M. Brelot ( E d.)
Potential Theory Lectures given at a Summer School of the Centro Internazionale Matematico Estivo (C.I.M.E.), held in Stresa (Varese), Italy, July 2-10, 1969
C.I.M.E. Foundation c/o Dipartimento di Matematica “U. Dini” Viale Morgagni n. 67/a 50134 Firenze Italy
[email protected]
ISBN 978-3-642-11083-2 e-ISBN: 978-3-642-11084-9 DOI:10.1007/978-3-642-11084-9 Springer Heidelberg Dordrecht London New York
©Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010 Reprint of the 1st ed. C.I.M.E., Ed. Cremonese, Roma 1970 With kind permission of C.I.M.E.
Printed on acid-free paper
Springer.com
CENTRO INTERNAZIONALE MATEMATICO ESTNO (C. I.M.E.)
M. BRELOT
Corso tenuto a Stresa dal
2 a1 10 Luglio 1969
HISTORICAL INTRODUCTION by Marcel BRELOT (Institut H. Poincare ) As an introduction to the next courses, s o m e historical notions s e e m to be necessary.
Until about 1800, potential theory was only a study of some ql~estionsabout electrostatics and newtonian attraction. The Laplace equation was already much used, and was extended by POISSON who gave also his famous integral in a
ball; the Green function was soon
introduced, but the f i r s t important mathematical work was a paper of 3 GAUSS, in 1840 ( [20] ) ; three problems were solved in R : the problem of equilibrium giving the distribution of a given m a s s on a conductor ( l ~ c l o s e d l l s u r f a c e )to , make the potential constant on it; this corresponds to the minimum of the energy. A second problem s t a r t s from m a s s e s inside the conductor, and studies a distribution on a conductor which gives the s a m e potential outside. Similar problem for given mass e s outside. The solution i s realized in physics by the phenomenon of ~linfluence
and the equation was called l a t e r Ifsweeping out p r o c e s s "
o r commonly now "balayagefl p r o c e s s . A third problem i s the (so called l a t e r by RIEMANN) Dirichlet -problem where a harmonic function ( i , e . solution of the Laplace equation) is studied inside the conduttor for given continuous boundary values. These studies were based on the integral
1
(UP -2f) d p , where
u)?x)
of the m e a s u r e p only /LL
is the newtonian potential
> 0 . Actually
GAUSS considered
with a density, and assumed the existence of a u ,,
a minimum of the integral. The developments of
giving
GAUSS were amazin-
M. Brelot
gly deep,
powerful , r i c h , still useful today, but they could not be ri-
gorous, lacking notions like the general Radon measure, and they needed actually some restrictions. Therefore they were first left aside, except for the Dirichlet problem which was studied in various ways, first not rigorous either. Let us mention a method used by RIEMANN ( [30] ), following GAUSS
- W.
THOMPSON (Lord KELVIN)
- DIRICHLET ; it
considers regular functions on the domain, taking given values at the 2 boundary; when the Dirichlet integral j g r a d u dx ( dx, Lebesgue measure) But we
is minimum,
meet
u
is the solution of the Dirichlet problem
.
the s i m i l a r difficulty of the attained minimum, which
was solved, under suitable restrictions, only by HILBER7' ( [22] ) about
1900. Other methods were given which were rigorous, but
various restrictions on the boundary
with
(use of the alternating process
of Schwarz, of potentials of double layer by NEUMANN, l a t e r with the Fredholm theory, famous balayage process of Poincare Lebesgue solution,
.. .) .
If s o
( [29] ) ,
many great mathematicians gave diffe-
rent solutions of this problem , the reason is that the restrictions ,on the boundary were not satisfactory, and even seemed unnecessary, till ZAREMBA
and LEBESGUE noticed they were necessary.
2. .............................................. Second period (essentially that between the w a r s ) : , U s e of R a d o n m e a s u r e . --------------------The use of Radon measure (defined in 1913) in potential theor y first by EVANS, F . RIESZ, de LA V A L L ~ EPOUSSIN
renewed the
theory. As for the Dirichlet problem we were speaking of, the non-general existence of a solution led LEBESGUE ( [34] ) (1924) to define a generalized solution,
and chiefly WIENER then to study
its
M. Brelot
behavior at the euclidian boundary
.A
previous solution of PERRON
gave the best form by using the subharmonic o r superharmonic func-
F. RIESZ ( [31] ), which a r e locally equal to a newtonian o r
tions of
logarithmic potential of a measure (resp. 6 0
o r 3 0) up to a harmo-
nic function. These notions allow the treatment of many problems, and 3 I did s o systematically, without using a kernel. like I/ ] x y ] in R ,
-
and this became valuable l a t e r in axiomatic theories without given kernels. Now for any real function ded domain
Hf = inf
f
on the boundary
3w
of a boun-
w , let us consider the envelopes of Perron-Wiener
v , v
satisfying : l i m
=- H
superharmonic o r inf
v
t
(we s a y hyperharmonic)
a,
at the boundary
>f
and
>-
a,
and
H 6 Ef , and in case of equality with a finiAlways -f ' f t e necessarily harmonic function (case of resolutivity) , the common
-Hf
envelope when
is called the solution. WIENER proved it is realized
Hf f
form which
is
finite continuous; then
we may
write
/I
H (x) is a positive linear f dpx , where d p x is a posi-
tive Radon measure called harmonic measure in balayage theory)
.
A boundary point f
f(x0) ( x + x O ) , Hf
(with an interpretation
is said to be regular, if H (x) tends to 0 f finite continuous When all points a r e regular , x
.
is the
classical solutionfi. Only in 1933 , EVANS [17] (after 2 KELLOGG in R ) proved that the set of irregular points is a local-
ly polar set, i.e.
such that there exists locally
domain containing of
measure
>0
ij )
a superharmonic
) which
by BRELOT , 1941)
.
is
t w
>0
(or in
function
a bounded
(or a potential
on the set (notion introduced l a t e r
At this time, it was called a set of capacity
zero in the sense of inner capacity
(notion without difficulty in
n >, 3 , inspired by electrostatics, made precise
by
WIENER
R ~ ,
- EVANS-
M. Brelot
de LA VALLEE POUSSIN ; actually, a s polar
set
= set
of outer capacity zero). A little l a t e r by studying f , I
the c a s e of any
H. CARTAN showed later,
proved
( [4])
that the resolutivity is equi-
dpx-summability (independent of
valent to the
x). These features and
key r e s u l t s a r e preserved at least partly in modern axiomatic theor i e s , a s they will be considered in the courses of BAUER and BONY. About at the s a m e time in 1935, FROSTMAN [18] managed to make rigorous and precise the famous work of GAUSS. He used Radon measure, and weakened the r e s u l t s of with restrictions on the boundary), inner capacity
zero
GAUSS (actually valid
thanks to "exceptional s e t s " of
(actually even locally polar s e t s )
. His proofs
were based on two still important principles: the principle of
I" u*)
saying that the energy newtionian and
potential
a maximum
jorized by the sup
U
is
d/u of any
/U (with'compact support and
>/ 0 , and zero only when /u = 0 ;
principle saying that on
energy
up
the compact support
for U , of
p .
>0
is ma-
Moreover,
the notion of capacity was deepened, and the potentials with kernel studied too, We a r r i v e about
as
M. RIESZ did before
him.
at 1940. One could think potential theory
was
over. Actually the l a s t thirty y e a r s have been extraordinarily fruitful.
3. ............................ T h i r d p e r i o d ( a b o u t 1 9 4 0 - 1 9 5 5 L-------------: R o l e of t o p o l-----.---------------------------------ogies and extreme elements, energy and Schwartz distributions. ...................... First theorem
further improvements were made. Note a key-convergence
on decreasing
superharmonic
>, 0
functions ; the
of such a sequence becomes superharmonic by changing the value
inf on
M. Brelot
a n "exceptional1' set. It was known s u r e zero,
I proved
and
in
that this s e t has Lebesgue mea-
1938 (C. R . Acad. Sc. P a r i s , t. 207,
1938, p. 1157) it i s locally of inner capacity zero. CARTAN [8] improved that by
changing inner t o outer
(i. e . the set is locally
and the sequence t o any family. We have now r e s u l t s and
polar)
proofs which a r e valid
(and m o r e o r l e s s strong with m o r e o r fewer
hypotheses) under general axiomatic conditions, but the proof of CARTAN was based on the c a s e of potentials of finite energy, on use of a norm-energy and of a corresponding
the
s c a l a r product. This
idea gave an interpretatinn of the balayage p r o c e s s in the basic c a s e a s a projection a deep study Finally,
in
a prehilbertian space. This opened the way
to
of the role of energy, even under l a r g e r conditions.
DENY
[ll] developed a potential theory
kernel is
t e energy, where the duced in the context
in
R~ with fini-
a Schwartz distribution (notion intro-
of a problem of potential theory) ; the given mas-
s e s become a variable s i m i l a r
distributinn, and the potential i s
given by convolution of both distributions. Under some restrictions, the
Cartan theory may be adapted. This is connected
called
BL and BLD
(Beppo-Levi-Deny)
l a r functions with finite
functions, generalizing regu-
Dirichlet integrals. Finally, BEURLING, then
BEURLING-DENY (first in theory of Dirichlet
[2]
) were led
spaces which is an
will be developed in the course
of DENY
ten y e a r s
topological space.
N(x, y ) It was
ago to a
axiomatic of energy, that
.
Another axiomatic effort began in about kernel-functions
with the s o
1940 with general
(and l a t e r kernel-measures) in -general obvious many classical arguments were
valid under conditions much l a r g e r than the newtonian kernel 3 11 in R , by supposing a s axioms some properties o r
IX Y1
- 8 -
M. Brelot
~ ~ p r i n c i p l e s l of ~ the classical theory. Much r e s e a r c h was made in France and independently,
... )
NINOMYA,
chiefly,
in
and continues till
,
Japan (KUNUGUI, KAMETANI, now. They have not stopped,
because of the complexity of all principles, and because the use of nonsymmetric kernels introduces difficulties. That loped here, because another type of kernel important, a s we shall s e e
will
not be deve-
appeared which is more
later.
This introduction of fundamental topological spaces in potential theory takes place in a general and varied use of
--topologies.
CARTAN used various topologies on measures. A notion of thinness (1940) ,
I
introduced and continued to deepen till
now, generali-
zing the regular boundary points and unstable ones in a kind of Dirichlet problem for compact sets, notion of
fine topology,
led CARTAN to the equivalent
the coarsest one making continuous all
superharmonic functions. This gave final improvements in potential theor y and
general results on the behaviour of superharmonic functions
and of
functions
superharmonic
of a complex variable. F o r instance,
3 0 on
an
point (that means actually
open set
Cw is thin
XI
log l/[xg v the
and
v/h
have
fine topology) , and
at
x
0
that
2-n fine
w , xo an irregular boundary at x0) , and
or
v is
if
log
limits
h
l/bo - x [
equal to
R~
in
, then
(i. e. limits according to
means ordinary limits outside a suita-
. On the other hand, new boundaries 0 were introduced, for instance, by completion of a metric compatible ble
set
thin
at
with the topology,
x
after some particular c a s e s in the previous period.
The most important one is the Martin boundary, introduced in Consider the normalized Green function of a bounded domain of R~
(or even of
1941 ([24]) 9
a "Green space1! which i s , for example, connected
locally euclidean with a Green function) which
will
be
K(x, y ) =
.
M. Brelot
6
.
= G(x, y ) / ~ ( xy, ) (y E R)
T h e r e exists a unique compact space 0 0 (up to an homomorphism) in which R i s dense, such that all functions
x
j K(x, y)
A = 6 - R . We denote by a,
the new boundary
X
points
may be continued continuously and s e p a r a t e
such
that
harmonic function,
the corresponding
i. e .
such
function is proportional. Now
that
any
the s e t of
is a minimal
K(X, y)
other s m a l l e r harmonic
any harmonic
h
>O
> 0 has a unique r e -
presentation
ph
where
. If and the base
is
a
Radon
B
of the functions
on
a
CHOQUET to
equal
to
,
but supported
1
B
of the extreme points of
space of the differences
and of
>O
we consider the cone of the positive harmonic functions,
corresponds to the s e t
led
measure
Al
at
yo
in
the vector
,
of positive harmonic functions. L a t e r , this
a general and deep
study of the extreme points
a corresponding integral representation,
probably
the most
important discovery in analysis in the l a s t twenty y e a r s . The Martin topology allows a
is not sufficient for a come back l a t e r on
Dirichlet problem with
A
study of behaviour a t the boundary. We
, but
shall
that point with recent results.
Let us complete the period 1940-1955. Another axiomatic effort i s the study of CHOQUET
( [9] )
of the notion
of
capacity, which
has become a basic and general tool in analysis. Let us mention finally a n attempt
by TAUTZ of
an axiomati-
zation of harmonic function, which i s valid for solutions of equations of elliptic type, by starting from an abstract Poisson integral. That was
the beginning of
important r e s e a r c h e s I shall now speak o f .
M. Brelot
4. -------------M o d e r n p e r i o d p -------r o m 1955) : Probabilistic interpre-
t a t i o n , H u n t ' s k e r n e l s , m x i o m a t i c s of h a r m o n i c ................................................
and
superharmonic functions, Dirichlet spaces, boundary .................................................. b e h a v i o u r of f u n c t i o n s . ..................... I
already mentioned the researches on Dirichlet spaces S t a r ~
ting from [2], to be developed here by DENY , and also the work which continues on kernel-functions and deep discussion (CHOQUET [lo]
, CHOQUET-DENY [ll]
DE [20] , DURIER,
on principles
, NINOMYA, KISHI, FUGLE-
. . .) .
But the most striking new field in potential theory is the rich connection with probability. It i s not surprising, when comparing the mean value property
of harmonic functions,
and the fact that in a
brownian motion the probability of the motion from a point is the same in all directions. DOOB deepened this remark, and founded the modern field of probability-potential theory. starting from a
few axioms, a little like
Let us mention only that, TAUTZ, he defines ([14])
axiomatic harmonic functions in a locally compact metrizable space, and
...
x1,x2, , , . , x , and open s e t s (regular, n allowing a Dirichlet problem, with a unitary harmonic measure)
considers a sequence i. e.
... .
w a x with dw 3 x 2 , w 2 3 x with r)w 3 x 3 , The har1 1 1 2 2 monic measure on 3 wn-l at x will be taken a s probability n- 1 of choice of xn€)wnA suitable Markov process corresponds
.
to this
'Itransition probability1I. Under
some conditions, DOOB stu-
e s the values of any corresponding superharmonic function along the corresponding trajectories, and finds the existence of a
limit
for Italmost a l l u trajectories. I was s o much interested in the starting axioms of these general axiomatic developments
that
I
deepened the question, and by changing
M. Brelot
more o r l e s s the axioms and sometimes adding one, I tried to develop a theory close to the classical one,
a s follows
( [ 5 ] ) : in a connected,
locally compact, but not compact space R , we consider on any open set a vector space of finite r e a l continuous
functions (called harmonic).
They must define a sheaf (axiom 1). As axiom 2 , existence of a base of a unique solution of
l l r e g u l a r ' ~ o m a i n s , i . e . such that there exists
a Dirichlet problem (increasing with the finite
continuous boundary function) set to
we suppose the
. As axiom
3, any increasing directed
(or equivalently sequence) of harmonic functions on a domain tends +a,
o r to a harmonic function. Note that the quotients by a finite con-
tinuous h harmonic
>0
give another sheaf satisfying the axioms ; if
h
is
R , we get a case where the constants a r e harmonic (as
DOOB supposed)
.
Easy definition of superharmorlic function of potential (i. e . superharmonic with every harmorlic minorant stence of a potential
>0
and often
< 0)
: By supposing the exi-
a countable base
in
R , a lar-
ge development is possible a s in the classical case (Dirichlet
problem
with resolutivity theorem ; lattice properties and extension of the Riesz-Martin representation ; thanks to extreme elements, Martin boundary in case of proportionality of the potentials with point-support and corresponding Dirichlet problem "axiom D* (dominatinn axiom) , part of the classical theory
. . .)
; with
a supplementary
it i s possible to adapt the greater
(first the great convergence theorem with
its consequences). See C5].
Many important parts o r complements
were given by Mme HER&
[21] with a theory
BOBOC-CONSTANTINESCU-CORNEA,
of an adjoint sheaf,
GOWRISANKARAN, LOEB, B.
WALSH (with the role of nuclear spaces and cohomology) , MOKOBODZKI, D. SIBONY, A. de LA PRADELLE
(quasi-analyticity), TAYLOR,
M. Brelot
etc. See
[61
. It is easy to see that the
solutions of elliptic partial dif=
ferential equations of 2nd order, with smooth coefficients, satisfy the previous axioms. The same i s true, but difficult, for discontinuous coefficients with suitable definitions, a s was proved by Mme H E R V ~ . This allows simplification of the difficult direct study of these equations (see STAMPACCHIA [34])
.
Now the solutions of parabolic equations do not satisfy the previous axioms-(actually 3 and D), whereas they did a least for the heat equa= tion in the Doob's axiomatic. Therefore H. BAUER, in order to gather all these possible applications, weakened the previous axioms by repla= cing the third one by
weaker versions of a Doob's cconditions, by adjoi=
ning another one implying a maximum principle which is a key to our classical and axiomatic theories (see a final form of the
Bauer's
axiomatic, in [I] ). He succeeded in extending nearly all the previous results
inde=
pendent of D, except those depending on the Choquet theory of extreme elements. The corresponding integral representation (generalizing the Martin-Riesz one) was made l a t e r by MOKOBODZKI, but cannot be gi= ven in the same useful form. Further important complements were gi= ven by various pupils of BAUER (HANSEN, HINRICHSEN, GUBER, SIEVEKING, BLIEDTNER,
...),
and weaker axiomatics were also con=
sidered (BOBOC-CONSTANTINISCU-CORNEA). The course of BAUER will develop partly his axiomatic, and give shortly relations with Markov processes and probabilistic interprez tations of some key tools of potential theory. The research of sheaves satisfying these a ~ i o m a t i c s , o r even wheaker ones, has been undertaken by BONY( [3])
. For smooth functions
in
M. Brelot
n
R , it is very interesting t o see the identity with solutions of a suita= ble partial differential equation of 2nd order. A deep discussion of relations between the previous axiomatics and partial differential equa= tions (and more precisely a characterisation of various axiomatics by different differential operators) will be given in the course of BONY. The previous theories have a local character. It remains essentidly to speak of the fundamental globalHuntts theory of kernels ( [23J ) , published in 1957158. Avoiding any details and restrictions and speaking roughly, let us consider for a space R (abstract o r locally compact) a measure depending on a point
L ,+
X
x E R , that i s written also N(x, e ) , called a kernel.
Given a function f >, 0, we associate the function Nf=
I
o r with another common notation
0 ,
f(y) N(x, dy)
we associate the measure
. Given a measure
that contains nearly all basic notions of potential theory. F o r example, in the classical case ( ~ 3 newtonian , kernel-function I / let us choose N(x measure). Now,
, e)
Nf =
=
1, (11 I
(f/
x
I x - yl
-
yl
) d h (y)
( d
Ix
A.
-
1
)
,
Lebesgue
) d h (y), which is the newtonian
potential of the measure with density f
(relative to d h ). Then
It is a measure with a density which is the ordinary newtonian potential of 8. In a difficult theory, HUNT
[23] shows that under c e r =
tain conditions (satisfied in our applications), there exists for an N a semi-.group P (t > 0) of kernels (i. e. satisfying P = Ps. P with t s+t t a suitable convention) such that
M. Brelot
Corresponding excessive
functions a r e defined for f >, 0 by the
conditions
&,- Pt
and
f = f
.
In case of equality, f is said t o be invariant. When an excessir ve function f >, 0 has no invariant minorant
>, 0, except
0,
it is
called a (probability) potential. Now under suitable conditions, P may be interpreted a s the t "transition semi-group1' of a Markov process. Details will be found also in the books of P. -A.
MEYER ( [25]
,
[26]
), and given in
BAUER's course. Then MEYER proved that in the axiomatic I had developed, and BAUER will show it is the same in his one, hyperharmonic non-ne= gative functions a r e the excessive functions corresponding t o a suita= ble family { p t \
.
Hence the probabilistic interpretation of the axio-
matic~. The previous local o r global theories study the cones of hyper= harmonic o r excessive functions. The inverse problem
of starting
from a cone of functions, and studying when they a r e hyperharmonic functions in a local axiomatic, o r excessive functions in a suitable even extended Hunt's theory, was studied by MOKOBODZKI and D. SIBON'J. The f i r s t problem (
[2g )
i s closely connected t o the mini=
mum principle, the second one will be
deepened in the course of
MOKOBODZKI. We a r e in the heart of the latest general researches in poten= tial theory. Thece a r e important questions that were mentioned very
-1igntly o r nor at all in this
survey, for instance further connections
M. Brelot [26]
with probabilities (see MEYER [25] , BLUMENTHAL, K. ITO,
, DYNKIN, GETOOR,
...) and applications t o
function theory.
(See old classical results in the book of TSUJI [33] dern
, and mo=
developments in the lecture of DOOB, Colloquium on potential
theory, Paris-Orsay (1964) , and in a survey of BRELOT, Colloquium of
Erevan (1965). ) Let us emphasize only, among the roles of topology, the que-
stion of the behaviour of some types of functions connected with poten= tial theory at a suitable boundary. A course on that subject would ha= ve been desirable too, because of the possible
improvements, comple=
ments and applications. But that would require a large knowledge in potential theory, and basic courses had first to be developed. However I would like t o give an idea of this question by means of examples. Aside of the use of the s o called Choquet boundary and Kuramochi boundary, let us consider first the classical case, the Martin space
&
, the Martin boundary
, and its minimal part
nl .
Thanks t o a notion of thinness of a set at any x E A (NfiIM [28] ), the fine topology introduced on in such a way that v/h (
v
has a fine limit at any x E
n
may be continued o n n
v superharmonic
3 0, h harmonic
4 , except on a set of
ph-
uAl.
>0 )
measure 0
(DOOB [15] , [16] ). That is true also for v = BLD function , h = 1 , o r v = h - BLD function in a suitable sense. As a smooth euclidean boundary is homeomorphic to the Martin boundary, the general results imply and extend old Fatou theorems for the disk ; in the case of the disk, the general results yield
angu=
l a r limits for harmonic functions, radial limits for superharmonic
M. Brelot
functions. There a r e of course
applications to and contacts with func=
tions of a complex variable, and maps between Riemann surfaces (for these maps, see CONSTANTINESCU-CORNEA in pure potential theory, and DOOB in probability), and let us suggest that the detailed theory of
cluster s e t s had t o be adapted with the previous fine topology (Sy=
stematic adaptations were made in the frame of the axiomatic of B r e = lot, with applications t o the correspondence between two such "harmo= nic spacesH (CONSTANTINESCU-CORNEA, D. SIBONY) and to partial differential equations, but
probabilistic interpretations a r e incomplete. );
see [6] and also a detailed survey, with an abstract axiomatic intro= duction and bibliography in [7] May these
.
preliminares help lecturers and audience, and
suggest also new research.
M. Brelot
SHORT BIBLIOGRAPHY (Some classical fundamental works and recent basic o r introductory pa=
1
BAUER (H. ).
-
Harmonische Ragme und ihre Potentialtheorie. -
Berlin, Springer-Verlag, 1966 (Lecture Notes in Mathematics, 22). [2]
BEURLING (A. ), DENY (J. ).
-
Espaces de Dirichlet. L e cas
ClCmentaire, 'Acta Math., Uppsala, t. 99, 1958, p. 203-224. [3]
BONY (J. -M.). - DCtermination des axiomatiques de th6orie du potentiel dont l e s fonctions harmoniques sont differentiables, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, t. 17, 1967, nol, p.353-382.
[4]
BRELOT (M.). - Familles de Perron e t probleme de Dirichlet, Acta Scient.
[5]
Math. Szeged, t. 9, 1939, p. 133-153.
BRELOT (M. ). - Lectures on potential theory. - Bombay, Tata
,
Institute, 1960 2nd edition : 1967
(Tata Institute..
.Lectures
on Mathematics, 19). [6]
BRELOT (M. ). - Axiomatique des fonctions harmoniques. Cours d16t6 1965. - MontrCal, Les P r e s s e s de 11Universit6 de Mon=
,
trCal, 1966 2nd edition : 1969
(SCminaire de MathBmati=
ques sup6rieures, 14).
[I]
BRELOT (M.). - La topologie fine en th6orie du potentiel, Sym= posium on probability methods in analysis [1966. ~ o u t r a k i ] p. 36-47. - Berlin, Springer-Verlag, 1967 (Lecture Notes in Mathematics, 31).
[8]
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" ~ thCorie a moderne du potentiel, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, t. 4, 1952, p. 113-140", and l a t e r a course of BRELOT "Elements de l a theorie classique du potentiel,
4th edition.
- Paris,
Centre de Documen-
tation universitaire, 196911. See also a book in Russian, of N. S. LANDKOF: nFundamentals of modern potential theory
- Moskva,
Izdatel. Nauka, 1966"
Let us mention the Seminars on potential theory o r probability, in P a r i s , Strasbourg, Erlxigen, and the Annales de ltInstitut Fourier ,
M. Brelot
which have been publishing, for a long time, many important papers on potential theory, for example those of a Colloquium on this field in Paris-Orsay (1964), vol. 15, 1967, no 1.
CENTRO INTERNAZIONALE MATEMATICO ESTIVO (C. I. M. E. )
H. BAUER
HARMONIC SPACES AND ASSOCIATED MARKOV PROCESSES
Corso tenuto
a S t r e s a dal 2 a1 10 luglio 1 9 6 9
HARMONIC SPACES AND ASSOCIATED MARKOV PROCESSES by Heinz BAUER (University of Erlangen-Ndrnberg)
These lectures should be understood a s an introduction (mainly for non-specialists) to one example of a so-called axiomatic potential the0 ry, namely the theory of harmonic spaces and t o the relations of this theory with the theory of Markov processes. The notion of a harmonic space arose from the study of elliptic and parabolic linear differential equations. Potential-theoretic aspects of the theory of Markov processes have their origin in the study of Brownian motion. This particular Markov processes led to probabilistic interpretations of many facts from classical potential theory. Many of these interpretations will be proved h e r e in the homework of harmonic spaces. The lectures a r e organized a s follows; After a short introduction to the notion of a harmonic space, we present in a very condensed form p a r t s of the theory of these spaces. We then describe the construction of of kernels and their interpretation a s an associated semigroup ( P ) tt s the transition semigroup of a Markov process. Then a collection of important notions and results
from the theory of Markov processes follows.
In a final paragraph, the most important potential-theoretic notions find a probabilistic interpretation. We have made no attempt to reproduce proofs of results which can be found in books o r lecture notes. However, we included all proofs of additional results in the theory of harmonic spaces and all proofs concerning the equivalence of potential-theoretic the detailed construction
of semigroups
reader is referred to a paper of
and probabilistic notions. For and Markov processes the
W.HANSEN r133
.
H. Bauer Throughout the paper we shall use the following notations and conventions. Functions with values in the s e t (resp.
of extended r e a l numbers) will
(resp. numerical) by
3
=
be called real-valued
functions. F o r a topological space
(resp.
g (T)
of r e a l numbers
R
Pb =
e b ( ~ ) )the linear space
T
,
of all continuous T. If T is
(resp. continuous and bounded) real-valued functions on a locally compact Hausdorff denotes the linear compact support tion
' A in
by
or
A
.
+
of
all
(
%(T)
functions
f
(resp. vanishing at infinity). The
{t E T
, i.e. the set
f : T--.
denoted
space
gc '
space ,
f will
. If
is
a set
denote fhe set
of
: f(t)
of
f
we denote
( r e s ~ .yo = (B,(T)) g ( T ) with support
of func-
0) , will always be
numerical
functions,
all non-negative
functions
H. Bauer
We shall r e s t r i c t the discussion to the type of harmonic
duced
.
[I]
spaces treated in
Extensions to the more general type intro-
BOBOC-CONSTANTINESCU-CORNEA
by
HANSEN1s theory of harmonic kernels Let
X be
a
base , and denote open
by
(resp.
C
U
associates to each
of the linear space on
U
.
on
U
. % will
'&(u)
of all
of
%
be called a
sheaf
The elements
real-valued functions) if i t has in ties
) the s e t
.
/ 6
if it is locally harmonic on Ux
C
harmonic on
U )
.
A
X
U
such
harmonic space
with countable.
of
X
. Let
% be
U E U a linear subspace
continuous real-valued functions will
be called
harmonic functions
(of linear spaces of continuous addition
the following two proper-
U to a subset
on
U 1 ; a function h is harmonic on U E %
i s harmonic on
neighborhood
space
of all open (resp.
(i) the restriction of a harmonic function
Ul E
even to
possible.
locally compact Hausdorff
and relatively compact) subsets
a mapping which
are
[2]
and
[5]
is
(in the sense: each
U
that
a
the restriction
pair
( X , s ) where
additional properties. These properties will
x e U has an open of
h
%
to
U
X
has certain
be present in the following
two fundamental examples: El) on U ,
i.e.
defined
on
X = all U
E2) X =
R
= set of all classical harmonic functions
;
solutions of the Laplace
equation
a h =o,
. R n t1
;
xu = set of all
is
solutions
of the heat
H. Bauer
3h -
.
on U 'n+l The following notions prepare the formulation of the additional
equation
Ah
=
%
properties of
A
V* of
:
is called regular if the topological boundary
set V E %
X is non-empty and if (i) the first boundary
V in
problem (Dirichlet problem) fE g (v*) , each
v /u >, X
v H )o
(ii)
for
XEV the mapping o
v*,
on
has
the
HY
a unique solution all
v f + H (x)
.
f E xt(v*)
f
defines a
harmonic measure
value
f o r all
Obviously, for Radon
V and
for
measure x E V.
By definition, we have
A regular regular
set
A function harmonic
for
all
set
of
UIZ
* xu
harmonic
on
sets
u : U+] - m , U
V
if
it
which
is
+ m]
lower
a r e regular
on
UE
on
called
a r e finite on
U.
8
will
a
is called hyper-
semi-continuous and if it satisfies
in
U
and
all
.
these functions will be denoted by which
is
UE
for some
.
U
in
-V C U
V satisfying
densetsubset of
denote the s e t
x (V.
The
Functions
U
-
a r e called super-
of these functions.
Obviously, we have
Finally,
a function
p G
dX
is called
a
potential
(on X) if p ) o
H. Bauer and if
h =o
o< h< p
.
is
the only harmonic function
@ = PX
will
on
X satisfying
denote the set of all
potentials on
1. --- -1. - Definition: The space (X, % ) (or, briefly X) a harmonic space (with respect to the sheaf ;)&) i f
X.
is called satisfies
the following three axioms : Basis axiom:
The regular s e t s f o r m a base of the space
Doobts convergence axiom (K ) :
F a r each
D
ce
(hn) of harmonic functions
lope
h = sup
of
i. e.
U(X) V(Y)
f
for
U(Y)
(a)
xf y
set U
increasing sequen-
U E U the upper
enve-
it is finite
provided that
.
U
Separation axiom: nearly,
a
is harmonic on
h
n dense subset
on a
on
X.
in
* adX X
separates the points there exist
u,
* v 6 a&
X
of
X
li-
such that
.
V(X)
(b) On each
UE
UC
there exists a strictly positive harmonic
function.
is called a
X following
p E
6)
In example
E
such that
p(x)
Rn
harmonic
to
U);
every
space
UE%
is
general classes of elliptic harmonic spaces ,
there exists
X=
a
for nt1
n is
>, 3, a
example E
is harmonic C
xE X
is harmonic;
is even a strong harmonic space. The space
a
addition the
>0 .
the space X =
1
strong harmonic space in
to
if in
positivity axiom holds : For each point
a potential
R
strong harmonic space
see
even
Every open subspace U of 2' (with respect to Cbd restricted
a strong
and parabolic
harmonic space. F o r more differential equations leading
BOBOC-MUST AT^
[6]
and, above all,
the results of
H. Bauer this C. I. M. E. meeting.
J. M. BONY presented at
monic spaces in the sense of potential
-
30
BRELOT
181
a r e strong harmonic spaces in
with
a
Har-
positive
the above sense.
Let us finally r e m a r k that the bulk
of results of these lectures
(sometimes after minor changes) remains valid if
Doobls convergence
axiom is replaced by the weaker axiom
[2a1
Let
us
collect
about the potential
Kl
of
(mainly from [I] )
theory
set
of a harmonic space.
and
mental
system
In particular,
only
V E a ( x ) where
of neighborhoods of
( [I]
x
co,
+ co]
(2) hold for all
a ( x ) is a
funda-
a r e regular
in
which
U
. * u E xu
, I , $3 )
F o r functions lXi m 3 zinf
(4)
for all
]-
this proves that locally hyperharmonic functions a r e
hyperharmonic
1-1 ---
: U+
U E U is hyperharmonic if the inequalities
x E U
p. 16.
some of the basic facts
2.1 A lower semi-continuous function u ---on a
.
u(x) > o
for
called boundary minimum principle,
, U& all
U
, the implication
z E. U
+
u>o
,
holds under each of the following
assumptions :
- p(x)
(i)
U
(ii)
there exists a potential
for
all
is
relatively compact;
x 6 U
.(
p
on
[l] , 1. 3.6
and
X
such
8 . 4 . 3)
.
that
u(x) ) -
H. Bauer
F r o m the sheaf-property follows that for ea.ch numerical function u
on
u
X there
restricted
exists a
to
smallest closed
is harmonic.
CC(U)
( o r potential-theoretic support) of u.
set
C(u) . . such
C(u) is called
This
notion leads
that
the c a r r i e r to the
following
u> o
223 ---
Domination principle:
on
X
and
U(X)
2
(5 Proof. open
set
each
p(x)
F o r each hyperharmonic function pr
potential for
all
x E C(p)
The function w(x) = u(x)
U = [ ~ ( p ) and
* z 4 U c C(p) ,
we
obtain
->
63 n % (X) ,
-p
- p(x) on
U
+ u ->
we p
have
on
X
.
is hyperharmonic on the
. Furthermore,
f r o m the continuity
of
for all
p
lim inf (u(x) - p(x)) = l i m inf ~ ( x -) p(z) > u(z) - p(z), o. X+Z,x a u x+z, x E u The result
then
follows from the boundary
minimum principle
(assumption (ii)) . 2. -- -- --4-- Corollary : Assume that a r e hyperharmonic
on
X,
i. e.
the constant
* 1 E % . Then
functions
It suffices to apply the domination principle to function
u = sup
An important
p(C(p))
->
the constant
.
tool for the construction
of
o
hyperharmonic
H. Bauer
functions and, of
a
in
particular of potentials is the reduced function R
numerical function
R
The importance of
f> o on
X. The definition of
f
f
is
already can be observed in the following result:
f
F o r every lower semi-continuous function f
2,5_. ---
R
-> o
on
X ,
is hyperharmonic (2 o) and its c a r r i e r f is contained in the support S(f) of f. If in addition f
the reduced function C(R ) f is majorized by a
point
R
some superharmonic function,
xE X
implies continuity of
R
f
continuity of
at
( [I] ,
x.
at
f
2.5.6
and
2.3.5) For a
strong
each function
t
f E
harmonic space we obtain in
(eC (X)
real-valued potential
the reduced function
on
R f
particular : F o r is
a
continuous
X. ( [I] , 2.5.7)
Among the many consequences of this is
::2--potentials compact
is
dense
(?C
Approximation theorem : Denote by pE
@ n'% (X)
carrier
in
C(p)
(&
0
.
(X)
on
a
strong
the s e t of all
harmonic space X having
Then the linear space
in
the topology
of uniform convergence on
X . This theorem weaker form the definition
was proved
in
where compactness
of
of
63 . However, C
[I]
,
C(p)
2.7. 4 was
in not
the same proof
the slightly assumed in
also works
H. Bauer
with our definition
@C .
of
Another application of
2.5
is the following :
2.7. Lemma : F o r each potential ---nic space
X,
Pn d ( x )
there
such
a
63 n 'e (X)
on
decreasing sequence
a harmo-
( " n ) n c ~ . in
that
p -pne Proof.
exists
pE
% t,(X)
f o r all
n6 N
and
inf p = o n nc N
.
(U ) be an increasing sequence of s e t s in n Uc such that U Un = X , and let (f ) be a corresponding increan sing sequence in %'c such that otf (1 and f (x) = 1 for all - nn x E Un (n a N..) . Then , sup f = 1 and the sequence n
has
all
Let
the required
properties:
From
(I-f )p < p follows n pn 5 p and (by means of 2;5) that is in (e (x) 'n and satisfies C(pn) C S((1-f)p) C . Hence , each 'n is harmonic in Un . Obviously , the sequence (pp) is decreasing
Pfl
Gun
By the convergence on
X
satisfying
since
p
pn = p
on
C
S(fn) ,
then inf
i. e .
p
is n This
.
< p. nFinally, (I-fn)p
p
- pn
o <- inf
is a potential
We shall
zL! ---
axiom,
.
p
make essential use
a harmonic function implies inf
5 pn 5 p.
p =o n Therefore,
has compact support. of the following
Decomposition property: F o r every
finite open
covering
H. Bauer
of a harmonic space
. . .,n
(Ui)i=l, function
s €dX.
in
s
of
t
there
superharmonic
exists
X
and
every
superharmonic
.
a decomposition
s. >, o, i = l ,
functions
1
.. .
s = s +. . +s 1 n , n , such that
(1") Proof. It -
suffices to
prove
there exists an open
since
X
space
such
decomposition
that
a consequence of
. In
5.1.4)
is then evident for
U E $
For
n
sl,
a successive
decomposition
property
By the same reason,
S =s
st
slf also =
of
as
( [I] , t s C SX
theorem
.
After
a sum
s
of
1'
3t
SIC
and
3;
sue
2'
and
1
U1 n
.
Hence ,
steps we
functions
'
such
that
-
n '
CU2
.
s f s, + s v h a t
C(sn)C [ul
s l , . .,S
tUl.
C(s0) C
arrive at
.
such that
C(s7 C
U, , it follows from
in
s=s ts 1 2
this result leads to the
El s
The
n = 1 and for n = 2
such that
C ( s 2 ) c E2
is harmonic in
U2)
of
C(SI)C
s
+
t
There exist
:
there exist
is harmonic
[ (U1 U s
2
s2c 4
application
s = s + s1 , 1
Since
.. ., n .
i = 1,
Mme H E R V ~ I S decomposition
there exist
c(sicEi
of the normal
. . . ,n
Y)i=l, holds for all
a simplified form this theorem states that for
and
-> 3
covering
U; C Ui
property
(10) in the weaker form
a
L
n [U2
=
representation
H. Bauer
satisfying
Hence
zi
C(si) C
for
s@) is harmonic
,
all
i = 1,
on
X and
. . ., n
and
is a decomposition of the required type.
Remark. sl,
. . ., sn
a r e potentials if
consequence of
specific order and s, t E
s
the inequalities cone
d
denoted
by
On the convex
$+
s =s
In the decomposition
if and
only if
uniquely determined)
is
+. . .t s n
1 potential
a
-
the intrinsic
. Hence,
4
t =s
+ to
for
.
X
some
.
holds for tf E d
. We claim
3
This is a
order is called the
s 4t
Theorem : F o r the specific order,
2_,2 ---
on
i = 1 , . . ., n
o< s. < s , 1
the functions
is
X
a
(which i s
(conditio-
nally complete) lattice. The proof
X
a s given
Corollary 1 : The set
lrlCl - - - --
space
is the same
a
is
sublattice
@
in
[8]
1
pi t p Z and
p
2
is
a
.
of all potentials on a harmonic
of
One only has to observe that for potentials s um
, p. 89
potential
in the specific o r d e r
( [I]
.
PI, P2 E: P
, 2.4.7') which
the
majorizes
H. Bauer z,l! ---- Corollary 2 :
has the Riesz
ty, in the specific order,
P'(P~+
potentials satisfying that p1,h
qi \< pi
. .,Pn,
= ql+.
q
i.e.
for
every triplet
p2 there exist
.. ., 9,
p, pl, p2
potentiah
of
q such 1' 2 More generally, if
+ q2 ' 1 a r e potentials such that
(i = 1, 2) and
decomposition proper-
p =q
pl+.
q
. .+pn
. .t q m
=
<
then there exist potentials pij, 1 i n, 1 Q m, m n such that pi = P . . and q . = p.. holds for all i and j . j=l 4 J i=l 1J This is a well-known property of convex cones which a r e lattices in their
1
proper order (see (73 )
.
Closely related to
2 . 8 is finally the following result :
2.12 ---- Lemma : F o r every potential p on a harmonic space X there exists a specifically increasing sequence (p ) of potentials with compact n c a r r i e r such that p .(p holds f o r all n and such that (p ) converges pointwise to p. n n Proof. Let (U ) be an increasing sequence of n covering X. Mme HervC's decomposition theorem does
not
C(pn) C
only lead to potentials
Yn
can Pn p which
and
be chosen a s means
p
= p(x) t t l ( x ) f o r
all
called
Un
the smallest of p,
we
have
Un , hence
of
4 t for every t
"n"ni-1 (pn) i s C(qn) c
on
satisfying p = p t q n' n' n n ' It states more precigely that
n
n E Un
( [I],
E
and some
3
p
satisfying
tlE
Since p and
Un
- majorant
X. From
Un
of
t(x) =
du
(those t a r e n then is specifically
n+ 1 hence
a
U -majorant n for all n
and therefore qn )q n t l increasing and (4,) is decreasing
C
U 6 n c 5.1.4)
p
the specifically .smallest
- majorants of p) . - majorant of 'nt 1
In particular, Because
tun .
C(qn) C
sets
.
.
inf qn is harmonic on each n€ N o < inf qn < p then follows inf q =o n
,
H. Bauer Therefore, sup pn = p
We
Let
X be
a
shall
denote
by
$ -measurable Banach
locally -
(p ) n
functions
space with
has all
the required properties.
compact space
3 the db) the set
6 (resp.
and by
and
on
@'-algebra of
X
respect t o
with countable base.
of all
all (resp. all
. db
the
Bore1 s e t s of X , bounded) numerical
will be considered a s
usual
a
point-wise operations and
the sup-norm
zL 1: ---V: all
X x
B E
8
A
- kernel
-)
8
R+ such
that
B I+
and
X or
(X,
8
x I-+ V(x, B) i r
V(x, B) is
a
is a
mapping
13 -measurable
positive measure
for
on
'$
.
x eX
for all
V on
V can be viewed a s
a mapping
of
6'
into
@+
by
defining
In particular, of
a
set
V1 (x) = V(x, B) for the indicator B
86
19 . Obviously,
V:
63'4 63'
positively homogeneous. A
kernel
V is
said to
be bounded if
function
B is additive and
H. Bauer
(12)
sup V l ( x ) X€ X
Obviously, and
'(Bb
V :
V on
b is
X
V1 = 1).
is
Vf
defined by m e a n s
is
positive
called
a
now on ,
(even in
linear
of
<
+m
(11) f o r
if
. all
.A
mapping
sub-Markov ( r e s p . Markov)
feWb,
kernel
V1 < 1 (resp.
kernel is bounded.
x)again
X = (X,
The following theorem shows defines
V(x, X)
then
Each sub-Markov
From
sup x EX
=
that
be a
harmonic space.
e v e r y finite potential
a unique way) a c e r t a i n
kernel
p
on
X
.
3--. 2 Theorem (Mme HERVE) : F o r e v e r y finite potential --on X
a
harmonic space
such
v1= p fed;
f o r each C(Vf) c S(f)
Proof. uniqueness
of
V on
,
;
Vf
a finite potential
is
such
that
is bounded V(
V will
b) C
be
see
MEYER
V
is
i& (x)) .
said to be associated t o
We indicate a proof V
( r e s p . continuous) then
for the existence of [16]
p. V
. For
the
.
if (P l ' . . . ' p n ) will be called a decomposition of p is a finite number of potentials satisfying pl+. . .+pn = p.
S=
. . ., 'n
p
(resp. satisfies
The kernel
pl,
a unique kernel
.
If in addition bounded
exists
that
(13) (14)
there
X
p
H. Bauer
Another
J ( b l
each
follows from
2.11
directed
<.
by
8E A
For
-V 5 f where
5
decomposition
.
that
the sum
the s e t
and
. .,p m ) is
, we
Then
all
-d
5
be finer than
.
Then
it
decompositions
of
p!
1
p
define
f(C(q)) q , V f =
dl<
to
said
certain
of
A
%+C
f E
of
is over all potentials
the s u m
position cf
is
pi
inf
=
= (pi,
sup f(C(q)) q
q
appearing in the decom-
implies
Furthermore,
-d
v
(16)
f
But for given
- v-d
f
E >o
and
-<
p.
f
r
. . ., n.
position
d
. . ., n .
Hence
= (ql,.
we
obtain
Denote by
Vf
of potentials, a
this
f(C(q))]
C(qi) C Ui , i = 1..
(15) and
S
V f =
inf
-
.
-5
V f
668
-<
Obviously,
(Ifllp V
-< . So is
.
V -f
Ilfll p. Hence V
is
..
(16) that
common function. Each
hence a potential
potential
.
such that
from
SEA
0f
inf
, there exists a finite open co-
Cc
. ..qn) E A
sup
into
-
U = X such that sup f(U.) - inf f(U.) < E , n 1 1 By the decomposition property 2.8, there is a decom-
i = 1 ,
is
t
f(C(q))
. . .U
vering
Vf
s u p [sup
a
positively
is a finite sum by
mapping
(15) , also of
homogeneous.
\&+C Because
is
H. Bauer
5 V V is
xEX
X
such
< xJ (fig) 5 V-d (f+g) 6 T+f
-
by the Riese
+
there exists a unique V f(x) =
that
We write
(g)
% C . Hence,
additive on
for each
5
1
(f) +
Vo(x,B)
/f
f o r all
representation theorem,
px2 0
Radon measure
d p X holds
=p (B) X
+ vJg ,
for
all
.
f E %:
BCX
Bore1 s e t s
0"
and
then
have
Because V has
of all
( l l ) , we
write again
desired properties. In
V for
V
and prove
0
particular,
V
that
will be a kernel
(14) holds since potentials a r e lower semi-continuous and hence Borel-measurable. Obviously,
Vl
,< p
Vf 4 [If 11 p
since
holds for all
fE
8'
c' we know the existence of a sequence (p ) of potentials n with compact c a r r i e r C(pn) such that pnT p and pn.( p , i. e. From
2.12
.
q for all nE N Denote n now by 5 the decomposition (p ,q ) and by f a function n n n in %+ satisfying o( f 1 and f (n) = l for all C n a" x E C (pn) Then ,( 1 f ,< V f ,< V1 for all n which in 'n n n the limit gives p 4 V1 , and hence equality (13) pn
+ qn = p holds
with potentials
<
.
.
(13) implies in f €
t
(Bb . Hence
particular
(14) will have
is hyperharmonic
for
all
V f ,( V \If
been
proved
I( =
if
6 . Assume t
fC
is lower
semi-continuous; Then there exists an
(fn) in
gCt such
Vf
that
is hyperharmonic
as
f
?'
f
n limit
. This of
an
[If[\ p
we first
implies
for
all
show
that Vf
that
f z 63:
increasing sequence Vf
Vf , hence n n increasing sequence of
if
H. Bauer
fC
of potentials. F o r arbitrary Vf
~ ( l l lj-f
?
Q
is the set of all lower semi-continuous
Q
Y E6:
we have
= inf
'Q where
6:
majorizing
f
. Hence,
Vf
and
functions
(by the same reason)
b] , p.
f ) a r e nearly hyperharmonic functions in the sense of
45
which means that lower semi-continuity is missing. F o r a numeral function fa0
4 f on of
X , the
on
f
X
greatest
is denoted
. By
[I]
by
f
and
semi-continuous
function
called the regularized
[I]
and
2.1.1
,
lower A
function
, p. 48 we can conclude
that
implies and
that tk,
gularized
wo regularized functions a r e hyperharmonic.
functions minorize the original A
Vf = V f (and ~ ( l l 11f -f) = V
imply
Since r e -
functions, the two equalities ?
)
.
This proves that
V f is hyperharmonic. It follows from dedness of t llfll
~f
V
(13) that boundedness
. Continuity
implies upper
forall
t
f€ab
p
together
semi-continuity
with
p
implies boun-
Vf =
- ~ ( I I f l l -f)
and hence continuity of
.
The remaining proof be left to
of
of
the reader. It
of
C(Vf) C S(f) for
follows from the argument
all in
of(14), the convergence axiom and the following r e m a r k :
ff
4;
will
the proof
H. Bauer
Remark: ------------- F o r all p
we
functions
and all
C
where
f' 1
the sum
is taken
{ f > of .
C
From
.
only over those this
Corollary :
sequence (fn) in It is
our
from t
63 b
d
f o r all
finite sequences
V( 6 ' )
C
(14) and
with
intention
for which
follows since
F o r every finite potential
associated kernel satisfies This follows
q E
the result
.
z53_ ---
f E
+
to prove
as
by
. .,n'
X
the
.
%:
Vf = sup
63'
ql,.
on
p
Vf
upper
that
for every increasing
n
envelope.
a special choice of
will enable us to redefine the non-negative hyperharmonic
X
of
f shows that
C(ql+. .+q ) = C(ql)U.. UC(q ) n n of potentials.
on
d
decompositions
have
The definition of
C(q)
t
f c%
means of the associated kernel
. F o r this
we
p
functions introduce
the following class of functions :
2;--4 d c @jt
will
Definition: Let be called
V be
V-dominant
a kernel if
for
on X . all
Afunction f, g
(
at
following implication holds : (18)
d t ~ >f
~ ogn ( g > o ]
3 c i + ~ -f > on ~ gX .
the
H. Bauer
The s e t V-dominant)
will
V satisfies the
8 (X)
tial
This
the
case
We obtain
(e (x)
a
the same
a r e V-dominant
one says
V
associated to
is
lower semi-continuous (18) holds
if
way a s
T4
(b) in
El41 ,
c) C
V(
for
in
a
poten-
function
all
[14] ,
'Bc+ . 203 . One
f ,ge
p.
p. 204.
now
3&5. Lemma : --- -
13 n
o
if
V-dominant
only should observe remgrk
p4
1
as=&(v)).
(resp.
the kernel V satisfies
(p n r& (X) . Then
is proved in
9 = 3 (V)
complete maximum principle.
is
already
(resp. lower semi-continuous
be denoted by
Assume that
which
p E
d 3 0 is
V-dominant
constant functions
&------gmrk: C
all
functions
If all that
of
Let
V be
the kernel associated to
a potential
. Then
and (20)
inf Proof.
{ d ~ o D ( ~ ) : ~ of - d e ' ~f o~ r ~a l=l f oe @ b
Assume that
u(x)
+
Vf(x)
->
Vg(x) holds for
+xx , and f, g + preceeding r e m a r k we may assume f, 'gc . d u + Vf > Vg _> 4: g on { g > 01 for all n E {g
> oj
where
3
u E
E
g
u
+ Vf
is hyperharmonic
as
(corollary 3.3) ; by 3.2, and has its c a r r i e r
C (
sum
6 V_ g
. is
of
6
two in
S 1 g) contained in
the domination principle 2.3
6+ . Because
of the
We then have
A
. The
hyperharmonic
@ fI '& (X)
{ g > 03
, we therefore obtain
all
function
functions
by definition by (17)
.
From
H. Bauer
d
+ Vf -> y g on u + Vf > Vg. - Property u
since
@O g
Vf €
X
for
( ~ ) for
V vanishes
all
t
6 . One
f E
t o have equality
identically, hence
'
s e e that
decompositions $ of p
(20) is an immediate consequence
One cannot expect kernel
all
a particular choice of
p
leads
on X
space
.
and
that
2 . 7 . 3 ) there
exists
a
%
from
functions
( [I]
, 1.3.1)
for
'6&
instead
)
not
But
to of
in
(x,%)
is
1
Px of
order
(X,&)
8* = 9;~)of 9 (V) a s
In this definition
V is
to consider the closure
336 --that
a
strong har( [I] ,
p 0 c g ( ~ ,) one all p-harmonic
t o fulfil the above assumptions
. p, we define
follows :
a bounded kernel -
v(&,J
we shall
is hyperharmonic
In order to describe the particular choice of a subset
(19)
p = o the
very restrictive. Since
the sheaf
and
to equality.
strictly positive potential
can pass;
(X,
(19) : F o r
the constant function
The l a s t condition is
2.7
could even replace
8 (V) = 6'.
F r o m now on we shall assume that monic
in
of
and hence
of
on
X
. So
it makes sense
v ( W b ) in the Banach space B b'
Lemma : There exists a potential
pe
b) fl %
b(X) such
holds f o r t h e
associated
kernel
V.
Proof. F r o m 2.6 w e know --
that
u - v
f o r m l y approximated by d i f f e r e n c e s
@C
{ p 6 an % (X)
=
a countable
@C
in P
(2 = { u;
set such
C(p)
:
compact
C
f E (e
C
of functions
} . Therefore,
.. . ]
, ui,
%C
that
every
8 - 4.
c a n b e uniin there exists
of s u c h potentials ul{ o n (By 2.4 a l l potentials in
a r e bounded. ) Then
C
is
Bn Y ( X )
in
this
potential For
has
the
each
db
c&v)n
and s a t i s f i e s
,
n c
additional
n,w e
andp-u
n
o
C
$)*(v)
c
and t h e r e f o r e
(2-Q We r e c o l l e c t
C
g
have
=
u' E
!
the most
that
p r o p e r t y (21) :
V( 'n (e
show
4 b)
gb) f o r
j
all
we obtain n. Hence,
f o l l o ~ s.
important r e s u l t s of t h i s p a r a g r a p h :
"2
Let
1
n=l
p
n
b e a s e r i e s of potentials which converges on a d e n s e
.
s u b s e t of X Then p = pn is a g a i n a potential is a l m o s t t h e s a m e a s that of [I] , 2.4.7.
. The
proof
H. Bauer
3_&7_ --- Theorem : On every strong harmonic space
X
on which
the non-negative constant functions a r e hyperharmonic there exists a kernel
V with the following properties :
In particular,
.
maximum principle.
(a) since the constant function
V-dominant. A kernel V on
X with these properties will
be called X
the complete
The last property follows from is
1
V satisfies
an
admissible kernel
(bl) implies that
-
Remark. A
the existence of kernel
V which
V
on the strong harmonic space
is bounded.
more complicated construction
a potential
p6
6 Il (eb(x)
beyond the properties listed
with
leads to
[13]
an associated
above hehaves a s
follows :
(22)
F o r each compact set K h
K C X and each neighborhood
, there exist functions t
~ (X) t satisfying C
u(x) = v(x) and
u
u, v E
-< v,
h(x) = o for
8 (V) n 8 (X)
u(x) < v(x) for a l l all
x E U ,
and
U of
and x E K,
H. Bauer The importance of this property will
Consider for
sets
X with
X
of
made clear later.
. Semigroups and excessive functions. .........................
4
space
be
.
l y homogeneous
is
The result
a moment again a general locally compact
countable base
Two kernels mappings
and the C-algebra
V and W on X , viewed a s positive-
&+
of
is WV
Obviously,
dt
into
can be composed.
at
a positively homogeneous mapping of
which itself is derived from a kernel on
This kernel
;8 of all Bore1
called the product
is sub-Markov
WV
X , namely
of
W
(resp. Markov)
both sub-Markov (resp. Markov). Therefore, a family ( P ) of t t cR+
6
into
and if
(in this order).
V W
and
V
are
it makes sense to call
(sub-) Markov kernels on
X a
semigroup of
(sub-) Markov kernels if for and if
P
0
is the identity kernel
I , defined
all
s,
t E I?+
by
F o r such a semigroup there is an important class
of asso-
ciated functions which already by definition is analogous to the class of hyperharmonic functions
->
o
.
H. Bauer t
4.1 Definition : A function --respect to
a
semigroup
f C @iis
(Pt)t>o
called excessive with
of sub-Markov kernels if
7
lim t+o The set of all
P f t
excessive functions will be denoted by
We shall be interested in behaviour in
1)
f.
=
the following
semigroups with good analytical
sense :
Definition : A semigroup (Pt )t>o of sub-Markov is called a quasi-Feller semigroup if
---
Pt(Eo) C lim t-so
(t
Rt),
)IPtf -
there exist functions
E
Zb
kernels
Z n t(XI
P 6
such that
E n .e@
und
p is strictly positive and such
that the s e t {p.qjn{q
is compact for all
931
real numbers d
>o ,
p >o .
F o r more general purposes it i s useful to assume that excessive functions a r e only universally measurable ( [4] [15] ) .
H. Bauer
of the complete maximum principle and the
An application Hille-Yosida
theorem of semigroup theory yeilds t h s
investigations lowing
result
generalizes
compact
of
$;V)
holds
for
X
Then
which
V be
of
as
G.A. HUNT
[14]
a bounded kernel on
5 3.
in
all
f
the
fol-
the s e t s
Assume that
; p. 214
a locally
8 (V)
V satisfies , (c) and
(b')
there exists a uniquely determined quasi-Feller
E
of
on
X
df
and
3.7 on
that
all
x C X.
a s t r o n g harmonic space
Theorem : Let
X
such
this result applies in
properties of such
harmonic space
the
(after some modifications)
with countable base and l e t
(Pt)t>o
admissible kernel
i-t,!- -
[13]
to
link consists in
maximum principle and has the properties
Because
additional
HANSEN
be defined
the complete
semigroup
paragraph. The
Theorem : Let
space
(d) of 3.7
last
a now classical result
4--.3 --and
of the
link
a kernel
V be an
on which
the
particular t o every
X
In view of the
we obtain :
admissible kernel
on
a strong
non-negative constant functions a r e
the corresponding quasi-Feller (Pt)t$ semigroup. Then the following three s e t s of functions coincide hyperharn~onic, and
JC
+X x
=
3s (v)
=
Q pt)).
:
H. Bauer
*
,Xx
Proof. We already know (19) that therefore suffices to prove follows from
(i)
8s C &
the theory of resolvents
and
( [14]
(ii)
. It XX. It
C $,(v)
&
i
C
, p. 199) that each fun-
d
d E b p ( ~ ) satisfies
P d < d(t c R+). SI f o r dE (V) t S lim PLd = d has to be proved in order to only the additional property t+o obtain (i). It suffices to consider an increasing sequence (f-) ction
zec
in
d = sup f
f = n holds for n -B
m
all
. For
semigroup
c%
u Vf
n
limPf t n t+ 0
-<
lim t30
(28) then implies that
P d t
< d -
ng N. F r o m this the desired result follows for
the proof theory
of
( [14]
(ii) one can
use a well-known result of
, p. 196) that every excessive function
is the limit of an increasing sequence
6' .
where
~ ( bf) iC
I,
. The property n
such that
( V fn) of functions
f E This result holds since we know that n t \eb(x) It follows from X that u is an increa V(& ) C
*
.
sing limit of
hyperharmonic functions
. But
every increasing limit
of hyperharmonic functions is itself hyperharmonic.
Remark. Because of
~ ( ( 8c ~% )
it is easy to s e e ( 1131
p. 213) that the equalities (31) also hold if excessive functions a r e assumed t o be only universally measurable.
5
. Semigroups . . . . . . . . . .and . . . Markov . . . . . . processes ......
Markov processes a r e a powerful tool for the investigation of semigroups of
sub-Markov kernels. Unfortunately the definition of this
,
H. Rauer
tool i s because of measurability problems r a t h e r delicate. We shall therefore r e s t r a i n
ourselves from giving a formal definition in all
details. F o r this the reader is refeh-ed t o the excellent monographs and
[4]
. We
[15]
shall adopt the terminology of these authors
and content ou:~elves with a superficial and incomplete description of the notion of
a
Markov process.
Consider for a state space, space
(9,
{X
all
0
9)
, i.e.
.
In
v-
a s index
which
should mean in particular
the usual interpretation on
(0,
x E X the random movement of a w e call
set. Assume that a probability
is associated to each x 6 X satisfying
X- valued random variables
t=o
(0,
with state space
9
X
holds
P
Here
21S
o< t -< s
in
x
at
time
, ( P ~ ) ~(Xt)t>o) ~ ~ . a weak Markov process
(X,
$ ) if in addition is
is the sub- C - a l g e b r a of
of the event
{xle~for
21
8 -measurable
f o r all A E
BE
x CX
- almost surely for all s, t E I?+, and
that
a family of (xt)t>o' , p X ) , describes for given
particle starting
x tP~(A)
(32)
) , called
process (X ) on a measurable t t>o 9 family of @ ' -measurable mappings
a+
= x] = 1
xBX
(X,
and a stochastic
X : R 4 X with t measure pX on PI
moment a measurable space
P'{X~+~E B
{ "S+t
1 21
S
A
and
.
generated by all
X with t denotes the conditional probability
E B ] under the hypothesis
9S
with
respect
H. Bauer
to
pX .')(33)
saying that
is
a
formal description of what i s normally meant by
s
cle after time
is
independant of its history up
only depends on the position
F o r such
defines a (Pt) is if and
a weak
semigroup called
is a
X
the
of the particle at
Polish space,
78
space
X with
its
it
s.
r - a l g e b r a of
Borel s e t s and
of Markov kernels there always
process such
se or details s e e
This result
s,
(P ) of Markov kernels on (X, !$ ) , tt p transition semigruup of the process. Conversely,
weak Markov
semigroup.
time
to time
Markov process
(Pt)t>o a given semigroup
exists a
The movement of the parti-
the particle has no memory:
that
e.g. [3]
( P ) i s i t s transition t , pp. 307-3141 .
applies in particular t o every locally compact the
9
Borel 6- algebra
and every semigroup
of sub-Markov kernels on X. In order to a r r i v e at a semi(Pt)t20 group (PI) of Markov kernels one proceeds a s usual : Let X1= t = X U {A) be the one-point compactification of X ( A is an isolated point
of
is compact)
PI a s a kernel on t XI with its Borel 6-algebra $I by extending P in the usual t way : associate the missing mass 1 - P (x, X) to the point A t and let B'P;(A, 8 ) be the unit m a s s at . The corresponding weak
XI if
Markov
X
process
Markov process with state space
') Hence
and define
will then still be called a weak X and
transition semigroup
(33) states nothin else than
1
pXs {xt E B ] d P" = pX( {
x ~e +B]~nA)
for all A (
vs
H. B a u e r
21
and will b e denoted b y ( 0 , (Pt)t>o t h e r o l e of a n llabsorbing pointN.
, (P
X
IX E X
A
( Xt)ts.
plays
If in p a r t i c u l a r ( P ) is a q u a s i - F e l l e r s e m i g r o u p on X it t w a s shown by HANSEN [13] that the additional analytic p r o p e r t i e s of (Pt ) allow t h e construction of a weak Markov p r o c e s s with ( P t ) a s t r a n s i t i o n s e m i g r o u p a n d with a l l t h o s e additional p r o p e r t i e s (homogenity, r i g h t - s i d e continuous paths, s t r o n g Markov p r o p e r t y , quasi-left-continuity [o,
[)
~ C O
which
on
Lo,
define
(Pt) ,
A,!- - fyng
4.4
, paths with
t h e notion
e x c e s s i v e functions of s u c h c t i o n s of
tcol
of
l e f t - s i d e l i m i t s on
a Hunt
process.
a p r o c e s s a r e by definition t h e e x c e s s i v e fun-
i m p l i e s the following fundamental
Theorem: F o r every strong harmonic space --there exists
I
Since t h e
a Hunt p r o c e s s
result:
X
(fi, 9,( p X )x ,
.,
satis-
with s t a t e s p a c e X whose e x c e s s i v e functions a r e t h e hyper(Xt)t>o) h a r m o n i c functions > o on X
.
Remarks.
1) If one s t a r t s
p r o c e s s with a n a d m i s s i b l e k e r n e l obtains
a
the construction of t h e above Hunt V
which a l s o fulfils
(22) , one
Hunt p r o c e s s whose p a t h s a r e continuous b e f o r e they even-
tually jump t o t h e point
A
.
However, we s h a l l n e v e r u s e t h i s addi-
tional p r o p e r t y . 2) F o r the c a s e of the c l a s s i c a l potential t h e o r y (example
E
1 n> 3 ) t h e Hunt p r o c e s s c o n s t r u c t e d above is not exactly the Brownian motion but intimately r e l a t e d t o it. If one wants in
dimensions
t o a r r i v e exactly a t the Brownian to a r r i v e exactly at the Brownian
H. Bauer motion qne has to generalize some of the e a r l i e r results in order to be able to use the (unbouded) Newtonian kernel instead of an admissible kernel.
6. Some facts about the ~ o t e n t i a ltheorv of a Hunt Drocess
Each Hunt process compact space X with
X
(a, 21 , (P
) with a locally t t>o countable base a s s t a t e s p a c e is the origin ) x E X , (X )
on X. We shall
of a probabilistic potential theory
collcet now some
of the most important notions and facts of this theory. Details and proofs
[4]
can be found in
F o r each Borel
[p] ,
[15] )
A
C
.
s e t (or, more generally, nearly Borel set
with values in
a r i s e and
XI = X U
. The definition
A is
of
defined
the empty set is understood to be
so-called stopping time which means
measurabilty problems
nity
[15]
X the first hitting time of
where the infimum over is a
and
X
that
in X
T~ where again
(~3 T
is
particular
tm
as
. TA
that no
is a random variable
A
is the point at infi-
11. Bauer
A point
x EX
a nearly Borel
set
i s said A CX
to b-
r e g u l a r ( r e s p . ~ r r e g u l a r )for
if X
( r e s p . P ( T =~o ) = X
A x r o - o n e - l a w s t a t e s that the probability attain the values
o
o r i r r e g u l a r for
A. A~
X
in
which
and
E
X
=
o) only can
1,; hence, a point x E X i s e i t h e r regular i ( r e s p . A ) will denote the s e t of all points
a r e regular ( r e s p . i r r e g u l a r ) for
a r e again nearly Borel s e t s . A x
P {TA
0).
if it i s contained
in
set
ACX
A. A~
is
and
called
thin at
a nearly Borel s e t D C X such that
XED', X is called ---finely open i f [A i s thin a t a l l points x € A . F o r a nearly Borel s e t A this means A set
A
C
for all Hence the p r o c e s s
A
(X+) r e m a i n s in
X
P - almost s u r e l y for
all
for
x E A.
an initial interval of time
x E A. These finely open s e t s a r e the' open
s e t s of a topology on X, called the ----fine topology of X with respect to the p r o c e s s . In this topology a l l excessive functions of the p r o c e s s turn out to be continuous
. Obviously,
the original topology of X
the fine topology i s finer than
.
The exceptional s e t s for the given Hunt process, namely the so-called polar and semipolar s e t s , a r e again defined in t e r m s of the behavior of hitting times. A s e t exists
a nearly Borel s e t
D
A C X is called -polar -in
A
such that
AC D
if t h e r e and
H. Bauer
P
(37)
X
{ T < ~+ a ]
= o
for all
Hence, polar s e t s a r e those s e t s in which the process surely never enters at time point
t
-
pX almost
> o for all choices of the starting
x E X.
AC X
A set
is called thin (or totally thin)
tained in a nearly Borel s e t of
x E X.
X, i.e.
called
Dr
= Q'
. Every
if
is
it
con-
D is thin a t all points
D such that
countable union of thin s e t s in
a semipolar set in X. In such a s e t
is
X
S the p r o c e s s (X ) t
only e n t e r s a countable number of times, i.e.
is countable for
px-almost all
w € S1 and all
of a semipolar s e t is finely dense hence dense in
X
in
X ( C15)
x t X.
The complement
, pp. 149, 153) , and
with respect to the original topology.
A typical situation in which semipolar s e t s appear i s the following : F o r every nearly Borel s e t =
A C X , the set
A \A'
=
A 0Ai i s semipolar. All-important for the theory of Hunt processes is the so-called
hitting distribution
of a nearly Borel set
A C X which by definition
i s the kernel P A ( x B) = pX( ( x
(38)
E B) n{TA
<
+a) )
(X
e X, B Borel set in X)
T~
o r , written a s an operator on the Borel-measurable function on
X :
f> o
H. Bauer
The non-probabilistic c a r a c t e r i z a t i o n of t h i s k e r n e l f o r a s t r o n g h a r m o n i c s p a c e is t h e key
t o t h e probabilistic i n t e r p r e -
tation of potential-theoretic concepts on s u c h a h a r m o n i c s p a c e .
Consider now agaii
a strong harmonic space
1
which the constant function admissible kernel
V
on
(X
,%) on
is h y p e r h a r m o n i c ; c o n s i d e r a l s o a n
X , the corresponding
quasi-Feller
semigroup with
(P ) and a Hunt p r o c e s s (0, , ( p X ) t t>o ' x X' (Xt)t>o) (Pt)t>o a; t r a n s i t i o n s e m i g r o u p . Notions like n e a r l y ~ o r e i ,
regular,
-
i?regular,
fine topology, p o l a r , s e m i p o l a r
understood with r e s p e c t
52
In cal
function
for a set
t o t h i s Hunt
process
.
we defined t h e reduced function f>o
etc. should be
R
f
for any numeri-
on X. We now define
X where
is t h e function equal t o f on A and A t o z e r o on [ A . As i n the proof of 3 . 2 we s h a l l denote by A f A t h e r e g u l a r i z e d function of R f . Then is called t h e flbalayeeff f of f on A. We c l a i m
A
C
f"
I\RA
H. Bauer
?--:A.
Theorem:
F o r every nearly Bore1 s e t
every hyperharmonic function
u> o on
X
we
AC X
and
have
(41) P r o of. -
An important theorem of
HUNT
( [15] , p. 139 ; [4],
p. 141) s t a t e s that P holds for =
tions
A RU (4
u (x) =
excessive functions
. In addition,
Ar U [A
for all
u
all
A
x 6 Ar
u
one has
and
all
xe
C (A n Ail
=
( [IS] , p. 137)
. Since excessive functions
and hyperharmonic
func-
> o coincide by 4.4 , these r e s u l t s can be applied to -
txi.
From
the definition of
PA
follows almost immediately
+g
majorizes P u if v A A majorizes u on A. We therefore have PA U < R .But P u u A i s known ( [15], p. 137) to be excessive and hence hyperharmonic, ( [15] , p. 136) that
a function
vc
hence lower semi-continuous. We therefore have
Together
with (42) we
P
A
U
obtain from this =
U(X)
AA
= R
U
(x)
for all x
On the other hand a fundamental theorem about harmonic
A~
spaces
H. Bauer
( [I]
, p. 105) states that A
R
A
By collecting all these
r x EA
for all A
n A'
U[A
A
(x) = RU (x)
U
equalities,
n
[(A
=
i
A)
t
i s semipolar and hence
we obtain
. But
a s mentioned in i (A n A ) finely dense in
AAn
and
a r e a s excessive = hyperharmonie functions AA nuous. We s o conclude that P u = R on all of X. A u
f6
,
X. PA u
finely conti-
what follows. We immediate-
This result is now the key to all l y obtain : 7. ---2 Corollary 1 ----
theoretic sense, only i f
is
A Proof.
P ~ { T< + ~m
(Xt) it follows sense i f
and
i.e.
polar with
= o
only if
. 8.
4.
all
for
polar in
is
some
A
is
the potential-
X' (Xt).
S C t
respect to the process nearly
Borel.
i f and
Since
x E X defines polarity with respect to
(39) that
A
is
polar
in
P (x, X) = P 1 (x) = o for all A A to
This characterizes polarity
, 2
AC X
set
assume that
for
from
(41) this i s equivalent
[l]
A
-1 A C s ( + m)
We may
1
.
of A
the probabilistic
x eX
. By
in the potential-theoretic sense
by
H. Bauer
7---.3 --
P C ~
2 : Consider the hitting distribution -Corollary --
the comp!ement
of an
(x, ,) is for each C u in [I] , p. 120). 1).
P
open
Of
U C X. Then
relatively compact set
p,u
x E I; the harmonic measure
(as defined
X
Proof. We have
for all
w E
+xX . In addition,
Hence for given
holds for a l l uc with
0
xEU
( [I] , 4.1.4) for
g.
+
(see also [I] , 2.7.5
all x t U
the equality
The approximation theorem
a uniqueness theorem of
Remark: ---
we have
2.6
BOURBAKI [7] , p. 56
and the proof
of
together implies then
3.4.1) that
With
the s a m e kind of argument one also identifies A the swept a s defined in [ I ] , p. 115 with the measure - measure p
---"'This applies in particular to the harmonic measures s e t V.
V px for
a regular
H. Bauer
p P A defined
I
.
B+ P (x, B) p ( d x ) A
by
an
In connection with the minimum principle the notion of
is of importance for the theory of harmonic spaces.
absorbing s e t
An absorbing s e t all
xcA
measure
and
'
p x
ACX
is by definition a closed s e t such that for
every regular neighborhood
is c o w e n t r a t e d
on
XEA one has Proof.
A
Xt€ A
px
immediate consequence
Equivalent
to
x
the harmonic
A C X i s absorbing if for all
R+ .
- almost s u r e l y f o r a l l t €
is absorbing i f and only i f
This is an
of
A.
7--. 4 Corollary 3: A closed s e t --points
V
of
the l a s t statement i s
R
[l] ,
CA
or
A
=
1
o
on
A.
1 . 4 . 1 and 2 . 2 . 1
l ( x ) = o forall
xEA ,
for all x € A . Evidently, this is equivalent t o t ( P
+
and a l l
Xt€A
P'
- almost
s u r e l y for a l l
xEA.
We close this discussion
by identifying the probabilistic notion
of thinness with the usual potential-theoretic notion of thinness. subset
A
of
s e n s e ) ( s e e Ll]
X
is called thin a t
x E X (in the potential-theoretic
, p. 107) if
holds for s o m e neighborhood i s equivalent to
A
the existence
V
of of
x. F o r a function
points u g
xE
Z\A
+xi
this
satisfying
H. Bauer
lim inf Y +x YEA
(44)
A
is thin
at
all
u(y)
point
>
u(x)
Cx .
x€
7--. 5 Theorem : F o r every subset --A
x
i
at
x
of
X
and
all points
coincide.
--Proof. A . It~ relies
rather simple proof can be given in the case where on the fact (for a simple proof s e e [4]
, p. 86 )
on the kernel V the fine topology of
that under our assumption
is the coarsest under which
+a%',
A
the probabilistic and the potential-theoretic notion of thinness
x E X of
.
X
all excessive, hence all functions in
a r e continuous. [I] , 3.1.4
states that this also is the po-
tential-theoretic fine topology which is defined like the probabilistic one by understanding thinness in the potential-theoretic sense. Hence
is thin a t
in one of the two meanings
X/A
i f and only if
CA
A
is
a fine neighborhood of x. In the general case we again p. 227
CONSTANTINESCU [lo], ness
of
A
at
x
rely on 7 . 1 by observing that
proved that potential-theoretic thin-
is equivalent to the existence of some
u
%"
+
for which
CA (x) U
< u(x)
holds. Furthermore, it was observed in which i s thin at
[lo], p. 279 that a set A
x can be enlarged to a Borel set
At which still
is thin at x. Therefore, the problem is reduced to the question whether
for a nearly Borel set
A
C
X
H. Bauer
P u(x) A
i . e . for some excessive function, thinness of
A
of
x
PA(x, for
nition means
adX . #
+
caracterizes the probabilistic
a t x. By means of the approximation theorem 2 . 6
(compare the proof of whether
for some u E
< qx)
A
.
7 . 3 ) , this i s equivalent to the problem
) = &
IP
= unit m a s s
at x
caracterizes regularity
(in the probabilistic sense). Since regularity by defi-
pX { T =~ o ] = 1 , this condition is necessary. A proof for
i t s sufficiency has been communicated to
us by Professor GETOOR.
With his kind permission we reproduce his proof: Suppose that
P'{T~ >
01
x/A
FA<
= pX
r
and PA(',
t m) = 1.
.
) =
EX
which implies
Define (by making use of the standard
notation in Markov processes) the following sequence of stopping times:
We then show by induction that
This is true for
n = 1 since
. 5.
PA(x, ) =
But
H. Bauer
by the strong Markov property. and the induction hypothesis.
{
pX TA
other hand, it follows from x ' T ~ = E (e )< 1 and
> o)
On the
= 1 and (45) that
9
which implies
lirn
-
T EX(e n) = o and hence X
lim T = t m n n+ cu
P -almost surely.
X + A for t -+ + m t almost surely. This convergence however is proved a s in [4] ,
This however i s a contradiction to (45) since P
X
-
p. 89
, exercise
4.24
by observing that the proof of this exercise
i s based on the inequality
(46)
inf xEK
valid for all compact s e t s
V(x, G ) > o Kf
G of K. Property
neighborhood
fl
and all
relatively compact, open
(46) follows in our situation from
and V1 (x) = V(x, G) > o for all G G x E G. The last property is an immediate consequence of (28) and the lower semi-continuity of V1
(30)
. In [I]
we defined totally thin s e t s a s those subsets of a strong
harmonic space
X
which a r e thin at all points of
X
in the potential-
theoretic sense. Countable unions of these s e t s were called semipolar.
--- Corollary: There i s identity between totally thin (resp. semipolar ) subsets of X sense
in the probabilistic and the potential-theoretic
H. Bauer
Proof. This a result of
is a consequence of
CONSTANTINESCU
totally thin set in a Bore1 s e t
7.5. One only has to
[lo] , p. 280
saying that each
A C X (in the potential-theoretic sense) (even a GJ
- set)
use
of the same type
is cont~ined
.
Additional results about the behavior of associated kernels and Markov processes and
[12]
.
on a strong harmonic space can be found in
[ll]
H. Bauer BIBLIOGRAPHY H. BAUER, Harmonische RBume und ihre Potentialtheorie. Lecture Notes in Math. 22 (1966).
---------- , Seminar iiber Potentialtheorie. Lecture Notes in Math. 69 (1968) /.
----------
, Axiomatische Behandlung das Dirichletschen P r o blems fiir elliptische und parabolische Differentialgleichungen. Math. Annalen 146 (1962), 1-59.
---------- , Wahrscheinlichkeitstheorie
und Grundziige d e r Masstheorie. W. de Gruyter & Co., Berlin (1968) .
R. M. BLUMENTHAL and Potential Theoty (1968).
.
and R. K. GETOOR, Markov processes P r e s s , New York-London
. Academic
N. BOBOC, C. CONSTANTINESCU and A. CORNEA, Axiomatic theory of harmonic functions - Non-negative superharmonic functions. Ann. Inst. Fourier 1511 (1965), 283- 312
.
MUST AT^,
N. BOBOC and P. Espaces harmoniques assoeies aux operateurs differentiels lineaires du sencond o r d r e de type elliptique. Lecture Notes in Math. 68 (1969)
.
N. BOURBAKI, Integration , Chap. I P a r i s (1965) .
- IV
(2e edition) Hermann,
M. BRELOT, Lectures on potential thory. Tata Inst. of Fund. Research, Bombay (1960, reissued 1967)
.
----------- , Axiomatique
des fonctions harmoniques. Les p r e s s e s de llUniversite de Montreal (1966) . C. CONSTANTINESCU, Some properties of the balayage of measures on a harmonic space. Ann. Inst. Fourier 1711 (1967),
273-293.
..................... Rev. Roum -- --- - - -
. Math.
, Kernels and nuclei on harmonic spaces. P u r e s et Appl. 1 3 (1968), 35- 57.
, Markov processes on harmonic spaces. Rev. Roum. Math. P u r e s et Appl. 13 (1968) , 627-654. W. HANSEN, Konstruktion vonHalbgruppen und Markoffschen Prozessen. Inventiones math. 3 (1967), 179 - 214 .
H. Bauer
[14]
[I 51 [16]
P . A. MEYER , Probability and Potentials, Blaisdell Publ. Comp. Waltham - Toronto - London (1966)
- - - -- --- - - - -
, Processus de Markov. Lecture Notes in Math
26 (1967).
- - - - - - - - - - - - - - , Brelotls axiomatic
theory of the Dirichlet problem and Hunt's theory. Ann. Inst. Fourier 1312 (1963), 357-372.
CENTRO INTERNAZIONALE MATEMATICO ESTIVO (C. I. M. E. )
J. M. BONY
"OPERATEURS ELLIPTIQUES DEGENERES ASSOCIES AUX AXIOMATIQUES DE LA THEORIE DU POTENTIEL"
Corso tenuto a S t r e s a dal 2 a1 10 luglio 1969
OPERATEURS ELLIPTIQUES DEGENERES ASS!XIES AUX AXIOMATIQUES DE LA THEORIE DU POTENTIEL Par J.M. BONY Cette s e r i e d'exposes a pour objet d'etudier l e s liens entre l e s theories axiomatiques du potentiel, telles qu'elles sont developpees dans l e s travaux de Brelot, Bauer,
. . .,
avec l e s equations aux derivees par-
tielles. Issues de l a theorie classique relative & l'equation de La?lace, ces theories axiomatiques s e sont attachees A l'etude des proprietes topologiques (invariantes par hom6omorphisme) c e qui a permis de l e s enoncer sous forme d'axiomes s u r un espace localement compact quelconque. Le succhs de cette entreprise est db
esserlt~ellement au fait
qu'un t r e s petit nombre d'axlomes permet de retrouver presque t o w l e resultzts (topologiques) connus dans l e cas classique. Notre travail s e divisera naturellenen: en deux p a r u e s . En premier lieu, associer A une axionatique de theorie du potentiel un operateur Lu=O.
L
tel quc l e s fonctions harmoniques soient solutions Jl'autre psrt, etant donne un
nes proprietes, s o l u t i o ? ~ . Bien sable donnee
operatex.
1,
pws6:ta:lt
d?
ccrtai-
quels sont l e s axiomes verifies par l'ensemble de entendu, notre p r e m i e r objectif ne pourra %Ire r h l j -
que si nous supposons, non seulemen+ que !'aslomat,ique est s u r un
ouvert
R~
, mais encore quril existe certains n liens avec la structure differentiable de R (existence de suffisamment de fonctions
de
harmoniques differentiables)
.
I1 nous parait r e -
marquable que nous arrivions dans ces conditions A une caracterisation presque complete des divers types d'axiomatiques
(et donc de proprietes
purement topologiques) en t e r m e s d'operateurs differentiels dont structure differentielle est decrite de facon
trGs precise.
Dans l e s deux p r e m i e r s paragraphes, nous montrons axiomatique possedant t r e s peu de proprietes,
la
qu'a une
nous pouvons assocler
J. M. Bony
un operateur elliptique
degenere du second
ordre
L.
De plus, a
condition de s e restreindre 5 un ouvert partout dense, cet operateur poss&de des coefficients reguliers et il est unique a un facteur de proportionnalite prhs . Au paragraphe 111, a p r e s avoir m i s l'operateur forme
sous
la
suivante LU
oti l e s
Xi
et
premier ordre,
Y
2
=
X:
Lie engendree par en
,
sont des operateurs differentiels homogenes du
L
.
Pour que l'axiomatique verifie l'axiome
de Brelot (resp. l'axiome de Dosb) ,
n
u + ~ tua u
nous abordons l e s relations entre axiomes de convergen-
ce et la structure de
rang
L
tout
les point
X.
1
il e s t nCcessaire que lfalg&bre de
(resp. p a r l e s
X.
I
et
Y ) soit de
d'un ouvert dense.
Nous demontrons en outre que l a regularit6 de
toutes l e s
fonctions harmoniques entraine un axiome de convergence faible et l a propriete et
Y
ci-dessus pour l'alghbre de Lie engendree
. Enfin,
par les
X.
1
nous pouvons c a r a c t e r i s e r entigrement l e s axiomati-
ques invariantes p a r translations
5
l'aide
d10p6rateurs ~3 coefficients
constants. Au paragraphe
IV, nous montrons que l a condition necessaire
( s u r un ouvert dense) pour que l'axiome de Doob soit realise e s t egalement
suffisante. Nous utilisons pour cela un theor&me de HBrmander
qui a s s u r e que toutes l e s solutions sont
C*
. Nous montrons
l'existence d'une base d'ouverts reguliers et construisons l e s fonctions de Green. La condition presque necessaire trouvee pour que l'axiome de Brelot soit valable est aussi suffisante, comme nous l e montrons au paragraphe suivant. Nous l e demontrons comme consequence d'un principe du maximum precis6 pour l e s operateurs elliptiques degeneres.
J. M. Bony
Nous terminons par des resultats associant encore des axiomatiques de Brelot
B des operateurs differentiels, mais dans un cadre
t r k s different. Alors que nous etudions jusqu'ici des operateurs degene-
res B
coefficients
m
C
, nous nous interessons desormais B
des operateurs elliptiques B coefficients peu reguliers. Nous rappelons dtabord l e s resultats de De Giorgi-Moser-Stampacchia-Mme Herve, sous l e s operateurs m i s sous forme de divergence B coefficients discontinus, puis nous donnons quelques rerultats s u r l e s operateurs sous forme non variationnelle. Nous utilisons t r e s peu
de resultats s u r l e s theories axiomati-
ques. Il faut toutefois remarquer que c t e s t l'un des buts de ce travail de pouvoir appliquer ces resultats B de nouveaux operateurs. Nous renvoyons B
[12]
celle de
pour une Bauer,
et
etude de ltaxiomatique de Brelot, B
[zJ
,
[5]
pour des
B
pour
[3J
axiomatiques plus
faibles. Nous avons deja publie
dans
[ 6 ] llessentiel des t r o i s p r e m i e r s
paragraphes, mais sous une forme moins precise et avec une hypothese un peu trop restrictive. Les resultats des paragraphes c6s de
dans
[83 ,
191
feront partie de
1
. Nous
IV et
V
annon-
nous sommes permis d
renvoyer B l l u n ou l l a u t r e de ces articles pour quelques demonstrations
dtun caractere technique
. Enfin
, on trouvera au chapitre VI
mdications s u r a volumineuse bibliographie qui
s t y rapporte.
quelques
J. M. Bony
I. Operateur differentiel associe B une axiomatique R
En designant par
un ouvert
R~ , nous
connexe de
R
appellerons axiomatique de theorie du potentiel s u r pour
tout ouvert
U inclus
H(U) de
fonctions
verifiant
les
continues dans
(Axiomel) H
2.
(Axiome 2)
R
de
U
dtun espace vectoriel
(dites harmoniques
dans U)
proprietes suivantes :
1.
logie
R ,
dans
l a donnee
est
une faisceau.
Les ouverts reguliers forment une base de la topo-
.
3. L e s fonctions constantes sont harmoniques. Rappelons qulun ouvert dit
regulier si ---
relativement compact dans
w
pour toute fonction
w
il existe une et une seule fonction
harmonique dans W
H f
w et egale 21 f
est positive
des
L1application qui appartenant
bw
que
B
et
f
de m a s s e
mesure harmonique du point
1.1.
Proposition
f
B
, et
w
,
,
sideplus,
l'est.
fait
correspondre
1.
x
- Une limite
Cette
l a limite dans
de
w
H f(x), pour Radon
mesure est
x
,x appelee
.
uniforme s u r tout compact de
fonctions harmoniques dans un ouvert En passant
3w
sur
sur
est
3w
continue s u r
continue
, definit une mesure
?a w
positive
H f
f
R
U
est harmonique.
l'integrale ci-dessus, on obtient
que la fonction limite est harmonique dans tout ouvert regulier contenu
dans
U
,
et donc dans
U
.
'75 -
-
Proposition 1.2. - Si une fonction ouvert
EL
U
e s t harmonique dans un
si elle atteignait un maximum local strict en
trouver
et
assez petit
u(y)
<
u(x)
u
elle ne peut y atteindre de maximum local strict.
effet,
on pourrait
J . M . Bony
un
ouvert
regulier
pour que, en tout point
. Cela
Definition 1.1.
est impossible
- Un
x
contenant
w
y
x,
3w
de
on ait
,
c a r on doit avoir
operateur differentiel du
second o r d r e
s e r a dit elliptique degenere ( e . d . en abrege) si pour chaque la forme quadratique (a. .(x)) e s t positive 1) sera
dit
elliptique
abrege) si de plus, pour
x
,
.
1J
L
L :
non totalement degenere (e. n. t . d. chaque
x
en
, l l u n au moins des a . .(x) 1J
e s t non nul. Enfin, L tique
est
(a..(x))
est definie
1J
Proposition ait
si , pour
elliptique
1.3.
-
en un point
x,
l a forme quadra-
positive. Soit
a(x) 2 0.. Si une fonction
local positif
tout
x
L u
,
un de
on
En effet, l a forme quadratique
operateur classe
a
Lu(x)
(ull.(x)) e s t
e.d. tel
C 0
2
atteint
que l1on un
maximum
. negative,
dlob l t o n
1.l
deduit et
que
u(x) 2 0
,
a . .(x)un.(x) e s t negatif. De plus, on a 1.l 4 ce qui prouve l e resultat.
Le theorbme suivant montre que l e s C
2
l e s coefficients
sont
1
fonctions harmoniques de classe
sont solutions dlun operateur e. n. t. d. defini
mais dont
u!(x) = 0 ,
dans tout
a priori discontinus.
1) Nous identifierons constamment une forme quadratique s u r Rn A. une matrice symetrique.
R
,
J. M. Bony
Theoreme
1.1.
- Soit H
R
. I1
R tel que ,
pour
tie1 s u r
une axiomatique de theorie
existe alors un toute
dans un sous-ouvert
operateur
e.n. t. d.
fonction harmonique
R , on y ait
de
du poten-
et
L
dans 2 classe C
de
Lu=O.
Nous utiliserons le lemme suivant Lemme.
-
Soit ( a , . ) une forme quadratique telle que, pour toute 1J
forme quadratique
(p. .) positive, on ait 1J
Alors, la forme quadratique (a. .) est positive. La quantite a . .p.. n'est autre1J que l a t r a c e du produit des matrices 1.l 1.l
(a. .) et (p..) qui est invariante p a r changement de base 1.l
1J
. En diagonalisant
la matrice (a. .) ti lfaide dfun changement de repgre orthonormal, il devient 4
alors evident que s e s t e r m e s diagonaux doivent P t r e positifs, ce qui demontre l e lemme.
Considerons lfespace vectoriel
1. -
rnuni du
produit scalaire
1~
formes
quadratiques positives
des formes quadratiques
M
Soit
quadratiques
le
ge
de
x ,
etait telle fonction
u
qui contredit
Q
Soit
,
Q'
son
sous-espace vectoriel
fonctions
est
de Ot
de
Q
u!(x) = 0
et
C
classe
. En effet,
et
1
atteindrait
l e the convexe interieur :
en
la proposition
x 1. 1
constitue
fixe,
dont la diffdrentielle est
disjoint
que
lj
des formes quadratiques,
+
des
ensemble
definies positives.
1J
et
vectoriel e s t
et
( u f ( x ) ) oh x
lfensemble des
.
a , . b.
Q
si
2
oa
parcourt
, harmoniques au voisinanulle
si
en
x. Cet
une fonction
(ulf.(x)) etait 1J
un
u
des formes
minimum
definie relatif
espace
harmorlique positive, strict,
ce
la
J. M. Bony
I1 existe
donc
Si ( a . . ) est orthogonal cbte que
+ Q , on
a
ge
de
x
une base harmoniques
1.l
( a .
de classe
1J
est
fonctions
de
non nulle, et d f a p r & s l e meme,
cL
de
la relation
u
harmoniques
parcourt
au voisina-
. Choisissons-en
2 sont de classe C et k x Toute fonction u harmonique e t
au voisinage de
avec dv(x) = 0 , l e s coefficients De
lorsque
sous-espace vectoriel
dul(x), . . . , dup(x) , voisinage
du(x) ,
c2
classe
, constitue un
au
+
Q
(ulf.(x))E M
L1ensemble des differentielles
lfensembie des
0
de
hyperplan , non nu1 , et du m&me
pour
1J
elle est positive.
-
cet
et dishoint
a donc
La forme quadratique
2.
B
. u . (x) = 0
1J
M
un hyperplan contenant
oh
les
u
x peut alors s 1 6 c r i r e
dkine dependant que des
u
k
suivante a . .v!'.(x) = 0
,
1J 1J
on deduit que pour toute fonction 2 C au voisinage de x , op a
u
,
harmonique
et
de
classe
J . M . Bony
En choisissant pour chaque
x
les
on definit
lfopbrateur e. n. t . d.
Remarque.
-
Cela
a . .(x) e t
.
L
Lfoperateur L
a.(x)
11
obtenu
comme
ci-dessus,
1
ci-dessus
est tel que
a(x)=Q.
provient du fai? que l f o n a suppose, uniquement pour des rai-
sons de commodite, Dans l e cas fonctions
que
l e s fonctions constantes sont harmoniques.
general , l a demonstration precedente sfappliquerait aux
u
harmoniques,
Le
passage aux
en
a(x) u(x)
fonctions
de classe u
C
2
generales fait
et nulles
.
en x
apparaitre un
terme
.
I1 e s t
impossible en general
dfobtenir un operateur
coefficients
continus. Considerons
en
ction reelle
f
de classe
et
C~
effet,
sur
R
L
2
, une fon-
strictement croissante. Les
fonctions
oh
a et
Brelot.
b
sont
En tout
des constantes
x oh
point
verifient
lfunique equation
En
point
tout
Enfin; lorsque
x
oh
fu(x)/ff(x) n f e s t pas
ff(x) n'est
f f ( x ) est
x tend
vers
constituent une axiomatique de
nul,
x , 0
b o r n e . Les
pas nu1 , l e s fonctions
elles
avec
verifient
ff(x) = 0 ,
ophateurs
0
L
sont
u
lesequations
le rapport
donc
J. M. Bony
necessairement vide
R
de
discontinus
x
en
0
. Or
Theoreme 1.2. tie1 s u r
(cm , u
cm
et dont l a derivee stannule ,ur ce ferme. L e
r6sultat suivant est donc en un certain
un
ferme dtinterieur
, on peut construire une fonction de classe
strictement croissante
et
pour tout
.
R
- Soit -H L
analytiques),
harmonique
sous-ouvert
et
de
e.n. t. d.
,
defini dans de
classe
Ro , on
l e meilleur possible.
une axiomatique
il existe a l o r s un
operateur
sens
ait
de theorie du poten-
R
ouvert
0
dense dans
R , k de classe C
, B coefficients R
tel que pour toute fonction
0 '
ckt2(cm, analytique)
dans
un
.
Lu=O
La demonstration de ce theor6me e s t
assez
longue et repose
essentiellement s u r l e resultat suivant: si une famille dtinCquations algebriques,
dont l e s coefficients sont fonctions
x
dtun param&tre de
x
tout
x
, possede une solution
pour
classe
C
k
chaque valeur
il e s t alors possible de trouver un ouvert dense et pour
,
appartenant
B
soit fonction de classe inconnues
de
cet
ck
de
ouvert x
une solution du
. On
syst5me
applique ce resultat aux
(aij. a , ) l e s inequations algebriques exprimant 1
que la forme quadratique
qui
(a. .) e s t positive,
dfune part
dlautre part
que
l'on a
1l.
que l f o n a
Nous renvoyons
Remarque.
-
sammmt
de
2
[6]
pour une
Ce theoritme est de peu fonctions
demonstration complitte.
de portee s t i l nkxiste pas suffi-
harn~oniques reguliitres
que l1on puisse trouver un operateur que
Lu
soit
nu1 pour les fonctions
L
. 11 s e
pourrait mcme
coefficients
B
u
cm tel
harmoniques
et
de
J . M . Bony
cW
classe
et ne
l e soit plus necessairement
harmoniques de classe
i!
C
. Le
theorPme
pour l e s fonctions
1 . 2 . ne possgde d1applica-
tions int6ressantes que sous des hypoth6ses du type suivant. Definition 1.1.
-
On dit que l'axiomatique H
ckt2
de fonctions de classe
K
compact
(resp. C*
, et pour toute fonction
u
eniste une suite
(resp. C*
analytiques) et harmoniques
que
u
n
Le
converge v e r s plus
Corollaire. contenant
au
voisina-
u
de classe n voisinage de
ckt2
au
uniformement
sur
K
K
telle
.
de faire cette hypothgse localement.
plus loin que ce type d1hypoth6ses garantit
. Nous
L
pour tout
harmoniques
de fonctions
souvent, il suffira
Neus montrerons 11unicit8 de
u
si,
; analytiques)
ge de K, il ;
contient suffisamment
-
pouvons deja montrer l e
H
Soit
resultat suivant.
une axiomatique de theorie du potentiel
suffisamment de
cW.
fonctions
Il existe a l o r s un ouvert
dense dans lequel e s t defini un operateur L , e. n. t. d. , 5 coeffiw cients C , tel que pour toute fonction u harmonique de clas2 s e C , on ait Lu=O Pour toute fonction harmonique, on a
.
mBme
Lu=O
En
au
effet,
sens
des distributions.
ltop6rateur
consid6roas une fonction
L
&ant
harmonique
u
11approcher au voisinage de chaque point geant
uniformement et donc
donc
B
l a limite
si
u
est
de
aussi au
Lu=O su sens classe
c2
fourni p a r
l e theorCme 1 . 2 . ,
quelconque. On peut
par
une suite
u , convern s e n s des distributions. On a
des distributions. En particulier,
, on a
Lu=O
au sens
usuel.
J . M . Bony lioperateur differentiel associt! ?i une axiomatique.
11. Unicite de
Nous demontrons d'abord deux lemmes qui permettront de demonirer l e s diverses formes du principe du maximum que nous aurons utiliser par la suite. On clesigne toujours p a r degenere ?i coefficients Lemme 2.1. que
-
continus,
verifiant
u? operaieur elliptjque
de plus
Etant donnes deux points
x
0
a ( x ) = L l ( x )4 0,
et
x
, on suppose
1
l'on a
Alors, pour
c
est telle que
l1on a
assez
grand,
Lv(x)
>
la
Pour
c
assez
donc aussi dans Lemme 2.2. 0
dans un
Lv
grand
v
fonction
0, pour
Ce resultat e s t immedjat, on
Lu
L
B
a
en
x
definie
voisin
par
x
de
1
effet :
est strictement positif
en
x
et
1 '
un voisinage convenable.
-
Soit
u
une fonction de classe
ouvert. Supposons que
et que celui-ci soit positif. Soit
F
u
y
c2
verifiant
atteigne son maximum
llensembie des points
maximum e s t atteint. Pour toute boule fermee
ne rencontrant
ce
051
F
J. M. Bony
qulen un seul point, de contact,
on
si on appelle
de
x
de
V
est
E u
negatif, on
a
Lw > 0
, on a et, s u r
la partie
w(x) 4 m
te.
Il en resulte que
de
V
et que,
proposition
on a
V
de
assez
atteint
en ce point
2.1.
a(x)=Ll(x)6 0
.
dans
Soit
car
v y
situee
dam
maximum de est
l a boule,
petit, p a r raison de compaci-
un
maximum relatif en un point
Lw > 0 , ce qui contredit
L
un
operateur
la
e. n. t. d. tel que
wunouvert
assezpetit,
dans
continue
c2
.
w
-
Soit
fonction de classe 0
bord
est
w
w(x) < m
V
1.3.
Theoreme
Lu
du
E
si
petit. Dans un voisinage
. D1autre part, si m designe l e = m . Enfin, s u r la partie du bord
w(x ) 1 hors de l a boule , on a
situee
l e point
1
alors
strictement positif et assez
, on a
1
x
contraire, on pourrait construire l a fonction
. Soit
du lemme precedent
oh
l e centre et
0
a
En effet, dans l e cas v
x
.
w
Alors, si l e
maximum
et soit
dans de
u
u
une
ii et verifiant est positif,
il
est atteint au bord. Ce resultat s e r a v r a i pour tout ouvert suivante: on
ait
il existe un
x a . .(x)z.z.> 0 1.l
1
J
vecteur
.
z
w
verifiant l a propriete
te! que, en tout point
L'operateur &ant
x
de
e.n. t . d. , tout ouvert
w,
J. M. Bony
assez
petit
possede cette propriete.
K l'ensemble des points oh
Soit alors
positif. S'il est disjoint de oh
K
pgssede
3w
, il
un hyperplan
u
atteint son m a x i m u n
existe un
d'appui
construisant une boule tangente en
orthogonal
x
obtient une contradiction avec l e lemme
point
x
de
. En
z
B
w
a cet hyperplan, on 2.2.
Nous pouvons maintenant, dans l e cas oh une axiomatique contient suffisamment de fonctions regulieres, c a r a c t e r i s e r l e s fonctions harmo niques et surharmoniques B l'aide de l'operateur differentiel associe , et en deduire que celui-ci est unique. Cela n'est toutefois possible que dans un ouvert partout dense, un contre-exemple simple montrant qu'on ne des resultats de c e type dans
peut e s p e r e r Theoreme
R
dense
C ,
harmonique de
R
0
.
nie dans un
0
u
parcourt
un
u
il
R
de faut
0
soit
et il
de
harmonique
suffit
c2
classe
defi-
(resp. locale-
que l f o n ait
Lu=O
c2
verifiant
Lu 6 0
.
Soit
w un ouvert
petit pour qu'on puisse lui appliquer le theoreme 2. I.
choisissons un ouvert et suffisamrnent
dans
.
Nous allons montrer
x
e . n . t . d . , defini
l'on ait Lu=O pour toute fonction 2 de classe C , definie dans un sous ouvert
de classe
regulier assez
contienne suffisamment de
tel que
sous-ouvert
( r e s p . Lu 4 0 ) u
L,
et soit
Alors, pour qu'une fonction
ment surharmonique),
Soit
H
Supposons que
2
fonctions de classe ouvert
-
2.2.
l'ouvert tout entier.
que
l'on a
wl , de
wl
1
w
H u
dans w
. Pour
dont l'adherence e s t contenue
grand pour que
l e bord
u
l'on ait
. Soit
lu(x)-~'u(x)l 4 E
d'autre part une fonction
cela,
dans
w,
, lorsqur
v
J . M . Bony
harmonique e t lorsque
x
fonction
u-v
de
de classe parcourt
-w
2 C telle 1'
On a
que
atteint un minimum negatif, celui-ci est atteint au bord
w , on a donc
u
A
HU '
petit. L a fonction u
w
u
et
ti
, et
- 36 w
pour
dans w assez
1
, et cela dans tout
1'
grand dans
ouvert regulier
u e s t donc localement surharmonique, 2 C verifie Lu=O , l e raisonnement precedent
de classe
applique
1
H u(x)
quel que soit & > 0, et
Cela Ctant vrai
w
dans
U(X) A
Si
, et donc, si la
L(v-u) 2 0
wl. On a donc u(x)-v(x) 2 -26
assez
I v(x)-H'U(X) 1 A E
l1on ait
-u
montre que
u
est
localement harmonique
et donc harmonique. Soit enfin une fonction surharmonique que 1'00 a necessairement on aui-ait
>0
Lu
Lu = 0
en un point et donc
point. Drapres ce qui precede, dans ce voisinage et y ce
qui
est
. En
serait
u
C'
de classe
et montrons
effet, dans l e cas contraire, a u s s i au voisinage de ce
serait
localement sousharmonique
donc harmonique. Cela exigerait
Lu=O,
impossible.
Remarque.
- Les
axiomes que nous avons choisis ne permettent pas
dtetablir que l a surharmonicite est une propriete locale. 11 suffit toutefois dlun axiome supplementaire t r e s
faible (axiome
voir [2J) pour que cette propriete soit verifiee
. Cela
a
T
de Bauer,
lieu dans
toutes l e s axiomatiques existant dans la litterature.
Theoreme 2.3. tions de classe
- Supposons
c2 . Soient
we L
contienne suffisamment de fonc-
H et
M
deux operateurs e. n. t.d. ,
3 coefficients continus, definis dans un ouvert dense
que pour toute fonction harmonique de classe
c2
Ro , et tels
dans un sous-ouvert
J. M. Bony
de
Ro ,
nue,
on
ait
Lu=Mu=O
M = fL
telle que l'on ait En tout point
Lu(x) < 0
. I1
existe alors une fonction
.
R , si une fonction
x de
f conti-
u,
0
de classe C 2
, verifie
, on a Lu(y) < 0 au voisinage. Dtapr$s l e theor$me precedent,
la fonction u e s t donc surharmonique dans un voisinage de x et on a donc Mu(x) < 0
oh t n
. En appliquant
(p. . , p . ) parcourt 1J
ce resultat aux fonctions suivants:
un espace vectoriel
V
n(n+l) -
de dimension
+
2
1
, on obtient que
implique 2
En munissant
bij(x)pij + l
que
A
X
a
et B
x
mani&re continue.
-
X
et avec des notations (B , P ) L 0 X
. I1
en
colineaires, l e coefficient de proportion-
non nu1 ( c a r M est
f(x) &ant
Remarque.
.
(A , P ) < O
sont
X
nalite de
0
V d'un produit scalaire evident,
non moins Bvidentes, on resulte
bi(x)pi
e . n. t . d. ) ,
et variant
avec
Reprenons lfexemple du paragraphe precedent. Soit
l'axiomatique de Brelot consituee des fonctions definies s u r R , de la 3 forme af(x)+b , oh f(x) = x Soit K , l'axiomatique du meme type, mais 3 3 avec f(x) egal 5 x pour x negatif et Cgal 2 2x pour x positif. A ces deux
.
axiomatiques differentes
est
associe l e meme
operateur
Lu(x) =
J. M. Bony 2 = uI1(x)+-ul(x) X
.
En outre,
3 llorigine, l e s memes relations
un(0)+cul(O) sont satisfaites. L1opCrateur
L
ne
peut
caracteriser
que dans un ouvert disjoint de
l e s fonctions harnoniques
0
.
111. Axiomcs dc convergence et forme des operateurs associ$s
Dans l e cas oh Ij contient suffisamment de fonctions de classe
cm,
nous avons vu
que
lfon peut lui associer, dans un ouvert dense,
un operateur differentiel B coefficients de decomposer cet
operateur en
. Nous
classe
allons
"somme de c a r r e s d'operateurs
du
premier ordreI1 , et montrer l e s liens etroits entre l a nature de llalgebre de Lie engendree
par
convergence verifies
a
Nous
par
ces operateurs et
.
identifierons compl$tement
homogene du premier
un operateur differentiel lineaire
ordre
avec l e champ de vecteurs de composantes
(dl(x),
Soit maintenant,
L
u-I
operateur
En chaque p ~ i n t x
,
la
forme quadratique
decomposer
en
somme
. ., d n ( x ) ) . ,
e. n. t. d. , h coefficients
cm .
(a. .(x)) peut s e 1.l
de c a r r e s de formes lineaires independan.tes
L e nombre de ces
c a r r e s e s t une fonction
inferieurement et
h valeurs entieres. Il e s t
s u r un ouvert dense. Dans cet ouvert, poser
l e s axiomes de
(a. .(x)) sous la forme suivante JJ
de
x
,
.
semi-continue
donc localement constant
il est alors possible de decom-
J. M. Bony
en choisissant l e s
dk i
ern
fonctions de classe
de
x. Si llon
designe p a r
X l e champ de vecteurs de composantes ( d t x ) ) , k 1 lfoperateur L ne diff&re de 110p6rateur x que p a r des t e r m e s dlordre
.
1
Theor&rne 3.1.
ern. I1
fonctions de vecteurs
On peut
-
enoncer l e
Supposons que
existe a l o r s un
.. .Jr
XI,
donc
et
q
contienne suffisamment de
ouvert
Y
resultat suivant :
dense
, definis
Ro et des champs
et de
classe
cWdans
R , tels que, pour toute fonction u harmonique et de classe .o C 2 dans un sous-ouvert de R , on ait 0
Nous avons meme vu que pour toute
u
harmonique, on
a
Lu=O au sens des distributions. Rappelons que l e crochet
de deux champs de vecteurs
X
et
Y,
e s t l e champ de vecteurs defini par l a relation suivante [x, Y] u Nous
- X(Yu)
introduisons l a notation suivante
Definition 3.1. nous Qsignerons x1,x2,
= Y(Xu)
.. . ,
-
Etant donnes des champs de vecteurs : X
par
% (x1, X2. . . . )
c r e s t B dire l e plus petit
llopCration crochet et contenant Les
elements
de
(XI, X2,.
llalg&bre de
ern-module, stable p a r
XI, X2, . . .
.. )
X 1' 2'"' ' Lie engendree par
.
sont l e s
qui peuvent stCcrire comme somme finie de
champs de vecteurs
t e r m e s de la forme
J. NI. Bony
oh
A. e s t
de c l a s s e C*
Le rang l'espace
de
$ (X1,X2""
point ,
. . . ) . Si
I
identique suivant
ce
rang
y l , y2,
x
yp+l,
. . . ,yn
- Si de
de
Z
au voisinage
d'un
l'on peut trouver des
.
( x ~ X2, , .. )
de vecteurs donc
soit
l e s composantes
sont nulles. Si ce rang e s t constamment egal
L
l'operateur
3.1. , il existe un ouvert et
l a dimension
Z(x) lorsque
est constant
I
, tout champ de vecteurs appartient
$ (XI, . . . , Xr )
est
. . . ,yn telles que
l'ensemble des champs
Proposition 3.1. orhme
en un point
l e theorhme de Frobenius affirme que
coordonnees locales
n
)
vectoriel constitue p a r l e s vecteurs
parcourt d e ( x l , X2,
I
.
(XI, X2,
. ..)
e s t m i s sous l a forme du the-
dense od
X ( X I , . . . , Xr ,Y)
l e s rangs de sont localement constants.
En effet , chacun de c e s rangs e s t une fonction semi-continue inferieurement
de
x
et
I valeurs entigres.
Nous allons maintenant enoncer l e s t r o i s axiomes de convergence que nous aurons 5 considerer. L e p r e m i e r c a r a c t e r i s e l e s axiomatiques de Brelot, l e second, joint I un axiome de separation, c a r a c t e r i s e l e s axiomatiques de Bauer
Axiome de Brelot: Pour toute famille
( u . ) filtrante croissante de
fonctions harmoniques dans un ouvert connexe fini en un point, dans w
l a fonctio.1
u=sup u.
1
1
w
e s t finie
,
s i sup u.
1
est
et harmonique
.
Cette propriCtC e s t equivalent?
5
la suivante (axiome de IIarnack):
J. M. Bony
pour tout couple de points
x
existe une constance
telle que,
et harmonique
dans
C w
et y
, on
ait
de
llouvert connexe
pour toute fonction
. Il
u(y) 1 Cu(x)
u positive
est facile de voir
que cette dernit?re propriete entraine llaxiome de Brelot, que
est
due .B
Mokobodzki
voir [19]
(
Axiome de Doob: Pour toute famille fonctions
harmoniques dans un ouvert
un ensemble dense, que dans
w
l a fonction
w
u = sup
ou [12])
, il
w
l a recipro-
.
(u.) filtrante croissante de 1
, si sup u
.
i
u est fini s u r i est finie et harmoni-
Axiome faible (axiome K de Bauer) : Pour toute famille (u.) 1 1 filtrante croissante de fonctions harmoniques dans un ouvert w ,
si l e s
u
i
sont uniformement
e s t finie et harmonique dans
majorees,
l a fonction
u = sup
u
i
.
w
Cette propriete s s t equivalente B l a propriete suivante (voir [19] toute famille de fonctions harmoniques uniformement majoree
):
est
equicontinue. P e s t sous cette derniere forme que nous aurons B llutuliser
.
Theoreme 3.2 fonctions de sous
-
classe
Supposons que
cDC) ,
et soit
la forme du theoreme a ) Si
L
110p6rateur associe
mis
3.1.
verifie llaxiome faible,
B
1 contienne suffisamment de
$ (Xl, . . . ,Xr , Y)
est de rang
n
s u r un ouvert dense. b) Si n
B
verifie s u r un
llaxiorne de ouvert
D'aprCs l a proposition ouvert
dense,
les
rangs
Brelot,
(XI,
. . .,Xr )
est
de
rang
dense. 3. 1. , au voisinage de chaque point de
& (XI,. . . ,'r)
et
de
dlun
$ (XI, . . . , Xr, Y)
soient constants. Soient alors
yl,
santes Y
. .. , Yn
des
selon
des
Xi yq+l.
p
et
q
l e u r s valeurs respectives. Soient
coordonnees
selon
.
. . . y,
et que l e s composantes de n nullrs. L'operateur s 1 @ c r i t a l o r s
soient
Si
on
dependant Celles
a
q 4n
i, j = l
que l e s compo-
yptl , . . . , y
a2 u
P Lu=
locales telles
b..
, toute
--
fonction
u
de
C
classe
2
et ne
e s t harmonique d l a p r & s l e theoreme 2.2. 'n fonctions qui sont. majorees p a r 1 constituent un
que
d-e
de c e s
ensemble borne de fonctions harmoniques
qui
n'est pas equicontinu.
Lfaxiome faible n f e s t donc pas verifie. Supposons maintenant que l'on ait
Yn
-Yn
en
, on
pcn
peut trouver un petit
. En changeant au besoin
ouvert connexe dans
lequel
.
On peut egalement supposer que cet ouvert contient n l'origine des nouvelles coordonnees. Considerons l a fonction v egale 3 B yn pour y n & O . O n a B 0 pour yn4 0 et egale on ait
Lv
b 60
0
et donc la fonction
impossible s i cas,
5
verifie
v
l'axiome
une fonction surharmoqique
est surharmonique. Mais de
Brelot. En
positive
dans
ceci
effet, dans un ouvert
est ce
convexe
et non identiquement nulle e s t en tout point strictement positive (voir [12] )
Nous allons maintenant demontrer que s i toutes IPS ! o ~ l r . t ~ o n harmos niques eont regulieres, l'axiome faible e s t pourquoi
nous
avons prefer6 etablir l e s theoremes qui
llhypoth&se qu'il qui nlimplique
n6cessa1rement v e r ~ f i e .C'est
existe suffisamment
aucune
p r k e d e n t sous
de fonctions surharmoniques, c e
propriete speciale de
l'axiomat ~ q u e .
,T. M. Bony
-
Theoreme 3 . 3 . soient de classe verifie
C
1
(ou meme
localement h8lderiennes
. Alors
-H
llaxiome faible.
Pour tout ouvert dans
Supposons que toutes l e s fonctions harmoniques
, llespace
w
Y(w) de.: fonctions harmoniques
, muni de l a convergence uniforme s
w
tout
compact e s t
complet. En effet, une limite uniforme de fonctio s harmoniques e s t har..monique. Une limite de fonctions harmoniques, pour la convergence
C'
dans
s u r tout compact e s t
11hypoth6se , espace le
de
C
fortiori harmonique et
. I1
en resulte que
, dlaprbs
g(w) e s t
un
de Frechet pour l e s deux topologies precedentes. D1aprbs
theor6me
du
un ensemble de est
classe
a
1
graphe ferme, fonctions
borne pour l a
ces deux topologies coincident
harmoniques
est
uniformement
. Si
borne, il
topologie de l a convergence uniforme, donc s e s
derivees sont uniformement bornees, et cet
ensemble e s t Cquicontinu.
Nous pouvons maintenant e a r a c t e r i s e r l e s axiomatiques qui invariantes p a r
translations B
cie. L a caracterisation
est ici
llaide de llopCrateur differentiel assocomplMe, a l o r s que dans
neral il est necessaire de s e restreindre B un Nous
dirons que
-
H
sont
l e cas ge-
ouvert dense
est invariante p a r translation
.
s i toute
fonction deduite p a r translation dlune fonction harmonique
est
elle-
-meme harmonique. Si H
-
ment
e par
de fonctinns de classe
procede C* ,
u
e s t invariante
est
translations,
C*
. Ce
resultat slobtient p a r un
classique de regularisation. Soit positive, B support compact,
elle contient suffisam-
h
une fonction de classe
d'integrale egale
une fonction harmonique, formons
$I
1
.
Si
J. M. Bony
Dans ltouvert ou elle e s t definie,
u
limite de combinasion lineaires de l e s fonctions
ue
mement
u
U
vers
e s t harmonique c a r elle
translatees de
sont de classe s u r tout
C*
compact
u
. Dlautre
est part,
et convergent unifor-
contenu dans l e
support
de
.
Enfin
, dtapres l e theor&me 1. I . ,
on peut trouver .des
a.. 1J
et
a
i
tels
que
Mais, dtapr&s ltinvariance p a r translation, l a relation realisee
en rempacant
l e point
On definit ainsi un operateur tel quton ait
Lu=O pour
Theoreme 3 . 4 .
-
H -
tions. I1 existe un operateur unique B
p a r un point
0
e. n. t. d.
toute
Soit
x
B
coefficients
fonction
x
quelconque.
constants
L
harmonique.
e.n. t.d. a coefficients constants
L
,
p r h , tel que l t o n ait Lu=O
harmonique. De plus:
-H
a ) Les t r o i s proprietes suivantes sont equivalentes: ltaxiome de Brelot;
est
une axiomatiq'ue invariante par transla-
un facteur de proportionnalite
pour toute fonction
ci-dessus
L
est
elliptique;
verifie
l e s fonctions harmoniques
sont analytiques. b) Les cinq ltaxiome de
Doob;
ou parabolique; harmoniques
proprietes suivantes sont equivalentes :
-H
verifie ltaxiome faible;
l e s fonctions harmoniques sont
sont de classe
C1
.
L C*
est ;
H
verifie
elliptique l e s fonctions
J, h, Bony I1 r e s t e A prouver l e s parties sequences simples
du t h e o r h e
a ) et
b) qui sont en fait
3 . 2 . . En effet, pour un operateur
.. .
, , X et X1 r leurs crochets sont
B coefficients constants, l e s champs de vecteurs
Y
sont
a
eyalement
nuls. La
coefficients constants,
condition
ltoperateur
(XI, est
L
of. ( X I , . . .,Xr ,Y)
lique. Les reciproques operateurs
rang sont
coefficients
B
.. .,Xr)
elliptique,
de
n
et
de rang tandis
n
signifie alors
exprime
L
que
est
constants: l e s solutions dtun operateur ellip-
verifient ltaxiome de
IV. Probleme de
Dirichlet
Dans ce paragraphe, dans un
ouvert
dCcomposer sous
R
,
parabo-
des p r o p r i M s b j m connues des
dtun operateur parabolique sont de classe et
que
que l a condition
tique sont analytiques et verifient ltaxiome de Brelot; tiques
des con-
L
Doob
cCO
l e s solutions
sans & r e
toutes analy-
.
e t axiome de Doob designe un operateur
coefficients
l a forme suivante :
cCO
et
e.n. t. d. , defini
puvent
se
J. M. Bony
oh l e s champs de vecteurs
Xk
et
sont
Y
Nous supposons en outre que l1on a restriction
cW.
de classe
.
a(x) 4 a C 0 0
Cette
nlest qulapparente. En effet, l e s resultats que nous allons
montrer sont purement locaux, et un argument classique permet toujours de s e ramener
cas
v = u [I-M lx-xo
Si on pose v
B ce
au
11 '
voisinage
de
chaque point.
, ltequation satisfaite par
est
et l e t e r m e dlordre
0
que
grand
est
M
assez
de
L1 et
e s t strictement negatif
x
suffisamment
dPs
voisin de
x
0
ce que l1on constate immediatement en developpant l a relation ci-dessus. Nous allons montrer que l a condition necessaire que nous avions obtenue pour qulune axiomatique saisfasse llaxiome de Doob egalement suffisante. Sous l a m&me hypothbe,
nous montrerons
dlabord llexistence dtune base dlouverts reguliers resultat peut & r e obtenu mais
[7])
sous
est
. Ce
dernier
des hypotheses bien plus faible (voir
l e s demonstrations en seront considCrablement simpli-
fiees. Nous partons du resultat suivant, dh 3 Hdrmander
Theoreme 4.1. rang
n
ptique,
-
en tout clest-%-dire
dans tout ouvert Corollaire
-
oh
Supposons que point
3 X ...,Xr ,Y)
. Ltoperateur
qulune distribution Lu
est de
L u
est est
classe
de
[173.
soit de
alors
hypoelli-
classe
cm
cW.
Sous la condition du theor6me precedent, s u r llespace
J. M. Bony
des
solutions de
topologie
de
mesure de
Lu = 0 , l a topologie
l a convergence dans
L
1
cm
de
coincide
cm
L'
dans
cm
l a topologie de
et pour l a topologie de
L e theorbme du graphe
-
Definition 4.1.
3w
,
ne rencontrant
il
-w
n
pour
toute
fonction
en
existe
fonction
u
une
-
tout
f
continue
et
cm
,
u
Corollaire
sont lfest
-
continue
sur
3w au
Pour
sens
sur
positives,
s u r tout compact.
pour
.
est
trbs
r6gu-
tout
point
x
-w
1 x
en un point
telle
est
pour
que
tres
0'
l1on ait
est
de
regulier. Alors,
, et pour toute
, il existe une et une seule telle
ij
L'
4 (XI,. .., Xr ,Y)
que w
continue s u r
-f
1
Frechet
w
et
I1 en
de
conclure.
centree
e t que
sur
= r q f
x
On suppose
point,
Lu = Si
de
sphbre,
qutau point
fonction
Cf
permet
l a propriete suivante :
Theorbme 4.2. rang
ferm6
Nous dirons qutun ouvert
possbde
, et une
e s t encore une solution.
resulte que llespace des solutions e s t un espace
de
.
Lebesgue (et meme avec l a topologie des distributions)
limite de solutions
stil
la
s u r tout compact pour l a
En effet, toutes l e s solutions sont de classe
lier
avec
que
des distributions dans
w
A w .
u
l t e s t aussi. Si
f
est
aussi. le
faisceau
H
des
solutions
de
Lu=O ,
J. M. Bony
les
ouverts
la topologie En
de
reguliers sont
de
R
effet,
llexistence, me
tres
reguliers
l e theoreme precedent,
l'unicite
et
forment une base de
applique lorsque
la positivite
Dirichlet. Montrons que tout
et
pour l a resolution point
z
du proble-
possede un
fondamental
de voisinages t r e s reguliers. L1operateur
L
e.n.t.d.
il
que
,
existe un
vecteur
unitaire
L'intersection
des deux boules de rayon
tivement
points
aux
regulier,
pourvu
p
tel
Mt &
systeme
&ant l'onait
, centrees respec-
z+Mp
et
z-Mp
est
M
soit
assez
grand
que
montre
f=O
un
ouvert t r e s et
assez
petit.
Demonstration
du theoreme
4.2.
Montrons dlabord l'unicite. Si est
nulle
cCO . Si point
u
on
u a
un
on devrait
,
atteigne
u= 0
t ique s
et
oh =
L
&
avoir
verifie
elle est
de classe
strictement positif
Lu(x)
(
0
un
01.1
. I1
Lu=O et
est
en done
un impcs-
minimum non nuls,
. est
L(
maximum
un maximum
Placons nous maintenant
cm
u
, d f a p r e s llhypoellipticite,
atteignait
x
sible que et
3w
sur
une fonction
dans
l e cas
oh
f
est
de
classe
nulle. Nous allons introduire l e s operateurs ellip-
L+ €
a.
u =
-
f
Du principe du maximum
soit dans
u, w
;
la
solution
u=O
sur
(proposition 1.3)
3w
de
.
, on deduit facilement
J. M. Bony
que lton a
en considerant fonctions
uE
L*
dans
distributions. il
l e point oh l e maximum du module est atteint. L e s
reste
ont
donc
e t celle
ci
verefie
dtadherence faible
Lug = -f
D1apres 11hypoellipticit6 , u e s t mont
A
En tout point fonction
une valeur
barrikre
r
que
u
x
de
aw
1
est
de
au
sens
des
classe
C*
,
bord.
, nous pouvons
clest A
,
nulle
au
u
construire une
dire une fonction
v
telle qulon
ait
2
v EC
; Lv(xl)
Il suffit
de
prendre
l e point
x
&ant
ouvert
0
trCs
de M
-v
x
du principe et
mand pour
-
MvtuE
Mv
pour
(Mvt u, ) 6 0
h
-
et
et
1
donc
A
0
dans
tout
>x
l e lemme
1'
2.1.
Lf v
f
assez
E
-c c 0
dans
petit.
que l'on ait
dans
au bord
l a limite
dans
l a definition dtun
on a
du maximum applique ii
v > 0
fournie p a r
qui intervient
assez
L
luEl
la fonction
celui
V
alors
I1 resulte
v(x ) =O ; 1
;
regulier. P a r continuite,
un voisinage Soit
0
4
Vllw
de ii
Vnw
.
V ~ I J que l1on a
[ul = Mv
. I1
en
resulte
J. M. Bony
que
u(x) tend Dans
le
vers
lorsque
0
cas oil
r a m h e au
cas
precedent de
de classe
cm
dans
posant
u =
Lu = -f-L
$
si
f
4 +w,
coincidant
sont positjves,
la continuite
cm . L e s
vers
pour
si
et
f
u= if
e s t de classe
C*
au
u
.
dw
. En
l a solution de du maximum.
si
f
, il en e s t de meme pour
0
u
on s e
une fonction
sur
la convergence uniforme:
solutions
une fonction
butions et
Sous
$
tfl
w
sont
(4
on peut l e s approcher p a r des suites
fonctions
cm ,
classe
aver
1'
u frest aussi. Cette positivite
Enfin, dans l e cas general,
ment
de
il suffit de prendre pour
tendent uniformement v e r s
tinues,
sont
x
vers
l a fapon suivante. Soit
et
6
tend
cpi stannule au bord. D1apres l e principe
et
implique
cp
et
f
x
bien
u
\Q
.
seulement con-
(vn) de
(fn) et
associees
n On a
et
convergent uniforrne-
Lu=O
au sens des distri-
bord. EnPin, d t a p r @ s lthypoellipticit6, si f
, i l en e s t de meme pour
.
u
l e s conditions du theoreme precedent,
nous introduisons
l e s definitions suivantes:
-
Definition 4.2.
H
qui
tion
u=Hy
$I
u = Gf
f
appelle operateur de Poisson l'operateur positif
d
continue s u r
&
Definition 4.3 qui
On
w
fait correspondre l a solu-
de
w
-
appelle operateur de Green l'operateur positif
continue dans
-w
fait
sur
.
dans
On
; u =
w
Lu = 0
correspondre l a solution
de Lu=-f
dansw;
u=O
surdw
.
I. M. Bony
Nous nous bornons &
donner
stration du theoreme suivant,
quelques
indications s u r l a demon-
en renvoyant
pour une
[ll]
&
demonstration complete.
-
Theoreme 4.3. Green relative
cCO
Il existe une fonction
lloperateur
L
g(x, y)
w)
dans
(dite fonction
positive et de
w
dans l e complementaire de l a diagonale de
pour toute fonction
continue
g*
Si on designe par L*l! , on a
f
une forme gx(dy)
classe
telle que ,
w
D , on ait
l a fonction de
g(x, y) = gY (Y,x)
Pour chaque x
dans
x
de
Green relative
2 lloperateur
.
llapplication qui
associe
f
Gf(x)
est
linenire positive et definit donc une mesure de Radon
. On voit
distributions. Il une fonction
*
L g =-
facilement que l f o n a
X
-d
resulte de 11hypoellipticit6 que
g(z,y) de
cm
classe
dans
X
au
.
des
coincide avec
x
w\x
sens
On
montre
ne charge ni l e point x ni la frontiCre de gx On peut enfin prouver, en utilisant l e theoreme des noyaux de
ensuite que
w
.
Schwartz
que
Theoreme point de rang tout
g(x, y) 4.4.
n
ensemble
-
il existe un nombre fini
I)On designe p a r
tout compact
dense
dans
* lladjoint
L
contenu
K
R
de points
en
et
x
3 (XI. .. .,Xr .Y)
Supposons que
. Pour D
cCO
e s t de classe
y
.
soit en tout
dans
R
, pour
, et pour tout entier p , de
D
formel de
: yl,.
L :
. .,Ym
et une
J. M. Bony
constante
c
et verifiant
tels
que, pour toute fonction
u positive
dans
S1
Lu=O , on ait
P a r cornpacite, on s e r a m h e 3 demontrer l a propriete suivante : pour tout point
V
voisinage
Pour regulier Pour
x
0
de
13 > 0 , w
de
K , il existe un point
x
et
0
considerons lfoperateur
contenant
toute fonction
x v
0
et
de
v = GP Pour une fonctlon
une constante
soit
c
(/3 -L)v + H6 (v I
u positive
et verifiant
e t un a v e r t
on a
13. existe done un point
D tel que lfon ait
Lfinegalite ci-dessus tous l e s points de
x
0
x
gb
donc
soit identiquement nulle.
& un voisinage
, d f a p r & sl a continuite de
Green.
toujours
e s t realisee non seulernent pour
appartenant
de
Lu=O, on obtient
gp (xo, .)
de
tr&s
d
11 est impossible que la fonction y
que
la fonction
cQ3,
classe
, un
D
teis
L-P
gp
de
y
. On
W
a
donc
x
mais pour ' convenable 0
J. M. Bony
Dtautre part,
s u r tout compact
L'
du theoreme
W
dans
coincide avec l a topologie de
. On
4.1. )
, l a topologie de l a convergence dans a donc ,
si V
cm(corollaire
CV C W
L e theorgrne resulte alors des inegalites precedentes. Corollaire l e faisceau
-
des solutions
est
de
est
une axiomatique
de
de rang
.
Lu=O Alors
du potentiel verifiant
matique de theorie
-H
X ( X I , . . .,Xr ,Y)
Si
Bauer
est
, soit une axio-
llaxiome de Doob. De plus,
dans tout ouvert a s s e z
L1existence dlune base dlouverts reguliers a llaxiome de
n
Doob resulte immediatement
de
petit
.
deja 6te prouvee et
la propriete
Ctablie
ci-dessus. En. conclusion, presque
Cquivalentes
d r e l e cas echeant
- axiomatique
on peut dire que l e s donnees suivantes sont (le I1presque"signifiant un
ouvert
qulil faut
s e restrein-
dense);
cm e t
veri-
contenant suffisamment de fonctions
cm et
verifiant
contenant suffisamment de fonctions
C~ et dont toutes
contenant suffisamment de fonctions
fiant llaxiome faible
- - axiomatique llaxiome de Doob
- axiomatique
l e s fonctions harmoniques sont de classe
rang
axiornatique dont toutes solutions dlun operateur n
e n t o u t point.
C'
l e s fonctions fiarminiques sont L
tel que
(XI,.
...Xr ,Y)
C~ est de
J. M. Bony
Tout ceci rang
de y
il
a
(XI,. a
des
Bt6
demontre,
..,Xr; Y )
solutions
est aussi
qtte si l e
llexception du fait
de rang
p 4n
irregulieres
dans
un ouvert,
q u b n l e veut,
ce
qui resulte simplement du theoreme de Frobenius.
V. Principe
du
maximum
et
axiome
de
Brelot
Dans ce paragraphe, nous allons etablir
si une solution
du principe du maximum d-J type suivant; Lu=O atteint atteint
au
-H
aussi
llaxiome de
dlabord que si au
u
a60 F
paragraphe
I11 pour que
suffisante, en demontrant
son maximum
e n un point,
elle e s t
voisinage. toujours
L
mis
sous la forme
2 Exk t Y ta.
.
Nous dirons ferme
Brelot e s t
atteint
Nous supposons avec
de
un certain ensemble. Comme corollaire, nous obtiendrons
que l a condition necessaire trouvee
constante
u
son maximum e n un point, ce maximum e s t aussi
sur
verifie
des formes pr8cisees
en
ouverte contenue
qulun vecteur un
dans
de
ses
p
points
est x
1
l e complementaire
normal -
un
?i
ensemble
slil existe une b o d e
de
F
, telle que
x
1
J. M. Bony
s o i t adherent
B c e t t e boule,
proportionnelle boule,
. En
p
L
e t que l a n o r m a l e
x
e s t l e s e u l point
de
reduisant
on peut s u p p o s e r que
adherent
en
x
1
au
besoin
y soit 1 l e r a y o n de l a
F
B l a boule.
Nous
dirons
un f e r m e
F
si,
p
5.
F
normal
qulun
c h a m p de v e c t e u r s
pour tout
point
x
X
de
F p
en
x
, l e s vecteurs
5.1.
-
Soit u
est
tangent
, e t tout v e c t e u r et
X(x)
sont
orthogonaux. Proposition verifiant atteint
Lu=O , son
vecteurs Ce quadratique
qui
llensemble
m a x i m u m suppose
X
k
e s t tangent
d e s points
oh
et
u
positif. A l o r s , chacun d e s c h a m p s de
.
F
?I
c2
classe
n l e s t qulune a u t r e formulation du l e m m e 2.2. , oh l a f o r m e (aij)
e s t decomposee
T h e o r e m e 5.1. tzjen
F
e t soit
une fonction de
tangent B rencontre
un
F
-
ferme en
X
Soit F.
en un
s o m m e de champ
de v e c t e u r s
rontenue d a n s
lipschi-
A l o r s , tout c o u r b e i n t e g r a l e de X
un point e s t e n t i k r e m e n t contenue dans
Si l a conclusion du t h e o r e m e etait f a u s s e , une courbe
cards.
x ( t ) verifiant
Co:lsiderons l a fonction
intervalle
.
on p o u r r a i t t r o u v e r
xl(t)=X(x(t)) rencontrant
F e t i l e x i t e r a i t un
F
F
i t 0' t 1'tel que '
( t ) @galea l a distallce tie x(t)
et
non
J. M. Bony
A
. Moptrons
F
ob la constante
que
K
l1on a
ne
la
relation suivante:
depend pas de
t
parcourant
] to, t J .
Soit en effet
h une suite tendant v e r s 0 et soient n x=x(t) e t x = x(t+hn) Choisissons pour chaque n un point n qui soit llune des projections de x sur F En extrayant n Yn converge v e r s au besoin une sous-suite, onpeut supposer que Yn un point y et, necessairement, y e s t une projection de x ,
.
.
On
a
et donc
J(t) - x (x) Jh13
l i m inf
oh
d
designe l1angle des vecteurs
l e s vecteurs &ant par
X(y)
et
y-x
X(x) et
sont
La distance rapport presque
1
(a)
. Cela
S
Idt(t)l 4 Dtapr&s un resultat classique,
est
cf (t) = 0
.
X(x) e s t
hypothgse,
(1)
X
major6
.
&ant lipschitzienne de
lipschitzienne
et
donc derivable
( I ) , on a donc presque partout
K d(t)
on
et
prouve l a relation
partout. D1apr&sl a relation
et donc ici
X(y)
un ensemble ferme
, l a fonction
. Par
y-x
orthogonaux. Dtautre part,
lipschitzien, ltangle des vecteurs une constante fois
1
lcos
a
. J(t)
1
r K t-tA
L
d(to)
e
J. M. Bony
-
Proposition 5.2.
8 (XI,. . .,Xr) . Toute
nant &
Z
Soit
un champ
de vecteurs apparte-
courbe integrale de Z
peut
etre
uniformement p a r des courbes differentiables par morceaux,
approchee
dont chaque a r c differentiable e s t une courbe integrale de ltun des champs
de vecteurs Nous nous
monstration
Xk bornons B donner
(voir [ll] )
suivant. On considCre un 8
que lton a tion
de
point
x(t) qui pendant
s e deplace dans
l a direction de
xt(t)=X2(x(t)) )
que
X
dlordre
8
petit,
de
dans
:
on obtient
intervalle
X
(ctest h dire 2 deplace dans l a direc-
se
de
-XI , toujours pendant
calcul simple montre que,
des
&
x(t) occupe l a mdme position
. On peut
de
[Xltx2]
pendant
en deduire que,
pour
plusieurs fois de suite l e s quatre operations une courbe differentiable par morceaux qui
[ x ~x2] ,
l a courbe integrale de Theoreme 5.2.
un petit
qui
l a direction
e2
temps
en effectuant
ci-dessus,
. Un
pres, l e point
8'
s t i l stetait deplace
un intervalle
puis
,
-X2 , puis
, puis de 1 des intervalles de temps
termes
. On s e r a m h e aux deux c a s suivants
par exemple, l e resultat va provenir du fait
Dans l e second cas,
de temps
quelques indications s u r l a de-
-
Soit
issue
approche
du meme pnint.
u une fonction
de
classe
c2
verifiant
Lu = 0 et supposons qufelle atteigne son maximum positif en un point
. Soit
Z
un element
integrale
de
Z
x
0
son
maximum
issue
de de
en tout point
% (X1'"" x
0
de
.La C
X ) et soit r
fonction ,
u
C
la courbe
atteint
alors
J. M. Bony
Dtapr&s l a proposition 5.1. , si on designe par des points oil tangent
u atteint son maximum, chacun des
. Le
F
B
theoreme
toute courbe integrale est atteint
en un
de l t u n des
point,
be. Si maintenant
5.1.
C
Xk
Xk
est
de conclure que pour
,si l e maximum
est atteint
il
est
permet
llensemb!e
F
de
en tous l e s points de l a cour-
une courbe integrale de
, on peut
Z
llapprocher par des courbes differentiables p a r morceaux ce qui precede
sont entierement contenues dans
l a limite, on
a
Corollaire
CC F
rang
n
et
atteignant
u
son
dtapres
.
une fonction
en tout
c2
de classe
maximum positif
ce maximum e s t atteint
qui,
, et donc Zi
F
- Supposons gue X (XI, . . .,Xr ) soit
. Soit
de
u
en
point
un
point
en
tout point
verifiant x
0
Lu=O
. Alors,
de l a composante connexe de x
Ctest une consequence immediate du theorbme, puisque dans ce cas, tout champ de vecteurs appartient engendree
.
par
X I , . .,X,
3 ltalgebre de
.
Le theoreme 5.2. peut e t r e complete (voir
fll] )
principe du
montrant
par
l e resultat suivant
l e rble du champ de vecteurs
dans
le
les operateurs paraboliques.
$ (XI, . . .,Xr)
a7partient
fonction positive, soit Si
u
atteint
en
x(t) pour
un t
x(t) verifiant
maximum positif
a t
0
,
h
si
xl(t) = Z(x(t))+ en
x(to),
methodes
precis s u r l e support
harmonique
l a structure des
exemple,
h Y(x(t)).
elle ltatteint aussi
classiques des renseignements dtun point
e s t une
.
Ces resultats permettent dtobtenir par des
bants. P a r
Y
maximum. En particulier, on retrouve ainsi l e s resultats
classiques pour Si Z
Lie
et s u r dans
l e cas
oil
de la mesure
ensembles absor-
8 ( X I , .. .,Xr )
e s t de rang
0
.
J . M . Bony
n en tout point, de
bw
tout
entier. En effet,
une fonction
a
et
x un
point support
dans l e c a s contraire, il existerait
non nulle et positive, telle que
HV '
(a) soit
, ce qui contredit l e corollaire du th6orGme 5.2.
0
Comme dans ce dernier Doob
regulier
, l a mesure harmonique du point x a pour
w
egal
e s t un ouvert
si w
est
realise,
cas,
on sait d6ja que lfaxiome de
resulte dtun theoreme de Bauer (voir f3J )
il
que l a propriete ci-dessus entraine lfaxiome de Brelot. Nous directement ici
avec
une forme
precisee
lt&ablissons
de lfinegalite de
Harnack. Theoreme 5.3. n y
en tout de
entier u
de ( X I , . . .,Xr ) connexe . Alors,
On suppose que
point. Soit
w
p
-
w
un ouvert
, pour tout compact
K
contenu
est
de rang
pour tout point
dans
w
, pour tout
, il existe une constante c telle que pour toute fonction
positive
et
verifiant
Lu=O , on ait
P a r un argument de compacite et de connexit6, il suffit demontrer la relation precedente lorsque
y
dans un
meme ouvert trPs regulier. Si W
on a en
reprenant l a demonstration
Dfautre part, dehors de
y
la fonction
. C f e s t une
et est
du thesr6me
gp (y, . ) verifie
K
sont
de
contenus
un voisinage de
K,
4.4.
*g
P P (y, . ) = 0
L
en
fonction positive, et si elle sfannulait en un
point, elle devrait sfannuler identiquement,
ce qui est impossible.
J. M. Bony
Si on a choisi
W
relativement compact, la fonction
g
superieute B une constante strictement positive lorsque W. On a donc
/3
(y, x) e s t x parcourt
f
Les deux inegalites precedentes permettent de conclure.
-
Corollaire
H
l e faisceau sant
Si
$ (XI, . . .,Xr )
des solutions de
e s t de rang
n
en
tout point,
Lu=O e s t une axiomatique satisfai-
B lfaxiome de Brelot. e t du resutlat
Cela resulte des thboremes du paragraphe
ci-dessus. Notons que la condition s u r l1alg&brede Lie entraine que L
est
e.n. t. d.
En conclusion, on peut dire qu' il y entre l e s donnees suivantes dre
l e c a s echeant
B
a presque equivalence
(lellpresqueu signifiant
un ouvert
qufil faut s e restrein-
dense).
-axiomatique contenant suffisarnment de fonctions fiant
C~
et veri-
lfaxiome de Brelot -axiomatique contenant suffisamment de fonctions
cm
et telle
que toute fonction harmonique atteignant un maximum positif en un point soit constante au voisinage de ce point
- solutions dlun operateur rang
n
en
tout
point
.
L
tel que
(XI, . . . , X ) soit de r
I1 nlexiste pas ici de caracterisation en t e r m e de regularite des fonctions harmoniques, mais on peut e s p e r e r une caracterisation
B lfaide de la propriete suivante
(quasi-analyticite ) : toute fonction
harmonique dans un ouvert connexe et nulle au voisinage dlun point
J. M. Bony
e s t identiquement nulle. Nous avons pur obtenir
l e s resultats suivants
.(voir [II] ) :
- si H associe
verifie la propriete de quasi-analyticite, 110p8rateur
est tel
que
3 (XI, ,. . , X r )
est de rang
n
sur
un ouvert
dense.
- si ouvert
L
dense,
e s t tel que
3 (XI, . . ., Xr )
e t si l e s coefficients
l a propriete de quasi-analyticite e s t Nous coefficients
de
soit
L
de rang sont
n
s u r un
analytiques, -
rCalisee.
ne savons pas demontrer un tel resultat dans l e c a s de C~
.
VI. Axiomatiques de Brelot associees aux o ~ e r a t e u r selliptiques A coefficients peu rdguliers. Lorsqu'un operateur liers
(C
2
par
exemple),
L
possede des coefficients
il peut e t r e mis indifferamment sous
des t r o i s formes auivantes
Lu=
a s s e z regu-
t-3 3x
i
(a. ,u!) t 15 J
aiul t au
lfune
J. M. Bony
oh l e s coefficients
a
m@me operate&
L
et a diffbrent dlune forme B l l a u t r e pour un
i
, l e passage dlune forme B l%utre s e
faisant B llaide de la formule de l a formule de derivation dlun produit. Lorsque l e s coefficients ne sont pas derivables, l a situation est t r e s differente.
Ces trois types d10p6rateurs ont des proprietes
distinctes qui ne s e rambnent plus l e s unes aux autres. I3 faut en particulier, dans chaque cas, definir la notion de
'tsolution faiblet'
.
I1 semble que l e s operateurs du f r o l s i e m e type aienl bte peu etudies, nous nous interesserons d'abord & ceux du type type (1)
(2) , puis B ceux du
.
Un simple coup dnoeil s u r la litterature consacree jets
& ces su-
suffjt pour s e convaincre de ltimpossibilite deexposer en quel-
ques pages autre chose que des enonces de resultats. Nous nous barnerons & faire
l e mjnjmum de th6orie n6cessaire & la comprehension
de ces enonces. Definition 6.1.
wksp(L?) llespace
-
Dans un ouvert
R de
Rn , on designe par
des fonctions qui appartiennent
L'(L?) , ainsi
&
que l e u r s d6rjvees partielles au sens
des distributions
130rdre
16 p g
wk" 0 cm
k
(k
entier
la ferrneture, dans &
support
designe par
wkqP dans
wk'
CO)
.
On designe par
de l'ensemble des fonctions de classe
compact (pour la norme naturelle de
wk")
,
On
k' (R) l'rspace des fonciions qui appartiennent Wloc tout ouvert relativement compact dans R .
Si la frontlere
W"
positif,
jusqut&
de
R
est assez
rCguli+re, l e s fonctions
pussPdent une trace 5. la fronlj+re. et
que l'ensemble
d ~ fonctions s
LP dual d~
wk0 '(a)
de
wl.P
dnnf
W"
0
2
dl.
ntest autre
la trace est nulle.
s'.denlifie P l l e s p a r e
~ ~ ~ ' d r~s ( 0 )
J. M. Bony
distributions qui sont sommes de derivees d l o r d r e inferieur fonctions
L~ ( 1 < p < m
de
0
- -Operateurs
1
L
et que -dire
est
Lu
3 =x--
coefficients
a.. 1J
uniformement elliptique
vecteur
p
et
pour
3u
(aij 'j;) Ax. 1 J sont dans
h
qulil existe une constante positive
pour tout
k
1lp t 1lp = 1 )
;
du type
On suppose que les
8
presque
mesurables born&, R
, c1est-8-
telle que
l1on ait
tout
dans
x
R
:
L1operateur L definit une application lineaire continue de W1 , 2 W-l, 2 dans La resolution du probl6me de Dirichlet dans ces espaces des
(r6solution
variationnelle)
methodes hilbertiennes.
aspect
de
On
est classique
peut
a ...I 1J 1
Theorhme 6.1. il existe une telle que pour ste que
et
Pour
tout
toute fonction
Lu = -f
. De
4
une seule fonction
l'on ait
u
J
plus,
.
1
pour 8
appartenant
f1,2
de
f
appartenant
appartenant u
des resultats de Beurling-
element
une seule fonction
l1on ait
une et
-
sur
dlailleurs considerer cet
l a theorie comme une application
Deny (la forme de Dirichlet &ant
et repose
A
une telle
(Q)
w''0
(R)
f
et
,
~ " ~ ( 0, )i l e x i -
P
LV~'~(R telle )
3
J . M. Bony
En effet,
w''0
est
un espace de
Hilbert pour l e produit
scalaire f
l a forme lineaire continue definie p a r
A
et un seul
L'egalite
element
Gf
tel
f
,
=
- (Gf, V)
que
c i dessus signifie precisement que l1on a
Si on s e donne maintenant la fonction ramene ?I chercher ce qui
u
-4
ntest autre que
W"
dans
le
Nous avons ainsi
un
. Pour toute
fonction
lloperateur de
nous pouvons trouver classe Dans u
dans
C'
ce
cas,
vCrifiant
iq
de
Poisson que dans un soit
w C'
classe
, et
nous
Lu=O ,
donc
definissons
de
et
telle que
@ w''
2
comme etant u-
4
classe
s u r la frontiere,
appartenant
H
. Provi-
G
un prolongement en une fonction
li
se
$ ) = -f-L)
L(u-
operateur de Green
c a s particulier. Supposons que l a frontiere de C
@ , l e probleme
.
precedent
defini
.
LGf = -f
verifiant
0
cas
soirement, nous ne definirons 1
on peut associer un
de 2(u)
.
l a fonction
appartienne
w''0
, ce qui ne depend pas du prolongement choisi. L1opera-
teur
H
est
Cvidemment
lineaire.
Ce qui precede nlutilisait Les resultats
que
des techniques hilbertiennes.
qui suivent sont de demonstration beaucoup
delicate, faisant appel aux proprietes fines de Poincare,
de Sgbolev, etc..
Moser, Stampacchia,
. Cea
de
resultats
R~ sont
plus
: inegalites
dus 2 De Giorgi,
R. M. Herve. Pour la bibliographie e t pour l e s
demomtrations, nous renvoyons nous inspirons largement ici) et
l e lecteur
B
[23]
.
2
[14]
(dont nous
,
J. M. Bony
-
Theorm6me 6.2. lfespace des fonctions une
axiomatique
de
appartenant
meme
soient
que
continues
qulelles sont
compact
g
est
est
du
, soit H(U)
2 ( ~ ) Alors Wloc
1I
un
faisceau. Le fait
que
contenu
De
2
Giorgi
qui
est
htilderiennes .
sup u(x) 6 xEK
R
Lu=O dans
R
dans
les
montre
resulte dfun theoreme de Moser:
positives verifiant
K
U
.
B
localement
Llaxiome de Brelot l e s fonctions
ouvert
Brelot
Il e s t immediat solutions
Pour tout
pour
, pour tout
, on a
C(K) inf u(x) x6K
Lfexistence dlune base dfouverts reguliers est consequence des resultats
suivants
tout
Lu=O , l a lopologie de L' SUI" 1,2 compact, coincide avec celle de Wloc b) (Stampacchia) Si l a frontiere de w est assez reguliere
1 (C )
par exemple )
a)
Gf
est
Pour
l e s solutions
verifie
Lu
10
,
pour
holderienne c)
, on
9
u
lim
u(x) 2 0 lorsque
inf a
ess u(x)
appartenant
2 0 dans w
alors
donc
voit
que
continue
CQ
est
. En
dans
lbppeateur Si
1,2
une fonction
du bord, on
et
, l a fonctioo
. Si
si
w""
B
110p6rateur de Poisson 1 appartenant 2 C la fonction
l a norme uniforme.
3w
et
point
Considerons
appartient
dans
(P.M. Herve)
tend vers un
b)
et si f
holderienne c)
de
H
est
R
2 WlOC (N
x
,
. D%prPs
Hv
le
est
lui appliquant
le
positif, donc continu pour
majntenant une fonction continue
sur
, on peut lfapprocher unjformemen! par des fonctions q n 1 de classe C . L e s fonctions H Y n convergent uniform6ment bers
J. M. Bony
une fonction
que
appartient
l'on note encore
Wloc l e s ouverts
Pour fonction
et
se
-H
Dtapr&s l e
c) ,
verifie
sur
Dtapr&s l e
Lu=O
l e bord,
prolongeant il y
y.
.
a
il
H
, pour toute
C'
existe une fonction
continument par
unicit;
a) ,
I
B fronti&re de classe
continue
faisceau
H
e t positivite.
du
au bord. Ces ouverts sont Cf
donc reguliers. Remarques. font dans par les
deux
Les
directions
developpements ulterieurs de l a theorie s e
. D1une part,
methodes variationnelles:
on peut poursuivre
capacites, fonctions
de
lletude Green,
construction de solutions continues du probleme de Dirichlet
pour
ouverts
.. .
qui
sont reguliers pour
D1autre part,
on peut appliquer
l e laplacien
(voir
[18) )
B ces operateurs toutes l e s proprietds
des axiomatiques de Brelot: resolution du probleme de Dirichlet la methode de Perron-Wiener-Brelot, potentiels, etudies
.. .
par
R. M. Herve ( 1151
solutions du
probleme de Dirichlet
de "nullit6 W1' 0
)
par
fonctions surharmoniques,
Les liens entre ces deux types de notions ont
pour l e s fonctions
les
, [16]
)
. Ainsi,
ete
l e s deux r e -
evoquees ci-dessus coincident ;
surharmoniques
w''~
de
, l e s deux
notions
B l a frontierell (etre un potentiel et appartenir
B
sont identiques; c e s potentiels sont a l o r s l e s potentiels de mesu-
r e s d'energie finie
...
L e s op.erateurs plus generaux suivants LU
oh l e s a c
B
"
=c-
tJ
Xj
appartiennent zt r
(a. .u! + d , u ) + 1J 1
B
(biu;
J
L~
, les
, 110p6rateur &ant
+ cu)
b. et 1
toujours
di
B
L
n+ E
uniforement
et ellip-
J. M. Bony
tiques,
ont
etC
Ctudies
par
Stampacchia. L e s resultats
De Giorgi-Moser-Stampacchia Cnonces lables
sous c e s
precedemment
. R. M.
hypotheses (voir [23] )
Enfin , Murthy et Stampacchia resultats rement
analogues pour uniformement
2
0
[20]
des operateurs
a montre
que
Brelot.
ont
qu
sont encore va-
Herd
l e s solutions forment encore une axiomatique de
de
obtenu
des
ne sont plus
necessai-
elliptiques.
- Operateurs elliptiques
du
Les resultats sont bien connus
dans l e c a s oh les coefficients 2 sont hdlderiens. Les fonctions de classe C verifiant Lu=O ont la propriete supplementaire que hblderiennes.
l e u r s derivees
Comme l l a montre
travaux classiques de
Schauder,
secondes sont
R. M. Herve [13]
Cacciopoli,
.. .
il resulte des
que l e faisceau de
c e s solutions satisfait aux axiomes de Brelot. Nous ferons ici l e s hypotheses suivantes a ) lloperateur
L
b) l e s coefficients
est
elliptique
et
a ,( 0
a..
sont continus, l e s coefficients
a
1J
a
sont
mesurables bornes
c) il existe une fonction d ( t )
L1operateur kV2'
dans
n L p c
m
L'
,
L ,
4
continue s u r R
definit une application
Nous avons
montre
[lo]
on considbre l e faisceau
i
et
telle que
lineaire continue de que si,
pour
des fonctions appartenant
5
J. M. Bony
w2" p
et
1)
~
et verifiant Lu =O ,
satisfait
&apes de
K
Si
est
toute
2 C ,
un
w2jP
on
w
fonction
est a
aussi
u
et
les
de Agmon-Douglis- Nirenberg 2,
V
un voisinage de
un
[lo))
.
atteint
inf e s s
ouvert
2, Comm. P u r e
, on
donct de
la
loc est
frontiere
de classe
?"(w)
Nous llenoncerons ainsi :
si
[I]
, [21]
une fonction de
son maximum positif en un point
Lu(x) 6 0 pour
sur
2, P
maximum (Alexandrov-Pucci
On peut en deduire par des
fonctions sont
L'
, la convergence dans
_H
K
w2"
de
pour toute fonetion
(p > n) lim
"Ces
priori
compact,
2. Le principe du voir
a
compact coincide avec la convergence dans Si
pas de
ainsi :
Il en resulte que dans tout
ne depend
l a demonstration
peuvent slenoncer
pour
H -
faisceau
aux axiomes de Brelot. Rappelons brievement
1. Les majorations
a,
ce
x tendant v e r s
x x
0
, on a
0
arguments analogues B ceud de paragraphe
alors de
classe
Appl. Math 1959.
c1 .
J. M. Bony
2
qutune fonction verifiant
positif en un point
sans
Lu 2 0
ne peut atteindre de maximum
Btre constante au
voisinage.
Ce principe du maximum a s s u r e llunicite et l a l a solution du probleme de Dirichlet. Joint
positivite
de
I l a majoration ( 2 ) , il
permet dten montrer ltexistence, pour une donnee de classe W2-1'p1p I l a frontiere. On passe au cas dtune donnee continue par convergence uniforme, l a majoration (1) entrainant que l a solu2, P tion est dans Wloc ' Les ouverts B frontibre de classe sont donc regulier,. Nous
ntavons utilise jusqutici que l e s proprietes 3 . Ltinegalite
resultat
nty e s t
de Harnack
enonce que
e s t due
pour
B
d'approximation
de
On pourrait
s e poser aussi,
dans
l e s resultats se
c)
.
. Le
l e s fonctions de classe C
ltaide dtun procede
l e s ouverts
b)
Serrin [22].
mais on l r e n deduit facilement pour l e s fonctions
determiner
a) et
L
de
W"
2
I
. ce cas, l e probleme de
reguliers. Dtautre part, il e s t
ci-dessus resteraient vrais si on
probable que
supprimait lthypoth&-
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CENTRO INTERNAZIONALE MATEMATICO ESTIVO (C. I. M. E. )
J. DENY
M ~ T H O D E SHILBERTIENNES EN T H ~ O R I EDU POTENTIEL
Corso tenuto a Stresa dal
2
a1 10 Luglio
1969
M~THODESHILBERTIENNES EN
THEORE
DU POTENTIEL
Par J. Deny (Orsay) Introduction
L'emploi des mCthodes hilbertiennes en theorie du potentiel remonteau thCor&me classique sur l e signe de llCnergie, et on peut meme y rattacher la methode de variation de Gauss. Ce point de vue a etC systCmatiquement dCvelopp6, pendant l a pCriode 1935- 1950 par De La VallCe Poussin, M. Riesz, Frostman et surtout H. Cartan [6] Cependant ces divers auteurs ne font pas usage de la proprie= t6 essentielle de l a "norme" de Dirichlet, qui est d' 8tre diminuee par l e s contractions normales
(gross0 mod0 : si v varie "moins vite" que
u, llintCgrale de Dirichlet relative B v est plus petite que llintCgrale de Dirichlet relative B u ). C1est A. Beurling qui a dCcouvert l e parti Ctonnant qulon pouvait tirer dlune remarque aussi simple, tant en th6= orie du potentiel (on obtient alors des dCmonstrations t r e s courtes et t r & s ClBgantes des rCsultats fondamentaux) qu'en analyse harmonique (cela conduit B de profonds theor&mes de synthhe spectrale). Les exposCs qui vont suivre sont consacres essentiellement aux espaces de Dirichlet, c'est-&-dire aux espaces hilbertiens fonction= nels dans lesquels il existe un principe de contraction. Une grande partie des resultats qui vont Btre donnes a kt6 trouvee en 1956 et 1958 en collaboration avec A. Beurling, qui a bien voulu me faire part de ses idees fondamentales sur ce sujet; seule une courte note [5] a 6te publiee; tout un livre etait prevu, mains il est peu vraisemblable ce projet soit jamais realise. Ltaxiomatique des espaces de Dirichlet n'a sans doute pas en= core trouve sa forme definitive, mais la methode des contractions en theorie du potentiel merite dt@tremieux connue, et ctest le but de ces exposes.
J. Deny Chapitre
1
Espaces hilbertiens fonctionnels de base
?' .
On s e donne une fois pour toutes un espace localement compact
X et une m e s u r e de Radon y30 s u r X
. Pour Bviter des difficult&
non
essentielles, il s e r a prudent de supposer que X est denombrable A llin= fini. Definition 1 (OU
relatif ti
. Un espace hilbertien fonctionnel (h. f. ) de base
7 ) est
norme hilbertienne
un sous-espace H de L],,
[).\I
(
'f ) muni dlune
pour laquelle il e s t complet, et telle que
llinjection canonique de H dans ~1 soit continue. - loc Autrement dit H e s t un espace de Hilbert dont l e s elements sont des c l a s s e s de fonctions complexes localement
\e -int6grables,
et
tel que, pour tout compact K de X, il existe une constante A(K) telle que, pour tout element u de H, on ait l a relation
Bien entendu, l a fonction u qui intervient au p r e m i e r membre d6signe un
representant quelconque de 1161ement u
.
Cette definition e s t inspiree de celle de Aronszajn et Smith
[d
qui est plus ghnerale, c a r elle fait intervenir a p r i o r i une fa=
mille dlensembles exceptionnels pnuvant Btre plus petite que celle des ensembles
T -nkgligeables,
c e qui est important dans l a th6orie de l a
completion fonctionnelle. D1autre part ces
definitions presentent l l i n =
convenient de faire intervenir essentiellement une mesure privilegiee (la mesure de base) qui, e n fait, ne joue qulun r6le auxilliaire; il s e = rait souhaitable dradopter une definition plus abstraite, independante de toute m e s u r e de base (voir A ce sujet une courte note de E. Thomas
J. Deny [18] ). C'est cependant la definition du texte que nous utiliserons, c a r elle a l e merite d f Q t r e simple e t maniable, et d'ailleurs une mesure de base privilegiee s'introduit tout naturellement dans de nombreux problemes de theorie du potentiel (par exemple l a mesure de Lebesgue m s u r un ouvert' de R ). Voici quelques exemples : Exemple 1 quk
. Soit p une fonction positive
l / ;~ I'espace
2
H =. L (p
7)
localement
7 -integrable
ainsi
est un espace h. f. de base 'f
.
En effet, si u est un element de H et si K est un compact de X , ona
Exemple 2 (espace de Dirichlet classique). --Soit
o un ouvert de R m ( m a 1) ; soit 3 ( 0 ) l'ensemble des
fonctions indefiniment derivables B support nombre
compact dans W ; l e
1
definit Bvidemment une norme
hilbertienne s u r . 08 ( W ) (la norme de
Dirichlet classique). Appellons H l e
compl6t6 de
8(w
) pour cette
norme; on va voir que, "en g6n6ral", l'espace de Hilbert abstrait H peut & r e identifie B un espace h.f. relatif B l a mesure de sur
W
Lebesgue
. C'est l e c a s si W est borne, plus gen6ralement si W e s t de
largeur 2a bornee. En effet on a alors 11in6galit6 de Poincare
qui s'obtient immediatement en appliquant 11in6galit6 de Schwarz B la relation
J. Deny
%
XI
u(x) = valable pour toute u de lxll
s
( t , x2 , . . . ,xm dt
( O ) si W est contenu dans la bande
3
a .
Dfapr&s(2) il existe une application lindaire continue 0 de 2 l'identitd s u r W ); tout revient & H dam L ( W ) qui s e rdduit
a(
montrer que Q est injective. Or, pour tout couple d'd16ments u et n v de 3 ( w ) on a , d1apr&sla formule de Green: j g r a d un s i done {un{
. grad 7 dx =
-
est une suite de Cauchy sur
8 ( bl )
pour la norme de
Dirichlet et s i u est 11C16ment (abstrait) de H qui est la l m i t e de cette 2 suite, u tend vers Qu dans L ( W ) et on a n (u. v ) =~ -
~
Q
AU v dx;
la relation Qu = 0 entrafne donc (u,v) = 0 pour tout element v de H & ( w ) qui est dense dans H, d' oh u = 0. Dans l e cas oh W n'est pas de largeur bornde, il n'existe 2 pas toujours d'injection canonique de H dans L ( W ) ; cependant on peut montrer (voir Deny-Lions [lo] ) qu'il existe une injection canonique 1 de H dans L ( W ) , sauf deux cas exceptionnels 1oc lo) m = 2 [W est de capacite nulle; 2O)m=1
u=R.
Dans le cas M
)/ 3
, pour lequel aucune hypoth&se restricti=
ve n'est B faire sur W , le theorgme de Soboleff (voir par exemple L; Schwarz
[17]
) apporte une precision supplementaire : il existe
1 = 1- - 1 une injection canonique de H dans L q( W ) , avec q 2 m ' Ce nombre q &ant toujours compris entre 2 et 6 , on en deduit mCme 2 ce qu'on peurt I'existence d'une injection canonique de H dans L 1oc' retrouver par des proc6d6s 616mentaires (voir a l e propos l'exemple 3
J. Deny
3 Lorsque O = R ~ m, 3 1) Exemple 3
. (Potentiels dlCnergie finie par rapport A un noyau de con=
volution de type positif). Prenons'pour X un groupe abelien localement compact G et
\e
pour
la mesure de Haar dx sur G
. Soit
une mesure comple=
xe de type positif swr G, c'est-&-dire telle qu'on ait
pour toute fonction f de X (ensemble des fonctions continues & support compact sur G) ou plus gCnCralement de M
K
(ensemble des fonctions
bornCes, mesurables pour l a mesure de Haar et A support compact). On sait qu'une telle mesure (
=
-.
3
admet l a symgtrie hermitienne
). Pour tout couple de fonctions f et g de MK on a lfinCgalitC
.
jg*?
(3)
l ~ f * a d ~ l ~ d~? ~ f r ? d 3
Si f est un Clement de MK la fonction uf= f * $
(definie pre=
sque partwt, localement integrable) est appelee l e 9 -potentiel engen=
. Un calcul elementaire
drC par f
de convolution montre que, pour
tout couple de fonctions f et g de M
K'
on a
De cette relation et de (3) on dCduit facilement qu'on a uf=O (presque partout) si et seulement s i
/f
*?
d j
=
0; d'autre part
l a relation u = u (presque partout) entralne qu'on a f g ; il en result6 que le nombre i d 3 = d3
/g*a
*
11 u )I
N
= (f *f t 3
l'ensemble
(0)).k definit une semi-norme hilbertienne sur 1
des ClCments u de L' qui sont des potentiels, f 0 1oc Ctant llun quelconque des Clements de M tels que u = u K f ' H
J. Deny Le produit scalaire de deux elementsu et u de H est Cvi= 0 f g demment (u u ) = /uf z d x = / f i ; d ? f' g Le completC H de H s e r a appel6 llespace des potentiels g6=
.
0
nCralis6s d16nergie finie par rapport au noyau
'3
. 11 est facile de
voir que c l e s t un espace hilbertien element de H h(x) =
0
fonctionnel. En effet soit u un f et soit K un compact de X; posons
X K ( ~ uf(x) ) /\ur(x)l
si uf(x)
#
0, h(x) = 0 sinon; dtapr&s 19;
negalite de Schwarz on a
appelant
la la ra.cine c a r r e e
de
c e dernier
nombre:
On en dCduit immbdiatement qulil existe une application lineai= r e continue Q de H dans
1
Lqui s e reduit & llapplication identique 1oc sur H . de plus, pour tout Clement u de H, on a (u, u ) = Qu dx 0' gH pour toute g de M de sorte que 0 est injective. K'
J
Il est interessant d'observer qu'on a un resultat meilleur: les potentiels genbralises dtCnergie finie sont de c a r r e integrable s u r tout compact; d'une fayon plus precise : llimage par Q de l'espace abstrait H est contenue dans L2 et 0 est une applicatian lineaiie loc' 2 continue de H dans L loc" En effect soit K un compact de G, et soit M(K) l'ensemble des fonctions mesurables bornees nulles hors de K; pour toute fonction
dloh, pour tout elkment u de H :
-
lloul
129
-
2
dx
J. Deny 2
2
~ j e U f d X /
=
=
b, uf 11 f":&q l2
,L sup
fEM(k) / ~ f l
s 131 (K
-K) tlull
2
.
Un c a s simple de l a situation decrite est a e l u i oQ
3 =5
;
2
mesure de Dirac & llorigine de G; alors H est identifiable L (G). m Un autre c a s interessant est celui oh G = R et E) e s t la d -m mesure de densit6 1x1 , 0 4 d 4 m; on obtient alors pour H llensemble des potentiels (g6n6ralis6s) d l o r d r e o( Riesz; en particulier pour
4-2
de M.
( m >, 3), H est identique
au compl6t6 de $ ( R ~ ) pour l a norme de Dirichlet (voir Exemple 4. quelconque; soit
7
171
).
Prenons pour X un espace localement compact une rnesure de Radon positive s u r X; soit K une
mesure complexe s u r l'espace produit X x X, possedant l e s deux pro= pri6tCs
suivantes :
(i) k est de type positif (i. e.
//f(x)
5) dd*(x,y)
a
0 pour toute
f E X(X));
(ii) la projection s u r X de l a restriction de
K
B toute bande de l a for=
me X X K, oh K e s t compact, e s t absolument continue p a r rapport "'f.
Appelons potentiel engendr6 par l1616ment f de f
t6 U par rapport &
7 de l a
mesure pl [(fop2) 11
X(X)l a
densi=
(projection s u r
X de l a mesure de densite fop2 par rapport & \C ), oh pl et p2 sont l e s projections canoniques de X x X s u r l e s espaces facteurs. Cette terminologie e s t justifike par l e cas particulier important oti K est
7
absolument continue par rapport & la mesure produit x y ; si N e s t f l a densit6 de K , on trouve pour U llexpression classique & llaide f du lqnoyaunN: u (x) = j ~ ( xy), f(y) d (y). P a r definition on a , pour tout couple de fonctions f et g de
J. Deny
d'oh, comme K est de type positif,
.
~ / d g d 2~ 6] / ~ f ~ d y\ U g z d p On en d6duit d6finit une norme
I I U ~ I=I
facilement que l e nombre
hilbertienne s u r lfensemble H
0
(/Uf
f d
P
)'
P
des potentiels U1.
Dfautre part on a, pour tout compact K de X
dloh il r6sulte ais6ment qu'il existe une application lin6aire continue injective du ~ o m p l 6 t 6H de H tit6 s u r H
.
0'
7
dans JL1 ( ), injection qui s e reduit 2 lfiden= laoc autrement dit H est un espace hilbertien fonctionnel 0
T -mesurable. Inversement on terra plus loin que tout espace hilbertien fon= ctionnel "5 noyau positif" peut Ctre obtenu de cette f a ~ o n . I1 e s t int6= ressant d'observer directement que l'exemple 4 contient l'exemple 3. Soit en effet
)J une mesure de type positif s u r l e groupe abelien
localement compact G; appelons
9 1 llimage de 3
par lfapplication identique :
x+ (x, 0) de G dans GXG ; soit o la mesure positive portee p a r la diagonale de G Y G dont la projection s u r X est la mesure de Haar le produit de convolution un element de
; soit enfin k
a c s u r l e groupe G x G ; on verifiers que s i f est
1
X(G), le potentiel
f U construit B llaide du noyau
\(
nfest autre
que le produit de convolution f + 3 ; cela resulte facilement de la relation
Observons encore que, dans l'exemple 4, il n'est pas toujours
(y
r r a i que l e s 616ments de H appartiennent 5 l j 2 ), contrairement 5 1 oc ce qui s e passait dans llexemple 3, mais on v e r r a que, dans la
J; Deny
pratique, cette circonstance e s t due & un "mauvais choix" de l a m e = s u r e auxilliaire
7
Dans l a suite de ce chapitre, H designera un espace hilbertien
7 -mesurable
fonctionnel Definition 2
donne une fois pour toutes.
. Soit f un element de MK (ensemble des fonctions mesu=
rables bornbes B support compact); on appelle potentiel engendre par f l'unique element u de H verifiant f -
.
pour tout element u de H. L'existence et ltunicit6 de uf resultent immediatement de ce que la forme lineaire L(u) =
/u
d 'f est continue s u r H, d'apres ltin6galit6 suivante, qui resulte de (1): I ~ ( u ) lQ
Ilfll.
Llul
d'f
6
A(K)
Ilfllm
Ilull
oh K dCsigne un compact hors duquel f est presque partout nulle. L'ensemble de ces potentiels uq est partout dense dans H ; en effet c'est un
sous-espace, et l e seul element u de H qui soit
orthogonal B tous l e s uf est lt616ment nul, d'apres (4). On verifiers facllement que la terminologie de la definition 2 e s t en accord avec l e s notions de potentiel introduites dans l e s exem= ples 3 et 4. Dkfinition 3
.
On appelle- potentiel pur tout element de H qui e s t a d h e
rent B l'ensemble des potentiels u engendres par des fonctions f 3 0 . f L1ensemble P de c e s potentiels purs est evidemment un cane convexe et ferm6 de H; la terminologie s e r a justifiee plus loin. Proposition - 1 . Pour qu'un element u @ H soit un potentiel pur, il faut et il suffit qu'il vkrifie ltune ou l l a u t r e des relations suivantes,
J. Deny aui sont 6auivalentes : (5)
+ v1 2 1 u1
u
Re (u.v)
(6)
3 0
Bien localement
pour toute
v de - H telle que R e v
pour toute
v
de
H
entendu, l'expression (Rev v, 0
$-
integrables qui
telle que
>
0 ;
R e v 5 0;
signifie que l e s fonctions
representent 11616ment v sont >, 0
presque partout. L e s relations (5) e t (6) sont Bvidemment Cquivalentes ; elles sont verifiees par tout potentiel pur, puisqulelles sont verifiees par t
l e s u avec f E MK, dlapr$s l a relation (4). f Soit inversement u un element de H verifiant (6) Appelons P
0
l e cane polaire du cane P, i. e. l'ensemble des e l e m ~ n t sv de H v6=
f E M+
pour tout s a P; comme l e s elements u
avec f' sont partout denses dans P, cette relation est kquivalente 2.
rifiant dl,(v, w)
s0
K' l a suivante, dlapr\es (4): ae)vf
d y
= Re(v,u2
3
+
0 pour toute f de M
0
IC
autrement dit P n'est autre que llensemble des elements v de H v6= rifiant cane
Re v
0. Mais a l o r s (6) exprime que u est un element du
bipolaire
PO'
qui, comme il est bien connu, nlest autre que
P ( c a r P e s t convexe et fermC); donc u e s t bien un Clement de P. Definition 4. L'espace h. f. H est dit 2. noyau r e e l (resp. 2. noyau po= sitif) si l e s potentiels purs sont r e e l s (resp. positifs). I1 revient au mCme de dire que l e s elements u
t
f'
avec f 6 MK ,
sont r e e l s (resp. positifs). Proposition 2 quel que soit
. _Pour
que
u 6 H ,
H
on ait
soit & noyau r e e l il faut et il suffit que
u
E
H
\(ell
=
l\u\l
.
-
En effet s i H e s t 2. noyau reel, on a immediatement u = u f f pour toute f de M (imm6diat en ecrivant f = f - f + i ( f 3 - f ) , 1 2 4 K
J. Deny
+
MK),
avec l e s f. dans J 2
11711
=
II"~II ' =
dloh
JuifdB
=
/ 5 f d y
/uf?dT
=
2 [Iufl[ ,
=
.
r e s u l t a t , c a r l e s u sont denses dans H f Inversement supposons l a condition satisfaite ; elle entrarne que
dloh l e
tout element avec u
u de
H steerit
dlune facon e t d'une seule u = u
1
+ iu
2'
et u
r e e l s (u = (u + i i ) / 2 , u2 = (u - fi)/2i); d'autre part l e 1 2 1 produit scalaire de deux d e m e n t s r e e l s u e t v de H est reel, comme 2 2 on l e voit en developpant l a relation u + iv = u - iv 11
11
Soit a l o r s u = u + iu avec f 1 2 ' v de K on a jvfdl
=
dloij (v,u )
11
+ f E MK;
.
11
pour tout Clement r e e l
(v,uf) = (v,u +iu ) = (v,u ) - i ( v , u ) 1 2 1 2 0, c a r
(v, u ) et (v, u ) sont reels; 1 2 comme tout 6ldment de H est combinaison lineaire d1B16ments r e e l s , 2
=
/vf d (
,
on a donc u
= 0 et par suite u = u est r6el. 2 f 1 Voici maintenant une importante caracterisation des espaces h. f. B
noyau positif: Th6or6me (Aronszajn et Smith A noyau positif
u 3 lul
. Pour
qulun espace h.f.
H soit
il faut et il suffit qulil soit 3. noyau r e e l et que, pour
H, il existe un element r6el
tout 616ment r e e l u N
[2] )
et 1 1 q4
\lull
v6rifiant
.
L e s conditions sont suffisantes : en effet s i elles sont v6rifiCes tout potentiel pur u est reel; soit
u 11616ment associ6 a u; on a
N
N
- 2(u,u-u) ;
o r on a
1(: 11 2
I[ u 11 2
proposition 1 ; on a done
par
hypoth2se
~IZU
et
(u,$-u) >, 0 d1apr2s l a N
_L 0 et par suite u = u
>, 0
.
J. Deny
Les conditions sont nkcessaires : supposons que H soit B noyau positif et soit u un 616ment r6el de H
.
u1 et u" l e s projections
Soient
n)
-u s u r l e cane P des potentiels purse L1616ment u = u' + u l '
de u e t
convient : en effet il e s t facile de verifier qu'on stagit en fait dtun th6orkme de g6om6trie
a
llzll
llull
616mentaire dans R
(il
3
) ;
dtautre part, d f a p r & sl e s proprie't6s de l a projection s u r un cane convexe, on a
pour toute f E M
+
( c a r on a alors u E P) , dloh u1 u ; de meme K f on a u" 3 -u ; comme u' et u" sont >, 0 par hypothkse, il en rCsul=
t e bien qu'on a
=
u l + ut'
)
lul
.
Voici enfin un 6nonc6 qui montre que tout espace h. f. B noyau positif peut e t r e construit par l e proc6d6 d6crit dans l'exemple Proposition 3
. Si l'espace
existe une mesure
4 :
est B noyau positif, il
h.f. H de base
k positive et de type positif s u r l'espace produit
X X X, telle qu'on ait
pour tout couple de fonctions f
g & MK ; cette m e s u r e K s e r a ap= l e "noyau -mesure" associ6 B llespace H (et B l a mesure de
pelee
b % Y ) . En
JC (XI
x
effet consid6rons l a forme sesqui-lin6aire B d6finie s u r
K(x)
qui e s t une noyau toute
par
"bimesure" s u r llespace produit
positive, la forme lin6aire : f
--+
X x X
. Comme est 3
B(f, g) est positive pour
g 3 0 ; de meme la forme semi-lineaire : g
---+
B(f,g) est
J. Deny positive pour toute
f b 0 ; il e s t bien connu que la
bimesure
B
est alors associ6e B une mesure positive k s u r l'espace produit, et une seule, verifiant ( 7 ) pour tout couple de fonctions Cette relation (7) prouve d'une part que d'autre part que, pour tout element f de
71
f et
g de
x.
I( est de type positif,
, l a mesure pl [(fop2) k]
n'est autre que l a mesure de densit6 uf par rapport B
(pl et p2
&ant l e s projections canonniques de X X X s u r l e s espaces facteurs) ; par consbquent, pour tout compact
K de
X, l'image par p
de l a r e = 1 striction de K B la bande X x K est absolument continue par rap= f port B , et 11616ment u n'est autre que l e K -potentiel U engen= f sont dr6 par f, defini dans l'exemple 4. Comme l e s u avec f E f' partout denses dans H, on voit que H est bien l'espace h.f. de base
x,
construit 3 partir de
K
par l e procede de l'exemple
4. Pour
achever, il suffit de verifier que (7) est encore vraie pour f et g dans MK, ce qui e s t facile.
J. Deny
Chapitre
2
Espaces de Dirichlet gbneraux
DBfinition
1
. Soient
u et v deux fonctions complexes definies s u r ; on dit que v e s t une contraction normale de
Iu(x)
- dy)l pour tout couple de points x pour tout point
x
de X
.
T e s t une contraction normale du plan comple= xe, c'est-&-dire une application du plan complexe C dans h i - m e m e qui conserve l'origine et diminue l e s distances, la fonction composee Tou, qulon notera Tu, e s t une contraction normale de u ressant dlobserver que l a r6ciproque e s t vraie : tion normale de
u , il existe
plan complexe, telle qulon ait
&
v
. Il est intB= e s t une contrac=
moins une contraction normale v
=
Tu.
En effet on peut a l o r s definir une application contractante de l'image z =
U(X)
u(X) dans
T& S
C en associant & tout nombre complexe
l e nombre S(z) = v(x) (on a
evidemment v(x) = v(y) des que
u(x) = u(y) ) ; s i u(X) ne contient pas l'origine, on pose S(0) = 0 , relation qui resulte des definitions si u(X) contient l'origine. I1 bien connu (voir Valentine peut e t r e
[19]
est
) que llapplication contractante
prolongee en une application contractante definie dans
C
tout-entier ; ce prolongement convient. Les contractions normales du plan complexe sees le plus souvent sont :
qui seront utili-
S
J. Deny
1z I
0
1 ) la contraction-module : z
;
0
2 ) l a "projection" s u r un convexe ferm6 K contenant llorigine ; en particulier l e s projections s u r l e s axes (appelees respectivement "con= traction - partie reelleu e t segment
[0,
11
"contraction partie -imaginaireH), s n r l e
de llaxe r e e l
[z(
enfin s u r l e disque 0
3 ) l a contraction : z
<
-+
r
z
(appelee contraction fondamentale), (not6e T ) ;
r
- T z, utile en analyse harmonique. r
7
Dbfinition 2 . Soit X un espace localement compact et soit
X ; on appelle espace de Dirichlet (g6n6=
s u r e de Radon positive s u r
p
r a l ) relatif B
tout
une me=
espace hilbertien
fonctionnel H de base
qui vbrifie l'axiome suivant:
F
-
si v est une contraction normale de lt6l6ment u de H, on a v
H
.
Ilvll 4 UuII
et
On peut d i r e plus bri6vement qu'un espaee de Dirichlet e s t un espace hilbertien "ophent"
. Un
fonctionnel s u r lequel l e s contractions normales
espace h.f.
dire que 11616ment v signifie, bien se
u
& a n t un ensemble de classes de fonctions,
est une contraction
normale de lt61kment u
evidemment, qulil existe un repr6sentant
et un repr6sentant
contraction normale de
f
ment dlun espace h. f. et
g
de l a classe
v
t e l s que
; drune fason analogue, si
T
u
f de l a clas= g
soit une
e s t un 616-
une contraction normale du plan complexe,
Tu d6signe l a c l a s s e de fonctions localement integrable admettant pour repr6sentant Exemples
.
Tf , f &ant un representant L e s deux
premiers espaces h.f.
du chapitre 1 sont des espaces de Dirichlet ce
L
~
7 (),
ainsi que l / p
oB ~ p
. C1est
est une
quelconque de
u.
6tudies dans l e s exemples
. C'est
evident pour l l e s p a =
fonction positive, localement integrable
beaucoup moins evident pour l e second exemple,
qui est fondamental et s e r t de mod&le pour toute la
th6orie ; on
J. Deny llappellera l'espace de Dirichlet classique s u r l'ouvert Prenons dlabord pour element de l'espace h. f.
l'ouvert
3(W
de Dirichlet admet un rapresentant
R ~ .
. Chaque
de R
] 0,lC
, complete de
H
de
pour l a norme
)
continu : cela resulte de la majo=
ration 616mentaire
valable pour toute fonction
u
8( W ) .
de
identifiable B l'espace des fonctions
[o, 1)
u
I1 en resulte que
H est
absolument continues s u r
, nulles aux extr6mit6s, dont l a derivee u1 (qui existe pre-
sque partout) est de c a r r e intilgrable s u r l a norme de Dirichlet
IIu
11
= (
tout element de H ; elle montre
/
lull
[0, 11
dx )'
.
L1expression de
est alors valable pour
aussitat que l e s contractions normales
op&rent s u r H ; il suffit dtobserver que si v e s t une contraction normale de u , v e s t absolument continue, et on a
1(
x )
u
)
presque
partout. On a des
resultats
classique s u r [0,+ a
1;
analogues concernant llespace de Dirichlet
on peut considerer que s e s elements sont l e s
fonctions absolument continues s u r tout intervalle borne nulles en 0, et dont l a d e r i d e e s t de c a r r e Supposons maintenant que w
[0,a]
(a > O),
integrable,
soit un ouvert quelconque de R
(seuls c a s exclus : w e s t la droite reelle toute entigre, ou
(d
m
est
un ouvert plan de complementaire polaire). DBs que l e nombre de di mensions e s t de
>, 2
il existe des elements de H qui n'admettent pas
representant continu; cette circor~tancerend malaisee lladaptation
de la demonstration donnile pour une dimension. Voici l e principe d'une methode detournee : On observe dlabord que toute fonction
u
continue B support compact dans w , absolument continue s u r tout segment interieur A w , e t dont l e s dbrivees
partielles (qui existent
J. Deny
presque partout) sont de c a r r e integrable, represente un 6lement de dont la
H
norme est (
/
Igrad u 1
2
dx
)%
(on peut proceder par re=
gularisation et utiliser l e fait que l e s dkrivees ordinaires de
u
sont
des d e r i d e s au sens des distributions). I1 en resulte immediatement que si u male de
e s t un element de u, on a
v EH
quelconque de H et soit soit
bn)
8( u ) et si
et Ilv
11 < ~ I u11.
v e s t une contraction nor= Soit enfin u un element
T une contraction normale du plan complexe ;
one suite d'element de
$(a)convergeant
v e r s u ; d'une 1 part Tu converge v e r s Tu dans L (c'est evident); d'autre part l a n loc suite T U ~ ] est faiblement convergente dans H (demonstration toute
{
semblable B celle de l a propriete 3' ci-dessous). Si v est cette limite
I-
f
J
dx = Tu f dx v f dx = (v, u ) = lim(Tu ,u ) = lim f n n f pour toute f mesurable bornee B support compact, d ' a h v(x) = Tu(z) presque arto out; cela prouve bien qu'on a Tu E H et lim lim Cull 6 -F<, - - 11 u, /I = ii Ulr L'axiome des contractions s'avkre t r k s maniable; voici quelques faible, on a
-
1) ~ ~ ~ 1 1
consgquences faciles : ProprietCs immediates des espaces de Dirichlet. (1) Soit -u ments de
+ u 5
un element de
-.
H ; alors lu
H , ayant tous une norme
u-
sont des elements de
C'est
H
1
, Reu, u
1;
11
est r e e l
ayant une norme
g (lu[(.
evident ; il en resulte que tout element de
r e e l s de
H
( 2 ) Soit - u
r
tend v e r s
=
sont des 616.
u
binaison lineaire de quatre elements positik de lation I[u
x u
H
e s t com=
H ; d'autre part l a r e =
11311 entrafne que l e produit scalaire de deux elements e s t reel.
un element de 0.
H ; T u tend fortement v e r s r
0
lorsque
J. Deny '
En effet soit
MK
u
l e potentiel engendr6 par la fonction f de f (ensemble des fonctions mesurables born6es & support compact) ;
d'aprbs 11in6galit6 [ITr u
11 < 1 1 11
et l a relation
T u converge faiblement v e r s 0 lorsque r tend v e r s r 0 , c a r l e s u sont partout dense dans H D'autre part, en ap= f pliquant la contraction : z --j z - T z , il vient r on voit que
.
la convergence faible entrafne donc la convergence forte. (3) x { u
1
une suite d1616ments de H , convergeant fortement v e r s n l16l6ment u , et soit T une contraction normale du plan complexe ; alors te s i
Tu converge faiblement v e r s Tu , et la convergence est for= n Tu = u (plus genkralement s i TuII = 1.
[I
/ITU n 11
En effet la suite des normes de plus, pour toute
d'oh
6 IIunl/ e s t born6e
;
f de MK , on a
la convergence faible de Tu
denses dans H
I / u 11
. Si en
outre
n on a
v e r s Tu, c a r les u sont partout
IITU 11 = Ilul],alors
f
l a convergence
r6sulte de lfin6galit6
I1 serait interessant de savoir s i , dans tous l e s cas, Tu
n
J. Deny converge fortement v e r s Tu; c e probl6me ne semble pas facile. (4) & u e s t un element borne de H ( 1 u(x) 1 a a pour tout x 2 2 de X ) , alors u est dans H , et on a u 11 ,c 2a 11 u 11 2 En effet u est une contraction normale de 2au, d f a p r e s la
I]
relation 6vidente
2 u (Y)] 6 2a lu(x) - u(y)l
Iu 2 (4 -
On en d6duit
.
.
immediatement que l e produit de deux elements
bornes u et v de - H est dans
H (il suffit d16crire 1 2 uv = - [(u + v12 - (u-V) ] ) ; si on a 1 v(n) 5 b pour tout x , on 4 trouve la majoration Iluv[l 5 (a+b)( 11 u 11 + 11v 11 ) ; en fait on v e r r a
1
2 la fin du chapitre 3 qulon a l a majoration bien meilleure lluv 11
Ilv 11 + b
11.
[I, m a i s clest beaucoup plus difficile A demon=
trer.
(5) Si u et v
sont des d e m e n t s de
Il i d . , sup(u, v) =
1
v)
H, inf(u,v) et sup(u,v)
sont des 616ments r e e l de
II 2
(u+v) +
H, et on a + Ilsup(u, vlll
~1 u - v I
2
-L
II IJ II
2 +
ll v Il
2
.
; il suffit de developper et d l e c r i r e que
l a contraction-module diminue l a norme. ( 6 ) Si u et v sont deux elements positif de H , vhrifiant u!x) v(x) = 0 presque partout on a (u,v) L 0.
En effet on a alors
u t v = lu-vl; il suffit de developper l e
c a r r e des normes des deux membres; on tiendra compte du fait que l e produit scalaire de deux elements r e e l s est reel. (7) Si u
et v
sont deux 616mentspositifs de H, tels que v(x) = 1
presque partout s u r l e support de (u,v) 3 0.
u, 0 ,L v(x) 6 1 partout, on a
J. Deny
Cela resulte immediatement de ce que, pour tout a
v
=
T(v
+
1 0 , on
T est la contraction fondamentale; il suffit
Xu) , oh
de developper l e c a r r e des normes et de faire tendre A v e r s
0
.
Voici maintenant l e s premiers resultats de theorie du potentiel dans un espace de Dirichlet. Rappelons d'abord une definition : Definition 3.
Soit H un espace fonctionnel 5 noyau r e e l ; on dit que
l e principe complet du maximum est v6rifi6 dans couple fonctions (1)
f
g g
de
+
H
s i pour tout
MK, la relation
u (4 5 u (x) + 1 f g
est vkrifiee (presque partout) s u r
X des qulelle est verifiee (presque
partout) s u r l1ensemble {x ; fix) > 0 ) En faisant
.
g = 0 dans (1) on obtient
classique du maxi-
l1i.nonc6 du
principe
constante 1 du second mem-
; en supprimant la
bre de ( I ) , on obtient l16nonc6 du principe de domination.
Bien enten-
du le principe complet du maximum entrafne l e principe classique du maximum et l e principe de domination. Si l e principe de domination est
verifik, H est 5 noyau positif (faire f
on voit que tout element
+
u
=
0 dans la definition ;
.
avec g~ M est 3 0 ) Ces prog' K ' pri6tes sont bien connues dans le cas OCI H est llespace des potentiels ntwtonniens gen6ralisi.s d16nergie finie (voir la fin de l'exemple chapitre 1) ; elles rksultent
3 du
immkdiatement des proprietes @lementa=
i r e s des fonctions surharmoniques.
.
Thboreme--
Dans tout espace de Dirichlet le principe complet du
maximum ?st vkrifi6. La d6monstration r6sultera des trois lemmes suivants : Lemme - - 1. Tout espace dc Dirichlet est A novau positif -. - -- - -- . -.
J. Deny
C t e s t une consequence immediate du theor6me dlAronszajn et Smith (voir chapitre 1). En effet on a vu que tout espace de Dirichlet e s t A noyau r e e l ; dtau= t r e part, si u
e s t un element r6el de ltespace, 11616rnent $ =
vkrifie bien l e s hypoth6ses On peut
du theor6me dtAronszajn et Smith
bgalement en donner une
.
lul
demonstration directe, utilisant
l e s contractions (voir [5] ).
.
Lemme - 2
Dans un espace de Dirichlet, llenveloppe inferieure de
deux potentiels purs est un potentiel pur.
--
Soient en effet u et v
deux potentiels purs de ltespace de Di=
richlet H ; on sait que u et v sont positif (lemme 1); evidemment 1 1 inf(u, v) = -(u+v) - - lu-vl e s t un 6lt.ment de H. P a r m i l e s elements 2 2 de H dont l a partie reelle majore inf(u,v), il en existe un et un seul dont la norme e s t minimum ( c a r ltensemble de ces elements e s t
con=
vexe, fermt. et non vide); c t e s t un potentiel pur w, d1apr6s l a caractez risation des potentiels purs (chapitre 1, proposition 1) ; comme on a
toujours
dlapr\es l a caract6risation des potentie1.s purs, il en r e s u l =
t e quton a
w = inf(u,w). On a de m&me w = inf(v, w), dtoh l e r6sultat.
Lemme 3. Si u -
est un potentiel pur d'un espace de Dirichlet, --
v = inf(u, 1) est un potentiel pur
.
En effet on a v = Tu, oh T est la "contraction fondamentale" ( c a r u est 2 0 ) ; donc Soit
H
v e s t un element de llespace de Dirichlet H
w ltunique t.16ment de norme minimum parmi l e s 6lements de dont la partie reelle majore
v
;
c t e s t ur? potentiel pur, et on
tfi.nlontre, comme pour l e lernrne 2 , qu'on a
v
=
inf(u,w); d'autre
.
J. Deny
part inf(w, 1) est
un 616ment r e e l de
une contraction normale de de
majorant
I1
w , on a
v ; comme c l e s t
w = inf(w, l ) , d1apr6s 11micit6
11616ment de norme minimum cllun convexe ferm6 non vide. Fina=
lement il vient Corollaire. Dirichlet,
w = inf(u, 1) = v , donc
Si u
et v
v
est bien un potentiel pur.
sont deux potentiels purs dlun espace de
inf(u,v+l) e s t un potentiel pur.
C1est un
cons6quence 6vidente des lemmes
2 et
3 et de la
relation 616mkntaire
D6monstration du th6ori.me 1
M
. On va
monstrer un peu plus : si f
t
et si v est un potentiel pur de l'espace de K Dirichlet H, tels qulon ait u (x) 5 v(x) + 1 presque partout s u r f {x; f(x) > 0) , alors u g v + 1 f Cartan en th6orie Un artifice donn6 il y a longtemps par H est un element de
.
.
newtonienne (voir
[6]
) sladapte sans modification Q l a situation
2 et 3 11616ment
pr6sente : d1apr6s l e corollaire des lemmes w = inf(u ,v t l ) e s t un potentiel pur, et f
j(u
on
a
7
c a r on a dlune part (u , u -w) = -w) f d = 0 (puisqulon a f f f u (x) = W ( X ) presque partout s u r {x; f(x) > 0 ) , dlautre part f
(w, u -w) 2 0 (d1apr6s la propri6t6 caract6ristique des potentiels purs) ; f on a donc w = u dloh l e resultat. f' Remarque. Soit
H
un espace h.f. ; pour 6tablir que l e principe de
domination est v6rifi6 dans
H , il nlest pas
n6cesqair-e de supposer que
H est un espace de Dirichlet, mais seulement que la contraction-mo=
J. Deny
duie op6re s u r
H ; en effet l e s lemmes 1 et 2 sont valables sous
cette seule hypothkse. De meme, pour 6tablir que le principe complet du maximum est v6rifik dans H , il suffirait de supposer que la contraction fon= damentale op6re s u r
H; comme on v e r r a au chapitre 3
qulinverse=
ment tout espace h. f. dans lequel l e principe complet du maximum est verifi6 e s t un espace de Dirichlet, il en rksultera que toutes l e s contractions normales tion normale
opkrent s u r un
opkre (d'oh sonnom).
espace h.f.
d6s que l a contrac=
J. Deny
Chapitre
3
Une caracterisation des espaces de Dirichlet generaux. Mesures sous-markoviennes.
Pour etablir l a
rkciproque du resultat principal du chapitre
2, nous aurons besoin dtintroduire quelques notions nouvelles qui s e = ront utiles par l a suite. On s e donne une fois pour toutes un espace denombrable B ltinfini et une m e s u r e de Radon
localement compact X 'fa0
sur
Definition 1
.
X .
Une mesure positive d s u r ltespace produit
est dite sous-markovienne (relativement B s u r l e s espaces
) s i ses
facteurs sont majorees par
Dans la pratique on ne
X
%
X
projections
.
consid'erera que des type positif (donc
sym6triques). Definition 2
. Un
operateur lineaire s u r
vien s t i l transforme toute fonction
f
L~( I f ) est dit sous-marko;
3
L~ verifiant 0 d f(n) L 1
presque partout en une fonction de meme nature Lemme 1 . Tout opbrateur -9
.
hermitien positif sous-markovien s u r
<
1 ; il existe une bijection de ltensemble de L*( 'f ) a une norme ces operateurs s u r ltensemble de mesures de type positif sous-mar=
koviennes (par rapport B
P ) telle que,
A , on ait
pour tout couple dt414ments Soit en effet
A
f
si W est la mesure A
associee B
g de H(X) (et meme de L'(
7
) ).
un operateur hermitien positif sous-markovien
J. Deny sur
L (
Y ). Comme on a Af
0 d&s que f
d6finit une mesure positive
sur X
X
est h 0, l a forme
X v6rifiant (1) (voir l e
but de la demonstration de l a proposition 3 du chapitre
dB=
1). Cette me =
s u r e est de type positif, c a r A e s t hermitien positif. Elle e s t sous-mar= kovienne par rapport 21
: en effet la relation (1) entrafne, avec l e s
notations du chapitre 1, p1((fop2)(i;: pour toute
f
(Afq
=
d e X ; si f
e s t r6elle 5 valeurs comprises entre
0
et 1, on a donc (puisque A e s t sous-markovien) p1((fop2)Cp;
ep
;
cette relation ayant lieu pour toutes ces fonctions bien qu'on a
p1
5
s16tend au c a s orl f Soit port 2.
7
g
et
g
7
. On
v6rifiera facilement que (1) 2 sont dans L ( )
7 .
inver sement W une mesure sous -markovienne (par r a p =
) de type positif s u r
c i e r un espace h. f. du
= p2eA c
f , on en d6duit
H de base
X xX
7
. On sait qu'on
peut lui asso=
, 2 noyau positif, par l e proc6d6
chapitre 1 (exemple 4) et que,pour tout couple d1616ments f
et
d e x , ona
.
oh u d6signe l e "potentiel" engendr6 par f I1 r6sulte de cette r e = f lation qulon a llu 11 2 , c a r on a , dlapr&s 11in6galit6 /If ( l L 2 f L de Schwarz et llhypoth&se que 6' est sous-markovienne
<
pour tout
616ment
g de
X. L10p6rateur
A : f ---+ u s e prolonge f
J. Deny
donc en un operateur de norme
<
1 sur L
2
; ce prolongement est
hermitien positif, car G ' est d6finie positive; enfin il e s t sous-markovien,
T
u est la densite par rapport B de p ((fop )c),mesure qui 1 2 f est positive et majoree par p (YC si on a pris f reelle et 1 S . l ; ceci entrafne qulon a alors 0 d u S 1, ce qui ach6ve la f demonstration.
car
P
Voici une premi&re application qui nous s e r a utile : Lemme 2
.Si
potentiels
H
est un espace h. f. B noyau positif, et s i tous l e s
engendres par des fonctions
pour tout element
u
de
H ,
11-11
rbelles 5 1 sont eux-memes
designant l a norme s u r H.
En effet llhypoth&se entrafne que l e soci6 B
H
et A l a mesure
"noyau-mesure"
K
as=
7 (voir l a fin du chapitre 1) e s t une me:
s u r ? sou:;-mnrlto~riene;llop'.rateur hermitien positif sous-markovien
associ6 3 cette mesure
par l e lemme 1 nlest autre que l e pro=
K
longement du I1noyau-op6rateur1' G : f ---, partie du lemme
pour tout
element
1 on a donc
f
de
Soit maintenant
u
d'oh l e resultat.
u . dlapr&s l a premigre f '
M
K' un element quelconque de
H ; on a
J. Deny Dans l a suite on pourra e t r e
amen6 5 c o n s i d h e r des "poten=
tiels" engendres par des fonctions mesurables positives qui ne seront pas necessairement 5 support compact ; l e potentiel engendr6 par une telle fonction
f
s e r a par definition llunique element
u
slil existe,
f'
verif iant
= inf(f, n) X n, K K ' oa K e s t un compact de X et n un entier positif; H &ant suppose 5 noyau positif, on verifiers sans
Posons f
peine que
u existe si et f
seulement si on a sup sup Ilu 11 n k fn, K
4
;
alors
u est un potentiel pur. On vCrifiera bgalement que si u f f existe, et s i i f n ] est une suite croissante de fonctions localement integrables positives convergeant presque partout v e r s
.
converge v e r s lemme
f , alors u fn Avec cette definition, l a condition du
u dans H f 2 peut s'enoncer : "la constante
jor6 par 1
"
1 engendre un potentiel m a =
.
Rappelons que deux mesures de Radon positives X sont dites
equivalentes
et
si elles sont absolument continues llune
par rapport 5 llautre, ou encore s t i l existe une fonction -integrable telle qulon
ment positive et localement (et on aura alors -mesurables et
=
(
y' s u r
1
p
stride=
ait 'f'=
p
). Alors l e s classes de fonctions
7' -mesurables
sont l e s memes, ce qui per=
met de donner un sens 5 116nonc6 suivant : Lemme 3
.Soit H
un espace h. f. de base f ; g
positif et si .l e principe du maximum est v6rifiC dans une mesure-?
Cquivalente
a
telle qulon ait
H est. 5 noyau H
, il existe
J. Deny pour tout element
.
u de H
Observons dlabord que tout revient i prouver llexistence dlune fonction
p
localement
partout, et telle que =
p
u
f
-integrable, verifiant
1 presque
existe et soit 6 1 ; en effet l a mesure
s e r a alors equivalente
2. un espace h.f.
0 ,C p(x)
HI de base
a 7,
et
7' , pllisque
H pourra W e
identifid
l e s elements de
H sont
P ' -integrables et que llinjection 7 est continue dlapr&s l a relation
des classes de fonctions localement
I
canonique de (u(
d If
H dans
L j 1u )
L' ( ) loc d! pour tout Bldment
u
de
H et tout compact
Designons alors par
u1 l e HI - potentiel (slil existe) engen= f dr& par l e fonction mesurable f 2 0 ; d1apr6s l e s relations de ddfini=
( u , uP ) = pour tout Clement 11616ment u
.
/up d y
=
/udr8
de H, on voit que u1 existe et nlest autre que 1 l e lemme 3 resultera alors du lemme 2, applique A
P' llespace h. f. HI
u
.
Pour construire une telle fonction p , supposons dlabord que
X
soit compact e l posons X ={x ; n-1 u (x) 5 n} ( n 2 1) ; Soit la fonction n n l 1 caract6ristique de X ; la fonction p = Iconvenient ; en effet on a n 2nXn n u (x) 6 u (x) < n s u r X = ( x ; n(x) > 0 , donc presque partout (principe %n 1 n 1 classique du maximum); on verifiers que l a & r i e l u converge dans n 2 Xn 1 H, donc dans L (X), et on a bien u (x) ,< 1 presque partobt. P L e c a s oti X est localement compact et fini s e
denombrable 3 l l i n =
r a m h e facilement au p r k e d e n t ; on utilisera encore l e prin=
cipe classique du maximum. Remarque. Supposons que llespace H vhrifie l e principe complet du maximum ; si H' e s t llespace h.f. introduit dans la demonstrations du
J. Deny encore verifi6 dans H'
lemme 3, l e principe complet du maximum est En effet on verifie immediatement et positive, u' existe si et seulement s i f l a remarque s'en deduit aussitat.
que si f
est mesurable
u existe (et a l o r s u' = u ) ; Pf f pf
I1 en r6sulte que pour 6tudier l e s espaces h. f.
H dans lesquels
l e principe complet du maximum est vCrifi6, on peut supposer que l e s 2 elements de H sont de c a r r e integrable, e t que l'injection : H --$ L ( est continue; resultat
pour t i r e r parti de cette
remarque, on va
rappeler un
elementaire concernant les espaces de Hilbert.
Precisons d'abord quelques notations : soit G un operateur h e r = 2 mitien positif s u r un espace de Hilbert not6 L La racine c a r r 6 e
.
de l a forme hermitienne
Q(Gf)
=
(Gf,f)L2 e s t une norme
2
hilbertienz
A
V = G(L ) ; l e compl6tC V de V pour cette norme 2 e s t identifiable 2 un sous-espace de L , comme cela resulte de llind=
ne s u r l'image
galit6 elementaire ci6e
]ILZ2 11. 11
ll~f
2 Q s e r a not6e
Pour tout
6
11~11
(Gf, f ) L 2
R A = G(I
G)
+
hermitienne continue et positive ~
(= f
X) W -
G - R~
Q A dCfinie s u r
X R ~ ~f)L2,
Lemme 4
.
Four tout element
1 L
2
est croissante ; l e s elements de
V
l a forme
par
. donne une
h
V
:
u de L~ l a fonction : A
6 1/h
.
Avec c e s potations on a l e resultat suivant, qui caracterisation commode des 616ments de
110p6=
; s a norme e s t
On appellera enfin forme approchee d'indice
~
norme asso-
v.
AGR~ = XR~G=
(2)
. La
> 0 on appellera r6solvante d'indice
rateur hermitien positif
.
1--+Q A (u)
sont l e s 616ments u
de L -
2
)
J. Deny pour lesquels Ilu
[IV
L
=
Q
X
(u) est bornbe, et on a alors :
l i m Q1
X-rm
(4
Voici, un peu sommairement, une
demonstration 616mentaire
ne faisant pas appel B l a repr6sentation spectrale de A
On observe dlabord qulon a oti
P est
V = G'
110p6rateur de projection s u r N commun B
gonal au noyau G$ f --+ Gf
de
E
G et
GY( L2 )
=
N
( L 2 ) et l
G :
]/GI 1
I I P ~11 L 2 ,
=
, l e sous-espace ortho=
. En effet llapplication
G4
s u r V = G ( L ~ e) s t bien d6finie
(d1apr6s 11identit6 des noyaux) et n'est autre que l a restriction de Gk
B
E ; c r e s t un isomorphisme dlespaces hilbertiens, c a r on a
pour tout couple d1616ments f et de L (Gk f , G gIL2
(Gf. gIL2
=
elle s e prolonge en une isometric A dans L 2 ) s u r V ; mais comme on a G' ( ~ 2 =) G$
il en resulte bien
f
de
une
isom6trie de
on a quand
QA (u) = (
u
Gh f
h R A f,f)L2
et
N
et P f e N L = E ; comme
V , on a bien
=
@
G% (N) = 0,
V. Plus pr&isement,
A
sur
Soit maintenant
=
= *
GIs.f -- G4 Pf
~ 2 on , a
(E)
L2
11G'
f
un element de
[IV V
, quantit6 qui croit v e r s
=
G'
pour tout est
.
l l ~ f l i L2
; drapr8s (1)
(Pf, f)L2 =
IIu IIV2
tend v e r s llinfini (la verification de l a croissance e s t elemen=
taire, et il est bien connu que
X R ~converge
fortement v e r s P )
.
I1 r e s t e B montrer que si u est tel que l e s Q,, (u) sont bor= 2 4 nes (par un nombre m ), alors u est dans V Or lrhypoth&se e n =
.
t r a f n e qulon a, pour tout
f
de
QA (u,Gf) L m (Q1 (Gf))' D'autre part on a sant tendre
1 vers
L',
e
QA (u. Gf)
llinfini,
m l[Gf = (
11
1 R~
. u, f ) L 2 , dloP, en fai=
(Pu,f)L2 L Si
m
11 ~f II
V.
Pu = u , on en deduit l'existence d'un element
v
de
A
V
tel qu'on ait
c a r (u,f) 2 ne depend alors que de Gf ; ceci ayant lieu pour tout L h 2 de L , u = v e s t bien un element de V. Dans l e cas general u = Pu 2
Q A (4 = Xlluoll L 2 car
+
+ Qh
u
0'
avec
(Pu)
uoB N ; on a alors
.
N est a u s s i l e noyau de tous l e s R A ; si donc
ne, on a n6cessairement
u
0
f
Q A (u) est bor=
= 0 et on est ramen6 au cas precedent,
ce qui achsve l a demonstration. Voici maintenant la reciproque annoncee au debut du chapitre : Theor&me. Tout espace h. f. dans lequel l e . mum est verifi6 e s t un espace de Dirichlet Soit en effet
principe complet du maxi=
.
(I)
H un espace h. f. dans lequel l e principe complet
du maximum e s t verifie ; il tions normales op&rent s u r
s'agit de prouver que toutes l e s contracz H.
D'aprss l a remarque suivant le lemme 3, on peut supposer que l e s elements de
H sont des c l a s s e s de fonctions de c a r d integrable
et qu'on a, pour tout element u de H On
(I)
"oir
appellera noyau-operateur l'application G : f --+ u de f
[9]
, avec une restriction inutile
.
J. Deny dans H ; dlapr&s ( 3 ) elle s e prolonge en un endomorphisme con= K tinu de L ~ de , norme 5 1 , et si f e s t un element quelconque de M
~2 , 11614ment Gf peut & r e appel6 potentiel engendre par U
f
f , et not6
'
I1 e s t important drobserver que l e principe complet du maximum 2 tels sletend 2. ces potentiels : si f et g sont deux 616ments de L+ quron ait
Gf(x) S Gg(x) + 1 presque partout s u r {x; f(x) > 0)
alors l a meme
X
relation a lieu presque partoet dans l'espace
cela resulte de 116nonc6 du chapitre 2 , par des
, ;
passages B la limite
assez faciles, qulon ne detaillera pas. Adaptant un procede, devenu classique, de G. Hunt aussi G. Lion
[I 51
vante dlindice
3
RA d6signe l a
) on va montrer que,
du noyau
0
G,
[13]
I1ophrateur
(voir resol=
X R ~e s t sous-mar=
kovien. Tout dlabord si f e s t un element positif de L sitif ; en effet posons
2
g = R A f ; d l a p r & s (2) on a
, RA f e s t po=
X G ~=
Gf - g ,
donc t
X G (x) ~ presque partout s u r { x
,L
G ~ ( xt )
G~-(x)
+ ; g (x) > 01 ; dlapr&s l e
principe complet du
maximum (ou mCme seulement dlapr&s l e principe de mCme
inegalite a lieu presque partout dans
domination) l a
X , dloh
g(x) = Gf(x) - h ~ g ( x )>, 0 presque
partout dans
X ,dloh l e resultat.
Soit maintenant f un prises entre 0 et G(f - XRA f )
element de
2
L , B valeurs reelles com=
1 ; toujours d r a p r & s (2) on a =
R X f , droh
J. Deny
lu(x)l
jui(x)l
at
~(~L 11
lu(4 de X -
i
6
.
f
pour tout
x
x
;
pour tout couple
]ui(x) - ui(y)I
i =i
x
y
On peut evidemment donner .une definition analogue concernant l e s c l a s s e s de fonctions mesurables; tant en Analyse
l e resultat suivant e s t impor=
harmonique (voir A. Beurling
[4] ) : un 1 g i ~ n H ; si l1kl6ment
Theoreme (des contractions gen6ralisi.e~). Soit {u.) 1
systeme de u j e OG
L{,,
n
elements de llespace de Dirichlet
(
)
est une contraction gen6ralis6e du systeme des
u.
1'
UEH et I l u l l ~ ~ I I u ~ l l .
En effet posons
U(x,u) = ]u(x) -
U(~)I
; d'apres l'expression
(4) des formes approchkes on a
2
1 1 2 ~ A ~ ~ I dwA U I
AA(u)= ( Bh(U) =
1
d e
,
.
Comme on a, avee des notations evidentes (u(~ 7 l u . le t 1
ltin6galit6 de Minkowski entralne 1 1 et (AA (u)) 5 (AA (ui))
z
1 i
I u ~6
i
1
(BA (U)) j ,L
(BA (Ui)) 5 , 1
d'oh, dlaprGs la formule U m e n t a i r e
Corollaire. Si -
u et v
sont deux elements born& de llespace de
luil
J. Deny Dirichlet H,
(
1 u(x)l 5 1 1 ~ ~ 1 s1
(5)
a et
\v(x)l$ b pour presque tout
x
de
a Ilvll
+
b llull
.
En effet on constate immediatement que
uv e s t une
g6neralisCe du systgme constitue par les elements
av et bu
contraction
.
0
Remarque : 1 ) Si tous l e s el6ments de H sont essentiellement bornes H e s t une algebre de Banach: en effet; dlapres l e theoreme du graphe ferm6, il existe un nombre pour tout
C tel qu'on ait
u € H ; il r6sultC alors de
nuv 11 s c IMI
IIVII
2' ) Le theorgme des contractions
qu'ou prix d'un
X),
d
\Iu11,
llu)l
(5) qu'on a (u, V € HI.
g6neralisees n'a Ct6
demontre
detour considkrable ; &ant donnee son importance
pratique, il s e r a i t souhaitable d'en
obtenir une demonstration plus
directe, nlutilisant pas l e s formes approchees
.
Chapitre
4
Theorie du potentiel dans l e s espaces de Dirichlet reguliers.
On s e donne espace de Dirichlet s u r l'espace localement compact X
.
H relatif B la mesure ' f a 0
On notera
des fonctions'continues B support compact s u r X On sait qu'un element de lement
31 = x(X)llensemble
.
H e s t une classe de fonctions loca=
- integrables ; on peut Cvidemment supposer que
est
partout dense s u r X (sinon remplacer X par X w, oh w e s t l e plus grand
ouvert
l a "classe"
u
Y - negligeable) ; alors si
u
est un d e m e n t de
H,
contient au plus un representant continu; lorsqu'il en
est ainsi, on dira que
u
est un elemente
continu ; cette remarque
permet de donner un sens B la definition suivante : Definition 1
. L1espace de
Dirichlet
H
e s t dit regulier s'il verifie
l e s deux axiomes suivante :
(1)
3n H
(2)
X n H e s t dense dans '3C
est dense dans
Un espace de
H ;
.
Dirichlet regulier e s t clonc un espace de Diriz
chlet dans lequel il y a "suffisamment" d'616ments continus B support compact ; l'axiome (1) ne necessite aucune explication ; pour utili= s e r l'axiome ( 2 ) , on n'aura jamais besoin de s e reporter B l a defini= tion precise de l a topologie nauturelle s u r
2
c a r on peut
montrer ,
compte-tenu de l'axiome des contractions, qu'il est equivalent au suivent (qu'on pourra donc prendre comme definition) : quel que soit f E
et quel que soit
B support dans l'ouvert
1 f(x) -
( x ) j4 E
E>
0, il existe un element
{ x ; f(x) f pour tout
x
Oj de
'4
de
-
0 H,
, et verifiant X ; c'est donc cette proprikte
J. Deny qulon prendra pour definition. Exemple.
Soit X
un ouvert "greenien" de R ~ i., e. nlimporte quel
ouvert non vide, souf l e droite reelle toute entiere et l e s ouverts plans de complementaire polaire : al-ors llespace de Dirichlet classique sur
X (voir chapitre 1, exemple 2) est un espace de Dirichlet regulier ; cela resulte immediatement de c e que
8 (X) e s t
dense dans
(X).
Voici une consequence immediate de l a definition 1 : Lemme 1
.Si H
dense dans --
est un espace de Dirichlet regulier
H+ designe l e cane des C l e m e n t ~ >, 0 de
de la topologie induite. Or si u e s t une suite dlCICments de 3( fl
H, muni
H+ et si u n convergeant fortement v e r s u dans est un Clement de
H
H (une telle suite existe, d'aprhs
I U nI
H
x+ .
H+ et dans
Evidemment
3, fl
converge fortement v e r s
llaxiome ( I ) ) , l e suite des elements u
dans
H
(voir l e chapitre 2, pro=
priet6 3 des espacesde Dirichlet, appliquke B l a contraction-module); l a premihre partie du lemme en resulte
aussitat, e t l a seconde e s t
immediate. Voici une importante caracterisation des potentiels purs dans un espace de Dirichlet regulier : Lemme 2. Soit H un espace de Dirichlet regulier; pour que 11616ment u de sure -
H soit un potentiel pur, il faut et il suffit quril existe une me = 0 telle qulon ait
(K pour tout element (f de que
--
q =jv dp
fl H ; une telle mesure
r
est alors uni=
. En effet si l a condition e s t
pour tout element Ip de
x+fl
rCalisee, on a 6videmment (u, cq ) >, 0
H, dloh (u,v) 3 0 pour tout element v
J. Deny
de
+
H
ment
61,
(dtapr&sle lemme I ) , d'oh enfin
v
de
(u,v) ) 0 pour tout 4le=
verifiant R e v 3 0, ce qui est une caracterisation
H
des potentiels purs (chapitre 1, proposition 1). Si inversement
+ (u, lp
u
est un potentiel pur, l'application:
) est une forme lineaire positive sur 'l( n H ; comme
3(+ fl H est dense dans
x+, il existe une mesure de Radon /U 3 0
et une seule verifiant la condition du lemme. Le lemme 2 stetend evidemment 3 tout espace h.f. positif dans lequel le lemme 1 est valable. La mesure
u , qu'on peut noter
"u-
, qui est
u , sera dite d16nergie finie
associee biunivoquement au potentiel pur et
A noyau
, sera dit le potentiel pur engendre par
/" La terminologie est justifiee par l e cas oh H Dirichlet classique sur l'ouvert greenien X
de
est l'espace de
Rm; si G designe
la fonction de Green normalisbe de X (par exemple
/nn, >, 0
mesure
d'energie finie sont celles qui verifient
G(X.
y) d p
d,Ny)
4
a
.
G(x, y) d p ( y ) est un representant semi-con= / tinu inferieurement de ltelCment up . On reviendra au chapitre et la fonction : x
---+
6,
dans l e cas des espaces de Dirichlet "invariants par
translati~.l
sur l e s relations entre l a definition abstraite des potentiels purs, adoptee ici, et une definition plus naturelle et plus intuitive, faisant intervenir le "noyau". Plus generalement, s i u est un 616ment de peut associer une mesure (u,tf ) =
/
p
H auquel on
(pas necessairement positive) verifiant
tbut element
de
fl H, on peut appeler u
P
J. Deny l e potentiel engendre par ,u.
; il faut
(,a ) , variation totale d'
dependant noter que la mesure
p
une telle mesure
n'est pas necessai=
rement d'energie finie ; cela peut s e produire s u r l'espace de Dirichlet m classique s u r un ouvert de R d&s que m est > 2. Voici encore une remarque simple : soient s u r e s de Radon verifiant en est de mCme de 3
0 5
?
;
et on a
sLr,
\lu,ll
d l a p r & s11in6galit6
11lp
d9
1 s/l
deux me=
e s t d16nergie finie, il
I]upjl
mediatement de ce que l a forme linCaire :
/u e_t 3
; cela resulte im=
I
d
+
d A,& _~llylllluvl(ona
3 est continue, utilise l a con=
traction-module); ce resultat s16tend d'ailleur 5 tout espace h. f. 5 noyau positif dans lequel l e lemme 1 est valable (utiliser a l o r s l e th6orGme dlAronszajn et Smith). Plus g6nkralement si up verifiant
uJ
et
ug
sont deux potentiels purs
4 uP (presque partout), alors
vident, c a r on a a l o r s (u,, , uP-u,, )
),
UU,, I[ 4
llup
(1
; c r e s t 6=
0 d r a p r & sla caracterisation des
potentiels purs du chapitre 1. Dans l a suite de ce chapitre, on s e donne une fois pour toutes un espace de Dirichlet regulier H
--
H et soit W un ouvert de
et tout representant dans
v
?
. Soit -
u
Soient
et
v
deux elements de
X ; si, pour tout representant u 6 v dans
un Blement de
p a r m i tous l e s elements
u
u*
de u
de v, on a uC(x) < vY(x) presque partout
, on dira qu'on a
Lemme 3 -
.
v
de
.
H et soit w un ouvert de X ;
H verifiant Rev
>
.
Reu SUP w
il en existe un et un seul de norme minimum ; c'est un potentiel pur ; la m e s u r e associ6e u , e s t portee par lradh6rence
orthogonal 5 l'ensemble Nu L'existence et
des 616ments de
H
; up
est
qui sont nuls s u r
Q
l'unicite de 11616ment de norme minimum, soit
u', provient de ce que l'ensemble
U
des 6lements en comp6tition
.
J. Deny est convexe, ferme e t non vide. Si w e s t un element quelconque de
H verifiant
41,
w b 0, on a
ul+w
d
et par
U, d'oti 1luf+wll b )lu'll
consequent u' e s t un potentiel pur (voir chapitre 1, proposition 1); s i w e s t nu1 s u r w , a l o r s u'+ X w € U pour tout complexe, 2 2 d'oti Ilul+ Xw 11 >/ llut 11 pour tous c e s et par suite (u'w) = 0; en particulier, pour tout element
/G
complementaire de U , on a
ble de c e s elements est dense dans
p
de mesure nulle pour
X
de
w dp
H 5 support dans l e
= (u', w) = 0 ; comme llensem=
(
[W p
, autrement dit
[a
), on voit que
est portbe par
est
.
6
Nous sommes maintenant en mesure d'etablir l e s resultats damentaux de la
fon=
theorie du potentiel dans l e s espaces de Dirichlet
la demonstration du thbor8me suivant a 6t6 imaginee il
reguliers;
y a longtemps par A. Beurling (bien avant l'etude systematique des espaces de Dirichlet, mais il ne l'avait pas publiee); elle illustre bien la puissance e t la simplicit6 de l a methode des contractions. Th&or&med'equilibre. Soit 0 un ouvert borne; il existe un potentiel pur u verifiant 0 5 up Q 1, up = 1 s u r O , et t e l que r, - / U p ; parmi ces potentiels, celui dont la nor= portee par 11adh6rence me est minima est appele l e potentiel d'bquilibre de w est appelee
l a capacite de
En effet soit H verifiant
U
un
O
u = 1 sur O
; son energie
.
ouvert tel qu'il existe un element u de ; c'est toujours l e cas si W
c a r , d1apr8s l'axiome ( 2 ) , il existe alors s u r 0 ; par consequent l'blement
rp 6
I7 H, avec
u = T v , oh
e s t borne,
Relp T, f
T est l a contraction
fondamentale, convient. Soit
dl, v ment de
l'ensemble des elements
U,
3 1 =
U,
Re u
sur
CAI
v
de
H verifiant
; drapr8s l e lemme 3, l'unique 616;
dont l a norme est minimum est un potentiel pur u
P'
J. Deny
engendre par une mesure
p
core un element de U,
, e t qu'on a
9
porthe par
b~
I I T U ~ ~ ~<
necessairement
Tu = u , autrement dit P P ach&ve l a demonstration. 0
Remarques. 1 ) Etant donne un ouvert
>- 1 s u r
R,u
cap( 0 ) = inf
UaU,
; si
W]
11 1111
2
U,
; comme Tup
~AJ
e s t en=
llupI~ , on a
1, c e qui
0 5 u
P
on a pose U, ={u
E
H;
n'est pas vide, on a evidemment
; sinon on pose cap ( W ) =
+a
. La capacit6
e s t evidemment une fonction croissante d'ouverts ; elle est
fortement
sous-additive, autrement dit on a , pour tout couple dlouverts 0, , et
richlet g6n6raux (voir chapitre 2) appliqu6e aux potentiels d16quilibre de
ul et U2 (si c e s ouverts sont de capacit6 finie). On en deduit facilement que la capacite e s t une fonction
6 - sous-additive d'ensembles ouverts : cap(U a,) ,c pour toute suite d'ouverts w,
. Une etude un peu plus
1 4
cap(wh)
approfondie
permettrait df6tablir que la capacit6 est une fonction d'ensembles ouverts qui e s t alternee dlordre infini au sens de Choquet. 20) L a capaciti. d'un ouvert de capacit6 finie e s t la masse totale de l a mesure d16quilibre (i. e. l a mesure associCe au potentiel d16quili= bre
u
P
).
En effet, si w
est borne, il existe un Clement IQ de
6gal B 1 dans un voisinage de W
(on construit un t e l element en u=
tilisant la contraction fondamentale); d t a p r & sl e lemme 3, up orthogonal 5
N,
,
x+tl H
, donc a (u ,up -
cq )
= 0,
d'ob
est
J. Deny L e . resultat est encore valable dans l e cas d'un ouvert non borne, mais on ne detaillera pas ici la demonstration. d' une partie quelconque E de
30) On appellera capacite exterieure
X la borne
infhrieure des capacites des ouverts contenant E ; si E
e s t fermh, on dira "capacit6" au lieu de capacite exterieure (rappelons qu'on a suppos6 X
denombrable 5 l'infini); l a capacit6 exterieure
est hvidemment une fonction V- sous-additive d'ensembles, Th&or&medu balayage. Soit
u
un potentiel pur et soit
P
un ou=
vert quelconque de X ; il existe au moins un potentiel pur verifiant
-w
(i) , u ' e s t port6e par 11adh6rence
up 6
(ii)
up
(iii) u
=
de
a
;
W
;
Er
up
o
;
parmi tous l e s potentiels purs verifiant c e s proprietes, celui de norme minimum e s t appel6 potentiel "balay6" de u sur w P -
p
associee e s t l a balayee de --
; l a mesure
s x w
En effet, dlapr&s l e lemme 3, 11616ment de norme minimum
{v E H
tie1 pur
,dont l a m e s u r e associhe j*' est porthe par
on a
evidemment u+ 3
u,
2 up)
e s t un poten=
U =
up
; aev
sur w
de l'ensemble
s u r w ; pour montrer que
vient, i l suffit de verifier qu' on a u+ ,c u
P
P
ment de
) est un potentiel pur
U; comme on a
11616ment
, on a aussi
11 uvll 5 11 U> 11
remarque suivant l e lemme 2 de ce chapitre) ; mais comme e s t l'unique element de norme minimum de u$ =
con=
, qui est evidemment un hl6=
u,,
uy ,c up
us
; or, d l a p r & s l e "prin=
cipe de l'enveloppe inferieure" (chapitre 2, lernme 2), inf (u
, et
W
(voir
u
/1C
U , on a necessairement
, d'oh l e resultat.
Remarque 1
. Le
potentiel balayC
u
.
/"
n'est autre que l a projection
J. Deny de up -
1 Nw
s u r l e sous-espace
.
des de H nuls sur w -616ments -- En effet u
, orthogonal de l'ensemble Nu
est orthogonal & N u
, d1apr8s l e lemme 3 ;
P' d'autre part u P - u/& est un 616ment de Nw , dlapr&s la propri6tC (iii), d'oh l e r6sultat. Cette interprCtation du balayage comme proje= ction orthogonale e s t t r 8 s importante pour certains probl5mes d'analyse harmonique. Remarque 2
. L a masse totale
de l a mesure b a l a y 6 e g e s t au plus
6gale & l a m a s s e totale de l a mesure
/U
.
C'est un c a s particulier du rCsultat suivant, qu'on peut appe= l e r "principe de positivit6 &s masses" : si up-et tentiels purs v6rifiant u9 c up , on a d3 4
-
de construire une suite d1616ment
potentiel pur
9
d p
.
pour -1e
v, de T~H, 6gaux & 1 s u r un
6 1 partout et convergeant v e r s un
,
u , ce qui e s t facile
Th6or8me des -
1
e s t & support compact. I1 suffit alors
voir on peut supposer que \)
voisinage du support de
u 3 sont deux po=
; on a alors
condensateurs. Soient Wi c W Z deux ouverts dont l e s
adh6rences- sont disjointes,
W,
&ant relativement compact ; il existe
avec /u = d - T , y6rifiant l e s propriCt6s suivantes mesure positive' port6e par oi , t une mesure po=
un potentiel r & l p (i)
@' e s t une
sitive portee par (ii)
O L u P & l
(iii)
up =
1
; ;
s u r Wi
On ne donnera pas l e analogue (cas oh
celle du th6or6me
u,
=
fl
,
= 0
s u r 0,
detail de la demonstration ; elle est d'kquilibre, qui en e s t un c a s particulier
) ; l'idee e s t 6videmment de consid6rer 11616ment
:
J. Deny de norme minimum parmi tous l e s elements Rev 3 1 s u r
wi ,
dl,
et
v S 0
sur
v
de
H verifiant
ensemble non vide d l a =
o,,
p r @ s llaxiome (2) des espaces de Dirichlet rCgulier-s. On peut prouver qulon a
(d
i d 7g
, mais il nlest pas
P
evident, dans l e c a s general, que l e s mesures w et
't:
soient dlB=
nergie finie autrement dit que
soit l a difference de deux poten= up tiels purs ; on peut cependant montrer qulil en est ainsi lorsque l e s 'tmultiplicateurs" (fonctions f pour tout lorsque
u h H)
continues s u r X
telles que
fu E: H
X , ce qui e s t l e cas m s u r IR invariant par l e s
&parent l e s points de
H e s t un espace de Dirichlet
translations(voir l e chapitre 6), mais non en g6n6ral ; 116tude des mul= tiplicateurs s u r un
espace de Dirichlet e s t un sujet difficile et attray=
ant, s u r lequel A. Beurling a obtenu un certain nombre de jolis rC= sultats enti@rement inedits. Nous allons maintenant
introduire une notion nouvelle qui nous
permettca d16tablir un theor6me dont l e s relations avec llanalyse har= monique
seront expliquees au chapitre 6 :
Definition -2
. Soit -u
H ;
un element de llespace de Dirichlet regulier
on appelle ouvert r6gulier pour
u tout ouvert
(u, y ) = 0 pour tout element (Q E pelle ensemble singulier ou spectre de ait
du plus grand ouvert r6gulier
pour
u
XfI H u
le
w
de
X
t e l qulon
A. support dans w ; on ap=
compl6mentaire
(u)
.
Cette definition demande une justification : il faut montrer que l a reunion de deux ouverts Ui, et Ozr6guliers pour IA
r6gulier
pour
u
e s t un ouvert
(alors, d1apr6s Borel-Lebesgue, toute &union
dtouverts reguliers s e r a un grand ouvert
u
ouvert regulier, dloil ltexistence d'un plus
regulier) ; soit d o n c y c ' h ~A. support dans W , posons
J. Deny
K
=
s u p p ( v ) wt
V un voisinage compact de K
; soit
y e X ~ H ,verifiant ; on a (Q = (Qi + y2
dans W, et soit (il en exist)
yL H tpc
= 1
sur
, avec
contenu
v
et supp (y) c cdi
=
IQ
et
'Q - $J ; l e produit de deux element born6s de H &ant dans (chapitre 2, propriete (4) des espaces de Dirichlet), on a =
CQ1 ) c ui
6 X n H et supp(
Exemples, 10) Si u
( i = 1,2) , dloh l e resultat.
est un potentiel, son spectre n'est autre que l e
support de l a mesure associee ; c l e s t evident d'aprgs la relation de definition
.
y
e 7( n H dp, pour tout element 20) Dans l e cas de llespace de Dirichlet classique s u r un ouvert ,y ) =
(
greenien W
y
, le
spectre de 11616ment u
n u ; cela resulte de l a formule de Green
de l a distribution (u,
tf
)H =
n'est autre que l e support
jgrad u
qui sfapplique pour
u
.
grad
dx
=
E
H
E
da ( w ) .
et
-
/U
A
dx
On aura besoin du resultat suivant : si v E H est nu1 dans un voisinage ouvert de spectre si v Lemme 4. mentsde -
W
(u), on a (u,v) = 0 (c'est la definition du
fl H) ; plus precisement :
Q
un ouvert de
Soit w
est l'ensemble des 6l6=
\
W ,
.
En effet on a
on a
et si
;& N,
est ltadh6rence de llensemble I des 616ments B spectre contenu dans w , a l o r s on a Ww = N, H
nuls s u r td
X
u
?d7
L
W , c N,
, c a r si u e s t orthogonal B W,
,
(u, u ) = 0 pour toute f mesurable bornee B sup= f port compact dans fd (puisque l e spectre de u est alors contenu f dans W ), d'oh u E N, =
.
Pour etablir l'inclusion opposee, tout revient B prouver que tout element
v
de
N,
est orthogonal B tout element
u
B spectre
J. Deny
. Or c'est
dans w
evident pour
support compact e t soit
borne
v e n flH
. Supposons
f e \~IH avec
v
€
Ht ,
f, v et supp(f) ll V ( u ) =
Q
ET
(il en existe) ; soit enfin Yh 0 H, convergeant v e r s v dans H ; 1 1 alors O(,, = inf(f, (Qn ) = -(f+ - f- yn\ converge fortement v e r s 2 2 inf(f,v) = v , c a r f converge v e r s f-v dlapr&s l a propriete
vn) I
1 ?,,I
( 3 ) des espaces de Dirichlet generaux (voir l e chapitre 2) ; on a donc
encore(v, u) = lim(o(, ,u) = 0
y,
suite (
analogue et
P,,,u)
= 0
et
H
posons
/3,
v =
est dans inf ( lp,, ,
b, . c a r 1 \ v) = 0 . Enfin s i
v = lim
0 , d'oc encore
de
. Si
(u,
v
(nu1 au voisinage du spectre de
forme d'une combinaison lineaire de dans un voisinage de &(u) Corollaire. --
1 v) = - (
2
111 L
v
considerons une
H+
1,
I 7n t v ) - - (Ip v
- v); on a
tend v e r s
e s t un 6lCment quelconque
u) il suffit de 116crire sous l a
4
elements positifs de
H nuls
.
L a projection d'un potentiel pur s u r -
Ww e s t un potentiel pur.
C'est evident d l a p r & s l e lemme 4 et l a remarque 1 suivant l e theor&me du balayage.. ThCor&me de synth&se spectrale. Soit l e cane
une partie ferm6e de X ;
F
M
des potentiels purs engendres par l e s mesures portees F -F :st total dans l e sous-espace W des elements dont l e spec-
t r e est contenu dans
F
F
.
On peut encore enoncer : tout element
u
de
H
peut & t r e
approch6 autant qu'on veut (au sens de l a norme) par des combinaisons lineaires finies de
potentiels purs dont l e s mesures associees sont
port6es par l e spectre de
u
.
Pour etablir l e thbor&me, observons
qu'on a la relation
J. Deny
w d6crivant lrensemble des ouverts
contenant F
; cela r6sulte imm6-
diatement de c e que l e spectre de tout 616ment de
W,
est contenu
.
dans 3
La projection d'un potentiel pur s u r WF
est done un potentiel
pur, puisque c r e s t l e limite des projections s u r l e s W w
, qui sont
des potentiels purs d'aprhs l e corollaire du lemme 4 ; comme l e s combinaisons lin6aires de potentiels purs (en particulier l e s 616ments u avec f c M ) sont partout denses dans H, l e u r s projections s u r f' K WF, qui sont des combinaisons lin6airesd'&16ments de M sont F' partout denses dans WF, d'oh l e r6sultat. soit nu1 , il faut et il suffit
Corollaire.- Pour qu'un 6 1 6 m e n t 2 H que son spectre soit de capacit6 nulle.
En effet, d f a p r & sl e theoreme de synthese spectrale, tout r e = vient Q prouver qu'un ensemble ferm6 F
de capacit6 nulle ne peut
porter aucune mesure positive d'6nergie finie non nulle. Or cela re= sulte immddiatement de l a formule si up -
idy.
suivante :
e s t un potentiel pur, on a
.
llup~l
_C
(cap(~)~k
cette formule, il suffit de prouver que s i u e s t un /'" potentiel pur et w un ouvert quelconque, on a Pour 6tablir
jwdp
g llupll
(cap( u
)$
;
A cet effet appelons K un compact de
W et
pKla restriction de
B K (on sait que c r e s t l a mesure associe6e Q un potentiel pur, un 616ment de
d r a p r & sla remarque suivant l e lemme 2) ; soit fl H, 6gal Q 1 dans un
voisinage
tenu dans w ; soit enfin uo pr6s l e s relations
up
-
IQ
V de
K
con=
l e potentiel dr6quilibre de
V
; dla=
E NV et
ouvert born6
u,, .9 W
v
on a
J. Deny
Pour achever c e chapitre donnons quelques indications s u r la "compl6tion fonctionnelle parfaite" des espaces de Dirichlet reguliers. Rappelons que l'expression "quasi-partout'' signifie "sauf s u r un en= semble de capacite (exterieure) nulle ; une fonction (complexe) f
X
est dite
quasi-continue
relativement
sur
s i elle admet l a propri6t6 de Lusin
l a capacite, autrement dit si, quel que soit E > 0, il
? i
existe un ouvert U de capacite
4
E et telle que la restriction de f
au complementaire de w soit continue. Theor&me. Soit parmi les
u un element de llespace de Dirichlet regulier
representants de
si-continue : deux
u
il existe au moins une fonction qua=
representants
quasi- continus de
u
sont Cgaux u
quasi-partout ;si u* e s t un representant quasi-continu de u
/LC
et si
e s t un potentiel pur, on a
(e
=
U
En effet soit ments de soit
X
u
f l H convergeant v e r s
convergente. Soit { a n \
soit
encore f(x) =
,/u*
.
dp
H
un element de
nombres r e e l s tendant v e r s
u
une suite tco
H
n
11 y,,+,- q,,11
strictement croissante de
et telle que l e s e r i e
n
a
11 y,+,- ~ , 1 1
convergente. Posons
1 Yh+,(4- yh k
(not6 encore
dule, on a
et soit ( e l u n e suite d1616=
et telle que l a s e r i e
;
L a fonction semi-continue inferieurement de
H;
f
f
represente un element
) e t , dlapr&s l e principe de l a contraction-mo-
J. Deny Soit
>
E un nombre f/&
comme on a
0 ; appelons W,
>, 1 s u r w
(x
l'ouvert
; f(x) c M
1;
, il vient, par d6finition de la ca=
pacit6, cap( W~
)
6
11 f 11 2 / d
,
quantit6 arbitrairement petite pour d. a s s e z grand ; dlautre part s u r l e compl6mentaire de Ud l e s e r i e
[~+p)'Q,,[*] est uniformhment
convergente, c a r on a
I+
( 1
-
v
( 1I
-C
/an
(x e
C,.
;
cette s e r i e converge donc quasi-partout v e r s une fonction uY e s t quasi-continue et qui represente 11b16ment u (on a
qui
choisi
= 0).
mais on peut intervertir l e s symboles de sommation et d1int6gration , c a r on a, en utilisant la contraction-module,
Eh / I Y ~ ~ Y ~6 I E+I I Y . , , - ~ ~ \ I I U J ~ < . W : la fonction
u'
est donc
,%-integrable, et l a formule
(4) e s t
bien vCrifi6e. Pour achever la demonstration, il r e s t e r a i t B prouver que deux f a c t i o n s quasi-continues qui sont presque partout egales sont quasi-par= tout egales, c e qui est loin dlCtre evident ; pour l e d6tai1, nous ren= voyons 5
[8J
, oh on trouvera
dCmontr6 un enonce plus general,
valable dans tout espace h. f. i noyau positif dans lequel l e s 616ments continus sont partout denses. L'introduction des reprbsentants quasi-continus permet de r e a = l i s e r la compl6tion fonctionnelle "parfaite" et Smith
[I]
prendre pour
H*
(au sens de Aronszajn
) de l'espace de Dirichlet regulier
H * llensemble des "ClCments
H ; il suffit de
pr6cisds", c l e s t - i - d i r e
J. Deny
des c l a s s e s de representants
quasi-continus dt616ments de
H , deux
repr6sentants quasi-continus appartenant A l a meme classe si et seu= lement s i ils sont Cgaux quasi-partout; chaque BlCment de H contient alors un d e m e n t prdcisi! et un seul (dlapr&sl e rksultat' admis) ; la
com=
plCtion fonctionnelle e s t parfaite, parce que l a classe des ensembles exceptionnels (les ensembles de capacith exterieure nulle) e s t la plus petite possible vCrifiant la
propri6t6 de d6finition dtAronszajn et Smith:
de toute suite de Cauchy pour la norme on peut e x t r a f r e une suite con= vergeant sauf s u r un ensemble exceptionnel. La d6monstration, dlail= leurs facile, ne s e r a pas d6taillCe. Les contractions normales operent s u r ltespace precis6 si
v
*
alors
e s t une contraction normale de llCICment prCcis6 vS E EI' et
11 v*l/ a lluf 11
llespace de Dirichlet pr6cisC
; la thCorie
H*,
fine
H
*;
u*. Q H* ,
du potentiel s u r
en particulier ltdtude approfondie
du balayage et de 116quilibre pour des
ensembles t r & s gCnCraux, pour=
rait Ctre developpke A partir de cette remarque et de l a formule ( O ) ; signalons seulement l e s quelques proprietes suivantes : ( a ) Pour qu'un 616ment
u
de llespace de Dirichlet rBgulier
nul, il faut et il suffit que s e s -
H
soit
representants quasi-continus soient
nuls quasi-partout s u r l e spectre F ( u ) ; en effet, d l a p r & s ( q), on aura alors ( u , u ) = 0 pour tout potentiel pur u tel que & , soit /" P p0rti.e par V (u) ; l e theor&me de synthese spectrale entrafne alors
(b) -Soit
F
une partie fermee de
W
X ;
de H F -
constitu6 par les 6lCments -dont le spectre e s t contenu dans .
-
llorthogonal du sous-espace -- repr+srntants -. quasi-continus - .- --
F est
constitui. par l e s 616ments dont l e s F s'annulent -- - quasi-partout s u r F ;
N
-
J. Deny
c t e s t 6galement une consequence facile du th6oreme de synthese spec= trale. (c)
une contraction normale du plan complexe et soit
f un repr6sentant quasi-continu de t!lement de H ; si on a Tf(x) = f(x) -u quasi-partout s u r l e spectre i~ (u) , a&s TTx) = f(x) quasi-partoul T
dans tout lfespace : en effet Tf e s t un reprbsentant quasi-continu de Tu ; on a donc, d t p r & s l a propri6t6 (b) et
dloh Tu = u, c e qui entralne
ltaxiome des contractior~s
Tf(x) = f(x) quasi-partout, c a r
f
et
Tf sont alors deux repr6sentant quasi-continus du mCme 616ment de
On en d6duit l e soit f -
"principe de ltenveloppe convexe" de Beurling
un representant quasi-continu de lt616ment u
tout point
x
de
X
H.
de - H ; pour
ntappartenant pas B un ensemble exceptionnel
de capacit6 nulle, l e nombre f(x) appartient ?I lfenveloppe convexe f e r = m6e
de ltensemble
C
f(
@'
(u))
U { 0 1;
il suffit en effet dfap=
pliquer l a propri6tC (c) au c a s oil T est l a "projection" s u r l e con= vexe
C
. En particulier l a relation I f(x)l 5 I f(x)l ,L
c s ~(u) entralne
up 2
(d) Si
tentiels purs
u
U'
P- et
1 quasi-partout s u r
1 quasi-partout dans l'espace.
sont des repr6sentants quasi-continus des po= 3 u3 , l a relation up (x) 5 U (x) + 1 a lieu
quasi-partout dans l'espace si elle a lieu quasi-partout s u r l e support ; cette pr6cision du principe complet du maximum peut s t o b =
& L+,
tenir en adaptant B ltespace H
l a demonstration
donnee au chapitre 2.
Signalons pour terminer l e cas oil tout 616ment de
H
admet
un reprbsentant continu born6 (et un seul si on suppose que l a mesure de base
e s t partout dense, c e qu'on peut toujours faire) ; un
exemple t r e s simple est fourni par ltespace de Dirichlet classique s u r
J. Deny llintervalle
'1 0,1[
(voir l e chapitre 2) ; alors
H peut Ctre con=
sidere comme une algebre de fonctions continues ; une telle
algebre
possede des propri6t6s remarquables (en particulier un theoreme des ideaux) 6nonc6es dans ling
[4
1.
[5]
; voir
6galement l l a r t i c l e de A. Beur=
Chapitre 5 Recherche des formes et espaces de Dirichlet On connait l e s relations dtroites qui existent entre l e s "bonnes" theories du potentiel et l e s semi-groupes sous-markoviens ; en parti= 3 culier, dans l a theorie newtonienne s u r R , qui s e r t de modi?le, l l o = laplacien
perateur
a est l e generateur
infinitesimal du semi-groupe
des distributionsde Gauss ; quant au noyau newtonien (qui est, en un certain sens, l'inverse de resolvante "d'indice"
-
a
) il peut e t r e
0 du semi-groupe
consider6 comme l a
de Gauss.
L1interpr6tation dtun I1noyau de Dirichlet" comme r6solvante d'indice
a 6t6 brihvement mentionnee au chapitre
0
present porter notre
3 ; nous allons
attention s u r 110p6rateur inverse du noyau
( s l i l existe), ou plutat s u r l e semi-groupe associ6 ; rappelons d'abord quelques definitionset proprietes des espaces de Hilbert. Soit espace de
un espace de Hilbert complexe e t soit
E
E
ne positive
V un sous
qulon supposera partout dense. Une forme hermitien= definie s u r
Q
V
e s t dite fermee si V , muni du pro=
duit scalaire
est
complet. On appelle generateur de la forme
Q
110p6rateur (au=
toadjoint nbgatif) A defini par l a relation (1)
Q(x, y)
=
-(Ax, y)
s u r llensemble des vecteurs tel vecteur Ax
(y E V) x
de
V auxquels on peut associer un
. L1exemple-type e s t la forme de Direchlet classique
s u r un ouvert quelconque
w
de
R~
; alors
V e s t constitue par
l e s fonctions mesurables de c a r r e integrable s u r 0 dont l e s derivees au sens des distributions sont de c a r r e integrable ; A nlest autre que
J. Deny le
laplacien (au sens des distributions).
A
Inversement tout operateur autoadjoint negatif
rateur d'une forme hermitienne positive fermee (h. p. f. ) l e vCrifiant (1) ; l e domaine domaine de
A
de
V
Q et une seu=
slobtient par completion du (x, y) - (Ax, y) ; c l e s t aussi
pour l e produit scalaire
l e domaine de llopCrateur autoadjoint pour tout x E V
Q
e s t l e gene=
(-A+
,et on a Q(x) = 11 (-A$
a 11
.
D1autre part on soit que tout op6rateur autoadjoint negatif e s t l e g6nCrateur infinitksimal d'un semi-groupe (fortement continu, B con= tractions) d10p6rateurs hermitiens nCrateur dlun tel semi-groupe e s t
et inversement l e g6 = {ptl t 3 0 ' autoadjoint negatif. I1 existe donc
une bijection canonique entre l'ensemble des formes h.p.f.
e t llensem=
ble des semi-groupes dlopCrateurs hermitiens ; cette correspondance peut Ctre explicitee sans faire intervenir l e g6nerateur : Lemrne 1
. Soit
rateur hermitiens
est
Q l a forme h. p. f. associee au semi-groupe dlopC=
..
(pt]
; pour tout
1 t Q,Jx) = - ( x - P x, t t decroissante ; lorsque t tend v e r s 0,
si x -
appartient au domaine
x de E x )
l a fonction
Q , t ( ~tend ) v e r s Q,(x)
V de Q , ve r s + oo
dans l e c a s con=
traire. Ce resultat, qui peut aussi sletablir d'une maniere t r e s elemen= taire, e s t une consCquence immediate du theoreme de representation spectrale ; en effet, s i on pose
la decroissance de la fonction : t
-A =
.
/ x ~ E ~ ilvient
+Qt (x)
en resulte immediatement,
2
Q(
J. Deny
quantite qui est finie si et seulement s i x
appartient au domaine de
, donc au domaine de Q, ; elle vaut alors
(-A$
crest-&-dire Q(x). La forme hermitienne continue
x
2
11 ,
Q s e r a dite forme approch6e t t ; une autre famille de formes approchees, l e s formes
d'indice continues vantes
11 (-A)'
QfA (x) =
1 (x
R A x, x), construites A l'aide des resol=
-
R X du semi-groupe, pourrait rendre des services analogues. Nous nlutiliseronspas c e s dernibres formes, mais nous aurons
besoin d'une propriete extremale des resolvantes :
. Soit - Q
Lemme 2
une forme h. p.f.,
de domaine V ; soit
-{
Pt
l e semi-groupe d10p6rateurs hermitiens associes, et soit {R l a famille resolvante du semi-groupe. Pour tout
V
e s t l'unique 6lement de
de
Q
+
j
xll
2
.
2
(par definition).
)
de
F ; il vient donc, pour tout
V ,
Q(
Q(
7 +ty) + 1117 -x+tyl\
2,
dloh, en developpant et faisant tendre
'f ,Y) + A (
d r a p r & s (1) et on a s e de
-x, Y) = 0
t
t
V uni=
complexe et tout
+
X1)'f
vers
0 ,
7
€
-XI]
',
-x e s t donc un element du domaine du generateur (
7 -x)
=
A
T
I - A, on a bien
; comme, par definition,
7=
RA x
A,
R A e s t llinver=
.
Rappelons encore un schema classique concernant la forme adjointe de l a forme h. p. f.
Q, ; on appellera
,
X R ~ X
,
Un argument
convexit6 classique prouve llexistence d'un d e m e n t
que minimisant y
)
X>O
E
0, V est complet lorsquron l e munit
En effet, pour tout de l a norme
>
qui minimise l a fonction
IJY -
F ( y ) = Q ( Y )+
x de
1
6n6rgie de l16l6ment
J. Deny
v
de
l e nombre
E
j i d(EAy,y)
~ a ( ~ tyly dt . = l i m I R A y, y) =
Ily) =
A.0
_L
+ @
.
L a terminologie e s t justifihe par la consideration du modele newtonien : 2 E e s t lvespace L ( O ) , oa W est un ouvert greenien ; Q e s t la for= me de Dirichlet classique ; alors I(f) est //G(~,?) f(7 )
f ( 1 d y d~
proportionnel B
G e s t la fonction de Green m (la verification e s t immediate lorsque O = R , avec m 3 3) ;
de
)
, OCI
c'est donc 116n6rgie newtonienne de la mesure de densite Ce nombre
f
I(y) dkfinit donc une forme hermitienne
(la forme-energie) s u r lvensemble W
. positive
des elements dv6nergie finie.
On ne detaillera pas l a demonstration du resultat suivant, dlail= leurs facile et bien classique : Lemine 3
.Soit Q
une forme h. p. f. de domaine
V ; pour que Q
soit definie positive, il faut e t il suffit que l'ensemble des elements dv6nergie finie soit partout dense dans y
de
E ; lv6nergie dvun element
e s t donnee par
E
Nous sommes rnaintenant en mesure dv6tudier l e s "formest' de Dirichlet
:
Definition
. Soit -
et
Q
X
soit
une mesure >, 0 s u r un espace localement compact
une forme h. p. f. sur
L ~ 'f'( ) ; on dit que
Qest
une forme de Dirichlet s i l e s contractions normales operent s u r Q autrement dit : s i tout dense) et si v et -
Q(v) LS Q(u)
.
u
appartient au domaine
V L
est une contraction normale de
,
Q (suppose par= u ,
on
vE V
J. Deny P a r exemple si H
e s t un espace de Dirichlet r6gulier
, l a forme Q definiepar Q(u) = llu 11
ni dtun norme not6s I1.1j
e s t une forme de Dirichlet definie s u r
=
L , puisqu'il contient
H
n
H
, donc dans
dense dans evident que
V
2
nrtout dense dans
n
2 L ; en effet
V
V
que l a forme de Dirichlet classique
est
-
, qui est partout
u
-
Q
; B noter cependant
lgrad
~ 1 %'f
associ6e 3 un espace de Dirichlet r6gulier lorsque W
, qui e s t
est un ouvert
greenien, est, dans tous l e s cas, une forme de Dirichlet
. renvoyons
Voici alors l e resultat essentiel de ce chapitre ; nous au chapitre 3 pour l a d6finition des
7 ) et celle des Th6orgme 1 . Soit -P
op6rateurs sous-markoviens s u r
mesures sous-markoviennes :
L'(
une mesure positive s u r ltespace localement 2
et soit
une forme h. p. f. s u r
H
L (
T)
: Bait {P
une forme de Dirichlet, il faut et i l suffit que l e s 2
L (
'p?
)
.
\
t tr,o soit
l e semi-groupe d10p6rateurs hermitiens associe ; pour que Q
koviens s u r
2
L~ ; cette forme e s t fermee, c a r il r s t 2 2 %. e s t complet pour l a norme : u ( llull + \ ] u I d j ) ,
enfin l e s contractions normales opgrent s u r
compact X
, mu=
P soient sous-mar= t
Supposons e n effet que Q soit une forme de Dirichlet ; tout revient B montrer que, pour tout X > o , ltop6rateur X 2 kovien s u r L , clest-&-dire transforme toute fonction de leurs
comprises entre
0
et
donc
t~ ( X R - I )u
=
fime-" X3a
L
2
sous-mar=
B va=
1 (presque partout) en une fonction de
m&me nature ; e n effet, pour une telle fonction P u = lim e t X+m
R ~e s t
u
, on aura g ( ~ nt )( X R ln ~ u, n!
n=o
P u s e r a aussi B valeurs comprises entre 0 et t Pour prouver que X R ~e s t sous-markovien,
1
.
il suffit dt6tablir
J. Deny
la propriet6 suivante : contraction normale
2 de L invariant par la
u est un element
T
(u = Tu),
si en effet on prend pour
IRh u
est aussi invariant par T;
T l a contraction fondamentale, on retombe
sur l a definition des opCPateurs sous-markoviens. Or cette propriete resulte facilement de la propriete extremale des resolvantes (lemme 2); en effet
X R u~
est llunique element v de V
F(v) = Q(v) t pour
v = T( X
que T
h
R ~u)
on a , d1apr&slthgpoth&se u = Tu et le fait
opi?re sur Q ,
I F(XR~
I T X R ~u -
F(T X RA U) = Q(T h RA U ) t t
qui minimise l a fonction
XIIAR~ u12 -
dy
=
U)
ul
2
d'f 4
~(k$ U) 1.
;
la propriete de minimum entrafne donc bien qu'on a T X
R u~
= h R A u,
Supposons inversement que les P soient sous-markoviens, et t appelons d la mesure sous-markovienne sur X x X associee P t P (voir l e chapitre 3) ; s i Q est la forme approchee dtindice t , t t on a, dfapr&sun calcul d&j&fait (voir la demonstration du theoreme du chapitre 3)
'I
1 (2) Q (u) = -(u-P U , U ) = t t t t
Iu]
(l-at)dl t
'!I -
2
doct
(X.Y)
de la mesure projection de o(t oh a est l a densite par rapport P t sur X Si donc v est une contraction normale de u, on a
.
Qt(v) 6 Qt(u)
Q(u), et on conclut facilement grace au lemme
faisant tendre t vers
0, qu'on a bien
v & V et Q,(v)6 Q(u)
1 , en
.
Remarques 10) Dans la premiere partie de la dbmonstration, on a seulement utilis6 la contraction fondamentale ; la forme Q est donc une forme de Dirichlet d&s que la contraction fondamentale opere sur Q. 20) La formule (2) donne une expression explicite des formes approchees
J. Deny
B llaide dtintCgrales, et l e forme meme de ces intbgrales montre Qt clairement que l e s contractions normales operent sur les Q (et par t consequent s u r leur limite Q). Il serait souhaitable dlavoir une r e = presentation integrale analogue pour la forme Q elle-meme ; ce nlest pas un probleme facile, du moins dans l e c a s logue B celui de l a un
general ; il est ana=
determination des semi-groupes de Feller (dans
cadre un peu different, il est vrai). S1il existe "suffisamment"
de fonctions continues B support compact dans l e domaine V on peut montrer qu'il existe une mesure
h ,.
de
Q,
>, 0 s u r X, une mesure
d 2 0 s u r l e complementaire de la diagonale de X x X , et une me de Dirichlet "locale"
L
telles qulon ait pour tout element
u
Xnv, l a forme
L est locale en ce sens quton a
stante dans un voisinage du support de
L(u,v) = 0 s i v
est con=
u ; 110p6rateur associe
A
est
alors un operateur local ; c l e s t l e cas de la forme de Dirichlet classi= que (dans l e cas general c t e s t cette partie locale qui est la source des plus serieuses difficult&). Il nlest pas
surprenant que la mesure
ne figure pas explicitement dans ltexpression ci-dessus, c a r on a observe qulelle ne jouait qulun r6le auxilliaire
.
Le probleme de l a representation explicite des formes de Di= richlet s e r a entierement resolu au chapitre
6 dans l e cas des formes
de Dirichlet s u r un groupe abelien localement compact, qui sont in= variantes par l e s
translations
du groupe. Pour achever ce chapi-
t r e , nous allons caracteriser celles des formes de Dirichlet qui sont associees B un espace de Dirichlet. Theoreme 2
.Soit Q m e
forme de Dirichlet, de domaine
V ;soit
J. Deny l e semi-groupe d10p6rateurs sous-markoviens associBs; t t >_O n pour que Q soit dhfinie positive et pour que llespace de Hilbert V ,
Q& ,soit un espace de Diri=
obtenu en complbtant V pour l a norme chlet de base
7
1 ) , g loc ( mesurable bornee ti sup=
(autrement dit soit olongeable dans
faut et il suffit que, pour toute fonction
f
L
port compact, on ait
L a condition est element de
evidemment necessaire : soit en effet
f
un
M K , et soit u
l e "potentiel" engendrB par f dans f V , dont l a norme coincide avec Q % s u r
11 ,I]
4
l'espace de Dirichlet
V ; d l a p r & sl e lemme 3 on a 2
]tu.ufll
m
(Ptf, fL2 dt = I(f)
"'" sup
0
= sup
IIu \I2
uev
Ilu1I2
us0
0
Incidemment, on a montr6 que 116nergie de l a norme du potentiel
f
=
\IuJ
2 C
+@
e s t l e c a r r e de
u
ce qui justifie l a terminologie. f ' f de MK soient Supposons inversement que l e s 616ments
d16nergie fini; dlapr&s l e lemme 3, l a forme car notee u
e s t dense dans L
MK
et
\I.\I
(on a pose viens s u r
-u/u
= 0
( 7 ) : done
Q e s t definie positive,
Q% est une norme s u r
V ,
dlapr&s l e lemme 3, on a, pour tout Blement
et tout compact
V
I(g) =
. Toujours
2
K
de X
.
si u = 0 et tenu compte de ce que
I" .
(Ptg, g)LZ dt 4
L ~ ) Soit V
V pour la norme 11.11
I( g ( ) , c a r l e s
P sont sous-markoi t llespace de Hilbert (abstrait) complete de
4
. D1apr$s 11in6galit6 6tablie il existe une
plication lineaire continue canonique de
A
V
dans
L : ~ ~ ,soit
O
ap=
.
J. Deny
Montrons que 8 est injective ; B cet effet on peut observer que si f
est un element de M plus generalement un element d16ner= K ' gie finie, on a I(RA f) 4 + , oa R A dCsigne la rbsolvante dlin= dice
0 ; en effet on a
I(RA f)
iTPtRAf.R A f )L 2 dt
< 1 1 ~ ~ 1,/*(ptl. 1~
flL2 dt
A q l P RA 11) dt
=
2
\I RJ
=
&
IU)
.
Soit alors {unf
une suite de Cauchy sur V , et soit u la limite 1 dans V ; Bvidemment u, converge vers Qu dans L loc ' et on a A
c a r la suite { u , R ~ f
3
1 est une suite de Cauchy dans L , dlapr&s la
relation
qui slobtient en utilisant le lemme dule opbre sur Q (5)
. On a donc,
(u.RA f) = lim(un,R
--
n
/
3
et l e fait que l a contraction-mo=
>
pour tout
lim n Qu (7- hRA 7) d
X
f)
=
0,
/u(i-ARA?)de n
V
(on a utilise la relation (1) et le fait qulon a -ARX g = g g 2 pour tout BlCment g de L , oil A est l e generateur de Q et du semi-groupe
Comme l e s elements
R X f sont
2 (car on a lim X R f~ = f dans L et dans A+V), la relation (5) prouve bien que 11hypoth8se Qu = 0 entrafne partout denses dans
9
u = 0, autrement dit que Q
est injective.
Il reste B prouver que les contractions normales opbrent sur A
V ; B cet effet considCrons une contraction normale h
T
plexe, un Clement u de V et une suite df61Cment u,,
du plan com= de V
con=
I. Deny h
vergeant v e r s u dans V ; evidemment 1 dnns L loc , c a r on a
Tu- converge v e r s Tu
j k ~ ~ $ -- u~) %~~ ~pour~toutl i ~ n
compact
(on a, bien
K
converge faiblement dans
S Q ~ , identifie A
V
I1
0;-et
u ) ; dlautre part
11
(toute suite bornee dans un espace h.f.
converge faiblement d8s qulelle converge dans L
de base f
cela resulte immediatement de ce que l e s partout denses) ; donc l \ ~ u lz$\ l i m inf
"potentiels"
Tu est un element de
11 Tun 11 <
k
Tu-
1IunII =
li?
h
V
11 u 11
u,
1
loc (7) ; sont
1
et on a
, ce qui achhve la
d6monstration. Remarque. L a formule (5) s e si f
et
Or si
d
g
sont
deux
generalise immediatement comme suit :
elements M
K' on a
est la mesure sous-markovienne associhe B 110p6rateur
P , on a t
(Ptf, gIL2
//
=
Si donc on appelle
on a
/
k
2d
f(x)
5) d % (x,y) .
l a mesure positive
=
/jf(x)
d6finie symboliquement
Z) d d K X , Y )
autremenl dit l a formule ( 6 ) donne une repr6sent;ation integrale expli: cite du noyau
4
K associ6 B llespace de Dirichlet V , B l'aide d'un
semi-groupe de mesures sous-markoviennes ; llanalogie de ce r6sul= tat et du th6or6me fondamental de manifeste.
Hunt
[13]
,
(chapitre
15) est
J. Deny
Chapitre
6
Espaces de Dirichlet invariants par translations
Dans tout c e
chapitre on s e donne un groupe abelien localement
compact G ; si u est une fonction complexe s u r G , 7, l a fordion y
---4
u(y-x) ; on definit,
designe
u
d'une maniere evidente, l a
translatee d'une classe de fonctions mesurables pour l a mesure de Haar
7 = dx . Les espaces h.f.
qulon va considerer ont tous pour base l e me=
sure de Haar ; on dit qu'un tel espace est invariant par translations si, pour tout point et
de G et tout element
x
~ l q 4 =\ llull
tation unitaire continue de G dans
j u ?dr =
11~11, d'autre (U,U
)
effet
f(x) dn
Tau
converge
c a r d'une part on a
(T,u, u ) = f quand x tend vers 0, et l e s u
.
Si f e s t un Clement de JZU
0,
est une repr6sen=
part
f sont partout denses dans H
Tfu =
--+Zxu
8 (H) ; en
fortement v e r s u lorsque x tend vers =
5.1e H
a
I1 en rksulte que l'application : x
[(l'x~lJ
u de H , on a
M
K
f '
avec
f i5 MK,
et u un element de H , on %pose
(integrale vectorielle) ;
l a fonction continue
u *f
l1Cl6rnent abstrait
Tfu ; il en resulte que si f e t g sont deux
est evidemment un representant continu de
elements de MK , on a TU = u = uf,g = u y f ; f g fug g on en deduit facilement que, si H est B noyau positif (seul cas qui s e r a considCrC), il existe une mesure 3 positive et de type positif telle qu'on ait
f E MK
pour toute
. On s e trouve donc dans l a situation de ltexem= 3
ple 3 du chapitre 1 ; l a mesure lution de ltespace H
s e r a appel6e l e noyau de convo-
. On a vu inversement qut& une
tive et de type positif on peut
m e s u r e 3 posi=
associer un espace h.f.
admettant
9 pour noyau de convolution ; cet espace e s t 6videmment invariant par l e s translations du groupe. L a symetrie du noyau 3 entrafne e s t aussi un 616ment de
H ,
de
on a
que si u
H (on a pose
e s t un element :(x) = u(-x) ) et
I1 11 = MI. Voici une precision importante dans l e cas dtun espace de Dirichlet
r6gulier (voir l a definition au chapitre 4) : Lemme 1
. Soit
H
translations de G ; ~
un espace de D i r k h l e t rhgulier, invariant par l e s u
e 's t un representant quasi-continu de Itel&=
ment u de H , et si up e s t un potentiel pur, 11int6grale -
existe pour tout 0
&
x e G ; g e d6finit une fonction continue qui tend v e r s
l'infini, e t represente 11616rnent
s u = fixudp
(x)
En effet observons dtabord que, pour tout 616ment 'Tau
converge faiblement v e r s
l'infini : c t e s t 6vident si u (
T ~ U , U ~ =)
site. Si u* y
-+
I
u(y-a)
Hy)
dy
0
dans
H
lorsque x
2H
u
de
.
H ,
tend v e r s
est ri. support compact, d t a p r & s la relation
, e t l e c a s general s1en d6duit par den=
est un representant quasi-continu de
u , l a fonction :
u* (x-y) e s t un repr6sentant quasi-continu de lt616ment
7
X
u :
dtapr&s l e dernier th6or5me du chapitre 4, 11int6grale ( I ) e s t convergente
J. Deny
/u* b y ) d/r(y) =
(
xx;.
u) =
(u. 7 - x u p )
et il suffit d'observer que l'application : x + Z-xup est continue et tend faiblement vers 0 lorsque x tend vers l'infini. On a c h h e r a grace ti un calcul de convolution facile.
Il resulte en particulier du lemme 1 que les rCgularisCes 3
4
f
du noyau assoeie B l'espace de Dirichlet H (par des elements f de ) tendent v e r s 0
3 ltinfini. Signalons encore, sans demonstration,
cette caracterisation des potentiels purs : pour que la mesure positive w )A soit dtbn6rgie finie, il faut et il suffit que la convolution ?*/u */u ait un sens et soit une pesure B densite continue; l'energie est alors l a valeur B l'origine
T r h,k#;de
u
P
cette fonction continue ;
a un sens ; ctest une mesure ayant
en particulier l a convolution pour densite
11912
'
Pour aborder le probl&me de l a determination explicite des espa= ces de Dirichlet reguliers invariants par translations, il est necessaire de rappeler l a definition et
quelques proprietes des fonctions definies
negatives ; k l s'agit dtune classe de fonctions t r & s importantes en Ana= lyse, CtudiCes il y a d6jB longtemps, d-'une part par Schoenberg B propos de plongements isomdtriques dans des espaces de Hilbert (voir notamment
[16]
), d'autre part par
P. Levy B propos des lois de
probabilites indefiniment divisibles. La terminologie est due & Beurling, qui, dans des travaux en grande partie inedits, a decouvert un grand nombre de jolies propriCtCs de ces functions. Une fonction complexe localement compact
r
, est dite definie negative si, quel que soit
le systeme de n elements la forme hermitienne
, continue sur un groupe abblien
!,,TI, ....,In de
r
( n = 1, 2
,... 1,
J. Deny
e s t positive. Une telle fonction admet l a symetrie hermitienne :
y
; elle e s t done symetrique si elle e s t reelle e t
=
y ( 0 ) est
toujours r e e l ; l a partie reelle dlune fonction definie negative e s t r e e l = l e et verifiel(,y(l() 2
y en
-
y (0) e s t
Y (0)
b 0 pour tout
Y
definie negative ; si
r ; l a fonction
de
definie negative reelle e s t nulle
0 ,
e s t sous-additive, dtoh on deduit que toute fonction definie m 2 negative reelle s u r R e s t O ( ) lorsque tend v e r s ltinfini.
171
Exemples simples de fonctions definies negatives r e e l l e s : toute constante
8 0 sur
r
; toute forme quadratique positive s u r
r e toute fonction continue
est definie negative s u r R
P
m
et
.
, c'est-8-di=
verifiant
y q + p +y
2y('o+2y(yt) = pour tout couple de points
r
'V( s u r
r
q-y)
y' de r . En particulier
Le resultat l e plus important concernant l e s fonctions definies negatives e s t sans doute l e theorhme suivant, de Schoenberg pour que l a fonct ion complexe et il suffit qulon ait =exp(-t
Y (0)
)
1161 :
sur
T soit definie negative, il faut 0 et que, pour tout t > 0 , l a fane=
) soit de type positif (clest une consequence a s s e z facile
7
de cette remarque 61Cmentaire : s i hermitienne positive,
i
i
exp(a..) D
ti Pt
h
e s t m e forme aij fi e s t encore positive). L e s con=
sequences sont nombreuses ; on en deduit en particulier : 10) l e s fonctions definies negatives sont l e s limites uniformes s u r tout compact de fonctions de l a forme
C
+
(0) -
, oh
e s t de type
positif ; 2')
toute fonction definie negative reelle admet une
tegrale unique de l a forme
representation in=
J. Deny
(2) oh C
111-
~ ( 7= )c t y(p)+
(x,
7 ) l 2d
~ (x) .
est une constante positive, yl, une forme q u a d r a t i q e positive et
b' une une mesure positive symetrique s u r l e groupe dual G prive de l'origine ; i c i (x,
G et du c a r a c t e r e
) d6signe l e produit scalaire de ltd16ment x
7 de r ; dans l e c a s ou
G =
r
de
R ~ l ,a formu;
=
l e s'6crit donc
I
y ( y ) = C + ~ & ' y ) + sin ~ ( x'f, ) d b ( x ) , oh 6+' e s t une me= 2 s u r e positive s u r R~ { 0 , verifiant 1x1 d b ( x ) 4 + co e t o * lxlsr dU'(x) 4 + C'est l a formule de k y - K h i n t c h i n e l a n s l e cas (2l)
.
1 4
]
\
>I r e e l ; pour une demonstration tr&s simple de l a formule (Z),
s u r un groupe abelien localement Harzallah
valable
compact quelconque, voir K
[12 bis].
3O) Toute fonction de Bernstein (i.e, -ioute fonction positive s u r R
t
ainsi que s e s d6rivees d'ordre impair, tandis que l e s deriv6es pair sont d 0) opere s u r l e s fonctions definies negatives ticulier, si
y' est ( ' f ) -+ l'fl'
e s t d6finie negative rbelle,
4 1 ; p a r enemple l a fonction ve s u r R~ pour tout d , 0 d oC d 2 0 4 r*
reelle ; en p a r =
definie negative pour est
definie negati=
. Rkcemment Harzallah
b2]
a montre que, reciproquement, l e s seules fonctions qui operent s u r l e s fonctions definies negatives r6elles sont l e s fonctions de Bernstein, mais nous n'aurons pas Q utiliser ce resultat, qui est beaucoup plus diffidile Q etablir. 40) Si l a fonction dCfinie negative s u r un voisinage de l'origine,
e s t telle que 1 / soit ~ intCgrable
1 1 ~ )e s t integrable sut tout compact,
et c'est une fonction de type positif ; ce resultat e s t t r e s facile Q d&= montrer Iorsqu'on as y(0) sage & 1 limite.
>
0, e t le cas general s'obtient p a r pas-
J. Deny
4
u
Voici alors le resultat essentiel de ce chapitre ; l e symbole 2 designe la transformee de Fourier de la fonction u de L ,et
A
9 la transformee de Fourier de la mesure positif de type positif
ThCoreme 1. Si Q, est une forme de Dirichlet translations du groupe
sur l e groupe dual
pour tout element
u de V ; inversement si
l'ensemble
r
, telle qu'on ait
V/
est une fonction dB=
, la formule (3) definit une forme de Dirichlet sur
des fonctions de
V
invariante par les
G , de domaine V , il existe une. fonction
definie negative
finie negative sur
3.
2 L (G)pour lesquelles le second mem=
bre est fini. A
Pour que la forme plBt6 de
V
Q soit definie positive, et que V , com=
pour la norme
Q , ,~soit un espace de Dirichlet r6gu=
lier, il faut et il suffit que l a fonction 1 / ( ~soit localement integrable sur -
r
; l e noyau de convolution associe 3
de type positif telle que $ =
A
V
est la mesure positive
l/y .
En effet observons d'abord que les operateurs hermitienset sous-mar= koviens s u r
Z
L (G)qui permutent avec les translations de
G sont
les operateurs de convolution par les mesures positives et de type po= sitif de masse totale i 1 (c'est
classique et facile) ; un semi-grou=
de tels opCrateurs est donc llensemble des op6rateurs pe { P )O de convolution par les mesures /ut positives, symCtriques, de masse totale rigine de
1, convergeant vaguement vers G ) lorsque
t
tend vers
h
(la mesure de Dirac 3 llo=
0 ; d1apr6s le theoreme de
Schoenberg cite plus haut, il existe une bijection entre l'ensemble de ces semi-groupes
(fit)
t30
et llensembledes fonctions definies
J. Deny
negatives reelles
oh
A
/Ut
telle quron ait, pour tout
d6signe l a transformee de Fourier de
t 2'0,
/ut
.
une forme de Dirichlet invariante par l e s transla= 2 G , de domaine V c L (G) ; appelons Q+ l a forme
Soit alors Q tions de groupe
L
approchee
d'indice t > 0
sitives associee, et
y
l e semi-groupe de mesures po=
l a foaction d6finie n6gative associee ; dlapr&s
l a formule (2) du chapitre
et l e s propri6t6s 616mentaires de l a
5
transformation de Fourier, on a
dl08 immediatement (3) par passage B l a limite croissante (faire decra= itre
t
vers
0 ) . Inversement, si yl e s t donnee, l a formule (3) d6finit
une forme de Dirichlet s u r l'ensemble des fonctions
2 u 6 L (G) pour
lesquelles llintBgrale est finie, dlapr&s l e theoreme 1 du
chapitre 5.
La premiere partie de lr6nonc6 e s t donc etablie.
Drapr&sl e theoreme
2
du chapitre 5 l a forme de Dirichlet Q a s =
socide ?I l a fonction d6finie negative reelle
e s t l e c a r r e de l a norme
d'un espace de Dirichlet s i et seulement si on a, pour toute fonction f
de
M,, (voir l a formule 3 du chapitre 5),
I
Pour quron ait
] ? I/
d
7
e s t 6videmment n k e s s a i r e que
L
l/y
t@
pour toute
f
de
XIK, il
soit localement integrable s u r le
r
groupe dual est r6alis6e
; mais cette condition e s t a z ~ s s isuffisante, c a r si elle
e s t de type positif ; c e s t la transform6e de Fou= m r i e r (en un sens convenable ; celui des listributions s i G = R ) l/f
d'une m e s u r e positive de type positif f
3
, et on a
qTIf l2
d,'
7
MK. L'espace de Dirichelt associ6 B Q e s t alors 2 isometrique B l'espace L (11 ) et l e noyau de convolution associ6
pour toute
f
de
est l a mesure
h
9
telle que 3 =
l/y
Il r e s t e B prouver que l'espace de Dirichlet
H
t r e construit est rCgulier, Or, d1apr8s l a formule (3), A
u
toute fonction u telle qulon ait tions e s t partout d m s e dans vers
0
E.
qui vient dlC=
H contient
%. ( f' ), e t l'ensemble de ces fonc=
H ; chacune de ces fonctions
u tend
B l'infini ; la fonction
s u r l e disque
u - T u (oil T e s t l a "projection" r r Izl s r ) e s t donc un Blement de %. (G) n H ; comme
T u tend v e r s 0 quand r tend v e r s r des espaces de Dirichlet), on voit que
(chapitre 2, propriCt6 20
0
f l H est dense dans
Finalement XllH e s t 6galement dense dans des elements de
X ~ BHsupport
(considerer encore
.
: en effet il existe
arbitrairement voisins de llorigine
u - T u avec 1"
H
u
et
r
convenable) ; l e s combi-
naisons lin6aires finies des translates de c e s 616ments sont partout denses dans
X ,
ce qui ach8ve l a demonstration.
Exemples. L a formule de Levy-Khintchine donne une representation explicite de toutes l e s formes de Dirichlet invariantes par l e s tran= m slations de R ( m 3 1). En effet, d1apr8s l e s formules (2') et (3) on obtient, par un calcul de Fourier facile :
J. Deny
oh C est l a constante ve dans
R~ -
{o]
20
ItJs
quadratique
yode
l a mesure symetrique positi-
,
qui figure d a m (2') (rappelons qu'elle verifie
I b f dCb(t]r/d~(t)Qd : enfjn oqt~a
de (2')
(2') 4
l e s a..
sont l e s
4
coefficients de l a forme
: l e s coefficients 1/4%' et 114 sont dtls au
choix de l a forme f(x) =
/ oxp(-
) inx'()f(x) d x p o u r l a transformation
de Fourier. u
Cette formule est valable pour tous l e s elkments
V
du domain
de Q, B condition bien entendu de prendre l e s derivees 3k/dxj
au sens des distributions. Ce domaine V contient toujours l e s fonc= 1 tions de classe C B support compact; plus generalement il contient l t e n = semble des fonctions de L 2 (Rm ) dont l e s dCriv6es au sens des distri= butions sont de c a r r e integrable : en effet c e s fonctions u sont caract6=
/($I '(1
r i d e s par l a relation
1 'f12)
t
toute fonction definie negative dlapres la propriete
, sup
'5
d
Y
4
+ a , et on a, pour
( T ) / ( l t]'f]
mentionnee plus haut : Y, (
2
) = 0(
)
l'f1
4
+ ) quand
tend v e r s l'infini. En particulier, pour Dirichlet classique Q(u) =
-&-
U/ ( 7 ) lgrad u
la
=
1y12 , on obtient l a f o r m e de
dx
.
Le domaine de cette forme e s t exactement l'ensemble des fonc= 2 ) l e s d e r i d e s partielles du premier o r d r e (au sens tions de L ( R ~ dont 2 m des distributions) sont dans L (R ), et ceci quel que soit l e nombre de dimensions m ; par contre lfespace de Dirichlet associe 3. cette forme nlexiste que si l e nombre -4
m
est
3 ; en effet l a fonction :
l/b12nlest localement integrable que pour ces valeurs
-
de
m ; l e noyau associe est alors le transform6 de Fourier de l a font= tion : f
1/
171
: il e s t proportionnel au noyau newtonien 1/
\ x\
m-2
J. Deny m R associC B l a
Plus gen6ralement l'espace de Dirichlet s u r
lrld
fonction definie negative
( 0
d
4
si m
Q 2) existe toujours
3;
m = 1 ou 2, il nfexiste que pour 4 4 m ; l e noyau associ6 est m-b( proportionnel au noyau de M. Riesz 11 1x1 pour
Pla$ons-nous pour
Remarques s u r l e s distributions dfCn6rgie finie.
R~ ; soit H un espace de Dirichlet m rbgulier invariant par l e s translations de R , defini par l a fonction d6fi= simplifier s u r lfespace euclidien
nie negative reelle
9
telle que 11 9
soit localement integrable ; on
appellera 3 l e noyau de convolution associe 3 Tout element u effet
H
de
e s t isometrique A
H
.
H
dCfinit une distribution temp&rCe ; en 2 L ( q ) ; tout element de L (ly ) est une
2
est A croissance lente (puisque c'est
distribution temperee, c a r 1 / y
[17]
une fonction positive de type positif; voir L. Schwartz -dure qulil existe un entier
Si donc
v
e s t dans
I"'
L
2
)
, c'est-a-
q > 0 verifiant
(v) on a, d~
'
d k p r e s 11in6galit6 de Schwarz,
(\'V'Y
donc Iv] e s t B croissance lente e t par suite t r e de meme que l a convergence dans
v
d
(1
(,+ 1y1$9 Y(T) est temperee. On mon-
L ' ( ~ ) entrafne l a convergence
au sens des distributions temperees ; il resulte que l e s elements de
H
sont exactement l e s distributions temperees dont l a transformee de Four i e r e s t un element de De meme
2
L ( y)
.
&ant 2 croissance lente, puisque
y
(7) = O ( \7l2)
0
lorsque
tend v e r s lfinfini, tout element de
~ " ( 1 ) 1e s~t une distri=
bution temperee ; on appellera distribution dfCn6rgie finie
toute distri=
bution tempCree S dont l a transformee de Fourier 9 e s t un element 2 de L ( 1 1 ~ ;) lfenergie de S s e r a par definition 1(S) = d
12 l Z / y
.
J. Deny
Il y a une dualit6 6vidente entre H et ltespace des distri= butions d16nergie finie ; la distribution H
S associee B ltC16ment u de A
sera definie par l a transformation de Fourier, en posant
ainsi, dans l e cas newtonien, on aura S
=
-
S =
Y, ;
a u (B un facteur posi=
tif pr&s), ce qui montre qu'une distribution d16nergie finie peut @tre une distribution authentique, et une mesure (voir B ce sujet C71 ). Dans l e cas oil u = u avec f E MK , la distribution associee f' B u nlest autre que f , et on retrouve la formule donnant 116nergie f
de f :
Plus generalement la distribution associ6e au potentiel pur nlest autre que l a mesure positive u ,
. Les ClCments de
up H peuvent
donc @tre considCr6s comme des potentiels gCn6ralisCs d16nergie fi= nie, engendrCs par des distributions ; les potentiels purs sont ceux qui sont engendres par des distributions positives.
-
Montrons que ltensemble singulier de 11B16ment u de
H (voir
l e chapitre 4) ntest autre que le support de la distribution S associ6e B u ; en effet tout element
tf
9 (am)appartient
de
S est nulle, dloil le resultat
.
Si alors on appelle spectre dtun Clement support de l a distribution
et on a
u ne sont autre que les ouverts
donc les ouverts "reguliers" pour dans lesquels
B H
2 g de L (11 Y, ) le
A
S
telle que S = g , on voit que le theor&=
me de synthbe spectrale du chapitre 4 permet d16noncer le ThCor&me 2 telle que
.S i y est une fonction dCfinie negative r6elle
l/y
sur
R
m
soit localement integrable, la synthhe spectrale est
.
possible dans ltespace ~ ~ ( 1 ) 1
J. Deny 2
Autrement dit : tout element g de L ( I / autant qu'on veut dans cet espace par des nies d1616rnents de la forme tee par le spectre de g
.
/t: , oti p
) peut gtre approch6
combinaisons lineaires fi=
est une mesure positive
Le problame de determiner toutes les fonctions positives
par=
h sur
un groupe abelien localement compact, telles que la synthbse spectrale soit possible dans llespace hilbertien
~ ~ ( h est ) , interessant et diffici=
le; il a Bt6 inaugur6 il y a longtemps par Beurling [3]
et de nom=
breux travaux y ont Ct6 consacr6s. Les methodes de theorie du pa= tentiel permettent d'apporter quelques resultats positifs, mais le sujet est loin d1@treCpiuse ; pour l e cas oh h
est le quotieni de duex fonc=
tions definies negatives sur l e tore, voir [ll]
.
Pour terminer, nous allons donner un resultat recent de M. Ito
1143 qui montre que si un noyau de convolution de Dirichlet est
absolument continu, il admet une propri6tC de regular it6 remar quable. ThCorhme 3 (M. Ito).
Soit
H un espace de Dirichlet regulier sur
le groupe abClien localement compact G , invariant par translations; s i le noyau de convolution i ) associe B H
est absolument continu
par rapport B la mesure de Haar, il existe une fonction N telle que
3
=
N dx et que
lo) N est semi-continue i n f e r i e u r e e ; 20) tout potentiel pur
u
P
admet comme representant quasi-continue la
fonction semi-continue infbrieurement, definie par 11int6grale classique
3') N verifie le classique principe de continuit6 : s i la restriction de N p au support de
p
(supposb compact) est continue,
nue dans tout llespace - G
.
N p est conti=
J. Deny
Nous allons seulement esquisser la dCmonstration ;par hypoth&= se, 3 est de l a forme N1 dx, oil N 1 est une fonctio~llocalement int& grable par rapport B la mesure de Haar ; il est facile de voir que, pour tout nombre ud4
(considerer
a S 0, la fonction inf(N1,a) est un potentiel pur inf(u , a ) f
.
oil f
1f dx = 1 ; clest un potentiel pur, inf(Nt,a) lorsque
f "converge" vers
est un element
de ~ ' t e l que
qui converge faiblement vers
d)
videmment symetrique et de masse totale
; cette mesure 6 ' 0 .
est C=
-L 1 ; on verifiers que
6/, converge etroitement vers d lorsque a tend vers + aD
.
On pose alors N (m et n entiers positifs) ; (4 = (us, J, uvm m, n cette fonction N est le representant continu du potentiel, pur m, n r
u % '"I,
= ~~6~ r =
u ~ ~ s .
On pose ensuite Nh (x) = lim N (x) ; m+ar m , n cette fonction s. c. i. est un representant quasi-continu de uvb ; cela resulte de la convergence forte de 7, u% vers fait que
s;,
converge etroitement vers
verge partout vers
d
urh. (consequence du
) et de ce que
N con= m, n
Nn'
Il resulte alors du lemme 1 (voir le debut de ce chapitre) que
est Itunique representant continu du potentiel pur On pose enfin N(x) = lim N (x) ; n-rcl, n
2'
ffiup
.
J. Deny
de Dirichlet qui ne
sont pas absolument continus : par exemple l e s
5 b
noyaux W m e n t a i r e s
6. ob 6 e s t une mesure k 0 sy= n= metrique, de m a s s e totale 1, telle que la s k r i e soit convergente.
9
=
J. Deny
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CENTRO INTERNAZIONALE MATEMATICO ESTIVO (C. I. M. E. )
J. L. DOOB
MARTINGALE THEORY
C o r s o tenuto
a
S t r e s a dal
-
POTENTIAL THEORY
2 a1
10 Luglio
1969
MARTINGALE THEORY - POTENTIAL THEORY by J. L. DOOB, University of Illinois
Let ( R ,F, P ) be a probability measure space and let (X,G) be a measurable space. A measurable
function from the f i r s t space into the s e =
cond is called a "random variable".
The second space is called the
"state space". Let I be a totally ordered set. F o r each t in I let F be t a sub C-algebre of F. Let the state space be the line with its Bore1 s e t s and for each t in I let x(t, with t, that x(t,
.
. ) be a random variable.
Suppose that F
) is integrable ant that s
matingaleH (relative t o the
specified
t t implies that
6/-algebras),
increases
a martingale if
there is equality in (1). In every version of potential theory there a r e analogues of
superharmonic and harmonic functions. The probabilistic analogues of these functions a r e
super=
martingales and martingales. The notion of reduced function in this context becomes that of a
reduced stochastic process and the usual arguments about
reduced functions have corresponding versions. Thus there i s a completely probabilistic version of poten= tial theory. Besides this there is a combined version, Hunt potential theory, in which a Green kernel i s defined probabilistically and both probabilistic and nonprobabilistic analysis a r e used.
J. L. Doob
The analogues of positive superharmonic functions here a r e the excessive functions, essentially the functions on the state spa= ce which a r e positive and which when composed with the radom varia= bles of the stochastic process involved yield supermartingales. Finally,
i f a family S of continuous functions on a
com=
pact space is to be part of the family of superharmonic functions of a potential theory it i s shown that very generally there a r e stochastic processes with state space X such that the functions in S when compo= sed with the radom variables of the processes
yield supermartingales.
CENTRO INTERNAZIONALE MATEMATICO ESTIVO
(C.I. M. E. )
G. MOKOBODZKI
Corso tenuto a Stresa dal
2
a1 10 Luglio
1969
C ~ N E SDE POTENTIELS E T NOYAUX SUBORDONN~S par Gabriel MOKOBODZKI
(Institut H. Poincar6) Introduction La th6orie du potentiel s l e s t d6veloppCe simultan6ment dans plusieurs directions, toutes inspir6es de la th6orie classique du poten= n tie1 dans R
.
C1est ainsi que l'on fait de l a th6orie du potentiel en partant d'un noyau-fonction, comme l e noyau newtonie , en partant d
un pro=
cessus de Markov ou d'un noyau de Hunt, e n partant dlun faisceau de fonctions harmoniques ou encore en partant dlun espace de Dirichlet. Cette pluralit6 de points de vue est particulierement int6ressan. t e lorsqu'on doit r6soudre un probleme de thdorie du potentiel ou lorsqu'on t e n t e de rattacher & l a th6orie du potentiel une probl6matique nouvelle. La question s e pose donc B la fois d16tablir l e s liens logiques qui existent entre c e s diff6rentes th6orie et de
d6gager ce qu'elles ont
de comrnun entre elies. C'est dans cette deuxieme
perspective que s e situe l e pr6sent
cours. Quel que soit son point de d6part, toute th6orie du potentiel permet de d6finir un cane convexe fondamental de fonctions num6riques qui seront, suivant l e cas, des potentiels, des fonctions surharmoniques ou des fonctions excessives. Dans l a premiere partie de ce c o w s (chapitres I et 11), on 6= tablira certaines propri6t6s de c e cane convexe dans l e cadre d
'
une
th6orie du potentiel d6finie B partir d'un noyau satisfaisant au princi= pe complet du maximum, ou, ce qui revient au meme, 21 partir d'une famille r6solvante sous-markovienne de noyaux. Dans ce cas, l e cane convexe fondamental e s t l e cane des fonctions excessives par rapport 5. l a famille r6solvante.
G.
Mokobodzki
L16tude systematique de ce cane nous am6nera A isoler l a notion de cane de potentiels. Dans l a deuxieme partie de ce cours (chapitre I11 e t IV), on suivra une demarche inverse: on partira dtun cane de potentiels C et l1on associera canoniquement B chacun de s e s Blements un noyau que l1on dira subordonne A C. Moyennant certaines hypoth6ses raisonnables, on construira, B llaide de noyaux subordonn6s B C, une famille resol= vante sous-markovienne de (VX
) A h0
de noyaux positifs qui caract6=
risent l e cane de potentiels C en ce sens que l e s fonctions excessives d6= finies uniquement B lfaide du cane C, dites fonctions C-excessives, seront exactement l e s fonctions excessives par rapport B la resolvante (Vh On trouvera dfautres exemples de cette demarche cle de MEYER
[5]
KOBODZKI -SIBONY
dans l l a r t i =
, et dans l e s travaux de HANSEN [2]
18)
) A a0
et de MO=
, oh l a notion de fonction excessive s e defi=
nit par l1interm6diaire de semi-groupes dloperateurs positif. Enfin on l i r a avec profit l e m6moire de CHOQUET-DENY [I] qui a l e double m6rite d t & t r e extremement c l a i r et d'introduire un point de vue algebrique en theorie du potentiel.
- 211 G. Mokobodzki Chapitre I TMorie Qementaire du potentiel sur un espace mesurable. De manihre generale, on utilisera les definitions et notations du livre
"~robabilite et ~ o t e n t i e l "de Mayer [I] , qui contient un
index terminologique. Il est recommand6 de l i r e les chapitre IX et X de ce dernier livre oh l1on trouvera une etude systematique qui nla pas s a place ici.
I. Notations, definitions Soient (X,
t
) un espace mesurable, B (resp. B ), l'espace des
fonctions numeriques mesurables bornees (resp. mesurables et ) 0). On dit qu'un operateur lineaire N de B dans B est un noyau
s u r (X,
3 ),
s i pour tout x E X, l'application de B dans R, f
Nf(x)
dCfinit une mesure compl&tement additive sur (X, 3 ). On dit qu'un noyau N est sous-markovien si l1on a N1 L 1. Dans ce qui suit, on s e donne un noyau positif sous-markovien
. L'operateur
i
1
N, tel que l a fonction u = NP1 soit dans B OP*O est alors un noyau positif s u r (X, ).
3
Definition 1 : On appelle noyau potentiel
NP G= Pa0
associe B N le noyau
Soit f E B; la fonction Gf est appelee potentiel de l a fonction f. On s e servira constamment
de lfidentit6 suivante : t
Definition 2 : On dit qu'une fonction f E B est excessive s i l1on a Nfdf. t
Theoreme 3 : Soit f B B ; l a fonction g=Gf est alors excessive. t
Inversement, si g E B est excessive, g est l e potentiel de la fonc= Demonstration :
Remarquons d'abord que ce theorkme depend des
G. Mokobodzki
hypoth&ses que .nous avons faites, 2. savoir que l e noyau G e s t borne. Soit f E B
-t
on a NGf=Gf-f, donc NGf G Gf.
+
Inversement, si g e s t excessive, (g-Ng) E B , et g=G(l-N)g= G(g-Ng). On designera par S l e cane convexe des fonctions excessives par rapport au noyau N. Ce cane convexe definit une relation d'ordre
"< "
s u r B: (vl 4 v2) C3 ((v2-v1) E S). On dira que cet ordre est
l'ordre specifique
du cane S.
On va maintenant etablir un certain nombre de proprietes r e m a r =
S.
quables du cane
1) Pour toute suite croissante (f ) n S, sup fn€ S
Theor&rne 4 : Clement de
e S, majoree par un
2) Pour toute suite (f ) C S, inf f E S. n n Demonstration : 1) Pour tout p, on a Nf 5 f et comme N e s t un P P noyau, N(sup f ) sup f P 2) Pour toute suite finie { f l . . o . . , f k ] E s ,on a
<
PO
.i%
5
N in f ) ( (inf e t comme N e s t un noyau, N inf f ) < ' f fp)p 4 k' C,lP p p Definition 5 : 1) On appelle reduite d'une fonction u E B, par rapport
661
au cane S, l a fonction Ru-inf
2) Pour ble A C B, l a fonction R
u A U
E
{ v; v E S, B
v
2 u)
on appelle reduite de u s u r un ensem=
=R(u. 1
v;v E S,
v(x) ) u(n)
x E A)
3) On dit que u E B est portee par A E B, relativement
Theoreme 6 : Pour toute u mesurable bornee, Ru e s t mesurable et excessive. Demonstration : Considerons l a suite (u ) definie par recurrence de la manigre suivante n
G. Mokobodzki
u
= sup(u Nu ) P p-1' p-1 Comme N1 4 1 , l a suite (u ) e s t croissante et bornCe, et v=sup u P P vCrifie u 6 v , Nv ( v. D1autre part pour toute w E S majorant u on a
w 3u donc
P'
0
=
u, u
donc w 3 v. Finalement, comme G e s t borne, on a l i m NPv=O, P-' 03
v2lim iVPv=O; v e s t donc excessive, et on a Ru = v. P Ce proc6dC de construction de l a rCduite nous donnera sans grand
effort l e lemme suivant : ThCoreme 7 : Si -u=G f, alors Ru = G
@
'- avec 0 6
$ 4 f+.
Demonstration: ConsidCrons llopCrateur H : u
-+ sup
(u,Nu).
Si l'on pose f = (I-N)u, on obtient (I-N)Hu = (I-N) [ sup (Gf, NGf) = (I-N)
]
[ sup (Gf, Gf-f) ]
= (I-N) [ ~ f t f - ] = f t ( 1 - ~ ) f = ft
Consid6rons
- Nf-
llopCrateur T : f - + ( f
Hu = GT(1-N)u, e t pour tout entier H~, =
Montrons que pour toute existe, et que
0 Q
(g
t
- ~ ( f - ) ) : on peut a l o r s Ccrire
p
GT~(I-N)~.
0
f
mesurable bornbe, l i m ~ ' f = P+a ,( fT ; l e lemme en resultera aussitat, c a r nous
0.
aurons Ru=lim HU' = G (lim T'(I-N)u)=~ P-La + Np+m N Or on a (Tf) 6 ff , et ( ~ f ) - 4~ ( f - ) ,de sorte que l a suite ( T P ~ ) ' est dCcroissante, et que pour tout
p, (TPf)- ,( NP(f-).
Comme G(f-) e s t bornbe, on a l i m ~ ~ ( f =O. - ) I1 en rCsulte aussitat que P-'W + T Pf converge v e r s une limite comprise entre 0 et f , en fait ~ ' f con=
+.
verge v e r s inf(TPf)
P
Les 6noncCs qui suivent sont des cons6quences faciles ou des
G. Mokobodzki reformulations du lemme 2. TheorBme 8 : Soient u et u deux fonctions excessives bornees. 12 Alors R(u -u ) et u -R(u -u ) sont excessives (autrement dit 1 2 - 1 1 2 R(u -u 14 u1). 1 2 Demonstration :
.
Posons (I-N)u =f (I-N)u =f l e s fonctions f , f sont positives, 1 1' 2 2' 1 2 u =G f D1apr&sl e lemme precedent R(u -u ) = G $ et u =G f 1 1' 2 2' 1 2 avec 0 6 $ 6 (f -f )'< fl. P a r suite u -R(u -u ) = G (fl- $ ) qui est 1 2 1 1 2 une fonction excessive. Corollaire 9 : Soient u mesurable bornee, Ru s a rbduite. Alors { ( I - N ) R ~>
01 c {u
.
= RU)
Demonstration: ConsidCrons l a suite u
= u , u = sup (u ,Nu ). P P p+l Soit x tel que Ru(x) > u(x). Il existe un indice p tel que u Or si u
P
0
= G f
P
on a u
P a r construction, Ru
P
= u tf-
p+1
P P
= Ru=G
4
, donc f-(x) > P
, avec 0 ,<
0 (ft,P
(x) > u (x). p+l P 0, et ft.(x) = 0. P d'oti
0 (x) =
0
Corollaire 10 : Soit u E B, s a reduite. {(I-N)RU > o] c {U=RU}
Alors
tl
>
o)
.
Demonstration : L'application u -+ Ru de B dans B e s t continue pour l a topologie de la convergence uniforme s u r X. Appliquons l e corollaire precedent B u)
>
o)ck-
> 0)
C{U
>
((I-N)R(U-
{(I-N)RU
0)
E
.
=R(u- &
)}c {u-
E
. On obtient
E 3 o} par suite
G. Mokobodzki
+
En effet Ru 4 Rv
+E
e t Rv \< Ru
DCfinition 11 : I) On dit qulun noyau
puisque 1 E S
V s u r (X,
+
3
) satisfait au pin=
cipe de domination, si pour tous f, g E B , (Vf(x))/Vg(x) v x q g
>
01
+(Vf
1Vg)
2 ) On dit qulun noyau V s u r (X,
cipe complet du maximum,
si pour tous
(Vf(x) +a >/ Vg(x) v x E
)
ThCor5me 12 : Le noyau potentiel
--4
3)
+ f, g € B et (a+Vf
satisfait au prin= toute constante a 2 o,
Vg)
associ6 B N satisfait au princi.
G
pe complet du maximum. DCmonstration :Du fait que 1 E S, 1 est l e potentiel de la fonction (1-Nl). I1 suffit de montrer que Soient f,
+ g EB
G
satisfait au principe de domination.
i I
et supposons que G g(x) G f(x) pour a x € f > 0
montrons que G g >/ G f. Prenons
0 et posons
E>
$y=f-g- E , et
On a G $((x) < 0, donc R(G $E)(x) et par consequent
YE < (f-g- &
+ )
#
G
gp (x),
(x) = 0 pour x€{f : donc
Y,
L
= 0,
et
Definition 13: On dit qulun cane convexe
$( )
= G YE
pour tout x E {f
> 0) .
G O€' < O '
R(G
>
0)
,
D1autre part.
dlob enfin G g >, G f.
S CB
+
poss&de la propri6=
te d1additivit6 des rCduites s i pour tous u, v E S et tout A E 8, 'RB+V) =
'RB
+
' R ~A
Theor6me 1 4 : Le cane convexe S des fonctions excessives par rapport au noyau N poss$de l a propri6tC d1additivit6 des r6duites (le raisonne:
G. Mokobodzki
ment stetend aux "canes de potentiels" definis plus loin) v E S tels que u ,< v + v il 1' 2 1 2' une decomposition de u en u=u + u avec u E S, u E S, 1 2' 1 2 U2
Demonstration : a ) Pour tous u,v existe U1
4
V1'
I1 suffit de prendre u =R(u-v ) et u =u-u (verification facile). 1 1 b) pour u E S, A €73, R = ~ ( u l. A ) = inf [ v S~: V > U s u r A on a de mani6re generale, RA d l a p r & s a) v
1
< RA +
\
U 1 +U2
U1
FIA
U2
; donc il e r i s t e
et v E S tels que 2
A A On en t i r e facilement que v = R , v = R 2 u 1 u 1 2 Dans l e cadre de ce chapitre, on est conduit A la definition suivante : Definition 15 : On dira qulun cane convexe positives finies s u r (X,
3)
S
de fonctions mesurables
e s t un cane de potentiels s l i l verifie l e s
proprietes suivantes : 1) Pour toute suite croissante (f ) C S , majoree par un element n de S, sup f E S. n n 2) Pour tous u u E S . R(u -u )ES et (ul-R(ul -u2)) E S 1' 2 1 2 3) Pour toute suite (u )C S, decroissante au sens de l l o r d r e ordin naire, specifiquement majoree ( c l e s t B dire majoree pour l l o r d r e d6=
fini par S) par un element de S, on a inf u E S. n n On dira que S est enveloppant (pour l e s fonctions bornees) s i on a
R (# E S pour toute fonction
4 mesurable
et bornee.
On nlexige pas que S soit stable par enveloppe inferieure. Proposition 1 6 : Soit (C ) une suite decroissante de canes de potentiels, n n R 110p6rateur de reduite relaet soit C m = nc Pour n <+ ao , soit n n
.
G. Mokobodzki
tivement au cane C 1) Si u e C , {u=*Ru)
=
n'
Alors
-C,,
n
I!{ u = ~ R u }.
Ru c r o f t avec n, on a l i m n +W
n
co Ru= Ru, et
sont enve= n est aussi
2) C, e s t un c0ne de potentiels. Si tous l e s canes C loppants, et si C,
contient une fonction majorant 1, C, M, n enveloppant, et on a Ru= sup Ru pour toute fonction masurable h o r =
3) Si tous l e s canes C C,
n
sont rBticulds (pour l e u r o r d r e s propres)
est a u s s i r6ticulB.
DBmonstration :
Nous
appuierons s u r l e l e m m e dvident suivant :
soit (f ) une suite croissante, majorde par g c C,, , telle que f E C n n n pour tout n. Alors on a sup f C, n n Soient ul et u E C, , et u=u -u ; pour tout n 4 a , C e s t 2 1 2 n un cane de potentiels, donc
.
La suite
n
R(u -u ) e s t croissante, major6e par u t u 1 2 1 2 ' On a donc sup R(u -u )€C, d t a p r & s l e lemme, et cette fonction e s t n 1 2 Bvidemment 6gale & -R(U - U ). Ltassertion 1 ) en decoule, c a r 1 2 n a0 u,( R u < Ru n
.
Pour tout n l a suite (v ) est contenue dans C et PPan n' u -v = 'R(U -u ) E Cn. Dtapr6s l a propriPt6 des canes de potentiels 1 P 1 2 L a vbrification des autres on a v, = inf v E C n , donc v,,eC, P P propriBtds des canes de potentiels est immediate.
.
3) Supposons tous l e s canes C r b t i c u l i . ~ , et pour u u E C, n 1' 2 n e t v =u v u2, l e s enveloppes sup6rieure et infPrieure soient w = u A U n 1 2 n 1 n de u et u dans C La suite w est croissante, l a suite v e s t 1 2 no n n decroissante. P a r construction l e s fonctions w, =sup urn et v, =infvn
G. Mokobodzki
sont dans C W
. Soit w€C,
, tel que (w-u 1) E C , et (w-u 2 ) GC, ; les
canes C
dtant reticules on a (w-w ) EC pour tout n, donc n n n w-w, =inf (w-wn) EC n Thdor6me 17 : Soit C un cane de potentiels sur (X, % ) et soit S c C
.
gauche de C (une
un sous-cane de C. Si S e s t un sous-cane hereditaire
face de C) et s i l'enveloppe superieure dlune suite croissante majorde d'eldments de S appartient 5 S, a l m s S est un cane de potentiels. Demonstration : Dire que S est herdditaire Q gauche signifie que s i uES, u
1'
u E C sont tels que u +u2 = U, alors 2
Designons respectivement par
dR
rapport aux canes C et S. Pour u
et
sR
u1,u2 E S.
l e s operateurs de reduite par
u E S, on a 1' 2
C e s deux fonctions appartiennent 5 C, leur somme e s t dans S, S C elles appartiennent donc Q S. I1 en rdsulte que R(u -u ) = R(u -u ), 1 2 1 2 et que S e s t un cane de potentiels . ( L a proprikt6 3 des canes de potentiels s e verifie immediatement). II.Familles r6solvantes (cf. Mayer [I] ) Definition 18 : 1) On (Up)p. 0
appelle rdsolvante s u r (X,
de noyaux s u r (X,
si q >. p
V =V P q
33
8)
une famille
), telle que l'on ait
+ (q-p)V V
q P
2) On dit qu'une resolvante est achevee si U=sup P e s t un
noyau s u r (X, 9 ) 3) On dit que la resolvante est sous-markovienne s i
pU 1 Q 1 pour tout p > o P Definition 19 : Soit (U ) une rbsolvante s u r (X, 3 ) P
U P
G. Mokobodzki
1) On dira que f € B ( u p ) ) si p ~ d < f
V
p
> o
2) On dira que f E B
+
e s t surmCdiane
+ est
(pour la r6solvante
excessive si f est surmbdiane et si
f = sup pU f P P Lemme 20 : Si l a r6solvante (U ) e s t achevCe et sous -markovienz P P>O + ne et si U= sup U , alors Uh est excessive pour tout h E B P P DCmonstration P a r passage ?I l a limite, on obtient
:.
U=U tpU U=U p U U de s o r t e que si h est born6e, lim U h=O P P P P' P-+" P d'oh Uh= sup pU Uh P P DCfinition 21 :
ACBest
Soit V un noyau s u r (X,
3 ).
On dira qu'un ensemble
V-nCgligeable si V(lA)=O. On dira qu'une propri6tC a lieu
V-presque partout
(V.p.p.) si elle a lieu sauf s u r un ensemble V-n6=
gligeable. une r6solvante achevbe, U=sup U Th6orhme 22 : Soit (U ) PP>O N P et soit f une fonction surmbdiane. La fonction f=sup pU f e s t excessi= N N P ve, on a f=f U-presque partout, f est la plus grande fonction excessive minor ant f. DBmonstration : D'aprhs llBquation r6solvante : U -U =(q-p)U U on obtient pU -qU =(p-q)U (I-pU ) P q P q' P q q P Les noyaux U sont positifs, par suite pour toute fonction s u r = P m6diane f, l'application p --,pU f e s t croissante. P Pour tout p, f = pU f = U(p(f-pU f)) e s t excessive, d f a p r & sl e R P lemme 20, par suite f = sup f e s t excessive et il est clair que c'est P l a plus grande fonction excessive minorant f. On a U(f-pU f)=U f et pU 1 R P P l i m U = 0 et U(f-f)=O P-'" P
< 1 par
suite, pour f bornbe,
G. Mokobodzki fv
Definition 23 : Pour toute f surmediane, f=sup pU larisee excessive d
f.
P
s'appelle la rCgu=
1II.Exemple fondamental de famille de canes de potentiels S oient (V
(x,%), et
une r e s o l vante sous-markovienne achev6e s u r
)
V=sup VA
-CA= {fsB -C,
= nC
-S
=
. Posons ; V
. ,lest
A' if. C,
X
fsf)
l e cane des fonctions surmedianes bornees
; f=sup XVA f )
X excessives pour l a r6solvante. -
(
' ~ u = i n f v;v6cA ,
des fonctions
v ~ u ] , p o u r u € ~ e t A ~ ] ~ , t m ]
-Ru = inf ( V ; V G S , v b u ]
-(fl
: c'est l e c h e
, pour
u€B
"
4 f2)W(f2-f1) S) D1apr&sl'equation r6solvante, on a (I+ XV)=(I-
donc l e noyau
A v ~a
XVh
) -I
un noyau potentiel associe borne. L e s canes C
sont donc des canes de potentiels r&icul6s,
enveloppants,
stables
par enveloppe inferieure denombrable.. Montrons que
( Ad)'-)
+ (C/,C
de sorte que pour X4,b et f E Cp f
Le cane Cm
CL ). En effet l'equation resol=
on a
5 f et XVX f,LpV/, f, donc f a C X
.
des fonctions surmedianes e s t done l'intersection d'une
suite decroissante de canes de potentiels r6ticul6s et enveloppants: c'est donc aussi un cane de potentiels reticule et enveloppant.
1
G. Mokobodzki
D1autre part, l e cane S des fonctions excessives est hereditair r e Q gauche dans C, ferme pour l e s limites de suites croissantes : c l e s t donc un cone de potentiels reticule (mais il nlest pas stable par enveloppe inferieure en general, contrairement Q C). une resolvante achevee sous-markovienne.
Th6or&me 24 : Soit (Vh )A
Le noyau V=syp Vh satisfait au principe complet du maximum. 4
Demonstration : Pour tout
A>o,
l e noyauGA=(I- XVA
satisfait au principe complet du maximum et t
et posons
Soit h G B
XR(lA. Vh)
P a r suite
Q,
A= { h > o]
GX
=it XV
e s t borne,
.
; pour tout A>o, on. a
h Ilhll 2 Vh+ X - X
R ( l A . Vh) = Vh.
Incidemment nous avons d6montr6 l e lemme suivant Lemme 2 5 : Soit h
B
t
et
w
surmediane telle que w(x) >Vh(x)
Proposition 26 : Soient W E C et u=V1-w. L a fonction Ru e s t exces= sive, et Ru e s t portbe par llensemble
'
{U=RU]
au sens suivant :
R" {U=~U) 1 Demonstration : L16quation resolvante donne u=(I+ Nous pouvons donc poser 1 'RU
avec
pour tout
0
=
I t
< $ < X ( u - hva
1O
v)+~ +
u)
(TheorBme 7)
XV)(U-
AVX u).
G. Mokobodzki Faisons tendre A v e r s + @ , par valeurs entieres, e t posons l i m inf h h = h ; h est surm6dianeJ w
A tend en
Ru = Ru,
X Ru tend e n croissant v e r s
decroissant v e r s
A
{ u = ~ u ] (prop. 8), et il
.
vient donc bien que R u < V ( I A ) X IV. Construction de familles r6solvantes sous -markoviennes Lemme 27 : Soit V un noyau positif s u r
(x,%)
.
satisfaisant au prin=
+ h >o,
cipe complet du maximum. Pour tous p>, o, f G B, g a B , (pVftf ,c V g t
X ) 3 (pVf $ Vg+ X
)
D6monstration : On a p ~ f + +f
+4
et pour tout x
Vg
{ >
+ X
+ p ~ f -+
f-
c { f-
= 0)
0)
p~f+(x4 ) vg(x)tpvf-(x) +
X
Le noyau V satisfait au principe complet du maximum, par suite pVf soit
pVf
+<
Vg + p ~ f - +
X
4 Vg + X
Lemme 28 : Soit V un noyau positif s u r
(x,%)satisfaisant
au princi=
pe complet du maximum. On suppose que pour un p > 0, ItpV e s t inversible dans B e t l1on d6finit un op6rateur V par llCquation (I-pV )(I+pV)=I. P P a ) lloperateur V e s t un noyau positif, e t V 5 V P P b ) ~ ~ e ~ + , b PV o , C V ~ + X ~ C V ~ + X P DCmonstration : Soit h b B , h=pVf+f ce qui Supposons que pour
+ gE B , > 0
implique f=h-V h. P on ait h=pVf+f 4 V g t
D1apr&s l e lemme precedent, on doit avoir pVf 4Vg+ o r pVf=h-f=h-(h-pV h)=pV h P P On a finalement d6montrC que si h € B, c e qui donne bien pV (Vg+ A ) 6 Vgt P
1,
,
(h C Vg+ A) 3 (pV h d vg+X) P et si h a 0, pVp" 6 0.
G. Mokobodzki
Si on
developpe lfidentit6 (I-pV )(I+pV)=I, on obtient P V=V +pV V=V +pVV ce qui montre que V e s t un noyau, c a r V CV. P P P P' P P TheorGme 29 : Soit V un noyau positif born6 s u r ( X , B ) satisfaisant au principe complet du maximum. I1 existe une famille (V ) PP>O de noyaux positifs s u r ( X , R ) satisfaisant aux conditions suivantes : a)V=V +pVV=V+pVV V p > o P P +P P' b) pour tdus g e B , h > 0, p v p ( v g t X ) _L ~ g X+ C) v
P
-v
9
=(q-p)V v =(q-p)V v P q 4 P
Demonstration :
L a condition a ) est equivalente, pour p
{ p E R+ ; (I+pV) e s t
1
, I + p V I . Posons A = P ble A e s t ouvert e t contient l'intervalle mediatement que si p, q EA,
P =la Pn O n '
, l a suite V
[o,
>
inversible]
0,
l1ensem=
I / IIVJJ] et on v6rifie i m =
V -V =(q-p)V V par suite P 4 P q'
converge en norme v e r s un op6rateur born6
n'
U tel que (I-p U)(I+p V)=I. 0
+ R et
0
P a r suite p B A et
U=V , autrement dit, A est ferm6 dans Po + comme A e s t aussi ouvert, A=R 0
v P= v + v n[ &E1
.
(-l)"(p~)]
onentire p llvll 1-P 11 VII
de s o r t e que Ifapplication
p -+ V est continue s u r Rt (En fait, cette application e s t analytique P dans l'intervalle -11 , )
]
Rernarque 30 :
11~11
[.
Soit % C B un sous-espace vectoriel reticule de
B,
contenant l e s constantes, et ferm6 pour l a topologie de l a convergen. ce uniforme dans X. On dira qu'nn op6rateur
lineaire positif V: 8 + %
G. Mokobodzki satisfait au principe complet du maximum si pour tout f, g e et
X>o
( v ~ ( xL) ~ g ( n ) X t V x s {f
>
01
)
==+( v f i ~
+
g Xt )
L e s conclusions des lemmes 27,28 e t du theoreme 29 st6tendent sans difficult6 A de t e l s op6rateurs. P a r exemple, si X est localement compact, relienne de X et
=kb(x) e s t llespace des
continues e t bornees s u r X.
8 est
l a tribu bo=
fonctions numeriques
G. Mokobodzki
Chanitre I1 Etude du balayage p a r rapport
un
3
c'one convexe
de
fonctions s. c. i..
I. Notations, definitions pact
. On
C
designe p a r
. Soit
un
Sf
(s. c. i. )
ouvert
FK(w) =
{f
et
positives s u r
R
.
On
definitions suivants.
% ( 9 ) = e s p a c e s vectoriel = (f # o ) e s t l e support de
P o u r un
un espace localement com-
cane convexe de fonctions numeriques
semi-continues inferieurement utilisera l e s symboles e t
R
d e s fonctions numeriques continues numerique
l a fonction
f.
wCR
numerique
sur
R ; Sf
Sf
compact;
c w]
tp, = % (0, n F K ( 4 m(R) =
tribu borelienne
mesurable si B(R) =
elle
de
e s t %(R)
R
; une fonction
sur
f
R
sera
- mesurable 3 (R)
espace vectoriel d e s fonctions numeriques
-mesura-
bles. R(C)= U { f > o ) fGC H(C) = ensemble des fonctions num6riques existe
V E C,
V ),
mesures
<9
, l a relation
que
JU
est
Pour
de
balayee tout
Radonp,Y >, o ( JvdP
6
1
lieu
de
A
Ru = Ru. 1
A
Ru. De
R
u E H(C),
on
meme
v C C)
R,
t e l l e s qulil
pose
un
slappelle l a reduite tie
on
et
lion
notera
par
u
rapport
a p a s dlarr,biguite, ensemble u
dira
=inf { V E ~ ; v > u ) .
'RU
l a -reduite de
pour
,
C).
3
C. On e c r i r a plus simplemen?, s l i l nly C
sur
vd9
de$(relativement
' ~ u s!appelle
La fonction
sur
If 1 .
P o u r deux
p
f
sur
A.
A C R ,
3.
Ru au
G. Mokobodzki
On dira que lron
est A Ru = Ru
a
u
On d i r a que
C
inf (v ,v ) E C. On 1
portee
Thborbme de
(relativement B
si pour
est inf-stable,
de
systematiquement
- Banach:
E
Soient
un espace vectoriel
dire
t
E
pour
. Pour
telle
tous tout
que
Theorbme du
v E C, 1' 2 > o est
9
x, y E E, XE
E,
K
et
un
forme
lineaire
l(x) = p(x)
espace compact,
fonctions numeriques
semi-continues superieurement. On
lregalitb
fd (x)) = inf
sup (inf x € E ( OC
R
toute
u
a
.
semi-continue superieurement
u E F K ( R ( C ) ) , et tout
,
sup
(sup fd (x)) xeK
*
Proposition 1 : Pour
=
,
ER , p( Ax) = h p ( x ) ;
vy6E
minimax: Soient
dans
existe une
il
l(y) 6 p(y)
E
une famille filtrante decroissante, bornee inferieurement, de
(fd)
sur
v
l e s resultats suivants :
de
p(x+y)
C) si
.
Hahn
que
tous
Radon
, p une application sous-linbaire
cfest B
1 sur
9,
I v d $ < +ra v v t ~
Nous utiliserons
R
C
dira qufune mesure
2
C-integrable,si l'on a
sur
A
par
x€ R ,
on
a
Ru(x) =
Iudp.
P < Ex Dbmonstsation: Supposons et
A = Su
soit
lineaire
p
sur
Dlapres lineaire
Vf
sur
support
eK(R(x)) f
est
+ p(f) =
inf b ( x ) , v
p(f)4
continue la forme sous-
> f).
il existe une forme p(f)
.
p(u)=~(u)
f(0, p(f)QO, donc u ,
.
u
compact. Considbrons
$ K ( R ( ~ ) ) telle sue
R(C)
que
l e theor&me de Hahn-Banach,
E % p ( ~ ) ) et
Si tive
sur
son
d'abord
est
une mesure de
Radon
posi-
G. Mokobodzki
Pour
tous
,
~ (, gt4 l'on Ru(x)
V E C,
par
et
suite
f 6
/ u d ~ ce
qui
f
,fvd,u $ v(x),
. Enfin,
Ru(x) = fudr
a
(A) ,
dernontre la
a p(f)
autrement pour toute
proposition
dit
9 4 Ex
lorsque
, u est
continue. Supposons maintenant de support
compact
(u
t e decroissante, Posons
et comme
soit
,..
x 6
n
(ud)
une famille filtran-
. B ~ ( A= ) { p c f i + ( ~ f) ,j p .i
) C t ( ~ ) , telle que
Cet ensemble e s t convexe
D'apres
semi-continue superieurement bornee,
Su=ACR(C) et
pour tout
l e s applications
u
.
u=inf aC
u
compact pour la topologie
ud :,u+[$~ sont continues s u r
le
(
fi (A),
(A))
Bx(A) et l'on
theoreme du minimax,
Ru 4 inf
Ru
, on a bien
b(
sup
Judy=
Ru(x)
.
PIE On demontrerait de la meme msniere l a proposition suivante : Proposition 2: -Si l e cane convexe C est inf-stable, pour tout u s . c . s . , u E F K ( R(c)), et toute mesure su, /CC
'
Judp
=
inf
iJ vdp
;v
CC;
370,
C-integrable, on a
V ~ U )
Dhnonstration: On s e s e r t maintenant des application sous-lineaires
ij vd3
definies par a f ) = i n f
; v)f,
vCC
5 pour f t g K(R(C)) et llon procPde
comme pour la proposition 1. On remarquera que s i C-integrables positives on a p))
+F ,
=
pp
3 et
sont des rnesures
p3+ pp.Posons maintenant, pour toute
G. Mokobodski
B
mesure c - i n t e g r a b l e p t o
P
t
4 (R(C)) ; e'~].
=fwc
Corollaire 3: .Si l e cane convexe
,u.,3 >
toutes mesures C-integrables
Demonstration: Si l f o n munit j$' Bp
, Bp sont convexes compacts
C
0, on
t
u
p,9 8
P c B34-,P e t
3
lfensem-
il existerait une fonction
support
,
Bp+$. I%+ B/, la topologie .vague
B tB
S f i l existait 6'Q B continue
inf-stable, pour
pour toutes rnesures
est convexe compact.
BS t Bp
a
(R(C)) de
C-integrables. On verffie aisement que ble
est
compact
dans
R(C) telle que
mais ceci e s t contradictoire avec la relation
Proposition 4: Soient vdrifie
/udp
= j u p jud .< 6..
J
~efnonstrat'ionf On u
atteint
une suite
sa
= Ru(x)
Posons
1;.
remarquera que si u n, u s v
que , pour tout
. w = inf
v
n
; on
/u+<JRludF/wF
Corollaire 5 : pour tout
. Il
X
X
Pour
a
w>Ru
n
x6R ; 1) Ru(x) = sup
{
u E FK(R(C)) , /udp
;
existe
inf v (x) = n
et
< w ( ~ )= RU(X) par
toute
et
&
s. c. s. ,
est
borne superieure s u r lfensemble B =BE
(v ) C C telle n
u g F (R(C)), u. s. c. s. , x E R . S i p 4 K = Ru(x) alors u-u)dp = o
suite
u s. c . s. , on a,
p 4 Q;
portee par
G. Mokobodski
3) Les fonctions u. et
ment Definition e s t une 0
jvdp
6 : On dira
C-fonction,
.
Q(x)
C,
2
7
si pour tout
On designera
B tel x'
l i m y /vdP
=
sur
51
jn .( Ex
C llensemble des C-fonctions. vGC
r(L
est
et si pour =
C-excessive, s i
tout
v
x €51 , tout filtre
u(x) V u g C , on
C
par
e
a
llensemble des fonctions
irnmsdiates-des canes C? --
C
2
aussi C-excessives.
.
0
C, C sont convexes. e b) Pour toute famille (vd ) C C , (inf v*) a) Les
v
.
.
On designera Proprietes
RU)
rS
que l i m 3:(udp
V(X)
{u =
et toute
R,
XE
par
universellement mesurable sur
par ltensemble
qutune fonction numerique
Definition 7 : On d.ira que est
Ru sont portees, relative-
canes
*
€
C
II
.
(v )cC,4 sup v E C 4 n n d) Pour toute famille filtrante croissante majoree (v,) C C e telle que sup vdEC et sup v* mesurable, a l o r s c) Pour toute
suite croissante majoree
.
*
at
4
SLIP e) Si v
v
v&Ce. v E C' 1' 2
v
sont mesucables
we. 2
1' Si l'on note par cbne convexe rBme
C
9
R
P
et
si
(v t v ) CCe, alors 1
2
ltoperateur de reduite par rapport
, la proposition
1
permet
au
dlenoncer l e theo-
suivant ; TheorBme
uEFK(R(C)),
8 : Pour tout
u s.c.s.,
Application:- Slit
%(a).
Posona
on V
cbne convexe a
S, CCSCC'
cRu=Re u= . sRu = sup
un noyau s u r
8K(51) B
et toute C!e judp = Ru
P4 ex
valeur dans
P = ~ ( k k ( 5 1 ) ) et pour deux mesures de ~ a d o n p , $ > ~ ,
G. Mokobodski
TheorBme telle
que
9 : Pour toute
Vf(x) < t m
x E R,
f2 0
Vf
Demonstration: On sait deja surable et
et
Sh
universellement mesurable
e s t P-excessive. que
Vf
e s t universellement me-
si P , 4 Ex , I ~ f d ? = sup
que
Vhy; 044;
1.
compact
s. c. s. >, 0
11 suffit donc de verifier que si h e s t
compact,
h s. c. s.
\
alors
Vh est
support
P-excessive.
g E k (R), g 2 h. Dfapr&sl e s proprietes b) et d) des K cbnes convexes P* et P e , on voit que 1) Vh et V(g-h) Soit
sont des
P-fonctions mesurables
P-excessive
par suite
Vh
2) VhtV(g-h)=Vg est
e s t aussi
une fonction
P-excessive, ce qui
demontre
I1 RBduites Dar r a ~ w a r t3 des cbnes de lsotentiels Soit noyau sfait
R localement compact denombrable 5 lfinfini,
sur au
R
, qui envoie
principe complet
On pose
du
P = v(I;(R))
tivement l e chne des
tK(n)
dans
( 0 ) et qui
V un sati-
maximum. et l1on designe par
P-fonctions et l e
P',
P
e
respec-
cbne des fonctions
L e resultat essentiel que lfon demontrera dans ce paragrabhe est l e suivant : Si u E P , et =
pa R(u-w)
est
*
si w E P , w
continue,
P-excessive continue
et
alors
PR(u-w)=
( U - ~ R ( V - W )e)s t
P-excessive. LfhypothBse que R e s t
denombrable
a
lfinfini nlest
indispensable, mais simplifie grandement l e s demonstrations. Si
R est
denombrable 3 lfinfini, il existe
pas
G. Mokobodski
bXE
que ho(x) > 0
telle
et
U: f-+V(h f )
Le noyau maximum
R 0
VhoE %(R) satisfait au
. principe complet
t
du
t
P K(R)) = v ( t K ( R ) ) = P . dfemblee que VIE$~(R). et
U( e b ( R ) ) c %,(a)
On peut done supposer
U(
On sait qufil existe une famille resolvante V , telle que
2
de
(V ) 2 B(R) e s t P On posera :
pV 4f P
c_=c n t ( n ) S!{faC;
v
supp P
sC = sn&q
Lemme -
que
10: Si
Demonstration: -vP
t14u
,
f = f)
bornee, on
si
...
u€ C ,
uEC
u
alors
Pour tout
Ru
est
-
posera
,< u
u = lim sup p V u P-+W P
-
et
u€ S
6 EC.
p>O
, pV h
est
P
pV 0 < h , et h E C P 11: Si u E C e s t s. c. i. alors
S.
c. i. et
= sup p V u
P
s. c . i .
Theoreme 12 :Pour toute fonction C
v p> 01
donc
Lemme
e s t aussi
p
mesurable
On rappelle
(R,% ( 0 ) ) .
encore une resolvante s u r
C= (f ; f mesurable bornee,
Pour u
y p>O .
Vp( k b ( R ) ) c b(R)
(V ) associee P P20 Ltertension canonique
s. c. i.
p
bornee
u sur
est
mesurable
R,
s.c.i.
Demonstration: - On sait deja w E C, par suite
6
Corollaire 13: Soient
2,
fi
= u et
uES
#3
que
C w = Ru
6=ZC par suite
et v c C
c'
alors
et
w=G est s. c. i.
%(u-v) e s t une fonrtioo
excessive s. c. i . demon st ratio^: Les hypothPses faites (uES ) c
impliquent
G. Mokobodzki
C
'R(U-V)=
R(u-v)
Posons maintenant
=
{ Vl > 0 ]
Proposition 14 : Soit u mesurable bornCe s u r
a.Les con=
ditions suivantes sont Cquivalentes : a ) u est excessive par rapport B l a r6solvante b) u est P-excessive, orl P = V(
+
(V ) P
K( R 1 ) )
DCmonstration : Dans l e cours de cette demonstration l a r e = lation 1) b
( p< 9 )
=+
signifiera (
(vd,~ 6 /vd
9 V v 6 P)
a ; Supposons u P-excessive. Pour tout x ER,p
f $'Vp <£
et lim P-+=
EXpv Vh = Vh(x) pour tout h (& P
>
0, on a
:(A).
Par
suite pV u d u pV u, soit u € S P P 2) a *b, Supposons que u ES. Alors u=sup pV u=V(~(u-pVu)). P P P
u=sug
On sait que pour toute w € C ,
l e noyau V ne charge pas l1en=
o l ?#sup pV 1. Si Vl(x)=O, alors V p > 0, P V l(x)=O, et {?=I) C (vl > ~ ) , ~ asuite r V ne charge pas l'ensemble semble
{r
P
Pour tout p, l a fonction V(p(u-pV u))=pV u est alors P-exces= P P sive, il en est de meme pour u=sup pV u. P P DCsignons maintenant par S l e sous-cane convexe de S des ck c elements qui satisfont B l a condition suivante : C I1 existe un compact K tel que u= Ru. 1
K'
Le cane S est convexe parce que C possgde la propriete ck dladditivitC des reduites.
G. Mokobodzki
Lemme 1 5 : Le cane S est contenu dans lladhCrence, pour ck t l a topologie de l a convergence uniforme s u r du cane P = V ( g (R)). K 1 Demonstration : Soit u s Sck et soit K un compact de fL t e l
n,
C
que u= Ru. 1
K
'
L a fonction u e s t excessive, on a donc
u=sup p v u = V(p(u-pv u)). P P P Pour tout p, pV u e s t continu. D1apr&sl e lemme de Dini, pour P tout €SO, il existe n( E ) tel que pour tout p b n ( E ) , u ( x ) C p V u(x) t & V X E K , par suite u C p V u t E si p a n ( & ) . P P Le noyau V est port6 par llouvert { ~ 1 0) > =
nl.
On a done pour tout f E %(R), Vf = sup
t { Vh; h E tK( .f).
Utilisant A nouveau l e lemme de Dini , pour un p 2 n( & ), il existe h
€
& tK (R1) tel
Vh $ pV u, par suite P
que
u(x) d Vh(x)
IIu-Vh
11 S E
Proposition 16: Soient h C
4 pVPd ( x ) t E V
x e K et
.
g ;(R
et
W EC
C
.Dans c e s conditions,
S C P R(Vh-w) = R(Vh-w) = R(Vh-w) e s t une fonction excessive continue. DBmonstration :
Posons u=Vh-w et soit K l e support de h.
On peut appliquer l e thCorCme 8 et l a proposition 14 ce qui S S P S Ru= Ru. 1 = Ru. lK, par suite Ru e s t semi-continue sup6rie= K urement. D1autre part 'RU= C Ku, par suite (corollaire 13) SRu e s t donne
semi-continue infhrieurement donc continue. Corollaire 17 : Pour tout V E S et tout w E C ck c' 'R(v-w)
alors
S
R(v-w) =
est continue.
llCafl - CRf2114~.0n conclut 5 llaide de l a proposition 16 et
G. Mokobodzki
du lemme 15. Conclusion : Si l'on Ctudie l a forme du corollaire 17, on voit qu'il fait intervenir deux canes convexes On a C l C C 2 C
P(n)et
C =S 1 ck ' C 2 =Cc'
C2 e s t inf-stable. Pour tout u GC
il existe un compact KCQ t e l que
C
1 =u. K
'RU.
Si l1on considere un cane convexe G tel que C corollaire 17 devient: Pour tous u € C G ~ ( u - vE) C
1
et
G
(u- R(u-v)) E C1
1'
1'
1
C
GCC
2 '
le
v€ G ,
. En particulier,
pour G l e plus petit cane convexe inf-stable
on peut prendre
engendre par C1
I11 C o m ~ l 6 m e n t ss u r l e b a l a v a ~ e . Notions de support fin, support ferm6. Notations : On s e donne un espace localement compact convexe C de fonctions numeriques s. c. i. 1, o s u r D6finition
18 :
f
un cane
.
On dit que C e s t lineairement skparant si
pour x, y Q R , xfy, il existe u U(X) V(Y)
fi
R,
et v dans C telles que
u(Y)v(x).
Pour deux m e s u r e s de Radon C-IntCgrables
)&,d &
on note 4 l a relation definie par $ 1 ~ 4 4 ) Q ( /vdp
o sur
fi
;
5 l v d 3 v v € C)
Definition 19 : 1) Soit u une fonction numerique mesurable s u r
fi ,
majorable par un element de C. On appellera support fin de u,
relativement P C, ltensemble
( u ) defini p a r (x E
2) On appellera support ferme de u, semble Supp u =
6(u ) .
d ( u ))
relativement P C, l1en=
G. Mokobodzki
Dans la definition precbdente on omettra de dire: relativement
B C, s'il nly a pas d'ambiguite. Theor&me 20 : Supposons C lineairement separant. Pour tout fonction t
numerique s. c. s u B support compact dans fi , telle que u f 0, l'ensemble Cf ( u ) est non vide, et Supp u =
d(u )
est le plus petit
compact K verifiant la propri6td : (v€ C; v(x) 5, u(x) Q x EK) eS ( v a u) C ou encore 'RU = Ru.lK Demonstration : tout x EA,
(j* 4 Ex
et
Disons qu'un Judy
ACRest
compact
) ~ ( x )4 ) ()I
stable si pour
est portee par A). On
verifie immediatement que s i l'intersection d'une famille de compacts stables est non vide, c'est un compact stable. v E C, v b u et v (a) 0
0
=sup {d,o(
0
> o,
>o
-Soit par
exemple
pour tout x s s u % f o ] et soit
e( u & vo}
L'ensemble {Xu=vo) nlest pas vide
et c'est un compact stable, il contient donc un compact stable mini= ma1 A. Montrons que A est reduit B un point. S'il existait x, y E A, xfy, comme C est lineairement .&parent, il existerait W EC telle que, par exemple w(x)=v(x)et w(y) > v(y).
Posons
I
E =sup o(;du. lA 6 w L'ensemble A ' = A fl { E u =w)
n'esi pas vide. C'est un com-
pact stable qui ne contient pas y, de sorte que A ne serait pas mini= mal. On verifie immkdiatement qui s i A = {x} ble minimal tel que u(x) ,o, alors un compact tel que
'RU
= 'RU.
xq
b(u ) .
est un compact sta= Soit maintenent K C R
IK
~ ' a ~ r les & s propositions I et 4 du chapitre 11, pour tout x il existe une mesnre)Cao, portke par K, telle que , W € e t
G. Mokobodzki
Iu
dp.
=
C
Ru(x) &
u (x). Si on prend x E
d(u ),
par suite x E: K et S ( u ) c K. Soit maintenant w G C tel que w(x) 2 u (x) existait y s.Q tel que w(y) < u (y), pour Posons encore {lu=wt Ev
0
]
A=
I
sup d ; d u
alors p=Ex ,
v xE
b( u 1.
Slil
& convenable, (w+ Ev0Ny) < u (y).
< w t &v0}
llensemhle
serait un compact stable non vide disjoint de cf ( u ),
ce qui est contradictoire. Lfensemble Supp u = l e plus petit compact K tel que
'RU=
C
d (u)
e s t donc bien
R(u. 1 ). K
Remarque : Soit u une fonction numCrique s. c. s s u r
+
R,
ma=
jorCe par un Clbment v a C , telle que u f o. D1il existe un compact C C A c n t e l que Ru= RU. lA , il existe encore un plus petit compactK tel que
C
R =
C
R
. lK,
et l1on posera encore K = Supp u
G. Mokobodzki Chapitre I11 Canes de potentiels continus
+
Soient fl localement compact d6nombrable A llinfini, C c %(R) un cane convexe. Pour toutes familles finies ( f i ) C C et ( h j ) C C on a (inf) f) t (inf h.)=inf(fi t h. ), de sorte que le plus petit cane convexe 1
3
1
Ji,j
.J
inf-stable engendr0 par C est identique A ltensemble des enveloppes infbrieures de familles finies dt616ments de t
C
.
Definition 1 : Soient ~ c ( e(R) un cane convexe,
c- le cane inf-stable
engendr6 par C. On dira que C est un cane de potentiels si pour C tous u a C et vEC_ , on a 'R( u -v)EC et (u- R ( u - v ) E C
-
Proposition 2 :
Soit
c c l&c(n) un cane
de potentiels. Tout sous-c6=
ne convexe hereditaire 2 gauche C t C C est encore un cane de potentiels. Dbmonstration : Le cane
Ct C C est
+
C s i (u,v €C , ( u t v ) E C t ) (u,v E C t ) C C' a bvidemment R ( u -v) = R( u-v).
dit her6ditaire A
. Pour tous u E C t
Dans toute la suite de ce chapitre, on s e potentiels continus C c
t
gauche v € G , on
donnera un cane de
(R) satisfaisant aux conditions suivantes:
a) C est lineairement ¶nt b) pour tout u f C, il existe un compact K c f i t e l que L
u= Ru. 1
K' c) pour tout u € C
et toute fonction C-excessive continue
que (u-v) soit C-excessive, on a v Remarque 3 : u f o, C
E
C
v,
telle
.
Les conditions a) et b) entrainent que pour tout
u EC,
il existe un plus petit compact K = Supp u tel que
.
~ 1 ~= U . On obtient ainsi un critbre de nullitb pour un elernen! K L C u € C : Si uGC, et Ru.1 = Ru. 1 oh K1 et K2 Kl K2 4-,
..
G. Mokobodzki
sont des compacts
didjoints, alors u = o.
Remarque 4 : Soit S un cane convexe qui satisfait seulement aux con= ditions a ) et b) citdes plus haut. Si S' d6signe l e cane convexe des fonc= tions S-excessives continues, on peut montyer que l e cane h6r6ditaire & gauche engendr6 par S dans S f , satisfait aux conditions a), b), c).
Dans tout ce qui suit, on 6 c r i r a simplement Ru au lieu de Lemme 5 : Soient u Supp u l n Supp v2 =
1'
v
8.
'RU.
u v E C t e l s que u +v =u +v e t 1' 2' 2 1 1 2 2 Dans ces conditions u -u =R(u -u ) = v -v 2 1 2 1 1 2
v >,v-R(v - v ) = v ' 2 1 1 2 1 On peut donc 6 c r i r e u +vl = u f t v avec u 3 u' e t v 2 v' 2 1 1 1 2 1 1 2 t=R(u -ul ) = R(v -vl ). Puisque l1on a (u -t) E C, 1 2 2 1 1 Supp t C Supp ul de meme Supp t C Supp v2 et comme l'on a par hy= Posons
p o t h h e , Supp u r) Supp v = 1 2 u -u =R(u -U ) 2 1 2 1
)d,
on en d6duit que t=O ou encore
Lemme 6 : Pour tous u , v e C, on a Supp (u+v)= (Supp u) U (Supp v). Demonstration :
Posons K=Supp (u+v) et H=(Supp u) U (Supp v).
On a 6videmment H
€
K. Soit v E C tel que v (x) > 0 pour 0
0
tout x E K. Supposons qu'il existe t E C et y E (H t e l s que t 3 (u+v). 1
K
et t(y) 4 (u+v)(y). Pour E 7 0 convenable, on aura encore t(y)+ & v (y) 4 (u+v)(y) et maintenant F = 0
+{;
f.v0
L
U+V) e s t un fermb
disjoint de H. Calculons szR(u+v-tSupp s
n Supp
U=
p'
v ). On doit avoir Supp s C F n K, donc 0
. Appliquons l e lemme pr6c6dent
B 116galit6
u+vzs+(u+v-s) , on en t i r e v-s=R(v-s) E C, par suite Supp s c Supp v c H, ce qui est contradictoire, on a donc t 2 u+v.
G. Mokobodzki
Comme Supp (utv) e s t l e plus petit compact K tel que
utv = R [(u+v). l K ] , on a bien Supp (u+v)=(Suppu) Lemme 7 :
U
(Supp v)
Soient u E C, F un fermC d e n . On consid6re l a famil=
l e D(u,F) C C x C des dCcompositions de u dCfinie par : D(U,F) = {(s, t ) c
c x C;
s t t z u supp t
nF
=
s).
L a famille des s € C telles que (s,u-s) 6 D(u, F ) e s t filtrante Demonstration :
Soient (s, t), (s: t') E D(u, F). Posons p=R(tttl-inf(t,t')).
p = R(t+t' -inf (t,t')). Un calcul simple montre que t t t ' - inf(t, t') = u-inf (s, s f )p a r suite (u-p) E C e t Supp p C Supp(ttt
CF.
Remarque 8 : Si H= Supp u, on a D(u, F ) = D(u, F Ci H) Definition 9 : Soient u €C, specifique de u B F
F un ferm6 de
a.On appelle
restriction
&5(::~)
, l a fonction C-excessive u F
Pour un ouvert wcQ on appelle restriction specifique de u B O l a fonction C-excessive uo
=U-Ucw
Th6or6me 10 : Pour tout u E C et tout fermC F C R, si u f 0 Supp u CF. F F Demonstration : Soit H = Supp u. P a r dCfinition
{
.
u =inf s: (s, u-s) s ~ ( uF)) , F Soit v E C t e l que v(x) > uF(x) V x E F Il H. D'apr6s l e lemme de Dini e t l e lemme pr6cCdent, il existe s E C, (s,u-s) E D(u,F) tel uF(x) c s(x)s v(x)
Q x e F n H.
Posons r=s-R(s-v)
, t=(u-s)+R(s-v). P a r construction r $ v et
Supp R(s-v) f l ~ = , O /donc ( r , t ) &D(u,F). En
faisant varier v on obtient
Lemme 11 : Soient (sd), (td) deux familles filtrantes d'6lCments de
que
C telles que pour tout d , (sd - t 4 ) € C .
decroissantes Dans ces
G. Mokobodzki
conditions inf s,
-inf td = r e s t une C-fonction mesurable.
DCmonstration : Soient x e
n e t p une m e s u r e de Radon
.
/u 4 EX On verifie que l t o n a /rd/* Jrdp
= lim d
1
3 0 sur R ,
(sd -td ) p p a r suite
6 rb).
ThkorBme 1 2 : Pour tout u E C et tout ouvert O C ~on,a
K compact, K C O
u g = sup u
.
K'
C
DCmonstration : Soient F = O et soit K un compact contenu dans W =R(s-r) = sq e s t filtrante dbcroissante et pour tout s , q
H = Supp u. Pour ( s , t ) D(u,F), ~ ( q , r ) ED(u,K) posons v = R(q-t). L a famille v
(s-v
sq
)cC,
(q-v
sq )eC.
sq D1apr&sl e lemme prbcbdent, en posant v=inf v sq, (uF-v) et
(u -v) sont des C -fonctions mesurables. On remarquera que K v=R(u -u ). Si l1on avait v=O, on devrait avoir K Supp v c Supp uKnSupp uF = fl c e qui e s t contradictoire. P a r
.
suite v=O e t u ,C u W K Corollaire 13 : Pour tout fermC F C
fi , l'application u 4 uF e s t
affine s u r C. DCmonstration : (u+v)*
< uF+vF
On vCrifie et si w =
C
F
immediatement que si u, v
E
C,
( U + V )>~ uw+ vU D1aprBs l e thCor&me
prkc6dent, on a aussi ( U + V 2 ) ~uo +vO , dtoh l e rCsultat. Pour toute y ~ k ( ~ 0)' 9, ' par u
'f
(x) =
J:U~JOu
+
t y 4
1, et u ~ on C dCfinit u
(x)d& ,
de Lebesgue s u r R .
Theoreme 14 ; Pour tout u E C , et
(P
fonction C-excessive continue, u q -ul-
VxeRo~l
~ ' & ( On$ )(P, 5 1 u p =u, Supp u
sur R
0 e s t l a mesure
'P c S Lp
est une = (yJ>O]
Dkmonstration : On supposera pour simplifier que s u p y = l , inf(4= 0. L1application
43 u [Y' 4est
dCcroissante, donc intkgrable au
,
G. Mokobodzki sens de Riernann. On a donc u
14
= sup u
n
avec u =2-" n 11ps2
Cette formule montre que u q e s t C-excessive et
dvbon a U [ , + , , ~ ~MJQd"[lp>)] ~
Pour SUP (4
do(. Rappelons que sup
S.C.
u
I~J>P~'",
i.
On en deduit que
= 1, inf
=0. En faisant
. i
l e changement de variable et u
u-u [l- y d ]
par suite u
=
[l-ybd'] ' sont continues. Q 1-cp n Pour tout n et p $ 2 , on a
ne que u
I,u [l-ycd']
d'=1-d,on obtient u y = LQ
+u
1-(4
=U
et u
On en conclut que si H = S v = suite Supp u
-
{ y > 01,alors
R(uy
. lH)=uP , par
'4 C H;
Proposition 1 5 : Pour tout u G C et tout couple d'ouverts
n tels
dd'
ce qui entrai=
O1'
O2
U W2' il existe une d6composition de 1 u, u=u +u u u Q C telle que Supp ul C W Supp u2 C W2. 1 2' 1' 2 1' de
que Supp u C W
Demonstration : compacts: soit de lfunitd
{yl,
On peut supposer que
W1 et
W2
sont relativement
W3= Csupp u. 11 existe alors une partition continue
v2,
subordonnee au recouvrement
lQ3]
L e s fonctions u =u 1
'f'
1.
u2m'P 2
{W
repondent aux conditions de
Corollaire 16 : Pour tout U E C e t tous ouverts
u,. w2 c fi
,
G. Mokobodzki
Demonstration : Soient
c Wl
Supp t
n w2
S,
C , tels que (u-s), (u-t) E C e t
t
et Supp
sic U1 U U2.
11 existe une d6composition
s=s t s de s telle que Supp s C W et Supp s C bJ 1
2
1
v =s t t ; v =s 1 1 2 2
on voit que
1
2
stt,Lu
u Oi
En prenant
2'
P a r suite
-2
En raison du thCor6me 12, on a aussi pour tous compacts K1,K2 C 0, uK 1 m 2 t u K1UK2 ,( uK t u 1 K2 maintenant
W =
1
[K1,
.
Si l1on prend
on obtient l e resultat cher=
2
ch6. Nous utiliseron l e r6sultat classique suivant : MEYER [I] Soit T une application de llensemble des ouverts de
t
fi dans R
satisfaisant aux conditions suivantes : a)
Pour tous ouverts
ul,
w2c%~n a
1
0'
b) Pour tout ouvert wcQ, on a T ( w )=sup T ( ~ ) ; % o m ~ a c t , ~ ' c ~ ) Alors il existe une mesure de Radon unique /cl s u r
,u(
w
) = T ( w ) pour tout ouvert
I Y d p = sur R
.
t
/SUP'P
w CRet si
T(IQ>oC)dd , oh d d
t
cPb(
n
telle que
)
e s t l a mesure de Lebesgue
0
Nous pouvons donc utiliser l e theoreme suivant. Th6orgme 17 : Pour tout u E C, il existe un noyau unique V s u r satisfaisant aux conditions suivantes :
(e (a)
G. Mokobodzki b) Pour tout
hE
t i (n1,
on a supp ~h c s h
DBmonstration :
1) Existence. L1application V dBfinie sur sup h ( par vh=uh= do( est affine sur Chx4 dtapr8s le corollaire 16, et V se prolonge par linearit6 B
I,
ti(f2 )
b tout entier, Les propriktes a) et b) rCsultent du theoreme 14
(n)
2) Unicite. La condition b) implique que pour tout ouvert W C ettout
y~'f$~(W),
OdipS1, ona
VyLuu
thBor&me 12 et s i K compact est contenu dans llensemble uK S V(Q
. Par
fi
dlapr&sle Cf
suite necessairement V1 =u V1 =u K K ' W W"
=I,
G. Mnkobodzki
Chapitre
IV
Soient $! un espace localement compact A base
denombrable, C
un cane de potentiels continus satisfaisant aux conditions a, b, c, du chapitre 3 et aux conditions supplementaires suivantes: d) Pour tout u E C, v E C ,
1
0, (v(x)+ b u ( x )
V x E supp
u)=+(v+ X a u ) .
e ) Toute fonction C-excessive continue v, B support compact
relativez
ment B C, appartient B C. L a condition e ) entraine en particulier que pour tout compact Hc
a,l e cane convexe CH = ( V E C ;
~ u p pv
c H]
l a topologie de l a convergence uniforme dans H. Definition 1 : On dira qulun noyau V;
FK(n)4 r
e s t complet pour
( ~e s t) subordonne
Si (V ) e s t une suite de noyaux subordonn6sB C, e t n si v=C V e s t un noyau qui envoie (ei(n) dans alors n n K V e s t un noyau subordonn6 C. Th6orSme 2 :
\et(n),
Demonstration :
Soit h E
+
$ K(a).La
fonction u=
V h e s t une n n fonction C-excessive continue et l1on a dlaprSs l e lemme 6 du chapitre 3, Supp u c Sh qui e s t compact. D b p r & s l a condition e ) satisfaite par C, u C C et p a r suite V est subordonne B C. DCsignons par Cw C g
t
(fi)l e
cane convexe des fonctions u de
l a forme u = x u ofi un E C, pour tout n et u E n n l'extension facile du th6orSme 17, du chapitre 3, Th6orsme 3 :
Pour tout uEC,,
bordonn6 5 C t e l que V l = u
+
(e (0).On a alors
, il existe un noyau et un.seu1 V su=
G. mokobodzki
Theor&me 4 : Tout noyau subordonne A C qui s e prolonge en un noyau
kb(n)clans
borne de
fb(R).
maximum dans
b
(fk),
t
Demonstration : Soient f, g
f
et
n
(n).
I1 existe deux suites c r o i s = K ;(R) telles que
santes (f ) et (g ) dans n n f-sup n
satisfait au principe cornplet du
g = y p gn ; d'oh
Soit maintenant
h30
V=sup Vf et Vg=sup Vg n n n no
e t supposons que Vf(x)t X a v g ( x )
jg-01
Pour tout & > 0, g _c g, et x a > , Vf(x)t )r t & > Vg (x) ( h e = P P galit6 stricte). Pour p fix6, il existe donc m assez grand t e l que Le noyau V &ant subordonne B C, e t C satisfaisant B l a condition d) on en dbduit que Vf+
2 V g dans
fi tout
entier.
Th6orkme 5 :. I1 existe un
noyau V subordonne B C, satisfaisant aux
conditions suivantes: 1) V s e prolonge en un noyau born6 de 2 ) Si (VA )
gb(n ) dans
e s t l a famille resolvante
(eb(n).
de noyaux telle que V = V, 0
l e cane des fonctions C-excessives est identique au cane des fonctions excessives par rapport & la resolvante ( V h ) Demonstration : Soit H un compact de
A30
'
n et
soit C = v c C ; Supp V C H D1apr&sl a condition d) satisfaite par C, l e s topologies de la
HI.
convergence uniforme dans fl et dans H respectivement sont identiques sur C
H'
L'espace n e t a n t B base
d6nombrable drouverts il existe une
suite A=(v ) C C telle que C soit contenu dans 11adh6rence de A pour n l a topologie de l a convergence uniforme dans fi
.
Tout v 6 C est borne, il existe donc une suite (a ) a > 0 pour n' n tout n, telle que v - 1 a v soit continue et bornee. Pour tout n, n n n
G. Mokobodzki
-
soit V l e noyau subordonne B C tel que V l = v l e noyau n n nJ
V=X a v n n n
est subordonne B C et Vl=v. Montrons que l e noyau V ainsi construit repond B l a question. l a famille resolvante associee au noyau V et
Soit (VA )
soit P l e cane des fonctions excessive par rapport B l a resolvante
( v ~ X) x o
, On a V(
~+& ( RC)C,I
par suite (proposition 14 chapitre 2)
toute fonction P-excessive e s t aussi C-excessive.
JI suffit donc de demontrer que tout u G C e s t P-excessive, et puisque A=(v ) est partout dense dans C, que tout v e s t P-excessive n n P a r un raisonnement classique (MEYER [4] ), on voit que tout u~ Cr e s t (V . ) surmediane ( c f e s t a1 dire surmbdiane par rapport B l a resol=
A. -
4
vante ( V X ) ) . On a V l = v = a v + a v l e s deux fonctions au second n n P n PP membre sont (V ) surmedianes et leur somme est (VX )-excessive,
h
-
par suite chacune d'elles e s t (V ) excessive, ce qui demontre l e the=
h
or6me.
-
G. Mokobodzki
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