Spettroscopia atomica e processi radiativi (UNITEXT Collana di Fisica e Astronomia)

A Nadine e Vanessa Collana di Fisica e Astronomia A cura di: Michele Cini Stefano Forte Massimo Inguscio Guida Monta...

Author: Egidio Landi Degl’Innocenti

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A Nadine e Vanessa

Collana di Fisica e Astronomia

A cura di: Michele Cini Stefano Forte Massimo Inguscio Guida Montagna Oreste Nicrosini Franco Pacini Luca Peliti Alberto Rotondi

Egidio Landi Degl’Innocenti

Spettroscopia atomica e processi radiativi

123

EGIDIO LANDI DEGL’INNOCENTI Dipartimento di Astronomia e Scienza dello Spazio Università degli Studi di Firenze

Springer-Verlag fa parte di Springer Science+Business Media springer.com © Springer-Verlag Italia, Milano 2009 ISBN 978-88-470-1158-8

e-ISBN 978-88-470-1159-5

Quest’opera è protetta dalla legge sul diritto d’autore, e la sua riproduzione è ammessa solo ed esclusivamente nei limiti stabiliti dalla stessa. Le fotocopie per uso personale possono essere effettuate nei limiti del 15% di ciascun volume dietro pagamento alla SIAE del compenso previsto. Le riproduzioni per uso non personale e/o oltre il limite del 15% potranno avvenire solo a seguito di specifica autorizzazione rilasciata da AIDRO, Via Corso di Porta Romana n. 108, Milano 20122, e-mail [email protected] e sito web www.aidro.org. Tutti i diritti, in particolare quelli relativi alla traduzione, alla ristampa, all’utilizzo di illustrazioni e tabelle, alla citazione orale, alla trasmissione radiofonica o televisiva, alla registrazione su microfilm o in database, o alla riproduzione in qualsiasi altra forma (stampata o elettronica) rimangono riservati anche nel caso di utilizzo parziale. La violazione delle norme comporta le sanzioni previste dalla legge.

Riprodotto da copia camera-ready fornita dall’Autore Progetto grafico della copertina: Simona Colombo, Milano In copertina: immagine adattata dall’originale di N.A. Sharp, NOAO/AURA/NSF Stampa: Grafiche Porpora, Segrate, Milano Stampato in Italia Springer-Verlag Italia s.r.l., Via Decembrio, 28 - 20137 Milano

Prefazione Questo libro raccoglie le dispense del corso da me tenuto ininterrottamente, per pi` u di 25 anni, presso il Corso di Laurea in Fisica (poi divenuto Corso di Laurea Magistrale in Scienze Fisiche e Astroﬁsiche) dell’Universit` a di Firenze. Col passare degli anni le dispense, inizialmente manoscritte, si sono notevolmente ampliate mano a mano che il programma del corso `e cambiato per rivolgersi ad argomenti diversi, come richiesto, anno per anno, dalla programmazione didattica del Corso di Studi. Negli ultimi anni, grazie a un notevole sforzo di revisione e di aggiustamento, le dispense hanno ﬁnalmente assunto la veste editoriale adeguata che si trova adesso sotto gli occhi del lettore. Il corso, inizialmente denominato “Spettroscopia” e in seguito, a partire dal 1997, “Spettroscopia Astronomica”, `e attualmente rivolto agli studenti del curriculum Astroﬁsico del Corso di Laurea suddetto sebbene, nel corso del tempo, abbia ricevuto anche l’attenzione di studenti appartenenti ad altri curricula, in particolare quelli di Fisica dello Stato Solido interessati alla spettroscopia atomica. Gli argomenti trattati sono molteplici e l’intero volume contiene materiale suﬃciente per almeno due corsi annuali (di secondo livello o di Dottorato). Selezionando opportunamente gli argomenti, `e possibile sviluppare un certo numero di percorsi didattici diversi. Ad esempio, volendo sviluppare un corso del tipo “Complementi di Elettromagnetismo e Termodinamica”, ci si potrebbe limitare a trattare gli argomenti contenuti nei Cap. 1, 2, 3 e 10, per un corso di “Spettroscopia Atomica Elementare” sarebbero suﬃcienti i Cap. 1, 2 e 6, mentre per un corso pi` u approfondito di “Spettroscopia Atomica” si potrebbero aggiungere anche i Cap. 4, 5, 7, e 9. Altre possibilit` a potrebbero riguardare corsi del tipo “Processi Radiativi”, “Spettroscopia Astronomica” oppure “Applicazioni di Elettrodinamica Quantistica”, adattando il programma a seconda dei casi. Lo schema mostrato nella ﬁgura di pagina seguente illustra la relazione logica fra i diversi capitoli e pu` o facilitare nella scelta del percorso didattico voluto. Ad esempio, la comprensione degli argomenti contenuti nel Cap. 15 (processi del secondo ordine) implica la conoscenza di quelli contenuti nel Cap. 3 (in cui si trattano i pi` u semplici di tali processi nell’ambito della ﬁsica classica), nel Cap. 5 (in cui si introduce l’equazione relativistica di Dirac) e nel Cap. 11 (dedicato all’interazione materia-radiazione). I capitoli per cos`ı dire “introduttivi”, ovvero i Cap. 1, 5, 6 e 10 richiedono quelle conoscenze di base di elettromagnetismo, meccanica quantistica, relativit` a speciale e termodinamica statistica che sono normalmente acquisite a livello di Laurea Triennale. Ai lettori che si sentissero meno preparati su tali argomenti, questo libro oﬀre la possibilit`a di approfondire il loro bagaglio culturale per mezzo di applicazioni ﬁsiche di-

viii

PREFAZIONE

1

2

4

6

5

11

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9

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3

8

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15

Lo schema illustra le relazioni logiche esistenti fra i vari capitoli del libro.

rette che possono contribuire a rendere meno aridi gli argomenti stessi, spesso trattati a livello notevolmente formale. Le Appendici costituiscono una parte non trascurabile di questo libro. Alcune di esse sono dedicate a sviluppare importanti risultati che emergono come complementi naturali degli argomenti trattati nel testo. Altre sono invece rivolte a introdurre in maniera assiomatica il formalismo utilizzato nel testo stesso. Per ﬁnire, intendo ringraziare i docenti del Corso di Laurea in Fisica ﬁorentino degli anni 1960 che mi hanno insegnato come il cammino maestro della Fisica passi sempre per l’interpretazione quantitativa dei fenomeni empirici senza eccessive indulgenze nei riguardi del formalismo. In particolare i miei ringraziamenti vanno ai defunti Prof. Manlio Mand` o e Simone Franchetti e ai Prof. Marco Ademollo e Giuliano Toraldo di Francia. Un sentito ringraziamento anche alle generazioni di studenti che si sono succeduti negli anni e che, con le loro illuminanti domande e richieste di chiarimento, hanno contribuito in maniera determinante alla presente stesura di questo libro. Arcetri, 26 Gennaio 2009

Egidio Landi Degl’Innocenti

Indice

1. LEGGI GENERALI DEL CAMPO ELETTROMAGNETICO 1.1 Le equazioni di Maxwell 1 1.2 Energia trasportata dal campo elettromagnetico 2 1.3 Quantit` a di moto trasportata dal campo elettromagnetico 3 1.4 Potenziali elettromagnetici 5 1.5 Invarianza di gauge (di calibro) 6 1.6 Soluzione delle equazioni di Maxwell nel vuoto 8 1.7 Pressione della radiazione 12 1.8 Onde piane sinusoidali 14 2. SPETTRO E POLARIZZAZIONE 2.1 Spettro della radiazione 2.2 Spettri particolari di alcune forme d’impulso 2.3 Spettri di segnali stocastici e di segnali periodici 2.4 Spettroscopio a reticolo di diﬀrazione 2.5 Polarizzazione di un’onda monocromatica 2.6 Misure spettropolarimetriche 2.7 Propriet` a dei parametri di Stokes

17 22 24 29 35 39 44

3. RADIAZIONE DI CARICHE ELETTRICHE IN MOTO 3.1 Potenziali elettromagnetici dovuti a cariche e correnti 3.2 I potenziali di Li´enard e Wiechart 3.3 Campo elettromagnetico di una carica in moto 3.4 Irraggiamento di una carica in moto 3.5 La diﬀusione Thomson 3.6 La diﬀusione Rayleigh 3.7 La radiazione di frenamento 3.8 La radiazione di ciclotrone 3.9 La radiazione di sincrotrone 3.10 Sviluppo multipolare nella zona di radiazione 3.11 Diagramma di radiazione per le componenti multipolari

49 55 58 63 68 71 72 79 81 87 92

4. QUANTIZZAZIONE DEL CAMPO ELETTROMAGNETICO 4.1 Oscillatore armonico, operatori di creazione e distruzione 97 4.2 Sviluppo del campo elettromagnetico in serie di Fourier 101 4.3 Passaggio alla quantizzazione 104 4.4 Intensit`a e fotoni 109

x

INDICE

5. EQUAZIONI D’ONDA RELATIVISTICHE 5.1 Equazione di Dirac per la particella libera 5.2 Equazione di Dirac per l’elettrone in un campo elettromagnetico 5.3 Limite non relativistico dell’equazione di Dirac 5.4 Limite all’ordine zero. Equazione di Pauli 5.5 Limite al primo ordine 5.6 L’equazione di Dirac descrive una particella di spin 21 5.7 Soluzione dell’equazione di Dirac in un campo magnetico

113 119 121 123 126 129 132

6. ATOMI CON UN SOLO ELETTRONE DI VALENZA 6.1 Atomo di Idrogeno, teoria di Bohr 6.2 L’equazione di Schr¨ odinger in coordinate sferiche 6.3 Atomo di Idrogeno, teoria quantistica 6.4 Atomo di Idrogeno, correzioni relativistiche 6.5 Spettri dei metalli alcalini

137 145 153 159 165

` ELETTRONI DI VALENZA 7. ATOMI CON PIU 7.1 Il principio di esclusione di Pauli 7.2 L’Hamiltoniana non relativistica: buoni numeri quantici 7.3 L’approssimazione del campo centrale 7.4 Il metodo di Thomas-Fermi 7.5 Il metodo variazionale e il metodo di Hartree-Fock 7.6 Conﬁgurazioni 7.7 Il principio di formazione del sistema periodico 7.8 Conﬁgurazioni di elettroni eccitati 7.9 Richiami della teoria del momento angolare 7.10 Termini provenienti da conﬁgurazioni assegnate 7.11 Le autofunzioni dell’Hamiltoniana non relativistica 7.12 L’atomo di Elio 7.13 L’atomo di Carbonio

171 175 178 179 183 188 191 195 196 204 212 214 218

8. ENERGIE DEI TERMINI 8.1 La regola della traccia 8.2 Calcolo di elementi di matrice diagonali 8.3 Elementi di matrice di particella singola 8.4 Elementi di matrice dell’interazione Coulombiana 8.5 Somme su sottozone chiuse 8.6 Struttura dei termini

221 224 229 230 233 236

9. MAGGIORI DETTAGLI SUGLI SPETTRI 9.1 L’interazione spin-orbita 9.2 Il teorema di Wigner-Eckart e il teorema della proiezione

239 242

INDICE

9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9

La regola degli intervalli di Land´e L’accoppiamento j-j e l’accoppiamento intermedio L’eﬀetto Zeeman classico L’eﬀetto Zeeman quantistico L’eﬀetto Paschen-Back La struttura iperﬁne, eﬀetto isotopico La struttura iperﬁne, eﬀetto di spin nucleare

xi 246 252 255 257 263 266 270

10. LEGGI DI EQUILIBRIO TERMODINAMICO 10.1 I principi della statistica 10.2 La distribuzione Maxwelliana delle velocit`a 10.3 La legge di Saha-Boltzmann 10.4 La radiazione di corpo nero 10.5 Propriet` a della radiazione di corpo nero 10.6 La statistica di Fermi-Dirac 10.7 La statistica di Bose-Einstein

273 277 279 285 291 295 297

11. INTERAZIONE FRA MATERIA E RADIAZIONE 11.1 L’Hamiltoniana d’interazione 11.2 Le equazioni cinetiche 11.3 La regola aurea di Fermi 11.4 L’elemento di matrice 11.5 Processi elementari 11.6 Le equazioni dell’equilibrio statistico 11.7 I coeﬃcienti di Einstein 11.8 L’equazione del trasporto radiativo 11.9 I coeﬃcienti di assorbimento e di emissione 11.10 Proﬁlo del coeﬃciente di emissione

301 303 307 309 312 319 322 324 326 330

12. REGOLE DI SELEZIONE E FORZE DELLE RIGHE 12.1 Regole di selezione sui numeri quantici 12.2 Regole di selezione sulle conﬁgurazioni 12.3 Transizioni proibite 12.4 Transizioni semiproibite 12.5 Righe proibite in oggetti astronomici 12.6 Forze relative entro multipletti in accoppiamento L-S

337 339 342 344 345 349

13. PLASMI IN CONDIZIONI DI NON-EQUILIBRIO 13.1 La temperatura cinetica degli elettroni 13.2 Collisioni elettrone-atomo 13.3 Le relazioni di Milne-Einstein 13.4 L’atomo a due livelli in condizioni di non-equilibrio

355 357 359 360

xii

INDICE

14. TRASPORTO RADIATIVO 14.1 Soluzione formale dell’equazione del trasporto radiativo 14.2 Trasporto radiativo nelle atmosfere stellari 14.3 Il modello di atmosfera grigia 14.4 L’equazione di Hopf 14.5 Modelli realistici di atmosfere stellari 14.6 Lo spettro continuo 14.7 Righe spettrali in equilibrio termodinamico locale 14.8 Righe spettrali in condizioni di non equilibrio

363 366 370 375 376 378 382 385

15. PROCESSI DEL SECONDO ORDINE 15.1 Considerazioni introduttive 15.2 La diﬀusione Thomson (teoria quantistica) 15.3 La diﬀusione Rayleigh quantistica e la diﬀusione Raman 15.4 La diﬀusione Compton: aspetti cinematici 15.5 La diﬀusione Compton: aspetti dinamici 15.6 L’equazione di Klein-Nishina 15.7 La sezione d’urto totale della diﬀusione Compton 15.8 Propriet` a di polarizzazione della diﬀusione Compton 15.9 Scambio di energia fra fotoni ed elettroni 15.10 L’eﬀetto Compton inverso

389 393 398 400 403 410 418 419 422 424

APPENDICI A.1 Unit`a di misura dell’elettromagnetismo A.2 Algebra tensoriale A.3 La funzione delta di Dirac A.4 Le leggi dell’elettromagnetismo ritrovate A.5 L’equazione di Larmor nel caso relativistico A.6 Irraggiamento di onde gravitazionali A.7 Calcolo dell’integrale di Thomas-Fermi A.8 Energia della conﬁgurazione normale dell’atomo di Silicio A.9 Calcolo della costante di struttura ﬁne di un termine A.10 Il principio fondamentale della termodinamica statistica A.11 Probabilit` a di transizione per le coerenze A.12 Somme sui numeri quantici magnetici A.13 Calcolo di un elemento di matrice A.14 Invarianza di gauge nell’Elettrodinamica Quantistica A.15 Le matrici gamma e gli invarianti relativistici

427 435 442 444 447 451 454 455 457 459 462 465 468 469 471

COSTANTI FISICHE

481

INDICE ANALITICO

483

Capitolo 1

Leggi generali del campo elettromagnetico Le equazioni di Maxwell racchiudono i principali risultati sperimentali sull’elettricit`a e il magnetismo, ottenuti fra la ﬁne del XVIII e la met`a del XIX secolo grazie al lavoro di ricerca di numerosi scienziati quali, fra gli altri, Coulomb, Volta, Ørsted, Amp`ere, Faraday e Gauss. Lo scopo di questo capitolo `e quello di riprendere tali equazioni e di svilupparne una serie di conseguenze particolarmente rilevanti per la comprensione dei fenomeni elettromagnetici. In particolare, vedremo come le equazioni di Maxwell implicano la possibilit` a di deﬁnire per il campo elettromagnetico due quantit` a ﬁsiche fondamentali quali la densit` a di energia e la densit`a di quantit` a di moto (o di impulso). Vedremo anche come la soluzione delle equazioni di Maxwell possa essere notevolmente sempliﬁcata mediante l’introduzione di due potenziali, il potenziale scalare e il potenziale vettore, di cui studieremo le principali propriet` a. L’ultima parte del capitolo `e dedicata allo studio delle onde elettromagnetiche piane, una soluzione particolare delle equazioni di Maxwell nel vuoto.

1.1 Le equazioni di Maxwell Nel sistema di unit`a c.g.s. di Gauss, consistentemente utilizzato in tutto questo volume, le equazioni di Maxwell, che riassumono varie leggi empiriche relative ai fenomeni elettromagnetici, si scrivono nella forma 1 = 4πρ , divE

(1.1)

=0 , divB

(1.2)

4π 1 ∂E = j , (1.3) c ∂t c + 1 ∂B = 0 , (1.4) rotE c ∂t `e il campo elettrico e B `e il vettore induzione magnetica, ρ `e la densit` dove E a di carica e j `e la corrispondente densit` a di corrente. La prima equazione non − rotB

1

Il lettore che non sia familiare con il sistema di unit` a qui utilizzato pu` o trovare nell’App. 1 le relazioni che sussistono fra questo sistema e il Sistema Internazionale, pi` u appropriato per le applicazioni pratiche dell’elettromagnetismo piuttosto che per quelle teoriche.

2

CAPITOLO 1

`e altro che l’espressione diﬀerenziale della legge di Coulomb per le cariche elettriche, la seconda, talvolta detta legge di Gilbert, `e l’analoga espressione per le cosiddette cariche magnetiche, implementata dal fatto che non esistono monopoli magnetici, la terza `e l’espressione diﬀerenziale della legge di Amp`ere, cos`ı come modiﬁcata da Maxwell per tener conto della corrente di spostamento, e la quarta `e inﬁne l’espressione diﬀerenziale della legge dell’induzione di Faraday. Nella forma qui scritta le equazioni sono del tutto generali, nel senso che esse valgono non solo nel vuoto ma anche in presenza di un mezzo materiale pur di introdurre, nella densit` a di carica ρ, anche le cariche di polarizzazione e, nella densit` a di corrente j, anche le correnti di magnetizzazione e quelle di polarizzazione. Pi` u precisamente, nei mezzi materiali si introducono, accanto ai e B, anche i vettori D e H, detti rispettivamente spostamento elettrico vettori E ` `e il vettore campo elettrico e campo magnetico. E necessario speciﬁcare che E misurato entro una cavit` a aghiforme diretta lungo la direzione del campo stesso `e il vettore (per evitare la formazione di cariche di polarizzazione), mentre B campo magnetico misurato entro una cavit`a di spessore inﬁnitesimo disposta perpendicolarmente alle linee di forza (per evitare la formazione di correnti di magnetizzazione). C’`e da notare inﬁne che le equazioni di Maxwell gi`a contengono l’equazione di continuit`a per la carica elettrica. Infatti, prendendo la divergenza dell’Eq. (1.3) e sostituendo l’Eq. (1.1), si ottiene −

4π ∂ρ 4π = divj , c ∂t c

ovvero, ∂ρ + divj = 0 , ∂t che `e l’equazione di continuit`a esprimente la conservazione della carica elettrica.

1.2 Energia trasportata dal campo elettromagnetico Consideriamo un sistema di cariche e correnti soggette esclusivamente a interazioni di carattere elettromagnetico. Se si indica con W l’energia meccanica per unit` a di volume, si ha, ricordando che le forze magnetiche non compiono lavoro, ∂W . = j · E ∂t Ricavando j dall’Eq. (1.3) si ottiene

LEGGI GENERALI DEL CAMPO ELETTROMAGNETICO

3

∂W c − 1 E · ∂E , = E · rotB ∂t 4π 4π ∂t e sottraendo al secondo membro l’Eq. (1.4) moltiplicata scalarmente per il vettore cB/(4π), si ha ∂W c − c B · rotE − 1 E · ∂E − 1 B · ∂B . = E · rotB ∂t 4π 4π 4π ∂t 4π ∂t Ricordando inﬁne l’identit` a vettoriale (si veda l’App. 2, Eq. (A2.4)) × B) =B · rotE −E · rotB , div(E si pu` o scrivere ∂ =0 , (W + u) + divS ∂t dove u=

1 (E 2 + B 2 ) , 8π

= c E ×B . S 4π

Questa equazione, detta teorema di Poynting, rappresenta un bilancio energetico e si interpreta dicendo che il campo elettromagnetico possiede un’energia per unit` a di volume data da u e che, inoltre, esso trasporta energia lungo la Il modulo di questo vettore d`a la densit` direzione individuata dal vettore S. a di ﬂusso dell’energia, ovvero l’energia che ﬂuisce, per unit` a di tempo, attraverso l’unit` a di superﬁcie disposta normalmente alla direzione del vettore stesso. Il `e detto vettore di Poynting. vettore S

1.3 Quantit` a di moto trasportata dal campo elettromagnetico la quantit` Indichiamo con Q a di moto per unit` a di volume del medesimo sistema di cariche e correnti considerato nel paragrafo precedente. Tale quantit` a di moto varia nel tempo secondo l’equazione ∂Q + j × B , = ρE ∂t c dove il primo termine del secondo membro `e dovuto alla forza elettrica, mentre il secondo termine `e dovuto alla forza di Lorentz. Eliminando ρ e j attraverso le Eq. (1.1) e (1.3), si ha

4

CAPITOLO 1

∂Q 1 )×B − 1 ∂E × B , + 1 (rotB = E divE ∂t 4π 4π 4πc ∂t ovvero, ricordando la deﬁnizione del vettore di Poynting ∂Q 1 )×B − 1 ∂S + 1 E + 1 (rotB × ∂B . = E divE ∂t 4π 4π c2 ∂t 4πc ∂t Sostituiamo adesso il termine ∂ B/∂t attraverso l’Eq. (1.4) e ricordiamo che divB = 0 (Eq. (1.2)); si ottiene cos`ı la formula simmetrica

∂ ∂t

+ S Q c2

=

1 +B divB −E × rotE −B × rotB ) , (E divE 4π

e per mezzo dell’identit` a vettoriale div(a a ) −

1 grad(a2 ) = a diva − a × rota , 2

deducibile per mezzo delle Eq. (A2.8) e (A2.9) dell’App. 2, si ottiene ∂ S 1 E +B B ) − 1 grad(E 2 + B 2 ) . Q+ 2 = div(E ∂t c 4π 8π Introduciamo adesso il tensore T, detto tensore di Maxwell, deﬁnito dall’espressione T=

1 B ) − 1 (E 2 + B 2 ) U , (E E + B 4π 8π

dove U `e il tensore unitario (Uij = δij ). In componenti si ha Tij = Tji =

1 1 (Ei Ej + Bi Bj ) − (E 2 + B 2 ) δij . 4π 8π

Ricordando l’identit` a tensoriale (si veda l’Eq. (A2.10)) div(f T) = (gradf ) · T + f divT , (dove f `e uno scalare arbitrario e T un tensore arbitrario), e la relazione v · U = U · v = v , (dove v `e un vettore arbitrario), si ottiene inﬁne 1 ∂ Q + 2 S = divT . ∂t c

LEGGI GENERALI DEL CAMPO ELETTROMAGNETICO

5

Questa equazione rappresenta un bilancio di impulso. Essa si interpreta dicendo che il campo elettromagnetico possiede una quantit` a di moto per unit` a 2 . Inoltre, il campo elettromagnetico si comporta di volume data dal vettore S/c come un mezzo materiale elastico soggetto a deformazioni, nel cui interno, come `e noto, si sviluppano delle forze descritte dal cosiddetto tensore degli sforzi. La variazione nell’unit` a di tempo della quantit` a di moto contenuta entro un volume arbitrario `e uguale al ﬂusso del tensore −T attraverso una superﬁcie che racchiude il volume stesso. Se si considera una superﬁcie inﬁnitesima dS caratterizzata dal versore normale n, la quantit` a dF = −n · T dS rappresenta il ﬂusso di quantit` a di moto attraverso il dS (deﬁnito positivamente se diretto lungo n).

1.4 Potenziali elettromagnetici Tenendo presente l’Eq. (1.2), e ricordando che la divergenza del rotore di un vettore arbitrario `e identicamente nulla, il campo magnetico2 pu` o essere fatto detto potenziale vettore, attraverso discendere da un opportuno potenziale A, l’equazione = rotA . B Sostituendo questo risultato nell’Eq. (1.4), si ha

+ 1 ∂A rot E c ∂t

=0 ,

e ricordando che il rotore del gradiente di un vettore arbitrario `e nullo, possiamo introdurre il potenziale scalare φ scrivendo = −gradφ − 1 ∂ A . E c ∂t e di E nelle equazioni di Maxwell non omogenee. Sostituiamo questi valori di B Dall’Eq. (1.3) si ha )+ 1 ∂ rot(rotA c ∂t 2

1 ∂A gradφ + c ∂t

= 4π

j , c

si dovrebbe parlare pi` Riferendosi al vettore B u propriamente di “induzione magnetica” invece che di “campo magnetico”. In eﬀetti, `e ormai invalso l’uso, quando questo non comporta come al campo magnetico. equivoci, di riferirsi a B

6

CAPITOLO 1

ovvero, per mezzo dell’identit` a vettoriale (A2.11) j 1 ∂φ 1 ∂2A = −4π . ∇ A − 2 2 − grad divA + c ∂t c ∂t c 2

Dall’Eq. (1.1) si ha poi ∇2 φ +

1 ∂ = −4π ρ , divA c ∂t

un’equazione che pu` o anche essere scritta nella forma 1 ∂φ 1 ∂2φ 1 ∂ 2 ∇ φ− 2 2 + divA + = −4π ρ . c ∂t c ∂t c ∂t Il sistema formato da queste due ultime equazioni permette, in linea di prin e φ (e quindi i campi E eB ), una volta note cipio, di ricavare i potenziali A e φ possono esρ e j e le condizioni al contorno. Vedremo comunque che A sere sottoposti a una condizione supplementare che permette di sempliﬁcare notevolmente le equazioni cui sono soggetti.

1.5 Invarianza di gauge (di calibro) e φ determinano univocamente i campi elettrico e magnetico; I potenziali A e φ che danno luogo agli stessi valori per tuttavia, esistono diverse funzioni A E e B. Infatti, se si eseguono le seguenti sostituzioni − gradχ , →A = A A

(1.5)

1 ∂χ , (1.6) c ∂t dove χ `e una funzione arbitraria delle coordinate e del tempo, si ottiene, per i e B , nuovi campi E φ → φ = φ +

= rot(A − gradχ) = rotA =B , B e, analogamente, 1 ∂ 1 ∂χ . − (A − gradχ) = E E = −grad φ + c ∂t c ∂t Questa propriet`a viene detta invarianza di gauge (di calibro) e pu` o essere convenientemente sfruttata mediante un’opportuna scelta della funzione χ.

LEGGI GENERALI DEL CAMPO ELETTROMAGNETICO

7

0 e φ0 siano i potenziali vettore e scalare che danno Supponiamo infatti che A luogo ai campi E e B che siamo interessati a calcolare a partire da una distribuzione assegnata di cariche e correnti e da opportune condizioni al contorno. Consideriamo allora la trasformazione di gauge =A 0 − gradχ , A 1 ∂χ . c ∂t Se si sceglie la funzione χ in modo da soddisfare l’equazione φ = φ0 +

∇2 χ −

1 ∂2χ 0 + 1 ∂φ0 , = divA c2 ∂t2 c ∂t

si ha 1 ∂φ =0 . (1.7) c ∂t Quando si scelgono i potenziali in modo che soddisﬁno a questa equazione, e φ divengono si dice che si adotta il gauge di Lorenz3 e le equazioni per A + divA

− ∇2 A

j 1 ∂2A = −4π , 2 2 c ∂t c

(1.8)

1 ∂2φ = −4π ρ . (1.9) c2 ∂t2 In assenza di cariche libere, le cose possono essere ulteriormente sempliﬁcate 0 e φ0 siano mediante un’ulteriore trasformazione di gauge. Supponiamo che A una coppia di potenziali elettromagnetici che gi` a soddisfano il gauge di Lorenz. Se eseguiamo una trasformazione di gauge, `e necessario, per rimanere entro il gauge di Lorenz, che la funzione χ soddisﬁ l’equazione ∇2 φ −

1 ∂2χ =0 . c2 ∂t2 D’altra parte, in assenza di cariche elettriche, il potenziale φ0 soddisfa l’equazione ∇2 χ −

∇2 φ0 − 3

1 ∂ 2 φ0 =0 , c2 ∂t2

Il ﬁsico danese L.V. Lorenz (1829-1891) non deve essere confuso col pi` u famoso ﬁsico olandese H.A. Lorentz (1853-1928), noto soprattutto per le trasformazioni e per la forza che ne portano il nome. Entrambi i ﬁsici, quasi contemporanei, sono ricordati insieme per un’equazione che viene detta di Lorentz-Lorenz la quale collega l’indice di rifrazione di un mezzo materiale al coeﬃciente di polarizzabilit` a delle molecole che lo compongono.

8

CAPITOLO 1

che `e la stessa equazione soddisfatta da χ e quindi anche da ∂χ/∂t. Scegliendo quindi la funzione χ in modo che −

1 ∂χ = φ0 , c ∂t

`e possibile fare in modo che il nuovo potenziale scalare sia φ=0 ,

(1.10)

col che la condizione di Lorenz risulta semplicemente =0 . divA

(1.11)

Un altro gauge particolarmente interessante `e il gauge di Coulomb che si ottiene scegliendo una funzione χ tale da soddisfare l’equazione 0 , ∇2 χ = divA 0 `e, al solito, il potenziale vettore che interessa calcolare. Con questa dove A trasformazione di gauge si ottiene =0 , divA e φ risultano e le equazioni per A − ∇2 A

∂φ j 1 1 ∂2A , = −4π + grad 2 2 c ∂t c c ∂t ∇2 φ = −4π ρ .

Questo gauge ha il vantaggio che il potenziale scalare coincide con quello (istantaneo) dell’elettrostatica, anche nel caso di fenomeni non stazionari che comportano la presenza di cariche e correnti variabili nel tempo.

1.6 Soluzione delle equazioni di Maxwell nel vuoto Consideriamo una regione dello spazio priva di cariche e di correnti. Come abbiamo visto nel paragrafo precedente, nel gauge di Lorenz possiamo porre φ = 0 dimodoch´e il campo elettromagnetico resta descritto dal solo potenziale vettore che obbedisce all’equazione − ∇2 A

1 ∂2A =0 , 2 2 c ∂t

LEGGI GENERALI DEL CAMPO ELETTROMAGNETICO

9

con la condizione supplementare del gauge di Lorenz (nel vuoto) =0 . divA Supponiamo che il campo elettromagnetico dipenda da una sola coordinata, che immedesimiamo con l’asse z di un sistema di riferimento cartesiano ortogonale. La prima equazione diviene 1 ∂2A ∂2A − =0 . ∂z 2 c2 ∂t2 Questa equazione, che viene detta comunemente equazione delle onde, ammette la soluzione generale t) = A p (z − c t) + A r (z + c t) , A(z, p e A r sono funzioni (vettoriali) arbitrarie del loro argomento. I due dove A termini a secondo membro rappresentano onde piane che si propagano rispettivamente lungo la direzione positiva e negativa dell’asse z (onde progressive e regressive) con velocit`a c. Se ﬁssiamo l’attenzione, ad esempio, sulle onde descritte dal primo termine del secondo membro, ovvero se ammettiamo che sia t) = A p (z − c t) , A(z, si vede immediatamente che, ﬁssato un tempo t, il potenziale vettore `e costante su un qualsiasi piano z = costante. Inoltre, il valore del potenziale vettore che si trova al tempo t0 nel piano z = z0 si sposta, nel tempo dt, di una quantit` a dz tale che z0 − c t0 = (z0 + dz) − c (t0 + dt) , ovvero dz = c dt . Questo giustiﬁca la denominazione di onda piana progressiva data alla pro p (z − c t). (Analogamente si pu` pagazione descritta dal potenziale vettore A o r (z + c t) descrive un’onda regressiva). mostrare che il potenziale vettore A Generalizzando i risultati precedenti, supponiamo adesso che la propagazione avvenga lungo una direzione caratterizzata dal versore n. Abbiamo allora r , t) = a(f ) , A( dove la quantit` a f , detta fase dell’onda, `e data da f = n · r − c t ,

10

CAPITOLO 1

r essendo la distanza del punto generico dall’origine del sistema di riferimento, e a essendo una funzione (vettoriale) arbitraria di f . Applicando la condizione di Lorenz (Eq. (1.11)), si ha div[ a(f ) ] = a (f ) · n = 0 ,

(1.12)

dove si `e tenuto conto che ⎛ ⎞ ∂f ∂ ⎝ = nj xj ⎠ = ni , ∂xi ∂xi j e dove si `e introdotta la notazione a (f ) per designare la derivata del vettore a(f ) rispetto al proprio argomento a (f ) =

d a(f ) . df

Integrando l’Eq. (1.12) rispetto a f ottiene a(f ) · n + a0 · n = 0 , dove a0 `e un vettore costante, indipendente cio`e da r e da t, che possiamo uguagliare a zero per mezzo di un’opportuna trasformazione di gauge (si applichi l’Eq. (1.5) scegliendo per χ la funzione a0 · r ). Si ha quindi a(f ) · n = 0 , il che signiﬁca che il potenziale vettore che descrive l’onda piana `e perpendicolare alla direzione di propagazione. eB associati all’onda. Con semplici passaggi Consideriamo adesso i vettori E si ottiene = rot[ a(f ) ] = n × a (f ) , B = − 1 ∂ a(f ) = a (f ) . E c ∂t eB sono entrambi perpendicolari Si ottiene quindi il risultato che i vettori E alla direzione di propagazione e che, inoltre = n × E , B

LEGGI GENERALI DEL CAMPO ELETTROMAGNETICO

11

E

n

B eB formano, in quest’ordine, una terna destra. Fig. 1.1. I vettori n, E

il che signiﬁca che i due vettori sono perpendicolari fra loro e tali da formare B ), come si vede nella Fig. 1.1 con n una terna destrorsa4 (nell’ordine n, E, L’energia elettrica e magnetica trasportate dall’onda sono uguali fra loro (in quanto E 2 = B 2 ); la densit` a totale di energia elettromagnetica `e data da u=

1 2 1 (E 2 + B 2 ) = E , 8π 4π

mentre il vettore di Poynting risulta = c E ×B = c E 2 n . S 4π 4π Confrontando le due formule precedenti e ricordando che il modulo del vettore di Poynting rappresenta l’energia che ﬂuisce per unit` a di tempo attraverso l’unit` a di superﬁcie disposta perpendicolarmente al versore n, ne risulta che l’energia si propaga con la velocit` a c. Per la densit` a di quantit` a di moto si ha poi g =

S u E2 n = n , = 2 c 4π c c

da cui si vede che la densit`a di quantit` a di moto `e diretta lungo la direzione di propagazione dell’onda ed `e pari alla densit` a di energia divisa per c. Questo `e un importante risultato classico che si traduce in meccanica quantistica nella relazione E = c p che collega l’energia E all’impulso p di un fotone. 4

B) sia destrorsa e non sinistrorsa `e connesso con le convenzioni Il fatto che la terna ( n, E, che sono state storicamente stabilite per individuare i segni delle cariche elettriche e delle masse magnetiche. Si ricordi che la carica elettrica positiva (negativa) `e quella che si deposita per stroﬁnio su una bacchetta di vetro (di ebanite), mentre la massa magnetica positiva (negativa) ` e quella che viene attratta dal polo Nord (polo Sud) terrestre.

12

CAPITOLO 1

Il ﬂusso della quantit` a di moto si pu` o poi calcolare attraverso il tensore di Maxwell. Per tale ﬂusso, valutato attraverso l’unit` a di superﬁcie disposta perpendicolarmente alla direzione di propagazione, si ha F (n ) = −n · T . · n = B · n = 0, si ottiene Sostituendo l’espressione di T e tenendo conto che E 1 2 F (n ) = E n . 4π Pi` u in generale, possiamo calcolare il ﬂusso di quantit` a di moto attraverso una superﬁcie unitaria diretta perpendicolarmente alla direzione individuata dal versore arbitrario n . Si ha F (n ) = −n · T , e, sostituendo 1 E2 + B2 (n · E) E + (n · B) B − n . F (n ) = − 4π 2 eB formano una terna ortogonale, si pu` Tenendo conto che n, E, o scrivere n = (n · n ) n +

E B (n · E) (n · B) + , E2 B2

per cui, essendo E 2 = B 2 , si ottiene 1 2 E (n · n ) n , F (n ) = 4π ovvero il ﬂusso `e sempre diretto lungo la direzione di propagazione ma contiene il fattore di proiezione (n · n) = cosθ, dove θ `e l’angolo deﬁnito nella Fig. 1.2.

1.7 Pressione della radiazione Consideriamo un’onda piana che si propaghi lungo la direzione n e supponiamo che essa incida sulla superﬁcie dS di un corpo perfettamente assorbente orientata come in Fig. 1.2. La superﬁcie dS assorbe, nel tempo dt, una quantit` a di moto d q data da E2 d q = F (n ) dS dt = (n · n) n dS dt , 4π la cui proiezione lungo la direzione perpendicolare all’elemento di superﬁcie risulta

LEGGI GENERALI DEL CAMPO ELETTROMAGNETICO

13

n’ θ

n dS

onda piana Fig. 1.2. Un’onda elettromagnetica piana incide su una superﬁcie elementare. Il ﬂusso della quantit` a di moto ` e diretto lungo n.

d q · n =

E2 E2 (n · n)2 dS dt = cos2 θ dS dt . 4π 4π

Questo trasferimento di quantit` a di moto si manifesta come una pressione5 (pressione di radiazione) che vale Prad =

E2 d q · n = cos2 θ = u cos2 θ , dS dt 4π

(1.13)

dove u `e la densit`a di energia. Il risultato cos`ı ottenuto vale per una superﬁcie perfettamente assorbente. Nel caso di una superﬁcie perfettamente riﬂettente bisogna tener conto che la quantit` a di moto trasferita `e doppia, dimodoch´e il secondo membro della formula precedente deve essere moltiplicato per un fattore 2. La pressione esercitata dalla luce su una superﬁcie fu rivelata sperimentalmente da Lebedev nel 1901 mediante una delicata esperienza attraverso la quale riusc`ı a mostrare, entro gli errori sperimentali, la correttezza del valore teorico previsto dalle equazioni di Maxwell. In ambito astroﬁsico, oggi sappiamo che la pressione di radiazione ha importanza fondamentale negli interni delle stelle calde e quale meccanismo di accelerazione di venti stellari. A livello di astronautica esistono alcuni progetti di navicelle spaziali che sfruttano la pressione esercitata dalla radiazione solare come mezzo di propulsione verso l’esterno del sistema solare (vele cosmiche). 5

Eﬀettivamente, nel caso schematizzato in ﬁgura si ha anche una forza di taglio, oltre che una forza perpendicolare alla superﬁcie. Le forze di taglio si elidono quando la superﬁcie `e investita da radiazione isotropa, caso in cui il fattore cos 2 θ dell’Eq. (1.13) assume il valore 1/3, pari alla sua media sull’angolo solido.

14

CAPITOLO 1

1.8 Onde piane sinusoidali Un tipo particolarmente importante di onde piane `e l’onda piana sinusoidale che `e descritta da un potenziale vettore della forma

r , t) = A 0 cos ω (n · r − c t) + ϕ , A( c 0 e ϕ sono due costanti che prendono rispettivamente il nome di amdove A piezza e fase dell’onda, ω `e la cosiddetta frequenza angolare, e n `e il versore che individua la direzione di propagazione. L’espressione di sopra pu` o anche essere scritta (in maniera del tutto equivalente) sotto varie forme diverse introducendo, volta per volta, la frequenza ciclica (o frequenza tout court) ν, il periodo T , la lunghezza d’onda λ, o il numero d’onde k. Queste grandezze sono collegate fra loro (e con la velocit` a della luce) dalle relazioni ν=

ω 1 = , 2π T

λ=

2π , k

k = ω n = k n , c

λν = c ,

ω = ck .

Ad esempio, si pu`o scrivere r , t) = A 0 cos A(

2π n · r − 2π ν t + ϕ , λ

oppure r, t) = A 0 cos(k · r − ω t + ϕ) . A( eB Se, ad esempio, si adotta quest’ultima espressione, si ottiene per E r , t) = B 0 sin(k · r − ω t + ϕ) , B(

r, t) = E 0 sin(k · r − ω t + ϕ) , E(

dove 0 = −k × A 0 , B

0 = − ω A 0 . E c

Naturalmente si ha ancora, a ciascun istante e in ogni punto dello spazio, r , t) = n × E( r, t) , B( come abbiamo mostrato, in forma pi` u generale, nel paragrafo precedente. Per l’energia e per la quantit` a di moto dell’onda piana sinusoidale si ottengono espressioni variabili, nello spazio e nel tempo, del tipo sin2 (k ·r − ω t + ϕ).

15

LEGGI GENERALI DEL CAMPO ELETTROMAGNETICO

Volendo considerare le medie temporali di tali quantit` a, si riottengono le corrispondenti espressioni del paragrafo precedente con i termini E 2 e B 2 sostituiti rispettivamente da E02 /2, e B02 /2 (la media su un periodo del quadrato della funzione seno `e pari a 1/2). Talvolta `e conveniente rappresentare un’onda piana sinusoidale mediante un esponenziale complesso, anzich´e mediante un’espressione reale, come ad esempio r , t) = A 0 e i (k·r−ω t+ϕ) , A(

oppure

r , t) = A 0 e i (k·r−ω t) , A(

0 `e un vettore complesso dato da dove A 0 e i ϕ . 0 = A A In questi casi, si fa la convenzione che la quantit` a ﬁsica osservabile (ad esempio il campo elettrico) rappresenti la parte reale dell’espressione complessa introdotta. L’uso degli esponenziali complessi `e comodo quando si debbano compiere operazioni lineari, in quanto la parte reale del risultato `e uguale al risultato che si otterrebbe eseguendo le stesse operazioni lineari sulla parte reale. Quando per` o si debbono eseguire operazioni non lineari (come ad esempio per il calcolo dell’energia), prima si deve prendere la parte reale dell’esponenziale complesso e poi eseguire l’operazione desiderata. A questo proposito notiamo che se A(t) e B(t) sono due quantit` a complesse aventi la stessa dipendenza sinusoidale dal tempo A(t) = A e−i ω t ,

B(t) = B e−i ω t ,

con A e B costanti nel tempo, si pu` o scrivere, per la media temporale su un periodo delle loro parti reali ReA(t) ReB(t)

=

1 1 Re(AB ∗ ) = Re(A∗ B) . 2 2

Infatti: ReA(t) =

1 [A e−i ω t + A∗ e i ω t ] , 2

ReB(t) =

1 [B e−i ω t + B ∗ e i ω t ] , 2

e quindi ReA(t) ReB(t) Essendo tuttavia

=

e±2 i ω t

ReA(t) ReB(t)

=

1 4

AB e−2 i ω t + AB ∗ + A∗ B + A∗ B ∗ e 2 i ω t = 0, si ottiene

1 1 1 (AB ∗ + A∗ B) = Re(AB ∗ ) = Re(A∗ B) . 4 2 2

.

Capitolo 2

Spettro e polarizzazione Oltre che dalla direzione di propagazione, la radiazione elettromagnetica `e caratterizzata da due altre propriet`a fondamentali, tipiche dei fenomeni ondosi: lo spettro e la polarizzazione. Tali propriet` a, che sono di cruciale importanza per poter risalire dall’osservazione della radiazione alle caratteristiche ﬁsiche del corpo che l’ha emessa, sia esso un atomo oppure una stella, sono codiﬁcate nell’andamento dei vettori campo elettrico e campo magnetico in funzione del tempo. In questo capitolo analizzeremo i concetti matematici che stanno alla base delle deﬁnizioni di spettro e di polarizzazione della radiazione elettromagnetica e vedremo come tali concetti possano essere concretizzati in misure ﬁsiche realizzate per mezzo di appropriati strumenti, quali lo spettroscopio a reticolo e il polarimetro, di cui illustreremo i principi di funzionamento.

2.1 Spettro della radiazione L’onda monocromatica piana, introdotta nel capitolo precedente come soluzione delle equazioni di Maxwell, costituisce un’astrazione matematica e, come tale, pu` o fornire la descrizione della radiazione emessa in un processo ﬁsico reale solo come caso limite. Pi` u in generale, i campi elettrico e magnetico associati alla radiazione che ﬂuisce attraverso una superﬁcie inﬁnitesima, pensata ﬁssa nello spazio, risultano descritti da delle opportune funzioni del tempo dal cui andamento dipendono le caratteristiche spettrali e polarimetriche della radiazione stessa. Tuttavia, come abbiamo visto nel capitolo precedente, in un’onda piana generica (non necessariamente monocromatica) propagantesi nel vuoto, `e sempre uguale in modulo al vettore campo il vettore campo magnetico, B, elettrico, E, ed `e ad esso perpendicolare (entrambi essendo perpendicolari alla direzione di propagazione). Se si ﬁssa uno dei due vettori, l’altro risulta automaticamente individuato. Per caratterizzare in maniera esauriente la radiazione possiamo quindi limitarci a considerare uno solo dei due campi, ad esempio il campo elettrico, che risulta descritto, nel punto di osservazione, dalla funzione vettoriale E(t). Allo scopo di non appesantire troppo le notazioni, ci riferiremo inizialmente a una funzione scalare del tempo –invece che vettoriale– della forma E(t). Trascureremo quindi quei fenomeni che sono associati alla direzione del vettore campo elettrico nel piano perpendicolare alla direzione di propagazione. Tali fenomeni, detti fenomeni di polarizzazione, saranno illustrati in paragraﬁ suc-

18

CAPITOLO 2

cessivi di questo capitolo (Par. 2.5 e 2.6). Lo spettro della radiazione dipende dalla variazione temporale della funzione E(t) e, di conseguenza, non `e possibile deﬁnire lo spettro in un preciso istante ma soltanto su un intervallo di tempo suﬃcientemente lungo (nel senso che sar` a precisato in seguito). Se si suppone che la funzione E(t) si annulli suﬃcientemente per t → ±∞, possiamo deﬁnirne la trasformata di Fourier nello spazio ˆ delle frequenze angolari, E(ω), come la funzione complessa data dall’integrale ∞ 1 ˆ E(ω) = E(t) ei ω t dt . (2.1) 2π −∞ Poich´e la funzione E(t) `e reale, la complessa e coniugata della trasformata di ˆ ∗ , `e tale che Fourier, E(ω) ∞ ˆ ∗= 1 ˆ E(ω) E(t) e−i ω t dt = E(−ω) , 2π −∞ cosicch´e `e sempre possibile connettere la trasformata di Fourier a frequenze negative con quella a frequenze positive. In altre parole, la trasformata di Fourier a frequenze negative non contiene ulteriori informazioni rispetto alla parte a frequenze positive e pu`o, in un certo senso, essere eliminata. Dalla trasformata di Fourier si pu`o risalire al campo elettrico stesso mediante l’operazione di anti-trasformata, scrivendo ∞ ˆ E(t) = E(ω) e−i ω t dω . −∞

Per provare questa equazione, moltiplichiamo ambo i membri dell’Eq. (2.1) per e−i ω t e integriamo in dω. Si ha ∞ ∞ ∞ 1 ˆ dt E(t) e−i ω (t −t) dω . E(ω) e−i ω t dω = 2π −∞ −∞ −∞ D’altra parte, per l’ultimo integrale si pu` o scrivere, con un procedimento di passaggio al limite,

∞

e −∞

−i ω (t −t)

Ω

dω = lim

Ω→∞

−Ω

e−i ω (t −t) dω = lim

Ω→∞

2 sin(Ω Δt) , Δt

(2.2)

dove si `e posto Δt = t − t. Il graﬁco della funzione 2 sin(Ω Δt)/Δt `e rappresentato nella Fig. 2.1. Da esso si vede che la funzione si comporta, per Ω → ∞, come una funzione delta di Dirac1 . Pi` u precisamente 1

In principio, la delta di Dirac non `e una vera e propria funzione ma, piuttosto, una distribuzione, ovvero un funzionale che associa a una qualsiasi funzione reale f (x) un numero reale F [f (x)]. Le principali propriet` a della delta di Dirac sono illustrate nell’App. 3.

19

SPETTRO E POLARIZZAZIONE

2Ω

Ω

0

0 π/Ω

Fig. 2.1. Graﬁco della funzione 2 sin(ΩΔt)/Δt in funzione di Δt. La funzione ha un massimo nell’origine e il primo zero si veriﬁca per Δt = π/Ω. Al limite per Ω → ∞, il picco centrale diventa sempre pi` u alto e, nello stesso tempo, si stringe sempre pi` u intorno a Δt = 0.

lim

Ω→∞

2 sin(Ω Δt) = 2π δ(Δt) . Δt

Sostituendo si ottiene quindi ∞ ∞ 1 −i ω t ˆ dω = E(t) 2π δ(t − t) dt = E(t ) , E(ω) e 2π −∞ −∞ che `e l’espressione che volevamo dimostrare. Consideriamo adesso il ﬂusso di energia (energia per unit`a di superﬁcie e per unit` a di tempo)2 trasportata dalla radiazione elettromagnetica. Ricordando la deﬁnizione del vettore di Poynting, e indicando il ﬂusso con F , si ha F =

c 2 E (t) , 4π

e, per la quantit` a totale di energia, F, che traversa la superﬁcie unitaria fra t = −∞ e t = +∞ 2

Il ﬂusso di una data grandezza ﬁsica (ad esempio l’energia, la carica, la massa, etc.) `e generalmente deﬁnito come la quantit` a di tale grandezza che attraversa un’area unitaria nell’unit` a di tempo. Bisogna per` o tener presente che tale deﬁnizione non `e universalmente accettata e che talvolta si parla di ﬂusso riferendosi alla quantit` a della medesima grandezza che traversa una superﬁcie assegnata (non necessariamente unitaria) nell’unit` a di tempo. In ﬁsica matematica, il ﬂusso di un vettore attraverso una superﬁcie chiusa `e deﬁnito in maniera diversa (si ricordi il teorema di Gauss), senza far alcun riferimento all’unit` a di tempo.

20

CAPITOLO 2

∞

c F= F dt = 4π −∞

∞

E 2 (t) dt .

−∞

Introducendo la trasformata di Fourier, si pu` o scrivere

∞

2

E (t) dt = −∞

∞

∞

dt −∞

ˆ E(ω) e−i ω t dω

−∞

∞

ˆ )∗ ei ω t dω . E(ω

−∞

Valutando l’integrale in dt mediante un procedimento di passaggio al limite analogo a quello dell’Eq. (2.2) si ha ∞ ei (ω −ω) t dt = 2π δ(ω − ω) , −∞

per cui si ottiene il cosiddetto teorema di Parseval ∞ ∞ 2 ˆ E 2 (t) dt = 2π |E(ω)| dω . −∞

(2.3)

−∞

∗ ˆ ˆ , si ha Sostituendo nell’espressione per F e ricordando che E(ω) = E(−ω) inﬁne ∞ 2 ˆ F =c |E(ω)| dω . 0

A parte il fattore di proporzionalit` a c, questa equazione permette di identiﬁcare il modulo quadro della trasformata di Fourier della funzione E(t) con l’energia totale (formalmente fra t = −∞ e t = +∞) che ﬂuisce per unit`a di 2 ˆ superﬁcie nell’intervallo spettrale dω. La quantit` a |E(ω)| `e chiamata lo spet3 tro della radiazione elettromagnetica . Come appare evidente dalla deduzione sopra presentata, tale spettro non dipende dal comportamento istantaneo della funzione E(t), ma dal suo comportamento su tempi molto lunghi (in principio inﬁniti). ` ovvio che, in pratica, una qualsiasi misura atta a individuare lo spettro E della radiazione non pu` o mai protrarsi per un tempo inﬁnito, ma `e necessariamente limitata a un intervallo di tempo T , detto anche tempo di campionatura. Questo fatto impedisce ovviamente di poter ottenere informazioni sulla variabilit` a della funzione E(t) su periodi dell’ordine o maggiori di T , il che implica che lo spettro della radiazione a frequenze minori di una frequenza di taglio, ω t , con ωt 1/T , rimane indeﬁnito. Questa limitazione non ha per` o alcuna rilevanza pratica per la radiazione elettromagnetica in quanto anche se T `e molto 3

In pratica le misure di spettro sono generalmente delle misure relative, nelle quali ci` o che si 2 a meno di una costante di proporzionalit` ˆ misura ` e l’andamento con ω della funzione |E(ω)| a. Pi` u precisamente si dovrebbe quindi dire che lo spettro della radiazione elettromagnetica `e 2. ˆ proporzionale a |E(ω)|

SPETTRO E POLARIZZAZIONE

21

breve, ad esempio un secondo, il valore di ωt risulta pari a 1 Hz, e la condizione ω < ωt viene a interessare una regione dello spettro del tutto irrilevante. In pratica, si ha molto spesso a che fare con fenomeni di tipo stazionario. Si pensi ad esempio alla radiazione emessa da una lampada a scarica, oppure ` ovvio che in questi casi l’integrale alla radiazione proveniente da una stella. E che deﬁnisce la trasformata di Fourier (Eq. (2.1)) `e divergente ed `e quindi necessaria una trattazione particolare, del tipo di passaggio al limite, nella quale il tempo di campionatura diventa essenziale. Consideriamo quindi un tempo di campionatura T suﬃcientemente grande da contenere tutte le caratteristiche spettrali signiﬁcative del fenomeno in studio e poniamo artiﬁcialmente uguale a zero il campo elettrico per tempi t esterni all’intervallo di campionatura. ˆ La trasformata di Fourier, che adesso indichiamo con E(ω, T ) per ricordare la dipendenza “artiﬁciale” da T che `e stata cos`ı introdotta, risulta data da 1 ˆ E(ω, T)= 2π

T /2

E(t) ei ω t dt .

(2.4)

−T /2

Andiamo adesso a considerare la quantit` a totale di energia, FT , che traversa la superﬁcie unitaria nell’intervallo di tempo compreso fra −T /2 e T /2. Per essa si ha FT =

c 4π

T /2

E 2 (t) dt .

−T /2

Partendo da questa espressione, e utilizzando il fatto che il tempo di campionatura pu` o essere formalmente considerato come tendente a ∞, si possono ripetere tutti i passaggi matematici che hanno portato al teorema di Parseval per ottenerne una forma modiﬁcata valida per i fenomeni di tipo stazionario, ovvero FT =

c 4π

T /2

E 2 (t) dt = c

−T /2

∞

ˆ |E(ω, T )|2 dω .

(2.5)

0

Vedremo in seguito, riferendoci ad alcuni casi speciﬁci di fenomeni stazionari, ˆ come anche la quantit`a |E(ω, T )|2 sia proporzionale a T . Questo ci permette di dare una deﬁnizione del tutto coerente di ﬂusso monocromatico, ovvero della quantit` a di energia contenuta nell’intervallo di frequenza dω che ﬂuisce attraverso la superﬁcie unitaria nel tempo unitario. Indicando tale quantit` a con Fω , possiamo scrivere ∞ c ∞ ˆ FT = Fω dω = |E(ω, T )|2 dω , T T 0 0 dalla quale si ottiene Fω =

c ˆ |E(ω, T )|2 . T

(2.6)

22

CAPITOLO 2

2.2 Spettri particolari di alcune forme d’impulso Consideriamo alcune forme particolari della funzione E(t) e deduciamone i corrispondenti spettri. Sia E(t) una funzione di tipo gaussiano rappresentata matematicamente dall’equazione (caso a) 1

E(t) = E0 e− 2 (t/τ )

2

.

La trasformata di Fourier `e data da (si ricordi l’Eq. (2.1)) E0 ∞ − 1 (t/τ )2 +i ω t ˆ E(ω) = e 2 dt . 2π −∞ Introducendo la variabile ridotta x = t/τ e aggiungendo e togliendo la quantit`a ω 2 τ 2 /2 all’esponente, si ottiene E0 τ − 1 ω2 τ 2 ∞ − 1 (x−i ω τ )2 ˆ 2 e E(ω) = e 2 dx , 2π −∞ √ e, passando alla variabile complessa z = (x − i ωτ )/ 2 2 E0 τ − 12 ω2 τ 2 ˆ e e−z dz , E(ω) = √ 2π L dove L `e un cammino,√nel piano complesso della variabile z, parallelo all’asse reale. L’integrale vale π per cui si ottiene E02 τ 2 −ω2 τ 2 e . 2π Se ne conclude che lo spettro di una funzione E(t) di tipo gaussiano `e a sua volta una funzione di tipo gaussiano. Calcoli simili possono essere ripetuti per ulteriori forme della funzione E(t). Se (caso b) E0 sin(ω0 t) per |t| < τ2 E(t) = , 0 per |t| ≥ τ2 2 ˆ |E(ω)| =

dove τ `e un tempo tale da contenere un gran numero di periodi dell’onda (τ 1/ω0 ), si ottiene, per lo spettro a frequenze positive 2 ˆ |E(ω)|

E02 sin2 [(ω − ω0 ) τ /2] , 4π 2 (ω − ω0 )2

con un contributo simmetrico, a frequenze negative, centrato intorno alla frequenza −ω0 . Inﬁne, se (caso c)

23

SPETTRO E POLARIZZAZIONE

Fig. 2.2. Graﬁco della funzione E(t) e della corrispondente trasformata di Fourier modulo quadro, |E(ω)|2 , per i tre casi a), b), e c) considerati nel testo. Si noti la corrispondenza fra il tempo caratteristico di durata del segnale, τ , e l’ampiezza in frequenza dello spettro, 1/τ .

E(t) =

E0 sin(ω0 t) e−t/τ 0

per t ≥ 0 per t < 0

,

dove τ `e di nuovo un tempo tale da contenere un gran numero di periodi dell’onda (τ 1/ω0 ), si ottiene per lo spettro a frequenze positive 2 ˆ |E(ω)|

1 E02 , 16π 2 (ω − ω0 )2 + (1/τ )2

con un contributo simmetrico, a frequenze negative, centrato intorno alla frequenza −ω0 . Le forme delle funzioni E(t) e i conseguenti spettri sono riportate nella Fig. 2.2. Dai tre casi considerati si deduce che l’ampiezza in frequenza dello

24

CAPITOLO 2

E(t)

t t1

t2

t3

Fig. 2.3. Andamento col tempo del campo elettrico dovuto alla sovrapposizione statistica di tre segnali elementari, tutti della stessa forma.

spettro, Δω, di un tipico segnale avente durata temporale τ `e collegata a tale durata dalla relazione Δω τ 1 . In altre parole, pi` u rapido `e l’impulso, pi` u larga `e la banda di frequenze nella quale la trasformata di Fourier `e signiﬁcativamente diversa da zero, ovvero pi` u largo `e lo spettro. Al limite, se si considera un impulso avente una durata temporale inﬁnitesima, del tipo di una delta di Dirac, lo spettro `e costante, cio`e indipendente dalla frequenza.

2.3 Spettri di segnali stocastici e di segnali periodici Consideriamo una situazione ﬁsica in cui il campo elettrico E(t) `e di tipo stazionario e indichiamo con T il tempo di campionatura. Un caso particolare `e quello di un segnale di tipo stocastico, ovvero quello in cui il campo `e dato dalla sovrapposizione di un numero molto elevato, N , di segnali elementari, tutti uguali fra loro in forma, che si susseguono a istanti casuali con la frequenza N = N/T . Tali segnali possono eventualmente sovrapporsi l’uno con l’altro, come illustrato schematicamente nella Fig. 2.3, e sono tali da avere dei tempi scala caratteristici molto minori del tempo di campionatura. Indicando con t1 , t2 , · · · , tN gli istanti dei singoli segnali elementari, e con f (t) la funzione del tempo che descrive ciascun segnale, il campo elettrico `e dato dall’espressione

25

SPETTRO E POLARIZZAZIONE

E(t) =

N

f (t − tj ) .

j=1

La trasformata di Fourier di tale campo elettrico risulta N 1 T /2 ˆ f (t − tj ) ei ω t dt . E(ω, T ) = 2π j=1 −T /2

Nel j-esimo integrale eseguiamo il cambiamento di variabile t − tj = τ , e deﬁniamo la trasformata di Fourier del segnale elementare attraverso la consueta equazione4 ∞ 1 f (τ ) ei ω t . fˆ(ω) = 2π −∞ Con facili passaggi si ottiene ˆ E(ω, T ) = fˆ(ω) S , dove il numero complesso S `e dato da S=

N

ei ω tj .

j=1

La trasformata di Fourier del campo elettrico `e quindi data dalla trasformata di Fourier del segnale elementare moltiplicata per la somma di N fattori di fase, ovvero di N numeri complessi tutti di modulo 1. Siccome i tempi tj sono distribuiti casualmente nel tempo, i fattori di fase, sommandosi fra loro, tendono ad annullarsi l’uno con l’altro di modo che il modulo del numero complesso S viene a risultare molto minore di N , come illustrato nella Fig 2.4. Siamo qui in una situazione molto simile a quella del moto Browniano nel quale una particella esegue nello spazio un random walk e si allontana lentamente nel tempo dalla sua posizione iniziale. Guardiamo adesso come si comporta il modulo quadro della trasformata. Per esso si ha ˆ |E(ω, T )|2 = |fˆ(ω)|2 |S|2 = |fˆ(ω)|2

N N

ei ω (tj −tk ) .

j=1 k=1

La somma doppia che compare in questa equazione pu` o essere spezzata in due parti. Prima si sommano gli N termini con j = k e poi gli N (N − 1) termini 4

Poich´ e abbiamo supposto che la funzione f (t) vari su tempi scala molto minori di T l’integrale in dt pu` o essere esteso fra −∞ e ∞ invece che fra −T /2 e T /2.

26

CAPITOLO 2

Fig. 2.4. La ﬁgura illustra il risultato della somma S di 100 numeri complessi aventi modulo uguale a 1 e fasi casuali. Man mano che si aggiungono i successivi addendi, il risultato della somma parziale si sposta nel piano complesso, a partire dal punto iniziale O, secondo un tipico movimento di random walk ﬁno a raggiungere il punto ﬁnale P.

con j = k. La prima somma d`a ovviamente per risultato N , mentre la seconda, essendo i tempi tj e tk distribuiti in maniera casuale, porta un contributo molto piccolo il cui rapporto rispetto alla prima tende a zero per N tendente all’inﬁnito. Si ottiene quindi, ricordando che N = N T 2 ˆ ˆ |E(ω, T )|2 = N T |f(ω)| .

(2.7)

Come avevamo anticipato nel Par. 2.1, la trasformata di Fourier risulta proporzionale al tempo di campionatura T . Ricordando l’Eq. (2.6) il ﬂusso monocromatico risulta Fω = c N |fˆ(ω)|2 . Questa espressione pu`o essere generalizzata al caso in cui il campo elettrico possa essere considerato come la combinazione incoerente di due segnali di tipo stocastico. Se si suppone, ad esempio, che il campo elettrico risulti dalla sovrapposizione di tanti segnali elementari di forma f (t), distribuiti casualmente nel tempo con frequenza Nf , e di tanti segnali elementari di forma g(t), distribuiti anch’essi casualmente nel tempo con frequenza Ng , ripetendo il ragionamento sviluppato sopra si ottiene che il ﬂusso monocromatico `e dato da Fω = c Nf |fˆ(ω)|2 + Ng |ˆ g (ω)|2 .

27

SPETTRO E POLARIZZAZIONE

Inﬁne, nel caso in cui si abbia una distribuzione continua di segnali elementari (dipendenti, ad esempio, da un parametro ζ), sempre assumendo la distribuzione temporale stocastica e l’incoerenza fra segnali di tipo diverso, l’equazione precedente pu`o essere ulteriormente generalizzata scrivendo 2 ˆ Fω = c Ntot |f(ω)|

,

(2.8)

dove Ntot `e la frequenza totale dei segnali elementari e |fˆ(ω)|2 `e la media di |fˆ(ω)|2 rispetto al parametro ζ. Passiamo adesso a considerare il caso in cui la funzione stazionaria E(t) sia una funzione periodica del tempo con periodo T . In base al teorema di Fourier, valido per una funzione periodica arbitraria, il campo elettrico pu` o essere espresso mediante l’equazione E(t) =

∞

E (n) e−i n ω0 t ,

n=−∞

dove ω0 `e la frequenza angolare fondamentale deﬁnita da ω0 =

2π , T

e dove le E (n) (con E (−n) = E (n)∗ ) sono quantit`a complesse, dette componenti di Fourier, date dall’equazione E (n) =

1 T

t0 +T

E(t) e2π i n t/T dt =

t0

1 T

t0 +T

E(t) ei n ω0 t dt ,

t0

t0 essendo un istante arbitrario. Vogliamo determinare la relazione esistente fra la trasformata di Fourier e le componenti di Fourier, E (n) . Per questo, consideriamo un tempo di campionatura, T , che contenga un numero molto grande di periodi. Si ha 1 ˆ E(ω, T)= 2π

T /2

E(t) ei ω t dt ,

−T /2

ovvero, sostituendo l’espressione di E(t) in termini di componenti di Fourier ∞ 1 (n) T /2 i (ω−n ω0 ) t ˆ E e dt . E(ω, T ) = 2π n=−∞ −T /2 Sviluppando l’integrale si ha ∞ 1 (n) 2 sin[(ω − n ω0 ) T /2 ] ˆ E(ω, T)= E , 2π n=−∞ ω − n ω0

28

CAPITOLO 2

ed essendo, per T → ∞, lim

T →∞

2 sin[(ω − n ω0 )T /2 ] = 2π δ(ω − n ω0 ) , ω − n ω0

si ottiene ∞

ˆ E(ω, T)=

E (n) δ(ω − n ω0 ) .

n=−∞

Questa espressione, seppur corretta, non `e per` o appropriata per calcolare il modulo quadro della trasformata di Fourier in quanto farebbe intervenire il quadrato di una funzione delta di Dirac cui `e impossibile attribuire il signiﬁcato corretto senza far ricorso a concetti matematici tipici della teoria delle ˆ distribuzioni. Per il calcolo della |E(ω, T )|2 si pu` o comunque seguire il proˆ cedimento di considerare l’espressione di E(ω, T ) in funzione di T , andarne a valutare il modulo quadro e passare poi al limite per T → ∞. Cos`ı facendo si ottiene una somma doppia del tipo ˆ |E(ω, T )|2 = ×

∞ ∞ 1 (n) (m)∗ E E 4π 2 n=−∞ m=−∞

2 sin[(ω − n ω0 )T /2 ] 2 sin[(ω − m ω0 )T /2 ] . ω − n ω0 ω − m ω0

Per n = m, nel limite T → ∞ le due funzioni di T che compaiono al secondo membro sono per` o mutuamente esclusive, nel senso che dove una `e diversa da zero l’altra `e nulla, e viceversa. La somma doppia pu` o quindi essere ristretta a una somma singola ponendo m = n. Osservando poi che 4 sin2 [(ω − n ω0 )T /2] = 2π T δ(ω − n ω0 ) , T →∞ (ω − n ω0 )2 lim

si ottiene ˆ |E(ω, T )|2 =

T 2π

∞

(2.9)

|E (n) |2 δ(ω − n ω0 ) .

n=−∞

Di nuovo abbiamo ottenuto il risultato che la trasformata di Fourier `e proporzionale al tempo di campionatura T . Ricordando l’Eq. (2.6), ed escludendo l’armonica zero (che equivale a supporre che la media tempoarle di E(t) sia nulla), il ﬂusso monocromatico di un segnale periodico `e dato da Fω =

∞ c (n) 2 |E | δ(ω − n ω0 ) . 2π n=1

(2.10)

Lo spettro di un segnale periodico `e quindi composto da un “pettine” di funzioni delta di Dirac centrate alla frequenza fondamentale e, in generale, a

SPETTRO E POLARIZZAZIONE

29

d Onda diffratta

θ

L Onda piana incidente

Reticolo di diffrazione

Fig. 2.5. Schema del reticolo di diﬀrazione.

tutte le armoniche superiori. Il “peso” di ciascuna armonica `e proporzionale al modulo quadro della rispettiva componente di Fourier.

2.4 Spettroscopio a reticolo di diﬀrazione Lo spettroscopio a reticolo di diﬀrazione pu` o essere a buona ragione considerato lo strumento prototipo per misurare lo spettro della radiazione, almeno per quanto riguarda la regione visibile dello spettro elettromagnetico e le regioni limitrofe dell’infrarosso e dell’ultravioletto. In questo paragrafo ne diamo una trattazione sempliﬁcata al ﬁne di illustrare la connessione fra la deﬁnizione matematica di spettro e i risultati pratici delle misure. Facendo riferimento alla Fig. 2.5, la radiazione, proveniente da una sorgente di laboratorio oppure da un telescopio, viene convertita in un’onda piana per mezzo di un sistema di lenti e viene fatta incidere perpendicolarmente su un reticolo piano a trasparenza5, caratterizzato dalla presenza di N tratti separati l’uno dall’altro dalla distanza d, detta costante del reticolo. Sul piano del reticolo, il campo elettrico associato alla radiazione sia descritto dalla funzione E(t). I tratti del reticolo danno luogo al fenomeno della diﬀrazione e l’espressione per l’onda diﬀratta pu` o essere calcolata attraverso il principio di Huygens5

Il reticolo piano a trasparenza `e il tipo pi` u semplice di reticolo di diﬀrazione. In pratica si possono utilizzare molti altri tipi di reticolo (a riﬂessione, a gradinata, a dente di sega, di trasparenza e fase, circolare, concavo, etc.).

30

CAPITOLO 2

Fresnel. Per il caso di un reticolo ideale a trasparenza, il principio pu`o enunciarsi dicendo che ciascun tratto del reticolo `e l’asse di un’onda cilindrica la cui ampiezza, sulla faccia di emergenza del reticolo, `e semplicemente data da E(t) in corrispondenza delle zone di trasparenza ed `e nulla in corrispondenza di quelle opache. Andiamo a considerare l’onda diﬀratta dal tratto j-esimo del reticolo nella direzione che forma un angolo θ con la direzione dell’onda incidente. Alla distanza L dal reticolo, l’ampiezza di tale onda `e data, al tempo t, da un’espressione del tipo d sinθ L d Ej (t, θ) = k E t − − j , c c dove k `e una costante, in generale complessa6 , e dove l’indice j numera i tratti del reticolo a partire dal primo (si veda la Fig. 2.5). Sommando il contributo delle onde diﬀratte da tutti i tratti del reticolo ed esprimendo il campo elettrico dell’onda incidente attraverso il suo integrale di Fourier7 , si ottiene, con semplici passaggi E d (t, θ) =

N

∞

−∞

j=1

ˆ k E(ω, T ) e−i ω(t−L/c) e i j ω d sinθ/c dω .

La somma su j pu` o essere facilmente eseguita ricordando che, per una serie geometrica troncata, si ha 1 + q + q 2 + · · · + q N −1 =

1 − qN . 1−q

Si ottiene quindi d

∞

E (t, θ) = −∞

ˆ k E(ω, T ) e−i ω[t−(L+d sinθ)/c] f (ω, θ) dω ,

dove f (ω, θ) =

1 − e i N ω d sinθ/c . 1 − e i ω d sinθ/c

L’equazione ottenuta per E d (t, θ) deﬁnisce direttamente la trasformata di Fourier del campo elettrico diﬀratto in direzione θ. Con simboli evidenti si ha 6

Nel caso di un reticolo ideale a trasparenza si pu` o mostrare che k ` e data da a cosθ/λ dove a` e la dimensione della zona trasparente di ciascun tratto e λ ` e la lunghezza d’onda (si veda G. Toraldo di Francia, La Diﬀrazione della Luce, Edizioni Scientiﬁche Einaudi, Boringhieri, Torino, 1958). In pratica, la costante k dipende anche dai dettagli di costruzione del reticolo stesso.

7

Ci riferiamo qui al caso in cui la radiazione abbia un comportamento stazionario, per cui `e necessario riferirsi alla trasformata di Fourier relativa a un certo tempo di campionatura T .

SPETTRO E POLARIZZAZIONE

31

ˆ ˆ d (ω, θ, T ) = k E(ω, T ) e i ω (L+d sinθ)/c f (ω, θ) . E In altre parole, a parte un fattore di proporzionalit`a, la trasformata di Fourier del campo elettrico diﬀratto in direzione θ si ottiene moltiplicando la trasformata di Fourier del campo incidente per un fattore di fase e per la funzione complessa f (ω, θ), detta funzione di trasferimento del reticolo. In un comune spettroscopio, la radiazione diﬀratta dal reticolo viene focheggiata per mezzo di un sistema di lenti sul rivelatore8, il quale risponde con un segnale proporzionale al quadrato del campo elettrico su di esso incidente. Nel punto del rivelatore su cui va a cadere la radiazione proveniente dalla direzione θ si ha quindi un segnale, S(θ), che risulta dato dall’espressione S(θ) = K

T /2

E d (t, θ)2 dt ,

−T /2

dove K `e una costante che dipende dall’eﬃcienza del rivelatore (oltre che dalle unit` a in cui si misura S), e dove T `e il tempo su cui si esegue la misura (il tempo di campionatura). Ricordando il teorema di Parseval nella forma dell’Eq. (2.5) e ponendo K = 4π K, si ottiene

S(θ) = K

0

∞

ˆ d (ω, θ, T )|2 dω = K |E

∞

ˆ k 2 |E(ω, T )|2 |f (ω, θ)|2 dω . (2.11)

0

Studiamo adesso l’andamento con θ della funzione |f (ω, θ)|2 a ω ﬁssato. Dalla deﬁnizione si ottiene sin2 N ω2dcsinθ . |f (ω, θ)|2 = sin2 ω d2sinθ c Questa funzione presenta dei massimi molto elevati in corrispondenza di quei valori di sinθ tali da annullare il denominatore, ovvero per sinθm = m

2π c , ωd

(2.12)

dove m `e un intero qualsiasi (positivo, negativo o nullo) che caratterizza il cosiddetto ordine dello spettro9 . In corrispondenza di tali valori di θ si ha, con un passaggio al limite 8

Al giorno d’oggi il rivelatore ` e generalmente costituito da una camera CCD o da una serie di fotomoltiplicatori. Anteriormente venivano comunemente utilizzate le lastre fotograﬁche.

9

Si noti che sostituendo in luogo della frequenza angolare la lunghezza d’onda (ω = 2πc/λ), l’Eq. (2.12) pu` o esser posta nella forma d sinθm = mλ, che ` e l’equazione che risulta dalla teoria elementare del reticolo di diﬀrazione.

32

CAPITOLO 2

Fig. 2.6. Graﬁco del modulo quadro della funzione di trasferimento del reticolo. Il graﬁco `e ottenuto per N = 8. I reticoli comunemente usati in laboratorio e nella pratica astronomica hanno valori di N molto pi` u elevati. Un tipico reticolo per osservazioni solari ha N 10 5 .

|f (ω, θm )|2 = N 2 . Tali punti si chiamano massimi principali e si pu`o mostrare che fra due qualsiasi di essi si vengono a trovare (N − 1) zeri della funzione che corrispondono a valori di θ tali da annullare il numeratore ma non il denominatore. Il primo zero contiguo a θm si trova a una distanza Δθ tale che 1 ω d sin(θm + Δθ) = m+ π , 2c N ovvero, mediante uno sviluppo in serie 1 tanθm . (2.13) mN Fra gli (N − 1) zeri si trovano inoltre, per il teorema di Rolle, (N − 2) massimi della funzione che prendono il nome di massimi secondari e nei quali la funzione assume un valore dell’ordine dell’unit`a. Il graﬁco della funzione per N = 8 `e riportato nella Fig. 2.6. Come mostrato dalla ﬁgura, all’aumentare di N la funzione assume un comportamento del tipo di “pettine” di delta di Dirac. In prima approssimazione si ottiene, tenendo conto dell’altezza dei picchi e della loro larghezza Δθ =

|f (ω, θ)|2 =

N tanθm δ(θ − θm ) . m m

SPETTRO E POLARIZZAZIONE

33

Alternativamente, si pu` o anche studiare l’andamento della stessa funzione con ω, a θ ﬁssato. Di nuovo si trova che la funzione presenta dei massimi molto elevati, nei quali assume il valore N 2 , in corrispondenza delle frequenze ωm date da ωm = m

2π c . d sinθ

Il primo zero contiguo a ωm si trova a una distanza in frequenza, Δω, tale che (ωm + Δω) d sinθ 1 = m+ π , 2c N ovvero, Δω =

2π c . N d sinθ

Di nuovo, si ottiene in prima approssimazione un comportamento a “pettine” di delta di Dirac espresso dall’equazione |f (ω, θ)|2 =

m

N

2π c δ(ω − ωm ) . d sinθ

Sostituendo questo risultato nell’Eq. (2.11) si ricava la seguente espressione per il segnale misurato dal rivelatore dello spettroscopio in corrispondenza della direzione θ S(θ) = K k 2 N

2π c |E(ωm , T )|2 . d sinθ m

Messi a parte i possibili problemi derivanti dalla sovrapposizione degli spettri di ordine diverso, questa formula mostra che, se ci si restringe a considerare intervalli di θ suﬃcientemente piccoli (in modo da poter trascurare la leggera dipendenza da θ contenuta nel fattore k 2 / sinθ), il segnale ottenuto sul rivelatore dello spettroscopio fornisce eﬀettivamente una misura del modulo quadro della trasformata di Fourier del campo elettrico della radiazione incidente, ovverosia del suo spettro. In altre parole, lo spettroscopio funziona come un dispositivo capace di eseguire in maniera analogica la trasformata di Fourier del campo elettrico incidente. Si noti anche che il segnale S(θ) `e proporzionale al tempo della misura, T , tale dipendenza essendo contenuta nel modulo quadro della trasformata di Fourier (si ricordino i risultati del Par. 2.3, e in particolare l’Eq. (2.7)). La teoria dello spettroscopio a reticolo presentata sopra permette anche di determinare il potere risolutivo dello strumento. Se si suppone di avere in ingresso una radiazione composta da due onde puramente monocromatiche che diﬀeriscono in frequenza di una piccola quantit` a δω, esse saranno diﬀratte,

34

CAPITOLO 2

all’ordine m, lungo due direzioni che formano fra loro un angolo δθ. Diﬀerenziando l’Eq. (2.12) si ottiene δθ = tanθm

δω . ω

D’altra parte, aﬃnch´e i corrispondenti segnali sul rivelatore appaiano distinti, `e necessario che l’angolo δθ sia maggiore della larghezza intrinseca di ciascun segnale, Δθ, data dall’Eq. (2.13). Si ottiene quindi la condizione δω 1 ≥ . ω mN Questo pone un limite inferiore alla diﬀerenza in frequenza, (δω)min , che si deve avere aﬃnch´e i segnali appaiono distinti. Ovviamente si ha (δω)min 1 = . ω mN Per potere risolutivo di uno strumento si intende il rapporto fra la frequenza ω e tale minima diﬀerenza (δω)min . Il potere risolutivo dello spettroscopio a reticolo `e quindi dato da P = mN . Come esempio pratico, consideriamo un reticolo di diﬀrazione caratterizzato da un numero di tratti N = 105 e da una costante d = 1.5 μm. Se la radiazione incidente copre tutto l’intervallo visibile tra 3800 e 7000 ˚ A, lo spettro del primo ordine si trova compreso fra gli angoli di deﬂessione (θ1 )min = 14◦ .7 ,

(θ1 )max = 27◦ .8 ,

lo spettro del secondo ordine fra gli angoli (θ2 )min = 30◦ .4 ,

(θ2 )max = 69◦ .0 ,

mentre lo spettro del terzo ordine parte dall’angolo di deﬂessione (θ3 )min = 49◦ .5 , e si estende ﬁno a θ = 90◦ , angolo cui corrisponde la lunghezza d’onda di 5000 ˚ A. Gli spettri di ordine superiore non sono osservabili. Inﬁne, il potere risolutivo `e pari a 105 per lo spettro del primo ordine, 2 × 105 per lo spettro del secondo ordine e 3 × 105 per quello del terzo ordine. Intorno a 5000 ˚ A, ad esempio, due righe possono essere risolte nello spettro del secondo ordine solo se esse distano pi` u di 25 m˚ A.

SPETTRO E POLARIZZAZIONE

35

2.5 Polarizzazione di un’onda monocromatica I fenomeni di polarizzazione della radiazione elettromagnetica sono connessi col fatto che il vettore campo elettrico (o l’associato vettore campo magnetico) di un pennello di radiazione che si propaga nel vuoto pu` o essere diretto lungo una qualsiasi direzione appartenente al piano perpendicolare alla direzione di propagazione. Per descrivere tali fenomeni, iniziamo col considerare un’onda monocromatica piana di frequenza angolare ω che si propaga lungo la direzione z di un sistema di riferimento cartesiano ortogonale destrorso (x, y, z). Il vettore campo elettrico dell’onda pu` o essere scomposto nelle due componenti lungo gli assi x e y. In un punto assegnato dello spazio, tali componenti risultano descritte da espressioni del tipo Ex (t) = E1 cos( ωt − φ1 ) ,

Ey (t) = E2 cos( ωt − φ2 ) ,

dove E1 , E2 , φ1 e φ2 sono quattro quantit` a reali. Alternativamente, si possono utilizzare quantit` a complesse scrivendo Ex (t) = Re[ E1 e−i ω t ] ,

Ey (t) = Re[ E2 e−i ωt ] ,

dove E1 = E1 ei φ1 ,

E2 = E2 ei φ2 .

L’estremo del vettore campo elettrico ruota nel piano x-y descrivendo un’ellisse che viene detta ellisse di polarizzazione. Per renderci conto di questo fatto, consideriamo l’equazione generale di un’ellisse riferendola ai suoi assi principali x e y . In forma parametrica l’equazione dell’ellisse `e Ex = E0 cosγ cos(ωt) ,

Ey = −E0 sinγ sin(ωt) ,

dove E0 `e una quantit` a reale e positiva e dove γ (con |γ | ≤ π/4) `e un parametro connesso con l’eccentricit` a dell’ellisse ( | tanγ | essendo il rapporto fra i semiassi). Nell’equazione precedente abbiamo assunto che, all’istante t = 0, il campo elettrico sia diretto lungo l’asse positivo x . Eliminando t, si ottiene

E02

Ey2 Ex2 + 2 =1 . 2 cos γ E0 sin2 γ

I semiassi dell’ellisse valgono rispettivamente E0 | cosγ | e E0 | sinγ |; se γ `e positivo l’ellisse `e percorsa in senso orario, ammesso che la rotazione sia osservata da una persona che veda la radiazione venirgli incontro. La situazione geometrica `e rappresentata nella Fig. 2.7, nella quale l’asse z esce dal foglio provenendo da dietro. Se il vettore campo elettrico `e visto ruotare in senso orario si dice

36

CAPITOLO 2

y

y’ E

x’

ξ x

Fig. 2.7. Al trascorrere del tempo l’estremo del vettore campo elettrico descrive l’ellisse di polarizzazione

che si ha a che fare con polarizzazione ellittica positiva (o destrorsa); nel caso contrario si ha a che fare con polarizzazione ellittica negativa (o sinistrorsa). Si possono avere due casi particolari (o degeneri) di polarizzazione ellittica: se γ = ±π/4, l’ellisse degenera in un cerchio e la polarizzazione viene detta circolare (destra e sinistra, rispettivamente). Se invece γ = 0, l’ellisse degenera in un segmento e la polarizzazione viene detta lineare (o rettilinea). Per connettere le caratteristiche geometriche dell’ellisse (ampiezza, E0 , azimut del semiasse maggiore, ξ, e rapporto fra i semiassi, tanγ) alle quantit` a E1 , dal sistema (x , y ) al sistema E2 , φ1 e φ2 , trasformiamo le componenti di E (x, y). Con riferimento alla Fig. 2.7 si ha Ex = Ex cosξ − Ey sinξ ,

Ey = Ex sinξ + Ey cosξ ,

e, sostituendo Ex = E0 [ cosγ cosξ cos(ωt) + sinγ sinξ sin(ωt) ] , Ey = E0 [ cosγ sinξ cos(ωt) − sinγ cosξ sin(ωt) ] . Identiﬁcando queste espressioni con quelle date precedentemente, si ottengono le relazioni che connettono le quantit` a E1 , E2 , φ1 e φ2 con i parametri dell’ellisse E1 cos φ1 = E0 cosγ cosξ ,

E1 sin φ1 = E0 sinγ sinξ ,

E2 cos φ2 = E0 cosγ sinξ ,

E2 sin φ2 = −E0 sinγ cosξ .

Quadrando le quattro equazioni si ottiene

SPETTRO E POLARIZZAZIONE

37

E02 = E12 + E22 ; moltiplicando la prima per la quarta e sottraendo il prodotto della seconda per la terza sin(2γ) =

2E1 E2 sin(φ1 − φ2 ) ; E12 + E22

moltiplicando la prima per la terza e aggiungendo il prodotto della seconda per la quarta cos(2γ) sin(2ξ) =

2E1 E2 cos(φ1 − φ2 ) ; E12 + E22

sottraendo dalla somma dei quadrati delle prime due la somma dei quadrati delle ultime due cos(2γ) cos(2ξ) =

E12 − E22 ; E12 + E22

inﬁne, dividendo fra di loro le due ultime equazioni ottenute tan(2ξ) =

2E1 E2 cos(φ1 − φ2 ) . E12 − E22

Le equazioni scritte permettono di ottenere i parametri dell’ellisse, (E0 , γ, ξ), a partire dalle quantit`a che descrivono l’oscillazione elettrica lungo gli assi x e y, (E1 , E2 , φ1 , φ2 ). Come si vede dalle equazioni precedenti, i parametri dell’ellisse dipendono solo dalla diﬀerenza di fase (φ1 − φ2 ) e non dalle fasi assolute. Fondamentali dal punto di vista della caratterizzazione delle propriet`a di polarizzazione di un’onda monocromatica piana sono le quattro quantit` a bilineari nelle componenti del campo elettrico che compaiono nelle equazioni precedenti, ovvero (E12 + E22 ), (E12 − E22 ), 2E1 E2 cos(φ1 − φ2 ), e 2E1 E2 sin(φ1 − φ2 ). La prima quantit` a, (E12 + E22 ), `e proporzionale al ﬂusso di energia, ovvero all’energia che traversa l’unit`a di superﬁcie nell’unit`a di tempo. Indichiamo tale ﬂusso col simbolo10 FI . Attraverso le altre quantit` a si possono deﬁnire dei ﬂussi associati che indichiamo con FQ , FU , e FV . Per la nostra onda monocromatica, ricordando la deﬁnizione del vettore di Poynting e tenendo conto che le funzioni sin2 (ω t) e cos2 (ω t) valgono in media 1/2, mediando su un periodo si ha FI = FU = 10

c (E 2 + E22 ) , 8π 1

c 2 E1 E2 cos(φ1 − φ2 ) , 8π

c (E 2 − E22 ) , 8π 1 c FV = 2 E1 E2 sin(φ1 − φ2 ) . 8π

FQ =

Nel Par. 2.1, nel quale abbiamo fatto astrazione dalle propriet` a di polarizzazione, tale quantit` a` e stata pi` u semplicemente indicata col simbolo F .

38

CAPITOLO 2

Bisogna notare che simboli I, Q, U e V , utilizzati come indici nelle equazioni precedenti, vengono comunemente utilizzati per denotare delle quantit`a ﬁsiche diverse, legate alle prime da delle costanti moltiplicative dimensionali. Tali quantit` a sono i cosiddetti parametri di Stokes, usualmente introdotti nella teoria del trasporto radiativo per radiazione polarizzata, che hanno le dimensioni dell’intensit` a speciﬁca del campo di radiazione e che sono quindi dimensionalmente uguali a un’energia per unit` a di superﬁcie, per unit`a di tempo, per unit` a di intervallo spettrale e per unit`a di angolo solido. Nel seguito ci riferiremo a FI , FQ , FU e FV come ai ﬂussi (di energia) nei quattro parametri di Stokes. Invertendo le equazioni precedenti si possono legare le caratteristiche geometriche dell’ellisse di polarizzazione ai ﬂussi nei parametri di Stokes. Si ottiene, con facili passaggi E02 =

8π FI , c

cos(2γ) sin(2ξ) =

sin(2γ) = FU , FI

FV , FI tan(2ξ) =

cos(2γ) cos(2ξ) =

FQ , FI

FU . FQ

A seconda dei valori dei ﬂussi nei parametri di Stokes, l’ellisse di polarizzazione assume forme diverse, e, viceversa, ogni ellisse di polarizzazione `e caratterizzata da una particolare quaterna di ﬂussi nei parametri di Stokes. In particolare, se l’ellisse degenera in una circonferenza (γ = ±π/4), si ha che FQ = FU = 0, FV = ±FI , il segno pi` u riferendosi a una circonferenza percorsa in senso orario (per un osservatore che veda avvicinarsi l’onda) e il segno meno a una circonferenza percorsa in senso antiorario. In questo caso si parla di polarizzazione circolare pura, positiva e negativa (oppure destrorsa e sinistrorsa), rispettivamente. Se invece l’ellisse degenera in un segmento (γ = 0), si ha FV = 0 e FQ2 + FU2 = FI2 , i valori di FQ e FU essendo legati all’angolo ξ che il segmento forma con l’asse x. In questo caso si parla di polarizzazione lineare (o rettilinea) pura. I ﬂussi nei parametri di Stokes, possono anche essere espressi in termini delle ampiezze complesse E1 e E2 introdotte precedentemente. Si ha infatti, come `e facile veriﬁcare c (E ∗ E1 + E2∗ E2 ) , 8π 1 c (E ∗ E2 + E2∗ E1 ) , FU = 8π 1 FI =

c (E ∗ E1 − E2∗ E2 ) , 8π 1 c i (E1∗ E2 − E2∗ E1 ) . FV = 8π

FQ =

(2.14)

Possiamo inﬁne osservare che i ﬂussi nei parametri di Stokes di un’onda monocromatica piana non sono indipendenti fra loro. Quadrando infatti le espressioni precedenti, `e facile veriﬁcare per mezzo di semplici passaggi algebrici che i ﬂussi nei parametri di Stokes sono legati dalla relazione FI2 = FQ2 + FU2 + FV2 .

(2.15)

39

SPETTRO E POLARIZZAZIONE

Questa relazione `e tipica delle onde monocromatiche le quali, per loro natura, sono sempre polarizzate. In altre parole, `e impossibile rappresentare una radiazione priva di polarizzazione (avente cio`e FQ = FU = FV = 0) per mezzo di un’onda monocromatica. La relazione precedente traduce in termini matematici il fatto che sono suﬃcienti tre soli parametri geometrici, che possono essere ad esempio l’ampiezza, il rapporto fra il semiasse maggiore e il semiasse minore, e l’inclinazione dell’asse maggiore, per deﬁnire completamente l’ellisse di polarizzazione.

2.6 Misure spettropolarimetriche L’onda monocromatica piana considerata nel paragrafo precedente ha un carattere di polarizzazione perfettamente deﬁnito. Essa rappresenta tuttavia un caso estremamente particolare. In tutta generalit`a possiamo assumere che le due componenti del vettore campo elettrico lungo due direzioni, x e y, perpendicolari alla direzione z di propagazione di un pennello di radiazione elettromagnetica, siano descritte da due funzioni arbitrarie del tempo, E1 (t) e E2 (t). Dall’andamento di queste due funzioni dipendono non solo lo spettro, ma anche le caratteristiche di polarizzazione della radiazione. Per le due funzioni E1 (t) e E2 (t), facendo riferimento a un fenomeno di tipo stazionario e al tempo di campionatura T , deﬁniamo le rispettive trasformate di Fourier secondo l’Eq. (2.4)

ˆ1 (ω, T ) = 1 E 2π

T /2

−T /2

E1 (t) e

iωt

dt ,

ˆ2 (ω, T ) = 1 E 2π

T /2

−T /2

E2 (t) ei ω t dt .

A partire da queste deﬁnizioni possiamo generalizzare le varie equazioni che abbiamo dedotto precedentemente introducendo, in luogo del ﬂusso monocromatico Fω , il ﬂusso monocromatico nei singoli parametri di Stokes. Generalizzando l’Eq. (2.6), relativa a un segnale di tipo stazionario, si ottiene c T c FωQ = T c FωU = T c FωV = T FωI =

ˆ2 (ω, T )∗ E ˆ2 (ω, T )) , (Eˆ1 (ω, T )∗ Eˆ1 (ω, T ) + E ˆ2 (ω, T )∗ E ˆ1 (ω, T ) − E ˆ2 (ω, T )) , (Eˆ1 (ω, T )∗ E ˆ1 (ω, T )∗ E ˆ2 (ω, T )∗ E ˆ2 (ω, T ) + E ˆ1 (ω, T )) , (E ˆ2 (ω, T )∗ E ˆ2 (ω, T ) − E ˆ2 (ω, T )) . i (Eˆ1 (ω, T )∗ E

Generalizzando l’Eq. (2.8), relativa a un segnale stocastico, si ottiene

(2.16)

40

CAPITOLO 2

FωI = c Ntot fˆ1 (ω)∗ fˆ1 (ω) + fˆ2 (ω)∗ fˆ2 (ω)

,

FωQ = c Ntot fˆ1 (ω)∗ fˆ1 (ω) − fˆ2 (ω)∗ fˆ2 (ω)

,

FωU = c Ntot fˆ1 (ω)∗ fˆ2 (ω) + fˆ2 (ω)∗ fˆ1 (ω)

,

FωV = c Ntot i fˆ1 (ω)∗ fˆ2 (ω) − fˆ2 (ω)∗ fˆ1 (ω)

.

(2.17)

Inﬁne, generalizzando l’Eq. (2.10) relativa a un segnale periodico, si ottiene FωI =

∞ c (n)∗ (n) (n)∗ (n) E1 E1 + E 2 E2 δ(ω − n ω0 ) , 2π n=1

FωQ =

∞ c (n)∗ (n) (n)∗ (n) E1 E1 − E2 E2 δ(ω − n ω0 ) , 2π n=1

FωU =

∞ c (n)∗ (n) (n)∗ (n) E1 E2 + E 2 E1 δ(ω − n ω0 ) , 2π n=1

FωV =

∞ c (n)∗ (n) (n)∗ (n) i E1 E2 − E2 E1 δ(ω − n ω0 ) . 2π n=1

(2.18)

Le equazioni precedenti mostrano che la caratterizzazione polarimetrica della radiazione elettromagnetica implica la determinazione di prodotti bilineari di ˆi (ω)∗ E ˆj (ω) con i, j = 1, 2. Nella regione ratrasformate di Fourier del tipo E dio dello spettro elettromagnetico, a frequenze minori o dell’ordine del GHz, questo pu`o essere realizzato andando a misurare direttamente i campi elettrici E1 (t) e E2 (t) per mezzo di due antenne disposte lungo gli assi x e y e ricavando poi le espressioni bilineari stesse mediante procedure di tipo elettronico. Per la regione visibile dello spettro elettromagnetico, e per le regioni limitrofe dell’ultravioletto e dell’infrarosso, questo non `e per`o possibile a causa dell’elevata frequenza della radiazione (ν 1015 Hz). Come abbiamo gi` a detto, in queste regioni dello spettro elettromagnetico le misure di campo elettrico vengono realizzate attraverso dei rivelatori (camere CCD, fotomoltiplicatori, lastre fotograﬁche, etc.) che danno un segnale proporzionale all’energia incidente, e quindi al quadrato del campo elettrico. Quello che si ottiene dalle misure `e quindi soltanto un tipo di informazione che si riferisce a integrali del tipo

T /2

−T /2

E1 (t)2 + E2 (t)2 dt ,

dove T `e il tempo di esposizione del rivelatore. Limitandoci a considerare fenomeni di tipo stazionario, ricordando il teorema di Parseval nella forma dell’Eq. (2.5), e isolando il contributo della radiazione contenuta in un intervallo

SPETTRO E POLARIZZAZIONE

41

x Ep α

E y

E1

E2

Fig. 2.8. Il ﬁltro polarizzante `e disposto lungo una direzione che forma l’angolo α con l’asse x. La radiazione proviene da dietro il foglio.

di frequenza Δω centrato intorno alla frequenza ω, il segnale del rivelatore pu` o essere espresso nella forma

ˆ1 (ω, T )∗ E ˆ2 (ω, T )∗ E ˆ1 (ω, T ) + E ˆ2 (ω, T ) , S=K E dove K `e una costante dimensionale che dipende dalla sensibilit`a del rivelatore, dalle unit` a di misura in cui si misura il segnale e dall’ampiezza dell’intervallo di frequenza considerato. Questa formula mostra che, senza ricorrere a ulteriori dispositivi, le uniche misure che si possono realizzare sono quelle del ﬂusso monocromatico FωI . Le misure di polarizzazione si ottengono interponendo sul cammino della radiazione degli opportuni dispositivi che alterano le caratteristiche di polarizzazione della radiazione incidente in maniera nota a priori. Questi dispositivi sono i ﬁltri polarizzanti (o semplicemente polarizzatori) e le lamine di ritardo. I ﬁltri polarizzanti (ideali) godono della propriet` a di essere completamente trasparenti alla radiazione il cui vettore campo elettrico vibri lungo una particolare direzione (detta direzione di accettazione o di trasparenza del ﬁltro) e completamente opachi alla radiazione il cui vettore campo elettrico vibri lungo la direzione a essa perpendicolare. Se si dispone quindi il ﬁltro in modo tale che la direzione di accettazione formi un angolo α con l’asse x (si veda la Fig. 2.8 per le convenzioni adottate), il rivelatore risponder`a con un segnale del tipo ˆp (ω, T )∗ E ˆp (ω, T ) , S(α) = K E

(2.19)

ˆp (ω, T ) `e la trasformata di Fourier della proiezione del campo elettrico dove E lungo l’asse di accettazione del polarizzatore. Con riferimento alla Fig. 2.8, tale trasformata pu` o essere espressa nella forma (ovviamente le trasformate delle componenti di un vettore si trasformano come le componenti stesse per rotazioni del sistema di riferimento) ˆp (ω, T ) = cosα E ˆ1 (ω, T ) + sinα Eˆ2 (ω, T ) , E

42

CAPITOLO 2

per cui si ottiene ˆ1 (ω, T )∗ E ˆ2 (ω, T )∗ E ˆ1 (ω, T ) + sin2 α E ˆ2 (ω, T )+ S(α) = K cos2 α E ˆ2 (ω, T )∗ E ˆ2 (ω, T ) + E ˆ1 (ω, T ) ˆ1 (ω, T )∗ E . + sinα cosα E Invertendo le Eq. (2.16) e sostituendo nell’equazione precedente, il segnale S(α) pu` o essere espresso attraverso i ﬂussi monocromatici nei parametri di Stokes. Si ottiene S(α) = K FωI + cos(2α) FωQ + sin(2α) FωU , dove K `e una nuova costante. Da questa equazione si vede che i ﬂussi monocromatici nei parametri di Stokes Q e U possono essere deﬁniti operativamente mediante le equazioni

FωQ =

1 [S(0◦ ) − S(90◦ )] , 2 K

FωU =

1 [S(45◦ ) − S(135◦)] . 2 K

Il ﬂusso monocromatico nel parametro di Stokes Q, rappresenta quindi la diﬀerenza fra il segnale misurato dal rivelatore a valle di un ﬁltro polarizzante orientato sotto l’angolo α = 0◦ (direzione di accettazione coincidente con l’asse x) e il segnale misurato a valle di un ﬁltro polarizzante orientato sotto l’angolo α = 90◦ (direzione di accettazione coincidente con l’asse y). Il signiﬁcato dell’altro ﬂusso monocromatico, quello nel parametro di Stokes U , `e del tutto analogo con gli angoli di orientazione del polarizzatore sostituiti da 45 ◦ (direzione di accettazione coincidente con la bisettrice degli assi x e y) e 135 ◦ (direzione di accettazione coincidente con la bisettrice degli assi −x e y), rispettivamente. Riguardo al ﬂusso monocromatico nel parametro di Stokes I, si ha 1 [S(α) + S(α + 90◦ )] , 2 K con α qualsiasi. Alternativamente, la stessa quantit` a si pu` o misurare pi` u semplicemente senza interporre alcun ﬁltro polarizzante (ideale). Da questo si vede che il ﬂusso monocromatico nel parametro di Stokes I coincide col ﬂusso monocromatico convenzionale. Le espressioni dedotte precedentemente mostrano che il ﬂusso monocromatico nel parametro di Stokes V non pu` o essere misurato disponendo solamente di un ﬁltro polarizzante. Per la sua misura `e necessario introdurre un ulteriore dispositivo, la lamina di ritardo. In generale, si pu` o deﬁnire lamina di ritardo (ideale) un dispositivo che scompone il fascio di radiazione entrante in due fasci distinti, caratterizzati da polarizzazioni diverse, sfasa un fascio rispetto FωI =

SPETTRO E POLARIZZAZIONE

43

all’altro, e ricompone inﬁne in uscita i due fasci per formarne uno nuovo la cui polarizzazione `e diversa dalla polarizzazione del fascio in ingresso. In pratica, una lamina di ritardo pu` o essere realizzata attraverso un cristallo birifrangente caratterizzato da due assi perpendicolari fra loro e perpendicolari al suo asse ottico. Uno dei due assi `e detto asse veloce (fast axis) mentre l’altro `e detto asse lento (slow axis). Le componenti del campo elettrico lungo l’asse veloce e l’asse lento si propagano lungo l’asse ottico con indici di rifrazione diversi, nf e ns , rispettivamente, con ns > nf . Questa diﬀerenza fra gli indici di rifrazione provoca all’interno della lamina uno sfasamento (o ritardo) δ tale che, ˆf (ω) e E ˆs (ω) sono le trasformate di Fourier delle componenti del vettore se E campo elettrico lungo i due assi all’ingresso della lamina, le stesse trasformate ˆf (ω) e E ˆs (ω) , sono date (a meno di un fattore di fase all’uscita dalla lamina, E inessenziale) da ˆf (ω) = E ˆf (ω) , E

ˆs (ω) = E ˆs (ω) ei δ , E

dove δ = 2π (ns − nf ) L/λ , essendo L lo spessore geometrico della lamina e λ = 2π c/ω la lunghezza d’onda della radiazione. Se δ = π/2 si dice che si ha a che fare con una lamina a quarto d’onda, se δ = π con una lamina a mezz’onda, e cos`ı via. Si pu` o mostrare facilmente che una lamina a quarto d’onda trasforma un fascio polarizzato circolarmente in un fascio polarizzato linearmente (con direzioni che diﬀeriscono di 90 ◦ per polarizzazione circolare destra o sinistra, rispettivamente) e che una lamina a mezz’onda ruota di 90◦ la direzione della polarizzazione lineare (quando tale direzione coincide con la bisettrice dell’angolo compreso fra l’asse veloce e l’asse lento). Si noti inoltre che il ritardo di una lamina dipende fortemente da λ, da cui la diﬃcolt` a che risulta nel costruire delle lamine cosiddette acromatiche (ovvero per le quali il ritardo sia indipendente dalla lunghezza d’onda). Supponiamo adesso di disporre di una lamina a quarto d’onda e inseriamola lungo il fascio in modo che l’asse veloce sia diretto lungo l’asse x. Facciamo poi seguire ad essa il polarizzatore, orientato di nuovo sotto un angolo α come ˆ2 (ω, T ) sono le trasformate di Fourier delle mostrato in Fig. 2.8. Se Eˆ1 (ω, T ) e E componenti del campo elettrico lungo gli assi x e y all’ingresso della lamina, le componenti all’uscita della lamina sono date (a meno di un inessenziale ˆ2 (ω, T ) ei π/2 = i E ˆ2 (ω, T ), rispettivamente. La fattore di fase) da Eˆ1 (ω, T ) e E trasformata di Fourier della proiezione del vettore campo elettrico lungo l’asse di accettazione del polarizzatore `e quindi data da ˆp (ω, T ) = cosα Eˆ1 (ω, T ) + i sinα E ˆ2 (ω, T ) . E Il rivelatore risponder` a con un nuovo segnale, T (α), ancora dato dal secondo membro dell’Eq. (2.19). Con la presente espressione per Eˆp (ω, T ) si ottiene

44

CAPITOLO 2

ˆ2 (ω, T )∗ E ˆ2 (ω, T ) T (α) = K cos2 α Eˆ1 (ω, T )∗ Eˆ1 (ω, T ) + sin2 α E ˆ2 (ω, T )∗ E ˆ2 (ω, T ) + E ˆ1 (ω, T ) ˆ1 (ω, T )∗ E , + i sinα cosα E ovvero, in termini di ﬂussi monocromatici nei parametri di Stokes T (α) = K FωI + cos(2α) FωQ + sin(2α) FωV . Il ﬂusso monocromatico nel parametro di Stokes V pu` o quindi essere deﬁnito operativamente dalla relazione 1 [T (45◦ ) − T (135◦)] . 2 K In pratica, le operazioni schematiche che abbiamo descritto per la misura dei ﬂussi nei parametri di Stokes vengono realizzate per mezzo di opportuni strumenti detti polarimetri. Tali strumenti sono realizzati per mezzo di una o pi` u lamine di ritardo e da un polarizzatore di uscita. Quando si intenda eseguire sia l’analisi polarimetrica che l’analisi spettroscopica della radiazione, in genere si fa precedere la prima alla seconda, nel senso che la radiazione traversa il polarimetro prima di entrare nello spettroscopio. Il polarizzatore di uscita del polarimetro viene generalmente tenuto in posizione ﬁssa perch´e un ordinario reticolo di diﬀrazione `e sensibile in maniera considerevole alla polarizzazione della radiazione che incide su di esso. FωV =

2.7 Propriet` a dei parametri di Stokes Come abbiamo visto nel Par. 2.5, un’onda monocromatica presenta sempre un carattere di polarizzazione ben deﬁnito. La cosa cessa di essere valida quando si considera un pennello di radiazione avente carattere stocastico. Per dimostrare questa propriet`a, consideriamo la quantit` a 2 2 2 2 P = FωI − FωQ − FωU − FωV . Sostituendo le espressioni delle Eq. (2.17) relative a un segnale stocastico, e sviluppando i calcoli si ottiene 2 P = 4 c2 Ntot [ f1∗ f1

f2∗ f2 − f1∗ f2

f2∗ f1 ] ,

dove, per non appesantire troppo le notazioni, abbiamo indicato con fi (i = 1, 2) le trasformate di Fourier fˆi (ω). Introduciamo adesso la quantit`a complessa A deﬁnita dall’equazione A = f2 f1∗ f1 − f1 f1∗ f2

.

45

SPETTRO E POLARIZZAZIONE

Per la media statistica del suo modulo quadro si ottiene, con facili passaggi |A|2 = f1∗ f1 f1∗ f1

f1∗ f1

e |A| e poich´e le quantit`a diseguaglianza di Cauchy-Schwarz f1∗ f1

2

f2∗ f2 − f1∗ f2

f2∗ f1

,

sono entrambe positive, se ne deduce la

f2∗ f2 − f1∗ f2

f2∗ f1 ≥ 0 ,

la quale, sostituita nell’espressione per P ottenuta precedentemente, implica

FωI

2

2 2 2 − FωQ − FωU − FωV ≥ 0 .

Si noti che il segno di uguaglianza vale soltanto quando la quantit` a A `e nulla, ovvero quando il rapporto fra le trasformate f1 e f2 `e tale da soddisfare l’equazione f1 = f2

f1∗ f1 f1∗ f2

.

In questo caso le trasformate delle due componenti dei segnali elementari lungo gli assi x e y sono caratterizzate dall’avere un rapporto fra le ampiezze costante e una diﬀerenza di fase anch’essa costante. Il caso dell’onda monocromatica considerato precedentemente `e un caso particolare di questa situazione. Il caso opposto `e invece quello in cui le trasformate delle due componenti sono caratterizzate dall’avere ampiezze medie uguali f1∗ f1 = f2∗ f2

,

e una relazione di fase aleatoria, dimodoch´e f1∗ f2 = f2∗ f1 = 0 . In questo caso si ha FωQ = FωU = FωV = 0 , e si dice che si ha a che fare con radiazione non polarizzata, oppure con radiazione naturale. Come abbiamo visto, i ﬂussi nei parametri di Stokes necessitano di una direzione di riferimento per la loro deﬁnizione. Tale direzione `e arbitraria, dimodoch´e `e sempre necessario speciﬁcare chiaramente qual’`e la direzione di riferimento scelta quando si introducono tali quantit` a sia in calcoli teorici che in esperimenti di laboratorio o in osservazioni astronomiche. Nella pratica dell’astronomia notturna, ad esempio, `e invalso l’uso di scegliere come direzione di riferimento il meridiano passante per l’oggetto osservato. In ﬁsica solare, o nell’osservazione di oggetti estesi, si possono scegliere direzioni di riferimento

46

CAPITOLO 2

x

x’

θ y

y’ Fig. 2.9. Una rotazione del sistema di riferimento implica una trasformazione dei ﬂussi nei parametri di Stokes Q e U . La radiazione proviene da dietro il foglio.

diverse, appropriate alla geometria del particolare fenomeno in studio. Ad esempio, quando si osserva la polarizzazione al lembo solare, `e abitudine scegliere come direzione di riferimento la tangente al lembo stesso. Al cambiare del sistema di riferimento, i parametri di Stokes si trasformano mediante semplici relazioni lineari. Per vederlo, riferiamoci alla Fig. 2.9 e siano FωI , FωQ , FωU , FωV i ﬂussi nei parametri di Stokes relativi alla direzione di riferimento x. Se (FωI ) , (FωQ ) , (FωU ) , (FωV ) sono i ﬂussi nei parametri di Stokes relativi alla direzione x , ruotata di un angolo θ rispetto a x (in senso antiorario guardando la sorgente di radiazione), le leggi di trasformazione si trovano facilmente osservando che f1 = cosθf1 + sinθf2 ,

f2 = cosθf2 − sinθf1 .

Sostituendo nelle Eq. (2.17) si ottiene (FωI ) = FωI ,

(FωQ ) = cos(2θ) FωQ + sin(2θ) FωU ,

(FωU ) = cos(2θ) FωU − sin(2θ) FωQ ,

(FωV ) = FωV .

Al cambiare della direzione di riferimento solo i ﬂussi nei parametri di Stokes relativi alla polarizzazione lineare, FωQ e FωU , cambiano, trasformandosi l’uno nell’altro secondo le equazioni precedenti. Gli altri ﬂussi (in intensit` a e in polarizzazione circolare) sono invece invarianti. Si noti che una rotazione di un angolo θ = π lascia tutto inalterato, il che signiﬁca che la direzione di riferimento `e deﬁnita a meno del senso. Osserviamo inﬁne che, in pratica, i ﬂussi nei parametri di Stokes vengono spesso denotati con i simboli I, Q, U , e V , senza speciﬁcare, in molti casi, se essi siano riferiti all’unit` a di intervallo di frequenza (o di frequenza angolare, o di lunghezza d’onda), oppure se siano riferiti, oppure no, all’unit` a di angolo solido. Spesso questo non provoca inconvenienti in quanto i risultati delle misure

SPETTRO E POLARIZZAZIONE

47

polarimetriche vengono generalmente espressi mediante i rapporti Q/I, U/I, e V /I che sono indipendenti da eventuali fattori di proporzionalit`a impliciti nelle diverse deﬁnizioni. Per uniformit` a di notazioni, osserviamo semplicemente che il simbolo Iν (e i corrispondenti simboli Qν , Uν e Vν ) dovrebbero essere riservati a esprimere l’energia della radiazione, avente frequenza compresa fra ν e ν +dν, e direzione compresa entro l’angolo solido unitario, che ﬂuisce, nell’unit`a di tempo, attraverso l’unit` a di superﬁcie unitaria disposta perpendicolarmente alla direzione della radiazione.

Capitolo 3

Radiazione di cariche elettriche in moto Una delle conseguenze pi` u importanti delle equazioni di Maxwell `e l’emissione di radiazione elettromagnetica da parte di particelle cariche in moto accelerato. In questo capitolo daremo una descrizione classica di tale fenomeno, mettendone in evidenza le caratteristiche generali riguardo alle sezioni d’urto e alle propriet` a spettrali e polarimetriche della radiazione emessa, sia nel caso di particelle non relativistiche, che nel caso di particelle relativistiche. In particolare descriveremo alcuni processi ﬁsici fondamentali quali la diﬀusione Thomson e Rayleigh, e daremo una trattazione approfondita della radiazione di frenamento (in approssimazione non relativistica), della radiazione di ciclotrone e di quella di sincrotrone. L’ultima parte del capitolo `e dedicata allo studio dell’irraggiamento dovuto a un numero elevato di particelle e al suo sviluppo in onde multipolari.

3.1 Potenziali elettromagnetici dovuti a cariche e correnti r , t) e il campo maCome abbiamo visto nel Cap. 1, il campo elettrico E( r, t) nel punto di coordinate r e all’istante t possono essere dedotti gnetico B( r, t) e φ(r, t) in tutta generalit` a a partire dai potenziali elettromagnetici A( mediante le equazioni r, t) = −gradφ(r, t) − 1 ∂ A(r, t) , E( c ∂t

r , t) = rotA( r, t) . B(

Qualora si adotti il gauge di Lorenz, i potenziali elettromagnetici soddisfano le equazioni diﬀerenziali alle derivate parziali (Eq. (1.8) e (1.9)) r, t) − ∇2 A(

1 ∂2 4π A(r, t) = − j (r, t) , c2 ∂t2 c

(3.1)

∇2 φ(r, t) −

1 ∂2 φ(r, t) = −4π ρ(r, t) , c2 ∂t2

(3.2)

dove ρ(r, t) e j (r, t) sono la densit` a di carica e di corrente, rispettivamente, e la condizione supplementare dell’Eq.(1.7)

50

CAPITOLO 3

1 ∂ φ(r, t) = 0 . (3.3) c ∂t Per trovare la soluzione di questo sistema di equazioni diﬀerenziali `e conveniente rifarsi al caso statico. Consideriamo preliminarmente l’equazione statica per il potenziale scalare (equazione di Poisson) r, t) + divA(

∇2 φ(r ) = −4π ρ(r ) ,

(3.4)

e cerchiamo di risolverla per il caso particolare ∇2 φ(r ) = −4π δ(r ) ,

(3.5)

dove δ(r ) `e la funzione di Dirac tridimensionale deﬁnita, in coordinate cartesiane, da δ(r ) = δ(x) δ(y) δ(z). Per ovvie ragioni di simmetria, il potenziale φ dipende solo dal modulo del vettore r. In queste circostanze, l’operatore Laplaciano `e dato semplicemente da (si veda l’Eq. (6.7)) 1 d 2 2 d ∇ = 2 r , r dr dr e pu` o anche esprimersi nella forma pi` u compatta 1 d2 r . r dr2 L’equazione diﬀerenziale per φ risulta quindi, per r = 0 ∇2 =

(3.6)

1 d2 [ rφ(r) ] = 0 . r dr2 La soluzione pi` u generale di questa equazione `e della forma r φ(r) = a + b r , con a e b costanti arbitrarie, e si ottiene quindi, per r = 0, a +b . r La costante b ﬁssa il valore del potenziale per r → ∞. Assumendo che il potenziale si annulli all’inﬁnito, tale costante risulta nulla, per cui φ(r) =

a . r Per determinare il valore della costante a, si pu` o ricordare che l’operatore Laplaciano `e dato da φ(r) =

∇2 = div grad .

RADIAZIONE DI CARICHE IN MOTO

51

Applicando il teorema di Gauss a una sfera di raggio arbitrario centrata nell’origine e tenendo conto che grad

a a a = − 2 n = − 3 r , r r r

dove n `e il versore di r, si ottiene −4π a = −4π , ovvero a = 1. Abbiamo quindi ottenuto il risultato fondamentale che la soluzione dell’equazione diﬀerenziale (3.5) che soddisfa la condizione al contorno di annullarsi per r → ∞ `e φ(r ) =

1 . r

Questo risultato pu`o essere generalizzato per traslazione. Ovviamente, la soluzione dell’equazione ∇2 φ(r ) = −4π δ(r − r ) ,

(3.7)

che soddisfa la medesima condizione al contorno `e φ(r ) =

1 . |r − r |

Se inﬁne osserviamo che si pu`o sempre scrivere ρ(r ) = ρ(r ) δ(r − r ) d3r , per la linearit` a dell’operatore Laplaciano, si ottiene che la soluzione dell’equazione diﬀerenziale (3.4) `e la seguente ρ(r ) 3 φ(r ) = d r . |r − r | Il risultato che abbiamo ottenuto `e molto intuitivo dal punto di vista ﬁsico e poteva essere anticipato ricordando che una carica puntiforme, q, genera nello spazio un campo elettrico che discende da un potenziale della forma V = q/r, r essendo la distanza dalla carica. L’espressione data sopra altro non `e che la generalizzazione di quest’ultima formula al caso di una distribuzione continua di cariche. Qui abbiamo preferito darne una prova matematica pi` u formale utilizzando un metodo standard della risoluzione delle equazioni diﬀerenziali lineari non omogenee detto metodo della funzione di Green. Ritorniamo adesso al caso dipendente dal tempo e cominciamo col risolvere l’equazione

52

CAPITOLO 3

∇2 φ(r, t) −

1 ∂ φ(r, t) = −4π f (t) δ(r ) , c2 ∂t2

dove f (t) `e una funzione arbitraria del tempo. Come nel caso precedente, la funzione φ, per ovvie ragioni di simmetria, pu` o dipendere soltanto dal modulo del vettore r, oltre che, adesso, dal tempo. Esprimendo l’operatore ∇2 attraverso l’Eq. (3.6), l’equazione per φ(r, t) risulta, per r = 0 1 ∂2 1 ∂2 [ r φ(r, t) ] − 2 2 φ(r, t) = 0 , 2 r ∂r c ∂t ovvero

∂2 1 ∂2 [ r φ(r, t) ] = 0 . − ∂r2 c2 ∂t2

La soluzione pi` u generale di questa equazione `e della forma r φ(r, t) = g(t ± r/c) , dove g `e una funzione arbitraria del proprio argomento, ovvero φ(r, t) =

g(t ± r/c) . r

In analogia a quanto fatto nel caso stazionario, imponiamo la condizione nell’origine applicando il teorema di Gauss a una sfera di raggio inﬁnitesimo. Si ottiene g(t) = f (t) , per cui la soluzione `e della forma φ(r, t) =

f (t ± r/c) . r

Delle due soluzioni che si sono cos`ı ottenute solo una, quella col segno meno, ha signiﬁcato nel problema ﬁsico che stiamo considerando. Confrontando il risultato del caso dipendente dal tempo con quello ottenuto nel caso statico, vediamo infatti che il potenziale a distanza r dall’origine e al tempo t ha la stessa espressione del potenziale del caso statico corrispondente alla carica f (t − r/c), ovvero alla carica che si trova nell’origine al cosiddetto tempo anticipato, t , deﬁnito da t = t −

r . c

Questo risultato trova una sua spiegazione naturale nel fatto che i segnali elettromagnetici si propagano con velocit`a c. La soluzione con il segno pi` u farebbe

RADIAZIONE DI CARICHE IN MOTO

53

intervenire il tempo ritardato, t + r/c, invece del tempo anticipato. Essa non ha un’interpretazione ﬁsica diretta in questo problema e deve essere scartata. Ripetendo gli argomenti svolti nel caso stazionario, si trova che la soluzione dell’equazione diﬀerenziale (3.2) `e data dall’espressione ρ(r , t ) 3 φ(r, t) = d r , (3.8) |r − r | dove t `e il tempo anticipato deﬁnito da |r − r | . (3.9) c Mediante considerazioni del tutto analoghe, per il potenziale vettore soluzione dell’Eq. (3.1) si ottiene l’espressione j (r , t ) 3 r , t) = 1 A( d r . (3.10) c |r − r | t = t −

Prima di poter accettare le soluzioni date dalle Eq. (3.8) e (3.10) per i potenziali scalare e vettore `e per`o necessario veriﬁcare che tali soluzioni soddisﬁno la condizione imposta dal calibro di Lorenz (Eq. (3.3)). Diamo nel seguito la dimostrazione premettendo che, quando si ha a che fare con funzioni del tipo f (r, t ), oppure f (r , t ) con t tempo anticipato, il simbolo di derivata parziale diventa ambiguo perch´e le variabili r (o r ) e t non sono indipendenti. Se si d` a infatti, ad esempio, una variazione δr a r, si possono considerare alternativamente due tipi diversi di incremento della funzione, δf1 e δf2 , dati da δf1 = f (r + δr, t ) − f (r, t ) ,

δf2 = f (r + δr, t + δt ) − f (r, t ) ,

dove δt `e la variazione di t dovuta al δr. Indicheremo l’operazione di derivazione eseguita con l’incremento δf2 col consueto simbolo “∂” di derivata parziale. Viceversa, l’operazione di derivazione eseguita con l’incremento δf 1 sar` a indicata col simbolo “δ”. Fra le due operazioni di derivazione sussiste la relazione ∂ δ ∂t ∂ f (r, t ) = f (r, t ) + f (r, t ) . ∂xk δxk ∂xk ∂t C’`e da notare che per funzioni che dipendono solo da r (e non dal tempo), i due tipi di derivata, ∂ e δ, coincidono. r, t). Poich´e tale operazione Iniziamo col valutare la divergenza del vettore A( deve essere fatta a t costante, dall’Eq. (3.10) si ha ∂ jk (r , t ) 1 ∂ divA(r, t) = d3r . Ak (r, t) = ∂xk c ∂xk |r − r | k

k

54

CAPITOLO 3

Per valutare questo integrale teniamo conto del fatto che la dipendenza da xk `e contenuta sia nel denominatore che nel numeratore in quanto il tempo anticipato, t , dipende da |r − r | e quindi da xk . Se poi osserviamo che ∂ ∂ |r − r | = − |r − r | , ∂xk ∂xk pu` l’espressione per divA o anche essere posta nella forma r , t) = 1 divA( c

1 ∂ δ jk (r , t ) + − jk (r , t ) d3r . ∂xk |r − r | |r − r | δxk k

Il primo pezzo dell’integrale pu` o essere trasformato, per il teorema di Gauss, in un integrale di superﬁcie. Supponendo che la densit`a di corrente si annulli suﬃcientemente all’inﬁnito, l’integrale d`a risultato nullo, per cui δ 1 r, t) = 1 divA( jk (r , t ) d3r . c |r − r | δxk k

Valutiamo adesso il secondo termine della condizione di Lorenz. Per l’Eq.(3.8) si ha 1 ∂ ρ(r , t ) 3 1 ∂ φ(r, t) = d r . c ∂t c ∂t |r − r | Se adesso teniamo conto che, a r e r ﬁssati, si ha ∂ ∂ ρ(r , t ) = ρ(r , t ) , ∂t ∂t si ottiene 1 ∂ φ(r, t) = c ∂t δ 1 1 ∂ = jk (r , t ) + ρ(r , t ) d3r . c |r − r | δxk ∂t

r , t) + divA(

(3.11)

k

D’altra parte, l’equazione di continuit` a della carica, scritta per il punto di coordinate r e l’istante t , risulta, nelle notazioni che abbiamo introdotto, δ ∂ jk (r , t ) + ρ(r , t ) = 0 , δxk ∂t k

per cui la parentesi graﬀa contenuta nell’Eq. (3.11) si annulla e la condizione di Lorenz risulta veriﬁcata.

55

RADIAZIONE DI CARICHE IN MOTO

3.2 I potenziali di Li´ enard e Wiechart Nel paragrafo precedente abbiamo trovato le espressioni dei potenziali scalare e vettore per una distribuzione arbitraria di cariche e correnti. Adesso andiamo ad applicare tali espressioni al caso particolare in cui sia presente una sola particella puntiforme, di carica e, mobile nel tempo secondo l’equazione oraria r0 (t). Per il moto della particella deﬁniamo i vettori velocit`a e accelerazione secondo le consuete equazioni v (t) =

d r0 (t) , dt

a(t) =

d2 d v (t) = 2 r0 (t) . dt dt

Le densit` a di carica e corrente dovute alla particella puntiforme possono essere espresse in termini della funzione delta di Dirac tridimensionale. Si ha ρ(r, t) = e δ[ r − r0 (t)] ,

j (r, t) = e v (t) δ[ r − r0 (t)] ,

e si ottiene quindi, dalle Eq. (3.8) e (3.10) φ(r, t) = e

δ[r − r0 (t )] 3 d r , |r − r |

r, t) = e A( c

v (t ) δ[r − r0 (t )] 3 d r , |r − r |

dove t `e il tempo anticipato deﬁnito dall’Eq. (3.9). La presenza della funzione delta di Dirac permette di valutare facilmente gli integrali contenuti nelle espressioni precedenti. Ricordiamo che date due funzioni arbitrarie f (x) e g(x), per la funzione delta di Dirac unidimensionale si ha (si veda anche l’App. 3)

∞

f (x) δ[g(x)] dx = −∞

N

f (xi )

i=1

1 |g (xi )|

,

dove xi , con i = 1, . . . , N , sono le N soluzioni dell’equazione g(x) = 0 e dove g (x) `e la derivata della funzione g(x) rispetto alla variabile x. Per la delta di Dirac tridimensionale, l’equazione precedente si generalizza nella seguente espressione f (r ) δ[g(r )] d3r =

N

f (ri )

i=1

1 , |J(ri )|

dove ri , con i = 1, . . . , N , sono le N soluzioni dell’equazione vettoriale g (r ) = 0, e dove J `e lo Jacobiano della trasformazione r = g(r ), ovvero il determinante della matrice Jacobiana Jkl (r ) deﬁnita da Jkl (r ) =

∂gk (r ) . ∂xl

56

CAPITOLO 3

Punto in cui si calcola il campo all’istante t z

r

R = r −r 0(t’) Traiettoria y

n a

r 0 (t’) v x

Particella carica all’istante anticipato t’ Fig. 3.1. Geometria per il calcolo del campo elettromagnetico nel punto di coordinate r all’istante t. I vettori v e a sono, rispettivamente, la velocit` a e l’accelerazione della particella all’istante anticipato. Il versore n ` e diretto lungo la direzione che va dalla posizione della particella all’istante anticipato al punto in cui si calcola il campo.

Ritornando agli integrali che ci interessa calcolare, osserviamo preliminarmente che, dato che la velocit`a della particella `e necessariamente minore di c, l’equazione r − r0 (t ) = 0 ammette, a r e t ﬁssati, una e una sola soluzione, schematicamente illustrata nella Fig. 3.1. Per non appesantire troppo il formalismo con nuove notazioni, indicheremo con r e con t il punto e l’istante corrispondenti a tale soluzione. Per quanto concerne la matrice Jacobiana, si ha Jjk =

∂ ∂ xj − [r0 (t )]j = δjk − [r0 (t )]j . ∂xk ∂xk

Tenendo conto della deﬁnizione del tempo anticipato (Eq. (3.9)) si ottiene ∂ ∂t ∂ vj ∂ [ r (t )] = [ r (t )] =− |r − r | , 0 j 0 j ∂xk ∂t ∂xk c xk dove vj `e la componente j-esima della velocit`a della particella valutata all’istante t . Per calcolare l’ultima derivata, posto = r − r , R

57

RADIAZIONE DI CARICHE IN MOTO

si ha ∂Ri = −δik , ∂xk per cui ∂ 2 ∂ R = ∂xk ∂xk

Ri Ri

= −2Rk ,

i

e quindi ∂ ∂ √ 2 Rk = −nk , R= R =− ∂xk ∂xk R dove abbiamo introdotto il versore n per indicare la direzione del vettore R. Tenendo conto di questo risultato, la matrice Jacobiana risulta Jjk = δjk −

vj nk . c

Possiamo adesso calcolare lo Jacobiano. Si ha ⎛

vx nx c ⎜ vy nx ⎜ J = det ⎜ − c ⎝ vz nx − c e, con semplici passaggi algebrici, 1−

vx ny − c vy ny 1− c vz ny − c

J =1−

vx nz − c vy nz − c vz nz 1− c

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ , ⎠

v · n . c

La sostituzione di questi risultati negli integrali contenenti le delte di Dirac porta alle seguenti espressioni per i potenziali φ(r, t) =

e , κR

r, t) = e v , A( cκR

(3.12)

v · n , c

(3.13)

dove si `e posto κ=1−

e dove tutte le quantit` a che compaiono in queste equazioni, ovvero v , R, n, κ vanno valutate all’istante anticipato t soluzione dell’equazione implicita t = t −

|r − r0 (t )| . c

(3.14)

58

CAPITOLO 3

v

Fig. 3.2. I segnali emessi da una sorgente in movimento a tempi successivi, qui rappresentati sotto forma di onde sferiche, si inﬁttiscono nella direzione della velocit` a e si diradano nella direzione opposta. In ogni caso, essendo la velocit` a v minore di c, ciascuna onda sferica contiene tutte quelle emesse a tempi successivi. Questa `e la ragione per cui l’Eq. (3.14) ammette una sola soluzione.

I potenziali che abbiamo ottenuto prendono il nome di potenziali di Li´enard e Wiechart. Essi fanno comparire nella loro espressione il fattore 1/κ che, come vedremo, `e di importanza fondamentale nel determinare le propriet`a di irraggiamento delle cariche in movimento. Il signiﬁcato ﬁsico di tale fattore pu` o essere intuitivamente compreso osservando che i segnali emessi da una sorgente in movimento si inﬁttiscono nella direzione della velocit`a e si diradano nella direzione opposta, come esempliﬁcato nella Fig. 3.2. Inﬁne, `e interessante osservare che, nel caso statico, il potenziale scalare di Li´enard e Wiechart si riduce al potenziale dell’elettrostatica (in quanto κ = 1), mentre il potenziale vettore `e nullo, essendo v = 0.

3.3 Campo elettromagnetico di una carica in moto Il campo elettrico e il campo magnetico dovuti, nel punto di coordinate r e all’istante t, a una particella puntiforme di carica e mobile con legge oraria r0 (t), si ottengono applicando ai potenziali di Li´enard e Wiechart le equazioni generali che deﬁniscono i potenziali scalare e vettore, ovvero r, t) = rotA( r , t) , B(

(3.15)

r, t) = −gradφ(r, t) − 1 ∂ A( r, t) . E( c ∂t

(3.16)

RADIAZIONE DI CARICHE IN MOTO

59

La determinazione dei campi risulta quindi un banale esercizio di derivazione. Tale esercizio presenta per`o alcune sottili diﬃcolt` a matematiche che `e necessario illustrare in dettaglio. Cominciamo con l’osservare che i potenziali di Li´enard e Wiechart contengono al denominatore l’espressione κR e che tale espressione pu`o essere posta nella forma κR =

v · n v · R 1− R=R− . c c

Osserviamo inoltre che, dato un vettore della forma = xa − xb , X con xa e xb funzioni di un parametro arbitrario ζ, si ha ∂xb ∂ ∂xa − , X= ∂ζ ∂ζ ∂ζ per cui ∂xb ∂ 2 ∂xa X = 2X · − , ∂ζ ∂ζ ∂ζ con la notazione vers(X), si ha e quindi, introducendo il versore del vettore X ∂ ∂ √ 2 1 · ∂xa − ∂xb = vers(X) · ∂xa − ∂xb . X= 2X X = ∂ζ ∂ζ 2X ∂ζ ∂ζ ∂ζ ∂ζ Utilizzando questo risultato, si ottengono facilmente le espressioni sotto riportate ∂R = −n · v , ∂t

∂t 1 ∂R n · v =κ , =1+ =1− ∂t c ∂t c

∂t 1 1 v = , grad [ r0 (t ) ] = −[ gradR ] . = ∂t ∂t κ c ∂t Per l’ultima equazione, si ha infatti ∂ ∂ ∂t [r0 (t )]j = [r0 (t )]j = ∂xi ∂t ∂xi vj ∂R R ∂ =− = vj t− . ∂xi c c ∂xi

{grad [ r0 (t ) ]}ij =

D’altra parte,

60

CAPITOLO 3

gradR = grad| r − r0 (t ) | = n − grad [ r0 (t ) ] · n = n + [gradR]

v · n , c

dalla quale si ottiene n , κ che permette di riscrivere l’equazione per il gradiente di r0 (t ) nella forma gradR =

grad [r0 (t )] = −

n v . κc

Si ha inoltre = grad [ r − r0 (t ) ] = U + gradR

n v , κc

dove U `e il tensore unitario (Uij = δij ), e ancora 1 n R = − gradR = − , grad t = grad t − c c κc grad v = (grad t )

∂v n a , =− ∂t κc

∂R ∂R ∂t v · n = =− , ∂t ∂t ∂t κ

∂t ∂R ∂R v ∂v ∂v ∂t a = =− , = = , ∂t ∂t ∂t κ ∂t ∂t ∂t κ dove a `e l’accelerazione della particella al tempo anticipato t . Attraverso queste relazioni `e facile esprimere sia il gradiente che la derivata temporale del prodotto κR. Si ha

v · R grad(κR) = grad R − c

= gradR −

1 − 1 gradR · v , (gradv ) · R c c

ovvero n 1 v v 2 n v 2 n v 1 ) n , grad(κR) = + 2 (a · R ) n − − 2 = 1 − 2 − + (a · R κ c κ c c κ c κ c c2 κ 2 ∂ ∂ v · R n · v 1 + v . (κR) = R− =− − a · R ∂t ∂t c κ cκ cκ Siamo adesso in grado di calcolare il campo elettrico. Attraverso le Eq. (3.16) e (3.12) si ottiene

61

RADIAZIONE DI CARICHE IN MOTO

r , t) = −e grad E(

1 κR

e ∂ − 2 c ∂t

v κR

,

ovvero, r , t) = E(

e κ2 R 2

grad(κR) −

e c2 κ R

∂ ∂v e v + 2 2 2 (κR) . ∂t c κ R ∂t

Sostituendo le espressioni trovate precedentemente si ottiene inﬁne v 2 n v 1 r , t) = e ) n − e a 1 − E( ( a · R − + κ2 R 2 c2 κ c κ c2 c2 κ 2 R 1 v2 n · v e v − a · R + . + 2 2 2 − c κ R κ κc κc L’espressione del campo elettrico contiene vari addendi di cui alcuni proporzionali a R−2 e altri proporzionale a R−1 . Raccogliendo i primi si ottiene il cosiddetto termine Coulombiano, talvolta anche detto termine di velocit` a, che generalizza alle cariche in movimento l’usuale espressione del campo Coulombiano dell’elettrostatica. Raccogliendo gli altri termini si ottiene invece il cosiddetto termine di radiazione, talvolta detto anche termine di accelerazione r , t)]Coul perch´e proporzionale all’accelerazione della carica. Indicando con [E( e [E(r, t)]rad i due contributi, per mezzo di semplici fattorizzazioni si ottiene n · v v2 v2 v e [E(r, t)]Coul = 3 2 κ+ − 2 1 − 2 n − , κ R c c c c ovvero, ricordando l’espressione di κ (Eq. (3.13)) v2 v r , t)]Coul = e [E( . 1 − n − κ3 R 2 c2 c

(3.17)

Analogamente r , t)]rad = [E(

e c2 κ 3 R

v n − (a · n ) − κ a , c

ovvero, come `e facile veriﬁcare, r , t)]rad = [E(

e n × c2 κ 3 R

v n − × a . c

(3.18)

L’espressione per il campo elettrico pu`o essere posta in forma alternativa introducendo le notazioni tipiche della meccanica relativistica. Deﬁnendo v β = , c

a ˙ β = , c

62

CAPITOLO 3

si ottiene

r , t) = E(

e κ3 R 2

)+ (1 − β 2 ) (n − β

e ˙ n × [(n − β ) × β ] . c κ3 R

(3.19)

L’espressione per il campo magnetico discende da calcoli simili. Attraverso le Eq. (3.15) e (3.12) si ha e v e e 1 B(r, t) = rot = rotv + grad × v . c κR c κR c κR D’altra parte, si ha rotv = [grad t ] × a = −

1 n × a , cκ

e quindi, utilizzando risultati precedenti

r , t) = − B(

e e n × a − 2 2 2 c κ R c κ R2

1 v 2 n v − + 2 (a · R ) n × v . 1− 2 c κ c c κ

In analogia a quanto fatto per il campo elettrico, separiamo nel secondo membro i termini proporzionali a R−2 da quelli proporzionali a R−1 . Si ottiene

r , t) = − B(

e c κ3 R 2

v v2 e κ n × a + (a · n ) n × . 1 − 2 n × v − 2 3 c c κ R c

e β˙ questa espressione pu`o essere posta nella forma In termini dei vettori β

r , t) = − B(

e 2 ˙ − (n · β ) n × β˙ + (β ˙ · n ) n × β , − e n × β (1−β ) n × β κ3 R 2 c κ3 R

ovvero, come `e facile veriﬁcare

r , t) = − B(

! e 2 ˙ + n × n × (β ×β ˙ ) − e n × β . (1 − β ) n × β κ3 R 2 c κ3 R

Attraverso questa espressione, e attraverso l’espressione che abbiamo prece r , t) (Eq. (3.19)), `e facile dimostrare la relazione dentemente trovato per E( notevole r , t) = n × E( r , t) , B(

(3.20)

RADIAZIONE DI CARICHE IN MOTO

63

la quale mostra che il modulo del vettore campo magnetico `e sempre minore o uguale al modulo del vettore campo elettrico. Notiamo inﬁne che le Eq. (3.19) e (3.20) sono estremamente generali e, data l’invarianza relativistica delle equazioni di Maxwell, dalle quali siamo partiti per la loro deduzione, sono valide in un sistema di riferimento inerziale arbitrario. Considerandone il limite non relativistico al primo ordine in β, `e possibile mostrare che da esse si ottengono le ordinarie leggi dell’elettromagnetismo valide per fenomeni stazionari. La deduzione di questa propriet`a `e contenuta nell’App. 4.

3.4 Irraggiamento di una carica in moto Come abbiamo visto nel paragrafo precedente, il campo elettromagnetico prodotto da una carica in movimento consta di due termini, uno inversamente proporzionale a R2 e l’altro inversamente proporzionale a R. Ovviamente, il primo termine prevale per R tendente a zero, mentre il secondo termine prevale ` interessante calcolare il valore di R per il quale i per R tendente all’inﬁnito. E due termini sono dello stesso ordine di grandezza. Indicando con Rc tale valore, si ha per esso e κ3 Rc2

ea c2 κ3 Rc

,

ovvero c2 . a Indicando con L le dimensioni tipiche della regione in cui si muove la carica e con τ il tempo caratteristico su cui avvengono variazioni signiﬁcative del moto, si ha Rc

a

L , τ2

per cui c2 τ 2 . L D’altra parte, come vedremo meglio in seguito, la stessa carica irradia a frequenze caratteristiche ν c/τ , per cui la distanza critica Rc pu` o anche porsi nella forma λ2 /L, dove λ `e la lunghezza d’onda tipica della radiazione irraggiata dalla carica in moto. La regione dello spazio in cui R Rc viene detta la zona di radiazione. In tale zona il campo elettromagnetico `e dato dalle Eq. (3.18) e (3.20) che qui riscriviamo Rc

64

CAPITOLO 3

r , t) = E(

e n × c2 κ 3 R

v n − × a , c

r , t) = n × E( r , t) . B(

Bisogna ricordare a proposito di queste equazioni che le quantit` a R, κ, n, v e a che ivi compaiono devono essere valutate al tempo anticipato t . Tuttavia, quando ci si ponga a grande distanza dalla carica stessa, ovverosia quando sia veriﬁcata la diseguaglianza R L, si pu` o trascurare l’eﬀetto del tempo anticipato sia sulla distanza R che sul versore n ed entrambe queste quantit` a possono quindi essere considerate costanti. Il primo fatto da osservare a proposito dei campi elettrico e magnetico nella zona di radiazione `e che essi sono perpendicolari fra loro, sono entrambi perpendicolari al versore n e sono uguali in modulo. Questa `e una caratteristica che abbiamo gi` a incontrato nel Par. 1.6 per le onde piane che si propagano nel che `e dato da vuoto. Il secondo fatto concerne il vettore di Poynting, S, = c E ×B = c E × (n × E) = c E 2 n . S 4π 4π 4π Il vettore di Poynting nel punto P `e quindi diretto secondo la direzione che va dalla carica al punto P stesso. Consideriamo adesso il caso non relativistico in cui v c. Quando questa diseguaglianza `e veriﬁcata, il campo elettrico, all’ordine pi` u basso in v/c, `e dato da r , t) = e n × [ n × a ] = − e [ a − (a · n ) n ] . E( c2 R c2 R Come risulta da questa espressione, il campo elettrico `e diretto perpendicolarmente a n e giace nel piano individuato da n e da a, l’accelerazione della particella al tempo anticipato. Se si desidera quindi calcolare la componente del vettore campo elettrico lungo un versore di polarizzazione ei (i = 1, 2) perpendicolare a n, si ha r , t) · ei = − e a · ei . E( c2 R

(3.21)

Inoltre, indicando con θ l’angolo compreso fra la direzione dell’accelerazione (all’istante anticipato) e la direzione n, si ha per il vettore di Poynting a distanza R dalla carica 2 2 2 = e a sin θ n . S 3 4π c R2

Questa equazione mostra che la potenza emessa dalla carica in movimento dipende dalla direzione come sin2 θ. Quando si riporta in graﬁco, per ogni direzione, un segmento proporzionale alla potenza emessa lungo la direzione stessa,

RADIAZIONE DI CARICHE IN MOTO

65

Fig. 3.3. Diagramma di radiazione (o diagramma d’antenna) di una particella non relativistica. L’accelerazione della particella ` e diretta lungo l’asse verticale. La potenza emessa lungo una direzione che forma l’angolo θ con l’accelerazione `e proporzionale al segmento disegnato in ﬁgura.

si ottiene un diagramma che `e detto diagramma di radiazione. Il diagramma relativo a una carica (non relativistica) accelerata `e mostrato nella Fig. 3.3. pu` La stessa equazione per S o essere utilizzata per trovare la potenza totale emessa dalla carica. Calcolando il ﬂusso W del vettore di Poynting attraverso una sfera di raggio R, e tenendo conto che " 1 2 sin2 θ dΩ = , 4π 3 si ottiene la cosiddetta equazione (o formula) di Larmor 2 e 2 a2 . (3.22) 3 c3 Ritornando al caso generale, `e interessante osservare la presenza di un importante fenomeno ﬁsico dovuto alla presenza del fattore 1/κ3 nelle espressioni trovate per il campo di radiazione. Se consideriamo, per semplicit` a, il caso di una carica la cui accelerazione sia parallela alla velocit`a, il vettore di Poynting, alla distanza R dalla carica e nella direzione individuata dal versore n, `e dato da W =

2 2 2 e2 a2 sin2 θ = e a sin θ n = S n , 4π c3 κ6 R2 4π c3 (1 − β cosθ)6 R2

dove β = v/c e dove θ `e l’angolo compreso fra n e la direzione della velocit`a (che coincide, a parte eventualmente il senso, con quella dell’accelerazione). Per

66

CAPITOLO 3

Fig. 3.4. Diagramma di radiazione di una particella relativistica avente β = 0.8. Sia l’accelerazione che la velocit` a della particella sono dirette lungo l’asse verticale, quest’ultima nel senso che va dal basso verso l’alto. La potenza emessa lungo una direzione che forma l’angolo θ con l’accelerazione (e la velocit` a) ` e proporzionale al segmento disegnato in ﬁgura.

valori di β diversi da zero, il diagramma di radiazione risulta profondamente modiﬁcato rispetto al diagramma di radiazione del caso non relativistico, come illustrato nella Fig. 3.4. La radiazione tende a concentrarsi nella direzione “in avanti” rispetto al moto della particella. Questo `e un tipico eﬀetto relativistico, conosciuto sotto il nome di beaming eﬀect, che diventa sempre pi` u cospicuo mano a mano che la velocit` a della particella si avvicina alla velocit` a della luce. L’ampiezza angolare del cono entro il quale si concentra la radiazione si pu`o stimare osservando che, per β 1, il fattore 1/κ presenta un massimo molto elevato per θ = 0. Ponendo, nell’intorno di θ = 0, cosθ 1 − θ 2/2, si ha 1 1 1 . 2 κ 1 − β + β θ /2 1 − β + θ2/2 Questa espressione pu`o anche essere posta nella forma 1 2 , 2 κ θ + θ02 dove si `e introdotto l’angolo θ0 dato da # θ0 = 2 (1 − β) . Ricordando l’espressione del fattore relativistico γ (fattore di Lorentz), dato da 1 , γ= # 1 − β2

RADIAZIONE DI CARICHE IN MOTO

67

Fig. 3.5. Diagramma di radiazione di una particella relativistica avente β = 0.8. L’accelerazione ` e diretta lungo l’asse verticale, mentre la velocit` a` e diretta lungo l’asse orizzontale, da sinistra verso destra. La potenza emessa lungo una direzione, appartenente al piano che contiene velocit` a e accelerazione (φ = 0) e formante l’angolo θ con l’accelerazione, `e proporzionale al segmento disegnato in ﬁgura.

si ha, per il caso ultra-relativistico 1 1 # , γ= # (1 − β)(1 + β) 2(1 − β) per cui si ottiene θ0

1 . γ

Il valore θ0 `e proprio l’ampiezza angolare del cono nel quale viene concentrata la radiazione. Mano a mano che aumenta l’energia della particella, e quindi il fattore γ, l’ampiezza del cono diventa sempre pi` u piccola. Nel caso in cui l’accelerazione `e perpendicolare alla velocit` a, il calcolo del vettore di Poynting `e pi` u complicato e si perde la simmetria cilindrica. Introducendo un sistema di coordinate in cui l’accelerazione `e diretta lungo l’asse z e la velocit` a lungo l’asse x e indicando con θ e φ le coordinate polari della direzione n, si ottiene per il vettore di Poynting in tale direzione

= S

4π c3

e 2 a2 (1 − β sinθ cosφ)2 − (1 − β 2 ) cos2 θ n . 6 2 (1 − β sinθ cosφ) R

Il corrispondente diagramma di radiazione, relativo al piano contenente i vettori velocit`a e accelerazione (φ = 0), `e mostrato nella Fig. 3.5.

68

CAPITOLO 3

Inﬁne, nel caso generale in cui l’accelerazione non sia n´e parallela n´e perpendicolare alla velocit` a, l’espressione del vettore di Poynting diviene ancora pi` u complicata. Essa `e riportata nell’App. 5, nella quale `e anche dimostrata la generalizzazione dell’equazione di Larmor per la potenza emessa da una carica relativistica, che risulta. 2 e2 6 2 (γ a + γ 4 a2⊥ ) , (3.23) 3 c3 dove a e a⊥ sono rispettivamente le componenti dell’accelerazione in direzione parallela e perpendicolare alla velocit` a. Come `e facile veriﬁcare, nel caso non relativistico in cui β 1, γ 1, essendo a2 + a2⊥ = a2 , si riottiene l’usuale espressione (3.22) dell’equazione di Larmor. W =

3.5 La diﬀusione Thomson Si consideri un elettrone libero di carica e = −e0 , con e0 = 4.803×10−10 u.e.s., e si supponga che l’elettrone sia soggetto all’azione di un’onda elettromagnetica polarizzata, di frequenza ω, che si propaga lungo la direzione n . Deﬁnita una coppia di versori e1 e e2 tali da formare con n una terna destrorsa come in Fig. 3.6, siano E1 e E2 le componenti complesse del vettore campo elettrico dell’onda lungo tali versori. Il moto dell’elettrone, che supponiamo non relativistico, `e descritto dall’equazione e0 E (t) , m (t), il campo elettrico dell’onda dove m `e la massa dell’elettrone e dove E incidente, `e dato da (t) = Re E e−i ω t = Re (E e + E e ) e−i ω t . E 1 1 2 2 a(t) = −

Siamo interessati a determinare l’espressione del campo elettrico emesso dall’elettrone nella zona di radiazione lungo la direzione individuata dal versore n di Fig. 3.6. Introducendo i due versori e1 e e2 (tali da formare con n una terna destrorsa) e utilizzando notazioni complesse, le componenti dell’accelerazione lungo tali versori sono date da A1 = −

e0 e1 · (E1 e1 + E2 e2 ) , m

A2 = −

e0 e2 · (E1 e1 + E2 e2 ) , m

`e implicitamente deﬁnito dall’equazione dove il vettore complesso A e−i ω t . a(t) = Re A

(3.24)

69

RADIAZIONE DI CARICHE IN MOTO

elettrone diffondente e1 e2

e’1

n

n’ e’2 Fig. 3.6. Geometria della diﬀusione Thomson nel caso generale. La scelta dei versori di polarizzazione `e arbitraria.

Tenendo conto dell’Eq. (3.21), le componenti, E1 e E2 , del campo di radiazione alla distanza R e nella direzione n sono date, in forma matriciale, dalle espressioni rc e1 · e1 e1 · e2 E1 E1 =− eiΦ , (3.25) E2 E2 R e2 · e1 e2 · e2 dove Φ = ωR/c `e un fattore di fase inessenziale introdotto dal ritardo, e dove rc , il cosiddetto raggio classico dell’elettrone, `e deﬁnito da e20 = 2.818 × 10−13 cm . (3.26) m c2 L’espressione che abbiamo ottenuto `e la legge della diﬀusione Thomson in termini di campi elettrici. Essa raccoglie tutte le propriet`a, spettrali, direzionali, e polarimetriche della radiazione diﬀusa, oltre alle propriet` a generali relative alla sezione d’urto. Dal punto di vista spettrale si ha semplicemente che l’elettrone oscilla alla stessa frequenza, ω, della radiazione incidente. La radiazione diﬀusa `e quindi, come si suol dire, coerente, ovvero lo spettro `e del tipo di una delta di Dirac centrata alla medesima frequenza ω. Per analizzare i risultati relativi al diagramma di radiazione e alla polarizzazione `e conveniente scegliere in maniera adeguata i versori di polarizzazione. Con la scelta schematizzata nella Fig. 3.7, la matrice 2 × 2 che compare nell’Eq. (3.25) si sempliﬁca notevolmente e risulta 1 0 , 0 cosΘ rc =

dove Θ `e l’angolo di diﬀusione. Possiamo adesso passare a descrivere il processo di diﬀusione in termini di ﬂussi nei parametri di Stokes. Per questo, bisogna ricordare le espressioni del Cap. 2, in particolare le Eq. (2.14), che collegano fra loro i ﬂussi nei parametri di Stokes con le componenti del campo elettrico. Indicando con (FI , FQ , FU , FV )†

70

CAPITOLO 3

e’1

elettrone diffondente n’

e’2

Θ e1

Piano di diffusione

e2

n

Fig. 3.7. Caso particolare della geometria della diﬀusione Thomson. I versori di polarizzazione e1 e e1 sono perpendicolari al piano contenente le direzioni della radiazione incidente e diﬀusa (piano di diﬀusione), mentre e2 e e2 giacciono nel piano stesso.

il vettore di Stokes relativo alla radiazione incidente e con (FI , FQ , FU , FV )† quello relativo alla radiazione diﬀusa, con semplici passaggi algebrici si ottiene la seguente equazione matriciale ⎛

⎞ FI ⎜ F ⎟ 1 r2 ⎜ Q⎟ c ⎜ ⎟= ⎝ FU ⎠ 2 R2 FV

⎛

⎞⎛ ⎞ 1 + cos2 Θ FI sin2 Θ 0 0 ⎜ sin2 Θ ⎟⎜F ⎟ 2 1 + cos Θ 0 0 ⎜ ⎟⎜ Q⎟ ⎜ ⎟ . (3.27) ⎟⎜ ⎝ 0 0 2 cosΘ 0 ⎠ ⎝ FU ⎠ FV 0 0 0 2 cosΘ

In particolare, per la diﬀusione sotto l’angolo Θ di un raggio non polarizzato, si ottiene, per i ﬂussi non nulli rc2 r2 (1 + cos2 Θ) FI , FQ (Θ) = c 2 sin2 Θ FI . 2 2R 2R Queste equazioni mostrano che la radiazione `e diﬀusa prevalentemente in avanti (o indietro) rispetto alla direzione della radiazione incidente. Il rapporto R fra la radiazione diﬀusa in direzione Θ e quella diﬀusa in avanti `e dato dall’equazione FI (Θ) =

1 + cos2 Θ , 2 e varia fra 1 e 1/2. Inoltre, la radiazione diﬀusa `e polarizzata linearmente e la frazione di polarizzazione `e data da R=

FQ (Θ) sin2 Θ = , FI (Θ) 1 + cos2 Θ il che implica che la polarizzazione lineare `e sempre positiva, ovvero perpendicolare al piano di diﬀusione, e che la radiazione `e polarizzata al 100% per

RADIAZIONE DI CARICHE IN MOTO

71

Θ = 90◦ . Inoltre, integrando l’intensit` a della radiazione diﬀusa su una sfera di raggio R si ottiene (si ricordi che la media di cos2 Θ sull’angolo solido vale 1/3) " W = R2 FI (θ) dΩ = σT FI , dove σT , la cosiddetta sezione d’urto Thomson, `e data da σT =

8π 2 8π e40 rc = = 6.652 × 10−25 cm2 . 3 3 m 2 c4

3.6 La diﬀusione Rayleigh La diﬀusione Rayleigh `e del tutto simile alla diﬀusione Thomson, con la sola diﬀerenza che l’elettrone, invece di essere libero, `e legato a un atomo o a una molecola. Dal punto di vista della ﬁsica classica, l’elettrone legato pu`o essere descritto per mezzo di un semplice modello, dovuto a Lorentz, secondo il quale si suppone che l’azione sull’elettrone della nuvola di carica positiva presente nell’atomo possa essere schematizzata come una forza di richiamo elastica della forma F = −k x, dove k `e una costante e x `e la posizione dell’elettrone rispetto al centro di gravit`a delle cariche positive. La legge di moto dell’elettrone legato sotto l’azione di un campo elettrico di frequenza ω `e quindi

dove ω0 =

# k/m, e dove

d2 x e0 = −ω02 x − E (t) , dt2 m

(t) = Re( E e−i ω t ) . E L’equazione diﬀerenziale si risolve facilmente cercando una soluzione stazionaria del tipo x(t) = x0 e−i ω t . Trovata la soluzione, si determina poi l’accelerazione derivando due volte rispetto al tempo. Il risultato per le componenti dell’accelerazione (complessa) lungo i due versori e1 e e2 di Fig. 3.6 `e il seguente

A1 = −

e0 ω 2 e1 ·(E1 e1 +E2 e2 ) , m ω 2 − ω02

A2 = −

e0 ω 2 e2 ·(E1 e1 +E2 e2 ) . m ω 2 − ω02

Questa espressione `e molto simile a quella che abbiamo ottenuto precedentemente per la diﬀusione Thomson (Eq. (3.24)) e, come `e logico attendersi, si riduce alla precedente per ω0 = 0 (caso dell’elettrone libero). Ripetendo gli stessi ragionamenti di quelli sviluppati nel paragrafo precedente, si ottengono esattamente gli stessi risultati con la sola diﬀerenza che la sezione d’urto

72

CAPITOLO 3

Thomson, σT , deve essere sostituita con la sezione d’urto Rayleigh, σR , deﬁnita da σR =

(ω 2

8π 2 ω4 ω4 r . σT = 2 2 2 − ω0 ) (ω − ω02 )2 3 c

Un aspetto importante della diﬀusione Rayleigh `e il fatto che, per ω0 ω, la sezione d’urto risulta proporzionale a ω 4 . Dato che questa `e una buona approssimazione per la radiazione visibile diﬀusa dalle molecole di Azoto e Ossigeno, i costituenti pi` u abbondanti dell’atmosfera terrestre, e dato che la luce del cielo non `e altro che luce solare diﬀusa da tali molecole, ne segue che il cielo `e di colore azzurro1. Per la stessa ragione, il Sole (e gli altri astri) appaiono di colore rosso al sorgere e al tramontare.

3.7 La radiazione di frenamento Si d` a il nome di radiazione di frenamento (Bremsstrahlung in lingua tedesca) a quella radiazione che viene emessa quando una particella carica di alta velocit`a (tipicamente un elettrone) viene deviata passando nel campo Coulombiano generato da un’altra particella (in genere un nucleo atomico). In questo processo la carica viene accelerata e risulta quindi frenata perdendo energia per irraggiamento. La radiazione di frenamento `e un processo ﬁsico fondamentale dei plasmi astroﬁsici. Essa trova anche vaste applicazioni tecnologiche e di laboratorio. La radiazione a raggi X che proviene dalle sorgenti comunemente utilizzate sia nei laboratori di ricerca sia, come strumento diagnostico e terapeutico, nelle strutture sanitarie nient’altro `e se non radiazione di frenamento, generalmente prodotta accelerando elettroni per mezzo di alte diﬀerenze di potenziale e facendoli urtare contro una lastra metallica ad alto Z. Sebbene lo studio dettagliato della radiazione di frenamento richieda una trattazione quantistica, qui lo aﬀronteremo dal punto di vista classico, sottolineando solo alla ﬁne della trattazione l’inﬂuenza che i fenomeni quantistici possono avere sui risultati ottenuti. Per ﬁssare le idee, consideriamo un fascio unidirezionale di elettroni non relativistici che urtano contro dei nuclei pesanti (ovvero di massa molto maggiore di quella degli elettroni) e proponiamoci di esaminare le caratteristiche spettrali, geometriche e polarimetriche della radiazione emessa in tale processo. Con riferimento alla Fig. 3.8 sia v la velocit`a dell’elettrone che transita in vicinanza di un nucleo di carica Ze0 . Indichiamo con m la massa dell’elettrone e con b il suo parametro d’urto e supponiamo che l’elettrone sia suﬃcientemente veloce da poter trascurare la deviazione della 1

La radiazione di colore azzurro (4000 ˚ A) ` e diﬀusa con una sezione d’urto circa 10 volte maggiore rispetto a quella di colore rosso (7000 ˚ A).

73

RADIAZIONE DI CARICHE IN MOTO

z e1 e2

n

θ nucleo

ϕ b

y

χ traiettoria della particella

x

Fig. 3.8. Geometria per il calcolo della radiazione di frenamento.

sua traiettoria rispetto alla linea retta. Questo `e ben veriﬁcato se vale la diseguaglianza 1 Z e20 m v2 , 2 b che implica b bmin , dove 2 Z e20 . (3.28) m v2 Nell’approssimazione della traiettoria rettilinea, e utilizzando il sistema di coordinate (x, y, z) della Fig. 3.8, la posizione dell’elettrone in funzione del tempo `e data dall’equazione bmin =

r0 (t) = b cosϕı + b sinϕ j + v t k , dove ı, j, e k sono tre versori diretti, rispettivamente, come gli assi x, y, e z, ϕ `e l’angolo che speciﬁca (insieme al parametro d’urto) la geometria della collisione, e t `e il tempo misurato dall’istante in cui l’elettrone traversa il piano x-y. L’accelerazione dell’elettrone si calcola facilmente tenendo conto della forza di Coulomb esercitata dal nucleo. Si ottiene a(t) =

−Z e20 r0 (t) Ze20 =− (b cosϕı + b sinϕ j + v t k ) . 3 m r0 (t) m (b2 + v 2 t2 )3/2

74

CAPITOLO 3

Fig. 3.9. Graﬁco delle funzioni F 2 (z) e G2 (z).

Si consideri adesso la radiazione emessa a grande distanza lungo la direzione individuata dal versore n e si introducano, come in Fig. 3.8, due versori e 1 e e2 secondo la consueta convenzione per cui la terna (e1 , e2 , n ) `e una terna destrorsa. Se θ e χ sono gli angoli polare e azimutale che individuano la direzione n, si ha n = sinθ cosχı + sinθ sinχ j + cosθ k, , e1 = − cosθ cosχı − cosθ sinχ j + sinθ k ,

e2 = sinχı − cosχ j .

Applicando l’equazione non relativistica (3.21), le componenti del campo elettrico nel punto alla distanza R dal nucleo lungo la direzione n sono date da E1 (t + R/c) = E2 (t + R/c) =

Z e30 [ b cosθ cos(ϕ − χ) − v t sinθ ] , + v 2 t2 )3/2

m c2 R (b2

Z e30 b sin(ϕ − χ) . m c2 R (b2 + v 2 t2 )3/2

Diﬀerentemente dai casi che abbiamo considerato nei paragraﬁ precedenti, il campo elettrico non presenta un andamento col tempo di tipo sinusoidale. Per ottenere le propriet` a spettrali e le corrispondenti propriet` a polarimetriche del campo di radiazione, `e necessario passare attraverso le trasformate di Fourier delle due componenti del vettore campo elettrico. Questo porta a dover valutare degli integrali della forma ∞ ∞ cos(ω t) t sin(ω t) dt , dt , 2 + v 2 t2 )3/2 2 + v 2 t2 )3/2 (b (b −∞ −∞

75

RADIAZIONE DI CARICHE IN MOTO

che, attraverso la sostituzione tanx = v t/b, possono essere ricondotti alle funzioni F (z) e G(z) deﬁnite da2

π/2

F (z) =

cos(z tanx) cosx dx , 0

G(z) =

π/2

sin(z tanx) sinx dx . 0

Per mezzo di queste funzioni, il cui quadrato `e riportato in graﬁco nella Fig. 3.9, si ottiene per le trasformate di Fourier ∞ 1 Z e30 ˆ f1 (ω) = E1 (t) ei ω t dt = 2π −∞ π m c2 b v R (3.29) × [ cosθ cos(ϕ − χ) F (z) − i sinθ G(z) ] e i Φ , ∞ 1 Z e30 sin(ϕ − χ) F (z) e i Φ , fˆ2 (ω) = E2 (t) ei ω t dt = 2π −∞ π m c2 b v R dove Φ = ωR/c `e una fase inessenziale (dovuta al tempo ritardato) e dove ωb . v Possiamo adesso valutare i ﬂussi monocromatici nei parametri di Stokes della radiazione emessa nella direzione n. Per questo dobbiamo rifarci alle considerazioni sviluppate nel Par. 2.3. Le espressioni che veniamo di ottenere sono le trasformate di Fourier delle componenti, lungo i versori e1 e e2 , degli impulsi del campo elettrico emessi nel passaggio, in prossimit` a del nucleo, di un singolo elettrone, con valori assegnati del parametro d’urto b e dell’angolo φ. Pensiamo adesso alla situazione ﬁsica in cui si ha un ﬂusso uniforme di elettroni, tutti aventi velocit` a v. Siamo ovviamente in presenza di un fenomeno stocastico, descritto a livello microscopico da una situazione del tipo di quella della Fig. 2.3, per la quale i ﬂussi monocromatici sono dati dalle Eq. (2.17). Indicando con Ne la densit` a numerica degli elettroni del fascio, nell’unit`a di tempo si ha un numero di collisioni, con parametro d’urto compreso fra b e b + db e angolo compreso fra ϕ e ϕ + dϕ, dato da dNcoll = Ne v b db dϕ, per cui si ottiene z=

2π

FωI (n ) = c v Ne 0

FωQ (n )

2π

= c v Ne

∞

dϕ

= c v Ne

[ fˆ1 (ω)∗ fˆ1 (ω) − fˆ2 (ω)∗ fˆ2 (ω) ] b db ,

0

2π

dϕ 0

2

[ fˆ1 (ω)∗ fˆ1 (ω) + fˆ2 (ω)∗ fˆ2 (ω) ] b db ,

0

0

FωU (n )

∞

dϕ

∞

[ fˆ1 (ω)∗ fˆ2 (ω) + fˆ2 (ω)∗ fˆ1 (ω) ] b db ,

0

Le funzioni F (z) e G(z) possono essere collegate alle funzioni di Bessel modiﬁcate di seconda specie, Kn (z). Si ha F (z) = z K1 (z), G(z) = z K0 (z).

76

CAPITOLO 3

FωV (n ) = c v Ne

2π

dϕ 0

∞

i [ fˆ1 (ω)∗ fˆ2 (ω) − fˆ2 (ω)∗ fˆ1 (ω) ] b db .

0

Sostituendo i valori delle trasformate di Fourier date dalle Eq. (3.29), ed eseguendo l’integrazione su ϕ, i ﬂussi nei parametri di Stokes U e V si annullano. Per i due rimanenti si ottiene ∞ db I Fω (n) = C , (1 + cos2 θ)F 2 (z) + 2 sin2 θ G2 (z) b 0 ∞ 2 db FωQ (n) = − C sin2 θ , F (z) − 2 G2 (z) b 0 dove si `e posto Z 2 e60 Ne . π m 2 c3 v R 2 Bisogna tuttavia prendere in considerazione il fatto che gli integrali che compaiono nelle equazioni precedenti sono divergenti perch´e, per b → 0 gli integrandi vanno all’inﬁnito come b−1 . Questa divergenza `e dovuta all’approssimazione della traiettoria rettilinea che abbiamo introdotto all’inizio del calcolo. Dato che l’approssimazione non `e giustiﬁcata per b < bmin, con bmin deﬁnito nell’Eq. (3.28), la divergenza pu` o essere evitata cambiando il primo estremo di integrazione da 0 a bmin. Cos`ı facendo si ottiene un’espressione approssimata che pu` o essere migliorata solo per mezzo di calcoli pi` u complicati. Se allora si deﬁniscono le due quantit`a ∞ ∞ 1 2 ωb 1 2 ωb F= F db , G= G db , v v bmin b bmin b C=

si ottiene FωI (n) = C [ (1 + cos2 θ) F + 2 sin2 θ G ] ,

FωQ (n) = − C sin2 θ ( F − 2 G ) .

Come si pu` o arguire dall’espressione degli integrali che deﬁniscono F e G e dagli andamenti di F 2 (z) e G2 (z) della Fig. 3.9, a ogni frequenza angolare ω che contribuisce sostanzialmente all’emissivit`a, la diseguaglianza F G `e sempre ben veriﬁcata. Questo implica che, con buona approssimazione, il diagramma di radiazione presenta una dipendenza da θ della forma (1 + cos2 θ) il che mostra che la radiazione emessa verso “i poli”, ovvero nella direzione del fascio di elettroni, `e due volte pi` u intensa di quella emessa nel “piano equatoriale”. Per quanto riguarda invece la polarizzazione, la radiazione `e linearmente polarizzata, con un valore percentuale, praticamente indipendente dalla frequenza, dato da FωQ (n) sin2 θ = − . FωI (n) 1 + cos2 θ

RADIAZIONE DI CARICHE IN MOTO

77

Questa equazione mostra che la radiazione emessa nel piano perpendicolare alla velocit`a delle particelle collidenti `e polarizzata linearmente al 100%, la direzione di polarizzazione essendo contenuta nel piano stesso (si ricordi la deﬁnizione dei due versori di polarizzazione della Fig. 3.8). Cambiando la direzione di emissione, la polarizzazione mantiene le stesse caratteristiche (lineare e diretta perpendicolarmente alla velocit`a) ma la percentuale `e sempre pi` u bassa mano a mano che sin2 θ diminuisce. In particolare, la radiazione emessa lungo la direzione della velocit`a (o in direzione opposta) non `e polarizzata. Inﬁne, le equazioni precedenti possono anche essere utilizzate per dare una stima di ordine di grandezza per la potenza monocromatica totale (cio`e integrata su tutto l’angolo solido) della radiazione di frenamento. Eseguiamo per questo un’approssimazione piuttosto brutale sul comportamento della funzione F 2 (z) supponendo che essa valga 1 nell’intervallo di z compreso fra 0 e 1 e che sia nulla per z > 1. Questo implica, per la quantit`a F, bmax 1 bmax db = ln F= , bmin bmin b dove bmax =

v . ω

Se si suppone inoltre che G = 0, integrando il ﬂusso FωI (n ) sulla una sfera di raggio R, e sostituendo i valori di bmin e bmax , si ottiene m v3 16 Z 2 e60 Ne Wω = ln , 3 m 2 c3 v 2 Z e20 ω ovvero un andamento spettrale quasi piatto, la dipendenza da ω essendo contenuta solo nel logaritmo. Un’analisi pi` u approfondita dello stesso problema3 , compiuta senza utilizzare l’approssimazione della traiettoria rettilinea, mostra che la formula da noi derivata `e corretta pur di apportare delle leggere modiﬁche. Nel limite delle basse frequenze (ω → 0), il fattore 12 nell’argomento del logaritmo deve essere sostituito dal fattore 2 e−γ , dove γ `e la costante di Eulero-Mascheroni deﬁnita da n−1 1 0.57721 . γ = lim − ln n + n→∞ k k=1

Viceversa, nel limite delle alte frequenze (ω → ∞), l’equazione √ deve essere modiﬁcata moltiplicando il secondo membro per il fattore π/ 3 e omettendo il logaritmo, cos`ı da dare 3

´ Si veda L. Landau & E. Lifchitz, Th´ eorie du Champ, Editions Mir, Moscou, 1966.

78

CAPITOLO 3

16π Z 2 e60 Ne . Wω = √ 3 3 m 2 c3 v La formula mostra che nel limite delle alte frequenze la potenza Wω `e indipendente da ω. Questo implica che per la radiazione di frenamento si ottiene, per cos`ı dire, una sorta di catastrofe dell’ultravioletto simile a quella della teoria classica della radiazione di corpo nero. Deﬁnendo infatti la potenza totale irradiata attraverso l’equazione ∞ W = Wω dω , 0

si ottiene un integrale divergente. La ragione di questo fatto `e dovuta all’aver trascurato completamente gli eﬀetti quantistici, la cui conseguenza pi` u importante `e la comparsa di un valore di soglia per la frequenza angolare dei fotoni emessi, ωmax , data da h ¯ ωmax =

1 m v2 . 2

Per ottenere una stima di ordine di grandezza di W , trascuriamo la leggera dipendenza dal logaritmo e integriamo in dω fra 0 e ωmax . Si ottiene W

Z 2 e60 Ne v Z 2 e60 Ne ωmax = . 2 3 m c v 2 m c3 h ¯

Questa equazione permette l’introduzione di un’opportuna sezione d’urto, che indichiamo con σf , per la radiazione di frenamento. Il valore della sezione d’urto si ottiene dividendo la potenza totale irradiata, W , per il ﬂusso di energia, Fe , degli elettroni collidenti che `e deﬁnito da Fe = Ne v

1 m v2 . 2

Con facili passaggi si trova σf =

W 1 = Z 2 α 2 rc2 , Fe β

hc)), β = v/c, e rc `e il dove α `e la costante della struttura ﬁne (α = e20 /(¯ raggio classico dell’elettrone deﬁnito nell’Eq. (3.26). Come si vede, si ha una dipendenza della sezione d’urto dal quadrato del numero di carica Z. Per questa ragione, nei dispositivi tecnici che vengono utilizzati per la produzione di raggi X il bersaglio per gli elettroni accelerati `e costituito da lastre metalliche ad alto Z (tipicamente piombo). La formula precedente mostra anche che si ha una dipendenza quadratica inversa dalla velocit` a degli elettroni e, al limite per β → 0 si ottiene una divergenza. Questo `e ovviamente dovuto alle approssimazioni

RADIAZIONE DI CARICHE IN MOTO

79

z e1 B

n

e2 θ

y

χ x

traiettoria proiettata sul piano x−y

Fig. 3.10. Geometria per il calcolo della radiazione di ciclotrone.

introdotte, in particolare all’aver supposto che l’elettrone interagisca solo col nucleo atomico e non anche con la nuvola elettronica presente in ciascun atomo.

3.8 La radiazione di ciclotrone Un elettrone non relativistico mobile in una regione dello spazio dove `e presente un campo magnetico `e soggetto alla forza di Lorentz. Il moto dell’elettrone `e descritto dall’equazione d2 x e0 dx , ×B =− dt2 mc dt `e il campo magnetico che supponiamo uniforme e costante nel tempo. dove B In un sistema di coordinate (x, y, z) il cui asse z `e diretto lungo la direzione del campo, la soluzione pi` u generale di questa equazione `e la seguente

x = x0 + A cos(ωc t + φ) ,

y = y0 + A sin(ωc t + φ) ,

z = z0 + v t ,

dove la quantit` a e0 B (3.30) mc `e la cosiddetta frequenza di ciclotrone, e dove x0 , y0 , z0 , A, φ, e v sono sei costanti di integrazione. L’elettrone descrive un moto elicoidale, ovvero un moto circolare di raggio A nel piano x-y, sovrapposto a un moto uniforme lungo l’asse z. Il moto circolare si svolge alla velocit`a v⊥ = A ωc e il senso di percorrenza `e antiorario se si osserva il moto dall’estremit`a positiva dell’asse z. ωc =

80

CAPITOLO 3

Scegliendo opportunamente l’orientazione degli assi x e y, l’origine del sistema di coordinate e l’origine del tempo, l’equazione del moto pu` o essere posta nella seguente “forma minima” x=

v⊥ cos(ωc t) , ωc

y=

v⊥ sin(ωc t) , ωc

z = v t .

Dall’equazione di moto si calcola con facili passaggi il vettore accelerazione e, da questo, le sue componenti lungo i versori e1 e e2 , relativi alla direzione n, deﬁniti come in Fig. 3.10. Senza perdere in generalit` a, la simmetria cilindrica del problema permette inoltre di scegliere la direzione n come appartenente al piano x-z (χ = 0). Si ottiene a1 = v⊥ ωc cosθ cos(ωc t) ,

a2 = v⊥ ωc sin(ωc t) ,

e applicando l’equazione non relativistica (3.21), le componenti del campo elettrico nel punto a grande distanza R lungo la direzione n risultano espresse dalle equazioni e0 v⊥ ωc cosθ cos(ωc t) , c2 R e0 v⊥ ωc sin(ωc t) . E2 (t + R/c) = c2 R Queste equazioni mostrano che le componenti del vettore campo elettrico sono periodiche con periodo T = 2π/ωc. Per esprimere i ﬂussi nei parametri di Stokes bisogna far quindi ricorso alle Eq. (2.18) le quali, a loro volta, implicano il calcolo delle componenti di Fourier. D’altra parte, poich´e il campo ha un andamento temporale di tipo perfettamente sinusoidale, tutte le componenti di Fourier sono nulle eccetto quelle relative all’armonica fondamentale. Ricordando la deﬁnizione si ha E1 (t + R/c) =

(1)

E1

=

1 T

T

E1 (t) ei ωc t dt ,

(1)

E2

0

=

1 T

T

E2 (t) ei ωc t dt , 0

dalle quali si ottiene, con semplici passaggi e0 v⊥ ωc e0 v⊥ ωc i Φ (1) cosθ e i Φ , e E2 = i , 2 2c R 2 c2 R dove Φ = ωc R/c `e una fase inessenziale introdotta dal tempo anticipato. I ﬂussi nei parametri di Stokes sono quindi espressi, in forma matriciale, dalle seguenti equazioni ⎛ I⎞ ⎛ ⎞ Fω 1 + cos2 θ ⎜ F Q ⎟ e2 v 2 ω 2 ⎜ − sin2 θ ⎟ ⎜ ω ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ U ⎟ = 0 ⊥3 2c ⎜ ⎟ δ(ω − ωc ) . ⎝ Fω ⎠ 8π c R ⎝ ⎠ 0 V Fω −2 cos θ (1)

E1

=

RADIAZIONE DI CARICHE IN MOTO

81

Questa equazione mostra che la radiazione di ciclotrone `e polarizzata ellitticamente. In particolare, la radiazione emessa lungo la direzione del campo magnetico (θ = 0 oppure θ = π) `e polarizzata circolarmente e quella emessa nel piano perpendicolare al campo magnetico (θ = π/2) `e polarizzata linearmente (la direzione di polarizzazione essendo perpendicolare al campo magnetico). Il diagramma di radiazione `e della forma (1+cos2 θ), il che signiﬁca che l’intensit` a emessa “ai poli” `e doppia di quella emessa “nel piano equatoriale”. Inﬁne, la potenza totale emessa, W , si determina mediante una doppia integrazione del ﬂusso FωI su una sfera di raggio R e sulle frequenze. Tenendo conto che la media del fattore (1 + cos2 θ) sull’angolo solido `e 34 , si ottiene W =

2 ωc2 2 e20 v⊥ , 3 c3

oppure, ricordando la deﬁnizione della frequenza di ciclotrone (Eq. (3.30)) W =

2 B2 2 2 e40 v⊥ = rc2 β⊥ v⊥ B 2 , 3 m 2 c5 3

dove β⊥ = v⊥ /c e dove rc `e il raggio classico dell’elettrone. L’ultima equazione permette anche l’introduzione di un’opportuna sezione d’urto. Ricordando che la densit` a di energia magnetica `e B 2 /(8π), il ﬂusso di energia spazzato dall’elettrone nel suo moto accelerato (cio`e facendo astrazione dal moto rettilineo uniforme lungo il campo magnetico) `e v⊥ B 2 /(8π). Tale energia `e trasformata dall’elettrone in energia raggiante con una sezione d’urto data da σc =

16 π β⊥ rc2 . 3

Ricordando il risultato ottenuto per la sezione d’urto Thomson, σT , si ha σc = 2 β⊥ σT .

3.9 La radiazione di sincrotrone Quando si passa a considerare il moto di un elettrone relativistico in un campo magnetico, le caratteristiche ﬁsiche di tale moto rimangono inalterate rispetto al caso non relativistico descritto nel paragrafo precedente, eccetto per il fatto che la frequenza diminuisce, passando dalla frequenza di ciclotrone, ω c , a quella di sincrotrone, ωs , che adesso dipende dalla velocit`a della particella essendo data da ωs =

# e0 B = ωc 1 − β 2 , γ mc

82

CAPITOLO 3

dove β = v/c e dove γ `e il fattore di Lorentz. L’analisi delle caratteristiche della radiazione di sincrotrone va eﬀettuata secondo le formule relativistiche date precedentemente (si ricordi in particolare l’Eq. (3.18)). La cosa importante da sottolineare `e che il fattore κ viene adesso a svolgere un ruolo fondamentale nel fenomeno ﬁsico, cos`ı come l’eﬀetto dovuto al tempo anticipato che non si limita pi` u a introdurre un semplice fattore di fase nelle espressioni delle trasformate di Fourier del campo di radiazione. L’analisi del fenomeno nella sua completezza `e molto complessa. In questo volume ci limitiamo a considerare il caso di un elettrone che descriva una traiettoria circolare e non elicoidale4 . Facendo sempre riferimento alla Fig. 3.10, si pu` o supporre, senza perdere in generalit`a, che la posizione dell’elettrone al tempo anticipato t sia data dalla legge x(t ) =

cβ [ cos(ωs t )ı + sin(ωs t ) j ] . ωs

Le corrispondenti espressioni della velocit`a e dell’accelerazione sono ovviamente date da v (t ) = c β [− sin(ωs t )ı + cos(ωs t ) j ] , a(t ) = −c β ωs [ cos(ωs t )ı + sin(ωs t ) j ] . Data la simmetria cilindrica del problema, consideriamo la radiazione emessa lungo una direzione appartenente al piano x-z della Fig. 3.10. Deﬁnito n = sinθı + cosθ k , si ha, con facili passaggi n − β = [ sinθ + β sin(ωs t ) ]ı − β cos(ωs t ) j + cosθ k ,

(n − β )×a = c β ωs cosθ sin(ωs t )ı − cosθ cos(ωs t ) j − [ sinθ sin(ωs t ) + β] k ,

× a = n × (n − β)

= c β ωs cos2 θ cos(ωs t )ı + [ sin(ωs t ) + β sinθ ] j − sinθ cos θ cos(ωs t ) k . La proiezione di quest’ultimo vettore sui versori e1 = − cosθı + sinθ k ,

e2 = −j ,

risulta 4

Per una trattazione pi` u approfondita si veda ad esempio G.B. Rybicki & A.P. Lightman, Radiative Processes in Astrophysics, John Wiley & Sons, New York, etc., 1979.

83

RADIAZIONE DI CARICHE IN MOTO

z campo magnetico

elettrone in orbita circolare

y

cono di radiazione

x

Fig. 3.11. Illustrazione dell’eﬀetto faro. La particella relativistica ruota sulla circonferenza emettendo la maggior parte della radiazione entro il cono disegnato in ﬁgura. La situazione qui illustrata si riferisce all’istante in cui la radiazione emessa `e diretta lungo l’asse x. Al passare del tempo, il cono spazza tutte le direzioni del piano x-y.

! × a e1 · n × (n − β) = −c β ωs cosθ cos(ωs t ) ,

! × a e2 · n × (n − β) = −c β ωs [ sin(ωs t ) + β sinθ ] . Siamo adesso in grado di calcolare le componenti del campo elettrico all’istante t e a distanza R dalla carica lungo la direzione n. Dall’Eq. (3.18) si ottiene E1 (t) =

e0 β ωs cosθ cos(ωs t ) , c R κ3 (t )

E2 (t) =

e0 β ωs [ sin(ωs t ) + β sinθ ] , c R κ3 (t )

dove v (t ) · n = 1 + β sinθ sin(ωs t ) , c e dove il tempo anticipato, t , `e legato al tempo t dalla relazione κ(t ) = 1 −

t = t − t 0 +

β sinθ cos(ωs t ) , ωs

t0 essendo il tempo impiegato dalla luce a percorrere la distanza che separa il centro dell’orbita dal punto in cui si calcolano le componenti del campo elettrico.

84

CAPITOLO 3

Come gi` a illustrato precedentemente, il fattore κ−3 diviene essenziale per particelle relativistiche, quando β si avvicina a 1. In questo caso, essendo la particella in rotazione sull’orbita circolare, l’eﬀetto beaming si trasforma pi` u propriamente in un “eﬀetto faro” come illustrato schematicamente nella Fig. 3.11. In pratica, l’osservatore riceve un impulso di radiazione periodico, con periodo 2π/ωs , estremamente concentrato nel tempo. Poich´e tale impulso `e anche concentrato spazialmente ad angoli θ π/2, le equazioni precedenti per E1 e E2 mostrano che la radiazione `e polarizzata linearmente in direzione perpendicolare all’asse z, ovvero perpendicolare al campo magnetico. Ci proponiamo adesso di esaminare in maggior dettaglio le caratteristiche spettropolarimetriche della radiazione emessa. Per questo `e necessario calcolare le componenti di Fourier delle quantit` a E1 e E2 , ovvero le quantit` a

(n)

E1

=

1 T

T

E1 (t) ei n ωs t dt , 0

(n)

E2

=

1 T

T

E2 (t) ei n ωs t dt , 0

dove T = 2π/ωs . Sostituendo le espressioni trovate precedentemente si ha (n) E1

(n)

E2

2π/ωs cos(ωs t ) i n ωs t e0 β ωs2 cosθ e = dt , 2π c R κ3 (t ) 0 e0 β ωs2 2π/ωs sin(ωs t ) + β sinθ i n ωs t = dt . e 2π c R 0 κ3 (t )

Per valutare gli integrali, osserviamo che 1 dt dt = , = 1 + β sinθ sin(ωs t ) = κ(t ) , dt dt κ(t ) dt d 1 d 1 1 = = − 3 β ωs sinθ cos(ωs t ) , dt κ(t ) dt dt κ(t ) κ (t ) dt d cos(ωs t ) d cos(ωs t ) = = dt κ(t ) dt dt κ(t ) ωs ωs β sinθ cos2 (ωs t ) sin(ωs t ) + = − 3 [sin(ωs t ) + β sin θ] . =− 2 κ(t ) κ (t ) κ(t ) κ (t ) Sostituendo nelle espressioni delle componenti di Fourier, si ottiene (n)

E1

(n)

E2

2π/ωs d 1 e0 ωs cotθ ei n ωs t dt , ) 2π c R dt κ(t 0 2π/ωs d cos(ωs t ) i n ωs t e0 β ωs e =− dt . 2π c R 0 dt κ(t ) =−

RADIAZIONE DI CARICHE IN MOTO

85

Integriamo adesso per parti entrambi gli integrali. Il fattore ﬁnito si annulla per le condizioni di periodicit` a. Nell’integrale che rimane eﬀettuiamo poi un cambiamento di variabile passando dalla variabile t alla variabile t . Poich´e dt = κ(t ) dt , si ottiene, ricordando la relazione fra t e t , (n)

E1

(n)

E2

2π/ωs i n e0 ωs2 cotθ ei n ωs (t0 +t ) e−i n β sinθ cos(ωs t ) dt , 2π c R 0 i n e0 β ωs2 2π/ωs = cos(ωs t ) ei n ωs (t0 +t ) e−i n β sinθ cos(ωs t ) dt . 2π c R 0

=

Il fattore di fase che proviene dal tempo t0 `e presente in entrambe le componenti e pu` o essere eliminato senza perdere in generalit` a. Eﬀettuando in entrambi gli integrali il cambiamento di variabile ϕ = ωs t e sviluppando il primo esponenziale si ha

(n)

E1

(n)

E2

=

=

i n e0 ωs cotθ 2π c R i n e0 β ωs 2π c R

2π

[ cos(nϕ) + i sin(nϕ) ] e−i n β sinθ cosϕ dϕ ,

0 2π

cosϕ [ cos(nϕ) + i sin(nϕ) ] e−i n β sinθ cosϕ dϕ .

0

Gli integrali che compaiono in queste espressioni possono essere sempliﬁcati osservando che il contributo portato dal termine in sin(nϕ) `e nullo. Il contributo portato dal termine in cos(nϕ) pu` o poi essere ricondotto a funzioni speciali. Deﬁnite infatti le funzioni di Bessel di ordine intero come le soluzioni dell’equazione diﬀerenziale x2

d2 Jn dJn + (x2 − n2 ) Jn = 0 , +x dx2 dx

si pu` o dimostrare che Jn (x) =

in 2π

2π

cos(nϕ) e−i x cosϕ dϕ ,

0

e, per derivazione Jn (x)

d i n+1 Jn (x) = − = dx 2π

2π

cosϕ cos(nϕ) e−i x cos ϕ dϕ .

0

Attraverso queste relazioni `e possibile esprimere le componenti di Fourier nella forma (n)

E1

=

1 n e0 ωs cotθ Jn (nβ sinθ) , i n−1 c R

86

CAPITOLO 3 (n)

E2

=−

1 n e0 β ωs Jn (nβ sinθ) . in cR

Ricordando inﬁne l’Eq. (2.18) si possono esprimere i ﬂussi nei parametri di Stokes attraverso l’espressione ⎛

⎞ ⎛ 2 2 ⎞ FωI cot θ Jn (z) + β 2 J2 n (z) ∞ ⎜FQ ⎟ ⎟ 2 2 2 2 e2 ω 2 2 ⎜ ⎜ ω ⎟ ⎜ cot θ Jn (z) − β Jn (z) ⎟ n ⎜ ⎜ U ⎟ = 0 s2 ⎟ δ(ω − n ωs ) , ⎝ Fω ⎠ 2π c R n=1 ⎝ ⎠ 0 −2β cot θ Jn (z) Jn (z)

FωV dove

z = n β sinθ . ` interessante considerare il limite di queste espressioni per β → 0. Tenendo E conto dello sviluppo in serie di potenze z n 1 z2 − + ··· , Jn (z) = 2 n! 4(n + 1)! al primo ordine in z si ottiene che tutte le funzioni di Bessel di ordine intero con n ≥ 2 sono nulle. Per J1 (z) si ha poi J1 (z) =

z , 2

J1 (z) =

1 , 2

e si ritrovano le formule date per la radiazione di ciclotrone. Una caratteristica fondamentale dello spettro della radiazione di sincrotrone `e che a esso contribuiscono tutte le armoniche della frequenza ωs . Un problema interessante `e quello di chiedersi a quale armonica si abbia emissione massima. Un’analisi basata sugli sviluppi asintotici delle funzioni di Bessel5 mostra che, per valori di β vicini a 1, il massimo dell’emissione, integrata sull’angolo solido, si ottiene all’armonica caratterizzata dall’indice nmax dato da nmax (1 − β 2 )−3/2 = γ 3 . Ad esempio, per β = 0.99 si ha nmax 350. La frequenza che corrisponde al massimo, ωmax , `e quindi data da ωmax = γ 3 ωs = γ 2 ωc . Per elettroni ultra-relativistici, lo spettro della radiazione di sincrotrone risulta quindi uno spettro “quasi continuo”. Questo vale anche se gli elettroni hanno 5

´ Si veda L. Landau & E. Lifchitz, Th´ eorie du Champ, Editions Mir, Moscou, 1966.

87

RADIAZIONE DI CARICHE IN MOTO

tutti la stessa energia e si muovono lungo orbite circolari (e non elicoidali), caso a cui ci siamo limitati nella presente trattazione. Inﬁne, per valutare la potenza totale emessa su tutto l’angolo solido possiamo utilizzare l’equazione di Larmor generalizzata al caso relativistico (Eq. (3.23)). Tenendo conto che l’accelerazione `e perpendicolare alla velocit` a e che vale in modulo c β ωs , si ottiene W =

2 e40 2 e20 4 2 2 γ β ωs = γ2β2B2 , 3c 3 m 2 c3

ovvero, in forma alternativa W =

2 2 2 2 2 γ β B c rc , 3

dove rc `e il raggio classico dell’elettrone. Quest’ultima equazione permette anche l’introduzione di un’opportuna sezione d’urto, analogamente a quanto gi` a fatto per la radiazione di ciclotrone. Ricordando che la densit` a di energia magnetica `e B 2 /(8π), il ﬂusso di energia spazzato dall’elettrone nel suo moto `e c β B 2 /(8π). Tale energia `e trasformata dall’elettrone in energia raggiante con una sezione d’urto data da σs =

16π 2 2 γ β rc , 3

ovvero, in termini della sezione d’urto Thomson σs = 2 γ 2 β σT .

3.10 Sviluppo multipolare nella zona di radiazione Nei paragraﬁ precedenti ci siamo interessati a trovare le propriet` a della radiazione elettromagnetica irraggiata da una singola carica elettrica in moto arbitrario. Adesso andiamo a considerare il caso in cui si abbia un insieme di N cariche elettriche in moto, invece di una sola. Ovviamente, per la linearit`a delle equazioni di Maxwell, l’espressione dei campi elettrico e magnetico nella zona di radiazione si generalizza per semplice addizione dei campi dovuti a ciascuna carica. Si ha

r , t) = E(

N i=1

i (r, t) , E

r, t) = B(

N i=1

i (r, t) = B

N i=1

i (r, t) , ni × E

88

CAPITOLO 3

dove, ricordando l’Eq. (3.18) i (r, t) = E

ei ni × c2 κ3i Ri

vi × ai . ni − c

In questa espressione, tutte le quantit` a geometriche e dinamiche relative alla particella i-esima, ni , κi , Ri , vi e ai devono essere valutate al tempo anticipato della particella medesima, ti , deﬁnito da | r − ri (ti )| , c essendo ri (t) la traiettoria della particella i-esima. Ogni particella ha in generale un tempo anticipato diverso. Consideriamo il caso sempliﬁcato in cui l’insieme di particelle si trovi in una regione dello spazio avente dimensioni L molto minori della distanza R dal punto in cui si valutano i campi (L R). In queste condizioni, si pu`o supporre che il versore n e la distanza R siano uguali per tutte le cariche. Sotto queste ipotesi, a meno di termini dell’ordine di L/R, si ha per il campo elettrico ti = t −

ei r , t) = 1 E( n × 2 c R i=1 κ3i N

vi × ai . n − c

Se supponiamo adesso che le cariche si muovano con velocit` a non relativistiche, ovvero se supponiamo vi c (i = 1, . . . , N ), tutti i fattori κi sono uguali a 1 e il secondo termine entro la parentesi tonda del secondo membro pu`o essere trascurato. Si ottiene allora, per il campo elettrico all’ordine zero nel rapporto v/c N 1 E0 (r, t) = 2 n × n × ei ai . c R i=1 Introduciamo adesso l’ulteriore ipotesi di trascurare la dipendenza dal tempo anticipato ti nell’accelerazione della particella i-esima. Per questo, consideriamo un punto di coordinate rc (il punto “centrale”, per ﬁssare le idee, del nostro insieme di cariche) e misuriamo le coordinate spaziali delle singole particelle rispetto a tale punto, deﬁnendo si = ri − rc . Con questa posizione, il tempo anticipato ti risulta, essendo |si | |r − rc | R si · n , c dove tc `e il tempo anticipato relativo al punto centrale. Aﬃnch´e l’ipotesi di trascurare la dipendenza da ti sia giustiﬁcata, bisogna che il tempo tipico τ ti = tc +

RADIAZIONE DI CARICHE IN MOTO

89

su cui avvengono variazioni nel moto delle particelle sia molto maggiore del rapporto L/c, dove L sono le dimensioni tipiche della regione dello spazio in cui si trovano le particelle. D’altra parte, la lunghezza d’onda λ caratteristica della radiazione emessa dalle particelle `e dell’ordine di c τ , per cui si deve avere λ cτ L . Quando questa condizione `e veriﬁcata, deﬁnendo il momento di dipolo elettrico attraverso l’equazione del sistema di cariche, D, = D

N

ei si ,

(3.31)

i=1

si ottiene .. ) , 0 (r, t) = 1 n × (n × D E c2 R dove si `e adottata la “convenzione dei punti” per indicare la derivazione rispetto al tempo e dove la derivata seconda del momento di dipolo elettrico deve essere valutata al tempo anticipato tc . L’irraggiamento descritto da questa equazione viene detto irraggiamento di dipolo elettrico. Esso presenta un diagramma di radiazione uguale in tutto e per tutto a quello della carica singola non relativistica gi` a esaminato nel Par. 3.4 e descritto dalla Fig. 3.3. Per la potenza totale emessa si ha poi, in stretta analogia al risultato ivi ottenuto Wd.e. =

2 .. 2 D . 3 c3

.. sia nullo. Per In alcuni casi, si pu`o veriﬁcare la circostanza che il vettore D determinare le propriet`a dell’irraggiamento del sistema di cariche `e allora necessario andare a considerare il contributo del campo elettrico al primo ordine in v/c, contributo che abbiamo precedentemente trascurato. Con riferimento all’equazione generale per il campo elettrico, dobbiamo tener conto di tre termini distinti che provengono, rispettivamente: (a) dal fattore in vi /c in parentesi tonda; (b) dal fattore moltiplicativo κ−3 i ; (c) dalla correzione del termine di ordine zero in ai dovuto all’eﬀetto del tempo anticipato. Con semplici considerazioni si ottiene allora per il contributo al campo elettrico dovuto al primo ordine nello sviluppo in v/c N ! ˙i ) , 1 (r, t) = 1 E e n × −( v × a ) + 3 ( v · n )( n × a ) + ( s · n )( n × a i i i i i i c3 R i=1

90

CAPITOLO 3

dove tutte le quantit` a sono valutate al tempo anticipato “centrale” t c . Questa espressione pu`o essere posta in forma diversa osservando che, dato un vettore w qualsiasi, si ha n × w = −n × [ n × [ n × w ]] , per cui, modiﬁcando attraverso questa equazione il primo termine entro la parentesi graﬀa, si pu`o scrivere

1 (r, t) = 1 n × n × A , E c3 R dove = A

N

ei n × (vi × ai ) + 3 ( vi · n ) ai + (si · n ) a˙i

! ,

i=1

ovvero, sviluppando il doppio prodotto vettoriale = A

N

ei (ai · n ) vi + 2 (vi · n ) ai + (si · n ) a˙i

! .

i=1

Modiﬁchiamo adesso la forma di questa equazione ponendo ... ai = s¨i , a˙i = si . vi = s˙i , Con queste posizioni si ha = A

N

... ! ei (s¨i · n ) s˙i + 2 (s˙i · n ) s¨i + (si · n ) si .

i=1

Introduciamo il momento di dipolo magnetico del sistema attraverso l’espressione 1 = 1 M ei si × vi = ei si × s˙i . 2 c i=1 2 c i=1 N

N

(3.32)

Derivando due volte rispetto al tempo si ottiene N .. ... ! = 1 ei s˙i × s¨i + si × si , M 2c i=1

e, prendendone il prodotto vettoriale col versore n, N ! .. ... ... × n = 1 ei (s˙i · n ) s¨i − (s¨i · n ) s˙i + (si · n ) si − (si · n ) si . M 2 c i=1

RADIAZIONE DI CARICHE IN MOTO

91

di deduce Da questa equazione, ricordando l’espressione del vettore A N .. ... ... ! − cM × n = 1 3 (s¨i · n ) s˙i + 3 (s˙i · n ) s¨i + (si · n ) si + (si · n ) si . A 2 i=1

Deﬁniamo adesso il tensore simmetrico Q / attraverso il seguente prodotto diadico Q /=

N

ei si si .

(3.33)

i=1

Come speciﬁcheremo meglio in seguito, questo tensore `e strettamente collegato al tensore del momento di quadrupolo elettrico che viene deﬁnito in elettrostatica. Derivandolo tre volte rispetto al tempo e moltiplicandolo scalarmente per il versore n (indiﬀerentemente a destra o a sinistra in quanto il tensore `e simmetrico), si ottiene facilmente N ... ... ... ... ! n · Q /=Q / · n = ei (si · n )si + 3 (s¨i · n ) s˙i + 3 (s˙i · n ) s¨i + (si · n ) si , i=1

risulta espresso, in termini del momento di per cui, in deﬁnitiva, il vettore A dipolo magnetico e del tensore Q / , dall’equazione .. ... = cM × n + 1 n · Q A / . 2 Se adesso sostituiamo questa equazione nell’espressione del campo elettrico attraverso l’equazione E1 (r, t) e introduciamo il vettore Q = n · Q Q / , si ottiene ... .. 1 1 n × M + n × (n × Q ) . E1 (r, t) = 2 c R 2c ` interessante osservare che, ai ﬁni del calcolo del campo E1 (r, t), il tensore Q E / pu` o essere senz’altro sostituito dal tensore del momento di quadrupolo elettrico, generalmente deﬁnito in elettrostatica dall’espressione Q=

1 ei si si − s2i U , 3 i=1

N

dove U `e il tensore unitario. Ovviamente si ha

92

CAPITOLO 3

Q=Q /−

1 ei s2i U , 3 i

cosicch´e i due tensori Q e Q / diﬀeriscono fra loro di una quantit` a proporzionale al tensore unitario. Se si adotta l’espressione di Q in luogo di Q / per deﬁnire si ottiene un altro vettore che diﬀerisce da Q per una quantit` il vettore Q, a 1 (r, t) a proporzionale a n la quale non d` a alcun contributo al campo elettrico E causa della presenza del doppio prodotto vettoriale. Quindi, ai ﬁni del calcolo data sopra pu` di questo campo, la deﬁnizione di Q o essere sostituita dalla deﬁnizione equivalente = n · Q . Q

3.11 Diagramma di radiazione per le componenti multipolari Come abbiamo visto nel paragrafo precedente, il contributo del campo elettrico nella zona di radiazione dovuto alle correzioni del primo ordine in v/c pu` o, sotto un certo numero di ipotesi, essere scomposto nella somma di un termine dovuto all’irraggiamento di dipolo magnetico e un termine dovuto all’irraggiamento di quadrupolo elettrico, ovvero 1 (r, t) = E d.m. (r, t) + E q.e. (r, t) , E dove ... .. , q.e. = 1 n × (n × Q ) . d.m. = 1 n × M E E c2 R 2 c3 R Vogliamo adesso determinare i diagrammi di radiazione che competono indipendentemente ai due tipi diversi di irraggiamento. Se esiste soltanto irraggiamento di dipolo magnetico, esprimendo il vettore di Poynting attraverso la consueta espressione valida nella zona di radiazione, ovvero r, t) = c E 2 (r, t) n , S( 4π si ottiene

r, t) = S(

.. 2 sin2 θ M

n , .. . Il diagramma di radiazione dove θ `e l’angolo compreso fra i due vettori n e M `e in tutto e per tutto analogo a quello dell’irraggiamento di dipolo elettrico 4π c3 R2

RADIAZIONE DI CARICHE IN MOTO

93

mostrato nella Fig. 3.3. L’unica diﬀerenza fra questi due casi `e dovuta al fatto che nell’irraggiamento di dipolo elettrico compare un doppio prodotto .. ), mentre nell’irraggiamento di dipolo magnetico compare vettoriale, n × (n × D .. . Questa diﬀerenza ha conseguenze solo un prodotto vettoriale singolo, n × M sulle caratteristiche di polarizzazione dei due tipi di emissione. Nel primo caso il vettore campo elettrico giace nel piano contenente la direzione di propagazione, .. , mentre nel secondo caso il vettore campo elettrico `e diretto n, e il vettore D perpendicolarmente al piano contenente la direzione di propagazione e il vettore .. . Per la potenza totale si ottiene una formula del tutto analoga a quella M dell’emissione di dipolo elettrico, ovvero 2 .. 2 M . 3 c3 Passiamo adesso ad analizzare il caso dell’emissione di quadrupolo supponendo che esista solo tale tipo di irraggiamento. Il vettore di Poynting `e dato da Wd.m. =

... 2 1 n × Q n , 16π c5 R2 ovvero, ricordando la deﬁnizione del vettore Q r , t) = S(

r , t) = S(

... 2 1 n × n · Q / n , 16π c5 R2

... ... il tensore Q / potendo alternativamente essere sostituito dal tensore Q . Nel seguito ci atterremo a quest’ultima deﬁnizione, osservando che il ...tensore Q `e un tensore a traccia nulla6 e che tale propriet`a si conserva per Q . Ricordiamo poi che per un tensore cartesiano simmetrico, quale Q, si pu` o sempre determinare un opportuno sistema di riferimento, (x, y, z), nel quale il tensore stesso `e diagonale. Si pu`o quindi scrivere, in tale riferimento ... Q = Aı ı + B j j + C k k , dove ... A = Qxx ,

... B = Qyy ,

... C = Qzz ,

con A+B+C =0 . Individuando in questo sistema la direzione arbitraria n con gli angoli polari θ e φ, ovvero ponendo 6

Questa propriet` a sempliﬁca la deduzione delle equazioni che saranno provate in seguito.

94

CAPITOLO 3

Fig. 3.12. Diagramma di radiazione per l’emissione di quadrupolo nel caso sempliﬁcato in cui sia A = B. Il diagramma ` e a simmetria di rotazione attorno all’asse verticale.

n = sinθ cosφı + sinθ sinφ j + cosθ k , si ottiene, con facili passaggi ... n × (n · Q ) = sinθ cosθ sin φ (C − B)ı + sinθ cosθ cosφ (A − C) j + sin2 θ sinφ cosφ (B − A) k , e il vettore di Poynting risulta 2 1 sin θ cos2 θ sin2 φ (B − C)2 + sin2 θ cos2 θ cos2 φ (C − A)2 5 2 16π c R + sin4 θ sin2 φ cos2 φ (A − B)2 n .

r , t) = S(

Questa formula esprime il diagramma di radiazione per l’emissione di quadrupolo elettrico. Tale diagramma risulta relativamente complicato e manca, in generale, di simmetria. Soltanto nel caso sempliﬁcato in cui sia A = B (che implica C = −2 A), si ottiene la seguente espressione, a simmetria di rotazione attorno all’asse z, illustrata nella Fig. 3.12 9 sin2 θ cos2 θ A2 n . 16π c5 R2 Tornando al caso generale, l’espressione per la potenza totale irradiata su tutto l’angolo solido pu` o essere facilmente determinata osservando che la media sull’angolo solido delle tre funzioni r, t) = S(

95

RADIAZIONE DI CARICHE IN MOTO

sin2 θ cos2 θ sin2 φ , 1 15 .

vale

sin2 θ cos2 θ cos2 φ ,

sin4 θ sin2 φ cos2 φ

Si ottiene quindi Wq.e. =

1 (B − C)2 + (C − A)2 + (A − B)2 , 5 60 c

e, ricordando che A + B + C = 0, per cui A2 + B 2 + C 2 = −2 (AB + BC + CA) , si ha

Wq.e. =

... 2 ... 2 1 ... 2 1 2 2 2 (Q . A = + B + C ) + (Q ) + (Q xx yy zz ) 20 c5 20 c5

Inﬁne, si pu` o osservare che, dato un tensore di rango due qualsiasi, T ij , se ne pu` o deﬁnire il modulo quadro, T2 , con l’equazione Tij2 , T2 = ij

e si pu` o dimostrare che tale quantit` a `e invariante per rotazioni del sistema di riferimento. In particolare, nel sistema di riferimento in cui il tensore `e diagonale, si ha 2 2 2 T2 = Txx + Tyy + Tzz .

L’espressione per la potenza dell’irraggiamento di quadrupolo pu`o quindi essere scritta, in un sistema arbitrario, nella forma Wq.e. =

1 ... 2 Qij . 20 c5 ij

(3.34)

Osserviamo inﬁne che le espressioni per l’irraggiamento di onde elettromagnetiche che abbiamo ottenuto in questi ultimi due paragraﬁ possono essere “traslate” in maniera euristica per descrivere l’irraggiamento di onde gravitazionali. L’Appendice 6 `e dedicata a questo argomento.

Capitolo 4

Quantizzazione del campo elettromagnetico Nella sua interazione con la materia, la radiazione elettromagnetica presenta un comportamento caratteristico per il quale l’assorbimento e l’emissione avvengono sotto forma di quanti di energia comunemente denominati fotoni. Tali fenomeni non possono essere descritti in base alla teoria classica sviluppata nel capitolo precedente ma necessitano una trattazione speciﬁca capace di uniﬁcare, nell’ambito di una teoria formalmente coerente, i concetti di base dell’Elettromagnetismo e della Meccanica Quantistica. Tale teoria, detta Elettrodinamica Quantistica, `e stata sviluppata a partire dagli anni 1930 grazie al contributo di eminenti ﬁsici, fra i quali basta qui ricordare Dirac e Feynman. In questo capitolo daremo un’introduzione di base del formalismo, cosiddetto di seconda quantizzazione, che viene oggi comunemente utilizzato nell’ambito dell’Elettrodinamica Quantistica per introdurre il concetto di fotone. Le applicazioni di questo formalismo alla descrizione dell’interazione fra materia e radiazione e allo studio di speciﬁci processi ﬁsici saranno trattate in capitoli successivi (Cap. 11 e 15).

4.1 Oscillatore armonico, operatori di creazione e distruzione Consideriamo un oscillatore armonico unidimensionale, la cui realizzazione pratica pi` u semplice `e costituita da una particella puntiforme, di massa m, mobile lungo una retta e soggetta all’azione di una forza di richiamo elastica. Detta x la coordinata misurata lungo tale retta a partire dalla posizione di equilibrio, l’equazione di moto `e mx ¨ = −k x , dove k `e la costante di richiamo. Come `e noto questa equazione ammette soluzioni di tipo armonico caratterizzate dalla frequenza angolare $ k ω= . m Nel formalismo della meccanica analitica, il sistema ﬁsico `e descritto dalla funzione Hamiltoniana H, che rappresenta l’energia totale, data da

98

CAPITOLO 4

H=

1 p2 + k x2 , 2m 2

dove p `e l’impulso della particella. Seguendo le convenzioni della meccanica analitica, indichiamo col simbolo q la coordinata x. Sostituendo inoltre ω in luogo di k, l’Hamiltoniana si pu` o riscrivere nella forma H=

p2 1 + m ω2 q2 . 2m 2

In questa equazione p rappresenta pi` u propriamente il momento cinetico coniugato alla variabile q. Le equazioni di moto per q e p si ottengono attraverso le ben note equazioni di Hamilton p˙ = −

∂H = −m ω 2 q , ∂q

q˙ =

p ∂H = . ∂p m

Introduciamo adesso, in luogo delle variabili q e p, delle loro combinazioni lineari della forma a = C (m ω q + i p) , a∗ = C (m ω q − i p) ,

√ dove i = −1 `e l’unit`a immaginaria e dove C `e una costante reale il cui valore sar` a speciﬁcato in seguito. Per le equazioni di moto si ha, con facili passaggi, a˙ = C (m ω q˙ + i p) ˙ = −i ω a , e, analogamente, a˙ ∗ = i ω a∗ . Come si vede, con l’introduzione delle variabili a e a∗ , le equazioni diﬀerenziali risultano disaccoppiate e quindi di pi` u facile soluzione. Passando alla descrizione quantistica, q e p devono essere pensati come operatori lineari Hermitiani agenti su un opportuno spazio di Hilbert. I due operatori devono inoltre soddisfare la regola di commutazione [ q, p ] = q p − p q = i h ¯ , dove abbiamo introdotto il consueto simbolo per indicare il commutatore fra due operatori, e dove h ¯ `e la costante di Planck divisa per 2π (¯ h = 1.055 × 10−27 erg s). Con l’introduzione delle quantit` a a e a∗ , che nella formulazione

QUANTIZZAZIONE DEL CAMPO ELETTROMAGNETICO

99

quantistica divengono gli operatori a e a† , gli operatori q e p si esprimono attraverso le equazioni 1 (a + a† ) , 2C mω i (a − a† ) , p=− 2C e l’Hamiltoniana risulta (facendo attenzione a non alterare l’ordine degli operatori) q=

H=

1 (a† a + a a† ) . 4 m C2

Valutiamo adesso il commutatore fra gli operatori a e a† . Si ha [ a, a† ] = C 2 [ m ω q + i p , m ω q − i p ] = 2 C 2 m h ¯ω , e scegliamo la costante C in modo che si abbia (4.1) [ a, a† ] = 1 . √ ¯ ω, col che l’Hamiltoniana risulta Per far questo `e suﬃciente porre C = 1/ 2 m h H=

1 h ¯ ω (a a† + a† a) , 2

e, tenendo presente la regola di commutazione fra a e a† , si ottiene H=h ¯ ω a† a + 21 .

(4.2)

u Con l’introduzione degli operatori a e a† , che, per ragioni che saranno pi` chiare in seguito, prendono il nome, rispettivamente, di operatore di distruzione e di creazione, l’Hamiltoniana `e stata ricondotta a una forma molto sempliﬁcata. Adesso troveremo autovalori e autovettori di questa Hamiltoniana dimenticando, in un certo qual modo, la sua origine e sfruttando unicamente la regola di commutazione fra gli operatori a e a† . Calcoliamo preliminarmente alcuni commutatori [H, a] = h ¯ ω [ a† a, a ] = h ¯ ω [ a† , a ] a = −¯ hω a , ¯ ω [ a† a, a† ] = h ¯ ω a† [ a, a† ] = h ¯ ω a† . [H, a† ] = h Supponiamo adesso di conoscere un particolare autovettore, |H , dell’Hamiltoniana e il corrispondente autovalore H H|H = H|H

,

e consideriamo il prodotto scalare H| a† a |H . Con facili passaggi si ottiene

100

CAPITOLO 4

h ¯ ω H| a† a |H = (H −

1 2

h ¯ ω) H|H

.

In questa equazione si pu`o osservare che il primo membro `e positivo, essendo il prodotto della quantit` ah ¯ ω per la norma del vettore a|H . Essendo d’altra parte positiva anche la norma del vettore |H , ne risulta per l’autovalore H H≥

1 2

h ¯ω ,

il segno di uguaglianza essendo veriﬁcato solo quando a|H = 0. Applicando poi l’Hamiltoniana al vettore a|H , si ha, attraverso le regole di commutazione dimostrate precedentemente H a|H = (aH − h ¯ ω a)|H = (H − h ¯ ω) a|H

.

Questa equazione mostra che, se |H `e un autovettore dell’Hamiltoniana corrispondente all’autovalore H, allora il vettore a|H `e anch’esso un autovettore dell’Hamiltoniana corrispondente all’autovalore (H − h ¯ ω). Applicando ripetutamente questa propriet`a, si trova che, in generale, il vettore an |H (con n intero) `e anch’esso autovettore dell’Hamiltoniana corrispondente all’autovalore (H − n h ¯ ω). Cos`ı facendo si ottiene una catena di autovettori aventi autovalori sempre minori. Questa catena deve per` o interrompersi perch´e, altrimenti, si arriverebbe a trovare degli autovalori che non soddisfano pi` u la condizione H ≥ 21 h ¯ ω. L’unico modo possibile per interrompere la catena `e che, per un certo intero m, si veriﬁchi am |H = 0 . Questo signiﬁca che il vettore am−1 |H `e l’autovettore che corrisponde all’autovalore 21 h ¯ ω. Tale autovettore, che sar`a indicato nel seguito col simbolo |0 , `e tale che a|0 = 0 ,

H|0 =

1 2

h ¯ ω |0

.

†

a di commutaSe consideriamo adesso il vettore a |0 , si ha, per le propriet` zione dimostrate precedentemente H a† |0 = (a† H + h ¯ ω a† )|0 =

3 2

h ¯ ω a† |0

,

e, analogamente, per un intero n qualsiasi ¯ ω a†n |0 H a†n |0 = (n + 12 ) h

.

Si `e cos`ı costruita, a partire dall’autovettore |0 , una catena di autovettori corrispondenti ad autovalori mano a mano crescenti. Gli autovalori dell’Hamiltoniana sono quindi dati dalle quantit` a 12 h ¯ ω, (1 + 12 ) h ¯ ω, . . . , (n + 12 ) h ¯ ω, . . . , e a tali autovalori corrispondono gli autovettori |0 , a† |0 , . . . , a†n |0 , . . . .

101

QUANTIZZAZIONE DEL CAMPO ELETTROMAGNETICO

Gli autovettori cos`ı trovati non sono per` o normalizzati. Per trovare la norma dell’autovettore generico, bisogna considerare la quantit`a 0| an a†n |0 , che pu` o essere facilmente valutata tenendo conto dell’equazione (dimostrabile con un procedimento di induzione) [ a, a†n ] = n a†n−1 . Per la norma del vettore a†n |0 , si ha 0| an a†n |0 = 0| an−1 a a†n |0 = 0| an−1 (a†n a + n a†n−1 )|0 = = n 0| an−1 a†n−1 |0

.

Applicando successivamente questa equazione si ottiene inﬁne 0| an a†n |0 = n! 0|0

.

Se si suppone allora che l’autovettore |0 sia normalizzato, si possono ottenere gli altri autovettori normalizzati, che indichiamo con |n , attraverso l’espressione 1 |n = √ a†n |0 n!

.

` facile mostrare che gli operatori a e a† agiscono sull’autovettore |n E seguente maniera √ n |n − 1 , √ † a |n = n + 1 |n + 1

nella

a|n =

.

Queste equazioni giustiﬁcano il nome loro attribuito di operatori di distruzione e di creazione, qualora si interpreti il numero quantico n come numero di occupazione di ipotetiche particelle.

4.2 Sviluppo del campo elettromagnetico in serie di Fourier Si consideri il campo elettromagnetico racchiuso in una cavit`a cubica, la cosiddetta “scatola”, di lato L e volume V = L3 . In assenza di cariche e correnti, per quanto visto nel Par. 1.5, possiamo utilizzare il caso particolare del gauge di Lorenz nel quale il potenziale scalare φ(x, t) `e nullo (Eq. (1.10)), dimodoch´e x, t) che `e soggetto alla conil campo `e descritto dal solo potenziale vettore A( dizione supplementare (non invariante relativisticamente) dell’Eq. (1.11)

102

CAPITOLO 4

x, t) = 0 , divA( e che soddisfa l’equazione delle onde 1 ∂2 A(x, t) = 0 . c2 ∂t2 Fissiamo un istante arbitrario t e sviluppiamo il potenziale vettore in serie di Fourier della variabile x. Imponendo che esso soddisﬁ alle cosiddette condizioni di periodicit` a, ovvero x, t) − ∇2 A(

y, z, t) = A(x + mx L, y + my L, z + mz L) , A(x, con mx , my , mz interi arbitrari (positivi, negativi, o nulli), si ottiene x, t) = (t) ei k·x , A( C k k

con la somma estesa a tutti i valori di k tali da soddisfare le condizioni di periodicit` a, ovvero a tutti i valori di k della forma k = nx 2π , ny 2π , nz 2π , L L L con nx , ny , nz interi arbitrari (positivi, negativi, o nulli). Essendo la funzione x, t) reale, il vettore complesso C (t) soddisfa la propriet` A( a di coniugazione k (t)∗ = C (t) . C k −k Imponiamo adesso che il potenziale vettore soddisﬁ l’equazione delle onde. Si (t) l’equazione diﬀerenziale ottiene per C k (t) d2 C k (t) , = −ωk2 C k dt2 dove abbiamo introdotto la frequenza angolare ωk (relativa al vettore d’onda k ) attraverso l’espressione ωk = c k , k essendo il modulo del vettore k. L’equazione diﬀerenziale pu` o essere facilmente risolta per dare (t) = C (−) e−i ωk t + C (+) ei ωk t , C k k k (+) costanti. Sostituendo si ottiene (−) e C con C k

k

QUANTIZZAZIONE DEL CAMPO ELETTROMAGNETICO

x, t) = A(

(−) ei (k·x−ωk t) + C

k

103

(+) ei (k·x+ωk t) , C k

k

k

con (+) . (−)∗ = C C k − k Il potenziale vettore `e stato cos`ı decomposto in onde progressive e regressive. Tenendo conto che ωk = ω−k , si pu` o trasformare l’esponenziale che compare nell’onda regressiva mediante l’equazione e i (k·x+ωk t) = e−i (−k·x−ω−k t) , e cambiando nella seconda somma l’indice k in −k si ottiene (−)∗ (−) ei (k·x−ωk t) + x, t) = e−i (k·x−ωk t) , C C A(

k

k

k

k

che mostra in maniera diretta la realt` a della funzione A(x, t). Imponiamo inﬁne la condizione supplementare di gauge (div A(x, t) = 0). Si ottiene, per ogni valore di k, la condizione di trasversalit` a k · C (−) = 0 . k

Possiamo soddisfare questa condizione nella seguente maniera. Per ogni vettore d’onda k, deﬁniamo due versori di polarizzazione (in generale complessi) ekλ (λ = 1, 2) entrambi perpendicolari a k e perpendicolari fra loro, tali cio`e da soddisfare le equazioni ekλ · k = 0 , ∗ . ekλ · ekλ = δλλ

Con l’introduzione di questi versori possiamo soddisfare la condizione di trasversalit`a scrivendo (−) e−i ωk t = C ckλ(t) ekλ , k λ

dove ckλ(t) `e una funzione oscillante che soddisfa l’equazione diﬀerenziale d c (t) = −i ωk c (t) . kλ dt kλ Per il potenziale vettore si ottiene quindi l’espressione ﬁnale ∗ −i x, t) = ckλ(t) ekλ ei k·x + c∗kλ(t) ekλ e k·x , A( kλ

104

CAPITOLO 4

dalla quale si possono dedurre le espressioni per i vettori campo elettrico e campo magnetico ∗ −i x, t) = − 1 ∂ A( x, t) = i E( ωk ckλ(t) ekλ ei k·x − c∗kλ(t) ekλ e k·x , c ∂t c kλ

x, t) = rotA( x, t) = i B(

k × c (t) e ei k·x − c∗ (t) e ∗ e−i k·x . kλ kλ kλ kλ

kλ

Le somme che compaiono in queste espressioni sono estese a tutti i valori di k tali da soddisfare le condizioni di periodicit` a, e, ﬁssato k, ai due possibili stati di polarizzazione. Ciascuna coppia (k, λ) deﬁnisce un cosiddetto modo del campo di radiazione entro la cavit` a. Il numero di modi per i quali il modulo del vettore d’onda `e compreso fra k e k + dk e la direzione del vettore d’onda `e compresa nell’angolo solido dΩ si pu` o trovare osservando che, nello spazio dei numeri d’onda, gli estremi dei possibili vettori k vengono a trovarsi sulle maglie di un reticolato cubico avente per lato 2π/L. Si ottiene quindi per tale numero dN = 2

2π L

−3 V 2 k 2 dk dΩ = k dk dΩ , 4π 3

(4.3)

dove V `e il volume della cavit`a e dove il fattore 2 supplementare `e stato introdotto per tener conto dei due possibili stati di polarizzazione.

4.3 Passaggio alla quantizzazione Lo sviluppo in serie di Fourier ottenuto nel paragrafo precedente `e basato su considerazioni puramente classiche. Si passa alla quantizzazione in rappresentazione di Schr¨odinger interpretando le grandezze classiche ckλ (t) e c∗kλ(t), ovvero i coeﬃcienti dipendenti dal tempo che compaiono nello sviluppo in serie di Fourier del potenziale vettore e dei campi, come operatori quantistici ckλ e c† , indipendenti dal tempo, che agiscono su un opportuno spazio di Hilbert. kλ x, t), E( x, t) e B( x, t), divengono Cos`ı facendo, anche le grandezze classiche A( x) si ha, ad esempio operatori indipendenti dal tempo. Per l’operatore A( x) = A(

∗ −i c ekλ e i k·x + c† ekλ e k·x , kλ

kλ

kλ

x) e B( x). con espressioni analoghe per gli operatori E( Dobbiamo adesso costruire l’operatore che corrisponde alla Hamiltoniana del campo di radiazione. Per far questo ci basiamo sul principio di corrispondenza e scriviamo, ricordando l’espressione per la densit`a di energia del campo

QUANTIZZAZIONE DEL CAMPO ELETTROMAGNETICO

H=

u(x ) d3 x = V

1 8π

105

2 (x ) + B 2 (x ) d3 x , E V

x ) e B( x ) sono l’operatore campo elettrico e l’operatore campo madove E( x) e gnetico, rispettivamente. Sostituendo le espressioni operatoriali per E( B(x ) si ottiene un’espressione contenente una somma doppia sugli indici (k, λ) o ossere (k , λ ). Tuttavia, tenendo conto delle condizioni di periodicit`a, si pu` vare che portano contributo non nullo all’integrale soltanto i termini contenenti prodotti di esponenziali del tipo ei k·x e−i k·x ,

per i quali l’integrazione in d3 x vale semplicemente V. Per ciascuno dei due contributi, quello elettrico e quello magnetico, che indichiamo rispettivamente con Hel. e Hma. , si ottengono quattro pezzi distinti, ovvero 1 2 (x ) d3 x = − V Hel. = ωk2 c c (ekλ · e−kλ ) E 2 kλ −kλ 8π V 8π c kλλ

Hma.

† ∗ ∗ ∗ + c† c† (ekλ · e−∗kλ ) − c c† (ekλ · ekλ ekλ · ekλ ) , ) − c c ( kλ kλ kλ −kλ kλ kλ 1 2 (x ) d3 x = − V ckλ c−kλ (k × ekλ ) · (−k × e−kλ ) = B 8π V 8π kλλ

∗ ∗ + c† c† (k × ekλ ) · (−k × e−∗kλ ) − c c† (k × ekλ ) · (k × ekλ ) kλ −kλ

kλ kλ

∗ ) · (k × ekλ ) . − c† c (k × ekλ kλ kλ

Osservando poi che, per due versori arbitrari e1 e e2 , entrambi perpendicolari al vettore k si ha (k × e1 ) · (k × e2 ) = k 2 (e1 · e2 ) , e che k 2 = ωk2 /c2 , si ottiene che, per i primi due addendi che compaiono entro le parentesi quadre a secondo membro, i contributi elettrico e magnetico si elidono, mentre, per gli ultimi due addendi, i contributi elettrico e magnetico risultano uguali. Tenendo inﬁne conto che ∗ , ekλ · ekλ = δλλ

si ottiene l’espressione H=

V 2 † † c . ω c + c c k kλ kλ kλ kλ 4π c2 kλ

106

CAPITOLO 4

Per ricondurre questa Hamiltoniana alla somma di Hamiltoniane gi`a studiate precedentemente, passiamo dagli operatori c e c† agli operatori a e a† kλ kλ kλ kλ deﬁniti da $ 1 ωk V c a = . kλ c 2π h ¯ kλ Con questa posizione, l’Hamiltoniana risulta

1 , (4.4) ¯ ωk a a† + a† a H= 2 h kλ kλ

kλ kλ

kλ

e l’operatore potenziale vettore si scrive nella forma % 2π h ¯ ∗ −i x) = a ekλ e i k·x + a† ekλ c e k·x . A( kλ kλ ωk V

(4.5)

kλ

Per completare la quantizzazione del campo elettromagnetico `e per` o necessario conoscere le regole di commutazione degli operatori a e a† . Queste kλ kλ possono essere dedotte attraverso il principio di corrispondenza sfruttando il fatto che conosciamo le equazioni di moto che regolano l’evoluzione temporale delle quantit`a classiche corrispondenti (ckλ (t) ∼ exp(−i ωk t)). Se |ψ `e un qualsiasi vettore di stato del sistema quantistico, l’osservabile classica corrispondente all’operatore akλ `e data dal valore di aspettazione ψ| akλ |ψ , e tale osservabile deve soddisfare l’equazione d ψ| a |ψ = −i ωk ψ| a |ψ . kλ kλ dt Tenendo conto d’altra parte che lo stato |ψ obbedisce all’equazione di Schr¨odinger, si ha d i ψ| a |ψ = ψ|[ H, a ]|ψ kλ kλ dt h ¯ e, sostituendo l’espressione trovata per H,

,

i d ω ψ|[ a a† + a† a , a ]|ψ ψ| a |ψ = kλ k λ k λ kλ k λ k λ dt 2 k

.

k λ

Identiﬁcando le due espressioni trovate per la derivata dell’osservabile, si ha ωk ψ| akλ |ψ = − 12

& k λ

ωk ψ|[ ak λ a†k λ + a†k λ ak λ , akλ ]|ψ

.

Poich´e l’espressione a secondo membro deve contenere, come quella a primo membro, soltanto quantit` a dipendenti dagli indici k e λ, e poich´e ci`o deve veriﬁcarsi per qualsiasi vettore di stato |ψ , si deve avere

107

QUANTIZZAZIONE DEL CAMPO ELETTROMAGNETICO

[a , a ] = 0 k λ

per k = k, λ = λ ,

(4.6)

[a , a† ] = 0

per k = k, λ = λ ,

(4.7)

kλ

kλ

k λ

il che signiﬁca che operatori a e a† relativi a modi diversi commutano. L’equazione precedente risulta quindi ψ| a |ψ = − 12 ψ| a [ a† , a ] + [ a† , a ] a | ψ kλ

kλ

kλ

kλ

kλ

kλ

kλ

.

Essendo il vettore di stato arbitrario, questa equazione pu`o essere soddisfatta solo ponendo [ a , a† ] = 1 , kλ

kλ

(4.8)

e l’Hamiltoniana assume la forma H=

h ¯ ωk a† a + 21 . kλ kλ

(4.9)

kλ

Confrontando i risultati contenuti nelle Eq. (4.6)-(4.9) con quelli del Par. 4.1 (Eq. (4.1) e (4.2)), possiamo concludere che l’Hamiltoniana quantistica del campo elettromagnetico risulta pari alla somma di tante Hamiltoniane di oscillatore armonico, indipendenti fra loro; ciascun oscillatore `e associato a un modo del campo di radiazione caratterizzato dal vettore d’onda k (e quindi dalla frequenza angolare ωk ) e dal versore di polarizzazione ekλ . Ricordando i risultati del Par. 4.1 si ha che l’energia relativa a ciascun modo pu`o assumere soltanto uno dei valori Ekλ = h ¯ ωk (n + 12 ) , dove n `e un intero arbitrario maggiore o uguale a 0. Questo risultato si interpreta dicendo che il modo contiene un numero n di fotoni tutti di energia h ¯ ωk . Il numero n prende anche il nome di numero d’occupazione del modo. In particolare, se n = 0, l’energia assume il valore 12 h ¯ ωk , ovvero si ottiene la cosiddetta energia di zero. Tale energia ha, in molti casi, un’importanza puramente formale e pu`o essere ignorata in gran parte delle applicazioni. Si deve notare che, essendo il numero di modi inﬁnito, l’energia di zero del campo elettromagnetico `e inﬁnita. Per interpretare in maniera coerente la realt` a ﬁsica si `e costretti a “rinormalizzare” l’energia che compete allo stato di vuoto imponendo che essa sia zero. Poich´e l’Hamiltoniana totale `e uguale alla somma di tante Hamiltoniane indipendenti, ne consegue che i suoi autovalori sono uguali alla somma degli autovalori delle singole Hamiltoniane. Gli autovalori dell’Hamiltoniana totale sono quindi della forma

108

CAPITOLO 4

E=

h ¯ ωk (nkλ + 12 ) ,

kλ

e risultano individuati dall’insieme dei numeri interi nkλ che speciﬁcano il numero di fotoni presenti in ciascun modo. Per quanto riguarda l’identiﬁcazione degli autovettori, ovvero degli stati stazionari del campo di radiazione, si pu`o utilizzare una generalizzazione del formalismo introdotto nel Par. 4.1 scrivendo l’autovettore nella forma compatta |n1 , n2 , . . . , nkλ , . . .

= |n1 |n2 · · · |nkλ · · · ,

ovvero come il prodotto diretto di tanti “ket” ciascuno deﬁnito in uno spazio di Hilbert diverso. Ciascun operatore a o a† opera soltanto sul vettore |nkλ kλ kλ relativo al modo corrispondente, per cui si ha a |n1 , n2 , . . . , nkλ , . . .

=

√ nkλ |n1 , n2 , . . . , nkλ − 1, . . .

a† |n1 , n2 , . . . , nkλ , . . .

=

# nkλ + 1 |n1 , n2 , . . . , nkλ + 1, . . .

kλ

kλ

,

(4.10) ,

(4.11)

il che giustiﬁca il nome di operatori di distruzione e creazione di fotoni dato rispettivamente agli operatori akλ e a† . kλ Il formalismo introdotto in questo paragrafo prende il nome di formalismo della seconda quantizzazione. Questa denominazione non `e del tutto giustiﬁcata nel caso della quantizzazione del campo elettromagnetico ma trae origine dal fatto che procedimenti del tutto analoghi possono essere applicati alla quantizzazione di campi di particelle. Volendo ad esempio introdurre la quantizzazione di un campo di particelle non relativistiche di massa m, si parte dall’equazione di Schr¨ odinger per la funzione d’onda delle particelle stesse ih ¯

∂ h ¯2 2 ψ(x, t) = − ∇ ψ(x, t) , ∂t 2m

si sviluppa la funzione d’onda ψ(x, t) in serie di Fourier, e si interpretano poi i coeﬃcienti dello sviluppo come operatori quantistici. In questo caso ha effettivamente senso parlare di seconda quantizzazione, in quanto il campo di particelle `e gi` a descritto da un’equazione d’onda quantistica. Nel caso dell’elettromagnetismo, invece, l’equazione d’onda per i fotoni `e una equazione classica che discende dalle equazioni di Maxwell. Per concludere, bisogna osservare che il formalismo che abbiamo qui introdotto non `e covariante, dato che non `e covariante l’espressione assunta per il = 0). La quantizzazione del campo eletgauge elettromagnetico (φ = 0, divA tromagnetico in forma covariante, pi` u elegante e sicuramente pi` u soddisfacente

QUANTIZZAZIONE DEL CAMPO ELETTROMAGNETICO

109

dΩ P

Ω

dS ﬂuisce attraFig. 4.1. La radiazione contenuta nell’angolo solido dΩ, centrato intorno a Ω, verso l’elemento di superﬁcie dS.

dal punto di vista teorico1 , richiede l’utilizzazione di un formalismo pi` u pesante che non `e per` o necessario per molte applicazioni, quali quelle che saranno sviluppate nei Cap. 11 e 15 per trattare l’interazione fra materia e radiazione.

4.4 Intensit` a e fotoni Il concetto di fotone introdotto nel paragrafo precedente pu`o essere messo in stretta relazione con le quantit`a ﬁsiche tradizionalmente impiegate per la descrizione dei fenomeni di irraggiamento, quali l’intensit`a speciﬁca e la densit`a di energia del campo di radiazione. Si consideri un punto arbitrario P dello spazio e un elemento di superﬁcie dS Indichiamo con la cui direzione normale `e individuata dal versore unitario Ω. dEν l’energia del campo elettromagnetico, avente frequenza compresa fra ν e che ν + dν e direzione compresa entro l’angolo solido dΩ centrato intorno a Ω, ﬂuisce, nel tempo inﬁnitesimo dt, attraverso il dS (si veda la Fig.4.1). Il dEν `e ovviamente proporzionale al prodotto dS dν dt dΩ e si ha quindi t) dS dν dt dΩ . dEν = Iν (P, Ω, t) che prende Questa equazione deﬁnisce implicitamente la quantit`a Iν (P, Ω, il nome di intensit` a speciﬁca (o intensit`a tout court) del campo di radiazione e che `e in generale funzione, oltre che della frequenza, del punto, della direzione e del tempo. Se l’intensit` a non dipende dal tempo, il campo di radiazione si dice stazionario, se non dipende dalla direzione si dice isotropo e se non dipende dal punto P si dice omogeneo. In luogo dell’intensit` a speciﬁca Iν si pu` o anche considerare la quantit` a Iλ che porta lo stesso nome e che `e deﬁnita dalla stessa equazione, eccetto per l’intervallo di frequenza dν che `e sostituito dall’intervallo di lunghezza d’onda 1

Si veda ad esempio J.D. Bjorken & S.D. Drell, Relativistic Quantum Fields, McGraw-Hill, New York, etc., 1965.

110

CAPITOLO 4

dλ. Analogamente si pu` o anche considerare la quantit` a Iω anch’essa deﬁnita dalla medesima equazione con il dω (intervallo di frequenza angolare) in luogo del dν (intervallo di frequenza). Evidentemente, per intervalli corrispondenti si ha Iν dν = Iλ dλ = Iω dω , e poich´e dλ = λ2 dν/c, dω = 2π dν, si ha anche Iλ =

c Iν , λ2

Iω =

1 Iν . 2π

(4.12)

Altra quantit` a, strettamente connessa all’intensit`a speciﬁca, `e la densit` a di t), energia del campo di radiazione. Tale quantit` a, indicata col simbolo u ν (P, Ω, `e deﬁnita facendo riferimento a un elemento di volume dV centrato intorno al punto P. Se si indica con dEν la quantit` a di energia elettromagnetica contenuta nel dV e avente frequenza compresa fra ν e ν + dν e direzione contenuta nel dΩ si ha, per deﬁnizione t) dV dν dΩ . dEν = uν (P, Ω, Poich´e la radiazione elettromagnetica si propaga con velocit`a c, ne segue immediatamente la relazione fra Iν e uν , ovvero t) = c uν (P, Ω, t) . Iν (P, Ω,

(4.13)

Consideriamo adesso i modi del campo di radiazione che corrispondono all’intervallo di frequenza (ν, ν + dν) e alle direzioni contenute nell’angolo solido dΩ. Il numero di tali modi `e dato dall’Eq. (4.3) che, trasformando il dk nel dν per mezzo della relazione k = 2πν/c, d` a dN =

2 V ν2 dν dΩ , c3

(4.14)

dove V `e il volume di normalizzazione che possiamo qui identiﬁcare come il t) il numero di fotoni per volume inﬁnitesimo dV . Se indichiamo con nν (P, Ω, modo relativo a tali modi e se ricordiamo che ciascun fotone ha energia h ν si ottiene 2 t) h ν 2 ν dV dν dΩ , dEν = nν (P, Ω, c3

e ricordando la deﬁnizione di uν si ottiene la relazione t) = uν (P, Ω,

2 h ν3 t) , nν (P, Ω, c3

ovvero, in termini di intensit` a speciﬁca

QUANTIZZAZIONE DEL CAMPO ELETTROMAGNETICO

3 t) = 2 h ν nν (P, Ω, t) . Iν (P, Ω, c2

111

(4.15)

` importante osservare che un’espressione analoga vale anche classicamente. E In questo caso, invece di parlare di numero di fotoni per modo si parla pi` u semplicemente di energia per modo e, indicando con ν (P, Ω, t) tale quantit` a, si ha 2 ν2 ν (P, Ω, t) . (4.16) c2 Il numero di fotoni per modo `e una quantit` a molto importante che pu` o servire a caratterizzare in maniera ﬁsica le sorgenti luminose. Come vedremo nel Cap. 10, per una sorgente termica tale numero `e dato da Iν (P, Ω, t) =

nν =

1 , e h ν/(kB T )

dove T `e la temperatura. Nel visibile a 5000 ˚ A, ad esempio, una normale lampada a incandescenza con ﬁlamento di Tungsteno (T 2700 K) produce una radiazione avente circa 2 × 10−5 fotoni per modo, mentre tale numero `e circa 10−2 per la radiazione solare (T 5800 K). La radiazione emessa da un laser, invece, presenta un numero di fotoni per modo molto pi` u elevato che pu`o raggiungere valori tipici dell’ordine di 107 o anche superiori.

Capitolo 5

Equazioni d’onda relativistiche Per poter porre su base quantitativa lo studio degli spettri atomici, cui saranno dedicati i prossimi capitoli di questo volume, `e necessario premettere uno studio approfondito delle equazioni relativistiche per le particelle atomiche con particolare riguardo all’equazione di Dirac per l’elettrone. In questo capitolo vedremo come sia possibile descrivere, nell’ambito della meccanica quantistica, le propriet` a dinamiche di una particella relativistica libera, oppure mobile in un campo elettromagnetico stazionario. Questo ci porter`a a introdurre un appropriato formalismo di tipo matriciale dal quale scaturiscono, in maniera del tutto naturale, un certo numero di conseguenze ﬁsiche che sono spesso assunte in maniera fenomenologica nei trattati elementari di spettroscopia atomica (spin dell’elettrone, interazione spin-orbita, etc.).

5.1 Equazione di Dirac per la particella libera La relazione impulso-energia per una particella libera non relativistica di massa m `e espressa dall’equazione E=

p2 , 2m

dove p `e l’impulso, che coincide con il momento cinetico coniugato alla variabile posizione x. Il moto della particella `e descritto in meccanica quantistica dall’equazione di Schr¨ odinger ih ¯

∂ p2 |ψ = |ψ ∂t 2m

,

dove p `e l’operatore associato alla variabile dinamica classica “impulso”. L’operatore p deve soddisfare la relazione fondamentale della meccanica quantistica che stabilisce che fra gli operatori associati a due variabili dinamiche canonicamente coniugate, q e p, deve valere la regola di commutazione [ q, p ] = i h ¯ . L’espressione esplicita dell’operatore p dipende dalla particolare rappresentazione utilizzata per esprimere i vettori di stato dello spazio di Hilbert. Se si sce-

114

CAPITOLO 5

glie la rappresentazione nella quale i vettori di stato sono espressi come combinazioni lineari degli autovettori dell’operatore posizione (rappresentazione della funzione d’onda), l’operatore x `e il semplice moltiplicatore mentre l’operatore p risulta p = −i h ¯ grad . In tale rappresentazione l’equazione di Schr¨odinger assume la forma ih ¯

∂ h ¯2 2 ψ(x, t) = − ∇ ψ(x, t) , ∂t 2m

e, in accordo con i postulati della meccanica quantistica, la quantit` a |ψ(x, t)|2 rappresenta la densit`a di probabilit` a di trovare la particella nell’intorno del punto x all’istante t. Passando alla dinamica relativistica, la relazione impulso-energia diventa E 2 = p 2 c2 + m 2 c4 , ovvero E=

# p 2 c2 + m 2 c4 ,

dove m `e la massa a riposo della particella e c `e la velocit`a della luce. Si potrebbe quindi pensare di scrivere un’equazione di Schr¨odinger del tipo ih ¯

# ∂ ψ(x, t) = p2 c2 + m2 c4 ψ(x, t) , ∂t

h2 ∇2 . La radice quadrata presente al secondo memin cui p2 `e l’operatore −¯ bro pone tuttavia dei seri problemi interpretativi riguardo al signiﬁcato da attribuire all’operatore che agisce sulla funzione d’onda. Se, ad esempio, si sostituisce alla radice quadrata il suo sviluppo in serie di potenze, si ottengono potenze di tutti gli ordini in ∇2 e l’equazione risulta praticamente insolubile. Un’equazione di gran lunga pi` u semplice si ottiene traducendo in termini quantistici la relazione quadratica fra energia e impulso scritta sopra. L’equazione risultante, detta equazione di Klein-Gordon, `e la seguente m 2 c2 1 ∂2 2 ∇ − 2 2 ψ(x, t) = ψ(x, t) . c ∂t h ¯2 Tuttavia questa equazione, oltre a presentare l’inconveniente di essere un’equazione diﬀerenziale del secondo ordine rispetto al tempo (a diﬀerenza dell’equazione di Schr¨ odinger che `e del primo ordine), descrive correttamente soltanto le particelle relativistiche che non presentano spin, quali ad esempio i bosoni. Il problema di determinare un’equazione relativistica che potesse descrivere particelle dotate di spin, quali l’elettrone, fu brillantemente risolto da Dirac, il

115

EQUAZIONI D’ONDA RELATIVISTICHE

quale, nel 1928, propose un’equazione d’onda nella quale gli operatori ∂/∂xi comparivano linearmente al pari dell’operatore ∂/∂t, approccio del tutto naturale in una teoria relativistica in cui la coordinata temporale non `e privilegiata rispetto alle coordinate spaziali. L’equazione proposta da Dirac, che ovviamente porta il suo nome, `e la seguente ∂ ∂ ∂ ∂ 2 ih ¯ ψ(x, t) = −i h ¯ c α1 + β m c ψ(x, t) , + α2 + α3 ∂t ∂x1 ∂x2 ∂x3 e pu` o anche essere scritta nella forma pi` u compatta ∂ ψ(x, t) = HD ψ(x, t) = c α (5.1) · p + β m c2 ψ(x, t) , ∂t dove HD `e la cosiddetta Hamiltoniana di Dirac e dove α1 , α2 , α3 , e β sono quattro quantit` a adimensionali, aventi carattere operatoriale, le quali godono, per deﬁnizione, della propriet` a di commutare con gli operatori ∂/∂t e ∂/∂xi . Tali quantit` a vengono determinate imponendo che dall’equazione di Dirac si ottenga la corretta relazione relativistica fra energia e impulso. Derivando rispetto al tempo l’Eq. (5.1) e risostituendo l’equazione stessa, si ottiene ih ¯

−¯ h2

∂2 · p + β m c2 ψ(x, t) , ψ(x, t) = c α · p + β m c2 c α 2 ∂t

e si deve quindi imporre che cα · p + β m c2 c α · p + β m c2 = p2 c2 + m2 c4 . Sviluppando (e facendo attenzione a non alterare l’ordine degli operatori non commutanti), si ottiene

c2

ij

αi αj pi pj + m c3

(αi β + β αi ) pi + m2 c4 β 2 = c2

i

p i p i + m 2 c4 ,

i

e quindi, per avere un identit` a fra il primo e il secondo membro, si devono imporre le condizioni {αi , αj } = 2 δij ,

{αi , β} = 0 ,

β2 = 1 ,

(5.2)

dove si `e introdotto il simbolo di anticommutatore deﬁnito da {A, B} = AB + BA . Gli enti pi` u semplici che soddisfano una tale algebra sono delle matrici, di cui adesso andiamo a studiare le propriet` a. Innanzitutto, essendo il quadrato

116

CAPITOLO 5

di ciascuna delle quattro matrici uguale all’unit` a, gli autovalori devono essere uguali a ±1. Inoltre, essendo β 2 = 1 e β αi = −αi β, per la traccia di ciascuna delle matrici αi si ottiene la seguente relazione Tr(αi ) = Tr(β 2 αi ) = −Tr(β αi β) . D’altra parte, per la propriet` a ciclica della traccia di una matrice si ha anche Tr(αi ) = Tr(β 2 αi ) = Tr(β αi β) . Avendo quindi ottenuto Tr(αi ) = −Tr(αi ), si deve necessariamente avere Tr(αi ) = 0 . In maniera del tutto analoga si prova anche che Tr(β) = 0. Quindi, poich´e la traccia `e la somma degli autovalori, e poich´e questi ultimi possono essere soltanto uguali a ±1 (in quanto le matrici hanno per quadrato l’unit` a), ne consegue che le matrici devono essere di ordine pari. Non essendo possibile costruire quattro matrici 2 × 2 che obbediscano all’algebra delle Eq. (5.2), la scelta cade sulle matrici 4 × 4. Risulta quindi che gli enti αi e β introdotti nell’equazione di Dirac possono essere rappresentati mediante matrici di ordine 4. Tali matrici prendono il nome di matrici di Dirac. La scelta delle matrici di Dirac non `e univoca. Una possibile rappresentazione, che risulta particolarmente adatta a trattare il limite non relativistico, `e quella data, in termini di matrice 2 × 2, dalle seguenti espressioni I 0 0 σi αi = , (5.3) , β= 0 −I σi 0 dove I `e la matrice unit` a di ordine 2 e dove le σi sono le matrici 2 × 2 di Pauli 0 1 0 −i 1 0 , σ2 = , σ3 = . σ1 = 1 0 i 0 0 −1 A partire dalle loro espressioni si pu`o facilmente mostrare che le matrici di Pauli soddisfano le relazioni [ σi , σj ] = 2 i ijk σk , k

{σi , σj } = 2 δij , dove ijk `e il tensore completamente antisimmetrico, o tensore di Ricci (si veda l’App. 2). Le due equazioni precedenti possono essere condensate nell’unica σi σj = δij + i ijk σk . k

EQUAZIONI D’ONDA RELATIVISTICHE

117

` facile veriﬁcare che le quattro matrici deﬁnite nelle Eq. (5.3), ovvero le quatE tro matrici ⎛

0 ⎜0 α1 = ⎝ 0 1 ⎛ 0 ⎜0 α3 = ⎝ 1 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 0 0 −1

1 0 0 0

⎞ 1 0⎟ ⎠ , 0 0 ⎞ 0 −1 ⎟ ⎠ , 0 0

⎛

0 ⎜0 α2 = ⎝ 0 i ⎛ 1 ⎜0 β=⎝ 0 0

⎞ 0 0 −i 0 i 0 ⎟ ⎠ , −i 0 0 0 0 0 ⎞ 0 0 0 1 0 0 ⎟ ⎠ , 0 −1 0 0 0 −1

` importante sottolineare che esisoddisfano l’algebra delle matrici di Dirac. E stono inﬁnite rappresentazioni delle matrici di Dirac. Dato infatti un set di matrici di Dirac, un qualsiasi altro set ottenuto dal precedente mediante una trasformazione di similitudine arbitraria `e anch’esso un set di matrici di Dirac1 . Bisogna inﬁne osservare che il carattere matriciale dell’equazione di Dirac comporta automaticamente che la funzione d’onda non sia pi` u uno scalare ma un ente a quattro componenti detto spinore. L’equazione di Dirac per la particella libera pu` o essere risolta esattamente. Cerchiamo infatti una soluzione della forma ψ(x, t) = W e i (q·x−E t)/¯h , dove W `e uno spinore a quattro componenti indipendente da x e t. Sostituendo nell’Eq. (5.1), si trova che lo spinore W deve soddisfare l’equazione E W = (c α · q + β m c2 ) W . Il problema di determinare i possibili valori per E `e ricondotto alla soluzione dell’equazione caratteristica ⎛

m c2 − E 0 ⎜ Det ⎝ c qz c q+

0 mc − E c q− −c qz 2

c qz c q+ −m c2 − E 0

⎞ c q− −c qz ⎟ ⎠=0 , 0 2 −m c − E

dove si `e posto q+ = qx + i qy ,

q− = qx − i qy .

Risolvendo il determinante si ottiene l’equazione di quarto grado in E 1

Una rappresentazione particolarmente utile per trattare il limite ultra-relativistico `e la cosiddetta rappresentazione di Majorana.

118

CAPITOLO 5

(E 2 − c2 q 2 − m2 c4 )2 = 0 , che ammette le quattro soluzioni E1 = E2 = ε ,

E3 = E4 = −ε ,

dove ε=

# c 2 q 2 + m 2 c4 .

Si sono cos`ı ottenute due soluzioni a energia positiva, con la corretta relazione relativistica fra energia e impulso, ma anche due soluzioni a energia negativa (anch’esse con la corretta relazione fra energia e impulso). Le soluzioni a energia negativa scaturiscono naturalmente dall’equazione di Dirac e sono una caratteristica peculiare delle equazioni d’onda relativistiche (si pu`o mostrare infatti che anche l’equazione di Klein-Gordon ammette soluzioni a energia negativa). Una volta trovati gli autovalori si pu` o passare alla determinazione dei corrispondenti autovettori. Si pu` o facilmente veriﬁcare che i quattro spinori W1 , W2 , W3 , e W4 , dati da ⎛

⎞ ε + m c2 1 0 ⎜ ⎟ W1 = # ⎝ ⎠ , 2 c qz 2 ε(ε + m c ) c q+ ⎛

⎞ −c qz 1 ⎜ −c q+ ⎟ W3 = # ⎝ 2⎠ , 2 ε(ε + m c2 ) ε + m c 0

⎛

⎞ 0 2 1 ⎜ε + mc ⎟ W2 = # ⎝ ⎠ , 2 c q− 2 ε(ε + m c ) −c qz ⎛

⎞ −c q− 1 ⎜ c qz ⎟ W4 = # ⎝ ⎠ , 0 2 ε(ε + m c2 ) ε + m c2

costituiscono quattro autovettori ortogonali e normalizzati corrispondenti, rispettivamente, ai quattro autovalori E1 , E2 , E3 e E4 . Queste espressioni mostrano che, al limite non relativistico, le ultime due componenti degli spinori a energia positiva sono trascurabili rispetto alle prime due. L’opposto `e vero per gli spinori a energia negativa. Le soluzioni a energia negativa furono opportunamente interpretate dallo stesso Dirac, il quale fu condotto a ipotizzare, e quindi a predire, l’esistenza di antiparticelle. L’interpretazione data da Dirac, qui esempliﬁcata per il caso degli elettroni, `e la seguente: si pu` o pensare che lo stato di vuoto, ovvero lo stato in cui nessuna particella `e presente, sia in realt`a la situazione in cui tutti gli stati a energia negativa sono riempiti in accordo col principio di Pauli (mare di Fermi). Quando un elettrone, eccitato ad esempio per assorbimento di un quanto di radiazione di energia superiore al valore di soglia 2 m c2 (pari a circa 1 MeV), passa da uno stato di energia negativa a uno stato di energia positiva,

119

EQUAZIONI D’ONDA RELATIVISTICHE

esso lascia nel mare di Fermi una “lacuna”. Tale lacuna si comporta come una particella in tutto simile all’elettrone, ma di carica opposta, che viene detta positrone (o positone o elettrone positivo). In altre parole, si pu`o pensare che l’eccitazione di un elettrone da uno stato di energia negativa a uno stato di energia positiva dia luogo alla creazione di una coppia elettrone-positrone con conseguente annichilazione di un quanto di radiazione. I positroni furono rivelati sperimentalmente da Anderson nel 1932 con un esperimento in camera di Wilson. La scoperta dell’antiprotone avvenne molto pi` u tardi, nel 1955, ad opera di Chamberlain e Segr`e, quando si resero disponibili acceleratori di particelle con energie dell’ordine di qualche GeV.

5.2 Equazione di Dirac per l’elettrone in un campo elettromagnetico L’Hamiltoniana classica di una particella relativistica, dotata di carica e mobile in un campo elettromagnetico, si scrive nella forma $ H=

e 2 c2 p − A + m 2 c4 + e φ , c

(5.4)

dove e `e il valore algebrico della carica della particella, m la sua massa a e φ sono i potenziali elettromagnetici e inﬁne p riposo, A `e il momento cinetico coniugato alla posizione della particella, che `e connesso all’impulso π dalla relazione e π = p − A . c Questa espressione dell’Hamiltoniana pu`o essere dedotta in varie maniere. Noi ci limitiamo qui a veriﬁcare che essa conduce alle corrette equazioni di moto. Per far questo, ricaviamo tali equazioni per mezzo delle equazioni di Hamilton −1/2 dx ∂H e 2 e 2 = v = = c2 p − A − A + m 2 c4 , c p dt ∂ p c c −1/2 ∂H e 2 e 2 d p 2 4 =− = c e (gradA ) · p − A c p − A + m c − e gradφ . dt ∂x c c Dalla seconda equazione, introducendo v , si ha e d p ) · v − e gradφ . = (gradA dt c Se adesso teniamo presente l’identit` a vettoriale (si veda l’Eq. (A2.9))

120

CAPITOLO 5

= (gradA ) · v − v · gradA , v × rotA = B, si ottiene e ricordiamo che rotA e d p + e v · gradA − e gradφ . = v × B dt c c Per l’impulso π si ha quindi e e d dπ + e v · gradA − e gradφ − e dA . p − A = = v × B dt dt c c c c dt L’ultimo termine del secondo membro rappresenta la derivata totale (o Euleriana) del potenziale vettore lungo la traiettoria della particella. Esso vale ∂A dA , = + v · gradA dt ∂t per cui, ricordando l’espressione del campo elettrico in termini dei potenziali elettromagnetici, si ha inﬁne dπ + e v × B . = eE dt c Questa equazione, unita all’altra che si ottiene, con facili passaggi, dalla prima equazione di Hamilton, ovvero m π = # v , 1 − v 2 /c2 mostra che l’Hamiltoniana da cui siamo partiti `e corretta, in quanto essa conduce alle ben note equazioni relativistiche del moto di una particella carica in un campo elettromagnetico. Confrontando l’espressione dell’Hamiltoniana (5.4) con quella della particella libera, si vede che, per una particella carica in un campo elettromagnetico, sussiste, fra le quantit`a e A , c la stessa relazione che sussiste, per la particella libera, fra le quantit`a E e p. Questo signiﬁca che, in meccanica classica (relativistica), si passa dalla descrizione della particella libera a quella della particella carica in presenza di un campo elettromagnetico operando nell’Hamiltoniana la sostituzione formale E −eφ ,

p −

e A , E → E −eφ . (5.5) c Questa sostituzione formale `e conosciuta sotto il nome di regola, o principio, dell’accoppiamento minimale. p → p −

EQUAZIONI D’ONDA RELATIVISTICHE

121

Per il principio di corrispondenza si pu` o allora scrivere l’equazione di Dirac per una particella carica in un campo elettromagnetico applicando la regola dell’accoppiamento minimale all’Eq. (5.1). Si ha ih ¯

∂ e ψ(x, t) = c α · p − A + β m c2 + e φ ψ(x, t) , ∂t c

(5.6)

dove α e β sono le matrici 4 × 4 introdotte precedentemente, ovvero le matrici e φ sono, dal punto di vista operatoriale, dei moltiplicatori di Dirac, mentre A funzioni del punto e, eventualmente, del tempo. Si pu` o notare inﬁne che, se si esegue una trasformazione di gauge sui potenziali elettromagnetici, ovvero se si pone = A − gradχ , A

φ = φ +

1 ∂χ , c ∂t

la nuova equazione di Dirac cos`ı ottenuta ammette per soluzione la funzione d’onda ψ (x, t) data da ψ (x, t) = ψ(x, t) e−i δ , dove δ=

eχ . h ¯c

Si ottiene quindi il risultato che, per trasformazioni di gauge, la funzione d’onda si trasforma secondo un fattore di fase. La fase risulta proporzionale alla funzione χ, generatrice della trasformazione di gauge stessa. In particolare, il modulo quadro della funzione d’onda `e invariante per trasformazioni di gauge.

5.3 Limite non relativistico dell’equazione di Dirac Per ottenere il limite non relativistico dell’equazione di Dirac per la particella carica in un campo elettromagnetico, `e conveniente scrivere la funzione d’onda ψ(x, t), che `e uno spinore di ordine 4, nella forma 2 χ e−i (m c +) t/¯h , ψ(x, t) = (5.7) ξ dove χ e ξ sono due spinori di ordine 2, e dove l’energia totale `e stata scritta nella forma (m c2 + ) in maniera tale che venga a rappresentare l’energia della particella a meno dell’energia di riposo m c2 . Il limite non relativistico si ottiene imponendo che sia mc2 . Allo stesso tempo, per` o, bisogna imporre

122

CAPITOLO 5

che le altre energie in gioco, come ad esempio l’energia elettrostatica, eφ, siano anch’esse piccole rispetto all’energia di riposo. Sostituendo la funzione d’onda (5.7) nell’Eq. (5.6) e supponendo che gli spinori χ e ξ siano, al pari dei potenziali elettromagnetici, indipendenti dal tempo, si ha e χ χ χ χ 2 , (m c + ) = cα · p − A +eφ + mc β ξ ξ ξ ξ c 2

e tenendo presente l’espressione esplicita delle matrici di Dirac (Eq. (5.3)), si ottengono le due equazioni accoppiate per gli spinori χ e ξ e c σ · p − A ξ = ( − e φ)χ , c e (2 m c2 + − e φ) ξ = c σ · p − A χ . c Ricaviamo adesso ξ dalla seconda equazione moltiplicando ambo i membri a sinistra per l’operatore (2 m c2 + − e φ)−1 . Si ottiene e ξ = (2 m c2 + − e φ)−1 c σ · p − A χ , (5.8) c e sostituendo questa espressione nella prima equazione, si ha e e c σ · p − A (2 m c2 + − e φ)−1 c σ · p − A χ = ( − e φ)χ . c c

(5.9)

Questa `e un’equazione esatta; il limite non relativistico si ottiene supponendo che sia ( − e φ) m c2 , e sviluppando l’operatore (2 m c2 + − e φ)−1 in serie di potenze

(2 m c2 + − e φ)−1

2 −eφ 1 −eφ 1− = + + ··· . 2 m c2 2 m c2 2 m c2

(5.10)

Gli ordini successivi del limite non relativistico dell’equazione di Dirac si ottengono andando a considerare i vari termini presenti nella parentesi quadra a secondo membro. Se si considera solo il primo termine, si ottiene il limite all’ordine 0, se si considerano i primi due termini, si ottiene il limite all’ordine 1, e cos`ı via.

EQUAZIONI D’ONDA RELATIVISTICHE

123

5.4 Limite all’ordine zero. Equazione di Pauli Consideriamo prima di tutto il limite non relativistico all’ordine pi` u basso, ovvero trascuriamo tutti i termini eccetto l’unit`a nell’Eq.(5.10) e sostituiamo il risultato nelle Eq. (5.8) e (5.9). Le equazioni per gli spinori χ e ξ risultano 1 e 2 σ · p − A χ = ( − e φ)χ , 2m c 1 e ξ= σ · p − A χ . 2mc c Quest’ultima equazione mostra che, essendo per una particella non relativistica ' e '' ' − A 'p ' = | π | m c , c risulta anche, per la norma dei due spinori |ξ| |χ| . Riprendiamo adesso l’equazione per χ e osserviamo che, se a e b sono due vettori qualsiasi che non commutano necessariamente fra loro, ma commutano con le matrici di Pauli, si ottiene, attraverso le propriet`a delle matrici stesse (σ · a )(σ · b ) = a · b + i σ · a × b . Tenendo conto di questa propriet`a, l’equazione per χ risulta

1 e 2 e i e p − A σ · p − A + × p − A χ = ( − e φ)χ . 2m c 2m c c

Il secondo addendo in parentesi quadra (che risulterebbe nullo nel caso le due non fossero operatori) pu` quantit` a p e A o essere trasformato sfruttando la regola di commutazione ¯ [ pi , Aj ] = −i h

∂Aj . ∂xi

Si ottiene, con facili passaggi ¯ e e ieh ¯ = ieh rotA p − A × p − A = B , c c c c `e il vettore campo magnetico. Sostituendo questo risultato si ottiene dove B inﬁne il limite non relativistico dell’equazione di Dirac all’ordine zero, ovvero

124

CAPITOLO 5

e 2 1 eh ¯ p − A − σ · B + e φ χ = χ . 2m c 2mc

Questa equazione `e nota come equazione di Pauli e, a parte il secondo fattore in parentesi quadra, pu` o essere ottenuta in maniera diretta applicando il principio dell’accoppiamento minimale (Eq. (5.5)) all’equazione di Schr¨odinger era stato per la particella libera. Il termine aggiuntivo, proporzionale a σ · B, introdotto fenomenologicamente da Pauli per descrivere l’accoppiamento fra il momento magnetico intrinseco dell’elettrone e il campo magnetico. Tale termine contiene infatti il vettore σ che, come vedremo meglio in seguito, `e pro` interessante osservare che, nella teoria di porzionale allo spin dell’elettrone. E Dirac, lo spin compare in maniera del tutto naturale quale eﬀetto relativistico di ordine zero. Consideriamo adesso un caso particolare dell’equazione di Pauli, ovvero il caso di una particella non relativistica mobile, oltre che in un potenziale elettrostatico φ, in un campo magnetico costante. Tale campo magnetico discende da un potenziale vettore della forma = A

1 2

× x , B

= 0. Infatti, tenendo conto dell’identit` che soddisfa la condizione divA a vettoriale (A2.6) si ha = −1 B · gradx + rotA 2

1 2

divx = B

1 2

+ 3B )=B . (−B

D’altra parte si ha anche 2 e 2 e 1 p2 +A · p ) + e A2 . p − A − ( p·A = 2m c 2m 2mc 2 m c2 Questa quantit` a pu` o essere trasformata tenendo conto che

+A · p = 2 A · p − i h = 2A · p = B × x · p = B ·M , p · A ¯ divA = x × p dove M `e il momento angolare orbitale della particella che porremo =h nella forma M ¯ . Inoltre A2 =

1 4

× x )2 = (B

1 4

· x )2 ] = [B 2 x2 − (B

1 4

B 2 x2⊥ ,

Sostidove x⊥ rappresenta la componente di x nel piano perpendicolare a B. tuendo questi risultati intermedi, l’equazione di Pauli per la particella carica, mobile in un campo magnetico uniforme e in un campo elettrico di potenziale φ, risulta 2 p eh ¯ e2 2 2 − ( + σ ) · B + B x⊥ + e φ χ = χ . (5.11) 2m 2mc 8 m c2

EQUAZIONI D’ONDA RELATIVISTICHE

125

μ

a Fig. 5.1. Una particella carica che percorre l’orbita di area a d` a luogo, per il principio di equivalenza di Amp`ere, a un momento magnetico μ. Il caso disegnato in ﬁgura corrisponde a un valore positivo della carica.

Il signiﬁcato ﬁsico dei vari termini che compaiono in questa equazione `e immediato: p2 /(2m) `e l’energia cinetica della particella, −e¯ h( · B)/(2mc) `e l’energia di interazione del momento angolare orbitale col campo magnetico, −e¯ h(σ · B)/(2mc), il termine introdotto fenomenologicamente da Pauli, `e l’energia di interazione del momento angolare intrinseco (spin) col campo magnetico, eφ `e l’energia elettrostatica e, inﬁne, e2 B 2 x2⊥ /(8mc2 ) `e un termine, sempre positivo, che viene chiamato termine diamagnetico. La presenza del termine di interazione fra il momento angolare orbitale e il campo magnetico pu` o essere giustiﬁcata anche attraverso delle considerazioni ﬁsiche elementari quando si supponga che la particella sia mobile in un campo di forze centrale. In tal caso, ragionando classicamente, la particella `e infatti soggetta a un moto periodico caratterizzato da un’orbita chiusa (si veda la Fig. 5.1). Si pu` o allora pensare di associare alla particella una corrente elettrica i e quindi, in base al principio di equivalenza di Amp`ere, un momento magnetico “classico” μ c dato dall’espressione μ c =

i a , c

dove a `e un vettore che ha per modulo l’area dell’orbita, per direzione la normale al piano dell’orbita, e per senso quello stabilito dalla regola della vite destra (regola del cavatappi). Se T `e il periodo con cui viene percorsa l’orbita, la corrente vale e/T , per cui μ c =

e a . cT

La quantit` a a/T `e d’altra parte la velocit` a areolare della particella e pu` o essere connessa al momento angolare. Si ottiene μ c =

e e eh ¯ e a = x × v = x × p = . c T 2c 2mc 2mc

Ricordando inﬁne che l’espressione classica per l’energia di un dipolo immerso si ottiene in un campo magnetico `e data da − μc · B,

126

CAPITOLO 5

eh ¯ ·B , 2mc che `e giusto il termine che compare nell’equazione di Pauli. Emagnetica = −

5.5 Limite al primo ordine Il limite non relativistico al primo ordine dell’equazione di Dirac si ottiene considerando i primi due termini entro la parentesi quadra dell’Eq. (5.10) e sostituendo tale equazione nella (5.9). Si ottiene e 1 e −eφ σ · p − σ · p − A 1− A χ = ( − e φ)χ . 2m c 2 m c2 c Scambiamo adesso l’ordine dei due primi fattori che compaiono a primo membro. Per far questo bisogna tener conto della regola di commutazione e ih ¯e e −eφ = σ · [ p , φ ] = − σ · gradφ . σ · p − A , 1− 2 2 c 2mc 2mc 2 m c2 Ripetendo calcoli analoghi a quelli sviluppati nel paragrafo precedente, l’equazione di Dirac risulta −eφ e 2 e 1 i e 1− p − A + σ · p − A × p − A χ 2 m c2 2m c 2m c c

e ih ¯e e gradφ · p − A − + i σ · gradφ × p − A χ = ( − e φ)χ . 2 2 4m c c c Sviluppiamo ulteriormente i calcoli solo nel caso sempliﬁcato di un campo = 0. Tenendo conto che puramente elettrostatico, per cui si pu` o supporre A p × p = 0, l’equazione precedente diviene ih ¯e − e φ p2 χ− 1− [ gradφ · p + i σ · gradφ × p ] χ = ( − e φ)χ . 2 m c2 2m 4 m 2 c2 Poich´e all’ordine zero si ha p2 χ = ( − e φ)χ , 2m il termine − e φ p2 χ , 2 m c2 2 m

127

EQUAZIONI D’ONDA RELATIVISTICHE

che `e gi` a una correzione del primo ordine, pu`o essere sostituito, a meno di ordini superiori, con una qualsiasi delle due espressioni p4 ( − e φ)2 χ , oppure χ . (5.12) 8 m 3 c2 2 m c2 Inoltre, supponendo che il potenziale nel quale si muove la particella sia un potenziale centrale (φ = φ(r)), e tenendo conto che ∂φ 1 ∂φ gradφ = vers(r ) = r , ∂r r ∂r si possono eseguire le trasformazioni ∂φ ∂ , ∂r ∂r 1 ∂φ 1 ∂φ gradφ × p = r × p = h ¯ . r ∂r r ∂r Sostituendo, si ottiene l’equazione ﬁnale per il limite non relativistico al primo ordine nel caso sempliﬁcato di un potenziale puramente elettrostatico a simmetria sferica gradφ · p = −i h ¯

p2 p4 eh ¯ 2 1 ∂φ eh ¯ 2 ∂φ ∂ +eφ− + σ · χ = χ . − 2m 8 m 3 c2 4 m2 c2 ∂r ∂r 4 m2 c2 r ∂r

(5.13)

I primi due termini rappresentano al solito l’energia cinetica e l’energia elettrostatica di ordine zero. Si pu` o cercare di dare un’interpretazione ﬁsica degli altri termini che compaiono nell’equazione. Il termine proporzionale a p4 `e la correzione relativistica dell’energia cinetica. Si ha infatti, con ovvie notazioni

Ecin

# = c2 p2 + m2 c4 −m c2 = m c2

$

p2 1+ 2 2 −1 m c

=

p4 p2 − +· · · . 2 m 8 m 3 c2

Il termine proporzionale a σ · descrive la cosiddetta interazione spin-orbita ed era stato introdotto empiricamente nell’equazione di Schr¨odinger ancor prima che ne fosse data una spiegazione formalmente corretta attraverso l’equazione di Dirac. L’interpretazione ﬁsica dell’interazione spin-orbita va ricercata nell’accoppiamento fra il dipolo magnetico μ c associato al momento angolare della particella e il dipolo magnetico μ s associato al momento angolare intrinseco (spin) della particella stessa. Se si ammette che i due dipoli siano paralleli, si ha per l’energia di interazione Edipolo−dipolo =

1 μ c · μ s , r3

(5.14)

128

CAPITOLO 5

dove r `e la distanza tra i due dipoli, ovvero la distanza della particella dal punto origine del potenziale centrale nel quale essa si sta muovendo. D’altra parte, se ammettiamo, come suggerito dai risultati ottenuti nel paragrafo precedente, che sia μ c =

eh ¯ , 2mc

μ s =

eh ¯ σ , 2mc

si ottiene ¯2 1 e2 h σ · . 4 m 2 c2 r 3 Questa quantit` a coincide esattamente con quella ottenuta attraverso l’equazione di Dirac qualora si scelga per φ il potenziale Coulombiano dovuto a una carica −e (opposta a quella della particella), come nel caso di un atomo di Idrogeno. In tal caso si ha infatti φ = −e/r, e il termine in questione dell’equazione di Dirac risulta Edipolo−dipolo =

2 2 eh ¯ 2 1 ∂φ ¯ 1 = e h σ · σ · = Edipolo−dipolo . 2 2 4 m c r ∂r 4 m 2 c2 r 3 L’ulteriore termine che compare nell’equazione di Dirac, ovvero il termine proporzionale a gradφ · p, viene detto termine di Darwin e non ha analogo classico. Dal punto di vista del calcolo del suo valore di aspettazione su una funzione d’onda arbitraria esso pu` o essere trasformato in modo da portarlo nella forma di un cosiddetto termine di contatto. Se ψ `e la funzione d’onda –supposta qui scalare e reale–, il valore di aspettazione del termine di Darwin (scritto nella sua forma generale, ovvero senza supporre di essere nel caso del potenziale a simmetria sferica) risulta

EDarwin =

eh ¯2 4 m 2 c2

ψ gradφ · gradψ dV .

Questo integrale pu` o essere trasformato tenendo conto che ψ gradφ · gradψ =

1 2

gradψ 2 · gradφ =

1 2

div(ψ 2 gradφ) − ψ 2 ∇2 φ

.

Se si suppone che la funzione d’onda e il campo elettrico si annullino suﬃcientemente all’inﬁnito, per il teorema di Gauss il primo termine in parentesi quadra d` a contributo nullo all’integrale e si ottiene EDarwin = −

eh ¯2 8 m 2 c2

ψ 2 ∇2 φ dV .

Questa espressione mostra che, al ﬁne del calcolo del suo valore di aspettazione, al termine di Darwin contribuiscono solo i punti dove sono presenti le cariche

129

EQUAZIONI D’ONDA RELATIVISTICHE

elettriche che generano il potenziale φ. Ad esempio, se si suppone che φ sia dovuto a un’unica carica q situata nel punto x0 , ricordando che ∇2 φ = −4π q δ(x − x0 ) , si ottiene EDarwin =

4π e q h ¯2 2 ψ (x0 ) . 8 m 2 c2

(5.15)

5.6 L’equazione di Dirac descrive una particella di spin 1/2 Nei paragraﬁ precedenti abbiamo gi`a introdotto il concetto di spin, anche se in maniera non del tutto precisa. Adesso vogliamo provare in maniera rigorosa che una particella descritta dall’equazione di Dirac possiede un momento angolare intrinseco che vale 1/2 in unit` a h ¯ . Per far questo, osserviamo che se un’osservabile `e una costante del moto, essa deve godere della propriet` a che l’operatore associato commuti con l’Hamiltoniana. Poich´e il momento angolare totale j di una particella libera si conserva nel tempo, si deve avere [ H , j ] = 0 . Consideriamo il commutatore dell’Hamiltoniana di Dirac col momento angolare orbitale della particella, = x × p/¯ h. Ricordando l’Eq. (5.1) si ha 1 [ H , ] = [c α · p + β m c2 , x × p ] , h ¯ e per la componente i-esima del commutatore si ottiene ⎡ ⎤ 1 ikl ⎣ c αj pj + β m c2 , xk pl ⎦ = [ H , i ] = h ¯ j kl

c ikl αj [ pj , xk ] pl = −i c ikl αk pl . = h ¯ jkl

kl

Si ha quindi, in forma intrinseca [ H , ] = −i c α × p . Se ne deduce che il momento angolare orbitale della particella non `e una costante del moto in quanto non commuta con l’Hamiltoniana.

130

CAPITOLO 5

Consideriamo adesso le matrici τ , di ordine 4, deﬁnite da τ = − 2i α ×α ,

(5.16)

dove αi sono le matrici di Dirac. Ricordando la loro deﬁnizione in termini di matrici 2 × 2 (Eq. (5.3)), si ha

τi =

− 2i

&

jk ijk

0 σj

σj 0

0 σk

σk 0

=

− 2i

&

jk ijk

σj σk 0

0 σj σk

.

D’altra parte, per le propriet` a delle matrici di Pauli vale la relazione ijk σj σk = 2 i σi , jk

per cui si ottiene τi =

σi 0

0 σi

.

Le matrici τ sono quindi una generalizzazione all’ordine 4 delle matrici 2 × 2 di ` facile mostrare che esse soddisfano le stesse relazioni di quest’ultime, Pauli. E ovvero

[τi , τj ] = 2 i

{τi , τj } = 2 δij ,

ijk τk ,

τi τj = δij + i

k

ijk τk .

k

Considerando il commutatore [ H , τ ] si ha

& & 2 = c α p + β m c , α α [H , τi ] = − 2i kl ikl j j k l j = − 2i

&

kl ikl

& j

c pj [ αj , αk αl ] + m c2 [ β , αk αl ] .

Valutando i due commutatori che compaiono nel secondo membro si ha [ αj , αk αl ] = 2 δjk αl − 2 δjl αk ,

[ β , αk αl ] = 0 ,

per cui, con facili passaggi, si ottiene inﬁne [ H , τ ] = 2 i c α ×p . Se introduciamo quindi il vettore j attraverso la relazione j = +

1 2

τ ,

131

EQUAZIONI D’ONDA RELATIVISTICHE

si ottiene [ H , j ] = 0 . Il vettore j `e una costante del moto ed `e quindi del tutto naturale immedesimarlo col vettore momento angolare totale. La relazione precedente mostra che esso si ottiene addizionando il momento angolare orbitale con un vettore, che indichiamo con s, che rappresenta il momento angolare intrinseco (spin) della particella s =

1 2

τ .

Il vettore s soddisfa le relazioni (immediatamente deducibili da quelle del vettore τ )

[ s i , sj ] = i

ijk sk ,

{si , sj } =

1 2

δij ,

si s j =

1 4

δij +

i 2

&

k ijk sk

.

k

Queste propriet`a mostrano che il vettore s soddisfa tutti i requisiti per essere considerato, a buon diritto, un momento angolare (si veda il Par. 7.9). Inoltre, essendo s2 = si si = 34 , i

si ottiene che il momento angolare intrinseco vale 12 (si ricordi dalla teoria del momento angolare che l’autovalore dell’operatore J 2 vale J(J + 1)). Nel limite non relativistico dell’equazione di Dirac sviluppato nei paragraﬁ precedenti, e in particolare nel limite all’ordine zero, abbiamo visto che il contributo preponderante dell’interazione della particella carica con un campo magnetico `e descritto da un termine dell’Hamiltoniana dato da eh ¯ . ( + σ ) · B 2mc Questa espressione `e consistente con l’idea che al momento angolare orbitale sia associato un dipolo magnetico μ e allo spin sia associato un momento magnetico μ s . Riferendoci al caso dell’elettrone, per cui e = −e0 , con e0 = 4.803 × 10−10 u.e.s., i dipoli sono dati da Hmagnetica = −

μ = −μ0 ,

μ s = −μ0 σ ,

dove abbiamo introdotto la quantit` a μ0 , detta magnetone di Bohr, deﬁnita da2 2

Si ricordi che nel sistema di unit` a c.g.s. di Gauss, l’unit` a di misura dell’induzione magnetica ` e il gauss, che si abbrevia con “G”.

132

CAPITOLO 5

μ0 =

¯ e0 h = 9.274 × 10−21 erg G−1 . 2mc

(5.17)

a stato interpretato in termini classici (si veda il Par. 5.4). Il momento μ `e gi` Per quanto riguarda μ s si pu` o osservare che, essendo σ la rappresentazione di ordine 2 della matrice τ di ordine 4, e, essendo τ = 2s, si pu` o anche scrivere μ s = −2 μ0 s . Il rapporto fra il momento magnetico (in unit`a di magnetoni di Bohr) e il corrispondente momento angolare (in unit`a h ¯ ) viene detto rapporto giromagnetico. Si ottiene quindi che il rapporto giromagnetico dell’elettrone vale −1 per il momento angolare orbitale e vale −2 per lo spin. Questo comportamento anomalo del momento magnetico associato allo spin era stato assunto fenomenologicamente nella teoria di Pauli dell’elettrone. Il fatto che ci`o scaturisca in maniera del tutto naturale dall’equazione di Dirac costituisce uno dei maggiori successi di questa teoria.

5.7 Soluzione dell’equazione di Dirac in un campo magnetico L’equazione di Dirac pu` o essere risolta esattamente in un certo numero di casi particolari. Come applicazione della teoria sviluppata in questo capitolo, cerchiamo la soluzione per una particella carica mobile in un campo magnetico costante. Un tale campo pu` o essere descritto dai potenziali elettromagnetici φ=0 ,

= A

1 2

× x , B

e l’equazione di Dirac risulta ih ¯

∂ ψ(x, t) = HB ψ(x, t) , ∂t

dove HB , l’Hamiltoniana di Dirac nel caso di campo magnetico costante, `e data da e HB = c α · p − A + β m c2 . c 2 Per risolvere questa equazione, cominciamo con l’osservare che l’operatore H B ha un’espressione molto pi` u semplice dell’operatore HB stesso. Si ha infatti

e e 2 · p − A = cα · p − A HB + β m c2 c α + β m c2 . c c

EQUAZIONI D’ONDA RELATIVISTICHE

133

L’espressione a secondo membro pu`o essere sviluppata tenendo conto dell’algebra delle matrici α e β (Eq. (5.2)). Ricordando inoltre la deﬁnizione delle matrici τ (Eq. (5.16)) e la regola di commutazione [ pi , Aj ] = −i h ¯

∂Aj , ∂xi

si trova, con alcune trasformazioni e 2 2 + m 2 c4 . = c2 p − A −eh ¯ c τ · B HB c Supponiamo adesso di aver risolto l’equazione agli autovalori per l’operatore 2 HB e indichiamo con 2 gli autovalori stessi (che devono necessariamente essere reali e positivi) e con Φ gli autovettori. Si ha, per deﬁnizione 2 (HB − 2 ) Φ = 0 ,

e l’equazione pu` o anche essere scritta nelle due forme alternative (HB − ) (HB + ) Φ = 0 ,

(HB + ) (HB − ) Φ = 0 .

Queste due equazioni mostrano che le due funzioni d’onda Ψ− = (HB − ) Φ ,

Ψ+ = (HB + ) Φ,

sono autofunzioni dell’Hamiltoniana HB corrispondenti rispettivamente agli autovalori e −. Attraverso questo algoritmo `e quindi possibile ricondurre la soluzione dell’equazione di Dirac alla soluzione dell’equazione agli autovalori 2 per l’operatore HB . Tenendo conto dell’espressione esplicita del potenziale vettore, e introducendo un sistema di assi cartesiani (x, y, z) con l’asse z diretto lungo la direzione del 2 campo magnetico, l’operatore HB assume la forma

2 HB

2 2 eB eB 2 y + c py − x + c2 p2z − e h = c px + ¯ c B τ3 + m 2 c 4 . 2c 2c 2

Il carattere spinoriale dell’operatore `e contenuto solamente nella matrice τ3 che `e diagonale ed `e esplicitamente data da ⎛

1 ⎜0 τ3 = ⎝ 0 0

0 −1 0 0

⎞ 0 0 0 0 ⎟ ⎠ . 1 0 0 −1

Inoltre, tutti i commutatori che si possono costruire a partire da due qualsiasi 2 dei cinque termini che compongono l’operatore HB sono nulli, con l’eccezione

134

CAPITOLO 5

del commutatore fra i primi due termini che `e diverso da zero. Allo scopo di 2 trasformare l’operatore HB in una somma di operatori commutanti, eseguiamo un cambiamento di variabile introducendo gli operatori eB eB a = γ py − x − i δ px + y , 2c 2c eB eB † x + i δ px + y , a = γ py − 2c 2c dove γ e δ sono due costanti reali da scegliere opportunamente. Con queste 2 trasformazioni, si ottiene per HB l’espressione 2 HB =

c2 2 c2 2 †2 † † (a + a + a a + a a) − (a + a†2 − a a† − a† a) 4 γ2 4 δ2

¯ c B τ3 + m 2 c 4 , + c2 p2z − e h e, per il commutatore fra gli operatori a e a† , [ a, a† ] =

2eBh ¯ γδ . c

Se adesso imponiamo γ 2 = δ2 ,

γδ =

c , 2eBh ¯

2 l’operatore HB risulta espresso come somma di Hamiltoniane commutanti gi`a note. Con facili passaggi, si ottiene 1 ∓ τ3 2 HB + c2 p2z + m2 c4 , = 2 |e| h ¯ c B a† a + 2

dove |e| `e il valore assoluto della carica della particella e dove il segno davanti a τ3 vale meno per le cariche positive e pi` u per le cariche negative. Ricordando i risultati ottenuti a proposito dell’oscillatore armonico nel Par. 4.1, e tenendo conto che gli autovalori della matrice τ3 sono ±1, gli autovalori dell’operatore 2 HB risultano della forma 2 = m2 c4 + c2 qz2 + 2 |e| h ¯ cBn , dove qz `e l’autovalore (continuo) dell’operatore pz e dove n `e un intero arbitrario positivo o nullo. Inﬁne, per gli autovalori dell’Hamiltoniana HB , si ha =±

# m2 c4 + c2 qz2 + 2 |e| h ¯ cBn ,

(n = 0, 1, 2, . . .) .

I livelli energetici che si sono cos`ı trovati prendono il nome di livelli di Landau. Essi sono caratterizzati da un parametro continuo, qz , che `e la componente

EQUAZIONI D’ONDA RELATIVISTICHE

135

dell’impulso della particella lungo la direzione del campo magnetico, e da un indice intero, n, che invece caratterizza il moto nel piano perpendicolare al campo magnetico. Come nel caso dell’equazione di Dirac per la particella libera, esistono livelli a energia positiva e livelli a energia negativa. L’equazione che esprime gli autovalori dell’energia pu`o anche essere posta nella forma pi` u signiﬁcativa % q2 B = ± m c2 1 + 2z 2 + 2 n , m c Bq dove abbiamo introdotto il cosiddetto campo magnetico quantistico, Bq , deﬁnito da Bq =

m 2 c3 , |e| h ¯

che, nel caso degli elettroni, vale 4.414 × 1013 G. Nel caso particolare in cui qz mc e B Bq , la radice si pu` o sviluppare in serie di potenze e all’ordine pi` u basso si ottiene q2 = ± mc2 + z + h ¯ ωc n , 2m dove la quantit` a ωc , deﬁnita da ωc =

|e| B , mc

`e la frequenza di ciclotrone che abbiamo gi`a incontrato nel Cap. 3 (Eq. (3.30)).

Capitolo 6

Atomi con un solo elettrone di valenza L’analisi spettroscopica della radiazione emessa da sostanze atomiche e molecolari nelle pi` u svariate condizioni di pressione e temperatura `e stata portata avanti per lungo tempo a partire dal momento in cui `e stata dimostrata l’esistenza di righe di assorbimento nello spettro del Sole da parte di Fraunhofer nel 1817. Questi studi hanno portato, nel corso degli anni, alla nascita di una nuova disciplina della ﬁsica sperimentale e teorica che prende il nome di spettroscopia. Tale disciplina ha avuto un’importanza storica fondamentale per la comprensione della struttura atomica, sebbene sia stato necessario attendere l’avvento della meccanica quantistica per poter dare un’interpretazione rigorosa di quanto osservato nei laboratori terrestri e nei plasmi astroﬁsici. In questo volume aﬀronteremo lo studio dei concetti di base della spettroscopia mediante un approccio moderno, iniziando col dare una descrizione, a livelli di soﬁsticazione crescenti, degli spettri pi` u semplici, ovvero quelli relativi ad atomi che contengono un solo elettrone di valenza (atomi idrogenoidi, metalli alcalini e relative sequenze isoelettroniche). Le complicazioni introdotte dalla presenza di un numero maggiore di elettroni di valenza sono illustrate nei capitoli successivi.

6.1 Atomo di Idrogeno, teoria di Bohr Lo spettro dell’atomo di Idrogeno `e il pi` u semplice ed `e stato anche il primo per il quale `e stata sviluppata un’interpretazione teorica adeguata. Le regolarit` a che compaiono nei valori delle lunghezze d’onda della serie di righe che si osserva nello spettro visibile dell’atomo di Idrogeno furono formulate quantitativamente da Balmer (un professore di scuole secondarie svizzero) nel 1886. Balmer trov` o che le lunghezze d’onda di tali righe potevano essere ben rappresentate attraverso la formula empirica λ = λB

n2 , −4

n2

dove λB `e una costante che vale circa 3647 ˚ A e dove n `e un intero che pu` o assumere i valori 3, 4, 5, etc.. Oggi, in maniera pi` u moderna, si preferisce scrivere la formula precedente nella forma

138

CAPITOLO 6

ν¯ = RH

1 1 − 2 2 2 n

,

(n > 2) ,

dove ν¯ (= 1/λ) `e il numero d’onde della riga e RH (= 4/λB ) `e la cosiddetta costante di Rydberg per l’atomo di Idrogeno. Se nella formula precedente si sostituisce l’intero 2 con altri numeri interi, si ottengono altre serie di righe, in modo tale che lo spettro completo dell’atomo di Idrogeno pu` o essere rappresentato dalla formula ν¯ = RH

1 1 − 2 2 m n

,

(n > m) .

(6.1)

La serie con m = 1 cade nell’ultravioletto e prende il nome di serie di Lyman; quella con m = 2 cade nel visibile e prende ovviamente il nome di serie di Balmer. Le altre serie cadono nell’infrarosso sempre pi` u lontano e prendono il nome di serie di Paschen (m = 3), di Brackett (m = 4), di Pfund (m = 5), e di Humphreys (m = 6). Lo spettro dell’atomo di Idrogeno `e rappresentato schematicamente in Fig. 6.1. La formula per ν¯ pu` o anche essere posta nella forma ν¯ = Tm − Tn , dove Tk =

RH , k2

(con k intero) .

(6.2)

Questo signiﬁca che il numero d’onde di una qualsiasi riga dello spettro dell’atomo di Idrogeno `e dato dalla diﬀerenza di due “termini spettroscopici” della forma RH /k 2 . In eﬀetti, questa propriet` a `e del tutto generale, nel senso che essa vale per gli spettri di tutti gli altri elementi. Si veriﬁca infatti sperimentalmente che i numeri d’onda delle numerosissime righe osservate nello spettro di un qualsiasi elemento (o ione) possono essere sempre ottenuti come diﬀerenze di un numero molto minore di termini, anche se, in generale, tali termini non possono essere espressi da semplici funzioni matematiche come quella dell’Eq. (6.2). Questo fatto ebbe un’importanza storica notevole e viene oggi assunto a principio, venendo denominato principio di Rydberg-Ritz. Esso aﬀerma che tutte le righe dello spettro di un elemento (in un particolare stato di ionizzazione) si possono ottenere per diﬀerenza fra due qualsiasi termini spettroscopici, caratteristici dell’elemento stesso (in quel particolare stato di ionizzazione). Il numero di termini `e molto minore del numero di righe possibili. L’interpretazione teorica dello spettro dell’atomo di Idrogeno fu data per la prima volta da Bohr mediante un modello relativamente semplice che introduceva, accanto alle usuali leggi della meccanica classica, delle opportune ipotesi

139

ATOMI CON UN SOLO ELETTRONE DI VALENZA

Lyman

ν (cm −1 )

90000

Balmer

30000

60000

1000

2000

Paschen

0 5000

10000 λ (A)

Fig. 6.1. Spettro dell’atomo di Idrogeno dall’ultravioletto all’infrarosso. Le prime righe delle serie di Lyman, Balmer e Paschen sono rappresentate da tratti verticali. I limiti delle serie sono rappresentati in tratteggio. La scala orizzontale `e lineare nel numero d’onda.

quantistiche. Bench´e la teoria di Bohr appaia oggi superata alla luce della moderna meccanica quantistica, essa costituisce tuttavia una buona introduzione alla ﬁsica atomica e vale la pena esporla in questa sede. Il punto di partenza della teoria di Bohr `e il cosiddetto modello planetario dell’atomo, emerso dai lavori sperimentali di Rutherford, secondo il quale l’atomo `e costituito da un nucleo centrale di carica positiva, praticamente puntiforme, intorno al quale ruotano gli elettroni. Bohr svilupp`o le proprie considerazioni per l’atomo pi` u semplice, il cosiddetto atomo idrogenoide, nel quale un solo elettrone ruota intorno a un nucleo centrale di carica Ze0 (dove e0 `e il valore assoluto della carica dell’elettrone e Z `e un intero). Le ipotesi introdotte da Bohr sono le seguenti: (a) Delle inﬁnite orbite che, secondo la meccanica classica, un elettrone pu`o descrivere nel suo moto intorno al nucleo, solo alcune, che veriﬁcano delle opportune regole di quantizzazione, sono permesse. In contraddizione con la teoria classica dell’elettromagnetismo, l’elettrone non irradia quando si muove su tali orbite sebbene il suo moto sia accelerato. (b) La radiazione viene emessa oppure assorbita in seguito alla “transizione” dell’elettrone fra un’orbita permessa e un’altra. Tali processi avvengono per “quanti” di radiazione caratterizzati dalla frequenza ν=

ΔE , h

dove ΔE `e la diﬀerenza fra le energie che competono alle due orbite fra le quali avviene la transizione e dove h `e la costante di Planck (h = 6.626×10 −27 erg s). Si pu` o notare che questa seconda ipotesi contiene implicitamente il principio di Rydberg-Ritz, i termini spettroscopici essendo dati dalle energie delle orbite, a meno del fattore 1/(ch). Supponendo per semplicit` a che l’elettrone si muova su orbite circolari, dalla seconda legge della dinamica si ottiene

140

CAPITOLO 6

Z e20 m v2 = , r2 r

(6.3)

dove r `e il raggio dell’orbita, v la velocit`a dell’elettrone e m la sua massa. A questa equazione classica Bohr aggiunge la condizione di quantizzazione 1 per la quale il momento angolare dell’elettrone deve essere multiplo intero della costante ¯h = h/2π mvr = nh ¯ ,

(n = 1, 2, 3, . . .) .

Eliminando la velocit` a fra le due equazioni si ottiene, per il raggio dell’orbita caratterizzata dal “numero quantico” n rn =

h ¯ 2 n2 . m e20 Z

La quantit` ah ¯ 2 /(me20 ), avente le dimensioni di una lunghezza, prende il nome di raggio della prima orbita di Bohr e viene usualmente indicata col simbolo a0 . Essa vale 0.529 × 10−8 cm, ovvero 0.529 ˚ A. Attraverso tale quantit` a si ottiene allora rn = a0

n2 . Z

Sull’orbita generica di raggio r, l’elettrone possiede l’energia E=

1 2

m v2 −

Z e20 Z e20 =− , r 2r

dove abbiamo utilizzato l’Eq. (6.3) e abbiamo assunto nulla l’energia elettrostatica all’inﬁnito. Sostituendo il valore di rn trovato precedentemente, si ottiene per l’energia dell’elettrone sull’orbita caratterizzata dal numero quantico n En = −

e20 Z 2 m e40 Z 2 = − . 2 a0 n 2 2h ¯ 2 n2

Dalla condizione di quantizzazione del momento angolare `e poi facile trovare la velocit`a vn che compete all’elettrone sull’orbita n-esima. Si ottiene vn =

e20 Z , h ¯ n

e, introducendo la quantit` a adimensionale α, detta costante della struttura ﬁne, deﬁnita da 1

In eﬀetti, il ragionamento originale di Bohr `e diverso, essendo basato sul principio di corrispondenza. Quella qui riportata `e un’adattazione moderna che non altera lo spirito della derivazione.

ATOMI CON UN SOLO ELETTRONE DI VALENZA

α=

141

1 e20 = = 7.29735 × 10−3 , h ¯c 137.036

si ottiene vn = α c

Z , n

la quale mostra che per l’atomo di Idrogeno (Z = 1) dobbiamo attenderci delle correzioni relativistiche dell’ordine di α2 . Dall’espressione per rn e vn , si pu` o poi trovare il periodo dell’elettrone sull’n-esima orbita. Si trova facilmente Tn =

2π rn 2π h ¯ 3 n3 = , vn m e40 Z 2

per cui si ottiene l’analogo della terza legge di Keplero rn3 Z e20 , = Tn2 4π 2 m

indipendente da n .

Si pu` o inﬁne osservare che, con l’introduzione della costante della struttura ﬁne, l’espressione per l’energia En pu` o anche essere scritta nella forma En = −m c2

α2 Z 2 . 2 n2

I risultati precedenti sono stati ottenuti supponendo che la massa del nucleo sia inﬁnita. Se si tiene invece conto del fatto che la massa del nucleo `e ﬁnita, essi vanno modiﬁcati sostituendo alla massa dell’elettrone, m, la cosiddetta massa ridotta, mr , deﬁnita da mr =

m Mn , m + Mn

dove Mn `e la massa del nucleo intorno al quale ruota l’elettrone. Poich`e si ha sempre m Mn , si pu` o sviluppare in serie l’equazione precedente ottenendo m , mr m 1 − Mn che mostra che la correzione per la massa ridotta `e dell’ordine dello 0.5 per mille nel caso dell’atomo di Idrogeno. La prova formale dell’eﬀetto della massa ridotta si basa sul cosiddetto teorema dei due corpi che qui ricordiamo. Siano dati due corpi di massa m1 e m2 , rispettivamente. Se il corpo 1 esercita sul corpo 2 la forza F , allora, per il terzo principio della dinamica, il corpo 2 esercita sul corpo 1 la forza −F , cosicch´e, per il secondo principio, il moto dei rispettivi centri di massa `e retto, con simboli evidenti, dalle equazioni

142

CAPITOLO 6

¨2 = F , m2 x

¨ 1 = −F . m1 x

Per il moto relativo, descritto dal raggio vettore x = x2 − x1 , si ha quindi 1 1 ¨ ¨ ¨ x = x2 − x1 = F , + m2 m1 ovvero ¨ = F , mr x dove mr =

m1 m2 . m1 + m 2

Quest’ultima equazione mostra che il moto del corpo 2 (nel nostro caso l’elettrone), riferito al corpo 1 (nel nostro caso il nucleo), `e lo stesso del moto assoluto di un corpo su cui agisce la stessa forza e la cui massa `e pari alla massa ridotta. Tenendo conto della correzione dovuta alla massa ridotta, l’energia dell’atomo idrogenoide sull’n-esima orbita risulta En = −

mr e40 Z 2 . 2h ¯ 2 n2

(6.4)

In base alla seconda ipotesi di Bohr, il numero d’onde del quanto emesso nella transizione fra l’orbita n-esima e l’orbita m-esima (con n > m) risulta En − Em 1 1 2 ν¯ = = RZ , − 2 hc m2 n dove R, la costante di Rydberg per l’atomo idrogenoide, `e data da R=

mr e40 , 4π c h ¯3

e in particolare, per l’atomo di Idrogeno, RH =

e40 m Mp , m + Mp 4π c h ¯3

Mp essendo la massa del protone. Come si vede, il modello di Bohr porta a un’espressione per i numeri d’onda delle righe spettrali dell’atomo di Idrogeno che coincide con quella osservata (Eq. (6.1)). Pi` u quantitativamente, si possono confrontare i valori numerici, teorico e sperimentale, ottenuti per RH . Sostituendo i valori delle costanti

ATOMI CON UN SOLO ELETTRONE DI VALENZA

143

atomiche, si trova un ottimo accordo . Questo fatto costitu`ı, dal punto di vista storico, una delle prove pi` u convincenti della correttezza della teoria di Bohr 2 . Come abbiamo gi` a osservato, le formule dedotte in questo paragrafo si applicano non solo allo spettro dell’atomo di Idrogeno ma anche agli spettri degli atomi idrogenoidi, ovvero degli atomi composti da un solo elettrone in orbita intorno a un nucleo avente carica Ze0 , con Z > 1. Tali spettri sono quelli dell’Elio una volta ionizzato, He+ , per cui Z = 2 (spettro dell’ He II), del Litio due volte ionizzato, Li++ , per cui Z = 3 (spettro del Li III), del Berillio tre volte ionizzato, etc.3 . Gli spettri degli idrogenoidi sono del tutto analoghi a quello dell’Idrogeno, con la diﬀerenza di un fattore di scala 1/Z nelle dimensioni delle orbite e di un fattore Z 2 nelle energie, ovvero nei numeri d’onda o nelle frequenze (oltre a una ulteriore diﬀerenza, dell’ordine della frazione del permille, dovuta all’eﬀetto della massa ridotta che inﬂuisce sulla costante di Rydberg). La serie di Balmer dell’Elio ionizzato, ad esempio, viene a cadere nell’ultravioletto invece che nel visibile. Le condizioni di quantizzazione di Bohr si applicano soltanto alle orbite legate, cio`e alle orbite (ellittiche, in ﬁsica classica) che corrispondono a energie negative. Le orbite che corrispondono a valori positivi dell’energia (iperboliche, in ﬁsica classica) sono quindi tutte “possibili”. Oltre alle transizioni fra orbite quantizzate a energia negativa, sono anche possibili transizioni fra orbite a energia positiva e orbite a energia negativa, oppure fra due orbite entrambe a energia positiva. Nel primo caso, il numero d’onda del quanto di energia `e dato da R + 2 , hc n dove n `e il numero quantico dell’orbita a energia negativa e dove `e l’energia cinetica dell’elettrone all’inﬁnito sull’orbita iperbolica. Poich´e pu` o assumere un qualsiasi valore positivo o nullo, ne segue che la serie di righe discrete, il cui limite si trova al numero d’onda R/n2 , sfuma in uno spettro continuo dalla parte dei numeri d’onda maggiori (lunghezze d’onda minori). Per lo spettro dell’atomo di Idrogeno, ad esempio, si ha il cosiddetto continuo di Lyman per λ < 912 ˚ A, il continuo di Balmer per λ < 3647 ˚ A, etc.. Una transizione di questo genere corrisponde, in assorbimento, all’espulsione di un elettrone dall’atomo (eﬀetto fotoelettrico o fotoionizzazione), mentre in emissione corrisponde ν¯ =

2

Bisogna dire che al momento in cui Bohr pubblic` o i suoi risultati le costanti ﬁsiche erano conosciute con scarsa precisione e la coincidenza fra valori teorici e sperimentali di R H non costitu`ı di per s´ e una prova suﬃciente per avvalorare il suo modello presso la comunit` a scientiﬁca. Oggi la situazione ` e profondamente mutata e la costante di Rydberg `e una delle costanti ﬁsiche che sono conosciute con il maggior numero di cifre signiﬁcative (R H = 1.0967758341 × 105 cm−1 ). 3 Lo spettro di un elemento n volte ionizzato si indica col simbolo dell’elemento seguito dal numero (n + 1) scritto in cifre romane. Ad esempio, lo spettro del Na I ` e lo spettro del Sodio neutro, lo spettro del C IV ` e lo spettro del Carbonio ionizzato tre volte, lo spettro del Fe XV ` e lo spettro del Ferro ionizzato 14 volte, e cos`ı via.

144

CAPITOLO 6

eV

12

cm

−1

0

5 4 3

Serie di Balmer

2

30000

9 Serie di Lyman

6

3

0

60000

90000 1

Fig. 6.2. Diagramma di Grotrian dell’atomo di Idrogeno. I livelli del continuo sono rappresentati dalla zona ombreggiata che, in principio, si estende indeﬁnitamente verso l’alto.

al fenomeno inverso, detto ricombinazione elettronica. L’osservazione del continuo al limite della serie di righe che trae origine dal livello fondamentale `e molto importante, in quanto fornisce direttamente il potenziale di ionizzazione dell’atomo (o dello ione). Se ν¯∞ `e il numero d’onda corrispondente al limite di tale serie, il potenziale di ionizzazione espresso (come `e consuetudine) in eV si ottiene semplicemente dalla formula χ(eV) = 1.2398 × 10−4 ν¯∞ (cm−1 ) . Per l’atomo di Idrogeno, ad esempio, essendo ν¯∞ = RH si ottiene il potenziale di ionizzazione di 13.598 eV. Una transizione fra due orbite a energia positiva `e caratterizzata dal numero d’onda ν¯ =

− , hc

dove e sono le energie cinetiche all’inﬁnito dell’elettrone sulle orbite iperboliche iniziale e ﬁnale. Una tale transizione corrisponde, in emissione, al cosiddetto fenomeno della Bremsstrahlung (radiazione di frenamento) e, in assorbimento,

ATOMI CON UN SOLO ELETTRONE DI VALENZA

145

al cosiddetto fenomeno della Bremsstrahlung inversa4. Una rappresentazione graﬁca particolarmente utile dei termini spettroscopici e delle righe spettrali si ottiene riportando in un diagramma i livelli energetici mediante dei tratti orizzontali su una scala verticale di energie (o di numeri d’onda). La Fig. 6.2 fornisce l’esempio di un tale diagramma (detto diagramma di Grotrian) per l’atomo di Idrogeno. L’energia del particolare livello si legge direttamente sulla scala di sinistra e il valore zero `e assegnato per convenzione al livello fondamentale. Il numero d’onda del termine corrispondente si legge invece sulla scala di destra, nella quale lo zero corrisponde, sempre per convenzione, al limite di ionizzazione. Una qualsiasi riga spettrale `e rappresentata mediante una linea verticale che connette due livelli energetici. La lunghezza della linea, misurata sulla scala di destra, fornisce direttamente il numero d’onda della riga spettrale e quindi la sua lunghezza d’onda. Per concludere, `e necessario menzionare che la teoria di Bohr, dedotta per orbite circolari, fu in seguito generalizzata da Sommerfeld al caso pi` u generale delle orbite ellittiche. Non ci dilungheremo qui su tale teoria dato che, al giorno d’oggi, essa riveste interesse quasi esclusivamente dal punto di vista storico.

6.2 L’equazione di Schr¨ odinger in coordinate sferiche L’approccio moderno per determinare la struttura e le caratteristiche del sistema dei livelli energetici degli atomi (e quindi del relativo spettro) si basa sulla soluzione dell’equazione di Schr¨ odinger stazionaria. Per una particella di massa m mobile in un campo di forze che ammette potenziale, l’equazione `e la seguente

p2 H |ψ = + V |ψ = E |ψ 2m

,

dove V `e l’energia potenziale della particella. Nella rappresentazione delle funzioni d’onda, dove l’operatore p vale −i h ¯ grad, l’equazione, per un potenziale indipendente dal tempo, diviene −

h ¯2 2 ∇ + V (x ) ψ(x ) = Eψ(x ) . 2m

Se il campo di forze `e a simmetria sferica, la soluzione dell’equazione di Schr¨odinger risulta sempliﬁcata introducendo le coordinate sferiche, r, θ, φ, deﬁnite implicitamente dalle equazioni (si veda la Fig. 6.3) 4

Si veda il Par. 3.7 per la teoria classica della radiazione di frenamento.

146

CAPITOLO 6

z

#

# $

$

θ

r

er eφ eθ

!

!

!

!

!

!

!

"

"

"

"

"

"

"

φ

y

x Fig. 6.3. Sistema di coordinate sferiche (r, θ, φ) e corrispondenti versori e r ,eθ ,eφ .

x = r sinθ cosφ ,

y = r sinθ sinφ ,

z = r cosθ ,

dove (x, y, z) `e un sistema di riferimento cartesiano ortogonale destrorso. Andiamo adesso a determinare l’espressione dell’operatore ∇2 (Laplaciano) in tale sistema di coordinate. Poich´e risulta ∇2 = div grad , dobbiamo esprimere in coordinate sferiche sia l’operatore gradiente che l’operatore divergenza. Introduciamo quindi i tre versori er , eθ ed eφ , tali da formare, in quest’ordine, una terna trirettangola destra, come in Fig. 6.3. Tali versori sono espressi, in funzione dei tre versori ı, j, k, diretti rispettivamente lungo gli assi x, y, z, dalle equazioni er = sinθ cosφı + sinθ sinφ j + cosθ k , eθ = cosθ cosφı + cosθ sinφ j − sinθ k , eφ = − sinφı + cosφ j . La distanza inﬁnitesima dP fra due punti aventi coordinate sferiche (r, θ, φ) e (r + dr, θ + dθ, φ + dφ) si scrive nella forma dP = er dr + eθ r dθ + eφ r sinθ dφ . Osserviamo poi che, data una funzione scalare arbitraria, f , del punto, si ha, per deﬁnizione stessa di gradiente df = gradf · dP = (gradf )r dr + (gradf )θ r dθ + (gradf )φ r sinθ dφ ,

ATOMI CON UN SOLO ELETTRONE DI VALENZA

147

z dr

dθ y dφ x Fig. 6.4. La ﬁgura mostra il volumetto inﬁnitesimo utilizzato per trovare l’espressione dell’operatore divergenza in coordinate sferiche.

dove si sono indicate con il simbolo (gradf )r,θ,φ , rispettivamente, le tre componenti del gradiente della funzione f lungo i tre versori er , eθ , eφ . D’altra parte, poich´e si ha anche df =

∂f ∂f ∂f dr + dθ + dφ , ∂r ∂θ ∂φ

dal confronto delle ultime due equazioni, essendo f arbitraria, si ottengono le espressioni per le componenti sferiche dell’operatore gradiente gradr =

∂ , ∂r

gradθ =

1 ∂ , r ∂θ

gradφ =

∂ 1 . r sin θ ∂φ

(6.5)

Analogamente possiamo determinare l’espressione dell’operatore divergenza. Facendo riferimento al ﬂusso di un vettore v arbitrario attraverso la superﬁcie del volumetto inﬁnitesimo della Fig. 6.4, si ha, per il teorema di Gauss (divv ) r2 sinθ dr dθ dφ = +

∂ (vr r2 sinθ) dr dθ dφ ∂r

∂ ∂ (vθ r sinθ) dr dθ dφ + (vφ r) dr dθ dφ , ∂θ ∂φ

dalla quale si ottiene divv =

1 ∂ 2 1 ∂ 1 ∂ (r vr ) + (sinθ vθ ) + vφ . r2 ∂r r sinθ ∂θ r sinθ ∂φ

(6.6)

Ricordando che ∇2 = div grad, e ricordando le Eq. (6.5), si ottiene in deﬁnitiva l’espressione dell’operatore Laplaciano di una funzione scalare del punto in coordinate sferiche

148

CAPITOLO 6

1 ∂ ∇ = 2 r ∂r 2

1 ∂ ∂ 1 ∂2 2 ∂ r + 2 sinθ + 2 2 . ∂r r sinθ ∂θ ∂θ r sin θ ∂φ2

(6.7)

Mediante questa espressione, l’equazione di Schr¨odinger stazionaria per una particella mobile in un potenziale centrale risulta H ψ(r, θ, φ) = E ψ(r, θ, φ) , dove l’Hamiltoniana, espressa in coordinate sferiche, `e data da H=−

h ¯2 1 ∂ 1 ∂ ∂ 1 ∂2 2 ∂ r + sinθ + + V (r) . 2m r2 ∂r ∂r r2 sinθ ∂θ ∂θ r2 sin2 θ ∂φ2

Prima di procedere alla soluzione di questa equazione, `e opportuno trovare anche l’espressione, sempre in coordinate sferiche, degli operatori associati al momento angolare orbitale. Ricordando la deﬁnizione = 1 x × p = −i x × grad , h ¯

(6.8)

si ha = −i r er × er ∂ + eθ 1 ∂ + eφ 1 ∂ , ∂r r ∂θ r sinθ ∂φ dalla quale si ottiene, essendo er × eθ = eφ , er × eφ = −eθ , ∂ 1 ∂ − eθ . = −i eφ ∂θ sinθ ∂φ Da questa equazione si possono determinare le tre componenti del momento angolare orbitale lungo gli assi x, y, z di Fig. 6.3. Tenendo conto delle relazioni fra le terne (er , eθ , eφ ) e (ı, j, k), si ha ∂ ∂ + cotθ cosφ , x = ı · = i sinφ ∂θ ∂φ ∂ ∂ + cotθ sinφ , y = j · = i − cosφ ∂θ ∂φ ∂ z = k · . = −i ∂φ Per 2 si ha poi ∂ 1 ∂ ∂ 1 ∂ − eθ · eφ − eθ . = · = − eφ ∂θ sinθ ∂φ ∂θ sinθ ∂φ 2

ATOMI CON UN SOLO ELETTRONE DI VALENZA

149

Per calcolare questa quantit` a bisogna preliminarmente trovare le derivate dei versori rispetto alle coordinate sferiche. Con facili considerazioni geometriche si trova ∂ er = 0 , ∂r ∂ eθ = 0 , ∂r ∂ eφ = 0 , ∂r

∂ er = eθ , ∂θ ∂ eθ = −er , ∂θ ∂ eφ = 0 , ∂θ

∂ er = sinθeφ , ∂φ ∂ eθ = cosθeφ , ∂φ ∂ eφ = − sinθer − cosθeθ . ∂φ

Si ottiene allora 2 = −

1 ∂2 ∂2 ∂ − − cotθ , ∂θ2 ∂θ sin2 θ ∂φ2

ovvero 1 ∂ =− sinθ ∂θ 2

∂ 1 ∂2 sinθ − . ∂θ sin2 θ ∂φ2

L’espressione di trovata precedentemente permette anche di determinare le propriet` a di commutazione delle diverse componenti del momento angolare totale. Si ha infatti × = − eφ ∂ − eθ 1 ∂ × eφ ∂ − eθ 1 ∂ , ∂θ sinθ ∂φ ∂θ sinθ ∂φ dalla quale si ottiene, come `e facile veriﬁcare × = i , che `e la relazione fondamentale che esprime le regole di commutazione fra le componenti del momento angolare. Da questa propriet` a segue immediatamente l’altra [ 2 , ]=0 , esprimente il fatto che il quadrato del momento angolare orbitale commuta con ciascuna delle sue componenti. Con l’introduzione dell’operatore 2 , l’equazione di Schr¨odinger pu` o essere anche posta nella forma

h ¯2 ∂ h ¯2 2 ∂ 2 − r + + V (r) ψ(r, θ, φ) = E ψ(r, θ, φ) . 2 m r2 ∂r ∂r 2 m r2

(6.9)

150

CAPITOLO 6

Tenendo conto che l’operatore 2 opera soltanto sulle variabili θ e φ, e che l’operatore z opera solo sulla variabile φ, possiamo cercare una soluzione dell’equazione di Schr¨odinger che sia contemporaneamente autofunzione dei tre operatori commutanti H, 2 e z . Per far questo, iniziamo col determinare le autofunzioni dell’operatore z , ovvero determiniamo le funzioni tali che −i

∂ Φμ = μ Φ μ . ∂φ

Integrando questa equazione si ottiene, a meno di una funzione moltiplicativa arbitraria delle variabili r e θ, Φμ (φ) = e i μ φ . Osserviamo per` o che la funzione Φμ (φ) deve essere a un solo valore. Perch´e questo sia veriﬁcato, si deve avere μ=m , con m intero qualsiasi (positivo, negativo, o nullo). Si ottiene quindi che gli autovalori dell’operatore z sono gli interi m e che le corrispondenti autofunzioni sono della forma Φm (φ) = ei m φ . Passiamo adesso a determinare le autofunzioni comuni degli operatori 2 e z . Per far questo cerchiamo le funzioni della forma Θλ Φm tali da soddisfare l’equazione 1 ∂ ∂ 1 ∂2 − sinθ − Θ λ Φm = λ Θ λ Φm . sinθ ∂θ ∂θ sin2 θ ∂φ2 Sostituendo l’espressione per Φm ed eseguendo il cambiamento di variabile deﬁnito da x = cosθ , si ottiene per la funzione Θλ l’equazione diﬀerenziale m2 d2 Θλ dΘλ + λ − (1 − x2 ) Θλ = 0 . − 2 x dx2 dx 1 − x2 Per risolvere questa equazione, poniamo Θλ (x) = (1 − x2 )|m|/2 fλ (x) . Eseguendo le derivate e sostituendo, si ottiene per fλ l’equazione diﬀerenziale (1 − x2 )fλ (x) − 2 x (1 + |m|)fλ (x) + (λ − |m| − m2 )fλ (x) = 0 .

ATOMI CON UN SOLO ELETTRONE DI VALENZA

151

Inﬁne, cerchiamo una soluzione per la funzione fλ di tipo serie di potenze ck xk . fλ (x) = k

Eseguendo le derivate e sostituendo, si ottiene una relazione ricorrente fra i coeﬃcienti ck della forma ck+2 =

(k + |m|) (k + |m| + 1) − λ ck . (k + 2) (k + 1)

Se la serie non `e troncata si ottiene, per k → ∞, che il rapporto ck+2 /ck tende a 1. La serie `e quindi divergente per x = ±1. Per ottenere una funzione ﬁnita bisogna ammettere che la serie sia troncata, e questo impone per l’autovalore λ l’espressione λ = l(l + 1) , con l intero e con l ≥ |m| . Si noti che il grado massimo del polinomio, kmax risulta pari a kmax = l − |m| , e che il polinomio `e di grado pari oppure di grado dispari a seconda che kmax sia a sua volta pari o dispari. Le funzioni che abbiamo determinato sono, a parte una costante moltiplicativa, delle funzioni ben note in ﬁsica-matematica. Esse prendono il nome di funzioni di Legendre (per m = 0) e di funzioni associate di Legendre di prima specie (per m arbitrario) e vengono usualmente denotate, rispettivamente, con |m| i simboli Pl (x) e Pl (x). Si pu` o mostrare che le funzioni associate di Legendre sono tali da soddisfare le condizioni di ortogonalit`a 1 |m| |m| Pl (x) Pl (x) dx = 0 , se l = l . −1

Riassumendo, abbiamo quindi trovato che le autofunzioni comuni degli operatori 2 e z sono caratterizzate da due numeri quantici interi, m e l, e risultano della forma |m|

Pl

(cosθ) e i m φ .

Moltiplicando queste funzioni per un opportuno fattore, si ottengono le cosiddette armoniche sferiche, Ylm (θ, φ). Il fattore viene scelto in modo tale che le armoniche sferiche siano normalizzate all’unit`a su tutto l’angolo solido e in

152

CAPITOLO 6

modo che esse soddisﬁno a ulteriori propriet` a del momento angolare (si veda l’equazione (6.10) che coinvolge gli operatori ± detti operatori di shift). La deﬁnizione delle armoniche sferiche `e la seguente % 2l + 1 (l − |m|)! |m| Ylm (θ, φ) = (−1)(m+|m|)/2 Pl (cosθ) ei m φ , 4π (l + |m|)! e le loro propriet`a fondamentali sono riassunte dalle seguenti equazioni ∂ 1 ∂2 1 ∂ 2 sinθ − Ylm (θ, φ) = Ylm (θ, φ) = − sinθ ∂θ ∂θ sin2 θ ∂φ2 = l(l + 1)Ylm (θ, φ) , ∂ Ylm (θ, φ) = m Ylm (θ, φ) , ∂φ ∂ ∂ ± i cotθ Ylm (θ, φ) = ± Ylm (θ, φ) = (x ± i y )Ylm (θ, φ) = ±e±i φ ∂θ ∂φ # = (l ± m + 1)(l ∓ m) Ylm±1 (θ, φ) , (6.10)

z Ylm (θ, φ) = −i

∗ Ylm (θ, φ) = (−1)m Yl−m (θ, φ) ,

2π

dφ 0

π

Ylm (π − θ, φ + π) = (−1)l Ylm (θ, φ) , (6.11)

∗ dθ sinθ Ylm (θ, φ) Yl m (θ, φ) = δll δmm .

(6.12)

0

Le espressioni esplicite delle armoniche sferiche pi` u semplici sono le seguenti $ Y00 =

1 , 4π

$ Y10 =

3 cosθ , 4π

$ Y1±1 = ∓

3 sinθ e ± i φ . (6.13) 8π

Tornando all’equazione di Schr¨ odinger nella forma (6.9), cerchiamo una soluzione del tipo ψ(r, θ, φ) = R(r) Ylm (θ, φ) =

1 P (r) Ylm (θ, φ) , r

dove R(r) `e la funzione radiale “ordinaria” mentre P (r) `e la cosiddetta funzione radiale ridotta, entrambe le funzioni dipendendo, in generale, dal numero quantico l. La funzione ridotta deve obbedire alla condizione al contorno P (0) = 0 , in modo tale che la funzione d’onda ψ sia ﬁnita nell’origine. Sostituendo, si ottiene per la funzione P (r) la cosiddetta equazione di Schr¨odinger radiale

ATOMI CON UN SOLO ELETTRONE DI VALENZA

h ¯ 2 d2 P (r) + Veﬀ (r)P (r) = E P (r) , 2 m dr2 dove l’energia potenziale eﬃcace, Veﬀ (r), `e data da −

153

(6.14)

h ¯ 2 l(l + 1) . 2 m r2 L’equazione (6.14) `e in tutto e per tutto analoga a quella per il moto unidimensionale della particella, con la sola diﬀerenza che all’energia potenziale vera e propria `e necessario aggiungere un ulteriore termine detto potenziale centrifugo. Tale termine, che si annulla per l = 0, tende a mantenere la particella lontana dall’origine e la sua importanza aumenta quadraticamente all’aumentare del momento angolare orbitale. Bisogna osservare che la comparsa del potenziale centrifugo non `e una caratteristica della sola meccanica quantistica ma che una cosa del tutto analoga si veriﬁca anche in ﬁsica classica quando si studia il moto di una particella in un potenziale centrale. Poich´e in un potenziale centrale il momento angolare M `e costante, si pu` o introdurre un sistema di coordinate polari (r, φ) nel piano dell’orbita (deﬁnito appunto come il piano perpendicolare al vettore momento angolare). In tali coordinate, la conservazione del momento angolare implica Veﬀ (r) = V (r) +

m r2 φ˙ = M , con M costante. D’altra parte, per il teorema di conservazione dell’energia meccanica, si ha 1 2

m v 2 + V (r) =

1 2

m r˙ 2 +

1 2

m r2 φ˙ 2 + V (r) = E ,

con E costante. Sostituendo per φ˙ il valore dedotto dalla conservazione del momento angolare si ha M2 =E , 2 m r2 che `e appunto l’equazione del moto unidimensionale di una particella in un potenziale “eﬃcace” contenente il termine aggiuntivo dovuto al potenziale centrifugo. La traduzione quantistica di questa equazione `e appunto l’equazione di Schr¨ odinger radiale (6.14). 1 2

m r˙ 2 + V (r) +

6.3 Atomo di Idrogeno, teoria quantistica Applichiamo le considerazioni svolte nel paragrafo precedente a un atomo idrogenoide. L’energia potenziale dell’elettrone `e data da −Ze20 /r, per cui l’equazione di Schr¨ odinger radiale (Eq. (6.14)) risulta

154

CAPITOLO 6

h ¯ 2 l(l + 1) h ¯ 2 d2 Z e20 + P (r) = E P (r) , − P (r) + − 2 mr dr2 r 2 mr r 2 dove abbiamo introdotto la massa ridotta mr in quanto il teorema dei due corpi ammette una diretta generalizzazione quantistica. Per risolvere questa equazione `e conveniente introdurre delle variabili adimensionali. Ricordando i risultati ottenuti attraverso la teoria di Bohr, introduciamo i parametri ξ ed ponendo a0 Z 2 e20 , E = − , Z 2 a0 dove il raggio della prima orbita di Bohr contiene adesso la massa ridotta in luogo della massa eﬀettiva dell’elettrone, ovvero r=ξ

a0 =

h ¯2 . mr e20

Eseguendo la sostituzione, si ottiene l’equazione diﬀerenziale 2 l(l + 1) d2 − P (ξ) + − P (ξ) = 0 . dξ 2 ξ ξ2 Osserviamo che, per ξ → ∞, l’equazione diﬀerenziale assume la forma sempliﬁcata d2 P (ξ) − P (ξ) = 0 . dξ 2 Se > 0 (caso delle orbite legate), la soluzione asintotica dell’equazione `e quindi P (ξ) = C e ±

√

ξ

,

dove C `e una costante. Delle due soluzioni dobbiamo scegliere quella con l’esponenziale negativo perch´e l’altra diverge. Poniamo quindi P (ξ) = e−

√ ξ

f (ξ) ,

dove f (ξ) `e una nuova funzione. Sostituendo, si ottiene per f (ξ) l’equazione diﬀerenziale √ 2 l(l + 1) f (ξ) − 2 f (ξ) + − f (ξ) = 0 . ξ ξ2 Cerchiamo per f (ξ) una soluzione del tipo serie di potenze ponendo f (ξ) = ξ p L(ξ) = ξ p

∞ k=0

ck ξ k ,

(c0 = 0) ,

ATOMI CON UN SOLO ELETTRONE DI VALENZA

155

dove p `e un numero reale positivo (p > 0) in quanto vogliamo che sia P (0) = 0. Sostituendo si ottiene la relazione ∞

ck [(k + p)(k + p − 1) − l(l + 1)] ξ

k+p−2

=2

k=0

∞

ck

√ (k + p) − 1 ξ k+p−1 .

k=0

Il termine di grado pi` u basso della prima somma (corrispondente a k = 0) non ha il suo analogo nella seconda somma. Si deve quindi avere p(p − 1) = l(l + 1) . Questa equazione di secondo grado in p ammette le due soluzioni p = l + 1, e p = −l. La seconda `e per` o da scartare in quanto deve essere p > 0. Si ottiene quindi che p `e un intero dato da p=l+1 . Sostituendo questo valore di p, si ottiene la relazione ricorrente cui devono soddisfare i coeﬃcienti della serie di potenze ck+1 [(k + l + 2)(k + l + 1)] = 2 ck

√ (k + l + 1) − 1 .

Se la serie non `e troncata, poich´e si ha √ ck+1 , lim =2 k→∞ ck k √

la funzione f (ξ) va all’inﬁnito come e2 ξ , dimodoch´e la funzione P (ξ) diverge. Se vogliamo una funzione limitata dobbiamo supporre che la serie sia troncata, ovvero dobbiamo imporre che, in corrispondenza di un certo intero k0 ≥ 0, sia √ (k0 + l + 1) = 1 .

(6.15)

Questa equazione porta agli autovalori possibili per che sono dati da =

1 1 = 2 , (k0 + l + 1)2 n

dove n `e un intero tale che n≥l+1 . Ricordando le nostre sostituzioni iniziali si ottiene quindi per gli autovalori dell’energia E=−

e20 Z 2 , 2 a0 n 2

156

CAPITOLO 6

ovvero un’espressione che coincide con quella trovata attraverso la teoria di Bohr. Per quanto riguarda le autofunzioni, determiniamo l’equazione diﬀerenziale cui soddisfa la serie di potenze L(ξ). Ricordando la sua deﬁnizione e l’equazione diﬀerenziale per f (ξ), si ha ξ

d2 l+1 ξ d L(ξ) + 2 1 − L(ξ) = 0 . L(ξ) + 2 l + 1 − dξ 2 n dξ n

Questa equazione pu`o essere riportata all’equazione diﬀerenziale caratteristica dei polinomi generalizzati di Laguerre. Per far questo bisogna introdurre una nuova variabile, ρ, data da ρ=

2 2Z ξ= r . n n a0

In termini di ρ, l’equazione diﬀerenziale risulta ρ

d2 d L(ρ) + (2 l + 2 − ρ) L(ρ) + (n − l − 1) L(ρ) = 0 . 2 dρ dρ

I polinomi generalizzati di Laguerre5 soddisfano l’equazione diﬀerenziale x

d (q) d2 (q) L (x) + p L(q) L (x) + (q + 1 − x) p (x) = 0 , dx2 p dx p

per cui la nostra funzione L(ρ) `e, a parte un fattore di proporzionalit`a, il (2l+1) polinomio generalizzato di Laguerre Ln−l−1 . Raccogliendo i risultati precedenti, abbiamo trovato che l’autofunzione radiale ridotta corrispondente agli autovalori n e l pu` o essere espressa con maggior semplicit` a in termini della variabile ρ ed `e data, a parte un fattore di proporzionalit` a, da Pnl (ρ) = e−ρ/2 ρl+1 Ln−l−1 (ρ) . (2l+1)

(6.16)

Questo risultato, unito a quello ottenuto nel paragrafo precedente per la parte angolare della funzione d’onda, permette di esprimere le autofunzioni dell’atomo idrogenoide nella forma ψnlm (r, θ, φ) = Nnl e−ρ/2 ρl Ln−l−1 (ρ) Ylm (θ, φ) , (2l+1)

dove Nnl `e un fattore da determinare imponendo che le autofunzioni siano normalizzate. Tenendo conto della formula, 5

Seguiamo qui la convenzione contenuta nel volume M. Abramowitz & I.A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, Dover Publ., New York, 1971.

ATOMI CON UN SOLO ELETTRONE DI VALENZA

∞

0

157

2 2 n [(n + l)! ]3 (2l+1) , e−ρ ρ2l Ln−l−1 (ρ) ρ2 dρ = (n − l − 1)!

si ottiene Nnl =

Z a0

3/2

% 2 n2

(n − l − 1)! . [(n + l)! ]3

(6.17)

Le espressioni esplicite delle autofunzioni dell’atomo idrogenoide possono essere ottenute attraverso la formula dei polinomi generalizzati di Laguerre L(q) p (x)

=

p

(−1)m

m=0

[(p + q)!]2 xm . (p − m)! (q + m)! m!

(6.18)

Le autofunzioni normalizzate per i primi due livelli (n = 1 e n = 2) risultano ψ100 (r, θ, φ) =

Z a0

3/2

2 e−Zr/a0 Y00 (θ, φ) ,

(6.19)

3/2 1 −Zr/(2a0 ) Zr Z √ e 2− Y00 (θ, φ) , ψ200 (r, θ, φ) = a0 a0 8 3/2 1 Zr Z √ e−Zr/(2a0 ) Y1m (θ, φ) . ψ21m (r, θ, φ) = a0 a0 2 6

Le propriet` a dei polinomi generalizzati di Laguerre permettono di determinare i valori medi delle potenze di r sulle autofunzioni radiali. Deﬁnendo ∞ ∞ 2 2 rk = Rnl (r) rk r2 dr = Pnl (r) rk dr , 0

ed esprimendo r

r4 r−1 r−4

in unit` a di

0

ak0 ,

si ottengono i seguenti risultati

1 n2 [3 n2 − l(l + 1)] , r2 = [5 n2 + 1 − 3 l(l + 1)] , 2Z 2 Z2 n2 = [35 n2 (n2 − 1) − 30 n2 (l + 2)(l − 1) + 3(l + 2)(l + 1)l(l − 1)] , 8 Z3 n4 = [63 n4 − 35 n2 (2l2 + 2l − 3) + 5 l(l + 1)(3l 2 + 3l − 10) + 12] , 8 Z4 Z 2 Z2 2 Z3 , , = 2 , r−2 = 3 r−3 = 3 n n (2l + 1) n l(l + 1)(2l + 1) 4 Z 4 [3 n2 − l(l + 1)] . = 5 n (2l + 3)(2l + 1)(2l − 1)l(l + 1) (6.20)

r = r3

k

158

CAPITOLO 6

I valori riportati nelle equazioni precedenti permettono di riottenere in senso probabilistico i risultati della teoria di Bohr. Il caso delle orbite circolari corrisponde infatti ad assumere, ﬁssato n, il massimo valore possibile per il numero quantico l, ovvero l = n − 1. Per tale valore si ottiene r = a0

2 n2 + n , 2Z

che, al limite per grandi valori di n, coincide con l’espressione del raggio delle orbite di Bohr. Interessante `e anche calcolare la varianza σ(r) deﬁnita da , σ(r) =

r2 − r

2

.

Sempre per l = n − 1 si ottiene √ n 2n+1 , σ(r) = a0 2Z e quindi σ(r) 1 . =√ r 2n+1 Per grandi valori di n la funzione d’onda dell’elettrone tende a essere sempre pi` u concentrata intorno all’orbita di Bohr. Le autofunzioni che abbiamo determinato dipendono da tre numeri quantici, n, l, e m, che soddisfano le seguenti disuguaglianze n≥1 ,

l ≤n−1 ,

|m| ≤ l .

I tre numeri quantici prendono il nome, rispettivamente di numero quantico principale, numero quantico azimutale, e numero quantico magnetico. Talvolta si fa riferimento anche al cosiddetto numero quantico radiale, nr , deﬁnito da nr = n−l−1. Come abbiamo visto sopra, nr rappresenta il grado del polinomio generalizzato di Laguerre che compare nell’espressione dell’autofunzione. Per una propriet` a dei polinomi stessi, nr rappresenta anche il numero dei valori di r in cui l’autofunzione si annulla. Per una circostanza del tutto particolare, tipica del potenziale Coulombiano, gli autovalori dell’atomo idrogenoide dipendono solo dal numero quantico principale n e non anche da l (l’indipendenza da m `e caratteristica del potenziale centrale ed `e connessa alla simmetria sferica dell’Hamiltoniana). Questo fa s`ı che gli autovalori dell’atomo idrogenoide siano doppiamente degeneri (rispetto a m e a l). Per calcolare la degenerazione del livello n `e suﬃciente osservare che l pu` o assumere i valori 0, 1, . . . , n − 1, e che, assegnato l, m pu` o assumere i (2 l + 1) valori −l, −l + 1, . . . , 0, . . . , l − 1, l. La degenerazione `e quindi

ATOMI CON UN SOLO ELETTRONE DI VALENZA

g(n) =

n−1

159

(2 l + 1) = n2 .

l=0

In teoria relativistica, quando si introduce lo spin, le funzioni d’onda sono caratterizzate da un ulteriore numero quantico, ms , l’autovalore dell’operatore sz , proiezione dello spin lungo l’asse di quantizzazione z, che pu` o assumere i due valori ± 12 . Tenendo conto anche dello spin, la degenerazione del livello n risulta quindi uguale a 2 n2 .

6.4 Atomo di Idrogeno, correzioni relativistiche Sebbene l’equazione di Dirac per l’atomo idrogenoide possa essere risolta in maniera esatta, preferiamo qui dedurre l’espressione delle correzioni relativistiche ai livelli energetici di tale atomo applicando la teoria delle perturbazioni. Riprendiamo quindi l’equazione di Dirac al limite non relativistico sviluppato al primo ordine (Eq. (5.13)) e, in tale equazione, sostituiamo il potenziale φ con Ze0 /r, la carica e con −e0 , e la massa m con la massa ridotta mr . A proposito di quest’ultima sostituzione bisogna dire che l’equazione di Dirac `e valida per un ipotetico nucleo di massa inﬁnita, e che la sua generalizzazione al caso della massa ﬁnita (problema relativistico dei due corpi) porta a equazioni notevolmente complesse6 . La sostituzione m → mr non `e quindi completamente giustiﬁcata dal punto di vista teorico, ma va piuttosto considerata come un’approssimazione di carattere fenomenologico. Tenendo conto di queste sostituzioni, l’equazione pu` o essere posta nella forma H |ψ = (H0 + H ) |ψ = E |ψ

,

dove |ψ `e, in notazione di Dirac, la funzione d’onda spinoriale, e dove H0 = 1 H =− 2 m r c2

p2 Ze20 , − 2 mr r

2 ¯2 1 ∂ ¯2 1 Z e20 h Z e20 Z e20 h + E+ − σ · . r 4 m2r c2 r2 ∂r 4 m2r c2 r3

Riguardo al primo termine nell’espressione di H , notiamo che abbiamo preferito esprimerlo mediante la seconda delle due forme alternative dell’Eq.(5.12). Ricordiamo brevemente i risultati della teoria delle perturbazioni al primo ordine. Si abbia un’Hamiltoniana H esprimibile nella forma H0 + H , con 6

Si veda l’articolo: R. Giachetti & E. Sorace, Journal of Physics A 39, 15207 (2006).

160

CAPITOLO 6

H H0 , e supponiamo di aver risolto l’equazione di Schr¨ odinger stazionaria per H0 trovando gli autovalori En e i corrispondenti autovettori |n H0 |n = En |n

.

Per determinare la “perturbazione” indotta dall’Hamiltoniana H sugli autovalori En si agisce nella seguente maniera: a) se l’autovalore dell’energia non `e degenere, la correzione ΔEn all’energia si ottiene attraverso l’elemento di matrice diagonale ΔEn = n| H |n

,

mentre l’autovettore resta invariato; b) se invece l’autovalore `e degenere, indicato con ν un ulteriore numero quantico (o un set di numeri quantici) che caratterizza gli autovettori, |n, ν , dello spazio degenere, si calcolano gli elementi di matrice Hνν n, ν| H |n, ν =

,

e si determinano autovalori e autovettori di tale matrice che danno, rispettivamente, le correzioni all’energia En e gli autovettori dell’Hamiltoniana totale. Naturalmente, il calcolo risulta enormemente sempliﬁcato quando `e possibile trovare una base rispetto alla quale la matrice H νν `e diagonale. Altrimenti, con l’esclusione delle matrici di ordine 2 e, in qualche caso, di quelle di ordine 3, il calcolo, in generale, pu` o essere eseguito solo numericamente. Applichiamo adesso la teoria delle perturbazioni al nostro caso particolare. Come abbiamo visto nel paragrafo precedente, l’Hamiltoniana H0 ammette, tenendo conto anche dello spin, autofunzioni caratterizzate dai quattro numeri quantici n, l, m, ms di cui conosciamo l’espressione esplicita. Per tali autofunzioni utilizzeremo la notazione compatta |nlmms . L’energia invece dipende solo da n, per cui, per un n ﬁssato, si hanno 2 n2 livelli degeneri caratterizzati da tutti i possibili valori diversi di l, m, e ms . Dobbiamo quindi calcolare, in principio, gli elementi di matrice Hlmm nlmms | H |nl m ms = s ,l m ms

.

L’Hamiltoniana H consta di tre termini. I primi due, agendo soltanto sulla variabile radiale r, commutano con gli operatori 2 , z e sz e, quindi, hanno elementi di matrici diagonali rispetto ai corrispondenti numeri quantici. Il terzo termine, invece, contenendo l’espressione σ · , non `e diagonale. Si pu`o tuttavia ovviare a questo inconveniente eseguendo un cambiamento di base, passando cio`e dalla base |nlmms alla base |nljmj , dove j e mj sono i numeri quantici relativi a un nuovo operatore, j, deﬁnito da j = + s .

ATOMI CON UN SOLO ELETTRONE DI VALENZA

161

Come mostrato nella sezione di questo libro dedicata alla teoria del momento angolare (Par. 7.9), il cambiamento di base implica che i nuovi vettori di stato si ottengono mediante opportune combinazioni lineari dei vecchi vettori le quali coinvolgono i coeﬃcienti di Clebsh-Gordan (o i simboli 3-j di Wigner). Per i nostri scopi presenti non `e per` o necessario entrare nei dettagli della trasformazione. Basta qui osservare che, attraverso l’introduzione dell’operatore j, si pu` o trovare un’espressione appropriata per il termine · σ . Si ha infatti j 2 = ( + s )2 = 2 + s2 + 2 · s , dalla quale si ottiene, ricordando che σ = 2 s · σ = 2 · s = j 2 − 2 − s2 . L’operatore · σ risulta diagonale nella nuova base e, poich´e il terzo termine dell’Hamiltoniana H contiene tale operatore moltiplicato per una funzione di r, anche tale termine risulta, adesso, diagonale. Consideriamo uno stato caratterizzato, oltre che da n, dai tre numeri quantici l, j, e mj . L’energia imperturbata `e, come sappiamo E=−

Z 2 e20 1 , 2 a0 n 2

dove a0 = h ¯ 2 /(mr e20 ). Indichiamo con ΔE1 , ΔE2 e ΔE3 l’energia di perturbazione dovuta, rispettivamente, ai tre termini dell’Hamiltoniana H , ovvero al termine di correzione dell’energia cinetica, al termine di Darwin, e al termine di interazione spin-orbita. Si ha, per il primo termine 1 Z 2 e40 Z 2 Z a0 r−1 2 −2 ΔE1 = − , − + a0 r 2 mr c2 a20 4 n4 n2 e, ricordando le espressioni per r k date nel paragrafo precedente (Eq. (6.20)), si ottiene Z 4 e40 1 2 1 ΔE1 = − . − + 2 mr c2 a20 4 n4 n4 n3 (2l + 1) Questa espressione pu`o essere messa nella forma pi` u signiﬁcativa Z 2 e20 Z 2 α2 3 n ΔE1 = − , − 2 a0 n 2 n 2 4 l + 12 dove α `e la costante della struttura ﬁne. Per il termine di Darwin, indicando con Rnl (r) la funzione radiale, si ha ¯2 ∞ d Z e20 h 1 Rnl (r) r2 dr . Rnl (r) 2 ΔE2 = − 4, m2r c2 0 r dr

162

CAPITOLO 6

Risolvendo l’integrale si ottiene ΔE2 =

Z e20 h ¯2 2 R (0) . 8 m2r c2 nl

Questa quantit` a `e tipica di un termine di contatto, risultato che avevamo gi` a ottenuto nel Par. 5.5 (cfr. Eq. (5.15)). Essa `e diversa da zero solo per stati aventi l = 0 in quanto essi sono gli unici per i quali la funzione radiale `e diversa da zero nell’origine. Per mezzo delle Eq. (6.16), (6.17) e (6.18), si ottiene Rnl (0) =

Pnl (r) r

=2

r=0

Z n a0

3/2 δl,0 ,

e quindi ΔE2 =

Z 2 e20 1 2 2 1 Z α δl,0 . 2 a0 n 2 n

Inﬁne, per il termine di interazione spin-orbita si ottiene ΔE3 =

¯ 2 −3 Z e20 h r [ j(j + 1) − l(l + 1) − 4 m2r c2

3 4

] ,

dove, per le regole d’addizione di due momenti angolari, il numero quantico j pu` o assumere i due valori (l − 12 ) e (l + 12 ), se l = 0, e il solo valore j = 12 , se l = 0. Sostituendo l’espressione per r −3 (Eq. (6.20)), si ha ΔE3 =

Z 2 e20 1 2 2 j(j + 1) − l(l + 1) − Z α 2 a0 n 2 n l(l + 1)(2l + 1)

3 4

.

(6.21)

` da notare che, per l = 0, questa espressione risulta indeterminata, essendo E della forma 0/0. Considerazioni pi` u approfondite mostrano che, in tale caso, si deve assumere ΔE3 = 0. Raccogliendo i contributi portati dai tre termini, aggiungendo tale risultato all’energia imperturbata, e distinguendo fra i tre casi possibili, si ottiene, per l’energia dello stato caratterizzato dai numeri quantici n, l, j e mj , l’espressione Z 2 α2 Z 2 e20 1 3 1 + (n − ) , (l = 0) , Enljmj = − 4 2 a0 n 2 n2 Z 2 α2 n Z 2 e20 1 3 − Enljmj = − 1+ , (l = 0 , j = l + 12 ) , 2 a0 n 2 n2 l+1 4 Z 2 α2 n 3 Z 2 e20 1 −4 Enljmj = − 1+ , (l = 0 , j = l − 12 ) . 2a0 n2 n2 l Le tre formule possono essere ﬁnalmente raccolte nell’unica

163

ATOMI CON UN SOLO ELETTRONE DI VALENZA

Enljmj

Z 2 α2 n Z 2 e20 1 1+ =− 2 a0 n 2 n2 j+

1 2

−

3 4

.

Questa espressione mostra che l’energia non dipende dal numero quantico mj (come era ovvio attendersi, essendo [ H, jz ] = 0) e che, inoltre, essa dipende soltanto da j (momento angolare totale) ma non da l (momento angolare orbitale). L’espressione inoltre coincide con lo sviluppo in serie al secondo ordine in α2 della soluzione esatta dell’equazione di Dirac per il campo Coulombiano. Tale soluzione, che contiene anche l’energia di riposo mc2 , `e infatti7

Enljmj = m c2 1 +

αZ √ n − k + k 2 − α2 Z 2

2 −1/2 ,

dove k=j+

1 2

.

Come abbiamo gi` a detto, la massa che compare in questa formula `e per`o la massa dell’elettrone e non la sua massa ridotta. Prescindendo da questa diﬀerenza, la formula da noi trovata e quella relativa alla soluzione esatta diﬀeriscono, per l’atomo di Idrogeno, di una quantit` a dell’ordine di α6 m c2 = α4

e20 . a0

Questa correzione `e cos`ı piccola da essere praticamente inosservabile sperimentalmente (e da confondersi con altre correzioni di cui parleremo in seguito). Per queste ragioni, la formula da noi trovata con la teoria delle perturbazioni pu` o, a tutti gli eﬀetti, essere considerata esatta e non approssimata. Una volta che si tenga conto delle opportune correzioni, la formula `e veriﬁcata sperimentalmente con ottima precisione. La struttura dei livelli dell’atomo di Idrogeno risultante dalle correzioni relativistiche, la cosiddetta struttura ﬁne, `e schematicamente illustrata nella Fig. 6.5. I livelli presentano una struttura complessa con l’energia che aumenta, ﬁssato n, all’aumentare di j. Poich´e il valore minimo di j `e 12 , mentre il valore massimo `e n − 12 , la diﬀerenza in energia fra i livelli estremi risulta pari a ΔE =

e20 α2 (n − 1) , 2 a0 n 4

e diminuisce rapidamente all’aumentare di n. In termini numerici, se si considera la riga Lyα a 1216 ˚ A, si pu` o osservare che tale riga risulta separata dalla 7

Per la deduzione dell’equazione si veda ad esempio P.A.M. Dirac, The Principles of Quantum Mechanics, 4th Ed., Clarendon Press, Oxford, 1958.

164

CAPITOLO 6

l=0

l=1

l=2

n=4 3/2 1/2

n=3

n=2

5/2 3/2

7/2 5/2

1/2

3/2 1/2

l=3

5/2 3/2

1/2

3/2 1/2

1/2

n=1 1/2

Fig. 6.5. Diagramma di Grotrian della struttura ﬁne dei primi 4 livelli dell’atomo di Idrogeno. Le linee punteggiate rappresentano le energie dei livelli imperturbati, quali risultano dalla teoria non relativistica. Il valore del numero quantico j ` e dato a destra di ciascun livello. Gli intervalli di energia non sono rappresentati in scala.

struttura ﬁne in due componenti che diﬀeriscono fra loro di 5.4 m˚ A. Per la riga Lyβ a 1026 ˚ A, si hanno ancora due componenti con una separazione di 1.1 m˚ A. Come abbiamo detto precedentemente, esistono ulteriori correzioni allo spettro dell’atomo di Idrogeno che sono dovute, per un lato, alla presenza dello spin nucleare (struttura iperﬁne) e, per l’altro lato, a fenomeni di natura puramente quantistica dovuti alla cosiddetta auto-energia (self-energy) dell’elettrone. Alla struttura iperﬁne `e dedicata una sezione di questo volume (si vedano i Par. 9.8 e 9.9). Per quanto riguarda gli altri fenomeni, accenniamo semplicemente al fatto che essi furono messi in evidenza sperimentalmente da W.E. Lamb nel 1947. Mediante dispositivi spettroscopici di elevata risoluzione si osserva che livelli caratterizzati dagli stessi valori dei numeri quantici n e j, ma da diversi valori di l, hanno energie leggermente diverse (in contraddizione con la teoria di Dirac la quale prevede invece lo stesso valore per l’energia). Ad esempio, per il livello n = 2 dell’atomo di Idrogeno, si osserva, fra il sottolivello l = 0, j = 21 e il sottolivello l = 1, j = 12 , una diﬀerenza in energia pari a 1057.8 MHz (per confronto, la diﬀerenza in energia fra i sottolivelli l = 1, j = 12 e l = 1, j = 32 `e pari a 10968.6 MHz, ovvero circa un ordine di grandezza pi` u alta).

ATOMI CON UN SOLO ELETTRONE DI VALENZA

165

Questo eﬀetto, che prende il nome di Lamb-shift, si spiega supponendo che l’elettrone in orbita intorno al nucleo esegua delle transizioni “virtuali” (che non conservano l’energia) con emissione di fotoni che vengono immediatamente riassorbiti dall’elettrone medesimo. Bisogna infatti osservare che il principio di indeterminazione di Heisenberg permette, su un tempo piccolo Δt, che la conservazione dell’energia possa essere violata di una quantit`a ΔE data da h ¯ . Δt L’insieme di questi processi virtuali porta a una correzione all’energia dell’elettrone la quale dipende dall’orbita stessa ed `e quindi diversa per stati con l diversi. I calcoli dettagliati, sviluppati da Bethe, sono in ottimo accordo con i valori osservati8 . ΔE

6.5 Spettri dei metalli alcalini Dopo quelli degli atomi idrogenoidi, gli spettri pi` u semplici risultano quelli dei metalli alcalini, ovvero degli elementi che occupano la prima colonna del sistema periodico, insieme alle loro sequenze isoelettroniche (Li, Be + , B++ , . . ., Na, Mg+ , Al++ , . . ., K, Ca+ , Sc++ , . . ., etc.). Questi atomi (ioni) sono caratterizzati dalla presenza di un solo “elettrone di valenza” (elettrone ottico), ovvero di un solo elettrone che ruota pi` u esternamente attorno a una nuvola di carica costituita dal nucleo e dagli altri elettroni. Ammettendo che la nuvola di carica abbia simmetria sferica, i livelli energetici dell’elettrone di valenza si trovano, come per il caso dell’atomo idrogenoide, risolvendo l’equazione stazionaria di Schr¨ odinger in un opportuno potenziale centrale, V (r). Per quanto riguarda la parte angolare le autofunzioni sono sempre date dalle armoniche sferiche, mentre la funzione radiale ridotta, P (r), obbedisce all’Eq. (6.14) che qui riscriviamo h ¯ 2 d2 h ¯ 2 l(l + 1) − P (r) = E P (r) . P (r) + V (r) + 2 m dr2 2 m r2 Un’approssimazione fenomenologica che pu`o essere assunta per V (r) `e la seguente a b V (r) = − − 2 , r r dove a e b sono due costanti. Tale espressione non `e che l’inizio dello sviluppo della funzione V (r) in serie di potenze di 1/r e risulta particolarmente appropriata per i metalli alcalini in quanto, per valori elevati di r, il potenziale 8

Per una discussione approfondita del Lamb-shift si veda H.A. Bethe & E.E. Salpeter, Quantum Mechanics of One- and Two-Electron Atoms, Springer-Verlag, Berlin, etc. 1957.

166

CAPITOLO 6

presenta un andamento Coulombiano (in accordo col fatto che gli elettroni interni schermano completamente la carica del nucleo), mentre, per piccoli valori di r, prevale il termine in r−2 che descrive la riduzione dell’eﬀetto di schermo all’interno della nuvola elettronica. La costante a vale Zr e20 , dove Zr , il cosiddetto numero di carica residua, `e dato da Zr = Z − N e + 1 ,

(6.22)

con Z numero di carica del nucleo e Ne numero totale degli elettroni (Zr = 1 per atomi neutri, 2 per atomi una volta ionizzati, etc.). Per quanto riguarda la costante b, essa pu` o essere posta nella forma b=

h ¯2 β , 2m

con β adimensionale. Con queste posizioni, l’equazione per la funzione radiale ridotta risulta h ¯ 2 d2 h ¯ 2 l (l + 1) Zr e20 − + P (r) = E P (r) , (6.23) P (r) + − 2 m dr2 r 2 m r2 dove il numero reale l , deﬁnito implicitamente dall’equazione l (l + 1) = l(l + 1) − β , `e tradizionalmente scritto nella forma l = l − δl , la quantit` a δl essendo detta correzione di Rydberg, oppure difetto quantistico (quantum defect). L’equazione (6.23) pu` o essere risolta, in stretta analogia a quanto fatto nel caso dell’atomo idrogenoide. Eseguiti analoghi cambiamenti di variabile, si trova che, aﬃnch´e la funzione radiale ridotta sia convergente all’inﬁnito, deve essere veriﬁcata una relazione analoga a quella dell’Eq. (6.15) con l sostituito da l , ovvero √

(k0 + l + 1) =

√ (k0 + l − δl + 1) = 1 ,

dove k0 `e un intero ≥ 0 che stabilisce l’ordine del polinomio che compare nella funzione d’onda radiale ridotta. Per l’energia si ottiene inﬁne Enl = −

1 Zr2 e20 , 2 a0 (n − δl)2

la quale mostra che le energie degli atomi alcalini, a diﬀerenza di quelle degli atomi idrogenoidi, dipendono anche dal numero quantico azimutale l, in quanto δl `e funzione di l. Il numero quantico n qui introdotto `e dato da

ATOMI CON UN SOLO ELETTRONE DI VALENZA

167

n = nr + l + 1 , dove nr , il numero quantico radiale, coincide con k0 . Poich´e nr ≥ 0, anche nel caso degli atomi alcalini si ha quindi l ≤n−1 . In certi casi si preferisce scrivere la formula per le energie nella forma Enl = −

Zr2 e20 1 , 2 a0 n∗2

(6.24)

dove n∗ = n − δl

(6.25)

`e un numero reale che prende il nome di numero quantico eﬀettivo (eﬀective quantum number). La correzione di Rydberg, δl, decresce rapidamente all’aumentare di l. Questo signiﬁca che, per l elevato, le energie dei livelli si approssimano sempre pi` u al corrispondente valore idrogenoide. La cosa non `e sorprendente e si interpreta pensando che le orbite con valore di l basso sono quelle pi` u allungate, cio`e quelle che penetrano pi` u profondamente entro la nuvola elettronica centrale (orbite penetranti). Per tali orbite ci si deve quindi attendere un’energia inferiore alla corrispondente energia idrogenoide. Viceversa, per alti valori di l, le orbite sono praticamente circolari e tendono quindi a evitare la zona centrale dell’atomo in cui il potenziale elettrico diﬀerisce sostanzialmente dal potenziale Coulombiano. Per tali orbite l’energia coincide quindi col valore idrogenoide. Un’ulteriore differenza rispetto al caso idrogenoide consiste nel fatto che il numero quantico n corrispondente al livello energetico pi` u basso (stato fondamentale) non `e uguale a 1, come per gli atomi idrogenoidi, ma `e uguale a 2 per il Litio, 3 per il Sodio, e cos`ı via. Questa `e una conseguenza del principio di esclusione di Pauli di cui parleremo in seguito (si vedano i Par. 7.1 e 7.7). Il diagramma di Grotrian per l’atomo di Sodio neutro `e rappresentato schematicamente nella Fig. 6.6. In tale ﬁgura sono anche riportate le righe appartenenti alle serie pi` u importanti del Na I. Dalla ﬁgura appare evidente che si hanno transizioni soltanto fra termini appartenenti a colonne adiacenti. In simboli, indicando con Δl la variazione del numero quantico azimutale nella transizione, si deve avere Δl = ±1 .

(6.26)

Una legge di questo genere viene detta regola di selezione. Nel Cap. 12 vedremo come questa legge possa essere dedotta in maniera rigorosa considerando l’interazione dell’atomo col campo di radiazione. Per il momento ci accontentiamo

168

CAPITOLO 6

s (l=0)

ν 6 5

p (l=1)

d (l=2)

6

f (l=3)

6

6

5

5

5

4

4

4

3

4

3

Na I 3

Fig. 6.6. Diagramma di Grotrian dell’atomo di Sodio neutro. La scala verticale d` a direttamente le energie dei livelli in cm−1 . Il numero quantico principale `e indicato accanto a ciascun livello. La ﬁgura mostra anche le varie serie di righe, ovvero le serie principale, sottile, diﬀusa e fondamentale.

di introdurre la regola di selezione in maniera fenomenologica accennando che essa `e dovuta al fatto che il cosiddetto elemento di matrice di dipolo fra gli stati iniziale e ﬁnale della transizione, ovvero l’elemento di matrice ψi | r |ψf

,

`e nullo a meno che non sia veriﬁcata la regola (6.26). Naturalmente tale regola di selezione vale non soltanto per lo spettro dell’atomo di Sodio ma per tutti gli spettri degli atomi con un solo elettrone di valenza, compresi gli atomi idrogenoidi. Le prime classiﬁcazioni proposte per interpretare lo spettro degli atomi alcalini rendono conto dell’uso spettroscopico di indicare i termini aventi valori di l pari a 0, 1, 2, 3, rispettivamente con le lettere (minuscole) “s”, “p”, “d”, “f ”. Infatti, la cosiddetta serie “principale” `e quella che risulta dalle transizioni fra termini con l = 1 e lo stato fondamentale; essa rende conto della denominazione “p” data ai termini con l = 1. Analogamente la serie “sottile” (sharp), che proviene dalla combinazione dei termini aventi l = 0 con il termine pi` u basso di quelli aventi l = 1, giustiﬁca la denominazione “s” data ai termini con l = 0. Inﬁne, la serie “diﬀusa”, che connette i termini aventi l = 2 col termine pi` u basso con l = 1, e la serie “fondamentale”, che connette i termini aventi l = 3 col termine pi` u basso con l = 2, rendono conto della denominazione “d” e “f ”

ATOMI CON UN SOLO ELETTRONE DI VALENZA

169

dei termini aventi l = 2 e l = 3, rispettivamente. Per valori di l pi` u elevati si procede poi con le lettere in ordine alfabetico a partire da “g” e con l’esclusione della lettera “j” (riservata, per cos`ı dire, ai momenti angolari) e delle lettere gi`a precedentemente utilizzate, in maniera da stabilire la corrispondenza risultante dal seguente schema

valori di l 0 denominazione s

1 p

2 3 d f

4 g

5 h

6 i

7 k

8 l

9 10 11 12 . . . . m n o q ...

Il gergo della spettroscopia si basa pesantemente sull’utilizzazione di questo codice. Ad esempio, invece di parlare di un elettrone la cui funzione d’onda `e caratterizzata dal numero quantico principale n = 3 e dal numero quantico azimutale l = 1, si parla semplicemente di un elettrone 3p. Il fatto poi che deve essere l ≤ (n − 1) fa s`ı che “esistano” soltanto elettroni 1s, 2s, 2p, 3s, 3p, 3d, e cos`ı via, mentre non esistono, ad esempio, elettroni 1d o elettroni 3f . I risultati teorici ottenuti per gli spettri dei metalli alcalini, condensati nelle Eq. (6.24) e (6.25), possono essere confrontati coi dati spettroscopici di laboratorio. Ad esempio, facendo riferimento allo spettro del Na I, si trova che le energie di tutti i livelli ns si ottengono dalle suddette equazioni (entro un errore inferiore o dell’ordine dell’1%) assumendo per la correzione di Rydberg il valore empirico δl = 1.36. Analogamente, per i livelli np si trova il valore δl = 0.87 e per i livelli nd il valore δl = 0.01. Le considerazioni sin qui svolte sugli spettri dei metalli alcalini hanno fatto astrazione dalla presenza dello spin. Anche per questi atomi si hanno, ovviamente, delle correzioni relativistiche descritte da termini analoghi a quelli visti per il caso dell’atomo idrogenoide. L’eﬀetto del terzo e quarto termine nella parentesi quadra dell’Eq. (5.13), che dipendono soltanto dalla variabile radiale r, `e quello di apportare delle ulteriori correzioni al potenziale centrale (modiﬁcando leggermente, ad esempio, la costante β introdotta all’inizio del paragrafo). L’ultimo termine, che pu` o essere adesso riscritto nella forma h ¯2 1 d V (r) 2 · s , 4 m2 c2 r dr provoca invece uno sdoppiamento dei livelli aventi l = 0 (struttura ﬁne). Introducendo il numero quantico j che (per l = 0) pu` o assumere i due valori l + 12 e l − 12 , si pu` o stimare l’intervallo in energia fra i due livelli di struttura ﬁne sfruttando la formula precedentemente dedotta per gli atomi idrogenoidi. Un’applicazione diretta dell’Eq. (6.21) d` a Enlj=l+1/2 − Enlj=l−1/2 =

Z4 e20 2 , α 3 eﬀ 2 a0 n l (l + 1)

170

CAPITOLO 6

dove Zeﬀ rappresenta una sorta di carica nucleare eﬃcace che parametrizza il potenziale nel quale si muove l’elettrone di valenza. Varie formule alternative sono state proposte per migliorare l’accordo di questa formula con i dati sperimentali. A seguito di un’analisi approfondita delle orbite penetranti, `e 4 stato proposto da Land´e di sostituire nella formula precdente il fattore Z eﬀ con 2 2 Z Zr (Zr essendo il numero di carica residua), e di sostituire inoltre il numero quantico n con n∗ . La formula cos`ı modiﬁcata risulta quindi Enlj=l+1/2 − Enlj=l−1/2 =

e20 2 Z 2 Zr2 . α ∗3 2 a0 n l (l + 1)

Il confronto con i dati sperimentali mostra un accordo soddisfacente, soprattutto per quanto riguarda l’andamento con il numero quantico azimutale l. La presenza della struttura ﬁne fa s`ı che gli spettri degli atomi alcalini si presentino come “spettri di doppietti”. Particolarmente conosciuto `e il cosiddetto doppietto del Sodio che si origina nella transizione fra il livello n = 3, l = 0 (livello 3s) e il livello n = 3, l = 1 (livello 3p), separato dalla struttura ﬁne in due sottolivelli aventi j = 12 e j = 32 , rispettivamente. Le due righe del doppietto cadono rispettivamente alle lunghezze d’onda (nel vuoto) di 5891.58 e 5897.56 ˚ A, con una separazione di 5.98 ˚ A, ovvero di 17.2 cm−1 . Si noti che la formula dovuta a Land´e applicata al livello 3p d` a per la separazione il valore 36.6 cm−1 , ottenuto ponendo Z = 11, Zr = 1, n∗ = 2.13, l = 1. Questo valore `e circa il doppio di quello osservato sperimentalmente, il che mostra chiaramente i limiti della formula medesima che, in molti casi, pu`o essere utilizzata solo per dare una stima di ordine di grandezza. La formula, sebbene approssimata, illustra comunque una caratteristica fondamentale degli spettri atomici, ovvero che l’interazione spin-orbita aumenta rapidamente all’aumentare di Z.

Capitolo 7

Atomi con pi` u elettroni di valenza Gli spettri degli atomi che presentano un solo elettrone di valenza, considerati nel capitolo precedente, sono relativamente semplici e costituiscono gli unici esempi in cui i livelli energetici possono essere determinati mediante la soluzione di un’equazione di Schr¨ odinger unidimensionale. Quando si passa a trattare atomi che presentano un numero maggiore di elettroni di valenza, le cose si complicano considerevolmente ed `e indispensabile ricorrere a un certo numero di approssimazioni per rendere trattabile matematicamente il problema. Questo capitolo `e dedicato a introdurre le basi ﬁsiche di tali approssimazioni oltre ai relativi concetti che da esse conseguono e che sono alla base della complessa terminologia comunemente utilizzata nella pratica spettroscopica (conﬁgurazioni, termini, multipletti, molteplicit` a, numeri quantici, etc.).

7.1 Il principio di esclusione di Pauli Una delle conseguenze pi` u importanti della meccanica quantistica `e il fatto che due particelle della stessa specie (come ad esempio due elettroni, due protoni, due atomi di Idrogeno, etc.) sono in tutto e per tutto indistinguibili dal punto di vista osservativo. Naturalmente, anche restando nell’ambito della ﬁsica classica, non `e certo pensabile che corpuscoli della stessa natura possano portare dei “segni distintivi” che permettano di identiﬁcarli. Tuttavia, in ﬁsica classica, `e sempre possibile, almeno in via di principio, seguire un corpuscolo con continuit` a nel tempo in maniera da stabilire con precisione la sua traiettoria ed `e quindi possibile identiﬁcarlo anche quando sia entrato in interazione con un corpuscolo della stessa natura. La situazione `e completamente diversa in meccanica quantistica, secondo i cui principi la rappresentazione pi` u adeguata che si pu` o dare di un corpuscolo `e quella di un pacchetto d’onde. Se due pacchetti d’onde che descrivono particelle uguali entrano in interazione fra loro (si pensi ad esempio a un urto fra due elettroni), anche se in seguito tornano a separarsi `e impossibile dire, sia dal punto di vista osservativo che da quello concettuale, quale pacchetto sia da attribuire a un corpuscolo e quale all’altro. D’altra parte, quando si descrive un sistema contenente due o pi` u particelle indistinguibili, `e necessario attribuire alle grandezze ﬁsiche di ciascuna di esse il proprio simbolo matematico. Ad esempio, per un sistema composto di N elettroni, attribuiremo a un elettrone le coordinate (x1 , y1 , z1 ), a un altro

172

CAPITOLO 7

le coordinate (x2 , y2 , z2 ), e cos`ı via. Ovviamente, l’Hamiltoniana, cos`ı come qualsiasi altra osservabile del sistema, deve risultare simmetrica rispetto allo scambio di due qualsiasi degli indici che numerano gli elettroni (altrimenti gli elettroni sarebbero distinguibili!). Se si indica formalmente con Sij l’operatore che, agendo sulle variabili dinamiche del sistema, opera lo scambio delle particelle i e j, si deve avere, per qualsiasi osservabile O, Sij O = O . Per la funzione d’onda la situazione `e diversa in quanto la fase di tale funzione non `e una quantit` a osservabile. La condizione di invarianza rispetto allo scambio di due particelle non va quindi imposta alla funzione d’onda, bens`ı al suo modulo quadro. Se |ψ `e (in notazione di Dirac) la funzione d’onda complessiva del sistema di N particelle, la condizione di invarianza per il modulo quadro `e soddisfatta se Sij |ψ = e i α |ψ

,

dove α `e un numero reale arbitrario. D’altra parte, se si applica due volte l’operatore di scambio, la funzione d’onda deve ritornare a essere se stessa, per cui si deve avere Sij Sij |ψ = e 2 i α |ψ = |ψ

.

Si ottiene quindi e i α = ±1 , per cui, Sij = ±1 . Le funzioni d’onda per le quali vale il segno pi` u sono dette simmetriche (rispetto allo scambio delle particelle), mentre quelle per le quali vale il segno meno sono dette antisimmetriche. D’altra parte, dall’equazione di Schr¨ odinger segue che il tipo di simmetria di una funzione d’onda `e costante nel tempo. Infatti, la variazione inﬁnitesima d|ψ nel tempo dt `e data da d|ψ =

1 H|ψ dt , ih ¯

ed essa ha lo stesso carattere di simmetria della |ψ dato che l’Hamiltoniana `e simmetrica rispetto allo scambio di due particelle. L’esperienza mostra che le particelle aventi spin nullo, oppure intero, hanno funzioni d’onda simmetriche, mentre quelle aventi spin semi-intero hanno funzioni d’onda antisimmetriche. Le prime sono dette particelle di Bose-Einstein,

` ELETTRONI DI VALENZA ATOMI CON PIU

173

o, pi` u semplicemente bosoni, le seconde sono dette particelle di Fermi-Dirac, o fermioni. Trattiamo adesso il caso particolare di N particelle identiche non interagenti e vediamo come, in questo caso, si possa esprimere la funzione d’onda del sistema complessivo per mezzo delle funzioni d’onda di particella singola. Per un tale sistema, indicando genericamente con xi l’intero set di coordinate (incluse eventualmente le coordinate di spin) della particella i-esima, l’Hamiltoniana `e uguale alla somma di N Hamiltoniane di particella singola, tutte uguali fra loro H(x1 , x2 , . . . , xN ) =

N

H(xi ) .

i=1

Indichiamo inoltre con ψa (x) le autofunzioni dell’Hamiltoniana H(x), e con Ea i corrispondenti autovalori H(x) ψa (x) = Ea ψa (x) . Come `e facile veriﬁcare, la funzione Ψ(a1 , a2 , . . . , aN ) = ψa1(x1 ) ψa2(x2 ) · · · ψaN(xN ) `e autofunzione dell’Hamiltoniana totale e corrisponde all’autovalore (Ea1 + Ea2 + · · · + EaN ), ovvero H(x1 , x2 , . . . , xN ) Ψ(a1 , a2 , . . . , aN ) = (Ea1 +Ea2 +· · ·+EaN ) Ψ(a1 , a2 , . . . , aN ) . Tuttavia questa funzione non soddisfa, salvo casi particolari, i requisiti richiesti di simmetria. La soluzione simmetrica si ottiene mediante un’operazione detta di simmetrizzazione ΨS (a1 , a2 , . . . , aN ) = NS P {ψa1(x1 ) ψa2(x2 ) · · · ψaN(xN )} , P

dove P `e l’operatore di permutazione delle coordinate delle particelle e dove la somma `e estesa a tutte le permutazioni possibili. NS `e poi una costante di normalizzazione da determinare in modo che | ΨS |2 = 1. Analogamente la soluzione antisimmetrica si ottiene mediante un’operazione detta di antisimmetrizzazione ΨA (a1 , a2 , . . . , aN ) = NA

(−1)P P {ψa1(x1 ) ψa2(x2 ) · · · ψaN(xN )} ,

(7.1)

P

dove il fattore di segno (−1)P vale ±1 a seconda che la permutazione considerata sia pari o dispari. Ad esempio, dalla funzione d’onda ψa (x1 )ψb (x2 )ψc (x3 ),

174

CAPITOLO 7

la quale rappresenta uno stato (del sistema complessivo) in cui la particella 1 occupa lo stato (di particella singola) a, la particella 2 lo stato b, e la particella 3 lo stato c, si ottiene la funzione d’onda antisimmetrica ΨA (a, b, c) = NA [ψa (x1 ) ψb (x2 ) ψc (x3 ) + ψa (x2 ) ψb (x3 ) ψc (x1 ) + ψa (x3 ) ψb (x1 ) ψc (x2 ) − ψa (x2 ) ψb (x1 ) ψc (x3 ) − ψa (x1 ) ψb (x3 ) ψc (x2 ) − ψa (x3 ) ψb (x2 ) ψc (x1 )] . Questa autofunzione descrive adesso uno stato (del sistema complessivo) in cui una particella (senza speciﬁcare quale) occupa lo stato (di particella singola) a, un’altra lo stato b e l’ultima lo stato c. Solo l’autofunzione antisimmetrizzata descrive uno stato ﬁsico (ovviamente se le particelle considerate sono fermioni), mentre l’autofunzione di partenza non descrive uno stato ﬁsico in quanto essa implica la distinguibilit` a delle particelle. L’operazione di antisimmetrizzazione si pu` o anche ottenere mediante la valutazione del determinante (detto determinante di Slater) di un’opportuna matrice ⎛ ⎞ ψa1(x1 ) ψa2(x1 ) · · · ψaN(x1 ) ⎜ ψ (x ) ψ (x ) · · · ψ (x ) ⎟ a2 2 aN 2 ⎟ ⎜ a 2 ΨA (a1 , a2 , . . . , aN ) = NA Det⎜ 1 ⎟ . ⎝ ··· ··· ··· ··· ⎠ ψa1(xN ) ψa2(xN ) · · · ψaN(xN ) Ricordando le regole dello sviluppo di un determinante, la propriet` a di antisimmetria della funzione d’onda rispetto allo scambio di due particelle risulta correlata al fatto che il determinante di una matrice cambia di segno se si scambiano fra loro due righe qualsiasi. Dalle medesime regole segue anche che, se si vuol ottenere una funzione d’onda non identicamente nulla, gli stati di particella singola a1 , a2 , . . . , aN , devono essere tutti distinti. In caso opposto si otterrebbe infatti una matrice avente due o pi` u colonne uguali e il relativo determinante risulterebbe nullo. Quanto abbiamo qui mostrato `e un’illustrazione del principio scoperto empiricamente da Pauli e che prende il nome di principio di esclusione o principio di Pauli: in un sistema composto da pi` u fermioni, ogni stato quantico pu` o essere occupato al pi` u da un fermione, ovvero, ogni fermione deve possedere un set di numeri quantici diverso dal set di qualsiasi altro fermione. Tale principio si pu` o anche enunciare facendo riferimento al cosiddetto concetto di numero di occupazione che `e, per deﬁnizione, il numero di particelle che condividono lo stesso stato quantico di particella singola. Nel caso dei fermioni, il numero di occupazione pu`o essere soltanto 0 oppure 1. Invece, nel caso dei bosoni, tale numero non `e soggetto ad alcuna limitazione. Osserviamo inﬁne che il fattore di normalizzazione introdotto nelle formule precedenti risulta (se le singole ψai (x) sono normalizzate)

` ELETTRONI DI VALENZA ATOMI CON PIU

NS = (N ! m1 ! m2 ! · · ·)−1/2

175

per il caso simmetrico , per il caso antisimmetrico ,

NA = (N !)−1/2

dove, nel caso dei bosoni, m1 , m2 , · · · , sono i numeri di occupazione degli stati occupati dalle particelle.

7.2 L’Hamiltoniana non relativistica: buoni numeri quantici Consideriamo un atomo (o ione) composto da N elettroni mobili intorno a un nucleo centrale avente numero di carica Z. Trascurando le correzioni relativistiche, l’Hamiltoniana totale del sistema di elettroni si scrive nella forma H=

2 N 2 Ze20 e0 pi − + , 2 m r r i i=1 i<j ij

(7.2)

dove ri `e il vettore posizione (riferito al nucleo) dell’elettrone i-esimo, pi `e l’impulso del medesimo elettrone e dove rij `e il modulo della distanza dell’elettrone i-esimo dall’elettrone j-esimo, ovvero rij = rji = |ri − rj | . Il primo termine dell’Hamiltoniana rappresenta il contributo dell’energia cinetica e dell’energia potenziale dei singoli elettroni nel campo del nucleo, mentre il secondo termine rappresenta l’energia dovuta alla repulsione Coulombiana degli elettroni. Allo scopo di risolvere l’equazione agli autovalori per l’Hamiltoniana H, `e opportuno determinare preliminarmente gli operatori che commutano con essa in modo da stabilire un set di numeri quantici che possono essere assegnati in spin tutta generalit` a agli stati atomici. Consideriamo anzitutto l’operatore S, totale, deﬁnito da = S

N

sk ,

k=1

dove sk `e lo spin dell’elettrone k-esimo. Poich´e abbiamo considerato l’Hamiltoniana in approssimazione non relativistica, essa non contiene alcun operatore di spin e si ha evidentemente [H , sk ] = 0 , da cui

176

CAPITOLO 7

]=0 . [H , S deﬁnito Per quanto riguarda l’operatore momento angolare orbitale totale, L, da N = L k , k=1

la situazione `e diversa in quanto il momento angolare orbitale della singola particella, k , non commuta con l’Hamiltoniana a causa della presenza del termine di interazione Coulombiana fra gli elettroni. Si ha infatti 1 [H , k ] = e20 , k . rij i<j Alla somma contribuiscono solo i termini nei quali uno dei due indici (i oppure j) `e uguale a k, per gli altri termini il commutatore essendo banalmente nullo. Si ha quindi 1 2 [H , k ] = e0 , k . rik i =k

Il commutatore pu` o essere valutato tenendo conto della deﬁnizione dell’operatore k (si veda l’Eq. (6.8)) e tenendo conto che, introdotto il simbolo grad(k) per denotare l’operatore gradiente rispetto alle coordinate del k-esimo elettrone, si ha grad(k)

1 1 ri − rk = = grad(k) . 3 rik |ri − rk | rik

Si ottiene quindi, con facili passaggi [H , k ] = i e20

rk × ri i =k

3 rik

.

Se per` o si somma su tutti gli elettroni, ovvero se si considera il commutatore dell’Hamiltoniana col momento angolare orbitale totale, si ottiene ] = i e20 [H , L

rk × ri k

i =k

3 rik

=0 ,

in quanto nella somma compaiono coppie di prodotti vettoriali (rk ×ri e ri ×rk ) che si annullano. che con L, deﬁnito l’operatore Visto che l’Hamiltoniana commuta sia con S momento angolare totale J nella forma

` ELETTRONI DI VALENZA ATOMI CON PIU

J =

177

N +S , k + sk = L k=1

si ha ovviamente [H , J ] = 0 . Inﬁne, un ultimo operatore che commuta con l’Hamiltoniana `e l’operatore parit` a, P, che eﬀettua l’inversione di tutte le coordinate degli elettroni rispetto all’origine. Dato che l’Hamiltoniana `e funzione soltanto delle distanze degli elettroni dal nucleo, ri , e delle distanze reciproche degli elettroni, rij , essa non cambia a seguito di tale inversione e si ha quindi [H , P ] = 0 . Poich´e l’operatore parit` a ha per quadrato l’identit` a i suoi autovalori possono essere soltanto 1 oppure −1. Gli stati del primo tipo sono detti “pari” (even); quelli del secondo tipo “dispari” (odd )1 . Riassumendo, abbiamo visto come l’Hamiltoniana H commuti con un certo numero di operatori. Conseguentemente, agli autovalori di H, ovvero agli stati atomici, possono essere assegnati i corrispondenti numeri quantici. La convenzione standard utilizzata in spettroscopia `e quella di individuare gli stati atomici con i simboli S, P , D, etc., a seconda che il numero quantico L sia 0, 1, 2, e cos`ı via. L `e il numero quantico connesso all’operatore momento angolare nel senso che l’autovalore dell’operatore L2 vale L(L + 1). La orbitale totale L, corrispondenza fra lettere e numeri `e la stessa di quella gi`a menzionata per il caso del momento angolare di particella singola, ovvero valori di L 0 denominazione S

1 P

2 D

3 F

4 5 G H

6 I

7 K

8 L

9 M

10 11 12 · · · . N O Q ···

Per lo spin si usa la convenzione di porre come apice, a sinistra della lettera corrispondente a L, il valore (2S + 1), pari alla molteplicit` a dovuta allo spin; S `e il numero quantico connesso allo spin totale, nel senso che l’autovalore dell’operatore S 2 vale S(S + 1). Si hanno cos`ı, per S = 0, gli stati 1S, 1P , 1D, etc., per S = 1/2, gli stati 2S, 2P , 2D, e cos`ı via. Tali simboli si leggono rispettivamente “singoletto esse”, “singoletto pi”, “singoletto di”, “doppietto esse”, “doppietto pi”, “doppietto di”, e si continua con i “tripletti”, i “quartetti”, i “quintetti”, etc.. A destra della lettera corrispondente a L si pone poi, come indice, il valore di J, dove, al solito, J `e il numero quantico che corrisponde 1

Per le autofunzioni di particella singola la parit` a` e data da (−1)l dove l ` e il numero quantico azimutale. Questa propriet` a ` e contenuta nell’Eq. (6.11). L’operatore parit` a corrisponde infatti alla trasformazione θ → π − θ, φ → φ + π.

178

CAPITOLO 7

al momento angolare totale nel senso che l’autovalore dell’operatore J 2 vale J(J + 1). Inﬁne, per quanto riguarda l’operatore parit` a, si contrassegnano gli stati dispari (aventi autovalore −1) con una lettera “o” minuscola (che sta per “odd ”) posta come apice a destra della lettera corrispondente a L. La denomio nazione completa di uno stato atomico pu`o quindi risultare, ad esempio, 6F3/2 , 3 che si legge “sestetto eﬀe tre mezzi dispari”, oppure D3 , che si legge “tripletto di tre (pari)”. Questa maniera di contrassegnare gli stati energetici `e diretta conseguenza della propriet` a di commutazione dell’Hamiltoniana H con gli operatori L 2 , S 2 , 2 J , e P. Tale Hamiltoniana non `e tuttavia completa in quanto abbiamo totalmente trascurato le correzioni relativistiche. Come vedremo in seguito, l’introduzione delle correzioni relativistiche fa s`ı che L e S cessino di essere buoni numeri quantici e provoca la necessit` a di introdurre degli schemi di accoppiamento approssimati (accoppiamento L-S, accoppiamento j-j, accoppiamento intermedio). Tali argomenti saranno trattati nel Cap. 9.

7.3 L’approssimazione del campo centrale L’analisi degli spettri degli atomi complessi si basa sull’introduzione di un potenziale centrale nel quale, in prima approssimazione, si pu`o pensare che ciascun elettrone si muova per eﬀetto delle interazioni elettrostatiche dovute al nucleo e a tutti gli altri elettroni. Questa approssimazione prende il nome di “approssimazione del campo centrale”. Formalmente, l’approssimazione consiste nel separare l’Hamiltoniana H dell’Eq. (7.2) in due termini: un termine di ordine zero, H0 , che deﬁnisce le energie e le autofunzioni di base, e un termine di perturbazione, H1 , da trattare nello spirito della teoria delle perturbazioni. In formule, si pone H = H0 + H1 , dove

H1 =

N 2 pi + Vc (ri ) , H0 = 2m i=1

(7.3)

2 N e0 Ze20 −Vc (ri ) − + . r r i i=1 i<j ij

(7.4)

La quantit` a Vc (r) qui introdotta rappresenta l’energia dell’elettrone nel potenziale centrale di cui sopra. Quanto pi` u la funzione Vc (r) `e ben scelta, tanto pi` u `e veriﬁcata la diseguaglianza

` ELETTRONI DI VALENZA ATOMI CON PIU

179

H1 H0 , e tanto pi` u `e quindi giustiﬁcato applicare la teoria delle perturbazioni al primo ordine. La determinazione della funzione Vc (r) costituisce un problema matematico di notevole complessit`a che pu` o essere risolto solo attraverso metodi numerici approssimati. Due di questi metodi, ovvero il metodo statistico di ThomasFermi, e il metodo variazionale, perfezionato in seguito nel metodo autoconsistente di Hartree-Fock, sono descritti nei paragraﬁ seguenti. A priori, `e solo possibile stabilire quali debbano essere le condizioni al contorno per Vc (r). Se infatti si pone Z(r) e20 , r dobbiamo attenderci che la Z(r) si comporti asintoticamente nella forma Vc (r) = −

lim Z(r) = Z ,

r→0

lim Z(r) = Zr ,

r→∞

dove Zr `e il numero di carica residua introdotto nell’Eq. (6.22) (Zr = 1 per ` importante sottolineare atomi neutri, 2 per atomi una volta ionizzati, etc.). E che gran parte delle considerazioni che svolgeremo in seguito risultano praticamente indipendenti dalla forma esplicita del campo centrale. La conoscenza dettagliata della funzione Vc (r) `e necessaria solo quando si vogliano stabilire gli aspetti pi` u propriamente quantitativi degli spettri atomici.

7.4 Il metodo di Thomas-Fermi Il primo metodo sviluppato per determinare il potenziale centrale di un atomo complesso `e il cosiddetto metodo statistico di Thomas-Fermi. Trattandosi di un metodo statistico esso risulta tanto pi` u appropriato quanto pi` u alto `e il numero di elettroni, e quindi quanto pi` u `e elevato il numero di carica Z del nucleo. Si consideri un atomo neutro composto da un nucleo avente numero di carica Z e da Z elettroni. Si supponga inoltre che gli elettroni abbiano una distribuzione spaziale a simmetria sferica e si indichi con n(r) il numero di elettroni per unit` a di volume. Il potenziale elettrostatico dovuto al nucleo centrale e alla nuvola elettronica `e anch’esso a simmetria sferica e obbedisce all’equazione di Poisson (3.4) ∇2 φ(r) = 4π e0 n(r) , con le condizioni al contorno

(7.5)

180

CAPITOLO 7

φ(r) =

Ze0 , r

r φ(r) = 0 ,

per r → 0 , per r → ∞ .

(7.6)

Consideriamo adesso gli elettroni che si trovano in un elemento di volume dV a distanza r dal nucleo. All’elettrone avente impulso p compete l’energia totale, Et , data da Et =

p2 − e0 φ(r) , 2m

e, aﬃnch´e tale elettrone risulti legato all’atomo, bisogna che tale quantit`a sia negativa, il che implica che l’impulso deve essere in modulo inferiore al valore pmax dato da pmax =

# 2 m e0 φ(r) .

Ammettendo che gli elettroni siano il pi` u possibile impacchettati, senza violare tuttavia il principio di esclusione di Pauli, possiamo pensare che essi occupino tutti gli stati a loro disposizione con impulso minore di pmax . Il numero di elettroni dN che occupano l’elemento di volume dV e che hanno impulso compreso fra 0 e pmax si pu` o valutare calcolando l’estensione dello spazio delle fasi a loro disposizione e dividendo tale espressione per h3 , dove h `e la costante di Planck. Tenendo conto anche dello spin (che contribuisce a moltiplicare per un fattore 2 il volume dello spazio delle fasi), si ottiene dN =

8π 3 p dV . 3 h3 max

Sostituendo il valore di pmax trovato precedentemente, si giunge alla seguente relazione che collega n(r) con φ(r) n(r) =

dN 1 [2 m e0 φ(r)]3/2 . = dV 3π 2 h ¯3

Se adesso sostituiamo questa espressione nell’Eq. (7.5), otteniamo l’equazione diﬀerenziale per il potenziale φ(r) ∇2 φ(r) = C [φ(r)]3/2 , dove

√ 5/2 8 2 e0 m3/2 C= . 3π h ¯3

Questa equazione pu`o essere trasformata in un’equazione adimensionale ponendo

` ELETTRONI DI VALENZA ATOMI CON PIU

φ(r) =

181

Ze0 χ(r) , r

dove χ(r) `e una nuova funzione che, per le condizioni al contorno (7.6), deve soddisfare le condizioni χ(0) = 1 e χ(r → ∞) = 0. Ricordando l’espressione dell’operatore Laplaciano in coordinate sferiche (Eq. (6.7)) si ottiene r1/2

d2 χ(r) = C [χ(r)]3/2 , dr2

dove C = C (Ze0 )

1/2

√ 8 2 Z 1/2 e30 m3/2 = . 3π h ¯3

Inﬁne, ponendo r = b x, con x adimensionale, determiniamo la costante b in modo da rendere l’equazione diﬀerenziale il pi` u semplice possibile. Questo si ottiene per b = C −2/3 , ovvero 2/3 1 3π b= Z −1/3 a0 = 0.885341 Z −1/3 a0 , 2 4 dove a0 `e il raggio della prima orbita di Bohr. Con queste posizioni si ottiene per χ(x) l’equazione diﬀerenziale (detta equazione di Thomas-Fermi) x1/2

d2 χ = χ3/2 . dx2

Questa equazione diﬀerenziale si pu`o risolvere numericamente partendo da x = 0, dove χ(0) = 1, assegnando un valore di prova alla derivata χ (0) e procedendo poi per x crescenti. Il valore che porta alla corretta condizione al contorno all’inﬁnito (χ(∞) = 0) `e χ (0) = −1.588558 , e la soluzione corrispondente `e mostrata nel graﬁco della Fig. 7.1. La soluzione dell’equazione di Thomas-Fermi si presta alla determinazione dell’energia totale di ionizzazione di un atomo neutro, ovvero all’energia necessaria per rimuovere tutti gli elettroni e portarli a distanza inﬁnita dal nucleo. Il metodo `e quello di calcolare l’energia elettrostatica dovuta alla distribuzione totale di carica Eelett e di applicare il teorema del viriale per asserire che l’energia di legame dell’atomo `e pari a met` a dell’energia elettrostatica stessa. Indicando con Elegame tale energia (misurata in valore assoluto) si ha Elegame = − 12 Eelett , ovvero

182

CAPITOLO 7

Fig. 7.1. Soluzione dell’equazione di Thomas-Fermi.

Elegame =

1 4

Z

e20

∞

0

1 4π r2 n(r) dr + e0 r

∞

2

φ(r) 4π r n(r) dr

,

0

dove il primo integrale a secondo membro rappresenta l’energia elettrostatica dovuta all’interazione della nuvola elettronica col nucleo, mentre il secondo integrale rappresenta quella dovuta all’interazione mutua della nuvola elettronica. Sostituendo le espressioni per φ(r) e per n(r) e introducendo la variabile x, si ottiene, per mezzo di alcuni passaggi algebrici Elegame =

4 3π

2/3

e20 7/3 Z 2 a0

0

∞

(1 + χ) χ3/2 dx . x1/2

Tenendo conto dell’equazione diﬀerenziale di Thomas-Fermi, l’integrale pu` o esser valutato per mezzo di integrazioni per parti (si veda l’Eq. (A7.4)). Esso vale − 12 7 χ (0), per cui, ricordando il valore di χ (0)

Elegame = −

12 7

4 3π

2/3 e2 e2 χ (0) Z 7/3 0 = 1.53796 Z 7/3 0 = 20.9 Z 7/3 eV . 2 a0 2 a0

L’andamento con la potenza 7/3 di Z `e ben veriﬁcato dai dati spettroscopici. Per i primi elementi del sistema periodico si trova tuttavia che i dati sono meglio rappresentati da un coeﬃciente numerico dell’ordine di 16 invece di 20.9.

` ELETTRONI DI VALENZA ATOMI CON PIU

183

Questa discrepanza non `e sorprendente se si ricorda che il metodo statistico di Thomas-Fermi `e soprattutto appropriato per trattare atomi con Z elevato. ` necessario inﬁne sottolineare che il metodo statistico di Thomas-Fermi forE nisce il valore per il potenziale φ(r) dovuto al nucleo e a tutti gli elettroni piuttosto che l’energia potenziale Vc (r) da introdurre nell’approssimazione del potenziale centrale. Quest’ultima quantit` a `e in eﬀetti l’energia potenziale nel quale si muove l’elettrone nel campo creato dal nucleo e da tutti gli altri elettroni (lui escluso, naturalmente). La questione della connessione fra φ(r) e Vc (r) pu` o essere risolta solo in modo approssimato. Nei loro lavori, Fermi e collaboratori hanno spesso utilizzato per Vc (r) la seguente espressione Vc (r) = −

e20 (Z − 1) e20 − χ(r/b) . r r

7.5 Il metodo variazionale e il metodo di Hartree-Fock Il metodo variazionale `e principalmente utilizzato per determinare, spesso in maniera approssimata, l’autovalore e l’autofunzione del livello fondamentale di un sistema atomico. Tuttavia esso pu` o essere opportunamente generalizzato per estendere tali calcoli anche ai livelli eccitati. L’idea che sta alla base del metodo `e la seguente: consideriamo un sistema atomico descritto dall’Hamiltoniana H e siano |n i suoi autostati ed En i corrispondenti autovalori. Ricordando che l’insieme degli autovettori |n costituisce una base ortogonale e completa, se |ψ `e l’autofunzione normalizzata che descrive uno stato ﬁsico arbitrario del sistema, essa pu` o essere sviluppata nella forma |ψ =

cn |n

.

n

Il valore di aspettazione dell’Hamiltoniana su tale stato `e quindi dato da H = ψ| H |ψ =

| cn |2 En .

n

Se indichiamo con E0 il minimo degli autovalori En , essendo En ≥ E0 , si ha H ≥ E0

| cn |2 = E0 .

n

Il metodo variazionale consiste nel calcolare il valore di aspettazione H usando delle funzioni d’onda di prova dipendenti da un certo numero di parametri e nel variare poi tali parametri ﬁno a trovare il valore minimo, H min .

184

CAPITOLO 7

Il valore cos`ı trovato rappresenta un valore per eccesso dell’energia dello stato fondamentale del sistema, E0 , e risulta tanto pi` u vicino al valore vero quanto migliore `e la scelta delle funzioni d’onda di prova e dei parametri che le descrivono. Analogamente, la funzione d’onda che corrisponde ai valori dei parametri che minimizzano H rappresenta una funzione d’onda approssimata per lo stato fondamentale del sistema. Applichiamo il metodo variazionale al calcolo dell’energia dello stato fondamentale dell’Elio e degli ioni appartenenti alla sua sequenza isoelettronica (H− , He, Li+ , Be++ , etc.)2 . L’Hamiltoniana di tali sistemi `e H=

p2 Ze20 Ze20 e2 p21 + 2 − − + 0 , 2m 2m r1 r2 r12

(7.7)

dove Z = 1 per lo ione di Idrogeno negativo H− , Z = 2 per l’Elio, Z = 3 per il Li+ , e cos`ı via. Come funzione di prova assumiamo il prodotto di due autofunzioni (una per ciascun elettrone), entrambe relative allo stato fondamentale dell’atomo idrogenoide corrispondente al numero di carica z, dove z `e il parametro da variare. Poich´e ciascuno dei due elettroni contribuisce a schermare parzialmente la carica del nucleo, dobbiamo attenderci che z < Z. Ricordando le Eq. (6.19) e (6.13), poniamo ψ(r1 , r2 ; z) =

z 3 −z (r1 +r2 )/a0 e . π a30

(7.8)

Osserviamo per inciso che questa funzione `e simmetrica nello scambio dei due elettroni e che sembra quindi violare il principio di esclusione. Eﬀettivamente, come vedremo meglio in seguito, il suo corretto carattere di simmetria si ottiene moltiplicandola per una funzione di spin antisimmetrica. Poich´e per` o lo spin non interviene nel problema che stiamo trattando, possiamo disinteressarci di questa complicazione. Introdotta la funzione di prova, dobbiamo calcolare i valori di aspettazione dell’Hamiltoniana (7.7) su tale funzione. Ricordando l’espressione dell’operatore Laplaciano in coordinate sferiche (Eq. (6.7)), questo conduce al calcolo di integrali della forma ∞ 1 d 2 d −z r/a0 I1 = r e e−z r/a0 r2 dr , r2 dr dr 0 ∞ 1 I2 = e−z r/a0 e−z r/a0 r2 dr , r 0 1 −z (r1 +r2 )/a0 I3 = d3r1 d3r2 e−z (r1 +r2 )/a0 e . r12 2

H− ` e lo ione Idrogeno negativo, ovvero ` e un atomo di Idrogeno con un elettrone supplementare. Tale ione `e stabile e costituisce una causa di opacit` a importante nelle atmosfere stellari (si veda il Par. 14.6).

` ELETTRONI DI VALENZA ATOMI CON PIU

185

I primi due integrali si calcolano facilmente e danno per risultato a0 , 4z

I1 = −

I2 =

a20 . 4 z2

Il calcolo del terzo integrale `e pi` u complesso e comporta l’utilizzazione di un’espressione che ci risulter`a necessaria anche in seguito (si veda il Par. 8.4). Indicando con Θ l’angolo formato fra i vettori r1 e r2 , per il teorema di Carnot si ha 1 1 =# 2 , r12 r1 − 2 r1 r2 cosΘ + r22 e, indicando con r> e r< , rispettivamente, la maggiore e la minore delle due distanze r1 e r2 , 1 = r12

1

$ r>

2 . r r< 1 − 2 r< cosΘ + r> >

Se si tiene adesso presente la formula che deﬁnisce la funzione generatrice delle funzioni di Legendre ∞ 1 # = Pn (μ) xn 1 − 2μx + x2 n=0

(|x| ≤ 1) ,

si ottiene l’espressione ∞ n r< 1 = Pn (cos Θ) . n+1 r12 r n=0 >

(7.9)

Sostituendo questa espressione nell’integrale, ed eseguendo l’integrazione sugli angoli polari dei due elettroni, si vede facilmente, per le propriet`a delle funzioni di Legendre, che contribuisce all’integrale il solo termine con n = 0. Si ottiene quindi3 ∞ ∞ 1 −2z (r1 +r2 )/a0 2 2 I3 = 16π 2 dr1 dr2 e r1 r2 , r> 0 0 ed eseguendo l’integrale con metodi elementari si ottiene I3 = 3

5π 2 a50 . 8 z5

Nel caso che stiamo considerando, in cui le funzioni d’onda degli elettroni sono a simmetria sferica, questa espressione per l’integrale I3 si pu` o anche ottenere, pi` u direttamente, attraverso semplici considerazioni basate sul teorema di Gauss.

186 Ione Valori calcolati (eV) Valori osservati (eV) Errore (%)

CAPITOLO 7

H−

He

Li+

Be++

B3+

C4+

N5+

O6+

−0.74 0.75 –

23.1 24.6 6.1

74.0 75.6 2.1

152.2 153.8 1.0

257.6 259.3 0.7

390.2 392.0 0.5

550.0 551.9 0.3

736.9 739.1 0.3

Tab. 7.1. Potenziale di ionizzazione dell’atomo di Elio e della sua sequenza isoelettronica.

Inﬁne, sostituendo i valori trovati per gli integrali, si ottiene il valore di aspettazione dell’Hamiltoniana sulle funzioni di prova H =

e20 2 (z − 2 Zz + a0

5 8

z) .

Il primo termine in parentesi `e il contributo dell’energia cinetica, il secondo quello dell’interazione Coulombiana degli elettroni col nucleo, e il terzo quello dell’interazione Coulombiana fra i due elettroni. Nello spirito del metodo delle variazioni dobbiamo cercare il valore di z che minimizza H . Tale valore `e presto trovato uguagliando a zero la derivata di H rispetto a z. Il minimo si trova per z=Z−

5 16

,

e si ottiene H

min

=−

e20 Z− a0

5 2 16

.

5 La corrispondente autofunzione `e data dall’Eq. (7.8) con z sostituito da (Z− 16 ). Il risultato ora ottenuto permette di determinare il potenziale di ionizzazione dell’atomo di Elio (e della sua sequenza isoelettronica). Tale potenziale `e infatti dato dall’equazione

I+ H

min

=−

e20 2 Z , 2 a0

dove il secondo membro rappresenta l’energia dell’elettrone nello stato fondamentale dello ione risultante dalla ionizzazione. Sostituendo il valore di H min si ottiene I=

e20 2 5 Z − 4Z + 2 a0

25 128

.

Il confronto con i dati spettroscopici `e riportato nella Tab. 7.1. La tabella mostra che, astraendo dallo ione H− , per il quale il calcolo fornisce un valore negativo dell’energia di legame, i risultati del calcolo variazionale (ottenuti con una funzione di prova contenente un solo parametro libero) sono

` ELETTRONI DI VALENZA ATOMI CON PIU

187

relativamente accurati, soprattutto all’aumentare di Z. Ovviamente si possono ottenere risultati migliori introducendo funzioni di prova pi` u soﬁsticate. Con tali funzioni si trova, ad esempio, che lo ione H− `e eﬀettivamente stabile (si veda il Par. 14.6). Una volta ottenuta la funzione d’onda dello stato fondamentale, il calcolo variazionale pu` o essere esteso alla determinazione dei livelli energetici aventi energia maggiore. Ad esempio, per ottenere l’energia del primo livello eccitato, `e suﬃciente calcolare il valore di aspettazione dell’Hamiltoniana su stati descritti da funzioni di prova (dipendenti da uno o pi` u parametri) ortogonali rispetto alla funzione d’onda del livello fondamentale. Il minimo del valore di aspettazione ottenuto al variare dei parametri fornisce un limite superiore per l’energia del primo livello eccitato. Il metodo variazionale, che abbiamo qui illustrato con un semplice modello per l’atomo a due elettroni, `e anche utilizzato per trovare i livelli energetici di atomi complessi costituiti da un numero elevato di elettroni. In prima approssimazione tali atomi vengono descritti dall’Hamiltoniana non relativistica dell’Eq. (7.2). Per tali atomi si adotta una funzione d’onda di prova, Ψ, contenente un certo numero di parametri liberi e si calcola il valore di aspettazione dell’Hamiltoniana su tale funzione d’onda H = Ψ|H|Ψ

.

I parametri vengono poi variati ﬁno ad ottenere il minimo per H . Le prime applicazioni numeriche di questo tipo si ebbero agli inizi degli anni 1930 ad opera soprattutto di Hartree. In questi primi lavori, la funzione di prova `e data semplicemente dal prodotto di N funzioni d’onda di particella singola, senza nessun tentativo di antisimmetrizzazione. Le funzioni d’onda di particella singola sono inoltre scelte in maniera tale da essere ortogonali fra loro e normalizzate. Una volta determinate le “migliori” funzioni d’onda col metodo variazionale si procede poi a trovare la densit`a di carica (calcolata sommando i moduli quadri delle funzioni d’onda di particella singola) e a risolvere l’equazione di Poisson (3.4) per determinare il potenziale φ(r). Dal potenziale φ(r) si passa poi all’energia potenziale Vc (r) attraverso delle espressioni approssimate simili a quelle viste nel paragrafo precedente e si risolve l’equazione di Schr¨ odinger stazionaria per trovare delle nuove funzioni d’onda di particella singola. Tali funzioni d’onda vengono di nuovo parametrizzate e si ripete il procedimento ﬁno a trovare una soluzione autoconsistente del problema. I lavori di Hartree sono stati successivamente generalizzati da parte di diversi autori (fra cui in particolare Fock) per tener conto dell’indistinguibilit` a delle particelle. Il risultato `e una teoria complessa che `e oggi nota col nome di teoria di Hartree-Fock. La teoria spiega in maniera quantitativa la struttura dei livelli energetici degli atomi pi` u semplici e costituisce in ogni caso il punto di partenza per sviluppare interpretazioni pi` u soﬁsticate basate, in generale, sulla teoria delle perturbazioni.

188

CAPITOLO 7

7.6 Conﬁgurazioni L’Hamiltoniana di ordine zero, H0 , che abbiamo introdotto nell’approssimazione del campo centrale, `e costituita dalla somma di N Hamiltoniane formalmente uguali e indipendenti fra loro (si veda l’Eq. (7.3)). Per trovare i suoi autovalori e autovettori `e suﬃciente risolvere l’equazione di Schr¨ odinger per l’Hamiltoniana di particella singola. Tenendo conto anche dello spin, la soluzione di tale equazione risulta caratterizzata da quattro numeri quantici n, l, m, e ms , ovvero ψnlmms =

1 Pnl (r) Ylm (θ, φ) χms , r

(7.10)

o assudove Ylm (θ, φ) `e l’armonica sferica, χms `e l’autofunzione di spin che pu` mere una delle due espressioni 0 1 , , oppure 1 0 a seconda che la proiezione dello spin lungo l’asse di quantizzazione sia 12 oppure − 12 , rispettivamente, e dove Pnl (r) `e la soluzione dell’equazione di Schr¨odinger radiale h ¯ 2 d2 h ¯ 2 l(l + 1) Pnl (r) = W0 (n, l)Pnl (r) , − Pnl (r) + Vc (r) + 2 m dr2 2 m r2

(7.11)

Vc (r) essendo il potenziale centrale e W0 (n, l) l’autovalore dell’energia, che dipende soltanto dai due numeri quantici n e l. I quattro numeri quantici n, l, m, e ms obbediscono alle solite restrizioni viste a proposito degli atomi idrogenoidi e dei metalli alcalini, ovvero n≥l+1 ,

|m| ≤ l ,

ms = ± 12 .

A proposito della prima diseguaglianza bisogna dire che, per un potenziale Vc (r) arbitrario, il signiﬁcato del numero quantico principale n `e connesso al numero dei nodi (senza contare l’origine) della funzione d’onda radiale. Tale numero `e infatti dato da (n − l − 1). Con le autofunzioni di particella singola possiamo costruire le autofunzioni dell’Hamiltoniana H0 . Esse saranno caratterizzate da N set di numeri quantici a1 , a2 , . . . , aN , ciascun set ai essendo costituito dalla quaterna di numeri quantici (ni , li , mi , msi ). A tale autofunzione compete l’autovalore W0 =

i

W0 (ni , li ) ,

(7.12)

` ELETTRONI DI VALENZA ATOMI CON PIU

189

che dipende soltanto dai numeri quantici n e l, ma non dipende da m e ms . La conseguenza di questo fatto `e che esistono in generale diverse autofunzioni distinte che corrispondono al medesimo autovalore dell’Hamiltoniana H0 . Gli stati ﬁsici corrispondenti formano, nel loro insieme, una cosiddetta conﬁgurazione che pu`o essere speciﬁcata assegnando il numero di elettroni contraddistinti dalla coppia di numeri quantici n e l, ovvero, pi` u sinteticamente, il numero di elettroni che occupano l’orbitale (nl). Nelle notazioni tipiche della spettroscopia una conﬁgurazione si designa brevemente con la scrittura n1 l1q1 n2 l2q2 . . . nk lkqk ,

& dove qi `e il numero di elettroni che occupano l’orbitale (ni li ), con i qi = N . Ad esempio, una possibile conﬁgurazione di un atomo con 5 elettroni `e la seguente 1s2 2s2 2p , nella quale, come `e consuetudine, si `e omesso l’esponente 1 all’orbitale 2p. I set completi di numeri quantici, ai , non possono tuttavia essere arbitrari. Infatti, a causa del principio di esclusione di Pauli, il set ai deve diﬀerire dal set aj (con i = j) per almeno uno dei numeri quantici n, l, m, ms . Questo fa s`ı che esistano delle restrizioni sul numero di elettroni che possono occupare un determinato orbitale. Dalle disuguaglianze scritte sopra si ha infatti che in un orbitale l si possono trovare al massimo Ql elettroni, dove Ql = 2 (2l + 1) . Cos`ı, ad esempio, in un orbitale s si possono trovare al massimo due elettroni, in un orbitale p sei elettroni, in un orbitale d dieci elettroni, e cos`ı via, dimodoch´e un’ipotetica conﬁgurazione quale 1s3 2s2 non rappresenta alcuno stato ﬁsico (in quanto viola il principio di esclusione di Pauli). Un importante concetto riguardo alle conﬁgurazioni `e quello di parit` a, concetto che avevamo gi`a incontrato parlando delle autofunzioni di particella singola. Per l’autofunzione di particella singola, la parit`a `e data da (−1)l , dove l `e il numero quantico azimutale. Tale concetto si generalizza in maniera molto semplice alle conﬁgurazioni. La parit` a di una conﬁgurazione `e infatti data da & P = (−1) i li , e rappresenta il fattore per il quale viene moltiplicata la funzione d’onda di un qualsiasi stato appartenente alla conﬁgurazione per inversione delle coordinate degli elettroni rispetto all’origine. Le conﬁgurazioni si distinguono in conﬁgurazioni pari oppure dispari. Ad esempio, la conﬁgurazione 1s2 2s2 2p2 `e una conﬁgurazione pari (P = 1), mentre la conﬁgurazione 1s2 2s 2p3 `e una conﬁgurazione dispari (P = −1).

190

CAPITOLO 7

Un altro importante concetto `e quello di degenerazione. Assegnata una conﬁgurazione, ci possiamo chiedere quale sia il numero di stati quantici distinti a essa corrispondenti. Per trovare tale numero si pu` o ragionare nel modo seguente. Assegnato l’orbitale (nl), ovvero, come si usa dire, assegnata una sottozona (appartenente alla zona n), sia qnl il numero di elettroni in essa presenti. A ciascuno di tali elettroni pu`o essere assegnata una qualsiasi coppia di numeri quantici (m, ms ), in maniera per`o che ciascuna coppia diﬀerisca dalle altre per almeno uno dei due numeri quantici. Poich`e le coppie distinte sono in numero Ql , il numero di possibilit` a `e dato dalle combinazioni semplici di qnl oggetti della classe Ql . Per la degenerazione si ha quindi - Ql g= , qnl nl

dove il prodotto `e steso a tutti i valori possibili dei numeri quantici n e l e dove abbiamo introdotto il simbolo di coeﬃciente binomiale deﬁnito da n! n = (0 ≤ m ≤ n) . m m! (n − m)! A proposito di questa formula giova osservare che, essendo n n =1 , =1 , 0 n `e inutile considerare esplicitamente i contributi provenienti sia dalle cosiddette sottozone chiuse (quelle con qnl = Ql ) che dalle cosiddette sottozone vuote (quelle con qnl = 0). Ad esempio, per la conﬁgurazione 1s2 2s2 2p4 , si pu` o valutare la degenerazione tenendo conto soltanto della sottozona aperta 2p, e si ottiene 6 = 15 . g= 4 Inoltre, dalla propriet` a dei coeﬃcienti binomiali n n , = n−m m segue una regola di simmetria secondo la quale, ad esempio, la degenerazione della conﬁgurazione nd4 `e uguale a quella della conﬁgurazione nd6 , etc.. Inﬁne si pu` o osservare che la degenerazione di una conﬁgurazione dipende criticamente dal fatto che gli elettroni siano “equivalenti” oppure “non equivalenti”, ovvero che essi abbiano, a parit` a di l, valori uguali oppure diversi di

` ELETTRONI DI VALENZA ATOMI CON PIU

191

n. Ad esempio, consideriamo la conﬁgurazione 1s2 2s2 2p 3p 4p. Per tale conﬁgurazione, la degenerazione (dovuta ai tre elettroni p non equivalenti) `e data da 6 6 6 = 216 . · · g= 1 1 1 Invece, per la conﬁgurazione 1s2 2s2 2p2 3p, in cui si hanno due elettroni p equivalenti e uno non equivalente, si ha 6 6 = 90 , · g= 1 2 mentre per la conﬁgurazione 1s2 2s2 2p3 , con tre elettroni p equivalenti la degenerazione vale 6 = 20 . g= 3 Come si vede, la degenerazione diminuisce rapidamente all’aumentare del numero di elettroni equivalenti, un’ovvia conseguenza del principio di esclusione di Pauli.

7.7 Il principio di formazione del sistema periodico Il principio di esclusione di Pauli e l’approssimazione del campo centrale sono alla base del cosiddetto principio di formazione, col quale si riescono a comprendere, anche se non sempre in maniera quantitativa, le propriet` a fondamentali del sistema periodico degli elementi. Il principio consiste nel procedere a un’immaginaria “costruzione” degli atomi, considerati sempre nel loro stato fondamentale, partendo dall’atomo di Idrogeno e aggiungendo, volta per volta, un elettrone e una carica positiva al nucleo. Come sappiamo, l’atomo di Idrogeno nel suo stato fondamentale ha un solo elettrone nella sottozona 1s. Aggiungendo un elettrone e una carica positiva al nucleo, si ottiene l’atomo di Elio, nel quale i due elettroni possono entrambi “coabitare” nella sottozona 1s; ovviamente, lo stato 1s dell’atomo di Elio `e diverso dallo stato 1s dell’atomo di Idrogeno, dato che il potenziale centrale (approssimato) nel quale si muovono gli elettroni dell’Elio `e diverso dal potenziale puramente Coulombiano dell’atomo di Idrogeno. La conﬁgurazione che compete allo stato fondamentale dell’Elio, la cosiddetta conﬁgurazione normale, `e quindi 1s2 . Con l’atomo di Elio si chiudono sia la sottozona che la zona (che in questo caso coincidono, essendo n = 1). Le zone vengono comunemente disegnate con lettere maiuscole dell’alfabeto, a partire dalla lettera K e procedendo

192

CAPITOLO 7

in ordine alfabetico, secondo la convenzione dello schema seguente n 1 denominazione K

2 3 L M

4 5 6 N O P

7 Q

... . ...

Con l’atomo di Elio si chiude quindi la zona K. Passando all’atomo successivo, ovvero al Litio, l’elettrone “aggiunto”, deve andare a occupare uno stato della zona L. In questa zona si hanno sia orbitali s che orbitali p, ma ai primi compete energia minore perch´e le orbite sono pi` u penetranti (si ricordi la discussione del Par. 6.5 a proposito dei metalli alcalini). L’elettrone si dispone quindi nella sottozona 2s, e la sua autofunzione radiale `e molto pi` u “espansa” dell’autofunzione radiale dei due elettroni interni che occupano la zona K. Se si ricordano infatti i risultati dell’atomo idrogenoide, il valor medio della distanza radiale r relativo a uno stato 2s `e 4 volte pi` u grande del corrispondente valore per uno stato 1s, e, in questo caso, il rapporto risulta ancora maggiore perch´e gli elettroni interni risentono di una carica eﬃcace pi` u elevata (una stima basata sulle considerazioni svolte nel 5 Par. 7.5 porta un ulteriore fattore 3 − 16 2.7, col che il rapporto assume un valore dell’ordine di 11). La conseguenza di questo fatto `e che il Litio presenta un elettrone pi` u debolmente legato degli altri, con un potenziale di ionizzazione di 5.4 eV (da confrontare col valore di 13.6 eV per l’Idrogeno e di 24.5 per l’Elio). Siccome le propriet` a chimiche degli elementi dipendono soltanto dagli elettroni periferici (elettroni di valenza od ottici), si comprende facilmente la ragione per cui il Litio `e un elemento chimicamente attivo con tendenza a cedere facilmente un elettrone (elemento monovalente). L’atomo successivo `e il Berillio, con conﬁgurazione normale 1s2 2s2 , al quale segue il Boro con conﬁgurazione normale 1s2 2s2 2p. Il Boro d` a inizio a un “periodo” di 6 elementi nel quale si riempie in maniera sempre pi` u completa la sottozona 2p. Si hanno cos`ı gli atomi di Carbonio, Azoto, Ossigeno, Fluoro e Neon. Col Neon, la cui conﬁgurazione normale `e 1s2 2s2 2p6 , si chiude sia la sottozona 2p che la zona L. Gli elementi con i quali si arriva a completare la sottozona p mostrano, dal punto di vista chimico, scarsissima tendenza a combinare con altri elementi. Essi sono detti gas nobili o gas inerti, e, dal punto di vista ﬁsico, sono caratterizzati da elevati potenziali di ionizzazione. La stabilit` a chimica `e dovuta al fatto che una sottozona chiusa comporta una “nuvola” di carica elettronica caratterizzata da un’esatta simmetria sferica, conseguenza di una propriet` a delle armoniche sferiche l m=−l

2

|Ylm (θ, φ)| =

2l +1 , 4π

(indipendente da θ e φ) .

Inoltre, gli elettroni appartenenti a una sottozona p chiusa sono diﬃcilmente eccitabili, in quanto devono essere portati su orbitali relativamente lontani in energia (l’orbitale 3s, ad esempio, nel caso del Neon). Questo non si veriﬁca

` ELETTRONI DI VALENZA ATOMI CON PIU

193

invece per gli elementi relativi a sottozone s chiuse, come ad esempio il Berillio (per i quali rimane comunque vera la propriet` a di simmetria sferica della carica). Nel caso del Berillio, `e relativamente facile eccitare un elettrone 2s portandolo all’orbitale 2p e questo spiega la sua maggiore reattivit` a chimica rispetto a un elemento come il Neon. Dopo che si `e completata una zona, si ricomincia con un elemento contenente un elettrone debolmente legato, poi con due elettroni, tre elettroni, etc., legati sempre meno debolmente, ﬁno ad arrivare nuovamente a una zona completa avente la massima stabilit`a. Da questo fatto risulta evidente l’origine della periodicit` a di quelle propriet` a degli elementi che dipendono dagli elettroni esterni, come il comportamento chimico e quello spettroscopico. Nella Tab 7.2 sono riportate le conﬁgurazioni elettroniche normali osservate di tutti gli elementi ﬁno all’Uranio (Z = 92). Per evitare inutili ripetizioni, la conﬁgurazione `e data a meno delle conﬁgurazioni dei gas nobili precedenti. Ad esempio, la conﬁgurazione normale del Sodio che si legge in tabella `e 3s. La conﬁgurazione eﬀettiva si ottiene facendo precedere a questo simbolo le conﬁgurazioni dell’Elio e del Neon quali si leggono in tabella, cos`ı da ottenere 1s2 2s2 2p6 3s. Dalla tabella si vede che il processo di “costruzione” degli atomi procede regolarmente ﬁno al riempimento totale della sottozona 3p con l’Argon (Z = 18). Arrivati all’Argon, si potrebbe pensare che, a partire dall’elemento successivo, si cominci a riempire la sottozona 3d. Si ha invece un’inversione, nel senso che gli orbitali 4s si riempiono prima di quelli 3d. Questo non `e aﬀatto incomprensibile se si ricorda che la correzione di Rydberg, di cui abbiamo parlato a proposito degli spettri dei metalli alcalini, `e tanto pi` u importante quanto pi` u alta `e la carica nucleare. L’eﬀetto di penetrazione fa s`ı che l’energia dell’elettrone sull’orbita 4s sia pi` u bassa dell’energia sull’orbita 3d che `e praticamente circolare. La sottozona 3d comincia quindi a riempirsi dopo la sottozona 4s. Si ottiene cos`ı una serie di 10 elementi che va dallo Scandio (Z = 21) allo Zinco (Z = 30). Dopo lo Zinco si riempie la sottozona 4p e si procede poi lungo il tracciato illustrato nella Fig.7.2, nel quale ciascun “passo” `e contrassegnato dal numero atomico dell’elemento col quale si inizia il riempimento della sottozona successiva. Bisogna notare che, in questo processo di riempimento successivo delle sottozone, si veriﬁcano alcune irregolarit`a. Ad esempio, quando col Bario (Z = 56) si `e riempita la sottozona 6s, si passa al riempimento della sottozona 5d e si ha cos`ı il Lantanio con conﬁgurazione normale (esterna) 5d 6s2 . A questo punto, invece di proseguire con la sottozona 5d, si salta, per cos`ı dire, alla sottozona 4f e si ottiene una serie di 14 elementi, dal Cerio (Z = 58) al Lutezio (Z = 71), con propriet`a simili a quelle del Lantanio (famiglia delle terre rare o dei lantanidi). Successivamente torna a riempirsi la sottozona 5d. Una cosa del tutto analoga si veriﬁca con le sottozone 6d e 5f . Il corrispondente del Lantanio `e l’Attinio (Z = 89) mentre il corrispondente della famiglia dei lantanidi `e la famiglia degli attinidi.

194

CAPITOLO 7

Z

Si.

Elemento

Conﬁguraz.

Z

Si.

Elemento

Conﬁguraz.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46

H He Li Be B C N O F Ne Na Mg Al Si P S Cl Ar K Ca Sc Ti V Cr Mn Fe Co Ni Cu Zn Ga Ge As Se Br Kr Rb Sr Y Zr Nb Mo Tc Ru Rh Pd

Idrogeno Elio Litio Berillio Boro Carbonio Azoto Ossigeno Fluoro Neon Sodio Magnesio Alluminio Silicio Fosforo Zolfo Cloro Argon Potassio Calcio Scandio Titanio Vanadio Cromo Manganese Ferro Cobalto Nichel Rame Zinco Gallio Germanio Arsenico Selenio Bromo Krypton Rubidio Stronzio Ittrio Zirconio Niobio Molibdeno Tecnezio Rutenio Rodio Palladio

1s 1s2 2s 2s2 2s2 2p 2s2 2p2 2s2 2p3 2s2 2p4 2s2 2p5 2s2 2p6 3s 3s2 3s2 3p 3s2 3p2 3s2 3p3 3s2 3p4 3s2 3p5 3s2 3p6 4s 4s2 3d 4s2 3d2 4s2 3d3 4s2 3d5 4s 3d5 4s2 3d6 4s2 3d7 4s2 3d8 4s2 3d10 4s 3d10 4s2 3d10 4s2 4p 3d10 4s2 4p2 3d10 4s2 4p3 3d10 4s2 4p4 3d10 4s2 4p5 3d10 4s2 4p6 5s 5s2 4d 5s2 4d2 5s2 4d4 5s 4d5 5s 4d5 5s2 4d7 5s 4d8 5s 4d10

47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92

Ag Cd In Sn Sb Te I Xe Cs Ba La Ce Pr Nd Pm Sm Eu Gd Tb Dy Ho Er Tm Yb Lu Hf Ta W Re Os Ir Pt Au Hg Tl Pb Bi Po At Rn Fr Ra Ac Th Pa U

Argento Cadmio Indio Stagno Antimonio Tellurio Iodio Xenon Cesio Bario Lantanio Cerio Presodimio Neodimio Promezio Samario Europio Gadolinio Terbio Disprosio Olmio Erbio Tullio Itterbio Lutezio Afnio Tantalio Wolframio Renio Osmio Iridio Platino Oro Mercurio Tallio Piombo Bismuto Polonio Astazio Radon Francio Radio Attinio Torio Protoattinio Uranio

4d10 5s 4d10 5s2 4d10 5s2 5p 4d10 5s2 5p2 4d10 5s2 5p3 4d10 5s2 5p4 4d10 5s2 5p5 4d10 5s2 5p6 6s 6s2 5d 6s2 4f 5d 6s2 4f 3 6s2 4f 4 6s2 4f 5 6s2 4f 6 6s2 4f 7 6s2 4f 7 5d 6s2 4f 9 6s2 4f 10 6s2 4f 11 6s2 4f 12 6s2 4f 13 6s2 4f 14 6s2 4f 14 5d 6s2 4f 14 5d2 6s2 4f 14 5d3 6s2 4f 14 5d4 6s2 4f 14 5d5 6s2 4f 14 5d6 6s2 4f 14 5d7 6s2 4f 14 5d9 6s 4f 14 5d10 6s 4f 14 5d10 6s2 4f 14 5d10 6s2 6p 4f 14 5d10 6s2 6p2 4f 14 5d10 6s2 6p3 4f 14 5d10 6s2 6p4 4f 14 5d10 6s2 6p5 4f 14 5d10 6s2 6p6 7s 7s2 6d 7s2 6d2 7s2 5f 2 6d 7s2 5f 3 6d 7s2

Tab. 7.2. Conﬁgurazione elettronica normale degli elementi. La conﬁgurazione `e data a meno delle conﬁgurazioni dei gas nobili che precedono l’elemento nella Tabella. Per alcuni elementi si presentano delle eccezioni rispetto alle “regole” enunciate nel testo. La conﬁgurazione normale del Cromo, ad esempio, che dovrebbe essere 3d4 4s2 , ` e invece 3d5 4s.

195

` ELETTRONI DI VALENZA ATOMI CON PIU

1s 3

2s

5

2p 11

3s

13

3p

19

21

4s

3d 31

4p 37

5s

39

4d 49

5p 55

6s

57

6p

4f 58 72

5d

5f

5g

6d

6f

6g

6h

7d

7f

7g

7h

81

90

87 89

7s

7p

7i

Fig. 7.2. Tracciato schematico che illustra il riempimento successivo delle sottozone secondo il principio di formazione del sistema periodico degli elementi. Ciascun passo da sottozona a sottozona ` e contrassegnato dal numero atomico dell’elemento col quale si inizia il riempimento della sottozona successiva.

Altre irregolarit` a minori si incontrano qua e l` a, soprattutto durante il riempimento delle sottozone d oppure f . Come si deduce dalla Tab 7.2, tali irregolarit` a si veriﬁcano per gli elementi Cromo, Rame, Niobio, Molibdeno, Rutenio, Rodio, Palladio, Argento, Gadolinio, Platino, Oro e Torio. La conﬁgurazione normale (esterna) dell’Oro, ad esempio, `e 4f 14 5d10 6s, invece di essere 4f 14 5d9 6s2 .

7.8 Conﬁgurazioni di elettroni eccitati Attraverso il principio di formazione abbiamo trovato la conﬁgurazione elettronica che compete a tutti gli elementi del sistema periodico nel loro stato fondamentale, ovvero la cosiddetta conﬁgurazione normale. L’eccitazione di uno o pi` u elettroni a orbitali di energia maggiore d` a luogo a ulteriori conﬁgurazioni. Consideriamo ad esempio l’atomo di Carbonio, avente conﬁgurazione normale 1s2 2s2 2p2 . L’eccitazione di uno o pi` u elettroni pu` o portare a conﬁ-

196

CAPITOLO 7

gurazioni varie, come ad esempio 1s 2s2 2p3 1s2 2s 2p2 3s 1s2 2s2 3s 3p 1s2 2s2 2p 3d

eccitazione di un elettrone 1s a 2p , eccitazione di un elettrone 2s a 3s , eccitazione dei due elettroni 2p a 3s e 3p , eccitazione di un elettrone 2p a 3d .

Le conﬁgurazioni risultanti dall’eccitazione di elettroni interni (appartenenti cio`e a zone o sottozone chiuse), come la prima e la seconda di quelle elencate sopra, corrispondono in generale a energie molto maggiori dell’energia della conﬁgurazione normale e le righe che provengono dalle relative transizioni vanno a cadere nella regione dei raggi ultravioletti duri o dei raggi X. I relativi spettri vengono osservati in laboratorio per lo pi` u come spettri in assorbimento. Le conﬁgurazioni che si originano dall’eccitazione di due o pi` u elettroni esterni, come la terza dell’elenco, sono responsabili della comparsa dei cosiddetti termini anomali. Tali termini costituiscono, come dice il loro stesso nome, una anomalia e sono osservati raramente e solo in condizioni particolari. Di gran lunga pi` u importanti sono invece le conﬁgurazioni che si originano dall’eccitazione di un solo elettrone appartenente alla sottozona aperta, come la quarta dell’elenco. Praticamente tutte le righe dello spettro visibile e del vicino ultravioletto di un dato elemento si originano da transizioni fra una conﬁgurazione di questo tipo e la conﬁgurazione normale oppure fra due conﬁgurazioni di questo tipo. Come abbiamo visto nel Par. 7.6, una conﬁgurazione corrisponde a un numero g di stati quantici diversi, descritti dalle funzioni d’onda Ψ(a1 , a2 , . . . , aN ), autofunzioni degeneri dell’Hamiltoniana H0 . Considerando delle opportune combinazioni lineari di tali funzioni d’onda `e possibile costruire delle nuove quantit` a che risultano autofunzioni, oltre che dell’Hamiltoniana H0 , anche di un set di operatori che commutano con H0 e che commutano fra loro. Il set pi` u appropriato `e costituito, nella maggior parte dei casi, dagli operatori L 2 , Lz , S 2 e Sz . Sorge quindi il problema di stabilire, per un’assegnata conﬁgurazione, quali siano i possibili autostati di tali operatori e, pi` u in particolare, a quali valori dei numeri quantici L e S essi corrispondano singolarmente. Si suol dire in questi casi che si vanno a cercare i termini di tipo L-S (o termini tout court) che si originano da una data conﬁgurazione. Per risolvere questo problema `e per` o necessario ricordare alcuni risultati della teoria del momento angolare.

7.9 Richiami della teoria del momento angolare In meccanica quantistica il momento angolare `e deﬁnito come un operatore le cui tre componenti cartesiane, Jx , Jy , e Jz , soddisfano le regole vettoriale, J, di commutazione

197

` ELETTRONI DI VALENZA ATOMI CON PIU

[Ji , Jj ] =

i ijk Jk ,

k

che possono essere condensate nell’unica identit` a operatoriale J × J = i J . Da queste propriet`a di commutazione si ottiene che ciascuna componente del momento angolare commuta col suo modulo quadro, ovvero [J , J 2 ] = 0 . A partire dalle due equazioni precedenti si pu` o impostare il problema della ricerca degli autovalori e degli autovettori del momento angolare assumendo come set massimo di operatori commutanti il modulo quadro e una qualsiasi ad esempio la componente Jz . Il risultato delle tre componenti del vettore J, `e che gli autovettori possono essere individuati da due numeri quantici, j e m tali che j pu` o assumere soltanto valori interi o semi-interi non negativi (0, 12 , 1, 3 o assumere solo uno dei (2j + 1) valori (−j, −j + 1, 2 , etc.), e, ﬁssato j, m pu` . . ., j − 1, j). Indicati tali autovettori (normalizzati) col simbolo |j, m , gli autovalori sono dati da J 2 |j, m = j(j + 1) |j, m

,

Jz |j, m = m |j, m

.

Le fasi relative degli autovettori sono poi ﬁssate stabilendo, per convenzione, che gli elementi di matrice dei cosiddetti operatori di shift, J± = Jx ± iJy , siano reali, ovvero che sia j, m ± 1|J± |j, m =

# # j(j + 1) − m(m ± 1) = (j ± m + 1)(j ∓ m) .

Si considerino adesso due operatori di momento angolare, J1 , e J2 , commutanti fra loro. Si pu` o facilmente mostrare che l’operatore somma dei due momenti angolari, J = J1 + J2 , soddisfa le regole di commutazione caratteristiche dei momenti angolari ed `e quindi, esso stesso, un momento angolare nel senso della meccanica quantistica. Per la descrizione degli autostati comuni dei due momenti angolari si possono utilizzare due diverse rappresentazioni (o basi). Una prima base `e quella dei quattro operatori commutanti J12 , J1z , J22 , J2z . Se |j1 , m1 sono gli autovettori di J1 e |j2 , m2 sono quelli di J2 , gli autovettori di questa base sono dati dal prodotto diretto |j1 , m1 |j2 , m2 e possono essere indicati col simbolo compatto |j1 j2 m1 m2 . Per essi si ha

198

CAPITOLO 7

J12 |j1 j2 m1 m2 = j1 (j1 +1)|j1 j2 m1 m2 ,

J1z |j1 j2 m1 m2 = m1 |j1 j2 m1 m2 ,

J22 |j1 j2 m1 m2 = j2 (j2 +1)|j1 j2 m1 m2 ,

J2z |j1 j2 m1 m2 = m2 |j1 j2 m1 m2 .

un’altra base `e invece quella dei quattro operatori commutanti J12 , J22 , J 2 , Jz , i cui autovettori sono indicati col simbolo |j1 j2 JM , e sono tali che J12 |j1 j2 JM

= j1 (j1 + 1)|j1 j2 JM

J 2 |j1 j2 JM

= J(J + 1)|j1 j2 JM

, ,

J22 |j1 j2 JM

= j2 (j2 + 1)|j1 j2 JM

Jz |j1 j2 JM

= M |j1 j2 JM

,

.

Poich´e le due basi descrivono il medesimo spazio vettoriale, esiste una trasformazione di similitudine che connette una base all’altra. Si ha quindi |j1 j2 JM

=

|j1 j2 m1 m2

j1 j2 m1 m2 |j1 j2 JM

,

(7.13)

m1 m2

|j1 j2 m1 m2 =

|j1 j2 JM

j1 j2 JM |j1 j2 m1 m2

.

(7.14)

JM

I coeﬃcienti che compaiono in queste trasformazioni, qui scritti nella forma di prodotti scalari, sono detti coeﬃcienti di Wigner o, pi` u spesso, coeﬃcienti di Clebsh-Gordan. Tali coeﬃcienti sono identicamente nulli a meno che non sia M = m 1 + m2 , e a meno che J non sia uguale a uno qualsiasi dei possibili valori J = |j1 − j2 |, |j1 − j2 | + 1, . . . , j1 + j2 − 1, j1 + j2 . La dimostrazione della prima condizione si ottiene facilmente considerando il prodotto scalare j1 j2 m1 m2 |J1z + J2z |j1 j2 JM

,

e facendo agire l’operatore J1z + J2z = Jz alternativamente sul “bra” oppure sul “ket”. Si ottiene (m1 + m2 − M ) j1 j2 m1 m2 |j1 j2 JM

=0 ,

la quale mostra che, aﬃnch´e il coeﬃciente di Clebsh-Gordan sia diverso da zero, deve necessariamente essere M = m1 + m2 . La dimostrazione della seconda condizione `e invece pi` u complessa e verr` a data in seguito.

199

` ELETTRONI DI VALENZA ATOMI CON PIU

In luogo dei coeﬃcienti di Clebsh-Gordan si considerano spesso, soprattutto nei lavori pi` u moderni, i cosiddetti simboli 3-j, introdotti da Wigner e deﬁniti dall’equazione

j1 j2 m1 m2 |j1 j2 JM

= (−1)

j1 −j2 +M

√ 2J + 1

j1 m1

j2 m2

J −M

.

(7.15)

L’espressione esplicita dei simboli 3-j (e quindi quella dei coeﬃcienti di ClebshGordan) pu` o essere trovata attraverso un calcolo laborioso. Deﬁnendo in maniera opportuna le fasi relative dei vettori delle due basi, i simboli 3-j (e i coeﬃcienti di Clebsh-Gordan) risultano reali e sono dati dall’espressione4

1 = (−1)a−b+γ √ abαβ|abcγ = (−1)a−b+γ Δ(a, b, c) 2c + 1 # × (a + α)!(a − α)!(b + β)!(b − β)!(c + γ)!(c − γ)! (−1)ν a b α β

c −γ

ν

×[(a−α−ν)! (c−b+α+ν)! (b+β−ν)! (c−a−β+ν)! ν! ( a+b−c−ν)!] −1 , (7.16) dove l’indice ν assume tutti i valori che danno luogo a fattoriali aventi signiﬁcato (ovvero non negativi), e dove il simbolo Δ(a, b, c) `e deﬁnito da % (a + b − c)! (a + c − b)! (b + c − a)! . (7.17) Δ(a, b, c) = (a + b + c + 1)! I simboli 3-j soddisfano alcune importanti propriet` a che sono qui di seguito enunciate senza dimostrazione (ovviamente, i coeﬃcienti di Clebsh-Gordan soddisfano propriet` a analoghe): a) Il simbolo 3-j

a b α β

c γ

`e nullo a meno che non sia α + β + γ = 0 e a meno che a, b e c non soddisﬁno la diseguaglianza triangolare (|a − b| ≤ c ≤ a + b). b) Relazioni di completezza e di ortonormalit` a a b c a b c = δcc δγγ , (2c + 1) (7.18) α β γ α β γ αβ

4

Questa formula, dovuta a G. Racah (Physical Review 62, 438, [1942]), `e particolarmente simmetrica nello scambio dei tre momenti angolari a, b e c. Per la deduzione di una formula equivalente, ma meno simmetrica, si veda ad esempio E. Landi Degl’Innocenti & M. Landolﬁ, Polarization in Spectral Lines, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 2004.

200

CAPITOLO 7

z

J

2

m2

J

M=m 1 + m 2

J1

m1

Fig. 7.3. Fissati m1 e m2 , l’estremo del vettore J, risultante di j1 e j2 , pu` o trovarsi su un punto qualsiasi della circonferenza disegnata in alto. Il vettore J non ` e quindi determinato univocamente.

cγ

(2c + 1)

a α

b β

c γ

a α

b β

c γ

= δαα δββ .

c) Cambiando di segno le componenti della seconda riga, il simbolo 3-j risulta moltiplicato per il fattore di segno (−1)a+b+c a b c a b c = (−1)a+b+c . (7.19) −α −β −γ α β γ d) Scambiando fra loro due qualsiasi colonne, il simbolo 3-j risulta moltiplicato per lo stesso fattore (−1)a+b+c . Ad esempio a b c b a c = (−1)a+b+c . (7.20) α β γ β α γ I coeﬃcienti di Clebsh-Gordan hanno un’interpretazione ﬁsica immediata. Il loro modulo quadro, ovvero la quantit` a | j1 j2 m1 m2 |j1 j2 JM |2 , `e, secondo i principi della meccanica quantistica, la probabilit` a che, dati due sistemi per i quali si siano misurati separatamente i quadrati del momento angolare, trovando rispettivamente i valori j1 (j1 +1) e j2 (j2 +1), e le componenti dei momenti lungo l’asse z, trovando i valori m1 e m2 , la misura del quadrato del momento

201

` ELETTRONI DI VALENZA ATOMI CON PIU

m2

¡

¡

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l

l

l

l

m

m

m

l

l m

²

² ³

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µ´

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M=j 1 + j 2 M=j 1 + j − 1 2 M=j 1 + j − 2

n o

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p

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p

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q

q

q

q

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r

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M= j −j 1

0

2

m1

Fig. 7.4. Diagramma schematico che illustra come varia il numero di stati aventi un valore di M assegnato al variare di M stesso. Il diagramma si riferisce al caso particolare in cui j 1 ` e uguale a 5 e j2 ` e uguale a 4.

angolare del sistema complessivo dia per risultato J(J + 1) e la misura della componente z dia per risultato M . Come si vede dalla Fig.7.3, il risultato di una simile misura non `e univoco neppure in ﬁsica classica. Mentre infatti M `e pari a m1 +m2 , (propriet` a che si trasporta inalterata in meccanica quantistica), il valore del modulo del momento angolare risultante dipende dall’orientazione reciproca dei due momenti angolari componenti. A questa indeterminazione classica si sovrappone quella tipica quantistica secondo la quale, quando si misura la componente z di un momento angolare, le altre due componenti risultano indeterminate. Possiamo adesso dimostrare che i possibili valori di J variano per unit` a intere da |j1 − j2 | a (j1 + j2 ). Per questo facciamo riferimento alla Fig.7.4 nella quale gli stati ﬁsici del sistema complessivo sono individuati dai punti di un reticolato, ciascun punto essendo caratterizzato da un valore di m1 e un valore di m2 . Se nel reticolato si tracciano delle diagonali cos`ı come disegnato in ﬁgura, si pu` o osservare che ciascuna diagonale unisce fra loro stati aventi lo stesso valore di M = m1 + m2 . Il valore pi` u elevato di M `e (j1 + j2 ) ed esiste solo uno stato avente tale valore di M . Se si indica con N (M ) il numero di stati aventi un assegnato valore di M , si ha che N (j1 + j2 ) = 1. Passando al valore inferiore di M , si ha N (j1 + j2 − 1) = 2 e, al diminuire di M , il numero di stati aumenta ﬁno a che si arriva al valore M = |j1 − j2 | per il quale N (|j1 − j2 |) = 2jmin + 1, dove jmin `e il minore fra j1 e j2 . Al diminuire ulteriore di M , N (M ) rimane invariato ﬁno a M = −|j1 − j2 | per poi diminuire di unit` a in unit` a ﬁno a M = −(j1 + j2 ). La situazione `e ulteriormente illustrata dall’istogramma di Fig.7.5 che si riferisce al caso particolare j1 = 5, j2 = 4. Il conteggio degli stati aventi un assegnato valore di M permette di determi-

202

CAPITOLO 7

N(M)

5

M −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0

1

2

3 4

5

6

7

8

9

Fig. 7.5. Istogramma che illustra il variare del numero di stati aventi M assegnato al variare di M stesso. Il diagramma si riferisce al caso in cui j 1 ` e uguale a 5 e j2 ` e uguale a 4.

nare quali sono i valori di J risultanti dalla somma dei due momenti angolari. Il fatto che esista uno stato avente il valore M = j1 + j2 implica che deve esistere un valore di J pari a j1 + j2 . Questo fa s`ı che si possono “cancellare” dall’istogramma della Fig.7.5 uno stato avente M = j1 + j2 , uno stato avente M = j1 + j2 − 1, e cos`ı via, ﬁno alla cancellazione di uno stato avente M = −j1 − j2 . Questo equivale a togliere dall’istogramma la riga pi` u bassa. A questo punto si osserva che esiste uno stato, e uno solo, avente M = j1 + j2 − 1. Questo implica che deve esistere un valore di J pari a j1 + j2 − 1 e si pu` o cos`ı cancellare la seconda riga (partendo dal basso) dell’istogramma. Ripetendo questo tipo di ragionamento si arriva a provare facilmente che tutti e soli i valori possibili di J sono |j1 − j2 |, |j1 − j2 | + 1, . . . , j1 + j2 − 1, j1 + j2 , come avevamo anticipato. Come veriﬁca, si pu`o andare a controllare che il numero totale di stati sia eﬀettivamente quello che dovevamo aspettarci, ovvero che sia veriﬁcata l’equazione j 1 +j2

(2J + 1) = (2j1 + 1)(2j2 + 1) .

J=|j1 −j2 |

La somma pu` o essere eseguita distinguendo i due casi j1 ≥ j2 , oppure j1 < j2 e tenendo conto dell’identit` a (valida sia per la somma di interi che di semi-interi) n2 i=n1

i=

n2 (n2 + 1) − n1 (n1 − 1) . 2

203

` ELETTRONI DI VALENZA ATOMI CON PIU

m2

!"

9:;<=>?@AB

-.

#$

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'

'(

W

W X

X

Y

Y Z

Z }

} ~

0

ij

gh

mn

kl

[\

EF

c

c d

d

a

_

_ `

`

a b

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ef

w

w x

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s

s

]

]

t

t

^

^

r

r

q

q

op

zy

vu

zy

|{

/

/

/

0

0

0

3

3 4

/

/

/

/

0

0

0

0

/

/

/

/

0

0

0

0

4

75

75 86

86

L

L

K

K

|{

U

U

S

S

Q

Q

O

O

M

M

V

T

T

R

R

P

P

N

N

0

/ 0

vu

V

IJ

GH

~

+,

12

CD

M=2j − 1 M=2j − 2 M=2j − 3 M=2j − 4

)*

m1

Fig. 7.6. Diagramma schematico che illustra il variare del numero di stati aventi M assegnato al variare di M stesso. Il diagramma si riferisce al caso in cui le due particelle siano indistinguibili con j1 e j2 entrambi uguali a 3.

Si ottiene ad esempio, per j1 ≥ j2 , j 1 +j2

(2J + 1) = 2

J=j1 −j2

(j1 + j2 + 1)(j1 + j2 ) (j1 − j2 − 1)(j1 − j2 ) − 2 2

+ (2j2 + 1) = (2j1 + 1)(2j2 + 1) . Nel caso particolare in cui i due numeri quantici j1 e j2 siano uguali, `e possibile mostrare che gli autostati |j1 j2 JM si dividono in due gruppi aventi carattere di simmetria opposto rispetto allo scambio dei due momenti angolari. In questo caso, ponendo j1 = j2 = j, si ha, ricordando l’Eq. (7.13) e la connessione fra coeﬃcienti di Clebsh-Gordan e simboli 3-j (Eq. (7.15)) √ j j J |jjJM = |jjm1 m2 , (−1)M 2J + 1 m1 m2 −M m1 m2

e tenendo presente la propriet`a di simmetria dei simboli 3-j rispetto allo scambio di due colonne adiacenti (Eq. (7.20)), si vede che per lo scambio dei due momenti angolari l’autostato |jjJM risulta moltiplicato per il fattore (−1)2j+J . Si ottiene quindi che gli autovettori corrispondenti agli autovalori J = 2j, 2j−2, etc. sono simmetrici rispetto allo scambio dei due momenti angolari, mentre gli autovettori corrispondenti agli autovalori J = 2j − 1, 2j − 3, etc. sono antisimmetrici. Si noti che, se j `e intero, il gruppo degli autovettori simmetrici termina con J = 0 e quello degli autovettori antisimmetrici termina con J = 1, mentre, se j `e semi-intero accade l’opposto. Questa propriet`a poteva anche dedursi imponendo direttamente il principio di esclusione di Pauli al reticolato di Fig.7.4. Si supponga che j1 e j2 (con j1 = j2 = j) siano i numeri quantici di momento angolare (orbitale, oppure di spin, oppure totale) di due particelle indistinguibili, e si supponga inoltre

204

CAPITOLO 7

N(M) 5

M −5 −4 −3 −2 −1 0

1

2

3

4

5

Fig. 7.7. Istogramma che illustra il variare del numero di stati aventi M assegnato al variare di M stesso. Il diagramma si riferisce al caso di particelle indistinguibili con j 1 e j2 entrambi uguali a 3.

che tutti gli altri eventuali numeri quantici delle due particelle siano uguali. In questo caso, il reticolato di Fig.7.4 assume la forma quadrata e si restringe, per il principio di esclusione, al “semireticolato” di Fig. 7.6 (che si riferisce al caso particolare j1 = j2 = 3). Se poi si vanno a contare gli stati aventi un determinato valore di M , si trova l’istogramma rappresentato nella Fig.7.7 e ripetendo il ragionamento di pagina precedente si deduce che i possibili valori del momento angolare totale sono J = 2j − 1, 2j − 3, etc., ﬁno ad arrivare a J = 1 nel caso che j sia intero, oppure a J = 0 nel caso che j sia semiintero. Questi sono gli stati che soddisfano il principio di esclusione e quindi sono gli stati aventi una funzione d’onda antisimmetrica rispetto allo scambio delle particelle.

7.10 Termini provenienti da conﬁgurazioni assegnate In questo paragrafo ci poniamo il problema di determinare, per un’assegnata conﬁgurazione, i possibili valori dei numeri quantici L e S. Iniziando dai casi pi` u semplici, consideriamo in primo luogo una conﬁgurazione corrispondente a una sottozona chiusa, come ad esempio s2 , p6 , d10 , f 14 , etc.. Per ﬁssare le idee, ci riferiamo al caso della conﬁgurazione p6 . I valori possibili di m e di ms per i 6 elettroni sono i seguenti (m, ms ) = (−1, − 12 ), (−1, 12 ), (0, − 12 ), (0, 12 ), (1, − 12 ), (1, 12 ) , e il principio di esclusione di Pauli vieta qualsiasi altra combinazione di numeri quantici. Si ha allora un solo stato quantico, caratterizzato da

` ELETTRONI DI VALENZA ATOMI CON PIU

ML =

mi = 0 ,

i

MS =

205

msi = 0 ,

i

e si tratta ovviamente di uno stato avente L = 0 e S = 0, ovvero di uno stato S. Analoghe considerazioni possono essere ripetute per una qualsiasi altra conﬁgurazione corrispondente a una sottozona chiusa e si giunge quindi alla conclusione che una sottozona chiusa `e sempre caratterizzata dall’avere momento angolare nullo (sia orbitale che di spin). Il termine corrispondente `e un termine di tipo 1S. In base a questo si comprende anche che, per determinare i termini di una qualsiasi conﬁgurazione, `e giustiﬁcato considerare solamente gli elettroni appartenenti a sottozone aperte, dato che quelle chiuse non portano alcun contributo al momento angolare. In precedenza avevamo visto che una simile propriet` a vale anche per la degenerazione di una conﬁgurazione. Procedendo in ordine di diﬃcolt`a crescente, andiamo a considerare le conﬁgurazioni con un solo elettrone in una sottozona aperta. Ovviamente, il momento angolare della conﬁgurazione corrisponde (sia per la parte orbitale che per la parte di spin) al momento angolare dell’elettrone singolo e si ha quindi, semplicemente, che alla conﬁgurazione ns (con n arbitrario) corrisponde il termine 2 S, alla conﬁgurazione np il termine 2P , alla conﬁgurazione nd il termine 2D, e cos`ı via. Quando si vanno a considerare conﬁgurazioni con due o pi` u elettroni bisogna cominciare a distinguere fra elettroni equivalenti e non equivalenti. Ad esempio, la conﬁgurazione np n p (con n = n ), che si indica sinteticamente col simbolo pp , ha termini diversi dalla conﬁgurazione np2 , che si indica sinteticamente col simbolo p2 . Analogamente, la conﬁgurazione d2 d ha termini diversi da quella d3 , e ancora diversi da quella dd d , etc.. Per le conﬁgurazioni di due elettroni non equivalenti, i termini possono essere ottenuti combinando separatamente, secondo le regole del momento angolare, i momento angolari orbitali e i momenti di spin dei due elettroni ed accoppiando poi ciascun valore risultante di L con ciascun valore risultante di S. Se si considera ad esempio la conﬁgurazione dd , L pu` o assumere i valori che provengono dall’addizione di due momenti angolari entrambi uguali a 2, ovvero, i valori 0, 1, 2, 3, 4. Analogamente, S pu` o assumere i valori che provengono dall’addizione di due momenti angolari entrambi uguali a 21 , ovvero i valori 0 e 1. In deﬁnitiva si ottengono i dieci possibili termini 1

1

S, 1P, 1D, 1F, 1G, 3S, 3P, 3D, 3F, 3 G .

Analogamente, se si considera la conﬁgurazione pd, L pu` o assumere i tre valori 1, 2, 3 ed S sempre i due valori 0, 1, per cui si hanno i sei termini 1

P, 1D, 1F, 3P, 3D, 3F .

206

CAPITOLO 7

Conﬁgurazione ss sp sd sf pp pd pf dd df ff

Termini 1

S, 3S P , 3P 1 D, 3D 1 F , 3F 1 S, 1P , 1D, 3S, 3P , 3D 1 P , 1D, 1F , 3P , 3D, 3F 1 D, 1F , 1 G, 3D, 3F , 3 G 1 S, 1P , 1D, 1F , 1 G, 3S, 3P , 3D, 3F , 3 G 1 P , 1D, 1F , 1 G, 1H, 3P , 3D, 3F , 3 G, 3H 1 S, 1P , 1D, 1F , 1 G, 1H, 1I, 3S, 3P , 3D, 3F , 3 G, 3H, 3I 1

Tab. 7.3. Termini provenienti da conﬁgurazioni di due elettroni non equivalenti.

La Tab 7.3 riassume i termini possibili per le conﬁgurazioni di due elettroni non equivalenti che si riscontrano pi` u comunemente nell’analisi spettroscopica. Passando ai termini di due elettroni equivalenti, bisogna tener presenti le considerazioni sulla simmetria delle autofunzioni svolte nel paragrafo precedente. Poich´e l’autofunzione complessiva deve essere antisimmetrica rispetto allo scambio delle due particelle, si aprono due possibilit`a distinte: a) si prende un’autofunzione simmetrica per la parte di spin e un’autofunzione antisimmetrica per la parte angolare, oppure b) si prende un’autofunzione antisimmetrica per la parte di spin e un’autofunzione simmetrica per la parte angolare. Per l’autofunzione di spin, si ha che il valore S = 1 corrisponde a un’autofunzione simmetrica e il valore S = 0 a un’autofunzione antisimmetrica. Per quanto riguarda la parte angolare si hanno pi` u possibilit` a; ad esempio, per due elettroni p equivalenti si possono avere i tre valori L = 2 (funzione simmetrica), L = 1 (antisimmetrica), L = 0 (simmetrica). Tenendo presenti queste considerazioni, si arriva facilmente a costruire la Tab 7.4. Conﬁgurazione s2 p2 d2 f2

Termini 1

S S, 1D, 3P 1 S, 1D, 1 G, 3P , 3F 1 S, 1D, 1 G, 1I, 3P , 3F , 3H

1

Tab. 7.4. Termini provenienti da conﬁgurazioni di due elettroni equivalenti.

Con tre o pi` u elettroni presenti in sottozone aperte la struttura dei termini diviene sempre pi` u complessa. La maniera pi` u appropriata di trattare questo tipo di problemi `e basata sulla teoria dei gruppi, anche se si possono ottenere

` ELETTRONI DI VALENZA ATOMI CON PIU

Conﬁg. ss s ss p ss d spp sp2 spd pp p p2 p pp d pdf

207

Termini 2

S(2), 4S P (2), 4P 2 D(2), 4D 2 S(2), 2P (2), 2D(2), 4S, 4P , 4D 2 S, 2P , 2D, 4P 2 P (2), 2D(2), 2F (2), 4P , 4D, 4F 2 S(2), 2P (6), 2D(4), 2F (2), 4S, 4P (3), 4D(2), 4F 2 S, 2P (3), 2D(2), 2F , 4S, 4P , 4D 2 S(2), 2P (4), 2D(6), 2F (4), 2 G(2), 4S, 4P (2), 4D(3), 4F (2), 4 G 2 S(2), 2P (4), 2D(6), 2F (6), 2 G(6), 2H(4), 2I(2),4S, 4 P (2), 4D(3), 4 F (3), 4 G(3), 4H(2), 4I 2

Tab. 7.5. Termini provenienti da conﬁgurazioni di tre elettroni di cui almeno due non equivalenti.

gli stessi risultati per mezzo di un approccio pi` u elementare che consiste nella costruzione di opportune tabelle, come sar`a esempliﬁcato in seguito. Nel caso di conﬁgurazioni di tre elettroni, bisogna distinguere di nuovo i casi di elettroni equivalenti o non equivalenti, osservando che si possono anche avere casi intermedi in cui si hanno due elettroni equivalenti e uno no. Quando uno almeno degli elettroni `e non equivalente, i termini della conﬁgurazione si possono ottenere mediante le usuali regole di somma di due momenti angolari aggiungendo i momenti angolari del terzo elettrone (quello non equivalente) ai momenti angolari dei termini corrispondenti alla somma dei primi due (sia che siano equivalenti fra loro, sia che non lo siano). Ad esempio, per la conﬁgurazione pp p , si ha dalla Tab. 7.3 che i termini relativi alla conﬁgurazione pp sono i seguenti: 1S, 1P , 1D, 3S, 3P , 3D. Aggiungendo a questi termini un nuovo elettrone p (non equivalente), si ottiene: a) a partire da 1S: il termine 2P b) a partire da 1P : i termini 2S, 2P , 2D c) a partire da 1D: i termini 2P , 2D, 2F d) a partire da 3S: i termini 2P , 4P e) a partire da 3P : i termini 2S, 2P , 2D, 4S, 4P , 4D f) a partire da 3D: i termini 2P , 2D, 2F , 4P , 4D, 4F . In deﬁnitiva, si perviene quindi alla seguente struttura di termini 2

S(2), 2P (6), 2D(4), 2F (2), 4S, 4P (3), 4D(2), 4F ,

dove i numeri in parentesi indicano il numero di volte in cui compare il termine corrispondente (omettendo la parentesi quando tale numero `e uguale a 1). Volendo individuare un particolare termine di quelli molteplici, si usa speciﬁcare

208

CAPITOLO 7

m= 2 2 1 1 1 0 0

1

m= 1 0 2 1 0 2 1

0

m = −1

ML

0 1 0 1 2 1 2

2 1 1 0 -1 -1 -2

MS 1 2, 1 2, 1 2,

- 12 - 12 - 12 3 1 1 1 1 1 1 3 2, 2, 2, 2, -2, -2, -2, -2 1 1 2, -2 1 1 2, -2 1 1 2, -2

Termini × × Δ ×Δ+ Δ × ×

Tab. 7.6. La tabella illustra la procedura per determinare i termini provenienti dalla conﬁgurazione p3 . Si veda il testo per il signiﬁcato dei numeri contenuti nelle prime cinque colonne. I simboli nell’ultima colonna individuano schematicamente i termini secondo il seguente codice: × = 2D, Δ = 2P , + = 4S.

entro parentesi il suo termine “progenitore”. Cos`ı, ad esempio, si possono distinguere i due termini 2S ottenuti sopra scrivendo rispettivamente (1P )2S per indicare quello ottenuto a partire dal termine 1P e (3P )2S per indicare quello ottenuto a partire dal termine 3P . Ripetendo ragionamenti analoghi a quello svolto per la conﬁgurazione pp p si arriva facilmente ai risultati contenuti nella Tab. 7.5 relativi alle conﬁgurazioni pi` u comuni che si incontrano nella pratica spettroscopica. Nel caso invece che gli elettroni siano equivalenti, la procedura per determinare i possibili valori di L e S diviene, come dicevamo, pi` u complessa, perch´e non si possono pi` u applicare con semplicit` a le regole di addizione di due momenti angolari per ottenere una funzione d’onda con le caratteristiche volute di antisimmetria rispetto allo scambio degli elettroni. In questi casi, il problema pu` o essere risolto costruendo una tabella nella quale si enumerano tutte le possibili combinazioni, per i valori di m e di ms da assegnare agli elettroni, che soddisﬁno il principio di esclusione di Pauli. Un esempio pratico per la conﬁgurazione p3 `e riportato nella Tab 7.6. In tale tabella, il numero contenuto in ciascuna delle cellette delle prime tre colonne (individuate da uno dei possibili valori di m) rappresenta il numero di elettroni, Nm , che hanno quel particolare valore di m. Chiaramente tale numero pu` o assumere soltanto i valori Nm = 0, 1, 2, perch´e altrimenti il principio di esclusione sarebbe violato. Una volta speciﬁcati i valori di Nm , il valore di ML `e facilmente trovato attraverso l’equazione ML = m Nm , m

ed `e riportato nella quarta colonna. Si osserva poi che le cellette per cui N m = 0 oppure Nm = 2 non portano alcun contributo al numero quantico MS . La cosa `e ovvia per Nm = 0, mentre, per Nm = 2, bisogna tener conto del principio di

` ELETTRONI DI VALENZA ATOMI CON PIU

209

Pauli per il quale i due elettroni devono avere spin anti-paralleli. Il contributo a MS proviene quindi solo dalle cellette aventi Nm = 1 e, se si indica con k il numero di tali cellette, i valori possibili per MS sono in numero di 2k , in quanto si hanno due possibilit` a distinte di orientazione per lo spin dell’elettrone di ciascuna celletta. I valori possibili di MS si ottengono aggiungendo in tutte le combinazioni possibili k addendi pari a ± 12 . Cos`ı, ad esempio, per k = 1 si hanno i due valori di MS pari a 12 e - 21 ; per k = 2 si hanno i quattro valori di MS pari a 1, 0, 0, -1; per k = 3 si hanno gli otto valori 32 , 12 , 12 , 12 , - 12 , - 12 , - 12 , - 32 ; e cos`ı via. Riportati quindi i valori possibili di MS nella quinta colonna, la tabella risulta completa e si pu` o procedere alla individuazione dei termini. Questo si pu` o fare cominciando a considerare il valore pi` u elevato di M L che ﬁgura in tabella (ML = 2). Tale valore `e associato a due valori di MS , pari a ± 12 e si deve quindi avere un termine 2D che `e indicato per convenienza con un simbolo (×) nell’ultima colonna della tabella. Naturalmente, a questo termine corrispondono anche gli altri possibili valori di ML , ovvero 1, 0, -1, -2, associati con i due valori MS = ± 12 . Si identiﬁcano allora le righe corrispondenti a queste coppie di valori ML e MS col solito simbolo nell’ultima colonna, pensando mentalmente di cancellare dalla tabella gli stati cos`ı identiﬁcati. A questo punto il valore pi` u elevato di ML `e ML = 1 che `e di nuovo associato a MS = ± 21 . Si ha quindi un termine 2P che viene indicato con un nuovo simbolo (Δ). Una volta individuati gli stati corrispondenti a questo termine, resta un insieme di stati con ML = 0 e MS = ± 32 , ± 12 . Si ha quindi un ultimo termine del tipo 4 S, individuato col simbolo (+), che esaurisce gli stati possibili. In deﬁnitiva si `e trovato che la conﬁgurazione p3 d` a luogo a tre termini, ovvero 2P , 2D, e 4 S. Un altro esempio, relativo alla conﬁgurazione d3 , `e riportato nella Tab. 7.7. Dall’analisi di tale tabella si ricavano i termini 2P , 2D(2), 2F , 2 G, 2H, 4P , 4F . Dalla maniera nella quale queste tabelle sono costruite e successivamente analizzate risulta chiaro che i termini di un’assegnata conﬁgurazione di q elettroni equivalenti sono gli stessi dei termini della conﬁgurazione complementare di (Q − q) elettroni equivalenti, dove Q `e il numero massimo di elettroni che si possono trovare nella sottozona. Ad esempio, le conﬁgurazioni p 2 e p4 hanno gli stessi termini, cos`ı come le conﬁgurazioni d3 e d7 , le conﬁgurazioni f 4 e f 10 , e cos`ı via. Per dimostrarlo, supponiamo di avere costruito la tabella relativa alla conﬁgurazione di q elettroni di momento angolare l e scambiamo ciascuno dei numeri contenuto nelle prime colonne (corrispondenti ai possibili valori di m) col suo complemento a 2 (ovvero 0 → 2, 1 → 1, 2 → 0). Se si indicano con km i numeri contenuti nella tabella originaria, i nuovi numeri saranno (2 − km ). Il numero totale di elettroni `e ora dato da l m=−l

(2 − km ) = 2 (2 l + 1) −

l

km = 2 (2 l + 1) − q = Q − q .

m=−l

D’altra parte, se una riga della tabella originaria dava per risultato M L , per la

210

CAPITOLO 7

2

1

0

−1

−2

ML

2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 2 1 1 1 0 0 0 0 0 0 2 2 2 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 1 0 0 2 1 1 0 0 0 1 0 0 2 1 1 0 0 0 2 2 1 1 1 0 0

0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 2 1 0 0 1 0 0 1 0 2 1 0 1 0 2 1 0 2 1

0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 2 0 0 1 0 0 1 0 1 2 0 1 0 1 2 1 2

5 4 3 2 4 3 2 1 2 1 0 0 -1 -2 2 1 0 1 0 -1 -1 -2 -3 -1 -2 -2 -3 -4 -4 -5

3 2, 3 2, 3 2,

1 2, 1 2, 1 2,

1 2, 1 2, 1 2,

3 2, 3 2,

1 2, 1 2,

1 2, 1 2,

3 1 1 2, 2 2,

3 2, 3 2,

1 2, 1 2,

1 2, 1 2,

3 1 1 2, 2, 2,

3 1 1 2, 2, 2,

MS

Termini

1 2, 1 2, 1 2, 1 2, 1 2,

× × × × Δ Δ+‡ Δ+‡ ×Δ+ ‡∇ ×Δ+ ‡ ×Δ+ × † ∇† ‡∇ Δ+‡ × † Δ+‡ × Δ ×

- 12 - 12 - 12 - 12 - 12 1 1 1 1 3 2, -2, -2, -2, -2 1 1 1 1 3 2, -2, -2, -2, -2 1 1 1 1 3 2, -2, -2, -2, -2 1 1 2, -2 1 1 1 1 3 2, -2, -2, -2, -2 1 1 1 1 3 2, -2, -2, -2, -2 1 1 2, -2 1 1 1 1 3 , 2 -2, -2, -2, -2 1 1 2, -2 1 1 2, -2 1 1 2, -2 1 1 2, -2 1 1 2, -2 1 1 1 1 3 2, -2, -2, -2, -2 1 1 1 1 3 2, -2, -2, -2, -2 1 1 2, -2 1 1 1 1 3 2, -2, -2, -2, -2 1 1 2, -2 1 1 2, -2 1 1 2, -2 1 1 2, -2 1 1 1 1 3 2, -2, -2, -2, -2 1 1 2, -2 1 1 2, -2 1 1 2, -2

Tab. 7.7. La tabella illustra la procedura per determinare i termini provenienti dalla conﬁgurazione d3 . I simboli nell’ultima colonna individuano schematicamente i termini secondo il seguente codice: × = 2H, Δ = 2 G, + = 4F , ‡ = 2F , = 2D (primo termine), = 2D (secondo termine), ∇ = 4P , † = 2P .

nuova tabella si ha ML =

l

m (2 − km ) = −ML ,

m=−l

mentre i valori di MS rimangono inalterati. Le tabelle che si ottengono dalle

` ELETTRONI DI VALENZA ATOMI CON PIU

211

Conﬁg.

Termini

s p, p5 p2 , p4 p3 d, d9 d2 , d8 d3 , d7 d4 , d6 d5 f , f 13 f 2 , f 12 f 3 , f 11 f 4 , f 10

S P 1 S, 1D, 3P 2 P , 2D, 4S 2 D 1 S, 1D, 1 G, 3P , 3F 2 P , 2D(2), 2F , 2 G, 2H, 4P , 4F 1 S(2), 1D(2), 1F , 1 G(2), 1I, 3P (2), 3D, 3F (2), 3 G, 3H, 5D 2 S, 2P , 2D(3), 2F (2), 2 G(2), 2H, 2I, 4P , 4D, 4F , 4 G, 6S 2 F 1 S, 1D, 1 G, 1I, 3P , 3F , 3H 2 P , 2D(2), 2F (2), 2 G(2), 2H(2), 2I, 2K, 2L, 4S, 4D, 4F , 4 G, 4I 1 S(2), 1D(4), 1F , 1 G(4), 1H(2), 1I(3), 1K, 1L(2), 1N , 3P (3), 3D(2), 3 F (4), 3 G(3), 3H(4), 3I(2), 3K(2), 3L, 3M , 5S, 5D, 5F , 5 G, 5I 2 P (4), 2D(5), 2F (7), 2 G(6), 2H(7), 2I(5), 2K(5), 2L(3), 2M (2), 2 N , 2O, 4S, 4P (2), 4D(3), 4F (4), 4 G(4), 4H(3), 4I(3), 4K(2), 4L, 4 M , 6P , 6F , 6H 1 S(4), 1P , 1D(6), 1F (4), 1 G(8), 1H(4), 1I(7), 1K(3), 1L(4), 1M (2), 1 N (2), 1Q, 3P (6), 3D(5), 3F (9), 3 G(7), 3H(9), 3I(6), 3K(6), 3L(3), 3 M (3), 3N , 3O, 5S, 5P , 5D(3), 5F (2), 5 G(3), 5H(2), 5I(2), 5K, 5L, 7F 2 S(2), 2P (5), 2D(7), 2F (10), 2 G(10), 2H(9), 2I(9), 2K(7), 2L(5), 2 M (4), 2N (2), 2O, 2Q, 4S(2), 4P (2), 4D(6), 4F (5), 4 G(7), 4H(5), 4 I(5), 4K(3), 4L(3), 4M , 4N , 6P , 6D, 6F , 6 G, 6H, 6I, 8S

f 5, f 9 f 6, f 8 f7

2

2

Tab. 7.8. Termini provenienti da conﬁgurazioni di elettroni equivalenti.

due conﬁgurazioni complementari hanno quindi la stessa struttura e danno luogo esattamente agli stessi termini. Giova inﬁne osservare che, se si hanno q elettroni equivalenti e se si indica con p il numero di possibili valori di m (p = 2 l + 1 = Q/2), il numero di righe che si debbono considerare nella costruzione di una tabella come le precedenti, Nrighe , `e pari al numero delle soluzioni intere, non negative dell’equazione k1 + k2 + · · · + kp = q , con ki ≤ 2. Si pu` o dimostrare che tale numero `e dato da Nrighe =

r

p! , r! (q − 2r)! (p − q + r)!

con la somma estesa a tutti i valori di r tali da rendere signiﬁcativi i fattoriali del denominatore. Ad esempio, volendo costruire la tabella per la conﬁgurazione

212

CAPITOLO 7

f 6 si avrebbe (q = 6, p = 7) Nrighe =

3 r=0

7! = 357 . r! (6 − 2r)! (1 + r)!

Con i procedimenti esposti si possono determinare i termini relativi a ogni assegnata conﬁgurazione di elettroni equivalenti. I risultati per le conﬁgurazioni pi` u comuni sono riportati nella Tab 7.8 (che riassume anche i risultati gi` a contenuti in alcune delle tabelle precedenti).

7.11 Le autofunzioni dell’Hamiltoniana non relativistica Come abbiamo visto nel Par. 7.6, le conﬁgurazioni costituiscono un insieme di stati quantici descritti da autofunzioni della forma ΨA (a1 , a2 , . . . , aN ) che soddisfano l’equazione di Schr¨ odinger H0 ΨA (a1 , a2 , . . . , aN ) = W0 ΨA (a1 , a2 , . . . , aN ) , dove H0 `e l’Hamiltoniana dell’Eq. (7.3) e W0 `e deﬁnito nell’Eq. (7.12). Tali stati quantici sono degeneri, e, come abbiamo visto, la degenerazione vale g. Se si vuole adesso andare a considerare l’azione dell’Hamiltoniana H1 dell’Eq. (7.4) `e necessario, in generale, valutare tutti gli elementi di matrice della forma ΨA (a1 , a2 , . . . , aN )|H1 |ΨA (a1 , a2 , . . . , aN )

,

ovvero tutti gli elementi di matrice fra gli stati appartenenti a una conﬁgurazione e gli stati appartenenti sia alla stessa conﬁgurazione che a conﬁgurazioni diverse. La diagonalizzazione della matrice risultante porta alla determinazione degli stati energetici del sistema atomico (in approssimazione non relativistica). Ovviamente il problema cos`ı impostato risulta di enorme complessit`a e si `e soliti introdurre un’approssimazione che consiste nel supporre l’Hamiltoniana H1 come una perturbazione dell’Hamiltoniana H0 in modo tale da poter applicare la teoria delle perturbazioni al primo ordine. In questa approssimazione, l’Hamiltoniana H1 viene diagonalizzata separatamente su ciascuna conﬁgurazione e si tralasciano gli elementi di matrice fra conﬁgurazioni diverse. In altre parole, se il nostro sistema atomico consiste di N conﬁgurazioni, ciascuna avente degenerazione gi (i = 1, 2, . . . , N ), invece di diagonalizzare un’unica matrice avente &N dimensione D = i=1 gi , si diagonalizzano N matrici aventi dimensione gi . Bisogna sottolineare che questo approccio `e approssimato e che attraverso di esso si trascura un fenomeno, detto interazione fra conﬁgurazioni, che pu`o assumere, in certi casi, un’importanza notevole. D’altra parte, quando l’interazione fra conﬁgurazioni non `e trascurabile, i numeri quantici stessi che caratterizzano

213

` ELETTRONI DI VALENZA ATOMI CON PIU

le conﬁgurazioni non risultano pi` u buoni numeri quantici e la conﬁgurazione pu` o essere assegnata a uno stato solo come approssimazione di ordine zero. In questo caso, uno stato atomico dovrebbe essere piuttosto descritto da una combinazione lineare di autofunzioni del tipo ΨA (a1 , a2 , . . . , aN ), con la somma estesa ad autofunzioni relative a conﬁgurazioni diverse. Poich´e per` o l’Hamiltoniana H1 commuta con l’operatore parit` a P, la parit` a di uno stato resta sempre un buon numero quantico e la combinazione lineare di cui sopra `e in ogni caso ristretta alle conﬁgurazioni della stessa parit`a. L’interazione fra conﬁgurazioni risulta particolarmente importante per stati eccitati, laddove la diﬀerenza fra le energie W0 relative a conﬁgurazioni limitrofe diminuisce. Per gli stati di energia pi` u bassa l’interazione fra conﬁgurazioni pu` o essere nella maggior parte dei casi trascurata. Nel seguito adotteremo l’approssimazione di trascurare il fenomeno dell’interazione fra conﬁgurazioni e determineremo le energie degli stati nell’ambito della teoria delle perturbazioni. Introdotta questa approssimazione, come abbiamo detto, il problema della ricerca dell’energia degli stati che si originano da una data conﬁgurazione implica la diagonalizzazione dell’Hamiltoniana H1 sullo spazio degenere della conﬁgurazione stessa. Tale diagonalizzazione non `e per`o necessaria qualora si riesca a determinare una base sulla quale l’Hamiltoniana H1 sia gi`a diagonale. Effettivamente tale base esiste ed `e la base costituita dalle autofunzioni che descrivono i termini, ovvero dalle autofunzioni degli operatori L2 , Lz , S 2 , e Sz di cui abbiamo parlato nel paragrafo precedente. Infatti, se Ψ(α, L, S, ML , MS ) `e l’autofunzione di un termine (L, S, ML , MS ) derivante dalla conﬁgurazione α, e Ψ(α, L , S , ML , MS ) `e l’analoga autofunzione di un termine (L , S , ML , MS ), tenendo conto che gli operatori L2 , S 2 , Lz , Sz commutano con H1 , si ha 0 = Ψ(α, L, S, ML, MS )|[L2 , H1 ]|Ψ(α, L , S , ML , MS ) = [L(L + 1) − L (L + 1)] Ψ(α, L, S, ML , MS )|H1 |Ψ(α, L , S , ML , MS )

,

0 = Ψ(α, L, S, ML , MS )|[S 2 , H1 ]|Ψ(α, L , S , ML , MS ) = [S(S + 1) − S (S + 1)] Ψ(α, L, S, ML , MS )|H1 |Ψ(α, L , S , ML , MS )

,

0 = Ψ(α, L, S, ML , MS )|[Lz , H1 ]|Ψ(α, L , S , ML , MS ) = (ML − ML ) Ψ(α, L, S, ML, MS )|H1 |Ψ(α, L , S , ML , MS )

,

0 = Ψ(α, L, S, ML, MS )|[Sz , H1 ]|Ψ(α, L , S , ML , MS ) = (MS − MS ) Ψ(α, L, S, ML , MS )|H1 |Ψ(α, L , S , ML , MS )

.

Queste quattro equazioni mostrano che si possono avere elementi di matrice di H1 diversi da zero solo se si considerano termini che hanno gli stessi valori per L, per S, per ML e per MS . Sulla base delle autofunzioni Ψ(α, L, S, ML , MS ) l’Hamiltoniana `e diagonale a blocchi, ciascun blocco essendo caratterizzato dalla

214

CAPITOLO 7

quaterna di valori (L, S, ML , MS ). In particolare, se la conﬁgurazione non ammette termini molteplici, l’Hamiltoniana `e diagonale. Inoltre, gli elementi di matrice non dipendono da ML e da MS e possono essere calcolati per una combinazione qualsiasi di questi due numeri quantici. La dimostrazione di questo fatto `e immediata e si basa sulla propriet` a di commutazione dell’Hamiltoniana con gli operatori di shift L± = Lx ± i Ly e S± = Sx ± i Sy . La ricerca delle energie dei termini pu`o essere impostata attraverso un metodo generale (il cosiddetto metodo della traccia o della somma sulla diagonale) che `e descritto nel capitolo seguente. Qui preferiamo illustrare i risultati pi` u importanti che si ottengono attraverso tale metodo su alcuni atomi aventi struttura particolarmente semplice, quali l’atomo di Elio e l’atomo di Carbonio.

7.12 L’atomo di Elio Come abbiamo visto nel Par. 7.7, la conﬁgurazione normale dell’atomo di Elio `e 1s2 , alla quale compete un solo termine 1S di momento angolare nullo. Le altre conﬁgurazioni pi` u comuni risultano dall’eccitazione di uno dei due elettroni 1s che passa all’orbitale nl. Si hanno quindi, ad esempio, le conﬁgurazioni eccitate 1s 2s, 1s 2p, 1s 3s, 1s 3p, 1s 3d, etc.. A ciascuna di queste conﬁgurazioni corrispondono due termini, uno di singoletto e uno di tripletto, del tipo 1L e 3 L. Consideriamo in particolare una conﬁgurazione 1s nl (con n ≥ 2). Indicando genericamente con ψa (x ) la funzione d’onda relativa all’orbitale 1s e con ψb (x ) la funzione d’onda di uno qualsiasi degli stati m relativi all’orbitale nl, le parti dipendenti dalle coordinate spaziali delle funzioni d’onda del singoletto e del tripletto sono date rispettivamente da 1 Ψ(1L) = √ [ψa (x1 )ψb (x2 ) + ψa (x2 )ψb (x1 )] , 2 1 Ψ(3L) = √ [ψa (x1 )ψb (x2 ) − ψa (x2 )ψb (x1 )] . 2 Le funzioni d’onda totali si ottengono moltiplicando la prima espressione per una funzione d’onda di spin antisimmetrica (cui corrisponde S = 0) e la seconda espressione per una funzione d’onda di spin simmetrica (S = 1), in modo tale da ottenere in ogni caso una funzione d’onda antisimmetrica. L’espressione esplicita delle autofunzioni di spin non `e rilevante in quanto l’Hamiltoniana H1 non dipende dallo spin. La correzione all’energia del singoletto ΔE(1L), si ottiene calcolando l’elemento di matrice ΔE(1L) = Ψ(1L)|H1 |Ψ(1L)

.

o essere posta nella forma (si ricordi l’Eq.(7.4)) L’Hamiltoniana H1 pu`

215

` ELETTRONI DI VALENZA ATOMI CON PIU

H1 = f (x1 ) + f (x2 ) + g(x1 , x2 ) , dove

f (x1 ) = −

2 e20 − Vc (r1 ) , r1

f (x2 ) = −

2 e20 − Vc (r2 ) , r2

g(x1 , x2 ) =

e20 , r12

e si ottiene, con queste posizioni, ΔE(1L) = Ψ(1L)|f (x1 )|Ψ(1L) + + Ψ(1L)|g(x1 , x2 )|Ψ(1L)

Ψ(1L)|f (x2 )|Ψ(1L) .

Sostituendo l’espressione per Ψ(1L), si osserva che il primo dei tre elementi di matrice consta di quattro termini che sono dati da 3 1 d d3 x2 |ψa (x1 )|2 |ψb (x2 )|2 f (x1 ) , x 1 2

d3 x2 |ψa (x2 )|2 |ψb (x1 )|2 f (x1 ) ,

d3 x1

1 2

d3 x2 ψa∗ (x1 ) ψb∗ (x2 ) ψa (x2 ) ψb (x1 ) f (x1 ) ,

3

1 2

d x1

d3 x2 ψa∗ (x2 ) ψb∗ (x1 ) ψa (x1 ) ψb (x2 ) f (x1 ) .

d3 x1

1 2

Eseguendo l’integrazione in d3 x2 , gli ultimi due integrali si annullano, a causa dell’ortogonalit` a delle funzioni d’onda ψa e ψb , mentre i primi due integrali si sempliﬁcano e danno, rispettivamente 1 2

Ia =

d3 x |ψa (x )|2 f (x ) ,

1 2

1 2

Ib =

1 2

d3 x |ψb (x )|2 f (x ) .

Il secondo elemento di matrice si calcola in maniera analoga e porta allo stesso risultato. Inﬁne il terzo elemento di matrice, che contiene l’interazione Coulombiana, consta anch’esso di quattro termini. Due di essi sono dati, rispettivamente, da 1 2 Jab 1 2 Kab

=

1 2

=

1 2

d3 x2 |ψa (x1 )|2 |ψb (x2 )|2

d3 x1

3

d x1

e20 , r12

d3 x2 ψa∗ (x1 ) ψb∗ (x2 ) ψa (x2 ) ψb (x1 )

e20 , r12

216

CAPITOLO 7

eV

1

1

S

3

20

D

3

3

3

S

2

3

P

D

3

3

2

1

P

3

2

3

0

2

15

100000

10

paraelio

5

0

ortoelio

1

200000

cm−1

Fig. 7.8. Diagramma di Grotrian dell’atomo di Elio. Ciascun livello `e contrassegnato dal numero quantico principale n dell’elettrone ottico.

e gli altri due sono ad essi uguali (come si deduce scambiando le variabili di integrazione x1 e x2 ). Raccogliendo i vari contributi si ottiene ΔE(1L) = Ia + Ib + Jab + Kab . Eseguendo lo stesso calcolo per il tripletto si ottiene invece ΔE(3L) = Ia + Ib + Jab − Kab , il che signiﬁca, poich`e si pu` o dimostrare che la quantit`a Kab `e sempre positiva, che lo stato di tripletto ha energia inferiore allo stato di singoletto. Gli integrali dell’interazione Coulombiana che compaiono in queste espressioni, Jab e Kab , sono detti rispettivamente integrale diretto e integrale di scambio. Mentre l’integrale diretto ha un’interpretazione ﬁsica immediata (essendo pari al valor medio dell’interazione Coulombiana quale ci si aspetterebbe attraverso considerazioni ﬁsiche elementari), l’integrale di scambio `e un risultato puramente quantistico e non `e possibile dargli un’interpretazione ﬁsica diretta. Il risultato che abbiamo ottenuto per le conﬁgurazioni 1s nl dell’atomo di Elio `e un caso particolare (o, pi` u precisamente un’estensione5 ) di un principio che porta il nome di prima regola di Hund. Tale regola enuncia che fra i termini che derivano da una conﬁgurazione di elettroni equivalenti, quello che ha energia minore `e quello che ha molteplicit` a pi` u elevata (ovvero il massimo valore di S), 5

La prima regola di Hund si applica a termini provenienti da conﬁgurazioni di elettroni equivalenti. Qui viene invece applicata a termini di conﬁgurazioni del tipo 1s nl.

` ELETTRONI DI VALENZA ATOMI CON PIU

217

e, a parit` a di molteplicit` a, quello che ha il valore di L pi` u elevato. La prima regola di Hund ammette un’interpretazione ﬁsica qualitativa. Infatti, se si considera il termine avente spin pi` u elevato, questo corrisponde alla funzione di spin avente massimo carattere di simmetria rispetto allo scambio degli elettroni, ovvero alla funzione d’onda spaziale il pi` u possibile antisimmetrica. Questo fa s`ı che gli elettroni si trovino il pi` u lontano possibile fra loro, rendendo quindi minima l’energia di repulsione Coulombiana (che `e sempre positiva). La struttura dei termini dell’atomo di Elio `e rappresentata schematicamente nel diagramma di Grotrian della Fig. 7.8. In tale diagramma il sistema dei singoletti `e disegnato separatamente da quello dei tripletti. Poich´e la regola di selezione ΔS = 0 (vedi sotto) risulta particolarmente ben veriﬁcata per l’atomo di Elio, lo spettro fu interpretato dai primi spettroscopisti come quello di due elementi distinti, che furono chiamati rispettivamente paraelio (S = 0, sistema dei singoletti) e ortoelio (S = 1, sistema dei tripletti). Per gli spettri atomici con pi` u elettroni ottici valgono un certo numero di regole di selezione. Queste regole saranno giustiﬁcate teoricamente in seguito (si veda il Cap. 12). Per il momento possiamo semplicemente considerarle come regole empiriche che spiegano la ragione per cui solo certe righe sono presenti negli spettri. Si hanno due tipi diversi di regole di selezione, ovvero regole di selezione che riguardano l’intercombinazione fra conﬁgurazioni e regole di selezione che riguardano l’intercombinazione fra termini. Le prime sono le seguenti (a) Δl = ±1 ,

(b) pari −→ / pari ,

(b ) dispari −→ / dispari ,

mentre per le seconde si ha (c) ΔS = 0 ,

(d) ΔL = ±1, 0 ; 0 −→ / 0 .

La regola (a) enuncia che sono possibili transizioni fra conﬁgurazioni che diﬀeriscono fra loro per i numeri quantici di un solo elettrone. Inoltre, il numero quantico azimutale dell’elettrone deve diﬀerire di una unit` a fra le conﬁgurazioni iniziale e ﬁnale. La regola (b), detta regola di Laporte, enuncia che sono possibili transizioni solo fra conﬁgurazioni pari e conﬁgurazioni dispari o viceversa. La regola (c) esprime il fatto che lo spin totale, S, deve restare invariato nella transizione mentre la (d) esprime il fatto che il momento angolare orbitale totale, L, pu` o variare al pi` u di una unit` a nella transizione (con esclusione della transizione 0 → 0 che `e proibita). C’`e da notare che, in alcuni casi, le regole di selezione non sono indipendenti. Ad esempio, nel caso dell’Elio in cui un elettrone rimane sempre nello stato 1s, la regola di selezione su Δl coincide con la regola di selezione su ΔL. Inoltre, la regola di Laporte sembra essere una ripetizione della regola su Δl. In verit` a, la regola di Laporte `e pi` u generale e pu`o essere applicata anche nel caso che sia

218

CAPITOLO 7

presente il fenomeno dell’interazione fra conﬁgurazioni (infatti, anche se a uno stato non pu` o essere assegnata una particolare conﬁgurazione, gli pu`o sempre essere assegnata una deﬁnita parit`a). Queste regole di selezione rendono conto del fatto che le uniche righe che si osservano nello spettro dell’Elio sono quelle tracciate nel diagramma di Fig. 7.8. L’atomo di Elio ammette quindi due livelli cosiddetti metastabili, ovvero due livelli eccitati che non possono combinare con il livello fondamentale, o, pi` u in generale, con livelli di energia minore. I due livelli metastabili dell’Elio sono i livelli 1S e 3S provenienti dalla conﬁgurazione 1s 2s.

7.13 L’atomo di Carbonio La conﬁgurazione normale dell’atomo di Carbonio `e 1s2 2s2 2p2 che d` a origine ai tre termini 1S, 1D, e 3P (si veda la Tab. 7.8). In base alla prima regola di Hund, il termine avente energia pi` u bassa `e il termine 3P che `e quindi anche lo stato fondamentale dell’atomo di Carbonio. Come vedremo nel capitolo seguente, la teoria prevede inoltre che il termine 1D si trovi a energia pi` u bassa del termine 1S, con un rapporto fra gli intervalli dato da S − 1D 3 = . 1D − 3P 2 1

Come mostra il diagramma di Grotrian della Fig. 7.9, i termini si trovano effettivamente nell’ordine energetico previsto dalla teoria, sebbene il rapporto fra gli intervalli risulti di 1.13 invece che di 1.50. Questo fatto, dovuto soprattutto al fenomeno dell’interazione fra conﬁgurazioni, mostra chiaramente i limiti delle approssimazioni che vengono introdotte per l’interpretazione dei dati spettroscopici a livello elementare. Le pi` u importanti conﬁgurazioni di elettroni eccitati sono quelle in cui uno dei due elettroni 2p passa a un’orbita pi` u elevata. Esse sono del tipo 1s2 2s2 2p np 2 2 (n = 3, 4, . . .), 1s 2s 2p ns (n = 3, 4, . . .), 1s2 2s2 2p nd (n = 3, 4, . . .), etc.. Ciascuna delle conﬁgurazioni del primo tipo d` a luogo a sei termini, 1S, 1P , 1D, 3 3 3 S, P , D. Le conﬁgurazioni del secondo tipo danno luogo a due termini, 1P e 3P . Inﬁne le conﬁgurazioni del terzo tipo danno luogo a sei termini, 1P , 1D, 1 F , 3P , 3D, 3F . Il diagramma di Grotrian dell’atomo di Carbonio `e riportato schematicamente nella Fig. 7.9. Da tale ﬁgura si pu`o osservare che dei sei termini provenienti dalla conﬁgurazione 1s2 2s2 2p 3p, il pi` u basso in energia `e il termine 1P . Questo fatto non `e in contraddizione con la prima regola di Hund (che prevederebbe un’energia minore per il termine 3D) in quanto tale regola `e strettamente valida solo per le conﬁgurazioni di elettroni equivalenti. Analogamente, per la conﬁgurazione 1s2 2s2 2p 3d, il termine pi` u basso `e il termine 1D (e non il 3F ).

219

` ELETTRONI DI VALENZA ATOMI CON PIU

eV

2s 2 2p np 2s 2 2p ns

2s 2p 3

2s 2 2p nd

10

3

1

1

P

8

1

6

4

S D 1 P

1

3

P S 3 D

3

P

P F 1 D 1

3

P D 3 F

3

P

3

D

3

5

S

1

S

2

D 3

1

0

P

Fig. 7.9. Diagramma di Grotrian dell’atomo di Carbonio. Ciascun livello `e contrassegnato dalla propria denominazione spettroscopica.

Nel diagramma di Grotrian sono anche riportati alcuni termini della conﬁgurazione 1s2 2s 2p3. Tale conﬁgurazione risulta dall’eccitazione di un elettrone appartenente a una sottozona interna ma in questo caso, essendo la diﬀerenza in energia fra l’orbitale 2s e l’orbitale 2p relativamente piccola, alcuni dei termini corrispondenti si vengono a trovare al di sotto del limite di ionizzazione dell’atomo. La conﬁgurazione d` a luogo, in principio, a sei termini, 1P , 1D, 3S, 3 3 5 P , D, S, tre dei quali sono riportati nel diagramma. In conclusione di questo capitolo osserviamo che, malgrado l’enorme quantit` a di lavoro dedicata all’osservazione e all’analisi degli spettri atomici (di laboratorio e astroﬁsici), la conoscenza dei livelli energetici degli atomi e degli ioni `e ancora ben lontana dall’essere completa. Analisi suﬃcientemente esaustive sono disponibili solo per quegli atomi (o ioni) aventi pochi elettroni nelle zone aperte. L’analisi dei metalli appartenenti ai gruppi di transizione `e ancora piuttosto incompleta e ancor pi` u lo `e quella dei lantanidi e degli attinidi, gruppi caratterizzati da una notevole complessit`a di struttura.

Capitolo 8

Energie dei termini Nel capitolo precedente abbiamo introdotto l’Hamiltoniana non relativistica di un atomo complesso e abbiamo visto come, per mezzo dell’approssimazione del campo centrale, essa possa essere separata in due parti: un’Hamiltoniana di ordine zero, i cui autovettori, in generale degeneri, sono i molteplici stati appartenenti alle diverse conﬁgurazioni, e un’Hamiltoniana “correttiva” contenente vari termini fra cui, in particolare, il termine di repulsione Coulombiana fra gli elettroni. Trascurando il fenomeno dell’intrazione fra conﬁgurazioni, il che equivale a considerare l’Hamiltoniana correttiva come una perturbazione dell’Hamiltoniana di ordine zero, abbiamo visto, nel caso particolare dell’atomo di Elio, come sia possibile esprimere le energie dei termini per mezzo di integrali che coinvolgono le autofunzioni di particella singola relative all’Hamiltoniana di ordine zero. In questo capitolo generalizzeremo i risultati ottenuti per l’atomo di Elio a un atomo qualsiasi, sempre impostando il problema dal punto di vista della teoria delle perturbazioni. Questo ci porter` a a ottenere dei risultati generali che possono essere direttamente confrontati con i dati spettroscopici. Tali risultati, seppur approssimati, costituiscono la base di partenza per lo sviluppo di procedimenti pi` u soﬁsticati che vengono oggi utilizzati per l’analisi dettagliata degli spettri atomici.

8.1 La regola della traccia Quando si trascuri il fenomeno dell’interazione fra conﬁgurazioni, le energie dei termini provenienti da una conﬁgurazione assegnata si ottengono diagonalizzando l’Hamiltoniana H1 dell’Eq. (7.4) sullo spazio di degenerazione della conﬁgurazione. Questo, in principio, implica la diagonalizzazione di una matrice di ordine g, dove g `e la degenerazione della conﬁgurazione, i cui singoli elementi di matrice sono della forma ΨA (a1 , a2 , . . . , aN )| H1 |ΨA (a1 , a2 , . . . , aN )

,

dove (a1 , a2 , . . . , aN ) e (a1 , a2 , . . . , aN ) sono due set di numeri quantici corrispondenti alla medesima conﬁgurazione. Come abbiamo visto nel Par. 7.11, la diagonalizzazione potrebbe essere evitata qualora si riuscissero a costruire delle opportune combinazioni lineari delle ΨA (a1 , a2 , . . . , aN ) tali da risultare autovettori degli operatori L2 e S 2 . Tale costruzione presenta per`o, in generale, delle notevoli diﬃcolt`a per cui si preferisce ricorrere a un metodo diverso.

222

CAPITOLO 8

In primo luogo, si pu` o osservare che ciascuna delle g funzioni d’onda degeneri ΨA (a1 , a2 , . . . , aN ) `e un autovettore degli operatori Lz e Sz corrispondente, rispettivamente, agli autovalori ML e MS dati da ML =

N

mi ,

MS =

i=1

N

msi ,

i=1

dove mi e msi sono, rispettivamente, il numero quantico magnetico e il numero quantico della proiezione (lungo l’asse z) dello spin dell’elettrone i-esimo. Se si ricorda poi che l’Hamiltoniana H1 commuta con gli operatori Lz e Sz , ne segue che l’Hamiltoniana risulta diagonale a blocchi, ogni blocco, ovvero ogni singola sottomatrice, essendo caratterizzata da un’opportuna coppia di valori (ML , MS ). Supponiamo adesso di aver eﬀettivamente eseguito la diagonalizzazione di una di tali sottomatrici. Sulla sua diagonale appariranno le energie dei termini compatibili con i valori di ML e di MS che caratterizzano la sottomatrice stessa. Se si ricorda la propriet`a fondamentale delle matrici secondo la quale la traccia `e invariante per trasformazioni di similitudine, si arriva alla conclusione seguente: assegnata una coppia di valori (ML , MS ), si considerino tutti i termini compatibili con tali valori. La somma delle energie di tali termini `e uguale alla somma degli elementi di matrice diagonali del tipo ΨA (a1 , a2 , . . . , aN )|H1 |ΨA (a1 , a2 , . . . , aN )

,

A

dove Ψ (a1 , a2 , . . . , aN ) `e un autofunzione di Lz e Sz corrispondente, rispettivamente, agli autovalori ML e MS . Queste semplici considerazioni permettono, in molti casi, di ottenere le energie dei termini per mezzo di combinazioni lineari di elementi di matrice diagonali. Chiariamo queste considerazioni attraverso un esempio. Consideriamo per questo la conﬁgurazione pp la quale, come sappiamo, ammette i sei termini 1 S, 1P , 1D, 3S, 3P , 3D. Il valore pi` u alto possibile per ML `e 2, e quello pi` u alto possibile per MS `e 1. Questa coppia di valori (ML , MS ) `e compatibile solamente col termine 3D, e, indicando con lo stesso simbolo del termine la sua energia, si pu` o scrivere 3

D = [2, 1] ,

dove abbiamo introdotto il simbolo abbreviato [ML , MS ] per indicare la somma degli elementi di matrice diagonali dell’Hamiltoniana H1 fra tutti gli stati ΨA aventi per autovalori di Lz e Sz i valori ML e MS , rispettivamente. Se adesso procediamo, diminuendo i valori di ML e MS ﬁno ad arrivare per entrambi a zero, si ottengono le altre equazioni 3

D + 3P = [1, 1] ,

3

D + 3P + 3S = [0, 1] ,

3

D + 1D = [2, 0] ,

223

ENERGIE DEI TERMINI 3

D + 1D + 3P + 1P = [1, 0] ,

3

D + 1D + 3P + 1P + 3S + 1S = [0, 0] . (8.1)

Invertendo queste equazioni si ottiene, con semplici passaggi algebrici 3

D = [2, 1] ,

P = [1, 1] − [2, 1] ,

3

D = [2, 0] − [2, 1] ,

1

S = [0, 1] − [1, 1] ,

3

P = [1, 0] − [2, 0] − [1, 1] + [2, 1] ,

1

S = [0, 0] − [1, 0] − [0, 1] + [1, 1] .

1

Le somme indicate dai simboli [ML , MS ] altro non sono che somme di elementi di matrici diagonali. Ogni elemento di matrice pu`o poi essere individuato attraverso i valori di m e di ms di ciascun elettrone (ricordiamo che gli altri numeri quantici n e l sono gi`a stabiliti dalla conﬁgurazione). Per questo, nel caso di conﬁgurazioni a due elettroni, si usa una notazione compatta del tipo 1 ± (m± 1 , m2 )

per indicare l’elemento di matrice diagonale dell’Hamiltoniana sullo stato in cui l’elettrone 1 ha numero quantico magnetico m1 e numero quantico di spin +1/2 oppure −1/2 e, analogamente, l’elettrone 2 ha numero quantico magnetico m 2 e numero quantico di spin +1/2 oppure −1/2. Introdotta questa notazione, `e ± facile andare a identiﬁcare tutte le coppie del tipo (m± 1 , m2 ) che contribuiscono alla somma [ML , MS ]. Nel nostro caso particolare si ha [2, 1] = (1+ , 1+ ) ,

[1, 1] = (1+ , 0+ ) + (0+ , 1+ ) ,

[0, 1] = (1+ , −1+ ) + (0+ , 0+ ) + (−1+ , 1+ ) ,

[2, 0] = (1+ , 1− ) + (1− , 1+ ) ,

[1, 0] = (1+ , 0− ) + (1− , 0+ ) + (0+ , 1− ) + (0− , 1+ ) , [0, 0] = (1+ , −1− ) + (1− , −1+ ), +(0+ , 0− ) + (0− , 0+ ) + (−1+ , 1− ) + (−1− , 1+ ) . Sostituendo queste espressioni nelle Eq. (8.1), si ottengono i risultati riportati nella Tab. 8.1 In deﬁnitiva, siamo quindi riusciti a esprimere le energie dei termini come somme algebriche di elementi di matrice diagonali dell’Hamiltoniana H1 su autostati dell’Hamiltoniana H0 . Nelle equazioni ﬁnali della Tab. 8.1, c’`e da notare che, ad esempio, l’elemento di matrice indicato col simbolo (1+ , 1− ) `e diverso dall’elemento di matrice indicato col simbolo (1− , 1+ ). Questo `e perch´e i due elettroni sono non equivalenti, e l’ordine entro la parentesi `e importante. Nel caso di conﬁgurazioni con due elettroni equivalenti, invece, l’ordine entro la parentesi `e irrilevante; per di pi` u, in quest’ultimo caso, elementi di matrice come (0+ , 0+ ) non devono comparire nelle espressioni delle energie dei termini 1

Il simbolo ` e introdotto nel classico volume di spettroscopia atomica E.U. Condon & G.H. Shortley, The Theory of Atomic Spectra, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1935.

224

CAPITOLO 8

Conﬁgurazione pp 3

D= P = 3 S= 1 D= 1 P = 3

1

S=

(1+ , 1+ ) (1+ , 0+ ) + (0+ , 1+ ) − (1+ , 1+ ) (1+ , −1+ ) + (0+ , 0+ ) + (−1+ , 1+ ) − (1+ , 0+ ) − (0+ , 1+ ) (1+ , 1− ) + (1− , 1+ ) − (1+ , 1+ ) (1+ , 0− ) + (1− , 0+ ) + (0+ , 1− ) + (0− , 1+ ) − (1+ , 1− ) − (1− , 1+ ) − (1+ , 0+ ) − (0+ , 1+ ) + (1+ , 1+ ) (1+ , −1− ) + (1− , −1+ ) + (0+ , 0− ) + (0− , 0+ ) + (−1+ , 1− ) + (−1− , 1+ ) − (1+ , 0− ) − (1− , 0+ ) − (0+ , 1− ) − (0− , 1+ ) −(1+ , −1+ ) − (0+ , 0+ ) − (−1+ , 1+ ) + (1+ , 0+ ) + (0+ , 1+ )

Tab. 8.1. Energie dei termini della conﬁgurazione pp espresse come somme di elementi di ± matrice diagonali di stati elettronici della forma (m± 1 , m2 ).

perch´e le corrispondenti funzioni d’onda si riferiscono a stati che violano il principio di esclusione di Pauli. Il metodo sopra esposto per la conﬁgurazione pp `e basato sulla regola generale dell’invarianza della traccia di una matrice per trasformazioni di similitudine. Nelle applicazioni spettroscopiche tale regola viene chiamata regola della traccia oppure regola della somma sulla diagonale (diagonal sum rule). Il metodo pu` o essere applicato a conﬁgurazioni qualunque e implica calcoli elementari, anche se spesso laboriosi. Nella Tab. 8.2 riportiamo i risultati relativi alle conﬁgurazioni p2 , p3 e p2 p . Per quest’ultimo caso `e necessario introdurre la ± ± notazione (m± 1 , m2 ; m3 ) per distinguere fra i due elettroni equivalenti, con indici 1 e 2, dall’elettrone non equivalente, con indice 3. Bisogna sottolineare che nell’ultimo caso analizzato, quello della conﬁgurazione p2 p , la regola della traccia non permette di determinare separatamente l’energia dei due termini 2D e dei tre termini 2P , ma solo la somma delle energie dei termini ripetuti. Questa `e una limitazione generale della regola della traccia. Se si vogliono determinare le singole energie dei termini ripetuti bisogna ricorrere a una eﬀettiva diagonalizzazione della sottomatrice relativa solamente a tali termini.

8.2 Calcolo di elementi di matrice diagonali Si abbia da calcolare l’elemento di matrice diagonale Ψ(a1 , a2 , . . . , aN )| H1 |Ψ(a1 , a2 , . . . , aN )

.

L’Hamiltoniana H1 (si veda l’Eq.(7.4)) consta della somma di uno stesso operatore, f (i), relativo a ciascun elettrone, e della somma, relativa a tutte le

225

ENERGIE DEI TERMINI

Conﬁgurazione p2 3

P = D= 1 S= 1

(1+ , 0+ ) (1+ , 1− ) (1+ , −1− ) + (1− , −1+ ) + (0+ , 0− ) − (1+ , 0+ ) − (1+ , 1− ) Conﬁgurazione p3

4

S= D= 2 P = 2

(1+ , 0+ , −1+ ) (1+ , 1− , 0+ ) (1+ , 1− , −1+ ) + (1+ , 0+ , 0− ) − (1+ , 1− , 0+ ) Conﬁgurazione p2 p

4

D= P = 4 S= 4

2

F = D(2) =

2 2

P (3) =

2

S=

(1+ , 0+ ; 1+ ) (1+ , −1+ ; 1+ ) + (1+ , 0+ ; 0+ ) − (1+ , 0+ ; 1+ ) (1+ , −1+ ; 0+ ) + (1+ , 0+ ; −1+ ) + (−1+ , 0+ ; 1+ ) − (1+ , −1+ ; 1+ ) − (1+ , 0+ ; 0+ ) (1+ , 1− ; 1+ ) (1+ , 0− ; 1+ ) + (1− , 0+ ; 1+ ) + (1+ , 0+ ; 1− ) + (1+ , 1− ; 0+ ) − (1+ , 1− ; 1+ ) − (1+ , 0+ ; 1+ ) (1+ , 1− ; −1+ ) + (1+ , 0+ ; 0− ) + (1+ , 0− ; 0+ ) + (1− , 0+ ; 0+ ) + (1+ , −1+ ; 1− ) + (1+ , −1− ; 1+ ) + (1− , −1+ ; 1+ ) + (0+ , 0− ; 1+ ) − (1+ , 0− ; 1+ ) − (1− , 0+ ; 1+ ) − (1+ , 0+ ; 1− ) − (1+ , 1− ; 0+ ) − (1+ , −1+ ; 1+ ) − (1+ , 0+ ; 0+ ) + (1+ , 0+ ; 1+ ) (1+ , 0+ ; −1− ) + (1+ , 0− ; −1+ ) + (1− , 0+ ; −1+ ) + (1+ , −1+ ; 0− ) + (1+ , −1− ; 0+ ) + (1− , −1+ ; 0+ ) + (0+ , 0− ; 0+ ) + (0+ , −1+ ; 1− ) + (0+ , −1− ; 1+ ) + (0− , −1+ ; 1+ ) − (1+ , 1− ; −1+ ) − (1+ , 0+ ; 0− ) − (1+ , 0− ; 0+ ) − (1− , 0+ ; 0+ ) − (1+ , −1+ ; 1− ) − (1+ , −1− ; 1+ ) − (1− , −1+ ; 1+ ) − (0+ , 0− ; 1+ ) − (1+ , −1+ ; 0+ ) − (1+ , 0+ ; −1+ ) − (−1+ , 0+ ; 1+ ) + (1+ , −1+ ; 1+ ) + (1+ , 0+ ; 0+ )

Tab. 8.2. Energie dei termini delle conﬁgurazione p2 , p3 e p2 p . Il simbolo 2D(2), che appare nella parte relativa alla conﬁgurazione p 2 p , rappresenta la somma delle energie dei due termini 2D che si originano da tale conﬁgurazione. Analogo signiﬁcato ha il simbolo 2P (3).

coppie distinte di elettroni, di un operatore, g(i, j), simmetrico nello scambio dell’elettrone i-esimo con l’elettrone j-esimo. Esplicitamente si ha

H1 = F + G =

N i=1

dove

f (i) +

i<j

g(i, j) ,

(8.2)

226

CAPITOLO 8

f (i) = −Vc (ri ) −

Ze20 , ri

g(i, j) =

e20 . rij

(8.3)

. . , aN ) `e del tipo di determinante di Ricordando che la funzione Ψ(a1 , a2 , .√ Slater (si veda l’Eq.(7.1), con NA = 1/ N ! ), si ha per il primo contributo di H1 1 (−1)P+Q N! i=1 N

Ψ(a1 , a2 , . . . , aN )| F |Ψ(a1 , a2 , . . . , aN ) =

P

Q

× P[ψa1 (x1 )ψa2 (x2 ) · · · ψaN (xN )]|f (xi )|Q[ψa1 (x1 )ψa2 (x2 ) · · · ψaN (xN )]

,

con la somma estesa a tutte le permutazioni possibili, P e Q, delle coordinate degli elettroni nel “bra” e, rispettivamente, nel “ket”. La somma contiene N × (N !)2 termini, il generico dei quali risulta, a parte un segno,

ψa1 (x1 )|ψa1 (x1 )

ψa2 (x2 )|ψa2 (x2 ) · · · ψai (xi )|f (xi )|ψai (xi ) · · · × ψaN (xN )|ψaN (xN )

,

essendo (a1 , a2 , . . . , aN ) e (a1 , a2 , . . . , aN ) due permutazioni arbitrarie (e in generale distinte) di (a1 , a2 , . . . , aN ). Per la propriet` a di ortonormalit` a delle autofunzioni ψaj , questo termine risulta nullo a meno che non sia a1 = a1 , a2 = a2 , . . ., aN = aN . Si ha allora 1 N! i=1 N

Ψ(a1 , a2 , . . . , aN )|F|Ψ(a1 , a2 , . . . , aN ) =

P

P[ψa1 (x1 )ψa2 (x2 ) · · · ψaN (xN )]|f (xi )|P[ψa1 (x1 )ψa2 (x2 ) · · · ψaN (xN )]

,

col che la somma contiene soltanto N ×N ! termini. Fissiamo adesso l’attenzione sugli N ! termini della somma che contengono l’elemento di matrice di f (xi ), con i ﬁssato. (N − 1)! di questi termini risultano uguali a ψa1 (xi )|f (xi )|ψa1 (xi ) , (N − 1)! uguali a ψa2 (xi )|f (xi )|ψa2 (xi ) , e cos`ı via ﬁno agli (N − 1)! uguali a ψaN (xi )|f (xi )|ψaN (xi ) . Si ottiene quindi

Ψ(a1 , a2 , . . . , aN )|F|Ψ(a1 , a2 , . . . , aN ) =

N N 1 ψaj (xi )|f (xi )|ψaj (xi ) . N i=1 j=1

D’altra parte, una volta che l’elemento di matrice `e stato calcolato, esso non dipende pi` u dalle coordinate xi dell’elettrone, per cui si ottiene in deﬁnitiva

227

ENERGIE DEI TERMINI

Ψ(a1 , a2 , . . . , aN )|F|Ψ(a1 , a2 , . . . , aN ) =

N

ψaj (x)|f (x)|ψaj (x)

,

j=1

ovvero, abbreviando le notazioni con un simbolismo evidente Ψ(a1 , a2 , . . . , aN )|F|Ψ(a1 , a2 , . . . , aN ) =

N

aj |f |aj

.

(8.4)

j=1

Malgrado le complicazioni formali introdotte dall’antisimmetrizzazione delle autofunzioni, il risultato che abbiamo ottenuto per l’elemento di matrice diagonale dell’operatore F `e ovvio e intuitivo. In pratica si tratta di sommare l’elemento di matrice diagonale dell’operatore di particella singola, f , su tutti gli stati ai di particella singola occupati dagli elettroni. Calcoliamo adesso l’elemento di matrice diagonale dell’operatore G. Si ha Ψ(a1 , a2 , . . . , aN )|G|Ψ(a1 , a2 , . . . , aN ) =

1 (−1)P+Q N! i<j P

Q

× P[ψa1 (x1 )ψa2 (x2 ) · · · ψaN (xN )]|g(xi , xj )|Q[ψa1 (x1 )ψa2 (x2 ) · · · ψaN (xN )]

.

Esplicitando, come nel caso precedente relativo all’operatore F, il generico termine della somma nella forma ψa1 (x1 )|ψa1 (x1 )

ψa2 (x2 )|ψa2 (x2 ) · · ·

× ψai (xi )ψaj (xj )|g(xi , xj )|ψai (xi )ψaj (xj ) · · · ψaN (xN )|ψaN (xN )

,

`e facile rendersi conto che, in questo caso, l’elemento di matrice pu` o essere non nullo in due situazioni diverse, ovvero quando si ha caso a) a1 = a1 , a2 = a2 , ai = ai , aj = aj , aN = aN , oppure quando si ha caso b) a1 = a1 , a2 = a2 , ai = aj , aj = ai , aN = aN . Nel caso a) la permutazione Q `e la stessa della permutazione P, mentre nel caso b) essa `e la stessa della P con in pi` u lo scambio fra i numeri quantici delle particelle i e j. Indicando tale permutazione con P’, si ha che

(−1)P+P = −1 , in quanto le due permutazioni P e P’ hanno parit` a diversa. In base a queste considerazioni si ottiene

228

CAPITOLO 8

Ψ(a1 , a2 , . . . , aN )|G|Ψ(a1 , a2 , . . . , aN ) =

1 1 Aij − Bij , N! N! i<j i<j P

P

dove Aij = P[ψa1 (x1 )ψa2 (x2 )···ψaN (xN )]|g(xi , xj )|P[ψa1 (x1 )ψa2 (x2 )···ψaN (xN )] , Bij = P[ψa1 (x1 )ψa2 (x2 )···ψaN (xN )]|g(xi , xj )|P [ψa1 (x1 )ψa2 (x2 )···ψaN (xN )] . Fissiamo adesso l’attenzione su una particolare coppia (i, j). Degli N ! termini che compaiono nella somma ce ne sono (N − 2)! che danno per risultato

ψa1 (xi )ψa2 (xj )|g(xi , xj )|ψa1 (xi )ψa2 (xj )

− ψa1 (xi )ψa2 (xj )|g(xi , xj )|ψa2 (xi )ψa1 (xj )

,

(N −2)! che danno risultato analogo con la coppia di stati (a1 , a3 ) al posto della coppia (a1 , a2 ), e cos`ı via per tutte le possibili coppie ordinate di stati (ar , as ). Osservando poi che, a causa della simmetria dell’operatore g(i, j) rispetto allo scambio delle particelle, la coppia ordinata (ar , as ) d` a lo stesso risultato della coppia ordinata (as , ar ), si ottiene

Ψ(a1 , a2 , . . . , aN )|G|Ψ(a1 , a2 , . . . , aN ) =

2 N (N − 1) i<j coppie a

r ,as

ψar (xi )ψas (xj )|g(xi , xj )|ψar (xi )ψas (xj )

− ψar (xi )ψas (xj )|g(xi , xj )|ψas (xi )ψar (xj )

,

dove la somma sulle coppie va intesa nel senso di coppie non ordinate. Una volta calcolati gli elementi di matrice che compaiono in questa equazione, il risultato non dipende pi` u dai valori degli indici i e j. Osservando che la somma su i e j implica N (N − 1)/2 termini si ottiene, in notazioni compatte Ψ(a1 , a2 , . . . , aN )|G|Ψ(a1 , a2 , . . . , aN ) = [ ar , as |g|ar , as − ar , as |g|as , ar ] . =

(8.5)

coppie ar ,as

Gli elementi di matrice che compaiono col segno positivo nel secondo membro sono detti “diretti”, mentre gli altri sono detti “di scambio”. Il contributo di questi ultimi all’energia totale di un sistema atomico viene chiamato il contributo dovuto all’energia di scambio. Gli elementi di matrice diretti hanno un’interpretazione ﬁsica immediata, essendo integrali del tipo

ENERGIE DEI TERMINI

|ψar (x1 )|2 |ψas (x2 )|2

229

e20 dx1 dx2 . r12

Gli elementi di matrice di scambio, invece, sono una conseguenza del carattere antisimmetrico delle autofunzioni, ovvero del principio di esclusione, e non hanno analogo classico.

8.3 Elementi di matrice di particella singola Nel paragrafo precedente abbiamo ricondotto gli elementi di matrice diagonali di operatori di tipo F e G fra stati di N particelle a elementi di matrice fra stati di una particella (nel caso dell’operatore F) oppure di due particelle (nel caso dell’operatore G). Adesso andiamo a calcolare esplicitamente questi elementi di matrice tenendo conto che le autofunzioni di particella singola sono del tipo (si vedano le Eq. (7.10) e (7.11)) ψnlmms =

1 Pnl (r) Ylm (θ, φ) χms , r

dove Pnl (r) `e l’autofunzione radiale ridotta, soluzione dell’equazione di Schr¨ odinger

−

h ¯ 2 d2 h ¯ 2 l(l + 1) Pnl (r) = W0 (n, l)Pnl (r) , P (r) + V (r) + nl c 2 m dr2 2 m r2

Vc (r) essendo il potenziale centrale. Ricordando l’espressione dell’operatore F delle Eq. (8.2) e (8.3), il primo integrale da valutare `e del tipo Ze20 2 2 |ψnlmms | −Vc (r) − r sin θ dr dθ dφ , r e porta direttamente, tenendo conto della propriet` a delle armoniche sferiche espressa dall’Eq. (6.12), a un integrale radiale, funzione di n e di l, deﬁnito da ∞ Ze20 2 I(n, l) = − dr . (8.6) Pnl (r) Vc (r) + r 0 Ovviamente, l’espressione esplicita di I(n, l) pu` o essere calcolata solo qualora sia stato assegnato il potenziale Vc (r) e si siano successivamente determinate le funzioni radiali ridotte Pnl (r). Riassumendo, i risultati del capitolo precedente e quelli test´e ottenuti permettono di scrivere l’energia di una data conﬁgurazione, dovuta all’Hamiltoniana H0 e alla parte F dell’Hamiltoniana H1 , nella forma

230

CAPITOLO 8

W =

qnl [W0 (n, l) + I(n, l)] ,

(8.7)

sottozone

dove qnl `e il numero di elettroni presenti nella sottozona nl. Tale energia `e la stessa per tutti i g stati della conﬁgurazione. La parte F dell’Hamiltoniana H1 non rimuove quindi la degenerazione.

8.4 Elementi di matrice dell’interazione Coulombiana Per quanto riguarda l’interazione Coulombiana, `e necessario calcolare due tipi diversi di elementi di matrice, quelli diretti e quelli di scambio, per i quali tradizionalmente si utilizzano le notazioni J e K. Tali integrali sono deﬁniti da e20 e2 | a, b , K(a, b) = a, b | 0 | b, a , r12 r12 dove, con a e b, si intendono due set diversi di numeri quantici, ovvero J(a, b) = a, b |

a = (na , la , ma , msa ) ,

b = (nb , lb , mb , msb ) .

Pi` u in generale, andiamo a calcolare un elemento di matrice del tipo a, b |

e20 | c, d r12

.

Esplicitando le autofunzioni, si ha ∞ ∞ e20 | c, d = δ(msa , msc ) δ(msb , msd ) dr1 dr2 r12 0 0 π 2π π × Pna la (r1 )Pnb lb (r2 )Pnc lc (r1 )Pnd ld (r2 ) dθ1 dθ2 dφ1 a, b |

0

0

0

2π

dφ2

0

e20 sin θ1 sin θ2 , r12 dove le due delta di Kronecker sono dovute ai prodotti scalari delle autofunzioni di spin. Per eseguire l’integrale conviene ricordare l’Eq. (7.9) che qui riscriviamo × Yl∗a ma (θ1 , φ1 )Yl∗b mb (θ2 , φ2 )Ylc mc (θ1 , φ1 )Yld md (θ2 , φ2 )

∞

rl 1 < = P (cosΘ) , l+1 l r12 r l=0 > dove r< e r> sono, rispettivamente, il minore e il maggiore fra r1 e r2 e dove Θ `e l’angolo compreso fra i raggi vettori r1 e r2 . Per il teorema dei tre coseni si ha

231

ENERGIE DEI TERMINI

cosΘ = cosθ1 cosθ2 + sinθ1 sinθ2 cos(φ1 − φ2 ) , e la funzione di Legendre di argomento cosΘ pu`o essere espressa, attraverso il cosiddetto teorema di addizione, nella forma Pl (cos Θ) =

l 4π ∗ Ylm (θ1 , φ1 )Ylm (θ2 , φ2 ) . 2l + 1 m=−l

Si ha quindi ∞ l l r< 1 4π ∗ = Ylm (θ1 , φ1 )Ylm (θ2 , φ2 ) . l+1 2 l + 1 r12 r > l=0 m=−l

Sostituendo questa espressione nell’elemento di matrice, si ottiene ∞

a, b |

4π e20 | c, d = e20 δ(msa , msc ) δ(msb , msd ) r12 2l +1 l=0

×

∞

dr1 0

×

∞

0

l

×

π

sinθ1 dθ1

0

m=−l

l r< dr2 l+1 Pna la (r1 )Pnc lc (r1 )Pnb lb (r2 )Pnd ld (r2 ) r>

0

π

sinθ2 dθ2 0

0

2π

2π

∗ dφ1 Yl∗a ma (θ1 , φ1 )Ylc mc (θ1 , φ1 )Ylm (θ1 , φ1 )

dφ2 Yl∗b mb (θ2 , φ2 )Yld md (θ2 , φ2 )Ylm (θ2 , φ2 )

.

Gli integrali sugli angoli solidi possono essere eseguiti tenendo conto delle propriet`a di coniugazione delle armoniche sferiche (Eq. (6.11)) e del cosiddetto teorema di Weyl, secondo il quale si ha, in termini di simboli 3-j

π

sinθ dθ 0

$

=

2π

dφ Yl1 m1 (θ, φ)Yl2 m2 (θ, φ)Yl3 m3 (θ, φ) = 0

(2l1 + 1)(2l2 + 1)(2l3 + 1) 4π

l1 0

l2 0

l3 0

l1 m1

l2 m2

l3 m3

.

(8.8)

Si ottiene quindi, per quanto riguarda la parte angolare, l’espressione seguente 2l + 1 # (2la + 1)(2lb + 1)(2lc + 1)(2ld + 1) (−1)ma +m+mb 4π lb ld l la lb lc l ld la lc l × 0 0 0 0 0 0 −ma mc −m −mb md

l m

,

232

CAPITOLO 8

espressione che pu`o essere resa leggermente pi` u simmetrica cambiando l’indice di somma m in −m, e tenendo presenti le propriet`a di simmetria dei simboli 3-j (Eq. (7.19) e (7.20)). Osservando inoltre che, essendo mb = md + m, si ha (−1)ma +m+mb = (−1)ma +2m+md = (−1)ma +md , si ottiene, sempre per la parte angolare 2l + 1 # (2la + 1)(2lb + 1)(2lc + 1)(2ld + 1) (−1)ma +md 4π ld lb l la ld lc l l l l × a c 0 0 0 0 0 0 −ma mc m −md

lb mb

l m

.

Osserviamo adesso che questa espressione `e nulla a meno che i due numeri interi (la + lc + l) e (lb + ld + l) siano pari e a meno che m non sia uguale sia a (ma − mc ) che a (md − mb ). Questo signiﬁca, inoltre, che i due interi (ma − mc ) e (md − mb ) devono essere uguali. La stessa espressione della parte angolare viene generalmente scritta in maniera pi` u compatta introducendo il simbolo ck (a, b) deﬁnito da # ck (a, b) = ck (la , ma ; lb , mb ) = (−1)ma (2la + 1)(2lb + 1) la lb l l l k . × a b 0 0 0 −ma mb m Si ottiene allora ∞

a, b | ×

e20 | c, d = e20 δ(msa , msc ) δ(msb , msd ) ck (a, c) ck (d, b) r12

∞

dr1 0

k=0

∞

dr2 0

k r< P (r )Pnc lc (r1 )Pnb lb (r2 )Pnd ld (r2 ) , k+1 na la 1 r>

dove la somma su k, formalmente estesa fra 0 e ∞, `e in eﬀetti limitata dalle disuguaglianze triangolari implicitamente contenute nei simboli ck (a, c) e ck (b, d). Da questa espressione generale `e poi facile ricavare, per semplice sostituzione, le corrispondenti espressioni per gli elementi di matrice diretti e di scambio, che vengono tradizionalmente scritte nella forma seguente ∞

J(a, b) = a, b |

e20 | a, b = ak (a, b) F k (a, b) , r12 k=0

∞

K(a, b) = a, b |

e20 | b, a = δ(msa , msb ) bk (a, b) Gk (a, b) , r12 k=0

dove

233

ENERGIE DEI TERMINI

ak (a, b) = ck (a, a) ck (b, b) = (−1)ma +mb (2la + 1)(2lb + 1) lb lb k la lb la la k la k lb k , × 0 0 0 0 0 0 −ma ma 0 −mb mb 0 2 2 2 la lb k l l k bk (a, b) = ck (a, b) = (2la + 1) (2lb + 1) a b , 0 0 0 −ma mb m ∞ ∞ k r< F k (a, b) = e20 dr1 dr2 k+1 Pn2a la (r1 )Pn2b lb (r2 ) , (8.9) r 0 0 > ∞ ∞ k r< k 2 dr1 dr2 k+1 Pna la (r1 )Pnb lb (r1 )Pna la (r2 )Pnb lb (r2 ) . G (a, b) = e0 r> 0 0 (8.10) Le quantit` a F k e Gk possono essere calcolate a partire dalle autofunzioni Pnl (r), le quali dipendono dal potenziale centrale Vc (r). I coeﬃcienti ak e bk , invece, possono essere calcolati direttamente. Essi godono delle seguenti propriet`a di simmetria rispetto agli argomenti ak(la , ma ;lb , mb ) = ak(lb , mb ;la , ma ) = ak(la , −ma ;lb , mb ) = ak(la , ma ;lb , −mb ), bk (la , ma ; lb , mb ) = bk (lb , mb ; la , ma ) = bk (la , −ma ; lb , −mb ) . I risultati ottenuti permettono in deﬁnitiva di esprimere gli elementi di matrice diagonali dell’interazione Coulombiana nella forma

Ψ(a1 , a2 , . . . , aN )|

=

coppie a,b

∞ k=0

e20 |Ψ(a1 , a2 , . . . , aN ) = r12

[J(a, b) − K(a, b)] =

coppie a,b

ak (a, b) F k (a, b) − δ(msa , msb )

∞

bk (a, b) Gk (a, b)

, (8.11)

k=0

dove a e b sono due qualsiasi degli stati (a1 , a2 , . . . , aN ) e dove la somma va estesa a tutte le N (N − 1)/2 coppie distinte.

8.5 Somme su sottozone chiuse Le somme che esprimono gli elementi di matrice dell’interazione Coulombiana si sempliﬁcano notevolmente nel caso che la conﬁgurazione contenga delle sottozone chiuse. Riferendoci prima al caso degli integrali diretti, consideriamo un elettrone appartenente a una data sottozona (nb , lb ) e andiamo a calcolare

234

CAPITOLO 8

il contributo all’elemento di matrice dell’interazione Coulombiana proveniente da tutte le possibili coppie formate da tale elettrone e da uno qualsiasi degli elettroni di una sottozona (na , la ) chiusa. Per far questo dobbiamo calcolare la seguente somma S= J(a, b) = ak (a, b) F k (a, b) . zona a

ms a ma

k

k

Sostituendo l’espressione di a (a, b) del paragrafo precedente si ottiene

S = (−1)

mb

(2 la + 1)(2 lb + 1)

la

(−1)ma

ms a ma

k 0

la ma

k 0

0

k

× F k (a, b)

la 0

la −ma

lb 0

lb 0

k 0

lb −mb

lb mb

k 0

.

Per eseguire la somma su ma contenuta in questa espressione `e suﬃciente rifarsi alle propriet` a dei simboli 3-j. Poich´e si ha, per l’Eq. (7.16) 1 la la 0 = (−1)la +ma √ , (8.12) −ma ma 0 2 la + 1 si pu` o scrivere

ma

(−1)

ma

la −ma

la ma

k 0

=

la # = (−1) 2 la + 1 × −ma la

ma

la ma

0 0

la −ma

la ma

k 0

,

e tenendo presente la propriet`a dei simboli 3-j espressa dall’Eq. (7.18) # la la k = δk,0 (−1)la 2 la + 1 . (−1)ma −ma ma 0 ma

Tenendo inﬁne conto che la somma su msa porta semplicemente un fattore 2, si ottiene lb lb 0 l l 0 S = (−1)la +mb 2 (2 la + 1)3/2 (2 lb + 1) a a 0 0 0 0 0 0 lb lb 0 × F 0 (a, b) , −mb mb 0 e tenendo ancora conto dell’Eq. (8.12) per esprimere il simbolo 3-j con l’ultima colonna nulla, si ottiene

235

ENERGIE DEI TERMINI

J(a, b) = 2 (2 la + 1) F 0 (a, b) ,

(8.13)

zona a

dove, ricordando le precedenti posizioni 0

0

F (a, b) = F (na , la ; nb , lb ) =

∞

e20

∞

dr1 0

dr2 0

1 2 P (r1 )Pn2b lb (r2 ) . r> na la

Come si pu` o notare, questa espressione non dipende dai numeri quantici mb e msb dell’elettrone nella sottozona b. Si ha quindi, se la sottozona b `e anch’essa chiusa J(a, b) = 4 (2 la + 1)(2 lb + 1) F 0 (na , la ; nb , lb ) . (8.14) zone a,b

Calcoli analoghi possono essere eseguiti per gli integrali di scambio. Di nuovo, consideriamo un elettrone che si trovi nella zona (nb lb ) e andiamo a considerare il contributo di scambio all’elemento di matrice dell’interazione Coulombiana proveniente da tutte le possibili coppie formate da tale elettrone e da uno qualsiasi degli elettroni di una sottozona (na , la ) chiusa. Per far questo dobbiamo calcolare la somma K(a, b) = δ(msa , msb ) bk (a, b) Gk (a, b) = zona a

=

ms a ma

ma

(2 la + 1)(2 lb + 1)

k

k

la 0

lb 0

k 0

2

la −ma

lb mb

k m

2 Gk (a, b) .

La somma su ma si pu` o eseguire tenendo presente che, essendo m = ma − mb , ed essendo mb ﬁssato, si pu` o formalmente estendere tale somma anche a m. Tenendo allora presente la propriet`a espressa dall’Eq. (7.18), si ottiene zona a

K(a, b) = (2 la + 1)

la

lb 0

0

k

k 0

2 Gk (a, b) ,

(8.15)

e poich´e questo contributo non dipende n´e da mb , n´e da msb , si ottiene, se la sottozona b `e anch’essa chiusa zone a,b

K(a, b) = 2 (2 la + 1)(2 lb + 1)

la k

0

lb 0

k 0

2 Gk (na , la ; nb , lb ) .

(8.16) Con queste considerazioni abbiamo esaminato il caso delle coppie di elettroni appartenenti a zone a e b diverse. I risultati ottenuti possono per` o essere estesi

236

CAPITOLO 8

anche al caso di coppie di elettroni appartenenti alla stessa zona chiusa. Si ottiene zona a

[J(a, a ) − K(a, a )] = 2 (2 la + 1)2

1 × F 0 (na , la ; na , la ) − 2 k

la 0

la 0

k 0

2

F k (na , la ; na , la )

,

dove abbiamo sfruttato il fatto che Gk (na , la ; na , la ) = F k (na , la ; na , la ) . La stessa espressione pu`o anche essere scritta nella forma equivalente

[J(a, a ) − K(a, a )] = (2 la + 1)(4 la + 1) F 0 (na , la ; na , la )

zona a

−(2 la + 1)2

la k>0

0

la 0

k 0

2 F k (na , la ; na , la ) .

(8.17)

Tutte le quantit` a che abbiamo calcolato, relativamente alle somme su sottozone chiuse, risultano indipendenti dai numeri quantici degli elettroni appartenenti alle sottozone aperte. Abbiamo quindi ottenuto l’importante risultato che i contributi di energia Coulombiana provenienti dalle sottozone chiuse non rimuovono la degenerazione di un’assegnata conﬁgurazione. Tale degenerazione pu` o essere rimossa solo da una parte molto ristretta di tutte le possibili coppie (a, b), ovvero da quelle coppie in cui entrambi gli elettroni appartengono a sottozone aperte. Un esempio di calcolo relativo alla conﬁgurazione normale dell’atomo di Silicio, 1s2 2s2 2p6 3s2 3p2 , `e riportato nell’App. 8.

8.6 Struttura dei termini Come abbiamo visto, le sottozone chiuse sono del tutto ininﬂuenti nel rimuovere la degenerazione di una conﬁgurazione. Esse danno soltanto un contributo all’energia uguale per tutti i termini. La struttura vera e propria del cosiddetto multipletto, ovvero l’ordine con il quale i termini si dispongono per energia crescente, e i valori degli intervalli fra termine e termine, sono stabiliti soltanto dagli elettroni appartenenti alle sottozone aperte e possono essere valutati, caso per caso, per mezzo dei risultati contenuti nelle Tab. 8.1 e 8.2 e nell’Eq. (8.11). Nel seguito ci limitiamo a sviluppare i calcoli soltanto per la conﬁgurazione p2 , osservando che, per questo caso di due soli elettroni equivalenti, esiste una sola coppia possibile. Inoltre, le quantit` a F k (a, b) e Gk (a, b) che compaiono

237

ENERGIE DEI TERMINI

l1

m1

l2

m2

a0

a2

b0

b2

1 1 1 1

1 1 1 0

1 1 1 1

0 1 -1 0

1 1 1 1

-2/25 1/25 1/25 4/25

0 1 0 1

3/25 1/25 6/25 4/25

Tab. 8.3. Valori dei coeﬃcienti ak e bk , per i soli valori possibili k = 0, 2, relativamente alla conﬁgurazione p2 .

nell’Eq. (8.11) coincidono, per cui la stessa equazione pu`o essere scritta nella forma Ψ(a1 , a2 )| =

∞

e20 |Ψ(a1 , a2 ) = r12

ak (a1 , a2 ) − δ(ms1 , ms2 ) bk (a1 , a2 ) F k (a1 , a2 ) .

k=0

I risultati della Tab. 8.2 mostrano che l’Eq.(8.11) deve essere valutata per varie combinazioni dei numeri quantici dei due elettroni. Questo implica la determinazione di un certo numero di simboli 3-j che portano ai valori delle quantit` a ak e bk riportate nella Tab. 8.3. Attraverso tali valori si ottengono i seguenti risultati per le energie dei termini P = F0 −

3

1 5

F2 ,

1

D = F0 +

1 25

F2 ,

1

S = F0 +

2 5

F2 .

Come si vede, siccome la quantit`a F 2 `e positiva, la struttura dei termini veriﬁca la prima regola di Hund, gi` a illustrata nel Par. 7.12, secondo la quale il termine avente energia minore `e quello che ha molteplicit`a pi` u elevata (il termine 3P in questo caso). Gli altri termini seguono poi nell’ordine 1D, 1S, per energie crescenti. Inoltre, si ottiene un ulteriore risultato per il rapporto fra gli intervalli energetici. Si ha infatti R=

3 S − 1D = . 3 − P 2

1

1D

Questa propriet`a teorica pu`o essere messa alla prova dei fatti mediante l’osservazione degli spettri di vari elementi o ioni aventi come conﬁgurazione esterna p2 (C I, N II, O III, Si I, Ge I, Sn I, etc.). I risultati mostrano che il rapporto R per tali ioni varia fra 1.13 e 1.50 in discreto accordo con la previsione teorica. Le discrepanze devono essere attribuite al fenomeno dell’interazione fra conﬁgurazioni e alle correzioni relativistiche dell’Hamiltoniana, di cui parleremo nel capitolo seguente.

Capitolo 9

Maggiori dettagli sugli spettri L’elevata precisione con cui possono essere eseguite le misure spettroscopiche fa s`ı che l’approssimazione non relativistica introdotta nel capitolo precedente non sia suﬃciente, nella stragrande maggioranza dei casi, a dare una descrizione quantitativamente adeguata degli spettri atomici. In particolare, non `e possibile spiegare, in base a tale approssimazione, la presenza negli spettri atomici di un fenomeno importantissimo quale la struttura ﬁne. Tale fenomeno pu` o essere adeguatamente descritto considerando il contributo all’energia dell’atomo dovuto al momento angolare intrinseco dell’elettrone. Il risultato `e la rimozione della degenerazione dell’Hamiltoniana non relativistica e la conseguente separazione dei termini (individuati dai numeri quantici L e S) in livelli atomici caratterizzati dal numero quantico J. In questo capitolo ci proponiamo di analizzare in dettaglio questo fenomeno insieme ad altri fenomeni di tipo analogo che danno luogo alla rimozione della degenerazione degli stati atomici sia a causa di agenti esterni (come ad esempio un campo magnetico) che interni (spin nucleare). Questo ci porter` a alla descrizione di altri eﬀetti caratteristici degli spettri atomici quali l’eﬀetto Zeeman, l’eﬀetto Paschen-Back e la struttura iperﬁne.

9.1 L’interazione spin-orbita Le considerazioni svolte nei Cap. 7 e 8 sono basate sull’approssimazione non relativistica dell’Hamiltoniana. Adesso `e necessario introdurre le correzioni relativistiche e analizzare in dettaglio quale sia il loro eﬀetto sui livelli atomici. Tenendo presenti i risultati che abbiamo ottenuto nel Par. 5.5, quando abbiamo considerato il limite non relativistico al primo ordine dell’equazione di Dirac, e in particolare l’Eq. (5.13), assumeremo che, in prima approssimazione, le correzioni relativistiche siano semplicemente descritte dall’Hamiltoniana H2 data da1 H2 =

N

ξ(ri ) i · si ,

(9.1)

i=1

dove la somma `e estesa a tutti gli elettroni e dove la funzione ξ(r) `e data da 1

Si tratta del quinto termine nella parentesi quadra dell’ Eq.(5.13), quello dell’interazione spin-orbita, nel quale abbiamo eﬀettuato la sostituzione σi = 2si .

240

CAPITOLO 9

ξ(r) =

h ¯2 1 d Vc (r) . 2 m2 c2 r dr

(9.2)

In eﬀetti, nell’Eq. (5.13) sono presenti altri due termini di correzione non relativistica, il termine in p4 e il termine di Darwin. Tuttavia si pu` o pensare che gli eﬀetti dovuti a tali termini, che non contengono esplicitamente gli operatori di momento angolare e che dipendono solamente dalla variabile r e dall’operatore ∂/∂r, possano ragionevolmente essere inglobati nel potenziale centrale ` anche necessario aggiungere che l’Hamiltoniana H2 descrive soltanto Vc (r). E l’interazione spin-orbita, ovvero l’interazione fra momento angolare orbitale e momento angolare intrinseco dell’elettrone, e trascura quindi l’interazione reciproca fra momenti angolari intrinseci, come ad esempio l’interazione spin-spin. Tali termini di interazione risultano tuttavia particolarmente importanti solo per l’atomo di Elio (e per la sua sequenza isoelettronica) che necessiterebbe una trattazione separata. In deﬁnitiva, l’Hamiltoniana H2 data dall’Eq. (9.1) fornisce in pratica una buona approssimazione per tutti gli atomi ad eccezione dell’atomo di Elio. Vediamo adesso le propriet` a di commutazione dei vari operatori di momento angolare con l’Hamiltoniana H2 . Iniziamo dal calcolo del commutatore del & = N momento angolare orbitale totale L j=1 j ]= [H2 , L

N N

[ ξ(ri ) i · si , j ] .

i=1 j=1

Poich´e gli operatori relativi a una particella commutano con tutti gli operatori relativi a particelle diverse, la somma doppia si restringe a una somma singola. Inoltre, osservando che l’operatore momento angolare orbitale i commuta sia con la funzione ξ(ri ) (che dipende solo dalla coordinata radiale ri ), che con l’operatore di spin si , e ricordando le propriet` a di commutazione delle componenti cartesiane dell’operatore i , si ottiene, con facili passaggi ]=i [H2 , L

N

ξ(ri ) i × si .

i=1

= Analogamente si trova che il commutatore del momento di spin totale, S &N sj , vale j=1 ] = −i [H2 , S

N

ξ(ri ) i × si ,

i=1

+ S, `e nullo per cui il commutatore del momento angolare totale, J = L [H2 , J ] = 0 .

241

MAGGIORI DETTAGLI SUGLI SPETTRI

In generale, quando si introducono le correzioni relativistiche, i numeri quantici L e S cessano di essere buoni numeri quantici (in quanto i corrispondenti operatori L2 e S 2 non commutano con l’Hamiltoniana). L’unico numero quantico che rimane “buono”, in tutta generalit` a, `e il numero quantico J (momento angolare totale). Tuttavia, se si pu`o supporre che l’Hamiltoniana H2 sia una perturbazione dell’Hamiltoniana non relativistica, ossia che valga la catena di disuguaglianze H0 H1 H2 , allora si pu` o utilizzare la teoria delle perturbazioni per la quale L e S conservano il loro valore di numeri quantici e si pu` o andare a valutare l’azione dell’Hamiltoniana relativistica calcolandone gli elementi di matrice entro il sottospazio individuato da una particolare coppia di valori (L, S) e diagonalizzando poi la matrice risultante. Questo schema di ragionamento `e noto come lo schema di accoppiamento di Russell-Saunders, o accoppiamento L-S. In tale schema si ha una gerarchia di Hamiltoniane che vengono per cos`ı dire “applicate una per volta”. Si inizia col risolvere l’equazione di Schr¨odinger per l’Hamiltoniana H0 dell’Eq. (7.3) trovando cos`ı le energie delle conﬁgurazioni. Per una conﬁgurazione assegnata, si considera l’azione dell’Hamiltoniana H1 dell’Eq. (7.4) come una perturbazione, trovando l’energia dei termini, ciascuno caratterizzato dalla coppia di valori L e S. Inﬁne, per un termine assegnato, si considera l’azione dell’Hamiltoniana H2 come una perturbazione trovando l’energia dei livelli, ciascuno caratterizzato dal valore di J. Nello schema di accoppiamento di Russell-Saunders, dobbiamo quindi andare a valutare gli elementi di matrice di H2 sullo spazio di degenerazione di un termine assegnato. Nel Par. 7.11 abbiamo visto che le autofunzioni sono del tipo ΨA (α, L, S, ML , MS ) (si ricordi che il simbolo α rappresenta la conﬁgurazione), e che la degenerazione dello spazio `e (2L + 1)(2S + 1). Come abbiamo gi` a visto in precedenti occasioni, piuttosto di valutare gli elementi di matrice di H2 su questa base, `e pi` u opportuno introdurre una nuova base, ovvero la base sulla quale il momento angolare totale J `e diagonale. Cos`ı facendo l’Hamil Le autofunzioni toniana H2 risulta diagonale in quanto essa commuta con J. della nuova base saranno indicate coi simboli ΨA (α, L, S, J, M ) e si ottengono attraverso opportune combinazioni lineari delle ΨA (α, L, S, ML , MS ) che coinvolgono i coeﬃcienti di Clebsh-Gordan oppure i simboli 3-j (si veda il Par.7.9 e in particolare l’Eq. (7.13)). Attraverso i coeﬃcienti di Clebsh-Gordan si ha ΨA (α, L, S, J, M ) =

LSML MS |LSJM ΨA (α, L, S, ML , MS ) ,

ML MS

oppure, in notazione di Dirac pi` u compatta LSMLMS |LSJM |αLSML MS |αLSJM = ML MS

.

242

CAPITOLO 9

Per valutare l’eﬀetto dell’Hamiltoniana H2 `e quindi suﬃciente andare a considerare gli elementi di matrice diagonali αLSJM |H2 |αLSJM

.

Questi calcoli verranno svolti nel Par. 9.3, dopo che avremo premesso alcune considerazioni a proposito degli elementi di matrice di particolari operatori.

9.2 Il teorema di Wigner-Eckart e il teorema della proiezione Gli operatori di carattere vettoriale che si incontrano comunemente nelle applicazioni teoriche della spettroscopia soddisfano delle particolari regole di commutazione rispetto al momento angolare. Tali regole sono intimamente connesse con le propriet`a di trasformazione delle componenti cartesiane di un vettore per rotazioni nello spazio ordinario e sono della forma [Jl , vk ] = i

lkm vm ,

m

dove v `e un operatore vettoriale e dove J `e il momento angolare totale del sistema ﬁsico che si sta considerando, oppure del sottosistema sul cui spazio agisce l’operatore v . Questa regola di commutazione si applica a un’estesa classe di operatori vettoriali (in realt` a a tutti gli operatori vettoriali che si possono considerare, pur di inglobare in J il momento angolare totale relativo a ciascun sottosistema che compone il sistema ﬁsico). Alcuni esempi sono dati nel seguito; le relative dimostrazioni sono banali e non sono riportate esplicitamente. (a) Il momento angolare totale soddisfa la regola di commutazione rispetto a se stesso. (b) Per un sistema composto da pi` u sottosistemi, se J = J1 + J2 + · · ·, e se ciascun momento angolare commuta con tutti gli altri momenti angolari, allora ciascun addendo soddisfa la regola di commutazione rispetto a se stesso e rispetto a J. (c) Per un sistema composto di una sola particella, sia la coordinata r che l’impulso p soddisfano la regola di commutazione sia rispetto al momento angolare orbitale che rispetto al momento angolare totale j = + s, dove s `e lo spin. (d) Sempre per un sistema composto da una sola particella, s soddisfa la regola di commutazione sia rispetto a se stesso che rispetto a j. (e) Per un sistema composto di N particelle, se J = 1 + 2 + · · · + N + s1 + s2 + · · · + sN , la coordinata ri , l’impulso pi , il momento angolare orbitale i , il momento di spin si , il momento angolare totale ji , tutti relativi alla particella i-esima, soddisfano la regola di commutazione rispetto a J.

243

MAGGIORI DETTAGLI SUGLI SPETTRI

(f) La regola `e soddisfatta da una qualsiasi combinazione lineare di operatori vettoriali che soddisfano la regola medesima. (g) La regola `e soddisfatta dal prodotto vettoriale di due operatori vettoriali che soddisfano la regola medesima. Inﬁne si pu` o osservare che, se v e w sono due operatori vettoriali che soddisfano la regola, il loro prodotto scalare v · w commuta con J. Una conseguenza importante della regola di commutazione sopra illustrata `e il cosiddetto teorema di Wigner-Eckart attraverso il quale `e possibile trovare un’espressione particolarmente semplice per gli elementi di matrice delle cosiddette componenti sferiche degli operatori vettoriali fra autostati del momento angolare. Le componenti sferiche di un operatore vettoriale, vq (q = −1, 0, 1), sono deﬁnite, a partire dalle componenti cartesiane, attraverso le relazioni 1 v−1 = √ (vx − i vy ) , 2

v0 = vz ,

1 v1 = − √ (vx + i vy ) . 2

(9.3)

Per gli elementi di matrice di tali componenti si ha (teorema di Wigner-Eckart) αJM | vq |α J M = J 1M q|JM

αJ||v||α J

,

dove J 1M q|JM `e un coeﬃciente di Clebsh-Gordan e dove αJ||v||α J `e il cosiddetto elemento di matrice ridotto (indipendente da M , M e q) dell’operatore vettoriale v . Introducendo i simboli 3-j in luogo dei coeﬃcienti di Clebsh-Gordan, il teorema di Wigner-Eckart pu` o anche essere espresso nella forma

αJM | vq |α J M

J +M+1

= (−1)

√ 2J + 1

J −M

J M

1 q

αJ||v||α J .

(9.4) Tenendo conto delle propriet` a dei simboli 3-j, si vede che l’elemento di matrice pu` o risultare diverso da zero solo se sono veriﬁcate le “regole di selezione” ΔJ = ±1, 0 ,

0 −→ / 0 ,

ΔM = ±1, 0 .

Il teorema di Wigner-Eckart, che `e stato qui enunciato senza darne la dimostrazione formale, `e eﬀettivamente pi` u generale, in quanto esso esprime, in termini di simboli 3-j ed elementi di matrice ridotti, gli elementi di matrice fra autostati del momento angolare di operatori tensoriali irriducibili di rango k qualsiasi (k = 0, 1, 2, . . .). Gli operatori vettoriali, una volta espressi attraverso le componenti sferiche, sono operatori tensoriali irriducibili di rango 1. Attraverso il teorema di Wigner-Eckart `e possibile dimostrare un altro importante teorema che prende il nome di teorema della proiezione e che riguarda gli elementi di matrice diagonali rispetto al numero quantico J. Per dimostrare

244

CAPITOLO 9

questo teorema, consideriamo l’elemento di matrice dell’operatore J · v . Come `e facile veriﬁcare, tale prodotto scalare, introducendo le componenti sferiche, pu` o esprimersi nella forma J · v =

(−1)q J−q vq ,

(9.5)

q

da cui si ottiene αJM |J · v |α JM =

(−1)q αJM |J−q vq |α JM

.

q

a scritto nella forma Inserendo fra gli operatori J−q e vq l’operatore identit` 1=

α

J

|α J M

α J M | ,

M

tenendo conto che l’operatore J−q `e diagonale rispetto ai numeri quantici α e J e applicando due volte il teorema di Wigner-Eckart, si ottiene αJM |J · v |α JM =

(−1)q+(J+M+1)+(J+M

+1)

(2J + 1)

qM

×

J −M

J M

1 −q

J −M

J M

1 q

αJ||J||αJ

αJ||v||α J

.

Si pu` o poi osservare che l’esponente di (−1) pu` o essere posto nella forma q+(J +M +1)+(J +M +1) = q+(J +M +1)−(J +M +1) = q+M −M = 0 . Inoltre, cambiando di segno la seconda riga del secondo 3-j, invertendo le prime due colonne dello stesso simbolo e tenendo presente la propriet` a di ortonormalit` a dei simboli 3-j (Eq. (7.19), (7.20) e (7.18)) si ottiene αJM |J · v |α JM = αJ||J||αJ

αJ||v||α J δMM .

permette di valutare l’elemento di Questa formula, nel caso particolare v = J, matrice ridotto di J. Tenendo infatti presente che l’autovalore di J 2 `e J(J + 1) e immedesimando α con α , si ha J(J + 1) = αJM |J · J |αJM

= ( αJ||J||αJ )2 .

Consideriamo adesso il seguente elemento di matrice αJM |Jq (J · v )|α JM

.

245

MAGGIORI DETTAGLI SUGLI SPETTRI

z

J v x vefficace

y Fig. 9.1. Il vettore v precede rapidamente intorno a J dimodoch´e le sue componenti in direzione perpendicolare a J sono in media nulle.

Inserendo di nuovo l’identit` a fra gli operatori Jq e (J · v ), applicando due volte il teorema di Wigner-Eckart (una volta nella forma diretta e una in quella inversa) e tenendo conto dei risultati precedenti, si ottiene αJM |Jq (J · v )|α JM = αJM |Jq |αJM √ = (−1)J+M+1 2J + 1

J −M

= J(J + 1) αJM |vq |α JM

J M

1 q

αJM |J · v |α JM =

J(J + 1) αJ||v||α J =

.

Si pu` o quindi concludere che, al ﬁne di valutare gli elementi di matrice diagonali rispetto a J, vale l’identit` a operatoriale J 2 v = J (J · v ) , ovvero, quando J = 0 v =

J (J · v ) . J2

(9.6)

Questa equazione si interpreta ﬁsicamente dicendo che il vettore v precede rapidamente intorno al momento angolare J in modo tale che le componenti di v perpendicolari a J sono in media nulle e la sola componente “eﬃcace” ri come esempliﬁcato nella Fig. 9.1. Dal punto di mane quella diretta lungo J,

246

CAPITOLO 9

vista storico, bisogna sottolineare che il teorema della proiezione `e stato comunemente utilizzato, seppur in maniera intuitiva, ﬁn dalle prime applicazioni della meccanica quantistica alla ﬁsica atomica. Il fatto che esso possa essere dimostrato in maniera rigorosa costituisce una prova formale della correttezza di tali applicazioni.

9.3 La regola degli intervalli di Land´ e Nello schema di accoppiamento di Russell-Saunders, le correzioni alle energie dei termini, ΔEJ , dovute all’Hamiltoniana H2 dell’Eq. (9.1), sono date da elementi di matrice diagonali della forma ΔEJ =

N

αLSJM |ξ(ri ) i · si |αLSJM

.

i=1

Per calcolare questi elementi di matrice `e conveniente passare alla base degli autovettori di L2 , S 2 , Lz e Sz mediante la consueta trasformazione di similitudine in termini dei coeﬃcienti di Clebsh-Gordan (Eq. (7.13))

ΔEJ =

LSJM |LSMLMS

M ML MS ML S

×

N

αLSML MS |ξ(ri ) i · si |αLSML MS

LSML MS |LSJM

.

i=1

Nell’elemento di matrice centrale, l’operatore ξ(ri ) i agisce solo sulle variabili angolari, mentre l’operatore si agisce solo su quelle di spin. Ricordando quindi che l’autofunzione |αLSML MS pu` o anche scriversi nella forma di prodotto diretto |αLML |SMS , si ottiene per tale elemento di matrice αLSML MS |ξ(ri ) i · si |αLSML MS = = αLML |ξ(ri ) i |αLML · SMS |si |SMS

.

Gli elementi di matrice del secondo membro possono essere valutati mediante il teorema della proiezione (Eq. (9.6)). Si ottiene αLSML MS |ξ(ri ) i · si |αLSML MS = |αLM · SMS |S |SM = = ζi (α, LS) αLML |L L S ·S |αLM M = ζi (α, LS) αLSML MS |L L S

,

247

MAGGIORI DETTAGLI SUGLI SPETTRI

dove abbiamo introdotto la quantit` a ζi (α, LS) (indipendente dai numeri quantici ML e MS ) deﬁnita da · i |αLML SMS |S · si |SMS αLML | ξ(ri ) L L(L + 1) S(S + 1)

ζi (α, LS) =

Si pu` o quindi scrivere

.

(9.7)

αLSML MS | ξ(ri ) i · si |αLSML MS =

i

·S |αLSML MS = ζ(α, LS) αLSML MS | L

,

(9.8)

dove si `e posto ζ(α, LS) =

N

ζi (α, LS) .

(9.9)

i=1

Introducendo l’espressione trovata nell’equazione per ΔEJ e sommando sui coeﬃcienti di Clebsh-Gordan, si ottiene inﬁne ·S |αLSJM ΔEJ = ζ(α, LS) αLSJM |L

.

Attraverso questa serie di passaggi siamo quindi riusciti a mostrare che, al ﬁne del calcolo degli elementi di matrice diagonali sulla base degli autovettori |αLSJM , l’Hamiltoniana H2 equivale, a parte un fattore di proporzionalit` a, · S. Osservando poi che all’operatore L 2 +S ·S , = L2 + S 2 + 2 L J2 = L si ottiene ·S = L

1 2

(J 2 − L2 − S 2 ) ,

per cui ΔEJ =

1 2

ζ(α, LS) [J(J + 1) − L(L + 1) − S(S + 1)] .

La formula ottenuta permette di valutare con relativa semplicit` a la struttura ﬁne dei termini, ovvero le energie del “multipletto di livelli” in cui si scinde un termine a causa delle correzioni relativistiche dell’Hamiltoniana, cio`e, sostanzialmente, a causa dell’interazione spin-orbita. In particolare, per l’intervallo di energia fra due livelli adiacenti, si ottiene ΔEJ − ΔEJ−1 = ζ(α, LS) J ,

248

CAPITOLO 9

J=0 J=1

|ζ| 2| ζ |

J=2 3| ζ | 5

D

J=3 4| ζ | J=4

Fig. 9.2. Il termine fondamentale dell’atomo di Ferro, a5D, che presenta un valore di ζ negativo, si separa in cinque livelli distinti di struttura ﬁne, ciascuno caratterizzato da un particolare valore di J. Gli intervalli fra i livelli soddisfano la regola di Land´e.

un risultato che si enuncia dicendo che l’intervallo fra una coppia di livelli adiacenti di un multipletto `e proporzionale al valore J pi` u elevato della coppia. Questo fatto `e noto come la regola degli intervalli di Land´e. Tale regola pu`o essere convenientemente utilizzata per veriﬁcare a posteriori, per mezzo degli intervalli osservati, quanto sia valido lo schema dell’accoppiamento L-S per la descrizione di un particolare termine di un atomo (o di uno ione). Per illustrare questi concetti consideriamo il caso particolare del termine fondamentale del Ferro, denominato spettroscopicamente a5D, il simbolo a rappresentando la conﬁgurazione 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d6 4s2 . Essendo L = 2 e S = 2, si possono avere cinque valori diversi di J, ovvero J = 0, 1, 2, 3, 4. Poich´e la costante ζ(α, LS) `e negativa, il multipletto `e, come si dice, invertito, i valori pi` u piccoli di J corrispondendo a valori pi` u elevati dell’energia. La struttura ﬁne del multipletto `e mostrata nella Fig. 9.2 insieme alla corrispondente regola degli intervalli. Assumendo uguale a 1 l’intervallo fra i livelli J = 0 e J = 1, la teoria d` a per gli intervalli successivi i valori 2, 3, e 4, rispettivamente. L’analisi spettroscopica mostra invece che tali intervalli sono pari a 2.05, 3.20, e 4.62 e se ne pu` o concludere che lo schema dell’accoppiamento L-S `e ragionevolmente valido per descrivere questo termine. Inﬁne, `e opportuno osservare che se si considera l’energia baricentrica di un multipletto, deﬁnita da ΔEJ

=

J

si ottiene

(2J + 1) ΔEJ ,

249

MAGGIORI DETTAGLI SUGLI SPETTRI

ΔEJ

= ζ(α, LS)

L+S

(2J + 1) [J(J + 1) − L(L + 1) − S(S + 1)] .

J=|L−S|

Per mezzo delle formule elementari che danno le somme delle potenze dei primi n interi (o semi-interi) si pu` o facilmente veriﬁcare che ΔEJ

=0 ,

il che signiﬁca che l’interazione spin-orbita scinde un termine in un multipletto senza per` o alterarne l’energia media. L’applicazione del teorema della proiezione ci ha consentito di ottenere direttamente la regola degli intervalli di Land´e e ci ha fornito un’espressione per la costante ζ(α, LS) che quantiﬁca la separazione fra i livelli (Eq. (9.9) e (9.7)). In alcuni casi semplici, tale espressione pu`o essere ulteriormente sviluppata con metodi elementari, qualora si ammetta, cosa per altro intuitiva, che gli elettroni appartenenti a sottozone chiuse non portino alcun contributo al calcolo di ζ(α, LS). Questo comporta che la somma sugli elettroni che compare nell’Eq. (9.9) pu` o essere ristretta ai soli elettroni ottici. Se si considera ad esempio il caso di un solo elettrone nella sottozona nl, il valore di ζ(α, LS) si pu` o facilmente determinare a partire dall’Eq. (9.7). = s e ricordando l’espressione della funzione ξ(r) Osservando che L = e che S (Eq. (9.2)), si ottiene ζ(α, LS) = ζnl , dove ζnl

h ¯2 = 2 m 2 c2

0

∞

2 Pnl (r)

1 d Vc (r) dr . r dr

(9.10)

Poich´e la funzione Vc (r) `e una funzione prevalentemente crescente2 di r, la quantit` a ζnl risulta essere positiva. Essa pu` o essere direttamente valutata qualora si conosca l’espressione del potenziale centrale Vc (r) e quella delle corrispondenti funzioni d’onda Pnl (r). Nel caso poi che si abbiano due elettroni (equivalenti o non equivalenti), si · pu` o osservare che gli operatori L 1 (e operatori simili) possono essere espressi − 1 attraverso operatori diagonali. Si ha infatti, essendo 2 = L 2 − 22 = L 1 , 2

Per atomi complessi si pu` o veriﬁcare che esistano degli intervalli ristretti in r in cui la funzione Vc decresce.

250

CAPITOLO 9

da cui si ottiene · L 1 =

1 2

(L2 + 21 − 22 ) .

s1 = S·

1 2

(S 2 +s21 −s22 ) ,

Analogamente si ottiene L· 2 =

1 2

(L2 +22 −21 ) ,

s2 = S·

1 2

(S 2 +s22 −s21 ) .

Per un termine proveniente dalla conﬁgurazione dei due elettroni n1 l1 e n2 l2 , ricordando che s21 = s22 = 34 , ed escludendo il caso dei singoletti (per S = 0 non ha senso parlare di struttura ﬁne e le formule restano indeterminate), dalle Eq. (9.9) e (9.7) si ottiene ζ(n1 l1 n2 l2 ,3L) =

1 4

ζn1 l1

+ 14 ζn2 l2

L(L + 1) + l1 (l1 + 1) − l2 (l2 + 1) L(L + 1) L(L + 1) + l2 (l2 + 1) − l1 (l1 + 1) . L(L + 1)

(9.11)

In particolare, se i due elettroni sono equivalenti (ma non riempiono la sottozona), ζ(nl2 ,3L) =

1 2

ζnl .

Quando si hanno tre o pi` u elettroni, equivalenti o non, il calcolo di ζ(α, LS) non pu` o pi` u essere eﬀettuato con metodi elementari ma deve essere impostato attraverso la regola della traccia, come illustrato dettagliatamente per un caso particolare nell’App. 9. In base alla regola della traccia si pu`o poi dimostrare facilmente che, per le conﬁgurazioni di elettroni equivalenti, il segno di ζ(α, LS) `e positivo quando il numero di elettroni che occupano la sottozona aperta `e inferiore alla met` a del numero massimo di elettroni che possono occupare la sottozona medesima, ovvero se qnl < Ql /2 = (2l + 1), nelle notazioni impiegate nel Par. 7.6. Se invece qnl > Ql /2, il valore di ζ(α, LS) risulta negativo. Nei casi in cui ζ(α, LS) `e positivo l’energia dei livelli aumenta con J, mentre l’opposto accade quando ζ(α, LS) `e negativo. Nel primo caso si dice che si ha a che fare con multipletti regolari, mentre, nel secondo caso, si dice che si ha a che fare con multipletti invertiti, come nella Fig. 9.2. Quanto detto `e riassunto dalla regola empirica che prende il nome di seconda regola di Hund. Tale regola aﬀerma che i multipletti derivanti da elettroni equivalenti sono regolari quando risulta occupata meno della met`a della sottozona, invertiti quando risulta occupata pi` u di met` a della sottozona3 . Ad esempio, se si considerano le 3

Il caso in cui ` e occupata esattamente met` a della sottozona `e “indecidibile”, nel senso che la teoria prevede risultato nullo per ζ. In eﬀetti, i valori sperimentali di ζ risultano molto piccoli per queste conﬁgurazioni. Il fatto che il loro valore non sia rigorosamente nullo deve essere ascritto al venir meno delle approssimazioni introdotte.

MAGGIORI DETTAGLI SUGLI SPETTRI

251

J=3 3

D

J=2 J=1

J=2 3

P

J=1 J=0

Fig. 9.3. Delle nove possibili transizioni fra i livelli J disegnati in ﬁgura, solo sei sono permesse dalle regole di selezione ΔJ = 0, ±1.

conﬁgurazioni di elettroni p equivalenti, le conﬁgurazioni p e p2 danno luogo a multipletti regolari, la conﬁgurazione p3 `e indecidibile, le conﬁgurazioni p4 e p5 danno luogo a multipletti invertiti, mentre la conﬁgurazione p6 , corrispondendo a una sottozona chiusa, d` a origine al solo termine 1S che non si separa in un multipletto. I livelli di struttura ﬁne di un multipletto possono combinare con i livelli di struttura ﬁne di un altro multipletto obbedendo alle regole di selezione ΔJ = 0, ±1 ,

0 −→ / 0 ,

che vanno ovviamente aggiunte a quelle gi` a viste nel Par. 7.13 e che concernono le intercombinazioni fra conﬁgurazioni e fra termini. L’insieme delle righe cos`ı ottenuto costituisce un cosiddetto multipletto di righe e ciascun multipletto (che corrisponde a una coppia di termini) riceve un’opportuna numerazione nelle tabelle spettroscopiche (la numerazione `e praticamente arbitraria e deriva sostanzialmente da ragioni storiche). Come esempio illustrativo si pu` o considerare il multipletto numero 1 del C I che deriva dalla transizione fra il termine 2p 3s 3P e il termine 2p 3p 3D. Il termine 3P consta di tre livelli di struttura ﬁne, 3P0 , 3P1 e 3P2 , cos`ı come il termine 3D consta dei tre livelli, 3D1 , 3D2 e 3D3 . Tenendo conto delle regole di selezione si ottiene un multipletto di sei righe, come illustrato nella Fig. 9.3.

252

CAPITOLO 9

9.4 L’accoppiamento j-j e l’accoppiamento intermedio I risultati dei paragraﬁ precedenti sono stati ottenuti nello schema di accoppiamento L-S che `e basato sulla “gerarchia” di Hamiltoniane sintetizzata dalle disuguaglianze H0 H1 H2 . Sebbene l’accoppiamento L-S sia appropriato per descrivere gli spettri di numerosi elementi e ioni (e in particolare gli elementi pi` u semplici, aventi numero di carica Z basso), esistono numerose situazioni nelle quali esso cessa di essere valido in quanto le due Hamiltoniane H1 e H2 risultano confrontabili, oppure, in alcuni casi, addirittura “invertite”, nel senso che l’Hamiltoniana di spin-orbita predomina sull’Hamiltoniana di interazione Coulombiana. Per trattare questi casi limite, in cui H0 H2 H1 , si ricorre a un nuovo schema di accoppiamento detto accoppiamento j-j. e S ma, come `e faL’Hamiltoniana H2 non commuta con gli operatori L cile veriﬁcare, commuta con i momenti angolari totali ji dei singoli elettroni, L’eﬀetto dell’Hamiltoniana H2 oltre che con il momento angolare totale J. sugli stati degeneri dell’Hamiltoniana H0 , ovvero sulle conﬁgurazioni, `e quindi quello di suddividere una conﬁgurazione in tanti termini caratterizzati, invece che dai numeri quantici L e S, dall’insieme dei numeri quantici ji . Al solito, per determinare l’azione di H2 sugli autostati degeneri di H0 , `e conveniente introdurre una base sulla quale H2 sia gi`a diagonale. Per questo, partendo dalle funzioni di particella singola ψnlmms , consideriamo delle loro combinazioni lineari (ottenute per mezzo dei coeﬃcienti di Clebsh-Gordan), che siano autostati degli operatori j 2 e jz . Indicando con mj l’autovalore dell’operatore jz , tali autofunzioni sono del tipo ψnljmj =

lsmms |lsjmj ψnlmms .

mms

A partire da queste autofunzioni di particella singola, `e possibile costruire delle autofunzioni antisimmetrizzate (ovvero del tipo di determinante di Slater) per il sistema complessivo di N elettroni. Indicando con b1 il set di numeri quantici (n, l, j, mj ) del primo elettrone, con b2 l’analogo set di numeri quantici del secondo elettrone, e cos`ı via, si ottengono le autofunzioni ΨA (b1 , b2 , . . . , bN ), in maniera del tutto analoga a quanto avevamo visto a suo tempo per le autofunzioni ΨA (a1 , a2 , . . . , aN ). Mentre queste ultime sono le pi` u appropriate per trattare il caso dell’accoppiamento L-S, le prime sono pi` u appropriate per trattare il caso dell’accoppiamento j-j. L’Hamiltoniana H2 `e diagonale su questa base, in quanto essa pu`o essere posta nella forma

253

MAGGIORI DETTAGLI SUGLI SPETTRI

H2 =

N

ξ(ri ) i · si =

i=1

N

ξ(ri ) 12 (ji2 − 2i − s2i ) ,

i=1

e si ottiene quindi

ΨA (b1 , b2 , . . . , bN |H2 |ΨA (b1 , b2 , . . . , bN ) =

1 2

N

ζni li [ji (ji +1)−li (li +1)− 34 ] ,

i=1

dove le quantit` a ζnl sono le stesse di quelle introdotte nell’Eq. (9.10). Consideriamo adesso una conﬁgurazione assegnata. Innanzitutto si pu` o osservare che il contributo proveniente dalle sottozone chiuse `e nullo. Infatti, per una sottozona nl chiusa, i possibili valori di j sono, se l = 0, (l − 12 ) e (l + 12 ), e si ha, come `e facile veriﬁcare

l+1/2

(2j + 1) [ j(j + 1) − l(l + 1) −

3 4

]=0 .

j=l−1/2

Ad esempio, se si considera la conﬁgurazione p6 , i due possibili valori di j sono 21 e 32 e si hanno due elettroni aventi j = 12 (ciascuno con una delle due possibili proiezioni mj = ± 12 ) e quattro elettroni aventi j = 32 (ciascuno con una delle quattro possibili proiezioni mj = ± 12 , ± 23 ). Questo esempio illustra il signiﬁcato della somma che appare nell’equazione precedente. Restano quindi da considerare soltanto gli elettroni appartenenti a sottozone aperte. Senza sviluppare i calcoli in generale, rifacciamoci semplicemente al caso in cui si abbiano due elettroni p non equivalenti, ovvero consideriamo la conﬁgurazione np n p (con n = n ). Poich´e entrambi gli elettroni possono avere j = 12 oppure j = 32 , si ottengono quattro stati aventi energie E(j1 , j2 ) date da E( 32 , 32 ) = E( 12 , 32 )

1 2

(a + b) ,

= −a +

1 2

b ,

E( 32 , 12 ) = E( 12 , 12 )

1 2

a−b ,

= −a − b ,

dove a = ζnp ,

b = ζn p .

Si ottiene quindi per la conﬁgurazione pp una struttura di termini che `e profondamente diversa dall’analoga struttura del caso dell’accoppiamento L-S (che consta, fra l’altro, di sei termini invece che di quattro). Lo stesso tipo di ragionamento si pu` o anche utilizzare per la conﬁgurazione np2 di due elettroni equivalenti. In questo caso si ottengono tre termini aventi energie E( 32 , 32 ) = a ,

E( 32 , 12 ) = − 21 a ,

E( 12 , 12 ) = −2 a ,

254

CAPITOLO 9

dove a = ζnp . I termini di accoppiamento j-j che cos`ı si ottengono sono degeneri. Ad esempio, nel caso della conﬁgurazione p2 , i tre termini che abbiamo ottenuti sono rispettivamente degeneri 6 volte, 8 volte e 1 volta. Su tale spazio di degenerazione si potrebbero poi andare a calcolare gli elementi di matrice dell’Hamiltoniana H1 , ovvero sostanzialmente dell’interazione Coulombiana. Si tratta di un argomento piuttosto complesso sul quale per` o non ci addentriamo oltre. Come abbiamo gi` a detto, in molti casi le due Hamiltoniane H1 e H2 sono confrontabili per cui non si pu` o applicare n´e lo schema di accoppiamento L-S, n´e quello j-j. In questi casi si parla di accoppiamento intermedio e i calcoli di struttura atomica risultano molto pi` u complessi in quanto le due Hamiltoniane devono essere diagonalizzate contemporaneamente e non una alla volta. In generale si preferisce lavorare sulla base degli autostati dell’accoppiamento L-S (la base cio`e in cui sono diagonali gli operatori L2 , Lz , S 2 e Sz ). Gli stati atomici, caratterizzati in ogni caso dai numeri quantici J e M (si ricordi che l’Hamiltoniana totale commuta con l’operatore J ), possono allora essere espressi, in generale, da combinazioni lineari della forma |αJM

=

CLS |αLSJM

,

(9.12)

LS

dove la somma `e estesa a tutti i valori di L e S compatibili con la conﬁgurazione α e con il valore di J, e dove i CLS sono i coeﬃcienti dello sviluppo, che possono essere ottenuti mediante la diagonalizzazione di cui sopra, e che soddisfano la condizione di normalizzazione

|CLS |2 = 1 .

LS

Nella maggior parte dei casi esiste un particolare valore della coppia di numeri quantici (L, S) tale che il relativo coeﬃciente `e molto maggiore di tutti gli altri. Se si indica con (L0 , S0 ) tale coppia di valori, `e consuetudine, nella pratica spettroscopica, assegnare allo stato in questione i numeri quantici L 0 , S0 , anche se, in eﬀetti, si tratta sempre di un’assegnazione approssimata. Una cosa del tutto simile avviene anche per la conﬁgurazione quando si presenta il fenomeno dell’interazione fra conﬁgurazioni. I numeri quantici α, L, S che vengono assegnati a un particolare stato atomico, codiﬁcati nelle tabelle spettroscopiche o nei relativi diagrammi di Grotrian, devono quindi essere sempre pensati come approssimati. L’ordine di approssimazione dipende dal rapporto fra i coeﬃcienti dei termini dello sviluppo che vengono trascurati e il coeﬃciente del termine preponderante.

MAGGIORI DETTAGLI SUGLI SPETTRI

255

9.5 L’eﬀetto Zeeman classico Questo eﬀetto fu scoperto nel 1896 dal ﬁsico olandese Pieter Zeeman il quale osserv` o che, in presenza di un campo magnetico relativamente intenso (dell’ordine del migliaio di gauss nelle esperienze originali), le righe spettrali di alcuni elementi si separano in vari componenti aventi particolari caratteristiche di intensit` a e polarizzazione. I risultati delle esperienze di Zeeman possono essere cos`ı riassunti: a) Osservando la radiazione proveniente da una lampada di scarica immersa in un campo magnetico, una riga spettrale si separa, nei casi pi` u semplici, in tre componenti. Indicando con ν0 la frequenza della riga imperturbata, le tre componenti si trovano alle frequenze ν0 − νL , ν0 , e ν0 + νL , dove νL `e la cosiddetta frequenza di Larmor4 data da νL =

e0 B = 1.3996 × 106 B s−1 , 4π m c

(9.13)

essendo B l’intensit` a del campo magnetico espressa in gauss. b) Osservando in direzione parallela al campo magnetico la componente centrale scompare mentre le altre due componenti risultano polarizzate circolarmente, una con polarizzazione destra, l’altra con polarizzazione sinistra. c) Osservando in direzione perpendicolare al campo magnetico, le tre componenti risultano polarizzate linearmente; quella centrale in direzione parallela al campo magnetico (componente π) e quelle laterali in direzione perpendicolare al campo magnetico (componenti σ). Le osservazioni di Zeeman furono rapidamente interpretate dallo stesso Zeeman e da Lorentz in base alla teoria classica dell’elettrone (la Meccanica Quantistica non era ancora nata). In base a tale teoria, si schematizzano gli atomi come oscillatori classici costituiti da una carica elettrica che si muove sotto l’azione di una forza di richiamo elastica, e, per interpretare l’emissione di una riga atomica alla frequenza ν0 , si assume fenomenologicamente che la costante elastica sia tale da dare una frequenza di risonanza dell’oscillatore pari proprio a ν0 . Indicando con x la coordinata della carica, si assume quindi che, in assenza di perturbazioni esterne, l’equazione di moto della carica sia d2 x = −4π 2 ν02 x . dt2 l’equazione di moto risulta modiﬁcata Introducendo un campo magnetico B, per la presenza della forza di Lorentz. Assumendo che la carica oscillante sia un elettrone con massa m e carica −e0 , l’equazione di moto risulta 4

Tradotta in termini di frequenze angolari, la frequenza di Larmor risulta ω L = 2π νL = e0 B/(2mc). Essa ` e quindi pari a un mezzo della frequenza di ciclotrone che abbiamo introdotto nel Cap. 3 (si veda l’Eq. (3.30)).

256

CAPITOLO 9

d2 x e0 dx . ×B = −4π 2 ν02 x − dt2 m c dt Se si descrive il vettore x attraverso le sue componenti cartesiane, le equazioni diﬀerenziali che abbiamo ottenute risultano accoppiate. Per disaccoppiarle `e conveniente introdurre le componenti di x sui tre vettori unitari u −1 , u0 e u1 deﬁniti da 1 u−1 = √ (ı + i j ) , 2

u0 = k ,

1 u1 = √ (−ı + i j ) , 2

dove (ı, j, k ) `e una terna cartesiana ortogonale con l’asse k diretto lungo il & campo magnetico. Ponendo allora x = α xα uα , e osservando che = B uα × u0 = −i B α uα , uα × B

(α = −1, 0, 1) ,

si ottengono per le componenti xα le seguenti equazioni disaccoppiate d2 xα dxα . = −4π 2 ν02 xα + 4π i α νL dt2 dt Cercando una soluzione di questa equazione della forma xα = Aα e−2πi να t , con Aα costante, si ottiene per να l’equazione di secondo grado να2 + 2 α νL να − ν02 = 0 , e osservando inﬁne che per campi magnetici tipici di laboratorio (B < 10 5 G) si ha νL ν0 , si ottiene να = ν0 − α νL . Attraverso la teoria classica dell’elettrone si `e quindi ottenuto un risultato che spiega perfettamente le osservazioni di Zeeman: sotto l’azione di un campo magnetico si ottengono tre oscillatori distinti aventi frequenze ν0 − νL , ν0 e ν0 + νL . L’oscillatore alla frequenza ν0 `e un oscillatore lineare diretto lungo il campo magnetico, mentre gli altri due sono oscillatori circolari perpendicolari al campo magnetico e di senso opposto, come illustrato nella Fig. 9.4. Attraverso tali oscillatori si spiegano facilmente le caratteristiche di frequenza e le propriet`a di polarizzazione dei vari componenti osservati nell’eﬀetto Zeeman. Ulteriori osservazioni dell’eﬀetto Zeeman, eﬀettuate su un numero sempre crescente di righe spettrali e con apparati spettroscopici aventi potere risolutivo mano a mano pi` u elevato, mostrarono tuttavia l’esistenza di una fenomenologia pi` u complessa (dovuta in ultima analisi allo spin dell’elettrone) che non poteva

257

MAGGIORI DETTAGLI SUGLI SPETTRI

Oscillatore lineare

Campo magnetico

Oscillatori circolari

Fig. 9.4. Modello classico degli oscillatori. La frequenza ` e ν 0 per l’oscillatore lineare e ν0 ± νL per gli oscillatori circolari.

essere interpretata attraverso la teoria classica sviluppata da Zeeman e Lorentz. Per descrivere i casi pi` u complessi si inizi` o a parlare di eﬀetto Zeeman anomalo per distinguerlo dall’eﬀetto Zeeman normale, caratterizzato dai fatti sperimentali enunciati sopra e descrivibile mediante la teoria classica. Oggi, alla luce della moderna teoria quantistica, la distinzione fra eﬀetto Zeeman normale e eﬀetto Zeeman anomalo appare superata e l’interpretazione si eﬀettua con la teoria quantistica, capace di inglobare coerentemente i due casi.

9.6 L’eﬀetto Zeeman quantistico L’eﬀetto di un campo magnetico uniforme su un sistema atomico pu`o essere descritto aggiungendo all’Hamiltoniana “imperturbata” un termine che descrive l’interazione fra il sistema stesso e il campo magnetico. Tale termine `e stato determinato, per un elettrone singolo, considerando il limite non relativistico dell’equazione di Dirac. Generalizzando l’Eq. (5.11) al caso di N elettroni, e ricordando la deﬁnizione di μ0 (Eq. (5.17)), l’Hamiltoniana magnetica risulta +2S )·B + HM = μ0 (L

N e20 B 2 2 r , 8 m c2 i=1 i⊥

dove ri⊥ `e la componente del vettore di posizione dell’elettrone i-esimo nel Il secondo termine che appare in questa equazione, piano perpendicolare a B. il cosiddetto termine diamagnetico, `e di importanza trascurabile rispetto al primo. Osserviamo infatti che i due termini risultano confrontabili per un valore “critico” del campo magnetico dato da

258

CAPITOLO 9

Bc

h ¯c 2 e0 r⊥

,

e, assumendo per r⊥ un valore dell’ordine del raggio della prima orbita di Bohr, si ottiene, con facili trasformazioni Bc

e30 m2 c = 2.351 × 109 G . h ¯3

Il valore che abbiamo ottenuto `e molto elevato ed `e ben al di sopra dei tipici valori di campo magnetico realizzabili in laboratorio. Anche negli oggetti astronomici, un campo magnetico dell’ordine di Bc costituisce una rarit`a. Si pensa infatti che valori di B cos`ı elevati possano trovarsi soltanto su stelle nane bianche magnetiche oppure su stelle di neutroni (pulsar). D’altra parte si pu` o osservare che l’energia magnetica associata a Bc , μ0 Bc , risulta esattamente pari all’energia di ionizzazione dell’atomo di Idrogeno e, per tali valori di campo magnetico, i calcoli di struttura atomica dovrebbero essere reimpostati ab initio. Trascurando quindi il secondo termine, assumiamo per l’Hamiltoniana magnetica l’espressione + 2S )·B = μ0 (J + S )·B , HM = μ0 (L ovvero, introducendo un sistema di coordinate cartesiane in modo che l’asse z sia diretto lungo la direzione del campo magnetico HM = μ0 B (Jz + Sz ) . L’Hamiltoniana magnetica obbedisce alle seguenti regole di commutazione [HM , Jz ] = 0 ,

[HM , Jx ] = 0 ,

[HM , Jy ] = 0 ,

il che signiﬁca che, in generale, il numero quantico J perde il suo signiﬁcato di buon numero quantico, mentre tale propriet` a `e conservata dal numero quantico magnetico M . L’eﬀetto dell’Hamiltoniana magnetica sui livelli atomici pu` o essere valutato con semplicit`a quando si supponga che tale Hamiltoniana possa essere considerata una perturbazione rispetto all’Hamiltoniana imperturbata H = H0 + H1 + H2 . In tal caso, indipendentemente dal tipo di accoppiamento valido per gli autostati di H, `e suﬃciente calcolare gli elementi di matrice diagonali αJM |HM |αJM

= μ0 B αJM |Jz + Sz |αJM

,

in quanto gli elementi di matrice non diagonali sono nulli (HM commuta con Jz ). Applicando il teorema della proiezione (Eq. (9.6)) si ottiene, per J = 0,

259

MAGGIORI DETTAGLI SUGLI SPETTRI

μ0 B αJM |Jz + Sz |αJM

= μ0 BM

|αJM αJM |J · S 1+ J(J + 1)

,

e, per J = 0, μ0 B αJM |Jz + Sz |αJM

=0 .

Il livello (aJ) si separa quindi, per eﬀetto dell’energia magnetica, in (2J + 1) sottolivelli (detti sottolivelli magnetici o sottolivelli Zeeman), ciascuno caratterizzato dal numero quantico magnetico M e avente un’energia supplementare (rispetto al caso non magnetico) data da ΔEM = μ0 B M gJ , dove gJ , deﬁnito dall’espressione (indipendente da M ), |αJM αJM |J · S J(J + 1)

gJ = 1 +

,

`e una quantit` a adimensionale che prende il nome di fattore di Land´e. Il fattore di Land´e pu` o essere calcolato con facilit`a solo nel caso in cui valga lo schema di accoppiamento L-S. Infatti, in tale caso, scrivendo l’autovettore |αJM nella forma |αLSJM , e osservando che = J · S

1 2

[J 2 + S 2 − L2 ] ,

si ha

|αLSJM αLSJM |J · S

=

1 2

[J(J + 1) + S(S + 1) − L(L + 1)] ,

per cui

gJ (LS) = 1 +

J(J + 1) + S(S + 1) − L(L + 1) = 2 J(J + 1)

3 2

+

S(S + 1) − L(L + 1) . 2 J(J + 1)

Quando vale l’accoppiamento intermedio, il calcolo del fattore di Land´e risulta pi` u complesso e fa intervenire i coeﬃcienti CLS deﬁniti implicitamente dall’Eq. (9.12). Attraverso tali coeﬃcienti si pu` o scrivere, in generale gJ =

LS

|CLS |2 gJ (LS) ,

260

CAPITOLO 9

dove gJ (LS) ha il valore dato dall’espressione precedente e dove la somma va estesa a tutti i valori di L e S compatibili con la conﬁgurazione e con il valore di J. Poich´e i fattori di Land´e sono facilmente accessibili all’osservazione, essi permettono di stabilire in maniera quantitativa quanto lo schema di accoppiamento L-S sia appropriato per la descrizione di un determinato termine. Basta infatti confrontare i fattori di Land´e osservati nei vari livelli del termine con quelli calcolati supponendo valido l’accoppiamento L-S. Ad esempio, per il termine fondamentale del Ferro, a5D, i fattori di Land´e osservati spettroscopicamente sono 1.498 (J = 1), 1.494 (J = 2), 1.497 (J = 3), e 1.496 (J = 4), mentre il valore di gJ (LS) `e pari a 1.5 per tutti e quattro i livelli. Consideriamo adesso due livelli, un livello inferiore avente numeri quantici (αJ) e fattore di Land´e gJ e un livello superiore avente numeri quantici (α J ) e fattore di Land´e gJ . La riga spettrale originaria, avente frequenza ν0 in assenza di campo, si separa, sotto l’eﬀetto del campo magnetico, in varie componenti, ciascuna caratterizzata dalla coppia di numeri quantici M e M , aventi frequenza ν(M, M ) = ν0 + νL (gJ M − gJ M ) , dove abbiamo introdotto la frequenza di Larmor, νL , gi` a deﬁnita nell’Eq. (9.13), anche data da μ0 B/h. Le componenti sono in numero ridotto (rispetto a quelle possibili a priori) in quanto vale la regola di selezione su M ΔM = ±1, 0 , che ne riduce notevolmente il numero. Ciascuna componente `e inoltre caratterizzata da una opportuna “forza” e da una deﬁnita propriet` a di polarizzazione. Anticipando un risultato che sar` a dimostrato in maniera formale in seguito, osserviamo che la forza di una riga spettrale risulta proporzionale (nell’approssimazione di dipolo) alla quantit` a 1

| ψi |rq |ψf |2 ,

q=−1

dove |ψi e |ψf sono le funzioni d’onda degli stati iniziale e ﬁnale fra i quali avviene la transizione, e dove rq `e la componente sferica del vettore r deﬁnito da r =

N

ri .

i=1

Applicando il teorema di Wigner-Eckart (dal quale scaturiscono naturalmente le regole di selezione), si ha che la transizione fra il sottolivello inferiore caratterizzato dal numero quantico M e il sottolivello superiore caratterizzato dal

261

MAGGIORI DETTAGLI SUGLI SPETTRI

numero quantico M risulta associata a un particolare valore di q (q = M −M ) e la sua forza `e proporzionale a

| αJM |rq |α J M |2 = (2 J + 1)

J M

J −M

1 q

2

| αJ||r||α J |2 .

Eliminando da queste espressioni tutte le quantit` a che non dipendono dai numeri quantici magnetici, si ottiene per la “forza relativa” delle componenti

Sq (M, M ) = 3

J −M

J M

1 q

2 ,

dove il fattore 3 `e stato introdotto per fare in modo che le forze siano normalizzate all’unit`a. Infatti, per l’Eq.(7.18) si ha

Sq (M, M ) =

MM

MM

3

J −M

J M

1 q

2 =1 .

(9.14)

Si pu` o inoltre dimostrare che le componenti aventi q = 0 sono componenti π, mentre le componenti aventi q = ±1 sono componenti σ nel senso attribuito a queste denominazioni nel paragrafo precedente. Queste propriet`a stabiliscono il carattere di polarizzazione di tutte le componenti in osservazione parallela o perpendicolare al campo magnetico. Una volta note le forze e le separazioni in frequenza di tutte le componenti, si pu` o procedere a costruire un diagramma, detto diagramma Zeeman (Zeeman pattern), nel quale si riportano, in funzione della frequenza, tanti tratti verticali quante sono le componenti. Ogni tratto `e di lunghezza proporzionale alla forza della singola componente ed `e riportato alla frequenza che gli compete. Le frequenze sono espresse in unit`a di νL (unit` a di Lorentz) e i tratti sono riportati verso l’alto per le componenti π e verso il basso per le componenti σ. Si consideri ad esempio la transizione fra un livello inferiore 3D2 e un livello superiore 3P1 . Se i due livelli possono essere entrambi descritti nello schema di accoppiamento L-S, i corrispondenti fattori di Land´e sono dati da gJ (3D2 ) =

7 6

,

gJ (3P1 ) =

3 2

.

Le forze e le separazioni delle singole componenti sono riportate nella Tab 9.1, mentre le possibili transizioni e il diagramma Zeeman risultante sono illustrati nella Fig. 9.5. Se si considera in particolare un livello in accoppiamento L-S proveniente da un termine di singoletto, il fattore di Land´e `e uguale a 1, come si vede dall’espressione di gJ (LS) sostituendo S = 0 e L = J. Per una transizione fra due di tali livelli, le frequenze delle componenti sono date da

262

CAPITOLO 9

q

M

M

Separazione

Forza

1

1 0 -1

2 1 0

− 56 − 76 − 96

6 10 3 10 1 10

0

1 0 -1

1 0 -1

2 6

0

− 26

3 10 4 10 3 10

-1

1 0 -1

0 -1 -2

9 6 7 6 5 6

1 10 3 10 6 10

Tab. 9.1. Separazioni in frequenza (espresse in unit` a della frequenza di Larmor ν L ) e forze relative delle transizioni fra i sottolivelli Zeeman appartenenti al livello superiore 3P1 e quelli appartenenti al livello inferiore 3D2 .

ν(M, M ) = ν0 + νL (M − M ) , e si ottiene che tutte le componenti con q = M − M = 1 si trovano alla frequenza ν0 − νL , tutte quelle con con q = 0 a ν0 , e tutte quelle con q = −1 a ν0 + νL . D’altra parte, la somma delle forze delle componenti di ciascun tipo d` a per risultato 1 (si veda l’equazione di normalizzazione (9.14)), per cui si ottiene un diagramma Zeeman molto semplice come quello riportato nel riquadro c) della Fig. 9.5. In questo caso si parla di eﬀetto Zeeman normale mentre altrimenti si parla di eﬀetto Zeeman anomalo. Il caso dell’eﬀetto Zeeman normale, che corrisponde ad assenza di spin, `e l’unico che pu` o essere trattato anche classicamente. Osserviamo inﬁne che le separazioni in frequenza (o in lunghezza d’onda) introdotte dall’eﬀetto Zeeman sono relativamente piccole e che sono necessari strumenti di potere risolutivo elevato per poter mettere in evidenza tale eﬀetto anche per valori di campo magnetico dell’ordine del migliaio di gauss. Indicando con Δν la separazione in frequenza fra due componenti Zeeman, si ha, come ordine di grandezza, Δν νL , e assumendo un campo di 103 G si ottiene, per una riga a 5000 ˚ A (ν0 = 6 × 1014 s−1 ), Δν 2.3 × 10−6 . ν0 ` quindi necessario disporre di uno spettroscopio avente potere risolutivo delE l’ordine di 106 per poter osservare l’eﬀetto Zeeman indotto da un campo di 1000 G su una riga dello spettro visibile.

263

MAGGIORI DETTAGLI SUGLI SPETTRI

3

P1

1 0 −1

M

b)

1

−1 0

a)

3

D2

2 1 0 −1 −2

M

c) 1

−1 0

Fig. 9.5. Nel riquadro a) sono illustrate le transizioni fra sottolivelli Zeeman appartenenti al livello superiore 3P1 e quelli appartenenti al livello inferiore 3D2 . Nel riquadro b) `e mostrato il pattern Zeeman risultante, con le componenti π riportate verso l’alto e quelle σ verso il basso. Il riquadro c) mostra il pattern relativo al caso dell’eﬀetto Zeeman normale.

9.7 L’eﬀetto Paschen-Back La teoria dell’eﬀetto Zeeman sviluppata nel paragrafo precedente si basa sull’ipotesi che l’Hamiltoniana magnetica HM sia una perturbazione rispetto all’Hamiltoniana totale (non magnetica) H. Aﬃnch´e questo si veriﬁchi `e ovviamente necessario che HM sia una perturbazione sia rispetto a H0 che a H1 che a H2 . Rivestono tuttavia un ruolo di particolare importanza alcune situazioni ﬁsiche in cui il campo magnetico `e suﬃcientemente intenso da produrre una separazione dei sottolivelli magnetici paragonabile alla separazione fra i diversi livelli provenienti da un termine (struttura ﬁne). Riferendoci al caso pi` u comune in cui valga lo schema di accoppiamento L-S, si parla, in tali situazioni ﬁsiche, di eﬀetto Paschen-Back e si distingue fra eﬀetto Paschen-Back completo quando vale la diseguaglianza H2 HM ,

264

CAPITOLO 9

μ0 B

( 1, 1) ( 0, 1) ( 1, 0) (−1, 1)

3

P

( 0, 0) (−1, 0) ( 1,−1) ( 0,−1) (−1,−1)

Fig. 9.6. Separazione di un livello 3P dovuta al campo magnetico nel regime dell’eﬀetto Paschen-Back completo. Ciascun sottolivello magnetico `e caratterizzato dalla coppia di valori (ML , MS ). Si noti l’esistenza di due sottolivelli degeneri.

ed eﬀetto Paschen-Back incompleto quando si ha invece H2 HM . Per ﬁssare le idee, osserviamo che il caso dell’eﬀetto Zeeman corrisponde invece alla diseguaglianza H2 HM . All’aumentare del campo magnetico si passa con continuit` a dall’eﬀetto Zeeman all’eﬀetto Paschen-Back incompleto, all’eﬀetto Paschen-Back completo. I valori del campo magnetico a cui si veriﬁca il passaggio fra i vari regimi dipendono dal particolare termine atomico che si sta considerando. Se tale termine `e caratterizzato da un certo valore della quantit` a ζ(α, LS), si pu` o deﬁnire un valore caratteristico del campo magnetico, BPB , tale che μ0 BPB = ζ(α, LS) . I tre diversi regimi (Zeeman, Paschen-Back incompleto e Paschen-Back completo) si ottengono allora per B BPB , B BPB e B BPB , rispettivamente. Consideriamo prima il caso dell’eﬀetto Paschen-Back completo. Per trovare l’eﬀetto dell’Hamiltoniana magnetica sulla struttura di un termine conviene lavorare sulla base degenere |αLSML MS nella quale HM `e diagonale. Per gli elementi di matrice di HM si ottiene αLSMLMS |HM |αLSML MS = μ0 B αLSML MS |Lz + 2Sz |αLSML MS = = μ0 B (ML + 2MS ) . 3

Per un termine P , ad esempio, applicando l’equazione di sopra si vede che il termine risulta suddiviso dal campo magnetico in sette componenti di cui due doppiamente degeneri (si veda la Fig. 9.6).

MAGGIORI DETTAGLI SUGLI SPETTRI

265

Andiamo adesso a considerare la transizione fra due termini diversi e indichiamo con (αLSML MS ) i numeri quantici relativi al termine inferiore e con (α L S ML MS ) quelli relativi al termine superiore. La riga spettrale, avente frequenza ν0 in assenza di campo magnetico, si separa in un certo numero di componenti ciascuno caratterizzato dalla frequenza ν(ML MS , ML MS ) = ν0 + νL [ML − ML + 2(MS − MS )] . Le intensit` a relative dei vari componenti si possono dedurre attraverso considerazioni analoghe a quelle viste a proposito dell’eﬀetto Zeeman. In questo caso bisogna calcolare una quantit` a della forma 1

| αLSML MS | rq |α L S ML MS |2 .

q=−1

Osservando che rq `e un operatore che agisce soltanto sulle variabili orbitali e non su quelle di spin, si ottiene 1

| αLSML MS |rq |α L S ML MS |2 =

q=−1

=

1

| αLML |rq |α L ML |2 δSS δMS MS ,

q=−1

e applicando il teorema di Wigner-Eckart si arriva a esprimere la forza relativa dei diversi componenti attraverso la formula Sq (ML MS , ML MS ) = 3

L −ML

L ML

1 q

2 δSS δMS MS ,

la quale mostra che per l’eﬀetto Paschen-Back completo valgono le regole di selezione ΔMS = 0 ,

ΔML = ±1, 0 .

A causa della regola di selezione su MS l’espressione per le frequenze dei componenti si sempliﬁca e risulta ν(ML MS , ML MS ) = ν0 + νL (ML − ML ) . Le transizioni aventi lo stesso valore per ΔML si trovano tutte alla stessa frequenza e la somma delle loro forze relative d`a per risultato l’unit` a. Si ritrova quindi per l’eﬀetto Paschen-Back completo lo stesso diagramma Zeeman della Fig. 9.5, riquadro c), ovvero il diagramma dell’eﬀetto Zeeman normale.

266

CAPITOLO 9

Il caso dell’eﬀetto Paschen-Back incompleto `e notevolmente pi` u complesso in quanto l’Hamiltoniana di spin-orbita, H2 , e l’Hamiltoniana magnetica, HM , devono essere diagonalizzate simultaneamente. Mentre H2 `e diagonale sulla base dei vettori |αLSJM , HM lo `e sulla base |αLSML MS . Una volta scelta una delle due basi, si calcolano tutti gli elementi di matrice (diagonali e non) e si diagonalizza la matrice cos`ı ottenuta. Il problema `e parzialmente sempliﬁcato dal fatto che, poich´e entrambe le Hamiltoniane commutano con Jz [H2 , Jz ] = [HM , Jz ] = 0 , la matrice risulta diagonale a blocchi, ciascun blocco essendo caratterizzato da un particolare valore di M = ML + MS . I calcoli devono, in generale, essere eseguiti numericamente e portano, all’aumentare del campo magnetico, a una transizione continua fra una struttura dei livelli tipica dell’eﬀetto Zeeman a una struttura tipica dell’eﬀetto Paschen-Back completo5 .

9.8 La struttura iperﬁne, eﬀetto isotopico Esaminando le righe spettrali con dispositivi spettroscopici dal potere risolutivo molto elevato, `e stato trovato, a partire dagli anni 1920, che in molti spettri atomici le righe spettrali risultano suddivise in un certo numero di componenti, estremamente vicine fra loro, aventi separazione tipica, in termini di numero d’onda, dell’ordine del centesimo di cm−1 , ovvero, in termini di lunghezza d’onda, dell’ordine di qualche m˚ A (per righe dello spettro visibile). Oggi sappiamo che la struttura iperﬁne `e dovuta all’inﬂuenza del nucleo atomico sui livelli energetici dell’atomo, essendo stata ampiamente confermata un’ipotesi originariamente proposta da Pauli. Tale inﬂuenza `e di duplice natura essendo dovuta, da un lato, al fatto che gli isotopi di un elemento hanno massa e volume nucleare diversi (eﬀetto isotopico) e, dall’altro, alla presenza dello spin del nucleo (eﬀetto di spin nucleare). Ovviamente il primo eﬀetto `e presente solo quando si analizza spettroscopicamente un elemento composto da due o pi` u isotopi, mentre il secondo eﬀetto `e presente anche per un elemento isotopicamente puro (purch´e il suo spin nucleare sia non nullo). In questo paragrafo analizzeremo il primo eﬀetto; il secondo eﬀetto `e trattato nel paragrafo seguente. L’analisi dell’eﬀetto isotopico dovuto alla diﬀerenza di massa fra pi` u isotopi `e facilmente analizzabile solo nel caso degli atomi idrogenoidi. Abbiamo visto infatti nel Par. 6.1 che l’energia dell’n-esimo livello dell’atomo idrogenoide `e data da (cfr. Eq. (6.4)) 5

Per un approfondimento di questo argomento si veda, ad esempio E.U. Condon & G.H. Shortley, The Theory of Atomic Spectra, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1935, oppure E. Landi Degl’Innocenti & M. Landolﬁ, Polarization in Spectral Lines, Kluwer, Acad. Publ., Dordrecht, 2004.

MAGGIORI DETTAGLI SUGLI SPETTRI

En = −

267

mr e40 Z 2 1 , 2h ¯ 2 n2

dove mr `e la massa ridotta, ovvero m Mn , (9.15) m + Mn con m massa dell’elettrone e Mn massa del nucleo. Se si hanno quindi due isotopi aventi rispettivamente masse M1 e M2 , e se si indicano con ν1 e ν2 le frequenze di due righe corrispondenti, si ha mr =

ν1 (mr )1 M1 m + M2 = = , ν2 (mr )2 M2 m + M1 ovvero, sviluppando in serie (m M1 , M2 ), ν1 1 1 . =1+m − ν2 M2 M1 Se si considera ad esempio il caso dell’Idrogeno e del Deuterio e si ricorda che la massa del nucleo del Deuterio `e doppia di quella dell’Idrogeno, si ottiene νD m =1+ 1+ νH 2 Mp

1 3672

,

dove Mp `e la massa del protone. Le frequenze delle righe del Deuterio sono quindi tutte maggiori delle corrispondenti frequenze delle righe dell’Idrogeno, il loro rapporto essendo dell’ordine di 1.0003. Ovviamente la cosa opposta accade per le lunghezze d’onda. La riga Hα del Deuterio, ad esempio, si trova spostata di 1.79 ˚ A verso le lunghezze d’onda minori (verso il blu) rispetto alla riga Hα dell’Idrogeno. Per gli atomi non idrogenoidi l’eﬀetto di massa pu` o essere valutato mediante le seguenti considerazioni. L’energia cinetica totale, T , di un sistema di N elettroni che orbitano intorno a un nucleo di massa Mn `e data da T =

N P2 p2i + , 2 m 2 Mn i=1

dove pi `e l’impulso dello i-esimo elettrone e P `e l’impulso del nucleo. D’altra parte, nel sistema di riferimento in cui l’atomo `e a riposo si deve avere P +

N

pi = 0 ,

i=1

per cui, ricavando P da questa equazione e sostituendo nell’espressione dell’energia cinetica, si ottiene, con semplici trasformazioni algebriche

268

CAPITOLO 9

T =

N pi · pj p2i + , 2 mr i<j Mn i=1

dive mr `e la massa ridotta deﬁnita nell’Eq. (9.15). Come si vede, l’eﬀetto della massa ﬁnita del nucleo `e duplice. Da un lato, la massa dell’elettrone viene sostituita dalla massa ridotta. Dall’altro, compaiono tanti termini aggiuntivi dell’energia quante sono le possibili coppie di elettroni. L’eﬀetto di questi termini pu` o essere valutato quantitativamente aggiungendo all’Hamiltoniana atomica un termine correttivo (di massa nucleare) dato da Hm.n. =

p i · pj , Mn i<j

e poi andando a determinare l’eﬀetto di questa Hamiltoniana sui livelli atomici per mezzo della teoria delle perturbazioni. In ogni caso, si trova che per atomi pesanti l’eﬀetto di massa diminuisce rispetto al caso dell’Idrogeno, soprattutto per il fatto che diminuisce la diﬀerenza relativa fra le masse degli isotopi. All’eﬀetto di massa si sovrappone poi l’eﬀetto di volume nucleare che pu` o essere valutato, almeno come ordine di grandezza, nel modo seguente. Nella teoria atomica sviluppata nei capitoli precedenti abbiamo sempre supposto che il nucleo sia puntiforme. In eﬀetti questa `e un’approssimazione di ordine zero che porta a un potenziale divergente nell’origine. Un’approssimazione migliore, sebbene grossolana, `e quella di considerare il nucleo come una sferetta uniformemente carica avente raggio r0 dell’ordine delle dimensioni nucleari (r0 10−13 cm). Il potenziale nel quale si muovono gli elettroni diﬀerisce quindi, in prossimit` a del nucleo, dal potenziale puramente Coulombiano dovuto al nucleo puntiforme. Per calcolare tale potenziale, utilizziamo il teorema di Gauss che, per r ≤ r0 , porta all’equazione 4π r2 E(r) = 4π Q(r) = 4π Z e0

r3 , r03

dove E(r) `e il campo elettrico, Q(r) `e la carica contenuta entro la sfera di raggio r, e Z `e il numero di carica nucleare. Il campo elettrico vale quindi, per r ≤ r0 E(r) = Z e0

r , r03

e discende dal potenziale φ(r) = −

Z e0 r 2 +C , 2 r03

269

MAGGIORI DETTAGLI SUGLI SPETTRI

V(r) r

r0

Carica puntiforme Carica distribuita Fig. 9.7. L’energia potenziale dell’elettrone, V (r), dovuta alla carica del nucleo diﬀerisce a seconda che si consideri il nucleo puntiforme oppure con carica distribuita. Il graﬁco illustra schematicamente la diﬀerenza. Le dimensioni del nucleo, r0 , sono notevolmente esagerate nella ﬁgura.

dove C `e una costante che pu`o essere determinata imponendo che per r = r0 si abbia φ = Z e0 /r0 . Applicando questa condizione di continuit`a si ottiene Z e0 φ(r) = 2 r0

r2 3− 2 , r0

r ≤ r0 .

L’eﬀetto del nucleo ﬁnito `e quindi quello di introdurre nell’Hamiltoniana un termine correttivo (di volume nucleare) dato da

Hv.n.

N Z e20 ri2 Z e20 − 3− 2 + , = 2 r0 r0 ri i=1

ri ≤ r0 .

Tale termine `e rappresentato schematicamente nella Fig. 9.7. Possiamo adesso calcolare la variazione di energia di una conﬁgurazione, ΔE, dovuta a questa correzione da apportare all’Hamiltoniana. Il calcolo si esegue attraverso la teoria delle perturbazioni osservando che l’Hamiltoniana Hv.n. , commutando con gli operatori i e si , `e diagonale sulla base delle autofunzioni della forma dell’Eq. (7.1), ΨA (a1 , a2 , . . . , aN ). Si ottiene

270

CAPITOLO 9

ΔE =

N Z e20 I(ai ) , 2 r0 i=1

dove r2 2 r0 d3 x . I(ai ) = |ψni li mi msi (x)| −3 + 2 + r0 r r≤r0

2

Per valutare questo integrale si pu` o osservare che r0 `e molto minore delle scale caratteristiche sulle quali varia la funzione d’onda, per cui si ha r2 2 r0 d3 x , −3 + 2 + I(ai ) = |ψni li mi msi (0)|2 r0 r r≤r0 e valutando l’integrale con metodi elementari si ottiene I(ai ) =

4π 3 r |ψni li mi msi (0)|2 . 5 0

Sostituendo inﬁne nell’espressione per ΔE si arriva al risultato ΔE =

N 2π Z e20 r02 |ψni li mi msi (0)|2 . 5 i=1

Come si vede, la correzione all’energia `e positiva e ad essa contribuiscono solo gli elettroni s (gli unici per cui ψ(0) = 0). Inoltre, la correzione dipende da r0 per cui si ottengono valori diversi di ΔE per isotopi diversi.

9.9 La struttura iperﬁne, eﬀetto di spin nucleare Un nucleo (pi` u propriamente un nuclide) avente numero di massa A e numero di carica Z `e composto da A nucleoni, di cui Z protoni e A − Z neutroni. Sia i protoni che i neutroni sono particelle aventi spin 12 e tali spin si sommano fra loro (secondo le regole del momento angolare) per dare lo spin totale I del nucleo. Il numero quantico associato, I, risulta necessariamente semi-intero se A `e dispari e intero se A `e pari. Il valore di I che compete a un nucleo assegnato 6 pu` o essere dedotto dall’esperienza o, in alcuni casi, pu`o essere ottenuto in base a modelli di struttura nucleare. L’esperienza mostra che tutti i nuclei paripari (ovvero quelli composti da un numero pari di protoni e un numero pari di 6

Ci riferiamo qui allo spin del nucleo nel suo stato fondamentale. Nelle reazioni nucleari il nucleo pu` o portarsi su livelli eccitati ai quali competono, in generale, valori di I diversi.

MAGGIORI DETTAGLI SUGLI SPETTRI

271

neutroni) hanno spin nullo. I nuclei che non rientrano in questa classe hanno, in generale, I = 0. Allo spin nucleare `e sempre associato un momento magnetico nucleare che viene espresso nella forma μ I = gN μN I . In questa formula, μN `e il cosiddetto magnetone nucleare deﬁnito attraverso una formula del tutto analoga a quella del magnetone di Bohr μ0 (Eq. (5.17)), con la diﬀerenza che la massa del protone sostituisce quella dell’elettrone μN =

¯ m e0 h = μ0 2 Mp c Mp

1 1836

μ0 .

a La quantit` a gN `e invece un fattore puramente numerico dell’ordine dell’unit` che dipende da nucleo a nucleo e che viene chiamato rapporto giromagnetico nucleare. Per il protone (isolato) il valore di gN `e 2.79290, mentre per il neutrone (isolato) `e −1.91315. Per il nucleo del Deuterio (composto da un protone e un neutrone e avente I = 1) si ha gN = 0.85741, il che mostra che il valore di gN di un nucleo non si ottiene per semplice somma dei gN dei nucleoni che lo compongono. Il momento magnetico nucleare interagisce con la nuvola elettronica e l’interazione `e descritta, in prima approssimazione, da un’Hamiltoniana, detta di struttura iperﬁne, del tipo7 Hs.i. = A(α, J) J · I ,

(9.16)

dove A(α, J) `e una quantit` a che dipende dai numeri quantici dello stato |αJM considerato. Senza entrare nei dettagli della teoria attraverso la quale `e possibile ricavare il valore di A(α, J), si pu` o semplicemente fornire per tale quantit` a una stima di ordine di grandezza. Per questo si pu` o pensare che il momento magnetico nucleare interagisca col momento magnetico associato alla nuvola elettronica e, poich´e l’energia di interazione di due dipoli `e proporzionale al prodotto dei moduli dei dipoli stessi e inversamente proporzionale al cubo della loro distanza, si ha, come ordine di grandezza (a0 `e il raggio della prima orbita di Bohr) A(α, J) 7

μN μ0 e80 m2 = 1.264 × 10−18 erg , a30 c2 h ¯ 4 Mp

L’equazione (9.16) `e il primo termine di uno sviluppo multipolare e rappresenta l’interazione di dipolo fra lo spin del nucleo e quello della nuvola elettronica. Talvolta si rende necessario aggiungere il termine successivo che descrive l’interazione di quadrupolo. Tale termine porta un contributo supplementare all’Eq. (9.17) della forma B[K(K+1)−4I(I+1)J(J +1)/3], dove B ` e una nuova costante e dove K = F (F + 1) − I(I + 1) − J(J + 1).

272

CAPITOLO 9

un valore di energia che corrisponde a 6.37 × 10−3 cm−1 oppure a 191 MHz. Confrontando questa espressione con quella analoga valida per la struttura ﬁne (si veda l’Eq. (5.14)), si arriva alla conclusione che le energie tipiche della struttura iperﬁne sono circa 2000 volte inferiori a quelle della struttura ﬁne. Il momento angolare intrinseco del nucleo introduce un ulteriore grado di libert` a che deve essere descritto da opportuni numeri quantici. Un livello atomico che in assenza di spin nucleare `e rappresentato dal vettore di stato |αJM deve adesso essere descritto da un nuovo autovettore della forma |αJIM M I , dove I `e il numero quantico di spin nucleare (nel senso che l’autovalore dell’operatore I 2 vale I(I +1)), e dove MI `e il numero quantico relativo all’operatore Iz . In luogo di questa base `e per` o pi` u opportuno considerare la base |αJIF M F dove F = J + I `e il momento angolare totale (elettronico + nucleare) dell’atomo. L’Hamiltoniana di struttura iperﬁne `e diagonale sulla base |αJIF M F . Osservando che J · I =

1 2

(F 2 − J 2 − I 2 ) ,

si ottiene, per la correzione in energia dovuta allo spin nucleare, ΔE(F ) = αJIF MF | Hs.i. |αJIF MF =

1 2

=

A(α, J) [F (F + 1) − J(J + 1) − I(I + 1)] .

(9.17)

Per i livelli di struttura iperﬁne si ottiene quindi una separazione in energia simile a quella data dalla regola degli intervalli di Land´e per la struttura ﬁne. Consideriamo ad esempio il caso dello stato fondamentale dell’atomo di Idrogeno. Per esso si ha J = 12 e I = 12 per cui si hanno le due possibilit` aF =0e F = 1, cui corrispondono, rispettivamente, le energie ΔE(F = 0) = − 34 A ,

ΔE(F = 1) =

1 4

A .

L’intervallo fra i due livelli di struttura ﬁne vale A e risulta sperimentalmente pari a 1.420 GHz (ovvero circa 7 volte il valore da noi stimato come ordine di grandezza). La transizione fra questi due livelli di struttura iperﬁne d` a luogo a una riga dello spettro radio la cui lunghezza d’onda `e 21.1 cm e che viene tradizionalmente detta “la riga a 21 cm”. L’osservazione di tale riga `e d’importanza fondamentale in astroﬁsica per lo studio della nostra Galassia, delle galassie in generale e delle regioni d’Idrogeno neutro (regioni H I). Un altro esempio particolarmente rilevante `e quello del livello fondamentale, 6s 2S1/2 , dell’isotopo 133 del Cesio. Poich´e tale isotopo ha spin nucleare pari a 7/2, si hanno due livelli di struttura iperﬁne, caratterizzati dai numeri quantici F = 3 e F = 4, rispettivamente. La separazione in energia fra tali livelli `e nota con tale precisione che su di essa `e basata, a partire dal 1967, la deﬁnizione dell’unit` a di tempo nel Sistema Internazionale. Il secondo `e infatti deﬁnito come la durata di 9 192 631 770 periodi della radiazione emessa nella transizione fra i due livelli di struttura iperﬁne sopraddetti.

Capitolo 10

Leggi di equilibrio termodinamico Dopo aver passato in rassegna nei capitoli precedenti le propriet`a fondamentali del campo di radiazione e quelle dei sistemi atomici, prima di passare a trattare il problema dell’interazione quantistica fra tali sistemi, `e opportuno andare a studiare, in tutta generalit` a, le loro caratteristiche ﬁsiche nel caso particolare dell’equilibrio termodinamico. Da un lato, questo studio `e interessante in s´e, in quanto in molti casi i sistemi ﬁsici, siano essi l’oggetto di esperienze di laboratorio o di osservazioni astronomiche, possono essere considerati, almeno in prima approssimazione, in condizioni vicine a quelle dell’equilibrio termodinamico. Dall’altro lato, le leggi che si possono dedurre all’equilibrio termodinamico, essendo basate sul primo e secondo principio della Termodinamica, sono di estrema generalit`a e possono quindi fornire dei metodi di controllo utilissimi per mettere alla prova qualsiasi teoria, pi` u o meno approssimata, che si possa utilizzare nella descrizione dei sistemi e delle loro interazioni.

10.1 I principi della statistica Sia dato un sistema ﬁsico a N gradi di libert` a descritto in meccanica classica dalle variabili dinamiche qi e dai corrispondenti momenti cinetici coniugati pi (i = 1, 2, . . . , N ), e sia H(qi , pi ) l’Hamiltoniana del sistema. Le propriet`a statistiche del sistema all’equilibrio termodinamico possono essere dedotte attraverso un principio di estrema generalit` a. Sebbene tale principio possa essere pi` u o meno giustiﬁcato mediante considerazioni probabilistiche1 , talvolta si preferisce assumerlo direttamente come postulato. Il principio aﬀerma che la probabilit` a dP di trovare il sistema nella celletta elementare dΓ dello spazio delle fasi `e data dall’espressione dP = A e−βH(qi ,pi ) dΓ ,

(10.1)

dove dΓ = dq1 dq2 · · · dqN dp1 dp2 · · · dpN ,

β=

1 , kB T

con kB costante di Boltzmann (kB = 1.3806 × 10−16 erg K−1 ), e T temperatura 1

Una semplice deduzione formale `e presentata nell’App. 10. Per un’analisi pi` u approfondita si veda ad esempio E. Schr¨ odinger, Termodinamica Statistica, Boringhieri, Torino, 1961.

274

CAPITOLO 10

assoluta, e dove A `e una costante di normalizzazione da determinare imponendo che l’integrale su tutto lo spazio delle fasi del dP sia uguale a 1, A e−βH(qi ,pi ) dΓ = 1 . A proposito della costante A bisogna osservare che il suo valore risulta connesso al valore di zero (del resto arbitrario) che si assume per l’energia. Se si esegue infatti la trasformazione H(qi , pi ) → H(qi , pi ) + E0 , con E0 costante, si ottiene A → A e βE0 , e l’espressione per dP risulta invariante rispetto a E0 . Lo stesso principio si generalizza direttamente ai sistemi quantistici. Sia H l’Hamiltoniana quantistica del sistema ﬁsico, e siano E1 , E2 , . . . , En , . . . le energie degli stati quantici (supposti non degeneri2 ) ottenute risolvendo l’equazione di Schr¨ odinger stazionaria. La probabilit`a Pj di trovare il sistema nello stato j di energia Ej `e data da Pj = A e−βEj ,

(10.2)

dove A `e di nuovo una costante di normalizzazione da determinare in modo che

A e−βEj = 1 .

j

La costante di normalizzazione `e quindi data da A=

1 , Z

dove la quantit` a Z, detta somma sugli stati, vale Z=

e−βEj .

j

Tutte le leggi della termodinamica possono essere dedotte da queste semplici considerazioni se si ammette, in base all’ipotesi fondamentale di Boltzmann, che l’entropia del sistema sia data dall’espressione 2

Nel caso che la soluzione dell’equazione di Schr¨ odinger stazionaria conduca ad autovalori degeneri, i corrispondenti stati devono essere tutti enumerati distintamente nella serie E1 , E2 , . . . , En , . . ..

LEGGI DI EQUILIBRIO TERMODINAMICO

S = −kB

275

Pj ln Pj .

j

Vediamo adesso alcune conseguenze delle ipotesi introdotte. Sostituendo l’espressione per Pj in questa equazione, si ottiene A e−βEj (ln A − βEj ) , S = −kB j

che, ricordando le equazioni precedenti risulta ⎡ ⎤ A Ej e−βEj ⎦ . S = kB ⎣ln Z + β j

Osserviamo adesso che l’energia interna del sistema, tradizionalmente indicata col simbolo U , `e ovviamente data da & & −βEj −βEj j Ej e j Ej e = U = & −βEj = A Ej e−βEj , Z je j e pu` o anche essere espressa dall’equazione U =−

∂ ln Z . ∂β

D’altra parte, sostituendo nell’equazione che esprime l’entropia si ha S = kB [ln Z + β U ] , dalla quale si ottiene ln Z =

S − β U = β (S T − U ) = −β F , kB

(10.3)

dove F = U − T S `e l’energia libera di Helmholtz. Inﬁne, questa relazione permette di esprimere l’energia interna nella forma U =−

∂ ∂ ∂F ln Z = (β F ) = F + β . ∂β ∂β ∂β

Per stabilire un collegamento pi` u completo con le leggi della termodinamica, bisogna anche considerare il fatto che le traformazioni termodinamiche implicano in molti casi delle variazioni del sistema legate non solo alla temperatura ma anche ad altre variabili macroscopiche, quali, ad esempio, il volume, la pressione o il numero di particelle. Nel formalismo generale introdotto sopra, tali variazioni provocano delle variazioni nei livelli energetici Ej , per cui la formula precedente deve essere pi` u convenientemente scritta nella forma

276

CAPITOLO 10

U =F +β

∂F ∂β

. V,N

Se consideriamo ad esempio una trasformazione termodinamica inﬁnitesima in cui un ﬂuido (a numero di particelle costanti) subisce una variazione di temperatura δT e una variazione di volume δV , l’energia libera subisce la variazione δF = δ(U − T S) = δU − S δT − T δS . D’altra parte, secondo il primo principio della termodinamica, la variazione di energia interna `e data da δU = δQ − P δV , dove δQ = T δS `e la quantit` a di calore assorbita dal sistema e dove P `e la pressione. Per la variazione dell’energia libera si ha quindi δF = −S δT − P δV , e si ottengono le equazioni ∂F S=− , ∂T V,N

P =−

∂F ∂V

. T,N

La seconda di queste equazioni deﬁnisce direttamente la pressione che, in base all’Eq. (10.3), risulta

P =

1 β

∂ ln Z ∂V

β,N

⎞⎤ ⎛ 1 ⎣ ∂ ⎝ −βEj ⎠⎦ = e βZ ∂V j

&

⎡

j

=−

∂Ej e−βEj ∂V N & −βE . j je

β,N

Le equazioni che abbiamo derivato sono, allo stesso tempo, estremamente semplici ed estremamente generali. Tuttavia, la loro applicazione a casi concreti risulta spesso complessa, soprattutto quando bisogna tener conto dell’indistinguibilit` a delle particelle oppure del principio di esclusione di Pauli. Inoltre, bisogna anche dire che la determinazione delle energie Ej degli stati quantici di un sistema rappresenta, salvo casi schematici, un problema praticamente insolubile. Tuttavia esistono casi suﬃcientemente semplici in cui il principio enunciato porta rapidamente a interessanti conseguenze. Tali casi sono quelli in cui l’Hamiltoniana totale del sistema si esprime attraverso la somma di tante Hamiltoniane indipendenti, ciascuna relativa a gradi di libert` a diversi. Il caso semplice di un sistema di N particelle libere non interagenti `e analizzato nel paragrafo seguente.

277

LEGGI DI EQUILIBRIO TERMODINAMICO

10.2 La distribuzione Maxwelliana delle velocit` a Consideriamo un sistema ﬁsico costituito da N particelle libere, non interagenti. Per ﬁssare le idee possiamo supporre che le particelle siano elettroni, sebbene tutti i risultati che otterremo facciano astrazione dalla natura intrinseca delle particelle (eccettuato che per il carattere fermionico oppure bosonico che resta di fondamentale importanza). Per N elettroni non relativistici mobili in un plasma elettricamente neutro (in modo da poter considerare nulla l’energia di interazione Coulombiana), l’Hamiltoniana del sistema si scrive H=

N p2i , 2m i=1

dove pi `e l’operatore impulso dell’elettrone i-esimo. Poich´e l’Hamiltoniana `e la somma di N Hamiltoniane indipendenti, gli autostati del sistema complessivo possono essere costruiti attraverso gli autostati delle singole Hamiltoniane, ovvero attraverso le autofunzioni di particella singola. Come `e ben noto, queste sono caratterizzate dai numeri quantici p, autovalore dell’impulso e m s , proiezione dello spin lungo l’asse di quantizzazione. Applicando il principio fondamentale nella forma dell’Eq. (10.2), possiamo allora esprimere la probabilit` a P che l’elettrone 1 si trovi nello stato ( p1 , ms1 ), l’elettrone 2 nello stato ( p2 , ms2 ), . . . , l’elettrone N nello stato ( pN , msN ) attraverso l’equazione & 2 P = Ae

−β

p i i 2m

p2 1

p2 2

p2 N

= A e−β 2m e−β 2m · · · e−β 2m .

Possiamo adesso chiederci quale sia la probabilit`a, che indichiamo con P , che un elettrone, diciamo l’elettrone 1, occupi lo stato ( p, ms ) indipendentemente dagli stati occupati dagli altri elettroni. Se non si hanno complicazioni dovute all’indistinguibilit` a delle particelle, tale probabilit` a si ottiene attraverso le regole probabilistiche consuete, ovvero ﬁssando nell’equazione precedente il valore di ( p1 , ms1 ) a ( p, ms ) e sommando su tutti i possibili valori ( p2 , ms2 ), ( p3 , ms3 ), . . . , ( pN , msN ). Attraverso questo metodo, che `e giustiﬁcato solo quando le probabilit` a sono indipendenti, si ottiene l’espressione p2

P = A e−β 2m , dove A `e una nuova costante di normalizzazione. Bisogna notare che questo risultato poteva ottenersi direttamente applicando il principio fondamentale del paragrafo precedente (Eq. (10.2)) a un sistema composto da un solo elettrone (l’elettrone 1) e disinteressandosi di tutti gli altri. Questo tipo di approccio, anche se pu` o portare in alcuni casi al risultato corretto, non `e per` o giustiﬁcato in generale.

278

CAPITOLO 10

Le complicazioni dovute all’indistinguibilit` a delle particelle, cui accennavamo sopra, e che abbiamo ignorato per ottenere l’equazione precedente, sono di duplice natura. In primo luogo, essendo gli elettroni indistinguibili, lo stato del sistema in cui l’elettrone 1 occupa lo stato ( p1 , ms1 ), l’elettrone 2 occupa lo stato ( p2 , ms2 ), . . . , l’elettrone N occupa lo stato ( pN , msN ), non `e ﬁsicamente distinguibile da un qualsiasi altro stato del sistema ottenuto dal primo permutando in maniera arbitraria l’ordine delle particelle che occupano i diversi stati. A questo fatto si pu` o ovviare sia introducendo il numero di occupazione degli stati di particella singola e imponendo che tale numero sia uguale a 0 oppure a 1, sia, pi` u semplicemente, dividendo il volume delle spazio delle fasi a disposizione del sistema per N !, ovvero eseguendo la sostituzione dΓ →

dΓ . N!

Il fattore 1/N ! si ripercuote sulla costante di normalizzazione A e la sua introduzione `e inessenziale se non si devono considerare fenomeni ﬁsici che comportino trasformazioni che alterano il numero di particelle che compongono il sistema. In secondo luogo bisogna tener conto del principio di esclusione di Pauli. Le complicazioni derivanti da tale principio cominciano a veriﬁcarsi a densit` a molto elevate, quando il numero di elettroni inizia a essere confrontabile col numero di stati quantici a disposizione degli elettroni stessi. In tali casi non `e pi` u possibile procedere secondo lo schema di ragionamento sviluppato sopra in quanto la probabilit` a che un elettrone occupi un determinato stato non `e pi` u indipendente dalla probabilit` a che un altro elettrone occupi lo stesso stato, o uno stato diverso. In altre parole, le probabilit` a non sono pi` u indipendenti fra loro ed `e indispensabile introdurre il formalismo dei numeri di occupazione. Con tale formalismo si possono ottenere i risultati della statistica di Fermi-Dirac, sempre lavorando col principio enunciato precedentemente, come illustrato in seguito nel Par. 10.6. Quando siamo lontani dalla situazione descritta sopra, ovvero, come si dice, quando siamo lontani dalla degenerazione, la formula ottenuta per P `e corretta. Come applicazione, cerchiamo la distribuzione delle velocit`a degli elettroni, ovvero cerchiamo la probabilit` a dΠ che un elettrone abbia il vettore velocit`a compreso nell’elemento di volume d3v (dello spazio delle velocit`a) centrato intorno al vettore v . Per far questo basta contare il numero di stati quantici corrispondenti al d3v e utilizzare l’espressione per P ottenuta sopra. Il numero di stati si conta pi` u facilmente nello spazio degli impulsi utilizzando il principio secondo il quale l’estensione in fase di un singolo stato quantico `e h3 , con h costante di Planck. Se V `e il volume ﬁsico a disposizione degli elettroni, il numero di stati dN aventi impulso nel d3 p `e dato da dN =

2V 3 d p , h3

LEGGI DI EQUILIBRIO TERMODINAMICO

279

dove il fattore 2 `e stato introdotto per tener conto delle due possibili orientazioni dello spin. Osservando inoltre che p = m v , per cui d3 p = m3 d3v , si ottiene 1

2

dΠ = B e− 2 β m v d3v , dove B `e una nuova costante data da 2 V m3 A . h3 La costante di normalizzazione B si determina imponendo che l’integrale del dΠ su tutto lo spazio delle velocit`a sia 1 (alternativamente si potrebbe imporre che tale integrale sia N –numero totale di elettroni– oppure N /V –numero di elettroni per unit` a di volume– col che, ovviamente, cambia il signiﬁcato ﬁsico del dΠ). Ricordando che ∞ √ 2 e−x dx = π , B=

−∞

la costante B pu` o essere facilmente calcolata. In deﬁnitiva, ponendo dΠ = P(v ) d3v , si ottiene P(v ) =

βm 2π

3/2

1

e− 2 β m v

2

.

(10.4)

Da questa probabilit`a si pu` o poi trovare la probabilit` a, ad essa associata, che l’elettrone abbia modulo di velocit` a compresa fra v e v + dv. Indicando quest’ultima quantit` a con P (v) dv e osservando che d3v = 4π v 2 dv, si ha $ 2 (β m)3 2 − 1 β m v2 v e 2 P (v) = . π Questa distribuzione prende il nome di distribuzione Maxwelliana delle velocit`a, ma lo stesso nome `e anche utilizzato per la distribuzione del vettore velocit`a, P(v ), data sopra (Eq. (10.4)).

10.3 La legge di Saha-Boltzmann Consideriamo un sistema ﬁsico, costituito da un atomo neutro e da N elettroni, contenuto in una cavit` a di volume V che si trovi all’equilibrio termodinamico alla temperatura T . I livelli energetici dell’atomo possono essere caratterizzati da due indici discreti r e k. Con r si indica il grado di ionizzazione che pu` o assumere i valori r = 0, 1, 2, . . . , rmax , dove rmax `e 1 per l’Idrogeno, 2 per l’Elio, e cos`ı via. Fissato r, ovvero ﬁssato il grado di ionizzazione, k numera i livelli energetici ordinati in energia crescente a partire dal livello fondamentale

280

CAPITOLO 10

dello ione, per il quale si assume k = 0. A ciascun livello compete un’energia Tr,k e una degenerazione gr,k . Indichiamo con I1 il potenziale di prima ionizzazione, con I2 il potenziale di seconda ionizzazione, e cos`ı via. Inoltre, indichiamo con Er,k l’energia del livello k-esimo dell’atomo r-volte ionizzato e supponiamo che tale energia sia misurata a partire dal corrispondente livello fondamentale (Er,0 = 0, qualsiasi sia r). L’energia del livello (r, k), riferita all’energia del livello fondamentale dell’atomo neutro, `e data da Tr,k = Er,k +

r

(r ≤ rmax ) ,

Ii ,

i=0

dove abbiamo posto per deﬁnizione I0 = 0. Ovviamente, quando l’atomo `e ionizzato r volte, nella cavit` a vengono a essere presenti (N + r) elettroni. Applicando al nostro sistema ﬁsico il principio fondamentale nella forma dell’Eq. (10.2), la probabilit` a P che l’atomo si trovi nello stato (r, k) e che gli (N + r) elettroni abbiano energie cinetiche 1 , 2 , . . ., N +r `e data da P = A gr,k e−β Tr,k e−β 1 e−β 2 · · · e−β N +r . Tuttavia, se ci interessa semplicemente la probabilit` a Pr,k che l’atomo si trovi nello stato (r, k) e ci disinteressiamo del particolare stato nel quale si trovano gli elettroni liberi, `e necessario eseguire la somma della P su tutti i possibili stati di tali elettroni. Questa somma pu` o essere eseguita con facilit`a soltanto se siamo lontani dalla degenerazione. In questo caso, infatti, l’unico eﬀetto dell’indistinguibilit` a degli elettroni `e la riduzione del volume dello spazio delle fasi di un fattore (N + r)! e si ottiene quindi

Pr,k = A gr,k e−β Tr,k

1 (N + r)!

e−β 1

dΓ1 h3

e−β 2

dΓ2 ... h3

e−β N +r

dΓN +r , h3

dove dΓi `e l’elemento di volume dello spazio delle fasi a disposizione dell’i-esimo elettrone. Gli integrali che compaiono a secondo membro sono tutti uguali fra loro e, limitandoci al caso non relativistico in cui = p2 /(2 m), sono della stessa forma dell’integrale valutato nel paragrafo precedente per trovare la costante di normalizzazione della distribuzione Maxwelliana delle velocit`a. Ripetendo gli stessi ragionamenti si trova che il singolo integrale, che indichiamo con Nq (T ), vale 2V Nq (T ) = 3 h

2π m β

3/2 ,

(10.5)

dove il fattore 2 proviene, al solito, dallo spin. A proposito di questo integrale, `e opportuno osservare che esso ha un signiﬁcato ﬁsico molto preciso. Esso rappresenta infatti il numero di stati quantici a disposizione di un elettrone

LEGGI DI EQUILIBRIO TERMODINAMICO

281

libero all’equilibrio termodinamico alla temperatura T . Un valore di ordine di grandezza per la stessa quantit` a potrebbe essere trovato mediante un semplice ragionamento di questo tipo: alla temperatura T un elettrone pu` o avere un impulso massimo, pmax , dell’ordine di p2max 1 = . 2m β Tenendo conto delle due possibili orientazioni dello spin, il numero di stati quantici a disposizione dell’elettrone `e quindi dato da 2 43 π p3max V 8π V = h3 3 h3

2m β

3/2 .

L’espressione corretta si ottiene da quella √ cos`ı trovata per semplice moltiplicazione di un fattore numerico pari a 3 π/4 1.3. Attraverso la quantit` a Nq (T ) la probabilit` a Pr,k risulta Pr,k = A gr,k e−β Tr,k

1 [ Nq (T )]N +r . (N + r)!

dalla quale si vede che la probabilit` a `e proporzionale al numero di stati quantici a disposizione di tutti gli (N + r) elettroni. Questa probabilit`a pu` o essere posta in una forma pi` u signiﬁcativa inglobando nella costante di normalizzazione il numero di stati quantici a disposizione di N elettroni (si osservi che N `e una costante). Ponendo A = A

1 [ Nq (T )]N , N!

si ottiene Pr,k = A gr,k e−β Tr,k

N! [ Nq (T )]r . (N + r)!

Se il numero di particelle `e molto elevato, il rapporto N !/(N + r)! `e uguale a N −r . Indicando allora con Ne la densit` a elettronica (Ne = N/V), e ricordando l’Eq. (10.5), si arriva all’espressione ﬁnale 3/2 r 2 2π m −β Tr,k Pr,k = A gr,k e . N e h3 β Questa equazione contiene sia l’equazione (o legge) di Saha che l’equazione (o legge) di Boltzmann ed `e spesso denominata equazione (o legge) di SahaBoltzmann. Per ottenere l’equazione di Boltzmann si esprime il rapporto fra le probabilit` a Pr,k e Pr,j relative a due livelli, k e j, dello stesso grado di ionizzazione r. Si ha

282

CAPITOLO 10

Pr,k gr,k −β (Tr,k −Tr,j ) = e . Pr,j gr,j Ricordando l’espressione per Tr,k , e introducendo la temperatura T in luogo di β, si ottiene Pr,k gr,k −(Er,k −Er,j )/(kB T ) = e . Pr,j gr,j

(10.6)

L’equazione di Saha si ricava andando preliminarmente a calcolare la probabilit` a Pr che l’atomo si trovi nel grado di ionizzazione r, indipendentemente dal livello k. Ricordando la deﬁnizione di Tr,k , si ha Pr =

Pr,k = A ur (β) e

−β Tr,0

k

2 N e h3

2π m β

3/2 r ,

dove si `e introdotta la quantit` a ur (β), detta funzione di partizione, deﬁnita da ur (β) =

gr,k e−βEr,k .

k

Se si esprime adesso il rapporto fra le probabilit` a che l’atomo si trovi in due gradi di ionizzazione successivi si ottiene Pr+1 ur+1 (β) −β (Tr+1,0 −Tr,0 ) 2 = e Pr ur (β) N e h3

2π m β

3/2 ,

ovvero, ricordando che Tr+1,0 − Tr,0 = Ir+1 , e introducendo la temperatura in luogo di β Pr+1 ur+1 (T ) −Ir+1 /(kB T ) 2 e = (2π m kB T )3/2 . Pr ur (T ) N e h3

(10.7)

Questa equazione prende il nome di equazione di Saha o equazione della ionizzazione. Scoperta dal ﬁsico indiano M.N. Saha all’inizio degli anni 1920, essa si rivel` o di importanza fondamentale per la comprensione degli spettri stellari. A proposito delle equazioni di Saha e di Boltzmann, bisogna dire che i primi membri di tali equazioni si trovano spesso espressi in termini di rapporti di popolazioni, invece che in termini di rapporti di probabilit` a. Tali rapporti sono uguali fra loro, come ovvia conseguenza dell’interpretazione probabilistica della termodinamica. Ad esempio, l’equazione di Saha pu` o anche scriversi, con simboli evidenti, Nr+1 Ne ur+1 (T ) −Ir+1 /(kB T ) 2 e = (2π m kB T )3/2 , Nr ur (T ) h3

283

LEGGI DI EQUILIBRIO TERMODINAMICO

e, osservando che il secondo membro `e funzione unicamente della temperatura, si pu` o anche porre nella forma Nr+1 Ne = K(T ) . Nr Scritta in questa forma, l’equazione di Saha diviene un caso particolare di un’equazione pi` u generale, detta equazione di azione di massa o equazione di Guldberg-Waage, che viene utilizzata, soprattutto in chimica, per mettere in relazione le densit`a (o concentrazioni) dei reagenti di una reazione all’equilibrio termodinamico. Ad esempio, per la reazione chimica A+B → ← AB , con A e B elementi qualsiasi, si ha, all’equilibrio termodinamico N A NB = K(T ) . NAB Ovviamente, nel caso dell’equazione di Saha, si ha una “reazione di ionizzazione”, piuttosto che una reazione chimica, ovvero, con simboli evidenti → Ar . Ar+1 + e− ← Come applicazione dell’equazione di Saha, calcoliamo il grado di ionizzazione di un plasma di puro Idrogeno che si trovi alla temperatura di equilibrio T e alla pressione Pg . Indicando con NH e con NH+ le densit` a di atomi di Idrogeno neutri e ionizzati, rispettivamente, il grado di ionizzazione x (con 0 ≤ x ≤ 1) `e deﬁnito dall’equazione x=

N H+ . N H + N H+

Dall’equazione di Saha si ha 2 x N H+ = e−IH /(kB T ) = (2π m kB T )3/2 , NH 1−x uH (T ) Ne h3 dove IH `e il potenziale di ionizzazione dell’Idrogeno e uH (T ) `e la funzione di partizione dell’Idrogeno neutro (la funzione di partizione dell’Idrogeno ionizzato `e, per deﬁnizione, uguale a 1). La densit` a elettronica si pu`o esprimere attraverso la pressione totale del gas Pg . Per un plasma non degenere si ha

Pg = kB T (NH + NH+ + Ne ) = kB T (NH + 2Ne ) = kB T Ne che d` a

1+x , x

284

CAPITOLO 10

Fig. 10.1. Grado di ionizzazione di un plasma di puro Idrogeno in funzione della temperatura T (in K) e della pressione gassosa Pg (in dyne cm−2 ). Le tre curve si riferiscono a valori ﬁssati del grado di ionizzazione x. I punti A, B, e C rappresentano rispettivamente le condizioni ﬁsiche della fotosfera solare, del centro del Sole e della corona solare.

Ne =

Pg x . 1 + x kB T

Sostituendo nell’equazione di Saha il valore di Ne cos`ı trovato, si ottiene la seguente equazione di secondo grado in x x2 =C , 1 − x2 dove la quantit` a adimensionale C `e data da C=

(π m)3/2 (2 kB T )5/2 −IH /(kB T ) e . uH (T ) h3 Pg

Risolvendo l’equazione si trova $ x=

C . 1+C

Sostituendo in C i valori numerici delle costanti e supponendo uH = 2 (un’approssimazione brutale che non altera tuttavia in maniera signiﬁcativa i risultati), si ha, numericamente 5

C = 0.3334 T 5/2 Pg−1 e−1.5777×10 /T , con T espressa in K e Pg in dyne cm−2 . I risultati numerici ottenuti dalla soluzione dell’equazione sono riportati in graﬁco nella Fig.10.1

LEGGI DI EQUILIBRIO TERMODINAMICO

285

10.4 La radiazione di corpo nero Consideriamo il sistema ﬁsico costituito dalla radiazione elettromagnetica racchiusa in una cavit` a all’equilibrio termodinamico alla temperatura T . Un tale sistema ﬁsico `e chiamato corpo nero e pu` o essere realizzato sperimentalmente praticando un piccolo foro –tanto piccolo da non alterare sostanzialmente la condizione di equilibrio termodinamico– nella parete di un forno rivestito internamente di nero-fumo e portato a temperature elevate. Analizzando spettroscopicamente la radiazione proveniente dal foro, si pu`o determinare la quantit` a Iν , ovvero l’intensit` a speciﬁca della radiazione di corpo nero. Per tale quantit` a `e invalso l’uso di utilizzare il simbolo Bν . o essere trovata utilizzando i principi Come vedremo, l’espressione per Bν pu` generali della termodinamica statistica enunciati nel Par. 10.1. Tale espressione conferma un certo numero di propriet` a che possono dedursi classicamente applicando il primo e secondo principio della termodinamica e sulle quali `e interessante soﬀermarsi, soprattutto per l’importanza storica che ha rivestito il problema della radiazione di corpo nero nello sviluppo della ﬁsica moderna. La prima aﬀermazione che si pu` o fare classicamente a proposito della radiazione di corpo nero `e che la funzione Bν deve essere una funzione universale della temperatura. Si deve cio`e avere, come si pu`o dimostrare in base al secondo principio della termodinamica, Bν = Bν (T ), senza ulteriori dipendenze da altri parametri (come ad esempio la natura delle pareti del forno, l’eventuale sostanza che si trova nel suo interno, etc.). Sempre attraverso il secondo principio della termodinamica `e anche possibile dimostrare che la radiazione di corpo nero `e omogenea, isotropa e non polarizzata. Se cos`ı non fosse sarebbe infatti possibile ideare una macchina lavorante in ciclo che potrebbe produrre lavoro a spese di un’unica sorgente e questo, come `e noto, contraddice il secondo principio. Un’altra conseguenza dei principi della termodinamica `e la dipendenza della densit` a totale di energia dalla quarta potenza della temperatura. Per vedere questo, consideriamo il sistema costituito dalla radiazione elettromagnetica contenuta in un cilindro munito di un pistone mobile avente la superﬁcie interna perfettamente riﬂettente (si veda la Fig. 10.2). Per una trasformazione termodinamica inﬁnitesima dovuta all’espansione di un volume dV si ha, in base al primo principio della termodinamica dU = δQ − δL = δQ − P dV , dove U `e l’energia interna del sistema, δQ la quantit` a di calore assorbita dal sistema nella trasformazione, δL il lavoro compiuto dal sistema sull’ambiente e P la pressione. Se si indica con u la densit` a di energia interna, si ha evidentemente U = u V e quindi, poich´e u `e funzione solo della temperatura T dU = V

du dT + u dV . dT

286

CAPITOLO 10

φ

θ

dV Fig. 10.2. Il campo di radiazione contenuto nel pistone viene assoggettato a un’espansione inﬁnitesima con scambio di calore da o verso l’ambiente esterno.

Per valutare il δL bisogna calcolare la pressione esercitata sul pistone. Tenendo conto che la radiazione `e isotropa, e che quindi la densit`a di energia della radiazione che si propaga entro l’angolo solido dΩ `e data da u dΩ/(4π) e che inoltre la superﬁcie del pistone `e perfettamente riﬂettente si ha, dall’Eq. (1.13) P =

2π

π/2

dφ

2

0

0

u cos2 θ sinθ dθ , 4π

dove θ e φ sono gli angoli polari deﬁniti nella Fig. 10.2. Risolvendo l’integrale si ottiene, con facili passaggi P =

u , 3

e quindi u dV . 3 Sostituendo le espressioni per dU e per δL nell’equazione che esprime il primo principio e risolvendo per δQ si ha δL =

du 4 dT + u dV . dT 3 Ricordiamo adesso che se la trasformazione `e reversibile (il che implica l’assenza di attrito nel moto del pistone e l’uguaglianza di temperatura fra radiazione e ambiente), il secondo principio della termodinamica impone che la quantit`a δQ = V

δQ V du 4 u = dT + dV T T dT 3 T sia un diﬀerenzaile esatto. Per questo bisogna che sia soddisfatto il cosiddetto criterio di Schwarz, ovvero ∂ V du ∂ 4 u = , ∂V T dT ∂T 3 T

LEGGI DI EQUILIBRIO TERMODINAMICO

287

dalla quale si ottiene, con facili passaggi du u =4 . dT T Risolvendo questa equazione diﬀerenziale si ottiene inﬁne u = aT4 , dove a `e una costante di integrazione. Si pu` o osservare che le considerazioni ora svolte permettono anche di determinare l’entropia del campo di radiazione. Sostituendo infatti l’espressione per u ora trovata si ha dS =

δQ 4 = 4 a V T 2 dT + a T 3 dV , T 3

ovvero, per integrazione 4 aT3 V , 3 dove abbiamo utilizzato il terzo principio della termodinamica, che stabilisce che l’entropia `e nulla a T = 0, per ﬁssare la costante di integrazione. Per una trasformazione adiabatica del campo di radiazione si ha quindi S=

T V 1/3 = cost. , oppure, ricordando che P = u/3 = a T 4 /3, p V 4/3 = cost. , che `e la familiare legge delle trasformazioni adiabatiche con l’esponente γ = 43 . Oltre la legge integrale dedotta sopra per u, la teoria classica permette anche di determinare l’espressione della funzione Bν (T ). Vedremo per`o che l’espressione che cos`ı si ottiene `e incongruente ﬁsicamente e non conforme ai valori sperimentali (salvo che nel limite delle basse frequenze). Come abbiamo visto nel Par. 4.3, il sistema ﬁsico costituito dal campo di radiazione in una cavit`a di volume V `e descritto quantisticamente da un’Hamiltoniana pari alla somma di tante Hamiltoniane di oscillatore armonico, indipendenti fra loro, una per ciascun modo del campo. Ragionamenti simili a quelli ivi sviluppati possono essere eﬀettuati anche classicamente e si ottiene che, supponendo di numerare i modi con l’indice intero k, l’Hamiltoniana classica pu` o essere posta nella forma H= H(pk , qk ) = γk p2k + δk qk2 , k

k

dove qk `e la coordinata canonica relativa al modo k, pk `e il relativo momento cinetico coniugato e dove γk e δk sono quantit` a che dipendono dall’indice k e che

288

CAPITOLO 10

non `e necessario speciﬁcare ulteriormente3 . In base al principio fondamentale espresso dall’Eq. (10.1), la probabilit` a dP che la variabile q1 sia compresa fra q1 e q1 + dq1 , la variabile p1 sia compresa fra p1 e p1 + dp1 , e cos`ı via, `e data da dP = A e−βH(p1 ,q1 ) e−βH(p2 ,q2 ) · · · e−βH(pk ,qk ) · · · dq1 dp1 dq2 dp2 · · · dqk dpk · · · , dove A `e la costante di normalizzazione. Poich´e le Hamiltoniane sono tutte indipendenti fra loro, la probabilit` a ridotta, dΠ, che la variabile q1 sia compresa fra q1 e q1 + dq1 e la variabile p1 sia compresa fra p1 e p1 + dp1 , si pu` o ottenere integrando su tutte le possibilit` a per le altre variabili q2 , p2 , . . ., qk , pk , . . . Si ottiene dΠ = A e−βH(p1 ,q1 ) dq1 dp1 , dove A `e una nuova costante di normalizzazione data da A = .

dq1

.

1 . dp1 e−βH(p1 ,q1 )

L’energia media relativa al modo 1 `e quindi data da . . dq1 dp1 H(p1 , q1 ) e−βH(p1 ,q1 ) . . , 1 = dq1 dp1 e−βH(p1 ,q1 ) e pu` o anche essere espressa nella forma d −βH(p1 ,q1 ) ln dq1 dp1 e 1 = − . dβ Sostituendo l’espressione dell’Hamiltoniana ed eseguendo le integrazioni si ottiene con facili passaggi 1 =

1 = kB T . β

Questo risultato, ottenuto per il modo 1, `e indipendente dalle particolari caratteristiche del modo stesso e vale quindi per tutti i modi. In altre parole, l’energia media di un oscillatore armonico classicamente `e sempre data da kB T , qualsiasi siano le propriet`a ﬁsiche dell’oscillatore. Per mezzo di questa propriet` a, e ricordando le Eq. (4.16) e (4.13), si ottiene per le funzioni Bν e uν [Bν (T )]class =

2 ν2 kB T , c2

3

[uν (T )]class =

2 ν2 kB T . c3

Ricordando le considerazioni svolte nel Par. 4.2, tali quantit` a possono essere espresse in funzione dei coeﬃcienti c e c∗ , oltre che della frequenza o del numero d’onde. kλ

kλ

LEGGI DI EQUILIBRIO TERMODINAMICO

289

Il risultato che abbiamo ottenuto `e in ﬂagrante contraddizione coi risultati sperimentali alle alte frequenze, e, per di pi´ u, quando si integra la funzione u ν su tutte le frequenze si ottiene un integrale divergente, il che signiﬁca che l’energia per unit` a di volume del campo di radiazione dovrebbe essere inﬁnita. Questo fatto `e solitamente conosciuto col nome di catastrofe dell’ultravioletto. Fu proprio per risolvere queste contraddizioni che Planck fu condotto a introdurre le ipotesi quantistiche. Si pu` o infatti ripetere lo stesso ragionamento probabilistico tenendo sempre conto del fatto che i modi sono indipendenti ma introducendo il risultato quantistico che gli autovalori del generico modo k, relativo alla frequenza ν, sono dati da n h ν, con n intero arbitrario. La probabilit` a Π(n) che il modo si trovi nello stato avente autovalore n h ν, ovvero che si abbiano n fotoni, `e allora data da Π(n) = A e−β n h ν , dove A `e una costante di normalizzazione data da A = &∞ n=0

1 . e−β n h ν

L’energia media contenuta nel modo `e quindi data da (ν) =

∞

Π(n) n h ν =

n=0

&∞ n h ν e−β n h ν n=0 &∞ −β n h ν , n=0 e

che pu` o anche esprimersi nella forma ∞ d −β n h ν ln . e (ν) = − dβ n=0 La somma si esegue facilmente ricordando che, per un numero q arbitrario di modulo minore di 1 (|q| < 1), si ha ∞

qn =

n=0

1 . 1−q

Si ottiene quindi, con facili passaggi (ν) =

hν , −1

(10.8)

eβ hν

dalla quale risulta Bν (T ) =

1 2 h ν3 , 2 β h c e ν −1

uν (T ) =

1 2 h ν3 . 3 β h c e ν −1

290

CAPITOLO 10

Le espressioni cos`ı trovate sono in accordo coi fatti sperimentali e la funzione Bν (T ) viene detta funzione di Planck (anche se tale nome `e talvolta utilizzato per la uν (T ), oppure per le funzioni ad esse associate Bλ (T ) e uλ (T )). Dall’espressione della uν si pu` o determinare, per semplice integrazione sulle frequenze e sugli angoli, la densit`a totale di energia u. Si ha " ∞ 2 h ν3 1 u = dΩ dν . 3 β hν − 1 c e 0 Ponendo x = β h ν, si ottiene, mediante un cambiamento di variabile ∞ x3 8π dx . u= 4 3 3 β h c 0 ex − 1 L’integrale vale π 4 /15 e si ottiene cos`ı la cosiddetta legge di Stefan u = aT4 ,

(10.9)

dove la costante a, detta costante della densit`a di radiazione, `e data da a=

4 8π 5 kB = 7.566 × 10−15 erg cm−3 K−4 . 3 15 h c3

Come si vede, si `e cos`ı riottenuta la legge della densit` a di radiazione, dedotta precedentemente in base a considerazioni puramente classiche. La meccanica quantistica `e in grado di fornire anche il valore della costante a che rimane invece indeterminata nella deduzione classica. Se si considera l’integrale in frequenza della funzione di Planck, ovvero se si considera la quantit` a B(T ) deﬁnita da ∞ B(T ) = Bν (T ) dν , 0

si ottiene, con un calcolo del tutto simile a quello precedente, B(T ) =

ac 4 T . 4π

La quantit` a πB(T ) rappresenta il ﬂusso della radiazione di corpo nero, ovvero la quantit` a di energia che ﬂuisce, nell’unit` a di tempo, attraverso l’unit` a di superﬁcie di un corpo nero (in tutte le direzioni e a tutte le frequenze). Introducendo infatti un sistema di coordinate polari con l’asse z diretto lungo la normale alla superﬁcie, il ﬂusso F `e dato, con notazioni evidenti, dall’espressione F =

dν 0

per cui si ha

∞

2π

π/2

dφ 0

cosθ Bν (T ) sinθ dθ = πB(T ) , 0

291

LEGGI DI EQUILIBRIO TERMODINAMICO

F = π B(T ) =

ac 4 T . 4

La quantit` a ac/4 viene tradizionalmente indicata col simbolo σ e viene chiamata costante di Stefan-Boltzmann. Si ha quindi F = σ T4 ,

(10.10)

dove σ=

4 2π 5 kB ac = = 5.670 × 10−5 erg cm−2 s−1 K−4 . 4 15 h3 c2

10.5 Propriet` a della radiazione di corpo nero Lo spettro della radiazione di corpo nero, descritto dalla funzione di Planck Bν (T ) =

1 2 h ν3 , c2 e hν/(kB T ) − 1

(10.11)

gode di un certo numero di propriet` a che `e importante mettere in evidenza. Consideriamo il limite della funzione alle basse frequenze, ovvero supponiamo che sia hν 1 . kB T Sviluppando l’esponenziale in serie di potenze si ottiene Bν (T ) =

2 ν2 kB T . c2

Questa espressione, che prende il nome di legge di Rayleigh e Jeans, non contiene pi` u la costante di Planck ed `e in eﬀetti la legge del corpo nero che si ottiene attraverso la teoria classica (come abbiamo visto nel paragrafo precedente). La condizione hν kB T implica che l’energia dei fotoni `e molto minore dell’energia termica dimodoch´e si pu`o trascurare la natura quantistica del campo di radiazione. In altre parole, l’energia dei fotoni si comporta come un continuo e l’applicazione della teoria classica risulta pienamente giustiﬁcata. Negli oggetti astroﬁsici, la legge di Rayleigh e Jeans `e in generale ben veriﬁcata alle radiofrequenze e alle microonde. Se si considera invece il limite alle alte frequenze, ovvero per

292

CAPITOLO 10

Fig. 10.3. Il graﬁco illustra l’andamento della funzione di Planck con la frequenza (in scala lineare) per cinque valori diversi della temperatura. Bν e ν sono espresse in unit` a c.g.s.. La temperatura ` e in K.

hν 1 , kB T l’equazione di Planck assume la forma 2 h ν 3 −hν/(kB T ) e . c2 Questa equazione era stata dedotta da Wien in base ad argomentazioni ad hoc non del tutto corrette e avrebbe dovuto rappresentare lo spettro del corpo nero nella sua completezza e non nel solo limite delle alte frequenze. In eﬀetti Wien aveva correttamente dimostrato, in base a considerazioni basate sull’eﬀetto Doppler e sulla termodinamica, che lo spettro della radiazione di corpo nero `e descritto da un’equazione del tipo (equazione di Wien) ν Bν (T ) = Kν 3 f , T con K costante e f (x) funzione arbitraria. Sebbene il ragionamento fosse corretto, l’ipotesi che la funzione f (x) fosse del tipo exp(−x) (invece che del tipo 1/[exp(x) − 1]) si dimostr` o in seguito valida solo alle alte frequenze. Un’importante propriet` a della radiazione di corpo nero `e il fatto che, ﬁssata una frequenza, l’intensit`a della radiazione aumenta in maniera monotona all’aumentare della temperatura. La dimostrazione `e banale e deriva semplicemente dall’equazione Bν (T ) =

LEGGI DI EQUILIBRIO TERMODINAMICO

293

Fig. 10.4. Il graﬁco illustra l’andamento della funzione di Planck con la frequenza (in scala logaritmica) per cinque valori diversi della temperatura. Si noti che l’intervallo di temperatura `e molto maggiore di quello di Fig. 10.3. Bν e ν sono espresse in unit` a c.g.s.. La temperatura ` e in K.

∂Bν (T ) e h ν/(kB T ) 2 h2 ν 4 = 2 > 0 . 2 ∂T c kB T e h ν/(kB T ) − 1 2 In conseguenza di questo fatto, il graﬁco di Bν (T ) in funzione di ν (a T ﬁssato) d` a luogo a delle curve che, all’aumentare di T , inviluppano completamente le curve relative a valori di T inferiori (si vedano le Fig. 10.3 e 10.4). Un’altra propriet` a importante della radiazione di corpo nero `e connessa col valore della frequenza, νmax , alla quale l’intensit` a speciﬁca della radiazione di corpo nero `e massima per una temperatura assegnata. Introducendo la variabile ridotta x = h ν/(kB T ), l’equazione di Planck assume la forma Bν (T ) =

3 3 T 2 kB b(x) , 2 h c2

dove x3 . ex − 1 Il punto di massimo della funzione b(x) si ottiene risolvendo l’equazione trascendente b(x) =

x = 3 (1 − e−x ) ,

294

CAPITOLO 10

che ha per soluzione xmax 2.82. Si ha allora h νmax = 2.82 kB T , ovvero, numericamente νmax = 5.88 × 1010 T Hz , dove T `e in K. Questa equazione mostra che la frequenza del massimo aumenta linearmente all’aumentare della temperatura, una legge che `e nota come legge dello spostamento di Wien. Inﬁne `e importante osservare che, in alcuni casi, si preferisce descrivere l’intensit` a speciﬁca della radiazione di corpo nero attraverso la funzione Bλ (T ) (invece che attraverso la funzione Bν (T )). Le due funzioni sono legate attraverso la relazione (si veda l’Eq.(4.12)) Bλ (T ) =

c ν2 Bν (T ) . B (T ) = ν λ2 c

Esprimendo la funzione in termini della lunghezza d’onda (in luogo della frequenza), si ha Bλ (T ) =

1 c1 , 5 c /(λT )−1 2 πλ e

dove le costanti c1 e c2 , dette rispettivamente prima costante della radiazione e seconda costante della radiazione, sono date da

c1 = 2π h c2 = 3.742 × 10−5 erg cm2 s−1 ,

c2 =

hc = 1.439 cm K . kB

o cercare il valore della lunAnalogamente a quanto fatto per la Bν (T ), si pu` ghezza d’onda, λmax , alla quale si trova il massimo della funzione Bλ (T ) per una temperatura assegnata. Ponendo y = c2 /T , si ottiene Bλ (T ) =

5 5 T ˜ 2 kB b(y) , 4 h c3

dove ˜b(y) =

y5 . ey − 1

Il punto di massimo della funzione ˜b(y) si ottiene risolvendo l’equazione trascendente y = 5 (1 − e−y ) ,

LEGGI DI EQUILIBRIO TERMODINAMICO

295

che ha per soluzione ymax 4.97. Si ha allora λmax T =

c2 , 4.97

ovvero, numericamente λmax T = 0.290 cm K . Bisogna notare che il punto in cui si trova il massimo della funzione Bλ (T ) non corrisponde al punto in cui si trova il massimo della funzione Bν (T ). La cosa non deve sorprendere in quanto in un caso si considera l’energia raggiante per unit` a di intervallo di frequenza e nell’altro per unit` a di intervallo di lunghezza d’onda. Le espressioni per νmax e λmax trovate sopra mostrano che il prodotto νmax λmax vale circa 0.568 c.

10.6 La statistica di Fermi-Dirac Consideriamo un sistema ﬁsico macroscopico, S, all’equilibrio termodinamico alla temperatura T , composto da un numero elevatissimo, N , di particelle indistinguibili, non interagenti, che obbediscono al principio di esclusione di Pauli (gas di fermioni). Supponiamo di avere numerato gli stati di particella singola con un indice discreto e indichiamo con i l’energia dello stato i-esimo. Fissiamo l’attenzione su un particolare stato di particella singola, contrassegnato dall’indice k e avente energia k . In base al principio generale dell’Eq. (10.2), la probabilit` a p0 (k) che nello stato k-esimo non siano presenti particelle, ovvero che il numero di occupazione di tale stato sia 0, `e data dall’espressione

p0 (k) = A

n1 ,n2 ,...,nk−1 ,nk+1 ,...

e−β(n1 1 +n2 2 ···+nk−1 k−1 +nk+1 k+1 +···) ,

dove A `e una costante, β = 1/(kB T ), e dove la somma `e estesa a tutte le soluzioni dell’equazione n1 + n2 + · · · + nk−1 + nk+1 + · · · = N , i numeri di occupazione n1 , . . . , nk−1 , nk+1 , . . . potendo assumere soltanto i valori 0 oppure 1. La probabilit` a p1 (k) che nello stato sia presente una particella `e invece data da p1 (k) = A e−βk

n1 ,n2 ...,nk−1 ,nk+1 ,...

e−β(n1 1 +n2 2 ···+nk−1 k−1 +nk+1 k+1 +···) ,

dove la somma `e ora estesa a tutte le soluzioni dell’equazione

296

CAPITOLO 10

n1 + n2 + · · · + nk−1 + nk+1 + · · · = N − 1 , n1 , . . . , nk−1 , nk+1 , . . . potendo assumere soltanto i valori 0 oppure 1. Consideriamo adesso il rapporto p0 (k)/p1 (k). Per esso si ha p0 (k) Z(β, N ) = e βk , p1 (k) Z(β, N − 1) dove Z(β, N ) `e la somma sugli stati del sistema ﬁsico ﬁttizio, S’, ottenuto dal sistema S sopprimendo concettualmente lo stato elementare k-esimo, e nel quale sono presenti N particelle, mentre Z(β, N −1) ha signiﬁcato analogo, con la differenza che in S’ sono invece presenti (N − 1) particelle. Poich´e il sistema ﬁsico contiene un numero estremamente grande di stati elementari, la distinzione fra S’ e S `e del tutto inessenziale, dimodoch´e le quantit` a Z(β, N ) e Z(β, N −1) possono essere considerate a tutti gli eﬀetti le somme sugli stati relative al sistema ﬁsico “iniziale” S. Indicando allora con x il rapporto Z(β, N )/Z(β, N − 1) e prendendone il logaritmo naturale, si ha ln x = ln[Z(β, N )] − ln[Z(β, N − 1)] . Inoltre, considerando che N `e un numero molto grande, e che stiamo lavorando a valori ﬁssati delle energie Ej , ovvero a volume costante, si pu` o scrivere ∂ ln[Z(β, N )] . ln x = ∂N β,V Questa derivata parziale `e legata al potenziale chimico μ, deﬁnito in termodinamica dall’equazione ∂F μ= , ∂N β,V dove F `e l’energia libera di Helmholtz. Essendo infatti per l’Eq. (10.3) ln[Z(β, N )] = −β F , si ha ln x = −β

∂F ∂N

= −β μ . β,V

Ricordando la deﬁnizione di x, si ottiene quindi p0 (k) = e β (k −μ) . p1 (k)

LEGGI DI EQUILIBRIO TERMODINAMICO

297

Il numero di occupazione medio dello stato elementare k `e d’altra parte dato dall’espressione n ¯k =

1 p1 (k) = , p0 (k) p0 (k) + p1 (k) +1 p1 (k)

e si ottiene quindi n ¯k =

1 . e β (k −μ) + 1

Questa `e l’equazione fondamentale della statistica di particelle che obbediscono al principio di esclusione di Pauli, ovvero, come si dice, della statistica di Fermi-Dirac. Essa esprime il numero medio di occupazione dello stato di particella singola di energia k in funzione dell’energia stessa e del potenziale chimico μ. Poich´e il ragionamento che abbiamo sviluppato pu` o essere ripetuto per un qualsiasi stato di particella singola, l’indice k pu` o essere omesso nella formula precedente e si ottiene quindi n ¯ () =

1 . e β (−μ) + 1

10.7 La statistica di Bose-Einstein Analogamente a quanto fatto nel paragrafo precedente, consideriamo un sistema ﬁsico macroscopico, all’equilibrio termodinamico alla temperatura T , composto da N particelle indistinguibili, non interagenti, di tipo bosonico (gas di bosoni). Supponiamo di nuovo di aver numerato gli stati di particella singola con un indice discreto e indichiamo con i l’energia dello stato i-esimo. Fissiamo l’attenzione su uno stato particolare, contrassegnato dall’indice k e avente energia k . In base al principio generale dell’Eq. (10.2), la probabilit` a pn (k) che nello stato k-esimo siano presenti n particelle `e data dall’espressione pn (k) = A e−nβk

n1 ,n2 ,...,nk−1 ,nk+1 ,...

e−β(n1 1 +n2 2 +···+nk−1 k−1 +nk+1 k+1 +···) ,

dove A `e una costante, β = 1/(kB T ), e dove la somma `e estesa a tutte le soluzioni dell’equazione n1 + n2 + . . . + nk−1 + nk+1 + . . . = N − n , i numeri n1 , n2 , . . . potendo assumere i valori arbitrari 0, 1, 2, . . . (e non solo i valori 0 e 1 come nel caso dei fermioni).

298

CAPITOLO 10

Consideriamo adesso il rapporto p0 (k)/pn (k). Per esso si ha Z(β, N ) p0 (k) = en β k , pn (k) Z(β, N − n) dove il signiﬁcato delle quantit`a Z(β, N ) e Z(β, N − n) `e lo stesso di quello discusso nel paragrafo precedente per il caso dei fermioni. Indicando con x il rapporto Z(β, N )/Z(β, N − n) e prendendone il logaritmo naturale, si ha ln x = ln[Z(β, N )] − ln[Z(β, N − n)] , e considerando che N `e un numero molto grande, e che stiamo lavorando a volume costante, si pu` o scrivere ∂ ln x = n ln[Z(β, N )] , ∂N β,V ovvero ln x = −n β μ , dove μ `e il potenziale chimico. Ricordando la deﬁnizione di x, si ha allora p0 (k) = e n β (k −μ) , pn (k) ovvero pn (k) = e−n β (k −μ) . p0 (k) Il numero di occupazione medio dello stato k `e d’altra parte dato da & n pn (k) n ¯ k = &n , n pn (k) ovvero, dividendo numeratore e denominatore per p0 (k) & n e−n β (k −μ) n ¯ k = &n −n β ( −μ) . k ne Il rapporto fra le due somme pu` o essere facilmente calcolato mediante lo stesso procedimento che ci ha condotto all’Eq. (10.8). Ponendo z = β(k − μ), si ha & n e−nz d −nz n ln , e n ¯ k = & −nz = − dz ne n e se z > 0, il che implica μ < k , si ottiene

LEGGI DI EQUILIBRIO TERMODINAMICO

n ¯k =

299

1 d ln 1 − e−z = z . dz e −1

Ripetendo le considerazioni ﬁnali del paragrafo precedente, si ottiene l’equazione fondamentale della statistica di Bose-Einstein n ¯ () =

1 . e β (−μ) − 1

C’`e da notare che, nel caso del campo di radiazione, i fotoni si comportano eﬀettivamente come bosoni, ma il loro numero totale non `e ﬁssato a priori. Il potenziale chimico, μ, `e quindi nullo e l’equazione precedente si sempliﬁca per dare n ¯ () =

1 , eβ − 1

che coincide con la formula ottenuta per il numero medio di fotoni per modo di frequenza ν quando si immedesimi con h ν.

Capitolo 11

Interazione fra materia e radiazione Dopo aver provveduto nei capitoli precedenti a dare una descrizione quantistica del campo di radiazione nel vuoto (Cap. 4) e dei sistemi atomici isolati (Cap. 5-9), ci proponiamo adesso di passare a descrivere la loro mutua interazione, sviluppando dei metodi generali, anch’essi basati sulla meccanica quantistica, con i quali saremo capaci di trattare i molteplici fenomeni connessi con l’assorbimento, l’emissione e la diﬀusione della radiazione, tipici dei plasmi di laboratorio e dei plasmi astroﬁsici. L’insieme di tali metodi `e oggi comunemente indicato col nome di Elettrodinamica Quantistica e rappresenta una delle realizzazioni pi` u riuscite della ﬁsica teorica, sia dal punto di vista della precisione dei risultati ottenuti che dell’eleganza del formalismo impiegato. In questo capitolo ne esporremo i concetti fondamentali e ci interesseremo delle sue applicazioni pi` u semplici, trattando, come si dice, i fenomeni del primo ordine, ovvero i fenomeni che coinvolgono l’emissione e l’assorbimento di un solo fotone. Questo ci porter`a a dedurre in maniera formale le equazioni di evoluzione delle popolazioni di un sistema atomico in presenza del campo di radiazione (equazioni dell’equilibrio statistico) e le equazioni di evoluzione del campo di radiazione in presenza di un sistema atomico (equazione del trasporto radiativo). I fenomeni pi` u rilevanti del secondo ordine, nei quali sono coivolti due fotoni, saranno trattati nel Cap. 15.

11.1 L’Hamiltoniana d’interazione Consideriamo un sistema ﬁsico costituito da un atomo, descritto quantisticamente dall’Hamiltoniana HA , e dal campo di radiazione, descritto quantisticamente dall’Hamiltoniana HR . In assenza di interazione, l’Hamiltoniana del sistema `e ovviamente H0 = HA + HR . dove, ricordando l’Eq. (4.9), HR =

h ¯ ωk (a† a + 21 ) , kλ kλ

kλ

con la somma estesa a tutti i possibili modi del campo di radiazione.

(11.1)

302

CAPITOLO 11

Per ottenere l’Hamiltoniana d’interazione fra il sistema atomico e il campo di radiazione utilizziamo il principio dell’accoppiamento minimale descritto nel Par. 5.2, ovvero eﬀettuiamo nell’Hamiltoniana atomica, per ciascun elettrone, la sostituzione formale dell’Eq. (5.5) pi → pi +

e0 AR (ri ) , c

(i = 1, 2, . . . , N ) ,

R (ri ) `e il dove l’indice i numera gli N elettroni appartenenti all’atomo e dove A potenziale vettore del campo di radiazione valutato nel punto in cui si trova l’elettrone i-esimo. L’altra sostituzione implicita nel principio dell’accoppiamento minimale, ovvero Ei → Ei + e0 φR (ri ) , non ha in questo caso alcun eﬀetto perch´e per il campo di radiazione il potenziale scalare φR `e nullo. Se si assume per HA l’espressione non relativistica (Eq. (7.2)), il principio dell’accoppiamento minimale porta alla nuova Hamil toniana HA data da HA =

N 2 Ze2 e2 e0 1 0 0 pi + + . AR (ri ) − 2m c r r i i=1 i<j ij

Ponendo HA = HA + HI ,

R = 0, si ottiene con HI Hamiltoniana di interazione, e osservando che div A HI =

N N 2 e0 R (ri ) + e0 R (ri )]2 . pi · A [A m c i=1 2 m c2 i=1

(11.2)

Nello spirito di ottenere uno sviluppo perturbativo nell’Hamiltoniana di inteR) razione, trascuriamo il secondo termine (quadratico nel potenziale vettore A 1 rispetto al primo . Ricordando lo sviluppo del potenziale vettore in termini di operatori di creazione e distruzione (si veda l’Eq. (4.5)), l’Hamiltoniana di interazione risulta e0 HI = m kλ

1

%

2π¯ h ωk V

akλ

i

pi · ekλ e

i k· ri

+

a†kλ

∗ p i · ekλ e

−i k· ri

. (11.3)

i

2 descrive processi del secondo ordine, in Come vedremo nel Cap. 15, il termine in A R particolare la diﬀusione Thomson.

INTERAZIONE FRA MATERIA E RADIAZIONE

303

11.2 Le equazioni cinetiche Sia dato un sistema ﬁsico avente Hamiltoniana H = H0 + HI , dove H0 `e l’Hamiltoniana imperturbata e HI l’Hamiltoniana di perturbazione (nel nostro caso l’Hamiltoniana d’interazione). Il sistema evolve nel tempo secondo l’equazione di Schr¨odinger ∂ |ψ(t) = (H0 + HI )|ψ(t) . ∂t Per risolvere questa equazione utilizziamo il cosiddetto “metodo della variazione delle costanti”. Supponiamo di aver preliminarmente risolto l’equazione di Schr¨ odinger stazionaria per H0 , trovandone gli autovettori |α e i corrispondenti autovalori Eα che obbediscono all’equazione ih ¯

H0 |α = Eα |α

.

(11.4)

Sviluppiamo la funzione d’onda |ψ(t) in serie di tali autovettori (col relativo fattore temporale) ottenendo |ψ(t) = cβ (t) |β e−i Eβ t/¯h . β

I coeﬃcienti cβ sono funzioni del tempo e si riducono a delle costanti in assenza di perturbazione (ovvero quando HI = 0)2 . Sostituiamo poi questo sviluppo nell’equazione di Schr¨odinger per ottenere ih ¯ c˙β (t) |β e−i Eβ t/¯h = cβ (t) HI |β e−i Eβ t/¯h , β

β

dove abbiamo utilizzato la notazione del punto per indicare la derivata rispetto al tempo (c˙β = dcβ /(dt)). Moltiplicando scalarmente ambo i membri per α| e tenendo conto della propriet`a di ortonormalit` a degli autovettori |β , si ha I cβ (t) Hαβ ei ωαβ t , ih ¯ c˙α (t) = β

dove si `e posto I = α|HI |β Hαβ

,

e dove si sono introdotte le cosiddette frequenze angolari di Bohr deﬁnite da 2

Questo fatto giustiﬁca il nome di metodo della variazione delle costanti per denotare il procedimento qui seguito per la soluzione dell’equazione di Schr¨ odinger.

304

CAPITOLO 11

Eα − Eβ . (11.5) h ¯ Se si assume adesso che l’Hamiltoniana d’interazione non dipenda dal tempo, l’equazione precedente pu`o essere integrata fra l’istante iniziale (t = 0) e l’istante t generico. Si ha t 1 I cα (t) = cα (0) + Hαβ cβ (t ) ei ωαβ t dt . ih ¯ 0 ωαβ =

β

Questa stessa equazione pu`o essere poi riutilizzata per esprimere il coeﬃciente cβ (t ) che compare entro il segno di integrale. Cos`ı facendo siamo condotti all’equazione t 1 I cα (t) = cα (0) + Hαβ cβ (0) ei ωαβ t dt ih ¯ 0 β

t t 1 I I i ωαβ t + Hαβ Hβγ dt e dt cγ (t ) ei ωβγ t . (i h ¯ )2 0 0

(11.6)

βγ

Il procedimento pu`o essere ripetuto ad libitum e si ottiene, cos`ı facendo, uno sviluppo perturbativo il cui termine n-esimo contiene a fattore n elementi di matrice dell’Hamiltoniana di interazione. Se si arresta la somma al termine k-esimo, sostituendo il coeﬃciente c(t) che ivi compare con c(0), si dice che si sviluppa una teoria perturbativa all’ordine k nell’ampiezza di probabilit` a. Consideriamo inizialmente il caso particolare della teoria all’ordine pi` u basso che riduce l’Eq. (11.6) alla sua sola prima riga, e assumiamo che il sistema si trovi, all’istante t = 0, nello stato puro |γ . Tutti i cβ (0) sono nulli, eccettuato cγ (0) che `e uguale a 1. Risolvendo l’integrale si ottiene cα (t) =

1 I 1 − ei ωαγ t H , h ¯ αγ ωαγ

per cui |cα (t)|2 =

2 1 I 2 4 sin (ωαγ t/2) |H | . αγ 2 ωαγ h ¯2

La funzione del tempo che compare in questa espressione si comporta, al limite per t → ∞, come una delta di Dirac (si veda l’Eq. (2.9)). Questo fatto, rigorosamente giustiﬁcato nell’ambito della teoria delle distribuzioni, `e illustrato dal graﬁco della funzione riportato in Fig. 11.1. Si ottiene 4 sin2 (ωαγ t/2) = 2π t δ(ωαγ ) , 2 t→∞ ωαγ lim

305

INTERAZIONE FRA MATERIA E RADIAZIONE

Fig. 11.1. La funzione qui rappresentata si comporta, per t → ∞, come 2π t δ(ω αγ ).

e quindi 2π I 2 |Hαγ | t δ(ωαγ ) . (11.7) h ¯2 L’espressione che abbiamo trovato mostra che il modulo quadro del coefﬁciente cα (t), che rappresenta ﬁsicamente la probabilit`a di trovare il sistema ` ovvio tuttavia che, nello stato |α all’istante t, cresce linearmente col tempo. E nello stesso tempo, il coeﬃciente cγ deve diminuire. Questo eﬀetto di retroazione non `e per` o contenuto nell’Eq. (11.7) e, per determinarlo, conviene seguire un procedimento pi` u soﬁsticato che ci condurr` a a dedurre le equazioni cinetiche di evoluzione del sistema. Per questo, riprendiamo l’Eq. (11.6) e sostituiamo in essa cγ (t ) con cγ (0) (secondo ordine perturbativo nell’ampiezza di probabilit` a). Gli integrali sul tempo possono essere valutati con metodi elementari e si ottiene |cα (t)|2 =

1 I ei ωαβ t − 1 Hαβ cβ (0) h ¯ ωαβ β i ωαγ t 1 I − 1 ei ωαβ t − 1 e I . + 2 Hαβ Hβγ cγ (0) − ωαγ ωβγ ωαβ ωβγ h ¯

cα (t) = cα (0) −

(11.8)

βγ

Passando al calcolo del modulo quadro di cα (t) si ottengono da questa equazione nove termini distinti. Di questi nove termini andiamo per` o a considerare soltanto quelli che sono al massimo quadratici negli elementi di matrice di H I

306

CAPITOLO 11

per essere consistenti con lo sviluppo perturbativo al secondo ordine nell’ampiezza di probabilit` a. Tenendo conto che HI `e un operatore Hermitiano, per I ∗ I cui (Hαβ ) = Hβα , con alcuni passaggi algebrici si ottiene ⎤ ⎡ i ωαβ t − 1 1 e I |cα (t)|2 = |cα (0)|2 − ⎣ Hαβ cβ (0) c∗α (0) + C.C.⎦ h ¯ ωαβ β

ei ωαβ t − 1 e−i ωαδ t − 1 1 I I Hαβ Hδα cβ (0) c∗δ (0) + 2 ωαβ ωαδ h ¯ βδ ⎤ ⎡ i ωαγ t i ωαβ t − 1 − 1 1 ⎣ I e e I + C.C.⎦ , + 2 Hαβ Hβγ cγ (0) c∗α (0) − ωαγ ωβγ ωαβ ωβγ h ¯ βγ dove il simbolo [· · · + C.C.] signiﬁca che bisogna aggiungere al termine in parentesi il suo complesso coniugato. Questa espressione pu`o essere notevolmente sempliﬁcata quando si adottino alcune approssimazioni riguardo alle condizioni iniziali del sistema. L’approssimazione generalmente introdotta `e quella di supporre che le quantit` a bilineari nei coeﬃcienti cα (0) siano in media nulle quando i due coeﬃcienti si riferiscono a stati diversi, ovvero cα (0) c∗β (0) = |cα (0)|2 δαβ . La media che eseguiamo sul sistema ﬁsico va intesa come media temporale da eseguire rispetto all’istante iniziale, oppure, se si preferisce, come una media statistica su tante possibili realizzazioni diverse del sistema stesso 3 . Le quantit` a |cα (t)|2 rappresentano allora gli elementi di matrice diagonali di un opportuno operatore, detto matrice densit` a, e sono comunemente indicati col simbolo ρα (t). Questa approssimazione, talvolta detta approssimazione delle fasi casuali, equivale a dire che il sistema non si trova in uno stato puro ma, piuttosto, in una miscela di stati tale che gli elementi non diagonali della matrice densit`a (anche detti interferenze quantistiche, oppure coerenze) sono nulli. L’approssimazione delle fasi casuali conduce a risultati validi per un’ampia classe di fenomeni ﬁsici. Essa non `e per` o applicabile quando le relazioni di fase fra stati diversi svolgono un ruolo importante nel fenomeno ﬁsico in studio. Un esempio particolare `e quello nel quale si vuole studiare l’interazione della radiazione con un sistema atomico tenendo conto anche dei fenomeni di polarizzazione. In tale caso, le relazioni di fase diventano essenziali e l’approssimazione delle fasi casuali non `e pi` u applicabile ma deve essere sostituita da 3

La dimostrazione che i due tipi di media siano uguali non `e aﬀatto banale. In meccanica statistica ci si riferisce ad aﬀermazioni di questo genere invocando il cosiddetto teorema ergodico.

INTERAZIONE FRA MATERIA E RADIAZIONE

307

ipotesi meno stringenti. Un approfondimento di questo argomento `e sviluppato nell’App. 11 nella quale viene derivata l’equazione di evoluzione per le coerenze di un sistema ﬁsico4 . Introducendo l’approssimazione delle fasi casuali nell’equazione per la |cα (t)|2 e osservando che il termine lineare in HI non porta alcun contributo perch´e gli I elementi di matrice diagonali Hαα sono (o possono essere supposti) nulli5 , nelle nuove notazioni si ottiene l’equazione ρα (t) = ρα (0) + −

1 I 2 4 sin2 (ωαβ t/2) |Hαβ | ρβ (0) 2 ωαβ h ¯2 β 1 I 2 4 sin2 (ωαβ t/2) |Hαβ | ρα (0) . 2 ωαβ h ¯2 β

Passando al limite per t → ∞, ricordando la deﬁnizione delle frequenze angolari di Bohr (Eq. (11.5)), e osservando che tutti i termini nel secondo membro vengono a dipendere linearmente dal tempo, si pu` o scrivere in deﬁnitiva l’equazione cinetica per le quantit` a ρα nella forma dρα 2π 2π I 2 I 2 = ρβ |Hαβ | δ(Eα − Eβ ) − ρα |Hαβ | δ(Eα − Eβ ) . (11.9) dt h ¯ h ¯ β

β

11.3 La regola aurea di Fermi L’equazione cinetica (11.9) esprime la variazione temporale della quantit` a ρα , ovvero della probabilit` a di trovare il sistema nello stato |α . Nell’equazione compaiono due termini: un termine col segno positivo che descrive l’aumento della ρα per eﬀetto delle transizioni da stati |β = |α verso lo stato |α e un termine negativo che descrive la diminuzione della ρα per eﬀetto delle transizioni dallo stato |α a stati |β = |α . L’equazione si pu` o semplicemente interpretare dicendo che esiste una probabilit`a di transizione per unit` a di tempo fra gli stati |α e |β data da Pαβ = Pβα = 4

2π I 2 |Hαβ | δ(Eβ − Eα ) . h ¯

(11.10)

Per ulteriori approfondimenti sui fenomeni di polarizzazione si veda E. Landi Degl’Innocenti & M. Landolﬁ, Polarization in Spectral Lines, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 2004. 5 Nelle applicazioni che considereremo in seguito, in cui l’Hamiltoniana di interazione ` e quella dell’Eq. (11.3), gli elementi di matrice diagonali HIαα sono eﬀettivamente nulli. In casi diversi essi possono essere formalmente “annullati” aggiungendo il loro contributo a quello dell’Hamiltoniana imperturbata H0 .

308

CAPITOLO 11

Questa formula, dovuta a Fermi, prende il nome di regola aurea di Fermi. La presenza della delta di Dirac fa s`ı che la probabilit` a di transizione sia diversa da zero solo fra stati isoenergetici, una ovvia manifestazione del principio di conservazione dell’energia. C’`e da osservare che la formula `e sostanzialmente gi` a contenuta nell’Eq. (11.7) e, in principio, non `e quindi necessario considerare l’Eq. (11.6) al secondo ordine per ottenerla. Come abbiamo gi` a notato, tuttavia, l’Eq. (11.7) non `e suﬃciente a determinare le equazioni cinetiche per la mancanza del termine di retroazione. Scrivendo l’equazione cinetica in termini della probabilit` a di transizione per unit` a di tempo, si ha dρα = ρβ Pβα − ρα Pαβ , dt β

β

dalla quale, sommando su α, si ottiene d ρα = (ρβ Pβα − ρα Pαβ ) = 0 . dt α αβ

Si ottiene cos`ı il risultato

ρα = cost. ,

α

come dovevamo ovviamente aspettarci in base all’interpretazione probabilistica delle ρα . La costante, che rappresenta il valore al quale viene normalizzata la somma delle probabilit` a, `e in genere ﬁssata all’unit`a. Le equazioni cinetiche costituiscono un sistema di N equazioni diﬀerenziali omogenee di primo grado, dove N `e il numero degli stati che intervengono nel particolare fenomeno ﬁsico che si sta considerando. In linea di principio, una volta note le probabilit` a di transizione, il sistema pu` o essere risolto a partire dalle appropriate condizioni al contorno. In situazioni stazionarie, ovvero quando sia, per ogni stato α dρα =0 , dt il sistema di equazioni diﬀerenziali si riduce a un sistema lineare omogeneo di N equazioni in N incognite. La condizione vista precedentemente, ovvero

(ρβ Pβα − ρα Pαβ ) = 0 ,

αβ

implica che il determinante del sistema `e nullo e le quantit` a ρα vengono cos`ı determinate a meno di un fattore di proporzionalit` a che resta ﬁssato dalla condizione di normalizzazione.

309

INTERAZIONE FRA MATERIA E RADIAZIONE

Osserviamo inﬁne che, per il calcolo della probabilit` a di transizione, la quantit` a essenziale da determinare risulta l’elemento di matrice dell’Hamiltoniana di interazione fra gli autostati dell’Hamiltoniana imperturbata. Il calcolo di tale quantit` a `e aﬀrontato nel paragrafo successivo per il caso di nostro interesse dell’interazione materia-radiazione.

11.4 L’elemento di matrice Applichiamo adesso le considerazioni generali svolte nei due paragraﬁ precedenti all’interazione fra un sistema atomico e il campo di radiazione. L’Hamiltoniana imperturbata e quella di interazione sono date, rispettivamente, dalle Eq. (11.1) e (11.3). Gli autostati dell’Hamiltoniana imperturbata, deﬁniti dall’Eq. (11.4), sono il prodotto diretto degli autostati del sistema atomico per gli autostati del campo di radiazione. Indicheremo i primi col simbolo |un e i corrispondenti autovalori dell’energia col simbolo n , supponendo di aver risolto, per il sistema atomico, l’equazione di Schr¨odinger stazionaria HA |un = n |un

.

Per il campo di radiazione, alleggeriamo le notazioni rispetto a quelle utilizzate nel Cap. 4. Pensando di aver numerato i modi con un indice j, che sostituisce la coppia di indici (k, λ), e trascurando l’energia di vuoto, scriviamo l’Hamiltoniana HR nella forma HR = h νj a†j aj . j

Indichiamo i relativi autovettori col simbolo |n1 , n2 , . . . , nl , . . . , o, pi` u sinteticamente, col simbolo |{nl } . Si ha quindi, con queste nuove notazioni h νj nj |{nl } . HR |{nl } = j

Inoltre, nelle nuove notazioni, l’Hamiltoniana di interazione (11.3) diventa e0 H = m j I

% h 2π νj V

aj

pi · ej e

i

i kj · ri

+

a†j

pi · ej∗ e−i kj ·ri

.

i

I risultati ottenuti nel paragrafo precedente possono essere particolarizzati al caso dell’interazione materia-radiazione attraverso le sostituzioni formali |α → |un , {nl }

,

ρα → ρn,{nl } ,

Eα → En,{nl } = n +

j

hνj nj ,

310

CAPITOLO 11 I → un , {nl }|HI |um , {nl } Hαβ

.

Per eseguire il calcolo dell’elemento di matrice, si introduce comunemente un’approssimazione, detta approssimazione di dipolo, che consiste nel sostituire gli esponenziali che compaiono nell’espressione di HI con l’unit` a, ovvero ei kj ·ri e−i kj ·ri 1 .

Per renderci conto del grado di approssimazione introdotto, sviluppiamo l’esponenziale in serie. Si ha ei kj ·ri = 1 + i kj · ri − 12 (kj · ri )2 + · · · ,

(11.11)

e l’approssimazione risulta tanto pi` u corretta quanto meglio `e veriﬁcata la diseguaglianza kj · ri 1 . D’altra parte, come ordine di grandezza si ha kj · ri a0 , λj dove λj `e la lunghezza d’onda del modo considerato e a0 `e il raggio della prima orbita di Bohr. Si vede quindi che l’approssimazione di dipolo `e ben giustiﬁcata alle lunghezze d’onda della radiazione visibile. Ad esempio, per λj = 5000 ˚ A, il rapporto a0 /λj vale circa 10−4 . Nell’approssimazione di dipolo, ponendo p =

p i ,

i

l’Hamiltoniana di interazione assume la forma sempliﬁcata e0 HI = m j

%

h aj p · ej + a†j p · ej∗ . 2π νj V

Osservando poi che gli operatori aj e a†j agiscono solo sugli autostati del campo di radiazione, mentre l’operatore p agisce solo sugli autostati del sistema atomico, l’elemento di matrice si pu` o porre nella forma

un , {nl }|H ×

I

|um , {nl }

{nl }|aj |{nl }

e0 = m j

% h 2πνj V

un | p |um · ej + {nl }|a†j |{nl }

un | p |um · ej∗

.

311

INTERAZIONE FRA MATERIA E RADIAZIONE

Interessiamoci prima del calcolo dell’elemento di matrice atomico e trasformiamolo da un elemento di matrice per l’operatore p in un elemento di matrice per l’operatore r. Per far questo, consideriamo il seguente commutatore

[ HA , r ] = HA , ri , i

e supponiamo, tralasciando le correzioni relativistiche, che l’Hamiltoniana atomica sia quella data dall’Eq. (7.2). In questa approssimazione si ottiene

[ HA , r ] =

p2 p2 h ¯ h ¯ i k , , ri = −i ri = pi = −i p , 2m i 2 m m m i i k

per cui,

un | p |um = i

m m un |[ HA , r ]|um = 2π i (n − m ) un | r |um h ¯ h

.

Introducendo poi le notazioni νnm =

n − m , h

rnm = un | r |um

,

si ottiene un | p |um = 2π i m νnm rnm . Le quantit` a νnm sono dette frequenze (cicliche) di Bohr e sono semplicemente connesse alle frequenze angolari di Bohr introdotte nell’Eq. (11.5) dalla relazione νnm = ωnm /(2π). La quantit` a rnm prende il nome di elemento di matrice di dipolo (fra gli stati |un e |um ), anche se tale denominazione dovrebbe essere a rigore utilizzata per l’elemento di matrice dell’operatore d = −e0 r, che rappresenta il momento di dipolo della nuvola elettronica. Passando a considerare gli elementi di matrice relativi al campo di radiazione, dobbiamo ricordare i risultati ottenuti nel Par. 4.3 per gli elementi di matrice degli operatori di creazione e distruzione. Dalle Eq. (4.10) e (4.11) si deduce che l’elemento di matrice dell’operatore {nl }|aj |{nl } `e sempre nullo a meno che i numeri di occupazione contenuti nel “bra” siano tutti uguali ai numeri di occupazione contenuti nel “ket”, salvo per il modo j, per il quale si deve avere nj = nj + 1. In altre parole, aﬃnch´e l’elemento di matrice sia non nullo, si deve avere n1 = n1 , n2 = n2 , . . . , nj−1 = nj−1 , nj = nj + 1 , nj+1 = nj+1 , . . . .

312

CAPITOLO 11

Dato un certo insieme {nl } di numeri di occupazione, indichiamo col simbolo {nl + 1j } l’insieme ottenuto dal precedente aumentando di un’unit` a il numero di occupazione del modo j e lasciando inalterati tutti gli altri. Si ottiene allora {nl }| aj |{nl + 1j } =

# nj + 1 ,

e, con considerazione del tutto analoghe {nl }| a†j |{nl − 1j } =

√

nj .

Sostituendo i risultati ottenuti per gli elementi di matrice atomici e per quelli del campo di radiazione, si ottiene in deﬁnitiva, per gli elementi di matrice non nulli dell’Hamiltoniana di interazione, % 2π h (nj + 1) rnm · ej , νj V

un , {nl }| H |um , {nl + 1j } = i νnm e0 I

(11.12)

% 2π h nj rnm · ej∗ . νj V

un , {nl }| H |um , {nl − 1j } = i νnm e0 I

(11.13)

La diﬀerenza di energia fra gli stati fra cui si calcola l’elemento di matrice risulta, rispettivamente, En,{nl } − Em,{nl +1j } = n − m − hνj = h (νnm − νj ) , En,{nl } − Em,{nl −1j } = n − m + hνj = h (νnm + νj ) .

11.5 Processi elementari Come applicazione del formalismo sviluppato nel paragrafo precedente, andiamo a trattare il processo elementare dell’emissione spontanea. Come stati iniziale e ﬁnale del sistema complessivo (atomo pi` u radiazione) consideriamo gli stati descritti dai vettori di stato

|Ψi = |ua ; 0, 0, . . . , 0, . . .

,

|Ψf

= |ub ; 0, 0, . . . , 1k , . . .

.

(11.14)

Lo stato iniziale, |Ψi , `e lo stato in cui l’atomo si trova nel livello energetico |ua , di energia a , e il campo di radiazione si trova nello stato di vuoto. Lo stato ﬁnale, |Ψf , `e quello in cui l’atomo si trova nel livello energetico |ub , di

313

INTERAZIONE FRA MATERIA E RADIAZIONE

k

b

a

k a

b

Fig. 11.2. Diagrammi di Feynman relativi ai processi elementari di emissione spontanea (a sinistra) e di assorbimento (a destra). Nel primo caso il sistema atomico passa dal livello “alto” a al livello “basso” b e viene emesso un fotone nel modo k. Nel secondo caso, il sistema passa dal livello b al livello a e viene assorbito un fotone dal modo k.

energia b , mentre il campo di radiazione si trova nello stato in cui `e presente un solo fotone nel modo contrassegnato dall’indice k. Per individuare in maniera schematica il processo che stiamo trattando, `e utile introdurre un diagramma quale quello del riquadro di sinistra della Fig. 11.2. Un tale diagramma prende il nome di diagramma di Feynman, dal nome del ﬁsico statunitense che per primo introdusse tali rappresentazioni schematiche dei processi elementari nell’ambito dell’Elettrodinamica Quantistica. In un diagramma di Feynman, le linee continue rappresentano gli elettroni, mentre le linee ondulate rappresentano i fotoni. Ogni interazione fra gli elettroni e i fotoni `e rappresentata da un “vertice” nel quale conﬂuiscono due linee continue (elettroniche) e una linea ondulata (fotonica). Pensando che il tempo “scorra” da sinistra verso destra nel diagramma, l’elettrone, raggiunto il vertice, “salta” dal livello “alto” a al livello “basso” b, mentre nel vertice stesso viene emesso un fotone nel modo k. La probabilit` a per unit` a di tempo che si veriﬁchi il processo di emissione spontanea `e data dalla regola aurea di Fermi Pf i =

2π | Ψf |HI |Ψi |2 δ(E f − E i ) . h ¯

L’elemento di matrice dell’Hamiltoniana di interazione pu`o essere calcolato mediante l’Eq. (11.13). Per semplice sostituzione si ha

| Ψf |HI |Ψi |2 = e si ottiene quindi

2 2π h e20 νab |rba · ek∗ |2 , νk V

E f − E i = h (νk − νab ) ,

314

CAPITOLO 11

Pf i =

8π 3 e20 νab |rba · ek∗ |2 δ(νk − νab ) . hV

(11.15)

` adesso necessario precisare che i livelli atomici a e b, autostati dell’HamiltoE niana atomica, presentano in generale il fenomeno della degenerazione spaziale e devono essere caratterizzati da dei numeri quantici interni che indicheremo, rispettivamente, con α e β. Ad esempio, la funzione d’onda del livello energetico a, che abbiamo semplicemente indicato, in notazione di Dirac, con |u a , `e in realt` a del tipo |αa Ja Ma , dove αa `e una collezione di numeri quantici che descrivono la conﬁgurazione e il termine, Ja `e il numero quantico di momento angolare totale e Ma il numero quantico magnetico. Poich´e Ma pu` o assumere uno qualsiasi dei valori che vanno da −Ja a Ja in passi di uno, il livello risulta degenere ga volte, con ga = 2 Ja + 1. La funzione d’onda di uno qualsiasi dei ga sottolivelli del livello energetico a pu` o quindi essere indicata col simbolo |uaα e, analogamente, uno qualsiasi dei gb sottolivelli del livello energetico b col simbolo |ubβ . Una volta che sia speciﬁcato anche il sottolivello, sia per lo stato iniziale che per quello ﬁnale, la probabilit` a di transizione per unit` a di tempo dell’Eq. (11.15) assume la forma Pf i =

8π 3 e20 νab |rbβ,aα · ek∗ |2 δ(νk − νab ) , hV

(11.16)

dove rbβ,aα = ubβ |r |uaα

.

Se adesso eseguiamo una media dell’elemento di matrice modulo quadro che compare nell’Eq. (11.16) su tutte le possibili “orientazioni” dell’atomo rispetto al versore ek∗ , ovvero se ne consideriamo la media su tutti i valori dei parametri interni di degenerazione α e β, `e possibile dimostrare per mezzo del teorema di Wigner-Eckart che vale la relazione6 1 |rbβ,aα · ek∗ |2 = ga gb

1 3

|rba |2 ,

(11.17)

α, β

dove

|rba |2 = |rab |2 =

1 1 |rbβ,aα |2 = ubβ |r |uaα · uaα |r |ubβ ga gb ga gb α, β

6

,

α, β

Questa propriet` a ` e formalmente dimostrata nell’App. 12. Intuitivamente si pu` o pensare che il fattore 13 sia il risultato della media sull’angolo solido di un fattore del tipo cos 2 θ, dove θ` e l’angolo formato fra il vettore rba e il versore di polarizzazione.

INTERAZIONE FRA MATERIA E RADIAZIONE

315

dimodoch´e, si pu` o concludere che, mediando sulla degenerazione spaziale, la probabilit` a per unit` a di tempo che l’atomo decada da un qualsiasi sottolivello del livello a verso un qualsiasi sottolivello del livello b e che contemporaneamente venga emesso un fotone nel modo k `e data da Pf i =

8π 3 e20 νab |rba |2 δ(νk − νab ) . 3hV

(11.18)

a per unit` a di Da questa espressione di Pf i si possono dedurre sia la probabilit` tempo che l’atomo decada dal livello a al livello b, che indicheremo con πab , sia la probabilit` a per unit` a di tempo che venga emesso un fotone in uno qualsiasi dei due modi (caratterizzati da polarizzazioni diverse) aventi frequenza ν e che indicheremo con π (e) (ν, Ω). Per ottenere πab osserviamo che la direzione Ω, Pf i d` a la probabilit` a congiunta che l’atomo decada da un qualsiasi sottolivello del livello a a un qualsiasi sottolivello del livello b e che, allo stesso tempo, venga emesso un fotone nel modo particolare contrassegnato dall’indice k. Per le note leggi delle probabilit`a si deve quindi sommare la Pf i su tutti i possibili sottolivelli inferiori e su tutti i possibili modi, e si ha quindi πab = gb

Pf i ,

k

con la somma estesa a tutti i possibili modi del campo di radiazione. Per eseguire la somma, ricordiamo che il numero di modi con frequenza compresa fra ν e ν + dν e direzione compresa nell’angolo solido dΩ `e dato dall’Eq. (4.14), ovvero dN =

2 V ν2 dν dΩ . c3

Trasformando la somma sui modi k in integrale sulla frequenza e sull’angolo solido, e ricordando l’Eq. (11.18), si ha allora " πab = gb

∞

dΩ 0

16π 3 e20 νab ν 2 |rba |2 δ(ν − νab ) dν . 3 h c3

(11.19)

Eseguendo inﬁne l’integrale, si ha πab = Aab , dove Aab =

3 64π 4 e20 νab gb |rba |2 . 3 3hc

(11.20)

La quantit` a Aab prende il nome di coeﬃciente di Einstein per diseccitazione (o per emissione) spontanea dal livello a al livello b. Come aiuto mnemonico

316

CAPITOLO 11

`e utile osservare che la sua espressione pu`o essere ricavata mediante un ragionamento semiclassico di questo tipo. Applicando il modello di Lorentz, si schematizzi l’atomo come un elettrone oscillante alla frequenza ν. Se x `e l’ampiezza istantanea dell’oscillazione, l’accelerazione dell’elettrone vale in modulo 4π 2 ν 2 x, e l’elettrone emette radiazione con una potenza media, W , data dall’equazione di Larmor (3.22) W

=

2 e20 a2 3 c3

=

32π 4 e20 ν 4 x2 3 c3

,

dove x2 `e la media di x2 rispetto al tempo. Se si ammette poi che l’oscillatore armonico abbia energia 12 hν, il tempo caratteristico, τ , che esso impiega a perdere la sua energia `e dato da τ=

hν 2 W

,

e se ne deduce un tasso di diseccitazione per unit`a di tempo dato da 1 2 W = τ hν

=

64π 4 ν 3 e20 x2 3 h c3

.

Come si vede, questa espressione coincide con quella dell’Eq. (11.20) pur di immedesimare la frequenza dell’oscillatore, ν, con la frequenza della transizione, νab , e la quantit` a classica x2 con la quantit` a gb |rba |2 . ovvero la probabiOccupiamoci adesso di determinare la quantit` a π (e) (ν, Ω), lit` a per unit` a di tempo che venga emesso un fotone in un modo avente frequenza Per questo `e suﬃciente moltiplicare l’Eq. (11.18) per il fattore ν e direzione Ω. gb per tener conto che l’atomo pu`o decadere in uno qualsiasi dei sottolivelli del livello inferiore. Si ottiene = π (e) (ν, Ω)

8π 3 e20 νab gb |rba |2 δ(ν − νab ) . 3hV

Come si pu` o notare, questa espressione contiene al denominatore il volume V, ovvero il volume della cavit`a nella quale abbiamo quantizzato il campo di radiazione. Questa dipendenza da V risulta dal fatto che stiamo considerando l’interazione fra il campo di radiazione e un solo sistema atomico, che abbiamo supposto trovarsi in un sottolivello arbitrario del livello a. Se consideriamo la situazione pi` u realistica in cui nella cavit` a sono eﬀettivamente presenti N a atomi nel livello a e se supponiamo che ciascuno di tali atomi emetta in maniera indipendente dagli altri, il secondo membro dell’equazione precedente deve essere moltiplicato per Na e si ottiene = Na π (e) (ν, Ω)

8π 3 e20 νab gb |rba |2 δ(ν − νab ) , 3h

(11.21)

INTERAZIONE FRA MATERIA E RADIAZIONE

317

dove abbiamo introdotto la quantit` a Na = Na /V che d` a la densit` a numerica degli atomi che si trovano nel livello a. I risultati che abbiamo trovato per il coeﬃciente di Einstein (Eq. (11.20)) e (Eq. (11.21)) sono legati alla scelta che abbiamo per la probabilit` a π (e) (ν, Ω) eﬀettuato per gli stati iniziali e ﬁnali, |Ψi e |Ψf , dell’Eq. (11.14). Bisogna osservare che tali risultati non cambiano se si suppone che nei modi diversi dal modo k siano presenti, invece di zero fotoni, dei numeri arbitrari di fotoni, purch´e il numero di tali fotoni sia uguale negli stati iniziale e ﬁnale. Questo signiﬁca che un processo elementare quale quello descritto dal diagramma di Feynman della Fig. 11.2 (riquadro di sinistra) non `e inﬂuenzato dall’eventuale presenza di fotoni nei modi diversi dal modo k. Se invece si suppone che in tale modo siano presenti nk fotoni (invece che zero fotoni) nello stato iniziale |Ψi e (nk + 1) fotoni (invece che un fotone) nello stato ﬁnale |Ψf , la probabilit` a di transizione P f i risulta ancora data dall’espressione dell’Eq. (11.18) moltiplicata per` o per il fattore (nk +1) che proviene dall’elemento di matrice modulo quadro dell’Hamiltoniana di interazione (si veda l’Eq. (11.13)). Questo fattore moltiplicativo `e molto importante perch´e descrive un fenomeno di tipo particolare che `e noto col nome di emissione stimolata. La presenza di fotoni in un determinato modo “stimola” l’atomo a emettere ulteriori fotoni nel modo stesso e tale eﬀetto di stimolazione `e tanto maggiore quanto maggiore `e il numero di fotoni presenti nel modo. Il fenomeno dell’emissione stimolata costituisce il principio di funzionamento del laser7 ed `e oggi alla base di innumerevoli applicazioni tecnologiche. Se si tiene conto dell’emissione stimolata, i ragionamenti che abbiamo svolto precedentemente per trovare le probabilit` a per unit` a di tempo di diseccitazione dell’atomo, πab , e di emissione devono essere modiﬁcati e portano all’apparizione di terdel fotone, π (e) (ν, Ω), mini supplementari. Riprendendo l’Eq. (11.19) si ottiene infatti, per l’aggiunta del termine di stimolazione " πab = gb

∞

dΩ 0

16π 3 e20 νab ν 2 + 1 ] δ(ν − νab ) dν , |rba |2 [nν (Ω) 3 h c3

per indicare il numero di fotoni predove abbiamo introdotto il simbolo nν (Ω) supposto indipendente senti nel generico modo di frequenza ν e direzione Ω, dallo stato di polarizzazione. Il termine proveniente dall’addendo 1, presente nella parentesi quadra entro il simbolo di integrale, `e gi` a stato valutato e porta al coeﬃciente di Einstein Aab . La valutazione dell’altro termine si esegue introducendo la media del numero di fotoni per modo, n ¯ ν deﬁnita da " 1 dΩ . nν (Ω) n ¯ν = (11.22) 4π 7

La parola laser ` e un acronimo (ovvero una sigla che acquisisce nel linguaggio comune il ruolo di un nome) proveniente da Light Ampliﬁcation by the Stimulated Emission of Radiation.

318

CAPITOLO 11

Si ottiene ¯ νab ) . πab = Aab ( 1 + n

(11.23)

L’eﬀetto della stimolazione `e quindi quello di aumentare la probabilit`a di diseccitazione dell’atomo. Analogamente, andando a valutare la probabilit`a per unit` a di tempo di emissione del fotone, si trova che l’Eq. (11.21) deve essere sostituita, per eﬀetto dell’emissione stimolata, dalla seguente 3 2 = Na 8π e0 νab gb |rba |2 [ 1 + nν (Ω)] δ(ν − νab ) . π (e) (ν, Ω) (11.24) 3h Come ulteriore applicazione, trattiamo adesso il processo elementare dell’assorbimento. Come stati iniziale e ﬁnale del sistema complessivo (atomo pi` u radiazione) consideriamo gli stati descritti dai vettori di stato

|Ψi = |ub ; 0, 0, . . . , 1k , . . .

,

|Ψf

= |ua ; 0, 0, . . . , 0, . . .

.

Lo stato iniziale, |Ψi , `e lo stato in cui l’atomo si trova nel livello energetico |ub mentre il campo di radiazione si trova nello stato in cui `e presente un solo fotone nel modo contrassegnato dall’indice k. Lo stato ﬁnale, |Ψf , `e quello in cui l’atomo si trova nel livello energetico |ua , e il campo di radiazione si trova nello stato di vuoto. Il processo che stiamo trattando, `e rappresentato nel riquadro di destra della Fig. 11.2 e la corrispondente probabilit` a per unit` a di tempo `e sempre data dalla regola aurea di Fermi. L’elemento di matrice dell’Hamiltoniana di interazione fra gli stati |Ψi e |Ψf pu` o essere calcolato mediante l’Eq. (11.12) e si ottiene, per la probabilit` a di transizione per unit`a di tempo, l’analogo dell’Eq. (11.15) relativa al processo elementare dell’emissione spontanea, ovvero 8π 3 e20 νab |rab · ek |2 δ(νk − νab ) . hV Questa espressione e quella dell’Eq. (11.15) possono essere portate a coincidere osservando che, essendo l’operatore r Hermitiano, per gli elementi di matrice ∗ si ha rab = rba , e quindi Pf i =

|rab · ek |2 = |rba · ek∗ |2 . Osservando che il processo elementare che stiamo considerando `e esattamente il processo inverso di quello considerato all’inizio del paragrafo, abbiamo cos`ı veriﬁcato la propriet` a importante che un processo elementare e il suo processo inverso hanno la stessa probabilit` a per unit` a di tempo di veriﬁcarsi. Questo `e d’altra parte ovvio tenendo conto del fatto che, secondo la regola aurea di Fermi, si deve avere Pf i = Pi f . Il risultato ottenuto per il processo elementare pu` o essere generalizzato considerando il caso in cui nello stato iniziale si hanno nk fotoni (invece di un

INTERAZIONE FRA MATERIA E RADIAZIONE

319

fotone) e in quello ﬁnale (nk − 1) fotoni (invece di zero). Sempre per mezzo dell’Eq. (11.12) si trova facilmente che l’espressione per la probabilit` a Pf i data sopra deve essere semplicemente moltiplicata per nk , per cui si ha 8π 3 e20 νab |rab · ek |2 nk δ(νk − νab ) . hV In maniera simile a quanto fatto precedentemente, possiamo andare a calcolare la probabilit` a per unit` a di tempo, πba , che l’atomo passi dal livello b al livello a per assorbimento di un fotone da un modo qualsiasi e la probabilit` a per unit` a di tempo, π (a) (ν, Ω), che venga sottratto un fotone in un modo Ripetendo ragionamenti simili a quelli svolti avente frequenza ν e direzione Ω. precedentemente si trova Pf i =

πba =

ga Aab n ¯ νab , gb

3 2 = Nb 8π e0 νab ga |rba |2 nν (Ω) δ(νab − ν) , π (a) (ν, Ω) 3h dove Nb `e la densit`a numerica di atomi che si trovano nel livello b.

(11.25) (11.26)

11.6 Le equazioni dell’equilibrio statistico La discussione dei processi elementari che abbiamo svolto nel paragrafo precedente permette di ottenere delle equazioni generali che regolano l’evoluzione temporale delle popolazioni atomiche in un ambiente ﬁsico arbitrario, sia esso un plasma di laboratorio o un plasma astroﬁsico. Consideriamo per questo una collezione di atomi, tutti della stessa specie, e supponiamo, per semplicit` a, che ciascuno di essi abbia due soli livelli energetici, un livello di energia maggiore (o livello alto), per il quale utilizzeremo l’indice a e un livello di energia minore (o livello basso) per il quale utilizzeremo l’indice b. Supponiamo inoltre che i due livelli siano degeneri e indichiamo con ga e gb le rispettive degenerazioni. Nell’ambiente sia poi presente un campo di radiazione che, alla frequenza νab corrispondente alla transizione fra i due livelli (νab = (a − b )/h), abbia un numero medio di fotoni per modo dato da n ¯ νab . Indicando con Na e Nb il numero di atomi presenti nell’ambiente che si trovano, rispettivamente, nei livelli a e b, ovvero le cosiddette popolazioni, e tenendo conto delle probabilit`a elementari πab e πba che abbiamo trovato nel paragrafo precedente, le popolazioni evolvono nel tempo secondo le equazioni dNa dNb = −πab Na + πba Nb , = −πba Nb + πab Na . dt dt Sostituendo i valori di πab e πba dati dalle Eq. (11.23) e (11.25) si ottengono le cosiddette equazioni dell’equilibrio statistico, ovvero

320

CAPITOLO 11

dNa ga = −Aab ( 1 + n ¯ νab ) Na + Aab n ¯ νab Nb , dt gb dNb ga = − Aab n ¯ νab Nb + Aab ( 1 + n ¯ νab ) Na . dt gb Come si vede, le due equazioni sono ridondanti, in quanto dNb dNa + =0 . dt dt Questo signiﬁca che il numero totale di atomi si conserva e le equazioni ﬁssano unicamente il rapporto fra le due popolazioni. Le equazioni dell’equilibrio statistico vengono tradizionalmente scritte in maniera diversa introducendo, in luogo del numero medio di fotoni per modo, il valore medio dell’intensit` a del campo di radiazione. Ricordando l’Eq. (4.15), che collega il numero di fotoni con l’intensit`a speciﬁca del campo di radiazione e l’Eq. (11.22), che deﬁnisce il numero medio di fotoni per modo, e deﬁnendo la media sull’angolo solido dell’intensit` a del campo di radiazione mediante l’equazione " 1 dΩ , Jν = Iν (Ω) 4π si ha Jνab =

3 2 h νab n ¯ νab . c2

Attraverso quest’ultima quantit` a, le equazioni dell’equilibrio statistico possono essere espresse nella forma dNa = −Aab Na − Bab Jνab Na + Bba Jνab Nb , dt dNb = −Bba Jνab Nb + Aab Na + Bab Jνab Na , dt dove si `e posto Bab =

c2 32π 4 e20 gb |rba |2 , Aab = 3 2 h νab 3 h2 c

(11.27)

Bba =

c2 g a ga 32π 4 e20 ga |rba |2 . A = B = ab ab 3 g 2 h νab gb 3 h2 c b

(11.28)

Le quantit` a Bab e Bba prendono il nome di coeﬃciente di Einstein per emissione stimolata e coeﬃciente di Einstein per assorbimento, rispettivamente.

INTERAZIONE FRA MATERIA E RADIAZIONE

321

s 2

3

6

n 1

4

5

i Fig. 11.3. Rappresentazione schematica dei vari processi che contribuiscono alle equazioni dell’equilibrio statistico di un livello n ﬁssato. 1) assorbimento da livelli inferiori; 2) emissione spontanea da livelli superiori; 3) emissione stimolata da livelli superiori; 4) emissione spontanea verso livelli inferiori; 5) emissione stimolata verso livelli inferiori; 6) assorbimento verso livelli superiori. Le linee ondulate descrivono processi indotti dal campo di radiazione mentre le linee continue descrivono processi spontanei.

Introdotte queste notazioni, siamo adesso in grado di scrivere le equazioni dell’equilibrio statistico per un atomo con un numero arbitrario di livelli energetici. Per la popolazione di un generico livello n, indicando con l’indice i i livelli inferiori (cio`e aventi energia minore) e con l’indice s i livelli superiori (cio`e aventi energia maggiore), l’equazione di evoluzione della popolazione si scrive dNn = Bin Jνni Ni + Asn Ns + Bsn Jνsn Ns dt s s i − Ani Nn − Bni Jνni Nn − Bns Jνsn Nn . i

i

(11.29)

s

I sei termini che compaiono nell’equazione precedente sono rappresentati schematicamente nella Fig. 11.3 nella quale le linee continue rappresentano transizioni spontanee (proporzionali ai coeﬃcienti di Einstein A) mentre quelle ondulate rappresentano transizioni indotte dal campo di radiazione (proporzionali ai prodotti di coeﬃcienti di Einstein B per l’intensit` a media del campo di radiazione J). In particolare, le linee ondulate che terminano con una freccia diretta verso l’alto rappresentano fenomeni di assorbimento, mentre quelle che terminano con una freccia diretta verso il basso rappresentano fenomeni di emissione stimolata. I numeri riprodotti entro i cerchi nella ﬁgura sono in connessione con l’ordine dei vari termini dell’Eq. (11.29). In altre parole, i termini 1 e 6 rappresentano processi di assorbimento prodotti dal campo di radiazione; quelli 2 e 4 rappresentano processi di emissione spontanea; inﬁne, i termini 3 e 5 rappresentano processi di emissione indotta o stimolata. Si noti che i processi 1, 2, e 3 contribuiscono a popolare il livello n e sono preceduti nell’equazione

322

CAPITOLO 11

da un segno pi` u, mentre i processi 4, 5, e 6 contribuiscono a depopolarlo e sono preceduti da un segno meno.

11.7 I coeﬃcienti di Einstein I coeﬃcienti di Einstein, da noi dedotti nei paragraﬁ precedenti per un sistema atomico arbitrario per mezzo dei metodi dell’Elettrodinamica Quantistica, furono introdotti dal celebre ﬁsico tedesco, molto tempo prima della formalizzazione di questa teoria, attraverso un ragionamento ﬁsico di questo tipo. Consideriamo due livelli energetici di un sistema atomico e indichiamo con a e b le energie dei livelli superiore e inferiore, rispettivamente, e con ga e gb le relative degenerazioni. Sia poi νab la frequenza della transizione fra i due livelli, con h νab = a − b . Se il sistema atomico si trova immerso in un campo di radiazione avente, alla frequenza νab , intensit` a media Jνab , allora si ha una probabilit` a di transizione per unit` a di tempo dal livello inferiore a quello superiore data πba = Bba Jνab . Questa espressione `e conforme all’esperienza in quanto essa prevede, essendo per ipotesi Bba indipendente dal campo di radiazione, che la probabilit` a di transizione sia proporzionale all’intensit` a media del campo di radiazione, una legge che corrisponde al ben noto fenomeno dell’assorbimento. D’altra parte, per la probabilit` a di transizione dal livello superiore a quello inferiore, le leggi ﬁsiche –note al momento del lavoro di Einstein– portavano semplicemente a un’equazione del tipo πab = Aab , con Aab indipendente dal campo di radiazione. Infatti, al momento, era noto soltanto il fenomeno dell’emissione spontanea e non quello dell’emissione indotta (o stimolata). Einstein osserv`o che le due espressioni per πba e πab erano incompatibili con le leggi della termodinamica. Se si suppone infatti che il sistema atomico si trovi in una cavit` a all’equilibrio termodinamico alla temperatura T , siccome i coeﬃcienti Aab e Bba sono indipendenti dal campo di radiazione, si ottiene che al limite T → ∞ il rapporto πba /πab tende anch’esso all’inﬁnito, col risultato che tutti gli atomi verrebbero a trovarsi nel livello superiore, in palese contraddizione con quanto speciﬁcato dalla legge di Boltzmann che invece prevede un rapporto di popolazioni uguale al rapporto dei pesi statistici (si veda l’Eq. (10.6)

INTERAZIONE FRA MATERIA E RADIAZIONE

323

e se ne consideri il limite per T → ∞). Per risolvere questa contraddizione, Einstein postul` o allora che nell’equazione per la probabilit` a di transizione πab si dovesse aggiungere un nuovo termine, anch’esso proporzionale al campo di radiazione cos`ı da ottenere πab = Aab + Bab Jνab . Con un semplice ragionamento termodinamico Einstein riusc`ı quindi a prevedere l’esistenza dell’emissione stimolata, un meccanismo ﬁsico che non era noto al momento. Sempre in base a considerazioni termodinamiche `e poi possibile determinare le relazioni esistenti fra i vari coeﬃcienti introdotti. In base alle equazioni precedenti la popolazione del livello superiore, Na , obbedisce all’equazione differenziale dNa = −(Aab + Bab Jνab ) Na + Bba Jνab Nb . dt In situazioni stazionarie si ottiene allora Na Bba Jνab = . Nb Aab + Bab Jνab Supponendo di essere all’equilibrio termodinamico, e facendo il limite T → ∞, si ottiene lim

T →∞

Na Bba = . Nb Bab

D’altra parte, per l’equazione di Boltzmann, si deve avere lim

T →∞

Na ga = , Nb gb

per cui si ottiene Bba =

ga Bab . gb

In generale, per T arbitrario, sostituendo per Na /Nb il valore dato dall’equazione di Boltzmann, esprimendo Bba in termini di Bab e ricordando che all’equilibrio termodinamico l’intensit` a media del campo di radiazione `e data dalla funzione di Planck (Jνab = Bνab (T ), con Bν (T ) data dall’Eq. (10.11)), si ottiene, con un alcuni passaggi algebrici Aab =

3 2 h νab Bab . 2 c

324

CAPITOLO 11

Con questo ragionamento termodinamico si arriva quindi a stabilire la corretta relazione fra i coeﬃcienti di Einstein. Le equazioni precedenti contengono infatti gli stessi risultati, gi` a espressi nelle Eq. (11.27) e (11.28), che abbiamo ottenuto attraverso i principi dell’Elettrodinamica Quantistica. Bisogna tuttavia notare che la sola termodinamica non `e suﬃciente a determinare l’espressione esplicita dei coeﬃcienti di Einstein, analogamente a quanto abbiamo visto nel capitolo precedente per la costante a che compare nella legge di Stefan (Eq.(10.9)).

11.8 L’equazione del trasporto radiativo Riferendoci allo stesso ambiente ﬁsico che abbiamo introdotto all’inizio del Par. 11.6, andiamo a considerare l’evoluzione temporale del numero di fotoni contenuti in un modo del campo di radiazione caratterizzato dalla frequenza Per mezzo delle Eq. (11.24) e (11.26) che esprimono, ν e dalla direzione Ω. rispettivamente, la probabilit` a che venga aggiunto oppure sottratto un fotone nel modo stesso, si ottiene dnν (Ω) + π (e) (ν, Ω) , = −π (a) (ν, Ω) dt ovvero ! 8π 3 e20 νab dnν (Ω) + Na gb [ 1 + nν (Ω)] = |rba |2 δ(ν − νab ) −Nb ga nν (Ω) . dt 3h La derivata temporale che compare in questa equazione deve essere interpretata come derivata totale (o Euleriana), in quanto esprime la variazione del numero di fotoni nel tempo pensando di seguire i fotoni stessi nel loro movimento. Se si indica quindi con s la coordinata spaziale misurata lungo la direzione di propagazione e si considera che la radiazione si propaga con velocit`a c, si ha d ∂ d = +c . dt ∂t ds Eseguendo questa sostituzione e supponendo di essere in situazioni stazionarie (il che equivale a sopprimere il termine ∂/(∂t)), si ottiene ! 8π 3 e20 νab dnν (Ω) + Na gb [ 1 + nν (Ω)] = |rba |2 δ(ν − νab ) −Nb ga nν (Ω) . ds 3hc L’equazione che abbiamo ottenuto `e la cosiddetta equazione del trasporto. Consistentemente con le nostre ipotesi, essa `e stata ottenuta per un atomo a due livelli.

INTERAZIONE FRA MATERIA E RADIAZIONE

325

Tradizionalmente l’equazione del trasporto viene formulata in maniera diversa facendo intervenire l’intensit` a speciﬁca del campo di radiazione invece del numero di fotoni per modo. Per ottenere la formulazione standard, basta allora ricordare l’Eq. (4.15) che esprime la relazione fra queste due quantit` a. Moltiplicando l’equazione precedente per il fattore (2 h ν 3 /c2 ) e riarrangiando i diversi termini, si ottiene, con semplici passaggi algebrici d = −k (a) Iν (Ω) + k (s) Iν (Ω) + ν , Iν (Ω) ν ν ds (a)

(s)

dove le tre quantit`a kν , kν , e ν , dette rispettivamente coeﬃciente di assorbimento, coeﬃciente di emissione stimolata (o di assorbimento negativo), e coeﬃciente di emissione, sono date da kν(a) = Nb

8π 3 e20 νab ga |rba |2 δ(ν − νab ) , 3hc

kν(s) = Na

8π 3 e20 νab gb |rba |2 δ(ν − νab ) , 3hc

4 16π 3 e20 νab gb |rba |2 δ(ν − νab ) . (11.30) 3 c3 Le espressioni che abbiamo trovato per i tre coeﬃcienti valgono per un atomo a due livelli (il livello “alto” a e il livello “basso” b). La loro generalizzazione al caso di un atomo a molti livelli `e banale e si ottiene semplicemente sommando su tutte le possibili coppie di livelli. Fissato un livello n, indicando come in Fig. 11.3 con l’indice i un qualsiasi livello di energia minore e con l’indice s un qualsiasi livello di energia maggiore e sommando su n, si ha

ν = Na

kν(a) =

n

kν(s) = ν =

Nn

8π 3 e20 νni gi |rin |2 δ(ν − νni ) , 3hc

Nn

4 16π 3 e20 νni gi |rin |2 δ(ν − νni ) . 3 3c

i

n

8π 3 e20 νsn gs |rns |2 δ(ν − νsn ) , 3hc

s

n

Nn

i

(11.31)

Osserviamo inﬁne che l’equazione del trasporto pu`o anche essere posta nella forma sempliﬁcata d = −kν Iν (Ω) + ν , Iν (Ω) ds dove kν = kν(a) − kν(s) .

326

CAPITOLO 11

Il coeﬃciente kν cos`ı introdotto `e chiamato coeﬃciente di assorbimento corretto per l’emissione stimolata8 . Ponendo poi Sν =

ν ν = (a) , (s) kν kν − kν

l’equazione del trasporto assume la forma d = −kν [Iν (Ω) − Sν ] . Iν (Ω) (11.32) ds La funzione Sν prende il nome di funzione sorgente. Come vedremo in seguito, per un sistema atomico che si trovi all’equilibrio termodinamico alla temperatura T , vale la cosiddetta legge di Kirchhoﬀ Sν = Bν (T ) , dove Bν (T ) `e la funzione di Planck.

11.9 I coeﬃcienti di assorbimento e di emissione Una semplice analisi dimensionale dell’equazione del trasporto mostra che il coeﬃciente di assorbimento e quello di emissione stimolata hanno le dimensioni del reciproco di una lunghezza e sono quindi espressi (nel sistema di unit`a c.g.s.) in cm−1 . Il coeﬃciente di emissione ha invece le dimensioni di un’energia per unit` a di volume e per unit` a di tempo e risulta espresso (sempre nel c.g.s.) in erg cm−3 s−1 . Integrando in frequenza, `e possibile mettere in relazione il contributo di ciascuna transizione atomica a tali coeﬃcienti con i coeﬃcienti di Einstein precedentemente introdotti. Facendo riferimento al caso di un atomo a due livelli e integrando in frequenza le Eq. (11.30), si ha 8π 3 e20 νab (a) kR = kν(a) dν = Nb ga |rba |2 , (11.33) 3hc 8π 3 e20 νab (s) gb |rba |2 , kR = kν(s) dν = Na 3hc 4 16π 3 e20 νab gb |rba |2 . R = ν dν = Na 3 3c Confrontando queste espressioni con quelle dei coeﬃcienti di Einstein date nelle Eq. (11.20), (11.27) e (11.28), si ha 8

Spesso ` e anche chiamato, impropriamente, coeﬃciente di assorbimento tout court. In (a) eﬀetti, quest’ultima denominazione dovrebbe essere riservata a k ν .

INTERAZIONE FRA MATERIA E RADIAZIONE

327

(c)

stati liberi

E

limite di ionizzazione

stati legati

(b)

(a)

Fig. 11.4. In questo diagramma di Grotrian schematico, gli stati liberi sono rappresentati dall’area tratteggiata. Le possibili transizioni si distinguono in: (a) transizioni legato-legato; (b) transizioni legato-libero; (c) transizioni libero-libero.

(a)

kR =

h νab Nb Bba , 4π

(s)

kR =

h νab Na Bab , 4π

R =

h νab Na Aab . 4π

Queste equazioni esprimono le ovvie relazioni che devono esistere fra quantit`a che compaiono nelle equazioni dell’equilibrio statistico e quantit`a che compaiono nell’equazione del trasporto. Riferendoci ad esempio al caso del coeﬃciente di emissione, si ha ovviamente che l’energia emessa per unit`a di tempo e per unit` a di volume `e data dal numero di atomi per unit` a di volume presenti nel livello superiore, Na , moltiplicato per la probabilit` a di diseccitazione dell’atomo per unit` a di tempo, Aab , moltiplicato ancora per l’energia emessa nella transizione, h νab . Il fattore 4π a denominatore `e dovuto al fatto che il coeﬃciente di emissione `e deﬁnito per unit`a di angolo solido, mentre il prodotto dei tre termini precedenti d`a l’energia emessa in tutto l’angolo solido. In generale, i coeﬃcienti di assorbimento e di emissione risultano espressi da una doppia somma su tutti i livelli atomici (si vedano le Eq. (11.31)). Poich`e i livelli possono essere sia liberi che legati, contribuiscono ai singoli coeﬃcienti:

328

CAPITOLO 11

(a) le transizioni legato-legato, (b) le transizioni legato-libero (o libero-legato), e (c) le transizioni libero-libero, come illustrato in Fig.11.4. Le transizioni legato-libero (e quelle libero-libero) danno luogo a un andamento continuo con la frequenza del coeﬃciente di assorbimento. Se si considera infatti il contributo al coeﬃciente di assorbimento dovuto alla transizione fra lo stato legato b e lo stato del continuo c, si pu` o trasformare la somma sugli stati superiori s che (a) compare nell’espressione per kν delle Eq. (11.31) in una somma sugli stati liberi. Indicando con dnc il numero di stati liberi aventi energia compresa fra e + d, si ha dnc = Dc () d , dove Dc () `e la densit` a in energia degli stati del continuo. Per il coeﬃciente di assorbimento alla frequenza ν si ha allora 8π 3 e20 ν (a) kν = Nb |rbc |2 δ(νcb − ν) Dc () d . 3hc Tenendo conto della delta di Dirac, l’integrale si esegue immediatamente e porta all’espressione kν(a) = Nb

8π 3 e20 ν |rbc |2 Dc (b + h ν) , 3c

che si scrive anche nella forma kν(a) = σν Nb ,

(11.34)

dove σν , la sezione d’urto per fotoionizzazione dal livello b, `e data da σν =

8π 3 e20 ν |rbc |2 Dc (b + h ν) . 3c

La funzione σν ha un andamento continuo con la frequenza. Essa presenta una soglia in corrispondenza della frequenza νs tale che b + h νs = I , dove I `e il potenziale di ionizzazione dell’atomo. Per frequenze ν < νs la sezione d’urto per fotoionizzazione `e nulla (eﬀetto fotoelettrico). Per le transizioni libero-libero si ottiene un’espressione del coeﬃciente di assorbimento del tutto analoga a quella derivata sopra, con la sola diﬀerenza che adesso Nb rappresenta il numero di atomi per unit` a di volume che si trova nel livello libero b. Per quanto riguarda inﬁne le transizioni legato-legato, il formalismo che abbiamo sviluppato porta a un andamento discontinuo del coeﬃciente di assorbimento del tipo di un “pettine” di funzioni delta di Dirac. Questo risultato

329

INTERAZIONE FRA MATERIA E RADIAZIONE

proviene dal fatto che abbiamo supposto gli atomi isolati (cio`e non interagenti con altre particelle “perturbatrici”) e statici (cio`e non in movimento); per di pi` u ci siamo arrestati al secondo ordine nello sviluppo perturbativo dell’ampiezza di probabilit` a. Come vedremo nel prossimo paragrafo, quando si rilasciano queste approssimazioni di ordine zero si ottiene che le funzioni delta di Dirac devono essere sostituite da opportuni proﬁli di riga, normalizzati a 1 in frequenza, che indicheremo col simbolo ϕ. Ad esempio, per la transizione fra i livelli a e b, i vari coeﬃcienti possono essere posti nella forma9 (a)

(s)

kν(a) = kR ϕ(νab − ν) ,

kν(s) = kR ϕ(νab − ν) ,

ν = R ϕ(νab − ν) , (11.35)

con ϕ(νab − ν) dν = 1 . Con queste posizioni, la funzione sorgente nella riga pu` o essere posta nella forma Sν =

ν (a) kν

−

(s) kν

=

R (a) kR

(s)

− kR

(a)

, (s)

e, ricordando le espressioni per i coeﬃcienti R , kR e kR Sν =

Na Aab . Nb Bba − Na Bab

Ricordando poi le relazioni fra i coeﬃcienti di Einstein, si ottiene inﬁne Sν =

1 2 h ν3 . 2 ga Nb c − 1 gb Na

(11.36)

All’equilibrio termodinamico alla temperatura T , le popolazioni sono date dall’equazione di Boltzmann (Eq. (10.6)) e la funzione sorgente risulta Sν =

2 h ν3 1 , 2 h ν /(k BT ) − 1 ab c e

che praticamente coincide con la funzione di Planck Bν (T ) essendo νab ν. Questo risultato dimostra, nel caso particolare dell’atomo a due livelli, la validit` a della legge di Kirchhoﬀ. 9

In linea di principio i proﬁli relativi all’emissione e all’emissione stimolata possono essere diversi fra loro e diversi da quello relativo all’assorbimento. L’ipotesi di considerarli uguali, contenuta nelle Eq. (11.35), `e nota come approssimazione della ridistribuzione totale in frequenza. Per un approfondimento di questo argomento si veda, ad esempio, D. Mihalas, Stellar Atmospheres, 2nd Ed., W.H. Freeman, San Francisco, 1978.

330

CAPITOLO 11

11.10 Proﬁlo del coeﬃciente di emissione Il proﬁlo del coeﬃciente di emissione (o di assorbimento) dovuto a una transizione atomica non `e inﬁnitamente sottile in quanto esistono un certo numero di cause che contribuiscono al suo allargamento. Escludendo gli eﬀetti dovuti alla presenza di eventuali campi elettromagnetici esterni (eﬀetto Zeeman, eﬀetto Stark, etc.), e l’eﬀetto della struttura iperﬁne, si hanno in generale tre tipi diversi di allargamento, ovvero: allargamento naturale, allargamento collisionale, e allargamento dovuto ai moti termici, detto anche allargamento Doppler. L’allargamento naturale deriva in ultima analisi al principio d’indeterminazione. Si consideri ad esempio la transizione fra il livello superiore a e il livello inferiore b. Se Aab `e il coeﬃciente di Einstein per diseccitazione spontanea, il tempo di vita media del livello superiore `e dato da 1/Aab . Per il principio d’indeterminazione tempo-energia, si ha allora che l’energia di tale livello presenta un allargamento ΔE dato da ΔE

1 h , Aab

dove h `e la costante di Planck. La transizione ha quindi un allargamento in frequenza, Δν, dato da Δν =

ΔE Aab . h

A questa causa di allargamento si sovrappone quella dovuta alle collisioni che perturbano l’atomo durante il processo di emissione. Sebbene esistano varie teorie quantistiche che sono in grado di trattare, in maniera pi` u o meno soddisfacente, questi fenomeni, preferiamo qui dedurre la forma del proﬁlo risultante dall’allargamento naturale e da quello collisionale mediante un ragionamento semiclassico sempliﬁcato. Schematizziamo per questo l’atomo in emissione come un oscillatore armonico di frequenza ν0 la cui ampiezza di oscillazione decade esponenzialmente nel tempo con costante di decadimento β. Se l’oscillatore non `e perturbato dalle collisioni, esso emette un campo elettrico della forma E(t) = A e−β t cos(2π ν0 t − φ) ,

(t ≥ 0) ,

dove A e φ sono l’ampiezza e la fase dell’oscillazione. L’eﬀetto delle collisioni con gli elettroni (o altre particelle cariche presenti nel mezzo) pu`o essere schematizzato pensando che le collisioni siano dei processi che avvengano istantaneamente (approssimazione d’impatto) e che ciascuna collisione introduca nel campo elettrico emesso dall’atomo uno sfasamento di ampiezza aleatoria. Per eﬀetto delle collisioni il campo elettrico `e quindi descritto dalla funzione E(t) = A e−β t cos[2π ν0 t − φ(t)] ,

(t ≥ 0) ,

INTERAZIONE FRA MATERIA E RADIAZIONE

331

Fig. 11.5. Andamento col tempo della funzione E(t) per una particolare realizzazione dei processi di collisione. In questo caso particolare si veriﬁcano circa 10 collisioni in 5 periodi di oscillazione del campo elettrico. Sia il tempo t che la funzione E(t) sono espressi in unit` a arbitrarie.

dove φ(t) `e una funzione a carattere stocastico che presenta delle discontinuit`a in corrispondenza di ciascun istante a cui si veriﬁca una collisione. Una possibile realizzazione di tale funzione `e riportata nella Fig. 11.5. Lo spettro della radiazione emessa dal dipolo si ottiene, secondo quanto abbiamo visto nel Cap. 2, valutando la trasformata di Fourier della funzione E(t). Introducendo la frequenza ν in luogo della frequenza angolare ω, si ha, per l’Eq. (2.1) 1 ˆ E(ν) = 2π

∞

E(t) e2π i ν t dt .

−∞

Sostituendo l’espressione di E(t) e limitandoci a considerare la trasformata di Fourier alle sole frequenze positive, si ha A ˆ E(ν) = 4π

∞

e 2π i (ν−ν0 )t−β t+i φ(t) dt .

0

Per il modulo quadro della trasformata di Fourier si ha allora

A2 2 ˆ |E(ν)| = 16π 2

∞

dt1 0

0

∞

dt2 e 2π i (ν−ν0 )(t1 −t2 )−β(t1 +t2 )+i [φ(t1 )−φ(t2 )] .

332

CAPITOLO 11

t2

A B

t1 Fig. 11.6. La regione A ` e quella in cui t1 < t2 , mentre nella regione B si ha t2 < t1 .

La quantit` a Δφ = φ(t1 ) − φ(t2 ) ha carattere stocastico. Se durante l’intervallo di tempo che intercorre fra t1 e t2 (oppure fra t2 e t1 ) non avvengono collisioni, allora Δφ = 0, e si ha e i Δφ = 1 . Se invece nello stesso intervallo avvengono molte collisioni, tenendo conto del fatto che le fasi introdotte dalle singole collisioni sono aleatorie, si ottiene, mediando su tutte le possibili “storie collisionali”, e i Δφ = 0 . Se si indica quindi con f la frequenza delle collisioni (numero di collisioni per unit` a di tempo), si pu` o ragionevolmente assumere che valga la seguente approssimazione e i Δφ = e−f |t1 −t2 | . Sostituendo questa espressione nell’integrale si ha quindi

2 ˆ = |E(ν)|

A2 16π 2

∞

dt1 0

∞

dt2 e 2π i (ν−ν0 )(t1 −t2 )−β(t1 +t2 )−f |t1 −t2 | .

0

L’integrale doppio che compare in questa espressione si pu` o calcolare distinguendo nel piano (t1 , t2 ) le due regioni A e B illustrate nella Fig. 11.6. Osservando che l’integrale relativo alla regione B si pu` o ottenere da quello relativo alla regione A cambiando di segno la quantit` a (ν − ν0 ), si ottiene

INTERAZIONE FRA MATERIA E RADIAZIONE

333

2 ˆ =A+B , |E(ν)|

dove A2 A= 16π 2

∞

∞

dt1

dt2 e 2π i(ν−ν0 )(t1 −t2 )−β(t1 +t2 )−f (t2 −t1 ) ,

t1

0

e dove B si ottiene da A mediante la sostituzione (ν −ν0 ) → (ν0 −ν). L’integrale doppio si calcola con metodi elementari e, aggiungendo B ad A, si ottiene 2 ˆ |E(ν)| =

A2 β + f 64π 4 β

1

2 . β + f (ν − ν0 + 2π La quantit` a β viene in generale espressa nella forma β = γ/2, col che γ viene a rappresentare la costante di decadimento del modulo quadro dell’oscillazione del dipolo e pu` o quindi essere interpretata come l’inverso della vita media del livello superiore (γ = Aab ). Introducendo γ si ha allora 2 ˆ |E(ν)| =

A2 γ + 2f 64π 4 γ

)2

1 , γ + 2f 2 2 (ν − ν0 ) + 4π

e, ponendo γ + 2f , 4π si ottiene per il proﬁlo normalizzato in frequenza l’espressione Γ=

1 Γ . π (ν − ν0 )2 + Γ2 La funzione che descrive l’andamento del proﬁlo con la frequenza `e detta funzione di Lorentz (o funzione Lorentziana). La quantit`a Γ, detta costante di smorzamento (o costante di damping), contiene un contributo naturale e un contributo collisionale. Essa pu` o essere posta nella forma φ(ν − ν0 ) =

Γ = Γn + Γc , dove γ f , Γc = . 4π 2π Come abbiamo detto, esiste un’ulteriore causa di allargamento del coeﬃciente di emissione (o di assorbimento) dovuta all’agitazione termica degli atomi. Indichiamo con P (w) dw la probabilit` a che la componente della velocit`a dell’atomo lungo la direzione della radiazione emessa sia compresa fra w e w + dw. Attraverso l’Eq. (10.4), tale probabilit` a si pu` o esprimere nella forma Γn =

334

CAPITOLO 11

2 1 P (w) = √ e−(w/wT ) , π wT

dove abbiamo introdotto la velocit` a termica wT deﬁnita dall’equazione $ 2 kB T , wT = M essendo M la massa dell’atomo. Per eﬀetto Doppler, un atomo che si muova con la componente di velocit`a w presenta (all’ordine relativistico pi` u basso) un proﬁlo di emissione centrato intorno alla frequenza ν0 data da w . ν0 = ν0 1 + c Il proﬁlo di emissione dovuto all’insieme degli atomi `e quindi dato da ϕ(ν − ν0 ) =

∞

−∞

2 1 1 Γ √ e−(w/wT ) dw . π (ν − ν0 − ν0 w/c)2 + Γ2 π wT

Questa espressione viene comunemente sempliﬁcata introducendo le quantit` a ΔνD = ν0

wT , c

a=

Γ , ΔνD

v=

ν − ν0 , ΔνD

che rappresentano, rispettivamente, la larghezza Doppler del coeﬃciente di emissione (in unit` a di frequenza), la costante di smorzamento ridotta (o costante di damping ridotta), e la distanza in frequenza dal centro della riga normalizzata alla larghezza Doppler. Attraverso il cambiamento di variabile y = w/wT , l’integrale precedente pu`o essere posto nella forma 1 H(v, a) , ϕ(ν − ν0 ) = √ π ΔνD

(11.37)

dove la funzione H(v, a), detta funzione di Voigt, `e deﬁnita da a H(v, a) = π

∞ −∞

2

e−y dy . (v − y)2 + a2

La funzione di Voigt gode di alcune propriet` a che possono essere dedotte dalla sua espressione generale: ∞ √ 2 H(v, a) dv = π , lim H(v, a) = e−v , a→0

−∞

a 1 . lim H(v, a) = √ π v 2 + a2

a→∞

INTERAZIONE FRA MATERIA E RADIAZIONE

335

Fig. 11.7. Graﬁco della funzione di Voigt H(v, a) per a = 0 (linea continua), a = 0.2 (linea punteggiata) e a = 1 (linea tratteggiata).

La prima propriet` a permette di dimostrare con facili trasformazioni che il proﬁlo ϕ(ν − ν0 ) `e normalizzato a 1 in frequenza ∞ ϕ(ν − ν0 ) dν = 1 . −∞

Le altre due propriet` a mostrano che, nel caso limite di smorzamento trascurabile, la funzione di Voigt assume la forma Gaussiana, mentre, nel caso limite opposto, in cui l’allargamento termico `e trascurabile, la funzione di Voigt degenera in una Lorentziana. In generale, la funzione di Voigt presenta un andamento Gaussiano intorno a v = 0 e un andamento Lorentziano nelle ali. Casi tipici sono illustrati nella Fig. 11.7.

Capitolo 12

Regole di selezione e forze delle righe I risultati presentati nel capitolo precedente mostrano che per eﬀetto dell’interazione col campo di radiazione la probabilit` a di transizione fra due livelli energetici di un sistema atomico `e, in prima approssimazione, proporzionale al modulo quadro dell’elemento di matrice di dipolo valutato fra le autofunzioni atomiche relative ai livelli stessi. In questo capitolo vedremo come da questa propriet` a scaturiscano in maniera del tutto naturale le varie regole di selezione che abbiamo a suo tempo enunciato e ne discuteremo i limiti di validit`a. Vedremo inoltre come sia possibile valutare in maniera quantitativa le forze relative delle diverse righe di un multipletto di struttura ﬁne che si origina dalla transizione fra due termini. Nel Par. 12.5 `e presentata un’applicazione riguardante i principi ﬁsici che giustiﬁcano la presenza di righe proibite negli spettri di alcuni oggetti astronomici di particolare rilevanza (corona solare, nebulose gassose, nebulose planetarie, etc.).

12.1 Regole di selezione sui numeri quantici La probabilit` a di transizione fra due stati quantici descritti dai vettori di stato |um e |un risulta proporzionale, nell’approssimazione di dipolo, al modulo quadro dell’elemento di matrice1 um | r | un . Quando tale elemento di matrice `e nullo si dice che si ha a che fare con una transizione proibita. Viceversa, se l’elemento di matrice `e diverso da zero, la transizione si dice permessa. Nella quasi totalit` a dei casi (fa eccezione il caso dell’eﬀetto Paschen-Back), le autofunzioni atomiche possono scriversi nella forma |αJM , dove α `e un set di numeri quantici che speciﬁcano la conﬁgurazione e, eventualmente, altre grandezze ﬁsiche interne (come i valori di L e S nel caso valga l’accoppiamento L-S, oppure i valori di j dei singoli elettroni nel caso dell’accoppiamento j-j, etc.), J `e l’autovalore del momento angolare totale (elettronico) e M `e il numero quantico magnetico. Il calcolo dell’elemento di matrice fra due di tali stati pu`o essere eseguito con facilit`a se si considerano, invece delle componenti cartesiane del vettore r, le sue componenti sferiche deﬁnite nell’Eq. (9.3). Applicando il teorema di Wigner-Eckart nella forma dell’Eq. (9.4) si ha 1

Poich´ e | um |r | un |2 = | un |r | um |2 , la probabilit` a di transizione non dipende da quale dei due stati quantici compaia nel “bra” e quale nel “ket”.

338

CAPITOLO 12

αJM | rq |α J M = (−1)J

+M+1

√ 2J + 1

J −M

J M

1 q

αJ|| r ||α J ,

dove αJ|| r ||α J `e l’elemento di matrice ridotto dell’operatore di dipolo. L’elemento di matrice `e non nullo, e quindi la transizione `e permessa, solo se `e veriﬁcata la diseguaglianza triangolare fra i momenti angolari della prima riga del simbolo 3-j e se la somma dei simboli della seconda riga `e nulla. Devono quindi valere le regole di selezione J = 0 −→ / J = 0 ,

ΔJ = ±1, 0 ,

ΔM = ±1, 0 .

Nel caso in cui gli stati atomici siano descritti dall’accoppiamento L-S, l’elemento di matrice da calcolare `e il seguente αLSJM | rq |α L S J M

.

Cambiando base, gli autovettori |αLSJM e |α L S J M possono esprimersi, per mezzo di opportuni coeﬃcienti di Clebsh-Gordan, nella forma |αLSJM = LSMLMS |LSJM |αLSML MS , ML MS

|α L S J M =

L S ML MS |L S J M |α L S ML MS

.

M ML S

Sostituendo si ottiene αLSJM | rq |α L S J M =

LSMLMS |LSJM

ML MS ML MS

×

L S ML MS |L S J M

αLSML MS | rq |α L S ML MS

(12.1) .

L’operatore rq agisce solamente sulle coordinate orbitali e non sullo spin. L’elemento di matrice di rq a secondo membro risulta allora dato dall’espressione αLSMLMS | rq |α L S ML MS = = αLML | rq |α L ML

SMS |S MS = αLML | rq |α L ML δSS δMS MS ,

e, utilizzando di nuovo il teorema di Wigner-Eckart, √ αLSML MS | rq |α L S ML MS = (−1)L +ML +1 2L + 1 L L 1 × αL|| r ||α L δSS δMS MS . −ML ML q

(12.2)

339

REGOLE DI SELEZIONE E FORZE DELLE RIGHE

Sostituendo questa espressione nell’Eq. (12.1), risulta che aﬃnch´e tale elemento di matrice sia non nullo devono essere soddisfatte le regole di selezione ΔL = ±1, 0 ,

L = 0 −→ / L = 0 ,

ΔS = 0 .

Inﬁne, se si considera il caso di un atomo con struttura iperﬁne, si deve andare a considerare l’elemento di matrice αJIF MF | rq |α J IF MF

.

Per mezzo di calcoli del tutto analoghi a quelli sviluppati sopra, si ottengono facilmente le regole di selezione ΔF = ±1, 0 ,

F = 0 −→ / F = 0 ,

ΔMF = ±1, 0 .

12.2 Regole di selezione sulle conﬁgurazioni Consideriamo due conﬁgurazioni distinte di un atomo assegnato. Per quanto visto nei Par. 7.1 e 7.6, uno dei g stati degeneri appartenenti a una conﬁgurazione pu`o essere descritto da una funzione d’onda del tipo di quelle dell’Eq. (7.1), ovvero 1 ΨA (a1 , a2 , . . . , aN ) = √ (−1)P P [ψa1 (x1 )ψa2 (x2 ) · · · ψaN (xN )] , N! P dove (a1 , a2 , . . . , aN ) `e una ennupla di set di numeri quantici che speciﬁcano gli stati di particella singola. L’elemento di matrice di dipolo fra due stati assegnati, il primo appartenente a una conﬁgurazione e il secondo a un altra, `e quindi dato da ΨA (a1 , a2 , . . . , aN )| r |ΨA (a1 , a2 , . . . , aN ) =

N 1 (−1)P +Q N! i=1 P

Q

× P [ψa1 (x1 )ψa2 (x2 ) · · · ψaN (xN )]| ri | Q[ψa1 (x1 )ψa2 (x2 ) · · · ψaN (xN )]

.

Questa somma contiene N × (N !)2 termini, il generico dei quali risulta proporzionale al prodotto ψa¯1 |ψa¯1

ψa¯2 |ψa¯2 · · · ψa¯i | ri |ψa¯i · · · ψa¯N |ψa¯N

,

¯2 , . . . , a ¯N ) una permutazione data della ennupla (a1 , a2 , . . . , aN ) essendo (¯ a1 , a e (¯ a1 , a ¯2 , . . . , a ¯N ) una permutazione data dell’altra ennupla (a1 , a2 , . . . , aN ).

340

CAPITOLO 12

Questo termine `e nullo a meno che tutti i set a ¯ k siano uguali ai corrispondenti set a ¯k , eccetto per a ¯i che pu` o essere diverso da a ¯i . Si deve cio`e avere a ¯1 = a ¯1 , a ¯2 = a ¯2 , . . . , a ¯i−1 = a ¯i−1 , a ¯i+1 = a ¯i+1 , . . . , a ¯N = a ¯N . Aﬃnch´e l’elemento di matrice ΨA (a1 , a2 , . . . , an )| r |ΨA (a1 , a2 , . . . , an ) sia diverso da zero bisogna quindi che (N − 1) dei set appartenenti alla ennupla (a1 , a2 , . . . , aN ) coincidano con (N − 1) dei set appartenenti alla ennupla (a1 , a2 , . . . , aN ). Questo implica che se k `e l’indice per cui il set ak non ha il corrispondente fra gli aj , la funzione d’onda del secondo stato deve essere della forma ΨA (a1 , a2 , . . . , aN ) = ±ΨA (a1 , a2 , . . . , ak , . . . , aN ) , dove il fattore di segno ± `e in connessione col numero (pari oppure dispari) degli scambi necessari per ordinare la ennupla (a1 , a2 , . . . , aN ) nella forma voluta. Si ha allora (quando l’elemento di matrice `e non nullo) ΨA (a1 , a2 , . . . , aN )| r |ΨA (a1 , a2 , . . . , an ) = = ± ΨA (a1 , . . . , ak , . . . , aN )| r |Ψ(a1 , . . . , ak , . . . , aN ) = =±

N 1 (−1)P +Q N! i=1 P

Q

× P [ψa1 (x1 ) · · · ψak (xk ) · · · ψaN (xN )]| ri |Q[ψa1 (x1 ) · · · ψak (xk ) · · · ψaN (xN )] . Aﬃnch´e il singolo addendo di questa somma dia risultato non nullo, bisogna che Q sia la stessa permutazione di P e inoltre, ﬁssato i, bisogna che la permutazione sia tale da portare i set di numeri quantici “non pareggiati” ak e ak in corrispondenza della i-esima posizione. Cos`ı facendo si ottengono N (N − 1)! = N ! termini che portano tutti lo stesso contributo, e si ha ΨA (a1 , a2 , . . . , aN )| r |ΨA (a1 , a2 , . . . , an ) = ± ψak (xk )| rk |ψak (xk )

,

una formula che mostra che l’elemento di matrice fra le due conﬁgurazioni `e semplicemente dato dall’elemento di matrice di particella singola valutato per il singolo elettrone che “salta” dallo stato ak allo stato ak . Le transizioni di dipolo sono quindi possibili solo fra stati di conﬁgurazioni diverse che differiscono fra loro per i numeri quantici di uno ed un solo elettrone. Inoltre, aﬃnch´e la transizione sia permessa, `e necessario che, indicando con (n, l, m, m s ) e (n , l , m , ms ) i set dei numeri quantici di tale elettrone negli stati iniziale e = 0, dove ﬁnale della transizione, si abbia I ∗ ψnlm I = δms ms (r ) r ψn l m (r ) d3r .

341

REGOLE DI SELEZIONE E FORZE DELLE RIGHE

Ricordando l’espressione delle funzioni d’onda di particella singola (Eq. (7.10)) e le Eq. (9.3), le componenti sferiche Iq di questo integrale risultano Iq = δ

ms ms

"

∞

Pnl (r) P

n l

∗ Ylm (θ, φ) Yl m (θ, φ)fq (θ, φ) dΩ ,

(r) r dr 4π

0

dove fq , (q = −1, 0, 1), sono le tre componenti sferiche del versore di r, ovvero 1 1 f−1 = √ sinθ (cosφ − i sinφ) , f0 = cosθ , f1 = − √ sinθ (cosφ + i sinφ) . 2 2 Per calcolare la parte angolare dell’integrale si possono ricordare le espressioni esplicite delle armoniche sferiche Y1q (θ, φ) dell’Eq. (6.13), per le quali si ha $ 4π Y1q (θ, φ) , fq = 3 e sfruttare la propriet` a integrale delle armoniche sferiche espressa dal teorema di Weyl (Eq. (8.8)). Ricordando anche la propriet`a di coniugazione delle armoniche sferiche (Eq. (6.11)), si ottiene " # ∗ Ylm (θ, φ) Yl m (θ, φ)fq (θ, φ) dΩ = (−1)m (2l + 1)(2l + 1) 4π

×

l l 0 0

1 0

l −m

l m

1 q

l 0

1 0

,

e quindi

Iq = δ

ms ms

# (−1) (2l + 1)(2l + 1) m

l 0

l l −m m

1 q

R ,

dove R `e l’integrale radiale dato da ∞ R= Pnl (r) Pn l (r) r dr . 0

L’equazione che abbiamo ottenuto contiene tutte le regole di selezione per le transizioni fra conﬁgurazioni. Se si ricorda infatti la propriet` a di cui gode il simbolo 3-j per inversione di segno dei numeri quantici che compaiono nella sua seconda riga (si veda l’Eq. (7.19)), si ha l l 1 =0 , 0 0 0

342

CAPITOLO 12

per cui, dalla delta di Kronecker e dai simboli 3-j contenuti nell’espressione di Iq , si ottengono le regole di selezione Δl = ±1 ,

Δm = ±1, 0 ,

Δms = 0 .

Le transizioni di dipolo sono quindi possibili solo fra conﬁgurazioni che diﬀeriscono per i numeri quantici l e l di uno e un solo elettrone, tali numeri quantici dovendo essere tali che Δl = l − l = ±1. Se si considera la parit` a P delle due conﬁgurazioni, si vede che, essendo & li i P = (−1) , la parit` a delle due conﬁgurazioni connesse da una transizione di dipolo `e diversa. Si pu` o quindi enunciare la cosiddetta regola di Laporte pari −→ / pari ,

dispari −→ / dispari .

La regola di Laporte `e molto generale in quanto essa si applica anche in quei casi in cui `e presente il fenomeno dell’interazione fra conﬁgurazioni. In tali casi uno stato del sistema atomico `e descritto da un’autofunzione che risulta dalla combinazione lineare di autofunzioni del tipo ΨA (a1 , a2 , . . . , an ), tutte della stessa parit` a. La regola di Laporte mantiene quindi la sua validit` a anche nel caso che sia presente il fenomeno dell’interazione fra conﬁgurazioni.

12.3 Transizioni proibite Le regole di selezione che abbiamo determinato nel paragrafo precedente valgono, tutte e soltanto, per le transizioni di dipolo elettrico. Il sistema atomico presenta tuttavia altri tipi di multipoli elettromagnetici (dipolo magnetico, quadrupolo elettrico, etc.) che abbiamo trascurato nel formalismo sviluppato nel Cap. 11. Ricordiamo infatti che, oltre all’approssimazione di dipolo propria mente detta (che consiste nell’eseguire la sostituzione e i k·r → 1), abbiamo introdotto altre due approssimazioni assumendo per l’Hamiltoniana atomica la sua espressione non relativistica (una prima volta per ottenere l’espressione dell’Hamiltoniana di interazione attraverso il principio dell’accoppiamento minimale e una seconda volta per connettere gli elementi di matrice dell’operatore p agli elementi di matrice dell’operatore r ). Poich´e queste due ultime approssimazioni consistono nel trascurare le correzioni relativistiche all’Hamiltoniana atomica, c’`e da aspettarsi che i contributi multipolari di ordine superiore al dipolo elettrico svolgano un ruolo pi` u importante negli atomi complessi che negli atomi semplici. Per stimare tali contributi multipolari alla probabilit` a di transizione, iniziamo col calcolare l’ordine di grandezza del coeﬃciente di Einstein per emissione spontanea relativo a una transizione di dipolo elettrico. Ricordando l’Eq. (11.20), introduciamo due quantit` a adimensionali ξ e ζ ponendo

REGOLE DI SELEZIONE E FORZE DELLE RIGHE

|rba |2 = ξ 2 a20 ,

νab = ζ

343

e20 . 2 h a0

Cos`ı facendo, l’elemento di matrice di dipolo `e espresso in termini del raggio della prima orbita di Bohr, mentre la frequenza della transizione `e espressa in termini della frequenza che corrisponde alla ionizzazione dell’atomo di Idrogeno. Con facili trasformazioni si ottiene Ad.e. =

α4 c 3 2 ζ ξ gb 2.677 × 109 ζ 3 ξ 2 gb s−1 , 6 a0

dove α `e la costante della struttura ﬁne. Poich´e il fattore adimensionale ζ 3 ξ 2 che compare in questa equazione risulta in generale minore o dell’ordine di 0.1, i coeﬃcienti di Einstein per le righe che cadono nella regione visibile dello spettro risultano tipicamente dell’ordine di 107 − 108 s−1 . Quando l’elemento di matrice di dipolo fra due stati `e nullo, pu` o invece risultare diverso da zero l’elemento di matrice di dipolo magnetico, oppure l’elemento di matrice di quadrupolo elettrico, e cos`ı via. In questi casi la transizione `e proibita e il coeﬃciente di Einstein, che risulterebbe nullo nell’approssimazione di dipolo, `e di alcuni ordini di grandezza pi` u basso del corrispondente coeﬃciente relativo a una transizione permessa. Senza addentrarci in derivazione formali, ma ricordando i risultati classici che abbiamo ottenuto per gli sviluppi multipolari nel Par. 3.10, accenniamo semplicemente al fatto che il coeﬃciente di Einstein relativo a una transizione di dipolo magnetico si ottiene attraverso la stessa formula valida per il dipolo elettrico con la diﬀerenza che l’operatore dipolo elettrico, e0 r , va sostituito con l’operatore dipolo magnetico, μ . Ne consegue che, come ordine di grandezza, si ha (con simboli evidenti) Ad.m. Ad.e.

μ0 e 0 a0

2 =

α2 = 1.331 × 10−5 , 4

dove μ0 `e il magnetone di Bohr deﬁnito dall’Eq. (5.17). Le transizioni di dipolo magnetico risultano quindi avere coeﬃcienti di Einstein circa 105 volte pi` u piccoli di quelle di dipolo elettrico. Per quanto riguarda invece le transizioni di quadrupolo elettrico, ricordando la discussione del Par. 11.4 relativa allo sviluppo in serie dell’esponenziale e i k·r , in particolare l’Eq. (11.11), si ha a 2 Aq.e. 0 , Ad.e. λ dove λ `e la lunghezza d’onda della transizione. Nella regione ottica dello spettro, le transizioni di quadrupolo elettrico risultano avere coeﬃcienti di Einstein circa 108 volte pi` u piccoli di quelle di dipolo elettrico.

344

CAPITOLO 12

Le transizioni di dipolo magnetico e di quadrupolo elettrico hanno regole di selezione diverse da quelle di dipolo elettrico. Per le prime, ad esempio, la regola di selezione ΔS = 0 cessa di essere valida, cos`ı come cessa di essere valida la regola di Laporte. Per le seconde invece, `e la regola di selezione su J che cambia, risultando ΔJ = 0, ±1, ±2, con esclusione delle transizioni 0 → 0, 0 → 1, 1 → 0, e 12 → 12 che risultano proibite.

12.4 Transizioni semiproibite Vengono chiamate semiproibite quelle transizioni che violano alcune delle regole di selezione che abbiamo visto nei paragraﬁ precedenti (12.1 e 12.2) a causa del fatto che la denominazione spettroscopica che viene assegnata a uno degli stati (oppure a entrambi) `e approssimata. Riferiamoci ad esempio alla transizione fra due stati atomici e supponiamo che per il primo di essi valga rigorosamente l’accoppiamento L-S mentre per il secondo valga l’accoppiamento intermedio. Il primo stato sar`a quindi descritto da un autovettore della forma |α L S J M , mentre il secondo sar` a descritto da un autovettore della forma (si veda l’Eq. (9.12) e la relativa discussione) |αJM = CL0 S0 |αL0 S0 JM + CLS |αLSJM , LS =L0 S0

dove L0 e S0 sono i valori di L e S che danno la denominazione spettroscopica (approssimata) e dove i coeﬃcienti dello sviluppo sono tali che |CLS | |CL0 S0 | 1 . Se una delle due regole di selezione su L e su S `e violata, ovvero se si ha ΔL = L0 − L = ±1, 0 ,

oppure

ΔS = S0 − S = 0 ,

oppure se sono violate entrambe, la transizione potrebbe essere considerata (ingenuamente) una transizione proibita, come eﬀettivamente risulterebbe se anche per il secondo stato valesse rigorosamente l’accoppiamento L-S. In eﬀetti, se si va a calcolare l’elemento di matrice | α L S J M | r |αJM |2 , si trova che esso pu`o risultare non nullo in quanto, nello sviluppo in serie di |αJM , possono ﬁgurare uno o pi` u vettori di stato |αLSJM per i quali si ha ΔL = L − L = ±1, 0 ,

ΔS = S − S = 0 .

L’elemento di matrice risulta proporzionale alla corrispondente quantit`a |CLS |2 ed `e quindi, in generale, molto minore dell’elemento di matrice relativo a una transizione permessa. Valori tipici del coeﬃciente di Einstein per tali transizioni semiproibite risultano dell’ordine di 103 − 106 s−1 .

REGOLE DI SELEZIONE E FORZE DELLE RIGHE

345

1

S0

1

D2

N1 λ 5007

N2 λ 4959

3

P2 P1 3 P0

3

Fig. 12.1. Diagramma di Grotrian schematico relativo alla conﬁgurazione 1s 2 2s2 2p2 dell’Ossigeno due volte ionizzato. La conﬁgurazione da luogo ai tre termini 1S, 1D e 3P (si veda la Tab. 7.4), l’ultimo dei quali si divide in tre livelli di struttura ﬁne. Le due righe N 1 e N2 sono le cosiddette righe proibite del “Nebulio”.

Considerazioni simili, sviluppate qui per il caso di uno stato per il quale valga l’accoppiamento intermedio, possono essere ripetute, riguardo alle regole di selezione per le conﬁgurazioni, per stati nei quali sia presente il fenomeno dell’interazione fra conﬁgurazioni.

12.5 Righe proibite in oggetti astronomici Alcune righe proibite, appartenenti a elementi cosmicamente abbondanti, risultano particolarmente prominenti negli spettri di vari oggetti astronomici di carattere nebulare, quali la corona solare, le nebulose gassose, le nebulose planetarie, le regioni H I, etc.. Un esempio tipico sono le righe N1 e N2 dello spettro2 [O III ], che sono riportate nel diagramma di Grotrian schematico della Fig. 12.1. Le due righe sono entrambe proibite in quanto esse violano sia la regola di selezione sulle conﬁgurazioni (la quale stabilisce che le conﬁgurazioni iniziale e ﬁnale devono diﬀerire per i numeri quantici di un elettrone), sia la regola di Laporte, sia inﬁne la regola di selezione ΔS = 0. Il fatto che queste righe risultino particolarmente prominenti negli spettri delle nebulose `e intimamente connesso con la bassissima densit`a di questi oggetti astronomici (da 10−20 a 10−17 g cm−3 ) e pu` o essere adeguatamente spie2

Il simbolo [O III ] ` e comunemente utilizzato per indicare lo spettro di righe proibite dell’Ossigeno due volte ionizzato. Questa convenzione della parentesi quadra vale per lo spettro di righe proibite di qualsiasi elemento o ione.

346

CAPITOLO 12

a

m

b Fig. 12.2. Modello atomico schematico che illustra la possibilit` a di osservare righe proibite negli oggetti nebulari. La riga proibita si origina dalla transizione, tratteggiata in ﬁgura, fra il livello metastabile m e il livello fondamentale b. L’atomo ` e pompato dal campo di radiazione verso il livello a dal quale pu` o decadere spontaneamente sia verso il livello b che verso il livello m.

gato in base a un modello atomico sempliﬁcato, quale quello illustrato nella Fig. 12.2, che riproduce nei punti essenziali la ﬁsica dell’eccitazione atomica nelle nebulose. Dal livello fondamentale (livello b), l’atomo pu` o essere eccitato verso un livello d’energia elevata (livello a) per assorbimento di radiazione (in genere radiazione ultravioletta dovuta a una delle stelle giovani e calde che illuminano la nebulosa). Dal livello a l’atomo pu` o poi ritornare al livello fondamentale oppure pu` o decadere al livello metastabile m attraverso una transizione permessa, entrambi i processi avvenendo per diseccitazione spontanea. Inﬁne, dal livello m, l’atomo pu` o ritornare al livello fondamentale, sempre per diseccitazione spontanea, attraverso una transizione proibita. Si noti che in questo semplice modello vengono trascurati i processi di emissione stimolata e i processi di assorbimento nella riga proibita e nella riga subordinata. Questo `e giustiﬁcato in quanto nelle nebulose il campo di radiazione dovuto alla stella calda centrale `e molto diluito e, inoltre, esso risulta molto pi` u intenso nell’ultravioletto che nel visibile. Applicando le equazioni dell’equilibrio statistico (11.29) all’evoluzione temporale della popolazione del livello a, si perviene, in condizioni stazionarie, alla seguente equazione dNa = Nb Bba Jνab − Na (Aab + Aam ) = 0 , dt dove si sono introdotti, con simboli evidenti, i coeﬃcienti di Einstein per le singole transizioni e l’intensit` a media del campo di radiazione alla frequenza della transizione fra i livelli a e b. Risolvendo l’equazione si ottiene Na =

Bba Jνab Nb . Aab + Aam

REGOLE DI SELEZIONE E FORZE DELLE RIGHE

347

Per l’evoluzione della popolazione del livello m si ha poi, sempre in condizioni stazionarie dNm = Na Aam − Nm Amb = 0 , dt

(12.3)

dalla quale si ottiene Aam Na . Amb Poich´e la transizione fra i livelli m e b `e proibita, si ha Aam Amb , e quindi Nm Na , ovvero la popolazione del livello metastabile `e molto maggiore di quella del livello eccitato a. Il numero di fotoni emesso per unit` a di tempo nella transizione fra i livelli m e b `e dato da Nm Amb , mentre il numero di quelli emessi nella transizione fra i livelli a e m `e dato da Na Aam . Indicando tale rapporto con R si ha Nm =

Nm Amb , Na Aam e tenendo conto dell’equazione precedente, si vede immediatamente che il rapporto R vale 1. Questo signiﬁca che il numero di fotoni emessi nella riga proibita `e uguale a quello dei fotoni emessi nella riga permessa. Si pu` o eseguire un calcolo pi` u preciso, che tenga conto anche conto dell’assorbimento nella riga subordinata. Questo porta a modiﬁcare l’Eq. (12.3), che, introducendo simboli evidenti, assume la forma R=

dNm = Na Aam − Nm (Amb + Bma Jνam ) = 0 . dt Risolvendo per il rapporto Nm /Na , e sostituendo il risultato nella deﬁnizione di R si ottiene −1 Bma Jνam R= 1+ , Amb ovvero, tenendo conto delle relazioni fra i coeﬃcienti di Einstein −1 Aam ga n ¯ν , R= 1+ Amb gm am dove n ¯ νam `e il numero medio di fotoni per modo alla frequenza νam . Consideriamo il caso di una stella calda che illumini col suo ﬂusso di radiazione un mezzo gassoso diﬀuso. Il numero medio di fotoni per modo alla distanza d dalla stella `e dato da n ¯ νam = n ¯∗

R∗ d

2 ,

348

CAPITOLO 12

dove n ¯ ∗ `e l’analoga quantit`a alla superﬁcie della stella e dove R∗ `e il raggio stellare. Sostituendo, l’espressione per R pu` o essere posta nella forma

R= 1+

dc d

2 −1 ,

dove la “distanza critica”, dc `e data da % dc = R∗

n∗

Aam ga . Amb gm

Ad esempio, se la stella centrale ha una temperatura eﬃcace di 2 × 10 4 K, a frequenze caratteristiche del visibile si ha n ¯ ∗ 0.3, ed assumendo un rapporto 108 fra i due coeﬃcienti di Einstein, si ottiene dc 5 × 103 R∗ . A distanze superiori a circa 5000 raggi stellari, il rapporto fra i fotoni emessi nelle due righe `e sostanzialmente uguale all’unit` a, come si `e ottenuto nel caso sempliﬁcato analizzato precedentemente. Il ragionamento sviluppato sopra cessa per`o di valere quando esistono altri tipi di processi, oltre a quelli radiativi, che contribuiscono a popolare o a depopolare i livelli atomici. Come vedremo nel capitolo seguente, sono i processi collisionali (qui giustamente trascurati a causa della bassissima densit`a del mezzo) che provocano una drastica diminuzione della popolazione dei livelli metastabili. Nei plasmi di laboratorio e nelle atmosfere stellari, dove le densit`a sono di ordini di grandezza superiori a quelle degli oggetti nebulari, l’emissione nelle righe proibite risulta eﬀettivamente molto minore rispetto all’emissione nelle righe permesse e tali righe sono sostanzialmente assenti negli spettri. Dal punto di vista storico `e importante sottolineare che l’interpretazione delle due righe N1 e N2 costitu`ı per lungo tempo un vero e proprio rompicapo tanto che tali righe, in mancanza di una spiegazione pi` u appropriata, furono attribuite a un ipotetico elemento chiamato “Nebulio”. La loro identiﬁcazione quali righe dello spettro [O III] fu dovuta all’astronomo statunitense Bowen (1928). In maniera del tutto analoga furono successivamente identiﬁcate quali righe proibite dello spettro dell’Ossigeno neutro [O I] le cosiddette righe aurorali, la riga verde e 5577 ˚ A e la riga rossa a 6300 ˚ A, responsabili della luminosit` a del cielo nelle aurore polari. Tali righe sono dovute rispettivamente alle transizioni 1 S0 →1D2 e 1D2 →3 P2 che si veriﬁcano entro i termini cui d`a luogo la conﬁgurazione fondamentale dell’Ossigeno neutro3 1s2 2s2 2p4 . Lo stesso discorso vale anche per varie righe osservate nello spettro della corona solare (anch’esse 3

Si ricordi che le conﬁgurazioni p2 e p4 , essendo complementari, danno luogo alla stessa struttura di termini (si veda la Tab. 7.8). Il diagramma di Grotrian della conﬁgurazione fondamentale dell’Ossigeno neutro `e quindi strutturalmente uguale a quello della Fig. 12.1, a parte ovvie diﬀerenze nelle separazioni fra i livelli e l’inversione in energia dei tre livelli J = 0, 1, 2 del termine 3P , dovuta alla seconda regola di Hund.

349

REGOLE DI SELEZIONE E FORZE DELLE RIGHE

attribuite inizialmente a un ipotetico elemento, detto “Coronio”). Tali righe corrispondono a transizioni proibite tra i termini pi` u bassi di vari ioni pi` u volte ionizzati quali Fe X, Fe XI, Fe XIII, Fe XIV, Fe XV, Ni XII, Ni XIII, Ni XV, Ni XVI, Ca XII, Ca XIII, Ca XV, Ar X, Ar XIV, etc.. La presenza di righe proibite negli spettri aurorali e coronali `e dovuta a un meccanismo ﬁsico del tutto analogo a quello visto per gli spettri nebulari, con la sola diﬀerenza che il meccanismo di pompaggio dal livello b al livello a `e dovuto, nel primo caso, all’eccitazione degli atomi dell’alta atmosfera ad opera di particelle cariche di alta energia provenienti dal Sole (vento solare), e, nel secondo caso, all’eccitazione degli atomi della corona da parte degli elettroni che, in tale ambiente, hanno temperature cinetiche dell’ordine di 10 6 K. L’interpretazione delle righe aurorali fu data da McLennan (1929) e quella delle righe coronali da Edl´en (1930).

12.6 Forze relative entro multipletti in accoppiamento L-S Si consideri un multipletto di righe di struttura ﬁne proveniente dalla transizione tra due termini, entrambi in accoppiamento L-S. Lo spin totale dei termini sia S e il momento angolare orbitale totale sia L per il termine inferiore e L per il termine superiore. Partendo dalle considerazioni svolte nel primo paragrafo di questo capitolo, `e possibile ottenere delle relazioni che collegano fra loro gli elementi di matrice di dipolo relativi alle transizioni fra uno qualsiasi dei livelli inferiori, caratterizzato dal numero quantico di momento angolare totale J, e uno qualsiasi dei livelli superiori, caratterizzato dall’analogo numero quantico J . Riprendendo le Eq. (12.1) e (12.2) e introducendo i simboli 3-j in luogo dei Clebsh-Gordan (Eq. (7.15)), si ha per l’elemento di matrice di dipolo √ αLSJM |rq |α L SJ M = (−1)L−S+M 2J + 1 ×

L ML

S MS

L +ML +1

× (−1)

J −M √

M ML ML S

L −S+M

(−1)

2L + 1

L −ML

√ 2J + 1

L ML

1 q

L ML

S MS

αL|| r ||α L

J −M

.

D’altra parte, applicando direttamente il teorema di Wigner-Eckart allo stesso elemento di matrice si ha, per l’Eq. (9.4) √ αLSJM |rq |α L SJ M = (−1)J +M+1 2J + 1 J J 1 αLSJ|| r ||α L SJ . × −M M q

350

CAPITOLO 12

Attraverso queste due equazioni `e possibile trovare una relazione fra gli elementi di matrice ridotti. Con facili trasformazioni si ottiene

J −M

J M

1 q

αLSJ|| r ||α L SJ = # L S = (−1)L+M−M +ML +1 (2J + 1)(2L + 1) M M L S M ML ML S L L L 1 S J × αL ||r ||α L . −ML ML q ML MS −M

(−1)J

+M+1

J −M

Moltiplichiamo adesso entrambi i membri per il seguente simbolo 3-j

J −M

J M

1 q

,

e sommiamo su M e M . Ricordando la propriet` a dei simboli 3-j espressa dall’Eq. (7.18), per la quale J −M

MM

J M

1 q

2 =

1 , 3

si ottiene 1 αLSJ|| r ||α L SJ = (−1)L−J −M +ML 3 M MM ML ML S # L S J 1 J J × (2J + 1)(2L + 1) ML MS −M −M M q L L S J 1 L × αL|| r ||α L . −ML ML q ML MS −M La somma sui quattro simboli 3-j che compare a secondo membro pu`o essere espressa introducendo i coeﬃcienti di Racah, oppure gli equivalenti simboli 6-j di Wigner, legati ai primi da un semplice fattore di segno. Tali quantit` a intervengono in maniera naturale nella teoria del momento angolare in connessione col problema dell’addizione di tre momenti angolari4. Il fattore di segno che compare nell’equazione precedente, moltiplicato per il prodotto dei quattro simboli 3-j, altro non `e che il coeﬃciente di Racah W (LS1J ; JL) moltiplicato per il fattore 13 , per cui si ottiene 4

Si veda ad esempio D.M. Brink & G.R. Satchler, Angular Momentum, Clarendon Press, Oxford, 1968.

351

REGOLE DI SELEZIONE E FORZE DELLE RIGHE

αLSJ|| r ||α L SJ =

# (2J + 1)(2L + 1) W (LS1J ; JL) αL|| r ||α L

.

Alternativamente, in termini di simboli 6-j, tenendo conto della deﬁnizione a b e , W (abcd ef ) = (−1)a+b+c+d d c f si ha

αLSJ|| r ||α L SJ = ×

# (2J + 1)(2L + 1) (−1)L+S+J +1 αL|| r ||α L

L J

S 1

J L

.

Per una generica transizione fra due livelli, si deﬁnisce forza della riga (oppure forza della transizione) la quantit` a5 S = e20 (2J + 1) | αJ|| r ||α J |2 . Tenendo conto del teorema di Wigner-Eckart e delle propriet` a dei simboli 3-j si pu` o facilmente dimostrare che la forza della riga `e simmetrica nello scambio dei livelli, essendo (2J + 1)| αJ|| r ||α J |2 = (2J + 1)| α J || r ||αJ |2 . Per mezzo dei risultati precedenti, la forza della riga appartenente a un multipletto pu` o quindi essere espressa dalla seguente equazione SJJ = e20 (2J + 1) | αLSJ|| r ||α L SJ |2 = e20 (2J + 1)(2J + 1)(2L + 1) ×

L J

S 1

J L

2

| αL|| r ||α L |2 ,

oppure SJJ = sJJ Smult , dove Smult `e la forza del multipletto Smult = e20 (2L + 1) | αL|| r ||α L |2 , e dove la forza relativa della riga, sJJ , `e data da 5

La forza della riga `e proporzionale alla quantit` a |rab |2 = |rba |2 introdotta nel Cap. 11. Come mostrato nell’App. 12 si ha S = e20 (2Ja + 1) (2Jb + 1) |rab |2 .

352

CAPITOLO 12

sJJ = (2J + 1) (2J + 1)

L J

L J

1 S

2 .

Tenendo presente la seguente relazione valida per i simboli 6-j a b k a b k = δf g , (2k + 1) (2f + 1) c d g c d f k

si ottiene

sJJ =

J

2J + 1 , 2L + 1

sJJ =

J

2J + 1 . 2L + 1

Queste due formule esprimono la cosiddetta regola della somma, scoperta empiricamente da Ornstein, Burger e Dorgelo, che si enuncia dicendo che “la somma delle forze delle righe di un multipletto che si originano da un dato livello inferiore `e proporzionale al peso statistico di tale livello e, analogamente, la somma delle forze delle righe che si originano da un dato livello superiore `e proporzionale al peso statistico del livello stesso”. Le forze relative delle diverse righe di un multipletto possono essere facilmente determinate mediante la conoscenza dei relativi simboli 6-j o dei coeﬃcienti di Wigner. Spesso, si preferisce cambiare leggermente la deﬁnizione della forza relativa osservando che JJ

sJJ =

2J + 1 (2L + 1) (2S + 1) = = 2S + 1 . 2L + 1 2L + 1 J

La forza relativa normalizzata, (sJJ )norm , pu` o quindi essere deﬁnita da

(sJJ )norm =

(2J + 1) (2J + 1) 2S + 1

L J

L J

1 S

2 , con

(sJJ )norm = 1 . JJ

Le formule per le forze relative di un multipletto che abbiamo test´e determinato prendono il nome di formule di Kronig, Sommerfeld e H¨ onl. Esse furono originalmente dedotte mediante considerazioni basate sul principio di corrispondenza. Per illustrare queste formule su un esempio, riferiamoci al multipletto relativo alla transizione 3P →3D della Fig. 9.3. Il termine inferiore `e composto da tre livelli di struttura ﬁne aventi J = 0, 1, 2, mentre il termine superiore `e composto da tre livelli con J = 1, 2, 3. In totale si hanno sei righe corrispondenti alle transizioni J → J della forma 0 → 1, 1 → 1, 1 → 2, 2 → 1, 2 → 2 e 2 → 3, le tre rimanenti transizioni essendo vietate dalle regole di selezione su J. Per trovare le forze relative del multipletto bisogna calcolare i relativi simboli 6-j, cosa che pu`o eﬀettuarsi mediante la seguente formula 6 6

La formula `e dovuta a G. Racah (Physical Review 62, 438, [1942]).

353

REGOLE DI SELEZIONE E FORZE DELLE RIGHE

Transizione

Forza relativa normalizzata 1 9 1 12 1 4 1 180 1 12 7 15

3

P0 −3D1 P1 −3D1

3

P1 −3D2

3

P2 −3D1

3

P2 −3D2

3

P2 −3D3

3

Tab. 12.1. Forze relative normalizzate delle transizioni del multipletto 3P −3D.

a b d e

c f

= Δ(abc) Δ(aef ) Δ(dbf ) Δ(dec)

(−1)z (z + 1)!

z

×[(z − a − b − c)! (z − a − e − f )! (z − d − b − f )!(z − d − e − c)! ×(a + b + d + e − z)! (b + c + e + f − z)! (a + c + d + f − z)! ]−1 , dove il simbolo Δ(abc) `e deﬁnito nell’Eq. (7.17). Con semplici calcoli si ottiene

1 1

1 1

2 1 0 1 2 1 2 1

=

1 , 3

=

1 , 30

1 1

2 1 1 1 1 2 2 2

= 1 1

1 , 6

=−

1 , 10

1 2

1 =− √ , 2 5 1 1 2 1 = . 3 2 1 5 2 1 1 1

Da questi valori si determinano le forze relative date nella Tab 12.1, dalle quali si pu` o facilmente veriﬁcare la correttezza della regola della somma. Per i multipletti di struttura iperﬁne valgono delle formule, del tutto analoghe a quelle che abbiamo dedotto per i multipletti di struttura ﬁne, che si ottengono da quest’ultime eseguendo le seguenti trasformazioni formali L→J ,

S→I ,

J →F .

Le forze relative delle righe di un multipletto di struttura iperﬁne sono quindi date dall’equazione

(sF F )norm

(2F + 1) (2F + 1) = 2I + 1

J F

J F

1 I

2 , con

FF

(sF F )norm = 1 .

Capitolo 13

Plasmi in condizioni di non-equilibrio Nei plasmi di laboratorio e nei plasmi astroﬁsici le condizioni di eccitazione degli atomi sono determinate, oltre che dalle interazioni col campo elettromagnetico, anche dai processi di collisione che gli atomi stessi subiscono con le particelle del plasma. In questo capitolo vedremo come sia possibile descrivere questo tipo di processi e quali siano le loro conseguenze sulle popolazioni atomiche.

13.1 La temperatura cinetica degli elettroni Abbiamo visto nel Cap.10 che, all’equilibrio termodinamico, gli elettroni di un plasma elettricamente neutro hanno una distribuzione di velocit`a descritta da una funzione gaussiana (la cosiddetta distribuzione Maxwelliana delle velocit`a). La condizione di equilibrio termodinamico `e tuttavia una condizione limite che, in pratica, pu` o realizzarsi solo con un certo grado di approssimazione. Sia i plasmi astroﬁsici che i plasmi di laboratorio che vengono comunemente osservati nella pratica spettroscopica devono –per il fatto stesso di essere osservabili– emettere radiazione verso l’ambiente esterno, il che comporta necessariamente una situazione di non-equilibrio, almeno per gli strati pi` u esterni del plasma stesso. In tali situazioni, il concetto di temperatura perde signiﬁcato, cos`ı come tutte le leggi di equilibrio termodinamico. Considerando ad esempio la distribuzione delle popolazioni di una specie atomica fra i diversi stati di ionizzazione e di eccitazione, essa non pu`o pi` u essere determinata per mezzo della legge di Saha-Boltzmann ma deve invece essere determinata risolvendo le equazioni dell’equilibrio statistico. In linea di principio ci si deve quindi anche attendere che in condizioni di non-equilibrio la distribuzione delle velocit`a degli elettroni si discosti dalla distribuzione Maxwelliana. Esiste tuttavia un ampio intervallo di condizioni ﬁsiche nelle quali, malgrado la situazione complessiva di non-equilibrio, la distribuzione delle velocit`a degli elettroni risulta eﬀettivamente Maxwelliana. Questo `e dovuto al fatto che i processi collisionali, che provocano la ridistribuzione di energia cinetica fra i vari elettroni e tendono quindi a stabilire una condizione di equilibrio, risultano molto pi` u eﬃcaci dei processi che si oppongono allo stabilirsi della condizione di equilibrio stessa. I processi del primo tipo sono le collisioni elastiche elettrone-elettrone (e anche le collisioni elastiche elettrone-atomo che sono,

356

CAPITOLO 13

per` o, meno eﬃcaci). I processi del secondo tipo sono invece le collisioni anelastiche elettrone-atomo nelle quali un elettrone cede parte della propria energia cinetica che viene convertita in energia interna (di eccitazione o di ionizzazione) del sistema atomico, oppure le collisioni superelastiche elettrone-atomo nelle quali si veriﬁcano i processi inversi (l’elettrone acquista energia cinetica per diseccitazione o ricombinazione dell’atomo). Senza pretendere di dare una dimostrazione rigorosa di questo fatto, ci limitiamo qui a sviluppare delle considerazioni di ordine di grandezza mostrando che, in generale, i tempi liberi medi che intercorrono fra due successivi processi del primo tipo sono di gran lunga pi` u brevi dei tempi liberi medi relativi ai processi del secondo tipo. Questo giustiﬁca, anche se in maniera non del tutto rigorosa, che la distribuzione delle velocit`a degli elettroni risulti con buona approssimazione Maxwelliana. Indicando con Ne la densit` a elettronica e con σE la sezione d’urto per collisioni elastiche elettrone-elettrone, il tempo libero medio fra due collisioni elastiche, τE , `e dato da 1 , Ne σE v dove v `e la velocit`a tipica degli elettroni. Analogamente, indicando con N a la densit` a degli atomi e con σA la sezione d’urto per collisioni anelastiche (o superelastiche) elettrone-atomo, il tempo libero medio fra due collisioni di questo tipo `e dato da τE

1 . Na σA v Dalle due formule precedenti si ottiene τA

Na σA τE . τA Ne σE o essere stimata nella seguente maniera. Supponiamo La sezione d’urto σE pu` che un elettrone, di energia cinetica , si avvicini a un altro elettrone a riposo. Si pu` o pensare che i due elettroni subiscano un urto solo se l’elettrone incidente si trovi a passare a una distanza dall’altro elettrone inferiore a un valore critico, bc , dato dall’equazione e20 = . bc In questo caso, infatti, l’energia dovuta alla repulsione Coulombiana diviene confrontabile con l’energia cinetica dell’elettrone e si ha un apprezzabile scambio di energia fra le due particelle. Risolvendo per bc e mediando sulle energie delle particelle si ottiene σE b2c

e40 2

e40 . 2

PLASMI IN CONDIZIONI DI NON-EQUILIBRIO

357

Introduciamo il parametro Te , temperatura cinetica degli elettroni (o temperatura elettronica), attraverso la relazione kB Te . Sostituendo si ottiene, come ordine di grandezza, σE

e40 −6 −2 Te cm2 , 2 T 2 2.8 × 10 kB e

con Te espressa in K. Se consideriamo ad esempio un intervallo di temperatura tipico delle atmosfere stellari (4×103 K < Te < 2×104 K), la sezione d’urto σE varia fra 10−13 e 10−14 cm2 . Il calcolo della sezione d’urto σA `e pi` u complesso e deve essere impostato in base a considerazioni quantistiche. Il risultato `e che, per lo stesso intervallo di temperature, σA `e grosso modo compreso fra 10−21 e 10−22 cm2 . Sempre come stima di ordine di grandezza si ottiene quindi τE Na 10−8 , τA Ne e anche ammettendo di essere in presenza di un plasma debolmente ionizzato con Ne /Na = 10−4 , si ottiene sempre un valore dell’ordine di 10−4 per tale rapporto. Si pu` o quindi concludere che un elettrone subisce un elevatissimo numero di collisioni elastiche prima di subirne una anelastica (o superelastica) e tale collisione non sar` a quindi in grado di alterare apprezzabilmente la distribuzione Maxwelliana delle velocit`a. Le considerazioni svolte ci portano quindi alla conclusione che in un punto assegnato di una tipica atmosfera stellare `e possibile deﬁnire in maniera univoca un parametro Te (temperatura cinetica degli elettroni) che caratterizza la distribuzione delle velocit`a degli elettroni. Tale parametro conserva una deﬁnizione operativa ben deﬁnita, a diﬀerenza della temperatura termodinamica T che perde totalmente di signiﬁcato in condizioni di non-equilibrio.

13.2 Collisioni elettrone-atomo Consideriamo la collisione fra un elettrone di energia cinetica e un atomo di una determinata specie atomica. Se l’atomo si trova, prima della collisione, nel livello energetico |ub , esso potr` a essere eccitato dalla collisione elettronica al livello |ua di energia maggiore1. Aﬃnch´e questo processo possa aver luogo `e 1

Come nel Cap. 11, utilizziamo qui gli indici b e a per denotare rispettivamente il livello “basso” e il livello “alto”.

358

CAPITOLO 13

s 2

4

n 1

3

i Fig. 13.1. Rappresentazione schematica dei processi collisionali che contribuiscono alle equazioni dell’equilibrio statistico di un livello ﬁssato (il livello intermedio della ﬁgura). 1) collisioni anelastiche da livelli inferiori; 2) collisioni superelastiche da livelli superiori; 3) collisioni superelastiche verso livelli inferiori; 4) collisioni anelastiche verso livelli superiori.

per` o necessario che valga la relazione ≥ (a −b ). Dopo la collisione, l’elettrone si trova a possedere un’energia cinetica data da = − (a − b ) . Ovviamente `e possibile anche il processo inverso in cui la collisione `e accompagnata dalla diseccitazione atomica dal livello |ua verso il livello |ub . In questo caso, l’energia dell’elettrone collidente `e data, dopo l’urto, da = + (a − b ) . I processi del primo tipo sono detti collisioni anelastiche elettrone-atomo, mentre quelli del secondo tipo sono detti collisioni superelastiche elettrone-atomo (anche se alcuni autori preferiscono parlare di collisioni di prima e di seconda specie, rispettivamente). L’eﬀetto delle collisioni sulle popolazioni atomiche pu`o essere convenientemente descritto per mezzo di equazioni dell’equilibrio statistico, simili a quelle che abbiamo introdotto nel Cap. 11 relativamente all’interazione di un atomo col campo di radiazione. Per la popolazione di un generico livello n, indicando con l’indice i i livelli inferiori (cio`e aventi energia minore) e con l’indice s i livelli superiori (cio`e aventi energia maggiore), l’equazione di evoluzione, in presenza delle sole collisioni, si scrive nella forma dNn (A) (S) (S) (A) = Ni Cin + Ns Csn − Nn Cni − Nn Cns . (13.1) dt s s i i I quattro termini che compaiono in questa equazione sono schematizzati nel (A) (S) diagramma della Fig. 13.1. Le quantit`a Cba e Cab che compaiono in questa

PLASMI IN CONDIZIONI DI NON-EQUILIBRIO

359

equazione prendono il nome di rates collisionali (oppure, in lingua italiana, tassi collisionali) dovute, rispettivamente, alle collisioni anelastiche e alle collisioni superelastiche. Tali quantit`a risultano ovviamente proporzionali alla densit` a delle particelle collidenti e dipendono inoltre dalla distribuzione di velocit`a di tali particelle e da propriet`a atomiche, connesse con le funzioni d’onda dei due livelli fra i quali avviene la transizione. Per collisioni elettroniche, la rate per collisioni anelastiche dal livello b al livello a pu` o essere espressa per mezzo della relativa sezione d’urto attraverso l’equazione ∞ (A) Cba = Ne σba (v) f (v) v dv , v0

dove Ne `e la densit` a degli elettroni, f (v) `e la distribuzione di velocit`a degli elettroni stessi, e σba (v) `e la sezione d’urto per eccitazione collisionale relativa alla velocit`a v. Il limite di integrazione, v0 , `e la velocit`a di soglia al di sotto della quale l’elettrone non `e in grado di eccitare l’atomo dal livello b al livello a. Essa `e data da 1 m v02 = a − b . 2 Analogamente, la rate per collisioni superelastiche `e data da ∞ (S) Cab = Ne σab (v) f (v) v dv , 0

dove σab (v) `e la sezione d’urto per diseccitazione collisionale.

13.3 Le relazioni di Milne-Einstein Quando la distribuzione di velocit` a degli elettroni collidenti `e Maxwelliana, si pu` o dimostrare, attraverso un ragionamento termodinamico, che le due rates collisionali introdotte nel paragrafo precedente sono collegate tra loro da una semplice relazione. Tale ragionamento termodinamico, dovuto a Milne, `e molto simile a quello precedentemente sviluppato da Einstein per determinare le relazioni esistenti fra i coeﬃcienti che intervengono nelle equazioni dell’equilibrio statistico per l’interazione atomo-radiazione (coeﬃcienti di Einstein, si veda il Par. 11.7). Per questa ragione le relazioni che si ottengono sono dette relazioni di Milne o di Milne-Einstein. Si consideri un atomo composto da due soli livelli, a e b, soggetto a collisioni da parte di un plasma di elettroni aventi densit` a Ne . Se il sistema `e in equilibrio termodinamico alla temperatura T , possiamo invocare il cosiddetto principio del bilancio dettagliato per asserire che il numero di transizioni collisionali (dovute agli elettroni) che avvengono fra il livello a e il livello b `e esattamente bilanciato dal numero di transizioni collisionali (anch’esse dovute agli elettroni)

360

CAPITOLO 13

che avvengono fra il livello b e il livello a. In altre parole, all’equilibrio termodinamico la condizione di equilibrio deve valere per qualsiasi processo che contribuisca a popolare o depopolare i livelli atomici indipendentemente dal numero e dalle caratteristiche ﬁsiche dei processi che sono simultaneamente in operazione (processi radiativi, processi collisionali sempre con elettroni, ma fra altre coppie di livelli, processi collisionali con altre specie atomiche, etc.). In caso contrario, infatti, sarebbe possibile costruire una macchina ideale, lavorante in ciclo, che potrebbe produrre lavoro a spese di un’unica sorgente, il che contraddirebbe il secondo principio della termodinamica. Se indichiamo quindi ˜a e N ˜b le popolazioni dei livelli a e b all’equilibrio termodinamico, si deve con N avere, scrivendo l’equazione di evoluzione per la popolazione del livello a, dNa ˜b C (A) − N ˜a C (S) . =N ba ab dt

0=

Risolvendo questa equazione e utilizzando l’equazione di Boltzmann per espri˜ b /N ˜a (Eq. (10.6)), si ottiene, all’equilibrio termodinamico mere il rapporto N alla temperatura T , (S)

Cab

(A) Cba

=

˜b N gb (a −b )/(kB T ) = e . ˜a ga N

D’altra parte, le due rates collisionali dipendono soltanto da fattori atomici e dalla distribuzione delle velocit`a degli elettroni. Il risultato che abbiamo ottenuto per il loro rapporto continua quindi a valere anche quando non si sia all’equilibrio termodinamico, purch´e per` o la distribuzione delle velocit`a degli elettroni sia Maxwelliana. Se siamo in queste condizioni, di gran lunga meno restrittive dell’equilibrio termodinamico, e se indichiamo con Te la temperatura cinetica degli elettroni, si ottiene la relazione di Milne-Einstein (S)

Cab

(A) Cba

=

gb (a −b )/(kB Te ) e . ga

(13.2)

13.4 L’atomo a due livelli in condizioni di non-equilibrio Consideriamo un atomo a due livelli che interagisca con un campo di radiazione avente, alla frequenza ν corrispondente alla transizione, l’intensit` a media Jν . L’atomo sia inoltre soggetto a collisioni con una popolazione di elettroni aventi temperatura cinetica Te . Tenendo conto sia dei processi collisionali (Eq. (13.1)) che dei processi radiativi (Eq. (11.29)), l’equazione dell’equilibrio statistico per la popolazione del livello superiore risulta

PLASMI IN CONDIZIONI DI NON-EQUILIBRIO

361

dNa (S) (A) = −Na (Aab + Bab Jν + Cab ) + Nb (Bba Jν + Cba ) . dt In situazioni stazionarie, risolvendo l’equazione si ottiene (S)

Aab + Bab Jν + Cab Nb = (A) Na Bba Jν + Cba

.

Sostituiamo adesso questo risultato nell’espressione della funzione sorgente data dall’Eq. (11.36). Tenendo conto delle relazioni esistenti fra i coeﬃcienti di Einstein (Eq. (11.27) e (11.28)) e delle relazioni di Milne fra le rates collisionali (Eq. (13.2)), mediante alcuni passaggi algebrici si ottiene Sν =

Jν + ε Bν (Te ) , 1+ε

(13.3)

dove abbiamo introdotto la quantit` a ε deﬁnita da (S)

ε=

Cab

1 − e−hν/(kB Te ) Aab

.

A parte un fattore correttivo dell’ordine dell’unit`a, ε rappresenta il rapporto fra numero di diseccitazioni del livello superiore dovute alle collisioni superelastiche e numero di diseccitazioni dovute all’emissione spontanea. L’espressione generale che abbiamo trovato per Sν permette poi di esprimere, invertendo l’Eq. (11.36), il rapporto di popolazioni Nb /Na . Si ottiene Nb gb 2 h ν 3 = + 1 , Na g a c2 S ν ¯ ν (Te ) = Bν (Te )/(2hν 3 ) ovvero, introducendo le quantit` an ¯ ν = Jν c2 /(2hν 3 ) e n che rappresentano, rispettivamente, il numero medio di fotoni per modo alla frequenza ν, e il numero medio di fotoni per modo relativi, alla stessa frequenza, alla radiazione del corpo nero di temperatura Te , Nb 1+ε gb +1 . (13.4) = Na ga n ¯ν + ε n ¯ ν (Te ) Le espressioni trovate (Eq. (13.3) e (13.4)) assumono una forma speciale in tre casi limite di importanza particolare. a) Il primo caso `e quello in cui si ha ε 1. Sostituendo nelle espressioni della funzione sorgente e del rapporto fra le popolazioni si ottiene Sν = Bν (Te ) ,

Nb gb hν/(kB Te ) = e . Na ga

362

CAPITOLO 13

In questo caso le collisioni sono estremamente eﬃcaci e sono in grado di termalizzare alla temperatura cinetica le popolazioni atomiche. Per il rapporto di popolazioni si ottiene l’equazione di Boltzmann (Eq. (10.6)), mentre per la funzione sorgente si ottiene la funzione di Planck, entrambe relative alla temperatura Te . Questo caso limite `e noto come caso dell’equilibrio termodinamico locale (ETL). b) Il secondo caso `e quello in cui ε 1 e, allo stesso tempo, εBν (Te ) Jν . Sostituendo nelle solite equazioni si ottiene Nb gb 1 S ν = Jν , = +1 . Na ga n ¯ν Adesso le collisioni svolgono un ruolo completamente trascurabile e la funzione sorgente non `e altro che la media sull’angolo solido della radiazione incidente. L’atomo si comporta semplicemente come un centro diﬀusore della radiazione. Per quanto riguarda le popolazioni atomiche, se deﬁniamo una opportuna “temperatura di radiazione” Tr per mezzo dell’equazione n ¯ν =

1 ehν/(kB Tr )

−1

,

si ottiene Nb gb hν/(kB Tr ) = e , Na ga il che mostra che le popolazioni atomiche si mettono in equilibrio con la temperatura della radiazione. Il parametro Tr che abbiamo cos`ı deﬁnito `e tuttavia un parametro del tutto ad hoc. Basta pensare infatti che, per un campo di radiazione arbitrario, esiste un valore diverso di Tr per ogni frequenza. c) Il terzo caso inﬁne corrisponde alle disuguaglianze ε 1 e εBν (Te ) Jν . Di nuovo sostituendo si ottiene 1 Nb gb Sν = ε Bν (Te ) , +1 . = Na ga ε n ¯ ν (Te ) Questo `e un caso intermedio in cui, pur essendo le collisioni poco eﬃcaci nel depopolare il livello superiore, la temperatura cinetica `e talmente elevata e il campo di radiazione `e talmente diluito che sono proprio le collisioni (e non i processi radiativi) che contribuiscono a popolare il livello superiore. Le tre situazioni schematiche che abbiamo qui illustrato sono adatte a descrivere, in maniera qualitativa, le condizioni di eccitazione di un atomo che si trovi, rispettivamente, nella fotosfera, nella cromosfera e nella corona solare. Per il caso dei plasmi di laboratorio, le situazione ﬁsiche pi` u comuni sono quelle descritte dal caso a) (plasmi di alta densit`a, tipo lampade a scarica) o dal caso b) (plasmi di bassa densit` a per esperimenti di pompaggio ottico con laser).

Capitolo 14

Trasporto radiativo La radiazione che si propaga in un mezzo esteso `e soggetta a continui processi di emissione e di assorbimento che ne modiﬁcano l’intensit` a e la distribuzione spettrale. Tali fenomeni sono regolati dall’equazione del trasporto radiativo che abbiamo formalmente dedotto nel Cap. 11 a partire dai principi dell’Elettrodinamica Quantistica. Risolvendo questa equazione, `e possibile mettere in relazione le propriet`a osservate della radiazione emergente da un mezzo esteso con le propriet`a intrinseche del plasma responsabile della sua emissione. In questo capitolo aﬀronteremo tale problematica analizzando in dettaglio il caso prototipo per il quale la teoria del trasporto radiativo `e stata sviluppata, ovvero il caso delle atmosfere stellari. Le considerazioni qui svolte possono essere facilmente estese per trattare problemi speciﬁci che si incontrano nell’analisi della propagazione della radiazione in ambienti non astroﬁsici, quali ad esempio i plasmi di laboratorio o l’atmosfera terrestre.

14.1 Soluzione formale dell’equazione del trasporto radiativo Nel Par. 11.8 abbiamo visto che l’equazione del trasporto radiativo per l’intensit` a del campo di radiazione che si propaga, alla frequenza ν e lungo la all’interno di un plasma, assume la forma (Eq. (11.32)) direzione Ω d = −kν [Iν (Ω) − Sν ] , Iν (Ω) ds kν `e il coeﬃciente dove s `e la coordinata spaziale misurata lungo la direzione Ω, di assorbimento (corretto per l’emissione stimolata) e Sν `e la funzione sorgente. In generale, kν e Sν sono funzione del punto e, se si suppone che tali quantit` a siano note, l’equazione del trasporto pu`o essere facilmente risolta. Introduciamo, in luogo della coordinata geometrica s, la cosiddetta profondit`a ottica speciﬁca (funzione di ν), attraverso l’equazione dτν = −kν ds . Come mostra l’equazione, la profondit`a ottica `e deﬁnita in direzione opposta a quella di propagazione della radiazione, il che riﬂette il punto di vista di un osservatore che riceve la radiazione nel proprio strumento. Considerando il plasma contenuto entro uno spessore geometrico ﬁssato, ad esempio fra i punti

364

CAPITOLO 14

τν(1) τν τν(2)

O

s2

P2

P

P1

A

s s1 Fig. 14.1. La radiazione si propaga nella direzione che va dal punto P 2 al punto P1 . La coordinata spaziale `e misurata a partire dal punto O mentre la profondit` a ottica ` e misurata a partire dal punto A nella direzione contraria alla propagazione.

P1 e P2 della Fig. 14.1, caratterizzati dalle coordinate s1 e s2 (con s1 > s2 ), lo spessore ottico risulta, per semplice integrazione dell’equazione precedente

s1

τν (P1 , P2 ) =

kν (s) ds . s2

Lo spessore ottico dipende dalla frequenza e uno spessore geometrico ﬁssato si deﬁnisce otticamente sottile quando τν 1 oppure otticamente spesso quando τν 1. In termini ﬁsici, un mezzo `e otticamente sottile alla frequenza ν quando un fotone di quella frequenza ha una probabilit` a trascurabile di essere assorbito nell’attraversarlo. Viceversa, se il mezzo `e otticamente spesso, il fotone ha una probabilit` a praticamente uguale a uno di essere assorbito nel mezzo stesso. possiamo sempliﬁcare le notazioni omettendo tale Fissata una direzione Ω, argomento nella notazione per l’intensit`a. Dividendo l’equazione del trasporto per kν e cambiando di segno, si ottiene dIν = Iν − Sν . dτν Per risolvere questa equazione moltiplichiamo ambo i membri per il fattore e−τν . Si ottiene e−τν

dIν = e−τν Iν − e−τν Sν , dτν

ovvero d −τν e Iν = − e−τν Sν . dτν

365

TRASPORTO RADIATIVO

Facendo riferimento alla Fig.14.1, integriamo questa equazione fra i punti P2 e P1 del cammino percorso dal raggio ai quali corrispondono le profondit` a ottiche (1) (2) (1) (2) τν e τν , con τν < τν . Si ottiene e

−τν(1)

Iν τν(1)

−e

−τν(2)

Iν τν(2)

=−

τν(1) (2)

Sν (τν ) e−τν dτν ,

τν

ovvero (2) (1) Iν τν(1) = Iν τν(2) e− τν −τν +

τν(2) (1)

Sν (τν ) e−

τν −τν(1)

dτν .

(14.1)

τν

Questo risultato si interpreta facilmente osservando che l’intensit`a nel punto P1 `e data dall’intensit` a presente nel punto P2 (la condizione al contorno) moltiplicata per il fattore di attenuazione dovuto all’assorbimento fra i punti P2 e P1 , alla quale si aggiunge il contributo dovuto all’emissione nell’intervallo compreso fra i due punti. Il contributo relativo all’intervallo inﬁnitesimo dτν , situato nell’intorno del punto generico P, `e moltiplicato per il relativo fattore di attenuazione dovuto all’assorbimento fra i punti P e P1 . In particolare, se (1) si considera la radiazione emergente da un plasma e si pone quindi τν = 0, l’equazione precedente si pu`o anche porre nella forma τν Iν (0) = Iν (τν ) e−τν + Sν (τν ) e−τν dτν . 0

In molti casi, soprattutto in astroﬁsica, si ha a che fare con plasmi che risultano praticamente inﬁniti in una direzione (si pensi ad esempio a un’atmosfera stellare della quale interessi esprimere l’intensit` a emergente in funzione delle propriet` a locali dell’atmosfera stessa). In tali casi, si deve considerare il limite dell’equazione precedente per τν → ∞, e, supponendo matematicamente che si abbia lim Iν (τν ) e−τν = 0 ,

τν →∞

si ottiene Iν (0) =

∞

Sν (τν ) e−τν dτν .

(14.2)

0

Il limite matematico di cui sopra `e sempre soddisfatto in pratica perch´e, nel caso opposto, si troverebbe il risultato assurdo che l’intensit` a emergente dal mezzo assume un valore inﬁnito. L’equazione (14.2) esprime in tutta generalit`a l’intensit` a emergente da un mezzo semi-inﬁnito, ovvero da un mezzo indeﬁnito nella direzione opposta a quella sotto la quale si riceve la radiazione. Essa `e alla base dell’interpretazione quantitativa degli spettri stellari.

366

CAPITOLO 14

14.2 Trasporto radiativo nelle atmosfere stellari Per determinare l’intensit` a speciﬁca del campo di radiazione emesso da un’atmosfera stellare vengono spesso introdotte un certo numero di approssimazioni che servono a sempliﬁcare il problema e a renderlo trattabile dal punto di vista matematico in modo da ottenere alcuni risultati analitici validi come approssimazione di ordine zero. La prima di tali approssimazioni `e quella detta dell’atmosfera piana che consiste nel trascurare la curvatura degli strati superﬁciali della stella dovuta alla forma sferica della stella stessa. Tale approssimazione `e in generale ben giustiﬁcata in quanto lo spessore dell’atmosfera (deﬁnita come lo strato superﬁciale dal quale proviene la radiazione osservata) `e molto minore del raggio della stella. Per il Sole, ad esempio, lo spessore H `e minore o dell’ordine di un migliaio di km, per cui si ha (R rappresenta il raggio solare) H 103 km 1.4 × 10−3 . ≤ R 7 × 105 km Si suppone poi che le propriet` a ﬁsiche dell’atmosfera dipendano soltanto dalla quota z (misurata da un’origine che non `e necessario per il momento speciﬁcare) e non anche dalle altre due coordinate x e y. Il campo di radiazione, che in situazioni stazionarie dipende, oltre che dalla frequenza, dal punto P e dalla viene cos`ı a dipendere unicamente dalla quota z e dall’angolo θ direzione Ω, (detto angolo eliocentrico nel caso del Sole), deﬁnito come in Fig. 14.2. Quando si introduce questa ulteriore approssimazione si dice che si ha a che fare con un’atmosfera piano-parallela. Indicando con Iν (z, μ) l’intensit` a speciﬁca della radiazione che si propaga nella direzione individuata dall’angolo θ (con μ = cosθ), l’equazione del trasporto risulta d Iν (z, μ) = −kν [Iν (z, μ) − Sν ] , dz e, se si suppone valida l’ipotesi dell’Equilibrio Termodinamico Locale (ETL), μ

d Iν (z, μ) = −kν [Iν (z, μ) − Bν (T )] , dz dove Bν (T ) `e la funzione di Planck che dipende solo dalla temperatura locale. L’equazione del trasporto pu`o essere formalmente risolta introducendo la profondit` a ottica speciﬁca, tν , misurata lungo la verticale nel senso delle profondit` a crescenti (si noti che questa quantit` a diﬀerisce da quella deﬁnita col simbolo τν nel paragrafo precedente e che si riferisce alla profondit`a ottica misurata lungo un raggio generico). Ponendo μ

dtν = −kν dz ,

367

TRASPORTO RADIATIVO

z

Ω

θ

Fig. 14.2. Schematizzazione di un’atmosfera piano-parallela nella quale le propriet` a ﬁsiche dipendono solo dalla quota z e il campo di radiazione da z e dall’angolo θ.

e utilizzando i risultati del paragrafo precedente si ha, per l’intensit` a emergente ∞ dtν . (14.3) Iν (0, μ) = Bν (T ) e−tν /μ μ 0 Questa espressione pu`o essere convenientemente approssimata al ﬁne di dedurre alcuni risultati di tipo qualitativo. Se si suppone ad esempio che la funzione di Planck abbia un andamento lineare con tν , ovvero che valga un’espressione del tipo Bν (tν ) = aν + bν tν , si ottiene, con facili integrazioni Iν (0, μ) = aν + bν μ = Bν (tν = μ) . La cosiddetta approssimazione di Eddington-Barbier consiste nel supporre che questa identit` a, rigorosamente valida nel caso di una funzione di Planck lineare con tν , sia valida in generale. Si ha quindi, in questa approssimazione Iν (0, μ) Bν (tν = μ) . Se si pensa che la temperatura nell’atmosfera stellare sia un’assegnata funzione della quota geometrica z, ovvero che sia descritta da una funzione del tipo T = T (z), per determinare l’intensit` a emergente attraverso l’approssimazione di Eddington-Barbier `e suﬃciente calcolare la quota z˜ alla quale si ha tν = μ e si ottiene Iν (0, μ) Bν [T (˜ z)] .

368

CAPITOLO 14

Poich´e in generale nelle atmosfere stellari la temperatura decresce con z, ci si devono attendere due fenomeni diversi: a) Fissata la frequenza, l’intensit` a emessa dalla stella `e maggiore al centro (μ = 1) che non al bordo (μ → 0). Questo fenomeno, che prende il nome di oscuramento al bordo, `e osservabile soltanto sul Sole (in quanto `e impossibile con le tecnologie attuali risolvere spazialmente la radiazione proveniente dalle stelle). In ultima analisi, tale fenomeno `e dovuto al fatto che, osservando al centro del Sole, si riesce a penetrare pi` u in profondit` a entro l’atmosfera solare. Osservando al bordo, invece, si vedono gli strati pi` u superﬁciali che sono anche pi` u freddi (e quindi meno luminosi). b) Fissato μ, poich`e il coeﬃciente di assorbimento `e funzione della frequenza, si ottiene un’intensit` a minore a quelle frequenze per le quali il coeﬃciente di assorbimento `e pi` u elevato e un’intensit`a maggiore alle frequenze per le quali il coeﬃciente di assorbimento `e pi` u basso. Ovviamente, “minore” e “maggiore” vanno qui intesi in senso relativo, ovvero rispetto a una funzione di Planck “media” non meglio speciﬁcata. In altre parole, si pu` o pensare che uno spettro stellare sia costituito da una funzione di Planck “modulata” con una tendenza all’aumento alle frequenze dove il coeﬃciente di assorbimento `e basso e una tendenza alla diminuzione dove il coeﬃciente di assorbimento `e alto. In questo modo si spiegano facilmente le discontinuit`a del continuo che si osservano ai limiti delle serie (tipica l’improvvisa diminuzione del continuo a lunghezze d’onda minori di 3647 ˚ A, la cosiddetta discontinuit` a di Balmer). Analogamente, se si considera un intervallo di frequenza centrato intorno a una riga spettrale, il coeﬃciente di assorbimento ha qui una variazione rapida, passando da un valore molto elevato al centro della riga a un valore molto minore nelle ali della riga stessa. Questo spiega, qualitativamente, la presenza di righe di assorbimento negli spettri stellari e induce a ritenere che, nei casi in cui si osservino righe di emissione, la temperatura debba invece avere un andamento crescente con la quota (cromosfere stellari). Per quanto riguarda le stelle, come abbiamo detto, non `e possibile eﬀettuare osservazioni dell’andamento dell’intensit` a in funzione di μ. Quello che si osserva `e invece l’intensit` a media della radiazione sul disco stellare, I¯ν , deﬁnita da (si veda la Fig. 14.3), con R∗ raggio stellare πR∗2 I¯ν

=

π/2

2π

dφ Iν (0, θ) R∗2 cosθ sinθ ,

dθ 0

0

ovvero I¯ν (0) = 2

1

Iν (0, μ) μ dμ . 0

Sostituendo in questa equazione la soluzione formale trovata precedentemente, e invertendo l’ordine delle integrazioni, si ottiene

369

TRASPORTO RADIATIVO

θ R*

all’osservatore

θ

Fig. 14.3. La radiazione emessa dall’elemento di superﬁcie stellare individuato dall’angolo al centro θ ` e inclinata dello stesso angolo rispetto alla verticale.

∞

I¯ν (0) = 2

1

dtν Bν (T ) 0

e−tν /μ dμ .

0

L’integrale in dμ pu` o essere espresso in termini di funzioni note. Attraverso la sostituzione w = 1/μ si ha

1

e

−tν /μ

dμ =

0

1

∞

e−w tν

1 dw . w2

Ricordando la deﬁnizione delle funzioni integro-esponenziali ∞ −xt e dt , (n ≥ 1) , En (x) = tn 1

(14.4)

si ottiene

1

e−tν /μ dμ = E2 (tν ) ,

0

per cui I¯ν = 2

∞

Bν (T ) E2 (tν ) dtν .

(14.5)

0

L’analogo dell’approssimazione di Eddington-Barbier si ottiene supponendo che Bν (T ) sia una funzione lineare di tν . In questo caso, tenendo conto che ∞ ∞ 1 1 , , En (x) dx = x En (x) dx = n n + 1 0 0

370

CAPITOLO 14

si ottiene I¯ν = Bν (tν = 23 ) . L’approssimazione di Eddington-Barbier per l’intensit` a media emessa da un’atmosfera stellare risulta quindi I¯ν Bν (tν = 23 ) .

14.3 Il modello di atmosfera grigia Consideriamo un’atmosfera piano-parallela in equilibrio termodinamico locale. Come mostrato dalle Eq. (14.3) e (14.5), l’intensit`a emergente pu` o essere espressa attraverso un integrale che implica la conoscenza della funzione di Planck (ovvero della temperatura) alle diverse profondit`a ottiche. Quando si conosce l’andamento con la profondit` a della temperatura e, eventualmente, delle altre grandezze ﬁsiche (quali ad esempio la pressione), si dice che si dispone di un “modello di atmosfera stellare”. Si possono costruire modelli di atmosfera pi` u o meno soﬁsticati, a seconda della quantit` a di informazioni ﬁsiche che si introducono nella descrizione dell’atmosfera stessa. Il pi` u semplice di tali modelli, e anche il primo dal punto di vista storico, `e il cosiddetto modello dell’atmosfera grigia. In tale modello si considera, come punto di partenza, un’atmosfera piano-parallela in equilibrio termodinamico locale e in equilibrio radiativo. Riguardo a quest’ultimo concetto bisogna osservare che l’energia pu`o ﬂuire attraverso un’atmosfera stellare per mezzo di tre meccanismi ﬁsici distinti, irraggiamento, convezione, e conduzione, il terzo essendo in molti casi tarscurabile. Un’atmosfera stellare si dice in equilibrio radiativo quando l’energia ﬂuisce solo per irraggiamento. Consideriamo una quota assegnata, z, nell’atmosfera stellare. L’energia netta che ﬂuisce per unit`a di tempo, attraverso l’unit` a di superﬁcie, alla frequenza ν, `e data da Fν (z) = 2π

1

−1

μ Iν (z, μ) dμ .

La quantit` a Fν (z) viene detta ﬂusso monocromatico. Ad essa contribuisce la radiazione proveniente dall’interno col segno positivo (μ > 0) e quella proveniente dall’esterno col segno negativo (μ < 0). In particolare, il ﬂusso monocromatico alla superﬁcie `e connesso alla quantit` a I¯ν , introdotta precedentemente, dalla relazione Fν (0) = π I¯ν .

371

TRASPORTO RADIATIVO

La condizione dell’equilibrio radiativo implica che l’integrale del ﬂusso monocromatico su tutte le frequenze sia costante, cio`e indipendente da z. In formule, deﬁnendo il ﬂusso totale F attraverso l’equazione

∞

F =

Fν dν = 2π 0

∞

1

dν −1

0

μ Iν (z, μ) dμ ,

(14.6)

l’ipotesi dell’equilibrio radiativo implica dF =0 . dz Il valore di F viene in genere parametrizzato attraverso la temperatura eﬃcace (o eﬀettiva), Teﬀ , deﬁnita dalla relazione (si veda l’Eq. (10.10)) 4 , F = σ Teﬀ

dove σ `e la costante di Stefan-Boltzmann. Essa rappresenta la temperatura che dovrebbe avere un corpo nero per irradiare lo stesso ﬂusso della stella. Il ﬂusso `e anche connesso alla luminosit`a, L∗ , e al raggio, R∗ , della stella attraverso la relazione F =

L∗ . 4π R∗2

Nel caso del Sole, ad esempio, per cui L = 3.845 × 1033 erg s−1 ,

R = 6.9626 × 1010 cm ,

si ha F = 6.312 × 1010 erg cm−2 s−1 ,

Teﬀ = 5776 K .

L’ulteriore ipotesi che viene introdotta nel modello dell’atmosfera grigia (che ne giustiﬁca il nome) `e quella di assumere il coeﬃciente di assorbimento kν indipendente dalla frequenza. Questa ipotesi sempliﬁca notevolmente il problema dal punto di vista matematico ma non `e aﬀatto realistica dal punto di vista ﬁsico. Ovviamente il modello che cos`ı si ottiene deve essere considerato come una sorta di modello di ordine zero per una vera e propria atmosfera stellare. Nell’atmosfera grigia si pu` o deﬁnire, in luogo della profondit` a ottica speciﬁca, tν , una profondit` a ottica “universale”, t, e l’equazione del trasporto si scrive d Iν (t, μ) = Iν (t, μ) − Bν (t) . dt Integrando l’equazione del trasporto in dν e deﬁnendo ∞ ∞ Iν (t, μ) dν , B(t) = Bν (t) dν , I(t, μ) = μ

0

0

372

CAPITOLO 14

si ottiene μ

d I(t, μ) = I(t, μ) − B(t) . dt

Come si vede, l’ipotesi del coeﬃciente di assorbimento indipendente dalla frequenza permette di scrivere un’unica equazione del trasporto per le quantit` a integrate in frequenza. Questa `e la sempliﬁcazione fondamentale dell’atmosfera grigia. A partire dalla I(t, μ) si possono deﬁnire i relativi momenti integrando sulle direzioni. Il momento di ordine n, Mn (t) `e deﬁnito da Mn (t) =

1 4π

" μn I(t, μ) dΩ =

1 2

1

μn I(t, μ) dμ . −1

Il momento di ordine zero `e l’intensit` a media (sulle direzioni) del campo di radiazione ed `e indicato col simbolo J(t) J(t) = M0 (t) =

1 2

1

I(t, μ) dμ .

(14.7)

−1

Il momento di ordine uno `e proporzionale al ﬂusso di energia raggiante. Infatti si ha, ricordando l’Eq. (14.6) F (t) = 4π M1 (τ ) = 2π

1

μ I(t, μ) dμ . −1

Inﬁne il momento di ordine due `e proporzionale alla pressione di radiazione ed `e indicato col simbolo K(t) K(t) = M2 (t) =

1 2

1

μ2 I(t, μ) dμ . −1

Integrando in dμ l’equazione del trasporto divisa per 2, si ottiene 1 dF (t) = J(t) − B(t) , 4π dt e sfruttando l’ipotesi dell’equilibrio radiativo (F = cost.) si ha J(t) = B(t) .

(14.8)

Moltiplicando poi l’equazione del trasporto per μ/2 e integrando in dμ si ha dK(t) F = , dt 4π che risolta d` a

373

TRASPORTO RADIATIVO

K(t) =

Ft +C , 4π

dove C `e una costante da determinare attraverso le condizioni al contorno. Osserviamo che per t → ∞, ovvero alla base dell’atmosfera, dobbiamo aspettarci che il campo di radiazione tenda a divenire isotropo. Sotto questa ipotesi, e anche sotto l’ipotesi meno restrittiva che la dipendenza da μ dell’intensit` a possa essere rappresentata da una funzione lineare del tipo I(t, μ) = a(t) + b(t) μ , con a(t) e b(t) indipendenti da μ, le quantit` a J e K possono essere collegare fra loro, avendosi K(t) =

1 3

J(t) .

Se si suppone che questa relazione sia valida per qualsiasi valore di t (e non solo per t → ∞) si adotta la cosiddetta approssimazione di Eddington con la quale il problema dell’atmosfera grigia pu` o essere risolto analiticamente. Infatti, attraverso le relazioni trovate precedentemente si ha 3 F t + C , 4π

B(t) = J(t) = 3K(t) =

con C = 3 C. Per determinare la costante C sfruttiamo le condizioni al contorno relative alla superﬁcie della stella (t = 0). Se la stella `e isolata (cio`e se non appartiene a un sistema doppio o multiplo), il ﬂusso alla superﬁcie si pu` o calcolare attraverso l’equazione (ottenuta per mezzo della soluzione formale dell’equazione del trasporto)

1

F = 2π

μ I(0, μ) dμ = 2π 0

1

dμ μ 0

∞

B(t) e−t/μ

0

dt . μ

Sostituendo l’espressione per B(t) e svolgendo il calcolo si ottiene facilmente C =

F , 2π

dimodoch´e si ha per B(t) B(t) =

3F t + 23 . 4π

Ricordando inﬁne che B(t) =

σ 4 T (t) , π

4 F = σ Teﬀ ,

374

CAPITOLO 14

Fig. 14.4. Confronto fra la legge dell’oscuramento al bordo relativa all’atmosfera grigia (linea continua) e i valori solari osservati (punti).

si ottiene l’andamento della temperatura con t per l’atmosfera grigia (nell’approssimazione di Eddington) T (t) = Teﬀ

, 4 3 4

t+

2 3

.

(14.9)

In particolare si vede che alla superﬁcie dell’atmosfera si ha T (0) = 0.841 Teﬀ , e che, per t = 23 , si ottiene T = Teﬀ . Dall’espressione di B(t) si pu` o anche determinare l’andamento centro-lembo dell’intensit` a emergente dalla stella. Si ha infatti I(0, μ) = 0

∞

3F dt 3F t + 23 e−t/μ = μ + 23 . 4π μ 4π

Deﬁnendo il rapporto di oscuramento al lembo, r(μ), attraverso l’equazione r(μ) =

I(0, μ) , I(0, 1)

r(μ) =

3μ + 2 . 5

si ottiene

375

TRASPORTO RADIATIVO

Questa legge di oscuramento al bordo pu` o essere confrontata coi risultati osservativi disponibili per il Sole. La diﬀerenza fra il valore di r(μ) teorico e quello osservato si mantiene sempre al di sotto del 5% (si veda la Fig. 14.4).

14.4 L’equazione di Hopf Il problema dell’atmosfera grigia pu` o essere risolto esattamente dal punto di vista matematico, sebbene la soluzione comporti la necessit`a di dover risolvere numericamente un’equazione integrale. La soluzione esatta si ottiene scrivendo la funzione B(t) nella forma 3F [ t + q(t) ] , 4π

B(t) =

(14.10)

dove q(t) `e un’opportuna funzione, detta funzione di Hopf, per la quale dobbiamo attenderci una leggera variazione intorno al valore 23 che risulta dall’approssimazione di Eddington. Fissiamo un determinato valore di t nell’atmosfera ed esprimiamo l’intensit` a del campo di radiazione per raggi che si propagano verso l’alto e verso il basso. Ricordando la soluzione formale dell’equazione del trasporto (Eq. (14.1)), si ha

∞

dt , μ t t dt , I(t, μ) = B(t ) e−(t−t )/(−μ) −μ 0 I(t, μ) =

B(t ) e−(t −t)/μ

(μ > 0) , (μ < 0) .

Per mezzo di queste espressioni si pu`o trovare il valore medio dell’intensit` a del campo di radiazione sull’angolo solido, J(t), deﬁnito nell’Eq. (14.7). Ricordando inoltre che nell’atmosfera grigia B(t) = J(t) (si veda l’Eq. (14.8)), si ottiene

1 B(t) = 2

1

dμ

∞

B(t ) e

−(t −t)/μ

t

0

dt + μ

t −(t−t )/(−μ) dt . dμ B(t ) e −μ −1 0 0

Questa equazione pu`o essere trasformata scambiando l’ordine delle integrazioni ed eseguendo la sostituzione w = 1/μ nel primo integrale e w = −1/μ nel secondo integrale. Si perviene cos`ı alla relazione

1 B(t) = 2

∞

∞

dt B(t ) t

e 1

−w(t −t)

dw + w

t

dt B(t ) 0

∞

e 1

−w(t−t )

dw w

,

376

CAPITOLO 14

t

q(t)

t

q(t)

t

q(t)

0. 0.01 0.03 0.05 0.1 0.2

0.577 0.588 0.601 0.611 0.628 0.650

0.3 0.4 0.5 0.6 0.8 1.0

0.663 0.673 0.680 0.686 0.694 0.699

1.5 2.0 2.5 3.0 5.0 ∞

0.705 0.708 0.709 0.710 0.710 0.710

Tab. 14.1. Valori della funzione di Hopf, q(t), a diversi t.

dalla quale, ricordando la deﬁnizione delle funzioni integro-esponenziali data nell’Eq. (14.4), si ottiene 1 ∞ B(t) = B(t ) E1 (|t − t |) dt . 2 0 Introducendo adesso la funzione di Hopf attraverso l’Eq. (14.10), si trova la seguente equazione integrale, detta equazione di Hopf 1 ∞ t + q(t) = [t + q(t )] E1 (|t − t |) dt . 2 0 L’equazione pu`o essere risolta numericamente per dare i risultati contenuti nella Tab. 14.1. Come si vede, la funzione di Hopf `e monotona e cresce dal valore 0.577 per t = 0 ﬁno al valore 0.710 per t → ∞. Essa diﬀerisce molto poco dal valore approssimato, pari a 23 , risultante dall’approssimazione di Eddington. Attraverso la funzione di Hopf si pu` o esprimere la soluzione esatta per la funzione T (t) nell’atmosfera grigia. Ripetendo i ragionamenti che hanno portato all’Eq. (14.9) si trova facilmente che tale equazione deve essere sostituita dalla seguente , T (t) = Teﬀ 4 34 [t + q(t)] . Questa funzione `e riportata in graﬁco nella Fig. 14.5 (curva continua) insieme alla funzione dell’Eq. (14.9) ottenuta nell’approssimazione di Eddington (curva tratteggiata). Le due curve diﬀeriscono di molto poco con una variazione percentuale massima pari al 3.5% a t = 0.

14.5 Modelli realistici di atmosfere stellari Il modello dell’atmosfera grigia che abbiamo sviluppato nei due paragraﬁ precedenti costituisce un’approssimazione grossolana delle atmosfere stellari in

TRASPORTO RADIATIVO

377

Fig. 14.5. Andamento della temperatura in funzione di t in un’atmosfera grigia. La linea continua ` e la soluzione esatta mentre la linea punteggiata `e la soluzione ottenuta per mezzo dell’approssimazione di Eddington.

quanto il coeﬃciente di assorbimento `e in realt` a una funzione variabile della frequenza e pu` o essere supposto costante soltanto in intervalli di frequenza estremamente ridotti. Il vantaggio del modello dell’atmosfera grigia `e unicamente quello di fornire un’approssimazione analitica (o semi-analitica) della struttura ﬁsica dell’atmosfera. Da questo punto di vista esso pu`o essere paragonato ai modelli politropici degli interni stellari. Con l’avvento dei moderni elaboratori elettronici `e stato possibile, a partire dalla ﬁne degli anni 1950, costruire dei modelli pi` u realistici delle atmosfere stellari. Tali modelli implicano la soluzione autoconsistente di un insieme di equazioni diﬀerenziali e sono basati, in generale, sulla solita approssimazione dell’atmosfera piano-parallela in equilibrio termodinamico locale. Accanto all’equazione del trasporto radiativo per l’intensit` a speciﬁca μ

d Iν (z, μ) = −kν [Iν (z, μ) − Bν (z)] , dz

si considerano l’equazione dell’equilibrio radiativo, l’equazione dell’equilibrio idrostatico e l’equazione di stato dei gas perfetti, ovvero ∞ 1 dF d = dν 2π μ Iν (z, μ) dμ = 0 , dz dz 0 −1 ρ dP kB T . = −ρ g , P = dz μ ¯ mH

378

CAPITOLO 14

In queste equazioni, P `e la pressione del gas atmosferico, ρ `e la sua densit`a, g `e la gravit` a alla superﬁcie della stella, μ ¯ `e il peso molecolare medio e m H `e l’unit`a di peso atomico. Considerando P e T come variabili indipendenti, e supponendo di conoscere le relazioni che collegano kν e μ ¯ a P e T (si veda il paragrafo successivo per l’espressione di kν in funzione di queste due variabili), le equazioni possono essere risolte numericamente tenendo conto delle opportune condizioni al contorno. Tali condizioni sono le seguenti 4 F = σ Teﬀ ,

che ﬁssa l’entit` a del ﬂusso radiativo; Iν (0, μ < 0) = 0 , che traduce il fatto che la stella `e isolata e quindi non illuminata dall’esterno. Dalla soluzione delle equazioni si ricava il modello dell’atmosfera stellare, ovvero una tabella di numeri che danno l’andamento delle due funzioni P (z) e T (z). Il modello viene a dipendere esplicitamente da tre soli parametri, ovvero dalla temperatura eﬃcace Teﬀ , dalla gravit` a superﬁciale g e da un insieme di numeri {Ai } che stabiliscono le abbondanze chimiche relative dei vari elementi. La dipendenza da quest’ultimo parametro `e contenuta nelle funzioni kν (P, T ) eμ ¯(P, T ).

14.6 Lo spettro continuo Per l’analisi degli spettri stellari `e spesso necessario calcolare, in funzione della frequenza, il valore dell’intensit` a speciﬁca che emerge da un’atmosfera stellare descritta da un adeguato modello teorico 1. Assegnate le funzioni P (z) e T (z) si tratta quindi di valutare degli integrali della forma di quelli delle Eq. (14.3) e (14.5). La diﬃcolt` a maggiore del calcolo consiste nell’esprimere la relazione esistente fra tν e la quota, ovvero nel trovare la funzione tν = tν (z) . Poich´e, d’altra parte, questa relazione deriva dall’integrazione dell’equazione diﬀerenziale dtν = −kν (z) dz , 1

Nel caso solare, data la notevole vicinanza e la possibilit` a di eseguire osservazioni molto dettagliate, sono anche disponibili opportuni modelli empirici. In tali modelli si tiene esplicitamente conto del fatto che l’atmosfera non `e rigorosamente in equilibrio radiativo. Per un approfondimento si veda E. Landi Degl’Innocenti, Fisica Solare, Springer-Verlag Italia, Milano, 2008.

TRASPORTO RADIATIVO

379

il problema `e ricondotto, in ultima analisi, a trovare l’espressione del coeﬃciente di assorbimento, kν , per una quota z assegnata. Nelle zone dello spettro nelle quali non sono presenti righe spettrali, il coefﬁciente d’assorbimento (detto anche, in astroﬁsica, opacit`a) `e dovuto ai soli processi ﬁsici del tipo legato-libero e libero-libero, oltre ai processi di diﬀusione. Quelli che contribuiscono maggiormente all’opacit` a nelle atmosfere stellari sono i seguenti: a) fotoionizzazione dell’atomo di Idrogeno; un atomo di Idrogeno che si trova in un livello legato assorbe un fotone e viene cos`ı ionizzato. Un tale processo pu` o essere schematizzato come una “reazione” del tipo H + hν → H+ + e− ; b) transizioni libero-libero fra stati a energia positiva dell’atomo di Idrogeno, cio`e processi di Bremsstrahlung inversa: H+ + e− + hν → H+ + e− ; c) fotoionizzazione dello ione negativo di Idrogeno: H− + hν → H + e− ; d) processi di tipo a) e b) per atomi di Elio e altri elementi relativamente abbondanti nelle atmosfere stellari (O, C, N, Si, Mg, Ne, Fe, etc.); e) diﬀusione Thomson su elettroni liberi e diﬀusione Rayleigh su atomi o ioni. Il contributo al coeﬃciente di assorbimento relativo a ciascun processo pu` o essere calcolato attraverso i metodi generali descritti nel Par. 11.9, con l’eccezione dei processi relativi al punto e) per i quali si possono utilizzare i risultati classici del Cap. 3. Senza analizzare in dettaglio tutti i processi elencati, ci limitiamo a considerare esplicitamente solo il contributo al coeﬃciente d’assorbimento dovuto allo ione H− che pu` o essere considerato come il prototipo dei vari processi e che in ogni caso risulta il pi` u importante per l’atmosfera del Sole e delle stelle di tipo solare. Come abbiamo gi` a osservato nel Par. 7.5, un atomo di Idrogeno e un elettrone libero possono, per cos`ı dire, “combinare” per dare uno ione negativo stabile avente un’energia di legame dell’ordine di 0.75 eV. Lo stato che ne deriva, in analogia allo stato fondamentale dell’Elio, `e uno stato del tipo 1s2 1S0 . La stabilit` a di questo ione fu prevista teoricamente da Bethe nel 1929 mediante un calcolo variazionale simile a quello descritto nel Par. 7.5 ma contenente un maggior numero di parametri liberi. Il valore attualmente accettato per l’energia di legame dello ione H− `e pari a 0.75416 eV. Un fotone avente lunghezza d’onda inferiore al valore di soglia di 1.6438 μm `e in grado di ionizzare lo ione H− e il relativo coeﬃciente di assorbimento `e dato dall’Eq. (11.34), ovvero kν(a) = σν NH− , a degli ioni H− (numero di ioni per unit` a di volume) e σν dove NH− `e la densit` `e la sezione d’urto del processo. Il calcolo teorico della sezione d’urto implica, come abbiamo visto, la valutazione dell’elemento di matrice di dipolo fra gli stati iniziali e ﬁnali della transizione e questo, a sua volta, implica la conoscenza delle autofunzioni dello stato legato e degli stati liberi dello ione H− . I calcoli

380

CAPITOLO 14

Fig. 14.6. Sezione d’urto per fotoionizzazione dello ione negativo dell’atomo di Idrogeno. La sezione d’urto `e in unit` a di a20 , mentre la lunghezza d’onda `e espressa in μm.

dettagliati, eseguiti da Chandrasekhar e collaboratori negli anni 1950, danno per σν i valori riportati nella Fig. 14.6. La sezione d’urto presenta un massimo intorno a 8500 ˚ A (dove vale circa 1.4 a20 , essendo a0 il raggio della prima orbita di Bohr) e risulta di poco inferiore a tale valore in tutta la regione dello spettro visibile (la regione dove l’intensit` a del campo di radiazione `e massima per stelle di tipo solare). Noto σν , il problema di trovare il valore del coeﬃciente di assorbimento si riconduce al problema di determinare la densit` a degli ioni H− in un punto dell’atmosfera caratterizzato da valori assegnati di P e di T . Questo `e, a sua volta, un problema molto generale che, come vedremo, coinvolge l’equilibrio di ionizzazione di tutti gli elementi presenti nell’atmosfera stessa. Il calcolo dettagliato, sviluppato nel seguito, pu` o essere considerato come un esempio caratteristico di calcoli analoghi che devono essere eﬀettuati per determinare le densit` a di tutte le specie chimiche presenti in un’atmosfera stellare. Supponiamo di conoscere le abbondanze relative di tutti gli elementi rispetto all’Idrogeno e indichiamo tali abbondanze con il simbolo AHe per l’Elio, e con AMi per il generico elemento caratterizzato dall’indice i. Se si suppone inoltre, per semplicit` a, che nell’atmosfera il grado di ionizzazione massimo dell’Elio e di tutti gli altri elementi sia 1 e si trascura il contributo delle specie “minori” (quali le molecole e lo ione H− stesso, il che costituisce generalmente una buona approssimazione2), si ha per la legge di Dalton 2

Fanno eccezione le stelle di tardo tipo spettrale (stelle fredde) per le quali le molecole svolgono un ruolo importante.

381

TRASPORTO RADIATIVO

P = Pe + (PH + PH+ ) + (PHe + PHe+ ) +

(PMi + PM+ ) , i

i

dove Pe `e la pressione elettronica, PH la pressione dovuta agli atomi di Idrogeno neutri, PH+ la pressione dovuta agli atomi di Idrogeno ionizzati, e cos`ı via. D’altra parte, aﬃnch´e sia soddisfatta la condizione di neutralit` a del plasma, si deve anche avere Pe = PH+ + PHe+ + PM+ . i

i

Introduciamo adesso i rapporti di ionizzazione per le singole specie x=

PH+ , PH + PH+

y=

PHe+ , PHe + PHe+

zi =

PM+ i

PMi + PM+

,

i

che, in base alla formula di Saha (Eq. (10.7)), sono funzioni note di T e Pe . Sostituendo nelle equazioni precedenti e introducendo le abbondanze relative all’Idrogeno si ha P = Pe + (PH + PH+ ) 1 + AHe + , AMi i

Pe = (PH + PH+ )

x + y AHe +

zi AMi

,

i

dalle quali, eliminando (PH + PH+ ), si ottiene & 1 + AHe + i AMi & P = Pe 1 + . x + y AHe + i zi AMi A proposito di questa equazione si pu`o osservare che, essendo tutte le abbondanze AMi praticamente trascurabili rispetto alle abbondanze dell’Idrogeno e dell’Elio, al numeratore della frazione la somma su i pu` o essere omessa. Al denominatore per` o la somma non si pu`o omettere in quanto, dato il basso potenziale di ionizzazione dei metalli, in molti casi si pu` o avere che alcuni degli zi siano molto vicini all’unit` a mentre x e y sono praticamente nulli. In questo senso P risulta una funzione di Pe molto sensibile alle abbondanze AMi , cosa che `e del resto intuitiva dal punto di vista ﬁsico. Ritornando all’equazione di sopra, e ricordando che x, y e zi sono funzioni di T e Pe , si ha P = P (T, Pe ) . Questa equazione pu`o essere invertita mediante calcoli numerici cos`ı da ottenere Pe = Pe (T, P ) .

382

CAPITOLO 14

Nota Pe , le pressioni parziali delle singole specie possono essere facilmente ottenute. Ad esempio, per la pressione parziale dell’Idrogeno neutro si ha PH = (1 − x) (PH + PH+ ) = (1 − x)

P − Pe & . 1 + AHe + i AMi

Inﬁne, si pu` o determinare, sempre attraverso l’equazione di Saha, il rapporto r fra la pressione parziale dello ione H− e la pressione parziale dell’Idrogeno neutro, e si ottiene N H− =

r PH r (1 − x) P − Pe PH− & = = . kB T kB T kB T 1 + AHe + i AMi

Bisogna osservare che questo risultato `e stato ottenuto supponendo che la densit` a degli ioni di Idrogeno negativo sia molto minore delle densit` a degli atomi di Idrogeno neutri o ionizzati (altrimenti il contributo esplicito della pressione parziale degli H− avrebbe dovuto essere incluso nelle equazioni di partenza per P e Pe ). Questa approssimazione `e del tutto giustiﬁcata per le atmosfere stellari nelle quali l’Idrogeno si trova nella forma di ione negativo per una frazione trascurabile dell’Idrogeno totale (nell’atmosfera solare, ad esempio, il rapporto NH− /NH varia fra 10−9 e 10−7 ). Il problema della determinazione del contributo al coeﬃciente di assorbimento kν dovuto allo ione H− `e cos`ı risolto. In eﬀetti bisogna tener conto anche del (a) fatto che il coeﬃciente di assorbimento che abbiamo calcolato `e kν e non (a) (s) kν = kν − kν . Tuttavia, quando valga l’equilibrio termodinamico locale, si ha semplicemente

kν = kν(a) 1 − e−hν/(kB T ) , per cui la correzione dovuta all’emissione stimolata `e facilmente introdotta. Per mezzo di calcoli analoghi si possono poi ottenere tutti gli altri contributi a kν e il coeﬃciente di assorbimento risulta determinato in funzione di T e P , ovvero in funzione della quota z. Questo permette di risolvere l’equazione del trasporto e di determinare lo spettro continuo della radiazione emessa dalla stella.

14.7 Righe spettrali in equilibrio termodinamico locale Nell’intorno di una riga spettrale in equilibrio termodinamico locale, l’equazione del trasporto assume la forma μ

dI(ν, μ) = −[kν + kR ϕ(ν − ν0 )] [I(ν, μ) − Bν (T )] , dz

383

TRASPORTO RADIATIVO

dove kR `e il coeﬃciente di assorbimento della riga corretto per l’emissione stimolata e integrato in frequenza3 , e dove ϕ(ν − ν0 ) `e il proﬁlo (normalizzato all’unit` a in frequenza) dato dall’Eq. (11.37). Il coeﬃciente di assorbimento del continuo, kν `e praticamente costante nell’intorno della riga (la larghezza di una riga spettrale `e, tipicamente, dell’ordine della frazione di ˚ A mentre kν varia su scale dell’ordine del centinaio di ˚ A). Poniamo quindi kν = kc e deﬁniamo la profondit` a ottica nel continuo, tc con l’equazione dtc = −kc dz . Con questa deﬁnizione l’equazione del trasporto assume la forma μ

dI(ν, μ) = [1 + η0 H(v, a)] [I(ν, μ) − Bν (T )] , dtc

dove abbiamo posto η0 =

kc

kR √ . π ΔνD

Assegnato un modello atmosferico, questa equazione pu` o essere risolta numericamente. Il calcolo della quantit` a η0 pu` o essere impostato in maniera del tutto analoga a quanto fatto nel paragrafo precedente per il calcolo del coeﬃciente di assorbimento del continuo. Basta per questo calcolare la densit`a degli atomi assorbenti (atomi di Ferro ionizzato, ad esempio, per il caso di una riga appartenente allo spettro del Fe II) e dedurre, attraverso l’equazione di Boltzmann, la frazione di tali atomi presenti nel livello inferiore della transizione. La conoscenza di tale quantit`a, unita a quella dei coeﬃcienti di Einstein per la transizione, alla conoscenza di kc e a quella di ΔνD , permettono di ricavare η0 a tutte le quote. Per quanto riguarda il proﬁlo di Voigt, ovvero la funzione H(v, a), `e poi necessario conoscere il valore della costante di damping ridotta, a, e il valore della larghezza Doppler ΔνD . In generale anche queste quantit`a variano con z in quanto variano la pressione (e quindi la frequenza delle collisioni) e la temperatura. Il proﬁlo di Voigt `e quindi funzione di z e ci`o deve essere tenuto in dovuto conto nel calcolo numerico. Sebbene l’analisi quantitativa dei proﬁli di righe richieda, in molti casi, una soluzione numerica dell’equazione del trasporto, `e possibile trovare una soluzione analitica introducendo una serie di ipotesi sempliﬁcatrici. Tali ipotesi, pur non essendo strettamente veriﬁcate nelle atmosfere stellari, riescono comunque a dare un’idea qualitativa dei meccanismi che contribuiscono a caratterizzare la forma dei proﬁli di riga osservati negli spettri stellari. Supponiamo quindi che: 3

(a)

(a)

All’equilibrio termodinamico locale si ha kR = kR {1−exp[−hν0 /(kB T )]}, con kR deﬁnito nell’Eq. (11.33).

384

CAPITOLO 14

a) il rapporto η0 fra il coeﬃciente di assorbimento della riga e il coeﬃciente di assorbimento del continuo sia costante con tc ; b) il proﬁlo di Voigt, H(v, a), sia costante con tc ; c) la funzione di Planck, Bν (T ), sia esprimibile linearmente in funzione della profondit` a ottica tc Bν (T ) = B0 (1 + β tc ) , con β costante. Quando si introducono queste ipotesi si dice che si ha a che fare con un’atmosfera di Milne-Eddington. Sostituendo l’espressione di Bν (T ) nella soluzione formale dell’equazione del trasporto si ottiene per l’intensit` a emergente Iν (0, μ) = B0

βμ 1+ 1 + η0 H(v, a)

.

Osserviamo che, se siamo molto lontani dal centro della riga, la funzione H(v, a) tende a zero e l’intensit` a tende a un valore costante, che rappresenta l’intensit`a del continuo adiacente la riga, dato da Ic = B0 (1 + β μ) . Viceversa, se si considera il limite di una riga molto intensa (η0 → ∞), l’intensit` a tende a un valore di saturazione (al di sotto della quale non pu` o mai spingersi) dato da Is = B0 . Si pu` o quindi deﬁnire una sorta di “proﬁlo universale”, rν , sottraendo dall’intensit` a il valore di saturazione e normalizzando poi all’intensit` a del continuo. Si ottiene rν =

1 Iν (0, μ) − Is βμ . = Ic 1 + β μ 1 + η0 H(v, a)

Il fattore βμ/(1+βμ) `e connesso alle caratteristiche termodinamiche dell’atmosfera (attraverso β) e al valore dell’angolo eliocentrico (attraverso μ). Il fattore restante d` a invece la forma del proﬁlo di riga. Esso dipende dalla frequenza solo attraverso il parametro v (si ricordi che v = (ν − ν0 )/ΔνD ). Indicando tale fattore con p(v), ovvero ponendo p(v) =

1 , 1 + η0 H(v, a)

TRASPORTO RADIATIVO

385

Fig. 14.7. Graﬁco del proﬁlo p(v) in funzione della lunghezza d’onda ridotta, v, per vari valori della forza della riga η0 . Il graﬁco `e ottenuto per un valore della costante di smorzamento a = 0.1.

possiamo osservare che per righe deboli (η0 1) si ottiene, sviluppando in serie p(v) 1 − η0 H(v, a) . In questo caso siamo lontani dalla saturazione e il proﬁlo di riga risulta una sorta di “negativa” del proﬁlo del coeﬃciente di assorbimento. Per righe forti, invece, (η0 1), si ottiene che p(v) tende a zero per tutto un intervallo di valori di v tali che η0 H(v, a) 1. Qui siamo in una situazione di saturazione estrema. Il proﬁlo della riga risulta molto diverso da quello di assorbimento presentando una zona praticamente piatta al centro (nel cosiddetto core della riga) e ali molto estese (dipendenti in forte misura dal valore della costante di damping a). La Fig. 14.7 mostra la forma del proﬁlo p(v) per diversi valori di η0 e per a = 0.1.

14.8 Righe spettrali in condizioni di non-equilibrio L’ipotesi dell’equilibrio termodinamico locale permette di determinare con una certa semplicit`a i proﬁli delle righe che si originano in un’atmosfera stellare di cui si conosca il modello. Tale ipotesi non `e tuttavia sempre veriﬁcata perch´e le righe pi` u intense si formano negli strati pi` u alti dell’atmosfera stellare

386

CAPITOLO 14

Collisioni

si scrivono

Equazioni dell’equilibrio statistico

Intensita‘ del campo di radiazione

si risolvono

auto− consistenza

Equazioni del trasporto radiativo

si risolvono

Popolazioni atomiche

si scrivono

Fig. 14.8. Per risolvere le equazioni accoppiate dell’equilibrio statistico e del trasporto radiativo si segue il loop di autoconsistenza qui schematizzato.

laddove la densit` a `e pi` u bassa e le collisioni con gli elettroni del plasma non sono suﬃcienti a termalizzare le popolazioni atomiche (cromosfera). Nel caso dell’atmosfera solare, ad esempio, l’ipotesi dell’equilibrio termodinamico locale non pu` o essere applicata per il calcolo dei proﬁli delle righe H e K del Ca II, delle righe dello spettro dell’Idrogeno (quali ad esempio la Hα), delle righe D del Na I, e di numerose altre righe dello spettro visibile e ultravioletto. In questi casi l’equazione del trasporto `e la stessa di quella scritta nel paragrafo precedente con la diﬀerenza che, in luogo della funzione di Planck Bν (T ) si deve considerare la funzione sorgente Sν . Come mostrato dall’Eq. (13.3) per il caso di un atomo a due livelli, la funzione sorgente dipende tuttavia dal campo di radiazione stesso e la soluzione formale dell’equazione del trasporto non `e pi` u suﬃciente a risolvere il problema. In questi casi si ricorre a calcoli pi` u complessi attraverso la cosiddetta teoria del non-ETL (non-LTE theory)4 . Sempliﬁcando al massimo le cose, il problema pu` o essere aﬀrontato nel modo seguente. Supponiamo di conoscere un approssimazione di ordine zero per le popolazioni, in funzione della quota z, dei livelli di una determinata specie atomica (ad esempio le popolazioni dei livelli dell’atomo di Calcio ionizzato, se interessa calcolare i proﬁli delle righe H e K). Si pu` o partire, ad esempio, dalle popolazioni ricavate per mezzo delle equazioni di Saha-Boltzmann utilizzando i valori di P e T dati dal modello di atmosfera. Note le popolazioni, si possono calcolare localmente i coeﬃcienti che compaiono nell’equazione del trasporto radiativo (scritta per ciascuna direzione nell’atmosfera stellare). Risolvendo con metodi numerici l’equazione 4

Per un approfondimento si veda, ad esempio, D. Mihalas, Stellar Atmospheres, 2nd Ed., W.H. Freeman, San Francisco, 1978.

TRASPORTO RADIATIVO

387

del trasporto si pu` o cos`ı determinare (in funzione della frequenza e della direzione) il campo di radiazione presente in un punto qualsiasi dell’atmosfera. A questo punto si considerano le equazioni dell’equilibrio statistico per le popolazioni atomiche tenendo conto sia dei processi radiativi che di quelli collisionali. Queste equazioni formano, per ogni quota z, un sistema a coeﬃcienti noti (in quanto il campo di radiazione `e noto) e il sistema pu`o essere risolto attraverso opportuni metodi numerici. Si ottiene quindi un’approssimazione di ordine uno per le popolazioni e si ripete il procedimento ﬁnch´e si arriva alla convergenza della soluzione come esempliﬁcato nella Fig. 14.8. La soluzione per il campo di radiazione alla superﬁcie dell’atmosfera stellare fornisce i proﬁli delle righe spettrali di interesse. Sebbene il metodo sia, in linea di principio, semplice e diretto, esso richiede la conoscenza di un certo numero di tecniche numeriche sulle quali non possiamo qui addentrarci. Tali tecniche sono state sviluppate a partire dagli inizi degli anni 1950 e sono tuttora in fase di evoluzione.

Capitolo 15

Processi del secondo ordine Nel Cap. 11 abbiamo visto come si possa descrivere quantisticamente l’interazione fra campo di radiazione e sistemi materiali. Per questo abbiamo fatto ricorso a un’opportuna struttura teorica, nota sotto il nome di Elettrodinamica Quantistica, che ci ha permesso, mediante uno sviluppo all’ordine perturbativo pi` u basso, di ottenere un certo numero di risultati riguardo ai processi pi` u elementari che si veriﬁcano nell’interazione fra radiazione e sistemi atomici, ovvero i processi di assorbimento e di emissione (spontanea e stimolata) di fotoni. L’Elettrodinamica Quantistica ha per` o un campo di applicazione molto pi` u vasto. Lo scopo di questo capitolo `e quello di dedurne ulteriori conseguenze che si ottengono estendendo la teoria al secondo ordine perturbativo. Queste conseguenze riguardano l’interazione della radiazione con elettroni, liberi o legati, sia non relativistici che relativistici. In particolare andremo ad analizzare i processi di diﬀusione su elettroni liberi non relativistici (eﬀetto Thomson), su elettroni legati non relativistici (eﬀetti Rayleigh e Raman) e su elettroni liberi relativistici (eﬀetto Compton). Lo studio di quest’ultimo eﬀetto ci condurr` a a dedurne le propriet` a relativamente alla sezione d’urto (equazione di Klein-Nishina) e alla polarizzazione della radiazione emessa e ci permetter`a di sviluppare alcune considerazioni nei riguardi degli scambi di energia fra fotoni ed elettroni relativistici che sono alla base dell’eﬀetto Compton inverso. Gli argomenti trattati in questo capitolo costituiscono un valido complemento di quelli che abbiamo gi` a sviluppato nel Cap. 3 basandoci esclusivamente sull’Elettrodinamica Classica (non quantistica).

15.1 Considerazioni introduttive Nell’ambito dell’Elettrodinamica Quantistica abbiamo aﬀrontato nel Par. 11.5 lo studio dei processi elementari di interazione fra radiazione e sistemi materiali. In tale paragrafo abbiamo visto come l’Hamiltoniana di interazione fra un sistema atomico e il campo di radiazione porti alla comparsa di particolari transizioni descritte dai diagrammi di Feynman della Fig. 11.2. Tali diagrammi si riferiscono a processi di assorbimento o di emissione nei quali `e coinvolto un singolo fotone e, per questa ragione, sono a buon diritto chiamati processi del primo ordine. La relativa probabilit` a di transizione per unit` a di tempo `e data dalla regola aurea di Fermi (Eq. (11.10)) ed `e nulla se non `e veriﬁcata la conservazione dell’energia fra lo stato iniziale e lo stato ﬁnale della

390

CAPITOLO 15

transizione stessa. La conservazione dell’energia, e il fatto che un solo fotone possa essere implicato nel processo, limita considerevolmente il numero di fenomeni ﬁsici che possono essere descritti da processi del primo ordine. Se si considera ad esempio l’interazione fra fotoni ed elettroni liberi, si vede facilmente che i processi del primo ordine non sono possibili. Si consideri infatti l’ipotetico assorbimento di un fotone da parte di un elettrone libero e, in un primo momento, supponiamo che le energie in gioco siano non relativistiche. Quando si va a valutare la probabilit` a di transizione per unit`a di tempo, l’elemento di matrice risulta non nullo solo se `e veriﬁcata la conservazione dell’impulso (si veda l’App. 13), per cui si deve avere p f = p i + h ¯ k , dove p i e p f sono, rispettivamente, l’impulso iniziale e ﬁnale dell’elettrone libero e dove k `e il vettore d’onda del fotone assorbito. D’altra parte per la conservazione dell’energia, implicita nella regola aurea di Fermi, si deve anche avere p2f p2 = i +h ¯ω , 2m 2m dove ω = c k. Sostituendo la conservazione dell’impulso in questa equazione e introducendo l’angolo θ, formato dalle direzioni dei vettori p i e k, si ottiene la seguente relazione cinematica p i cosθ . h ¯ ω = 2 m c2 1 − mc Il risultato che abbiamo cos`ı ottenuto non `e per` o accettabile, in quanto l’energia del fotone risulta dell’ordine dell’energia di riposo dell’elettrone, il che `e in contraddizione con la nostra ipotesi non relativistica. Possiamo allora provare a rilasciare tale ipotesi facendo ricorso per la conservazione dell’energia alla formula relativistica, ovvero , , c2 p2f + m2 c4 = c2 p2i + m2 c4 + h ¯ω . Sostituendo di nuovo la conservazione dell’impulso, dopo alcuni passaggi algebrici si ottiene l’equazione p2i sin2 θ + m2 c2 = 0 , che non pu` o in alcun modo essere soddisfatta. L’esempio che abbiamo considerato illustra chiaramente le limitazioni implicite nell’elettrodinamica quantistica quando ci si arresti a considerare soltanto i processi del primo ordine. Un altro esempio riguarda l’interazione di un fotone di frequenza assegnata con un sistema atomico i cui livelli energetici hanno energie n . Se si suppone

PROCESSI DEL SECONDO ORDINE

391

ad esempio che l’atomo si trovi inizialmente nel livello energetico pi` u basso, di energia 0 , e se la frequenza ω `e tale da non soddisfare ad alcuna delle relazioni h ¯ ω = n − 0 ,

(n = 1, 2, . . .) ,

allora l’atomo `e completamente “trasparente” alla radiazione stessa, in quanto non `e possibile alcun processo di assorbimento che conservi l’energia. Negli esempi precedenti, `e possibile valutare le conseguenze dell’interazione fra il sistema atomico e il campo di radiazione andando a considerare, nello spirito della teoria delle perturbazioni, processi di ordine pi` u elevato del primo. Si possono ad esempio considerare processi del secondo ordine, che implicano la comparsa nell’ampiezza della probabilit` a di transizione di due operatori del R , processi del terzo ordine, e cos`ı via. Naturalmente, mano a mano che tipo1 A si sale nell’ordine dell’interazione, la probabilit` a di transizione diminuisce e i processi fanno intervenire un numero sempre crescente di fotoni (tanti quanto `e l’ordine del processo che si sta considerando). In questo capitolo ci soﬀermeremo sui processi del secondo ordine, osservando che nella teoria non covariante che abbiamo sviluppato nel Cap. 11, esistono due possibilit`a diverse di prendere in considerazione tali processi. La prima possibilit` a consiste nel ricordare che l’Hamiltoniana di interazione R , e uno quadratico contiene in eﬀetti due termini, uno lineare nell’operatore A nello stesso operatore. Quest’ultimo termine `e stato sempre trascurato nel Cap. 11, proprio perch´e intendevamo considerare solo i processi di ordine pi` u basso. Esso `e dato dall’espressione (si veda l’Eq. (11.2)) I Hquad =

N e20 [AR (ri )]2 , 2 m c2 i=1

(15.1)

dove ri (i = 1, . . . , N ) `e la coordinata dell’elettrone i-esimo del sistema atomico. Per i processi ﬁsici indotti da tale termine, la probabilit` a di transizione per unit`a di tempo `e data dalla consueta regola aurea di Fermi (Eq. (11.10)) Pαβ =

2π '' I ''2 ' Hquad αβ ' δ(Eα − Eβ ) . h ¯

La seconda possibilit` a `e invece quella di considerare sempre il termine dell’Ha R e di andare per` o al secondo miltoniana di interazione lineare nell’operatore A ordine dello sviluppo perturbativo nell’ampiezza di probabilit` a. Riprendiamo quindi l’Eq. (11.6) e supponiamo che i processi del primo ordine non diano contributo e che, all’istante iniziale, t = 0, il sistema ﬁsico si trovi nello stato |γ (cγ (0) = 1). Per semplice integrazione si ottiene 1

` Si ricordi che A R e l’operatore quantistico associato al potenziale vettore del campo di radiazione. La sua espressione esplicita in termini di operatori di creazione e distruzione `e data dall’Eq. (4.5).

392

CAPITOLO 15

i ωαγ t − 1 e iωαβ t − 1 e 1 I I . Hαβ Hβγ cα (t) = 2 − ωαγ ωβγ ωαβ ωβγ h ¯ β Il primo dei due termini in parentesi prevale di gran lunga rispetto all’altro quando si prendano in considerazione stati ﬁnali α per cui ωαγ → 0, ovvero stati isoenergetici rispetto allo stato iniziale. Si pu`o quindi scrivere cα (t) =

1 e i ωαγ t − 1 Mαγ , h ¯ ωαγ

dove Mαγ =

I I Hαβ Hβγ β

h ¯ ωβγ

.

(15.2)

Andando a considerare il modulo quadro di cα (t), ovvero la probabilit` a che all’istante t il sistema si trovi nello stato |α , si ottiene |cα (t)|2 =

2 1 2 4 sin (ωαγ t/2) |M | . αγ 2 ωαγ h ¯2

D’altra parte, come abbiamo pi` u volte visto in questo volume, si ha 4 sin2 (ωαγ t/2) = 2π t δ(ωαγ ) , 2 t→∞ ωαγ lim

per cui si ottiene una probabilit` a per unit` a di tempo per la transizione dallo stato |γ allo stato |α data da Pαγ =

2π |Mαγ |2 δ(Eα − Eγ ) , h ¯

(15.3)

u dove l’elemento di matrice Mαγ `e dato dall’Eq. (15.2), oppure, in forma pi` signiﬁcativa Mαγ =

I I Hαβ Hβγ β

Eα − Eβ

=

I I Hαβ Hβγ β

Eγ − Eβ

.

(15.4)

L’equazione (15.3) pu` o essere considerata una diretta generalizzazione della regola aurea di Fermi al caso dei processi del secondo ordine. Di nuovo, la presenza della funzione delta di Dirac fa s`ı che la probabilit` a di transizione sia diversa da zero solo fra stati aventi la stessa energia. La struttura dell’equazione, e pi` u in particolare quella dell’elemento di matrice Mαγ , permette poi di interpretare il processo di transizione come la successione di due eventi successivi. Prima si ha una transizione in cui il sistema passa dallo stato iniziale |α

393

PROCESSI DEL SECONDO ORDINE

allo stato intermedio |β . In tale stato l’energia non `e conservata, e lo stato deve essere considerato come una sorta di “stato virtuale” nel quale il sistema pu` o trovarsi solo durante un intervallo di tempo Δt piccolissimo (ricordando il principio di indeterminazione si ha che Δt ΔE h ¯ , con ΔE pari alla diﬀerenza di energia fra lo stato iniziale, o lo stato ﬁnale, e lo stato intermedio). Successivamente, il sistema ﬁsico transita nello stato ﬁnale |γ . Si pu` o cos`ı pensare che la transizione avvenga “per tramite” dello stato intermedio. Nel seguito, ci riferiremo all’Eq.(15.3) col nome di regola aurea di Fermi generalizzata. Prima di passare alle applicazioni, resta da vedere in cosa dobbiamo modiﬁcare il formalismo introdotto nel Cap. 11 per poter trattare anche i processi di interazione fra radiazione ed elettroni relativistici. L’unica diﬀerenza consiste nel fatto che, al ﬁne di trovare l’Hamiltoniana di interazione, bisogna applicare il principio dell’accoppiamento minimale (Eq. (5.5)) all’Hamiltoniana di Dirac per la particella libera invece che all’Hamiltoniana di Schr¨ odinger. Ricordando che l’Hamiltoniana di Dirac, HD , `e data da (si veda l’Eq. (5.1)) HD = c α · p + β m c2 , I , e considedenotando la nuova Hamiltoniana di interazione col simbolo Hrel rando il caso dell’interazione del campo di radiazione con un insieme di N elettroni, si ha

I Hrel = e0

N

R (ri ) , α ·A

(15.5)

i=1

dove α sono le matrici di Dirac e ri `e la coordinata dell’elettrone i-esimo.

15.2 La diﬀusione Thomson (teoria quantistica) Si abbia un fotone di frequenza ω che interagisce con un elettrone libero a riposo e consideriamo il limite in cui il fotone ha energia ¯h ω molto minore di m c2 , l’energia di riposo dell’elettrone. Come vedremo in maggiore dettaglio in seguito quando tratteremo la diﬀusione Compton, sotto questo limite il processo di diﬀusione avviene in maniera coerente, ovvero il fotone diﬀuso ha la stessa energia del fotone incidente e l’elettrone subisce un rinculo la cui entit`a pu` o senz’altro essere trascurata. Ci proponiamo di calcolare la sezione d’urto del processo in cui un fotone, avente numero d’onda k (con k = ω/c), e polarizzazione individuata dal versore e (in generale complesso), viene diﬀuso di un angolo Θ dando luogo a un fotone avente numero d’onda k , frequenza ω e polarizzazione individuata dal versore e (anch’esso in generale complesso).

394

CAPITOLO 15

Per far questo, calcoliamo la probabilit`a di transizione per unit` a di tempo utilizzando la regola aurea di Fermi nella forma Pf i =

'2 2π '' I Ψf |Hquad |Ψi ' δ(Ei − Ef ) , h ¯

dove |Ψi e |Ψf sono, rispettivamente, gli autostati iniziale e ﬁnale del sistema I complessivo costituito dall’elettrone e dal campo di radiazione e Hquad `e l’Hamiltoniana di interazione “quadratica” data dall’Eq. (15.1), particolarizzata al caso di un solo elettrone (N = 1). Tenendo conto dello sviluppo del potenziale vettore AR (r ) in termini di operatori di creazione e distruzione (Eq. (4.5)), l’Hamiltoniana risulta I = Hquad

1 πh ¯ e20 ∗ −i a ekλ e i k·r + a† ekλ e k ·r √ kλ kλ mV ωk ωk kλ k λ

· a ek λ e i k ·r + a† ek∗ λ e−i k ·r . k λ

k λ

Gli stati iniziale e ﬁnale della transizione sono i seguenti: dal punto di vista del campo elettromagnetico, nello stato iniziale `e presente un fotone di frequenza ω, numero d’onde k (con ω = c k), e polarizzazione individuata dal versore e, mentre nello stato ﬁnale `e presente un fotone di frequenza ω , numero d’onde k (con ω = c k ), e polarizzazione individuata dal versore e . Dal punto di vista del sistema atomico (costituito da un singolo elettrone) supporremo che nello stato iniziale l’elettrone sia descritto dalla funzione d’onda ψ i (r ) e nello stato ﬁnale dalla funzione d’onda ψ f (r ). Utilizzando il formalismo introdotto nel Cap. 11, si ha |Ψi = |ψ i (r ); 0, 0, . . . , 1ke , . . . , 0, . . . |Ψf

= |ψ f (r ); 0, 0, . . . , 0, . . . , 1k e , . . .

, .

Dalla struttura dei vettori di stato e dall’espressione dell’Hamiltoniana di interazione si deduce che, degli inﬁniti termini della somma doppia che compare I nell’espressione di Hquad , soltanto due danno contributo non nullo all’elemento I di matrice Ψf |Hquad |Ψi . Il primo termine `e quello che contiene nella prima parentesi quadra l’operatore di distruzione relativo al modo (ke ) e nella seconda parentesi quadra l’operatore di creazione relativo al modo (k e ), mentre il secondo termine `e quello in cui l’ordine degli stessi operatori `e invertito. In altre parole, al ﬁne del calcolo dell’elemento di matrice, si pu` o eseguire sull’HamilI toniana Hquad la seguente sostituzione formale

I → Hquad

πh ¯ e2 √ 0 a e ei k·r · a† e ∗ e−i k ·r + a† e ∗ e−i k ·r · a e ei k·r . k e e e k k mV ω ω ke

395

PROCESSI DEL SECONDO ORDINE

L’elemento di matrice pu`o adesso essere facilmente calcolato. Tenendo conto delle Eq. (4.10) e (4.11) per valutare gli elementi di matrice degli operatori di creazione e di distruzione, si ottiene I Ψf |Hquad |Ψi =

2π h ¯ e2 √ 0 (e · e ∗ ) ψ f (r )| ei (k−k )·r |ψ i (r ) mV ωω

.

Resta adesso da valutare l’elemento di matrice sulle funzioni d’onda dell’elettrone. Se l’elettrone `e libero, tali funzioni d’onda sono del tipo di onda piana, ovvero 1 ψ i (r ) = √ e i p i ·r/¯h , V

1 ψ f (r ) = √ e i p f ·r/¯h , V

dove p i e p f sono gli impulsi dell’elettrone negli stati iniziale e ﬁnale, rispettivamente. Si ottiene allora 1 i ( k− k )· r e i (−p f /¯h +k−k +p i /¯h)·r d3r . ψ f (r )| e |ψ i (r ) = V Questo integrale vale V se l’impulso ﬁnale dell’elettrone, p f , `e tale da conservare l’impulso totale del sistema, ovvero se p f = p i + h ¯ k − h ¯ k , e vale zero altrimenti. Abbiamo quindi ottenuto, come era logico attendersi, che nel processo di diﬀusione l’impulso totale deve essere conservato. D’altra parte, l’elettrone `e inizialmente a riposo ( p i = 0) e tenendo conto del fatto che l’energia del fotone `e molto minore dell’energia di riposo dell’elettrone, la variazione di impulso dell’elettrone, Δ p = p f pu` o essere senz’altro trascurata per quanto riguarda il suo eﬀetto sulla conservazione dell’energia e quindi sulla frequenza ﬁnale del fotone. Da un punto di vista pi` u formale, si pu` o anche pensare che l’elettrone non cambia il suo stato durante il processo di diﬀusione, in modo tale che si abbia ψ f (r ) = ψ i (r ), e, utilizzando l’approssimazione di dipolo per cui )· r

e i (k−k

1 ,

si ottiene )· r

ψ f (r )| ei (k−k

)· r

|ψ i (r ) ψ i (r )| ei (k−k

|ψ i (r ) ψ i (r )|ψ i (r ) = 1 .

Queste ultime considerazioni possono essere ripetute anche per il caso di un elettrone legato in un atomo (o una molecola). Qui si deve necessariamente imporre che lo stato elettronico iniziale sia uguale allo stato elettronico ﬁnale. Si ottiene in deﬁnitiva, sia per un elettrone libero che per un elettrone legato

396

CAPITOLO 15

I Ψf |Hquad |Ψi =

2π h ¯ e2 √ 0 (e · e ∗ ) , m V ω ω

e quindi, per la probabilit` a di transizione per unit` a di tempo ¯ e40 8π 3 h |e · e ∗ |2 δ(¯ hω −h ¯ ω) . m2 ω ω V 2 Dobbiamo adesso passare da questa espressione alla sezione d’urto per diffusione del fotone iniziale. Per questo utilizziamo il solito procedimento di dividere innanzitutto la probabilit` a di transizione per unit`a di tempo per il ﬂusso di particelle entranti. Siccome si ha un singolo fotone nel volume di normalizzazione V, il ﬂusso `e dato da c/V. Poi dobbiamo compiere una somma sugli stati ﬁnali e tale somma dipende dalla sezione d’urto che vogliamo deﬁnire. A noi interessa la sezione d’urto a polarizzazione ﬁssata, σ(Θ, e, e ), per diﬀusione di un fotone nell’angolo solido dΩ centrato intorno a una direzione che forma un angolo Θ con la direzione del fotone iniziale. Il numero di stati Ω fotonici ﬁnali aventi direzione compresa nel dΩ e frequenza angolare compresa fra ω e ω + dω `e dato dal secondo membro dell’Eq. (4.3) diviso per 2, ovvero Pf i =

dN =

V ω 2 dω dΩ , 8π 3 c3

e si ottiene quindi σ(Θ, e, e ) dΩ =

h ¯ e40 |e · e ∗ |2 dΩ m 2 c4 ω

ω δ(¯ hω −h ¯ ω ) dω .

La presenza della delta di Dirac porta alla ovvia conseguenza ω = ω e conduce all’espressione ﬁnale della sezione d’urto diﬀerenziale σ(Θ, e, e ) =

e40 |e · e ∗ |2 , m 2 c4

ovvero, ricordando la deﬁnizione del raggio classico dell’elettrone (Eq. (3.26)) σ(Θ, e, e ) = rc2 |e · e ∗ |2 .

(15.6)

Come si vede, la sezione d’urto diﬀerenziale dipende esplicitamente solo dalla direzione dei versori di polarizzazione e non dalla direzione del fotone ﬁnale, la dipendenza da quest’ultimo parametro essendo implicitamente contenuta nei versori stessi. La formula adesso trovata permette di ricavare sia le caratteristiche di polarizzazione della radiazione diﬀusa, sia l’andamento del diagramma di radiazione, sia la sezione d’urto totale di diﬀusione. Tutti i risultati coincidono con quelli ottenuti a suo tempo per mezzo dell’elettrodinamica classica nel Par. 3.5. Guardiamo ad esempio come si possa manipolare l’equazione precedente per

PROCESSI DEL SECONDO ORDINE

397

ottenere la sezione d’urto, σ(Θ), relativa alla diﬀusione del fotone sotto l’angolo Θ facendo astrazione dalle propriet` a di polarizzazione sia del fotone iniziale che di quello ﬁnale. Per ottenere questa quantit` a bisogna sommare sulle polarizzazioni ﬁnali e mediare sulle polarizzazioni iniziali. Introduciamo quindi due versori di polarizzazione reali, e1 e e2 , perpendicolari alla direzione del fotone iniziale e perpendicolari fra loro, e, analogamente, due versori reali e 1 e e2 perpendicolari alla direzione del fotone ﬁnale e perpendicolari fra loro. Si ha σ(Θ) =

1 r2 σ(Θ, ei , ej ) = c S , 2 i=1,2 j=1,2 2

dove S=

(ei · ej )2 .

i=1,2 j=1,2

Per valutare questa somma, osserviamo preliminarmente che, dati due vettori v e w arbitrari, e costruito attraverso di essi il prodotto diadico T = v w, si ha Tr(T) = (v w) ii = vi wi = v · w . i

i

Per questa propriet` a, la somma S pu` o scriversi nella forma S = Tr [(e1e1 + e2e2 ) · (e1 e1 + e2 e2 )] . Teniamo inoltre presente che, introducendo i versori u e u paralleli, rispettivamente, alla direzione del fotone iniziale e a quella del fotone ﬁnale, le due terne (e1 , e2 , u ) e (e1 , e2 , u ) sono due terne cartesiane ortogonali, per cui si ha e1 e1 + e2 e2 + u u = U ,

e1 e1 + e2 e2 + u u = U ,

(15.7)

dove U `e il tensore unitario (Uij = δij ). Sostituendo nell’espressione per S e tenendo conto che Tr(U) = 3, si ottiene S = Tr [(U − u u ) · (U − u u )] = = Tr( U ) − Tr( u u ) − Tr( u u ) + (u · u ) Tr( u u ) = 1 + cos2 Θ , e sostituendo questo risultato nell’espressione per σ(Θ) rc2 (1 + cos2 Θ) . (15.8) 2 Inﬁne, integrando sull’angolo solido, si riottiene il risultato classico del Par. 3.6 8π 2 r = σT . σ(Θ) dΩ = 3 c σ(Θ) =

398

CAPITOLO 15

15.3 La diﬀusione Rayleigh quantistica e la diﬀusione Raman Passiamo adesso a trattare i fenomeni della diﬀusione Rayleigh e della diﬀusione Raman. Consideriamo un sistema atomico che si trovi inizialmente nello stato descritto dalla funzione d’onda2 ψ i (r ). Sul sistema incide un fotone di frequenza ω, numero d’onde k, e polarizzazione caratterizzata dal versore e. Il fotone viene diﬀuso dando luogo a un nuovo fotone di frequenza ω , numero d’onde k , e polarizzazione caratterizzata dal versore e . Il sistema atomico viene a trovarsi, dopo il processo di diﬀusione, nello stato descritto dalla funzione d’onda ψ f (r ). Se lo stato ﬁnale coincide, o, pi` u in generale, ha la stessa energia dello stato iniziale, si parla del fenomeno di diﬀusione Rayleigh. Se invece lo stato ﬁnale ha energia diversa dallo stato iniziale, si parla invece di diﬀusione Raman. In ogni caso, indicando rispettivamente con i e con f l’energia del sistema atomico negli stati iniziale e ﬁnale, la frequenza del fotone diﬀuso `e connessa a quella del fotone incidente dalla relazione ω = ω +

i − f . h ¯

Ovviamente, per l’eﬀetto Rayleigh si ha ω = ω, mentre, per l’eﬀetto Raman, ω pu` o essere sia minore che maggiore di ω. Se ω < ω si parla di transizioni Stokes, mentre se ω > ω si parla di transizioni anti-Stokes. La probabilit` a di transizione del processo pu`o essere calcolata mediante la regola aurea di Fermi generalizzata (Eq. (15.3) e (15.4)). Indicando al solito con |Ψ i e |Ψ f gli stati iniziale e ﬁnale del sistema ﬁsico complessivo, costituito dal sistema atomico e dal campo di radiazione, e con |Ψ n uno stato qualsiasi del sistema ﬁsico stesso (stato intermedio, o virtuale), la probabilit`a di transizione per unit` a di tempo `e data da Pf i =

2π |Mf i |2 δ(Ef − Ei ) , h ¯

dove Mf i =

Ψf |HI |Ψn Ψn |HI |Ψi Ei − En n

.

Gli stati iniziali e ﬁnali del sistema complessivo sono descritti dai vettori di stato |Ψi = |ψ i (r ); 0, 0, . . . , 1ke , . . . , 0, . . . , |Ψf 2

= |ψ f (r ); 0, 0, . . . , 0, . . . , 1k e , . . .

.

Per non appesantire troppo le notazioni, supponiamo che il sistema atomico sia costituito da un solo elettrone ottico.

399

PROCESSI DEL SECONDO ORDINE

Tenendo conto dell’espressione dell’Hamiltoniana di interazione, si deduce che gli unici stati intermedi che contribuiscono alla somma sono del tipo |Ψn = |ψ n (r ); 0, 0, . . . , 0ke , . . . , 0k e , . . .

,

|Ψn = |ψ n (r ); 0, 0, . . . , 1ke , . . . , 1k e , . . .

,

oppure

dove |ψ n `e un qualsiasi stato del sistema atomico, la cui energia indichiamo con n . Analogamente a quanto visto in precedenza per la diﬀusione Thomson, si hanno, dal punto di vista del campo di radiazione, due possibili stati intermedi, corrispondenti, rispettivamente, alla distruzione del fotone (k e ) da parte della seconda Hamiltoniana e alla creazione del fotone (k e ) da parte della prima Hamiltoniana, e al caso inverso in cui le Hamiltoniane agiscono “a rovescio”. Per quanto riguarda le diﬀerenze di energie che compaiono al denominatore nell’espressione di Mf i , esse sono date, nei due casi, da Ei − En = i − n + h ¯ω ,

e

Ei − En = i − n − h ¯ ω .

Il calcolo dell’elemento di matrice segue adesso in maniera diretta dall’espres R (r ). Utilizsione dell’Hamiltoniana d’interazione e da quella dell’operatore A zando l’approssimazione di dipolo per gli elementi di matrice relativi al sistema atomico, si ottiene p · e ∗ |ψ n ψ n | p · e |ψ i 2π h ¯ e20 ψ f | √ Mf i = 2 i − n + h ¯ω m V ωω n ψ f | p · e | ψ n ψ n | p · e ∗ |ψ i . + i − n − h ¯ ω Il calcolo della sezione d’urto procede poi secondo lo schema sviluppato precedentemente per la diﬀusione Thomson. La probabilit` a di transizione per unit` a di tempo deve essere divisa per il ﬂusso dei fotoni entranti e si deve poi provvedere a eseguire la somma sugli stati fotonici ﬁnali. La sezione d’urto diﬀerenziale dipende adesso anche dagli stati elettronici iniziale e ﬁnale (oltre che dalle direzioni e dalla polarizzazione dei fotoni), e richiede quindi nella sua deﬁnizione gli indici supplementari f e i. Si ottiene, con semplici trasformazioni ' ' ω ψ f | p · e ∗ |ψ n ψ n | p · e |ψ i '1 2 σf i (Θ, e, e ) = rc ' ' ω m n i − n + h ¯ω ψ f | p · e |ψ n ψ n | p · e ∗ |ψ i + i − n − h ¯ ω

'2 ' ' ' . '

(15.9)

400

CAPITOLO 15

Questa equazione prende il nome di equazione di Kramers-Heisenberg e descrive sia la diﬀusione Rayleigh che la diﬀusione Raman. Nel caso particolare dell’eﬀetto Rayleigh, in cui lo stato elettronico ﬁnale coincide con lo stato elettronico iniziale (e quindi la frequenza ω coincide con la frequenza ω ), `e per` o necessario aggiungere un secondo contributo che proviene dall’Hamiltoniana di I interazione quadratica Hquad . Il contributo `e esattamente lo stesso di quello che abbiamo calcolato a proposito della diﬀusione Thomson (Eq. (15.6)), dimodoch´e l’espressione dell’equazione di Kramers-Heisenberg risulta

[σf i (Θ, e, e )]Ray =

rc2

' ' 1 ψ f | p · e ∗ |ψ n ψ n | p · e |ψ i ' ∗ ' (e · e ) δf i + ' m n i − n + h ¯ω

ψ f | p · e |ψ n ψ n | p · e ∗ |ψ i + i − n − h ¯ ω

'2 ' ' ' . '

(15.10)

L’equazione di Kramers-Heisenberg `e molto generale, ma, per le approssimazioni che abbiamo introdotto nel ricavarla, essa pu` o essere utilizzata solo quando si sia lontani, come si dice, dalle risonanze. Queste si veriﬁcano per i particolari valori di ω (e ω ) tali da annullare l’uno o l’altro dei denominatori delle frazioni contenute entro le parentesi quadre delle Eq. (15.9) e (15.10). Per tali valori, l’equazione porta a delle divergenze dovute al fatto che abbiamo trascurato i fenomeni di smorzamento (damping), ovvero, in termini classici, la cosiddetta forza di smorzamento dovuta alla reazione sull’atomo della radiazione emessa. L’introduzione in maniera coerente di tali fenomeni nell’Elettrodinamica Quantistica `e un argomento complesso che esula dagli scopi del presente volume. Nello stesso spirito bisogna notare che quando si `e prossimi alle risonanze di cui sopra, uno dei due addendi in parentesi quadra prevale nettamente sull’altro (e anche sul termine in (e · e ∗ ) dell’Eq. (15.10)). Nel caso pi` u comune in cui lo stato atomico iniziale `e lo stato fondamentale dell’atomo, `e il primo termine che prevale e l’equazione di Kramers-Heisenberg pu`o essere scritta nella seguente forma sempliﬁcata ' rc2 ω '' ψ f | p · e ∗ |ψ n ψ n | p · e |ψ i σf i (Θ, e, e ) = 2 ' m ω ' n i − n + h ¯ω

'2 ' ' ' . '

15.4 La diﬀusione Compton: aspetti cinematici Dopo aver analizzato i processi di diﬀusione nel caso non relativistico, passiamo adesso al caso relativistico. Consideriamo un fotone che interagisce con

401

PROCESSI DEL SECONDO ORDINE

un elettrone libero a riposo. Se il fotone `e suﬃcientemente energetico, una parte della sua energia viene trasferita all’elettrone e la sua frequenza risulta quindi diminuita. Nello stesso tempo il fotone risulta deviato di un angolo Θ rispetto alla direzione iniziale, come illustrato nella Fig. 15.1. Le relazioni cinematiche esistenti fra le varie grandezze in gioco possono essere facilmente determinate in base alle leggi di conservazione dell’impulso e dell’energia. Indichiamo rispettivamente con k e ω il numero d’onde e la frequenza del fotone prima dell’urto e con k e ω le analoghe quantit` a dopo l’urto. Indichiamo inoltre con p e , rispettivamente, l’impulso e l’energia dell’elettrone dopo l’urto. Ovviamente si ha # ω = ck , ω = c k , = c2 p2 + m2 c4 . In base alle leggi di conservazione si deve avere, essendo l’elettrone inizialmente a riposo h ¯ k = h ¯ k + p ,

h ¯ ω + mc2 = h ¯ ω + .

Eliminando e quadrando si ottiene ¯ 2 (ω − ω )2 + 2 m c2 h ¯ (ω − ω ) . c2 p2 = h mentre ricavando p dall’equazione della conservazione dell’impulso e quadrando si ha c2 p2 = h ¯ 2 (ω 2 + ω 2 − 2 ω ω cosΘ) . Confrontando le due ultime equazioni si ottiene inﬁne, con facili passaggi m c2 (ω − ω ) , h ¯ che permette di esprimere ω in funzione di ω attraverso l’equazione ω ω (1 − cosΘ) =

(15.11)

ω m c2 = . ω m c2 + h ¯ ω (1 − cosΘ) La relazione cinematica che collega ω con ω `e solitamente scritta in una forma pi` u signiﬁcativa. Dividendo ambo i membri dell’Eq. (15.11) per il prodotto ω ω si ha h ¯ 1 1 − = (1 − cosΘ) , (15.12) ω ω m c2 e introducendo in luogo delle frequenze angolari ω e ω le rispettive lunghezze d’onda, λ e λ , deﬁnite da λ=

2π c , ω

λ =

2π c , ω

402

CAPITOLO 15

elettrone interazione fotone incidente

Θ fotone diffuso

Fig. 15.1. Geometria dell’eﬀetto Compton. Un fotone di frequenza ω incide su un elettrone a riposo e viene diﬀuso, alla frequenza ω , lungo la direzione individuata dall’angolo Θ. L’elettrone subisce un rinculo e acquista energia cinetica. Il piano che contiene le tre direzioni ` e detto piano di diﬀusione.

si ottiene λ − λ = λC (1 − cosΘ) , dove la quantit` a λC , detta lunghezza d’onda Compton dell’elettrone, `e data da λC =

h 2.426 × 10−10 cm . mc

Come si vede, l’aumento di lunghezza d’onda del fotone, Δλ = λ − λ, `e sempre compreso fra 0 e 2 λC , indipendentemente dalla lunghezza d’onda del fotone incidente. La variazione relativa, Δλ/λ, risulta dell’ordine di 5 × 10 −6 per la radiazione visibile ed `e quindi diﬃcilmente rilevabile. In questo limite di grandi lunghezze d’onda, la diﬀusione `e praticamente coerente, come abbiamo anticipato nel Par. 15.2 parlando della diﬀusione Thomson. Variazioni relative apprezzabili si ottengono solo a lunghezze d’onda minori, quando l’energia del fotone comincia a essere paragonabile all’energia di riposo dell’elettrone. Non a caso l’eﬀetto Compton fu scoperto sperimentalmente mediante bombardamento di elettroni con raggi X. Inﬁne, `e necessario osservare che nell’urto l’elettrone, inizialmente a riposo, guadagna energia. L’energia ΔE ceduta dal fotone all’elettrone `e ovviamente data da ΔE = − m c2 = h ¯ (ω − ω ) , che pu` o anche essere espressa, con facili passaggi, nella forma ΔE = h ¯ω

h ¯ ω (1 − cosΘ) . m c2 + h ¯ ω (1 − cosΘ)

403

PROCESSI DEL SECONDO ORDINE

15.5 La diﬀusione Compton: aspetti dinamici Dopo aver trattato nel paragrafo precedente gli aspetti cinematici del fenomeno della diﬀusione Compton, passiamo adesso a esaminare lo stesso fenomeno nell’ambito dell’Elettrodinamica Quantistica. Questo ci porter` a non solo a ritrovare le leggi di conservazione dell’impulso e dell’energia, ma anche a determinare l’espressione generale per la sezione d’urto del processo. Riprendendo le considerazioni sviluppate nel paragrafo introduttivo di questo capitolo, utilizziamo la regola di Fermi generalizzata (Eq. (15.3)) per esprimere la probabilit`a di transizione per unit` a di tempo dallo stato iniziale |Ψi , di energia Ei , allo stato ﬁnale |Ψf , di energia Ef . Inoltre, per trattare questo problema in cui i fenomeni relativistici svolgono un ruolo fondamentale, utilizziamo quale Hamiltoniana di interazione l’espressione relativistica dell’Eq. (15.5). La probabilit` a per unit` a di tempo `e quindi data da Pf i =

2π 2 |Mf i | δ(Ei − Ef ) , h ¯

(15.13)

(HI )f n (HI )n i rel rel . Ei − En n

(15.14)

dove Mf i =

In questa equazione, gli elementi di matrice sono dati da I I (Hrel )f n = Ψf |Hrel |Ψn

,

I I (Hrel )n i = Ψn |Hrel |Ψi

,

|Ψn essendo un qualsiasi stato intermedio (o virtuale) del sistema complessivo e la somma essendo estesa a tutti i possibili stati intermedi. Utilizzeremo questa equazione per valutare la sezione d’urto dell’eﬀetto Compton nel caso generale relativistico, in cui l’energia del fotone `e confrontabile con quella di riposo dell’elettrone. Nel caso non relativistico, gi` a analizzato precedentemente, abbiamo visto che la sezione d’urto totale del processo vale σT , la sezione d’urto Thomson. Iniziamo col calcolare la probabilit` a per unit` a di tempo che si veriﬁchi una transizione fra lo stato iniziale, in cui, dal punto di vista del campo di radiazione, `e presente un fotone di frequenza ω, numero d’onde k (con ω = c k), e polarizzazione individuata dal versore e, e lo stato ﬁnale, in cui `e presente un fotone di frequenza ω , numero d’onde k (con ω = c k ), e polarizzazione individuata dal versore e . Dal punto di vista del sistema atomico, costituito in questo caso da un elettrone libero, supporremo che nello stato iniziale l’elettrone abbia impulso p, energia , e spin individuato dall’indice r, mentre nello stato ﬁnale esso abbia impulso p , energia e spin individuato dall’indice s. Ovviamente si ha

404

CAPITOLO 15

=

# c 2 p 2 + m 2 c4 ,

=

# c2 p2 + m2 c4 .

Gli stati iniziale e ﬁnale sono quindi descritti dai vettori di stato (r)

|Ψi = |ψp (x ); 0, 0, . . . , 1ke , . . . , 0, . . . |Ψf (r)

(s)

= |ψp (x ); 0, 0, . . . , 1ke , . . . , 0, . . .

, ,

(s)

dove ψp (x ) e ψp (x ) sono autofunzioni dell’Hamiltoniana di Dirac relative, rispettivamente, all’elettrone nello stato iniziale e ﬁnale, del tipo degli spinori introdotti nel Par. 5.1. L’Hamiltoniana d’interazione `e data dall’Eq. (15.5) che, considerando il caso di un solo elettrone e ricordando l’espressione dell’operatore potenziale vettore data dall’Eq. (4.5), risulta % 2π h ¯ I ∗ −i Hrel = α · a ekλ eik·x + a† ekλ e0 c e k·x , kλ kλ ωk V kλ

dove α sono le matrici di Dirac. Le energie degli stati iniziale e ﬁnale sono date da Ef = + h ¯ ω ,

Ei = + h ¯ω ,

e la presenza della delta di Dirac nell’espressione della probabilit` a di transizione gi` a assicura la conservazione dell’energia. Andiamo adesso a considerare quali sono i possibili stati intermedi che contribuiscono alla somma, ovvero quegli stati per i quali gli elementi di matrice I I (Hrel )f n e (Hrel )n i sono non nulli. Riguardo al campo di radiazione, poich´e l’Hamiltoniana d’interazione `e lineare negli operatori di creazione e distruzione, si vede immediatamente che esistono solo due stati fotonici che portano contributo alla somma, ovvero |0, 0, . . . , 0ke , . . . , 0ke , . . .

,

|0, 0, . . . , 1ke , . . . , 1k e , . . .

.

Nel primo caso la seconda Hamiltoniana (ovvero quella che opera per prima su |Ψi ) distrugge il fotone (k, e ), mentre la prima crea il fotone (k , e ). Nel secondo caso invece la seconda Hamiltoniana crea il fotone (k , e ), mentre la prima distrugge il fotone (k, e ). Tenendo conto di questo fatto, e ricordando le formule che esprimono gli elementi di matrice degli operatori di creazione e distruzione, si ottiene per l’elemento di matrice Mf i dell’Eq. (15.14) Mf i = dove

¯ 2π e20 c2 h √ (A + B) , V ω ω

405

PROCESSI DEL SECONDO ORDINE

A=

(t)

(r)

1 +h ¯ ω − q

ψp (x )|( α · e ∗ ) e−i k ·x |ψq (x ) (s)

qt (t)

× ψq (x )|( α · e ) ei k·x |ψp (x ) B=

(s)

(t)

ψp (x )|( α · e ) ei k·x |ψq (x )

qt

,

1 −h ¯ ω − q

× ψq (x )|( α · e ∗ ) e−i k ·x |ψp (x ) (t)

(r)

.

Teniamo adesso conto che le funzioni d’onda normalizzate degli elettroni liberi sono della forma 1 (r) ψp = √ ei p·x/¯h Wr( p) , V

1 (s) ψp = √ ei p ·x/¯h Ws( p ) , V

1 (t) ψq = √ ei q·x/¯h Wt ( q) , V dove le quantit` a W sono gli spinori, introdotti nel Par. 5.1, che qui riscriviamo ⎛

⎞ q + mc2 0 ⎜ ⎟ W1( q)= C⎝ ⎠ , cqz cq+ ⎛ ⎞ −cqz ⎜ −cq+ ⎟ q)=C⎝ W3( ⎠ , q + mc2 0

⎛

⎞ 0 2 ⎜ + mc ⎟ q ) = C ⎝ q W2( ⎠ , cq− −cqz ⎛ ⎞ −cq− ⎜ cqz ⎟ q)= C⎝ W4( ⎠ , 0 q + mc2

con 1 , C= # 2 q (q + mc2 )

q =

# c 2 q 2 + m 2 c4 .

q ) e W2( q ) sono gli spinori a energia positiva mentre Ricordiamo anche che W1( W3( q ) e W4( q ) sono quelli a energia negativa. Gli integrali in d3 x sulle funzioni d’onda, implicitamente contenuti negli elementi di matrice, sono banali e portano alla conservazione dell’impulso. La somma su q che compare nel termine A d` a contributo non nullo solo se q = ( p+h ¯ k ) e inoltre q = ( p + h ¯ k ), mentre l’analoga somma che compare nel termine B d` a contributo non nullo solo se q = ( p−h ¯ k ) e inoltre ¯ k ). In ogni caso, si deve avere q = ( p −h ¯ k . p + h ¯ k = p + h

406

CAPITOLO 15

k

k’

k’

g

k h

p’

p

p’

p

(a)

(b)

Fig. 15.2. Diagrammi di Feynman dell’eﬀetto Compton. Il diagramma (a) illustra il processo in cui prima viene assorbito (distrutto) il fotone di impulso k e poi viene emesso (creato) quello di impulso k . Il diagramma (b) illustra il processo in cui gli stessi fenomeni avvengono nell’ordine inverso. Nello stato intermedio virtuale, l’elettrone ha impulso g nel caso (a) e h nel caso (b).

Nel seguito utilizzeremo i simboli g e h per indicare l’impulso dell’elettrone nello stato intermedio corrispondente, rispettivamente, ai termini A e B. Poniamo quindi g = p +h ¯ k ,

h = p − h ¯ k .

(15.15)

Le corrispondenti energie dell’elettrone negli stati intermedi, sono date da ±g e ±h , dove , g = c2 ( p+h ¯ k)2 + m2 c4 ,

, h = c2 ( p−h ¯ k )2 + m2 c4 ,

(15.16)

e dove il segno ± va scelto a seconda che si vadano a considerare stati a energia ` facile veriﬁcare che, positiva (t = 1, 2) o stati a energia negativa (t = 3, 4). E in ogni caso, nello stato intermedio non si ha conservazione dell’energia. Come abbiamo gi` a visto precedentemente, lo stato intermedio va quindi considerato come uno stato virtuale nel quale l’elettrone viene a trovarsi solo per un tempo piccolissimo, Δt, tale che Δt ΔE h ¯ , dove ΔE = Ei − En `e la diﬀerenza di energia fra lo stato iniziale (o ﬁnale) e lo stato intermedio. Talvolta, e soprattutto nell’Elettrodinamica Quantistica, ci si riferisce agli stati virtuali dicendo che si tratta di stati che non conservano l’energia e che si trovano quindi al di fuori della cosiddetta energy shell. I processi ﬁsici che stiamo qui analizzando sono convenientemente illustrati dai due tipici diagrammi di Feynman della Fig. 15.2. Ritornando al nostro problema, e osservando che gli integrali in d3 x degli esponenziali danno per risultato V quando `e soddisfatta la conservazione dell’impulso, l’espressione per Mf i risulta

407

PROCESSI DEL SECONDO ORDINE

¯ 2π e2 c2 h Mf i = √0 V ω ω +

Ws† ( p )( α · e ∗ )Wt (g )

t

Ws† ( p )( α · e )Wt (h )

t

1 −h ¯ ω ∓ h

1 W † (g )( α · e )Wr( p) +h ¯ ω ∓ g t † W (h )( α · e ∗ )W ( p ) , (15.17) t

r

dove, davanti ai fattori g e h , bisogna assumere il segno meno per t = 1, 2 e il segno pi` u per t = 3, 4. A questo proposito `e importante sottolineare che la somma sugli stati virtuali deve essere estesa anche agli stati di energia negativa, malgrado tali stati siano completamente occupati secondo l’ipotesi del mare di Fermi. Facendo riferimento, ad esempio, al primo diagramma di Feynman, nel caso in cui sia t = 3, 4, bisogna pensare che lo stato intermedio sia in eﬀetti quello in cui il fotone (k, e ) viene assorbito da un elettrone del mare di Fermi e si crea cos`ı una coppia virtuale elettrone-positrone. Nello stato intermedio si hanno quindi due elettroni (quello originario e quello “nuovo”) e un positrone. Nella transizione allo stato ﬁnale, l’elettrone originario decade nella lacuna del mare di Fermi annichilando cos`ı il positrone ed emettendo il fotone (k , e ). I risultati che si ottengono sono gli stessi sia che si estenda la somma sugli stati intermedi anche agli stati elettronici a energia negativa (come nella nostra trattazione), sia che si introducano come stati intermedi anche gli stati positronici (il che per`o richiederebbe una trattazione formalmente pi` u approfondita che esula dagli scopi di questo volume). Eseguiamo adesso la somma sugli stati di spin dell’elettrone intermedio. Facendo riferimento al primo dei due pezzi, bisogna valutare la matrice S data dalla somma S=

Wt (g )

t=1,2

1 1 Wt† (g ) + Wt (g ) Wt† (g ) . +h ¯ ω − g + h ¯ ω + g t=3,4

Per esprimere questa matrice in forma pi` u conveniente, deﬁniamo le matrici P+ e P− , dette proiettori, attraverso le equazioni Wt (g )Wt† (g ) , P− = Wt (g )Wt† (g ) . (15.18) P+ = t=1,2

t=3,4

Per mezzo di tali matrici si ha S=

P− P+ + . +h ¯ ω − g +h ¯ ω + g

(15.19)

Osserviamo inoltre che, poich´e gli spinori sono gli autovettori normalizzati di una matrice Hermitiana, si ha P+ + P− = 1 .

408

CAPITOLO 15

D’altra parte si ha anche Hg P− = −g P− ,

Hg P+ = g P+ ,

dove Hg `e l’Hamiltoniana di Dirac corrispondente all’impulso g, ovvero Hg = c α · g + β m c2 . Sommando le equazioni precedenti si ottiene Hg (P+ + P− ) = g (P+ − P− ) , da cui si ricava, essendo P+ + P− = 1, P+ − P− =

Hg . g

Questa equazione, unita a quella per (P+ + P− ), permette di esprimere le due matrici P+ e P− nella forma P+ =

g + Hg , 2 g

P− =

g − Hg . 2 g

(15.20)

Sostituendo questo risultato nell’Eq. (15.19), la somma S, solitamente indicata col nome di propagatore, pu`o, con facili passaggi algebrici, essere espressa dall’equazione S=

Hg + + h ¯ω . ( + h ¯ ω)2 − 2g

Mediante un ragionamento del tutto analogo eseguito per la somma sugli stati di spin contenuta nel secondo addendo dell’Eq. (15.17), l’elemento di matrice Mf i pu` o essere espresso nella forma Mf i =

¯ 2π e20 c2 h √ Rf i , V ω ω

(15.21)

dove Rf i = Ws† ( p )( α · e ∗ ) + Ws† ( p )( α · e )

Hg + + h ¯ω ( α · e )Wr( p) ( + h ¯ ω)2 − 2g

Hh + − h ¯ ω ( α · e ∗ )Wr( p) . ( − h ¯ ω )2 − 2

(15.22)

h

L’espressione che abbiamo trovato per Mf i `e molto generale e, considerandone il modulo quadro, permette di determinare la probabilit` a di transizione

PROCESSI DEL SECONDO ORDINE

409

per qualsiasi combinazione di parametri cinematici, stati di spin, e stati di polarizzazione degli elettroni e dei fotoni iniziali e ﬁnali. Prima di procedere `e per` o importante sottolineare una propriet` a fondamentale delle quantit` a che ivi compaiono. Tale propriet` a, che `e connessa con l’invarianza dei fenomeni ﬁsici per trasformazioni di gauge, consiste nel fatto che, se si esegue la trasformazione α · e → α · e + C( α · u − 1) , dove C `e una costante arbitraria e u `e il versore della direzione del fotone iniziale (u = k/k), la quantit` a Rf i non cambia. Analogamente, se si esegue la trasformazione α · e ∗ → α · e ∗ + C ( α · u − 1) , dove C `e una nuova costante arbitraria e u `e il versore della direzione del fotone ﬁnale (u = k /k ), la quantit` a Rf i non cambia. La propriet` a `e dimostrata nell’App. 14. Ritornando alla valutazione della quantit` a Mf i dell’Eq. (15.21), osserviamo che gli stati di spin degli elettroni sono delle quantit` a che, in generale, rivestono ` quindi opportuno provvedere a eseguire, sul modulo scarso interesse ﬁsico. E quadro dell’elemento di matrice, la somma sugli stati di spin dell’elettrone ﬁnale e la media sugli stati di spin dell’elettrone iniziale. Questa quantit`a sar` a nel seguito indicata con |Mf i |2 e, per calcolarla, `e conveniente introdurre due matrici, A e B, deﬁnite da A = ( α · e ∗ ) B = ( α · e )

Hg + + h ¯ω ( α · e ) , ( + h ¯ ω)2 − 2g

Hh + − h ¯ ω ( α · e ∗ ) . ( − h ¯ ω )2 − 2

(15.23)

h

Attraverso queste posizioni, l’elemento di matrice Mf i risulta Mf i =

¯ † 2π e20 c2 h √ Ws ( p ) (A + B) Wr( p) , V ω ω

e si ottiene quindi

|Mf i |2 =

¯2 1 4π 2 e40 c4 h W † ( p ) (A+B) Wr( p )Wr† ( p) (A† +B † ) Ws( p ) . 2 V ωω 2 r,s=1,2 s

Per eseguire le somme su r e su s si possono utilizzare i risultati sui proiettori ottenuti precedentemente (si vedano le Eq. (15.18) e (15.20)). Tenendo conto che

410

CAPITOLO 15

Wr( p )Wr† ( p) =

r=1,2

+ Hp , 2

Ws( p )Ws† ( p ) =

s=1,2

+ Hp , 2

e utilizzando la deﬁnizione di traccia di una matrice, per la quale un prodotto scalare della forma W † X W pu` o essere posto nella forma Tr(W W † X ), con X matrice arbitraria, si ottiene |Mf i |2 = dove

¯2 1 4π 2 e40 c4 h T , V 2 ω ω 8

(15.24)

T = Tr ( + Hp ) (A + B) ( + Hp ) (A† + B † ) .

(15.25)

Il calcolo di questa espressione `e, in generale, piuttosto laborioso, anche se non presenta particolari diﬃcolt` a concettuali. Alcune sempliﬁcazioni di carattere formale possono essere ottenute utilizzando il formalismo dei quadrivettori e delle cosiddette matrici γ, come illustrato nell’App. 15 . Senza introdurre questo formalismo, vedremo nel paragrafo successivo come il calcolo della traccia T possa essere eseguito nel caso sempliﬁcato in cui l’elettrone `e supposto inizialmente a riposo. Questo ci porter` a alla deduzione della ben nota equazione di Klein-Nishina.

15.6 L’equazione di Klein-Nishina Consideriamo il caso in cui l’elettrone iniziale sia a riposo e, per sempliﬁcare ulteriormente i calcoli, supponiamo anche che i versori di polarizzazione e e e siano reali. Per i vari termini che compaiono nell’Eq. (15.25), ricordando anche le Eq. (15.15), si ha = m c2 ,

= m c2 + h ¯ (ω − ω ) ,

g = h ¯ k ,

h = −¯ h k ,

dalle quali, per le Eq. (15.16), si ottengono le espressioni che compaiono al denominatore nelle deﬁnizioni delle matrici A e B delle Eq. (15.23), ovvero ( + h ¯ ω)2 − 2g = 2 m c2 h ¯ω ,

( − h ¯ ω )2 − 2h = −2 m c2 h ¯ ω .

Esplicitando inoltre le espressioni di Hg e Hh si ottiene A = ( α · e )

( α · k ) h ¯ c + (1 + β) m c2 + h ¯ω ( α · e ) , 2 m c2 h ¯ω

411

PROCESSI DEL SECONDO ORDINE

B = ( α · e )

¯ c − (1 + β) m c2 + h ¯ ω ( α · k ) h ( α · e ) . 2 2mc h ¯ω

Osservando poi che Hp = β m c2 (in quanto l’elettrone `e inizialmente a riposo, e quindi p = 0) la traccia dell’Eq. (15.25) risulta T = Tr ( + Hp ) (A + B) (1 + β) m c2 (A† + B † ) .

(15.26)

Nelle formule precedenti si pu` o subito eﬀettuare una prima sempliﬁcazione osservando che la quantit` a (1 + β) m c2 che compare al numeratore nelle espressioni di A e di B (e delle loro aggiunte) pu` o essere semplicemente omessa. Questo si deduce dal fatto che le matrici α anticommutano con la matrice β, per cui si ha, per un vettore v arbitrario (1 + β) ( α · v ) (1 + β) = ( α · v ) (1 − β) (1 + β) = ( α · v ) (1 − β 2 ) = 0 , l’ultimo passaggio risultando dal fatto che β 2 = 1. Andando poi a considerare la somma A + B, tenendo conto della sempliﬁcazione ora enunciata si ha, con facili passaggi 1 [( α · e ) ( α · u ) ( α · e ) + ( α · e ) ( α · u ) ( α · e )] 2 m c2 1 + [( α · e ) ( α · e ) + ( α · e ) ( α · e )] , 2 m c2 dove u e u sono i versori diretti, rispettivamente, lungo k e lungo k . D’altra parte, per le propriet` a di anticommutazione delle matrici α, si ha A+B =

( α · e ) ( α · e ) + ( α · e ) ( α · e ) = 2 (e · e ) , per cui si ottiene 1 (2a + E + F ) , 2 m c2 dove si sono introdotte le quantit` a A+B =

a = e · e ,

E = ( α ·e ) ( α ·u ) ( α ·e ) ,

(15.27)

F = ( α ·e ) ( α ·u ) ( α ·e ) . (15.28)

Tenendo conto di questi risultati, e scrivendo per convenienza la matrice ( + Hp ) nella forma · d , (15.29) + Hp = m c2 b + β + α dove le quantit` a adimensionali b e d sono deﬁnite da

412

CAPITOLO 15

b=1+

h ¯ω−h ¯ ω , m c2

h ¯ h ¯ω h ¯ ω (k − k ) = d = u − u , 2 mc mc m c2

(15.30)

si ottiene, per sostituzione delle Eq. (15.27) e (15.29) nella (15.26)

T =

! 1 Tr ( b + β + α · d ) (2 a + E + F) (1 + β) (2 a + E † + F † ) . 4

Consideriamo adesso il prodotto P deﬁnito da P = (2 a + E + F) (1 + β) (2 a + E † + F † ) . Tenendo conto delle propriet` a di anticommutazione delle matrici di Dirac, esso pu` o essere trasformato nella seguente maniera P = (2 a + E + F) (2 a + E † + F † ) + β (2 a − E − F) (2 a + E † + F † ) = = 4 a2 + 2 a (E † + F † + E + F) + EE † + FF † + EF † + FE † + β 4 a2 + 2 a (E † + F † − E − F) − EE † − F F † − EF † − FE † . Si pu` o adesso osservare che i due prodotti EE † e FF † danno per risultato la matrice unit`a. Questo si ottiene a partire dalle propriet` a di anticommutazione delle matrici α per le quali, se v e w sono due vettori arbitrari, si ha ( α · v ) ( α · v ) = v 2 ,

(15.31)

( α · v ) ( α·w ) = −( α·w ) ( α · v ) + 2 v · w ,

(15.32)

per cui, ad esempio, applicando tre volte l’Eq. (15.31) α · e ) ( α · u ) ( α · e ) ( α · e ) ( α · u ) ( α · e ) = EE † = ( α · u ) ( α · u ) ( α · e ) = ( α · e ) ( α · e ) = 1 . = ( α · e ) ( Tenendo conto di questo risultato, la traccia T risulta 1 Tr ( b + β + α · d ) 4 a2 + 2 + 2 a (E † + F † + E + F) + EF † + FE † 4 ! + (b + β + α · d ) β 4 a2 − 2 + 2 a (E † + F † − E − F) − EF † − FE † .

T =

Conviene adesso osservare che le tracce di matrici ottenute attraverso prodotti di matrici α e β sono tutte nulle, a meno che tale prodotto non contenga un numero pari (o nullo) di matrici α e un numero pari (o nullo) di matrici β.

PROCESSI DEL SECONDO ORDINE

413

Tenendo conto di questa propriet`a, del fatto che le matrici E e F risultano dal prodotto di tre matrici α, e che β 2 = 1, si ottiene T =

1 Tr 4 (b + 1) a2 + (b − 1) (2 + EF † + FE † ) 4 ! + 2 a ( α · d ) (E † + F † + E + F) .

Ricordiamo adesso alcune propriet` a della traccia. Per una matrice M arbitraria si ha Tr(M ) = [Tr(M † )]∗ , e per due matrici M e N arbitrarie si ha Tr(M N ) = Tr(N M ). Se si ricorda anche che le matrici α sono Hermitiane, che la traccia della matrice unitaria vale 4, e che le quantit` a b e d sono reali, si ottiene

! 1 T = 4 (b+1) a2 + (b−1) 4 + Re Tr(EF † ) +a Re Tr ( α · d )(E † + F † ) . 2 (15.33) Valutiamo le tracce delle matrici che rimangono in questa espressione. Ricordando le Eq. (15.28), si ha Tr(EF † ) = Tr[( α · e ) ( α · u ) ( α · e ) ( α · e ) ( α · u ) ( α · e )] . Tenendo presente che il versore u `e ortogonale al versore e e che il versore u `e ortogonale al versore e , tenendo inoltre conto dell’Eq. (15.32), e sfruttando successivamente la propriet` a ciclica della traccia, si ha Tr(EF † ) = Tr[( α · e ) ( α · e ) ( α · u ) ( α · u ) ( α · e ) ( α · e )] = α · e ) ( α · e ) ( α · e ) ( α · u ) ( α · u )] . = Tr[( α · e ) ( In questa espressione, eseguiamo per la prima coppia di prodotti scalari la sostituzione ( α · e ) ( α · e ) = −( α · e )( α · e ) + 2 a , dove abbiamo ricordato di nuovo l’Eq. (15.32) e la deﬁnizione di a data nelle Eq.(15.28). Utilizzando anche l’Eq. (15.31) si ottiene Tr(EF † ) = 2 a Tr[( α · e ) ( α · e ) ( α · u ) ( α · u )] − Tr[( α · u ) ( α · u )] . (15.34) Passiamo all’altra traccia da valutare. Per essa si ha α · d ) ( α · e ) ( α · u ) ( α · e )] Tr[( α · d )(E † + F † )] = Tr[( + Tr[( α · d ) ( α · e ) ( α · u ) ( α · e )] . Ricordando la deﬁnizione del vettore d (Eq. (15.30)), si ottengono quattro pezzi, ovvero

414

CAPITOLO 15

h ¯ω Tr[( α · u ) ( α · e ) ( α · u )( α · e )] Tr[( α · d )(E † + F † )] = m c2 ! h ¯ ω + Tr[( α · u ) ( α · e ) ( Tr[( α · u ) ( α · u ) ( α · e )] − α · e ) ( α · u ) ( α · e )] 2 m c ! + Tr[( α · u ) ( α · e ) ( α · u ) ( α · e )] . Utilizzando l’Eq. (15.32), tenendo conto dell’ortogonalit` a dei versori di polarizzazione rispetto alla direzione di propagazione e della propriet` a ciclica della traccia, si ottiene Tr[( α · d )(E † + F † )] =

¯ω h ¯ ω − h Tr[( α · e ) ( α · e )] mc2

! + Tr[( α · e ) ( α · e ) ( α · u ) ( α · u )] .

(15.35)

Siamo adesso in grado di valutare l’espressione di T . Ricordando la deﬁnizione di b (Eq.(15.30)), e sostituendo le Eq. (15.34) e (15.35) nell’Eq. (15.33), si ottiene, con alcuni passaggi algebrici T = 8 a2 +

h ¯ω − h ¯ ω 1 α · u ) ( α · u )] 4 a2 + 2 − Re Tr[( mc2 2 ! −a Re Tr[( α · e ) ( α · e )] .

Tenendo inoltre presente che, per due vettori arbitrari, v e w, si ha Tr[( α · v ) ( α·w )] = 4 v · w , si ottiene Tr[( α · u ) ( α · u )] = 4 cosΘ ,

Tr[( α · e ) ( α · e )] = 4 e · e = 4 a ,

dove Θ `e l’angolo deﬁnito nella Fig. 15.1 e dove abbiamo ricordato la deﬁnizione di a (Eq. (15.28)). Per semplice sostituzione di questi risultati si ha T = 8 a2 + 2

h ¯ω − h ¯ ω (1 − cosΘ) . mc2

Inﬁne, osservando che in base alle relazioni cinematiche la quantit`a (1 − cosΘ) pu` o scriversi nella forma (si veda l’Eq. (15.12)) 1 m c2 1 , − 1 − cosΘ = h ¯ ω ω

PROCESSI DEL SECONDO ORDINE

415

e ricordando che a = e · e , l’espressione di T pu` o anche essere posta, pi` u signiﬁcativamente, nella forma ω ω 2 − 2 + 4 (e · e ) . T =2 + ω ω Per terminare il calcolo della probabilit` a di transizione, l’espressione di T deve essere sostituita nell’Eq. (15.24). Ricordando che = m c2 , si ottiene |Mf i |2 =

¯2 ω π 2 e40 c2 h ω 2 − 2 + 4 ( e · e , + ) V 2 m ω ω ω ω

e ricordando poi l’Eq. (15.13), la probabilit` a per unit` a di tempo della transizione risulta ¯ ω 2π 3 e40 c2 h ω 2 − 2 + 4 (e · e ) δ(Ei − Ef ) . Pf i = 2 + V m ω ω ω ω Il calcolo della sezione d’urto procede secondo lo schema che abbiamo gi`a utilizzato nel Par. 15.2 per trovare la sezione d’urto Thomson e nel Par. 15.3 per le sezioni d’urto Rayleigh e Raman. La probabilit` a di transizione per unit` a di tempo deve essere divisa per il ﬂusso dei fotoni incidenti, dato dalla solita espressione c/V, e dobbiamo compiere una somma sugli stati ﬁnali. Quello che interessa `e la sezione d’urto a polarizzazione ﬁssata (ovvero a e e e ﬁssati), σ(Θ, e, e ), per diﬀusione di un fotone nell’angolo solido dΩ centrato intorno che forma un angolo Θ con la direzione del fotone iniziale. a una direzione Ω Il numero di stati fotonici ﬁnali aventi direzione compresa nel dΩ e frequenza angolare compresa fra ω e ω + dω `e dato dal secondo membro dell’Eq. (4.3) diviso per 2, ovvero dN =

V ω 2 dω dΩ . 8π 3 c3

Si ottiene quindi

σ(Θ, e, e ) dΩ =

¯ e40 h dΩ 4 m c2 ω

ω ω ω 2 − 2 + 4 ( e · e δ(Ei − Ef ) dω . + ) ω ω

La presenza della delta di Dirac porta alla ovvia conseguenza che tutte le quantit` a dentro l’integrale devono essere valutate in modo da conservare l’energia. Inoltre, la stessa delta porta alla comparsa di un fattore moltiplicativo dovuto al cambiamento di variabile da ω a Ef , che risulta ' ' ' ∂ω ' 1 ' ' ' ∂Ef ' = |∂Ef /∂ω | .

416

CAPITOLO 15

D’altra parte, essendo # # ¯ 2ω2 + h ¯ 2 ω 2 − 2 h ¯ 2 ω ω cosΘ , = m2 c4 + c2 p 2 = m2 c4 + h si ha Ef = h ¯ ω + = h ¯ ω +

# m 2 c4 + h ¯ 2 ω2 + h ¯ 2 ω 2 − 2 h ¯ 2 ω ω cosΘ ,

per cui ∂Ef ¯ ω − h ¯ ω cosΘ h ¯ 2 (ω − ω cosΘ) + h = h ¯ + = h ¯ . ∂ω Ricordando le relazioni cinematiche, secondo le quali ¯ ω = m c2 + h ¯ω , + h

m c2 + h ¯ ω (1 − cosΘ) =

m c2 ω , ω

si ottiene h ¯ m c2 ω ∂Ef = . ∂ω ω Sostituendo questo risultato e ricordando la deﬁnizione del raggio classico dell’elettrone (rc = e20 /(m c2 )), si giunge inﬁne all’espressione dell’equazione di Klein-Nishina r2 ω 2 ω ω 2 σ(Θ, e, e ) = c 2 − 2 + 4 ( e · e . (15.36) + ) 4 ω ω ω In molti casi si `e piuttosto interessati alla sezione d’urto, σ(Θ), relativa alla diﬀusione del fotone sotto l’angolo Θ facendo astrazione dalle propriet` a di polarizzazione sia del fotone iniziale che di quello ﬁnale. Per ottenere questa quantit` a bisogna sommare sulle polarizzazioni ﬁnali e mediare sulle polarizzazioni iniziali, secondo la stessa procedura che abbiamo gi`a seguito nel Par. 15.2 a proposito della sezione d’urto Thomson. Introdotti due versori di polarizzazione reali, e1 e e2 , perpendicolari alla direzione del fotone iniziale e perpendicolari fra loro, e, analogamente, due versori reali e1 e e2 perpendicolari alla direzione del fotone ﬁnale e perpendicolari fra loro, si deve calcolare la quantit` a. σ(Θ) =

1 σ(Θ, ei , ej ) . 2 i=1,2 j=1,2

Il risultato di questa somma (si veda il Par. 15.2 per il calcolo della somma su i e j della quantit` a (ei ·ej )2 ) porta a una nuova espressione della sezione d’urto di Klein-Nishina che fa astrazione dai fenomeni di polarizzazione dei fotoni rc2 ω 2 ω ω 2 σ(Θ) = − sin Θ . + (15.37) 2 ω2 ω ω

PROCESSI DEL SECONDO ORDINE

417

Fig. 15.3. Il diagramma illustra l’andamento della sezione d’urto σ(Θ) in funzione dell’angolo Θ per vari valori di ε. Ciascuna curva corrisponde al valore di ε indicato al suo lato. La sezione d’urto nella direzione individuata dall’angolo Θ `e proporzionale al segmento che unisce l’origine del diagramma alla curva.

In questa formula (cos`ı come in quella trovata precedentemente), la dipendenza da Θ `e eﬀettivamente contenuta anche nei rapporti ω /ω e ω/ω che, ricordando le relazioni cinematiche, sono dati in funzione di Θ dalle espressioni ω 1 = , ω 1 + ε (1 − cosΘ)

ω = 1 + ε (1 − cosΘ) , ω

(15.38)

dove abbiamo introdotto la quantit` a ε, ovvero l’energia del fotone iniziale espressa in termini dell’energia di riposo dell’elettrone ε=

h ¯ω . m c2

(15.39)

La Fig. 15.3 illustra, per mezzo del diagramma di radiazione, l’andamento della sezione d’urto in funzione di Θ per vari valori del parametro ε. Come si vede, la sezione d’urto per diﬀusione in avanti resta costante al variare dell’energia del fotone, mentre la sezione d’urto nelle altre direzioni diminuisce signiﬁcativamente, in maniera monotona, all’aumentare dell’energia. Al limite, per energie molto elevate, la sezione d’urto si “concentra” sempre di pi` u intorno a Θ = 0. Ovviamente, per → 0 i due rapporti ω/ω e ω /ω tendono a 1 e l’Eq. (15.37) riproduce esattamente il risultato per la sezione d’urto Thomson che abbiamo ottenuto sia classicamente, nel Par. 3.5, sia quantisticamente, ma in approssimazione non relativistica, nel Par. 15.2 (Eq. (15.8)).

418

CAPITOLO 15

15.7 La sezione d’urto totale della diﬀusione Compton Esplicitando la dipendenza dall’angolo Θ tramite le Eq. (15.38), l’equazione di Klein-Nishina per la sezione d’urto diﬀerenziale (Eq. (15.37)) risulta 1 2 1 1 2 σ(Θ) = rc + 1 + ε(1 − cosΘ) − sin Θ , 2 [1 + ε(1 − cosΘ)]2 1 + ε(1 − cosΘ) dove ε `e l’energia del fotone incidente divisa per l’energia di riposo dell’elettrone. Quello che ci interessa calcolare `e la sezione d’urto totale, ovvero l’integrale " π σC = σ(Θ) dΩ = 2π σ(Θ) sinΘ dΘ . 4π

0

Sostituendo l’espressione per σ(Θ) e introducendo la variabile x = 1 + ε(1 − cosΘ) , si ottiene

1 σC = π rc2 ε

1+2 ε 1

1 x2

1 +x+ x

x−1 ε

2

x−1 −2 ε

dx ,

ovvero, per mezzo di semplici trasformazioni algebriche

σC = π rc2

1 ε3

1+2 ε

1 + (ε2 − 2 ε − 2)

1

1 1 ε2 + (2 ε + 1) 2 + 3 x x x

dx .

Gli integrali che compaiono in questa espressione sono elementari e possono essere facilmente valutati. Si ottiene ε2 − 2 ε − 2 4 2 (1 + ε) 2 σC = π rc + + ln(1 + 2 ε) , ε2 (1 + 2 ε2 ) ε3 e, normalizzando la sezione d’urto al suo valore non relativistico (sezione d’urto Thomson) dato da σT = 8π rc2 /3, si ha σC = σT A(ε) , dove

1 1+ε ε2 − 2 ε − 2 A(ε) = 3 + + ln(1 + 2 ε) 2 ε2 4 (1 + 2 ε)2 8 ε3

.

PROCESSI DEL SECONDO ORDINE

419

Fig. 15.4. Andamento della sezione d’urto totale dell’eﬀetto Compton, normalizzata al suo valore non relativistico (sezione d’urto Thomson), in funzione dell’energia del fotone incidente, normalizzata alla massa a riposo dell’elettrone.

La funzione A `e una funzione monotonicamente decrescente del suo argomento ed `e riportata in graﬁco nella Fig. 15.4. Il suo sviluppo in serie per energie basse (ε 1) risulta 26 2 ε + ··· . 5 Viceversa, per alte energie, la funzione tende asintoticamente a zero secondo la legge A(ε) = 1 − 2 ε +

3 3 (ln ε + ln 2 + 16 ) . 8ε Un calcolo numerico mostra inoltre che il valore critico, εc , al quale la sezione d’urto `e pari a met`a del suo valore non relativistico `e dato da ε c = 0.69016. A(ε)

15.8 Propriet` a di polarizzazione della diﬀusione Compton Riprendiamo l’equazione di Klein-Nishina per la sezione d’urto a polarizzazione ﬁssata, σ(Θ, e, e ), data dall’Eq. (15.36) rc2 ω 2 ω ω 2 σ(Θ, e, e ) = − 2 + 4 (e · e ) . + 4 ω2 ω ω

420

CAPITOLO 15

Analizziamo le propriet`a di polarizzazione dei fotoni diﬀusi supponendo che i fotoni incidenti costituiscano una miscela “naturale” fatta, per il 50%, da fotoni polarizzati lungo il versore reale e1 e, per l’altro 50%, da fotoni polarizzati lungo il versore reale e2 ortogonale al precedente. La sezione d’urto di diﬀusione dipende adesso unicamente dalla polarizzazione del fotone diﬀuso e, indicando tale sezione d’urto con il simbolo σn (θ, e ), si ha rc2 ω 2 ω ω −2+4S , σn (Θ, e ) = + 4 ω2 ω ω dove S=

1 (ei · e )2 . 2 i=1,2

La quantit` a S pu` o essere calcolata mediante un procedimento simile a quello che abbiamo utilizzato nel Par. 15.2. Si ottiene S=

1 2

[1 − (e · u )2 ] .

Esprimiamo adesso il versore di polarizzazione e come combinazione lineare dei due versori di polarizzazione reali, e1 e e2 , deﬁniti in modo tale che e1 sia perpendicolare al piano di diﬀusione mentre e2 sia contenuto nel piano di diﬀusione (si veda la Fig. 3.7)3 . Poniamo quindi e = c1 e1 + c2 e2 con c21 + c22 = 1 . Osservando che e1 · u = 0 e che e2 · u = − sinΘ, si ottiene S=

1 2

(1 − c22 sin2 Θ) .

La sezione d’urto per diﬀusione di un fotone polarizzato in direzione perpendicolare al piano di diﬀusione (c22 = 0) `e quindi data da rc2 ω 2 ω ω , σn (Θ, e1 ) = + 4 ω2 ω ω mentre quella per diﬀusione di un fotone polarizzato lungo il piano di diﬀusione (c22 = 1) `e data da r2 ω 2 ω ω 2 σn (Θ, e2 ) = c 2 − 2 sin + Θ . 4 ω ω ω 3

Si noti che nella Fig. 3.7 la denominazione dei versori `e invertita rispetto a quella qui utilizzata.

PROCESSI DEL SECONDO ORDINE

421

Fig. 15.5. Andamento della polarizzazione lineare della radiazione diﬀusa per eﬀetto Compton nel caso di radiazione incidente non polarizzata. In ascissa `e riportata l’energia dei fotoni incidenti espressa in termini della massa a riposo dell’elettrone. Le curve si riferiscono a vari valori dell’angolo di diﬀusione Θ. Per valori di Θ compresi fra 90 ◦ e 180◦ , le curve (non riportate in ﬁgura) decadono pi` u rapidamente, all’aumentare di ε, rispetto alle curve corrispondenti all’angolo supplementare (con le quali coincidono per ε 1).

La radiazione diﬀusa `e quindi polarizzata linearmente nella direzione perpendicolare al piano di diﬀusione. La polarizzazione `e data da sin2 Θ σn (Θ, e1 ) − σn (Θ, e2 ) = . ω ω σn (Θ, e1 ) + σn (Θ, e2 ) 2 + ω − sin Θ ω L’andamento di p in funzione del parametro ε per vari valori dell’angolo di diﬀusione `e rappresentato nella Fig. 15.5. La polarizzazione lineare della radiazione diﬀusa decresce monotonicamente all’aumentare dell’energia del fotone incidente e tende a zero per ε → ∞. Per eseguire un’analisi pi` u dettagliata delle caratteristiche di polarizzazione dell’eﬀetto Compton `e necessario rilasciare l’ipotesi, introdotta all’inizio del Par. 15.6, consistente nel supporre che i versori di polarizzazione e e e siano reali. Nel caso pi` u generale in cui si introducano versori complessi, si pu` o dimostrare che l’Eq. (15.36) per la sezione d’urto a polarizzazione ﬁssata deve essere sostituita dalla seguente (che ovviamente coincide con la (15.36) per e ed e reali) p=

r2 ω 2 σ(Θ, e, e ) = c 2 4 ω

ω ω ∗ 2 2 ∗ 2 − 2 1 + |e · e | − |e · e | + 4 |e · e | . + ω ω

422

CAPITOLO 15

In base a questa equazione si pu` o poi mostrare che i parametri di Stokes della radiazione diﬀusa sono connessi a quelli della radiazione incidente attraverso una matrice che generalizza quella che abbiamo ottenuto per la diﬀusione Thomson (Eq. (3.27)) e che, nella consueta geometria della Fig. 3.7 e con le solite convenzioni per la deﬁnizione dei parametri di Stokes, `e data da ⎛ ⎞ ω ω 2 2 + Θ sin Θ 0 0 − sin ω ⎜ ω ⎟ ⎜ ⎟ 2 2 ⎜ ⎟ 1 + cos Θ 0 0 sin Θ ⎜ ⎟ . ⎜ ⎟ 0 0 2 cosΘ 0 ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ω ω + cosΘ 0 0 0 ω ω Come si pu` o facilmente veriﬁcare, nel limite non relativistico (ω = ω) tale matrice coincide con quella della diﬀusione Thomson. La struttura della matrice mostra che la polarizzazione circolare, che pu`o esistere nella radiazione diﬀusa solo quando `e gi` a presente in quella incidente, persiste anche a grandi valori di ε. Questa propriet` a `e connessa con la conservazione del momento angolare 4.

15.9 Scambio di energia fra fotoni ed elettroni Nel processo che abbiamo analizzato in dettaglio nei paragraﬁ precedenti, l’elettrone, inizialmente a riposo, subisce un rinculo e acquista energia cinetica. L’energia acquistata dall’elettrone pu` o essere facilmente calcolata tenendo presente l’espressione per la sezione d’urto σ(Θ) dell’Eq. (15.37) e considerando che tale energia risulta pari a ¯h (ω − ω ). Se indichiamo quindi col simbolo σE la sezione d’urto per il trasferimento relativo di energia dal fotone all’elettrone, tale quantit` a `e espressa dall’integrale " 1 σE = σ(Θ) h ¯ (ω − ω ) dΩ . h ¯ ω 4π Ricordando le Eq. (15.37) e (15.38), introducendo la variabile ε (Eq. (15.39)), ed eﬀettuando il cambiamento di variabile x = 1 + ε (1 − cos Θ), si ottiene

σE =

π rc2

1 ε

1

1+2 ε

1 x2

1 +x+ x

x−1 ε

2

x−1 −2 ε

1 1− x

dx ,

ovvero, per mezzo di semplici trasformazioni algebriche 4

Per un approfondimento si veda, ad esempio, l’articolo: U. Fano, Journal of the Optical Society of America, 39, 859, (1949).

PROCESSI DEL SECONDO ORDINE

423

Fig. 15.6. Andamento della sezione d’urto per il trasferimento relativo di energia dal fotone all’elettrone (supposto inizialmente a riposo) nella diﬀusione Compton. Il massimo della curva si veriﬁca per ε = 0.9821.

σE =

π rc2

1 ε3

1

1+2ε

1 1 1 + (ε2 − 2ε − 3) − (ε2 − 4ε − 3) 2 x x + (ε2 − 2ε − 1)

1 ε2 dx . − x3 x4

Eseguendo gli integrali, e normalizzando la sezione d’urto alla sezione d’urto Thomson, si ottiene σE = σT E(ε) , dove

E(ε) =

9 + 51 ε + 93 ε2 + 51 ε3 − 10 ε4 3 − 3 (3 + 2 ε − ε2 ) ln(1 + 2 ε) . 2 3 4 ε (1 + 2 ε) 8ε

L’andamento della funzione E(ε) `e rappresentato nella Fig. 15.6. Gli sviluppi asintotici risultano: per ε 1 E(ε) = ε − e, per ε 1,

21 2 ε + ··· , 5

424

CAPITOLO 15

3 (ln ε + ln 2 − 56 ) . 8ε L’andamento della σE (ε) in funzione di ε `e facilmente interpretabile osservando che, per ε piccoli, i fotoni praticamente “rimbalzano” elasticamente sull’elettrone senza cedergli energia. Viceversa, per ε grandi, l’elettrone ﬁnisce per essere praticamente “trasparente” al fotone. Da queste considerazioni si deduce che la funzione σE debba presentare un massimo. Tale massimo si veriﬁca a ε 1, ovvero quando l’energia del fotone `e uguale all’energia di riposo dell’elettrone. Nel caso dell’elettrone a riposo, il trasferimento di energia `e sempre dal fotone all’elettrone. Tuttavia, quando l’elettrone `e in moto, possono avvenire trasferimenti di energia nei due sensi, a seconda dei parametri cinematici. In particolare, quando l’energia cinetica dell’elettrone `e alta rispetto all’energia del fotone, l’energia viene trasferita dall’elettrone al fotone. Questo fenomeno `e comunemente chiamato eﬀetto Compton inverso. E(ε)

15.10 L’eﬀetto Compton inverso Senza eseguire una trattazione sistematica, cerchiamo di determinare in maniera approssimata l’energia che viene mediamente trasferita per eﬀetto Compton inverso da un elettrone, mobile con velocit`a v , a un insieme di fotoni che supponiamo monocromatici e isotropi. Per questo, eseguiamo una trasformazione di Lorentz dal “sistema del laboratorio”, dove i fotoni hanno tutti frequenza ω0 e direzione distribuita isotropicamente, mentre l’elettrone ha velocit`a v , al sistema di riposo dell’elettrone. In questo sistema i fotoni perdono la loro propriet` a di isotropia e di monocromaticit`a. La loro distribuzione in frequenza si ottiene ricordando la formula dell’eﬀetto Doppler ω = ω0 γ (1 − β cosα) , dove β = v/c, γ = (1 − β 2 )−1/2 , e α `e l’angolo compreso fra la direzione dell’elettrone e quella del fotone nel sistema di laboratorio. La distribuzione delle frequenze dei fotoni nel sistema di riposo dell’elettrone si ottiene ricordando l’ipotesi della loro isotropia nel sistema di laboratorio, la quale implica f (ω) dω =

1 1 dΩ = sinα dα , 4π 2

e poich´e dω = ω0 γ β sinα dα , deﬁnendo le frequenze ω1 e ω2 con le equazioni

425

PROCESSI DEL SECONDO ORDINE

f (ω)

ω1 ω0

ω1 = ω0

1−β 1+β

ω2 = ω0

1+β 1−β

f (ω)

ω

ω2

ω−

ω− = ω0

1−β 1+β

ω+ = ω0

1+β 1−β

ω+ ω

ω0

(a)

(b)

Fig. 15.7. Funzione di distribuzione dei fotoni nel sistema di riposo dell’elettrone (a), e funzione di distribuzione dei fotoni diﬀusi nel sistema di laboratorio (b). Prima della diﬀusione, la funzione di distribuzione in questo sistema `e una delta di Dirac alla frequenza ω0 . Le distribuzioni si riferiscono al caso β = 0.7.

% ω1 = ω0

1−β , 1+β

% ω2 = ω 0

1+β , 1−β

si ottiene, per ω1 ≤ ω ≤ ω2 f (ω) =

1 . 2 ω0 γ β

Il risultato `e una distribuzione uniforme di valori di ω in un intervallo ﬁnito, come illustrato nella Fig 15.7, riquadro (a). Supponiamo adesso che la frequenza ω0 sia suﬃcientemente bassa, in modo tale che tutto l’intervallo di valori di ω in cui la funzione f (ω) `e diversa da zero venga a cadere nel regime della sezione d’urto Thomson. Nel processo di diﬀusione, la distribuzione f (ω) non viene alterata perch´e ogni fotone mantiene la propria frequenza. Se si suppone poi di trascurare anche la dipendenza della sezione d’urto Thomson dall’angolo di diﬀusione (ovvero se si suppone che la diﬀusione Thomson avvenga in maniera isotropa), si ottiene il risultato che, dopo la diﬀusione, i fotoni sono distribuiti isotropicamente anche nel sistema di riposo dell’elettrone. Si pu` o allora eseguire una nuova trasformazione di Lorentz in modo da ritornare nel sistema del laboratorio. Il risultato per la distribuzione in frequenza dei fotoni diﬀusi, f (ω), `e illustrato nella Fig. 15.7, riquadro (b). La distribuzione `e nulla ovunque fuorch´e nell’intervallo ω− ≤ ω ≤ ω+ , dove ω− = ω 0

1−β , 1+β

ω+ = ω 0

1+β . 1−β

426

CAPITOLO 15

La funzione cresce linearmente per ω compreso fra ω− e ω0 , raggiunge il massimo per ω = ω0 e poi decresce linearmente per ω compreso fra ω0 e ω+ . Il valore medio della distribuzione, ω , si ottiene valutando l’ascissa del baricentro del triangolo di Fig. 15.7, riquadro (b), il che d` a ω =

1 + 13 β 2 1 . (ω− + ω+ + ω0 ) = ω0 3 1 − β2

La frazione di energia trasferita in media dall’elettrone ai fotoni per singolo evento di diﬀusione risulta quindi 4 2 β ω − ω0 = 3 2 = ω0 1−β

4 3

γ2 β2 .

Un elettrone che si propaga in un mezzo in cui siano presenti dei fotoni si comporta quindi come se emettesse energia elettromagnetica. In eﬀetti, non si tratta di una vera e propria emissione ma soltanto del fatto che i fotoni acquistano energia a causa dell’urto subito da parte dell’elettrone. Se vogliamo calcolare la potenza “emessa” in questo processo, possiamo osservare che, in base alla formula precedente, il guadagno relativo di energia dei fotoni `e indipendente da ω0 . Se indichiamo quindi con ufot la densit` a di energia dei fotoni (energia per unit` a di volume) prima dell’urto, e se ricordiamo che nel limite che abbiamo considerato la sezione d’urto `e σT , possiamo esprimere la potenza emessa nella forma 4 c σT γ 2 β 2 ufot . 3 Questa formula permette a sua volta di deﬁnire una sezione d’urto elettronica (i) per eﬀetto Compton inverso, σC . Tenendo conto che l’elettrone si muove con velocit`a v = c β e che esso “spazza” per unit`a di tempo l’energia fotonica c β ufot , si ottiene W =

(i)

σC =

4 2 γ β σT . 3

Appendici A.1 Unit` a di misura dell’elettromagnetismo Le unit` a di misura che intervengono nei fenomeni elettromagnetici sono state introdotte attraverso un processo storico lungo e tortuoso. Senza entrare nei dettagli di tale processo, cerchiamo qui di riassumerne i punti fondamentali alla luce di una visione moderna dei fenomeni stessi, sottolineando che queste note sono dirette a un lettore che sia gi` a a conoscenza della fenomenologia di base dell’elettromagnetismo. Per quanto riguarda l’elettrostatica, la legge fondamentale `e quella di Coulomb che si scrive, nel vuoto, nella forma generale q1 q2 F = kC 2 vers r , r dove F `e la forza che la carica puntiforme q1 esercita sulla carica puntiforme q2 posta alla distanza r = r2 − r1 , e dove kC `e una costante –che pu`o essere scelta sia dimensionale che adimensionale– e che implicitamente deﬁnisce l’unit`a di misura della carica (assumendo, ovviamente, che le unit`a di misura delle `e grandezze meccaniche siano gi`a state ﬁssate). Il vettore campo elettrico, E, deﬁnito in un punto arbitrario attraverso l’equazione = F , E qp dove F `e la forza elettrica che si esercita sulla carica “di prova” qp disposta nel punto stesso. Da questa deﬁnizione e dalla legge di Coulomb si deduce l’espressione del campo elettrico dovuto alla carica puntiforme q, che risulta = kC q vers r , E r2 dalla quale segue poi il teorema di Gauss in forma integrale, ovvero · n dS = 4π kC Q , E Φ(E) = Σ

Q essendo la carica contenuta entro la superﬁcie Σ, oppure, in forma diﬀerenziale = 4π kC ρ , divE dove ρ `e la densit`a di carica elettrica (carica contenuta nell’unit` a di volume).

428

APPENDICI

A proposito della deﬁnizione del vettore campo elettrico, bisogna osservare che essa non `e l’unica possibile, in quanto si potrebbe benissimo deﬁnire il campo elettrico creato dalla carica q come = kC δ q vers r , E r2 con δ costante arbitraria (eventualmente dimensionale), pur di esprimere la forza elettrica che il campo esercita sulla carica di prova qp nella forma 1 . F = qp E δ Fortunatamente, per quanto riguarda i fenomeni elettrici, si assume δ = 1. La cosa non `e per` o vera per i fenomeni magnetici. Riguardo alla magnetostatica, si hanno equazioni del tutto analoghe a quelle dell’elettrostatica. In tali equazioni, per ragione storiche, viene introdotto il concetto ﬁttizio di “massa magnetica” o di “polo magnetico”. Le equazioni corrispondenti a quelle scritte precedentemente sono le seguenti (il simbolo m denotando la massa magnetica): Legge di Gilbert1 (analoga della legge di Coulomb) m1 m2 F = kG vers r . r2 Deﬁnizione del vettore induzione magnetica generato dalla massa magnetica m = kG γ m vers r , B r2 dove γ `e una costante arbitraria (eventualmente dimensionale). Forza agente sulla massa magnetica di prova mp 1 . F = mp B γ

(A1.1)

Equivalente del teorema di Gauss (forma integrale) =0 , Φ(B) in quanto non esistono masse magnetiche isolate (monopoli magnetici). Equivalente del teorema di Gauss (forma diﬀerenziale) =0 . divB 1 La denominazione “Legge di Gilbert” non ` e universalmente riconosciuta. In eﬀetti la legge ` e stata scoperta sperimentalmente dallo stesso Coulomb e potrebbe quindi essere chiamata a buon diritto “seconda legge di Coulomb”. William Gilbert (1564-1603) era un medico inglese, ben anteriore a Coulomb, che `e ricordato soprattutto per i suoi studi sul magnetismo terrestre e che aveva intuito che la forza magnetica dovesse aumentare al diminuire della distanza.

429

APPENDICI

Le prime connessioni quantitative fra fenomeni elettrici e magnetici sono state stabilite attraverso esperimenti basati sulle correnti elettriche2 . L’intensit` a della corrente elettrica, i, che ﬂuisce in un conduttore `e deﬁnita attraverso la semplice equazione i=

dq , dt

e, a partire da essa, si pu` o deﬁnire la densit` a di corrente, j, come un vettore diretto lungo la direzione di moto delle cariche (positive) e avente per modulo j=

i , σ

essendo σ l’area della sezione del conduttore. Gli esperimenti compiuti, nella prima met` a del XIX secolo, soprattutto ad opera di Ørsted, Amp`ere e Faraday, hanno portato all’idea che le correnti elettriche creino nel loro intorno dei campi magnetici e che, allo stesso tempo, un campo magnetico sia in grado di agire sulle correnti con delle forze. Allo stesso tempo `e emersa chiaramente l’idea che i magneti permanenti contengano, a livello microscopico, un gran numero di correnti elettriche elementari responsabili, in ultima analisi, dei fenomeni della magnetostatica. In termini moderni, le propriet` a magnetiche delle correnti possono essere riassunte da un’unica legge che si esprime dicendo che, in situazioni stazionarie, l’elemento di corrente di un circuito elementare (microscopico o macroscopico), i1 d1 , agisce sull’elemento di corrente di un altro circuito elementare, i2 d2 , con una forza inﬁnitesima, dF , data dalla legge vers r , dF = kA i2 d2 × i1 d1 × r2 o essere indipendente da quelle gi` a dove kA `e una nuova costante (che non pu` introdotte), e dove r `e il raggio vettore che va dall’elemento di corrente i 1 d1 all’elemento di corrente i2 d2 . Questa legge permette l’introduzione del vettore induzione magnetica. Anche in questo caso si ha un’arbitrariet`a nella deﬁnizione del campo e si ammette, in generale, che l’elemento di corrente i d crei dato da (prima legge di Laplace) un campo, dB, = kA β i d × dB

vers r , r2

(A1.2)

una e che un elemento di corrente i dl subisca, in presenza di un campo B, forza dF data da (seconda legge di Laplace) 2

Tali esperimenti furono resi possibili dalla scoperta della pila elettrica da parte di Alessandro Volta.

430

APPENDICI

dF =

1 i d × B . β

La quantit` a β introdotta in queste equazioni `e arbitraria. Vediamo adesso le conseguenze matematiche dell’Eq. (A1.2) considerando un circuito chiuso. Il vettore induzione magnetica `e dato da " vers r B = kA β i d × , r2 C dove C `e la curva chiusa descritta dal circuito. Mediante metodi standard della ﬁsica-matematica, si pu`o mostrare che valgono le equazioni =0 , divB che conferma l’analoga equazione della magnetostatica, e = 4π kA β j , rotB dove j `e la densit` a di corrente. Questa equazione, detta legge di Amp`ere, vale per`o solo in situazioni stazionarie. Seguendo un ragionamento dovuto a Maxwell, essa pu` o essere trasformata in un’equazione pi` u generale valida anche per fenomeni variabili nel tempo. Per far questo osserviamo che, considerando la divergenza di entrambi i membri, si ottiene divj = 0 , mentre, in generale, deve valere l’equazione di continuit` a ∂ρ =0 , ∂t ρ essendo la densit`a di carica. Per riaggiustare le cose, basta ricordare l’espressione diﬀerenziale della legge di Coulomb, secondo la quale, prendendone la derivata rispetto al tempo, si ha divj +

∂ρ 1 ∂ , = (divE) ∂t 4π kC ∂t per cui, in generale, vale l’equazione

1 ∂E div j + 4π kC ∂t

=0 .

Il secondo addendo in parentesi `e la cosiddetta densit`a di corrente di sposta corretta per trattare mento. Con la sua introduzione, l’equazione per rotB, anche i fenomeni non stazionari, risulta

431

APPENDICI

− rotB

kA β ∂ E = 4π kA β j . kC ∂t

Restano inﬁne da considerare i fenomeni di induzione magnetica. La legge che li descrive pu`o essere dedotta, almeno in un caso particolare, dalla seconda legge di Laplace. Si ottiene =− rotE

1 ∂B , β ∂t

per cui, riassumendo, le leggi che regolano i fenomeni elettromagnetici possono essere tutte racchiuse nelle quattro seguenti (equazioni di Maxwell) = 4π kC ρ , divE − kA β ∂ E = 4π kA β j , rotB kC ∂t

=0 , divB + rotE

1 ∂B =0 . β ∂t

Andiamo adesso a considerare le equazioni di Maxwell nel vuoto. Prendendo il rotore della terza equazione e sostituendo la quarta, si ottiene l’equazione delle onde = ∇2 B

kA ∂ 2 B . kC ∂t2

D’altra parte sappiamo che le onde elettromagnetiche si propagano nel vuoto con la velocit` a c, per cui si deve avere kA 1 = 2 , kC c ovvero kA =

kC , c2

una relazione che collega fra loro le quantit` a kA e kC indipendentemente dal sistema di unit` a considerato. Vediamo adesso come si procede nei due sistemi di unit` a pi` u utilizzati, il sistema c.g.s. di Gauss (talvolta anche detto sistema di Gauss-Hertz) e il Sistema Internazionale. Nel sistema c.g.s. di Gauss, si assume kC = 1, dimodoch´e l’unit` a di carica `e deﬁnita come quella carica che ne respinge una uguale, posta alla distanza di un cm, con la forza di una dyne. A tale unit`a si d` a il nome di Franklin oppure statamp`ere. Essendo kC = 1, ne risulta quindi kA = 1/c2 . In questo sistema, inoltre, si assume β = c, cosicch´e le equazioni di Maxwell si scrivono (cfr. Eq. (1.1)-(1.4))

432

APPENDICI

=0 , = 4π ρ , divB divE + 1 ∂B = 0 . − 1 ∂ E = 4π j , rotE rotB c ∂t c c ∂t Inoltre, la prima e la seconda legge di Laplace e la legge che le riassume si scrivono, rispettivamente, nella forma i vers r i , d × , dF = d × B c r2 c i2 i1 vers r d1 × dF = d2 × . c c r2

= dB

Nel Sistema Internazionale, invece, si preferisce introdurre due nuove costanti, la permittivit` a elettrica del vuoto (anche detta costante dielettrica del vuoto), 0 , e la permeabilit` a magnetica del vuoto, μ0 , tali che 0 μ0 =

1 . c2

Atraverso queste quantit` a, si pone kC = dimodoch´e si ha kA =

1 , 4π 0

kC 1 μ0 . = = c2 4π 0 c2 4π

In questo sistema, inoltre, si pone β = 1, per cui le equazioni di Maxwell si scrivono = divE − rotB

ρ , 0 1 ∂E

=0 , divB + ∂B = 0 . rotE ∂t

= μ0 j , c2 ∂t Inoltre, la prima e la seconda legge di Laplace e la legge che le riassume si scrivono, rispettivamente, nella forma μ0 vers r , i d × , dF = i d × B 4π r2 vers r μ0 i2 d2 × i1 d1 × . dF = 4π r2

= dB

(A1.3)

Per quanto riguarda i valori numerici di 0 e di μ0 , viene deﬁnito l’Amp`ere (unit` a di misura della corrente) come quella corrente che, percorrendo un ﬁlo rettilineo indeﬁnito di spessore trascurabile, ne attrae uno uguale, posto alla

APPENDICI

433

distanza di un metro nel vuoto, con una forza per unit` a di lunghezza pari a 2 × 10−7 N m−1 . Per mezzo dell’Eq. (A1.3) si ricava che in tale geometria la forza per unit` a di lunghezza che agisce su uno dei due conduttori `e attrattiva ed `e data, in modulo, dalla seguente espressione dF μ0 i2 =2 , dl 4π r per cui se ne deduce che deve essere3 μ0 = 4π × 10−7 N A−2 = 1.256637 × 10−6 N A−2 , e quindi, ricordando che il Coulomb `e la carica trasportata in un secondo dalla corrente di un Amp`ere 0 =

1 = 8.854188 × 10−12 C2 N−1 m−2 . μ0 c2

Resta inﬁne da analizzare la relazione esistente fra masse magnetiche e correnti. Dalle leggi di Laplace, si pu` o dedurre che un circuito piano ﬁliforme di area σ, percorso dalla corrente i, si comporta, a distanze molto grandi rispetto alle sue dimensioni, come un dipolo magnetico diretto lungo il versore n perpendicolare alla superﬁcie stessa, il verso di n essendo speciﬁcato dalla regola del cavatappi (o della vite destra). Questo `e il cosiddetto principio di equivalenza di Amp`ere, che si esprime mediante la formula μ = kP i σ n , dove kP `e una nuova costante da collegare a quelle precedentemente introdotte. Per stabilire questo collegamento, valutiamo, ad esempio, il momento delle forze che agisce sul dipolo elementare disposto in un punto dello spazio dove `e Utilizzando l’Eq. (A1.1), si ha persente un campo B. = 1μ = 1 kP i σ n × B . M ×B γ γ Dalla seconda legge di Laplace, invece, si ha " ) , = 1 i r × (d × B M β e sviluppando questa espressione per mezzo dei metodi della ﬁsica matematica si ottiene = 1 i σ n × B . M β 3

Con l’introduzione delle grandezze ﬁsiche capacit` a e autoinduzione e delle relative unit` a di misura, il Farad (F) e l’Henry (H), le unit` a in cui sono espresse μ0 e 0 risultano, rispettivamente, H m−1 e F m−1 .

434

APPENDICI

si ha quindi Confrontando le due espressioni per M kP =

γ . β

Inﬁne, considerando la forza che si esercita tra due circuiti inﬁnitesimi, trattati, in un primo caso, come dipoli elementari e, in un secondo caso, come spire percorse da corrente, si ottiene la relazione 2 kG kP = kA ,

che permette di esprimere kG nella forma kG =

kA kC β 2 = . 2 kP c2 γ 2

Nel sistema c.g.s. di Gauss, essendo kC = 1 e β = c, e assumendo γ = 1, si ottiene 1 kP = , kG = 1 . c Il principio di equivalenza di Amp`ere risulta quindi μ =

i σ n , c

e la legge di Gilbert

m1 m2 F = vers r . r2 Nel Sistema Internazionale, invece, essendo kC = 1/(4π0 ), e β = 1, assumendo4 γ = μ0 e ricordando che c2 = 1/(0 μ0 ), si ottiene kP = μ0 ,

kG =

1 . 4πμ0

Il principio di equivalenza di Amp`ere risulta quindi μ = μ0 i σ n , e la legge di Gilbert F =

1 m1 m2 vers r . 4π μ0 r2

Bisogna inﬁne sottolineare che, oltre ai due qui introdotti, esistono altri sistemi di unit` a che sono stati utilizzati per i fenomeni elettromagnetici. In 4

Questa convenzione non `e universalmente accettata. Alcuni autori preferiscono assumere γ = 1 anche nel Sistema Internazionale. In questo caso il principio di equivalenza di Amp`ere si scrive μ = iσ n mentre nella legge di Gilbert il fattore μ0 viene a comparire al numeratore invece che al denominatore.

APPENDICI

435

particolare `e necessario menzionare il sistema c.g.s. elettrostatico, il sistema c.g.s. elettromagnetico e il sistema c.g.s. di Heavyside.

A.2 Algebra tensoriale In questo volume `e spesso necessario trattare con enti vettoriali e tensoriali e ` quindi con loro espressioni diﬀerenziali, quali divergenze, rotori e gradienti. E utile dare una breve introduzione dell’argomento allo scopo di rendere il lettore familiare con un formalismo compatto che permette di dedurre con facilit` a una serie di identit` a vettoriali e tensoriali e varie formule di trasformazione. La deﬁnizione tradizionale di tensore che viene comunemente data in ﬁsica `e basata sulla generalizzazione della deﬁnizione di vettore. In un sistema di riferimento cartesiano ortogonale, il vettore v si deﬁnisce come un ente a tre componenti (vx , vy , vz ) oppure (v1 , v2 , v3 ), le quali, per una rotazione arbitraria del sistema di riferimento, si modiﬁcano secondo la legge vi =

Cij vj ,

j

dove i coeﬃcienti Cij sono i coseni direttori dei nuovi assi rispetto ai vecchi. In stretta analogia, si deﬁnisce un tensore T di rango n come un ente a 3 n componenti (Ti...j con i, . . . , j = 1, 3) le quali, per rotazione del sistema di riferimento, si trasformano secondo la legge Ti...j =

Cik · · · Cjl Tk...l .

k,...,l

Il tensore pi` u noto in ﬁsica `e il tensore degli sforzi che caratterizza, all’interno di un mezzo materiale elastico, la forza dF che si esercita attraverso una superﬁcie orientata, dS, avente normale n. In componenti si ha dFi =

Tij nj dS .

j

Oltre al tensore degli sforzi si possono anche menzionare, per la loro importanza in vari campi della ﬁsica, il tensore delle deformazioni, il tensore d’inerzia, il tensore dielettrico, e cos`ı via. Un particolare tensore di rango due `e la cosiddetta diade che si ottiene a partire da due vettori u e v andando a considerare il prodotto diretto delle loro componenti. La diade si indica semplicemente col simbolo u v , e si ha, per deﬁnizione (u v )ij = ui vj ,

(i, j = 1, 2, 3) .

436

APPENDICI

Evidentemente si ha u v = v u . Una quantit` a scalare `e, per deﬁnizione, un tensore di rango zero, mentre un vettore `e, per deﬁnizione, un tensore di rango uno. Tensori di rango pi` u elevato possono essere anche ottenuti considerando il prodotto diretto di tensori di rango pi` u basso. Ad esempio, dal prodotto diretto di due tensori di rango due si ottiene un tensore di rango quattro. L’algebra tensoriale riguarda l’insieme delle operazioni che possono essere eseguite sui tensori. Diamo in seguito alcune deﬁnizioni 1. Dati due tensori T e V, il primo do rango n (n ≥ 1) e il secondo di rango n (n ≥ 1), si deﬁnisce prodotto scalare (o prodotto interno) dei due tensori un tensore di rango (n + n − 2) ottenuto mediante una somma (saturazione) che opera sull’ultimo indice del primo tensore e sul primo indice del secondo tensore. Ad esempio, se n e n sono entrambi uguali a 2, detto W il tensore ottenuto attraverso il prodotto scalare, si ha che W `e un tensore anch’esso di rango due deﬁnito da Wij = Tik Vkj . k

2. Dato un tensore di rango n (con n ≥ 1), si intende per divergenza di tale tensore un tensore di rango (n−1) ottenuto saturando la sua prima componente (detto operatore “nabla”) deﬁnito da col vettore formale ∇ ≡ ∂ , ∂ , ∂ . ∇ ∂x ∂y ∂z Ad esempio, per un tensore T di rango due, div T `e un vettore, le cui componenti sono date da (div T)i =

∂ · T)i . Tji = (∇ ∂x j j

3. Dato un tensore di rango n (con n ≥ 0), si intende per gradiente di tale tensore un tensore di rango (n + 1) la cui prima componente `e “quella di derivazione”. Ad esempio, per un tensore di rango 1, ovvero per un vettore v , si ha v )ij = (grad v )ij = (∇

∂ vj . ∂xi

Bisogna notare che questa convenzione non `e universalmente adottata. Esistono alcuni autori che preferiscono indicare col simbolo grad v la quantit` a

437

APPENDICI

(grad v )ij =

∂ vi . ∂xj

` bene quindi che il lettore veriﬁchi attentamente le convenzioni utilizzate da E ciascun autore prima di utilizzare le identit`a vettoriali che pu` o trovare su testi diversi. Ad esempio, utilizzando le nostre convenzioni, si ha i

ui

∂vj = (u · gradv )j , ∂xi

i

ui

∂vi = [(gradv ) · u ]j . ∂xj

le quantit` Utilizzando il vettore formale ∇, a a secondo membro possono anche scriversi, rispettivamente, come

v) v ) · u u · (∇ , (∇ . j

j

4. Dato un tensore di rango n (n ≥ 1), si intende per rotore di tale tensore un tensore dello stesso rango n la cui prima componente si ottiene saturando la prima componente del tensore dato con il tensore completamente antisimme trico (detto anche tensore di Ricci) e con le componenti del vettore formale ∇. Ad esempio, per un vettore v , si ha (rot v )i =

ijk

∂vk × v )i , = (∇ ∂xj

ikl

∂Tlj × T)ij . = (∇ ∂xk

jk

e, per un tensore T di rango due, (rot T)ij =

kl

Il tensore antisimmetrico di rango tre, ijk , introdotto in queste espressioni, `e deﬁnito dall’equazione ijk = 0 se almeno due dei tre indici i, j, k sono uguali, dall’equazione ijk = 1 se la terna ordinata (i, j, k) `e una permutazione pari della terna fondamentale (1, 2, 3), e dall’equazione ijk = −1 se la terna ordinata (i, j, k) `e una permutazione dispari della terna fondamentale (1, 2, 3). In deﬁnitiva, delle 27 componenti del tensore solo 6 sono diverse da zero. Si noti che l’usuale prodotto vettoriale fra due vettori pu` o convenientemente esprimersi attraverso il tensore antisimmetrico. Se w = u × v , si ha wi = ijk uj vk . jk

Si noti anche che l’operazione prodotto vettoriale e l’operatore rotore (che coinvolgono il tensore antisimmetrico) implicano una scelta a proposito della chiralit` a del sistema cartesiano ortogonale in cui sono deﬁnite le componenti dei

438

APPENDICI

vettori (e dei tensori). La convenzione che viene oggi quasi universalmente accettata (e che anche noi adottiamo) `e quella di scegliere una terna cosiddetta destrorsa, ovvero quella di supporre che, se gli assi x e y sono diretti rispettivamente lungo il pollice e l’indice della mano destra, l’asse z `e diretto lungo il dito medio. Il tensore antisimmetrico gode di un certo numero di propriet` a. La prima riguarda la permutazione dei suoi indici. Se la permutazione `e pari il tensore resta invariato, mentre se essa `e dispari, il tensore cambia di segno. In formule ijk = jki = kij = −jik = −ikj = −kji . Inoltre valgono le seguenti propriet` a di saturazione ijk lmk = δil δjm − δim δjl , k

ijk ljk = 2 δil ,

jk

ijk ijk = 6 ,

ijk

dove δij `e la cosiddetta delta di Kronecker, ovvero il simbolo deﬁnito da δij = 1 se i = j ,

δij = 0 se i = j .

Attraverso le deﬁnizioni date e le propriet` a sopra elencate, si possono facilmente dedurre le identit` a vettoriali riportate sotto. In tali equazioni, le quantit` a f e g sono scalari, a e b sono vettori, e T `e un tensore di rango due. •

div(fa ) = a · gradf + f div a .

(A2.1)

Infatti si ha div(fa ) =

•

∂ ∂f ∂ai (f ai ) = ai +f . ∂xi ∂xi ∂xi i i i

grad(f g) = g grad f + f grad g .

(A2.2)

Infatti si ha, per la componente i-esima, [grad(f g)]i = •

∂ ∂f ∂g (f g) = g +f . ∂xi ∂xi ∂xi

rot(fa) = grad f × a + f rota .

(A2.3)

439

APPENDICI

Infatti si ha, per la componente i-esima [rot(fa )]i =

ijk

jk

∂ ijk (f ak ) = ∂xj

jk

∂f ∂xj

∂ak ak + f = ∂xj

= [(grad f ) × a ]i + f [rota ]i . •

div(a × b ) = b · rota − a · rot b .

(A2.4)

Infatti si ha ⎛ ⎞ ∂ ∂aj ∂bk ⎝ div(a × b ) = b k + aj = ijk aj bk ⎠ = ijk ∂xi ∂xi ∂xi i jk

=

ijk

•

bk kij

ijk

∂aj ∂bk − aj jik = bk (rota)k − aj (rotb)j . ∂xi ∂xi j ijk

k

grad(a · b ) = (grada ) · b + (grad b ) · a .

(A2.5)

Infatti si ha, per la componente i-esima ⎛ ⎞

∂bj ∂aj ∂ ⎝ ⎠ bj + = aj b j = aj grad(a · b ) = ∂xi ∂xi ∂xi i j j j

= (grada ) · b + (grad b ) · a i

•

.

i

rot(a × b ) = b · grada − a · grad b + a div b − b div a .

(A2.6)

Infatti si ha, per la componente i-esima

∂ ∂ rot(a × b ) = ijk (a × b )k = ijk klm (al bm ) = ∂xj ∂xj i jk jklm ∂bm ∂al = b m + al = (δil δjm − δim δjl ) ∂xj ∂xj jlm ∂ai ∂aj ∂bj ∂bi = bj = − bi + ai − aj ∂xj ∂xj ∂xj ∂xj ij

= b · grada − bi div a + ai div b − a · grad b . i

•

grad (fa ) = (gradf ) a + f grada .

i

(A2.7)

440

APPENDICI

Infatti si ha, per la componente ij ∂ ∂aj ∂f aj + f (f aj ) = = (gradf )i aj + f (grada )ij . [grad(fa )]ij = ∂xi ∂xi ∂xi •

div ( a b ) = b div a + a · grad b .

(A2.8)

Infatti si ha, per la componente i-esima

∂ ∂aj ∂bi div( a b ) = b i + aj = (aj bi ) = ∂xj ∂xj ∂xj i j j = bi div a + [a · grad b ]i . •

a × rot b = (grad b ) · a − a · grad b .

(A2.9)

Infatti si ha, per la componente i-esima

∂bm a × rot b = ijk aj (rot b )k = ijk klm aj = ∂xl i jk

=

jklm

(δil δjm − δim δjl ) aj

jlm

= •

∂bm = ∂xl

∂bj ∂bi aj = (grad b ) · a − a · grad b − aj . ∂xi ∂xj i i j

div(f T) = (gradf ) · T + f div T .

(A2.10)

Infatti si ha, per la componente i-esima ∂ ∂f ∂Tji Tji + f = [div(f T) ]i = (f Tji ) = ∂xj ∂xj ∂xj j j = [(gradf ) · T ]i + f (div T)i . •

rot (rota ) = grad div a − ∇2a .

(A2.11)

Infatti si ha, per la componente i-esima [rot (rota ) ]i =

jk

ijk

∂ ∂ ∂ (rota )k = ijk klm am = ∂xj ∂xj ∂xl jklm

∂ 2 am (δil δjm − δim δjl ) = = ∂xj ∂xl jlm ∂ 2 aj ∂ 2 ai = = [grad div a ]i − ∇2a i . − ∂xj ∂xi ∂xj ∂xj j

441

APPENDICI

Esistono inoltre altre identit`a vettoriali che valgono per` o soltanto in forma integrale e che discendono dai teoremi di Gauss e di Stokes-Amp`ere che qui ricordiamo. Teorema di Gauss: Se Σ `e una superﬁcie chiusa che racchiude il volume V , e se n `e la normale esterna a tale superﬁcie, il teorema di Gauss si enuncia attraverso l’equazione • a · n dS = div a dV , V

Σ

dove a `e un vettore arbitrario funzione del punto. Teorema di Stokes-Amp`ere: se `e un circuito chiuso e se Σ `e una superﬁcie che si appoggia su tale circuito, il teorema di Stokes-Amp`ere si enuncia attraverso l’equazione " • a · d = rota · n dS ,

Σ

essendo n la normale esterna alla superﬁcie. A proposito di questo integrale bisogna osservare che la sua validit` a implica una convenzione a proposito del senso di percorrenza del circuito la quale dipende a sua volta dalla convenzione implicita nella deﬁnizione dell’operatore “rotore”. Quando il sistema (x, y, z) utilizzato per deﬁnire le componenti dei vettori `e un sistema destrorso, allora il senso di percorrenza del circuito `e quello che risulta dalla regola del cavatappi (o della vite destra), per la quale la direzione di n va fatta coincidere col senso di avanzamento del cavatappi. Dai teoremi di Gauss e di Stokes-Amp`ere discendono varie identit` a. Alcune di esse sono riportate nel seguito. " • f d = n × gradf dS .

Σ

Per dimostrare questa identit`a, si osserva che, se c `e un vettore costante e per il resto arbitrario, si ha " " c · f d = (f c ) · d ,

e, applicando il teorema di Stokes-Amp`ere " rot(fc ) · n dS . c · f d =

Σ

Ricordando l’identit` a vettoriale dell’Eq. (A2.3), e tenendo presente che c `e un vettore costante, si ha " c · f d = [(gradf ) × c ] · n dS = c · n × gradf dS .

Σ

Σ

442

APPENDICI

Essendo c un vettore arbitrario, da questa equazione segue l’identit` a che volevamo dimostrare. Con procedimenti del tutto analoghi e tenendo conto delle identit` a vettoriali dimostrate precedentemente si ottengono le ulteriori identit` a " • a × d = [ n div a − (grada ) · n ] dS .

Σ

n × a dS =

•

rota dV . V

Σ

•

f n dS = Σ

gradf dV . V

In particolare, se si pone in quest’ultima identit` a f = 1, si ottiene • n dS = 0 , Σ

che costituisce un’importante relazione geometrica valida per una superﬁcie chiusa arbitraria.

A.3 La funzione delta di Dirac La funzione delta di Dirac, tradizionalmente indicata col simbolo δ(x), pu` o essere immaginata come una funzione che `e nulla per qualsiasi valore di x, fatta eccezione per un intervallo inﬁnitesimo centrato nell’origine dove presenta un picco molto elevato tendente all’inﬁnito, ma tale che l’integrale della funzione in dx sia uguale a 1. Ovviamente non si tratta di una vera e propria funzione ma pu` o essere pensata come il limite di una famiglia di funzioni dipendenti da un parametro che viene fatto tendere verso un valore appropriato. Ad esempio, se consideriamo la famiglia di funzioni f (x, a) cos`ı deﬁnita 1 per |x| ≤ a 2 , f (x, a) = a 0 per |x| > a 2 si ha che δ(x) = lim f (x, a) . a→0

Analogamente, se si considera la famiglia g(x, a) = √

2 1 e−(x/a) , 2π a

443

APPENDICI

ancora si ha δ(x) = lim g(x, a) . a→0

Esistono inﬁnite possibilit`a di rappresentare la delta di Dirac come limite di opportune famiglie di funzioni. Le rappresentazioni che si incontrano pi` u comunemente in ﬁsica-matematica sono le seguenti δ(x) = lim

1 sin(Ω x) , π x

δ(x) = lim

1 sin2 (Ω x) . π Ω x2

Ω→∞

Ω→∞

La propriet` a fondamentale della delta di Dirac `e riassunta nella seguente espressione, che ne costituisce la deﬁnizione formale ∞ F (x) δ(x) dx = F (0) , −∞

e dalla quale conseguono, per mezzo di semplici cambiamenti di variabile, le due seguenti ∞ F (x) δ(x − x0 ) dx = F (x0 ) , −∞

∞

F (x) δ(ax) dx = −∞

1 F (0) , |a|

dove a `e un numero reale qualsiasi diverso da zero. Da queste equazioni si pu`o ottenere un’importante generalizzazione che riguarda la delta di Dirac il cui argomento `e una funzione reale arbitraria g(x). Indicando tale quantit` a con la notazione δ[g(x)] e indicando con xi gli eventuali zeri della funzione g(x), si ha ∞ 1 F (xi ) , F (x) δ[g(x)] dx = (x )| |g i −∞ i dove g (x) indica la derivata della funzione g(x) rispetto al proprio argomento. Ulteriori generalizzazioni al caso della delta di Dirac tridimensionale sono illustrate direttamente nel testo (si veda il Par. 3.2). Esiste inﬁne anche la possibilit`a di dare signiﬁcato alla derivata della funzione delta di Dirac, δ (x), deﬁnita dalla usuale relazione δ (x) = lim

Δx→0

δ(x + Δx) − δ(x) . Δx

Per mezzo di questa deﬁnizione si ha, per una funzione F (x) arbitraria

444

APPENDICI

∞

∞

F (x) δ (x) dx = lim −∞

Δx→0

F (x) −∞

δ(x + Δx) − δ(x) dx , Δx

dalla quale si ottiene ∞ F (−Δx) − F (0) = −F (0) . F (x) δ (x) dx = lim Δx→0 Δx −∞

A.4 Le leggi dell’elettromagnetismo ritrovate Nel testo abbiamo calcolato, a partire dai potenziali di Li´enard e Wiechart, le espressioni del campo elettrico e del campo magnetico, valutati in un punto arbitrario dello spazio, dovuti a una singola carica mobile. I risultati sono contenuti nelle Eq. (3.19) e (3.20). Vediamo adesso come da tali equazioni si possano ricavare, nel limite non relativistico, le equazioni elementari dell’elettromagnetismo valide per fenomeni stazionari. Lo scopo di questa appendice `e una semplice veriﬁca di consistenza in quanto `e ovvio che le equazioni da cui partiamo, essendo conseguenza delle equazioni di Maxwell, devono gi`a contenere quei risultati che, anche storicamente, stanno alla base delle equazioni di Maxwell stesse. Consideriamo una particella, avente carica elettrica e, mobile entro un conduttore elettrico a sezione costante. La sua velocit` a `e molto minore della velocit` a della luce. Per ﬁssare le idee, possiamo pensare che tale velocit` a sia dell’ordine di 10−2 cm s−1 , che rappresenta l’ordine di grandezza delle velocit`a di drift degli elettroni che si stabiliscono all’interno di un conduttore in un tipico circuito elettrico macroscopico. Il corrispondente valore di β `e dell’ordine di 10−12 , dimodoch´e l’approssimazione β 2 1 `e sicuramente veriﬁcata. Inoltre, gli eﬀetti di curvatura del conduttore (che provocano delle piccolissime accelerazioni) possono essere senz’altro trascurati dimodoch´e possiamo supporre che il campo elettrico sia dato soltanto dal termine Coulombiano dell’Eq. (3.19). Trascurando termini dell’ordine di β 2 tale campo si scrive nella forma e (n − β ) , κ3 R 2 dove κ, R, n sono le quantit` a introdotte nel Cap. 3 che devono essere calcolate al tempo anticipato t . Il campo magnetico `e poi dato dall’Eq. (3.20), ovvero r , t) = E(

r, t) . B(r, t) = n × E( Si pu` o subito osservare che, se si pone β = 0, ovvero se si considera una carica elettrica a riposo, non `e ovviamente necessario considerare la diﬀerenza fra tempo vero e tempo anticipato e si ottiene

445

APPENDICI

P

R’

n’ Pt’

R

n β R’

Pt

Fig. A.1. Si intende calcolare il campo elettrico nel punto P all’istante t. Pt ` e la posizione della particella al medesimo istante, mentre Pt ` e la posizione della particella all’istante anticipato.

r ) = e n , E( R2

r) = 0 . B(

Queste sono le ordinarie equazioni dell’elettrostatica che traducono, in termini di campi, la legge di Coulomb. Andiamo adesso a vedere cosa si ottiene al primo ordine in β. Con facili considerazioni si pu` o mostrare che il campo elettrico E(r, t) `e esattamente uguale a quello che si calcolerebbe in base alla legge di Coulomb supponendo, ipoteticamente, che la velocit`a della luce fosse inﬁnita (ovvero trascurando la diﬀerenza fra tempo vero e tempo anticipato). Infatti, facendo riferimento alla Fig. A.1 e indicando con un’apice le quantit` a valutate al tempo anticipato t e senza apice le stesse quantit` a valutate all’istante t, si ha t = t −

R , c

= R + (t − t ) v = R + R β , R

dalla quale segue, dividendo per R = n − β

R . R

(A4.1)

Introducendo le nuove notazioni nell’espressione del campo elettrico, e ricor `e costante, si ottiene dando che β r, t) = E(

e eR (n − β) = 3 3 . 2 R κ R

κ3

446

APPENDICI

D’altra parte si ha, per deﬁnizione κ = 1 − β · n , e applicando il teorema di Carnot al triangolo PPt Pt , · n + β 2 . R = R 1 − 2β

(A4.2)

Sostituendo nell’espressione del campo elettrico si ottiene il risultato che avevamo anticipato, ovvero, a meno di termini dell’ordine di β 2 2 3/2 e n r , t) = e R (1 − 2β · n + β ) 2 . E( 3 3 R R (1 − β · n )

Resta da valutare il contributo del campo magnetico. Per esso si ha r, t) = n × E( r, t) = e n × n . B( R2

D’altra parte, sempre a meno di termini dell’ordine di β 2 , si ha, dalle Eq. (A4.1) e (A4.2) n = β + n (1 − β · n) , per cui r, t) = e β × n . B( R2 Applichiamo adesso questa equazione al caso di un elemento di conduttore di lunghezza d. Indicando con N la densit` a numerica delle particelle cariche mobili e con S la sezione trasversale del conduttore, nell’elemento `e contenuto un parallela al d. numero di particelle dato da N S d, dotate di velocit` a v = c β, Tale numero `e esattamente compensato da un ugual numero di particelle ﬁsse di carica opposta, per cui il campo elettrico risultante `e nullo per la propriet` a precedentemente dimostrata. Per il campo magnetico si ha invece NSv n d × 2 . c R D’altra parte, se si indica con i l’intensit` a di corrente che ﬂuisce nel conduttore si ha B(r, t) = e

i = eN S v , per cui l’equazione per il campo magnetico si scrive B(r, t) =

n i d × 2 . c R

447

APPENDICI

Questa non `e altro che la seconda legge di Laplace che esprime il campo magnetico generato da un elemento di corrente. Come risulta chiaro dalla nostra deduzione, sebbene le cariche elettriche si muovano entro il conduttore a bassissima velocit`a, esse sono ciononostante in grado di creare un eﬀetto relativistico che si manifesta con la presenza del campo magnetico.

A.5 L’equazione di Larmor nel caso relativistico Nella zona di radiazione le Eq. (3.18) e (3.20) forniscono l’espressione dei campi elettrico e magnetico dovuti a una carica in movimento r , t) = E(

e n × [(n − β ) × a ] , c2 κ 3 R

r , t) = n × E( r , t) , B(

dove e `e il valore della carica elettrica, c `e la velocit`a della luce, n `e il versore del raggio vettore che va dalla carica al punto di coordinate r, R `e il modulo di tale vettore, β = v /c `e la velocit`a della carica in unit` a della velocit`a della luce, a `e la sua accelerazione, e κ `e deﬁnito dall’equazione κ = 1 − n · β . e a che compaiono nelle Bisogna anche ricordare che le quantit`a R, κ, n, β, equazioni precedenti devono essere valutate al tempo anticipato t , legato a t dall’equazione R . c Sviluppando il doppio prodotto vettoriale, si ottiene t = t −

e ) − κ a ] . [(n · a )(n − β c2 κ 3 R D’altra parte, come sappiamo, il vettore di Poynting `e dato da r, t) = E(

r, t) = c E 2 (r, t) n , S( 4π e sviluppando il quadrato del campo elettrico, si ottiene, con facili passaggi 2 2 · a ) (1 − β 2 )(n · a )2 e a ( n · a )( β r , t) = S( n . +2 − 4π c3 R2 κ4 κ5 κ6 Questa espressione mostra che, nel caso generale, la distribuzione angolare della radiazione emessa (ovvero il diagramma di radiazione) `e relativamente complicata. I casi particolari in cui l’accelerazione `e parallela o perpendicolare alla

448

APPENDICI

velocit`a sono gi` a stati analizzati nel testo. Qui `e suﬃciente sottolineare il fatto che, per velocit` a e accelerazione arbitrarie, esistono sempre due direzioni per le quali il vettore di Poynting `e nullo. Questo pu` o essere visto semplicemente dall’espressione del campo elettrico. Lungo le direzioni caratterizzate dai versori sia parallelo al vettore a, il campo elettrico `e ovn0 tali che il vettore n0 − β viamente nullo, e cos`ı anche il vettore di Poynting. Le direzioni n0 sono quindi e a e sono date dalle soluzioni contenute nel piano individuato dai vettori β dell’equazione (n0 − β ) × a = 0 . Indicando con α l’angolo che il vettore velocit` a forma con il vettore accelerazione, i versori n0 sono individuati dagli angoli θ± (contati a partire dal vettore accelerazione nello stesso senso di α) dati da θ+ = arcsin(β sinα) ,

θ− = π − arcsin(β sinα) .

Ad esempio, se α = 45◦ , e β = 0.8, si ha θ+ = 34◦ .45 e θ− = 145◦ .55. Passiamo adesso al calcolo della potenza. Per questo bisogna osservare che se si eseguisse semplicemente l’integrale " r, t) · n R2 dΩ , (A5.1) I = S( esteso a una sfera di raggio R centrata sulla posizione della carica all’istante anticipato, (t − R/c), si otterrebbe il rapporto fra l’energia che traversa la sfera in un intervallo di tempo dt e il dt stesso. Questa `e per`o una quantit` a di interesse minore. Pi` u interessante `e trovare la potenza istantanea emessa dalla particella carica. Per questo bisogna tener conto del fatto che l’energia che traversa la sfera in un tempo dt `e stata emessa dalla particella in un tempo dt che dipende dalla direzione e che `e legato a dt dalla relazione dt = κ dt . Per trovare la potenza W emessa dalla particella bisogna quindi eseguire l’integrale " " dt 2 r, t) · n κ R2 dΩ . W = S(r, t) · n R dΩ = S( dt Sostituendo l’espressione del vettore di Poynting trovata precedentemente si ha quindi " 2 · a ) (1 − β 2 )(n · a )2 e2 a (n · a )(β W = dΩ . +2 − 4π c3 κ3 κ4 κ5

449

APPENDICI

Per eseguire questo integrale, introduciamo un sistema di coordinate polari (ψ, χ) con l’asse polare diretto lungo il vettore velocit`a e con l’azimut χ misurato a partire dal piano contenente la velocit`a e l’accelerazione. Con ovvie a, e n sono dati da notazioni, in questo sistema i tre vettori β, β = β k ,

a = a⊥ı + ak ,

n = sinψ cosχı + sinψ sinχ j + cosψ k ,

per cui l’integrando si pu` o scrivere nella forma a2 + a2⊥ (1 − β cosψ)3 −(1 − β 2 )

+ 2 β a

sinψ cosχ a⊥ + cosψ a (1 − β cosψ)4

sin2 ψ cos2 χ a2⊥ + 2 sinψ cosψ cosχ a⊥ a + cos2 ψ a2 (1 − β cosψ)5

,

e il dΩ risulta dato da sinψ dψ dχ. Eseguendo l’integrazione in dχ nell’intervallo (0, 2π), i fattori che non contengono nessuna funzione di χ danno per risultato 2π, quelli contenenti cosχ danno risultato nullo, mentre il fattore contenente cos2 χ d` a per risultato π. Si ottiene allora π a2 + a 2 2 β cosψ a2 e2 ⊥ + W = 2 c3 0 (1 − β cosψ)3 (1 − β cosψ)4 2 1 2 2 2 sin ψ a + cos ψ a ⊥ 2 sinψ dψ . − (1 − β 2 ) (1 − β cosψ)5 Gli integrali in dψ che compaiono in questa espressione sono elementari e possono essere eseguiti facilmente sia integrando per parti che, alternativamente, per mezzo del cambiamento di variabile x = 1 − β cosψ. Si ottiene 1 π 1 1 sinψ dψ = , 2 0 (1 − β cosψ)3 (1 − β 2 )2 cosψ β 1 π 4 sinψ dψ = , 2 0 (1 − β cosψ)4 3 (1 − β 2 )3 1 π sin2 ψ 1 2 sinψ dψ = , 5 2 0 (1 − β cosψ) 3 (1 − β 2 )3 cos2 ψ 1 π 1 1 + 5β 2 sinψ dψ = . 2 0 (1 − β cosψ)5 3 (1 − β 2 )4 Sostituendo queste espressioni e raccogliendo separatamente i termini in a2 e in a2⊥ , si ottiene

450

APPENDICI

β2 1 e2 8 1 1 + 5β 2 2 a W = + − 2 c3 (1 − β 2 )2 3 (1 − β 2 )3 3 (1 − β 2 )3 1 1 1 2 , − + a⊥ (1 − β 2 )2 3 (1 − β 2 )2 ovvero, sviluppando 2 e2 W = 3 c3

a2

a2⊥ + (1 − β 2 )3 (1 − β 2 )2

.

Ricordando la deﬁnizione del fattore relativistico γ 1 γ= # , 1 − β2 l’espressione per la potenza emessa da una carica relativistica in moto accelerato pu` o anche scriversi nella forma pi` u signiﬁcativa W =

2 e2 6 2 (γ a + γ 4 a2⊥ ) . 3 c3

Questa formula generalizza l’equazione di Larmor (3.23) al caso relativistico. Ovviamente per γ = 1 si ritrova l’equazione di Larmor in quanto a2 + a2⊥ = a2 . Per concludere bisogna notare che, se avessimo eseguito l’integrale del vettore di Poynting sulla sfera senza tener conto della diﬀerenza fra il dt e il dt , ovvero l’integrale I dell’Eq. (A5.1), avremmo ovviamente ottenuto un’espressione diversa. Tenendo conto che 1 2 1 2 1 2 1 2

π

1 1 3 + β2 sinψ dψ = , (1 − β cosψ)4 3 (1 − β 2 )3

π

1 β (5 + β 2 ) cosψ sin ψ dψ = , (1 − β cosψ)5 3 (1 − β 2 )4

π

sin2 ψ 2 5 + β2 sinψ dψ = , 6 (1 − β cosψ) 15 (1 − β 2 )4

π

cos2 ψ 1 5 + 38 β 2 + 5 β 4 sinψ dψ = , (1 − β cosψ)6 15 (1 − β 2 )5

0

0

0

0

si ha infatti I=

2 e2 8 1 2 2 2 2 6 2 γ . (1 + β ) a + γ (1 + β ) a ⊥ 5 5 3 c3

451

APPENDICI

Questa diﬀerenza fra potenza emessa dalla particella, W , e potenza ricevuta sulla sfera, I, `e un semplice eﬀetto cinematico e non ha niente a che vedere con la relativit` a. Un eﬀetto simile `e presente anche per le onde acustiche emesse, per esempio, da un aereo che viaggi a una velocit`a prossima a quella del suono. Mentre la potenza in onde acustiche emessa dall’aereo `e ﬁssa, la potenza ricevuta pu` o essere molto grande e al limite inﬁnita se l’aereo viaggia esattamente alla velocit`a del suono (il cosiddetto bang sonico che accade talvolta di percepire `e proprio dovuto a tale fenomeno).

A.6 Irraggiamento di onde gravitazionali Le equazioni che abbiamo ottenuto per l’irraggiamento di onde elettromagnetiche possono anche essere applicate, con alcune leggere modiﬁche, per trattare l’irraggiamento di onde gravitazionali. Ovviamente questo modo di procedere non `e rigoroso, in quanto le leggi dell’irraggiamento di onde gravitazionali dovrebbero essere dedotte dalla teoria della gravitazione universale. L’approccio qui seguito `e tuttavia suﬃciente per la comprensione delle propriet`a fondamentali dei meccanismi di generazione delle onde gravitazionali e conduce a formule sostanzialmente corrette (come pu`o essere veriﬁcato a posteriori). Nelle equazioni per l’irraggiamento elettromagnetico dedotte nel Par. 3.10 eseguiamo la trasformazione formale e i → mi ,

(i = 1, . . . N ) ,

ovvero sostituiamo, per ciascuna particella, la carica con la massa. Inoltre, nelle equazioni che esprimono il vettore di Poynting, ovvero in quelle che esprimono la potenza irraggiata, moltiplichiamo il secondo membro per la costante di gravitazione universale G. Notiamo, per inciso, che in tali equazioni il fattore dimensionale [e2 ] viene cos`ı sostituito dal fattore dimensionale [Gm2 ] avente le stesse dimensioni. Le varie quantit` a introdotte nel Par. 3.10, ovvero il mo (Eq. (3.31)), il momento di dipolo magnetico, M mento di dipolo elettrico, D (Eq. (3.32)), e il tensore simmetrico di ordine due (collegato al momento di quadrupolo elettrico), Q / (Eq, (3.33)), si trasformano in altrettante quantit`a G, M G, e Q per le quali utilizzeremo, rispettivamente, i simboli D / G , ovvero = D

N

G = ei si → D

i=1

N

mi si ,

i=1

= 1 G = 1 M ei si × vi → M mi si × vi , 2 c i=1 2 c i=1 N

Q / =

N i=1

ei si si → Q /G =

N

N i=1

mi si si .

452

APPENDICI

G , l’analogo del dipolo elettrico, altro Osserviamo adesso che la quantit`a D non `e, per deﬁnizione, se non la coordinata del centro di massa del sistema di N particelle, rG , moltiplicata per la massa totale. Si ha cio`e G = D

N

mi si = M rG ,

i=1

dove M=

N

mi .

i=1

Si ha quindi, per un sistema isolato 2 .. = M d rG = 0 . D G dt2

G , l’analogo del dipolo magnetico, risulta proporzionale Inoltre, la quantit` aM in quanto al momento angolare totale del sistema, J, G = 2cM

N

mi si × vi = J .

i=1

Si ottiene quindi, per un sistema isolato, . = d J = 0 , M G dt e quindi, a pi` u forte ragione .. =0 . M G In base alla nostra analogia, si conclude da queste considerazioni che per le onde gravitazionali non si ha l’analogo della radiazione di dipolo elettrico n´e l’analogo della radiazione di dipolo magnetico. Resta quindi soltanto l’analogo della radiazione di quadrupolo elettrico (oltre, ovviamente, alla radiazione dovuta a multipoli pi` u elevati). Il tensore Q / G viene tradizionalmente indicato col simbolo /I, in quanto si tratta sostanzialmente di un tensore d’inerzia. Non bisogna per` o confonderlo col tensore d’inerzia ordinario, I, che viene introdotto nello studio della dinamica del corpo rigido e che `e deﬁnito da I=

N

mi (s2i U − si si ) ,

i=1

dove U `e il tensore unitario. Si ha ovviamente

453

APPENDICI

/I = −I +

1 2

(Tr I) U ,

in quanto, per deﬁnizione di traccia di un tensore Tr I =

mi (3 s2i − x2i − yi2 − zi2 ) = 2

i

mi s2i .

i

I due tensori I e /I diﬀeriscono fra loro per una quantit` a proporzionale al tensore unitario. Questa propriet`a `e strettamente analoga a quella che sussiste fra i tensori Q e Q / dell’elettrodinamica per cui, nella nostra analogia, la potenza emessa in onde gravitazionali all’ordine pi` u basso nello sviluppo multipolare si pu` o dedurre dall’Eq. (3.34) ed `e data da G ... 2 Ijk . 20 c5

WG =

jk

Questa formula `e corretta in tutto fuorch´e nel fattore numerico. Calcoli basati sulla teoria della gravitazione universale non ne cambiano la struttura ma si li1 mitano a sostituire il fattore 20 col fattore 15 . Intuitivamente si pu` o giustiﬁcare questa moltiplicazione per un fattore 4 osservando che un’onda elettromagne e B, trasversali rispetto tica `e descritta da due vettori non indipendenti, E alla direzione di propagazione. Se z `e tale direzione, due sole componenti di uno dei due campi, ad esempio Ex ed Ey , sono suﬃcienti per descrivere l’onda. Un’onda gravitazionale `e invece descritta da due tensori indipendenti trasversali rispetto alla direzione di propagazione. Se si indicano tali tensori con i simboli tradizionali e+ ed e× , l’onda risulta descritta dall’ottupla di compo+ + + × × × × nenti (e+ xx , exy , eyx , eyy , exx , exy , eyx , eyy ). Ne risulta quindi un fattore 4 legato, per cos`ı dire, ai gradi di libert` a della polarizzazione. La formula corretta per la potenza emessa in onde gravitazionali `e quindi WG =

G ... 2 Ijk . 5 c5 jk

Conviene inﬁne osservare che, se si cambia centro di riduzione ponendo si = b + si , con b vettore costante, si ottiene, per il nuovo tensore d’inerzia I ,

I = I + M (2 b · rG + b2 ) U − b b − b rG − rG b , per cui, per un sistema isolato, I¨ = I¨ ,

454

APPENDICI

... ... e, a pi` u forte ragione, I = I . Queste considerazioni autorizzano a calcolare il tensore d’inerzia a partire da un centro di riduzione arbitrario al ﬁne di determinare la potenza di emissione di onde gravitazionali.

A.7 Calcolo dell’integrale di Thomas-Fermi Nelle applicazioni del modello atomico di Thomas-Fermi si rende necessario il calcolo del seguente integrale

∞

I= 0

(1 + χ) χ3/2 dx , x1/2

dove χ(x) `e la soluzione dell’equazione di Thomas-Fermi x1/2 χ = χ3/2 , che soddisfa le condizioni al contorno χ(0) = 1 ,

lim χ(x) = 0 .

x→∞

L’integrale si spezza nella somma di due integrali I = I1 + I2 ,

(A7.1)

dove I1 =

∞

0

χ3/2 dx , x1/2

I2 = 0

∞

χ5/2 dx . x1/2

Il primo integrale `e banale in quanto, tenendo conto dell’equazione di ThomasFermi e delle condizioni al contorno della funzione χ, si ha ∞ I1 = χ dx = −χ (0) . (A7.2) 0

Il calcolo del secondo integrale `e pi` u complesso e lo si pu`o aﬀrontare cos`ı: da un lato si ha I2 = 0

∞

χ5/2 dx = x1/2

∞

χ χ dx ,

0

e, integrando per parti e tenendo conto che χ(0) = 1 ∞ I2 = −χ (0) − χ 2 dx . 0

(A7.3)

455

APPENDICI

D’altra parte, considerando la quantit` a x−1/2 dx come fattore diﬀerenziale, integrando di nuovo per parti e ricordando l’equazione di Thomas-Fermi, si ottiene I2 =

∞

0

χ5/2 dx = −5 x1/2

∞

1/2 3/2

x

χ dx = −5

χ

0

∞

x χ χ dx .

0

o esprimere nella forma Adesso si osserva che il prodotto χ χ si pu` 1 dχ 2 , 2 dx e, di nuovo integrando per parti, si ottiene 5 ∞ 2 I2 = χ dx . 2 0 χ χ =

Confrontando questa espressione con l’Eq. (A7.3), si ottiene ∞ 2 5 χ 2 dx = − χ (0) , ovvero, I2 = − χ (0) . 7 7 0 Inﬁne, ricordando le Eq. (A7.1) e (A7.2)

∞

I= 0

(1 + χ) χ3/2 12 dx = − χ (0) . 7 x1/2

(A7.4)

A.8 Energia della conﬁgurazione normale dell’atomo di Silicio Come applicazione dei risultati ottenuti nel Cap. 8, valutiamo l’energia che compete alla conﬁgurazione normale dell’atomo di Silicio, ovvero alla conﬁgurazione 1s2 2s2 2p6 3s2 3p2 . Per eseguire questi calcoli `e necessario preliminarmente valutare alcuni simboli 3-j. Per mezzo della formula analitica riportata nell’Eq. (7.16), si ha

0 0

0 0 0 0

2

=1 ,

0 0

1 1 0 0

2

=

1 3

,

1 1 0 0

2 0

2 =

2 15

.

La conﬁgurazione contiene quattro sottozone chiuse e una sottozona aperta. L’Hamiltoniana H0 (deﬁnita nell’Eq. (7.3)) e la parte F dell’Hamiltoniana H1 (deﬁnita nelle Eq. (8.2) e (8.3)) portano cinque contributi, uno per ciascuna sottozona (chiusa o aperta). L’energia corrispondente, che indichiamo con E 1 , si ottiene per mezzo dell’Eq. (8.7) ed `e data da

456

APPENDICI

E1 = 2 W0 (1s) + 2 W0 (2s) + 6 W0 (2p) + 2 W0 (3s) + 2 W0 (3p) + 2 I(1s) + 2 I(2s) + 6 I(2p) + 2 I(3s) + 2 I(3p) , dove W0 `e deﬁnito dall’Eq. (7.11) e I(n, l) `e l’integrale deﬁnito nell’Eq. (8.6). L’energia di interazione Coulombiana (ovvero la parte G dell’Hamiltoniana H1 ) entro le sottozone chiuse porta quattro contributi, uno per ciascuna sottozona. Indicando con E2 l’energia corrispondente si ha, per mezzo dell’Eq. (8.17) E2 = F 0 (1s, 1s) + F 0 (2s, 2s) + 15 F 0 (2p, 2p) −

6 5

F 2 (2p, 2p) + F 0 (3s, 3s) ,

dove le quantit` a F k (na la , nn lb ) sono deﬁnite nell’Eq. (8.9). Andando poi a considerare l’energia di interazione Coulombiana fra sottozone chiuse diverse, si hanno sei contributi, tante quante le coppie distinte che si possono formare con le quattro sottozone chiuse. Indicando con E3 l’energia corrispondente si ha, per mezzo delle Eq. (8.14) e (8.16) E3 = 4 F 0 (1s, 2s) − 2 G0 (1s, 2s) + 12 F 0 (1s, 2p) − 2 G1 (1s, 2p) + 4 F 0 (1s, 3s) − 2 G0 (1s, 3s) + 12 F 0 (2s, 2p) − 2 G1 (2s, sp) + 4 F 0 (2s, 3s) − 2 G0 (2s, 3s) + 12 F 0 (2p, 3s) − 2 G1 (2p, 3s) , dove le quantit` a Gk (na la , nn lb ) sono deﬁnite nell’Eq. (8.10). Inﬁne resta da valutare il contributo dell’interazione Coulombiana fra la sottozona aperta 3p e le quattro sottozone chiuse. Indicando con E4 l’energia corrispondente si ha, per mezzo delle Eq. (8.13) e (8.15) E4 = 4 F 0 (1s, 3p) − − 2 G0 (2p, 3p) −

2 3 4 5

G1 (1s, 3p) + 4 F 0 (2s, 3p) − G2 (2p, 3p) + 4 F 0 (3s, 3p) −

1 2 3 G (2s, 3p) + 1 2 3 G (3s, 3p) .

12 F 0 (2p, 3p)

L’energia della conﬁgurazione fondamentale dell’atomo di Silicio, che indichiamo con E, si ottiene per semplice addizione dei quattro termini, ovvero E = E 1 + E2 + E3 + E4 . I quattro contributi all’energia che abbiamo calcolato sono degeneri rispetto a tutti gli stati della conﬁgurazione e la stessa propriet`a vale ovviamente anche per E. La parte restante che resta da calcolare `e data dall’ Eq.(8.11) con la somma estesa alla sole coppia di elettroni appartenenti alla sottozona aperta 3p. Il calcolo esplicito `e svolto nel Par. 8.6. I due elettroni 3p danno luogo a tre termini, ovvero, in ordine di energia crescente, 3P , 1D, e 1S, con un rapporto pari a 3/2 fra l’intervallo (1S −1D) e l’intervallo (1D −3P ).

457

APPENDICI

A.9 Calcolo della costante di struttura ﬁne di un termine Il calcolo della costante ζ(α, LS) che caratterizza gli intervalli di struttura ﬁne dei termini appartenenti a una conﬁgurazione assegnata pu`o essere eﬀettuato mediante un procedimento basato sulla regola della traccia. Un procedimento simile `e stato seguito nel Par. 8.1 per determinare l’energia dei termini. Il punto di partenza `e l’Eq. (9.8) che, particolarizzata al caso di elementi di matrice diagonali, risulta αLSML MS | ξ(ri )i · si |αLSML MS = ζ(α, LS) ML MS . i

D’altra parte, per un qualsiasi autostato della conﬁgurazione, della forma ΨA (a1 , a2 , . . . , aN ) dell’Eq. (7.1), l’elemento di matrice diagonale dello stesso operatore `e dato da

ΨA (a1 , a2 , . . . , aN )| ξ(ri )i · si |ΨA (a1 , a2 , . . . , aN ) =

i

ζni li mi msi ,

i

dove ζni li `e la quantit` a deﬁnita nell’ Eq.(9.10). Premesse queste considerazioni, consideriamo il caso particolare di una conﬁgurazione pf la quale, come risulta dalla Tab. 7.3, d` a luogo ai sei termini 1D, 1 1 3 3 3 F , G, D, F , G. Partiamo da uno stato avente i valori pi` u alti per i numeri quantici ML e MS , ovvero ML = 4, MS = 1. Questo stato pu`o provenire soltanto dal termine 3 G. In termini invece di stati di particella singola, questo stato `e del tipo m1 = 1, ms1 = 12 , m2 = 3, ms2 = 12 , dove gli indici 1 e 2 si riferiscono rispettivamente all’elettrone p e all’elettrone f . Utilizzando le stesse notazioni del Par. 8.1, si pu` o quindi scrivere l’uguaglianza5 [4, 1] = (1+ , 3+ ) , che, in base alle equazioni precedenti, risulta6 4 ζ(3G) =

1 2

ζnp +

3 2

ζnf .

Si ottiene quindi il risultato 5

Il simbolo [ML , MS ] signiﬁca la somma degli elementi di matrice diagonali dell’Hamiltoniana di interazione spin-orbita fra tutti gli stati Ψ A aventi per autovalore di Lz e Sz i valori ± ML e MS , rispettivamente. Analogamente, la notazione (m± 1 , m2 ) indica l’elemento di matrice diagonale della stessa Hamiltoniana sullo stato in cui l’elettrone 1 ha numero quantico magnetico m1 e numero quantico di spin +1/2 oppure −1/2 e, analogamente, l’elettrone 2 ha numero quantico magnetico m2 e numero quantico di spin +1/2 oppure −1/2.

6

Si noti che gli eventuali elettroni presenti in sottozone chiuse non portano alcun contributo all’equazione

458

APPENDICI

ζ(3G) =

1 8

ζnp +

3 8

ζnf .

Si procede poi diminuendo il valore di ML (e mantenendo MS = 1). Si ottengono le equazioni [3, 1] = (0+ , 3+ ) + (1+ , 2+ ) ,

[2, 1] = (−1+ , 3+ ) + (0+ , 2+ ) + (1+ , 1+ ) ,

o dalle quali si ha, osservando che la combinazione [ML = 3, MS = 1] pu` provenire dai termini 3 G e 3F , e che la combinazione [ML = 2, MS = 1] pu` o provenire dai termini 3 G, 3F , e 3D 3 [ζ(3 G) + ζ(3F )] = 3

3

3

2 [ζ( G) + ζ( F ) + ζ( D)] =

3 2

ζnf +

− 21

1 2

ζnp +

ζnp + ζnf , 3 2

ζnf + ζnf +

1 2

ζnp +

1 2

ζnf .

Risolvendo il sistema si arriva alle seguenti espressioni (anche deducibili mediante le Eq. (9.11)) ζ(3F ) =

1 24

ζnp +

11 24

ζ(3D) = − 61 ζnp +

ζnf ,

2 3

ζnf .

In principio si potrebbero poi considerare anche valori di MS = 0. Ad esempio [4, 0] = (1+ , 3− ) + (1− , 3+ ) . Tuttavia, cos`ı facendo si ottengono equazioni della forma 0 = 0 e il valore di ζ(1 G) resta indeterminato. Questo `e del tutto consistente in quanto gli stati di singoletto non presentano struttura ﬁne e la costante ζ non `e deﬁnita. Interessanti sono anche i casi delle conﬁgurazioni di elettroni equivalenti perch´e, ripetendo gli stessi ragionamenti, si perviene direttamente alla seconda regola di Hund. Consideriamo ad esempio la conﬁgurazione p2 che porta, come risulta dalla Tab. 7.4, ai tre termini 1S, 1D, e 3P . Per i termini di singoletto, al solito, la costante della struttura ﬁne resta indeterminata. Per il termine di tripletto si ha invece [1, 1] = (0+ , 1+ ) , dalla quale si ottiene ζ(3P ) =

1 2

ζnp .

Se si passa a considerare la conﬁgurazione complementare, ovvero p 4 , si la stessa struttura di termini. Questa volta, per trovare la costante di struttura ﬁne del termine 3P , l’equazione da considerare `e la seguente7 7

La quantit` a (1+ , 1− , 0+ , −1+ ), relativa alla conﬁgurazione p4 , si ottiene dalla corrispondente quantit` a (0+ , 1+ ), relativa alla conﬁgurazione p2 , prendendo “la complementare” di quest’ultima, ovvero (−1+ , −1− , 0− , 1− ), e poi cambiando di segno a tutti i valori di m e a tutti i valori di ms .

APPENDICI

459

[1, 1] = (1+ , 1− , 0+ , −1+ ) , e si ottiene ζ(3P ) = − 21 ζnp , ovvero un valore esattamente uguale a quello della conﬁgurazione p 2 ma di segno opposto. Queste considerazioni possono essere ripetute per una qualsiasi conﬁgurazione di elettroni equivalenti e per la corrispondente conﬁgurazione complementare e portano alla seconda regola di Hund. Nel caso particolare delle conﬁgurazioni che riempiono per met` a la sottozona (come p3 , d5 , e f 7 ) la conﬁgurazione coincide con quella complementare e si ottiene un valore nullo per le costanti di struttura ﬁne di tutti i termini.

A.10 Il principio fondamentale della termodinamica statistica Consideriamo, in tutta generalit` a, un sistema ﬁsico macroscopico e pensiamo di numerare con l’indice i tutti i possibili stati microscopici nei quali tale sistema si pu` o trovare. Indichiamo inoltre con Ei l’energia dello stato i-esimo. Se il sistema `e in uno stato stazionario, possiamo pensare che esso evolva incessantemente da uno stato microscopico all’altro e possiamo introdurre una descrizione statistica indicando con pi la probabilit` a che esso si trovi nello stato microscopico i-esimo. Ovviamente deve essere valida la propriet` a di normalizzazione pi = 1 . i

Si tratta adesso di connettere la probabilit` a pi all’energia Ei . Per far questo diamo una deﬁnizione dell’entropia ponendo, secondo un’ipotesi originariamente dovuta a Boltzmann S = −kB pi ln pi , i

dove kB `e la costante di Boltzmann. Questa deﬁnizione pu`o essere giustiﬁcata ammettendo che l’entropia di un sistema misuri la quantit` a di “disordine” contenuta nel sistema stesso e osservando che la funzione sopra deﬁnita ha la propriet` a matematica di assumere il valore massimo quando tutte le probabilit`a pi sono uguali fra loro e di assumere il valore minimo (che risulta uguale a 0) quando una singola pi `e uguale a 1 e tutte le altre sono uguali a 0. La prova della seconda propriet` a `e banale. Per provare la prima propriet` a si pu` o osservare

460

APPENDICI

che dando una variazione arbitraria, δpi , alle probabilit` a, la corrispondente variazione δS dell’entropia risulta δS = −kB (ln pi + 1) δpi . i

D’altra parte, dovendo essere

δpi = 0 ,

i

ne risulta che se ln pi `e costante, cio`e indipendente da i, δS `e nullo e quindi ` poi facile veriﬁcare che tale estremo risulta l’entropia presenta un estremo. E eﬀettivamente un massimo, in quanto d2 S 1 = −kB <0 . 2 dpi pi Giustiﬁcata cos`ı la deﬁnizione di entropia, teniamo conto che l’energia interna del sistema `e data dall’espressione U= pi Ei . i

Se si considera una trasformazione termodinamica inﬁnitesima del sistema, l’energia interna varier` a, in generale, perch´e cambiano sia le probabilit` a p i che le energie Ei . Si ha quindi (δpi ) Ei + pi (δEi ) . δU = i

i

Se per` o si mantengono costanti le condizioni esterne del sistema, le quantit`a Ei restano ﬁssate al valore iniziale e il secondo termine del secondo membro risulta nullo. D’altra parte, tenere costanti le condizioni esterne del sistema signiﬁca che il sistema stesso non compie lavoro, per cui si pu`o scrivere, in base al primo principio δU = (δpi ) Ei = δQ = T δS , i

e tenendo conto che δS = −kB

(δpi ) ln pi ,

i

si ottiene l’equazione i

(δpi ) Ei = −kB T

i

(δpi ) ln pi .

461

APPENDICI

Questa equazione deve essere soddisfatta per una trasformazione termodinamica arbitraria (purch´e a lavoro nullo). Se ne deduce quindi che deve valere la relazione Ei = −kB T ln pi + cost. , che porta alla relazione pi = A e−βEi , dove A `e una costante e dove abbiamo posto 1

β=

kB T

.

La costante A si determina imponendo la condizione di normalizzazione. Poich´e si deve avere pi = A e−βEi = 1 , i

i

se ne deduce che 1 , Z dove la quantit` a Z, detta somma sugli stati, `e data da Z= e−βEi . A=

i

o quindi essere scritta nella forma ﬁnale L’espressione per pi pu` pi =

1 −βEi e−βEi e = & −βEj . Z je

(A10.1)

L’espressione che abbiamo ottenuto `e di estrema generalit`a e pu` o a buon diritto essere considerata la base di tutta la termodinamica statistica. Essa pu` o essere posta in forma alternativa nel caso si supponga che gli stati microscopici del sistema non siano discreti (e quindi numerabili) ma siano identiﬁcabili mediante il punto rappresentativo nello spazio delle fasi del sistema avente dimensione pari a 2 N , dove N `e il numero di gradi di libert` a del sistema stesso. In questo caso, indicando con dP la probabilit` a che il punto rappresentativo del sistema si trovi nella celletta dΓ = dq1 dq2 · · · dqN dp1 dp2 · · · dpN dello spazio delle fasi centrata intorno ai valori (qi , pi ), e indicando con H(qi , pi ) l’Hamiltoniana del sistema, si ha dP =

1 −β H(qi ,pi ) e−βH(qi ,pi ) dΓ e , dΓ = . −β H(q ,p ) i i dΓ Z e

(A10.2)

462

APPENDICI

con l’integrale esteso a tutto il volume dello spazio delle fasi a disposizione del sistema. Le equazioni (A10.1) e (A10.2) coincidono, rispettivamente, con le Eq. (10.2) e (10.1) che, nel Cap. 10, abbiamo assunto come principi fondamentali per la deduzione di varie leggi di equilibrio termodinamico.

A.11 Probabilit` a di transizione per le coerenze Nel testo abbiamo introdotto la cosiddetta “approssimazione delle fasi a caso” e abbiamo determinato le equazioni cinetiche per gli elementi di matrice diagonali, ρα , dell’operatore matrice densit`a del sistema ﬁsico. Il risultato che abbiamo trovato `e l’equazione cinetica (11.9) che si interpreta introducendo la probabilit` a di transizione per unit` a di tempo fra stati diversi del sistema. Tale probabilit` a `e data dalla regola aurea di Fermi espressa dall’Eq. (11.10). Vogliamo adesso generalizzare questi risultati andando a determinare le equazioni cinetiche per le cosiddette coerenze, ovvero per gli elementi di matrice non diagonali dell’operatore matrice densit` a. Riprendiamo allora l’Eq. (11.8) e introduciamo l’ipotesi, meno restrittiva di quella delle fasi casuali, che nel sistema ﬁsico possano esistere coerenze, anche se soltanto entro coppie di stati, |α e |α , aventi lo stesso autovalore dell’energia (stati degeneri) e fra i quali l’elemento di matrice dell’Hamiltoniana di I interazione, Hαα , sia nullo. Tenendo conto di questa approssimazione, quando si va a valutare il prodotto cα (t) c∗α (t) arrestandosi a considerare i termini che sono al massimo quadratici negli elementi di matrice di HI , si ottiene cα (t) c∗α (t) = cα (0) c∗α (0) e i ωαβ t − 1 e−i ωα β t − 1 1 I Hαβ HβI α cβ (0) c∗β (0) + 2 ωαβ ωα β h ¯ ββ ⎤ ⎡ i ωαγ t i ωαβ t − 1 − 1 1 ⎣ I e e I + C.C.(α ↔ α )⎦, + 2 Hαβ Hβγ cγ (0) c∗α (0) − ωαγ ωβγ ωαβ ωβγ h ¯ βγ

dove il simbolo [. . . + C.C.(α ↔ α )] signiﬁca che bisogna aggiungere al termine in parentesi il suo complesso e coniugato con lo scambio degli indici α e α . Teniamo adesso presente l’approssimazione introdotta sulla isoenergeticit`a degli stati fra cui sono presenti le coerenze. Per quanto riguarda la seconda riga dell’equazione precedente, questo implica che ωαβ = ωα β e quindi i due fattori temporali risultano essere l’uno il complesso e coniugato dell’altro. Per quanto riguarda la terza riga, si pu` o eseguire un passaggio al limite (ω αγ → 0) e la funzione temporale entro parentesi tonde, che indichiamo con F(t), risulta

463

APPENDICI

F(t) =

e i ωαγ t − 1 e i ωαβ t − 1 it e i ωαβ t − 1 − =− + = 2 ωαγ ωβγ ωαβ ωβγ ωαβ ωαβ

=−

2 sin2 (ωαβ t/2) sin(ωαβ t) − ωαβ t +i . 2 2 ωαβ ωαβ

Passiamo a eseguire la media statistica sul sistema ﬁsico e introduciamo la notazione della matrice densit`a ponendo8 ραα = cα (t) c∗α (t) . Cambiando inoltre l’indice di somma γ in α , l’equazione cinetica per le coerenze risulta ραα (t) = ραα (0) + ⎡ +

1 I 4 sin2 (ωαβ t/2) I H H α ρββ (0) αβ β 2 ωαβ h ¯ 2 ββ ⎤

1 ⎣ I I ⎦ Hαβ Hβα . ρα α (0) F(t) + C.C.(α ↔ α ) h ¯ 2 βα

(A11.1)

Consideriamo adesso il limite per t → ∞ di questa equazione. Per quanto abbiamo pi` u volte visto nel testo si ha (si veda anche la Fig. 11.1) 4 sin2 (ωαβ t/2) = 2π t δ(ωαβ ) = 2π h ¯ t δ(Eα − Eβ ) , 2 t→∞ ωαβ lim

dove abbiamo ricordato la deﬁnizione delle frequenze di Bohr in termini delle energie degli stati del sistema ﬁsico. Per quanto poi riguarda la funzione F(t), mentre la sua parte reale porta di nuovo a una delta di Dirac sull’energia, la parte immaginaria si comporta, al limite per t → ∞, come illustrato nella Fig. A.2. Come pu` o essere rigorosamente dimostrato nell’ambito della teoria delle distribuzioni si ottiene 1 1 i lim F(t) = −π t δ(ωαβ )− i t PP , = −π h ¯ t δ(Eα − Eβ ) + PP t→∞ ωαβ π Eα − Eβ dove il simbolo PP `e il valore principale secondo Cauchy. Siamo adesso in grado di scrivere l’equazione cinetica che generalizza al caso delle coerenze l’Eq. (11.9) del testo, valida per gli elementi diagonali della matrice densit`a. Riprendendo l’Eq. (A11.1) e osservando che tutti i termini del secondo membro hanno, per t tendente all’inﬁnito, un comportamento lineare in t, si pu` o scrivere 8

Si noti che nel testo abbiamo introdotto soltanto gli elementi diagonali della matrice densit` a, denotati per semplicit` a col simbolo ρα invece che con ραα .

464

APPENDICI

Fig. A.2. Andamento della parte immaginaria di F(t) in funzione di ωαβ . All’aumentare di t il comportamento della funzione si avvicina sempre pi` u a quello della funzione −t/ω αβ (curva punteggiata), eccetto nell’origine dove assume valore nullo.

d ∗ ραα = Tαα ββ ρββ − (Rαα ρα α + Rα α ραα ) , dt

(A11.2)

α

ββ

dove Tαα ββ , il tasso (rate) per trasferimento dalla coerenza ρββ alla coerenza ραα , `e dato da Tαα ββ =

2π I H HI δ(Eα − Eβ ) , h ¯ αβ β α

e dove Rαα , il tasso (rate) di rilassamento che lega la coerenza ραα alla coerenza ρα α `e dato da Rαα =

1 π I i I δ(Eα − Eβ ) + PP . Hαβ Hβα h ¯ π Eα − Eβ β

Come `e facile mostrare, l’Eq. (A11.2) coincide con l’Eq. (11.9) nel caso dell’approssimazione delle fasi casuali, ovvero quando ci si limita a considerare solo gli elementi diagonali della matrice densit` a. Si ha infatti Tααββ =

2π I 2 |Hαβ | δ(Eα − Eβ ) = Pαβ , h ¯

465

APPENDICI

dove Pαβ `e la probabilit` a di transizione per unit`a di tempo fra gli stati |α e |β (o fra gli stati |β e |α ) data dall’Eq. (11.10) (regola aurea di Fermi). Analogamente ∗ Rαα + Rαα =

2π I 2 |Hαβ | δ(Eα − Eβ ) = Pαβ . h ¯ β

β

L’equazione (A11.2) pu` o quindi a buon diritto essere considerata la generaliz` importante sotzazione al caso delle coerenze della regola aurea di Fermi. E tolineare la presenza del fattore immaginario nelle rates di rilassamento. Tale fattore `e responsabile di fenomeni caratteristici nell’interazione fra materia e campo di radiazione, quali, in particolare, i fenomeni di dispersione anomala che si veriﬁcano nel trasporto di radiazione polarizzata in un mezzo anisotropo (eﬀetto Faraday, eﬀetto Macaluso-Corbino, etc.).

A.12 Somme sui numeri quantici magnetici Si vuole dimostrare l’Eq. (11.17) del testo, ovvero si vuole dimostrare che, qualsiasi sia il versore di polarizzazione e, deﬁnendo le medie sui numeri quantici magnetici dei moduli quadri degli elementi di matrice di dipolo, A e A , mediante le equazioni A=

1 | rbβ,aα · e |2 , ga gb α, β

A = |rba |2 =

1 1 | rbβ,aα |2 = ubβ |r |uaα · uaα |r |ubβ ga gb ga gb α, β

,

α, β

si ha A=

1 3

A .

Nelle equazioni precedenti, gli indici a e b indicano due livelli energetici qualsiasi del sistema atomico mentre gli indici α e β numerano i rispettivi sottolivelli magnetici, degeneri rispetto all’energia. Per provare l’equazione, `e opportuno introdurre una notazione pi` u dettagliata tenendo conto del fatto che i livelli atomici sono generalmente caratterizzati, oltre che da un set di numeri quantici interni, γ, che speciﬁcano la conﬁgurazione e il termine, dal numero quantico di momento angolare, J, e dal numero quantico magnetico, M . Eseguiamo quindi le sostituzioni formali |uaα → |γa Ja Ma ,

|ubβ → |γb Jb Mb ,

ga → 2Ja + 1 ,

gb → 2Jb + 1 ,

466

APPENDICI

dalle quali consegue A=

| γb Jb Mb |r · e |γa Ja Ma |2 , (2 Ja + 1)(2 Jb + 1)

Ma Mb

A =

Ma Mb

γb Jb Mb |r |γa Ja Ma · γa Ja Ma |r |γb Jb Mb (2 Ja + 1)(2 Jb + 1)

.

Per il calcolo di A applichiamo il teorema di Wigner-Eckart osservando che il prodotto scalare r · e pu` o essere espresso in termini delle componenti sferiche dei due vettori. Si ha infatti (si veda l’Eq. (9.5)) r · e = (−1)q rq e−q . q

Per mezzo dell’Eq. (9.4) si ha γb Jb Mb | rq |γa Ja Ma = # Jb = (−1)Ja +Mb +1 2Jb + 1 −Mb

Ja Ma

1 q

γb Jb || r ||γa Ja

,

e si ottiene A=

(−1)q+q e−q (e−q )∗

qq

Jb × −Mb Ma Mb

Ja Ma

1 q

Jb −Mb

Ja Ma

1 q

| γb Jb || r ||γa Ja |2 . 2 Ja + 1

La somma su Ma e Mb del prodotto dei due simboli 3-j pu` o essere eseguita per mezzo della propriet` a dei simboli 3-j espressa dall’Eq. (7.18). Si ha Jb Jb Ja 1 Ja 1 = 13 δqq , −Mb Ma q −Mb Ma q Ma Mb & e si ottiene, essendo q eq (eq )∗ = 1 A=

1 3

| γb Jb || r ||γa Ja |2 . 2 Ja + 1

Per il calcolo della quantit` a A si procede in maniera analoga osservando preliminarmente che γa Ja Ma |r |γb Jb Mb = γb Jb Mb |r |γa Ja Ma ∗ . Si ottiene A =

Jb −Mb q

Ma Mb

Ja Ma

1 q

Jb −Mb

Ja Ma

1 q

| γb Jb || r ||γa Ja |2 , 2 Ja + 1

467

APPENDICI

e sfruttando la stessa propriet` a dei simboli 3-j e poi sommando su q, si perviene al risultato che volevamo dimostrare, ovvero A =

| γb Jb || r ||γa Ja |2 = 3A . 2 Ja + 1

I risultati che abbiamo ottenuto permettono di esprimere la quantit`a |rba |2 che abbiamo introdotto nel testo con gli elementi di matrice ridotta del tensore sferico r. Essendo |rba |2 = A , si ha |rba |2 =

| γb Jb || r ||γa Ja |2 . 2 Ja + 1

D’altra parte, essendo |rba |2 = |rab |2 , si ottiene per simmetria |rba |2 = |rab |2 =

| γa Ja || r ||γb Jb |2 | γb Jb || r ||γa Ja |2 = , 2 Ja + 1 2 Jb + 1

un’equazione che connette gli elementi di matrice ridotti per scambio del “bra” col “ket”. Nella pratica spettroscopica viene comunemente utilizzato il concetto di forza della riga (o della transizione). Tale quantit` a, invariante rispetto allo scambio fra livello superiore e livello inferiore, `e deﬁnita da S = gb | γb Jb || d ||γa Ja |2 = ga | γa Ja || d ||γb Jb |2 , a da noi introdotte nel dove d = −e0 r `e l’operatore dipolo elettrico. Le quantit` testo sono quindi connesse alla forza mediante la relazione |rba |2 = |rab |2 =

1 S . e20 ga gb

Attraverso queste relazioni `e quindi possibile esprimere i coeﬃcienti di Einstein in termini della forza della riga invece che in termini degli elementi di matrice di dipolo. Ad esempio, ricordando l’Eq. (11.20), il coeﬃciente di Einstein Aab pu` o essere scritto nella forma 3 64π 4 νab S . 3 h c3 Una quantit` a alternativa, anch’essa utilizzata per caratterizzare la forza di una riga (o di una transizione), `e la cosiddetta forza d’oscillatore. Tale quantit` a viene introdotta partendo dal risultato secondo il quale il coeﬃciente di assorbimento integrato in frequenza di un plasma di atomi “classici”, descritti dal modello atomico di Lorentz, `e dato da

ga Aab =

(a) kR

class

=N

π e20 . mc

468

APPENDICI

dove N `e la densit` a numerica degli atomi. Confrontando questa espressione (a) con quella per kR da noi dedotta nel Par. 11.9 (Eq. (11.33)), si vede che le due quantit` a possono essere portate a coincidere immedesimando N con Nb e moltiplicando l’espressione classica per la quantit` a adimensionale fba , detta forza di oscillatore della transizione, data da fba =

8π 2 m νab ga |rba |2 . 3h

La forza di oscillatore pu`o essere considerata come un parametro di eﬃcienza della transizione, rappresentando una sorta di “numero equivalente” di oscillatori classici. In genere si tratta di un numero relativamente piccolo che pu` o raggiungere valori dell’ordine dell’unit` a solo per le righe spettrali pi` u intense. Le relazioni esistenti fra forza di oscillatore, forza, e coeﬃcienti di Einstein sono facilmente deducibili attraverso le relazioni precedenti. Ad esempio si ha gb fba =

8π 2 m νab S , 3 h e20

ga Aab =

2 8π 2 e20 νab gb fba . m c3

A.13 Calcolo di un elemento di matrice Si voglia calcolare la probabilit` a per unit` a di tempo che si veriﬁchi un processo elementare in cui un elettrone libero non relativistico di impulso q compia una transizione verso uno stato libero di impulso q per assorbimento di un fotone avente vettore d’onda k. In base alla regola aurea di Fermi, ripetendo i ragionamenti sviluppati nel Par. 11.4 ma senza introdurre l’approssimazione di dipolo9 , tale probabilit` a risulta proporzionale al modulo quadro dell’elemento di matrice, M, dato da

M = u f | e i k·r p · e |u i

,

dove |u i e |u f sono gli autovettori del sistema atomico (nel nostro caso l’elettrone libero) negli stati iniziale e ﬁnale, rispettivamente, e `e il versore di polarizzazione del fotone assorbito e p `e l’operatore impulso dell’elettrone. Nella rappresentazione delle funzioni d’onda, nella quale l’operatore p `e dato da −i h ¯ grad, l’elemento di matrice M risulta M = −i h ¯ e · ψ ∗f (r ) e i k·r grad[ψ i (r )] d3r . 9

L’approssimazione di dipolo `e appropriata quando si considera l’interazione fra radiazione ed elettroni legati in un atomo. Per elettroni liberi, descritti da autofunzioni del tipo di onda piana, essa non pu` o essere applicata.

469

APPENDICI

D’altra parte, le autofunzioni ψ f e ψ i sono del tipo di onda piana, ovvero 1 ψ f (r ) = √ e i q ·r/¯h , V

1 ψ i (r ) = √ e i q·r/¯h , V

dove V `e il volume di normalizzazione. Sostituendo nell’integrale si ottiene e · q M= e−i (q −¯h k−q )·r/¯h d3r . V L’integrale `e nullo a meno che si annulli l’argomento dell’esponenziale. Questo porta all’uguaglianza q = (¯ h k + q ) che rappresenta la conservazione dell’impulso. In tale caso, l’integrale risulta semplicemente uguale a V, per cui si ottiene M = e · q = e · ( q −h ¯k ) .

A.14 Invarianza di gauge nell’Elettrodinamica Quantistica Consideriamo la quantit`a Rf i deﬁnita nell’Eq. (15.22) del testo, che qui riscriviamo nella forma Rf i = P + Q , dove P = Ws† ( p ) ( α · e ∗ ) Q = Ws† ( p ) ( α · e )

Hg + + h ¯ω ( α · e ) Wr( p) , ( + h ¯ ω)2 − 2g

Hh + − h ¯ ω ( α · e ∗ ) Wr( p) . ( − h ¯ ω )2 − 2 h

Vogliamo dimostrare che Rf i `e invariante rispetto alla trasformazione α · e → α · e + C ( α · u − 1) ,

(A14.1)

dove C `e una costante arbitraria e dove u `e il versore della direzione del fotone iniziale (u = k/k). Eseguendo tale trasformazione, le quantit`a P e Q si trasformano secondo le equazioni P → P + C P , dove

Q → Q + C Q ,

470

APPENDICI

P = Ws† ( p ) ( α · e ∗ )

¯ω Hg + + h ( α · u ) − 1 Wr( p) , 2 2 ( + h ¯ ω) − g

Hh + − h ¯ ω Q = Ws† ( p ) ( α · u ) − 1 ( α · e ∗ ) Wr( p) . ( − h ¯ ω )2 − 2h Moltiplichiamo le due quantit` a P e Q per il prodotto c h ¯ k e osserviamo che ch ¯ k ( α · u ) − 1 = c h ¯ ( α · k ) − h ¯ω . Ricordiamo poi le relazioni cinematiche dell’eﬀetto Compton e osserviamo che le quantit` a g e h, contenute rispettivamente in P e Q , sono date da (si vedano le Eq. (15.15)) h = p − h ¯ k = p − h ¯ k ,

g = p + h ¯ k ,

per cui si pu` o sostituire, nell’espressione di P h ¯ k = g − p , e, nell’espressione di Q h ¯ k = p − h . ¯ ω, si ottiene Sostituendo, e ricordando anche che − h ¯ ω = − h ch ¯ k P = Ws† ( p ) ( α · e ∗ )

Hg + + h ¯ω cα · g − c α · p − h ¯ ω Wr( p) , 2 2 ( + h ¯ ω) − g

Hh + − h ¯ω ch ¯ k Q = Ws† ( p ) c α · p − c α · h − h ¯ω ( α · e ∗ ) Wr( p) . ( − h ¯ ω)2 − 2 h

Entro le parentesi quadre aggiungiamo e togliamo il fattore β m c2 e ricordiamo che un espressione del tipo (c α · q + β m c2 ), (con q arbitrario), `e l’Hamiltoniana di Dirac Hq . Si ottiene p ) ( α · e ∗ ) ch ¯ k P = Ws† (

Hg + + h ¯ω Hg − Hp − h ¯ ω Wr( p) , 2 2 ( + h ¯ ω) − g

Hh + − h ¯ω ch ¯ k Q = Ws† ( p ) Hp − Hh − h ¯ω ( α · vece ∗ ) Wr( p) . ( − h ¯ ω)2 − 2 h

Adesso, osservando che Hp Wr( p ) = Wr( p) ,

Ws† ( p ) Hp = Ws† ( p ) ,

471

APPENDICI

si ha

ch ¯ k P = Ws† ( p ) ( α · e ∗ )

Hg + + h ¯ω Hg − − h ¯ ω Wr( p) , 2 2 ( + h ¯ ω) − g

Hh + − h ¯ω ch ¯ k Q = Ws† ( p ) − Hh − h ¯ω ( α · e ∗ ) Wr( p) . 2 ( − h ¯ ω) − 2 h

Inﬁne, tenendo conto che ¯ ω Hg − − h ¯ ω = 2g − ( + h ¯ ω)2 , Hg + + h − Hh − h ¯ ω Hh + − h ¯ ω = ( − h ¯ ω)2 − 2h , si ottiene ch ¯ k P = −Ws† ( p ) ( α · e ∗ ) Wr( p) ,

ch ¯ k Q = Ws† ( p ) ( α · e ∗ ) Wr( p) ,

da cui segue (P + Q ) = 0 . Questo dimostra che la quantit`a Rf i `e invariante rispetto alla trasformazione (A14.1). In tutta analogia si pu` o poi dimostrare che Rf i `e anche invariante rispetto alla trasformazione · e ∗ + C ( α · u − 1) , α · e ∗ → α dove C `e una costante arbitraria e dove u `e il versore della direzione del fotone ﬁnale (u = k /k ). Una maniera alternativa di esprimere queste propriet` a di invarianza `e quella di considerare formalmente la quantit` a Rf i come funzione della matrice ( α · e ) o, alternativamente, della matrice ( α · e ∗ ). Dalla dimostrazione precedente segue che Rf i { α · e → α · u} = Rf i { α · e → 1} ,

(A14.2)

Rf i { α · e ∗ → α · u } = Rf i { α · e ∗ → 1} .

A.15 Le matrici gamma e gli invarianti relativistici La relazione fra energia p e impulso p di una particella relativistica di massa m `e espressa dalla relazione 2p = c2 p2 + m2 c4 .

472

APPENDICI

In particolare, per un fotone (m = 0), si ha p = c p ,

con

p = | p | ,

oppure, in termini di frequenza e numero d’onda h ¯ ω = ch ¯k ,

con

k = | k | .

Queste relazioni possono essere formalmente sempliﬁcate se si adotta un sistema di unit` a in cui h ¯ = c = 1. L’introduzione di questa convenzione equivale a deﬁnire l’intervallo di tempo unitario come il tempo che impiega la luce a percorrere l’unit` a di lunghezza. Con queste deﬁnizione inoltre, l’energia, l’impulso e la massa (cos`ı come, per un fotone, la frequenza angolare e il numero d’onde) vengono tutte ad assumere le dimensioni del reciproco di una lunghezza (oppure di un tempo). La relazione fra impulso e energia si scrive, in questo sistema di unit` a, nella forma 2p = p2 + m2 ,

ovvero

2p − p2 = m2 ,

p = p ,

ovvero

ω=k .

e, per un fotone

Introduciamo adesso col simbolo Pμ (μ = 0, 1, 2, 3) il quadrivettore impulsoenergia della particella. Esso `e un ente a quattro componenti che risultano cos`ı deﬁnite

P0 = p ,

P1 = p 1 = p x ,

P2 = p 2 = p y ,

P3 = p 3 = p z ,

oppure, in forma pi` u compatta P = (p , p ) . Se deﬁniamo il tensore metrico gμν nella forma

g00 = 1 ,

g0i = gi0 = 0

(i = 1, 2, 3) ,

gjk = −δik

il prodotto scalare di due quadrivettori P e Q risulta (PQ) =

μν

In particolare si ha

gμν Pμ Qν = p q − p · q .

(j, k = 1, 2, 3) ,

473

APPENDICI

P 2 = (PP) =

gμν Pμ Pν = 2p − p2 = m2 .

μν

Queste quantit` a, ovvero il prodotto scalare di due quadrivettori deﬁnito attraverso il tensore metrico di cui sopra e, in particolare, il quadrato di un quadrivettore, sono degli invarianti relativistici, ovvero delle quantit` a che non cambiano per trasformazioni di Lorentz. Vediamo adesso come sia possibile esprimere attraverso tali invarianti le ampiezze di probabilit` a relative alla diffusione Compton. Consideriamo la quantit`a Rf i deﬁnita nell’Eq. (15.22) del testo. Tale quantit`a consta di due termini che indichiamo coi simboli P e Q. Per il primo di essi, che qui riscriviamo tenendo conto del sistema di unit`a che abbiamo introdotto (c = h ¯ = 1), si ha Hg + + ω ( α · e )Wr( p) , ( + ω)2 − 2g

P = Ws† ( p )( α · e ∗ ) dove

Hg = α · g + β m , con g = p + k ,

g =

# g 2 + m2 .

Ricordando che la matrice β di Dirac ha per quadrato l’unit` a, si pu` o scrivere P = Ws† ( p )( α · e ∗ )β 2

Hg + + ω 2 β ( α · e )Wr( p) . ( + ω)2 − 2g

Se adesso ricordiamo anche che la matrice β anticommuta con una qualsiasi delle matrici α, si ottiene P = Ws† ( p )β( α · e ∗ )

β(Hg + + ω) β( α · e )βWr( p) . ( + ω)2 − 2g

Deﬁniamo adesso le matrici γμ , (μ = 0, 1, 2, 3) con la posizione γ0 = β ,

γ1 = β α1 ,

γ2 = β α2 ,

γ3 = β α3 .

La propriet` a fondamentale di queste matrici concerne il loro anticommutatore che risulta, come `e facile veriﬁcare in base alle propriet` a delle matrici α e β {γμ , γν } = γμ γν + γν γμ = 2 gμν ,

(A15.1)

dove gμν `e il tensore metrico precedentemente deﬁnito. Inoltre, dato un quadrivettore V arbitrario, deﬁniamo col simbolo V / la matrice

474

APPENDICI

V /=

γμ Vμ .

μ

Con queste deﬁnizioni, la quantit` a P si pu` o scrivere nella forma P = Ws† ( p ) /E ∗

/G + m /E γ0 Wr ( p) , G 2 − m2

(A15.2)

dove i quadrivettori G, E e E sono dati da G = (ω + , g ) ,

E = (0, e ) ,

E = (0, e ) .

Si noti che il quadrivettore G pu` o anche essere posto nella forma G =P +K , dove K = (ω, k) . Se adesso andiamo a considerare la quantit` a P ∗ , complessa e coniugata di P , bisogna procedere con attenzione perch´e le matrici γ (eccetto γ0 ) non sono hermitiane. Si ha infatti γ0† = β † = β = γ0 , γi† = (β αi)† = α†i β † = αi β = −β αi = −γi

(i = 1, 2, 3) .

Queste propriet`a possono condensarsi nell’unica γμ† = γ0 γμ γ0 , la quale comporta, per un quadrivettore arbitrario V / † = γ0 V / ∗ γ0 . Si ottiene quindi P ∗ = Wr† ( p ) γ0 γ0 /E ∗ γ0 ovvero p ) /E ∗ P ∗ = Wr† (

γ0 /G γ0 + m γ0 /E γ0 Ws( p ) , G 2 − m2

/G + m /E γ0 Ws( p ) . G 2 − m2

(A15.3)

Analoghe considerazioni possono esser ripetute per l’altro termine Q dell’Eq. (15.22), deﬁnito da Q = Ws† ( p )( α · e )

Hh + − ω ( α · e ∗ )Wr( p) , ( − ω )2 − 2 h

475

APPENDICI

dove Hh = α · h + β m , con

h = p − k ,

h =

# h 2 + m2 .

Si ottiene H / + m ∗ /E γ0 Wr( p) , H 2 − m2 dove il quadrivettore H `e deﬁnito da Q = Ws† ( p ) /E

(A15.4)

H = ( − ω , h ) = P − K , essendo

K = (ω , k ) .

Sempre in analogia a quanto visto prima, si ha anche H / +m ∗ /E γ0 Ws( p ) . (A15.5) H 2 − m2 Possiamo adesso valutare il modulo quadro della quantit`a Rf i . Esso risulta Q∗ = Wr† ( p ) /E

|Rf i |2 = (P + Q)(P ∗ + Q∗ ) = P P ∗ + P Q∗ + QP ∗ + QQ∗ , dove, utilizzando le Eq. (A15.2)-(A15.5), i quattro addendi sono dati da /G + m /G + m /E γ0 Wr( p ) Wr† ( p ) /E ∗ 2 /E γ0 Ws( p ) 2 2 G −m G − m2 /G + m H / +m ∗ p ) /E ∗ 2 /E γ0 Wr( p ) Wr† ( p ) /E 2 /E γ0 Ws( p ) P Q∗ = Ws† ( G − m2 H − m2 /G + m H / + m ∗ p ) /E 2 /E γ0 Wr( p ) Wr† ( p ) /E ∗ 2 /E γ0 Ws( p ) QP ∗ = Ws† ( 2 H −m G − m2 H / +m ∗ H / + m ∗ p ) /E 2 /E γ0 Wr( p ) Wr† ( p ) /E 2 /E γ0 Ws( p ) QQ∗ = Ws† ( H − m2 H − m2 P P ∗ = Ws† ( p ) /E ∗

, , , .

Queste espressioni possono essere sempliﬁcate quando se ne consideri la media sugli stati di spin iniziali dell’elettrone e la somma sugli stati di spin ﬁnali dell’elettrone. Tenendo conto dei risultati che abbiamo ottenuto nel Par. 15.5 (Eq. (15.18) e (15.20)) si ha r=1,2

Wr( p )Wr† ( p) =

p + Hp , 2 p

e deﬁnendo i quadrivettori

s=1,2

Ws( p )Ws† ( p ) =

p + Hp , 2 p

476

APPENDICI

P = (p , p ) ,

P = (p , p ) , si ottiene

γ0 Wr ( p )Wr† ( p) =

r=1,2

P / +m , 2 p

γ0 Ws ( p )Ws† ( p ) =

s=1,2

P / +m . 2 p

Si ha allora, indicando col simbolo · · · la media sugli stati di spin e utilizzando la deﬁnizione di traccia di una matrice, per la quale un prodotto scalare della forma W1X W2† , con W1 e W2 spinori arbitrari e X matrice arbitraria, pu` o essere posto nella forma Tr(W2W1† X ) P P ∗ =

1 1 PP∗ = 2 r=1,2 s=1,2 8 p p

/G + m /G + m × Tr (P / + m) /E /E (P / + m) /E ∗ 2 /E 2 2 G −m G − m2

∗

,

con analoghe espressioni per gli altri tre termini P Q∗ , QP ∗ e QQ∗ . Quest’ultimo risultato pu` o essere notevolmente sempliﬁcato qualora si sommi sugli stati di polarizzazione del fotone ﬁnale e si medi sugli stati di polarizzazione del fotone iniziale. La media sugli stati di polarizzazione del fotone iniziale, ad esempio, consiste nell’eseguire nella formula precedente la sostituzione formale /E (P / + m) /E ∗ →

1 2

/E(i) (P / + m) /E (i) ,

i=1,2

dove E (i) = (0, e (i) ) , e (i) (i = 1, 2) essendo due versori unitari, che possiamo senz’altro supporre reali, perpendicolari alla direzione del fotone iniziale e perpendicolari fra loro. Tenendo per` o conto dell’invarianza per trasformazioni di gauge enunciata nell’App. 14, e, in particolare, ricordando l’Eq. (A14.2), la somma pu` o essere modiﬁcata estendendola a un terzo “quadriversore”, che indichiamo con E (3) , e sottraendo poi il contributo dovuto a un ulteriore quadriversore, di tipo puramente temporale, secondo la nomenclatura della relativit`a ristretta, che indichiamo con E (0) . Deﬁnendo E (3) = (0, e (3) ) ,

E (0) = (1, 0 ) ,

477

APPENDICI

dove e (3) `e un versore diretto lungo la direzione del fotone entrante (e (3) = k/k), e ricordando la deﬁnizione del tensore metrico, eseguiamo la seguente trasformazione

∗

/E (P / + m) /E →

1 2

S ,

dove

3

S=−

gij /E(i) (P / + m) /E (j) .

i,j=0

Osserviamo che la somma S pu` o anche essere posta nella forma S = −γ0 (P / + m)γ0 + (γ · e (1) )(P / + m)(γ · e (1) ) / + m)(γ · e (2) ) + (γ · e (3) )(P / + m)(γ · e (3) ) , + (γ · e (2) )(P dove γ `e il vettore formale deﬁnito da γ = (γ1 , γ2 , γ3 ). Il secondo membro pu`o poi essere trasformato per dare

S = −γ0 (P / + m)γ0 +

3

(1) (1) (2) (2) (3) (3) . γi (P / + m)γj ei ej + ei ej + ei ej

i,j=1

D’altra parte, tenendo conto dell’Eq. (15.7), la quantit` a in parentesi quadra `e uguale alla delta di Kronecker δij , e si ottiene quindi / + m)γ0 + S = −γ0 (P

3

γi (P / + m)γi = −

gμν γμ (P / + m)γν .

μ,ν

i=1

Inﬁne possiamo tener conto delle propriet`a delle matrici γ. Dall’Eq. (A15.1) si ha γμ γν = −γν γμ + 2 gμν . Inoltre `e facile veriﬁcare che vale la relazione gμν γμ γν = 4 , μν

e che, per le propriet` a del tensore metrico gμν gμρ = δνρ , μ

per cui

gμν gμρ γν = γρ .

μν

Sfruttando queste propriet`a, con alcuni passaggi algebrici si ottiene

478

APPENDICI

S = 2 (P / − 2 m) . Riassumendo le considerazioni svolte, la media sugli stati di polarizzazione del fotone iniziale si ottiene eseguendo la trasformazione formale /E (P / + m) /E ∗ → P / − 2m . Analogamente, la somma sugli stati di polarizzazione del fotone ﬁnale si ottiene eseguendo la trasformazione formale /E (P / + m) /E ∗ → 2 (P / − 2 m) . Indichiamo adesso col simbolo P P ∗ la quantit` a ottenuta prendendo la media di P P ∗ sugli stati di polarizzazione iniziali e la somma della stessa quantit`a sugli stati di polarizzazione ﬁnali10 . Si ha per essa 1 /G + m /G + m . Tr (P / − 2 m) 2 (P / − 2 m) 2 P P = 4 p p G − m2 G − m2 ∗

A questo punto `e necessario aprire una parentesi sulle tracce di prodotti di matrici γ. Come `e facile veriﬁcare, la traccia del prodotto di un numero dispari di matrici γ `e nullo. Quando invece il numero di matrici γ `e zero, oppure pari, il risultato `e diverso da zero. Indicando con a una costante arbitraria, con A, B, C e D quattro quadrivettori arbitrari, e ricordando la deﬁnizione di prodotto scalare fra quadrivettori si ha Tr{a} = 4 a , Tr{A /B /} = 4 (AB) , Tr{A /B / /C D /} = 4 (AB)(CD) − (AC)(BD) + (AD)(BC) . La prima relazione `e ovvia. Per la seconda si ha Tr{A /B /} = Tr{γμ γν }Aμ Bν , μν

e sfruttando le propriet` a di anticommutazione delle matrici γ Tr{γμ γν } = 8 gμν − Tr{γν γμ } . Dalla propriet` a ciclica della traccia consegue quindi Tr{γμ γν } = 4 gμν , 10

Si ricordi che la prima media, P P ∗ , ha un analogo signiﬁcato nei riguardi degli stati di spin dell’elettrone.

APPENDICI

479

che prova per semplice sostituzione la seconda relazione. Per la terza relazione si ha poi Tr{A /B / /C D /} = Tr{γμ γν γρ γσ }Aμ Bν Cρ Dσ , μνρσ

e, per le propriet`a di anticommutazione delle matrici γ Tr{γμ γν γρ γσ } = 2 gμν Tr{γρ γσ } − Tr{γν γμ γρ γσ } = = 2 gμν Tr{γρ γσ } − 2 gμρ Tr{γν γσ } + Tr{γν γρ γμ γσ } = = 2gμν Tr{γρ γσ } − 2 gμρ Tr{γν γσ } + 2 gμσ Tr{γν γρ } − Tr{γν γρ γσ γμ } . Sfruttando la propriet` a ciclica della traccia si ottiene quindi Tr{γμ γν γρ γσ } = gμν Tr{γρ γσ } − gμρ Tr{γν γσ } + gμσ Tr{γν γρ } , e per mezzo del risultato precedentemente ottenuto Tr{γμ γν γρ γσ } = 4 gμν gρσ − 4 gμρ gνσ + 4 gμσ gνρ . La terza relazione si ottiene quindi per semplice sostituzione di questa identit` a. Il risultato ottenuto per P P ∗ mostra che la traccia contenuta in tale quantit` a pu` o essere espressa esclusivamente in termini di prodotti scalari di quadrivettori, ovvero in termini di invarianti relativistici. Analoghe considerazioni possono poi essere ripetute per le altre quantit` a P Q∗ , QP ∗ , ∗ e QQ che, una volta calcolate, permettono di ottenere la probabilit` a di transizione per unit` a di tempo e quindi la sezione d’urto. Ovviamente, nel caso particolare in cui l’elettrone sia inizialmente a riposo, si riottiene per la sezione d’urto l’equazione di Klein-Nishina, nella forma dell’Eq. (15.37), che si riferisce alla media sugli stati di polarizzazione del fotone iniziale e alla somma sugli stati di polarizzazione del fotone ﬁnale. Il formalismo delle matrici γ presentato in questa Appendice `e molto potente ed elegante. Esso permette di trattare con relativa facilit`a anche i problemi pi` u complicati di Elettrodinamica Quantistica. In ogni caso, `e importante sottolineare che il formalismo che abbiamo utilizzato nel testo per dedurre l’equazione di Klein-Nishina, che non fa uso delle matrici γ, `e stato il primo ad essere usato in pratica per le applicazioni.

Costanti ﬁsiche Le costanti sono espresse in unit` a del sistema c.g.s. con al pi` u sei cifre signiﬁcative. Costante della gravitazione: G = 6.67428 × 10−8 cm3 g−1 s−2 Velocit`a della luce nel vuoto: c = 2.99792 × 1010 cm s−1 Costante di Planck: h = 6.62607 × 10−27 erg s Costante di Planck ridotta: h ¯ = h/(2π) = 1.05457 × 10−27 erg s Costante di Boltzmann: kB = 1.38065 × 10−16 erg K−1 Carica dell’elettrone (in valore assoluto): e0 = 4.80320 × 10−10 u.e.s. Massa dell’elettrone: m = 9.10938 × 10−28 g Massa ridotta dell’elettrone: mr = mMp /(m + Mp ) = 9.10442 × 10−28 g Unit` a di massa atomica: mH = 1.66054 × 10−24 g Massa del protone: Mp = 1.67262 × 10−24 g Rapporto di massa protone/elettrone: Mp /m = 1.83615 × 103 Numero di Avogadro: NA = 6.02214 × 1023 mol−1 Costante della struttura ﬁne: α = e20 /(¯ hc) = 7.29735 × 10−3 Reciproco della costante della struttura ﬁne: 1/α = h ¯ c/e20 = 137.036 Raggio classico dell’elettrone: rc = e20 /(mc2 ) = 2.81794 × 10−13 cm Lunghezza d’onda Compton dell’elettrone: λC = h/(mc) = 2.42631 × 10−10 cm Raggio della prima orbita di Bohr: a0 = h ¯ 2 /(me20 ) = 5.29177 × 10−9 cm 3 Costante di Rydberg: R = me40 /(4πc¯ h ) = 1.09737 × 105 cm−1 Costante di Rydberg (atomo di H): RH = mr e40 /(4πc¯ h3 ) = 1.09677 × 105 cm−1 Magnetone di Bohr: μ0 = e0 h ¯ /(2mc) = 9.27401 × 10−21 erg G−1 Sezione d’urto Thomson: σT = 8πrc2 /3 = 6.65246 × 10−25 cm2 Costante di Stefan-Boltzmann1 : σ = 5.67040 × 10−5 erg cm−2 s−1 K−4 Costante della densit`a di radiazione1: a = 7.56577 × 10−15 erg cm−3 K−4 Prima costante della radiazione: c1 = 2πhc2 = 3.74177 × 10−5 erg cm2 s−1 Seconda costante della radiazione: c2 = hc/kB = 1.43877 cm K

1

σ=

4 2π 5 kB 15 h3 c2

,

a=

4σ c

=

4 8π 5 kB 15 h3 c3

Indice analitico I numeri in grassetto si riferiscono alle tabelle. Quelli in corsivo alle citazioni bibliograﬁche. Abbondanze chimiche, 378 Abramowitz, M., 156 Accoppiamento: — di Russell-Saunders, 241 — intermedio, 254 — j-j, 252 — L-S, 241 Adiabatica del corpo nero, 287 Allargamento: — collisionale, 333 — naturale, 330 — termico (Doppler), 334 Amp`ere, A.M., 1, 429 Ampiezza dell’onda, 14 Anderson, C.D., 119 Angolo eliocentrico, 366 Anticommutatore, 115 Antisimmetrizzazione, 173 Anti-trasformata di Fourier, 18 Approssimazione: — del campo centrale, 178 — delle fasi casuali, 306, 462 — di dipolo, 310 — di Eddington, 373 — di Eddington-Barbier, 367 — di impatto, 330 Armoniche sferiche, 151 — espressioni esplicite, 152 — propriet` a, 152 Armoniche superiori, 29, 86 Asse lento, 43 Asse veloce, 43 Atmosfera stellare: — di Milne-Eddington, 384 — grigia, 370 — piana, 366 — piano-parallela, 366 Atomo a due livelli, 360

Atomo idrogenoide, 139 Attinidi, 193, 219 Aurore polari, 348 Auto-energia dell’elettrone, 164 Autofunzioni: — atomo idrogenoide, 157 Balmer, J.J., 137 Bang sonico, 451 Beaming eﬀect, 66, 84 Bethe, H., 165, 165, 379 Bjorken, J.D., 109 Bohr, N., 138 Boltzmann, L., 274, 459 Bosoni, 114, 173, 297 Bowen, I.S., 348 Bremsstrahlung, 72, 144 — inversa, 145, 379 Burger, H.C., 352 Camera CCD, 31, 40 Camera di Wilson, 119 Campo: — centrale, 178 — di una carica in moto, 58 — elettrico, 1, 427, 444 — magnetico, 2, 428, 444 — — critico, 257 — — quantistico, 135 Cariche di polarizzazione, 2 Catastrofe dell’ultravioletto, 78, 289 Centro del Sole, 284 Chamberlain, O., 119 Chandrasekhar, S., 380 Coeﬃciente: — di assorbimento, 325, 379 — — integrato in frequenza, 326, 383 — di emissione, 325

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INDICE ANALITICO

— — stimolata, 325 Coeﬃcienti: — binomiali, 190 — di Clebsh-Gordan: — — deﬁnizione, 198 — — interpretazione ﬁsica, 200 — — propriet` a, 199, 200 — di Einstein: — — per assorbimento, 320 — — per emissione spontanea, 315 — — — ordine di grandezza, 343 — — per emissione stimolata, 320 — — relazioni fra, 320, 323 — di Racah, 350 Coerenze, 306 — probabilit` a di transizione, 462 Collisioni: — elettrone-elettrone, 355 — elettrone-atomo, 357 — — anelastiche e superelastiche, 358 — — — rates, 359 Colore del cielo, 72 Componente eﬃcace, 245 Componenti: — di Fourier, 27 — sferiche di un vettore, 243 — Zeeman (σ e π), 255, 261 Condizione: — di Lorenz, 8 — di neutralit`a, 381 — di quantizzazione (orbite), 140 Condizioni: — di trasversalit`a, 103 — di periodicit`a, 102 Condon, E.U., 223, 266 Conﬁgurazioni elettroniche: — degenerazione, 190 — designazione spettroscopica, 189 — di elettroni eccitati, 195 — e termini L-S, 204 — interazione fra, 212 — normali degli atomi, 194 — parit` a, 189

Continuo di Balmer, 143 Continuo di Lyman, 143 Convenzioni sui segni (carica), 11 Coordinate sferiche, 146 Corona solare, 284, 345, 348, 362 Coronio, 349 Corpo nero, 285 — propriet` a, 291 — trattazione classica, 285 Corrente: — di spostamento, 2, 430 — di magnetizzazione, 2 — di polarizzazione, 2 Correzione: — di Rydberg, 166 — relativistica (energia cinetica), 127 Coseni direttori, 435 Costante: — del reticolo, 29 — della densit`a di radiazione, 290 — della struttura ﬁne, 140 — di damping (smorzamento), 333 — — ridotta, 334 — di Eulero-Mascheroni, 77 — di Rydberg, 138 — di Stefan-Boltzmann, 291 Costanti della radiazione (1a e 2a ), 294 de Coulomb, C.A., 1, 428 Cristallo birifrangente, 43 Criterio di Schwarz, 286 Cromosfera solare, 362 Cromosfere stellari, 368, 386 Deﬁnizione di secondo, 272 Degenerazione: — dei livelli energetici, 158 — delle conﬁgurazioni, 190 — quantistica, 278 Delta di Dirac, 18, 442 — tridimensionale, 50, 55 Denominazioni spettroscopiche: — per singolo elettrone, 169 — per stati di pi` u elettroni, 177

INDICE ANALITICO

Densit` a: — di carica elettrica, 1, 427 — di corrente, 1, 429 — di corrente di spostamento, 430 — di energia della radiaz., 110, 286 — di energia elettromagnetica, 3, 11 — di energia interna, 285 — di energia meccanica, 2 — di ﬂusso di energia, 3 — di impulso meccanico, 3 — di impulso elettromagnetico, 4, 11 Determinante di Slater, 174 Diade, 435 Diagonal sum rule, 224 Diagramma: — di Feynman, 313, 406 — di Grotrian, 145 — — per il Carbonio, 219 — — per il Sodio, 168 — — per l’Elio, 216 — — per l’Idrogeno, 144 — — per l’Ossigeno III, 345 — di radiazione, 65, 66, 67, 94, 417 — Zeeman, 261, 263 Difetto quantistico, 166 Diﬀusione: — Compton, 400, 403 — Raman, 398 — Rayleigh, 71, 379 — — quantistica, 398 — Thomson, 68, 379 — — quantistica, 393 Dirac, P.A.M., 97, 114, 118, 163 Discontinuit` a di Balmer, 368 Dispersione anomala, 465 Distanza critica (radiazione), 63 Distribuzione Maxwelliana 277, 355 Disuguaglianza di Schwarz, 45 Direzione di accettazione, 41 Doppietto del Sodio, 170 Dorgelo, H.B., 352 Drell, S.D., 109

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Edl´en, B., 349 Eﬀective quantum number, 167 Eﬀetto: — beaming, 66, 84 — Compton, 400 — Compton inverso, 424 — di retroazione (eq. cinetiche), 305 — di schermo (elettroni), 166 — di spin nucleare, 270 — Doppler, 334, 424 — Faraday, 465 — faro, 83, 84 — fotoelettrico, 143, 328 — isotopico, 266 — — di massa, 267 — — di spin nucleare, 270 — — di volume nucleare, 268 — Macaluso-Corbino, 465 — Paschen-Back, 263 — Zeeman: — — anomalo, 257, 262 — — classico, 255 — — normale, 257 — — quantistico, 257 Einstein, A., 322, 323, 359 Elementi di matrice: — delle coordinate sferiche, 243 — dell’interazione Coulombiana, 230 — diagonali, 224 — — di operatori di tipo F, 226 — — di operatori di tipo G, 227 — diretti e di scambio, 228 Elemento di matrice: — di dipolo, 168, 311, 339 — ridotto, 243, 350, 467 Elettrodinamica Quantistica, 97, 301, — 389 Elettroni: — di valenza, 165, 192 — equivalenti e non equivalenti, 190 — ottici, 165, 192 Ellisse di polarizzazione, 35 Emissione spontanea, 312

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INDICE ANALITICO

Emissione stimolata, 317 Energia: — di zero, 107 — interna, 275 — libera di Helmholtz, 275 — potenziale eﬃcace, 153 Energy shell, 406 Entropia, 275, 459 — del campo di radiazione, 287 Equazione: — della ionizzazione, 282 — delle onde, 9 — dell’equilibrio idrostatico, 377 — dell’equilibrio radiativo, 371, 377 — del trasporto radiativo, 324 — di azione di massa, 283 — di Boltzmann, 282 — di continuit` a (carica), 2 — di Dirac, 114 — — limite non relativistico, 121 — — per la particella carica, 119 — — — in campo magnetico, 132 — di Guldberg-Waage, 283 — di Hopf, 376 — di Klein-Gordon, 114 — di Klein-Nishina, 416 — di Kramers-Heisenberg, 400 — di Larmor, 65 — — relativistica, 68, 450 — di Pauli, 124 — di Poisson, 50 — di Saha, 282 — di Saha-Boltzmann, 281 — di Schr¨ odinger: — — in coordinate sferiche, 148, 149 — — per l’atomo idrogenoide, 154 — — radiale, 153 — di stato dei gas perfetti, 377 — di Thomas-Fermi, 181 — di Wien, 292, 294 Equazioni: — cinetiche di evoluzione, 307, 464 — dell’equilibrio statistico, 319

— di Hamilton, 98, 119 — di Maxwell, 1, 432 Equilibrio: — idrostatico, 377 — radiativo, 371, 377 — termodinamico locale, 362, 366 Esponenziale complesso, 15 Fano, U., 422 Faraday, M., 1, 429 Fase dell’onda, 9, 14 Fast axis, 43 Fattore: — di attenuazione, 365 — di Land´e, 259 — — in accoppiamento L-S, 259 — — in accoppiamento interm., 259 — di Lorentz, 66 — di proiezione, 12 — relativistico γ, 66 — relativistico κ, 57 Fenomeni di smorzamento, 400 Fermi, E., 183, 308 Fermioni, 173, 295 Feynman, R., 97, 313 Filtro polarizzante, 41 Flusso di energia: — elettromagnetica, 19 — nei parametri di Stokes, 38 Flusso monocromatico, 21 — in un’atmosfera stellare, 370 — nei parametri di Stokes, 39 Fock, V.A., 187 Forza: — del multipletto, 351 — della transizione, 260, 351, 467 — di Coulomb, 3, 73 — di Lorentz, 3, 79, 255 — di oscillatore, 468 Forze relative: — dei componenti Paschen-Back, 265 — dei componenti Zeeman, 261 — delle righe di un multipletto, 352

INDICE ANALITICO

Fotoionizzazione, 143, 328, 379 Fotomoltiplicatore, 31, 40 Fotone, 107, 109 Fotosfera solare, 284, 362 Fraunhofer, J., 137 Frequenza: — angolare, 14 — angolare di Bohr, 303 — ciclica, 14 — ciclica di Bohr, 311 — delle collisioni, 332 — di ciclotrone, 79, 135, 255 — di Larmor, 255 Funzione: — di Hopf, 375 — di Lorentz, 333 — di partizione, 282 — di Planck, 289 — di trasferimento del reticolo, 31 — di Voigt, 334 — d’onda, 108 — — simmetria della, 172 — integro-esponenziale, 369 — radiale, 152 — radiale ridotta, 152, 165 — sorgente, 326, 329 Funzioni: — di Bessel, 75, 85 — di Laguerre, 156 — di Legendre, 151, 185 Galassie, 272 Gas nobili, 192 Gauge: — di Coulomb, 8 — di Lorenz, 7 — di Lorenz nel vuoto, 8 — trasformazioni di, 7 Gauss, C.F., 1 Giachetti, R., 159 Gilbert, W., 428 Grado di ionizzazione, 279 — di un plasma di Idrogeno, 283

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Gravit` a superﬁciale (stella), 378 Hamiltoniana: — atomica non relativistica, 175 — correzioni relativistiche, 239 — del campo elettromagnetico, 107 — della particella carica, 119 — di Dirac, 115 — di interazione: — — atomo-radiazione, 302 — — spin-orbita, 239 — di massa nucleare, 268 — di oscillatore armonico, 98 — di struttura iperﬁne, 271 — di volume nucleare, 269 — magnetica, 257 Hartree, D.R., 187 H¨ onl, H., 352 Indice di rifrazione, 43 Induzione magnetica, 1 Integrale di Thomas-Fermi, 454 Integrali di interazione Coulombiana: — diretti e di scambio, 216, 228, 230 Interazione: — fra conﬁgurazioni, 212, 218, 342 — spin-orbita, 127, 239 — spin-spin, 240 Intercombinazioni: — fra conﬁgurazioni, 217 — fra termini, 217 Interferenze quantistiche, 306 Irraggiamento di cariche in moto, 63 Intensit` a: — di corrente, 429 — speciﬁca della radiazione, 109 Interni stellari, 13 Invarianti relativistici, 473 Invarianza di gauge, 6 — nell’Elettrodinamica Quantistica, — — 409, 469 Ione Idrogeno negativo, 184, 379 — energia di legame, 379

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INDICE ANALITICO

Irraggiamento: — di dipolo elettrico, 89 — di dipolo magnetico, 93 — di quadrupolo elettrico, 95 Jacobiano, 55 de Kronig, R., 352 Lamb, W.E., 164 Lamb-shift, 165 Lamina: — acromatica, 43 — a mezz’onda, 43 — a quarto d’onda, 43 — di ritardo, 41 Landau, L., 77, 86 Land´e, A., 170 Landi Degl’Innocenti, E., 199, 266, — 307, 378 Landolﬁ, M., 199, 266, 307 Lantanidi, 193, 219 Larghezza Doppler, 334 Laser, 111, 317, 362 Lastra fotograﬁca, 31, 40 Lebedev, A., 13 Legge: — dello spostamento di Wien, 294 — di Amp`ere, 2, 430 — di Boltzmann, 282 — di Coulomb, 2, 427 — — (seconda), 428 — di Dalton, 380 — di Faraday, 2 — di Gilbert, 2, 428 — di Kirchhoﬀ, 326, 329 — di Laplace (1a e 2a ), 429 — di Rayleigh e Jeans, 291 — di Saha, 282 — di Saha-Boltzmann, 281 — di Stefan, 290 Lifchitz, E., 77, 86 Lightman, A.P., 82

Livelli: — di Landau, 134 — energetici, 145 — metastabili, 218, 346 Lorentz, H.A., 7, 71, 255, 257 Lorenz, L.V., 7 Luce del cielo, 72 Luminosit` a (stellare), 371 Lunghezza d’onda, 14 — Compton, 402 Magnetone: — di Bohr, 132 — nucleare, 271 Mare di Fermi, 118, 407 Massa magnetica, 428 Massa ridotta, 141 Matrice densit` a, 306, 462 Matrice Jacobiana, 55 Matrici: — di Dirac, 116 — di Pauli, 116 — α e β, 117 — γ, 473 — τ , 130 Maxwell, J.C., 2, 430 McLennan, J.C., 349 Metodo: — della funzione di Green, 51 — della variazione delle costanti, 303 — di Hartree-Fock, 187 — di Thomas-Fermi, 179 — variazionale, 183 Mihalas, D., 329, 386 Milne, E.A., 359 Misure spettropolarimetriche, 39 Modello: — atomico di Lorentz, 71, 225, 316, — — 467 — dell’atmosfera grigia, 370 — di atmosfera stellare, 376 — di Bohr, 139 — empirico di atmosfera, 378

INDICE ANALITICO

— planetario dell’atomo, 139 Modi del campo di radiazione, 104 — numero di, 104, 110 Molteplicit` a (spin), 177 Momenti (campo di radiazione), 372 Momento: — angolare: — — autovalori e autovettori, 197 — — convenzioni di fase, 197 — — operatori di shift, 197 — — orbitale, 124, 148 — — regole di commutazione, 197 — — somma di j1 e j2 , 197 — — teoria del, 196 — — in coordinate sferiche, 148 — — totale, 131, 176 — di dipolo elettrico, 89 — di dipolo magnetico, 90 — di quadrupolo elettrico, 91 — magnetico elettronico, 127 — magnetico nucleare, 271 Moto Browniano, 25 Multipletti regolari e invertiti, 250 Multipletto: — di livelli, 247 — di righe, 251 — energia baricentrica, 248

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Ørsted, H.C., 1, 429 Onde gravitazionali, 95, 451 Onde piane, 9 — sinusoidali, 14 Onde progressive e regressive, 9, 103 Opacit` a, 379 Operatore: — di scambio, 172 — Laplaciano, 50 — — in coordinate sferiche, 148 — parit` a, 177 Operatori: — di creazione e distruzione, 99, 108 — vettoriali, 242 Orbite penetranti, 167, 192 Ordine dello spettro, 31 Ornstein, L.S., 352 Ortoelio, 217 Oscillatore armonico, 97 Oscuramento al bordo, 368, 374

Paraelio, 217 Parametri di Stokes, 38, 44 Parametro d’urto, 72 Parit` a, 177, 189, 213, 342 Particelle: — di Bose-Einstein, 172, 297 — di Fermi-Dirac, 173, 295 Nane bianche magnetiche, 258 — indistinguibili, 171 Nebulio, 345, 348 Pauli, W., 174, 266 Nebulose, 345 Periodo (di un’onda), 14 Numero: Permeabilit` a magnetica del vuoto, 432 — di carica residua, 166 Permittivit` a elettrica del vuoto, 432 — di occupazione, 101, 107, 174, 278 Peso molecolare medio, 378 — — medio, 297, 298 Pila elettrica, 429 — d’onde, 14 Planck, M., 289 — quantico: Polarimetro, 44 — — azimutale, 158 Polarizzatore, 41 — — eﬀettivo, 167 Polarizzazione: — — magnetico, 158 — circolare, 36, 38 — — principale, 158 — di un’onda monocromatica, 35 — — radiale, 158 — destrorsa (sinistrorsa), 36, 38 — ellittica, 36

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INDICE ANALITICO

— lineare, 36, 38 Profondit` a ottica, 363 Polinomi generalizzati di Laguerre, 156— nel continuo, 383 Positrone, 119, 407 Proiettori, 407 Potenza emessa/ricevuta, 451 Propagatore, 408 Potenziale: Pulsar, 258 — centrifugo, 153 — chimico, 296 Quadriversore, 476 — di ionizzazione, 144, 186, 280 Quadrivettore, 472 — scalare, 5 Quantizzazione del campo, 97 — vettore, 5 Quantum defect, 166 Potenziali: — di Li´enard e Wiechart, 57 Racah, G., 199, 352 — elettromagnetici, 5, 49 Radiazione: — — come operatori, 103 — di ciclotrone, 79 Potere risolutivo, 34 — di corpo nero, 285 — dello spettroscopio, 33 — di frenamento, 72, 144 Pressione della radiazione, 12, 286 — — eﬀetti quantistici, 78 Pressioni parziali, 381 — di sincrotrone, 81 Prima regola di Hund, 216, 237 — naturale, 45 Principio: Raggi UV duri, 196 — del bilancio dettagliato, 359 Raggi X, 72, 78, 196, 402 — dell’accoppiamento minimale, 120 Raggio: — della termodinamica stat., 459 — classico dell’elettrone, 69 Principio di: — della 1a orbita di Bohr, 140 — corrispondenza, 104, 121, 352 Random walk, 25 — equivalenza di Amp`ere, 125, 433 Rapporto: — esclusione, 171 — di ionizzazione, 282, 382 — Heisenberg, 165, 330, 393 — fra intervalli, 218, 237 — Huygens-Fresnel, 29 — giromagnetico, 132 — indeterminazione, 165, 330, 393 — — nucleare, 271 — Pauli, 171 Rappresentazione: — Rydberg-Ritz, 138 — della funzione d’onda, 114 Probabilit` a: — di Dirac, 117 — di assorbimento di un fotone, 319 — di Majorana, 117 — di diseccitazione spontanea, 315 Rates: — di diseccitazione stimolata, 318 — collisionali, 359 — di eccitazione, 319 — di rilassamento (coerenze), 464 — di emissione, 316 — di trasferimento (coerenze), 464 — di emissione stimolata, 318 Reattivit`a chimica, 193 — termodinamica, 459 Regioni H I, 272, 345 Proﬁlo: Regola: — del coeﬃciente di emissione, 330 — aurea di Fermi, 307 — di riga, 384 — — generalizzata, 392

INDICE ANALITICO

— — per le coerenze, 464 — degli intervalli di Land´e, 247 — dell’accoppiamento minimale, 120 — della somma (multipletti), 352 — della somma sulla diagonale, 224 — della traccia, 221, 250, 457 — di Hund (prima), 216, 237 — di Hund (seconda), 250, 348, 459 — di Laporte, 217, 342 Regole: — di anticommutazione, 115, 473 — di commutazione, 98, 107, 113, 242 Regole di selezione: — fra conﬁgurazioni, 217, 342 — fra livelli J, 251, 338 — fra livelli F , 339 — fra sottolivelli Zeeman, 260, 338 — fra sottolivelli Paschen-Back, 265 — fra termini L-S, 217, 339 — nel teorema di Wigner-Eckart, 243 — per elettrone singolo, 167 — per transizioni proibite, 344 Relazione impulso-energia, 113, 114 Relazioni di Milne-Einstein, 359 Reticolo di diﬀrazione, 29 Ricombinazione elettronica, 144 Ridistribuzione in frequenza, 329 Riga a 21 cm, 272 Righe: — aurorali, 348 — dell’Idrogeno, 139 — di emissione, 368 — spettrali in ETL, 382 — — in non-ETL, 385 Rinormalizzazione dell’energia, 107 Ritardo (di una lamina), 43 Rutherford, E., 139 Rybicki, G.B., 82 Saha, M.N., 282 Salpeter, E.E., 165 Schr¨ odinger, E., 273 Seconda quantizzazione, 108

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Seconda regola di Hund, 250, 348, 459 Sequenza isoelettronica, 165, 184 Serie di righe, 138, 168 — dell’atomo di Idrogeno, 138 Segr`e, E., 119 Serie geometrica, 30 Sezione d’urto: — Compton, 416 — — totale, 418 — per collisioni anelastiche, 356 — per collisioni elastiche, 356 — per diseccitazione collisionale, 359 — per eccitazione collisionale, 359 — per eﬀetto Compton inverso, 426 — per fotoionizzazione, 328 — — dello ione H− , 379 — per radiazione di ciclotrone, 81 — per radiazione di frenamento, 78 — per radiazione di sincrotrone, 87 — Rayleigh, 72 — Thomson, 71 — — diﬀerenziale, 396, 416 Shortley, G.H., 223, 266 Simboli ak (a, b), bk (a, b), ck (a, b): — deﬁnizione, 232, 233 Simboli F k (a, b), Gk (a, b), 233 Simboli 3-j di Wigner: — deﬁnizione, 199 — propriet` a, 199, 200 — formula analitica, 199 Simboli 6-j di Wigner: — deﬁnizione, 351 — formula analitica, 353 — propriet` a, 352 Simmetrizzazione, 173 Sistema c.g.s di Gauss, 1, 431 Sistema Internazionale, 1, 272, 432 Sistema periodico: — irregolarit` a, 193 — principio di formazione, 191 — tabella, 194 — schema di “riempimento”, 195 Slow axis, 43

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INDICE ANALITICO

Soluzioni a energia negativa, 118 Somma sugli stati, 274, 461 — — di polarizzazione, 397, 477 — — di spin, 407, 476 Somme su sottozone chiuse, 233 Sommerfeld, A., 145, 352 Sorace, E., 159 Sottolivelli magnetici, 259 Sottozona (spettroscopica), 190 Spessore ottico, 364 Spettro: — dei metalli alcalini, 165 — del Carbonio, 218 — del Deuterio, 267 — della radiazione, 17 — dell’Elio, 214 — dell’Idrogeno, 138 Spettro di un segnale periodico, 28 Spettro di un segnale stocastico, 26 Spettroscopio a reticolo, 29 Spin dell’elettrone, 124, 129 Spin del nucleo, 270 Spin elettronico totale, 175 Spinore, 117 Spostamento elettrico, 2 Stati pari e dispari, 178 Stati virtuali, 393, 406 Statistica di Bose-Einstein, 297 Statistica di Fermi-Dirac, 295 Stegun, I.A., 156 Stelle di neutroni, 258 Stelle nane bianche magnetiche, 258 Struttura ﬁne: — atomo di Idrogeno, 164 — metalli alcalini, 169 — multipletti L-S, 248 Struttura iperﬁne, 266 Sviluppo multipolare, 87 Tabelle spettroscopiche, 251 Tassi: — collisionali, 359 — di rilassamento (coerenze), 464

— di trasferimento (coerenze), 464 Temperatura: — cinetica, 357 — di radiazione, 362 — eﬃcace, 371 Tensore: — antisimmetrico, 116, 437 — degli sforzi, 5, 435 — di inerzia, 452 — di Maxwell, 4, 12 — di quadrupolo elettrico, 91 — metrico, 472 — unitario, 4 Tempo: — anticipato, 52, 53 — di campionatura, 20 — libero medio, 356 — ritardato, 53 Teorema: — dei due corpi, 141, 154 — — relativistico, 159 — dei tre coseni, 230 — della proiezione, 245 — di addizione (armoniche sf.), 231 — di Carnot, 185, 446 — di Fourier, 27 — di Gauss, 441 — di Parseval, 20 — di Poynting, 3 — di Rolle, 32 — di Stokes-Amp`ere, 441 — di Weyl, 231 — di Wigner-Eckart, 243 — ergodico, 306 Teoria classica dell’elettrone, 255 Teoria delle perturbazioni, 159 Termine: — Coulombiano (del campo elett.), 61 — diamagnetico, 125, 257 — di contatto, 128, 162 — di Darwin, 128 — di radiazione (del campo elett.), 61 Termini:

INDICE ANALITICO

— anomali, 196 — di 2 elettroni equivalenti, 206 — di 2 elettroni non equivalenti, 206 — di 3 elettroni, 207 — di n elettroni equivalenti, 211 — progentitori, 208 — spettroscopici, 138 Terre rare, 193 Terza legge di Keplero, 141 Thomas-Fermi: — equazione di, 181 — metodo di, 179 Toraldo di Francia, G., 30 Tracce di matrici γ, 478 Traccia (regola della), 221, 250, 457 Transizione elettronica, 139 Transizioni: — di dipolo magnetico, 343 — di quadrupolo elettrico, 343 — legato-legato, 328 — legato-libero, 328, 379 — libero-libero, 328, 379 — permesse, 337 — proibite, 337, 342 — semiproibite, 344

— Stokes e anti-Stokes, 398 — virtuali, 165 Trasformata di Fourier, 18 Trasformazioni di gauge, 6 — per la funzione d’onda, 121 Unit` a di Lorentz, 261 Valore di aspettazione, 106, 183 Valore principale di Cauchy, 463 Vele cosmiche, 13 Velocit` a di drift, 444 Venti stellari, 13 Versori di polarizzazione, 68, 103 Vettore di Poynting, 3, 11 Volta, A., 1, 429 Wien, W., 292 Zeeman, P., 255 Zeeman pattern, 263 Zona di radiazione, 63 Zona (spettroscopica), 190 — denominazione, 192

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UNITEXT – Collana di Fisica e Astronomia

Adalberto Balzarotti, Michele Cini, Massimo Fanfoni Atomi, Molecole e Solidi Esercizi risolti 2004, VIII, 304 pp. Maurizio Dapor, Monica Ropele Elaborazione dei dati sperimentali 2005, X, 170 pp. Carlo M. Becchi, Giovanni Ridolfi An Introduction to Relativistic Processes and the Standard Model of Electroweak Interactions 2006, VIII, 139 pp. Michele Cini Elementi di Fisica Teorica 1a ed. 2005; ristampa corretta, 2006 XIV, 260 pp. Giuseppe Dalba, Paolo Fornasini Esercizi di Fisica: Meccanica e Termodinamica 2006, X, 361 pp. Attilio Rigamonti, Pietro Carretta Structure of Matter An Introductory Course with Problems and Solutions 2007, XVIII, 474 p.; 2a edizione 2009, XVII, 490 pp. Carlo M. Becchi, Massimo D'Elia Introduction to the Basic Concepts of Modern Physics Special Relativity, Quantum and Statistical Physics 2007, X, 155 p.

Luciano Colombo, Stefano Giordano Introduzione alla Teoria della elasticità Meccanica dei solidi continui in regime lineare elastico 2007, XII, 292 pp. Egidio Landi Degl'Innocenti Fisica Solare 2008, X, 294 pp., inserto a colori Leonardo Angelini Meccanica quantistica: problemi scelti 100 problemi risolti di meccanica quantistica 2008, X, 134 pp. Giorgio Bendiscioli Fenomeni radioattivi Dai nuclei alle stelle 2008, XVI, 464 pp. Michelangelo Fazio Problemi di Fisica 2008, XII, 212 pp., con CD Rom Giampaolo Cicogna Metodi matematici della Fisica 2008, X, 242 pp. Egidio Landi Degl'Innocenti Spettroscopia atomica e processi radiativi 2009, XII, 494 pp.

Spettroscopia atomica e processi radiativi (UNITEXT Collana di Fisica e Astronomia)

Collana di Fisica e Astronomia

Elementi di Fisica Teorica (UNITEXT Collana di Fisica e Astronomia)

Problemi di Fisica (UNITEXT Collana di Fisica e Astronomia)

Elementi di Fisica Teorica (UNITEXT Collana di Fisica e Astronomia)

Fisica Solare (UNITEXT Collana di Fisica e Astronomia)

Fisica Solare (UNITEXT Collana di Fisica e Astronomia)

Elaborazione dei dati sperimentali (UNITEXT Collana di Fisica e Astronomia)

Elaborazione dei dati sperimentali (UNITEXT Collana di Fisica e Astronomia)

Esercizi di Fisica: Meccanica e Termodinamica (UNITEXT Collana di Fisica e Astronomia)

Esercizi di Fisica: Meccanica e Termodinamica (UNITEXT Collana di Fisica e Astronomia)

Manuale di Relativita Ristretta: Per la Laurea triennale in Fisica (UNITEXT Collana di Fisica e Astronomia)

Manuale di Relativita Ristretta: Per la Laurea triennale in Fisica (UNITEXT Collana di Fisica e Astronomia)

Manuale di Relatività Ristretta: Per la Laurea triennale in Fisica (UNITEXT Collana di Fisica e Astronomia)

Introduction to the Basic Concepts of Modern Physics (UNITEXT Collana di Fisica e Astronomia)

Metodi matematici per la teoria dell'evoluzione (UNITEXT Collana di Fisica e Astronomia)

From Special Relativity to Feynman Diagrams: A Course of Theoretical Particle Physics for Beginners (UNITEXT Collana di Fisica e Astronomia)

An introduction to relativistic processes and the standard model of electroweak interactions (UNITEXT Collana di Fisica e Astronomia)

An introduction to relativistic processes and the standard model of electroweak interactions (UNITEXT Collana di Fisica e Astronomia)

Probabilità Statistica e Simulazione: Programmi applicativi scritti con Scilab (UNITEXT Collana di Statistica e Probabilità Applicata)

Ricerca Operativa (UNITEXT Collana di Informatica)

Problemi di fisica generale. Elettromagnetismo e ottica

Metodi di previsione statistica (UNITEXT Collana di Statistica e Probabilita Applicata)

Introduzione ai metodi statistici per il credit scoring (UNITEXT Collana di Statistica e Probabilita Applicata)

Determinismo E Indeterminismo En Fisica

Neuroeconomia, neuromarketing e processi decisionali nell uomo

Collana Di Statistica E Probabilita Applicata) (Italian Edition)

Medicina fisica e riabilitativa nei disturbi di equilibrio

Medicina fisica e riabilitativa nei disturbi di equilibrio

I movimenti sindacali nei processi di democratizzazione: l'esperienza di Sudafrica e Nigeria

Derivacion E Integracion Para La Fisica

Spettroscopia atomica e processi radiativi (UNITEXT Collana di Fisica e Astronomia)

Collana di Fisica e Astronomia

Elementi di Fisica Teorica (UNITEXT Collana di Fisica e Astronomia)

Problemi di Fisica (UNITEXT Collana di Fisica e Astronomia)

Elementi di Fisica Teorica (UNITEXT Collana di Fisica e Astronomia)

Fisica Solare (UNITEXT Collana di Fisica e Astronomia)

Fisica Solare (UNITEXT Collana di Fisica e Astronomia)

Elaborazione dei dati sperimentali (UNITEXT Collana di Fisica e Astronomia)

Elaborazione dei dati sperimentali (UNITEXT Collana di Fisica e Astronomia)

Esercizi di Fisica: Meccanica e Termodinamica (UNITEXT Collana di Fisica e Astronomia)

Esercizi di Fisica: Meccanica e Termodinamica (UNITEXT Collana di Fisica e Astronomia)

Manuale di Relativita Ristretta: Per la Laurea triennale in Fisica (UNITEXT Collana di Fisica e Astronomia)

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Manuale di Relatività Ristretta: Per la Laurea triennale in Fisica (UNITEXT Collana di Fisica e Astronomia)

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