L. Salvadori ( E d.)
Stability Problems Lectures given at a Summer School of the Centro Internazionale Matematico Estivo (C.I.M.E.), held in Bressanone (Bolzano), Italy, June 2-11, 1974
C.I.M.E. Foundation c/o Dipartimento di Matematica “U. Dini” Viale Morgagni n. 67/a 50134 Firenze Italy
[email protected]
ISBN 978-3-642-10948-5 e-ISBN: 978-3-642-10949-2 DOI:10.1007/978-3-642-10949-2 Springer Heidelberg Dordrecht London New York
©Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010 Reprint of the 1st ed. C.I.M.E., Ed. Cremonese, Roma 1974 With kind permission of C.I.M.E.
Printed on acid-free paper
Springer.com
CENTRO INTERNAZIONALE MATEMATICO ESTIVO (C.I.M.E.) 10 CicIo - Bressanone dal 2 all 111 giugno 1974
STABILITY PROBLEMS Coordinatore : Prof. L. SALVADORI
P. HABETS JACK K. HALE
Stabilite asymptotique pour des problemes de perturbations singulieres : Stability of linear systems with delays:
.N. ROUCHE EMILIO O. ROXIN
1
"
19
"
37
On a definition of total stability for continuous or discrete dynamical sy stems:
"
99
'I'heor-i e de la stabflite dans les ~ quations differentielles ordinaires :
"
111
Stability and differential games :
"
195
:;. LAKSHMIKANTHAM : Stability and asymptotic behaviour of solutions of differential equations in a Banach space: P. NEGRINI
pag.
CENTRO lNTERNAZIONALE MATEMATICO ESTIVO
(c.r, M. E.)
STABILITE ASYMPTOTIQUE POUR DES PROBLEMES DE PERTURBATIONS SINGULIERES
P . HABETS
Corso
tenuto
a
Bressanone
dal
2
a Ll t I t
giugno
1974
STABILITE ASYMPTOTIQUE POUR DES PROBLEMES DE PERTURBATIONS SINGULIERES. P. Habets
(+ )
1. INTRODUCTION. Considerons le probleme de la stabilite de l'origine pour une equation x
=
e:y ou e:
>0
f(t.x.y.e:)
(1 .1 )
g(t.x.y.e:)
est un petit parametre. Pour ce type d'equation il est usuel de
considerer le systeme reduit obtenu en posant f'orrneLlamerrt e: = 0 dans (1.1). x = f(t.x.y.O)
o
(1.2)
g(t.x.y.O)
et l'equation des couches limites
.c:!lds -
(1.3 )
g(t.x.y.O).
ou t et .x sont des parametres. L'idae fondamentale de ce travail consiste asymptotique uniforme de l'origine pour (1.1)
a
a
etablir la stabilite
partir de proprietes sim i-
laires relatives aux equations (1.2) et (1.3). Cette methode a ete exploitee pour les systemes lineaires par B.S. Razumikhin [10]. A.I. Klimushev [6]. puis par R.R. Wilde et P.V. Kokotovic [11]. Pour des systemes plus generaux. ces resultats ont ete completes par A.I. Klimushev et N.N. Krasovskii [7]. en utilisant l 'approximation l i neair e . et par F.C. Hoppensteadt [5]. en utilisant directement l es proprietes des solutions des equations (1 .2) et (1.3) . (+)
Charge de recherches du Fonds National de la Recherche Scientifique (Belg ique) •
- 4 -
P. Habets Comme nous Ie verrons ci-dessous, ces resultats font usage d'hypotheses assez fortes dont la necessite peut etre illustree par des contreexemples. Ainsi si les fonations f et g dependent de E, Z'origine solution
de (1.1) peut etre instable bien que les solutions aorrespondantes de et (1.3) soient asymptotiquement stables. Sojt Ie systeme
~.2)
.=- Y
; =-
X(X 2 -E 2)
Ey
dont la solution nulle est instable bien que les solutions nulles du systeme reduit
at de l'equation des couches limites
~ ds
= - Y
soient asymptotiquement stables. Ce type de resultat n'est pas propre aux perturbations singulieres mais plutot aux systemes dependant d'un parametre et motive l' introduction d'une definition de stabilite totale ou plus precisement de consistance [2]. Par ailleurs. il faut imposer des conditions de stabilite asymptotique sur Ie systeme reduit (1.2) et l'equation des couches limites (1.3). En effet l'origine solution de (1.1) peut etre ins-
table bien que l'origine du systeme reduit (1.2) soit stable et que la solution aorrespondante de (1.3) soit asymptotiquement stable. Soit Ie systeme complet
.
= Xl
Ey
-
Y
dont l'origine est instable bien que pour Ie
y
pr6b~reduit
= xl
l 'origine soit stable at qu'a l'equation des couches limites
~ ds corresponde la solution y
= Xl
= X
I
-
Y
qui est asymptotiquement stable.
Finalemen~
l'origine peut etre instable pour (1.1) aZors qu'eZle est asymptotiquement
- 5 -
P. Habets
stable pour (1.2) et que la solution correspondante de (1.3) est stable. II suffit par exemple de considerer Ie systeme .
x -x
3
e:Yl
Y2
e:Y2
- Yl
+ (y~+y~)x
,2 . NOTATIONS. HYPOTHESES GENERALES.
Considerons Ie systeme complet
ou x
E~n.
y E
~m.
x
= f(t.x.y)
e:y
g(t.x.y)
(2.1 )
t E ]O.oo[ et e: E ]O.E[. On y associe Ie systeme reduit x
= f(t.x.y)
o
g(t.x.y)
(2.2)
'et l'equation des couches limites ~ds - g (t.x.y)
(2.3)
ou s est la variable independante et ou t et x sont des parametres. Dans la suite. nous supposerons qu'il existe une fonction y
h(t.x) telle que
et pour tout y
* h(t.x)
g(t.x.h(t.x))
g(t.x.y)
0
* O.
Des lors Ie systeme reduit (2.2) peut s'ecrire
~ = f(t.x.h(t.x)) Finalement nous ferons l'hypothese f(t.O,O)
(2.4) 0 et g(t,O,O)
= 0 (ce qui
implique h(t,O) = 0). et nous supposerons les fonctions f,g et h assez regulieres pour qu'il existe une solution unique aux problemes de cooditions initiales relatifs aux equations (2.1), (2.3) et (2.4).
- 6 -
P.
Habets
Nous utiliserons dans ce qui suit des fonctions aux iliaires V(t .x,y) dont nous calculerons les derivees Ie long des solutions des e~uations
(2.1). (2.4) ou (2.3). Par exemple 1
D(2.l)V(t .x(tJ, yet)) = lim I[V(t+R., x(t+R.L y(t+R.)) - Vet. x t t l , yet))] R.....O+ ou x(t). yet ) est une solution du systeme (2.1). Introduisons encore les notations
BS
={x E IRn : IIxll
<
p}
<
Bp = {(x .y) E Rn+m : II (x,y)1I
p}
au II (x.y)1I = max (lIxll.llyll). Finalement, une fonction reeIle, de variable reelle. a(r) sera dite de oZasse K si elle est continue, strictement crois· sante et nulle
a
l'origine. On notera alors a E
K. D'autre part une fonc-
tion reelle. de variable reelle. orr) sera dite de o Zasse £ si elle est continue, strictement decroissante et telle que orr) .... 0 si r .... tera
0
00.
On no-
E I..
B. RESU lTATS PRINCIPAUX. Nous introduirons tout d'abord un theoreme dont l'interet et la difficulte resident plus dans l'agencement d'hypotheses raisonnables que dans sa demonstration qui est fort s imple . De plus. ce theoreme est fonda mental en ce sens que la plus part des resultats que nous presenterons ,5 '
en deduiront.
THEOREME 1.
Supposons qu'iZ existe des fonotions de oZasse
BS
VR
]O.oo[ x
VCl
]O,oo[ x Bp
IR. (t.x)
VR(t ,x)
IR. (t.x.y)
VCl(t.X.y)
c1
des fonotions a et b de oZasse K et des oonstantes positives K et l teZZes ~ue
(1)
(ii)
a (lI,xll )
~
VR(t.X)
~
b tllxll )
O(2.4)VR(t,x) <; - Kllxll 2
I
I
-7 -
P . Habets
I~~RI ~ Lllxll
(iiil (iv)
a(lIy-h(t.xlll l
~
VCL(t.x.yl
I
~
b(lIy-h(t.xlll l
D(2.3lVCL(t.x.yl ~ - Klly-h(t.xlIl 2
(vl
I
I~~C! ~
(vi)
IIf(t.x.yl - f(t.x.h(t.xlJlI
(viii)
I
Llly-h(t.xlll (lIy-h(t.xlll + II xII i.
I~~CLI ~ Llly-hlt.xlll './ ii )
I
f(t.x.ylll
~
(ix)
~
I
Llly-h(t.xlll
t.tllx] + lIy-hlt.xlll l
IIh(t.xlll
~
b(lIxll).
AloPs J poup E assez petit J l'oPigine J solution de (2.1)J est uni'f opmement asymptotiquement stable . Remarquons qu'il n'y a pas de perte de generalite
a utiliser
les
memes fonctions a et b ou les memes constantes K et L dans des hypotheses differentes. En effetsi par exemple il existe des fonctions a' E K et a" E K telles que
la fonction e lr l
=
minta' (r), a"(rlJ
satisfait aux hypotheses (i) et (iv).
Demonstpation. Considerons la fonction V
= VR
+ VCL' On verifie que
+ D(2.3l VCL + aVCL + ,~ f(t.x.y) E at ax ~ - Kllxll 2 + L211xll lIy-h(t.xlll
-
~IY-h(t>x)1I2
+ (1+LlL lIy-h(t.x)1I (lIy-h(t.x)1I + IIxll)
~ - Kllxll 2 + (1+2LlL IIxll lIy-h(t.x)1I - (~ - (1+LlLl lIy-h(t.xlIl 2 E
- 8 -
P. Habets est definie negative pour E assez petit. Des lors les hypotheses du theoreme de lyapounov sont satisfaites et , pour tout E assez petit, l'origine est uniformement asymptotiquement stable.
C.Q.F.D.
les hypotheses du theoreme 1 peuvent paraltre trop compliquees. Des lors, pour mieux en comprendre la portee nous allons donner des theoremes d'existence des fonctions VR et VCl'
lEMME 1. Supposons que (i) les fonations f et h possedent des derivees partielles aontinues et bornees dans D = ]O,~[ x Bp et que (ii) la solution x = 0 de (2.4) soit exponentiellement stable.
Alors il existe une fonation VR(t,x) satisfaisant aux hypotheses du tMoreme 1 . la demonstration de ce lemme se deduit d'une condition necessaire et suffisante de stabilite exponentielle [3 - p273, theoreme 56.1].
lEMME 2. Supposons que (i) les fonations g et h possedent des derivees partielles aontinues et bornees dans D et
I~~I,
1*1 ~
Ullxll
+
lIy-h(t,x)lI)
(ii) la solution y = h(t,x) de (2.3) est exponentiellement stable unifor'mement en (t,X)~ a'est-a-dire (3a,13
> O)(Vt,x)
IIY(2.3)(s it,x,y) - h(t,x)1I ~aIlY-h(t,x)lIe-13s
ou y(2 .3) (Sit,X,y) est La solution de (2.3) tiel.le que y(2.3) (Oit,x,y) = y. Alors il existe une fonation VCl(t,x,y) satisfaisant aux hypotheses du tMoreme 1. Demonstration. l ' exi s t ence de VCl(t,x,y) se deduit d'un calque de la demonstration du lemme 1 . Considerons la fonction VCl(t,x,y) =
Io
S
IIY(2.3) (Sit,x,y) - h(t,x)1I 2ds,
- 9 -
P. Habets oD S est une constant. que nous
d~terminerons
ci-dessous.-Sans perdre de
g~n~ral1t~, on peut supposer lIyll2 = ~ yi. Ensuite, du cer-ect er-e l1pschit-
zien de g, on C3S '
d~duit
> 0)
que
: IIYC2.3)Cs:t,x,y) -hCt,x)1I ;;;'lIy-hCt,x)lIe- S's
et, si S est assez grand ,
O'autre part, on
de la
d~duit
stab11it~
exponentielle
F1nalement, s1 S est assez grand,
d Cd s
1
s +S
s
IIYC2.3) CUlt,x,y) - hCt,x)1I 2du)s=0 .
IIYC2.3) CS;t,x,y) - hCt,x)1I 2 - lIy-hCt,x)1I 2 C3.2)
fixons maintenant S assez grand de sorte que l es 1negalites (3.1) et (3.2) so ient sat1sfa1tes. On calcule ensuite aVCL ---at = Puisque z =
2
J(S o
aYC2.3) _ ~)d (y C2.3) (Sl t,x ,y) - h (t,x), -a-t-at s ,
a~i2.3) es t solution du probleme de Cauchy
s1 K est une constante
Ila~i2.3)11
.,;;; K
g~n~r1que,
on a l'estimation
J: 11~leK(S-(J)d(J .,;;; KCllxll
+
lI y- h Ct, x )1I leKs
- 10 -
P. Habets et
1 (l~~L I
0;;;
J(S a1ly-h(t,x)I/e -Bs O
I/y-h(t,x)I/)e Ksds
on calcule
m~me
(lVCL ax
-- =
2
= aY(2~)
Or z
+
KI/y-h(t,x)1/ Ill xll + I/y-h(t,x)I/).
0;;;
'De
K(I/xl/
ax-- est
IS 0
(lY(2.3) ~) (Y(2.3) (s;t,x,y) - h(t,x), ~ x - ax ds ox
solution du probl~me de Cauchy
o et,
lors, satisfait
d~s
a
la relation
On en deduit facilement comme ci -dessus
I
aVCLI
~
0;;;
Klly-h(t,x)I/ .
C.Q.F.O.
On peut perticulariser ces lemmes au cas ou l 'approximation lin8aire des
syst~mes
correspondants est uniformement asymptotiquement stable.
Introduisons tout d'abord une extension assez trivialed'un resultat classique de Liapounov [4 - Lemme 1.5 p295]. LEMME 3. Boit OCt) une matriae
d'o~re
m. aontinue. bornee ainsi que sa
derivee. SUpposons que Zes parties reeZZes des vaZeurs propres de OCt) soient inferieures dune oonetante - u < O. AZors iZ existe une matriae M(t) aontinue bornee ainsi que sa derivee. teZZe que M(t) OCt)
ou
+
OT(t) M(t) = - I m
I m est Za matriae unite d'ordre m. et iZ existe des aonstantes KI
et K2
> o.
independantes de
t
teZZes que
>0
- 11 -
P. Habets
La demonstration consiste M(t)
=
J(lO a
a verifier
que la fonction
T
eO(t) o eO(t)cr co
convient.
lEMME 4. Supposons la fonation g E g(t,x,y)
c 1 de la forme
= O(t)y
+
G(t,x,y),
ou ott) est une m2triae d'ordre m aatisfaisant aux hypotheses du lemme 3 et G(t,x,y) est tel que ClG cre.o.ci = 0, at = 0(11 (x,y)II),
ClG Clx =
0(1),
ClG ay- =
0(1) .
ou les symboles d'ordre 0 et 0 sont uniformes en t. A Lore it existe une fonation VCl t t , x , y) aatisfaiaant au.'C hypotheses du iheoreme 1. Demonstration. II existe p
>a
tel que, dans un voisinage Bp de l'origine, la fonction y = h(t,x) existe, est derivable et
Clh Clx(t,x)
Clh Clt(t,x)
(O(t)
+
ClG . -1 ClG ay-(t,X,h(t,x))) a;(t,x,h(t,xll
- (O(t)
+
~~(t,x,h(t,X)) )-1 (O(t)h(t,x)
= -
+
0(1
i.
~~(t,x,h(t,X))) = O(lIxll).
Par ailleurs, soit M(t) la matrice definie par Ie lemme 3. OAs lors, la demonstration s'achAve en montrant que, si pest assez petit, la fonction VCl
= (y-h(t,x))T M(tJ(y-h(t,x))
satisfait aux hypothAses du theoreme 1.
C.Q.F.D.
l'ensemble des lemmes 1, 2 et 4 permet de reformuler plus simplement Ie theorAme 1.
- 12 -
P. Habets THEOREME 2. Supposons que : (i) les fonotions f, g et h possedent des derivees partielles oontinues et bornees dans 0 ]O,oo[ x Bp I (ii) la solution x = 0 de (2.4) est exponentiellement stable; (Hi)
ou bien
I~~I, et la solution y ment en (t.x).
litl <
L(lI xll
+
lIy- h (t,x)lI)
h(t.x) de (2.3) est exponentie l lement stab le uniforme-
au bien g est de laforme g(t.x.y)
O(t)y
+
G(t,x.y)
au l emme 4. Alors, pour E assez petit, l 'ori gi ne solution de (2.1) es t uniformement asymptotiquement stable. au
OCt) et G(t,x.y) satisfont aux hypotheses
Pour un systeme lineaire o
x o
Ey
A(t)x
+
B(t)y
C(t)x
+
O(t)y
(3.3)
ce theoreme se simplifie encore. COROLLAIRE 1. (A. I . Klimushev et N.N. Kr as ovsk i i [7]). Supposons que:
les fonotions matr icielles A(o), B(o). C(o). 0(0) sont oontinues, bornees, ainsi que leurs derivees ; (H) Lee parties »eel.lee des valeurs propres de O(t) sont inNrieures a une oonstante striotement negative ; (iii) la solution x = 0 au probleme r eduit (i)
x = (A-BO-1C) Lt lx
est uniformement asymptotiquement stable. Alors, pour E assez petit, la solution x uniformement asymptotiquement stab l e.
O. y
0
de (3.3) est
- 13 -
P. Habets 4. APPLICATION. - VOL LONGITUDINAL OU PLANEUR Les equations d'un planeur qui se meut dans un plan vertical fixe. s'ecrivent
~ CO(8-y)V 2 - mg sin y
mV
~ CL(8~y)V2 - mg cos y
(4.1 )
q
Sb C 2 P;r mo(8-ylV
+
Sb P;r Cmq(8-ylVq
ou les coefficients aerodynamiques CD' CL' Cmo et Cmq sont des fonctions analytiques de l'angle d'attaque a = 8 - y . Dans ces equations. s est un parametre proportionne l aux dimensions du planeur. En s = O. on obtiendra donc un modele ponctuel du planeur. O. Alors les equations
Soit ao tel que Cmo(ao)
(4~1)
possedent 16
solution constante
p = O. qui correspond
a
= V02
2 o)) arc tg(co(a QT'CiO) • V
y = Yo
8 = Yo
+
2mg cos Yo pS CL (ao)
(4.2l
ao
un vol rectiligne et dont on etudiera les proprietes de
stabilite. Remarquons que Ie changement de variables
x ramene .le systeme (4.1) transformation de fa90n
V0]. = [yV-- Yo a a
[8 - Yo-aD]
= Y
q
la forme (2.1). Nous n'effectuerons pas cette garder des variables usuelles. mais les theo-
remes du § 3 seront appliques implicitement au systeme transforme . Le systeme reduit correspond ant
mV
P2S
• mVy
S
P2
a
Co(aolV CL (ao)V
(4.1) s'ecrit
2
2
- mg sin y
(4.3)
- mg cos y
et n'est autre que Ie modele etudie par F.W. Lanches t er [8]. O'autre part l'equation des couches limites d8
CiS
q
(4.4a)
- 14 -
P . Habets
I~ = ~ Cmo (8-y )V2
+
~ Cmq(8- y) Vq
(4. 4b)
admet la solution cons tant e 8
Y
ao
+
,q
0
qui definit l a fonction h( t ,x ) h(t , x)
y
la s t abi li t e exponentiell e de la solut ion V
= Vo '
Y
= Yo de
(4 . 3 )
se deduit de la meme propriet e pour Ie systeme l in earise (cfr. [3 - p273 . theo reme 56.2]) mxl
. mV x2
-
pSCo(aO)VOxl - mg cos Yo x2 pSCl (aO)VOxl
O
+
mg s in Yo X2'
qui est ex ponenti e l l ement stable si s in Yo > 0
(4.5)
Cl( a o) cos Yo - CO( ao) sin Yo > 0 O'autre part on et udi e fa ci l ement l 'equat i on de s couches l imit es
a
partir du lemme 4 . En part icu lier O(t)
=
(ps~c~o(ao)V6 2I
dont . les va l eur s prop res son t nega t ives si Cmq (ao)
<0
et
C~o(ao)
<0
(4 . 6 )
Fina l eme nt , si les cond itions (4 .5) e t (4 . 6) sc nt satisfa it es, Ls theoreme 2 est applicab le s t, pour
€
assez pet i t, l a s olution (4.2) es t
uniform ement as ymptotiq uement stable.
5 . UN RESUlTAT COMPlEMENTAIRE. l'idee f onda mentale du th eoreme 1 cons i s t e
a
util iser une bon ne
"combinais on" des f onct io ns auxiliaires natur el l es VR et VCl qui permett e
- 15 -
P.
Habets
l'utilisation du theoreme de stabilite asymptotique uniforme de Liapounov. Dans cette section nous introduirons d'autres resultats en modifiant la "combinaison" de ces fonctions auxiliaires. On pourrait aussi songer
a
baser la demonstration sur d'autres theoremes de stabilite. THEDREME 3. Supposons qu'il existe une constante L > de elaeee
c' VR VCL
]O,oo[ x
BB
+
IR, (t,x)
+
]O,oo[ x Bp + IR, (t,x,y)
°et des
fonctions
VR(t,x) +
VCL(t,x,y)
tel.lee que
e lll xll l ,;;;; VR(t,x) ,;;;; b Ill x] l , a E K, b E K D(2.~)VR(t,X) ,;;;; - cIll xll l , c E K J
(1) (11)
l
(iv)
aVRI ,;;;; L . ax ' a(lIy-h(t,x)lI) ,;;;; VCL(t,x.y) ,;;;; b(lIy-h(t,x)lI)
(v)
D(2.3)VC LCt,x,y) ,;;;; - c'(IIY-h(t,x)lIl. c ' E K
(iii)
I~I.
(vi) (vii)
' la~;LI
,;;;; L c ' (lIy-h(t,x)lI)
IIfCt,x,y) - f(t,x,h(t,x))11 ,;;;; b(lIy -h(t,x)lI)
(viii)
IIf(t,x,y)1I ,;;;; L
(ix)
IIh(t,x)1I ,;;;; b Illxll )
Alo~s pou~ tout E assez petit, unifonnement asymptotiquement stable.
Demonst~ation.
J
l'o~igine,
solution de (2.1), est
Definissons une fonction derivable k
[O,Lp] +ffi, de clas·
se K, telle que (a.)
k(r)';;;;
(8)
k' (r-) •
a(b-1 (2~ c(b-1
~:(r)
(r)) ))
E K.
Considerons ensuite la fonction
On verifie tout de suite qu'il existe des fonctions a et b de classe K telles que a(1I (x,y)lI) ,;;;; V(t,x,y) ,;;;; b(1I (x,y)II).
(5.1 )
- 16 -
P ', Habets
Par ai11eurs. on Ava1ue 1a dArivAe
a
+
droite DI2J)V en considArant 1es cas
suivants : 1 0 Si V
=
kIVR) ~ VCL ~ allly-hlt.x)II). e Ior-s par la)
2~ Clb-1 IV R)) ~bllly-hlt.x)lI) et
aVR
= k'IV R) [DI2.4)VR + -Vlflt.x.y) - flt.x.hlt.x)))]
,;;;; - k'IVR)[clb-1 IVR)) - L b Ill y-hf t s x Ill l ] ,;;;;- k'lk-1 IV)) clb-1 Ik- 1 IV)))!2. 2 0 Si kIVR) ,;;;; VCL
01
2.1
=V )VC
L
,;;;; D(2,3)VCL + aVCL + aVCL f Lt x y) e: at ax ., ,;;;; - 11
e:
- Ll1+L)) c'lb-1 IV)).
Ensuite on en dAduit aisAment qu 'i1 existe
cE
K tel que pour e: assez pe-
tit
ce qui joint
a
15.1) demontre 1a stabi1ite asymptotique uniforme de l'ori-
gine.
C.Q.F.D.
Remarque 1. On peut demontrer dans 1es memes hypotheses 1a stabi1ite equiasymptotique en uti1isant 1a fonction V = VR + VCL' 11 faut cependant uti1iser un theoreme d'attractivite plus e1abore [1 theoreme 11] et un 1emme de stabi1ite asymptotique partie11e en y [5]. 2. Bien que 1 'hypothese VI soit satisfaite dans des exemp1es particuliers. i1 semble qu'e11e restreigne fortement 1e champ des applications possibles. Le coro11aire suivant est re1atif au cas hlt.x) - O. CDRDLLAIRE 2. (F.C. Hoppensteadt [5]) Supposons que (i)
f
et g sont de alasse
c1
;
la solution x 0 de 12.4) est uniformement asymptotiquement stable; (iii) la solution y 0 de (2.3) est uniformement asymptotiquement stable dans le Bene suivant : (ii)
IYI2.3)ls;t o.xo.Yo)1 ';;;;KIlYpll
x ot s l ,
5>0. 0 <>"';;;;1. pEL
- 17 -
P. Habets
iZ eeiete des nombres II > 0, v > 1, P > 0, y > 0, 011 (1/11) + (1/v) et y = p + (A/ll) (1-p) et il existe une foncti on continue M(s) tels que (iv)
=
1
2Y ~ Y(2~)(S;to,Xo'Yo)ato(s;to'xo'Yo) -~ M(s) I Yo 1 ' y(2.4)
(S;to'XO'Yo)~Oi (s;to,xo,yo)
.;;; M(s) Iyol2Y,
pP, p2(p-l)/V ME II ; (v)
IIf(t,x,y) - f(t,x,O)1I .;;; b tllvll ) , b
(vi)
IIf(t,x,y)1I .;;; l, 011 l est constant.
E
K
Alors. pour tout £ assez petit. l'origine. solution de (2.1). est uniformement asymptotiquement stable. la demonstration de ce corollaire se base essentiellement sur un lemme de Massera [9] qui permet de construire une fonction VR(t,x) satisfaisant aux hypotheses (i) (ii) et (iii) du theoreme 3. Par ailleurs la fonction VCl(t,x,y)
=~
(i~1 Yi(2~)(x;t,x,y)2)Pds
satisfait aux hypotheses (iv), (v) et (vi) de ce meme theoreme. Des lors la demonstration s'acheve sans pe i ne. (On trouvera une demonstratio n de l'existence des fonctions VR et VCl dans [5]).
6. REFERENCES. [1 ] H.A. Antosiewicz, A survey of liapunov's second method, Contributions to the Theory of Nonlinear Oscillations i, Princeton University Pres; 1958, 141-166. [ 2] P. Habets, A Consistency Theory of Singular Perturbations of Differential Equations, SIAM J. Appl. Math. 26, (1974), 136-153.
[3] W. Hahn, Stability of Motion, Springer-Verlag, New York 1967. [ 4] J .K. Hale, Ordinary Differential Equations, Wiley-Interscience, New York 1969. [5] F.K. Hoppensteadt, Asymptotic Stability in Singular Perturbation Problems, J. Differential Equations 4, (1968), 350-358. [6] A.I. Kl i mus hchev , Stabilite asymptotique uniforme de systemes d'equations differentielles l i ne ai re s avec un petit parametre (en russel,
- 18 -
P.
Habets
Sib. Math. J . 5 (1964), 94-101. [ 7 ] A.I. Klimushchev and N.N. Krasovskii, Uniform Asymptotic Stability of Differential Equations with a Small Parameter in the Derivative Terms, PMM 25 (1961), 680-690, JAMM 25 (1961), 1011-1025. [ 8] F. W. Lanchester, Aerial Flight II : Aerodonetics. Constab l e , London 1908.
[ 9] J. L. Massera, Contribution to Stabi li ty Theory, Ann. Math. 64 (1956), 182-206. [10] 8.S. Razumikhin, Sur la stabilite de systemes avec un petit parametre (en russel. PMM 21 (1957). [11] R.R. Wilde and P.V. Kokotovic, Stability of Singularly Perturbed Sys-
tems and
Networ~with
(1972) 245-246.
Parasitics IEEE Tpans. Automatic ContpoZ AC-17
CEN T R O IN T ERNA ZIONAL E 1\1ATE1\1A TI CO ESTIV O (C. 1. 1\1. E . )
STABILITY OF J"INEAR SYSTEMS WITH DELAY S*
by
J a c k K. Ha l e Lef schet z Ce n t er for Dyn a mi ca l Sys t ems Divi s i o n o f Ap p l i ed Ma t hemat ic s Br o wn Univ e r s i ty Prov idence , R. I .
0 29 1 2
* Th i s research was suppo rte d in pa r t b y the Nati on al Sc ie nce Found ation under GP-28 93 1X2 and in part by the U. S . Army Rese arch Offic e u nde r DA-ARO-D-31-124 -7 3- G-1 30 . Cor so
tenuto
a
Br e ss a none
d al
:2
a l l 'l 1
g i ug n o
1974
STABILITY OF LI NEAR SYSTEMS WI TH DELAYS Jack K. Hale Brown University Providence, R. I. 02912 Let
X
be a Banach space and
A:
9 (A) C X
-+
X
be a
linear operator which is the infinitesimal generator of a strongly continuous semigroup of linear operators {T(t), t
O}.
~
In the first part of these lectures, our
main concern will be with the relationships between the spectrum
O CT e t» ~
of
is the spectrum of
T(t)
A.
and the set
e O(A)t
The class of g e n e r a t o r s
wher e A
o (A)
will
arise from difference equations and differential diff erence equations (or, more generally, functional differential equations) of both retarded and neutral t ype.
We will
discuss, in particular, the asymptotic properties of as determined by
T(t)
o (A) , using examples to illustrate some of
the difficulties involved. In the second part of the lectures, if on a
~ector
parameter
~ ,
d ~tail
A( ~)
d e pends
we discuss t he dependence of
certain asymptotic properties on discuss in some
A =
In particular, we
~ .
the dependence of asymptotic stability
on the delays in difference equations. 1.
Stability.
Before embarking on some of the details, we
recall a couple of known facts: I.
The asymptotic behavior of the solutions of
u
=
AU,
uCO)
= Uo
E X
(1)
- 22 -
J. K.
is determined by
o(T(t».
spectral radius of E >
T(t)
0, there is a
K
E
In fact, if and
p(T(t»
Hale
is the
e a, then, for any
p(T(l»
such that
o.
>
.t
(2)
This follows from the semigroup property and the fact that p(T(t» II.
n
-+
Let
operator
i ITn(t)' ,lin
lim
Po(B)
B
for any
t > O.
00
in
denote the point spectrum of a linear
X.
It is well known (see Hille and Phillips
[12]) that
PO(T(t» ~{O} ; ePO(A)t, If
X
= Rn,
then
=
o(T(t»
> O.
t
eO(A)t
and
(3)
= Po(A).
o(A)
It is also a well-known fact that, in general, o(T(t» no relation whatsoever to
o(A).
has
However, we are going to
see that for problems arising from functional differential equations, there is a close relationship. From property II above, we know that
(J
(T (t»
:::) exp Po (A) t.,
We now give an example of a difference equation to show that even when closed.
o(A)
=
Po(A), then
may not be
This example also introduces some of the notation
to fOllow. norm, D: C
Let -+
R,
r > 0, C
C([-r,O],R)
1> (0) -
D~
nJr(A ) = {"'
:;p
define
(exp O(A)t) U {a}
A:
fi)(A)
-~
'¥
C
by
1> (-r), CD c~
C •
D·
d~ de
c-
c,
with the uniform {~
C }
D'
E
C:
D¢
=
O}, (4)
- 23 -
J. K.
M (6) · = d~~6) ,
-r < 6 :: 0,
and consider the equation (1).
Hale (5)
Equation (1) may be written
explicitly as au (t) (8) a6
au(t) (6) at
-r :: 6 :: 0,
au(t) (0) a6
(6a)
> 0,
t
au (t) (-r) a6
together with the initial condition
(6b)
u(O) =
~
E
C.
(6a) implies that there is a continuous function +
R
such that
dx(t)/dt
-r::6:::0,
-r::
~(6),
[-r,oo)
6:: 0, ~
E
(7)
t~O.
Consequently, equation (6) is equivalent to > 0, x (6)
x:
is continuous and
u(t)(6)=x(t+6),
t
Equation
x(t) = x(t-r),
9(A).
Now let us consider the difference equation x(t)
x(t-r),
x (6)
~
t
a
>
(8)
(6) ,
Equation (8) obviously generates a strongly continuous semigroup of linear operators defined by
T(t)~(6)
TO(t): Co
+
CD' t
= x(t+6), -r < 6 < O.
infin itesimal generator of
{To(t)}
is
A.
0,
Furthermore, the A simple compu-
= exp(2kni/r),
tation shows that
o(A) = Po(A) = {A
k = 0,±1,±2, ••• }.
Thus, from property II above, Po(T(t» \{O}
exp[o(A)t]
=
{exp 2knit/r, k
rational this set is closed.
= If
E
C: A
~
0,±1,±2, • •. }. t/r
If
t/r
is
is irrational, this
- 24 -
J.
is not closed.
= exp
oCTet»~
K.
Hale
It is an easy computation to show that o(A)t
for all
t.
Let us now take another example to show that the last formula relating
to
oCTet»~
o(A)
holds for retarded
differential difference equations except for possibly the point
with
{o}.
Let
~(A)
{~
A
u = Au
b,c
E
be real numbers and define
C: ~ de
E
C
'
d~(O) de
again defined by (5).
= b~(O) +
c~(-r)}
(9)
As before, the equation
is equivalent to x(t)
= bx(t)
x (e )
~
+ cx(t-r), t > 0 (10)
-r < e < 0,
(e),
Equation (10) defines a strongly continuous sernigroup of linear operators
T(t): C
= x(t+e),
-r < e < 0,
T (t)
A
is
with
C, t
in (9).
t > r.
except possibly for the point accumulation point of
~
0, defined by
Furthermore, T (t)
Therefore,
{O}
oCTet»~
is zero.
oCTet»~
E
O(A)
is a
= Po(T(t»
and the only possible
easy computation (see Hale [6]) shows that
A
T(t)~(e)
and the infinitesimal generator of
~(A)
compact operator for
~
Furthermore, an o(A)
= Po(A)
and
if and only if
-Ar
A - a - be .
Consequently, property II implies
O.
(11)
- 25
-
Hale
J . K.
cr(T(t» \{O}
=
e
cr(A)t
(12)
.
These relations also imply the following stability results: (i)
If for each
and the
with
A
u = 0
Re A
A
=
satisfying (11) we have 0
Re A
~
0
are simple, then the solution
of (10) is stable.
(ii)
Re A < 0, then the solution
If
u
=
0
is uniformly
asymptotically stable and thus exponentially asymptotically stable. The remarks and conclusions above hold also for the more general system N
dx (t)
L Bkx(t-r k)
---errx
is an
n x n
E
+
f B(6)x(U6)d6 -r
r > r. > 0 , J. = .1 , 2 , .•. , N , eac h J constant matrix and B(6) is an n x n
Rn , r
were h
k=O
o
O
= 0,
continuous matrix. It is certainly tempting to conjecture that ' f o r all differential difference equations (even those of neutral type)
cr(T(t»
=
exp cr(A)t
except possibly for
{Ole
The
validity of this conjecture seems to be. very difficult to verify. Before stating some specific results that relate with
cr(A)
cr(T(t», let us make precise what we mean by a neutral
differential difference equation. Let
b,c,g
be given constants,
- 26 -
~(A) = {~ and define
E
A
C:
**
J. K.
C,
E
d~~O)
as in (9).
equation
u
Au, u (0) =
u (t) (.)
x (t-t=·)
- g
Hale
d~~~r) = b~(O) + c~(-r)}
As before, one sees that the ~
is equivalent to
~(A)
E
and
dx(t) _ g dx(t-r) dt dt
cx(t) + dx(t-r),
x (e) =
~
(e),
t
-r <
.: 0,
(13)
e ~ O.
Equation (13) is called a neutral differential difference To avoid the use of initial data which is differ-
equation.
entiable, we write equation (13) in the form
~t [x (t) - gx (t-r»)
= bx (t) + cx (t-r) ,
t
>
o.
(14)
The initial-value problem for (14) now makes sense for
~ E
C
and one can show that (14) generates a strongly continuous semigroup before.
T(t), t
~
0, of linear operators defined as
Furthermore, the infinitesimal generator of
is the operator
A
above.
T(t)
The basic difference between thi$
semigroup and the one obtained from equation (10) is that it
is no longer compact for any As before, cr(A)
= Pcr(A)
t > Oif and
A
E
g f
cr(A)
o. if and only if (15)
Property II implies that since
T(t)
exp cr(A)t.
Pcr(T(t»
is not compact for any
assert the dependence of
cr(T(t»
However,
t > 0, we cannot easily on
cr(A).
The most
complete results on this question have been obtained in a recent paper of Henry [11).
We do not state the complete
result but only the part that deals with the spe9tra L
- 27 -
J . K.
radius
Hale
p (T (t) ) •
Theorem 1 (Henry [11]). exp at, t
p(T(t»
~
=
a
Let
sup{Re A: A s a(A)}.
Then
O.
This result is also valid for the following
(as well as
more general) equation: d
dt [x (t) where
r
O
L ~x (t-rk)]
= 0, r
~
L ~e
det[ (I -
~
B(e)
a(A)
that
+
k=l
matrices and spectrum
o
N
r
k
k=l
> 0, k > I, Ak,B
is a continuous
k)
( 16)
-r
of the generator
-Ar
f B(8)x(t+8)de
N
- L ~e
-Ark
k=O
are
k
n x n
A
n x n matrix.
is the set of
constant The A
such
o
-
f B(8)eAede]
(17)
= O.
-r
From Theorem 1 and property I, we know that the asymptotic behavior uf the solutions is determined by sense that for any
I IT(t) I I :
s > 0, there is a
k
a(A) > 0
s
in the
such that
ksexp(a+s)t, t ~ 0; that is, exponential bounds
are easily obtained from
a(A).
However, the behavior of the
solutions is sometimes very surprising, as the following examples show. Brumley [1] has considered the equation
X(t)
-
x(t.,.l)
+ 2x (t-l) + x (t-2)
He shows that all elements satisfy
Re A < O.
Theorem 2.
A
of
a(A)
=
O.
are simple and
However, he also proves the following
Every solution of (18) approaches zero as
Also, for any
~
(18)
> 0, there is a solution
t
+
00.
- 28 -
J. 1<. Hale X
E:
c" [- 2,00),
such that
S > 0, { t k } C [0, 00), t k + 00 as > St~(m+~)/2; that is, every solution
m ::: 2,
Ix(t
I
k) approaches zero as
t
+
00, but not every solution approaches
zero exponentially. Corollary 1. Proof: t
+
<
k~,
System (18) is stable.
For any
~
E:
C, the solution approaches zero as
so that there is a constant
00
t ::: O.
such that
k~
IT(t)~1
The Principle of Uniform Boundedness implies
that there is a constant
k
I IT(t) I I
such that
~ k.
Con-
sequently, the system is stable . The system (18) is stable and asymptotically stable but the asymptotic stability is not uniform with respect to initial data in any open set.
In fact, if it were, then the
system would be exponentially asymptotically stable and this
is obviously not the case. Snow [14] has given an example of a neutral differential difference equation such that
A
E:
Re A < 0
implies
cr(A)
and yet there are unbounded solutions.
Even though the
proof of Snow was not complete, the result above of
Brt~ley
makes the conclusion valid. Gromova and Zverkin [5] have considered the equation X (t) -
x(t-l)
+ ax (t) + ax (t-l)
It is easily shown that any Re A
=
O.
A
E:
cr(A)
=
0,
a > O.
(19)
is simple and has
There are also infinitely many
A k
=
iw
k,
w real. k
- 29 -
J . K. Hale
4k
In 5a c t , there are
+ 1
suc h
in the interval
(n/2), 2kn + (n/2)] for a ny i nteger R. Any trigo00 nometric ser ies . L a e xp ( i wkt) which is uniformly k k= l convergent to a C1-function on [-1, 00) will also be a solu[-2kn -
tion of (19) .
Gromova and Zverkin show that there is such a
trigonometric series which actually is an unbounded function on
[-1, 00).
case.
Thus, we do not even have stability in this
These two examples are in direct contrast to the
situation for retarded equations. Let us now re turn to the discussion of Theorem 1.
Basic
t o the p roof of Th eorem 1 is the recogn ition of the fa ct that t h e differenc e e qua t ion x {t ) - qx( t -r ) or ~
o
(20)
more genera l l y, t he e q uat ion N
x (t ) -
L Akx {t - r k )
k- l
o
(21)
is f u nd ame n t a l to the i nv e s tig a tion . A
The elements close to roots
A
of
a (A)
with l arge modulus mus t be
of t h e equation
det[I
-
N - Ar LAke k] k=l
In addition, the elements of
a {T (t »
O. are rel ated to the
properties of the solu tion of the d ifference equation (21). To my knowledge, t his was first observed by Cruz and Hale [2] in the ir s tudy of the saddle point property for nonlinear
- 30 -
K.
J.
neutral equations. Co
=
{~
C:
E
=
o~
Let
o}
z Ak~(-rk)'
-
o~ = ~(o)
and consider the difference equation
(19) with initial value
~
Co.
E
This equation defines a
strongly continuous semigroup of linear operators Co
Co ·
+
Let
(2) that if ~(t)
E
P(TO(t))
Pa(T(t))
= exp
E
a(T(t)),
and
~(t)
~(t)
exp aot
aot, t I~(t)
I
O.
~
TO(t):
It was shown in
> exp aot, then
is a normal eigenvalue* of
Therefore, the elements in of radius
Hale
a(T(t))
T(t).
outside the closed disk
are determined by
a(A).
A more general result was given by Hale (7) in the form of a representation theorem for Theorem 3.
T(t) .
There is a bounded linear operator
~:
C
+
Co
such that T(t) = where
U(t)
Suppose Banach space
To(t)~
+ U(t),
is compact for all A
=
X
B + C with
t > 0
(22)
t > O.
is a bounded linear operator on a B
bounded and
C
compact.
an unbounded component of normal points of
If
V
is
B, then known
results on spectral theory (see Gokberg and Krein (4)) imply that
V
contains only normal points of
A
=B
+ C.
Applying
this result to (22), we obtain the result of Cruz and Hale [2] as a special case.
* Suppose
V is a bounded linear operator on a Banach space X. A point A E a(V) is a normal eigenvalue of V if there is an integer k such that ~(V-AI)k is finitedimensional and X = ~(V-AI)k_e R(V-AI)k. A normal point of V is either a normal eigenvalue or a resolvent point of V.
- 31 -
J.
K. Hal e
The representation (22) is valid even when the righthand side of (16) is nonlinear in
x.
This turns out to be
very important and the interested reader may consult the article of Hale [8] and references therein~
A similar repre-
sentation theorem is valid for equations with infinite delays (see Hale [9]). 2.
Dependence of stability on parameters.
If we know that
the zero solution of a differential difference e9uation is e xponentially asymptotically stable, then it is not too difficult to prove that exponential asymptotic stability is preserved under perturbations in the coefficients.
The same
is true with respect to perturbations in the delays on the right-hand side of (16).
However, the preservation of
stability with respect to perturbations in the delays in the difference operator
D
in (16) is a much more deli cate
matter. The following interesting e xample was given by Me lv i n
[13]. ' Co n s i d e r the difference equation x (t )
=
a x(t-r O) + bx(t-s O) '
(23)
and suppose the roots of the characteristic equation
1 - ae satisfy
Re A < - 6 < O.
- Ar
0 _ be
- AS
0
o
(24)
Then the zero solution of (23) is
e xponentially asymptotically stable . Melvin proved the followin g result.
- 32 -
J. K.
Hale
System (23) is exponentially asymptotically
Theorem 4.
stable for all
in a neighborhood of
r,s
rO'sO
if and
la/ + Ibl < 1.
only if
The proof consists first in showing that if
lal + Ibl
> 1, then in every neighborhood of
rO'sO' there exists an
r,s
of
and a root
A with
Re A > 0
1 - ae- Ar - be-As
o.
This is proved in the following manner .
If
A
=a
+ if3
is a solution of this equation, then 1
= e -ar a
cos f3r + e-asb cos f3s e -ar a sin f3r + e -as b sin f3s.
0
=
sin f3r
If
then
=
sin f3s
must satisfy
a
-
[a ] + [b ] > 1-
if
for
r,s
let
r
fy
=
in an arbitrarily small neighborhood of
=rO+
kn, f3s
mlk
1
To see that such a choice can be made
E,
S
= So
as small as desired. f3r
cos f3r = Ia I, b cos f3s = Ibl lale- a r + Ible- a s and Re a ~ 0
and a
0
=
= mn
sir.
+ E with
rational and
rls
E,O
Then the conditions imposed above are
for integers
k,m .
Thus, m,k
must satis-
It is now clear that all relations can be
satisfied by appropriate choices of have
rO'sO'
lal + Ibl < 1.
But if
E,O,f3.
Thus, one must
lal + Ibl < 1, then the
difference equation is exponentially asymptotically stable for all
r,s
and the theorem is proved.
This theorem generalizes easily to the case of many
- 33 -
J. K. Hale
delays, x(t) -
N
L akx(t-r k)
k=l
= 0, with the result that
stability is preserved for small perturbations in the delays N
L lakl < 1. k=l The proof depends in an essential manner on the fact that
if and only if
all delays may be varied independently.
If we were consider-
ing a matrix system of difference equations, then the characteristic equation is a determinantal equation and is of the form (25)
1 where
r
k
~
0
are real numbers, n
a.
integers and
J
jk
are fixed nonnegative
are real numbers.
Definition.
We say (25) is stable locally in the delays if
there exist
0 > 0
and intervals
I . (containing interior J points), j = 1,2, •.• ,p, such that for any r E I j, j j = 1,2, •.• ,p, the roots of (25) satisfy Definition.
We say (25) is stable globally in the delays if
for any given
r j > 0, j = l,2, ••• ,p, there is a
that the roots of (25) satisfy Theorem 5.
Re A < -0.
0 >0
such
Re A < -0.
Stability locally in the delays is equivalent to
stability globally in the delays. The proof of this rather surprising theorem will appear in Hale [10].
The proof exploits in a significant manner
some estimates in Cruz and Hale [3] and the almost-periodicity
- 34 -
J.
K.
Hale
Re A =
of (25) along lines in the complex plane with constant.
To see the usefulness of the result, we reprove the result of Melvin as Corollary 2.
The equation N 1
I
a.e
-Ar .
j=l J
(26)
J
N
is stable locally in the delays if and only if
Proof:
If
Ila · l < l . j=l J
N
I la .1 ~ 1, then (26) cannot be stable locally j=l J
in the delays.
In fact, if it were, then Theorem 5 implies
it would be stable globally in the delays. is an arbitrary complex number, then choose
A = a + il3
If
r . J
such that
1,2, .•• ,N. One can now choose ' a . exp{-il3r .) = la. I, j J J J a ~ 0 such that (26) has A a + il3 as a solution. Therefore, one must have
N
Ila·l
If this latter condition
is satisfied, then the desired stability is obviously true. Other applications of Theorem 5 may be found in [10].
References [1]
W. E. Brumley, On the asymptotic behavior of solutions of differential-difference equations of neutral type. J. Differential Eqns. 7 (1970), 175-188.
[2]
M. A. Cruz and J. K. Hale, Exponential estimates and the saddle point property for neutral functional differential equations. J. Math. Anal. App1 . 34 (1971), 267-288.
- 35 -
J. K.
Hale
[3]
M. A. Cruz and J. K. Hale, Stability of functional differential equations of neutral type. J. Differential Eqns. 7 (1970), 334-355.
[4]
T. C. Gokberg and M. G. Krein, Introduction to the theory of linear nonself-adjoint operators. Transl. Math. Mono. 18 (1969), American Math. Soc., Prov., R.I.
[5]
P. S. Gromova and A. M. Zverkin, On trigonometric series whose sums are continuous unbounded functions on the real axis - solutions of equations with retarded arguments. Differentialniye Uravneniya 4 (1968), no. 10, 1774-1784.
[6]
J. K. Hale, Funct ional Differential Equations, Appl. Math. Sci. Vol. 3, Springer-Verlag, 1971.
[7]
J. K. Hale, A class of neutral equations with the fixed point property. Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 67 (1~70), 136-137 .
[8]
J. K. Hale, a-contractions and differential equations, 15-42, Equations Differentielles, Ed. Janssens, Mawhin, Rouche, Hermann, 1973.
[9]
J. K. Hale, Functional differential equations with infinite delays. J. Math. Ana. Appl. 47 (1974).
[10]
J. K. Hale, Parametric stability in difference equations. To appear in Boll. Un. Mat. Ital .
[11]
D. Henry, Linear autonomous neutra l functional differ- • ential equations. J. Differential Eqns. 15 (1974), 106-128.
[12]
E . Hille and R. S. Phillips, Functional Analysis and Semigroups . American Math. Soc. Colloquium Publ. Vol. 31, 1957.
[13]
W. R• . re Lv i.n , Stability properties of functional differential equations. J. Math. Anal. Appl. To appear.
[14]
W. S~ow, Existence, uniqueness and stability for nonl inear differential-difference equations in the neutral c~se, Ph.D. Thesis, Courant Institute, 1965.
CENTRO INTERNAZIONALE MATEMATICO ESTIVO (C.LM.E.l
Stability and asymptotic behaviour of solutions of differential equations in a Banach spaceR
by
V. Lakshmikantham University of Texas at Arlington Arlington, Texas
76019
U. S. A.
*
Lecture notes of talks delivered at CIME Session, Bressanone, Italy • . Scientific director, Professor L. Salvodori.
Corso
tenuto
a
Bressanone
dal
2 all'll
giugno
1974
- 39 -
V . L akshm ikantham
Introduction . The study of the Cauchy prob lem fo r differential eq uat ions in a Banach space has taken t wo directions .
One is ai med a t find i ng co mpact -
ness conditions to guarantee existence o f s olution s and t h e other i s t o show the e xistence of solutions unde r a c cr eti ve t ype condi tions . We co nsider e xistence theorems from both point s of view.
We a l s o indicat e the
results concerning uniqueness of s o l utions , and some fundamen t a l pr operties of solutions .
On the bas is of the se r e sul t s, a nonl i near variat i on
of parameters formu la is de ve l ope d which is t hen us e d to ge t some r esults on asymptotic behaviour o f s ol ut i ons of pe r t urbe d e qua t i ons . We give s ufficien t cond i t i ons f or a d i f f er ent i al eq ua tion i n a Banach space to possess asymptotic e qui l ibrium.
Stab ility and asymptotic
behaviour of solutions i s t h en d i s cu s s ed usin g as candidates t he norm and a Lyapu no v- like functio n .
We then proc e e d t o de ve lop the method of
vector Lyapunov funct ions t o s t udy vari ous prope r t ies o f so l ut ions of differential equations an d s how that t h i s me t hod is especi a l l y effec ti ve for qualitative study o f int er conne c t ed s ys tems whos e mul t ivari abi lit y and other properties make the cons t ruction of a s i ng le Lyapunov func t i on difficult for these systems.
We sha l l also present stabil i t y t he or y
concern ing delay d ifferenti a l eq uat ions i n a Banach space .
- 40 -
V. Lakshmikantham 1.
Local existence. The study of Cauchy problem for differential equations in a Banach has taken two different directions.
~pace
One approach is to find com-
pactness type conditions which guarantee only existence of solutions and the 'cor r es pondi ng results are extensions of the classical Peano's Theorem. Recall that the initial value problem x' where
f(x) =
{ I~nl ~
real valued sequences
+
f(x),
x(O) = 0,
l}OOn=l n {~n}:=l with
~im ~n = 0,
has no solution in E.
The other approach is to employ accretive type conditions which assure existence as well as uniqueness of solutions.
In fact, this latter
technic shows that uniqueness conditions imply existence of solutions and therefore may be considered as extensions of classical Picard's Theorem. (a)
Accretive type conditions.
We shall first consider accretive or
monotonic type conditions. Let
E be a real Banach space and let
We let where
B(xo,b) = [x e E:I Ix-xol to? 0, a, b > 0 .
Let
I
~ b]
R+
and
11·11
denote the norm on E.
R = [to,t + a] x B(xo,b), O o
denote the nonnegative real line .
We
consider the differential equation (1.1) where
f e C[Ro,E].
The following results are needed before we proceed
further . Lemma 1.1. (1. 2)
Let
g e C[R+ x R+, R]
and let the maximal solution ' r(t) of
- 41 -
V.
exi s t on
[ to' oo ) .
Suppose that
Then t here exists an solut ion
£0
>'
0
[to , t1 J
Lakshmikanth am
is a compact s ubi nte r val of
s uch that f or
0
£
<
£0 '
<
R+.
t he maxi mal
r( t, £ ) of u'
(1. 3)
ex i s t s on
and
l im
r(t ,£ ) = r (t)
unifor ml y on
£ -+{)
Theorem 1 . 1.
where
Let
Dm(t)
g e C[R+ x R+ , RJ ,
m e C[R+, R+ J
Dm (t).::: g (t ,m( t ) ) ,
t :: t o :: 0 ,
and
denotes any one of t he Dini de rivatives.
Suppos e that
r( t )
is the maximal solut i on of t he s ca l ar, different ial e qua tion (1 .2) ex i st-
For a proof of Lemma 1 .1 and Theorem 1. 1 see [ 9 J . The next l emma pl ays ,a prominent role i n l ocal existence res ults . Lemma 1. 2.
Let
f e C[Ro ,E J
and l et
a > 0
b e so chosen that
I lf ( t , x ) 1,1 < £. ::: M on Ro ' Then f or each positive int eger n , there i s a - a pos i t i ve integer N = Nf n ) , a pa rt i t ion {t J ~=o of [t o ,to + aJ and a f unct ion
(i) (ii ) ( i ii) exists and (i v )
x
n
f r om [ t o , t + aJ o
It~+l
nl - t.].
1
~ -
n
fo r eac h
I Ixn Ct ) - x (s ) 11 n if
i nto
s
n n t e (t',Lr- l ' t.]. J ,
,
I [x-xn (t~].- 1 ) II
1
Mlt-s I,
s
i
s
s uch t hat
N;
t ,s e [ to ,t o+ a J ;
then the right de r ivative
(x ) ( t ) = f (t~_l ' xn(t~_l ) ) n + if
B(x ,b ) o
f or each n
.::: M(t~]. - t.] . - 1 ) '
1 ::: i
then fo r
s
,
( x ) (t ) n + n; n n t e (ti _l ,t i J ,
- 42 -
V . Lakshmikantham
I lnt,x) - f (t~1- l ' xn ( t~1-1») I I :: En' i s .a seque nce of positive number s such that
where
This l emma i s proved in
~ 8 aJ
for the case when
f
lim E n-- n
O.
i s autonomous .
However, t he proof remains va l id for t he ge neral ca s e a lso .
See [ 2J.
We a re now i n a posit ion to gi ve an ex istence r es ult under a cc ret ive type cond ition . Theorem 1. 2. (i)
This we do by means of a Lyap unov l ike f unc t i on.
As sume t hat
f e C[Ro , EJ
and
a > 0
i s chosen such t hat
I If( t, x) ! I::
(ii ) v e C[[to ,to +aJ x B( xc ,b ) x B(xo ,b ), R+], V(t , x , x ) =O,
IV( t, x,y ) - V(t ,x 1 'Yl ) 1 are sequen ces i n lim II x n -sn I I n--
B(xo ,b)
s
~ =
lim V(t ,xn ~n ) n'+OO
=0,
on Ro;
V( t ,x,y» O:ifx+y ~
L[ lI x - x l I 1+ll y-y 1Il J and i f {x } n
such t ha t
M
an d
{Yn}
then
=0;
(iii)
n+v (t , x ,y ) = lim sup h-+{) +
where
g e C[ [t o,tO +a J
x
~1v (t+h,X+hf(t ,x) ,y+hf( t,y ») L
R+,R] ,
g ( t , O) = 0
an d
u _ 0
- VCt,x ,y)l
~
i s the unique
sol ut i on of the scalar di fferent i a l equat i on (1 . 2) . Then t her e e xis ts a unique so l ution f or the prob l em ( 1 . 1) on Proof.
Using t he not a t i on of Lemma 1. 2, ·l et
inte-gern and f or Let Ql'Ic!
p(t )
t e (to, to +aJ
t
0;
Ui-, .t:jJ .
Then for smal l
a nd l et i , j
h > 0
n
an d
m be pos i t i ve
= V(t ,xn ( t ) ,xm(t ») .
be integers s uch th at
we have by ( i i )
[ to,to+aJ.
(t n• l ' tn. J t '" 'c 11
- 43 -
Lakshmikantham
V.
L~L: Ixn (t+h )
p (t+h ) - pet) S
- V (t
,x
n
(t ) ,
- x
n
(t ) -
hf(t ,x (t) ) n
II
x (t)). m
Hence , us ing Lemma 1.2 and t he as s umption ( iii) , one gets
Si nce
p( t
o) = 0 ,
we obt ai n by t he orem 1.1 that pe t)
where
r et )
s
t e [ t o ,to +a] .
ret),
i s t he maximal solution of u'
= g (t
,u) + L(e:
+ e:
n
I t now f ollows fr om Lemma 1 . 1 that
m)
n
It is easy t o see that To s how t ha t
v (t ) n and vn( t O)
IIvn (t; ) I I s
v
M an d
X
= O.
o
and
and
is Cauchy ' s sequence . x(t )
uniformly on
Since
[ to , to+a].
x(t ) e B(x o ,b) f or t e [to,to +a].
is a solut i on of t he problem (1 .1), f or each n
f rom Tl
= f(t i_ l
= f(to ' x o)'
x (t )
n-- n
x (t o) =
x ( t)
define the funct ion
lim
u(t o)
lim V(t ,x (t) , x (t )) = 0 n ,rn+ro n m
cons eq uent l y by (ii) t he sequence {x (t )}
{xn (t)} is equicontinuous,
,
[t o, to +a] , x ( t~ 1)) ' n . J.-
into t
e ( t nJ.. - i
By t he const r uct ion of
by
B( xo ,b ) ' t~J. ]
x (t), n
we have
n,
- 44 -
V. Lakshmikantham
x (t ) n
If
n
t e
(t;',
~-
l' t~], 1.
= Xo
+ [ to
v (s ) ds, n
we have by Lemma 1.2,
~ Ilx(t) - x Thus the continuity of t e [to,to+a].
t e [to ,to +a].
f
n
(t)11
yields that
Since the sequence
1
+ Mn- •
lim
n--
= f(t;
v (t) n
{vn(t)}
x(t»),
is uniformly bounded, it
follows by dominated convergence that
= lim n'l'oo
x(t)
n (t)
X
= li~ n =
which implies that
x(t)
X
[x
r
O
+
Jrt
v (s) ds]
o
n
f(s, xes») ds, o + . to
is a solution of (1.1).
To show the uniqueness of solutions of (1.1), if solution of (1.1), defining
q(t)
= V(t,
as before, the differential inequality Noting that
where
q(t
r(t,to,a)
and (iii) that Remarks.
o)
=a
x(t), y(t»),
yet)
is another
we get, proceeding
n+q(t) ~ g(t,q(t»), t e [to,to+a].
and applying theorem 1 .1, it follows that
is the maximal solution of (1.2) . This then yields by Gi) x(t)
=yet)
and this proves the theorem.
Consider the special case
(iii) of theorem 1.2 leads to
V(t,x,y)
= I Ix-yl I.
The assumption
- 45 -
V.
( 1. 4 )
D+[x ,y , f ] - lim sup h-+o +
~ ~ Ix-y+h[f(t,x) ~
Lakshmikantham
- f(t, y) ]11
which i s clearly satisfied when ever one assume s Perron 's t ype uni quenes s assumpt ion II f( t, x ) - f (t ,y ) 11 If
E i s a real Hi lber t s pace and
5
g(t , l lx -YI I) .
-f(t ,x)
satisfies an accret i ve
condi t i on (or monotonicity condition), that is, 2
(1. 5)
[f(t,x) - f (t ,y ) , x-y l ~ Ll lx-yll ,
t hen the f unction
V(t ,x ,y)
2
exp( -2Lt ) I Ix-y l 1 , s at i s f i es t he hypo theses
of theorem 1 .2 with ' g(t , u ) - O.
Furthermore , let
E
=R
an d cons ider
t he fun ction f(t ,x)
=
~
+ IX , x ~ 0 ,
.
, x < 0,
1
wh i ch does not s at isfy the monot oni city cond ition (1 . 5) but t he r e exists a function
V(t ,x ,y )
sat isfying the ass umptions of theorem 1 .2 .
Indeed,
we t ake
V(t ,x ,y)
[ IX -
IY -
[ IX -
Lo g CL
[~x -
IY +
~(x-y )
2
,
Log Cl. +
2
IX) + Log l L + ..yj, x
~
0, y
~
0,
IX) - ~]~
x ::: 0 , y
< 0,
l og (l + IY) ]~
x < 0, Y
~
0,
x
<
O.
+
< 0,
y
- 46 -
V . Lakshmikantham
For each
= [h
G(x)
space of is in
x e E define
e E''':(x,h) E.
J(x).
=
J(x)
Ilxll
and
It is clear that if Let
= 1],
+0
then
x
=
e E* :(x,h)
IIhll
(x.h)
= inf[~ :h
(x,y)_
vex, the duality map J
= [h
where h
e J(y)] .,
(x,y)_
E'"
If
2
=
IIhl1
(i)
E'" is uniformly con(x,y)_
= (x,J (~)) .
coi nci des with the inner product.
- f'( t
,y) , h(x-y))
::: LIlx-y 11
2
EO'
It
is
h e J(x-y);
,
(f(t,x) - f(t,y), p (x-y ) ) ::: LII x-y II ,
o
lim 1 s-l{) s
(Hi)
"-
If
For a proof see [18J.
(f(t,x)
(H)
and
G(x) iff Ilxllh
is not difficult to show that the following are equi val ent if uniformly convex .
2J
i s the dual
i s in
i s single valued so that
E is a Hilbert space then
IIxl1
Ix-y+s{f(t .x )
p e G(x-y) ;
f(t,y)}11 - IIx- ylU S L l lx- y l l .
Also, it is easy to show [25 J that
Consequently taking
V(t ,x ,y)
=
II x-y 11 .
2
(f(t .x ) - f(t ,y), !(x-y)L D+V(t,x,y) ~ g (t , V(t , x ,y )) .
then
shows that i f
s
~ gf t
,
Ilx-y II
2
)
These considerations imply the gener -
ality of theorem 1 .2 . (b)
Compactness type conditions.
denote by of all
d
a(A), > 0 ,
For any bounded set
the measure of non compactness of
A in E,
A, namely th e infimum
such that there exists a finit e covering of
diameter less than or equal to
d.
Let
Q
= [A:A
A by s et s of
i s a s ubs et of B(xo,b)J .
In the following lemma we shall collect s ome properties of are needed.
we
a(A)
that
-47 -
V . L a k s hm i k a nt h a m
Lemma 1.3 . (ii)
(i)
a(A+B)
(iv)
a(A)
(v)
a(A)
(vi)
A c B t he n
= 1>..la(A)
«( AA)
(iii)
If
where
a(A ) n
= [>"a :a
= [ x+y :x
e AJ;
e A and of
y e BJ;
A;
A-B = [x-y :x e A and
where
+
0,
y e BJ;
n
then
n=l
H e C[ [t ,to+aJ, E] o
if then
s up a(H(t» t oStst o+a sup Ilall.5 r a eA
if
(Lx)
A+B
>.. A
{An } is a decreasing family of subs ets of E such that
if
(viii)
a(B);
= a(A) where A den otes the closure = 0 i f and only i f A is compact;
la(A) - a(B)! ~ a(A-B)
(vii)
~
>.. e R where
for
a(A) + a(B)
~
a(A)
i s any equi cont i nuous family of f unct Lons
= a(H)
then
where
H(t)
= [ u(t) :u(-)
e HJ ;
a(A) ~ 2r.
For t he proofs of the s t atements in Lemma 1. 3 s ee [1'1 , 26 , 27 ,2 8J . A l ocal existen ce t heorem employing compact ne ss type conditions i s the following.
Her e again we us e Lyapunov like fun ction .
Theorem 1. 3 . ( i)
f
Assume that "
i s uni f ormly continuous on
IIf(t , x ) II s ~ :: (ii)
M on
V:[to,t o+aJ x n
a - continuous i n
A,
RO and
a > 0
is chosen such that
RO; +
R+ such that
V(t,A):: 0
V is continuous in
if and onl y if
t
an d
A i s compact an d fo r
!V(t,A) - V(t ,B)1 ~ La(A-B);
- 48 -
V. Lakshmikantham
(Hi)
D+V(t,A)
~(f)
(iv)
~ r;(t+h,~(f))
lim sup h-+O+
==
L
~
= [y:y = x+hf(t,x):
g e c[[to,to+a] x R+, R],
g(t,O)
==
~
- V(t,A)1
0
g(t,V(t,A»)
x e A]; and
u 50
is the unique
solution of the scalar differential equation (1.2). Then there exists a solution for the problem (l.t) on Using the notation of Lemma 1.2, define for
Proof. function
met)
= V(t,{xn(t)}).
Let
n
n
1.-
1.
t e (t. l' t.].
integer such that
t e (to,to+a]
[to,to+a]. t
e [to,to+a]
and let
Then for small h > 0,
i
the
be the
we have by
(H) ,
m(t+h) - met)
s
L aQXn(t+h) - xn(t) - hf(t,Xn(t»)U
+ V[t+h,{X (t ) + hf(t,x (t»)}) - V(t,{x (t)}) . n
n
n
Thus one gets (1.6)
n+m(t)
s
l L lim sup -h h-+O+
J{x (t+h) 12 n
- x (r ) - hf(t,x (t»)0 n n ~
By (iii) of Lemma 1.2, we see that +h
(1. 7)
Ilx (t+h) - x (t ) - hf(t,x (t») n n n
~
f II t +h
t
f (s ,x (s») - f (t,x (t ) ) lids n
,
II s II[ t [(x)+ (s ) n n
- f(t,x (t»)]ds II n
- 49 -
V.
By uniform continuity of
II f(t 1 ,x)
that
f,
given
f
- f( t 2 ,y) II <
By (ii)
of Lemma 1.2,
Thus if
h
I Ixn (t)
0
£ >
Lakshmikantham
there exists a
provided
such
IIx-y II < e. It-s I < M. 0
and
It 1-t 2 ' < 0
- x (s)1 I ~ Mlt-sl < 0 n
0 > 0
l·
f
is sufficiently small ,t+h
Jt II f (s ,x n (s»)
(1. 8)
- f (t ,x (t») n
Ilxn (t~1- 1)
Also, by (iv) of Lemma 1.2,
IIds
<
eh
"'4
- xn (s)11 s Mlt~1- l-sl s Mlt~1- l-t.11
implies that
Ilf[t~
(1. 9)
if
n
1-
l'xn
(t~
1-
is sufficiently large.
1)) - f(s,xn (s») II s en
c 4
< -
Hence the relations (1.7), (1.8) and (1.9)
together with (ix) of Lemma 1.3 yield
Since
£
is arbitrary, (1.6), (1.10) and the assumption (iii) give the
differential inequality
m(t o) = 0
and consequently by Theorem 1.1 we get
Since
{xn(t O) }
x o'
where
r(t,to'O)
is the maximal solution of (1.2).
Since by assumption
This implies for all
t e [to,to+aJ
equicontinuityof
and as a result of (viii)
{x (t)}, n
there is a subsequence of , subsequence
we conclude {x} n
a({x (t)})=O n
of Lemma 1.3 and
a({x}) = O. n
Consequently
which we again designate by
{xn } converges uniformly to a function x from
{x}. This n [to,to+aJ
- 50 -
v. into
B(xo,b)
such that
that this function
x
x(t o)
= x O•
Lakshmikantham
The rest of the proof of showing
i s a solution of (1.1) is exactly similar to the
corresponding part of the proof of Theorem 1.2 and hence is omitted.
The
proof of theorem is therefore complete. Remarks .
Take
Y(t,A)
= a(A),
A
en.
Assume that for small
h > 0,
By (vi) of Lemma 1.3, it follows that n+Y(t,A) ~ g(t,Y(t,A)) and s o the condition (iii) of Theorem 1 .3 holds. t o as sume that
a(f(t,A)) ~ g(t ,a(A») . Also if
said to be a-Lipschitzian. s ets then
f
If
f
i s a-Lipschit zian with
g(t,u )
O.
true under Kamke's uniquen ess condi tion .
2.
D_V(t,A)
k > 0,
f
is
Thus the results in [26,28,12]
We have intentionally assumed
Perron's uniquenes s condition in Theorem 1.3.
could use
= ku,
maps bounded sets into compact k
are spe cial cases of our Theorem 1. 3.
A stronger assumption is
However, the proof remains
Also, instead of
n+Y(t,A), we
to obtain the s ame results .
Global existence. Contrary to the case in
x(t)
in an abstract Cauchy problem a solution:
need not have the property that either
or on
[to,T)
See [
7
]
with
to
<
T .::; to
-I.
for a counterexample.
a
and
x (t )
IIx(t)1I
exists on [to,tO+aJ -+
00
as
We shall therefore have to impose
further r estrictions in order to rule out such a behaviour. section,
t .... T.
In this
we shall give different s et s of assumptions which guarantee
t he global ex i s tence of solutions of the problem
- 51 -
V . Lakshmikantham
(2 .1)
whe r e we assume t hat
t
g e C[R+ x R+, R+],
e R+ ,
x
E, E] .
Assume that
Theorem 2 . 1 .
wh~re
f e C[R+
g( t ,u )
is nondecreasing in
and the maximal s ol ut i on
r(t,to 'u
u
for each
of the scalar differential
O)
equation (2.3) exi s t s on
[to' oo) .
Suppose that
f
is smooth eno ugh to ass ure l ocal Then t he
ex i stence of solutions of (2. 1) for any largest interval of existence of any solution t hat on
Il xo l l :: [to ,00)
Pr oof .
"o is [to ,00) .
t hen the
x ( t~t o ' x o )
Let
exi s ts on
t-+<»
Define
O)
=y
< 00
met)
O)
r(t ,to'u o)
of (2 .1) such is bounded
e E.
be any s olution of ( 2.1)
f or
be increased .
i n addition
If
lim x(t ,to'x
x( t,to 'x
with
I Ix o l I
s U o which
and s uch that t he value of
= I Ix(t,t o,xo)1 I
for
to:: t < 8 .
cannot Then
using the assumption ( 2.2) we obtain
and
m( t o)
~
u . o
Hence by Theorem 1.1 , we have
(2 .4) where
r(t,to'u o)
is t he maximal solution of ( 2. 3 ) .
For any t 1,t 2
- 52 -
v.
Lakshmikantham
(2 . 5 )
~
s
f2 t
g (s , l lx (s , to , xo) l l) ds
1
f2
g (s ,r (s , to , u o») ds
t1
Here we ha ve us ed t he monotony of g(t,u) and the rela tion (2.4) .
Since
l im r(t, to 'u o) ex is ts and i s finit e, taking limits as t 1,t2 -+ S- and t -+S us ing Cauchy cr i ter i on for conve r ge nce , i t f ollows that lim x(t ,to'u O) t -+Sexist s . We de fin e x (S ,to ' x ) = lim x ( t ,t o ' x O) and consider the o t-+Si nit ial va l ue pr ob lem
By as sumed l ocal exis tence , we see that beyond
S,
Since
contr adicting our ass umption.
r(t,to 'u o)
fo l lows t hat
ca n be conti nued
He nce every so l ution of (2. 1 )
i s bo unded and nondec reasing on
lim r(t,t ,u) t --
x (t , to 'x ) o
0
0
exists and is fini t e.
Rema r k .
Clear ly
f
S
=
00
yi el d the
The proof is comple t e .
i s bo unde d on bounde d s ets if
cond i t i on (2 .2) whi ch need not be true if we r el ax ( 2. 6 )
it
Thi s togethe r with
the i nequalities (2. 5) and ( 2 .4 ) whi ch now hold wi t h last par t of the t heorem.
[t o' oo ) ,
f
s at is f ies the
(2 .~)
to
- 53 -
V.
wher e E
->-
= Lnf'{hf x l rh
(x,yL
2E'~
s uch t hat
J( y)],
€
J( x) = [h
J being t he duality map from
E* : ( x ,h ) = II xl1
€
L aksh mikantha m
2
= I lh I1
2
Thi s is
] .
also the case whe n one r elaxes (2 . 2 ) to a more general condi t ion by means of Lyapunov like function .
I f we need only global exi s t ence we coul d
als o r emove the res tri ction of monotony on
g ( t ,u ) .
Thi s i s the moti -
vation f or the ne xt res ult . Theor em
Assume that
2 .2 ~
f e C[ R+ x E,E],
(i)
i s bounded on bounded sets and f or any
f
( t o'x o) € R+ x E the re exist s a l ocal so lut ion for the problem ( 2.1 ); (ii) V e C[ R+x E, R+ ] , V
Ilx ll
uniforml y for
->- cc
(2. 7)
D+V (t , x ) :: lim h->-O +
where
g e C[R+ x R+ , R] ;
-
r( t )
Then fo r every xt t
sol ution
X
€
o on
)
(2.8)
. Pr oof . Ix
rCt,to' u o)
Let
and
y et ) :: x Ct )
V(to 'x o)
the relation
[to , a:»
the problem (2 .1) has a
s "o:
t e Ix ' x
~
y
x
x (t )
define d on is a sol ut ion of ( 2.1 )
We de fine a partial or de r
implies that
We sh a ll firs t show that
ther e exis t s a sol ut i on
g (t ,V( t ,x ») ,
t ~ to.
E such t hat
V(t,x(t») ~ ret),
Ix
as
whi ch sat is f ies t he estimat e
with values in
on
<
of (2 . 3) exists on
S denote the s et of all functi ons
S as follows:
a:>
> O.
o
E such that [ t o ,a:»
->-
and f or (t, x) e R+x E
V(t , x ~ J
x+hf (t ,x ») -
Vet ,x( t») ::; r(t),
= [ to'c x)
on Ix
U
o
for every T >
[ 0 , T]
~ I~(t+h,
(iii) t he max imal solut ion
an d i s pos i t ive if
x, V(t,x)
i s l ocally Li ps chit zian in
S
x ( t ) of (2.1) define d on
I
x
<= 1 y
x
on
and
i s non empty. I
~
= [ t o ' cx ) .
By ( I ) Set t i ng
- 54 -
V. Lakshmikantham
= V(t ,x (t »)
met )
for
t e Ix
and using t he assumption (ii) , it is easy
to obt a i n the differential inequality t e I . x
Now by Theorem 1.1 it fol lows that
where and s o If on I
t e Ix'
V(t,x(t») 5 r et ) ,
(2 . 9)
is the maximal solution of (2 .3) .
ret) S
x e s
i s nonempty .
(x s)s
is a chain (S,5) ,
then there is a uniquely defined map y
that coi nc ides with
Y
and hence
y
i s an upper bo und of
(x S) S in
as sures the ex isten ce of a maximal el ement theorem i s complete if we s how that so t hat
This shows that
c
bounded on
z
<
I
Si nce
00
Since
z
[ to,czJ, t he relation is bounded on
I
r (t) V(t, x)
ous extension
(S ,5)
Then Zorn' s lemma
in
(S,~) .
as
+co
I lxl l
V(t, z(t») 5 r et)
+
I
on
z
115M,
is Lip s chitz on on
I
z
The pr oof of
z
t
[to' oo ) ,
uniformly in
00
implies t hat
By (i), this shows t hat th ere is an
z'
y eS
Suppose that i t is not t r ue
is assum e d t o ex i s t on
Ilf(t,z( t»)
whi ch shows that
Clearly
z
=
cz
on
M > 0
is
r-Ct )
t
on
II z(t) II such that
e I z.
and cons equently ha s a continu-
By continuity, we ge t
- 55 -
V.
This implies that
zo(t)
V(t,zo(t») 5 ret),
i s a solution of (2 .1) on
t e [to'c X'
z]'
[to'c
o > O.
= f(t ,x),
Define
zl (t )
zl(t)
is a
~olution
and clearly
= zo(c z ).
x(c z )
X
o
(t )
= ~,(t)
for
to 5 t 5 c z
(t )
for
cz
X
Clearly
z]
Consider the problem
By the assumed local existence there exists a solution [cz,cz+o),
Lakshmikantham
o
of (2.1) on
s
[to'cz+o)
t
<
on
c z + o.
and by repeating
the arguments that were used to obtain (2.9), we get
This contradicts the maximality of
z
and hence
cz
00 .
The proof is
complete. Remark.
The existence of unique solution
defined for all 1 .2
t
~
to
R o.
follows by Theorem 1.2. (2.1) for
is defined on [to,T-h},
of (2.1) which can be
may be proved (under the assumptions of Theorem
if the conditions imposed on
where instead of on
x(t)
f,
V and
g
are extended to every-
In that case, local existence and uniqueness Cons equent l y supposing that a solution
[to,T), T <
00
and setting
x(t)
of
pet) = V(t+h,x(t+h)~(~)
we arrive at
and as a result
where
r(t,to'u O)
[to'oo). that
is the maximal solution of (1.2) wh i ch exists on
Thus by the assumptions on
x(t)
can be defined on
V, lim
[to'oo).
x(t)
t ....T-
exists and it follows
Uniqueness is clearly satisfied.
- 56 -
V. Lakshmikantham 3. · Asymptotic Equilibrium. In this section we shall
contin~e
to consider the equation (2.1) under
the assumptions of Theorem 2.1. We say that the equation (2.1) has asymptotic equilibrium
Definition.
if every solution of (2.1) such that and tends to a limit vector t
+
v
€
veE
as
t
(to.xo)'e R+
+ 00
x
[t o' oo)
E exists on
and conversely to every given
E there exists a solution of (2.1) which tends to
v
as
00 .
When (2 .1) has asymptotic equilibrium then it is asymptotically equivalent to
in the sense that given a solution of (2.1) [of (3.1)] there exists a solution of (3.1) [of (2.1)] such that their difference goes to zero as t
+ 00.
Theorem 3 .1.
Under the assumptions of Theorem 2.1. given
exists aTe [t o' oo)
and a sequence
{xn(t)}:=l
veE
defined on
there
[T.oo)
such that
(ii)
{xn(t)}:=l M e R+ all
(iii)
is uniformly bounded on [T.oo). that is. there exists
such that
Ilx n (t ) II :'> M for all
t e [T.oo)
and for
n;
For each
n
we have
x (t )
n
is a solution of
x' = f'( t ,») •.
x(T + n ) = v. Proof.
Let
u(t o) =
l lvl l
r(t.to.1 Ivl I)
be the maximal solution of
which exists and is bounded on
[to .00).
u ' = g(t.u). Since
gf t .u) 2: 0,
- 57 -
V. Lakshmikantham r(t)
is non-decreasing and consequently
r(oo)
<
00. Also
t--
l lvll
~ r(t) ~ r(oo)
A e R+ let
For
u(t o) = A. ~
lim r(t)
u(oo)
t
t e [to'oo).
u(t,to,A)
As before we have
for all
for each
for all
t e [to'oo).
u' = g(t,u),
be the maximal solution of lim u(t) = u(oo) t--
However g(t,u)
<
00
A = u(t o)
and
is non-decreasing in
~
u(t) u
we have
Thus, [g(S ,A) ds < 00 for any A e R+. to 00 g(s,2r( 00») ds < 00 and so there exists to
(3.2)
1
In particular, such that
j;(s,2r(00») ds < r(oo).
(3.3)
T
Applying Theorem 2.1 for each non-negative integer exists a solution,
x (t) n
of
x'
= f(t,x),
x(T+n)
=v
n
we know there
on
[T+n,oo) and
(3 .4) where But
r (t) n
rn(T+n)
is the maximal solution of
= l lvl l = r(to)
~ r(T+n),
u'
= g(t,u),
u(T+n)
= I Ivl I.
so by Theorem 1.1 and combining
with (3.4) we have (3.5)
Let
u (t,T+n,l lvl I) n
u(T+n) = Ilvll. [T, T+nJ
unless
be a solution to the left for
u' = -g(t,u),
Now the largest interval of existence will contain u
n
becomes unbounded .
Suppose
u (t) becomes unbounded n
- 58 -
V. Lakshmikantham
and let and
t1 -,tz e [T,T+nJ
2r(ex»
~
un(t)
~
with
r(oo)
t1
<
for all
un(t 1) = 2r(oo), un (t Z) = r(oo)
t z,
t e [t1,tZJ.
Now
r(oo) = 2r(oo) - r(oo) = un(t 1) - un(t z) =
I fz-
g(s ,un (s») ds ' " =
1
~ Hence, for each Thus, for each
n
1
jt Zg(s,2r(oo») ds t1
~
fOO g(s,2r(oo») ds
<
r(oo) .
T
we know u (t) n
n
(Zg(s ,1.!Js») ds
remains bounded by
the maximal solution of
to the left exists and is bounded by
u' = - g (t , u ) , u(T+n) = Ilvll
2r(oo)
2.1 we know the interval of definition of
2r(oo) on [T,T+nJ.
on
[T,T+nJ
x (t) n
and by Theorem
can be extended to ~,oo) ;
Moreover, we have (3.6)
Ilx (t ) n
II
~ 2r(oo)
for
t e [T ,(0)
and for each
To complete the proof of this theorem we need to show equicontinuous.
f:
Let
E >
g(s,2r(oo») ds
<
g(s,2r(oo») ds
< E.
1
00
0
n, {xn(t)}:=l is
and note that by (3 .3)
and hence there exists
S e [T,oo)
such that
00
tinuous function
g(t,u)
On the interval
[T,S+lJ x [O,2r(oo)J
is bounded by. a positive number
L.
the conNow if
- 59 -
V.
Howev er , if
t ,t 1
e [S ,oo)
2
we ha ve
OO
t
1f
L a ksh m i k ant h a m
?
~ J g (s , 2r ( 00 »)ds
g (s, 2r (00 »)ds l
s
tl
if'S g (s ,2 r (00 »)ds I s Ljt.:t-tll
<
£
< L £/ L
t hen
and i f
c,
Thus
1
continuous .
Thi s co mpletes the proof.
We have most of the machi ne r y needed to complete the pr oo f of as ymptotic eq ui l ibr i um.
If s omehow we could conc l ude th a t f or e a ch
( or in f act any infinit e s ub i nte r va l of
[T, oo )
t hat
{ X
n
t € [ T,oo )
(t ) }OO n=l
is
relati ve ly compact) we coul d apply As co l i ' s Theorem and, wi t h on ly a little work , be fi nished . Lemma 3. 1. v
€
Suppose t he hypoth es es of The orem 2. 1 are satisfied .
Ef and l et
The orem 3. 1 .
{X
n
(t ) }OO n=l
For each
Not ice that
~ a( {xn(t 1 ) nui ty of Lemma 3.2.
-
met) = a( {xn (t)}~= l)'
For
by ( vi) of Lemma 1. 3 .
Us ing t he equi cont i -
and ( i x) of Lemma 1 . 3 , t he proof i s compl e te .
Suppose the hypo thes e s of The or em 2. 1 are sat is f i e d and [ T, oo)
x E.
Let
be t he sequen ce of fun ct i ons whi ch ex i st by The orem 3. l.
t € [T , oo )
and
x (t + h ) n
x ( t) n
met)
[T, oo).
i s uni f ormly continuous on bounde d subs ets of {xn (t ) }:=l
Then
m( t l) - m(t 2 ) = a ( {xn ( t l) }~= l ) - a ( {xn( t 2) }~= l)
x (t 2 ) }:=l) n
{ xn(t)}~=l
Let
be the seque nce of f unct i ons wh ich e xist by
t € [T,OO), l e t
is uniformly cont i nuous on Pr oof .
We ne e d the f ollowi ng l emmas befor e we procee d
h > 0
we can express
x (t) + hf ( t ,x ( t ») + h e (h) n n n
x (t - h ) + hf(t , x ( t») + h £ (h) n n n
and
whe re
f
- 60 -
V.
and
lim a (f E (h) }"'- l ) h-+O+ n n-
L aks hm i k antham
o.
Proof . . We wi ll give the proof of t he fi rs t expres s ion and note the othe r proof i s s i mi l ar . A = [ t, t +lJ
on
x
< 6
(t 1 ,y 1) , (t 2 ,y 2) e A.
<
6
n.
and s i nce
> 0
<
l}
implies Si nce
Thus , fo r
f
t he r e exis t s
i s uni f orml y con t i nuolli s uch that
6 > 0
IlfC t 1 ' Yl ) - fCt 2 ,y 2 )II
<
£
f or
is ~icont inuous , t he re ex i s t s
{xn (t )}:=l
t e (t-Y,t+y)
s uch t hat f or f or all
£
{x e ell lx l i
It 1- t 2 1 + II Y1 - Y21 1
Y> 0
Let
IIx n ( t
we have
) - x ( t)
n
II
+
It'-t I
h < 0 we know
IIh e (h ) 11 = I lx (t + h ) - x (f) - hf (t ,x (t) )11 n n n n
£h . Thus ,
II cn (h) II s
a'({ £n (h ) } ~= l ) s Theorem 3 . 2. ( i) ( ii) ( ii i )
f
2£
fo r each
c
n
and by (ix ) of Lemma 1. 3
and consequen tly
Suppose the hypotheses of Theorem 2.1 and als o that
is uni f ormly continuo us on bounded subset s of
the r e ex i s t s
t * e [T,oo)
G e C[ [ T, oo ) x R+ ,R+]
s uch that
s uch t ha t
fo r
h
>
0
and
[T , oo ) x E,
m(t * ) = 0 ,
G( t ,o ) = 0
ut t ) of u ' = G(t ,u ) , u (f ) = 0 wit h ( Lv)
we have
lim t +t
A a boun ded s ubs et of
and the on ly s ol ut i on
~ = 0 i s u Ct ) t-t
==
0,
IE we have
a (f x + hf(t , x)lx e A}) - a(A ) ~ hG(t , a ( A) ) . Then Pr oof .
met)
==
0
Reca l l
on
[ t'" , 00 ).
met ) = a ( {xn( t ) }~= l ) '
Now using Lemma 3 .2 and cons i der fug
- 61 -
V . Lakshmikantham h >
° we have '=
h-l~({Xn (t)
+ hf (t ,xn (t ) ) +
h£n (h ) }~= l )
- C1 ({ Xn (t) }
s
h- l ~ ({Xn ( t )
+
hf(t 'Xn ( t ) ) }~= )
D
~= 1
-
C1 ({Xn (t ) }~= l )
+
C1 ({h£n(h) }~= l D ·
Now , using ( iv ))and (i i) o f Lemma 1. 3 we have h-1E(t+h) -
m(t~ ~ h-l~G[t ,a({Xn(t)}~=l)) =
G[t,C1({Xn(t)}~=l))
met)
lot,
C1 ({£n(h ) }~= l ) '
D+m ( t ) ~ G( t , m( t ) ) .
Hence , by app lyi ng Lemma 3 .2 we obtain The orem
+
hC1({ £n(h)}~=lD
+
s i n c e . D+m(t) ~ G(t ,m(t)) on [T , "') and
Ag ain, by
m (t '~ ) = 0, we have
is l e ss than or e qua l to the maximal solution of ti' = G(t,u),
u ( t"') =
o.
Cons ider
h - 1[ x ( t*+h)] n
and us ing Lemma 3 .2 th e n f or h > '
.
Thus. C1 ({x n (t *+h) }:= l ) h
° we h a ve
- 62 -
V . L ak shmikantham
G( t 1' , m( t 1, ») Hence
lim
t~t*
Remark .
= o.
G( t"' ,O)
mt t ) t-t"
o
so by ( i i i ) we have
o fur all
me t )
t e [t';oo) .
By Theorem 1 . 3 and t he r emar ks that f ollowed i t 'is easy to s ee
t hat the sys t em' Theore m 3 . 2.
(:2.. i ) (~
ha s a l ocal so l ution under the as sumpti ons of
Thus, we h av e s uff icient hypothes es t o assure l ocal exis-
tence and so the ass umption abo ut l ocal ex istence in Theorem 2.1 i s superf l uous when ever we assume the conditions of Theorem 3. 2. In 'Th eorem 3 .2 we as s umed the existen ce of m(t* ) = O. t
1 '
t* e [T,oo)
s uch that
Theorem 3.3 y i el ds suff i cient condit ions to ass ure s uch a
exis ts. Suppose t he hypothes es of Theorem 2. 1 and also
The orem 3 . 3 . ( i) (ii )
i s uni formly cont inuous on bounded s ubsets of [T,oo) x E
f
F e e[[T , oo) x R+ , R+]
and
t o the l eft f or each
(t, ~) e [ T,oo ) x R+
u ( t) (iii)
For
t here exists h < 0,
t
1
u ' = F(t,u ), u( t) = ~
e (T , t ]
and for any solution u( t
s uch that
A a bound ed s ubs et of
E,
has a solution
and
1
)
=
o.
t e [T,t]
we have
a ({x + hf( t . x ) Ix e A}) - a (A) ~ hF(t, a(A») . Then , t here exis t s a Pr oof .
Re call
i s con tinuous.
t* e [T ,oo)
s uch t hat
m(t "') = O.
me t) = a ({xn ( t ) }:=l ) an d from Lemma 3.1 we know met ) Now us ing Lemma 3 .2 and cons i de ri ng
h > 0
we have
= h- 1r:({x (t )}"'-l ) - a ({x (t ) - h f'( t ,« (t») -h E' (h ) }OO 1)1 . L n nn n n n= ~
- 63 -
V.
Lakshmikantham
Now by ( i i i ) of Lemma 1 . 3 we have h- I E (t ) -
m(t-h ~
z h- I
~((Xn( t) }:=I)
- a ({xn(t) - hf( t,xn(t»)}:=I) +
a ({-h€n (h ) }:= I)~ ·
Next us i ng ( i i i ), an d (ii) of Lemma 1. 3 we have
m(t-h~ ~
h- I G (t ) -
h-IGF(t ,a({Xn(t)}:=I)) + ha({€n(h)}: =I)]
= F(t,a({ xn(t) }:=I) ) + a ({€ n (h ) }: =I) · Thus,
+ l i m a ({€ (h)} OO_ I). h-+{) +
Si nce
lim a( {€ (h )} OO_ I) = 0
h-+{) +
n
n-
Fr om (3 . 6) we have
R(t ,t , 4r (oo »)
b~
u(t) = 4r( oo) .
n
R(t l) = 0
on
Theor em 3. 4 . sat isfied . Proof .
[T,t] .
f or any
For
R(t ,t , 4r (oo »)
on
{xn (t * ) }: =1
n
with
l et
u ' = F(t ,u ) ,
[T, t]
f ollows f rom
D_m( t) ~ F(t,m( t» ), we have
1\ t ,,: e [t l,t ]
s o by (L x)
t e ( T, oo)
However , by (i) there exis ts
and so there exi s t s
whi ch means
[T,oo)
met ) 5 4r( oo).
The existence of v
R(t ,t , 4r (oo »)
D_m(t ) ~ F(t, m(t» ).
t he maximal s olut ion t o t he l eft f or
By. The or-emjl L, s i nce
(ii).
= 0
\
n-
by Lemma 3.2 , t hen
Ilx ( t)1 !:o2r(oo) on
of Lemma 1 .3 it f ollows that
n
t
met) 5 l
e [ T, t ]
with
a ({ xn (t ' : ) }OO n=1)
i s r elatively compact .
Suppos e t he hypothes es of Theorems 2. 1 , 3. 2 , and 3.3 are Then ( 2.1) has asympt oti c equ i l ibr i um .
The s eq uence
property that
{xn( t)}: =1
{xn (t) }:=I
cons t ructed in Theorem 3. 1 ha s the
i s relati vel y compa ct for each
t e [t it, 00 )
- 64 -
V.
by Theorems ' 3. 2 and 3. 3.
Applying As col i 's
. . . se on a s ubsequenc e wh1ch converges p01ntw1
pa ct sub sets of
sets .
x(t )
Th e o~em
we know there
exists
[t'" , 00 )
and uniformly on com-
To s i mpli fy the notation we will us e {xn( t)} ~=l
[t'\oo).
t o denote the s ubsequence. and note
Lakshmikantham
Let
x( t) =
dim
xn (t)
for each
t e [t *,oo)
i s continuous by the uniform conver gence on compac t s ubt e [ t * ,oo)
For each
we have
x (t) = x (t*) + n
n
Si nce convergence is
unifo~
Itt'"f(s,xn (s »)
ds.
on compact subsets th en it foll ows that
x(t) = x(t*) + I:*f(S,X(S») ds. Thus, x (t ) is a s ol ut i on of t he sys t em x' = f(t ,x), x( t *) lim x (t ) = v . Let £ > a and then t-+«> OO S > t* s uch that f g (s , 2r (00 ») < £~.
It remains only t o show that by (3.2) there exists an integer If
t e [S, m) there exists
I lxnCf) - xC€) II <
s
N s uch that f or all
Consider
£/2 '
n > N we know
N + S and r ecall that
XN+S(T+N+S) = v ,
Thus,
Ix< t)
Ilx(t) - v II = I
- x N+S (T+N+S) II
s I IxC€) - xN+S(t) II + IlxN+s(t) - xN+S(T+N+S) II £/2
s
£~ + If+
s £~ and so
lim x f t t-+«>
)
f+N+S
II
s
= v.
+
+
I:
t
A
:t
f(s,xN+ S(S)) ds I I
N+S g (t , l lxu+s (s ) I I) dsl
g( s, 2r( 00)) ds <
£/2
+% =
This compl et es the proof .
£
- 65 -
V. Lakshmikantham
4.
Nonlinear variat ion of par ameter s formul a dnd s tability' theory . we consider the diffe rential equa tion
and its non2.ine ar per-turbat Lon y ' = f (t ,y ) + F(t ,y),
( 4 .2)
where
A nonlinear continuous functiona l
admissib le in
(ii) (iii)
o)
f, F e C[R+ x E,E] .
Definition .
(i)
y( t
~:E
R+
+
i s s aid to be
E i f the f ollowing properties hold :
Hx ) > 0,
x e E,
x
10
lim Hx ) = 0 f or n n-there exists a mapping
if
tinuous in
an d
= 0;
e E,
then lim x 0; n n-M: E x E + R such that M[x,h ]
x
n
uniformly in
h,
~(o )
x
is con-
S(x o .o )
i n any sphere
and
s at i s f i es
-
(a)
~(x+h )
(b)
M[x,Ah]
Hx) ::: M[x,h] + 0 (1I h'
= AM [x,h ],
A ~ 0,
Let us s uppos e that the Frechet derivative respect to
x
ex i s t s and is continuous on
I),
x, h e E;
x, h e E;
fx(t,x) of
f(t ,x)
+
R x S(xo,p).
with x(t,to'x o)
If
is the s ol ut i on of (4 . 1) , we con sider the variat ional equation (4. 3)
We denote the fundamental solut ion of ( 4.3) by
U(t,to'x o) '
We need t he
foll owing result whose proof is given in [ 8 ]. Theor em 4 .1 .
Let
~:E
+
R+
be admissib le , and let
M[h ,fx (t.z)h] ~ g (t ,~(h » ) . :,; c,p
al l
z
€
S( xo , p ) ,
h s E and
t 2: 0 , where
g e C[R+ x R+, R] . Sup-
- 66 -
V. Lakshmikantham pose that the maximal solution of zero for a ll
t
~
to'
o is identically
u'
Then
(a)
the Frechet derivative
(b)
the Frechet derivative
dX dX
(t; ,to ,x o) - U(t,to'x o) O satisfies the variational eq~ation (4·3) ;
dX
dt o (t,to'x o)
satisfies
-
V(t ,to 'x o)
exists and
exists and
Furthermore,
= fx (t,x(t ,to'xo»)V' V(t,to'x o) = -U(t ,to'x o)
Theorem 4 .2.
Under the hypotheses of Theorem 4.1 the fol lowing formula
V'
holds : (4. 4)
x(t,to'~o)
where
x(t,to 'x o )' x(t ,to'yo)
Proof.
- x(t,to'XO)
=
f:
V(t o)
= -f(to 'x o)'
f(to'x o)'
U(t,to'x o +
s(Yo-xo» )(~o-~o)ds ,
are the solutions of (4.1).
By Theorem 4.1 and the chain rule f or abstract functions we have
Integrating this from
0 to 1
with respect to
s
yields the desired
result . We shall now eS~ lish the variation of parameter formula . Theorem 4.3 .
Assume that the hypo theses of Theorem 4.1 ho lds and
F
smooth enough t o guarantee the existence of solution of (4.2) for all t
~
and
to'
Then , if
x(t,to 'x o )
and
( 4.2) respectively , we have for
Proof:
Set
y( t)
y(t,to'x o) t
~
to '
are so lutions of (4. 1)
is
- 67 -
V. Lakshmikantham
~s
ox ( () ox ( )dy (s ) ot t,s,y s) + oX t,s,y(s) ds o o
x ( t ,s ,y (s ) )
-U(t,s,y~s))f(s,y(s)) +
+ U(t,s,y(~)[f(s,y(s)) + r(s,y(s))J U(t,s,y(s))r(s,y(s)). Integrating from
t
to to
we obtain the formula (4.5).
The following classes of functions will be used often. + +J , L = [ a:a e C[R,R A
= [a:a
e C[R+X [o,p),R+J.
and increasing in K
B
= [13:13 = [H:H
is decreasing in
aCt)
r
e C[[o ,Q.) ,R+J,
a(t,r)
for each 13(0)
=0
t
and
aCt)
is decreasing in t
and
such that S(r)
e C[R+ x R+,R+J and for some n
lim t+oo
t
We define 0 as t
+
for eact
a(t,r)
00];
r
= 0];
r+O
is increasing in
> 0,
+
r] ;
= oD·
lim {sup H(t,t o) t+oo to~n
We shall next define asymptotically self invariant set and the notion of stability in variation of such sets. Definition.
The set
x = 0
is said to be asymptotically self invariant
(ASI) relative to equation (4.1) if every solution
x(t,to'O) A
Definition. (a)
The ASI set
Ilx o II
provided (b) <
a
~
=0
M(a)
s
>
0
e L.
is said to be
uniformly stable in variation if for each
exists a constant
o
x
satisfies
a,
0
<
a
~
p,
such that
a;
uniformly asymptotically stable in variation if for each p
there
there exists a function
na e L such that
a,
- 68 -
V . Lakshmikantham
Il x o II
provided
s
a;
(c)
uniformly stab l e if there exists a f unct i on
(d)
un.Lform.Iy asymptotically stable i f there exist f uncdons
cr eLand
a e A s uch that
a e A,
H e B such that
We note that i f f( t ,0) :: 0
so that
x:: 0
is the unique solution
of (4.1) then ASI set reduces to the usual invari.ant set. We now prove a typical result based on the- nonlineal' var·iation par-ameters formula . Theorem 4 .4 .
Assume that
(1)
hypotheses of Theorem 4.3 hold;
(21
the ASI set
x
=0
relative to (4.1) is
unifo:~ly
stable in
variation; (3)
IIF(t,y)11 ~ p(t), x = 0
Then the ASI set
if
Ilyll:5 a
and
.( o Cs Ids
<
QO
•
i s uniformly stable relative to the perturbed
equation (4.2) . Proof.
By (2) and (4.4), we get
If y(t,to'x o) Ily( t,t o,xo)11
is any solution of (4 . 2), we have by (4.5)
s
J
Il x(t,to,xo)l i +
Ilu(t,s,y( s ») il
"0
s x(t 0) as long as
ffil Q
(3) ,
It
+
lWx)
I b,o i I + !-f(a ) Set ting
I!F(s ,y( ::: 'J) ! ! ds
r
p ( s ) ds
·t
o
and
- 69 -
V . Lakshmikantham
I) = A(t o) a(t Il x o II) s a by o' a( to,llxol
ly small .
+ M(a)[1 Ixol I+N(t o)]'
we see that
a e A.
Thus
choosing to sufficiently large and Ilx o II auf'f'Lc.i.errt-,
Hence the proof.
The following lemma will be useful later. Lemma 4.1 .
Assume that the assumptions of Theorem 4.1 hold.
further the ASI set
x =
stable in variation. (l~ .
° with respect to equation
Suppose
(4.1) is uniformly
Then
6)
provided
xo'YO e Sea).
The proof is immediate from (4 .4) and the definition of stability in variation. We shall next obtain the necessary conditions for the stability in variation and asymptotic stability in variation .
For the purposes of this
section, we assume without further mention that the hypotheses of Theorem 4.1 hold. Theorem 4.5 .
Assume that the AS I set
uniformly stable in variation.
x
=0
with respect to (4.1) is
Then there exists a Lyapunov function
v(t,x) with the following properties: 1)
v(t,x) is defined and continuous on R+ x Sea);
2)
Ilxli ~ v(t,x) ~ a(t,I/xll>,(t,x) e R+ x Sea),
3)
Iv(t,x) - v(t,y)!
4)
n+v(t,x)(4 .l)
Proof.
=::
s 0,
Let the ASI set
x =
formly stable i n variation. definition
M(a)llx-yll, (t ,»)
for
where
a e A;
(t,x),(t,y) e R+ x Sea);
e R+ x Sea).
°with respect to the system (4 .1) be
uni-
Then, we have, in view of (4 .4) and t he
- 70 -
V.
Ilx(t,to,xo)ll:s M(ex)llxoll + A(t O) '
(4.7)
t ~ to'
for
Lakshmikantham
Ilx o II
whenever
= supllx(t
vt t ,»)
(4.8)
s ex . Define + o,t,x)ll,
o~O
where
x(t+o,t,x)
is the solution of (4.1). through (t,x) .
The unique-
ness of solutions of (4 .1), together with the estimate (4.7) implies that v(t,x) is well defined on
R+ x S(ex).
Using (4 .7) and (4.8), we readily
see that 2) is verified, with (4.9)
where
a(t,llxll) :: M(ex)llxll + A(t), A e L.
To prove 3), consider, for (t,x), (t,y) e R+ x S(ex),
Iv(t,x) - v(t,y)1
= !supl Ix(t+o,t,x) II czo
sup11x(t+o,t,y)111
s
o~O
:s sup[llx(t+o,t,x) - x(t+o ,t,y)IIJ o~O
which, because of
(~ .4)
and the definition of stability in variation
yields (4.10)
Iv(t,x) - v(t,y)1 ~ M(ex)llx-yll.
The continuity of
v(t,x)
and the property 4) may now be proved by
following the standard arguments with appropriate changes.
The proof is complete .
Remark.
It is important to observe that Lyapunov function constructed
in the foregoing theorem is Lipschitzian in
x
for a constant.
This
fact is crucial in studying the effect of perturbations . Theorem 4.6.
Assume that the ASI set
x = 0
with respect to the system
(4.1) is uniformly asymptotically stable in variation .
exists a Lyapunov function 1')
w(t,x)
Then, there
verifying the following properties :
w(t,x) is defined and continuous on
R+ x S(ex);
- 71 -
V. Lakshmikantham 2')
Ilxl l S w(t ,x ) S b(t, l l x l l), ( t, x) e R+ x S ( a ) , b e A;
3 ')
/w(t , x) - wet , y)
4')
D+W ( t ,x ) ( 4 . 1 ) S -ow(t , x) + AI ( t ) , ( t , x ) e R+ x S ( a ) , where and
Proof.
Is
L( a ) /Ix- y II, (t . x ) ,(t ,y) e R+ x S(a);
0
0
>
Al e L.
Define
t+T
I
(Li.ll)
vo(t,x) =
J
Ilx(s,t,x)llds,
t for some fixed t he ASI s e t
T > 0
x = 0
that we s ha l l choose later.
Since, by hypothesis,
is uniformly a s ymptotically stable in variation, we
ob t a i n , a s before, for
t ? to '
(4.12) where
IIxoll:: a .
(4 . 13 ) ·
Now , usin g (4.11) and (4.12) , we find that
Ilxl l
vo(t, x):: A( t )T +
I
tn
u-u I na(OdE; T
na (s -t )ds = A( t )T +
a
t
A(t)T + N( a ) Il x ll .
=
Al so , for (4.14)
(t, x),(t, y) e R+ x S ( a ) ,
Iv o(t ,x) - v o(t,y) 1
~
=
we have, a s previously ,
t+T Il lx( s, t,X) - x (s , t ,y ) l ld s S
t
T
S Il x-y II Ina (Od E; = N(a) Ilx- y II·
a Furthermore, using (4.11), (4. 12) and the uniqueness of solutions of ( 4. 1 ) it i s e asy to see that D+v (t,x (t » =lim
s~p k-
h+O
J
h T + + t+T Ilx (s ,t+h,x(t+h ,t,x» )/lds - Illx( s,t,x)llcis t+h t
J
L
- 72 -
V. Lakshmikantham
. = 11m
1
suph+O+ h
f
t+h+T
I
t+h
= I Ix(t+T,t,x)1 I - l lxl l Let us now choose
nex e L.
since
T such that
j
t+h Ilx(s,t,x)llds - t Ilx(s,t,x)llds
n (T) ex
s (>"(t) , + nex (T)llxll) - IIxll· Such a choice is possible
~ ~.
Thus, we have
Using the Lipschitzian character of
vo(t,x), we obtain
(4.J.5) Now define w(t,x) = vo(t,x) + v(t,x), . where
v(t ,x)
is the Lyapunov function obtained in Theorem 4.5.
In view
of relations (4.9), (4 .10), (4.13), (4 .14) and (4.15), it is clear that w(t,x)
satisfies all properties (1')-(4') with
L(ex)
= M(ex)
+ N(ex),
The proof is complete . For our subsequent use, we merely state below a result that gives sufficient conditions for the set
x
=0
to be ASI relative to (4.1 )
and the stability cri.teria of such a set. Theorem 4.7 . (i )
Assume that
g e C[R+xR+,R],
V e ' C[R+xS(P),R+]
and
V(t,x)
is locally
Lipschitzian in x; (Li ) b(lIxll):::: V(t,x):::: a(t,llxll), and
a e A;
(t ,»)
e R+ x S(p) , where
be K
- 73 -
V. Lakshmikantham D+V(t.x) = lim sup h-+O+
(iii )
~ ~(t+h,X+hf(t,X») -
Vet ,x~
s
g(t,V(t,x»),
(t,x) e R+ x S(p) •
for
x = 0
Then (a) the set
is ASI relative to (4 .1) if the set
u
=0
is
ASI relative to (4.16) (b) the uniform stability or asymptotic stability of
u
=0
of
(4 .16) implies the uniform stability or asymptotic stability of the ASI set
x
=0
of (4 .1) respectively.
The proof can be constructed parallel to the proof of the corresponding result in Euclidian spaces. We now study the behavior of the ASI set
x = 0
with respect to the
perturbed system (4.2). Theorem 4.8.
Suppose that the ASI set
uniformly stable in variation. F(t,x)
x
=0
with respect to (4.1) is
Assume further that the perturbation
verifies
whenever
IIx II s
a
and
A e C[R+,R+J, satisfying the condition a
(4.18) Then. the set
x =0
is ASI with respect to (4.2) and is uniformly
stable. Proof.
We have, for
(t,x) e R+ x Sea).
D+v(t.x)(4.2) where
v(t,x)
s
D+V(t,X)(4.1)+ M(a) "F(t ,x)
II.
is the Lyapunov function obtained in Theorem 4.5.
(4.17) and 4), it follows that
By
- 74 -
V. Lakshmikantham
We wish to apply Theorem 4.7 . set
u
=0
Hence, it is enough to verify that the
is ASI with respect to (4.16) where
i t is uniformly stable .
Since
A (t)· a
= Uo
+ M(a)J
"to
satisfies (4.18), we get u(t,to 'u o) S
where
BeL.
= M(a)Aa(t)
and
t
u(t,to'u o) and
g(t,u)
U
o
+ B(t
A (s)ds a
t ::: to'
o)'
Clearly, this estimate implies that the set
the ASI relative to (4.16) and it is uniformly stable .
u
=0
is
This completes
the proof. Theorem 4.9 .
Suppose that the ASI set
x
=0
with respect to (4.1) is
uniformly asymptotically stable in variation and that (4.17) holds.
r~a(S)dS
as
+ 0
Let
t -,. "' .
t
Then, the set
x = 0
is ASI relative to (4.2) and is uniformly asymp-
totically -stable. Proof.
By Theorem 4.6 and assumption (4.17), we obtain, as before
S where
aCt)
= A1(t)
-6w(t~x)
+ A (t) + L(a)A (t ) = -6w(t,x) + aCt), a
1
+ L(a)Aa(t).
Notice that
aCt)
condition t+l
Ja(s)ds t
+
0
as t
+ '" .
also satisfies the
.,. 75 -
V.
Lakshmikantham
Now, to apply Theorem 4.7, we have only to verify that the set
u
=0
is ASI relative , to the scalar differential equation u'
= -ou
+ a(t)
and that it is uniformly asymptotically stable. g(t,u) = -ou + a(t), is given
In fact, the solution of (4.17),with by
t
(4.19)
+ Jexp(-o(t-s»)a(S)dS, to
t
Setting
H(t,t o)
= )r exp(-o(t-s»)a(s)ds to
~ where
p(t)
t+l !a(s)ds,
and noting that for
to
~
1,
t
f exp(o(s+l»)p(s)ds
exp(-ot)
to-l we see, as in [9, pp ,
t
ll~,
that
lim[sup H(t,t o)] = O.
(4 .20)
t-- to~l
Also,
t
f exp{o(s+l»)p(s)ds
(4.21)
5
to where
Q(t o) =
sup
p(t).
Notice that
r e L.
In view of the
to-l~t
relations (4.19), (4.20) and (4.21), it is easy to check that the set u
=0
is ASI and it is uniformly asymptotically stable.
the proof.
This completes
- 76 -
V.
5.
Lakshmikantham
Stability of nonlinear evolution equations. Here we shall study the stability properties of
(5.1)
x'
where
f e 'C[R+
in
with domain
E
x
E,E]
= A(t)x
+ f(t,x),
and for each
=D
D[A(t)]
x(t ) O
t e R+, A(t)
independent of
t e R+
R[h ,A(t)]
-
for each
x e E
and all
[I-hA(t)]-l
h
We shall assume the
° sufficiently small, the operator
>
exists as a bounded operator defined on
lim R[h,A(t)]x
(5 .2)
t.
is a linear operator
We shall also assume that
existence of solutions of (5.1) in the future. for each
= Xo
E and
x.
h-+O
The relation (5.2) is satisfied, for example, if for each generates a strongly continuous semigroup . not exa9tly the resolvent of A(t).
A(t)
but
1
h
Note also that
t e R+, A(t) R[h,A(t)]
is in the resolvent set of
The following comparison theorem is basic in our discussion of
stability criteria. Theorem 5.1.
(1)
Assume that
V e C[R+ x E,R+]
and for
!V(t,x 1 )
where
L(t) ~
(2)
.;
(t,x
1),(t,x2
) e R+ x E,
V(t,x 2)!:: L(t)IIx;-~I,
° is continuous on
g e C[R+ x R+,R]
and for
(t,x) e R+ x E,
:: g(t ,V(t ,x»); (3)
the maximal solution
r(t,t o ,u O)
of the scalar differential
equation (5.3)
u' = g(t ,u),
u(t o) = u o
~
0,
is
- 77 -
V. Lakshmikantham
exists on
[to ,00).
Then
~
implies that
u,., v
(5 .4) Proof.
Let
x(t) = x(t,to'x o)
V(to'x o) 5 u O'
Define
be any solution of (5.1) such that
met) = V(t,xCt,to'x o ») '
For small h
>
0
mtt-eh) - met) 5 L(t+h) Ilx(t+h) - R[h,A(t)]x(t) - hf{t,x(t)} Ii
+ V(t+h,R[h,A(t)]x(t)+hf(t,x(t»)) - V(t,x(t»), by (1).
Since for every
xeD
we have
R[h,A(t)][I-hA(t)]x
= x,
it
follows that R[h,A(t)]x + hf(t,x) = x + h[A(t)x + f(t,x)] + h[R(t,A(t»)Att)x - A(t)x]. Thus, we have m(t+h) - met) 5 L(t+h)I Ix(t+h) - .x(t) - h[A(t)x(t) + f(t,x(t»)]!
I
+ L(t+h)hIIR[h,A(t)]A(t)x(t) - A(t)x(t)11 + V(t+h,R[h,A(t)]x(t) + hf(t,x(t»)) - V(t,x(t»). Hence by (5.1), (5.2) and the condition (2) we obtain
which by Theorem 1.1 yields the desired estimate (5.4). The special case Corollary 5.1 . (5 .5) Then (5.6)
Let
V(t,x) =
I Ixl!
g e C[R+ x R+,R]
-1
offers the following corollary. and for
(t,x) e R+ x E,
lim h [IIR[h,A(t)]x + hf(t,x)II-lixIIJ 5 g(t,llxll)·
h4
IIxo II ~ "o
implies
- 78 -
V.
where
r(t,to'u o)
Lakshmikantham
is the maximal solution of (5.3).
Having the comparison theorem 5.1 at our command, it is now easy to prove various stability criteria corresponding to the results in Euclidian spaces [ 9 J. Theorem 5.2.
We merely state a typical result.
In addition to the hypotheses (1) and (2) of Theorem 5.1,
assume that (i) (ii)
f(t,O) - 0, g(t,O)
=0
and V(t,O)
b(llxll):s;V(t,x),(t,x)eR+xE,
Then equiasymptotic stability of
u
=0
= 0; beK. of the scalar differential
equation (5.3) implies the equiasymptotic stability of the trivial solution of (5.1). It is easy to see from the Corollary 5.1 that the functions g(t,u)
=0
and
g(t,u)
= -au,
a
>
0
are admissible to yield the
uniform stability and exponential asymptotic stability of the trivial solution of (5.1). 6.
On Perturbing Lyapunov Functions.
As in the case of differential equations in Euclidian spaces, in proving uniform boundedness of a differential system by means of Lyapunov functions, it is sufficient to impose conditions in the complement of a compact set in
E,
whereas, in the case of equiboundedness, the proofs
demand that the assumptions hold everywhere in
E.
We wish to present here a new idea which permits us to discuss nonuniform properties of solutions of differential equations under weaker assumptions.
Our results will show that the equiboundedness can be
proved without assuming conditions everywhere in
E
(as in the case of
uniform boundedness), provided we appropriately perturb the Lyapunov
- 79 -
V. functions.
Lakshmikantham
Our results also imply that in those situations when the
Lyapunov function found does not satisfy all the desired conditions, it i s fruitful to perturb that Lyapunov function rather than discard it. One could discuss the corresponding situation relative to equistability. We consider
t~e
differential system
(6.1)
where aA,
f e C[R+ x E,E].
A c: E
t,") ;5
(6.2)
where (ii)
and
A resp ectively.
Assume that is compact,
Lipschitzian in "lll
- C. A,A
we denote by
the closure. the complement and the boundary of
Theorem 6.1.
(i)
A c: E.
For any set
bc<-
x,
V e C[R+ 1
bounded for
x
Ac., R+], V1(t,x)
(r ,») e R+ x aA,
i·f )(. i s on ... b ..... "J.4l,,( J\.d;.
n+v1(t,x) :: lim sup h-+O+
i s locally
~ -(OY
I/."J.,
t.
o..,\<~
~ [V1(Hh, x+hf(t,x ») - V1(t, x)]
gl e C[R+ x R+, R];
V~ e C[R'" x SC.(P),R+],
V 2(t,x)
is locally Lip s chitzian in
(6.3)
where
a, b e C[[P,~),R+]
sufficiently large) and for
such that
b(u)
(t.x) e R+ x sc.(p),
(6.4)
(iii) ( 6. 5)
and
+ ~
the s calar differential equations
as
u
+ ~
(p
may be
x ,
- 80 -
V.
Lakshmikantham
(6 . 6 )
are equibounded and uniformly bounded respectively .
Then the system
(6.1) is e quibounded. Pr oof .
Since
A is compact, there exists a p (may be s ufficiently
large) such that [x e
E
~:d(x ,A) <
S(p) => S(A, Po) po] ,
be given.
max[VI( to'XO) :XO e Sea)
(l
I
Po >
n AC]
= 8 0 (t o ,a l )
Here
a* ~ VI(t,x)
and
and
Let
d(x,A )
Si nce the equation (6 .5) is equibounded, given t here exists a 8 0
o.
= inf Ilx-y II. yeA = al(to ,a) = max(a o,a*)
where
Let
for s ome
wher e
for
ao
=
( t .x ) e R+ x
a1 > 0
and
dA.
t o e R+ ,
such that
(6.7)
pr ovi ded
u
o
< aI'
where
u(t,to'u o)
is any sol ution of ( 6 .5 ) .
Als o,
uniform boundedness of t he equation (6. 6) yi el ds t hat (6 .8)
provided
v
o
< a
2,
where
v(t,to'v o)
= v 1(t O' xO) and a 2 = a(a) + choose a 8 = S(t o ,a ) such t hat
U
o
80 ,
is any solution of
(6. 5 ).
We set
As b (u )
u
we can
+ m
with
+ m,
(6. 9)
We now cl a i m that satisfies
x(t ,to'x o) e S( 8) ,
exi s t s a solution so me
X e Sea ) o
x(t ,t o ' x o )
t * > t o ' Ilx( t~:, to, xo)11
t wo poss i bili ties to con sider:
(i)
implies that any s olution
for
t
~
to '
of (6.1) with
= 13 .
Si nce
x(t ,to 'x :
o
I f this is not t rue, there
X e Sea ) o
such t hat f or
S( A,P O) C= S(a ) ,
there ar e
- 81 -
V . Lakshmikantham
there exists a
( Li)
€
~ fbI'
t
~ to
s uch that
x (t ,to 'x o ) e aA and
x(t,to'x o )
t e [t,t* ].
In case (i) holds, we can find
tl > to
such that
x(tI,to,xo) e as(a), x(t*,to'x o) e as(B),
( 6 .10)
and
it is easy to obtain, from (6.4), using standard arguments, the differ.ent i al inequality
Consequently, by Theorem 1.1, we get
where
r 2(t,t I,vO)
r 2(t I,tl' vo) = "n:
is the maximal solution of (6.6)
such that
Thus,
(6.11)
Similarly, because of (6.2), we also have (6.12)
where
rI(t,to'u
fact that
uo
O)
is the maximal solution of (6.5).
= ~l(tO'xO)
<
ai'
(6.7) yields
In view of the
- 82 -
V. . Lakshmikantham Consequently, we have
(6.13)
Hence, the inequality (6.11) gives,
becaus~
(6.9), (6 .10), (6.13) and the fact that
of the relations (6 .3), (6.8),
VI 2: 0,
(6.14) which is a contradiction. In case (ii ) holds , we again arrive at t he inequal ity ( 6 .11), where satisfies (6.10) .
ti > t
Since
x(t,to'x o) e ClA
We now ha ve , in place of ( 6 .12), t he relation
VI (i: ,x(t ,to , x
and
o)) ~
before, we) arrive at the contradi ction (6.14) . X
o e Sea), a 2: P, x(t,to'x o) e 5(13 ) ,
= S(to'p)
B(to,a) Remarks .
This proves that if
t > to '
For
a > P,
we set
and hence the proof i s comp l ete .
Theorem 6.1 improves s ign i fic ant ly t he equiboundedness result.
Consider the s pe cial cas e
gi
= g2
The hypothesis (ii), togeth er with will not ha ve
D+V
2
the stated result . that by setting fied.
f or
arguing as
V
~
O.
:= 0
wh i ch Improves a similar result . is not enough because we
Als o , hypothesis (i) is not suffici ent to imply
We may be t empt ed to conclude , at a f irst gl ance ,
= VI
+ V2'
all the assumptions ne ces sary ar e sat i s-
This is not true becaus e the right estimate in ( 6 . 3), name ly
V(t,x) 5 a(1 Ixl
I),
does not hold.
As a r esult, the proof br eaks down.
Thus, our results demonstrate the advant age of perturbing Lyapuno v functions.
- 83 -
V . Lakshmikantham
7.
Stab i l i t y of delay equations. For any
T > 0 , let
C
= C[ [-T , 0] , E]
t i n uous f unct ions mapping the interval of an y el ement
max
We shal l denote by
C+
from [ -T, O]
R+:
x
into
E.
Define the norm
i nt o
Also let [ ~ec : I I ~ll o < p ].
x e c[ [to-T ,co) , E].
and
11~(s)ll.
the space of nonnegative cont i nuous functions
C(p) to e R+
[ - T , O]
e C by
~
- T:':S;::O
Let
deno te t he Ban ach s pace of con-
Then f or any
t e [to , co ) ,
we let
e C be defined by
t
x (s ) t Xl
Let
= x (t+s ) ,
-T
den ote the s t rong derivative of
f e C[R+ x C(p) ,E]
is a given function.
s x
s :': O. with r espe ct to
t
and
Then we sh al l say that t he
r elation of the form
is a delay different ial equation in a Banach space E . Xl T
a lways denotes the strong derivative of
= 0,
s pa ce
We note that i f
( 7. 1 ) reduces 't o an ordinary differential equation i n t he Banach
E.
Defin i t ion .
A fu nction
x(t o ' ~o)
with the given init ial functicn exists a number (i)
x e E.
In this paper ,
x( t o'~O)
and
A
>
0
is said t o be a solution of (7 .1) ~o
e C(p)
at
t
=t o
~
0
if there
such that
is defined and strongly continuous on
Xt(to ' ~O) e C(p)
fo r
to::: t ::: to + A;
[t o- T, to +A]
- 84 -
V. Lakshmikantham
(ii)
xt (to'~o) o
(iii)
= ~o;
the strong derivative for
t e [to,to+A)
x(to'~o)
and satisfies (8.1) for
We assume that the function existence of solutions.
of
X I (to '~O )
f
at
t
exists
[to,to+A).
is smooth enough to ensure global
For a proof of existence of solutions of (7 .1)
s ee [ 7 J. We now study t he behavior of the ASI set
~
= ° with
(7.1).
For this purpose, we need 'to extend the functions
w(t,x)
of Theorems 4.5 and 4.6.
respect to v(t,x) and
Let us define
Vt t ,x), (t,x) e R+ x S(a),
V(t,x)
=
[
v(O,x), (t,x) e [-T,O]
Similar extension holds for
W(t,x).
x
S(a).
We shall again call itV(t,x)
for
convenience . It is easy to see that I)
V e C[[-T,~)
x
V satisfies the following properties :
S(a),R+]
and
V is Lipschitzian in
x
with the
same Lipschitz constant. II)
V(t ,x)
is positive definite and satisfies V(t,x)~a(t,llxll), aeA
for
(t,X)e[-T,~)XS(a).
We now state our main results. x'
(7.2)
Theorem 7.1 .
= F(t,x),
Suppose that the ASI set
stable in variation .
(7.3)
Let us consider
Let
x(t O) x
xo'
= ° of
(7 .2) is uniformly
- 85 -
V.
where each
w(t ,u ,a ) e C[R+ x R+ x C+,R+]
and increasing i n
Lakshmikantham
u
and
0
for
Also ,
t,
w(t ,a (O ) ,a )
(7. 4 )
a (s )
whenever
~
w(t,a(O»
0 ( 0), -T ~ s ~ O.
~
Suppose further that the s et
u
=0
in ASI wit h r es pe ct to
(7.5)
u '
o
and it is uniformly stable. Then Proo f .
=0
<j>
is ASI s et of (7.1) and it is uniformly s table .
By theorem 4.5 th ere exist s a functi on
properties I ) and II) stated ear l ier .
V(t ,x )
ha ving the
Hence we have
D+ IV( t, <j>( O),<j» : lim sup -hI [V(t+h, <j>( O)+hf(t, <j») - V(t, <j> (O»)] 7. h-+{)+
Thi s together with the Lipschitzian character of property (4)
of
V, (7 . 3) an d
t heorem 4.5 yi el ds s ucces s i ve ly ,
~ M( a)w(t,II<j>(O)II,II<j>II)·
Si nce
w(t,u,a)
is increasing in
u
and
a
for each
t
and
f~om
property ( 2) of theorem 4.5 there results (7 .7)
= V(t+s,<j>(s»). Setting a(s) = V(t +s ,<j> (s »)
wher e
V t
becaus e of (7.4),
so that
a(O)
V(t ,<j> (O»)
we infer
- 86 -
V. (7.8)
w(t,V(t,
as long as
s
Lakshmikantham
w(t,a(O»)
V(t+s,
Thus it follows from (7.6), (7 .7) and (7.8) that ~+v(t,
(7.9) as long as Choose
s
M(a)w(t,v(t,
V(t+s,
= a(to,ll
"o
tion of (7 .1).
and suppose that
Then by theorem 8.1.1 in [
9
x(to'
is any solu-
one obtains
(7.10) where u
=0
r(t,to'u
O)
is the maximal solution of (7.5).
of (7.5) is uniformly stable there exists a
Since the ASI set SeA
such that
Hence from property (2) of theorem 4 .5, (7.10) and (7.11), we arrive at the inequality
I Ix(to,<po)(t)1 I : :
v(t,x(to '
s r(t,to,a(to,ll
if we set
y(t,r)
= S(t,a(t,r»),
it follows that
ye A
and consequently
or (7.12) The last inequality proves the stated result and thus the proof is complete.
- 87 -
V.
Corol l ary 7.1.
Suppose that t he ASI set
stab l e in var iat i on .
=0
y
Lakshmikantham
of (7. 2) is uniformly
Let
(7.13) -T
where
f ~ ( s)ds < a
m
•
Then t he concl us i on of Theorem 7.1 is valid . Proof .
(7 .14)
Proceedi ng as in Theorem 7.1 we get in place of (7.6),
a
D~ .lV(t,~(O),~) s M(a) ~a(t)QIH O)11
+
-T
Now (7.15 )
JII~(s)lld~ ..
M(ana(t)QI ~ ( o)11
a + JIIHs)lldsJ -T
s
M(a) ~a(t ) ~(t, H O)) ,0 .1
+
+ JV (t+s,~(S))d~ -T
(using pr operty 2 of theorem
s
M(a)~a(t)~(t,~( O))
4 .~
a
+
V(t,~( O))Jd~ _T
(as long as V (t+s,~( s)) $. V( t,~(O) ))
= M(a)~ a (t)(l+T)V{t, ~( O )) (using property 2 of Theorem 4.5) :::
M(a) a(t, a )~
a
(t) (l+T)
(since
a e A and
II ~ (0) II
- 88 -
V.
By the property of a(t,r)
we can find a
a ( t,a ) -< ~ l+T'
(7.16)
t
~
Lakshmikantham
T(a) > Q such that
o.
T(a) >
Hence from (7.15) and (7 .16) we conclude that (7.17)
M(a)~a(t)ITI
for
t
z
T(a) > O.
-T
The estimRtes (7.16) and (7.17) give (7.18)
M(a)~
a
To prove that the ASI set
=0
(t),
t
~
T(a) > O.
of (7.1) is uniformly stable,
from Theorem 7.1 it is enough to show that the ASI set
u
=0
of
(7.19) is uniformly stable, which is clearly true. For, any solution of (7.19) is given by t
u(t,to'u
o)
= Uo + .M(a)f~a(S)dS. to
f~a(s)ds
Since S e L (7 .20 )
which proves the claim; which in turn completes the proof of the coro1lary. Theorem 7.2.
Suppose that the ASI set
asymptotically stable in variation. (7.21)
and
Let
y
0
of (7.2) is uniformly
- 89 -
V . Lakshmikantham
as l ong as
e xp( os)cr( s )
Let the ASI set
~ 0'(0 ) .
u = 0
of
be exponentially asymptotically stable. Then the set
~
=0
is ASI relative to (7.1) and it is expon entia lly
asymptotically stable. Proof.
By Theorem 4 .6 and assumption (7 .21) we obtain
(using property (2) of Theorem 4 .6) . Setting
o Cs )
= V(t+s,~(s»)
so that
0'(0)
= V(t,~(O»),
because of (7.7)
= w(t,O'(O),O'(s»), where
V t
= V(t +s,~(s»).
In view of (7.22), (7.25) can be wr'itten as (7.26) as long as
exp(os)V(t+s,~(s») ~ V(t,~(O)).
Thus it follows from (7.24) and (7.25) that
+ L(a) exp(-O(t-to»)w(t,V(t,~(O)expo(t-t o»)) as long as
V(t+s,~(s») ~ exp(-os)V(t,~(O»).
we infer'
- 90 -
V.
Choose
U
o = a(to,1 I~ol 10 )
solution of (7.1).
and suppose that
Then by Theorem
8.1.3~,
Lakshmikantham
x(to'~o)
is any
p. 85] one obtains
(7.28)
(7.29 ) Hence
An application of variation of constants now shows that,
where
r(t,to'u o)
is the maximal solution of (7.23).
The estimates (7.30) and (7.31) give (7.32)
Since the ASI set stable, there exist
u= 0
of (7 .23) is exponentially asymptotically
a e A and
H e B such that
for
t
~
to.
In view of property (2) of The~rem ·4.5, (7.32) and (7.33) we arrive at the inequality
Ilx(to'~o)(t)11
s
V(t,x(to'~o)(t»)
s
a(to,ll~ollo)exp(-o(t-to») + H(t,t O)'
which proves the stated result.
t ~ to
- 91 -
V . L a kshmikantha m
8.
Vector Lyapunov funct ions . Employing ve c t or Lyapunov f unctions and the the ory of systems of
different ial inequaliti es leads to a mor e f lexible me chan i s m compar e d t o t he us e of a s ingle Lyapunov functi on .
For th i s purpos e we ne ed the
f ollowin g known [ 9 J result . Theorem 8 . 1 .
Assume that
nondecreas ing in
u
g(t ,u )
for each
t.
Suppos e t ha t the maximal so l ut i on
of the di f fe rent i a l sys t em
r(t ,to'u o) (8 . 1 )
u'
ex i s ts on
Let
and Dmt t ) :::
where
i s quas imonot one
D
g (t ,m( t )) ,
Ls any D'in L de r ivat i ve .
Her e
t
>
t o'
m(t ) ~ o
Then
"o impli es
and t he vector i a l i nequali t ies imply that th e
s ame inequal ities ho ld between t he i r components . Let us now co nsider the di f fe r.ential equat i on (8 . L )
wher e
x' f € C[R+
f unct ion f or
x·
E, EJ .
(t ,x)
€
= f( t, x), Le t
x (t o )
V e C[R+
x
= xo '
E , R~J.
We de fin e t h e vector
R+ x E, lim s up h-+O +
~
fv(t+h,
L
x+hf ( t , x) ) - Vet , x)l .
~
The fol19wing comparison theor em plays an i mpor t ant pa r t whenever we use vector Lyapunov f unctions . Theorem 8.2 . in x
Let
an d fo r (t.x)
V € C[ R+ x E, R~J , €
R+ x E.
V( t ,x )
i s l oca lly Lips chit z i a n
- 92 -
V.
Lakshmikantham
( 8. 3) and
wher e u
f or ea ch
ing on of
t.
[to'oo ) .
to'
Let
r( t, to-'u o)
be the maximal solution of (8.1) exis t -
Then as far as
we have, provided
is quasimonotone nondecreas ing in
g(t,u)
x(t,to'x o)
of (8.2) exists to the right
V(t o ' x o ) ~ u O'
(8 .4) Pr oof .
Let
[to,to+a)
x(t)
such that
= V(t ,x( t ») .
met)
= x(t,to'x o)
be any solution of (8.2) existing on
V(to'x o) ~ u
Then,
using the hypothesis that
Lip s chitzian we obtain, for small m(t+h) - mft
Define the vect or function
O'
)
h > 0,
V( t, x)
is locally
the inequality
~ Kllx(t+h) - x Ct) - hf(t,x(t»)
II
+ V(t +h , xf t ) + hf(t,x(t»)) - V(t,x(t»), wher e
K i s the local Lipschitz cons tant.
This t ogether with ( 8.2) and
(8 .3) leads t Q th e vectorial inequality
Also , m(to)
~
u ' O
Hence by Theorem 8. 1 , we obtain the stated estimate
(8 . 4 ) and the proof i s compl ete. We shall next consider a t ypica l r esult that can be proved using Theorem 8 .2. s (p )
= [x
To do this, l et
e E: I Ixl
I
<
pJ .
H+c:: R~, EO c:: E and as befor e,
Suppos e also that
f(t,O)
=0
and
x _ 0
is
the unique s ol ut i on of (8.2). De f i n i t i on .
The trivial solution
ditionally equi-stable if, for each
x
=0 €
>
of ( 8 . 2 ) 0
and
is s a i d to be con-
to e R+,
the re exists
- 93 -
V.
Lak s hmik ant h a m
Cor res pondi ng to t h i s defi ni t i on , we need appropriate ki nd of con di t i ona l s t ab i l i t y r elat ive t o the compar ison s ys t em ( 8.1 ) . g (e , O)
=0
and that
De f i ni t i on .
u
=0
is t he un i que s olution of ( 8 .1 ).
The t r i vial solution
u - 0
di t i ona l l y equ i -stabl e i f , for ea ch
is s a id to be con-
and t o e R+, there ex i s ts N and I u . < 0 implies 1. 0 i =l
N
I
of (8 . 1 )
c > 0
such that Z o e H+
0 = oCt o ,e::) > 0
3-
Suppos e that
t ~ t o·
u;( t ,t o ' u o) < e:: , i= .1. -
N
I u . f or the comparis on i =l 1. s ys t em ( 8.1 ) one co uld us e other conve n ient measures , l i ke Q( u) wher e Instead of ut ilizing the s imple measu re
N
+
Q € C[R+,R J
and
is nonde creasing in
~~u )
u.
Appropriate modifi ca-
t i ons ar e needed i n t he cor r espondi ng r es ul t s in that cas e . Theorem 8.3 . (1 )
N g e C[R+ x R RN J +' in
( ii )
As s ume that
N V e C[ R+ x S(p) ,R+J , N
I
V. (t . x ) 1.
i= l
N
I
i=l ( ii i )
+ 0
Vet .x ) e H+ i ff x
Then , i f
u, = 0
V(t , x)
i s l oca l l y Lips ch it zi an in
x,
i s pos i t ive de fini te, an d
V.(t ,x) 1.
is quasi- monot one nondecr eas ing
t e R+',
f or each
u
ancl"" g( t ,u)
S
as
I lx l l
Eo
an d fo r
+ 0
t e R+',
for each (t, x ) e R+
x
5 (11) ,
of (8 . 1) i s condit i ona l ly eq ui -stable , the
s ol ut i on of ( C.2 ) i s condit i onall y equ i -st able .
t
r -Lvi.a L
- 94 -
V.
Lakshmikantham
The proof may be constructed .analogous to t he proof in fin i t e di mensional cas e . (The orem 4 .4 .1 in [ 9 J). Many multivariable s ys tems are composed of relativel y s i mple s ubs ys tems or a ggregates .
By groupi ng variables of a large e con omy , for
examp l e , into a relatively s ma l l number of subeconomies, the economy is decomposed into interconnected s ubsys t ems.
Stability of the entire
economy may be predicted by test ing the l ow- or der aggregated compar i s on system . Let
E i,
i
= 1,2,
• . . ,N,
be Banach space s .
Consider the
system of differentia l equations
( 8. 5) where E
= EI
x!
J.
= f.J. (t , x J.. ) ,
f e C[R+ x E. ,E . J . x E
2
x
( 8. 6)
x EN x~
J.
J.
,
1,2, J.
N,
where
and consider the interconnected s ystem
f.(t ,x.) + F.(t,x) , J.
J.
J.
, x N) ·
x = ( x l,x 2 '
Here we have let
i
O
F . e C[ R+ x E,E . J
Let
J.
J.
= x J.. ,
xi (t O )
Xi (to)
= x.J.O
Obs e r vi ng that
E is also a
Bana ch space with the induced linear oper a t i ons and the norm ' I lx lll + . •
+ I lxNI I ,
I Ix l I
we can write (8 .6) in the form (8.2) .
= On
the basis of the aggregated stability properties of the subsystems (8 .5) , Lyapunov func tions
V. (t , x . ), J.
J.
i
= 1,2,
• • • , N,
may be constructed .
Then, making use of this constructed vector Lyapun ov function and t he na ture of the interactions between the s ubsys t ems , it is poss ible to predi et the stabi lity properties of the interconnected system (8 .6) by the method '~f vector Lyapunov functions.
\
This indi cates the effectiveness of
this method where mUltivariability and other structural properties of t he interconnected systems-make t he construction of a single Lyapunov
- 95 -
V.
L a k s hm i k ant h a m
fu nct ion di fficult for these systems . 9.
Notes and comments . Theorem 1. 2 is bas ed on the work of R. H. Martin [17,18a ] whereas
Theo r em 1. 3 i s due to Eisen fe l d and Lakshmikan tham [S] . res ults see
~>- :lB]. [ 2, 3,4,1 2 ,1 6, 2 0,~ .
Lakshmikantham [7].
For allied
Theorem 2.1 i s taken from Ladas and
For Theor em 2 . 2 s ee Eisen f eld and Laksh mikantham [Sl
For ot he r globa l ex i stence re sults s ee Vidossich [2S ] and Martin [ 17] . The work of Section 3 on asymptot i c eq ui librium , see Mi tchel l and Mitche l l [ 22] .
See al so [ 7].
Theorems 4 .1 through 4.4 are taken from
Ladas , Ladde and Lakshmikantham [ 8] wh i le the r est of the Sect i on 4 i s based on the work of Leel a [11].
The cont ents of Sect i on S are taken
from Ladas and Lakshmi kantham [7] while the r esults of Sect i on 6 i s ada pt ed from the work of Leela and Laks hmikant ham [9].
See also [ 7] .
The work containe d in Section 7 i s taken from Kamala and Laks hmikan t ham [ 6].
See also [7] .
The method of ve ctor Lyap unov functions is ada pt ed
f r om Lee la and Lakshmi kantham [ 9] and Matrosov [21] . For fu r t her r es ult s in t his di rection , Bernfeld, et al . [1], Cellin a [ 3 , 4], Bownds and Diaz [ 2] , Li [12] , Lovelady [1 3-16], Pao [2 3], Pao and Vogt [ 24] , Mamedov [1 9] .
For other references see Vidos s i ch
[lS], Matrosov [21], Li [12] , and Mamedov [1 9 ] .
- 96 -
V . Lakshmikantham
References
1.
Bernfeld, S. R., Hallam, T. G. and Lakshmikantham, V., Asymptotic equivalence of nonlinear differential equations in Banach spaces. To appear in SIAM Jour. for Analysis.
2.
Bownds, J. M. and Diaz, J. B., Euler-Cauchy polygons and the local existence of solutions to abs t nac t ordinary differential equations. Funkcialaj
3.
~Kvacioj,
15 (1972),193-207.
Cellina, A., On the existence of solutions of ordinary differential equations in Banach spaces.
4.
-----, equations.
5.
Funkcialaj Ekvacioj, 14 (1971),129-136.
On local existence of solutions of ordinary differential
Bull. Acad. Pol. Sci., Sci. Math. Ast r . Phys. 20 (197 2).
Ei senfeld, J. and Lakshmikantham, V., On the e xistenc e of s ol ut i ons of differential equations in a Banach space.
To app ea r in Funkcialaj
Ekvacioj. 6.
Kamala, P. S. and Lakshmikantham, V., AsympLotic self-invariant sets and functional differential equations in Banach spaces, Annali di Hatematica pura ed applicata, 96 (1973), 217-231.
7.
Ladas, G. and Lakshmikantham, V., Differential equations in Abstract Spaces, Academic Press, New York, 1972.
8.
Ladas, G., Ladde, G., and Lakshmikantham, V., On some fundamental properties of solutions of differential equations in a Banach space. Annali di Matematica pur-a ed applicata, 95 (197 3), 255-267.
9.
Lakshmikantham, V., and Leela, S., Differential and Integral Inequalities, Vol. I and II, Academic Press, New York, 1969.
- 97 -
V.
10.
________, On perturbing Lyapunov functions.
Lakshmikantham
To appear in Math
Systems Theorey. 11.
Leela, S., Asymptotically self-invariant sets and perturbed systems, Annali di Matematica pura ed applicata, 92 (1972), 85-93.
12.
Li, Tien Yien, Existence of solutions for ordinary differential equations in Banach spaces, To appear.
13.
Lovelady, D. L. and Martin, Jr., R. H., A global existence theorem for a non autonomous differential equation in a Banach space . Froc. Amer. Math. Soc. 35 (1972), 445-449 .
14.
Lovelady , D. L., A necessary and sufficient condition for exponentially bounded existence and uniqueness, Bull. Austral. Math. Soc . 8 (1973), 133-135.
15 .
________, Asymptotic equivalence for two nonlinear systems.
To
appear in Math. Systems Theory. A ~unctional differential equation in a Banach space,
16.
Funkcialaj Ekvacioj, 16 (1971),111-122. 17.
, I
Martin , ,Jr . , R. H., Lyapunov functions and autonomous differential equations in a Banach space.
Math. Systems Theory 7 (1 973), 66-72.
The logarithmic derivative and equations of evolution in
18.
a Banach space, J . Math. Soc . Japan, 22 (1970), 411-429. A global existence theorem for autonomous differential
18a.
equations in a Banach space,
Froc. Amer. Math. Soc. 26 (1970),
307-314 . 19.
Mamedov , Ya. D., One sided estimates in the conditions of study of solutions of differential equations in Banach spaces. (Russian), 1972.
- 98 -
V . Lakshmikantham
20 .
Murakami, H., On nonlinear ordinary and evolution equa tions, Funkcialaj Ekvacioj 9 (1 966), 151-162.
21.
Matrosov, V. M., Vect or Lyapunov functions in the analysis of nonlinear interconnected s ystems.
Symp. Math . Roma 6 , Mecani ca
nonlinear stabilita 1970, (1971), 209-242. (and several papers r eferred in this survey). 22 .
Mitchell, A. R. and Mitchell, R. W., Asymptotic equilibrium of or di nary differential s ystems in a Banach space,
To appear in
Math Sys t ems Theory. 23.
Pao, C. V., The existence and stability of nonlinear operator - di f f er ent i a l equat ions, Arch. Rational Mech. Anal. 35 (1969), 16-29 .
24.
Pao, C. V. and Vogt , W. G., On the stability of nonlinear operator differential equat i ons , and applications .
Arch. Rational Mech.
Anal. 35 (196 9) , 30-46. 25 .
Vidossich, G., Existence, comparison and asymptotic behaviour of solutions of ordinary differential equations in finite and infinite dimensional Banach spaces.
26 .
To appear.
Ambrosetti, A., Un teorema di es istenza per le equazioni differenziali negli spazi di Banach, Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, 39 (1967), 349-361 .
27.
Darb 0
,
G., Punti uniti Ln transformazioni a codominio non compatto,
Rend. Sem. Mat. Univ . Padova, 24 (1955), 84-92. 28 .
Szuf l a , S., Some remarks on ordinary differential equations in Banach s pa ces, Bull. Acad. Pol on . Sci . , Ser. Sci. Phys., 16 (1968),795-800.
MaL~.
Astronom.
CENTRO INTERNAZIO NALE MATEMATICO ESTIVO (C.1. M. E . )
ON A DEFINITION OF TOTAL STABILI TY FOR CONTI NUO US O R DISC R E TE DY NAMICAL SYST EMS
P . NEGRI NI
Corso
tenuto
a
Bressanone
dal
2
all ' l l
giugno
1974
"ON A DEFINITION OF TOTAL STABILITY FOR CONTINUOUS OR DISCRETE DYNAMICAL SYSTEMS" P. Negrini 1 - The subject of the present lecture is part of a work [ 1] devoted to
some questions related to the problem of turbulence as proposed by the Landau model
[2].
are dealt with. Let
We give a very brief survey of the problems which
r- be a real parameter, F r: a vector field family
d~
fined on a suitable vectorial space E and consider the corresponding evg lution equation dx = F (x) dt e-
(1)
.-
. va 1ue Let the origin of E b e a " vague attractor ,,(0) f or a cer-tain
0
f
r- '
f-; moreover let it be unstable , under particular assumptions on the spectrum of Fr-(x) , forf >f: then can be shown I3] that a right interval, say
U. of
~
exists, such that, for each
f
E. U,
an attractive c ycle
t:' arises
(i. e. an attractive periodic solution of (1)).
The qualitative behaviour is shown in these figures
/
~/ ·0
/\
/
Hopf bifurcation fig . 1
fig. 2
(0) "Vague attractivity" , as defined in [3], is a special kind of a syrnpto tic stability, in which the origin has an assigned law of attraction .
- 10 2 -
Co ns ide r no w t h e d iffe o m o rp h i s m
P . Ne gr ini
mr
i ndu c e d by t he t ra n sv e r sa l m ap -
ping int o t he hyperpla ne P (we r estri c t t o t he t raje cto r ie s in a rh o od of cle
t' :t h e i r int erse c tion s wit h the p l ane
nei gh b o~
P t r a n s v e r s a l to t h e c y -
t
a s shown in fig. 3 )
'fig. 3 If t he fi x ed p oint of
attra c to r
,,
for
f
ill t'" (the
interse c tion be tween
- I = ~ and i s u n s table for
-/
f > If
t' a nd
P ) is a "vague
0 / a no t he r c ycle L- a r i s e s,
c o nta i ned in P, att ractive wit h r espe c t t o t he d ynamic al s ys tem induced by
ill t<-.
T he Hopf bifur c a tion fo r t he d i ffe omorphism me- y i e ld s a t o r u s
a tt r a ct i v e wit h re spe c t t o t h e flo w o f (l ) (s e e fi g . 4 )
.>:
\ . »
.' ./
··7
. ().---.
fi g . 4 We r e c a ll t hat these r e s u lt s de pend on a par t i c ula r hy pot hesis (the "va gue" a tt ra ct i v ity ) and ha ve be e n a c h ieve d throu gh the inspection of t h e ~ ne a r p ar t of F~ and
illr-0
At t hi s po i nt it seems interes ting no t to confi -
- 10 3 -
P. Negrini ne ou r se lv e s to t h e c ase in which i t is possible to handle the linear part of the v ect o r fields (or of the . diffeomorphisms). Let a family of d ynamical s yst ems
11t'" be given, continuous (eo go t he s ystem induced by the
a~
t onornou s differential equation (1)) or discrete (eo g. t he s ystem induced
by t h e diffeomorphism ~f): assume o n ly that a cert ain compact set Mp. C E (e g . 0 in fig 1 or 0 ' in fig. 3) be as ymptoti c ally stable with re0
0
spect t o the d ynamical s yste m
1LFo
What happens if the set
completely unstable with respect to ITt'" that a new compact set MI:'"
when
~:;>of-?
M~
becomes
It ca n be shown
"near" to th e o ld one , a r i s e s a s yrnpt ot ic a I-
ly stable with respect to 7rt"0 These results are exposed in
tIl
in this
work a central role is played by a suitable concept of t ota l s t ability a nd a related theorem which a r e actually the m atter of the present lecture .
2 - We want here to recall some definitions and concepts a l r eady used in the preceding sketch. Let I be the set lR of the real numbers or the set Z of the integers. Let E be a locally compact metric space a nd the distance in E; if Me E , for each
C >0 we set :
f
S(M,c) = { XE.E:
e(X,M)<e} and S[M,£] =S(M ,£). Consider the set ~ of the continuous m appings from I)(.E into E , such that for every 1l€ i)
f
the following conditions hold :
1r(O ,x)=x
The triplet {I , E , Ii-
J i s t h e n a dynamical s ystem on
E , continuous or di
- 104
-
P. Negrini
sc re te , a c cor din g to wethe r 1= IR or 1 = Z . Let M be a compa ct set of E; fi x
ti in ~, t h e n t h e s~t A rr (M) = { xe E : e (1t( t , x ), M ) ~
0 a s'
t ~ +oo}
i s said to be the region of att ra ction o f M w ith respect t o rt , Let us now r ecall some well known de finitions. 2. 1.
Definitions. T he set M is said to be
2.1.1
1t-attractor if .A.n-(M) is a neighbourhood of M;
2.1.2 1t'-stable if (l(£>0)(3 ~€]O,E[)(X~ S(M ,S )) :1t(t , x)€ S(M , £.) VtE 1+; 2 .1.3 1t-asymptotically stable if is a '7L-attractor a nd 7t-stable .
3 - We now introduce a concept of t ot a l stabilit y for d ynamical s ystems
('VE,>O)(lft€t /
3 .1. 1 "1T-totally stable if ( p~,1: P (p(t, xJ ,1t'(t , x) )<:6'2'
(t', x )e[o ,
{oj
)(3 cS:. , ~>o)(x €S
1] x S [ M , e, J
(M ,
~) )
):p( t, x ) € S( M ,£ )
¥ tcI+ . 3.2 Remarks . From t h e definition 3 . 1 follo ws that 3.2.1 . if M is 7r'- totally stable then M i s 1r-stable; 3 .2 .2 If for given E.
and
t, li 1
and
li 2
exist, then the y exist for every
CI ~ E" tl~1" (in particular we may choose the same ~ i : I = Z, the condition of total stability is satisfied if ; l '
(0 )
6 2 ),
S2
Then if
exist for eve
T h e definition of total s tabilit y in the case of differential equa t ions is
given by Dubosin
[4].
A concept of total stability for ge neralized (conti-
nuous) d ynamical s ystems i s i n
[5].
- 105 -
P; Negrini ry
S. >0 and t = 1
3. 3 Definition. The set Me E is said to be 3. 3. 1 1r-totally stable with respect to
~~
s~
if the condition in 3. 1. 1 is
tisfied when we restrict the choice of p in a
sUbsetJ~r:
4 - We want now to investigate the relation between the concept of total
stability as defined in 3. 1. 1 and the usual concept of the total stability ae given by Dubosin, in the case in which we restrict ourselves to the
con~
nuous dynamical systems generated by diffex:ential autonomous equations
n
4. 1 We define.rv as the set of all continuous mappings g : lR
n
--+-
lR
n
such that global existence and uniqueness of solutions of the differential
~; =gtx) .
system
are guaranteed for any initial data : for a fixed g
e A,
x e m" we denote by p(. , x) the solution corresponding to the initial cond..! tion p(O, x)
=x .
Then the triplet (lR,
m". p}
cal system , and we obtain a subset of ~ ,
defines a continuous.dynam..!
':f,• as
4.2 Definition. Let be f EAand tlR ,lRn,1t'}
duced by the differential equation 4 .2 . 1
lR +,
J; ))PJ g~.A.:
e
respect to
':foM,
i~
= f'(x ). We say that M is
(~S/>O)(1J::,d.:>O)
P(f'(x} , g(x))< cf;,xe.S[M,e 'J ):p(t, x)E.S(M, e')
being the metric induced by any norm
4.3 Theorem.
A .
the dynamical system
f-totally stable (in the sense of Dubosin) if
(lJ xe S(M ,
¥t f
~;
g varies in
II • U in
lR".
If fEA is locally lipschitzian, M rr-totally stable with
then M is f-totally stable.
- 106 -
Proof. In fact let be
e >0 I
P. Negrini and let K be the Lipschitz constant of f rela-
tive to the compact S [M , E']. a positive constant ,1A, = the solution of
Let be L
=max
tCf,A:\\q'(x)\\<
~: = Cf (x) ,
t
IIf(x)
~+ L,
lL
x~
S [M ,
t'11, A.
xE S[M,e.'J}. Call p(., x)
starting from x , such that
dynamical system. It's easy to see that if x E:S [M ,
tm.m".
~'lCf€'L{,
p} is a then exist
t=t(l,£l) such that p(t ,x)£ S[M ,c 1} for each t€rO ,T]. Now we pu t I.. and consider the ~ , cr~ correspon~ing to
~i = gl' 62 € 1
<J;,
'A., d 2
f-tKJG
and
If g€
t
in (3 . 1. 1) . Define
A is such that e(f(x) , g(x)
for each x(;S[M,el ] , then ge'Usothat p(t ,x)E.SIM,~') for (t ,x)
€: [ O,tJXS
4 . 3. I
]0, min {
E.
e=l,.' .2
[M,e] .
Then, through Gr-onwa Ils lemma , we have:
e(p(t,x),1t(t,x))< 0",'2te Kt <
6;,
'u <:J
J I 1
(t,x)E f,l-0 ,t X S M ,c
t he r e fo r e, from (3. 1. 1), follows : p(t,x)€S(M,e) C. S(M ,e')
4.3 .2
Q.D .E.
5 - We return now to the case of continuous or discrete dynamical systems on E. Let
rr be a fixed mapping in~. In the following we want
to get a sufficient condition in order to ensure the 1t"-total stability of M. More precisely we give here a proposition analogous to the f-total stability one, a well known result which follows from the theorem of Gorsin [6
Jand Malkin [7 ] .,
5. I Theorem. If M is a compact set 1T-asymptotically stable, then M is Tt-totally stable. Proof.
First of all i n the case in which 1= ffi, we know that 1t"-asympto-
- 107 -
P. Negrini tic stability is equivalent(O) to the existence of a continuous function V:A
1t(M)
-., JR, satisfying the following conditions :
5. 1. 1
V(x»o,
5. 1. 2
V(11:(t, x)) - V(x)<
V(x)=o~
xe M
°
It is readily checked that this result applies as well to the case in which
1= Z. Now we choose
T,;>0
and
"A > 0,
such that S [M,,t
1be a compact
subset of A1t(M). Then, as usual, we can verify that from 5. 1. 1, 5. 1. 2 the existence follows of three function a , b , c of class K (in the sense of
..q xE S [M,A}
Hahn), such that 5. 1. 3
a( e(x, M))
5. 1. 4
V(1l:(t, x)) - V(x), - c((> (x, M)) .
'V(x)~
b(e(x , M))
Moreover from the continuity of V, in the compact S[M,'-J we have:
These three properties are the key of the proof. Let's now choose 5.1.6 Now, let
x
~ e]0, :t L
e S(M,e)
and let
C E:]O, 'A [ such
~. 1t(t, x) E S(M, ~),
~"E1o,Er )el]0Ar[,e3~]O, b-l(a(f~))[
5.1.7
x~S(M,E1)
=>
5.1.8
x, S(M,az.)
~ 1t(t,x)cS(M'£1)
5.1. 9
XfS(M,t.J) ~
~t eI+. such that :
'7t(t,x)€-S(M,E)
7I:(t,x)ES(M,e,l)
that :
JitEI ,
+
~teI+ +
-\ft~I
We note that by 5. 1. 3 b -l(a(cz.)) < Ez.. At this point we can define two positive numbers ~, (0)
See, e. g .
dol.
in order to satisy the condition of the 7t"-total sta
[8], Chapt v , Th. 2. 2 .
- 108 -
P . Negrin i b ility . In fa ct le t
cl:,E. ]o,e3 [ s u ch
5. 1. 10
x£S[M ,clJ
,
tYL
t he n choose
t ha t :
lJt€.t ;
~1t(t,x)€:S(M,t3) '
c(d~)
=-4-' and let L be the correspondin g num ber in 5. 1. 5 .
We pu t :
r0<0<.<
5 . 1. 11
. \c(d1 ) mml4L"" '
1\ ";\ A -A ,
Lf such that :
E.. -e 1 ,
Ct - 84
,
b
-I} (a( c.l. ) ) - C~
Co nside r n ow all PE. 5. 1. 12
e(p(t,X) ,7t(t , x))<J;,fore ach
(t ,x)E.[O ,tJx.
S [M, ~ J
s o that : 5 . 1. 13
£>(p( t , x} , M )< e(7t:( t, x ) , M) +
Let x € S(M,
cl1 ),
the n In fact,
el2,
'rf(t , x) E[0,1)l<. s [M ,
c.}
a nd a s s u m e t hat 'j g € 1+, such t hat : t I = max
l
t"=min
(te[o,gJ;
t
E:~, e] .
p( t , x) f: S[M ,cl1 ]
}
p( t ,x)qS(M ,E)}
ttl - t.' ;;'2t.
\/'(;'f;JO ,t] , we have by virtue of 5. 1. 10 , 5. 1. 11, 5. 1. 13
In the s a me m anner
In general, we have : t"=t'+(N+OCj't
,
.
wh e r e N is a n integer , N ~ 2 , 0c"E:]0 ,1].
-
If x n = p(t ' + nt, x) n =I,2 , .. . N and x
-
=p(on , x ) for t h e 5 . 1. 7, 5 . 1.8 , N
5. 1. 9 it fo llows : 5 . 1. 14
n = 1, ... N
- 109 -
P . Negrini a nd 5. 1. 15 wh e r e t he last right inequality de pends on the fact t ha t,
5:, +~ < ?..
Now
we ca n e valuate V at the point s x ,x "', u sing 5. 1. 3, 5.1. 4, 5 . 1. 5 . We n
ha ve , for n= 1,2, .. .,N -1 V(x
n+
1) - V(x )
n+ 1
) _ V(x ) < n
V(x.) _ V(x )< n
_ c( d 1 )
and
2
c ( J; )
2
Finally : 5.1.16 But as
x·i
Itt.
V(x ) - V(x
1
N - 2 )< - -2 -
J
c( 1 )~ 0 .
S(M , e) , Xl f:. 50V1,£,-I"{ ), from 5.1. 3 , it follows
5. 1. I i
V ( x· ) ~ a ( E )
5. 1. 1 ~
V( x 1) ~ b( e3+ ~ ) < a( e z) < a ( E )
whic h a r e in contraddiction with 5. 1. 16, then t he t h e o r e m is prov e d . 5. 2
Remark.
In the particular case irr which { IR, IRn , ~] is a d ynami -
ca l s ys tem indu ced by
~~
= f(x) , and f 6
A is locally lips ~hitzian,
t he n
com bi ni n g t h e o r e m s 4 . !> a nd 5.1 we obtain the result wh ich follows a s a c orollary , i n the case of autonomous d iffe r e ntia l equations, from the the o r e m of Corsin and Malkin.
- 110 -
P. Negrini
REFERENCES
1
Marchetti F ., Negrini P., Salvadori L . , Scalia M., "Bifurcation and total Stability" to be presented at the AIMETA Congress (Napoli 16-20 Ottobre 1974).
2
Landau L ., Lifchitz E . , "Mecanique des fluides" Editions de Mo scou (197 1).
3
Ruelle D., Takens F ., liOn the nature of turbulence" Cornm. Math. Phys . 20, 167, (1971).
4
Dubosin G. , "On the problem of stability of a motion under constantly acting perturbations ll Trudy go s . astron.Inst. Sternberg 14 , No 1 (1940).
5
Seibert P, "Stability under Perturbations in Generalized Dynamical Systems" Proc . Intern. Symp. Nonlin. Diff. Eq. and Nonlin. Me ch. Colorado Springs (1961) .
6
Gorsin S., "On conditions for monotonic stability of a system of ordinary linear homogeneous differential equations ll VMU 6, No3, pp. 15-24 (1951) . -
7
Malkin 1. G. , "Stability in the case of constantly acting disturbances" PMM~, pg.411-448 (1942).
8
Bathia N . P., Szego G. P. , "Stability theory of dynamical systems" Springer Verlag (1970).
CENTRO INTERNA ZIONALE MATEMA T I CO ESTIVO (C . 1. M. E.)
ThAorie de 1a
s t ab i l1 t~
N, Rouchs. Ins ti t ut de
M ath~m atique
Pur e et
A p pl i q~A8
Universit e de Louva in.
There is scarcely any question in dynamics more i mpor t ant for Natural Philosophy than the stability or instability of motion. W. Thomson and P.G. Tait.
Corso
tenuto
a
Bressanone
dal
2
all'11
gi u gn o
1974
- 113 -
N . Rouche
Table des matieres.
Avant-propos. • . • • • • •.
• ••••.•. • •••. •••
I.
La methode directe de Liapounov. • • . • • • • • . . • •
II.
Etude de la stabi lite quand on connalt des integrales premieres . . . . . .
.
.
III.
L Lns t ebd Lf t e et l e methode des secteurs. • • . . . . • •
IV.
La methode de comparaison • • . . • . . . . . . • . . . .
V.
Les familIes de fonctions auxiliaires •. •• • • . . • •
VI .
L'attractivite etudiee
VI I .
L'attractivite dans les equations non autonomes . . • • •
I
a
l'aide des ensembles limites . •
VI II. Proprietes d I invariance des ensembles limites • . • • . .
No t e his torique et bibliographique. • . . . • . . • • . . • • •
- 114 -
N . Rouche
Avant - pr opos .
II n'est pas poss ibl e d ' expos er en huit 1e90n5 t out e l a theo rie de Ie s t abil i t e pour les equat i ons di ff erentie l1es ordina i res. Aus si , -Fo rce de choisir , avons-no us pris Ie parti d' en pr es enter huit aspe ct s essentiel s mais
tr ~s
di vers, ou 51 e n veu t, hui t voies d ' appr oche . En t oi l s
de fond . on r e t r ouvera pa r t out I ss f onct ion s aux i 1i ai re s dit as
»de
Li sp ouno v' , meis en plus dan s chequ e 1890n , l' un ou l'autre in strument math emat iq ue i ngeni eu x te l que l es i nteg r'a les pre mieres , l es s ec teurs mA th ode
t o~ o l o gi q u e
t'
15
de Wa zews ki, l s 5 i nega l it es di f f er ent i e l 1s B, la s
fami Lla s de fo nct i ons eux ; li aires et les en s emb les l i mites. Pa rmi les rnat i eres sacri fiee s , citons I ss
t h~ orem e s
i nvers es et les cr i t s re s de st a -
bilit e l i es A la premie re approxi mati on, de mime que la stabil it e partielle .
Aucun des 5uj et s abordes n 'est epuise, aucun non plus n'e st trai t e avec la generalite la plus grande. Chaque le90n cependant tou che
a
des
r esultats recents. Les theoremes qui ne traitent pas de la stabilite comme tells , mais servent d'o util pour l 'etudier, sont I e plus sou vent ra ppel es s a ns demonstration. Faute de temps, nous n'evons pas pu non plus, et c ' es t notre plus grand regret, multiplier les exemples et les spp l i cations. La bibl iographie, bien incomplete el le aussi par la forcs des choses, donnera pourtant , esperons -ie, assez de cles au lecteur s oucieux de depasser Ie cadre de la presente etude.
La matiere, et pour une part aussi la forme, de nos exposes sont inspirees par Ie premier jet d'un ouvrage sur la stabilite que prepare l' equipe de chercheurs de Louvain-la- Neuve : qu'elle soit ici tres cordialement remerciee et en particulier P. Habets, C. Risito et K. Peiffer pour les deu x premiers chapitres, M. Laloy pour 1e trois ieme et Dang Chau Phien pour Ie quatrieme. La responsabilite des erreurs possibles ne sau-
- 115 -
N. Rouche rait pourtant en aucune maniere leur etre attribuee. Nous esperons d'autre part qu'on ne nous en voudra pas d'etre reste, dans les exergues et les resumes des chapitres, quelque peu en de98 de l'austerite habituellement pratiquee par les scientifiques. Enfin, en remerciant chaleureusement iei les organisateurs de cette session C.r.M.E., et en particul ier R. Conti et L. Salvadori, nous payons 8 l'amitie un bien agreable tribut.
N. Rouche.
Louvain-la-Neuve, mai 1974.
N.B. Les symboles usuels suivants n'ont pas ete definis dans Ie te xte R : ensemble des nombres reels
I
o
si A est un ensemble, A est son adherence, aA sa frontiere. A son interieur
I
d(x,A) est la distance d'un point x
a
un ensemble A
I
de plus, si V(t,x) et x(t) sont deux fonetions, on a pris sou vent la liberte d'ecrire Vet) pour V(t ,x (t)).
- 116 -
N. Rouche L'outil en soi n'est pas moins remarquable que l'usage auquel on Ie destine. il est a lui seul valeur et resultat. H. FocUlon.
Premiere leyon. La methode directe de Liapounov. OU l'on presente au lecteur Ie lieu de notre promenade. jalonne par divers concepts tres subtils de stabilite et d'attractivite. et leurs implications possibles. voire mutuelles. OU l'on voit ensuite tomber du ciel. a l'appel du grand Liapounov. un outil de merveilleux service. avec plusieurs de ses modes d'emploi.
Hypotheses generales. Nous aurons a considerer.
to~au
long du
present expose. une fonction continue f : I x ou n est un entier
~
n ->-
Rn. (t.x)
1. I = lL.~[
~
f(t.x)
pour un certain L e R et
(1.1 )
n est un
ouvert de Rn. Nous ncus interesserons au probleme de Cauchy ~
= f(t.x)
(1.2) (1.3)
ou x
= dx/dt
et ou (to.xo) e I x
n.
On sait qu'a cause de- la continuite
de f. ce probleme possede au moins une solution non prolongeable. que nous noterons x : J
->-
Rn• t
* x(t)
ou Jest evidemment un interval Ie ouvert. Nous ecrirons sou vent J
= 1a.w
et J+ = [to.w[ • Sauf mention contraire. l'origine 0 de Rn appartiendra
n et
nous supposerons que f(t.O)
=0
[
a
pour tout t e l : l'origine sera done
un point critique pour l'equation differentielle (1.2). Introduisons enfin une derniere notation. qui nous servira constamment. Pour tout 0 reel> O. nous ecrirons
- 117 -
N . Rouche B
o=
{x
E
Rn : IIxll
< o} .
Stabilite a la Liapouno v et concepts apparentes. Le point critique a l 'origine des x est dit stable
a la
Liapounov pour l'equation (1.2), ou
plus brievement stable ssi tvc
> 0)
(\It
E J+)
(\Ito
E
xtt l
> 0)
I) (30 E
(\lxo E
Be: '
On voit sans peine que si Be: c jusqu'a
+~
Bo) (\Ix solution de (1.2), (1.3))
n, l'intervalle
J s'etend vers la droite
pour toute solution qui demeure dans Be:' On ne commettra donc
qu'un ecart de langage acceptable si on ecrit "\It> to" au lieu de "\It E J+", ce que la plupart des auteurs font sans autre embarras. L'origine sera dite attractive pour l'equation x (lito
E
I) (3n
> 0)
IIxoll < n) (\Ix solution de (1.2 ), (1 .3) to et x (t) + 0 quand t + ~.
(\lx o :
>
defin ie pour tout t
L'origine sera dite asymptotiquement stable l' equation ~
= f(t, x) ssi
a la
x est
Liapounov pour
= f(t,x), ou plus brievement asymptotiquement stable ss i ellE
est stab le et attractive. Ces trois def init ions , admettent des va r i ant es souvent utilisees on obtient par exemple la stabilite uniforme lorsque 0 est independant de to, l'attractivite uniforme' lorsque nest i ndependant de to et que x ( t ) + 0 uniformement en ( t o, xo) quand t +~, la stabi l ite asymptotique uniforme en combinant ces deux dernieres proprietes. L'equi-attractivite se deduit de l'attract ivite en ajoutant simplement que x (t) ment e n Xo quand t
+
+
0 uniforme-
~.
Implications en tre concepts. II est ut ile de connaitre les impli cat ions princ ipales qu i relient ces concepts dans diverses circonstances . Deblayons Ie terrain en remarquant tout d'abord qu'en dep it des apparences, l'attract ivite n' impl ique pas la stab il ite : on trouvera un contreexemple dans W. Hahn [1967 I . Cependant l'equi-attract iv ite impl ique la stabilite, tout au moins si on a suppose l'unicite des solutions.
- 118 -
N.
Rouche
Dans cette meme hypothese et si l'equation differentielle est scalaire, l'attractivite implique l'equi-attractivite, et forcement donc aussf la stabilite. Les cas auto nome et periodique sont particulierement interessants. L'equation (1.2l est dite autonome si f(t,xl est constante par rapport a t. Elle est dite T-periodique pour un certain T (t,xl E I x n, f(t+T,xl
> 0,
si pour tout
= f(t,xl. Dans ces deux cas, la stabilite de
l'origine implique la stabilite uniforme et la stabilite asymptotique implique la stabilite asymptotique uniforme. Par contre, aucune propriete de ce genre ne relie l'attractivite,a l'attractivite uniforme : dans Ie cas autonome par exemple, et puisque, comme on vient de Ie voir, l'attractivite uniforme implique la stabilite, si l'attractivite impliquait l'attractivite uniforme, alors elle impliquerait la stabilite, ce qui est faux : nous avons mentionne ci-dessus un contre-exemple. Sur ces problemes d'implications entre concepts, on consultera J.L.
Masser~
[1956] et T. Yoshizawa [1966].
Les fonctions auxiliaires. La methode directe de Liapounov dans l'etude de la stabilite se caracterise par l'usage de fonctions auxiliaires du type V : I x
n ..
R, (t,x) .... V(t,x).
Dans la suite et sauf mention contraire, une telle fonction sera supposee localement
lipsc~tzienne
enx et continue. II nous arrivera souvent de
devoir verifier que Vest dearoissante Ze Zong des soZutions de Z'equa-
tion (1.21. Ceci signifie que, pour toute solution x J .... Rn substituee a l'argument x dans V(t,x), la fonction de t : V~(tl = V(t,x(t)) ainsi obtenue sera decroissante. Autrement dit, pour tous t et t' E J, t
<
t'
V~(t) ~ V*(t'). On sait (cf. E.J. Mc Shane [1944]l que V~(t) est decroissante sur un intervalle ouvert si une de ses derivees de Dini, par exempIe + *
o V (tl = lim sup h++O
V*(t+hl - V~(t) h
Y est inferieure ou egale a O. Pour verifier cette propriete, il faut a
- 119 -
N. Rouche premiere vue connaitre explicitement la solution x(t), ce qui n'est presque jamais Ie cas dans la pratique. La proposition suivante (T. Yoshizawa [1966)) dispense de connaltre cette solution: elle donne toute sa puissance
a
la methode directe de Liapounov.
Proposition 1.1. Soit f continue et V ZocaZement Zipschitzienne en x et continue. Designons par V(t,x) Za fonction V(t+h, x+h f(t,x)) - V(t,x) h
1 ~m sup 0
h.... +O
.
On a pour tout t E J
V(t,x(t)) .
Pour rappeler que la derivee en cause est une derivee superieure
a
droite, il nous arrivera frequemment d'ecrire, par abusde langage, •
V(t,x)
+
= D V(t,x).
Pour caracteriser certaines proprietes des fonctions V(t,x), nous nous servirons ci-apres ~e fonctions de classe K au sens de W. Hahn[19671 Dans d'autres contextes, on les appalle des modules de continuite. Ce sont des fonctions du type a
+
+
R+=[O,co[
R .... R ,
continues, strictement croissantes, avec a(O)
= O.
Nous ecrirons a E K.
Les theoremes de Liapounov sur la stabil1te. Ces theoremes clas siques ont ete directement inspires par la demonstration qu'a donnee Dirichlet en 1846 du theoreme de Lagrange sur la stabilite d'un equilibre en mecanique. Le premier a trait
a
la stabilite simple.
Theoreme 1.1. S'iZ existe une fonction V(t,x) ZocaZement Zipschit-
zienne en
x
(t.x) E I x (1)
et continue et une fonation ~
:
V Lt , x ) ;;;;. a (II xII )
(ii) D+V(t,x) ~
a ;
Z'origine est stabZe.
V (t, 0)
a
a E
K teZZes que pour tout
- 120 -
N. Rouche Preuve. Soient to E I et £
= o. i1 existe un 0>
V(to.Ol
> o.
Puisque Vest continue et que
Xo E Bo' Pour toute solution x(tl telle que t
~
< a(£l pour x(tol = Xo E Bo'
0 tel que V(to.xo)
tout et pour tout
to. t E J. on a
etllx l t Jll J et donc
<
< V(to,xo) < a(£)
V(t,x(t))
C.Q.F.O.
x l t l E B£.
Corollaire 1.1. Si on ajoute aux hypotheses du theoreme 1 qu'il
existe une fonation b E K telle que pour tout (t,x) E I x n : < b(lIxlll, alore l'origine est unif'ormemeni: stable.
V(t,x)
Le deuxieme theoreme de Liapounov donne une condition suffisante de stabilite asymptotique uniforme. Nous en donnons ci-dessous une version qui fournit en outre une estimation de la region attiree par l'origine. Theoreme 1.2. Supposons qu'il existe une fonation V(t,x) loaalement lipsohitzienne en x et oontinue et trois fonctions a,b,c, E K tel les que. pour tout (t,x) E I x n (il e Ill xll l < V(t,xl < b Ill xll l I (11l O+V(t ,x)
ahoisissons a
<>0
ctll xll )
I
tel que Sa C n et posons pour tout t E l 1 V-t,a = {x En: V(t.x)
< a(a)}.
Alors (al x(t) + (b)
pour tout to E I et: toute solution x l t l tiel.l e que x(tol Q uniformement en to et xo. quand t + 00 j l'origine est uniformement asymptotiquement stab le. ~.
(a) Pour a choisi comme indiqu8, on voit grace
= xe EV-1
t o.c
a
(i), que
pour tout t E l V- 1
t,a
C
Ben. a
L'hypothese (ii) montre alors que, si x(t) est choisie comme en (a), xl t J E v- 1 t
,« pour tout t E J+.
,
- 121 -
Rouche
N.
Donc. puisqu e x(t ) ne pe ut s'approcher de la f ront i e re de n. .J + ~
[to. oo [ .
Pour E> 0 arbi traire. choisisso ns n> 0 t e l q ue b(n)
<
a (E ). et cho i si s -
sons 0> b(a)/c(n). On ne peu t av oir II x (t)1I ;;;. n pour tout tE [to .t o + c ] ,
= to
car sinon. pour t V(t.x(tlJ
0;;;;
+
O. on obt iendr a i t
V(to. xo) -
I
t c tll x LsJll l ds 0;;;; b Io l - ct n l o
<0
to ce qui contredit (i). Donc. pour un certain tl E [to.to b(lI x(tl)lI)
t ;;;. to
+ 0
<
ben )
<
+
0]
a(E) et. puisque Vest dAcroiss ante. on obtient pour
:
e tllx t t Ill l
0;;;;
V(t.x(t))
0;;;;
V(tl.X(tl
J) 0;;;;
b(1I xI t
j
)11)
< a(E ).
o.
Donc x(t) E BE pour t ;;;. to
+
(b)
dAmon tre la stabili t A uniforme de l'origi ne.
Le corollaire
1.1
De plus. ' pour to ut 0 > 0 tel qu e b(O)
< a (a) .
1
Bo C V't o •a '
C.Q.F.D.
et donc l'attractivit A est uniforme.
Remargue. On peu t mont r e r par un co ntre-exemple que si l' hypot hes e (i) du thAoreme 1.2 est remplac Ae par V( t.x) ;;;. e Illxll l , V(t.O)
=
O. on ne
peut plus prouver la stabilitA asymptotique uniforme. ni meme la stab il it A asymptotique. Par contre. on peut prouver l'attractivite faibZe de l'origine. ce qui veut dire que (lito E I) ti
~
C:lo
w. i
o) (\Ix
> 0) (lIxo E B ~
(0)
x(t i)
~
o.
i
solution de (1.2). (1.3)) (3{ til E J+. ~ 00.
L'int Aret de cette notion d'attractivitA faible est mise en lumiere par la proposition suivante: l'attractivitA faible jointe
a
la stabilitA
uniforme entrainent l'attractivitA.
Un t hAor eme de L. Salvadori [1972]. Terminons la prAsente le~on en exposant des condi tions suffisantes de stabilitA asymptotique. Comme sug gArA ci-d essus. on y remplace l ' hypot he s e (i) du thAoreme 1.2 par
- 122 -
N.
Va,x) ;;;. e tll xll L V(t,O)
Rouche
mais on fait intervenir en outre une deuxi e-
= 0,
me fonction W(t,x) avec des proprietes adequates. Ce recours
a
plusieurs
fonctions est devenu une demarche commune, sur laquelle nous reviendrons
a
longuement : elle conduit
a
des theoremes tres commodes
appliquer dans
bien des cas . Theoreme 1.3. supposons qu'i~ existe deux fonctionsV(t,x) et W(t,X) l-ocalement: lipschitzienne en x et: continues et trois fonctions e .b ,« E K te~~es que, pour tout (t,x) E I x n : (i)
V (t , x ) ;;;. a (II xII )
V (t, 0)
0
(ii)
W(t,x);;;' b Ill xll l
W(t,O)
0
(iii) O+V(t,x) ~ - c(W(t,x)) ; o+wa,x) bornee inferieurerr.ent ou eupet-ieurement: ;
(iv)
choisissons a> 0 tel que Ba C n ei: posons pour tout tEl
Hors
pour tout to E I
(a)
V't\,a' x l t l
+
et toute
0 quand t
+
00
so~ution
te~Ze
que x(to)
Xo E
;
Z'origine est asymptotiquement
(b)
x(t)
stab~e.
Preuve. On demontre comme au theoreme 2 que pour to ute solution x l t J choisie comme en (a), J+
t
+
00.
(1)
[to,oo[. Montrons que W(t,x(t))
+
0 quand
Si tel n'etait ·pas Ie cas, il pourrait arriver deux choses il existerait un 0> 0 et un k> 0 tels que pour tout t ;;;. to + 0
W(t,x(t)) ;;;. k> O. Mais alors, O+V(t,x(t)) traire
=
a
~
a
cause de (iii), on aurait que
- c(k) et donc V(t,x(t))
+ -
00
quand t
+
00,
ce qui est con-
(i) ;
il existerait deux suites croissantes {til, {til telles que t i + 00 quand i + 00 et que pour tout i = 1,2, ••• : t i < ti < t i+ 1 et que de plus, (2)
pour un certain k > 0 : W(q,x(t{ll = k
et
2k < W(t,x(t)) < k pour tout t
On aurait pu ecrire de meme
E
]ti,ti [.
(1.4)
- 123 -
N. Rouche (1.5) +
On utilisera (1.4) ou (1.5) selon que D West bornee superieurement ou inferieurement. Nous--ne traiterons que 1 'un des deux cas, celui ou il existe -un M > 0 tel que D+W(t,x) ~ M, Alors ti - t tient, en utilisant, (iii) :
V(tn,x(t n))
~V(to,xo)
+
i
~ k/2M, et on ob-
n ~
i"1
Ceci contredit (i) pour n assez grand. Donc W(t,x(t)) t
+ ~.
Grace
a
+
0 quand t
+ ~
et (ii) montre que x(t)
+
0 quand
ce resultat et au theoreme 1, on obtient ensuite la partie
(b) de la these. C.O.F.D. Ce theoreme generalise un resultat de M. Marachkov [1940] et un autre de J.L. Massera [1956]. Le premier s'obtient en faisant W(t,x)
(x,x), ou (0,0) est un produit scalaire, et Ie second en faisant
W(t,x)
V(t,x).
- 124 -
N. Rouche II faudrait etre fou pour decider, mi-chemin, de retourner au depart.
a
Deuxi8me leyon. Etude de la stabilite, guand on connait des integrales premieres. Du l'on se sert astucieusement des integrales premieres, soit pour adoucir les exigences imposees aux fonctions auxiliaires, soit pour eliminer une partie des variables. Du l' on voit aussi la s t ebd l i t e totale pour une equation simple entrainer la stabilite simple pour une equation compliquee. Du l'on regIe enfin un vieux probleme de Routh en ,un seul coup de cuiller a pot.
Introduction. On ne connait pas de methode generale pour construire des fonctions de Liapounov. Aussi fait-on bien, pour etablir des proprietes de stabilite, de ne negliger aucune information disponible sur les solutions. Les integrales premieres, souvent les plus precieuses de ces informations, seront utilisees soit pour construira une fonction auxiliaire definie positive, soit pour eliminer une partie des variables presentes dans l'equation differentielle. Nous allons illustrer successivement ces deux possibilites. Nos hypotheses generales demeurent celles du debut de la premiere le~on.
Rappelons qu'une fonction W: I x n
~
R, (t,x)
~
W(t,x)
localement lipchitzienne en x et continue, est appelee integrale premiere de l'equation (1.2) si et seulement si D+W(t,x)
=
0 pour tout (t,x) E I xn.
Cette condit.ion implique que pour toute solution x Lt l de (1.2), la fonction de t : W(t,x(t)) est qu'elle est constante.
a
la fois croissante et decroissante, et donc
- 125 -
N. Rouche Comment faciliter la construction de fonctions auxiliaires. La circonstance la plus favorable est celIe
au
on connait une integrale premiere
W(t,x) satisfaisant aux hypotheses du theoreme 1. 1 (l'hypothese (ii) etant verifiee d'office). 5i tel n'est pas Ie cas, on pourra recourir au theoreme suivant. Theoreme 2.1. S'il existe deux fonctions V(t,x); W(t,x), locale-
ment: Zipschitzienne en x et oontrinuee, ou West une int~grale premiere, et: une fonction a E K~ te l: Lee que (i) V(t,O) = 0, W(t,O) = a pour t E I (11) max(V(t ,x), W(t,x)) ;> e Ill idl J pour (t,x) E I x n I (iii) O+V(t,x)
alors l'origine que (Lv)
~
°pour tout
e~t
(t,x) E I x n tel que V(t,x) ~ W(t,x) stable. S'il existe en outre une fonction bE K telle
max(V(t,x), W(t,x)) <; b tlbdl ) pour tout (t,x) E I x n~ La stabiZite
est uniforme. ~.
On montre sans peine, en recourant a la definition de la
derivee superieure a droite. que l'hypothese (iii) et l'equation O+W(t.x) =
°entrainent
l'inegalite
0+[ max(V(t.x), W(t.x))] .;;; 0. Le theoreme 2.1 decoule alors immediatement du theoreme 1 . 1 . C.Q.F.O . L'avantage est ici que la
condi~ion
principale relative a la fonc-
tion auxiliaire V. a savoir V(t,x)
>
que sur un sous-ensemble de I x
a savoir Ie sous-ensemble caracterise
par W(t.x)
< etll xll l ,
n.
a(lIxll). ne doit plus §tre verif iee
De m§me. la condition relative a O+V(t.x) ne doit
plus §tre satisfaite que la
au
V(t,x)
> W(t,x).
Remargue 2 .1. 5upposons qu'on connaisse plusieurs integrales premi er es WI, ••• , Wm' ajustees de telle sorte que Wi(t,O) = 0, i = 1 •••• ,m. Posons W=(Wl"'" Wm). On sait, d 'apres G.K. Pojaritski [1958], qu'il existe une fonction reelle continue
~(w)
tel Ie que
~(w(t.x))
soit definie
positive, si et seulement sf, , pour une norme II-II quelconque, IIw(t,x)1I est
- 126 -
N.
Rouche
definie positive. Pratiquement, on pourra calculer l'expression Wo(t,x)
Wf(t,x)
+
•••
+
W~(t,x). 5i elle est definie positive, Ie pro -
a
bleme est regIe. Au cas contraire, on cherchera
construire une fonction
auxiliaire supplementaire V(t,x) comme dans Ie theoreme 2.1. Remarquons en outre que ce theoreme tient toujours si on y remplace W(t,x) par une fonction decroissante Ie long des solutions de l'equation differentielle. Remargue 2.2. II se peut que l'hypothese (ii) soit mal commode
a
verifier. Les choses deviennent plus simples si on connait une fonction ~
continue W (x) de I x
n.
Posons G
n+
R telle que W(t, x)
= {x En:
~
W (x )
= o}
~
~
W (x)
~
et soit N C
0 pour tout (t,x) E
n
un voisinage de
G \ {O}. L'hypothese (ii) sera verifiee dans chacune des deux eventualites suivantes : ~
(a)
11 existe une fonction a E K telle que V(t,x)
(b)
il existe une fonction continue V·(x) de
n+
~
~
a (II xII ) sur I x N;
R telle que
V(t,x) ~ V~( x) ;> 0 sur I x (G \ {O}). Dans Ie premier cas, on remarque qu'on peut restreindre pour un certain p> 0, et qu'il existe une fonction
a~
na
une boule 8 p
E K telle que,
pour tout (t,x) E I x (8 p \ N) W(t,x) ;> inf(W~(y) : HI ~ IIYII ~
o- Y ~ N)
~ a",(lIxll)·
On choisira etll xll ) = min (a~(lIxll), a...(II xII l l . Dans l e second cas, 11 suffira de remarquer que pour tout (t ,x) E I x
~ max(V·(x) , W~(x))
> D,la
n :
max(V (t,x), W(t,x))
derniere inega lite va l abl e si x
* O.
~
Pro cede par elimination de variables. Voyons maintenant deux resultats obtenus par elimination de variables
a
partir des integrales pre-
mieres. 5upposons qu 'on en connaisse m, regroupees en un vecteur w(t,x) (Wl(t,X), ••• , Wm(t,x)), avec w(t,D)
= D.
5upposons en outre que l'equation
(1.2) se divise en deux equations Y
=
}
g(t,y,z)
z = hCt,y,z)
(2.1 )
ou y,g E Rn-m et z,h E Rm• Nous ecrirons x = (y,z). 5upposons enfin que l'equation w(t,y,z) = 8 OU 8 est un vecteur de Rm, soit univoquement solub l e dans un voisinage de l' orii-ine des x et
four[)i~,-se_.Ia
fonction
- 127 -
N.
Rouche
continue z = z(t.y.B) . telle evidemment que z(t .O.O)
= O.
Les equations (2.1) peuvent stre rem-
placees par Ie systeme y
go(t.y)
+
8 o.
go(t.y) = g(t.y.z(t.y.O»
ou En
B = O.
r(t.y.BJ.
}
(2.2)
et r(t.y.BJ = g(t.y.z(t.y.BlJ
la premiere de ces equations se reduit
go (t.y).
a
y = go(t.yl . Le theoreme suivant. du
a
(2.3)
C. Risito [1967]. recourt
a
la notion de
stabilite totale. que nous rappelons tout d'abord. Soit f*(t.xl une fonc tion definie comme f en (1.1). mais pas forcement telle que f*(t.Ol
= O.
On dit que l'origine est totaLement stabLe pour 1 'equation (1.2) si (lfe:
> Ol (Ifto e
I) (301
> Ol (302 > 0) (lfxo e
B (Iff 0 1)
*
: I!f * (t.x)1I
< 02
pour
(t .x) e I x BE) (If x solution du probleme de Cauchy
~ = f(t.x)
+
f*(t.xl.
x(tol = xol +
et (1ft e J l. on ait x(t) e BE' L'interet propre de ce concept est evident. On connait une cond ition suffisante tres simple assurant sa realisation. tout au moins quand les solutions sont uniques : la stabilite asymptotique uniforme entraine la stabil1te totale. ( cf. W. Hahn [1967] 1 • Theroeme 2.2. Supposons que n = Bp pour un aertain p existe une fonation a e K teLLe que If(t.y.BJ e I x Bp (i)
IIz(t .y.Blll '" e lll (y.B)I!J.
(11)
IIrCt.y.B)I!"';; a(IIBI!).
(iii) L'origine est totaLement stabLe pour
aLors L'origine y
O.z
= 0 est stabLe pour
Preuve. Vu l'hypothese (il
L'~quation
L'~quation
(2.3l
>
I
(2 . 1) .
O. et qu'iL
- 128 -
N. Rouche (ltE>O) (3n >0) [llyll [lIxll <E]. Vu l'hypothese (iii) (ltn> O)(ltto E 1)(30 1 >0)(302 >0) [llyoll
[ ll yt t lll
< nl .
Vu l'hypothese (ii)
Mais w(t.x) est continue. et w(t.O) = O. Donc (ltto E I) (lt03 > 0)
(30~
> 0) [ li xol' <
o~]
-> [111311 < 03] •
Donc (ltto E I) (ltE > 0) (30 > OJ[ IIxoll < 0 et t E J+] -> IIx(t)1I < E. En effet. i1 suffira de choisir 0
= min(ol'o~).
C.Q.F.O.
Le theoreme suivant applique Ie theoreme general 2.1
a
l'equation
reduite (2.3). II combine ainsi les avant ages des deux demarches exposees au debut de cette le90n : utiliser les integrales premieres pour eliminer des variables et s'en servir pour construire une fonction auxiliaire. Theoreme 2.3. Supposons qu'il existe une fonation aontinue V(t.y)
de I x n' .... Rn. ou n' est un voisinage apP1'Opri~ de l'origine des Y. une fonation pet) de I .... R et deux fonctions a et c E K telles que (It(t.y) E I x n') et (It(t.y') E I x n'). (i) I V(t.y) - V(t.y') I .:;;; pet) lIy - y'li. (11) V(t.y);;;' atllyll ) I V(t.O) = a J (11i)
vee est
0(23) V(t,y) .;;; c lv I t s y l l , OU l'indiae (2.3) signifie que la dhiaalaul~e
le long des solutions de (2.3).
Supposons de plus qu'il existe une fonation q(t) de I .... R. une fonation p E K et une aonstante L telles que. en tout point OU r est d~finie : (Lv) (v)
IIdt.y,e)1I <:qrt) pet) q l t l <;; L-
~(lIell) I
Alo1's. l'origine (y.e) = a est stable pour l'~quation (2.2). Si de plus. il existe une fonation b E K telle que. pour tout (t,y) E I x n' (vi) V(t.y) <: b(lIyll J. la stabilit~ est uniforme.
- 129 -
N. Rouch e W(S)
=
Pre uve. Consid~rons Ie systeme (2.2) et son int egra1e premiere c- 1 (UpWSII)). Alors a cause de (!i). V(t.y) et W(S) ont les pro-
priet es pret ees a
v
et W dans la remarque 2.2. Donc l'hypot hese (ii) du
theoreme 2 . 1 est ve rif ie e . L' hypothese (i) l ' est aussi. Quant a l'hypot hes e ( i i i). r emarquo ns que la derivee de V(t . y ) ca l cul ee Ie l ong de s s o l ut i ons du s ys t eme (2 .2) . a s avoi r D+V( t .y .S)
= l i m s up --,-V.;.(..;;.t_+--..,;.h;,.:.'-="Y_+--..,;.h;."..2,g,::.o,;,.(t;;.:h';",!y;,.:.)_+....;h.;.;r....;(;.,;t;,.:..~y.;.;'S....;);.,;)_ -_ -V-,-(t...;."",Y,-J h++O
admet . grace a l'hypo t hes e (i ). l 'estimati on suiva nt e D+V(t.y.S) .,;; 0( 2.3) V(t.y) + pet) IIdt.y. S)II. D'oll grac e
a
(iii ) . (i v) et (v)
D+V(t .y.S ) ";; - c( V(t. y)) + L <j>(IISII) . Or I e dernier membre de cette inegalite est ";; 0 des que V(t .y) ;;;' c- 1 (L<j>(IISII))
=
W(S). L' hypothes e (iii) du theoreme 2 .1 est don c C.Q .F .D .
bien verifiee. On sa i t (cf . par ex. L. Cesari [ 1959
I)
que la s ta bil it e n' est pa s
i nva ri an te par change ment de va r i a bl es . meme si I e changem ent es t cont inuo
= 0 pour (2.1 ) n 'e st pas f or cemen t equival ente a la s tab i li t e de l' orig ine (y .S ) = 0 pour (2 .2) . Ce probleme est di scute dans C. Ri sit o [ 1972 I .
La stabi l ite de l' origi ne (y. z)
La s t ab il i t e des mouvements statio nnaires . En gui s e d ' appli cati on . cons iderons un ' pr obl eme de mecaniq ue pose pou r l a premie re fo i s par Routh [1 860
I et qui a d'ailleurs i ns pi re la plu pa r t de s deve l oppement s ul t e-
ri eurs relatifs a la s tabilite e n presen ce d'int egral es premi eres. Nous empru nt ons ci - des so us . sans nous attarder a I e decri re. Ie langage des mecaniciens . Toutes les f oncti ons cons i de r ees s eront implicitement s uppos ees de f i ni es sur Ie produi t ca rtesi en d 'un demi -axe infi ni pour Ie temp s t. par un voi sinage ap proprie de l'origine dan s l 'es pace de s a ut r es arguments. On con s i de r e don c un systeme mecani que a n;;;' 2 degre s de li ber te.
- 130 -
N. Rouche
a
liaisons holonomes. independantes du temps. et depourvues de frottement.
On supposera que pour un certain m. 1 ~ m < n. les coordonnees lagrangiennas , suppoaees Lndependent ee , se divisent en deux groupes q = (ql"' ... q
1
n-m (rl •..•• rml. ces dernieres etant cycliques. On suppose que certaines forces derivent d'un potentiel IT(t.ql de classe Cl et qu'il y ait
=
et r
aussi d'autres forces 0 = (01 •.••• Qn-ml fonctions continues de t. q et q. L'energie cinetique est supposee etre une fonction de classe C1 de (q.q.~l. On l'ecrira sous la forme decomposee
.
OU T2 est quadratique en q. Tl lineaire aussi bien en q qu'en ~. et To quadratique en i; Les equations de mouvement sont : (T2 +
+
Tol
Ti J =
-l.
oq
(T2
+
Tl
+
To - TIl
+
O(t.q.ql.
8.
Puisque les coordonnees lagrangiennes ont ete supposees independantes. les equations des moments des coordonnees cycliques peuvent etre resolues par rapport
a
~. On peut donc eliminer ~ des equations du mouvement. selon
la procedure classique proposee par Routh. La fonction routhienne s'ecrit
...
•
...
Ii<
OU T2 est quadratique et defini positif en q. Tl est lineaire en q et To est quadratique en 8. Cette fonction est obtenue en remplaQant ~ par sa valeur dans
ou (. ,.) est un produit scalaire. A partir de la fonction routhienne. les nouvelles equations du mouvement s'ecrivent d
dt
B
= O.
Supposons qu'elles admettent un point critique q = q.q respondant
a
8.
cor-
ce qu'on est convenu d'appeler un mouvement stationnaire ou
- 131 -
N. Rouche me r os t a t i que . On ne r ed uira pas la g enera l it e de l'expose en supposant qu e ce poin t critique es t q
=
q
8
= 0,
=
8.
= (q ,q ) et 8 = 8 + c, on pe ut re c r i r e les equations
Apre s av oi r pose x
du mouverren t s ous la f orme norma le x = hlt s x cl , i
c
= O.
o
La s tabil it e de l'o r igine (x,c )
a
l ' ai de du hamiltonien H( t , x , c )
'"
To (q, 8-
ou W(t ,q , c )
+
c)
+
pour ces equations peut etre e t udi ee
.
'" = T2(q,q)
'"
+
W(t,q,c)
Il I t q l - To (0 , 8- ) - TI(t, O). i
La de rivee de H Ie l ong des equatio ns du mouvement s e c a lcu l e sans pein e et est donnee par H(t, x, c) Routh [1860]
avait donne, pour Ie cas Q = 0 et un potentiel ind e-
pendan t du temps, une co nditi on de stabi lit e e n quelq ue sorte "cond itio nne l l e " e n ce s ens qu' e lle ne concernait q ue les pertu rbat i ons resp e cta nt les integrale s pr emieres "des momen t s . Une tel Ie r estricti on est ev idemme nt t r ss ar tif i ci elle, et n ' e s t q uasime nt j amai s r espect ee dans les ca s d ' es pece . II fall ait donc l 'elimine r . C'e st ce qui es t fait da ns Ie t heoreme su i van t , dan s l equel on admet en outre un potentiel de pe ndan t du t emps et de s forces dissipati ves. Theoreme 2 . 4 . Supposons qu'i Z existe une fo nation aont inue
et une f onat i on a E K, et que pour tout ( t , q , q ,c ) E I x n : (i) (ii)
'" W'" (q, O) > e tll cll )
> W (q ,c )
W( t ,q, c)
"
l
(ii i) }' t (Il I t q l - TI( t , O) ) i
LLv )
W'" (q , c )
(Q( t , q , q)
Iq)
.0;;;
0
.0;;;
0
l
a Zors Ze mouvement s tationnaire est stab Ze par rapport a q,q et c. Si de p Zus iZ existe une f onati on b E K teZZe que, pour tout ( t , q , q , c ) E I x n
- 132 -
N. Rouche Iv l
WCt,q,c) -.;;; b Ill qll
+
llcll ) ,
la stabilite est uniforme. Preuve. II suffit d'appliquer Ie theoreme 2.1 complete par la remarque 2.2, b), en assimilant HCt ,x,c )
a
VCt,X) et II ell
a
WCt,X).
C.Q.F.O.
- 133 -
N.
Rouche
Le pis que je trouve dans notre etat c'est 1'instabilite, et que nos lois, non plus que nos vetements, ne peuvent prendre aucune forme arretee. Montaigne.
Troisieme le90n. L'instabilite et la methode des secteurs. OU l'on voit que l'instabilite peut se demontrer de deux fa90ns, mais toujours en deux temps, " soit en expulsant une seule solution d'une region dont aucune solution ne s'echappe par Ie cote, soit, et c'est plus difficile, en expulsant toutes les solutions d'une region ou aucune solu tion n'entre par Ie cote. Ainsi fait-on de la meilleure ouvrage avec deux pinces specialisees qu'avec une seule a usage multiple.
Introduction. Nous reprenons, dans Ie present chapitre, les hypotheses generales de la premiere le90n, en imposant en outre l'unicite de la solution du probleme x
= f(t,xl,
(3. 1)
= Xo,
(3.2)
x(to)
en tout point (to,xo) E I x Q. Cette hypothese est necessaire parce que nous invoquerons sans cesse la continuite des solutions par rapport aux conditions initiales (to,xo). La solution du probleme (3.1), (3.2) sera notee x(t;to,xo). Nous etudierons un seul concept, du point critique
a
a
savoir l'instabilite
l'origine des x. L'instabilite etant Ie contraire de
la stabilite, on dira, de maniere explicite. que l'origine est instable si
Le theoreme de Tchetaev. Montrons d'abord. classique de Tchetaev. les raisons qui invitent
a
a
partir du theoreme
diviser les theoremes
d'instabilite en deux propositions complementaires : l'une prouvant l:existence d'un secteur et l ' au t r e l'exoulsion des solutions.
- 134 -
N. Rouche
oreme 3.1. (N.G. Tchetaev [1934 J ). S'il existe un E> 0 tel
que BE C n, un to E I, une conetarite K > 0, une fonction a E K, un domaine ~ c BE et une fonction continurnent derivable V: I x BE ~ R tels que, sur (i)
I x ~ : 0
< V(t,x)
;
~ K <~
V(t,x) ~ a(V(t,x) ;
(ii)
si de plus, (iii) l'origine des x appartient d d (iv) V(t,x) = 0 sur I x (d~ n BE) alors, l'origine est instable.
~
Preuve. A cause de (iii) et (i), il existe pour tout Xo E
~
n Bo' et V(to,xo)
Tant que x(t) E t E J+
~,
> O.
V(to,Xo)
on obtient, grace
Donc x(t) doit traversant
d~
+
un
Soit maintenant x(t;to,xo) abrege en x(t).
K ~ V(t,x(t)) = V(to,xo) ~
°
a
(i) et (ii), que pour tout t
to.
~
it V(T,X(T))dT to a(V(to,Xo)) (t - to).
quitter~.
+
a
Mais
cause de (iv), x(t) ne peut quitter
~
en
n BE' Donc x(t) quitte BE'
C.Q.F.D. La fonction V a servi
a
montrer deux chases: 1) il existe une
solution partant d'un Xo arbitrairement proche de l'origine et qui sort de
~
I
2) aucune solution ne sort de
~
en traversant
a~
n BE' La premiere
de ces conclusions sera associee ci-apres au terme d' "expulsion", la seconde au terme de "secteur". On verra plie quand on recourt
a
deux
a
quel point la theorie est assou-
fonctions auxiliaires distinctes pour eta-
blir les proprietes respectives d I "expulsion" et de "sect.eur-",
Notations et definitions. Les theoremes ci-apres, qui sont
ous
des conditions suffisantes, devraient, dans une version complete, commencer comme Ie theoreme de Tchetaev, par : "S'il exiete un E
> 0,
BE c
n et
un to E I " • Alors, par raison de simplicite, nous supposons que E et to sont fixes ici une fois pour toutes.
- 135 -
N , Rou c h e Nous des i gne rons par CE Ie cy1in dr e I x BE' Pour to ut G C CE et t E I , nous defi nirons G( t)
{ x:" I t ; xl E G},
G*
{(t ,x ) E G, x
L
{(t, x) E aG n CE, x
* oJ,
* oJ .
On app e ller a L 1a f ront i ere l-atieral.e de G. No us ferons l ' hypo t he s e g'eneraIe s ui vant e : t ous les ensembles G mentionnes ci- apre s ser ont t els que
l 'or i gi ne de Rn es t un poi nt d 'accumulation pour G(t o) . On dira que G es t un secteur si , pour t out 8
> 0,
une au moins des
cond itions su i vant es es t s ati sfait e
- (ift E J + ) ( t , x (t; to , xo) ) E G (3 xo E G* (to) n B8)
(i)
(i i) (3 xo E B8) (3t E
J+ )
x l t r t e s xo) ~ BE'
On di ra que G e s t un sec t eur absolu s i pour t out Xo E G* (t o), une au moins des de ux co ndi tio ns su i vantes est sa tis fa i te (i )
(Vt E
J+)
(t, x( t ;to' xo)) E G·
( ii )
(3t E
J+)
x (t ;t o. xo) ~ Be;'
l
I I est cl air que CE est un secteur abso1u. et que tout se cteur abso1u est un s e ct e ur . On tro uvera p~ut etre un peu etra nge de definir un ens emble G comme s ecteur. en fa isant appe1 t iennent pas
a
G. II n'y a pas.
t i on que l' usage importan t
qu~
a des propri etes de poi nts qui a cette particu1ari t e. d' aut r e
n'ap pa rju stifi ca-
en es t f ai t da ns I es demonst r atio ns e t
qu ' on deco uvrira ci-apres. On dira que G est un expulseur si (V8
> 0)
(3 xo E G"'(to) n B8) (3t E
J+)
n dira que G est un expulseur absolu si (V8
>
0) (Vxo E G"'(to ) n B8) (3t E
J+)
Proposit io n fo ndame nta 1e. Les quatre affirmations 8ui vantes sont
equi valent es : l'origine est i nst abl e ; (aJ
- 136 -
N. Rouche
(b) (c) (d)
iZ exi8te un Becteur qui de pZus est expuZseur absoZu ; iZ exi8t~ un secteur ab80Zu qui de pZus est expuZseur ; iZ existe un secteur absoZu qui de pZus est expuZseur absoZu. Preuve.
II est evident que (b) entraine (a), que (c) entraine (a)
a
et que (d) entraine (b) et (c). II reste
montrer que (a) entraine (d).
Or si l 'origine est instable, il existe une suite de points xOi E BE et d'instants ti
> to
~ :intersection
BSt
a
tels que X(tiltO,xoi)
~
BE' L'ensemble G constitue par
avec CE des trajectoires de toutes les solutions X(tltO'XOV
la fois un secteur absolu et un expu1seur absolu. C.Q.F.O. Pour obtenir des hypotheses entrainant l'instabilite, il suffira
donc de trouver des conditions suffisantes pour qu'un ensemble G soit secteur, secteur absolu, expulseur ou expulseur absolu, et de les combiner de maniere adequate. Faute d'espace, nous ne traiterons ici que deu x e xempIes. Et puisque Ie theoreme de Tchetaev est bati avec un secteur absolu expulseur, nous choisissons d'illustrer les notions de secteur et d'expulseur absolu. Une autre raison d'examiner les secteurs est que les theo remes qui en demontrent l'existence sont delicats, et donc interessants . Etude des secteurs. Pour plUS de clarte dans les definitions ciepr-ss et si Ls e l E I x i
n, nous ecrirons J+(s,a) pour [s,oc{n J(s,a), ou
J(s ,a) est l'intervalle sur lequel est definie la solution non prolongea ble passant par (s,a). Un point P
point d/entsee de (t,x(tls,a)) E
G
G
si (3T
= (s , a )
> 0,
E L sera dit
ls,
s + T E J+) (\It E
s + T 1)
I
point de sortie de
G
si (3T
>0
s + T E J +) (\It E 1s , s + T 1)
(t,x(tls,a) ~~G.
point consequent de G si (3T
> 0,
s - T E J) (\It
E
[s - To s [ )
(t,x(tls,a)) E G. Theroeme 3.2. Supposons que, pour un ensembZe G ferome dans CE et
pour tout t
~
to :
- 137 -
N. Rouche (i)
~(t) est connexe ;
(ii)
l'o~igine est un point d'accumulation de ~(t)
I
(iii) aB g contient au moine un point d'accumulation de ~(t) I si de plus aucun point de L n'est un point d'ent~ee, G est un
secte~.
Supposons la these fausse. Alors il existe un O. 0
~.
< 0 < g.
tel qu'on puisse nier les propositions (i) et (ii) dans la definition du secteur . (a)
Nions
(11)
X(tlto .xo) E Bg •
(3.3)
et posons
Cet ensemble est defini pour tout t l'origine de Rn • Done. grace a (11) tu de (3.3) H(t) C Bg • et done.
a
~
to. et c'est un voisinage ouvert de
:
G(t) nH(t) 01= l!l. D'autre part. en ve r-
c~use de (iii) : G(t) n C H(t) 01= l!l. ou
C designe Ie complementaire. Done. pour tout t
~
to
G(t) n aH(t) 01= l!l
(3.4)
sinon ~(t) serait la reunion de deux ensembles G(t) n H(t) et G(t) n C~(tL disjoints. non vides et ouverts dans G(t). et G(t) ne serait pas connexe. (b)
Nions (i) dans la definition du secteur. et. de la proposition
ainsi obtenue. tirons que
Done. Vxo
E G(to)
n
aBo'
il existe un t(xo) et un t', t
< t'
tels que
(t.x(tl) E L et que (t.x(t)) ~ G pour tout t E [t.t']. Pour chaque xo. soit T(xo) 1 'infimum des t(xo) . Montrons que la ·f onct i on T(xo) est semicontinue superieurement. Si elle ne l'etait pas. il existerait dans G(to) n aBo' un point x: et une suite {xi}. xi 01= x:. tels que xl + x: et lim T(x~) = T >T(x:l. Alors. pour tout n < T - T(x:) assez petit et tout i assez grand. on aurait
et
(T(x~)
+
n.x(T(x~)
+
nlto.x!)) E G
(T(xg)
+
n.x(T(x~)
+
nlto.x~)) ~ G.
- 138 -
N.
Rouche
ce qui est impossible. vu la continuite de x par rapport aux conditions initiales et puisque G est ferme dans CE • Donc il existe un T tel que. pour tout Xo E Gltol n aB8 : Tlxol
< i.
Si on se rappelle qu'a cause de 13.31 aucune des solutions mentionnees ne sort de BE let done ne cesse d'existerl. et que de plus. aucun point de L n'est un po int d'entree. on voit d'une part que
et d'autre part. que IVxo E CG(tol
n aB81 IVt > tol xltl ~ ~It).
On conclut que (~t ~
TJ GCt)
n 3H(tJ = ~ ce qui contredit (3.4) et achev8
la demonstration.
C.O.F.D.
Ce theoreme conduit sans peine au suivant. relatif au cas ou G est un ouvert. Theoreme 3.3. Supposons que. pour un Ii)
Glt) est connexe ;
Iii)
~'origine
est un point
d'accumu~ation ~
liii) aBE contient au moi ns un point ~~ p~us
l~s
G ouvert et pour tout
Glt) ;
de Gltl ; sortie. G est un secteur.
d'accumu~ation
tout point de L est un point
Preuve. Toutes
ensemb~e
~
hypoth eses du theoreme 3.2 sont satisfaites si
on y substitue a G l'ensemble H
= G n CE • Alors. pour 8 donne. ou bien la
proposition Iii) dans la definition du secteur est satisfaite. ou bien elle ne l'est pas. Dans ce dernier cas It.xlt;to.xo)) E H
= Gn CE •
Comme tout point de L est un point de sortie. il n'existera aucune valeur de t telle que: It.xlt;to.xo)) E L. d'ou Ie theoreme .
C.O.F.D.
Dans Ie theoreme 3.3. to us les points de L sont suppos es points de sortie. On affaiblit cette hypothes e dans Ie th eoreme suivant. adapte du
- 139 -
N. Rouche principe topologique de Wazewski (cf. P. Hartman [1964)). Pour pouvoir l'enoncer, rappelons tout d'abord deux definitions. Si X est un espace topologique et si A C B C X, on dira que A est un retracte de B s'il existe une application continue de B + A qui soit l' identite sur A. Cette applicat ion est appelee retraction de B + A. Theoreme 3.4. Soit G ouvert et suppo8ons que tous Zes points
conse~
quents de G soient des points de sortie. Soit S Z'ensembZe de ces points. Supposons qu'iZ existe, pour tout 0 e ]O,E[, un ensembZe Zo C (Gtto) U S(to)) n Bo' teZ que :
Zo
(i)
(ii)
*- 1:1, Zo n S(to) *- 1:1 si on note Z6 = {(to,xo) : Xo e Zo}, Z6 n n Gtcto)
S est un re tracte de S mais
non de Z8 . AZors G est un secteur; pZus precisement, pour tout 0 e ]O,E[, it existe un Xo e Zo n Jtto) teZ que (t,X(tltO'XO)) e G pour t out t e J+, ou bien le premier point d'-intereeot-ion avec aG de La demi-trajectoire positi ve i ssue de (to,xo) appartient dacE' Preuve. Si la these est fausse, (30
> 0)
(vxo e
Zo)
(3T
~
to) et
('lit e [to,I[ ) (t,X(tltO'XO)) e G,
(3.5)
(T,x(T,to,xo)) e S. On remarquera que si
Xo
E S [t o): T
=
to et [to, T [
=
1:1. Comme les points de S
sont des points de sortie, on montre, comme au theoreme 3.2, que T(xo) est une fonction semi-continue superieurement . Grace
a
(3.5), on montre de me-
me qu'elle est semi-continue inferieurement. Done la fonetion TIl : (to,xo)
~
(T( xo), x(T(xo)
Z6
sur
Z6
n
s,
+
S,
to,xo)) est contin ue. Si TI est la retraction
appl iquant, par hypothese, S sur de
Z6
Zi
n S, alors TI
ce qui ne peut exister .
0
TIl
sera une retractio~ C.Q.F.O.
Pour appliquer les theoremes ci-dessus, il faut pouvoir reconnaitre des proprietes du type: un point n'est pas un point d'entree, ou un point est un point de , sortie ou un point consequent. On y arrive soit en raisonnant directement
a
part ir du second membre de l'equation differentielle,
soit en utilisant des fonctions auxiliaires, comme dans les propositions
- 140 -
N. Rouche
suivantes. Proposition 3.1. Soit G ouvert, PEL, et N un
vo~s~nage
de P. S'iZ
existe une fonction continue W(t,x) de N n G -+- R t.el.l:e que W(t,x) > O. W(t,x) ~ 0 et W(t.x) -+- 0 quand (t,x) -+- P, aZors P n'est pas un point d'entree de G, ni dono de G n Ce:' Proposition 3.2. Soit G ouvert, PEL, et N un voisinage de P. S'iZ existe ~e fonction oontinue W(t,x) de N n G -+- R t ZZe que (i) (\I(t,x) E N n G) W(t.x) 0;;;0 et W(t,x) > 0;
et W(t,x) = 0 aZors P est point de sortie et point oonsequent de G. (ii) (\I(t, x) E N n L)
W(t,x) =1=0
Preuve. On montre sans peine que si P n'est pas un point de sortie. il existe un point d'entree dans N n'L, ce qui met la proposition 3.1 en defaut. On raisonne de meme en supposant que P n'est pas un point conseC.O.F.O.
quent.
Etude des expulseurs. En gros. une solution est expulsee de G s'il existe une fonction V(t,x) definie sur G, bornee superieurement et croissant assez vite Ie long de la solution. Par "assez vite" on entend que si on suit les valeurs de V Ie long de la solution, la borne de V soit atteinte en un temps fini. Tous les theoremes d'expu13ion sont brodes autour de cette idee de base, que l'on peut raffiner de deux manieres : soit en admettant pour V(t,x) une borne superieure fonction tant
~ue
d~
t, soit en accep-
V(t,x) soit stationnaire (c'est-a-dire que V(t.x)
= 0)
en cer-
tains points et en completant les hypotheses de sorte que les solutions ~e
s'attardent pas trop dans cet ensemble de points stationnaires . On
~ecourra
souvent pour ce faire a une fonction auxiliaire supplementaire
la technique mise en oeuvre se retrouve dans les theoremes d'attractivite, comme nous Ie verrons dans plusieurs des le90ns ulterieures. II existe de nombreux theoremes d'expulsion, adaptes a des applications diverses. Nous nous contenterons ici d'en exposer un. Theoreme 3.5. S'iZ existe une fonction V(t,x) de C£ -+- R, ZocaZement Zipsohitzienne en x et oontinue, deuxfonctions continues a(t),c(t) de
- 141 -
[ to,'" [
+
R et une fonation b E K t.el.l.ee que
'"
(i)
(Vxo E G (to))
(ii)
c It l
> 0,
lim t+CXl
(iii) (V(t,x) E G"',
>0
V(to,xo)
(t c I s I ds
Jt o
;
= "'.
Vl t s x l
> 0)
V(t,x)
0;;;
e Lt L,
(3.6)
V(t,x) ;;;. 0, V(t,x) ;;;. c(t) b(V(t,x))
+
(3.7)
~[t)
(3.8)
a Zors G est expulseur absoZu . Preuve. Si ce n'etait pas vrai, i1 existerait un Xo E G"'(to) tel que V(to. xo)
>0
et que (t.x(t;to,xo)) E G pour tout t E J+. Or en vertu
de (3.7), on a V(t.x(t)) ;;;. V(to,xo)
a
>0
pour tout t dans J+. O'oG. grace
(3.8) et pour t E J+ :
V(t.x(t)) - a(t) ;;;. V(to,xo)) - aCto) et encore,
a
+
b(V(to,xo)) Jt c(s)ds. to
cause de (3.7)
b(V[to.Xo)) It c(s)ds to
0;;;
a(to) - V(to.xo),
inega1ite qui devient fausse pour t assez grand.
C.Q.F.D.
-
14 2 -
N. Rouche ••• car 1a comparaison Nous fai t distinctement comprendre une raison Et nous aimons bien mieux. nous autres gens d'~tudes, Une comparaison qu'une similitude . Moliere .
Quatrieme 1e90n. La methode de comparaison. OU l ' on etab1 it d'abord deux inega1ites differentie11es fondamentales. E11e permettent de montrer ensuite comment une solution d'une eq~ tion simple pousse devant e11e un troupeau de solutions d'une equation comp1iqu~e. Ainsi Ie chien du berger pousse -t-i1 1es brebis devant lui. Ainsi ferons-nous mentir 1e proverbe : comparaison n'est pas raison.
Pour etab1ir l'une ou l'autre
p ropriet~
asymptotique des solutions
d'une equation differentie11e comp1 iquee dans Rn , on cherchera ici
a
mon-
trer dans que11es circonstances une propriete analogue pour une equation plus simple. par exemp1e une equation dans Rm avec m < n. entrainera 1e r~su1tat souhait~
souvent equation
dans l'equation initia1e. L'equation plus simple est
appe1~e .Aquation
a
intervenant qans une parente de derniere
de comparaison. Le transfert de propriete d'une
l'autre se fait par l'intermediaire d 'une fonction auxi1iaire l'~quation
~quation
differentie11e,
in~ga1ite
in~ga1ite
qui est proche
de comparaison. En gros, 1es solutions de cette
servent de bornes
a
ce11es de l'equation initia1e. Com-
me ces bornes evo1uent dans 1e temps. on pourrait dire en que1que sorte que 1es solutions de
l'~quation
de comparaison poussent devant e1 1es les
solutions de l'autre equation. Avec V.M. Matrosov [19731. on peut voir Ie une extension de 1a notion de modele mathematique : Ie comportement d'un modele. au sens usue1 de ce terme. epouse approximativement celui du systeme original. tan dis qu 'un systeme de comparaison ne l'epouse que d'un seul cote : c'est, si on veut. un modele unilateral. Les theoremes fournis par la methode de comparaison
gen~ralisent
substantiel1ement ceux de 1a
me thode directe de Li apounov dans sa version premiere. L'equat ion de comparaison introduite tout d'abord etait une equation sca1aire
- 143 -
N. Rouche
(C. Corduneanu [1960]). Nous considererons ici directement une equation vectorielle (cf. V.M. Matrosov [1962h). Definitions et propositions preliminaires . Soit m un entier
=
urn) et v =
> O.
vm) sont deux elements de Rm. nous ecrirons que V ~ u si . pour tout i = 1 ••••• m : vi < ui' Nous ecrirons de meme que v < u sipour tout i 1 ••••• m : vi < ui'
Si u
(UI •••••
(VI •••••
Soit une fonction continue F : I x
Rm.
'!I-+-
I t s ul -
F(t.u)
(4.1 )
ou I = ]T.~[ pour un certain T E R et ou '!I est un domaine de Rm. Pour un (to.uo) E I x '!I. nous considererons le probleme de Cauchy
= F(t.u) u(to) = uo. ~
Une solution r :
J;
-+-
(4.2) (4.3)
Rm de ce probleme est qppelee eolution maximale d
(ou plus souvent. dans le present texte. eolution maximale) ssi. + pour toute autre solution u : J u -+- Rm du memeprobleme. on a
~ite
u(t)
~
r(t)
pour
+
+
t E J r n J 4•
La fonction Fest dite croieeante en eee compoeantee non diagonales ssi pour tout i = 1••••• met tout t e l :
Les quatre theoremes suivants . dont les deux premiers seront rappeles sans demonstration. nous seront utiles dans la suite. Theoreme 4.1. Si F : I x
'!I -+-
Rm eet continue et croieeante en eee
compoeantee non diaqonalee, iZ pasee par tout point (to. uo) E I x '!I une et une eeule eolution non prolongeable maximale du probl~me (4.2) . (4.3). Le bout de cette eolution eet vide ou appartient d la fronti~re de I x '!I. Preuve. Cf. W. Walter [1964] ou J. Szarski [1967].
- 144 -
N. Rouche 50it maintepant E > 0 et considerons Ie probleme de Cauchy 1 <;; 1 <;; m.
Theoreme 4.2. Si F : I x
~ ~
(4.4)
Rm est continue et croissante en ses
composantes non diagonaZes, et si Za soZution non proZongeabZe maximaZe r I t l de (4.2), (4.3) est cMfinie sur [to,w[, alore pour tout intervaZZe [to,ti] C [to,w[, et pour tout E assez petit, Za soZution r(t,E) non proZongeabZe maximaZe de (4.4) existe sur [to,ti] ettend Vers ret) uniformement sur [to,ti]. Preuve. Cf. V. Lakshmikantham et 5. Leela [1969]. Theoreme 4.3. Si
est continue et eroieeante en ses composantes non diaqonalee ;
(i)
F
(ii)
pour un certain a
> 0,
Za fonction
u: [to,to
+ a[~~
est continue et teZZe que D_u(t) > F(t,u(t))
I
(iii) Za fonction
est continue et teZZe que
(iv)
veto)
aZors vet)
< <
u(to) ; u(t) pour t E [to,to
+
a[.
u(t) - vet). 5i la these est fausse, l'ensem-
Preuve. Posons met) ble (ferme dans [to,to
+
a[)
Z
U
{t E [to,to
+
a[, mi(t) ~ O}
1Q~
est non vide. 59it T
= inf
Z. On aT> to pUisque,
m(to) > O. Donc il existe un j dans
a
cause de (iv)
{1, ••• , m} tel que (4.5)
- 145 -
N. Rouche (4.6) (4.7)
L'hypothese ( i ) combinee avec (4.5) et (4.6) fournit
Les hypotheses (ii) et (iii) combinees avec (4.7) fournissent
C.Q.F.D.
ce qui est la contradiction cherchee. Theoreme 4.4. Si (i)
Feat aontinue et aroiaaante en aea aompoaantea non diagonatea ;
(ii)
[to,to
+
a[ eat t'intervatte de
~finition
de ta aotution non pro-
lonqeabl:e masrimale du probleme ~(t) = F(t,u(t)),
u(to)
Uo
(iii) ta fonation v : [to,to
+
a[
~
+
eat aontinue et tette que D_v(t) (iv)
veto)
~tora
vet)
~
~
u(to)
~
F(t,v(t))
I
I
ret) pour t E [to,to
+
at.
Preuve. Quel que soit tt E lto,to
+
a[ et E assez petit, la solu-
tion ma ximale r(t,E) du probleme (4.4) existe sur [to,ttl et tend vers r(t)uniformement sur cet intervalle. Le theoreme 4.3 fait voir que vet)
< r(t,E)
~'oO la these, " par passage
a
sur
[to,ttl,
la limite dans cette inegalite.
L'eguation de comparaison et sa stabilite. Dans la suite , l'equation (4.1) jouera Ie role d 'equation de comparaison . Nous supposons une fo is pour toutes que Feat aontinue. aroisaante en aea aomposantea non diagonates. que t'origine de Rm appartient a ~ et que F(t,O) = 0 pour tout
- 146 -
N. Rouche tEl. L'origine est done un point critique pour (4.1). On voit, grace au theoreme 4.4 que u(to) = Uo ;;;.
a
entraine ul t l ;;;. 0 pour tout t;;;' to. Comme
dans la suite nous ne considererons justement
~ue
des solutions u(t) te1-
les que uf t l ;;;. 0, nous pour-rena utiliser pour norme de ul t l I 'expression definie comme suit {u(t)} Nous appliquerons
a
= ma x{ui(t)
: i
= 1,
••• , m}.
l'equat ion de comparaison une definition assez parti-
culiere de la stabilite. L'origine u
= a sera dite stable pour cette equa-
tion ssi tvc
> O)(lIto
E Il (3y
>
0) (lIuo, 0 ,,;;;; uo, {ud ,,;;;; y ) (\It;;;;' to)
(II solution u : u l t s l = uo) {ul t l}
< E.
De plus l'origine sera dite uniformement stable s i y peut etre choisi independent de to' Ces d/finit ions se distinguent des defin itions usuelles uniquement en ce qu'on n 'y considere que les perturbations positives de la solution nulle. Un theoreme de stabilite. Revenons mainte na nt
a
notre equation ha-
bit ue ll e x = f(t, x) ,
(4.8)
ce l I e qui a ete in tro duite a u debut de la premiere le90n, et dans laquelle n + Rn a ete suppo see cont i nue, avec f(t,O) O. Nous aurons a
f : I x
considerer des f onc t ions auxi l i a i r es veotorielles V
I x
n+
'1',
(t,x) -V(t,x), de comp osantes Vi (t ,X), i = 1, ... , me t pour lesquelles nous utiliserons la notation {vet, x)}
i
1, .•.
I
rn},
Theoreme 4.5. Supposons qu'i l exi s t e une fo notion V : I x n looa lement lipsohitzienne en x et oontinue, telle que, pour tout (t,x) E I x
n :
a
(i)
{V(t,O)}";;;;
(ii)
O+V(t, x)";;;; F(t,V(t,x))
supposons de p lus que (iii)
Gp
> 0)
(liE E JO,p[J G~E
> 0)
(lit E I) GPE(t) C Bd
+
'I'
- 147 -
N . Rouche
(V x
E
ClP£(t))
{V(t .x)} ~
/;;£ .
ou P£(t) est un voisi nage compact de l 'origine , tel que P£(t) et Bp\ P£(t) soient f onct i ons continues de t au sens de La metrique de Hausdorff ; alo r s si l 'origine u = 0 est stable pour l 'eq uation (4 .2) , l'origine x = 0 est stable pour l 'equa tion (4 . 8) . Sur la met r ique de Hausd or ff pour les ensemb les fer mes. appliquee
a
de s pr obl emes de s tabil i t e . cf . D.C. Phien et N. Rouche [1 970].
La cont inu ite de P£ (t) et Bp\ P£ (t) requise dans l' eno nc e est destinee uni quement a fa i r e en sort e qu' une solution ne puisse sort ir de P£(t ) sanE re ncontrer. en un instant au moins. la frontiere de cet ensemble. Preuve . Pui sq ue l'origine est s t abl e pour (4.2). on peut ecrire. en t en an t compte de (iii), que ('11£ E ]O, p [) (Vto E I)(3y
> 0) (Vuo
< y) ('lit
Uo ~ O. {uo}
~
to) {r t t l}
< /;;£'
(4.9)
Rappe lo ns que r et) es t la so lu tion ma xima le iss ue de (t o. uo) . Vu l a stabil i te , on peut consi derer qu'e lle exis te s ur
[ to,~[.
Grac e - a l 'hypothes e
(i ) . i l exist e un o(to,£ ) t e l que, pour t out xo E Bo : {V(to. xo ) } Nous auro ns prouve l a stabi lite s i nous demon trons que (Vxo
E
Bo) ('lit
E
+
J ) xlt el
= xo entraine
xlt l
E
Vj(t o. xo )
<
UjO
<
(4 .10 )
B£.
Pour ce f ai r e , choisissons t out d'abord un Uo
< y.
~
0 t el que
y, j = 1, ••• , m. II resul te alors de (4. 9) et du t heo-
r eme 4 .4 que 1•••• , m)
Vj (t,x(t))
<
rj (t)
< /;;£'
d 'oll enc ore (4.11l
Ensui t e . s i (4.10 ) n'est pas vr ai e . il e xiste un Xo E Bo et un tj E J+ te ls que x(t o) = xc et IIx(t j) 1I = c , Alo r s on obse r ve d'une pa rt
a
cause de (ii i) que Bo c P£( to) et done que Xo E P£ (t o), d'a ut r e part que x (t j ) E ClP£ ( t j ) ou x(t j ) ~
que {V(t o, xoJ}
ljc £, ce qui pr ouve
o
PF( t j ) . Done. vu la continuit e
a
l a Hau s dor ff i nvoquee dans l 'enonce , il
- 148 -
N.
,E [to,tl] tel que xC,) E aP E(, ) , et done, {V("x(,))} ;;;. (;E' ce qui contredit (4.11).
existe un
a
Rouche
cause de (iii) C.Q.F.D.
On passe du theoreme 4.5 au theoreme de C. Corduneanu [1960] sur la stabilite simple en faisant m
~
1 et en rempla9ant les hypotheses (i)
et (iii) par l'unique hypothese suivante : V(t,x) est definie positive. Cette derniere est plus restrictive, comme Ie montre la fonction Vex)
a
= x2
=0
sin 1/x pour x E R \{O} et V(O)
: cette fonction satisfait
l'hypothese (iii) et n'est pas definie pcsitive. Remarquons enfin qu'on
completerait sans peine les hypotheses du theoreme 4.5 pour en faire un theoreme de stabilite uniforme.
Un theoreme d'attractivite. lei aussi nous utiliserons pour l'equation de comparaison une definition particuliere de l'attractivite, en nous bornant, comme pour la stabilite, sitives. Nous dirons que l'origine u
a
considerer des perturbations po-
= 0 est attraotive pour cette equa-
tion ssi (\fto
E
I)
(30
(Vt ;;;. to + 0)
> 0)
> 0) (30 > 0) (ret)} < E.
On montrerait sans
(VE
peine~ue,
(Vuo
comme il s'agit d'une equation avec second
membre croissant en ses composantes non diagonales, on ne modifie pas ce concept si on permute les deux parentheses {uo}
~
(30
> 0)
et (Vuo : Uo ;;;. 0,
0). Dans Ie cas present done, l'equi-attractivite se confond avec
l'attractivite. En depla9ant la parenthese (Vto E I) vers la droite, on peut modifier Ie concept d'attractivite pour y introduire une exigence plus ou moins forte d'uniformite en to : 0 independant de to, ou 0 et 0 independants de to. Faute d'espace, nous nous limiterons ici
a
donner des
conditions "suffisantes d'attractivite simple. Theoreme 4.6. Supposons qu'il existe une fonotion V : I x n + ~ Zooalement Zipsohitzienne en x et oontinue, et une fonotion a E K, teZles que, pour tout (t,x) E I x n (i) e Ill xll ) ~ {V(t,x)}, V(t ,O) ~ 0 (ii) D+V(t,x) ~ F(t,V(t,x)) ;
aZors, si Z'origine u = 0 est attraotive pour l'equation (4.2) et si les
- 149 -
N.
Rouche
soZutions de Z'equation (4.8) sort proZongeabZes jusqu'd Z' infini, j'origine x = 0 est attraative pour (4.8). Preuve. Nous ecrirons ici r(t ;to.uo) pour 1a solution maximale de (4.2) issue de (to.uo). Puisque l'origine u
= 0 est attractive. on sait
que. to etant donne (30
> 0)
(vc
r(t;to.uo )
>
0) (30(to .E)
> 0)
ue ~
(lluo
o.
{uo} .;;; 0) (lit ~ to
< arE).
D'autre part. grace
0)
+
(4.12)
a
qu'il existe un o'(to)
l'hypothese (i) et
>0
tel que Xo
E
a
la continuite de V. on voit
Bo' entrain~ {V(to.xo)}
< o.
Posons
Mais.
a
cause du theoreme 4.4.
et donc
D'ou enfin. en invoquant (i) et (4.12) e Ill x f t Ill l .;;; {V(t.x(t))} .;;; rCt ;to.V(to.xo))} pour tout t
~
to
+
< elel
o , Donc, pour ces memesvaleurs de t : ll xl t Jll .;;; c , C.Q.F .D.
Ce theoreme se ramene au theoreme correspondant de C. Corduneanu [1960] en y faisant m
= 1. Cet auteur d'autre part. traitait de stabil ite
asymptotique et non d'attractivite. si bien qu'il n'avait pas besoin d'une hypothese de prolongeabilite des solutions. Dans un theoreme analogue. V.M. Matrosov [1962]2imposait que chacune des composantes de V soit
~
0
et que leur somme soit definie positive. Faute d'espace. nous ne pourrons pas donner ici d'exemples d'utilisation des theoremes ci-dessus. On en trouvera dans D.C. Phien [1973].
- 150 -
N.
Rouche
Si d'aventure une fonction etait trop peu Prenez-en davantage. on ne vend pas. on donne. Prenez-en deux. prenez-en trois. elles sont bonnes. Prenez-en l'infini. mon tres cher. il en pleut !
Cinguieme le90n. Les familIes de fonctions auxiliaires. OU la stabilite asymptotique est etablie de deux fa~ons. meme si V(t.x) n'est que semi-definie negative. soit en recourant a une famille de fonctions auxiliaires. soit en chassant la solution des parages dangereux ou elle s'attarderait malencontreusement. La premiere methode permettant en outre d'6ter une borne au second membre de l'equation. on voit que. si to us les chemins menent a Rome. certains vont cependant plu~ loin.
Nous avons deja rencontre plusieurs fois. dans les presentes le90ns. des theoremes recourant a deux fonctions auxiliaires. voire meme a un vecteur de fonctions auxiliaires ayant un nombre arbitraire. mais fini. de composantes. Nous exposerons ici un theoreme de V.M. Matrosov [1962]1 utilisant deux fonctions scalaires et une de ses generalisations par L. Salvadori. Ce sont des extensions du theoreme classique de Liapounov sur la stabilite asymptotique uniforme (theoreme 1.2). au cas ou la derivee
~(t.x)
de la fonction auxiliaire principale n'est pas definie negative,
II sont interessants parce qu'ils elargissent considerablement les choix possibles de fonctions auxiliaires. Qui plus est. il nous donneront l'occas ion d'utiliser des familIes de fonctions auxiliaires au sens de L. Salvadori. Ces familIes. qui n'apparaissent habituellement pas dans les enonces. sont de puissants outils de demonstration. Elles sont non denombrables : il
~orrespond
une fonction auxiliaire a chacun des choix pos-
sibles du parametre E dans la definition de la stabilite. au d'un parametre analogue d'une autre definition. Le texte de la presente le90n est emprunte pour l'essentiel a J.-L. Corne [1973]. Les hypotheses generales et les notations dans lesquelles naus travaillerons ici sont celles de la premiere le90n. Nous continuons en parti-
- 151 -
N.
a
culier
Rouche
= 0 pour tout tEl. Un lemme et deux defi-
supposer que f(t,O)
ni tions nous seront necessaires avant de passer au premier .t hs or-eme , Lemme 5.1. (L. Salvadori). Soit Sun ensembZe et f,gdeux fonctions
de S ~. R. Supposons qu'iZ existe trois constantes Sl, S2, Ss que, pour tout z E S
> - S2]
aZors iZ existe deux constantes fez)
0 teZZes
g(z) .;;; Sl'
fez) .;;; 0, [fez)
>
~,
+ ~g(z)
> [g(z) ~
>
<-
< - Ss]
0 teZZes que, pour tout z E S
~.
Preuve. On choisira ~ tel que 0
< ~ < S2/S1
et ~
< min (S2
-
Sl~' ~Ss).
C.O.F.D. Si N est un voisinage compact de l'origine de Rn et si E C N C nous dirons avec V.M. Matrosov qu'une fonction V : I x N
non nuZZe par rapport (lfE> 0)
(3n > 0)
a E sur
(3~ > 0)
~
n,
Rest definie
N ssi
(1ft E I)
(If x E N\ BE)
[d(x,E)
> [IV(t,x)1
>
~].
Introduisons maintenant un concept parent de l'attractivite faible e r (cf. 1 e le~on). On dit qu'une solution x ]a,w[ ~ Rn de l'equation
tend faibZement vers l'origine quand t ~ w. s'il existe une suite {til telle que t i ~ w et x(ti) ~ 0 quand i ~ w. Notre premier theoreme au(1.2)
ra trait
a
ce concept. Comme c'est un theoreme assez difficile, nous evi-
terons quelques difficultes non essentielles en y supposant que les deux fonctions auxilia1res V et W sont de classe
el •
Theoreme 5.1. Supposons qu'iZ existe trois aonstantes M,a,b
4eux fonctions de aZasse
el
:
V(t,x) et W(t,x) de I x
continue V~(x) de n ~ R et un voisinage compact teZZe sorte que, pour tout (t,x) E I x N : (i)
IIf(t,x)II';;; M
(ii)
-
a';;;
V(t,x)
N
n~
> 0,
R, une fonation
de Z'origine,
N C
n,
de
- 152 -
(iii) ~(t.x)
< v~ tx) < 0
N. ;"
on pose E
(x E
V~(x)
N
Rouche
O}
IW(t.x) I
(Lv l
(v) si de plus West definie non nulle par rapport d E sur N. alors toute so lution x telle que x(J+) C N tend faib lement Vers l'origine quand t ....
00.
Preuve. 5i x(t) est la solution envisagAe. il est clair qu'e lle ne peut s'approcher de la frontiere de
J+
[to. oo [
tout e:
>
.
n.
et done que pour cette solution
Le thAoreme sera demontrA si on prouve qu'il existe. pour
O. un T
>
0 tel que IIx(t)1I ne peut demeurer ~ e: pendant un inter-
valle de temps de longueur T. On saito grace s (v). qu'il existe un n et un
~
tels que tout tEl et
pour tout x E G(e:) = B(E.nJ n (N\ Be:) on a IQ(t.x) I >~ ' 5i nous dAfinissons Ie compact H(e:) par l'Aquation H(e: )
N\
Be: \ B(E•n/2 )
nous observons qu 's cause de (iii)
(313
> 0)
(\:I(t.x) E I x H(e:)) ~(t.x)
< -13
(5.1)
Construisons maintenant. s partir des fonctions V et W. une fonction ve: : I x (N\ Be:) .... R s dArivAe strictement nAgative. Pour cela . re marquons que G(e: ) se dAcompose en les deu x parties disjointes
50it ve:
R+ .... R+
(x
E
G(e:)
(\:It E I) Q(t.x)
<-
Ix
E
G(e:)
(\:It E I) W(t.x)
>
~}.
~}.
une fonction de classe C1 telle que Ve:(T) ve: T
1 pour T E [O.n/2]. o pour T ~ n.
Sa dArivAe est AVidemment bornAe. DAfinissons encore. pour i fonctions
1.2. les
- 153 -
N.
Ct~i) (x)
Rouche
x E G(i) (e l ,
pour pour
Ces fonctions ne seront habituellement pas de classe C1,car d(x,E) ne l'est pas. Cependant. elles possedent des derivees de Dini bornees. car la deri vee de Ve: est bornee et l'on obtient en outre sans peine que
I O+d(x(tl.E) I .;;; 1I~~(t)1I
=
IIf(t,x(t))1I
<
M,
pour (t,x) E I x (N\ Be:) , et des inegalites analogues pour les autres derivees de Oini. Oefinissons ensuite he: : I x (N\ Be:) he:(t,x)
= (Cti1)(x)
Montrons maintenant que si on prend S
-
~
R par l'equation
Ct~2)(X)) W(t,x).
= I x (N\ Be:)' les fonctions V(t .x)
et O+he:(t.x) peuvent etre assimilees respectivement aux fonctions f et g du lemme 5.1. En effet (1)
V(t,x) .;;; 0 ;
(2)
O+he:(t , X)
00
=
(Ct~l)(x) - Ct~2)(x)) W(t,x) + (DCt~I)(x) - OCt~2)(x))W(t.x),
0 represente 0+ ou 0+ selon Ie signe de W. Le premier terme est';;; 0,
VL
la construction 'des Ct~i). Le second terme est borne. car les trois fonctions qui y apparaissent sont bornees ; Remarquons enfin, d'une part, que O+he:(t,X) < - t;, pour tout t E I et tout x l;2 Hl e l , car OCt~I) et OCt e(2) sont ~ulles quand d(x,E) .;;; 1l/2, et d'autre part que ~(t.x) < - 13 pour (t.~) E I x H(e:). (3 )
Puisque les hypotheses du lemme 5.1 sont verifiees. il existe deux quantites
~
>0
et
~
>0
telles que, si ve:(t,x)
= V(t ,x)
+
~he:(t,x),
on
ait
pour (t,x) E I x (N\ Be:)' Or ve: est ,bornee inferieurement, sur ce meme ensemble. par Ie nombre - a -
~b.
Posons
Tf t ) o - sup {ve:(to,xo)~ + a +. ~b : Xo E N\ Be: } •
Aucune solution ne peut demeurer dans N\ Be: pendant un interval Ie de tempE
- 154 -
N. Rouche de longueur T, car si tel etait Ie cas, on aurait pour cette solution
< - tT
~
-(VE(to, XO) + a +
~b)
C.Q.F.D.
ce qui est absurde.
Autre demonstration du meme theoreme. Nous conservons les defini tions des trois ensembles E(E), G(E) et H(E) , et repartons de l'observation (5.1). Montrons qu'une solution ne peut demeurer dans G(E) pendant un temps egal ou superieur
aT
=
2b/l;. En effet, I W(t,x) I etant ;;;. I; sur
G(E), on aurait au cas contraire, et puisque West continue, 2b
> I W(t+T)
- Wet) I
=
t +T t I W(o)1 do ;;;. I;T
J
=
2b,
ce qui est absurde. Posons y
= min{6T,
6n/2M}
> O.
k
+ sup(V(to,xo) : Xo E N\ BEl} et T(to)
= min{i
EN : yi ;;;. a +
kr , 5upposons. par l'absurde, que
la solution puisse demeurer dans N\ BE pendant l'intervalle de temps [to, to + T]. Decoupons cet intervalle' en k sous-intervalles de longueur T : [to +
(i-~)T,
to + iT]
i=1 . . . .,k.
Alors, pour chaque i, de deux choses l'une : (1)
ou bien x(t) E H(E) pour tout t E I, et V(to+iT) - V(to+(i-11T)
(2)
<-
6T
a
cause de (5.1)
<-Y
ou bien x(t) E G(E) pour un certain T E Ii' Dans ce cas . il existe
une valeur t E Ii pour laquelle x(t)
~
G(E), et donc deux instants ti et
II<
ti E Ii tels que n/2, et
n/2 II<
I ti - ti I
< d(x(t), E) < n pour > n/2M. En effet
II<
tout t E ]ti ,ti[' 5i tel est Ie cas,
- 155 -
N . Rouche
Puisque Vest partout negative et inf erieure a - 8 sur H(£ ), V(to+iT) - V(to+(i-1)T) et donc V(to+T) - Veto) d'ou enfin V(to+T)
<-
<-
< vet:)
- V(t i)
~ - ~~ ~ - y
ky ~ v eto) - a
C.Q. F. D.
a . ce qui est absurde.
Cette derniere demonstration est ada ptee de V.M . Mat ro so v [1 962]1 Les differences entre les deu x methodes sont i nte r e s s ant es a noter . Dan s la premi ere, West changee en h£ pour rendre sa derivee stricte ment negative, puis combinee avec V pour fournir v£, ce qui assure l' ejection des solutions de N\ B£. Dans la seconde, W sert a ejecter la sol ut ion d'un voisinage de E(£), apr es quoi V, par une decroissance su f fisan te, a s su r e l'ejection des solutions de N\ B£. Observa ns en outre' I e r61 e de l' hypot hese (i ), c'est -a-dire de l a borne s ur f (t ,x ) , da ns l es deux demons trations. Dans l a premiere. cet te hypot hese f ournit une borne s uper ie ur e pour l a derivee de hE' Comme on Ie verra ci -apres, i l s uffirai t de sup pos er que Ie pro duit Wf soit borne. Cette nouv elle hypot hese ne suffirait pas da ns la seconde demonstration, ou la borne sur f assure un te mps de t r an sit suffisant de la solution dans l'ensemble H(£) n G(£), et donc une decroissance suffisante de V. D'autre part et enfin, les hypoth eses fai t es sur W pourraient etre reduites da ns la secon de demons tration. car il suffit qu'elles ass uren t l'ej ec t ion des solutions de l ' ens emb l e G(£), ce qui peu t etre obt enu de pl us d ' une faQon. Corol laire 5.1. La t hese du theoreme 5.1 demeure vrai e si on y r em-
pZace Z'hypo the se ( i ) par (i' )
('II(t, x) E I x N)
IIW(t,x)f(t, x)1I
~
M.
Pr e uve . On observera simplement que, pour i
I l d~T£1
d(X (T) , E)
1,2,
0 dl x l t l , E) I
ou c est la borne sur la .der i vee de v£. Dans ces co ndi t ions
- 156 -
N. Rouche +
o he:(t, x)
~
C.Q.F.D.
2c1lf( t, x) w(t , x)1I
Corollaire 5.2. Aus si bien dans l e theore me 5. 1 que dans sa ve r sion modifiee par le corollair e 5 .1 , la quantite T peut etre trouvee i ndependante de to, d condit ion que V soit borne e (et non pl us seul ement bornee inf er ieurement ). On e xprimera alors la these du theoreme en disant que les solutions issues de N tendent faib lement vers l'origine, uniformement en to, quand t
+
00 .
Not ons que T etait dejA au depa rt, .i nde pendant e de to. No us avons vu dans la premiere leQon que la stabil it e uniforme ,
j oi nt e A l'attracti vi te
faible~
entraine l 'attract iv it e. II est cla ir
al ors que si nous adjoignons aux hypoth eses du th eoreme 5 . 1 n' i mporte quelles condit ions su ff i santes de stabil i t e uniforme, nous obtiendrons un th eo r eme de stab ilite equi- as ympt otique (rappelons que I e prefi xe "e qui D e s t associ e A une uniformit e en xo) . En outre , s i Ie corollaire 5 . 2 est d 'appl icat ion, on obt iendra la stabil ite asymptot ique uniforme. Ceci nous condu it au the oreme sui vant, que nous enonQons de maniere explicite, A la fo i s pour son i nt e r et propre et pour la comparaison que nous voul ons en fa ire avec Ie t heor eme de stab il ite asymptotique uniforme de Liapounov ( t heor eme 1 . 2) . Theoreme 5 . 2. Supposons qu 'il exi ste deux cons t antes Met c
deux fonctions de classe C
1
:
V(t, x) et W(t, x) de I x
> 0,
n + R, une f onct i on
continue V~(x ) de n + R, deux fo ncti ons a et b E K et enfi n un voi si nage compact N de L'origine , N c n, de te He sorte que, pour tout (t, x l E I x n: (i )
[l f l t x ) W( t ,x )1I
(i i )
a (1I xII )
s
~
~ M I
Vet, x l ,;:;; btll xll )
(iii ) V(t , x) ~ V~( x)
~ 0
I
on pose E
{x E
n
V~( x )
o}
I wet , x )1 ~c ; (v) si de pl us We s t defin ie non nulle par rapport d E sur N, alo r s l 'ori gine est uniformement as ymptotiquement stable . l Lv l
.
Suppos ons pour un moment que nos hypotheses ai ent inclus Ie carac-
- 157 -
N. Rouche tere localement lipschitzien de f sur I x
n.
et donc l'unicite des solu-
tions. Alors on sait que les hypotheses du theoreme classique de Liapounov (a savoir (ii) ci-dessus et Ie fait que
Vsoit
definie negative) sont suf-
fisantes mais aussi necessaires (J.L. Massera [1956]) pour la stabilite asymptotique uniforme. II est clair donc que toute autre condition suffisante assurant cette marne propriete ne peut atre que plus forte que celle-la. ou tout au plus equivalente. Dans Ie cas du theoreme 5.2. c'est bien d'une equivalence qu'il s'agit. En effet. les hypotheses de Liapounov impliquent celles du theoreme 5.2 avec un ensemble E vide et une fonction W(t.x) indentiquement nulle. Si nous en etions restes. au lieu de (i). a l'hypothese : (i') Ilf(t.x)"
< M.
les hypotheses de Liapounov auraient implique celles
du theoreme 5.2. a l'exception de (i') ! La methode des familIes de fonctions de Salvadori a donc conduit. dans Ie cadre ou nous nous sommes places. a une caracterisation originale de la stabilite asymptotique uniforme. On peut se demander enfin a quoi peut servir un theoreme tel que 5.2. Son avantage est d'ordre pratique: les fonctions auxiliaires auxquelles il recourt sont en general plus commodes a decouvrir que la seule fonction V du theoreme de Liapounov. La methode des familIes des fonctions parametrees par
£
a conduit
depuis sa creation a bien d'autres resultats. en particulier a etendre Ie theoreme 5.1 au cas ou .l a fonction V~ depend de t et ou de plus. la fonction West remplacee par une famille non denombrable de fonctions
aux~
liaires. famille parametree par les points de I'ensemble E. Nous manquons malheureusement d'espace pour exposer ces resultats. et devons nous contenter de renvoyer a L. Salvadori [1974] ainsi qu'aux multiples travaux sur la stabilite des ecoles de Naples et Rome.
- 158 -
N. Rouche Cette solution qui passe et repasse De plus en plus pres, jamais ne se lasse Et revient sans cesse, eternellement, FreIer ce poin t-la, c'est hallucinant.
Sixieme le90n. L'attractivite etudiee a l'aide des ensembles limites. Du les enSembles limites de Birkhoff sont utilises tout d'abord pour montrer qu ' une solut ion tend vers un certain ensemb le dans tous les cas ou ell e ne derape pas vers l'infini. Pour ecarter cette eventualite contrariante, on construit ensuite des hypotheses ant i-derapantes, qui for cent la solution a tendre ver s l'ensemble .
En fixant notre attention sur les equat ions differe ntielles autono mes, nous nous ecartons pour la premiere fois du cadre general d' etude
n un ouvert de Rn,
decrit au debut de la premiere le90n. Soit donc f :
n+
Rn, x
+
f(x) une fonction continue et
XQ
un point de
n.
Nous etu-
dierons Ie probleme de Cauchy x = f(x)
(6.1 )
= x Q'
x(O)
(6.2)
]a,w[ + Rn une solution non prolongeable de ce probleme. Nous ecrirons J = ]a,w[ et J+ = [O,w[. On appelle point l imite positif asSoit x
socie a la solution x tout point d'instants {ti} avec ti
+
r
w et x(ti)
E +
n tel
qu'il existe une suite
r quand i
+
00.
L'ensemble limite
positif de la solution x est l'ensemble des points limites associes
a
cet -
te solution. Nous Ie noterons A+(x). Les proprietes principales des ensembles limites sont bien connues ( cf . P. Hartman [1964]). Rappelons -les sans demonstrat ion. (a)
A+(x) est un ensemble ferme ;
(b)
si x(J+) est bornee, A+(x) est non vide , compact et connexe
- 15 9 -
N . Rouch e (c l
si A+(x l est bornee . x( t )
+
+
A (x) qua nt t
+ W J
(d l
s i K es t un compact de Rn. ecr ivons J K {t E J x( t ) E K} . On dira qu'u ne sol ution t end vers un ensemble 5 sur tout compact ssi. pour t out compact K e Rn. x (t l A+ (x)
* 3.
x (t)
+
+
5 quand t
+
w. t E J K• Proposition: si
A+(xl sur tout compact
* 3.
w =~
I
(e )
si A+(x) n n
(f )
un ensemble 5 de n es t dit i nvariant si. pour tou t Xo E 5 et toute
s olutio n x telle que x(D)
I
= xo. on a x (Jl
C 5
I
il est dit semi~invariant
si . pour tout Xo E 5. il existe une solution x telle que
x(D)
= Xo
et
que x( J ) C 5. L'invariance et la semi-invariance sont deux concepts equivale nts des qu'on a 'l ' uni ci t e des solutions pour l'equation differentielIe. Proposition: A+(x) n n est semi-invariant.
Theoreme fonda menta l s ur la loca lisat ion de l' ens embl e l imite . Le theoreme s ui vant est importa nt sur Ie plan t heori que . I I montre quelle s sont l es conc lus ions qui deme ure nt lorsq u'on consi de r e une s eul e f onction auxi li ai r e munie de propriet es veritablement minima le s
pas beau cou p pl us
que l a negativi te de sa deri vee. En ecarta nt ai nsi to ute e sp e ce de consi derati on ines s ent i el l e . on aper90it. en quelque so r te. l ' e s sence meme ee l a methode directe de Liapo unov . De pl us. ce t heo reme s ' es t revele fo r t ut ile dan s de mul t i pl es applicati ons. Theor eme 6.1. (J.P. La5alle [1 968] ), Soit x une so lu t i on de (6 . 11 et ( 6. 2 ) et V : n + Rune f onction loca l ement lipschitzi enne te l Ze que D+V(x) ~ D su~ x (J +) . Alors A+ n ne M ou M es t Za reunion de t cut es le s
or bi t ea maxi ma Lee qui sont, chaoune, eoue-eneembl e de E = { x E n: 0 +V ( x) = D}, Preuve. Si x(t)
+
~ quand t
o et
W. A+
+
+
est t r i via l ement veri fi ee. ou bien A
~
l a th ese est t r ivi a l e-
ou bien A+ c an et la t hese
me nt ve rifiee . 5i non, de deu x choses l'une
an. Considerons al ors un
+ w et x(t ) + x· i i Mai s V(ti l est bor ne e i nf erie ureme nt e t non croissante. Don c.
x· E A+ n n . I I ex iste une suite {til C J+ t el l e que t quand i
+ ~.
pour un certain c E R. V(t i l + c quand i V(x· )
= c.
+
~.
Pui sque Vest conti nue
Mai s V est non- cr oissant e. et done V(t )
+
c quand t
+
w. Done
- 160 -
N. l a va l eu r limite c est la marne pour taus les points xII< E A+ n
Rouche
n et
donc
= c s ur A+ n n. Mai s puisq ue A+ n n est semi-i nvariant. D+V(x) 0 n n. Donc A+ n ne E e t l 'on obtient la t hese en considerant a nou-
V(x)
sur A+
veau Ie ca rac t e re semi-i nvariant de A+ n ,
n.
C.Q.F.D.
Coroltaire 6.1. Si x(t) ne·tend pas vers l 'in fi ni quand t
~ lors\x ( t )
+
xl t l
an
+ M
u
Mu
an
sur to ut compact, quand
quand t
t +
+
w,
w. Si x(J+) est bor nee,
+ "" .
En connexion avec Ie theoreme 6.1. il est important de pouvoir identifier l'ensemble M. On y reussira souvent en identifiant plutBt Ie compl ementaire de M par rapport a E. c'est-a-dire en reconnaissant Ie plus grand sous-ensemble de E. dont aucun point n'appartient a une orbite compl et eme nt con tenue dans E. Dans bien des cas. on y arrivera en e xa mina nt s i mpl eme nt Ie champ de vecteurs defini par Ie second membre de l' eq uation di ffe r e nt i e l l e . II peut atre utile cependant de disposer de l' une au l'a ut r e condi t ion suffisante assurant cette propriete. et. comme nous all ons I e voi r . on pourra dans ce but ega l eme nt utiliser des fonc tions auxiliaires. La premiere des deux propositions suivantes es t assez brutale e t ~u a s i -e v i d e n te . ~e n t
la seconde. un peu plus elaboree. s' av ere ra pl us fr eq uem-
ut il e dans les applications. Prop osition 6.1. Soi t P un sous-ens embl e compact de
~age
W(x) +
de P, P' c n et W : P'
* 0 s ur P.
+
n,
pI
un voisi -
1
Rune f onction de classe C t el le que
Alor s si x(t) est une solu t i on te l l e que x( O) E P3 on a
x( J ) (j. P.
Malheureusement. E\ M n'est pas souvent un ensemble compact: en effet. dans la plupart des applications. c'est M qui est un compact. par ex e mpl e un point critique. Bien entendu. la proposition 6.1 n'est plus vr ai e s i on y suppri me l'hypoth ese que P soit compact. C'est dommage en un sens. ca r l ' hypot he s e W(x)
* 0 est
si simple qu'on aurait bien aime en
t i r e r qu elqu e concl us ion plus utile. C'est ce a quoi nous arriverons quand marne . mai s un peu plus tard (cf. theoreme 6.3).
- 161 -
N. Rouche Prop os it i on 6.2. Soi t P un sous- ensemble de n et {Pi}. {Pj} deux " suites de s o us~ e ns emb l es de p. t ous ouverts re lativement a P et te ls que leur r eunion soit egal e a P. Suppos ons de plus que l es Pj sont borne s. di sjoints deux a deux et d 'adher ence disjointe de an. S'il existe deux
sui tes de f onct i ons de c lasse C1 (i l
s ur Pi
Wi( xl
O. ~i( xl
(ii l sur Pj : Wj(xl
:
*0
Wi : Pi ~ R et Wj : Pj ~ R tel l es que
0;
alor s. pour t oute so lution x(tl te l le que x(Ol
E
+
p. on a x(J 1
~
P.
Preuve. Tout d'abord nous pouvons supposer. san s perte de generalite. que pour tout j. Wj .. est une fonction born ee , 5i ce n I etait pas vret , on pourrait remplacer Pj par un ensemble Pj C Pj tel que. pour un certa in ensemble K : P3 eKe Pj ". de tel le sorte qu'a ucune hypoth~se de l a prop osi t i on ne soit violee. Cette substitution est possible parce que Ie part iE de la
fronti~re
de UPi qui se trouve dans i
P~
J
est dis jointe de aPJ! . Mai s
alors bien en tendu Wj' qui est continue. est born ee s ur Pj' No us s upposerons dorenavant que chaque Pj a ete traite de cette fa90n . 50it al ors une solut ion x(tl telle que x(Ol E P. (al
5i x(Ol appartient
a
l'un des Pi' x(tl sort immediatement de ce
Pi et done de P. En effet. s'il existait un ,
>0
tel que x(t l E Pi pour
tout t E [0.,[. on obtiendrait pour tous ces t : Wi(x(tll
=0
et
Wi( x( t l l = O. ce qui est excl u. (bl
5i x(Ol E Pj pour un certain j et si x(tl demeure dans P pour
t E [O.w[. a lors ou bien x(tl demeure dans Pj pour t E [O.w[ et i l s'en suit que w = 00. ou bien x(tl sort de Pj. Dans Ie premier cas . x(tl demeure dans una composante connexe de Pj. composante sur laquelle IWjl est bornee inferieurement par une quantite strictement posit ive et Wj est bornee. ce qui est une contradiction. Dans Ie second cas. x (t l sort de Pj tout en deme uran t dans P. Done x(tl touche un des Pi et est done ejecte de P. comme en (a l ci-dessus. ce qui est une autre contradiction. C.Q.F.D. La propo sition 6.2. as sez utile en elle-meme. l'est davantage encore par son extension possible aux systemes non autonomes . Elle a ete
- 162 -
N . Rouche inspiree pa r une remarque de M. La l oy. Un t heoreme d ' att ractivi te . Notre objectif pri nc ipal dans cett e l eQon est de demontrer qu 'une so l uti on t end ve rs un ensemble . habituel leme nt un en semble f er me. qua nd t
a
w. Nous voul ons obl iger l a s ol ut i on
+
f aire ce la . bi en en t endu en ut il isant des hypothe se s aussi f aibl es que
pos sibl e . Par ai l le urs. en ce qui concern e les so l utio ns non born ees. nous devons ad mettre que nos hypotheses du t heoreme 6.1 ont ete choi sie s trop f ai bl e s : nous ne connaissons aucun ensemble f e rme attirant la s ol uti on. O' ou l'int eret du theor eme su ivan t. Remarquons tion
a
~( x)
a
so n propos. que la fon c-
y a ete introduite uniquement pour eviter d'imposer une borne
f Ix l ,
Theoreme 6. 2. Soit S un
sous -ensemb ~e
de nJ f erme
re ~ a t i veme n t
an
et posons N = as n an. ~oi t V : n + R une fonct i on ~o ca~ emen t ~ip schi t zi enne te ~~e que O+V ( x) ~ 0 sur n . Suppos ons que E = {x E n : O+V(x) = O}
ne contienne aucune orbit e non pro ~ o ngea b ~ e. Supposons de p ~ us q u 'i~ ex iste une fon ction continue s tri c t ement positive ~ : n + RJ e t J pour to ut P > OJ quatre nombres A. B. C. 0 > 0 te~ s que pour t out x E S\ B(N.p) : J
J
(i)
~ ( x)lIf(x)1I
( ii)
(lI xll
(i i i ) Ve x)
> B) ~> >- 0 i
I
[~ (x ) O+ V( X) ~ - C]
2 ~orsJ t oute so~ution x (t ) te~~ e que x (J +) C S t end vers N quand t
+
w.
Pre uve . Supposons que la the se so i t f au s se . Alors. il peu t arriver de ux chos es. et deu x s e uleme nt : (a)
11
e xis te deux quent I t es p
pour tout t E [T'.w[. Alors x ( t )
+
>0 00
et T' E [O.w[ t elles que d(x(t).N »O quand t
+
w. car autrement il existe-
rait un point de A+ en dehors de N. ce qui est e xclu en vertu du theoreme 6 .1 . Oon c. pour T assez grand. T '
w. et pour t E [T.w[. on obtient: dT ~ (X( T )
f.t
f.t
C T IIf (x (TlJll dT ~ - A C II T ~ ( T ) dTIl ~ - A
C
)
- ~ I x l t l - x (Tl Il .
- 163 -
N. Donc V(x(t)) (b)
+
00 quand t
+
w, ce qui contredit (iii).
L'alternative est qu' il existe un p
c [O,w[ telles que t i
+ W
Rouche
quand i
d(x(t i) ,N)
et deux suites {til, {Ti} C 00 et que, pour i = 1,2, •••
+
d(X(Ti) ,N) = o,
2p,
d(x(t),N)
>
>0
pour t E [ti,T i[.
p
Observons que x (t )
+
00 quand t
+
W, t E
U
1";;;i<00
[ti,Ti]
car autrement, il existerait un point de A+ en dehors de N, ce qui est exclu, comme ci-dessus , en vertu du theoreme 6.1. Donc, pour t i assez grand, on a
Comme V(x(t)) est toujours decroissante, on obtiendrait que V(x(t)l quand t
+
w, ce qui contredit
a
+
-
00
nouveau (iiil. C.Q.F.D.
Remarques. Dans les applications. on utilisera n'importe quel critere pour reconnaitre, eventuellement, que l'ensemble E ne contient aucune orbite non prolongeable . Les propositions 6.1 et 6.2 peuvent etre utilisees
a
cet effet.
On vient de montrer que x(tl
+
N quand t
+ W,
et il faut remarquer
que W peut etre fin i. Comme dans plusieurs theoremes analogues., la contradiction qui termine la demonstration par l'absurde est qu'une fonction V(x(tll tend vers -00 alors qu'elle est, par ailleurs, bornee i nf e r i e ur e ment. Mais habituellement, pour montrer que V(x(tll tend vers -00 , on se sert du fait que w
= 00
et que V(x(t)) est bornee superieurement par une
constante negative que multiplie t. Cette demarche etait impossible ici et on s 'est servi, pour "pousser" V(x(tl) vers -00, du fait que x(t)
+
00.
On s'etonnera peut -etre de voir l'ensemble attracteur choisi comme
- 164 -
sous-ensemble de l a front i er e de
n.
N. Rouche Ce ne sera cependant, Ie plus souvent,
qu'u ne limitation peu genante, car on peut toujours convenir que f(x) n'est pas definie a l'endroit de l'attracteur . Un exe mple s i mple montrera l'int eret qu 'il y a a admettre w fini et a conserver la possibilite pour les solutions de tendre vers un ensemble de points sur lesquels l'equation differentielle n'est pas definie. Considero ns en effet un mobile ponctuel de masse egale a 1 , attire par l'o r i gi ne des coordonnee s d'un repere galileen , par une force egale a l'inverse du carre de s a di s t ance a l ' or ig i ne et soumis de plus a une f orce de f rottement propor t i onnel l e a la vitesse. Si r est Ie vecteurpositi on du mobile et v sa vitesse. l es equations du mouvement sont
r = v,
v =
r
- nrJ13
- kv ,
ou k est une constante positive . Un physicien s'interrogera tres nat ure lleme nt sur Ie caractere attracteur de l'origi ne r = 0 de l 'espace de mouvement . Transposee dans l'espace de phase, c 'est-a-dire dans l'espace des (r,v), cette question est celIe du caractere attracteur de l'ensemble fer me non borne {(r ,v) : r
= O} , s ur lequel les equations differentielles ne
sont pas definies . En outre, on montre
sa~s
pei ne l'existence de solutions
pour lesquelle s west fini . Pour plus de details, cf . J .L . Corne et N. Rouche [1973] ou encore N. Rouche et J . Mawh in [1 973], ou il est demontre que tous les points de l 'espace (r, v ) sont attires par l'ensemble en questio n . Un theoreme d'attractivite fai ble. Nous avon s vu dans l a premiere l e~ o n
que l 'attractivite fai ble de l'origine , combinee a la st abi lite uni -
forme, entrainait l' attractivite . L'attractivite f aible est donc un concept interessant . Le theoreme suivant donne des conditions d'attractivite faible pour un ensemble comp act . II sera l'occasion d'utiliser de maniere pertinente l'hypothese W(x)
* 0 qui
dans la proposition 6. 1 ne nous avait
fourni , ou s'en souviendra, qu'une conclusion assez decevante . Rappelons · que, par definition, une sol ution x
]a ,w[
-+
Rn tend
- 165 -
N.
f aiblement vers un ense mble N quand t C ]a.w[ tel Ie que ti
~
w et x(ti)
~
w. s' il existe une suite {til C
N quand i
~
Rouch e
~
00.
Theoreme 6.3. Soit S un sous-ensembl e de
n,
r e lativement d n et borne . Posons N = as nan. Suppos ons qu' i l existe une f onetion V n ~ R, loealement lipsehit zienne en x et eont i nue, et une f onet i on W n ~ R, de e l asse C1 , telles que (i )
(\{ x E
(i i ) (\{x
E
m O+V( x) E) CJ (x )
fe~e
~ 0
'* 0 ou E
{x
E
S : O+V( X)
=
O}
alor s, pour to ute sol uti on x (t ) t elle que x (J +) C S. x ( t ) t end f ai blement ver s N quand t ~ 00. +
Preuve. Supposons qu'il existe une solution x ( t ) telle que x(J ) C C S et qui ne tende pas faiblement vers N. Alors i l existe un e:
>0
T E J+ tels que x (t ) E S\ B(N.e:) pour tout t E [T.W[. et forcement
et un
w = 00.
Mais on saito grace au theoreme 6.1. que h+ C E et de plus. puisque h+ est compact : x( t ) ~ h+ quand t ~ vers 0 quand t ~( x)
~
00.
00.
O'autre part CJ( x( t) ) tend faiblement
En effet. W( x) etant borne s urle compact S\ B(N.e:).
ne peut pas etre bornae par un nombre strictement pos i t if quand t
Mais ceci est absurde car h+ et {x E S\ B(N.e:) : CJ(x)
~OO.
= O} sont deux com-
pacts disjoints.
C.Q.F.O.
- 166 -
N. Rouche
L'attraction ••. est Ie grand res sort qui fait mouvoir toute la nature. Voltaire.
Septieme Lscon , L'attractivite dans les eguations non autonomes. Du l'on etend Ie theoreme 6.1 (de LaSallel au cas d'equations non autonomes, et sans meme supposer que la derivee de la fonction auxiliaire soit majoree par une fonction de x seulement. Les solutions non prolongeables jusqu 'a l'infini reclameront des hypotheses fort particulieres, tant il est vrai qu'il faut entourer de beaucoup de soins ceux qui sont susceptibles de mourir jeunes.
Dans la plupart des theoremes relevant de la methode directe de Liapounov, on ut ilise une fonction auxiliaire V(t,xl, et les hypotheses sur cette fonction et sa derivee V(t, x) tournent generalement autour d'une meme idee; on suppose l'une ou l'autre sorte de borne inferieure sur V (V definie pos itive, semi-definie positive, • • • l et de borne superieure sur V (V semi-definie negative, •• • ). Les caracteristiques de detail de ces bornes sont adaptees, dans chaque cas, a la propriete qu'on veut demontrer. En reduisant ces hypotheses sur les bornes, dans Ie theoreme 6.1, a leur plus simple expression, on qui met en evidence, en
~uelque
~
obtenu un resultat tres general et
sorte, Ie fonds meme de la methode direct •
Mais ce theoreme ne traite que du cas autonome. Nous consacrons la presen te le90n a une analyse semblable pour Ie cas d'equations non autonomes : quelles conclusions peut-on encore tirer d'h ypotheses qui seront. ici aus s i, reduites a leur plus simple expression? Comme on Ie verra , Ie fait de passer au cas non autonome enrichit beaucoup la situation. Les ensembles limites existent pour les solutions d'equations non autonomes avec des pr6prietes inchangees par rapport au cas autonome. Une
- 16 7 -
N. Rouche exce pt i on ce pend ant . mai s capitale : il ne son t ni invar i an t s , ni semiinvar i ant s . C' es t pourq uoi Ie comportement as ympto tique des s o l uti on s ne pour ra e tre de cr i t , dan s cet te l e90n , que de manie r e mo i ns precise, c' esta- di r e av e c moin s de deta ils que dans la l e90n prec ede nte. Quoi qu ' i l en so it, l es t heor emes obtenus sont de ceu x qui serve nt dans les applications, 50ul i gnons troi s points caracterist iques de notre et ude 1) nous suppos ero ns V(t , x) dominee par une f onct i on de t et x, et non de x s eulement ; cette borne sera particularis ee de diver se s
fa90n~
da ns des
corollai res qui redonneront des theoremes connus ; 2 ) comme dans Ie theoreme 6.1, nous n' ecarterons pas l' eventualite w <
ma is il nous faudra
00,
la traiter a part ; 3) nous avons pu ramener Ie plus gros de nos demonst r ati ons a un usage simple d'un seul et meme lemme. _ Nos notations et hypoth eses gen era les seront a nouvea u ici cel les de l a premiere le90n, sauf que nous ne s upposero ns plus f (t,O) Lemme fonda me nta l. Boit a E R et
~
]a,oo[
R,
~
f onat i ons aontinues teZZe s que (i ) ~ est bornee inferieurement et non aroissante (i i)
(Vt E ]a, oo[)
si de pl.ue, tvc
wet )
> 0)
~
= O.
W
j
0 ;
(3a E K) (3A > D) (Vt
wet )
el
~
(ii i) D + ~ ( t ) ~ - a (w( t) ) ; (iv)
D+w(t) ~ A ou D+w(t ) ~ - A
aZor s wet)
~
0 quand t
~
00 .
Preuve. (a) lIn' existe pas de paire de nombres e: telle que wet)
~
e: pour tout
t~
>0
et 0 E ]a,oo[
o. 5i c'etait Ie cas, l'inegalite (iii)
serait valable pour tout t >0, et puisqu 'alors D+ ~(t) ~ - a(e:), ~(t) ten drait vers -
00
quand t
~
00,
ce qui est exclu par (i) .
(b) Donc si wet) ne tend pas vers 0, il existe un e:
>0
{t n}, {Tn} tel les que tn et que, de pl us
~ 00
quand
n
~ 00
_et- deux suites
- 168 -
N. Rouche avec
2£
et
£
(7.1 )
ou bien
c
et
2£.
(7.2)
8i c'est la seconde partie de l'hypothese (iv) qui est vraie. nous utiliserons les egali tes (7.1). Al or-s , puisque pour tout t +
D
E
- A. on a Tn - t n ~ £/A et donc ~(Tn) - ~(tn) est absurde. car alors ~(t) tendrait vers -00 quand t ~ ~(t) ~
[tn' Tn] ~
- £ a(£)/A. Ceci Le raisonnement
00.
serait analogue si c'est la premiere partie de l'hypothese (iv) qui est vr ai e .
C.Q.F.D. comportement asymptotigue des solutions guand W
00
et gue Ie se-
cond membre n'est pas borne. Theoreme 7.1. (solutions arbitraires). Boit 8 c
n et soient
V
et~
deux f onctions de I x n ~ RJ ZocaZement Zips chi t ziennes en x et continues. S'i Z existe deux nombres A,B > a et une fonction a E K teZs que pour tout J
(t.x) E I x 8 : ( i)
~(t.x) ~
a
(ii)
Vft.x)
- A
~
(iii) D+V(t.x) ~ - a(~(t.x)) (i v)
D+~ ( t • x I ~ - B ou D+~ ( t • x l ~ B
aZors ~(t,x(t)) ~ 0 quand t que ZZes w = 00 et x (J +) C 8.
~
00
l
pour toutes Zes soZutions x(t) pour Zes-
Ce theoreme se deduit immediatement du lemme fondamental. On peut diminuer quelque peu l'exigence d'une borne inferieure pour V : la conclusion se maintient. mais seulement pour les solutions qui ne tendent pas vers l'infini quand t
~
00.
C'est ce qui fait l'objet du theo-
reme suivant. Theoreme 7.2. (solutions qui ne tendent pas v~rs l'infini). Boit
8 C n et soient V et ~ deux fonctions de I x n ~ RJ ZocaZement Zipschitziennes en x et continues. B'iZ existe un nombre B > a et une fonction a E K teZs que J pour tout (t.x) E I x 8 :
- 169 -
N. (i)
~(t,x) ~
0
I
(iii) D+V(t~x) ~ - a($(t,x))
(iv)
Rouche
J
O+$(t,xJ ~ - B OU D+~(tIX) ~ B
si de plus (i i)' pour tout compact C c S. il existe un A> 0 tel que V(t,x) ~ - A sur I x C I alors ~(t,x(t)) + 0 quand t + ~ pour toutes l es solutions x(t) qui ne tendent pas vers l'infini quand t + ~ et pour l esque l l es w = ~ et x(J+) C S. Preuve. Pour une solution du type mentionne, il existe un compact C et une suite {t n} tendant vers l' infini, tels que pour tout n : x(t n) E E C. Alors en vertu de (ii)', Vet) qui par ailleurs est decroissante, ne tend pas vers
-~
quand t
+~ .
a
lemme fondamental entraine
Oonc elle admet une borne inferieure, et Ie nouveau la proposition annoncee. C.Q.F .O.
Ces deux theoremes admettent chacun un corollaire interessant obtenu en identifiant ~
a-
V, ce qui fait qu'il ne reste plus en jeux, com-
me dans Ie theoreme 6.1 relatif au cas autonome, qu'une seule fonct ion auxiliaire. Le corol laire suivant est celui qu'on tire du theoreme 7.1. Corollaire 7.1. Boit
sen et V une fonction
de I x
n + R te lle que
V(t,x) existe. soit localement l ipschitzienne en x et continue
j
s'i l
existe deux nombre A et B tels que. pour tout (t,x) E I x S : (i) V(t, x) ~ 0; (ii)
V(t,x)
~
- A
I
(iii) O+V(t,x) ~ - B ou O+V(t,x) ~ B
~lors V(t,x(t)) + 0 quand t ~uelles w = ~ et x(J+) C S.
+
I
~ pour toutes l es so lutions ~(t) pour les-
Nous passons sous silence Ie theoreme analogue pour Ie theoreme 2, qui est evident. Pour Ie cas d'une fonction
~
independante de t, Ie theo-
reme 7.2 admet Ie corollaire suivant, voisin du theoreme 1(b) de J.P. LaSalle [1968].
- 170 -
N. Rouche Corollaire 7.2. Soit S un sous-ensemble de
n.
ferme relativement d n ; "soi t V : I x n + R une fonction Looal.ement: lipschitzienne en x ei: continue. et soit ~ : n + R une fonction localement lipschitzienne ; s'il existe un nombre B > 0 tel que. pour tout (t ,x) E I x S : (i)
~(x) ;;;.
0
(ii)
o+V(t,x) ~ - ~(x)
(iii)
0 ~(t,x) ;;;. - B
+
ou
+
0 ~(t,x) ~ B
si de plus (ii') pour tout compact C
sur I xC; alors A+ nne E = {x
lesquelles w
00
et
c s.
~(x)
E S +
x(J )
il existe un A> 0 tel que V(t.x) ;;;. - A
nl, paUl' toutes Lee solutions x l t
)
pour
c S.
Preuve. Si la solution consideree tend vers l'infini quand t
+
00,
son ensemble limite est vide et la these est trivialement satisfaite. Au cas contraire, la solution est telle, d'apres Ie theoreme 7.2. que
n, E est f errne dans n. S'il existait un point x* de A+ dans n\ E, sa distance a E serait stric~(x(t)) .+
0
quand t
+
tement positive. oonc
00.
Puisque S est ferme dans
~(x(t))
ne tendrait pas vers 0 quand t
+
00.
C.Q.F.o. On deduit encore de ce corollaire que A+ C E U ticulier si
sen,
(as nan) .
En
+
alors ACE. C'est la situation decrite dans Ie theo-
reme 1 (b) de LaSalle, ou de plus les conditions de .r egul ar i t e imposees
a
~
sont un peu differentes des notres. Le theoreme 2 n'envisage que les solutions qui ne tendent pas vers
l'infini, ce qui est une restriction importante. La these du corollaire 7.2 n'est pas beau coup plus satisfaisante. en ce sens qu'elle laisse aux solutions la liberte de tendre vers l'infini n'importe comment. On arrive
a
une conclusion plus nette dans Ie corollaire suivant. Coro Haire 7.3. Si on ajoute ala: hypotheses du coro Haire 7.2 que
pour tout xES : ~(x) ;;;. e ld l x .El l pour une certaine fonction a E K. alore x l t l + E quand t + 00.
- 171 -
N.
Rouche
Comportement asymptotigue des solutions pour w guelcongue et f(t,x) borne de guelgue faxon. L'hypothese w
=
00,
que nous avons maintenue jus-
qu'a present, n'est parfois pas facile a verifier. Qui plus est, elle n'est pas toujours verifiee, comme nous en avons vu un exemple dans la le90n precedente. O'ou l'utilite des theoremes suivants, dans lesquels w peut etre fini, mais ou on a dO, en contre-partie, imposer une sorte de borne locale a f(t,x) et se contenter d'une conclusion moins forte.
ferme reZativement a n j soient v et ~ deux fonotions de I x n + R. ZooaZement Zipsohitziennes en x et oontinues j si.pour tout oompaot C c 5. iZ existe trois nombres A,B et 0 > 0 et une fonotion a E K. teZs que pour tout (t,x) E I xC: Theoreme 7.3. Boit 5 un sous-ensembZe de
(i)
IIf(t,x)1I .;;; A
(ii)
~(t,x) ~
0
(iii)
v I t ;»)
(iv)
o+V(t,x) ~ +
o
(v)
aZors ~"'(t)
n.
~ -
~(t.x) ~
B a(~(t,x))
- 0 ou 0
+
~ (t, x l
min {~( t , x (t JJ, d (x Lt l ,
.;;; 0
am,
I
1
1 + II x (t) II}
0
+
+
quand t +W. pour toutes Zes soZutions x(t) teZZes que x(J ) C Preuve. 5i min{d(x(tl,
am,
1
1 + IIx(t)lI}
+ 0
quand t
s.
w, il n'y
+
a plus rien a derncntr-er-. 5i ce n'est pas Le cas, il exf s t s un E, O<E<1, tel que, pour une suite infinie de t n tendant vers w quand n
+
00,
x(t n)
se trouve dans Ie compact [B(o, 1 - 1) \ E
B(an,E)] () 5.
On demontre, comme au theoreme 7.2, que V(t,x) est bornee inferieurement. II nous reste a verifier les hypotheses (iii) et (iv) du lemme fondamental. Or quand
~
... (t)
est superieur ou egal a un
E
donne, c'est que x(t)
est dans un compact comme ci-dessus. On sait que pour ce compact, il existe une fonction a E K telle que, en tout point du compact O+V(t,x) .;;; .;;; -
a(~(t.x)).
+
On aura. a fortiori, sur ce compact. 0 Vl t s x l
";;-a(~(t,x)).
ou la signification que nous donnons a ~"'(t .x) est evidente. Enfin, sur ce
- 172 -
N.
Rouche
+
meme compact, f(t,x) est bor-nee , Done 11 en va de meme pour 0 ld l xf t ), arm et +
1
+ 1 1 < ) " ,
+ "x(t)")' Par consequent 0 ~ (t est egalement bornee, soit superieurement, soit inferieurement. Done Ie lemme fondamental est applicable
.0 (1
et Ie theorAme est demontre.
C.Q.F.D.
On obtient un corollaire interessant du theorAme 7.3 en considerant Ie cas particulier ou
~
est fonction de x seulement.
Corollaire 7.4. Soit S un sous-ensemble de
n.
ferme relativement d n ; soit V une fonation de I x n + R. loaalem~np lipsahitzienne en x et et POS 1 tl ve aontinue ; soit ~ une fonation aontinue~ae n + R ; si pour tout aompaat C C S. i.l: existe deux nombres A et B > 0 tete que. pour tout I t , x l E I xC (i)
IIf(t,x)1I
(ii)
V(t,x)
~
(iii) D+V(t,x)
0;;; A
-
B
0;;; -
~(x)
alors /1.+ nne E = {x
E
+
S
~(x) = .O}. pour toute solution x telle que
x(J ) c S. Preuve. II est clair que pour tout compact C C S, il existe une fonction a E Ie d(x,E)
a
K tel Ie ' que pour tout x la fonction
~(t.x)
E C : ~(x) ~ a(d(x,E)). Si on assimi-
du theorAme 7.3, l'hypothAse (iv) de ce
theorAme est satisfaite. D'autre part, comme fest bornee sur I x C, l'hypothAse (v) de ce theorAme est verifiee pour Ie merne choix de conclut de ceci, en posant
as
n
an = M,
min [d (x Lt l , E), d (x t t l , M). 1
+
~(t,x).
On
que
II 1x (t)" ] +
tend vers 0 quand t + w pour toute solution x telle que x(J ) C S. II en resulte que /1.+ nne E, car sinon il existerait une suite {t n} C J+, tn
w. et un point y
S\ E tels que x(t n) de chacune des trois suites +
E
+
y, et la limite inferieure
serait strictement positive, ce qui est absurde.
C.Q.F.D.
- 173 -
N. Rouche Comme epres l e corollaire 7.2, on dedui t ici de l e these A+ nnCE. que A+ C E U M, et que si
SC
n, alors A+ C E. C'est la situation decrite
dans Ie theoreme 1 (a) de LaSalle [1968]. Nous ne nous attarderons pas
a
enoncer Ie corollaire simple qu 'on peut tirer du theoreme 7.3 en y faisant jouer
a
V(t , x) Ie role de - ~(t,x).
On peut demontrer des comportements as ymptotiques plus precis en renfor9ant l 'exigence de borne sur f(t,x). Theoreme 7.4. Soit Sun sous-ensemble que l aonque de n ; soient V
et ~ deux fonations de I x n + R. loaalement lipsahitziennes en x et aontinues ; si. pour tout p > O. i l existe trois nombres A, 8, 0 > 0 et une fon ation a E K. te ls que. pour tout (t,x) E I x (S\ 8(M,p)) (i)
IIf(t,x)1I
~ A
(ii)
~(t,x);;'
0
(iii) V(t,x) ;;. - 8 (iv)
O+VCt,x) ~ - a($Ct,x ))
(v)
D+~(t,x);;' - 0 ou D+~(t,x) ~ 0
alors ~·(t) = min{~(t), d(x(t), M)}
quand t
+
+
0 +
w. pour toutes l es so lutions x(t) tel les que x(J ) C S.
Preuve. La demonstration est un calque de celIe du theoreme 7.4. C.Q.F.D. Les hypotheses du theoreme 7.4 sont elles aussi susceptibles d'etre renforcees, pour contraindre la solution
a
tendre vers un
~ertain
ensem-
ble. Corollaire 7.5. Si on ajoute aux hypotheses du theoreme 7.4 que pour tout (t,x) E I x n. ~(t,x) ;;. d(x,E·) pour un aertain ensemble E• C alors x(t) + E U M quand t + w.
•
Enfin, en faisant jouer
a
d(x,M) Ie role de
me 7.4, on obtient Ie corollaire 5uivant.
~(t,x)
00• r,
dans Ie theore-
- 174 -
N. Corollaire 7.6. Soit S un sous-ensembZe queZconque de
n
Rouche
posons M = as n an j soit v : I x n + Rune fonction ZocaZement Zipschitzienne en x et continue j ei, pour tout c > 0, i.l: existe deux nonbree A et Bet une fonction a E K, tele que, pour tout (t,x) E I x (S\ (M,p)) (i)
IIf(t.x)II";;; A
(ii)
W(t,x);;' 0
(iii) V(t,x) ;;. -
j
B
(iv) O+V(t,x) ..;;; - a(d(x,M))
aZors x(t)
+
M quand t
+
w, pour toutes Zes soZutions x(t) teZZes que
x(J+) C S. Notons en terminant qu'outre leur interet propre, les propositions demon trees dans la presente
le~on
peuvent encore servir
a
etendre au cas
non autonome des theoremes comme Ie theoreme 6. 2. Nous n'aurons pas Ie loisir de nous etendre davantage ici sur ce point.
- 175
~
N.
Rouche
Une solution Est dans la prison Riguedondaine Tout' les solutions Sont dans la prison Riguedondon.
Huitieme leyon. Proprietes d'invariance des ensembles limites. OU l'on verra comment la regularite des solutions par rapport aux variations du second membre et des conditions initiales entraine fort simplement l'une ou l'autre forme de pseudo-invariance des ensembles limites. pour des equations que Monsieur Prudhomme aurait sans doute appelees asymptotiquement presque periodiques.
Si une
~olution
x(t) d'une equation differentielle x
f(t.x] pos-
sede un ensemble limite A+(x) compact. nous savons que x(t) ~ A+ quand t
~
w. II est meme evident que ce resultat est Ie meilleur qu'on puisse '
obtenir. en ce sens qu'il n'existe pas de sous-ensemble compact de A+ ver: lequel la solution tende quand t ce n'est
a
~
w. Mais si c'est Ie meilleur resultat.
coup sur pas Ie plus commode. car pour identifier l'ensemble
limite. il faut d'abord connaitre explicitement la solution. ce qui n'est pas commun. Fixons un moment notre attention sur Ie cas d'une equation autonome et d'une solution dont l'ensemble limite est compact et contenu dans 5i nous
disposon~.
n.
comme dans Ie theoreme 6.1. d'une fonction Vex) appro-
priee. nous savons que x(t) ~ E
= {x En: vex) = o}. quand t ~
00.
Ce re-
sultat est immediatement amsliors de la maniere suivante : A+ stant semiinvariant. x(t) tend vers Ie plus grand sous-ensemble semi-invariant de E. La valeur
prati~ue
de cette observation est d'autant plus grande que
la semi-invariance et son contraire sont des propristss habituellement faciles
a
reconnaitre.
- 176 -
N. Rouche Comme indique dans la septieme le90n, et plus particulierement dans les corollaires , on trouve aussi sans trop de peine, dans Ie cas non autonome, une sorte d'ensemble Evers lequel la solution tend quand t
+
00.
Mais comme l'ensemble limite ne possede plus de propriete d'invariance, on en reste la, sans possibilite de designer un sous-ensemble propre de E vers lequel la solut ion tendrait aussi quand t
+
00.
On voit comme il serait important de reconnaitre des classes particulieres d'equations non autonomes pour lesquelles les ensembles l imites possederaient l'une ou l'autre propriete semblable a la semi-invariance et en tous cas, facile a identifier. On ameliorerait ainsi d'un seul coup la plupart des resultats exposes dans la septieme le90n. Tel est l'objet du present expose : les classes d'equations visees sont, en gros, celles des equations periodiques, presque periodiques, asymptotiquement autonomes et quelques unes de leurs generalisations. Les proprietes de pseudo-invariance que nous voulons demontrer s'obtiennent comme corollaires d'une theoreme general sur la regularite des solutions par rapport aux variations du second membre et des conditions
initiales~
Nous exposerons ce theoreme explicitement, transgressant
ainsi pour une fois la regIe que nous nous etions donnee de n'exposer en detail que des problemes ou la stabilite etait directement en cause. De plus, nous choisirons un cadre de travail un peu plus general que precedemment, a savoir celui des equations differentielles a la Caratheodory. Notations, hypotheses generales. Soit ~ un domaine de R x Rn et soit F l'espace des fonctions f(t,x) de
~ +
Rn possedant les proprietes
suivantes : (i)
fest L-mesurable en t pour tout x fixe
(ii)
f est continue en x pour tout t fixe ;
(iii) pour tout compact K C b
= sup{t
~,
si on pose a
= inf{t
: (t,x) E K} et
: (t, x) E K}, il existe une fonction reelle mK(t) definie sur
[a,b], telle que, pour tout (t,x) E K : "f(t,x)11
< mK(t)
et que de plus,
ou bien mK(t) est L-integrable et bornee presque partout sur [a,b], ou ~, pour un certain p E ]1,00[, mK(tl P est L-integrable sur [a,b].
- 177 -
N . Rouche Ici comme precedemment II-II represente une norme quelconque sur Rn • II sera commode par endroits de la considerer comme une norme euclidienne, deduite d 'une produit scalaire que nous noterons (-I'), de telle sorte que 1I~12
= (x I x) pour tout x ERn. Selon l 'usage, nous ne distinguerons F quand elles sont equivaZentes, c'est-a-dire
pas entre deux fonctions de
quand, pour x fixe, elles different sur un sous-ensemble de mesure nulle de l'ensemble adequat des va leurs de t. Introduisons maintenant une topologie sur F. Soient f et g deux fonctions de F et K un sous-ensemble compact de
~.
Si ZK est la famille
des fonctions continues zIt) definies sur un certain intervalle J z C R, K, nous definissons
a valeurs dans Rn et telles que leur graphe soit dans
(8.1 )
II est clair que dK est une semi-distance sur F. La famille de semidistances dK' parametree par l'ensemble des compacts
KC
~.
fournit la
topologie souhaitee. A cause de (i), (ii) et du fait que nous one distinguons pas entre fonctions equivalentes, cette topologie satisfait a l'axiome de Hausdorff. II en resulte qu'en considerant une su ite de compacts K1 ,
K2 ,
•••
telle que K1
C
K2
C
et que
et la sous-famille correspondante de semi-distances dK.' nous pouvons ~
construire une distance par Ie procede bien connu. Soit d(f,g) cette dis tance. Nature llement, si {fi} C Fest une suite quelconque, dire . que ·f i pact
+
00· est une maniere abregee de dire que ·pour tout comdK(fi,g) + 0 quand i + 00·.
g quand i
KC
~,
+
Nous envisagerons ci-dessous, pour un point .(t o, xo) E
~
et une
fonction f E F, Ie probleme de Cauchy ~ = f(t, x),
x l t s J = xe .
(8.2)
De meme, nous aurons aussi a considerer une suite de problemes semblables
- 17 8 -
.N . Ro uc he 1 ,2 , ...
i
(8 .3 )
Les hypothe s es (i ), (i i) et (i ii) garan t issent que, par tou t poin t ( to, xo) (resp. (toi, xoi ))' passe au moins une s ol ut i on
a
la Cara t heodor y du pro-
bleme correspo nda nt (8. 2) Ir-esp , (8.3)). Toutes l es so lutio ns en visagees ci- dessous devront etre comprises au s ens de Cara t heodory. Dans notre premier th eoreme, les trajectoires de toutes les solutions consid er ees s er ont contenues dans un sous-ensemble cylindriq ue T de ~,
defi ni comme s ui t : T
II x
-
=J x
B, ou J
xoll .,;; r}, pour deu x quanti tes
~
= [to -
>0
et r
~,
> O.
to
+ ~]
et B
=
{x E Rn :
La seu Ls fonction
mK(t) de l'hypothese (iii) qui sera utilisee ci -dessous sera associee au compact T et
a
la fo nction f
nous ne provoquerons aucun malentendu en
l' ecrivant simplement m(t). Theor eme 8 . 1 . Dans aes hypot hese s genera l es, si (tOi, xoi)
~(to, xo )
et f i ~ f quand i ~ co, ei: si {xi: J ~ B} ee t .une sui t e de solut i ons du pr obleme aorrespondant ( 8.3), alors : (a) iZ exis t e une sous-suite {xi( k) : k = 1 , 2 , ••. } et: une fo nation x : J ~ B tiel/ie que xi ( k) Lt l ~ x l t l quand k ~ co, uniformement pour t E J ; (b ) x( t) est sol ut i on du prob l eme (8. 2) ; (c ) s 'il n'exis t e pas d 'autre solu t i on du probleme ( 8. 2), xi (t ) ~ x ( t) quand i ~ co, uni f ormement: pour t E J. ~' .
(a) Les Xi sont unifo rmement bornees , puisque l eurs tra jec-
to ires sont dans T. Donc on obtiendra la t hes e (a ) d'Ascoli, si on arrive
a
a
partir du t heoreme
montrer que les Xi sont equi -continues. C'est ce
que nous allons faire. Pour chaque Xi ' nous savons que Xi (t )
= xi o
+
Jt
fi(T,xi(T))dT. toi
5i tl' t2 sont deu x points que lconques de J, on a
(8.4)
- 179 -
N. Pour p
>1
5i p
1 et que M est une borne de met). on obtient
et q
p/(p -1). on tire de l'inegalite de Holder que
Dans les deux cas. et puisque f i (b)
Rouche
+
f. on obtient l'equi-continuite des xi'
Pour plus de simplicite. ecrivons dorenavant {Xi} au lieu de
{xilk)} pour la suite uniformement convergente dont l'existence vient d'etre demontree. On deduit de (8.4) que
Xi(t)
= xio
+
+
Jt f(T.X(T))dT toi
+
Jt [f(T.xi(T)) - f(T.X(T))]dT toi
(8.5)
Jt [fi(T,Xi(T)) - f(T.Xi(T))]dT. tOi
Mais. pour p
> 1.
IIJt [fi(T.Xi(T)) - f(T.Xi(T))]dTII';;;; toi
[JJ
IIf(T,Xi(T))-
et. grace au theoreme de convergence dominee. nous voyons que Ie second membre de cette inegalite tend vers 0 quand i
+
00.
De plus
IIr fi(T.Xi(T)) - f(T.Xi(T))dTII ,;;;; dT(fi.f) It - tOil toi
1/ q
- 180 -
N. Rouche De nouveau, Ie second membre tend vers 0 quand i limite pour i
~
00
~ 00.
En passant
a
la
dans les deux membres de (B.5), on voit que x(t) est
solution du probleme de Cauchy (B.2). Le cas p
= 1 se traite de maniere
analogue. Cette partie de la these est evidente.
(c)
C.Q.F .0.
En vue d'etendre au mieux les conclusions de ce theoreme aux solutions non prolongeables, nous demontrons d'abord Ie lemme suivant. Lemme B.1. Soient 'P b 'P2 deux eneemblee ouverts bomee , avec ~I C 'P 2 C ~2 C 'P. IZ existe deux quantites ~
tout (to,xo) E 'PI (a) Ze ayZindre de Zongueur
2~.
>0
et r
> 0 't e ZZes
que. pour'
rayon r et centre (to,xo) est contenu
dans 'P2 ; (b) pour toute suite {fi} teZZe que f i
~
f quand i
~
00.
et pour toute
suite {(tOi,xoi)} C 'PI. teZZe que (toi,xoi) + (to,xo) quand i ~ 00. et pour i assez grand. toutes Zes soZutions des probZemes de Cauchy (B.2) et (B.3) existent sur Z'intervaZZe [to - ~, to + ~] et ont Zeurs trajectoires contenues dans Ze ayZindre mentionne en ,( a ) . Preuve. On choisit r
'PI
a
a'P2' et
~.
>
0 inferieur
a
la moitie de la distance de
,«)
et au compact 'P2. Tout cy-
tel que
i
to
to -
ou met) est esaocd ae ici
r
+ ~,
a
mf t l d'r ~,
< 4'
la f orict.Lon f I t
lindre compact de rayon r, longueur
~
= min{r,~'} et centre (to,xo) E 'PI
est contenu dans 'P2 et donc la these (a) est demontree. D'autre part, la these (b) est evidente pour les solutions du probleme (B.2). Soit donc (toi,xOi) une suite de points tend ant vers un point donne (to,xo) E 'PI' et choisissons un entier N tel que, pour tout i ~ N : d(fi,f) (2~)1/q et ilxoi - xoll
<
r/4.
<
r/4
- 181 -
N. Supposons par l'absurde que pour un certain i
~
Rouche
N, une solution xi(t) de
~i = fi(t,xi)' xi(to) = xoi, n'existe pas sur tout l'intervalle [to - i, to + i]. Mais partout ou xi(t) existe et est co ntenue dans
~2,
on a
= xOi + Jt
Xi(t)
tOi
5i P
> 1,
[fi(T,xi(T)) - f(T,xi(T))]dT + Jt f(T,xi(T))dT. toi
on deduit de cette egalite que
Donc xi(t) ne touche pas la
fro~tiere
de
~2,
et par consequent ne peut
pas cesser d'exister sur [to - i, to + i], ce qui est absurde. Que cette meme solution demeure dans Ie cylindre resulte des inegalites ci-dessus. La preuve pour p
= 1 sera omise ici.
Theoreme 8.2. Dans les hypotheses genera les ci-dessus, soit {f i}
une sui te telle que fi que (toi, Xoi)
+
+
(to, xo) E
f quand i ~
quand i
+ ~
et {(toi,xOi)} C
+~.
~
une suite telle
Pour i = 1,2, ••• , soit
+ Rn une so lution non pro l ongeable de ~ i = fi(t, xi)' = xoi. Alors il existe une so luti on non pro l ongeable x : ]a,w[ + Rn du pr obleme (8 .2) et une sous-sui t e croissant e {ilk) : k = 1,2, ••• } telle
Xi : ]ai' Wi[ x(toi)
que, pour tout t1' t2 avec a < t1 < t a <00, on ait pour k assez grand, qu~ aiCk) < t1 < t2 < WiCk) et que xi(k) (t) + x l t ) uniformement sur [t1 , t2] . Preuve. Demontrons l'existence de x sur un interval Ie maximal
a
droite seulement, Ie raisonnement pour la gauche eta nt semblable. 50it '~1' ~2, .•• Une suite d'ensembles ouverts bornes tels que ~i C ~i+1 ·pour
tout i et que
j5uppos ons , sans perte de generalite, que (to,xo) E gueur commune des cylindres compacts associes I
50i t (toi,xOi) dans
~,
a
~1
~1
et soit 2i 1 la lon-
et ~2 par Ie lemme 8.1.
tendant vers (to,xo). Le'theoreme 8.1 mont r e
l'existe nce d'une sous -suite Xi (k)(t), k
= 1,2,
••• de solutions des pro-
- 182 -
N.
Rouche
blemes C8.3), telle que XiCk)Ct) tend vers une certaine solution xCt) uniformement sur [to,to +
~l]'
Ou bien Cto+
appartient
~l' xCtO+~l))
a
~l'
ou bien non. 5i oui, nous prendrons ce point pour nouveau point ge depart ee\demontrerons, par Ie mame argument, l'existence d'une nouvelle sous-
a
suite, notee
nouveau XiCk)Ct), avec la mame propriete de convergence,
mais cette fois sur [to, to + '1iIt
2~1]'
En repetant cette operation, ou bien
on prou ve l'existence d'une sous-suite XiCk)Ct) definie sur [to,oo[ et convergeant vers xCt) uniformement sur tout interval Ie fini, ou bien on atteint un point situe en dehors de
~l'
un r> 1, et nous pourrons repeter dans ~l '
Mais ce point sera dans ~r
~r
pour
ce que nous avons fait dan s
bien entendu en choisissant une nouvelle longueur
~r~
Le reste de la
C.O.F.O.
demonstration est evident.
Invariance des ensembles limites. Le theoreme de regularite que nous venons d'achever considere des seconds membres fCt,x) definis sur un domaine arbitraire de R x Rn. Ici nous re vencns lement consideree dans ces le90ns : tain T E R et ou
n
~
= I x n ou I
a
la forme habituel]T,oo[ pour un cer -
est un domaine de Rn. A part cela, les hypotheses sur
f demeurent inchangees. Nous consideron s comme connues la definition et les preprietes elementaires des ensembles l imites pour des equations non au tonomes, et en particulier la propriete suivante : si A+Cx) n alors w
=
00
n * 0,
•
La transZatee par a> 0 d'une fonction fest la fonction definie cemme suit fa :
~
... Rn, Ct,x)
H-
faCt,x)
=
fCt+a, x l ,
Les hypotheses suivantes sur f seront invoquees plusieurs fois dans la suite. CA) f~
II existe, dans l'espace F des fonctions f, une fonctien ~ ... Rn telle que dCfa,f~J ... 0 quand a 00.
CB)
Pour toute
suite {til telle que ti
00
quand i ...
00,
i l existe
une sous-suite {tiCk) : k = 1,2, ... } et une fonction f'" : ~ ... R de F telIe que
'"
dCf t i Ck)' f ) ... 0 quand k ...
00.
- 183 -
N. Rouche Designons par S(f.B) l'ensemble des fonctions f~ qu'on peut obtenir de cetta fa90n. Toute fonction de ce type sera appelee une fonation limite et l'equation ~
= f*(t.x) une equation limite .
On peut faire plusieurs remarques simples: (1) (A) implique (B) (2)
F stant
un
espac~
vectoriel pour l'addition usuelle des fonctions et
Ie produit d'une fonction par un scalaire reel. Ie sous-ensemble de fonctions de F possedant la propriete (A) est un sous -espace vectorie l de F (3) la meme remarque vaut pour (B)
I
I
(4) une autre maniere d'enoncer (8)
est la suivante : pour toute suite {til telle que ti ~
00
quand i ~
00.
la
famille {f t i} des translatees de fest relativement compacte dans F. Pour la clarts de la comparaison ulterieure. rappelons la de f i ni tion d'un ensemble invariant. Un ensemble F C nest dit i nvari ant pour I' equation x
= f(t,x)
(8 .6 )
ssi. pour tout (to.xo ) E I x F. toute solution non prolongeable x : ]a.w[ ~ Rn de (8.6) avec x(to) = Xo est telle que x(t) E F pour tout t E ]a, w[.
La definiti on suivante est une extension naturelle a ux equations possedant la propriet e (A). d'une def inition de T. Yoshizawa [1963]. Un ensemble F C nest d1t semi-invariant pour l'equation (8.6) dont Ie second membr e est suppose posseder Ie propriete (A), ssi pour tout I
(to,xo) E I x F, il existe au moins une solution non prolongeable x· : ]a.w[ ~ Rn de l'equat io n limite ~
que x• (t ) E F pour tout
~
= f·(t,xl aveo x(tol = xo. telle
E ]a.w[. Dans Ie ca s aut onome . f
= f*
et cette
definition coincide avec celIe de Yoshizawa. qui es t d'ailleurs aussi celIe que nous avons utilisee dans les le90ns precedentes. Nous prenons l'adjeotif quasi-invariant dans un sens un peu different de celui que lui attribuait R.F. Miller [1965]. pour qUi 11 ne s'appliquait qu'au cas d'equations presque periodiques. Un ensemble FCn est dit quasi-invariant pour l'Bquation (8.6) dont Ie second membre est suppose posseder la propriets (8 ). ssi pour tout (to.xo) E I x F il
I
- 184 -
N. Rouche existe une fonction f~ ]a.w[ ~ Rn de ~
x·
tout t
E
E
S(f.8) et au moins une solution non prolongeable
= f·(t.x) avec x(to) = Xo telle que x(t)
E F pour
]a.w[. Rappelons que si l'equation differentielle en cause est autonome.
+
1\ (x) n rI est semi-invariant et si de plus i l y a uni ct t e des solutions.
cet ensemble est invariant. Nous pouvons maintenant enoncer deux generalisations interessantes de cette proposition. Theoreme 8.3 . Poup toute solution x de l'equation (8.6) dont l e
second membpe possede l a ppoppi ete (A). A+(x) n rI est semi-i nvaPiant. •
Preuve. Soit Xo E w
=
00.
A+ (x ) n
Soit {til telle que ti ~ =
00
rI. Comme on l'a rappele ci-dessus.
et que x ( t i )
~
If<
Xo quand i
~
00.
Posons
If<
Xoi. Si f I t , x l est la fonction limite de f. a lors pour tout to E
et en cornrnencerrt avec i grand assez pour que ti - to
soit> 0
r
• on
peut ecrire que
De plus. x(t+ti -to) est solution du probleme x
f t -t (t. x). x ( t o) i
0
= xOi '
La these resulte du theoreme 8.2 ou toi est pris egal a to pour tout i. C.Q.F.D . Theoreme 8.4. Poup toute soluti on x de Z' equat i on (8.6) dont l e second membpe possede la ppopPiete (8 ). I\+( x) n rI est quasi-invaPiant. La demonstration paraphrase celIe du theoreme precedent. Une premiere
illustrat~on
assez evid e nt e de la propriete
(A)
est
fourni par une fonction flt.'x) qui; pour tout x fi xe dans rI. est constante par rapport a t. L'equation differentielle correspondante est autonome et. comme nous l'avons deja observe . la fonction l imite f· est dans ce cas identique a f. Un second exemple est donne par une fonction f(t.x) tendant vers une fonction continue g : rI sur tout compact
KC
~Rn
quand t
~
00.
uniformement
rI. En guise de troisieme exemple. considerons une
- 185 -
N. Rouche fonction continue f Lt s x l telle que, pour toute fonction continue y : I .... K, ou K est un compact quelconque de
II
n,
II f( T , Y( T) ) II dr
on ait
<
00
•
Dans ce cas, la fonction limite est identiquement nulle. Pour illustrer la propriete (6), consid erons d ' abor d une fonction continue T-period ique f(t, xl, c'est-a-dire tel le que, pour un certain T
> °et
tout (t,x) E I x
d'instants telle que ti ....
n 00
= f(t.x) . Soit {til une su ite
f(t+T, x) quand i ....
00.
En supposant, pour simpl ifier,
que l'origine des t appartient a I, associons a chaque i un entier ni tel que ti - ni T E [O,T[. Soit alors {ti(k)} une sous- s uite telle que, pou r
•
•
un to E [O,T] : t i(kl - ni(k) T .... to
quand k ....
00 .
Alors
•
f(t+ti(k) - ni(kl T, x) .... f(t+to. x) quand k .... La fonction limite f·(t, x)
00 .
= f(t+t6. xl, qui est une translatee part i cu-
liere de f, est telle que l a convergence ver s elle est uniforme sur tout compact de I x
n.
Done la propriete (6) est ver i fie e .
Comme autre exemple important de la propri ete (B), considerons une fonct i on continue f(t,x) de R x n .... Rn. qui, pour tout x E n, soit presque period ique en t au sens de Bohr, et pour tout compact
Ken,
soit uniformement continue sur R x K. On sait qu'il correspond a toute suite {til une fonction g (t,xl ayant les memes propriet es et une soussuite {ti( kl} telle que f(t+ti(k)' xl .... g(t,x) quand k .... pour t E R et x dans un compact arbitraire de
00 ,
n.
uniformement
Enfin, toute combinaison lineaire de fonctions presentees cidessus comme possedant soit la propriete (Al. soit la propriete (B), fournira une autre illustration de la propriete (Bl. On obtient ainsi diverses sortes de fonctions, ou d'equations. en quelque sorte asymptotiquement periodiques ou asymptotiquement presque periodiques.
- 186 -
N.
Rouche
Note historigue et bibliographigue.
Premiere le90n. Cette le90n est de caractere trop general pour que nous tentions de completer ici les quelques indications bibliographiques apparaissant dans Ie corps du texte. Rappelons cependant. comme il se doit. les deux grands precurseurs : G. Lejeune-Dirichlet [1846]
et
A.M. Liapounov [1892]. Deuxieme lexon. Chronologiquement. c'est Ie probleme de mecanique resolu au theoreme 2.4 qui est apparu
Ie premier. C'est aussi lui qui
a inspire tous les developpements ulterieurs. E.J. Routh [1 860] a Ie premier mentionne Ie cas conservatif : T~
= T~Cq.q). T~
T~(q.6). TI = TI Cq] .
= O. et demontre que: si pour 6 = B. T~Cq.6) + TICq) poss e de .un minim um strict en q = O. Ie mouvement stationnaire q = q = o. 6 = B est stable
Q
pour les perturbations n'affectant pas la valeur
B.
L. Sa lvadori [1953]
a demontre que les memes hypotheses impliquent la stabilite, sans restriction. du mouvement stationnaire. Sur ce point. voi r aussi G.K. Pojaritski [1958] et V.V. Roumiantsev [1968]. Le meme probleme de mecanique . mais avec des forces dissipatives diverses. de generalite croissante. a ete traite par L. Salvadori [1966]. C. Risito [1967]. L. Sal vadori [1969]. C'est dans cet article de 1967 que C. Risito a donne Ie theoreme 2.2. traitant pour la premiere fois de stabilite en presence d'integrales premieres pour des systemes non autonomes. C'est dans celui de 1969 que L. Salvadori a utilise pour la premiere fo is les familIes
a
un parametre
de fonctions de Liapounov Ccf. 5° le90n). Tous ces resultats ont ete etendus au cas de potent iels dependant du
te~ps
et de liaisons rheonomes
dans P. Habets et C. Risito [1973]. article ou on trouve Ie theoreme 2.1 avec les remarques qui l'accompagnent.
~t
qui a eu pour precurseur
M. Laloy [19 73]3' Le theoreme 2.4 enfin generalise quelque peu un theoreme de C. Risito [1972]. Un bel exemple d'application
a
la physique de
cette theorie de la stabilite en presence d'integrales premieres se trouve dans M. Laloy [1973] •• Nous n'avons pas touche aux problemes de stabilite asymptotique. non plus que de stabilite partielle. pour les
equation~
- 187 -
N. Rouche comportant des integrales premi eres. II e xiste sur Ie premier sujet di verses contributions de L. Sal vad ori et C. Risito. et sur Ie second, de C. Risito. Tro isieme leyon. Les secteurs sont dej a impl icitemen t prese nts da n: Ie theoreme c l as s i que de N. G. Tchetaev [1934]. mais c'est s urtout K.P. Persids ki [194 6], [19 47], qu i a rnorrtr-e leur intere t. e ntre autres en con siderant des secteurs dont la surface lat era Ie est co ns t i tu ee de points de sortie. Pour la mis e au point des definitions de s secteurs et des demonstrations qui les co ncernent, on consultera success i vement A.D . Myshki: [1 947], J .L. Massera [1956]. S.K. Persidski [1 961], [1 968], [1 970], et e nfin M. Laloy [1973]1: qui a donne l es de fi nit i ons ut ilis ee s ic i. Ce s de rnieres s emb l e nt cOhduire 'au x demonstration s les p lus cla ires. Le s s ec te ur s ferme s sontt t r-et t e s par J. A. Yor ke [1 968] et M. Laloy [1 973h. Lss se cteurs dont certains point s frontieres s ont points d'e ntree. alo rs que I s s autres s ont poi nts de sort ie. ont et e in t r od ui t s pa r M. Lalo y [1 973]1,
a
l'aide de la met hode topol ogique de T. Wa zews ki [1 947]. On t rou vera di -
ve rs es sortes de c onditions d'e xpulsion dan s Kh. I. Ibra ch ev [1 947]. N.N . Kraso vski [1963]. V. M. Matroso v [1962]1. N. Rouche [196B]. L. Sa lv adori [1 971] et J. A. Yorke [19 68]. et une bor ne su perieu re v ari ab le ave c Ie temps pour la fonction aux ilia ire dan s N. Rouche [1 969]. Quatri eme leyon. Les theoremes 4 . 3 e t 4. 4 sont ada pt e s de T. Wazewski [19 50]. L'utilisation d'une fonction de Liapounov en connexio n avec une inegalite different ielle apparait dans R. Conti [19 56]. pour l'etu de de la pro lo ngeab i l it e des solutions. De s cr ite r es de s t abilit e ont etA obtenus par la me t hode de
~o mparais on
a l 'aide d'une f onc ti on au xi-
liaire scalaire par C. Cord uneanu [196 0] et d 'une foncti on ve c t or ie l l e par V.M. Ma tr os ov [1 962]2 ' La methode de comparaison a ete appliqu ee par V. Laks hmikantham [1965] a la st ab i li t e con di t ion nelle . et par C. Cordunea nu [1 965]
a
la stab il ite part ielle. Sur ce der nier poin t . voi r
aussi K. Pe i f f e r e t N. Rouch e [196 9]. Sur l a methode de compa r a i s on en ge neral, on consultera principalement V. Lakshmikantham et S. Leela
[196 9~
Les th eoremes fourni ssan t. dans cette quatrieme leyon. des criteres de stabilite et d'attractivite. sont empruntes a Dang Chau'Phien [1973]. L'ut ilisation de plusieurs fonction s de Liapounov non to utes positives est
- 188 -
N.
R ouc he
i nsp iree de L. Sa l vaco r i [196 9]. Dans P. Habe t s et K. Peiffer [197 3] on t r ouve r a . a l a
s u i ~e
d 'un e a nal ys e de la structure des demonstrations
da ns la methode de ·comparaiso n . des theor~mes permettant de tra nsf erer d ' une equat ion a une aut re. non plus une propri ete de comportemen t as ympt ot i qu e. mais d 'un coup t out e une c las se de propri e t es de ce t yp e. Cinqui~me
l e90n. La met hode des fa mi lI es a un
ti ons a uxil iai res apparai t pcur l a
pre m i ~r e
par am~tre
de f onc-
fois da ns L. Salv ado ri [ 196 9];
pu is da ns plu s i e ur s tr ava ux ulterieu r s du meme a uteur (pa r e x . [1 971]) et de ses co l l abo r at eu rs (par ex . P. Fergola et V. Moauro [1 970]. L. Gambardel l a e t L. Sa lv ado r i [ 1971] • .L. Gambard ella e t C. Tenneriello [ 1971] • A. D'An na [ 1973]. A pro pos de cett e meme met hode . on consu l t e r a encore W. Ha hn [1971]. Le
t h e o r ~ me
d ' att r act ivite fai b l e (the oreme 5 . 1 ) choisi
pour i ll ust r e r ce tt e method e e s t a dapt e d ' un t heor eme de stab i l i te as ympt otique de V.M. Ma trosov [1 962]1' C' es t d ' a i lleu rs dans L. Sa lvado r i [ 1971] qu' e s t ecartee
l 'h yp ot h ~ s e
d ' une bo r ne su r I e s e co nd membre de
l'equatio n di f fe ren tie lle . te l l e qu ' e l 1e appa raissai t da ns I e
theo r~me
de Ma t r os ov . La comp arai so n que no us donn ons des deux methodes de demonstration su r un meme
t he or~me
d 'attractivite fa ible es t rep r is e a J.L.
Corne [1 973]. Le de r nie r t ravail , et Ie plus gen eral . sur l e s familIe s a un parametre de f onc t i ons auxi liai res e s t L. Sa l va dori [ 1974] . Sixi~me
l e 90 n. Une
pre mi~ re
ve r sion du
theo r~ me
6 . 1 pou r Ie c a s
de s ol ut ion s bo rne es est due a J .P. LaSal l e [1 960] et apparait egal eme nt dan s J .P . LaSalle e t S . Lefschet z [ 1961].
Ce
t h eor ~me
avait pour precur-
seurs de s theoremes de E.A . Bar bashin e t N.N. Kraso vski [ 1952] sur la stabil it e asy mptotiqu e et la s tati l it e asymptotique g l ob a l e (voir aussi N.N . Kr asovski [1 963] ). Des solutio ns non bor ne es . mais co nte·~es da ns un sous -e nsemble ferme de 00 sont conside rees da ns J. P . LaS a lle [ 1968]. La ve r s i on repri s e i ci se trou ve d ans N. Rouche et J. Mawhi n [ 1973]. Le theo reme 6 . 2 est ti re de J . L. Corne et N. Rouche [19 73]1. et Ie t h eor~me 6 .3 de J . L. Corne [ 1973] . S e pt i~me
le90 n . Cet te le 90n e s t une ve r si on amelioree Quant aux
demo nstra t i ons de J.L . Cor ne et ~ . Rouche [19 73]2 ' On a dej a mentionne dans I e t e xt e que deux
the o r~me s
i mpor t a nt s . ob tenu s i ci comme corol la ires
- 1 89 -
N.
Rouch e
(7. 2 et 7.4 ), so nt dGs a J. P. LaSall e [1 968], qui ne consi dere pourtant
que des solu tions dont l es or bi t es s ont cont e nues dans un s ous-ensemble ferme de Q. Hu lti eme l e90n . Les deux ar t i c le s qui ont ouvert la voi e vers de s theoremes de regulari t e as sez gen erau x et vers Ie probl eme des equa tions asymptotiquement auto nomes , so nt L. Ma rk us [1 956] et Z. Op ial [1 960]. Les extensions du theoreme de LaSalle (t heo r eme 6.1 ) s e ·t r ouve nt . pou r les equations periodiques dan s J.P. LaSalle [ 1962], pour l es equa t i ons as ymptotiquement aut onomes dans T. Yo shi zawa [1 963] e t pour les equations asymptotiquement presqu e period iqu es da ns R.K. Mil l e r [196 5]. Un th eor eme de regularite pour l es equa t ion s
a
s ec ond membre cont inu at la t opol ogi e
de la convergence uniforme compac te est do nne da ns P. Har t ma n [196 4]. Pour une topologie fort voi si ne de cel Ie qui a e te ut il is ee ici , en l iaiso n avec des equations int egrales de Volterra et don c e ng l oban t Ie cas des equations differentiell es ordinaires, voi r R. K. Mill er e t G.R . Sel l [ 196 8], [1970]1' On retrouve des theoremes de regularit e analogues, e t des pro -
priet es de "ps eudo -invariance" des ensembles l imites, propritte s e t udiees ce t t e f ois da ns Ie cadre de s ys t emes dynamiqu es as s ocies aux equa ti on s diff erent i e lles non autonomes, da ns R.K. Mil l er et G. R. Se l l [1 970] e t G.R. Sell [1 971].
E.A. BARBASHI N, N.N. KRASOVSK I , Sur l a s t abi l i te glo bal e du mouvemEnt (e n russel, Dok~ . Akad. Nauk. SSSR 86 (1952) , 453- 456. L. CESARI, As ymptotic be hav i or an d s ta bili ty pr obl ems i n ordinary differential equations, Springer- Verlag, Berlin , 1959. R. CONTI, Sul l a prolungabilita delle soluzioni di un s is t ema di equazio ni differe nzial i ord inarie, Bo ~ ~. Un. Mat . Ita~ . 11 (19 56 ) , 510-514. C. CORDU NE ANU, The appl icat ion of di f f eren t ial i neq ual i ties to t he t heory of stability, An. Sti . Univ . "M. I. Cuza" Ia si (1 ) 6 (1 960), 47-5 8. C. CORDUNE ANU, Sur la stabil it e part i elle, Rev. Roumaine Math. Pures 9 (19 64), 22 9- 236.
App ~.
I
- 190 -
N . Rouche
J.-L. CORNE. L'attractivit e Louvain-Ia-Neuve, 1973.
mais c'est tres simple, These de doctorat.
J.- L. CORNE, N. ROUCHE. Attractivity of closed sets proved by using a fa mily of Liapounov fun ctions, J. Diff. Equ. 13 (19 73)1, 231-246 . J.-L. CORNE, N. ROUCHE. Sur un theoreme de J.P. LaSalle. in Equati ons differentiel les et f oncti onne l les non l ineai res , Hermann, Paris. (19 73)2 547-558.
DANG CHAU PHIEN, Stabilite d 'ensembles et fonctions vactorielles de Liapounov, Seminaires Math. Appl. Mec. 68 (1973), Univ. Louva in. DANG CHAU PHIEN, N. ROUCHE, Stabilite d'e nsembles pour des equa t i ons differentielles ordinaires, Riv. Ma t . Univ. Parma (2) 11 (1 970), 1-1 5. A. D'ANNA. Asymptotic stability proved by using vector Liapunov func t i ons, Bmcxel-Lee , (2) 87 (19 73), 119-139.
Ann. Soc. Scient.
P. FERGOLA. V. MOAURD, On partial stability, Ricerche di Matemat ica 19 (1970),185-20 7. L. GAMBARDELLA , L. SALVADORI. On the asymptotic stability of s e t s , Ri cer-
che di Matematica 20 (1971). 143-154.
L. GAMBARDELLA , C. TE NNERIELLO . On a theorem of N. Rouche, Rend. Accad. Sa. Fis. Mat. Soc. Naz . Sa. , Let t. Ar t i Napo l i (4) 38 (19 71), 145-15 0. P. HABETS, K. PEIFFER, Classi fication of stabilitylike concepts and th e i r study using vector Lyapunov functicns, J . Math. Anal. Appl. 43 (19 73), 537-570. P. HABETS, C. RISITO, Stability criteria for systems with known f irst integrals generalizing theorems of Routh and Salvadori, in Equati ons Differentie l les et Fonati onne Zl es Non Li neaires, Hermann, Paris, 1973 I 569-580. W. HAHN, Stability of motion, Springer-Verlag, Berlin. 1967. W. HAHN, On Salvadori's one-parametric families of Liapunov functions,
Riaerahe di Ma t emati ca 20 (1971), 193-197.
P. HARTMAN, Ordi nary differential equations, J. Wiley and Sons, New York, 1964. Kh . I . IBRACHEV, Sur la seconde methode de Liapounov (en russel , Izvestia
AN Kazakhskoi SSR 42, Sr. Mat. Mekh., (1947), 101-110.
N.N. KRASOVSKI, Stability of motion, Stanford Univ. Press, 1963. (Traduction de l'edition russe, Moscou 1959). V. LAKSHMIKANTHAM, Vector Lyapunov functions and conditional stability,
J. Math. Anal. Appl. 10 (1965), 368-377.
- 191 -
N.
Rouche
V. lAKSHMIKANTHAM. S. lEELA. Differential and integral inequalities. Academic Press. New York. 1969.
M. lAlOY. Une extension de la mAthode des secteurs pour l'Atude de l'ins tabilitA a la Liapounov. Ann. Soa. Scient. Bruxe~~es (1) 87 (1973)1.17-49. M. lAlOY. Prolongements de la mAthode des secteurs de Persidskii.Ann. Sba Scient. Bruxe ~~es (2) 87 (1973)2. 141-164. M. lAlOY. Utilisation des intAgrales premieres dans l'Atude de la stabilitAo Seminaires Math. App~ . Meah. 62 (1973)3. Univ. louvain. M. lAlOY. StabilitA ~es
et
a
Fonationne~les
la liapounov du betatron. in Equations Differentie~ Non Lineaires. Hermann. Paris. 1973 I 581-595.
J.P. LaSALLE. Some extensions of lyapunov's second method. IRE Trans. Circuit Theory CT-7 (1960). 520-527. J.P. LaSALLE. Asymptotic stability criterion. Proa, Sympos. Appl. Math. Vol. 13.299-307. Amer. Math. Soc •• Providence. R.I.. 1962. J.P. LaSALLE. Stability theory for ordinary different ial equations. J . Diff. Equ. 4 (1968). 57-65. J.P. LaSALLE. S. lEFSCHETZ. Stability by liapunov's direct method. Academic Press. New York. 1961. G. lEJEUNE-DIRICHLET. Ober die Stabilitat des Gleichgewichts. in G. lejeune-Dirichlet's Werke. 2° vol •• Georg Reimer. Berlin. 1897. 5-8. Article original de 1846. A.M. lIAPDUNOV. Probleme gAneral de la stabilitA du mouvement. Ann. Fac. Sci. Tou~ouse 9 (1907). 203-4 74 (traduction d'un article publiA dans Comm. Soc. Math. Karkhov 1893. rAAd. dans Ann. Math. Studies 17. Princeton. 1949).
M. MARACHKOV. Sur un thAoreme de stabilitA (en russel. Izv. Fiz.-Mat. (3) 12 (1940), 171-174.
Obehroheetivo Kazan Univ.
l. MARKUS. Asymptotically autonomous differential systems. in Contr. Theor, Non-linear Oscillations. ed. by S. lefschetz. Vol. 3. 17-29. Princeton Univ. Press; 1956.
J.l. MASSERA. Contributions to stability theory. Ann. Math (1) 64 (1956). 182-206. V.M. MATROSOV. On the stability of motion. PMM (J. Appl. Math. Mech.) 26 (1962)1 1j37-1353. V.M. MATROSOV. On the theory of stability of motion. PMM (J. Appl. Math. Mech.) 26 (1962)2. 885-895. V.M. MATROSOV, Comparison method in system's
dy~amics,
in Equations Dif-
- 192 -
N. Rouche
fere ntieZZes et fonctionneZZes non Zi neaires, Hermann. Paris. 1973. 407-
445.
E.J. McSHANE. Integration. Princeton Univ. Press, 1944. R.K. MILLER, Asymptotic behavior of solutions of nonlinear differential equations, Trans. Amer. Math. Soc. 115 (1965), 400-416. R.K. MILLER, G.R. SELL, Existence, uniqueness and continuity of solutions of integral equations. Ann. Mat. PuPa AppZ. (4) 80 (1968), 135-152. R.K. MILLER, G.R. SELL, Existence, Uniqueness and continuity of solutions of i nt egr a l equations. An addendum, Ann. Mat. Pura AppZ. (4) 87 (1970)1, 281-286. R.K. MILLER, G.R. SELL, Volterra integral equations and topological dynamics, Memoirs Amer. Math. Soc. nO 102. Providence, R.I., 1970. A.D. MYSCHKIS, Sur un lemme geometrique qUi s'applique dans la theorie de stabilite au sens de Liapounoff, DokZ. Akad. Nauk. SSR 55 (1947). 299-302. Z. DPIAL, Sur la dependance des solutions d'un systeme d'equations differentielles de leurs seconds membres. Applicat ions aux systemes presque autonomes . Ann. PoZon. Math. 8 (1960). 75-89. K. PEIFFER. N. ROUCHE. Liapunov's second method applied to partial stability , J. Mecanique 8 (1969). 323-334. K.P. PERSIDSKI. Sur la theorie de la stabilite des solutions d'equations differentiel1es (en russel. Uspekhi Mat. Nauk 1 (1946). 250-255. K.P. PERSIOSKI. Sur la seconde methode de Liapounov (en r-us s e l , Izv. Akad,
Nauk Kazakhskoi SSSR 42, Ser. Mat. Mekh •• nO 1, (1947), 48-55.
S.X. PERSIDSKI, On the second method of Liapunov, PMM (J. AppZ. Math.
Mech.) 25 (1961), 20-28.
S.K. PERSIDSKI, Investigation of stability of solutions of some non-linear systems of differential equations, PMM (J. AppZ. Math. Mech.) 32 (1968), 1141-1144. S.K. PERSIDSKI, Investigating the stability of solutions of differential equations, PMM (J. AppZ. Math. Mech.) 34 (1970), 209-215. G.K. POJARITSKI, On the construction of Lyapunov functions from the integrals of the equations of the perturbed motion, PMM (J. AppZ. Math. Meah.) -22 (1958), 145-154. C. RISITO, On the Lyapunov stability of a system with known first integrals, Meccanica 2 (1967), 197-200 .
,
C. RISITD, The comparison method applied to the stability of systems with
- 193 -
N.
Rouche
known first integrals, in Proa. 6t h Int. Conf. NonZinear OBaiZZations~
Poznan, 1972.
N. ROUCHE, On the stability of motion, Int. J. Non-Zinear Meah. 3 (1968), 295-306.
N. ROUCHE, Quelques criteres d'instabilite a la Liapounov, Ann. Soa.
Saient. Bruxel.l ee,
(1) 83 (1969), 5-17.
N. ROUCHE, J. MAWHIN, Equations differentielles ordinaires, 2° vol., Masson et Cie, Paris, 1973. V.V. ROUMIANTSEV, On the stability of steady state motions, PMM (J. AppZ.
Math. Meah.) 32 (1968), 504-508.
E.J. ROUTH, The advanced part of a treatise on the dynamics of a system of rigid bodies, MacMillan Company, London, 1860. Reed. d'apres la 6° edition (1905) par Dover Publications, New York, 1955. Nous n'avons pu verifier si Ie theoreme mentionne dans Ie texte sur la stabilite des mouvements stationnaires se trouvait deja dans l'edition de 1860. L. SALVADORI , Un osservazione su di un criteria di stabilita del R04th,
Rend. Aaa. Sa. Fis. Mat., NapoZi 20 (1953), 269-272.
L. SALVADORI , Sull'estensione ai sistemi dissipativi del criteria di stabilita del Routh, Riaerahe di Matematiaa, 15 (1966), 162-167 . L. SALVADORI , Sulla stabilita del movimento, Le Matematiahe 24 (1969),
218-239.
L. SALVADDRI, Famiglie ad un parametro di funzioni di Liapunov nella studio della stabilita, Symposia Mathematiaa 6 (1971); 309-330. L. SALVADORI, SuI problema della stabilita asintotica, Rend. Aaad. Nazio-
naZe Linaei (8) 53 (1972), 35 -38.
L. SALVADORI , Some contributions to asymptotic stability theory, a paraitre dans Ann. Soa. Saient. BruxeZZes (1974). G.R. SELL, Topological dynamics and ordinary differential equations, Van Nostrand Reinhold Company, London, 1971.
J. SZARSKI, Differential inequalities, PWN- Polish Scientific Publishers, Varsovie. 1967. N.G. TCHETAEV, Un theoreme sur l'instabilite (en russe), Dok Zady Akad.
Nauk SSSR 1 (1934), 529-531.
W. WALTER , Differen t ial- und Integral- Ungleichungen, Springer Verlag, Berlin, 1964. T. WAZEWSKI, Sur un principe topologique de l'examen de l'allure asymptotiq ue des integrales des equations differentiellss ordinaires, Ann. Soa.
.: 194 -
N . Rouche
PoZon. Ma th . 20 (19 47), 279-313. T. WAZEWSK I , Sys temes des equa t i ons e t des i nega li t es diff erentielles ord inaires aux deuxi emes memb r es monot ones et leurs applications, Ann. Soc . PoZon. Mat h. 23 (1950), 112-1 66 . J.A. YORKE, An extension of Cheteev's ins tability t heorem usi ng invarian t ~~ts, and an example. in Seminar on Differential Equations and Dynamical Sy~tems, Springer Ver l ag , Berlin. 1968. T. YOSHI ZAWA, Asymptotic behavior of solutions of a system of different ial equa tions, Contrib. Di ff . Equ. 1 (1963) 371-387. T. YDSHIZAWA, Stability theory by Liapunov's second method, Math. Soc. Japan, Tokyo, 1966.
CENTRO INT'E RNA ZIONALE MA TEMATICO ESTIVO (C.I.M.E.)
ST ABILITY AND DIFFERENTIAL GAMES
EMILIO O.
Cors o
tenuto
a
ROXIN
Bress anone
dal
2
a ll ' l l
giugno
1974
STABILITY AND DIFFERENTIAL GAMES Emilio O. Roxin (*) Abstract. A short introduction is given on A. Friedman's method to define a differential game and the upper and lower Value. Then, comparison theorems are given for the upper and lower Value functions. These are applied to discuss properties of invariance and stability of differential games. Here, a key idea is to consider the dynamics of a differential game disregarding the payoff functional, in order to explore all possible evolutions of the game, and not only the optimal one.
(*) University of Rhode Island, Department of Mathematics, Kingston, R.I. 02 881, U.S.A., presently at the University of Wlirzburg and the T. H. Darmstadt, Federal Republic Germany, with the support of the Deutsche Forschungsgemeinschaft.
- 198 -
E . O.
Roxin
1. Definition of a differential game. A two persons zero sum differential game is usually given by a differential equation of the type
~(t)
(1)
= f(t,
x(t), u(t), v(t»,
where t e [O,Tol is interpreted as the time, x(t)
E
n
R
as the state yariable, while u(t) and v(t) are the control variables which take values in given compact m2. sets IT c Rm1 respectively V c R Each control variable is chosen at each instant t by the correspondent player "u" respectively "v"; admissible are all measurable functions u(.), v(.) which take values in IT and V. The initial condition for the game is
= xO'
x(t O)
(2)
(to
G [O,~).
The game is assumed to end when (for the first T
~
to)
a certain "terminal condition" (T, x(T» is met, where
m-
we
IS
is a given manifold in
n +1 • For
R
simplicity we will assume that this condition is T
= TO
given in ad.vance,
case which is called "game of fixed. duration".
A "payoff" or "cost" functional is given, usually of the form P
= g(T,x(T»
+
J
T
to
h(s,x(s),u(s),v(s»
ds
which player "u" should minimize and player "v" should maximize. '#hen T is fixed, g(T,x(T»
= g(x(T».
- 199 -
E. 0.' Roxin
We make the following assumptions: A) f(t ,x,u,v) E: e( rO,T]x Rn ><' IT x 11, Rn); x·f(t,x,u,v) ~ K (1 + (jxrt 2 ), uniformly in [O,TJ,x -Ux V;
l!f(t,x,u,v) - f(t,x,u,v)IJ ~ K /Ix - xli uniformly
UXV.
in [O,T] x B)
I g(x)
- g(x)l~ K llx - xli ; h ( t ,x, u , v ) € [0, T] oX Rn :x UXV, R);
e(
\h(t,x,u,v) - h(t,x,u,v)/ ~ K llx - xU , uniformly in [o,Tl'XU~V; h(t,x,u,v) ;;,: O. The solution of (1) is to be taken in the sense of
Carath~odory
( x(t) absolutely continuous satisfying
(1) almost everywhere). Assumptions (A), (B) guarantee the global existence and uniqueness of the solution of the initial value problem (1), (2), for any given pair of admissible controls u(t) and vet). 2. Upper and lower S -games. Following A. Friedman (L1], \.2J) we approximate the differential game by a finite-step game, called the
"eS -game". For this we subdivide the interval in N subintervals: I 1 j = 2, 3 , ... ,N, and t j
c
'Lto,t11, I
=
to +
j
j
= [to,T]
I
= (t j _ 1,t j ]
,
for
e5 , S = (T - to) IN.
- 200 -
E . O.
Roxin
The $-game can be played in the following two ways, called "upper" and "lower" 8-game. To explain these let U j and 1~ be the set of all measurable controls uj(t), vj(t) (more exactly, equivalence classes of L1 functions) defined on the subinterval I j, with values in U and V. In the "upper" or ()+ game, player "u" has to choose his control uj(t) in the subinterval I j, knowing uk(t) and vk(t) in the previous subintervals (k = 1, ••• , j-1),
"v" chooses vj(t) in I j knowing uk(t), vk(t) for k = 1, ••. ,j-1 plus uj(t) in I j itself. while .pl~yer
In other words, in each subinterval I , "u" has to j
choose first and disclose his choice before "v" chooses his control. This way the maximizing player "v" has some information advantage, and the payoff will result (if the players choose intelligently) somewhat higher than if the game were played "continuously" (in whatever sense this may be understood). Therefore the name of upper or &+ game. We define the "upper rS Value", denoted
Vi
of
this
where the payoff P is understood as a function of the
- 201 -
E. O.
Roxin
successive choices u 1(t), v 1(t), ••• ,uN(t), vN(t). If the infima and suprema in (5) are actually minima and maxima, i.e. if they are reached by some choices u j' v j' then these are optimal choices for both players. In order to define the "lower" or S- game, we reverse the order of choices: in each I j, player "v" has to choose first, and then chooses player "u'", This way the minimizing player "u" has the information advantage. Therefore the "lower (6)
Vi
= sup v 1E. "1
6 Value" .
inf ••• sup inf P(u 1,v 1, ••• ,uN,vN) u 1e1{1 V NE:: 1'ir uN"'l.IN
can be expected to be somewhat smaller than if the game were played "continuously". It should be mentioned here that a "strategy" for player "u" in a
8+ game, is any rule telling him how
to choose his controls uj(t), as a function of the previous choices according to the playing scheme given above.
Similarly one defines a strategy for player "v",
and also the strategies corresponding to a
~- game.
If we make a refinement of the subdivision of I, taking a new N' which is a multiple of N (and getting as' which is a submultiple of
.s),
then in this new
subdivision the information advantage in the S' games will be smaller than in the £ games. Therefore + + $ V~, ::: V • (7) Vi ~ V
S'
It can be proved (see
y
l fJ ,
[2J) that under the
- 202 -
E . O . R oxi n
conditions ( A), (B) g i ven above, lim
Y; an d lim Y67 0 S exist. Henc e we a r e ab l e to def ine t he "upper Yalue" S-> O
y+ an d the "lower Yal ue " Y- of the "continuous" game as +
( 8)
Y = lim
S'- 70
+
Y,:,-'
Y~ . c
I f y+ = Y- , we call it the "Yalue" of t h e game and deno te i t by Y = y+ = Y- . In gen er al , y+ and Y( and possibly Y) depend on t he initial cond i tion (to ' x o ) of the ga me . It is important t o consider t he pro perties of these func tions Y+( to ' x O) and Y- (to ' x O) . It can be shown that under the assumptions ( A), (B), y+ (-~ , x ) and Y- (t , x ) are lipsch it z continuous in ( t,x),
un iforml y in b oun ded subse t s of [0, TJ J< Rn . (see l2 J). 3. Comparison theorems. The idea of g i ving an es tima te of t he Value of a differen tial game , by upper an d lower bounds, seems nat ura l ( £4], [5 J,
~ 6J).
To tha t purpose we give t he
following comparison theorems ([2J). In order t o s tat e them ve int ro duce the f ol l owing expre ssions: (9 )
H( p , t , x , u ,v ) = p f( t,x,u, v) + h(t,x,u, v),
where p is an n-dimens ional row vec tor; ( 10)
1
H+( p , t , x ) =miu max_ H( p ,t , x , u , v ) , u :: U VE Y H- (p, t,x) = max min H(p,t,x,u,v). v <:'V ueU
- 20 3 -
E. O . R oxin
It is easy to see that these maxima and minima exist, are continuous and Theorem 1. Given the fixed time differential game (1), (2), (3'), (4), satisfying conditions (A),
(B), and given a real valued function U(t,x), continuously differentiable ' in [O,T]XRn, such that ~U + ~U ) (11) ~t + H (~,t,x ~ c ox and
°
U(T,x)
(12 )
~
g(x),
'then Proof: For every
as> °sufficiently
~
>
°we will show that
there is
small, so that i t is possible to
give a strategy for player "u" in the upper
a game,
such that for any admissible control v(t), the corresponding payoff results P
V;::=;
~
U(to'xo) +
c. Hence
U( to ,xO)'
as his optimal choices u j(t) may be better but never worse (he is minimizing!) t han the strategy we are going to indicate. For every t ~ CO, T], x ~ Rn t h er e is a u* c IT such that ;:'U * H( ~,t,x,u ,v) $ H+(~U ax,t,x )
for all v c
V.
This 'ch oi c e defines u* as a function
- 204 -
E . O . Roxin
u*(t,x). Our strategy for player "u" will be that, in each subinterval I j +1 = (t j,t j+ 1J , he chooses the constant con trol u j +1(t) = u*( tj,x j), where we write xj
= x(t j).
He knows, indeed, x(t j) when he has to
choose u j+ 1(t). Wi t hin each subinterval I j +1 we estimate:
Ii x( t) - x jli
c s,
~
Ilf(t,x(t),u(t),v( t»
- f( t j,xj,u(t), v( t»II~ Y7( ~ ),
!h(t,x(t),u(t),v( t»
- h(t j,Xj,u(t),v( t»I ~ ?( 0),
1I ~~(t,x(t» - ~~ (tj , X j ) \I~ Vj(e5), IH+( ~~(t,x(t»,t,x(t» where
."1 ( 5)
~
0 as
- H+ (~~( tj , X j ) , t j , Xj ) \ ~ 1 ( ~ ) '
S ~ o.
Let wet) = u(t,x( t) +J
rt
h(s,x(s),u(s),v(s» ds to be defined during the evolution of the differential game. Then , for
~.
sUfficiently small,
d~tt) = ~~ + ~~ f(t,x(t),u(t),v( t»
+
+ h(t,x(t),u(t),v(t»
= ~(t,x(t»
=
+ H (~~ ( t , x ( t » , t , x( t ) , Uj , v ( t » ~
- 205 -
E. O.
s tr
~rr(tj,Xj
+?:U f. + H (.3''i(t j,X j),t j,X j) + T - to ~
)
6
~
Hencew(T)
~
w(t O)
T - to
+~,
U(T,x(T»
Roxin
or
+JT h(s,x,u,v) ds to
::s U(to'xo)
+2. ,
By (12) we get g(x(T»
+J:T h(s,x,u,v) ds to
~
U(to'xo ) + t.
As the left member is the payoff of this game, the desired result (13) follows as explained before. Theorem 2. Given the fixed time differential game (1), (2), (3'), (4), satisfying conditions (A), (B), and given a real valued function W(t,x), continuously differentiable in [O,T]x'Rn, such that (14)
+ 2>"'1 ~t + H (~x,t,x) ~ 0
oW
and W(T .x )
~
g(x),
then (16)
V+(t,x)
~
W(t,x).
The proof is similar to the previous one. With the aid of these two theorems it is possible to give upper and lower estimates of V+(t,x), Similar theorems can be given for V-(t,x).
- 206 -
E . O. Roxin ,
From these theorem it also follows that the functions Y+(t,x) and Y-(t,x) can be found by solving the "Hamilton-Jacobi" partial differential equation llY+
+ ,::;y+
~ + H
(17 )
(ux ,t,x) = 0,
C1Y- cY~ + H (~,t,x)
= 0,
with the "final value" condition (18)
= Y-(T,x) = g(x). H+(p,t,x) = H-(p.t,x),
V+(T,x) In the case
the well
known Isaacs equation results for the Value V(t,x) «(3J). 4. Differential game dynamical systems. We may consider the dynamics of a differential game, that is the differential equation (1) together with the admissible control sets U, Y, without specifying any terminal condition nor payoff. We may be interested to study, in some way, all possible developments of the game. This corresponds to the "attain.abl e set" approach in optimal control theory. Consider, for instance, the autonomous differential game x u(t) EO
U,
= f(x,u,v), vet) to
V,
(rr, V compact
sets)
under the same assumptions (A) as above. Assume that player "u" is interested in keeping
- 207 -
Eo O . Roxin
x(t) within some region A (not specified at this moment). The problem arises to find some regions A where this is
possf~le.
This is clearly a problem of positively
invariance of the set A, under the assumption that "u" wants it that way but "v" may be opposed. Related to invariant sets are problems concerning stability. In order to show that such a kind of problem may be reasonable and can be treated by methods strongly related to the second method of Liapunov, we give the following example which may also be phrased as a "u"-stability of the origin under the given conditions. Theorem 3. Consider the differential game dynamical system (19), satisfying conditions (A). Assume that x
=°is
a rest point, in the sense that there
are admissible controls, which we label as u such that f(O,O,O)
= 0,
v
= 0,
= 0.
Let there exist a positive definite C1-function U(x) such that in some neighborhood of x H+ (~~, x ) = o
min max ueLl'veV
[~ ~
f (x, u, v )]
Then, i f x(O) = 0, given any
c.>
= 0, ~ 0.
0, player "u"
can steer the system for any admissible v(t), in such a ''lay that for all t>-: 0, 1/ x( t) II~ e. • Here it should be understood that the "continuous" game is to be played as a ~/ game with 8 "sufficiently
- 208 -
E . O.
Roxin
small". The proof is an apllication of the ideas in the proof of theorem 1 . We first subdivide the half-l i ne
L0, co
°
) in a denumerable se t of intervals by the points
T1 < T2 < •..• In the first interval [ O, T1] we consider <,
if U(x( t))
= ~~
f(x,u,v).
As in the proof of theorem 1, we can show tha t giv en .."7 > 0, for sufficiently small c' '''' 0 ve can giv e a ('+
()
s trategy for player "u" such tha t
for any admissible control v (t ) . Next, in the interval [ T1 , T2 ] , f or a (new) suffic iently small S , there is a ~ +S tra te gy for player "u" such t hat U(X(T2)) - U(x(T 1))
<
~
•
Continuing this way, with YJ/2 k in the k-th interval, we obtain U(x( t)) < '7 for all t
~
O. As U(x) i s positive definite,
chosen such that this implies il x( t ) 1\ <: E.
~
can be
- 209 -
E . O.
Roxin
REFERENCES
L1J
A. Friedman, Differential Games, Wiley-Interscience New York, 1971.
[2 )
A. Friedman, Differential Games, Regional Conf. Series in Appl. fmth., SIAM Publ., . Philadelphia, 1974.
L3J
R. Isaacs, Differential Games, John Wiley, New York, 1965.
L4J
A. N. V. Rao, Comparison of differential games of fixed duration, SIAM J. Control 10 (1972), 393-397.
[5]
E. Roxin, Controllability in differential ga~es, Proc. Third Hawaii Conf. on Systemy Sci., (Bertil Granborg Ed.), Univ. of Hawaii, 1970.
~ 6~
E. Roxin, On differential games without Value, Proc. Symposium Amer. Autom. Control Council, J.A.C.C. - Georgia Inst. Technol., Atlanta, 1970,95-119.
