Elementi di Fisica Teorica (UNITEXT Collana di Fisica e Astronomia)

x ] possiamo h scrivere d −i¯ h Ψ = iλxΨ. dx ` E facile ora vedere che la soluzione `e una gaussiana e che l’equazione (10.3) `e risolta dal pacchetto gaussiano spostato (da normalizzare) Ψ (x) = exp[−λ

(x− < x >)2 i

x + ] 2¯ h h ¯

10.2.7 Commutatori: grandezze compatibili ` Se due operatori A e B hanno un set comune di autovettori, commutano. E ovvio che una relazione ch vale per tutto il set completo `e vera come relazione operatoriale; Aψab = aψab , Bψab = bψab ∀ψab =⇒ ABψ = abψ = BAψ =⇒ [A, B]− = 0. Su questa base le matrici sono diagonali. Fisicamente, due operatori A e B che hanno matrici diagonali su una data base rappresentano grandezze che hanno valori ben definiti sulla base prescelta, e sono quindi compatibili. Il prodotto di due matrici diagonali `e una matrice diagonale ed i suoi elementi sono i prodotti degli elementi corrispondenti. Quindi due matrici diagonali commutano. Supponiamo che due matrici hermitiane A e B hanno una base comune di autovettori su cui sono diagonali entrambe; allora AB = BA su quella base. Qualunque altra base si ottiene con una trasformazione unitaria U con A → ˜ B] ˜ = 0 A˜ = U AU † . Cambiando base, U AU † U BU † = U BU † U AU † ⇔ [A, quindi le due matrici comutano su qualunque base. Se commutano, le grandezze sono compatibili perch´e esiste una base in cui sono ambedue diagonali. Viceversa, due matrici hermitiane che non commutano non possono essere diagonalizzate simultaneamente e rappresentano operatori non compatibili. 10.2.8 Commutatori: trasformazioni canoniche in meccanica quantistica Una trasformazione unitaria corrisponde ad un cambiamento di base che cambia la descrizione ma preserva le regole di commutazione fra gli operatori. Un tale cambiamento di rappresentazione si chiama trasformazione canonica; infatti `e del tutto analoga ad una trasformazione canonica classica, che preserva le parentesi di Poisson e fornisce una descrizione matematicamente equivalente della stessa fisica.

156

10 Sui quattro postulati della meccanica quantistica

10.2.9 Commutatori. 5-Espedienti di calcolo ˆ B] ˆ quando non c’`e Per i commutatori si usa anche la notazione semplificata [A, ˆ ˆ ˆ A. ˆ Osserviamo ˆ ˆ pericolo di confusione con l’anticommutatore [A, B]+ ≡ AB+ B le loro propriet` a seguenti che conseguono dalla definizione: ˆ B] ˆ − = −[B, ˆ A] ˆ −; [A, ˆ B ˆ + C] ˆ = [A, ˆ B] ˆ + [A, ˆ C]; ˆ [A, ˆ ˆ B, ˆ C] ˆ − + [A, ˆ C] ˆ − B; ˆ C] ˆ − = A[ [AˆB,

(10.4)

ˆ ˆ B ˆ C] ˆ − = B[ ˆ A, ˆ C] ˆ − + [A, ˆ B] ˆ − C. [A, Si ricorder` a che per le variabili classiche valgono {A, B} = − {B, A} , {AB, C} = A{B, C} + {A, C}B,  ∂A ∂B ∂A ∂B dove le graffe sono le parentesi di Poisson {A, B} ≡ k ( ∂q − ∂p ). k ∂pk k ∂qk L’analogia `e evidente. Verifichiamo alcune propriet`a. Si vede facilmente che [xn , pˆ] = i¯ hnxn−1 , usando una funzione di pro2 hx; proseguendo con A = x, B = va. Oppure, usando la (10.4) [x , p]− = 2i¯ x2 , C = p si ha [x3 , p]− = x[x2 , p] + [x, p]x2 = 3i¯ hx2 , e si pu` o ottenere la formula generale per induzione. → − − − Dalla definizione del momento angolare orbitale L = → r ∧→ p Lx = ypz − zpy , Ly = zpx − xpz , Lz = xpy − ypx , e dal commutatore fondamentale [pz , z] = −i¯ h troviamo [Lx , Ly ] = ypx [pz , z]+ hLz e cicliche, cio`e [z, pz ]py x = i¯ → − → − → − L ∧ L = i¯ hL. → −2 Inoltre [ L , Lx ] = [L2y , Lx ] + [L2z , Lx ]. Usando quanto appena osservato si ottiene [L2y , Lx ] = Ly [Ly , Lx ] + [Ly , Lx ]Ly = −i¯ h(Ly Lz + Lz Ly ) == h [Ly , Lz ]+ . −i¯ h [Ly , Lz ]+ e analogamente, [L2z , Lx ] = Lz [Lz , Lx ]+[Lz , Lx ]Lz = i¯ → −2 In definitiva, [ L , Lx ] = 0 e si possono diagonalizzare simultaneamente il quadrato del momento angolare ed una sua componente. ˆ B, ˆ C, ˆ D, ˆ E, ˆ Fˆ , calcolare Problema 22. Dati gli operatori A, ˆ C, ˆ D ˆE ˆ Fˆ ]− . [AˆB Soluzione 22. Viene: si trova ˆ C, ˆ D ˆE ˆ Fˆ ]− = AˆB{[ ˆ Fˆ + D[ ˆ C, ˆ E] ˆ − Fˆ + D ˆ E[ ˆ C, ˆ Fˆ ]− } ˆ C, ˆ D] ˆ −E [AˆB ˆ Fˆ + D[ ˆ B, ˆ E] ˆ − Fˆ + D ˆ E[ ˆ B, ˆ Fˆ ]− }Cˆ ˆ B, ˆ D] ˆ −E +A{[ ˆ Fˆ + D[ ˆ A, ˆ E] ˆ − Fˆ + D ˆ E[ ˆ A, ˆ Fˆ ]− }B ˆ D] ˆ −E ˆ C. ˆ +{[A,

10.2 Postulato 2

157

10.2.10 Matrici per l’oscillatore armonico Per l’oscillatore armonico di massa m e pulsazione ω = 2πν, le matrici delle variabili dinamiche sono semplici da trovare sulla base degli autostati di H. 1 12 Sappiamo dalla Sezione 9.7 che: la lunghezza caratteristica `e x0 = (¯ h mω ) ; x ˆ =

x0 (a+a† ) √ , 2

†

) √ ; gli operatori di creazione e di annichilazione pˆ = −i¯ h (a−a x 2 0

hanno il commutatore [a, a† ] = 1, che equivale a [ˆ p, x ˆ] = −i¯ h. Inoltre |ψn  = ˆ = (ˆ n + 21 )hν, dove a† a = n Nn (a† )n |ψ0 , con ψn |ψn  = 1 e risulta5 H ˆ. Sappiamo anche che a† ψn = un ψn+1 , aψn = vn ψn−1 , con le costanti un , vn da determinare. La normalizzazione si trova imponendo ψn+1 |ψn+1  = 1; si trova u2n = † a ψn |a† ψn  = ψn |aa† ψn  = (1 + n). Quindi ψn+1 = √ ovvero

1 a† ψn , n+1

1 |ψn  = √ (a† )n |ψ0 . n!

Analogamente, ponendo aψn = vn ψn−1 , da vn2 = aψn |aψn  si deduce che √ aψn = nψn−1 . √ x0 √ ( nψn−1 + n + 1ψn+1 ) e la matrice di x ˆ ha elementi Cos`ı, x ˆ ψn = √ 2 √ x0 √ xmn = √ ( nδm,n−1 + n + 1δm,n+1 ). 2

(10.5)

In modo simile si trova pmn = i¯ h

√ √ 1 √ (− nδm,n−1 + n + 1δm,n+1 ). x0 2

Deve venire ([ˆ p, xˆ])mn = (−i¯ h)mn = −i¯ hδmn . Lo verifichiamo moltiplicando righe per colonne (usando la convenzione di Einstein di somma sugli indici ripetuti) queste matrici infinite: ([ˆ p, x ˆ])mn ≡ (px − xp)mn ≡ pmk xkn − xmk pkn = −i¯ hδmn .

(10.6)

Questo risultato `e verificato in Appendice 18. 5

Mentre n ˆ `e hermitiano e rappresenta un osservabile, a non `e hermitiano; la parit` a Π : x → −x `e hermitiano ma non ha un set completo, avendo solo due autovalori; non `e una variabile dinamica classica.

158

10 Sui quattro postulati della meccanica quantistica

In modo del tutto simile, possiamo costruire le matrici di x ˆ 2 ,ˆ p2 ed infine l’Hamiltoniano, ottenendo 1 Hmn = (ˆ hωδmn n + )¯ 2 diagonale sulla base degli autostati di n ˆ. 10.2.11 Matrici e modellazioni. LCAO In certi problemi, sono pochi gli stati che interagiscono in modo importante; allora il metodo delle matrici si presta ad utili modellazioni. Il modello non banale pi` u semplice `e l’Hamiltoniano 2 × 2 :  Ea V, H= . V ∗ Eb che ha svariate applicazioni: molecole biatomiche, oscillazioni di neutrini, etc. Per esempio, se Ea , Eb sono livelli atomici e V `e un termine di mescolamento, si ottiene un livello legante pi` u basso di ambedue i livelli atomici ed uno antilegante pi` u alto. Questo pu` o essere un rozzo modello per una molecola come H2+ . Questo modello teorico `e stato usato per descrivere grossolanamente le molecole poliatomiche, specialmente in chimica organica, e si chiama LCAO (Linear Combination of Atomic Orbitals). Si tratta di un metodo molto semplificato, soprattutto perch´e ignora l’interazione fra gli elettroni; tuttavia, data la sua grande semplicit`a e la sua capacit` a di riprodurre alcune tendenze sperimentali, ha un rapporto costi-benefici abbastanza favorevole.

10.3 Postulato 3 Indipendentemente dal sistema e dal suo stato, ogni misura di un osserˆ λ  = λ|Ψλ . vabile Q deve dare uno degli autovalori λ dell’equazione Q|Ψ La probabilit` a di un particolare λ in uno stato |Φ `e P (λ) = Φ|Ψλ |2 . In particolare, se |Φ `e autovettore appartenente ad un autovalore discreto λ, P (λ) = 1.

10.3.1 Ragioni per cui il set deve essere completo In qualche caso la meccanica quantistica d` a certezze. L’interpretazione di Copenhagen `e che dopo la misura la Φ collassa nell’autostato e ripetendo la misura subito dopo torna con certezza lo stesso valore. Dal momento che la misura deve pur dare  qualche valore, e Φ|Φ = 1,  |Φ|Ψλ |2 = λ P (λ)  = 1; questo `e garantito questo postulato richiede λ solo dalla completezza |Φ = λ |Ψλ Ψλ |φ, cio`e da λ |Ψλ Ψλ | = 1.

10.4 Postulato 4

159

Questa esigenza talvolta richiede molta cura nella scelta dello spazio di funzioni. Ad esempio, x `e un osservabile, e l’equazione agli autovalori x ˆf (x) = λf (x) deve avere un set completo di autovettori. In P (N ) non c’`e nemmeno una soluzione, e non basta nemmeno L2 . Infatti, per trovare il set completo occorre includere le distribuzioni; sia |ϕ(x)  una funzione con x definito: si richiede che  (x) ∀ψ, ϕ |ψ = dx ϕ(x) (x )ψ(x ) = ψ(x). Questa propriet`a richiede a sua volta ϕ(x) (x ) = δ(x − x ); si noti anche che x ϕ(x) (x ) = xϕ(x) (x ). 10.3.2 Formalismo discreto e formalismo continuo ˆ n  = λn |en , con Nel caso discreto, avremo l’equazione agli autovalori Q|e  n = 1, 2, 3, . . ., con em |en  = δmn ; inoltre |Ψ  = n cn |en  con cn = en |Ψ . Cos`ı P (n) = |cn |2 `e la probabilit` a dell’autovalore λn . ˆ k  = λk |ek , con Nel caso continuo, avremo l’equazione agli autovalori Q|e  −∞ < k < ∞, ma eh |ek  = δ(h−k); inoltre |Ψ  = dkck |ek  con ck = ek |Ψ . Cos`ı dP = |ck |2 dk `e la probabilit` a di trovare l’autovalore entro dk da λk . eikx ˆ Un esempio notevole `e Q = pˆ, che ha autofunzioni ep (x) = √ , dove 2π ∞ p=h ¯ k. La componente p di |Ψ  `e cp = ep |Ψ  = −∞ ep (x)Ψ (x)dx = Ψ (p, t), ed `e la funzione d’onda nello spazio dei momenti. 10.3.3 Esempio: il momento angolare Qualunque direzione pu` o essere presa come asse z e il momento angolare orbiˆ z , ma la misura della componente del momento angolare tale `e descritto da L orbitale deve dare hm e un intero. Ci` o 2π , dove il numero quantico azimutale m ` `e incomprensibile classicamente. (Il momento di spin pu` o essere semi-intero, ma questo richiede la teoria di Pauli, che `e una specie di appendice ai quattro postulati; ne riparleremo.)

10.4 Postulato 4 L’evoluzione temporale `e governata dall’equazione di Schr¨odinger i¯ h

∂ψ = Hψ. ∂t

Vediamo alcune conseguenze immediate ed importanti.

(10.7)

160

10 Sui quattro postulati della meccanica quantistica

10.4.1 Dipendenza dal tempo e derivata di un operatore Anche gli elementi di matrice degli operatori indipendenti dal tempo in genere ne dipendono, per l’evoluzione temporale del pacchetto d’onda. In meccanica quantistica di definisce la derivata di un operatore come Ψ |

ˆ d dQ ˆ  = Ψ | ∂ Q|Ψ ˆ  + Ψ |Q| ˆ ∂ Ψ . ˆ  +  ∂ Ψ |Q|Ψ |Ψ  ≡ Ψ |Q|Ψ dt dt ∂t ∂t ∂t

˙ = −iH|ψ =⇒ h ˙ = iψ|H e Dall’equazione di Schr¨ odinger si ricava h ¯ |ψ ¯ ψ| quindi ˆ ˆ dQ ∂Q i ˆ ˆ = + [H, Q]. dt ∂t h ¯ Classicamente, avevamo trovato a suo tempo F˙ = ∂F +{F, H}. I commutatori ricordano le parentesi di Poisson e, se con l’Hamiltoniano sono conservati.

ˆ ∂Q ∂t

∂t

= 0, gli operatori che commutano

10.4.2 Principio di indeterminazione energia-tempo Il principio di indeterminazione generalizzato 2 2 (∆A ∆B)2 ≡ σA σB ≥ (

ˆ B]|ψ ˆ ψ|[A, )2 2i

ˆ B = Q, ˆ dove Q ˆ `e un osservabile arbitrario che non dipende dal con A = H, 1 2 2 h dQ tempo, d` a (∆E∆Q) ≥ | 2i (−i¯ dt )| , quindi ∆E∆Q ≥

dQ 1 h ¯| < > |. 2 dt

(10.8)

La derivata di Q `e dovuta solo all’evoluzione del pacchetto e su uno stato stazionario sarebbe nulla. Nell’evoluzione del pacchetto Q evolver` a su frequenze dettate da H. Che accade se la misura avviene in tempo cos`ı breve che solo l’inizio dell’evoluzione ha tempo di manifestarsi? Una ragionevole stima `e ∆Q ≈<

dQ > ∆t. dt

Mettendo nella (10.8) la ragionevole stima che abbiamo fatto si arriva al principio di indeterminazione energia-tempo ∆E∆t >

1 h ¯. 2

Dal punto di vista matematico questo principio riflette note propriet`a della trasformata di Fourier. In meccanica quantistica ogni stato stazionario ψE (t)

10.4 Postulato 4

161

ha un fattore di fase armonico e−iEt/¯h ; misurando una grandezza Q non espliˆ E (t) non dipende citamente dipendente dal tempo troviamo che ψE (t)|Q|ψ ` un dal tempo. Le cose cambiano se la misura avviene in un tempo ∆t breve. E risultato dell’analisi di Fourier che, ritagliando da una sinusoide un pezzo di lunghezza finita, si introducono tutte le frequenze. In un tempo ∆t non si pu` o distingure nettamente fra ψE (t) e gli stati di energia diversa; inevitabilmente si forma un pacchetto con una certa larghezza ∆E e durante l’evoluzione del ˆ > fluttua. Sia ∆Q l’entit` pacchetto < Q a di questa fluttuazione nel tempo ∆t. Possono avere energia ben definita solo gli stati atomici di vita lunga. Bisogna tenerne conto per progettare orologi atomici! Problema 23. Una particella si trova nello stato fondamentale di un oscillap2 tore armonico di hamiltoniano H[1] = 2m + 12 mω02 x2 . Calcolare la probabilit` a P (η) che si trovi nello stato fondamentale di un oscillatore armonico di p2 hamiltoniano H[η] = 2m + 12 m(ηω0 )2 x2 . Soluzione 23. Usando 1

√ e x1 π

ψ0 (x) = con x2η =

h ¯ mηω

=

x1 η ,

posto

1 x2a

= 12 ( x12 + 1

1 x2η )

−

x2 2x2 1

,

risulta

√ 1 √ η4 πxa = 2√ ψη |ψ1  = √ πx1 xη 1+η e quindi

√

P (η) = 2

η 2 =√ 1+η η+

√1 η

.

11 Problemi a tre dimensioni

Le equazioni differenziali alle derivate parziali sono molto pi` u difficili da risolvere di quelle ordinarie, a meno che non si possano separare le variabili. Una prima separazione `e quella che porta all’equazione per gli stati stazionari, ed `e permessa quando H non dipende dal tempo. Per fortuna fra i problemi stazionari pi` u interessanti ve ne sono di separabili in coordinate cartesiane o in coordinate sferiche.

11.1 Separazione delle variabili in coordinate cartesiane L’onda piana in 3 dimensioni `e il prodotto di 3 onde piane unidimensionali e l’energia cinetica ha 3 contributi dai moti lungo x, y, z. Pi` u in generale, il problema si separa in coordinate cartesiane se l’energia potenziale `e della forma (11.1) V (x, y, z) = Ux (x) + Uy (y) + Uz (z), dove Ux (x), Uy (y) e Uz (z) sono funzioni arbitrarie delle variabili da cui dipendono. Infatti,in tal caso i moti lungo le tre direzioni sono indipendenti. Nell’equazione di Schr¨ odinger degli stati stazionari  2  ∂ ∂2 ∂2 + 2 + 2 Ψ (x, y, z) + V (x, y, z)Ψ (x, y, z) = EΨ (x, y, z) ∂x2 ∂y ∂z sostituiamo la soluzione fattorizzata Ψ (x, y, z) = X(x)Y (y)Z(z) e dividiamo i due membri per Ψ (x, y, z). Risulta

(11.2)

164

11 Problemi a tre dimensioni

1 δ2X 1 δ2 Y 1 δ2 Z + U (x) + + U (z) + + Uz (z) = E. x z X(x) δx2 Y (y) δy 2 Z(z) δz 2 Ne consegue che ⎧ 1 δ2X δ2X ⎪ ⎪ + Ux (x) = x ⇒ + Ux (x)X(x) = x X(x), ⎪ ⎪ 2 ⎪ X(x) δx δx2 ⎪ ⎪ 1 δ2Y ⎪ δ2 Y ⎨ + Uy (y) = y ⇒ + Uy (y)Y (y) = y Y (y), 2 Y (y) δy δy 2 ⎪ ⎪ δ2Z 1 δ2 Z ⎪ ⎪ ⎪ + U (z) =  ⇒ + Uz (z)Z(z) = z Z(z), z z ⎪ ⎪ Z(z) δz 2 δz 2 ⎪ ⎩ x + y + z = E, ed il problema si separa in 3 equazioni ordinarie. Quelle che si ottengono in questo modo sono soluzioni particolari, ma poich´e (in accordo col secondo postulato) costituiscono un set completo la soluzione pi` u generale `e una combinazione lineare di queste. Scatola parallelepipeda Consideriamo una particella confinata da un potenziale  L L 0, − L2x < x < L2x , − 2y < y < 2y , − L2z < z < V (x, y, z) = ∞ altrimenti.

Lz 2 ,

V `e della forma (11.1). Separando le variabili, si trovano le autofunzioni ψnx ny nz (x, y, z) = unx (x)uny (y)unz (z) e gli autovalori dell’energia Enx ny nz (x, y, z) = nx + ny + nz con / unx =

2 Lx

 sin

πnx Lx

 x+

Lx 2



,

π 2 n2

nx = h ¯ 2 2mLx2 , x

etc.. I moti lungo i 3 assi sono indipendenti; classicamente prenderemmo il prodotto delle probabilit` a, qui viene il prodotto delle ampiezze, che significa comunque indipendenza statistica. Nel caso cubico Lx = Ly = Lz = L molti livelli sono degeneri, cio`e diverse scelte di numeri quantici hanno la stessa energia, ad esempio E511 = E151 = π2 E115 = E333 = 27¯ h2 2mL 2.

11.2 Separazione delle variabili in coordinate sferiche

165

Oscillatore in 3 dimensioni Analogamente si risolve il problema con H=

 1  p2 + m ωx2 x2 + ωy2 y 2 + ωz2 z 2 , 2m 2

sempre con Enx ny nz (x, y, z) = nx + ny + nz ed alta degenerazione per il caso isotropo ωx = ωy = ωz = ω.

11.2 Separazione delle variabili in coordinate sferiche Nei problemi centrali, l’energia potenziale dipende solo dalla distanza da un punto che conviene prendere allora come origine riscrivendo il problema in coordinate sferiche. Le trasformazioni da coordinate cartesiane a coordinate sferiche e viceversa sono: ⎧ ⎧ 2 2 2 ⎨ x = rsinθ cos φ, ⎪ ⎨r = x + y + z , z θ = arccos( √ 2 2 2 ), y = rsinθ sin φ, x +y +z ⎩ ⎪ ⎩ z = r cos θ, φ = arctan( y ). x

Il laplaciano in coordinate sferiche `e piuttosto complicato, ma `e noto (vedi Appendice):   ∂2 ∂ 1 ∂ 1 ∂ 1 2 2 ∂ ∇ = 2 . r + 2 sin(θ) + 2 2 r ∂r ∂r r sin(θ) ∂θ ∂θ r sin (θ) ∂φ2 Se V = V (r), l’equazione degli stati stazionari   h ¯2 2 ∇ + V (r) Ψ (r, θ, φ) = EΨ (r, θ, φ) − 2m si separa in una equazione radiale ed una angolare ponendo Ψ (r, θ, φ) = R(r)Y (θ, φ). Infatti, se Y soddisfa l’equazione angolare  1 ∂ ∂Y 1 ∂2Y = −λY, sin(θ) + 2 sin(θ) ∂θ ∂θ sin (θ) ∂φ2 per la funzione radiale basta risolvere l’equazione ordinaria  d 2mr2 2 dR [V (r) − E] R = λR. r − dR dr h ¯2 L’equazione angolare si separa a sua volta ponendo

166

11 Problemi a tre dimensioni

Y (θ, φ) = Θ(θ)Φ(φ), dove

d2 Φ = −m2 Φ ⇒ Φ = eimφ , intero. dφ2

Riconosciamo le autofunzioni di Lz , che abbiamo gi` a incontrato nel Capitolo precedente. L’equazione per Θ `e:  d dΘ sin(θ) sin(θ) + {λ sin2 (θ) − m2 }Θ = 0. dθ dθ Le soluzioni sono funzioni speciali Θ(θ) ∝ Plm (cos(θ)). Conviene adesso studiare meglio il nesso col momento angolare.

11.3 Momento angolare in 3 dimensioni 11.3.1 Algebra del momento angolare → − → − → − Da L ∧ L = i¯ h L , cio`e [Lx , Ly ] = i¯ hLz , [Ly , Lz ] = i¯ hLx , [Lz , Lx ] = i¯ hLy , possiamo dedurre gli autovalori del momento angolare. Gi`a sappiamo che L 2 = → − L2x + L2y + L2z commuta con le componenti, [L2 , L ] = 0 e che ogni componente ha autovalori m¯ h, con m intero. Scegliamo di avere diagonale la componente z e scriveremo L2 |λ, m = λ|λ, m, Lz |λ, m = m|λ, m, m ≤ l, dove λ¯ h2 `e l’autovalore di L2 e l¯ h il massimo valore che pu`o assumere la componente z a λ fissato. Infatti `e chiaro che λ ≥ m2 . Introduciamo gli operatori di shift L± , cio`e L+ = Lx + iLy , L− = Lx − iLy . Poich´e [Lz , L± ] = ±¯ hL ± , si trova Lz L± |λ, m = (m ± 1)¯ hL± |λ, m, quindi L± |λ, m = C± |λ, m ± 1, propriet` a che giustifica il nome di operatori di spostamento. Inoltre, L+ |λ, l = 0.

(11.3)

11.3 Momento angolare in 3 dimensioni

167

` immediato vedere che E L− L+ = L2 − L2z − h ¯ Lz ; quindi L− L+ + L2z + h ¯ Lz = L2 ; applicando l’identit` a a |λ, l si trova che λ = l(l + 1). Nondimeno, si usa denotare gli autostati con |l, m anzich´e con |l(l + 1), m. Moltiplichiamo scalarmente (11.3) per se stessa; si trova che 2 C± = [l(l + 1) − m(m ± 1)]¯ h2

e possiamo scrivere L± |l, m =

l(l + 1) − m(m ± 1)¯ h|l, m ± 1.

11.3.2 Matrici del momento angolare → − Con le relazioni della sezione precedente calcoliamo le matrici di L sulla base degli autostati |l, m, che sono chiamati le armoniche sferiche. Gli elementi di matrice sono: l1 m1 |L2 |l2 m2  = h ¯ 2 l1 (l1 + 1)δl1 ,l2 δm1 ,m2 (11.4) ¯ m1 δl1 ,l2 δm1 ,m2 l1 m1 |Lz |l2 m2  = h l1 m1 |L± |l2 m2  = h ¯

l2 (l2 + 1) − m2 (m2 ± 1)δl1 ,l2 δm1 ,m2 ±1 .

(11.5) (11.6)

Esempio 6. Matrici di l = 1 in unit` a di h ¯. √ √ Lz = diag(1, 0, −1); L+ |1, −1 = 2|1, 0; L+ |1, 0 = 2|1, 1; L+ |1, 1 = 0. Assegnamo i vettori di base con ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 0 0 |1, 1 → ⎝ 0 ⎠ , |1, 0 → ⎝ 1 ⎠ , |1, −1 → ⎝ 0 ⎠ , 0 0 1 e troviamo (indicando le matrici coi nomi degli operatori): ⎛ √ ⎞ 0 2 √0 L+ = ⎝ 0 0 2 ⎠ 0 0 0 da cui segue subito

⎛

√0 0 L− = ⎝ 2 √0 0 2

⎞ 0 0⎠, 0

(11.7)

(11.8)

168

11 Problemi a tre dimensioni

e quindi

⎛

⎞ 010 1 Lx = √ ⎝ 1 0 1 ⎠ , 2 010 ⎛ ⎞ 0 −i 0 1 ⎝ i 0 −i ⎠ . Ly = √ 2 0 i 0

(11.9)

(11.10)

In generale, in termini di matrici di rango 2l + 1, possiamo rappresentare il → − momento angolare sulla base delle armoniche |l, m. Le matrici di L sulla base degli autostati |l, m hanno le stesse regole di commutazione degli operatori del momento angolare e gli stessi autovalori nel sottospazio corrispondente; formano una rappresentazione del momento angolare. 11.3.3 Momento angolare in coordinate sferiche In Appendice 19 si dimostrano le trasformazioni da coordinate cartesiane a coordinate sferiche per le componenti del momento e del momento angolare. Bench´e si tratti solo di fare derivate, i calcoli sono piuttosto lunghi. ⎧ cos(φ) cos(θ) ∂ sin(φ) ∂ ∂ ⎪ ⎪ + − ipx = sin(θ) cos(φ) ⎪ ⎪ ∂r r ∂θ r sin(θ) ∂φ ⎪ ⎨ sin(φ) cos(θ) ∂ cos(φ) ∂ ∂ + + ipy = sin(θ) sin(φ) ⎪ ∂r r ∂θ r sin(θ) ∂φ ⎪ ⎪ ⎪ sin(θ) ∂ ∂ ⎪ ⎩ − . ipz = cos(θ) ∂r r ∂θ Lz = xpy − ypx = −i L± ≡ Lx ± iLy = e±iφ [ −L2 =

∂ . ∂φ

∂ ∂ ± i cot(θ) ]. ∂θ ∂φ

∂ 1 ∂2 1 ∂ sin(θ) + 2 sin(θ) ∂θ ∂θ sin(θ) ∂φ2

Si riconosce cos`ı che la nota espressione del Laplaciano si pu`o scrivere  1 ∂ L2 2 2 ∂ ∇ = 2 r − 2. r ∂r ∂r r 11.3.4 Armoniche Sferiche Per definizione, Ylm (θ, φ) `e autofunzione di L2 con autovalore h ¯ 2 l(l + 1) e di imφ h. Calcoliamo Y2m (θ, φ) = Θ2m (θ)e . Da L+ Y22 = 0, Lz con autovalore m¯ cio`e ∂Y22 = 2 cot(θ)Y22 ∂θ

11.3 Momento angolare in 3 dimensioni

169

non `e difficile vedere che, normalizzazione a parte, Y22 = e2iφ (sin2 (θ)). Questo `e generale: Yll = eliφ (sinl (θ)). Proseguiamo. Y21 ≈ L− Y22 = e−iφ [

∂ ∂ − i cot(θ) ]e2iφ (sin2 (θ)) ≈ sin(θ) cos(θ)eiφ . ∂θ ∂φ

Da Y33 = e3iφ (sin3 (θ)), applicando L− , troviamo che, norma a parte, Y32 = ∂ (sin3 (θ)) ≈ e2iφ sin2 (θ) cos(θ). e2iφ ∂θ ∂ Su Y32 , i ∂φ = −2, quindi Y31 ≈ e−iφ [

∂ + 2 cot(θ)]Y32 ≈ eiφ sin(θ)[5 cos2 (θ) − 1]. ∂θ

Le normalizzazioni si calcolano con integrali tabulati imponendo  ∗ (θ, φ)Yl
m
(θ, φ) = δll
δmm
. dΩYlm Le armoniche sferiche sono facili da calcolare, e sono esse stesse tabulate, in termini di funzioni speciali note come funzioni associate di Legendre. l m 0 0 1 0 1 ±1

± /

2 0 2 ±1 ± 2 ±2

Ylm rl

Ylm √1 / 4π 3 cos θ / 4π 3 8π

sin θe±iφ

5 (3 cos2 /16π

√1 4π 3 cos θz / 4π

/

θ − 1)

± /

3 8π (x

5 2 16π (3z /

± iy) − r2 )

15 cos θ sin θe±iφ ± 8π z(x ± iy) / 2 15 15 ±2iφ 2 32π sin θe 32π (x ± iy)

15

/ 8π

La relazione di chiusura `e1 ∞
k


∗ Ykm (θ1 , φ1 )Ykm (θ2 , φ2 ) = δ(Ω1 − Ω2 )

k=0 m=−k

=

δ(θ1 − θ2 )δ(φ1 − φ2 ) . | sin(θ1 )|

La parit`a `e l’operazione P : (x, y, z) → (−x, −y, −z). Per cambiare di segno z = r cos(θ) occorre θ → π − θ, che comporta sin(θ) → sin(θ). Per cambiare di 1



come si ricorder` a, δ(g(x)) =

α

δ (x − xα )

 dg    dx

.

170

11 Problemi a tre dimensioni

segno x e y bisogna cambiare di segno sia cos(φ) che sin(φ). Questo si ottiene con φ → φ + π. Insomma, P : φ → φ + π, θ → π − θ. Sotto parit` a, Yll = eliφ (sinl (θ)) prende un fattore eilπ = (−1)l . Questo risultato non pu` o dipendere da m poich´e L± , come anche le componenti dello pseudovettore momento angolare, non cambiano per parit`a. Quindi la parit` a di l `e la stessa della parit`a dello stato.

11.4 Campo centrale Come abbiamo visto, con un campo centrale V (r) useremo coordinate sferiche, e cercheremo soluzioni della forma ψ(r, θ, φ) = R(r)Ylm (θ, φ) sulle quali −∇2 ψ = =

 

−1 ∂ r 2 ∂r −1 ∂ r 2 ∂r

 2∂ r ∂r +

L2 h ¯ 2 r2



ψ   2 ∂  l(l+1) r ∂r + r2 ψ.

Poich´e l’armonica sferica si elide, si ottiene l’equazione radiale  −1 ∂ 2mV (r) l(l + 1) 2 ∂R R+ R = k 2 R(r), r + r2 ∂r ∂r r2 h ¯2

(11.11)

dove

2mE . h ¯2 I calcoli si semplificano un po’ ponendo u R= ; r k2 =

si trova

  h ¯ 2 −1 d2 u l(l + 1) u u u + + V (r) = E , 2 2 2m r dr r r r r

cio`e −

h ¯ 2 l(l + 1) h ¯ 2 d2 u + u(r) + V (r)u(r) = Eu(r) 2m dr2 %2m r2 &# $

che `e un problema unidimensionale con un termine potenziale modificato. Il termine in l(l+1) si chiama potenziale centrifugo e impedisce ad una particella di raggiungere il centro se non ha l = 0. Conviene scrivere −

2m d2 u l(l + 1) + u(r) + 2 V (r)u(r) = k 2 u(r). dr2 r2 h ¯

11.4 Campo centrale

171

Particella libera Per V = 0 si ottiene d2 u l(l + 1) = u(r) − k 2 u(r). 2 dr r2 Per V = 0 la (11.11) con ρ = kr `e l’equazione di Bessel sferica 2ρR + ρ2 R + (ρ2 − l(l + 1))R = 0 che ha soluzioni jl (ρ) = ρl (−

1 d l sin(ρ) ) . ρ dρ ρ

In tal modo si possono determinare gli autostati della particella libera con H, L2 , Lz diagonali. Per l = 0, in modo elementare ul=0 (r) = sin(kr) =⇒ Rl=0 (r) =

sin(kr) . r

L’alternativa ul=0 (r) = cos(kr) darebbe una Rl=0 (r) singolare nell’origine e va dunque scartata. ` interessante anche l’espansione dell’onda piana in armoniche sferiche, che E `e pi` u semplice per eikz /, perche vi concorrono solo le armoniche con m = 0,

2l+1 o date da Yl0 (θ, φ) = 4π Pl (cos(θ)), con Pl polinomi di Legendre. Si pu` dimostrare che vale l’identit`a

eikz =

∞
l=0

r 1 d l sin(kr) ) . (−i)l (2l + 1)Pl (cos(θ))( )l ( k r dr r

Buca di potenziale sferica Imponendo condizioni al contorno per r = R0 si ottengono gli autovalori per la particella in una scatola di potenziale sferica  V = 0 r < a, V (r) = V = ∞ r > a. Nel caso l = 0 si trovano gli autovalori En0 =

h ¯ 2 π2 2 n , n = 1, 2, 3, · · · 2ma2

Pi` u in generale gli autovalori Enl si esprimono come Enl =

h ¯ 2 π2 , 2mk 2

in termini delle radici dell’equazione jl (ka) = 0.

172

11 Problemi a tre dimensioni

11.5 Stati legati dell’atomo Idrogenoide 2

Con V (r) = − Zer , l’equazione radiale `e 2mE 2m Ze2 d2 u l(l + 1) u= + u − u. 2 dr2 r2 r h ¯ h ¯2 Il problema classico di Kepler non ha scala, e l’orbita pu` o essere piccola quanto si vuole; invece la meccanica quantistica determina le dimensioni atomiche 2 in termini di h ¯ . Poich´e ddru2 `e una lunghezza quadrata inversa, la lunghezza caratteristica `e il raggio dell’orbitale −

aB h ¯2 = , me2 Z Z `e il raggio di Bohr; l’equazione `e a0 =

dove aB

−

d2 u l(l + 1) 2mE 2 u= + u− u. dr2 r2 a0 r h ¯2

Risulta aB = 0.529 Angstr¨ om, dove 1 Angstr¨ om =10−8 cm. Mettiamo l’equazione in forma adimensionale ponendo ρ=

r 2ma20 E , = <0 a0 h ¯2

(11.12)

e moltiplicando per a20 . La forma adimensionale `e 2 l(l + 1) ]u(ρ). u + u(ρ) = [− + ρ ρ2

(11.13)

Soluzione particolare Il caso2 l = 0 `e pi` u semplice, e√per ρ → ∞ approssimando con u + u(ρ) ∼ 0 si trova l’andamento u → e−ρ − : proviamo la soluzione √ u = ρe−λρ , λ = −. Risulta u = (1 − λρ)e−λρ 2 −λρ u = (−2λ + λ2 ρ)e−λρ = ( −2λ ρ + λ )ρe 

e quindi soddisfa con  = −1. Questi risultati, che come vedremo, riguardano lo stato normale dell’atomo, comportano R(r) ∝ e− a0 = e r

− aZr

B

, E=−

h ¯2 1 me4 Z 2 = − . 2ma20 2 h ¯2 2

Si noti la forte dipendenza da Z e che E = − Ze 2a0 . 2

Gli stati con l = 0, 1, 2, 3, . . ., si chiamano s, p, d, f, g, h, i, etc., proseguendo con l’ordine alfabetico.

11.5 Stati legati dell’atomo Idrogenoide

Normalizzazione ∞ Poich´e I(a) = 0 e−ax dx = a1 , r che √2 3 e− a0 `e normalizzato con

d2 I(a) da2

=

∞ 0

e−ax x2 dx =

2 a3

173

si vede subito

a0



∞

drr2 |R1,0 |2 = 1.

0

Dato che Y00 =

√1 , 4π

risulta ψ=

1 πa30

e− a . r

Soluzione generale Ricaviamo ora tutti gli stati legati. Dalla (11.13), vediamo che anche se l > 0, √ per ρ → ∞, non cambia l’andamento asintotico u → e−ρ − ; quello che cambia `e l’andamento a breve distanza dal centro a causa della barriera centrifuga; possiamo scrivere l(l + 1) u ∼ u(ρ), ρ → 0; ρ2 √ integrando, u → ρl+1 . Poniamo allora λ = −, con u = e−λρ ρl+1 [c0 + c1 ρ + . . . + cnr ρnr ]   = e−λρ c0 ρl+1 + c1 ρl+2 + . . . + cnr ρl+1+nr ovvero u(ρ) = e−λρ

nr


cν ρν+l+1 .

(11.14)

ν=0

Quindi, la soluzione `e della forma u = e−λρ ρl+1 f (nr ,l) (ρ),

(11.15)

dove nr `e il numero quantico radiale; come vedremo, nr → ∞ non `e accettabile, quindi f (nr ,l) (ρ) `e un polinomio. Allora, derivando la (11.14), u = e−λρ

nr


cν [−λρν+l+1 + (ν + l + 1)ρν+l ].

ν=0

Derivando ancora, si trova nr u = e−λρ ν=0 cν {−λ[−λρν+l+1 + (ν + l + 1)ρν+l ] −λ(ν + l + 1)ρν+l + (ν + l + 1)(ν + l)ρν+l−1 }.

174

11 Problemi a tre dimensioni

Semplifichiamo: u = e−λρ

nr


cν {λ2 ρν+l+1 − 2λ(ν + l + 1)ρν+l + (ν + l)(ν + l + 1)ρν+l−1 }.

ν=0

Il primo termine `e λ2 u + u = e−λρ {−2λ



cν ρν+l+1 e−λρ = −u. Quindi,

nr


cν (ν + l + 1)ρν+l +

ν=0

nr


cν (ν + l)(ν + l + 1)ρν+l−1 };

ν=0

per avere potenze omogenee conviene spostare la seconda somma. Questo significa cambiare ν chiamandolo ν + 1, cio`e scrivere b nome all’indicemuto b b−1 f (ν) = f (ν + 1) = ν=a ν+1=a ν=a−1 f (ν + 1). Per non doverci preoccupare dei primi e degli ultimi termini stabiliamo che cν = 0 per ν < 0 e per ν > nr . Risulta  r u +u = e−λρ {−2λ nν=0 cν (ν + l + 1)ρν+l  r −1 + nν=−1 cν+1 (ν + l + 1)(ν + l + 2)ρν+l }. raccogliamo insieme potenze uguali di ρ con u + u = e−λρ {

nr


ρν+l [−2λcν (ν + l + 1)

ν=−1

+cν+1 (ν + l + 1)(ν + l + 2)]}. Ma, per la (11.13), u + u = [− ρ2 + espandendo il secondo membro viene

l(l+1) ρ2 ]u(ρ);

(11.16)

mettendoci la (11.14) ed

nr nr

l(l + 1) −2 −λρ ν+l u+ u = e [−2 c ρ + l(l + 1) cν ρν+l−1 ], ν ρ ρ2 ν=0 ν=0

e spostando ancora la somma (con c−1 = 0) si trova nr nr −1 cν ρν+l + l(l + 1) ν=−1 cν+1 ρν+l ] e−λρ [−2 ν=0 nr ρν+l [−2cν + l(l + 1)cν+1 ] . = e−λρ ν=−1 Uguagliando con (11.16), −2λcν (ν + l + 1) + cν+1 (ν + l + 1)(ν + l + 2) = −2cν + l(l + 1)cν+1 , ovvero, raccogliendo, cν+1 [(ν + l + 1)(ν + l + 2) − l(l + 1)] + 2cν [1 − λ(ν + l + 1)] = 0. Conviene semplificare il coefficiente di cν+1 . Poniamo a = ν + 1; resta

11.5 Stati legati dell’atomo Idrogenoide

175

(ν + l + 1)(ν + l + 2) − l(l + 1) = (a + l)(a + l + 1) − l(l + 1) = a2 + a(l + 1) + al + l(l + 1) − l(l + 1) = a(a + 2l + 1) = (ν + 1)(ν + 2 + 2l). Risolviamo per cν+1 : cν+1 = 2

λ(ν + l + 1) − 1 cν . (ν + 1)(ν + 2l + 2)

(11.17)

Questa `e una relazione di ricorrenza che, come la (9.17), per ν → ∞ diventa una serie esponenziale f (nr ,l) (ρ) ∼ e2λρ . La serie deve terminare perch´e una funzione a crescita esponenziale renderebbe impossibile la normalizzazione. Perch´e la serie termini occorre che venga cnr +1 = 0 quando ν = nr , dove il numero quantico radiale nr `e il grado del polinomio. La condizione `e λn = 1,

(11.18)

n = nr + l + 1

(11.19)

dove definisce il cosiddetto numero quantico principale n. La funzione d’onda completa `e etichettata da n e dai numeri quantici angolari: ψn,l,m (r, θ, φ) = Rn,l (r)Yl,m (θ, φ). Per n = 1, 2, 3, 4, . . . si hanno i gusci K, L, M, N, O, P . . . che si riscontrano grosso modo in tutti gli atomi. Poich´e nr `e nullo o positivo, l varia da 0 a n−1. Il guscio K ha un solo orbitale, il guscio L ne ha 4, il guscio M ne ha 9. Quanti n−1 p ; viene l=0 (2l + 1) = n2 . ne ha il guscio n? Si ricorder` a che n=1 = p(p+1) 2 Quadrando λ = n1 ,  = − n12 , cio`e per la (11.12), En = −

Z 2 e2 13.59Z 2 =− eV. 2 2aB n n2

Le energie dipendono solo da n; per questo, 2s e 2p sono degeneri, 3s, 3p, 3d sono degeneri, etc.. La successione degli stati `e 1s, 2s, 2p, 3s, 3p, 3d, . . . secondo lo schema seguente. guscio n nome livello momento angolare l m permessi K 1 1s 0 m=0 2s 0 m=0 L 2 2p 1 m = −1, 0, 1 ⎧ 3s 0 m =0 ⎨ 3p 1 m = −1, 0, 1 M 3 ⎩ 3d 2 m = −2, −1, 0, 1, 2 4s 0 m=0 4p 1 m = −1, 0, 1 N 4 4d 2 m = −2, −1, 0, 1, 2 4f 3 m = −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 ··· ··· ··· ··· ···

176

11 Problemi a tre dimensioni

Questi livelli sono quelli osservati (a meno di piccole correzioni che dipendono da effetti relativistici). Spettroscopicamente, uno osserva fotoni alle frequenze  1 1 νmn = R − 2 , n2 m dove R `e la costante di Rydberg, fotoni che l’atomo emette nel decadimento m → n o assorbe nella transizione opposta. La serie di linee con n = 2 fu scoperta da Balmer nel 1885 e comincia nel visibile, con la riga Hα con ω23 nel rosso, la riga Hβ con ω24 nel blu, la riga Hγ con ω25 nel violetto; la serie continua nell’ultravioletto. Poi fu scoperta la serie ultravioletta di Lyman con n = 1; infine le serie infrarosse com m = 3, 4, 5. Questi risultati sono riprodotti da un modello semiclassico di Bohr (1913), ma la vera spiegazione venne nel 1925 con la meccanica quantistica ed `e  1 1 − . h ¯ ωmn = Em − En = 13, 59eV n2 m2 Le intensit` a delle transizioni sono anch’esse calcolate dalla meccanica quantistica, trattando l’interazione con la radiazione elettromagnetica con vari metodi; il pi` u elementare `e il metodo perturbativo, di cui parleremo. Eliminando λ nella (11.17) con la condizione λn = 1, troviamo la relazione di ricorrenza per i coefficienti di f (nr ,l) : cν+1 =

ν +l+1−n 2 cν . n (ν + 1)(ν + 2l + 2)

Questa relazione si pu`o semplificare un po’ eliminando il fattore cambiamento di scala.

(11.20) 2 n

con un

Cambiamento di scala Supponiamo che una funzione L(x) =




aν xν

sia definita da una relazione di ricorrenza aν+1 = ξ(ν); aν con un cambiamento di scala L(x) → L(sx) con una costante arbitraria s si ottiene
a L(sx) = aν xν , aν = aν sν =⇒ ν+1 = s ξ(ν). aν 2l+1 Quindi possiamo scrivere f (nr ,l) (ρ) = L( 2ρ ha la relazione di n ), dove Lnr ricorrenza semplificata

11.5 Stati legati dell’atomo Idrogenoide

aν+1 =

ν +l+1−n aν . (ν + 1)(ν + 2l + 2)

177

(11.21)

che definisce3 i polinomi associati di Laguerre. Adesso, dalla (9.3) otteniamo u(ρ)

2ρ = e−λρ ρl+1 L2l+1 nr ( n ); λ = 1/n,

(11.22)

ρ

2ρ Rnl (ρ) = e− n ρl L2l+1 nr ( n ).

Funzioni radiali Possiamo ricavare le prime funzioni radiali dalla (11.21), ricordando che ν ≤ nr e che n = nr + l + 1. Per n = 1, nr = l = 0 e ν = 0. Ponendo a0 = 1 viene a1 = 0. Per n = 2 ci sono le due possibilit` a nr = 1, l = 0, nr = 0, l = 1. ν−1 aν . Per ν = 0 si Per nr = 1, l = 0, la (11.21) diventa aν+1 = (ν+1)(ν+2) trova a1 = −a0 /2; per ν = 1 viene a2 = 0. Quindi, 1 L11 (ρ) = 1 − ρ, 2 e, a meno di normalizzare, ρ 1 R20 (ρ) = e− 2 (1 − ρ). 2

Per nr = 0, l = 1, c’`e solo ν = 0; la (11.21) aν+1 = a1 = 0, l = 1 e viene ρ R21 (ρ) = e− 2 ρ.

ν (ν+1)(ν+4) aν ,

Di seguito, riportiamo alcune funzioni radiali normalizzate con  ∞ |Rn,l (r)|2 r2 dr = 1. 0

3

I polinomi associati di Laguerre Lpq−p (x) = (−1)p

4

d dx

5p Lq (x)

sono definiti in termini dei polinomi di Laguerre Lq (x) = ex

4

d dx

5q 



e−x xq .

d` a

178

11 Problemi a tre dimensioni

R1,0 = √2 3 e−ρ a0

R2,0 = √1 3 (1 − ρ2 )e− 2 2a0

R2,1 = √ 1

ρ

ρ

ρe− 2

24a30 − 2ρ 3

2 −ρ 3 + 2ρ (1 27 )e 27a30 ρ ρ 8 − R3,1 = √ 3 (1 − 6 )ρe 3 27 6a0 ρ R3,2 = √4 3 ρ2 e− 3 81 30a0

R3,0 = √ 2

Si noti che Rnl (r) ha n − 1 nodi, cio`e distanze dal nucleo dove la funzione d’onda si annulla. 11.5.1 Effetto Zeeman normale → − Consideriamo l’atomo di H in un campo magnetico uniforme e costante B : H=

1 → e→ Ze2 − (− p − A )2 − 2µ c r

con e < 0. Prendiamo l’asse z lungo il campo ed il potenziale vettore → − → B ∧− r B → − A = = (−y, x, 0); (11.23) 2 2 → − → − → − → − → − − B = rot A . Ora, [→ p , A ]− = −i¯ h ∇ · A = 0; inoltre noi trascuriamo il termine in A2 perch´e gli effetti magnetici sono in pratica piccoli e quelli quadratici richiedono campi enormi. Quindi H=

Ze2 e → p2 − → − − A ·− p 2µ r µc

e l’ultimo termine `e −

eB eB e → − → (−ypx + xpy ) = − Lz . A ·− p =− µc 2µc 2µc

Le soluzioni idrogenoidi che abbiamo ricavato sono autofunzioni di L z ; tutto quello che accade nell’effetto Zeeman normale `e che gli autovalori sono Enlm = En(B=0) −

e¯ h mB. 2µc

Ogni livello atomico etichettato con l per B = 0 si risolve in 2l + 1 livelli. Tuttavia questa descrizione dell’effetto Zeeman `e incompleta e non `e in accordo con l’esperimento, perch´e manca un ingrediente importante: lo spin. Per questo occorre passare alla teoria di Pauli.

11.6 Generatori di Traslazioni e Rotazioni e operatori unitari

Osservazione 5. µB = −

179

e h ¯ 2µc

con µ = me `e il magnetone di Bohr ∼ 9.2710−24JT −1 . Il termine in A2 `e dell’ordine

e2 A2 µc2

∼

e2 (BaB )2 µc2

=

e2 h ¯ 2 B 2 aB µ2 c2 e2

campo di 1 T.

=

hB 2 ( e¯ µc ) e2 aB

ed `e molto piccolo per un

11.6 Generatori di Traslazioni e Rotazioni e operatori unitari ˆ e che rappresentano Accanto agli operatori hermitiani, per i quali vale Aˆ† = A, ˆ osservabili, occorrono anche quelli unitari, per i quali A† = Aˆ−1 . Nell’uso pi` u comune il loro significato `e geometrico, e rappresentano rotazioni, riflessioni e traslazioni. Traslazioni Una traslazione di a in una dimensione Ta `e un operatore tale che per ogni funzione analitica f , Ta f (x) = f (x + a). Poich´e f (x + a) =

 n ∞
an d f (x), n! dx n=0

`e naturale esprimere la traslazione come un operatore iperdifferenziale (contenente derivate di ogni ordine)  n ∞
p an d d Ta = = ea dx = eia h¯ . n! dx n=0 L’impulso `e detto il generatore delle traslazioni infinitesime ed `e conservato se il sistema `e invariante per tutte le traslazioni. Rotazioni La matrice di una rotazione di ∆φ intorno al’asse z `e  cos(∆φ) sin(∆φ) R∆φ = . − sin(∆φ) cos(∆φ) − − Notare che → x  = R∆φ → x `e ruotato in senso orario se ∆φ > 0; `e invece ruotata in senso antiorario la funzione f (x, y, z) → R∆φ f (x , y  , z) = f (x cos(∆φ)+y sin(∆φ), y cos(∆φ)−x sin(∆φ), z).

180

11 Problemi a tre dimensioni

→ − L’operatore R si pu` o esprimere in termini di L . Per stabilire la connessione conviene considerare ∆φ come l’esito di una successione di n → ∞ rotazioni infinitesime δφ = ∆φ n . Una rotazione infinitesima intorno all’asse z, con cos(∆φ) ∼ 1, sin(∆φ) ∼ ∆φ, produce una variazione che `e data dalla → − componente z di L perch´e → f (x , y  , z) ∼ f (x + yδφ, y − xδφ, z) Rδφ  3 ∂f ∂f ∼ f (x, y, z) + δφ y −x = f (x, y, z) + δφ(−i)Lz f (x, y, z) ∂x ∂y f (x, y, z)

e f (x, y, z)

→ [1 − iδφLz ] f (x, y, z). Rδφ

Quindi l’operatore della rotazione infinitesima `e Rδφ = [1 − iδφLz ] . n

a Per la rotazione finita occorre R∆φ = Π Rδφ . Ricordando l’identit` δφ

e−a =

a Lim (1 − )n n→∞ n

si ottiene l’operatore della rotazione di un angolo ∆φ attorno all’asse z nella forma (in unit` ah ¯ = 1) Rφ = e−i∆φLz . Pi` u in generale,

−→ → − R− → = e−i∆φ· L . φ → − Per questo si parla del generatore L delle rotazioni infinitesime. → − Un sistema invariante per rotazioni R `e tale che [H, R− → ]− = 0, ∀ φ ; ma φ R− → non `e un operatore hermitiano, che rapresenti una grandezza dinamica φ † −1 conservata. Si tratta di un operatore unitario, R→ o `e vero anche − = R→ − . Per` φ φ → − che [H, L ]− = 0. Il momento angolare L si conserva. In un sistema ci possono essere pi` u momenti angolari accoppiati (momenti di diverse parti del sistema, come vedremo prossimamente anche momenti angolari di spin), ma un sistema `e isolato `e sempre invariante per rotazioni complessive, a causa dell’isotropia dello spazio. Pertanto, come in meccanica classica, il momento angolare totale di qualsiasi sistema isolato si conserva.

12 Spin e campo magnetico

In Inglese, spin vuol dire trottola, ma una trottola classica di raggio 0 non potrebbe avere momento angolare. Un elettrone ha raggio 0 e momento ¯ . Vediamo come fa. angolare intrinseco 12 h

12.1 Momenti magnetico e angolare in Fisica classica Classicamente, per una carica puntiforme (elettrone) che percorre una spira circolare di raggio r, la corrente i produce un momento di dipolo magnetico ev − → − n con S = πr2 , in notazione ovvia; poich´e i = 2πr , µ = ci S → e− → ev − e → − → − n = → L. µ = r→ r ∧− v = 2c 2c 2mc

(12.1)

e 2mc

prende il nome di fattore giromagnetico. Il dipolo produce un campo magnetico, di potenziale vettore → − − µ ∧→ r → − . A= r3 → − In un campo magnetico esterno, B il dipolo ha energia → − − E = −→ µ · B.

(12.2)

Un momento magnetico che forma un angolo θ con l’asse z precede intorno all’asse, ma non pu` o modificare θ per la conservazione dell’energia. In un campo disomogeneo la (12.2) dice che il dipolo `e soggetto a una forza → − → − → − − → − F = − ∇E = ∇[→ µ · B ].

(12.3)

182

12 Spin e campo magnetico

Misura di un momento magnetico di oggetti microscopici Immaginiamo di avere un fascio di oggetti di massa nota e di momento ma` possibile misurare µ di un corpo facendo il modo che il fascio gnetico µ. E attraversi in un breve tempo ∆t un campo magnetico non uniforme in modo da subire una piccola deflessione. I corpi devono essere privi di carica, altrimenti la forza di Lorenz complica le cose eccessivamente. Supponiamo che un momento magnetico faccia un percorso lungo l, impiegando il tempo ∆t = vl , in un campo disomogeneo, con ∂B ∂z = 0. Allora, z m∆v ≈ F ∆t, quindi ∆v ≈ µz ∂B ∂z

l mv .

Si prevede una deflessione ∆θ ≈

∂Bz l ∆v ≈ µz . v ∂z mv 2

12.2 Esperimento di Stern-Gerlach Nel 1922 Stern e Gerlach produssero un fascio di atomi di Ag e lo fecero passare in un campo disomogeneo per vedere se le correnti degli elettroni conferissero agli atomi un momento magnetico.1 Il fascio era ottenuto vaporizzando il metallo in una fornace sotto vuoto e selezionando con uno tubo di uscita gli atomi che si muovono in una direzione ben stabilita. Gli atomi del fascio in assenza di campo andavano a formare una macchia su uno schermo rivelatore. In Figura 12.1 riportiamo uno schema dell’apparato visto lungo la direzione del fascio; il polo triangolare creava la disomogeneit` a. In Figura 12.2 z N fascio x

S Fig. 12.1. Il fascio attraversa un campo disomogeneo nell’apparato di Stern e Gerlach. Fra i poli di questa calamita il campo `e fortemente disomogeneo per la foggia del polo nord

riportiamo invece uno schema dell’apparato visto lungo una direzione a 90 gradi dal fascio; come vediamo, il campo disomogeneo disperde un fascio di atomi di Argento: 1

Classicamente non c’`e altro modo di produrre un momento magnetico, ma la Natura riserva spesso sorprese.

12.2 Esperimento di Stern-Gerlach

183

z ↓ y

N

fascio di Ag

lastra fotografica S ↑

Fig. 12.2. Schema dell’apparato di Stern e Gerlach

Il piano dell’esperimento era quello di misurare µ: i momenti magnetici degli atomi escono dalla fornace orientati a caso e quindi ci si aspettava che il fascio si dovesse allargare; dall’allargamento si sarebbe dedotto µ. Stern e Gerlach avevano ragionato molto bene, dal punto di vista classico. Ma il fascio non si allarga, anzi si divide in due, uno col momento parallelo al campo e l’altro antiparallelo. I due fasci sono ugualmente intensi. Ogni fascio `e fatto di atomi che hanno momento magnetico µz determinato: se uno di questi fasci viene fatto passare attraverso un secondo apparato orientato come il precedente rimane un fascio solo; questo verifica che tutti gli atomi hanno momento parallelo. Ma se il secondo apparato `e orientato diversamente il fascio si suddivide di nuovo.

z N y

N

S

fascio di Ag S

L’esito dell’esperimento `e incomprensibile con la Fisica classica. Il momento magnetico si trova solo su o gi` u, in qualunque direzione lo si misuri. Verrebbe da chiedersi: chi dice agli atomi come orientare in anticipo le spire delle correnti?

184

12 Spin e campo magnetico

Si comprese poi che il momento magnetico `e dovuto allo spin dell’elettrone ottico dell’Ag, l’unico che partecipa ai legami chimici, mentre gli altri elettroni rimangono fortemente legati. I nuclei hanno anche loro momenti magnetici. Per`o i momenti magnetici nucleari sono trascurabili rispetto a quello di un elettrone, perch´e la massa del protone `e molto pi` u grande. L’esperimento dimostr` o molte cose inattese. 1. Un atomo di Ag ha momento magnetico µ e i valori di µz lungo una direzione sono quantizzati. → − − 2. Data la proporzionalit` a→ µ ∝ L , anche i valori di Lz sono quantizzati. 3. Ci sono 2l + 1 valori possibili di m; l’esperimento con Ag mostra che i valori sono 2, quindi il momento angolare `e 12 . L’esito dell’esperimento illustra alcuni aspetti essenziali della meccanica quantistica. L’interpretazione `e: 1. Ogni momento angolare orbitale, dovuto a qualche rotazione nello spazio, → − `e associato ad L ed ha valori interi; inoltre esiste lo spin che non ha → − analogo classico. Pi` u in generale, per il momento angolare useremo j e per la componente mj . 2. Gli atomi di Ag non hanno componente µz del momento magnetico definita quando formano il fascio, ma solo quando µz `e misurata. 3. La misura fa collassare la funzione d’onda e prepara due fasci di µz definiti; poich´e µx ed µy non sono compatibili con µz le altre componenti non sono definite. 4. Ogni nuova misura su una diversa direzione fa collassare ancora la funzione d’onda. Se per` o la nuova direzione coincide con la precedente il fascio viene deflesso ma non si sdoppia.

z S y

N N

fascio di Ag

lastra fotografica S

Fig. 12.3. Un secondo apparato di Stern e Gerlach non sdoppia di nuovo il fascio se la direzione N-S `e la stessa del primo

12.3 Matrici del momento angolare

185

12.3 Matrici del momento angolare − Fisicamente, se diciamo che un elettrone si trova in → x non abbiamo finito di specificare la situazione, perch´e ha 2 modi ortogonali di starci. I due modi sono associati a componenti Sz = ± h¯2 del momento angolare, dove z `e la direzione privilegiata dall’esperimento. Il momento angolare frazionario non si realizza con il moto di particelle e non corrisponde ad alcuna armonica sferica; si tratta di un momento angolare intrinseco, quasi come se la particella avesse un moto a trottola (trottola =spin in Inglese). → − Dal momento angolare L abbiamo ricavato le rappresentazioni (11.4, 11.5,11.6) ¯ 2 l1 (l1 + 1)δl1 ,l2 δm1 ,m2 , l1 m1 |L2 |l2 m2  = h l1 m1 |Lz |l2 m2  = h ¯ m1 δl1 ,l2 δm1 ,m2 , l1 m1 |L± |l2 m2  = h ¯ l1 (l1 + 1) − m2 (m2 ± 1)δl1 ,l2 δm1 ±1,m2 , con l, m interi. Nessuna di questa va bene per lo spin. Oltre alle rappresentazioni del momento angolare gi` a viste, ci sono anche le rappresentazioni spinoriali,2 corrispondenti a momenti angolari semiinteri, cio`e 12 , 32 , 52 · · · intrinseci alle particelle, che non hanno analogo classico.3 Ci sono atomi e nuclei con momenti angolari semi-interi, ma questo `e riconducibile al fatto che elettroni e nucleoni (ed i quark che costituiscono i nucleoni) hanno spin 1/2. Poich´e lo spin non ha a che vedere con le derivate rispetto alle coordinate (r, θ, φ), ci occorre un formalismo per il momento angolare che non ne faccia uso. Per spin 21 assegnamo i due vettori di base | ± 21 , dalla componente z di MS che pu` o valere ± 21 h ¯ . Di solito vengono chiamati anche |α per lo spin su e |β per lo spin gi` u. Poich´e si tratta di uno spazio a 2 dimensioni `e naturale introdurre una base con   1 1 1 0 |α ≡ |  → ; |β ≡ | −  → . 0 1 2 2 Poich´e

h ¯ h ¯ |α, Sz |β = − |β, 2 2 possiamo rappresentare Sz ponendo Sz |α =

Sz =

h ¯ σz , 2

con 2 3

La teoria che segue `e dovuta a Wolfgang Pauli (1900 Vienna - 1958 Zurigo) uno dei teorici pi` u importanti del ‘900, Premio Nobel nel 1945. Un analogo classico a ben vedere esiste, ma non riguarda i corpuscoli, ma le onde. Basta ricordare la polarizzazione della luce per cui le onde elettromagnetiche possono essere destre o sinistre. Questo corrisponde in meccanica quantistica allo spin 1 del fotone.

186

12 Spin e campo magnetico

 σz =

1 0 0 −1

Si passa dall’uno all’altro stato di spin con  01 , S+ = h ¯ 00



 S− = h ¯

00 10

(12.4)

in modo che S+ |α = 0, S− |α = h ¯ |β, S− |β = 0, S+ |β = h ¯ |α. Poich´e le matrici S± funzionano come operatori di shift, `e naturale introdurre le componenti x e y con S+ = Sx + iSy S− = Sx − iSy Si trova cos`ı che una rappresentazione dello spin `e data dalle matrici di Pauli, ponendo 1− → − σ S =h ¯ → 2 con    01 0 −i 10 σx = , σy = , σz = . 10 i 0 0 −1 Usando questa rappresentazione si pu`o verificare che queste matrici hanno  10 ed anticommutano, cio`e quadrato 01 [σi , σj ]+ = 2δij , → − dove gli indici corrono sulle 3 componenti. L’identificazione di S come un momento angolare `e legittima perch´e → − → − → − S ∧ S = i¯ hS , in quanto [σx , σy ]− = 2iσy e cicliche. Si tratta proprio di un momento angolare 12 h ¯ ; infatti poich´e il quadrato di ciascuna matrice di Pauli `e la matrice identit`a 2 × 2, S2 =

3 2 1 1 h ¯ = ( + 1)¯ h2 . 4 2 2

L’esperimento conferma che un elettrone pu`o transire fra α e β assorbendo o cedendo un fotone di spin 1, ad esempio in esperimenti di risonanza magnetica.

12.3 Matrici del momento angolare

187

12.3.1 Ogni direzione va bene L’esperimento di Stern-Gerlach mostra che la componente dello spin vale sem¯ in qualsiasi direzione la si misuri, e quindi l’analogia con una trottola pre ± 12 h `e alquanto fuorviante. Il formalismo di Pauli descrive correttamente questo stato di cose. La matrice (hermitiana) dello spin nella direzione del versore → − n = (sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ) si ottiene da un prodotto scalare,  1 cos θ sin θe−iφ → − → − ¯ S · n = h . sin θeiφ − cos θ 2 Gli autovettori sono − | ↑, → n = − | ↓, → n =





cos θ2 sin θ2 eiφ



− sin θ2 e−iφ cos θ2

,

(12.5)

.

(12.6)

Verifica degli autovettori Si ha    cos(θ) cos( θ2 ) + sin(θ) sin( θ2 ) cos θ2 cos θ sin θe−iφ = . sin θeiφ − cos θ sin(θ) cos( θ2 )eiφ − cos(θ) sin( 2θ )eiφ sin θ2 eiφ Sostituendo nel risultato le identit` a θ θ θ θ cos(θ) = cos( )2 − sin( )2 , sin(θ) = 2 cos( ) sin( ) 2 2 2 2 si trova =



   θ 2 θ 2 θ 2 cos( θ2 ) cos( cos( θ2 ) 2 ) − sin( 2 ) + 2 sin( 2 )   = . sin θ2 eiφ 2 cos( θ2 )2 − cos( 2θ )2 + sin( θ2 )2 sin( θ2 )eiφ

Spinore aggiunto Gli autovettori, o autospinori, sono complessi; il coniugato `e  †   a = a∗ b ∗ . b La vera origine dello spin Lo spin non era previsto dai 4 postulati, e la teoria di Pauli `e fenomenologica. Si chiamano in questo modo le teorie che spiegano bene alcuni fenomeni, ma mostrano anche la necessit`a di un quadro di riferimento pi` u generale e soddisfacente. Nella teoria di Schr¨ odinger si consideravano gli osservabili noti alla Fisica classica; Pauli ha mostrato che lo spin rientra bene nel quadro

188

12 Spin e campo magnetico

concettuale; ad esempio il significato fisico della componente superiore cos θ2 − di | ↑, → n  `e il seguente. Supponiamo che un fascio di particelle sia preparato − nello stato | ↑, → n , ( per esempio con un esperimento di Stern-Gerlach con il − campo disomogeneo lungo l’asse → n ) e poi se ne misuri la componente z dello − n  `e l’ampiezza di probabilit` a di trovare spin alto. spin; allora, cos 2θ = α| ↑, → Una formulazione molto pi` u soddisfacente dello spin e delle sue interazioni si ha con la teoria relativistica di P.A.M. Dirac . 12.3.2 Rotazioni di spin e momento angolare Nella Sezione 11.6 abbiamo studiato le rotazioni di una funzione orbitale, −→ → − R− → = e−i∆φ· L , φ

(12.7)

→ − dove compare il generatore L delle rotazioni infinitesime. Per analogia, il → − − generatore delle rotazioni infinitesime dello spin `e S = 12 h ¯→ σ e l’operatore di rotazione `e −→ → − R− → = e−i∆φ· S . φ All’esponente c’`e una matrice 2 × 2 che `e facile da diagonalizzare ed esponenziare. Per ruotare  di un angolo ∆φ attorno all’asse z uno spinore, come ad esemθ cos − 2 , ci si pu` pio | ↑, → n = o aspettare che basti φ → φ + ∆φ; questo `e sin θ2 eiφ quasi vero, ma c’`e una sottigliezza. Per capirlo, `e istruttivo scrivere l’operatore di rotazione (12.7) intorno all’asse z,  1 0 −i ∆φ 2 ∆φ 0 −1 . R = e−i 2 σz = e ∆φ

Le matrici diagonali sono facili da esponenziare come i numeri: 

e cos`ı

µ0 0 ν

2



µ0 e 0 ν

R∆φ = Pertanto,

=



t

= -

ed anche



e−i 0

µ2 0 0 ν2



eµt 0 0 eνt

∆φ 2

,

, .

0 ∆φ ei 2

.

12.3 Matrici del momento angolare

− R∆φ | ↑, → n =

∆φ

e−i 2 cos θ2 ∆φ ei 2 sin θ2 eiφ

. = e−i

∆φ 2



cos θ2 sin θ2 ei[φ+∆φ]

189

:

oltre ad incrementare φ fornisce una fase complessiva allo spinore. Ne consegue che R2π = −1: l’operatore di una rotazione di 2π cambia segno allo spinore! ` Questa `e una propriet` a fondamentale delle particelle di spin semi-intero. E vero che moltiplicare per −1 una funzione d’onda non cambia lo stato, ma se si sovrappongono due funzioni d’onda la fase relativa `e importante. Un sistema la cui hamiltoniana non dipende dallo spin `e invariante per → − rotazioni di spin. Poich´e [H, R− → ]− = 0, ∀ φ `e chiaro allora che conserva il φ momento angolare S. 12.3.3 Momento magnetico di spin ed equazione di Pauli L’equazione classica (12.1) suggerisce che al momento angolare sia associato un momento magnetico. Qui per` o non ci sono correnti, e non possiamo calcolare nulla con la teoria classica. Dalla teoria relativistica di Dirac consegue che e → − → − µ = gS, (12.8) 2mc dove m `e la massa dell’elettrone e g = 2. In realt` a g ≈ 2.0023 per l’elettrone a causa di correzioni di elettrodinamica quantistica.4 In un campo magnetico B, l’energia del dipolo `e data, come classicamente, dall’equazione (12.2). L’operatore Hamiltoniano `e quindi una matrice 2 × 2, la funzione d’onda si generalizza e diventa uno spinore  a(x) ψ(x) = , b(x) a 2 componenti; la particella in ogni punto x ha 2 stati. Includendo anche l’energia cinetica, l’Hamiltoniano di un atomo di Ag (particella neutra con lo spin dell’elettrone) in campo magnetico vale5 H=

p2 2MAg

0

0 p2 2MAg

. −

e → − → − g S · B; 2mc

L’equazione di Schr¨ odinger-Pauli `e della stessa forma dell’equazione di Schr¨odinger, cio`e ∂ψ i¯ h = Hψ. ∂t 4

5

Per il protone, di massa mp ≈ 1800m, con g ≈ 5, µ `e molto pi` u piccolo; il neutrone non ha carica ma ha un momento magnetico dello stesso ordine di quello del protone Stiamo trascurando deboli effetti diamagnetici.

190

12 Spin e campo magnetico

Particella libera con spin 1/2 → − − Il moto `e libero e lo spinore pu` o essere etichettato con → p =h ¯ k introducendo la soluzione onda piana a 2 componenti   → − → − a 1 a(x) ei k · x = b b(x) (2π)3 con costanti a e b tali che |a|2 + |b|2 = 1. Spin 1/2 senza gradi di libert` a orbitali → − → − e Il termine magnetico 2mc g S · B , da solo ha autostati |α con autovalore µB B e |β con autovalore −µB B, dove µB `e il magnetone di Bohr ;6 approssimando g con 2 viene e¯ h . µB = 2mc Moltiplicando per le onde piane si trovano gli autostati di H per la particella neutra con spin. I due livelli sono separati dalla cosiddetta frequenza di Larmor, nota in Fisica classica, ωL =

eB . mc

Livelli di Landau: particella di Schr¨ odinger (S = 0) Per una particella carica, che sente la forza di Lorentz, prenderemo − 2 e→ → − ˆ = ( p − c A) . H 2m Potremo prendere il campo lungo l’asse z; diversamente dalla (11.23), stavolta conviene prendere la gauge di Landau7 → − A = (−y, 0, 0)B. Cos`ı

eBy 2 c )

+ p2y + p2z . 2m Qui, px e pz sono costanti del moto e la funzione d’onda pu` o essere presa nella forma ψ = ei[px x+pz z] χ(y); ˆ = H

(px +

il moto lungo z `e libero. Poniamo per semplicit` a pz = 0 perch´e il moto lungo il campo `e poco interessante e px = 0 perch´e questo equivale a spostare l’origine eB degli y; il moto lungo y `e quantizzato in modo armonico con ωL = mc , la frequenza di Larmor. I livelli quantizzati si chiamano livelli di Landau. 6 7

per e < 0 le soluzioni si scambiano; per un elettrone in campo magnetico parallelo all’asse z lo stato fondamentale `e |β . Lev Davidovic Landau nato a Baku nel 1908, morto nel 1968, `e stato il pi` u grande fisico sovietico. Premio Nobel nel 1962 per i suoi studi sui superfluidi.

12.3 Matrici del momento angolare

191

Trasformazioni di gauge − ` ben noto dall’elettromagnetismo che una trasformazione di gauge → E A → → − → − − A = A + grad χ(→ r ), con χ funzione arbitraria, non cambia n`e campo ma→ − gnetico, n`e alcuna grandezza fisica. L’equazione di Schr¨ odinger scritta con A → − o verificare. Questo camal posto di A `e risolta da ψ  = ψ exp( ieχ h ¯ ), come si pu` biamento non ha conseguenze fisiche, perch´e la fase di ψ non ha importanza e la differenza di fase fra due funzioni d’onda diverse rimane immutata. Livelli di Landau: particella di W. Pauli Per una particella di carica e e spin 1/2, ⎞ ⎛ → − − (→ p − ec A )2 e → 0 − → − 2m gS · B = H=⎝ → − 2 ⎠− → − e 2mc ( p −c A) 0 2m ⎛ ⎞ → − 2 → − e ( p −c A) e¯ h g − 2mc 2 B 0 2m ⎝ ⎠ → − − p − ec A )2 (→ e¯ h g 0 + 2mc 2 B 2m eB Lo spin d` a due sottolivelli; poich´e g ∼ 2, lo spin gi` u aggiunge all’energia 2mc e lo spin su toglie altrettanto. Cos`ı i due livelli magnetici di spin sono separati di ∼ h ¯ ωL . L’equazione di Schr¨ odinger per ciascuno degli stati di spin d`a i livelli di Landau. La transizione diretta fra sottolivelli di spin pu`o essere fatta assorbendo o emettendo un fotone (epr=risonanza di spin elettronico, nmr= risonanza di spin nucleare). Per un protone lo stato fondamentale `e α. A parit` a di campo magnetico la separazione dei livelli `e molto pi` u grande per l’elettrone.

Problema 24. Ruotare |α rispetto all’asse x di ϕ = π/2 e di ϕ = π discutendo i risultati. Soluzione 24. L’operatore di rotazione di ϕ intorno all’asse x `e    −iϕ 0 1 Rϕ = exp . 10 2 Separando le potenze pari da quelle dispari nell’espansione di eix = cos(x) + i sin(x) troviamo Rϕ =


1 −iϕ
1 −iϕ ( )n + σx ( )n . n! 2 n! 2

npari


(ix)n = Reeix = cos(x) n!

npari

ndispari


(ix)n = iImeix = i sin(x). n!

ndispari

192

12 Spin e campo magnetico

Pertanto,

 Rϕ =

ϕ   cos ϕ2   −i sin  2 ; −i sin ϕ2 cos ϕ2

√ † −1 si noti che Rϕ = Rϕ . Poich´e cos(π/4) = sin(π/4) = 1/ 2, viene 1 Rπ/2 |α = √ 2



1 −i

.

o `e Questo `e autostato (spin basso) di Sy . Inoltre, Rπ |α = −i|β. Tutto ci` intuitivo. Problema 25. Verificare l’identit` a j+ (1)j− (2) + j− (1)j+ (2) → − → − j (1) · j (2) = jz (1)jz (2) + , 2 → − → − → − → − dove j (1), j (2) sono momenti angolari di particelle diverse con [ j (1), j (2)]− = 0. Soluzione 25. Basta sostituire le definizioni.

12.4 Somma di momenti angolari Un elettrone in un campo centrale ha momento angolare orbitale e momento angolare di spin. Due elettroni in un atomo hanno ciascuno il suo momento angolare. Il nucleo di un atomo ha il suo spin, che si aggiunge al momento angolare degli elettroni ed `e a sua volta la risultante degli spin 1/2 di protoni e neutroni e dei loro momenti orbitali nel nucleo. Questi sono tutti esempi in cui si debbono comporre momenti angolari. Il momento angolare totale di un sistema isolato qualsiasi `e particolarmente interessante perch´e `e sempre conservato.8 Consideriamo in generale un sistema che ha due parti di momento angolare j 1 e j 2 , che dipendono da variabili diverse e quindi commutano: [j 1 , j 2 ]− = 0; il momento angolare del sistema `e j = j1 + j 2, esattamente come in Fisica classica. Si tratta di un momento angolare perch´e il lettore pu` o verificare che j ∧ j = i¯ hj. 8

Il momento angolare del nucleo `e accoppiato debolmente a quello degli elettroni. Il momento orbitale e di spin sarebbero conservati anche separatamente, se non → − − fosse per una interazione spin-orbita relativistica proporzionale a l · → s.

12.4 Somma di momenti angolari

193

Se prendiamo una base di autostati per ciascuno, j12 |j1 m1  = j1 (j1 + 1)¯ h2 |j1 m1 , j1z |j1 m1  = m1 h ¯ |j1 m1  2 j2 |j2 m2  = j2 (j2 + 1)¯ h2 |j2 m2 , j2z |j2 m2  = m2 h ¯ |j2 m2  una base per il sistema `e |j1 m1 j2 m2  ≡ |j1 m1 |j2 m2 . Si tratta di (2j1 + 1)(2j2 + 1) stati di ciascuno dei quali possiamo specificare immediatamente l’autovalore mj di jz : jz |j1 m1 j2 m2  = (m1 + m2 )¯ h|j1 m1 j2 m2  = mj h ¯ |j1 m1 j2 m2 . Per` o in generale non possiamo assegnare insieme j, m1 e m2 . Infatti, j 2 = j 21 + j 22 + 2j 1 · j 2 ; i quadrati commutano con le componenti, ma j 1 · j 2 non commuta: [j 2 , j1z ]− = 2[j 1 · j 2 , j1z ]− = 2[j1x j2x + j1y j2y , j1z ]−

(12.9)

e questo non `e nullo. Problema 26. Calcolare il commutatore (12.9). Soluzione 26. Si trova 2i¯ h(j 1 ∧ j 2 )z . Esempio 1 Nello stato fondamentale dell’atomo di H il momento angolare orbitale `e l = 0, ma ci sono due spin 1/2 da sommare, quello dell’elettrone e quello del nucleo. Indichiamo con α(1), β(1) i due stati dell’elettrone e con α(2), β(2) i due stati del nucleo; allora la base d` a i seguenti 4 stati: Stati mj j |α(1)α(2) 1 1 |α(1)β(2) , |β(1)α(2) 0 misto 1, 0 |β(1)β(2) -1 1

` possibile assegnare mj a tutti, ma anche j agli estremi, che hanno mj = E u grandi sono esclusi ±1. Infatti j = 0 `e escluso perch´e d` a mj = 0, mentre j pi` perch´e dovrebbero dare mj fuori da (0, 1). Lo spazio di Hilbert di dimensione 4 ha un sottospazio j = 1 di dimensione 3, con la componente |j = 1, mj = 0 che deve essere una combinazione dei due stati con mj = 0.

194

12 Spin e campo magnetico Stati mj j 3 3 |1, 12 2 2 1 |1, − 21 , |0, 12 misto 32 , 2 1 1 1 |0, − 2 , | − 1, 2 − 2 misto 32 , 3 | − 1 − 12 − 32 2

1 2 1 2

Esempio 2 Per trovare il momento angolare di un elettrone nell’orbitale 2p dell’atomo di H dobbiamo combinare l = 1 con lo spin (3 × 2 = 6 stati). Possiamo denotare gli stati con |ml , ms . o essere di Il massimo ed il minimo mj devono appartenere a j = 23 (non pu` meno, ma neanche di pi` u, perch´e altrimenti ci sarebbero altri mj ). Ma j = 32 comporta 4 stati. In tutto gli stati sono 6, quindi ne mancano 2 che saranno quelli di j = 12 . Valori permessi di j Come negli esempi proposti, in generale, il valore massimo di mj `e mj = m1 + m2 ed il minimo `e mj = −m1 − m2 . Pertanto nella base |j1 m1 j2 m2  ci deve essere una base per j = j1 + j2 ; questo significa che devono esistere 2(j1 +j2 )+1 combinazioni lineari degli elementi della base che danno autostati |jm di j 2 e jz con j = j1 + j2 e con −j ≤ mj ≤ j Altri valori pi` u grandi di j non possono esserci perch´e darebbero altri valori di mj . C’`e solo un elemento della base |j1 m1 j2 m2  che corrisponde a j = j1 + j2 ; pertanto questo valore di j `e presente una sola volta. Il valore mj = m1 +m2 −1 si ottiene in 2 modi diversi. Di questi due stati, una combinazione lineare corrisponde a |j = j1 + j2 , mj = m1 + m2 − 1 e l’altra a |j = j1 + j2 − 1, mj = m1 + m2 − 1. Quindi anche j = j1 + j2 − 1 `e presente una sola volta nella base. Esistono tutti i valori da j = j1 + j2 fino a j = |j1 − j2 | e tutti compaiono una volta sola. Infatti, j
1 +j2

(2j + 1) = (2j1 + 1)(2j2 + 1).

j=|j1 −j2 |

Coefficienti di Clebsch-Gordan Vogliamo trovare le combinazioni di |j, mj . Nel caso dei due spin 1/2, usando la Tabella 12.4, dagli operatori (12.4)   01 00 , S− = h ¯ ¯ S+ = h 00 10 calcoliamo j − = S− (1) + S− (2);

12.4 Somma di momenti angolari

195

otteniamo cos`ı |1, 0 = j − |1, 1. Normalizzando si trova 1 |1, 0 = √ (|α(1)β(2) + |β(1)α(2)). 2 Questa `e la componente mj = 0 del tripletto j = 1. La combinazione ortogonale 1 |0, 0 = √ (|α(1)β(2) − |β(1)α(2)). (12.10) 2 `e il singoletto j = 0. Questo `e un esempio di un procedimento generale con cui si pu` o passare dalla base |j1 m1 j2 m2  alla base |jmj  con una trasformazione unitaria j1


|jmj  =

j2


|j1 m1 j2 m2 j1 m1 j2 m2 |jmj .

m1 =−j1 m2 =−j2

I coefficienti di Clebsh Gordan j1 m1 j2 m2 |jmj  si possono sempre ottenere con un procedimento analogo, e permettono di fare anche il passaggio opposto. Per un elettrone nello stato 1s abbiamo i due stati |l = 0, ml = 0|ms = ± 12  che hanno j = 1/2. Quindi scriveremo senz’altro |j =

1 1 1 , M = ±  = |l = 0, ml = 0|ms = ± , 2 2 2

o, usando una notazione pi` u agile, 1 1 1 | , ±  = |0, 0| ± . 2 2 2 Per l’esempio di un elettrone nel 2p (Tabella 12.4) sappiamo che 3 3 1 | ,  = |1, 1| . 2 2 2 La combinazione giusta per j = 32 , mj = 12 si trova agendo sullo stato con mj = 32 con j− = L− + s− . Poich´e da L± |l, m =

l(l + 1) − m(m ± 1)¯ h|l, m ± 1 √ L− |l = 1, ml = 1 = 2¯ h|l = 1, ml = 0.

Cos`ı l’abbassamento porta a √ −1 j− 3 3 1 | ,  = 2|1, 0|  + |1, 1| . h ¯ 2 2 2 2

196

12 Spin e campo magnetico

Normalizzando, 3 1 | , = 2 2



−1 2 1 1 |1, 0|  + √ |1, 1| . 3 2 2 3

(12.11)

La combinazione ortogonale `e 1 1 1 1 | ,  = √ |1, 0|  − 2 2 2 3



−1 2 |1, 1| . 3 2

(12.12)

Dalla (12.11) ricaviamo che 1 1 3 1 1, 0, , | ,  = 2 2 2 2



1 1 3 1 2 , 1, 1, , − | ,  = 3 2 2 2 2



1 ; 3

dalla (12.12) ricaviamo che 1 1 1 1 1, 0, , | ,  = 2 2 2 2



1 1 1 1 1 , 1, 1, , − | ,  = − 3 2 2 2 2



2 . 3

Questi risultati sono in accordo con le tabella dei coefficienti di ClebshGordan. Verifica dell’appartenenza a j Per verificare se uno stato di un elettrone in un orbitale con momento angolare j appartiene a j conviene mettere nella espressione j 2 = L2 + S 2 + 2L · S l’identit` a 1 → − → − L · S = Lz Sz + (L+ S− + L− S+ ) , 2 ricordando che l1 m1 |L± |l2 m2  = h ¯ l1 (l1 + 1) − m2 (m2 ± 1)δl1 ,l2 δm1 ±1,m2 .

m1 m2 j j1 j2 m1 m2 |jm = m1 + m2 1 1 1 1 2 2 1 √1 − 12 1 2 2 1 √1 − 12 0 2 2 √1 − 12 12 1 2 − 12 12 0 − √12 − 12 − 12 1 1 Tabella 12.1. I coefficienti di Clebsch-Gordan per j1 = j2 =

1 2

12.5 Applicazione alla criptografia quantistica m1 1 1 1 0 0 0 0 -1 -1 −1

197

m2 j j1 j2 m1 m2 |jm = m1 + m2 1 3 1 2 2 1 − 21 32 3 1 1 2 −2 2 3

1 2 1 2 − 21 − 21 1 2 1 2 − 21

3 2 1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 3 2

−

− 1

2 3 1 3 2 3 1 3 1 3 2 3

Tabella 12.2. I coefficienti di Clebsch-Gordan per j1 = 1, j2 =

1 2

12.5 Applicazione alla criptografia quantistica Ci sono informazioni che devono restare segrete a lungo, come i codici bancari, la formula della Coca Cola o i comandi di un satellite commerciale. Da millenni `e andata avanti la competizione fra chi voleva criptare i segreti con codici sempre pi` u ingegnosi e chi voleva carpirli decifrando il codice; sono noti i vantaggi che hanno avuto gli alleati per avere scoperto il codice segreto della Wehrmacht nella seconda guerra mondiale. Con la meccanica quantistica la gara `e ormai vinta da chi vuole mantenere i segreti. Vari apparecchi per realizzare la criptografia usando il principio di indeterminazione sono arrivati a livello industriale e sono venduti da varie ditte commerciali.9 Ecco uno schematica discussione del funzionamento. Il problema della criptografia `e ben noto: due persone, diciamo Alice e Bob, devono scambiarsi informazioni segrete, usando un canale publico, come una linea telefonica o la radio; chi ha interesse a carpire i segreti pu`o spiare e ricevere i segnali. Il segreto pu`o essere custodito efficacemente solo se Bob e Alice hanno un codice per criptografare; questo vuol dire che devono condividere gi` a una certa quantit` a di informazione segreta prima di cominciare la conversazione. Concettualmente, questa informazione nota sia ad Alice che a Bob equivale a un numero, che `e la chiave del codice. Evidentemente se il numero contiene moltissime cifre, la spia non avr`a alcun modo di ricostruirlo e decrittare il messaggio. Il problema `e allora in primo luogo come facciano Alice e Bob a scambiarsi la chiave senza che questa sia ricevuta anche dalla spia che ha accesso al canale pubblico. La meccanica quantistica offre la possibilit` a di scambiarsi la chiave in modo assolutamente sicuro; l’idea `e dovuta a Charles Bennet del centro di ricerche Thomas J. Watson della IBM ed a Gilles Brassard dell’Universit` a di Montreal ed `e stata sviluppata negli anni ’80. 9

Vedi ad esempio l’articolo di Gary Stix, Best-kept secrets, Scientific American, January 2005.

198

12 Spin e campo magnetico

Il segnale viene trasmesso come una successione di bit che possono valere 1 o 0. Per prima cosa Alice e Bob convengono che un fotone polarizzato orizzontale vale 1 ed uno polarizzato verticale vale 0. Per` o per trasmettere e ricevere fotoni ambedue dispongono di un secondo filtro polarizzatore ruotato di 45 gradi rispetto al primo. Quindi indicando con un trattino il piano di polarizzazione, il bit 1 pu`o viaggiare come - o come \, mentre il bit 0 pu` o viaggiare come | o come /. Se il filtro usato per ricevere `e lo stesso di quello usato per trasmettere, il bit viene letto senza errori, ma se ad esempio un segnale emesso come | viene captato con il filtro inclinato, ci sono 50 probabilit` a su 100 che venga interpretato come -. A questo punto avviene la trasmissione della chiave, con le seguenti modalit` a. Alice manda una successione casuale di bit scegliendo casualmente anche con quale filtro inviarli, e prendendo nota ogni volta di quello che fa. Per ogni bit in arrivo, Bob sceglie a caso quale filtro usare per leggerlo e annota sia il filtro usato che la lettura. Dopo la fine della trasmissione dei fotoni, Bob comunica ad Alice attraverso il canale pubblico la sequenza dei filtri usati nelle letture (senza comunicare ovviamente la sequenza delle letture). Allora Alice pu`o rivelargli, usando lo stesso canale, quali filtri sono stati usati correttamente. Allora, eliminati i fotoni letti col filtro sbagliato rimane una sequenza di bit che costituiscono la chiave segreta. Una eventuale spia pu` o ricevere i fotoni, ma la meccanica quantistica impedisce di fare ci` o che classicamente `e possibile, cio`e osservare lo stato di polarizzazione senza rischiare di modificarlo. Scegliere fra − e | significa scegliere fra due stati ortogonali, come gli stati α e β di uno spin. La spia, se riceve il fotone con il filtro sbagliato, rischia non solo di leggere la polarizzazione in modo erroneo, ma anche di modificarla. Gli errori introdotti in questo modo finiranno per tradirla. Infatti scegliendo a caso un piccolo numero di bit fra quelli che costituiscono il messaggio, Alice e Bob possono verificare sul canale pubblico se sono arrivati imperturbati o meno; in quest’ultimo caso la presenza della spia sar` a smascherata.

12.6 Fase di Pancharatnam Il fisico indiano S. Pancharatnam nel 1956 invent` o il concetto di fase geome→ − trica.10 Sia H( ξ ) un hamiltoniano che dipende da alcuni parametri ξ e sia → − |ψ( ξ ) lo stato fondamentale. Si pu` o definire la differenza di fase ∆ϕ12 fra due → − → − stati fondamentali |ψ( ξ 1 ) e |ψ( ξ 2 ) (supponendo che non siano ortogonali): → − → − → − → − ψ( ξ 1 )|ψ( ξ 2 ) = |ψ( ξ 1 )|ψ( ξ 2 )|e−i∆ϕ12 . Tuttavia, questo non pu` o avere significato fisico, perch´e la fase di uno stato `e arbitraria (la scelta della fase `e legata alla scelta della gauge). Ma ora 10

S. Pancharatnam, Proc. Indian Acad. Sci. A 44, 247 (1956)

12.6 Fase di Pancharatnam

199

consideriamo 3 punti ξ e calcoliamo la fase totale γ in un circuito chiuso ξ1 → ξ2 → ξ3 → ξ1 . Ora, γ = ∆ϕ12 + ∆ϕ23 + ∆ϕ31 . La fase di ciascuna ψ pu` o essere cambiata a volont` a con una trasformazione di gauge, ma questi cambiamenti arbitrari si elidono nel calcolo di γ. Cos`ı γ non dipende pi` u dalla gauge! Questo rimane vero in ogni circuito chiuso definito con pi` u di 2 punti ξ. Di conseguenza non c’`e ragione per supporre che γ sia privo di significato fisico. Possono esistere osservabili che non sono dati da operatori hermitiani. Per esempio, i tre stati fondamentali |ψa , | e ψb , |ψc  potrebbero essere stati fondamentali per un elettrone negli atomi a, b, c che formano una molecola; in tal caso l’hamiltoniano avr` a elementi di matrice fra tali stati. Sia τab il valore dell’elemento di matrice che congiunge gli atomi a e b, e che consente ad un elettrone di saltare avanti e indietro fra i due atomi. Questo `e il modello LCAO cui si `e gi` a accennato nella Sezione 10.2.11. Seguendo una prescrizione → − introdotta da Peierls, possiamo accendere un potenziale vettore A con 2πi

τab → τab e φ0

b → → − r ·A d− a

,

−7 Gausscm2 `e il quanto di flusso o flussone. Nel caso dove φ0 = hc e = 4 × 10 di una molecola biatomica come H2 questo non ha conseguenze, ma con tre o pi` u atomi il significato fisico `e uello di un fusso magnetico φ concatenato con la molecola. Cambiare φ di un flussone non ha significato fisico. Che diventa questo concetto nel caso di molti stati? Diventa la fase di Berry,11 che `e stata introdotta solo negli anni ’80, e che adesso `e di gran moda fra i teorici per gli sviluppi fecondi che sta avendo nei pi` u vari campi della fisica. Per esempio la teoria moderna della polarizzazione dei solidi `e basata sulla fase di Berry.12

11 12

M.V. Berry, Proc. R. Soc. Lond. A392, 45 (1984) Vedere ad esempio R.Resta, J. Phys.: Condens. Matter 12 R107 (2000).

13 Sistemi di particelle: entanglement

Lo studio dei sistemi con pi` u particelle ci conduce a nuovi concetti in contrasto drammatico con la Fisica classica. Troveremo che due particelle quantistiche possono essere in uno stato entangled, cio`e ingarbugliato, e che particelle dello stesso tipo devono necessariamente esserlo a causa della simmetria di permutazione delle funzioni d’onda

13.1 Sistemi di due particelle Come generalizzare la teoria contenuta nei 4 postulati se nel problema abbiamo 2 particelle? L’idea giusta `e la pi` u ovvia: partire dalla hamiltoniana classica, sostituire l’impulso con l’operatore impulso, e scrivere l’equazione di Schr¨ odinger; la funzione d’onda Ψ (1, 2) dipender` a da tutti i gradi di libert` a orbitali e di spin delle due particelle. Il caso pi` u semplice `e quello di particelle indipendenti, cio`e senza mutua interazione, quando l’hamiltoniana `e della forma H(1, 2) = h(1) + h(2). Qui la notazione `e ovvia, con h(1) che indica la dipendenza dalle coordinate della prima particella, etc. L’equazione di Schr¨odinger `e i¯ h

∂Ψ (1, 2) = H(1, 2)Ψ (1, 2); ∂t

nel caso stazionario, si separa al solito la dipendenza temporale e si scrive H(1, 2)Ψ (1, 2) = EΨ (1, 2).

(13.1)

Questa ammette soluzioni fattorizzate (ecco ancora un esempio di separazione delle variabili): infatti se

202

13 Sistemi di particelle: entanglement

h(1)ψa (1) = a ψa (1), h(2)ψb (2) = b ψb (2), dove {ψa } e {ψb } sono set completi di soluzioni a una particella, allora ψab (1, 2) = ψa (1)ψb (2) risolve la (13.1) con E = Eab = a + b . Quelle fattorizzate sono soluzioni particolari, ma forniscono una base per espandere la soluzione pi` u generale. Se si tratta di particelle diverse, come un elettrone ed un protone, le soluzioni fattorizzate e le loro combinazioni sono tutte fisicamente realizzabili. Come vedremo, Ψ (1, 2) `e espandibile sulla base fattorizzata anche per particelle dello stesso tipo, ma allora gli stati fisicamente realizzabili vanno selezionati in base a nuovi principi di simmetria. 13.1.1 Atomo di H e Massa Ridotta Quando abbiamo trattato dell’atomo di Idrogeno nel Capitolo 11.5, siamo partiti dalla sua ben nota formulazione classica in termini di un punto materiale di massa ridotta che si muove in un potenziale esterno. Classicamente, ci si arriva a partire dal problema a due corpi introducendo coordinate relative e del baricentro. Anche nel caso quantistico possiamo partire con il problema a due corpi, elettrone e protone, che ha l’hamiltoniano H =−

h ¯2 2 h ¯2 2 ∇e − ∇ + V (ρ); 2me 2mp p

− − − qui ∇e deriva rispetto a re ,∇p deriva rispetto a rp , → ρ =→ re − → rp . La funzione → − → − d’onda ψ = ψ( re , rp ) dipende dalle coordinate di ambedue le particelle, e dai loro spin (per` o gli spin non li indichiamo perch´e l’hamiltoniano non ne dipende). Introducendo il centro di massa con − − re + mp → rp me → → − R= me + m p cambiamo variabili con me −→ −→ ∇R + ∇ρ , me + m p mp −→ −→ −→ ∇R − ∇ρ . ∇p = me + m p

− → ∇e =

Ora,

me 2me −→ −→ ]2 ∇2R + ∇2ρ + ∇R · ∇ρ , me + m p me + m p mp 2mp −→ −→ ]2 ∇2R + ∇2ρ − ∇R · ∇ρ . ∇2p = [ me + m p me + m p ∇2e = [

Ne segue che   1 1 2 1 2 1 1 ∇e + ∇p = ∇2R + + ∇2ρ . me mp me + m p me mp

13.2 Particelle ingarbugliate e pararadosso EPR

203

Introduciamo allora la massa ridotta µ con 1 1 1 = + µ me mp e la massa totale M = me + mp . Per l’atomo idrogenoide µ ∼ me ., Esiste per` o anche il positronium, che al posto del protone ha un positrone, che ha la massa dell’elettrone ed `e una particella distinta1 . Nel positronium, µ = m2e . Cos`ı usando l’hamiltoniana trasformata H=−

h ¯2 2 h ¯2 2 ∇R − ∇ + V (ρ) 2M 2µ ρ

il problema `e separabile nel senso che consente di scrivere → − − − − rp ) = φ( R )ψ(→ ρ ); ψ(→ re , →

(13.2)

il primo fattore rappresenta il moto libero del baricentro. Possiamo visualizzare la situazione pensando di formare un pacchetto d’onde del moto del baricentro localizzato intorno a R = 0. Allora dalla posizione di una particella potremmo dedurre quella dell’altra, giacch´e me → → − − rp = − re . mp Possiamo concludere che se il centro di massa fosse fermo e localizzato, anche il nucleo avrebbe il suo moto orbitale, simile a quello dell’elettrone anche se con un raggio molto pi` u piccolo. Tuttavia il principio di indeterminazione non consente di avere il centro di massa fermo e localizzato, e questa descrizione, bench´e suggestiva, `e di utilit` a limitata.

13.2 Particelle ingarbugliate e pararadosso EPR Torniamo alla fattorizzazione (13.2) della funzione d’onda che descrive il generico stato stazionario dell’atomo. Occorre riflettere sul fatto che ad essere separabili non sono i moti di elettrone e nucleo, ma il moto del baricentro e quello relativo; ed a dispetto delle considerazioni svolte per visualizzare la situazione, non esistono n`e una funzione d’onda per l’elettrone n`e una per il protone. Queste esistono nel caso di uno stato fattorizzato come segue: − − − − re , → rp ) = φ(→ re )ψ(→ rp ); ψip (→

(13.3)

tuttavia ψip descrive particelle indipendenti, non particelle in interazione. E’ evidente dal punto di vista metematico che la (13.3) `e una forma molto speciale di dipendenza funzionale, e che in generale ci si pu`o aspettare 1

precisamente, `e l’antiparticella dell’elettrone; infatti il positronium `e instabile e si trasforma in fotoni. Per capire queste cose `e necessario studiare la teoria quantistica relativistica.

204

13 Sistemi di particelle: entanglement

− − ψ(→ re , → rp ) =




− − cij φi (→ re )ψj (→ rp ),

(13.4)

i,j

dove {φi } e {ψj } sono set completi per le due particelle e cij sono ampiezze complesse. Ma nella (13.4) funzioni d’onda individuali non esistono, e si dice che le particelle sono ingarbugliate (entangled).2 Questa situazione `e veramente esotica perch´e classicamente, per descrivere lo stato di un sistema composto, dobbiamo descrivere lo stato e la dislocazione delle sue parti. Invece quantisticamente lo stato del sistema possiamo conoscerlo ma le parti hanno stati interdipendenti. La cosa si spiega meglio e si arricchisce se scegliamo i set completi {φi } e {ψj } in modo da diagonalizzare qualche osservabile. Per fissare le idee, consideriamo lo spin con i suoi due autostati α e β; la base a 2 corpi contiene i 4 stati α(1)α(2), α(1)β(2), β(1)α(2), β(1)β(2). Ora ad esempio α(1)β(2) `e una stato con la particella 1 nello stato α e la particella 2 nello stato β. Lo stato di singoletto (spin nullo) 1 |S, M  = |0, 0 = √ (|α(1)β(2) − |β(1)α(2)) 2

(13.5)

`e ingarbugliato. Ciascuna particella non ha una sua funzione d’onda definita, perch´e le sue ampiezze dipendono dallo stato dell’altra particella. Questo ha delle conseguenze fisicamente verificabili e sorprendenti. Supponiamo che il sistema sia preparato nello stato |S, M  = |0, 0 e poi sia misurato lo spin della particella 1. I risultati sono casuali ed equiprobabili, ma se risulta che lo spin di 1 `e α allora `e certo che quello di 2 `e β e viceversa (in accordo col fatto che la somma deve fare 0.) La misura produce il collasso della funzione d’onda in modo istantaneo. Apparentemente lo stato della particella 2 `e stato alterato dalla misura fatta sulla particella 1. Ma la misura sullo spin 1 potrebbe avvenire anche a grande distanza dalla particella 2. Se la misura produce un cambimento che va ad influire sull’altra particella, questo dovrebbe subire un ritardo dipendente dalla distanza. Questo `e il paradosso E.P.R.pubblicato nel 1935 da Einstein, Podolsky e Rosen3 . Einstein parlava di azione fantasma a distanza; era convinto che la teoria quantistica desse una descrizione incompleta della realt`a fisica. Sono state proposte da vari autori teorie delle variabili nascoste secondo le quali la meccanica quantistica dice parte della verit` a, ma per una descrizione completa ci sono altri parametri che sono ignorati dalla meccanica quantistica ma sono necessari. Un fatto inatteso `e avvvenuto nel 1964: J.S. Bell scopr`ı un famoso teorema 4 che dice che qualsiasi teoria di variabili nascoste porta delle conseguenze osservabili in contrasto con la meccanica quantistica. Da allora la questione posta dal paradosso EPR `e diventata sperimentalmente risolubile. Molti esperimenti fatti da 2

3 4

In letteratura si usa questa traduzione letterale dall’Inglese, ma sarebbe forse meglio tradurre concatenate o interconnesse per non dare l’idea di qualcosa di complicato. A. Einstein, B. Podolsky and N. Rosen, Phys. Rev. 47, 777 (1935) J.S. Bell, Physics 1, 195 (1964)

13.3 Bosoni e Fermioni

205

allora hanno sempre confermato che le predizioni della meccanica quantistica sono esatte. Quindi bisogna accettare che il collasso della funzione d’onda avviene istantaneamente.

13.3 Bosoni e Fermioni Sono dette bosoni le particelle di spin intero e fermioni quelle di spin semiintero. Cos`ı ad esempio i pioni (spin 0) fotoni e particelle W ± , Z 0 (spin 1) e i gravitoni (spin 2, non ancora osservati) sono bosoni; gli elettroni i neutrini i quark ed i nucleoni sono fermioni di spin 1/2. I sistemi complessi come nuclei ed atomi possono avere spin intero o semiintero. La distinzione `e importante e concerne una legge fondamentale della Natura di cui ancora non abbiamo parlato. 13.3.1 Principio di Pauli Per particelle identiche, entra in gioco un ingrediente nuovo. L’operatore P (1, 2) che scambia due particelle (coordinate e spin, se c’`e) `e conservato; poich´e P (1, 2)2 = 1, P (1, 2) ha autovalori ±1. I soli casi osservati sono:  −Ψ (1, 2) fermioni, P (1, 2)Ψ (1, 2) = Ψ (2, 1) = Ψ (1, 2) bosoni. In teoria dei campi, questo `e il teorema spin-statistica di Pauli (1940) ma nella teoria non relativistica va preso come un altro principio, o postulato. I due tipi di particelle, che hanno propriet` a del tutto diverse, prendono nome da Enrico Fermi5 e da Satyendranath Bose.6 Si pu` o scrivere una possibile funzione d’onda per 2 elettroni non interagenti usando due spin-orbitali a 2 componenti ψ1 (x1 ), ψ2 (x2 ) come segue. La funzione antisimmetrica o determinante di Slater `e 1 Ψab (1, 2) = √ [ψa (1)ψb (2) − ψa (2)ψb (1)] 2   1  ψ (1) ψb (2)  = √  a ≡ |ψa ψb |. 2! ψa (1) ψb (2)  5

6

Enrico Fermi (Roma 1901-Chicago 1954) `e uno dei grandi del ventesimo secolo, sia per quanto riguarda la Fisica Teorica che per la Fisica Sperimentale; fra i contributi pi` u noti la statistica cui obbediscono le particelle di spin semiintero, la teoria delle interazioni deboli, la scoperta della risonanza ∆++ . Premio Nobel 1938 approfitt` o del viaggio a Stoccolma per lasciare l’Italia fascista e rifugiarsi in America, dove ottenne la cittadinanza e costru`ı il primo reattore nucleare. Satyendranath Bose, fisico indiano (Calcutta 1894,Calcutta 1974), sviluppo’ la statistica delle particelle di spin intero in collaborazione con A. Einstein.

206

13 Sistemi di particelle: entanglement

Ψ (1, 2) evidentemente si azzera se ψ1 = ψ2 ; quindi non si possono mettere due elettroni nello stesso spin-orbitale. Questa regola si chiama principio di Pauli e permette di costruire le configurazioni elettroniche fondamentali degli atomi e delle molecole occupando tutti gli stati a partire dal pi` u basso fino ad esaurimento degli elettroni. Si parla anche di principio di aufbau, parola tedesca per costruzione. Riassumendo, le funzioni d’onda accettabili per 2 particelle (le pi` u semplici, e quelle che possono fornire basi di funzioni a 2 corpi) sono: ⎧ particelle distinte, ⎨ ψa (1)ψb (2) ψa (1)ψb (2) − ψa (2)ψb (1) fermioni identici, ⎩ ψa (1)ψb (2) + ψa (2)ψb (1) bosoni identici. N Se abbiamo N particelle indipendenti identiche con H = i h(i), l’equazione di Schr¨ odinger HΨ = EΨ `e separabile,ed `e risolta in termini di  h(i)ψµ (i) = µ ψµ (i) ponendo Ψ (1, 2, . . . , N ) = i ψ(i) con E = (µ). µ Bench´e matematicamente corretta, questa soluzione `e fisicamente inaccettabile. In genere, potremo scrivere stati a N elettroni correttamente antisimmetrizzati come determinanti di N spin-orbitali diversi, normalizzati con √1N ! ; una notazione conveniente `e Φ(1, 2, . . . N ) = |ψ1 ψ2 . . . ψN |. Per i bosoni, invece, bisogna usare permanenti, cio`e prodotti simmetrizzati. Un popolare approccio semplificato dell’atomo con Z elettroni si chiama Metodo del Campo centrale. Gli elettroni sono trattati come particelle indipendenti che occupano spin-orbitali ψnlm etichettati come quelli idrogenoidi, ma determinati da un opportuno potenziale centrale V (r) in luogo di quello coulombiano.7 Cambiando V (r) cambiano le funzioni radiali e le energie ma le simmetrie rimangono essenzialmente le stesse. Le spettroscopie mostrano che gli atomi con pi` u elettroni hanno una struttura a gusci, con gli elettroni disposti in livelli grosso modo idrogenoidi. La disposizione corretta per lo stato fondamentale si ottiene col metodo dell’aufbau: gli elettroni riempiono tutti gli spin-orbitali disponibili in ordine crescente di energia: cos`ı He ha configurazione 1s2 , con 2 elettroni di spin opposto nel 2s, Li ha 1s2 2s, Be ha 1s2 2s2 , B 1s2 2s2 2p, e cos`ı via. Questa regola dell’aufbau o principio di Pauli ha il suo fondamento microscopico nella connessione spin-statistica. Stati di singoletto e tripletto dell’He Se a denota l’orbitale 1s dell’atomo di He, il principio di Pauli consente di metterci 2 elettroni, perch´e gli stati spin-orbitali sono ψ1 = a(r)α, ψ2 = a(r)β; 7

Molti aspetti rilevanti discendono dalla simmetria del modello, senza bisogno di specificare V (r).

13.3 Bosoni e Fermioni

207

possiamo denotarli in modo pi` u descrittivo con ψ1 = a(r) ↑, ψ2 = a(r) ↓. Il Metodo del Campo centrale descrive lo stato fondamentale dell’atomo di He con: Φ(1, 2) = |a(r) ↑ a(r) ↓ | vale a dire Φ(1, 2) =

√1 2

[ψ1 (1)ψ2 (2) − ψ1 (2)ψ2 (1)]

2 (1)] √ = a(r1 )a(r2 ) [α(1)β(2)−α(2)β = a(r1 )a(r2 )χS , 2

dove

α(1)β(2) − β(1)α(2) √ 2 `e la funzione di spin del singoletto, tale che χS =

S 2 χS ≡ (S(1) + S(2))2 χS = 0. Poich´e l’hamiltoniano (trascurando deboli effetti relativistici) non contiene lo spin, lo spin totale `e conservato. Tutti gli autostati possono essere etichettati con i numeri quantici S, mS di S 2 , Sz . Inoltre bisogna rispettare il principio dell’antisimmetria; χS `e dispari sotto P (1, 2), e si combina con funzioni orbitali pari nello scambio di x1 e x2 ; in tal modo la funzione d’onda `e dispari per scambio dei due fermioni. Con 2 spin 1/2 ci sono poi 3 combinazioni di tripletto (S = 1): ⎧ T ⎪ ⎪ χMS =1 = α(1)α(2), ⎪ ⎨ √ χTMS = χTMS=0 = α(1)β(2)+β(1)α(2) , 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ T χMS =−1 = β(1)β(2). Queste sono tutti pari per la permutazione e vogliono funzioni orbitali dispari. Con un solo orbitale la combinazione antisimmetrica `e aa − aa = 0 e non si ha tripletto. Se a, b denotano gli orbitali 1s,2s dell’atomo di He, possiamo usarli per modellizzare gli stati eccitati della configurazione 1s2s. Possiamo fare 4 determinanti: D↑↑ = |a ↑ b ↑ |, D↑↓ = |a ↑ b ↓ |, D↓↑ = |a ↓ b ↑ |, D↓↓ = |a ↓ b ↓ |. Ad esempio, D↑↓ = a(1)b(2)α(1)β(2) − a(2)b(1)α(2)β(1) `e correttamente antisimmetrizzata, ma non `e n`e singoletto n`e tripletto. Gli autostati dell’hamiltoniano devono poter essere scelti con spin definito. Infatti, svolgendo e combinando questi determinanti, si ottengono gli stati di spin definito. Il singoletto `e ΨS=0 =

a(1)b(2) + b(1)a(2) S D↑↓ + D↓↑ √ √ = χ . 2 2

208

13 Sistemi di particelle: entanglement

Vi sono poi le 3 combinazioni di tripletto ΨS=1 =

a(1)b(2) − b(1)a(2) T √ χMS . 2

Il caso MS = 1 si ottiene da D↑↑ , MS = −1 si ottiene da D↓↓ ; questi sono determinanti singoli di Slater; per MS = 0 ne occorrono due, nella combinazione D↑↓ +D↓↑ √ . 2 Il termine di scambio 2

2

e ; Calcoliamo i valori di aspettazione dell’interazione Coulombiana re12 ≡ → − r 1 −→ r 2| |− le medie sugli spin sono presto fatte poich´e il prodotto scalare delle funzioni di spin d` a 1. Nei 3 casi del tripletto 2

Ψ↑↑ | re12 |Ψ↑↑  = 12 a(1)b(2) − b(1)a(2)| r112 |a(1)b(2) − b(1)a(2) = 12 [a(1)b(2)| r112 |a(1)b(2) − b(1)a(2)| r112 |a(1)b(2) −a(1)b(2)| r112 |b(1)a(2) + b(1)a(2)| r112 |b(1)a(2)]; ma gli indici 1 e 2 sono muti; cos`ı il primo termine `e uguale all’ultimo e gli altri due sono uguali fra loro. Semplificando, Ψ↑↑ |

1 e2 |Ψ↑↑  = (a(1)b(2) − b(1)a(2)| |a(1)b(2)). r12 r12

Il primo contributo dal chiaro significato elettrostatico  1 |a(r1 )|2 |b(r2 )|2 C = a(1)b(2)| |a(1)b(2) = d3 r1 d3 r2 r12 r12

(13.6)

(13.7)

si chiama termine coulombiano, ed il secondo contributo puramente quantistico 1 −Ex = −(b(1)a(2)| |a(1)b(2)) r12 termine di scambio. Ex `e positivo, e viene col - davanti per il tripletto, col + per il singoletto. Infatti, ripetendo il calcolo con il singoletto Ψ↑↓ ritroveremmo il termine coulombiano e quello di scambio, ma quest’ultimo col +. Lo stato u bassa di 2Ex rispetto a metastabile di tripletto 1s2s3 S dell’He ha energia pi` 1s2s1 S. Il tripletto ha una funzione di spin simmetrica nello scambio fra le particelle, e cos`ı la funzione orbitale `e antisimmetrica ed attribuisce ampiezza piccola alle piccole distanze fra gli elettroni. Cos`ı spin alto porta repulsione bassa. In nuce, questa `e la ragione per cui esistono le calamite. Il termine di scambio gioca un ruolo essenziale nella teoria del legame chimico e della coesione dei solidi.

13.4 Statistiche Quantistiche

209

13.4 Statistiche Quantistiche Se abbiamo due particelle e 2 stati A e B equiprobabili a disposizione, qual’`e la probabilit` a Pinsieme di trovarle nel medesimo stato? La risposta dipende dalla statistica. Per la Fisica classica esistono solo particelle distinguibili, perch´e in linea di principio uno le pu` o marcare in qualche modo e pu`o seguirne le traiettorie con continuit` a. Le particelle identiche sono solo un caso particolare di quelle diverse; f` a poca differenza se due cose sono quasi uguali, o proprio uguali. Allora ci sono 4 casi: ⎧ ψA (1)ψA (2) ⎪ ⎪ ⎨ 1 ψA (1)ψB (2) =⇒ Pinsieme = . ψ (1)ψ (2) ⎪ 2 B A ⎪ ⎩ ψB (1)ψB (2) Per la Fisica quantistica particelle identiche sono indistinguibili in linea di principio, e questo f` a una grande differenza. Per bosoni ci sono 3 casi: ⎧ ψA (1)ψA (2) ⎨ 2 ψA (1)ψB (2) + ψB (1)ψA (2) =⇒ Pinsieme = . ⎩ 3 ψB (1)ψB (2) Per fermioni c’`e un solo caso: {ψA (1)ψB (2) − ψB (1)ψA (2) =⇒ Pinsieme = 0. Supponiamo ora di avere un sistema isolato (gas) di N >> 1 particelle indipendenti (gas perfetto) di energia totale E in equilibrio alla temperatura T . Usiamo insomma l’insieme microcanonico. Il sistema si trova in una sovrapposizione di stati quantici (stati microscopici), tutti equiprobabili. Il principio `e quello formulato da Gibbs (si veda la Sezione 5.3): L’ipotesi fondamentale della meccanica statistica `e: se un sistema in equilibrio termico ha energia E, tutti gli stati microscopici di energia E sono ugualmente probabili. Possiamo misurare le energie  delle singole particelle (o molecole) del gas e trovare che sono distribuite secondo una legge n(), che per` o `e diversa nel caso classico e per fermioni e bosoni. Quella che si verifica in ciascun caso `e la distribuzione n() pi` u probabile. Preliminarmente ci dobbiamo chiedere quanti stati microscopici corrispondono ad un dato stato macroscopico. Per definire uno stato macroscopico, discretizziamo l’energia a un corpo dividendo l’asse  in intervallini; discretizziamo poi lo spazio µ, cio`e lo spazio delle fasi della singola particella, le cui coordinate sono x, y, z, px , py , pz . La cella i contiene gi stati quantici( o microscopici) diversi, ma scambiando le particelle all’interno di una cella non

210

13 Sistemi di particelle: entanglement

cambia lo stato macroscopico. Le statistiche sono diverse perch´e sono diverse le distribuzioni ammissibili dentro ogni cella. La risposta differisce nei tre casi di Boltzmann, Bose e Fermi. Le celle devono essere cos`ı piccole che l’energia o considerare praticamente costante, ma sono pur sempre cos`ı grandi i si pu` da contenere molte particelle. Si tratta di trovare quanti sono gli stati microscopici distinti del gas che realizzano una data distribuzione n1 , n2 , n3 . . .. All’equilibrio regna la distribuzione pi` u probabile, ni cio`e quella che si pu` o realizzare in pi` u modi, (cio`e corrisponde a pi` u stati quantici) compatibilmente con le restrizioni

i ni = E. ni = N, 13.4.1 Statistica di Boltzmann con degenerazione La Statistica di Boltzmann `e classica e qui entra ai fini didattici come caso limite. Dobbiamo determinare in quanti modi si possono ottenere i vari stati del gas considerando la possibilit` a di avere pi` u stati equivalenti in ogni cella. Questa possibilit`a manca nella sezione (5.6.2), ma peraltro il calcolo `e del tutto analogo.Il numero dei modi in cui si possono mettere n1 particelle nella N n1 prima cella `e g1 , dove il binomiale `e il numero di scelte delle particelle, n1 ed il secondo fattore assegna g1 possibili stati distinti a ciascuna. Il numero dei modi in cui si pu` o realizzare una distribuzione n1 , n2 , n3 . . . `e    N N − n1 N − n1 − n2 W = g3n3 . . . ; g1n1 g2n2 n1 n3 n2 e quindi W = N!

( g nr r

r

nr !

.

Massimizziamo ln W con la formula di Stirling
  ln W ≈ N ln N − %&#$ N + ni ln gi − ni ln ni + ni % &# $   = N ln N + ni ln gi − ni ln ni . Applicando il metodo di Lagrange della Sezione (16.2.1) imponiamo l’annullarsi di 


∂ 
ni ln ni − γ ni − β  i ni , ni ln gi − ∂nr dove β, γ sono moltiplicatori; viene ln gr − ln nr − 1 − γ − βr = 0. Poniamo α = 1 + γ; viene

13.5 Statistica di Bose-Einstein

211

nr = gr e−α e−βr . 1 Abbiamo riottenuto la distribuzione classica di Boltzmann con  β = KB T ; qui, KB `e la costante di Boltzmann; il parametro α `e fissato da ni = N, cio`e

N . −βk g k ke

e−α = 

(13.8)

Di solito questo si scrive in termini del potenziale chimico µ definito da −α = µβ, nr = gr e−β(r −µ) .

13.5 Statistica di Bose-Einstein Dividiamo lo spazio delle fasi in celle macroscopicamente piccole ma tali da poter contenere un elevato numero di stati quantici; la cella i avra g i  1 stati. Le particelle sono indistinguibili, e non ha significato lo scambio di due particelle fra stati diversi (della stessa o di altre celle). Cerchiamo il numero di modi W di realizzare una distribuzione con n1 , n2 , n3 , · · · particelle nelle celle di energia 1 , 2 , 3 · · · . Poich´e le celle sono indipendenti, ( W = Wr , r

dove Wr `e il numero di stati microscopici che corrispondono alle nr particelle da disporre nella cella r dove ci sono gr stati. una volta ottenuto W troveremo nr imponendo il numero di particelle N e l’energia totale E con i moltiplicatori di Lagrange α e β scrivendo ∂ [ln W − αN − βE] = 0. ∂nr Ora, Wr `e il numero di modi di mettere nr palline in gr cassetti. Per esempio, 2 palline in 3 cassetti possono essere messe nei seguenti 6 modi: || · ·

|·|·

| · ·|

·|| ·

·| · |

· ·||

Il primo corrisponde a 2 palline nel terzo cassetto, il secondo ad una nel secondo ed una nel terzo, etc. Le posizioni dei separatori | corrispondono alle coppie (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4). In genere, una configurazione si ottiene allineando le palline con i gr − 1 separatori fra i cassetti, quindi   nr + g r nr + g r − 1 , Wr = ≈ gr − 1 gr poich´e gi  1. Allora,

212

13 Sistemi di particelle: entanglement

∂ ∂
ni + g i [(nr + gr ) ln(nr + gr ) − nr ln nr − gr ln gr ] = ln ln W = ∂ni ∂ni ni e la condizione ln

ni + g i − α − βi = 0 ni

ci d` a la distribuzione di Bose-Einstein ni =

gi α+β i e

−1

.

In analogia col caso di Boltzmann,  a cui tende per βi  1, β = Il parametro α `e fissato da ni = N .

1 KB T

.

13.5.1 Corpo nero e fotoni  Nel caso dei fotoni, la condizione ni = N manca perch´e il numero dei fotoni non `e fissato, e il moltiplicatore di Lagrange corrispondente α `e nullo (manca cio`e la condizione). Pertanto, il numero medio di fotoni in ogni stato (modo ¯ ω `e normale) di energia ω = h nω =

1 , eβω − 1

e quindi ciascun modo normale contiene l’energia Eω =

ω β e ω−

1

.

(13.9)

C’`e un modo normale per ogni polarizzazione in ogni punto k, e questi punti corrispondono ai nodi di un reticolo. Passando al continuo, il numero di nodi di un reticolo pu` o essere calcolato dal volume dividendo per il volumetto associato ad ogni nodo, cio`e 
L3 → d3 k. (13.10) (2π)3 k k

Essendo V = L3 il volume del gas di fotoni, in d3 k il numero di punti V 3 k `e (2π) e ci sono 2 stati di polarizzazione il numero di modi `e 3 d k; poich´ V 2 2 8π e 3 4πk dk. Ma ω = ck, quindi il numero di modi in dω ` l’energia a frequenza ω `e

¯ω dE ω = h

1 eβω

V ω 2 dω π 2 c3 .

V ω 2 dω ≡ V u(ω)dω. − 1 π 2 c3

Ne consegue la celebre legge di Planck per la densit`a di energia: u(ω) = h ¯ω

1 eβω

ω2 . − 1 π 2 c3

Allora,

13.5 Statistica di Bose-Einstein

213

Va detto che questo fu proprio il punto di partenza della teoria dei quanti, nell’anno 1900. Il massimo della distribuzione di Planck ωmax `e proporzionale alla temperatura assoluta (legge di spostamento di Wien). La densit` a di energia integrata su tutte le frequenze segue la legge di Stefan-Boltzmann:   ∞ ω 3 dω h ¯ . U = udω = 2 3 π c 0 exp[¯ h KωB T ] − 1 Posto x = β¯ hω, U= Ora,

h ¯ 2 π c3 



∞ 0

KB T h ¯

4 

∞

0

x3 dx . ex − 1

π4 x3 dx = ex − 1 15

e questa `e la legge di Stefan-Boltzmann U ∼ T 4 ma con la costante determinata. Infatti la densit` a di energia determina quanta energia per unit` a di tempo incide sulla superficie di un corpo; in equilibrio, il corpo non si deve raffreddare n`e riscaldare, e quindi ne deve emettere altrettanta. 13.5.2 Funzione di partizione canonica In meccanica statistica classica abbiamo definito la funzione di partizione (5.35) con  Z = e−βHS (p,q) dΓ, in termini di un integrale sullo spazio delle fasi del sistema. L’energia interna U `e data dalla (5.36), H =−

∂ ln(Z) 1 ∂Z =− . Z ∂β ∂β

Nella Teoria quantistica, la funzione di partizione  di un sistema di hamilton ∞ niana H `e definita da Z = T r[e−βH ] ovvero Z = n=0 e− KT dove n sono gli autovalori dell’energia. Le energie possono essere misurate a partire dallo stato fondamentale (ma qualsiasi orgine delle energie va bene). Z interviene nel calcolo delle medie termiche degli operatori a temperatura T ; il principio con cui si calcolano queste medie `e che la probabilit` a che il sistema abbia n energia n `e data da Z1 e− KT . Per esempio, l’energia media `e ∞ n − KT ∂ T r[He−βH ] n=0 n e = − LogZ. (13.11) E = ∞ − n = KT Z ∂β n=0 e Calcoliamola per un oscillatore armonico, misurando le energie a partire da quella di punto zero. Allora il calcolo `e immediato perch´e Z `e data da una serie

214

13 Sistemi di particelle: entanglement

 −1 ∞ −nω¯ h geometrica: Z = n=0 e− KT = 1 − e−β¯hω . E’ immediato verificare che n la (13.9), e quindi la legge di Planck, corrispondono alla (13.11. Cos`ı Z1 e− KT `e la probabilit` a dell’energia di avere n fotoni in equilibrio termico nel modo. La distribuzione di Bose-Einstein dei fotoni, che assegna il mumero medio di eccitazione del modo normale, realizza la distribuzione canonica dei livelli energetici. 13.5.3 Applicazioni a He liquido e Calori specifici dei solidi He liquido Nell’He liquido (isotopo 4) sotto una temperatura critica TC = 2.190 K, una frazione importante degli atomi va nello stato fondamentale (condensazione di Bose) e il nostro trattamento, che ipotizza un andamento continuo di ni in funzione di i , andrebbe modificato. Allo zero assoluto tutte le particelle si trovano nello stato di energia pi` u bassa. Calori specifici dei solidi In Fisica classica, per il teorema di equipartizione spetta ad ogni oscillatore tridimensionale una energia Eosc = 3KB T. Il contributo di ciascun oscillatore osc risulta 3KB . Questo `e grosso modo vero a al calore specifico CV = ∂E ∂T temperatura ambiente ma i calori specifici diminuiscono al diminuire della temperatura. Nel modello di Einstein dei calori specifici dei solidi, le vibrazioni atomiche (fononi) danno all’energia il contributo Ef on =

n¯ hω , eβ¯hω − 1

dove n `e il numero di oscillatori e ω la loro pulsazione; infatti i fononi sono bosoni. Il calore specifico viene: CV ≡

n(¯ hωβ)2 KB eβ¯hω ∂Ef on = . ∂t (eβ¯hω − 1)2

Questo tende a costante per β → 0 (alta termperatura) in accordo con una legge classica di Dulong e Petit. h ¯ω Per` o al di sotto della temperatura di Einstein TE = K il calore specifico B crolla e CV → 0 per T → 0 in accordo qualitativo con l’esperimento.

13.6 Statistica di Fermi-Dirac Dividiamo lo spazio delle fasi in celle macroscopicamente piccole ma tali da poter contenere un elevato numero di stati quantici; la cella i avra

13.6 Statistica di Fermi-Dirac

215

gi  1 stati. Anche per fermioni indistinguibili non ha significato lo scambio di due particelle fra stati diversi; quindi uno stato microscopico `e assegnato specificando la distribuzione dei numeri di paticelle n1 , n2 , n3 , · · · nelle celle di energia 1 , 2 , 3 · · · . Cerchiamo il numero di modi W di realizzare una imporremo che W sia massimo con i vincoli microcanonici   distribuzione;  n n = N, i i i = E. Le diverse celle sono statisticamente indipendenti, i i  e W = i Wi . Nella generica cella dobbiamo disporre ni particelle in gi stati disponibili. I numeri di occupazione in questo caso possono essere solo 0 e 1. Quindi,  gi Wi = ni modi. Cos`ı W =

 i

Wi =



gi ! i ni !(gi −ni )!

e la formula di Stirling ln n! ≈ n ln n ci d` a
ln W ≈ {gi ln gi − ni ln ni − (gi − ni ) ln(gi − ni )}. i

Applicando di nuovo il metodo dei moltiplicatori di Lagrange imponiamo l’annullarsi di



∂
{gi ln gi − ni ln ni − (gi − ni ) ln(gi − ni ) − α ni − β  i ni ; ∂nr i trascurando 1 rispetto a ni − ln nr − (−) ln(gr − nr ) − α − βr = 0.  r Quindi, ln grn−n = α + βr che comporta la distribuzione di Fermi-Dirac r 

nr =

gr gr ≡ β( −µ) , eα+βr + 1 e r +1

dove µ `e il potenziale chimico. Per grandi r − µ si ritrova la distribuzione di Boltzmann con β = KB1 T . Allo zero assoluto, la funzione di Fermi f (x) = eβx1+1 `e una funzione a gradino, e si constata che µ = EF , perch´e il gradino `e al livello di Fermi. Il gradino si smussa riscaldando, ma per riscaldare in modo importante un metallo tipico , con EF = qualche eV, ci vogliono temperature di molte migliaia di gradi (temperatura ambiente corrisponde a soli 25 meV). La distribuzione di Fermi-Dirac descrive l’occupazione degli stati elettronici nei solidi. 13.6.1 Gas di Fermi Il gas di Fermi `e un gas perfetto di fermioni, di densit`a uniforme ρ assegnata. (Si parla di liquido di Fermi se vi sono interazioni).

216

13 Sistemi di particelle: entanglement

Gas in una dimensione Per esempio, in 1 dimensione (d = 1), supponiamo che ci siano N  1 elettroni indipendenti in una scatola di potenziale di lunghezza L con condizioni al o pensare ad contorno8 periodiche (il punto x = L `e identificato con x = 0; si pu` una circonferenza piuttosto che ad un segmento). La densit`a `e quindi ρ = N L. Le funzioni d’onda spaziali di una particella nella scatola sono 1 ψk (x) = √ eikx L ed imponendo la condizione al contorno eikL = 1 si trova che sono ammessi i vettori d’onda 2πn ; (13.12) kn = L fra due k permessi c’`e l’intervallo ∆k =

2π . L

Gli N elettroni riempiono questi livelli discreti, nello stato fondamentale, secondo l’aufbau, cio`e fino ad un livello massimo occupato che si chiama livello ¯ kF ed all’energia di Fermi; esso corrisponde a k = kF , all’impulso pF = h p2F k = 2m . Per definizione, fra k = 0 e k = kF ci devono essere N spin-orbitali, ovvero N/2 orbitali:
N =2 1. k
Per calcolare kF , poich´e i livelli sono molto fitti, conviene passare ad una descrizione continua e  kF
kF dk = . (13.13) → N/2 = ∆k ∆k 0 k≤kF

Quindi in una dimensione kF `e dato da: kF = ∆k

πN N = = πρ. 2 L

(13.14)

Gas in tre dimensioni In 3 dimensioni questa diventa la teoria di Sommerfeld dei metalli: consideriamo un gas di densit` a ρ = LN3 ≡ N V . Invece della (13.13), in 3d 
L3 = d3 k. (13.15) (2π)3 k
8

Se L `e abbastanza grande, le propriet` a del liquido che vogliamo studiare sono indipendenti dalle condizioni al contorno usate. Bench´e la dimostrazione non sia elementare, il risultato `e intuitivo.

13.6 Statistica di Fermi-Dirac

217

Mettendo due elettroni in ogni orbitale in ordine crescente di energia fino ad esaurirli tutti ( metodo dell’aufbau), deve risultare, passando a coordinate sferiche,  
2V 4π kF 2 V 3 N =2 d k= k dk, =2 (2π)3 k
da cui N= ovvero

V kF3 , 3π 2 1

(13.16) 1

kF = (3π 2 ρ) 3 ∼ 3.093 ρ 3 . Gas di Fermi Il gas di Fermi di densit`a ρ ha una lunghezza caratteristica (raggio medio per particella) r0 definita da 4π 3 1 = r . (13.17) ρ 3 0 Quindi r0 ∼ k1F . Di solito lo si misura in raggi di Bohr introducendo il raggio di Wigner-Seitz adimensionale rs = arB0 . L’elettrone primo vicino ad un dato elettrone si trova a distanza ∼ r0 . Il Cs ha rs ∼ 6 e Al ha rs ∼ 2, con gli altri elementi metallici per lo pi` u in questo intervallo. L’energia di Fermi `e EF =

2 h ¯2 (3π 2 ρ) 3 . 2m

Per ρ = 0.1 a.u. viene9 EF ∼ 1.03a.u. ∼ 28eV ; le energie di Fermi dei metalli sono tipicamente dell’ordine da 5 a 10 eV. L’energia totale viene  KF
k2 V V =h ¯2 2 kF 5 , h ¯2 k 4 dk = h ¯2 (13.18) Etot = 2 2m 2π m 0 10π 2 m k
e la densit` a di energia cinetica Etot 5 ∼ ρ 3 ∼ r0−5 V

(13.19)

cresce velocemente con la densit`a. L’energia cinetica media per elettrone risulta, usando la (13.16), ¯ =

Etot 3 = EF . N 5

Per ρ = 0.1a.u. la densit` a di energia viene di circa 0.06 a.u. 9

in Unit` a Atomiche (a.u.) si pone h ¯ = 1, le lunghezze sono misurate in raggi di Bohr ( 0.529 ρA ) e le energie in Hartrees (27.2 eV).

218

13 Sistemi di particelle: entanglement

f



Fig. 13.1. Curva spessa: funzione di Fermi per KB T = 0.1µ; curva sottile: funzione di Fermi per KB T = 0.3µ

La teoria di Sommerfeld spiega ad esempio perch´e il contributo degli elettroni al calore specifico dei metalli cresce linearmente con la temperatura T. Ma la densit` a di energia del gas di elettroni `e positiva (gli elettroni hanno solo energia cinetica) e gli elettroni non sfuggono al metallo solo perch´e sono contenuti in una scatola. La vera natura della scatola `e ovviamente elettrostatica, ma la coesione di un metallo `e pi` u difficile da capire di quella di un cristallo ionico, che si spiega anche classicamente. La teoria di Sommerfeld non basta. Per descrivere i metalli `e stato molto studiato un modello chiamato Jellium in cui gli elettroni si muovono su un fondo uniforme di carica positiva. In tal caso, la carica negativa degli elettroni `e compensata esattamente dal fondo positivo e non vi `e contributo elettrostatico diretto all’energia dello stato fondamentale. Vi `e per` o un contributo di scambio che in un intervallo di densit` a pu` o contribuire a spiegare la coesione dei metalli. Risulta infatti che ¯ ∼

2.21 0.916 − rs2 rs

(13.20)

esprimendo l’energia in Rydberg (1 Rydberg = 13.59 eV). Il primo termine `e energia cinetica ed il secondo `e energia di scambio. u perfetto quanto pi` u alta `e la Il gas `e perfetto per rs → 0, cio`e `e tanto pi` densit` a (nel caso classico `e vero il contrario). Qualunque cosa, se compressa abbastanza, diventa metallo. Pressione di degenerazione L’andamento della distribuzione di Fermi `e a gradino allo zero assoluto; al crescere di KB T il gradino si trasforma in una discesa graduale. Il potenziale chimico µ corrisponde a occupazione 21 . Quando KB T > µ molti elettroni si trovano nella coda esponenziale della distribuzione, ed il gas di Fermi diventa simile a quello classico. Nei metalli in condizioni normali pochissimi elettroni soddisfano questa condizione ed il gas si chiama degenere. La sua equazione

13.7 Cenno al calcolatore quantistico

219

di stato `e molto diversa da quella classica. Per N fissato, l’energia (13.18) dipende dal volume: Etot = h ¯2

5 V 2 3 (3π V N ) 10π 2 m

−5 3

2

= η V −3 ,

(13.21)

dove

5 h ¯2 2 3 (3π N ) . (13.22) 10π 2 m Anche allo zero assoluto, in gas di Fermi ha una pressione, di natura puramente quantica. Possiamo misurarla con un esperimento pensato. Facciamo a un lavoro espandere adiabaticamente10 di dV il volume del gas; questo compir` δL = P dV e la sua energia cambier` a di

η=

dEtot = −P dV.

(13.23)

Dalla (13.21), dEtot 2E =− . dV 3V Cos`ı, troviamo che la pressione di degenerazione `e 5

2 2 (3π 2 ρ) 3 2 Etot = h ¯ . P = 3 V 3 10π 2 m

(13.24)

L’equazione di stato di un gas perfetto classico `e P = N KB T ρ; la pressione si annulla allo zero assoluto e cresce linearmente con la densit`a. Il comportamento predetto dalla (13.24) per il gas di elettroni degenere `e molto diverso, con una crescita molto pi` u veloce della pressione, anche alle pi` u basse temperature. Questa legge determina l’alta resistenza allo schiacciamento dei metalli, ed anche la stabilit` a delle stelle degeneri (nane bianche e stelle di neutroni). Le forze che derivano dalla pressione di degenerazione sono fra le pi` u intense note.

13.7 Cenno al calcolatore quantistico Come sappiamo dalle ( 12.5,12.6,) uno stato di spin dipende da due angoli che possono variare con continuit` a e che fissano la sovrapposizione di spin alto e basso. Uno spin classico `e un oggetto che si trova in uno di due stati, l’uno o l’altro, ma mai in una sovrapposizione. Lo stato di uno spin classico si pu` o specificare dando un bit di informazione, 0 oppure 1. Un insieme di 4 spin classici pu`o trovarsi in uno di 24 stati, cio`e (0, 0, 0, 0) (0, 0, 0, 1) (0, 0, 1, 0) (0, 0, 1, 1) (0, 1, 0, 0) (0, 1, 0, 1) (0, 1, 1, 0) (0, 1, 1, 1) (1, 0, 0, 0) (1, 0, 0, 1) (1, 0, 1, 0) (1, 0, 1, 1) (1, 1, 0, 0) (1, 1, 0, 1) (1, 1, 1, 0) (1, 1, 1, 1) 10

Il primo principio dice dEtot = δQ + δL, e qui δQ = 0.

220

13 Sistemi di particelle: entanglement

assegnare una configurazione equivale a dare un numero intero fra 1 e 16 che dice quale fra le configurazioni in elenco si realizza. Invece per assegnare lo stato di 4 spin quantistici occorre specificare 16 numeri che variano con continuit`a; questo significa che c’`e molta pi` u informazione. Cambiare la configurazione dei 4 spin classici equivale a cambiare un intero da 1 a 16 in un altro; cambiare la configurazione dei 4 spin quantistici equivale a fare una trasformazione unitaria in uno spazio a 16 dimensioni. In altri termini, la simulazione classica di un sistema di n spin (detti anche q-bits) comporta un numero esponenzialmente crescente di bits classici. Nel 1982 R. P. Feynman sugger`ı la possibilit` a di costruire un calcolatore basato sul principio di sovrapposizione e quindi sugli effetti quantistici. Ecco un primo esempio di calcolo che `e pi` u vantaggioso fre con un computer quantistico. Consideriamo una funzione fα (x) di cui il calcolo `e oneroso e si sa che sia in x=0 che in x=1 pu`o valere 0 o 1 a seconda di α. Si vuol sapere solo se per un dato α la f assume lo stesso valore o valori diversi. Con un calcolatore classico non c’`e altro da fare che calcolare ambedue i valori e confrontarli. David Deutsch ha dimostrato teoricamente che un computer quantistico determinerebbe il risulato con un solo calcolo di f. La specialit` a dei calcolatori quantistici `e quella di poter fornire informazioni globali sulle funzioni da calcolare. Potenzialmente questo potrebbe portare un progresso enorme; tuttavia a ci`o si oppongono grandi difficolt` a di ordine teorico e pratico. Una difficolt` a di principio `e dovuta al fatto che il sistema quantistico `e non `e mai perfettamente isolato e prima o poi `e soggetto alla perdita di coerenza, o decoherence, come si chiama in letteratura. L’idea base `e la seguente. Consideriamo uno spin in uno stato |ψ = α| ↑ + β| ↓ con |α| = |β| = 12 . Il nostro computer quantistico potrebbe usare l’informazione contenuta nella fase relativa di α e β e connessa alla sua evoluzione in un campo magnetico applicato. Tuttavia, se lo spin non `e ben isolato, c’`e una parte incognita dell’hamiltoniana che descrive l’interazione con un sistema esterno X. La decoherence consiste nel fatto che se X interagisce diversamente con | ↑ e | ↓, e si comporta come un rivelatore dello stato di spin, in capo ad un certo tempo caratteristico la relazione di fase `e persa. Questo `e analogo a quello che accade nell’esperimento della doppia fenditura se si cerca di rivelare da che parte passa la particella: ipso facto si distrugge l’interferenza e si produce un comportamento classico. Si pu`o dire che il comportamento classico emerge naturalmente da quello quantistico quando il sistema in studio `e cos`ı complesso che non possiamo conoscere tutta l’hamiltoniana, e perdiamo gli effetti di interferenza. Il futuro dir` a se la proposta del computer quantistico `e realizzabile e che usi potr` a avere.

14 Teoria delle perturbazioni indipendenti dal tempo

I calcolatori servono per calcolare, le approssimazioni per capire.

14.1 Introduzione Spesso siamo interessati ad un problema della forma (H0 + Vˆ )ψ = Eψ, mentre sappiamo risolvere il problema imperturbato con Vˆ = 0 H0 ψn(0) = En(0) ψn(0) . Supponiamo qui per semplicit` a che i livelli imperturbati siano una successione (0) (0) (0) discreta {E1 , E2 , E3 , · · ·} e che Vˆ sia piccolo, nel senso che gli autovalori corretti {E1 , E2 , E3 , · · ·} si discostano poco da quelli imperturbati. In tali circostanze possiamo tentare di trovare una utile soluzione approssimata. L’idea `e quella di introdurre un parametro adimensionale λ, scrivere (H0 + λVˆ )ψ = Eψ

(14.1)

e scrivere autovalori ed autovettori come una espansione in potenze di λ. Il parametro λ ci serve nel corso dei calcoli per stabilire immediatamente per ogni contributo a quale potenza (o ordine perturbativo) appartiene. Alla fine, metteremo λ = 1. Vedremo che sotto certe ipotesi possiamo trattare Vˆ come un operatore piccolo rispetto ad H0 , nel senso uno o due termini della serie forniscono gi` a una approssimazione soddisfacente. Ci proponiamo di calcolare l’autovalore e l’autostato del livello n. Prima di tutto `e utile riscrivere il problema sulla base imperturbata {ψ (0) }:
(0) ψ= cm ψm ; m

222

14 Teoria delle perturbazioni indipendenti dal tempo (0)

se λ → 0, cm → δmn , mentre E → En , e questo `e l’ordine 0. La (14.1) d`a 4 5

0 (0) (0) cm Em + λVˆ ψm =E cm ψm . m

m

Moltiplicando per ψk0∗ e integrando, si ottiene
(0) (E − Ek )ck = λ Vkm cm .

(14.2)

m

14.1.1 Spettro discreto non degenere (0)

Il caso pi` u semplice `e quello in cui i livelli imperturbati {En } non sono degeneri (le energie sono diverse per n diversi). L’effetto della perturbazione `e debole se sposta poco i livelli rispetto alla separazione dei livelli di H0 e ciascun livello perturbato si pu` o ricondurre senza ambiguit`a ad uno imperturbato da (0) cui deriva. Cerchiamo allora la soluzione della (14.2) che si riduce a ψn per λVˆ → 0, supponendo valida l’espansione in serie di λ, ψ = ψ (0) + λψ (1) + λ(2) ψ (2) + . . . . Quindi poniamo (0)

(1)

(2)

ck = ck + λck + λ(2) ck + . . . (0) (1) (2) E = En + λEn + λ(2) En + . . . , (0)

dove ck = δk,n . Con ci` o, la (14.2) `e (0)

(0)

(En − Ek

(1)

(2)

(1)

(2)

+ λEn + λ2 En + . . .)(δk,n + λck + λ2 ck + . . .) = (14.3)  (1) 2 (2) λ m Vkm (δm,n + λcm + λ cm + . . .).

Eseguiamo la moltiplicazione a primo membro e separiamo le potenze di λ: (0)

(0)

(1)

(1)

(0)

(0)

[En − Ek ]δk,n +λ[En δk,n + ck (En − Ek )] (2)

(2)

(0)

(0)

(1)

(0)

+λ2 [En δk,n + ck (En − Ek ) + ck En ] + . . . (14.4) =λ



m Vkm δm,n

+ λ2



(1)

m

Vkm cm + . . . .

All’ordine 0, resta il risultato banale (0)

(En(0) − Ek )δk,n = 0. Al primo ordine, per` o (0)

(1)

(E (0) − Ek )ck + En(1) δk,n = % n &# $ % &# $


m

Vk,m δm,n = Vk,n .

14.1 Introduzione

223

Per k = n la prima graffa `e nulla e troviamo En(1) = Vn,n . Per k = n la seconda graffa `e nulla e troviamo le ampiezze delle eccitazioni virtuali Vk,n (1) ck = (0) , k = n, (0) En − Ek
Vk,n (0) ψn(1) = ψ . (14.5) (0) (0) k k =n En − Ek (1)

(1)

cn non `e determinato da questo argomento, ma ora vedremo che cn = 0. Infatti in tal modo < ψ (1) |ψ (0) >= 0; cos`ı ψ|ψ = 1 + O(λ2 ), cio`e la funzione d’onda risulta correttamente normalizzata al primo ordine. V Dalla (14.5) `e evidente che la condizione di validit` a `e (0) k,n (0)  1; `e En −Ek

chiaro anche che il metodo non si applica in questa forma se lo spettro `e continuo, perch´e l’annullarsi del denominatore pone problemi delicati. Al secondo ordine, la (14.4) d`a
(1) (0) (2) (En(0) − Ek )ck + En(1) ck + En(2) δk,n = Vk,m c(1) m . &# $ % &# $ % m (1)

Per k = n resta la seconda graffa, dove cn = 0; cos`ı la correzione di secondo ordine all’energia viene En(2) =




Vn,m c(1) m =

m




|Vn,m |2

m =n

En − Em

(0)

(0)

.

(14.6)

Questa correzione `e sempre negativa per lo stato fondamentale. Problema 27. Mostrare che l’energia dell’atomo di H nello stato fondamentale in un debole campo elettrico uniforme E `e E = E0 + 21 αE2 e stabilire l’ordine di grandezza della polarizzabilit` a α. Soluzione 27. La perturbazione Vˆ = ezE non ha effetto lineare, ma quadratico sullo stato fondamentale perch´e ψ0 |Vˆ |ψ0  = 0, in quanto l’operatore `e dispari. La correzione all’energia ∆E viene dal second’ordine. La polarizzabilit` a ha le dimensioni di un volume, come si vede e2 dal fatto che [E] = [ L ], mentre [E] = [ Le2 ]. Per un atomo di H, α `e dell’ordine di a30 . Sperimentalmente, α = 0.66 10−24 cm3 .

224

14 Teoria delle perturbazioni indipendenti dal tempo

Problema 28. Un oscillatore con hamiltoniano H0 =

1 p2 + mω 2 x2 2m 2

`e soggetto alla perturbazione H  = bx + c. Trovare la correzione allo stato fondamentale con la teoria delle perturbazioni fino al secondo ordine. Studiare il caso b = −mω 2 a con c = 21 mω 2 a2 , che corrisponde ad uno spostamento x → x − a. †

†

) ) √ √ , dove x0 = , pˆ = −i¯ h (a−a Soluzione 28. Ricordiamo che x ˆ = x0 (a+a 2 x0 2 / h ¯ † a c, ed il termine lineare mω , [a, a ] = 1. Al primo ordine la costante d` 2

2

2

x2

2

b 01 ) = − h¯bω 20 = − 12 mω d` a 0. Al secondo ordine E (2) = − b (x 2 . Nel caso in h ¯ω esame la correzione viene 1 b2 c− = 0. 2 mω 2 Questa `e una soluzione esatta visto che la perturbazione sposta l’oscillatore con x → x− a. Quindi la somma di tutti i termini successivi della serie `e nulla.

Problema 29. (oscillatore anarmonico quartico) Per l’oscillatore anarmonico di hamiltoniano 1 x ˆ = (ˆ H n + )¯ hω + α( )4 , 2 x0 calcolare l’effetto della perturbazione al primo e secondo ordine nello stato fondamentale. Quando il secondo ordine `e piccolo rispetto al primo? √ √ Soluzione/29. Ricordiamo che x ˆ = (x0 (a+a† ))/ 2, pˆ = −i¯ h((a−a† ))/(x0 2), h ¯ , [a, a† ] = 1. La correzione al primo ordine `e E 1 = α[( xx0 )4 ]0,0 . dove x0 = mω La√matrice di x ha elementi (10.5); gli unici non zero sono xn+1,n = xn,n+1 = x0 C n + 1, con C = √ . Pertanto,agendo con x, da |0 si va solo a |1, e quindi 2 (x4 )0,0 = x0,1 (x2 )1,1 x1,0 . Da |1 a |1 si va passando per |0 e per |2, quindi (x2 )1,1 = x1,0 x0,1 + x1,2 x2,1 . In tutto, (x4 )0,0 = x0,1 [x1,0 x0,1 + x1,2 x2,1 ]x1,0 = 3C 4 . La correzione al primo ordine `e E 1 = 43 α. Veniamo al second’ordine. Nel calcolo della (14.6) gli stati con m > 4 non a, restano da calcolare entrano. Poich´e (x4 )0,1 = 0 = (x4 )0,3 per parit`

14.1 Introduzione

225

(x4 )0,2 = x0,1 (x3 )1,2 = x0,1 [x1,2 (x2 )2,2 + x1,0 (x2 )0,2 ] = x√ 0,1 x1,2 (x2,1 x1,2 √ + x2,3 x3,2 √) + x0,1 x1,0 x0,1 x1,2 = ( 2(2 + 3) + 2)C 4 = 6 2C 4 e quindi (x4 )0,4 = x0,1 x1,2 x2,3 x3,4 =

√ 24C 4 .

Ed anche il secondo ordine `e ottenuto: ' √ 6 √  4 2 3 |x404 |2 | 24|2 |x02 | α2 α2 C 8 |6 2|2 (2) −E0 = 8 + + . = 8 x0 h ¯ω 2 4 x0 h ¯ω 2 4 In tutto, viene 3 21α2 1 h ¯ω + α − 2 4 8¯ hω e il second’ordine `e piccolo rispetto al primo se α  h ¯ ω. E0 ≈

ˆ = (ˆ Problema 30. Per l’oscillatore anarmonico di hamiltoniano H n + 21 )¯ hω + x 3 α( x0 ) , calcolare la correzione all’energia al primo e secondo ordine nello stato n. Perch´e la teoria delle perturbazioni non pu` o essere del tutto valida? Soluzione 30. 15α2 2 1 11 hω − (n + n + ). En = (n + )¯ 2 h ¯ω 30 Tuttavia, il potenziale perturbato non ha un minimo e non ci possono essere veri livelli discreti. Problema 31. Una particella confinata nella buca di potenziale unidimenL sionale 0 < x < L `e soggetta alla perturbazione V (x) = V0 cos( πx L )θ( 2 − x). Calcolare la correzione di primo ordine ai livello n = 1 e n = 2. ` noto che Soluzione 31. E  ψn (x) =

nπx 2 sin( ); L L

 L2 π nπx 2 πx 0 En = 2V ) = 2Vπ0 02 dt sin(nt)2 cos(t). Per n = 1 viene L 0 dx sin( L ) cos( L  π 8V0  0 2 d(t) sin(t)2 cos3 (t). Integrando in d sin(t) E1 = 2V 3π e per n = 2 E2 = π 0 1 0 si trova = 8 Vπ0 0 dx(x2 − x4 ) = 16V 15π . 14.1.2 Caso degenere (0)

Cerchiamo la soluzione della (14.2), cio`e (E − Ek )ck = λ (0) caso di un livello imperturbato En degenere g volte; sia

 m

Vkm cm , nel

226

14 Teoria delle perturbazioni indipendenti dal tempo {^°)},

u=

l,...,g

una base di funzioni imperturbate di energia En . All'ordine 0, resta

(£#>>-Jif)c f c =0. che dice che Ck = 0 se En' ^ E^'. Quindi un V piccolo rispetto alia distanza dagli altri livelli produce un mescolamento piccolo con le altre autofunzioni, ma puo avere effetti qualitativi nel sottospazio En e risolvere la degenerazione, del tutto o in parte. Per calcolare le correzioni di primo ordine En, il mescolamento con le altre autofunzioni con E^ ^ En si trascura del tutto. Nello spazio degenere H e della forma: H^ = En^5^ + V^, ^u=l...g; per diagonalizzarla, basta diagonalizzare V. Si pone E = E% + En e si ottiene per le ampiezze degli stati degeneri il sistema secolare

v

Gli autovettori forniscono le autofunzioni dell'approssimazione zero per i livelli che emergono dalla rottura della degenerazione; queste sono combinazioni lineari delle ipl \ Gli altri livelli intervengono nella teoria solo a part ire dal secondo ordine. Di solito e importante andare al secondo ordine solo nei casi in cui non c'e scissione della degenerazione al primo. Problema 32. Riprendiamo (dalla Sezione 10.2.5) il rotatore rigido piano, L2

di momento di inerzia / ed hamiltoniano H = ^f. Le autofunzioni sono ipkid) =

§L

IK=

con

autovalori k = 0, e k = ±mh, m = 1,2, — Gli autovalori 2 k2

dell'energia Ek = ft fj sono tutti due volte degeneri eccetto il piu basso k = 0. Si chiede di studiare l'effetto di una perturbazione direzionale y = 27rA(5(0-0 o ), dove A, 0o sono delle cost ant i. Soluzione 32. II livello fondamentale k = 0 viene spostato al primo ordine di A. Per i livelli eccitati, (m\V\m) = A / Jo (m) = A / Jo

#e-im^(0 - 0o)e^ =A

deimH{4> - 4>Q)eim* = \e2im*°

14.1 Introduzione

227

e la matrice della perturbazione sullo spazio di funzioni ψ−m , ψm , m > 0 `e   λ λe2imφ0 V = . λe−2imφ0 λ Gli autovalori danno le correzioni all’energia al primo ordine.  imφ −e 0 1 1 della L’autovalore E = 0 corrisponde all’autovettore √2 e−imφ0 matrice V , ovvero a e−imφ0 sin [m(φ − φ0 )] eimφ0 √ ψ− = − √ φ−m + √ φm = i π 2 2 che non sente la perturbazione.



eimφ0 L’autovalore E = 2λ corrisponde all’autovettore della mae−imφ0 0 )] √ trice V , ovvero a ψ+ = cos[m(φ−φ . (La soluzione `e pi` u veloce se uno vede che π o essere eliminato φ0 `e solo uno spostamento dell’origine degli angoli, quindi pu` e rimesso a posto alla fine dei calcoli.) √1 2

1

Problema 33. Descrivere l’effetto Stark-Lo Surdo per l’atomo di H con n=2 (l’atomo di H in un campo elettrico uniforme E). Soluzione 33. La perturbazione V = ezE in questo caso agisce al primo ordine (effetto Stark lineare). Le funzioni d’onda ψnlm = Rnl Ylm (θ, φ) coinvolte sono: ⎧ 3 − r ψ200 R20 (r) = 2( 2a10 ) 2 (1 − 2ar 0 )e 2a0 Y00 = √14π , ⎪ ⎪ / ⎪ r ⎪ ⎪ 3 ⎨ ψ210 R21 (r) = √1 ( 2a1 ) 32 ar e− 2a0 Y = 10 4π cos(θ), 0 0 3 / r 1 1 3 r − 3 ⎪ Y11 = − 8π sin(θ)eiφ , ⎪ ψ211 R21 (r) = √3 ( 2a0 ) 2 a0 e 2a0 ⎪ / ⎪ ⎪ r 3 ⎩ 3 Y1−1 = − 8π sin(θ)e−iφ . ψ21−1 R21 (r) = √13 ( 2a10 ) 2 ar0 e− 2a0 Dobbiamo costruire la matrice della perturbazione su questa base. Poich´e V `e dispari, non ci sono elementi diagonali. Poich´e V non dipende da φ gli elementi di matrice fra funzioni con m diversi sono nulli. Si mescolano ψ200 con ψ210 e la matrice da diagonalizzare in effetti `e 2 × 2. Usando cos(θ) = zr si trova ψ200 |V |ψ210  = 3ea0 E e viene

'

(1)

E− = 3ea0 E (1)

E+ = −3ea0 E

ψ200√ −ψ210 2 ψ200√ +ψ210 2

Il livello degenere si divide in 3, con m = ±1 imperturbato e m = 0 sdoppiato.

228

14 Teoria delle perturbazioni indipendenti dal tempo

14.2 Perturbazioni dipendenti dal tempo Le transizioni fra stati quantici avvengono sotto l’effetto di una perturbazione esterna dipendente dal tempo. Questa sezione sta alla base della teoria di tutte le spettroscopie. Si voglia risolvere  ∂ψ  = H0 + Vˆ (t) ψ (14.7) i¯ h ∂t conoscendo il set completo e ortonormale di soluzioni del problema imperturbato ∂φn = H0 φn (t); i¯ h ∂t come sappiamo, −in t φn (t) = φn (0) exp( .) h ¯ Per fissare le idee, supponiamo che il sistema sia descritto da H0 e si trovi sull’autostato φn ma poi sotto l’azione della debole perturbazione Vˆ (t) possa transire ad altri stati imperturbati.1 Per prima cosa, mettiamoci nella base imperturbata con
ψ= ak (t)φk (t); k

sostituendo nella (14.7) e semplificando troviamo

i¯ h a˙ k (t)φk (t) = ak (t)Vˆ φk (t). k

k

Moltiplichiamo scalarmente per φm (t): si trova
Vmk (t)ak (t), i¯ ha˙ m =

(14.8)

k

dove Vmk (t) = φm (t)|Vˆ (t)|φk (t) = φm (0)|Vˆ (t)|φk (0)eiωmk t , h ¯ ωmk = m − k .

(14.9)

Notare la doppia dipendenza temporale di Vmk (t); oltre alla dipendenza dal tempo dell’operatore c’`e il fattore di fase. Date le condizioni iniziali, possiamo calcolare esattamente l’evoluzione in presenza di Vˆ . Abbiamo riscritto il problema nella base imperturbata, e di solito il sistema parte con la condizione iniziale ψ(0) = φn (0) =⇒ ak (0) = δkn ;

(14.10)

cos`ı possiamo calcolare la probabilit`a di possibili transizioni da n ad altri stati. Per sottolineare la condizione iniziale, 1

P.A.M. Dirac, 1926

14.2 Perturbazioni dipendenti dal tempo

229

indicheremo le ampiezze con an→m . Data la (14.9), se ωkn > 0 questa `e l’ampiezza della promozione del sistema ad un livello m pi` u alto, e se ωmn < 0 quella del decadimento ad uno pi` u basso sotto l’effetto della perturbazione. L’energia del sistema non si conserva, dato che l’hamiltoniano dipende dal tempo. Finora non abbiamo fatto approssimazioni, ma di solito la soluzione esatta `e onerosa in modo proibitivo. Se la perturbazione `e piccola, in un senso che poi preciseremo, in prima approssimazione possiamo sostituire al secondo membro della (14.8) la condizione iniziale (14.10) ψ(t) ∼ φn (t), ovvero ak (0) ∼ δkn . Si ottiene d i¯ h an→m (t) = Vmn (t), dt la cui soluzione `e della forma  i t Vmn (τ )dτ, (14.11) an→m (t) = − h ¯ con gli estremi di integrazione precisi che dipenderanno dalle condizioni iniziali. Ad esempio se Vˆ `e acceso al tempo 0 e spento al tempo T , per t > T T scriveremo 0 , etc.. Problema 34. Una particella si trova confinata fra x = 0 e x = a (buca di potenziale unidimensionale a pareti infinite). Al tempo t = 0, la particella `e nello stato fondamentale. a. Calcolare al primo ordine la probabilit`a di transizione Pm allo stato eccitato m sotto l’azione del il potenziale V (t) = λδ(x − a2 )θ(t)θ(T − t). b. Stabilire il criterio di validit` a della approssimazione. c. Come deve essere scelto T per massimizzare la probabilit`a di transire al secondo livello eccitato? /   Soluzione 34. Usando le autofunzioni (9.1) ψn (x) = a2 sin nπ xa troviamo  πx a 2λ mπx ) sin( )δ(x − ) eiωm1 τ , Vm1 (t) = dx sin( a a a 2 con h ¯ π 2 (m2 − 1) ωm1 = . 2ma2  T Quindi, Pm = | h¯2λa sin(mπ/2) 0 eiωm1 τ dτ |2 . Inoltre Pm  1.  T iω τ 2 m1 T ) , la condizione `e cos(ω31 T ) = −1 cio`e Poich´e| 0 e m1 dτ | = 2 1−cos(ω 2 ωm1 ω31 T = π, 3π, 5π, · · · Problema 35. Un oscillatore armonico di pulsazione ω al tempo t = 0 `e nello stato fondamentale. Calcolare al primo ordine la probabilit`a di transizione a stati eccitati per t > T sotto l’azione della perturbazione istantanea V (t) = (a + a† )V0 T δ(T − t). ` possibile transire solo a primo stato eccitato, con probabilit`a Soluzione 35. E V0 T 2 | h¯ | .

230

14 Teoria delle perturbazioni indipendenti dal tempo

Perturbazioni periodiche: regola d’oro di Fermi Un caso particolarmente importante `e quello di una perturbazione periodica,   ˆ eiωt + e−iωt , ω > 0. Vˆ (t) = W Ad esempio, l’interazione col campo elettromagnetico `e data dal minimal coupling (2.48) e le transizione elettromagnetiche sono indotte da una perturba→ −2 zione (trascurando il piccolo termine in A ) − → → − − ˆ =→ W A ·− p = A (0) · → p eiωt + c.c. Usiamo la (14.11 con estremi di integrazione da −∞ a ∞ perch´e l’integrando `e una funzione periodica. Viene   iWmn ∞  i(ωmn +ω)τ e an→m (t) = − + ei(ωmn −ω)τ dτ. h ¯ −∞ ∞ Ora, questo si calcola ricordando la nota identit` a −∞ eimx = 2πδ(x). Cos`ı viene an→m ≡ am (t → ∞)

iWmn ? 2π [δ (ωmn + ω) + δ (ωmn − ω)] . − = h ¯

Se ωmn < 0 (emissione) contribuisce solo il primo termine, se ωmn > 0 (assorbimento) solo il secondo. Si ottengono cos`ı righe infinitamente strette con la condizione di risonanza ±ωmn = ω per l’assorbimento o emissione della radiazione. Tuttavia questi risultati non sono accettabili per il fatto increscioso che δ(x)2 `e una espressione priva di senso; non possiamo calcolare la probabilit`a di transizione Pn→m = a∗n→m an→m . Dov’`e l’errore? In effetti non si tratta di un banale errore, ma di una schematizzazione troppo rozza. Una eccitazione perfettamente monocromatica deve durare per un tempo T → ∞ ed `e irrealizzabile fisicamente. Sovente nei problemi fisici si risolvono delle difficolt` a sostituendo infiniti con quantit` a grandi e zeri con quantit` a piccole. Anche in questo caso per uscire dalla difficolt`a basta introdurre la durata T finita dell’esperimento. Per l’assorbimento di un treno d’onde che dura un tempo T troviamo  iWmn T i(ωmn −ω)τ e dτ. an→m (t) = − h ¯ 0 e quindi Pn→m =

∗ iWmn h ¯

 0

T

  T iWmn e−i(ωmn −ω)τ1 dτ1 × − ei(ωmn −ω)τ2 dτ2 . h ¯ 0

T ixT Poich´e 0 eixτ dτ = e ix−1 , ora le righe hanno una larghezza finita ∼ T1 e non ci sono pi` u problemi. Tuttavia `e possibile anche trascurare la larghezza finita

14.2 Perturbazioni dipendenti dal tempo

231

delle righe semplificando cos`ı il risultato. Se T `e abbastanza lungo `e ragioneT ∞ vole approssimare uno dei due integrali con 0 ∼ −∞ , cio`e 2πδ (ωmn − ω); allora l’altro vale T . Quindi,    Wmn 2  T × 2πδ (ωmn − ω) . Pn→m =  h ¯  Si vede cos`ı che la probabilit` a cresce linearmente col tempo T che dura l’esperimento, con la conseguenza che prima o poi sar` a violata la condizione a superer`a 1. Infatti, ad essere ben di validit` a Pn→m  1 e poi la probabilit` definita `e la velocit`a di transizione (transition rate) Rn→m =

∂Pn→m ∂T

che `e quello che realmente si misura; includendo un fattore ¯h si trova la regola d’oro di Fermi 2 Rn→m =

1 |Wmn |2 2πδ (m − n − h ¯ ω) . h ¯

Problema 36. Sia H0 = σz ; Vˆ = λ(eiωt + e−iωt )σx ,

0 con ψ(0) = ( ); si 1

calcoli la rate R al primo ordine. Soluzione 36. R =

2πλ2 h ¯ δ(2

−h ¯ ω).

Regole di selezione idrogenoidi Un atomo idrogenoide pu` o assorbire un fotone promovendo l’elettrone ad un livello superiore o emettere energia quando l’elettrone scende ad un livello inferiore. La probabilit` a di transizione si calcola in approssimazione di dipolo supponendo uniforme il campo elettrico dell’onda elettromagnetica sulla scala delle dimensioni atomiche; questo appare ragionevole nel visibile o nel vicino ultravioletto essendo le lunghezze d’onda dell’ordine delle migliaia di ρA. Oc− corre calcolare gli elementi di matrice di → r = (x, y, z) fra le funzioni d’onda coinvolte. La transizione `e possibile se almeno una fra le ampiezze Ax = ψn
l
m
|x|ψnlm , Ay = ψn
l
m
|y|ψnlm , Az = ψn
l
m
|z|ψnlm , `e diversa da 0. Poich´e il dipolo `e dispari questo richiede che gli orbitali abbiano parit` a opposta; poich´e l’armonica sferica Ylm (θ, φ) ha parit` a (−1)l que sto richiede che l e l abbiano parit` a opposta (regola di Laporte). Inoltre,  valgono le regole di selezione m = m oppure m = m ± 1, l  = l ± 1 . Per 2

Questa forma della regola d’oro di Fermi `e data ad esempio nel Landau-Lifshitz Mecanique Quantique $ 42, con una derivazione pi` u tradizionale.

232

14 Teoria delle perturbazioni indipendenti dal tempo

capirle, conviene ricordare che a meno di una costante di proporzionalit` a z ∼ Y10 (θ, φ), (x ± iy) ∼ Y1±1 (θ, φ). Le regole di selezione su m sono evidenti perch´e altrimenti l’integrale su φ si annulla. Pi` u in generale, uno pu` o usare il fatto che   3 2l + 1 ∗ l100|l 0l1mq|l  m  dΩYl
m
(θ, φ)Y1q (θ, φ)Ylm (θ, φ) = 4π 2l + 1 e le propriet`a dei coefficienti di Clebsh-Gordan. Il fotone assorbito o emesso si rivela una particella di spin 1.

15 Metodo variazionale

Finiamo, come abbiamo cominciato, con un principio variazionale. Sia φ una qualsiasi funzione d’onda di un arbitrario sistema quantistico, ad una o molte particelle, debitamente normalizzata con N =< φ|φ >= 1.

(15.1)

E =< φ|H|φ >

(15.2)

Il valor medio dell’energia non pu` o essere pi` u basso dell’energia 0 dello stato fondamentale; infatti, espandiamo la φ arbitraria sulla base degli autovettori ψn di H:
|φ = |ψn ψn |φ. n

Dal momento che n ≥ 0 risulta che
E= |ψn |φ|2 n ≥ 0 .

(15.3)

n

Quindi, lo stato fondamentale pu`o essere ricercato con un principio di minimo. Esempio: l’oscillatore armonico Per illustrare il metodo, prendiamo un caso in cui si conosce gi`a la soluzione; p2 determiniamo1 lo stato fondamentale dell’oscillatore armonico (H = 2m + 1 2 2 mω x ) fra le gaussiane normalizzate 2 2

φ(x) = Ae−bx , A = ( 1

∞ ∞





dx exp −αx2 =

π , α

∞ ∞



2b 1/4 ) . π 

dxx2 exp −αx2 =

1 2

π . α3

234

15 Metodo variazionale

Viene φ|x2 |φ =

1 4b ,

2

d 2 2 φ| dx 2 |φ = φ|(−2b + 4b x )|φ = −b, e si trova:

E=

h ¯ 2 b mω 2 + , 2m 8b

dove il primo termine `e l’energia cinetica ed il secondo l’energia potenziale. h ¯2 mω 2 E(b) ha un solo minimo. dE a b = mω ¯ ω/2. db = 2m − 8b2 = 0 d` 2¯ h , E =h Si ottiene cos`ı la soluzione esatta, perch´e si era scelta la gaussiana. In genere si troveranno soluzioni approssimate.

15.1 Il principio variazionale L’energia (15.2) `e un funzionale quadratico2 di φ. Studiamo l’effetto su E di una variazione di φ; prendiamo la variazione infinitesima ma per il resto arbitraria come dipendenza dalle variabili. Per caratterizzare la variazione scriveremo φ → φ + αη dove η `e una funzione complessa arbitraria delle stesse variabili da cui dipende φ, mentre α → 0 `e un parametro complesso il cui modulo `e infinitesimo e la cui fase `e arbitraria. La variazione dell’energia E =< φ|H|φ > che consegue da φ → φ + αη , al primo ordine in α, `e δE = α∗ < η|H|φ > +α < φ|H|η > +O(α2 ), ma poich´e α `e piccolo, trascuriamo gli O(α2 ). La condizione che E sia stazionario rispetto alle variazioni di φ `e E stazionario ⇐⇒ {δE = 0, η arbitrario}.

(15.4)

Ma la condizione (15.4) `e troppo forte per essere interessante, dato che variazioni di φ che non conservino la normalizzazione sono inaccettabili; la variazione cambia la norma con δN = α∗ < η|φ > +α < φ|η > +O(α2 ). Quindi l’estremo deve essere condizionato, restringendo la ricerca alle sole funzioni di norma 1. La condizione si impone efficientemente col metodo di Lagrange della Sezione 16.2.1, scrivendo δ(E − λN ) = 0. Si noti che questa condizione di minimo vincolato si ottiene da quella di minimo non vincolato δE = δφ|H|φ = 0 sostituendo H con H − λ. In questo modo, |φ > dipende dal moltiplicatore λ , il cui valore `e infine fissato imponendo N =< φ(λ)|φ(λ) >= 1. 2

Un funzionale di φ `e un integrale definito che ha φ nell’integrando e pu` o essere pensato come una funzione di infinite variabili che sono i valori che φ prende nel campo di integrazione. Questo `e quadratico perch´e φ compare nel bra e nel ket.

15.1 Il principio variazionale

235

Una conveniente semplificazione Se variamo solo il bra, cio`e ridefiniamo δE e δN con δE = α∗ < η|H|φ >, δN = α∗ < η|φ >, non commettiamo alcun errore, perch´e la variazione del ket d`a una informazione ridondante. Otteniamo lo stesso principio variazionale con meno algebra. Quindi la regola `e: basta variare il bra. Applicando il metodo di Lagrange, si ha la condizione di estremo vincolato α∗ < η|H − λ|φ >= 0. Poich´e η `e arbitrario, occorre che sia (H − λ)|φ >= 0. Cos`ı la vera condizione `e l’equazione degli stati stazionari e λ coincide con l’autovalore E. Riassumendo, {Hφ = Eφ, < φ|φ >= 1} ⇔ {δ(E −λN ) = 0, λ = E} ⇔ {δ(E) = 0, N = 1}. ` un altro modo di scrivere l’equazione di Schr¨odinger. La meccanica classica E ha il suo principio variazionale; questa `e la controparte quantistica. Il principio variazionale vale per tutti gli autostati, ed il moltiplicatore di Lagrange `e l’autovalore dell’energia. Questa `e una riformulazione esatta della meccanica quantistica, e consente di comprendere meglio la struttura della teoria, dimostrare dei teoremi generali, e fare calcoli. Esempio Data la matrice hamiltoniana

⎛

−3 1 ⎜ 1 0 ⎜ H=⎜ ⎜ 1 0 ⎝ 1 0 1 0

⎞ 111 0 0 0⎟ ⎟ 0 0 0⎟ ⎟ 0 0 0⎠ 000

trovare con il metodo variazionale le autofunzioni della forma ⎛ ⎞ α ⎜β⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ψ=⎜ ⎜β⎟. ⎝β⎠ β Poich´e la normalizzazione richiede N = ψ|ψ = α2 + 4β 2 = 1 mentre E = ψ|H|ψ = 8αβ − 3α2 , il principio richiede di estremizzare f (α, β) = E − λN. Si trova:

236

15 Metodo variazionale

⎧ ∂f ⎨ ∂α = 0 =⇒ 4β = (3 + λ)α ⎩ ∂f = 0 =⇒ α = λβ. ∂β La condizione di compatibilit` a λ(3 + λ) = 4 fornisce le radici λ = −4, λ = 1. Per λ = −4 da α = −4β si trova ⎞ ⎛ −4 ⎜ 1 ⎟ ⎟ 1 ⎜ 1 ⎟ ψ−4 = √ ⎜ ⎜ 20 ⎝ 1 ⎟ ⎠ 1 che `e l’autostato fondamentale esatto con autovalore ⎛ ⎞  = −4. 1 ⎜1⎟ ⎜ ⎟ ⎟ Per λ = 1 da α = β si trova ψ1 = √15 ⎜ ⎜ 1 ⎟ che `e l’autostato eccitato ⎝1⎠ 1 esatto con autovalore  = 1.

15.2 Approssimazioni variazionali Come diceva il grande Richard Feynman, un fisico teorico per fare progresso deve capire un dato problema non in uno, ma in parecchi modi diversi. Il principio variazionale `e equivalente all’equazione di Schr¨odinger, ma oltre all’importanza teorica ha anche una grande utilit` a pratica, perch´e permette di generare approssimazioni in problemi altrimenti intrattabili. Uno pu` o scegliere delle funzioni di prova φ(x, {λ1 , λ2 , · · · λn }) dipendenti da un certo numero di parametri {λ1 , λ2 , · · · λn }. Si cerca il minimo dell’energia in funzione dei parametri. Se φ non `e gi` a normalizzata, la condizione di normalizzazione pu`o essere imposta con un moltiplicatore di Lagrange. Se la vera φ dello stato fondamentale appartiene alla classe di funzioni considerate, si ottiene la soluzione esatta. Se la vera φ dello stato fondamentale non appartiene alla classe di funzioni considerate, si ottiene un valore di E sempre pi` u alto del vero; l’approssimazione migliora allargando la classe di funzioni, cio`e aumentando il numero dei parametri. Tipicamente `e pi` u facile ottenere con questo metodo autovalori accurati che funzioni d’onda precise. Non esiste un criterio generale per la scelta delle funzioni di prova: una scelta felice `e molto importante, e dipende dall’intuito di chi la propone. Certe soluzioni sono giustamente celebri.3 3

Il metodo di Hartree-Fock per risolvere i problemi a molti elettroni `e un metodo variazionale in cui si impone come funzione d’onda un determinante di Slater. funzionid’onda atomiche sono state tabulate per un gran numero di atomi e ioni. La teoria di Bardeen, Cooper e Schrieffer della superconduttivit` a `e stata proposta inizialmente con una soluzione variazionale.

15.2 Approssimazioni variazionali

237

Anche gli stati eccitati corrispondono a estremi del funzionale. Per`o, dal punto di vista pratico, volendo approssimare gli stati eccitati con questo approccio si trovano severe limitazioni. Il problema `e che i veri autostati sono tutti ortogonali fra loro, ma la stessa propriet` a non `e garantita per le f che corrispondono ai punti stazionari in una classe limitata di funzioni. Non possiamo in alcun modo rinunciare all’ortogonalit` a, e non possiamo dare alcun significato fisico ad uno stato eccitato che non sia ortogonale a quello fondamentale. Se lo ortogonalizziamo, il principio variazionale non `e pi` u soddisfatto. Che possiamo fare? Dobbiamo in genere studiare gli stati eccitati con altri metodi. C’`e una eccezione molto importante: lo stato pi` u basso di ogni tipo di simmetria si pu` o sempre cercare col metodo variazionale. In un atomo, nel caso non-relativistico, gli stati sono etichettati con L, m (momento angolare e componente z); stati con momenti angolari diversi sono automaticamente ortogonali, cos`ı se la funzione con cui si approssima lo stato fondamentale di un atomo ha per esempio L = 0, e quella con cui cerchiamo il primo stato eccitato ha un L = 1 differente, possiamo usare il principio variazionale con la garanzia che i due stati verranno ortogonali. Il discorso si generalizza ad ogni tipo di simmetria , perch´e una simmetria `e un operatore X, unitario (cio`e XX † = 1, vedi Sezione 11.6), tale che [H, X]− = 0. Autostati di un operatore unitario X appartenenti ad autovalori diversi sono ortogonali. Infatti, se Xφ1 = eiα φ1 e Xφ2 = eiβ φ2 , (φ1 , φ2 ) = (φ1 , X † Xφ2 ) = ei(β−α) (φ1 , φ2 ) e, con α = β, questo richiede (φ1 , φ2 ) = 0. Problema 37. Per l’oscillatore anarmonico quartico del Problema 29 trovare 2 la condizione variazionale per una fuzione di prova φ(x) = Ae−bx , A = ∞ 1/4 ( 2b usando l’identit` a −∞ dxx4 exp(−αx2 ) = 34 απ5 . π) Soluzione 37. E =

h ¯2b 2m

+

mω 2 8b

+

3α 16x40 b2

= minimo.

Parte III

Appendici

16 Richiamo di risultati utili di Analisi Matematica

16.1 Numeri complessi Definiamo i2 = −1, z = a + ib, con a e b reali, ed il complesso coniugato z ∗ = a − ib. Dalla formula di Eulero, eiα = cos(α) + i sin(α), α reale segue z = |z|eiϕ ,

√ dove |z| `e il modulo e ϕ ≡ arg(z) l’argomento. Inoltre, |z| a2 + b2 ,, mentre 1 ϕ = arctan( ab ) = 2i ln( zz∗ ). Inoltre, z n = |z|n eniϕ . Le n radici n-sime dell’unit`a possono scriversi √ 2π 2π n 1 = cos( k) + i sin( k), n n dove k corre sugli interi da 0 a n − 1.

16.2 Derivazione Derivata di una funzione inversa Sia ad esempio y(x) sin(x): la funzione inversa `e definita da xarcsin(y). Per evitare ambiguit`a dobbiamo fissare un intervallo di x in cui la y assume tutti i valori fra −1 e 1, e scegliamo − π2 < x < π2 ; in questo intervallo cos(x) > 0. Per dy 1 calcolare la derivata dell’arcoseno si usa dx = cos(x) che comporta dx dy = cos(x) . √ 1 2 Poich´e ora la variabile indipendente `e y scriveremo dx = √ 1 2. dy = 1−sin (x)

In questo modo si trovano le derivate delle funzioni inverse. differenziale totale ∂f ∂f ∂f dx + dy + dt, ∂x ∂y ∂t dove x, y, t sono variabili indipendenti. df (x, y, t) =

1−y

242

16 Richiamo di risultati utili di Analisi Matematica

Derivata di una funzione composta Si ha

∂f ∂f dx ∂f dy d f (x(t), y(t), t) = + + , dt ∂t ∂x dt ∂y dt

dove la variabile indipendente `e t. 16.2.1 Moltiplicatori di Lagrange Incontreremo in varie occasioni problemi isoperimetrici in cui si cercano estremi vincolati di funzioni o funzionali. Consideriamo per fissare le idee la condizione di stazionariet` a lungo una curva g(x, y) = C di una f (x, y) definita sul piano. Questo `e un tipico esempio di problema isoperimetrico (estremo → − condizionato). Gli estremi incondizionati sono dati da ∇f (x, y) = 0.

Fig. 16.1. I gradienti di f e di g sono paralleli nel punto di minimo vincolato

− Preso un punto → r appartenente alla curva ed uno spostamento infinitesimo → − → − − d r  lungo la curva, ∇g(x, y) · d→ r  = 0: tutta la famiglia di curve g(x, y) = C → − − a al gradiente di g, ed `e definita da ∇g(x, y) · d→ r  = 0, cio`e dalla ortogonalit` un particolare C `e una costante di integrazione. La condizione di stazionariet`a della f lungo lo stesso spostamento infini→ − − − r  = 0. Quindi i gradienti di f e g tesimo d→ r  lungo la curva `e ∇f (x, y) · d→ → − devono essere paralleli, ∇ [f (x, y) − λg(x, y)] = 0. 16.2.2 Laplaciano Il Laplaciano in coordinate cartesiane vale ∂2V ∂2V ∂2V − ∇2 V (→ r)= + + . ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

16.3 Integrazione

243

Quello in coordinate sferiche `e invece dato da 1 ∂V 1 ∂2V 1 ∂ 2 ∂V (r )+ 2 (sin(θ) )+ 2 2 . 2 r ∂r ∂r r sin(θ) ∂θ r sin (θ) ∂φ2

− ∇2 V (→ r)=

16.3 Integrazione 16.3.1 Integrazione per parti 

b

dxf (x)g  (x) = f (b)g(b) − f (a)g(a) −

a

Posto g(k, λ) =

∞ 0



b

dxf  (x)g(x).

a

e

−λx2 k

x dx, con k intero, si trova che ⎧ 1.3.5...(k−1) ⎨ k+2

g(k, λ) =

⎩

2 2 (k−1) 1.3.5... 2 2λ

π λk+1

k+1 2

k pari, k dispari.

16.3.2 Derivata sotto il segno di integrale Se tutte le funzioni coinvolte sono abbastanza regolari, si ha d dx



β(x)

dtf (t, x) = f (β(x)) α(x)

dβ dα − f (α(x)) + dx dx



β(x)

dt α(x)

∂f (t, x) . ∂x

16.3.3 Formula di Stirling Per N  1, `e utile la formula di Stirling √ N ! = N (N − 1)(N − 2) · · · 2 ∼ N N e−N 2πN (il rapporto fra i due membri tende a 1 per N → ∞). A noi baster` a una versione pi` u semplice in cui la radice quadrata si trascura. Infatti, Ln(N !) =

N
1



N

Ln(n) ∼

Ln(x) = [x(Ln(x) − 1)] |N 1 = N LnN − N, 1

ed il rapporto fra i due membri tende a 1 al crescere di N . Per N grande il logaritmo della radice quadrata cresce senza limiti, ma diviene trascurabile rispetto a N LnN e ad N .

244

16 Richiamo di risultati utili di Analisi Matematica

16.3.4 Trasformate di Fourier La definizione che useremo `e 

∞

F [f ] = f (ω) =

dtf (t)eiωt .

−∞

La convergenza dell’integrale nel senso elementare richiede che f (t), oltre ad essere abbastanza buona, vada a 0 abbastanza rapidamente a ±∞; funzioni buone da questo punto di vista sono quelle appartenenti a L2 , cio`e quelle a quadrato integrabile, per cui  ∞ dt|f (t)|2 < ∞. −∞

Questo `e un caso che sar` a molto importante nel seguito. Il Teorema di Fourier dice che  ∞ dω f (ω)e−iωt . f (t) = −∞ 2π Integrando per parti si trova che F [ df ı la trasformata di dt ] = −iωf (ω); cos` Fourier consente di riscrivere le eqauzioni differenziali a coefficienti costanti (vedi pi` u avanti) come equazioni algebriche, e pi` u in generale di eseguire trasformazioni che in certi casi possono essere utili per risolvere le equazioni.

16.4 Equazioni differenziali ordinarie lineari Sia data l’equazione differenziale (Dn + a1 (x)Dn−1 + · · · + an (x))y = f (x), dove D sta per l’operatore

d dx

(16.1)

e ai (x) sono funzioni note.

16.4.1 Equazioni differenziali ordinarie lineari omogenee Se f (x) = 0, l’equazione (16.3) si dice omogenea. La somma di due soluzioni (dette integrali particolari) y1 (x) e y2 (x) `e soluzione. La soluzione pi` u generale richiede la conoscenza di n soluzioni yj (x) linearmente indipendenti, tali cio`e che W (x) = 0, dove W (x) denota il determinante Wronskiano    y1 (x) y2 (x) · · · yn (x)    Dy1 (x) Dy2 (x) · · · Dyn (x)    W (x) =  . . .. .. .. ..   . . . .    Dn y1 (x) Dn y2 (x) · · · Dn yn (x) 

16.4 Equazioni differenziali ordinarie lineari

245

Le n funzioni yj (x) costituiscono un sistema fondamentale di soluzioni. L’integrale generale `e allora della forma y(x) =

n


αj yj (x)

(16.2)

j

dove le αj sono costanti arbitrarie. Nel caso particolare in cui le ai sono costanti (equazioni differenziali ordinarie lineari omogenee a coefficienti costanti) si conosce l’integrale generale. Infatti la funzione yj (x) = eλx gode della propriet` a che Dyj (x)λyj (x). Allora `e chiaro che si hanno integrali particolari di questa forma. Sostituendo nella 16.3 con f=0 yj (x) = eλx , si vede che si tratta di un integrale particolare purch´e sia soddisfatta l’equazione algebrica (equazione caratteristica) (λn + a1 λn−1 + · · · + an )y = 0.

(16.3)

Questa equazione ha n radice complesse; se queste sono distinte, abbiamo trovato gli n integrali particolari linearmente indipendenti. Se vi sono radici multiple, l’insieme degli integrali particolari yj (x) = eλx ha meno di n elementi e non basta per formare l’integrale generale. Tuttavia si trova che le funzioni mancanti possono sempre essere prese della forma yj (x) = xq eλx , dove λ `e radice dell’equazione caratteristica e q `e un intero inferiore alla molteplicit` a di λ. 16.4.2 Equazioni differenziali ordinarie lineari non omogenee Nel caso f (x) = 0, sia y(x) un integrale particolare della (16.3); aggiungendo a y(x) una qualsiasi soluzione della omogenea associata (cio`e della stessa equazione con f = 0) si ottiene un’altra soluzione. Cos`ı l’integrale generale della (16.3) si ottiene aggiungendo all’integrale generale della omogenea associata un qualsiasi integrale particolare y(x). Lagrange ha inventato il metodo della variazione delle costanti arbitrarie che permette di trovare y(x). Il metodo prevede di determinare un sistema fondamentale di soluzioni yj (x) della omogenea associata e di scrivere l’integrale particolare cercato come la combinazione lineare n
y(x) = ci (x)yi (x). (16.4) i

Introduciamo i vettori c(x) = (c1 (x), c2 (x), · · · , cn (x)) e F (x) = (0, 0, · · · , f (x)). Sostituendo la (16.4) nella (16.3) si trova la condizione W (x)

dc = F (x), dx

dove W `e il Wronskiano. Risolvendo con la regola di Cramer si trovano le derivate delle incognite ci (x), ed integrando si determina la soluzione (16.4).

17 Funzione di Green dell’equazione delle onde

Calcoliamo [∇2 −

1 ∂2 − ]G(→ r , t), c2 ∂t2

A tal fine usiamo nuovamente ∇2 φ(r) = 1 ∂2 r ∂r 2 δ(t

−

r c ),

ma per ogni f (t −

r c)

δ(t − rc ) − . G(→ r , t) = r 1 ∂2 r ∂r 2 (rφ(r)).

Per r = 0, ∇2

4

δ(t− rc ) r

5 =

vale l’identit` a

r 1 ∂2 r ∂2 f (t − ) 2 2 f (t − ). 2 ∂r c c ∂t c 4 5 4 5 δ(t− rc ) δ(t− rc ) ∂2 = c12 ∂t ,e Quindi ∇2 2 r r [∇2 −

1 ∂2 − ]G(→ r , t) = 0, r = 0. c2 ∂t2

∂2 → − Integriamo [∇2 − c12 ∂t 2 ]G( r , t) su una sfera S di raggio arbitrario R0 e centro nell’origine, con superficie δS.

Contributo del termine in ∇2 Applichiamo il teorema di Gauss:   →   − δ(t − rc ) δ(t − rc ) r 2 3 ∇ grad d r · dS r r r S δS Passiamo a coordinate sferiche ottenendo:   →     − δ(t − rc ) δ(t − rc ) r 2 3 ∇ grad R2 dΩ. d r= · r r r r=R0 0 S Ora,

∂ ∂x r

→ − = xr , e cos`ı grad r = rr e viene:

(17.1)

248

17 Funzione di Green dell’equazione delle onde

→ − 1 r r r r grad δ(t − ) − grad r δ  (t − ) = − δ  (t − ), c c c rc c si trova

→ − → − δ(t − rc ) r r r r − 2 δ  (t − ) − 3 δ(t − ). r r c c r c Sostituiamo nella (17.1); l’integrale angolare d` a 4π e troviamo   δ(t − rc ) R0  R0 R0 2 )+ δ (t − )}. ∇ d3 r − 4π{δ(t − r c c c S grad

Contributo del termine in 2

(17.2)

∂2 ∂t2

2

∂ r 1 ∂ r D’altra parte, sempre usando ∂r 2 δ(t − c ) c2 ∂t2 δ(t − c ),    1 ∂ 2 δ(t − rc ) 1 ∂2 4 r5 d3 r 2 2 d3 r δ t− 2 c ∂t r r ∂r c S

S

R0 1 ∂2 4 r5 . δ t − = 4π drr2 r ∂r2 c 0

Integrando per parti, viene  3  R0   r5 r5 ∂ ∂ 4 ∂ 4 4π δ t− dr r δ t− − . ∂r ∂r c ∂r c 0 Ma l’integrando `e una derivata, e si ottiene r=R0  4 r5 r5 ∂ 4 . −δ t− = 4π r δ t − ∂r c c r=0 Pertanto, -  .    3  2 δ t − rc R0 R0 R0  3 1 ∂ 4π −δ t − δ t− d r 2 2 + + δ(t) . c ∂t r c c c S

(17.3) Il risultato In conclusione, mettendo insieme (17.2) e (17.3),  1 ∂2 − [∇2 − 2 2 ]G(→ r , t)d3 r = −4πδ(t) c ∂t S e quindi [∇2 − − Cos`ı G(→ r , t) =

δ(t− rc ) r

1 ∂2 − − ]G(→ r , t) = −4πδ(→ r )δ(t). c2 ∂t2

`e la funzione di Green dell’equazione delle onde.

18 Una verifica

Verifichiamo la (10.6): pmk xkn   x √ √ √ 1  √ 0 = i¯ h √ (− kδm,k−1 + k + 1δm,k+1 ) √ ( nδk,n−1 + n + 1δk,n+1 ) x0 2√ 2  √  √ √ = i¯ h 21 − m + 1δm,k−1 + mδm,k+1 nδk,n−1 + n + 1δk,n+1  = i¯ h 21 − (m + 1)nδm,n−2  4 √ 5 + − (m + 1)(n + 1) + mn δm,n + m(n + 1)δm,n+2 . Invece, √  √  √ √ m + 1δm,k−1 + mδm,k+1 − nδk,n−1 + n + 1δk,n+1  = i¯ h 21 − (m + 1)nδm,n−2  4 √ 5 + (m + 1)(n + 1) − mn δm,n + m(n + 1)δm,n+2 .

xmk pkn =

1 2

Pertanto, ([ˆ p, x ˆ])mn ≡ (px − xp)mn ≡ pmk xkn − xmk pkn = −i¯ hδmn .

19 Trasformazioni a coordinate sferiche

Dimostriamo alcune relazioni presentate in (11.3.3). Ricordiamo la trasformazione da coordinate cartesiane a coordinate sferiche `e ⎧ ⎧ 2 2 2 ⎪ ⎨ x = r sin θ cos φ, ⎨r = x + y + z , z θ = arccos( √ 2 2 2 ), y = r sin θ sin φ, x +y +z ⎩ ⎪ ⎩ z = r cos θ, φ = arctan( yx ). Poniamo ora h ¯ = 1. ipx =

∂r ∂ ∂θ ∂ ∂φ ∂ ∂ = + + . ∂x ∂x ∂r ∂x ∂θ ∂x ∂φ

Allora, ∂r x = = sin(θ) cos(φ), ∂x r y ∂r = = sin(θ) sin(φ), ∂y r z ∂r = = cos(θ). ∂z r Usando

troviamo

1 d arccos(t) = − √ , dt 1 − t2 dθ 1 = −/ dx 1 − (√

z )2 x2 +y 2 +z 2

Ma

d dx

d dx

z x2

+

y2

+

z2

=

z x2 zx , r3

+ y2 + z 2

.

252

19 Trasformazioni a coordinate sferiche

−/ 1 − (√ e cos`ı

1 z )2 x2 +y 2 +z 2

dθ =− dx r2

r

=−

zx x2 + y 2

x2 + y 2

,

.

Esprimendo il risultato in coordinate sferiche, viene ∂θ cos(θ) cos(φ) = , ∂x r cos(θ) sin(φ) ∂θ = , ∂y r ∂θ sin(θ) =− . ∂z r Inoltre, usando d 1 arctan(t) = , dt 1 + t2 si trova ∂φ y sin(φ) =− 2 , =− ∂x x + y2 r sin(θ) ∂φ x cos(φ) = 2 , = ∂y x + y2 r sin(θ) ∂φ = 0. ∂z Quindi, il momento `e dato da ⎧ cos(φ) cos(θ) ∂ sin(φ) ∂ ∂ ⎪ ⎪ ipx = sin(θ) cos(φ) + − ⎪ ⎪ ∂r r ∂θ r sin(θ) ∂φ ⎪ ⎨ sin(φ) cos(θ) ∂ cos(φ) ∂ ∂ + + ipy = sin(θ) sin(φ) ⎪ ∂r r ∂θ r sin(θ) ∂φ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ipz = cos(θ) ∂ − sin(θ) ∂ . ∂r r ∂θ → − Calcoliamo le componenti di L :   sin(θ) ∂ ∂ − Lx = ypz − zpy = r sin(θ) sin(φ)(−i) cos(θ) ∂r r ∂θ   sin(φ) cos(θ) ∂ cos(φ) ∂ ∂ + + −r cos(θ)(−i) sin(θ) sin(φ) . ∂r r ∂θ r sin(θ) ∂φ I termini in

∂ ∂r

si cancellano come si poteva attendere e Lx = i(sin(φ)

∂ ∂ + cot(θ) cos(φ) ); ∂θ ∂φ

19 Trasformazioni a coordinate sferiche

253

analogamente, Ly = zpx − xpz =   ∂ cos(φ) cos(θ) ∂ sin(φ) ∂ r cos(θ)(−i) sin(θ) cos(φ) + − ∂r r ∂θ r sin(θ) ∂φ   sin(θ) ∂ ∂ − −r sin(θ) cos(φ)(−i) cos(θ) , ∂r r ∂θ cosicch´e Ly = i(− cos(φ)

∂ ∂ + cot(θ) sin(φ) ), ∂θ ∂φ

mentre, come gi`a sapevamo Lz = xpy − ypx = −i

∂ . ∂φ

Inoltre, L± ≡ Lx ± iLy = e±iφ [

∂ ∂ ± i cot(θ) ]. ∂θ ∂φ

→ −2 Calcoliamo L .   ∂ ∂ ∂ ∂ − cot(θ) cos(φ) − cot(θ) cos(φ) L2x = − − sin(φ) − sin(φ) ; ∂θ ∂φ ∂θ ∂φ sviluppando, ∂ ∂ ∂ ∂ × sin(φ) + sin(φ) × cot(θ) cos(φ) ∂θ ∂θ ∂θ ∂φ ∂ ∂ ∂ ∂ × sin(φ) + cot(θ) cos(φ) × cot(θ) cos(φ) , + cot(θ) cos(φ) ∂φ ∂θ ∂φ ∂φ

−L2x = sin(φ)

ma questi × sono prodotti non commutativi, cio`e prodotti di operatori, quindi −L2x =

  ∂ ∂ ∂ ∂ ∂2 cot(θ) cos(φ) + cot(θ) sin(φ) cos(φ) + sin(φ) 2 ∂θ ∂θ ∂φ ∂θ ∂φ ∂ ∂ ∂ + cot(θ) cos(φ)2 + cot(θ) sin(φ) cos(φ) ∂θ ∂φ ∂θ

sin(φ)2

2

∂ ∂ + cot(θ)2 cos(φ) sin(φ) ∂φ + cot(θ)2 cos(φ)2 ∂φ 2.

In tal modo, −[L2x + L2y ] = Poich´e cot(θ)2 + 1 =

1 sin(θ)2 ,

2 ∂2 ∂ 2 ∂ + cot(θ) + cot(θ) . ∂θ2 ∂θ ∂φ2

254

19 Trasformazioni a coordinate sferiche

−L2 =

∂ 1 ∂2 1 ∂ sin(θ) + sin(θ) ∂θ ∂θ sin(θ)2 ∂φ2

Si riconosce cos`ı che la nota espressione del Laplaciano si pu`o scrivere  ∂ 1 ∂ L2 ∇2 = 2 r2 − 2. r ∂r ∂r r

20 Sistema internazionale e sistema di Gauss

La forma (11) delle equazioni di Maxwell `e quella valida nel sistema di Gauss, che usa unit` a dei sistemi cgs elettrostatico ed elettromagnetico. Di conseguenza, nel sistema di Gauss il teorema della circuitazione si scrive  4πi , H · dl = c dove H `e il campo magnetico e i la corrente, e la legge di Faraday che esprima la forza elettromotrice in termini della derivata del flusso dell’induzione magnetica B `e 1 dΦ f =− . c dt Invece, nel Sistema Internazionale le equazioni di Maxwell nel vuoto sono → − → − ∇ · D = ρ, → − → − ∇ · B = 0, → − → − → − B, ∇ ∧ E = − ∂∂t

(20.1)

→ − → − → − − D +→ j, ∇ ∧ H = ∂∂t → − → − → − → − dove B = µ0 H , D = 0 E , c = √10 µ0 . La forza di Lorentz cambia anch’essa. Nel Sistema Internazionale questa `e → − → − − → − F = q[ E + → v ∧ B ], (20.2) ma nel sistema di Gauss si scrive → − v → − → − → − F = q[ E + ∧ B ]. c IL raggio di Bohr nel sistema di Gauss viene aB = 2

(20.3) h ¯2 me2 ,

mentre nel Sistema

η Internazionale aB = 0 πme eα= 2 . La costante di struttura fine `

e2 h ¯c

∼

1 137

nel

256

20 Sistema internazionale e sistema di Gauss 2

1 sistema di Gauss e diventa α = 2e0 hc ∼ 137 nel Sistema Internazionale. Nella Tabella 20.1 riportiamo le conversioni da un sistema all’altro.

Nome e simbolo Unit` a SI fattore Lunghezza l Metro m = 102 Massa m Kilogrammo Kg = 103 Forza F Newton = 105 Energia Joule = 107 Carica Coulomb = 3 · 109 Campo elettrico E Volt/m = 13 · 10−4 Induz. Magnetica B Tesla = 104 Flusso magn. Φ Weber = 108

Unita Gauss centimetri cm grammi g dine erg statcoulomb statvolt/cm Gauss Maxwell

Tabella 20.1. Conversione tra il sistema SI ed il sistema di Gauss

Indice

δ, 34 ampiezza di probabilit` a, 113 Angstr¨ om, 172 Angstrom, 52 armoniche sferiche, 168 aufbau, 206, 217 autofunzione, 119 autovettori, 149 Avogadro, 73 azione relativistica, 98 Balmer, 176 base, 148 Bell, 204 Berry , 199 Boltzmann, 50, 54, 61, 68, 75, 210, 213, 215 Bose, 205, 211, 214 bosoni, 205, 209 buco nero, 102 calcolatore quantistico, 219 calore specifico, 50, 52, 73, 214 cammini virtuali, 17 campo centrale, 206 capostazione, 79 Carnot, 46 catastrofe ultravioletta, 53, 74 celle, 69, 210, 211, 214 ciclo, 46, 54 Clausius, 46 coefficienti di Clebsch-Gordan, 194 collasso della funzione d’onda, 115, 184

colore, 52 commutatori, 114, 151, 156 complessioni, 61 completezza, 151 composizione delle velocit` a, 92 condensazione di Bose, 214 condizioni al contorno, 127 continuo, 126, 133 coordinate sferiche, 163, 165, 217, 251 corpo nero, 52, 74, 212 corrente, 94, 121, 128 costante di Planck, 105 Cramer, 133 criptografia quantistica, 197 cronotopo di Minkowski, 93 De Broglie, 108 decadimento dei nuclei, 136 decoherence, 220 Deutsch, 111, 220 deviazione standard, 116 Dialogo dei Massimi Sistemi, 77 diffrazione, 106, 108 Dirac, 33, 188, 214 distribuzione canonica, 66, 214 distribuzioni, 33 doppia fenditura, 110 dualismo onda-corpuscolo, 108 Dulong, 74, 214 effetto effetto effetto effetto

Auger, 136 Bohm-Aharonov, 110 Doppler, 96 Josephson, 137

258

Indice

effetto M¨ ossbauer, 97 effetto Stark - Lo Surdo, 227 effetto tunnel, 134 effetto Zeeman, 178 Einstein, 74, 77, 83, 101, 108, 117, 204, 211, 214 energia di Fermi, 217 energia di punto zero, 142 energia di riposo, 98 energia interna, 45, 55, 71 energia libera, 48 ensemble, 59 ensemble canonico, 65 ensemble grancanonico, 76 ensemble microcanonico, 60 entalpia, 48 entropia, 47, 50, 54, 62, 64, 71 equazione agli autovalori, 112 equazione di continuit` a, 121 equazione di Pauli, 189 equazione di Schr¨ odinger, 159 equazione per gli stati stazionari, 120 equazioni canoniche, 23 equazioni di Maxwell, 41, 255 equazioni lagrangiane, 12, 28 equilibrio, 45 equipartizione, 72 estremi fissi, 20 etere, 81 Eulero, 12, 241 fase, 94, 117, 127, 198 fattore giromagnetico, 181 Fermi, 205, 214, 215, 219, 230 FermiDirac, 214 fermioni, 205, 209 Feynman, 122, 220, 236 fondo di radiazione cosmica, 83 forza centrifuga, 100 forza di Lorentz, 27, 99, 190, 255 fotone, 128, 212 fotoni, 108 Fourier, 107, 151, 160, 244 funzione analitica, 33 funzione d’onda, 112, 147 funzione di distribuzione, 59 funzione di Fermi, 215 funzione di partizione, 67, 71, 213 funzione di stato, 48

funzione generatrice, 24 funzioni radiali, 177 Galileo, 7, 77, 100 gas di Fermi, 215 gas perfetto, 50, 68, 218 gatto di Schr¨ odinger, 116 Gerlach, 182 Gibbs, 49, 57, 59, 63, 209 Green, 42, 247 Hamilton, 21 hamiltoniana, 22, 152 hamiltoniano, 119 He, 206, 214 Heavyside, 33 Heisenberg, 109, 122 Hermite, 143 Hilbert, 193 insieme, 59 insieme canonico, 65 insieme grancanonico, 76 insieme microcanonico, 60, 215 interferenza, 148 interferometro, 81, 86 interpretazione di Copenhagen, 115 intervallo, 91, 93 ipersfera, 38, 63 ipersuperficie, 62 Jeans, 74 jellium, 218 kelvin, 46 Kepler, 172 Kirchhoff, 52 Lagrange, 10, 70, 210, 215, 235, 242 lagrangiana, 79, 98, 99 Laguerre, 177 Landau, 190 laplaciano, 242, 254 legame a ponte di Idrogeno, 136 Legendre, 20, 48 legge di Faraday, 255 Lienard, 43 Liouville, 60 livello di Fermi, 215 lunghezza propria, 84

Indice macchinista, 79 massa gravitazionale, 101 massa inerziale, 101 matrici, 149 Maxwell, 41, 49, 57, 68, 80, 106, 255 metalli, 216, 218 Michelson, 81, 86 microscopio a effetto tunnel, 138 minima azione, 18 minimal coupling, 29 modello LCAO, 158 momenti generalizzati, 14 momento angolare, 151, 159, 166, 185, 192 momento di inerzia, 16 momento magnetico, 181 Newton, 7, 79, 106 normalizzazione, 122, 127 numeri quantici, 148 numero quantico principale, 175 operatore di annichilazione, 144, 157 operatore di creazione, 144, 157 operatore energia, 119 operatore impulso, 112 operatore iperdifferenziale, 179 operatori, 113 operatori hermitiani, 149 operatori lineari, 149 oscillatore, 138 oscillatore anarmonico, 237 oscillatore anarmonico quartico, 224 oscillatore armonico, 157, 165 osservabili, 147 pacchetto, 128 Pancharatnam , 198 paradosso dei gemelli, 89 paradosso di Gibbs, 63 paradosso E.P.R., 204 particella libera, 126 particelle distinguibili, 69, 209 particelle indistinguibili, 209, 211 particelle ingarbugliate, 203 Pauli, 185, 187, 191, 205 Peierls, 199 perturbazione di livelli degeneri, 225

259

perturbazione di livelli non degeneri, 222 perturbazione dipendenti dal tempo, 228 perturbazioni periodiche, 230 Petit, 74, 214 pirometro, 54 Pisa, 7, 83, 100 Planck, 46, 53, 61, 75, 105, 212 Podolsky, 204 Poisson, 29, 151 potenziale centrifugo, 170 potenziale chimico, 211, 215 potere emissivo, 54 pressione, 72 primo principio, 45 principio di equivalenza, 100 principio di indeterminazione, 113, 153, 160 principio di relativit` a, 77 principio di Relativit` a Generale, 84, 101 principio di sovrapposizione, 112 principio variazionale, 19, 22, 233, 234 principio zero, 45 probabilit` a, 112, 209 probabilit` a di transizione, 229 problema ergodico, 59 quadriaccelerazione, 94 quadriimpulso, 98 quadrivelocit` a, 94 quadrivettore, 94 quanti, 53, 54 raggio di Bohr, 172, 217 raggio di Schwarzschild, 102 raggio di Wigner-Seitz, 217 Rayleigh, 74 reazione, 11 red shift, 101 regola d’oro, 230 regole di selezione, 231 relativit` a dei tempi, 86 relativit` a delle lunghezze, 86 reversibile, 46, 51 risonanze, 136 Rosen, 204 rotatore, 10, 16, 151, 152, 226 rotazione, 179

260

Indice

rotazioni di spin, 188 Rydberg, 218 scambio, 208, 218 Schr¨ odinger, 80, 109, 122, 147, 201, 236 Schwarz, 148 secondo principio, 46 separazione delle variabili, 163 set completo, 149, 158 simultaneit` a, 84 singoletto, 195, 204, 206 sistema di Gauss, 255 sistema internazionale, 255 sistemi inerziali, 78 Slater, 205 solido, 74, 214 Sommerfeld, 216, 218 spazi di Hilbert, 148 spazio, 61 spazio µ, 69 spazio delle fasi, 58, 66, 209, 211 spettro, 74 spin, 181 stati legati, 131 Stefan, 54, 213 Stern, 182 Stirling, 64, 70, 210 stirling, 243 temperatura, 46 temperatura canonica, 65 tempo proprio, 84

tensori, 94 teorema di Bohr-van Leeuwen, 105 termodinamica, 45 Terra, 83 terzo principio, 52 transistor a elettrone singolo, 137 trasformazione di Lorentz, 90 trasformazione puntuale, 18 trasformazioni canoniche, 24, 155 trasformazioni di gauge, 191 trasformazioni puntuali, 14 traslazione, 179 tripletto, 195, 206 trivettore, 99 unit` a atomiche, 217 valore di aspettazione, 116, 149 variabile indipendente, 21 variabili canonicamente coniugate, 23 variabili indipendenti, 13, 23, 25 velocit` a della luce, 81 velocit` a della Terra, 81 velocit` a di gruppo, 128 Wiechert, 43 Wien, 52 Zartmann, 57 Zeeman, 178 zero assoluto, 52, 215