Partielle Differentialgleichungen und numerische Methoden

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Author: Stig Larsson | Vidar Thomee

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Larsson · Thomée Partielle Differentialgleichungen und numerische Methoden

Stig Larsson · Vidar Thomée

Partielle Differentialgleichungen und numerische Methoden Übersetzt von Micaela Krieger-Hauwede

123

Stig Larsson Vidar Thomée Matematiska Vetenskaper Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet SE-41296 Göteborg Sweden [email protected] [email protected] Übersetzer: Micaela Krieger-Hauwede [email protected]

Die englische Originalausgabe erschien 2003 im Springer-Verlag Heidelberg unter dem Titel: „Partial Differential Equations with Numerical Methods“ (ISBN 3-540-01772-0)

Mathematics Subject Classification (2000): 35-01, 65-01

Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.ddb.de abrufbar.

ISBN 3-540-20823-2 Springer Berlin Heidelberg New York Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Springer ist ein Unternehmen der Springer Science+Business Media springer.de © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2005 Printed in The Netherlands Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, daß solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: design & production GmbH, Heidelberg Herstellung: LE-TEX Jelonek, Schmidt & Vöckler GbR, Leipzig Satz: Reproduktionsfertige Vorlage vom Autor Gedruckt auf säurefreiem Papier 46/3142YL-5 4 3 2 1 0

Vorwort

Das Anliegen dieses Buches ist es, eine elementare, relativ kurze und hoffentlich lesbare Darstellung der wesentlichen Typen linearer partieller Differentialgleichungen und deren Eigenschaften zu geben. Dies schließt die f¨ ur deren numerische L¨osung am h¨ aufigsten verwendeten Methoden ein. Unser Ansatz besteht darin, die mathematische Analyse der Differentialgleichungen in die zugeh¨orige numerische Analyse einzubinden. F¨ ur den an partiellen Differentialgleichungen interessierten Mathematiker oder f¨ ur einen Wissenschaftler, der solche Gleichungen zur Modellierung physikalischer Probleme verwendet, ist es wichtig zu erkennen, dass gew¨ ohnlich numerische Methoden ben¨ otigt werden, um die eigentlichen Werte der L¨ osungen zu finden. F¨ ur den Numeriker ist es wesentlich, sich klarzumachen, dass numerische Methoden nur mithilfe ausreichender Kenntnis der Theorie der Differentialgleichungen entworfen, analysiert und verstanden werden k¨ onnen, wobei diskrete Entsprechungen der Eigenschaften der Differentialgleichungen zur Anwendung kommen. In unserer Darstellung untersuchen wir die drei Haupttypen linearer partieller Differentialgleichungen. Dabei handelt es sich um die elliptischen, parabolischen und hyperbolischen Gleichungen. F¨ ur jeden dieser Gleichungstypen enth¨alt dieses Buch jeweils drei Kapitel. Im ersten f¨ uhren wir jeweils grundlegende mathematische Eigenschaften der Differentialgleichung ein und diskutieren die Existenz, die Eindeutigkeit, die Stabilit¨ at und die Regularit¨ at der L¨ osungen f¨ ur verschiedene Randwertprobleme. Die verbleibenden zwei Kapitel sind den wichtigsten und am weitesten verbreiteten numerischen Methoden, dem finiten Differenzenverfahren und der Methode der finiten Elemente, gewidmet. Historisch gesehen, handelt es sich bei den finiten Differenzenverfahren um die zuerst entwickelten und angewendeten Methoden. Diese sind gew¨ ohnlich so definiert, dass auf einem gleichm¨ aßigen Punktgitter nach approximativen L¨osungen gesucht wird, wobei die Ableitungen der Differentialgleichung durch Differenzenquotienten an den Gitterpunkten ersetzt werden. Die Methoden der finiten Elemente beruhen dagegen auf Variationsformulierungen der Differentialgleichungen und bestimmen auf einer Zerlegung des betrach-

VI

Vorwort

teten Gebietes approximative L¨osungen in Form von st¨ uckweise definierten Polynomen. Die erste Methode ist in gewisser Weise durch die Schwierigkeit eingeschr¨ankt, das Gitter einem allgemeinen Gebiet anzupassen, w¨ ahrend die zweite Methode f¨ ur allgemeine Geometrien auf nat¨ urliche Weise geeigneter ist. Die Methoden finiter Elemente haben sich f¨ ur elliptische und auch f¨ ur parabolische Probleme zu den popul¨arsten entwickelt, w¨ ahrend f¨ ur hyperbolische Gleichungen weiterhin das finite Differenzenverfahren dominiert. Obwohl sich die den beiden Klassen zugrunde liegende Philosophie etwas unterscheidet, ist es unserer Ansicht nach vern¨ unftiger, die zweite Methode als Weiterentwicklung der ersten zu betrachten, statt beide als Konkurrenten anzusehen. Zudem sind wir der Ansicht, dass ein Fachmann mit beiden Methoden vertraut sein sollte. Um die Darstellung leichter zug¨ anglich zu gestalten, geht dem Kapitel u ¨ber elliptische Gleichungen ein Kapitel zum Zweipunkt-Randwertproblem einer gew¨ohnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung voran. Vor die Kapitel u ¨ber hyperbolische und parabolische Gleichungen haben wir ein kurzes Kapitel zum Anfangswertproblem eines Systems gew¨ ohnlicher Differentialgleichungen gesetzt. Außerdem beinhaltet dieses Buch ein Kapitel u ¨ber Eigenwertprobleme und Entwicklung nach Eigenfunktionen, einem wichtigen Hilfsmittel bei der Analyse partieller Differentialgleichungen. Dort geben wir auch einfache Beispiele numerischer L¨ osungen von Eigenwertproblemen an. ¨ Das letzte Kapitel liefert einen kurzen Uberblick u ¨ber weitere wichtige Klassen numerischer Methoden, und zwar Kollokationsverfahren, finite Volumenverfahren, Spektralmethoden und Randelementmethoden. Die Darstellung setzt keine tiefer gehenden Kenntnisse in Analysis und Funktionalanalysis voraus. Im Anhang stellen wir einen Teil des grundlegenden, in den Kapiteln ben¨ otigten Stoffes zusammen, im Wesentlichen ohne Beweis. Dabei handelt es sich beispielsweise um Elemente abstrakter linearer R¨aume und Funktionenr¨ aume, insbesondere Sobolev-R¨ aume, im Zusammenhang mit grundlegenden Fakten zu Fourier-Transformationen. Bei der Implementierung numerischer Methoden wird es in der Regel notwendig sein, große Systeme linearer algebraischer Gleichungen zu l¨ osen, wobei dies gew¨ ohnlich mithilfe iterativer Methoden geschieht. Im zweiten Kapitel des Anhangs geben ¨ wir deshalb einen Uberblick u ¨ber solche Methoden. Unser Anliegen besteht also eher darin, eine ziemlich breite Themenvielfalt, viele Darstellungsarten und Konzepte zu behandeln als nur die allgemeinsten und weitreichendsten Resultate zu erl¨autern oder tiefer auf irgendein Anwendungsgebiet einzugehen. In den Abschnitten mit Problemstellungen, die jeweils die verschiedenen Kapitel abschließen, fordern wir den Leser gelegentlich auf, ein im Text nur erw¨ahntes Resultat zu beweisen und auch einige der dargestellten Konzepte weiterzuentwickeln. Bei einigen Problemstellungen schlagen wir den Test einiger numerischer Methoden auf dem Rechner vor, wobei wir annehmen, dass Matlab oder eine ¨ahnliche Software verf¨ ugbar ist. Am Ende des Buches geben wir einige Standardwerke an, in denen zus¨ atz-

Vorwort

VII

licher Stoff und detailliertere Darstellungen zu finden sind. Dies schließt die Fragestellungen zur Implementierung der numerischen Methoden ein. Dieses Buch hat sich aus Vorlesungen heraus entwickelt, die wir urspr¨ unglich u ¨ber einen ziemlich langen Zeitraum an der Chalmers University of Technology und der Universit¨ at G¨ oteborg zun¨ achst f¨ ur Studenten der Ingenieurwissenschaften im dritten Studienjahr und sp¨ ater auch in Einf¨ uhrungskursen f¨ ur Studenten der angewandten Mathematik gehalten haben. Wir m¨ ochten den vielen Studenten in diesen Vorlesungen daf¨ ur danken, dass sie uns die Gelegenheit gegeben haben, unsere Konzepte zu pr¨ ufen.

G¨oteborg, Januar, 2003

Stig Larsson Vidar Thom´ee

Inhaltsverzeichnis

1

Einf¨ uhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Hintergrund . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Notation und mathematische Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Physikalische Herleitung der W¨ armeleitungsgleichung . . . . . . . . 8 1.4 Problemstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2

Ein 2.1 2.2 2.3 2.4

Zweipunkt-Randwertproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das Maximumprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Greensche Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Variationsformulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15 15 18 20 23

3

Elliptische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Ein Maximumprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Das Dirichlet-Problem f¨ ur eine Kreisscheibe. Das Poisson-Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Fundamentall¨ osungen. Die Greensche Funktion . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Variationsformulierung des Dirichlet-Problems . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Ein Neumann-Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Regularit¨ at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8 Problemstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27 27 29 30 32 35 38 40 41

4

Finite Differenzenverfahren f¨ ur elliptische Gleichungen . . . . 4.1 Ein Zweipunkt-Randwertproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Die Poisson-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Problemstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45 45 48 52

5

Die Methode der finiten Elemente f¨ ur elliptische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 5.1 Ein Zweipunkt-Randwertproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

X

Inhaltsverzeichnis

5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8

Ein Modellproblem in der Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einige Aspekte der Approximationstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fehlerabsch¨ atzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eine a posteriori Fehlerabsch¨ atzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Numerische Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eine Methode der gemischten finiten Elemente . . . . . . . . . . . . . . Problemstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60 63 66 69 71 75 77

6

Das 6.1 6.2 6.3

elliptische Eigenwertproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Entwicklung nach Eigenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Numerische L¨osung des Eigenwertproblems . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81 81 92 97

7

Anfangswertprobleme f¨ ur gew¨ ohnliche Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 7.1 Das Anfangswertproblem f¨ ur lineare Systeme . . . . . . . . . . . . . . . 101 7.2 Numerische L¨osung gew¨ohnlicher Differentialgleichungen . . . . . 107 7.3 Problemstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

8

Parabolische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 8.1 Das reine Anfangswertproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 8.2 L¨osung durch Entwicklung nach Eigenfunktionen . . . . . . . . . . . . 120 8.3 Variationsformulierung. Energieabsch¨ atzungen . . . . . . . . . . . . . . 126 8.4 Ein Maximumprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 8.5 Problemstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

9

Finite Differenzenverfahren f¨ ur parabolische Probleme . . . . . 135 9.1 Das reine Anfangswertproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 9.2 Das gemischte Anfangs-Randwertproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 9.3 Problemstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

10 Die Methode der finiten Elemente f¨ ur ein parabolisches Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 10.1 Die semidiskrete Galerkin-Methode der finiten Elemente . . . . . . 157 10.2 Einige vollst¨andig diskrete Schemata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 10.3 Problemstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 11 Hyperbolische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 11.1 Charakteristische Richtungen und Fl¨achen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 11.2 Die Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 11.3 Skalare Gleichungen erster Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 11.4 Symmetrische hyperbolische Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 11.5 Problemstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

Inhaltsverzeichnis

XI

12 Finite Differenzenverfahren f¨ ur hyperbolische Gleichungen . 195 12.1 Skalare Gleichungen erster Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 12.2 Symmetrische hyperbolische Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 12.3 Das Wendroff-Box-Schema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 12.4 Problemstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 13 Die Methode der finiten Elemente f¨ ur hyperbolische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 13.1 Die Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 13.2 Hyperbolische Gleichungen erster Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 13.3 Problemstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 14 Weitere Klassen numerischer Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 14.1 Kollokationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 14.2 Spektralmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 14.3 Finite Volumenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 14.4 Randelementmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 14.5 Problemstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 A

Einige Hilfsmittel aus der Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 A.1 Abstrakte lineare R¨ aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 A.2 Funktionenr¨ aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 A.3 Die Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 A.4 Problemstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

B

¨ Uberblick u ¨ ber numerische lineare Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . 257 B.1 Direkte Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 ¨ B.2 Iterative Verfahren. Relaxation, Uberrelaxation und Beschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 B.3 Methode der alternierenden Richtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 B.4 PCG-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 B.5 Mehrgitterverfahren und Gebietszerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

1 Einfu ¨ hrung

In diesem ersten Kapitel beginnen wir in Abschnitt 1.1 mit der Einf¨ uhrung partieller Differentialgleichungen und den zugeh¨ origen Anfangs-Randwertproblemen, die wir in den folgenden Kapiteln untersuchen werden. Die Gleichungen sind in elliptische, parabolische und hyperbolische Gleichungen klassifiziert, und wir weisen auf die entsprechenden physikalischen Problemstellungen hin, die durch diese Gleichungen modelliert werden. Wir diskutieren das Konzept eines gut gestellten Randwertproblems und die verschiedenen, in unserer folgenden Darstellung verwendeten Methoden. In Abschnitt 1.2 f¨ uhren wir Bezeichnungen und Konzepte ein, die im gesamten Text benutzt werden. Abschnitt 1.3 beinhaltet eine detaillierte Herleitung der W¨ armeleitungsgleichung unter Verwendung physikalischer Prinzipien, die die Bedeutung aller in der Gleichung vorkommenden Terme und die Randbedingungen erkl¨ aren. Im Abschnitt Problemstellungen 1.4 pr¨ asentieren wir zus¨ atzlichen Stoff zur Veranschaulichung.

1.1 Hintergrund In diesem Abschnitt untersuchen wir Rand- und Anfangswertprobleme partieller Differentialgleichungen, die bei Anwendungen, sowohl vom theoretischen als auch vom numerischen Standpunkt aus gesehen, bedeutsam sind. Als typisches Beispiel eines solchen Randwertproblems betrachten wir zun¨ achst das Dirichlet-Problem f¨ ur die Poisson-Gleichung mit x = (x1 , . . . , xd ) (1.1) (1.2)

−∆u = f (x) in Ω, u = g(x) auf Γ,

wobei ∆ der durch ∆u = dj=1 ∂ 2 u/∂x2j definierte Laplace-Operator und Ω ein beschr¨anktes Gebiet im d-dimensionalen Euklidischen Raum Rd mit dem Rand Γ ist. Bei den gegebenen Funktionen f = f (x) und g = g(x) handelt

2

1 Einf¨ uhrung

es sich um die Daten des Problems. Anstelle der Dirichletschen Randbedingung (1.2) kann man beispielsweise auch die Neumannsche Randbedingung ∂u = g(x) auf Γ ∂n

(1.3)

betrachten, wobei ∂u/∂n die Ableitung in Richtung der ¨ außeren Einheitsnormalen n an Γ bezeichnet. Eine andere Wahl besteht in der Robinschen Randbedingung ∂u + β(x)u = g(x) ∂n

(1.4)

auf Γ.

Allgemeiner ausgedr¨ uckt, besitzt eine lineare elliptische Gleichung zweiter Ordnung die Form (1.5)

Au := −

d d ∂u ∂u ∂ + c(x)u = f (x), + bj (x) aij (x) ∂x ∂x ∂x j j i j=1 i,j=1

wobei A(x) = (aij (x)) eine hinreichend glatte, positiv definite Matrix ist. Eine solche Gleichung kann in Ω ebenfalls unter verschiedenen Randbedingungen untersucht werden. Bei den folgenden Betrachtungen werden wir uns der Einfachheit halber h¨ aufig auf den isotropen Fall A(x) = a(x)I beschr¨ anken, wobei a(x) eine glatte, positive Funktion und I die Einheitsmatrix ist. Elliptische Gleichungen, wie die oben beschriebenen, kommen bei vielen Anwendungen vor. Sie modellieren beispielsweise verschiedene Potentialfelder (Gravitationsfelder, elektrostatische Felder, magnetostatische Felder usw.), Wahrscheinlichkeitsdichten bei Random-Walk-Problemen, station¨ are W¨ armefl¨ usse und biologische Ph¨ anomene. Diese Gleichungen sind auch mit wichtigen Gebieten der reinen Mathematik, wie beispielsweise der Funktionentheorie und der Theorie der konformen Abbildungen usw., verkn¨ upft. In Anwendungen beschreiben sie h¨ aufig station¨ are oder zeitunabh¨ angige physikalische Zust¨ ande. Wir betrachten auch zeitabh¨ angige Probleme, wobei unsere beiden Modellgleichungen die W¨ armeleitungsgleichung (1.6)

∂u − ∆u = f (x, t) ∂t

und die Wellengleichung (1.7)

∂2u − ∆u = f (x, t) ∂t2

sind. Wir werden sie f¨ ur positive Zeiten t und f¨ ur x in Rd oder in einem d beschr¨ ankten Gebiet Ω ⊂ R unter gewissen Randbedingungen betrachten, wie sie vorhin f¨ ur die Poisson-Gleichung angegeben wurden. Bei diesen zeitabh¨ angigen Problemen muss der Wert der L¨ osung u zur Anfangszeit t = 0

1.1 Hintergrund

3

und bei der W¨armeleitungsgleichung außerdem der Wert von ∂u/∂t zur Zeit t = 0 gegeben sein. Im Falle des unbeschr¨ ankten Gebietes Rd werden die jeweiligen Probleme als reine Anfangswertprobleme oder Cauchy-Probleme und im Falle des beschr¨ankten Gebietes Ω als gemischte Anfangs-Randwertprobleme bezeichnet. Diese Gleichungen und deren Verallgemeinerungen, die allgemeinere elliptische Operatoren als den Laplace-Operator ∆ zulassen, treten wiederum in vielen Anwendungsgebieten auf. Im Falle der W¨ armeleitungsgleichung sind dies beispielsweise die W¨ armeleitung in Festk¨ orpern, der Massentransport bei der Diffusion, die Diffusion von Wirbeln in viskosen Fl¨ ussigkeiten, die telegra¨ fische Ubermittlung in Kabeln und die Theorie elektromagnetischer Wellen, die Hydrodynamik sowie stochastische und biologische Prozesse. Im Falle der Wellengleichung sind es Schwingungsprobleme in Festk¨ orpern, Schallwellen in einem Rohr, Stromleitung entlang eines isolierten Kabels mit niedrigem spezifischen Widerstand, Solit¨ arwellen in einem Kanal usw. Gleichungen vom Typ (1.7) haben einige Eigenschaften mit bestimmten Systemen partieller Differentialgleichungen erster Ordnung gemeinsam. Wir werden folglich auch Grund dazu haben, lineare partielle Differentialgleichungen der Form d

∂u ∂u + a0 (x, t)u = f (x, t) + aj (x, t) ∂xj ∂t j=1

und zugeh¨orige Systeme, bei denen die Koeffizienten Matrizen sind, zu untersuchen. Solche Systeme treten beispielsweise in der Str¨ omungsdynamik und in der elektromagnetischen Feldtheorie auf. Angewandte Probleme f¨ uhren h¨aufig auf nichtlineare partielle Differentialgleichungen. Die Behandlung solcher Gleichungen geht u ¨ber den Umfang unserer Darstellungen hinaus. In vielen F¨allen ist es jedoch n¨ utzlich, linearisierte Versionen der Gleichungen zu untersuchen. In diesem Sinne ist die Theorie linearer Gleichungen durchaus auch f¨ ur nichtlineare Probleme relevant. In den Anwendungen enthalten die in den Modellen auftretenden Gleichungen normalerweise physikalische Parameter. Im Falle der W¨ armeleitung erf¨ ullt beispielsweise die Temperatur u in einem Punkt des homogenen, isotropen, u armeleitf¨ ahigkeit ¨ ber das Gebiet Ω ausgedehnten Festk¨orpers mit der W¨ k, der Dichte ρ, der spezifischen W¨armekapazit¨ at c und einer W¨ armequelle f (x, t) die Gleichung ρc

∂u = ∇ · (k∇u) + f (x, t) in Ω. ∂t

Wenn ρ, c und k konstant sind, kann diese Gleichung nach einer einfachen Transformation in der Form (1.6) geschrieben werden. H¨angen sie allerdings von x ab, dann taucht ein allgemeinerer elliptischer Operator auf.

4

1 Einf¨ uhrung

In Abschnitt 1.3 leiten wir die W¨armeleitungsgleichungen aus physikalischen Prinzipien ab und erl¨ autern im gegebenen Kontext sowohl die physikalische Bedeutung aller Terme des elliptischen Operators (1.5) als auch die Randbedingungen (1.2), (1.3) und (1.4). Eine entsprechende Herleitung der Wellengleichung wird in Problemstellung 1.2 angegeben. Randwertprobleme f¨ ur elliptische Gleichungen oder station¨are Probleme k¨ onnen als Grenzf¨ alle des zeitabh¨angigen Problems f¨ ur t → ∞ auftreten. Ein Charakteristikum mathematischer Modellierung besteht darin, dass die Analyse, nachdem das Modell einmal aufgestellt wurde – in unserem Fall als Anfangs- oder Anfangs-Randwertproblem einer partiellen Differentialgleichung – rein mathematischer Natur und unabh¨angig von jeder spezifischen Anwendung ist, die das Modell beschreibt. Die erhaltenen Ergebnisse sind dann f¨ ur die verschiedensten Anwendungsbeispiele des Modells g¨ ultig. Wir werden deshalb in unseren Ausf¨ uhrungen nur wenig Terminologie aus der Physik und ¨ anderen Anwendungsfeldern verwenden, uns daf¨ ur aber in den Ubungen auf spezielle Anwendungen st¨ utzen. H¨ aufig ist es zweckm¨ aßig, sich solche Beispiele einzupr¨agen, um das intuitive Verst¨andnis eines mathematischen Modells zu schulen. Die Gleichungen (1.1), (1.6) und (1.7) werden als elliptisch, parabolisch beziehungsweise hyperbolisch bezeichnet. Wir werden in Kapitel 11 auf die Klassifikation partieller Differentialgleichungen zur¨ uckkommen und erw¨ ahnen hier lediglich, dass Differentialgleichungen der Form a

∂2u ∂2u ∂2u + c 2 + . . . = f (x, t) + 2b 2 ∂x ∂x∂t ∂t

in den beiden Variablen x und t als elliptisch, hyperbolisch oder parabolisch bezeichnet werden, je nachdem, ob δ = ac − b2 positiv, negativ oder gleich null ist. An dieser Stelle steht . . . f¨ ur eine Linearkombination von Ableitungen maximal erster Ordnung. Insbesondere sind die Gleichungen ∂2u ∂2u + 2 = f (x, t), ∂x ∂t2 ∂2u ∂2u − 2 = f (x, t), ∂x ∂t2 ∂u ∂ 2 u − 2 = f (x, t) ∂x ∂t

jeweils von einem dieser drei Typen. Beachten Sie, dass die Bedingungen an das Vorzeichen von δ identisch mit denjenigen sind, die bei der Klassifikation ebener quadratischer Kurven in elliptische, hyperbolische und parabolische auftreten. Zusammen mit partiellen Differentialgleichungen untersuchen wir auch numerische Approximationen durch finite Differenzenverfahren und Methoden finiter Elemente. F¨ ur diese Probleme, d. h. die kontinuierlichen und diskreten Gleichungen, beweisen wir folgende Resultate:

1.2 Notation und mathematische Vorbemerkungen

5

– Existenz der L¨osungen, – Eindeutigkeit der L¨osungen, – Stabilit¨at der L¨osungen oder kontinuierliche Abh¨ angigkeit der L¨ osungen gegen¨ uber St¨orungen der Daten, – Fehlerabsch¨atzungen (f¨ ur numerische Methoden). Ein Randwertproblem, das die ersten drei dieser Bedingungen erf¨ ullt, wird als gut gestellt bezeichnet. Um solche Resultate zu beweisen, wenden wir verschiedene Methoden an: – Maximumprinzipien, – Fourier-Methoden; dies sind Methoden, die auf der Verwendung der FourierTransformation, der Fourier-Reihenentwicklung und der Entwicklung nach Eigenfunktionen beruhen, – Energieabsch¨atzungen, – Darstellung der L¨ osungsoperatoren mithilfe von Greenschen Funktionen.

1.2 Notation und mathematische Vorbemerkungen In diesem Abschnitt werden wir kurz einige grundlegende, in diesem Buch verwendete Notationen einf¨ uhren. F¨ ur weitere Details zu Funktionenr¨ aumen und Normen verweisen wir auf Anhang A. Mit R und C bezeichnen wir die Mengen der reellen beziehungsweise komplexen Zahlen und schreiben Rd = x = (x1 , . . . , xd ) : xi ∈ R, i = 1, . . . , d , R+ = t ∈ R : t > 0 .

Eine Teilmenge des Rd wird als Gebiet bezeichnet, wenn sie offen und zusammenh¨angend ist. Mit Ω bezeichnen wir gew¨ ohnlich ein beschr¨ anktes Gebiet anktes, offenes im Rd mit d = 1, 2 oder 3 (im Falle d = 1 ist Ω ein beschr¨ Intervall). Sein Rand ∂Ω wird u ¨ blicherweise mit Γ bezeichnet. Wir nehmen stets an, dass Γ entweder glatt oder ein Polygon (im Falle d = 2) oder ein ¯ bezeichnen wir den Abschluss von Ω, d. h. Polyeder (im Falle d = 3) ist. Mit Ω ¯ Ω = Ω ∪ Γ . Das Volumen (oder die L¨ange, die Fl¨ ache) von Ω wird mit |Ω| bezeichnet, das Volumenelement im Rd ist dx = dx1 · · · dxd und ds bezeichnet ein Bogenelement (im Falle d = 2) oder ein Fl¨ achenelement (im Falle d = 3) d von Γ . F¨ ur Vektoren in Rd benutzen wir das Skalarprodukt x · y = i=1 xi yi √ und die Norm |x| = x · y. Seien u, v skalare Funktionen und w = (w1 , . . . , wd ) eine vektorwertige Funktion von x ∈ Rd . Wir definieren den Gradienten, die Divergenz und den Laplace-Operator durch ∂v ∂v , ,..., ∇v = grad v = ∂xd ∂x1 d ∂wi , ∇ · w = div w = ∂xi i=1

6

1 Einf¨ uhrung

∆v = ∇ · ∇v =

d ∂2v . ∂x2i i=1

Wir erinnern uns an das Divergenztheorem ∇ · w dx = w · n ds, Ω

Γ

wobei n = (n1 , . . . , nd ) die ¨ außere Einheitsnormale an Γ ist. Wenden wir dies auf das Produkt wv an, erhalten wir die Greensche Formel: w · ∇v dx = w · n v ds − ∇ · w v dx. Ω

Γ

Ω

Wenden wir sie mit w = ∇u an, wird die Formel zu ∂u v ds − ∆u v dx, ∇u · ∇v dx = Ω Ω Γ ∂n

wobei ∂u/∂n = n · ∇u die ¨außere Normalenableitung von u an Γ ist. Ein Multiindex α = (α1 , . . . , αd ) ist ein d-dimensionaler Vektor, wobei αi eine nichtnegative ganze Zahl ist. Die L¨ange |α| eines Multiindex α ist durch |α| = di=1 αi definiert. Ist eine Funktion v : Rd → R gegeben, dann k¨ onnen wir ihre partiellen Ableitungen der Ordnung |α| als (1.8)

Dα v =

∂ |α| v d · · · ∂xα d

1 ∂xα 1

schreiben. Eine lineare partielle Differentialgleichung der Ordnung k in Ω kann deshalb in der Form aα (x)Dα u = f (x) |α|≤k

geschrieben werden, wobei die Koeffizienten aα (x) Funktionen von x in Ω sind. Wir benutzen Indizes auch zur Kennzeichnung partieller Ableitungen, wir schreiben beispielsweise vt = Dt v =

∂v , ∂t

vxx = Dx2 v =

∂2v . ∂x2

F¨ ur M ⊂ Rd bezeichnen wir mit C(M ) den linearen Raum der stetigen Funktionen auf M . F¨ ur beschr¨ ankte, stetige Funktionen definieren wir die Maximumnorm durch (1.9)

vC(M ) = sup |v(x)|. x∈M

1.2 Notation und mathematische Vorbemerkungen

7

Beispielsweise wird dadurch vC(Rd ) definiert. Wenn M eine beschr¨ ankte und abgeschlossene Menge ist, d. h. eine kompakte Menge, dann wird das Supremum in (1.9) angenommen und wir k¨ onnen vC(M ) = max |v(x)| x∈M

schreiben. Sind ein nicht notwendigerweise beschr¨ anktes Gebiet Ω und eine nichtnegative ganze Zahl k gegeben, dann bezeichnen wir mit C k (Ω) die Menge der k-mal stetig differenzierbaren Funktionen in Ω. F¨ ur ein beschr¨ anktes Gebiet Ω ¯ ur diejenigen Funktionen v ∈ C k (Ω), f¨ ur die Dα v ∈ C(Ω) schreiben wir C k (Ω) f¨ k ¯ f¨ ur alle |α| ≤ k gilt. F¨ ur Funktionen aus C (Ω) verwenden wir die Norm α vC k (Ω) ¯ = max D vC(Ω) ¯ |α|≤k

und die Halbnorm, die nur die Ableitungen h¨ ochster Ordnung enth¨ alt, α |v|C k (Ω) ¯ = max D vC(Ω) ¯ . |α|=k

Wenn wir auf einem festen Gebiet Ω arbeiten, lassen wir h¨ aufig die Menge in der Bezeichnung weg und schreiben einfach vC , |v|C k usw. Mit C0k (Ω) bezeichnen wir die Menge der Funktionen v ∈ C k (Ω), die außerhalb einer kompakten Teilmenge von Ω verschwinden. Insbesondere erf¨ ullen ur alle solche Funktionen auf dem Rand von Ω die Gleichung D α v = 0 f¨ |α| ≤ k. Analog dazu ist C0∞ (Rd ) die Menge der Funktionen, die stetige Ableitungen aller Ordnungen besitzen und außerhalb einer beschr¨ ankten Menge verschwinden. Wir sagen, dass eine Funktion glatt ist, wenn sie, abh¨ angig von der jeweiligen Situation, hinreichend viele stetige Ableitungen besitzt. Wir verwenden auch h¨ aufig den Raum L2 (Ω) der quadratintegrablen Funktionen mit dem Skalarprodukt und der Norm 1/2 vw dx, v = vL2 (Ω) = (v, w) = (v, w)L2 (Ω) = v 2 dx . Ω

Ω

F¨ ur ein Gebiet Ω verwenden wir auch den Sobolev-Raum H k (Ω) mit k ≥ 1 ur alle |α| ≤ k gilt. Dieser Raum ist der Funktionen v, f¨ ur die Dα v ∈ L2 (Ω) f¨ mit der Norm und der Halbnorm 1/2 Dα v2 , vk = vH k (Ω) = |α|≤k

|v|k = |v|H k (Ω) =

|α|=k

Dα v2

1/2

versehen. Weitere Normen werden bei Bedarf lokal definiert und verwendet. Wir benutzen die Buchstaben c und C zur Bezeichnung verschiedener positiver Konstanten, deren Wert sich von Fall zu Fall unterscheiden kann.

8

1 Einf¨ uhrung

1.3 Physikalische Herleitung der W¨ armeleitungsgleichung Viele Gleichungen werden in der Physik durch Kombination eines Erhaltungssatzes mit ph¨anomenologischen Gleichungen (auch als Materialgleichungen bezeichnet) hergleitet. Ein Erhaltungssatz besagt, dass sich eine physikalische Gr¨oße, wie Energie, Masse oder Impuls w¨ ahrend eines physikalischen Prozesses nicht ¨andert. Ph¨anomenologische Gleichungen dr¨ ucken unsere Annah¨ men dar¨ uber aus, wie sich das Material bei Anderung der Zustandsvariablen verh¨alt. In diesem Abschnitt werden wir die W¨armeleitung in einem K¨ orper Ω ⊂ R3 mit dem Rand Γ betrachten und die W¨armeleitungsgleichung aus der Energieerhaltung und linearen ph¨ anomenologischen Gleichungen herleiten. Energieerhaltung Betrachten wir das W¨ armegleichgewicht in einer beliebigen Teilmenge Ω0 ⊂ Ω ¨ mit dem Rand Γ0 . Das Energieerhaltungsprinzip besagt, dass die Anderungsrate der Gesamtenergie in Ω0 gleich dem W¨armezufluss durch Γ0 plus der von einer W¨armequelle im Inneren von Ω0 produzierten W¨ armemenge ist. Um dies mathematisch auszudr¨ ucken, f¨ uhren wir einige physikalische Gr¨ oßen ein, wobei wir die zugeh¨ orige Standard-Maßeinheit in eckigen Klammern angeben. Mit e = e(x, t) [J/m3 ] bezeichnen wir die innere Energiedichte am Ort x [m] zur Zeit t [s]. Damit ist die Gesamtw¨ armemenge in Ω0 gleich e dx [J]. Ferner ist mit dem Vektorfeld j = j(x, t) [J/(m2 s)] f¨ ur den Ω0 W¨armestrom und der a ußeren Einheitsnormalen n an Γ der W¨ a rmeausfluss ¨ 0 durch Γ0 gleich Γ0 j · n ds [J/s]. F¨ uhren wir außerdem die Energiedichte der W¨armequellen p = p(x, t) [J/(m3 s)] ein, folgt aus dem Energieerhaltungsprinzip d e dx = − j · n ds + p dx. dt Ω0 Γ0 Ω0

Nach Anwendung des Divergenztheorems erhalten wir

∂e + ∇ · j − p dx = 0 f¨ ur t > 0. ∂t Ω0

Weil Ω0 ⊂ Ω beliebig ist, folgt daraus (1.10)

∂e +∇·j =p ∂t

in Ω

f¨ ur t > 0.

Ph¨ anomenologische Gleichungen Die innere Energiedichte e h¨ angt von der absoluten Temperatur T [K] und den r¨aumlichen Koordinaten ab. Bei unserer ersten ph¨anomenologische Gleichung nehmen wir an, dass e in der N¨ ahe einer geeignet gew¨ahlten Referenztemperatur T0 linear von T abh¨ angt, d. h. es gilt

1.3 Physikalische Herleitung der W¨ armeleitungsgleichung

(1.11)

e = e0 + σ(T − T0 ) = e0 + σ ϑ

9

mit ϑ = T − T0 .

Der Koeffizient σ = σ(x) [J/(m3 K)] wird als spezifische W¨armekapazit¨at bezeichnet. (Sie wird gew¨ ohnlich in der Form σ = ρ c ausgedr¨ uckt, wobei ρ armekapazit¨ at [kg/m3 ] die Massendichte und c [J/(kg K)] die spezifische W¨ pro Masseneinheit ist.) Nach dem Fourierschen Gesetz ist der W¨ armestrom aufgrund der W¨ armeleitung proportional zum Temperaturgradienten, was uns eine zweite ph¨ anomenologische Gleichung liefert j = −λ∇ϑ. Der Koeffizient λ = λ(x) [J/(m K s)] wird als W¨ armeleitf¨ ahigkeit bezeichnet. In einigen Situationen (beispielsweise bei Gas in einem por¨ osen Medium oder beim W¨armetransport in einer Fl¨ ussigkeit) wird W¨ arme auch durch Konvektion mit dem W¨armestrom v e transportiert, wobei v = v(x, t) [m/s] das konvektive Geschwindigkeitsvektorfeld ist. Folglich lautet die ph¨ anomenologische Gleichung (1.12)

j = −λ∇ϑ + v e.

Setzen wir (1.11) und (1.12) in (1.10) ein, erhalten wir die W¨armeleitungsgleichung mit Konvektion (1.13)

σ

∂ϑ − ∇ · (λ∇ϑ) + ∇ · (σ v ϑ) = q ∂t

in Ω

mit q = p − ∇ · (v e0 ).

Randbedingungen Bei der Modellierung der W¨ armeleitung wird die Differentialgleichung (1.13) mit einer Anfangsbedingung zur Zeit t = 0 (1.14)

ϑ(x, 0) = ϑi (x)

und einer Randbedingung j · n = κ(ϑ − ϑa ) mit dem W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten κ = κ(x, t) [J/(m2 s K)] verkn¨ upft. Die Randbedingung dr¨ uckt aus, dass der W¨armestrom durch den Rand proportional zur Differenz zwischen Oberfl¨achentemperatur und Umgebungstemperatur ist. Unter der Annahme, dass der Materialfluss den Rand nicht durchdringt, d. h. v · n = 0, erhalten wir aus (1.12) ∂ϑ auf Γ, j · n = −λ∇ϑ · n = −λ ∂n wobei ∂ϑ/∂n = ∇ϑ · n die ¨außere Normalenableitung von ϑ ist. Deshalb ist die Randbedingung gleich der Robinschen Randbedingung

(1.15)

λ

∂ϑ + κ(ϑ − ϑa ) = 0 auf Γ. ∂n

10

1 Einf¨ uhrung

Der Grenzfall κ = 0 bedeutet, dass die Grenzfl¨ ache vollst¨ andig isoliert ist, sodass wir die Neumannsche Randbedingung ∂ϑ =0 ∂n

erhalten. Im anderen Grenzfall dividieren wir in (1.15) durch κ und nehmen κ → ∞ an. Wir erhalten die Dirichletsche Randbedingung (1.16)

ϑ = ϑa .

Der Grenzfall κ = ∞ bedeutet also, dass sich der K¨ orper im vollst¨ andigen thermischen Gleichgewicht mit der Umgebung befindet, d. h. die W¨ arme fließt frei durch die Oberfl¨ ache, sodass die Oberfl¨ achentemperatur des K¨ orpers gleich der Umgebungstemperatur ist. Dimensionslose Form H¨aufig ist es n¨ utzlich, die obigen Gleichungen in dimensionsloser Form aufzuschreiben. Nach der Wahl der Bezugskonstanten L [m], τ [s], ϑf [K], σf [J/(m3 K)], vf [m/s], usw. definieren wir die dimensionslosen Variablen t˜ = t/τ,

x ˜ = x/L,

u(˜ x, t˜) = ϑ(˜ xL, t˜τ )/ϑf .

Um die W¨armeleitungsgleichung (1.13) dimensionslos zu machen, dividieren wir sie durch λf ϑf /L2 . Unter Verwendung der Kettenregel

∂ ϑ ∂u , =τ ∂t ϑf ∂ t˜

erhalten wir (1.17)

d

mit d=

˜ = L∇ ϑ ∇u ϑf

∂u ˜ · (a∇u) ˜ +∇ ˜ · (bu) = f −∇ ∂ t˜

L2 σf σ , τ λ f σf

a=

λ , λf

b=

vf σf L v , λf vf

˜ in Ω

f=

L2 q. λf ϑf

Es ist sinnvoll τ = L2 σf /λf so zu w¨ahlen, dass f¨ ur konstantes σ die Beziehung d = 1 gilt. Die in der Definition von B auftretende dimensionslose Zahl Pe = vf σf L/λf wird als P´eclet-Zahl bezeichnet und misst das Verh¨altnis zwischen konvektiv transportierter und geleiteter W¨armemenge. Wir lassen ab jetzt die Tilde weg und schreiben (1.17) in der Form (1.18)

d

∂u − ∇ · (a∇u) + b · ∇u + cu = f ∂t

in Ω

mit c = ∇ · b.

Die Randbedingung (1.15) und die Anfangsbedingung (1.14) lassen sich in analoger Weise zu

1.3 Physikalische Herleitung der W¨ armeleitungsgleichung

(1.19)

a

∂u + h(u − ua ) = 0 ∂n

11

auf Γ

und (1.20)

u(x, 0) = ui (x)

umformen. Hier ist h = Bi κ/κf , wobei Bi = Lκf /λf als Biot-Zahl bezeichnet wird. Die partielle Differentialgleichung (1.18) wird zusammen mit der Anfangsbedingung (1.20) und der Randbedingung (1.19) als Anfangs-Randwertproblem bezeichnet. Der Term −∇ · (a∇u) wird in Divergenzform angegeben. Diese Form entsteht bei der Herleitung der Gleichung auf nat¨ urliche Weise und ist, wie wir sp¨ater sehen werden, f¨ ur den Großteil der mathematischen Analyse zweckm¨aßig. Dennoch f¨ uhren wir die Ableitung manchmal aus und schreiben die Gleichung in Nichtdivergenzform: (1.21)

d

∂u − a∆u + ¯b · ∇u + cu = f ∂t

mit ¯b = b − ∇ · a.

Einige vereinfachte Probleme Es ist n¨ utzlich, verschiedene Vereinfachungen obiger Gleichungen zu untersuchen, da die mathematische Analyse in diesen F¨ allen m¨ oglicherweise weiter f¨ uhrt als im allgemeinen Fall. Wenn wir annehmen, dass die Koeffizienten mit b = 0, c = 0 konstant sind, reduziert sich (1.18) auf (1.22)

∂u − a∆u = f. ∂t

(Es sei daran erinnert, dass f¨ ur konstantes σ die Beziehung d = 1 gilt.) F¨ ur a = 1 ist dies Gleichung (1.6). Wenn f und die Randbedingung unabh¨angig von t sind, dann k¨ onnte man erwarten, dass sich u mit wachsendem t einem station¨ aren Zustand n¨ ahert, d. h. u(x, t) → v(x) f¨ ur t → ∞. Da dann ∂u/∂t → 0 gelten w¨ urde, stellen wir fest, dass v die Poisson-Gleichung (1.1) erf¨ ullt. Wenn zus¨ atzlich noch f = 0 gilt, liegt die Laplace-Gleichung −∆u = 0 vor. Die L¨ osungen der Laplace-Gleichung werden als harmonische Funktionen bezeichnet. Eine andere wichtige Art der Vereinfachung wird durch Dimensionsreduktion erreicht. Betrachten wir beispielsweise die station¨are (zeitunabh¨angige) W¨ armeleitungsgleichung f¨ ur einen (nicht notwendigerweise kreisf¨ormigen) Zylinder mit isolierter Mantelfl¨ ache, der entlang der x1 -Achse ausgerichtet ist. Wenn die Koeffizienten a, b, c, f in (1.18) unabh¨angig von x2 und x3 sind, dann ist die Annahme vern¨ unftig, dass die L¨ osung u ebenfalls allein von der Variable x1 abh¨angt, die wir dann mit x bezeichnen, d. h. u = u(x). Die

12

1 Einf¨ uhrung

W¨armeleitungsgleichung (1.18) reduziert sich dann auf die gew¨ ohnliche Differentialgleichung −(au′ )′ + bu′ + cu = f

in Ω = (0, 1).

Die Randbedingung (1.19) wird zu (1.23)

−a(0)u′ (0) + h0 (u(0) − u0 ) = 0,

a(1)u′ (1) + h1 (u(1) − u1 ) = 0.

¨ Wir bezeichnen dies als Zweipunkt-Randwertproblem. Ahnliche Vereinfachungen erh¨alt man bei Zylinder- und Kugelsymmetrie, wenn man die Gleichungen in Zylinder- beziehungsweise Kugelkoordinaten aufschreibt. Wenn die Koeffizienten konstant sind, k¨ onnen wir die L¨osung leicht durch wohlbekannte spezielle Funktionen ausdr¨ ucken (siehe Problemstellung 1.6). Nichtlineare Gleichungen, Linearisierung Die Koeffizienten in der W¨armeleitungsgleichung (1.18) und in den Randbedingungen h¨angen h¨aufig von der Temperatur u ab, wodurch die Gleichungen nichtlinear werden. Die Untersuchung nichtlinearer Gleichungen geht u ¨ ber den Umfang dieses Buches hinaus. Es sei jedoch erw¨ ahnt, dass die Untersuchung nichtlinearer Gleichungen h¨aufig mit einer Linearisierung beginnt, d. h. durch R¨ uckf¨ uhrung auf die Untersuchung der zugeh¨ origen linearen Gleichungen. Wir illustrieren dies am Beispiel der Gleichung F (u) :=

∂u − ∇ · a(u)∇u − f (u) = 0 in Ω ∂t

f¨ ur t > 0,

die von der Form (1.18) ist und zusammen mit geeigneten Anfangs- und Randbedingungen gel¨ ost werden muss. Ein L¨ osungsansatz besteht in der Anwendung der Newtonschen Methode, die eine Folge von approximativen L¨ osungen uk ausgehend von einer Anfangsl¨ osung u0 in der folgenden Weise erzeugt: Ist ur den uk+1 = uk +v k eine uk gegeben, wollen wir einen Zuwachs bestimmen, f¨ bessere Approximation f¨ ur die exakte L¨ osung darstellt als uk . Approximieren k+1 k ′ k k wir F (u ) = 0 durch F (u )+F (u )v = 0, so erhalten wir eine linearisierte Gleichung

∂v k − ∇ · a(uk )∇v k − ∇ · a′ (uk )∇uk v k − f ′ (uk )v k = −F (uk ) ∂t

in Ω,

die zusammen mit einer Anfangsbedingung und linearisierten Randbedingungen gel¨ost wird. Diese Gleichung ist eine lineare Gleichung in v k von der Form (1.18), wobei die neuen Koeffizienten a(uk (x, t)) usw. von x und t abh¨ angen.

1.4 Problemstellungen Problem 1.1. (Herleitung der Konvektions-Diffusionsgleichung.) Bezeichne c = c(x, t) [mol/m3 ] die Konzentration einer Substanz am Punkt x [m] und

1.4 Problemstellungen

13

zur Zeit t [s], die durch Konvektion und Diffusion durch ein Gebiet x ∈ Ω ⊂ R3 transportiert wird. Der Konvektionsstrom ist jc = vc [mol/(m2 s)] mit dem konvektiven Geschwindigkeitsfeld v = v(x) [m/s]. Der durch Konvektion erzeugte Strom ist (Ficksches Gesetz) jd = −D∇c

[mol/(m2 s)]

mit dem Diffusionskoeffizienten D = D(x) [m2 /s]. Sei r [mol/(m3 s)] die Bildungs-/Zerfallsrate des Materials, beispielsweise durch chemischeReaktion. Die Gesamtmasse der Substanz in einem beliebigen Teilgebiet ist Ω0 c dx. Benutzen Sie die Massenerhaltung und das Divergenztheorem, um die Konvektions-Diffusionsgleichung ∂c − ∇ · (D∇c) + ∇ · (vc) = r ∂t

[mol/(m3 s)]

herzuleiten. Diese hat die gleiche mathematische Form wie (1.13). Leiten Sie eine Randbedingung der Form (1.15) her. Zeigen Sie, dass diese Gleichungen in der gleichen dimensionslosen Form wie (1.18) und (1.19) geschrieben werden k¨ onnen. Problem 1.2. (Herleitung der Wellengleichung.) Betrachten Sie die longitudinale Bewegung eines elastischen Stabes der L¨ ange L [m] mit konstantem Querschnitt A [m2 ] und der Dichte ρ [kg/m3 ]. Bezeichne u = u(x, t) [m] die Verschiebung zur Zeit t [s] eines Querschnittelementes, das sich urspr¨ unglich an der Stelle x ∈ [0, L] befand. Die Newtonsche Bewegungsgleichung besagt, dass d b pA dx = σ(b) − σ(a) A [N] dt a b gilt, wobei a pA dx [kg m/s] der Gesamtimpuls eines beliebigen Segmentes (a, b) und σ [N/m2 ] die mechanische Spannung (Kraft pro Fl¨ acheneinheit) ist. Dies f¨ uhrt auf ∂σ ∂p . = ∂x ∂t F¨ ur kleine Verschiebungen gibt es eine lineare Beziehung zwischen der mechanischen Spannung σ und der Dehnung ǫ = ∂u/∂x, n¨amlich das Hookesche Gesetz σ = Eǫ,

wobei E [N/m2 ] das Elastizit¨ atsmodul und die Impulsdichte durch p = ρ∂u/∂t gegeben ist. Zeigen Sie, dass u die Wellengleichung ∂ ∂u ∂2u E ρ 2 = ∂x ∂x ∂t erf¨ ullt. Diskutieren Sie verschiedene m¨ ogliche Randbedingungen an den Enden des Stabes, beispielsweise an der Stelle x = L:

14

1 Einf¨ uhrung

– festes Ende, u(L) = 0, – freies Ende, σ(L) = 0, was auf ux (L) = 0 f¨ uhrt, uhrt. – elastische Aufh¨ angung σ(L) = −ku(L), was auf Eux (L) + ku(L) = 0 f¨ Beachten Sie, dass diese Randbedingungen von der Form (1.23) sind.

Problem 1.3. (Elastischer Biegebalken.) Betrachten Sie die Kr¨ ummung eines elastischen Biegebalkens, der sich u ¨ ber das Intervall 0 ≤ x ≤ L erstreckt. An einem beliebigen Querschnittelement in einer Entfernung x vom linken Ende legen wir ein Biegemoment (Drehmoment) M = M (x) [Nm], eine transversale Kraft T = T (x) [N] und eine ¨außere Kraft q = q(x) pro L¨ angeneinheit [N/m] an. Man kann zeigen, dass f¨ ur ein Kr¨ aftegleichgewicht M ′ = T und T ′ = −q erforderlich ist. Sei u = u(x) [m] die kleine transversale Auslenkung des Balkens. Der Biegewinkel betr¨agt dann etwa u′ . Das ph¨ anomenologische atsmodul und I [m4 ] Gesetz lautet M = −EIu′′ , wobei E [N/m2 ] das Elastizit¨ ein Tr¨agheitsmoment des Balkenquerschnitts ist. Zeigen Sie, dass dies auf die Gleichung vierter Ordnung (EIu′′ )′′ = q f¨ uhrt. Diskutieren Sie verschiedene m¨ogliche Randbedingungen an den Enden des Balkens, beispielsweise an der Stelle x = L: – eingespanntes Ende, u(L) = 0, u′ (L) = 0, – freies Ende, M (L) = −(EIu′′ )(L) = 0, T (L) = −(EIu′′ )′ (L) = 0, – Gelenk, u′ (L) = 0, M (L) = −(EIu′′ )(L) = 0.

Problem 1.4. (Der Laplace-Operator bei Kugelsymmetrie.) F¨ uhren Sie Kugelkoordinaten (r, θ, φ) ein, die durch x1 = r sin θ cos φ, x2 = r sin θ sin φ, x3 = r cos θ definiert sind. Nehmen Sie an, dass die Funktion u nicht von θ und φ abh¨angt, d. h. dass u = u(ρ) gilt. Zeigen Sie die G¨ ultigkeit der Gleichung 1 d 2 du . r ∆u = 2 dr r dr Problem 1.5. (Der Laplace-Operator bei Zylindersymmetrie.) F¨ uhren Sie Zylinderkoordinaten (ρ, ϕ, z) ein, die durch x1 = ρ cos ϕ, x2 = ρ sin ϕ, x3 = z definiert sind. Nehmen Sie an, dass die Funktion u nicht von ϕ und z abh¨angt, d. h. dass u = u(ρ) ist. Zeigen Sie die G¨ ultigkeit der Gleichung 1 d du . ρ ∆u = ρ dρ dρ

Problem 1.6. Sei Ω = {x ∈ R3 : |x| < 1}. Bestimmen Sie eine explizite L¨osung des Randwertproblems −∆u + c2 u = f

in Ω

mit u = g

auf Γ

unter der Annahme, dass Kugelsymmetrie vorliegt und c, f, g Konstanten sind. Das heißt, l¨osen Sie −(r 2 u′ (r))′ + c2 r 2 u(r) = r 2 f

f¨ ur r ∈ (0, 1) mit u(1) = g, u(0) endlich.

Hinweis: Setzen Sie v(r) = ru(r).

2 Ein Zweipunkt-Randwertproblem

Um die Herleitung von Randwertproblemen f¨ ur elliptische partielle Differentialgleichungen vorzubereiten, betrachten wir hier ein einfaches ZweipunktRandwertproblem f¨ ur eine lineare, gew¨ ohnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung. Im ersten Abschnitt leiten wir ein Maximumprinzip f¨ ur dieses Problem ab und benutzen es, um die Eindeutigkeit und die kontinuierliche Abh¨angigkeit von den Daten zu zeigen. Im zweiten Abschnitt konstruieren wir f¨ ur einen Spezialfall eine Greensche Funktion und zeigen, wie sich daraus die Existenz einer L¨ osung ergibt. Im dritten Abschnitt schreiben wir dieses Problem in Variationsform und benutzen diese zusammen mit einfachen Hilfsmitteln aus der Funktionalanalysis, um die Existenz, die Eindeutigkeit und die stetige Abh¨angigkeit von den Daten zu beweisen.

2.1 Das Maximumprinzip Wir betrachten das Randwertproblem (2.1)

Au := − (au′ )′ + bu′ + cu = f u(0) = u0 , u(1) = u1 ,

in Ω = (0, 1),

wobei die Koeffizienten a = a(x), b = b(x) und c = c(x) glatte Funktionen mit (2.2)

a(x) ≥ a0 > 0,

¯ = [0, 1] c(x) ≥ 0 f¨ ur x ∈ Ω

sind und die Funktion f = f (x) und die Zahlen u0 , u1 gegeben sind (siehe Abschnitt 1.3). Im Spezialfall a = 1, b = c = 0 reduziert sich dies auf (2.3)

−u′′ = f

in Ω

mit u(0) = u0 , u(1) = u1 .

Durch zweimalige Integration dieser Differentialgleichung stellen wir fest, dass eine L¨osung die Form

16

2 Ein Zweipunkt-Randwertproblem

(2.4)

u(x) = −

0

x

y

f (s) ds dy + αx + β 0

haben muss, wobei die Konstanten α, β zu bestimmen sind. Die Wahl x = 0 und x = 1 f¨ uhrt auf 1 y f (s) ds dy, β = u0 . α = u 1 − u0 + 0

0

Umgekehrt stellen wir fest, dass (2.4) mit diesen Konstanten α, β die eindeutige L¨osung von (2.3) ist. Im Spezialfall f = 0 ist die L¨ osung von (2.3) die lineare Funktion u(x) = u0 (1 − x) + u1 x. Insbesondere liegen die Werte dieser Funktion zwischen den Werten an den Stellen x = 0 und x = 1 und das Maximum oder Minimum der Funktion befindet sich folglich an den Randpunkten des Intervalls Ω. Allgemein gilt f¨ ur (2.1) das folgende Maximumprinzip (Minimumprinzip). Theorem 2.1. Betrachten wir den Differentialoperator A in (2.1) und neh¯ und men u ∈ C 2 = C 2 (Ω) (2.5) Au ≤ 0 Au ≥ 0 in Ω

an. (i) F¨ ur c = 0 gilt (2.6)

max u = max u(0), u(1) ¯ Ω

(ii) F¨ ur c ≥ 0 in Ω gilt (2.7)

max u ≤ max u(0), u(1), 0 ¯ Ω

min u = min u(0), u(1) . ¯ Ω

min u ≥ min u(0), u(1), 0 . ¯ Ω

Im Fall (i) schlussfolgern wir, dass das Maximum von u am Rand angenommen wird, d. h. in einem der Randpunkte des Intervalls Ω. Im Fall (ii) ziehen wir den gleichen Schluss, wenn das Maximum nichtnegativ ist. Dies schließt aber die M¨oglichkeit nicht aus, dass das Maximum im Inneren von Ω angenommen wird. Es gibt jedoch auch eine st¨ arkere Form des Maximumprinzips, das im Fall (i) folgendermaßen lautet: Wenn (2.5) gilt und u ein Maximum (im Fall (ii) ein nichtnegatives inneres Maximum) in einem inneren ¯ konstant. Wir werden dies hier nicht Punkt von Ω besitzt, dann ist u in Ω beweisen, verweisen allerdings auf Abschnitt 3.3 mit dem entsprechenden Resultat f¨ ur harmonische Funktionen. Die in Klammern angegebenen Varianten k¨onnen mit Au ≥ 0 als Minimumprinzip angesehen werden, das sich auf ein Maximumprinzip zur¨ uckf¨ uhren l¨ asst, wenn wir −u betrachten. Beweis. (i) Nehmen wir zun¨achst Au < 0 in Ω anstelle von (2.5) an. Wenn u ein Maximum in einem inneren Punkt x0 ∈ Ω besitzt, dann gilt an diesem

2.1 Das Maximumprinzip

17

Punkt u′ (x0 ) = 0 und u′′ (x0 ) ≤ 0. Deshalb gilt Au(x0 ) ≥ 0, was allerdings unserer Annahme widerspricht. Folglich kann u kein inneres Maximum sein, woraus (2.6) folgt. Gehen wir nun davon aus, dass wir nur wissen, dass Au ≤ 0 in Ω ist. Sei ¯ und Aφ < 0 in Ω gilt. Daf¨ φ eine Funktion, f¨ ur die φ ≥ 0 in Ω ur k¨ onnen wir beispielsweise die Funktion φ(x) = eλx benutzen, wobei λ so groß ist, dass ¯ ist. Nehmen wir nun an, dass die Funktion Aφ = (−aλ2 + (b − a′ )λ)φ < 0 in Ω u ihr Maximum in einem inneren Punkt x0 , nicht aber in x = 0 oder x = 1 annimmt. Dann gilt dies f¨ ur hinreichend kleine ǫ > 0 auch f¨ ur v = u + ǫφ. ¯ was dem ersten Teil des Beweises Es gilt aber Av = Au + ǫAφ < 0 in Ω, widerspricht. (ii) Im Falle u ≤ 0 in Ω ist (2.7) trivialerweise erf¨ ullt. Anderenfalls nehmen oßte Teilintervall wir maxΩ¯ u = u(x0 ) > 0 und x0 = 0, 1 an. Sei (α, β) das gr¨ ˜ := Au − cu ≤ 0 von Ω, das x0 enth¨ alt und in dem u > 0 ist. Nun gilt Au in (α, β). Wird Teil (i) mit dem Operator A˜ im Intervall (α, β) angewendet, onnen aber α und β nicht folgt daraus u(x0 ) = max{u(α), u(β)}. Dann k¨ beide innere Punkte von Ω sein, da sonst entweder u(α) oder u(β) positiv und das Intervall (α, β) mit u > 0 nicht so groß wie m¨ oglich w¨ are. Daraus ⊔ ⊓ folgt u(x0 ) = max{u(0), u(1)} und somit auch (2.7). Als Konsequenz dieses Theorems gilt in der Notation aus Abschnitt 1.2 folgende Stabilit¨ atsabsch¨ atzung bez¨ uglich der Maximumnorm. Theorem 2.2. Sei A wie in (2.1) und (2.2) definiert. Im Falle u ∈ C 2 gilt uC ≤ max |u(0)|, |u(1)| + CAuC . Die Konstante C h¨angt von den Koeffizienten von A, aber nicht von u ab.

Beweis. Wir werden nun die Maxima von ±u absch¨ atzen. Dazu setzen wir φ(x) = eλ − eλx und definieren die beiden Funktionen v± (x) = ±u(x) − AuC φ(x).

¯ ist, wenn Weil φ ≥ 0 in Ω und Aφ = ceλ + (aλ2 + (a′ − b)λ − c)eλx ≥ 1 in Ω λ > 0 hinreichend groß gew¨ ahlt ist, gilt mit einer solchen Wahl von λ Av± = ±Au − AuC Aφ ≤ ±Au − AuC ≤ 0 in Ω. Theorem 2.1(ii) f¨ uhrt deshalb auf max(v± ) ≤ max v± (0), v± (1), 0 ¯ Ω ≤ max ± u(0), ±u(1), 0 ≤ max |u(0)|, |u(1)| ,

weil v± (x) ≤ ±u(x) f¨ ur alle x gilt. Folglich ist max(±u) = max v± + AuC φ ≤ max(v± ) + AuC φC ¯ ¯ ¯ Ω Ω Ω ≤ max |u(0)|, |u(1)| + CAuC mit C = φC , was den Beweis abschließt.

⊔ ⊓

18

2 Ein Zweipunkt-Randwertproblem

Aus Theorem 2.2 schließen wir unmittelbar auf die Eindeutigkeit der L¨osung von (2.1). Wenn u und v zwei verschiedene L¨ osungen w¨ aren, dann w¨ urde deren Differenz w = u − v die Gleichungen Aw = 0, w(0) = w(1) = 0 ullen, sodass u = v sein muss. und folglich wC = 0 erf¨ Allgemeiner gesagt, gilt u − vC ≤ max |u0 − v0 |, |u1 − v1 | + Cf − gC ,

wenn u und v zwei L¨ osungen von (2.1) mit den rechten Seiten f beziehungsweise g und den Randwerten u0 , u1 beziehungsweise v0 , v1 sind. Folglich ist das Problem (2.1) stabil, d. h. eine kleine Ver¨anderung der Daten verursacht keine große Ver¨anderung der L¨osung. Als weitere Anwendung des Maximumprinzips beobachten wir, dass die L¨osung nichtpositiv ist, wenn alle Daten des Randwertproblems (2.1) nichtpositiv sind. Das heißt, wenn f ≤ 0 und u0 , u1 ≤ 0 gilt, dann ist u ≤ 0. Mithilfe der st¨arkeren Variante des im Anschluss an Theorem 2.1 erw¨ ahnten Maximumprinzips, k¨ onnten wir sogar schlussfolgern, dass u < 0 in Ω ist, wenn nicht u(x) ≡ 0 gilt. Allgemeiner gesagt, liegt folgende Monotonieeigenschaft vor: Wenn Au = f in Ω mit u(0) = u0 , u(1) = u1 , Av = g in Ω mit v(0) = v0 , v(1) = v1

ist und f ≤ g, u0 ≤ v0 und u1 ≤ v1 gelten, dann ist u ≤ v.

2.2 Greensche Funktion Wir betrachten nun das Problem (2.1) mit b = 0 und den Randwerten u0 = osung in Form einer sogenannten u1 = 0. Wir werden eine Darstellung der L¨ Greenschen Funktion G(x, y) ableiten. Dazu seien U0 und U1 zwei L¨ osungen der homogenen Gleichung, sodass AU0 = 0 in Ω AU1 = 0 in Ω

mit U0 (0) = 1, U0 (1) = 0, mit U1 (0) = 0, U1 (1) = 1

gilt. Um uns von der Existenz einer solchen L¨ osung zu u ¨berzeugen, stellen wir fest, dass das Anfangswertproblem f¨ ur Au = 0 mit u(0) = 0, u′ (0) = 1 aufgrund der Standardtheorie der gew¨ ohnlichen Differentialgleichungen eine eindeutige L¨osung besitzt und dass f¨ ur diese L¨ osung u(1) = 0 gilt, weil mit Theorem 2.2 anderenfalls u(x) ≡ 0 in Ω gelten w¨ urde. Durch Multiplikation dieser L¨osung mit einer geeigneten Konstante erhalten wir die gew¨ unschte Funktion U1 . Die Funktion U0 wird von x = 1 ausgehend analog konstruiert. Wegen Theorem 2.1 sind U0 und U1 nichtnegativ. Im Falle b = 0 verweisen wir auf Problemstellung 2.5. Theorem 2.3. Sei b = 0 und seien U0 , U1 wie oben beschrieben. Dann ist eine L¨osung von (2.1) mit u0 = u1 = 0 durch

2.2 Greensche Funktion

(2.8)

u(x) =

19

1

G(x, y)f (y) dy 0

gegeben, wobei

G(x, y) =

und (2.9) ist.

⎧ 1 ⎪ ⎪ ⎪ κ U0 (x)U1 (y) ⎨

⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 1 U1 (x)U0 (y) κ

f¨ ur 0 ≤ y ≤ x ≤ 1,

f¨ ur 0 ≤ x ≤ y ≤ 1

κ = a(x) U0 (x)U1′ (x) − U0′ (x)U1 (x) ≡ konstant > 0

Beweis. Wir beginnen mit dem Beweis, dass κ konstant ist: Wegen (a Uj′ )′ = c Uj gilt κ′ = U0 (a U1′ )′ − U1 (a U0′ )′ = U0 c U1 − U1 c U0 = 0.

Durch Festlegen von x = 0 bestimmen wir κ = a(0) U1′ (0) = 0, da anderenfalls U1 (0) = U1′ (0) = 0 und folglich U1 (x) ≡ 0 w¨are. Da U1 nichtnegativ ist, ist U1′ (0) nichtnegativ und somit folgt κ > 0. Offensichtlich erf¨ ullt u, wie in (2.8) definiert, die homogenen Randbedingungen. Um zu zeigen, dass es sich dabei um eine L¨ osung der Differentialgleichung handelt, schreiben wir x 1 G(x, y)f (y) dy + G(x, y)f (y) dy u(x) = 0

1 = U0 (x) κ

0

x

x

1 U1 (y)f (y) dy + U1 (x) κ

1

U0 (y)f (y) dy.

x

Durch Differentiation folgt x 1 ′ U0 (x) U1 (y)f (y) dy + U0 (x)U1 (x)f (x) u′ (x) = κ 0 1 1 ′ U1 (x) U0 (y)f (y) dy − U1 (x)U0 (x)f (x) , + κ x

wobei sich die Terme mit f (x) jeweils aufheben. Durch Multiplikation mit −a(x) und Differentiation erhalten wir daher mit (a Uj′ )′ = c Uj und (2.9) x 1 U1 (y)f (y) dy −(a(x)u′ (x))′ = − (a(x)U0′ (x))′ κ 0 1 1 U0 (y)f (y) dy − (a(x)U1′ (x))′ κ x 1 − a(x) U0′ (x)U1 (x) − U1′ (x)U0 (x) f (x) κ

20

2 Ein Zweipunkt-Randwertproblem

1 = − c(x)U0 (x) κ

x

U1 (y)f (y) dy

0

1 1 c(x)U1 (x) U0 (y)f (y) dy + f (x) κ x 1 G(x, y)f (y) dy + f (x) = −c(x)u(x) + f (x), = −c(x)

−

0

was den Beweis abschließt.

⊔ ⊓

Insbesondere zeigt dieses Theorem die Existenz einer L¨ osung des betrachteten Problems. Aus Abschnitt 2.1 wissen wir bereits, dass die L¨ osung eindeutig ist. Die Darstellung der L¨osung als Integral bez¨ uglich der Greenschen Funktion kann ebenfalls dazu verwendet werden, zus¨ atzliche Informationen bez¨ uglich der L¨osung zu gewinnen. Als einfaches Beispiel betrachten wir die Maximumnorm-Absch¨atzung 1 G(x, y) dy, (2.10) uC ≤ Cf C mit C = max ¯ x∈Ω

0

die einen genaueren Wert der Konstante in Theorem 2.2 liefert. Dabei haben wir die Tatsache benutzt, dass U0 und U1 und somit auch G wegen Theorem 2.1 nichtnegativ sind. Theorem 2.3 kann auch dazu verwendet werden, die Existenz einer L¨ osung im Falle allgemeiner Randwerte u0 und u1 zu zeigen. Das bedeutet, wenn u ¯(x) = u0 (1 − x) + u1 x gilt und v eine L¨osung von Av = g := f − A¯ u in Ω

mit v(0) = v(1) = 0

ist, dann erf¨ ullt u = v + u ¯ die Gleichungen Au = f und u(0) = u0 , u(1) = u1 .

2.3 Variationsformulierung Wir werden nun unser Zweipunkt-Randwertproblem im Hilbert-Raum L2 = L2 (Ω) betrachten und eine sogenannte Variationsformulierung daf¨ ur ableiten. Zur Einf¨ uhrung in die verwendeten funktionalanalytischen Konzepte verweisen wir auf Anhang A. Wir betrachten das Randwertproblem (2.1) mit homogenen Randbedingungen, d. h. (2.11) Au := −(au′ )′ + bu′ + cu = f

in Ω = (0, 1) mit u(0) = u(1) = 0.

Wir nehmen an, dass die Koeffizienten a, b und c glatt sind und statt (2.2) (2.12)

a(x) ≥ a0 > 0,

¯ c(x) − b′ (x)/2 ≥ 0 f¨ ur x ∈ Ω

gilt. Multiplizieren wir die Differentialgleichung mit einer Funktion ϕ ∈ C01 = C01 (Ω) und integrieren wir u ¨ ber das Intervall Ω, so erhalten wir

2.3 Variationsformulierung

(2.13)

1

0

− (au′ )′ + bu′ + cu ϕ dx =

21

1

f ϕ dx

0

oder nach partieller Integration mit ϕ(0) = ϕ(1) = 0 1 1 ′ ′ ′ (2.14) (au ϕ + bu ϕ + cuϕ) dx = f ϕ dx ∀ϕ ∈ C01 , 0

0

was wir als variationelle oder schwache Formulierung von (2.11) bezeichnen. F¨ uhren wir die Bilinearform 1 (2.15) a(v, w) = (av ′ w′ + bv ′ w + cvw) dx 0

und das lineare Funktional L(w) = (f, w) =

1

f w dx 0

ein und verwenden wir die Tatsache, dass C01 dicht in H01 = H01 (Ω) ist, k¨ onnen wir die Gleichung (2.14) in der Form a(u, ϕ) = L(ϕ) ∀ϕ ∈ H01

(2.16)

schreiben. Wir sagen, dass u eine schwache L¨osung von (2.11) ist, wenn u ∈ H01 ist und (2.16) gilt. Folglich m¨ ussen wir von einer schwachen L¨ osung nicht fordern, dass sie zweimal differenzierbar ist. Wenn eine schwache L¨ osung jedoch zu C 2 geh¨ort, dann handelt es sich tats¨ achlich um die klassische L¨ osung von (2.11). Und zwar schlussfolgern wir durch partielle Integration in (2.14), dass (2.13) gilt, d. h. es ist 1

0

(Au − f ) ϕ dx = 0 ∀ϕ ∈ H01 .

Daraus ergibt sich sofort Au = f in Ω, und weil u ∈ H01 ist, gilt auch u(0) = uhrt u(1) = 0. Diese Berechnungen k¨ onnen auch f¨ ur u ∈ H 2 ∩ H01 ausgef¨ werden. In diesem Falle sagen wir, dass u eine starke L¨osung von (2.11) ist. Wir stellen unter Verwendung der Notation aus Abschnitt 1.2 fest, dass v ≤ v ′ gilt, wenn v(0) = v(1) = 0

(2.17)

ist. Tats¨achlich gilt wegen der Cauchy-Schwarz-Ungleichung f¨ ur alle x ∈ Ω x 1 x 2 x |v(x)|2 = v ′ (y) dy ≤ 12 dy (v ′ )2 dy ≤ x (v ′ )2 dy ≤ v ′ 2 , 0

0

0

0

woraus durch Integration (2.17) folgt. Dies ist ein Spezialfall der Poincar´eUngleichung, die auch f¨ ur Funktionen mehrerer Variablen aufgeschrieben werden kann (siehe Theorem A.6). Es folgt unmittelbar

22

2 Ein Zweipunkt-Randwertproblem

1/2 √ v1 = v2 + v ′ 2 ≤ 2v ′

(2.18)

∀v ∈ H01 ,

was zeigt, dass die Normen v1 und |v|1 = v ′ ¨ aquivalent sind. Unter Verwendung unserer Annahme (2.12) stellen wir fest, dass

1

(bv ′ v + cv 2 ) dx =

0

2 1 2b v

1 0

+

1 0

ur v ∈ H01 (c − 12 b′ ) v 2 dx ≥ 0 f¨

gilt. Folglich ergibt sich aus (2.12) und (2.18), dass die Bilinearform a(v, w) die Eigenschaft (2.19)

a(v, v) ≥ min a(x) v ′ 2 ≥ αv21 ¯ x∈Ω

∀v ∈ H01

mit α = a0 /2 > 0

besitzt. Die Ungleichung (2.19) dr¨ uckt aus, dass die Bilinearform a(·, ·) in H01 koerzitiv ist (siehe (A.12)). Setzen wir in (2.16) ϕ = u und verwenden wir (2.19) und (2.17), so finden wir αu21 ≤ a(u, u) = (f, u) ≤ f u ≤ f u1 , sodass (2.20)

u1 ≤ Cf

mit C = 2/a0

gilt. Die Bilinearform a(v, w) ist auf H01 auch in dem Sinne beschr¨ankt, dass (2.21)

|a(v, w)| ≤ Cv1 w1

∀v, w ∈ H01

gilt (vgl. (A.9)). Durch Absch¨ atzen der Koeffizienten in (2.15) durch ihre Maxima und mithilfe der Cauchy-Schwarz-Ungleichung erhalten wir 1 ′ ′ |v w | + |v ′ w| + |vw| dx ≤ Cv1 w1 . |a(v, w)| ≤ C 0

Wir wenden uns nun der Frage der Existenz einer L¨osung der Variationsgleichung (2.16) zu.

Theorem 2.4. Angenommen, es gilt Gleichung (2.12) und f ∈ L2 . Dann ullt existiert eine eindeutige L¨osung u ∈ H01 von (2.16). Diese L¨osung erf¨ (2.20). Beweis. Der Beweis basiert auf dem Lax-Milgram-Lemma, Theorem A.3. Wir haben bereits u uft, dass a(·, ·) koerzitiv und in H01 beschr¨ankt ist, weil ¨ berpr¨ |L(ϕ)| = |(f, ϕ)| ≤ f ϕ ≤ f ϕ1

∀ϕ ∈ H01

gilt. Folglich sind die Voraussetzungen des Lax-Milgram-Lemmas erf¨ ullt und ullt. es folgt, dass ein eindeutiges u ∈ H01 existiert, das Gleichung (2.16) erf¨ Zusammen mit (2.20) vervollst¨ andigt dies den Beweis. ⊔ ⊓

2.4 Problemstellungen

23

Wir bemerken, dass die Bilinearform a(·, ·) im Falle b = 0 symmetrisch, positiv definit und folglich ein Skalarprodukt ist, wobei die zugeh¨ orige Norm osung folgt dann aus ¨aquivalent zu · 1 ist. Die Existenz einer eindeutigen L¨ dem elementareren Rieszschen Darstellungssatz (Theorem A.1). Im symmetrischen Fall mit b = 0 kann die L¨ osung auch so aufgefasst werden, dass sie ein bestimmtes quadratisches Funktional minimiert (Theorem A.2). Dies ist ein Spezialfall des ber¨ uhmten Dirichlet-Prinzips. Theorem 2.5. Angenommen, es gilt (2.2) und b = 0. Sei f ∈ L2 und u ∈ H01 die L¨osung von (2.16). Wir setzen 1 1 a(ϕ′ )2 + cϕ2 dx − f ϕ dx. F (ϕ) = 12 0

0

Dann ist F (u) ≤ F (ϕ) f¨ ur alle ϕ ∈

H01 ,

wobei Gleichheit nur f¨ ur ϕ = u gilt.

Die in Theorem 2.4 erzielte schwache L¨osung u von (2.16) ist sogar regul¨arer als dort erkl¨ art wurde. Mithilfe unserer Definitionen kann man tats¨achlich zeigen, dass u′′ als eine schwache Ableitung (siehe (A.21)) existiert und dass au′′ = −f + (b − a′ )u′ + cu ∈ L2 ist. Es folgt u ∈ H 2 und a0 u′′ ≤ au′′ ≤ f + (b − a′ )u′ + cu ≤ f + Cu1 ≤ Cf . Zusammen mit (2.20) f¨ uhrt dies auf die Regularit¨atsabsch¨atzung (2.22)

u2 ≤ Cf .

Wir schlussfolgern, dass die in Theorem 2.4 gefundene schwache L¨ osung von at verwendet (2.1) sogar eine starke L¨ osung ist. Der Beweis der H 2 -Regularit¨ die Annahme, dass a glatt und f ∈ L2 ist. Wenn a weniger glatt oder f nur osung in in H −1 ist (siehe (A.30)), erhalten wir immer noch eine schwache L¨ H01 , sie geh¨ort dann allerdings nicht zu H 2 (siehe Problemstellung 2.8).

2.4 Problemstellungen Problem 2.1. Bestimmen Sie explizite L¨ osungen des Randwertproblems −u′′ + cu = f

in (−1, 1) mit u(−1) = u(1) = g,

wobei c, f, g konstant sind. Benutzen Sie diese zur Illustration des Maximumprinzips. Problem 2.2. Bestimmen Sie die Greenschen Funktionen der folgenden Probleme: (a) (b)

− u′′ = f − u′′ + cu = f

in Ω = (0, 1) in Ω = (0, 1)

mit u(0) = u(1) = 0, mit u(0) = u(1) = 0.

24

2 Ein Zweipunkt-Randwertproblem

Problem 2.3. Betrachten Sie das nichtlineare Randwertproblem −u′′ + u = eu

in Ω = (0, 1) mit u(0) = u(1) = 0.

Zeigen Sie mithilfe des Maximumprinzips, dass alle L¨ osungen nichtnegativ ¯ gilt. Zeigen Sie mithilfe des starken sind, d. h. dass u(x) ≥ 0 f¨ ur alle x ∈ Ω Maximumprinzips, dass alle L¨ osungen positiv sind, d. h. dass u(x) > 0 f¨ ur alle x ∈ Ω gilt. Problem 2.4. Angenommen, es sei wie in Theorem 2.3 b = 0 und G(x, y) die dort definierte Greensche Funktion. (a) Beweisen Sie, dass G symmetrisch ist, d. h. G(x, y) = G(y, x). (b) Beweisen Sie die G¨ ultigkeit von a(v, G(x, ·)) = v(x)

∀v ∈ H01 , x ∈ Ω.

Das bedeutet, dass AG(x, ·) = δx gilt, wobei δx die als lineares Funktional ur alle φ ∈ C0 definierte Diracsche Deltafunktion an der δx (φ) = φ(x) f¨ Stelle x ist (siehe Problemstellung A.9). Problem 2.5. Im unsymmetrischen Fall b = 0 ist die Greensche Funktion auf ¨ahnliche Weise wie in Theorem 2.3 definiert: ⎧ U0 (x)U1 (y) ⎪ ⎪ f¨ ur 0 ≤ y ≤ x ≤ 1, ⎪ ⎪ κ(y) ⎨ G(x, y) = ⎪ ⎪ ⎪ U1 (x)U0 (y) ⎪ ⎩ f¨ ur 0 ≤ x ≤ y ≤ 1. κ(y)

Der Hauptunterschied besteht darin, dass κ nicht mehr konstant ist. Die Funktionen U0 und U1 sind linear unabh¨angig. Somit folgt aus der Theorie der gew¨ohnlichen Differentialgleichungen, dass deren Wronski-Determinante onnen wir dann schlussfolgern, U0 U1′ − U0′ U1 nicht verschwindet. Wie zuvor k¨ ¯ ist. Wiederholen Sie die Schritte im Beweis von Theodass κ(x) > 0 in Ω rem 2.3 f¨ ur diesen Fall. Problem 2.6. Geben Sie Variationsformulierungen an und beweisen Sie die Existenz der L¨osungen der Gleichung −u′′ = f mit den folgenden Randbedingungen (a) (b) (c)

u(0) = u(1) = 0, u(0) = u′ (1) = 0, −u′ (0) + u(0) = u′ (1) = 0.

in Ω = (0, 1)

2.4 Problemstellungen

25

Problem 2.7. Betrachten Sie die Gleichung eines Biegebalkens aus Problemstellung 1.3 d4 u = f in Ω = (0, 1) dx4 zusammen mit den Randbedingungen

(a) (b) (c) (d) (e)

u(0) = u′ (0) = u(1) = u′ (1) = 0, u(0) = u′′ (0) = u(1) = u′′ (1) = 0, u(0) = u′ (0) = u′ (1) = u′′′ (1) = 0, u(0) = u′ (0) = u′′ (1) = u′′′ (1) = 0, u(0) = u′ (0) = u(1) = u′′′ (1) = 0.

Geben Sie Variationsformulierungen an und untersuchen Sie die Existenz und die Eindeutigkeit von L¨ osungen dieser Probleme. Geben Sie mechanische Interpretationen der Randbedingungen an. Problem 2.8. Bestimmen Sie eine explizite L¨ osung von (2.11) mit a = 1, b = c = 0 und f (x) = 1/x. Aus Problemstellung A.11 wissen wir, dass ¨ ufen Sie, dass u ∈ H01 aber u ∈ H 2 f ∈ H −1 aber f ∈ L2 gilt. Uberpr¨ gilt. Hinweis: u(x) = −x log x.

3 Elliptische Gleichungen

In diesem Kapitel untersuchen wir Randwertprobleme f¨ ur elliptische partielle Differentialgleichungen. Wie wir bereits in Kapitel 1 gesehen haben, spielen diese Gleichungen sowohl in der Theorie als auch in der Anwendung partieller Differentialgleichungen eine zentrale Rolle; sie beschreiben eine große Anzahl physikalischer Ph¨ anomene, insbesondere bei der Modellierung station¨ arer Zust¨ande, und bilden den station¨ aren Grenzfall von Evolutionsgleichungen. Nach einigen Vorbemerkungen in Abschnitt 3.1 beginnen wir in Abschnitt 3.2 mit dem Beweis eines Maximumprinzips. Wie f¨ ur das ZweipunktRandwertproblem in Kapitel 2 kann dieses dazu benutzt werden, die Eindeutigkeit und die stetige Abh¨ angigkeit von den Daten f¨ ur Randwertprobleme zu zeigen. In Abschnitt 3.3 beweisen wir die Existenz einer L¨ osung des Dirichlet-Problems f¨ ur die Poisson-Gleichung auf einer Kreisscheibe mit homogenen Randbedingungen, indem wir eine Integraldarstellung mit einem Poisson-Kern benutzen. In Abschnitt 3.4 werden ¨ ahnliche Ideen benutzt, um Fundamentall¨osungen elliptischer Gleichungen einzuf¨ uhren. Wir illustrieren deren Verwendung am Beispiel der Konstruktion einer Greenschen Funktion. Ein anderer wichtiger Ansatz, der in Abschnitt 3.5 vorgestellt wird, beruht auf einer Variationsformulierung des Randwertproblems sowie auf einfachen funktionalanalytischen Methoden. In Abschnitt 3.6 diskutieren wir kurz das Neumann-Problem und beschreiben in Abschnitt 3.7 einige regularit¨ atstheoretische Resultate.

3.1 Vorbemerkungen Anstatt eine allgemeine elliptische Gleichung zweiter Ordnung der Form (1.5) zu betrachten, werden wir uns der Einfachheit halber auf einen Spezialfall beschr¨anken, bei dem sich die Matrix A = (aij ) in (1.5) auf ein einfaches skalares Vielfaches a I der Einheitsmatrix beschr¨ ankt. Dabei ist a eine glatte Funktion. Wir betrachten zun¨ achst das Dirichlet-Problem

28

(3.1)

3 Elliptische Gleichungen

Au := −∇ · a∇u + b · ∇u + cu = f

in Ω

mit u = g

auf Γ,

wobei Ω ⊂ Rd ein Gebiet mit hinreichend glattem Rand Γ ist. Die Koeffizienten a = a(x), b = b(x), c = c(x) sind glatt mit (3.2)

a(x) ≥ a0 > 0,

c(x) ≥ 0 ∀x ∈ Ω.

Dabei sind f und g auf Ω beziehungsweise Γ gegebene Funktionen. Dies ist der station¨are Fall der W¨ armeleitungsgleichung (1.18). Der Spezialfall a = 1, b = 0, c = 0 f¨ uhrt auf die Poisson-Gleichung, d. h. (3.3)

−∆u := −

d ∂2u j=1

∂x2j

= f.

Im Fall f = 0 wird diese Gleichung als Laplace-Gleichung bezeichnet, deren L¨ osungen harmonische Funktionen sind. Sind v und w L¨ osungen der beiden Probleme Av = 0 in Ω Aw = f in Ω

mit v = g auf Γ, mit w = 0 auf Γ,

dann stellen wir fest, dass u = v +w ein L¨ osung von (3.1) ist. Deshalb reicht es manchmal aus, die homogene Gleichung mit gegebenen Randbedingungen und die inhomogene Gleichung mit verschwindenden Randbedingungen separat zu betrachten. Man kann die partielle Differentialgleichung in (3.1) auch mit Robinschen Randbedingungen betrachten (3.4)

a

∂u + h u − g = 0 auf Γ, ∂n

wobei der Koeffizient h = h(x) positiv und n die ¨ außere Normale an Γ ist. Die in (3.1) verwendete Dirichletsche Randbedingung k¨ onnte man formal als Grenzfall h = ∞ von (3.4) auffassen. Im anderen Grenzfall h = 0 erhalten wir die Neumannschen Randbedingungen ∂u = 0 auf Γ. ∂n

Manchmal betrachtet man gemischte Randbedingungen, bei denen beispielsweise auf einem Teil des Randes Dirichletsche Randbedingungen und auf dem verbleibenden Teil Neumannsche Randbedingungen gegeben sind. Eine Funk¯ die die Differentialgleichung und die Randbedingung in (3.1) tion u ∈ C 2 (Ω), erf¨ ullt, wird als klassische L¨osung dieses Randwertproblems bezeichnet.

3.2 Ein Maximumprinzip

29

3.2 Ein Maximumprinzip Wir beginnen unsere Untersuchung des Dirichlet-Problems (3.1) mit dem Beweis eines Maximumprinzips, das zu demjenigen aus Theorem 2.1 analog ist. Theorem 3.1. Betrachten wir den Differentialoperator A in (3.1) und neh¯ sowie men wir u ∈ C 2 = C 2 (Ω) (3.5) Au ≤ 0 Au ≥ 0 in Ω

an. (i) Wenn c = 0 ist, dann gilt

max u = max u

(3.6)

¯ Ω

Γ

(ii) Wenn c ≥ 0 in Ω ist, dann gilt (3.7)

max u ≤ max max u, 0 ¯ Ω

Γ

min u = min u .

min u ≥ min min u, 0 .

¯ Ω

Γ

¯ Ω

Γ

¯ und Aφ < 0 in Ω. Eine Beweis. (i) Sei φ eine Funktion mit φ ≥ 0 in Ω λx1 solche Funktion ist beispielsweise φ(x) = e , wobei λ so groß ist, dass Aφ = ¯ gilt. Nehmen wir nun an, dass die (−a λ2 + (b1 − ∂a/∂x1 )λ)eλx1 < 0 in Ω Funktion u ihr Maximum in einem inneren Punkt x0 in Ω, aber nicht auf Γ annimmt. Dann gilt dies f¨ ur hinreichend kleine ǫ auch f¨ ur v = u+ǫφ. Damit gilt ¯ Wenn das Maximum von v andererseits v(¯ aber Av = Au + ǫAφ < 0 in Ω. x0 ) x0 ) = −a(¯ x0 )∆v(¯ x0 ) ≥ 0. Damit ist, dann gilt ∇v(¯ x0 ) = 0 und folglich Av(¯ erhalten wir einen Widerspruch. Somit ist unsere Behauptung bewiesen. (ii) Wenn u ≤ 0 in Ω ist, dann ist (3.7) trivialerweise erf¨ ullt. Anderenfalls oßte offene nehmen wir maxΩ¯ u = u(x0 ) > 0 und x0 ∈ Ω an. Sei Ω0 die gr¨ alt, in der u > 0 ist. Nun zusammenh¨angende Teilmenge von Ω, die x0 enth¨ ˜ := Au − cu ≤ 0 in Ω0 . Daraus folgt durch Anwendung von (i) mit dem gilt Au Operator A˜ in Ω0 die Gleichung u(x0 ) = maxΓ0 u, wobei Γ0 der Rand von Ω0 ist. Dann kann aber Γ0 nicht vollst¨andig in der offenen Menge Ω liegen, da es dann einen Punkt auf Γ0 g¨abe, an dem u positiv und Ω0 mit u > 0 nicht so groß wie m¨oglich w¨ are. Dies beweist (3.7). ⊔ ⊓ Aus Theorem 3.1 folgt die Stabilit¨at bez¨ uglich der Maximumnorm. ¯ Dann existiert eine Konstante C mit Theorem 3.2. Sei u ∈ C 2 (Ω). uC(Ω) ¯ ≤ uC(Γ ) + CAuC(Ω) ¯ . Beweis. Sei φ eine Funktion, f¨ ur die φ ≥ 0 und Aφ ≤ −1 in Ω ist. Dies trifft beispielsweise auf ein geeignetes Vielfaches der Funktion φ im Beweis von Theorem 3.1 zu. Wir definieren nun die beiden Funktionen v± (x) = ±u(x) + AuC(Ω) ¯ φ(x). Dann ist

30

3 Elliptische Gleichungen

Av± = ±Au + AuC(Ω) ¯ Aφ ≤ 0 in Ω. Deshalb nehmen beide Funktionen ihre Maxima auf Γ an, sodass v± (x) ≤ max (v± ) ≤ max (±u) + AuC(Ω) ¯ φC(Γ ) Γ

Γ

≤ uC(Γ ) + CAuC(Ω) ¯

mit C = φC(Γ )

gilt. Da ±u(x) ≤ v± (x) gilt, ist das Theorem damit bewiesen. Wie f¨ ur das Zweipunkt-Randwertproblem folgt daraus, dass es h¨ ochstens osungen eine L¨osung unseres Dirichlet-Problems (3.1) gibt. Sind uj , j = 1, 2 L¨ von (3.1) mit f = fj , g = gj , j = 1, 2, dann gilt u1 − u2 C(Ω) ¯ ≤ g1 − g2 C(Γ ) + Cf1 − f2 C(Ω) ¯ .

3.3 Das Dirichlet-Problem fu ¨ r eine Kreisscheibe. Das Poisson-Integral In diesem Abschnitt untersuchen wir das Dirichlet-Problem, eine harmonische Funktion auf einer Kreisscheibe Ω = {x ∈ R2 : |x| < R} mit gegebenen Randbedingungen zu bestimmen, d. h. das Problem (3.8)

− ∆u = 0 u(R cos ϕ, R sin ϕ) = g(ϕ)

f¨ ur |x| < R, f¨ ur 0 ≤ ϕ < 2π.

Im folgenden Theorem wird die L¨ osung von (3.8) in Form eines Integrals u ¨ber den Rand des Kreises angegeben. Theorem 3.3. (Poissonsche Integralformel.) Sei PR (r, ϕ) der Poisson-Kern PR (r, ϕ) =

R2 − r 2 . R2 + r 2 − 2rR cos ϕ

Dann ist die in Polarkoordinaten x = (r cos ϕ, r sin ϕ) durch 2π 1 PR (r, ϕ − ψ)g(ψ) dψ (3.9) u(x) = 2π 0

definierte Funktion f¨ ur ein hinreichend glattes g eine L¨osung von (3.8). Beweis. Wir stellen zun¨achst fest, dass die Funktion v(x) = r n e±inϕ f¨ ur jedes n ≥ 0 harmonisch ist. Tats¨achlich gilt also

1 ∂2v ∂ 2 v 1 ∂v , + 2 + 2 r ∂ϕ2 r ∂r ∂r 1 1 = n(n − 1)r n−2 + nr n−1 − 2 n2 r n e±inϕ = 0. r r

∆v =

3.3 Das Dirichlet-Problem f¨ ur eine Kreisscheibe. Das Poisson-Integral

31

Daraus folgt f¨ ur ein beschr¨ anktes cn , dass die Reihe (3.10)

u(x) =

∞

cn

n=−∞

r |n|

R

einϕ

in Ω harmonisch ist. Wir nehmen nun an, dass g(ϕ) eine Fourier-Reihe g(ϕ) =

∞

cn einϕ

n=−∞

besitzt, die absolut konvergent ist. Dann ist die Funktion u(x) in (3.10) mit ¯ stetig. Letzteres den Koeffizienten cn eine L¨ osung von (3.8), und u ist in Ω bedeutet, dass u(reiψ ) → g(eiϕ ) f¨ ur r →R, ψ → ϕ gilt. Um uns davon zu u ¨berzeugen, w¨ahlen wir N so groß, dass |n|>N |cn | < ǫ/3 gilt und schreiben

|u(reiψ ) − g(eiϕ )| ≤

|n|≤N

r |n| |cn |. einψ − einϕ + 2 |cn | R |n|>N

Dabei geht der erste Term auf der rechten Seite f¨ ur r → R, ψ → ϕ offensichtlich gegen 0 und wird folglich kleiner als ǫ/3, was unserer Behauptung entspricht. Erinnern wir uns daran, dass die Fourier-Koeffizienten von g durch 2π 1 e−inψ g(ψ) dψ cn = 2π 0

gegeben sind. Folglich gilt u(x) =

1 2π

2π 0

∞ |n| r ein(ϕ−ψ) g(ψ) dψ, R n=−∞

was mit PR (r, ϕ) =

∞ |n| r einϕ R n=−∞

von der Form (3.9) ist. Setzen wir z = (r/R)eiϕ , gilt PR (r, ϕ) = 1 + 2 Re

∞ n r

n=1

= 2 Re

∞

n=0

R

einϕ

z n − 1 = Re

1+z 2 − 1 = Re 1−z 1−z

R2 − r 2 R + reiϕ , = 2 = Re iϕ R + r 2 − 2rR cos ϕ R − re

was den Beweis abschließt.

⊔ ⊓

32

3 Elliptische Gleichungen

Als Konsequenz des Theorems ergibt sich: Wenn u eine harmonische Funktion in Ω, x ˜ ein beliebiger Punkt in Ω und die Kreisscheibe {x : |x − x ˜| ≤ R} in Ω enthalten ist, dann gilt wegen PR (0, ϕ) = 1 2π 1 u(˜ x1 + R cos ψ, x ˜2 + R sin ψ) dψ. (3.11) u(˜ x) = 2π 0

Somit ist u(˜ x) der Mittelwert der Werte von u(x) mit |x − x ˜| = R. Folglich entspricht der Wert von u am Mittelpunkt der Kreisscheibe dem Mittelwert der Randwerte der Kreisscheibe. Wir sagen, dass u die Mittelwerteigenschaft erf¨ ullt. Dies beweist einen Spezialfall des starken Maximumprinzips, das wir bereits erw¨ahnt haben: Wenn eine harmonische Funktion u ihr Maximum in einem inneren Punkt von Ω annimmt, dann ist sie konstant. Ist x ˜ tats¨ achlich ein innerer Punkt von Ω, in dem u ihr Maximum annimmt, dann gilt wegen (3.11) die Gleichung u(x) = u(˜ x) f¨ ur alle x mit {x : |x − x ˜| = R} ⊂ Ω. Weil ¯ den R beliebig und Ω zusammenh¨ angend ist, folgt offensichtlich, dass u in Ω konstanten Wert u(˜ x) annimmt. Insbesondere wird das Maximum auch auf Γ angenommen.

3.4 Fundamentall¨ osungen. Die Greensche Funktion Sei u eine L¨osung der inhomogenen Gleichung (3.12)

Au = f

in Rd ,

wobei A wie in (3.1) mit b = 0 ist. Durch Multiplikation mit ϕ ∈ C0∞ (Rd ), Integration u ¨ber Rd und zweimalige partielle Integration erhalten wir f (x) ϕ(x) dx ∀ϕ ∈ C0∞ (Rd ). (3.13) (u, Aϕ) = (f, ϕ) = Rd

Wir sagen, dass U eine Fundamentall¨ osung von (3.12) ist, wenn U f¨ ur x = 0 glatt ist, an der Stelle x = 0 eine Singularit¨ at besitzt, sodass U ∈ L1 (B) mit B = {x ∈ Rd : |x| < 1} gilt, und (3.14)

|D α U (x)| ≤ Cα |x|2−d−|α|

f¨ ur |α| = 0

sowie (3.15)

(U, Aϕ) = ϕ(0) ∀ϕ ∈ C0∞ (Rd )

gilt. Im Sinne der schwachen Ableitung (siehe (A.21)) bedeutet dies AU = δ, wobei δ die in der Problemstellung A.9 definierte Diracsche Deltafunktion ist. Wir verwenden nun die Fundamentall¨ osung, um eine L¨ osung f¨ ur (3.12) zu konstruieren.

3.4 Fundamentall¨ osungen. Die Greensche Funktion

33

Theorem 3.4. Wenn U eine Fundamentall¨osung von (3.12) und f ∈ C01 (Rd ) ist, dann ist U (x − y)f (y) dy u(x) = (U ∗ f )(x) = Rd

eine L¨osung von (3.12). Beweis. Wegen (3.15) gilt U (x − y)Aϕ(x) dx = Rd

Rd

U (z)Aϕ(z + y) dz = (U, Aϕ(· + y)) = ϕ(y).

Wenn u = U ∗ f ist, dann erhalten wir durch Vertauschen der Integrationsreihenfolge (u, Aϕ) = U (x − y)f (y) dy Aϕ(x) dx d d R R = U (x − y)Aϕ(x) dx f (y) dy (3.16) d d R R ϕ(y) f (y) dy = (f, ϕ). = Rd

Aus f ∈ C01 folgt u ∈ C 2 , weil mit Di = ∂/∂xi die Gleichung Di Dj u(x) = (Di U ∗ Dj f )(x) (vgl. Anhang A.3) sowie Di U ∈ L1 (Rd ) und Dj f ∈ C0 (Rd ) gilt. Somit k¨onnen wir in (3.16) partiell integrieren und erhalten (vgl. (3.13)) (Au − f, ϕ) = 0 ∀ϕ ∈ C0∞ (Rd ). Daraus k¨onnen wir Au = f schließen.

⊔ ⊓

Im folgenden Theorem bestimmen wir Fundamentall¨ osungen der PoissonGleichung in zwei und drei Dimensionen. Theorem 3.5. Sei

U (x) =

⎧ 1 ⎪ log |x| − ⎪ ⎪ ⎨ 2π ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎩ 4π|x|

f¨ ur d = 2,

f¨ ur d = 3.

Dann ist U eine Fundamentall¨osung der Poisson-Gleichung (3.3). Beweis. Wir f¨ uhren den Beweis f¨ ur den Fall d = 2, der Beweis f¨ ur d = 3 verl¨auft analog. Differentiation nach x = 0 f¨ uhrt auf −

1 xj ∂U , = 2π |x|2 ∂xj

−

1 |x|2 − 2x2j ∂2U , = 2 |x|4 2π ∂xj

34

3 Elliptische Gleichungen

sodass f¨ ur x = 0 insbesondere −∆U = 0 gilt. Auf gleiche Weise kann gezeigt werden, dass (3.14) gilt. Sei ϕ ∈ C0∞ (R2 ). Aufgrund der Greenschen Formel mit n = x/|x| gilt ∂U ∂ϕ U ds. − ϕ U (−∆ϕ) dx = (−∆U )ϕ dx − ∂n ∂n |x|>ǫ |x|>ǫ |x|=ǫ

Der erste Term auf der rechten Seite verschwindet. Wegen

1 1 1 x2 ∂U x1 ∂U ∂U = = + = 2πǫ 2π |x| |x| ∂x2 |x| ∂x1 ∂n

gilt außerdem

|x|=ǫ

ϕ

1 ∂U ds = 2πǫ ∂n

|x|=ǫ

f¨ ur |x| = ǫ

ϕ ds → ϕ(0) f¨ ur ǫ → 0.

Ebenso ist ∂ϕ 1 ∂ϕ ds ≤ ǫ log(ǫ)∇ϕC → 0 f¨ ur ǫ → 0. log(ǫ) U ds = 2π ∂n |x|=ǫ ∂n |x|=ǫ

Folglich gilt (U, (−∆)ϕ) = lim

ǫ→0

U (x)(−∆)ϕ(x) dx = ϕ(0).

|x|>ǫ

⊔ ⊓

Wir k¨onnen nun f¨ ur das Randwertproblem (3.17)

−∆u = f

in Ω

mit u = 0 auf Γ

eine Greensche Funktion G(x, y) konstruieren, die f¨ ur x, y ∈ Ω definiert ist, sodass die L¨osung von (3.17) in der Form (3.18) u(x) = G(x, y)f (y) dy Ω

dargestellt werden kann. Sei (3.19)

G(x, y) = U (x − y) − vy (x),

wobei U die Fundamentall¨ osung aus Theorem 3.5 ist. F¨ ur ein festes y ∈ Ω sei vy die L¨osung von −∆x vy (x) = 0 in Ω

mit vy (x) = U (x − y)

auf Γ.

Im n¨achsten Abschnitt werden wir zeigen, dass dieses Problem eine L¨ osung besitzt. Die Greensche Funktion besitzt somit die Singularit¨ at der Fundamentall¨osung und verschwindet f¨ ur x ∈ Γ . Wir k¨ onnen uns leicht davon u ¨berzeugen, dass deshalb die durch (3.18) definierte Funktion eine L¨ osung von (3.17) ist. Sie ist außerdem die einzige L¨ osung, da wir die Eindeutigkeit bereits in Abschnitt 3.2 bewiesen haben. Beachten Sie, dass G(x, y) aus einem singul¨ aren Teil U (x − y) mit einer Singularit¨ at an der Stelle x = y und einem glatten Teil vy (x) besteht.

3.5 Variationsformulierung des Dirichlet-Problems

35

3.5 Variationsformulierung des Dirichlet-Problems Wir betrachten zun¨achst das Dirichlet-Problem mit homogenen Randbedingungen (3.20) Au := −∇ · a∇u + b · ∇u + cu = f in Ω mit u = 0 auf Γ,

¯ sind, die wobei die Koeffizienten a, b und c glatte Funktionen auf Ω (3.21)

a(x) ≥ a0 > 0,

ur x ∈ Ω c(x) − 12 ∇ · b(x) ≥ 0 f¨

erf¨ ullen, und f eine gegebene Funktion ist. Bei der klassischen Formulierung ¯ die (3.20) des Problems sucht man nach einer Funktion u ∈ C 2 = C 2 (Ω), erf¨ ullt. In diesem Abschnitt werden wir (3.20) in Variationsform umformulieren und nach einer L¨ osung innerhalb der gr¨ oßeren Klasse H01 suchen. In einigen F¨allen ist es anschließend m¨ oglich, die Regularit¨ at dieser L¨ osung zu beweisen, sodass es sich dann tats¨ achlich auch um eine klassische L¨ osung handelt. Nehmen wir zun¨ achst an, dass u eine L¨ osung in C 2 ist. Wir multiplizieren 1 (3.20) mit v ∈ C0 und integrieren u ¨ber Ω. Mit der Greenschen Formel und weil v = 0 auf Γ gilt, erhalten wir (3.22) f v dx = Au v dx = (a ∇u · ∇v + b · ∇u v + c u v) dx ∀v ∈ C01 Ω

Ω

Ω

und wegen der Dichtheit von C01 in H01 auch a ∇u · ∇v + b · ∇u v + c u v dx = (3.23) f v dx ∀v ∈ H01 . Ω

Ω

Das zu (3.20) geh¨ orige Variationsproblem besteht folglich darin, ein u ∈ H01 zu finden, f¨ ur das (3.23) gilt. Weiter unten wird mithilfe des Lax-Milgramosung Lemmas gezeigt, dass dieses Problem f¨ ur f ∈ L2 eine eindeutige L¨ zul¨asst. Wir sagen, dass diese L¨ osung eine schwache L¨osung oder Variationsl¨osung von (3.20) ist. Wir haben uns also davon u osung auch ¨berzeugt, dass eine klassische L¨ gleichzeitig eine schwache L¨ osung ist. Nehmen wir umgekehrt an, dass u ∈ H01 eine schwache L¨osung ist, d. h. dass u Gleichung (3.23) erf¨ ullt. Wenn wir zus¨atzlich wissen, dass u ∈ C 2 gilt, dann folgt aus (3.23) mit der Greenschen Formel f v dx = a ∇u · ∇v + b · ∇u v + c u v dx = A u v dx ∀v ∈ H01 , Ω

d. h.

Ω

Ω

Ω

(Au − f )v dx = 0 ∀v ∈ H01 .

F¨ ur f ∈ C gilt dann Au − f ∈ C. Deshalb folgt aus dieser Beziehung

36

3 Elliptische Gleichungen

Au(x) − f (x) = 0 ∀x ∈ Ω. Wegen u ∈ H01 gilt auch u = 0 auf Γ . Daraus folgt, dass u eine klassische L¨osung von (3.20) ist. Eine hinreichend glatte schwache L¨ osung ist folglich auch eine klassische L¨ osung. Es h¨angt jedoch von den Daten f und dem Gebiet Ω ab, ob eine L¨osung hinreichend glatt ist, um sie als eine klassische L¨osung bezeichnen zu k¨onnen. Deshalb stellt die schwache Formulierung (3.23) tats¨achlich eine Erweiterung der klassischen Formulierung dar. Beachten Sie, dass die schwache Formulierung (3.23) f¨ ur beliebiges f ∈ L2 sinnvoll ist, sodass f beispielsweise unstetig sein kann, w¨ ahrend die klassische Formulierung (3.20) die Stetigkeit von f fordert. Wenn f ∈ L2 ist und u ∈ H 2 ∩ H01 Gleichung (3.20) erf¨ ullt, dann sagen wir, dass u eine starke L¨osung ist. Es ist offensichtlich, dass eine klassische L¨ osung auch eine starke L¨ osung und eine starke L¨osung auch eine schwache L¨osung ist. Dar¨ uber hinaus ist eine schwache L¨osung, die in H 2 liegt, eine starke L¨osung. Weiter hinten werden wir auf das Problem der Regularit¨ at schwacher L¨osungen zur¨ uckkommen. Wir sind nun in der Lage, die Existenz einer schwachen L¨ osung zu zeigen. Wir verwenden unsere Standardnotation aus Abschnitt 1.2. Theorem 3.6. Angenommen, es gelte (3.21) und f ∈ L2 . Dann l¨asst das Randwertproblem (3.20) eine eindeutige schwache L¨osung zu, d. h. es existiert ullt. Dar¨ uber hinaus existiert eine von ein eindeutiges u ∈ H01 , das (3.23) erf¨ f unabh¨angige Konstante C, sodass (3.24)

|u|1 ≤ Cf

gilt. Beweis. Wir wenden das Lax-Milgram-Lemma, Theorem A.3, in dem mit der Norm | · |1 versehenen Hilbert-Raum V = H01 und mit (3.25) a(v, w) = a∇v · ∇w + b · ∇v w + c v w dx und L(v) = f v dx Ω

Ω

ankt. Sie ist koerzitiv, an. Offensichtlich ist die Bilinearform a(·, ·) in H01 beschr¨ wenn (3.21) gilt, weil a|∇v|2 + (c − 12 ∇ · b)|v|2 dx ≥ a0 |v|21 ∀v ∈ H01 a(v, v) = Ω

ist. Ferner handelt es sich bei L(·) um ein beschr¨ anktes lineares Funktional auf H01 , da wegen der Poincar´e-Ungleichung, Theorem A.6, die Gleichung |L(v)| ≤ f v ≤ f v1 ≤ Cf |v|1 gilt. Daraus ergibt sich LV ∗ ≤ Cf und die Behauptung des Theorems folgt somit direkt aus Theorem A.3. ⊔ ⊓

3.5 Variationsformulierung des Dirichlet-Problems

37

Wir stellen fest, dass sich (3.21) im Falle b = 0 auf (3.2) reduziert und die Bilinearform a(·, ·) ein Skalarprodukt auf H01 ist. Das Theorem kann dann unter Verwendung des Rieszschen Darstellungssatzes bewiesen werden. In diesem Fall zeigt Theorem A.2, dass die schwache L¨osung von (3.20) auch folgendermaßen charakterisiert werden kann: Theorem 3.7. (Dirichlet-Prinzip.) Gleichung (3.2) sei erf¨ ullt und es gelte b = 0. Sei f ∈ L2 und u ∈ H01 die L¨osung von (3.23). Wir setzen a|∇v|2 + c v 2 dx − f v dx. (3.26) F (v) = 12 Ω

Ω

Dann ist F (u) ≤ F (v) f¨ ur alle v ∈ H01 , wobei Gleichheit nur im Falle v = u gilt.

Anmerkung 3.1. Wenn (3.20) beispielsweise als Modell einer an ihrem Rand fixierten elastischen Membran betrachtet wird, dann handelt es sich bei dem durch Gleichung (3.26) definierten F (v) um die zur Auslenkung v geh¨ orende potentielle Energie. Der erste Term in F (v) entspricht der inneren elastischen Energie, w¨ahrend der zweite Term einem Lastpotential entspricht (analoge Interpretationen gibt es f¨ ur mechanische und physikalische Probleme, die durch (3.20) modelliert werden). Das Dirichlet-Problem entspricht in diesem Fall dem Prinzip der minimalen potentiellen Energie aus der Mechanik und (3.23) dem Prinzip der virtuellen Arbeit. Wir betrachten nun das Randwertproblem mit inhomogener Randbedingung (3.27)

Au = f

in Ω

mit u = g

auf Γ,

wobei wir annehmen, dass f ∈ L2 und g ∈ L2 (Γ ) ist. In der schwachen Formulierung bedeutet dieses Problem, ein u ∈ H 1 mit a(·, ·) und L(·) wie in (3.25) zu finden, sodass (3.28)

a(u, v) = L(v) ∀v ∈ H01

mit γ u = g

gilt. Dabei ist γ : H 1 → L2 (Γ ) der Spuroperator (vgl. Theorem A.4). Zum Beweis der Existenz einer L¨ osung nehmen wir an, dass es sich bei der auf Γ gegebenen Funktion g um die Spur einer Funktion u0 ∈ H 1 handelt, d. h. g = γu0 . Wir setzen w = u − u0 und suchen dann nach einem w ∈ H01 , das (3.29)

a(w, v) = L(v) − a(u0 , v)

∀v ∈ H01

erf¨ ullt. Die rechte Seite ist ein beschr¨ anktes lineares Funktional auf H01 . Somit folgt wegen des Lax-Milgram-Lemmas, dass ein eindeutiges w ∈ H01 existiert, das (3.29) erf¨ ullt. Offensichtlich erf¨ ullt u = u0 + w sowohl (3.28) als auch γu = g. Diese L¨osung ist eindeutig, denn wenn (3.27) zwei schwache L¨ osungen atte, dann w¨ are deren Differenz u1 −u2 ∈ H01 u1 , u2 mit denselben Daten f, g h¨

38

3 Elliptische Gleichungen

eine schwache L¨osung von (3.20) mit f = 0. Daher w¨ urde aus der Stabilit¨ atsabsch¨atzung (3.24) die Gleichung u1 − u2 = 0, d. h. u1 = u2 folgen. Folglich besitzt (3.27) eine eindeutige schwache L¨ osung. Insbesondere ist die L¨ osung angig. u von der Wahl der Fortsetzung u0 der Randwerte g unabh¨ aquivalent dazu auch als Im Fall b = 0 kann die schwache L¨osung u ∈ H 1 ¨ die eindeutige L¨osung des Minimierungsproblems a|∇v|2 + c v 2 dx − f v dx inf 1 12 v∈H γv=g

Ω

Ω

charakterisiert werden.

3.6 Ein Neumann-Problem Wir betrachten nun das Neumann-Problem (3.30)

Au := −∇ · a∇u + cu = f

in Ω

mit

∂u = 0 auf Γ, ∂n

wobei wir nun zus¨atzlich zu (3.2) c(x) ≥ c0 > 0 in Ω fordern und f ∈ L2 ist. (Der Fall c = 0 wird in Problemstellung 3.9 diskutiert.) Um zu einer Variationsformulierung von (3.30) zu gelangen, multiplizieren wir die Differentialgleichung in (3.30) mit v ∈ C 1 (beachten Sie, dass v keine Randbedingungen erf¨ ullen muss) und integrieren u ¨ber Ω unter Verwendung der Greenschen Formel: ∂u a∇u · ∇v + c uv dx, f v dx = Au v dx = − a v ds + ∂n Ω Ω Ω Γ

sodass wegen ∂u/∂n = 0 auf Γ (3.31) a∇u · ∇v + c uv dx = f v dx Ω

Ω

∀v ∈ C 1

gilt. Wenn umgekehrt u ∈ C 2 Gleichung (3.31) erf¨ ullt, dann gilt aufgrund der Greenschen Formel ∂u Au − f v dx + a v ds = 0 ∀v ∈ C 1 . (3.32) ∂n Γ Ω

Wenn wir v zun¨ achst u ¨ber C01 variieren lassen, dann sehen wir, dass u die Differentialgleichung in (3.30) erf¨ ullen muss. Somit verschwindet der erste Term auf der linken Seite von (3.32). Variieren wir v auf Γ , dann k¨onnen wir uns davon u ullt. ¨ berzeugen, dass u auch die Randbedingungen in (3.30) erf¨ Dies hat uns zu der folgenden Variationsformulierung von (3.30) gef¨ uhrt: Gesucht ist eine Funktion u ∈ H 1 , sodass

3.6 Ein Neumann-Problem

(3.33)

a(u, v) = L(v)

39

∀v ∈ H 1

erf¨ ullt ist, wobei a(·, ·) und L(·) wie in (3.25) mit b = 0 vorausgesetzt werden k¨onnen. Wir haben gesehen, dass eine klassische L¨ osung u von (3.30) die Gleichung (3.33) erf¨ ullt. Umgekehrt gilt: Wenn u die Gleichung (3.33) erf¨ ullt und osung von (3.30). zus¨atzlich u ∈ C 2 ist, dann ist u eine klassische L¨ Aufgrund des Rieszschen Darstellungssatzes erhalten wir hier das folgende Existenz-, Eindeutigkeits- und Stabilit¨ atsresultat. Beachten Sie, dass die Bilinearform a(·, ·) wegen c(x) ≥ c0 > 0 ein Skalarprodukt auf H 1 ist. Theorem 3.8. Wenn f ∈ L2 ist, dann l¨asst das Neumann-Problem (3.30) eine eindeutige schwache L¨osung zu, d. h. es gibt eine eindeutige Funktion ullt. Dar¨ uber hinaus gilt u ∈ H 1 , die (3.33) erf¨ u1 ≤ Cf . Anmerkung 3.2. Beachten Sie, dass hier die Neumannsche Randbedingung ∂u/∂n = 0 auf Γ in der Variationsformulierung (3.33) nicht explizit gefordert wird; die Funktion u soll lediglich zu H 1 geh¨ oren. Die Randbedingung ist in (3.33) implizit enthalten, weil die Testfunktion v eine beliebige Funktion in H 1 sein kann. Eine solche Randbedingung, die nicht explizit gefordert werden muss, wird als nat¨ urliche Randbedingung bezeichnet. Im Gegensatz dazu heißt eine Randbedingung, wie die Dirichletsche Bedingung u = g auf Γ , die explizit als Teil der Variationsformulierung gestellt wird, wesentliche Randbedingung. Anmerkung 3.3. F¨ ur das Problem (3.34)

Au = f

in Ω

mit a

∂u =g ∂n

auf Γ

mit f ∈ L2 (Ω) und g ∈ L2 (Γ ) kann die folgende Variationsformulierung angegeben werden: Gesucht ist ein u ∈ H 1 , sodass (3.35)

a(u, v) = L(v)

∀v ∈ H 1

gilt, wobei a(·, ·) wie in (3.25) mit b = 0 und L(v) = f v dx + gv ds Ω

Γ

ist. Mit der Cauchy-Schwarz-Ungleichung und der Spurungleichung (Theorem A.4) gilt |L(v)| ≤ f v + gL2 (Γ ) vL2 (Γ ) ≤ f + CgL2 (Γ ) v1 .

Folglich ist L(·) eine beschr¨ ankte Linearform auf H 1 . Der Rieszsche Darstellungssatz liefert deshalb die Existenz und die Eindeutigkeit einer Funktion ullt (siehe dazu auch Problemstellung 3.7). u ∈ H 1 , die (3.35) erf¨

40

3 Elliptische Gleichungen

3.7 Regularit¨ at Aus Theorem 3.6 wissen wir, dass das Dirichlet-Problem (3.20) f¨ ur jedes f ∈ L2 eine eindeutige schwache L¨osung u ∈ H01 besitzt. Man kann zeigen, dass f¨ ur ein glattes Γ oder ein konvexes Polynom Γ tats¨ achlich u ∈ H 2 gilt und eine von f unabh¨ angige Konstante C existiert, sodass (3.36)

u2 ≤ Cf

gilt. Beachten Sie, dass diese Absch¨atzung, wenn sie beispielsweise im Falle A = −∆ angewendet wird, bedeutet, dass es m¨ oglich ist, die L2 -Norm aller zweiten Ableitungen einer auf Γ verschwindenden Funktion u durch die L2 Norm der speziellen Kombination zweiter Ableitungen von u abzusch¨ atzen, die durch den Laplace-Operator −∆ gegeben ist. Ein Beispiel gibt Problemstellung 3.10, worin Ω weder glatt noch konvex ist und die Regularit¨ atsabsch¨atzung (3.36) nicht erf¨ ullt ist. Die Ungleichung (3.36) zeigt, dass die Funktion u und deren erste und zweite Ableitung stetig von f in dem Sinne abh¨ angen, dass falls u1 und u2 −Aui = fi

in Ω

mit ui = 0 auf Γ

f¨ ur i = 1, 2

erf¨ ullen, die Ungleichung 1/2 ≤ Cf1 − f2 Dα u1 − Dα u2 2 |α|≤2

gilt. Wenn Γ glatt ist, kann (3.36) folgendermaßen verallgemeinert werden. F¨ ur jede ganze Zahl k ≥ 0 existiert eine von f unabh¨ angige Konstante C, sodass, falls u die schwache L¨ osung von (3.20) mit f ∈ H k ist, u ∈ H k+2 ∩ H01 und (3.37)

uk+2 ≤ Cf k

ist. Insbesondere folgt daraus unter Beachtung der Sobolevschen Ungleichung, ullt ist und u Theorem A.5, dass im Fall k > d/2 die Beziehung u ∈ C 2 erf¨ folglich auch eine klassische L¨osung von (3.20) ist. Ist Γ ein Polygon, liegt eine weniger g¨ unstige Situation vor. Wenn A = −∆ onnen ist und Ω ⊂ R2 eine Ecke mit dem Innenwinkel ω besitzt, denn k¨ wir n¨amlich mithilfe von Polarkoordinaten (r, ϕ), deren Zentrum in dieser Ecke liegt, zeigen, dass sich die L¨osung von (3.20) in der N¨ ahe der Ecke wie alt. Dabei entspricht ϕ = 0 einer der u(r, ϕ) = c r β sin(βϕ) mit β = π/ω verh¨ Kanten. Um f¨ ur eine solche Funktion in der N¨ ahe der Ecke H k -Regularit¨ at zu k erhalten, muss (∂/∂r) u(r, ϕ) ∈ L2 (Ω0 ) gelten, wobei Ω0 ⊂ Ω die Umgebung der betrachteten Ecke, aber keine anderen Ecken enth¨ alt. Dies erfordert aber f¨ ur hinreichend kleine b entweder 2 b 2(β−k) β(β − 1) · · · (β − k + 1) r r dr < ∞ 0

3.8 Problemstellungen

41

oder 2(β − k) + 1 ≥ −1. (Es ist β − k + 1 = 0, falls 2(β − k) + 1 = −1 gilt.) Dies bedeutet wiederum ω ≤ π/(k − 1). F¨ ur k = 2 m¨ ussen also alle Winkel kleiner gleich π sein, d. h. Ω muss konvex sein. Im Falle k = 3 m¨ ussen alle Winkel ≤ π/2 sein, was eine schwerwiegende Einschr¨ ankung ist. Wir verweisen auf Problemstellung 3.10, die ein Beispiel zur Illustration dieser Tatsache liefert.

3.8 Problemstellungen Problem 3.1. Geben Sie f¨ ur das Dirichlet-Problem −

d

j,k=1

∂u ∂ + a0 u = f ajk ∂xk ∂xj

in Ω

mit u = 0

auf Γ

eine Variationsformulierung an und beweisen Sie die Existenz und Eindeutigkeit einer schwachen L¨osung. Dabei sind ajk (x) und a0 (x) Funktionen in ¯ f¨ ur die die Matrix (ajk (x)) symmetrisch und C(Ω), ur die a0 (x) ≥ 0 gilt und f¨ gleichm¨aßig positiv definit in Ω ist, sodass ajk (x) = akj (x) und d

j,k=1

ajk (x)ξj ξk ≥ κ

d

ξj2

j=1

mit κ > 0 f¨ ur ξ ∈ Rd , x ∈ Ω

gilt. Problem 3.2. Sei f ∈ L2 . Zeigen Sie, dass p = ∇u die L¨ osung des Minimierungsproblems |q|2 dx inf 12 q∈Hf

mit

Ω

Hf = q = (q1 , . . . , qd ) : qi ∈ L2 , −∇ · q = f in Ω

ist, wenn u die Gleichung −∆u = f in Ω, u = 0 auf Γ erf¨ ullt.

Problem 3.3. Betrachten Sie zwei beschr¨ ankte Gebiete Ω1 und Ω2 mit einem gemeinsamen Rand S. Sei Γi = ∂Ωi \ S, wobei ∂Ωi der Rand von Ωi , i = 1, 2, ist (siehe Abbildung 3.1). Geben Sie eine Variationsformulierung des folgendes Problems an: Gesucht ist ein in Ωi , i = 1, 2 definiertes ui , sodass die Gleichungen −a1 ∆u1 = f1 u1 = 0

in Ω1 , auf Γ1 ,

und

−a2 ∆u2 = f2 u2 = 0

in Ω2 , auf Γ2

∂u2 ∂u1 auf S = a2 ∂n ∂n erf¨ ullt sind. Dabei ist fi ∈ L2 (Ωi ), ai > 0 f¨ ur i = 1, 2, konstant und n eine Einheitsnormale an S. Beweisen Sie die Existenz und die Eindeutigkeit der L¨ osung. Geben Sie eine physikalische Interpretation. u1 = u 2 ,

a1

42

3 Elliptische Gleichungen

Γ2 Ω2 S

Ω1

Γ1

Abbildung 3.1. Gebiet mit Grenzfl¨ ache.

Problem 3.4. Beweisen Sie die Ungleichung von Friedrichs 12 vL2 (Ω) ≤ C ∇v2L2 (Ω) + v2L2 (Γ )

f¨ ur v ∈ C 1 ,

d wobei Ω ein beschr¨anktes Gebiet in2 R mitdem2 Rand Γ ist. Hinweis: Integrieren Sie in der Identit¨at Ω v dx = Ω v ∆φ dx partiell. Dabei ist 1 |x|2 . φ(x) = 2d

Problem 3.5. Beweisen Sie 2 12 v ≤ C ∇v2 + v dx Ω

f¨ ur v ∈ C 1 ,

wobei Ω das Einheitsquadrat in R2 ist. Die Ungleichung gilt auch, falls Ω x ein beschr¨anktes Gebiet in Rd ist. Hinweis: v(x) = v(y) + y11 D1 v(s, x2 ) ds + x2 D2 v(y1 , s) ds. y2

Problem 3.6. Geben Sie eine Variationsformulierung des Problems −∆u = f

in Ω

mit

∂u +u=g ∂n

auf Γ

mit f ∈ L2 (Ω) und g ∈ L2 (Γ ) an. Beweisen Sie die Existenz und die Eindeutigkeit einer schwachen L¨ osung. Interpretieren Sie die Randbedingung in Bezug auf ein Problem aus der Mechanik oder der Physik. Hinweis: Siehe Problemstellung 3.4. Problem 3.7. Beweisen Sie die Stabilit¨ atsabsch¨ atzung uH 1 (Ω) ≤ C f L2 (Ω) + gL2 (Γ )

f¨ ur die L¨ osung von (3.34).

3.8 Problemstellungen

43

Problem 3.8. Geben Sie eine Variationsformulierung des Problems −∇ · a∇u + cu = f

in Ω

mit a

∂u + h(u − g) = k ∂n

auf Γ

an. Dabei ist f ∈ L2 (Ω) und g, k ∈ L2 (Γ ). Die Koeffizienten a, c, h sind glatt mit ur x ∈ Ω, a(x) ≥ a0 > 0, c(x) ≥ 0 f¨

h(x) ≥ h0 > 0 f¨ ur x ∈ Γ.

Beweisen Sie die Existenz und die Eindeutigkeit einer schwachen L¨ osung. Beweisen Sie die Stabilit¨ atsabsch¨ atzung uH 1 (Ω) ≤ C f L2 (Ω) + kL2 (Γ ) + gL2 (Γ ) . Hinweis: Verwenden Sie Problemstellung 3.4.

Problem 3.9. Betrachten Sie das Neumann-Problem (3.38)

−∆u = f

in Ω

mit

∂u = 0 auf Γ. ∂n

Nehmen Sie f ∈ L2 (Ω) an. Zeigen Sie, dass die Bedingung f dx = 0 Ω

f¨ ur die Existenz der L¨osung notwendig ist. Beachten Sie, dass wenn u Gleichung (3.38) erf¨ ullt, dies auch auf u + c mit einer beliebigen Konstanten c zutrifft. Um die Eindeutigkeit zu erhalten, nehmen Sie die zus¨atzliche Bedingung u dx = 0 Ω

hinzu, die verlangt, dass der Mittelwert von u gleich null ist. Stellen Sie dieses Problem unter Verwendung des Raumes v dx = 0 V = v ∈ H 1 (Ω) : Ω

in einer Variationsformulierung. Hinweis: Siehe Problemstellung 3.5. Problem 3.10. Sei Ω ein Sektor mit dem Winkel ω = π/β: Ω = (r, ϕ) : 0 < r < 1, 0 < ϕ < π/β ,

atigen wobei r, ϕ ebene Polarkoordinaten sind. Sei v(r, ϕ) = r β sin(βϕ). Best¨ Sie, dass v harmonisch ist, d. h. dass ∆v = 0 gilt, indem Sie ∆v =

1 ∂2v 1 ∂ ∂v + 2 r r ∂ϕ2 r ∂r ∂r

44

3 Elliptische Gleichungen

berechnen. (Dies folgt auch unmittelbar aus der Feststellung, dass v der Imagin¨arteil der komplexen analytischen Funktion z β ist.) Setzen Sie u(r, ϕ) = (1−r 2 )v(r, ϕ). Dann ist u = 0 auf Γ . Zeigen Sie, dass u die Gleichung −∆u = f mit f = 4(1 + β)v erf¨ ullt. Folglich ist f ∈ H 1 (Ω). Berechnen Sie anschließend 2 2 ∂ u/∂r L2 (Ω) und schlussfolgern Sie, dass u ∈ H 2 (Ω) gilt, wenn β < 1 ist, d. h. wenn Ω nichtkonvex oder ω > π ist. Zeigen Sie auf ¨ ahnliche Weise, dass arksten singul¨ are Term u ∈ H 3 (Ω) ist, wenn ω > π/2 gilt. Hinweis: Der am st¨ in urr ist β(β − 1)r β−2 sin(βϕ). Problem 3.11. (Elliptische Regularit¨ at f¨ ur ein Rechteck.) Sei Ω ⊂ R2 ein Rechteck und u eine glatte Funktion mit u = 0 auf Γ . Beweisen Sie |u|2 = ∆u. Verwenden Sie dies, um (3.36) f¨ ur A = −∆ zu beweisen. Hinweis: Erinnern Sie sich, dass 2 ∂ 2 u 2 ∂ 2 u 2 ∂ u 2 2 dx + +2 |u|2 = 2 ∂x22 ∂x1 ∂x2 ∂x1 Ω

2 u 2 dx partiell. Gehen Sie von der Definigilt und integrieren Sie in Ω ∂x∂1 ∂x 2 1/2 aus und beweisen Sie, dass u ≤ C|u|1 tion u2 = u2 + |u|21 + |u|22 1/2 ist. und |u|1 ≤ u |u|2 Auf derselben Idee aufbauend kann man f¨ ur beliebige konvexe Gebiete mithilfe eines etwas komplizierteren Argumentes zeigen, dass |u|2 ≤ ∆u ist.

Problem 3.12. Ersetzen Sie die Randbedingung in Problemstellung 3.11 durch die Neumannsche Bedingung ∂u/∂n = 0 auf Γ . Beweisen Sie |u|2 = ∆u. Problem 3.13. (Stabilit¨ at bez¨ uglich der Koeffizienten.) Sei ui mit i = 1, 2 die schwache L¨osung des Problems −∇ · ai ∇ui = f in Ω mit ui = 0 auf Γ.

Dabei ist Ω ⊂ Rd ein Gebiet mit hinreichend glattem Rand Γ und f ∈ L2 (Ω). Die Koeffizienten ai (x) sind glatt mit ai (x) ≥ a0 > 0 f¨ ur x ∈ Ω. Beweisen Sie die Stabilit¨ atsabsch¨ atzung |u1 − u2 |1 ≤

C a1 − a2 C f . a20

4 Finite Differenzenverfahren fu ¨ r elliptische Gleichungen

Die fr¨ uhen Entwicklungen auf dem Gebiet der numerischen Analyse partieller Differentialgleichungen wurden durch die finiten Differenzenverfahren dominiert. Bei einer solchen Methode wird an den Punkten eines endlichen Punktgitters nach einer approximativen L¨ osung gesucht. Die Approximation der Differentialgleichung wird durch Ersetzen der Ableitungen durch geeignete Differenzenquotienten erreicht. Dies reduziert das Differentialgleichungsproblem auf ein endliches lineares System von algebraischen Gleichungen. In diesem Kapitel illustrieren wir dies anhand eines Zweipunkt-Randwertproblems in einer Dimension und anhand des Dirichlet-Problems f¨ ur die Poisson-Gleichung in der Ebene. Die Analyse basiert auf diskreten Versionen der Maximumprinzipien aus den beiden vorangegangenen Kapiteln.

4.1 Ein Zweipunkt-Randwertproblem Wir betrachten das Zweipunkt-Randwertproblem (4.1)

Au := − au′′ + bu′ + cu = f u(0) = u0 , u(1) = u1 .

in Ω = (0, 1),

Die Koeffizienten a = a(x), b = b(x) und c = c(x) sind glatte Funktionen mit ¯ Die Funktion f = f (x) und die Zahlen u0 und a(x) > 0 und c(x) ≥ 0 in Ω. u1 sind gegeben. Zur numerischen L¨ osung von (4.1) f¨ uhren wir M + 1 Gitterpunkte 0 = x0 < x1 < · · · < xM = 1 ein, indem wir xj = jh, j = 0, . . . , M mit h = 1/M setzen. Wir bezeichnen die Approximation von u(xj ) mit Uj und definieren die folgenden finiten Differenzenapproximationen der Ableitungen Uj+1 − Uj , h ¯ j = Uj+1 − 2Uj + Uj−1 , ∂ ∂U h2 ∂Uj =

¯ j = Uj − Uj−1 , ∂U h Uj+1 − Uj−1 ˆ . ∂Uj = 2h

46

4 Finite Differenzenverfahren f¨ ur elliptische Gleichungen

¯ (siehe ProblemstelMit der Notation aus Abschnitt 1.2 gilt mit C j = C j (Ω) lung 4.1) (4.2)

¯ j ) − u′′ (xj )| ≤ Ch2 |u|C 4 , |∂ ∂u(x ˆ j ) − u′ (xj )| ≤ Ch2 |u|C 3 f¨ ur j = 1, . . . , M − 1. |∂u(x

Setzen wir außerdem aj = a(xj ), bj = b(xj ), cj = c(xj ), fj = f (xj ), k¨ onnen wir nun die finite Differenzenapproximation von (4.1) definieren: (4.3)

¯ j + bj ∂U ˆ j + cj Uj = fj Ah Uj := − aj ∂ ∂U U0 = u0 , UM = u1 .

f¨ ur j = 1, . . . , M − 1,

Die Gleichung kann an einem inneren Punkt xj als (4.4)

(2aj + h2 cj )Uj − (aj − 12 hbj )Uj+1 − (aj + 12 hbj )Uj−1 = h2 fj

geschrieben werden. Unser diskretes Problem (4.3) kann folglich in Matrixform (4.5)

AU = g

mit U = (U1 , . . . , UM −1 )T gestellt werden. Die ersten und letzten Komponenage von den Randwerten ten des Vektors g = (g1 , . . . , gM −1 )T enthalten Beitr¨ u0 , u1 sowie von f1 beziehungsweise fM −1 . Die (M − 1) × (M − 1)-Matrix ist tridiagonal und f¨ ur hinreichend kleine h diagonaldominant, d. h. die Summe der Betr¨age der Nichtdiagonalelemente in einer Reihe wird durch das Diagonalelement in dieser Reihe beschr¨ankt (siehe Problemstellung 4.2). F¨ ur unsere erste Analyse zeigen wir zun¨achst ein diskretes Maximumprinzip, das dem stetigen Fall aus Theorem 2.1 a¨hnelt. Lemma 4.1. Angenommen, h ist so klein, dass aj ± 12 hbj ≥ 0 ist und U die Bedingung Ah Uj ≤ 0 (Ah Uj ≥ 0) erf¨ ullt. (i) Im Falle c = 0 gilt max Uj = max{U0 , UM } min Uj = min{U0 , UM } . j

j

(ii) Im Falle c ≥ 0 gilt max Uj ≤ max{U0 , UM , 0} j

min Uj ≥ min{U0 , UM , 0} . j

Beweis. (i) In Anbetracht von (4.4) gilt wegen c = 0 und Ah Uj ≤ 0 Uj =

(4.6) ≤

aj + 12 hbj aj − 12 hbj h2 Ah Uj Uj−1 + Uj+1 + 2aj 2aj 2aj

aj + 12 hbj aj − 12 hbj Uj−1 . Uj+1 + 2aj 2aj

4.1 Ein Zweipunkt-Randwertproblem

47

Nehmen wir nun an, dass U ein inneres Maximum Uj besitzt. Wenn entweder Uj+1 < Uj oder Uj−1 < Uj w¨are, dann w¨ urde dies (4.6) widersprechen, da die Koeffizienten auf der rechten Seite nichtnegativ sind und sich zu eins addieren. Somit gilt Uj = Uj−1 = Uj+1 und diese Werte sind auch maximal. Fahren wir in dieser Weise fort, k¨ onnen wir schlussfolgern, dass U konstant ist, wenn das Maximum im Inneren angenommen wird. Folglich wird das Maximum auch in den Endpunkten angenommen. Dies beweist (i). Fall (ii) wird in gleicher Weise wie Fall (ii) von Theorem 2.1 behandelt. Das analoge Minimumprinzip ⊔ ⊓ zeigt man durch Betrachten von −Uj . Genau wie beim stetigen Problem f¨ uhrt das Maximumprinzip zu einer Stabilit¨atsabsch¨atzung in der diskreten Maximumnorm, was wir nun demonstrieren werden. Der Einfachheit halber nehmen wir b = 0 an. In diesem Kapitel werden wir f¨ ur Gitterfunktionen (4.7)

|U |S = max |Uj | xj ∈S

schreiben. ur jede GitterfunkLemma 4.2. Sei Ah wie in (4.3) mit b = 0. Dann gilt f¨ tion U |U |Ω¯ ≤ max{|U0 |, |UM |} + C|Ah U |Ω . Die Konstante C h¨angt zwar von den Koeffizienten von A ab, aber nicht von h oder U .

Beweis. Sei w(x) = x − x2 = 14 − (x − 12 )2 und Wj = w(xj ). Dann ist mit a = minΩ¯ a(x) Ah Wj = 2aj + cj (xj − x2j ) ≥ 2a.

Setzen wir Vj± = ±Uj − (2a)−1 |Ah U |Ω Wj , gilt daher

Ah Vj± = ±Ah Uj − (2a)−1 |Ah U |Ω Ah Wj ≤ 0,

sodass wir Lemma 4.1 anwenden k¨ onnen. Beachten Sie, dass die f¨ ur h geforderte Bedingung im Falle b = 0 automatisch erf¨ ullt ist. Weil W0 = WM = 0 ist, erhalten wir ±Uj − (2a)−1 |Ah U |Ω Wj = Vj± ≤ max{±U0 , ±UM , 0} ≤ max{|U0 |, |UM |}.

Wegen Wj ≤

1 4

ist das Lemma mit C = (8a)−1 bewiesen.

⊔ ⊓

Aus Lemma 4.2 folgt f¨ ur b = 0 unmittelbar die Existenz und die Eindeutigkeit der L¨ osung von (4.3). Zum Beweis der Eindeutigkeit ist die Feststellung ausreichend, dass f¨ ur den Fall Ah U = 0 und U0 = UM = 0 die Gleichung U = 0 gilt. Aus der Eindeutigkeit folgt die Existenz einer L¨ osung, da das hier betrachtete Problem endlichdimensional ist. F¨ ur den Fall b = 0 verweisen wir auf Problemstellung 4.3. Wir k¨ onnen nun eine Fehlerabsch¨atzung aufstellen, die wir der Einfachheit halber lediglich f¨ ur b = 0 demonstrieren.

48

4 Finite Differenzenverfahren f¨ ur elliptische Gleichungen

Theorem 4.1. Sei b = 0. Seien U und u die L¨osungen von (4.3) beziehungsweise (4.1). Dann gilt |U − u|Ω ≤ Ch2 uC 4 . Beweis. An den inneren Gitterpunkten gilt f¨ ur den Fehler zj = Uj − u(xj ) Ah zj = Ah Uj − Ah u(xj ) = fj − Ah u(xj ) = Au(xj ) − Ah u(xj ) =: τj . Mit (4.2) gilt f¨ ur den Rundungsfehler (4.8)

¯ j ))| ≤ Ch2 uC 4 , |τj | = | − aj (u′′ (xj ) − ∂ ∂u(x

sodass wegen z0 = zM = 0 das gesuchte Resultat aus Lemma 4.2 folgt.

4.2 Die Poisson-Gleichung Wir betrachten das Dirichlet-Problem f¨ ur die Poisson-Gleichung (4.9)

−∆u = f

in Ω

mit u = 0 auf Γ,

wobei Ω ein Gebiet in R2 mit Rand Γ ist. Wir nehmen zun¨ achst an, dass Ω ein Quadrat ist, d. h. Ω = (0, 1)×(0, 1) = {x = (x1 , x2 ), 0 < xl < 1, l = 1, 2}. Zur Definition einer endlichen Differenzenapproximation schreiben wir j = (j1 , j2 ) mit den ganzen Zahlen j1 , j2 und betrachten die Gitterpunkte xj = jh mit dem Gitterabstand h = 1/M und die Gitterfunktion U mit Uj = U (xj ). Wir benutzen mit e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) die Differenzenquotienten Uj+el − Uj , h Uj+el − 2Uj + Uj−el , ∂l ∂¯l Uj = h2 ∂l Uj =

(4.10)

Uj − Uj−el , ∂¯l Uj = h

l = 1, 2.

onnen wir anschließend (4.9) durch Indem wir fj = f (xj ) setzen, k¨ (4.11)

−∆h Uj := − ∂1 ∂¯1 Uj − ∂2 ∂¯2 Uj = fj Uj = 0 f¨ ur xj ∈ Γ

f¨ ur xj ∈ Ω,

ersetzen. Die Differenzengleichung in einem inneren Gitterpunkt in Ω kann in der Form (4.12)

4Uj − Uj+e1 − Uj−e1 − Uj+e2 − Uj−e2 = h2 fj

f¨ ur xj ∈ Ω

geschrieben werden. Das ist die F¨ unfpunkt-Approximation der Poisson-Gleichung. Das Problem (4.11) kann folglich in Matrixform AU = g geschrieben werden, wobei A eine symmetrische (M − 1)2 × (M − 1)2 -Matrix ist, deren Elemente 4, −1 oder 0 sind, und das Element 0 am h¨aufigsten vorkommt. Der ¯ enth¨ Vektor U alt die Werte an den inneren Gitterpunkten. Es gilt das folgende diskrete Maximumprinzip.

4.2 Die Poisson-Gleichung

49

Lemma 4.3. Wenn U die Bedingung −∆h Uj ≤ 0 (−∆h Uj ≥ 0) f¨ ur xj ∈ Ω erf¨ ullt, dann nimmt U sein Maximum (Minimum) f¨ ur ein xj ∈ Γ an. Beweis. An den inneren Gitterpunkten k¨onnen wir Uj =

Uj+e1 + Uj−e1 + Uj+e2 + Uj−e2 − 14 h2 ∆h Uj 4

schreiben, sodass aus −∆h Uj ≤ 0 die Ungleichung Uj ≤ 14 (Uj+e1 + Uj−e1 + Uj+e2 + Uj−e2 ) folgt. Wenn Uj ein inneres Maximum ist, dann ist Uj ≥ 1 4 (Uj+e1 + Uj−e1 + Uj+e2 + Uj−e2 ). Deshalb gilt in diesem Fall die Gleichheit und der maximale Wert wird auch an allen benachbarten Punkten xj±el angenommen. Fahren wir in gleicher Weise fort, dann k¨onnen wir schlussfolgern, dass U konstant ist, wenn das Maximum im Inneren angenommen wird. Damit ist das Lemma bewiesen. ⊔ ⊓

Wie im vorherigen Beispiel folgt aus dem Maximumprinzip auch eine Absch¨atzung f¨ ur die Stabilit¨ at. Verwenden wir wieder die Notation (4.7) gilt das folgende Lemma. ur jede GitterfunkLemma 4.4. Sei ∆h wie in (4.11) definiert. Dann gilt f¨ tion U |U |Ω¯ ≤ |U |Γ + C|∆h U |Ω . Beweis. Der Beweis wird analog zum Beweis von Theorem 3.2 gef¨ uhrt. Wir ¯|2 = x1 + x2 − x21 − x22 mit x ¯ = ( 21 , 12 ) und setzen zun¨achst w(x) = 12 − |x − x x = (x1 , x2 ) und definieren die Gitterfunktion Wj = w(xj ). Dann ist Wj ≥ 0 onnen in Ω und −∆h Wj = 4. Setzen wir Vj± = ±Uj − 14 |∆h U |Ω Wj , dann k¨ wir −∆h Vj± = ∓∆h Uj − |∆h U |Ω ≤ 0

schlussfolgern. Da außerdem Wj ≥ 0 f¨ ur xj ∈ Γ gilt, folgt aus Lemma 4.3 Vj± ≤ |U |Γ . Wegen Wj ≤ 12 in Ω folgt daraus unsere Behauptung mit C = 1/8. ⊔ ⊓

Insbesondere folgt aus Lemma 4.4 die Eindeutigkeit der L¨ osung von (4.11) und somit auch die Existenz einer L¨osung. Wie f¨ ur das ZweipunktRandwertproblem impliziert das Lemma auch eine Fehlerabsch¨ atzung. Theorem 4.2. Seien U und u die L¨osungen von (4.11) beziehungsweise (4.9). Dann gilt |U − u|Ω ≤ Ch2 |u|C 4 . Beweis. An den inneren Gitterpunkten erf¨ ullt der Fehler zj = Uj − u(xj ) die Gleichung −∆h zj = fj + ∆h u(xj ) = −∆u(xj ) + ∆h u(xj ) =: τj , wobei τ den Rundungsfehler angibt, der sich wie in (4.2) leicht durch

50

(4.13)

4 Finite Differenzenverfahren f¨ ur elliptische Gleichungen 2 ∂2u ¯ (xj ) ≤ Ch2 |u|C 4 |τj | ≤ ∂l ∂l u(xj ) − 2 ∂xl l=1

absch¨atzen l¨asst. Das Resultat folgt deshalb durch Anwendung von Lemma 4.4 ur xj ∈ Γ gilt. ⊔ ⊓ auf zj , da zj = 0 f¨ Die oben ausgef¨ uhrte Analyse verwendet die Tatsache, dass alle Nachbarn der inneren Gitterpunkte in Ω entweder innere Gitterpunkte sind oder zu Γ geh¨oren. Im Falle eines gekr¨ ummten Randes kann dies jedoch nicht erreicht werden. Eine solche Situation werden wir nun kurz diskutieren. Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass Ω ein konvexes ebenes Gebiet mit einem glatten Rand Γ ist. Mit Ωh bezeichnen wir diejenigen inneren ¯ liegen. Gitterpunkte xj , f¨ ur die alle vier Nachbarn von xj ebenfalls in Ω (Im vorhin betrachteten Fall eines Quadrates besteht Ωh einfach aus allen inneren Gitterpunkten.) F¨ ur jedes xj ∈ ωh k¨ onnen wir dann einen (nicht ahlen, sodass notwendigerweise eindeutigen) Nachbarn xi ∈ Ωh ∪ ωh ausw¨ die horizontale oder vertikale Gerade durch xj und xi den Rand Γ in einem ur dieses Punkt x ¯j schneidet, der kein Gitterpunkt ist (siehe Abbildung 4.1). F¨ xj ∈ ωh definieren wir nun den linearen Interpolationsoperator (4.14)

ℓh Uj := Uj − αj Ui − (1 − αj )U (¯ xj )

mit αj =

|xj − x ¯j | ≤ 12 . h + |xj − x ¯j |

Bezeichnen wir mit Γh die Punkte von Γ , die entweder Nachbarn von Punkten ¯j , die zu Punkten in ωh geh¨oren, dann k¨onnen wir in Ωh sind oder Punkte x das Problem folgendermaßen stellen: (4.15)

−∆h Uj = fj

in Ωh ,

ℓh Uj = 0 in ωh

xi

und U = 0 auf Γh .

xj

x ¯j

Abbildung 4.1. Interpolation in der N¨ ahe des Randes.

4.2 Die Poisson-Gleichung

51

In diesem Fall gilt folgende Stabilit¨atsabsch¨ atzung. Lemma 4.5. Ist ∆h wie in (4.11) und ℓh wie in (4.14) definiert, gilt f¨ ur eine beliebige Gitterfunktion U |U |Ωh ∪ωh ≤ 2 |U |Γh + |ℓh U |ωh + C|∆h U |Ωh . Beweis. Analog zum Beweis von Lemma 4.4 erhalten wir |U |Ωh ≤ |U |ωh ∪Γh + C|∆h U |Ωh . F¨ ur xj ∈ ωh gilt nun Uj = ℓh Uj + αj Ui + (1 − αj )U (¯ xj )

mit 0 ≤ αj ≤

1 2

und folglich |U |ωh ≤ |ℓh U |ωh + 12 |U |Ωh ∪ωh + |U |Γh .

Insgesamt zeigen diese Absch¨atzungen |U |Ωh ∪ωh ≤ |U |ωh ∪Γh + C|∆h U |Ωh

≤ |ℓh U |ωh + 12 |U |Ωh ∪ωh + |U |Γh + C|∆h U |Ωh ,

was den Beweis abschließt.

⊔ ⊓

Wiederum ergibt sich daraus die Eindeutigkeit und die Existenz einer L¨osung von (4.15). Beachten Sie, dass in diesem Fall die zugeh¨orige Matrix A nicht symmetrisch ist, da beispielsweise die zu den Punkten xi und xj in Abbildung 4.1 geh¨ origen Elemente aij und aji verschieden sind. Wir beenden das Kapitel mit folgender Fehlerabsch¨ atzung. Theorem 4.3. Seien U und u die L¨osungen von (4.15) beziehungsweise (4.9). Dann ist |U − u|Ωh ∪ωh ≤ Ch2 uC 4 . Beweis. Wie im Beweis von Theorem 4.2 betrachten wir zj = Uj − u(xj ) und wenden nun Lemma 4.5 an. Der einzige neue Term ist ℓh zj = −ℓh u(xj ) und folglich ist |ℓh zj | ≤ Ch2 |u|C 2 , was den Beweis abschließt. ⊔ ⊓ Die oben beschriebene Methode der Interpolation in der N¨ahe des Randes geht auf L. Collatz zur¨ uck. Es ist auch m¨ oglich, f¨ ur −∆ eine endliche Differenzenapproximation mit f¨ unf Punkten zu verwenden, die auf den nicht ¨aquidistanten Abst¨ anden auf ωh beruht. Sie wird als Shortley-Weller-Approximation bezeichnet. Diese f¨ uhrt ebenfalls zu einer O(h2 )-Fehlerabsch¨atzung.

52

4 Finite Differenzenverfahren f¨ ur elliptische Gleichungen

4.3 Problemstellungen Problem 4.1. Beweisen Sie (4.2) und (4.13) mithilfe der Taylorschen Formel. Problem 4.2. Leiten Sie (4.5) her und zeigen Sie, dass die Matrix A tridiagonal und (zeilenweise) diagonaldominant, d. h. j =i |aij | ≤ aii , ist, wenn h hinreichend klein ist. Hinweis: Nehmen Sie aj ± 12 hbj ≥ 0 an.

Problem 4.3. Zeigen Sie, dass die Schlussfolgerung von Lemma 4.2 (und folglich auch die von Theorem 4.1) auch f¨ ur b = 0 gilt, wenn h hinreichend klein ur ist und eine Gitterfunktion W zur Verf¨ ugung steht, sodass Ah Wj ≥ 1 f¨ ¯ gilt. Konstruieren Sie eine solche Funktion. xj ∈ Ω und Wj ≥ 0 f¨ ur xj ∈ Ω (Hinweis: Verwenden Sie die Funktion w(x) = eλ − eλx mit einem geeignet gew¨ahlten λ.) ¨ Problem 4.4. (Ubung am Rechner.) Betrachten Sie das Zweipunkt-Randwertproblem −u′′ + u = 2x in (0, 1) mit u(0) = u(1) = 0. Wenden Sie das finite Differenzenverfahren (4.3) mit h = 1/10, 1/20 an. Bestimmen Sie die exakte L¨ osung und berechnen Sie den maximalen Fehler an den Gitterpunkten. ¨ Problem 4.5. (Ubung am Rechner.) Betrachten Sie das Dirichlet-Problem (4.9) mit f (x) = sin(πx1 ) sin(πx2 ) + sin(πx1 ) sin(2πx2 ) in Ω = (0, 1) × (0, 1). Berechnen Sie die approximative L¨ osung mithilfe des finiten Differenzenverfahrens (4.11) mit den Werten h = 1/10, 1/20 und bestimmen Sie den Fehler an der Stelle (0.5, 0.5). Verwenden Sie dazu die exakte L¨ osung u(x) = (2π 2 )−1 sin(πx1 ) sin(πx2 ) + (5π 2 )−1 sin(πx1 ) sin(2πx2 ).

5 Die Methode der finiten Elemente fu ¨r elliptische Gleichungen

In den letzten Jahrzehnten hat sich die von Ingenieuren in den sechziger Jahren eingef¨ uhrte Methode der finiten Elemente zu der vielleicht wichtigsten numerischen Methode f¨ ur partielle Differentialgleichungen entwickelt, insbesondere f¨ ur elliptische und parabolische Gleichungen. Diese Methode beruht auf einer Variationsform des Randwertproblems und approximiert die exakte L¨osung durch eine st¨ uckweise polynomiale Funktion. Sie ist viel leichter an die Geometrie des zugrunde liegenden Gebietes anzupassen als das finite Differenzenverfahren. F¨ ur symmetrische, positiv definite elliptische Probleme reduziert sie sich auf ein endliches, lineares System mit einer symmetrischen, positiv definiten Matrix. Zun¨achst f¨ uhren wir diese Methode in Abschnitt 5.1 am Beispiel eines Zweipunkt-Randwertproblems ein und beweisen eine Vielzahl von Fehlerabsch¨atzungen. In Abschnitt 5.2 formulieren wir die Methode dann f¨ ur ein zweidimensionales Modellproblem. In diesem Fall werden die st¨ uckweise polynomialen N¨aherungen auf Triangulationen des r¨ aumlichen Gebietes definiert. In dem folgenden Abschnitt 5.3 untersuchen wir solche Approximationen detaillierter. In Abschnitt 5.4 beweisen wir grundlegende Fehlerabsch¨ atzungen f¨ ur die Methode der finite Elemente im Fall des Modellproblems, indem wir st¨ uckweise lineare Approximationsfunktionen verwenden. Alle bis zu diesem Punkt abgeleiteten Fehlerschranken enthalten eine Norm der unbekannten exakten L¨osung und werden deshalb oft als a priori Fehlerabsch¨ atzungen bezeichnet. In Abschnitt 5.5 besch¨ aftigen wir uns mit einer sogenannten a posteriori Fehlerabsch¨ atzung, bei der die Fehlerschranke als Funktion der Problemdaten und der numerisch bestimmten L¨ osung ausgedr¨ uckt wird. In Abschnitt 5.6 untersuchen wir den Effekt der numerischen Integration, die h¨ aufig benutzt wird, wenn die Finite-Elemente-Gleichung in ein Computerprogramm eingebaut wird. In Abschnitt 5.7 beschreiben wir kurz eine sogenannte Methode der gemischten finiten Elemente.

54

5 Die Methode der finiten Elemente f¨ ur elliptische Gleichungen

5.1 Ein Zweipunkt-Randwertproblem Wir betrachten den Spezialfall b = 0 des im Abschnitt 2.3 behandelten Zweipunkt-Randwertproblems (5.1)

Au := −(au′ )′ + cu = f

in Ω := (0, 1) mit u(0) = u(1) = 0,

bei dem a = a(x) und c = c(x) glatte Funktionen mit a(x) ≥ a0 > 0, c(x) ≥ 0 ¯ sind und f ∈ L2 = L2 (Ω) ist. Es sei daran erinnert, dass die Variationsin Ω ur formulierung dieses Problems darin besteht, ein u ∈ H01 zu bestimmen, f¨ das a(u, ϕ) = (f, ϕ) ∀ϕ ∈ H01

(5.2) mit a(v, w) =

(av ′ w′ + cvw) dx und

(f, v) =

Ω

f v dx

Ω

gilt und dieses Problem eine eindeutige L¨osung u ∈ H 2 besitzt. Um eine approximative L¨ osung von (5.2) zu bestimmen, f¨ uhren wir eine Zerlegung 0 = x 0 < x1 < · · · < x M = 1 von Ω ein und setzen hj = xj − xj−1 , Kj = [xj−1 , xj ] f¨ ur j = 1, . . . , M

und h = max hj . j

Nach der diskreten L¨ osung wird im endlichdimensionalen Funktionenraum ¯ : v linear auf jedem Kj , v(0) = v(1) = 0 Sh = v ∈ C = C(Ω)

gesucht. (Unter einer linearen Funktion verstehen wir eine Funktion der Form f (x) = αx + β; streng genommen wird eine solche Funktion im Falle β = 0 als affine Funktion bezeichnet.) Man kann leicht sehen, dass Sh ⊂ H01 ist. Die −1 Menge {Φi }M i=1 ⊂ Sh der durch 1 f¨ ur i = j, Φi (xj ) = 0 f¨ ur i = j definierten Hutfunktionen (siehe Abbildung 5.1) bildet eine Basis f¨ ur Sh und jedes v ∈ Sh kann in der Form v(x) =

M −1

vi Φi (x) mit vi = v(xi )

i=1

geschrieben werden. Wir stellen nun das endlichdimensionale Problem, ein uh ∈ Sh mit

5.1 Ein Zweipunkt-Randwertproblem

Φi−1

xi−2

55

Φi

xi−1 xi

xi+1

Abbildung 5.1. Hutfunktionen.

(5.3)

a(uh , χ) = (f, χ) ∀χ ∈ Sh

−1 schreiben wir uh (x) = zu finden. Unter Verwendung der Basis {Φi }M i=1 M −1 U Φ (x) und setzen dies in (5.3) ein. Wir stellen fest, dass dies zu j j j=1

(5.4)

M −1

Uj a(Φj , Φi ) = (f, Φi )

j=1

f¨ ur i = 1, . . . , M − 1

aquivalent ist. Dieses lineare Gleichungssystem kann in Matrixform ¨ (5.5)

AU = b

ausgedr¨ uckt werden. Dabei ist U = (Ui ), A = (aij ) die Steifigkeitsmatrix mit den Elementen aij = a(Φj , Φi ) und b = (bi ) der Lastvektor mit den Elementen bi = (f, Φi ). Die Matrix A ist symmetrisch und positiv definit, da f¨ ur V = (Vi ) M −1 und v(x) = i=1 Vi Φi (x) V TA V =

M −1

i,j=1

Vi aij Vj = a

−1 M

Vj Φj ,

j=1

M −1 i=1

Vi Φi = a(v, v) ≥ a0 v ′ 2

gilt. Somit folgt aus V T AV = 0 die Gleichung v ′ = 0, sodass v wegen v(0) = 0 konstant = 0 und folglich V = 0 ist. Es folgt, dass (5.5), und deshalb auch (5.3), eine eindeutige L¨ osung besitzt, die als Finite-Elemente-L¨osung von (5.1) bezeichnet wird. Die Matrix A ist tridiagonal, weil im Falle |i − j| ≥ 2, d. h. wenn xi und xj keine Nachbarn sind, aij = 0 gilt. Deshalb ist das System (5.5) einfach zu l¨osen. Wir stellen fest, dass Gleichung (5.4) f¨ ur Au = −u′′ und konstanten Gitterabstand, d. h. hj = h = 1/M mit j = 1, . . . , M und der Notation aus Abschnitt 4.1, in der Form (5.6)

¯ j = h−1 (f, Φj ), −∂ ∂U

j = 1, . . . , M − 1

56

5 Die Methode der finiten Elemente f¨ ur elliptische Gleichungen

geschrieben werden kann (siehe Problemstellung 5.2). Die Methode der finiten Elemente stimmt also mit der finiten Differenzenapproximation (4.3) u ¨berein, abgesehen davon, dass nun ein Mittelwert von f u ¨ber (xj − h, xj + h) anstelle eines Punktwertes fj = f (xj ) verwendet wird. Die Idee, den Raum H01 in (5.2) durch einen endlichdimensionalen Teilraum zu ersetzen und die Koeffizienten der zugeh¨ origen approximativen L¨osung wie in (5.4) zu bestimmen, wird als Galerkin-Methode bezeichnet. Die Methode der finiten Elemente entspricht also der Galerkin-Methode mit einer speziellen Wahl des endlichdimensionalen Teilraums. In diesem Fall ist dies der Raum der stetigen, st¨ uckweise linearen Funktionen. Die Intervalle Kj werden dann zusammen mit den Restriktionen dieser Funktionen auf Kj als finite Elemente betrachtet. Bevor wir den Fehler in der Finite-Elemente-L¨ osung uh analysieren, diskutieren wir einige Approximationseigenschaften des Raumes Sh . Dazu definieren wir die st¨ uckweise lineare Interpolierte Ih v ∈ Sh einer Funktion ¯ mit v(0) = v(1) = 0 durch v ∈ C = C(Ω) Ih v(xj ) = v(xj ),

j = 1, . . . , M − 1.

Es sei daran erinnert, dass wegen der Sobolevschen Ungleichung, Theour v ∈ H01 definiert rem A.5, in einer Dimension H01 ⊂ C gilt, sodass Ih v f¨ ist. Man kann zeigen, dass mit vKj = vL2 (Kj ) und |v|2,Kj = |v|H 2 (Kj ) Ih v − vKj ≤ Ch2j |v|2,Kj

(5.7) und

(Ih v − v)′ Kj ≤ Chj |v|2,Kj

(5.8)

gilt, was Sie in Problemstellung 5.1 tun sollen. Daraus folgt

(5.9)

Ih v − v =

M j=1

Ih v − v2Kj

≤ Ch2 v2

1/2

∀v ∈ H 2 ,

≤

M j=1

C 2 h4j |v|22,Kj

1/2

und analog (5.10)

(Ih v − v)′ ≤ Chv2

f¨ ur v ∈ H 2 .

Wir wenden uns nun der Aufgabe zu, den Fehler bei der durch (5.3) definierten Finite-Elemente-Approximation uh zu bestimmen. Weil a(·, ·) symmetrisch und positiv definit ist, handelt es sich um ein Skalarprodukt auf H01 . Die zugeh¨orige Norm ist die Energienorm 1 1/2 1/2 . a(v ′ )2 + cv 2 dx (5.11) va = a(v, v) = 0

5.1 Ein Zweipunkt-Randwertproblem

57

Theorem 5.1. Seien uh und u die L¨osungen von (5.3) beziehungsweise (5.2). Dann gilt (5.12)

uh − ua = min χ − ua , χ∈Sh

und u′h − u′ ≤ Chu2 .

(5.13)

Beweis. Wegen Sh ⊂ H01 k¨onnen wir in (5.2) ϕ = χ ∈ Sh w¨ ahlen und dies von (5.3) subtrahieren. Wir erhalten (5.14)

a(uh − u, χ) = 0 ∀χ ∈ Sh .

Diese Gleichung besagt, dass die Finite-Elemente-L¨ osung uh als orthogonale Projektion der exakten L¨ osung u auf Sh bez¨ uglich des Skalarproduktes a(·, ·) ausgedr¨ uckt werden kann. Daraus folgt unmittelbar, dass uh die beste Approximation von u in Sh bez¨ uglich der Energienorm ist und folglich (5.12) erf¨ ullt ist. Davon kann man sich folgendermaßen u ur jedes χ ∈ Sh gilt ¨berzeugen: F¨ unter Verwendung von (5.14) uh − u2a = a(uh − u, uh − u) = a(uh − u, χ − u) ≤ uh − ua χ − ua , was nach Wegstreichen eines Faktors uh − ua Gleichung (5.12) beweist. Aufgrund unserer Annahme gilt mit einem von h unabh¨ angigen C √

a0 v ′ ≤ va ≤ Cv ′

f¨ ur v ∈ H01 ,

wobei die erste Ungleichung wegen (5.11) offensichtlich ist und die zweite aus (2.17) folgt. Somit ergibt sich aus (5.12) (5.15)

(uh − u)′ ≤ Cuh − ua ≤ C min (χ − u)′ . χ∈Sh

Nehmen wir χ = Ih u an und verwenden wir die Schranke f¨ ur den Interpolationsfehler in Gleichung (5.10), so erhalten wir (5.13), was den Beweis vervollst¨andigt. ⊔ ⊓ Unser n¨achstes Resultat bezieht sich auf die L2 -Norm des Fehlers. Theorem 5.2. Seien uh und u die L¨osungen von (5.3) beziehungsweise (5.2). Dann gilt uh − u ≤ Ch2 u2 .

(5.16)

Beweis. Wir verwenden ein Dualit¨ atsargument, das auf dem Hilfsproblem (5.17)

Aφ = e

in Ω

mit φ(0) = φ(1) = 0 und e = uh − u

58

5 Die Methode der finiten Elemente f¨ ur elliptische Gleichungen

beruht. Dessen schwache Formulierung besteht darin, ein φ ∈ H01 zu bestimmen, f¨ ur das a(w, φ) = (w, e) ∀w ∈ H01

(5.18)

gilt. Wir verwenden die Testfunktion w linksseitig, da (5.18) f¨ ur (5.2) die Rolle des adjungierten (oder dualen) Problems u uhrt ¨bernimmt. An dieser Stelle f¨ dies nat¨ urlich zu keinem Unterschied, da a(·, ·) symmetrisch ist. Im Falle eines unsymmetrischen Differentialoperators A ist dies allerdings wesentlich (siehe Problemstellung 5.7). Wegen der Regularit¨atsabsch¨ atzung (2.22) gilt (5.19)

φ2 ≤ CAφ = Ce.

Setzen wir w = e in (5.18) und verwenden (5.14) und (5.10), so erhalten wir deshalb e2 = a(e, φ) = a(e, φ − Ih φ) ≤ Ce′ (φ − Ih φ)′ ≤ Che′ φ2 ≤ Che′ e. Nach Wegstreichen eines Faktors e erkennen wir, dass wir hier einen Faktor h gegen¨ uber der Fehlerabsch¨ atzung von e′ gewonnen haben, es gilt also e ≤ Che′ .

(5.20)

Der Beweis wird durch Einsetzen von (5.13) vervollst¨ andigt.

⊔ ⊓

Anmerkung 5.1. Wir sehen, dass die obige Fehlerabsch¨ atzung die Norm der zweiten Ableitung enth¨ alt, w¨ahrend beim entsprechenden Resultat im Falle des finiten Differenzenverfahrens in Theorem 4.1 die vierte Ableitung gebraucht wurde. Dies h¨angt mit der Tatsache zusammen, dass der Lastterm f bei der Methode der finiten Elemente durch Mittelwerte einbezogen wird, und nicht, wie beim finiten Differenzenverfahren, in Form von Punktwerten. Dies werden wir in Abschnitt 5.6 n¨aher erl¨ autern. Anmerkung 5.2. Die L¨ osung der sehr speziellen Gleichung (5.6) stimmt mit den Knotenwerten der exakten L¨ osung des zugeh¨ origen Zweipunkt-Randwertproblems u achlich gilt mit der exakten L¨ osung u = u(x) unter ¨berein. Tats¨ Verwendung der Taylorschen Formel xj+1 xj ′′ −2 −2 ¯ (xj+1 − y)u′′ (y) dy (y − xj−1 )u (y) dy + h ∂ ∂u(xj ) = h =h

−1

xj−1 ′′

(u , Φj ) = −h

xj

−1

(f, Φj ).

Somit ist die Finite-Elemente-L¨ osung uh mit der Interpolierten Ih u der exakten L¨osung identisch. In Problemstellung 5.4 diskutieren wir diesen Sachverhalt auf Grundlage der Greenschen Funktion.

5.1 Ein Zweipunkt-Randwertproblem

59

Bei der oben ausgef¨ uhrten Analyse h¨ atten wir auch einen allgemeineren Raum der finiten Elemente betrachten k¨ onnen, der aus st¨ uckweisen Polynomen des Grades r − 1 mit einer ganzen Zahl r ≥ 2 besteht. Der oben betrachtete Fall st¨ uckweiser linearer Funktionen ist darin mit r = 2 enthalten. Dies w¨are also der Raum Sh = v ∈ C : v ∈ Πr−1 auf jedem Kj , v(0) = v(1) = 0 ,

wobei Πk ein Polynom vom Grad ≤ s beschreibt. Zus¨ atzlich zu den oben erw¨ahnten Hutfunktionen k¨ onnen wir dann jedem Intervall Ki die Basisfunktionen Φij ∈ Πr−1 auf Ki mit j = 1, . . . , r − 2 zuordnen, die außerhalb von Ki verschwinden und durch 1 f¨ ur j = l, l , l = 0, . . . , r − 1 Φij (xi,l ) = mit xi,l = xi−1 + hi r−1 0 f¨ ur j = l

definiert sind. Φi−1

Φi1

Φi

Φi−1

Φi1

Φi2

Φi

xi−1

xi,1

xi

xi−1

xi,1

xi,2

xi

Abbildung 5.2. Globale Basisfunktionen f¨ ur r = 3 und 4.

Verwenden wir bei der Definition der Interpolierten Ih v auch diese zus¨ atzlichen Knotenpunkte, kann man die folgenden lokalen Absch¨ atzungen Ih v − vKj ≤ Chrj v (r) Kj

und

(Ih v − v)′ Kj ≤ Chjr−1 v (r) Kj

und folglich die globalen Absch¨atzungen (5.21) Ih v − v ≤ Chr vr

und

(Ih v − v)′ ≤ Chr−1 vr

∀v ∈ H r

beweisen. F¨ ur die Finite-Elemente-L¨osung erh¨ alt man wie oben (5.22)

uh − u ≤ Chr ur

und

u′h − u′ ≤ Chr−1 ur .

60

5 Die Methode der finiten Elemente f¨ ur elliptische Gleichungen

Diese Ungleichungen fordern also v, u ∈ H r . Da die Interpolierte Ih v f¨ ur v ∈ H01 wohldefiniert ist, kann man zeigen, dass diese auch dann richtig ist, wenn r durch ein beliebiges s mit 1 ≤ s ≤ r ersetzt wird. Der Fall s = 2 in atzung der zweiten Absch¨ atzung aus (5.21) wird im Beweis der O(hr )-Absch¨ in (5.22) durch das Dualit¨ atsargument ben¨otigt.

5.2 Ein Modellproblem in der Ebene Sei Ω nun ein polygonales Gebiet in R2 , d. h. ein Gebiet, dessen Rand Γ durch ein Polygon gebildet wird. Betrachten wir das einfache Modellproblem (5.23) Au := −∇ · a∇u = f in Ω mit u = 0 auf Γ.

¯ glatt Wir nehmen an, dass der Koeffizient a = a(x) mit a(x) ≥ a0 > 0 in Ω ist und f ∈ L2 gilt. Aus Abschnitt 3.5 wissen wir, dass bei der Variationsformulierung von (5.23) ein u ∈ H01 gesucht ist, sodass a(u, v) = (f, v) ∀v ∈ H01

(5.24) mit a(v, w) =

Ω

a∇v · ∇w dx und

(f, v) =

f v dx

Ω

gilt, und dass dieses Problem eine eindeutige L¨ osung in H01 besitzt. Nehmen wir dar¨ uber hinaus an, dass Ω konvex ist, folgt aus der Regularit¨ atsabsch¨atzung (3.36) u ∈ H 2 und (5.25)

u2 ≤ Cf .

Die Erl¨auterung zur Approximation von (5.23) folgt a ¨hnlichen Gedankeng¨angen wie im Falle des oben besprochenen Zweipunkt-Randwertproblems. Diesmal unterteilen wir das polygone Gebiet in Dreiecke. Genauer sei Th = {K} eine Menge von abgeschlossenen Dreiecken K, d. h. eine Triangulation von Ω, f¨ ur die ¯= Ω K, hK = diam(K), h = max hK K∈Th

K∈Th

gilt. Die Eckpunkte P der Dreiecke K ∈ Th werden als Knoten der Triangulation Th bezeichnet. Wir fordern, dass die Schnittmenge zweier beliebiger Dreiecke aus Th entweder leer, ein Knoten oder eine gemeinsame Kante ist, und dass sich kein Knoten innerhalb einer Kante von Th befindet (siehe Abbildung 5.3). Der Triangulation Th ordnen wir den Funktionenraum Sh zu, der aus stetigen, st¨ uckweise linearen Funktionen auf Th besteht, die auf Γ verschwinden, d. h.

5.2 Ein Modellproblem in der Ebene

61

Abbildung 5.3. Unzul¨ assige (links) und zul¨ assige Triangulation (rechts).

¯ : v linear in K f¨ Sh = v ∈ C(Ω) ur jedes K ∈ Th , v = 0 auf Γ .

Mit den oben genannten Annahmen bez¨ uglich Th ist es nicht schwierig, Sh ⊂ h die Menge der inneren Knoten, d. h. derjenigen, H01 zu verifizieren. Sei {Pi }M i=1 die sich nicht auf Γ befinden. Ein Funktion in Sh ist somit eindeutig durch ihre Werte an den Punkten Pj bestimmt, und die Menge der durch 1 f¨ ur i = j, Φi (Pj ) = 0 f¨ ur i = j h definierten Pyramidenfunktionen {Φi }M ⊂ Sh bildet eine Basis von Sh . Wenn Mhi=1 v ∈ Sh ist, dann gilt also v(x) = i=1 vi Φi (x), wobei vi = v(Pi ) die Knotenwerte von v sind. Daraus folgt, dass Sh ein endlichdimensionaler Teilraum des Hilbert-Raumes H01 ist. Bei der Finite-Elemente-Approximation des Problems (5.24) ist also ein uh ∈ Sh gesucht, das die Gleichung

(5.26)

a(uh , χ) = (f, χ) ∀χ ∈ Sh

Mh h erf¨ ullt. Mithilfe der Basis {Φi }M i=1 schreiben wir uh (x) = i=1 Ui Φi (x), was, eingesetzt in (5.26), ein lineares Gleichungssystem zur Bestimmung der Uj liefert: (5.27)

Mh

Uj a(Φj , Φi ) = (f, Φi ),

i = 1, . . . , Mh .

j=1

Dies kann in Matrixform AU = b geschrieben werden, wobei U = (Ui ), A = (aij ) die Steifigkeitsmatrix mit den Elementen aij = a(Φj , Φi ) und b = (bi ) der Lastvektor mit den Elementen bi = (f, Φi ) ist. Die Matrix A ist wie im Abschnitt 5.1 symmetrisch und positiv definit, sodass (5.27) und folglich auch uber hinaus ist die Matrix A (5.26) eine eindeutige L¨ osung in Sh besitzt. Dar¨ groß und im Falle eines feinen Gitters d¨ unn besetzt, d. h. ein großer Anteil ihrer Elemente ist null. Das liegt daran, dass jedes Φi , abgesehen von der Menge der Dreiecke, die den Knoten Pi enthalten, verschwindet, sodass aij =

62

5 Die Methode der finiten Elemente f¨ ur elliptische Gleichungen

a(Φj , Φi ) = 0 gilt, wenn Pi und Pj keine Nachbarn sind. Diese Eigenschaft ist f¨ ur die effiziente L¨osung des linearen Gleichungssystems wesentlich (siehe Anhang B). Diesmal sind die finiten Elemente die Dreiecke K ∈ Th zusammen mit den Restriktionen der Funktionen in Sh auf K. Allgemeiner gesagt, k¨ onnen wir bei gegebener Triangulation Th f¨ ur Sh die Funktionen auf Ω w¨ ahlen, die sich auf den Dreiecken K ∈ Th auf Polynome vom Grad r − 1 reduzieren. Dabei ist r eine feste ganze Zahl ≥ 2. Man kann zeigen, dass eine solche Funktion χ eindeutig durch ihre Werte an einer bestimmten endlichen Anzahl von Knoten in jedem K bestimmt ist. Diese k¨onnen auf verschiedene Weise gew¨ahlt werden. Im Fall r = 3, d. h. wenn Sh aus st¨ uckweise quadratischen Funktionen besteht, k¨ onnen die Eckpunkte von Th zusammen mit den Kantenmittelpunkten in Th ausgew¨ ahlt werden, insgesamt also sechs Punkte f¨ ur jedes K ∈ Th . F¨ ur st¨ uckweise kubische Funktionen, d. h. im Falle r = 4, k¨ onnen wir die Eckpunkte von Th , zwei innere Punkte ahlen. Somit auf jeder Kante von Th und den Schwerpunkt jedes K ∈ Th ausw¨ verwenden wir f¨ ur jedes K ∈ Th insgesamt zehn Punkte (siehe Abbildung 5.4). Beachten Sie, dass ein Polynom in zwei Variablen von zweiter und dritter Ordnung eindeutig durch die Werte von sechs beziehungsweise zehn Koeffizienten festgelegt ist. Zu deren Bestimmung ist genau diese Anzahl linearer Bedingungen oder Freiheitsgrade, wie sie in diesem Zusammenhang bezeichnet werden, erforderlich. Der so definierte Finite-Elemente-Raum Sh ist noch immer ein endlichdimensionaler Teilraum von H01 , und jedem dieser beschriebenen Knoten kann eine Basisfunktion Φj ∈ Sh zugeordnet werden. Das Finite-Elemente-Problem (5.26) und dessen Matrixformulierung (5.5) bleiben von derselben Form wie bisher.

Abbildung 5.4. Dreiecke mit sechs und zehn Knoten.

Wenn der Rand Γ von Ω kein Polynom sondern eine glatte Kurve ist, dann wird eine Triangulation vom obigen Typ das Gebiet Ω nicht genau ausf¨ ullen. Ist Ω konvex, kann die Triangulation so gew¨ ahlt werden, dass die Vereinigung ahlt man die Ωh der Dreiecke das Gebiet Ω noch immer approximiert. Dazu w¨ Randknoten von Ωh auf Γ so, dass die Menge Ω \ Ωh der Punkte in Ω, die nicht durch die Triangulation u ¨berdeckt ist, eine Breite der Ordnung O(h2 )

5.3 Einige Aspekte der Approximationstheorie

63

besitzt (siehe Abbildung 5.5). Werden die Funktionen in Sh so definiert, dass sie auf Ω \ Ωh verschwinden, dann kann eine Finite-Elemente-L¨ osung uh wie uckoben definiert werden. Es stellt sich heraus, dass f¨ ur ein Sh , das aus st¨ weise linearen Funktionen besteht, durch diese Erweiterung nichts verloren geht (siehe Abschnitt 5.3). Im Falle st¨ uckweiser Polynome h¨ oherer Ordnung ist die Situation jedoch weniger g¨ unstig. Es wurden deshalb verschieden Modifikationen dieser Methoden entwickelt, die sich mit der Approximation in der N¨ahe von Γ besch¨aftigen. Wir werden uns damit nicht detaillierter befassen, merken jedoch an, dass eine Triangulation gegen¨ uber einem, beim finiten Differenzenverfahren verwendeten Quadratgitter in jedem Falle eine flexiblere Methode darstellt, ein Gebiet Ω zu approximieren und dass dies eine n¨ utzliche Eigenschaft der Methode der finiten Elemente ist.

Abbildung 5.5. Ein glattes konvexes Gebiet mit Triangulation.

Im Folgenden gehen wir davon aus, dass wir nicht nur eine Triangulation Th und deren zugeh¨ origen Funktionenraum Sh betrachten, sondern eine Familie origen Finite-Elemente-R¨ aumen von Triangulationen {Th }0
5.3 Einige Aspekte der Approximationstheorie Sei S˜h der Raum der stetigen, st¨ uckweise linearen Funktionen auf der Triangulation Th , wobei nicht gefordert wird, dass die Funktionen auf Γ verschwinden. h Mit {Pj }N j=1 bezeichnen wir alle Knoten von Th , einschließlich der auf Γ mit h Mh + 1 ≤ j ≤ Nh . Die zugeh¨ origen Pyramidenfunktionen sind {Φj }N j=1 . Wir ¯ → S˜h durch definieren den Interpolationsoperator Ih : C(Ω) (5.28)

(Ih v)(x) =

Nh i=1

vi Φ(x),

wobei vi = v(Pi ) ist.

64

5 Die Methode der finiten Elemente f¨ ur elliptische Gleichungen

Die Interpolierte Ih v stimmt somit an den Knoten Pj mit v u ¨ berein: (Ih v)(Pi ) = v(Pi )

mit i = 1, . . . , Nh .

Wenn v auf Γ verschwindet, dann geh¨ort Ih v zum Finite-Elemente-Raum Sh , der im letzten Abschnitt eingef¨ uhrt wurde. Eine analoge Definition kann auch im oben beschriebenen, allgemeineren Fall st¨ uckweiser Polynome vom Grad r − 1 verwendet werden. Im Falle st¨ uckweiser linearer Funktionen kann man die folgenden lokalen Fehlerabsch¨atzungen beweisen: Es gilt Ih v − vK ≤ CK h2K |v|2,K

(5.29)

∀K ∈ Th

und (5.30)

∇(Ih v − v)K ≤ CK hK |v|2,K

∀K ∈ Th .

Die Beweise basieren auf dem Bramble-Hilbert-Lemma. Das Ausf¨ uhren der ¨ Beweise u (siehe Problemstellung 5.12). ¨berlassen wir dem Leser als Ubung Im Folgenden legen wir der Familie {Th }0
(5.31)

Ih v − v =

K

Ih v − v2K

≤ Ch2 v2

1/2

∀v ∈ H 2

≤

K

2 4 CK hK |v|22,K

1/2

und analog dazu |Ih v − v|1 ≤ Chv2

(5.32)

∀v ∈ H 2

vorliegen. Besteht S˜h stattdessen aus st¨ uckweisen Polynomen vom Grad r − 1, so k¨onnen die zugeh¨ origen Resultate lokal durch (5.33)

Ih v − vK ≤ ChrK |v|r,K ,

r−1 |v|r,K ∇(Ih v − v)K ≤ ChK

und global durch (5.34)

Ih v − v ≤ Chr vr ,

|Ih v − v|1 ≤ Chr−1 vr

f¨ ur v ∈ H r

ausgedr¨ uckt werden. Wir weisen darauf hin, dass diese Schranken grob sind, falls der Gitterabstand hK innerhalb der Triangulation signifikant variiert, da wir hK in (5.31) und (5.34) einfach durch h abgesch¨ atzt haben. Wenn wir die Triangulation beispielsweise durch Unterteilen einiger Dreiecke K verfeinern, dann wird die Summe u ¨ ber alle K in (5.31) kleiner, die globale Schranke ver¨andert sich jedoch nicht, wenn h = maxK hK gleich bleibt.

5.3 Einige Aspekte der Approximationstheorie

65

Wir stellen fest, dass die Interpolierte Ih v nur im Falle stetiger Funktionen v wohldefiniert ist, da sie die Werte von v an den Knoten benutzt. Da die Funktionen in H 2 aufgrund der Sobolev-Ungleichung, Theorem A.5, stetig ur v ∈ H r mit r ≥ 2 definiert. Eine Funktion in H 1 sind, ist Ih v somit f¨ muss jedoch nicht stetig sein, weshalb die Punktwerte nicht wohldefiniert sind. ur ein s mit Wenn v nicht hinreichend glatt ist, um in H r zu sein, aber f¨ 2 ≤ s ≤ r die Beziehung v ∈ H s gilt, dann kann man anstelle von (5.34) die Absch¨atzungen (5.35)

Ih v − v ≤ Chs vs ,

|Ih v − v|1 ≤ Chs−1 vs

∀v ∈ H s

mit 2 ≤ s ≤ r benutzen. Folglich h¨ angt der Approximationsgrad von Ih v von der Regularit¨at der Funktion v ab. Betrachten wir nun den Fall, dass Ω konvex und der Rand Γ eine glatte Kurve statt ein Polygon ist. Sei Ωh , wie am Ende des letzten Abschnitts beschrieben, das durch die Dreiecke von Th u ¨berdeckte Gebiet. Wir wissen daher, dass die Menge Ω \ Ωh eine Breite der Ordnung O(h2 ) besitzt. Wenn v = 0 auf Γ gilt, dann ist der Interpolationsfehler in Ω \ Ωh gleich v, da dort Ih v = 0 gilt. F¨ ur glatte, auf Γ verschwindende Funktionen v gilt v = O(h2 ) in Ω \ Ωh und folglich ist deren Beitrag zum Interpolationsfehler auch von dieser Ordnung oder, genauer gesagt, (5.36)

Ih v − vΩ\Ωh = vΩ\Ωh ≤ Ch2 ∇vΩ\Ωh ≤ Ch3 v2 .

Um die letzte Ungleichung zu beweisen, integrieren wir die Spurungleichung auft w2L2 (γ) ≤ Cw2H 1 (Ω) u ¨ ber eine Kurvenschar γ, die parallel zu Γ verl¨ und Ω \ Ωh u ¨berdeckt. Da die Breite von Ω \ Ωh von der Ordnung O(h2 ) ist, f¨ uhrt dies auf wΩ\Ωh ≤ Chw1 , was anschließend auf w = ∇v angewendet wird. Der Gradient von v verschwindet auf Γ nicht und muss deshalb in Ω \ Ωh nicht klein sein. Deshalb ist nur (5.37)

∇(Ih v − v)Ω\Ωh = ∇vΩ\Ωh ≤ Chv2

zu zeigen. Somit bleiben (5.31) und (5.32) f¨ ur r = 2 einschließlich der Beitr¨ age ultig. Wenn jedoch r > 2 gilt, sind die von Ω \ Ωh zum Interpolationsfehler g¨ Beitr¨age in (5.36) und (5.37) die bestenfalls zu erwartenden. Deshalb gilt die erste Ungleichung in (5.34) f¨ ur r = 2 und 3, die zweite aber nur f¨ ur r = 2. Wir schließen mit einer Bemerkung zur orthogonalen Projektion Ph = PSh des Hilbert-Raumes L2 auf den endlichdimensionalen Teilraum Sh , der durch (5.38)

(Ph v − v, χ) = 0,

∀χ ∈ Sh ,

v ∈ L2

definiert ist. Weil Ph v die beste Approximation von v in Sh in der L2 -Norm ist, gilt wegen der obigen Absch¨atzung f¨ ur ein polygonales Gebiet

66

(5.39)

5 Die Methode der finiten Elemente f¨ ur elliptische Gleichungen

Ph v − v ≤ Ih v − v ≤ Chr vr

∀v ∈ H r ∩ H01 .

oren und auf Γ Hierbei ist H r ∩ H01 der Raum der Funktionen, die zu H r geh¨ verschwinden. Die Forderung v ∈ H r ∩H01 ist ziemlich stark und f¨ ur L¨ osungen unserer elliptischen Probleme mit r > 2 gew¨ohnlich nicht erf¨ ullt. Dies ist auf die Singularit¨aten an den Ecken des Gebietes zur¨ uckzuf¨ uhren, die wir am Ende des Abschnitts 3.7 untersucht haben. Im Falle eines konvexen Gebietes mit glattem Rand ist die Regularit¨ at kein Problem, aber ohne Modifikation der Methode in der N¨ ahe des Randes wissen wir nur, dass (5.39) f¨ ur r = 2, 3 gilt.

5.4 Fehlerabsch¨ atzungen Wir kommen zu der Aufgabe zur¨ uck, den Fehler bei der Finite-Elementeuber der L¨ osung u unseres Dirichlet-Problems abApproximation uh gegen¨ zusch¨atzen. Da es sich bei der Bilinearform a(·, ·) um ein Skalarprodukt in H01 handelt, verwenden wir naturgem¨aß die Energienorm 1/2 1/2 va = a(v, v) = a|∇v|2 dx . Ω

Theorem 5.3. Seien uh und u L¨osungen von (5.26) und (5.24). Dann gilt (5.40)

uh − ua = min χ − ua χ∈Sh

und (5.41)

|uh − u|1 ≤ Chu2 .

Beweis. Wegen Sh ⊂ H01 k¨onnen wir in (5.24) v = χ ∈ Sh setzen und dies von (5.26) subtrahieren. Wir erhalten (5.42)

a(uh − u, χ) = 0 ∀χ ∈ Sh ,

uglich was bedeutet, dass uh die orthogonale Projektion von u auf Sh bez¨ des Skalarproduktes a(·, ·) ist. Die Ungleichung (5.40) folgt somit in gleicher Weise wie (5.12). Wegen unserer Annahmen hinsichtlich a gilt mit von h unabh¨angigem C und c (5.43)

c|v|1 ≤ va ≤ C|v|1 .

Somit folgt aus (5.40) (5.44)

|uh − u|1 ≤ C min |χ − u|1 . χ∈Sh

Setzen wir χ = Ih u und benutzen die Schranke f¨ ur den Interpolationsfehler in (5.32), haben wir (5.41) bewiesen. ⊔ ⊓

5.4 Fehlerabsch¨ atzungen

67

F¨ ur ein analoges Resultat im Falle eines nichtsymmetrischen, elliptischen Operators verweisen wir auf die Problemstellungen 5.6 und 5.7. Die Gleichung (5.40) sagt aus, dass uh die beste oder optimale Approximauglich der Energienorm ist. Gleichung (5.44) zeigt, dass es tion von u in Sh bez¨ sich um eine nahezu beste oder quasioptimale Approximation in der gew¨ ohnlichen Sobolev-Norm in H01 handelt. Beachten Sie, dass die Energienorm eine gewichtete Norm in H01 ist; um die Eigenschaft der besten Approximation (5.40) voll auszunutzen, m¨ usste man eine gewichtete Variante der Schranke f¨ ur den Interpolationsfehler (5.32) beweisen. Dies ist m¨ oglich, wir werden dies hier aber nicht tun. Nat¨ urlich fallen diese Normen f¨ ur a = 1 zusammen. Damit (5.41) von Interesse ist, muss u ∈ H 2 gelten. Im Fall eines konvexen Gebietes Ω wissen wir aus Abschnitt 3.7, dass eine solche Regularit¨ at aus f ∈ L2 folgt und dass (5.25) gilt. Aus (5.41) schlussfolgern wir deshalb |uh − u|1 ≤ Chf , wobei die Konstante gleich dem Produkt der Konstanten in (5.41) und (5.25) ist. Wenn Ω nicht konvex ist, dann wird die L¨ osung u im Allgemeinen an den Ecken von Γ Singularit¨aten besitzen, durch die (5.25) ung¨ ultig wird, woraus sich eine geringere Konvergenzordnung ergibt. Beachten Sie, dass (5.40) auch dann noch gilt. Unser n¨achstes Resultat betrifft die L2 -Norm des Fehlers. An dieser Stelle ben¨otigen wir die Regularit¨ atsabsch¨atzung (5.25) und nehmen deshalb an, dass Ω konvex ist. Theorem 5.4. Sei Ω konvex und seien uh und u die L¨osungen von (5.26) und (5.24). Dann ist (5.45)

uh − u ≤ Ch2 u2 .

Beweis. Der Beweis erfolgt wie f¨ ur das Zweipunkt-Randwertproblem in Theorem 5.2 durch Dualit¨ at unter Verwendung des Hilfsproblems (5.46)

Aφ = e

in Ω

mit φ = 0 auf Γ,

wobei e = uh − u ist. Wie in (5.25) gilt (5.47)

φ2 ≤ Ce,

und dies wird wie in Theorem 5.2 verwendet, um (5.48)

e ≤ Ch|e|1

zu zeigen. Wegen Theorem 5.3 ist der Beweis damit vollst¨ andig.

⊔ ⊓

Die beiden letzten Theoreme weisen die gleichen Fehlerschranken f¨ ur uh wie f¨ ur die Interpolierte Ih u in (5.31) und (5.32) auf, abgesehen davon, dass

68

5 Die Methode der finiten Elemente f¨ ur elliptische Gleichungen

die Konstanten verschieden sein k¨onnen. Es sei darauf hingewiesen, dass wir bei den Beweisen lediglich (5.32) und nicht (5.31) benutzt haben. Sei Rh : H01 → Sh die orthogonale Projektion bez¨ uglich des energetischen Skalarprodukts, sodass (5.49)

a(Rh v − v, χ) = 0 ∀χ ∈ Sh ,

v ∈ H01

ist. Der Operator Rh wird als Ritz-Projektion (oder elliptische Projektion) bezeichnet. Aus (5.42) folgt, dass die Finite-Elemente-L¨ osung uh genau der Ritz-Projektion der exakten L¨osung u von (5.24), d. h. uh = Rh u, entspricht. Unsere vorherige Fehlerabsch¨atzung f¨ ur die Finite-Elemente-L¨ osung kann als uckt werden, was f¨ ur die Funktion des Operators Rh folgendermaßen ausgedr¨ sp¨atere Diskussion parabolischer Finite-Elemente-Probleme zweckm¨ aßig ist. Theorem 5.5. Sei Ω konvex. Dann gilt f¨ ur s = 1, 2 Rh v − v ≤ Chs vs ,

|Rh v − v|1 ≤ Chs−1 vs

∀v ∈ H s ∩ H01 .

Beweis. Der Fall s = 2 ist in den Theoremen 5.3 und 5.4 enthalten. Im Fall s = 1 bemerken wir zun¨achst Folgendes: Weil Rh die orthogonale Projektion bez¨ uglich a(·, ·) ist, gilt Rh va ≤ va . Folglich ist |Rh v|1 ≤ C|v|1 und |Rh v − v|1 ≤ C|v|1 . Unter Verwendung von (5.48) erhalten wir schließlich Rh v − v ≤ ChRh v − v1 ≤ Chv1 , was den Beweis abschließt.

⊔ ⊓

Formal l¨asst sich die obige Fehleranalyse unmittelbar auf finite Elemente h¨oherer Ordnung r > 2 u ¨bertragen. Im Argument in Theorem 5.4 verwenden wir einfach die zweite Absch¨atzung des Interpolationsfehlers in (5.34) anstelle von (5.32), zusammen mit dem Fall s = 2 von (5.35). Wir finden dann f¨ ur 2≤s≤r (5.50)

Rh v − v ≤ Chs vs , |Rh v − v|1 ≤ Chs−1 vs ∀v ∈ H s ∩ H01 .

Diese Absch¨atzungen zeigen also eine reduzierte Konvergenzrate O(hs ), wenn v ∈ H s mit s < r gilt. Wir wir bereits am Ende von Abschnitt 5.3 betont haben, ist die Regularit¨atsannahme v ∈ H r mit r > 2 f¨ ur L¨ osungen unserer elliptischen Probleme in einem polygonalen Gebiet etwas unrealistisch. F¨ ur ein Gebiet Ω mit einem glatten Rand Γ ist die Regularit¨ at kein Problem, es sind dann allerdings spezielle Betrachtungen f¨ ur die Handhabung des Randgebietes Ω \ Ωh notwendig, um eine h¨ohere Genauigkeit zu erreichen. Da die Variationsformulierung unseres diskreten Problems auf Skalarproatzungen auch dukten aus dem L2 beruht, werden die gel¨aufigsten Fehlerabsch¨ in solchen L2 -basierten Normen ausgedr¨ uckt und messen deshalb bestimmte Mittelwerte des Fehlers. Es ist nat¨ urlich auch von Interesse, Fehlerschranken in der Maximumnorm abzuleiten, die gleichm¨aßige Fehlerschranken u ¨ber Ω

5.5 Eine a posteriori Fehlerabsch¨ atzung

69

angeben. Wir stellen zun¨ achst fest, dass der Fehler in der oben eingef¨ uhrten Interpolierten die Ungleichung Ih v − vC(K) ≤ Ch2K vC 2 (K)

∀K ∈ Th

erf¨ ullt. Auch im Falle eines glatten Randes Γ gilt folglich (5.51)

Ih v − vC ≤ Ch2 vC 2 ,

atzlichen Annahme, dass weil dann vC(Ω\Ωh ) ≤ Ch2 vC 1 ist. Unter der zus¨ die Familie der Triangulationen {Th } quasiuniform ist, d. h. dass (5.52)

hK ≥ ch

f¨ ur ein positives, von h unabh¨ angiges c gilt, ist es m¨ oglich, wenn auch nicht einfach, f¨ ur unser elliptisches Problem (5.53)

uh − uC ≤ Ch2 log(1/h)uC 2

f¨ ur kleines h

zu zeigen (siehe Problemstellung 5.4). Im Vergleich zur Absch¨ atzung in der L2 -Norm aus Theorem 5.4 enth¨alt diese Absch¨atzung einen zus¨ atzlichen Faktor log(1/h), der in der Fehlerabsch¨ atzung f¨ ur die Interpolation (5.51) nicht vorkommt. Man kann zeigen, dass dieser Faktor nicht beseitigt werden kann.

5.5 Eine a posteriori Fehlerabsch¨ atzung Die Fehlerschranken im letzten Abschnitt enthalten Normen der exakten, unbekannten L¨osung. Unter Verwendung der Regularit¨ atsabsch¨ atzung (5.25) k¨onnen diese Fehlerschranken auch als Funktion der Daten f aus (5.23) ausgedr¨ uckt werden. Wenn die darin eingehenden Konstanten bekannt sind, erh¨ alt man strengere Schranken f¨ ur den Fehler. Wie wir jedoch in Abschnitt 5.3 gesehen haben, k¨onnen diese Schranken pessimistisch sein, insbesondere wenn die Triangulationen sehr ungleichm¨aßig sind. In einem solchen Fall kann beispielsweise die Ungleichung (5.32) sehr grob sein. Die Absch¨ atzungen, die atzungen h = maxK hK einbeziehen, sollten deshalb als asymptotische Absch¨ interpretiert werden, die die Konvergenzrate des Fehlers f¨ ur h → 0 anzeigen. ur h → 0 gilt, Theorem 5.4 zeigt also beispielsweise, dass uh − u = O(h2 ) f¨ wenn u ∈ H 2 ist. Da diese Schranken nicht von der berechneten L¨ osung abh¨ angen, werden sie h¨aufig als a priori Schranken bezeichnet; sie k¨ onnen aufgestellt werden, bevor die Rechnung ausgef¨ uhrt wird. Im n¨ achsten Theorem werden wir ein Beispiel f¨ ur eine a posteriori Fehlerabsch¨atzung angeben, die als Funktion der berechneten L¨osung und der Daten ausgedr¨ uckt wird. Theorem 5.6. Angenommen, Ω ist ein konvexes, polygonales Gebiet in der Ebene. Seien uh und u L¨osungen von (5.26) beziehungsweise (5.24). Dann gilt

70

5 Die Methode der finiten Elemente f¨ ur elliptische Gleichungen

uh − u ≤ C mit

2 RK

K∈Th

1/2

3/2

RK = h2K Auh − f K + hK a[n · ∇uh ]∂K\Γ .

Dabei ist [n · ∇uh ] der Sprung durch ∂K in der Normalenableitung n · ∇uh . Beweis. Wir verwenden das Dualit¨atsargument aus dem Beweis von Theorem 5.4. Sei e = uh − u und φ die L¨osung von (5.46). Dann gilt mit (v, w)K = K v w dx, vK = vL2 (K) und |v|2,K = |v|H 2 (K) e2 = a(e, φ) = a(uh − u, φ) = a(uh , φ) − (f, φ) = (a∇uh , ∇φ)K − (f, φ)K K

(Auh − f, φ)K + (an · ∇uh , φ)∂K = K

(Auh − f, φ)K − 12 (a[n · ∇uh ], φ)∂K\Γ . = K

Der Faktor 1/2 im letzten Term erscheint, weil der Term in der Summe zweimal auftritt. Wegen a(e, χ) = 0 f¨ ur χ ∈ Sh k¨ onnen wir φ durch φ − χ ersetzen und erhalten e2 = |a(e, φ − χ)| ≤ Auh − f K φ − χK + 12 a[n · ∇uh ]∂K\Γ φ − χ∂K\Γ . K

Wir w¨ahlen nun χ = Ih φ und erinnern an (5.29), (5.30) sowie an die skalierte Spurungleichung, die man durch Transformation der Spurungleichung (A.26) ˆ mit Einheitsgr¨ von einem Referenzdreieck K oße auf ein kleines Dreieck K erh¨alt (siehe Problemstellung A.15) −1/2 1/2 (5.54) w∂K ≤ C hK wK + hK ∇wK . Daher erhalten wir

3/2

φ − Ih φ∂K ≤ ChK |φ|2,K ,

(5.55)

und im Hinblick auf die Regularit¨atsabsch¨atzung (5.47) k¨ onnen wir 1/2 1/2 2 e2 = a(e, φ) ≤ C |φ|22,K RK |φ|2,K ≤ C RK ≤C

K

K

2 RK

1/2

φ2 ≤ C

K

schlussfolgern, was den Beweis abschließt.

K

K

2 RK

1/2

e ⊔ ⊓

5.6 Numerische Integration

71

F¨ ur A = −∆, d. h. im Falle a = 1, ist Auh = 0 in K. Weil n · ∇uh entlang ∂K konstant ist, gilt RK = h2K f K + [n · ∇uh ]|∂K\Γ , sodass die berechnete L¨osung nur in den zweiten Term eingeht. Aus der a posteriori Fehlerabsch¨atzung selbst folgt nicht, dass der Fehler mit h gegen null geht. Allerdings geht dies aus der vorhin gezeigten a priori Fehlerabsch¨ atzung der Ordnung O(h2 ) hervor. Die a posteriori Fehlerabsch¨atzung legt auch eine Methode zur adaptiven Fehlerkontrolle nahe, n¨ amlich das Reduzieren des Gitterabstandes durch Unterteilen derjenigen Dreiecke K, f¨ ur die RK im Vergleich zu einer Toleranz groß ist. Dies werden wir hier jedoch nicht n¨aher behandeln.

5.6 Numerische Integration Eine wesentliche Eigenschaft der Methode der finiten Elemente besteht darin, dass die Gleichungen (5.27) durch ein Computerprogramm automatisch generiert werden k¨onnen. Diese Prozedur, die als Assemblieren bezeichnet wird, basiert auf der elementweisen Berechnung der Steifigkeitsmatrix und des Lastvektors f Φi dx. a∇Φj · ∇Φi dx, (f, Φi ) = (5.56) a(Φj , Φi ) = K∈Th

K

K∈Th

K

In der Praxis werden die Integrale in dieser Summe selten exakt berechnet, auch wenn analytische Ausdr¨ ucke f¨ ur a und f verf¨ ugbar sind. Stattdessen werden sie mithilfe numerischer Integration durch eine Quadraturformel der Form (5.57)

K

φ dx ≈ qK (φ) :=

L

ωl,K φ(bl,K )

l=1

approximiert. Die Zahlen ωl,K werden als Gewichte und die Punkte bl,K als Knoten der Quadraturformel bezeichnet. Wenn die Gleichungen durch numerische Integration aufgebaut werden, l¨osen wir anstelle von (5.26) ein modifiziertes Finite-Elemente-Problem, das darin besteht, ein uh ∈ Sh mit (5.58)

ah (uh , χ) = (f, χ)h

∀χ ∈ Sh

zu bestimmen, wobei (5.59)

ah (v, w) =

K∈Th

ist.

qK (a∇v · ∇w),

(f, w)h =

K∈Th

qK (f w)

72

5 Die Methode der finiten Elemente f¨ ur elliptische Gleichungen

Die Quadraturformel qK in (5.57) sollte so gew¨ ahlt werden, dass der Fehler in uh von derselben Ordnung wie bei der urspr¨ unglichen Finite-ElementeL¨osung ist. Ein Beispiel f¨ ur eine solche Quadraturformel ist die baryzentrische Quadraturregel (5.60) qK (φ) = |K|φ(PK ),

wobei |K| = area(K) und PK =

1 3

3

Pl,K ist,

l=1

mit den Eckpunkten Pl,K und dem Schwerpunkt (Baryzentrum) PK des Dreiecks K. Diese Quadraturregel ist f¨ ur lineare Funktionen exakt, es gilt also (5.61) φ dx = |K|φ(PK ) ∀φ ∈ Π1 . K

Folglich ist die Regel in zweiter Ordnung exakt, sodass (5.62) φ dx ≤ Ch2K |φ|W12 (K) qK (φ) − K

ist (siehe Problemstellung 5.13), wobei f¨ ur Dij = ∂ 2 /∂xi ∂xj die Gleichung |v|W12 (M ) =

2

i,j=1

Dij vL1 (M ) ,

vL1 (M ) =

M

|v| dx

gilt. Somit ist der globale Quadraturfehler durch (5.63) (φ) − φ dx ≤ Ch2 |φ|W12 (K) q K K∈Th

K

K∈Th

beschr¨ankt. Aus (5.62) schlussfolgern wir, dass ah (uh , χ) und (f, χ)h exakt sind. Dies gilt beispielsweise f¨ ur konstantes a und f . Ein anderes Beispiel f¨ ur eine Quadraturformel, die f¨ ur lineare Funktionen exakt ist, liefert die Knotenquadraturregel (siehe Problemstellung 5.15) (5.64)

qK (φ) = 13 |K|

3

φ(Pl,K ).

l=1

Im folgenden Lemma fassen wir die Eigenschaften von ah (·, ·) und (·, ·)h zusammen, die wir zum Beweis einer Fehlerabsch¨ atzung f¨ ur das modifizierte Problem (5.58) brauchen. Lemma 5.1. Wenn ah (·, ·) und (·, ·)h in (5.59) durch die Quadraturformel (5.60) oder (5.64) berechnet werden, gilt (5.65)

a0 |χ|21 ≤ ah (χ, χ) ≤ C|χ|21

∀χ ∈ Sh

5.6 Numerische Integration

73

und (5.66) (5.67)

|ah (ψ, χ) − a(ψ, χ)| ≤ Ch2 aC 2 |ψ|1 |χ|1

∀ψ, χ ∈ Sh ,

2

|(f, χ)h − (f, χ)| ≤ Ch f 2 |χ|1

∀χ ∈ Sh .

Beweis. Wir f¨ uhren den Beweis f¨ ur die Quadraturregel (5.60); der Beweis f¨ ur (5.64) verl¨auft analog. Da ∇χ auf K konstant und a0 ≤ a(x) ≤ C ist, gilt |∇χ|2 dx = a0 |χ|21 . a(PK )|∇χ(PK )|2 |K| ≥ a0 ah (χ, χ) = K

K

K

Die Absch¨atzung von oben wird in gleicher Weise abgeleitet, was (5.65) beweist. Unter Verwendung von (5.63) mit φ = a∇ψ · ∇χ erhalten wir |a∇ψ · ∇χ|W12 (K) . |ah (ψ, χ) − a(ψ, χ)| ≤ Ch2 K

Um die rechte Seite abzusch¨ atzen, stellen wir zun¨ achst fest, dass f¨ ur ψ, χ ∈ Sh Dij (a∇ψ · ∇χ)L1 (K) = (Dij a)∇ψ · ∇χL1 (K) ≤ aC 2 ∇ψK ∇χK gilt. Unter Verwendung der Cauchy-Schwarz-Ungleichung f¨ ur Summen schließen wir |a∇ψ · ∇χ|W12 (K) ≤ CaC 2 |ψ|1 |χ|1 , K

was (5.66) beweist. Analog dazu gilt wegen Dij χ = 0 auf K

Dij (f χ)L1 (K) = Dij f χ + Di f Dj χ + Dj f Di χL1 (K) ≤ Cf 2,K χ1,K , sodass

K

|f χ|W12 (K) ≤ Cf 2 χ1 ≤ Cf 2 |χ|1

gilt, was (5.67) beweist.

⊔ ⊓

Die Ungleichung (5.65) zeigt, dass die symmetrische Bilinearform ah (·, ·) ein Skalarprodukt auf Sh ist und dass die zugeh¨ orige Norm ¨ aquivalent zu | · |1 und gleichm¨aßig beschr¨ ankt bez¨ uglich h ist. Aus (5.67) folgern wir, dass die uglich | · |1 beschr¨ ankt ist, wiederum Linearform Lh (χ) = (f, χ)h auf Sh bez¨ gleichm¨aßig bez¨ uglich h, weil |(f, χ)h | ≤ |(f, χ)| + |(f, χ)h − (f, χ)|

≤ f χ + Ch2 f 2 |χ|1 ≤ Cf 2 |χ|1

gilt. Wegen des Rieszschen Darstellungssatzes k¨ onnen wir deshalb schlussfolgern, dass (5.58) eine eindeutige L¨ osung besitzt und die Stabilit¨ atsabsch¨ atzung

74

5 Die Methode der finiten Elemente f¨ ur elliptische Gleichungen

(5.68)

|uh |1 ≤ Cf 2

erf¨ ullt (siehe Problemstellung 5.14). Diese Stabilit¨ at des modifizierten FiniteElemente-Problems wird zusammen mit den Fehlerschranken (5.66), (5.67) beim Beweis der folgenden Fehlerabsch¨ atzung benutzt. Theorem 5.7. Angenommen, ah (·, ·) und (·, ·)h in (5.59) werden durch die Quadraturformel (5.60) oder (5.64) berechnet. Seien uh und u die L¨osungen von (5.58) beziehungsweise (5.24). Dann ist (5.69) |uh − u|1 ≤ Chu2 + Ch2 aC 2 u2 + f 2 .

Beweis. Wir schreiben uh − u = (uh − Ih u) + (Ih u − u) = θ + ρ. Unter Verwendung von (5.24) und (5.58) erhalten wir f¨ ur jedes χ ∈ Sh ah (θ, χ) = ah (uh , χ) − ah (Ih u, χ) + a(u, χ) − (f, χ) − ah (uh , χ) − (f, χ)h + a(Ih u, χ) − a(Ih u, χ) = −a(ρ, χ) − ah (Ih u, χ) − a(Ih u, χ) + (f, χ)h − (f, χ) .

Weil θ ∈ Sh ist, k¨ onnen wir χ = θ w¨ahlen. Wegen (5.65), der Beschr¨ anktheit der Bilinearform a(·, ·) und den Fehlerabsch¨atzungen (5.66) und (5.67) folgt a0 |θ|21 ≤ ah (θ, θ) ≤ C|ρ|1 + Ch2 aC 2 |Ih u|1 + Ch2 f 2 |θ|1 . Somit ist

|uh − u|1 ≤ |θ|1 + |ρ|1 ≤ C|ρ|1 + Ch2 aC 2 |Ih u|1 + f 2 .

Unter Verwendung der Fehlerabsch¨ atzung f¨ ur die Interpolation (5.32) gilt |ρ|1 ≤ Chu2 ,

|Ih u|1 ≤ |u|1 + |ρ|1 ≤ |u|1 + Chu2 ≤ Cu2 .

Insgesamt beweisen diese Absch¨ atzungen die Ungleichung (5.69).

⊔ ⊓

Der erste Term auf der rechten Seite von (5.69) ist (im Wesentlichen) derselbe wie in (5.41), wobei die verbleibenden Terme den Effekt der numerischen Integration absch¨atzen. Beachten Sie, dass dieses Resultat eine h¨ ohere Regularit¨at erfordert als (5.41). Beispielsweise ben¨ otigen wir f ∈ H 2 , woraus ur das fi(zumindest formal gesehen) u ∈ H 4 folgt. Dies ist mit dem Resultat f¨ nite Differenzenverfahren in Theorem 4.2 konsistent, wobei u vier Ableitungen besitzen soll (siehe auch Anmerkung 5.1). Wir k¨ onnen die Methode der finiten Elemente mit numerischer Integration als ein finites Differenzenverfahren auf einem ungleichm¨aßigem Gitter betrachten. Die urspr¨ ungliche Methode der finiten Elemente (5.26) ist in dem Sinne konform, dass Sh ⊂ H01 und die Formen a(·, ·) und L(·) = (f, ·) dieselben

5.7 Eine Methode der gemischten finiten Elemente

75

wie beim kontinuierlichen Problem (5.24) sind. Bei der modifizierten Methode der finiten Elemente (5.58) gilt immer noch Sh ⊂ H01 , die Formen sind aber verschieden. Sie wird deshalb als nichtkonform bezeichnet. Andere nichtkonforme Methoden der finiten Elemente verletzen die Annahme Sh ⊂ H01 , beispielsweise bei der Verwendung von unstetigen, st¨ uckweisen Polynomen. Sie k¨onnen manchmal auf ¨ ahnliche Weise untersucht werden. Das im Beweis von Theorem 5.7 verwendete Argument basiert auf dem in der Literatur als erstes Lemma von Strang bekannten Lemma u ¨ber nichtkonforme Methoden der finiten Elemente.

5.7 Eine Methode der gemischten finiten Elemente In einigen Situationen ist der Fluss −a∇u der L¨ osung u von prim¨ arem Interesse. Bei der gew¨ ohnlichen Methode der finiten Elemente werden die Ableitungen und somit auch der Fluss in niedriger Ordnung O(h) approximiert, im Gegensatz zur O(h2 )-Approximation der L¨osung. Wir werden nun kurz eine Methode der finiten Elemente f¨ ur unser Modellproblem (5.23) umreißen, die auf einer sogenannten gemischten Formulierung dieses Problems beruht und nicht den oben genannten Nachteil besitzt. In diesem Falle wird der Fluss der L¨osung u als eine separate abh¨ angige Variable eingef¨ uhrt, deren Approximation in einem anderen Finite-Elemente-Raum gesucht wird als dem der L¨ osung selbst. Dies kann man so tun, dass der Fluss die gleiche Genauigkeitsordnung wie u besitzt. Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass in (5.23) a = 1 ist. Mit der separaten zweidimensionalen Variablen σ = ∇u kann diese Gleichung dann in der Form (5.70)

−∇ · σ = f σ = ∇u u=0

in Ω, in Ω, auf ∂Ω

geschrieben werden. Wir stellen fest, dass die L¨ osung (u, σ) ∈ L2 × H mit H = {ω = (ω1 , ω2 ) ∈ L2 × L2 : ∇ · ω ∈ L2 } auch das Variationsproblem (5.71)

(∇ · σ, ϕ) + (f, ϕ) = 0 (σ, ω) + (u, ∇ · ω) = 0

∀ϕ ∈ L2 , ∀ω ∈ H

l¨ost, wobei (·, ·) die entsprechenden L2 -Skalarprodukte bezeichnet, und eine glatte L¨osung von (5.71) die Gleichung (5.70) erf¨ ullt. Setzt man L(v, µ) = 1 2 µ + (∇ · µ + f, v), so kann man zeigen, dass die L¨ osung (u, σ) von (5.70) 2 als Sattelpunkt charakterisiert werden kann, der die Ungleichung

(5.72)

L(v, σ) ≤ L(u, σ) ≤ L(u, µ) ∀v ∈ L2 , µ ∈ H

erf¨ ullt (siehe Problemstellung 5.16). Der Schl¨ ussel zum Beweis der Existenz einer L¨osung steckt in der Ungleichung

76

(5.73)

5 Die Methode der finiten Elemente f¨ ur elliptische Gleichungen

inf sup v∈L2 µ∈H

(v, ∇ · µ) ≥ c > 0, v µH

wobei µ2H = µ2 + ∇ · µ2 ist. Seien Sh und Hh spezielle endlichdimensionale Teilr¨aume von L2 und H. Damit werden wir die diskrete Entsprechung von (5.71) betrachten, die darin besteht, ein (uh , σh ) ∈ Sh ×Hh zu bestimmen, sodass (5.74)

(∇ · σh , χ) + (f, χ) = 0 (σh , ψ) + (uh , ∇ · ψ) = 0

∀χ ∈ Sh , ∀ψ ∈ Hh

gilt. Wie im kontinuierlichen Fall ist dieses Problem ¨ aquivalent zum diskreten Analogon des Sattelpunktproblems (5.72). Damit dieses diskrete Problem eine L¨ osung mit den gew¨ unschten Eigenschaften besitzt, m¨ ussen die R¨ aume Sh × Hh so gew¨ahlt werden, dass das Analogon zu (5.73) gilt, was in diesem Kontext als Babuˇska-Brezzi-inf-sup-Bedingung bezeichnet wird. Genauer gesagt, muss (5.75)

inf sup v∈Sh µ∈Hh

(v, ∇ · µ) ≥c>0 v µH

gleichm¨aßig bez¨ uglich h gelten. Ein von Raviart und Thomas eingef¨ uhrtes Beispiel f¨ ur ein Paar von R¨ aumen, das die inf-sup-Bedingung erf¨ ullt, ist das folgende: Sei Th eine quasiuniforme Familie von Triangulationen des Gebietes Ω, das hier als polygonal angenommen wird. Wir setzen Sh = χ ∈ L2 : χ|K linear, ∀K ∈ Th ,

wobei an den R¨andern innerer Elemente keine Stetigkeit gefordert wird. Wir definieren außerdem Hh = ψ = (ψ1 , ψ2 ) ∈ H : ψ|K ∈ H(K), ∀K ∈ Th ,

wobei die H(K) affine Abbildungen von Kurven zweiter Ordnung auf ein Reˆ der Form (l1 (ξ)+αξ1 (ξ1 +ξ2 ), l2 (ξ)+βξ2 (ξ1 +ξ2 )) darstellen. ferenzdreieck K Dabei sind l1 (ξ), l2 (ξ) linear, und es gilt α, β ∈ R. Da jede der Funktionen lj (ξ) drei Parameter besitzt, gilt dim H(K) = 8. Der Raum Hh besteht folglich aus st¨ uckweise quadratischen Funktionen auf der Triangulation Th , die von der durch die Definition von H(K) spezifizierten Form sind. Zum Bestimmen der Freiheitsgrade f¨ ur Hh k¨onnen die Werte von ψ · n an zwei Punkten auf jeder Seite von K (sechs Bedingungen) und zus¨ atzlich die Mittelwerte von ψ1 ber K (zwei Bedingungen) verwendet werden. Es sei darauf hingeund ψ2 u ¨ wiesen, dass die Bedingung ψ ∈ H in der Definition von Hh die Beziehung ∇ · ψ ∈ L2 fordert, was a¨quivalent zur Stetigkeit von χ · n an den R¨ andern innerer Elemente ist. F¨ ur die L¨osungen von (5.74) und (5.70) kann man folgende Absch¨atzungen zeigen: uh − u ≤ Ch2 u2

und

σh − σ ≤ Chs us+1 ,

s = 1, 2.

Folglich wird der Fluss σ in der gleichen Ordnung O(h2 ) wie u approximiert.

5.8 Problemstellungen

77

5.8 Problemstellungen Problem 5.1. Beweisen Sie (5.7) und (5.8). ′ v (y) − v ′ (x) dy f¨ ur Hinweis zu (5.8): Es gilt (Ih v)′ (x) − v ′ (x) = h−1 j Kj x ∈ Kj . Hinweis zu (5.7): Sei Q1 v das Polynom vom Grad 1, das wir durch die Taylorsche Formel f¨ ur v an der Stelle xj−1 erhalten. Beachten Sie, dass Ih (Q1 v) = Q1 v und Ih vC(Kj ) ≤ vC(Kj ) ist, sodass Ih v − vC(Kj ) = atzen Sie den Ih (v − Q1 v) + (Q1 v − v)C(Kj ) ≤ 2v − Q1 vC(Kj ) gilt. Sch¨ Rest ab: v − Q1 vC(Kj ) ≤ maxx∈Kj Kj |x − y| |v ′′ (y)| dy. Schlussfolgern Sie Ih v − vC(Kj ) ≤ 2hj Kj |v ′′ (y)| dy, woraus (5.7) folgt. Dieser Beweis kann auf Funktionen in zwei Variablen verallgemeinert werden (siehe (5.29)). Der Hauptunterschied besteht darin, dass es schwieriger ist, den Rest in der Taylorschen Formel abzusch¨atzen. Problem 5.2. Bestimmen Sie die Elemente der Matrix A in (5.5) im Falle hj = h = konstant. h Problem 5.3. Verwenden Sie die Basis {Φi }M i=1 , um zu zeigen, dass (5.38) in Matrixform als BV = b geschrieben werden kann, wobei die Matrix B (die sogenannte Massenmatrix) f¨ ur großes Mh symmetrisch, positiv definit und d¨ unn besetzt ist.

Problem 5.4. Betrachten Sie die Situation in Abschnitt 5.1 mit einem st¨ uckweise linearen Finite-Elemente-Raum Sh . (a) Verwenden Sie die Greensche Funktion in Theorem 2.3, um uh = Ih u f¨ ur a = 1, c = 0 in (5.1) zu beweisen, vgl. Bemerkung 5.2. Hinweis: Verwenden Sie die Resultate aus den Problemstellungen 2.4 und 2.2 (a) sowie die Tatsache, dass G(xj , ·) ∈ Sh gilt, wenn xj ein Knoten ist. (b) Beweisen Sie f¨ ur den Fall variabler Koeffizienten |uh (xj ) − u(xj )| ≤ Ch2 u2 . Hinweis: Zeigen Sie e(xj ) = a(e, G(xj , ·) − Ih G(xj , ·)) und benutzen Sie eine Fehlerabsch¨ atzung f¨ ur die Interpolation auf den Intervallen (0, xj ), (xj , 1), wobei G(xj , ·) glatt ist. (c) Schlussfolgern Sie uh − uC ≤ Ch2 uC 2 , was (5.53) in diesem einfachen Spezialfall entspricht. Hinweis: uh − Ih uC = maxj |uh (xj ) − u(xj )|. Dies ist die Grundidee, durch die man Maximumnorm-Absch¨ atzungen f¨ ur elliptische Probleme in mehreren Variablen erreicht. Die st¨ arkere Singularit¨ at der Greenschen Funktion (siehe Abschnitt 3.4) macht diese Analyse jedoch viel schwieriger.

78

5 Die Methode der finiten Elemente f¨ ur elliptische Gleichungen

Problem 5.5. Beweisen Sie unter den Annahmen von Theorem 5.3, dass 1/2 h2K |u|22,K |uh − u|1 ≤ C K

gilt. Problem 5.6. (Galerkin-Methode.) Angenommen a(·, ·) und L(·) erf¨ ullen die Annahmen des Lax-Milgram-Lemmas, d. h. |a(v, w)| ≤ C1 vV wV a(v, v) ≥

∀v, w ∈ V,

C2 v2V

∀v ∈ V,

|L(v)| ≤ C3 vV

∀v ∈ V.

Sei u ∈ V die L¨osung von a(u, v) = L(v)

∀v ∈ V.

Sei V˜ ⊂ V ein endlichdimensionaler Teilraum und u˜ ∈ V˜ durch die GalerkinMethode bestimmt: a(˜ u, v) = L(v) ∀v ∈ V˜ .

Beweisen Sie die Ungleichung

˜ u − uV ≤

C1 min χ − uV . C2 χ∈V˜

(Beachten Sie, dass a(·, ·) nicht-symmetrisch sein kann.) Beweisen Sie, dass im Falle eines symmetrischen a(·, ·) und va = a(v, v)1/2 C1 min χ − uV ˜ u − ua = min χ − ua und ˜ u − uV ≤ ˜ C χ∈V 2 χ∈V˜

gilt. Problem 5.7. Betrachten Sie das Problem −∇ · a∇u + b · ∇u + cu = f in Ω

mit u = 0 auf Γ

aus Abschnitt 3.5. Beachten Sie, dass die Bilinearform aufgrund des Konvektionsterms b · ∇u nicht symmetrisch ist. (a) Formulieren Sie eine Methode der finiten Elemente f¨ ur dieses Problem und beweisen Sie eine Fehlerschranke in der H 1 -Norm (siehe Problemstellung 5.6). (b) Beweisen Sie eine Fehlerschranke in der L2 -Norm. Modifizieren Sie den Beweis des Theorems 5.4, indem Sie anstelle von (5.46) auf das Hilfsproblem A∗ φ := −∇ · (a∇φ) − b · ∇φ + (c − ∇ · b)φ = e ∗

in Ω,

φ = 0 auf Γ

zur¨ uckgreifen. Der Operator A ist der zu A adjungierte, der durch ur alle v, w ∈ H 2 ∩ H01 definiert ist. (Av, w) = a(v, w) = (v, A∗ w) f¨

5.8 Problemstellungen

79

Problem 5.8. Formulieren Sie ein Finite-Elemente-Problem, das dem inhomogenen Dirichlet-Problem (3.27) entspricht. Beweisen Sie Fehlerabsch¨ atzunMh Uj Φj (x)+ gen. Hinweis: Mit der Notation aus Abschnitt 5.3 gilt uh (x) = j=1 Nh j=Mh +1 g(Pj )Φj (x). Problem 5.9. Formulieren Sie ein Finite-Elemente-Problem, das dem Neumann-Problem (3.30) entspricht. Beweisen Sie Fehlerabsch¨ atzungen.

Problem 5.10. Formulieren Sie ein Finite-Elemente-Problem, das dem inhomogenen Neumann-Problem (3.34) entspricht. Beweisen Sie Fehlerabsch¨ atzungen. Problem 5.11. Formulieren Sie ein Finite-Elemente-Problem, das dem Robin-Problem in Problemstellung 3.6 entspricht. Beweisen Sie Fehlerabsch¨ atzungen. Problem 5.12. Das folgende wichtige Resultat ist ein Spezialfall des BrambleHilbert-Lemmas. Sei F (v) ein nichtnegatives Funktional auf dem H r = H r (Ω), wobei Ω ein beschr¨anktes Gebiet in Rd ist. Falls die Ungleichungen F (v + w) ≤ F (v) + F (w) F (v) ≤ Cvr F (v) = 0

∀v, w ∈ H r , ∀v ∈ H r , ∀v ∈ Πr−1

erf¨ ullt sind, dann gibt es eine Konstante C = C(Ω), f¨ ur die F (v) ≤ C|v|r

∀v ∈ H r

ist. (a) Beweisen Sie das Bramble-Hilbert-Lemma f¨ ur d = 1, Ω = (0, 1) und r = 2. Hinweis: Zeigen Sie wie in Problemstellung 5.1, dass v − Q1 v2 ≤ C|v|2 gilt. Dann ist F (v) ≤ F (v−Q1 v)+F (Q1 v) = F (v−Q1 v) ≤ Cv−Q1 v2 ≤ C|v|2 . (b) Verwenden Sie das Bramble-Hilbert-Lemma, um zu zeigen, dass (5.29) und (5.30) gelten. Hinweis: Tun Sie dies zun¨ achst f¨ ur ein festes Dreieck K von Einheitsgr¨oße und f¨ uhren Sie anschließend eine affine Transformation dieses Einheitsdreiecks auf ein kleines Dreieck K durch (siehe Problemstellung A.14). Verwenden Sie zum Beweis von (5.29) F (v) = atzen Sie die Knotenwerte durch die SobolevIh v − vL2 (K) b und sch¨ Ungleichung |v(Pj )| ≤ Cv 2 b ab. H (K)

Problem 5.13. Beweisen Sie (5.62) mit dem Bramble-Hilbert-Lemma. Problem 5.14. Beweisen Sie (5.68).

Problem 5.15. Beweisen Sie ein Analogon von Lemma 5.1 f¨ ur die Knotenquadraturformel (5.64).

80

5 Die Methode der finiten Elemente f¨ ur elliptische Gleichungen

Problem 5.16. Beweisen Sie, dass jede L¨ osung von (5.71) die Gleichung (5.72) erf¨ ullt. ¨ Problem 5.17. (Ubung am Rechner.) Betrachten Sie das Zweipunkt-Randwertproblem aus Problemstellung 4.4. Wenden Sie die Methode der finiten Elemente (5.3) an. Benutzen Sie als Basis die st¨ uckweise linearen Approximationsfunktionen auf derselben Zerlegung wie in Problemstellung 4.4 mit h = 1/10, 1/20. Bestimmen Sie die exakte L¨ osung und berechnen Sie das Maximum des Fehlers an den Gitterpunkten. ¨ Problem 5.18. (Ubung am Rechner.) Betrachten Sie das Randwertproblem aus Problemstellung 4.5. L¨osen Sie es mit der Methode der finiten Elemente (5.26). Benutzen Sie als Basis die st¨ uckweise linearen Approximationsfunktionen auf derselben Zerlegung wie in Problemstellung 4.5. Teilen Sie diese jedoch in Dreiecke auf, indem Sie eine Diagonale mit positivem Anstieg in jedes Gitterquadrat mit h = 1/10, 1/20 einf¨ ugen. Wiederholen Sie die exakte L¨osung und berechnen Sie die L2 -Norm des Fehlers. Verwenden Sie die baryzentrische Quadraturregel, um die Steifigkeitsmatrix, den Lastvektor und die L2 -Norm zu berechnen.

6 Das elliptische Eigenwertproblem

Eigenwertprobleme sind bei der mathematischen Analyse partieller Differentialgleichungen wesentlich und treten beispielsweise bei der Modellierung schwingender Membrane auf. Bei der Analyse zeitabh¨ angiger partieller Differentialgleichungen ist es wichtig, Funktionen nach Eigenfunktionen zu entwickeln, weshalb wir solche Entwicklungen in Abschnitt 6.1 behandeln werden. In Abschnitt 6.2 stellen wir einige einfache N¨ aherungen und Resultate f¨ ur die numerische L¨osung von Eigenwertproblemen vor.

6.1 Entwicklung nach Eigenfunktionen Wir werden zun¨ achst das Eigenwertproblem behandeln, das dem symmetrischen Fall des Zweipunkt-Randwertproblems aus Kapitel 2 entspricht. Dabei ist eine Zahl λ und eine von null verschiedene Funktion ϕ gesucht, f¨ ur die (6.1)

Aϕ := −(aϕ′ )′ + cϕ = λϕ in Ω = (0, 1) mit ϕ(0) = ϕ(1) = 0

¯ mit a(x) ≥ a0 > 0 und c(x) ≥ 0. gilt. Hier sind a und c glatte Funktionen auf Ω Eine solche Zahl λ wird als Eigenwert und ϕ als zugeh¨ orige Eigenfunktion bezeichnet. Erinnern wir uns daran, dass das Zweipunkt-Randwertproblem (6.2)

Au = f

in Ω

mit u(0) = u(1) = 0

in schwacher Form folgendermaßen geschrieben werden kann: Bestimme ein u ∈ H01 = H01 (Ω), sodass a(u, v) = (f, v) ∀v ∈ H01 gilt. Die Bilinearform und das Skalarprodukt sind durch 1 ′ ′ (6.3) a(u, v) = (a u v + c uv) dx beziehungsweise (u, v) = 0

0

1

uv dx

82

6 Das elliptische Eigenwertproblem

definiert. Mit dieser Notation kann nun das Eigenwertproblem (6.1) gestellt werden: Gesucht ist eine Zahl λ und eine Funktion ϕ ∈ H01 , ϕ = 0, f¨ ur die a(ϕ, v) = λ (ϕ, v) ∀v ∈ H01

(6.4)

gilt. Wir werden auch das Dirichletsche Eigenwertproblem betrachten, eine Zahl λ und eine von null verschiedene Funktion ϕ zu bestimmen, f¨ ur die (6.5)

−∆ϕ = λϕ

in Ω

mit ϕ = 0 auf Γ

auf dem beschr¨ankten Gebiet Ω in Rd mit dem glatten Rand Γ gilt. Das zugeh¨orige Dirichletsche Randwertproblem lautet (6.6)

−∆u = f

in Ω

mit u = 0 auf Γ.

In Variationsform ist ein u ∈ H01 = H01 (Ω) zu bestimmen, f¨ ur das a(u, v) = (f, v) ∀v ∈ H01 gilt, wobei nun (6.7)

a(u, v) =

Ω

∇u · ∇v dx = (∇u, ∇v)

und (u, v) =

uv dx Ω

ist. Bei Variationsform des zu (6.5) geh¨ origen Eigenwertproblems ist wieder eine Zahl λ und eine Funktion ϕ ∈ H01 , ϕ = 0 gesucht, f¨ ur die (6.4) gilt. Erinnern wir uns daran, dass f¨ ur eine L¨ osung u von (6.6) und f¨ ur f ∈ H k k+2 1 die Beziehung u ∈ H ∩ H0 gilt (siehe Abschnitt 3.7). Daraus k¨ onnen wir sofort schlussfolgern, dass eine Eigenfunktion glatt ist: Wegen ϕ ∈ L2 folgt achlich ϕ ∈ H 4 ∩ aus der elliptischen Regularit¨ at ϕ ∈ H 2 ∩ H01 , was tats¨ 1 ur das einfachere H0 zeigt, usw. Die entsprechende Feststellung gilt auch f¨ Eigenwertproblem (6.1). Beide Eigenwertprobleme (6.1) und (6.6) haben folglich die Variationsform (6.4). Dies w¨are auch der Fall, wenn wir statt des Laplace-Operators den allgemeineren elliptischen Operator Au = −∇·(a∇u)+c u mit den in Kapitel 3 beschriebenen, geeigneten Randbedingungen verwenden w¨ urden. Dies w¨ urde auf das folgende, allgemeinere Eigenwertproblem f¨ uhren. Sei H = L2 = L2 (Ω) und V ein linearer Teilraum des H 1 = H 1 (Ω) mit Ω ⊂ Rd . Wir nehmen an, dass die Bilinearform a(·, ·) symmetrisch und koerzitiv auf V ist, d. h. a(v, v) ≥ αv21

∀v ∈ V

mit α > 0

gilt. Dann ist ein ϕ ∈ V , ϕ = 0 und λ ∈ R zu bestimmen, f¨ ur das (6.8)

a(ϕ, v) = λ(ϕ, v) ∀v ∈ V

erf¨ ullt ist. Dabei bezeichnet (·, ·) das Skalarprodukt in H = L2 . Beachten Sie, dass a(·, ·) ein Skalarprodukt in V ist.

6.1 Entwicklung nach Eigenfunktionen

83

Der Einfachheit halber werden wir den konkreten Fall (6.5) mit dem durch (6.7) definierten Skalarprodukt a(·, ·) betrachten. Wir fordern den Leser auf zu u ufen, dass die von uns vorgestellte Theorie mit minimalen Nota¨berpr¨ tionsver¨anderungen tats¨achlich auf das allgemeinere Eigenwertproblem (6.8) anwendbar ist. Wir beginnen mit einigen allgemeinen, einfachen Eigenschaften von Eigenwerten und Eigenfunktionen. Theorem 6.1. Die Eigenwerte von (6.5) sind positiv. Zwei Eigenfunktionen, die zu verschiedenen Eigenwerten geh¨oren, sind in L2 und H01 orthogonal. Beweis. Sei λ ein Eigenwert und ϕ die zugeh¨ orige Eigenfunktion. Dann gilt λϕ2 = λ (ϕ, ϕ) = a(ϕ, ϕ), woraus sofort λ > 0 folgt. Seien λ1 und λ2 zwei verschiedene Eigenwerte und ϕ1 und ϕ2 die zugeh¨ origen Eigenfunktionen. Dann ist λ1 (ϕ1 , ϕ2 ) = a(ϕ1 , ϕ2 ) = a(ϕ2 , ϕ1 ) = λ2 (ϕ2 , ϕ1 ) = λ2 (ϕ1 , ϕ2 ), sodass (λ1 − λ2 )(ϕ1 , ϕ2 ) = 0 ist. Wegen λ1 = λ2 folgt daraus (ϕ1 , ϕ2 ) = 0 und somit auch a(ϕ1 , ϕ2 ) = 0.

⊔ ⊓

Als ersten Schritt werden wir die Existenz eines Eigenwertes, und zwar die eines kleinsten Eigenwertes, zeigen. Dieser Eigenwert wird durch (6.9) λ1 = inf a(v, v) : v ∈ H01 , v = 1 mit a(v, v) = ∇v2

charakterisiert. Die Gleichung (6.9) kann auch in der als Rayleigh-RitzCharakterisierung des Haupteigenwertes bezeichneten Form ∇v2 v =0 v2

λ1 = inf

geschrieben werden, was aus ∇(αv)2 = α2 ∇v2 folgt. Da f¨ ur einen beliebigen Eigenwert λ und die zugeh¨ orige Eigenfunktion ϕ die Gleichung ∇ϕ2 = a(ϕ, ϕ) = λ (ϕ, ϕ) = λϕ2 gilt, schlussfolgern wir λ ≥ λ1 , sodass λ1 eine untere Schranke f¨ ur die Eigenwerte ist. Theorem 6.2. Das Infimum in (6.9) wird durch eine Funktion ϕ1 ∈ H01 angenommen. Diese Funktion ist eine Eigenfunktion von (6.5) und λ1 der zugeh¨orige Eigenwert.

84

6 Das elliptische Eigenwertproblem

Beweis. Wir werden den Beweis der ersten Behauptung des Theorems auf das Ende dieses Abschnittes verschieben und annehmen, dass das Infimum durch ϕ1 ∈ H01 erreicht wird, also λ1 = ∇ϕ1 2 und ϕ1 = 1 gilt. Wir zeigen nun, ort, also dass ϕ1 eine Eigenfunktion von (6.5) ist, die zum Eigenwert λ1 geh¨ (6.10)

a(ϕ1 , v) = λ1 (ϕ1 , v)

∀v ∈ H01 .

Beachten Sie, dass f¨ ur eine beliebige reelle Zahl α a(ϕ1 + αv, ϕ1 + αv) = λ1 + 2α a(ϕ1 , v) + α2 a(v, v) und ϕ1 + αv2 = 1 + 2α (ϕ1 , v) + α2 v2 gilt. Da das Verh¨ altnis der beiden Normen durch λ1 f¨ ur alle α von unten beschr¨ankt ist, gilt λ1 + 2αa(ϕ1 , v) + α2 a(v, v) ≥ λ1 + 2λ1 α (ϕ1 , v) + λ1 α2 v2 oder

2α a(ϕ1 , v) − λ1 (ϕ1 , v) + α2 a(v, v) − λ1 v2 ≥ 0.

Nun nehmen wir an, dass (6.10) nicht erf¨ ullt ist, sodass der Koeffizient von α = 0 ist. Wenn wir dann |α| klein und das Vorzeichen so w¨ ahlen, dass der erste Term negativ ist, erhalten wir einen Widerspruch. ⊔ ⊓ Aus Theorem 6.2 wissen wir also, dass mindestens eine Eigenfunktion ϕ1 existiert. Wir wiederholen nun die obigen Betrachtungen im Teilraum V1 von V = H01 , der aus Funktionen besteht, die bez¨ uglich (·, ·) orthogonal zu ϕ1 sind. Beachten Sie, dass diese Funktionen dann auch bez¨ uglich a(·, ·) orthogonal zu ϕ1 sind, da a(v, ϕ1 ) = λ1 (v, ϕ1 ) = 0 gilt. Wir betrachten also λ2 = inf a(v, v) : v ∈ V, v = 1, (v, ϕ1 ) = 0 (6.11) = inf ∇v2 : v ∈ H01 , v = 1, (v, ϕ1 ) = 0 .

Offensichtlich gilt λ2 ≥ λ1 , da das Infimum hier u ¨ber eine kleinere Menge von Funktionen v als in (6.9) gebildet wird. Wie oben kann man zeigen, dass das Infimum angenommen wird. Wir bezeichnen die Minimalfunktion als ϕ2 (auf die Frage der Existenz von ϕ2 werden wir sp¨ ater zur¨ uckkommen), die dann a(ϕ2 , ϕ2 ) = ∇ϕ2 2 = λ2 ,

ϕ2 = 1,

(ϕ1 , ϕ2 ) = 0

erf¨ ullt. Um zu beweisen, dass ϕ2 eine Eigenfunktion ist, zeigen wir genau wie oben zun¨achst a(ϕ2 , v) = λ2 (ϕ2 , v)

f¨ ur alle v ∈ H01 mit (v, ϕ1 ) = 0.

6.1 Entwicklung nach Eigenfunktionen

85

Wir k¨onnen uns davon u ur alle Funktionen ¨ berzeugen, dass die Gleichung f¨ v ∈ H01 und nicht nur f¨ ur die zu ϕ1 orthogonalen gilt, indem wir beachten, dass jedes v ∈ H01 in der Form v = αϕ1 + w

mit α = (v, ϕ1 ) und (w, ϕ1 ) = 0

geschrieben werden kann. Deshalb bleibt nur noch zu zeigen, dass a(ϕ2 , ϕ1 ) = λ2 (ϕ2 , ϕ1 ) ist. Dies folgt aber sofort aus (ϕ2 , ϕ1 ) = 0 und a(ϕ2 , ϕ1 ) = 0. Fahren wir auf diese Weise fort, erhalten wir eine nichtfallende Folge von orige Folge von Eigenfunktionen {ϕj }∞ Eigenwerten {λj }∞ j=1 , j=1 und eine zugeh¨ die paarweise orthogonal zueinander sind und die L2 -Norm 1 besitzen, sodass (6.12)

λn = a(ϕn , ϕn ) = inf a(v, v) : v ∈ H01 , v = 1, (v, ϕj ) = 0, j = 1, . . . , n − 1

gilt. Beachten Sie, dass der Prozess nicht nach einer endlichen Anzahl von Schritten abbricht. Denn wenn aus (v, ϕj ) = 0, j = 1, . . . , n − 1 die Gleichung v = 0 folgen w¨ urde, dann w¨ are L2 endlichdimensional, was nat¨ urlich nicht zutrifft. Man kann folgendes Theorem zeigen. ur Theorem 6.3. Sei λn der n-te Eigenwert von (6.5). Es gilt λn → ∞ f¨ n → ∞. Den Beweis dieses Theorems verschieben wir ebenfalls auf sp¨ ater. Eine Folgerung aus diesem Theorem ist, dass eine Zahl in der nichtfallenden Folge {λj }∞ j=1 nur endlich viele Male auftreten kann. Gilt λn−1 < λn = λn+1 = ... = λn+m−1 < λn+m , dann sagen wir, dass der Eigenwert λn die Vielfachheit m besitzt. Die Menge der Linearkombinationen En von ϕn , ..., ϕn+m−1 bildet dann einen endlichdimensionalen linearen Raum der Dimension m, d. h. den zu λn geh¨ orenden Eigenraum. F¨ ur v ∈ En gilt daher −∆v = λn v. Wir merken an, dass der erste Eigenwert oder Haupteigenwert λ1 ein einfacher Eigenwert ist, sodass λ2 > λ1 gilt, und dass die Haupteigenfunktion ϕ1 nach einem m¨oglichen Vorzeichenwechsel positiv in Ω gew¨ ahlt werden kann. Um die Beweisf¨ uhrung zu skizzieren, schreiben wir ϕ1 = ϕ = ϕ+ − ϕ− , wobei ϕ± = max(±ϕ, 0) ist. Man kann zeigen, dass im Falle ϕ ≥ 0 ϕ± ∈ H01 und ∇ϕ+ = ∇ϕ und im Falle ϕ < 0 ∇ϕ+ = 0 gilt, sodass a(ϕ+ , ϕ− ) = (∇ϕ+ , ∇ϕ− ) = 0 ist. Es gilt folglich ∇ϕ± 2 = λ1 ϕ± 2 , da anderenfalls λ1 = ∇ϕ2 = ∇ϕ+ 2 + ∇ϕ− 2 > λ1 ϕ+ 2 + ϕ− 2 = λ1 ϕ2 = λ1

w¨are, was ein Widerspruch ist. Somit erf¨ ullen ϕ± die Gleichung −∆ϕ± = ± + + λ1 ϕ . Dann ist aber −∆ϕ = λ1 ϕ ≥ 0, und aus dem starken Maximumprinzip folgt ϕ+ > 0 in Ω oder ϕ+ = 0 in Ω, sodass ϕ1 > 0 in Ω oder ϕ1 < 0 in Ω ist. Außerdem folgt, dass λ1 ein einfacher Eigenwert ist, da es nicht zwei orthogonale Eigenfunktionen mit konstantem Vorzeichen geben kann.

86

6 Das elliptische Eigenwertproblem

Wir wenden uns nun der Frage zu, wie Eigenfunktionen zur Reihenentwicklung anderer Funktionen benutzt werden k¨ onnen und betrachten den Fall eines allgemeinen Hilbert-Raumes H. Sei {ϕj }∞ j=1 eine Orthonormalfolge, d. h. eine Folge, f¨ ur die 1 f¨ ur i = j, (ϕi , ϕj ) = δij = 0 f¨ ur i = j gilt. Eine solche Folge wird als eine Orthonormalbasis (oder vollst¨ andige orthonormale Menge) bezeichnet, wenn jedes v in H beliebig gut durch eine Linearkombination von Elementen der Folge approximiert werden kann. Das bedeutet, dass f¨ ur jedes ǫ > 0 eine ganze Zahl N und reelle Zahlen a1 , . . . , aN existieren, f¨ ur die N aj ϕ j < ǫ v − j=1

gilt. Beachten Sie, dass es ausreicht, dies f¨ ur Funktionen v aus einer dichten Teilmenge M von H zu zeigen. Sei also v ∈ H. Die Aussage, dass M eine dichte Teilmenge von H ist, bedeutet, dass man ein w ∈ M finden kann, f¨ ur das v − w < ǫ/2 gilt. Deshalb ist es hinreichend, eine Linearkombination zu finden, sodass N aj ϕj < ǫ/2 w − j=1

gilt, weil dann folgende Absch¨atzung gilt:

N N aj ϕj < ǫ. − a ϕ ≤ v − w + − v w j j j=1

j=1

Lemma 6.1. Sei {ϕj }∞ j=1 eine orthonormale Menge in H. Dann ist die beste Approximation von v ∈ H durch eine Linearkombination der ersten N N Funktionen ϕj durch vN = j=1 (v, ϕj )ϕj gegeben.

Beweis. F¨ ur beliebige a1 , ..., aN gilt

N N N 2 2 = v − 2 a (v, ϕ ) + a2j a ϕ v − j j j j j=1

j=1

= v2 +

N j=1

j=1

N 2 aj − (v, ϕj ) − (v, ϕj )2 ,

woraus sich sofort das gesuchte Resultat ergibt.

j=1

⊔ ⊓

Weil die linke Seite nichtnegativ ist, erhalten wir, insbesondere f¨ ur aj = (v, ϕj ),

6.1 Entwicklung nach Eigenfunktionen N j=1

87

(v, ϕj )2 ≤ v2 .

Da dies f¨ ur jedes N gilt, schließen wir auf die Besselsche Ungleichung ∞ j=1

(v, ϕj )2 ≤ v2 .

Wenn {ϕj }∞ j=1 eine Orthonormalbasis ist, dann muss der Fehler in der besten Approximation f¨ ur N → ∞ gegen null gehen, sodass (6.13)

N N 2 2 (v, ϕj )2 → 0 f¨ ur N → ∞ (v, ϕj )ϕj = v − v − j=1

j=1

gilt. Dies ist a¨quivalent zur Parsevalschen Gleichung ∞ j=1

(v, ϕj )2 = v2 .

Folglich bildet die orthonormale Menge {ϕj }∞ j=1 genau dann eine Orthonormalbasis von H, wenn die Parsevalsche Gleichung f¨ ur alle v in H gilt (oder f¨ ur alle v in einer dichten Teilmenge von H). Kommen wir auf den Fall H = L2 zur¨ uck, gilt folgendes Theorem. Theorem 6.4. Die Eigenfunktionen {ϕj }∞ j=1 von (6.5) bilden eine Orthonormalbasis des L2 . Wenn dar¨ uber hinaus v ∈ H01 ist, gilt (6.14)

a(v, v) =

∞ j=1

λj (v, ϕj )2 < ∞

mit a(v, v) = ∇v2 .

Umgekehrt gilt: Wenn die Summe konvergiert, dann ist v ∈ H01 und es gilt (6.14). Beweis. Aus der obigen Diskussion folgt, dass es ausreicht, die G¨ ultigkeit von ur ein solches v (6.13) f¨ ur alle v in H01 zu zeigen. Wir werden beweisen, dass f¨ (6.15)

N −1/2 (v, ϕj )ϕj ≤ CλN +1 v − j=1

gilt, was dann mit Theorem 6.3 den Beweis des Theorems vervollst¨ andigt. Zum Beweis von (6.15) setzen wir rN = v − N (v, ϕ )ϕ . Dann gilt j j j=1 ur j = 1, ..., N , sodass (rN , ϕj ) = 0 f¨

∇rN 2 ≥ inf ∇v2 : v ∈ H01 , v = 1, (v, ϕj ) = 0, j = 1, . . . , N = λN +1 2 rN

88

6 Das elliptische Eigenwertproblem

und somit

−1/2

rN ≤ λN +1 ∇rN ist. Nun reicht es aus zu zeigen, dass die Folge ∇rN beschr¨ ankt ist. Da aber ∇rN 2 = a(rN , rN ) = a(v, v) − 2 = a(v, v) −

N j=1

N

(v, ϕj )a(v, ϕj ) +

N

(v, ϕj )2 a(ϕj , ϕj )

j=1

j=1

λj (v, ϕj )2 ≤ a(v, v) = ∇v2

gilt, ist der Beweis vollst¨ andig.

⊔ ⊓

Aus (6.12) folgt unmittelbar λn =

(6.16)

min

(v,ϕj )=0, j=1,...,n−1

a(v, v) . v2

Dies wiederum impliziert das folgende Min-Max-Prinzip. Theorem 6.5. Es gilt λn = min max

(6.17)

Vn v∈Vn

a(v, v) , v2

uber alle Teilr¨aume des H01 mit endlicher Dimension n geht. wobei Vn ¨ Beweis. Sei En der n-dimensionale Teilraum der Linearkombinationen v = n j=1 αj ϕj von Eigenfunktionen ϕ1 , . . . , ϕn . Dann gilt offensichtlich

n 2 a(v, v) j=1 αj λj = λn , = max max n 2 α1 ,...,αn v∈En v2 j=1 αj

wobei das Maximum bei ϕn angenommen wird. Es bleibt deshalb zu zeigen, dass f¨ ur jedes Vn der Dimension n max

v∈Vn

a(v, v) ≥ λn v2

ist. Um uns davon zu u ahlen wir w ∈ Vn so, dass ¨berzeugen, w¨ (w, ϕj ) = 0 f¨ ur j = 1, . . . , n − 1 gilt. Wenn {ψj }nj=1 eine Basis f¨ ur Vn ist, dann kann ein solches w = aus dem linearen Gleichungssystem (w, ϕj ) =

n l=1

αl (ψl , ϕj ) = 0,

j = 1, . . . , n − 1

n

j=1

αj ψj

6.1 Entwicklung nach Eigenfunktionen

89

bestimmt werden, das eine von null verschiedene L¨ osung besitzt, weil die Anzahl der Gleichungen kleiner als n ist. Aus (6.16) folgt a(w, w) ≥ λn , w2

was den Beweis von (6.17) abschließt.

⊔ ⊓

Eine Konsequenz dieses Resultates besteht darin, dass die Eigenwerte monoton von dem zugrunde liegenden Gebiet abh¨ angen. Genauer gesagt, gilt ˜ ≤ λn (Ω) f¨ ˜ ist und die zugeh¨ ur alle n, wenn Ω ⊂ Ω origen Eigenwerλn (Ω) ˜ sind. Und zwar gilt, nachdem wir die Funktionen in te λn (Ω) und λn (Ω) ˜ \ Ω fortgesetzt haben, H01 (Ω) ⊂ H01 (Ω) ˜ und folglich H01 (Ω) durch Null in Ω wird das Minimum im Ausdruck f¨ ur λn (Ω) in (6.17) u ¨ber eine kleinere Menge ˜ Daher ist das letztere von n-dimensionalen R¨ aumen gebildet als f¨ ur λn (Ω). Minimum mindestens so klein. Wir kommen nun auf die mathematischen Feinheiten zu sprechen, die wir vorhin aufgeschoben haben. F¨ ur deren Behandlung sind wir auf das Konzept der Kompaktheit angewiesen, das wir zun¨ achst kurz besprechen. Wir sagen, dass eine Menge M in einem Hilbert-Raum H (mit Norm · ) pr¨akompakt ist, wenn jede unendliche Folge {un }∞ n=1 ⊂ M eine konvergente ¯∈H Teilfolge enth¨alt, d. h. wenn eine Teilfolge {unj }∞ j=1 und ein Element u existieren, sodass (6.18)

unj − u ¯ → 0 f¨ ur j → ∞

gilt. Aus der elementaren Analysis wissen wir beispielsweise, dass eine beschr¨ankte, unendliche Folge reeller Zahlen pr¨ akompakt ist (Theorem von Bolzano-Weierstrass). Die Menge M wird als kompakt bezeichnet, wenn sie auch abgeschlossen ist, d. h. wenn der Limes u ¯ in (6.18) immer zu M geh¨ ort. Weiter unten ben¨ otigen wir das folgende Resultat f¨ ur H01 = H01 (Ω) mit Ω ⊂ Rd , dessen Beweis jedoch u ¨ber den Umfang dieses Buches hinausgeht. Lemma 6.2. (Rellich-Lemma.) Eine beschr¨ankte Teilmenge M von H 1 ist in L2 pr¨akompakt. 1 ur n ≥ 1 eine Folglich existiert im Falle {un }∞ n=1 ⊂ H und un 1 ≤ C f¨ ∞ ¯ ∈ L2 , f¨ ur die (6.18) in der L2 -Norm erf¨ ullt ist. Teilfolge {unj }j=1 und ein u Wir werden dies nun zum Beweis der ersten Behauptung aus Theorem 6.2 verwenden. Diese besagt, dass das Infimum in (6.9) in H01 angenommen wird. Dazu nehmen wir eine Folge {un }∞ ur die n=1 , f¨

(6.19)

∇un 2 = a(un , un ) → λ1

und un = 1 f¨ ur n → ∞

gilt, was nach Definition des Infimums m¨ oglich ist. Dann ist {un }∞ n=1 offen1 sichtlich in H beschr¨ ankt. Nach Lemma 6.2 k¨ onnen wir deshalb eine Teilfolge

90

6 Das elliptische Eigenwertproblem

ausw¨ahlen, die gegen ein Element ϕ1 ∈ L2 konvergiert. Wir k¨ onnen annehmen, dass {un }∞ n=1 selbst diese Teilfolge ist, und somit un − ϕ1 → 0 gilt, wobei wir bei Bedarf die Notation ¨ andern. 1 Wir wollen nun zeigen, dass {un }∞ n=1 in H0 konvergiert. Nach einer kurzen Zwischenrechnung erhalten wir ∇(un − um )2 = 2∇un 2 + 2∇um 2 − 4 12 ∇(un + um )2

(die Parallelogrammidentit¨ at), und nach Definition von λ1 ist 12 ∇(un + um )2 ≥ λ1 12 (un + um )2 .

Es gilt also (6.20)

∇(un − um )2 ≤ 2∇un 2 + 2∇um 2 − 4λ1 12 (un + um )2 .

ur n, m → ∞, und wegen un = 1 Offensichtlich gilt 12 (un + um ) → ϕ1 f¨ auch ϕ1 = 1. Also geht die rechte Seite von (6.20) mit (6.19) gegen null, 1 sodass {un }∞ n=1 eine Cauchy-Folge in H0 ist, d. h. es gilt ∇(un − um ) → 0 1 f¨ ur m, n → ∞. Da H0 ein Hilbert-Raum ist, konvergiert die Folge somit gegen ein Element von H01 , das dann dasselbe sein muss wie der Grenzwert in L2 , also ϕ1 . Insbesondere gilt ∇ϕ1 2 = λ1 , was zeigt, dass ϕ1 das Minimum in (6.9) realisiert. Der Beweis der Behauptung, dass das Infimum in (6.11) angenommen wird, verl¨ auft analog. Und zwar gilt f¨ ur eine Minimalfolge {un }∞ n=1 , die gegen ein ϕ2 in L2 konvergiert und die Nebenbedingungen in (6.11) erf¨ ullt, wegen ( 12 (un + um ), ϕ1 ) = 0 nun auch (6.20), wobei λ1 durch λ2 ersetzt wurde. Wir ultigkeit von schlussfolgern, dass un in H01 gegen ϕ2 konvergiert und die G¨

ϕ2 = 1,

(ϕ2 , ϕ1 ) = 0,

∇ϕ2 2 = λ2 .

Schließlich geben wir noch den Beweis von Theorem 6.3 an. Dazu wir gehen wir davon aus, dass das Resultat nicht gilt, sodass ∇ϕn 2 = λn ≤ C

f¨ ur n ≥ 1

ist. Dann enth¨alt {ϕn }∞ n=1 wegen der Kompaktheit allerdings eine Teilfolge , die in L konvergiert. Da {ϕn }∞ {ϕnj }∞ 2 n=1 aber orthonormal ist, gilt j=1 ϕi − ϕj 2 = ϕ1 2 + ϕ2 2 = 2 f¨ ur i = j, sodass keine konvergente Teilfolge existieren kann. Wie bereits erw¨ ahnt, ist die Theorie f¨ ur das allgemeinere Eigenwertproblem (6.8) analog. Indiesem Fall gelten beispielsweise die Theoreme 6.4 und 6.5 mit a(v, w) = Ω a ∇v · ∇w + c vw dx und H01 anstelle von V . Insbesondere ist

6.1 Entwicklung nach Eigenfunktionen

91

a |∇v|2 + c v 2 dx . λ1 = min Ω v∈V v 2 dx Ω

Wir schließen mit zwei Beispielen ab, f¨ ur die wir das Eigenwertproblem explizit l¨osen k¨onnen. Beispiel 6.1. Sei Ω = (0, b) ⊂ R. Das Problem (6.5) reduziert sich dann auf −u′′ = λu

(6.21)

in Ω

mit u(0) = u(b) = 0.

Hier k¨onnen wir die Eigenfunktionen und Eigenwerte leicht explizit bestimmen. Und zwar lautet die allgemeine L¨ osung der Differentialgleichung (6.21) √ √ u = C1 sin( λx) + C2 cos( λx) mit λ > 0. √ Aus den Randbedingungen ergibt sich C2 = 0 und λb = nπ. Folglich sind origen Eigenwerte λn = die Eigenfunktionen {sin(nπx/b)}∞ n=1 und die zugeh¨ von Eigenfunkn2 π 2 /b2 . Nach Normierung erhalten wir als Orthonormalbasis tionen in L2 (Ω) also die Funktionen ϕn (x) = 2/b sin(nπx/b), n = 1, 2, . . . . Wir weisen insbesondere darauf hin, dass die Eigenwerte mit wachsendem b abnehmen.

Beispiel 6.2. Sei Ω = (0, b) × (0, b). Wir betrachten das Eigenwertproblem −∆u = λu

in Ω

mit u = 0 auf Γ.

Dann ist mit λn und ϕn wie in Beispiel 6.1 leicht zu u ufen, dass die ¨ berpr¨ Produkte ϕm (x1 )ϕl (x2 ), m, l = 1, 2, . . . Eigenfunktionen sind, die zu den Eioren. Um uns davon zu u genwerten λml = (m2 + l2 )π 2 /b2 geh¨ ¨ berzeugen, dass dies alle Eigenfunktionen sind, reicht es aus, die Parsevalsche Gleichung 2 v(x)2 dx v(x)ϕm (x1 )ϕl (x2 ) dx = (6.22) m,l

Ω

Ω

zu zeigen. Unter Verwendung der Parsevalschen Gleichung in x2 gilt aber 1 1 v(x1 , x2 )ϕl (x2 ) dx2 . wl (x1 )2 , wl (x1 ) = v(x1 , x2 )2 dx2 = (6.23) 0

0

l

Wenden wir die Parsevalsche Gleichung auf wl (x1 ) an, so erhalten wir 1 (wl , ϕm )2 wl (x1 )2 dx1 = (6.24)

0

m

=

m

0

1

0

1

v(x1 , x2 )ϕm (x1 )ϕl (x2 ) dx

2

.

92

6 Das elliptische Eigenwertproblem

Wir integrieren (6.23) bez¨ uglich x1 und setzen (6.24) ein, was auf (6.22) f¨ uhrt. Dies zeigt, dass die Zahlen λml = (m2 + l2 )π 2 /b2 die in wachsender Reihenfolge angeordneten Eigenwerte sind, wobei mehrfache Eigenwerte wiederholt werden. Um die Wachstumsrate der Eigenwerte λn mit steigendem n zu bestimmen, stellen wir fest, dass die Anzahl der Eigenwerte mit λn ≤ ρ2 gleich der Anzahl der Gitterpunkte (mπ/b, lπ/b) in der Kreisscheibe Dρ = {x21 + x22 ≤ ρ2 } ist. Da die Anzahl Nρ solcher Gitterpunkte gleich der Anzahl der Gitterquadrate mit dem Fl¨ acheninhalt π 2 /b2 ist, die in Dρ passen, gilt Nρ ≈ ρ2 b2 /π. Folglich gilt f¨ ur ein zu λml geh¨ orendes λn die Gleichung λn = λml ≈ ρ2 ≈ πNρ /b2 ≈ πn/b2 . Da jedes Gebiet Ω ⊂ R2 ein Quadrat enth¨ alt und wiederum in einem anderen Quadrat enthalten ist, folgt aus der Monotonie der Eigenwerte, dass f¨ ur jedes Gebiet Ω positive Konstanten c und C existieren, f¨ ur die cn ≤ λn ≤ Cn gilt. In d Dimensionen ist die zugeh¨orige Ungleichung cn2/d ≤ λn ≤ Cn2/d .

6.2 Numerische L¨ osung des Eigenwertproblems Wir werden zun¨achst das eindimensionale Eigenwertproblem (6.1) (6.25)

Aϕ := −(aϕ′ )′ + cϕ = λϕ

in Ω = (0, 1) mit ϕ(0) = ϕ(1) = 0

betrachten, wobei a und c glatte Funktionen mit a(x) ≥ a0 und c(x) ≥ 0 ¯ sind. Zur Formulierung einer finiten Differenzendiskretisierung verauf Ω wenden wir die Notation aus Abschnitt 4.1, die auf den Gitterpunkten xj = jh, j = 0, . . . , M mit h = 1/M und Uj ≈ u(xj ) basiert, und betrachten das endlichdimensionale Eigenwertproblem (6.26)

¯ j+1/2 ∂Uj ) + cj Uj = ΛUj , Ah Uj := − ∂(a U0 = UM = 0

j = 1, . . . , M − 1,

mit cj = c(xj ) und aj+1/2 = a(xj + h/2). Die Gleichung an den inneren Gitterpunkten xj kann dann in der Form −(aj+1/2 Uj+1 + (aj+1/2 + aj−1/2 )Uj − aj−1/2 Uj−1 )/h2 + cj Uj = ΛUj geschrieben werden. Mit der tridiagonalen (M − 1) × (M − 1)-Matrix A und ¯ = (U1 , . . . , UM −1 ) ∈ dem zu den inneren Gitterpunkten geh¨orenden Vektor U M −1 R schreiben wir die Gleichung (6.26) als das Matrix-Eigenwertproblem ¯ = ΛU ¯. AU Zur Analyse f¨ uhren wir ein diskretes Skalarprodukt und eine Norm ein: (V, W )h = h

M j=0

Vj W j

1/2

und V h = (V, V )h

6.2 Numerische L¨ osung des Eigenwertproblems

93

Wie man leicht sieht, ist der Operator Ah symmetrisch bez¨ uglich dieses Skalarproduktes und wegen (Ah U, U )h = h

M −1

Ah Uj Uj = h

j=1

M −1

aj+1/2 (∂Uj )2 + h

j=0

M −1

cj Uj2

j=1

positiv definit. Es ist zu erwarten, dass die Eigenwerte des diskreten Problems (6.26) (oder der Matrix A) diejenigen des kontinuierlichen Eigenwertproblems (6.25) approximieren. Wir werden dies lediglich f¨ ur den Haupteigenwert Λ1 zeigen. Theorem 6.6. Seien Λ1 und λ1 die kleinsten Eigenwerte von (6.26) und (6.25). Dann gilt |Λ1 − λ1 | ≤ Ch2 . Beweis. Wir f¨ uhren den Beweis nur f¨ ur c = 0 und u ¨berlassen den allgemeinen Fall der Problemstellung 6.4. Sei U ∈ RM +1 beliebig mit U0 = UM = 0, und ¯ die zugeh¨orige, st¨ sei u ˜ = Ih U ∈ C(Ω) uckweise lineare Interpolierte. Dann gilt λ1 ≤

(6.27)

a(˜ u, u ˜) . ˜ u 2

Wegen u ˜′ = ∂Uj in (xj , xj+1 ) gilt unter Verwendung von a ≥ a0 > 0 in Ω a(˜ u, u ˜) =

M −1 xj+1

a dx (∂Uj )2 ≤ h

xj

j=0

≤ (Ah U, U )h (1 + Ch2 ).

M −1

(aj+1/2 + Ch2 )(∂Uj )2

j=0

Weiter ergibt sich durch eine kurze Rechnung ˜ u 2 =

M −1

h−2

xj

j=0

= 13 h

xj+1

M −1

2 (xj+1 − x)Uj + (x − xj )Uj+1 dx

2 (Uj2 + Uj Uj+1 + Uj+1 )

j=0

und wegen U0 = UM = 0 (6.28)

U 2h

=

1 2h

M −1

2 (Uj2 + Uj+1 ).

j=0

Somit gilt wegen aj+1/2 ≥ a0 , cj ≥ 0 U 2h − ˜ u2 = 16 h

M −1 j=0

(Uj − Uj+1 )2 = 16 h3

M −1 j=0

(∂Uj )2 ≤ Ch2 (Ah U, U )h

94

6 Das elliptische Eigenwertproblem

oder U 2h ≤ ˜ u2 + Ch2 (Ah U, U )h . Wird daher U als ein zu Λ1 geh¨ orender Eigenvektor mit U h = 1 gew¨ ahlt, dann gilt f¨ ur kleines h

Λ1 (1 + Ch2 ) (Ah U, U )h (1 + Ch2 ) a(˜ u, u ˜) ≤ Λ1 + Ch2 = ≤ 2 2 2 1 − CΛ1 h2 U h − Ch (Ah U, U )h ˜ u

und wegen (6.27) λ1 ≤ Λ1 + Ch2 .

(6.29)

Zum Beweis der gegenteiligen Ungleichung stellen wir fest, dass f¨ ur ein glattes u und f¨ ur ein als Restriktion von u auf die Gitterpunkte definiertes U (Ah U, U )h = a(u, u) + O(h2 )

und U 2h = u2 + O(h2 ) f¨ ur h → 0

gilt. In der zweiten Beziehung haben wir benutzt, dass wegen U0 = UM = 0 die 1 Gleichung (6.28) die trapezoide Quadraturregel zweiter Ordnung f¨ ur 0 u2 dx ist. Mit der Haupteigenfunktion des kontinuierlichen Problems u = ϕ1 gilt insbesondere Λ1 ≤

a(ϕ1 , ϕ1 ) + Ch2 (Ah U, U )h ≤ λ1 + Ch2 ≤ 2 ϕ1 − Ch2 U h

f¨ ur kleines h.

Zusammen mit (6.29) vervollst¨ andigt dies den Beweis.

⊔ ⊓

Betrachten wir nun das Eigenwertproblem (6.30)

−∆u = λu

in Ω

mit u = 0 auf Γ,

wobei Ω ⊂ R2 ist. Sei λn der n-te Eigenwert und ϕn die zugeh¨ orige Eigenfunktion. Falls Ω das Quadrat (0, 1)×(0, 1) ist, k¨ onnen wir die in Kapitel 4 definierte F¨ unfpunkt-Approximation −∆h benutzen und das diskrete Eigenwertproblem −∆h u = Λu

in Ω

mit u = 0 auf Γ

stellen. Dies kann wie unser obiges eindimensionales Problem behandelt werden, ist allerdings weniger interessant, weil die Eigenwerte von (6.30) direkt bestimmt werden k¨ onnen, wie wir in Beispiel 6.2 gesehen haben. Wenn Ω ein allgemeineres Gebiet mit einem gekr¨ ummten, glatten Rand Γ ist, stoßen wir wie bei dem in Kapitel 4 diskutierten Dirichlet-Problem auf Schwierigkeiten, die dadurch hervorgerufen werden, dass sich das gleichm¨ aßige Gitter nicht an das Gebiet anpasst. Die Analyse wird deshalb umst¨ andlich und wir werden sie hier nicht weiter fortf¨ uhren. In diesem Fall ist die Methode der finiten Elemente mit ihrer gr¨ oßeren Flexibilit¨ at besser geeignet. Wir werden eine elementare Darstellung einiger

6.2 Numerische L¨ osung des Eigenwertproblems

95

einfacher Resultate angeben. Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass Ω ⊂ R2 ein konvexes Gebiet mit glattem Rand Γ ist und bezeichnen mit {Sh } eine Familie von R¨aumen stetiger, st¨ uckweise linearer Funktionen auf regul¨ aren orige diskrete Eigenwertproblem lautet dann Triangulationen Th . Das zugeh¨ (6.31)

a(uh , χ) = λ(uh , χ)

∀χ ∈ Sh ,

wobei a(v, w) = (∇v, ∇w) ist.

h Mithilfe der Basis {Φi }M i=1 von Pyramidenfunktionen aus Abschnitt 5.2 und den positiv definiten Matrizen A und B mit den Elementen aij = (∇Φi , ∇Φj ) beziehungsweise bij = (Φi , Φj ) kann dieses Problem in Matrixform als

(6.32)

A U = λB U

geschrieben werden. Beachten Sie, dass im Gegensatz zum finiten Differenzenverfahren, die Matrix B nicht diagonal ist. Nichtsdestotrotz besitzt das h Eigenwertproblem (6.31) oder (6.32) positive Eigenwerte {λn,h }M n=1 und orMh thogonale Eigenfunktionen {ϕn,h }n=1 . In diesem Fall gelten zun¨ achst die folgenden Fehlerabsch¨ atzungen f¨ ur die Eigenwerte. Theorem 6.7. Seien λn,h und λn die n-ten Eigenwerte von (6.31) und (6.30). Dann existieren Konstanten C und h0 (abh¨angig von n), sodass (6.33)

λn ≤ λn,h ≤ λn + Ch2

f¨ ur h ≤ h0

gilt. Beweis. Wegen des Min-Max-Prinzips ist λn = min 1 max Vn ⊂H0 v∈Vn

∇v2 , v2

dim Vn = n.

Ebenso gilt (6.34)

λn,h = min max

Vn ⊂Sh χ∈Vn

∇χ2 , χ2

dim Vn = n.

Wegen Sh ⊂ H01 wird das Minimum im letzten Ausdruck u ¨ber eine kleinere Menge von Teilr¨aumen genommen als im vorhergehenden und ist folglich mindestens so groß, was die erste Ungleichung des Theorems beweist. Zum Beweis der zweiten Ungleichung beachten wir, dass mit dem durch ϕ1 , . . . , ϕn und En,h = Rh En aufgespannten Raum En mit der Ritzschen Projektion Rh (6.35)

λn,h ≤ max

χ∈En,h

∇v2 ∇Rh v2 ∇χ2 ≤ max = max v∈En Rh v2 v∈En Rh v2 χ2

gilt, weil ∇Rh v ≤ ∇v ist. Denn Nenner k¨ onnen wir durch Rh v ≥ v − Rh v − v

96

6 Das elliptische Eigenwertproblem

absch¨atzen. Hier gilt f¨ ur v ∈ En unter Verwendung des Theorems 5.5 und der Regularit¨atsabsch¨ atzung (3.36) Rh v − v ≤ Ch2 v2 ≤ Ch2 ∆v ≤ Ch2 λn v ≤ Ch2 v, wobei wir benutzt haben, dass n fest ist. Somit ist Rh v ≥ v(1 − Ch2 ) und es folgt aus (6.35) f¨ ur kleines h λn,h ≤ max

v∈En

∇v2 (1 + Ch2 ) ≤ λn + Ch2 , v2

was den Beweis vervollst¨ andigt.

⊔ ⊓

Eine Eigenschaft, die manchmal f¨ ur Finite-Elemente-R¨ aume {Sh } benutzt wird, ist die sogenannte inverse Ungleichung (6.36)

∇χ ≤ Ch−1 χ f¨ ur χ ∈ Sh .

Insbesondere ist diese f¨ ur st¨ uckweise lineare Finite-Elemente-R¨ aume, die auf einer quasiuniformen Familie von Triangulationen {Th } basieren, g¨ ultig (siehe Problemstellung 6.6). Wenn diese Ungleichung gilt, folgt unmittelbar aus (6.34), dass f¨ ur den gr¨ oßten Eigenwert (6.37)

λMh ,h = max

χ∈Sh

∇χ2 ≤ Ch−2 χ2

gilt. Man kann auch Fehlerabsch¨atzungen f¨ ur die Eigenfunktionen ableiten. Wir f¨ uhren dies lediglich f¨ ur den ersten Eigenwert aus, da wir die Schwierigkeiten vermeiden wollen, die bei h¨oherer Vielfachheit der Eigenwerte auftreten. Theorem 6.8. Seien ϕ1,h und ϕ1 normierte Eigenfunktionen, die zu den Haupteigenwerten von (6.31) beziehungsweise (6.30) geh¨oren. Dann gilt ϕ1,h − ϕ1 ≤ Ch2

(6.38) und (6.39)

∇ϕ1,h − ∇ϕ1 ≤ Ch.

Beweis. Wir entwickeln Rh ϕ1 in diskrete Eigenfunktionen Rh ϕ1 =

Mh j=1

aj ϕj,h ,

wobei aj = (Rh ϕ1 , ϕj,h )

6.3 Problemstellungen

97

und schlussfolgern aus der Parsevalschen Gleichung Rh ϕ1 − a1 ϕ1,h 2 =

(6.40)

Mh

a2j .

j=2

Unter Verwendung von (6.31) erhalten wir λj,h aj = λj,h (Rh ϕ1 , ϕj,h ) = a(Rh ϕ1 , ϕj,h ) = a(ϕ1 , ϕj,h ) = λ1 (ϕ1 , ϕj,h ) und hieraus (λj,h − λ1 )aj = λ1 (ϕ1 − Rh ϕ1 , ϕj,h ). Verwenden wir die erste Ungleichung in (6.33) und die Tatsache, dass λ1 ein einfacher Eigenwert ist, gilt λjh − λ1 ≥ λ2 − λ1 > 0 f¨ ur j ≥ 2 und wir k¨ onnen Mh j=2

a2j

≤

Mh j=2

2 λ1 (ϕ1 − Rh ϕ1 , ϕj,h )2 ≤ CRh ϕ1 − ϕ1 2 ≤ Ch4 λj,h − λ1

schlussfolgern, sodass wegen (6.40) Rh ϕ1 − a1 ϕ1,h ≤ Ch2 gilt. Deshalb ist (6.41)

a1 ϕ1,h − ϕ1 ≤ Rh ϕ1 − ϕ1 + Rh ϕ1 − a1 ϕ1,h ≤ Ch2 ,

und folglich m¨ ussen wir noch a1 ϕ1,h −ϕ1,h = |a1 −1| absch¨ atzen. Wir k¨ onnen annehmen, dass das Vorzeichen von ϕ1,h so gew¨ ahlt wurde, dass a1 ≥ 0 erf¨ ullt ist. Dann gilt aufgrund der Dreiecksungleichung und (6.41) |a1 − 1| = a1 ϕ1,h − ϕ1 ≤ a1 ϕ1,h − ϕ1 ≤ Ch2 , was den Beweis von (6.38) abschließt. Wir kommen nun zum Fehler im Gradienten. Unter Verwendung von (6.31) und den bereits definierten Fehlerschranken gilt ∇ϕ1,h − ∇ϕ1 2 = ∇ϕ1,h 2 − 2(∇ϕ1,h , ∇ϕ1 ) + ∇ϕ1 2

= λ1,h − 2λ1 (ϕ1,h , ϕ1 ) + λ1 = λ1,h − λ1 + λ1 ϕ1,h − ϕ1 2 ≤ Ch2 ,

was (6.39) zeigt und somit den Beweis des Theorems vervollst¨ andigt.

⊔ ⊓

6.3 Problemstellungen Problem 6.1. Betrachten Sie das Problem (6.1). (a) Zeigen Sie, dass mit den Funktionen a(x) und c(x) alle zugeh¨ origen Eigenwerte wachsen.

98

6 Das elliptische Eigenwertproblem

(b) Bestimmen Sie die Eigenwerte, wenn a(x) und c(x) auf Ω konstant sind. (c) Zeigen Sie, dass f¨ ur gegebene Funktionen a(x) und c(x) Konstanten k1 und k2 existieren, f¨ ur die 0 < k1 n2 ≤ λn ≤ k2 n2 gilt. Problem 6.2. Betrachten Sie den Laplace-Operator in Kugelsymmetrie (siehe Problemstellung 1.4). Dann lautet das zugeh¨ orige Eigenwertproblem 1 d 2 dϕ = λϕ f¨ ur 0 < r < 1 mit ϕ(1) = 0, ϕ(0) endlich. r − 2 dr r dr

Beweisen Sie, dass f¨ ur die Eigenfunktionen ϕj von (6.2), die zu verschiedenen oren, Eigenwerten λi und λj geh¨ 1 1 ϕi (r)ϕj (r) r 2 dr = ϕ′i (r)ϕ′j (r) r 2 dr = 0 0

0

{ϕi }∞ i=1

gilt, d. h. dass eine orthogonale Menge in L2 (r 2 dr; (0, 1)) ist, n¨amlich die Menge der auf (0, 1) bez¨ uglich des Maßes r 2 dr quadratintegrablen Funktionen. Beweisen Sie außerdem, dass geeignet normierte Funktionen ϕi eine Orthonormalbasis f¨ ur L2 (r 2 dr; (0, 1)) bilden. Problem 6.3. (a) Verwenden Sie ein ¨ ahnliches Argument wie in Theorem 6.4, um zu zeigen, dass v ∈ H 2 ∩ H01

genau dann gilt, wenn

∞ i=1

λ2i (v, ϕi )2 < ∞ ist.

(b) Zeigen Sie −∆v =

∞ i=1

λi (v, ϕi )ϕi ,

∆v2 =

∞

λ2i (v, ϕi )2

i=1

f¨ ur v ∈ H 2 ∩ H01 .

Problem 6.4. Beweisen Sie Theorem 6.6 f¨ ur den allgemeinen Fall, dass die Funktion c(x) ≥ 0 nicht notwendigerweise verschwindet. Problem 6.5. Zeigen Sie, dass f¨ ur den gr¨ oßten Eigenwert von (6.26) ΛM −1 ≤ CM 2 gilt, wobei C von M unabh¨ angig ist. Problem 6.6. Zeigen Sie die inverse Ungleichung (6.36) f¨ ur st¨ uckweise lineare Finite-Elemente-Funktionen, die auf der Familie {Th } quasiuniformer Triangulationen eines ebenen Gebietes basieren (siehe (5.52)). Hinweis: F¨ uhren Sie eine affine Transformation x = Aˆ x + b des Dreiecks K auf ein festes Referenzˆ mit Einheitsgr¨ dreieck K oße aus (siehe Problemstellung A.15) und verwenden Sie die Tatsache, dass die Normen · L2 (K) ˆ und · H 1 (K) ˆ auf dem endlichaquivalent sind. dimensionalen Raum Π1 ¨

6.3 Problemstellungen

99

Problem 6.7. Sei G die Greensche Funktion in (3.18) aus Abschnitt 3.4 und ∞ seien {λj }∞ j=1 und {ϕj }j=1 die Eigenwerte und normierten Eigenfunktionen von (6.5) wie in Theorem 6.4. Zeigen Sie G(x, y) =

∞ j=1

λ−1 j ϕj (x)ϕj (y).

7 Anfangswertprobleme fu ohnliche ¨ r gew¨ Differentialgleichungen

Als Vorbereitung auf die Analyse von Anfangswertproblemen f¨ ur parabolische und hyperbolische Differentialgleichungen werden wir in diesem Kapitel einige Fakten zu linearen Differentialgleichungen und deren numerischer Simulation wiederholen. Wir beginnen in Abschnitt 7.1 mit dem kontinuierlichen Problem und fahren in Abschnitt 7.2 mit der numerischen L¨ osung solcher Probleme durch Time-Stepping fort.

7.1 Das Anfangswertproblem fu ¨ r lineare Systeme Wir betrachten zun¨ achst das Anfangswertproblem f¨ ur die lineare Differentialgleichung erster Ordnung (7.1)

u′ + au = f (t) f¨ ur t > 0 mit u(0) = v,

wobei a eine Konstante, f (t) eine gegebene glatte Funktion und v eine gegebene Zahl ist. Aus der elementaren Analysis ist uns bekannt, dass dieses ost werden Problem durch Multiplikation mit dem Integrationsfaktor eat gel¨ kann, was auf (eat u)′ = eat f (t) und damit auf

at

e u(t) = v +

t

eas f (s) ds

0

oder (7.2)

u(t) = e−at v +

t

e−a(t−s) f (s) ds

0

f¨ uhrt. Wir betrachten nun das entsprechende Problem f¨ ur ein Gleichungssystem

102

7 Anfangswertprobleme f¨ ur gew¨ ohnliche Differentialgleichungen

u′i +

N

aij uj = fi (t),

i = 1, . . . , N f¨ ur t > 0,

j=1

ui (0) = vi ,

i = 1, . . . , N.

F¨ uhren wir den Spaltenvektor u = (u1 , . . . , uN )T und analog dazu die Vektoren f¨ ur f (t) und v sowie die Matrix A = (aij ) ein, kann dieses in der Form u′ + Au = f (t) f¨ ur t > 0 mit u(0) = v

(7.3)

geschrieben werden. Wir wollen nun die obige L¨ osungsmethode im skalaren Fall auf die L¨ osung des System (7.3) verallgemeinern. Dazu definieren wir zun¨ achst die Exponentialfunktion einer N × N -Matrix B = (bij ) mithilfe der Reihenentwicklung eB = exp(B) =

∞ 1 j B , j! j=0

wobei B 0 = I die Einheitssmatrix ist. Diese Definition basiert auf der MacLaurinschen Entwicklung von ex . Man kann leicht zeigen, dass die Reihe f¨ ur eine beliebige Matrix B konvergiert. Wir weisen darauf hin, dass f¨ ur zwei kommutierende N × N -Matrizen B1 und B2 , d. h. mit B1 B2 = B2 B1 , die Gleichung eB1 +B2 = eB1 eB2 = eB2 eB1

(7.4)

erf¨ ullt ist. Weil B1 und B2 kommutieren, gilt j

j B1l B2j−l (B1 + B2 ) = l j

l=0

und somit formal e

B1 +B2

j j

∞ ∞ 1 1 j B1l B2j−l B1l B2j−l = = l!(j − l)! l j! j=0 j=0 l=0

l=0

=

∞ ∞ l=0

1 Bl Bm l! m! 1 2 m=0

∞ ∞ 1 l 1 m B = eB1 eB2 . B = l! 1 m=0 m! 2 l=0

F¨ ur nicht kommutierende B1 und B2 ist beispielsweise (B1 + B2 )2 = B12 + B1 B2 + B2 B1 + B22 = B12 + 2B1 B2 + B22 . F¨ ur die Ableitung der Matrix e−tA gilt ∞

∞

1 d 1 j d −At tj−1 (−A)j = −Ae−tA t (−A)j = e = (j − 1)! dt j=0 j! dt j=1

7.1 Das Anfangswertproblem f¨ ur lineare Systeme

103

und folglich erf¨ ullt u(t) = e−tA v die Gleichung (7.5)

ur t > 0 mit u(0) = v. u′ + Au = 0 f¨

Die Multiplikation mit e−tA kann deshalb als ein Operator E(t), genauer als L¨osungsoperator von (7.5), betrachtet werden, der die Anfangswerte v dieses Problems in die L¨ osung zur Zeit t transformiert, sodass u(t) = E(t)v = e−tA v gilt. Beachten Sie, dass wegen (7.4) E(t + s) = e−(t+s)A = e−tA e−sA = E(t)E(s) ist, was als Halbgruppeneigenschaft von E(t) bezeichnet wird. Beachten Sie auch, dass auch folgt, dass A mit E(t) kommutiert, also AE(t) = E(t)A ist. Zur L¨osung der inhomogenen Gleichung (7.3) multiplizieren wir die Gleichung mit etA und erhalten etA (u′ + Au) = etA f (t) f¨ ur t > 0. Dies kann in der Form

d tA (e u) = etA f (t) dt geschrieben werden. Durch Integration folgt hieraus t tA e u(t) = v + esA f (s) ds. 0

Multiplizieren wir dies mit e−tA und verwenden wir (7.4), so erhalten wir die zu (7.2) analoge Formel t −tA e−(t−s)A f (s) ds. (7.6) u(t) = e v+ 0

Als Funktion des oben eingef¨ uhrten L¨ osungsoperators kann dies auch als t E(t − s)f (s) ds (7.7) u(t) = E(t)v + 0

ausgedr¨ uckt werden. Wir weisen darauf hin, dass der Integrand E(t − s)f (s) die L¨osung an der Stelle t − s der homogenen Gleichung in (7.5) mit den Anfangsdaten f (s) ist. Das Integral kann deshalb als Superposition der L¨ osungen dieser Anfangswertprobleme betrachtet werden. Gleichung (7.7) wird h¨ aufig als Duhamel-Prinzip bezeichnet. In einigen F¨allen kann das System (7.3) auf eine endliche Anzahl skalarer Gleichungen des Typs (7.1) reduziert werden. Um uns hiervon zu u ¨berzeugen, nehmen wir an, dass A eine solche Gestalt hat, dass eine Diagonalmatrix Λ und eine nichtsingul¨ are Matrix P existiert, dass A in der Form A = P ΛP −1 geschrieben werden kann. Wir k¨ onnen dann die neue abh¨ angige Variable w =

104

7 Anfangswertprobleme f¨ ur gew¨ ohnliche Differentialgleichungen

P −1 u und den Quellterm g = P −1 f einf¨ uhren und stellen fest, dass Gleichung (7.3) nach Multiplikation mit P −1 die Form ur t > 0 mit w(0) = P −1 v w′ + Λw = g(t) f¨ annimmt. Mit den Diagonalementen λi von Λ k¨ onnen wir dies als ur t > 0 wi′ + λi wi = gi (t) i = 1, . . . , N f¨ schreiben. Diese Gleichungen k¨ onnen nun einzeln gel¨ ost werden. Die L¨ osung unseres Problems bestimmen wir aus u = P w. Die Annahme, dass A wie oben in eine Diagonalmatrix transformiert werden kann, ist beispielsweise erf¨ ullt, wenn A symmetrisch (oder selbstadjunur alle i, j, und es gilt A = P ΛP T , wobei P giert) ist. Dies bedeutet aij = aji f¨ eine orthogonale Matrix mit P T = P −1 ist. In jedem Falle sind die Elemente von Λ die Eigenwerte von A. Die Methode ist anwendbar, wenn A genau N linear unabh¨angige Eigenvektoren besitzt. F¨ ur große N ist dies nicht unbedingt eine gute Methode f¨ ur praktische Berechnungen, da die Diagonalisierung von A rechenaufwendig sein kann. Wir werden nun kurz untersuchen, wie sich die L¨ osungen f¨ ur große t verhalten und uns auf den Fall beschr¨ anken, dass A symmetrisch ist. Sei also A = P ΛP T mit einer Orthogonalmatrix P und einer Diagonalmatrix Λ, deren Diagonaleintr¨ age die reellen Eigenwerte λj von A sind. Erinnern wir uns daran, dass die j-te Spalte von P der zu λj geh¨ orende Eigenvektor ist. Dann gilt wegen P T P = P P T = I e−tA =

∞ 1 (−P ΛP T )j tj = P e−tΛ P T , j! j=0

wobei e−tΛ die Diagonalmatrix mit den Elementen e−tλj ist. Es sei daran erinnert, dass im Falle einer Matrix die Matrixnorm von der symmetrischen 2 1/2 Euklidischen Norm |v| = ( N v ) von v ∈ RN induziert wird. Damit gilt i=1 i |A| = sup |Av| = max |λj |. j

|v|=1

Wegen |P | = |P T | = 1 schlussfolgern wir, dass mit dem kleinsten Eigenwert λ1 von A |E(t)| = |e−tA | = max e−tλj = e−tλ1 j

gilt. Sind insbesondere alle λj ≥ 0, d. h. ist A positiv semidefinit, dann bestimmen wir aus (7.7) die Stabilit¨ atsabsch¨ atzung t |f (s)| ds f¨ ur t ≥ 0. |u(t)| ≤ |v| + 0

Wenn analog dazu A positiv definit ist, sodass λ1 > 0 ist, dann gilt

7.1 Das Anfangswertproblem f¨ ur lineare Systeme

|u(t)| ≤ e−tλ1 |v| +

0

t

105

e−(t−s)λ1 |f (s)| ds f¨ ur t ≥ 0.

Wir sagen, dass das System in diesen beiden F¨ allen (7.5) stabil beziehungsweise asymptotisch stabil ist. Wenn A jedoch einen negativen Eigenwert besitzt, ur t → ∞, und wir sagen dann, dass das System instabil ist. gilt |e−tA | → ∞ f¨ Im stabilen Fall bleibt die Differenz zwischen zwei L¨ osungen u1 (t) und u2 (t) klein, wenn die Anfangswerte v1 und v2 und die Quellterme f1 (t) und f2 (t) nahe beieinander liegen. Genauer gilt, da die Differenz u1 − u2 eine L¨osung des Systems mit der rechten Seite f1 − f2 und den Anfangswerten v1 − v2 ist, t |f1 (s) − f2 (s)| ds f¨ ur t ≥ 0. |u1 (t) − u2 (t)| ≤ |v1 − v2 | + 0

Im asymptotisch stabilen Fall gilt analog t |u1 (t) − u2 (t)| = e−tλ1 |v1 − v2 | + e−(t−s)λ1 |f1 (s) − f2 (s)| ds f¨ ur t ≥ 0 0

was insbesondere zeigt, dass der Einfluss der Anfangswerte und der Werte der Quellterme zur Zeit s f¨ ur t → ∞ exponentiell f¨ allt. Die oben eingef¨ uhrte Analyse ist nicht anwendbar, wenn die Matrix A in (7.3) von t abh¨ angt. Um dies zu illustrieren, betrachten wir die skalare Gleichung u′ + a(t)u = f (t) f¨ ur t > 0 mit u(0) = v. t ′ Sei a(t) = 0 a(s) ds, sodass a (t) = a(t) gilt. Folgen wir dann denselben Schritten wie oben, erhalten wir t e−(ea(t)−ea(s)) f (s) ds. u(t) = e−ea(t) v + 0

t t−s a(t − s) Weil im Allgemeinen aber a(t) − a(s) = s a(τ ) dτ = 0 a(τ ) dτ = ist, gilt das Analogon von (7.7) nicht. Stattdessen k¨ onnen wir diesmal (7.8) u(t) = E(t, 0)v+

t

0

t E(t, s)f (s) ds, with E(t, s) = exp − a(τ ) dτ s

schreiben. F¨ ur das Anfangswertproblem des linearen Systems u′ + A(t)u = f (t) f¨ ur t > 0 mit der Matrix A(t) kann man zeigen, dass die L¨ osung wiederum wie in (7.8) geschrieben werden kann. Die Matrix E(t, s) wird dann im Allgemeinen aber eine kompliziertere Form annehmen. Man kann sie als einen Operator betrachten, der den Wert der L¨ osung der homogenen Gleichung u′ + A(t)u = 0 zur

106

7 Anfangswertprobleme f¨ ur gew¨ ohnliche Differentialgleichungen

Zeit s in den Wert zur Zeit t u uhrt, sodass u(t) = E(t, s)u(s) gilt. Wenn ¨berf¨ A(t) = A unabh¨angig von t ist, dann h¨angt E(t, s) nur von der Differenz t − s und von E(t, s) = E(t − s) = e−(t−s)A ab. Wir werfen einen fl¨ uchtigen Blick auf die allgemeine Theorie der gew¨ ohnlichen Differentialgleichungen, indem wir das m¨ oglicherweise nichtlineare skalare Anfangswertproblem (7.9)

u′ = f (t, u) f¨ ur t > 0 mit u(0) = v

betrachten, bei dem f nun eine glatte Funktion von t und u ist. Die Gleichung gibt die Richtung der Tangente der L¨ osungskurve an jedem Punkt an, wobei die Kurve durch die Punkte (t, u(t)) ∈ R2 definiert ist. Um zu zeigen, dass eine L¨osung existiert, die an der Stelle u(0) = v beginnt, die also eine durch (0, v) verlaufende L¨osungskurve u(t) besitzt, kann man das Euler-Verfahren verwenden. Dieses besteht darin, die L¨osung durch eine polygonale Kurve folgendermaßen zu approximieren: Sei k ein kleiner Zeitschritt und sei tn = nk, n = 0, 1, . . .. Dann wird die Approximation U n von u(tn ) sukzessive durch (7.10)

U n − U n−1 = f (tn−1 , U n−1 ) k

f¨ ur n ≥ 1

oder U n = U n−1 + kf (tn−1 , U n−1 )

f¨ ur n ≥ 1 mit U 0 = v

definiert. Dies bedeutet, wenn wir an der Stelle (tn−1 , U n−1 ) starten, dann folgen wir der durch die Differentialgleichung in (7.9) definierten Tangentialrichtung und benutzen den Wert an der Stelle t = tn als Approximation von u an diesem Punkt. Die approximierte L¨ osung ist dann die stetige, st¨ uckweise lineare Funktion, die den Wert U n an der Stelle tn annimmt. Damit kann man zeigen, dass die so definierten Kurven f¨ ur k → 0 gegen eine Grenzkurve konvergieren, und dass es sich dabei um die gesuchte L¨ osung von (7.9) handelt. F¨ ur die Details verweisen wir auf ein Buch u ohnliche Differentialglei¨ ber gew¨ chungen. Eine andere Methode zur L¨ osung von (7.9), die Picard-Methode, wird in Problemstellung 7.4 diskutiert. Wir werfen nun einen kurzen Blick auf Systeme zweiter Ordnung und beginnen mit dem einfachen skalaren Problem (7.11)

u′′ + au = 0 f¨ ur t > 0 mit u(0) = v,

u′ (0) = w,

a > 0.

Es ist bekannt und leicht zu u ufen, dass die L¨ osung dieses Problems ¨ berpr¨

√ √ 1 u(t) = cos( at)v + √ sin( at)w a

f¨ ur t ≥ 0

lautet. Wir kommen nun zu der Verallgemeinerung auf ein System

7.2 Numerische L¨ osung gew¨ ohnlicher Differentialgleichungen

(7.12)

u′′ + Au = 0 f¨ ur t > 0 mit u(0) = v,

107

u′ (0) = w,

wobei u nun ein N -Vektor und A eine symmetrische, positiv definite N × N √ T A als die positiv definite Matrix , k¨ o nnen wir Matrix ist. Gilt A = P ΛP √ √ P ΛP T definieren, wobei Λ die Diagonalmatrix mit den positiven Quadratwurzeln der Eigenwerte von A als Hauptdiagonalemente ist. Beachten Sie, dass √ A dieselben Eigenvektoren wie A besitzt. Wenden wir die Euler-Formeln zur Definition von cos(B) und sin(B) f¨ ur die N × N -Matrix B an, ist also

cos B =

1 iB e + e−iB , 2

sin B =

1 iB e − e−iB , 2i

so stellen wir leicht fest, dass die L¨ osung von (7.12) √ √ −1 √ (7.13) u(t) = cos(t A)v + ( A) sin(t A)w

f¨ ur t ≥ 0

ist. Sind {ϕj }N j=1 die normierten Eigenvektoren von A zu den Eigenwerten N {λj }j=1 und vj = (v, ϕj ) sowie wj = (w, ϕj ) die Komponenten von v und w in Richtung von ϕj (hier (v, w) = v T w), dann gilt uj (t) = (u(t), ϕj ) = cos(

1 λj t)vj + sin( λj t)wj λj

f¨ ur j = 1, . . . , N.

Diese Komponenten variieren also mit steigendem t periodisch. Insbesondere geht u(t) nicht gegen null, wenn t unendlich wird, im Gegensatz zu der Situation in (7.5) mit symmetrischem, positiv definitem A. Eine andere M¨oglichkeit zur Behandlung eines Systems zweiter Ordnung besteht darin, es durch Einf¨ uhrung einer neuen abh¨angigen Variable auf eines erster Ordnung zu reduzieren. Wir setzen daher nun in Gleichung (7.12) U = (U1 , U2 )T = (u, u′ )T und erhalten das System erster Ordnung U1′ − U2 = 0, v f¨ u r t > 0 mit U (0) = . w U2′ + AU1 = 0 Die L¨ osung lautet (7.14)

0 I v U (t) = exp t −A 0 w

f¨ ur t ≥ 0.

Es ist leicht zu erkennen, dass daraus (7.13) folgt (siehe Problemstellung 7.7).

7.2 Numerische Lo ¨sung gewo ¨hnlicher Differentialgleichungen Das soeben beschriebene Euler-Verfahren kann auch zur numerischen L¨osung des Anfangswertproblems (7.3) verwendet werden. Auch f¨ ur gew¨ohnliche Gleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten sind numerische Methoden von

108

7 Anfangswertprobleme f¨ ur gew¨ ohnliche Differentialgleichungen

Bedeutung, da e−tA unter Umst¨ anden nicht sehr leicht zu berechnen ist, wenn die Dimension N groß ist. Beginnen wir mit dem Modellproblem ur t > 0 mit u(0) = v. u′ + au = 0 f¨ In diesem Falle liefert das Euler-Verfahren (7.10) f¨ ur die approximative L¨ osung U n an der Stelle tn = nk U n = (1 − ak)U n−1 = (1 − ak)n v. (Bei der numerischen Analyse wird dieses Verfahren als Vorw¨arts-Euler-Verartsfahren bezeichnet, weil die Ableitung an der Stelle tn−1 durch den Vorw¨ ur eine feste Zeit t = tn Differenzenquotienten (U n − U n−1 )/k ersetzt wird.) F¨ finden wir t n ur n → ∞, U n = 1 − a v → e−at v f¨ n sodass die numerische L¨ osung f¨ ur k → 0 so gegen die exakte L¨ osung konvergiert, dass nk = t konstant gehalten wird. Wir diskutieren nun die Gr¨ oße des Fehlers und betrachten den Fall a ≥ 0, in dem die Differentialgleichung stabile L¨ osungen besitzt. Wir w¨ ahlen nun k so klein, dass 1 − ak ≥ −1 oder k ≤ 2/a gilt. Dann gilt

ur n ≥ 0, |U n | = |(1 − ak)n v| ≤ |v| f¨ sodass die numerische L¨ osung auch stabil ist. Beachten Sie, dass die Forderung ak ≤ 2 bedeutet, dass f¨ ur große a der Zeitschritt k ≤ 2/a gew¨ ahlt werden muss. Wenn k groß ist, dann w¨ achst U n mit n, im Gegensatz zum Verhalten der exakten L¨osung der Differentialgleichung. Es gilt U n − u(tn ) = (1 − ak)n v − (e−ak )n v

n−1 = (1 − ak) − e−ak (1 − ak)j e−(n−1−j)ak v. j=0

Nach der MacLaurinschen Formel findet man leicht |1 − x − e−x | ≤ 12 x2

f¨ ur x ≥ 0

und somit n

|U − u(tn )| ≤

1 2 2 2a k

n−1 j=0

|v| = 12 nka2 k|v| = ( 21 tn a2 )k|v| = C(tn , a)k|v|,

sodass der Fehler f¨ ur k → 0 auf jedem endlichen Zeitintervall in O(k) ist. Da das vorhergehende Resultat nur unter der Stabilit¨ atsbedingung ak ≤ 2 g¨ ultig ist, werden wir nun ein alternatives Verfahren betrachten, das diesen

7.2 Numerische L¨ osung gew¨ ohnlicher Differentialgleichungen

109

Nachteil nicht besitzt, n¨ amlich das R¨ uckw¨arts-Euler-Verfahren bei der der Differenzenquotient in die R¨ uckw¨ artsrichtung genommen wird, sodass U n durch U n − U n−1 + aU n = 0 k

f¨ ur n ≥ 1 mit U 0 = v

definiert ist. Diesmal gilt Un =

1 1 v, U n−1 = (1 + ak)n 1 + ak

und im Falle a ≥ 0 gilt die Stabilit¨ atsschranke |U n | ≤ |v| f¨ ur n ≥ 0, unabh¨ angig von der Gr¨ oße von k und a. Nun gilt U n − u(tn ) =

(7.15)

1 1 e−(n−1−j)ak v. − e−ak j (1 + ak) 1 + ak j=0 n−1

Hier ist

(7.16)

1 − e−x ≤ 2x2 1+x

f¨ ur x ≥ 0,

sodass nun ohne jede Einschr¨ ankung f¨ ur k

|U n − u(tn )| ≤ 2tn a2 k |v| = C(tn , a)k|v| gilt. Aus numerischen Gr¨ unden w¨ are es w¨ unschenswert, in der Fehlerschranke eine h¨ohere Potenz von k als die erste zu erhalten. Dieser Wunsch motiviert das Crank-Nicolson-Verfahren,

U n + U n−1 U n − U n−1 = 0 f¨ ur n ≥ 1 mit U 0 = v, +a 2 k

woraus sich Un =

1 − 12 ak n−1 1 − 12 ak n v = U 1 + 12 ak 1 + 12 ak

ergibt. Hier gilt f¨ ur jedes k und n die Stabilit¨ atseigenschaft |U n | ≤ |v| f¨ ur n ≥ 0. Wegen 1 − 1x −x 2 ur x ≥ 0 − e ≤ x3 f¨ 1 + 12 x

gilt

1 − 1 ak n−1 1 − 1 ak j −(n−1−j)ak −ak 2 2 e v − e |U n − u(tn )| = 1 + 12 ak 1 + 12 ak j=0 ≤ a3 k 3

n−1 j=0

|v| = tn a3 k2 |v| = C(tn , a)k2 |v|.

110

7 Anfangswertprobleme f¨ ur gew¨ ohnliche Differentialgleichungen

Der Fehler geht nun mit O(k 2 ) anstatt mit O(k) gegen null. Bei allen obigen Fehlerabsch¨atzungen wachsen die Konstanten auf der rechten Seite mit a. Wir werden nun zeigen, dass bei Verwendung des R¨ uckw¨arts-Euler-Verfahrens eine Fehlerschranke aufgestellt werden kann, die unabh¨angig von a ist. Dies ist g¨ unstig, wenn a sehr groß werden kann. Wir werden nun |U n − u(tn )| ≤ Ct−1 n k|v|

(7.17)

zeigen, wobei C unabh¨ angig von a und tn ist. F¨ ur festes, positives tn = t zeigt dies die gleichm¨aßige Konvergenz von der Ordnung O(k) in a. Zum Beweis von (7.17) betrachten wir zun¨ achst ak ≥ 1. Dann ist (7.18)

|U n | =

1 |v| ≤ 2−n |v|. (1 + ak)n

F¨ ur ein geeignetes C1 gilt aber 2−n ≤ C1 /n = C1 t−1 n k. Zudem ist |u(tn )| = e−nak |v| ≤ e−n |v| ≤ C2 n−1 |v| = C2 t−1 n k|v|, sodass (7.17) wegen der Dreiecksungleichung erf¨ ullt ist. Um den Fall ak ≤ 1 zu behandeln, stellen wir fest, dass f¨ ur ein geeignetes γ mit 0 < γ ≤ 1 1 ≤ e−γx f¨ ur 0 ≤ x ≤ 1 1+x gilt, sodass 1 ≤ e−γjak (1 + ak)j

ist. Somit erhalten wir unter Verwendung von (7.15) und (7.16) |U n − u(tn )| ≤ 2a2 k2 γ 2

n−1

e−γjak e−γ(n−1−j)ak = 2a2 k2 ne−γ(n−1)ak

j=0

≤ 2e a tn e−tn γa k ≤ C3 t−1 n k

mit C3 = 2 eγ sup x2 e−γx . x≥0

Insgesamt vervollst¨ andigt diese Absch¨ atzung den Beweis von (7.17). Diese Eigenschaft trifft auf das Crank-Nicolson-Verfahren nicht zu, da das ur ak gegen unAnalogon von (7.18) nicht gilt, weil |(1 − 12 ak)/(1 + 12 ak)| f¨ endlich gegen eins geht.

Die gerade beschriebene strenge Stabilit¨ atseigenschaft f¨ ur das R¨ uckw¨ artsEuler-Verfahren ist n¨ utzlich, wenn Systeme der Form

7.2 Numerische L¨ osung gew¨ ohnlicher Differentialgleichungen

u′ + Au = f (t)

111

f¨ ur t > 0

behandelt werden, bei denen A eine symmetrische, positiv definite N × N Matrix ist, die nicht gut konditioniert ist, d. h. die ein großes Verh¨ altnis zwischen dem gr¨oßten und kleinsten Eigenwert hat. Ein solches System wird als steifes gew¨ohnliches Differentialgleichungssystem bezeichnet. Das R¨ uckw¨ artsEuler-Verfahren ist in diesem Fall durch die Gleichungen (7.19)

(I + kA)U n = U n−1 + kf (tn ) f¨ ur n ≥ 1 mit U 0 = v

definiert, und wir m¨ ussen somit in jedem Zeitschritt ein Gleichungssystem l¨osen. Wir bezeichnen dieses Verfahren deshalb als implizit. Dies steht im Gegensatz zu dem expliziten Vorw¨arts-Euler-Verfahren (7.20)

U n = (I − kA)U n−1 + kf (tn−1 ) f¨ ur n ≥ 1 mit U 0 = v,

das allerdings die bereits beschriebenen Nachteile hinsichtlich der Stabilit¨ at besitzt. Das System (7.19) kann in der Form U n = (I + kA)−1 U n−1 + k(I + kA)−1 f (tn )

f¨ ur n ≥ 1

geschrieben werden und wir stellen fest, dass im Falle einer symmetrischen, positiv definiten Matrix A (7.21)

|(I + kA)−1 | = max j

1 1 < 1 f¨ ur jedes k > 0 = 1 + kλ1 1 + kλj

gilt, wobei λ1 der kleinste Eigenwert von A ist. Somit gilt f¨ ur das homogene System, d. h. im Falle f = 0, |U n | = −n |(I + kA) v| → 0 f¨ ur n → ∞. Die numerische L¨ osung reproduziert also das asymptotische Verhalten der Differentialgleichungen. Andererseits gilt f¨ ur die in (7.20) auftretende Matrix |I − kA| = max |1 − kλj |, j

was nur dann kleiner eins ist, wenn 1 − kλN > −1 gilt, d. h. wenn k < 2/λN w¨are. Dies k¨onnte eine sehr einschr¨ankende Bedingung sein, da λN der gr¨ oßte Eigenwert von A ist. Im Falle eines Gleichungssystems kann das Crank-Nicolson-Verfahren in der Form (I + 12 kA)U n = (I − 12 kA)U n−1 + kf (tn−1/2 )

mit tn−1/2 = (n − 1/2)k oder in der Form U n = (I + 12 kA)−1 (I − 12 kA)U n−1 + k(I + 12 kA)−1 f (tn−1/2 )

geschrieben werden. Es ist also ein implizites Verfahren. Hier ist f¨ ur alle k

112

7 Anfangswertprobleme f¨ ur gew¨ ohnliche Differentialgleichungen

1 − 1 kλ j 2 |(I + 12 kA)−1 (I − 12 kA)| = max < 1. j 1 + 12 kλj

Wie bereits erw¨ ahnt, geht die Norm mit einem festen k f¨ ur λmax → ∞ gegen eins, was weniger zufriedenstellend als (7.21) ist. Wir schließen mit einer kurzen Diskussion numerischer Methoden f¨ ur das Anfangswertproblem der skalaren Gleichung (7.11) zweiter Ordnung. Wir ersetzen die zweite Ableitung zun¨ achst durch einen symmetrischen Differenzenquotienten und erhalten U n+1 − 2U n + U n−1 + aU n = 0 f¨ ur n ≥ 1 k2

und verwenden beispielsweise die Anfangsbedingungen U0 = v

U1 − U0 = w. k

Die Differenzengleichung kann auch als (7.22)

U n+1 − 2µU n + U n−1 = 0 mit µ = 1 − ak 2 /2

geschrieben werden. Sie besitzt die charakteristische Gleichung τ 2 − 2µτ + 1 = 0. osung von (7.22) von Wenn deren Wurzeln τ1,2 verschieden sind, dann ist die L¨ der Form (7.23)

U n = c1 τ1n + c2 τ2n ,

ur |µ| < 1, wobei c1 und c2 durch die Anfangsbedingungen bestimmt sind. F¨ d. h. f¨ ur ak2 < 4, sind die Wurzeln verschieden und es gilt |τ1 | = |τ2 | = 1, sodass die Stabilit¨ at f¨ ur |U n | ≤ C(|v| + |w|)

f¨ ur n ≥ 0

gegeben ist. Ist dagegen |µ| > 1 oder ak 2 > 4, dann gilt |τ1 | > 1 und |τ2 | < 1. In diesem Fall w¨ achst die allgemeine L¨ osung von (7.22) exponentiell. Wenn wir stattdessen das implizite Verfahren U n+1 − 2U n + U n−1 + a U n+1 = 0 k2

f¨ ur n ≥ 1

betrachten, dann wird die charakteristische Gleichung mit ν = 1 + ak 2 zu ντ 2 − 2τ + 1 = 0. Die Wurzeln sind nun f¨ ur jede Wahl von k und a betragsm¨aßig kleiner als eins und die Stabilit¨ at ist gesichert. Dieses Verfahren ist jedoch wegen der

7.3 Problemstellungen

113

fehlenden Symmetrie der Differenzenapproximation in der Genauigkeit nur von erster Ordnung. Das Verfahren

1 1 1 U n+1 − 2U n + U n−1 ur n ≥ 1 U n+1 + U n + U n−1 U n+1 = 0 f¨ +a 2 4 2 4 k

ist von der Genauigkeit her zweiter Ordnung und f¨ ur jedes k und a stabil, weil die charakteristische Gleichung τ 2 − 2κτ + 1 = 0 mit κ = (1 − 14 ak2 )/(1 + 14 ak2 )

verschiedene Wurzeln mit |τ1 | = |τ2 | = 1 besitzt.

7.3 Problemstellungen Problem 7.1. L¨ osen Sie das Anfangswertproblem 12 1 ′ u (t) = u(t) f¨ ur t > 0 mit u(0) = . 21 2 ¨ am Rechner.) Bestimmen Sie f¨ ur Problemstellung 7.1 Problem 7.2. (Ubung eine approximative L¨ osung an der Stelle t = 1 mithilfe des Vorw¨arts- und R¨ uckw¨arts-Euler-Verfahrens sowie des Crank-Nicolson-Verfahrens f¨ ur k = 1/10, 1/100. Vergleichen Sie diese mit der exakten L¨osung. Problem 7.3. L¨ osen Sie das Anfangswertproblem 1 1 2t u′ (t) = . u(t) f¨ ur t > 0 mit u(0) = 0 2t 1 Problem 7.4. (Picard-Methode.) Beweisen Sie die Existenz der L¨osungen von (7.9) folgendermaßen: Zeigen Sie zun¨ achst, dass eine L¨osung des Anfangswertproblems (7.9) die Integralgleichung t f (s, u(s)) ds =: T (u)(t) u(t) = v + 0

erf¨ ullt, und dass umgekehrt eine L¨ osung dieser Integralgleichung eine L¨osung von (7.9) ist. Angenommen, die stetige Funktion f (t, u) erf¨ ullt eine globale Lipschitz-Bedingung in der zweiten Variable, d. h. |f (t, v) − f (t, w)| ≤ K|v − w| ∀v, w ∈ R, 0 ≤ t ≤ a. Zeigen Sie, dass die durch u0 (t) = v,

un+1 (t) = T (un )(t) f¨ ur n ≥ 0,

definierte Folge un , n = 0, 1, . . . die Gleichung

114

7 Anfangswertprobleme f¨ ur gew¨ ohnliche Differentialgleichungen

|un+1 (t) − un (t)| ≤ CK n an+1 /(n + 1)! ∞ erf¨ ullt, dass daraus die gleichm¨aßige Konvergenz von n=0 (un+1 (t) − un (t)) gegen u(t) − v f¨ ur 0 ≤ t ≤ a folgt und dass u ∈ C([0, a]) sowie u = T (u) gilt. Insbesondere folgt daraus, dass u die Gleichung (7.9) erf¨ ullt. Zeigen Sie schließlich, dass f (t, u) eine Lipschitz-Bedingung in der zweiten Variable erf¨ ullt, wenn ∂f /∂u beschr¨ankt ist. Problem 7.5. Beweisen Sie ein Eindeutigkeitsresultat f¨ ur (7.9), wenn f (t, u) eine stetige Funktion ist, die eine Lipschitz-Bedingung in der zweiten Variable erf¨ ullt (siehe Problemstellung 7.4). Hinweis: Nehmen Sie an, dass u1 und u2 zwei L¨osungen sind, die beide die Integralgleichung aus Problemstellung 7.4 erf¨ ullen. Verwenden Sie die Lipschitz-Bedingung, um eine Ungleichung herzuleiten, die u1 − u2 = 0 beweist. Problem 7.6. (a)(Gronwall-Lemma.) Angenommen, ϕ ist eine nichtnegative, stetige Funktion, f¨ ur die t ϕ(s) ds f¨ ur t > 0 ϕ(t) ≤ a + b 0

mit nichtnegativen Konstanten a und b gilt. Beweisen Sie ϕ(t) ≤ a ebt

f¨ ur t > 0.

(b) Verwenden Sie das Gronwall-Lemma um zu zeigen, dass die L¨ osung von (7.3) die Gleichung |u(t)| ≤ e|A|T |v| +

0

T

|f (s)| ds

f¨ ur 0 ≤ t ≤ T

erf¨ ullt. Zeigen Sie, dass sich daraus die Eindeutigkeit der L¨ osung ergibt. Problem 7.7. Zeigen Sie, dass (7.13) und (7.14) a ¨quivalent sind. Problem 7.8. Beweisen Sie, dass die allgemeine L¨ osung von (7.22) im Falle τ1 = τ2 (7.23) ist. Zeigen Sie auch |µ| < 1 =⇒ |τ1 | = |τ2 | = 1, |µ| > 1 =⇒ |τ1 | < 1, |τ2 | > 1. Wie sieht die allgemeine Form der L¨osung im Falle τ1 = τ2 aus?

8 Parabolische Gleichungen

In diesem Kapitel untersuchen wir sowohl das reine Anfangswertproblem als auch das gemischte Anfangs-Randwertproblem f¨ ur die W¨ armeleitungsgleichung, wobei wir Fourier-Methoden und Energieargumente benutzen. In Abschnitt 8.1 analysieren wir die L¨ osung des reinen Anfangswertproblems f¨ ur die homogene W¨armeleitungsgleichung mithilfe einer Darstellung in Form eines Gauß-Kerns und verwenden sie, um Eigenschaften der L¨ osung zu untersuchen. Im verbleibenden Teil des Abschnittes betrachten wir das Anfangswertproblem in einem begrenzten r¨ aumlichen Gebiet. In Abschnitt 8.2 l¨ osen wir die homogene Gleichung durch Entwicklung nach Eigenfunktionen und wenden das Duhamel-Prinzip an, um eine L¨ osung der inhomogenen Gleichung zu bestimmen. In Abschnitt 8.3 f¨ uhren wir die Variationsformulierung des Problems ein und geben Beispiele f¨ ur die Verwendung von Energieargumenten an. In Abschnitt 8.4 beweisen wir das Maximumprinzip und wenden es an.

8.1 Das reine Anfangswertproblem Wir beginnen unsere Untersuchung parabolischer Gleichungen mit der Betrachtung des reinen Anfangswertproblems (oder Cauchy-Problems) f¨ ur die W¨ armeleitungsgleichung, bei der ein u(x, t) bestimmt werden soll, das die Gleichung (8.1)

∂u − ∆u = 0 ∂t u(·, 0) = v

in Rd × R+ , in Rd

erf¨ ullt. Wir werden die Fourier-Transformation von u bez¨ uglich x anwenden u ˆ(ξ, t) = Fu(·, t)(ξ) = u(x, t)e−ix·ξ dx f¨ ur ξ ∈ Rd Rd

(siehe Anhang A.3). Wenn u und seine Ableitungen f¨ ur große |x| hinreichend klein sind, gilt

116

8 Parabolische Gleichungen

F∆u(·, t) (ξ) =

Rd

∆u(x, t)e−ix·ξ dx = −|ξ|2 u ˆ(ξ, t)

und mit ut = ∂u/∂t

dˆ u (ξ, t). Fut (·, t) (ξ) = dt Wir schlussfolgern somit aus (8.1), dass u ˆ

dˆ u = −|ξ|2 u ˆ dt u ˆ(ξ, 0) = vˆ(ξ)

f¨ ur ξ ∈ Rd , t > 0, f¨ ur ξ ∈ Rd

erf¨ ullt. Hierbei handelt es sich um ein einfaches Anfangswertproblem f¨ ur eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung mit dem Parameter ξ. Die L¨ osung ist (8.2)

2

u ˆ(ξ, t) = vˆ(ξ)e−t|ξ| . 2

Es sei daran erinnert, dass w(x) = e−|x| die Fourier-Transformierte 2

w(ξ) ˆ = π d/2 e−|ξ|

/4

besitzt (siehe Problemstellung A.19). So k¨onnen wir aus (A.34) schlussfolgern, 2 dass e−t|ξ| die Fourier-Transformierte des Gauß-Kerns 2

U (x, t) = (4πt)−d/2 e−|x|

/4t

ist. Aus (8.2) erhalten wir also formal (8.3)

u(x, t) = U (·, t) ∗ v (x) = (4πt)−d/2

2

v(y)e−|x−y|

/4t

dy.

Rd

Die Funktion U (x, t) ist eine Fundamentall¨osung des Anfangswertproblems. Wir werden nun zeigen, dass die durch (8.3) definierte Funktion unter einer schwachen Annahme bez¨ uglich der Anfangsfunktion tats¨ achlich eine L¨ osung von (8.1) ist. Beachten Sie, dass U (x, t) und u(x, t) in (8.3) nur f¨ ur t > 0 definiert sind. Theorem 8.1. Wenn v eine beschr¨ankte stetige Funktion auf Rd ist, dann ist die durch (8.3) definierte Funktion u(x, t) eine L¨osung der W¨armeleitungsgleichung f¨ ur t > 0 und geht f¨ ur t gegen null gegen die Anfangsdaten v. Beweis. Wir bemerken zun¨achst, dass wir f¨ ur t > 0 in (8.3) unter dem Integralzeichen bez¨ uglich x und t differenzieren k¨ onnen und zeigen direkt, dass diese Funktion die W¨armeleitungsgleichung in (8.1) erf¨ ullt. Um uns davon zu u ur t → 0 gegen die gew¨ unschten Anfangswerte ¨berzeugen, dass u(x, t) f¨ konvergiert, w¨ahlen wir ein beliebiges x0 ∈ Rd und zeigen

8.1 Das reine Anfangswertproblem

u(x, t) → v(x0 )

117

f¨ ur (x, t) → (x0 , 0).

√ Tats¨achlich k¨onnen wir unter Verwendung der Transformation η = (y−x)/ 4t und der Formel 2 −d/2 (8.4) π e−|x| dx = 1 Rd

die Gleichung u(x, t) − v(x0 ) = (4πt)

−d/2

= π −d/2

Rd

2

v(y)e−|x−y|

/4t

Rd

dy − v(x0 )

√ 2 v(x + 4tη) − v(x0 ) e−|η| dη

aufschreiben. Sei M = vC = vC(Rd ) und sei δ so klein, dass (8.5)

|v(z) − v(x0 )| < ǫ

gilt, wenn |z − x0 | < δ ist. F¨ ur ein beliebiges ω > 0 gilt 2 e−|y| dy |u(x, t) − v(x0 )| ≤ 2M π −d/2 |y|>ω √ −d/2 v(x + 4ty) − v(x0 ) e−|y|2 dy = I + II. +π |y|<ω

Nun w¨ ahlen wir ω so groß, dass I < ǫ gilt, was unter Ber¨ ucksichtigung von (8.4) m¨ oglich ist. Dann erhalten wir mit festem ω sowie (8.5) und (8.4) √ II ≤ sup |v(x + 4ty) − v(x0 )| < ǫ,

wenn |x − x0 | +

√

|y|<ω

4tω < δ ist. Folglich gilt f¨ ur diese x, t |u(x, t) − v(x0 )| < 2ǫ,

was den Beweis vervollst¨ andigt.

⊔ ⊓

Theorem 8.1 zeigt also, dass das Anfangswertproblem (8.1) eine L¨ osung zul¨ asst und ist deshalb ein Existenzsatz. Wir werden zeigen, dass diese L¨ osung stetig von den Anfangsdaten v abh¨ angt. Wir schreiben (8.3) in der Form 2 v(y)e−|x−y| /4t dy, (8.6) u(x, t) = (E(t)v)(x) = (4πt)−d/2 Rd

wobei durch E(t) ein linearer Operator, der L¨ osungsoperator von (8.1), definiert wird, der die gegebenen Anfangsdaten in die L¨ osung zur Zeit t u uhrt. ¨berf¨ Beachten Sie, dass wegen (8.4)

118

8 Parabolische Gleichungen

|u(x, t)| ≤ (4πt)−d/2

2

e−|x−y|

/4t

Rd

dy vC = vC

gilt, sodass u(·, t)C ≤ vC

f¨ ur t > 0

ist. Dies zeigt, dass der Operator E(t) hinsichtlich der Maximumnorm durch 1 beschr¨ankt ist. Dies ist der erste Teil des folgenden Resultates. Theorem 8.2. Der durch (8.6) definierte L¨osungsoperator E(t) ist in C beschr¨ankt, und es gilt (8.7)

E(t)vC ≤ vC

f¨ ur t ≥ 0.

Wenn v1 und v2 zwei beschr¨ankte, stetige Funktionen auf Rd und u1 und u2 die zugeh¨origen L¨osungen des Anfangswertproblems (8.1) sind, dann gilt (8.8)

u1 (t) − u2 (t)C ≤ v1 − v2 C

f¨ ur t ≥ 0.

Beweis. Wir m¨ ussen lediglich den zweiten Teil des Theorems zeigen. Da E(t) aber ein linearer Operator ist, gilt u1 (t) − u2 (t) = E(t)v1 − E(t)v2 = E(t)(v1 − v2 ), und somit folgt (8.8) sofort aus (8.7).

⊔ ⊓

Unter Verwendung eines Maximumprinzips werden wir in Abschnitt 8.4 das zugeh¨orige Eindeutigkeitsresultat beweisen, d. h. die Existenz mindestens einer beschr¨ankten L¨osung von (8.1). Somit ist (8.3) also die einzige L¨ osung. Aufgrund der Existenz, der Eindeutigkeit und der stetigen Abh¨ angigkeit der L¨osung von den Anfangsdaten ist das Problem (8.1) gut gestellt. Insbesondere ist die Eigenschaft der stetigen Abh¨ angigkeit bei Anwendungen wichtig. Sie zeigt, dass eine kleine Ver¨ anderung der Daten des Problems nur einen kleinen Effekt f¨ ur die L¨ osung bewirkt. Nicht alle Probleme, die L¨osungen zulassen, besitzen die Eigenschaft stetiger Abh¨angigkeit. Betrachten wir beispielsweise das Anfangswertproblem (8.9)

ut + uxx = 0 u(x, 0) = vn (x) = n

−1

sin(nx)

in R × R+ ,

f¨ ur x ∈ R,

mit der L¨osung 2

un (x, t) = n−1 en

t

sin(nx).

Hier gilt ur n → ∞, vn C = n−1 → 0 f¨ wobei f¨ ur jedes t > 0 2

un (t)C = n−1 en

t

→∞

f¨ ur n → ∞

8.1 Das reine Anfangswertproblem

119

gilt. Somit ist die L¨ osung f¨ ur t > 0 nicht nahe null, auch wenn der Anfangswert vn nahe null liegt. Die Differentialgleichung in (8.9) ist die W¨armeleitungsgleichung mit umgekehrten Vorzeichen vor der Zeitableitung, sie wird deshalb als R¨ uckw¨artsW¨armeleitungsgleichung bezeichnet. Dem obigen Resultat entnehmen wir, dass das Problem, eine fr¨ uhere W¨ armeverteilung in einem K¨ orper aus der aktuellen Verteilung zu bestimmen, schlecht gestellt ist. Wir haben oben bereits erw¨ ahnt, dass die Darstellung von u(x, t) als Funktion von v in (8.3) die Differentiation nach x und t unter dem Integralzeichen f¨ ur t > 0 erlaubt, sogar ohne die Regularit¨ at von v anzunehmen. Diese Differentiation kann beliebig oft ausgef¨ uhrt werden, sodass u unendlich oft ur t > 0. Unter Verwendung der differenzierbar ist, d. h. es gilt u ∈ C ∞ f¨ Multiindex-Notation aus (1.8) findet man leicht √ 2 |Dtj Dα U (x, t)| ≤ t−j−|α|/2−d/2 P (|x|/ 4t)e−|x| /4t 2

≤ Ct−j−|α|/2−d/2 e−|x|

/8t

,

wobei P (y) ein Polynom in y ist und wir die Tatsache ausgenutzt haben, dass es f¨ ur jedes Polynom P eine Konstante C gibt, f¨ ur die die Gleichung 2

|P (y)e−y | ≤ Ce−y

2

/2

f¨ ur y > 0

gilt. Somit ist sup x∈Rd

|Dtj Dα u(x, t)|

≤ Ct

−j−|α|/2−d/2

sup x∈Rd

Rd

2

|v(y)|e−|x−y|

/8t

dy

≤ Ct−j−|α|/2 sup |v(y)| y∈Rd

oder

Dtj Dα E(t)vC ≤ Ct−j−|α|/2 vC

f¨ ur t > 0,

was zeigt, dass der Operator E(t) eine Gl¨attungseigenschaft besitzt: Die L¨ osung von (8.1) ist f¨ ur t > 0 auch dann glatt, wenn v nicht glatt ist. Die Schranken f¨ ur die Ableitungen wachsen jedoch, wenn t gegen null geht. Im Falle glatter Anfangsdaten sind die Ableitungen der L¨ osung bis t = 0 gleichm¨aßig beschr¨ ankt: Nach dem Variablenwechsel z = x − y erhalten wir aus (8.6) α 2 v(x − z)e−|z| /4t dz D E(t)v (x) = Dxα u(x, t) = (4πt)−d/2 Dxα d R −d/2 α −|z|2 /4t = (4πt) Dx v(x − z)e dz = (E(t)D α v)(x). Rd

Somit gilt wegen (8.1) und (8.7) Dtj Dα E(t)vC = ∆j Dα E(t)vC = E(t)∆j Dα vC ≤ ∆j Dα vC .

120

8 Parabolische Gleichungen

Man kann zeigen, dass die L¨ osung des Anfangswertproblems f¨ ur die inhomogene W¨armeleitungsgleichung in Rd × R+ ,

ut − ∆u = f

in Rd

u(·, 0) = v

mit gegebenem f = f (x, t) in der Form u(x, t) =

t

v(y)U (x − y, t) dy + 0 t E(t − s)f (·, s) ds = E(t)v + Rd

Rd

f (y, s)U (x − y, t − s) dy ds

0

dargestellt werden kann, wenn beispielsweise v, f und ∇f stetig und beschr¨ankt sind.

8.2 Die L¨ osung des Anfangs-Randwertproblems durch Entwicklung nach Eigenfunktionen Wir betrachten zun¨achst das gemischte Anfangs-Randwertproblem f¨ ur die homogene W¨armeleitungsgleichung: Gesucht ist eine Funktion u(x, t), f¨ ur die

(8.10)

ut − ∆u = 0 u=0 u(·, 0) = v

in Ω × R+ , auf Γ × R+ , in Ω

erf¨ ullt ist. Dabei ist Ω ein beschr¨anktes Gebiet in Rd mit dem glatten Rand Γ , ut = ∂u/∂t und v eine gegebene Funktion in L2 = L2 (Ω). Wir werden dieses Problem nun durch Entwicklung nach Eigenfunktionen l¨ osen. Wir bezeichnen mit (·, ·) und · das Skalarprodukt beziehungsweise die Norm in L2 = L2 (Ω). Wir wiederholen aus Kapitel 6, dass eine Orthonormalbasis {ϕi }∞ i=1 in L2 von glatten Eigenfunktionen ϕi und zugeh¨origen Eigenwerten {λi }∞ i=1 existiert, die (8.11)

−∆ϕi = λi ϕi

in Ω

mit ϕi = 0 auf Γ

erf¨ ullen. In unserer u ¨blichen Notation ist dies ¨aquivalent zu a(ϕi , v) = ∇ϕi · ∇v dx = λi (ϕi , v) ∀v ∈ H01 . Ω

Es sei daran erinnert, dass 0 < λ1 < λ2 ≤ · · · ≤ λi ≤ . . . ist, dass λi → ∞ f¨ ur i → ∞ gilt und dass a(ϕi , ϕj ) = λi δij

8.2 L¨ osung durch Entwicklung nach Eigenfunktionen

121

mit dem Kronecker-Symbol δij ist, f¨ ur das δij = 1 f¨ ur j = i und 0 sonst gilt. Wir suchen nun eine L¨ osung von (8.10) der Form (8.12)

u(x, t) =

∞

u ˆi (t)ϕi (x)

i=1

mit den zu bestimmenden Koeffizienten u ˆi : R+ → R. Da es sich hier um eine Summe von Produkten von Funktionen von x und t handelt, wird diese Vorgehensweise auch als Methode der Trennung der Variablen bezeichnet. Setzen wir (8.12) in die Differentialgleichung in (8.10) ein und verwenden (8.11), so erhalten wir formal ∞ ′ u ˆi (t) + λi u ˆi (t) ϕi (x) = 0 i=1

f¨ ur x ∈ Ω, t ∈ R+

und hieraus, weil die ϕi eine Basis bilden, ˆi (t) = 0 u ˆ′i (t) + λi u

f¨ ur t ∈ R+ ,

i = 1, 2, . . . ,

sodass ˆi (0)e−λi t u ˆi (t) = u gilt. Dar¨ uber hinaus folgt aus der Anfangsbedingung in (8.10) u(·, 0) =

∞

u ˆi (0)ϕi = v =

∞

vˆi ϕi ,

wobei vˆi = (v, ϕi ) =

v ϕi dx ist.

Ω

i=1

i=1

Wir sehen also zumindest formal, dass die L¨osung von (8.10) (8.13)

u(x, t) =

∞

vˆi e−λi t ϕi (x)

i=1

sein muss, wobei aufgrund der Parsevalschen Gleichung mit · = · L2 u(·, t)2 =

∞ ∞ k −λj t 2 vˆi2 = e−2λ1 t v2 < ∞ vˆj e ≤ e−2λ1 t i=1

i=1

allt gilt. Folglich ist f¨ ur t ≥ 0 die Funktion u(·, t) ∈ L2 , und deren L2 -Norm f¨ exponentiell f¨ ur t → ∞. Obwohl dieser Abfall in einigen Situationen wichtig ist, werden wir im Folgendem der Einfachheit halber darauf verzichten, das Verhalten von u(·, t) f¨ ur große t zu verfolgen, und uns mit der Schlussfolgerung zufrieden zu geben, dass u(·, t) ≤ v gilt.

f¨ ur t ∈ R+

122

8 Parabolische Gleichungen

Wir zeigen nun, dass f¨ ur t > 0 die in (8.13) definierte Funktion u(·, t) glatt ist und die Differentialgleichung und die Randbedingung in (8.10) im klassischen Sinne erf¨ ullt, und dass die Anfangsbedingung in dem Sinne erf¨ ullt ist, dass (8.14)

u(·, t) − v → 0

f¨ ur t → 0

gilt. Wir stellen zun¨achst fest, dass f¨ ur jedes k ≥ 0 eine Konstante Ck existiert, f¨ ur die sk e−s ≤ Ck f¨ ur s ≥ 0 gilt. Verwenden wir dies mit k = 1, erhalten wir |u(·, t)|21 =

∞ i=1

∞ 2 vˆi2 (λi t) e−2λi t ≤ C1 t−1 v2 , λi vˆi e−λi t = t−1 i=1

sodass |u(·, t)|1 ≤ Ct−1/2 v

(8.15)

f¨ ur t > 0

ist. Also gilt wegen Theorem 6.4 u(·, t) ∈ H01 f¨ ur t > 0, und u(·, t) erf¨ ullt insbesondere die Randbedingung in (8.10). Wenden wir nun (−∆)k auf jeden Term in (8.13) an, erhalten wir wegen −∆ϕi = λi ϕi (−∆)k u(x, t) =

(8.16)

∞

vˆi λki e−λi t ϕi (x)

i=1

und hieraus f¨ ur t > 0 ∆k u(·, t)2 =

∞ ∞ k −λi t 2 vˆi2 = Ck2 t−2k v2 < ∞. vˆi λi e ≤ Ck2 t−2k i=1

i=1

Auf gleiche Weise wie in (8.15) erhalten wir auch |∆k u(·, t)|1 ≤ Ck t−k−1/2 v < ∞ f¨ ur t > 0. Folglich gilt f¨ ur t > 0 und f¨ ur jedes k ≥ 0 auf Γ die Gleichung ∆k u(·, t) = 0. m Wir k¨onnen Dt auch auf jeden Term in (8.16) anwenden und erhalten wegen Dt e−λi t = −λi e−λi t |Dtm ∆k u(·, t)|δ ≤ Ct−m−k−δ/2 v < ∞ f¨ ur t > 0,

δ = 0, 1.

Aus der Theorie der elliptischen Gleichungen wiederholen wir die Regularit¨atsabsch¨atzung (3.37) ws ≤ C∆ws−2

∀w ∈ H s ∩ H01

f¨ ur s ≥ 2.

Durch wiederholte Anwendung dieser Prozedur erhalten wir f¨ ur δ = 0 oder 1 w2k+δ ≤ C∆k wδ

∀w ∈ H 2k+δ ,

wenn ∆j w = 0 auf Γ f¨ ur j < k gilt.

8.2 L¨ osung durch Entwicklung nach Eigenfunktionen

123

Wir kommen schließlich zu dem Schluss, dass f¨ ur beliebige, nichtnegative ganze Zahlen s und m (8.17)

Dtm u(·, t)s ≤ Ct−m−s/2 v

f¨ ur t > 0

ist. Mit der Sobolev-Ungleichung, Theorem A.5, folgt Dtm u(·, t) ∈ C p f¨ ur t > 0 und beliebiges p ≥ 0. Also ist u(x, t) f¨ ur t > 0 eine glatte Funktion von x und t, selbst wenn die Anfangsdaten v nicht glatt sind. Deshalb erf¨ ullt u(·, t) die W¨ armeleitungsgleichung im klassischen Sinne. Aus obigem folgt auch, dass die Randbedingung erf¨ ullt ist. Schließlich erhalten wir (8.14), indem wir zeigen, dass u(·, t) − v2 =

∞ −λi t 2 e − 1 vˆi2 → 0 i=1

f¨ ur t → 0

gilt. Um dies zu beweisen, w¨ ahlen wir ǫ > 0 beliebig klein und N hinreichend groß, sodass ∞ ˆi2 < ǫ ist. Dann gilt i=N +1 v u(·, t) − v2 ≤

N −λi t 2 e − 1 vˆi2 + ǫ. i=1

Da jeder Term der Summe f¨ ur t → 0 gegen null geht, schließen wir u(·, t) − v2 < 2ǫ

f¨ ur hinreichend kleines t.

Wir fassen diese Resultate im folgenden Theorem zusammen. Theorem 8.3. F¨ ur jedes v ∈ L2 ist die durch (8.13) definierte Funktion u(x, t) eine klassische L¨osung der W¨armeleitungsgleichung in (8.10), die f¨ ur t > 0 auf Γ verschwindet und die Anfangsbedingung im Sinne von (8.14) erf¨ ullt. Dar¨ uber hinaus gilt die Glattheitsabsch¨atzung (8.17). Da der Faktor t−k auf der rechten Seite von (8.17) im Falle t gegen null gegen unendlich geht, ist die Glattheit der L¨ osung bis t = 0 nicht gleichm¨ aßig garantiert. Wenn die Anfangsfunktion glatter ist, dann sind in diesem Zusammenhang bessere Resultate m¨oglich. Es gilt beispielsweise das folgende Resultat in H01 . ullt die in Theorem 8.3 bestimmte Theorem 8.4. Es sei v ∈ H01 . Dann erf¨ L¨osung u(x, t) von (8.10) die Ungleichung |u(·, t)|1 ≤ |v|1

f¨ ur t ≥ 0.

Beweis. Wegen (6.4) gilt |u(·, t)|21 =

∞ i=1

λi vˆi2 e−2λi t ≤

was unsere Behauptung beweist.

∞ i=1

λi vˆi2 = |v|21 , ⊔ ⊓

124

8 Parabolische Gleichungen

Wir weisen darauf hin, dass dieses Resultat nicht nur verlangt, dass die Anfangsdaten in H 1 sind, sondern auch, dass sie auf Γ verschwinden. Das aglich bedeutet, dass die Anfangsdaten mit den Randdaten auf Γ × R+ vertr¨ sein m¨ ussen, was offensichtlich notwendig ist, damit die L¨ osung an der Stelle t = 0 stetig ist. F¨ ur Regularit¨ at h¨ oherer Ordnung werden weitere Vertr¨ aglichkeitsbedingungen ben¨ otigt. Wie in Abschnitt 8.1 k¨onnen wir die L¨osung zur Zeit t als Resultat der Wirkung eines L¨ osungsoperators E(t) auf die Anfangsdaten v betrachten und daher u(t) = E(t)v schreiben. Wegen (8.13) erf¨ ullt dieser Operator die Stabilit¨atsabsch¨atzung E(t)v ≤ v f¨ ur t > 0, und die Absch¨atzung (8.17) kann in der Form (8.18)

Dtm E(t)v(·, t)s ≤ Ct−m−s/2 v

f¨ ur t > 0,

m, s ≥ 0

geschrieben werden, worin sich die Gl¨attungseigenschaft des L¨ osungsoperators ausdr¨ uckt. Das folgende einfache Beispiel illustriert die obige L¨ osungsmethode. Beispiel 8.1. Die L¨osung des r¨ aumlichen eindimensionalen Problems ut − uxx = 0 u(0, ·) = u(π, ·) = 0 u(·, 0) = v

(8.19)

in Ω × R+ , in R+ , in Ω

mit Ω = (0, π) und v ∈ L2 (Ω) ist durch (8.20)

u(x, t) =

∞ j=1

vˆj e

−j 2 t

2 sin(jx) mit vˆj = π

π

v(x) sin(jx) dx

0

gegeben. In diesem Fall reduziert sich das zugeh¨ orige Eigenwertproblem (8.11) auf (6.21) mit b = π. Die L¨ osung ergibt sich also aus Theorem 8.3 und den in Abschnitt 6.1 erhaltenen Resultaten, abgesehen davon, dass die Eigenfunktio2 nen hier nicht normiert sind. Beachten Sie, dass man den Koeffizienten vˆj e−j t der Eigenfunktion sin(jx) in (8.20) durch Multiplikation des zugeh¨ origen Ko2 effizienten vˆj in der Entwicklung der Anfangsfunktion v mit dem Faktor e−j t 2 erh¨alt. Wenn j groß ist, dann oszilliert sin(jx) schnell und der Faktor e−j t wird f¨ ur wachsendes t sehr klein, sodass die Komponenten der L¨ osung u(x, t), die zu den Eigenfunktionen sin(jx) mit großem j geh¨ oren, stark ged¨ ampft werden. Das bedeutet auch, dass rasche Schwankungen oder Oszillationen in der Anfangsfunktion v, wie beispielsweise im Falle einer Unstetigkeit (Sprung), mit wachsendem t gegl¨ attet werden. Damit handelt es sich also um einen Spezialfall der oben diskutierten Gl¨ attungseigenschaft des L¨ osungsoperators, die typisch f¨ ur parabolische Probleme ist.

8.2 L¨ osung durch Entwicklung nach Eigenfunktionen

125

Der oben eingef¨ uhrte L¨ osungsoperator E(t) ist f¨ ur die Untersuchung des Randwertproblems f¨ ur die inhomogene Gleichung ut − ∆u = f u=0 u(·, 0) = v

(8.21)

in Ω × R+ , auf Γ × R+ , in Ω

geeignet. Und zwar kann die L¨ osung dieses Problems, wie wir sehen werden, in der Form t (8.22) u(t) = E(t)v + E(t − s)f (s) ds 0

ausgedr¨ uckt werden. Diese Formel stellt die L¨ osung der inhomogenen Gleichung als Superposition von L¨osungen homogener Gleichungen dar und wird als Duhamel-Prinzip bezeichnet. Weil E(t) in der L2 -Norm beschr¨ ankt ist, ist die rechte Seite von (8.22) wohldefiniert. Der erste Term ist die L¨osung von (8.1). Der zweite Term verschwindet f¨ ur t = 0, sodass wir zum Beweis, dass u eine L¨ osung von (8.21) ist, t E(t − s)f (s) ds (8.23) Dt F (t) − ∆F (t) = f (t) mit F (t) = 0

demonstrieren m¨ ussen. Formal gilt nach Differentiation des Integrals t t (8.24) Dt F (t) − ∆F (t) = f (t) + Dt E(t − s)f (s) ds − ∆E(t − s)f (s) ds, 0

0

und wegen Dt E(t−s) = ∆E(t−s) sollten sich die Integrale aufheben. Fordern ur s ∈ (0, t), dann zeigt (8.18) eine Singularit¨ at der wir jedoch nur f (s) ∈ L2 f¨ Ordnung O((t−s)−1) in den Integranden, sodass die Integrale nicht notwendigerweise wohldefiniert sind. Aus diesem Grund nehmen wir an, dass Dt f (t) f¨ ur t ∈ [0, T ] mit beliebigem T > 0 beschr¨ ankt ist, und schreiben, nachdem wir im letzten Term t − s durch s ersetzt haben, t t F (t) = E(t − s)(f (s) − f (t)) ds + E(s)f (t) ds. 0

0

Durch Differentiation bez¨ uglich t erhalten wir t (8.25) Dt F (t) = Dt E(t − s)(f (s) − f (t)) ds + E(t)f (t), 0

wobei der Integrand nun wegen f (s)−f (t) ≤ C|s−t| beschr¨ ankt ist. Analog dazu gilt wegen ∆E(t − s) = Dt E(t − s) t (8.26) ∆F (t) = ∆E(t − s)(f (s) − f (t)) ds + (E(t) − I)f (t). 0

126

8 Parabolische Gleichungen

Bilden wir die Differenz zwischen (8.25) und (8.26), so ergibt sich (8.23). Eine andere M¨oglichkeit, die Singularit¨aten in den Integranden in (8.24) zu behandeln, w¨are, die Regularit¨at von f (s) in der r¨ aumlichen Variable auszunutzen, beispielsweise in Form der Ungleichung ∆E(t − s)f (s) ≤ ∆f (s). Zus¨atzlich zur Regularit¨ at von f (s) w¨are jedoch die unnat¨ urliche Randbedingung f (s) = 0 auf Γ erforderlich. Mit (8.22) erhalten wir sofort die Stabilit¨atsabsch¨ atzung (8.27)

u(t) ≤ v +

0

t

f (s) ds.

Wie gew¨ohnlich kann dies dazu benutzt werden, sowohl die Eindeutigkeit der L¨osung von (8.21) als auch die stetige Abh¨angigkeit der L¨ osung von den Daten zu zeigen. Sind beispielsweise u1 und u2 L¨osungen, die zu den rechten Seiten f1 und f2 sowie den Anfangswerten v1 und v2 geh¨ oren, dann gilt t (8.28) u1 (t) − u2 (t) ≤ v1 − v2 + f1 (s) − f2 (s) ds f¨ ur t ∈ R+ . 0

8.3 Variationsformulierung. Energieabsch¨ atzungen Wir werden nun das Anfangs-Randwertproblem (8.21) in variationaler Form aufschreiben und daraus einige Absch¨atzungen f¨ ur dessen L¨ osung herleiten. Auch wenn wir dies hier nicht weiter verfolgen werden, k¨ onnen Variationsmethoden zum Beweis der Existenz und der Eindeutigkeit von L¨ osungen parabolischer Probleme benutzt werden. Diese k¨ onnen wesentlich allgemeiner als (8.21) sein. Beispiele daf¨ ur sind Probleme mit zeitabh¨ angigen Koeffizienten oder einem nicht selbstadjungierten, elliptischen Operator, Probleme mit inhomogenen Randbedingungen und auch einige nichtlineare Probleme. Dies sind Probleme, f¨ ur die die Methode der Entwicklung nach Eigenfunktionen aus dem vorangegangenem Abschnitt schwierig oder unm¨ oglich anzuwenden ist. Dar¨ uber hinaus bildet die Variationsformulierung die Basis f¨ ur die Methode der finiten Elemente f¨ ur parabolische Probleme, die wir in Kapitel 10 untersuchen werden. F¨ ur die Variationsformulierung multiplizieren wir die W¨ armeleitungsgleichung in (8.21) mit einer glatten Funktion ϕ = ϕ(x), die auf Γ verschwindet, und bestimmen nach Integration u ¨ber Ω und nach Anwendung der Greenschen Formel (8.29)

(ut , ϕ) + a(u, ϕ) = (f, ϕ) ∀ϕ ∈ H01 ,

mit unserer Standardnotation a(v, w) = ∇v · ∇w dx, Ω

(v, w) =

t ∈ R+

Ω

vw dx.

8.3 Variationsformulierung. Energieabsch¨ atzungen

127

Das Variationsproblem kann dann folgendermaßen formuliert werden: Gesucht ist eine Funktion u = u(x, t) ∈ H01 , die auf Γ f¨ ur t > 0 verschwindet und f¨ ur die (8.29) erf¨ ullt ist sowie (8.30)

u(·, 0) = v

in Ω

gilt. Durch Ausf¨ uhren der oben diskutierten Schritte in umgekehrter Reihenfolge kann man leicht sehen, dass eine hinreichend glatte L¨ osung u dieses Problems auch eine L¨ osung von (8.21) ist. Tats¨ achlich erhalten wir durch partielle Integration in (8.29) (ut − ∆u − f, ϕ) = 0 ∀ϕ ∈ H01 , oder f¨ ur jedes t ∈ R+ ρ(·, t) ϕ dx = 0 ∀ϕ ∈ H01 Ω

t ∈ R+

mit ρ = ut − ∆u − f.

Wie beim station¨ aren Problem schlussfolgern wir, dass dies nur f¨ ur ρ = 0 m¨oglich ist. Das folgende Resultat zeigt einige Absch¨atzungen f¨ ur die L¨ osung des oben gestellten Problems in Abh¨angigkeit von den Daten f¨ ur verschiedene Normen. Dabei gehen wir formal vor und verzichten auf pr¨ azise Aussagen hinsichtlich der geforderten Regularit¨ at. Wir schreiben u(t) f¨ ur u(·, t) und analog dazu f (t). Theorem 8.5. Angenommen, u(t) erf¨ ullt die Gleichungen (8.29) und (8.30), verschwindet auf Γ und ist f¨ ur t ≥ 0 hinreichend glatt. Dann gibt es eine Konstante C, mit der f¨ ur t ≥ 0 die Ungleichungen t t |u(s)|21 ds ≤ v2 + C f (s)2 ds (8.31) u(t)2 + 0

0

und (8.32)

|u(t)|21 +

t

0

ut (s)2 ds ≤ |v|21 +

t 0

f (s)2 ds.

gelten. Beweis. Setzen wir in (8.29) ϕ = u, so erhalten wir (8.33)

(ut , u) + a(u, u) = (f, u)

Hier gilt (ut , u) =

Ω

ut u dx =

Ω

2 1 2 (u )t

f¨ ur t > 0.

dx =

1 2

d u2 . dt

128

8 Parabolische Gleichungen

Nach Anwendung der Poincar´e-Ungleichung, Theorem A.6, d. h. ϕ ≤ C|ϕ|1 = C a(ϕ, ϕ)1/2

f¨ ur ϕ ∈ H01 ,

gilt unter gleichzeitiger Verwendung der Ungleichung 2ab ≤ a2 + b2 |(f, u)| ≤ f u ≤ Cf |u|1 ≤ 12 |u|21 + 12 C 2 f 2 .

Wir erhalten aus (8.33) also

d u2 + |u|21 ≤ 12 |u|21 + 12 C 2 f 2 dt

1 2

oder mit einer neuen Konstante C d u2 + |u|21 ≤ Cf 2 . dt

Durch Integration von 0 bis t erhalten wir t t 2 2 2 u(t) + |u(s)|1 ds ≤ v + C f 2 ds, 0

0

das ist Gleichung (8.31). Zum Beweis von (8.32) w¨ ahlen wir in (8.29) nun ϕ = ut und erhalten ut 2 + a(u, ut ) = (f, ut ) ≤ 12 f 2 + 12 ut 2 .

Hier ist a(u, ut ) =

Ω

∇u · ∇ut dx =

Ω

2 1 2 (|∇u| )t dx

=

1 2

d 2 |u| , dt 1

sodass wir

d 2 |u| ≤ f 2 dt 1 schlussfolgern k¨ onnen, woraus sich durch Integration u ¨ber (0, t) t t f 2 ds ut 2 ds ≤ |v|21 + |u(t)|21 + ut 2 +

0

0

(8.32) ergibt.

⊔ ⊓

Aus (8.31) folgt wie gew¨ohnlich, dass f¨ ur die L¨osungen u1 und u2 , die zu den rechten Seiten f1 und f2 und den Anfangswerten v1 und v2 geh¨oren, t t u1 (t)−u2 (t)2 + f1 −f2 2 ds f¨ ur t ≥ 0 |u1 −u2 |21 ds ≤ v1 −v2 2 +C 0

0

gilt. Eine ¨ ahnliche Schranke erh¨alt man aus (8.32). Beachten Sie, dass diese Schranken auch den Fehler in H01 absch¨atzen und dabei die L2 -Norm anstatt der in (8.28) verwendeten L1 -Norm benutzt wird.

8.4 Ein Maximumprinzip

129

8.4 Ein Maximumprinzip Wir betrachten nun die Verallgemeinerung des gemischten Anfangswertproblems aus Abschnitt 8.2, die einen Quellterm und inhomogene Randbedin¯ × I¯ zu bestimmen, f¨ gungen zul¨asst. Dabei ist ein u auf Ω ur das ut − ∆u = f u=g u(·, 0) = v

(8.34)

in Ω × I, auf Γ × I, in Ω

gilt, wobei Ω ein beschr¨ anktes Gebiet in Rd und I = (0, T ) ein endliches Zeitintervall ist. Um ein Maximumprinzip f¨ ur dieses Problem zu beweisen, ist es g¨ unstig, den parabolischen Rand von Ω × I einzuf¨ uhren. Dies ist die Menge ¯ ∪ (Ω × {t = 0}), d. h. der Rand von Ω × I ohne das Innere des Γp = (Γ × I) oberen Teils dieses Randes Ω × {t = T }. Theorem 8.6. Sei u glatt und es gelte ut − ∆u ≤ 0 in Ω × I. Dann nimmt u sein Maximum auf dem parabolischen Rand Γp an. Beweis. Wenn dies nicht der Fall w¨are, w¨ urde das Maximum entweder in einem inneren Punkt von Ω × I oder in einen Punkt von Ω × {t = T } angenommen werden, d. h. in einem Punkt (¯ x, t¯) ∈ Ω × (0, T ], und es w¨ are u(¯ x, t¯) = max u = M > m = max u. ¯ I¯ Ω×

Γp

Dann w¨ urde die Funktion w(x, t) = u(x, t) + ǫ|x|2 f¨ ur hinreichend kleine ǫ > 0 ihr Maximum ebenfalls in einem Punkt in Ω × (0, T ] annehmen, weil f¨ ur kleines ǫ max w ≤ m + ǫ max |x|2 < M ≤ max w Γp

¯ I¯ Ω×

Γp

gilt. Aufgrund unserer Annahme gilt wegen ∆(|x|2 ) = 2d (8.35)

wt − ∆w = ut − ∆u − 2dǫ < 0

in Ω × I.

Andererseits gilt im Punkt (˜ x, t˜), in dem w ihr Maximum annimmt, −∆w(˜ x, t˜) = −

d i=1

wxi xi (˜ x, t˜) ≥ 0

und wt (˜ x, t˜) = 0 f¨ ur t˜ < T sodass in beiden F¨allen

oder wt (˜ x, t˜) ≥ 0 f¨ ur t˜ = T,

wt (˜ x, t˜) − ∆w(˜ x, t˜) ≥ 0 ist. Dies ist ein Widerspruch zu (8.35), was unsere Behauptung beweist.

⊔ ⊓

130

8 Parabolische Gleichungen

F¨ ur die Funktionen ±u folgt insbesondere, dass die L¨ osung der homogenen W¨armeleitungsgleichung (f = 0) sowohl ihr Maximum als auch ihr Minimum auf Γp annimmt, sodass in diesem Fall mit wC(M¯ ) = maxx∈M¯ |w(x)| uC(Ω× ¯ I) ¯ ≤ max gC(Γ ×I) ¯ , vC(Ω) ¯

gilt. F¨ ur das inhomogene Problem kann man die folgende Ungleichung zeigen, ¨ deren Beweis wir dem Leser als Ubung u ¨berlassen (siehe Problemstellung 8.7). Theorem 8.7. Die L¨osung von (8.34) erf¨ ullt r2 uC(Ω× + f C(Ω× ¯ I) ¯ , ¯ I) ¯ ≤ max gC(Γ ×I) ¯ , vC(Ω) ¯ 2d

wobei r der Radius einer Kugel ist, die Ω enth¨alt.

Wie gew¨ohnlich beweist ein solches Resultat die Eindeutigkeit und die Stabilit¨at des Anfangs-Randwertproblems. Wir beschließen diesen Abschnitt mit dem Beweis der Eindeutigkeit einer beschr¨ankten L¨ osung des reinen Anfangswertproblems, das wir in Abschnitt 8.1 betrachtet haben. Theorem 8.8. Das Anfangswertproblem (8.1) besitzt h¨ochstens eine L¨osung, die f¨ ur beliebiges T in Rd × [0, T ] beschr¨ankt ist. Beweis. Wenn es zwei L¨ osungen von (8.1) g¨ abe, dann w¨ are deren Differenz eine L¨osung mit den Anfangsdaten null. Es reicht deshalb aus zu zeigen, dass die einzige beschr¨ ankte L¨ osung u von ut = ∆u u(·, 0) = 0

in Rd × I

mit I = (0, T ),

in Rd

die triviale L¨osung u = 0 ist, oder dass f¨ ur einen beliebigen Punkt (x0 , t0 ) in Rd × I und ein beliebiges ǫ > 0 die Ungleichung |u(x0 , t0 )| ≤ ǫ erf¨ ullt ist. Wir f¨ uhren die Hilfsfunktion w(x, t) =

|x|2 + 2d t |x0 |2 + 2d t0

ein und weisen darauf hin, dass wt = ∆w gilt. Sei nun h± (x, t) = −ǫw(x, t) ± u(x, t). Dann gilt (h± )t − ∆h± = 0 in Rd × I.

d Da u beschr¨ankt ist, ur ein M . Definieren wir gilt2 |u(x, t)|2≤ M auf R × I f¨ 2 R durch R = max |x0 | , M (|x0 | + 2dt0 )/ǫ , so gilt

8.5 Problemstellungen

h± (x, t) ≤ −ǫ

R2 +M ≤0 |x0 |2 + 2d t0

131

im Falle |x| = R

und h± (x, 0) = −ǫ|x|2 /(|x0 |2 + 2d t0 ) ≤ 0 f¨ ur x ∈ Rd . Folglich k¨onnen wir Theorem 8.6 mit Ω = {|x| < R} anwenden und schlussur (x, t) ∈ Ω × I ist. Insbesondere gilt an der Stelle folgern, dass h± (x, t) ≤ 0 f¨ (x0 , t0 ) die Beziehung ±u(x0 , t0 ) = h± (x0 , t0 ) + ǫ ≤ ǫ, was den Beweis des Theorems abschließt. ⊔ ⊓ ankt Die Annahme von Theorem 8.8, dass die L¨ osungen in Rd ×[0, T ] beschr¨ 2 sind, kann auf die Forderung abgeschw¨ acht werden, dass |u(x, t)| ≤ M ec|x| f¨ ur alle x ∈ Rd , 0 ≤ t ≤ T und ein M, c > 0 gilt. Ohne eine solche Einschr¨ankung f¨ ur das Wachstum der L¨ osung f¨ ur große |x| ist die Eindeutigkeit jedoch nicht garantiert. Beispielsweise ist die folgende Funktion eine L¨ osung der homogenen W¨ armeleitungsgleichung, die die Anfangswerte null besitzt, aber f¨ ur t > 0 nicht identisch verschwindet: u(x, t) =

∞

n=0

f (n) (t)

x2n (2n)!

2

ur t > 0, f (0) = 0. mit f (t) = e−1/t f¨

Der technische Teil des Beweises besteht darin zu zeigen, dass die Reihe so schnell konvergiert, dass sie gliedweise differenziert werden kann. Dann ist es offensichtlich, dass ut = uxx und u(x, 0) = 0 ist.

8.5 Problemstellungen Problem 8.1. Zeigen Sie, dass f¨ ur eine L¨osung u von (8.1) mit |v(x)| dx < ∞ Rd

die Gleichung

u(x, t) dx = konstant =

Rd

v(x) dx Rd

f¨ ur t ≥ 0

gilt. Geben Sie eine physikalische Interpretation dieses Resultates an. Problem 8.2. Bestimmen Sie eine L¨osung des Anfangs-Randwertproblems (8.19) mit (a) (b)

v(x) = 1 v(x) = x(π − x)

f¨ ur 0 < x < π; f¨ ur 0 < x < π.

Skizzieren Sie die L¨osungen u(x, t) zu verschiedenen Zeiten t.

132

8 Parabolische Gleichungen

Problem 8.3. Betrachten Sie die Funktion 2 xt−3/2 e−x /4t u(x, t) = 0

f¨ ur t > 0, f¨ ur t = 0.

Zeigen Sie, dass u eine L¨osung von ut − uxx = 0 in R × R+ ist und dass f¨ ur jedes x u(x, t) → 0

f¨ ur t → 0

gilt. Weshalb ist dies kein Gegenbeispiel f¨ ur das Eindeutigkeitsresultat aus Theorem 8.8? Hinweis: Setzen Sie x = t. Problem 8.4. Sei u die L¨ osung von (8.10). Zeigen Sie (a) (b)

u(t) ≤ e−λ1 t v k

∆

Dtj u(t)

≤ Ct

−(j+k) −λ1 t/2

e

v

f¨ ur t ≥ 0,

f¨ ur t > 0.

Problem 8.5. Beweisen Sie mithilfe der Energiemethode, dass eine Konstante C = C(T ) existiert, sodass f¨ ur ein u, das (8.29) und (8.30) erf¨ ullt, t t sut (s)2 ds ≤ C v2 + (a) f (s)2 ds f¨ ur 0 ≤ t ≤ T, 0 0 t (b) |u(t)|21 ≤ Ct−1 v2 + f (s)2 ds f¨ ur 0 < t ≤ T 0

gilt.

Problem 8.6. Sei u die L¨ osung von (8.29) und (8.30) mit v = 0. Zeigen Sie t t ut (s)2 + ∆u(s)2 ds ≤ C f (s)2 ds f¨ ur t ≥ 0. 0

0

Problem 8.7. Beweisen Sie Theorem 8.7. Hinweis: Sehen Sie sich den Beweis von Theorem 3.2 an. Problem 8.8. Beweisen Sie Absch¨ atzungen, die analog zu denen aus Theorem 8.5 sind, wenn der elliptische Term −∆u in (8.21) durch A = −∇·(a∇u)+ b · ∇u + cu wie in Abschnitt 3.5 ersetzt wurde.

Problem 8.9. Beweisen Sie (8.4). Problem 8.10. Zeigen Sie, dass f¨ ur ein u, das (8.10) erf¨ ullt, eine Konstante C existiert, f¨ ur die t 2 |ut (s)|21 ds ≤ Cv22 ∀v ∈ H 2 ∩ H01 , t ≥ 0 u(t)2 + 0

gilt. Sie k¨onnen die Spektralmethode oder die Energiemethode benutzen. Sie ben¨otigen außerdem die elliptische Regularit¨ atsabsch¨ atzung (3.36).

8.5 Problemstellungen

133

Problem 8.11. Sei u die L¨ osung von ut − ∆u = 0 u(x, t) = 0 u(·, 0) = v

in Ω × R+ , auf Γ × R+ , in Ω,

wobei Ω = {x ∈ R2 : 0 < xi < 1, i = 1, 2} ist. Sei ϕ(x) = A sin(πx1 ) sin(πx2 ) mit A > 0. Zeigen Sie, dass im Falle 0 ≤ v(x) ≤ ϕ(x) f¨ ur x ∈ Ω die Un2 gleichung 0 ≤ u(x, t) ≤ e−2π t ϕ(x) f¨ ur x ∈ Ω, t > 0 erf¨ ullt ist. Hinweis: Verwenden Sie das Maximumprinzip. Problem 8.12. Beweisen Sie die Version von Theorem 8.1 f¨ ur den L2 : Wenn v ∈ L2 (Rd ) ist, dann gilt E(t)vL2 ≤ vL2 f¨ ur t ≥ 0 und E(t)v − vL2 → 0 f¨ ur t → 0. Hinweis: Parsevalsche Gleichung (A.32). Problem 8.13. Betrachten Sie die W¨armeleitungsgleichung mit Neumannschen Randbedingungen: ut − ∆u = 0 ∂u =0 ∂n u(·, 0) = v

in Ω × R+ ,

auf Γ × R+ , in Ω,

wobei ∂u/∂n die ¨ außere Normalenableitung ist.

ur t ≥ 0 gilt, wobei v = (a) Zeigen Sie, dass u(t) = v f¨ Mittelwert von v bezeichnet. ur t → ∞ gilt. (b) Zeigen Sie, dass u(t) − v → 0 f¨

1 |Ω|

Ω

v(x) dx den

Problem 8.14. Angenommen, u erf¨ ullt das Anfangs-Randwertproblem ut − ∆u = f ∂u =g ∂n u(·, 0) = v

in Ω × R+ ,

auf Γ × R+ , in Ω,

anktes Gebiet in Rd mit einem glattem Rand Γ wobei Ω ⊂ Rd ein beschr¨ und ∂u/∂n die ¨ außere Normalenableitung ist. Nehmen Sie zus¨ atzlich an, dass f (x, t) ≥ 0, v(x) ≥ 0 f¨ ur x ∈ Ω, t ≥ 0 und g(x, t) > 0 f¨ ur x ∈ Γ , t ≥ 0 gilt. Zeigen Sie, dass u(x, t) ≥ 0 f¨ ur x ∈ Ω, t ≥ 0 ist. (Tats¨ achlich ist es ausreichend, g(x, t) ≥ 0 anzunehmen.) Problem 8.15. Betrachten Sie die Stokesschen Gleichungen, die die zweidimensionale Bewegung einer viskosen, inkompressiblen Fl¨ ussigkeit bei kleiner Reynolds-Zahl R beschreiben:

134

(8.36)

8 Parabolische Gleichungen

∂u − R−1 ∆u + ∇p = 0 ∂t ∇·u=0

u(·, 0) = v

in R2 × R+ , in R2 × R+ ,

in R2 .

Hierbei bezeichnet u(x, t) ∈ R2 die dimensionslose Geschwindigkeit und p(x, t) ∈ R den dimensionslosen Druck. In dieser Form stellt R−1 die Viskosit¨at dar. Definieren Sie den Wirbelvektor ω durch ω = ∇ × u = ∂u2 /∂x1 − ∂u1 /∂x2 . Zeigen Sie, dass (8.36) mit dem Wirbelvektor als ∂ω − R−1 ∆ω = 0, ∂t ω(·, 0) = ∇ × v,

in R2 × R+ , in R2

geschrieben werden kann. Problem 8.16. Sei u(x, t) = (E(t)v)(x) die L¨ osung von (8.10) und seien ∞ {λj }∞ und {ϕ } die Eigenwerte und die normierten Eigenfunktionen von j j=1 j=1 (6.5) wie in Theorem 6.4. Zeigen Sie G(x, y, t)v(y) dy, u(x, t) = (E(t)v)(x) = Ω

wobei die Greensche Funktion durch G(x, y, t) =

∞

e−λj t ϕj (x)ϕj (y)

j=1

gegeben ist. Hinweis: Sehen Sie sich Problemstellung 6.7 an.

9 Finite Differenzenverfahren fu ¨ r parabolische Probleme

In diesem Kapitel geben wir eine Einf¨ uhrung zur numerischen L¨ osung parabolischer Gleichungen mithilfe finiter Differenzen und betrachten die Anwendung solcher Verfahren auf die homogene W¨ armeleitungsgleichung in einer r¨ aumlichen Dimension. Wir diskutieren in Abschnitt 9.1 zun¨ achst das reine Anfangswertproblem, wobei die gegebenen Daten auf der unbeschr¨ ankten reellen Achse liegen. In Abschnitt 9.2 betrachten wir dann das gemischte AnfangsRandwertproblem auf einem endlichen r¨ aumlichen Intervall mit Dirichletschen Randbedingungen. Wir diskutieren die Stabilit¨at und die Fehlerschranken f¨ ur verschiedene Formen finiter Differenzenapproximationen. In der Maximumnorm geschieht dies mithilfe eines Maximumprinzips und in der L2 -Norm durch Fourier-Analyse. F¨ ur das unbeschr¨ ankte Problem betrachten wir explizite Verfahren und auf einen endlichen Intervall auch implizite Verfahren, wie beispielsweise das Crank-Nicolson-Verfahren.

9.1 Das reine Anfangswertproblem Wir betrachten zun¨ achst das reine Anfangswertproblem, das darin besteht, ein u = u(x, t) zu bestimmen, f¨ ur das (9.1)

∂2u ∂u = ∂x2 ∂t u(·, 0) = v

in R × R+ , in R

gilt. Dabei ist v eine gegebene glatte, beschr¨ ankte Funktion. Wir wissen aus Abschnitt 8.1, dass dieses Problem eine eindeutige L¨osung besitzt und kennen viele Eigenschaften, die beispielsweise aus der Darstellung ∞ 2 1 e−y /4t v(x − y) dy = E(t)v (x) (9.2) u(x, t) = √ 4πt −∞

hergeleitet werden k¨ onnen. Dabei ist E(t) der L¨ osungsoperator von (9.1). Insbesondere stellen wir fest, dass die L¨ osung bez¨ uglich der Maximumnorm

136

9 Finite Differenzenverfahren f¨ ur parabolische Probleme

beschr¨ankt ist. Genauer gesagt, gilt (9.3)

u(·, t)C = E(t)vC ≤ vC = sup |v(x)| x∈R

f¨ ur t ≥ 0.

F¨ ur die numerische L¨osung dieses Problems durch finite Differenzen f¨ uhrt man ein Gitter mit den Gitterpunkten (x, t) = (xj , tn ) ein. Dabei gilt xj = jh, tn = nk, wobei j und n ganze Zahlen mit n ≥ 0 sind, h der Gitterabstand f¨ ur x und k der Zeitschritt ist und beide klein sind. Man sucht an diesen Gitterpunkten nach einer approximativen L¨ osung Ujn . Diese wird durch eine Gleichung bestimmt wird, die man durch Ersetzen der Ableitungen in (9.1) durch finite Differenzenquotienten erh¨ alt. F¨ ur die auf diesem Gitter definierten Funktionen f¨ uhren wir also den Vorw¨ arts- und R¨ uckw¨ artsDifferenzenquotienten n ∂x Ujn = h−1 (Uj+1 − Ujn )

n und ∂¯x Ujn = h−1 (Ujn − Uj−1 )

bez¨ uglich x sowie analog dazu beispielsweise ∂t Ujn = k−1 (Ujn+1 − Ujn ) bez¨ uglich t ein. Das einfachste, zu (9.1) geh¨orende finite Differenzenverfahren ist das Vorw¨arts-Euler-Verfahren ∂t Ujn = ∂x ∂¯x Ujn Uj0

= vj := v(xj )

f¨ ur j, n ∈ Z, n ≥ 0,

f¨ ur j ∈ Z

mit dem Raum der ganzen Zahlen Z. Die Differenzengleichung kann auch als n n Ujn+1 − Ujn Uj+1 − 2Ujn + Uj−1 = h2 k

oder nach Einf¨ uhrung des Gitterverh¨altnisses λ = k/h2 als (9.4)

n n Ujn+1 = (Ek U n )j = λUj−1 + (1 − 2λ)Ujn + λUj+1

geschrieben werden, was den lokalen, diskreten L¨ osungsoperator Ek definiert. Wir werden h und k in der Beziehung k/h2 = λ = konstant betrachten und k¨onnen deshalb die Abh¨angigkeit von h in der Notation weglassen. Das Verfahren (9.4) wird als explizit bezeichnet, da es die L¨ osung an der Stelle uckt. Nach t = tn+1 explizit als Funktion der Werte an der Stelle t = tn ausdr¨ Iteration ergibt sich die L¨osung des diskreten Problems durch Ujn = (Ekn U 0 )j = (Ekn v)j

f¨ ur j n ∈ Z, n ≥ 0.

Wir nehmen nun λ ≤ 12 an. Alle Koeffizienten des Operators Ek in (9.4) sind dann nichtnegativ, und weil deren Summe 1 ist, finden wir

9.1 Das reine Anfangswertproblem

137

n n | + (1 − 2λ)|Ujn | + λ|Uj+1 | ≤ sup |Ujn |, |Ujn+1 | ≤ λ|Uj−1 j∈Z

sodass

sup |Ujn+1 | ≤ sup |Ujn | j∈Z

j∈Z

ist. Definieren wir f¨ ur die Gitterfunktionen v = (vj ) eine diskrete Maximumnorm durch (9.5)

v∞,h = sup |vj |, j∈Z

erhalten wir also U n+1 ∞,h = Ek U n ∞,h ≤ U n ∞,h und daraus durch wiederholte Anwendung (9.6)

U n ∞,h = Ekn v∞,h ≤ v∞,h .

Dies ist ein diskretes Analogon zur Absch¨atzung (9.3) f¨ ur das kontinuierliche Problem. Die Beschr¨anktheit des diskreten L¨ osungsoperators wird als Stabilit¨at dieses Operators bezeichnet. Wir werden nun sehen, dass das Verfahren f¨ ur ein ahlt wird, instabil ist. Um uns davon zu λ, das gr¨oßer als die Konstante 12 gew¨ u ¨berzeugen, w¨ahlen wir vj = (−1)j ǫ mit einer kleinen positiven Zahl ǫ, sodass v∞,h = ǫ gilt. Dann ist Uj1 = λ(−1)j−1 + (1 − 2λ)(−1)j + λ(−1)j+1 ǫ = (1 − 4λ)(−1)j ǫ,

oder allgemeiner

Ujn = (1 − 4λ)n (−1)j ǫ, woraus sich U n ∞,h = (4λ − 1)n ǫ → ∞

f¨ ur n → ∞

ergibt. Wir stellen also in diesem Falle fest, dass die Norm der diskreten L¨ osung auch f¨ ur sehr kleine Anfangsdaten f¨ ur n → ∞ mit k = t/n → 0 gegen ankt ist. Dies kann so interpreunendlich strebt, selbst wenn t = tn beschr¨ tiert werden, dass sehr kleine Abweichungen der Anfangsdaten (beispielsweise durch Rundungsfehler) große Ver¨ anderungen in der diskreten L¨ osung zu einem sp¨ateren Zeitpunkt verursachen k¨ onnen, sodass diese wertlos wird. Wir beschr¨anken uns nun bei unseren Betrachtungen auf den stabilen Fall osung gegen die exakte L¨ osung konverλ ≤ 12 und zeigen, dass die diskrete L¨ giert, wenn die Gitterkonstanten gegen null streben. Dabei setzen wir voraus, dass die Anfangsdaten und somit die exakte L¨ osung von (9.1) hinreichend glatt sind. Um dies zu demonstrieren, m¨ ussen wir die Tatsache verwenden, dass die exakte L¨osung die Differenzengleichung bis auf einen kleinen Fehler erf¨ ullt, der mit h und k gegen null strebt. Setzen wir unj = u(xj , tn ),

138

9 Finite Differenzenverfahren f¨ ur parabolische Probleme

gilt wegen der Taylorschen Formel f¨ ur die L¨osung von (9.1) mit geeignetem x ¯j ∈ (xj−1 , xj+1 ), t¯n ∈ (tn , tn+1 ) τjn = ∂t unj − ∂x ∂¯x unj = ∂t unj − ut (xj , tn ) − ∂x ∂¯x unj − uxx (xj , tn ) = 12 kutt (xj , t¯n ) −

1 2 xj , tn ). 12 h uxxxx (¯

Weil utt = uxxxx gilt und aus (9.2) leicht zu erkennen ist, dass f¨ ur die L¨ osung von (9.1) |u(·, t)|C 4 ≤ |v|C 4 gilt, erhalten wir

(9.7)

τ n ∞,h ≤ Ck max |utt (·, t)|C + Ch2 |u(·, tn )|C 4 t∈In

≤ Ch max |u(·, t)|C 4 ≤ Ch2 |v|C 4 2

t∈In

f¨ ur λ ≤

1 . 2

Der Ausdruck τjn wird als Rundungsfehler (oder lokaler Diskretisierungsfehler ) bezeichnet. Es gilt nun die folgende Fehlerabsch¨atzung. Theorem 9.1. Seien U n und u L¨osungen von (9.4) und (9.1) und sei k/h2 = λ ≤ 12 . Dann existiert eine Konstante C, mit der

U n − un ∞,h ≤ Ctn h2 |v|C 4

f¨ ur tn ≥ 0

gilt. Beweis. Wir setzen z n = U n − un . Dann gilt ∂t zjn − ∂x ∂¯x zjn = −τjn und folglich

zjn+1 = (Ek z n )j − kτjn .

Durch wiederholte Anwendung f¨ uhrt dies auf zjn = (Ekn z 0 )j − k

n−1

(Ekn−1−l τ l )j .

l=0

Weil zj0 = Uj0 − u0j = vj − vj = 0 ist, ergibt sich unter Verwendung der Stabilit¨atsabsch¨atzung (9.6) und der Absch¨ atzung f¨ ur den Rundungsfehler (9.7), z n ∞,h ≤ k

n−1 l=0

τ l ∞,h ≤ C nk h2 |v|C 4 ,

was dem gesuchten Resultat entspricht.

⊔ ⊓

Das soeben beschriebene Verfahren ist in der Zeit von der Genauigkeit erster Ordnung und im Raum von der Genauigkeit zweiter Ordnung. Da allerdings k und h durch k/h2 = λ ≤ 12 verbunden sind, ergibt sich insgesamt eine Genauigkeit zweiter Ordnung bez¨ uglich des Gitterabstandes h.

9.1 Das reine Anfangswertproblem

139

Im Allgemeinen k¨ onnen wir Finite-Differenzen-Operatoren von der Form n ap Uj−p f¨ ur j, n ∈ Z, n ≥ 0 (9.8) Ujn+1 = (Ek U n )j := p

betrachten, wobei ap = ap (λ), λ = k/h2 gilt und die Summe endlich ist. Diesem Operator kann man das trigonometrische Polynom ˜ (9.9) E(ξ) = ap e−ipξ p

zuordnen. Dieses Polynom ist f¨ ur die Stabilit¨ atsanalyse relevant und wird als Symbol oder als charakteristisches Polynom von Ek bezeichnet. Es ergibt sich sofort folgendes Resultat. Theorem 9.2. Eine notwendige Bedingung f¨ ur die Stabilit¨at des Operators Ek in (9.8) bez¨ uglich der in (9.5) definierten diskreten Maximumnorm ist (9.10)

˜ |E(ξ)| ≤1

f¨ ur ξ ∈ R.

˜ 0 )| > 1 f¨ Beweis. Angenommen, Ek ist stabil und es gilt |E(ξ ur ein ξ0 ∈ R. Dann ist f¨ ur vj = eijξ0 ǫ ˜ 0 )vj . Uj1 = ǫ ap ei(j−p)ξ0 = E(ξ p

Durch wiederholte Anwendung f¨ uhrt dies auf ˜ 0 )|n ǫ → ∞ U n ∞,h = |E(ξ

f¨ ur n → ∞.

Wegen v∞,h = ǫ widerspricht dies der Stabilit¨ at und beweist damit das Theorem. ⊔ ⊓ ˜ F¨ ur den in (9.4) definierten Finite-Differenzen-Oprator gilt E(ξ) = 1− 2λ + 2λ cos ξ. Da cos ξ in [−1, 1] liegt, ist die Bedingung (9.10) ¨ aquivalent zu atsbedingung 1 − 4λ ≥ −1 oder λ ≤ 12 , was mit der vorhin festgelegten Stabilit¨ u ¨bereinstimmt. Die Bedingung (9.10) bildet einen Spezialfall der von Neumannschen Stabilit¨atsbedingung. Wir werden sehen, dass diese Bedingung in einer etwas anderen Situation f¨ ur die Stabilit¨ at ebenfalls hinreichend ist.

Aufgrund seiner Definition ist das charakteristische Polynom eines diskreten L¨osungsoperators besonders geeignet f¨ ur die Untersuchung finiter Differenzenverfahren im Zusammenhang mit der Fourier-Analyse. Es ist dann zweckm¨aßig, die l2 -Norm als Maß f¨ ur die Gitterfunktionen zu verwenden. Sei eine Gitterfunktion in der r¨ aumlichen Variable. Wir setzen also V = {Vj }∞ −∞ ∞ 1/2 V 2,h = h Vj2 . j=−∞

140

9 Finite Differenzenverfahren f¨ ur parabolische Probleme

Die Menge der auf diese Weise normierten Gitterfunktionen mit endlicher Norm wird mit l2,h bezeichnet. F¨ ur eine solche Gitterfunktion definieren wir außerdem deren diskrete Fourier-Transformierte ∞

Vˆ (ξ) = h

Vj e−ijξ ,

j=−∞

wobei wir annehmen, dass die Summe absolut konvergent ist. Die Funktion Vˆ (ξ) ist 2π-periodisch und V kann durch die R¨ ucktransformation π 1 Vˆ (ξ)eijξ dξ Vj = 2πh −π

aus Vˆ (ξ) wiedergewonnen werden. Wir wiederholen die Parsevalsche Gleichung π/h π 1 1 2 2 ˆ |Vˆ (hξ)|2 dξ. |V (ξ)| dξ = (9.11) V 2,h = 2π −π/h 2πh −π

Nun k¨ onnen wir die Stabilit¨ at bez¨ uglich der Norm ·2,h oder die Stabilit¨at in l2,h definieren. Diese ist ¨ ahnlich zu (9.6), erlaubt allerdings einen konstanten Faktor C auf der rechten Seite, es gilt also Ekn V 2,h ≤ CV 2,h

(9.12)

f¨ ur n ≥ 0, h ∈ (0, 1).

Damit erhalten wir folgendes Theorem. Theorem 9.3. Die von Neumannsche Bedingung (9.10) ist eine notwendige und hinreichende Bedingung f¨ ur die Stabilit¨at des Operators Ekn in l2,h . Beweis. Wir beachten, dass ap Vj−p e−ijξ (Ek V )ˆ(ξ) = h j

=

p

gilt. Folglich ist

p

ap e−ipξ h

˜ Vˆ (ξ) Vj−p e−i(j−p)ξ = E(ξ)

j

˜ n Vˆ (ξ). (Ekn V )ˆ(ξ) = E(ξ)

Unter Verwendung der Parsevalschen Gleichung (9.11) ist die Stabilit¨at von aquivalent zu Ek in l2,h ¨ π π 2n ˆ 2 2 ˜ |E(ξ)| |V (ξ)| dξ ≤ C |Vˆ (ξ)|2 dξ f¨ ur n ≥ 0 −π

−π

f¨ ur alle zul¨ assigen Vˆ . Dies ist aber, wie man leicht sieht, nur genau dann erf¨ ullt, wenn n ˜ ≤ C f¨ ur n ≥ 0, ξ ∈ R |E(ξ)|

gilt, was ¨ aquivalent zu (9.10) ist (und in (9.12) gilt folglich C = 1 ).

⊔ ⊓

9.1 Das reine Anfangswertproblem

141

Bei der Diskussion eines expliziten, finiten Differenzenverfahrens der Form (9.8) ist es manchmal hilfreich, die Funktionen in der r¨ aumlichen Variable x nicht nur als an den Gitterpunkten definiert zu betrachten, sondern f¨ ur alle x ∈ R, sodass eine Anfangsfunktion U 0 (x) = v(x) gegeben ist und wir nach einer approximativen L¨osung U n (x) an den Stellen t = tn , n = 1, 2, . . . suchen. Diese erhalten wir aus ap U n (x − xp ), ap = ap (λ), λ = k/h2 . (9.13) U n+1 (x) = (Ek U n )(x) = p

Ein Vorteil dieses Standpunktes ist, dass dann alle U n unabh¨ angig von h in demselben Funktionenraum liegen, beispielsweise in L2 (R) oder C(R). Wir betrachten kurz den Fall, dass die Analyse in L2 = L2 (R) stattfindet, und setzen ∞ 1/2 u = |u(x)|2 dx , −∞

wobei wir nun auch komplexwertige Funktionen zulassen. Wir benutzen dann die durch ∞ (9.14) (Fv)(ξ) = vˆ(ξ) = v(x)e−ixξ dx −∞

definierte Fourier-Transformierte (siehe Anhang A.3), und stellen fest, dass ˜ an dieser Stelle mit dem durch (9.9) definierten E(ξ) ˜ ap (Fv(· − ph))(ξ) = ap e−iphξ vˆ(ξ) = E(hξ)ˆ (Ek v)ˆ(ξ) = v(ξ) p

p

gilt. Rufen wir uns die Parsevalsche Gleichung f¨ ur (9.14) v 2 v2 = (2π)−1 ˆ ins Ged¨achtnis, finden wir also n n ˜ ˜ vˆ ≤ sup |E(hξ)| v. U n = (2π)−1/2 E(hξ) ξ∈R

Deshalb liegt Stabilit¨ at bez¨ uglich L2 genau dann vor, wenn n ˜ sup |E(hξ)| ≤ C,

ξ∈R

n≥0

erf¨ ullt ist, was wiederum ¨ aquivalent zur von Neumannschen Bedingung (9.10) ist. Auch die Konvergenzanalyse kann in L2 ausgef¨ uhrt werden. Wir sagen, dass der durch (9.13) definierte Finite-Differenzen-Operator Ek die Genauigkeit der Ordnung r besitzt, wenn (9.15)

2 ˜ E(ξ) = e−λξ + O(|ξ|r+2 )

f¨ ur ξ → 0

142

9 Finite Differenzenverfahren f¨ ur parabolische Probleme

gilt. Beispielsweise gilt f¨ ur den in (9.4) definierten Operator 1 ˜ λξ 4 + O(ξ 6 ) E(ξ) = 1 − 2λ + 2λ cos ξ = 1 − λξ 2 + 12 2 1 λ − 12 λ2 ξ 4 + O(ξ 6 ), = e−λξ + 12

sodass (9.4) eine Genauigkeit der Ordnung 2 besitzt oder f¨ ur die spezielle Wahl λ = 16 von der Ordnung 4 ist. ˜ Durch Vergleich der Koeffizienten in der Taylor-Entwicklung von E(ξ) − −λξ 2 e um ξ = 0 mit den Koeffizienten der Entwicklung von Ek u(x, t)−u(x, t+ k) um (x, t) mit k = λh2 kann man leicht sehen, dass die Definition (9.15) ur die exakte L¨osung von (9.1) ¨aquivalent zu der Feststellung ist, dass f¨

(9.16) un+1 (x) − Ek un (x) = kO(hr ) f¨ ur h → 0, λ = k/h2 = konstant, gilt. Das heißt, dass der Einschritt-L¨ osungsoperator die exakte L¨osung bis zur Ordnung kO(hr ) approximiert (siehe Problemstellung 9.1). Es gilt folgendes Resultat, wobei daran erinnert sei, dass | · |s = | · |H s ist. Theorem 9.4. Angenommen, Ek ist durch (9.13) mit λ = k/h2 = konstant definiert und ist in der Genauigkeit von der Ordnung r und stabil in L2 . Dann gilt U n − un ≤ Ctn hr |v|r+2 f¨ ur tn ≥ 0. ˜ Beweis. Weil E(ξ) auf R beschr¨ ankt ist, gilt wegen (9.15) 2

˜ |E(ξ) − e−λξ | ≤ C|ξ|r+2

f¨ ur ξ ∈ R.

Aus der Stabilit¨at folgt ˜ n − e−nλξ2 | = |(E(ξ) ˜ − e−λξ2 ) (9.17) |E(ξ)

n−1 j=0

˜ n−1−j e−jλξ2 | ≤ Cn|ξ|r+2 . E(ξ)

Wie in Abschnitt 8.1 erhalten wir nun durch Fourier-Transformation von (9.1) bez¨ uglich x dˆ u (ξ, t) = −ξ 2 u ˆ(ξ, t) f¨ ur t > 0 mit u ˆ(ξ, 0) = vˆ(ξ) dt

und daher

2

u ˆ(ξ, t) = e−ξ t vˆ(ξ). Wir schlussfolgern

und deshalb

2 n ˜ (U n − un )ˆ v (ξ) = E(hξ) − e−nkξ vˆ(ξ) 2 n ˜ U n − un 2 = (2π)−1 (E(hξ) − e−nkξ )ˆ v (ξ)2 .

9.1 Das reine Anfangswertproblem

143

Nun ist wegen (9.17) 2

n ˜ |E(hξ) − e−nkξ | ≤ Cnhr+2 |ξ|r+2 ,

sodass unter Verwendung von (dv/dx)ˆ(ξ) = −iξˆ v (ξ) und λ = k/h2 U n − un ≤ (2π)−1/2 Cnhr+2 ξ r+2 vˆ(ξ) ≤ C nk hr v (r+2) gilt. Dies zeigt die Folgerung des Theorems unter der Annahme, dass die Anfangsdaten eine solche Form haben, dass v (r+2) zu L2 geh¨ ort. Tats¨ achlich kann man diese Regularit¨atsforderung mithilfe eines pr¨ aziseren Argumentes unter Verwendung der Gl¨attungseigenschaft des L¨ osungsoperators E(t) um zwei Ableitungen reduzieren. ⊔ ⊓ Bei der obigen Diskussion haben wir lediglich finite Einschritt-Differenzenverfahren verwendet, d. h. Verfahren, die Werte zur Zeit t = tn benutzen, um die approximative L¨ osung an der Stelle t = tn+1 zu berechnen. Es w¨ are ebenso nat¨ urlich, die Ableitungen bei der W¨ armeleitungsgleichung (9.1) durch urde Differenzenquotienten zu ersetzen, die symmetrisch zu (x, tn ) sind. Dies w¨ auf die Gleichung (9.18)

U n+1 (x) − U n−1 (x) = ∂x ∂¯x U n (x) 2k

f¨ uhren. In diesem Fall m¨ ussen wir zus¨ atzlich zu U 0 = v auch U 1 vorgeben (etwa durch Approximation von u(·, k)), damit wir in der Lage sind, mithilfe von ur n ≥ 0 zu bestimmen. Dieses Zweischrittverfahren w¨ are formal in (9.18) U n f¨ der Genauigkeit sowohl in x als auch in t von zweiter Ordnung. Obwohl sich das spezielle Verfahren (9.18) f¨ ur jede Kombination von h und k als instabil erweisen wird (siehe Problemstellung 9.6), sind andere Mehrschrittverfahren bei Anwendungen sinnvoll. Man kann beispielsweise zeigen, dass das Verfahren (9.18) f¨ ur jede Konstante λ stabilisiert werden kann, indem man U n (x) auf der rechten Seite durch den Mittelwert 12 (U n+1 (x) + U n−1 (x)) ersetzt, woraus sich das Dufort-Frankel-Verfahren ergibt:

U n (x + h) − U n+1 (x) − U n−1 (x) + U n (x − h) U n+1 (x) − U n−1 (x) . = h2 2k

Wir beenden diese Diskussion mit einer Beobachtung, die sich auf die Genauigkeit des Dufort-Frankel-Verfahrens bezieht. Es sei u also eine glatte Funktion. Wir ersetzen U durch u. Seien ∂x ∂¯x und entsprechend ∂t ∂¯t wie vorhin. Mit dem symmetrischen Differenzenquotienten ∂ˆt u(x, t + k) − u(x, t − k) = 12 (∂t + ∂¯t )u(x, t) ∂ˆt u(x, t) = 2k

gilt f¨ ur den Rundungsfehler

144

9 Finite Differenzenverfahren f¨ ur parabolische Probleme

τh,k,n (x) un+1 (x) − un−1 (x) un (x + h) − un+1 (x) − un−1 (x) + un (x − h) − h2 2k 2 k = ∂ˆt u(x, tn ) − ∂x ∂¯x u(x, tn ) + 2 ∂t ∂¯t u(x, tn ) h k4 k2 = (ut − uxx )(x, tn ) + O(k2 ) + O(h2 ) + 2 utt (x, tn ) + O 2 . h h

=

Die Konsistenz mit der W¨ armeleitungsgleichung fordert deshalb, dass k/h gegen null strebt, was beispielsweise f¨ ur k/h2 = λ = konstant der Fall ist. Wenn jedoch stattdessen k/h = λ = konstant ist, erhalten wir τh,k,n (x) = (ut − uxx + λ2 utt )(x, tn ) + O(h2 )

f¨ ur h → 0,

wobei das Verfahren dann konsistent ist, allerding nicht mit der W¨ armeleitungsgleichung, sondern mit der hyperbolichen Gleichung zweiter Ordnung λ2 utt + ut − uxx = 0. Ein Großteil der Analyse in diesem Abschnitt l¨ asst sich auf das Anfangswertproblem f¨ ur die inhomogene Gleichung ut = uxx + f (x, t) u(·, 0) = v

in R × R+ , in R

verallgemeinern. Beispielsweise k¨ onnen wir das Vorw¨ arts-Euler-Verfahren ∂t Ujn = ∂x ∂¯x Ujn + fjn Uj0

= vj := v(xj )

f¨ ur j, n ∈ Z, n ≥ 0,

f¨ ur j ∈ Z,

oder mit dem wie in (9.4) definierten Ek Ujn+1 = (Ek U n )j + k fjn , anwenden. Aufgrund der Stabilit¨ at von Ek in der Maximumnorm kann man sofort schlussfolgern, dass U n ∞,h ≤ v∞,h + k

n−1 l=0

f l ∞,h

gilt. Dar¨ uber hinaus l¨ asst sich wie beim Beweis von Theorem 9.1 die Fehlerabsch¨ atzung U n − un ∞,h ≤ Ctn h2 max |utt (·, s)|C + |u(·, s)|C 4 s≤tn

leicht zeigen.

9.2 Das gemischte Anfangs-Randwertproblem

145

9.2 Das gemischte Anfangs-Randwertproblem Bei vielen physikalischen Anwendungen ist unser vorhin betrachtetes Modell des reinen Anfangswertproblems (9.1) unzureichend. Stattdessen ist es erforderlich, die W¨armeleitungsgleichung auf einem endlichen Intervall mit an den Endpunkten des Intervalls gegebenen Randwerten f¨ ur positive Zeiten zu l¨ osen. Dies veranlasst uns zur Betrachtung des folgenden Modellproblems

(9.19)

ut = uxx

in Ω = (0, 1), t > 0,

u(0, t) = u(1, t) = 0 u(·, 0) = v

f¨ ur t > 0, in Ω.

Zur approximativen L¨ osung k¨onnen wir das Gebiet wiederum mit einem Punktegitter u ¨berdecken, indem wir diesmal das Gebiet Ω in Teilintervalle gleicher L¨ange h = 1/M mit einer positiven ganzen Zahl M unterteilen und (xj , tn ) = (jh, nk) mit j = 0, . . . , M und n = 0, 1, . . . setzen. Mit der Approximation Ujn von u(xj , tn ) lautet das explizite Vorw¨arts-Euler-Verfahren ∂t Ujn = ∂x ∂¯x Ujn (9.20)

U0n Uj0

=

n UM

=0

= Vj = v(xj )

f¨ ur j = 1, . . . , M − 1, n ≥ 0,

f¨ ur n > 0,

f¨ ur j = 0, . . . , M

oder mit gegebenem Ujn , j = 0, . . . , M n n Ujn+1 = λ(Uj−1 + Uj+1 ) + (1 − 2λ)Ujn ,

U0n+1

=

n+1 UM

= 0.

j = 1, . . . , M − 1,

In diesem Fall suchen wir also nach einer Folge von (M +1)-komponentigen n n T = 0, die diese Gleichungen ) mit U0n = UM Vektoren U n = (U0n , . . . , UM erf¨ ullen. Bei dieser Analyse werden wir zun¨achst die diskrete Maximumnorm U n ∞,h = max |Ujn | 0≤j≤M

ur das reine Anverwenden. Im Falle λ = k/h2 ≤ 12 schlussfolgern wir wie f¨ fangswertproblem U n+1 ∞,h ≤ U n ∞,h oder mit der u osungsoperators Ek ¨blichen Definition des L¨ Ekn V ∞,h ≤ V ∞,h

f¨ ur n ≥ 0.

Das Verfahren ist somit f¨ ur λ ≤ 12 in der Maximumnorm stabil. Um uns davon zu u berzeugen, dass diese Bedingung f¨ ur die Stabilit¨ at auch ¨ im vorliegenden Fall notwendig ist, modifizieren wir unser Gegenbeispiel aus Abschnitt 9.1 so, dass die Randbedingungen ber¨ ucksichtigt werden, und setzen

146

9 Finite Differenzenverfahren f¨ ur parabolische Probleme

Uj0 = Vj = (−1)j sin(πjh)

f¨ ur j = 0, . . . , M.

Mithilfe einer einfachen Rechnung wie im Beweis von Theorem 9.2 gilt dann Ujn = (1 − 2λ − 2λ cos(πh))n Vj Im Falle λ >

1 2

f¨ ur j = 0, . . . , M.

gilt f¨ ur alle hinreichend kleine h |1 − 2λ − 2λ cos(πh)| ≥ γ > 1

und deshalb f¨ ur tn = 1 U n ∞,h ≥ γ n V ∞,h → ∞

f¨ ur h → 0.

Liegt Stabilit¨ at vor, k¨ onnen wir wie beim reinen Anfangswertproblem eine Fehlerabsch¨atzung herleiten. Die Absch¨ atzung in (9.7) ergibt nun f¨ ur den Rundungsfehler τjn = ∂t unj − ∂x ∂¯x unj |τjn | ≤ Ch2 max |u(·, t)|C 4 t∈In

mit In = (tn , tn+1 )

und wir erhalten die folgende Fehlerabsch¨ atzung. Theorem 9.5. Seien U n und u die L¨osungen von (9.20) mit λ ≤ (9.19). Dann gilt

U n − un ∞,h ≤ Ctn h2 max |u(·, t)|C 4 t≤tn

1 2

und von

f¨ ur tn ≥ 0.

Wir weisen darauf hin, dass wir von v in diesem Fall bestimmte Kompatibilit¨atsbedingungen mit den Randbedingungen fordern m¨ ussen, damit u hinreichend regul¨ar ist und damit die rechte Seite von (9.7) durch Ch2 |v|C 4 beschr¨ankt ist. Diese Bedingungen lauten v(x) = v ′′ (x) = v (iv) (x) = 0 f¨ ur x = 0, 1. Wir stellen fest, dass ein Verfahren von der Form n ap Uj−p f¨ ur j = 1, . . . , M − 1 Ujn+1 = p

an dieser Stelle nicht geeignet ist, wenn ap = 0 f¨ ur |p| > 1 ist, weil dann die Gleichung f¨ ur einen inneren Gitterpunkt von Ω einen Gitterpunkt außerhalb dieses Intervalls verwendet. In einem solchen Fall muss die Gleichung in der N¨ahe der Endpunkte modifiziert werden, was die Analyse signifikant komplizierter macht.

ur das Vorw¨arts-Euler-Verfahren Die Stabilit¨atsforderung k ≤ 12 h2 , die f¨ benutzt wird, ist in der Praxis ziemlich restriktiv. Es w¨are w¨ unschenswert, diese etwas abzuschw¨ achen, damit h und k in der gleichen Gr¨oßenordnung verwendet werden k¨ onnen. Zu diesem Zweck kann man anstelle des oben betrachteten expliziten Verfahrens ein implizites Verfahren definieren. Dabei handelt es sich um das R¨ uckw¨arts-Euler-Verfahren

9.2 Das gemischte Anfangs-Randwertproblem

∂¯t Ujn+1 = ∂x ∂¯x Ujn+1 (9.21)

U0n+1 Uj0 =

=

n+1 UM

=0

Vj = v(xj )

147

f¨ ur j = 1, . . . , M − 1, n ≥ 0,

f¨ ur n ≥ 0,

f¨ ur j = 0, . . . , M.

F¨ ur ein gegebenes U n kann dies in die Form n+1 n+1 ) = Ujn , + Uj+1 (1 + 2λ)Ujn+1 − λ(Uj−1

n+1 U0n+1 = UM =0

j = 1, . . . , M − 1,

gebracht werden, was ein lineares Gleichungssystem zur Bestimmung von U n+1 ist. In Matrixdarstellung kann dies als (9.22)

¯ n+1 = U ¯n BU

¯ n+1 und U ¯ n Vektoren mit M − 1 Komponengeschrieben werden, wobei U ten sind, die zu den inneren Gitterpunkten geh¨ oren. Die Matrix B ist eine diagonaldominante, symmetrische Tridiagonalmatrix ⎡ ⎤ 1 + 2λ −λ 0 ... 0 ⎢ .. ⎥ .. ⎢ −λ 1 + 2λ −λ . . ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ .. .. .. B=⎢ 0 ⎥. . . . 0 ⎢ ⎥ ⎢ . ⎥ . .. ⎣ .. −λ 1 + 2λ −λ ⎦ 0 ... 0 −λ 1 + 2λ

¯ n+1 aufgel¨ ost werden. Offensichtlich kann das System (9.22) leicht nach U 0 F¨ uhren wir den endlichdimensionalen Raum lh der Vektoren {Vj }M j=0 mit (M + 1) Komponenten und V0 = VM = 0 sowie den durch (Bkh V )j = (1 + 2λ)Vj − λ(Vj−1 + Vj+1 ) = Vj − k∂x ∂¯x Vj ,

j = 1, . . . , M − 1

definierten Operator Bkh auf lh0 ein, so k¨onnen wir das obige System als Bkh U n+1 = U n oder wiederum mit dem lokalen L¨ osungsoperator Ek als −1 n U n+1 = Bkh U = Ek U n

schreiben. Wir werden nun sehen, dass dieses Verfahren ohne Einschr¨ ankungen f¨ ur k und h in der Maximumnorm stabil ist, oder genauer gesagt, dass (9.23)

U n+1 ∞,h ≤ U n ∞,h

gilt. Tats¨achlich gilt mit geeignetem j0

f¨ ur n ≥ 0

148

9 Finite Differenzenverfahren f¨ ur parabolische Probleme

1 n+1 n λ |Uj0 −1 | + |Ujn+1 | + |U | j +1 0 0 1 + 2λ 1 2λ U n ∞,h , U n+1 ∞,h + ≤ 1 + 2λ 1 + 2λ

|≤ U n+1 ∞,h = |Ujn+1 0

woraus unmittelbar (9.23) folgt. Dies impliziert die Stabilit¨atsabsch¨atzung (9.24)

U n ∞,h = Ekn V ∞,h ≤ V ∞,h .

Der L¨ osungsoperator Ekn ist also in der Maximumnorm stabil und es l¨asst sich auch zeigen, dass U n gegen u(tn ) konvergiert. Hier gilt f¨ ur den Rundungsfehler = O(k + h2 ) − ∂x ∂¯x un+1 τjn = ∂¯t un+1 j j

f¨ ur k, h → 0 mit j = 1, . . . , M − 1,

wobei sich der letzte Ausdruck nicht auf O(h2 ) reduziert, da h und k nicht zusammenh¨ angen. Das Konvergenzresultat l¨ asst sich nun folgendermaßen zusammenfassen. Theorem 9.6. Seien U n und u L¨osungen von (9.19) und (9.21). Dann gilt U n − un ∞,h ≤ C tn (h2 + k) max |u(·, t)|C 4 t≤tn

f¨ ur tn ≥ 0.

Beweis. Definieren wir den Fehler durch z n = U n − un , so k¨onnen wir Bkh z n+1 = Bkh U n+1 − Bkh un+1 = U n − (un+1 − k∂x ∂¯x un+1 ) = z n − k τ n schreiben, wobei wir τ n als ein Element von lh0 betrachten. Somit gilt z n+1 = Ek z n − kEk τ n und es ergibt sich daraus z n = −k

n−1

Ekn−l τ l .

l=0

Die Absch¨ atzung (9.7) wird nun durch τ n ∞,h ≤ C(h2 + k) max |u(·, t)|C 4 t∈In−1

ersetzt. Unter Verwendung von (9.24) erhalten wir z n ∞,h ≤ k

n−1 l=0

τ l ∞,h ≤ C tn (h2 + k) max |u(·, t)|C 4 ,

was den Beweis vervollst¨ andigt.

t≤tn

⊔ ⊓

9.2 Das gemischte Anfangs-Randwertproblem

149

Das oben angegebene Konvergenzresultat f¨ ur das R¨ uckw¨ arts-Euler-Verfahren ist in dem Sinne befriedigend, dass es keine Einschr¨ ankungen f¨ ur das Verh¨altnis der Gitterkonstanten λ = k/h2 erfordert. Andererseits ist das Verfahren in der Zeit nur von der Genauigkeit erster Ordnung und der Fehler in der Zeitdiskretisierung wird dominieren, wenn k nicht sehr viel kleiner als h gew¨ahlt wird. Es w¨ are deshalb w¨ unschenswert, ein stabiles Verfahren zu finden, das in der Genauigkeit hinsichtlich der Zeitdiskretisierung ebenfalls von zweiter Ordnung ist. Ein solches Verfahren ist das Crank-Nicolson-Verfahren, das f¨ ur gew¨ohnliche Differentialgleichungssysteme in Abschnitt 7.2 eingef¨ uhrt wurde. Dieses Verfahren ist um den Punkt (xj , tn+1/2 ) symmetrisch und durch

(9.25)

∂¯t Ujn+1 = 12 ∂x ∂¯x Ujn + Ujn+1 U0n+1 Uj0 =

=

n+1 UM

=0

Vj := v(jh)

f¨ ur j = 1, . . . , M − 1, n ≥ 0,

f¨ ur n ≥ 0

f¨ ur j = 0, . . . , M

definiert. Die erste Gleichung kann auch in der Form (I − 12 k∂x ∂¯x )Ujn+1 = (I + 12 k∂x ∂¯x )Ujn

oder als n+1 n+1 n n ) + Uj+1 ) = (1 − λ)Ujn + 12 λ(Uj−1 + Uj+1 (1 + λ)Ujn+1 − 12 λ(Uj−1

geschrieben werden. In Matrixform nimmt dies die Gestalt ¯ n+1 = AU ¯n BU ¯ n wieder den zu U n geh¨ an, wobei U origen Vektor mit (M − 1) Komponenten bezeichnet und sowohl A als auch B symmetrische Tridiagonalmatrizen sind. Die Matrix B ist diagonaldominant ⎤ ⎡ 0 ... 0 1 + λ − 12 λ ⎢ 1 .. ⎥ ⎢ − λ 1 + λ −1λ ... . ⎥ 2 ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ .. .. .. B=⎢ 0 ⎥ . . . 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ . . .. −1λ 1 + λ −1λ ⎦ ⎣ .. 2 2 0 ... 0 − 12 λ 1 + λ

und A ist

⎡

1−λ

1 2λ

0

⎢ 1 ⎢ λ 1 − λ 1λ 2 ⎢ 2 ⎢ .. .. A=⎢ 0 . . ⎢ ⎢ . . .. 1λ ⎣ .. 2 0 ... 0

⎤ 0 .. ⎥ . ⎥ ⎥ ⎥ . 0 ⎥ ⎥ ⎥ 1 − λ 12 λ ⎦ 1 2λ 1 − λ ... .. . .. .

150

9 Finite Differenzenverfahren f¨ ur parabolische Probleme

Mit der u ¨ blichen Notation gilt auch Bkh U n+1 = Akh U n oder

−1 Akh U n = Ek U n , U n+1 = Bkh

wobei analog zu oben

−1 Bkh V ∞,h ≤ V ∞,h

ist. Geht man wie bei der Stabilit¨ atsabsch¨atzung f¨ ur das R¨ uckw¨ arts-EulerVerfahren vor, ergibt sich f¨ ur λ ≤ 1, weil die Koeffizienten auf der rechten Seite dann nichtnegativ sind, (1 + λ)U n+1 ∞,h ≤ λU n+1 ∞,h + U n ∞,h oder U n+1 ∞,h ≤ U n ∞,h , was die Stabilit¨at zeigt. Ist jedoch λ > 1, was der f¨ ur uns interessante Fall ist, wenn wir h und k von der gleichen Gr¨oßenordnung w¨ ahlen wollen, erhalten wir stattdessen (1 + λ)U n+1 ∞,h ≤ λU n+1 ∞,h + (2λ − 1)U n ∞,h , was wegen 2λ − 1 > 1 nicht zur Stabilit¨at in der Maximumnorm f¨ uhrt. Wie vorhin ergibt sich f¨ ur λ ≤ 1 unmittelbar eine Konvergenzabsch¨ atzung der Ordnung O(k 2 + h2 ) = O(h2 ). Damit wir uns mit dem Fall λ > 1 besch¨aftigen k¨ onnen, kommen wir nun ahnlich ist. Wir stattdessen zu einer Analyse in einer Norm, die der in l2 ¨ f¨ uhren also f¨ ur die Vektoren V = (V0 , . . . , VM )T das Skalarprodukt (V, W )h = h

M

Vj Wj

j=0

und die zugeh¨orige Norm 1/2

V 2,h = (V, V )h

M 1/2 Vj2 = h j=0

0 ein. Wir bezeichnen mit l2,h den Raum lh0 , der mit diesem Skalarprodukt und dieser Norm versehen ist, und stellen fest, dass dieser Raum durch die M − 1 Vektoren ϕp , p = 1, . . . , M − 1 mit den Komponenten √ ur j = 0, . . . , M ϕp,j = 2 sin(πpjh) f¨

9.2 Das gemischte Anfangs-Randwertproblem

151

aufgespannt wird und dass diese eine Orthonormalbasis bez¨ uglich des obigen Skalarproduktes bilden (siehe Problemstellung 9.7). Es gilt also 1 f¨ ur p = q, (ϕp , ϕq )h = δpq = 0 f¨ ur p = q. Die ϕp sind Eigenfunktionen des Finite-Differenzen-Operators −∂x ∂¯x mit 2 −∂x ∂¯x ϕp,j = 2 (1 − cos(πph))ϕp,j h

f¨ ur j = 1, . . . , M − 1.

Wir werden die Stabilit¨ at nun im Zusammenhang mit den drei bisher betrachteten Differenzenverfahren diskutieren. Seien V die gegebenen Anfangs0 daten in l2,h . Dann gilt V =

M −1

Vˆp ϕp ,

wobei Vˆp = (V, ϕp )h ist.

p=1

Das Vorw¨arts-Euler-Verfahren liefert dann Uj1 = Vj + k∂x ∂¯x Vj =

M −1 p=1

Vˆp 1 − 2λ(1 − cos(πph)) ϕp,j , j = 1, . . . , M − 1

1 mit U01 = UM = 0 oder allgemeiner

Ujn =

(9.26)

M −1

n ˜ Vˆp E(πph) ϕp,j ,

j = 0, . . . , M,

p=1

˜ wobei E(ξ) das charakteristische Polynom des lokalen, diskreten L¨ osungsoperators Ek mit ˜ E(ξ) = 1 − 2λ + 2λ cos ξ ist. Wegen der Parsevalschen Gleichung gilt somit n

U 2,h =

−1 M p=1

2n ˜ Vˆp2 E(πph)

1/2

n ˜ ≤ max |E(πph) | V 2,h , p

wobei Gleichheit f¨ ur ein geeignet gew¨ ahltes V angenommen wird. Nun gilt f¨ ur 1≤p≤M −1 ˜ |E(πph)| = max |1 − 2λ(1 − cos(πh))|, |1 − 2λ(1 − cos(π(M − 1)h))| = max |1 − 2λ(1 − cos(πh))|, |1 − 2λ(1 + cos(πh))|}.

˜ Die Ungleichung maxp |E(phπ)| ≤ 1 gilt also f¨ ur kleine h genau dann, wenn 1 ullt ist. In diesem Falle folgt 4λ − 1 ≤ 1 oder λ ≤ 2 erf¨

152

9 Finite Differenzenverfahren f¨ ur parabolische Probleme

U n 2,h ≤ V 2,h .

(9.27)

0 Folglich ist das Vorw¨arts-Euler-Verfahren in l2,h genau dann stabil, wenn λ ≤ 1 erf¨ u llt ist. Das sind die gleichen Bedingungen wie f¨ ur die Maximumnorm. 2 Die entsprechende Analyse f¨ ur das R¨ uckw¨ arts-Euler-Verfahren f¨ uhrt auf (9.26), wobei nun 1 ˜ E(ξ) = 1 + 2λ(1 − cos ξ)

˜ ist. In diesem Fall gilt 0 ≤ E(πph) ≤ 1 f¨ ur alle p und λ und (9.27) ist daher f¨ ur jeden Wert von λ g¨ ultig. Analog dazu gilt (9.26) auch f¨ ur das Crank-Nicolson-Verfahren mit 1 − λ(1 − cos ξ) ˜ , E(ξ) = 1 + λ(1 − cos ξ)

˜ und wir stellen nun fest, dass |E(ξ)| ≤ 1 f¨ ur alle ξ und jedes λ > 0 erf¨ ullt ist. 0 Die Fourier-Analyse zeigt also die Stabilit¨ at in l2,h f¨ ur jedes λ. Die Konvergenz folgt wiederum aus der Standardmethode und es ergibt sich folgendes Theorem. Theorem 9.7. Seien U n und u L¨osungen von (9.25) und (9.19). Dann gilt U n − un 2,h ≤ C tn (h2 + k2 ) max |u(·, t)|C 6 t≤tn

f¨ ur tn ≥ 0.

Beweis. Wir schreiben f¨ ur den Rundungsfehler

unj + un+1 j = ∂¯t un+1 − u (x , t ) t j n+1/2 j 2 un + un+1 j j n+1/2 n+1/2 − uj + ∂x ∂¯x uj − uxx (xj , tn+1/2 ) . + ∂x ∂¯x 2

τjn = ∂¯t un+1 − ∂x ∂¯x j

Somit ergibt sich wie vorhin unter Verwendung von Taylor-Entwicklungen τ n 2,h ≤ C(h2 + k2 ) max |u(·, t)|C 6 . t∈In

Wie vorhin erf¨ ullt der Fehler zjn = Ujn − unj die Gleichung −1 −1 n z n+1 = U n+1 − un+1 = Ek U n − Bkh Bkh un+1 = Ek z n − k Bkh τ

oder z n = −k

n−1

−1 l Ekn−1−l Bkh τ ,

l=0

woraus das gesuchte Resultat wegen der Stabilit¨ at des Crank-Nicolson-Opera−1 anktheit von Bkh tors Ekn und der Beschr¨ folgt. ⊔ ⊓

9.3 Problemstellungen

153

Das Vorw¨arts- und R¨ uckw¨ arts-Euler-Verfahren sowie das Crank-NicolsonVerfahren k¨onnen als Spezialf¨ alle des θ-Verfahrens betrachtet werden, das durch (9.28)

∂¯t Ujn+1 = θ∂x ∂¯x Ujn+1 + (1 − θ)∂x ∂¯x Ujn ,

j = 1, . . . , M − 1

definiert ist. Mit θ = 0 ergibt sich das Vorw¨arts-Euler-Verfahren, mit θ = 1 das R¨ uckw¨arts-Euler-Verfahren und mit θ = 1/2 das Crank-Nicolson-Verfahren. Die Gleichung (9.28) kann in der Form (I − θk∂x ∂¯x )U n+1 = (I + (1 − θ)k∂x ∂¯x )U n geschrieben werden. Diesmal ergibt sich f¨ ur die charakteristische Gleichung 1 − 2(1 − θ)λ(1 − cos ξ) ˜ . E(ξ) = 1 + 2θλ(1 − cos ξ)

˜ Unter der Annahme 0 ≤ θ ≤ 1 gilt E(ξ) ≤ 1 f¨ ur ξ ∈ R und die Stabilit¨atsforderung reduziert sich auf ˜ = min E(ξ) ξ

1 − 4(1 − θ)λ ≥ −1 1 + 4θλ

oder (1 − 2θ)λ ≤ 12 .

0 0 Folglich ist das θ-Verfahren unbedingt stabil in l2,h f¨ ur alle , d. h. stabil in l2,h λ mit θ ≥ 1/2, w¨ahrend f¨ ur θ < 1/2 Stabilit¨ at genau dann vorliegt, wenn

λ≤

1 2(1 − 2θ)

erf¨ ullt ist.

9.3 Problemstellungen ¨ Problem 9.1. Zeigen Sie die Aquivalenz der Definitionen (9.15) und (9.16) in der Genauigkeit der Ordnung r. Verwenden Sie die alternative Definition (9.16) um zu beweisen, dass die Genauigkeit von (9.4) von der Ordnung 4 ist, wenn λ = 1/6 gew¨ ahlt wird. Problem 9.2. Formulieren und beweisen Sie eine zu Theorem 9.2 analoge Aussage in zwei r¨ aumlichen Dimensionen. Problem 9.3. Es sei (ajk ) eine symmetrische, positiv definite 2 × 2-Matrix. Zur L¨osung des Anfangswertproblems

154

9 Finite Differenzenverfahren f¨ ur parabolische Probleme 2 ∂2u ∂u ajk = ∂xj ∂xk ∂t

in R2 × R+ ,

j,k=1

in R2

u(·, 0) = v

soll das finite Differenzenverfahren n ∂t Uij =

2

n akl ∂xk ∂¯xl Uij

k,l=1

angewendet werden. (a) Geben Sie Bedingungen f¨ ur die Koeffizienten an, die f¨ ur die Stabilit¨ at des Verfahrens in der Matrixnorm hinreichend sind. (b) Ist das Verfahren in l2,h stabil? Problem 9.4. Bestimmen Sie einen expliziten F¨ unfpunkt-Finite-DifferenzenOperator f¨ ur (9.1) von der Form (9.8) (d. h. mit f¨ unf Termen auf der rechten Seite von (9.8)) mit der Genauigkeitsordnung 4. Diskutieren Sie die Stabilit¨ at dieses Operators. Problem 9.5. Formulieren Sie ein finites Differenzenverfahren f¨ ur ut = ∆u u(·, 0) = v

in R2 × R+ ,

in R2 ,

f¨ ur das U n − un ∞,h = O(h4 )

f¨ ur h → 0 gilt.

Problem 9.6. Betrachten Sie das Zweischrittverfahren (9.18). Es sei U 0 = V und U 1 = W mit V, W ∈ L2 (R). Zeigen Sie, dass ˆ n (ξ) = c1 (ξ)τ1 (ξ)n + c2 (ξ)τ2 (ξ)n U gilt, wobei τ1,2 (ξ) die Wurzeln der Gleichung τ 2 + 4λ(1 − cos ξ)τ − 1 = 0 mit λ = k/h2 sind und c1 (ξ) und c2 (ξ) aus c1 (ξ) + c2 (ξ) = Vˆ (ξ),

ˆ (ξ) c1 (ξ)τ1 (ξ) + c2 (ξ)τ2 (ξ) = W

bestimmt werden. Verwenden Sie dies, um U n → ∞ f¨ ur n → ∞ f¨ ur jedes λ > 0 und folglich die Instabilit¨at von (9.18) zu zeigen. M −1 Problem 9.7. Die Funktionen {ϕp }p=1 seien durch (9.2) definiert. Zeigen 0 Sie, dass diese eine Orthonormalbasis f¨ ur l2,h bilden und Eigenfunktionen des ¯ Differenzenoperators −∂x ∂x mit den Eigenwerten 2h−2 (1 − cos(πph)) sind. Vergleichen Sie diese Eigenfunktionen und Eigenwerte mit den Eigenfunktion und Eigenwerten von −d2 /dx2 . Beachten Sie, dass eines der ϕp das Gegenbeispiel f¨ ur die Stabilit¨at zu Beginn von Abschnitt 9.2 liefert.

9.3 Problemstellungen

155

Problem 9.8. (Ein diskretes Maximumprinzip.) Sei Ω ⊂ R ein beschr¨ anktes Intervall und I = (0, T ]. Zeigen Sie, dass f¨ ur λ = kh−2 ≤ 12 und

∂t Ujn − ∂x ∂¯x Ujn ≤ 0

f¨ ur (xj , tn ) ∈ Ω × I

Ujn sein Maximum auf dem parabolischen Rand Γp annimmt (vgl. Theorem 8.6). Hinweis: Verwenden Sie das Argument, das auf (9.6) f¨ uhrte. Beweisen Sie ein a¨hnliches Resultat f¨ ur das R¨ uckw¨ arts-Euler-Verfahren. Problem 9.9. Wir wissen, dass alle Normen auf dem endlichdimensionalen Raum lh0 ¨aquivalent sind. Zeigen Sie beispielsweise, dass V 2,h ≤ V ∞,h ≤ h−1/2 V 2,h

f¨ ur V ∈ lh0

erf¨ ullt ist und dass diese Ungleichungen scharf sind. Beachten Sie, dass diese ¨ Aquialenz nicht gleichm¨ aßig in h ist und f¨ ur h → 0 verloren geht, d. h. wenn die Dimension von lh0 gegen unendlich strebt. Die zweite oben genannte Ungleichung besitzt denselben Charakter wie die inverse Ungleichung (6.36), die acheren Norm (·2,h ) in Beziehung eine st¨arkere Norm (·∞,h ) zu einer schw¨ setzt. Problem 9.10. Zeigen Sie, dass die Funktion ϕ(x) = eixξ eine Eigenfunktion der Differential- und Differenzenoperatoren ∂/∂x, ∂x und ∂¯x ist. ¨ Problem 9.11. (Ubung am Rechner.) Betrachten Sie das Anfangs-Randwertproblem (9.19) mit v(x) = sin(πx)−sin(3πx). Wenden Sie das Vorw¨ arts-EulerVerfahren mit h = 1/10 und k = 1/600, 1/300, 1/100 an. Wenden Sie auch das Crank-Nicolson-Verahren mit h = k = 1/10 an. Berechnen Sie den Fehler an der Stelle (1/2, 1).

10 Die Methode der finiten Elemente fu ¨ r ein parabolisches Problem

In diesem Kapitel untersuchen wir die Approximation von L¨ osungen der Modell-W¨armeleitungsgleichung in zwei r¨ aumlichen Dimensionen mithilfe der Galerkin-Methode, die st¨ uckweise lineare Testfunktionen benutzt. In Abschnitt 10.1 betrachten wir die Diskretisierung nur hinsichtlich der r¨ aumlichen Variablen. In dem folgenden Abschnitt 10.2 untersuchen wir einige vollst¨ andig diskrete Schemata.

10.1 Die semidiskrete Galerkin-Methode der finiten Elemente Sei Ω ⊂ R2 eine abgeschlossene, konvexe Menge mit glattem Rand Γ . Wir betrachten das Anfangs-Randwertproblem (10.1)

ut − ∆u = f u=0 u(·, 0) = v

in Ω × R+ , auf Γ × R+ , in Ω,

wobei ut f¨ ur ∂u/∂t und ∆ f¨ ur den Laplace-Operator ∂ 2 /∂x21 +∂ 2 /∂x22 steht. Im ersten Schritt werden wir die L¨ osung u(x, t) mithilfe einer Funktion uh (x, t) approximieren, die f¨ ur jedes feste t eine st¨ uckweise lineare Funktion von x u ¨ber einer Triangulation Th von Ω ist und somit von einer endlichen Anzahl von Parametern abh¨ angt. Es bezeichne also Th = {K} eine Triangulation von Ω von einem im Abh schnitt 5.2 betrachteten Typ. Es seien {Pj }M j=1 die inneren Knoten von Th . Dar¨ uber hinaus bezeichnen wir mit Sh die st¨ uckweise linearen Funktionen auf Mh h Th , die auf ∂Ω verschwinden. Dabei sei {Φj }M j=1 die zu den Knoten {Pj }j=1 geh¨orige Standardbasis von Sh . Erinnern Sie sich an die Definition (5.28) der ¯ → Sh und an die Fehlerschranken (5.34) mit r = 2. Interpolierten Ih : C0 (Ω) Um eine approximative L¨ osung des Anfangs-Randwertproblems (10.1) zu definieren, schreiben wir dieses wie in Abschnitt 8.3 zun¨ achst in schwacher

158

10 Die Methode der finiten Elemente f¨ ur ein parabolisches Problem

Form, d. h. mit den obigen Definitionen als (10.2)

(ut , ϕ) + a(u, ϕ) = (f, ϕ) ∀ϕ ∈ H01 , t > 0.

Wir stellen nun das Approximationsproblem, ein f¨ ur jedes t zu Sh geh¨ origes uh (t) = uh (·, t) so zu bestimmen, dass (10.3)

(uh,t , χ) + a(uh , χ) = (f, χ) ∀χ ∈ Sh , t > 0, uh (0) = vh

erf¨ ullt ist, wobei vh ∈ Sh eine Approximation von v ist. Da wir nur in den r¨aumlichen Variablen diskretisiert haben, wird dies als ein r¨aumlich semidiskretes Problem bezeichnet. Im n¨achsten Abschnitt werden wir auch in der Zeitvariablen diskretisieren, was zu vollst¨andig diskreten Schemata f¨ uhrt. h Das semidiskrete Problem kann mithilfe der Basis {Φj }M j=1 folgendermaßen gestellt werden: Gesucht sind die Koeffizienten αj (t) in uh (x, t) =

Mh

αj (t)Φj (x),

j=1

sodass Mh

αj′ (t)(Φj , Φk ) +

j=1

Mh

αj (t)a(Φj , Φk ) = (f (t), Φk ),

k = 1, . . . , Mh

j=1

gilt. Dabei bezeichnen die γj die Knotenwerte der gegebenen Anfangsfunktion vh mit αj (0) = γj , j = 1, . . . , Mh . In Matrixdarstellung kann dies in der Form (10.4)

Bα′ (t) + Aα(t) = b(t)

f¨ ur t > 0

mit α(0) = γ

ausgedr¨ uckt werden, wobei B = (bkj ) die Massenmatrix mit den Elementen bkj = (Φj , Φk ), A = (akj ) die Steifigkeitsmatrix mit akj = a(Φj , Φk ), b = (bk ) der Vektor mit den Elementen bk = (f, Φk ), α(t) der Vektor der Unbekannten αj (t) und γ = (γj ) ist. Die Dimension dieser Objekte ist gleich der Anzahl Mh der inneren Knoten von Th . Wir wissen aus Abschnitt 5.2, dass die Steifigkeitsmatrix A symmetrisch positiv definit ist und dies auch f¨ ur die Massenmatrix B zutrifft, weil Mh

k,j=1

Mh 2 ξj ξk (Φj , Φk ) = ξ j Φj ≥ 0 j=1

gilt und weil die Gleichheit nur auftreten kann, wenn der Vektor ξ = 0 ist. Insbesondere ist B invertierbar, weshalb das obige gew¨ ohnliche Differentialgleichungssystem in der Form

10.1 Die semidiskrete Galerkin-Methode der finiten Elemente

159

α′ (t) + B −1 Aα(t) = B −1 b(t) f¨ ur t > 0 mit α(0) = γ geschrieben werden kann und somit offensichtlich f¨ ur positive t eine eindeutige L¨osung besitzt. Wir beginnen unsere Analyse mit Betrachtungen zur Stabilit¨ at der semionnen wir in (10.3) χ = uh w¨ ahlen, diskreten Methode. Wegen uh ∈ Sh k¨ wodurch wir ur t > 0 (uh,t , uh ) + a(uh , uh ) = (f, uh ) f¨ oder, weil der erste Term gleich 1 2

1 d 2 2 dt uh

und der zweite nichtnegativ ist,

d d uh 2 = uh uh ≤ f uh dt dt

erhalten. Daraus ergibt sich d uh ≤ f , dt

was nach Integration auf die Stabilit¨ atsabsch¨ atzung t f ds (10.5) uh (t) ≤ vh + 0

f¨ uhrt. Damit wir Gleichung (10.3) in Operatorform aufschreiben k¨onnen, f¨ uhren wir einen diskreten Laplace-Operator ∆h ein, den wir als Operator aus Sh in sich selbst betrachten, der durch (10.6)

(−∆h ψ, χ) = a(ψ, χ) ∀ψ, χ ∈ Sh

definiert ist. Dieses diskrete Analogon zur Greenschen Formel definiert ∆h ψ = Mh j=1 dj Φj eindeutig durch Mh j=1

dj (Φj , Φk ) = −a(ψ, Φk ),

k = 1, . . . , Mh ,

weil die Matrix dieses Systems die positiv definite Massenmatrix ist, die uns bereits oben begegnet ist. Man kann sich leicht davon u ¨ berzeugen, dass der uglich des L2 Operator ∆h selbstadjungiert und −∆h positiv definit in Sh bez¨ Skalarproduktes ist (siehe Problemstellung 10.3). Die Gleichung (10.3) kann nun in der Form (uh,t − ∆h uh − Ph f, χ) = 0 ∀χ ∈ Sh geschrieben werden, wobei Ph die L2 -Projektion auf Sh bezeichnet. Wenn wir andererseits beachten, dass der erste Faktor in Sh ist, sodass χ gleich diesem Ausdruck gew¨ahlt werden kann, folgt

160

10 Die Methode der finiten Elemente f¨ ur ein parabolisches Problem

(10.7)

uh,t − ∆h uh = Ph f

f¨ ur t > 0 mit uh (0) = vh .

Wir bezeichnen mit Eh (t) den L¨ osungsoperator im homogenen Fall der semidiskreten Gleichung (10.7) mit f = 0. Eh (t) ist also der Operator, der die Anfangsdaten uh (0) = vh in die L¨osung uh (t) zur Zeit t u uhrt, sodass ¨ berf¨ uh (t) = Eh (t)vh gilt. Man kann dann leicht zeigen (siehe Duhamel-Prinzip (8.22)), dass die L¨ osung des Anfangswertproblems (10.7) t Eh (t − s)Ph f (s) ds (10.8) uh (t) = Eh (t)vh + 0

ist. Wir bemerken nun, dass aus (10.5) die Stabilit¨ at von Eh (t) in L2 folgt, es gilt also (10.9)

Eh (t)vh ≤ vh ∀vh ∈ Sh .

Da Ph in L2 auch die Norm eins hat, best¨atigt dies zusammen mit (10.8) die Stabilit¨atsabsch¨ atzung (10.5) f¨ ur die inhomogene Gleichung. Es ist also wirklich ausreichend, die Stabilit¨ at f¨ ur die homogene Gleichung zu beweisen. Wir werden nun die folgende Absch¨atzung f¨ ur die Abweichung der L¨ osung des semidiskreten Problems gegen¨ uber der L¨osung des kontinuierlichen Problems beweisen. Theorem 10.1. Seien uh und u die L¨osungen von (10.3) und (10.1). Dann gilt t 2 ut 2 ds f¨ ur t ≥ 0. uh (t) − u(t) ≤ vh − v + Ch v2 + 0

Hier fordern wir wie gew¨ohnlich, dass die L¨osung des kontinuierlichen Problems die Regularit¨at besitzt, die implizit durch die Anwesenheit der Normen auf der rechten Seite angenommen wird. Beachten Sie außerdem, dass die Gleichung (5.31) f¨ ur vh = Ih v zeigt, dass vh − v ≤ Ch2 v2

(10.10)

gilt, was bedeutet, dass der erste Term auf der rechten Seite durch den zweiten dominiert wird. Dasselbe trifft auf den Fall vh = Ph v zu, wobei Ph die orthogonale Projektion des L2 auf Sh ist, weil diese Wahl die beste Approxiuglich der L2 -Norm darstellt (siehe (5.39)). Eine andere mation von v in Sh bez¨ Wahl optimaler Ordnung ist vh = Rh v, wobei Rh die elliptische (Ritzsche) Projektion auf Sh ist, die in (5.49) durch (10.11)

a(Rh v, χ) = a(v, χ) ∀χ ∈ Sh

definiert wurde. Deshalb ist Rh v die Finite-Elemente-Approximation der L¨osung des elliptischen Problems, dessen exakte L¨ osung v ist. Wir wiederholen die Fehlerabsch¨ atzungen aus Theorem 5.5: (10.12)

Rh v − v + h|Rh v − v|1 ≤ Chs vs

Wir kommen nun zum

f¨ ur s = 1, 2.

10.1 Die semidiskrete Galerkin-Methode der finiten Elemente

161

Beweis von Theorem 10.1. Im Hauptteil des Beweises werden wir die L¨ osung des semidiskreten Problems mit der elliptischen Projektion der exakten L¨ osung vergleichen. Wir schreiben dazu (10.13)

uh − u = (uh − Rh u) + (Rh u − u) = θ + ρ.

Der zweite Term kann unter Verwendung von (10.12) offensichtlich leicht durch t t ρ(t) ≤ Ch2 u(t)2 = Ch2 v + ut ds ≤ Ch2 v2 + ut 2 ds 2

0

0

abgesch¨atzt werden. Zum Absch¨ atzen von θ stellen wir fest, dass

(10.14)

(θt , χ) + a(θ, χ) = (uh,t , χ) + a(uh , χ) − (Rh ut , χ) − a(Rh u, χ) = (f, χ) − (Rh ut , χ) − a(u, χ) = (ut − Rh ut , χ)

oder (10.15)

(θt , χ) + a(θ, χ) = −(ρt , χ)

∀χ ∈ Sh

gilt. Bei dieser Herleitung haben wir (10.3), (10.2), die Definition von Rh in (10.11) und die leicht zu u ufende Tatsache benutzt, dass dieser Operator ¨berpr¨ mit der Zeitableitung kommutiert, d. h. Rh ut = (Rh u)t gilt. Wir k¨ onnen nun die Stabilit¨atsabsch¨atzung (10.5) auf (10.15) anwenden und erhalten t ρt ds. θ(t) ≤ θ(0) + 0

Hier gilt θ(0) = vh − Rh v ≤ vh − v + Rh v − v ≤ vh − v + Ch2 v2 und ferner ρt = Rh ut − ut ≤ Ch2 ut 2 . Zusammen beweisen diese Absch¨ atzungen das Theorem.

⊔ ⊓

Wir sehen aus dem Beweis von Theorem 10.1, dass die Fehlerabsch¨ atzung f¨ ur das semidiskrete parabolische Problem eine Konsequenz aus der Stabilit¨at dieses Problems und der Fehlerabsch¨ atzung des elliptischen Problems, ausgedr¨ uckt in der Form ρ = (Rh − I)u, ist. Wiederholen wir das Maximumprinzip f¨ ur parabolische Gleichungen, Theorem 8.7, stellen wir sofort fest, dass f¨ ur den L¨ osungsoperator E(t) im homogenen Fall des Anfangs-Randwertproblems (10.1) die Absch¨ atzung E(t)vC ≤ vC f¨ ur t ≥ 0 gilt. Das zugeh¨ orige Maximumprinzip gilt f¨ ur das FiniteElemente-Problem nicht. Man kann allerdings zeigen, dass im Falle einer quasiuniformen Familie {Th } von Triangulationen (vgl. (5.52)) f¨ ur ein C > 1

162

10 Die Methode der finiten Elemente f¨ ur ein parabolisches Problem

Eh (t)vh C ≤ Cvh C

f¨ ur t ≥ 0

gilt. Dies kann mit der Fehlerabsch¨ atzung (5.53) f¨ ur das station¨ are Problem kombiniert werden, um eine Fehlerabsch¨ atzung f¨ ur das parabolische Problem in der Maximumnorm beweisen zu k¨ onnen. In diesem Zusammenhang erw¨ ahnen wir eine Variante des semidiskreten Problems (10.2), f¨ ur das mitunter ein Maximumprinzip gilt. Dabei handelt es sich um die Lumped-Mass-Methode. Zu deren Definition ersetzen wir die ¯ in der sich die DiagonalMatrix B in (10.4) durch eine Diagonalmatrix B, elemente aus der Summe der Zeilenelemente ergeben. Man kann zeigen, dass diese Methode auch durch (10.16)

(uh,t , χ)h + a(uh , χ) = (f, χ) ∀χ ∈ Sh

f¨ ur t > 0

definiert werden kann, wobei das Skalarprodukt im ersten Term durch Berechnung des ersten Terms in (10.2) mithilfe der Knotenquadraturregel (5.64) zustande gekommen ist. F¨ ur diese Methode kann man eine Fehlerabsch¨ atzung der Ordnung O(h2 ) herleiten, die der aus Theorem 10.1 ¨ ahnelt. Wenn wir nun annehmen, dass alle Triangulationswinkel kleiner gleich π/2 sind, dann sind die Nichtdiagonalelemente der Steifigkeitsmatrix A nichtpositiv. Daraus folgt, ¯h (t) des modifizierten Problems dass f¨ ur den L¨osungsoperator E ¯h (t)vh C ≤ vh C E

f¨ ur t ≥ 0

gilt. Kehren wir zur gew¨ohnlichen Galerkin-Methode (10.1) zur¨ uck. Wir beweisen nun die folgende Absch¨ atzung des Fehlers im Gradienten. Theorem 10.2. Unter den Annahmen von Theorem 10.1 gilt f¨ ur t ≥ 0 t 1/2 . |uh (t) − u(t)|1 ≤ |vh − v|1 + Ch v2 + u(t)2 + ut 21 ds 0

Beweis. Wie vorhin schreiben wir den Fehler in der Form (10.13). An dieser Stelle gilt wegen (10.12) |ρ(t)|1 = |Rh u(t) − u(t)|1 ≤ Chu(t)2 . Um ∇θ abzusch¨ atzen, benutzen wir wiederum (10.15), nun mit χ = θt . Wir erhalten d θt 2 + 12 |θ|21 = −(ρt , θt ) ≤ 12 (ρt 2 + θt 2 ), dt sodass d 2 |θ| ≤ ρt 2 dt 1 oder

10.1 Die semidiskrete Galerkin-Methode der finiten Elemente

|θ(t)|21 ≤ |θ(0)|21 +

t 0

2 ρt 2 ds ≤ |vh − v|1 + |Rh v − v|1 +

t 0

163

ρt 2 ds

gilt. Hieraus schlussfolgern wir wegen a2 + b2 ≤ (|a| + |b|)2 und (10.12) (10.17)

1/2 t , |θ(t)|1 ≤ |vh − v|1 + Ch v2 + ut 21 ds 0

was den Beweis abschließt.

⊔ ⊓

Beachten Sie, dass im Falle vh = Ih v oder Rh v |vh − v|1 ≤ Chv2 gilt, sodass der erste Term auf der rechten Seite der Gleichung aus Theorem 10.2 durch den zweiten dominiert wird. Wir machen nun bez¨ uglich θ = uh − Rh u folgende Beobachtung: Wenn wir vh = Rh v so w¨ahlen, dass θ(0) = 0 ist, dann gilt zus¨ atzlich zu (10.17) |θ(t)|1 ≤

0

t

ρt 2 ds

1/2

≤ Ch2

t

0

ut 22 ds

1/2

.

ahrend der GradiSomit ist der Gradient von θ von zweiter Ordnung O(h2 ), w¨ ent des Gesamtfehlers f¨ ur h → 0 lediglich von der Ordnung O(h) ist. Folglich ur ∇Rh u als es f¨ ur ∇u m¨ oglich ist. Dies ist ∇uh eine bessere Approximation f¨ ist ein Beispiel f¨ ur ein Ph¨anomen, das manchmal als Superkonvergenz bezeichnet wird. Der oben eingef¨ uhrte L¨osungsoperator Eh (t) besitzt ebenfalls Gl¨ attungseigenschaften, die denen in Abschnitt 8.2 f¨ ur das kontinuierliche Problem entsprechen, sodass beispielsweise ur t > 0, |Eh (t)vh |1 ≤ Ct−1/2 vh f¨

vh ∈ Sh

und (10.18)

k ur t > 0, vh ∈ Sh Dt Eh (t)vh = ∆kh Eh (t)vh ≤ Ck t−k vh f¨

gilt. Solche Resultate k¨ onnen verwendet werden, um beispielsweise die folgenden Fehlerabsch¨atzungen f¨ ur die homogene Gleichung im Falle nichtglatter Daten zu zeigen. Theorem 10.3. Ws gelte f = 0 und seien uh und u die L¨osungen von (10.3) beziehungsweise (10.1), wobei die Anfangsdaten f¨ ur (10.3) als vh = Ph v gew¨ahlt werden. Dann gilt uh (t) − u(t) ≤ Ch2 t−1 v

f¨ ur t > 0.

164

10 Die Methode der finiten Elemente f¨ ur ein parabolisches Problem

¨ Den Beweis u (siehe Problemstel¨ berlassen wir dem Leser als Ubung lung 10.4). Dieses Resultat zeigt, dass die Konvergenzrate f¨ ur t > 0 von der Ordnung O(h2 ) ist. Dies trifft auch dann zu, wenn wir lediglich annehmen, dass v in L2 ist. Die oben vorgestellte Theorie l¨ asst sich unter geeigneten Annahmen f¨ ur die Regularit¨at der L¨osung einfach auf finite Elemente h¨ oherer Ordnung u ¨bertragen. Gilt also im Raum der finiten Elemente (10.19)

Rh w − w ≤ Chr wr

∀w ∈ H r ∩ H01 ,

dann k¨onnen wir das folgende Theorem zeigen. Theorem 10.4. Seien uh und u die L¨osungen von (10.3) beziehungsweise (10.1) und sei Gleichung (10.19) erf¨ ullt. Dann gilt f¨ ur ein geeignet gew¨ahltes vh t uh (t) − u(t) ≤ Chr vr + ut r ds f¨ ur t ≥ 0. 0

Wir wissen bereits aus Gleichung (5.50), dass f¨ ur r > 2 die Absch¨ atzung (10.19) f¨ ur st¨ uckweise Polynome vom Grad r−1 gilt, die Regularit¨ atsannahme ur ein polygonales Gebiet Ω dann aber etwas unrealistisch ist. w ∈ H r ∩ H01 f¨ F¨ ur ein Gebiet Ω mit einem glatten Rand Γ sind spezielle Betrachtungen in der Grenzschicht Ω \ Ωh notwendig.

10.2 Einige vollst¨ andig diskrete Schemata Wir wenden unsere Aufmerksamkeit nun einigen einfachen Schemata zu, die auch bez¨ uglich der Zeit eine Diskretisierung vornehmen. Es sei Sh wie vorhin der Raum st¨ uckweise linearer Finite-Elemente-Funktionen. Wir beginnen mit dem R¨ uckw¨arts-Euler-Galerkin-Verfahren. Sei k der Zeitschritt und U n ∈ Sh die Approximation von u(t) an der Stelle t = tn = nk. Dann wird diese Methode dadurch definiert, dass die Zeitableitung in (10.3) durch einen R¨ uckw¨ artsDifferenzenquotienten ersetzt wird. Mit ∂¯t U n = k−1 (U n − U n−1 ) gilt also (10.20)

(∂¯t U n , χ) + a(U n , χ) = (f (tn ), χ) ∀χ ∈ Sh , n ≥ 1,

U 0 = vh .

Ist U n−1 gegeben, dann wird U n damit implizit u ¨ ber das diskrete elliptische Problem (U n , χ) + ka(U n , χ) = (U n−1 + kf (tn ), χ) ∀χ ∈ Sh

Mh n n h definiert. Wenn wir U n mithilfe der Basis {Φj }M j=1 als U (x) = j=1 αj Φj (x) ausdr¨ ucken, k¨onnen wir diese Gleichung in der in Abschnitt 10.1 eingef¨ uhrten Matrixnotation als

10.2 Einige vollst¨ andig diskrete Schemata

Bαn + kAαn = Bαn−1 + kbn

165

f¨ ur n ≥ 1

schreiben, wobei αn der Vektor mit den Komponenten αjn oder αn = (B + kA)−1 Bαn−1 + k(B + kA)−1 bn

f¨ ur n ≥ 1 mit α0 = γ

ist. Wir beginnen unsere Analyse des R¨ uckw¨ arts-Euler-Verfahrens damit, die unbedingte Stabilit¨at dieser Methode zu zeigen. Das heißt, dass diese Methode unabh¨angig von der Relation zwischen h und k stabil ist. W¨ ahlen wir in (10.20) χ = U n , so gilt wegen a(U n , U n ) ≥ 0 (∂¯t U n , U n ) ≤ f n U n ,

wobei f n = f (tn ) ist,

oder U n 2 − (U n−1 , U n ) ≤ kf n U n .

Wegen (U n−1 , U n ) ≤ U n−1 U n zeigt dies U n ≤ U n−1 + kf n

f¨ ur n ≥ 1,

woraus durch wiederholte Anwendung (10.21)

U n ≤ U 0 + k

n j=1

f j

folgt. Wir werden nun die folgende Fehlerabsch¨ atzung beweisen. Theorem 10.5. Sind U n und u L¨osungen von (10.20) beziehungsweise (10.1) ullt ist, dann gilt f¨ ur n ≥ 0 und w¨ahlen wir vh so, dass (10.10) erf¨ tn tn U n − u(tn ) ≤ Ch2 v2 + ut 2 ds + Ck utt ds. 0

0

Beweis. In Analogie zu (10.13) schreiben wir U n − u(tn ) = U n − Rh u(tn ) + Rh u(tn ) − u(tn ) = θ n + ρn .

Wie vorhin gilt wegen (10.12)

ρn ≤ Ch2 u(tn )2 ≤ Ch2 v2 +

0

tn

ut 2 ds .

Diesmal f¨ uhrt eine der Gleichung (10.14) entsprechende Berechnung auf (10.22) mit

(∂¯t θ n , χ) + a(θ n , χ) = −(ω n , χ)

166

10 Die Methode der finiten Elemente f¨ ur ein parabolisches Problem

ω n = Rh ∂¯t u(tn ) − ut (tn ) = (Rh − I)∂¯t u(tn ) + (∂¯t u(tn ) − ut (tn )) = ω1n + ω2n . Wenden wir die Stabilit¨ atsabsch¨atzung (10.21) auf (10.22) an, erhalten wir θ n ≤ θ 0 + k

n j=1

n

ω1j + k

j=1

ω2j .

An dieser Stelle folgt wegen (10.10) und (10.12) wie vorhin θ 0 = vh − Rh v ≤ vh − v + v − Rh v ≤ Ch2 v2 . Beachten Sie nun, dass ω1j = (Rh − I)k−1

tj

ut ds = k−1

tj−1

tj

tj−1

(Rh − I)ut ds

gilt, woraus sich k

n j=1

ω1j ≤

n

tj

tj−1

j=1

Ch2 ut 2 ds = Ch2

tn

ut 2 ds

0

ergibt. Dar¨ uber hinaus gilt aufgrund der Taylorschen Formel tj j −1 −1 ω2 = k (u(tj ) − u(tj−1 )) − ut (tj ) = −k (s − tj−1 )utt (s) ds tj−1

und damit k

n j=1

ω2j ≤

n j=1

tj tj−1

(s − tj−1 )utt (s) ds ≤ k

tn

0

utt ds.

Zusammen genommen schließen unsere Absch¨atzungen den Beweis des Theorems ab. ⊔ ⊓ Ersetzen wir in (10.20) den R¨ uckw¨ arts-Differenzenquotienten bez¨ uglich der Zeit durch einen Vorw¨ arts-Differenzenquotienten, gelangen wir zum Vorw¨artsEuler-Galerkin-Verfahren. Mit ∂t U n = (U n+1 − U n )/k gilt also (∂t U n , χ) + a(U n , χ) = (f (tn ), χ) ∀χ ∈ Sh , n ≥ 1,

U 0 = vh .

Dies kann in Matrixform als Bαn+1 = (B − kA)αn + kbn

f¨ ur n ≥ 0

ausgedr¨ uckt werden. Da B keine Diagonalmatrix ist, ist diese Methode nicht explizit. Wenden wir dieses Diskretisierungsverfahren jedoch auf die semidiskrete Gleichung (10.16) in der Lumped-Mass-Methode an, bei der man B

10.2 Einige vollst¨ andig diskrete Schemata

167

¯ ersetzt, dann wird das zugeh¨ durch eine Diagonalmatrix B orige Vorw¨ artsEuler-Verfahren zu einem expliziten Verfahren. Unter Verwendung des in (10.6) definierten diskreten Laplace-Operators kann das Vorw¨arts-Euler-Verfahren auch durch (10.23)

U n+1 = (I + k∆h )U n + kPh f (tn )

f¨ ur n ≥ 0 mit U 0 = vh

definiert werden. Diese Methode ist anders als das R¨ uckw¨ arts-Euler-Verfahren nicht unbedingt stabil. Wir werden allerdings die Stabilit¨ at unter der Bedinur den gr¨ oßten Eigengung zeigen, dass die Familie {Sh } dergestalt ist, dass f¨ wert λMh ,h von −∆h (10.24)

λMh ,h k ≤ 2

gilt. Dabei werden wir der Einfachheit halber lediglich die homogene Gleichung betrachten. Erinnern wir uns an (6.37), so stellen wir fest, dass (10.24) beispielsweise dann gilt, wenn die Sh die inverse Ungleichung (6.36) erf¨ ullen und mit der Konstanten C aus Gleichung (6.37) k ≤ 2C −1 h2 gilt, worin sich die bedingte Stabilit¨at zeigt. Es ist klar, dass (10.23) genau dann stabil ist, wenn (I + k∆h )χ ≤ χ f¨ ur alle χ ∈ Sh erf¨ ullt ist. Weil −∆h symmetrisch positiv definit ist, gilt dies genau dann, wenn alle Eigenwerte von I + k∆h in [−1, 1] liegen. Aufgrund der Positivit¨at von −∆h entspricht dies der Forderung, dass der kleinsten Eigenwert von I + k∆h gr¨ oßer gleich −1 ist, oder dass der gr¨ oßte Eigenwert ullt. Sehen Sie sich dazu auch von −∆h kleiner gleich 2/k ist, also (10.24) erf¨ Problemstellung 10.3 an. Beachten Sie, dass das R¨ uckw¨ arts-Euler-Verfahren aufgrund der unsymmetrischen Wahl der Zeitdiskretisierung in der Genauigkeit lediglich von erster Ordnung ist. Deshalb kommen wir nun zum Crank-Nicolson-GalerkinVerfahren, bei dem die semidiskrete Gleichung symmetrisch um den Punkt uhrt auf ein Vertn−1/2 = (n − 12 )k diskretisiert wird. Diese Vorgehensweise f¨ fahren, das in der Genauigkeit hinsichtlich der Zeit von zweiter Ordnung ist. ur n ≥ 1 rekursiv durch Genauer gesagt, definieren wir U n ∈ Sh f¨

(10.25)

(∂¯t U n , χ) + a( 21 (U n + U n−1 ), χ) = (f (tn−1/2 ), χ) ∀χ ∈ Sh ,

U 0 = vh .

In der Matrixnotation nimmt dies die Form Bαn + 12 kAαn = Bαn−1 − 12 kAαn−1 + kbn−1/2

f¨ ur n ≥ 1

oder mit α0 = γ die Form αn = (B + 12 kA)−1 (B − 12 kA)αn−1 + k(B + 12 kA)−1 bn−1/2 ,

an.

n≥1

168

10 Die Methode der finiten Elemente f¨ ur ein parabolisches Problem

Dieses Verfahren ist ebenfalls unbedingt stabil, was man zeigen kann, indem man in (10.25) χ = U n + U n−1 w¨ ahlt und auf der rechten Seite die Cauchy-Schwarz-Ungleichung anwendet. Dann ergibt sich k(∂¯t U n , U n +U n+1 ) = U n 2 −U n−1 2 = (U n −U n−1 )(U n +U n−1 ). Unter Verwendung der Positivit¨at von a(U n , U n ) und nach Streichen eines Faktors U n + U n−1 erhalten wir U n ≤ U n−1 + kf n−1/2

mit f n−1/2 = f (tn−1/2 ),

oder nach Summation U n ≤ vh + k

n j=1

f j−1/2 .

Diesmal ergibt sich die folgende Fehlerabsch¨ atzung. Der Beweis, den Sie in Problemstellung 10.7 ausf¨ uhren sollen, verl¨auft analog zu dem von Theorem 10.5. Theorem 10.6. Seien U n und u die L¨osungen von (10.25) beziehungsweise (10.1). Wird vh so gew¨ahlt, dass (10.10) erf¨ ullt ist, dann gilt f¨ ur n ≥ 0 tn tn U n − u(tn ) ≤ Ch2 v2 + uttt + ∆utt ds. ut 2 ds + Ck2 0

0

10.3 Problemstellungen Problem 10.1. Betrachten Sie das Problem (10.1) in einer r¨ aumlichen Dimension mit Ω = (0, 1). Zur numerischen L¨osung verwenden wir die st¨ uckweise linearen Funktionen u ber der Zerlegung ¨ 0 < x1 < x2 < . . . < xM < 1,

xj = jh, h = 1/(M + 1).

Bestimmen Sie die Massenmatrix B und die Steifigkeitsmatrix A und schreiben Sie das semidiskrete Problem, die R¨ uckw¨arts-Euler-Gleichungen und die Crank-Nicolson-Gleichungen auf. ¨ Problem 10.2. (Ubung am Rechner.) Betrachten Sie das Anfangs-Randwertproblem (10.1) mit Ω = (−π, π) und v = sign x. (a) Bestimmen Sie die exakte L¨osung durch Entwicklung nach Eigenfunktionen. (b) Wenden Sie das R¨ uckw¨arts-Euler-Verfahren (10.20) auf der Basis st¨ uckweise linearer finiter Elemente mit vh = Ph v und (h, k) = (π/5, 1/10), (π/10, 1/40) an. Bestimmen Sie den maximalen Fehler an den Gitterpunkten f¨ ur t = 0.1, 0.5, 1.0.

10.3 Problemstellungen

169

Problem 10.3. (a) Zeigen Sie, dass der in (10.6) definierte Operator −∆h : Sh → Sh selbstadjungiert positiv definit bez¨ uglich (·, ·) ist. (b) Zeigen Sie, dass mit der Notation aus Theorem 6.7 −∆h vh =

Mh

λi,h (vh , ϕi,h )ϕi,h

und

∆h = λMh ,h

i=1

gilt. Hinweis: Die linke Seite der zweiten Gleichung ist die Operatornorm von ∆h (siehe (A.7)). Folglich m¨ ussen Sie f¨ ur alle χ ∈ Sh die Beziehung ur ein χ angenommen wird. ∆h χ ≤ λMh ,h χ zeigen, wobei Gleichheit f¨ (c) Angenommen, die Familie der R¨aume finiter Elemente {Sh } erf¨ ullt die inverse Ungleichung (6.36). Zeigen Sie, dass ∆h ≤ Ch−2 gilt. Hinweis: Sehen Sie sich (6.37) an. Problem 10.4. Angenommen, es gilt f = 0 und uh und u sind L¨ osungen von (10.3) beziehungsweise (10.1) mit vh = Ph v. (a) Es sei v ∈ H 2 ∩ H01 . Zeigen Sie die G¨ ultigkeit von uh (t) − u(t) ≤ Ch2 v2

f¨ ur t ≥ 0.

(b) Es sei v ∈ L2 . Zeigen Sie die G¨ ultigkeit uh (t) − u(t) ≤ Ch2 t−1 v

f¨ ur t > 0.

Hinweis: Leiten Sie zur L¨ osung von Teil (a) aus (10.15) die Beziehung t Eh (t − s)Ph ρt (s) ds (10.26) θ(t) = Eh (t)θ(0) − 0

ab. Zerlegen Sie die Integrale gem¨aß ersten Term partiell, wodurch Sie

t 0

=

t/2 0

θ(t) = Eh (t)Ph e(0) − Eh (t/2)Ph ρ(t/2) t/2 Ds Eh (t − s)Ph ρ(s) ds − + 0

+

t

t/2

und integrieren Sie im

t t/2

Eh (t − s)Ph ρt (s) ds

erhalten. Verwenden Sie anschließend (10.18), (10.12), (8.18) und Problemstellung 8.10. Zur L¨osung von Teil (b) integrieren Sie nochmals partiell, wodurch Sie die zus¨atzlichen Terme t/2 Dt Eh (t/2)Ph ρ˜(t/2) − Ds2 Eh (t − s)Ph ρ˜(s) ds 0

t

ρ ≤ Ch2 ˜ u2 , ˜ u2 ≤ C∆˜ u und ∆˜ u(t) = mit ρ˜(t) = 0 ρ(s) ds, ˜ t u (s) ds = u(t) − v erhalten. 0 t

170

10 Die Methode der finiten Elemente f¨ ur ein parabolisches Problem

Problem 10.5. Angenommen, f¨ ur die Familie der R¨ aume finiter Elemente {Sh } gilt ∆h ≤ Ch−2 (siehe Problemstellung 10.3). Seien uh und u L¨osungen von (10.3) beziehungsweise (10.1). Nehmen Sie dar¨ uber hinaus ultigkeit von vh − v ≤ Ch2 v2 an. Zeigen Sie die G¨ uh (t) − u(t) ≤ C 1 + log(t/h2 ) h2 max u(s)2 f¨ ur t ≥ h2 . 0≤s≤t

Hinweis: Integrieren Sie in (10.26) partiell, was auf θ(t) = Eh (t)Ph e(0) − Ph ρ(t) +

t

0

Ds Eh (t − s)Ph ρ(s) ds

t t−h2 t f¨ uhrt. Zerlegen Sie das Integral gem¨aß 0 = 0 + t−h2 und behandeln Sie den ersten Teil wie in Problemstellung 10.4 (a). Benutzen Sie im zweiten Teil Ds Eh (t − s) = ∆h Eh (t − s) ≤ ∆h Eh (t − s) ≤ Ch−2 . Problem 10.6. Beweisen Sie Fehlerschranken, die analog zu denen aus Theorem 10.1 sind, wenn der elliptische Term −∆u in (10.1) wie in Abschnitt 3.5 durch Au = −∇ · (a∇u) + b · ∇u + cu ersetzt wird. Hinweis: Sehen Sie sich die Problemstellungen 5.7 und 8.8 an. Problem 10.7. Beweisen Sie Theorem 10.6.

11 Hyperbolische Gleichungen

In diesem Kapitel stellen wir die grundlegenden Konzepte und Ergebnisse f¨ ur hyperbolische Gleichungen vor. Wir beginnen im Abschnitt 11.1 mit einer kurzen Diskussion von charakteristischen Richtungen, Kurven und Fl¨ achen. In Abschnitt 11.2 untersuchen wir die Wellengleichung. Wir verwenden die Methode der Entwicklung nach Eigenfunktionen, um das gew¨ ohnliche AnfangsRandwertproblem zu l¨ osen, und wenden die Energiemethode an, um Eindeutigkeit und Abh¨ angigkeitsbereiche zu untersuchen. In Abschnitt 11.3 reduzieren wir die L¨ osung von skalaren partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung auf die Integration entlang charakteristischer Kurven. Danach erweitern wir diese Methode in Abschnitt 11.4 auf symmetrische Systeme erster Ordnung und betrachten schließlich hyperbolische Systeme mit mehr als einer Variablen unter Verwendung von Energieargumenten.

11.1 Charakteristische Richtungen und Fl¨ achen Wir betrachten die skalare lineare partielle Differentialgleichung Lu = L(x, D)u := (11.1) aα (x)Dα u = f (x) in Ω, |a|≤m

wobei Ω ein Gebiet in Rd ist. Wir sagen, dass die Richtung ξ ∈ Rd , ξ = 0 eine charakteristische Richtung des Operators L(x, D) an der Stelle x ist, wenn (11.2) aα (x)ξ α = 0 Λ(ξ) = λ(x, ξ) := |α|=m

gilt. Das Polynom Λ(ξ) = Λ(x, ξ) wird als charakteristisches Polynom von L an der Stelle x bezeichnet. Beachten Sie, dass die Summe in (11.2) nur u ¨ber |a| = m l¨auft, d. h. sie entspricht dem Hauptwert des Operators L, gebildet aus den Termen der Ordnung m.

172

11 Hyperbolische Gleichungen

Mitunter werden wir auch Systeme linearer partieller Differentialgleichungen betrachten. Diese sind in (11.1) enthalten, wenn wir die Koeffizienten aα (x) als Matrizen interpretieren. Wenn diese Matrizen quadratische Matrizen der Ordnung N mit N ≥ 2 sind, dann sagen wir, dass ξ ∈ Rd eine charakteristische Richtung an der Stelle x ist, falls (11.3)

det Λ(x, ξ) = 0

gilt. Eine (d − 1)-dimensionale Fl¨ ache in Rd wird als charakteristische Fl¨ache bezeichnet, wenn ihre Normale an jedem Punkt x eine charakteristische Richtung an der Stelle x ist. Im Falle der Ebene, d. h. f¨ ur d = 2, bezeichnen wir diese als charakteristische Kurve oder einfach als Charakteristik . Beispiel 11.1. F¨ ur die skalare Gleichung erster Ordnung

(11.4)

d

aj (x)

j=1

∂u + a0 (x)u = f (x) ∂xj

sind die charakteristischen Richtungen durch die Gleichung Λ(x, ξ) =

d

aj (x)ξj = 0

j=1

gegeben. Somit ist jede Richtung, die orthogonal zum Vektor a(x) = (a1 (x), . . . , ad (x)) verl¨auft, eine Charakteristik. Die Hyperebene x1 = 0 besitzt die Normale (1, 0, . . . , 0) und ist daher eine charakteristische Fl¨ ache, wenn a1 (x) = 0 f¨ ur alle x = (0, x2 , . . . , xd ) gilt. Sie ist nichtcharakteristisch, falls f¨ ur alle Punkte x = (0, x2 , . . . , xd ) die Beziehung a1 (x) = 0 gilt. Dies ist ¨ aquivalent zu der Aussage, dass die Gleichung (11.4) ost werden kann. In diesem Fall kann die Gleichung in der nach ∂u/∂x1 aufgel¨ N¨ahe der Hyperebene in der Form d

∂u ∂u +a ˜0 (x)u + f˜(x) a ˜j (x) = ∂x ∂x1 j j=2

geschrieben werden. Beispiel 11.2. Die Poisson-Gleichung −∆u = f besitzt keine charakteristischen Richtungen, da Λ = −(ξ12 + · · · + ξd2 ) = −|ξ|2 nur f¨ ur ξ = 0 verschwindet.

11.1 Charakteristische Richtungen und Fl¨ achen

173

Beispiel 11.3. Die W¨ armeleitungsgleichung ∂u − ∆u = f, ∂t

die wir nun in Rd+1 an den Punkten (x, t) mit x ∈ Rd , t ∈ R betrachten, hat die charakteristische Gleichung Λ(ξ, τ ) = −|ξ|2 = 0. In diesem Fall ist die Variable (ξ, τ ) ∈ Rd+1 mit ξ ∈ Rd , τ ∈ R. Dies bedeutet, dass (0, . . . , 0, 1) eine charakteristische Richtung ist und die Hyperebene t = 0 eine charakteristische Fl¨ache. Beispiel 11.4. Analog geh¨ ort zur Wellengleichung ∂2u − ∆u = f ∂t2

die charakteristische Gleichung Λ(ξ, τ ) = |ξ|2 = 0, sodass (ξ, ±|ξ|) f¨ ur eine beliebige Wahl von ξ = 0 eine charakteristische Richtung ist. Beispielsweise sind f¨ ur einen Kreiskegel mit dem Scheitel (¯ x, t¯), der durch die Gleichung F (x, t) := |x − x ¯|2 − (t − t¯)2 = 0 definiert ist, die Normalen in einem Punkt (x, t) auf dem Kegel durch

∂F ∂F ∂F = 2(x − x ¯, −(t − t¯)) = 2(x − x ¯, ∓|x − x ¯|) , ,..., ∂xd ∂t ∂x1

gegeben. Somit ist dies eine charakteristische Richtung und der Kegel selbst bildet eine charakteristische Fl¨ ache. In diesem Fall ist die Hyperebene t = 0 nichtcharakteristisch. Das charakteristische Polynom kann verwendet werden, um partielle Differentialgleichungen zu klassifizieren. Beispielsweise wird der Operator L als elliptisch bezeichnet, wenn er keine charakteristischen Richtungen besitzt. F¨ ur eine Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten ist Λ(ξ) ein homogenes quadratisches Polynom, dass wir als symmetrisch voraussetzen k¨ onnen, sodass Λ(ξ) =

d

ajk ξj ξk

j,k=1

mit ajk = akj gilt. Nach einer orthogonalen Transformation der Variablen ξ = P η kann das Polynom in der Form Λ(P η) =

d j=1

λj ηj2

174

11 Hyperbolische Gleichungen d

geschrieben werden, wobei {λj }j=1 die Eigenwerte der Matrix A = (ajk ) sind. Die Differentialgleichung wird als elliptisch bezeichnet, wenn alle λj wie im Beispiel 11.2 das gleiche Vorzeichen besitzen, was ¨ aquivalent zu der obigen Definition ist, dass es keine Charakteristiken gibt. Die Differentialgleichung wird als hyperbolisch bezeichnet, wenn bis auf einen Eigenwert alle λj das gleiche Vorzeichen haben und der verbleibende Eigenwert λj das entgegengesetzte Vorzeichen besitzt, was auf Beispiel 11.4 zutrifft. Im Beispiel 11.3 haben bis auf ein λj alle Eigenwerte das gleiche Vorzeichen und der verbleibende Eigenwert λj ist Null, weshalb es sich in diesem Fall um eine parabolische Differentialgleichung handelt. Beispiel 11.5. Sei A eine N × N -Diagonalmatrix mit den Diagonalelementen N {λj }j=1 . Betrachten wir das System

∂u ∂u = f. −A ∂x ∂t

Die charakteristischen Richtungen (ξ, τ ) sind durch die Gleichung det(τ I − ξA) = 0 gegeben. Die Matrix τ I − ξA ist eine Diagonalmatrix mit den Elementen τ − λj ξ, j = 1, . . . , N , sodass (ξ, τ ) genau dann eine charakteristische Richtung ist, wenn eines dieser Elemente verschwindet. Daraus ergeben sich die charakteristischen Richtungen (1, λj ), j = 1, . . . , N . Somit sind die Geraden x + λj t = konstant

mit j = 1, . . . , N

die charakteristischen Kurven, und die Hyperebene t = 0 ist nichtcharakteristisch.

11.2 Die Wellengleichung In diesem Abschnitt betrachten wir zun¨achst das Anfangswertproblem f¨ ur die Wellengleichung

(11.5)

utt − ∆u = 0 u=0 u(·, 0) = v, ut (·, 0) = w

in Ω × R+ , auf Γ × R+ , in Ω,

wobei Ω ein beschr¨anktes Gebiet in Rd mit dem Rand Γ ist, und v und w gegebene Funktionen von x in Ω sind. Die Existenz einer L¨osung von (11.5) kann ¨ahnlich wie im Fall der W¨ armeleitungsgleichung im Abschnitt 8.2 durch Entwicklung nach Eigenfunktionen gezeigt werden. Um dies zu demonstrieren, f¨ uhren wir die Eigenfunktionen

11.2 Die Wellengleichung

175

∞

∞

origen Eigenwerte {λj }j=1 des elliptischen Operators {ϕj }j=1 und die zugeh¨ −∆ ein und nehmen an, dass (11.5) eine L¨osung der Form u(x, t) =

∞

u ˆj (t)ϕj (x)

j=1

besitzt. Setzen wir dies in die Differentialgleichung ein, erhalten wir ∞ ′′ u ˆj (t) + λj u ˆj (t) ϕj (x) = 0. j=1

Entsprechend gilt f¨ ur die Anfangsbedingungen ∞

u ˆj (0)ϕj (x) = v(x),

∞

u ˆ′j (0)ϕj (x) = w(x).

j=1

j=1

ur j ≥ 1 Da die ϕj eine Orthonormalbasis von L2 = L2 (Ω) bilden, gilt f¨ ˆj = 0 u ˆ′′j + λj u

f¨ ur t > 0,

u ˆj (0) = vˆj = (v, ϕj ),

ˆj = (w, ϕj ). u ˆ′j (0) = w

Durch L¨osen des Anfangswertproblems folgern wir u ˆj = vˆj cos(

und damit ist

(11.6)

u(x, t) =

1 λj t) + w ˆj sin( λj t) λj

f¨ ur j ≥ 1,

∞ −1/2 sin( λj t) ϕj (x). ˆ j λj vˆj cos( λj t) + w j=1

Sind v und w hinreichend regul¨ ar, sodass die Reihen auch nach dem Differenzieren konvergieren, stellt die Gleichung offenbar eine L¨osung von (11.5) dar (siehe Problemstellung 11.4). Somit gelangen wir zu der folgenden Einsicht. Theorem 11.1. Es gelte v ∈ H2 ∩ H10 , w ∈ H10 . Dann ist die Reihe (11.6) eine L¨osung von (11.5). Wir werden nun eine Energieabsch¨ atzung f¨ ur die L¨osung u von (11.5) beweisen. Mithilfe dieser Absch¨ atzung erhalten wir leicht auf dem u ¨blichen Wege die Eindeutigkeit und die Stabilit¨ at der L¨osung des Problems. Die hier beschriebene Energiemethode ist auch in Situationen hilfreich, in denen die Methode der Entwicklung nach Eigenfunktionen nicht anwendbar ist. Theorem 11.2. Sei u = u(x, t) eine hinreichend glatte L¨osung von (11.5). Dann ist die Gesamtenergie E(t) von u zeitlich konstant, d. h. es gilt 2 1 (11.7) ut + |∇u|2 dx = E(0). E(t) := 2 Ω

176

11 Hyperbolische Gleichungen

Beweis. Durch Multiplizieren der Differentialgleichung in (11.5) mit ut und Integration bez¨ uglich x u ¨ ber Ω erhalten wir unter Verwendung der Greenschen Formel die Gleichung utt ut dx + ∇u · ∇ut dx = 0, Ω

Ω

oder mit der Notation aus Abschnitt 8.3 (utt , ut ) + a(u, ut ) = 0. Somit gilt

1 d 1 d ∇u2 = 0, ut 2 + 2 dt 2 dt

oder d E(t) = 0 dt

f¨ ur t > 0.

Daraus folgt unmittelbar die Aussage des Theorems.

⊔ ⊓

Wir werden nun eine Absch¨ atzung f¨ ur das reine Anfangswertproblem f¨ ur die Wellengleichung beweisen, aus der wir ableiten, dass die L¨ osung in einem gegebenen Punkt (x, t) mit t > 0 nur von den Anfangswerten in einem speziellen Gebiet der Anfangsmannigfaltigkeit t = 0 abh¨ angt. Das betrachtete Problem lautet also (11.8)

utt − ∆u = 0 u(·, 0) = v,

ut (·, 0) = w

in Rd × R+ ,

in Rd .

Theorem 11.3. Sei u eine L¨osung der Wellengleichung in (11.8). F¨ ur einen gegebenen Punkt (¯ x, t¯) in Rd × R+ sei K der Kreiskegel (11.9) K = (x, t) ∈ Rd × R+ : |x − x ¯| ≤ t¯ − t, t ≤ t¯ (siehe Abbildung 11.1). Weiter sei 1 ut (x, t)2 + |∇u(x, t)|2 dx EK (t) = 2 Bt mit Bt = x ∈ Rd : (x, t) ∈ K . Dann gilt

EK (t) ≤ EK (0)

f¨ ur 0 ≤ t ≤ t¯.

Beweis. Wir f¨ uhren die Mantelfl¨ ache M = {(x, t) : |x − x ¯| = t¯ − t} von K ein und setzen Mt = {(x, τ ) ∈ M : τ ≤ t}. Durch Multiplikation der Differentialgleichung mit 2ut finden wir

11.2 Die Wellengleichung

t

177

(¯ x, t¯)

Bt

Kt x2 B0 x1 Abbildung 11.1. Der Lichtkegel.

0 = 2 (utt − ∇ · ∇u) ut = 2utt ut + 2∇u · ∇ut − 2∇ · (∇uut ) = Dt u2t + |∇u|2 − 2∇ · (∇uut ) .

Durch Integration u ¨ber Kt = {(x, τ ) ∈ K : 0 ≤ τ ≤ t} (siehe Abbildung 11.1) und Verwendung des Divergenztheorems erhalten wir mit n = (nx , nt ) = außeren Normalen von ∂Kt , (nx , . . . , nxd , nt ), der ¨ 2 nt ut + |∇u|2 − 2nx · ∇uut ds 0= ∂Kt 2 2 2 ut + |∇u| dx − ut + |∇u|2 dx = Bt B0 2 + nt ut + |∇u|2 − 2ut nx · ∇u ds. Mt

Zum Abschluss des Beweises zeigen wir nun, dass der Integrand √ des letzten uhrt dies Terms nichtnegativ ist. Auf M gilt n2t = |nx |2 . Wegen nt = 1/ 2 f¨ unter Verwendung der Cauchy-Schwarz-Ungleichung auf

|nx · ∇u| ≤ |nx ||∇u| = nt |∇u|. Verwenden wir außerdem die Ungleichung 2 ab ≤ a2 + b2 , so erhalten wir 2|ut nx · ∇u| = 2|ut ||nx · ∇u| ≤ 2nt |ut ||∇u| ≤ nt (u2t + |∇u|2 ), was den Beweis vervollst¨andigt.

⊔ ⊓

Aus Theorem 11.2 folgt, dass u = 0 in K gilt, wenn v = w = 0 in B0 ist. Dies gilt insbesondere auch f¨ ur (¯ x, t¯). Dies zeigt, dass der Wert der L¨ osung

178

11 Hyperbolische Gleichungen

von (11.8) an der Stelle (¯ x, t¯) nur von den Werten von v und w innerhalb der Kugel B0 abh¨angt, die durch den Kreiskegel K mit dem Scheitel (¯ x, t¯) definiert wird, nicht aber von den Werten v und w außerhalb dieser Kugel. Die Existenz der L¨osung des reinen Anfangswertproblems (11.8) kann auf verschiedenen Wegen gezeigt werden. F¨ ur die spezielle, hier betrachtete Gleichung kann eine explizite L¨osung in Form einer Integraldarstellung aufgeschrieben werden, die in Abh¨ angigkeit von der Anzahl d der r¨ aumlichen Dimensionen unterschiedliche Formen annimmt. F¨ ur d = 1 kann man beispielsweise leicht zeigen, dass 1 x+t 1 (11.10) w(y)dy u(x, t) = (v(x + t) + v(x − t)) + 2 x−t 2

gilt (siehe Problemstellung 11.5), was als Formel von d’Alembert bezeichnet wird. F¨ ur d = 3 kann man zeigen, dass % 1 1 ∂ w(y)dsy v(y)dsy + u(x, t) = 4πt |y−x|=t ∂t 4πt |y−x|=t

gilt. In diesem Fall h¨ angt die L¨ osung an der Stelle (x, t) nur von den Daten innerhalb des Kreises ab, der zur Zeit t durch den charakteristischen Kegel ausgeschnitten wird. Allgemeiner gilt dies auch, wenn d eine ungerade ganze Zahl ist. Ist d geradzahlig, dann h¨ angt die L¨ osung an der Stelle (x, t) von den Anfangswerten innerhalb der Kugel“ |y − x| ≤ t ab. ”

11.3 Skalare Gleichungen erster Ordnung Wir kommen nun zu der skalaren Differentialgleichung erster Ordnung (11.11)

d j=1

aj (x)

∂u + a0 (x)u = f (x), ∂xj

x ∈ Ω.

Hierbei ist Ω ⊂ Rd ein beschr¨ anktes oder unbeschr¨anktes Gebiet, a = a(x) = (a1 (x), . . . , ad (x)) ein glattes Vektorfeld, das an keinem Punkt verschwindet, und a0 und f sind gegebene glatte Funktionen. Wir sagen, dass x = x(s) = (x1 (s), . . . , xd (s)) mit dem reellen Parameter s eine charakteristische Kurve oder einfach eine Charakteristik f¨ ur (11.11) ist, wenn (11.12)

d x(s) = a(x(s)) ds

gilt, d. h. wenn die durch x = x(s) in Rd definierte Kurve den Vektor a(x) in jedem ihrer Punkte als Tangente besitzt. Beachten Sie, dass eine charakteristische Richtung eine Normale an die charakteristische Kurve ist. Insbesondere

11.3 Skalare Gleichungen erster Ordnung

179

Γ+ Γ0

Γ−

Abbildung 11.2. Zufluss- und Abflussrand.

ist eine Charakteristik im Spezialfall d = 2 eine charakteristische Kurve in dem in Abschnitt 11.1 beschriebenem Sinne. In Koordinatenform kann (11.12) als System gew¨ ohnlicher Differentialgleichungen dxj = aj (x) f¨ ur j = 1, . . . , d ds geschrieben werden. Da die Vektorfelder nicht verschwinden, ergibt sich aus der Theorie dieser Gleichungen, dass f¨ ur jedes x0 ∈ Ω eine solche eindeutige Kurve in einer Umgebung von x0 mit x(0) = x0 existiert. Es sei Γ der Rand von Ω. Wir bezeichnen mit Γ− den durch Γ− = x ∈ Γ : n(x) · a(x) < 0

definierten Zuflussrand, wobei n(x) die a¨ußere Normale an Γ an der Stelle x ist. Durch jeden Punkt von Γ− gibt es eine eindeutige Charakteristik, die in Ω einritt. Wir schreiben f¨ ur die L¨osung von (11.11) die Randbedingung (11.13)

u=v

auf Γ−

vor, wobei v eine gegebene glatte Funktion auf Γ− ist. Wir f¨ uhren außerdem den Abflussrand und den charakteristischen Rand Γ+ = x ∈ Γ : n(x) · a(x) > 0 , Γ0 = x ∈ Γ : n(x) · a(x) = 0

ein.

180

11 Hyperbolische Gleichungen

Wir betrachten eine L¨osung u von (11.11), (11.13) entlang einer Charakteristik x = x(s), d. h. die Funktion w(s) = u(x(s)). Wegen der Kettenregel gilt

dx dw = a(x) · ∇u, = ∇u · ds ds

sodass w wegen (11.11) die Gleichungen dw + a0 (x(s))w = f (x(s)) f¨ ur s > 0, ds w(0) = v(x0 ) mit x(0) = x0 ∈ Γ−

(11.14)

erf¨ ullt. Dies ist ein Anfangswertproblem f¨ ur eine lineare gew¨ohnliche Differentialgleichung, die f¨ ur die Werte von w an den Punkten entlang der Charakteristik gel¨ ost werden kann. Um eine L¨ osung von (11.11), (11.13) in einem Punkt x ¯ ∈ Ω zu finden, bestimmen wir die Charaktersitik durch x ¯, suchen osen dann die Gleichung (11.14) nach deren Schnittpunkt x0 mit Γ− und l¨ osung an der Stelle x ¯ h¨ angt also nur von v(x0 ) und den mit x(0) = x0 . Die L¨ Werten von f auf der Charakteristik ab. Im Spezialfall a0 = f = 0 in Ω reduziert sich die Gleichung (11.14) auf dw =0 ds

f¨ ur s > 0 mit w(0) = v(x0 ), x(0) = x0 ∈ Γ− .

Folglich ist u(x(s)) in diesem Fall entlang der Charakteristik konstant und der Wert der L¨osung an der Stelle x ¯ ist gleich dem an der Stelle x(0), d. h. es gilt u(x(s)) = u(x(0)) = v(x(0)). Diese Vorgehensweise wird h¨ aufig als Charakteristikenmethode bezeichnet. Gleichungen der Form (11.11) kommen h¨aufig als Grenzfall der station¨ aren W¨armeleitungs- oder Diffusionsgleichung mit Konvektion vor, wenn der W¨armeleitungs- oder Diffusionskoeffizient verschwindet (siehe (1.18)). Solche Gleichungen k¨ onnen auch im zeitabh¨ angigen Fall in der Form (11.11) geschrieben werden, wenn eine der unabh¨ angigen Variablen als Zeit interpretiert wird. Kennzeichnen wir die Zeitvariable in (11.11) explizit, gilt ut + a · ∇u + a0 u = f u=g u(·, 0) = v

in Ω × R+ , in Γ−,x , in Ω.

Nun ist Ω ⊂ Rd ein r¨ aumliches Gebiet mit dem Rand Γ und der Zuflussrand von Ω × R+ wird in seinen r¨ aumlichen Teil Γ−,x = (x, t) ∈ Γ × R+ : a(x, t) · n < 0 und seinen zeitlichen Teil Γ−,t = Ω × {0}, der zu t = 0 geh¨ort, unterteilt. Wir k¨ onnen dann die Zeitvariable benutzen, um die charakteristischen Kurven durch x = x(t) zu parametrisieren. Diese werden in diesem Zusammenhang h¨ aufig als Stromlinien bezeichnet.

11.3 Skalare Gleichungen erster Ordnung

181

Beispiel 11.6. Wir betrachten das Problem ut + λux = 0 u(·, 0) = v

in R × R+ , in R.

Hier sind die Charakteristiken (x(s), t(s)) durch dx = λ, ds

dt =1 ds

bestimmt. Wir k¨onnen also t als Parameter f¨ ur die Charakteristik benutzen und erhalten x = λt + C. Die Charakteristik durch (¯ x, t¯) ist x−x ¯ = λ(t − t¯),

(11.15)

und weil die L¨osung auf dieser Geraden konstant ist, gilt u(¯ x, t¯) = v(¯ x − λt¯). Beispiel 11.7. Mit Ω = (0, 1) suchen wir nun nach einer L¨ osung von ut + λux + u = 1 u=0

in Ω × R+ , auf Γ−

mit λ = konstant > 0. Hier gilt ¯ × {0} = Γ−,x ∪ Γ−,t , Γ− = {0} × R+ ∪ Ω

und die Charakteristik durch (¯ x, t¯) ist wiederum durch (11.15) definiert. Wir betrachten zun¨achst den Fall x ¯ ≥ λt¯ (siehe Abbildung 11.3). Dann uhren beginnt die Charakteristik durch (¯ x, t¯) im Punkt (¯ x −λt¯, 0) ∈ Γ−,x . Wir f¨ w(s) = u(¯ x + λ(s − t¯)s) mit dem Parameter s = t ein und stellen fest, dass die Gleichung f¨ ur w durch w′ + w = 1 f¨ ur s > 0 mit w(0) = 0 gegeben ist. Folglich gilt (11.16) und

w(s) = 1 − e−s ¯

u(¯ x, t¯) = 1 − e−t .

Im Fall x ¯ < λt¯ beginnt die Charakteristik durch (¯ x, t¯) an der Stelle (0, t¯− ¯ ¯/λ) gilt wiederum (11.16) und x ¯/λ) ∈ Γ−,t . Mit dem Parameter s = t − (t − x folglich ist

182

11 Hyperbolische Gleichungen

t

1

x < λt

x > λt

1

x

Abbildung 11.3. Illustration zum Beispiel 11.7.

u(¯ x, t¯) = 1 − e−¯x/λ . Insgesamt gilt somit 1 − e−t u(x, t) = 1 − e−x/λ

f¨ ur x ≥ λt, f¨ ur x < λt.

Beachten Sie, dass die L¨ osung an der Stelle x = λt stetig ist, dies allerdings auf die Ableitungen ut und ux nicht zutrifft. Beispiel 11.8. Im gleichen Gebiet wie in Beispiel 11.7 betrachten wir nun das Problem ut + (1 + t)ux = 0 in Ω × R+ , u = x2

auf Γ− .

Die Charakteristik durch (¯ x, t¯) nimmt nun die Form

¯ − t¯ − 12 t¯2 x = t + 12 t2 + x

an (siehe Abbildung 11.4) und beginnt an der Stelle (¯ x − t¯ − 12 t¯2 , 0) ∈ Γ−,x 1 ¯2 ¯ osung ur x ¯ < t¯+ 12 t¯2 . Die L¨ f¨ ur x ¯ ≥ t + 2 t und an irgendeiner Stelle auf Γ−,t f¨ lautet deshalb

11.4 Symmetrische hyperbolische Systeme

183

t

1

x < t + 12 t2

x > t + 12 t2

1

x

Abbildung 11.4. Illustration zum Beispiel 11.8.

u(x, t) =

(x − t − 12 t2 )2 0

f¨ ur x ≥ t + 12 t2 , f¨ ur x < t + 12 t2 .

11.4 Symmetrische hyperbolische Systeme Wir betrachten zun¨ achst das Anfangswertproblem (11.17)

∂u ∂u + B(x, t)u = f (x, t) + A(x, t) ∂x ∂t u(x, 0) = v(x)

f¨ ur x ∈ R, t > 0, f¨ ur x ∈ R

in einer r¨aumlichen Dimension, wobei u = u(x, t) und f = f (x, t) N vektorwertige Funktionen und A = A(x, t) und B = B(x, t) glatte N × N Matrizen sind. Die Matrix A ist symmetrisch. Sie besitzt dann reelle Eigenwerte {λj }N atzlich an, dass diese j=1 mit λj = λj (x, t), und wir nehmen zus¨ verschieden sind. Das System (11.17) wird als streng hyperbolisch bezeichnet. Unter dieser Annahme kann man eine glatte orthogonale Matrix P = P (x, t) finden, die A diagonalisiert, sodass P T AP = Λ = diag(λj )N j=1

184

11 Hyperbolische Gleichungen

t (¯ x, t¯)

x = xN (t) x = xN −1 (t) (xN (0), 0) (xN −1 (0), 0)

x = x2 (t) (x2 (0), 0)

x = x1 (t)

(x1 (0), 0)

x

Abbildung 11.5. Charakteristische Kurven. Abh¨ angigkeitsbereich.

gilt (siehe Problemstellung 11.17). F¨ uhren wir mit u = P w eine neue abh¨ angige Variable w ein, so erhalten wir ∂P ∂w ∂P ∂w ∂u ∂u + BP w = f +A + + AP + Bu = P +A ∂x ∂t ∂x ∂t ∂x ∂t

oder

∂w ∂w ˜ = P Tf + Bw +Λ ∂x ∂t

˜ = P T ∂P + A ∂P + BP . mit B ∂x ∂t

Dies ist ein System der Form (11.17), wobei A diagonal ist. Wir nehmen nun ohne Beschr¨ankung der Allgemeinheit an, dass A in (11.17) selbst eine diagonale Matrix ist und dass die Eigenwerte λj in wachsender Reihenfolge λ1 < λ2 < . . . < λN angeordnet sind. Betrachten wir zun¨ achst den Fall B = 0. Das System besteht dann aus N ungekoppelten Gleichungen

∂uj ∂uj = fj (x, t) mit uj (x, 0) = vj (x) f¨ ur j = 1, . . . , N, + λj (x, t) ∂x ∂t

von denen jede ein skalares Problem von der in Abschnitt 11.3 betrachteten Form ist. Zu jedem j existiert eine Charakteristik durch (¯ x, t¯), die durch dx = λj (x, t) mit x(t¯) = x ¯ dt bestimmt ist. Bezeichnen wir die L¨ osung dieses Anfangswertproblems mit x, t¯) durch die Gleichung x = xj (t) xj (t), sodass die Charakteristik durch (¯ gegeben ist, dann gilt

11.4 Symmetrische hyperbolische Systeme

185

t x = x2 (t) x = xN −1 (t) x = x1 (t) x = xN (t)

(x0 , 0)

x

Abbildung 11.6. Einflussgebiet.

uj (¯ x, t¯) = vj (xj (0)) +

(11.18)

t¯

fj (xj (s), s) ds.

0

x, t¯) von vj an nur einem Punkt und von fj entlang der Somit h¨angt uj (¯ Charakteristik durch (¯ x, t¯) ab (siehe Abbildung 11.5). Betrachten wir nun den Fall B = 0. Wir k¨ onnen dann ein iteratives Verfahren zur L¨osung von (11.17) mit dem Ansatz u0 = 0 in R × R+ benutzen, wobei uk+1 f¨ ur k ≥ 0 durch

∂uk+1 ∂uk+1 = f − Buk +A ∂x ∂t uk+1 (·, 0) = v

in R × R+ , in R

definiert ist. Unter Verwendung von (11.18) ergibt sich u0 = 0, (11.19)

uk+1 (¯ x, t¯) j

= vj (xj (0)) +

t¯ 0

(f − Buk )j (xj (s), s) ds,

k ≥ 0.

Es ist nicht schwierig zu beweisen, dass uk f¨ ur k → ∞ gegen eine L¨osung von (11.17) konvergiert, sodass folgendes Theorem gilt (siehe Problemstellung 7.4). Theorem 11.4. Das streng hyperbolische System (11.17) besitzt eine L¨osung, wenn A, B, f und v hinreichend glatt sind. Wenn A diagonal ist, erh¨alt man diese L¨osung aus dem iterativen Verfahren (11.19).

186

11 Hyperbolische Gleichungen

Die Eindeutigkeit der L¨osung folgt aus Theorem 11.5. Sehen wir uns (11.19) und Abbildung 11.5 an, dann bemerken wir, dass lediglich die Werte von v im Intervall (xN (0), x1 (0)) in die sukzessive Definition der uk eingehen und dass f und B nur in dem durch die extremalen Charakteristiken x = xN (t) und x = x1 (t) bestimmten Dreieck berechnet werden. Dieses definiert folglich den Abh¨ angigkeitsbereich der L¨ osung an der Stelle (¯ x, t¯) von den Daten. Analog dazu beeinflussen die Anfangswerte in einem ur t > 0 nur die L¨osung in dem keilf¨ ormigen Gebiet zwischen Punkt (x0 , 0) f¨ den Charakteristiken, die zu λ1 und λN geh¨ oren und deren Ursprung an der Stelle (x0 , 0) liegt (siehe Abbildung 11.6). Beispiel 11.9. Betrachten wir das Anfangswertproblem f¨ ur die Wellengleichung

(11.20)

∂2u ∂2u = ∂x2 ∂t2

u(·, 0) = v,

in R × R+ ∂u (·, 0) = w ∂t

in R.

Wir f¨ uhren die neuen Variablen U1 = ∂u/∂t, U2 = ∂u/∂x ein. Nun ergibt sich f¨ ur U = (U1 , U2 )T das System

∂U2 ∂U1 =0 − ∂x ∂t ∂U1 ∂U2 =0 − ∂x ∂t U1 (·, 0) = w, U2 (·, 0) = v ′

in R × R+ , in R,

beziehungsweise

∂U ∂U w(x) = 0 mit U (x, 0) = ′ +A v (x) ∂x ∂t 0 −1 . Die Eigenwerte von A sind λ1 = −1, λ2 = 1. Setzen wir mit A = −1 0 1 1 1 , U = P V, P =√ 2 1 −1

ergibt sich f¨ ur die neuen abh¨angigen Variablen V = (V1 , V2 )T das System ∂V −1 0 ∂V = 0 in R × R+ , + 0 1 ∂x ∂t

beziehungsweise

∂V1 ∂V1 = 0, − ∂x ∂t ∂V2 ∂V2 = 0. + ∂x ∂t

11.4 Symmetrische hyperbolische Systeme

187

Folglich gilt V1 (x, t) = V1 (x + t, 0),

V2 (x, t) = V2 (x − t, 0).

Kehren wir zu den urspr¨ unglichen Variablen U zur¨ uck, dann k¨ onnen wir damit die Formel von d’Alembert (11.10) f¨ ur die L¨ osung von (11.20) herleiten (siehe Problemstellung 11.5). Betrachten wir nun die Verallgemeinerung des Systems (11.17) auf d r¨ aumliche Dimensionen d

(11.21)

∂u ∂u + Bu = f + Aj ∂t j=1 ∂xj

in Rd × R+ , in Rd ,

u(·, 0) = v

wobei u = u(x, t) eine N -vektorwertige Funktion, Aj = Aj (x, t) symmetrische N × N -Matrizen, B = B(x, t) eine N × N -Matrix und f = f (x, t) sowie v = v(x) Vektoren mit N Komponenten sind, von denen alle glatt und beschr¨ ankt von ihren Variablen abh¨angen. Wir nehmen außerdem an, dass die L¨ osungen f¨ ur große |x| in dem Sinne klein sind, dass folgende Analyse zutrifft. Ein Gleichungssystem wie in (11.17) wird als symmetrisches hyperbolisches System oder Friedrichs-System bezeichnet. Ein Spezialfall sind die Maxwellschen Gleichungen in der Elektrodynamik (siehe Problemstellung 11.15). Die klassische Wellengleichung utt = ∆u kann in ein symmetrisches hyperbolisches System transformiert werden, indem man die Ableitungen erster Ordnung als neue abh¨angige Variablen einf¨ uhrt. Dies sollen Sie in Problemstellung 11.11 u ufen. Allgemein k¨onnen viele andere wichtige Gleichungen der mathe¨berpr¨ matischen Physik als symmetrische hyperbolische Systeme geschrieben werden. Mitunter ist dazu eine Variablentransformation n¨ otig. Nach Gleichung (11.3) sind die charakteristischen Richtungen (ξ, τ ) = (ξ1 , . . . , ξd , τ ) durch d ξj Aj = 0 det Λ(ξ, τ ) = det τ I + j=1

gegeben. Es ist klar, dass diese Gleichung f¨ ur jedes gegebene ξ genau N reelle Wurzeln τj (ξ), j = 1, . . . , N besitzt. Dabei handelt es sich um die Eigenwerte d der symmetrischen N × N -Matrix − j=1 ξj Aj . Im Allgemeinen ist es f¨ ur d > 1 nicht m¨oglich, die Matrizen Aj gleichzeitig zu diagonalisieren. Folglich kann das Problem nicht wie vorhin behandelt werden. Wir werden uns deshalb auf das Anwenden der Energiemethode beur schr¨anken, wenn wir Stabilit¨atsabsch¨atzungen bez¨ uglich · = · L2 (Rd ) f¨ dieses Problem zeigen. Theorem 11.5. F¨ ur die L¨osung von (11.21) gilt mit C = C(T )

188

11 Hyperbolische Gleichungen

u(t) ≤ C v +

T

0

f 2 ds

1/2

f¨ ur 0 ≤ t ≤ T.

Beweis. Wenn wir die Gleichung mit u multiplizieren und u ¨ ber Rd integrieren, erhalten wir d ∂u ∂u , u) + (Bu, u) = (f, u). (Aj ( , u) + ∂xj ∂t j=1

Dabei gilt

d ∂u , u dx = 12 u2 dt ∂t Ω ∂u ∂u , u dx , u) = Aj (Aj ∂x ∂xj d j R

∂u ( , u) = ∂t

und

mit dem gew¨ ohnlichen Skalarprodukt ·, · in RN . Wir erhalten

∂u ∂u ∂Aj ∂ . , u + Aj u, u, u + Aj Aj u, u = ∂xj ∂xj ∂xj ∂xj

Weil Aj symmetrisch ist, sind die letzten beiden Terme gleich. Nehmen wir dar¨ uber hinaus an, dass u f¨ ur |x| groß ist, dann gilt ∂ Aj u, u dx = 0 ∂x j Rd

und folglich (Aj

Daraus folgt 1 2

∂Aj ∂u u, u). , u) = − 12 ( ∂xj ∂xj

d ˜ u) ≤ f u u2 + (Bu, dt

mit ˜=B− B

Somit ist die Ungleichung

1 2

d ∂Aj j=1

∂xj

.

d ˜ C u2 + f u ≤ C0 u2 + C1 f 2 u2 ≤ 2B dt erf¨ ullt. Hieraus ergibt sich T t f 2 ds + C0 u2 ds f¨ ur 0 ≤ t ≤ T, u(t)2 ≤ v2 + C1 0

0

sodass mit dem Gronwall-Lemma (siehe Problemstellung 7.6) T 2 2 C0 T v + C1 f 2 ds f¨ ur 0 ≤ t ≤ T u(t) ≤ e 0

gilt.

⊔ ⊓

11.4 Symmetrische hyperbolische Systeme

189

Wir gew¨ohnlich folgt aus dieser Ungleichung die Eindeutigkeit und die Stabilit¨at f¨ ur die L¨osungen des Problems (11.21). Die Existenz einer L¨ osung l¨ asst sich beispielsweise zeigen, indem man eine Finite-Differenzen-Approximation auf einem Gitter mit dem Gitterabstand h konstruiert und anschließend die Konvergenz f¨ ur h → 0 zeigt. Wie im vorhin behandelten Fall einer r¨ aumlichen Dimension ist es hier ebenfalls m¨oglich zu zeigen, dass die Werte der L¨ osung von (11.21) in einem Punkt (¯ x, t¯) mit t¯ > 0 nur von den Daten in einem endlichen Gebiet abh¨angen. Dazu betrachten wir der Einfachheit halber den Fall einer homogenen Gleichung mit konstanten Koeffizienten und ohne den Term Bu, sodass das Problem nun die Form d

∂u ∂u =0 Aj + ∂t j=1 ∂xj

in R × R+ , in Rd

u(·, 0) = v

besitzt. Dann ist das charakteristische Polynom die symmetrische Matrix Λ(ξ, τ ) = τ I +

d

ξj Aj .

j=1

Betrachten wir nun einen Kreiskegel K mit dem Scheitel (¯ x, t¯), der auf ¨ t ≤ t¯ beschr¨ankt ist (vgl. (11.9)) und dessen Offnungswinkel so gew¨ ahlt wurde, ache M des dass mit der ¨außeren Einheitsnormale (nx , nt ) an die Mantelfl¨ Kegels der Ausdruck Λ(nx , nt ) positiv definit wird. Die M¨ oglichkeit, einen solchen Kegel zu bestimmen, folgt aus der Tatsache, dass f¨ ur die Richtung (0,1) Λ(0, 1) = I gilt, was positiv definit ist, und Λ(ξ, 1) folglich auch f¨ ur alle kleinen |ξ| positiv definit ist. Sei B0 das durch den Kegel aus der Ebene t = 0 herausgeschnittene Gebiet. Wir behaupten, dass im Falle v = 0 in B0 die Gleichung u(¯ x, t¯) = 0 gilt. Um dies zu beweisen, benutzen wir wiederum die Energiemethode. Wir multiplizieren die Gleichung mit u und integrieren u ¨ber K. Unter der Annahme, dass die Aj symmetrisch und konstant sind, erhalten wir d ∂u ∂u , u dx dt Aj 0= , u + ∂xj ∂t K j=1

=

1 2

d ∂ ∂ Aj u, u dx dt. u, u + ∂xj K ∂t j=1

Aufgrund des Divergenztheorems gilt

M

d Aj u, u nxj ds = u, u nt + j=1

B0

u, u dx

190

11 Hyperbolische Gleichungen

oder wegen u = 0 in B0

M

Λ(nx , nt )u, u ds = 0.

Daraus folgt u = 0 auf M , da Λ(nx , nt ) positiv definit ist. Insbesondere gilt u(¯ x, t¯) = 0, also unsere Behauptung.

11.5 Problemstellungen Problem 11.1. Bestimmen Sie die Charakteristiken der Tricomi-Gleichung

∂2u ∂2u + x1 2 = f 2 ∂x2 ∂x1

f¨ ur x = (x1 , x2 ) ∈ R2 .

Problem 11.2. Bestimmen Sie die charakteristischen Richtungen f¨ ur die Cauchy-Riemannschen Gleichungen ∂u ∂v = 0, − ∂x ∂y

∂u ∂v = 0. + ∂x ∂y

Problem 11.3. Zeigen Sie, dass (11.7) direkt aus (11.6) folgt. Problem 11.4. Sei u wie in (11.6). Angenommen, es gilt v ∈ H 2 ∩ H01 , w ∈ H01 . Zeigen Sie u(t) ≤ C v + w , ∇u(t) ≤ C ∇v + w , utt (t) = ∆u(t) ≤ C ∆v + ∇w , u(t) − v ≤ Ct ∇v + w , ut (t) − w ≤ Ct ∆v + ∇w .

osung von (11.5). Hinweis: ErSomit ist u zumindest im Sinne des L2 eine L¨ innern Sie sich an Theorem 6.4 und an Problemstellung 6.3. Zeigen Sie ∞ sin( λj t) 2 cos( λj t) − 1 2 2 . +w ˆj λj vˆj u(t) − v = t λj t λj t j=1

Problem 11.5. Beweisen Sie die L¨osungsformel von d’Alembert (11.10) f¨ ur das Cauchy-Problem f¨ ur die eindimensionale Wellengleichung, d. h. utt − uxx = 0 u(·, 0) = v, ut (·, 0) = w

in R × R+ , in R.

11.5 Problemstellungen

191

Problem 11.6. (a) L¨ osen Sie das Anfangswertproblem ∂u 0 x ∂u =0 x ∈ R, t > 0, + x 0 ∂x ∂t

u(x, 0) = v(x)

x ∈ R,

mit der Charakteristikenmethode. (b) Beweisen Sie eine Stabilit¨atsabsch¨atzung mit der Energiemethode. Problem 11.7. (a) L¨osen Sie das Anfangswertproblem ut + (x + t)ux = 0 for (x, t) ∈ R × R+

mit u(x, 0) = v(x) f¨ ur x ∈ R

mit der Charakteristikenmethode. (b) Zeigen Sie mit der Energiemethode die G¨ ultigkeit von u(·, t) = et/2 v und ux (·, t) = e−t/2 vx f¨ ur t ≥ 0. ¨ Uberpr¨ ufen Sie diese Resultate durch eine direkte Berechnung unter Verwendung der L¨osungsformel aus (a). Problem 11.8. L¨osen Sie das Problem x1

∂u ∂u = 0 f¨ ur x ∈ R2 − x2 ∂x2 ∂x1

mit u(x) = ϕ(x) f¨ ur x ∈ S,

wobei S eine nichtcharakteristische Kurve ist. Problem 11.9. L¨ osen Sie das Problem

∂u ∂u ∂u = 3u + + 2x2 ∂x3 ∂x2 ∂x1 u(x1 , x2 , 0) = ϕ(x1 , x2 )

x1

f¨ ur x ∈ R3 , f¨ ur (x1 , x2 ) ∈ R2 .

Problem 11.10. Beweisen Sie die folgende Stabilit¨ atsabsch¨ atzung f¨ ur das Problem (11.11), (11.13) unter einer geeigneten Bedingung an die Koeffizienten aj : 2 2 2 f dx + v 2 |n · a| ds . u dx + u n · a ds ≤ C Ω

Ω

Γ+

Γ−

Problem 11.11. Zeigen Sie, dass die Wellengleichung utt − ∆u = 0 als ein symmetrisches hyperbolisches System geschrieben werden kann, indem man uhrt. die Ableitungen erster Ordnung ut , ux1 , . . . , uxd als neue Variablen einf¨ Problem 11.12. Modifizieren Sie den Beweis von Theorem 11.5 um das etwas strengere Resultat zu beweisen: T f (s) ds f¨ ur 0 ≤ t ≤ T. u(t) ≤ C(T ) v + 0

192

11 Hyperbolische Gleichungen

Problem 11.13. Nehmen Sie zus¨atzlich zu den Annahmen aus Theorem 11.5 an, dass die Aj konstant sind und B symmetrisch positiv definit ist. Beweisen Sie t u(t) ≤ v + f ds f¨ ur t ≥ 0. 0

Problem 11.14. Verallgemeinern Sie Theorem 11.5 auf symmetrische hyperbolische Systeme der Form d

M

∂u ∂u + Bu = f + Aj ∂t j=1 ∂xj

in Rd × R+ ,

wobei Aj und B wie vorhin sind und M = M (x, t) symmetrisch positiv definit, ur alle ξ ∈ RN , gleichm¨aßig bez¨ uglich x, t, ist, sodass M (x, t)ξ, ξ ≥ α |ξ|2 f¨ d (x, t) ∈ R × R+ mit α > 0 gilt. Problem 11.15. Die Entwicklung des elektrischen Feldes E(x, t) ∈ R3 und des magnetischen Feldes H(x, t) ∈ R3 in einem homogenen isotropen Raum kann durch die folgenden beiden Maxwellschen Gleichungen (Amp`ere-Gesetz und Faraday-Gesetz)

(11.22)

4π 1 ∂E J =0 −∇×H + c c ∂t 1 ∂H +∇×E =0 c ∂t

in R3 × R+ ,

in R3 × R+

beschrieben werden. Dabei ist c eine positive Konstante, und es gilt ∇ × H = curl H =

∂H

3

∂x2

−

∂H1 ∂H3 ∂H2 ∂H2 ∂H1 . − , − , ∂x2 ∂x1 ∂x1 ∂x3 ∂x3

Nehmen Sie außerdem an, dass die Stromdichte J das Ohmsche Gesetz J = σE mit einer nichtnegativen Konstante σ erf¨ ullt. Zeigen Sie, dass die Gleichungen (11.22) mit an der Stelle t = 0 vorgegebenen Werten f¨ ur E und H ein gutgestelltes Problem bilden, indem Sie zeigen, dass (11.22) ein Friedrichs-System ist. Was kann man u ¨ber die Stabilit¨at der Energiedichte e = 12 (E · E + H · H) sagen? Hinweis: Sehen Sie sich Problemstellung 11.13 an.

Problem 11.16. Betrachten Sie noch einmal die Gleichung ρ

∂ ∂u ∂2u E = ∂x ∂x ∂t2

aus Problemstellung 1.2 f¨ ur die longitudinale Bewegung eines elastischen Stabes. (a) Nehmen Sie der Einfachheit halber an, dass ρ und E konstant sind und zeigen Sie, dass sie in Form des symmetrischen hyperbolischen Systems

11.5 Problemstellungen

193

0 E ρ 0 Ux = 0 U − E 0 0E t in den Variablen U1 = ut , U2 = ux geschrieben werden kann (siehe Problemstellung 11.14). (b) Gehen Sie beispielsweise von den Randbedingungen u(0) = 0, ux (L) = 0 aus. Zeigen Sie, dass die mechanische Energie eine Erhaltungsgr¨ oße ist, d. h. f¨ ur e = 12 (ρu2t + Eu2x )

L

e(x, t) dx = 0

L

e(x, 0) dx

0

gilt. Problem 11.17. Berechnen Sie die Eigenwerte und normierten Eigenvekto x t . Zeigen Sie, dass die Eigenren der symmetrischen Matrix A(x, t) = t −x vektormatrix P (x, t) an der Stelle x = 0, t = 0 unstetig ist. Dort sind die Eigenwerte entartet.

12 Finite Differenzenverfahren fu ¨ r hyperbolische Gleichungen

Die L¨osung hyperbolischer Gleichungen ist vielleicht das Gebiet, auf dem finite Differenzenverfahren am erfolgreichsten sind und auch weiterhin eine wichtige Rolle spielen werden. Dies trifft insbesondere auf nichtlineare Erhaltungsgleichungen zu, deren Behandlung jedoch u ¨ber den Umfang dieser elementaren Darstellung hinausgeht. Wir beginnen in Abschnitt 12.1 mit dem reinen Anfangswertproblem f¨ ur eine skalare Gleichung erster Ordnung in einer r¨ aumlichen Variable und untersuchen die Stabilit¨ at und Fehlerabsch¨ atzungen f¨ ur das grundlegende Upwind-Verfahren, das Friedrichs-Verfahren und das Lax-Wendroff-Verfahren. In Abschnitt 12.2 erweitern wir diese Betrachtungen auf symmetrische hyperbolische Systeme und ebenso auf h¨ ohere r¨ aumliche Dimensionen. In Abschnitt 12.3 behandeln wir das Wendroff-Box-Schema f¨ ur ein gemischtes Anfangs-Randwertproblem in einer r¨ aumlichen Dimension.

12.1 Skalare Gleichungen erster Ordnung In diesem ersten Abschnitt betrachten wir das einfache Modell-Anfangswertproblem (12.1)

∂u ∂u =a ∂x ∂t u(·, 0) = v

in R × R+ , in R

mit der Konstanten a. Wir erinnern uns daran, dass dieses Problem f¨ ur v ∈ C 1 die eindeutige klassische L¨ osung (12.2)

u(x, t) = (E(t)v)(x) = v(x + at)

zul¨ asst, die man dadurch bestimmen kann, dass man die Charakteristik x + at = konstant durch (x, t) bis zur Stelle t = 0 zur¨ uckverfolgt und den Wert von v an diesem Punkt verwendet. Eine ¨ ahnliche Aussage gilt f¨ ur einen variablen Koeffizienten a = a(x). In diesem Fall ist die Charakteristik gekr¨ ummt. Da

196

12 Finite Differenzenverfahren f¨ ur hyperbolische Gleichungen

der L¨osungsoperator lediglich eine Verschiebung des Argumentes bewirkt, sind sowohl die Maximumnorm als auch die L2 -Norm zeitlich konstant, es gilt also (12.3)

E(t)vC = vC

und

E(t)v = v

f¨ ur t ≥ 0.

Insbesondere ist E(t) in beiden Normen stabil. Um das Modellproblem mithilfe des finiten Differenzenverfahrens approximativ zu l¨osen, f¨ uhren wir wie bereits im Falle parabolischer Gleichungen in Abschnitt 9.1 einen r¨aumlichen Gitterabstand h und einen Zeitschritt k ein und bezeichnen die Approximation von u(x, t) an der Stelle (xj , tn ) = (jh, nk) ur j, n ∈ Z, n ≥ 0. Dabei ist Z = {. . . , −1, −2, 0, 1, 2, . . . } die Menge mit Ujn f¨ der ganzen Zahlen. Unter der Annahme, dass a > 0 gilt, ersetzen wir (12.1) durch ∂t Ujn = a∂x Ujn

(12.4)

Uj0

= Vj = v(xj )

f¨ ur j, n ∈ Z, n ≥ 0,

f¨ ur j ∈ Z,

wobei ∂t und ∂x wie vorhin Vorw¨ arts-Differenzenquotienten sind, sodass die Differenzengleichung n Ujn+1 − Ujn − Ujn Uj+1 =a h k

lautet. F¨ uhren wir diesmal das Gitterverh¨altnis λ = k/h ein, das wir f¨ ur h und k gegen null konstant halten, sehen wir, dass (12.4) ein explizites Verfahren darstellt, das die Approximation an der Stelle t = tn+1 durch (12.5)

n + (1 − aλ)Ujn Ujn+1 = (Ek U n )j = aλUj+1

f¨ ur j, n ∈ Z, n ≥ 0

definiert. Wenn wir U n f¨ ur alle x in R und nicht nur an den Gitterpunkten x = xj definiert betrachten, k¨onnen wir (12.6)

U n+1 (x) = (Ek U n )(x) = aλU n (x + h) + (1 − aλ)U n (x), x ∈ R

schreiben. Durch Iteration finden wir f¨ ur die approximative L¨ osung an der Stelle t = tn U n (x) = (Ekn v)(x) f¨ ur x ∈ R.

Wie im Falle der W¨armeleitungsgleichung stellen wir fest, dass Ek in der Maximumnorm f¨ ur aλ ≤ 1 stabil ist, da die Koeffizienten von Ek dann positiv sind und sich zu 1 aufaddieren. Es gilt also Ek vC ≤ vC

und somit auch U n C = Ekn vC ≤ vC .

Man kann sich leicht davon u ur die ¨berzeugen, dass die Bedingung aλ ≤ 1 f¨ Stabilit¨at notwendig ist. Wie vorhin folgt aus der Stabilit¨ at die Konvergenz:

12.1 Skalare Gleichungen erster Ordnung

197

Theorem 12.1. Seien U n und u durch (12.6) und (12.1) definiert und sei 0 < aλ ≤ 1. Dann ist U n − un C ≤ Ctn h|v|C 2

f¨ ur tn ≥ 0.

Beweis. Wir f¨ uhren den Rundungsfehler (12.7)

τ n (x) := ∂t un (x) − a∂x un (x)

ein und erhalten mit In = (tn , tn+1 ) durch Taylor-Entwicklung f¨ ur eine exakte L¨osung u der Differentialgleichung (12.8)

|τ n (x)| ≤ |∂t un (x) − ut (x, tn )| + a|∂x un (x) − aux (x, tn )| ≤ C(h + k) max |utt (·, t)| + |uxx (·, t)| ≤ Ch|v|C 2 . t∈In

Dabei haben wir k ≤ λh, utt = auxx und |uxx (·, t)|C ≤ |v|C 2 benutzt. Wir k¨onnen (12.7) auch in der Form un+1 (x) = Ek un (x) + kτ n (x) f¨ ur x ∈ R schreiben. Setzen wir z n = U n − un , erhalten wir daher z n+1 = Ek z n − kτ n oder durch wiederholte Anwendung z n = Ekn z 0 − k

n−1

Ekn−1−j τ j .

j=0

Wegen z 0 = U 0 − u0 = v − v = 0 schlussfolgern wir aufgrund der Stabilit¨ at und wegen (12.8) z n C ≤ k

n−1 j=0

τ j C ≤ C nk h|v|C 2

f¨ ur tn ≥ 0,

was den Beweis des Theorems abschließt.

⊔ ⊓

Beachten Sie, dass die nat¨ urliche Wahl der finiten Differenzenapproximation im Falle a < 0 anstelle von (12.4) (12.9)

∂t Ujn = a∂¯x Ujn

f¨ ur n ≥ 0

lautet oder, entsprechend (12.5), n Ujn+1 = (Ek U n )j = −aλUj−1 + (1 + aλ)Ujn

f¨ ur j ∈ Z, n ≥ 0

ist. Die Stabilit¨atsbedingung lautet nun 0 < −aλ ≤ 1. Weil sowohl (12.4) als auch (12.9) Punkte in der Richtung des Flusses verwenden, werden diese Differenzenverfahren als Upwind-Verfahren bezeichnet.

198

12 Finite Differenzenverfahren f¨ ur hyperbolische Gleichungen

Betrachten wir allgemeiner ein explizites finites Differenzenverfahren n (12.10) Ujn+1 = (Ek U n )j = f¨ ur j, n ∈ Z, n ≥ 0, ap Uj−p p

wobei ap = ap (λ) mit λ = k/h = konstant ist oder ap U n (x − ph) f¨ ur x ∈ R, n ≥ 0, U n+1 (x) = (Ek U n )(x) = p (12.11) U 0 (x) = v(x) f¨ ur x ∈ R gilt. Wir sagen, dass ein solches Verfahren von der Genauigkeit der Ordnung r ist, wenn ur h → 0 τ n = k−1 (un+1 − Ek un ) = O(hr ) f¨

gilt, wobei u die exakte L¨osung von (12.1) und k/h = λ = konstant ist. Wir stellen fest, dass wie in Abschnitt 9.1 f¨ ur die Fourier-Transformation von Ek v ˜ ˜ (Ek v)ˆ(ξ) = E(hξ)ˆ v(ξ) mit E(ξ) = ap e−ipξ p

gilt. In derselben Weise wie im parabolischen Fall ist eine notwendige und hinreichende Bedingung f¨ ur die Stabilit¨ at in L2 die von Neumannsche Bedingung (12.12)

˜ |E(ξ)| ≤ 1 f¨ ur ξ ∈ R.

F¨ ur unser oben vorgestelltes Verfahren (12.5) gilt ˜ E(ξ) = aλeiξ + 1 − aλ. ˜ Da ξ variiert, liegt E(ξ) auf einem Kreis in der komplexen Ebene mit dem Mittelpunkt an der Stelle (1 − aλ, 0) und dem Radius aλ. F¨ ur die G¨ ultigkeit von (12.12) ist also die Bedingung aλ ≤ 1 notwendig und hinreichend. Das ist unsere alte Stabilit¨atsbedingung. Wie f¨ ur das parabolische Problem in Abschnitt 9.1 kann die Definition f¨ ur die Genauigkeit des Verfahrens auch als Funktion des trigonometrischen ˜ Polynoms E(ξ) ausgedr¨ uckt werden: Das Verfahren ist genau dann von der Genauigkeit der Ordnung r, wenn (12.13)

˜ E(ξ) = eiaλξ + O(ξ r+1 )

f¨ ur ξ → 0

gilt. Beim Beweis benutzen wir die Tatsache, dass f¨ ur die exakte L¨ osung v(x + at)e−ixξ dx = eiatξ vˆ(ξ) (E(t)v)ˆ(ξ) = R

gilt. Wie in Abschnitt 9.1 kann man dann die folgende Fehlerabsch¨ atzung beweisen.

12.1 Skalare Gleichungen erster Ordnung

199

Theorem 12.2. Seien U n und u durch (12.11) beziehungsweise (12.1) definiert. Angenommen, Ek ist von der Genauigkeit der Ordnung r und in L2 stabil. Dann ist U n − un ≤ Ctn hr |v|r+1

f¨ ur tn ≥ 0.

Eine andere nat¨ urliche Wahl f¨ ur eine Differenzenapproximation von (12.1) besteht darin, die Ableitung bez¨ uglich x durch einen symmetrischen Differenzenquotienten U n (x + h) − U n (x − h) ∂ˆx U n (x) = 2h zu ersetzen. Dies f¨ uhrt auf die finite Differenzengleichung

(12.14)

U n (x + h) − U n (x − h) U n+1 (x) − U n (x) =a 2h k

und daher auf das Differenzenverfahren U n+1 (x) = (Ek U n )(x) = U n (x) + 12 aλ(U n (x + h) − U n (x − h)), n ≥ 0,

U 0 (x) = v(x),

x ∈ R.

In diesem Fall ist das charakteristische Polynom von Ek ˜ E(ξ) = 1 + 12 aλ(eiξ − e−iξ ) = 1 + aλi sin ξ.

Da außer an der Stelle ξ = mπ 2 ˜ |E(ξ)| = 1 + a2 λ2 sin2 ξ > 1

gilt, schlussfolgern wir, dass diese Methode f¨ ur jede Wahl von λ instabil ist. Dieses Verfahren kann stabilisiert werden, indem man U n (x) auf der linken Seite von (12.14) durch den Mittelwert 12 (U n (x + h) + U n (x − h)) ersetzt. Dies f¨ uhrt auf

U n+1 (x) − 12 (U n (x + h) + U n (x − h)) U n (x + h) − U n (x − h) =a 2h k

oder U n+1 (x) = (Ek U n )(x) = 12 (1 + aλ)U n (x + h) + 12 (1 − aλ)U n (x − h).

Dies ist ein Spezialfall des Friedrichs-Verfahrens, das wir sp¨ater allgemeiner untersuchen werden. Hier gilt ˜ E(ξ) = cos ξ + iaλ sin ξ und wir erhalten 2 ˜ |E(ξ)| = cos2 ξ + a2 λ2 sin2 ξ ≤ 1 f¨ ur ξ ∈ R

200

12 Finite Differenzenverfahren f¨ ur hyperbolische Gleichungen

genau dann, wenn |aλ| ≤ 1 gilt. Dieser Fall des Friedrichs-Verfahrens kann auch in der Form

oder (12.15)

U n (x + h) − U n (x − h) U n+1 (x) − U n (x) =a 2h k 1 n U (x + h) − 2U n (x) + U n (x − h) + 2k

1h ¯ n ∂x ∂x U ∂t U n = a∂ˆx U n + 2λ

geschrieben werden. So kann man diese Gleichung als Approximation einer parabolischen Gleichung mit dem kleinen Diffusionskoeffizienten 12 h/λ betrachten. Die Stabilit¨ at dieses Verfahrens kann dann als Resultat der Einf¨ uhrung der k¨ unstlichen Diffusion in das urspr¨ ungliche Verfahren angesehen werden. (Diese wird in der numerischen Str¨ omungsdynamik auch als k¨ unstliche Viskosit¨at bezeichnet.) Wir stellen fest, dass U n (x) im Falle des Friedrichs-Verfahrens als Funktion der Anfangsdaten in der Form

U n (x) =

n

j=−n

anj v(x − jh)

ausgedr¨ uckt werden kann und somit Werte von v(x) im Intervall [x − nh, x + nh] = [x − tn /λ, x + tn /λ] benutzt werden. Die exakte L¨osung an der Stelle t = tn ist durch (12.2) als der Wert von v an der Stelle x + tn a gegeben. Wenn der Abh¨angigkeitsbereich des Differenzenverfahrens, d. h. das Intervall angigkeitsbereich der exakten L¨osung, n¨amlich [x − tn /λ, x + tn /λ], den Abh¨ alt, dann ist klar, dass das Differenzenverfahren den Punkt x + tn a, nicht enth¨ m¨oglicherweise nicht erfolgreich ist. Die Stabilit¨atsbedingung reduziert sich auf −1 ≤ aλ ≤ 1, was unserem alten Stabilit¨ atskriterium entspricht. F¨ ur ein allgemeines Verfahren der Form (12.10) k¨onnen wir also die Courant-Friedrichs-Lewy-Bedingung (oder die CFL-Bedingung) f¨ ur die Stabilit¨at formulieren: F¨ ur die Stabilit¨ at des Verfahrens ist es notwendig, dass das Abh¨angigkeitsgebiet des finiten Differenzenverfahrens an der Stelle (x, t) das Abh¨angigkeitsgebiet des kontinuierlichen Problems enth¨alt. In unserem ersten Beispiel (12.4) finden wir, dass das finite Differenzenverfahren das Abh¨ angigkeitsintervall [x, x + tn /λ] besitzt, und dass die CFLBedingung somit 0 ≤ aλ ≤ 1 fordert. Insbesondere finden wir unsere alte Stabilit¨atsbedingung aλ ≤ 1 wieder und stellen deshalb fest, dass das Verfahren (12.4) f¨ ur a < 0 nicht verwendet werden kann. Ebenso stellen wir fest, dass der Vorw¨arts-Differenzenquotient in (12.4) f¨ ur a > 0 nicht erfolgreich durch einen R¨ uckw¨ arts-Differenzenquotienten ersetzt werden kann. Wie wir gelernt haben, ist das Verfahren (12.4), bei dem ∂x durch ∂¯x ersetzt wurde, im Falle a < 0 f¨ ur aλ ≥ −1 stabil.

12.1 Skalare Gleichungen erster Ordnung

201

Die Tatsache, dass die CFL-Bedingung f¨ ur die Stabilit¨ at nicht hinreichend ist, verdeutlicht das Verfahren (12.14), das dasselbe Abh¨ angigkeitsgebiet wie das Friedrichs-Verfahren besitzt, f¨ ur alle λ jedoch instabil ist. Wie unser erstes Beispiel (12.4) ist das Friedrichs-Verfahren ebenfalls von der Genauigkeit erster Ordnung: Wenn die exakte L¨ osung u von (12.1) hinreichend regul¨ar ist, dann gilt aufgrund der Darstellung (12.15) ∂t un − a∂ˆx un −

1h n 1 1h ¯ n u + O(h2 ) ∂x ∂x u = unt + kuntt − aunx − 2 λ xx 2 2λ 1h 2 n (λ utt − unxx ) + O(h2 ) = 2λ 1h 2 2 (a λ − 1)unxx + O(h2 ) f¨ ur h → 0. = 2λ

Folglich ist der Fehler von erster Ordnung, abgesehen von der speziellen Wahl λ = 1/|a|, bei der die approximative L¨osung gleich der exakten L¨ osung ist (siehe (12.13)). Als n¨ achstes wollen wir ein Verfahren mit der Genauigkeit zweiter Ordnung bestimmen, das die Form U n+1 (x) = (Ek U n )(x) = a1 U n (x − h) + a0 U n (x) + a−1 U n (x + h) besitzt. Aus der Gleichung (12.13) geht daf¨ ur die Bedingung a1 e−iξ + a0 + a−1 eiξ = eiaλξ + O(ξ 3 )

f¨ ur ξ → 0

hervor. Durch Taylor-Entwicklung ergibt sich (a1 + a0 + a−1 ) − i(a1 − a−1 )ξ − 12 (a1 + a−1 )ξ 2

= 1 + iaλξ − 12 a2 λ2 ξ 2 + O(ξ 3 )

f¨ ur ξ → 0,

es gilt also a1 + a0 + a−1 = 1, a1 − a−1 = −aλ,

a1 + a−1 = a2 λ2 .

Dies f¨ uhrt auf a−1 = 12 (a2 λ2 + aλ),

a 0 = 1 − a 2 λ2 ,

a1 = 12 (a2 λ2 − aλ),

und somit gilt (Ek U n )(x) = 12 (a2 λ2 + aλ)U n (x + h) + (1 − a2 λ2 )U n (x)

+ 12 (a2 λ2 − aλ)U n (x − h),

woraus sich

˜ E(ξ) = 1 − a2 λ2 + a2 λ2 cos ξ + iaλ sin ξ

202

12 Finite Differenzenverfahren f¨ ur hyperbolische Gleichungen

ergibt. Durch eine einfache Rechnung bestimmen wir 2 ˜ |E(ξ)| = 1 − a2 λ2 (1 − a2 λ2 )(1 − cos ξ)2 ,

(12.16)

und folglich ist das Verfahren in L2 genau dann stabil, wenn a2 λ2 ≤ 1 gilt (siehe Problemstellung 12.2). Wiederum stimmt dies mit der notwendigen CFL-Bedingung f¨ ur die Stabilit¨ at u ¨berein. Das zuletzt behandelte Verfahren wird als Lax-Wendroff-Verfahren bezeichnet. Wir weisen darauf hin, dass dies ein Beispiel f¨ ur ein Verfahren ist, das in der Maximumnorm nicht stabil ist, obwohl es L2 -stabil ist. Man kann dann tats¨achlich zeigen, dass im Falle 0 < a2 λ2 < 1 Ekn vC ≤ Cn1/12 vC gilt und dass diese Absch¨atzung hinsichtlich der Potenz von n scharf ist. Die Potenz ist jedoch klein und der Effekt der Instabilit¨ at im Allgemeinen nicht sp¨ urbar.

12.2 Symmetrische hyperbolische Systeme Ein großer Teil des in Abschnitt 12.1 behandelten Stoffes l¨ asst sich auf Systeme in einer r¨aumlichen Dimension

∂u ∂u =A ∂x ∂t

in R × R+

verallgemeinern, wobei u = (u1 , . . . , uN )T ein Vektor mit N Komponenten und A eine symmetrische N × N -Matrix ist. Beispielsweise nimmt das Friedrichs-Verfahren nun die Form (12.17) U n+1 (x) = (Ek U n )(x) = 12 (I + λA)U n (x + h) + 12 (I − λA)U n (x − h)

an und das Lax-Wendroff-Verfahren ist

(12.18)

U n+1 (x) = (Ek U n )(x) = 12 (λ2 A2 + λA)U n (x + h)

+ (I − λ2 A2 )U n (x) + 12 (λ2 A2 − λA)U n (x − h).

Die charakteristischen Polynome dieser Operatoren werden durch die matrixwertigen periodischen Funktionen ˜ E(ξ) = I cos ξ + iλA sin ξ beziehungsweise ˜ E(ξ) = I − λ2 A2 + λ2 A2 cos ξ + iλA sin ξ bestimmt. Diese k¨ onnen durch dieselbe orthogonale Transformation wie A diagonalisiert werden und man stellt leicht fest, dass die Stabilit¨atsforderung in beiden F¨allen

12.2 Symmetrische hyperbolische Systeme

203

|A|λ ≤ 1

lautet, wobei |A| die durch die Euklidischen Norm auf RN induzierte Matrixnorm ist, d. h. es gilt mit den Eigenwerten µj von A |A| = sup v =0

|Av| = max |µj |. j=1,...,N |v|

Als Beispiel f¨ ur ein solches System betrachten wir das Anfangswertproblem

(12.19)

∂2w ∂2w = a2 2 ∂x2 ∂t

w(·, 0) = w0 ,

in R × R+ , ∂w (·, 0) = w1 ∂t

in R.

Die hyperbolische Gleichung zweiter Ordnung kann durch die Wahl u1 = a

∂w ∂w , u2 = ∂t ∂x

auf ein System erster Ordnung transformiert werden. Diese Funktionen erf¨ ullen

∂u2 ∂u1 , =a ∂x ∂t

∂u1 ∂u2 , =a ∂x ∂t

d. h. es gilt f¨ ur u = (u1 , u2 )T

(12.20)

∂u 0 a ∂u = a 0 ∂x ∂t ′ aw0 u(·, 0) = w1

in R × R+ , in R.

Umgekehrt l¨ asst sich dann die L¨osung von (12.20) aus der L¨osung von (12.19) bestimmen. Eines der beiden Verfahren (12.17) und (12.18) kann nun auf das vorliegende System angewendet werden. Weil die Matrix in (12.20) die Eigenwerte ±a besitzt, erhalten wir wieder unser gew¨ohnliches Stabilit¨atskriterium |a|λ ≤ 1. Wir wenden uns kurz dem Fall von mehr als einer r¨aumlichen Dimension zu und betrachten das symmetrische hyperbolische System (oder FriedrichsSystem) d

(12.21)

∂u ∂u = Aj ∂xj ∂t j=1

u(·, 0) = v

in R × R+ , in Rd ,

mit einer N -vektorwertige Funktion u und den symmetrischen N ×N -Matrizen Aj . Wir wissen aus Abschnitt 11.4, dass das zugeh¨ orige Anfangswertproblem in L2 korrekt gestellt ist.

204

12 Finite Differenzenverfahren f¨ ur hyperbolische Gleichungen

Wir betrachten nun einen zugeh¨ origen finiten Differenzenoperator aβ U n (x − βh), (12.22) U n+1 (x) = (Ek U n )(x) = β

wobei β = (β1 , . . . , βd ) ganzzahlige Komponenten besitzt und die aβ endlich viele konstante N × N -Matrizen sind. Mit ξ = (ξ1 , . . . , ξd ) ∈ Rd ist das charakteristische Polynom durch die Matrix ˜ E(ξ) = aβ e−iβ·ξ mit β · ξ = β1 ξ1 + · · · + βd ξd β

gegeben. Nach Fourier-Transformation erhalten wir nun n ˜ (U n+1 )ˆ(ξ) = E(hξ)(U )ˆ(ξ) f¨ ur n ≥ 0,

und folglich gilt

n ˜ (U n )ˆ(ξ) = E(hξ) vˆ(ξ).

Es folgt leicht, dass eine notwendige und hinreichende Bedingung f¨ ur die Sta˜ bilit¨at in L2 darin besteht, dass die Matrixnorm von E(ξ) die Ungleichung (12.23)

˜ n| ≤ C |E(ξ)

f¨ ur n ≥ 0, ξ ∈ Rd

erf¨ ullt. Im Gegensatz zum skalaren Fall folgt f¨ ur Matrizen aus |An | ≤ C f¨ ur n ≥ 0 nicht die Ungleichung |A| ≤ 1, wie das Beispiel n n n−1 a na a1 = (12.24) 0 an 0a mit |a| < 1 zeigt. Aus (12.23) folgt jedoch, dass f¨ ur jeden Eigenwert λj (ξ) von ˜ E(ξ) die Ungleichung |λj (ξ)n | ≤ C f¨ ur ξ ∈ Rd , n ≥ 0 gilt und daher |λj (ξ)| ≤ 1 f¨ ur ξ ∈ Rd erf¨ ullt ist. Dies ist eine notwendige Bedingung f¨ ur die Stabilit¨ at in L2 , die als von Neumannsche Stabilit¨atsbedingung bezeichnet wird. Es ist keine hinreichende Bedingung, wie das Beispiel (12.24) mit a = 1 illustriert. Eine hinreichende Bedingung f¨ ur die Stabilit¨ at in L2 ist aber offensichtlich ˜ |E(ξ)| ≤ 1 f¨ ur ξ ∈ Rd . Um ein stabiles Differenzenverfahren der obigen Form konstruieren zu k¨onnen, ben¨otigen wir folgendes Resultat. Lemma 12.1. Angenommen, aβ sind symmetrische, positiv semidefinite Matrizen mit β aβ = I. Dann gilt ˜ ur ξ ∈ Rd . |E(ξ)| = aβ e−iβξ ≤ 1 f¨ β

12.2 Symmetrische hyperbolische Systeme

Beweis. Es sei u, v =

N

205

f¨ ur u, v ∈ CN .

uj vj

j=1

Weil aβ reell, symmetrisch und positiv semidefinit ist, wissen wir, dass die zugeh¨orige Bilinearform aβ u, v die Gleichung aβ u, v = aβ v, u,

aβ u, u ≥ 0 f¨ ur u, v ∈ CN

erf¨ ullt. Unter Verwendung dieser Eigenschaften ist es leicht, die verallgemeinerte Cauchy-Schwarz-Ungleichung |aβ u, v| ≤ aβ u, u1/2 aβ v, v1/2 zu beweisen. (Der Beweis der gew¨ohnlichen Cauchy-Schwarz-Ungleichung ist u ¨ bertragbar; diese Ungleichung stellt eine Verallgemeinerung dar, weil aβ u, u1/2 nur eine Halbnorm ist.) Benutzen wir also auch die Ungleichung 2ab ≤ a2 + b2 , so erhalten wir |aβ u, v| ≤ 12 aβ u, u + 12 aβ v, v.

Deshalb gilt ˜ |E(ξ)v, w| ≤ ≤

β

1 2

|aβ e−iβ·ξ v, w|

β

aβ v, v +

1 2

β

aβ w, w = 12 |v|2 + 12 |w|2 .

˜ Nehmen wir w = E(ξ)v an, schlussfolgern wir |w|2 ≤ 12 |v|2 + 12 |w|2 ,

was den Beweis vervollst¨ andigt.

⊔ ⊓

Als Anwendung betrachten wir das Friedrichs-Verfahren (f¨ ur das wir bereits Spezialf¨alle kennengelernt haben)

(12.25)

U n+1 (x) = (Ek U n )(x) d 1 1 1 I − λAj U n (x − hej ) , I + λAj U n (x + hej ) + = d d 2 j=1

wobei ej der Einheitsvektor in der Richtung xj ist. Dies kann, analog zu (12.15), auch in der Form ∂t U n =

d j=1

d

Aj ∂ˆxj U n +

1 h ∂x ∂¯x U n 2 λd j=1 j j

206

12 Finite Differenzenverfahren f¨ ur hyperbolische Gleichungen

geschrieben werden, und ist folglich insbesondere mit (12.21) konsistent. Wenn nun f¨ ur λ (12.26)

0 < λ ≤ min (d|Aj |)−1 1≤j≤d

gilt, dann sind die Koeffizienten in (12.25) positiv semidefinit und aus dem Lemma folgt die Stabilit¨at in L2 . F¨ ur das System ∂u 0 1 ∂u 1 0 ∂u + = 1 0 ∂x2 0 −1 ∂x1 ∂t

reduziert sich die Bedingung (12.26) auf 0 < λ ≤ 1/2. In diesem Spezialfall ist sin ξ1 sin ξ2 ˜ E(ξ) = 12 I(cos ξ1 + cos ξ2 ) + λi sin ξ2 − sin ξ1

eine Normalmatrix, d. h. eine Matrix, die mit ihrer Adjungierten kommutiert. F¨ ur eine solche Matrix ist die Norm gleich dem Maximum modulo ihrer Eigen√ ˜ werte. Unter Verwendung dieser Tatsache kann man |E(ξ)| ≤ 1 f¨ ur λ ≤ 1/ 2 beweisen, was in diesem Fall eine weniger restriktive Bedingung darstellt als die oben auf Grundlage des Lemmas aufgestellte Bedingung. Das Friedrichs-Verfahren ist wiederum nur von der Genauigkeit erster Ordnung. Tats¨ achlich kann man zeigen, dass Verfahren von der Form (12.22) mit positiv semidefinitem aβ allgemein in der Genauigkeit nur von erster Ordnung sein k¨ onnen.

12.3 Das Wendroff-Box-Schema In diesem letzten Abschnitt beschreiben wir das Wendroff-Box-Schema als ein Verfahren zweiter Ordnung, das f¨ ur gemischte Anfangs-Randwertprobleme und auch f¨ ur Systeme im Falle einer r¨ aumlichen Dimension geeignet ist. Wir betrachten also das Anfangs-Randwertproblem

∂u ∂u + bu = f +a ∂x ∂t u(0, ·) = g u(·, 0) = v,

in Ω × J

mit Ω = (0, 1), J = (0, T ),

auf J, in Ω,

wobei a, b, f, g und v glatte Funktionen mit positivem a sind und aus Gr¨ unden der Kompatibilit¨at an der Stelle (x, t) = (0, 0) die Beziehung g(0) = v(0) gefordert wird. Beachten Sie, dass wegen a > 0 die Randwerte am linken Rand vorgegeben wurden. Mit den Werten Ujn der Gitterfunktion an der Stelle (xj , tn ) = (jh, nk), 0 ≤ j ≤ M, 0 ≤ n ≤ N mit M h = 1, N k = T definieren wir außerdem

12.3 Das Wendroff-Box-Schema

207

Uj+1/2 = 12 (Uj + Uj+1 ) und U n+1/2 = 12 (U n + U n+1 )

sowie

n+1/2

n+1 n ). + Uj+1 Uj+1/2 = 14 (Ujn + Ujn+1 + Uj+1

Das Wendroff-Box-Schema lautet dann n+1/2

n ∂t Uj+1/2 + a ∂x Uj

(12.27)

n+1/2

+ bUj+1/2 = f,

U0n = Gn = g(tn ), Uj0

0 ≤ j < M, 0 ≤ n < N, 0 ≤ n ≤ N,

= Vj = v(xj ),

0 ≤ j ≤ M,

wobei a, b und f an der Stelle (xj+1/2 , tn+1/2 ) berechnet werden. F¨ ur das Verfahren l¨ asst sich ebenfalls die Differenzengleichung

(12.28)

n+1 n+1 n n Uj+1 + Uj+1 − Ujn+1 − Ujn − Ujn − Uj+1 Ujn+1 + Uj+1 +a 2h 2k n+1 n + Ujn + Uj+1 Ujn+1 + Uj+1 =f +b 4

aufschreiben; und wir erkennen aufgrund der Symmetrie, dass es sich um ein Verfahren zweiter Ordnung handelt. Diese Gleichung l¨asst sich in der Form

(12.29)

n+1 n = (1 + aλ − 12 bk)Ujn + (1 − aλ − 12 bk)Uj+1 (1 + aλ+ 12 bk)Uj+1

− (1 − aλ + 12 bk)Ujn+1 + 2kf

mit λ = k/h

ausdr¨ ucken. Dadurch wird die L¨ osung an der Stelle (xj+1 , tn+1 ) als Funktion der Werte an den Stellen (xj , tn ), (xj+1 , tn ) und (xj , tn+1 ) definiert. Ist U n gegeben, kann man U n+1 deshalb explizit in der Reihenfolge U0n+1 = Gn+1 , n+1 bestimmen. U1n+1 , U2n+1 , . . . , UM Wir werden die Stabilit¨ at dieser Methode in der diskreten L2 -Norm M 1/2 Vj2 V h = h j=1

zeigen und uns der Einfachheit halber auf den Fall beschr¨ankten, dass a konstant ist und b = f = g = 0 gilt. In diesem Fall reduziert sich (12.28) auf n+1 Uj+1 = Ujn +

1 − aλ n (U − Ujn+1 ), 1 + aλ j+1

und wir m¨ ussen (12.30)

U n h ≤ CV h

f¨ ur 0 ≤ tn ≤ T n+1/2

zeigen. Aus diesem Grund multiplizieren wir (12.27) mit Uj+1/2 und stellen fest, dass

208

12 Finite Differenzenverfahren f¨ ur hyperbolische Gleichungen n+1/2

n n )2 ∂t Uj+1/2 Uj+1/2 = 12 ∂t (Uj+1/2

und

n+1/2

∂x Uj

n+1/2 2

n+1/2

Uj+1/2 = 12 ∂x (Uj

)

gilt, sodass wir m+1/2 2

m ∂t (Uj+1/2 )2 + a∂x (Uj

) =0

erhalten. Nach Summation u ¨ ber j = 0, . . . , M − 1, m = 0, . . . , n − 1 und Multiplikation mit hk f¨ uhrt dies f¨ ur n ≤ N auf h

M −1

n (Uj+1/2 )2 + ak

j=0

n−1

m+1/2 2

(UM

) =h

m=0 m+1/2

h

0 (Uj+1/2 )2 + ak

j=0

woraus wegen unserer Annahme U0 (12.31)

M −1

n−1

m+1/2 2

(U0

) ,

m=0

=0

M −1

n (Ujn + Uj+1 )2 ≤ CV 2h

j=0

folgt. Multiplizieren wir (12.27) analog dazu stattdessen mit n+1 n + Ujn , − Ujn+1 − Uj+1 hk∂x ∂t Ujn = Uj+1

erhalten wir nach einer einfachen Rechnung (12.32)

h

M −1 j=0

n (Uj+1 − Ujn )2 ≤ CV 2h .

Insgesamt vervollst¨andigen (12.31) und (12.32) den Beweis von (12.30). Aus der Stabilit¨at und der Genauigkeit zweiter Ordnung folgt die Konvergenz zweiter Ordnung, vorausgesetzt u ist hinreichend glatt, d. h. es gilt U n − un h ≤ C(u)h2

f¨ ur k/h = λ = konstant.

12.4 Problemstellungen Problem 12.1. Beweisen Sie, dass das Friedrichs-Verfahren f¨ ur (12.1) genau dann in der Maximumnorm stabil ist, wenn |a|λ ≤ 1 gilt. Problem 12.2. Beweisen Sie (12.16) und dass das Lax-Wendroff-Verfahren genau dann in L2 stabil ist, wenn |a|λ ≤ 1 gilt.

12.4 Problemstellungen

Problem 12.3. Sei Ek ein durch (Ek V )j =

209

ap Vj−p

p

definierter Finite-Differenzen-Operator. (s) Zeigen Sie, dass

Ek V ∞,h ≤ Cv∞,h

mit C =

p

|ap |

gilt und dass diese Ungleichung f¨ ur jede kleinere ullt ist. Konstante nicht erf¨ ullt ist, wobei (b) Zeigen Sie, dass die Gleichung (Ekn V )j = p anp Vj−p erf¨ π 1 ˜ n eipξ dξ E(ξ) anp = 2π −π ˜ mit der charakteristischen Gleichung E(ξ) = j aj e−ijξ von Ek gilt. (c) Zeigen Sie, dass Ek genau dann in der Maximumnorm stabil ist, wenn |anp | ≤ C ∀n ≥ 0 p

gilt.

Problem 12.4. Beweisen Sie, dass das Lax-Wendroff-Verfahren f¨ ur |a|λ > 1 in der Maximumnorm instabil ist. Hinweis: Verwenden Sie Problemstellung 12.3. Problem 12.5. Sie wissen aus 7.1, dass man f¨ ur eine m×m-Matrix Abschnitt ∞ 1 M j definieren kann. Betrachten Sie das M den Ausdruck exp(M ) = j=0 j! symmetrische hyperbolische System ∂u/∂t = A∂u/∂x. (a) Zeigen Sie, dass ein finites Differenzenverfahren f¨ ur dieses System von der Form (vgl. (12.17) und (12.18)) ap (λA)Vj−p (Ek V )j = p

von der Genauigkeit der Ordnung r mit r = 1, 2 ist, wenn ˜ E(ξ) = exp(iλAξ) + O(ξ r+1 )

f¨ ur ξ → 0

gilt. ¨ (b) Uberpr¨ ufen Sie diese Bedingung f¨ ur das Friedrichs- und das Lax-WendroffVerfahren (12.17) und (12.18). Problem 12.6. Diskutieren Sie die Bedeutung der CFL-Bedingung f¨ ur das Anfangs-Randwertproblem in Abschnitt 12.3. Zeigen Sie, dass diese f¨ ur das in (12.27) definierte Wendroff-Box-Schema erf¨ ullt ist. ¨ Problem 12.7. (Ubung am Rechner.) Wenden Sie das Wendroff-Box-Schema auf das Problem aus Beispiel 11.8 mit h = k = 1/10 und h = k = 1/20 an. Berechnen Sie die Fehler an der Stelle (1, 1/2).

13 Die Methode der finiten Elemente fu ¨r hyperbolische Gleichungen

In diesem Kapitel wenden wir die Methode der finiten Elemente auf hyperbolische Gleichungen an. In Abschnitt 13.1 untersuchen wir ein AnfangsRandwertproblem f¨ ur die Wellengleichung und diskutieren semidiskrete und vollst¨andig diskrete Verfahren auf Grundlage der gew¨ ohnlichen Finite-Elemente-Diskretisierung in den r¨ aumlichen Variablen. In Abschnitt 13.2 betrachten wir eine skalare partielle Differentialgleichung erster Ordnung in zwei unabh¨angigen Variablen. Wir beginnen mit der Behandlung der Gleichung als Evolutionsgleichung und zeigen eine Fehlerabsch¨ atzung der nichtoptimalen Ordnung O(h) f¨ ur die gew¨ ohnliche Galerkin-Methode. Anschließend betrachten wir das zugeh¨ orige Randwertproblem als ein zweidimensionales Problem von dem in Abschnitt 11.3 behandelten Typ. Wir f¨ uhren die Modifikation der Stromliniendiffusion ein und beweisen eine Konvergenzabsch¨ atzung der Orduck nung O(h3/2 ). Wir kommen schließlich auf den Aspekt der Evolution zur¨ und kombinieren die Stromliniendiffusion mit der sogenannten diskontinuierlichen Galerkin-Methode, um ein Zeitschrittverfahren zu entwerfen. Dabei werden zweidimensionale Approximationsfunktionen benutzt, die in den Zeitebenen unstetig sein k¨ onnen.

13.1 Die Wellengleichung In diesem Abschnitt diskutieren wir kurz einige Resultate, die sich auf semidiskrete und vollst¨ andig diskrete Verfahren f¨ ur das folgende AnfangsRandwertproblem f¨ ur die Wellengleichung

(13.1)

utt − ∆u = f u=0 u(·, 0) = v, ut (·, 0) = w

in Ω × R+ , auf Γ × R+ , in Ω

beziehen. Wie schon oft nehmen wir an, dass es sich bei Ω ⊂ R2 um ein abgeschlossenes konvexes Gebiet mit polygonalem Rand Γ handelt. Mit Sh ⊂ H01

212

13 Die Methode der finiten Elemente f¨ ur hyperbolische Gleichungen

bezeichnen wir eine Familie von R¨ aumen st¨ uckweise linearer Finite-ElementeFunktionen in den r¨aumlichen Variablen. Das semidiskrete Analogon von (13.1) besteht folglich darin, ein uh (t) ∈ Sh so zu bestimmen, dass mit der bisherigen Notation, insbesondere mit a(v, w) = (∇v, ∇w), (13.2)

(uh,tt , χ) + a(uh , χ) = (f, χ) ∀χ ∈ Sh uh (0) = vh , uh,t (0) = wh

f¨ ur t > 0,

gilt. Dies ist ein Anfangswertproblem f¨ ur ein System gew¨ ohnlicher Differenuglich der tialgleichungen zweiter Ordnung f¨ ur die Koeffizienten von uh bez¨ h Standardbasis {Φj }M von S . Wenn h j=1 uh (x, t) =

Mh

αj (t)Φj (x)

j=1

gilt, dann ist (13.2) ¨aquivalent zu Bα′′ (t) + Aα(t) = b(t)

f¨ ur t > 0,

wobei die Elemente von B, A und b jeweils bkj = (Φj , Φk ), akj = a(Φj , Φk ) und bk = (f, Φk ) sind. Die Anfangsbedingungen lauten

mit vh =

α(0) = β,

α′ (0) = γ

Mh

wh =

βj Φ j ,

j=1

Mh

γj Φj .

j=1

Wir beginnen mit dem Beweis einer diskreten Variante des Resultates f¨ ur die Energieerhaltung aus Theorem 11.2. Lemma 13.1. Es sei uh die L¨osung von (13.2) mit f = 0. Dann gilt (13.3)

uh,t (t)2 + |uh (t)|21 = wh 2 + |vh |21

f¨ ur t ≥ 0.

Beweis. W¨ahlen wir χ = uh,t in (13.2), so gilt 1 2

d uh,t 2 + |uh |21 = 0, dt

woraus sich das Resultat sofort ergibt.

⊔ ⊓

Wir beweisen nun die folgende Fehlerabsch¨atzung, wobei Rh die in (5.49) definierte elliptische Projektion ist.

13.1 Die Wellengleichung

213

Theorem 13.1. Seien uh und u die L¨osungen von (13.2) und (13.1). Dann gilt mit nichtfallendem C(t) f¨ ur t ≥ 0

(13.4)

uh (t) − u(t) + h|uh (t) − u(t)|1 + uh,t (t) − ut (t) ≤ C |vh − Rh v|1 + wh − Rh w t 1/2 + C(t)h2 u(t)2 + ut (t)2 + . utt 22 ds 0

Beweis. Schreiben wir wie gew¨ ohnlich uh − u = (uh − Rh u) + (Rh u − u) = θ + ρ, so k¨onnen wir ρ und ρt wie im Beweis von Theorem 10.1 durch ρ(t) + h|ρ(t)|1 ≤ Ch2 u(t)2 ,

ρt (t) ≤ Ch2 ut (t)2

absch¨atzen. F¨ ur θ(t) ergibt sich nach einer Rechnung, die analog zu der in (10.14) verl¨auft, (13.5)

(θtt , χ) + a(θ, χ) = −(ρtt , χ) ∀χ ∈ Sh

f¨ ur t > 0.

Um die Effekte der Anfangswerte und des Quellterms voneinander zu trennen, wobei setzen wir θ = θ + θ, χ) = 0 ∀χ ∈ Sh , t > 0, (θtt , χ) + a(θ, = θ(0), θt (0) = θt (0) θ(0)

gilt. Dann sind θ und θt , wie von Lemma 13.1 gefordert, beschr¨ ankt. Der = θt (0) = 0. Mit χ = θt f¨ verbleibende Teil θ von θ erf¨ ullt (13.5) mit θ(0) uhrt dies auf 2 1 2 1 1 d 2 2 2 dt θt + |θ|1 = −(ρtt , θt ) ≤ 2 ρtt + 2 θt und nach Integration u ¨ ber t auf t t 2 2 2 θt (t) + |θ(t)|1 ≤ θt 2 ds. ρtt ds + 0

0

Daher gilt aufgrund des Gronwall-Lemmas (siehe Problemstellung 7.6) 2 ≤ C(t) θt (t)2 + |θ(t)| 1

0

t

2

ρtt ds ≤ C(t)h

4

0

t

utt 22 ds

mit C(t) = et . Dabei haben wir Theorem 5.5 verwendet, um ρtt abzusch¨atzen. Dies beschr¨ankt die ersten beiden Terme in (13.4) wie gew¨ unscht. Der dritte Term wird analog abgesch¨ atzt. ⊔ ⊓

214

13 Die Methode der finiten Elemente f¨ ur hyperbolische Gleichungen

Wir stellen fest, dass die Wahl vh = Rh v und wh = Rh w in Theorem 13.1 Fehlerabsch¨atzungen optimaler Ordnung f¨ ur alle betrachteten Gr¨ oßen ergibt. Allerdings kann es durch eine andere optimale Wahl von vh aufgrund des Gradienten im ersten Term auf der rechten Seite zu einem Verlust einer Potenz in h kommen. Wir diskutieren nun kurz auch die Diskretisierung in der Zeit. Dabei sei U n ∈ Sh die Approximation zur Zeit tn = nk mit dem Zeitschritt k. Ein m¨ogliches Verfahren besteht nun darin, U n f¨ ur n ≥ 2 zu bestimmen, indem man f¨ ur n ≥ 1 die Gleichungen (13.6)

(∂t ∂¯t U n , χ) + a( 41 (U n+1 + 2U n + U n−1 ), χ) = (f (tn ), χ) ∀χ ∈ Sh

aufstellt. Dabei sind U 0 und U 1 gegebene Approximationen von u(0) = v beziehungsweise u(t1 ). Die Wahl des Mittelwertes im zweiten Term ist durch eine Kombination aus Stabilit¨ ats- und Genauigkeitsbetrachtungen motiviert. In Bezug auf die Stabilit¨ at beweisen wir das folgende, vollst¨ andig diskrete Analogon des semidiskreten Energieerhaltungssatzes aus Lemma 13.3, wobei wir U n+1/2 = (U n + U n+1 )/2 definieren. Lemma 13.2. F¨ ur die L¨osung von (13.6) mit f = 0 gilt ∂t U n 2 + |U n+1/2 |21 = ∂t U 0 2 + |U 1/2 |21

f¨ ur n ≥ 0.

Beweis. Wir wenden (13.6) mit χ=

1 1 1 (U n+1 − U n−1 ) = (∂t U n + ∂t U n−1 ) = (U n+1/2 − U n−1/2 ) k 2 2k

an. Mit diesem χ erhalten wir

1 1 (∂t U n − ∂t U n−1 , ∂t U n + ∂t U n−1 ) = ∂¯t ∂t U n 2 (∂t ∂¯t U n , χ) = 2 2k

und

1 a(U n+1/2 + U n−1/2 , U n+1/2 − U n−1/2 ) 2k 1 = ∂¯t |U n+1/2 |21 . 2

a( 41 U n+1 + 12 U n + 14 U n−1 , χ) =

Daher gilt

∂¯t ∂t U n 2 + |U n+1/2 |21 = 0,

woraus das Resultat folgt.

⊔ ⊓

Mithilfe dieser Stabilit¨ atsaussage und mit Argumenten, die zu den im Beweis von Theorem 13.1 verwendeten analog sind, kann man folgendes Theorem zeigen. Dabei benutzen wir unsere gew¨ ohnliche Notation θ n = U n − Rh u(tn ). Die Details u ¨ berlassen wir Problemstellung 13.4.

13.2 Hyperbolische Gleichungen erster Ordnung

215

Theorem 13.2. Seien U n und u die L¨osungen von (13.6) und (13.1). Die Anfangswerte U 0 und U 1 seien so gew¨ahlt, dass ∂t θ 0 + |θ 0 |1 + |θ 1 |1 ≤ C(h2 + k2 ) erf¨ ullt ist. Dann gilt unter geeigneten Regularit¨atsbedingungen f¨ ur u mit nichtfallendem C(u, t) in t U n+1/2 − u(tn + 12 k) + ∂t U n − ut (tn + 12 k) ≤ C(u, tn )(h2 + k2 )

und |U n+1/2 − u(tn + 12 k)|1 ≤ C(u, tn )(h + k2 )

f¨ ur n ≥ 0.

Die Bedingungen f¨ ur die Anfangswerte k¨ onnen durch den Ansatz U 0 = 1 2 1 ullt werden, wobei utt (0) = ∆v+f (0) Rh v und U = Rh (v+kw+ 2 k utt (0)) erf¨ gilt. atzt, ist es Obwohl Theorem 13.2 den Fehler an den Punkten tn + 12 k absch¨ klar, dass wir auch zu Approximationen optimaler Ordnung an den Punkten onnen, da beispielsweise tn kommen k¨

14 (U n+1 + 2U n + U n−1 ) − u(tn )

≤ 12 U n+1/2 − u(tn + 12 k) + 12 U n−1/2 − u(tn − 12 k)

+ 12 (u(tn + 12 k) + u(tn − 12 k)) − u(tn ) ≤ C(u, tn )(h2 + k2 )

gilt.

13.2 Hyperbolische Gleichungen erster Ordnung Wir betrachten zun¨achst das Anfangs-Randwertproblem (vgl. Beispiel 11.7)

(13.7)

ut + u x = f u(0, t) = 0 u(·, 0) = v

in Ω = (0, 1) f¨ ur t > 0, f¨ ur t > 0, in Ω.

Mit 0 = x0 < x1 < · · · < xM = 1 und Kj = [xj−1 , xj ] suchen wir nach einer approximativen L¨osung im Raum ¯ : χ linear in Kj , j = 1, . . . , M, χ(0) = 0 . (13.8) Sh− = χ ∈ C(Ω)

Beachten Sie die Forderung, dass die Funktionen in Sh− an der Stelle x = 0, d. h. an dem r¨ aumlichen Teil Γ−,x des Zuflussrandes, verschwinden soll. An der Stelle x = 1, die ein Teil des Abflussrandes ist, soll dies aber nicht gelten. Bei der r¨ aumlich diskreten gew¨ohnlichen Galerkin-Methode ist dann f¨ ur t ≥ 0 eine Funktion uh (t) ∈ Sh− gesucht, die die Gleichung

216

13 Die Methode der finiten Elemente f¨ ur hyperbolische Gleichungen

(uh,t + uh,x , χ) = (f, χ) ∀χ ∈ Sh− , t > 0,

(13.9)

uh (0) = vh ≈ v

erf¨ ullt. Als Funktion der Standardbasis {Φj }M j=1 der Hutfunktionen kann dies in der Form Bα′ (t) + Aα(t) = f

f¨ ur t > 0 mit α(0) = γ

geschrieben werden, wobei B wie gew¨ ohnlich die symmetrische, positiv definite Matrix mit den Elementen bkj = (Φj , Φk ) ist, sodass das Problem insbesondere eine wohldefinierte L¨osung f¨ ur t ≥ 0 besitzt. Die Matrix A mit den Elementen akj = (Φ′j , Φk ) = −(Φ′k , Φj ) = −ajk ist jetzt allerdings schiefsymmetrisch. Wir wollen nun die Stabilit¨at dieses Verfahrens beweisen. Dazu w¨ ahlen wir in (13.9) χ = uh . Dies f¨ uhrt auf 1 2

d uh 2 + (uh,x , uh ) = (f, uh ) ≤ f uh . dt

Hier ist (uh,x , uh ) =

und daher gilt

1 2

u2h

1 0

= 12 uh (1)2 ≥ 0,

d uh ≤ f , dt

sodass sich nach Integration (13.10)

uh (t) ≤ vh +

0

t

f ds f¨ ur t ≥ 0

ergibt. Wir beweisen nun eine Fehlerabsch¨ atzung. Theorem 13.3. Seien uh und u die L¨osungen von (13.9) und (13.7). Dann erhalten wir mit geeignet gew¨ahltem vh t u2 + ut 1 ds f¨ ur t ≥ 0. uh (t) − u(t) ≤ Ch v1 + 0

Beweis. Wir schreiben

uh − u = (uh − Ih u) + (Ih u − u) = θ + ρ mit dem gew¨ ohnlichen Interpolationsoperator Ih in Sh . Wegen Theorem 5.5 gilt t ut 1 ds , ρ(t) ≤ Chu(t)1 ≤ Ch v1 + 0

was wie gew¨ unscht beschr¨ ankt ist. Gem¨ aß unserer Definitionen gilt θ ∈ Sh− und

13.2 Hyperbolische Gleichungen erster Ordnung

(θt , χ) + (θx , χ) = −(ω, χ) ∀χ ∈ Sh−

217

mit ω = ρt + ρx .

Aus der Fehlerabsch¨ atzung (13.10) und Theorem 5.5 schlussfolgern wir im Falle vh = Ih v, in dem θ(0) = 0 gilt, θ(t) ≤

t t t ρt + ρx ds ≤ Ch ut 1 ds + Ch u2 ds. 0

0

0

Damit ist der Beweis vollst¨ andig.

⊔ ⊓

Wir weisen darauf hin, dass die Fehlerschranke nicht von optimaler Ordnung O(h2 ) ist, weil die Schranke f¨ ur θ(t) die Ableitung des Interpolationsfehlers enth¨alt. Diese Analyse des r¨ aumlich semidiskreten Problems kann auf vollst¨ andig diskrete Verfahren u autern dies am Beispiel des ¨ bertragen werden. Wir erl¨ R¨ uckw¨arts-Euler-Verfahrens, d. h. mit unserer Standardnotation, (13.11)

(∂¯t U n χ) + (Uxn , χ) = (f n , χ) ∀χ ∈ Sh− , n > 0, U 0 = vh .

Nun gilt die Stabilit¨atsabsch¨ atzung (13.12)

U n ≤ vh + k

n j=1

f j f¨ ur n ≥ 0

(Problemstellung 13.5) und die Fehlerabsch¨ atzung ist durch folgendes Theorem gegeben. Theorem 13.4. Seien U n und u die L¨osungen von (13.11) und (13.7). Dann ur n ≥ 0 gilt mit geeignet gew¨ahltem vh f¨ tn tn U n − u(tn ) ≤ Ch v1 + (u2 + ut 1 ) ds + Ck utt ds. 0

0

Beweis. Diesmal erf¨ ullt θ n = U n − Ih un mit un = u(tn ) und ω n = ∂¯t ρn + n n n ρx + (ut − ∂¯t u ) die Gleichung (∂¯t θ n , χ) + (θxn , χ) = −(ω n , χ) ∀χ ∈ Sh− . Der einzige wesentliche neue Term in ω n ist der Letzte, der durch tn tn unt − ∂¯t un = (s − tn−1 ) utt (s) ds ≤ k utt ds tn−1

tn−1

beschr¨ankt ist. Mit der Absch¨ atzung (13.12) ist der Beweis vollst¨ andig.

⊔ ⊓

218

13 Die Methode der finiten Elemente f¨ ur hyperbolische Gleichungen

Um mit der Methode der finiten Elemente f¨ ur Gleichungen erster Ordnung fortfahren zu k¨onnen, vernachl¨assigen wir den Evolutionsaspekt vor¨ ubergehend und betrachten das in Abschnitt 11.3 diskutierte zweidimensionale Problem (13.13)

a · ∇u + a0 u = f u=g

in Ω, auf Γ− .

Dabei nehmen wir an, dass das Geschwindigkeitsfeld a = (a1 , . . . , ad ) und der Koeffizient a0 mit a0 > 0 konstant ist. Wir errinnern daran, dass wir den Zufluss- und Abflussrandrand durch Γ− = x ∈ Γ : a · n < 0 , Γ+ = x ∈ Γ : a · n > 0

definiert haben. Wir werden die Abh¨ angigkeit der nachfolgenden Absch¨ atzungen von der Konstanten a0 verfolgen, dabei aber annehmen, dass sie von oben beschr¨ankt ist. Nun diskretisieren wir dieses Problem mithilfe einer gew¨ ohnlichen zweidimensionalen Finite-Elemente-Methode. Wie in Abschnitt 5.2 nehmen wir an, dass Ω ⊂ R2 ein abgeschlossenes konvexes Gebiet mit dem polygonalen Rand Γ ist. Dabei ist Sh eine Familie von R¨ aumen st¨ uckweise linearer Finite-Elemente-Funktionen bez¨ uglich einer Familie von Triangulationen von Ω, ohne das wir irgendwelche Randbedingungen an die Funktionen in Sh stellen. Somit gilt nun statt Sh ⊂ H01 die Beziehung Sh ⊂ H 1 . Wir verwenden den in Abschnitt 5.3 definierten Interpolationsoperator Ih und erinnern an dessen Fehlerabsch¨ atzungen (13.14)

Ih v − v ≤ Ch2 v2 ,

|Ih v − v|1 ≤ Chv2 .

Schließlich nehmen wir an, dass die Triangulation so dem Rand angepasst sind, dass der Zuflussrand genau eine Vereinigung von Dreieckseiten ist, und setzen Sh− = χ ∈ Sh : χ = 0 auf Γ− .

Wir betonen, dass die Normen in (13.14) u ¨ber einem zweidimensionalen Gebiet Ω genommen werden. Bei der gew¨ohnlichen Galerkin-Finite-Elemente-Methode f¨ ur das vorliegende Problem ist nun eine Funktion uh ∈ Sh gesucht, f¨ ur die (13.15)

(a · ∇uh , χ) + a0 (uh , χ) = (f, χ) uh = gh = Ih g

∀χ ∈ Sh− , auf Γ−

gilt, wobei sich das Skalarprodukt nun auf das zweidimensionale Gebiet Ω bezieht. Unter Verwendung der Greenschen Formel erhalten wir die Identit¨ at (13.16)

(a · ∇v, v) = 12 (a · n v, v)Γ = 12 |v|2Γ+ − 12 |v|2Γ−

13.2 Hyperbolische Gleichungen erster Ordnung

219

(bedenken Sie, dass a konstant ist), wobei wir die gewichteten Normen |v|2Γ± = ±(a · n v, v)Γ± = |a · n| v 2 ds Γ±

eingef¨ uhrt haben. Wir betrachten nun eine L¨osung wh ∈ Sh von (13.15), die die homogene Randbedingung wh = 0 auf Γ− erf¨ ullt. Wegen wh ∈ Sh− k¨ onnen wir dann χ = wh w¨ahlen, um unter Ber¨ ucksichtigung von (13.16) 2 1 2 |wh |Γ+

+ a0 wh 2 = (f, wh )

zu erhalten. F¨ ur f = 0 beweist dies unmittelbar wh = 0 und daher die Eindeutigkeit der L¨osung von (13.15) und deshalb auch deren Existenz. Wir erhalten ebenso leicht die Stabilit¨ atsabsch¨ atzung (13.17)

|wh |2Γ+ + a0 wh 2 ≤ Cf 2

mit C = 1/a0 .

Wir setzen unsere Diskussion mit dem Beweis der folgenden einfachen Fehlerabsch¨atzung fort. Theorem 13.5. Seien uh und u die L¨osungen von (13.15) und (13.13). Dann gilt uh − u ≤ Chu2 . Beweis. Wir schreiben uh − u = (uh − Ih u) + (Ih u − u) = θ + ρ. Dann gilt wegen (13.14) (13.18)

ρ + hρ1 ≤ Ch2 u2 .

Um θ absch¨atzen zu k¨ onnen, stellen wir fest, dass θ ∈ Sh− gilt und wegen (13.15) und (13.13) (13.19)

(a · ∇θ, χ) + a0 (θ, χ) = −(a · ∇ρ + a0 ρ, χ) ∀χ ∈ Sh−

ist. Wegen θ ∈ Sh− zeigt die Stabilit¨ atsabsch¨ atzung (13.17) mit (13.18) |θ|2Γ+ + a0 θ2 ≤ C(∇ρ2 + ρ2 ) ≤ Ch2 u22 , was den Beweis vervollst¨ andigt.

⊔ ⊓

Wir sehen, dass die Fehlerabsch¨ atzung in Theorem 13.5 wie in den Theoremen 13.3 und 13.4 von nichtoptimaler Ordnung O(h) ist. Dies folgt aus der Tatsache, dass der Gradient des Interpolationsfehlers auf der rechten Seite von (13.19) vorkommt. Es ist bekannt, dass diese Fehlerschranke nicht verbessert werden kann.Trotzdem arbeitet die Galerkin-Methode akzeptabel, wenn die L¨ osung glatt ist. Die L¨ osungen von (13.15) sind jedoch nicht notwendigerweise glatt, und die Erfahrung zeigt, dass die Methode dann weniger gut arbeitet.

220

13 Die Methode der finiten Elemente f¨ ur hyperbolische Gleichungen

Beispielsweise kann sie Oszillationen in der N¨ahe der Bereiche, in denen sich die L¨osung schnell ¨andert, erzeugen. Solche Oszillationen lassen sich durch Hinzunahme einer k¨ unstlichen Diffusion reduzieren, wie wir es bereits getan haben, um das Friedrichs-Verfahren aus dem instabilen Verfahren (12.15) zu erhalten. Die gew¨ ohnliche GalerkinMethode mit k¨ unstlicher Diffusion besteht nun darin, ein uh ∈ Sh so zu bestimmen, dass (13.20)

(a · ∇uh , χ) + a0 (uh , χ) + h(∇uh , ∇χ) = (f, χ)

uh = gh = Ih g

∀χ ∈ Sh− , auf Γ−

erf¨ ullt ist. Diese Methode ist mit der elliptischen Gleichung a · ∇u + a0 u − h∆u = f konsistent, und deshalb k¨onnen wir noch immer erwarten, dass der Fehler f¨ ur glatte L¨ osungen von der Ordnung O(h) ist (siehe Problemstellung 13.6). Es hat sich herausgestellt, dass die Methode im Falle nichtglatter L¨osungen Unstetigkeiten mehr als erw¨ unscht gl¨ attet. Es sind aber aufwendigere Verfahren f¨ ur das Hinzuf¨ ugen der Diffusion entwickelt worden. Wir beschreiben nun ein solches Verfahren, das sogenannte Stromliniendiffusions-Verfahren, das darin besteht, ein uh ∈ Sh so bestimmen, dass (13.21)

(a · ∇uh + a0 uh , χ + h a · ∇χ) = (f, χ + h a · ∇χ) uh = gh = Ih g

∀χ ∈ Sh− , auf Γ−

gilt. Wir stellen fest, dass die exakte L¨osung von (13.13) die Gleichung (13.22)

(a · ∇u + a0 u, χ + h a · ∇χ) = (f, χ + h a · ∇χ),

∀χ ∈ Sh−

erf¨ ullt. Dies bedeutet, dass (13.21) mit (13.13) konsistent ist. Dieses Verfahren ist ein Beispiel f¨ ur ein Petrov-Galerkin-Verfahren, weil wir uns daf¨ ur entschieden hatten, die Gleichung mit anderen Testfunktionen als denjenigen in Sh zu multiplizieren. Der Rest dieses Abschnitts erfordert zum Verst¨ andnis m¨ oglicherweise ein wenig mehr Aufwand als es bei dem bisher vorgestellten Stoff der Fall war. Trotzdem behandeln wir diesen Stoff, weil wir der Ansicht sind, dass er die Schwierigkeiten illustriert, die bei der Anwendung der Methode der finiten Elemente auf hyperbolische Gleichungen erster Ordnung auftreten. Wir beginnen mit der Diskussione der Stabilit¨ at und beschr¨ anken uns wiederum auf eine L¨osung wh ∈ Sh− von (13.21), die folglich auf Γ− verschwindet. Wir w¨ahlen dann χ = wh und verwenden (13.16) und ab ≤ a2 + 14 b2 , um

(13.23)

2 1 2 (1 + ha0 )|wh |Γ+

+ a0 wh 2 + h a · ∇wh 2 = (f, wh ) + h(f, a · ∇wh )

zu erhalten. Wie vorhin folgt daraus die Eindeutigkeit und die Existenz der L¨osungen von (13.21), indem wir f = 0 setzen. Verwenden wir wie gew¨ ohnuhrt dies zur Stabilit¨ atslich die Cauchy-Schwarz-Ungleichung und ha0 > 0, f¨ absch¨atzung

13.2 Hyperbolische Gleichungen erster Ordnung

221

2 |wh |2Γ+ + a0 wh 2 + ha · ∇wh 2 ≤ (a−1 0 + h)f .

(13.24)

Beachten Sie die zus¨ atzliche Stabilit¨ at, die durch das Vorhandensein des Terms ha · ∇wh 2 gegeben ist. Wir k¨onnen dies so interpretieren, dass dieses Verfahren eine k¨ unstliche Diffusion hinzuf¨ ugt, allerdings nur entlang der charakteristischen Kurven (Stromlinien). Zur Fehleranalyse werden wir auch eine etwas st¨ arkere Stabilit¨ atsabsch¨atzung f¨ ur den Fall ben¨otigen, dass f die Form f = a · ∇F besitzt. Diese lautet |wh |2Γ+ + a0 wh 2 + ha · ∇wh 2 ≤ C(hF 21 + h−1 F 2 ),

(13.25)

wobei C unabh¨angig von a0 ist. Gehen wir wieder von (13.23) aus, gilt nun h|(f, a · ∇wh )| = h|(a · ∇F, a · ∇wh )| ≤ 14 ha · ∇wh 2 + ChF 21 .

Dar¨ uber hinaus gilt wegen der Greenschen Formel (f, wh ) = (a · ∇F, wh ) = (a · n F, wh )Γ+ − (F, a · ∇wh ) und daher |(f, wh )| ≤ C|F |2Γ+ + 14 |wh |2Γ+ + h−1 F 2 + 14 ha · ∇wh 2 .

Unter Verwendung der Spurungleichung ergibt sich (13.26)

|F |2Γ+ ≤ CF F 1 ≤ ChF 21 + Ch−1 F 2

(vgl. Problemstellung A.16). Der Beweis von (13.25) ergibt sich wie in (13.23). Wir sind nun in der Lage, die folgende Fehlerabsch¨atzung aufzustellen, die eine Verbesserung um eine halbe Potenz von h im Vergleich zur gew¨ohnlichen Galerkin-Methode darstellt. Wir bemerken außerdem, dass der Fehler f¨ ur den Fluss von optimaler Ordnung ist, es gilt also a · ∇e = O(h). Theorem 13.6. Seien uh und u die L¨osungen von (13.21) und (13.13). Dann gilt f¨ ur e = uh − u 1/2

|e|Γ+ + a0 e + h1/2 a · ∇e ≤ Ch3/2 u2 . Beweis. Wir schreiben wiederum uh − u = (uh − Ih u) + (Ih u − u) = θ + ρ und erhalten unter Verwendung von (13.18) und (13.26) |ρ|2Γ+ + a0 ρ2 + ha · ∇ρ2 ≤ C hρ21 + h−1 ρ2 ≤ Ch3 u22 . Diesmal gilt wegen (13.21) und (13.22)

(a · ∇θ + a0 θ, χ + h a · ∇χ) = −(a · ∇ρ + a0 ρ, χ + h a · ∇χ)

∀χ ∈ Sh− .

Wir w¨ ahlen χ = θ ∈ Sh− . Aus (13.24) mit f = a0 ρ und (13.25) mit F = ρ sowie (13.18) schließen wir |θ|2Γ+ + a0 θ2 + ha · ∇θ2 ≤ C a0 ρ2 + hρ21 + h−1 ρ2 ≤ Ch3 u22 ,

wobei das letzte C nur von der oberen Schranke f¨ ur a0 abh¨angt. Damit ist der Beweis vollst¨ andig. ⊔ ⊓

222

13 Die Methode der finiten Elemente f¨ ur hyperbolische Gleichungen

Die Fehlerabsch¨atzungen aus dem vorhergehenden Theorem zeigt also, dass sich das Verfahren mit Stromliniendiffusion etwas besser verh¨ alt als die gew¨ohnliche Galerkin-Methode f¨ ur glatte L¨osungen. Der Hauptgrund f¨ ur dessen Verwendung besteht darin, dass sich das Verfahren f¨ ur nichtglatte L¨ osungen allerdings besser verh¨ alt. Dies liegt an der Tatsache, dass die zus¨ atzliche Diffusion nur in der charakteristischen Richtung hinzugef¨ ugt wird, sodass innere Schichten nicht verschmiert werden, w¨ahrend die zus¨ atzliche Diffusion Oszillationen in der N¨ ahe der Randschichten beseitigt. Wir werden dies nicht weiter im Detail verfolgen. asst das Theorem 13.6 ist auch dann g¨ ultig, wenn a0 = 0 ist. In diesem Fall l¨ Problem (13.13) immer noch eine eindeutige L¨osung zu, weil die Eindeutigkeit und somit auch die Existenz wiederum direkt aus (13.23) mit f = 0 folgt. Wir haben a0 > 0 angenommen, damit wir den Fehler in der Ordnung O(h3/2 ) in der L2 -Norm beschr¨ anken k¨ onnen. Man kann leicht die Ungleichung w ≤ Ca · ∇w f¨ ur w = 0 auf Γ− zeigen. Folglich m¨ ussen wir uns in Abwesenheit einer Absch¨atzung f¨ ur e mit der Fehlerschranke der Ordnung O(h) in der L2 -Norm zufrieden geben. Wir haben immer noch eine Fehlerschranke der Ordnung O(h3/2 ) auf Γ+ . Als n¨achstes werden wir das Problem in einer Folge von Gebieten so l¨osen, dass sich aus den Schranken auf dem zugeh¨ origen Γ+ eine globale Fehlerschranke der Ordnung O(h3/2 ) ergibt. Die oben angegebene Methode behandelt das hyperbolische Problem erster Ordnung also als ein zweidimensionales und l¨ ost insbesondere die diskreten Gleichungen f¨ ur alle Knotenwerte der L¨osung simultan. Wird diese Methode auf das Anfangs-Randwertproblem (13.7) angewendet, so geht deshalb der Evolutionsaspekt verloren. Wir werden nun zu einer Modifikation kommen, die die Vorteile des Stromliniendiffusions-Verfahrens bewahrt, den ZeitschrittCharakter aber wiederherstellt. Dies wird dadurch erreicht, dass das Gebiet Ω × R+ in zur x-Achse parallele Streifen zerlegt wird und anschließend appro¨ ximierende Funktionen verwendet werden, die an den Uberg¨ angen von einem Streifen zum n¨achsten unstetig sein d¨ urfen. Diese Methode wird als diskontinuierliche Galerkin-Methode bezeichnet. Betrachten wir also das Anfangs-Randwertproblem (13.7). Wir verwenden wie zuvor die durch 0 = x0 < x1 < · · · < xM = 1 definierte Zerlegung von Ω und f¨ uhren nun auch die Zerlegung 0 = t0 < t1 < . . . von R+ ein. Wir nehmen der Einfachheit halber an, dass beide Zerlegungen quasiuniform sind und dass die Gitterkonstanten im Raum und in der Zeit von der gleichen Gr¨oßenordnung sind. Setzen wir hj = xj −xj−1 , kj = tj −tj−1 und h = max hj , k = max kj , bedeutet dies, dass ch ≤ hj ≤ h, ck ≤ kj ≤ k f¨ ur alle j mit c > 0 und ch ≤ k ≤ Ch gilt. Diese Zerlegungen im Raum und in der Zeit onnen durch definieren eine Zerlegung von Q = Ω × R+ in Rechtecke. Diese k¨ Einf¨ ugen von Diagonalen mit positivem Anstieg in Dreiecke zerlegt werden und bilden damit eine Triangulation, die die Anwendung des oben diskutierten Stromliniendiffusions-Verfahrens auf jedem endlichen Zeitintervall erlauben w¨ urde. Wir werden bei unserer Analyse die ungeteilten Rechtecke verwenden

13.2 Hyperbolische Gleichungen erster Ordnung

und definieren tn − t t − tn−1 + β n (x) Sh,k = V (x, t) = αn (x) kn kn

f¨ ur t ∈ Mn

mit αn , β n ∈ Sh−

223

mit Mn = (tn−1 , tn ), wobei Sh− den in (13.8) definierten Raum der st¨ uckweise linearen Funktionen bezeichnet. Beachten Sie, dass V ∈ Sh,k an der Stelle tn + n − unstetig sein kann und dass die Gleichungen Vn−1 = V (t+ n−1 ) = β , Vn = − n n n ur t ∈ Mn gelten. V (tn ) = α und Vt (t) = (α − β )/kn f¨ Die diskontinuierliche Galerkin-Methode mit Stromliniendiffusion f¨ ur die L¨osung von (13.7) besteht darin, ein U ∈ Sh,k so zu bestimmen, dass U0− = vh gilt und folglich f¨ ur n = 1, 2, . . . + (Ut + Ux , χ + h(χt + χx )) dt + (Un−1 , χ+ n−1 ) Mn (13.27) − (f, χ + h(χt + χx )) dt + (Un−1 , χ+ = n−1 ) ∀χ ∈ Sh,k , Mn

wobei die Skalarprodukte u ¨ber dem eindimensionalen Intervall Ω genommen − werden. Wir stellen fest, dass wir f¨ ur verschwindendes f und Un−1 die Wahl χ = U treffen k¨onnen, woraus sich leicht schlussfolgern l¨ asst, dass U = 0 + aufgel¨ ost auf Ω × Mn gilt. Folglich kann diese Gleichung nach Un− und Un−1 − werden, wenn Un−1 zusammen mit f auf Ω × Mn gegeben ist. Das Verfahren ist deshalb ein Zeitschrittverfahren. Wir merken an, dass die lokale Gleichung (13.27) von der Form (13.21) mit der Randbedingung U = 0 auf Γ−,x auf dem Gebiet Ω × Mn ist. Die − + auf Γ−,t ist allerdings nur schwach gestellt = Un−1 Randbedingung Un−1 (siehe Problemstellung 13.7). F¨ uhren wir die Gleichungen in (13.27) und die Anfangsbedingung (U0− − + vh , χ0 ) = 0 zusammen, so k¨onnen wir die Gleichungen auf Q in schacher Form Bn (U, χ) = Ln (vh , f ; χ)

∀χ ∈ Sh,k

f¨ ur n ≥ 1

stellen, wobei mit [v]j = vj+ − vj− Bn (v, w) =

n j=1

(vt + vx , w + h(wt + wx )) dt +

Mj

n−1

([v]j , wj+ ) + (v0+ , w0+ )

j=1

und (13.28)

Ln (v, f ; w) = (v, w0+ ) +

n j=1

(f, w + h(wt + wx )) dt Mj

gilt. Wir stellen fest, dass die Sprungterme verschwinden, weil die exakte L¨osung in der Zeit stetig ist und die L¨osung deshalb

224

13 Die Methode der finiten Elemente f¨ ur hyperbolische Gleichungen

(13.29)

Bn (u, χ) = Ln (v, f ; χ)

∀χ ∈ Sh,k

f¨ ur n ≥ 1

erf¨ ullt. Durch partielle Integration k¨ onnen wir Bn (·, ·) in der Form Bn (v, w) =

n

Mj

j=1

(13.30)

+

n−1 j=1

(v, −wt − wx ) + h(vt + vx , wt + wx ) dt

(vj− , −[w]j )

+

(vn− , wn− )

+

tn

v(1, t)w(1, t) dt

0

schreiben. Addieren wir die beiden Formen von Bn (·, ·), so erhalten wir unter ur w = v Verwendung von vj− = vj+ − [v]j f¨

(13.31)

Bn (v, v) = 12 vn− 2 +

+ 12 v0+ 2 +

1 2

n−1 j=1

1 2

[v]j 2 + h

tn

n j=1

Mj

vt + vx 2 dt

v(1, t)2 dt.

0

Wir kommen nun zur Fehleranalyse. Theorem 13.7. Seien U und u die L¨osungen von (13.27) und (13.7). Dann ur e = U − u gilt f¨ ur geeignet gew¨ahltes vh f¨

(13.32)

2 e− n +

n−1 j=1

[e]j 2 + h

≤ Ch3

0

tn

n j=1

Mj

et + ex 2 dt

u22 + ut 21 + utt 2 dt

f¨ ur n ≥ 0.

Wir weisen darauf hin, dass der erste Term lauf der linken Seite eine Fehlerabsch¨atzung der Ordnung O(h3/2 ) von links an der Stelle tn zeigt. Da die Spr¨ unge an den Zeitebenen im zweiten Term beschr¨ankt sind, ist der − Fehler e+ n = en + [e]n rechts von der Stelle tn auch von der Ordnung 3/2 O(h ) und wir k¨ onnen schlussfolgern, dass dies u ¨berall auf Mn gilt, weil + −1 + (¯ u (t) − u(t)) ist. Dabei bezeich+ k (t − t)e e(t) = k−1 (t − tn−1 )e− n n n−1 nen wir mit u ¯ die lineare Interpolierte von u, sodass der letzte Term von der Ordnung O(h2 ) ist. Beweis von Theorem 13.7. Der Beweis verl¨ auft wie der von Theorem 13.6. Alle unten auftretenden Terme besitzen dort ihre Entsprechung. Sei Ih der Interpolationsoperator in Sh− und Jk der st¨ uckweise lineare Interpolationsoperator in der Zeit. Wir schreiben U − u = (U − u ) + ( u − u) = θ + ρ mit u = Jk Ih u.

13.2 Hyperbolische Gleichungen erster Ordnung

225

Beachten Sie, dass u (·, t) in der Zeit kontinuierlich ist. Wegen (13.31) reicht es aus, Bn (e, e) abzusch¨ atzen, und wir stellen fest, dass Bn (e, e) ≤ 2Bn (θ, θ) + 2Bn (ρ, ρ)

gilt. Wir beginnen mit dem Absch¨ atzen des ersten Terms auf der rechten Seite. Wegen (13.29) und (13.27) finden wir f¨ ur jedes χ ∈ Sh,k Bn (θ, χ) = Bn (U, χ) − Bn ( u, χ) = Ln (vh , f ; χ) − Bn ( u, χ) = Ln (vh , f ; χ) + Bn (u, χ) − Ln (v, f ; χ) − Bn ( u, χ)

+ = (vh − v, χ+ 0 ) − Bn (ρ, χ) = (e0 , χ0 ) − Bn (ρ, χ) = −Bn (ρ, χ),

wobei wir nun den Anfangswert vh = Ph v gew¨ ahlt haben, sodass (e0 , χ+ 0)=0 gilt. Setzen wir χ = θ und verwenden (13.30) f¨ ur Bn (·, ·), so folgt n Bn (θ, θ) = |Bn (ρ, θ)| ≤ ρ + hρt + ρx θt + θx dt j=1

+

n−1 j=1

Mj

ρj [θ]j + ρn θn− +

≤ 12 Bn (θ, θ) + Ch−1

0

tn

ρ2 dt +

tn

0

n j=1

|ρ(1, t)| |θ(1, t)| dt

ρj 2 + CBn (ρ, ρ).

Hierbei haben wir benutzt, dass ρ in der Zeit stetig ist, sodass ρ− n = ρn gilt. Zum Abschluss des Beweises vernachl¨ assigen wir Bn (θ, θ) und sch¨ atzen die letzten drei Terme ab. Beachten Sie zun¨ achst, dass wegen (13.31) tn tn ρ(1, t)2 dt ρt + ρx 2 dt + 12 ρ0 2 + 12 Bn (ρ, ρ) = 12 ρn 2 + h 0

0

gilt. Wir schreiben

ρ = Jk Ih u − u = Jk (Ih u − u) + (Jk u − u) = Jk η + ω. Unter Verwendung der gew¨ ohnlichen Absch¨ atzungen f¨ ur Jk ergibt sich mit v2Mj = Mj v2 dt Jk v − vMj + kj Dt (Jk v − v)Mj ≤ Ckjs Dts vMj

f¨ ur s = 1, 2.

Weil die Zerlegungen quasiuniform sind und h und k die gleiche Gr¨oßenordnung haben, erhalten wir n −1 h ω2 + hωt 2 + hωx 2 dt j=1

Mj

tn tn ut 21 dt utt 2 dt + Chk2 ≤ C(h−1 k4 + hk2 ) 0 0 tn utt 2 + ut 21 dt. ≤ Ch3 0

226

13 Die Methode der finiten Elemente f¨ ur hyperbolische Gleichungen

Anschließend stellen wir fest, dass Jk η(t) ≤ maxs∈Mj η(s) f¨ ur t ∈ Mj gilt und benutzen die Spurungleichung aus Problemstellung A.12, um uns davon zu u ¨berzeugen, dass η2 dt + Ckj ηt 2 dt η(t)2 ≤ Ckj−1 (13.33)

≤ Ch3

Mj

Mj

Mj

u22 + ut 21 dt f¨ ur t ∈ Mj ,

gilt. Damit ist h

−1

tn

2

Jk η dt ≤ Ch

0

3

tn

0

u22 + ut 21 dt.

Auf ¨ahnliche Weise erhalten wir unter Verwendung von

(Jk η)t (t) = kj−1 ηj − ηj−1 ≤ 2kj−1 max η(s) s∈Mj

f¨ ur t ∈ Mj

die Gleichung h

n j=1

Mj

(Jk η)x 2 + (Jk η)t 2 dt ≤ Ch3

0

tn

(u22 + ut 21 ) dt.

Ferner ergibt sich aus (13.33) n j=0

2

ρj =

n j=0

2

ηj ≤ Ch

3

0

tn

u22 + ut 21 dt.

Verwenden wir wiederum die Spurungleichung aus Problemstellung A.12, so erhalten wir schließlich tn tn tn |ω(1, t)|2 dt ≤ C ω(·, t) ω(·, t)1 dt |ρ(1, t)|2 dt = 0 0 0 tn tn 1/2 utt 2 dt ut 21 dt ≤ Ck3 0 0 3 2 utt + ut 21 dt. ≤ Ch Mj

Damit ist der Beweis vollst¨ andig.

13.3 Problemstellungen Problem 13.1. Betrachten Sie das Anfangs-Randwertproblem

⊔ ⊓

13.3 Problemstellungen

utt = uxx u(0, t) = u(1, t) = 0 u(x, 0) = v(x) ut (x, 0) = w(x)

227

x ∈ (0, 1), t > 0, t > 0, x ∈ (0, 1).

Betrachten Sie zur numerischen L¨ osung mithilfe der Galerkin-Methode der finiten Elemente die st¨ uckweise linearen, stetigen Funktionen auf Basis der Zerlegung von [0, 1] in M Intervalle gleicher L¨ange h = 1/M . Bestimmen Sie in Analogie zu den in (13.2) und (13.6) beschriebenen Verfahren die Matrixformen des semidiskreten und des vollst¨andig diskreten Verfahrens. ¨ Problem 13.2. (Ubung am Rechner.) L¨ osen Sie das Anfangs-Randwertproblem aus Problemstellung 13.1 mit v(x) = 0, w(x) = sin(2πx). Verwenden Sie M = 10, 20 und das Zeitschrittverfahren in (13.6) mit k = 1/10, 1/20. Vergleichen Sie die numerische L¨ osung mit der in Abschnitt 11.2 angegebenen exakten L¨osung an der Stelle t = 3/4. Problem 13.3. Schreiben sie die Wellengleichung (13.1) als ein System zweier Gleichungen erster Ordnung in der Zeit, indem Sie w1 = u, w2 = ut setzen. Diskretisieren Sie das System mithilfe der gew¨ ohnlichen Finite-ElementeMethode in der r¨ aumlichen Variable und mithilfe des Crank-Nicolson-Verfahrens in der Zeitvariable. Zeigen Sie durch Eliminieren von W2n , dass das resultierende Verfahren im Wesenltichen dasselbe wie (13.6) ist. Beweisen Sie die Stabilit¨at im Fall f = 0. Vergleichen Sie mit Lemma 13.2. Hinweis: Multiplin− 1 n− 1 zieren Sie das System mit (W1 2 , −∆h W2 2 ).

Problem 13.4. Beweisen Sie Theorem 13.2. Problem 13.5. Beweisen Sie die Stabilit¨atsabsch¨ atzung (13.12). Problem 13.6. Beweisen Sie Stabilit¨ats- und Fehlerabsch¨ atzungen f¨ ur die gew¨ohnliche Galerkin-Methode mit k¨ unstlicher Diffusion (13.20). Problem 13.7. (Schwach gestellte Randbedingung.) Die Randbedingung u = g ist in (13.15) und (13.21) stark gestellt. Es ist auch m¨ oglich, die Randbedingung bei der gew¨ ohnlichen Galerkin-Methode schwach zu stellen: Bestimmen Sie eine Funktion uh ∈ Sh so, dass (a · ∇uh , χ) + (a0 uh , χ) − (a · n uh , χ)Γ− = (f, χ) − (a · n g, χ)Γ−

∀χ ∈ Sh

gilt. Bei der Modifikation der Stromliniendiffusion sollen Sie eine Funktion uh ∈ Sh so bestimmen, dass (a · ∇uh , χ + ha · ∇χ) + (a0 uh , χ + ha · ∇χ) − (a · n uh , χ)Γ− = (f, χ + ha · ∇χ) − (a · n g, χ)Γ−

∀χ ∈ Sh

gilt. Beweisen Sie Stabilit¨ats- und Fehlerabsch¨ atzungen f¨ ur diese Methoden.

14 Weitere Klassen numerischer Methoden

Es sind numerische Methoden entwickelt worden, die sich von finiten Differenzenverfahren und Methoden finiter Elemente unterscheiden, aber h¨ aufig mit diesen in Verbindung stehen. Diese Methoden sind ebenfalls von Interes¨ se. In diesem Kapitel geben wir einen kurzen Uberblick u ¨ber solche Klassen von Methoden. Dies sind Kollokationsverfahren, Spektralmethoden, finite Volumenmethoden und Randelementmethoden.

14.1 Kollokationsverfahren Beim Kollokationsverfahren sucht man nach einer approximativen L¨ osung einer Differentialgleichung in einem endlichdimensionalen Raum hinreichend regul¨arer Funktionen, indem man fordert, dass die Gleichung genau in einer endlichen Anzahl von Punkten erf¨ ullt ist. Wir beschreiben ein solches Verfahren f¨ ur das parabolische Modellproblem ut = uxx u(0, t) = u(1, t) = 0 u(·, 0) = v

in Ω = (0, 1) f¨ ur t > 0, f¨ ur t > 0, in Ω.

Wir setzen h = 1/M, xj = jh mit 0 ≤ j ≤ M und Kj = [xj−1 , xj ] und f¨ uhren den Raum st¨ uckweiser Polynome ¯ : v ∈ Πr−1 , v(0) = v(1) = 0 mit r ≥ 4 Sh = v ∈ C 1 (Ω) K j

ein. Seien ξi , i = 1, . . . , r − 2 die Gauß-Punkte in (0, 1), d. h. die Nullstellen des Legendre-Polynoms P˜r−2 (x) = Pr−2 (2x−1), das von dem Intervall (−1, 1) auf das Intervall (0, 1) reskaliert wurde. Wir definieren die Kollokationspunkte xj,i = xj−1 +hξi in Kj und stellen das semidiskrete Problem auf, ein uh (·, t) ∈ Sh f¨ ur t > 0 so zu bestimmen, dass (14.1)

uh,t (xj,i , t) = uh,xx (xj,i , t) f¨ ur 1 ≤ j ≤ M, 1 ≤ i ≤ r − 2 t > 0

230

14 Weitere Klassen numerischer Methoden

mit einer Approximation uh (·, 0) = vh ∈ Sh von v gilt. Dieses Verfahren kann als eine Galerkin-Methode betrachtet werden, die ein diskretes Skalarprodukt auf Grundlage der Gaußschen Quadraturformel verwendet. Seien ωi die Gewichte in der Gaußschen Formel r−2 i=1

ωi ϕ(ξi ) ≈

1

ϕ(x) dx,

0

die f¨ ur Polynome vom maximalen Grad 2r − 5 exakt ist. Setzen wir (14.2)

(ψ, χ)h = h

M r−2 j=1 i=1

ωi ψ(xj,i ) χ(xj,i ) ≈ (ψ, χ),

dann k¨onnen wir (14.1) in der Form (uh,t , χ)h − (uh,xx , χ)h = 0 ∀χ ∈ Sh t > 0 schreiben. F¨ ur geeignet gew¨ahltes vh kann man eine globale Fehlerabsch¨ atzung t 1/2 uh (t) − u(t)C ≤ Chr max u(s)r+2 + ut (s)2r+2 ds s≤t

0

beweisen. Dar¨ uber hinaus liegt f¨ ur r > 4 und mit einer raffinierteren Wahl der Anfangsapproximation vh Superkonvergenz vor, sodass u(q) (s)p f¨ ur t ≤ T |uh (xj , t) − u(xj , t)| ≤ CT h2r−4 sup s≤t

p+2q≤2r−1

gilt. Beachten Sie die strengeren Regularit¨ atsforderungen gegen¨ uber den finiten Differenzenverfahren und den Methoden finiter Elemente, die in den Kapiteln 9–10 diskutiert wurden. Die hier vorgestellten Resultate lassen sich auf vollst¨andig diskrete Verfahren u ¨bertragen, indem man finite Differenzenapproximation und Kollokation in der Zeit verwendet.

14.2 Spektralmethoden Spektralmethoden ¨ ahneln in vielerlei Hinsicht den Methoden finiter Elemente und den Kollokationsverfahren. Der Hauptunterschied besteht in der Wahl der endlichdimensionalen Approximationsr¨aume. Wir betrachten das Anfangswertproblem

(14.3)

ut − uxx = f u(0, t) = u(1, t) = 0 u(·, 0) = v

in Ω = (0, 1) f¨ ur t > 0, f¨ ur t > 0, in Ω.

14.2 Spektralmethoden

231

angiger Funktionen in H 2 ∩ H01 , die Sei {ϕj }∞ j=1 eine Folge linear unabh¨ den L2 aufspannen. Wir setzen SN = span{ϕj }N j=1 . Unter Verwendung der Galerkin-Methode definieren wir eine r¨ aumlich semidiskrete Approximation uN = uN (t) ∈ SN von (14.3) durch (14.4)

(uN,t , χ) − (uN,xx , χ) = (f, χ) ∀χ ∈ SN , t > 0

mit geeignet gew¨ ahlten uN (0) = vN ∈ SN . F¨ uhren wir die orthogonale Projektion PN : L2 → SN ein, so k¨onnen wir (14.4) in der Form uN,t + AN uN = PN f

f¨ ur t > 0 mit AN = PN APN , A = ∂ 2 /∂x2

schreiben. Dabei gilt (AN χ, χ) = (APN χ, PN χ) ≥ 0. Diese Gleichung kann ′ mit uN (x, t) = N ur t > 0 geschriej=1 αj (t)ϕj (x) als Bα (t) + Aα(t) = b(t) f¨ ben werden, wobei die Elemente der N × N -Matrizen A und B die Werte (Aϕi , ϕj ) beziehungsweise (ϕi , ϕj ) sind. Man sieht leicht, dass B positiv definit ist. Wir stellen fest, dass der Fehler eN = uN − u die Gleichung eN,t + AN eN = (PN − I)f − (AN − A)u f¨ ur t > 0 mit eN (0) = vN − v erf¨ ullt und somit (14.5) uN (t) − u(t) ≤ vN − v +

t

0

(PN − I)f + (AN − A)u ds

gilt. Man kann sich leicht davon u orige L¨ osungs¨ berzeugen, dass der zugeh¨ operator EN (t) = e−AN t in der Operatornorm in L2 durch 1 beschr¨ ankt ist. Daraus folgt, dass der Fehler mit vN − v, (PN − I)f und (AN − A)u klein ist. Wir betrachten ein einfaches Beispiel. Dabei sind ϕj (x) = c sin(jπx) die normierten Eigenfunktionen von A mit homogenen Dirichletschen Randbedinist die abgeschnittene gungen. Dann gilt B = I, A ist positiv definit und PN N 2 Fourier-Reihe PN v = N (v, ϕ )ϕ , sodass A v = j j N j=1 j=1 (jπ) (v, ϕj )ϕj = PN Av gilt. Der Fehler ist klein, wenn vN = PN v gilt und die Fourier-Reihen ur jedes r von v, f und uxx konvergieren. Insbesondere ist die Konvergenz f¨ osung ist hinreichend regul¨ ar. von der Ordnung O(N −r ), vorausgesetzt die L¨ Eine andere M¨oglichkeit, ein semidiskretes numerisches Verfahren unter zu definieren, besteht darin, Verwendung des Raumes SN aus unserem Beispiel −1 aus SN mit dem Skalarprodukt (v, w)N = h N j=0 v(xj )w(xj ) einen HilbertRaum zu machen, wobei xj = j/(N − 1) gilt. Dies f¨ uhrt auf eine Projektion PN , die durch PN u(xj ) = u(xj ), j = 0, . . . , N − 1 definiert ist, und die semidiskrete Gleichung (14.4) wird nun zur Kollokationsgleichung uN,t (xj , t) − uN,xx (xj , t) = f (xj , t)

f¨ ur j = 0, . . . , N − 1, t > 0.

Dies wird auch als Pseudospektralmethode bezeichnet und die Fehlerabsch¨ atzung (14.5) ist in der zu (·, ·)N geh¨ origen diskreten Norm g¨ ultig.

232

14 Weitere Klassen numerischer Methoden

Spektral- und Pseudospektralmethoden, die die oben betrachteten sinusf¨ormigen Basisfunktionen verwenden, sind bei periodischen Problemen besonders hilfreich. Im Falle von Anfangs-Randwertproblemen f¨ ur hyperbolische Gleichungen sind auf Chebyshev- und Legendre-Polynome bezogene Basisfunktionen n¨ utzlich, beispielsweise in Verbindung mit Berechnungen in der Str¨omungsdynamik.

14.3 Finite Volumenverfahren Wir illustrieren die Verwendung der finiten Volumenverfahren am Beispiel des Modellproblems (14.6)

−∆u = f

in Ω

mit u = 0 auf Γ,

wobei Ω ein konvexes polygonales Gebiet in R2 mit dem Rand Γ ist. Die Grundlage dieser Methode ist die Feststellung, dass wegen der Greenschen Formel f¨ ur jedes V ⊂ Ω ∂u ds = f dx (14.7) V ∂V ∂n

gilt. Wir beginnen mit der Beschreibung des zellzentrierten finiten VolumenDifferenzenverfahrens. Sei Th = {Kj } eine Triangulation von Ω von dem in Abschnitt 5 betrachteten Typ, dei dem alle Winkel der Kj kleiner gleich π/2 sind. Wir betrachten (14.7) mit V = Kj ∈ Th . Dann ist ∂V = ∂Kj die Vereinigung der mit drei anderen Dreiecken Ki gemeinsamen Kanten γji . Wir wollen ∂u/∂n auf jeder dieser Kanten approximieren. Mit Qj bezeichnen wir den Mittelpunkt des Kreises um Kj (der dann innerhalb von Kj liegt), der Vektor Qj Qj ist orthogonal zu γji und ∂u/∂n in (14.7) kann durch den Differenzenquotienten (U (Qi ) − U (Qj ))/|Qi Qj | approximiert werden. Unter Verwendung der Randwerte in (14.6) f¨ ur die zu den Randdreiecken geh¨ origen Qj erzeugt dies ein finites Differenzenverfahren auf dem nichtuniformen Gitter {Qj }. Schreiben wir das diskrete Problem in Matrixform als AU = b, so k¨ onnen wir zeigen, dass die Matrix A symmetrisch, positiv definit und diagonaldominant ist. Sind die Th quasiuniform, kann man die Fehlerabsch¨ atzung U − u1,h ≤ Chu2 in einer bestimmten diskreten H 1 -Norm beweisen. Eine alternative Herangehensweise stellt das folgende knotenzentrierte Verfahren dar, das auch als finites Volumenelementverfahren bezeichnet wird: uckweise linearer finiter EleSei Sh ⊂ H01 der durch Th definierte Raum st¨ mente. F¨ ur K ∈ Th schneiden sich die Geraden, die einen Knoten mit dem Mittelpunkt der gegen¨ uberliegenden Kante verbinden, im Schwerpunkt von K und unterteilen K in sechs Dreiecke. Sei Bj,K die Vereinigung von zwei dieser

14.4 Randelementmethoden

233

Dreiecke, die Pj als Eckpunkt besitzen. F¨ ur jeden inneren Knoten Pj betrachten wir die Vereinigung Bj der zugeh¨origen Bj,K und bezeichnen mit S¯h die zugeh¨origen st¨ uckweise konstanten Funktionen. Unter Verwendung von (14.7) f¨ ur jedes dieser Bj kommen wir zum Petrov-Galerkin-Verfahren, das darin besteht, ein uh ∈ Sh so zu bestimmen, dass ∂uh ds = (f, ψ) ∀ψ ∈ S¯h (14.8) a ¯(uh , ψ) := ψj ∂n ∂B j j

erf¨ ullt ist. Dies kann auch als ein finites Differenzenverfahren auf dem unregelm¨aßigen Gitter {Pj } betrachtet werden. Die Bj werden als Kontrollvolumina bezeichnet. Sind χ ∈ Sh die Funktionen χ ¯ ∈ S¯h , die an den Knoten von Th mit χ u ¨ bereinstimmen, kann man zeigen, dass (14.9)

a ¯(ψ, χ) ¯ = a(ψ, χ) ∀ψ, χ ∈ Sh

gilt (vgl. Problemstellung 14.3), sodass (14.8) in der Form a(uh , χ) = (f, χ) ¯

∀χ ∈ Sh

geschrieben werden kann. (Dies gilt f¨ ur elliptische Operatoren mit variablen Koeffizienten nicht exakt.) Man kann zeigen, dass die gew¨ ohnliche Fehlerabsch¨atzung uh − u1 ≤ Chu2 f¨ ur dieses Verfahren gilt. Unter etwas strengeren Regularit¨ atsannahmen gilt ebenso uh − u = O(h2 ). Finite Volumenverfahren sind f¨ ur Operatoren in Divergenzform n¨ utzlich, insbesondere im Falle zeitabh¨ angiger Erhaltungsgleichungen.

14.4 Randelementmethoden Bei der Randelementmethode wird ein Randwertproblem f¨ ur eine homogene partielle Differentialgleichung in einem Gebiet Ω mit der auf dem Rand Γ gegebenen L¨osung u als eine Integralgleichung u ¨ber Γ umformuliert. Diese Gleichung dient dann als Grundlage f¨ ur die numerische Approximation. Wir werden diese Vorgehensweise anhand des Modellproblems (14.10)

∆u = 0

in Ω ⊂ R2

mit u = g

auf Γ

illustrieren. Dabei nehmen wir an, dass Γ glatt ist. Zum Aufstellen der Randintegralgleichung nehmen wir an, dass U (x) = −(2π)−1 log |x| die Fundamentall¨osung des Laplace-Operators in R2 ist (siehe Theorem 3.5). F¨ ur jedes u mit ∆u = 0 auf Γ gilt wegen der Greenschen Formel ∂U ∂u (x − y)u(y) dsy , x ∈ Ω. (y) dsy − (14.11) u(x) = U (x − y) ∂n ∂n y y Γ Γ

234

14 Weitere Klassen numerischer Methoden

Mit x auf Γ definieren die Integrale auf der rechten Seite die Einfachschichtund Doppelschichtpotentiale V ∂u/∂n und W u. Wir weisen darauf hin, dass ur x, y ∈ Γ beschr¨ ankt ist, auch wenn ∇U (x − der Kern (∂U/∂ny )(x − y) f¨ y) Singularit¨aten der Ordnung O(|x − y|−1 ) besitzt, sodass der Operator W wohldefiniert ist. Wenn sich x ∈ Ω dem Rand Γ n¨ ahert, gehen die beiden Integrale gegen V ∂u/∂n beziehungsweise 12 u + W u, sodass (14.11) auf 1 2u

= V ∂u/∂n − W u

auf Γ

f¨ uhrt. Mit u = g auf Γ ist dies eine Fredholmsche Integralgleichung erster Art zur Bestimmung von ∂u/∂n auf Γ . Setzen wir dies zusammen mit u = g auf Γ in (14.11) ein, ergibt sich die L¨osung von (14.10). Anstelle dieser direkten Methode kann man die indirekte Methode verwenden, bei der angenommen wird, dass die L¨osung von (14.11) als Potential einer Funktion auf Γ dargestellt werden kann, sodass ∂Φ (x − y)w(y) dsy x ∈ Ω Φ(x − y)v(y) dsy oder u(x) = u(x) = ∂n y Γ Γ

gilt. Mit den obigen V und W gilt: Wenn solche Funktionen v und w existieren, erf¨ ullen sie die Fredholmschen Integralgleichungen erster und zweiter Art (14.12)

Vv =g

und

1 2w

+ Ww = g

auf Γ.

Schreiben wir H s = H s (Γ ), dann sind V und W sogenannte Pseudodifferentialoperatoren der Ordnung −1, d. h. beschr¨ankte lineare Operatoren H s → H s+1 , die insbesondere kompakt auf H s sind. Die Gleichung erster Art ist eindeutig l¨ osbar, vorausgesetzt ein bestimmtes Maß, der transfinite ullt ist. Die Gleichung Durchmesser δΓ von Γ , ist dergestalt, dass δΓ = 1 erf¨ ¨ zweiter Art in (14.12) besitzt immer eine eindeutige L¨osung. Ahnliche Umformulierungen k¨onnen auch f¨ ur die Neumannschen Randbedingungen f¨ ur eine große Anzahl anderer Probleme, die elliptische Gleichungen beinhalten, und f¨ ur ¨außere Probleme vorgenommen werden. Diese Herangehensweise ist zur numerischen L¨osung im letzten Fall besonders n¨ utzlich. Bei der Randelementmethode (engl.: Boundary Element Method – BEM ) bestimmt man die approximative L¨ osung einer Randintegralformulierung des Problems wie der obigen in einem Raum, der ¨ahnlich dem st¨ uckweise polynomialen Finite-Elemente-Raum ist, mithilfe der Galerkin-Methode oder des Kollokationsverfahrens. Im Falle der zweiten Gleichung in (14.12) bestimmen wir mithilfe der Galerkin-Methode und einem endlichdimensionalen Teilraum Sh von L2 (Γ ) die diskrete Approximation wh ∈ Sh von w, die die Form 1 2 wh , χ

+ W wh , χ = g, χ ∀χ ∈ Sh

mit ·, · = (·, ·)L2 (Γ )

besitzt. Schreibt man | · |s f¨ ur die Norm in H s (Γ ), erh¨ alt man |wh − w|0 ≤ r Cr (w)h , wenn Sh von der Genauigkeit der Ordnung O(hr ) ist. Mithilfe eines Dualit¨ atsargumentes kann man die superkonvergente Absch¨ atzung

14.5 Problemstellungen

235

|wh − w|−r ≤ Cr (w)h2r zeigen. Unter Verwendung eines Iterationsargumentes l¨asst sich damit eine approximative L¨ osung w ˜h mit |w ˜h − w|0 = O(h2r ) definieren. Betrachten wir beispielsweise die numerische L¨ osung der Gleichung erster Art in (14.12) im endlichdimensionalen Raum Sh periodischer, glatter Splines uckweisen Polynomen der Ordnung r. In diesem Fall besteht Sh ⊂ C r−2 aus st¨ ur das in Πr−1 . Bei unserem diskreten Problem ist also ein vh ∈ Sh gesucht, f¨ V vh , χ = g, χ ∀χ ∈ Sh gilt. Man kann zeigen, dass die zu V geh¨ orige Bilinearform V v, w symmetrisch, beschr¨ankt und koerzitiv bez¨ uglich der Norm |·|−1/2 in einem bestimmten Sobolev-Raum H −1/2 (Γ ) ist, sodass V v, w = v, V w ≤ C|v|−1/2 |w|−1/2

und V v, v ≥ c|v|2−1/2

mit c > 0

gilt. Man kann dann die Ungleichung |vh − v|−1/2 ≤ C inf |χ − v|−1/2 ≤ Chr+1/2 |v|r χ∈Sh

beweisen. Mit einem Dualit¨atsargument folgt dann |vh −v|−r−1 ≤ Ch2r+1 |v|r , wobei wir die Norm in H −r−1 (Γ ) verwenden. Ist x ein innerer Punkt von Ω, finden wir deshalb f¨ ur uh = V vh die Absch¨atzung |uh (x) − u(x)| ≤ Cx |vh − v|−r−1 ≤ Ch2r+1 , weil Φ(x − y) f¨ ur y = x glatt ist. Als Funktion einer Basis {φj } von Sh ausgedr¨ uckt, kann man dieses Problem in Matrixform als Aα = g˜ schreiben, wobei A symmetrisch und positiv definit ist. Auch wenn die Dimension von A durch R¨ uckf¨ uhrung des urspr¨ unglich zweidimensionalen Problems auf ein eindimensionales reduziert wurde, ist die Matrix A anders als bei der Methode der finiten Elemente f¨ ur eine Differentialgleichung nicht d¨ unn besetzt. Wir weisen außerdem darauf hin, dass die Elemente V Φi , Φj zwei Integrationen erfordern, eine zum Bilden von V Φi und eine zum Bilden des Skalarprodukts. Um den Aufwand zu reduzieren, kann man Kollokationsverfahren anwenden und vh aus V vh (x(sj )) = g(x(sj )) an den Mh Quadraturpunkten sj in [0, l] bestimmen, wobei x = x(s) eine Parametrisierung von Γ ist und Mh = dim(Sh ) gilt. In der umfassenden Literatur u ¨ber numerische Randintegralmethoden wurde großes Augenmerk auf die Komplikationen gelegt, die sich ergeben, wenn die oben genannten Regularit¨atsannahmen nicht erf¨ ullt sind. Dies trifft beispielsweise f¨ ur Gebiete mit Ecken zu. In diesem Fall sind V und W nicht kompakt.

14.5 Problemstellungen Problem 14.1. Sei r = 4 und (·, ·)h durch den entsprechenden Fall von (14.2) definiert.

236

14 Weitere Klassen numerischer Methoden 1/2

(a) Zeigen Sie, dass χh := (χ, χ)h (b) Zeigen Sie die G¨ ultigkeit von

eine Norm auf Sh ist.

−(χ′′ , χ)h ≥ −(χ′′ , χ) = χ′ 2

f¨ ur χ ∈ Sh .

(c) Zeigen Sie die Stabilit¨ at der L¨osung von (14.1) bez¨ uglich · h .

Hinweis zu Teil (b): Sei P˜2 (x) = P2 (2x − 1) = x2 − x + 16 das zum In√ tervall (0, 1) geh¨ orende Legendre-Polynom mit den Nullstellen ξ1,2 = 12 ± 63 . Bedenken Sie, dass die Gaußsche Quadratur mit zwei Gauß-Punkten f¨ ur kubische Polynome exakt ist. Beschr¨ anken Sie Ihre Betrachtungen auf ein Intervall ur x3 . Dann ist χ′′ χ − 6P˜22 ∈ Π3 (0, 1). Sei χ ∈ Π3 mit dem Koeffizienten 1 f¨ ˜ und folglich gilt wegen P (ξi ) = 0, i = 1, 2

− 12

2 i=1

′′

χ (ξi )χ(ξi ) = −

1 ′′

χ χ dx + 6

0

0

1

P˜22 dx ≥ −

1

χ′′ χ dx.

0

Problem 14.2. Betrachten Sie das Anfangswertproblem erster Ordnung mit periodischen Randbedingungen ut + ux = 0, u(−π, t) = u(π, t) u(·, 0) = v

in Ω = (−π, π) f¨ ur t > 0, f¨ ur t > 0, in Ω.

Formulieren Sie die Spektralmethode mit der Basis SN = 1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, . . . , cos N x, sin N x .

Es sei A = ∂/∂x. Bestimmen Sie AN und zeigen Sie, dass A∗N = −AN gilt. Zeigen Sie auch, dass uN (t) ≤ v = vL2 (Ω) und folglich EN (t) = 1 mit EN (t) = e−tAN gilt. Problem 14.3. Beweisen Sie (14.9). Hinweis: Schreiben Sie Ω als Vereinigung der Bj und der K und schreiben Sie diese wiederum als Vereinigung der Mengen Bj,K . Beachten Sie, dass χ ¯ ds = χ ds f¨ ur χ ∈ Sh e

e

f¨ ur jede Kante e der Triangulation Th gilt.

A Einige Hilfsmittel aus der Analysis

¨ In diesem Anhang geben wir einen kurzen Uberblick u ¨ ber Ergebnisse aus der Analysis, insbesondere der Funktionalanalysis, die bei unserer Behandlung partieller Differentialgleichungen gebraucht werden. Dabei geben wir die Ergebnisse im Wesentlichen ohne Beweis an. Wir beginnen in Abschnitt A.1 mit einer einfachen Darstellung abstrakter, linearer R¨ aume, wobei wir den HilbertRaum einschließlich des Rieszschen Darstellungssatzes und dessen Verallgemeinerung auf Bilinearformen von Lax und Milgram hervorheben. Wir fahren in Abschnitt A.2 mit Funktionenr¨ aumen fort, wobei wir uns nach der Diskusat und des Lp -Raumes den L2 -basierten sion des Raumes C k , der Integrabilit¨ Sobolev-R¨aumen mit dem Spurtheorem und der Poincar´e-Ungleichung zuwenden. Abschnitt A.3 besch¨ aftigt sich mit der Fourier-Transformation.

A.1 Abstrakte lineare R¨ aume Sei V ein linearer Raum (oder Vektorraum) mit reellen Skalaren, d. h. eine Menge mit der Eigenschaft, dass f¨ ur u, v ∈ V und λ, µ ∈ R auch λu + µv ∈ V gilt. Ein lineares Funktional (oder eine Linearform) L auf V ist eine Funktion L : V → R, f¨ ur die L(λu + µv) = λL(u) + µL(v)

∀u, v ∈ V, λ, µ ∈ R

gilt. Eine Bilinearform a(·, ·) auf V ist eine Funktion a : V × V → R, die in jedem Argument f¨ ur sich genommen linear ist, d. h. f¨ ur alle u, v, w ∈ V und λ, µ ∈ R gilt a(λu + µv, w) = λa(u, w) + µa(v, w), a(w, λu + µv) = λa(w, u) + µa(w, v). Die Bilinearform a(·, ·) wird als symmetrisch bezeichnet, wenn a(w, v) = a(v, w)

∀v, w ∈ V

238

A Einige Hilfsmittel aus der Analysis

gilt und als positiv definit, wenn a(v, v) > 0,

∀v ∈ V, v = 0

ist. Eine positiv definite, symmetrische Bilinearform auf V wird auch als inneres Produkt (oder Skalarprodukt) auf V bezeichnet. Ein linearer Raum V mit einem Skalarprodukt wird auch als innerer Produktraum (oder Skalarproduktraum) bezeichnet. F¨ ur einen Skalarproduktraum V und ein Skalarprodukt (·, ·) auf V definieren wir die zugeh¨ orige Norm durch (A.1)

v = (v, v)1/2

f¨ ur v ∈ V.

Wir wiederholen die Cauchy-Schwarz-Ungleichung (A.2)

|(w, v)| ≤ w v

∀v, w ∈ V,

wobei Gleichheit genau dann gilt, wenn w = λv f¨ ur ein λ ∈ R ist, und die Dreiecksungleichung (A.3)

w + v ≤ w + v

∀v, w ∈ V.

Zwei Elemente v, w ∈ V mit (v, w) = 0 werden als orthogonal bezeichnet. Eine unendliche Folge {vi }∞ i=1 in V konvergiert gegen v ∈ V , auch durch ur i → ∞ oder v = limi→∞ vi ausgedr¨ uckt, wenn vi → v f¨ vi − v → 0 f¨ ur i → ∞ gilt. Die Folge {vi }∞ i=1 wird als Cauchy-Folge in V bezeichnet, wenn vi − vj → 0 f¨ ur i, j → ∞ gilt. Der Skalarproduktraum V wird als vollst¨andig bezeichnet, wenn jede Cauchy-Folge in V konvergent ist, d. h. wenn jede Cauchy-Folge einen Grenzwert v = lim vi ∈ V besitzt. Ein vollst¨andiger Skalarproduktraum wird als Hilbert-Raum bezeichnet. Wenn wir hervorheben wollen, dass ein Skalarprodukt oder eine Norm einem speziellen Raum V zugeordnet ist, schreiben wir (·, ·)V und · V . Manchmal ist es wichtig, dass die Skalare in einem linearen Raum V komplexe Zahlen sein d¨ urfen. Ein solcher Raum ist dann ein Skalarproduktraum, wenn es ein auf V × V definiertes Funktional (v, w) gibt, das in der ersten Variable linear und hermitesch ist, d. h. wenn (w, v) = (v, w) gilt. Die Norm ist in diesem Falle wiederum durch (A.1) definiert und V ist ein komplexer Hilbert-Raum, wenn er bez¨ uglich dieser Norm vollst¨ andig ist. Der K¨ urze wegen betrachten wir im Folgenden in der Regel den Fall reellwertiger Skalare. Allgemeiner gesagt, ist eine Norm in einem linearen Raum V eine Funktion ur die · : V → R+ , f¨

A.1 Abstrakte lineare R¨ aume

v > 0 λv = |λ| v v + w ≤ v + w

239

∀v ∈ V, v = 0, ∀λ ∈ R (or C), v ∈ V, ∀v, w ∈ V

gilt. Eine Funktion |·| wird als Halbnorm bezeichnet, wenn diese Bedingungen mit der Einschr¨ankung erf¨ ullt sind, dass die erste Zeile durch |v| ≥ 0 ∀v ∈ V ersetzt wird, d. h. wenn sie nur positiv semidefinit ist und folglich f¨ ur ein v = 0 verschwinden kann. Ein linearer Raum mit einer Norm wird als normierter linearer Raum bezeichnet. Wie wir bereits gesehen haben, ist ein Skalarproduktraum ein normierter linearer Raum, aber nicht alle normierten linearen R¨aume sind Skalarproduktr¨aume. Ein vollst¨ andiger normierter Raum wird als Banach-Raum bezeichnet. Es sei V ein Hilbert-Raum und V0 ⊂ V ein linearer Teilraum. Ein solcher Teilraum V0 wird als abgeschlossen bezeichnet, wenn er alle Grenzwerte von Folgen in V0 enth¨ alt, d. h. wenn aus {vj }∞ ur j → ∞ die j=1 ⊂ V0 und vj → v f¨ Beziehung v ∈ V0 folgt. Ein solcher Teilraum V0 ist selbst ein Hilbert-Raum mit dem gleichen Skalarprodukt wie V . Es sei V0 ein abgeschlossener Teilraum von V . Dann kann jedes v ∈ V eindeutig als v = v0 + w geschrieben werden, wobei v0 ∈ V0 gilt und w orthogonal zu V0 ist. Das Element v0 kann als das eindeutige Element in V0 beschrieben werden, das den geringsten Abstand zu v besitzt, es gilt also (A.4)

v − v0 = min v − u. u∈V0

Dies wird als Projektionstheorem bezeichnet und ist ein grundlegendes Resultat der Theorie der Hilbert-R¨ aume. Das Element v0 heißt orthogonale Projekutzliche Konsetion von v auf V0 und wird auch mit PV0 v bezeichnet. Eine n¨ quenz des Projektionstheorems besteht darin, dass der abgeschlossene lineare Teilraum V0 , falls er nicht mit dem gesamten Raum V identisch ist, einen Normalenvektor besitzt. Das heißt, es gibt einen von null verschiedenen Vektor w ∈ V , der orthogonal zu V0 ist. Die beiden Normen · a und · b werden als ¨aquivalent in V bezeichnet, wenn es positive Konstanten c und C gibt, f¨ ur die (A.5)

cvb ≤ va ≤ Cvb

∀v ∈ V

gilt. Seien V, W zwei Hilbert-R¨ aume. Ein linearer Operator B : V → W heißt beschr¨ankt, wenn eine Konstante C existiert, f¨ ur die (A.6)

BvW ≤ CvV

∀v ∈ V

erf¨ ullt ist. Die Norm eines beschr¨ ankten linearen Operators B ist (A.7)

B = sup v∈V

BvW . vV

240

A Einige Hilfsmittel aus der Analysis

Folglich gilt BvW ≤ B vV

∀v ∈ V

und per Definition ist B die kleinste Konstante C, f¨ ur die (A.6) gilt. Beachten Sie, dass ein beschr¨ ankter linearer Operator B : V → W stetig ur ist. Tats¨achlich gilt im Falle vj → v in V die Beziehung Bvj → Bv in W f¨ j → ∞, weil Bvj − BvW = B(vj − v)W ≤ B vj − v → 0 f¨ ur j → ∞ ist. Umgekehrt kann man auch zeigen, dass ein stetiger linearer Operator beschr¨ankt ist. Im Spezialfall W = R reduziert sich die Definition eines Operators auf die eines linearen Funktionals. Die Menge aller beschr¨ ankten linearen Funktionale auf V heißt dualer Raum von V und wird mit V ∗ bezeichnet. Wegen (A.7) ist die Norm in V ∗ LV ∗ = sup

(A.8)

v∈V

|L(v)| . vV

Beachten Sie, dass V ∗ selbst ein linearer Raum ist, wenn wir (λL + µM )(v) = λL(v) + µM (v) f¨ ur L, M ∈ V ∗ , λ, µ ∈ R definieren. Mit der durch (A.8) definierten Norm ist V ∗ ein normierter linearer Raum und man kann zeigen, dass V ∗ vollst¨andig und somit selbst auch ein Banach-Raum ist. Analog dazu sagen wir, dass die Bilinearform a(·, ·) auf V beschr¨ankt ist, wenn es eine Konstante M gibt, f¨ ur die (A.9)

|a(w, v)| ≤ M w v

∀w, v ∈ V

gilt. Das folgende Theorem gibt eine wichtige Eigenschaft von Hilbert-R¨ aumen an. Theorem A.1. (Rieszscher Darstellungssatz.) Sei V ein Hilbert-Raum mit dem Skalarprodukt (·, ·). F¨ ur jedes beschr¨ankte lineare Funktional L auf V gibt es ein eindeutiges u ∈ V , das die Gleichung L(v) = (v, u)

∀v ∈ V

erf¨ ullt. Dar¨ uber hinaus gilt (A.10)

LV ∗ = uV .

Beweis. Die Eindeutigkeit ist offensichtlich, da aus (v, u1 ) = (v, u2 ) mit v = u1 − u2 die Gleichung u1 − u2 2 = (u1 − u2 , u1 − u2 ) = 0 folgt. Wenn L(v) = 0 f¨ ur alle v ∈ V gilt, dann k¨ onnen wir u = 0 setzen. Nehmen wir nun an, dass L(¯ v ) = 0 f¨ ur ein v¯ ∈ V gilt. Wir werden u als einen geeignet normierten Normalenvektor“ an die Hyperebene“ V0 = {v ∈ V : L(v) = 0} ” ”

A.1 Abstrakte lineare R¨ aume

241

konstruieren, wobei es sich, wie man leicht sieht, um einen abgeschlossenen Teilraum von V handelt (siehe Problemstellung A.2). Dann ist v¯ = v0 + w v ) = 0. Das bedeutet mit v0 ∈ V0 und w orthogonal zu V0 und L(w) = L(¯ aber L(v − w L(v)/L(w)) = 0, sodass (v − w L(v)/L(w), w) = 0 und folglich ⊔ ⊓ L(v) = (v, u), ∀v ∈ V gilt, wobei u = w L(w)/w2 ist. Aufgrund dieses Resultates ist es nat¨ urlich, die linearen Funktionale L ∈ V ∗ mit den zugeh¨origen u ∈ V zu identifizieren, sodass im Falle eines HilbertRaumes V ∗ ¨aquivalent zu V ist. Mitunter wollen wir Gleichungen der folgenden Form l¨ osen: Gesucht ist ein u ∈ V , f¨ ur das (A.11)

a(u, v) = L(v)

∀v ∈ V

gilt. Dabei ist V ein Hilbert-Raum, L ein beschr¨ anktes lineares Funktional auf V und a(·, ·) eine symmetrische Bilinearform, die koerzitiv in V ist, d. h. es gilt (A.12)

a(v, v) ≥ αv2V

∀v ∈ V

mit α > 0.

Daraus folgt, dass a(·, ·) symmetrisch und positiv definit ist, also ein Skalarprodukt auf V . Aus dem Rieszschen Darstellungssatz folgt nun unmittelbar die Existenz einer eindeutigen L¨osung u ∈ V f¨ ur L ∈ V ∗ . Dar¨ uber hinaus erhalten wir durch die Wahl v = u in (A.11) αu2V ≤ a(u, u) = L(u) ≤ LV ∗ uV , sodass sich nach Wegstreichen eines Faktors uV (A.13)

uV ≤ CLV ∗

mit C = 1/α

ergibt. Dies ist ein Beispiel f¨ ur eine Energieabsch¨atzung. Wenn a(·, ·) eine symmetrische Bilinearform ist, die in V koerzitiv und beschr¨ankt ist, sodass (A.12) und (A.9) gelten, dann k¨ onnen wir eine Norm · a , die Energienorm, durch va = a(v, v)1/2

f¨ ur v ∈ V

definieren. Wegen (A.12) und (A.9) gilt dann √ √ αvV ≤ va ≤ M vV (A.14)

∀v ∈ V,

und folglich ist die Norm · a auf V ¨aquivalent zu · V . Offensichtlich ist dann V bez¨ uglich des Skalarproduktes a(·, ·) und der Norm · a ebenfalls ein Hilbert-Raum. Die L¨osung von (A.11) kann auch in Form eines Minimumproblems dargestellt werden.

242

A Einige Hilfsmittel aus der Analysis

Theorem A.2. Sei a(·, ·) eine symmetrische, positiv definite Bilinearform und L eine beschr¨ankte Linearform auf dem Hilbert-Raum V . In diesem Fall erf¨ ullt u ∈ V genau dann (A.11), wenn (A.15)

F (u) ≤ F (v)

∀v ∈ V

mit F (v) = 12 a(v, v) − L(v)

ist. Beweis. Nehmen wir zun¨ achst an, dass u (A.11) erf¨ ullt. Es sei v ∈ V beliebig und wir definieren w = v − u ∈ V . Dann gilt v = u + w und F (v) = 12 a(u + w, u + w) − L(u + w)

= 12 a(u, u) − L(u) + a(u, w) − L(w) + 12 a(w, w)

= F (u) + 12 a(w, w),

wobei wir (A.11) und die Symmetrie von a(·, ·) benutzt haben. Da a positiv definit ist, beweist dies (A.15). Wenn umgekehrt (A.15) gilt, dann ist f¨ ur ein gegebenes v ∈ V g(t) := F (u + tv) ≥ F (u) = g(0) ∀ t ∈ R, sodass g(t) ein Minimum an der Stelle t = 0 besitzt. Aber g(t) ist das quadratische Polynom g(t) = 12 a(u + tv, u + tv) − L(u + tv) = 12 a(u, u) − L(u) + t a(u, v) − L(v) + 12 t2 a(v, v)

und folglich gilt 0 = g ′ (0) = a(u, v) − L(v), also (A.11).

⊔ ⊓

Somit erf¨ ullt u ∈ V (A.11) genau dann, wenn u das Energiefunktional F minimiert. Die Methode, das Minimierungsproblem durch Variation des Argumentes des Funktionals F um einen gegebenen Vektor u zu untersuchen, wird als Variationsmethode bezeichnet. Die Gleichung (A.11) nennt man Variationsgleichung f¨ ur F . Das folgende Theorem, das als Lax-Milgram-Lemma bekannt ist, verallgemeinert den Rieszschen Darstellungssatz auf nichtsymmetrische Bilinearformen. Theorem A.3. Wenn die Bilinearform a(·, ·) im Hilbert-Raum V beschr¨ankt und koerzitiv und L eine beschr¨ankte Linearform in V ist, dann existiert ein eindeutiger Vektor u ∈ V , f¨ ur den (A.11) erf¨ ullt ist. Beweis. Mit dem Skalarprodukt (·, ·) in V existiert nach dem Rieszschen Darstellungssatz ein eindeutiges b ∈ V , f¨ ur das L(v) = (b, v) ∀v ∈ V

A.1 Abstrakte lineare R¨ aume

243

gilt. Dar¨ uber hinaus ist a(u, ·) f¨ ur jedes u ∈ V offensichtlich auch ein beschr¨anktes lineares Funktional auf V , sodass ein eindeutiges A(u) ∈ V mit a(u, v) = (A(u), v) ∀v ∈ V existiert. Es l¨asst sich leicht u ufen, dass A(u) linear und beschr¨ ankt von ¨berpr¨ u abh¨angt, sodass Au = A(u) den Operator A : V → V als beschr¨ ankten linearen Operator definiert. Die Gleichung (A.11) ist deshalb zu Au = b ¨ aquivalent. Um den Beweis des Theorems zu vervollst¨ andigen, werden wir zeigen, dass diese Gleichung f¨ ur jedes b eine eindeutige L¨ osung u = A−1 b besitzt. Unter Verwendung der Koerzitivit¨ at gilt αv2V ≤ a(v, v) = (Av, v) ≤ AvV vV , sodass (A.16)

αvV ≤ AvV

∀v ∈ V

gilt. Daraus ergibt sich die Eindeutigkeit, weil aus Av = 0 die Gleichung v = 0 folgt. Dies kann auch durch die Feststellung ausgedr¨ uckt werden, dass der Nullraum N (A) = {v ∈ V : Av = 0} = 0 oder A injektiv ist. Zeigt man die Existenz einer L¨ osung u f¨ ur jedes b ∈ V , bedeutet dies, dass jedes b ∈ V zum Bildbereich R(A) = {w ∈ V : w = Av f¨ ur ein v ∈ V } geh¨ ort, d. h. es gilt R(A) = V beziehungsweise A ist surjektiv. Um uns davon zu u ¨berzeugen, stellen wir zun¨achst fest, dass R(A) ein abgeschlossener linearer Teilraum von V ist. Um die Abgeschlossenheit von R(A) zu zeigen, nehmen wir an, dass Avj → w in V f¨ ur j → ∞ gilt. Wegen (A.16) f¨ uhrt dies f¨ ur i, j → ∞ auf vj − vi V ≤ α−1 Avj − Avi V → 0. Folglich gilt vj → v ∈ V f¨ ur j → ∞ und wegen der Stetigkeit von A auch Avj → Av = w. Deshalb gilt w ∈ R(A), und R(A) ist abgeschlossen. Nehmen wir nun R(A) = V an. Dann existiert nach dem Projektionstheorem ein w = 0, das orthogonal zu R(A) ist. Wegen der Orthogonalit¨ at gilt aber auch αw2V ≤ a(w, w) = (Aw, w) = 0, sodass w = 0 sein muss, was ein Widerspruch ist. Folglich muss R(A) = V sein. Dies vervollst¨ andigt den Beweis der Existenz einer eindeutigen L¨ osung f¨ ur jedes b ∈ V . Die Energieabsch¨ atzung wird wie zuvor bewiesen. ⊔ ⊓ Im unsymmetrischen Fall gibt es keine Darstellung der L¨ osung in Form eines Energie-Minimierungsproblems. Abschließen wollen wir mit einer Bemerkung u ¨ber lineare Gleichungen in endlichdimensionalen R¨ aumen. Es sei V = RN und wir betrachten eine lineare Gleichung in V , die in Matrixform als Au = b

244

A Einige Hilfsmittel aus der Analysis

geschrieben werden kann, wobei A eine N × N -Matrix ist und u, b N komponentige Vektoren sind. Es ist bekannt, dass diese Gleichung f¨ ur jedes ar b ∈ V eine eindeutige L¨ osung u = A−1 b besitzt, wenn die Matrix A regul¨ ist, d. h. wenn die Determinante det(A) = 0 ist. Im Falle det(A) = 0 besitzt die homogene Gleichung Au = 0 nichttriviale L¨ osungen u = 0 und es gilt R(A) = V , sodass die inhomogene Gleichung nicht immer l¨ osbar ist. Folglich ist f¨ ur alle b ∈ V weder die Eindeutigkeit noch die Existenz gesichert. Eindeutigkeit liegt insbesondere nur dann vor, wenn det(A) = 0 ist, woraus dann auch die Existenz der L¨ osung folgt. Mitunter l¨asst sich die Eindeutigkeit leicht zeigen, wodurch wir auch gleichzeitig die Existenz der L¨ osung erhalten.

A.2 Funktionenr¨ aume Der Raum C k F¨ ur M ⊂ Rd bezeichnen wir mit C(M ) den linearen Raum der stetigen Funktionen auf M . Den Teilraum aller beschr¨ ankten Funktionen k¨ onnen wir in einen normierten, linearen Raum u uhren, indem wir ¨berf¨ (A.17)

vC(M ) = sup |v(x)| x∈M

setzen. Wenn M eine beschr¨ ankte und abgeschlossene Menge, d. h. eine kompakte Menge ist, dann wird das Supremum in (A.17) angenommen und wir k¨onnen vC(M ) = max |v(x)| x∈M

schreiben. Die Norm (A.17) wird deshalb als Maximumnorm bezeichnet. Beachten Sie, dass die Konvergenz in C(M ), also vi − vC(M ) = sup |vi (x) − v(x)| → 0, x∈M

gleich der gleichm¨aßigen Konvergenz in M ist. Wir erinnern uns: Wenn eine Folge stetiger Funktionen in M gleichm¨aßig konvergent ist, dann ist die Grenzfunktion stetig. Unter Verwendung dieser Tatsache ist der Beweis nicht schwierig, dass C(M ) ein vollst¨andiger normierter Raum, d. h. ein BanachRaum, ist. C(M ) ist kein Hilbert-Raum, weil die Maximumnorm nicht mit einem Skalarprodukt wie in (A.1) verkn¨ upft ist. angende offene Menge. Sei nun Ω ⊂ Rd ein Gebiet, d. h. eine zusammenh¨ ur jede ganze Zahl k ≥ 0 den linearen Raum aller Mit C k (Ω) bezeichnen wir f¨ ¯ bezeichnet den Raum in Ω k-mal stetig differenzierbaren Funktionen v. C k (Ω) ¯ f¨ der Funktionen in C k (Ω), f¨ ur die Dα v ∈ C(Ω) ur alle |α| ≤ k gilt. Dabei ist Dα v die in (1.8) definierte partielle Ableitung von v. Wenn Ω beschr¨ ankt ist, dann ist der zuletzt genannte Raum ein Banach-Raum bez¨ uglich der Norm α vC k (Ω) ¯ = max D vC(Ω) ¯ . |α|≤k

A.2 Funktionenr¨ aume

245

¯ k ≥ 1, verwenden wir gelegentlich auch die HalbF¨ ur Funktionen aus C k (Ω), norm α |v|C k (Ω) ¯ = max D vC(Ω) ¯ , |α|=k

die lediglich die Ableitungen h¨ochster Ordnung enth¨ alt. Eine Funktion besitzt einen kompakten Tr¨ ager in Ω, wenn sie außerhalb einer kompakten Teilmen¯ mit kompakge von Ω verschwindet. Den Raum der Funktionen aus C k (Ω) tem Tr¨ager in Ω bezeichnen wir mit C0k (Ω). Insbesondere verschwinden solche Funktionen in der N¨ ahe des Randes Γ und im Falle sehr großer x-Werte, wenn Ω unbeschr¨ankt ist. Wir sagen, dass eine Funktion glatt ist, wenn sie in Abh¨ angigkeit vom Kontext der vorliegenden Aufgabe hinreichend viele stetige Ableitungen besitzt. Wenn keine Gefahr f¨ ur Missverst¨ andnisse besteht, lassen wir den Definitionsbereich der Funktionen in der Notation des Raumes weg und schreiben ¯ und · C k f¨ ur · C k (Ω) ur die weiter beispielsweise C f¨ ur C(Ω) ¯ . Gleiches gilt f¨ unten eingef¨ uhrten R¨ aume. Integrabilit¨ at, Lp -R¨ aume Es sei Ω ein Gebiet in Rd . Wir m¨ ussen mit Integralen u ¨ber Funktionen v = ¯ sind. F¨ v(x) in Ω arbeiten, die allgemeiner als die in C(Ω) ur eine nichtnegative Funktion kann man das sogenannte Lebesgue-Integral IΩ (v) = v(x) dx Ω

¯ mit dem definieren, das endlich oder unendlich sein kann und f¨ ur v ∈ C(Ω) Riemann-Integral u ¨ bereinstimmt. Die von uns betrachteten Funktionen setzen wir als messbar voraus; wir werden nicht tiefer auf die theoretischen Details eingehen, sondern merken einfach an, dass alle Funktionen, die uns in diesem Buch begegnen, diese Forderung erf¨ ullen. Eine nichtnegative Funktion v wird als integrierbar bezeichnet, wenn IΩ (v) < ∞ gilt, analog ist eine allgemeine reell- oder komplexwertige Funktion v integrierbar, wenn |v| integrierbar ist. Eine Teilmenge Ω0 von Ω wird als Nullmenge oder eine Menge vom Maß null bezeichnet, wenn ihr Volumen |Ω| gleich null ist. Zwei Funktionen, die abgesehen von einer Nullmenge gleich sind, besitzen folglich das gleiche Lebesgue-Integral und werden als gleich fast u ¨ berall bezeichnet. Wenn in einem beschr¨ankten Gebiet Ω also v1 (x) = 1 gilt und wenn v2 (x) = 1 in Ω außer an der Stelle x0 ∈ Ω mit v2 (x0 ) = 2 ist, dann gilt IΩ (v1 ) = IΩ (v2 ) = |Ω|. Insbesondere k¨onnen wir aus der Tatsache, dass eine Funktion integrierbar ist, keinen Schluss u ¨ber ihre Werte am Punkt x0 ∈ Ω ziehen, d. h. die Punktwerte sind nicht wohldefiniert. Weil der Rand Γ von Ω eine Nullmenge ist, gilt f¨ ur jedes v auch IΩ¯ (v) = IΩ (v). Wir definieren nun

246

A Einige Hilfsmittel aus der Analysis

vLp = vLp (Ω) =

⎧ 1/p ⎪ ⎨ |v(x)|p dx Ω

f¨ ur 1 ≤ p < ∞,

Ω

f¨ ur p = ∞

⎪ ⎩ess sup |v(x)|

und sagen, dass v ∈ Lp = Lp (Ω) gilt, wenn vLp < ∞ ist. In dieser Stelle meinen wir mit ess sup das wesentliche Supremum, das Werte auf Nullmengen außer Acht l¨ asst, sodass beispielsweise v2 L∞ = 1 f¨ ur die oben erw¨ ahnte Funktion v2 gilt, auch wenn supΩ v2 = 2 ist. Man kann zeigen, dass Lp ein vollst¨andiger normierter Raum ist, d. h. ein Banach-Raum. Die Dreiecksungleichung in Lp wird als Minkowski-Ungleichung bezeichnet. Offensichtlich geh¨ort f¨ ur beschr¨ anktes Ω jedes v ∈ C zu Lp mit 1 ≤ p ≤ ∞. Es gilt vLp ≤ CvC

mit C = |Ω|1/p

f¨ ur 1 ≤ p < ∞ und vL∞ = vC ,

obwohl Lp auch unstetige Funktionen enth¨alt. Dar¨ uber hinaus ist es nicht ¯ bez¨ schwierig zu zeigen, dass C(Ω) uglich der Lp -Norm f¨ ur 1 ≤ p < ∞ unvollst¨andig ist. Man kann sich davon u ¨berzeugen, indem man eine Folge ¯ {vi }∞ uglich der Lp -Norm eine Cauchy-Folge i=1 ⊂ C(Ω) konstruiert, die bez¨ ist, d. h. f¨ ur die vi − vj Lp → 0 gilt, deren Grenzwert v = limi→∞ vi je¯ ist aber ein dichter Teilraum des Lp (Ω) doch unstetig ist. Der Raum C(Ω) mit 1 ≤ p < ∞, wenn Γ hinreichend glatt ist. Dies bedeutet, dass f¨ ur jedes v ∈ Lp eine Folge {vi }∞ ur die vi − vLp → 0 f¨ ur i → ∞ i=1 ⊂ C existiert, f¨ gilt. Mit anderen Worten, jede Funktion v ∈ Lp kann in der Lp -Norm beliebig gut durch Funktionen in C approximiert werden (eigentlich genauer durch ur alle k). Im Gegensatz dazu ist C nicht dicht in L∞ , Funktionen in C0k f¨ da eine unstetige Funktion durch eine stetige Funktion nicht gleichm¨ aßig gut approximiert werden kann. ur uns von besonderem Interesse. Dieser Raum ist ein Der Fall L2 ist f¨ Skalarproduktraum und folglich bez¨ uglich des Skalarproduktes (A.18) (v, w) = v(x)w(x) dx Ω

ein Hilbert-Raum. F¨ ur komplexwertige Funktionen verwendet man im Integranden das konjugiert Komplexe von w(x). Sobolev-R¨ aume Wir werden nun einige spezielle Hilbert-R¨aume einf¨ uhren, die u ¨ blicherweise bei der Analyse partieller Differentialgleichungen benutzt werden. Diese R¨aume bestehen aus Funktionen, die mit ihren partiellen Ableitungen bis zu einer bestimmten Ordnung quadratintegrabel sind. F¨ ur die Definition m¨ ussen wir zun¨achst den Begriff der partiellen Ableitung verallgemeinern. ¯ Partielle Integration Sei Ω ein Gebiet in Rd und sei zun¨ achst v ∈ C 1 (Ω). f¨ uhrt auf

A.2 Funktionenr¨ aume

Ω

∂v φ dx = − ∂xi

Ω

v

∂φ dx ∂xi

247

∀φ ∈ C01 = C01 (Ω).

F¨ ur v ∈ L2 = L2 (Ω) existiert ∂v/∂xi im klassischen Sinne nicht notwendigerweise, wir k¨onnen ∂v/∂xi allerdings als lineares Funktional ∂φ ∂v dx ∀φ ∈ C01 (φ) = − v (A.19) L(φ) = ∂xi Ω ∂xi

definieren. Dieses Funktional wird als verallgemeinerte oder schwache Ableitung von v bezeichnet. Wenn L in L2 beschr¨ ankt ist, folgt aus dem Rieszschen Darstellungssatz die Existenz einer eindeutigen Funktion w ∈ L2 , mit der Eigenschaft, dass L(φ) = (w, φ) f¨ ur alle φ ∈ L2 gilt. Es ist also ∂φ dx = wφ dx ∀φ ∈ C01 . v − Ω Ω ∂xi

Wir sagen dann, dass die schwache Ableitung zu L2 geh¨ ort und schreiben ∂v/∂xi = w. In diesem Fall gilt daher ∂φ ∂v dx ∀φ ∈ C01 . v φ dx = − (A.20) Ω ∂xi Ω ∂xi

¯ die verallgemeinerte Ableitung ∂v/∂xi Insbesondere stimmt f¨ ur v ∈ C 1 (Ω) mit der klassischen Ableitung ∂v/∂xi u ¨berein. In ¨ ahnlicher Weise definieren wir die schwache partielle Ableitung D α v als lineares Funktional |α| v Dα φ dx ∀φ ∈ C0 , (A.21) D α v(φ) = (−1)|α| Ω

α

wobei D v die in (1.8) definierte partielle Ableitung von v ist. Ist dieses Funktional im L2 beschr¨ ankt, dann sichert der Rieszsche Darstellungssatz die ur die Existenz einer eindeutigen Funktion D α v in L2 , f¨ |α|

(Dα v, φ) = (−1)|α| (v, Dα φ) ∀φ ∈ C0

gilt. Zur weiteren Diskussion verallgemeinerter Funktionen verweisen wir auf Problemstellung A.9. Wir definieren nun H k = H k (Ω) mit k ≥ 0 als Raum aller Funktionen, oren, d. h. deren schwache partielle Ableitungen der Ordnung ≤ k zu L2 geh¨ H k = H k (Ω) = v ∈ L2 : Dα v ∈ L2 f¨ ur |α| ≤ k . Wir versehen diesen Raum mit dem Skalarprodukt (v, w)k = (v, w)H k = Dα vDα w dx |α|≤k

Ω

248

A Einige Hilfsmittel aus der Analysis

und der zugeh¨origen Norm 1/2

vk = vH k = (v, v)H k =

|α|≤k

(Dα v)2 dx

Ω

1/2

.

Insbesondere gilt v0 = vL2 . In diesem Fall lassen wir den Index 0 gew¨ ohnlich weg und schreiben v. Außerdem ist v1 =

und v2 =

Ω

v2 +

d 1/2 ∂v 2 1/2 dx = v2 + ∇v2 ∂xj j=1

d d ∂ 2 v 2 1/2 ∂v 2 dx . + v2 + ∂xi ∂xj ∂xj Ω i,j=1 j=1

Wir verwenden manchmal auch die Halbnorm 1/2 (A.22) |v|k = |v|H k = (Dα v)2 dx |α|=k

Ω

mit k ≥ 1. Beachten Sie, dass die Halbnorm f¨ ur konstante Funktionen verschwindet. Unter Verwendung der Vollst¨ andigkeit des L2 , kann man zeiandig und somit ein Hilbert-Raum ist (siehe Problemgen, dass H k vollst¨ stellung A.4). Der Raum H k ist ein Beispiel einer allgemeineren Klasse von Funktionenr¨ aumen, den Sobolev-R¨ aumen. ¯ f¨ ur jedes l ≥ k und hinreichend glattes Man kann zeigen, dass C l = C l (Ω) k Γ dicht in H ist. Diese Eigenschaft ist n¨ utzlich, weil sie es uns erlaubt, bestimmte Resultate f¨ ur H k zu erhalten, indem wir den m¨oglicherweise technisch einfacheren Beweis f¨ ur Funktionen in C k f¨ uhren und das Resultat mithilfe der Dichtheit auf alle v ∈ H k verallgemeinern (vgl. Beweis von Theorems A.4). Analog dazu bezeichnen wir den durch die Norm 1/p f¨ ur 1 ≤ p < ∞ |Dα v|p dx vWpk = Ω |α|≤k

definierten normierten Raum mit Wpk = Wpk (Ω). Dieser Raum ist tats¨achlich vollst¨ andig und somit ein Banach-Raum. F¨ ur p = 2 gilt W2k = H k . Wiederum k ur v ∈ C . gilt vW∞ k = vC k f¨ Spurtheoreme ¯ ist v(x) f¨ Im Falle v ∈ C(Ω) ur x ∈ Γ , d. h. auf dem Rand von Ω, wohldefiniert. Die Spur γv eines solchen v auf Γ ist die Restriktion von v auf Γ , d. h. es gilt

A.2 Funktionenr¨ aume

(A.23)

(γv)(x) = v(x)

249

f¨ ur x ∈ Γ.

Es sei daran erinnert, dass die Spur von v ∈ L2 (Ω) nicht wohldefiniert ist, da Γ eine Nullmenge ist. oglich, v eindeutig auf dem Nehmen wir nun v ∈ H 1 (Ω) an. Ist es dann m¨ Rand Γ , d. h. dessen Spur γv auf Γ zu definieren? (Man kann zeigen, dass Funktionen in H 1 (Ω) nicht notwendigerweise stetig sind, vgl. Theorem A.5 und Problemstellungen A.6, A.7.) Diese Frage kann pr¨ azisiert werden, indem man nach der M¨ oglichkeit fragt, eine Norm · (Γ ) f¨ ur Funktionen auf Γ und eine Konstante C zu finden, die (A.24)

γv(Γ ) ≤ Cv1

¯ ∀v ∈ C 1 (Ω)

erf¨ ullt. Eine Ungleichung dieser Form wird als eine Spurungleichung bezeichnet. Wenn (A.24) gilt, dann ist es mithilfe eines Dichtheitsargumentes (siehe ¯ auf unten) m¨oglich, den Definitionsbereich des Spuroperators γ von C 1 (Ω) 1 1 ur alle v ∈ H (Ω). Der FunktioH (Ω) zu erweitern. Dabei gilt (A.24) auch f¨ nenraum, zu dem γv geh¨ort, wird durch die Norm · (Γ ) in (A.24) definiert. Wir weisen darauf hin, dass der Rand Γ in der obigen Diskussion durch eine andere Teilmenge von Ω mit Dimension kleiner d ersetzt werden k¨ onnte. Um mit den Spurtheoremen fortfahren zu k¨ onnen, betrachten wir zun¨ achst einen eindimensionalen Fall, bei dem Γ einem einzelnen Punkt entspricht. Lemma A.1. Sei Ω = (0, 1). Dann gibt es eine Konstante C mit ¯ ∀v ∈ C 1 (Ω). ¯ ∀x ∈ Ω, x ′ Beweis. F¨ ur x, y ∈ Ω gilt v(x) = v(y) + y v (s) ds und somit wegen der Cauchy-Schwarz-Ungleichung 1 |v(x)| ≤ |v(y)| + |v ′ (s)| ds ≤ |v(y)| + v ′ . |v(x)| ≤ Cv1

0

Durch Quadrieren beider Seiten und Integration u ¨ ber y erhalten wir (A.25) v(x)2 ≤ 2 v2 + v ′ 2 = 2v21 , was die gew¨ unschte Absch¨ atzung beweist.

⊔ ⊓

Wir beweisen nun ein einfaches Spurtheorem. Mit L2 (Γ ) bezeichnen wir den Hilbert-Raum aller auf Γ quadratintegrablen Funktionen mit der Norm 1/2 . wL2 (Γ ) = w2 ds Γ

Theorem A.4. (Spurtheorem.) Sei Ω ein beschr¨anktes Gebiet in Rd (d ≥ 2) mit glattem oder polynomialem Rand Γ . Dann kann der Spuroperator γ : ¯ → C(Γ ) auf γ : H 1 (Ω) → L2 (Γ ) erweitert werden, was die Spur γv ∈ C 1 (Ω) L2 (Γ ) f¨ ur v ∈ H 1 (Ω) definiert. Dar¨ uber hinaus gibt es eine Konstante C = C(Ω) mit (A.26)

γvL2 (Γ ) ≤ Cv1

∀v ∈ H 1 (Ω).

250

A Einige Hilfsmittel aus der Analysis

Beweis. Wir beweisen zun¨achst die Spurungleichung (A.26) f¨ ur Funktionen ¯ Der Einfachheit halber betrachten wir nur den Fall des Einheitsv ∈ C 1 (Ω). quadrates Ω = (0, 1) × (0, 1) in R2 . Der Beweis des allgemeinen Falls erfolgt analog. F¨ ur y = (y1 , y2 ) ∈ Ω gilt wegen (A.25) 2

v(0, y2 ) ≤ 2

1 2

v(y1 , y2 ) dy1 +

0

1 0

2 ∂v (s, y2 ) ds ∂x1

und nach Integration u ¨ ber y2 1 v(0, y2 )2 dy2 ≤ 2 v2 + ∇v2 = 2v21 . 0

Die analogen Absch¨ atzungen f¨ ur die verbleibenden Teile von Γ vervollst¨ andigen den Beweis von (A.26) f¨ ur v ∈ C 1 . 1 Sei nun v ∈ H 1 (Ω). Da C 1 in H 1 dicht ist, gibt es eine Folge {vi }∞ i=1 ⊂ C , 1 f¨ ur die v − vi 1 → 0 gilt. Diese Folge ist dann eine Cauchy-Folge in H , d. h. es gilt vi − vj 1 → 0 f¨ ur i, j → ∞. Wenden wir (A.26) auf vi − vj ∈ C 1 an, erhalten wir γvi − γvj L2 (Γ ) ≤ Cvi − vj 1 → 0 f¨ ur i, j → ∞, d. h. {γvi }∞ i=1 ist eine Cauchy-Folge in L2 (Γ ). Somit existiert ein w ∈ L2 (Γ ), f¨ ur das γvi → w in L2 (Γ ) f¨ ur i → ∞ ist. Wir definieren γv = w. Es ist leicht zu zeigen, dass dann f¨ ur v ∈ H 1 Ungleichung (A.26) gilt. Dies setzt γ als einen beschr¨ankten, linearen Operator γ : H 1 (Ω) → L2 (Γ ) fort. Weil C 1 in H 1 dicht ist, gibt es nur eine solche Fortsetzung (Beweisen Sie dies!). Insbesondere ist γ unabh¨angig von der Wahl der Folge {vi }. ⊔ ⊓ Die Konstante in Theorem A.4 h¨ angt von der Gr¨ oße und der Form des Gebietes Ω ab. Mitunter ist es wichtig, genauere Informationen u ¨ber diese Abh¨angigkeit zu haben. In Problemstellung A.15 nehmen wir an, dass die Form fest (ein Quadrat) ist und untersuchen die Abh¨ angigkeit der Konstante von der Gr¨oße von Ω. Das folgende Resultat ist in gewissem Sinne von a ¨hnlicher Natur und ein Spezialfall der bekannten und wichtigen Sobolev-Ungleichung: Theorem A.5. Sei Ω ein beschr¨anktes Gebiet in Rd mit glattem oder poly¯ und es existiert nomialem Rand und sei k > d/2. Dann ist H k (Ω) ⊂ C(Ω) eine Konstante C = C(Ω) mit (A.27)

vC ≤ Cvk

∀v ∈ H k (Ω).

Wie im Falle des Spurtheorems reicht es aus, Gleichung (A.27) f¨ ur ein glattes v zu beweisen. Der Spezialfall d = k = 1 ist in Lemma A.1 angegeben und Problemstellung A.13 betrachtet den Fall Ω = (0, 1) × (0, 1). Der allgemeine Fall ist komplizierter. Wie in den Problemstellungen A.6 und A.7 gezeigt, ist

A.2 Funktionenr¨ aume

251

eine Funktion in H 1 (Ω) mit Ω ⊂ Rd nicht notwendigerweise stetig, wenn d ≥ 2 ist. Wenn wir die Sobolev-Ungleichung auf die Ableitungen von v anwenden, erhalten wir ∀v ∈ H k (Ω) f¨ ur k > ℓ + d/2. k ¯ im Falle k > ℓ + d/2 Wir k¨onnen analog schlussfolgern, dass H (Ω) ⊂ C ℓ (Ω) gilt.

(A.28)

vC ℓ ≤ Cvk

Der Raum H01 (Ω). Die Poincar´ e-Ungleichung Theorem A.4 zeigt, dass der Spuroperator γ : H 1 (Ω) → L2 (Γ ) ein beschr¨ ankter linearer Operator ist. Daraus folgt, dass dessen Nullraum H01 (Ω) = v ∈ H 1 (Ω) : γv = 0

ein abgeschlossener Teilraum des H 1 (Ω) und folglich ein Hilbert-Raum mit der Norm · 1 ist. Es ist die Menge der Funktionen in H 1 , die auf Γ im Sinne der Spur verschwindet. Wir betonen, dass es sich bei der in (A.22) definierten Halbnorm |v|1 = ∇v tats¨achlich um eine Norm auf H01 (Ω) handelt, die, wie sich aus dem folgenden Resultat ergibt, a ¨quivalent zu · 1 ist. Theorem A.6. (Poincar´e-Ungleichung.) Wenn Ω ein beschr¨anktes Gebiet in Rd ist, dann existiert eine Konstante C = C(Ω) mit

(A.29)

v ≤ C∇v

∀v ∈ H01 (Ω).

Beweis. Als Beispiel beweisen wir das Resultat f¨ ur Ω = (0, 1) × (0, 1). Der Beweis erfolgt im allgemeinen Fall analog. ur ein ur v ∈ C01 zu zeigen. F¨ Da C01 in H01 dicht ist, reicht es aus, (A.29) f¨ solches v schreiben wir x1 ∂v (s, x2 ) ds f¨ ur x = (x1 , x2 ) ∈ Ω v(x) = ∂x1 0

und wegen der Cauchy-Schwarz-Ungleichung 1 1 2 ∂v 2 (s, x2 ) ds. |v(x)| ≤ ds ∂x1 0 0

Das Resultat folgt durch Integration u ¨ber x2 und x1 , wobei in diesem Fall C = 1 ist. ⊔ ⊓ 1 ¨ Die Aquivalenz der Normen | · |1 und · 1 auf H0 (Ω) folgt nun aus ∇v2 ≤ v21 = v2 + ∇v2 ≤ (C + 1)∇v2

∀v ∈ H01 (Ω).

Der zu H01 (Ω) duale Raum wird mit H −1 (Ω) bezeichnet. Folglich ist H = (H01 )∗ der Raum aller beschr¨ankten, linearen Funktionale auf H01 . Die Norm in H −1 ist (siehe (A.8)) −1

(A.30)

L(H01 )∗ = L−1 = sup

v∈H01

|L(v)| . |v|1

252

A Einige Hilfsmittel aus der Analysis

A.3 Die Fourier-Transformation Sei v eine reelle oder komplexe Funktion in L1 (Rd ). Wir definieren deren Fourier-Transformierte mit ξ = (ξ1 , . . . , ξd ) ∈ Rd durch Fv(ξ) = vˆ(ξ) =

v(x)e−ix·ξ dx

Rd

mit x · ξ =

d

xj ξ j .

j=1

Die inverse Fourier-Transformierte ist F −1 v(x) = vˇ(x) = (2π)−d v(ξ)eix·ξ dξ = (2π)−d vˆ(−x) f¨ ur x ∈ Rd . Rd

Wenn v und vˆ beide Funktionen aus L1 (Rd ) sind, dann gilt die Inversionsformel v )ˇ= v. F −1 (F v) = (ˆ

Das Skalarprodukt zweier Funktionen in L2 (Rd ) kann gem¨ aß der Parsevalschen Formel als Funktion ihrer Fourier-Transformierten ˆ dξ vˆ(ξ)w(ξ) (A.31) v(x)w(x) dx = (2π)−d Rd

Rd

oder durch (v, w) = (2π)−d (ˆ v , w) ˆ

mit (v, w) = (v, w)L2 (Rd )

ausgedr¨ uckt werden. Insbesondere gilt f¨ ur die zugeh¨ origen Normen v = (2π)−d/2 ˆ v .

(A.32)

Sei Dα v eine partielle Ableitung von v wie in (1.8) definiert. Falls die Funktion v und ihre Ableitungen f¨ ur große |x| hinreichend klein sind, gilt F(Dα v)(ξ) = (iξ)α vˆ(ξ) = i|α| ξ α vˆ(ξ) mit ξ α = ξ1α1 · · · ξdαd . Tats¨achlich ergibt sich durch partielle Integration α −ix·ξ |α| v(x)Dα (e−ix·ξ ) dx = (iξ)α vˆ(ξ). D v(x)e dx = (−1) Rd

Rd

Zudem entspricht die Verschiebung des Argumentes der Funktion der Multiplikation ihrer Fourier-Transformierten mit einer Exponentialfunktion: (A.33)

Fv(· + y)(ξ) = eiy·ξ vˆ(ξ) f¨ ur y ∈ Rd

und f¨ ur die Skalierung des Argumentes gilt (A.34)

Fv(a·)(ξ) = a−d vˆ(a−1 ξ) f¨ ur a > 0.

A.4 Problemstellungen

253

Die Faltung zweier Funktionen v und w ist durch (v ∗ w)(x) = v(y)w(x − y) dy v(x − y)w(y) dy = Rd

Rd

definiert und es gilt F(v ∗ w)(ξ) = vˆ(ξ)w(ξ), ˆ weil

Rd

v(x − y)w(y) dy e−ix·ξ dx Rd v(x − y)w(y)e−i(x−y)·ξ e−iy·ξ dx dy = Rd Rd = v(z)w(y)e−iz·ξ e−iy·ξ dz dy Rd

Rd

ist. Wie auf direktem Wege leicht zu zeigen ist, kann die Ableitung einer Faltung faktorenweise ausgef¨ uhrt werden: Dα (v ∗ w) = D α v ∗ w = v ∗ D α w.

A.4 Problemstellungen Problem A.1. Sei V ein Hilbert-Raum mit dem Skalarprodukt (·, ·) und u ∈ V . Sei L : V → R durch L(v) = (u, v) ∀v ∈ V definiert. Beweisen Sie, dass L ein beschr¨anktes, lineares Funktional auf V ist. Bestimmen Sie L. Problem A.2. Beweisen Sie folgende Behauptung. Wenn L : V → R ein beschr¨anktes lineares Funktional und {vi } mit L(vi ) = 0 eine gegen v ∈ V konvergente Folge ist, dann gilt L(v) = 0. Dies beweist, dass der Teilraum V0 im Beweis von Theorem A.1 abgeschlossen ist. Problem A.3. Beweisen Sie die Energieabsch¨ atzung (A.13) unter Verwendung von (A.10) und (A.14). Hinweis: Denken Sie an (A.8) und beachten Sie die Bedeutung von (A.10): sup v∈V

|L(v)| = ua . va

Problem A.4. Beweisen Sie die Vollst¨ andigkeit von H 1 (Ω) unter der Voraussetzung, dass auch L2 (Ω) vollst¨ andig ist. Hinweis: Nehmen Sie vj − vi 1 → 0 f¨ ur i, j → ∞ an. Zeigen Sie, dass v, wk existieren, f¨ ur die vj − v → 0, ∂vj /∂xk − wk → 0 und wk = ∂v/∂xk im Sinne der schwachen Ableitung gilt.

254

A Einige Hilfsmittel aus der Analysis

Problem A.5. Sei Ω = (−1, 1) und sei v : Ω → R durch v(x) = 1 f¨ ur x ∈ (−1, 0) und v(x) = 0 f¨ ur x ∈ (0, 1) definiert. Beweisen Sie, dass v ∈ L2 (Ω) ist und v beliebig gut durch C 1 -Funktionen in der L2 -Norm approximiert werden kann. Problem A.6. Sei Ω die Einheitskugel in Rd , d = 1, 2, 3, also Ω = {x ∈ Rd : |x| < 1}. F¨ ur welche Werte von λ ∈ R geh¨ort die Funktion v(x) = |x|λ zu (a) L2 (Ω), (b) H 1 (Ω)? ¨ Problem A.7. Uberpr¨ ufen Sie, ob die Funktion v(x) = log(− log |x|2 ) zu 1 ort. Sind Funktionen in H 1 (Ω) ur Ω = {x ∈ R2 : |x| < 12 } geh¨ H (Ω) f¨ notwendigerweise beschr¨ ankt und stetig?

Problem A.8. Es ist bekannt, dass C01 (Ω) im L2 (Ω) und H01 (Ω) dicht ist. Erkl¨aren Sie, weshalb C01 (Ω) nicht dicht im H 1 (Ω) ist. Problem A.9. Die in (A.19) definierte verallgemeinerte (oder schwache) Ableitung ist ein Spezialfall der sogenannten verallgemeinerten Funktionen oder Distributionen. Ein anderes wichtiges Beispiel ist die Diracsche Deltafunktion, die als lineares Funktional definiert ist, das auf stetige Testfunktionen mit Ω ⊂ Rd wirkt: δ(φ) = φ(0) ∀φ ∈ C0 (Ω). Sei nun d = 1, Ω = (−1, 1) und x, x ≥ 0, f (x) = 0, x ≤ 0,

g(x) =

1, x > 0, 0, x < 0.

Zeigen Sie, dass f ′ = g, g ′ = δ im Sinne der verallgemeinerten Ableitung gilt, also f ′ (φ) = − f φ′ dx = gφ dx ∀φ ∈ C01 (Ω), Ω Ω ′ g (φ) = − gφ′ dx = φ(0) ∀φ ∈ C01 (Ω) Ω

ist. Schlussfolgern Sie, dass die verallgemeinerte Ableitung f ′ = g zu L2 geh¨ort, nicht aber g ′ = δ. Zum Beweis der letzten Behauptung m¨ ussen Sie zeigen, dass δ bez¨ uglich der L2 -Norm nicht beschr¨ ankt ist, d. h. Sie m¨ ussen eine Folge von Testfunktionen finden, f¨ ur die φi L2 → 0 gilt, jedoch φi (0) = 1 f¨ ur i → ∞ ist. Somit gilt f ∈ H 1 (Ω) und g ∈ H 1 (Ω). Problem A.10. F¨ ur f ∈ L2 (Ω) definieren wir das lineare Funktional f (v) = (f, v) ∀v ∈ L2 (Ω). Zeigen Sie, dass die Ungleichung f −1 ≤ Cf

∀f ∈ L2 (Ω)

gilt (vgl. (A.30)). Schlussfolgern Sie L2 (Ω) ⊂ H −1 (Ω).

A.4 Problemstellungen

255

Problem A.11. Sei Ω = (0, 1) und f (x) = 1/x. Zeigen Sie, dass f ∈ L2 (Ω) gilt. Zeigen Sie f ∈ H −1 (Ω), indem Sie das lineare Funktional f (v) = (f, v) ∀v ∈ H01 (Ω) definieren und die Ungleichung |(f, v)| ≤ Cv ′

∀v ∈ H01 (Ω)

beweisen. Schlussfolgern Sie H −1 (Ω) ⊂ L2 (Ω). Problem A.12. Beweisen Sie die folgende Behauptung. Wenn Ω = (0, L) ein endliches Intervall ist, dann gibt es eine Konstante C = C(L), mit der f¨ ur alle ¯ ¯ und v ∈ C 1 (Ω) x∈Ω |v| dy + (a) |v ′ | dy ≤ CvW11 (Ω) , |v(x)| ≤ L−1 Ω Ω 2 −1 2 |v(x)| ≤ L |v| dy + L (b) |v ′ |2 dy ≤ Cv21 , Ω

(c)

Ω

|v(x)|2 ≤ L−1 v2 + 2v v ′ ≤ Cv v1

gilt. Problem A.13. Beweisen Sie folgende Behauptung. Wenn Ω das Einheitsquadrat in R2 ist, dann existiert eine Konstante C mit (a) (b)

vL1 (Γ ) ≤ CvW11 (Ω) vC ≤ CvW12

¯ ∀v ∈ C 1 (Ω), ¯ ∀v ∈ C 2 (Ω).

Wegen vW12 ≤ CvH 2 folgt aus Teil (b) der Spezialfall von Theorem A.5 mit k = d = 2 f¨ ur ein quadratisches Gebiet Ω. Hinweis: Beweisen Sie Theorem A.4. Problem A.14. (Skalierung von Sobolev-Normen.) Sei L eine positive Zahl. Betrachten Sie die Koordinatentransformation x = Lˆ x, die das beschr¨ ankˆ abbildet. Eine auf Ω definierte Funktion v wird te Gebiet Ω ⊂ Rd auf Ω ˆ transformiert. Beweisen Sie die gem¨aß vˆ(ˆ x) = v(Lˆ x) in eine Funktion vˆ auf Ω folgenden Skalierungsgleichungen (a) (b) (c)

v L2 (Ω) vL2 (Ω) = Ld/2 ˆ ˆ ,

∇vL2 (Ω) = Ld/2−1 ∇ˆ v L2 (Ω) ˆ , vL2 (Γ ) = Ld/2−1/2 ˆ v L2 (Γˆ ) .

Problem A.15. (Skalierte Spurungleichung.) Sei Ω = (0, L) × (0, L) ein quadratisches Gebiet mit der Seitenl¨ ange L. Beweisen Sie die skalierte Spurungleichung 1/2 ¯ ∀v ∈ C 1 (Ω). vL2 (Γ ) ≤ C L−1 v2L2 (Ω) + L∇v2L2 (Ω)

ˆ = (0, 1) × (0, 1) an und verwenden Sie die Hinweis: Wenden Sie (A.26) mit Ω Skalierungsgleichungen aus Problemstellung A.14.

256

A Einige Hilfsmittel aus der Analysis

Problem A.16. Sei Ω das Einheitsquadrat im R2 . Beweisen Sie die Spurungleichung in der Form v2L2 (Γ ) ≤ C v2L2 (Ω) + vL2 (Ω) ∇vL2 (Ω) ≤ Cv v1 . Hinweis: Beginnen Sie mit

v(0, y2 )2 = v(y1 , y2 )2 −

y1 0

∂v 2 (s, y2 ) ds. ∂x1

Problem A.17. Aus der linearen Algebra ist bekannt, dass alle Normen auf einem endlichdimensionalen Raum V ¨ aquivalent sind. Illustrieren Sie dies durch den Beweis der folgenden Norm¨ aquivalenzen in V = RN : √ (A.35) vl2 ≤ vl1 ≤ N vl2 , √ (A.36) vl∞ ≤ vl2 ≤ N vl∞ , (A.37) vl∞ ≤ vl1 ≤ N vl∞ ,

wobei vlp =

N j=1

|vj |p

1/p

f¨ ur 1 ≤ p < ∞,

vl∞ = max |vj | 1≤j≤N

¨ ist. Beachten Sie, dass die Aquivalenzkonstanten f¨ ur N → ∞ ebenfalls gegen unendlich gehen. Problem A.18. Beweisen Sie (A.33) und (A.34). Problem A.19. Beweisen Sie, dass die Fourier-Transformierte von v(x) = 2 2 e−|x| gleich vˆ(ξ) = π d/2 e−|ξ| /4 ist.

B ¨ Uberblick u ¨ ber numerische lineare Algebra

Sowohl finite Differenzenverfahren als auch Methoden finiter Elemente f¨ ur elliptische Probleme f¨ uhren zu linearen algebraischen Gleichungssystemen der Form (B.1)

AU = b,

wobei A eine nichtsingul¨ are qudratische Matrix der Ordnung N ist. Auch bei Zeitschrittverfahren f¨ ur Evolutionsgleichungen m¨ ussen Probleme vom elliptischen Typ in den aufeinanderfolgenden Zeitschritten gel¨ ost werden. Solche Systeme effizient zu l¨ osen, wird somit zu einem wesentlichen Teil der numerischen Analyse. Ist die Dimension des Gebietes mindestens 2, ist dies normalerweise mithilfe direkter Verfahren unm¨ oglich und man wendet sich deshalb, abgesehen von Spezialf¨ allen, iterativen Verfahren zu. Diese nutzen die Tatsache aus, dass die vorkommenden Matrizen d¨ unn besetzt sind (die meisten ihrer Element sind null) und u ugen. In ¨ber andere spezielle Eigenschaften verf¨ ¨ diesem Anhang geben wir einen kurzen Uberblick der am h¨ aufigsten verwendeten Methoden.

B.1 Direkte Verfahren Wir betrachten zun¨ achst den Fall, dass sich das System (B.1) aus einer gew¨ohnlichen Finite-Differenzen-Approximation (4.3) des Zweipunkt-Randwertproblems (4.1) ergibt. In diesem Fall ist A eine tridiagonale Matrix, und man kann sich leicht davon u ¨berzeugen, dass A dann in O(N ) algebraischen Operationen in A = LR faktorisiert werden kann. Dabei ist L eine bidiagonale untere Dreiecksmatrix, w¨ ahrend R eine bidiagonale obere Dreiecksmatrix ist. Das System kann daher in der Form LRU = b geschrieben werden, und man kann LG = b nun zuerst nach G = RU mit O(N ) Operationen aufl¨ osen und dann diese Gleichung ebenfalls mit O(N )

258

¨ B Uberblick u ¨ber numerische lineare Algebra

Operationen nach U aufl¨ osen. Insgesamt gesehen, ist dies ein direktes Verfahren f¨ ur (B.1), das O(N ) Operationen erfordert. Da die Anzahl der Unbekannten N ist, liegt hier die kleinstm¨ogliche Ordnung f¨ ur ein Verfahren vor. Betrachten wir nun ein elliptisches Problem in einem Gebiet Ω ⊂ Rd mit d ≥ 2. Verwenden wir entweder finite Differenzen oder finite Elemente auf Grundlage einer quasiuniformen Gitterfamilie, so ist die Dimension N des zugeh¨origen endlichdimensionalen Problems von der Ordnung O(h−d ), wobei h die Gitterkonstante ist. Im Falle d ≥ 2 sind direkte L¨ osungen mithilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens nicht realisierbar, da dieses Verfahren O(N 3 ) = O(h−3d ) algebraische Operationen erfordert. Abgesehen von Spezialf¨allen wendet man sich deshalb iterativen Verfahren zu. Einen Spezialfall, bei dem jedoch ein direktes Verfahren verwendet werden kann, bildet das Modellproblem (4.11) mit dem F¨ unfpunkt-Finite-Differenzenverfahren auf dem Einheitsquadrat, das unter Verwendung der durch ˆbm = bj e−2πi m·j h , m = (m1 , m2 ), j = (j1 , j2 ) j

definierten diskreten Fourier-Tranformation direkt gel¨ ost werden kann. Wir ˆm und daher U ˆm = (2π 2 |m|2 )−1ˆbm , erhalten dann (−∆h U )ˆm = 2π 2 |m|2 U sodass sich aus der inversen diskreten Fourier-Transformation Uj = (2π 2 |m|2 )−1ˆbm e2πi m·j h m

ergibt. Mit der schnellen Fourier-Transformation (engl.: Fast Fourier Transform – (FFT)) k¨ onnen sowohl die ˆbm als auch die U j in O(N log N ) Operationen berechnet werden.

¨ B.2 Iterative Verfahren. Relaxation, Uberrelaxation und Beschleunigung Als ein grundlegendes iteratives Verfahren f¨ ur (B.1) betrachten wir das Richardson-Verfahren (B.2)

U n+1 = U n − τ (AU n − b)

f¨ ur n ≥ 0 mit gegebenem U 0 ,

wobei τ ein positiver Parameter ist. Mit der exakten L¨ osung U der Gleichung (B.1) erhalten wir U n − U = R(U n−1 − U ) = · · · = Rn (U 0 − U )

mit R = I − τ A.

Daher h¨angt die Konvergenzrate des Verfahrens von Rn ab, wobei M = max x =1 M x die durch die Euklidische Norm in RN induzierte Matrixnorm ist. Wenn A symmetrisch positiv definit ist und die Eigenwerte N {λj }N j=1 hat, dann gilt, weil {1 − τ λj }j=1 die Eigenwerte von R sind,

¨ B.2 Iterative Verfahren. Relaxation, Uberrelaxation und Beschleunigung

Rn = ρn

259

mit ρ = ρ(R) = max |1 − τ λi |, i

und (B.2) konvergiert f¨ ur ρ < 1. Diejenige Wahl von τ , die zu dem kleinsten Wert von ρ f¨ uhrt, ist τ = 2/(λ1 + λN ) mit ρ = (κ − 1)/(κ + 1), wobei κ = κ(A) = λN /λ1 die Konditionszahl von A ist. Wir weisen jedoch darauf hin, dass die Wahl von τ die Kenntnis von λ1 und λN erfordert, die normalerweise nicht vorliegt. Bei der Anwendung auf elliptische Probleme liegt h¨ aufig der Fall κ = O(h−2 ) vor, sodass ρ ≤ 1−ch2 mit c > 0 gilt. Daher ist mit der optimalen Wahl von τ die Anzahl der Iterationen, die dazu notwendig sind, den Fehler auf ein kleines ǫ > 0 zu reduzieren, von der Ordnung O(h−2 | log ǫ|). Da jede Iteration O(h−d ) Operationen bei der Anwendung auf I − τ A ausf¨ uhrt, zeigt dies, dass die ben¨ otigte Gesamtzahl von Iterationen, um den Fehler auf einen gegebenen Toleranzwert zu reduzieren, von der Gr¨ oßenordnung O(h−d−2 ) ist. Im Falle d ≥ 2 ist dies kleiner als die Anzahl der Schritte bei der direkten L¨osung mithilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens. Die fr¨ uhen verfeinerten Methoden wurden f¨ ur finite Differenzenverfahren f¨ ur elliptische Gleichungen zweiter Ordnung entwickelt, insbesondere f¨ ur das F¨ unfpunkt-Verfahren (4.12). Die zugeh¨ orige Matrix kann dann in der Form A = D − E − F geschrieben werden, wobei D diagonal ist und E und F (elementweise) nichtnegativ sind und eine strenge obere beziehungsweise untere Dreiecksgestalt haben. Beispiele f¨ ur effizientere Verfahren sind dann das Jacobi- und das Gauß-Seidel-Verfahren, die durch (B.3)

U n+1 = U n − B(AU n − b) = RU n + Bb

mit R = I − BA

definiert sind. Dabei ist B = BJ = D−1 oder B = BGS = (D − E)−1 , sodass R = RJ = D−1 (E + F ) beziehungsweise R = RGS = (D − E)−1 F gilt. Bei der Anwendung auf das Modellproblem (4.9) im Einheitsquadrat unter Verwendung des F¨ unfpunkt-Operators k¨ onnen die Gleichungen so umgeformt werden, dass D = 4I gilt. Die Anwendung von RJ bedeutet dann einfach, dass man den neuen Wert im Iterationsschritt in einem inneren Gitterpunkt xj durch Bilden alt. des Mittelwertes der alten Werte an den vier Nachbarpunkten xj±el erh¨ Beim Gauß-Seidel-Verfahren werden ebenfalls Mittelwerte gebildet, wobei allerdings die Gitterpunkte in einer gegebenen Reihenfolge benutzt werden. Der Mittelwert wird sukzessive aus den bereits bestimmten Werten gebildet. Diese Verfahren werden deshalb auch als Verfahren mit simultaner beziehungsweise sukzessiver Relaxation bezeichnet. F¨ ur das Modellproblem kann man leicht die Eigenwerte und Eigenvektoren von A bestimmen und zeigen, dass man ρ(RJ ) = cos(πh) = 1− 12 π 2 h2 +O(h4 ) und ρ(RGS ) = ρ(RJ )2 = 1−π 2 h2 +O(h4 ) mit h = 1/M erh¨ alt, sodass die Anzahl der erforderlichen Iterationen, um den Fehler auf ǫ zu reduzieren, von der Gr¨ oßenordnung 2h−2 π 2 | log ǫ| beziehungs−2 2 weise h π | log ǫ| ist. Das Gauß-Seidel-Verfahren ben¨ otigt also halb so viele Iterationen wie das Jacobi-Verfahren. Das Bilden des Mittelwertes beim Jacobi- und Gauß-Seidel-Verfahren kann als Relaxation aufgefasst werden. Es stellt sich heraus, dass man bessere Re¨ sultate als die oben beschriebenen durch Uberrelaxation erh¨ alt, d. h. durch

260

¨ B Uberblick u ¨ber numerische lineare Algebra

die Wahl Bω = (D − ωE)−1

und Rω = (D − ωE)−1 ((1 − ω)E + F )

mit ω > 1.

Man kann zeigen, dass die optimale Wahl des Parameters f¨ ur das Modellproblem ωopt = 2/(1 + 1 − ρ2 ) mit ρ = ρ(BJ ) = cos(πh)

ist, also ωopt = 2/(1 + sin(πh)) = 2 − 2πh + O(h2 ) und entsprechend ρ(Rωopt ) = ωopt − 1 = 1 − 2πh + O(h2 )

gilt. Die Anzahl der ben¨ otigten Iterationen ist dann also von der Gr¨ oßenordnung O(h−1 ), was signifikant kleiner als bei den oben beschriebenen Verfahren ¨ ist. Dies ist als Verfahren der sukzessiven Uberrelaxation (engl.: successive overrelaxation – (SOR)) bekannt. Wir betrachten wiederum ein iteratives Verfahren der Form (B.3) mit ρ(R) < 1. Um uhren wir nun eine neue die Konvergenz zu beschleunigen, f¨ Folge V n = nj=0 βnj U j mit den reellen Zahlen βnj ein. Setzen wir pn (λ) = n n j ur n ≥ 0 an, so erhalten j=0 βnj λ und nehmen wir pn (1) = j=0 βnj = 1 f¨ osung von (B.1). Damit wir leicht V n − U = pn (R)(U 0 − U ). Dabei ist U die L¨ V n schnell gegen U konvergiert, sollte man βnj so w¨ ahlen, dass der Spektralradius ρ(pn (R)) mit n klein wird. Aufgrund des Cayley-Hamilton-Theorems f¨ ur Matrizen gilt pN (R) = 0, wenn pN das charakteristische Polynom von R und folglich V N = U ist. Dies erfordert allerdings eine unrealistisch hohe Zahl von Iterationen. F¨ ur n < N gilt wegen des Spektral-Mapping-Theorems ρ(pn (R)) = maxi |pn (µi )|, wobei die {µi }N i=1 die Eigenwerte von R sind. Insur alle i besondere wenn R symmetrisch und ρ = ρ(R) so ist, dass |µi | ≤ ρ f¨ gilt, kann man zeigen, dass das optimale Polynom pn (λ) = Tn (λ/ρ)/Tn (1/ρ) ist. Dazu nimmt man das Maximum u ¨ ber [−ρ, ρ] ⊃ σ(R). Dabei ist Tn das n-te Chebyshev-Polynom und der zugeh¨ orige Wert von ρ(pn (R)) ist durch 1 + 1 − ρ2 n 1 + 1 − ρ2 −n −1 −1 + Tn (1/ρ) = 2 ρ ρ n ρ ≤2 1 + 1 − ρ2

beschr¨ ankt. F¨ ur das Modellproblem gilt unter Verwendung des Gauß-SeidelVerfahrens wie vorhin ρ = 1 − π 2 h2 + O(h4 ). Wir stellen fest, dass der mittlere Fehlerreduktionsfaktor pro Iterationsschritt in dem hier diskutier√ ankt ist. Dies ist von derselben ten Verfahren durch 1 − 2πh + O(h2 ) beschr¨ ¨ Gr¨oßenordnung wie im Falle der sukzessiven Uberrelaxation.

B.3 Methode der alternierenden Richtung Wir beschreiben nun das Peaceman-Rachford-Verfahren, eine implizite iterative Methode der alternierenden Richtung, f¨ ur das Modellproblem (4.9) auf

B.4 PCG-Verfahren

261

dem Einheitsquadrat unter Verwendung der diskreten elliptischen F¨ unfpunktGleichung (4.11) mit h = 1/M . In diesem Fall k¨ onnen wir A = H + V schreiben, wobei H und V den horizontalen und vertikalen Differenzenoperatoren −h2 ∂1 ∂¯1 und −h2 ∂2 ∂¯2 entsprechen. Beachten Sie, dass H und V positiv definit sind und miteinander kommutieren. F¨ uhren wir einen Beschleunigungsparaonnen wir das Verfahren so meter τ und einen Zwischenwert U n+1/2 ein, so k¨ betrachten, dass U n+1 aus U n durch (B.4)

(τ I + H)U n+1/2 = (τ I − V )U n + b,

(τ I + V )U n+1 = (τ I − H)U n+1/2 + b

definiert wird. Nach Elimination und mit geeignetem Gτ sowie unter Verwendung der Tatsache, dass H und V kommutieren, ergibt sich U n+1 = Rτ U n + Gτ

mit Rτ = (τ I − H)(τ I + H)−1 (τ I − V )(τ I + V )−1 .

Beachten Sie, dass die Matrizen in den Gleichungen (B.4) tridiagonal sind und die Gleichungen in O(N ) Operationen gel¨ost werden k¨ onnen, wie wir bereits diskutiert haben. Der Fehler erf¨ ullt die Gleichung U n − U = Rτn (U 0 − U ). Sind µi die (gemeinsamen) Eigenwerte von H und V , dann gilt Rτ ≤ maxi |(τ − µi )/(τ +µi )|2 < 1. Man kann sich leicht davon u ¨ berzeugen, dass das Maximum f¨ ur i = 1 oder M auftritt. Mit µ1 = 4 sin2 ( 12 πh), µM = 4 cos2 ( 12 πh) ist das optimale τ durch τopt = (µ1 µM )1/2 gegeben. Das Maximum tritt f¨ ur i = 1 auf, sodass mit κ = κ(H) = κ(V ) = µM /µ1 (µ µ )1/2 − µ 1/2 κ1/2 − 1 1 M 1 = 1 − πh + O(h2 ) = 1/2 Rτopt ≤ 1/2 κ +1 (µ1 µM ) + µ1

gilt. Dies zeigt wiederum dieselbe Konvergenzordnung wie f¨ ur die SOR. Eine effizientere Methode erh¨ alt man durch Verwendung variierender Beschleunigungsparameter τj , j = 1, 2, . . . , die zu der n-Schritt-Fehlerreduk˜ n = &n Rτ geh¨ oren. Man kann zeigen, dass τj zyklisch mit tionsmatrix R j j=1 der Periode m so gew¨ ahlt werden kann, dass m ≈ c log κ ≈ c log(1/h) gilt, sodass die mittlere Fehlerreduktionsrate m−1 ' τj − µi 2/m ˜ m 1/m = max ≤ 1 − c(log(1/h))−1 , c > 0 R 1≤i≤M τ + µ j i j=0

ist. Die hier vorgef¨ uhrte Analyse h¨ angt stark von der Tatsache ab, dass H und V kommutieren, was nur f¨ ur Rechtecke und konstante Koeffizienten der Fall ist. Man kann die Methode allerdings auch f¨ ur allgemeinere F¨ alle definieren und deren Konvergenz zeigen.

B.4 PCG-Verfahren Wir kommen nun zu iterativen Verfahren f¨ ur Systeme, die haupts¨ achlich mit der Emergenz der Methode der finiten Elemente zusammenh¨ angen. Wir beginnen mit der Beschreibung des Verfahrens des konjugierten Gradienten (engl.:

262

¨ B Uberblick u ¨ber numerische lineare Algebra

conjugate gradient method – (CG)) und nehmen an, dass A symmetrisch positiv definit ist. Betrachten wir das durch U n+1 = (I − τn A)U n + τn b

f¨ ur n ≥ 0 mit U 0 = 0

definierte Verfahren f¨ ur (B.1), dann stellen wir sofort fest, dass U n f¨ ur jede Wahl der Parameter τj zu dem sogenannten Krylov-Raum Kn (A; b) = span{b, Ab, . . . , An−1 b} geh¨ort, d. h. aus Linearkombinationen der Ai b, i = 0, . . . , n − 1 besteht. Das CG-Verfahren definiert diese Parameter so, dass U n die beste Approximation der exakten L¨osung U von (B.1) in Kn (A; b) bez¨ uglich der durch |U | = (AU, U )1/2 definierten Norm ist. Das heißt, U n ist die orthogonale Projektion von U in Kn (A; b) bez¨ uglich des Skalarproduktes (AV, W ). Aus unserer vorhergehenden Diskussion folgt, dass mit der Konditionszahl κ = κ(A) von A (B.5)

|U n − U | ≤ (Tn (1/ρ))−1 |U | ≤ 2

κ1/2 − 1 n

κ1/2 + 1

|U |

gilt. Die Berechnung von U n kann durch eine zweigliedrige Rekursionsbeziehung ausgef¨ uhrt werden. Ein Beispiel daf¨ ur ist die folgende Form, die die verbleibenden Defekte r n = b − AU n und die zu Kn (A; b) orthogonalen Hilfsvektoren q n ∈ Kn+1 (A; b) benutzt: U n+1 = U n +

(r n , q n ) n q , (Aq n , q n )

q n+1 = r n+1 −

(Ar n+1 , q n ) n q , (Aq n , q n )

U 0 = 0, q 0 = b.

Beim vorkonditionierten Verfahren des konjugierten Gradienten (engl.: preconditioned conjugate gradient (PCG)) wird das CG-Verfahren auf (B.1) angewendet, nachdem die Gleichung mit einer symmetrischen positiv definiten Approximation B von A−1 multipliziert wurde, die sich leichter als A−1 bestimmen l¨ asst. Somit kann die Gleichung (B.1) in der Form BAU = Bb geschrieben werden kann. Wir weisen darauf hin, dass BA symmetrisch positiv definit bez¨ uglich des Skalarproduktes (B −1 V, W ) ist. Die Fehlerabsch¨atzung ist nun innerhalb der zugeh¨ origen Norm mit κ = κ(BA) g¨ ultig. B ist so zu w¨ ahlen, dass diese Konditionszahl kleiner als κ(A) ist. Bei den Rekursionsgleichungen besteht der einzige Unterschied darin, dass nun r n = B(b − AU n ) und q 0 = Bb ist.

B.5 Mehrgitterverfahren und Gebietszerlegung Im Fall, dass das System (B.1) aus einem gew¨ohnlichen Finite-ElementeProblem entstanden ist, besteht eine M¨ oglichkeit f¨ ur die Definition eines Vorkonditionierers in Form einer approximativen Inversen von A im Mehrgitterverfahren. Dieses Verfahren basiert auf der Beobachtung, dass sich der Fehler

B.5 Mehrgitterverfahren und Gebietszerlegung

263

in einer Spektraldarstellung gr¨ostenteils aus niederfrequenten Anteilen zusammensetzt. Die Grundidee besteht nun darin, systematisch mit einer Folge von Triangulationen zu arbeiten und die niederfrequenten Fehler auf groben Triangulationen und die restlichen hochfrequenten Fehler oder Oszillationsfehler in feineren Triangulationen mithilfe eines Gl¨ attungsoperators zu reduzieren, was beispielsweise in einem Schritt des Jacobi-Verfahrens mit relativ geringen Rechenaufwand m¨ oglich w¨ are. Wenn Ω ein ebenes polygonales Gebiet ist, dann k¨ onnen wir folgendermaßen vorgehen. Wir f¨ uhren zun¨achst eine grobe Triangulation von Ω durch. Jedes der Dreiecke wird dann in vier gleiche Dreiecke unterteilt. Dieser Prozess wird wiederholt, was nach einer endlichen Anzahl M von Schritten zu einer feinen Triangulation f¨ uhrt, bei der jedes der urspr¨ unglichen Dreiecke in 4M kleiner Dreiecke zerlegt wurde. Auf dieser feineren Triangulation wollen wir die Methode der finiten Elemente anwenden und somit eine iterative Methode definieren. Um die n¨ achste Iterierte U n+1 aus U n zu bestimmen, beginnen wir auf der feinsten Triangulation und gehen rekursiv von einer Aufl¨ osungsebene zur n¨achsten in drei Schritten vor: 1. Eine Vorgl¨attung auf der feineren Triangulation. 2. Korrektur auf der gr¨oberen Triangulation durch L¨ osen einer Residualgleichung. 3. Eine Nachgl¨attung auf der feineren Triangulation. Die Ausf¨ uhrung des zweiten Schrittes erfolgt selbst in drei Schritten, wobei man mit der Gl¨attung auf der gegenw¨ artigen Ebene beginnt und mit Schritt 2 auf der n¨achstgr¨oberen Ebene fortsetzt, bis man schließlich die urspr¨ ungliche grobe Triangulation erreicht, auf der die Residualgleichung exakt gel¨ ost wird. Die Nachgl¨attung auf den sukzessive feineren Ebenen vervollst¨ andigt den Algorithmus zur Berechnung der n¨ achsten Iterierten U n+1 . Dieser spezielle Algorithmus wird als V-Zyklus bezeichnet. Es stellt sich heraus, dass die Fehlerreduktionsmatrix R unter geeigneten Annahmen die Ungleichung R ≤ ρ < 1 erf¨ ullt, wobei ρ unabh¨ angig von M , d. h. von h, ist, und dass die Anzahl der Operationen von der Ordnung O(N ) ist. Dabei h¨ angt die Dimension N = O(h−2 ) der Matrix mit der feinsten Triangulation zusammen. Eine Klasse iterativer Verfahren, die große Aufmerksamkeit auf sich gezogen hat, ist die Methode der sogenannten Gebietszerlegung. Diese setzt voraus, dass das Gebiet Ω, in dem wir unser elliptisches Problem l¨ osen wollen, in Teilgebiete Ωj , j = 1, . . . , M zerlegt werden kann, die sich u ¨berlappen k¨onnen. Die Idee besteht darin, das Randwertproblem auf Ω in Probleme auf uckzuf¨ uhren, die dann durch die Werte an den R¨ andern jedem dieser Ωj zur¨ der Teilgebiete wieder miteinander verbunden werden. Die Probleme auf den angig voneinander auf Parallelrechnern gel¨ ost werden. Dies Ωj k¨onnen unabh¨ ist besonders effizient, wenn die einzelnen Probleme sehr schnell gel¨ ost werden k¨onnen, beispielsweise durch schnelle Transformation. Die Methode der Gebietszerlegung geht auf die additive Schwarzsche Geur zwei u bietszerlegung zur¨ uck, bei der Ω = Ω1 ∪ Ω2 f¨ ¨berlappende Gebiete

264

¨ B Uberblick u ¨ber numerische lineare Algebra

Ω1 und Ω2 gilt. F¨ ur das Dirichlet-Problem (1.1) und (1.2) auf Ω (mit g = 0 auf Γ ) definiert man eine Folge {uk }∞ k=0 , die mit einem gegebenen, auf ∂Ω verschwindenden u0 beginnt, durch −∆u2k+1 = f u2k+1 =

−∆u2k+2 = f u2k+2 =

in Ω1 , u2k 0

auf ∂Ω1 ∩ Ω2 , auf ∂Ω1 ∩ ∂Ω, in Ω2 ,

u 0

2k+1

auf ∂Ω2 ∩ Ω1 , auf ∂Ω2 ∩ ∂Ω.

Diese Prozedur kann mit numerischen L¨osungsmethoden, wie beispielsweise mit Methoden finiter Elemente, kombiniert werden. Die folgende alternative Herangehensweise kann man verfolgen, wenn Ω1 und Ω2 abgesehen von einer gemeinsamen Schnittfl¨ ache ∂Ω1 ∩ ∂Ω2 disjunkt sind: Wenn uj die L¨ osung in Ωj , j = 1, 2 bezeichnet, dann m¨ ussen an der ¨ Schnittfl¨ache die Ubergangsbedingungen u1 = u2 , ∂u1 /∂n = ∂u2 /∂n erf¨ ullt sein. Ein Verfahren besteht nun darin, das Problem auf eine Integralgleichung auf der Schnittfl¨ache zur¨ uckzuf¨ uhren und dies als Grundlage eines iterativen Verfahrens zu benutzen.

Literaturverzeichnis

Partielle Differentialgleichungen R. Dautray und J.-L. Lions, Mathematical Analysis and Numerical Methods for Science and Technology. Vol. 1–6, Springer-Verlag, Berlin, 1988–1993. L. C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, RI, 1998. G. B. Folland, Introduction to Partial Differential Equations, second ed., Princeton University Press, Princeton, NJ, 1995. A. Friedman, Partial Differential Equations, Holt, Rinehart and Winston, Inc., New York, 1969. P. R. Garabedian, Partial Differential Equations, AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, 1998, Reprint of the 1964 original. F. John, Partial Differential Equations, fourth ed., Springer-Verlag, New York, 1991. I. G. Petrovsky, Lectures on Partial Differential Equations, Dover Publications Inc., New York, 1991, Translated from the Russian by A. Shenitzer, Reprint of the 1964 English translation. M. H. Protter und H. F. Weinberger, Maximum Principles in Differential Equations, Springer-Verlag, New York, 1984, Corrected reprint of the 1967 original. J. Rauch, Partial Differential Equations, Springer-Verlag, New York, 1991. M. Renardy und R. C. Rogers, An Introduction to Partial Differential Equations, Springer-Verlag, New York, 1993. Funktionalanalysis L. Debnath und P. Mikusi´ nski, Introduction to Hilbert Spaces with Applications, second ed., Academic Press Inc., San Diego, CA, 1999. E. Kreyszig, Introductory Functional Analysis with Applications, John Wiley & Sons Inc., New York, 1989. W. Rudin, Functional Analysis, second ed., McGraw-Hill Inc., New York, 1991. G. F. Simmons, Introduction to Topology and Modern Analysis, Robert E. Krieger Publishing Co. Inc., Melbourne, Fla., 1983.

266

Literaturverzeichnis

Methode der finiten Elemente D. Braess, Finite Elements, second ed., Cambridge University Press, Cambridge, 2001. S. C. Brenner und L. R. Scott, The Mathematical Theory of Finite Element Methods, second ed., Springer-Verlag, New York, 2002. P. G. Ciarlet, The Finite Element Method for Elliptic Problems, North-Holland, Amsterdam, 1978. K. Eriksson, D. Estep, P. Hansbo und C. Johnson, Introduction to adaptive methods for differential equations, Acta Numerica, 1995, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1995, pp. 105–158. G. Strang und G. J. Fix, An Analysis of the Finite Element Method, Prentice-Hall Inc., Englewood Cliffs, N. J., 1973. V. Thom´ee, Galerkin Finite Element Methods for Parabolic Problems, SpringerVerlag, Berlin, 1997. O. C. Zienkiewicz und R. L. Taylor, The finite element method. Vol. 1–3, Fifth edition, Butterworth-Heinemann, Oxford, 2000. Finite Differenzenverfahren G. E. Forsythe und W. R. Wasow, Finite-Difference Methods for Partial Differential Equations, John Wiley & Sons Inc., New York, 1960. B. Gustafsson, H.-O. Kreiss und J. Oliger, Time Dependent Problems and Difference Methods, John Wiley & Sons Inc., New York, 1995. R. D. Richtmyer und K. W. Morton, Difference Methods for Initial-Value Problems, Interscience Publishers John Wiley & Sons, Inc., New York-London-Sydney, 1967. J. C. Strikwerda, Finite Difference Schemes and Partial Differential Equations, Wadsworth & Brooks/Cole, Pacific Grove, CA, 1989. Weiter Klassen numerischer Methoden K. E. Atkinson, The Numerical Solution of Integral Equations of the Second Kind, Cambridge University Press, Cambridge, 1997. J. P. Boyd, Chebyshev and Fourier Spectral Methods, second ed., Dover Publications Inc., Mineola, NY, 2001. C. Canuto, M. Y. Hussaini, A. Quarteroni und T. A. Zang, Spectral Methods in Fluid Dynamics, Springer-Verlag, New York, 1988. G. Chen und J. Zhou, Boundary Element Methods, Computational Mathematics and Applications, Academic Press, London, 1992. J. Douglas, Jr. und T. Dupont, Collocation Methods for Parabolic Equations in a Single Space Variable, Springer-Verlag, Berlin, 1974, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 385. D. Gottlieb und S. A. Orszag, Numerical Analysis of Spectral Methods: Theory and Applications, Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, Pa., 1977.

Literaturverzeichnis

267

R. Li, Z. Chen und W. Wu, Generalized Difference Methods for Differential Equations, Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics, vol. 226, Marcel Dekker Inc., New York, 2000, A. Quarteroni und A. Valli, Numerical Approximation of Partial Differential Equations, Springer Series in Computational Mathematics, vol. 23, Springer-Verlag, Berlin, 1994. L. N. Trefethen, Spectral Methods in MATLAB, Software, Environments, and Tools, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA, 2000. W. L. Wendland, Boundary element methods for elliptic problems, Mathematical Theory of Finite and Boundary Element Methods (A. H. Schatz, V. Thom´ee, and W. L. Wendland, eds.), Birkh¨ auser Verlag, Basel, 1990, pp. 219–276. Numerische lineare Algebra J. H. Bramble, Multigrid Methods, Longman Scientific & Technical, Harlow, 1993. J. W. Demmel, Applied Numerical Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA, 1997. P. Deuflhard und A. Hohmann, Numerical Analysis in Modern Scientific Computing, second ed., Springer, New York, 2003. G. H. Golub und C. F. Van Loan, Matrix Computations, third ed., Johns Hopkins University Press, Baltimore, MD, 1996. A. Quarteroni und A. Valli, Domain Decomposition Methods for Partial Differential Equations, Oxford University Press, New York, 1999. B. F. Smith, P. E. Bjørstad und W. D. Gropp, Domain Decomposition, Cambridge University Press, Cambridge, 1996. L. N. Trefethen und D. Bau, III, Numerical Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA, 1997. R. S. Varga, Matrix Iterative Analysis, expanded ed., Springer-Verlag, Berlin, 2000.

Index

a posteriori Fehlerabsch¨ atzung, 69 a priori Fehlerschranke, 69 Abflussrand, 179 Abh¨ angigkeitsbereich, 186, 189, 200 adjungiert, 58, 78 affine Funktion, 54 Anfangs-Randwertproblem, 3 Anfangswertproblem, 3 Babuˇska-Brezzi-inf-sup-Bedingung, 76 Banach-Raum, 239 baryzentrische Quadratur, 72 Basisfunktion, 54, 61 beschr¨ ankte Bilinearform, 240 beschr¨ ankte Linearform, 22 beschr¨ ankter linearer Operator, 239 Bilinearform, 237 Biot-Zahl, 11 Bramble-Hilbert-Lemma, 64, 79 C(M ), 244 ¯ 244 C k (Ω), C k (Ω), C0k (Ω), 245 Cauchy-Folge, 238 Cauchy-Problem, 3, 115 Cauchy-Riemannsche Gleichungen, 190 Cauchy-Schwarz-Ungleichung, 238 CFL-Bedingung, 200 Charakteristik, 172 Charakteristikenmethode, 180 charakteristische Fl¨ ache, 172 charakteristische Kurve, 172, 178 charakteristische Richtung, 171 charakteristischer Rand, 179

charakteristisches Polynom, 139, 171 Courant-Friedrichs-Lewy-Bedingung, 200 Crank-Nicolson-Galerkin-Verfahren, 167 Crank-Nicolson-Verfahren, 109, 149 d¨ unn besetzte Matrix, 61 dichte Teilmenge, 86 dichter Teilraum, 246, 248 Dichtheitsargument, 249–251 Diffusionsgleichung, 12 dimensionslose Form, 10 Diracsche Deltafunktion, 24, 254 Dirichlet-Prinzip, 23, 37 Dirichletsche Randbedingung, 10, 27 diskontinuierliche Galerkin-Methode, 222 diskrete Fourier-Transformation, 140 diskrete Maximumnorm, 47, 137 diskreter Laplace-Operator, 159 Distribution, 254 Divergenz, 5 Divergenzform, 11 Divergenztheorem, 6 dualer Raum, 240, 251 Dualit¨ atsargument, 57, 67, 70, 78 Dufort-Frankel-Verfahren, 143 Duhamel-Prinzip, 125 Eigenfunktion, 174 Eigenwert, 175 elastischer Biegebalken, 14 elastischer Stab, 13

270

Index

elliptisch, 173 elliptische Projektion, 68 endlichdimensionales Gleichungssystem, 243 Energieabsch¨ atzung, 241 Energienorm, 241 Entwicklung nach Eigenfunktionen, 174 Erhaltungssatz, 8 Euler-Verfahren, 106 Faltung, 253 Familie von Triangulationen, 63 Ficksches Gesetz, 13 finites Volumen-Differenzenverfahren, 232 finites Volumenelementverfahren, 232 finites Volumenverfahren, 232 Fl¨ ache charakteristische, 172 Formel von d’Alembert, 178 Fourier-Transformation, 115 Fouriersches Gesetz, 9 Friedrichs-System, 187, 203 Friedrichs-Verfahren, 199, 202 Fundamentall¨ osung, 32, 116 f¨ ur die Poisson-Gleichung, 33 Galerkin-Methode, 56, 78 Gauß-Kern, 116 Gauß-Seidel-Verfahren, 259 Gebiet, 244 gekr¨ ummter Rand, 65 Genauigkeit der Ordnung r, 198 Genauigkeitsordnung, 141 gew¨ ohnliche Galerkin-Methode, 218 Gl¨ attungseigenschaft, 119 glatte Funktion, 7, 245 gr¨ oßter Eigenwert, 96 Gradient, 5 Greensche Formel, 6 Greensche Funktion, 23, 24, 34, 77, 99, 134 Gronwall-Lemma, 114, 188 gut gestelltes Problem, 5, 118 H01 (Ω), 251 H k (Ω), 247 H −1 (Ω), 251 Halbnorm, 245, 248

harmonische Funktion, 11, 28, 30 Hauptwert, 171 Hilbert-Raum, 238 Hookesche Gesetz, 13 hyperbolisches System Friedrichs-System, 187, 203 streng, 183 symmetrisches, 203 inf-sup-Bedingung, 76 inneres Produkt, 238 Interpolation in der N¨ ahe des Randes, 51 Interpolationsfehler, 56, 64 Interpolationsoperator, 56, 63 inverse Ungleichung, 96, 98, 155, 167, 169 Jacobi-Verfahren, 259 k¨ unstliche Diffusion, 200, 220 klassische L¨ osung, 21, 28 Knotenquadratur, 72, 162 koerzitive Bilinearform, 22, 241 Kollokationsverfahren, 229 kompakte Menge, 89 kompakter Tr¨ ager, 245 konforme Methode der finiten Elemente, 75 konsistent, 144 Konvektions-Diffusionsgleichung, 12 konvergente Folge, 238 Kugelsymmetrie, 14 Kurve charakteristische, 172 L2 -Norm, 246 L2 -Projektion, 65 L2 (Γ ), 249 L2 (Ω), 246 Lp -Norm, 246 Lp (Ω), 246 lh0 , 147 0 , 150 l2,h l2,h , 140 Laplace-Gleichung, 11, 28 Laplace-Operator, 5 Lastvektor, 55, 61 Lax-Milgram-Lemma, 22, 242 Lax-Wendroff-Verfahren, 202

Index Lebesgue-Integral, 245 lineares Funktional, 237 Linearform, 237 Lumped-Mass-Methode, 162 Massenmatrix, 77 Maximumnorm, 244 diskrete, 47, 137, 145 Maximumprinzip, 16, 29, 129 diskretes, 46, 155 starkes, 16, 18, 32 Maxwellsche Gleichungen, 192 Min-Max-Prinzip, 88 Minimumprinzip, 16 Monotonieeigenschaft, 18 Multiindex, 6 nat¨ urliche Randbedingung, 39 Neumann-Problem, 38 Neumannsche Randbedingung, 10, 28 nichtkonforme Methode der finiten Elemente, 75 nichtlineare Gleichungen, 12 Norm, 238 eines Operators, 239 Skalierung der, 255 Normalenableitung, 6 |Ω|, 5 Operator elliptischer, 173 Operatornorm, 239 orthogonale Projektion, 239 Orthonormalbasis, 86, 120, 175 Πk , 59 parabolischer Rand, 129 Parsevalsche Formel, 252 Parsevalsche Gleichung, 87 partielle Differentialgleichung elliptische, 174 hyperbolische, 174 parabolische, 174 P´eclet-Zahl, 10 Petrov-Galerkin-Verfahren, 220 ph¨ anomenologische Gleichungen, 8 Poincar´e-Ungleichung, 251 Poisson-Gleichung, 11, 28, 172 Poissonsche Integralformel, 30

271

Polynom charakteristisches, 171 pr¨ akompakte Menge, 89 Projektionstheorem, 239 Pseudospektralmethode, 231 Quadraturformel, 71 quasioptimale Approximation, 67 quasiuniforme Familie, 76, 96, 98, 161, 222 R, R+ , 5 Randapproximation, 65 Randelementmethode, 233, 234 Raviart-Thomas-Element, 76 Regularit¨ atsabsch¨ atzung, 23, 40 Relaxation, 259 Rellich-Lemma, 89 Richtung charakteristische, 171 Rieszscher Darstellungssatz, 23, 37, 240 Ritz-Projektion, 68 Robinsche Randbedingung, 9, 28 R¨ uckw¨ arts-Euler-Galerkin-Verfahren, 164 R¨ uckw¨ arts-Euler-Verfahren, 109, 146 R¨ uckw¨ arts-W¨ armeleitungsgleichung, 119 Rundungsfehler, 48, 49, 138 schwach gestellte Randbedingung, 227 schwache Ableitung, 247 schwache Formulierung, 21, 35, 126 schwache L¨ osung, 21, 35 semidiskrete Approximation, 158 Shortley-Weller-Approximation, 51 Skalarprodukt, 238 skalierte Spurungleichung, 70, 255 Skalierung, 255 Sobolev-Raum, 248 Sobolev-Ungleichung, 250 Spektralmethoden, 230 Spuroperator, 248 Spurtheorem, 249 Spurungleichung, 249, 250 skalierte, 255 starke L¨ osung, 21, 36 steifes System, 111 Steifigkeitsmatrix, 55, 61 Stokessche Gleichungen, 133

272

Index

Strang erstes Lemma von, 75 streng hyperbolisches System, 183 Stromlinien, 180 Stromliniendiffusions-Verfahren, 220 Superkonvergenz, 163, 230 Supremum, 244 Symbol, 139

verallgemeinerte Funktion, 254 vollst¨ andiger Raum, 238 von Neumannsche Bedingung, 139, 140, 198, 204 Vorw¨ arts-Euler-Verfahren, 108, 136, 166

unbedingte Stabilit¨ at, 165 Ungleichung von Friedrichs, 42 Upwind-Verfahren, 197

Wpk (Ω), 248 W¨ armeleitungsgleichung, 9, 173 Wellengleichung, 13, 173 Anfangswertproblem, 174, 176 Integraldarstellung der L¨ osung f¨ ur das reine Anfangswertproblem, 178 Wendroff-Box-Schema, 207 wesentliche Randbedingung, 39

Variationsformulierung, 21, 35, 126 Variationsgleichung, 242 verallgemeinerte Ableitung, 247

Z, 196 Zuflussrand, 179 Zylindersymmetrie, 14

θ-Verfahren, 153 Trennung der Variablen, 121 Tricomi-Gleichung, 190

Das Gelbe Rechenbuch 03. Gewoehnliche Differentialgleichungen, Funktionentheorie, Integraltransformationen, Partielle Differentialgleichungen

Numerische Methoden der Stroemungsmechanik 001

Partielle Differentialgleichungen und funktionalanalytische Grundlagen: Höhere Mathematik für Ingenieure, Naturwissenschaftler und Mathematiker, 5. Auflage

Partielle Differentialgleichungen und funktionalanalytische Grundlagen: Hohere Mathematik fur Ingenieure, Naturwissenschaftler und Mathematiker, 4. Auflage

Partielle Differentialgleichungen und numerische Methoden