiszylinder wie folgt definiert: Cp,k--

P k -- Pc~

1

9

(15)

.p.u~

Zur Bestimmung der Druckdifferenz Pk--Po~ wird die Bernoulli-Gleichung fiir

-

-

-

x

I I I

inkompressible StrSmungen entlang der Staupunktstromlinie angewendet. Weit entfernt von der Kontur besitzt die StrSmung die ungestSrten AnstrSmungsgrSt~en U~ und po~ sowie anf der Kontur entsprechend Wk und Pk. Es gilt also: 1

2

1

ll'0

p o~ + -~ . p . U ~ - Pk + -~ " p ' W k

ip j

Pk - - P c ~ -- ~ "

P

0

(us

-

2 (16)

Die Differenz P k - P~ gem~h~ Gleichung (16) in Gleichung (15) eingesetzt, ergibt fiir Cp,k :

~

-1

Cp,k - - 1 -

A b b . 3.5.7 Druck- und Geschwindigkeitsverlauf entlang des Kreiszylinders

( )2 ~Wk

.

(17)

w k / U o ~ ergibt sich mit der Gleichung

(14) zu w k / U o ~ -- 2"sin(T). Dies in Glei-

chung (17) eingesetzt, ergibt das gesuchte Ergebnis: Cv,k -- 1 -- 4. s i n 2 ( ~ )

(18)

Die Druck- und die Geschwindigkeitsverteilung sind in der Abbildung 3.5.7 fiber dem Winkel ~ aufgetragen.

3.5 Potentialgleichungen A u f g a b e 3.5.8

243

Dachfirst

A b b . 3.5.8a Dachfirst

Ein Modell zur Beschreibung der reibungsfreien UmstrSmung eines D a c h f i r s t e s e n t s p r e c h e n d A b b i l d u n g 3 . 5 . 8 a erh~ilt m a n , w e n n m a n d e r S t r 6 m u n g u m e i n e n m i t d e r G e s c h w i n d i g k e i t U~ (hier: U~ = 120 kin~h) a n g e s t r S m t e n K r e i s z y l i n d e r m i t R a d i u s R zus~itzlich die S t r 6 m u n g eines P o t e n t i a l w i r b e l s i i b e r l a g e r t . D e r R a d i u s R d e s D a c h f i r s t e s b e t r / i g t R - 7, 5 - 1 0 -2 m, d e r F i r s t w i n k e l (~ ist ~ - 120 ~ a) W i e g r o g m u s s die Z i r k u l a t i o n F des P o t e n t i a l w i r b e l s gew~ihlt w e r d e n , d a m i t die r e i b u n g s f r e i e S t r S m u n g e n t s p r e c h e n d A b b i l d u n g 3.5.8a u m d e n Dachfirst richtig nachgebildet wird ? b) W i e grof~ ist die a u f d e n D a c h f i r s t w i r k e n d e K r a f t FA, w e n n u n t e r dem Dachfirst der Druck p~ der ZustrSmung herrscht und der Dachfirst die L~inge b - 1 m (b s e n k r e c h t z u r Z e i c h e n e b e n e ) h a t ? D i e D i c h t e p des A n s t r S m u n g b e t r i i g t p = 1,226 kg/m 3. LSsung: g e g e b e n : U~ = 120

km/h,

p = 1,226

kg/m 3, R

= 7, 5 . 1 0 -2 m, b = 1 m

g e s u c h t : a) F, b) FA a) Die Zirkulation muss so grog gew~hlt werden, dass auf der Konturstromlinie an den Stellen 1 und 2 (siehe Abb. 3.5.8a) Staupunkte liegen. Dazu ist es erforderlich, die StrSmungsgeschwindigkeit auf der Kontur zu ermitteln. Die Stromfunktion der betrachteten StrSmung ergibt sich aus der Addition der Stromfunktionen der Translations-, Dipol- und Wirbelstr5mung, wobei das Dipolmoment m d e r DipolstrSmung mit m = U ~ . R 2 entspricht (siehe Aufg. 3.5.7). 9 lautet also:

244

3 Grundgleichungen der Str5mungsmechanik

9 -U~ .y-U~.

R 2. x 2 +Yy 2 + ~ ' lFn

( V/X2 + y2)

.

(1)

Durch partielles Differenzieren der Stromfunktion 9 ergeben sich die Geschwindigkeitskomponenten u(x, y) und v(x, y):

u(x,y)-

0~, ( R2 Oy = U~ " 1 - x2 + y9 + 2" R 2. O~

~(x,y)

=

_

_2

. U~

. R 2.

Ox -

y2

)

x . y

+ 2 .~

F

(x~ + y : ) ~ -

F

(x~ + y : ) ~

y

x: + y:

'

(2)

x

2 . ~ " x~ + y~

"

(3)

Mit der Einfiihrung von Polaxkoordinaten (r, Q) gem~i/~ x2 +y 2 =r 2

cos(~) = - x

,

,

s i n ( Q ) - - -y

(4)

lauten die Funktionen u(r, Q) und v(r, Q):

u(r,Q)-U~.

( ( R ) 1-

2

v(r,Q) = - 2 . U ~ .

+2.

(R) 2 ) F sin(Q) -"sin2(Q) + 2 7r" r ?~

9cos(Q), sin(Q) - 2 - ~ " \

r

'

(5)

(6)

"

/

Das Quadrat der Str5mungsgeschwindigkeit w~ auf der Kontur l~st sich nun mit den Gleichungen ( 5 ) u n d (6) berechnen. Man erh~ilt:

~(~)-~(~

= R,~)+ ~(~-

R,~)

,

w~(Q)_4.U~.sin2(Q)+2.U.r ~ sin(Q) R +

(

~

F )2

1

R~

"

(7)

Wie bereits erw~ihnt, muss die Zirkulation F so grog gew~hlt werden, dass auf der Konturstromlinie an den Stellen 1 und 2 bzw. fiir die Winkel Qs,1 = 210 ~ und ~s,2 = - 3 0 ~ die Staupunkte der StrSmung liegen. Die Bestimmungsgleichung ergibt 2 sich also aus der Beziehung w~(Qs,1) - 0. Mit der Gleichung (7) und Wk(Q~,l) -- 0 erhglt man eine quadratische Gleichung fiir F. Sie lautet: P2 + 8.~-R.

U ~ . sin(Qs,1). F + 16. 2 .

U ~ . R 2. sin 2(Qs,1)

=

0

9

(8)

Die Aufl5sung der Bestimmungsgleichung (8) ergibt fiir F nur eine L5sung. Sie lautet: F = - 4 . 7 r . U~ 9R . sin(Qs,1) = 2.7r- U~ 9R b) Zur Bestimmung der auf den Dachfirst wirkenden Kraft wird zuerst die Druckverteilung auf der Kontur ermittelt. Mit der Bernoulli-Gleichung fiir inkompressible StrSmungen erh~t man:

3.5 Potentialgleichungen

245 1

2

1

p ~ + ~ . p . a g --pk(~) + ~ ' P " w~(~)

,

p 9. Pk(~) = P~ + ~" (U;~ - w~(~))

(9)

Das Geschwindigkeitsquadrat Wk2(p) auf der Kontur ergibt mit Gleichung (7) und mit F = 2.7r. Uo~ 9R die folgende Gleichung: w~(p) - UL" (4-sinU(p) + 4. sin(p) + 1)

.

(10)

w~(p) gemgg Gleichung (10) in Gleichung (9) eingesetzt, ergibt fiir den Druck Pk(P) die Gleichung: P 2 Pk(P) -- P~ -- ~" U ~ - ( 4 - s i n 2 ( p ) + 4-sin(p)) . (11) Da die Druckverteilung symmetrisch zur y-Achse verlguft, wirkt in horizontaler Richtung keine Kraft auf den Dachfirst. Die Vertikalkraft, die in vertikaler Richtung auf den Dachfirst wirkt, wird mittels Integration der Vertikalkomponente der Kraft d F ermittelt (siehe Abb. 3.5.8b). Man erhglt fiir die Vertikalkomponente dFA der Kraft d F unter Verwendung von Gleichung (11) und mit dA = R. b. dp: dFA -- d F . sin(p) = (poo - Pk)" s i n ( p ) - d A = (p~ - Pk)" sin(p). R . b. dp dFA = 2 . p . U ~ . R . b-(sina(p) + sin2(p)) 9dp

(12)

Mit der folgenden Integration r.~

FA-- /" dFa,y-2.p.U~ R.b.

f(sin3(p)+sin2(p)).dp

FA,y

erhglt man schlieglich fiir FA das folgende Ergebnis: F,, -

2 . p. Us

. R.

b.

--g- + -5 . ~

-

,/-5 + 5 . ~

. p. U g

Als Zahlenwert ergibt sich fiir FA der Wert: FA -- 604, 9 N.

Y .dA

u~ v

J A b b . 3.5.8b Druckkrgfte auf Dachfirstkontur

. R.

b

246 3.6

3 Grundgleichungen der StrSmungsmechanik Grundgleichungen

A u f g a b e 3.6.1

in Erhaltungsform

Laminare StrSmung

Die s t r S m u n g s m e c h a n i s c h e n G r u n d g l e i c h u n g e n fiir l a m i n a t e S t r S m u n g e n k S n n e n in d i m e n s i o n s l o s e r E r h a l t u n g s f o r m d a r g e s t e l l t w e r d e n . a) M a n stelle diese fiir d e n a l l g e m e i n e n Fall a u f u n d b e s c h r e i b e die Bedeutung der einzelnen Terme. b) M a n b e g r f i n d e , w a r u m es y o n Vorteil ist die s t r S m u n g s m e c h a n i s c h e n G r u n d g l e i c h u n g e n in E r h a l t u n g s f o r m zu s c h r e i b e n . c) A u s w e l c h e m G r u n d w e r d e n die G r S g e n d i m e n s i o n s l o s g e m a c h t ? LSsung: a) Die str5mungsmechanischen Grundgleichungen fiir laminare StrSmungen lauten:

------TOt -+-

m--1

OXm -

ReL

"

m=l

OXm

mit dem L5sungsvektor: p

,

p -ul V*(x~,t*)

-

p -u2 p "u3 p* 9E*

den konservativen Fliissen" p "Um .

. " U m

. -c" U 1 ~- 01m

"p

.

. 9 U m

, _ _ c" U 2 -Jr- 0 2 m

"p

9

. " U m

, __c 9 U 3 -~- 0 3 m

"p

p /9 p

. . $

u * . (p*-E* +p*) und den dissipativen Fliissen" 0 Tml

Tm2 Tm3

G*1--1

~m

+q~

-0

247

3.6 Grundgleichungen in Erhaltungsform

Dabei sind e

3

*-E*--1.E 2

,9

Um m=l

die dimensionsloses inhere Energie, p*=(n-1).p*.e*

der dimensionslose Druck, T*=(n-1).n.M~.e*

die dimensionslose Temperatur, .

~J - "

" \ ox; + Ox~ / - 5

~

(~U~ . (~ij

# 9k--1 Ox----~k

die dimensionslosen Spannungen und 9 *

~

qm --

#* ( n -- 1) 9Proo

.

OT* Ox~

~

~

#*. n. M ~ Proo

.

Oe* Ox*

der dimensionslose W~rmestrom in Richtung m. b) Die Schreibweise in Erhaltungsform bedeutet, dass die ErhaltungsgrSi~en Masse, Impuls und Energie als Divergenz der GrSi~en des L5sungsvektors dargestellt werden. Man kann somit diese Form der Grundgleichungen fiir die numerische Berechnung, insbesondere mit dem Finite-Volumen-Verfahren, auch fiir groi~e Gradienten im Str5mungsfeld (Verdichtungsst5i~e) einsetzen. c) Bei dimensionslosen Gr5i~en innerhalb der Grundgleichungen kSnnen beliebige Skalierungen bei der numerischen Berechnung vollzogen werden. Aui~erdem ist die nachtrggliche Wahl der Dimensionen mSglich, solange das gewghlte Einheitensystem konsistent ist (z.B. SI-System). In Europa ist seit 1951 das SI-System (Syst~me Internationale) gebrguchlich. Es setzt sich aus so genannten Grund- oder Basiseinheiten und davon abgeleiteten Einheiten zusammen. Die sieben Grundeinheiten sind: Basisgr5ge

zugehSrige Einheit

Zeit [W] Lgnge [L] Masse [M] Elektr. Stromstgrke [I] Temperatur [T*] Stoffmenge [n] Lichtstgrke [I]

Sekunden (s) Meter (m) Kilogramm (kg) Ampere (A) Kelvin (K) Mol (tool) Candela (cd)

248 A u f g a b e 3.6.2

3 Grundgleichungen der StrSmungsmechanik Spaltstriimung

A b b . 3.6.2a SpaltstrSmung Die Welle einer A r b e i t s m a s c h i n e ( R a d i u s R) ist in einer koaxialen Bohr u n g mit d e m R a d i u s R + s u n d d e r L~inge L gelagert. Die Welle fiihrt eine koaxiale B e w e g u n g mit d e r P e r i o d e T aus (siehe A b b . 3.6.2). Die G e s c h w i n d i g k e i t d e r Welle k a n n n~iherungsweise d u r c h die F u n k t i o n

{

-~- f f i r O _ ~ t < -2-

~(t)

=

- W fflr ~ < t <_T

b e s c h r i e b e n w e r d e n . A m u n t e r e n E n d e des Spaltes d e r B r e i t e s b e f i n d e t sich ()1 ( N e w t o n s c h e Fliissigkeit, D i c h t e p, d y n a m i s c h e Z[ihigkeit #) mit d e m D r u c k pi, das d u r c h d e n Spalt o b e n in die U m g e b u n g mit d e m D r u c k pa a u s t r e t e n kann. D e r Einfluss d e r E r d s c h w e r e ist vernachl~issigbar. Die S t r i i m u n g des Ols ist l a m i n a r . In d e n b e i d e n Zeitintervallen O ~_ t < T/2 u n d T/2 < t ~_ T k a n n die S t r S m u n g im Spalt jeweils als station~ir u n d in z - R i c h t u n g als a u s g e b i l d e t a n g e s e h e n w e r d e n . W e g e n s ~ R k a n n sie a u g e r d e m als e b e n zwischen zwei g e r a d e W [ i n d e n b e t r a c h t e t w e r d e n . a) W i e l a u t e n die G r u n d g l e i c h u n g e n in E r h a l t u n g s f o r m ? M a n b e n e n n e die a u f t r e t e n d e n T e r m e u n d g e b e sie explizit an. b) M a n v e r e i n f a c h e die G r u n d g l e i c h u n g e n d e r Kontinuit~it u n d des Impulses, die diese S t r S m u n g b e s c h r e i b e n . (Die E n e r g i e g l e i c h u n g ist zu vernachl~issigen).

3.6

249

G r u n d g l e i c h u n g e n in E r h a l t u n g s f o r m

c) M a n b e r e c h n e die G e s c h w i n d i g k e i t s v e r t e i l u n g i m S p a l t ffir die b e i d e n I n t e r v a U e 0 < t < T / 2 u n d T / 2 < t < T. u n d s k i z z i e r e sie q u a l i t a t i v . LSsung: g e g e b e n : R, s, p, #, L, W, T, p~, Pa g e s u c h t : a) Grundgleichungen in Erhaltungsform, b) Vereinfachte Grundgleichungen, c) Skizze w (x) a) Die allgemeinen Grundgleichungen (Masse-, Impuls- und Energieerhaltung) indexEnergieerhaltung in Erhaltungsform ohne Massenkr~ifte lauten:

OU

-Ot --

~-

~

OFm OXm

m=l

3 E 0OXm Gm = 0

,

(1)

m--1

mit den Koordinaten x~ - x, x2 - y und x3 - z. Mit den Geschwindigkeitskomponenten Ul - u , u2 - v und u3 - w lautet der LSsungsvektor U: P

p'ul U(xm,

t) -

p . u~

,

(2)

fl'U3 D" etot

der Vektor der konvektiven Fliisse Fro" p " Um p'ttm Fm

m

9 Ul -}- (~lm " P

p " U m 9 it2 + (~2m " p fl'Um

(3)

" it3 -}- 53m " p

ttm " (fl" etot -~- p )

und der Vektor der dissipativen Fliisse Gin: 0 Tlm gm

--

T2m

~

(4)

T3m Ul " Tlm -~ qm

1=1

b) Mit dem Stokesschen Reibungsansatz folgt aus den Erhaltungsgleichungen fiir Masse und Impuls (Gleichungen (1) - (4) fiir eine inkompressible Str5mung:

Oul Ou2 Ou3 o~-Z + ~ + ~ - 0

,

(5)

3 Grundgleichungender Str5mungsmechanik

250

0Ul P" " ~

0(Ul" Ul ) + P"

OX l

0(U2" ?-tl) .qL p .

"~--'~Xl - ~

0(U3" Ul )

OX 2

Jr_ p .

( 02 U 1 0 2 ~ U 1 0 2

OX 3

U,_.l

~-x2 + --~.~x2 + -O-~xZ - - 0

0U2

0(Ul" U2)

P" ---~ Jr- P"

+

o~ P" - - ~

OXl

0(U2" U2) + p"

Op

Ox2

(02u2

OXl

02u2

_Jr_p .

+-~x3 - #

OX2

( 02 u3

(6)

0(U3" U2) + p"

OX3

02 u2 "~

~ 5 - ~ - ' .-~x~ + - ~ + O(~l. ~) o(~. ~)

+ P"

,

-~x~ ] - ~

'

(7)

a(~. ~) + p"

02 u3

OX3

02 u3 )

-5~x~+ -5~x~+ -y~x~

-0.

(8)

Mit den K o o r d i n a t e n Xl = x, x2 = y u n d x3 - z u n d den Geschwindigkeitskomponenten Ul = u, u2 - v u n d u3 = w folgt unter Verwendung der Kontinuit/itsgleichung (5) aus den Gleichungen ( 5 ) - (8)"

Ou

Ou

o---i + ~ . ~ x

O___V_V_

Ov

Ou Ov Ow + =- + -o Ox oy Ou Ou _ + ~ . ~

Ov

+ ~ ~

(9)

10p

( oUu

+ ~ . Oz - --~ . Ox

Or_

ot ~ - ~ ~ x + ~ ~ + ~ O z o--( + ~ ~

.

+ ~

oi u

__1 . Op + u . (O v

-

p oy

o--; = - - ~

oi u )

(10)

~- . . k -~x~ + -~v~ + -5-Sz~ /

+

+

o v)

(11)

\Ox ~. ~

Oz + ~' \ Ox* + ~

+ ~

)

(12)

Die StrSmung ist eben: 0 02 Oy = Oy 2 - 0

,

v - O

,

(13)

stationfix: 0 =0 Ot

-

(14)

u n d sie ist in z-Richtung ausgebildet, d. h. die Geschwindigkeitskomponenten ~ndern sich in z-Richtung nicht" Ou . Oz Die und mit u(x

Ov . Oz

Ow . Oz

.

02u . Oz 2

02v . Oz 2

02w Oz 2

0

.

(15)

Bedingungen (13) - (15) in die Gleichung (9) eingesetzt ergibt Ou/Ox = 0 u = u(x). Hieraus folgt d u / d x = O. Eine Integration fiihrt auf u(x) = C der I n t e g r a t i o n s k o n s t a n t e n C. An den Wiinden gilt die Haftbedingung, d. h. = R) - u ( x = R + s) = 0. D a m i t ehiilt m a n fiir die u - K o m p o n e n t e der

251

3.6 Grundgleichungen in Erhaltungsform

Geschwindigkeit u ( x ) - O. Setzt man dieses Ergebnis und die Bedingungen (13) - (15) in die Gleichungen ( 1 0 ) - (12) ein fgllt die Gleichung (11) weg und es ergibt sich: 0 .... O--

10p

Ox

p 10p

(16)

' +

(17)

02w

Wegen den Bedingungen (13) und (15) ist die Geschwindigkeitskomponente w nur eine Punktionen von x. Mit der Bedingung (13) und der Gleichung (15) ist der Druck p nur eine Funktion von z. Damit k5nnen die entsprechenden partiellen Ableitungen durch die totalen Ableitungen ersetzt werden. Man erhglt aus Gleichung (17): d2w 1 = -. dx 2 #

dp dz

(18)

c) Da die kinematische Zghigkeit # konstant ist hgngt die linke Seite der Differentialgleichung nur von x und die rechte Seite nur von z ab. Es muss deshalb sowohl (d 9w/dx 2) - k o n s t , als auch d p / d z - k o n s t , gelten. Fiir den Druckgradienten ergibt sich mit der Druckdifferenz p ~ - pi" dp dz

p~ -- Pi L

-

(19)

Die zweimalige Integration der Gleichung (18) fiihrt auf die Gleichung: 1

w(x)

-- 2.#

Pa -- Pi

L

2

"x

A b b . 3 . 6 . 2 b Geschwindigkeitsverteilung w ( x )

-4- C 2 " x -4-

C3

,

(20)

252

3 Grundgleichungen der StrSmungsmechanik

mit den Integrationskonstanten C2 und C3. Mit der Haftbedingung an den festen W~nden und unter Verwendung des in Abbildung 3.6.2a dargestellten Koordinatensystems gelten die Randbedingungen w ( x = R) = w(t) und w ( x = R + s) = O. Eingesetzt in Gleichung (20) erh~lt man ffir die gesuchte Geschwindigkeitsverteilung:

W(X)-I ~1 PazPi

x x 9~ . (~ -1)+

.s2.X

~ . (x~ - l ) - w .

9

x ~ )fiir0
( l _ X~)f~r


In Abbildung 3.6.2b sind die Geschwindigkeitsverteilungen fiir die beiden Intervalle 0 < t < T / 2 und T / 2 < t < T skizziert.

253

4

Numerische LSsungsmethoden

4.1

4.1.1

Analytische Vorbereitung

Dimensionsanalyse

Aufgabe 4.1.1

KugelumstrSmung

Auf eine glatte Kugel des Durchmessers D, die mit der Geschwindigkeit U~ von einem inkompressiblen M e d i u m s a n g e s t r 6 m t wird, wirkt die W i d e r s t a n d s k r a f t W (siehe Abb. 4.1.1).

Abb. 4.1.1 KugelumstrSmung a) Es sollen alle geometrischen und physikalischen GrSgen, die einen Einfluss auf den W i d e r s t a n d W d e r station~iren K u g e l u m s t r S m u n g haben, aufgelistet und der funktionale Z u s a m m e n h a n g formuliert werden. b) Wie viele Basisdimensionen hat das P r o b l e m und welche Einflussgr6f~en werden ausgew~ihlt? c) A u f wie viele K e n n z a h l e n l~isst sich das P r o b l e m reduzieren? d) Wie lauten die dimensionslosen K e n n z a h l e n und der neue funktionale Z u s a m m e n h a n g ? Was ist mittels der R e c h n u n g erreicht worden? L6sung: gegeben:

KugelumstrSmung

gesucht: a) geometrische und physikalische Gr5t~en, b) Basisgr5t~en, c) Anzahl der Kennzahlen, d) Formeln der Kennzahlen a) Die folgenden Gr5t~en haben einen Einfluss auf die Widerstandskraft W: 1. Die Anstr5mgeschwindigkeit U~. 2. Der Durchmesser D der Kugel. 3. Die Dichte p des Mediums. 4. Die kinematische Ziihigkeit ~ des Mediums. Der funktionale Zusammenhang lautet also:

254

4 Numerische L S s u n g s m e t h o d e n

W-f(U~o,D,p,u)

(1)

b) Das Problem besitzt die drei Basisdimensionen Kraft, Liinge und Zeit. Zur Bestimmung der dimensionslosen Kennzahlen werden die folgenden BasisgrStien ausgew~thlt: U, D, p. c) Der funktionale Zusammenhang (1) beinhaltet die fiinf GrStien W, U~, D, p und u. Mit den drei BasisgrStien U, D und p kann das Problem auf zwei dimensionslose Kennzahlen ( 5 - 3 = 2) reduziert werden. d) Zur Bestimmung der Kennzahlen werden die Dimensionen der nach der Auswahl der BasisgrSt[en verbleibenden GrSt[en W und u mit dem nachfolgenden Exponentenansatz der Dimensionen der BasisgrStien ausgedriickt: [ W ] - [Uo~]~. [D] ~. [p]~

[.]-

,

9 [D]

9

(2)

.

Die in Gleichung (2) vorhandenen Dimensionen lassen sich mit der Dimension der Kraft F, der Liinge L und der Zeit T (kurz: mit F, L, T) ausdriicken: [W]-F 1.L ~

O ,

[ p ] - F 1. f - 4 . T 2

[Uo~]-F ~ ,

I ' T -1

,

[D]-F ~

1-T O ,

[u] - F ~ f 2. T -1

(3)

Die Dimensionen gemfiJ[ der Gleichungen (3) in die Gleichungen (2) eingesetzt, ergibt die beiden nachfolgenden Gleichungen: [W]-F 1.L ~ [u]-

F ~

~

~

~-T-1) ~.(F ~

L 2 - T - 1 -- ( F ~

L 1- T - 1 ) a .

1.T~ z.(F 1.L -4.T2) ~

(F o " L 1 " TO)Z. (F 1 " L-4.

T2)-y

,

(4) (5)

Mit einem Exponentenvergleich fiir Gleichung (4) und Gleichung (5) ergeben sich die folgenden beiden Gleichungssysteme jeweils mit den Unbekannten (~, 3 und 7: 1-+7 O-- o~ + ~ - 4 " 7 O-- -o~ +2-7

0 2 -

, , ,

--

-1

-

+7 (~ + ~ - 4 . 7 -a

+2

,

,

"7

9

Die L5sung des linken Gleichungssystems ergibt die L5sung a - 2, /~ - 2, 7 - 1, und die des rechten Gleichungssystems die LSsung a - 1, /~ = 1, 7 - 0. Mit den Gleichungen (2) ergeben sich also folgende dimensionslose Kennzahlen: 71-1 ---

W p - U ~ 9D 2

7r2 --

,

u Uo~ 9D

(6)

Die Multiplikation der Kennzahl 7rl mit der Zahl 2 und der Kehrwert der Kennzahl 7r2 ergeben die endgiiltigen (in der StrSmungsmechanik gel~iufigen) Kennzahlen. Cw--2"71"1-

r)

W . UL

.

D 2

,

/~ED-

1 71-2

--

Uoo 9D /2

9

(7)

4.1 AnalytischeVorbereitung

255

Folgendes ist erreicht worden" Das Problem der KugelumstrSmung ist von fiinf EinflussgrSi~en auf zwei Kennzahlen reduziert worden. Der einfache funktionale Zusammenhang ~w - f ( R ~ . )

(8)

kann mit einer Messreihe ermittelt werden. Aufgabe 4.1.2

ZylinderumstrSmung

I m Nachlaufgebiet eines a n g e s t r S m t e n g l a t t e n Zylinders (siehe Abb. 4.1.2) e n t s t e h t fiir b e s t i m m t e Reynolds-Zahlen eine periodische Wirbela n o r d n u n g , die durch wechselseitiges periodisches AblSsen der S t r S m u n g auf der Zylinderober- u n d - u n t e r s e i t e verursacht wird (K~rm&nsche Wirbelstra~e). In dieser Aufgabe sollen die K e n n z a h l e n b e s t i m m t werden~ die die Frequenz der a b g e h e n d e n W i r b e l b e s t i m m e n . LSsung: gegeben:

ZylinderumstrSmung gesucht: Kennzahlen fiir die Frequenz der WirbelablSsung

Die Frequenz f ist von folgenden GrSi~en abh~ngig: der AnstrSmgeschwindigkeit U~, des Zylinderdurchmessers D, der Dichte p und der kinematischen Z~higkeit u (vgl. Aufg. 4.1.1). Der funktionale Zusammenhang F lautet also:

f =F(U~,D,p,u)

(1)

Das Problem der fiinf GrSt~en kann mit den ausgew~hlten BasisgrSi~en U~, D und p auf zwei Kennzahlen reduziert werden. Dazu werden die Dimensionen der Frequenz f und der Z~higkeit u mit den Dimensionen der BasisgrSt~en mittels des folgenden Exponentenansatzes ausgedriickt: [ f ] - [U~] ~. [D] z- [p]"

,

[ u ] - [U~] ~ [D] z. [p]"

Abb. 4.1.2 Momentanbild der NachlaufstrSmung hinter dem Zylinder

(2)

256

4 Numerische L5sungsmethoden

Die E x p o n e n t e n der rechten Gleichung der Gleichungen (2) sind bereits in Aufgabe 4.1.1 e r m i t t e l t worden. Sie h a b e n folgende Werte: c~ - 1, /3 - 1, 7 - 0. Mit ihnen erh~lt m a n die Reynolds-Zahl als K e n n z a h l (siehe Aufg. 4.1.1). Es muss also noch die zweite K e n n z a h l e r m i t t e l t werden. Die E i n h e i t e n fiir die vier physikalischen GrStgen f , U ~ , D u n d p lauten:

[ f ] - F ~ L ~ T -1

[p]- f 1. L - a .

[Uoc] - F 0. L 1- T -1

[D] - F 0. L 1. T O

(3)

T2

Setzt m a n die D i m e n s i o n e n gemfis Gleichung (3) in die linke Gleichung der Gleichungen (2) ein, erhglt man: F ~ 9 n ~ 9T -1 -- ( F 0. n 1- T - 1 ) ~ . ( F ~ n 1- To)/3- ( F 1- L - 4 - T2) ~

.

(4)

Mit einem Exponentenvergleich ergibt sich das folgende Gleichungssystem: 0 -+7 , 0 a +/3-4. 7 , -

-1

-

--

-

~

+2"7

Das Gleichungssystem liefert als LSsung a -- 17/3 = - 1 u n d 7 - 0, so dass m a n m i t der linken Gleichung der Gleichungen (2) die folgende K e n n z a h l erh/ilt: 7r-f.

D U~

(5)

.

Die K e n n z a h l 7r entspricht der S t r o u h a l - Z a h l S t r . Der vereinfachte funktionale Zus a m m e n h a n g F lautet also: Sir - F(ReD)

Aufgabe 4.1.3

v

9 p,v

9

Schiffsmodell

V U

Fs

D u r c h g e e i g n e t e V e r s u c h e in ein e m M o d e l l k a n a l soil der S c h l e p p w i d e r s t a n d Fs e i n e s S c h i f f s k S r p e r s mit e i n e r v o r g e g e b e n e n G e o m e t r i e der c h a r a k t e r i s t i s c h e n L~inge 1 u n d d e s V e r d r ~ i n g u n g s v o l u m e n s V bestimmt werden (siehe Abb. 4.1.3).

A b b . 4 . 1 . 3 Schiffsmodell

W i e l a u t e n die d i m e n s i o n s l o s e n K e n n z a h l e n t i o n a l e Z u s a m m e n h a n g des P r o b l e m s ?

u n d der v e r e i n f a c h t e funk-

257

4.1 Analytische Vorbereitung

LSsung: gegeben: G e o m e t r i e des Schiffes gesueht: 7rl... 7r~, (~ Der Schleppwiderstand Fs ist abh~ngig yon der Schleppgeschwindigkeit U, der charakteristischen L~nge 1 des KSrpers, des Verdr~ngungsvolumens V, der Erdbeschleunigung g, der Dichte p der Fliissigkeit u n d der kinematischen Z~higkeit u, also: F~ = G ( U , 1, V,g,p,L,)

(1)

W/ihlt m a n als BasisgrSgen die GrSgen U, 1 und p aus, so lfisst sich mit ihnen u n d mit den folgenden Gleichungen das P r o b l e m auf vier dimensionslose K e n n z a h l e n reduzieren. Die Gleichungen lauten: [F~] = [U] ~. [1]9- [p]~ [g] = IV] ~ Ill ~ 9 [p]~

,

[ v ] = [ u ] ~ [1]~ [p]"

,

[.] = [u] ~ [l] 9 [p]~

, (2)

Die Dimensionen der GrSgen lauten:

[F~]=F 1.L ~ [V]=F ~

O ,

[U]=F ~

1 . T -~

3-T O ,

[g]=F ~

T -2

, ,

[/] = F ~ . L 1 . T O [P] = F 1 . L -4 . T 2

[.] = F ~ L 2 . T - 1

(3)

Die Dimensionen der GrSgen gem/ig der Gleichungen (3) in die Gleichungen (2) eingesetzt, ergibt: fs :

V:

F'. F ~

L~

O = (F ~

L 1 . w -1)~

L 3- T o = (F 0 " L ~ " T-1)c~

g:

F ~ f 1- T - 2 = ( F ~ f ~. T - l ) ~

//:

F ~ . L 2 . T -1 = (19.

L 1 . T-l)

(F 0 " L 1 . T O ) 2 . ( F 1 " L - 4 . T 2 ) - y

,

( F o " L 1 " TO);~. ( F 1 " L - 4 .

T2)-y

,

f 1 . T ~ ~ . ( F ~. f - 4 - 72) 7

,

(F ~

a . (F ~ . L 1 .

TO)~.( F 1 . L - 4

(4)

. T2)'Y

Mit einem Exponentenvergleich ergeben sich aus den Gleichungen (4) die folgenden Gleichungssysteme:

F" L: T:

FsV 7 =1 0 a +fl-4- 7= 0 3 -a +2" 7= 0 0

g u 0 0 1 2 -2-1

, , ,

Zur Darstellung der Gleichungssysteme: Die vierte Spalte von rechts (fiber dieser Spalte steht F~) entspricht der rechten Seite des Gleichungssystems, das aus dem Exponentenvergleich fiir der obersten Gleichung der Gleichungen (4) resultiert. Die dritte Spalte von rechts ist die rechte Seite des Gleichungssystems fiir die zweite

258

4

Numerische

LSsungsmethoden

oberste Gleichung der Gleichungen (4) usw. Die linken Seiten der vier resultierenden Gleichungssysteme sind jeweils gleich. Die L5sung des ersten Gleichungssystems liefert a - 2,/3 - 2 u n d y - 1. Mit der ersten Gleichung der Gleichungen (2) ergibt sich die folgende Kennzahl: 7l"1 ~---

Fs p . U 2 . 12

Die restlichen KenngrSf~en 7r2 . . . 7r4 e r m i t t e l n sich mit der gleichen Vorgehensweise. Sie lauten: V ~2 - ~

g ~3 - ~--~" 1

,

u 71-4 -- U . 1

,

(5)

Die K e n n z a h l e n k5nnen noch in die fiir die S t r S m u n g s m e c h a n i k iibliche F o r m u m geschrieben werden. Es gilt' Cw

Fs

=

2-71-1

,

Fr = 1

9U 2 9 12

~3

_

U2

,

g. l

Rez -

1

7~4

=

U.1

. (6)

/2

F r ist die Froude-Zahl, Rez ist die Reynolds-Zahl. Der vereinfachte funktionale Zus a m m e n h a n g lautet m i t den K e n n z a h l e n :

--V Cw - G ( i ~ , F r , Re~)

Aufgabe

4.1.4

(7)

Stof~- G r e n z s c h i c h t - W e c h s e l w i r k u n g

Auf einem Tragflfigelprofil~ das mit einer transsonischen UnterschallstrSm u n g d e r M a c h - Z a h l M ~ a n g e s t r S m t wird~ e n t s t e h t a u f d e r S a u g s e i t e ein lokales Uberschallgebiet~ das mit einem Verdichtungsstof~ stromabw~irts a b s c h l i e g t ( s i e h e A b b . 4 . 1 . 4 a ) . D e r V e r d i c h t u n g s s t o g interferiert

A b b . 4 . 1 . 4 a Transsonischer Tragflfigel

Abb.

4 . 1 . 4 b Stoi~-Grenzschicht-Wech-

selwirkung

4.1 Analytische Vorbereitung

259

mit der t u r b u l e n t e n G r e n z s c h i c h t und kann g e g e b e n e n f a l l s die A b l S s u n g der Grenzschicht bewirken. In dieser A u f g a b e sollen die d i m e n s i o n s l o s e n K e n n z a h l e n e r m i t t e l t werdens die die A b l S s u n g der G r e n z s c h i c h t b e s t i m m e n . N a c h e i n a n d e r soUen die folgenden T e i l a u f g a b e n gelSst werden: a) W i e l a u t e t in d i e s e m Fall ( z w e i d i m e n s i o n a l e S t r S m u n g ) das AblSsekriterium? b) Welche in A b b i l d u n g 4.1.4b e i n g e z e i c h n e t e n physikalischen G r S ~ e n bes t i m m e n das A b l S s e k r i t e r i u m ? ( U s - S t r S m u n g s g e s c h w i n d i g k e i t a m G r e n z s c h i c h t r a n d , as-Srtliche Schallgeschwindigkeit a m Grenzschichtrand~ R K r f i m m u n g s r a d i u s der Profilkontur~ 5 - Dicke der G r e n z s c h i c h t ) . c) Es sollen die d i m e n s i o n s l o s e n K e n n z a h l e n b e s t i m m t w e r d e n . W i e laut e t der neue f u n k t i o n a l e Z u s a m m e n h a n g ? LSsung: gegeben: Transsonische ProfilumstrSmung gesucht: a) AblSsekriterium, b) EinflussgrSt~en, c) dimensionslose Kennzahlen a) Das AblSsekriterium fiir eine zweidimensionale Grenzschicht lautet: du ~w-,-~lw-0

(1)

~-w ist die vom Fluid auf die Wand iibertragene Wandschubspannung. Ist sie an einer Stelle Null, so 18st sich die Grenzschicht an dieser Stelle (AblSsestelle) ab. b) Die Wandschubspannung hS~ngt von den in Abbildung 4.1.4b eingezeichneten GrS~en sowie yon der Z~higkeit und der Dichte ab:

~-w - ~(u~. ~ . ~. R . . . p) = o

(2)

ist die kinematische Z~higkeit und p ist die Dichte des strSmenden Mediums unmittelbar vor dem Verdichtungsstot~. c) Zur Bestimmung der dimensionslosen Kennzahlen kSnnen z.B. als neue Basis die Dimensionen der Geschwindigkeit Us, der Dichte p und der Grenzschichtdicke ausgew~hlt werden. Die Dimensionen der verbleibenden GrSi~en aa, ~ und R lassen sich dann wie folgt ausdriicken: [as]-[U~] ~- [d ~- [~]~ [ - ] - [u~] ~. [p]' [5] ~

,

[ R ] - [U~]~- [p]~. [~]~

,

(3)

Die einzelnen Dimensionen durch die Dimensionen der Kraft, der L~nge und der

4 Numerische L 5 s u n g s m e t h o d e n

260

Zeit ausgedriickt, ergeben: [a6] = F ~

L 1. T -1

[5] = F ~

f 1- T O

,

[[/6] -- F ~

,

L 1. T -1

[p] = F 1- f - 4 .

T2

,

[/~] -- F ~

L 1. T O

[~] = F ~ L 2- T -1

,

, (4)

Die Dimensionen gem~tt[ der Gleichungen (4) in die Gleichungen (3) eingesetzt, ergeben die folgenden Gleichungen:

F 0 "L 1 "T - 1

= ( F o " L 1 " T-1)c~

F o.L 1.T o=(F ~ F~

2.T -I=(F ~

(F 1 " L - 4 . T2)fl (F 0 " L 1 " TO)y

,

1.T-~)~.(F 1.L -4.T2)z.(F ~

1.T~

,

1.T -1)~.(F 1.L -4.T2)fi.(F ~

1.T~

.

(5)

Mit einem Exponentenvergleich fiir jede Gleichung der Gleichungen (5) ergeben sich die folgenden Gleichungssysteme: a6 R

F: L: T:

11

,

fl =0 0 0 a -4.fl+7= 1 1 2 -a+2.fl =-1 0-1

, ,

Das erste Gleichungssystem (Kennzahl bzgl. a6) ergibt fiir a, fl, 7 die LSsung a = 1, fl = 0 und 7 = 0. Die Kennzahl lautet also (siehe Gleichungen (3)): 711 =

a6

(6)

U~

Die noch zu bestimmenden Kennzahlen 7[2 und 7[3 ergeben sich mit der entsprechenden Rechnung: R

//

Die ermittelten Kennzahlen 711 und 7[3 kSnnen noch in die fiir die StrSmungsmechanik gel~tufigen Kennzahlen umgeschrieben werden: 1

U6

1

U6.5

711

a6

7[3

l,I

Der vereinfachte funktionale Zusammenhang lautet also: --

R

Re6 ) -

O

bzw.

R

M~ = G(X, R~6)

(8)

4.1 Analytische Vorbereitung 4.1.2

261

Linearisierung

A u f g a b e 4.1.5

Schallwelle im R o h r

In e i n e m l a n g e n h o r i z o n t a l e n R o h r , in d e m sich ein r u h e n d e s Gas befind e t , w i r d a n e i n e r b e l i e b i g e n a b e r f e s t e n Stelle eine schwache D r u c k s t S r u n g e r z e u g t . Die S t S r u n g b r e i t e t sich als Schallwelle im R o h r nach links u n d r e c h t s aus. U n t e r Vernachlfissigung von R e i b u n g s e i n f l f i s s e n wird die e i n d i m e n s i o n a l e S c h a l l a u s b r e i t u n g mit d e r n i c h t - l i n e a r e n Kontinuitfitsund Euler-Gleichung

ap a~ +

a(p. u) ax

ap :

au

ap

a---i + ~ ' -~z + ~ ' -~z - ~

p . - ~ + p . u . i) x

,

i) x

(1)

e x a k t b e s c h r i e b e n . Diese G l e i c h u n g e n sind allerdings zur B e r e c h n u n g d e r S c h a l l a u s b r e i t u n g zu a u f w e n d i g u n d sollen d e s h a l b linearisiert w e r d e n . D a z u wird d a v o n ausgegangen~ dass das u n g e s t S r t e r u h e n d e Gas die Zus t a n d s g r S g e n D i c h t e p0 u n d D r u c k p0 besitzt~ welche d u r c h kleine Dichteu n d D r u c l d i n d e r u n g e n p' u n d p' sowie d u r c h kleine Geschwindigkeits~ind e r u n g e n u ~ g e s t S r t w e r d e n . A u f g r u n d d e r als klein v o r a u s g e s e t z t e n StSr u n g e n v e r l a u f e n die Z u s t a n d s ~ i n d e r u n g e n , die das G a s erf'fihrt, i s e n t r o p . I m e i n z e l n e n sollen n a c h e i n a n d e r folgende T e i l a u f g a b e n gelSst w e r d e n : a) D e r S t S r a n s a t z soil f o r m u l i e r t w e r d e n . b) Es soil gezeigt werden~ dass ffir d e n D r u c k p - p ( p , s ) ~ w o b e i s die E n t r o p i e des Gases bezeichnet~ die f o l g e n d e B e z i e h u n g gilt: cOp/Op~

a~-[,

Op )~

~

~ -

20p ~

a~

(2)

( O p / i ) p ) s = a 2 ist die D e f i n i t i o n s g l e i c h u n g fiir die Schallgeschwindigkeit a.

c) D e r S t S r a n s a t z soil in die Kontinuit[its- u n d in die E u l e r - G l e i c h u n g eing e s e t z t w e r d e n . D a b e i soil O p / O x gemfif~ d e r G l e i c h u n g (2) e r s e t z t w e r d e n . W i e l a u t e n die v e r e i n f a c h t e n ( i m m e r noch e x a k t e n ) G l e i c h u n g e n ? d) Die S c h a l l g e s c h w i n d i g k e i t a ist eine t h e r m o d y n a m i s c h e ZustandsgrSge~ d a sie d u r c h zwei ZustandsgrSf~en z. B. a = a(p, s) festgelegt ist. Sie soil in eine g e e i g n e t e T a y l o r - R e i h e entwickelt w e r d e n . e) Die G l e i c h u n g e n sollen u n t e r B e r i i c k s i c h t i g u n g d e r in A u f g a b e n teil d) e n t w i c k e l t e n T a y l o r - R e i h e linearisiert w e r d e n . W i e l a u t e n die A k ust ik- G leichunge n ?

262

4 Numerische LSsungsmethoden

LSsung: gegeben: Kontinuit~ts- und Euler-Gleichung a) Das ungest5rte Gas besitzt die Dichte po, den Druck po und befindet sich in Ruhe. Das gestSrte Gas besitzt dann die GrSgen: p=po+p'

,

p=po+p'

,

u=O+u'=u'

.

(3)

b) Das vollst~hndige Differential fiir den Druck p = p(p, s) lautet: dp=

(_~p)

(Op).ds

Op s d p +

~

(4)

.

p

Da die Zustands~nderungen des Gases isentrop verlaufen, ist ds = 0. Es gilt:

Gleichung (5) l~ngs der Rohrachse (x-Richtung) angewendet, ergibt: 0x

t~) ~

= ~-a

"0x

"

(6)

c) Die Dichte p und die Geschwindigkeit u' g e m ~ Gleichungen (3) in die Kontinuit~tsgleichung eingesetzt, ergibt die folgende Gleichung: 0(po+p') +(po+p).

0u'

Ot

~

, 0(po+p') =0 + u .

(7)

Ox

Da po eine Konstante ist und sich deshalb zeitlich und riiumlich nicht ~ndert, vereinfacht sich die Gleichung (7) zur folgenden (immer noch exakten) Gleichung: Op'

Ou'

,

Ou'

u'

0--7- + po- b-Ux + p -b-7-~ +

Op'

9~

- 0

(s)

Die zweite Gleichung erh~lt man mit der gleichen Vorgehensweise. Wird in die EulerGleichung der StSransatz gem~t~ Gleichungen (3) sowie O p / O x gemi~ Gleichung (6) eingesetzt, ergibt sich die folgende Gleichung: 0~'

(po + P') " ~

+ (Po +

p,

, 0~'_

) " u 9 Ox -- - a

~ O(~o+p') 9

Ox

(9)

Mit O p o / O X = 0 erh~lt man die folgende Gleichung als Ergebnis dieser Teilaufgabe: Ou' p, On' , Ou' p, , Ou' 2 O p' po " ~ + . ~ + po . u . ~ + . u 9 i)x - - a 9 Ox

(10)

d) Die Schallgeschwindigkeit a ist durch zwei ZustandsgrSt~en festgelegt, z. B. durch a = a(p, s). Da die Zustands~nderungen des Gases isentrop verlaufen sollen, also

4.1 Analytische Vorbereitung

263

mit s = konst., gilt: a = a(p). Entwickelt man ausgehend vom Punkt (po,ao) das Quadrat a 2 der Schallgeschwindigkeit in eine Taylor-Reihe, dann lautet diese: a -a~+

-~p

-(p-po)+ ....

a~+

-~p

+...

(11)

e) Zun~chst wird die Gleichung (8) betrachtet. Da die Gr5t~en p' und u' sowie ihre Ableitungen O p ' / O x und p a r t i a l u ' / c g x sehr klein sind, gilt fiir die Produkte

Ou'

,

P " Ox

,

'

O p'

U " Ox

dass sie extrem klein und daher in Gleichung (8) vernachl~ssigt werden kSnnen. Die erste Akustik-Gleichung lautet also: Op'

Ou'

0--~ + P~ " -0--x-x- 0

(12)

Die zweite Akustik-Gleichung erh~lt man durch Einsetzen von a 2 gem~t~ der Gleichung (11)in Gleichung (10). Man erh~lt: Ou' P o " --~

, -k P

Ou' " --~

u' -k p o "

Ou' " -~x

p' +

u' "

"

Ou' Ox

--5--/)./+ ) %'

--(a~+(

Oa2

9

.

.

(13)

9

Die Produkte

, 0~' P"

Ot

, 0~' '

po'u

9 Ox

/., ~

0~' " Ox

(0a ~ ) . / '

\ Op

%' " Ox

sind extrem klein und kSnnen in Gleichung (13) vernachl~ssigt werden. Die zweite Akustik-Gleichung lautet dann: 9

i)u'

~

-0

(14)

Die Gleichungen (12) und (14) entsprechen zwei linearen partiellen Differentialgleichungen 1. Ordnung fiir die St5rgr5t~en u' und p'. Sie gelten fiir die eindimensionale Ausbreitung kleiner StSrungen und k5nnen analytisch gelSst werden. Aufgabe 4.1.6

Schlankes Tragfliigelprofil

Ein Tragfliigel mit schlankem Tragfliigelprofil stSrt die u n g e s t S r t e Ans t r S m u n g einer reibungsfreien~ k o m p r e s s i b l e n S t r S m u n g (siehe Abb. 4.1.6). Die A n s t r S m u n g des Profils ist parallel zur x-Achse des K o o r d i n a t e n s y s t e m s u n d hat die Geschwindigkeit U~. An einer beliebigen Stelle

264

4 Numerische LSsungsmethoden

1 a m G r e n z s c h i c h t r a n d b e s i t z e die S t r i i m u n g d e n G e s c h w i n d i g k e i t s v e k t o r v - ((Uo~ + u'), v ', w'). D a b e i b e z e i c h n e n u', v' u n d w' die d u r c h d a s Profil v e r u r s a c h t e n S t S r g e s c h w i n d i g k e i t e n in x-, y- u n d z - R i c h t u n g . In d i e s e r A u f g a b e soil d e r l i n e a r i s i e r t e D r u c k b e i w e r t in Abh~ingigkeit d e r S t S r g r S g e n u n d d e r A n s t r S m g e s c h w i n d i g k e i t Uo~ e r m i t t e l t w e r d e n . D a z u soll~ wie n a c h f o l g e n d skizziert~ v o r g e g a n g e n w e r d e n . a) Es soil g e z e i g t werden~ d a s s fiir d e n D r u c k b e i w e r t Cp f o l g e n d e s gilt: %-

1 ~ p~

us

-

~ Ms

9

- 1

(1)

ist d e r I s e n t r o p e n e x p o n e n t des G a s e s u n d M ~ s t e h t fiir die M a c h - Z a h l der ungestSrten AnstrSmung. b) M i t d e r B e r n o u l l i - G l e i c h u n g fiir i s e n t r o p e Z u s t a n d s / i n d e r u n g e n soil g e z e i g t werden~ dass fiir das b e t r a c h t e t e S t r S m u n g s f e l d f o l g e n d e s gilt: T Too

--1+

g-

1 2

U~ - U 2 a~

(2)

Alle G r S g e n m i t I n d e x cr b e z i e h e n sich a u f die ungest~irte A n s t r ~ i m u n g . G r S g e n o h n e d i e s e n I n d e x sind e i n e m b e l i e b i g e n P u n k t i m S t r S m u n g s f e l d z u g e o r d n e t . T b e z e i c h n e t die T e m p e r a t u r u n d a s t e h t fiir die 8 r t l i c h e Schallgeschwindigkeit. c) W i e l a u t e t das Verh~iltnis p/p~ in Abh~ingigkeit d e r (kleinen) StSrg r S g e n u n d d e r Z u s t r S m g e s c h w i n d i g k e i t ? D i e F o r m e l fiir p/p~ soil d u r c h A n w e n d u n g d e r b i n o m i s c h e n R e i h e (1 - x) n = 1 - n . x . . . ( G l i e d e r h S h e r e r O r d n u n g w e r d e n vernachl~issigt) v e r e i n f a c h t w e r d e n . d) D e r v e r e i n f a c h t e A u s d r u c k fiir p/p~ soil in G l e i c h u n g (1) e i n g e s e t z t w e r d e n . M i t t e l s e i n e r L i n e a r i s i e r u n g ist d e r l i n e a r i s i e r t e D r u c k b e i w e r t anzugeben.

A b b . 4.1.6 Tragflfigel in k0mpressibler StrSmung

4.1 Analytische Vorbereitung

265

LSsung:

a) Durch Erweiterung des Nenners der Definitionsgleichung (1) erh/ilt man fiir cp folgendes" P

p~

-

p

% = 1

~ p ~ v~

-

po~

-

89

p

_

~,T2

~

-

~1 , ~

-

p~ a 2

.

M~

(3)

a~r

Fiir die Schallgeschwindigkeit eines idealen Gases gilt a 2 - n . p / p . Mit der Anwendung dieser Gleichung auf am 2 im Nenner der rechten Seite der Gleichung (3) erhglt man"

cp = 1

pc~ . M ~ g-s

2.p~.~.

n. ~/~

- 1

(4)

b) Die Bernoulli-Gleichung fiir isentrope Zustands/inderungen entlang einer Stromlinie von der ungestSrten AnstrSmung bis zu einer beliebigen Stelle im StrSmungsfeld angewendet ergibt: U2

2

t

~c-1 l+n-1

U~-U

2

a2 =

2

U2 t

( )2

~c-1

2

2

a

~

~

(5)

Ersetzt man in Gleichung (5) auf der rechten Seite die Schallgeschwindigkeiten a und a ~ durch a - v/n 9R . T bzw. durch a ~ - v/~ 9R . T ~ mit R als spezifischer Gaskonstante, so ergibt sich die in der Aufgabenstellung erw/ihnte Gleichung (2)" T ~-1 T~- = ~ + 2

U~-U ~

2 (6)

c) Da die Zustands/inderungen des Gases in der StrSmung isentrop verlaufen, ist die folgende Isentropengleichung giiltig. Sie lautet:

p~

-

(7)

Mit ihr und Gleichung (6) erh/ilt man die folgende (immer noch exakte) Gleichung fiir das Verhgltnis p / p ~ "

P -

1+

~

-

1

2U L

---

U2)

(8)

266

4 Numerische L5sungsmethoden

Die Geschwindigkeit U setzt sich gem~t~ der Formel U 2 = (U~ + u') 2 + v '2 + w '2 aus der Geschwindigkeit der Anstr5mung und den St5rgeschwindigkeiten zusammen. U 2 gem~it~ der genannten Formel in (8) eingesetzt, ergibt: P p~

(2. u' .v~+ u '2 +

-(1-~-1 ~ . ~

V t2

Wt2)) ~ 1

+

.

(9)

Mit der Mach-Zahl M ~ = U~/a~ lautet Gleichung (9): P p~ -

1_ ~;-1 2

2 M~.

2-~-~- +

u

+

U~

+

(10)

Die Verh~ltnisse u'/U~, v'/U~ und w'/U~ sind kleine Gr5t~en. Mit der angegebenen binomischen Reihe kann unter Vernachl~ssigung der Glieder hSherer Ordnung die Gleichung (9) wie folgt vereinfacht werden: p = 1 _ ~ ~ . M o o2 . P~

2-~--~ + u

+ U~ +

+""

(11)

d) p/p~ gem~ig der Gleichung (11) in die Gleichung (4) eingesetzt, ergibt: Cp-

~--

2

[1 -~ ~9M(~ . ~ 2.'

2 b--~+

+

u

2v2 2) +

+

uL

uL

+ ....

1

] (12)

Die Verh~ltnisse u'/U~, v'/U~ und w'/U~ sind kleine GrSf~en, da das Tragfliigelprofil schlank ist. Die Gr5i~en (u'/U~) 2, (v'/U~) 2 und (w'/U~) 2 sind dann so klein, dass sie in der Gleichung (12) vernachl~ssigt werden k5nnen. Die Formel fiir den linearisierten Druckbeiwert lautet also: It t

cp--2.

U~

.

StrSmungsmechanik Software zum Kapitel 'Linearisierung' ist im Anhang 5.2 beschrieben.

4.1 Analytische Vorbereitung A u f g a b e 4.1.7

267

B~nard-Konvektion

Beim B 6 n a r d - P r o b l e m wird eine h o r i z o n t a l e Flfissigkeitsschicht y o n u n t e n b e h e i z t u n d y o n o b e n gekfihlt. W i r d die E r w ~ i r m u n g hinr e i c h e n d l a n g s a m e i n g e s t e l l t ergibt sich e i n e l i n e a r e T e m p e r a t u r v e r t e i l u n g fiber d e r SchichthShe ( G r u n d z u s t a n d ) . B e i m Llberschreiten einer kritischen Temper a t u r d i f f e r e n z s e t z t K o n v e k t i o n in F o r m v o n K o n v e k t i o n s r o l l e n ein, d. h. d e r station~ire G r u n d z u s t a n d w i r d instabil, d. h. g e s t S r t .

A b b . 4.1.7 B~nard-Konvektion

Die P h y s i k des b e s c h r i e b e n e n V o r g a n g s w i r d d u r c h die B o u s s i n e s q Gleichungen (einer Vereinfachung der Navier-Stokes-Gleichung und der Energiegleichung) beschrieben. Das vereinfachte S y s t e m der Grundgleic h u n g e n ffir M a s s e , I m p u l s u n d E n e r g i e l a u t e t :

po.

Vv-0

(0v

-07 + ( v v ) v

)

,

(1)

--vri+~.zxv+g.~o.9.e.~z

00 w o-T + (v. v ) e - (To - T1). g - a - ~ x e

(3)

(0/

Hierin bedeuten:

V--

V

,

(2)

ez--

0

w l-[(X, y , Z,/;) = p -- P s t a t i o n ~ i r (Z)

,

1 =

p

--

Ps

,

O(x, y, z, t) = O - O,t~tiona~(z) = T - T~ P0 - k o n s t . , # - k o n s t . , die E r d b e s c h l e u n i g u n g g k o n s t . , die T e m peraturleitffihigkeit a - konst, und der Volumenausdehnungskoeffizient /3 = k o n s t . . Die U n t e r s u c h u n g d e r StabilitRt des s t a t i o n R r e n W ~ i r m e l e i t z u s t a n d e s k a n n n a c h d e r M e t h o d e d e r k l e i n e n S t S r u n g e n , die z u r L i n e a r i s i e r u n g des o b i g e n G l e i c h u n g s s y s t e m s ffihrt, d u r c h g e f f i h r t w e r d e n .

268

4 Numerische LSsungsmethoden

M a n linearisiere das v o r g e g e b e n e G l e i c h u n g s s y s t e m ffir Masse, I m p u l s u n d Energie. D e r S t S r a n s a t z l a u t e t mit v - 0: T = Tstatio.ar + O' = Ts + O' p =

Pstation~ir -~- H

I =

ps +

II'

==>

(9' = O

==:>

n'=n

,

(4)

,

(5) (6)

v'=v

V - - Vstation~ir -~- V' --- Vs Jr- V'

Die S t S r g r S g e n sowie d e r e n A b l e i t u n g e n w e r d e n als sehr klein aufgefasst. a) M a n f o r m u l i e r e das S y s t e m d e r G r u n d g l e i c h u n g e n ffir M a s s e , I m p u l s u n d E n e r g i e in k a r t e s i s c h e n K o o r d i n a t e n u n d l i n e a r i s i e r e n Sie es bzgl. d e r S t S r g r S g e n O', II', u', v' u n d w'. b) M a n s c h r e i b e die S t S r g l e i c h u n g in V e k t o r f o r m . LSsung: g e g e b e n : Erhaltungsgleichungen des B6nard-Problems gesucht: a) linearisierte Grundgleichungen, b) St5rgleichung in Vektorform a) Die Erhaltungsgleichungen (1) - (3) in kartesischen Koordinaten lauten: Ou Ov 0--7 + G

,o.

Ow

+ -5-; - o

(7)

,

= Ono~+ t* k(~ ~Ox+ ~ ~~~~ + ~~~ ) (0~ O~ Ov Ov)

(8)

an +~" ( o ~ ~-7, ~ -~7 ~ 00~~ ) % \ a ~ +~,~, +~,~

(9)

b7 +,~. a-; +,,. N +w. ~

po.-O-i- +~- ~ +~. G + ~ . N

= Oz+,,. 00

0--7-

00

-]- '//, 9 ~

00

--]--V ' ~ L

=a"

-hTx~+-aT-~y~+-57z~ +g.po.9.o 00

-Jr- W ' ~

-- (To -- T 1 ) .

/

~;~-~+ -g-jy~+ -gT~

,

(10)

w

h (11)

Der StSransatz (4)- (6) wird jetzt in die Erhaltungsgleichungen (7)- (11) eingesetzt.

4.1 Analytische Vorbereitung

269

Man erhglt: Ou'

Or'

Ow'

0-7 + ~

+~

-o

(12)

,

(o~' o~' o~' o~') po . - ~ + ~' . -~x + ~' . -~v + ~' . - & 01I' o, + ~

=

/ 02 u' 02 u' [,-~+~v~+-~

02 u' "~ ~ ]"

(13)

po . - j + ~' . -s + ~' . -~y + ~' . - ~ On'oy

( ~ ~' ~ ~' ~ ~' ) +# -~+~+-~z~ (Ow' o~' ow' o~') po . -ji- + ~' . --~ + ~' . -~y + ~' . --& -

OIl' O~ + ' "

= Oe'

0--7- + ~

,

( 0 2w' 0 2w' 0 2w' ~+~7+~J+g'P~

, Oe'

Oe'

(14)

z Oez

(15)

( T o - T1)-to' h

" -bTx + v " -0-y-y+ w 9 Oz (020' 02e' 02e ') ='~ -a--Z~+ ~ - y~ + 0~*

(16)

Da die StSrgrSflen und ihre Ableitungen sehr klein sind, kSnnen die Produkte solcher Gr5gen gegeniiber den anderen Termen vernachlgssigt werden. Es gilt" , u

Ou' . Ox

,

Ou'

= v . Oy

Ow'

=v

, -

w

Ou' . Oz

Ow'

, -

Or'

,

u . --~x -

00'

Ov'

,

V . Oy -

0(3'

' " Oy = w ' 9 Oz = u ' 9 Ox = v ' " Oy

w

00'

=w

' 9 Oz

Or' . -~z

, Ow' -- u . O x

=0

(17)

Die Gleichung (17) in die Gleichungen (12) - (16) eingesetzt ergibt als Ergebnis: Ou'

Or'

0-7 + ~ ot

-

Or' P~

ot

00' Ot

Ot

02

u'

02

- - -O+x ~ . - ~ + - g ~ y ~ + - g ~ 02v'

OH' =

Oy

-

- ~ Oz +#.

Ow' po"

(18)

OII'

Ou' P~

Ow'

+ -~z - o

u'

02

02v'

u' )

(19)

02v ' )

(20)

~.-07~+5-~y~+-~ 02 w' 02 w' 02 w' ) ~+~-y~ +-gj~ +g.po.~.o'

OH'

w' ( To - r~ ) " T

( 020' -

a

-yT.~

020 ~

020' + ~7

+

Oz 2 )

(21)

(22)

270

4 Numerische LSsungsmethoden

b) Die Gleichungen (18)- (22) in Vektorform lauten: ~Tv' = 0 COv' t

P~

4.1.3

, -VII'+#

Av'+g

po ~ (9'

CO(.~t

Wt

cot

(To - T~ ) . --ff - a . AO'

Stabilit~itsanalyse

Aufgabe 4.1.8

Stabilit~itsdiagramm

Zur Klfirung der Frage nach Stabilitfit o d e r Instabilitfit eines g e g e b e n e n stationfiren i n k o m p r e s s i b l e n G r u n d g e s c h w i n d i g k e i t s p r o f i l s Uo(z) w e r d e n die StSrungsdifferentialgleichungen benStigt, die sich mit Hilfe des folgenden S t S r u n g s a n s a t z e s aus den N a v i e r - S t o k e s - G l e i c h u n g e n ableiten lassen: = U o ( z ) + ~'

,

~ = ~'

,

(1)

p = po + p'

D u r c h E i n s e t z e n der Ansfitze (1) in die N a v i e r - S t o k e s - G l e i c h u n g e n und anschliegende Linearisierung erh~ilt m a n die linearisierten StSrungsdifferentialgleichungen zur E r m i t t l u n g der S t S r u n g s g r S g e n u', w' und p'. Sie lauten: COUl

COWI

Ox + -~z

- ~

(2)

'

COu' COu' dUo_ 10p' (02u ' CO2u"~ O---t + U~ " ~ + w' " dz - - p " COx + u. \ ~ + ~ ] COw'

COw'

1

COp'

( CO2w,

o--i- + Uo . o--7 = - - ~ " o - 7 + ~ ' \ ~

(92w, "~ +

)

(3) (4)

Die S t S r u n g s g r S g e n u' , w ' und p' w e r d e n mit Hilfe des W e l l e n a n s a t z e s modelliert: U ' (X~ Z , t ) - - ~ ( z ) 9 i ( a ~ - ~ )

p'(x,z,t)=~(z)

.e i'(a'x-w't)

,

W ' (X~ Z~ t ) - - ~LU(Z)" e i ' ( a ' x - w ' t )

(5)

In G l e i c h u n g (5) b e d e u t e n i die imagin~ire E i n h e i t mit i 2 = - 1 , a die k o m p l e x e W e l l e n z a h l und w die k o m p l e x e K r e i s f r e q u e n z . a) M a n s e t z e d e n W e l l e n a n s a t z aus G l e i c h u n g (5) in die G l e i c h u n g e n ( 2 ) (4) ein und e r m i t t l e ein D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g s s y s t e m ffir die U n b e k a n n t e n ~, @ und/5.

271

4.1 Analytische Vorbereitung

b) M a n iiberfiihre die drei in T e i l a u f g a b e a) e r h a l t e n e n Differentialgleic h u n g e n zur B e s t i m m u n g der u n b e k a n n t e n W e l l e n a m p l i t u d e n ~, ~ und i5 in e i n e e i n z i g e G l e i c h u n g zur B e s t i m m u n g v o n ~. U m w e l c h e n Gleic h u n g s t y p h a n d e l t es sich d a b e i ? LSsung: a) Zun~chst werden s~mtliche partiellen Ableitungen ermittelt, die in den Gleichungen (2) - (4) ben5tigt werden. Man erh~lt im Einzelnen: COt

=- i. a-~2(z) 9 e i'( . . . . to.t)

Ou' = - i . '

Ox

cO. ~ t ( z ) 9 e i ' ( a ' x - ~ ' t )

cOt

CO2 U t

Ox 2 CO2u'

--a --~

Oz 2 Ow ~

2

.~(z)-e

d 2~

"e

i.(a.x-~v.t)

i.(a.x--w..t)

OW t

dz 2

'

= -i.

(6)

,

co- ~D(z)- e i'( . . . . . .

---

d(v

Oz t)

"e

i.(a.x--w.t)

dz

'

(7)

,

Ot Ow' Ox 02w' Oz 2

= i . a . ~ v ( z ) 9 e i'(~x-"~t) d 2(v

02w ' Ox 2 -- -a2

,

. ~fl)(Z) " e i ' ( a ' x - - w ' t )

,

i.(a.x-w.t)

= dz 2 9 e

Op' = i . a . ~(z) Ox

,

(8)

. e i'(a'x-w't)

Op t Oz

'

dl5 i.( . . . . . . = dz'e

t)

(9)

Die Kontinuitgtsgleichung (2) lautet somit" i . a . ~t ( z ) 9 e i ' ( a ' x - w ' t

) §

d~v

--d-ffz " e

i.(a.x--co.t)

(10)

--- 0

Aufgrund der Nullstellenfreiheit der e - F u n k t i o n lgsst sich der Faktor e i ' ( a z - ~ ~ in Gleichung (10) herauskiirzen. Durch eine Multiplikation der Gleichung mit dem Faktor i erhglt m a n schlieifilich:

92 d~ 1 .a./t+i.-d-~z -0

===>

d~ -a-/t+i.-d~z -0

~

a.g-i,

dzb dz

. (11)

Durch Einsetzen der Ableitungen aus den Gleichungen (6) - (9) in Gleichung (3) erh~lt m a n nach Kiirzen der e-Funktion: - i 9co 9~t + Uo 9 i 9a . ~t + ~b 9

duo dz

__l.p i . a . i b + u .

- a 2 . ~ + ~ z d2u~ 2j

(12)

Eine Multiplikation von Gleichung (12) mit dem Faktor - i fiihrt auf: (a. U o - c O ) - ~ - i . ~ z adU~ " ~ . . . . 1 a - l b + i . u P

( a 2 .~2

d2g'2~dz /.

(13)

272

4 NumerischeL5sungsmethoden

Ein vSllig analoges Vorgehen durch Einsetzen der Ableitungen aus den Gleichungen (6)- (9) in Gleichung (4) liefert nach nach Kiirzen der e-Funktion: -i.a~.@+Uo.i.a.~--1-d/5 t-up dz

-a 2-~+~

(14)

Durch Multiplikation yon Gleichung (14) mit dem Paktor - i folgt schlieglich: 1 dis ( p ' d z + i ' u " \ a 2.@

(a. U o - a ; ) . ~ - i .

d2@~ dz 2 j

.

(15)

b) In einem ersten Schritt wird die Variable ~ eliminiert, indem Gleichung (11) nach aufgelSst und in Gleichung (13) eingesetzt wird. Man erh~ilt: -dz

a. @- ~

P

" dz

dz a

(16)

In einem weiteren Schritt ist der Druckterm i5 zu eliminieren. Dazu wird Gleichung (16) zun~ichst nach z differenziert, so dass folgt: [ i.

62@ (a. Uo-~).-d~-z2

d2Uol _ -a2 dz 2 p

-a.@.

el5 dz

( u-

d2 64) a 2- dz2@ dz4@

(17)

Anschliei~end wird Gleichung (15) mit dem Faktor ( - i . a 2) multipliziert und zu Gleichung (17) hinzu addiert, so dass der Druckgradient verschwindet. Nach einer zus~itzlichen Erweiterung mit der imagin~iren Einheit i erh~ilt man schliei~lich: (a. Uo - a ; ) - d2@

-~z2 +

a2.w-a

3

.Uo-a.

( d4@ +i.u--d-~z4-2.a

Uo

dz 2

9~b

2 d2w a4 ) .-d--~z2+ .@-0

.

(18)

Zur Identifikation des Typs von Gleichung (18) ist es vorteilhaft, zur Operatorenschreibweise (z. B. d2@,/dz2 ~ (d2/dz2)@) iiberzugehen. Nach weiterer Zusammenfassung folgt aus Gleichung (18): [

( a . Uo - a; ) .

( d 2 )

-~-~z~ - a 2

d2U~

( -d~z2 d 2 2 )] - 2a

@-0

.

(19)

Bei Gleichung (19) handelt es sich um ein Eigenwertproblem, wenn aui~er der unbekannten Wellenamplitude @ noch ein weiterer Parameter unbekannt ist, z. B. ~. Sind aui~er der Unbekannten @ alle anderen Parameter bekannt, so ist Gleichung (19) eine gew5hnliche Differentialgleichung vierter Ordnung. Gleichung (19) in dimensionsloser Form angeschrieben lautet unter Beibehaltung der bisherigen Bezeichnungen fiir die einzelnen physikalischen GrSi~en:

4.1

273

Analytische Vorbereitung

(a . Uo - ~ ) .

~

- a2

- a . dz 2

+ i . ~ - ~ ed .

~z-j2-a 2

@-0

(20)

Sie trggt den Namen Orr-Sommerfeld-Gleichung. Im Falle eines zeitlichen Stabilitgtseigenwertproblems sind in Gleichung (20) die GrundstrSmung U0(z), die Reynolds-Zahl _Red = U ~ . d / u und die Wellenzahl a vorzugeben. Als Ergebnis des Eigenwertproblems erhglt man komplexe Eigenwerte cv = cvr + i. cvi und komplexe Eigenfunktionen @. Die LSsungen des Eigenwertproblems werden in Form von Stabilitgtsdiagrammen dargestellt, die erstellt werden, indem die Wellenzahl a fiber der Reynolds-Zahl Red aufgetragen wird. Fiir ein jeweils gegebenes Wertepaar ( R e d , a) wird die Nullstelle des Imagingrteils cvi = 0 des komplexen Eigenwertes cv im Diagramm eingetragen. Die sich ergebende Neutral- oder Indifferenzkurve mit 0-)i --- 0 trennt die stabilen von den instabilen StSrungen (siehe Abb. 4.1.8). Im Gebiet innerhalb der Indifferenzkurve gilt O2i > 0, w a s Instabilitgt bedeutet. Im Bereich augerhalb der Indifferenzkurve nimmt cvi negative Werte an und die zu untersuchende GrundstrSmung ist somit bei der betrachteten Reynolds-Zahl stabil gegenfiber aufgebrachten StSrungen mit der links an der Ordinate abzulesenden Wellenzahl. StrSmungsmechanik Software zum Kapitel 'Stabilitgtsanalyse' ist im Anhang 5.2 beschrieben.

stabil akrit

Rekrit

Re d

A b b . 4.1.8 Stabilitgtsdiagramm

4.1.4

Strukturanalyse

Aufgabe 4.1.9

SenkenstrSmung

Fiir ein zweidimensionales StrSmungsfeld gilt folgende Differentialgleichung: dy

dx

=

x+y

x

(1)

a) Man bestimme das charakteristische Polynom der Differentialgleichung.

4 Numerische LSsungsmethoden

274

b) U m w e l c h e A r t v o n Singularit~it h a n d e l t es sich? c) W i e l a u t e t die G l e i c h u n g fiir die I n t e g r a l k u r v e n s c h a r ? d) M a n skizziere die I n t e g r a l k u r v e n s c h a r . LSsung:

g e g e b e n : obige Differentialgleichung gesucht:

a) charakteristisches Polynom, b) Art der Singularit~t, c) y = f(x), d) Skizze y - f(x)

a) Fiir Stromlinien gilt die Beziehung d y / d x = v/u. Gleichung (1) l ~ s t sich mit den Gleichungen v = x + y und u = x darstellen. Daraus ergibt sich:

v

-

~

-

9

1

~

y

(10)

A-

11

'

(2)

mit der Matrix A. Das charakteristische Polynom bestimmt sich aus der Gleichung det[A - A-/] : 0, wobei I die Einheitsmatrix ist. Man erh~lt als charakteristisches Polynom: (1 - A ) - ( 1

-

A) -

1.0

= 0

==~

)~2 _ 2A + 1 = 0

(3)

b) Die Nullstellen des Polynoms sind ,~1 --- ~ 2 : 1. Beide Nullstellen sind reell und haben gleiches Vorzeichen. Es handelt sich um einen Knotenpunkt. c) Auf die Differentialgleichung l~sst sich die folgende Integrationsregel fiir Differentialgleichungen 1. Ordnung anwenden: y' + P(x) -y = Q(x)

,

1 x

P(x) =

,

Q(x) = 1

(4)

Die L5sung der Differentialgleichung berechnet sich dann mit der Gleichung

y - e- f Pdx

( f Q . ef P dX . dx + C )

,

(5)

mit der Integrationskonstanten C. Gleichung (4) in (5) eingesetzt fiihrt zu:

(l /1/dx dx+) y--e y-x.

in x, 9 ( / (

/

e-

ln lx, . d x + C )

1 ) -.dx+C

,

x

y=x.lnlxl+C.x

,

.

(6)

4.1 Analytische V0rbereitung

275

d)

Abb. 4.1.9 Kurvenschar der Integralkurven (6)

A u f g a b e 4.1.10

Deltafliigel N e b e n den klassischen Fliigeln fiir die zivile L u f t f a h r t existiert fiir den Uberschallflug noch eine weitere Form der Fliigelgeometrie, der Deltafliigel (siehe Abb. 4.1.10a).

Abb. 4.1.10a Deltafliigel mit Wirbel

a) M a n skizziere einen Deltafliigel im Q u e r s c h n i t t und zeichne die S t r S m u n g s s t r u k t u r ein. M a n bezeichne alle singul~iren P u n k t e und erl~iutere d e r e n B e d e u t u n g .

b) M a n begriinde, w a r u m ein Deltafliigel fliegt. LSsung: gegeben: Umstr6mung eines Deltafliigels gesucht: a) Str6mungsstruktur mit singul~en Punkten, b) Begriindung warum Deltafliigel fliegt. a) In Abbildung 4.1.10b ist die Str6mungsstruktur um einen Deltafliigel dargestellt. Man erkennt die zwei Foki F der PrimSxwirbel, die vier Halbsattel S' der Staulinien und Abl6selinien an den Vorderkanten des Deltafliigels sowie einen Sattelpunkt S im

276

4 NumerischeLSsungsmethoden

Abb. 4.1.10b Struktur um einen Deltafliigel StrSmungsfeld. Die StrSmungsstruktur im Bereich der Sekund~rwirbel ist ebenfalls skizziert. Es soll hier aber nicht n~her darauf eingegangen werden. b) Aufgrund der Wirbelbildung auf der Oberfl~che des Deltaflfigels entsteht eine Verringerung des statischen Drucks und damit eine Sogwirkung wie beim klassischen Unterschallfliigel. Das Flugzeug fliegt. Aufgabe 4.1.11

Kraft fahrzeugumstr~imung

Abb. 4.1.11a AngestrSmtes Kraftfahrzeug

Ein Kraftfahrzeug wird mit der Geschwindigkeit U~ angestrSmt (siehe Abb. 4.1.11a). Man zeichne die Struktur der KraftfahrzeugumstrSmung im Mittelschnitt und trage die singul~iren Punkte in die Skizze ein. Mit Hilfe der Goldstein-Regel iiberpriife man die Topologie der StrSmung. LSsung: gegeben: KraftfahrzeugumstrSmung gesucht: StrSmungsstruktur, singul~en Punkte In Abbildung 4.1.11b ist die StrSmungsstruktur mit den singul~en Punkten skiz-

4.1 Analytische Vorbereitung

277

Uoo

S' A b b . 4.1.11b Topologie der Kraftfahrzeugumstr5mung im Mittelschnitt ziert. An der Vorderfront des Fahrzeugs entsteht durch den Staupunkt ein Halbsattel S'. Am Heck des Kraftfahrzeugs entstehen durch den Nachlauf drei Halbsattel S' (AblSselinien und Staupunkt). Der Nachlauf besteht im Mittelschnitt aus zwei Nachlaufwirbeln die gegensinnig drehen. Dadurch bilden sich zwei Foki F. Durch die beiden Wirbel entsteht im Nachlauf noch ein freier Staupunkt S (Sattelpunkt). Nach der Goldstein-Regel gilt: 1

Zs')

---1

Dabei bedeutet K einen Knotenpunkt bzw. Fokus, K' einen Halbknoten bzw. Halbfokus, S einen Sattelpunkt und S' einen Halbsattel. Setzt man die entsprechenden singul~ren Punkte der Abbildung 4.1.11b in die Goldstein-Regel ein erh~t man:

(2+0)Damit ist die Goldstein-Regel erfiillt.

1+~

--

278

4.2

4 Numerische LSsungsmethoden

Diskretisierung

4.2.1

Galerkin-Methode

A u f g a b e 4.2.1

KanalstrSmung Fiir eine station~ire i n k o m p r e s s i ble K a n a l s t r S m u n g gilt die folgende D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g d2u = dy 2

P u

,

P ....

1 dp p dx

. (1)

Es soll die N ~ i h e r u n g s l S s u n g d e r genannten Differentialgleichung mit der Galerkin-Methode numerisch e r m i t t e l t w e r d e n . D a z u soil wie folgt v o r g e g a n g e n w e r d e n :

A b b . 4.2.1 Fliissigkeit im Str5mungskanal

a) W i e l a u t e t die D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g fiir die d i m e n s i o n s l o s e n G r S g e n = u . u / ( P . h 2) u n d ~ = y / h ? W i e l a u t e n die z u g e h S r i g e n R a n d b e d i n g u n gen? b) W e l c h e t r i g o n o m e t r i s c h e n F u n k t i o n e n sind als A n s a t z f u n k t i o n e n geeignet? c) Es soil gezeigt w e r d e n , dass gilt: 1

l - - 1 fiiri-- j cos ( 1 + 2 - i ) . - ~ . ~

.cos

(l+2.j).-~.~).d~-

-1

(2) - 0 fiir i -r j

d) Die D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g soil mit d e m A n s a t z N

(3)

~ 7~ -- E Ci" Fi i--0

gelgst w e r d e n . Fi sind die ausgew~ihlten A n s a t z f u n k t i o n e n u n d ci die zu bestimmenden Koefllzienten. LSsung: a) Mit der folgenden Rechnung erhglt man die Differentialgleichung mit den dimensi0nslosen Gr5gen ~ und ~' d25 dO2

h2

9

P 9 u h2

=

p u

-->

d2~ d~ 2

~ + 1 - 0

.

(4)

4.2

279

Diskretisierung

Die Randbedingungen lauten: -1-

~(,)-1)-0

,

~--1"

~(~--1)-0

.

(5)

b) Es miissen Ansatzfunktionen Fi gew~ihlt werden, die die Randbedingungen erfiillen. Die folgenden trigonometrischen Funktionen besitzen diese Eigenschaften. Sie lauten: F~i -- COS

1 _qL 2 " i ) " -~ " y

i- 0,1,2,3,...

,

(6)

c) Fiir die Rechnung werden die folgenden Abkiirzungen eingefiihrt. Sie lauten: ai-

(1 -~- 2 .

i).~71"

,

aj -

(1 _qL 2 " j ) ' - ~

T"

(7)

Fiir das Produkt cos(ai. ~). cos(aj 9~) gilt"

~os(ai- ~). ~os(aj. ~) -

1 . (COS([ai-

a j ] . y ) -Jr- c o s ( [ a i -~- a j ] . y ) )

(8)

Mit der Integration erhglt man: 1

cos ( 1 + 2 . i ) . - ~ . ~

.cos

(l+2-j).-~.~

.d9

--1 1

= / ~o~(ai. ~/" ~o~(~j.

y).

d9

t J

--1 1

= / 1 - ~( c o s ( [ a i

- a j . ] 9 ) + c o s ( [ a i + ~ j]. 9 ) ) d9~

--1

2

=

ai -- aj

~i~(ai - <) ai -- aj

+

ai Av aj

~in(ai + aj) ai ~- aj

ai - aj -- ( i - j ) . w

,

ai

-1

,

(9)

+ aj -- (1 + i + j).Tr

.

(10)

Betrachtet man nun die Ausdriicke ai -- aj und ai + aj so stellt man fest, dass sie fiir alle Paarungen i,j Vielfache von 7r sind. Deshalb sind die Zghler in dem Ausdruck (9) Null. Ist i # j sind die Nenner in dem Ausdruck (9) von Null verschieden. Daraus folgt: 1

cos ( 1 + 2 . i ) . ~ . ~ --1

.cos

(l+2.j).~.~)

.d~-0

,

fiir

iCj

280

4 Numerische LSsungsmethoden

Fiir den Fall i = j ist der rechte Summand des Ausdrucks (9) Null (Z~hler = 0, Nenner r 0). Der linke Summand besteht aus einem unbestimmten Ausdruck 0/0. Wendet man die Regel von de l'Hospital an (Z~hler und Nenner werden nach a i - aj differenziert) erh~lt man: s i n ( a i - aj) 4. sin(ai 4. aj)~ &i -- &j

&i -Jr- &j

] ai--aJ

= cos(0) =1 1

Es gilt also: 1

cos ( 1 + 2 . i ) . - ~ . ~

.cos ( 1 + 2 . j ) . - ~ . ~

.d~-i

,

fiir

i -- j

--1

d) Zur ngherungsweisen LSsung der Differentialgleichung (4) wird mit den bereits ausgewghlten Funktionen Fi der folgende Ansatz gemacht: N ~ ?~ - - E

Ci 9 COS

(1 4. 2. i). -~. ~

.

(11)

i=0

Durch zweimaliges Differenzieren des Ansatzes nach ~ erh~t man die folgenden Ableitungen: N

d~--Eci'(1-4-2"i)'~'sin

(14-2.i)--~-

i=0

(

N

=-Eci-(l+2.i) dY2 i=0

2-

-~

)

.cos ( 1 + 2 - i ) . ~ . ~

(12)

Wird d2~/d~ 2 in der Differentialgleichung (1) durch die N~herung d2~/d~ 2 ersetzt ist fiir einen festen Koeffizientensatz ci die rechte Seite der Differentialgleichung von Null verschieden, d. h. es gilt" N

_Eci.(l+2.i)2

9 (7r)2 ~ .cos ( ( 1 + 2 . i ) . - ~ .7r~

) +1=/=0

i=0

oder N

9 -~

.cos

((1+2.i).-~.~ / +I-R

(13)

i=0

R ist das Residuum bzw. der Fehler, das bzw. der durch das Einsetzen des N~herungsansatzes in die Differentialgleichung entsteht. Die Konstanten ci sollen nun so bestimmt werden, dass das Residuum mSglichst klein wird. Umso kleiner das

281

4.2 Diskretisierung

Residuum wird, umso genauer entspricht der Nfi~herungsansatz der LSsung der Differentialgleichung (4). Um dieses zu erreichen, wird das Residuum mit den Funktionen Fj gewichtet und anschlie~end wird gefordert, dass das fiber den Definitionsbereich gemittelte gewichtete Residuum verschwindet. Es ist also zu fordern: +1

R.cos

l+2.j).~.~)

-d~)-0

,

j-0,1,2,3,...N

,

--1 fl

--~-~Ci'(l+2"i)

_

~71" 2 "COS ( 1 + 2 " i ) ' - ~ ' ~71"

2"

+1

i=O

9cos ( 1 + 2 . j ) . ~ . ~

.d~-0

,

j-0,1,2,3,...N

(14)

Die Gleichung (14) kann nun mit der nachfolgenden Rechnung vereinfacht werden. Da~u werden wieder die bereits bekannten Abkfirzungen &i = (1 + 2. i) 971/2 und aj = (1 + 2. j ) . ~/2 verwendet:

+I(N

)

J~l - ~ c i ' a i 2 . c o s ( a i . ~ ) + l _

.cos(aj-~0)-d~

i=0

=,

-~ci.a~.cos(ai.~).cos(aj.~) J1

=~

-

i=0

=~

.d~+

i=0

--

cos(aj.~).d~ --i

ci.a~.cos(ai.~)-cos(aj.~).d~

+

--1

cos(aj-~).d~ --1

-ci.a~.

"=

cos(ai.9).cos(aj.~).d~

+

--1

cos(aj.~).d~-0

,

--1

j = 0, 1 , 2 , 3 , . . . N Zur LSsung des linken Integrals wird das Ergebnis des Aufgabenteils c) benutzt. Das rechte Integral ist einfach zu ermitteln. Man erhiilt: N

2. (__1) j

-~ci-a~.Sij+ i=0

=0

.

(15)

aj

5ij ist das Kronecker-Symbol. (Sij - i ffir i = j, (~ij -- 0 ffir i # j). Alle Summanden unter dem Summenzeichen sind gleich Null auger dem Summand mit dem Index "j". Also gilt: --Cj . 2

+

2. (-1) g aj

--0

~

Cj =

2. (-1) j a3

'

j--0,1 ' 2,3,...N

. (16)

282

4 Numerische LSsungsmethoden

Wird in Gleichung (16) aj durch (1 + 2. j ) . 7r/2 ersetzt, erhglt man: 16. ( - 1 ) j cj = (1 + 2 . j ) 3 "71-3

j -- 0 , 1 , 2 , 3 , . . . N

'

,

(17)

so dass die Ngherungsl5sung der Differentialgleichung (4) wie folgt lautet" N

16. !~l)i ( 7r ) (1 + 2 g .Tra .cos (1 + 2 - i ) . -~. ~

i--0

.

StrSmungsmechanik Software zum Kapitel 'Galerkin-Methode' ist im Anhang beschrieben. A u f g a b e 4.2.2

Potentialwirbel

D a s A n f a n g s - R a n d w e r t p r o b l e m zur B e s t i m m u n g der U m f a n g s g e s c h w i n digkeit v~(r, t) eines e b e n e n z e r f l i e g e n d e n P o t e n t i a l w i r b e l s lautet in e i n e m zylindrischen (r, ~ ) - K o o r d i n a t e n s y s t e m Ov~ at =u.

( 02 v~ 10v~ ~ + - . r Or

v~ )

(1)

r2

m i t d e r k i n e m a t i s c h e n Viskosit/it u~ d e m R a d i u s r u n d d e r Zeit t sowie der Anfangsbedingung &

t = O:

v~(r,t

= O) = -

mit

a>0

7"

und d e n b e i d e n R a n d b e d i n g u n g e n r = O"

v ~ ( r = O,t) -- O

,

r --+ oo "

lim v ~ ( r , t ) = O

.

7"---+(X)

Mit Hilfe des d i m e n s i o n s l o s e n A h n l i c h k e i t s p a r a m e t e r s s sowie des A n satzes s = r/x/~, t l/isst sich das g e g e b e n e A n f a n g s - R a n d w e r t p r o b l e m in ein R a n d w e r t p r o b l e m mit einer g e w S h n l i c h e n D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g in der Variablen s fiberffihren:

f"(s)+

Die z u g e h S r i g e n R a n d b e d i n g u n g e n s--O-

f(s--O)--O

(2)

~s - s 1 t " f'(s) - 0

,

lauten: s-+o~"

lim f ( s ) - - a

8--+00

.

G e h t m a n d a v o n aus, dass f(lO) ~ a gilt e r g e b e n sieh die v e r e i n f a e h t e n Randbedingungen: -o.

f(~-0)=o

,

~-~o.

f(s-~O)-~

.

(3)

4.2

283

Diskretisierung

a) M i t Hilfe d e s A n s a t z e s f(s) = u(s)+w(s) u n d d e r F u n k t i o n w(s) = (a/10).s iiberfiihre man das Randwertproblem (2) - (3) in ein h o m o g e n e s Randwertproblem fiir die F u n k t i o n u(s). M a n g e b e die D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g z u r B e s t i m m u n g y o n u(s) u n d die b e i d e n R a n d b e d i n g u n g e n an. b) M a n w e n d e die G a l e r k i n - M e t h o d e unter Benutzung einer einzigen A n s a t z f u n k t i o n g(s) = s - ( 1 0 - s ) z u r A p p r o x i m a t i o n y o n u(s) a u f die u n t e r a) g e w o n n e n e D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g an. M a n g e b e als E n d e r g e b n i s die N ~ i h e r u n g s l S s u n g fiir f(s) d e s R a n d w e r t p r o b l e m s (2)-(3) an. LSsung: a) Der Ansatz fiir f(s) lautet: &

f(s) -- u(s) + w(s) - u(s) + -~ . s

(4)

Gleichung (2) enthglt die erste Ableitung f' (s) sowie die zweite Ableitung f" (s). Man erhglt die beiden benStigten Ableitungen aus Gleichung (4): & f'(s) - u'(s) + 17

---->

f!!

(s) -

U !! (s)

(5)

Setzt man Gleichung (5) in Gleichung (2) ein, so erhglt man: u (s)+

~-

9 u'(s)+~-~

-0

(6)

Die Randbedingungen fiir die neue Funktion u(s) folgen aus Gleichung (3) und dem Ansatz f(s) = u(s) + w(s): s=0:

f(0) = u ( 0 ) + w ( 0 )

s=10:

=0

~

u(0) = 0

f(10)=u(10)+w(10)=a

==>

,

(7)

u(10)+a=a

u(10) = 0

==>

(8) (9)

b) Die Ansatzfunktion lautet g(s) - s . ( 1 0 - s) und erfiillt die Randbedingungen fiir u(s), denn es gilt: s-0"

g(0)-0

und

s-10-

g(10)-0

.

(10)

Die gesuchte Funktion u(s) wird durch die Ansatzfunktion g(s) unter Verwendung einer unbekannten Konstanten Cl approximiert, so dass folgt: ~(8)

-

-

C1" g(s) -- C1"8" (10 -- S) -- C1" (10"S -- Se)

(11)

In Gleichung (6) werden die erste und die zweite Ableitung von u(s) ben5tigt. Man erhglt aus dem Ansatz fiir u(s) in Gleichung (11): ' ( ~ ) - Cl . (lO .

2 . ~) . ,

.

I!

~(s)

-2

c~

(12)

284

4 Numerische LSsungsmethoden

Aus Gleichung (6) folgt somit: -2.c~+

_ls

c~.

-

" [c1-(10-2.s)]+~-~

+5-s

-

s

-~

20

10. s

=a

,

=R

.

(13)

Da der Ansatz fiir u(s) aus Gleichung (11) die Differentialgleichung (6) nicht exakt erfiillt, steht auf der rechten Seite der Gleichung (13) nicht Null, sondern ein yon Null verschiedenes Residuum R. Durch die Galerkin-Methode wird das Residuum R minimiert und somit die Konstante el bestimmt. Das Residuum wird mit der Ansatzfunktion g(s) multipliziert und danach zwischen den Grenzen des Definitionsbereichs integriert. Anschlietgend wird gefordert, dass das Integral verschwindet" lO

a.g(s).as-0

,

o lO

/[c1" (__s2+ 5 . s o

/(.

i0) a-s - - a ]. s . ( 1 0 - s ) . d s = 0 + s

+ 5-s

8

0 10

/(..

20

,o)

lO

c1"

(14)

-)

10- s

9s. ( 1 0 - s). ds

9 s.(10-s).ds-0

.

(15)

o

Ausmultiplizieren von Gleichung (15) und Bildung der Stammfunktionen fiihrt auf: C1"

1 ~ 5 5 +~.

15 4 ~ 83 82 I 10 T.s + 9 +5. -100.s o

i

84

83

82

] 10

- ~ + - ~ + ~ - s

=o

(16)

,

o el"

(4000) ----

Ara.y

330

--0

11 el -- L-7-~-Z9 a

9

4UU

(17)

Mit der Konstanten cl folgt fiir u(s): u(s) - c l . s .

11 ( 1 0 - s) - 4--0~.a.s. ( 1 0 - s)

(18)

Als Endergebnis der NgherungslSsung fiir f(s) erh/flt man: f(s) - u(s) + w(s)

:::::v

11 a f(s) -- 4-0-~. a. s. (10 - s) + ] - 6 . s

(19)

285

4.2 Diskretisierung

A u f g a b e 4.2.3

Rossby-Wellen Geschwindigkeit s s t S r u n g e n einer vorherrschenden GrundstrSmung U in der h S h e r e n Erdatmosph~ire kSnnen b e d i n g t d u r c h die E r d r o t a t i o n so g e n a n n t e Rossby-Wellen a n r e g e n (siehe Abb. 4.2.3). Dieser Vorgang kann vereinfacht d u r c h folgendes R a n d w e r t p r o b l e m beschrieben werden:

Erde

X

Abb. 4.2.3 Rossby-Wellen

CQ2V a

' D-~

(92 v + Ox . Ot + 9 " v + ~ -

~

(1)

,

mit

v(0, t ) - - A . s i n ( ~ . B . t )

und

v(A,t)-+A.sin(~.B.t)

.

(2)

D a b e i ist U = konst. (z. B. W e s t w i n d ) , v(x, t) die G e s c h w i n d i g k e i t s s t S r u n g q u e r zur H a u p t s t r S m u n g s r i c h t u n g U u n d a, fl, A, A und B sind gegebene Konstanten. Das R a n d w e r t p r o b l e m soil, was die x - R i c h t u n g betrifft, n~herungsweise nach der G a l e r k i n - M e t h o d e gelSst werden. Die Zeit wird in der Ansatzf u n k t i o n g(x,t) als P a r a m e t e r aufgefasst, so dass bei der M i n i m i e r u n g des R e s i d u u m s yon Gleichung (1) n u t fiber x integriert w e r d e n muss. Die A p p r o x i m a t i o n yon v(x, t) soil mit der einzigen A n s a t z f u n k t i o n g(x, t) -- sin( ~

[~ -

B

t])

erfolgen. W i e l a u t e t die NiiherungslSsung yon (1) ? LSsung: gegeben: obigen Gleichung (1) fiir Rossby-Wellen gesucht: N~iherungslSsung von (1)

(3)

286

4 Numerische LSsungsmethoden

a) Zur Vereinfachung werden die partiellen Ableitungen durch 0 2 v / O x 2 0 2 v / ( O x 9 Or) - v~t und O v / O x - v~ abgekiirzt. Gleichung (1) lautet dann: .

U.v~+v~t+/3.v+a=O

-

v~,,

(4)

Unter Verwendung der Ansatzfunktion (3) fiir die GeschwindigkeitsstSrung ergibt sich" t) = C - g ( x , t) : C. sin(~7r. [x - B. t])

v(x,

(5)

Daraus folgt fiir die partiellen Ableitungen: 7r.cos(Tr.[x_B.t]) X

~-c

71.2

v~t=C.~-~-B.sin(~.[x-B-t])

,

(6) ,

(7)

rr 2 9sin(~rr. Ix - B. t]) v ~ -- - C - ~-g

(8)

Setzt man die Ableitungen (7) und (8) in die Differentialgleichung (4) ein und verwendet die Voraussetzung, dass t als Parameter (z. B. t = to) betrachtet werden soll ergibt sich: -U-C-

rr 2 B. sin( :r. [x - B. to]) rr 2 sin( 7r . [x - B. to]) + C- ~-7" ~-g. 71"

+ ~ . C. sin(~ 9 [ x - B . to]) + a - R C- ( - U . ~ -7r2 f f + ~ - 7r2 ff.B+~

) .sin(~7 r . [ x - B . t o ] ) + a = R

(9)

mit dem Residuum R. Es muss nun die Bedingung R. g(x, to). dx - 0

(10)

o erfiillt sein. Man erhglt:

/[ ( C-

)

-V.~-ff+~-ff.B+/3

.sin(~.[x-B.to])+a

]

o

9sin(~7 r . [ x _ B . t o ] ) . d x _ 0 C.

)/

(-U.~-ff+~-g.B+/3

9

,

sin2(~

dx

o

+c~. f sin(~~ . Ix - B. to]). dx - 0 o

(11)

4.2 Diskretisierung

287

Die Integration yon Gleichung (11) ergibt: C. ( - U . ~ -7r2 - ~ + ~ -~.2 .B+/3

) 9 [~ . [ x - B . t o ] - 4 . ~ . )~

s i n (-2-.~~ . . [ x _ B . t o ] )

)~ ~-.cos(.[x-B-to]) -0 , ~X o ) ( 1 .[A_B.to]+ 1 .B-to 9 ~

-~. ( ~.2+ / 3 C . - U - ~ - 5 +7r~2 - ~ . B -~4.~)~

sin(~2"Tr. [)~ _

-~.

[a-

-.~ co~(

( ~2 7r2 C.-U-~-~+~-~.B+/3

)

+

to]) - s i n ( - - - ~ ,

to])-cos(-v,

to)

to)

=o

4-)~-a ~.B.t0 -cos(~)-0 7r

(12)

Aus Gleichung (12) folgt fiir C: C=

4- ~. c~ . c o s ( ~ " B to ) ~"2 7r ( U - B) - / 3 A2

(13)

Setzt man Gleichung (13) in Gleichung (5) erh~It man als N~herungslSsung fiir die Geschwindigkeitsst5rung:

4-~-a .cos(~B'to) v(x,t)

2 ~-~. ( U - B ) - / 3

-

9sin(~. [x - B. t])

7r

4.2.2

F i n i t e - E l e m e n t e - M e t hode

A u f g a b e 4.2.4

KanalstrSmung

In dieser A u f g a b e soil die in der A u f g a b e 4.2.1 gelSste Differentialgleichung d2fi _ d~ 2 F1 0

.

~3-0"

.

,

5(~-0)-0

~

_

.

U.p

,

u h2 , 9 ~-1.

~3

y ~

5(~-1)-0

,

P ....

1 dp p dx

(1) (2)

nochmals gelSst werden. Es soil wieder die Galerkin-Methode angewendet werden, diesmal jedoch mit den einfachen linearen Ansatzfunktionen

288

4 Numerische LSsungsmeth0den

Nj(~) (siehe A b b . 4.2.4a). D a s G e s e h w i n d i g k e i t s p r o f i l ~(~) soil mit d e m folgenden A n s a t z b e r e c h n e t w e r d e n : ~-~Nj(~).~j j=0

.

(3)

Uj ist die dimensionslose G e s c h w i n d i g k e i t an d e m K n o t e n j, die fiir alle K n o t e n mit d e r G a l e r k i n - M e t h o d e zu b e r e c h n e n sind. Die /iquidistant e n Intervalle zwischen e i n e m K n o t e n j u n d j + 1 w e r d e n als E l e m e n t e bezeichnet. I m E i n z e l n e n soil wie folgt v o r g e g a n g e n w e r d e n : a) D e r A u s d r u c k d2"5/dy 2 soil in der zu 18senden Differentialgleichung (1) d u r c h d e n A u s d r u c k d2fi/d~ 2 e r s e t z t w e r d e n (noch nicht die Summ e d e r A n s a t z f u n k t i o n e n e i n s e t z e n ) . Anschliefgend soil die G a l e r k i n M e t h o d e a n g e w e n d e t w e r d e n . Als G e w i c h t u n g s f u n k t i o n e n sind die Ans a t z f u n k t i o n e n Nk zu v e r w e n d e n . Es soll eine partielle I n t e g r a t i o n gemfif~ f a . / 3 ' , dy - a . / 3 - f / 3 . a ' . dy d u r c h g e f i i h r t w e r d e n . W a s w i r d d a d u r c h zun/ichst erreicht ? b) Welches G l e i c h u n g s s y s t e m e r g i b t sich, w e n n der L S s u n g s a n s a t z (3) eingesetzt wird? c) Die L S s u n g e n der einzelnen I n t e g r a l e sollen in Abh/ingigkeit d e r Elementl/inge A (L/inge der Intervalle) a n g e g e b e n w e r d e n . d) W i e l a u t e n das G l e i c h u n g s s y s t e m u n d seine LSsung u n t e r Beriicksichtigung d e r R a n d b e d i n g u n g e n ? Die LSsung soll mit e i n e m C o m p u t e r e r m i t t e l t w e r d e n . Die LSsung ist mit d e r a n a l y t i s c h e n L~Ssung zu vergleithen. LSsung: a) Wird d2~/d~ 2 in der Differentialgleichung (1) durch d2~/df/2 ersetzt und wird

A b b . 4.2.4a Lineare Ansatzfunkti0nen

4.2 Diskretisierung

289

anschliegend die Galerkin-Methode angewendet, erh~lt man" 1

/

Nk]

0

o 1

1

/(d2g ) / ~-ff. Nk 9d~ + Nk" d~ - 0 , k - 0, 1, 2,..., n . (4) o o Mit der partiellen Integration des linken Summanden der linken Seite der Gleichung (4) ergibt sich die folgende Gleichung: 1 1 (dg )Y=I / ( d ~ dNk) / ~-~" Nk 9=0 -d~ " d~ 9d~ + Nk-d9 - 0 , (5) 0 o k - 0,1,2,...,n . Der Vorteil der Integration besteht darin, dass Gleichung (5) nur Ableitungen 1. Ordnung enth/ilt. W/iren Ableitungen von hSherer Ordnung als erster Ordnung in Gleichung (5) enthalten, so w~en die linearen Ansatzfunktionen Nj zur LSsung der Aufgabe unbrauchbar. b) Durch Differenzieren der Ansatzfunktion (3) nach ~) erh/ilt man: dg=~(dNj d~ j=o - ~

) (6)

"~j

dg/d9 gem/fig Gleichung (6) in Gleichung (5) eingesetzt, ergibt: (du) 9=1 f [dNk.~2-~(dNj )] f ~-~. Nk --d~ j=o \-d--~- "•j 9d~ + Nk. d9 = 0 9=~ 0 o k - 0, 1, 2,... ,n

,

(7)

Die Gleichung (7) wird wie folgt umgeformt: (du 9Nk/~:1 _ / [ ~ ( dNk dNj ~=o o j=o d~ d~

1

d /Nk d, 0 o

]J

(dad__~.Nk )9--19=0-- ~2~" d N[0ff j (dNk j =dO o dO 5j) 9d~ +

j=0

i :(d'k gJ"

0

dO

Nk 9d9 - 0

o

dNj) . d~] _ ( d 5 ) ~ - - 1 d~ ~ 9Nk

+

/

Nk-d~ ~=0 0 k - 0, 1,2,...,k

,

(8)

4 NumerischeLSsungsmethoden

290

Gleichungssystem (8) besteht aus n + 1 Gleichungen f/ir die n + 1 Unbekannten ~j. c) Bevor die einzelnen Integrale berechnet werden, ist noch folgendes festzuhalten: 1. Der Definitionsbereich [0, 1] ist in n Elemente (Intervalle) unterteilt.

Uj

2. Es miissen an n + 1 Knoten die Geschwindigkeitswerte berechnet werden. Da jedem Knoten mit dem Index "j" eine Funktion Nj zugeordnet ist, gibt es auch n + 1 Funktionen Nj(No, N1,..., Nn). Zur Berechnung der Integrale wird die Gr5fle A eingeffihrt. Sie steht ffir die L~nge eines Elements (bzw. Intervalls). F/ir A gilt: A = 1/n. Die Integrale der rechten Seite des Gleichungssystems (8) kSnnen mit der GrSfle A sofort angegeben werden. F/ir sie gilt: { 89

1

Nk" d/) o

f/ir k 899Affir

:fi o,k-O k not = n k-n

(9)

Zur Berechnung der Integrale unter dem Summenzeichen der Gleichung (8) werden die drei F/ille (k = 0), (k = j, k # 0, k # n) und (k = n) nacheinander betrachtet. 1. Fall (k = 0):

{ ~ fiirj-0

1 /(dNkd~ o 2. Fall ( k # 0 , k # n )

dNj) "d~-d~

-~fiirj--1 0 fiirj > 1

: l-

~~dNk dNj).d 9\ d - ~ " d~ o Ffir den Fall (j < k 3. Fall (k = n):

(10)

fiirj - k - 1 ~fiir j-k -

.

(11)

fiirj - k + 1

1 ) und (j > k + 1) ist das betrachtete Integral gleich Null.

1 / ~fiir j--n /(dNkd~ "dNJ)d~ . d ~ -~fiirj-n-1 o 0 fiirj < n - 1 d) Setzt man die berechneten Integrale in das Gleichungssystem (8)

[~J " / /aSk . dUj) .d~l _ /d~ ~ 9Nk )~-1 + ~ Nk" d~ d~ d~ j=0 0 ~=0 0 k = 0, 1 , 2 , . . . , n

(12)

4.2 Diskretisierung

291

ein, erhglt man: [ d~

i 1 -1

~1~:o + 89.A

~'0

-1

2-1 -1 2-1

1

9

. 9

A

A 9

. .

-1

.

2-1 -1 2-1 -1 1/

A

?~n--1

d~

"~n

Beriicksichtigt man in dem Gleichungssystem, dass Go und "~n gemgg der Randbedingungen gleich Null sind, so gilt" I1

-1

-1 2-1 -1 2-1 9

9

o 9

i'd~l~=o./X+ 89

0

A2 o

o

o

-1

,

(13)

,

2-1 -1 2-1 -1 lj

/~2 '~n--1

~l~=l.ZX+ 89 A2 d5

0

In diesem Fall kSnnen die erste und die letzte Zeile im Gleichungssystem (13) weggelassen werden, da durch rio - 0 und Un --- 0 die iibrigen Gleichungen des Gleichungssystems nicht vergndert werden (es w ~ e anders, wenn gelten wiirde: uo ~ 0 oder Un # 0). Das zu 15sende Gleichungssystem lautet also: 2 1 -1 2 -1

ul

/k2

9

(14) -1

2 -1 -1 2

~,n!

1

/~2

Das Gleichungssystem kann mit einfachen Computerprogrammen (z. B. mit dem Thomas-Algorithmus) gelSst werden. In der Abbildung 4.2.4b ist die numerische L5sung fiir n - 5 Elemente und die analytische L5sung dargestellt. Obwohl fiir die numerische Rechnung nur fiinf Elemente verwendet wurden, ist die [)bereinstimmung der beiden L5sung schon so genau, dass in der graphischen Darstellung kein Unterschied zu erkennen ist. Die numerische L5sung stimmt natiirlich umso besser mit der analytischen LSsung iiberein, umso mehr Elemente bei der numerischen Rechnung verwendet verwenden. StrSmungsmechanik Software zum Kapitel 'Finite-Elemente-Methode' ist im Anhang 5.2 beschrieben.

292

4 Numerische LSsungsmethoden

Y 1.0 analytisch

0.5-

o numerisch

0.0

0.1

0.2

fi

A b b . 4 . 2 . 4 b Vergleich der numerischen LSsung mit der ana]ytischen LSsung 4.2.3

Finite-Differenzen-Met hode

A u f g a b e 4.2.5

KanalstrSmung

I n A u f g a b e 4.2.1 w i r d die D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g d e r station~iren K a n a l strSmung 5,~. 2 d02 b 1

u 0

,

~-u

p.h2

_ y ,

Y

h

p= '

1

d~_r

p

dx

(1)

mit den Randbedingungen 0=0"

"~(0 -- 0) -- 0

mit der Galerkin-Methode

,

0--1"

fi(:O--1)--O

(2)

n u m e r i s c h gelSst.

a) W e l c h e s zu 1 5 s e n d e G l e i c h u n g s s y s t e m erh~ilt m a n , w e n n m a n d i e D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g (1) m i t d e r D i f f e r e n z e n - M e t h o d e n u m e r i s c h 15st? D a z u ist d e r D e f i n i t i o n s b e r e i c h in n I n t e r v a l l e z u u n t e r t e i l e n .

b) W i e l a u t e t d a s zu 15sende G l e i c h u n g s s y s t e m , w e n n die R a n d b e d i n g u n g fiir die Stelle 0 - 1 wie folgt l a u t e t : f i ( 0 - 1) - 1 ( o b e r e K a n a l w a n d b e w e g t sich)? LSsung: a) Zur LSsung der Aufgabe wird der Definitionsbereich in n Interva]le der L~nge Ay unterteilt. Also ist A0 -- 1/n. Fiir die Stelle ~j (~j ist eine Interva]lgrenze) wird in Gleichung (1) der Differentia]quotient 02~/002 durch den Differenzenquotient Uj + 1 -- 2 9 Uj 31- U j - 1

(~0)~

4.2 Diskretisierung

293

ersetzt (?~j-t-1 - - u ( y j + I ) , ?~j ~j die folgende Gleichung:

- - ?~(Yj), ?~j--1 - - u ( y j - - 1 ) ) .

?~j+l -- 2 - Uj J r - U j - 1

Man erhfilt also fiir die Stelle

+ 1- 0

(3)

Werden fiir die restlichen Intervallgrenzen Y l - - - Y n - - 1 die entsprechenden Gleichungen aufgestellt und wird dabei beriicksichtigt, dass gemiis der Randbedingungen fiir Yo und Yn gilt" ~o - Yn - 0, SO ergibt sich das nachfolgende Gleichungssystem: 2 --1 -1 2 -1 9

.

~21 .

1 . (4)

"

-1 21-1 2

Un--1

1

Das Gleichungssystem (4) ist mit dem zu 15senden Gleichungssystem der Aufgabe 4.2.2 identisch! Die L5sung ist in der Aufgabe 4.2.2 bereits diskutiert worden. b) Mit ?~n - - 1 lautet die entsprechende Differenzengleichung fiir die Stelle ~n-l" 1

-

2.

'~n--1

-t- ?~n--2

+ 1- 0

(5)

Beriicksichtigt man sie in dem aufzustellenden Gleichungssystem, erh~lt man:

y/h 1.O

0.5

rJ 0.0

, o numerisc h 0.5

__

1.0

A b b . 4.2.5 Vergleich der numerischen LSsung mit der analytischen L5sung

294

4 Numerische LSsungsmethoden

2 21 -1

(A~) 2

~,1 -1

9

. 9

9

(6)

21 - i

-i

2

1 2 1 + (Ay)

~,n--1

Die LSsung des Gleichungssystems ist fiir n = 3 in Abbildung 4.2.5 zusammen mit der analytischen L5sung dargestellt. Obw0hl der Definiti0nsbereich nut drei Intervalle enth~ilt, ist kein Unterschied zwischen der numerischen und analytischen LSsung erkennbar. A u f g a b e 4.2.6

Anlaufvorgang der KanalstrSmung

Die d i m e n s i o n s l o s e D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g 0~ 0~

02~ =1 0~ 2

,

(1)

mit -

t = t.

u

u

h---~

,

~t= U. p.

y

h2

,

Y-

p:

-h

__1

'

p

.

dp dx

b e s c h r e i b t mit d e n A n f a n g s - u n d R a n d b e d i n g u n g e n d e n instation~iren A n l a u f v o r g a n g e i n e r K a n a l s t r S m u n g (siehe A b b . 4.2.1). In d i e s e r A u f g a b e soil d e r V o r g a n g n u m e r i s c h mit d e r e x p l i z i t e n D u F o r t F r a n k e l - M e t h o d e b e r e c h n e t w e r d e n . A n s c h l i e g e n d soil das E r g e b n i s mit d e r a n a l y t i s c h e n L S s u n g v e r g l i c h e n w e r d e n . W i r d die D u F o r t - F r a n k e l M e t h o d e z u r L S s u n g d e r D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g (1) a n g e w e n d e t , erh~ilt man: nX 9

-uj

2 A~

f+X _

n -

-uj

+uj_l

=1

.

(2)

(A~) 2

D e r I n d e x "n" s t e h t fiir die G r S g e n z u m Z e i t p u n k t tn, d e r I n d e x "j" k e n n z e i c h n e t die W e r t e a n d e n e n t s p r e c h e n d e n K n o t e n d e r Stellen yj. I m E i n z e l n e n soil wie folgt v o r g e g a n g e n w e r d e n : a) W a r u m ist die D u F o r t - F r a n k e l - M e t h o d e ein explizites V e r f a h r e n ? b) W a r u m s t e h e n in d e m D i f f e r e n z e n q u o t i e n t e n zur A p p r o x i m a t i o n y o n 02u/0y 2 G r S g e n z u m Z e i t p u n k t t n+l u n d tn--l? W a s m u s s bei d e r A u s w a h l eines n u m e r i s c h e n V e r f a h r e n s i m m e r b e a c h t e t w e r d e n ? c) Es soil ein R e c h e n p r o g r a m m zur L S s u n g d e r D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g (1) mit d e r D u F o r t - F r a n k e l - M e t h o d e e r s t e l l t w e r d e n .

4.2 Diskretisierung

295

d) Es sollen drei B e i s p i e l r e c h n u n g e n mit d e n folgenden Zeit- u n d R a u m schritten durchgefiihrt werden: 1.

1 A { - 5---0 '

3.

A~-5~

1

,

1 A~A~-

,

2.

-

1

At-

50

1

'

A9

10

'

1

20

D i e L S s u n g e n sollen m i t d e r a n a l y t i s c h e n

LSsung verglichen w e r d e n . W a s

stellt m a n fest? LSsung: a) Gleichung (2) beinhaltet nur die eine Unbekannte ~;+1. Sie kann unmittelbar mit einer Umformung der Gleichung (2) ermittelt werden. Wird die LSsung mit einem impliziten Verfahren berechnet, miissen mehrere GrSt~en ~n+l fiir verschiedene Knoten mit einem mehr oder weniger aufwendigen Gleichungssystem berechnet werden. b) Wiirde der Differenzenquotient zur Approximation von 02~/0~ 2 z. B. nur GrSi~en zum Zeitpunkt t n enthalten, so w ~ e das Verfahren instabil und nicht anwendbar. Der Begriff "Stabilit~t eines numerischen Verfahrens" ist im Lehrbuch von H. Oertel, M. B6hle 2004 erkl~t. Bei der Auswahl eines numerischen Verfahrens muss darauf geachtet werden, dass das Verfahren stabil ist. c) Das Rechenprogramm ist einfach zu erstellen. Die Gleichung (2) kann unmittelbar nach ~ + 1 aufgel5st und entsprechend programmiert werden. d) Das Ergebnis der ersten Rechnung ( A { = 1/50, A ~ - 1/5) ist in der Abbildung 4.2.6a, das der zweiten Rechnung (A{ = 1/50, A~ = 1/10) in der Abbildung 4.2.6b y/h

.v -t=t h2

1.0

y/h t=0.8 1.0

u = u ' ~V P'h:

0.0

=1.0 t - ~ oo

0.0

~ o 0

-

-1.0

~~--

0.0

0.3

0.5

!

-1.0 9

5

A b b . 4.2.6a Numerische LSsung fiir A { - 1/50, A ~ - 1/5

oO

(analytisch)

lytisch) 0.0

0.3

0.5

u

A b b . 4.2.6b Numerische L5sung fiir A { - 1/50, A ~ - 1/10

296

4

und das der dritten Rechnung ( A t dargestellt.

1/50, A9 - 1/20) in der Abbildung 4.2.6c

Obwohl die erste Rechnung mit einem grogen Raumschritt durchgefiihrt ist, stimmen die berechneten Werte sehr genau mit der analytischen LSsung iiberein (die Kurvenverl/iufe sind wegen der wenigen Aufpunkte eckig). Die zweite Rechnung unterscheidet sich ebenfalls nicht sichtbar vonder analytischen LSsung.

y/h

-f=0.8 -i=l.O

1.0

Numerische LSsungsmethoden

0.0

O(3

(analytisch)

I

-1.0 0.0

0.3

0.5

A b b . 4 . 2 . 6 c Numerische LSsung ffir A { - 1/50, A ~ - 1/20

Die dritte LSsung, die mit einem vergleichsweise kleinen Raumschritt erstellt ist, weicht erheblich vonder analytischen LSsung ab. Es stellt sich also die Frage: Warum wird die LSsung falsch, obwohl die numerischen Fehler infolge der Verkleinerung des Raumschrittes abnehmen? Das Verfahren wird ab einer bestimmten Grenze instabil, wenn der Raumschritt ohne gleichzeitige Verringerung des Zeitschrittes verkleinert wird. Bei expliziten Verfahren darf der Zeitschritt nicht unabh~ngig vom Raumschritt gew~hlt werden. StrSmungsmechanik Software zum Kapitel 'FiniteDifferenzen-Methode' ist im Anhang 5.2 beschrieben.

Aufgabe 4.2.7

Potentialwirbel

D i e D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g fiir e i n e n e b e n e n z e r f l i e g e n d e n P o t e n t i a l w i r b e l lautet:

02~

2 .

Ox 2

.

O~ .

x

Die Randbedingungen

.

.

Ox

2 ~---z ~ .

Ot

ffir

O<x
(1)

sind mit

O+ (0, t) -- 0 0X

O~ ~

xz

+(1 t) - 0 ~

gegeben. Als Anfangsbedingung

~

ist

ffir

t > 0

(2)

4.2 Diskretisierung

297

t k I 0.2

1.2

2.2

3.2

4.2

0.1

1.1

2.1

3.1

4.1

0.0

1.O

2.0 x = ~1

3.0

4.0 x=l x

t= a

x=O

A b b . 4 . 2 . 7 a Aquidistantes Rechengitter

9 (x,0)-0

(1) x - ~,0

, fiir

0<x<

1 ~

und

1 ~ <x_~ 1

- e

,

(3)

(4)

v o r g e s c h r i e b e n . Z u r n u m e r i s c h e n L S s u n g des a n g e g e b e n e n A n f a n g s R a n d w e r t p r o b l e m s m i t d e r F i n i t e n - D i f f e r e n z e n - M e t h o d e ist die skizziert e ~iquidistante G i t t e r i i b e r d e c k u n g m i t d e n G i t t e r p u n k t e n (i, m) v o r g e s e h e n (siehe A b b . 4.2.7a): a) M a n i i b e r f i i h r e d a s A n f a n g s - R a n d w e r t p r o b l e m nach dem expliziten V e r f a h r e n in e i n e g e e i g n e t e D i f f e r e n z e n f o r m . D a b e i sind als S c h r i t t w e i t e n die e n t s p r e c h e n d e n G i t t e r w e i t e n zu w~ihlen. Fiir die r~iumlichen 1. u n d 2. A b l e i t u n g e n in d e r D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g sind s y m m e t r i s c h e ( z e n t r a l e ) D i f f e r e n z e n q u o t i e n t e n zu v e r w e n d e n . b) M i t d i e s e n D i f f e r e n z e n b e z i e h u n g e n b e s t i m m e m a n (in Abh~ingigkeit v o n A n f a n g s - u n d R a n d w e r t e n ) in d e n G i t t e r p u n k t e n d e r 1. Zeitzeile ((i, 1), siehe A b b . 4.2.7a) die W e r t e , die 9 d o r t a n n i m m t . c) W e l c h e W e r t e e r g e b e n sich fiir (I) in d e r 2. Zeitzeile (i, 2), w e n n m a n e - 1 u n d 4-k - h 2 bzw. k - h 2 s e t z t ? W e l c h e S t a b i l i t ~ i t s a u s s a g e n k a n n m a n fiir die zwei F~ille m a c h e n ? A n h a n d d e r g e w o n n e n E r k e n n t n i s s e erl~iutere m a n die C F L - B e d i n g u n g . L6sung: g e g e b e n : obige Differentialgleichung mit Anfangs- und Randbedingungen, k, h, e gesucht:

a) Differenzenform, b) (I)(i, 1), c) (I)(i, 2), CFL-Bedingung

a) Die Anwendung des expliziten Euler-Verfahrens auf die Zeitableitung und zentraler Differenzen auf die r/iumlichen Ableitungen fiihrt zu folgender Gleichung:

298 1 h2

9 ((I)i+l -

2-(I)i,m

2 1 i - h " 2. h

+ ( I ) i - - l , m ) --

((I)i+l,m

4 Numerische

L5sungsmethoden

-- ( I ) i - - l , m ) ~-

2 h-------i2 " ~

1 =

~"

((I)i,m+l

(5)

- - (I)i,m)

Nach dem unbekannten Knotenwert (I)i,m+l aufgel5st folgt:

( )

k (I)i,m+l = ~--~" 1-- T1

9 (I)i+ 1,m -~-

+~-7"

---

1+

-~-

~

"~i-l,m

i2.h 2

+ 1

mit

9 (I)i m

,

(6)

i-1,2,3

Aus den Randbedingungen bei x - 0 und x = 1 ergeben sich: 1

9 ( ( I ) l , m -- (I)0,m) - - 0

~

(7)

(I)0,m - - (I)l,m

und (I) 4, m = O

(8)

Mit der Anfangsbedingung bei t - 0 wird (I)0,0 - - (I)l,0 -~ (1)3,0 - - (I)4,0 - - 0

(I)2,o = c

und

.

(9)

b) Die Werte von (b in der 1. Zeitzeile berechnen sich mit der in a) hergeleiteten Differenzenformel (6) und Einsetzen der gegebenen Anfangs- und Randbedingungen ( 7 ) - ( 9 ) zu: (b4,~ = 0

aus der Randbedingung (8)

k ':I)3,1-~.

( 1 ) ( 2 . k 1-~ .':b4,o+ ---h~ +

k ( 1 ) +~-~. 1 + ~

(I)2,1 =

~

"

+~--~(I)1,1 =

~

9

1- ~ 1+ ~ 1- ~

9':I)3,0 + 9 (I)1,o

9~2,o +

k ( 1) +~--ff. 1 + ~ 9~o,o

.02,o

,

(10)

2.k ) 9 - h 2 + 1 "~3,o k ( 1 ) ~3,1=~-~ 9 1 + ~

==>

- - ~ - - + 4- h 2 + 1 ~

(1)2,1 =

==~

=~

(11)

.s

, (12)

9~1,o

~,1 - o ,

9 o,1 = ~I,~,1 aus der Randbedingung (7)

,

9':I)2,0

----h-T- + 2" h 2 + 1

- - h -T- + 1. h 2 + 1

.~

(13) ~o,1 = 0

.

(14)

4.2

299

Diskretisierung

c) Laut Aufgabenstellung ist c - I zu setzen. Wird fiir die Zeitschrittweite 4-k - h 2 gewfiJalt, ergeben sich in der 1. Zeitzeile mit den Gleichungen (10) - (14)"

(I)4,1 - - (1)1,1 - - (1)0,1 - - 0

1

,

(1)3,1--- ~

5

(I)2,1 = ~

,

(15)

In der 2. Zeitzeile erh~ilt man mit der Differenzenformel (6), der Gleichung (15) und den gegebenen Randbedingungen (7) und (8)"

(I)4,2 - - 0

aus der Randbedingung (8)

(I)3,e = 4. k

1 --

~

" (I)4'1 §

--4---~

k ( 1 ) ( 1 +4--~--~ 9 1 + 5 .(I)2,1 85 (I)3,2 = 216 k (I)2,2 = 4- k

' (1_1)

k(1) +4--~

1 -- ~

"

1 ) 1 1 -~+]-~+1

-4-------k+ 16- k + 1

9 (I)o,1

§

4--~

~

§

(I)1,2 -

(I)1,2 aUS der Randbedingung (7)

9 (I)2,1

(1 1 -~+~+1

(2.k2.k) --4--~

9 (I)3,1

4 5 .5+~.5.g

(2.k2.k) 111

" (I)2'1 §

1 A,_

+ 36. k + 1

-(I)1,1--- ~ - ~ . 5 §

83 192

(I)1'2 ~- 4 " k

(I)0,2 - -

-(I)3,1 +

(11+ )

+4--~" (I) 2,2 ---

~

,

==a

1

0

.g

" (I)1,1

,

~o,2 - 0

Die Anfangsst5rung von c - 1 klingt ab. Das behandelte Verfahren ist fiir 4- k - h 2 stabil. Wird nun eine grSfgere Zeitschrittweite von k - h 2 gewfi~hlt, ergeben sich mit den Gleichungen (10)- (14) in der 1. Zeitzeile:

(I)4,1 - - (I)1,1 - - (I)0,1 - - 0

4

1

(16)

In der 2. Zeitzeile folgt mit der Differenzenformel (6), der Gleichung (16) und den gegebenen Randbedingungen (7) und (8)"

300

4 Numerische LSsungsmethoden

Randbedingung (8)

(I)4,2 -- 0

&US d e r

k ~ (I)3,2-- ~

(1-- 3) -(I)4,1+(----2

(1)3,2

=

( - 2 + ~ + 1)4.g - g41. ~

k ( 21)(b2,2-- ~1 4 ( (I)2,2--~.~ 9 1,2 -

k (

~-

(1)1,2 -- 0

1-

,

+ ~2-k +1 ---->

) -(I)3,1 + ~(I)3,2 =

-(I)3,1+ ( 2 ~ _ k + ~2+. 1k 1 -2+~+1

)

1)

(2~_k

9 ~I'2,1 +

1 .~

1+

"I'2,1

46 27

) -(I,2,1+~. k ( 11)+ ~

.(b~,l

,

9 ~o,~

,

11 (I)2,2= 1--2 '

==v 2.k

+ ~

+ 1

)

k (

9 (I)1,1 + ~ .

1)

1+ ~

,

(I)o,2 = (I)1,2 aus der Randbedingung (7)

~

(I)0,2 - 0 .

Fiir k - h 2 oszilliert der Anfangswert und nimmt zu. Damit ist das Verfahren ffir k - h 2 instabil. Die CFL-Bedingung fiir explizite Verfahren angewendet auf Wellen- oder Konvektionsgleichungen ist in Abbildung 4.2.7b dargestellt. Anschaulich bedeutet die CFL-Bedingung eine Restriktion fiir den numerisch m5glichen Zeitschritt k - At. Die Charakteristiken sind durch die vorgegebene Differentialgleichung festgelegt und stellen die Ausbreitung von Informationen im physikalischen und numerischen Raum dar. Wird nun die r~umliche Diskretisierung z.B. durch eine ~quidistante Zerlegung mit der Schrittweite h = Ax wie in Abbildung 4.2.7a festgelegt, ergibt sich mit der CFL-Bedingung eine Obergrenze fiir den Zeitschritt At. Wird, wie oben mit k = h 2 r At = (Ax) 2, der Zeitschritt zu grog gewfi~hlt, ist in den Differenzenformeln, mit denen der Wert (I)i,m bestimmt wird, das physikalische Abh~ngigkeitsintervall nicht vollst~dig abgebildet. Das Resultat ist die oben gezeigte Instabilit~it des Verfahrens. LAx_ t

i,m

~

I -Ax/ At / dx/dt = -a

x/At \ dx/dt=a

Charakteristiken Abb.

4.2.7b Geometrische Veranschaulichung der CFL-Bedingung

4.2 Diskretisierung 4.2.4

301

Finite-Volumen-Met hode

A u f g a b e 4.2.8

GrenzschichtstrSmung In e i n e m W i n d k a n a l w i r d Luft mit der konstanten Dichte p und d e r k i n e m a t i s c h e n Viskosit~it m i t d e r G e s c h w i n d i g k e i t U(x, t) in B e w e g u n g g e s e t z t . A n e i n e r in d e m L u f t s t r o m befindlichen eben e n W a n d b i l d e t sich d a b e i eine R e i b u n g s g r e n z s c h i c h t a u s (siehe A b b . 4.2.8a). D e r i n s t a t i o n~ire B e w e g u n g s v o r g a n g k a n n in unmittelbarer Wandn~ihe d u r c h die P r a n d t l s c h e n G r e n z s c h i c h t g l e i c h u n g e n b e s c h r i e b e n w e r d e n . Diese l a u t e n :

A b b . 4.2.8a GrenzschichtstrSmung

Ou

Ou

0--~ + O y - O Ou

Ou 2

0-7 + ~

O(u . v)

+

,

(1)

OU

1

OU 2

o------~= o t + ~ " o---Z + ~

0 2u Oy2

'

(2)

y

=F(x,t)

mit den Randbedingungen y--O

9

u--v--O

Wand

y-

9

u-

Grenzschichtrand

5

U ( x , t)

,

F ( x , t) ist b e k a n n t u n d v o n d e r A u g e n s t r S m u n g g e g e b e n . M a n v e r w e n d e

zweckm~_gigerweise diese A b k i i r z u n g i m f o l g e n d e n n u m e r i s c h e n Verfahren. a) D i e p a r t i e l l e D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g fiir die G r e n z s c h i c h t g l e i c h u n g in xR i c h t u n g soil m i t Hilfe eines z e l l z e n t r i e r t e n F i n i t e - V o l u m e n - V e r f a h r e n s in e i n e g e w S h n l i c h e D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g in d e r Zeit zur B e s t i m m u n g d e r G e s c h w i n d i g k e i t uinj i i b e r f i i h r t w e r d e n . A n d e r s als in d e r P r a x i s iiblich v e r w e n d e m a n d e r E i n f a c h h e i t h a l b e r ~iquidistante V o l u m e n z e l l e n des n o r m i e r t e n V o l u m e n s Vi,j = Ax. Ay. Az (siehe A b b . 4.2.8b). Az ist h i e r b e i

302

4 Numerische LSsungsmethoden

Abb. 4.2.8b Schematische Volumenzelle

a u f 1 n o r m i e r t (Az -- 1) und Ax r Ay. uinj ist die u - K o m p o n e n t e der Geschwindigkeit in der Volumenzelle Vi,j z u m Z e i t p u n k t t = n - A t = t n. b) W a r u m v e r w e n d e t m a n in der P r a x i s keine iiquidistanten Abst~inde der V o l u m e n m i t t e l p u n k t e in y-Richtung?

L6sung: gegeben: Grenzschichtgleichung in x-Richtung, P~ndbedingungen, Ax ~

A9,

A z = 1, F ( x , t)

gesucht- a) gewShnliche Differenzialgleichung ffir uinj, b) warum ist in der Praxis Ay r konst. a) Zuerst wird die partielle Differentialgleichung (2) fiber das Gesamtvolumen V des betrachteten Integrationsgebietes integriert:

N + --f2x + --N-y

.dr-

V

--5-( + -~ . O---Z+,,. Oy~ ]

Ou --~ . d V +

( Ou 2 O ( u . v) \ Ox q Op

-O--t"dV+/(o~(u2)+No( v

v

F(x

v

u . v -

v

.dV-O

,

v

u . N

+

'

t) - u .

o )

Oz (O)

~

9d V - 0

'

. dV

-fF(x,t) v

.dV-0

,

4.2 Diskretisierung

--~ . dV

303

+

v

V

.

u .v -

v

~, . ~

. dV

-

0

F(x,

t) . dV

-

O

F(x,

t) . dV

-

O

(3)

v

Mit dem Integralsatz yon Gaug: f

v.

f

.dV-

/ f

v

. n.dA

A

folgt aus Gleichung (3):

-~

. dV

+

V

u .v A

~, . N

-~-.dV+

nv

. dA

-

Ttz

. nx +

V

"

0

u . v -

,

V

u . -~y

. n v

. dA

A

-

F(x,

t) . dV

-

O .

(4)

V

Bisher wurde die Grenzschichtgleichung (4) fiir das Gesamtvolumen V formuliert. Jetzt wird sie fiir jede einzelne Volumenzelle Vi,~ an der Stelle i, j zu einem beliebigen Zeitpunkt t = t n betrachtet. Der linke Zellrand in i-Richtung wird durch die Seitenfl/ichenvariable 1 = 1 und der rechte Zellrand durch 1 = 2 gekennzeichnet. Entsprechend gelten fiir den unteren Zellrand in j-Richtung 1 -- 3 und den oberen Zellrand 1 - 4. Die zugehSrigen F1/ichen werden mit A1, A2, A3 und A4, die zugeh5rigen Komponenten der Normalenvektoren mit nl, n2, n3 und n4 bezeichnet. Man erhglt:

/ -SV 0uinj 9 dV Vi,j +

-

/ V

Fi n.

dP

+

/ ~t2[l=l" n Ttl 9dA A1 -n3.dA+

u.v--u.

A3

1=3

+

I nU2[1=2"n2" dA A2 .n4.dA--0.

U.V--L~.

(5)

1=4

A4

Weiterhin wird angenommen, dass die Werte von u, O u / O t und F zum festen Zeitpunkt n in der Volumenzelle i, j konstant bleiben und damit nur Funktionen der Zeit sind: n

Ui -- konst.

Ouinj = konst, Ot

,

und

F n - konst.

Zusiitzlich sind die Fliisse auf den Seitenfl/ichen der Volumenzelle konstant. Damit erh/ilt man aus Gleichung (5):

duinj

n

vi,j - Fi n u,j + ~1~=1 ~ 1

dt +

( u.v-~,.-~y

o U ) l n~ : 3

n3.A3+

n

A~ + ~[~=~ ~

( u.v-,.-~y

A~

(~u) ]__4 r t 4 . A 4 - 0

.(6)

304

4 Numerische

LSsungsmethoden

Augerdem gilt fiir die Komponenten der Fl~ichennormalenvektoren nl - n3 = - 1 und n2 = nn - 1, fiir die Fl~chen A1 - A2 = A y . 1 und A3 = An - A x . 1 und ffir das Volumen Vi,j = A x - A y . 1 Eingesetzt in Gleichung (6) ergibt sich: du~,j 9A x - A y - Fin A x - A y dt ( Ou . Ax -- U " V -- I/ " -~y 1=3

)In

n n u211___l 9 Ay + u211__2 9 Ay

(

+

u . v -

OU)] n

u . ~

1----4

Ax

-

O

Die Fliisse an einem Seitenrand werden als arithmetisches Mittel aus den Nachbaxzellen berechnet bzw. der Gradient O u / O y als symmertrischer Differenzenquotient. Man erh~lt: du~,j dt

1 ~-Ay.

Ax. Ay- Fn. Ax-Ay-

1 ~-~.

n n [(U2)i,j ~- ( U 2 ) i + l , j ]

Ay.

-~- ~ " A X " --/.2. A X .

1

-- ~ .

n n [ ( U - V)i,j + ( U " V ) i , j + l ] Un __ U n . i,j+l 1,j __-- 0

n

[(U2)p_I,j-~-(?.t2)i,j]

AX"

n n [ ( U " V)i,j_ 1 -~- ( U " V)i,j ]

n __ n -~- t/" / ~ X " ui'j Ui,j--1

Ay

.

Ay Nach der Zeitableitung aufgelSst folgt daraus die gew5hnliche Differentialgleichung in der Zeit: n dui'j

dt

.

Fin. -~-t] 9

. 1

.

[ ( u 2 ) in+ l , j

2. Ax

( ~ t2) i -n- l , j ]

--

1 " [ ( ~ " v ) i n j + l -- ( U " v ) i n j _ l ] 2. A y

uin, j -+-1 -- 2 " Ui,j n _j[_ Ui,j n -- 1

( / x y ) ~.

b) Um die grogen Gradienten in y-Richtung in der Grenzschicht in Wandn~ihe richtig zu berechnen wird Ay zur Wand hin verkleinert. Ffir eine gute AuflSsung der Grenzschicht sollten mindestens 20 Gitterzellen in die laminare Grenzschicht fallen. Ist die Grenzschicht turbulent sollten ca. 10 Punkte in die viskose Unterschicht fallen um sie richtig aufzulSsen. Dabei sollte Ay so gewfihlt werden, dass die Schichtdicke unmittelbar an der Wand einen Wert ffir y+ von 1 hat.

Aufgabe 4.2.9

Reibungsfreie A u g e n s t r S m u n g

Eine e b e n e kompressible StrSmung in der (x,y)-Ebene kann auf~erhalb des Bereichs der GrenzschichtstrSmung durch die reibungsfreien EulerGleichungen beschrleben werden. Diese lauten z u s a m m e n mit der Kontinuit~tsgleichung ffir den vorliegenden Fall in Erhaltungsform: (0U

~

0-~ -~-

0Fm (0X m ---- 0

m--1

(1)

4.2 Diskretisierung

305

D a r i n b e z e i c h n e t U d e n L S s u n g s v e k t o r u n d Fm d e n V e k t o r d e r konvekt i v e n Flfisse. Zur L S s u n g d e r E u l e r - G l e i c h u n g e n soil eine z e l l z e n t r i e r t e Finite-Volum e n - M e t h o d e mit ~iquidistanten V o l u m e n z e l l e n des n o r m i e r t e n Volum e n s V~,j,k -- Ax. Ay. 1 mit ~iquidistanten K a n t e n l / i n g e n Ax - Ay e i n g e s e t z t w e r d e n . D e r W e r t e i n e r j e d e n S t r S m u n g s g r S g e aus U ist i n n e r h a l b j e d e r e i n z e l n e n V o l u m e n z e l l e zu j e d e m Z e i t p u n k t k o n s t a n t . I h r W e r t wird zu j e d e m Z e i t p u n k t jeweils im Z e l l m i t t e l p u n k t b e s t i m m t . Ffir die f o l g e n d e n T e i l a u f g a b e n wird ausschlieglich die E u l e r - G l e i c h u n g in y - R i c h t u n g b e t r a c h t e t :

0(p ~) 0~

+

0 ( p ~ ~) 0x

+

0(p ? ) + 0 p 0y

~-0

(2)

a) Vor B e g i n n e i n e r D i s k r e t i s i e r u n g in F i n i t e V o l u m e n ist die Differentialgleichung (2) zun~ichst als i n t e g r a l e E r h a l t u n g s g l e i c h u n g zu f o r m u l i e r e n . I n t e g r i e r e n Sie die E u l e r - G l e i c h u n g (2) fiber das G e s a m t v o l u m e n V mit d e r Gesamtoberfl~iche A u n d w e n d e n Sie d e n G a u g s c h e n I n t e g r a l s a t z an. D e r ~iugere O b e r f l ~ i c h e n n o r m a l e n - E i n h e i t s v e k t o r a u f d e r Gesamtoberfl~iche A sein n - ( n x , n y , n z ) . b) M i t Hilfe e i n e r z e l l z e n t r i e r t e n F i n i t e - V o l u m e n - M e t h o d e d i s k r e t i s i e r e m a n die i n t e g r a l e E r h a l t u n g s g l e i c h u n g aus A u f g a b e n t e i l a) u n d fiberffihre sie in eine g e w S h n l i c h e D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g in d e r Zeit zur B e s t i m m u n g d e r K o m p o n e n t e (p-v)inj des L S s u n g s v e k t o r s U als F u n k t i o n d e r T e r m e d e r k o n v e k t i v e n Flfisse einschlieglich des D r u c k e s .

A b b . 4.2.9 Finite-Volumen-Zelle

306

4 Numerische LSsungsmethoden

Es g e l t e n die f o l g e n d e n B e z e i c h n u n g e n , die sich aus d e r Skizze in A b b i l d u n g 4.2.9 e n t n e h m e n lassen: (/9. v)inj ist die L S s u n g s g r S g e i n n e r h a l b d e r V o l u m e n z e l l e Vi,j,k z u m Zeitp u n k t t = n. At = t n,

(/9" U" v)in,j ist d e r k o n v e k t i v e F l u s s in x - R i c h t u n g i n n e r h a l b d e r V o l u m e n zelle Yi,j,k z u m Z e i t p u n k t tn~ n. ist d e r k o n v e k t i v e F l u s s in y - R i c h t u n g i n n e r h a l b d e r V o l u m e n z e l l e (/9" V2~ j~,j Vi,j,k z u m Z e i t p u n k t t n, pi~,j ist d e r D r u c k i n n e r h a l b d e r V o l u m e n z e l l e Vi,j,k z u m Z e i t p u n k t tn~ I n d e x l - - 1 ist d e r I n d e x d e r Seitenfl~iche z w i s c h e n d e n V o l u m e n Vi-l,j,k u n d Vi,j,k I n d e x l - 2 ist d e r I n d e x d e r Seitenfl~iche z w i s c h e n d e n V o l u m e n Vi,j,k u n d Vi+l,j,k~

I n d e x 1 - 3 ist d e r I n d e x d e r Seitenfl~iche z w i s c h e n d e n V o l u m e n Vi,j-l,k u n d Vi,j,k I n d e x 1 -- 4 ist d e r I n d e x d e r Seitenfl~iche z w i s c h e n d e n V o l u m e n Vi,j,k u n d Vii,j-}-l,k,

nl m i t 1 C [1, 2, 3, 4] ist d e r ~iugere O b e r f l ~ i c h e n n o r m a l e n - E i n h e i t s v e k t o r a u f d e r Seitenfl~iche 1. A u f g r u n d d e r f i q u i d i s t a n t e n D i s k r e t i s i e r u n g in F i n i t e - V o l u m e n - Z e l l e n k S n n e n die b e n S t i g t e n W e r t e d e r Fliisse a u f d e n Seitenfl~ichen d e r Volum e n z e l l e n als a r i t h m e t i s c h e s M i t t e l d e r b e t r e f f e n d e n W e r t e in d e n Zellm i t t e l p u n k t e n z w e i e r b e n a c h b a r t e r Zellen a n g e g e b e n w e r d e n . Beispielsweise gilt a n d e r Seitenflllche 1 - 1: (p'U"

1

,

n

V)[?= 1 ---~ ~ " ((/9" U" V)i_l, j -~- (/9" U" V)i,j )

.

D a s E n d e r g e b n i s ist in f o l g e n d e r F o r m a n z u g e b e n : n n f((p . U V)i . n_l,j, . (/9 . ~t-v)in+l,j, (19 V2)inj -- 1, (/9 " V2) ni,j + 1 , Pi,j -- 1 , Pi,j+l, AX, /~y)

LSsung: a) Die Integration der Differentialgleichung (2) fiber das Gesamtvolumen V ergibt: +

+

c%

~

9d V -

0

,

v

O(

u) . dV

+

O(p . u . v)

bx v

v

i ) ( p . v 2) +

+

oy

(0)

. dV

+

. dV

-5;

~ v

-

O

'

4.2 Diskretisierung

307

J ~176

~.

+S

v

v

/~

IP'U'V I d V + / V , "" "

p

v

0

9dV = 0

(3)

0

Mit der Verwendung des Gauf~schen Integralsatzes: V. f.dV - ff. A

V

n.dA

erh/ilt m a n aus Gleichung (3)"

/~

d~+l

V

A

/..v//.x/ /Ill /''/ .

v'

0

/

~

d.+

A

. .. .x , . + l . ,

V

A

~

Ttz

dA - 0

nz

v'.

d.

A

+ fp. A

n y . dA = 0

(4)

b) Der U b e r g a n g von Gleichung (4) zu einer beliebigen Zelle i,j zum Zeitpunkt t - t n fiihrt mit der Bedingung, dass die Werte in der Volumenzelle u n d auf den jeweiligen Zellr~ndern konstant sind zu: O(p"

u)inj

Ot

Vi,j,k-~- f ( f l . A1

f(p.u.

~t. V)ll=l- 7tl- dA1 +

V)ll=2- n 2 . dA2

A2

-~- i ( p 9 V2)11--3" n3 9 dA3 + A3

f(p"

V2)11=4" nn 9 dAn

A4

-b j'pll=3 "n3 . dA3 -b f p l=4 . nn . dA4 - O , A3

d ( p . u)inj dt

A4

9 Vi,j,k + ( p. u. v)i[L 1 .n~. A1 + ( p . u . v)l['=2 . n 2 . A2

+ (p" v2)I~'_3-n3. A3 + (p. v2)1['-4 . n 4 - A 4 + plL~ " ~ " A~ + Pl~--4 "~4" A4 - 0

(5)

Die Fl~chen A1, A2, A3 u n d A4 berechnen sich aus A1 - A y . 1, A2 - A y . 1, A3 - A x . 1 u n d An - / k x . 1. Das Volumen ist mit Vi,j,k = A x . A y . 1 gegeben. Die Werte der K o m p o n e n t e n der Oberfl~chennormalen-Einheitsvektoren haben die Werte n~ - - 1 , n2 - +1, n3 - - 1 u n d n4 - +1. Setzt m a n diese Werte in die

308

4 Numerische LSsungsmethoden

Gleichung (5) ein ergibt sich: d(p. u)inj dt

ZXx. zxy - ( p . u . ~)lL~. ~xy + ( p . u . ~)J~_~. zxy - (p. v2)l~=a 9Ax + (p. v2)1~=4 9Ax - Pl['=a" Ax + pl[~=4 9 Ax - 0

d(p. ~)nj

1 =

dt

Ax 1

,

" [(P" ~" ~)1~:~ -- (p.U. v)l~:~]

+ S-~y [(P v~)lF=~ - ( p v~)lY=4 + plI~=3 -

pI{~=4]

(6)

"

Die Werte der Fliisse und der Drficke auf den Seitenw/inden der Volumenzelle ergeben sich aus den arithmetischen Mittelwerten der Werte in den Zellmittelpunkten: 1 n - E . ((p. u. V)i_l, j --~ ( p ' U "

(p.~-v)l?-i

1 V)lp--- 2 -- ~ "

(p'U"

((p'U"

n V)i,j -JI- ( p ' U "

n V)i,j )

,

(7)

n V)i_l_l,j)

,

(8)

(p-v~)l?=~ = ~1 9 ((p. V2)i,j _ 1 -Jl-(/9" V2'~'n'~ ,,,j/ n

1

n

n

( p ~)1~=, - 7 ( ( p ~)i,j + (p-V2)i,j+l) 1

n

n

,

(9)

,

(10)

(pi,j-~ + p~,j)

,

(11)

1 n n pl~=4 - ~" (pij + pi,j+l)

9

(12)

PI?=3 = -~"

Werden die Mittelwerte (7) - (12) in die Gleichung (6) eingesetzt erhglt man" d(p.

u)inj

dt

__

-

1

--21 . ( ( p . u . 1 . ((p

--~

1

Ax

"

n

-~ . ( ( p . u .

n

n

v)i,j + ( p . u .

v9 n

)i,j -+- (P"

v)n_l,j + (p" u " v)i,j) v)i+l,j

V2 n

)] 1

1 [1 n + ~yy " ~ " ((P" v2)i,j-1 + (P" v25n,i,j/~ n

n

1

n

n

)i,j+l) -1- ~ " (Pi,j--1 q- Pi,j) -- ~ " (Pi,j -+- Pi,j+l)

. (13)

Aus Gleichung (6) folgt schlieglich als Ergebnis: d(p-u)inj 1 = 9 [(/9"?./;" v)in__l,j -- ( p ' U " v)inq_l,j] dt 2. Ax -t-

Aufgabe 4.2.10

lAy.

2.

[(p. V 2 )i,j--1 n __ V2 n n n (/9" )i,jq-1 -t- Pi,j--1 -- Pi,j+l]

9

Instation~ire KanalstrSmung

E i n e e b e n e k o m p r e s s i b l e S t r S m u n g e i n e s F l u i d s der D i c h t e p u n d d e r d y n a m i s c h e n Z~ihigkeit # in e i n e m K a n a l erf'fihrt e i n e s p o n t a n e D r u c k ~inderung. D i e d a r a u s r e s u l t i e r e n d e i n s t a t i o n f i r e S t r S m u n g w i r d d u r c h

309

4.2 D i s k r e t i s i e r u n g

A b b . 4.2.10 Finite-Volumen-Zelle folgende B e w e g u n g s g l e i c h u n g b e s c h r i e b e n : Ow Op 02 w P" Ot = -O--~ -t- P " Ox 2

(1)

Die partikul~ire D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g (1) soil mit Hilfe e i n e r zellzentriert e n F i n i t e - V o l u m e n - M e t h o d e in eine gewShnliche D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g in d e r Zeit iiberfiihrt w e r d e n . D a z u v e r w e n d e m a n ~iquidistante Volum e n z e l l e n des n o r m i e r t e n V o l u m e n s Vi,j,k -- A x . A z . 1 mit ~iquidistanten Kantenl~ingen Ax u n d Az. D e r W e f t e i n e r j e d e n S t r S m u n g s g r S g e ist i n n e r h a l b j e d e r e i n z e l n e n Volum e n z e l l e zu j e d e m Z e i t p u n k t k o n s t a n t . I h r W e r t wird zu j e d e m Z e i t p u n k t jeweils im Z e l l m i t t e l p u n k t b e s t i m m t . Die B e z e i c h n u n g e n d e r Fl[ichen u n d V o l u m i n a lassen sich d e r A b b i l d u n g 4.2.10 e n t n e h m e n . LSsung: Zun~chst wird die paxtikul/ire Differentialgleichung (1) fiber das Gesamtvolumen V integriert: p . -~

. dV

-

v

p .

-~ v

-~z

+ # . ~

. dV

,

v

.dV +

- # " -~x "

-~x

+ ~ y ( O ) + -~z

"d V -

O

,

(2)

v

o v

v

p

.dV-O

(3)

310

4 Numerische L5sungsmethoden

Die F o r m u l i e r u n g e n in den Gleichungen (2) u n d (3) dienen dazu, einen Divergenzt e r m zu erzeugen, der die A n w e n d u n g des G a u g s c h e n Integralsatzes

/V.f.dV-/f.n.dA V

(4)

A

ermSglicht. Dabei ist f eine beliebige Vektorfunktion u n d n d e r Fl~ichennormalenvektor. Mit d e m Gaui~schen Integralsatz (4) folgt aus Gleichung (3)"

p-

-~--dV+

0

V

A 9d V - , .

9

ny

p -~x . n ~ . d A +

V

.dA-0

,

nz p.nz.dA-O

A

(5)

A

Der U b e r g a n g von Gleichung (5), die fiir das G e s a m t v o l u m e n V gilt, zu einer beliebigen Volumenzelle i, j z u m Z e i t p u n k t t = t n fiihrt m i t k o n s t a n t e n W e r t e n in der Volumenzelle u n d auf den jeweiligen Zellr~indern u n d mit den Bezeichnungen von A b b i l d u n g 4.2.10 zu:

n

/Ow[n

0Wi'j P" (~t

" Yi j,k - - P " '

/.C~W n

- ~ X 1__1

"~nl 9 dA1 - # .

~x

A

1--2 . n 2

9 dA2

A

+/p[~=3"n3"dA3+Jp[~=n'n4"dA4 A

P

.

OWinj Yi j ~

.

.

Owl n

., , k

P

=0

,

A

Owl n

-~---~-X1__1

nl . Al - # . ~

1=2

9 n 2

+pllna . n 3 . As + plL~ .ha.

9

A2 A4

--

O

(6)

Die Fl~chen A1, A2, As u n d A4 b e r e c h n e n sich aus A1 - / k z . 1, A2 = A z . 1, As = A x . 1 u n d A4 = / k x . 1. Das Volumen ist mit Vi,j,k = A x . A z - 1 gegeben. Die W e r t e der K o m p o n e n t e n der O b e r f l ~ c h e n n o r m a l e n - E i n h e i t s v e k t o r e n h a b e n die W e r t e n l -- - 1 , n2 -- +1, n3 -- - 1 u n d n4 = +1. Setzt m a n diese W e r t e in die Gleichung (6) ein ergibt sich: n (~W n 0Wi'j 9 AX" AZ + ~t " ~ X 1--1 " A Z P " ----~

(~W ]n

9 AZ

~" ~ X , 1--2

--P[~--3" /kx +p[~=4- A x -- 0

.

(7)

Zur Diskretisierung der Fliisse die sich aus G r a d i e n t e n ergeben werden FiniteDifferenzen b e n u t z t . D a m i t ergibt sich an den Seitenfl~ichen 1 - 1 u n d 1 - 2: (~W 9

n

n

n

Wi,j -- Wi--l,j -P"

Ax

n __ Wn. Wi+l,j 1j

0W '

P

O-x-x

1=2

--

#"

A x

(8) "

311

4.2 D i s k r e t i s i e r u n g

Fiir Fliisse die sich direkt aus den Werten in der Volumenzelle ergeben wird das arithmetische Mittel der Werte in den Zellmittelpunkten verwendet. An den Seitenfl~ichen 1 = 3 und 1 = 4 erhfilt man damit: 1 n n P[~--3 ---- ~ " (Pi,j--1 + Pi,j)

1 n n P[~--4 - - ~ " (Pi,j + P i , j + l )

,

(9)

Setzt man die Fliisse (8) und (9) in Gleichung (7) folgt: n

O W i 'j

P"

9 A X

. ,/~ Z -~- p "

n -- W 5 1 , j Wi,j

Ot

9 A Z --

p

.

win+ 1,j -- winj

Ax 1

2

n

9

/~Z

Ax n

(Pi,j--1 -~- Pi,j)

1

n

A X -~- ~

n

(Pi,j + P i , j + l )

/~X - - 0

.

(10)

Aus Gleichung (10) ergibt sich schliet~lich als Ergebnis die gewShnliche Differentialgleichung in der Zeit: n

n n n W i + l , j -- 2 9 wi, j -~- w i_ 1,j

OWi,j

P

Ot

#

(Ax) 2

n n Pi,j+ 1 - Pi,j- 1

+

2.Az

312

5

5 Anhang

Anhang

5.1

O b e r s i c h t fiber die A u f g a b e n

Auf den nachfolgenden Seiten findet man eine 0bersicht fiber die im 0bungsbuch zusammengestellten Aufgaben. In der Spalte mit der 0berschrift SG ist der Schwierigkeitsgrad der Aufgabe angegeben. Der Schwierigkeitsgrad einer Aufgabe ist mit einer Zahl von 1 bis 4 gekennzeichnet. Aufgaben mit dem Schwierigkeitsgrad 1 sind leicht zu 15sen, Aufgaben mit dem Schwierigkeitsgrad 3 besitzen ungef~hr den Schwierigkeitsgrad einer Priifungsaufgabe fiir eine Priifung in StrSmungslehre bzw. Mathematische Methoden der Str6mungslehre an der Universit~t Kaxlsruhe fiir Studenten des Maschinenbaus und Chemieingenieurwesens. Der Schwierigkeitsgrad 4 soll andeuten, dass die Aufgabe 'weiterfiihrend' ist, d. h. es wird eine Beispielaufgabe vorgestellt, die auch eventuell in einem Lehrbuch steht bzw. stehen kSnnte. Sie muss nicht unbedingt schwieriger als eine Priifungsaufgabe sein (also nur Mut!!).

KAPITEL 2.1

StrSmungsbereiche

2.2

H y d r o s t a t i k und A e r o s t a t i k

AUFGABE 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4

2.2.1 H y d r o s t a t i k

2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5 2.2.6

2.2.2 A e r o s t a t i k

2.2.7 2.2.8 2.2.9

2.3

Hydro- und A e r o d y n a m i k , Stromfadentheorie

2.3.1 K i n e m a t i s c h e G r u n d b e g r i f f e

2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4 2.3.5

SG

313

5.1 0bersicht fiber die Aufgaben

KAPITEL

AUFGABE

2.3.2 I n k o m p r e s s i b l e S t r S m u n g e n

2.3.6 2.3.7 2.3.8 2.3.9 2.3.10 2.3.11 2.3.12 2.3.13 2.3.14

2.3.3 K o m p r e s s i b l e S t r S m u n g e n

2.3.15 2.3.16 2.3.17 2.3.18 2.3.19 2.3.20

2.4

Berechnung von technischen StrSmungen

2.4.1 T u r b u l e n t e S t r S m u n g e n

2.4.1 2.4.2 2.4.3 2.4.4 2.4.5 2.4.6

2.4.2 I m p u l s s a t z

2.4.7 2.4.8 2.4.9 2.4.10 2.4.11 2.4.12 2.4.13 2.4.14

2.4.3 D r e h i m p u l s s a t z

2.4.15 2.4.16 2.4.17 2.4.18

2.4.4 R o h r h y d r a u l i k

2.4.19 2.4.20

SG

314

5 Anhang

KAPITEL

AUFGABE 2.4.21 2.4.22 2.4.23 2.4.24

2.4.5 S t r S m u n g e n N i c h t - N e w t o n s c h e r Medien

2.4.25 2.4.26 2.4.27

2.4.6 S t r S m u n g s a b l S s u n g

2.4.28 2.4.29 2.4.30 2.4.31 2.4.32

2.4.7 S t r S m u n g e n mit W ~ i r m e i i b e r t r a g u n g

2.4.33 2.4.34 2.4.35

2.4.8 S t r S m u n g s m a s c h i n e n

2.4.36 2.4.37 2.4.38

3.1

Kontinuit~it s g l e i c h u n g

3.2

N a v i e r - Stokes- G l e i c h u n g e n

3.1.1 3.1.2

3.2.1 Laminare S t r S m u n g e n

3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.2.4 3.2.5

3.2.2 Reynolds-Gleichungen

3.2.6 3.2.7 3.2.8 3.2.9

3.2.3 Turbulenzmodelle

3.2.10 3.2.11 3.2.12

3.3

Energiegleichung

3.3.1 Laminare S t r S m u n g e n

3.3.1

SG

5.1 0bersicht fiber die Aufgaben

KAPITEL

315

AUFGABE 3.3.2

3.3.2 Turbulente Str6mungen 3.4

3.3.3

Grenzschichtgleichungen

3.4.1 Inkompressible StrSmungen

3.4.1 3.4.2 3.4.3

3.4.2 K o m p r e s s i b l e S t r S m u n g e n

3.4.4

3.5

Potentialgleichungen

3.5.1 K o m p r e s s i b l e S t r S m u n g e n

3.5.1 3.5.2 3.5.3

3.5.2 I n k o m p r e s s i b l e S t r S m u n g e n

3.5.4 3.5.5 3.5.6 3.5.7 3.5.8

3.6

G r u n d g l e i c h u n g e n in E r h a l t u n g s f o r m

3.6.1 3.6.2

4.1

Analytische Vorbereitung

4.1.1 D i m e n s i o n s a n a l y s e

4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4

4.1.2 L i n e a r i s i e r u n g

4.1.5 4.1.6 4.1.7

4.1.3 Stabilit~itsanalyse

4.1.8

4.1.4 S t r u k t u r a n a l y s e

4.1.9 4.1.10 4.1.11

4.2

Diskretisierung

4.2.1 G a l e r k i n - M e t h o d e

4.2.1 4.2.2 4.2.3

4.2.2 F i n i t e - E l e m e n t e - M e t h o d e

4.2.4

SG

316

5 Anhang

KAPITEL

AUFGABE

4.2.3 F i n i t e - D i f f e r e n z e n - M e t h o d e

4.2.5 4.2.6 4.2.7

4.2.4 F i n i t e - V o l u m e n - M e t h o d e

4.2.8 4.2.9 4.2.10

SG

5.2 StrSmungsmechanikSoftware 5.2

StrSmungsmechanik

317 Software

Das T~tigkeitsfeld des Ingenieurs hat nicht nur im Bereich der StrSmungsmechanik durch den verst~kten Rechnereinsatz und die Vernetzung der Rechner erhebliche Ver~tnderungen erfahren. Neben den analytischen F~ihigkeiten, strSmungsmechanische Probleme zu 15sen, wird in der industriellen Praxis zunehmend der Umgang mit strSmungsmechanischer Software gefordert. Um diese Entwicklung zu fSrdern, haben wir begleitend zu den 0bungsaufgaben 0bungssoftware bereitgestellt, die den Einstieg in die Nutzung kommerzieller StrSmungsmechanik-Software erleichtern soll. Dabei ist es unumg~nglich, dass man den aktiven Umgang mit strSmungsmechanischer Software auf vernetzten Rechnern fiir die sp~itere Berufspraxis selbst~indig fibt. Die Entwicklung des Internets bietet die MSglichkeit, vorlesungsbegleitende StrSmungsmechanik Software, abrufbar auf der Homepage des Institutes fiir StrSmungslehre an der Universit~t Kaxlsruhe, bereitzustellen und die Interaktion zwischen Studenten und Ausbildungspersonal durch das Verschicken von e-mails zu fSrdern.

I http://www-isl.mach.uni-karlsruhe.de

I

Die das 0bungsbuch begleitende Software gliedert sich entsprechend der Buchkapitel. Die Grundlagen der StrSmungsmechanik in Kapitel 2 werden durch das Software-Modul

KAPPA-Stromfaden http: / / www-isl, roach, uni-kar lsruhe, de / LEHRE / SO F TWA RE / st romfaden, ht ml erg~inzt (siehe Abb. 5.2.1). Dabei werden die algebraischen Gleichungen der eindimensionalen Stromfadentheorie Kapitel 2.3.2 und 2.3.3 sowie die zweidimensionale Navier-Stokes-Gleichung fiir die reibungsbehaftete StrSmung iterativ fiir vorgegebene Beispiele gelSst. Als Anwendungsbeispiele wurden die KraftfahrzeugumstrSmung und TragfliigelumstrSmung (inkompressibel), die StrSmung durch eine Diise und im Stot~rohr (kompressibel) ausgew~hlt. Durch Anklicken der angebotenen Optionen l~st sich z. B. die station~e, kompressible, reibungsfreie StrSmung durch eine Laval-Diise berechnen. Als Ergebnis erh~ilt man Druck- und Mach-Zahl-Verlauf p(x) und M(x) l~ings der Diisenachse fiir ein jeweils gewfiahltes DruckverhfiJtnis von Gegendruck PA am Dfisenausgang zu Ruhedruck po im Kessel, an dem die Diise angeschlossen ist. KAPPA-Stromfaden bietet somit die MSglichkeit, den Einfluss des DruckverhfiJtnisses auf die sich einstellende charakteristische StrSmungsform in der Diise zu studieren.

318

5 Anhang

Beispielsweise erkennt man, dass bei einem Druckverhfiltnis ( P A / P o ) - - 0.98 iiberall in der Diise eine reine UnterschallstrSmung mit der maximalen Mach-Zahl am engsten Querschnitt von Mmax ~ 0.37 vorherrscht. Bei Absenken des Druckverhfiltnisses auf beispielsweise ( P A / P o ) - - 0.9 stellt sich stromab des engsten Querschnittes ein senkrechter Verdichtungsstot~ ein, was man am sprungartigen Abfall der MachZahl von M > 1 auf M < 1 erkennen kann. Bei einem geringen Druckverh~ltnis yon z. B. ( P A / P o ) - - 0.1 erh~lt man schlie$1ich eine kontinuierlich beschleunigte StrSmung in der Laval-Diise, bei der die Mach-Zahl l~ings der Diisenachse von anf~nglich M ~ 0.22 um einen Faktor 10 auf etwa M ~ 2.2 ansteigt. Die a n a l y t i s c h e n u n d n u m e r i s c h e n L S s u n g s m e t h o d e n in Kapitel 4 werden fiir ausgew~hlte Ubungsbeispiele (z. B. die KanalstrSmung) mit einer Reihe von

A b b . 5.2.1 Eingabemenii von KAPPA-Stromfaden

5.2 StrSmungsmechanikSoftware

319

Software-Beispielen behandelt (siehe Abb. 5.2.2).

Mathematische Methoden der StrSmungsmechanik http: //www-isl. mach. uni-karlsruhe, de/LEHRE/software, ht ml Die G r e n z s c h i c h t s t r S m u n g e n des Kapitels 3.4 lassen sich mit den SoftwarePaketen in

Angewandte StrSmungsmechanik http: / / www-isl, mach. uni-karlsruhe, de/L EHRE/software. ht ml berechnen (siehe Abb. 5.2.3). Die Programmpakete zu den einzelnen Themen bestehen jeweils aus einem Quellprogramm in der Programmiersprache FORTRAN, grSfotenteils aus einem zus~tzlichen Parameter-File, sowie aus einem Programm zur grafischen Aufbereitung der Ergebnisdaten. Sofern die analytische LSsung eines Problems bekannt ist, wird sie ebenfalls berechnet und zu Vergleichszwecken mit der LSsung, die das numerische N~herungsverfahren liefert, in das gleiche Diagramm eingezeichnet. Durch Variation der Parameter im Parameter-File, z. B. die Anzahl der Ansatzfunktionen bei der Galerkin-Methode, kann dann die Auswirkung auf die numerische N~herungslSsung diskutiert werden.

Abb. 5.2.2 Software-Beispiele zu Mathematische Methoden der Str5mungslehre

320

A b b . 5.2.3 Software-Beispiele zu GrenzschichtstrSmungen

5 Anhang

321

Bezeichnungen A

[m 2]

B. b

[.q

cf Cp ~. Cv ~w

[] [] [Jl(kgK)] [Y/(kgK)] []

D. d e r f ~ F~ FI F Fr c G

[.~] [J/kg] IN] [l/s] IN] IN] [g]

H, h h h g

[~] [J/kg] [w/(.~K)I [.~4]

K K' k~ L L, l

[J/kg] [Y/kg] [~] [W] [~] [~] [] [N~] [N.~]

1 m M MI

[l IN]

[kg]

F1/~che, Querschnittsfl~che Schallgeschwindigkeit Breite Beschleunigung Reibungsbeiwert Druckbeiwert spezifische W/irmekapazit/it bei konstantem Druck spezifische W~mekapazit/it bei konstantem Volumen Widerstandsbeiwert Geschwindigkeit in Stromfadenrichtung, Absolutgeschwindigkeit Durchmesser, L~inge spezifische innere Energie Kraft Frequenz Auftriebskraft Druckkraft Impulskraft konvektiver Fluss Froude-Zahl Gewichtskraft dissipativer Fluss Erdbeschleunigung HShe spezifische Enthalpie W/irmeiibergangskoeffizient F1/ichentr~gheitsmoment zeitlich gemittelte Turbulenzenergie Turbulenzenergie mittlere Sandkornrauhigkeit Leistung L~nge Mischungswegls Mach-Zahl Moment Impulsmoment Masse Massenstrom

322 NPSH Nu n n

P Pr

Bezeichnungen

[m] [] [1 [] [Pa]

Q Q

[1 [m~/~] [J] [W]

q R R, r Re

[J/(kgK)] ['~]

8

[J/(kgK)]

8

[ml [l [Kl [~] [~] [.~/~l

Str T T t U

[W/.~ ~]

[1

U u

[m/s] [m3]

[.~/s]

W W

[m/~l lm/~l [N ] [m/~]

w

[-~/~]

v

X x

Y z

[l [m] [ml [m]

Nominal pump suction head, Halteh5he Nuf~elt-Zahl polytropen Exponent, Drehzahl Normalenvektor Druck Prandtl-Zahl Quellst~ke, Senkenst~ke W~memenge Heizleistung, W~memenge pro Zeiteinheit, W~mestrom W~memenge pro Fl~ichen- und Zeiteinheit spezifische Gaskonstante Radius Reynolds-Zahl spezifische Entropie Stromfadenkoordinate, Spaltbreite Strouhal-Zahl Temperatur Periodendauer Zeit Geschwindigkeit eines KSrpers in x-Richtung, AnstrSmgeschwindigkeit LSsungsvektor Geschwindigkeitskomponente in x-Richtung, Geschwindigkeitskomponente in Umfangsrichtung Volumen Geschwindigkeit eines KSrpers in y-Richtung, AnstrSmgeschwindigkeit Volumenstrom Geschwindigkeitskomponente in y-Richtung Geschwindigkeitsvektor Widerstand Geschwindigkeit eines KSrpers in z-Richtung, AnstrSmgeschwindigkeit Geschwindigkeitskomponente in z-Richtung, Relativgeschwindigkeit Dampfgehalt kartesische Koordinate kartesische Koordinate kaxtesische Koordinate

Bezeichnungen Ct

A Aa A1 Apv 5 (~T

F t~

P #t /2

r q) P T

[1 [1

[J/kg] [Jim 3] [N/~ ~] [-~] [-~] [J/(kgs)] [] [.~:/~] 11 [] [w(.~s)] [Ns/~ ~] [Ns/.~ ~] [.~/~1 1-~/~1 1.~:/,1 [1/s ~1 Ira:/,] [N/-~I [kg/.~ ~1 [,1

T Tw

0 02

I l!

^

0(3

u

[1 [1/~] [1 [1

323 Winkel Winkel Dicke der viskosen Unterschicht spezifische Arbeit volumenspezifische Arbeit Druckverlust Grenzschichtdicke Temp eraturgrenzschicht dicke Dissipationsrate Wirkungsgrad Wirbelst~ke, Zirkulation Verh~iltnis der spezifischen W~men, Isentropenexponent Verlustbeiwert W~meleitf~higkeit dynamische Z~higkeit turbulente Z~higkeit kinematische Z~higkeit Potentialfunktion St5rpotential Dissipationsfunktion Stromfunktion Oberfl~chenspannung, Normalspannung Dichte charakteristische Zeit Schubspannung Wandschubspannung Winkel Drehung, Winkelgeschwindigkeit Winkel Verlustkoeffizient SchwankungsgrS~e, St5rgrS~e massengemittelte SchwankungsgrS~e kritische GrSf~e, dimensionslose GrS~e Wellenamplitude zeitlich gemittelte GrS~e zeitlich massengemittelte Gr5t~e Anstr5mgr5l~e Radialkomponente Umfangskomponente

324 Ausgew~ihlte Literatur

StrSmungsmechanik L e h r b f i c h e r G. K. Batchelor. An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge University Press,

Cambridge, 2005. H. Oertel jr. Introduction to Fluid Mechanics. Vieweg-Verlag, Braunschweig, Wies-

baden, 2001, Universit~tsverlag, Karlsruhe, 2005. H. Oertel jr., M. BShle. StrSmungsmechanik- Methoden und Ph~inomene. Springer-

Verlag, Berlin, Heidelberg, 1995, Universit~itsverlag, Karlsruhe, 2005. H. Oertel jr., M. BShle. StrSmungsmechanik. 3. Auflage, Vieweg-Verlag, Braun-

schweig, Wiesbaden, 2004. H. Oertel jr., E. Laurien. Numerische StrSmungsmechanik. 2. Auflage, Vieweg-

Verlag, Braunschweig, Wiesbaden, 2003. H. Oertel jr., J. Dells. StrSmungsmechanische Instabilit~iten. Springer-Verlag, Ber-

lin, Heidelberg, 1996, Universit~itsverlag, Karlsruhe, 2005. L. Prandtl, H. Oertel jr., ed. Prandtl- Fiihrer durch die StrSmungslehre. 11. Auflage,

Vieweg-Verlag, Braunschweig, Wiesbaden, 2002. L. Prandtl, H. Oertel jr.. Essentials of Fluid Mechanics.. 2. edition, Springer-Verlag,

Berlin, Heidelberg, New York, 2004. H. Schlichting, K. Gersten.

Gr enzschicht- Theorie. 10. Auflage, Springer-Verlag,

Berlin, Heidelberg, 2005. H. Schlichting, K. Gersten. Boundary Layer Theory. 8. edition, Springer-Verlag,

Berlin, Heidelberg, New York, 2003. J. H. Spurk. StrSmungslehre. 5. Auflage, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 2004. J. H. Spurk. Fluid Mechanics. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1997.

Str6mungsmechanik U b u n g s b f i c h e r H. Oertel jr., M. BShle. Ubungsbuch StrSmungsmechanik. Springer-Verlag, Berlin,

Heidelberg, 1993. H. Oertel jr., M. BShle, U. Dohrmann. Ubungsbuch StrSmungsmechanik. 4. Auflage,

Vieweg-Verlag, Braunschweig, Wiesbaden, 2003. J. H. Spurk. Aufgaben zur StrSmungslehre. 2. Auflage, Springer-Verlag, Berlin,

Heidelberg, 1996.

325

Sachwortverzeichnis K-Gleichung, 201 AblSsekriterium, 155, 157 Absaugung, 207 .~hnlichkeitsgesetz, 149, 150 Aerodynamik, 29, 312 Aerostatik, 11, 22, 312 Akustik-Gleichung, 261, 263 Anfangs-Randwertproblem, 282, 297 Anfangsbedingung, 34, 37, 39, 40, 220, 221,282, 294, 296-298 AnlaufkanalstrSmung, 294 Ansatzfunktion, 278, 279, 283-289 Anstellwinkel, 4, 5, 226 Antriebsleistung, 168, 170 Approximation, 283, 285, 294, 295 Arbeit spezifische, 166 Atmosph~e, 12, 22, 25-28, 63, 69, 71, 94, 121, 125 isotherme, 22-24 polytrope, 22, 23, 25, 26 Atmosph~endruck, 15, 63, 64, 71, 122, 128 AugenstrSmung, 3, 8, 51, 62, 92, 217, 225, 232, 240 Auftrieb, 160 Auftriebsbeiwert, 227 Auftriebskraft, 15, 16, 20, 21, 25, 27, 228 Ausfluss, 45, 48, 122 Austrittsverlust, 128, 130 Axiallaufrad, 165 B~nard-Konvektion, 267 Baldwin-Lomax-Turbulenzmodell, 200, 201 Beh~lter

rotierend, 17 Bernoulli-Gleichung, 52, 60, 95, 105, 107, 109, 120, 124, 127, 128, 131, 132, 135, 164, 165, 222, 264, 265 inkompressible StrSmung, 41, 42, 44-46, 49, 54, 55, 57, 64, 93, 96, 121, 125, 127, 238, 242, 244 instation~e StrSmung, 43, 46, 49 kompressible StrSmung, 62 station~e StrSmung, 45, 62 Blasius, 216 Blasius-Formel, 77, 214, 216 Blasius-Gleichung, 219 Blut, 145 Blutviskosit~t, 146 Boussinesq-Annahme, 86-88, 199, 20O Boussinesq-Gleichungen, 267 Charakteristik, 300 linksl~ufige, 225, 227, 230 rechtsl~ufige, 226, 227 Couette-StrSmung, 89, 204, 206, 210 Dampfdruck, 127, 163 Deltafliigel, 275, 276 Differenzen-Methode, 292, 296, 297, 316 Differenzenquotient, 292, 294, 295, 297 Diffusion molekulare, 202 turbulente, 202, 203 Diffusor, 48, 49 Dimensionsanalyse, 2, 253, 315

326 DipolstrSmung, 240, 243 Dissipation, 202, 203, 210 Dissipationsfunktion, 205 Drehimpuls, 169 Drehimpulssatz, 111-113, 115, 117, 119, 313 Drehtisch, 19-21 Drehung, 29 Drehungsfreiheit, 171, 172, 232 Drehzahl, 165, 168 spezifische, 165, 167 Druck statischer, 5, 8, 9, 67, 72, 101, 175, 276 Druckabfall, 10 Druckbeiwert, 4, 5, 59, 60, 225-227, 230, 240, 242, 264, 266 Druckgradient, 175, 177, 178, 180-182, 184, 222, 223, 272 Druckkraft, 13, 14, 51, 95, 97, 99, 101, 106, 107, 110, 152, 184, 231, 245 Druckluftkessel, 63 DruckstSrung, 261 Druckverhfiltnis, 64, 66 kritisches, 64 Druckverlust, 98, 124, 130-133, 143, 144 Druckverteilung, 229, 230, 237, 238, 240, 242, 244, 245 Druckwiderstand, 59, 84, 152, 153 DiisenstrSmung, 66, 67, 69, 96, 237 DuFort-Frankel-Methode, 294 EckenstrSmung, 233 Eigenfrequenz, 154 Eigenfunktion, 273 Eigenwert, 273 Eigenwertproblem, 272, 273 EinlaufstrSmung, 98, 136 Einlaufverlust, 127, 128, 134

Sachwortverzeichnis Eintrittsverlust, 130 Energiegleichung, 204, 205, 208, 211-213, 224, 267, 268, 314 Energiesatz, 68 Energiezufuhr, 57, 128 Erhaltungsform, 248, 249 Euler-Gleichung, 261, 262, 304, 305 Favre-Mittelung, 195, 198, 211 Fehler, 280 numerischer, 296 Fliisse dissipativ, 249 konvektiv, 249 Fliissigkeit-D ampfabscheide, 9 Fliissigkeitsschicht, 267 Fliissigkeitsstrahl, 108 FSrderhShe, 163, 165 Fokus, 275, 277 Fourier-Ansatz, 162 Freistrahl, 53, 56 Freistrahlbedingung, 54, 55, 58 Froude-Zahl, 258 Galerkin-Methode, 278, 282-285, 287-289, 292, 315 Gas ideales, 22, 27, 28, 72, 74, 172, 224, 265 Gasgleichung ideale, 64, 68, 69, 74, 125, 173 Gaskonstante spezifische, 22, 26, 63, 66, 72, 265 GasstrSmung, 9, 10, 63 Gaut~scher Integralsatz, 303 Geb~udeumstrSmung, 6 Gesamtdruck, 66, 67, 69-71, 75, 76 Gesamtwiderstand, 78, 83-85, 152, 153 Geschwindigkeitsdreieck, 167-170

327

Sachwortverzeichnis

Goldstein-Regel, 276, 277 Grenzschichtdicke, 79, 80, 100, 104, 214, 216, 259 Grenzschichtgleichung, 2, 214, 217, 218, 222, 223, 301,303, 315 Grenzschichtprofil, 3, 81,216 GrenzschichtstrSmung, 301 laminar, 223 Haftbedingung, 8, 176, 179, 180, 205, 217, 221, 250 Halbsattel, 275, 277 Halteenergie, 163 HaltehShe, 164 Hydraulisch glatt, 123, 125, 126, 136 Hydrodynamik, 29, 312 Hydrostatik, 11,312 Impulserhaltung, 249 Impulsgleichung, 92, 97, 195, 267, 268 Impulskraft, 91-95, 97, 99-103, 107, 110, 111 Impulsmoment, 112, 114-118 Impulssatz, 91, 95, 97-100, 103, 106, 110-112, 214, 313 Instabilit~it, 270, 273 Isentropenexponent, 63, 66, 72, 264 KanalstrSmung, 85, 175, 278, 287, 292, 294, 308 Kegelventil, 15 Kennzahl, 253-260 Kessel, 64, 65, 69, 70 Knotenpunkt, 274, 277 Kontinuit~itsgleichung, 41, 44, 46, 49, 55, 64, 67, 93, 94, 96, 105, 107, 109, 110, 119, 121, 123, 128, 134, 171, 172, 175, 179, 183, 186, 191, 194, 195, 205, 207, 208,

217, 218, 221, 223, 232, 250, 261,262, 271,304, 314 Kontrollfl~iche, 97, 100, 112, 115, 117, 119 Kontrollraum, 91-95, 97, 99-101, 103, 106, 107, 110, 112-114, 143 Kontrollvolumen, 91, 93, 99, 100 Konvektion, 202 erzwungene, 161 Kopfwelle, 74 Kr/~tebilanz, 143 KraftfahrzeugumstrSmung, 3, 276 Kreiszylinder, 147, 240, 242, 243 KreiszylinderumstrSmung, 240, 241 Kriimmer, 94, 111-113, 120, 121, 127 Kriimmerverlust, 122, 130 Kugel, 102, 151, 253 KugelumstrSmung, 151, 253, 255 Kugelwiderstand, 152 Laval-Diise, 63, 66, 67, 69, 71-73 Luftdruck, 16, 24, 25, 123 Mach-Zahl, 4, 5, 62, 65-68, 70-75, 225, 226, 228, 258, 264, 266 Masseerhaltung, 249 Massenstrom, 63-68, 72, 73, 101, 102, 115, 175, 177, 178 Navier-Stokes-Gleichung, 2, 120, 151, 175, 179, 183, 186, 189, 190, 193, 208, 209, 221, 223, 267, 270, 314 Newtonscher Reibungsansatz, 81, 182-185, 215 Nicht-Newtonsches Medium, 142, 145, 314 Nikuradse-Diagramm, 124, 125, 136 NPSH-Wert, 163 Nusselt-Zahl, 157, 158

328 Parabelprofil, 229 Parallelstrahl, 66 ParallelstrSmung, 3-5, 39, 228, 230 Plattengrenzschicht, 77, 79, 82, 83, 100, 101,216, 217 Polytropenexponent, 23, 24, 26 Potentialfunktion, 232, 233, 235 Potentialgleichung, 2, 225, 232, 315 linear, 232 linearisiert, 225, 226 PotentialstrSmung, 232 Potentialwirbel, 51, 52, 236, 238, 243, 282, 296 Prallstrahl, 92 Prandtl-Formel, 125, 126 Prandtl-Gleichung, 165 Prandtl- Schlichtingsches Widerstandsgesetz, 78 Prandtl-Zahl, 157, 206 Prandtlsche Mischungswegl~nge, 85, 89 Prandtlscher Mischungsweg, 82, 86, 88, 90, 198, 199 Produktion, 202, 203 Profilgrenzschicht, 4, 5 ProfilumstrSmung, 4, 58, 228 Pumpe, 56-58, 126-128, 163 Pumpenanlage, 129 Pumpenlaufrad, 116, 117 Pumpenleistung, 127-129 Punkt singul~, 276 Quelle, 234, 235 Quellen-SenkenstrSmung, 234, 235 Quellenst~ke, 234 Querschnitt engster, 64, 65, 67, 69, 71, 73 Radiallaufrad, 168

Sachwortverzeichnis Randbedingung, 32, 35, 37, 109, 176, 177, 180, 182-185, 187, 188, 206, 217, 218, 220, 221, 278, 279, 282, 283, 288, 291-294, 296-300 Randwertproblem, 282, 283, 285 Rayleigh-Stokes-Problem, 183, 185, 219, 221 Reibungsgrenzschicht, 159 Reibungskraft, 143 Reibungswiderstand, 59, 77, 78, 83, 84, 152, 153 Residuum, 280 Reynolds-Zahl kritische, 83 Reynolds-Ansatz, 86, 87, 193, 194, 196, 198, 202 Reynolds-Gleichung, 189-193, 314 Reynolds-Zahl, 53, 55, 72, 78, 80, 104, 123-126, 136, 143, 145, 148, 150, 151, 154, 155, 157, 160, 165, 226, 255, 256, 258, 273 kritische, 78, 79, 84 Reynoldssche scheinbare Schubspannungen, 87, 89 RohreinlaufstrSmung, 98 Rohrhydraulik, 120, 313 Rohrleitungssystem, 53, 54, 56-58 Rohrreibung, 120 Rohrreibungsverlust, 121, 122, 127, 128 RohrstrSmung, 98, 99, 115 Rossby-Wellen, 285 Ruhedruck, 72 Sandkornrauhigkeit, 122-124, 126, 129-131, 133, 136 Sattelpunkt, 275, 277 Schallgeschwindigkeit, 64, 65, 68-71, 73, 75, 232, 259, 261-265

Sachwortverzeichnis Schallwelle, 261 Scherrate, 146 Schleppwiderstand, 256, 257 Schnittufer, 184 Schubspannung, 151, 182-184, 223 scheinbare, 193, 199, 200 Schubspannungskraft, 152, 184 Schubumkehr, 108 SchwankungsgrSt~e, 193-195, 198, 211, 212 SekundfixstrSmung, 155, 156 Senke, 234, 235 Senkenstfixke, 234 Stabilit~it, 267, 270 numerische, 295, 297 Stabilit~tsanalyse, 2, 270, 273, 315 Stabilit~tsdiagramm, 270, 273 StarrkSrperwirbel, 52 Staudruck, 74 StaupunktstrSmung, 29 Stoi~-Grenzschicht-Wechselwirkung, 258 Stot~gleichungen, 68, 75 Stokesscher Reibungsansatz, 249 Stokessches Widerstandsgesetz, 160 Strahlumlenkung, 102 StrSmung drehungsfrei, 30, 31, 171, 172, 232 ebene, 31, 33, 36, 59, 205, 234 inkompressibel, 5, 9, 10, 40-42, 44-46, 49, 51, 54, 55, 57, 58, 63-65, 93, 96, 121, 125, 127, 150, 151, 171, 176, 179, 186, 190, 191, 193, 198, 205, 214, 216, 217, 220, 222, 223, 232, 238, 242, 244, 278, 313, 315 instation~, 33, 36, 43, 46, 49, 190, 220, 294

329 kompressibel, 9, 10, 62, 63, 65, 195, 211, 222-225, 263, 264, 304, 308, 313, 315 quasi-station~, 43, 195, 211, 212 station~, 5, 6, 31, 35, 45, 62, 66, 72, 108, 115, 117, 171, 172, 175, 176, 179, 186, 193, 217, 222, 253, 278, 292 technisch, 313 StrSmungsablSsung, 314 StrSmungsmaschinen, 314 Stromfaden, 62, 64, 93, 95, 96, 105-107, 120, 121, 124, 127, 128, 135, 238 Stromfadentheorie, 2, 29, 67, 312 Stromfunktion, 217, 218, 232, 233, 235-241, 243, 244 Stromlinie, 5-8, 29-39, 51, 60, 84, 234-236, 240-244, 274 Strouhal-Zahl, 154, 256 Strukturanalyse, 2, 273 Teilchenbahn, 33, 34 Temperaturgrenzschicht, 158, 159 Topologie, 276 Tornado, 50-52 Tragfliigel, 62, 258, 264 Tragiliigelprofil, 4, 258, 263, 266 TragiliigelumstrSmung, 62, 200, 263 TranslationsstrSmung, 234, 235, 240, 243 Triebwerk, 108 Turbine, 133-135 Turbulenzenergie, 202 Turbulenzmodell, 201 U-Rohr, 11, 12, 41 U-Rohrmanometer, 11, 12, 40, 41 0berdruck, 12

330 Ubergang laminar-turbulenter, 80, 84, 147 Uberlagerungsprinzip, 235, 238, 240 Oberschallmessstrecke, 65 UberschallstrSmung, 70, 225-229 Umlenkverlust, 128 UnterschallstrSmung, 67, 258 Unterschicht viskose, 79, 81, 123, 126, 136, 304 Verdichtungsstofb, 66, 68-71, 74-76, 258, 259 Verlustbeiwert, 130, 132, 164 Verlustkoeffizient, 130, 132 W~meleitf'fi~higkeit, 161, 207, 211 W~meleitung, 162, 208 W~memenge, 158, 160-162 W~mestrom, 161, 162 W~metransport, 207 W~meiibergang, 159 W/irmeiibergangskoeffizient, 157, 159-161 W/irmeiibertragung, 157, 314

Sachwortverzeichnis Wandschubspannung, 59, 81, 84, 182, 214, 215, 259 Widerstand, 59, 61, 78, 83, 84, 100, 152, 214, 253 Widerstandsbeiwert, 59, 84, 85, 143, 145, 147, 148, 227 Widerstandskraft, 101, 145, 149, 150, 228, 253 Wiedereintrittsflugzeug, 74 Wirbel, 236, 238, 255, 275, 276 WirbelablSsung, 154, 255 Wirbelstra~e, 154, 255 WirbelstrSmung, 52, 243 Wirkungsgrad, 165, 168 Z/ihigkeit turbulent, 82, 83, 88 Zentrifugalfeld, 17 Zirkulation, 243, 244 Zustands~nderung isentrope, 261, 262, 264, 265 polytrope, 23 ZylindernachlaufstrSmung, 255 ZylinderspaltstrSmung, 185 ZylinderumstrSmung, 255