F. Severi ( E d.)
Teorema di Riemann-Roch e questioni connesse Lectures given at the Centro Internazionale Matematico Estivo (C.I.M.E.), held in Varenna (Como), Italy, June 29-July 8, 1955
C.I.M.E. Foundation c/o Dipartimento di Matematica “U. Dini” Viale Morgagni n. 67/a 50134 Firenze Italy
[email protected]
ISBN 978-3-642-10888-4 e-ISBN: 978-3-642-10889-1 DOI:10.1007/978-3-642-10889-1 Springer Heidelberg Dordrecht London New York
©Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011 st Reprint of the 1 ed. C.I.M.E., Florence, 1955 With kind permission of C.I.M.E.
Printed on acid-free paper
Springer.com
CENTRO INTERNATIONALE MATEMATICO ESTIVO (C.I.M.E)
Reprint of the 1st ed.- Varenna, Italy, June 29-July 8, 1955
TEOREMA DI RIEMANN-ROCH E QUESTIONI CONNESSE
B.L. Van Der Waerden:
Demonstration algebrique du theoreme de Riemann-Roch ...................................................... 1
F. Severi:
Del teorema di riemann-roch per curve, superficie e varietà. Le origini storiche e lo stato attuale ......................................................... 35
F. Hirzebruch:
Arithmetic genera and the theorem of Riemann-Roch ...................................................... 81
B.L. VAN
DER
WAERDEN
(I corso di Varenna-29 giugno-81uglio 1955)
DEMONSTRATION
ALGEBRIQUE
DU THEOREME
DE
RIEMANN-ROCH
Roma-Istituto Matematico dell'Universita 1955-ROMA
1
B.L.Van der Waerden
- 1 -
DEl:iOUSTRATION ALGEBRIQUE DU THE9lYME ~
RIEMANN-ROCH Lection 1. INTRODUCTION.
=:;==========
II Y a trois pOints de vue, trois manH~res de fomuler et demontrer Ie Theoreme de Riemann-Roch, savoLr' 1- 1e point de vue de 1a Theorie des fonations.
(t n
11- 1e point de vue de l'a1gebx9. 111- ce1ui de la geom~trie a1gebrique.
un0
I. Dans la theorie des fonctions; 1e point de depart est surface de Riemann ou Riemannienne close. Les fonctions me~e
morphes sur la Riemannienne forment un oorps de fonations K. Si est une de ces fonations, toutes les Butres sont des ioDitions
1&
algebriques de z1' II. Dans 1a theorie algebrique, Ie point de depart est un corps K=k(z1"" ,3 r ), ou k est un corps de constantes arbitraire, et ou tous 1es generateurs z1, ••• ,zr sont des fonctions algebriquoe d'un entre eux, qui n'est pas algebrique par rapport a k. III. Si on ajoute a z1, ••• ,zr une coordonnee homogene zo=1, on obtient un point generique (zo'." 'Zr) d 'une courbe algebri(lHO (dans .1'espace projectif S • Les pOints de 1a courbe sont les sper
cia1izstions du point generique. Le corps K est 1e corps des fonations rationelles sur la courbe:
F('ol "," Zt), G(:t I Zt) Q
I' . •
ou F et G sont des formes du mame
degree
On peut passer directement de la Riemannienne
a 1a
courbe C.
Soient zO"."Sr des fonctions meromorphes sur ls Riemannienne, at
3
B.L.Van der Waerden
soit P un point de la Rie.,..nj enn.e. Dans. ~'~touraga d.e 1'. le.s fonct~ z-01.,. ,!lI:r :peuvent at:re devel.opp'ee en series de puissuncos de 1a variable locale t. Si quelques-unea de cas fonctions ont un pele a P, on mul tip:uS toutes ces series par une puissance t
a
de Borte que les series
taZOf"'ftaZr ne contiennent pas de termes negatives:
et que les bi ne sont pas tous zero. A1ors, en posant t=O, on obtient un point (b o ,b 1 , ••• ,b r ) de La courbe C. Done: A chaque point P de la Riemannienne correspond un seul point de 1a courbe C. 11 peut se passer qu'un point de la courbe correspond
a
plusienrs points de la Riemannienne. Pour eviter eela, on eonstruit un modele Ct de la courbe C sans points multiples dans un espace Sr" Alors chaque point de C' correspond a ID1 seul point de la Riemannienne. Qu ' eat-ce qui correspom, dans la theorie algebrique, aux pOints P de la Riemannienne ou de la courbe a'? Ce sont lea valuations du corps K. Partons d'un point P de la Riemannienne • Chaque fonction u a un certain ~ a P: l'ordre eat positif pour un zero de fonction et negatif pour un p~le. L'ordre est aimplement Ie premier exposant dans le developpement de lafonction u. Cet ordre o(u) ales proprietea suivani~~ (1) o(u) est un entier, excepte 0(0)=00 (2) o{uv) = o{u)+o(v) (3) o (u+v) ~
Min (ou,ov) (4) o(c)=O s1 c est une conataate
4
~O.
]a
B.L.Van der Waerden
.. 3 -
Une application
0
de K ayant les proprietes (1)-(4), est
appelee une valuation discrete du corps de fanctions K. Noua avone vu qu'A chaque point P de la RiQJllaJUl1enl\e correspond une valuation Ope AUBsi a chaque pOint pI non generique de la courbe C' correspond una valuation, detinie comme suit. Soit
une fonction de K at soient a at b les multiplicites des hypersurfacee F et B avec C'
a P'.
d'intersectio~
Alors
o(u) = a - b ales proprietes (1 )-(4). 8i P' et pI! sont algebriquemebt conjugea par rapport a k,les valuations correspondant a P' et pI! sont los m~mes.
Dons: A chaque groupe de pOints conjuges par rapport
ak
torrospond une valuation 0 du corpa K. On peut demontrar gu'on obtiont ainsi toutes les valuations discrete s de )f. Les valuations 0 , qui jouent, dans la theorie algebrique, Ie mAme r~le que les points de la Riemannienne ou du modele C' jouent dans les autres theories,seront appeles places du corps K at denotes par P,Q, etc. Pour chaqqe place P, les fonctions u a valeur non negatifs forment un annaau Ep, l'anneau de la valuation, at les u
a valeur
posi tive forment un ideal Ip dans cet anneau, 1'ideal de la v:¥Y--&l.ll..9.!!. L I anneau residuel Ep/lp est un col1S fini sur k, le corpe. ~duel ~ de la valuaaion. 3i k est algebriquement ferme, 011 n toujours kp=k. Le degre f d'une place Pest 1e degre du corpa de residua kp p31:' rapport a k. Si v 1 , ••• ,vf forment une base de ~, les elements de kp sont c 1v 1+••• +c f v f • Les Vi Bont des classes de residua, msie j'indiquerai par Ie m~~e sjmbole des fonctions Vi representant cos 5
B.L.Van der Waerden
- 4 -
cl3.sses. Soit P une place et 7t une fonction de val&ur mivima1e positive. En di.viaan:t. taus les o(u) par 0(11"), on peut suppoaer o(1T' )=1. Alora, ai f=1, chqque fonotion u peut
~tre
developpee en
serie de puissances formelles
Si f
> 1,
~n
a au lieu de (1)
(2)
Les series (1) et (2) oorrespondent aux series c1assiques
Diviseurs. Si on ass~gne, exposants entiers
a
un nombre
fim
de places P, dOt!
e, on obtient un diviseur
Par exemple, 1es P peuvent
~tre
les
z~roa
et peles d'une
fonction u, chacun avec sa propre multip1icit6 e=o(u}. Alors
D=If pe est appele 1e diviseur de u et on ecrit D=(u).
Le produit de deux diviseurs est forme par l'addition des exposants:
8i D= -1
1T pe,
on definit D-'=
D , si on a duit,
o(u)
o(u) ~
~
1T p-e.
Une fonction u est multiple do
-e pour les plaoes P qui entrent dans le pro.
0 pour lea autres places.
6
B.L.Van der Waerden
- 5-
Le degre n(D) du diviseur D= ITpe est defini comme n(D)
au
=E
ef
fest 10 degre de P.
Le probleme qui conduiy au theor~me de Riemann-Roch est: Combian de fonctions u lineairement independants existent, qui sont des multiples d'un diviseur D-1 donne? La reponse est donnee par la formule bien connue (D)
n(D) - g+i(D)+1
ou g est Ie genre de la courbe at i(D) l'indica de specialite du divisemz D. Pour traduire ce problema dans Ie language de la geometric algebrique, on represente les fonctions u comme quotients de fonnoD du mllme dcgre FoA 0 t' ... +F;:~t
.
et la quostion se reduit
a l'autre:
.
Quelle est la dimension pro-
jective r= ..e (D)-1 d 'une serie linhire complete de groupes do pOints, coupea sur la courbe 0' par un syeteme de formes
A
F 0 0 +••• +Fr)..1f.. dont aucune n' est nulle e .. r toute la courbe, qui contient un groupe donne D? La ~ethode de construction est differente dans les trois theories. Dans la theorie des fonctions, on commenve a construire
J
des integrales AbHiennes de seconde espece 'II" ott a p51es donnees, et on demande combien de ces integra!es ont des periodes nulles. On peut ~oiBtruire 1es differentielles V dz par une methode algebrique (voir Lection 2), ou bien on peat construire
J
f
1a partie reelle de l' integrale = v dz comme fonction hanuonique au moyen du Principe de Dirichlet (voir H.Weyl, Die Idee der Riemannschen FIMche) au par Ie methode alternante de Schwarz (voir Nevanlinna, Uniformisierung p.150).
7
B.L.Van der Waerden
- 6 -
La methode artthmetique
represente lea fonctions u du
corps K au moyen d'une base de K par rapport au sous-corps k(z), ou z eat une variable independante choisie d'une maniere arbitreireo On a donc
OU 'Pl'\,. sont des fonctione rationBlles de z. Dedekind et Weber, qui ont developpe cette methode (voir Crelle's Journal
92,1882), choisissent u 1 , ••• ,un comma une base des entlers de K par rapport
a k( z).
F.K. Schmidt,
a generalise
la methode
pour les corps inseparables (Math. Zeitschrift 41, 1936). Andre Weil a encore simplifie la methode de Schmidt; c'est (Crelle's Journal 179, 1938) que nous
so~expose
suiv~one.
La methode algebro-geometllique, de Max Noetmr se sert, pour construire une serie complete de groupes de points, des courbes adjointes d'une courbe plane. La methode rapide de F.Severi mane
a une
demonstration tree simple et belle. Andre
Weil a donne une autre demonstration qui se base sur la thaoric des correspondances antre deux cOURbes (voir son livre
Co~'bos
algebriques et les variates qui seen deduisent). Leotion 2. DEMONSTRATION CLASSIQUE DU THEOREME DE RR. PAR LA THEORIE DES FONCTIONS 1 ).
Sofut
5
=
Ju dz une integrale de deuxieme espece. Pour
une place P, ou l' integrale a un p81e, la partie principale:"de J est de la fol'lOO (1)
... t- ~~t
-i
1) Cette lection a ete supprimee dana le cours de Varenna.
8
B.L.Van der Waerden
- 7 -
Le developpwnt de 1a
differenti_ell~
donc
d <)= (-"~r t - ". -
liz est
-2
-)A. .. .f
(2)
dJ ",-Ii.
0.. 4
t .... ,,,) dl
Le terme avee t -1 manque I i l n 'y a palil de residue Les pelitiodee P1'···'Pg , Q1,···Qg de ~ son1t definis par (3)
)
OU c 1 ,d 1 , ••• ,c g ,d g sont les contours formant la dissection cano-
nique de In Riemannienne. Cette dissection transforma la Rieman~ nienne en un polygone, dont les cotes sont (dans cet ordre) cg THEOREME X.
L'integrale
'J
d
g
C-1d-1
g
g
est determine, a une cODSta.nte pres,
par les a_1 et les Pk definis par (1) et (3). Pour la demonstration voir par example C.Jordan" Cours d'Analyse II. Le nombre de ces constantes a_i et Ilk est n'+g, ou n'=~ • L'integrale depend done de n'+g+1 constantes. IRHEOREME 2. Il existe toujours una integrale 3' ayant des partie,! principales (1) -et des premieres periodes Pk donnees.
J
Pour demontrer cela,; nn forne 11$ differentielle
ou f(z,w}=O est l'equation d'une courbe plane, modele du corps K,
de degre n, ou feat 1a derivee de f par rapport a w, ou B est un w pplynome fixe de degre m dont l'intersection avec la courbe f est un multiple du di viseur D= IT P }"+1, et ou A est un polynome adjoint d' ordre n-3+m, choisi d tune telle maniere que d 9
3
res'w
B.L.Van dar Waerden
- 8 -
fini pour t ous les places P non appartenant au diviseur D et que l'ordre de d IT dans des p8les P soit toujours ~ -~ -1. On peut toujours supposer (pour simplifier Ie demonstration) que la courbe f n'a que de points multiples
a tangentes separes.
Alors
on trouve que l a forme adjointe A depend modulo f(z,w) de n'+g Les formes A forment done un espace
constantes arbitraires.
a n'+g
vectoriel R
dimensions.
D'autre part, les JPStemes
(a_ y , Pi) formes de n' coefficients a_~ et de g periodes Pi forment un espace vectoriel R' du m~e nombre de dimensions n'+g. A chaque forme A correspond un vecteur (a_V
,p.) est, 'uis que R et R' ont
A ~ (a y
a cause duTheorue 1, un isomorphisme.
~
dimension, il s'agit d'une application
m~me
de R
~
R', co qui
,Pi)' at l'applica.tiou
p~ouve
Ie theoreme 2.
Pour arriver au theoreme de Riemann-Roch, on doit se deman-
3
der: Quelles integrales ont Pk:::O et qk:::O'? D'apres Theoreme 2, il Y a exaetement n' differentielles
d:J
1ineairement
independantes ayant Pk:::O. L'integrale ~
done de n'+1 constantes arbitraires.
depend
Les g conditions qk:::O
donnent g equations 1ineaires pour ces n'+1 constantes. La nombre des solutions independantes est done l'
ou
=
n' + 1 - g + i
i est Ie nombre de relations de dependance lineaire entre les
g equations.
La nombre i est appele indice de specialite. cal.culons l~s periodes qk' Soit ~ une integrals de seconde espece et d r Gnticile de premiere espece, c.a.d. a~s p8les.
eli ~
/ I
Ci
:r
3H. V ,
:J.. ,,~
eli
La fonction
I
:r
Pour
l'evaIuG~
~' une diff~
est univalente
l'interieur du polygona, qui
c..
a repre-
sente la Riemannienne. L'integralo
j
<1 ~
dJ'
sur Ie bord de oe polygo-
ne est egale
a la somme des residus
de l'integrale par rapport aux po; 10
() !J
B.L.Van der Waerden
- 9 -
J
P de
L'evaluation de l'integrale pour 4 eStes donne
( J 01 r I +- J J cl J I - ( (1 ~ 9« ) cJ J I - ({j -1 0k
k-k
(iet
=~K ou
Pk
(6)
er
suecessifs c k dk c;1d;1
et
qk
}Jr:
JCk
I d l' - q ~eM.~ K
}'
01..
D'apr~s Theoreme
01 ~'
=
=i'jc 9~ - ~~ I"'~
Bont les periodes de:r
[(f.. q'k-qltf~):::
)
I
.On a done
L I?'~ (lot]') p
2, i l ex:iste une differentielle d
11 du
1 espece ayant tous les pi=O exeepte Pk=1. Pour ~ ,nous serons que tous lea Pk sont =0. Alors (6) se simplifie: ~
s~ppo.
Pour une place P, on a
-)1
-I
<J. ~. t +.. . +~". t +
Le
ct1'.:: ('0 + C -i t + ... ) ott coefficient de t -1 dans r d :I devient I
et (7) donne (8)
-qlr.==
21i;'
t
(ct_,CO+ct_ l
d'ou 11
C,
termes reguliers donc
+ ... +~,.-)
B.L.Van der Waerden
- 10 -
THEOREI~ 3. L'integrale uniforme u si les
f
(9 )
J ' norme
par Pk=O, represente une foneti?ll
B conditions
(a_leO +" ' + ~r
(! , . - ' )::
0
sont remplis pwur les g differentielles elementaires de ,er espe~~
d1~ ,... ,dJt.
Le nombre de ces equations est g. II Y a dependance entre les equations {$} s'il exiate une differentielle de premiere espece d on a
l' ,
combination lin~aire de d
Jl ,... ,d J;, pour laquelle
o
(10 )
pour tout P.
Lea conditions (10) expriment que la differentielle d
1
,
a
des zeros d'ordre ~ au moins a toutes les places P. Le nonbre de dependences entre les g equations (9), c.a.d. l'indice de speciamite i. est done ega! au nombre de differentielles de premiero
,
cspece d l' Illm.ind. ayant d~s Beros d'ordre f: awe pales P. Ceci etant, la formule (4) noue donne Ie nombre de fonctions
-fA etant n'= 1:". .
u lineairement independantes ayant des pcSle s d' ordre aux points P, Ie nombre total des p8Je a
seulemcn·~
Lection 3. DEMONSTRATION ALGEBRIQUE DE L'INEGALITE 1. On demontre disement Ie principe d'independance des valuations. Etant donnees des coefficients c. en nombre fini pour un ~ nombre lIininde places P, il existe toujoura des fonctions u. dont Ie developpement, pour cos places, commence par
C o +C(1T'+,., 1"<:~'j'((. 12
- 11 -
ou bien, pour f
> 1,
B.L.Van der Waerdch
par
2. Soit z una fonction non costante, que nous prenons
variable indepdndante. Le degre n de K par rapport
a k(z)
POU1'
est
fini:
Soit (z)=ND-1 1e diviseur de z, 1e numerat8un N consistant des zeros et 1e denominateur D des p6las de z. Noue demontrons d'abord
SOit,pour fixe8 les idees, N=p 3Q2, ou P et Q sont des place~ de degre f=1.
D'apres 1., i1 existe des fonetions u
d~nt
2
1e
deve10ppement pour P commence par c o+c 1 t+c 2t et pour Q par d o+d 11T , ou t et 71 sont des fonctions d'ordre minimale pour les places P et Q. Choisissons pour u i les coefficients •• fOvVt. '«'1 p~ cv~ewtd ~,O,Oj 0 1 () ; II
. .. -. II
t.l.2.
II
u"$
1\
--
II
--. . 1\
- -- . __ ,..... _-0, -i 10
OJDj
o}O,O ;
0,-1. ,.
Alors je dis que u 1 , ••• ,u 5 sont 1ineairement independants par rapport a k(z). Car slH y a dependance lineaire (1 )
13
B.L.Van der Waerden
- 12 -
noue pouvons supposer que les f. sont des pl1ynomes non toutes l.
divisible par z.
Les termes constantes a 1 , ••• ,8 5 de ces pmlynomes ne sont donc P3B tous zero. On peut ecrire (1) comme (2)
(tt !L f t- '"
-t!l,S U,S
+ (z) -:.
0
ou les temmes (z) sont des multiples de z. Developpant (2) pour la place P on obtient,
Buisque z est divisible par tQ:
done a 1=8 2=8 3=0. De meme pour Q: 8 4=8 5=0. Mais nous avons suppose que les a. ne eont pas tous zero. l.
Dons lee u i ' ..• ,u 5 sont lineairement independents, d'ou Par la m~me methode, on demontre generalement n ~ n(N}i et en rempla9ant z par z -1 on demontre de m~me
n~
(2)
Plus tard on verra n 1: n(D). 3. Soit A= pa un diviseur, multiple de B=
1T
Soit M(A} le module des fonctions u multiples de -1
le rang de M(A). Les multiples de B A-'·, on a d onc
TT pb, A-',
done
a~ b.
et leA)
sont aussi des multiples do
(3)
Pour u dans M(A), on a des developpements comma
pour chaque place.P.
Noue eupposona f=1, mais on verra
que ce n'est pps essentiel.
8ussit~t
Les conditions pour que l'element
14
5.
B.L.Van der Waerden
- 13 -
a de M(A) soit Bussi dans M(B) sont
Ce sont a-b equations pour la place P, on plus generalement (a-b)f equations si P a degre f, lone en total (6)
equations mineaires pour les elements de l'espace vectoriel M(A). La difference entre les rangs de M(A) et M(B) est tout au plus egal au nombre des equations (6), donc
ou
pour A multiple de B. Pour A entier, c.a.d. tous les
e~
0, et B=1 on obtient
(8) Done l(A) est fini si A est entler, et fini si A n'est pas entier.
a fortiori
l(A)
es'~
4. Soit u 1 , ••• ,un une base de K par rapport a k(z). On peut SupposBr que les u. restent finies a tous les places ou zest l. fini, car si u.l. a un p~le a une place ou Z prend le valeur fini a, on peut multiplier m. par (z_a)s ou s est suffisamment grand, et le
l.
p~le
ser-a elimine.
Soit mi un nombre entier tel que u. soit multiple de D-mi-~ lUn tel nombre existe, puisque u. a dee pales seulement aux places l. de D. On peut aussi definir mi par la condition que uiz -ai -1 reste fini aux places ou z deviant infini.
15
B.L.Van dar Waerden
- 14 ..
Choi$1ssons m plus grand que tous les mi , done (9 )
r:
!-< _-JIlt)
(m-mi ) elements zP ui (0 ~ ....m IDent ind~pendantes et dans 14(D ), do no Les
sont lineaire-
ou
(10) I'our m ~
00
on trouve
1Yt.~ m{D}
( 11)
done, pUisqu'on a deja (2)f n
( 12)
=n
(D)
Substituant (12) dana (10), on obtient
ou
tn
(13)
(D""") -
e(O~) ~ 'E .m~
8i A est un diviseur de Dm, c.a.d. D- un multiple de A, on
a, par (7)
5. Noue avons vu, (12), que n(D)=n. Rempla9ant z ~r z-1~ on trouve de
c'est
a dire:
m~me
n(N)=n. Done
le nombre de zeros d'une fonction zest
16
egal
au
B. L. Van der Waerden
- 15 -
nombre de p5les. Puisque z etait arb1traire, la m~me chose est vra1 pour chaque fonction u non constante. Les d1viseurs A et uA sont appelas equivalents. lIs ont -1 -1 Ie m~me dimension l(A), csr ai vest un multiple de A u vest un multiple de (uA)-1, et conversement, done lee modules M(A) at M(uA) sont isomorphes. Done
l.fais A et uA ant sussi Ie
puisque n«u»
m~me
degre:
est zero. Done, si 1'1negalite (14) est valable
pour A, elle est aussi valable pour uA, et conversament. Or, ello eet val able pour les diviseurs de Dm. D'autre part, chaque diviseur A est equivalent a un d1viseur de Dm, ear s1 A a des zeros pour z fini, p.ex. pour z=a, on peut mult1pl1et A par (z-a)-Sde sorte que les zeros dispara1ssent. On obtient un diviseur equivalent uA ayant des zeros seulement a l'infini, et oe diviseur uA divise Dm, s1 m est suffisamment grand. Alore (14) est velable pour uA et par suite panr A. NOUB avons donc, tenant compte de (8), (18)
-{!:
I'r\..
(A) - -e (A) ~ !" ~~
pour tous les diviseurs A sans exception. 6. Soit g-1 la limite superieure de la difference neAl-leA). D'apres (18), g est un entier non nt1gatU. La d6:tinition de g est, invariante: elle ne depend que des corps K at k. 51 on suppo ...
se que k est a1gebriquement ferme dans K, c.s.d. que tous les elements de K qui sont algebrigues par rapport a k sont deja dans k, alors Best uniquement determine par k at Ie genre g no 17
B.L.Van der Waerden
- 16 -
depend que de K.
D'apres la definition de g, on a toujours
m.(A)-f(A)
4
~-1
d'ou la moitie Riemannienne du theoreme de Riemann-Rochi
.e(A)~ 'h..(A)-~-+i
(19)
Laction 4.
VECTEURS, COVECTEURS ET DIFFERENTIELLES 1. Par un vecteur V, nous entcndons un systeme de series
de puissances formellas, una pour chaque place P: (1 )
aous la saule condition qu'il n'y a qu'un nombre fini de coefficients
ou
jest negatif. Parmi les vecteurs Y Qn retrouve les fonctiona u du corps K, car ces fonctions peuvent 3tre developpees, ~
UjP~O
chaque place p. en des series de puissances (1); et el1es n'dnt qu'un nombre
~ini
de pOles. Dans le cas
ou f > 1
on doit
remplac~y.
comme toujours, chaque coeffic:ie nt a jP par une somma c j v 1 + ••• +c.
Par un covecteur 11 nous entendons un systeme de cooffie:riis
0( XP' soua la seule condition qu'il n'y a qu'un nambre fini de coefficients
q KP~O a index
negatif k.
01
Dans le cas f ) 1 on doi -t
t
remplacer chaqre coefficient KP par un systeme k1'" ~'kf de coeff icients. Parmi lesn se trouvent les diffarentielles chs, siques: (2 )
Lo produit scalaire est defini par
V.J2
d'un vecteur et d'un covecteur
18
B.L.Van der Waerden
- 17 -
(3)
(v . ..n..).: I
p
1-
JH::~
a.i
p
~kp
Example: Si Vest une fonction u et ai
11
eat une cI1f!erentiGlle
v d z, on peut former la somme des residua de u v d z. On a
Le coefficient de t·' dans ce produit est Ia somme finie
L
j+~;-'
aj f' 01 \( p
La somme de taus les residus est donc 2 n i fo18 Ie produi t sca-
laire (3). Or, on sai t que dans ls theorie clasaique cette est nulle pour toutes lee differentielles.
60ilIJJte
Si f ) 1 on a a remplscer. dans (3), le produi~ SjP d ~p par Is somme
qui est Ie produit scalaire du vecteur Cj1v1+ ••• +CjfVf dans 11 espace vectoriel kp avec le c()vecteur k1 , ••• , '( kf) de l' espa-· ce dual. 2. Nous avons cu qulon a pour tout diviseur B
(¥
On peut dore ecrire
-€ lB) =: rn ( 13 ) - ~ ... ~ T
,:
(B )
On appelle i(B) l'indica de specialite du diviseur B. Si i(B»O, Ie diviseur Best special. Soit A= Tfpe multiple de B=1T p d (e ~d)t done M(B)f M( A). Dans M(A) t M(B) est defini par les'll (A)-i-(B) relations
19
B.L.Van der Waerden
- 18 -
ou
les a jP sent les coefficients de developpement dtune fonction u dans liI(A): OCI M=
L
-e
a.J'pTTj
Supposons que A Boit non special. done
et que Bait Itindice qe speeia1ite i(B):
Si les equations (4) etaient
mais
independan~B,
on aurait
l(B) est plus grand de i(B}, donc il y a i(B) relations
R (Cl Jp) :::
(7)
0
entre les equations (4); relations qui sont satisfaits pmue
to~
vecteur u de M(A). Les R(SjP) sont des fonctions linlaires des a jr• On pourrait les eerire comma Sj12 q jp t ot1 j va de -e h -<1-1, maia je prefere les ecrire dans 1a forme
1:
-a-r
( 8)
R(l, df' )
::.Ip _L fte j P ~ j _i P :. ~ ~ a.. J' f' 0( IC.' , P J+If:-I
3. Remplagons A par un multiple
AI::
IT pet'
On aura de nouveau i(B) relations
20
B.L.Van der Waerden
- 19 -
satisf~ts
par toutes les u dans M(A'). Les R', ou plut6t les I
systemes de coefficients 0( kP' forment un espace lineail!ea i(B) dimensions, puisqu'il y a i(B) relations lineairement independants. A cheque relation R' correspond une relation R, qu'on obtient en omettant les termes avec -e' ~ j <. -e qui n' ont pa.s d'iinport t..l1ee pour M(A). L'application RI-i R est un homeomorphisme. Aucune
R( ne donne R=O, car autrement on aurait une relation R'(ajP)=o contenant seulement des temes SjP 0( kP _e t ~ j < -e, et on aurait L.. 'l'I.
,e (A ') - ~ (A )
(A') - ~ (A)
ce qui es) impossible, puisque A et A' son¥oapeciales. L'application R' ~ R est done un isomorphisme. Les dimensions des deux espsces vectorielles etant egales~ on a done une application ~ l'espace des R. D'ou le theoreme: 4. Cheque R a une seule continuation R'. En continuant indefiniment, on obtient iCB) covecteura
GJ =( 0/ kP) avec k ~ d tel que (10 )
pour tout u dans K
Car toute fonction u dans le corps K est un multiple d'un diviseur A- 1 convenablement ohoisi tel que A soit multiple de B. On peut toUjours remp1scer A par son multiple A': 1a relation (10) reste 1a m~me. 5. Un covecteur 6J ayant la propriete (10) est appel~ une differentielle. Examples: les differentiel1es classiqte s CU =vdz:
(tt.w)=I
Ru INlrWI.=L?~JpOc'J('=O J+I'::-.1 p
Un coveeteurn et un multiple de B= 'IT pd, si 11 ~ d pour tout d. Pk,to. Les iCB) covecteurs construits au moyen des relatio ns R et R' ont cette propr~ete. Donc: 21
- 20 -
B.L.Van dar Waerden
i(B) est le nombre de differentiel:w....!!. W llphirement independantes multiples de B. Laction 5.
LE THEOREIE DE RlEMANN-ROCH 1. Nous avons trouve ls formula ( 1)
au i(B) est 1e nombre des differentielles lineairement indepandautes multiples de B. Fainsons deux applications. D'abord, posona B=1. Les differentialles multiples de 1, c.a.d. sans pales, sont les differentiel les de premiere espeee. On a 1(1 )=1, car lea seules fonctions sans pOles sont les constantes, at n(B)=O, done, d'apres (1), i (1) ;; g
c'est
a dire:
Le nQmbre de differentie1les de premiere espece ment independants est g.
lineaire~
-1
Posons maintenant B=P f ou n est un entier positif. On a alors l(B)=O, puisqu'il nty a pas de fonctions dans p~les ayant un zero a P. 8i f est Ie degre de P, on a n(B)=-fn, done
2. Le covecteur u 11 est defini par (3)
(v,
~
J1)=
(V~.11 )
pour tout veeteur V
CI est a dire: on 'orme le produi t scal.aire (Vu • .!l), qui est une fo:t'Jre. lineaire des coefficients a jP du vecteur V. Le coefficient:
22
B.L.Van der Waerden
- 21 -
q kP
de a -k-1 ,P dans cette forme est
8i 6J
de u
est une differentielle, u UJ lteet susSi: pour chaque v
3. On demontre deux lemmes. ItEMME 1.
2i fl
est multiple de B:;:
1T pd,
on a (V.n }==O
tout "t/ecteur V mw tiple de B- 1 , et conversement, si tout Vm)ll tiple de B- 1 , Jl
Soi t.1)
:c
r
Q,j p
~+~:
·1
§i1'2
LEMME 2.
(v.4 )=0 J.>.9-1,!f
d~ Ih
~ kP' 8i to us les k sont) d~ on a
( VI 12 );: I et conversement.
8e1'8!i.Ul tiple
pO UT
~"p
=0
81- le s
est multiple de B.
Mora
i ~ - oL
u.fl est multiple
de u B. Soit
(v.ll)=O
s1 Vest multiple de
,.... nors (VU •• 4)=0 si Vu
1a definition
est multiple. de B
-1
,ou bien, d' a pre s
(3) (V. u..Q )
=0
si Vest lIUi.l tiple de 1 B.. u-'=(u B)-1
4. Le diviseur maximum do,n t divis eur
B-~
TI pe
a.
exposants
est multiple, c. a. d. le
maxi~X
D...n. ~
est appele le diviseur
n
.-0...
ef;-dont
11
est multiple,
11 peut se passer que D.....a. a
une infinite de facteurs pee Nous varrone plus tard q¥e pour une diffarentielle tJ cela egal
es~
impossible: le degre de DGJ est fin i et
a 2g-2. Une consequence immediate du lemme 2 est: §LRloI est le d:i,J:i:.9
seur de
tv , ElLw
La defini tion
est ke diviseur de u tJ • ik~me
de D W impliqu.e:
5i W est multiple de B,.-QW est multiple de B.
23
- 22 -
B. L. Van der Woo rden
5. 30it CJ une differentielle 10. Noue montrone:
Toute~
les differentiel1es sont multlli~.s_ A~ W • D~monstration. 3i f) n· est pas =u tJ , on a pour toute u et v. Choisissona B= p-n. D'apres (2), Ie nombre de differentielles multiples de Best
Or, quels u (J sont multiples de B? 51 u (A) est multiple de B, W" " "u- 1B (Lemme 2)
" "u- 1B done D"" " B done uDc..> " " " ., n BS- 1 = (B- 1D )-1=(plln )-1 done u " (.J • W CtI Le nombre de ces u lin.ind. est
De meme, Ie nombre des v
f) lin. im. multiples de Best
Mais Ie nombre total des differentielles lin.ind. multiples de B=9-n n'est que g+n-1. On aurait done
oe qui est impossible pour n grand.
Done toutes
~ea
differentielles sont multiples de CV, et
on a
24
- 23 -
B.L.Van der Waerden
d'ou (8)
L'inegalite (8) montra que D ne contient qu'un nombre fini de points. Dans Ie cas classique on paut choisir UJ =dz et on 'YO it que toutee les duferentielles au sans de Weil sont de 18 forme ud,· . 6. Soit B un diviseur arbitra:i..re. Le nombre des differeL1: tielles lin.ind. multiples de Best i(B). Dtautre part, dtapres 1a calcu1ation precMente; Ie nombre est ~( ;lJ-1J)~. On a done (9)
~(I?»=
-e (8- Dw) 1
Substituant (9) dms {1}; on obtient 16 j£Mor@e de Riemann-Roeht
Laction 6. COMP1Er~TS
ET EXAMPLES.
A. Determination effective du genre g. Dane la demonstration de Weil, que noue avons reproduita, le genre g a ete defini comme une limite sup~rieure. La demonstration originel1e de F.K.Schmidt, dont derive colle de Weil, a l'avantage de donner une formule explicite pour g. II sere utile d'expliquer cette formulc. Alors on verra plus clairement, comment Weil a trouve ea demonstration. Dans la demonstration de Weil on a choisi une base (u 1 , ••• un ) telle que les u. restent finies a toutes les plseeo ou zest i'iJ:li let on a determine ~s nombres IDi +1= ¥~ de Borte que u.l. z - 0" roste fini aux places ou z devient infini. Or, d'apr~s Schmidt, ai u 1 est choiaie tel que soit
.
't-1
25
,
B.t.Van der Waerleh
- 14 -
minimal, et u 2 1ineairement ~ndependant de u 1 tel que mal, ~tc., alors lea (m-~) ~1:~ta
r;
3)
i t mini-
m
forment une base de M(D ). On aura done non seulement, comme auparavant , une inegali te pour l(Dmh mai • .unQ. in~ga1i te ( 1)
qui nOUB servira
a determiner g.
Appe10ns une fonction U entiere. si u reste fini pour z fini. Les fonctions entie~s forment un anneau E. Bar Deg(u), on degre de u, nous denotons l'entier~ minimal tel que uz reste fim pour z=oo. On aura
t
(2)
Deg (u+v) ~ Max (Deg u, Deg v)
(!)
Deg uv
~
Deg u + Deg v
Si u est un polynome f(z), Ie degre est 1e degre
ordinair~.
Or, soit u 1 choisi dans E tel que Deg u 1= a(i = minimal, et u 2 dans E, lineairement independant de u 1 ' tel que Deg u 2= = =minimal, et sinsi de suite jusqu1a u. Evideiunen:.t, on aura
12
n
y <. V <..,. 6" . Nous prouvona: 0 4 - 12 0"'" 1. Les u i forment une base de E. par rapport a k rz) ~
Demonstration. Chaque u pe.t
~tre
ecrite dana la forme
(4) ou les Cf~ sont des fonctions rationalles de z, et ou les f i ; g:L et h.l. sont polynomes tel que (5)
26
B.L. Van der Waerden
- 25 -
De (4), on deduit, si les g. ne sont pas tous =0,
)J.:
(6)
=
u... -
~
I· t~.... J (,(.,
==
K
L.
~
AA- •
~. t. .... eu k est Ie dernier index ayant la propriete SkFO. Dans (6), la plZemiere representation de u mont re que u es·!; dabs
1
E. La seeonde montre que u' est lineairement independEnt de
u1""'~_1 et que Deg (u')<¥k' Mais ceei est impossible, puisque
mal. Done tous les g. doivent
~tre
~
«~=Deg(~) etait mini-
0erO et on a
ee qui prouve 1'assertien
2. Si (7) est vrai, on a (8)
Y . De
Demonstration. Le maximum dabs (8) soit et 0) on deduit aura Deg (u)
Deg(u)~O'
<. Q.
Par 1a definition
m~me
(7), (2)
Done, si (8) n·est pas vrai, on de '( , on a
D,(~~)~ o-t~
(9 )
Posons (10 )
Les 0
i
ne sont pas tous zero, puisque
de Deg(f.)+ Y •• Substituant (10) dans (7), ~ 01. ( 11)
ou k est 1e dernier index tel que 0kFO.
27
"
etait a on obtient
1e maximup
B.t.Van der Waerlen
- 26 -
Le degre dumembre gauche de (11) est par z-
~
+
6k \
Enmultipliallt
, on obtient un element u' d 'un degre
k ~
u,. ~ L
e~ Z
(t(- r~
...{A.
.:..:! .,. +
C"
~ OJ< :
c..{.t
De nouveau " u' est dans E, lineairement independe.nt de u 1 , ••• ''\:-1' et son degre est moindre que impossible. Done (8) Boit
~tre
¥t<
'
ce qui est
vrai.
3. Par consequence, si lIon vatt que u eoit divisible par D-m, c'est
a dire
que Deg(u) ~ m, on doit choisir, dans (7),
pour fi un polynomed 'un degre ~ m- 'I~'
:
(12 ) Cela veut dire; les fonetiorB
(13 ) en n!ilmbre
~
(m-
t L +1 )= L
(m-mi ), for.tn&nt une base de M(Dm), si
1 es mi sont tous L.. m. On aura done, pour m suffisamment grand,
ou
De plus, on a toujours, comme noua l'e.vons vu (15)
ftt.(A) - ~ (A) ~
Z.
"M~
La limite superi eure de n (A) -1 (A) est done
28
1:
mi , et on aura
B.L. Vm. dar Waerdc:l
- 27 -
(16 )
B. Un exemple.
ou
So it K=k(z,w),
Une fonction U1 a degre minimal est Ia constante 1. Une fonction u lineairement independante de u 1 doit avolr Is forme (17)
3i u est entiere, la fonction conjugee u'= auzsi entiere, done Ia somme et Ie produit )t
+ M- I I
.u .u..
;::
;z, ce
::;
cp2 - ~ 'f.2
est
'1.
sont les fonctions rationnelies de z, qui restent finies pour z fini, e. a. d. des polynomes en z.
Supposons d'abord que la caracteristique du corps k ne soit pas 2. Arors aisement que
~
~
doit
Ie doit
~tre
~tre
un polynome en z et on voit aussi. On aura done
gjo
u = f+wg
(18 )
Le degre de west 2, car w/z2 est fini
a I'infini,
mats
w/z ne I'est pas. II s·ensuit que Ie degre minimal de f+wg est 2, et Ie minimum est atteint si l'on choisit u=w. La base normale est done Les degres sont
29
... 28 -
B.L.Van der Waerden
et on a
clest
a dire
g=1.
Soit ma.intenant k un Cbrps
a cara.cteristique
2. Alors le
courbe
a un point double, qu'on trauve par la methode bien connue en solvant lee
F =F =0. Or, l'equation B =0 est satisfaitp. z w w identiquement et on n'a qulune equation F =0 ou ~quations
z
z,.
(20 )
~8-
L'equation (20 ) a une solution unique (21)
20':
Vi
'lATa :::
Va,g. +-
(.?
qui represent le pOint double de la courbe. Or~
nous avona
~
distinguer deux cas:
CIS a). Les coordonnees (21) sont dans le corps k. Alors
la fonction
fo t est
enti~re
""- "'"0
.% - - 'J,-'lo
at a Ie degre 1.
On a done Xi=O, ~2 =1, d I au g=1=-1. Le genre est done 0, ce qui nlest pas etonnant, puisque la courbe (19) est une cubique
a point
double, done rationelle.
Ca.s b). Les coordonnees (21) ne sont pas dans k. Alors uno fonetion de degre 1 n'eBiste pas et la base normale sera de
nouveau u 1.1, u 2=w. Le genre devient 1, comme dans le cas class iqu; Ce qui est tres etonnant dans ce cas pathologique, c'eat que le genre s'abaisse lorsque le corps des eonstantes k est
30
- 29 -
B.L.Van der Waerdell
remp1ace par k =k(zo'w o). o C'eat a dire, i1 y a des diff erentielles GJ au sens de Weil qui annulent toutes les fonctLons u de k (z,w), mais qui n'annulent pas to~tcs les fo~tions de ko(z,w). Lection 7.
LA CLASSE CANONIQUE Dans le theoreme de Riemann-Roch ( 1)
mettons .:£1;;;1. Nous trouvona
d
'ou.
(2 )
Mettone B=DW' et nous trouvons
ou (3)
Y a-t-il djautres diviseurs B ayant dimension
l(B)~ g
et
degre n(B)=2g-2? 31 l(B) ~ g et n(B)=2g-2, le. formule (1) donne
e(
(2~ - 2) - ~ +- i + S-.1 Df4J ) ~ af (S-f Dw) ~j
Il y a done une fonction u multiple de SD -1. Puisque le 31
B.L.Van der Waerden
- 30 -
degre de ce diviseur est nul, le diviseur de u doit
~tre
-1
exaetement BDc,a • On a done
BD~i:: (.u..) d'ou
B ;:
.u.
Dw
Il n'y a done gu'une seula classe de diviseurs equivalents ayant dimension l(B) :,; g et n{B)",,2j5-2, 4ayQir la 91a850 .d os tlivi.seurs ul)Q equivalents a Dw • La dimension l(B) est =.&, On appelle cette classe la classo canoni§Ue W. Pour la determination effective de la elasse eanonique W ml y a diverses methodes, par exapp~e: 1. On eherche 10 diviseur d'une differentielle udz, par
example de dz. 2. Suivant Dedekind et Weber (Crella 192) on peut determiner h differenee du corps K par rapport
a k(z).
La differenbe est l'ideal dans E genere par toutcs les expressions
( .tHJ.
('1){.u.. -
,("t.t3} "
(M. - .u.(~))
ou u varia dans E et ou u, u(2), ••• , u(n) sont les conjugees de u. Si Best le diviseur de la differen~e et D Ie denominateur de z, BD-2 est un diviseur de la classe canonique (en effet c'est Ie diviseur de de).
3. Les methodes
1. et 2. marchent seulement si K est se.
parable sur k(z). Mais F.K. Schmidt a defini une pseudo-difference qui cst detinie dans tous les cas. La pseudo-differente est construite au moyen des bases complementairea • Si (u~, ••• ,un) est: une base de K sur k(z), una base eomplementaire (v 1 ' ••• ,vn ) est definie par lea formules:
M.'tJ1C ::;:
r; ru-. ~I(~
4. On peut aussi se servir, eolma Noether, das adjointos
32
- 31 ...
!.L.Van del' Waerdon
d'ordre n-3 d'une courbe plane d'ordl'e n. 5. Plus general ement f on peut cherchor de oonstruire, par des moyens geometriques, (par example par l'intersection de la courbe C' sans pmints multiples avec les hypersurfaoes dlun degre sutfisamment eleve) des series completes de groupes de points de 1s couybe. Sf. on trouve, parmi oe8 Mr1ee, una serio do degre 2g-2 ct· de dimension geometrique g-1, on ~t ~r ~e clest 1a serie canoniquo. 6. On peut aussi considerer 1e produit C X C de 1a courbe avec soi-m~me. Sur cette surface , soit D la diagonale, oj soit DI un diviseue equivalent a D. Alors l'intersection D. D4 est un diviseur de la classe -W sur D. Cette definition de West de Severi. En se basant sur cette definition, Andre Weil a donne nne autre demonstration du Theoreme de Riamann.Roch (voir Bon li~re Sur les courbos algebriques et les varietes qui s'en deduisent). Remarque finale. La demonstration du theoreme de Riemann-Roch, donnee iOi, est aussi valiable pour des corps X non-c~mmutatifB. 11 suffit de suppo.er: (1) que k est dans 10 centre de X (2) que (K:k(z» est fini pour un t qui n'est pas dans k. En effet. dans toute la demonstration, on nta pas fait usage de la loi commutative de 1a multiplication. C'ast Witt qui a fait cet~ remarque; on trouve la citation dane Ie m~moire cite de F.K. Schmidt (Math.Zeitschr.41). Le theoreme de Riemann-Roch est aussi valavle pour un a1l' \
'ana
K qui est une somma directe de corps K1+ ••• +Ks ' on la terminologie geometrique, pour une couabe reductible C1+••• +C s • Cet te observation est due a Seven. Pour 1e genre on Is formule
33
I
~=~=~=~=~~~=~=~=~
~=~=y=~=~=~
( I corso di Varenna-29 giugno-8 luglio 1955)
DEL
TEO~~
DI
VA~~ETA'.LE
RIill~NN-ROCH
PER CURVE,SUPERFICIE E
ORIGINI STORICHE E LO STATO ATTUALE.
Roma-Istituto Matematico del1'Universita 1955-ROMA
35
F.Severi DEL TEORIDilA DI RIEMANN-ROCR PER CURVE ,SUPERFICIE E VARIETAi. LE ORIGINI
STORIC~
E LO STATO ATTUALE.
DEL TEOREl',iA SOPRA UNA CURVA 1. Analiticamente trattasi del numero delle costanti es sen-
ziali lineari da cui
dip~de
una funzione razionale
f
del punt a
J 'una curva algebrica irriducibile C (per semplicita, non sempre per necessita, supposta non singolare in uno spazio lineare co nveniente) posto ehe sia dato il gruppo G dei poli (0 degli zeri o dei punti di assegnato livello ) della
1
e
• Questo numero
espresso da n-p+i, Olle neil numero dei punti del gruppo (cont. an. do ogni punta con la sua mo1teplicita
ordine, quale polo); p
0
il genere riemanniano di C e i l'indice di specialita del gruppn , cioe i l numero dei gruppi canonici linearmente indipendenti, che 10 contengono leon le relative Tale
e
molteplici~.
il teorema, datm nella so stanza da RIEMANN e comp1 8-
r1] • n-p+i e la
tato da ROCR, verso la meta del seeolo XIX Geometricamente (BRILL e NOETHER), r della serie lineare completa (il che si verifica certo se r
p\.
> p-1
dimensione
Se la serie non e speci ~le 0
n "> 2p-2)
e i=O;
e vicevel'-
sa. Accenno di vo10, perche del teorema R.R. sulle curve ha traJ. tato, nella presente circostanza, VAN DER WABBDBN. Fra Ie vie geometriche per conseguire 11 teorema, due, ipdicate rispettivamente in ~e~ lavori del 1920 (metodo rapido) e del 1952
[3] ,
[iJ
son particolarmente adatte a1 loro trasporto
a corpi di funzioni algebriche dtuna variabile, ove i corpi del l e costanti sieno piu generali di quello complesso. Cosi CHOW
[4J
ha usato il metodo rapido Ie I' dimostrare 11
teorema R.R. quando il corpo delle costanti
37
e perfetto
e GR~BN]R
- 2 -
L51
F.Severi
quando e algebricamente chiu60.
ijato '-'-'lil.
dimost:razione
intr~eca
pero di conoscer gia sulla curva
L'ultimo autore he. anche
del teorema R. R., ammettendo
1'e-oj.lo"ltezl,$a
re avente ordine e dimensione della serie basta di meno
[?J ;
di qualc.he.
O~Da
s~ri$ line~
(in realta
basta cioe supporre l'esistenza d'una serie
speciale d'ordine 2p-2). Una dimostrazione del teorema R.R. di tipo topologico dovuta a ZARISKI
[7J
e
sul fondamento della ipotesi stessa di
11
GROBNER. Dimostrazioni del teorema R.R. per cQrpi qualunque di costanti son dovute a P.K. SCHMIDT L6] ed a A. WEIL
[9].
La di-
mostrazione di quest 'ultimo semplif:Lca quella di Scm,HDT, tenuto conto del concetto del metodo rapido. Infine il mio discepolo VESENTINI [6] ha eliminato intrinse11
camente l'ipotesi di GROBNER -ZARISKI, completando cosl il quadro delle proprieta fondamentali di geometria sopra una curva, secondo i l mio disegno del 1952, e vi ha adattato a.ltres).. la vecchia dimostra.zione del teorema R.R. data da CASTELNUOVO sulla base di una formula numerativa di SCHUBERT (ved. il Trattato citato in [21 pagg. 250-54). Circa un teorema R.R. sulle serie abeliane, che estendono sulle curve le. nozione di serie lineare eyed. 35fP.38rfJ, si vegga 1a mia MeJloria
[35 , p.39?J.
C061 ho finito di esporre. in sintesi, 10 stato della
que~tig
n e, nei riguardi del teorema R.R. sulle curve. Passiamo ora 3.1J_c i3uperficie.
~\ DEL TEORElIIA
SOPRA
2
UNA
SUl'ERFICIE
2. Ci riferiamo ad un modello della superficie P senza s ingo larita in un conveniente iperspazio (ancorche non sia sempre necessario); e se avremo da riferirsi ad un modello di F nello epazio ordinario, 10 supporremo dotato di singolarita ordinarie (linea doppia, punti tripli, e punti cuspidaU) come quelle che M
38
F.Sev0:ci
- 3 -
ottengono per proietttine generica in un S:3 d 'un modello iperspe·zi ale non singolare. Salvo ulteriori estensioni ai sistemi d'equivalenza de lle varie specie, di cui poi diremo, si tratta anche qui, analiti camente, del numero delle costanti lineari essenziali, che fi gurano in una funzione razionale del punta di F, quando della f u:,,zione stessa sia assegnata la curva polare, eventualmente riduci·· bile e con componenti di varia molteplicita. Geometricamente, su. tratta della dimensione r d'un sistema lineare completo
e
lei ,
individuato da una sua curve. IItotal e"
(tlspecializzazione ll della curva generale del sistema, nella.
terminologia di E.NOZTHER-VAN DER WAERDEN). Nella geometria sopra. una superficie i1 teorema R. R. adempie all1ufficio analogo a quello che spetta al teorema ste ss o sopra una curva. L'uffiCio e analogo e di grande importanza; pe1'0 non ha importanza quasi culminante, come sopra una curva . E'
un decisivo punta di passaggio, piuttosto che un punto
d'arriv~.
Personalmente, riferire su questo.' teorema. e come rivivere quast tutta la mia vita ultra semisecolare di geometra algebrista, perche cominciai ad occuparmene in una Nota lineea del 1903
(10]
e ne ho considerato gli svariati aspetti e ripercussioni, si puo dire fino ad oggi, in deoine e decine di :::
No~e
e Memorie.
0
II primo abbozzo di risoluzione del problema apetta a NOETHER [1~
Riferisco, perche e istruttivo, il ragionamente
che 1a breve esposizione del grande geometra presuppone,
usandD~
ben s'intende, il 1inguaggio algebrico-geometrico moderno, pi a completo e piu preciso. Sia
lei
su F un sistema1inearecompletOCX)r(r?1).pn-
vo di punti base, a curva generica C irriducibile; e sieno n ,p i l suo grado ed il suo genere effettivi, ossia i1 numero n de:!.
39
F.Severi
- 4 -
punti comu.ni a due C ve.riabUi nel sistema ed i1 genera r;i.em8:!;l-
e.
La serie caratteristica (beaondo la denominauone dl. C-SEGRE) del sistema, eulle. generics e, e la serie lineare oor-1 ivi segata dalle altre curve del sistema,
niano p della generic a
Essa he. la dimensione n-p+i, espressa dali teorema R.R. su C; e, datOl che le CUIVe canoniche (impure) K di F (supposte esistedi) segano su
e
le. aerie residua della serie caratteristica rispet-
to alIa serie canonica, risulta i;p -j, ove j g
K linearmente ind1pendenti che contengono
e
di specialita di (1 )
parzialm~te
[1 ~
C
(ind~~~ _
+ Pg + 1 - j •
Due obieBioni s1 prescntarono subi.to e. ENRIQUES CASTELNUOVO
numero delle
quale curve. d1 F). Viene pertanto:
= n-p
r
e il
[12J
c a
di f:ronte a tale procediJnento. Affermaro che la
serie caratteristica di
lei
ha le. dimensione
equivale ad affermare che tale serie
e necessariamente
n~p+i,
au C (che
e priva di
punti muHipli)
e per nulla evidente non e s~pre vero).
completa e questa non
(anzi, come sappiamo e come Tedremo,
Affermare che i=p -j, equivale ad affermare che il sistema
IKI
sega su
e
g
la serie lineare complete. residua della serie
caratteristica di C rispetto alIa serie canonica; e neppure questo
e
evidente (anzi, come ae.ppiamo e come vedremo, non
e
sempre vero). Correttamente dall'argomentazione noetheriana puo
solt a~
to ricave.rsi le. relazione (2)
ove
r=n - p + p g +
6- e la
1 -
j -
r +1
deficienza della serie care.tteristioa di
deficienza della aerie lineare staccata da
\KI
e
e
1. la
su C. La j=O carat~
terizza i sistemi non speciali. A priori la (2) non
e neppur
traaformabile in una
glianza, perche non si sa qual.e dei due effetti 40
S' , ~
disugua~
di segno
'.Severi
contrazio, abbia la prevalenza. Pero ENRIQUEB
[1-:il
diJl101!t;;r~nel. 1893 ehQ .quando la. superfi. -
cie e rego1are, ossia quando i suoi due generi, geometrico e numerativo, p ,p , sono uguali, e soltanto ~lora, per ogni /01 g a ' completo e b :::0. Per Ie superficie regolari si possiede du...'1 quc , fin d t el1era, il teorema R.R. sotto la ferma di disuguaglianza (in quante
~),
0) ossia:
r,) n-p + p g + 1 - j
o anche
r
~
n-p + p a + 1 ... j.
Sette quest'ultima forma la disuguaglianza vale per ogni super ficie anche irregolare, avente cioe p lissimo teorema,
e di
g
> pa •
Quest'ultimo, not evo-
OASTELNUOVO, i1 quale, nella laboriosa e
L13,
ingegnosa Memoria citata del 1897 Manetia degli Annal~ , prova che la defiaieJl2lB h~ soddisfa alla f)~ p - p e che esistone su ogni F sistemi per cui che p g ~ p a e che p a
e invariante
b=p g -p a •
a
g
Segue gia da cio
assoluto per 1 e trasformazioni
birazionali di F, essendosi acquisito molto piu facilmente, da OLEBSOH e NOETHER in poi (1869) (e p.es. da ENRIQUES) che p pure invariante assoluto. La differnnza q = p
e
chiamasm a la irregolari ta della superficie, carattere di estrema importang
- p
g
za, chc non ha il suo analogo sulle curve.
S::
Posto (2' )
I'
q-:;::
(0
~ ~~
»n-p+Pa+1-j+
q), la (2) pub scriversi
~+~
e quindi
0)
r " n-p+p +1-j •
a
II primo membro r della (3) sistema lineare completo
leI
virtuale, in quanto sarebbe
e la
dimensione effettiva del
il secondo membro ugua~e
r la
dimension~
alIa dimensione vera
0
effetti-
va, se non intervenissero cause, che abbiamo ragione di considerarc pcrturbatriei, perche non si verificano che per sistemi in 41
F.Severi
- 6 -
certo senso particolari. La differenza () = ~ + ~
,fra dimensioni effettiva e
virtuale, ohiamasi sovrabbondanza del sistema. Se
~ = ~
=0, 11 sistema chiamasi regolare. In verita CASTELNUO-
ENRIQUES riserbabo questa denominazione al caso 0-=0, j=O, mentre noi annoveriamo fra i sistemi regolari anche i eistemi speciali per cui
~=O,
perche l'irregolarita daR sistema
e essenzlal-
mente fenomeno di altra natura. Finora abbiamo considerato sistemi irridueibi11 privi di punti base; pero quanto precede vale anche quando C possiede punti base assegnati, con Ie lore mo]Bplicita effettive, come h~nno
provato gli stessi CASTELNUOVO-ENRIQUES; e come del resto
risulta subito dal fatto che una trasformazione birazionale opportuna di F pub mutare i punti base in curve eocezionali dell a superficie trasformata (senza altre eccezioni alla biunivocita della corrispondenza); e, dopo cio, del dato sistema ne deriva uno irriducibile, senza punti base, per cui vale i1 teorema R.R. M~ gli stessi Autori ai sono apint1 anche, .in taluni casi, aIl e
mol tepliai ta virtuali, diverse dalle effettive, sebbene non i n modo completo, perche sarebbe lora occorso i1 teorema R.R. pei sistemi riducibili, che non era ancor noto in generale. Ad ogni modo, quando il sistema possiede punti base assegnati, ed r;> 1, e la generic a C
e riducibile,
essa
e non
s i ngo-
lare t fuori dei punti base ed i1 suo grado virtuale uguaglia il grado effettivo, oasia i1 numero dei punti variabili comuni a aue curve variabili nel sistema.
II genere virtuale e i1 genere
riemanniano di C. Allorche vi sono punti base, pub darsi che la sovrabbondan£3 dipenda soltanto dal fatto che non sono indipendenti Ie rel azi oni lineari esprimenti 11 passaggio delle curve del sistema pei punt! base. Se il fenomeno derivasse sempre soltanto da cio s arebbe facile penetrarne l'esistenza. Nel piano, dovQ, per eseer p
g
= 0, i sistemi l i neari di curve son sempre non speciali , 42
l!'.8everi
.. 7 -
si hanna in proposito esempi banalissimi. Coal un fascia di cubJ che e11ittiche j=0,r=1,
~' =1),
e gia
un sistema sovrabbondante (n=O,p=1,p g =0, perche uno dei punti base e conaeguenza degli 8
rimanenti, che sonG arbitrari. Quando sul fenomeno della sovraiDbondanzaconf1uiscono
al tre
circostanze (diverse dalle eventuali relazioni di dipendenza fra i punti base) non a
i~
,
e facile
divers a da
quella~
e quindi a cesi a interpretare 't g
e stato
immediata, offerta dal1a definizionc,
b~ =0 (superficie regolari) tutto ridu-
Se p =p
studio generale
dare un'interpretazione espressiva
,
come ha fatto ENRIQUES in
tentato da CARLO ROSATI
[12] •
[14J '
Uno
ma can
risultati di non grande ri1ievo.
Forse oggi la conaideraziono delle forme differenzia1i raziona1i (di 1a e di 2a specie) annesse ad F, consentira d'andate piu oltre.
Cosl p.es. da1 COlleet .. to di funzione razionale residua d'un integrale aemplice di 2a
[15J ,
r
risulta che e il numero (massimo) degl 1 integrali aemplici di 2a specie di F una specie 9.vente C come curva polare
cui combinazione 1ineare non ai abbassa di specie; e si scrivolio anche, ma non s'interpretano facilmente, taluna relazioni
algc b ri~
che razionali intere fra Ie funzioni residue dei predetti integrali e Ie funzioni integrande degl'integrali semplicLdi 1a spocie [16] , ahe sana in generale q indipendenti, ma si riducono a
S.I
~er
1a C cui s' allude: il che fa presagire qualcosa di anal
0-,
go a1 proceaso riemanniano per contare Ie costanti d'una iunzione razionale sopra una curva. Nel caso banale dei sistemi lineari di curve piane, con punti base assegnati (con molieplici ta virtua1i uguali alle effettive) la semplice considerazione della serie caratteristioa mostra che la sovrabbondanza uguaglia l'indice di specialita della s eric stessa (osservazione di C.SEGRE): Ricerche approfondlte sul teorema R.R. pei sistemi di curve piane, anche in
r~porto
line~ :c:L
a1 punti base e ai caratteri
virtuali (Ia cui origine risaIe al geometria italiano JUNG) son 43
F. Severi
- 8 -
dovu.te a CASTELNUOVO
[17J • o =
A questo punta erano Ie coae, nei riguard1 del teorema di H.R. sulle superficie, a1 principi del aecolo. Mi preoccupai anzitutto di pervenire al risultato di CASTELNUOVO S'~~, can un procedimento meno
~cohinoao.
II risultato fu consegtito
con una semplicita.,. cha sembre anch'oggi irriducibile, nella Nota lincea del 1903
QoJ
e da allora questa fu la d1mostraziono da
tutti adottata nelle esposizioni sistematiche della
geometri ~
algebrica it aliena (ved. p. es. in proposito i l Cap.. VIII di
[H3]
relativo al teorema R.R. sulle superficie). I I concetto di tale semplificazione 8i delinea in due paro-
Ie. Assumasi a modell0 proiettivo di F una superficie d'ordine m, can singolarita. ordinarie in S3' Si dimostre prima, agevolmente, che sulla ourve a, seziona di F con una generica superfi0. . , Ie Buperficie d'un dato ordine arbitre cJ." e 1f, I , d' ord;ne ~ t
&2. paasanti pel gruppo H dei ni di
y
nodi di C, che sono leintersezio-
con Ie linea dappia di F, segano au C, fuori di H,
una aerie lineare complete. Si osservi in secondo luogo che, com'e ovvio, se P. e abbastanza grende, Ie superficie d'ordine m-4 passanti pel gruppo H contengono in conseguenza tutta la linea doppia di F (anche se
e riducibilel).
D'altra parte tali superficie segano su F, fuori
della linea doppia, il sistema canonico (impuro) conclude che Ie K segan sistema lineare
au
e
IK/ ;
eppero si
una serie lineare completa. Per il
lei e dun que 11=0.
Da cio, facilmente, tutto 11
resto. Devo segnalare inoltre che recentemente (1940) [34J ENRIQUES ha data una nuova ingegnosa dimostrazione del teorema R.R. sulle sup)erficie, per Ie curve irriducibili, sostituendo al lemma proiettivo del 1903, un lemma invariantivo per trasformazioni birazio44
F.Sovcri
- 9 -
naIl. Queato modo di
t~ttare
il
te~rema
R.R. trovasi diffusa-
mente, con mol. t i complementi? nell' Jpera f?~
.
Per ulterio~i rice~che che m'apparivano nel 1904-05 urgenti ed essenziali (teoria della base, teoria dei siatemi algobrici irriduc1bU1 non lineari di curve 6U F, ece. , llii proposi Buccessivamente i seguenti problemi in relazione al teorema R. R. sulle superf1cie; e Ii sciolsi nel 1905 , come passo ad indicaro breVa'mente. ~)
Teorema R.R. pei sistemi lineari di ourve comunque ridu-
cibili au F, in relazione altresl
am
caratteri virtuali delle Joro
curve totali (e cio anche se vi sono punti base asssgnati con Inoltg plicita virtual1 diverse dalle effettive
0
addjrlttura virtual-
mente inesistenti). Per questo occorre preliminarmente possedere i caratteri virtuali (grado e genere) d'una curva C qualunque appartenente ad I
Tali caratteri erano stati definiti da CASTELNUOVO per
Ie curve piane
[17)
e da ENRIQUES
sopra una superficio qualun-
que ~2J e compiutamente in (19] • n grado virtuale e caso particolare del numero virtuale d· intersezioni di due varieta di dimensions complementare in tAn:a. varieta ambiente (da considerarsi qualunque sieno i particolari rapporti fra Ie due varieta, anche se in tutto
0
in parte coinci··
dent1), quale introdussi dali 1904 in poi (ved. 18 eitazioni a pl:;I.g. 17 d1 ~8J). Rinvio in proposito alIa ma piu reeente trattazione dell'argomento [20] ; a.rgomento che
e essenzia1e
tener
presente per Ie questioni inerenti al teorema R.R. sulle varie-!;a e che percio segnalo, presentandosi ora l'occasione. 11 genere virUuale
e caso
part1co1are del genera aritmetico
virtuale d 'una varieta qualsiasi entr~ una varieta ambiente
45
[2fl;
- 10 -
F.Severi
altro argomento che bisogna tener presente per il teorema R.R. sulle varieta.. Rimando, per tali concetti (per ora, e per i1 seguito, dove trovano applicazione al teorema R.R. sulle variets.) aIle Memorie citate, sanza arrestarmi dettagliatamente su queste nozioni, la cui circostanziale introduzione porterebbe via troppo tElllpo. BaaU dire che l'eapressione (3) del teorem§ R.R. sopra u.na superficie resta immutata per i sistemi cosi generali come quel-
l?2J '
Ii 00 pra indicati occorrendo sol tanto d' interpretars virtualmente i caratteri n,p, che compa.ono in (3). Debbo aggiungere aha un caeo parUco1are del teorema R.R. per i sistemi lineari trovavasi gia in CASTELNUOVO-ENRIQUES
l23J ,
come lemma ad al tri importanti scopi di quella celebre Memoria. Aggiungo infine che i1 teorema R.R., espresso mediante i caratteri virtuali di C, vale non soltanto quando C e costituita da componenti semplici, ma anche quando fra Ie componnnti ve no sono tal une multiple. In particolare vale se C e una curva irriducibile contata un certo numero di volte. Questo dimostrai sol tanto pitt tardi (24]. I1 teorema r'\ggiunge cosi 1a pitt vasta genera1ita e non ha pitt nessuna apparente parentela col mezzo e1ementare (serie caratteristica) con cui era stato inizialmente conseguita l'induzione di NOETHER. £) Me quanta p~ecede non bastava agli scopi che mi pro ponevo. Un passo ulteriore divenne necessario non appena i1 campa delle curve d'una superficie si amp1io colla introduzione delle curve virtual! [25] • Se C=A-B e una curva virtuale, differenza di due curve effettive A,B (semp1ici
0
multiple), introdotti anche per C i ce.-
ratten virtuali n,p, sL pone 1a questione di sapere se C e linearmente equivalente ad una curva effettiva D, oesia se osiste una D tale chc Asia lincarmente equivalente a B+D; e in quest'ipotesi occorre va1utare 1a dimensione del sistema 1ineare 46
F.Severi
- 11 -
lei '
cioe di
IDI •
Orbeme, una condizione d'esistenza della
De
che 11 secondo membro della (3), dimensione virtuale r di 10 1 sia
~
t
0, ossia:
n -
(4)
p
+ Pa + 1 - j
~ 0;
dopo cio, la dimensione di \el = IDI soddisfa ancora, naturalmente, alla (3). L'intero j e l'indice di speci~ita di D, ossia di 0:
e insomma
il numero delle curve effett1ve linearmente indi"
pendent1, che appartengono a1 sistema IK-A+BI • Se per F e Pg=O risulta per ogni C v1rtuale, come per ogni C effettiva, j=O. La condizione r ~ 0 e sufficiente
perche esiata effet-
tiva D s: A-B; ma essa non e sempre necessaria, perche, se esistc effettiva D
-= A-B,
i caratteri virtuali n,p di D son bensl.
identici agli analoghi di A-B e cosl j e il medesimo, in quanto
K-D= K-A+B; Ie due curve D, A-B hanno cosl la stessa dimensione virtualer; pero potrebbe darsi benisaimo che D avesae tale sovrabbondanza da rendere r negatival La condizione r ~ 0, ancorche soltanto sufficiento per l'esistenza della 0 nel campo effettLvo, e importantissima e ricca di conseguenze, sia nella too'ria della base, come nella teoria dei sistemi irriducibili non lineari di curve di F. Ragione per Is quale stimai opportuno piu tardi
[26J di chismaro
aritmeticamente effettiva (ma d'ora in poi diro, piu propriamente, numerativamente effettiva) una curva virtuale C avente
r
~ O.
Una condizione, non piu numerativa, rna geometrica, porche A-~ ~ia
linearmente equivalente ad una curva effettiva, fu da me
data in una Nota del 1908 [27J e piu dettagliatamente a pag.150 del II vo~ume delle Lezioni
L28] •
[18] ,
gia in gran parte stampato
Ecco la condizione cui alludo:
Anzitutto si dimostra che una curva virtuale C puo eempre sostituirsi linearmente cnn una sua forma normale A-B, ove A,B 47
F.Severi
- 12 -
oono curve generiche di sistemi lineari
irriduc~bili.
privi di
punt1 base, regolari, non speciali, di dimansioni comunque grawll.., in part1colare di dimensioni ~ q. Allo:ra (ved. anche [48 ,n. 9J ): Condiz1one necessaria e sufficiente perche esista una D effcttiva linearmente equivalente ad A-B, e che i l gruppo AB sia contenuto parzlallimente nella serie caratteristica completa 0 completete IA21 di A. Le condizione enunciate equivale poi a quest'a1tra. Oc-
corre e basta che i1 sistema. IB" aggiunto a B 8eghi su A una serie speciale. Sa s ~ 1 e l' indice d1 speciali ta. di questa
serie, le dimensione di IA-BI e s-1. De questo teorema segue d1 nuovo, come ovvio coro11ario,
la cond1zione numerativa r ~ 0, indicate sopra. Dei problemi analogbi, riguardant1 1'equivalenza di enol campo de11'equivelenze algebrica, trattero piu innanzi. £)Mi trettengo prima sull'indicazione di casi molto gene-
rali in cui la (3) puo trasformarsi in un'uguaglianza, ossia r =
r
ed il sistema ~ percio regolare.
Ie',
Riferisco anzitutto sulla regolarita. de11'aggiunto ad un sistema lineare lei • L'aggiunto e, secondo la sua definizione, sempre non speciale. 11 primo teoreme in propositQ fu ottenuto de PICARD nel 1905 [29J "par une voie Mtournee" (cioe come un incontro tortuito nello sviluppo della teoria degl'int~ grali sempl1ei di ,a specie sulla superf~cia F). La prima dimoatrazione geometriea delteorema di Picard fu de me data nel 1908 (30] ; ma, mentra 11 risultato di Picard riguardava soltmto l'aggiunto al sistema delle sezioni piane d'un modello • dotato di singolerita ordinarie in 3 3 , il mio procedimento geo.
tel
metrico sboccava nel teorema piu generale, relativo ad unsiste-
lei '
me lineare virtualmente privo di punti base, individuato da una C atta a variare in un sistema continuo, che non foase un fascio irrazionale.
48
.. 13 -
]!I.
Nel 1947 (31) pervenn1 ino1tre alla regolarU~ di
leJ ,
Sever!
(0'1
aggiunto
un sia pure riduc1bile, 1ndiv1duato 4. una C connessa, anche a componenti multiple, avente almeno una componente irri-
ad
.uo
ducibile C (8 prescindere dall'eventuale coefficiente di o moltepl1citll) 8 BM~~ ~~~ regol.are. In particolare dunque ba.etaya che una componente Co foaee ~~}}U. a \Ul aiste= c.ontinuo diverso da un fascio irrazionale. Questo rt.Ql~6to fu estes del mio disoepolo FRAlfCHETTA [32] , nel 1949, ad una
e
Uvirtual-mente connesea" con una componente almeno come sO}1Ea. Infine 1 'af tro mio discepolo ZAPPA (33] nel 1943 diede una dimostrazione topologiea del teorema 41 Picard per una superfio1e dello spazio ordinario, ammettente Ull'opportuna degeneradone in un siste-· ma di piani. Il massimo avvioinamento al teorema, analogo a quello VQlevole sopra una curva, circa la non special1ta d'ogni serie d'ordine n> 2p-2, fu da me ottenuto 80pra una superficie col teorema seguente [35,36,31,28] : E' non speciale, regolaref ogni sistema line are completo lei , sopra una superf1eie irraz10na~, individuato da una C irriducibile di genere virtuale p e di grado virtuale n>~ (p-1). Ecco ora al tri 8spetti espressivi del teorema d1 regolar:i ta dell 'agg1~to, consegui t1 prima che 81 conoscesse questo teorem:a. Ogni multiplo abbastaaz8 elevato del sistema delle sezioni
piame e iperpiane della F (reso completo se non 10 ~; ma 10 e sempre per multiplo elevato, quando F b non singolare) e regolare (CASTELNUOVO [13] , 1897.), Se un sistema lineare, irriducib11e, privo di punti
leI e
base e d1 curve fondamentali, i sistemi Ic+c~ , 10+20" , ••• segano sulla generica 0 serie complete non speciali (sono pereio regolari) (ENRIQUES) [19] , 1896).
Dobbiamo passare ora a questioni piu elevate e complessc, concernenti l'eguivalenza algebrica, introdotta in miei lavori 49
F. Severi
- 14 -
dal 1904
in poi [37,38,39J • Rinvio sopratutto ai pia recenti
[28,40,41J.
La totalita delle curve algebriche virtuali sopra
una superficie F costitUisce, rispetto ella somma, un gxuppo abeliano. Entro questo 1e curve virtuali del tipo A-B, con A,B curve effettiw d 'un medesimo sistema algebrico irriducibilc, formano un
sottog~po
=
G (gruppo de1l'equivalenza algebrica). Due
=
curve vil'tua1i C,D di F dioonsi algebriQam8!:l.te eauiya) anti, e si
scrive C D 0 C-D 0, se 1a curva v1rtuale C-D e 10 zero dell'equiva],.enza algebrica, cioe slessa ell~le·(1) ad una C\llVa del sottogruppo G.
e,D
In partico1are, due cur.ve
co irriduci bile di curve (effett:ive
dello stesso sistema algebri0
virtuali) son algebricamen.-
te equivalenti. Un sistema (gruppale) d I equivalenza algebr1ca e un insieme
(non necessariamenta algebrico
0
dimensional.e) di curve virtuaJ.i
a due a due algebricamente equivalenti ad e individuato da una qualunque C di esse. Lo indicheremo con «C». 31 puc anChe considerare un sistama gruppale di eguivalenza lineare, chao e l'insieme di tutte la curve virtuali linearmente equivalenti ad una data C: 10 indicheremo con (C). In particolare, un sistema algebrico irriducibile sistema (algebrico ) d'equivalenza algebrica. dicesi completo se non
e contenuto
e un
Un tal siatema
in uno pia ampl0, la cui
curva generica dia 18 curva genarica del precedente quale speCializzazione(2). Non e detto che un sistema, anche completo~ sia individuato da una sua curva partico1are.
Ineomma, due
1}Ricordo che ho chiamato uguali due curve virtuali C-D,C'"D' quando le curve effettive C+D', C'+D sono identiche.Si scrive ciOe
C-D=C'-D' tn luogo di C+D'
= C'+D.
2) Proiettivamente, i1 sistema pua dirsi completo se non nuto in uno pia ampio di curve delle steeso ordine.
50
e conte-
F. Severi
- 15 -
sistemi irriducibili, completi nel senso predetto ( di curve irriducibili
0
riducibili
0
virtuaLi), posson avere una curva
particolare comune, senza cOincidere. Essi, comunque, son contenut! nelPunioo Bist~ma dlequival..enz~ al.geb;r.:l,.oa da questa individuato. Per individuare un sistema algebrico irriducibile completo mediante una sua curva particolare (l·individuazione con la generios e ovvia) bisogna che la curva particolare sia definita qual e sp&oializzaJZ.i.one (C~ di aoc\1DlUl..a~;Lone 0 pos.iCUl~a
zione limite) della curva generics del siateQa; e questo richiede Ie conoacenza del sistema, prima della Qonaiderazione delle sue ctU'Ve ·particolari ll •
In taluni casi, che vedremo, l'indivi-
duazione e tuttavis possi bile attraverao una curve. B particol.are, quando la determinazione della curva puo eeaere compiuta, per cosi dire, staticamente, senza cioe
ri~Brdarla
quale limite
d'un'altra piu generale. Cio accade sempre aLlorche si tratta ai determinare quei particolari sistemi algebrici irriducibili comp1eti, che sono i sistemi lineari completi, perche la curva totale con cu.i. i1 sistema s'individua (attraverso il noto teorema d'esiatenza e d'unicita) puo esser ben definita soltanto dall'assegnare le sue componentt, con Ie rispettive molteplicita, ed i punti baae, eventualmente con molteplicita virtuali diverse dalle effettive.
Questo invece non basta sempre nel caso
di sistemi non lineari. Un esempio concreto [35,36J chiariace questa delicata questione.
Sia C una
qu.~artica
piana con tre modi. A1 ,A 2 ,A 3• Se
lei '
si vuol.e un sistema lineare che contenga C con uno dei tl'e modi assegnati, mentre gli altri due si riguardan virtuaJ.mente inesistenti, il noda assegnato A1 , non PUQ esser fisso, in quanto (teorema di BERTINI) una curva variab1le in un sistema line are non puo aver punti multipli variabili. 81 hanno cosi tre sistemi lineari distinti,
00
11, c1ascuno dei quali
51
e
indivi -
F.Severi
- 16-
duato da C col nodo assegnato A1
0
A2
0
A3 • La curva C non
e
comune a.i tre sistemi, perche per detexminaJ!le i1 s1etema bisogna considerarla associate. al punto base fisssto. Ai fini del teorema d'unicita, Ie. curva non eaiate ahe sotto questo angolo visuale. Se invece ai considera C nel quadro dei sistemi irriducibili non 1ineari. ai pub tissare ahe uno dei nodi di e aia assegnato, quale virtuaimente variabilee gii aitri due qual.i vi:Mual mente inesistenti. Allora C individua i1 sistema irriduc!bile
2J
,Q)
13, di tutte Ie quartiche irriduciliili
d:i
genere 2,
qualunque sia il nodo che Ie ai assegna. Nei due casi considerati i sistemi (l1naere e algebrico non linaare' son individuati da una loro ClU"Y'a to tale , per la
e stato
quale
possibile fissare a priori le ooD4istoni deterrDi-
nanti. Considariamo inoltre Ie quartiche piane con 3 nodi. Esse distribuisconei in due diatinti aistami irriducibili non ri
CX)
11
:
line~
uno costi tuito dalla quartiche spezzate in una coni.ca ed
in una retta e l'altro Ii) razionali.
dal~
quartiche (generalmente irriducibi-
Ogni quartica spezzata in una cubica con un no-
do e in una retta (sono in tutto due sistemi.
Per~
CD
10) apparti ene ad ognuno dei
quale curva totale del primo i suoi tre nodi
allineati son limiti dei tre nodi della generica curva variabile e il quarto nodo apparisce ex novo al limite; mentre quale
CUl~a
totale del secondo i limiti dei nodi della cu.rva variabile sen sempre il nodo della cubica e due dei tre nodi allineati. II terzo di. questi apparisce ex novo al limite (c;io rerche, secondo un principio di NOETHER.ENRIQUES, topologicamente te t
eviden~
ved. [28J , tina curva irriduci bile non pUG aver per limite
lUla curva sconnessa). Come a1 constata, anche in questi casi i due sistemi son individuati da curve totali, pera completam.e nte diverse. Lo stesso avviene nella genera11ta dei casi, almeno quando i1 sistema 52
- 17 -
da
individuarsi ~
F. Severi
nello spazio lineare dove pub rappresentarsi
(con una variete. d1 punti) la tota:Lite. delle curve di quell'ordine, giacenti nella spazio lineare d'appartenenza della F, passa per l'imagine della data curva totale con una sola fa1da analitica 1 ). La questione generale si PUQ porre cosl.
E' possibile, per
ogni data curva C irriducibile, non singolare, fissare un numero finito di caratteristiche numerqtive e geometriche, in guisa cho riguardan~C,
associata a quelle caratteristiche, quale curva
totale d'un sistema irriducibile completo, questo risulti individuato? Nei casi che dipoi indicheremo la individuazione con una curva particolare sussiste senz'altro.
1)
Qui ai presuppone la rappresentazione dell'insieme delle curve 0 delle variate. algebriche ~, di dati ordine m e dimensione k d'uno spazio S , coi punti d'una variete. algebrica (generalmente riducibile)rappartenente ad un conveniente spazio lineare, dove si posson assumere a coordinate d1 punto p.es. quelle che qualcuno chiama (con lieve imprecisione storica) ~ dinate di CHOW. Nel fat~o la forma associata (benche non con questo nome) (considerata per la prima volta, sotto un aspetad una data to ormai abbandonato, da BERTINI, aIls fine del secolo XIX; ved. anche in proposito (42J ) , fu indicata nel 1915 (sotto l'aspetto attualmento usato) nella mja ~remoria (43J • E' la forma associata, in coordinate grassmanniane degli S k 1 di S • Espri~ mendo Ie coordinate grassmanniane in coordinate-di punti 0 d'iperpiani si hanno due forme associate duali, Ie prima delle quaLl. e la zUgeordnete Form introdotta de CHOW eVAN DER WAERDEN nel 1937, cioe 22 anni dopo (44J. A questi Autori spetta tuttavia la prima esauriente dimostrazione algebrica del fatto che la to tali te. delle. ~ e algebrica, proprietA di cui io avevo prima indicato Ie linee generali di di~ostrazioni algebric~geometriche [37,38,39J • Ved.pure l15].
V;
53
F.Severi
- 18 -
AlIa questione generale
e stata
data
g1~
risposta aff cr.: ...-
tiva nella mia Memoria [55] del 1916, ma un'u1teriore e1aborazio-
ne critica occorre in proposito, perche in [55J al fa uso del teorema di comp1etezza, i1 quale, come poi dlremo, e so ggetto ad ipotesi, che furon poste in ovidenza plu tara! (1921). Fiasato comunque il signiflicato d'un eventuale teorema generale d'unicita dei sistemi irriducibili completi 41 curve
C, quale necessaria premessa ad un teorema R.R. relativo a tali
e la
sistemi (al10 stesso modo che i1 teorema di unicita
premes-
sa del teorema R.R. nel dominio dei sistemi lineari), varie importanti questioni si presentano in proposito: !) Qual'e 1a dimenaione d'un sistema algebrico oompleto
(sottintendo ora ed in seguito di curve effettive, i1 passaggio alle curve virtuali richiedendo soltanto l1evi adattamenti del processi dimostrativi e del linguaggio) in funzione dei caratteri virtuali n,p,j della curva generica del sistema
0
di una
curva particolare, che sia da quei caratteri definita quale curva totale? Questione te
basil~: ,
di associare a1 ~)
te~rema
anche perche la sua risposta permetd'unicita un teorema d'esistenza.
Si puo assegnare, mediante i caratteri virtuali d'una
curwa virtua1e C=A-B, qualche condizione perche C eaista nel campo delle curve effetti ve rispetto all' equi valenza algebrica ossia affinche eaista qualche curva effettiva D (algebricamente equivalente a C) tale che A 3Ie B+D? £) Esistono condizioni siffatte che una curv~ particolare
(totale) d'un sistema irriducibile cornpleto i1 sistema stesso?
poe~irtdividuare
Cominciamo a rispondere all 'ultima questione £) , che, ~ome
dicevamo,
a,
in un carto senso, pregiudiziale.
Per riferire il risultato piu conclus1vo, oocorre introdurre la nozione di curva emiregolare sopra una superfieie F [36J •
54
F. Severi
- 19 -
De!!niamo au F come curva emirego1are C una curve. irrijUc1bi19_, priva 41 punti multipl~, su cui i1 sistema Caftonico impurolKI stacchi una serie lineare comple ta (per la quaJ..e dunque sia 11 =0). Se p =0 l' esse:. '; emiregolare, per una curva C, equivale Ell fatt" g che le. sua serie caratteristica (definite. indipendentellente du un 8ia~ema lineare oui C appartenge. [37] ) e non speciale. Una Ceo non e emiregolare in se, indlpendentemente cio¢ del sistema linee.re lei da essa individuata, mantre ~ C e regtlare soltanto se e generica entro un si.ptema oomple~o 101 ~ogolar.. Le curve regol8l'i sono particolar1 curve eJll1l"egolari. Eeoo ora un teoTema [28, pp.95 e ,o~ , dhe ~1aponda conte. poraneamente alle questioni a}, c): Una curva emiregolare C, di genere p e d~indice di Qpecial,1 ta j. a serie caratteristiea effettiva (d'ordine n>O) , tracciata sopra una superficie F di genere geometrico p , incii viiJ,\la un sistema irriducibile completo 1a dimensione R ::: n
11 sistema
to}
~
p + p
g
{c}
g
di curve analoghe, avente
+ 1 - j
passa per C con una felda quasi lineare 1 ) (addi-
lC}
rittura line are sopra un conveniente modello di e la serio caratteris.t ica di su C e eompleta~ Gli st&ssi fatti si veri .. ficano namralmente in relazione al1a generica 0, ma anehe in re-
{o}
lazione ad ogni altra C irridueibile, priva di punU multipli, del sistema, che Bia emiregolare come quells di partenza.~1 piu quetta tal C ha 10 stesso indiee di specialita j di quel1a da cui si e presQ le mOsse.
- ------------
1) Una_falda analitiea lineare e una falda analitiea 001: d 'ordi ne invariantivo relativo 1. Essa e caratterizzata dal fatto di potersi porre in evidenza pseudoconforme biunivoea senaa ecceziJ~ ne con l'intorno d'un punto nella spazio proiett1vo eompiesso S . Una falda quasi lineare e la trasformata pseudoconforme d'Wla falda line are (18, 36J • 55
F.Severi
- 20 -
Se ealatl:; n:::l sistema una curva non
emiregola.re..,-priv~
punti muJ_tipli, su esse. la eerie oarattc.r:i;J:!tica di
C
di
e incomple-
tat
Tal un a not1ztc complementari sono necessarie per apprezzare il valore di qUGsto teo-rema. In primo luogo la serie caratteristica su C PUQ considerarsi, in virtu della mia Nota
[37J
e quella
cho
del 1904, indi-
pendentemente dalla sorie caratteristica di un sistema continno cui C appartenga, l'ultima delle quali serie
e
ivi segata dalle
curve del sistema iniinitamente vicine a C. Questa seconda sorie
e contenuta totalmente in quella (completa) definita in [37] (C0140 e ivi dimostrato) cd e lineare, almeno quando 11 sistema continuo e una falda quasi linears di origine C. La serie carat-teristica d lun sistema completo, sulla cur'vu. generica del medesimo,
e completa,
calvo sistemi algebrici par-
ticolari (0 curve particolari ad essi relative). II teorema di completezza fu enunciato da ENRIQUES
[46]
con un tentativo di
dimostrazione, che fu accettato come esauriente da tutti i
culto~
della geometria algebrica ( di qualunque scuols) fino al 1921 quanio na
~i
[47J ,
sccorsi chtessa prescntava una grave sostanziale lacuaffacciando dipoi i l dubbio
o refutato tentativi mioi
0
di
alt~
[48J
(doPo aver criticato
in proposito ) che i1 teore-
ma di completezz8 non fosse vero nella sua piena generalita c ind! cando qualche caso dteceezione.
Incitai allora i1 mio diseepo-
10 ZAPPA a cereara sulle rigate esempi pi'll. espressivi. Al cho 10 Zappa riuscl [49].
Qui, rinviando par pi'll. circostanziatc no.
tizie in proposito alIa mia opera in corso di stampa
[28] ,
mi
limitero ad affermare cheil teoroma di completezza fu da me dimostrato POINCARE'
[47J
[50J
sulla base di ~ risultat1 trasccndento di per Ie curve
0
vi; e che 1a mia dimostrazione geometrico, quando p ::0. g
i ~istemi numerativamente effetti~
e osauriente
nol dominio algebrico-
La questione generale di dimostrare i l
56
F.Severi
- 21 -
teorema per p
g
> 0,
restando nel campo algebrico
0
metrico, a tuttora insoluta ed a molto difficile.
[28J
algebricQ;-geoNell'opera
il teorema di completezza e conseguito con mezzi algebrico-gc£ metrici uni"\;i ad induzioni topologiche, che giustificano un pr'incipio di spezzamento di B.SEGRE (generalizzante quello di NOETHER-ENRIQUES), il quale equiyale in so stanza al teorema di completezza. Nell'opera
[281
la relazione (5) e il teorema di unicita
sono estesi anche alle curve irriducibili con nod! e e11e curve riduci bili. Se 1a generic a
e del
sistema
{e}
individuato de una curva
emiregolare (irriducibile non singolare)
individua un sistema
line are completo 101 -necessariamente contenuto in (o} - di dimensione r, il siBtema {o} si ripartisce in ooR-r sistemi lineari
leI •
r-1=n-p+p -j-
I e I su e~
r
Si vede subito allora, attraverso l'espressione della dimensione della serie caratteristica di
b
che R-r=
serie caratteristica di in relazione a
lei
Dunque il sistema consta di
00 q
C
~' =
€I
b =q
siccha
quando la deficienza della
raggiunge"il msmmo q. In tal caso
tt
{e}
=0, ossia
le/ e regolare.
individuato da una curva regolare
sistemi lineari.
Si riconosce anche facilmente
(merca la nozione di serle caratteristica d'un sistema continuo
[37] ,
se trattasi di sistemi irriducibili,o con altre elementari
considerazioni, se trattasi di curve riducibili la massima
l~~~a
[28J ) che
q
!
dei sistemi lineari contenuti in un sistema
irriducibile completo di curve su F. Un altro teorema di unicita e di completezza era stato precedentemente conseguito in una mia Nota del 1906 [5y , dove 81 porta l'attenzione
110n
pin soltanto sopra i sistemi algebrici
irriducibili di curve, ma anche sui sistemi algebrici irriducibili, aventi per elementi sistemi lineari completi su F.
57
lei
tracciati
F.Seve-rj
- 22 -
G1a l'Autore aveva avvertito, fin dalla sua prima nota del 1904
[37J sui sistemi non lineari, che un sistema irriduci-
bile completo
{e}
di curvo· mentre evidentemente contiene 11
sistema lineare co;m p1eto puo non contenere tutto
Je 1 individuato i1 sistema lei,
dalla sua curve. generica , individuato da una cnr-
va particolare, e questo divi ene cosl, secondo 190 terminologia dell'Autore, esorbitante [31~52f28J • I primi esempi in proposito furono dati da ROSEnBLATT
(53] ,
de. ALBANESE (5~ e dall 1 Aut 0-
re (nei lavori e nell I opera citata in [55] il fenomeno della esuberanza 10 mano quel sottosistema di
lineari
IeI •
[leI)
leI
Da notarsi al tresi
Ie I 0 {e} , he.
quando i l sistema
che appart1ene a
(el •
sione maggiore del generico Denoteremo con
[?8J '
).
per dimen-
un sistema irr1ducibile d1 sistemi
Orbene, i1 teorema d'unicita e d'esistenza, cui alludevano
e questo:
Su F, un sistema lineare completo
fel , virtualmentc
privo di punti base, individuato da una curva virtuale
e
nume-
rativamente effettiva, individua alIa sua volta un sistema ducibile completo fettive.
{lei}
~·-~::tem.i
Esso contiene
irri~
lineari analogbi 4i curve ef-
ooq di tali aistemi.
E' individuato al tresi un sistema irriducibile completo
{ej
'cl,
di curve effettive, che contiene tutti i sistem1 lineari
salvo Ie curve di quelle specializzaz10ni del generico esorbitano da
lei ,
{ej •
Ie' ,
cne
L'insieme (apert6) delle curve dtune. apecializzazione di cha eeorbitano da Sia
H una
lei individuato
{ei '
8i dira una ere.e ta di
[e} ,
cresta di
proveniente dal sistema lineare
da una curva irriducibile
II sistema lineare co.lpleto
IcI , contenuto generico pi • D'altronde
generico
variabile entro quella di
lei
in
Cnon
/'01 • essendo
{e}, ha
dimensione
i1 limite di
{e} , e un
{Ic].
singolare di
{c}.
i l limite d. 'Ull
1'> a quella del
lei • in quanto lei e
sistema lineare L di dimensione s?
e minore di r, se no
58
lei
non potrebbe essere
F.Severi
- 23 -
esorbitante.
Pertanto 1a aerie
«1 C come ourvn di
ca~att$r~stic&
L ha J.a dimensione s-1 e come curva di
lal
>
ha la d1mens.ione r-1
)s-1. Dunque la seri.e caratteristica d1 C, quale curva di{C} ,
e certo
incompleta (mentre non
e necessariamente
come curva di
fc} ,
Nwn e natural mente escluso che L sia esuberante in oioe che la dimensione della serie caratteristica di
{c} ,
R).
aulla
C generica , sis anche minere di s-1. Tutto cio abbiamo aggiunto a chiarimento della
d~icata
nozione di sistema asorb1tante, che, a prima vista, apparisoe quasi assurdal 11 teorema d'unicita precedente, relativo alle C numerativament,e effetUve, s t estende in un teorema di uniei ta, che vale anche per le ipersuperficie (varieta pure
00
t£-1 )
di una Vd irri-
ducibile, non singolare, cioe: Sopra una superficie F (0 sopra una verieta irriducibi1e non singolare Vd) un sistema irriduciblle completo ~CI} di
00
q
sistemi lineari di curve (0 risp. d1ipersuperficie) effettive, q essendo la irregolarita superficiale di F (
di'V d ),
0
e
indivi-
duato ds uno qualunque di essi. S1 possono pertanto considerare entro l'insieme di tali sistemi 1e operazioni di somma, di
sot~razione,
il teorema del
resto; ecc. L'1rregolarita superficiale q di Vd fu considerata, dal putato di vista trascendente, ne1 1906, da CASTELNUOVO-ENRIQUES [?6] e dal punta di vista algebrico-geometrico, nel 1906, da me per q=O
(21]
e, ne1 1952, per q qualunque
en] .
EI anche impo~tante il fatto che i predetti aistemi di roq sistemi lineari (su F
su Vd ) 80no birazionalmente equivalenti ad 1ma medesima varieta Wq di Picard [28,p.164] annessa ad F 0 a. Vd;
1a diremo 18 prima. Vi
0
e infatti
una seconda varieta di Picard
considerata da11'Autore ne1 1916 per 1e superficie (6-B e poste:doJ,: mente (1942 [48J ) per una varieta qualunque.
59
Essa possiede q
- 24
in'Legrali selllplid. di 1a specie, i cui peri<>dieon. i.. JIlfldesim, di quelli dei q integrali semplici di 18 specie di F
di Vd • E' aneh'essa una W di Picard, perche la tabella di quei periodi
e una
q
matrice di R!EI.iANN [16J.
0
Parecchi lllatematici ameri-
cani, seguendo erroneamente una citazione di A.WEIL, Chialllano questa seconda Wq varieta di Albanese (ved.p.es. lCODAlRA [60J ), mentra il mio compianto discepolo non si ~ mai attribuito questa paternita. tanea ed
ea
La considerazione di tale variete si presenta sponpriori ovvia, se non se ne approfondiscono Ie pro-
prieta che la diversificano notevolmente dalla prima.
Infatti
il suo vero interesse e dato dal fatto che Ie due varieta di PICARD sono ciascuna una trasformata unirazionale dell'altra e generalmente sono distinte fra loro. cui Wq
= Wq
La ricerca dei casi in
ha dato luogo ad interessanti lavori di ANDREOTTI.
Uno studio completo dei diversi fenomeni, che possono presentarsi nella considerazione dei sistemi completi irriduuibili di curve sopra una superficie, non pub trascurare i sistemi an2
~, cioe quelli che contengono meno che Q)q sistemi linear! distinti. Su tali sistemi sono tomato piu volte, persuaso che, sal vo casi specialissimi, ognuno di tali sistemi equivalente, come totalita. rieta di PICARD V~
CD
~
e birazionalmente
di sistemi lineari, ad una va-
• L'ho affermato nel lontano 1916 (?5] e ne
ho trattato di nuovo hel 1942
[48] ,
giungendo perc soltanto a
porre in evidenza ipotesi abbastanza larghe, sot to; cui il fatto accennato si verifiea. no.
E' carto che casi d'eccezione non manca-
Cosi, se una superficie F d'irregolarita q;>1, contiene un
fascio irrazionale di genere 7r (1
< 1r
i1 sistema irriduci-
bile completo (di grado zero) costituito dalle curve del fasci o ,
e un
sistema anomalo, di dimensione 1 60
< Cl, ma non
e birazional-
F.Sevcrl
- 25 -
mente una
e
V,
di Picard (salvo i1
Jr=1,
c~so
quando il fascia
e11ittico). Questo sistema eccezionale appartiene tuttavia
ad un sistema completo anomal.o enl'r
, che e una variete di
Jacobi (cioe di Picard) costituita da curve spezzate in 7i curve del fascio. Spero di. poter esporre prossimamente Un ulteriore a'Vvicinamento alIa conclusione accennata sopra. ::;:
0
Per completare il nostro programma, nei riguardi del teo'" rema R.R. sulle superficie, ci rest a da rispondere alIa qUG8tiOne b}, come ora faremo [28,p.155] • Esprimiamo anzitutto una data curva virtuale C quale dHfe·· renza A-B di due A,B irriducibili tali che UAl} , nBI} consti·· no ci.ascuno di en q sistemi lineari (sicche A-B risul.ta anche un'espressione "normale" d1 C). Questo e sempre possibile, aggiungendo ad A,B un medesimo multiplo abbastanza alto delle zioni piane
0
LO-
iperpiane di F. Allora:
Condizione necessaria e sufficiente perche C sia algebricamente equivalente a una D effettiva e che nella serie algebrica segata da {B}
su A vi. sia qualche gruppo contenente un grup-
po della serie segata da {A} su A. Se ne deduce p.es. 1a disuguaglianza numerativa (6 )
n-p + p g + 1 - j
~
0,
analoga alIa (4), rna meno esigente, quale condizione sufficiente perche C sia algebri.c(3.mente effettiva, ove n,p, j abbiano, in re·la ziane alIa curva virtuale C, i1 consueto significato. Cio :perc vale nell t ipotesi che F non contenga sistemi irriduci bili anoma.Ii.
Se C e algebricamente effettiva e i1 sistema 61
{let} = {I"l\
F.Severi
- 26 -
consta di ooq sistemi lineari, essa e ancne liuearmente effettiva, ossia nel predetto sistema esistono curve effettive E tali che CitE. La condizione necessaria e sufficiente perche C 5 0, cioe A~
E,e
che nella serie segata da
{E}
su A vi sia qualche gruppo
A2 •
Questa condizione e perc meno espressiva di quella che, nella teoria della base, permette di concludere che C sore dello zero, ossia ).A!' ). E, per [38,28].
(A2J~
A intero
e un
divi-
conveniente
Tale condizione e numerativa, rna sol tanto sufficiente:
[AB] = [B:J,
essendo automaticamente soddisfatta, nel 2 nostro caso, la condizione La conclusione e pero meno
[A J>O.
A =1.
precisa, perche non si puc asserire che
La (6), pur essendo, come S'e detto, meno esigente della (4), permette 10 stesso di condludere che C
e linearmente
effet --
tiva, quando F non contiene sistemi anomali. Le questioni inerenti al teorema R.R. ne! dominio della equivalenza algebrica, sopra una superficie, non si eeauriscono considerando sol tanto l'equivalenza algebrica fra curve (di cui
e caso
partioolare l'equivalenza lineare). Bisogna altresJ. consi-
derare l'equivalenza algebrica tra gruppi di punti di F, di cui
e caso
particolare l'equivalenza razionale [4:] • Circa l'equiva-
lenza algebrica tra gruppi di punti, null'altro c'e da osservarG se non che, per un dato n, i gruppi di n punti di F formano un solo sistema algebrico irriducibile 002n. Sull'equivalenza razio-
§ 4.
nale torneremo nel
§ DEL
TEOREMA
3
SOPRA
UNA
VARIETA'
Per Ie varieta pochi Bono i risultati, rna molti e ti i problemi, che vengono oggi trattati
0
importal~
di cui viene tentata
la soluzione, specialmente con metodi topologici, analitici e d' algebra astratta.
Mi limitero alle origini storiche dei pro62
F.Severi
- 27 -
blami e ai oontri-buti. piu not.voli _~oa. t:L. della .S ()uo1a. i tal.ia.na, rinviando pei contrituti dei cultori d1 pin recenti indiriazi ad un lavoro di HIRZEBRUCH. Per la letteratura relativa all'indirizzo algebrico-geoEetrico, mi riferisco, salvo particolari citazioni, che a mane a
[21] ,
mana si renderanno necessarie, a due mie memoria
lLl1a del
1909 (preceduta da una Nota riassuntiva lincea del 1907) e l'altra del 1951, Ie quali trattano del fondamenti della geometria sulle variet! algebriche; e specialmente delle questioni inerenti a1 teorema R.R. 5i troveranno in esse citazioni di lavori di M.NOETHER, HILBERT, PICARD, PANNELLI, CA5TELNUOVO-ENRl QUES, FANO, C.SEGRE, ZEUTHEN, TORELLI, ALBANESE, B.SEGRE, DE FRANCHIS, ROTH; TODD, ZARISKI, ecc., e dell'A. stesso. Poiche la maggior parte delle ricerche pin recenti circa il teorema R.R. sul1e varieta e sulle co11egate teorie del gonere aritmetico, derivano direttamente 0 indirettamente dalle ricordate memoria [21J, riassumo da queste i rusultati avent i rapporto col detto teorema. Per cib che cone erne Ie varieta a tre dimensioni (ma non soltanto per queste) tengasi d'occhio specialmente la memoria del 1909. S1 hanno anz1tutto due posa1bili defizioni del genere aritmetico dtuna varieta non singolare Vd (ved.anohe in proposi~ to ZARISKI (62) ). 1 a definizione del genere aritmetico, che ho denotato con pdf numero "virtuale" delle forme indipendenti d'ordine m-d-2 a aggiunte alla proiezione generica Wd di Vd , in uno spazio Sd+1' Numero virtuale, che esprimerebb.e cioe il numero effettivo delle condizioni lineari d'aggiunzione, se valesse per e=m-d-2 la formula di postulazione, inerente a1 caso; formula che e invece un polinomio in
e
e , d 'ordine d,
applicabile al problema
sol tanto per Dbastanza alto. II numero effettivo delle forme indipendenti predette e i1 genere geometrico pd d1 Vd. La differenza pd - pd e l'ir~~ -
-
g
g
63
a
----
F.Severi
- 28 -
golarita d-dimensionale di Vd. 2a definizione del g~nere aritmetic~, cba he denotato con d
P • Se: (7)
e la
formula di postulazione (0 funzione earatteristica di
HILBERT), esprimente, per
e
abbastanza grande, il numero del-
le condizioni lineari indipendenti, che s'impongono ad un'ipersuperficie d'ordine dello apazio lineare
Sf
di Vd' volendo che
contenga Vd' aJ.lora
(Ved. aIll.che in proposito MUHLY e ZARISKI [61J ). L'identita dei valori forniti dalle due definizioni d=1,2~
e da
tempo nota per
Nella Memoria del 1909 la stabilii per d=3, insieme al-
Ia invarianza assoluta per trasformazioni birazionali del genere p3 = p3. Nella Memoria del 1909 accennai anche aJ. risul t aadd to anaJ.ogo generale P = p , appoggiandolo sopra varie induzioni.
a
II mio compianto e valoroso discepolo ALBANESE pote poi
estendere la dimostrazione di p; = p3 alle V4 [.59] • I tentati-· vi successivi di lUi, per genera.lizzare il risultato, restarono senza successo. Nella Memoria del 1951 eompii un ulteriore avvicinamento alIa dimostrazione della relazione pd = pd, ridueendola alIa a verifiea dell'espressione del genere aritmetieo pd della somma a di due ipersuperficie, mediante i generi analoghi degli addendi e della loro intersezione. numerativo, come 10
Si tratta di relazioni di carattere
e la
stessa pd=pd; relazioni e veri fiche Ie a qual.i offrono aoltanto difficolta (superate da ROTH e da TODD
per d = 3) di c8.1colo, sconcertanti per la lore lunghezza e 64
F.Severi
- 29 -
asimmetria, se non s'introducouo
algoritmi. Per supe-
op~rtuni
rare questa difficolta, senza lunghi
calco~.
imaginai un moto-
do nel n.3 della mia Memoria del 1909.
[63) ,
che ne preEsso fu ul ten ormente sviluppata da TODD ciso Ie fas1 e giunse alla conc1usione pd = pd. Pero egli ammise a implicitamenteun postulato, che io pmsi in evidenza ne1 n.11 del 1a Memoria del 1951. II risultato generale pd = pd a1 attribuisoe oggi a a KODAIRA [60J • Non ho potuto controllare ogni passo della dimostrazione di questa valoroso Autore; rna qualcuno mi comunico in passato che in una prima trattazione I t Autore stesso avova trascurato la singolare circostanza, da me segnalata nal 1902
[69] ,
cha una varieta costretta a passare per un'altra, anche
non singolare, quando ira Ie diJl1ensioni delle due varieta intercede una certa disuguaglianza, puo avere di necessita punti multipli sulla varieta per cui passa ad eeser percio non singolare, contro la npstra volonta.
Secondo quanta mi si dice questa
svista sarebbestata corretta da un lavoro posteriore di SPENCER
[66J ~
Circa la dimostra13iohe della invarianza del genere p trasformazioni birazionali, ricordo, oltre a quella
d
per
(pog~ata
so-
pra un postulato) che esposi nella Menoria del 1909, l'altra sviluppata nella Memoria del 1951, la quale pero riguarda soltanto Ie trasformazioni birazionali regolari fra varieta non singolarij cosicche resta cosi dimostrata solamente l'invarianza relativa e non quella IEsoluta • Circa i1 teorema R.R. sopra una Vd , nella Memoria del 1951, ho definito la dimensione virtuale i(A) dtuna ipersuperfi-cie A (pura, effettiva
0
virtuale, dotata
0
no di componenti mul-
tiple) tracciate su Vd , mediante l'espressione
S'(A)
=
d
d-i
L (-1) .1=.1
.
~(K) + (-1)
65
r + d)
d. d
F.Severi
- 30 -
ove g(Ai) denota il genera aritmetico (nella seconda 8tcezione) spettante alle varieta virtuali Ai; e ho chiamato regolare un sistema lineare eompleto
IAI ,
non speciale, quando la sua di-
mensione effetUva uguaglia la virtuale. Nella Memoria stessa Per
e dimostrato
che:
e ab bastanza grande, le ipersuperficie di ordine e
dell'ambiente lineare
S~
di Vd segano su Vd un sistema lineare
completo (non speciale) regolare. In proposito si puo anche consul tare MUHL Y e ZARISKI [61] •
e,
Lo stesso teorema vale pel sistema lineare segato su Vd dalle forme di ordine
abbastanza alto, passanti per un I i per-
superfieie irridueibile non singolare di Vd • In particolare, dun que il teorema vale (attesa la genen c1-.
ta
del modello proiettivo Vd della nostra varieta) per le forme
passanti per l'ipersuperficie, irriducibile, non singolare, riempita dai punti d'appoggio delle corde di Vd appoggiate al generieo centro di proiezione di Vd
Eo~ra
un Sd+1; e cio signi-
fica senz'altro che il sistema aggiunto al sistema delle sezioni di Vd con le forme d'ordine abbastanza alto
e regolare.
Da questlultima osservazione (non espressamente indicata nella Memoria del 1951) si puo dedurre una completa dimostrazione algebrico-geometriea delle relazione P~
pd. Mi propongo di
mostrarlo in una prossima oecasione. La complessita del problema inerente alIa ricerca dlun teorema di R.R. del tutto generale (sia pure sotto forma di disuguaglianza), sopra una Vk , e descritta, con qualche preeisazione, ehe potra forse essere utile, nella Memoria del 1951 (n.21).
Aggiunger~
che nella Memoria del 1909 (pure al n.21)
il teoremn di R.R., sopra una V3 , pel sistema aggliunto ad una superfieie F, ehe sia "generiea" nel senso che possegga la i1'1'egolari ta uguale all' irrcgolari ta superfic.iale di V3'
e dimostra-
to sotto forma di disuguaglianza (dimenslione effettiva non minore della dimensione virtuale). 66
F.Severi
- 31 -
Nella Memoria stessa
e dato
pure i l notevole teorema (n .19)
che la deficienza del sistema. canonico eegato au F dal proJll'io sistema aggiunto non supera la somma
dell'i~regplarita
superfi-
ciale e de11'irregolarita tridimensionale di V3 e che esisto no supcrficie F per Ie quali il limite
e raggiunto.
Deriva da cio a che il numer~ degl'intervalli doppi di 1 specie di V3 non supera
Ie. somma delle predette sue 1rregolarita.
Ricordo anche, a proposito di ricerche del tipo indicato, un a.:t tro rec entis simo lavoro di KODAlRA Memoria prel1minare di SPENCER
[66J '
[65J ed
e SPENCER
una
alIa quale ho gia alluso.
§4 IL TEOREMA PER SERrE E SISTEMJ D'EQijIVALENZA (
MZION~L~
)
Che cosa puo direi sopra una Vd irriducibile della dimensione d'un sistema. d'equivalenza di data specie?
Par1eremo in
primo luogo deil'quivalenza razionale, sottintendendo l'attri bu-
to 1). Sistemi siffatti sono i soli che per k
pcsson riguar-
darsi analoghi ai sistemi "lineari II giacche 80pra una Vd qual un.que non esistono sistemi lineari di variata
00
k
,
ma soltanto
sistemi completi razionali. Se i1 sistema d'equivalenza s'intende ne11'accezione gruppale, quale totalita delle variete. virtuali razionaimente equival enti a una data, cha 10 individua, si no n
e ne
e gia
detto che l'insieme
algebrico, ne dimensionale.
La questione dunque sorge soltanto quando ai sistema algeb~ico completo I e non
e necessariamente
!
conaider~
un
di varieta effettive ook; i1 qua-
razionale, mentra
e
carto che le sue
1) Per Ie nozioni qui usate vedi Ie mie Lezioni del 1942 e 1e we Note [40,41) • L'equivalenza razionale nasce gruppalmente dal porre mn una stessa classe (laterale) tutte le varieta virtuali ciasuuna delle quali sia uguale al1a differenza di due varieta del medesimo sistema razionale. 67
F.Severi
- 32 -
variete. sono singolarmente uguali alle vari8ta virtuali d'un sistema razionale
"iY di
varieta ook. Il sistema
e insomma ,
nel
campo effettivo, una delle traccie (complete) delle varieta virtuali
00
k di [ ' •
Il sis·tema
z::
e
individuato dalla generica aua variet~
Wk. Lasciamo ineo1uta 1a questione se ~ possa essere
0
meno
individuato da una variets. particolare (specializzazione della generica) dopo che si sono
f~ssati
questa qUale varieta tota:l.e di
tutti gli attributi di
L! •
I1 teorema d 'unici ta. per 1e famiglie di curve sghell1be tl':?_
vasi (con accenni a1 problema generale) nelle mie Note lineee del 1916
[S5,p.S58]
dove ai dimostra che una curva algebrica
sghemba irriducibile; non singolare, appartiene ad una sola famig1ia di curve analoghe, di uguali ordine e genere. Noi qui ci contenteremo di riferire il teorema d'unicita. soltanto alla generica Wk. Cereare per
I:
un teorema R. R. vuo1 dir~ cercare per 10
meno una limitazione della dimensione di ~ , mediante un'espreQ sione formata con taluni caratteri della Wk generica e della varieta. ambiente Vd • ei riferiremo anzitutto a d = r, k
= 0,
d'equivalenza (razionaie) sopra una superficie
cioe alle Seri o F.
Le vie che 8i presentano pili accessibili per abbordare questo studio sono quel1a topologiaae quella trascendente (f unziona1e). La via strettamente algebrica apparisc$ oggi molto piu difficile. Ecco in proposito i risultati da me ottenuti di recente in vari lavori.
[!iil .
Rinv~o
per tutti all'ultimo di essi del 1942
Si tratta di proprieta iniziali d 'una teoria che ha biso-
gno d 'un larghissimo e non facile sviluppo. Caratterizzazione topologiea: Una aerie d'equivalenza (di gruppi effettivi) eu F
e earatterizzata
dall'essere a circola-
zione lineare nulla, a circola zione algebrica e eiclo-torsio:,e 68
F.Severi
- 33 -
nulla.
(Pel significato delle parole rinvio ai lavori citati ) .
e di
Se manca l'ultima condizione la aerie cioe eaiste un intero conveniente
A. ( ~ 1)
pseudoequivalenz ,,: , tale che i
~ -pI.!
de' suoi gr1ippi appartengono ad una serie di equivalenza. Caratterizzazione trascendente.Una aerie di pSeudoequivalenza
e caratterizzata
dalla proprieta che sovr' essa si am.u.l-
lana identiclmente Ie somme delle forme differenziali lineari e quadratiche di 18. specie appartenenti alIa superficie. E' probabile che Ie. condizione che 18 eerie sia a ciclotorsione nulla possa essere espressa analiticamente dall'annullarsi, sovra Ie serie, delle somme delle forme differenziali di 1a specie. introdotte da KiBLER, in corrispondenza al bigenere della superficie. Comunquet dal teorema d'ABEL ricordato per Ie serie di equivalenza, 8i deduce prima un teorema di R.R. per le serio a circolazione lineare nulla (che si dimostra essere necessariamente algebriche)1). Ecco il teorema: Un gruppo qualunque di n punti su F per 2n
>-
q appartiene
sempre a quSlche serie irridvcibile completa d'ordine n, a circolazione lineare nulla, di dimensione r '?; 2n-q rove q e l' irregolari ta di F ed
e in
ogni caeo r
~
indic.e di specialita del gruppo, che
2n-q+1 t ove i
e definito
e il
pril0a
in rel a ziono
alIa serie d'irregolarita di F (da me introdotta nel 1932
[71,2i[] ).
Se i = 0,
e r=2n-q.
Teorema duhque mol to preciso.
Per ottenere un teorema R.R. relativo alle serie di pseudoequlvalenza bisogna aggiungere Ia condizione dello annullarsi, sopra una tal serie, delle forme differenziali quadratiche, di 1a specie, corrispondenti al genere geometrico di F. 1) Ricordo che 10 stUdio di tali serie era stato iniziato da ALBANESE
{]oJ
sotto il nome di "serie di livello" degl'inte graIi semplici di 1a sp~cie appartenenti ad F.
69
F.Severi
- 34 -
In conseguenza, si ottiene in una prima fase, un teorema
R.R. per una serie "algebrica" completa a -c:i.rcolazione algebr::'ca. E parlo d'una serie algebrica, perche non son riescito a provare che una serie completa a circolazlone algebrica, sia algebrica; ma soltahto a rendere verosimile l'asserzione. Ecco il teorema R.R. cui alludo. Se n e l'ordine ed r 1a dimensione della serie sussistono Ie limitazioni: 2n-p g
ove j
e il
~
~
r
2n- Pg-j
2
secondo indice di specialita del gruppo generico
(numero delle curve canoniche impure K, indipendenti, che 10 contengono). Per le serie di pseudoequivalenza completa 8i ha poi: r
~
2(n-p )+ p g
a
In partieolare, p.es., sopra una superficie F con curva canoniea linearmente aero (com'e la superficie del 4° ordine priva di punti multipli in S3)' si trova r=2n-1. Su ogni tal. superficie questa e la dimensione d'una serie di equivalenza completa, perehe la superficie e priva di torsione [7~. Nulla di generale posso dire su una l1m1tazione eoncerncnte una serie d'equivalenza completa au F, perche non so interpl"13ta.re quale influenza abbia la torsione
0
l'annullarsi delle
EO~ll G ,
nei gruppi delle serie, delle forme differenzlali di KKHLER. Quel cha mi samura certo
e che,
quando n
e grande,
il nu-
mero delle condizioni imposte ad un gruppo generico di n punti perche appartenga ad una serie d'equivalenza completa, eaaendo legato all'annullarsi
d~
carte forme differenziali, il cui nULlero
diponde da F e non dal gruppo, sia un intero Q dipendente soltaLto da F, cosicche i grup.,li di n punti di F ai distribuiscono in oog
serie d'equivalenza di dimenaione generalmente uguala
2n-Q.
70
a
- 35 -
Desidero ora di aggiungerc.
F.Soveri
un esempio, che
att~averso
Ie questioni inerenti alIa serie di equivalenza e di
pseudo~ qui
valenza razionale, a cominciare dalle superfioie, non si eS tl';[riscono nel solo campo algebrico--geometrico dente
0
0
nel campo trascen-
topologico equivalonte, ma che in esse intervongono fat-
ti di natura aritmetica, inerenti alle costanti (coeffici onti), cha entranQ nolla determinazione delle superficio considerat u. Questo fatto non e nuovo, quando si passa dalle curve al1e varieta su.periori. Gia avevo avuto occaaione di osservare che la teoria delle corrispondenze piu semp1ici fra superficie - 1e corrispondenze a valenza zero
impliea problemi aritmetici
(mentre eio non accade per 1e corrispondenze fra curve) [67J • Ecco l'esempio. Sia F una superficie genera1e (e quindi non singolare) del 4 0 ordine in S3'
Esse,
com'~
ben noto
(NOETHER, LEFSCHETZ) non contiene che curve intersezioni compl ete. Vi sono tuttavia almem
00
17 superficie F passanti per una
data quartica razionale C, non singolare di 8) e la generica 2 . di questa F e non singolare. Le 00 corde d1 C segano sopra una tale F, fuori di C, una serie
00
2, di coppie di punti, che Q una
serie d'equivalenza (razionale), appunto perche 1a varieta di
e razionale. Le varieta 00 2 di coppie d1 ottenuta, e dunque una serie d'equivalenza. Nulla
quelle corde
punti
cosi
di ana-
logo c'e Bulla F g
~erale,
che non contiene alcuna C.
e co~
La ottenuta serie diequivalenza del 2 0 ordine, non pleta, perche ha dimensione
r)i
<2n-1,
ed in questo caso
e
2n-1=3.
o
Circa i sistemi d'equivalenza algebr1ca e razionale una Vd
sopr ~
posso dire qualcosa di conclusivo Boltanto nei riguardi
dell'equiValenza algebrica; mentre nei riguqrd1 dell'equivalenza razionale mi limitero ad induzioni in collegamento con risv.ltati di KODAlRA e con que1li di tutt'altra natura, miei e di
71
'f',
F.Severi
- 36 -
HODGE [68] • Induzioni gtuetificate del d~1derio di propagcndare l'importanza di problemi, deghi degli sforz! dei pili v al orosi matematici. Nei riguardi dell'equivalenza algebrica
e acquisito
s ol-
tanto il risultato che la massima infinita (raggiunta) dei si st emi l i neari contenuti in un sistema algebrico irridueibile completo d'ijersuperficie effettive,
e q,
di Vd; che quest a massima infinita
irregolarita superficiale
e raggiunta
pei sistemi ag-
giUhti e pei multipli abba.stanza elevati delle sezioni iperpi m:e di Vd' da R
Pertanto la dimensione R d'un sistema siffatto r+q, ove r
e la
e data
dimensione, espressa dall'ordinario teo-
rama di R.R. d'un sistema lineare generico del dato sistema completo. Nei riguardi dell'equivalenza razionale (a prescindere dal Ie ipersuperficie , per Ie quali essa riducesi all'equivalenza lineare), bisogna anzitutto ricordare che KODAIRA ha dimostrato (e uno dei suoi pili brillanti risultati) l'induzione (in qualche modo da me giustifioata):
(7)
=-
.
,
'l.-d.. - "d.-i -+
t- &.-2. -"
-t
(-i
)c!.
Vi
)
con cui si chiudeva la mia Memoria del 1909 sui fondamenti de1J.o geometria ellle varieta.
Nella (7)i d ,i d _ 1 , ••• , i 1 , sono i numeri d'integrali d-pli, (d-1)-pli, ••• , semplici di 1 a speCi e indjpendenti, che eaistono su Vd , La dimostrazione sulla teoria degl'integrali armonici.
e poggiata
Poiche i numeri i sono evidentemente invarianti assoluti per trasformazioni birazionali, una volta provato che pd:pd a segue dalla relazione precedente l'invarianza assoluta del genere aritmetico dtuna Vd' nella sua duplice eccezione. Ebbene, io ho tratto dalla (7) e da altre argomentazioni l e s eguenti induzioni, controllate au quei medesimi esempi , cbe 72
F.Severi
- 37 -
avevano formato parte del mio materiale sper1mentale nel 1909. L'irregolarita
(d-1)-di~ensionale
- d1fferenza fra i1 ge-
nere geometrico ed i1 genere aritmetico - dtuna ipersuperficie
Wd _ 1 di Vd ha un massimo, ehe puo chiamarsi irregolarita (d-1)dimensional e di Vd' Diro generale un I ipereupex fieie Wd-1 dove questo massimo si raggiunga. La deficienza del sistema line are segato sopra una ipersuperficie generale Wd _ 1 di Vd ' dal sistema canonico i~puro di Va.' e uguale alIa somma dell'irregolarita d-dimensionale e (d-1 )-dimensionale di Va'
II n~ero degl'integrali(d-1)-pli di 1a specie di Vd , per d> 3,
e uguale
al nwnero degli integral! (d-1 ) ...pli di 1 a spe-
cie d'una Wd _ 1 genelale di Vd " Da eio segue, secondo la (7) di Kodaira, che il n~ero dei detti integrali uguaglia la somma delle due ultime
irregola~ita.
Per arrivare a un teorema R.R, pei
siste~
d'equivalenza
di specie k sopra Vd , reputo che occorra psssare sttrsverso le fasi seguenti: a) Dimostrare che l'equivalenza algebriea di due Wk sub-
ordinate equivale alIa lore equivalenza topologiea (eio
e acqui-
sito per k = r-1). b) Dimostrare che l'infinita dei sistemi irridueibili d'equivalenza razionale ook, contenuti in un dato sistema irrid~ cibile d'equivalenza algebrica, non
su~el~
un limite finito di-
pendente soltsnto ds Vd (egua1e forse all'irregolarita (d-k)-csima della varietij. c) Valutare la dimensione della classe atomologia definita da una Wk pura e sottrarre da questa la pFecedente irregolarita , per ottenere 1a dimensione d'un sistema d'equivalenza razionale contenente Wk , quando la varieta soddisfa a condizioni di suffieiente generalita.
73
F.Severi
- 38 -
E' venuto forae il momento in cui possono
8cio~iersi
i
nodi gordiani, che hanno arrestato e ritardato la tessitura della nostra paziente secolare tela.
Esistono pero, attualmente,
mezzi potentissimi, che noi non pessedevamo, di geometria algebr i ca, di topologia, di geometria differenzia1e (ca1colo tensoriale ), di a1gebraastratta, di analisi (teoria generale delle funzioni analitiche, teoria delle forme differenziali e tensoriali di Ci\.R$'iI.N-POINC.t.RE l-DE IDLUvl - KXm.ER
,
teona degl' integrali armonici
di HOpGE, teoria delle correnti con tutti i soccorsi dell'analisi dei funzionali lineari, teoria delle varieta kAhleriane e delle metriche relative; teoria delle matrici; ecc.). La geometria algobriea, con la ricca fioritura
gia~ggiunta
di risultati e di problemi, dimostra la rigogliosa sua capacita di s uggestione in tutti i rami della matamatiea, derivante dal pensiero creatore dei notri maestri.
Andare dunque avanti, ma
non dimenticare i maestri, perche un'idea geniale vale in potenza croatrice piu di tutte le sue conseguenze.
E per seguire i1
ponsiero dei maestri oecorre non distaecarsi dallo sviluppo storieo delle idee e da quello strumento fastidioso, ma indispensabi Ie, che e la bibliografia. Yarra giorno, in cui i
~isultati
della nostra geometria,
trasformandosi in proprieta di piu ampio respiro. attraverso specialmente la topologia, troveranno la lore utilizzazione anche nelle parti piu elevate della fisica e delle applicazioni. In quel momento sara dimostrato ancore una volta che il pensiero scientifico va lasciato fiorire, libero dalle paatoie applieative, perche i1 turno delle app1icazioni viene infallibilmente un giorno
0
l'altro.
74
F.Severi BIB L TOG R A F I A RIEMANN, Ges.Math.Werke, 1857; ROCH, Giornale di Crelle,1 861r. SEVERI, Una rapida ricostruzione della geometria sopra un~ . curva algebrica (Atti del R.Tstituto Veneto,1920). Ved.pure SEVERT, Trattato di Geometria algebrica (nologna,Zanichelli, 1926). SEVERT. Una nuova visione della geometr1a sopra una curva (Acta della Pontificie. Accademia delle Scienze,195 2). CHOW, Die geometrische Theorie der algebraischen Funktionel1 fUr beliebigelo~kommene K6rper (Math. Annalen, 1937). ( 5J GR~BNER, Idealtheoretische Autbau
del' algebraischen Geometrie (Leipzig, Teubner, 1941).
VESENTINI; Dimostrazion.e intrinseca del teoremadi Riema:r~I Roch sopra una curve. (Acta della Pontifici~ Aocademia delle Scienze, 1953). Ved.in particolare l'Osservazi une di F.SEVERI alla fine (n.8) della Nota. ZARISKl, A topological proof of the Riemann-Roch theorem (Ann. Journ. of Math., 1936). F.K.SCHMIDT, Zur arithmetischen Theorie der algebraischen Funktionen, 1. Beweis der Riemann-Rochscher Satzes_ fJl/' algebraische Funktionen mit bel;i.ebig(lm Koiistantenk8rl?:e.:J:: (Math,Zeitschrift, 1936).
[9]
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75
- 40 -
F.Severi
C.ROSATI, Intorno alIa sovrabbondanza di un sistema lineare di curve appartenen~i :d una s~perf~c~e algebrioa (Atti del R. Isti tuto Veneto, 1909) . $ SEVERI, Sulle superfic1e algebriche. ahe posseggono integr
[171
CASTELNUOVO, Ricerche generali sui sistemi lineari di curve Diane (Memorie deli'Acc.delle Scienze di Torino, 1891 ) . SEVER I , Serie, sistemi d feguivalenzae eorriepondertze algebriche sulle varieta algebriche (Roma,Cremonese, 1942) (Lezioni raceolte da FABIO CONFORTO e da ENZO MARTINELLI). ENRIQUES, Introduzione alla geometria sopra Ie superficic algebriche (Memorie dei XL, 1896; n.15). SEVERI, On the sYffibol ot virtual intersection of algebrai~ varieties (ora in corso di pubblicazione in un volwuc giubilare per LEFSCHETZ). SEVERI, Fondamehti perl..a geomettia sulle varieta algebricl:!~. Prima Memoria (Rendiconti del Circolo matematico di PaI9x-mo. 1909)t Seoonda Memoria (Annall. di Matematica 11951 ). SEV2RI, Sul teorema di Ri~-Roch e sulle serie eontinu r, di curve appartenenti ad una superficie algebrica (At t i della R.Ace. delle Seienze di Torino, 1905). CASTELNUOVO-ENRIQUES, Annal.i di Matematiea, 1901. SEVERI, Bollettino dell'Unione Matematica italiana, 1941,VeiL pure 18, p. 397. S3VERI, Sulle curve algebriehe virtuali appartenenti ad m~a superficie algebriea (Rendiconti dell'Istituto Lombardo, 1906). Vel. pure p.~.
DB,
SEVERI,Atti del R.Istituto Veneto delle Scienze,Lettere cd Arti, 1906. SEVERI, Atti del R.Istituto Veneto, 1908.
76
- 41 -
F.Severi
Che sara il II vol.,. dopo [18J • Esso portera. i1 tHolo: Eguivalenze line~ri ad algebriche. lpte~rali sopra una SUl2.erf1g;i.a. PICARD, Giornale di Crelle, 1905. Trattato di PICARD et SU'lART, t.II, p.37. SEVERI, Atti della R.Aecademia dei Lincei, 1908. SEVERI, Teoremi di regolarita. sopra una superficie algebrica (Rendiconti di matematica e delle sue applicazio~, Roma , 1947 ) • FRANCHETTA, Sul sistema aggiunto ad una curva riducibil c. (Rend. della R.Ace. dei Lincei, 1949). ZAPPA, Atti della R.Accademia d'Italia, 1943. ENRIQUES, Bulletin des Sciences mathematiques, 1940. SEVERI, La teoria generale dei sistemi continui sopra ~ 1 superficie algebrica (Memoria della R.Accadomia d'Italia, 1941). SEVERI, Sul teoroma fondamentale dei sistemi continui di cJ.l!'.ve sopra una superficie algebrica Annali di matemati ca, 1944. SEVERI, Osservazioni sui sistemi continui di curve appartepenti ad una superficie algebrica (Atti della R.Accademia delle Scienze di Torino, 1904). Ivi trovansi Ie prime idee generali sui sistemi algebrici non lineari di curve sopra una superficie. SEVERI, La base per la totali ta delle curve algebriche tr~s.·· ciate sopra una superficie algebrLca (Mathematische Annalen, 1906). SEVERI, geber die Grundlagen der algebraisehen Geometrio (.i'ohandlungen aus dem Math.Seminar der Ramb. Univers :i.tl!lt 1933) • SEVERI, Complementi a .la teoria delle equivalenze sulle n ,rieta algebriche: Ie equivalenze algebriche (Rendic ohti della R. Acc.dei Lincei, aprile 1955).
77
- 42 -
F.Severi
SEVERI, Com lementi alla teoria delle e uivalenze sulle varieta algebriche: Ie equivalenze razionali Rendiconti della R.Acc. dei Lincei, maggio 1955). SEGRE B., Bertini Forms and hessian matrices iJourn.of the London Math. Society, 1951). SEVERI, Sulla varieta ehe rappresenta gll epazi lineari di ta dimensione, immerai in uno spazio lineare (Annali di Mat ematica, 1951).
d.~
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,B
SEVERI, Sulla teona degl'integrali semplici di specie appartenenti ad una superficie algebrica (Rend.dei Lincei, 1921, nota V; annotazione a pie della page 297). SEVERI, In.torno ai sistema continui di curve eopra una SUP"l;:ficie algebrica (Commentarii mathematici helvetici, 1943). ZAPPA, Acta della Pontificia Accaderoia delle Scienze, 1943 1945. POINCARE'. Annales de l'Ecole normale superieure, 1910; Sitzungsberichte der Berlin.math.Gese11schaft,1911. SEVERI; Osscrvazioni vario di geometria sopra una superfi~ie algebrica e sopra una varieta (Atti del R.Ist.Veneto,190G). SEVERI, Sulla classificazione delle rigate algebriche (Hend. di Mat. e delle sue apple 1941). ROSENBLATT, Bulletin de l'Academie des Sciences de Oracovie, 1912.
[5~
ALBANESE, Annali di Matematica, 1915.
78
- 43 -
F.Severi.
SEVERI f NugYJ ....s .ontri buti all ?-_ .j;.e_or.~.8: ... dGJ~j._s._~q!Jl.i_continui di curve .!":PP_~.:r:.t.e.!l.el}~L.?lLllP:.~.~~L:h.9_io alge briea (Rend. della R.Aac.d oi Lineei, V Saria , 1916 , p,461). CASTELNUOVO-ENRIQUES ,Annales seiontifi(~uos de 1 'Ecole normo. le superieure, Fads, 1906. SEVERI, SUll~i..":'E2~ari!§t sup~rficialo d 'una variet* algebriea (Rond. della R.Aeeademia d'Italia, 1942). SEVERI, ~LQ.ri svilunpl della teoria delle serie d'equivalenza sUllo varieta algob.E..:\,ehe (Commentetiones della Aeeademia Fontifieia delle Seienze, 1942).
[59J
ALBANESE, §.Ul gonere aritmetieo delle variate. algebriehe a 9uattr9~~monsioni (Rend.doi Lincei, 1924); Invarianze del genere P d'un~ varieta ~uattro dimensioni (Rend.d ei Lineei, 1924'. 11 tentativo infruttuoso per r qualunque, cui s'aeeenna nel testo? trovasi in un lavoro quasi seonoseiuto pubblieato da Albanese nello stesso 1924 negli Annali delle Universi ta to,seane. KODAIRA, Some results in the trascendental theory of algebr :.•lc. varieties (Annals of me. thematics 9 1954). MUHLY and ZARISKl, Hilbert I s _c.h~.r~g_te:r~_~ti.9 function and
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ZARISKI, Complet linear
systems on normal
varieties and a
general_~.?Ition of-ale~aoT EJi;;-:L.i!i_es-Severi (Ann. of lflath .
1952) •
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79
- 44 -
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f74J
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'-
80
F.
ARITHMETIC
H I R Z E B Rue H
GENERA
AND
THE
THEOREM
OF RIEMANN-ROCR
Roma-Istituto Matematico
dellIUniversita,1955,RO~~
81
F.Hirzebruch
- 1 -
ARITIDlrETIC GENERA AND THE THEOREM OF RIEMANN-ROCR INTRODUCTORY LECTURE. I am very glad that r can give a series of lectures in thhl International Mathematical Summer Seminar at the Lake of Como. I t is a great honor for me, and I wish to thank you very much fOR your kind invitation. The purpose of these lectures is to show how the theorem of Riemann-Roch can be formulated and proved for non singular algebraic varieties of arbitrary dimension. I am in the process of writing a report for the "Ergebnisse der Mathematik" (Springer Verlag). This report will contain an introductibn to the theory of sheaves (Leray,H. Cartan), the theoJ.'] of characteristic cohomology classes, the theory of Itcobordisme" (n.Th~)
, and to recent work of
A.Bor~l,
K.Kodaira, J.P.Serre,
and p.C.Spencer. The report will then contain a detailed discussion and proof of the theorem of Riemann-Roch using all the
thGO~
ries just ment,ioned. In these lectures it is impossible to give complete proofs. I have to refer to my report. The lectures will, however, run somewhat along the lines of my report.
In this introductoIlI lectu-·
re I give a brief account of the whole story (compare the introduction of my "Ergebnisse-report"). 1. By an algebraic variety V we mean always a compact n
complex manifold of complex dimension n (not necessarily connedted) which can be imbedded complex analytically and without singulari-ties in a complex projective space of sufficiently high
dimel~ion
Let us recall four definitions for the arithmetic genus of an n-dimensionsl algebraic variety V • Using the postulation n
formula Oiil.ruu;:t' s characteristic funstion) we define the intege:.:·s 83
•
F. l-li.rzebEUch
- 2 -
Pa(V n ) and Pa(Vn ). We call this the 1.and 2.definition. Se~.~i conjectured the following formula (see, for example, [1] ) (1)
p (V )= P (V ) ::: g
a
nan
n - g n- 1 + •.. + (-1)
n-1
g1
were g. denotes the number of complex linearly independent ~
holomorphic differential forms of degree i on Vn • Using the theory of sheaves, Kodaira and Spencer [2J were able to give a simple proof of (1).
The alternating sum of the gi is the 3.
d~
finition of the arithmetic genus of V , thus the equation (1) n
states that definitions 1,2,3 coincide. in the
altern~ting
sum is unnatural.
The ordering (lilt: the gi
Changing the classical no··
tation we define
x (V ) :::
(2 )
n
t-
i:::O
(_1)i gJ..
X (Vn) the ari thme.tic genus of the algebraic vaI~te.ty Vn • The integer go equals the number of connectedness componer: kl We call
of
Thus for a connected variety the classical arithmetic n genera Pa'P a are related to the arithmetic genus X by the fonnu·· V •
la
1+(_1)np (V )=1+(-1)~ (V )::: )[(Vn ). a nan The arithmetic genus
)( behaves multiplicatively,i.e.,
the genus of the cartesian product of two varieties is equal to the product of the genera of the factors. The arithmetic genus in the old definition obviously does not have this multiplicative property. 2. The 4.dofinition of the arithmetic genus is due to J. A. Todd [3] , who whowed that the sri thmetic genus can bo expres--
fled by meams of the canonical classes of Eger-Todd
(4J.
For the
dimension 2 and 3 this fact had been established earlier by
84
.- 3
M.Noether,
and B.Sogre.
~
It is based on a lemma of
F.Hirzebruch
~oddls
Sevo~
proof is not complete.
for which a precise proof does
not seem to exist in the literature. Tho Eger-Todd class k. of V is defined as a class of al ge l. n braic cycles of V o~ real dimension 2n-2i with respect to an n
equivalonce relation which implies the equivalonce relation "homologous" without
being identical with it.
K1 , for example, is the class of the canonical divisors of Vn with respect to linear equivalence. The class K. defines a(2n-2i)dimensional homol.ogy class
l.
which corresponds under the natural
isomorphism to a 2i-dimension cohomology class (with integral coefficients). Up to the sign (_1)i this cohomology class coincides with the Chern class c i of the tangent bundle of Vn ' We only have to use the Chern classes. Namely, we define the !QM genus
T(V ) directly by means of the Chern classes.It is a principal n
theorem that /( (V ) and T(V ) are identical for all algebraic n
varieti os.
n
3. Wo now come to tho definition of T(V ): In a purely n
algebraic way we define a polynomial T of weight n in indote r min nates c 1 ,···,c n and with !.ation e~ coefficients. To c~!
(3)
T1
2
T2
=...1 12
T3 T4
2 (c 1 + c 2 )
1
2* c 10 2 1 2 2 4 720 (-c 4+c 3c 1+3c 2 + 4c 26 1 -c 1 )
If we interpret the indeterminate «.]. as the 2i-dimensions l 85
F. i1i.rzebruch
- 4 -
Chern class of Vn , and, moreover, the product in the polynomial T as the cup product of the cohomology ring of V , then T is a n n n 2n-dimensional cohomology class of V • By the fundamontal cycle n
of V we mean that element of the homology group H2 (V ,Z) which n n n is defined by the natural ortentation of V. The value taken bY n the class T on the 2n-dimensional fundamental cycle of V is a n n rational number which by definition is the Todd genus T(Vn ). The polynomials Tn should satisfy two properties. First,
they should be of such a kind that tho functional T(V ) defined n by them behaves multiplicatively as the arithmetic genus does. Tho sequences of polynomials fulfilling this multiplicative property are coIled multiplicative sequences. by pur01.y formal algebraic conditions. of polynomials should be such that
They are characterised
Secondly, the sequence T
n
T (pn ) equals 1 for all comT)l - ex
pvojective ppaces P. (Observe that JL{P )=1 for all n.) This n n second condition is also a formal condition for the polynomials. By th0SQ
~wo
conditions our polynomials T are characterised. n
4. The divisors of an algebraic variety V constitute an n abelian group which we write additively. Besides the divisors we have complcixanalytic line bundles over V
n
structural group C~ ).
(with fibre C and
Here C denotes the field of complex numbers, and C*- is the multiplicative group of non-vanishing complex numbers acting on C by multiplication. If we rogard isomorphic complex line bundles as identical, the
line bundles over V constitute an n aibelinn group which we i'lTito multiplicatively. The group OPOI'Ctcompl~
tion is tho tonsor product. bundle.
Each divisor defines a complex line
Two divisors defi.ne tho same complex line bundle,
if
and only if they o.re l:inearly equivalent. In this wny we obtain an isomorphism of the group of divisor classes into the group oJ complex lino bundles, under which tho sp of divisors goes over
86
F.Hirzebruch
- 5 -
into the tensor product of the corresponding line bundles. It was shown by Kodaira and Spencer
[?]
that for an algebraic va-
r iety V this isomorphism is into.
°
n
Let D be a divisor of Vn , let H (Vn ,D) be the complex v ec tor
space of all thmse meromorphie functions f on V
n
whose divisors
(f) added to D give a divisor (f)+D which has bo poles. Thi s vector space has always a finite dimension over C. The problem of Rmemann-Roch is to determine this dimension. Now, let F be ahe complex line bundle corresponding to D. It can be readily shown that the vector space HO (V ,D) is isomorphic to the vector space HO(V of F.
n
,F) of all holomorphic secti ons n
(Observe that dimH0(M ,D) depende only on the divisor n clas s of D).
5. We have pointed out already that one of the principal theo r ems is the equation n
X
(4 ) ~ he
(V )= n
L i=O
(-1 )i g. = T(V ). ~
n
value of the Chern class c n of Vn on the fundamental cycle
of Vn equals the
~
ted algebraic curves
number of V. n
Hence (4) gives for cannee-
Here p denotes the number of handles of V 1 • The theorem of R i e~ann-RocA states for algebraic curves (4)~
1
dim HO (V 1 ,D) - dim HO (V 1 ,K-D )=d+1-p,
where d is the degree of the divisor D and where K is a
canoni c a~.
divmsor. The equation (4)1 can be obtained from (4)~ by putting
87
F.
- 6 -
J:/4rzebruch
D = O. We shall show that (4) admits a generalisation (4)*- analogously to the generalisation from (4)1 to (4)~. Let us now use complex lime bundles instead
o~
divisQr classes. We know already
that this is essentially the same. Let Hi(V ,F) be the i-dimensional cohomology group of V n n with coefficients in the sheaf of germs of holomorphic sections of the line bundle F. If F is the product bundle 1 (trivial line bundle) which correppmnds to the zero divisor then we have the sheaf of.local holomorphic functions. The "group" Hi(Vn,F) is a vector space over C. The group HO(V ,F) is the vector space we n
have discussed in 4., when formulating the problem of Riemann-Rcg.h.. According to Dolbeault
[6]
we have dim If(Vn ,1)=gl..• Thus the . natural generalisation o~ g. will be the number dim Hl.(V ,F). l. n According to a. theorem of Cartan-Serre and Kodaira the vector space Hl. (V ,F) is finite ·dimensional. Therefore the numbor
[7J
.
[8J '
n
dim Hl.l.v ,F) is actually defined. It vanishes for i> n. Now we n introduce tho Euler-Poincare characteristic
X
(5)
n
(V ,F) = ' ) n
i';;()
This is the generalisation of the £eft side of (4). We shall show that )( (V ,F) can be expressed as a polynomial in the co homo ..· n logy class f of the line bundle F and the Chern - - classes c.l. of
Vn ' Bef@rc writing down thcse polynomials let us recall that th0 cohomology class f of F is a two dimensional integral cohomology class of V which can be defined as the first n
F, i.e., as the
fi~st
~
class of
obstruction for a non-vanishing continuous
section of F. If F is given by a divisor
D, then f is that cohomo-
logy class of V which corresponds to the (2n-2)-dimensional inn
tegral homology class represented by the cycle D. In the following p@lynomials thc product has again to be interpreted as cup-product. If b is a 2n-dimensional cohomology
88
F.Hirzobrucl1
- 7 -
class, thon b
[vJ
denot es the value of b on the fundamental cycle
of Vn ' Now let us write down the polynomials for )({Vn,F). c 1 C "\ (f +"2) lV 1J f2
(2"
:; (i
fC t
""2 +:j2
2 (01 + c 2 »
J.
~2
f3 +
""
= (.[
\(.:.0
1
n-~
f 2 C1 +
-
Lv;)
o
f(Ot 2 + 2)+
~4
0 1 (2)
Lv;l .
~n_k)!Tk(01"",ck) LV~
This is the generalisation of the theorem of Riemann-Roeh to algebraic varieties of arbitrary dimensions. According to a duality theorom of Serra dim Hk (V ,F) :; dim .tl.n-k n
[9] ,
we have
. -1 ,. iV,KF n
Here K denotes the canonical line bundle corresponding t o the c(IDonical divisor class. for
X(V 1 ,F) and
Using this duality fielation the equati on
X(V 2 ,F) goes over into the classical t.heorem
of Riemann-Roch for n=1 and n=2. ~n the case ~2, the number dim H1 (V 2 ,F) equals the superabundanoe of F, i.e., the superabundance of the divisor class corresponding to F. Kodaira uoJand Serre (11J have sufficient conditions under which the cohomology groups Hi (V ,F) all vanish for i n
>
O. If
these conditions are fulfilled, then it(V ,F)=dimH°(V ,F) and our formula for
X (Vn ,F)
n
n
solves the problem 01 Riemann-Roch.
For n=1 the Kodaira-Serre conditions are by virtue of the duality theorem nothing else but the well-known fact that in
(4)1~the term dim HO(V1 ,K-D) vanishes, if d>2p-2. 6. We now come to a further generalisation of (4). Let W be a complex analytic vedtor space bundle of V space of dimension q over the
n
fi~
(fibre:C = vector
of complex numbers,
q
group: the general linear group GL(q,C) of all non singular q by q complex matrices).
89
F.Hirzebruch
- 8 -
We define
X. (Vn /'1/)= I!Y'-'
(6 )
(:-1)~ &~ H)I (V~I w) •
~ :[)
,W) denotes the i-dimensional cohomologj group of Vn n with coefficients in the sheaf of germs of lGcal holomorphic
whore Hi(V
sections of W. The groups Hiev ,W) are again finite dimensional n vector spaces over C which vanish for i >n. We shall see that ?(Vn,W) can be expressed as polynomials in the ~ classes c i of Vn ' i.e., the ~ classes of the tangent bundle of Vn' and in the ~ classes of W. This result can be applied to special vector space bundles over V • Let us take the vector space bundle T(P) of the covariant n
p v8ctors.
We put
(7)
The Ohern_classes of T(P) can be expressed as polynomials in the
~ classes
01 of Vn ' Therefore we obtain for ;:(Vn ) a polynomial of weight n in the 0i' According to Dolbeault ,we
r6]
have dim Hq(V ,T(P)) = hP,q n where hP,q denotes the dimension of the complex vector space of all harmonic forma of type (p,q) on V • Thus we have n
For p
o we
get
q
.
XO(V~)~X lV'l\. )=[ ~..) ,.,o,~ L t~) ~~ "I\.
~'::O
As an example we give the formula for 90
f>t\I
~:O
X~(V 4)
N
F.Hirzebruch
- 9 -
(8)
For X(V 4 ) see 0). We see immediately that the sum
P
f"
~ X)..V )
vanishes, i f
n is odd. For n even Hodge Q2] proved tbat +n '"X9(Vn~eqUalS the index of V which WlUl be denoted by n
topological invariant of V
n
J (f=-f. n
This index is
8.
(n even) and is defined as follows.
Take the n-dimensional real cohomology group of Vn • This is a vector space ~ over the real field. For an element x of12 the s quare x 2 in the sense of the cup product defines the real number x 2
[vn1.
Since
n is even,
x2[v~
is a quadratic form
overLR which is non-singular. The number of positive eigenvaLues minus the number of negative eigenvalues of this quadratic form is the index of V • n By the theorem of Hodge and by our polynomials for we obtain a polynomial for the index.
This
polyn~m.ial
x
P
(Vn )
is even
a polynomial in the Pontrjagin classes of V . which are defined f or arbitrary differentiable ltlanifolds.
n
7.
We have seen that the index of an algebraic V2k is a polynomial in the Pontrjagin classes. Actually, this is the starting point of our considerations. Namely, by the theory of Thom
D3J we
will be alllle to prove that the index
<"}
(M'l-k) of a
4k dimensional oriented differentiable manifold M4k can be expressed as a polynomial in the Pontrjagin
classes p. of M4k (p. is a 4i-dimensional integral cohomology class of Mtk ). As ~
examples we state
J lM~ =- ~ \'1
1 (M~-=
[M!"]
n(~p~-fl-) [M ~J
J (\11'1):: ~ (6~ P. -i~ P).,fi. -t l~;) [M-\J ~.5:t
~
91
F.HirzebrUCll
- 10 -
<J
The formula for (1114) was conjectured 8 4 for fj (l/I ) and J (M ) were proved by Thom •
by~. The formulas
For a short survey of the way from the formmla for
~(M4k) to the formula for
X (Vn,W)
R e fer e n c e
[1J [2J
l3] [41
(5J
@J El
[sJ
we refer to the note Q4] •
B
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F.Hirzebruch
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93
