Mathe-Magie: Verblüffende Tricks für blitzschnelles Kopfrechnen und ein phänomenales Zahlengedächtnis, 3. Auflage

Arthur Benjamin Michael Shermer

ATHE AGIE Verblüffende Tricks für blitzschnelles Kopfrechen und ein phänomenales Zahlengedächtnis Aus dem Amerikanischen von Martin Bauer

WILHELM HEYNE VERLAG MÜNCHEN

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Verlagsgruppe Random House FSC-DEU-oroo Das für dieses Buch verwendete FSC-zertifizierte Papier Mürn:hen Super liefert Mochenwangen.

Dieamerikan ische Erstausgabe ersch ien 2006 unter dem Titel »Secrets of mental math<< im Verlag Three Rivers Press, New York Aus dem Amerikanischen von Martin Bauer 3· Auflage Deutsche Erstausgabe 07/2007

© 2007 der deutschsprachigen Ausgabe by Wilhelm Heyne Verlag, München. Der Wuhelm Heyne Verlag ist ein Unternehmen der Verlagsgruppe Random House, GmbH Redaktion: Ernst Dahlke Umschlaggestaltung: Martina Eisele, Grafik-Design, München Layout. DTP-Produktion.: avak Publikationsdesign, München Druck ttnd Bindttng: GGP Media GmbH, Pößneck Printed in Gemany ISBN: 978-3-453-61502-1

Ich widme dieses Buch meiner Frau Deena und meinen Töchtern l..aurel und Ariel

Artnur Benjamin

Meine Widmung gilt meiner Frau Kim, meiner

engsten Vertrauten und persönlicher Ratgeberin.

Michael Shermer

DAN K SAG UNG EN Die Autoren möchten Steve Ross und Katie McHugh von Random House für ihre Unterstützung dieses Projekts dan­

ken. Einen besonderen Dank an Natalya St. Clair fiir das Set­ zen des ersten Entwurfs, das teilweise durch einen Zuschuss von der Mellon Foundation finanziert wurde. Arthur Benjamin möchte besonders jenen danken, die ihn dazu inspiriert haben, ein Mathematiker und Magier zu wer­ den - der Wahrnehmungspsychologe William G. Chase, die Magier Paul Gertner und James Randi sowie die Mathemati­ ker Alan J. Goldman und Edward R. Scheinennan. Zum Schluss noch Dank an all meine Kollegen und Studenten am Harvey Mudd College, an meine Frau Deena und meine Tochter Laure} und Arie} fiir ständige Inspiration.

Inhalt

Vorwort von Bill Nye (dem Science Guy®)

10

Vorwort von James Randi

15

Vorwort von Michael Shermer

18

Einleitung von Art Benjamin

22

0.

KA PIT EL

Schnelle Tricks - einfache (und beeindruckende) Rechnungen 1.

24

K A P I T EL

Ein bisschen Geben und nehmen - Addition und Subtraktion im Kopf 2.

34

K A P I T EL

Das Ergebnis einer verschwendeten Jugendeinfache Multiplikation

52

3. K A P I T EL Neue und noch bessere ProdukteMultiplikation mit Zwischenprodukten

76

4 . K A P I T EL Teile und herrsche- Division im Kopf

8

103

I N HALT

5 . K A P I TEL Passt schon- die Kunst des Überschiagens

12 9

6. K A P I T E L Mathe für die Tafel- rechnen mit Papier und Stift 7.

153

K A P I T EL

Ein erinnerungswürdiges Kapitel- wie man sich Zahlen merkt

173

8 . K A P I TEL Das Schwere leicht gemacht- Multiplikation für Fortgeschrittene

9.

184

K A P I T EL

Ohne Kaninchen und Zylinder- die Kunst der Mathe-Magie

=.

221

K A P ITEL

Epilog - Mathematik und Obersinnliches

2 45

Lösungen der Übungsaufgaben

257

Bibliographie

2 98

Sachregister

300

Die Autoren

304 9

Vorwort von Bill Nye (dem Science Guy®)

I kamen, dass man Dinge zählen könnte. Sie müssen schnell

eh stelle mir gern die ersten Menschen vor, die darauf

gemerkt haben, dass abzählen mit den Fingern toll funktio­ niert. Vielleicht sagte Og (ein typischer damaliger Höhlen­ mensch), einer seiner Freunde oder Partner: »Hier sitzen eins, zwei, drei, vier, fünf von uns, wir brauchen also fünf Früchte. Später hat dann bestimmt jemand gesagt (oder ge­ grunzt): »Schaut mal! Man kann die Zahl der Leute um ein Lagerfeuer zählen, die Zahl der Vögel auf einem Baum, der Steine in einer Reihe, der Scheite für ein Feuer, der Beeren in einer Traube - allein mit den Fingern!« Das war ein guter An­ fang. Wahrscheinlich sind auch Sie genau so zum ersten Mal mit Zahlen in Kontakt gekommen. Vielleicht haben Sie gehört, dass Mathematik die Sprache der Wissenschaft sei oder dass die Natur sich der Mathematik als Sprache bediene. Nun, das stimmt. Je mehr wir über das Uni­ versum lernen, desto klarer werden uns die mathematischen Zusammenhänge darin. Blütenblätter sind in Spiralen ange­ ordnet, die einer speziellen Abfolge von Zahlen folgen (so genannten Fibonacci-Zahlen), die Sie verstehen und selbst generieren können. Muscheln formen sich in perfekten ma­ thematischen Kurven (logarithmischen Spiralen), die aus einem chemischen Gleichgewicht resultieren. Sternenhau­ fen ziehen sich in einem mathematischen Tanz gegenseitig an, den wir aus Millionen und selbst Milliarden Kilometern Entfernung beobachten und verstehen können. Wir haben Jahrhunderte damit verbracht, die mathematische 10

Natur der Natur zu entdecken. Bei jeder neuen Erkenntnis musste jemand die Berechnungen überprüfen und sicher­ stellen, dass die Zahlen stimmten. Mathe-Magie kann Ihnen dabei helfen, Zahlen aller Art zu beherrschen. Das Kopfrech­ nen wird Ihnen so vertraut werden, dass sich Ihnen einige Zahlengeheimnisse der Natur eröffnen werden. Und wer weiß, wohin Sie das führt? Bei Zahlen fängt alles mit den Fingerspitzen an. Fast jeder hat zehn Finger, deswegen begann unser mathematisches System mit 1 und ging bis 10. (Im Englischen heißen sowohl die Zahlen als auch die Finger »digits«. Zufall? Wohl kaum.) Allerdings gingen unseren Vorfahren ziemlich schnell die Finger aus. Das gleiche ist Ihnen wahrscheinlich auch pas­ siert. Dennoch können wir nicht einfach große Zahlen igno­ rieren und die Hände in den Schoß legen. Wir brauchen Zahlen - sie gehören zum Alltagsleben, so sehr, dass es uns oft gar nicht mehr auffällt. Angenommen, Sie wollten mit einem Freund plaudern. Um ihn anzurufen, brauchten Sie eine Telefonnummer, und die Dauer des Ge­ sprächs wurde mit Zahlen in Stunden und Minuten festge­ halten. Alle historischen Daten, darunter so wichtige wie Ihr Geburtstag, werden in Zahlen festgehalten. Wir verwenden sogar Zahlen in Zusammenhängen, die nichts mehr mit Zählen zu tun haben. Dass mit »Gib mir mal den 17-er« ein Flaschenöffner gemeint ist, wissen inzwischen längst nicht mehr nur Bauarbeiter (mit dem 1 7-er Schlüssel kann man Kronkorken am besten öffnen) und die Zahlenfolge 9-1 1 ist längst zum Symbol für eine Zeitenwende geworden. Men­ schen beschreiben einander in Zahlen, die Größe oder Ge­ wicht ausdrücken. Und natürlich wollen wir alle in Zahlen wissen, wie viel Geld wir haben und was etwas kostet, sei es in Euro, Dollar, Pesos, Yuan, Rupien, Kronen oder Yen. Zu11

sätzlich hat dieses Buch ein zeitsparendes Kapitel darüber, wie man sich Zahlen merkt - und zwar eine große Menge Zahlen. Sollten Sie aus irgendeinem Grund nicht besonders verses­ sen auf Mathe sein, lesen Sie trotzdem ein bisschen weiter. Natürlich hoffe ich als Wissenschaftsjournalist, dass Sie Mathe mögen. Tatsächlich hoffe ich sogar, dass Sie Mathe lie­ ben. Doch egal, was Sie für Mathematik empfinden, Liebe oder Hass: Sicher geschieht es Ihnen oft, dass Sie ein Ergeb­ nis sofort wissen wollen, ohne alles erst penibel hinschreiben und dann langsam und sorgfältig ausrechnen zu müssen. Oder gar einen Rechner suchen zu müssen. Sie wollen die Lösung sozusagen »wie durch Zauberei« erhalten. Nun ist es aber so, dass Sie viele, viele mathematische Probleme fast wie durch Zauberei lösen oder anpacken können. Dieses Buch zeigt Ihnen, wie. Zauberei wird erst dadurch so verblüffend und unterhaltsam, dass das Publikum in der Regel nicht weiß, woraus der Trick besteht. »Wie hat sie das gemacht ... ?« >>Keine Ahnung, aber das war cool.« Wenn Sie ein Publikum haben, können die Tricks und Abkürzungen, die in Mathe-Magie vorgestellt wer­ den, wie Zauberei wirken. Das Publikum weiß oft nicht, wie ein Trick funktioniert, es genießt einfach. Beachten Sie aller­ dings den Unterschied: Zauberkunststücke lohnen sich nicht, wenn keiner zuschaut. Auch geht der Spaß an den Tricks in diesem Buch nicht verloren, wenn man weiß, wie sie funktionieren. Wenn einem das Kopfrechnen leicht fällt, verheddert man sich nicht im Zahlengestrüpp - man behält den freien Blick auf die wunderbare Natur der Zahlen. Schließlich beruht das ganze Universum auf Mathematik. Dr. Benjamin ist rein aus Spaß unter die Blitz-Kopfrechner gegangen. Wir müssen uns vorstellen, wie er seine Lehrer 12

B I L L N YE

und Mitschüler beeindruckt hat. Zauberer vermitteln ihrem Publikum die Illusion, sie beherrschten übernatürliche Kräf­ te. Mathemagiker scheinen auf den ersten Blick Genies zu sein. Leute darauf aufmerksam zu machen, was man tut, ge­ hört seit jeher zum Prozess des Gedankenaustauschs. Wenn Leute beeindruckt sind, hören sie vielleicht auf das, was Sie zu sagen haben. Versuchen Sie sich also ein wenig als »Ma­ themagiker«. Na gut, vielleicht können Sie Ihre Freunde be­ eindrucken. Aber Sie werden feststellen, dass Sie auch Tricks vollführen, wenn Sie allein sind. Sie werden feststellen, dass Sie Probleme lösen können, von denen Sie das nie geglaubt hätten. Sie werden beeindruckt sein . von sich selbst. An den Fingern abzählen, das ist eines. Aber haben Sie je beim Rechen laut gezählt, geflüstert oder andere Geräusche gemacht? Dadurch wird Mathematik fast immer einfacher. Das Problem ist allerdings, dass die anderen Leute einen für ein wenig seltsam halten. Nun, in diesem Buch bringt Ihnen Dr. Benjamin bei, wie Sie die »laut vorsagen«-Funktion des Gehirns nutzen, um Matheprobleme einfacher, schneller und (überraschenderweise) genauer zu lösen, während das Gehirn weiterdenkt - es ist fast, als ob man laut dächte. Sie werden lernen, Mathematikaufgaben so anzugehen, wie Sie einen Text lesen, von links nach rechts. Sie werden lernen, komplizierten Aufgaben schnell mit einer guten Schätzung zu Leibe zu rücken. Sie werden lernen, die Berechnungen schnell durchzuführen - das gibt Ihnen Zeit, darüber nach­ zudenken, was die Zahlen bedeuten. Og fragte sich: »Haben wir genügend Früchte für alle, die hier ums Feuer sitzen? Wenn nicht, könnte es Probleme geben.<< Heutzutage fragen Sie sich vielleicht: »Habe ich genug Platz auf dem Computer, um meine Musikdateien zu verwalten ... oder meine Bankda­ ten? Wenn nicht, könnte es Probleme geben.« ..

13

In diesem Buch geht es nicht nur um Kopfrechnen. Sie kön­ nen lernen, ein beliebiges Datum zu nehmen und zu berech­ nen, was für ein Wochentag das war. Es ist fantastisch, fast magisch, wenn man jemandem sagen kann, an welchem Wo­ chentag er geboren wurde. Noch beeindruckender aber ist es, wenn man berechnen kann, dass der amerikanische Unab­ hängigkeitstag, der 4. Juli 1776, auf einen Donnerstag fiel. Der 15. April 1912, der Tag, an dem die Titanic sank, war ein Montag. Der erste Mensch betrat am 20. Juli 1969 den Mond, einem Sonntag. Wahrscheinlich werden Sie nie vergessen, dass die Vereinigten Staaten am 11. September 2001 von Ter­ roristen angegriffen wurden. Mit Hilfe dieses Buchs werden Sie jederzeit zeigen können, dass das an einem Dienstag ge­ schah. Es gibt Zusammenhänge in der Natur, die sich besser mit Zahlen beschreiben lassen als irgendwie sonst. Es gibt ganze Zahlen, die man mit den Fingern abzählen kann: eins, zwei, drei usw. Aber dazwischen gibt es unendlich viele Zahlen. Es gibt Bruchzahlen. Es gibt Zahlen, die niemals enden. Zahlen können so groß werden wie man will und so klein, dass man sie sich kaum mehr vorstellen kann. Sie können all diese Zahlen kennenlernen. Mit Hilfe von Mathe-Magie werden selbst diese Zahlen ))dazwischen« so schnell in ihrem Gehirn auftauchen, dass Ihnen mehr Zeit dafür bleibt nachzuden­ ken, warum unsere Welt so funktioniert. Dieses Buch wird Sie erkennen lassen, dass in der Natur alles aufgeht, so oder so.

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Vorwort Von ]ames Randi

D ordentlich nützliche Sprache. Sie hat ihr eigenes Voka­ ie Mathematik ist eine wunderbare, elegante und außer­

bular und eine eigene Syntax, ihre eigenen Verben, Substan­ tive und Adjektive, eigene Dialekte und Mundarten. Manche sprechen sie brillant, manche gebrochen. Manche von uns schrecken davor zurück, ihre esoterischen Einsatzmöglich­ keiten auszunutzen, während andere sie wie ein Schwert schwingen und sich erfolgreich auf Steuererklärungsformu­ lare stürzen oder auf Datenberge, an denen die Zaghaften scheitern. Dieses Buch verspricht nicht, Sie in einen Leibniz zu verwandeln (weder in den Keks, noch in den genialen Ma­ thematiker) oder Sie zu einem bühnenreifen Zahlenakroba­ ten zu machen. Aber es wird Ihnen hoffentlich eine neue, spannende und sogar unterhaltsame Einsicht in das vermit­ teln, was man mit dieser wunderbaren Erfindung - Zahlen anstellen kann. Wir alle glauben, genug über Mathematik zu wissen, um uns so durchzuschlagen. Und fuhlen uns überhaupt nicht schul­ dig, wenn wir zum praktischen Taschenrechner greifen, der so sehr Teil unseres Lebens geworden ist. Aber wenn wir uns zu sehr auf die Technik verlassen, entgeht uns ein Vergnü­ gen, das uns dieses Buch vermitteln kann. Das verhält sich genau so, wie eine Fotografie uns möglicherweise für die Schönheit eines Gemäldes von Vermeer blind macht oder ein elektronisches Keyboard uns vielleicht vergessen lässt, wie großartig eine von Horawitz gespielte Sonate klingt. Ich erinnere mich noch an meine Begeisterung, nachdem ich 15

als Kind entdeckt hatte, dass ich eine Zahl ganz einfach mit 25 multiplizieren konnte, indem ich zwei Nullen an sie an­ fügte und sie durch 4 teilte. Als nächstes kam die 9-er Probe zur Überprüfung von Multiplikationen. Und nachdem ich von der Kreuzmultiplikation erfahren hatte, wurde ich süch­ tig und, vorübergehend, ein unerträglicher Mathefreak Eine Impfung gegen diesen Virus gibt es nicht. Sie müssen die Krankheit ganz aus eigener Kraft überstehen. Hüten Sie sich! Das ist ein unterhaltsames Buch. Sie hätten es nicht in die Hand genommen, wenn Sie nicht entweder ein Interesse daran hätten, schneller im Kopfrechnen zu lernen oder sich ganz allgemein für Mathematik interessierten. Und selbst wenn Sie nur einen Teil der verschiedenen hier vorgestellten Tricks und Methoden auch wirklich verinnerlichen und spä­ ter anwenden sollten, hätten Sie Ihre Zeit schon gut angelegt. Ich kenne beide Autoren ziemlich gut. Art Benjamin ist nicht nur einer jener Wunderknaben, über die wir in der Schule so gestöhnt hab en, sondern ist bekanntlich schon auf den Bret­ tern des Magie Castle in Hollywood gestanden. Dort hat er seine Kunst auf der Bühne demonstriert. Einmal reiste er auch nach Tokio, um seine Fähigkeiten live im Fernsehen mit denen einer genialen Mathematikerin zu messen. Michael Shermer verfügt mit seinem Spezialistenwissen auf dem Ge­ biet der Naturwissenschaften über einen exzellenten Über­ blick über die praktischen Anwendungen der Mathematik in der Welt da draußen. Falls dies das erste Mal sein sollte, dass Sie mit dieser Art von faszinierender Mathematik in Berührung kommen, beneide ich Sie. Bei jeder köstlichen neuen Art, mit Zahlen umzuge­ hen, die Sie kennen lernen, werden Sie feststellen, was Sie in der Schule verpasst haben. Die Mathematik, insbesondere die Arithmetik, ist ein mächtiges und verlässliches Werkzeug 16

für den täglichen Gebrauch. Sie ermöglicht uns, unser kom­ pliziertes Leben präziser und sicherer zu steuern. Lassen Sie sich von Art und Michael zeigen, wie man einige Klippen des Lebens umschifft und mehr Klarheit gewinnt. Bedenken Sie die Worte von Dr. Samuel Johnson, eines in jeder Hinsicht außerordentlich praktisch denkenden Menschen: »Die Arith­ metik unterhält, wenn man für sich übt, und beeindruckt, wenn man sie öffentlich nützlich anwendet.« In allererster Linie sollten Sie dieses Buch genießen, sich von ihm unterhalten und amüsieren lassen. Was könnte man vom Leben mehr verlangen? Na gut, eine heiße Pizza (ohne Anchovis!) und gute Freunde. Ein gutes Gewissen. Und viel­ leicht einen Ferrari ...

17

Vorwort von

Michael Shermer

M professor am Harvey Mudd College im kalifornischen ein guter Freund Dr. Arthur Benjamin, Mathematik­

Claremont, betritt unter Applaus die Bühne des Magie Cast­ le, eines gefeierten Magieklubs in Hollywood. Er tritt als ))Mathemagiker« auf, als unglaublich schneller Kopfrechen­ Künstler. Art sieht überhaupt nicht aus wie ein Mathematik­ professor an einem angesehen College. Er ist erstaunlich geistesgegenwärtig und scheint prima zu den jungen Zaube­ rern zu passen, die im Castle auftreten. Was Art so auszeichnet, ist, dass er vor jedem beliebigen Pu­ blikum auftreten kann, auch vor Profi-Mathematikern und -Zauberern. Denn er kann etwas, was sonst fast niemand be­ herrscht. Art Benjamin kann Zahlen schneller im Kopf ad­ dieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren als die meisten Leute mit einem Rechner. Er quadriert zwei-, drei­ und vierstellige Zahlen, zieht Quadrat- und Kubikwurzeln, ohne etwas notieren zu müssen. Und er kann auch Ihnen beibringen, mathematische Kunststücke zu vollführen. Normalerweise verraten Zauberer nie, wie ihre Tricks funk­ tionieren. Täten sie das, wüsste bald jeder Bescheid. Das Mys­ terium, die Faszination wären dann weg. Aber Art möchte die Leute für Mathematik begeistern. Und er weiß, dass eine der besten Methoden dafür darin besteht, Ihnen und den ande­ ren Lesern das Geheimnis hinter seinem ))mathematischen Genie« zu verraten. Mit den hier vorgestellten Tricks kann fast jeder nachmachen, was Art Benjamin zeigt, wenn er auf die Bühne steigt. 18

MICH AEL S H E R M E R

Dieser Abend im Magie Castle beginnt damit, dass Art fragt, ob irgendjemand im Publikum einen Taschenrechner dabei habe. Eine Gruppe Ingenieure hebt die Hände und wird auf die Bühne gebeten. Art schlägt vor zu überprüfen, ob sie auch richtig funktionieren. Er bittet die Zuschauer, zweistel­ lige Zahlen zu rufen. »Siebenundfünfzig«, ruft einer, »drei­ undzwanzig« ein anderer. Art wendet sich den Ingenieuren auf der Bühne zu und sagt: »Multiplizieren Sie auf den Taschenrechnern 57 mit 23 und kontrollieren Sie, ob Sie 1.311 bekommen. Sonst funktionie­ ren die Rechner nicht richtig.« Geduldig wartet Art darauf, dass die Freiwilligen die Zahlen eintippen. Als alle das Ergeb­ nis 1.31 1 bestätigen, geht ein kollektives Raunen durchs Pu­ blikum. Der verblüffende Art hat die Taschenrechner in ihrer eigenen Domäne geschlagen! Als nächstes kündigt Art an, er werde vier zweistellige Zah­ len schneller quadrieren, als die Ingenieure es mit ihren Ta­ schenrechnern können. Das Publikum bittet ihn, die Zahlen 24, 38, 67 und 97 zu quadrieren. Art schreibt in großen Zif­ fern: 576, 1.444, 4.489, 9.409. Dann wendet er sich den Frei­ willigen auf der Bühne zu und bittet sie, die Ergebnisse aus­ zurufen, die sie bekommen. Ihre Antworten lösen Staunen und Applaus im Publikum aus: 576, 1.444, 4.489, 9.409. Der Frau neben mir steht vor Verblüffung der Mund offen. Als nächstes kündigt Art an, dreisteilige Zahlen zu quadrie­ ren, ohne die Antwort auch nur hinzuschreiben. »Fünfhun­ dertzweiundsiebzig«, ruft ein Herr. Art antwortet keine Se­ kunde später: »572 zum Quadrat macht 327.184.« Sofort zeigt er auf einen anderen Zuschauer, der ruft »389«. Ohne mit der Wimper zu zucken, antwortet Art: »389 zum Quadrat gibt 151.321«. Jemand platzt heraus: »262«. >>Das macht 68.644.« Art spürt, dass er für die letzte Antwort etwas zu lange ge19

braucht hat, und verspricht, die Zeit bei der nächsten wieder hereinzuholen. Die Herausforderung kommt - 991. Art qua­ driert die Zahl ohne Zögern: >>982.081«. Es folgen weitere dreisteHige Zahlen, kontert jedes Mal mit der korrekten Lö­ sung. Einige Leute im Publikum schütteln ihre Köpfe un­ gläubig. Nun hat Art das Publikum ganz in seinen Bann gezogen. Er erklärt, eine vierstellige Zahl quadrieren zu wollen. Eine Frau ruft: >>1.036«. Art antwortet unverzüglich: >>Das macht 1.073.296.« Das Publikum lacht, während Art erklärt: >>Nein, nein, das war eine zu einfache Zahl. Bei dieser Art Problem dürfte ich die Taschenrechner eigentlich nicht schlagen kön­ nen. Noch eine bitte.(( Ein Mann schlägt schwierigere 2.843 vor. Art antwortet, mit kurzen Pausen zwischen den Zahlen: >>Mal sehen, das Quadrat davon müsste sein 8 Millionen ... 82 Tausend ... 649.(( Natürlich stimmt das. Stürmisch bekundet das Publikum seine Begeisterung - genauso laut wie bei dem Magier zuvor, der eine Frau entzweisägte und einen Hund verschwinden ließ. Es ist immer das Gleiche, egal wo Art Benjamin erscheint: im Hörsaal einer High School, im Seminarraum eines Col­ lege, im Magie Castle oder in einem Fernsehstudio. Professor Benjamin hat seine spezielle Art der Magie in ganz Amerika vorgeführt und ist in zahlreichen Talkshows aufgetreten. Er wurde von einem Wahrnehmungspsychologen an der Carne­ gie Mellon University untersucht und taucht in einem Fach­ buch von Steven Smith auf: The Great Mental Calculators: The Psychology, Methods, and Lives ofCalculating Prodigies, Past and Present. Art wurde am 19. März 1961 in eleveland geboren (nach seiner Berechnung ein Sonntag. Im 9. Kapitel wird er Ihnen beibringen, wie das geht). Als hyperaktives Kind trieb er seine Lehrer mit seinen Possen im Unterricht zum Wahn�

20

M I CHAEL S H E R M ER

sinn, unter anderem damit, dass er die Rechenfehler korri­ gierte, die sie gelegentlich machten. Im Verlauf des Buchs wird Art jeweils zurückblicken, wann er einen mathemati­ schen Trick gelernt hat, bevor er ihn Ihnen beibringt. Deswe­ gen werde ich hier auf diese faszinierenden Anekdoten nicht weiter eingehen. Art Benjamin ist ein ganz außergewöhnlicher Mensch mit einem außergewöhnlichen Ansatz, wie er Ihnen schnelles Kopfrechnen beibringen wird. Diese Behauptung kommt mir über die Lippen, ohne dass ich zögern müsste. Allerdings möchte ich Sie bitten, im Auge zu behalten, dass wir Ihnen hier nicht das Blaue im Himmel versprechen, wenn Sie nur unsere 0190-er Nummer anrufen. Art und ich haben in zwei reichlich konservativen akademischen Fachbereichen einen Ruf zu verlieren - Art auf dem Feld der Mathematik, ich auf dem Feld der Wissenschaftsgeschichte - und wir wür­ den nie riskieren, uns beruflich (oder sonst wie) zu blamie­ ren, indem wir unhaltbare Versprechen machen. Schlicht ge­ sagt: Dieses Zeug funktioniert, und fast jeder kann es beherrschen, weil diese Art ��mathematischen Genies« eine erworbene Fähigkeit ist. Freuen Sie sich also darauf: Sie wer­ den Ihre Mathekünste verbessern, Ihre Freunde beeindru­ cken, Ihr Gedächtnis schulen und, vor allen Dingen, sich köstlich amüsieren. •

21

Einleitung

S

chon als Kind spielte ich gerne mit Zahlen, und ich hoffe, Ihnen über dieses Buch meine Leidenschaft vermitteln zu können. Ich fand immer, dass Zahlen eine gewisse magi­ sche Anziehungskraft haben, und verbrachte zahllose Stun­ den damit, mich und andere mit ihren schönen Eigenschaf­ ten zu unterhalten. Schon im Teenager-Alter trat ich als Zauberer auf und ver­ band dann später meine zwei großen Leidenschaften, die Ma­ thematik und die Magie zu einer abendfüllenden Show. Als Mathemagiker demonstrierte und erklärte ich die Geheimnis­ se blitzschnellen Kopfrechnens vor Zuschauern aller Alters­ gruppen. Ich lehre am Harvey Mudd College, seit ich meinen Doktor gemacht habe, und es macht mir noch immer Spaß, meine Freude an Zahlen mit Kindem und Erwachsenen in aller Welt zu teilen. In diesem Buch werde ich alle meine Geheim­ nisse verraten, wie man im Kopf rechnet, schnell und einfach. (Mir ist klar, dass Magier ihre Tricks nicht verraten sollen, aber Mathemagiker folgen einem anderen Verhaltens­ kodex. Mathematik sollte Ehrfurcht einflößend sein, nicht mysteriös.) Was werden Sie aus diesem Buch lernen? Sie werden lernen, schneller im Kopf zu rechnen, als Sie je für möglich gehalten hätten. Mit ein bisschen Übung werden Sie Ihr Zahlenge­ dächtnis dramatisch verbessern. Sie werden Geisteskunststü­ cke erlernen, mit denen Sie Freunde, Kollegen und Lehrer be­ eindrucken können. Aber Sie werden auch erfahren, dass die 22

ART BENJAM I N

Beschäftigung mit Mathematik tatsächlich Freude bereiten kann. Nur zu oft wird Mathematik als ein System aus festen Regeln gelehrt, in dem wenig Platz für kreatives Denken bleibt. Eines aber werden Sie in diesem Buch lernen: Es gibt oft mehrere Wege zur Lösung eines Problems. Komplexe Aufgaben kön­ nen in kleinere, leichter lösbare Teile zerlegt werden. Beson­ derheiten in den Zahlen können genutzt werden, um Lö­ sungswege abzukürzen. Aus diesem Ansatz kann man meiner Ansicht nach etwas Wertvolles fürs Leben lernen, egal ob es um mathematische oder sonstige Aufgabenstellun­ gen geht. Ständig werde ich gefragt: »Aber wird man nicht einfach mit einer Begabung für Mathematik geboren?(( Viele Leute sind überzeugt, dass schnelle Kopfrechner über besondere Talen­ te verfügen. Vielleicht wurde ich mit einer gewissen Neugier dafür geboren, wie Dinge funktionieren, sei es jetzt ein ma­ thematisches Problem oder ein Zaubertrick. Aber aufgrund meiner jahrelangen Lehrtätigkeit bin ich überzeugt, dass schnelles Kopfrechnen eine Fähigkeit ist, die jeder erlernen kann. Wie bei jeder nützlichen Fähigkeit allerdings benötigt man Übung und Hingabe, will man ein Experte werden. Um diese Ergebnisse aber effizient zu erreichen, muss man un­ bedingt richtig üben. Lassen Sie mich zeigen, wie! Mit mathemagischen Grüßen Dr. Arthur Benjamin Claremont (Kalifornien)

23

0.

K API T E L

Schnelle Tricks - einfache (und beeindruckende) Rechnungen

A

ufden folgenden Seiten werden Sie lernen, schneller im Kopf zu rechnen, als Sie je für möglich gehalten hätten. Wenn Sie die vorgestellten Methoden nur eine kurze Zeit lang üben, werden Sie Ihre Fähigkeit, mit Zahlen umzuge­ hen, dramatisch ve�bessern. Mit zusätzlicher Übung werden Sie viele Berechnungen schneller anstellen können als je­ mand mit einem Taschenrechner. In diesem Kapitel verfolge ich das Ziel, Ihnen einige einfache und doch beeindrucken­ de Rechenmethoden beizubringen, die Sie sofort anwenden können. Das ernsthaftere Zeug sparen wir uns für später. S O FO RT- M U LT I P L I KAT I O N

Lassen Sie uns mit einer meiner Lieblingsmethoden beim Kopfrechnen anfangen: wie man jede zweistellige Zahl mal elf nimmt. Das ist ganz einfach, wenn man erst den Trick kennt. Nehmen Sie die Aufgabe: 32

)(

11

Um sie zu lösen, addiert man einfach die Ziffern der Zahl, 3 2 �. setzt die 5 zwischen die 3 und die 2 und erhält die Lö­ sung: 352

+

24

=

SOFORT·M U LTI PLI KATION

Was könnte einfacher sein? Jetzt sind Sie dran: 53 )( 1 1 Da 5 + 3 = 8 lautet die Antwort einfach 583 Noch eine. Schauen Sie nicht auf die Lösung, schreiben Sie nichts hin. Wie viel macht 81 >< 1 1 ? Haben Sie 891 erhalten? Glückwunsch! Jubeln Sie aber nicht zu früh, denn ich habe Ihnen erst die Hälfte dessen gezeigt, was Sie wissen müssen. Angenom­ men, die Aufgabe lautet: 85

)(

11

Obwoh18 + 5 = 1 3, lautet die Lösung nicht 8.1 35! Wie zuvor, schiebt man die �zwischen die Ziffern, aber die! muss zur 8 hinzu gezählt werden, damit man die richtige Antwort erhält: 935 Betrachten Sie die Aufgabe folgendermaßen 835 935 Hier kommt ein weiteres Beispiel. Versuchen Sie 57 x 11. Da 5 + 7 = 12 , ist die Lösung 1

527 627 25

SC H N ELLE T R I CKS

Gut, nun sind Sie dran. Sagen Sie so schnell wie möglich, wie viel ist 77 xll?

Wenn Sie auf 847 gekommen sind, dürfen Sie sich auf die Schultern klopfen. Sie sind auf dem besten Weg, Mathemagi­ ker zu werden. Nun weiß ich aus Erfahrung: Wenn man einem Freund oder Lehrer erzählt, man könne jede zweistellige Zahl mit elf mul­ tiplizieren, fragt der einen über kurz oder lang, wie viel 99 x 1 1 ist. Rechnen wir das gleich aus, dann sind Sie vorbereitet. Da 9 + 9 = 18, lautet die Antwort 989 1 .089

Schön; nehmen Sie sich einen Moment Zeit und üben Sie Ihre neue Kunst ein paar Mal, bevor Sie anfangen, sie öffent­ lich zu präsentieren. Sie werden erstaunt über die Reaktio­ nen sein, die Sie bekommen. (Es steht Ihnen frei, das Ge­ heimnis zu verraten oder nicht.) Willkommen zurück. Mittlerweile werden Sie vermutlich ein paar Fragen haben, zum Beispiel: »Kann man diese Methode auch benutzen, um drei- (oder mehr)steUige Zahlen mit elfzu multiplizieren?«

Absolut. Beispielsweise beginnt die Lösung der Aufgabe 314 x 11 noch immer mit 3 und endet mit 4. Da 3 + 1 = 4 und 1 + 4 = �. lautet die Antwort 3.454. Aber wir heben uns Aufgaben dieser Art für später auf. Wenn Sie etwas praktischer orientiert sind, fragen Sie sich vielleicht: 26

QUAD R I E R E N U N D M E H R

»Nun, das ist ja prima, u m mit

u

z u multiplizieren. Aber wie

steht es mit größeren Zahlen? W�e nehme ich mal zwölf, dreizehn

oder sechsunddreißig?«

Meine Antwort darauf lautet: Geduld! Davon handelt der ganze Rest des Buches. In den Kapiteln 2, 3, 6 und 8 werden Sie lernen, wie man so ziemlich alle beliebigen Zahlen mitei­ nander multipliziert. Noch besser: Sie brauchen sich nicht für jede Zahl eine eigene Regel zu merken. Um beliebige Zahlen schnell und problemlos im Kopf zu multiplizieren, braucht man nur eine Handvoll Methoden. Q UA D R I E R E N U N D M E H R

Hier kommt noch ein schneller Trick. Sie wissen wahrscheinlich, dass man, um das Quadrat einer Zahl zu erhalten, diese Zahl mit sich selbst multipliziert. Das Quadrat von 7 zum Beispiel ist 7 x 7 = 49. Später werde ich Ihnen eine einfache Methode beibringen, wie Sie das Quadrat einer Zahl mit zwei, drei oder noch mehr Stellen ganz einfach berechnen. Besonders einfach geht der Trick, wenn die Zahl auf eine Fünf endet, deswegen fangen wir damit an. Um eine zweistellige Zahl zu quadrieren, die auf 5 endet, müssen Sie sich nur zwei Dinge merken: 1. Den vorderen Teil des Ergebnisses erhält man, indem man die erste Stelle mit der nächsthöheren Zahl multipliziert. 2. Das Ergebnis endet auf 25. Um beispielsweise die Zahl 35 zu quadrieren, multiplizieren wir einfach die erste Stelle (3) mit der nächsthöheren Zahl (4) und hängen 25 dran. Da 3 X 4 12, lautet die Lösung 1.225. Also: 35 x 35 = 1.225. Unsere Schritte können so dargestellt werden: =

27

SCH N ELLE TRICKS

X

35 35 12

3x4 = 5 X 5 = 25 Ergebnis: 1 .225

Wie sieht es mit dem Quadrat von 85 aus? Da 8 x 9 = 72, er­ halten wir sofort 85 x 85 = 7.225 85 X 85 72 8x9 25 5 X 5 Ergebnis: 7.225

Einen ähnlichen Trick können wir anwenden, wenn wir zwei­ stellige Zahlen multiplizieren, die mit der gleichen Ziffer be­ ginnen und deren zweite Stellen zusammen 10 ergeben. Den vorderen Teil des Ergebnisses bekommen wir auf die gleiche Weise wie zuvor (die erste Stelle wird mit der nächsthöheren Zahl multipliziert), gefolgt vom Produkt der Ziffern an der zweiten Stelle. Probieren wir beispielsweise 83 x 87. (Beide Zahlen beginnen mit einer 8 und die Summe der Endziffern ergibt 3 + 7 = 10.) Da 8 x 9 = 72 und 3 X 7 = 21, lautet die Lö­ sung 7.22 1. 83 87 72 8x9 = 3 X 7 = 21 Ergebnis: 7.221 X

Entsprechend gilt: 84 x 86 = 7.224. Jetzt sind Sie dran. Versuchen Sie 28

QUAD R I E R E N U N D M E H R

26

X

24

Wie beginnt das Ergebnis? Mit 2 x 3 6. Wie endet es ? Mit 6 X 4 = 24. Also gilt 26 X 24 = 624. Bitte beachten Sie, dass diese Methode nur funktioniert, wenn die vorderen Ziffern die gleichen sind und die hinteren zusammen 10 ergeben. Mit Hilfe der Methode können wir sofort ermitteln, dass =

31 X 32 X 33 X 34 X 35 X

39 = 38 = 37 = 36 35 =

=

1.209 1.2 1 6 1.221 1.224 1.225

Jetzt fragen Sie sich vielleicht, »Was, wenn die zwei Endzilfem nicht zusammen zehn ergeben? Können wir diese Methode verwenden, um zweiundzwanzig und

dreiundzwanzig zu multiplizieren?«

Nun, noch nicht. Aber im achten Kapitel werde ich Ihnen zeigen, wie Sie solche Aufgaben mit der Nahe-beieinander­ Methode leicht lösen. (Statt 22 x 23 würde man 20 x 25 plus 2 x 3 rechnen und 500 + 6 = 506 erhalten, aber ich greife vor.) Sie werden nicht nur lernen, Methoden wie diese anzuwen­ den, sondern auch verstehen, warum sie funktionieren. ��Gibt es Tricks.für das Addieren und Subtrahieren im Kopf?«

Aber klar, und das ganze nächste Kapitel wird sich damit be­ schäftigen. Müsste ich meine Methode in vier Worten zusam­ menfassen, würde ich sagen: ��Von links nach rechts((, Hier kommt ein kleiner Vorgeschmack. Betrachten Sie die folgende Subtraktion: 29

SC H N ELLE T R ICKS

1.241 - 587

Die meisten Leute täten sich schwer, diese Aufgabe im Kopf (oder selbst auf einem Blatt) zu lösen. Aber vereinfachen wir sie. Ziehen wir 600 ab statt 587. Da 1.200-600 = 600, bekommen wir 1.241 - 600 641

Nun haben wir aber 13 zu viel abgezogen. (Wie man diese 13 schnell ermittelt, erklären wir im 1. Kapitel.) Unsere schmerzhaft aussehende Subtraktion wird so zu einer einfa­ chen Addition +

641 13 654

Das lässt sich im Kopf leicht ausrechnen (besonders, wenn man von links nach rechts geht). Also gilt: 1.241-587 = 654. Mit einem bisschen Mathe-Magie, wie sie im 9. Kapitel vorge­ stellt wird, werden Sie die Summe aus den zehn folgenden Zahlen sofort berechnen können:

+

30

9 5 14 19 33 52 85 137 222 359 935

M E H R PRAKTI SC H E TI PPS

Ich verrate den Trick an dieser Stelle noch nicht, gebe aber einen Hinweis. Die Lösung, 935, ist in diesem Kapitel schon einmal aufgetaucht. Mehr Tricks für das Rechnen mit Zettel und Stift finden Sie im 6. Kapitel. Darüber hinaus werden Sie den Quotienten der letzten beiden Summanden rasch ermit­ teln können: 359 + 222 = 1,6 1 (auf drei Stellen genau)

Im 4. Kapitel werden wir zur Division von Zahlen (auch von Dezimalzahlen und Brüchen) viel mehr zu sagen haben. M E H R P RA KT I S C H E T l P PS

Hier ist eine Methode, wie man schnell Trinkgelder berech­ net: Angenommen, die Rechnung in einem Restaurant macht 42 € und Sie wollen 1 5 % Trinkgeld geben (ein gängi­ ger Satz in Ländern, wo das Bedienungspersonal fast aus­ schließlich von Trinkgeldem lebt). Zuerst berechnen wir 10% von 42 €, also 4,20 €. Wenn wir das halbieren, bekom­ men wir 2,10 € oder 5 % der Rechnungssumme. Zählt man diese beiden Beträge zusammen, erhält man 6,30 €, was genau 15% der Rechnungssumme ausmacht. Wir werden im 5. Kapitel erläutern, wie man am besten die Höhe von Ver­ kaufssteuern berechnet, von Rabatten, Zinseszinsen und an­ derem. Dort finden Sie auch Strategien, wie Sie rasch im Kopf eine gute Schätzung ermitteln, wenn Sie einmal keine ganz exakte Lösung brauchen.

31

SCH N ELLE TRICKS

V E R B ESS E R N S I E I H R G E D Ä C HT N IS

Im 7. Kapitel werden Sie eine nützliche Technik lernen, wie man sich Zahlen merkt. Das wird Ihnen in der Schule und im Leben oft zupass kommen. Mithilfe eines eingängigen Systems werden Sie lernen, Zahlen in Worte zu verwandeln und sich beliebig lange Zahlen mühelos einzuprägen Daten, Telefonnummern, was auch immer. Apropos Daten: Würde es Ihnen Spaß machen, zu jedem Datum den dazugehörigen Wochentag errechnen zu kön­ nen? Das geht, sei es für Geburtsdaten, historische Daten, zu­ künftige Verabredungen oder Ähnliches. Später gehe ich de­ taillierter darauf ein, aber hier schon vorab eine einfache Methode, wie man den Wochentag von Neujahr für jedes Jahr des 21. Jahrhunderts errechnet. Prägen Sie sich vorab folgen­ de Tabelle ein: Montag

Dienstag Mittwoch Donnerstag Freitag 2

3

4

5

Samstag 6

Sonntag 7

ODER

0

Ermitteln wir beispielsweise, auf welchen Tag Neujahr im Jahr 2030 fällt. Nehmen Sie die letzten beiden Stellen der Zahl und tun Sie, als ob die Summe auf einer Restaurant­ rechnung wäre. (In diesem Fall betrüge die Rechnung 30 €.) Schlagen Sie 25 % Trinkgeld drauf, aber runden Sie auf den nächsten vollen Euro ab. (Das berechnen Sie, indem Sie die Rechnung zweimal halbieren und die Stellen nach dem Komma weglassen. Die Hälfte von 30 € ist 15 €, die Hälfte davon 7,50 €. Behalten Sie die 50 Cent und geben Sie 7 € Trinkgeld.) Rechnung und Trinkgeld zusammen machen also 37 €. Um den Wochentag zu ermitteln, müssen Sie davon das größtmögliche Vielfache von 7 (0, 7, 14, 21, 28, 35, 32

G E DlCHTN ISTRAI N I N G

42, 49, . . .) abziehen. I n unserem Fall gilt 37 - 35 = 2 , der erste Januar 2030 fallt also auf Tag Nr. 2, Dienstag. Rechnung: Trinkgeld:

30 + 7 37 Vielfaches von 7 abziehen: - 35 2 = Dienstag

Wie sieht's mit Neujahr 2043 aus? Rechnung: Trinkgeld:

43 + 10 53 Vielfaches von 7 abziehen: - 49 4 = Donnerstag Wenn es um ein Schaltjahr geht, ziehen Sie 1 € vom Trinkgeld ab, sonst bleibt alle s gleich. Beispielsweise be­ trüge für den 1. Januar 2032 ein 25-prozentiges Trinkgeld 8 €. Davon ziehen wir 1 € ab und kommen auf eine Gesamtsum­ me von 32 + 7 = 39. Davon ziehen wir das größtmögliche Viel­ fache von 7 ab: 39 - 35 = 4. Neujahr 2032 fällt also auf Tag 4, Donnerstag. Mehr Details erfahren Sie im 9. Kapitel, wo Sie lernen, den Wochentag für jedes Datum der Geschichte zu errechnen. (Natürlich steht es Ihnen frei, dieses Kapitel als erstes zu lesen.) Ausnahme:

»Warum

hat uns das niemand in der Schule beigebracht?«

Leider gibt es Fragen, die selbst ich nicht beantworten kann. Sind Sie bereit, mehr mathematische Zauberkunststücke zu lernen? Worauf warten wir dann? Los geht's!

33

1. KAPITEL

.

Ein bisschen Geben und Nehmen- Addition und Subtraktion im Kopf

S

eit ich mich erinnern kann, habe ich es schon immer leichter gefunden, Zahlen von links nach rechts zu addie­ ren oder zu subtrahieren als umgekehrt. Indem ich so rech­ nete, konnte ich in der Schule schon mit der Lösung rausplat­ zen, bevor meine Klassenkameraden, die es gelernt hatten von rechts nach links zu rechnen, ihre Stifte überhaupt an­ setzten. Einen Stift brauchte ich gar nicht, auch wenn es um Rechenoperationen mit mehrsteHigen Zahlen ging. Mein Kopf reichte völlig aus. In diesem Kapitel lernen Sie die Von-links-nach-rechts-Me­ thode für die Addition und Subtraktion der meisten Zahlen, mit denen Sie im Alltagsleben zu tun bekommen. Die Fähig­ keit, solche Berechnungen im Kopf durchzuführen, brau­ chen Sie nicht nur für die Tricks in diesem Buch, sie ist auch unverzichtbar in der Schule, im Beruf und überall, wo Sie mit Zahlen zu tun haben. Bald werden Sie Ihren Taschenrechner in Rente schicken und die volle Leistungsfahigkeit Ihres Hirns nutzen können, um zwei-, drei- und sogar vierstellige Zahlen mit Lichtgeschwindigkeit zu addieren oder zu subtra­ hieren. 34

ADDITION VON LI N KS NACH RECHTS

A D D IT I ON VON L I N K S NAC H R E C HTS

Den meisten von uns hat man beigebracht, auf dem Papier von rechts nach links zu rechnen. Und für das Rechnen mit Zettel und Stift ist das auch okay. Aber wenn man im Kopf rechnen will (sogar schneller, als es auf Papier ginge), sollte man aus mehreren Gründen besser von links nach rechts ar­ beiten. Schließlich liest man Zahlen auch von links nach rechts, also ist es schlicht natürlicher, Zahlen von links nach rechts zu betrachten und zu berechnen. Wenn man ein Er­ gebnis von rechts nach links ermittelt, (wie Sie es vermutlich auf Papier tun) errechnet man es rückwärts. Das macht es enorm schwierig, die Schritte im Kopf durchzuführen. Auch wenn man ein Ergebnis nur schnell überschlagen will, ist es wichtiger zu wissen, dass es »ein wenig über 1.200 liegt«, als sagen zu können, dass ))es aufS endet«. Gehen Sie eine Auf­ gabe von links an, dann beginnen Sie mit den wichtigsten Zahlen für das Ergebnis. Wenn Sie daran gewohnt sind, auf Papier und von rechts nach links zu rechnen, mag es Ihnen unnatürlich vorkommen, Zahlen von links nach rechts anzu­ gehen. Nach ein wenig Übung werden Sie feststellen, dass dies die effektivste Art ist, im Kopf zu rechnen. Bei der ersten Art von Aufgaben - der Addition zweier zwei­ stelliger Zahlen - mag die Von-links-nach-rechts-Methode nicht besonders vorteilhaft erscheinen. Haben Sie Geduld! Wenn Sie dabei bleiben, werden Sie verstehen, dass von links nach rechts die einzige Richtung ist, mit der man schwierige­ ren Aufgaben zu Leibe rücken kann: Additionsaufgaben mit drei- und mehrsteiligen Zahlen, alle n Subtraktionsaufgaben und ganz entschieden allen Multiplikationen und Divisio­ nen. Je früher Sie sich an diese Art des Rechnens gewöhnen, desto besser. 35

ADDITION U N D S U BTRAKTI O N I M KOPF

Addition von zweistelligen Zahlen

In diesem Kapitel gehen wir davon aus, dass Sie einstellige Zahlen addieren oder subtrahieren können. Also beginnen wir mit der Addition zweistelliger Zahlen - vermutlich be­ herrschen Sie das ganz ordentlich im Kopf. Trotzdem sind die folgenden Aufgaben eine gute Übung, denn die Fähigkei­ ten, die Sie beim Zusammenzählen zweistelliger Zahlen er­ werben, brauchen Sie später für aufwändigere Additionsauf­ gaben und für praktisch alle Multiplikationsaufgaben in späteren Kapiteln. Sie lernen hier ein fundamentales Prinzip des Kopfrechnens: wie man Aufgaben vereinfacht, indem man sie in kleinere, leichter handhabbare Häppchen aufteilt. Das ist der Schlüssel zu praktisch jeder Methode, die Sie in diesem Buch kennen lernen werden. Wenn man Erfolg im Kopfrechnen haben will, muss man drei Dinge tun: vereinfa­ chen, vereinfachen, vereinfachen. Am einfachsten sind diejenigen Additionen, bei denen man keine Zahlen »übertragen« muss, wenn also die Ziffern der ersten Stelle 9 oder weniger ergeben und die Ziffern der zwei­ ten Stelle ebenfalls. Zum Beispiel: 47 +

32 (30 + 2 )

U m 47 + 3 2 auszurechnen, addieren Sie erst 30, dann 2. Nachdem Sie 30 addiert haben, stehen Sie vor dem einfache­ ren Problem 77 + 2, was 79 gibt. Wir illustrieren das folgen­ dermaßen: 47 + 32

=

77 + 2

(zuerst 30 addieren)

=

79

(dann 2 addieren)

Das obige Diagramm soll schlicht zeigen, welche Prozesse im Gehirn ablaufen, während man mit unserer Methode zur 36

ADDITION VO N LI N KS NACH REC HTS

Lösung gelangt. Unsere Methode erfordert nicht, dass Sie selbst etwas niederschreiben, allerdings müssen Sie solche Diagramme lesen und verstehen können. Versuchen wir jetzt eine Addition, bei der Sie eine Zahl über­ tragen müssen: 67 + 28 (20 + 8) Addieren Sie von links nach rechts und vereinfachen Sie die Aufgabe, indem Sie zunächst 67 + 20 = 87 rechnen und dann 87 + 8 = 95. 67 + 28 = 87 + 8 = 95

(zuerst 20 addieren)

(dann 8 addieren)

Versuchen Sie jetzt eine allein, indem Sie im Geist von links nach rechts rechnen. Überprüfen Sie dann unten, wie wir es gemacht haben: 84 + 5 7 (50 + 7) Wie ging das? Sie haben zuerst 84 + 50 = 134 gerechnet und dann mit 134 + 7 = 141 abgeschlossen. 84 + 5 7 = 1 34 + 7 = 1 41

(zuerst 50 addieren)

(dann 7 addieren)

Machen Sie sich keine Sorgen, wenn Sie beim Übertragen von Zahlen noch ins Stolpern kommen. Wahrscheinlich ver­ folgen Sie zum ersten Mal einen systematischen Ansatz beim Kopfrechnen, und es geht Ihnen wie den meisten: Es wird eine gewisse Zeit brauchen, bis Sie sich daran gewöhnt haben. Mit Übung allerdings werden Sie anfangen, diese Zahlen in Ihrem Geist zu sehen und zu hören, und das Über37

ADDITION U N D SUBTRAKTION I M KOPF

tragen von Zahlen beim Addieren wird Ihnen in Fleisch und Blut übergehen. Machen Sie zur Übung eine weitere Aufga­ be. Errechnen Sie die Lösung im Kopf und überprüfen Sie da­ nach, wie wir es gemacht haben: +

68 45 (40 + 5)

Sie sollten 68 + 40 = 108 gerechnet haben und dann 108 + 5 1 1 3. War das leichter? Halten Sie sich an folgende Übungs­ aufgaben, wenn Sie sich an weiteren Additionen zweistelli­ ger Zahlen versuchen wollen. (Die Ergebnisse und Lösungs­ wege finden Sie am Ende des Buchs.)

=

Obun1: Addition zweistelli1er Zahlen 1.

+ 6.

23 16

73 + 58 --

2.

+ 7. +

64 43 47 36

).

8.

95 + 32 -19

+ 17 --

4.

9.

34 + 26 -55 + 49 --

5.

+ 10.

89 78

39 38 -+

Addition dreisteiliger Zahlen

Die Methode zur Addition dreisteiliger Zahlen ist die gleiche wie zur Addition zweistelliger Zahlen: Man rechnet von links nach rechts. Nach jedem Schritt gelangt man zu einer neuen, einfacheren Addition. Versuchen wir die folgende Aufgabe: +

538 327 (300 + 20 + 7)

Wir beginnen mit 538, addieren 300, dann 20, dann 7. Nach dem Hinzuzählen von 300 (538 + 300 = 8 38) bleibt als Aufga­ be 8 38 + 27. Wir addieren 20 (838 + 20 = 858), danach verein38

ADDITION VO N LI N KS NACH REC HTS

facht sich die Aufgabe zu 858 + 7 kann wie folgt dargestellt werden: 538 + 327

=

865. Der Denkprozess 858 + 7

838 + 27

865 +7

+20

+300

jede Additionsaufgabe lässt sich mit dieser Methode im Kopf lösen. Das Ziel ist, die Aufgabe so weit zu vereinfachen, bis man nur noch eine einstellige Zahl addiert. Beachten Sie, dass 538 + 327 erfordert, dass Sie sich 6 Ziffern merken, wäh­ rend Sie bei 838 + 27 bzw. 858 + 7 nur noch fünfbzw. vier Zif­ fern im Kopf behalten müssen. Während Sie die Aufgabe ver­ einfachen, machen Sie sich das Leben immer leichter! Versuchen Sie die nächste Aufgabe im Kopf und sehen Sie dann nach, wie wir sie gelöst haben: 623 + 1 59 (1 00 + 50 + 9) Haben Sie sich das Leben erleichtert, indem Sie von links nach rechts addierten? Nachdem Sie die Hunderter zusam­ mengezählt hatten (623 + 100 = 723), blieb Ihnen 723 + 59. Als nächstes sollten Sie die Zehner addiert haben (723 + 50 = 773), was die Aufgabe zu 773 + 9 vereinfachte. Das rechneten Sie aus und bekamen 782. Im Diagramm sieht der Lösungs­ weg folgendermaßen aus: 623 + 1 59

773 + 9

723 + 59 +100

+50

782 +9

Wenn ich solche Aufgaben im Kopf mache, versuche, ich die Zahlen nicht vor mir zu sehen, sondern zu hören. Ich höre die Aufgabe 623 + 159 als sechshundertdreiundzwanzig plus ein­ hundertneunund.fünfzig. Indem ich das Wort hundert innerlich betone, weiß ich, wo ich mit der Addition anfange. Sechs und 39

ADDITION U N D SUBTRA KTI O N I M KOPF

eins macht sieben, meine nächste Aufgabe lautet also sieben­ hundertdreiundzwanzig plus neunundftin.fzig und so weiter. Üben Sie die Lösung solcher Aufgaben am Anfang laut. Wenn Sie den Gedankenprozess mit Worten begleiten, geht er Ihnen viel schneller in Fleisch und Blut über. Aufgaben, bei denen man dreisteilige Zahlen addiert, können kaum schwerer werden als die folgende: 858 634

+

Wir lösen sie folgendermaßen: 858 + 634

+600

1.458 + 34

+30

1 .488 + 4

1.492 +4

Bei jedem Schritt höre (statt sehe) ich eine »neue« Rechen­ aufgabe. Im Geist klingt der Lösungsweg so: 858 plus 634 ist 1.458 plus 34 ist 1 .488 plus 4 ist 1 .492.

Ihr innerer Monolog mag etwas anders klingen als meiner (vielleicht >>sehen« Sie die Zahlen ja, statt sie zu »hören<< , aber was immer Sie sich vorsagen oder vorstellen: Der Zweck ist, die Zahlen während des Denkens zu verstärken, so dass Sie nicht vergessen, wo Sie sind, und wieder ganz von vorne anfangen müssen. Probieren wir zur Übung noch eine Aufgabe: +

759 496 (400 + 90 + 6)

Rechnen Sie das erst im Kopf und vergleichen Sie das Ergeb­ nis dann mit unserer Berechnung: 759 + 496

40

+400

1 1 59 + 96

+90

1 249 + 6 = 1 .255 +6

ADDITION VO N LI N KS N ACH RECHTS

Diese Aufgabe war ein bisschen schwieriger als die vorige, weil man bei jedem Schritt Zahlen übertragen musste. Bei dieser speziellen Aufgabe hatten Sie aber die Möglichkeit, eine andere Methode zu verwenden. Sicher stimmen Sie mir zu, dass es viel leichter ist, 500 zu 759 hinzuzuzählen als 496. Versuchen Sie also, 500 zu addieren und dann die Differenz abzuziehen. +

759 + 496

759 496 (500- 4) 1.259-4

(zuerst 500 addieren)

1 255

(dann 4 abziehen)

Bisher haben Sie immer die zweite Zahl zerlegt und Schritt für Schritt zur ersten Zahl addiert. Natürlich könnten Sie auch die erste Zahl zerlegen, aber es ist hilfreich, wenn Sie konsequent bei einer Methode bleiben. Dann muss ihr Ge­ hirn keine Zeit darauf verschwenden, erst einmal eine Me­ thode zu wählen. Wenn die erste Zahl deutlich einfacher ist als die zweite, vertausche ich sie manchmal, wie beim folgen­ den Beispiel: +

207 + 528

207 528

528 + 207

(vertauschen)

+ 200

728 + 7 = 735 +7

Lassen Sie uns zum Schluss dreisteilige und vierstellige Zah­ len zusammenzählen. Da das Gedächtnis der meisten Men­ schen nur sieben bis acht Zahlen gleichzeitig behalten kann, sind das so ziemlich die längsten Aufgaben, die Sie angehen können, ohne auf künstliche Gedächtnisstützen zurückzu­ greifen, also Finger, Taschenrechner oder Mnemotechniken, wie wir sie im 7. Kapitel vorstellen. Bei vielen Additionsauf41

ADDITION U N D S U BTRAKT I O N I M KOPF

gaben, die sich in der Praxis stellen, insbesondere beim Lösen von Multiplikationsaufgaben, endet mindestens eine der Zahlen auf 0. Dieser Art Aufgabe widmen wir daher be­ sondere Aufmerksamkeit. Wir beginnen mit einem einfa­ chen Beispiel: 2.700 + 567 Da 27 hundert und 5 hundert 32 hundert ergibt, hängen wir hinten einfach die 67 dran und erhalten 32 hundert und 67, oder 3.267. Diese Methode bleibt bei den folgenden Aufgaben die gleiche: 3.240 3.240 + 18 + 72 Da 40 + 18 = 58, lautet die erste Lösung 3258. Bei der zweiten Aufgabe wissen Sie, dass 40 + 72 mehr als 100 macht, die Lö­ sung also 33 hundert und etwas ausmacht. Da 40 + 72 = 112, ist die Lösung 3.312. Diese Aufgaben sind einfach, weil nur an einer Stelle Ziffern zusammenkommen, die beide ungleich 0 sind. Deswegen lassen sie sich in einem einzigen Schritt lösen. Kommen an zwei Stellen Ziffern zusammen, die beide ungleich 0 sind, braucht man zwei Schritte. Zum Beispiel: 4.560 + 1 71 (1 00 + 71) Zur Lösung benötigen wir zwei Schritte, wie das Diagramm zeigt: 4.560 + 1 71 4.73 1 4.660 + 71 +

100

+

71

Üben Sie an den folgenden Additionsaufgaben mit dreisteili­ gen Zahlen und fügen Sie dann selbst nach Belieben weitere 42

ADDITION VON LI N KS NACH REC HTS

hinzu, bis Sie sie souverän im Kopflösen können, ohne auf das Blatt sehen zu müssen. (Die Lösungen finden Sie am Ende des Buches.) Carl Friedrich Gauß: Ein mathematisches Wunderkind Als Wunderkinder bezeichnet man hochtalentierte, »frühreife« Kinder, die ihren Altersgenossen weit voraus sind. Der deutsche Mathematiker Carl Friedrich Gauß (1 7 77-1 855) war so eines. Er brüstete sich oft dam it, dass er früher rechnen konnte als reden. Im reifen Alter von d rei Jahren korrigierte er die Lohnabrechnun· gen seines Vaters, ohne je in Mathematik unterrichtet worden zu sein. Gauß erklärte: »Die Rechnung sti m mt nicht<<, und beim Nachrechnen stellte sich heraus, dass der j unge Carl recht hatte. Als er ein zehnjähriger Schüler war, wurde folgende Aufgabe ge­ stellt: Was ist die S u m me aller Zahlen von 1 bis 1 00? Wahrend seine M itschüler eifrig vor sich hin kritzelten, stellte Gauß sich vor, die Zahlen von 1 bis 50 von links nach rechts zu verteilen und die von 51 bis 1 00 von rechts nach l i n ks, d i rekt unter die erste Zahlenreihe. Jedes Zahlenpaar untereinander würde sich zu 1 01 addieren (1 + 1 00, 2 + 99, 3 + 98, ... ) Da es 50 Paare gab, war die Gesamtsumme 1 01 X 50 = 5.050. Zum Erstaunen aller, auch des Lehrers, hatte der junge Carl die Antwort nicht nur vor allen ande­ ren errechnet, sondern auch noch vollständig im Kopf. Er schrieb die Lösung auf seine Schiefertafel und warf sie mit ei nem >>Das ist sie!<< auf das Lehrerpult Der Lehrer war so beeindruckt, dass er von seinem eigenen Geld das beste Lehrbuch der Arithmetik kaufte und Gauß gab, mit den Worten: >>Er ist mir ü ber, ich kann ihm nichts mehr beibringen.« Tatsächlich wurde Gauß zum Mathematiklehrer anderer und ent­ wickelte sich schließlich zu einem der größten Mathematiker der Geschichte. N och heute arbeitet die Wissenschaft mit seinen Theorien. Gauß' Bestreben, die Natur d urch die Sprache der Ma­ thematik besser zu verstehen, äußert sich i n seinem M otto, das er aus Shakespeares König Lear entnahm: >>N atur, d u meine Göt­ tin, deiner Satzung gehorch ich einzig.« (Übersetzung von Wolf Graf Baudissin)

43

ADDITION U N D S U BTRAKT I O N I M KOPF

Obuns: Addition dreistelliser Zalilen 1.

+

242 1 37

2.

+

852 + 379

7.

+

--

11.

5.400 + 252

3.

12.

457 269

1 .800 + 855

+

635 81 4

+

878 797

8.

6.1 20 + 1 36

10.

+

276 689

7.830 + 348

15.

9.

--

1 3.

5.

+

457 241

4.

--

--

--

6.

312 256

--

14.

+

91 2 475

+

877 539

--

4.240 + 371

S U BTRA KT I O N VO N L I N KS NACH R E C H TS

Den meisten von uns fallen Additionen leichter als Subtrak­ tionen. Aber wenn Sie weiterhin von links nach rechts rech­ nen und Aufgaben in einfachere Probleme aufteilen, können Subtraktionen fast so einfach werden wie Additionen. Subtraktion zweistelliger Zahlen

Beim Subtrahieren von zweistelligen Zahlen besteht die Me­ thode darin, das Problem derart zu vereinfachen, dass man jeweils nur eine einstellige Zahl subtrahiert (oder addiert). Beginnen wir mit einer sehr einfachen Subtraktionsaufgabe: 86 - 25 (20 + 5) Nach jedem Schritt gelangt man zu einer neuen und einfa­ cheren Aufgabe. Hier ziehen wir zuerst 20 ab (86 - 20 = 66) und stehen vor der einfacheren Aufgabe, 66 - 5 ermitteln zu müssen. Das Endergebnis, 61, erhält man schematisch dar­ gestellt so: 44

S U BTRAKTI O N VO N LI N KS NACH REC HTS

86 - 25

66 - 5

61

(erst 20 subtrahieren) (dann 5 subtrahieren)

Natürlich sind Subtraktionen deutlich einfacher, wenn man keine Zahlen borgen muss (was vorkommt, wenn man eine größere Ziffer von einer kleineren abzieht). Die gute Nach­ richt lautet allerdings: ))Schwierige« Subtraktionen können oft in ))leichte« Additionen umgewandelt werden. Beispiel: 86 - 29 (20 + 9)

oder

(30 - 1 )

Diese Aufgabe kann man auf zwei Arten im Kopflösen: 1.

Erst 20 abziehen, dann 9 abziehen: 86 - 29

66 - 9

57

(erst 2 0 abziehen) (dann 9 abziehen)

Bei dieser Aufgabe würde ich allerdings die folgende Metho­ de vorziehen: 2.

Erst 30 abziehen, dann wieder 1 addieren: 86 - 29

56 + 1

57

(erst 30 abziehen) (dann 1 addieren)

Hier ist die Regel, welche Methode man anwenden sollte: Wenn man bei der Subtraktion einer zweistelZigen Zahl borgen müsste, rundet man die zweite Zahl aufdas nächste Vu:lfache von zehn auf Man subtrahiert diese gerundete Zahl und addiert die Differenz, um die man aufgerundet hat. Die Aufgabe 54 - 28 würde beispielsweise Borgen erfordern (weil 8 größer ist als 4). Runden Sie daher 28 auf 30 auf, rech­ nen Sie 54 - 30 = 24 und addieren Sie wieder 2, um 26 als Lö­ sung zu erhalten. 45

ADDITION U N D S U BTRAKTIO N I M KOPF

54 - 28 (30 - 2) 54 - 28 -

30

24 + 2

26 +2

Legen Sie jetzt selbst Hand (oder Kopf) an 81 - 37. Da 7 grö­ ßer ist als 1, runden wir 37 auf 40 auf, ziehen es von 81 ab (81 - 40 = 41) und addieren die Differenz von 3, um zum Er­ gebnis zu gelangen: 81 - 37

- 40

41

+

3

44 +3

Mit nur ein wenig Übung werden Ihnen Subtraktionen mit beiden Methoden leicht von der Hand gehen. Folgen Sie ein­ fach oben vorgestellter Regel um zu entscheiden, welche Me­ thode besser funktioniert. Obuns: Subtraktion von zweistelli1en Zahlen 1.

6.

38 - 23

2.

84 - 59

3.

92 - 34

63 - 46

7.

51 - 27

8.

89 - 48

�.

9.

67 - 48

5.

1 25 - 79

10.

79 - 29 1 48 - 86

Subtraktion dreisteiliger Zahlen

Lassen Sie uns jetzt die Subtraktion einer dreisteiligen Zahl probieren: 958 - 41 7 (400 + 1 0 + 7) Bei dieser Aufgabe ist es nicht nötig, sich Zahlen zu borgen (da bei jeder Stelle die untere Zahl kleiner ist als die obere), 46

S U BTRAKTI O N VO N LI N KS NACH REC HTS

sie sollte Ihnen also nicht zu schwer fallen. Ziehen Sie ein­ fach immer jeweils eine Ziffer von der anderen ab und ver­ einfachen Sie die Aufgabe dadurch Schritt für Schritt. 958 - 41 7

- 400

558 - 1 7

548 - 7 - 10

-7

541

Nun eine Aufgabe, bei der Sie eine Zahl borgen müssen: 747 - 598 (600 - 2) Auf den ersten Blick sieht diese Aufgabe vielleicht schwierig aus, aber wenn Sie zuerst rechnen 747 - 600 = 147 und dann wieder 2 addieren, kommen Sie rasch zum Endergebnis 147 + 2 149. =

747 - 598

- 600

1 47 + 2

+2

1 49

Versuchen Sie jetzt selbst eine: 853 - 692 Haben Sie zuerst 700 von 853 abgezogen? Falls ja, haben Sie 853 - 700 = 153 bekommen? Haben Sie, da Sie vorher ja 8 zu viel abzogen, wieder 8 addiert, um schließlich 161 zu ermit­ teln, die Lösung? 853 - 692

- 700

1 53 + 8

+8

1 61

Zugegeben, habe ich Ihnen das Leben dadurch einfacher ge­ macht, dass ich Sie Zahlen subtrahieren ließ, die nahe bei einem Vielfachen von 100 lagen. (Haben Sie's gemerkt?) Doch wie steht es mit anderen Problemen wie: 47

ADDITION U N D S U BTRAKT I O N I M KOPF

725 - 468 (400 + 60 + 8) oder (500 - ??) Wenn Sie eine Stelle nach der nächsten subtrahieren und schrittweise vereinfachen, sieht Ihr Rechenweg so aus: 725 - 468

325 - 68

(erst 400 abziehen)

265 - 8

(dann 60 abziehen)

257

(dann 8 abziehen)

Was passiert, wenn man auf 500 aufrundet? 725 - 468 (erst 5 00 abziehen)

225 + ? ?

??

(dann ?? addieren)

Das Abziehen von 500 ist einfach: 725 - 500 = 225. Aber Sie haben zu viel subtrahiert. Jetzt kommt es darauf an herauszu­ finden, wie viel genau zu viel abgezogen wurde. Auf den ersten Blick scheint die Antwort nicht gerade offen­ sichtlich. Um sie zu finden, muss man wissen, wie weit 468 von 500 entfernt ist. Dafür verwendet man am besten Kom­ plemente. (Wohlgemerkt, Komplemente! Mit Komplimenten wie ))Du bist aber eine hübsche Zahl« werden Sie nicht weit kommen.) Der Einsatz von Komplementen ist eine gewitzte Technik, die viele Subtraktionen von dreisteiligen Zahlen enorm erleichtert. Der Einsatz von Komplementen (Oh, vielen Dankl)

Schnell, wie weit sind die folgenden Zahlen von 100 weg? 57

68

49

21

79

Hier die Lösungen: 57 + 43 1 00

68 + 32 1 00

49 + 51 1 00

21 + 79 1 00

79 + 21 1 00

SUBTRAKTIO N VO N LI N KS N AC H RECHTS

Beachten Sie, dass bei jedem Zahlenpaar, das sich zu 100 ad­ diert, die vorderen Ziffern (links) zu 9 summieren und die hinteren Ziffern (rechts) zusammen 10 ergeben. Man sagt, 43 ist das Komplement von 57, 32 das Komplement von 68 usw. Ermitteln Sie jetzt die Komplemente zu folgenden zweistelli­ gen Zahlen: 37

59

93

44

08

Um das Komplement von 37 zu finden, müssen wir heraus­ finden, was man zu 3 hinzuzählen muss, um 9 zu bekom­ men. (Antwort: 6) Danach errechnet man, was man zu 7 ad­ dieren muss, um 10 zu bekommen (Antwort: 3). Das Komplement zu 37 ist also 63. Die anderen Komplemente sind 41, 7, 56, 92. Beachten Sie, dass die Komplemente von links nach rechts errechnet wer­ den, wie Sie es als Mathemagiker immer tun. Wie erklärt, ad­ dieren sich die vorderen Ziffern zu 9, die hinteren zu 10. (Eine Ausnahme gibt es: Wenn die Zahlen auf 0 enden, bei­ spielsweise 30 + 70 100 - aber diese Komplemente sind sehr einfach!) Was haben Komplemente mit Subtraktionen im Kopfzu tun? Nun, sie erlauben Ihnen, schwierige Subtraktionen in un­ komplizierte Additionen umzuwandeln. Sehen wir uns die letzte Subtraktion an, die uns einige Schwierigkeiten bereitet hat: =

725 - 468 (500 - 32) Im ersten Schritt haben Sie 500 statt 468 abgezogen und 225 erhalten (725 - 500 = 225). Da Sie aber zu viel abgezogen hat­ ten, mussten Sie herausfinden, wie viel Sie wieder addieren 49

ADDITION U N D S U BTRAKT I O N I M KOPF

mussten. Mit Komplementen erhalten Sie die Antwort sofort. Wie weit ist 468 von 500? Genauso weit wie 68 von 100. Wenn Sie das Komplement zu 68 ermitteln, wie wir Ihnen gezeigt haben, kommen Sie auf32. Addieren Sie diese 32 zu 225 und Sie erhalten 257, das Endergebnis. 725 - 468 (erst 500 abziehen)

225 + 32

257

(dann 32 addieren)

Versuchen Sie nun eine weitere Subtraktion mit dreisteHigen Zahlen: 821 - 259 (300 - 4 1 ) So rechnen Sie im Kopf: Ziehen Sie 300 von 821 ab. Sie erhal­ ten 521. Dazu addieren Sie jetzt das Komplement von 59, also 41, und bekommen 562, unser Endergebnis. Der Lösungs­ weg sieht so aus: 821 - 259

- 300

521 + 41

562 + 41

Hier eine weitere Aufgabe für Sie: 645 - 3 72 ( 400 28) -

Oberprüfen Sie Ihre Lösung und Ihren Rechenweg anhand des Schemas: 645 - 3 72

- 400

245 + 28

+ 20

265 + 8

273 +8

Es ist nicht viel schwerer, eine dreisteHige Zahl von einer vier­ stelligen abzuziehen, wie man am nächsten Beispiel sehr schön sehen kann: 50

SUBTRAKT I O N VO N LI N KS N AC H RECHTS

1 .246 - 579 (600 - 21 ) Man rundet auf, zieht 600 von 1 .246 ab, e s bleiben 646. Dazu addiert man das Komplement von 79, also 21. Das Endergeb­ nis lautet 646 + 21 = 667. 1 .246 - 5 79

- 600

646 + 21 +

21

667

Machen Sie die untenstehenden Übungen und denken Sie sich weitere Aufgaben aus, um zusätzliche (oder sollte das heißen ))abzügliche«?) Routine zu erwerben. Obung: Subtraktion von dreisteiligen Zahlen 1.

6.

1 1.

583 - 271

2.

936 - 725

793 - 402

7.

219 - 1 76

8 73 - 357

1 2.

5 64 - 228

].

8.

l l.

587 - 298 978 - 784 1 .428 - 5 71

4.

9.

14.

763 - 486 455 - 31 9 2.345 - 678

5.

10.

15.

204 - 1 85 772 - 596 1 .776 - 987

51

. K

-

-

p· '

�

.

Das Ergebnis einer verschwendeten Jugendeinfache Multiplikation

I Kindheit damit, immer schnellere Methoden zur Multipli­

eh verbrachte wahrscheinlich einen zu großen Teil meiner

kation im Kopf zu ersinnen. Ich wurde als hyperaktiv diag­ nostiziert, man sagte meinen Eltern, ich verfügte über eine kurze Aufmerksamkeitsspanne und würde wahrscheinlich in der Schule nur wenig Erfolg haben. (Gott sei Dank ignorier­ ten meine Eltern diese Diagnose.) Und ich hatte das Glück, in meinen ersten Schuljahren ein paar unglaublich geduldi­ ge Lehrer zu bekommen. Vielleicht lag es an meiner kurzen Aufmerksarnkeitsspanne, dass ich mir immer schnellere Me­ thoden für das Kopfrechnen ausdachte. Mir fehlte wahr­ scheinlich einfach die Geduld dafür, Matheaufgaben auf dem Papier zu lösen. Wenn Sie erst mal die Techniken beherr­ schen, die ich in diesem Kapitel beschreibe, werden Sie Zet­ tel und Stift auch bald verschmähen. In diesem Kapitel werden Sie lernen, im Kopfeinstellige Zah­ len mit zweistelligen und dreisteiligen Zahlen zu multiplizie­ ren. Sie werden auch eine phänomenal schnelle Methode zum Quadrieren zweistelliger Zahlen lernen. Selbst Freunde mit Taschenrechnern werden nicht mit Ihnen mithalten kön­ nen. Glauben Sie mir, fast jeder wird restlos verblüffi davon 52

M U LTI PLI KATION

sein, dass man solche Aufgaben nicht nur im Kopf, sondern auch noch derartig schnell rechnen kann. Manchmal frage ich mich, ob man uns in der Schule nicht betrügt. Diese Methoden sind stocksimpel. wenn man sie erst mal beherrscht. Eine kleine Voraussetzung braucht man aber, um die hier vorgestellten Techniken anwenden zu können: Man muss das kleine Einmaleins beherrschen. Und zwar vorwärts und rückwärts, wenn man richtig vorankommen will. Konsultieren Sie die Multiplikationstabelle unten, wenn Ihr Gedächtnis noch ein wenig eingerostet ist. Sobald Sie die beherrsehen, sind Sie bereit. Multiplikationstabelle der Zahlen von 1 bis 10 X 2

2

3

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2

3

4

5

6

7

8

9

10

4

6

8

10

12

14

16

18

20

6

9

12

15

18

21

24

27

30

4

4

8

12

16

20

24

28

32

36

40

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

6

6

12

18

24

30

36

42

48

54

60

7

7

14

21

28

35

42

49

56

63

70

8

8

16

24

32

40

48

56

64

72

80

9

18

27

36

45

54

63

72

81

90

10

10

20

30

40

50

60

70

80

90

1 00

5

9

M U LT I P L I KAT I ON EN VON ZW E I ST E L L IG EN ZA H L EN M IT E INST E L L I G EN Wenn Sie sich durch das erste Kapitel gearbeitet haben, sind Sie es schon gewohnt, sich von links nach rechts durch Addi­ tionen und Subtraktionen zu arbeiten. Auch in diesem Kapi­ tel werden Sie praktisch alles von links nach rechts rechnen.

53

E I N FAC H E M U LTIPLI KATI O N

In der Schule haben Sie e s zweifellos genau andersherum ge­ lernt. Aber Sie werden schnell erkennen, wie viel einfacher es ist, von links nach rechts zu denken. (So können Sie zum Bei­ spiel schon anfangen, die Antwort auszusprechen, bevor Sie mit einer Berechnung fertig sind. So scheinen Sie noch schneller zu rechnen, als Sie es ohnehin tun!) Gehen wir unsere erste Aufgabe an: 42 )( 7 Multiplizieren Sie zuerst 40 >< 7 = 280 (40 x 7 ist das gleiche wie 4 x 7, mit einer freundlichen 0 hinten dran gehängt.) Da­ nach multiplizieren Sie 2 x 7 = 14. Addieren Sie dann 280 und 14 (natürlich von links nach rechts), um 294 zu erhalten, das korrekte Endergebnis. Dieses Vorgehen wird unten illus­ triert: 42 (40 + 2) )( 7 40 )( 7 280 + 14 2 )( 7 294 Wir haben darauf verzichtet, die geistige Addition von 280 und 14 im Schema darzustellen. Wie das geht, hab en Sie ja im letzten Kapitel gelernt. Anfangs werden Sie vermutlich noch auf die Angabe sehen müssen, während Sie rechnen. Aber mit ein wenig Übung können Sie bald daraufverzichten und das Ganze allein im Kopf ausrechnen. Versuchen wir ein weiteres Beispiel: 48 (40 + 8) )( 4 54

E I N STELLIG MAL ZW E I STELLIG

Der erste Schritt besteht darin, die Aufgabe in einfachere Multiplikationen aufzuteilen, die Sie leicht im Kopf vollfüh­ ren können. Da 48 40 + 8, dürfen Sie erst 40 x 4 160 rech­ nen und dazu 8 x 4 = 32 addieren. Das Ergebnis ist 192. (Falls Sie sich fragen, warum diese Methode funktioniert: Schlagen Sie im Abschnitt Warum diese Tricks funktionieren am Ende dieses Kapitels nach.) =

40 X 4 8x4

=

48 (40 + 8) 4 1 60 + 32 1 92

X

Jetzt kommen zwei weitere Rechenaufgaben, die Sie recht schnell lösen können sollten. Berechnen Sie zuerst 62 x 3, dann 71 x 9. Versuchen Sie es im Kopf, bevor Sie sich anse­ hen, wie wir es gemacht haben.

60 X 3 2X3

62 (60 + 2) 3 1 80 + 6 1 86

X

70 X 9 1 X9

7 1 (70 + 1 ) 9 630 + 9 639

X

Diese zwei Beispiele sind besonders einfach, weil die zu ad­ dierenden Zahlen praktisch nicht überlappen. Wenn man 180 + 6 »berechnet«, ist die Antwort allerdings sofort offen­ sichtlich. Eine weitere besonders einfache Art der Multiplikation ist diejenige, bei der eine Zahl mit 5 beginnt. Wird die Fünf mit einer geraden Zahl multipliziert, bekommt man ein Viel­ faches von 100, was die folgende Addition trivial werden lässt. 55

E I N FACH E M U LTI PLI KATION

58 (50 + 8) 4 50 )( 4 200 8 )( 4 + 32 232 Versuchen Sie sich an der folgenden Aufgabe: )(

87 (80 + 7) 5 400 + 35 435 )(

80 )( 5 7 )( 5

Beachten Sie, um wie viel leichter sich diese Aufgabe von links nach rechts lösen lässt. Es geht viel schneller, im Geist >>400 + 35« zu rechnen, als auf dem Papier ))5 hinzuschreiben und sich 3 zu merken«. Die folgenden zwei Aufgaben sind ein wenig schwieriger:

30 )( 9 8x9

38 (30 + 8) )( 9 270 + 72 342

60 )( 8 7x8

67 (60 + 7) )( 8 480 + 56 536

Wie gewohnt, spalten wir die Aufgaben in einfachere Teilauf­ gaben. Bei der linken multipliziert man 30 x 9 plus 8 x 9, was einem 270 + 72 gibt. Diese Addition ist ein bisschen schwie­ riger, weil sich die Stellen überlappen. Man rechnet: 270 + 70 + 2 342. Mit zunehmender Übung wird es Ihnen immer leichter fal­ len, Aufgaben wie diese im Geist zu jonglieren, und Additio­ nen mit überlappenden Stellen fallen Ihnen bald fast genau­ so leicht wie welche ohne. =

56

ZWEISTELLIC MAL E I N STELLIC

Aufrunden

Im letzten Kapitel haben Sie gesehen, wie nützlich Aufrun­ den bei Subtraktionen sein kann. Das gleiche gilt für Multi­ plikationen, vor allem, wenn man Zahlen multipliziert, die auf acht oder neun enden. Nehmen wir die Aufgabe 69 x 6, die unten dargestellt wird. Links haben wir sie auf die herkömmliche Weise gelöst, indem wir 360 + 54 rechneten. Rechts hingegen haben wir 69 zu 70 aufgerundet und dann 420 - 6 berechnet, was Ihnen möglicherweise leichter fallt.

60 X 6 9X6

69 (60 + 9) 6 360 + 54 414

X

--

oder

70 X 6 -1 X 6

69 (70 - 1 ) 6 420 - 6 41 4

X

Das folgende Beispiel zeigt, wie viel einfacher eine Aufgabe durch Aufrunden werden kann:

70 X 9 9x9

78 (70 + 8) 9 630 + 72 702

X

--

oder

80 X 9 -2 x 9

78 (80 - 2) 9 720 - 18 702

X

Aufrunden funktioniert besonders gut mit Zahlen, die nur eins oder zwei von zehn entfernt sind. Sie funktioniert nicht so gut, wenn man um mehr als zwei aufrunden muss, weil dann die Teilaufgabe mit der Subtraktion schwierig wird. Bei Aufgaben dieser Schwierigkeit beschränke ich mich persön­ lich auf die Additionsmethode, weil ich in der Zeit, die man bräuchte, um zu entscheiden, welche Methode man her­ nimmt, die Aufgabe längst gelöst habe. 57

E I N FAC H E M U LTIPLI KATI O N

Ich empfehle Ihnen dringend, Aufgaben dieser Art zu üben, um Ihre Technik zu perfektionieren. Unten stehen 20 Aufga­ ben, an denen Sie sich versuchen können. Die Lösungen ste­ hen im Anhang (samt einer Aufspaltung jeder Komponente der Multiplikation). Wenn Sie die Aufgaben alle gelöst haben und weiter üben wollen, erfinden Sie sich einfach selbst wel­ che. Rechnen Sie im Kopf und kontrollieren Sie die Ergebnis­ se mit einem Taschenrechner. Sobald Sie Aufgaben dieser Art sicher im Kopfbewältigen, sind Sie bereit, auf die nächs­ te Stufe des Kopfrechnens zu gelangen. Übung: Multiplikation zwei­ stelliger Zahlen mit einer einstelligen 1.

6.

11.

16.

58

82 )( 9

2.

49 )( 9

7.

97 X 4 37 X 6

12.

1 7.

42 )( 7 28 )( 4

3.

67 )( 5

4.

71 )( 3

5.

8.

53 X 5

9.

84 X 5

10.

96 X 9

14.

75 X 4

1 5.

76 X 8

19.

29 X 3

20.

78 X 2

13.

46 X 2

18.

93 )( 8

X

58 6 57

X ]

64 X

8

D R E I STELUG MAL E I N STELLIG

M U LT I P L I KAT I O N E N M I T D R E I ­ ST E L UG E N ZA H L E N

Nun, da Sie zweistellige Zahlen mit einstelligen im Kopf mal­ nehmen können, werden Sie merken, dass eine Multiplikati­ on einer dreisteiligen Zahl mit einer einstelligen kaum schwieriger ist. Folgende Aufgabe ist ein guter Einstieg (ei­ gentlich ist sie ja nur eine verkleidete »zweistellige« Aufgabe):

300 )( 7 20 )( 7

320 (300 + 20) )( 7 2.1 00 + 1 40 2.240

Ist Ihnen diese Aufgabe leicht gefallen? (Falls nicht, sollten Sie sich vielleicht die Abschnitte über Addition im ersten Ka­ pitel noch einmal ansehen.) Versuchen wir uns an einer wei­ teren, ähnlichen Aufgabe, bei der wir allerdings die 0 durch eine 6 ersetzt haben, so dass Sie einen weiteren Schritt durch­ führen müssen:

300 )( 7 2 0 )( 7 6x7

326 (300 + 20 + 6) )( 7 2 . 1 00 + 1 40 2.240 + 42 2.282

In diesem Fall addieren Sie einfach das Produkt 6 x 7, von dem Sie wissen, dass es 42 beträgt, zur ersten Summe von 2.240. Da sich nur eine Stelle überlappt, erhalten Sie sofort die Gesamtsumme 2.282. 59

E I N FACH E M U LTI PLI KATION

Bei der Lösung dieser Multiplikationsaufgaben liegt die Schwierigkeit darin, sich die erste Summe (in diesem Fall 2.240) zu merken, während man die nächste Multiplikation (hier 6 x 7) durchführt. Es gibt kein magisches Geheimnis, wie man sich die erste Zahl merkt, ab er ich garantiere, dass es Ihnen mit ein bisschen Übung allmählich leichter fällt, sich Zahlen zu merken, während Sie weitere Berechnungen anstellen. Versuchen wir eine andere Aufgabe: 647 (600 + 40 + 7) 4 2.400 + 1 60 2.560 + 28 2.588 X

600 X 4 40 X 4 7x4

Auch bei größeren Zahlen bleibt der Prozess genauso ein­ fach: 987 (900 + 80 + 7) 9 8.1 00 + 720 8.820 + 63 8.883 X

900 X 9 80 X 9 7

X

9

Am Anfang werden Sie bei solchen Aufgaben möglicherwei­ se auf die Aufgabe blicken müssen, um sich die ursprüngli­ che Aufgabenstellung ins Gedächtnis zu rufen. Zunächst dürfen Sie das noch. Versuchen Sie aber, sich das abzuge­ wöhnen und die Aufgabe vollständig im Kopf zu behalten. 60

D R E I STELLIC MAL E I N STELLIC

Im letzten Abschnitt des Teils über die Multiplikation zwei­ stelliger Zahlen haben wir gesehen, dass Aufgaben mit Zah­ len, die mit 5 anfangen, manchmal besonders einfach zu lösen sind. Das gleiche gilt bei dreisteiligen Zahlen:

500 )( 6 60 )( 6 3 >< 6

563 (500 + 60 + 3) )( 6 3 .000 360 + 18 3 . 3 78

Beachten Sie, dass die erste Additionsaufgabe gar keine ist, wenn das erste Produkt ein Vielfaches von 1.000 ergibt. Das liegt daran, dass man keine Zahlen mitnehmen muss und die Tausenderstelle sich nicht mehr ändert. Wenn Sie beispielsweise obiges Problem vor Publikum lösen, können Sie das erste Produkt - »dreitausend(( - mit größter Gewissheit laut aussprechen. Denn keine mitgenommene Zahl könnte dieses Ergebnis zu 4.000 ändern. Ein zusätzlicher Bonus: Indem Sie die erste Zahl der Lösung rasch aussprechen, erwecken Sie den Eindruck, Sie hätten bereits die gesamte Lösung errechnet! Selbst wenn Sie allei­ ne üben, räumt das Aussprechen des ersten Produkts Platz im Gedächtnis frei, während Sie an der übrig gebliebenen Multiplikation einer zweistelligen Zahl mit einer einstelligen inzwischen weiter arbeiten - die Sie in diesem Fall auch gleich laut aussprechen können: »dreihundertachtundsieb­ zig((, Versuchen Sie den eben gezeigten Ansatz bei der Lösung fol­ gender Aufgabe, bei der auf die gleiche Weise mit 5 multipli­ ziert wird: 61

EI N FAC H E M U LTI PLI KAT I O N

663 (600 + 60 + 3) 5 3.000 300 + 15 3.3 1 5 X

600 X 5 60 X 5 3X5

Weil die ersten zwei Ziffern der dreisteiligen Zahl gerade sind, können Sie die Antwort schon während des Berechnens teilweise geben, ohne irgendetwas addieren zu müssen. Wür­ den Sie sich nicht wünschen, dass alle Multiplikationen so einfach sind ? Versuchen wir uns nun an ein paar Aufgaben, bei denen Zah­ len übertragen werden müssen. 1 84 (1 00 + 80 + 4) 7 700 + 560 1 .260 + 28 1 .288 X

1 00 X 7 80 X 7 4

X

7

600 X 9 80 X 9 4x9

684 (600 + 80 + 4) X 9 5.400 + 720 6.1 20 + 36 6.1 56

Bei den nächsten beiden Aufgaben müssen Sie am Ende eine Zahl übertragen, statt am Anfang: 62

D R E I STELLIC MAL E I N STELLIC

648 (600 + 40 + 8) 9 5.400 + 360 5 .760 + 72 5.832 X

600 X 9 40 X 9 8x9

300 X 4 70 X 4 6

X

4

3 76 (300 + 70 + 6) X 4 1 .200 + 280 1 .480 + 24 1 .504

Der erste Teil dieser Aufgaben lässt sich jeweils einfach im Kopflösen. Schwierig wird es erst, wenn man das Teilergeb­ nis behalten muss, während man das Endergebnis berech­ net. Im Fall der ersten Aufgabe war es leicht 5.400 + 360 = 5.760 zu ermitteln, möglicherweise müssen Sie aber 5.760 mehrmals im Kopfwiederholen, während Sie 8 x 9 72 rech­ nen. Dann addieren Sie 5.760 und 72. In diesem Stadium be­ ginne ich manchmal, die Antwort laut auszusprechen, noch bevor ich fertig gerechnet habe. Ich weiß, dass ich eine Zahl übertragen muss, wenn ich 60 und 72 addiere, also wird aus 5.700 5.800. Deshalb sage ich »fünftausendachthundert­ und ... « Dann halte ich ein, um 60 + 72 = 132 zu rechnen. Da ich die eins schon übertragen habe, spreche ich nur die zwei letzten Stellen aus: » ... zweiunddreißig«. Und da ist die Lö­ sung: 5.832. Rei den nächsten zwei Aufgaben werden Sie jeweils zwei Zahlen übertragen müssen. Möglicherweise brauchen Sie für =

63

EI N FAC H E M U LTI PLI KATI O N

die Lösung also länger als bei den bisherigen Aufgaben. Aber mit ein wenig Übung geht das immer flotter:

400 )( 7 80 )( 7 9

)(

7

200 )( 9 20 )( 9 4 )( 9

489 (400 + 80 + 9) )( 7 2.800 + 560 3.360 + 63 3.423 224 (200 + 20 + 4) 9 )( 1 .800 + 1 80 1 .980 + 36 2.01 6

Sprechen Sie anfangs die Lösungen der Teilaufgaben laut aus, während Sie den Rest der Aufgabe berechnen. Beginnen Sie bei der ersten Aufgabe beispielsweise damit, ))zweitau­ sendachthundert plus fünfhundertsechzig(( ein paar Mal laut auszusprechen, um diese Zahlen im Gedächtnis zu veran­ kern, während Sie sie addieren. Wiederholen Sie die Lösung (dreitausenddreihundertsechzig) mehrfach, während Sie 9 x 7 = 63 ausrechnen. Sagen Sie sich dann ))dreitausenddrei­ hundertsechzig plus dreiundsechzig(( laut vor, bis Sie das Endergebnis von 3.423 ermittelt haben. Wenn Sie schnell genug denken, um zu sehen, dass Sie bei 60 + 63 eine Eins übertragen müssen, können Sie das Endergebnis schon aus­ zusprechen beginnen, bevor Sie es ganz kennen: ))dreitau­ sendvierhundert und ... dreiundzwanzig!((

D R E ISTELLlei MAL EI NSTE LLICi

Wir beenden diesen Abschnitt mit einigen speziellen Aufga­ ben, die man blitzartig erledigen kann, weil man zur Lösung nur eine Addition durchführen muss statt zwei:

500 X 7 11 X 7

900 X 8 25 X 8

5 1 1 (500 + 1 1 ) 7 X 3.500 + 77 3.577 925 (900 + 25) X 8 7.200 + 200 7.400 825 (800 + 25) 3 2.400 + 75 2.475

X

800 X 3 25 X 3

Generell gilt: Wenn Sie das Produkt aus den letzten beiden Stellen des Multiplikanden und dem Multiplikator kennen, gelangen Sie viel rascher zum Endergebnis. (In unserem Bei­ spiel könnte es I hnen geläufig sein, dass 4 x 25 100 und demnach 8 x 25 = 200.) Oder wenn Sie wissen, dass 75 x 4 = 300, dann ist es ganz einfach , 975 x 4 zu berechnen: =

900 X 4 75 X 4

975 (900 + 75) X 4 3 .600 + 300 3.900 65

EI N FAC H E M U LTIPLI KAT I O N

Lösen Sie die folgenden Aufgaben im Kopf, um einzuüben, was Sie eben gelernt haben. Überprüfen Sie Ihre Ergebnisse anhand der Lösungen (am Ende des Buchs). Ich kann Ihnen aus Erfahrung versichern, dass Kopfrechnen etwas wie Rad· fahren oder Tippen mit zehn Fingern ist. Anfangs scheint es unmöglich, je den Bogen raus zu bekommen, aber wenn man ihn erst mal raus hat, vergisst man nie mehr, wie's geht. Übung: Multiplikationen dreisteiliger Zahlen mit einstelligen Zahlen l.

431 X 6

2·

328 X 6

8·

757 X 8

14·

19.

1 34 X 8

20·

25.

499 X 9

26·

7.

13.

31 .

66

693 X 6

32·

637 X 5 529 X 9 259 X 7 61 1 X 3 670 X 4 722 X 9

3·

9·

1 5·

21.

27·

33.

862 X 4 807 X 9 297 X 8

4·

10·

16·

5 78 X 9

22 ·

429 X 3

28 ·

45 7 X 9

34·

957 X 6 587 X 4 751 X 9 247 X 5 862 X 5 767 X 3

5·

927 X 7

11.

1 84 X 7

1 7·

457 X 7

23·

1 88 X 6

29 ·

285 X 6

35 ·

31 2 X 9

6·

X

1 2·

21 4 X 8

1 8·

X

24·

339 8

968 X 6

lO.

X

36·

728 2

488 9

691 X 3

QUAD R I E R E N

Q UA D RAT I S C H , P RA KT I S C H : DAS Q UA D R I E R EN ZW E I ST E L L I G E R ZA H L EN

Das Quadrieren einer Zahl (also die Multiplikation einer Zahl mit sich selbst) im Kopf ist eine der beeindruckendsten und gleichzeitig einfach sten Übungen im Kopfrechnen. Ich erin­ nere mich noch daran, wo ich mich befand, als ich den Trick dafür entdeckte. Ich war dreizehn und saß gerade im Bus in Richtung Stadtzentrum von Cleveland, wo ich meinen Vater bei der Arbeit besuchen wollte. Ich machte die Fahrt oft, wes­ halb meine Gedanken abschweiften. Ich weiß nicht warum, aber ich begann, über die Zahlen nachzudenken, die sich zu 20 addieren. Ich fragte mich , wie groß das Produkt solcher Zahlen maximal werden konnte. Ich begann in der Mitte, mit 10 x 10 (oder 102), was 100 er­ gibt. Als nächstes multiplizierte ich 9 x 1 1 99, 8 x 12 = 96, 7 X 13 = 91, 6 X 14 = 84, 5 X 15 = 75, 4 X 16 = 64 USW. Ich be­ merkte, dass die Produkte kleiner wurden. Ihre Differenz von 1 00 betrug: 1, 4, 9, 16, 25, 36 ... oder 12, 22, 32, 42, 52, 62, ... (siehe Tabelle unten). =

Zahlen, die zusammen 20 ergeben

Entfernung von 1o

Ihr Produkt

Differenz des Produkts von 100

10

10

9

11

8

12

2

96

4

7

13

3

91

9

6

14

4

84

16

5

15

5

75

25

4

16

6

64

36

3

17

7

51

49

2

18

8

36

64

19

9

19

81

0

1 00

0

99

67

EI N FAC H E M U LTIPLI KATION

Ich fand dieses Muster erstaunlich. Als nächstes nahm ich mir Zahlen vor, die sich zu 26 addieren und bekam ähnliche Ergebnisse. Als erstes bestimmte ich 1 32 = 169 und berechne­ te dann 1 2 x 14 = 168, 1 1 x 15 = 165, 10 x 16 = 160, 9 x 17 = 153 usw. Wie zuvor entsprach die Entfernung dieser Produk­ te von 169 wieder 12, 22, 32, 42 usw. (siehe Tabelle unten). Tatsächlich gibt es für dieses Phänomen eine einfache algeb­ raische Erklärung (siehe Warum diese Tricks funktionieren, S. 72). Damals beherrschte ich die Algebra noch nicht so weit, um beweisen zu können, dass dieses Muster immer auftritt. Aber ich experimentierte mit genügend Beispielen, um dessen sicher zu sein. Dann merkte ich, dass mir dieses Muster dabei helfen könn­ te, Zahlen zu quadrieren. Angenommen, ich wollte die Zahl 13 quadrieren. Statt 13 x 13 zu nehmen, Zahlen, die zu· sammen 26 ergeben

13

13

Entfernung von 1 3

0

Ihr Produkt

1 69

Differenz des Produkts von 1 69

0

12

14

11

15

2

1 65

10

16

3

1 60

9

9

17

4

1 53

16

8

18

5

1 44

25

1 68 4

könnte ich doch eine Näherungslösung finden, indem ich zwei Zahlen verwendete, die sich leichter multiplizieren lie­ ßen, aber zusammen auch 26 ergaben. Ich wählte 10 x 16 = 160. Um die korrekte Lösung des ursprünglichen Problems zu bekommen, addierte ich einfach 32 = 9 (da 10 und 16 je­ weils 3 von 13 entfernt liegen). Also gilt 132 = 160 + 9 = 169. Cool! Diese Methode sieht im Diagramm folgendermaßen aus: 68

Schauen wir jetzt mal, wie das für eine andere Quadratzahl funktioniert: 41 2

�

;:.Y""' -

42 �

� 1 .680 + 1 2 = 1 .681 --/ l � 40 .

41 zu quadrieren, zieht man einmal l ab und erhält 40 und addiert einmal l und erhält 42. Als nächstes rechnet man 40 x 42. Keine Panik, dies ist nur die getarnte Multiplikation einer zweistelligen mit einer einstelligen Zahl (4 x 42). Da 4 x 42 = 168, gilt: 40 x 42 = 1.680. Fast fertig! Jetzt muss man Um

nur noch das Quadrat von 1 addieren (da wir von 41 um 1 nach oben und unten abgewichen sind). Das gibt: 1.680 + 1 = 1 .681. Kann das Quadrieren zweistelliger Zahlen so einfach sein? ja, es kann - mit dieser Methode und ein wenig Übung. Und sie funktioniert, egal, ob man auf- oder abrundet. Untersu­ chen wir beispielsweise 772, indem wir beim Rechnen mal auf-, mal abrunden. 772

84 � � � -]�

� 5.880 + ]2 = 5.929 70 .--/

oder 772

;J---""" 80 � "-.._

-J�

5 .920 + 32 = 5 .929 � . 74 .--/ 69

EI N FACH E M U LTIPLI KATI O N

Bei diesem Beispiel liegt der Vorteil des Aufrundens darin, dass man fast fertig ist, wenn man das Multiplikationspro­ blem gelöst hat. Denn es ist einfach, eine Zahl, die auf 0 endet, und 9 zu addieren. Tatsächlich runde ich beim Quadrieren von zweistelligen Zahlen immer zum nächsten Vielfachen von 10 auf oder ab. Endet die zu quadrierende Zahl mit 6, 7, 8 oder 9, rundet man auf, endet sie auf 1 , 2, 3 oder 4, rundet man ab. (Endet sie auf 5, tut man beides!) Folgt man dieser Strategie, addiert man zum Ergebnis der Multiplikation immer nur 1, 4, 9, 16 oder 25. Versuchen wir eine weitere Aufgabe. Berechnen Sie 562 im Kopf und sehen Sie sich dann an, wie wir es gemacht haben:

;:.Y""" 60 -----....

_.#' 3.1 20 + 42 = 3.1 36 562 � - 4 � 52 � .

Noch einfacher ist es, Zahlen zu quadrieren, die aufS enden. Da man jeweils um 5 auf- bzw. abrundet, sind beide zu mul­ tiplizierenden Zahlen ein Vielfaches von 10. Multiplikation und Addition sind deswegen besonders einfach. Unten haben wir 852 und 352 berechnet: ;J---""" 90 -----....

� 7.200 + 52 = 7.225 852 � -5� 80 �

;J---""" 40 -----.... � 1 .200 + 52 = 1 .225 352 ....... - 5 � 30 � Wie Sie im 0. Kapitel gesehen haben, dürfen Sie beim Qua­ drieren einer Zahl, die aufS endet, immer sofort mit dem ers70

QUAD R I E R E N

ten Teil der Lösung herausplatzen und dann einfach 25 dran­ hängen. Wollen Sie etwa 752 berechnen, führt Sie das Auf­ runden auf SO bzw. Abrunden auf 70 sofort zu ))fünftausend­ sechshundertund...fünfundzwanzig!<< Bei Zahlen, die auf 5 enden, dürfte es Ihnen keine Schwierig­ keiten machen, schneller zu rechnen als jemand mit einem Taschenrechner. Und bei den anderen zweistelligen Quadrat­ zahlen brauchen Sie nur ein wenig Übung, bis sie jeden Ta­ schenrechner schlagen. Selbst vor großen Zahlen brauchen Sie keine Angst zu haben. Sie können jemanden darum bitten, eine wirklich große zweistellige Zahl vorzugeben, hoch in den 90em. Es scheint, als hätten Sie es mit einem unmöglich schweren Problem zu tun. Dabei sind diese Aufgaben sogar ziemlich leicht, weil Sie einfach auf 100 aufrunden können. Sagen wir, das Publikum gibt 962 vor. Versuchen Sie's selbst und überprüfen Sie dann, wie wir es gemacht haben.

�1 00 �

962 �

_4 .....

..#

92 � .

9.200 + 42 = 9.21 6

War das nicht einfach? Sie sollten um 4 auf 100 aufgerundet haben und gleichzeitig 4 von 96 ab gezogen und 92 erhalten haben. Dann haben Sie 100 x 92 genommen und 9.200 be­ kommen. Jetzt schon können Sie laut verkünden: ))neuntau­ sendzweihundert((. Dann schließen Sie mit ))sechzehn(( ab und genießen Ihren Applaus.

71

E I N FAC H E M U LTI PLI KATION

Übung: Quadrieren zweistelliger Zahlen

Berechnen Sie folgende Quadrate: 1.

1 42

2.

272

6.

31 2

7.

41 2

11.

21 2

12.

642

16.

45 2

1 7.

842

J.

8.

ll.

18.

4.

65 2 592

9.

1 4.

422 672

19.

892

5.

982

262

10.

53 2

5 52

15.

75 2

1 03 2

20.

2082

WA R U M D l E S E T R I C KS F U N KT I O N I E R E N

Diesen Abschnitt haben wir für Lehrer, Schüler, Mathebe­ geisterte und alle anderen eingefügt, die sich fragen, warum unsere Methoden funktionieren. Manch einer findet viel­ leicht sogar die Theorie ebenso interessant wie die Anwen­ dung. Glücklichweise brauchen Sie nicht zu verstehen, warum unsere Methoden funktionieren, um sie anwenden zu können. Für jeden Zaubertrick gibt es eine rationale Er­ klärung, und in der Mathe-Magie verhält sich das auch nicht anders. Hier enthüllt der Mathemagiker seine letzten Ge­ heimnisse! Wenn es um Multiplikationsprobleme geht wie in diesem Ka­ pitel, erlaubt uns das Distributivgesetz, Aufgaben in ihre Komponenten zu zerlegen. Das Distributivgesetz sagt, dass für alle beliebigen Zahlen a, b und c gilt: ( b + c) x a = ( b x a)

+

(c x a)

Der außerhalb der Klammer stehende Faktor a wird auf die beiden Zahlen in der Klammer, b und c, »Verteilt((, also mit jedem separat multipliziert. In unserem ersten Multiplika-

72

QUADR I E R E N

tionsproblem (42 x 7) beispielsweise errechneten wir die Ant­ wort, indem wir 42 als 40 2 behandelten und die 7 dann wie folgt verteilten: +

42 X 7 = (40 2) +

X

7 = (40 X 7)

+

(2 X 7) 280 1 4 294 =

+

=

jetzt fragen Sie sich vielleicht, warum das Distributivgesetz überhaupt gilt. Stellen Sie sich vor, Sie hätten sieben Säck­ chen mit jeweils 42 Münzen darin. Je 40 sind aus Gold, 2 aus Silber. Wie viele Münzen haben Sie insgesamt? Es gibt zwei Lösungswege: Einerseits haben Sie, genau so ist die Multipli­ kation ja definiert, 42 x 7 Münzen. Genauer betrachtet, haben Sie aber 40 x 7 Goldmünzen und 2 x 7 Silbermünzen, insgesamt also (40 x 7) + (2 x 7) Münzen. Egal, welchen Lö­ sungsweg wir nehmen, es muss natürlich das Gleiche he­ rauskommen. Es gilt also 42 x 7 = (40 x 7) (2 x 7). Beachten Sie, dass die Zahlen 7, 40 und 2 durch jede beliebige Zahl (a, b und c) ersetzt werden können, die Logik dahinter stimmt immer. Deswegen funktioniert das Distributivgesetz! Wenn wir jetzt noch Kupfermünzen hinzunehmen, kommen wir zu: +

(b + c + d) x

a = (b x a) (c x a) +

+

(d x a)

Um eine Aufgabe wie 326 x 7 zu lösen, spalten wir die 326 in 300 20 6 auf und verteilen dann die 7 wie folgt: 326 x 7 (300 + 20 + 6) X 7 (300 X 7) (20 X 7) (6 X 7). Um die Lö­ sung zu bekommen, müssen wir nur noch die Ergebnisse der drei Teilaufgaben zusammenzählen. Was die Quadratzahlen angeht, zeigt die folgende Algebra, dass ich meine Methode hernehmen darf: +

+

=

=

+

+

�ilt für alle beliebigen Werte von A und d. A steht hier für die 73

E I N FAC H E M U LTIPLI KATI O N

Zahl, die quadriert werden soll, d kann jede Zahl sein, aber ich wähle sie als Distanz von A zum nächsten Vielfachen von 10. Bei 772 wähle ich also d = 3. Nach unserer Formel gilt dann 772 = (77 + 3) x (77 - 3) + 32 = (80 x 74) + 9 = 5.929. Der folgende algebraische Zusammenhang hilft dabei, meine Methode zu erklären:

Um 41 zu quadrieren, setzen wir z = 40 und d = 1 und erhal­ ten: 41 2 = (40 + 1 ) 2 = 40

X

(40 + 2)

+

1 2 = 1 .681

Analog gilt (z - d) 2 = z (z - 2d)

+

d2

Bei 772 wird z = 80 und d = 3 und wir erhalten

Zerah Colburn: Unterhaltsame Berechnungen Ei ner der ersten Rechenkünstler, der aus seinem Talent Kapital schlug, war Zerah Colburn (1 804-1 839), der Sohn ei nes Farmers in Vermont. Noch ehe er lesen oder schreiben konnte, beherrsch­ te er schon die M ultiplikationstabelle bis 1 00. Als er sechs Jahre alt war, zog er m it seinem Vater aufTour. Dadurch kam genügend Geld zusammen, um ihn zur Ausbi ldung nach Paris und London zu schicken. Im Alter von acht Jahren war er international be­ rüh mt, trat als blitzschneller Kopfrechner in London auf und wurde im Annual Register als >>das einzigartigste Phänomen in der Geschichte des menschl ichen Geistes« bezeichnet, >>das viel­ leicht je existiert hat«. Egal, wo er hinkam, i m mer begegnete er den Herausforderern mit Geschwindigkeit und Präzision. ln seiner Autobiographie berich­ tet er von einem Bündel Aufgaben, die er im Juni 1 81 1 in New Hampshire gestellt bekam: >>Wie viele Tage und Stunden ist es her, seit die christliche Zeitrechnung vor 1 8 1 1 Jahren begann? Antwort nach zwanzig Sekunden: 661 .01 5 Tage, 1 5.864.360 Stun­ den. Frage: Wie viele Sekunden passen i n 1 1 Jahre? Antwort nach vier Sekunden: 346.896.000.« Colburn verwendete genau die Me­ thoden, die in diesem Buch beschrieben werden, um alle ihm ge­ stellte Aufgaben im Kopf zu lösen. Beispielsweise zerlegte er große Zahlen in kleinere und m u ltiplizierte dann diese. Colburm rechnete einmal 21 .734 x 543, i ndem er 543 in 1 81 x 3 zerlegte. Dann m ultiplizierte er 2 1 . 734 mit 1 81 , erhielt 3.933 .854 und nahm d iese Zahl mal 3 , um zum Endergebnis von 1 1 .801 .562 zu gelangen. Wie das bei Kopfrechenkünstlern oft der Fall ist, ließ mit der Zeit das I nteresse an Colburns erstaunlichen Fähigkeiten nach. I m Alter von zwanzig kehrte er nach Amerika zu rück und wurde Methodistenprediger. Er starb im jugendlichen Alter von 35. Colburn fasste seine Fähigkeiten als Rechenkünstler und die damit verbundenen Vorteile so zusam men: >>Klar, meine Metho­ de erfordert es, sich viel mehr Zahlen zu merken, als normaler­ weise empfohlen. Aber man wird sich daran erinnern, dass Zerah nur seh r geringe Ausgaben für Stifte, Tinte und Papier hatte, wenn er rechnete.«

75

_

•

A' P I T

- ··

'·

.'

.

Neue und noch bessere Produkte

:.._

Multiplikation

mit Zwischenprodukten

M wirklich aufregend, wenn man sie vor Publikum auf­

athematische Zauberkunststücke werden erst dann

führt. Ich hatte meinen ersten öffentlichen Auftritt in der achten Klasse, im reifen Alter von dreizehn. Viele Mathema­ giker fangen noch früher an. Zerah Colbum (1804-1839) bei­ spielsweise betätigte sich schon als Blitzrechner, bevor er lesen oder schreiben konnte, und trat schon im Alter von sechs Jahren vor Publikum auf. Als ich dreizehn war, schrieb meine Mathelehrerin eine Aufgabe an die Tafel, deren Lö­ sung 1082 war. Damit gab ich mich noch nicht zufrieden und platzte heraus: ))108 zum Quadrat ist einfach 11.664!« Die Lehrerin machte die Berechnung an der Tafel und kam zur gleichen Lösung. Ein wenig verwundert sagte sie: »Ja, das stimmt. Wie hast du das gemacht?« Also verriet ich ihr: »Ich ging wn 8 auf 100 hinunter und um 8 auf 116 hinauf. Dann multiplizierte ich 116 x 100, was 11 .600 ergibt, addierte ein­ fach das Quadrat von 8 und erhielt 1 1.664.« Sie hatte noch nie zuvor von dieser Methode gehört. Ich war ganz aufgeregt. Ich träumte schon davon, mit »Benjamins Theorem(( berühmt zu werden. Ich dachte wirklich, ich hätte etwas Neues entdeckt. Als ich ein paar Jahre später in einem 76

ZWE I STELLIG MAL ZW E I STELLIG

Buch von Martin Gardner über vergnügliche Mathematik, Mathematical Carnival (1965), auf »meine« Methode stieß, versaute mir das den ganzen Tag. Trotzdem war ich noch immer sehr stolz darauf, dass ich ganz allein draufgekom­ men war. Auch Sie können Ihre Freunde (und Lehrerinnen) mit ziem­ lich verblüffenden Kopfrechenkunststücken beeindrucken. Am Ende des vorigen Kapitels haben Sie gelernt, eine zwei­ stellige Zahl mit sich selbst zu multiplizieren. In diesem Ka­ pitel werden Sie lernen, wie Sie zwei verschiedene zweistelli­ ge Zahlen miteinander malnehmen, eine schwierigere, aber auch spannendere Herausforderung. Dann werden Sie noch Hand (oder eher Hirn) an die Quadrierung dreisteHiger Zah­ len legen. Dafür brauchen Sie nicht mal wissen, wie man zwei zweistellige Zahlen multipliziert, Sie können diese zwei Kunststücke also in beliebiger Reihenfolge lernen. M U LT I P L I KAT I O N E N ZW E I E R ZW E I ­ STE L L I G E R ZA H L E N

Wenn man zweistellige Zahlen quadriert, geht man immer auf die gleiche Weise vor. Bei der Multiplikation zweier zwei­ stelliger Zahlen können Sie mehrere verschiedene Methoden anwenden (und immer das richtige Ergebnis bekommen). Für mich wird's hier allmählich interessant. Als erstes werden Sie die Additionsmethode kennenlernen, mit der man alle Aufgaben dieser Art lösen kann. Die Additionsmethode Bei dieser Methode teilt man das Problem schlicht in zwei Teilaufgaben, bei denen je eine zweistellige Zahl mit einer t·instelligen multipliziert wird. Zum Beispiel:

77

M U LTI PLI KATION M IT ZWISCH E N PRO D U KTEN

46 42 (40 + 2) 1 .840 + 92 1 .932 X

40 X 46 2 X 46

Hier bricht man die 42 in 40 und 2 auf, Zahlen, mit denen sich leicht multiplizieren lässt. Zuerst nimmt man 40 x 46, was schlicht 4 x 46 ist, mit einer drangehängten 0, also 1.840. Dann rechnet man 2 x 46 = 92 und addiert die Teilergebnis­ se 1.840 + 92 = 1.932, wie oben gezeigt. Die gleiche Aufgabe könnte man aber auch so lösen: 46 (40 + 6) 42 1 .680 + 252 1 .932 X

40 6

X X

42 42

Der Haken bei diesem Weg liegt darin, dass 6 x 42 schwieri­ ger zu rechnen ist als 2 x 46, wie wir es bei der ersten Metho­ de taten. Weiterhin ist es schwieriger, 1.680 + 252 zu rechnen, als 1.840 + 92. Wie also entscheiden Sie, welche Zahl aufzuspalten ist? Ich versuche, diejenige zu wählen, die zur einfacheren Additi­ onsaufgabe führt. In den meisten - aber nicht allen - Fällen sind Sie besser dran, wenn Sie die Zahl mit der kleineren Endziffer aufspalten, denn so bekommen Sie ein kleineres zweites Teilergebnis, das Sie zum ersten Teilergebnis addie­ ren müssen. Versuchen Sie sich nun an folgenden Aufgaben, wobei Sie beide Methoden nutzen sollten: 78

ZWEISTELLICi MAL ZWEISTELLICi

70 X 48 3 X 48

48 X 73 (70 + 3) 3.360 + 1 44 3. 504

80 X 59 1 X 59

81 (80 + 1 ) X 59 4.720 + 59 4. 779

Die rechte Aufgabe illustriert, warum Zahlen mit Endziffer 1 besonders schön aufzuspalten sind. Enden beide Zahlen auf die gleiche Ziffer, sollten Sie die größere Zahl aufspalten, wie unten gezeigt:

80 4

X X

34 34

84 (80 + 4) X 34 2.720 + 1 36 2.856

Wenn eine Zahl viel größer ist als die andere, lohnt es sich oft, die größere Zahl aufzuspalten, auch wenn sie eine höhe­ re letzte Ziffer hat. Sie werden verstehen, was ich meine, wenn Sie die folgende Aufgabe auf zwei verschiedene Arten angehen: 74 (70 + 4) 13 91 0 + 52 962 X

70 X 1 3 4 X 13

1 0 x 74 3 X 74

74 1 3 (1 0 + 3) 740 + 222 962 X

Haben Sie die erste Methode als schneller empfunden? Ich schon. Hier folgt eine weitere Ausnahme von der Regel, dass rnan die Zahl mit der kleineren Endziffer aufspaltet: Wenn rnan eine Fünfziger-Zahl mit einer geraden Zahl multipli­ ziert, sollte man die Fünfziger-Zahl aufspalten: 79

M U LTIPLI KATIO N M IT ZW I SC H E N PRO D U KTEN

84 X 50 84 X 9

84 � (50 + 9) 4200 + 756 4956

Die Endziffer von 84 ist niedriger als die Endziffer von 59, aber wenn Sie 59 aufspalten, wird das erste Produkt ein Viel­ faches von 100 sein, im obigen Beispiel 4.200. Das macht die folgende Additionsaufgabe viel leichter. Versuchen Sie jetzt eine einfache Aufgabe anderer Art:

42 X 1 0 42 X 1

42 � (1 0 + 1 ) 420 + 42 462

Obwohl die Berechnung ziemlich einfach ist, gibt es noch einen einfacheren und schnelleren Weg, eine zweistellige Zahl mit 11 zu multiplizieren. Das ist feinste Mathe-Magie - Sie werden Ihren Augen nicht trauen (außer, wenn Sie sich noch vom 0. Kapitel daran erinnern). Und so geht's: Angenommen, Sie haben eine zweistellige Zahl, deren Ziffern zusammen 9 oder weniger ergeben. Um diese Zahl mit 11 zu multiplizieren, addieren Sie einfach die beiden Ziffern und schieben das Ergebnis zwischen die zwei ursprünglichen Ziffern. Um 42 x 1 1 zu berechnen, errechnet man 4 + 2 = 6. Das Ergebnis setzt man dann zwischen die 4 und die 2 und erhält die Lösung, 462! X

42 11

4_2 6

= 462

ZWEISTELLIG MAL ZWEISTELLIG

Versuchen Sie 54 x 11 mit dieser Methode. 5

54 )( 1 1

4

_

= 594

9

Was könnte einfacher sein? Sie mussten lediglich die 9 zwi­ schen die 5 und die 4 setzen, um das Endergebnis 594 zu er­ halten. jetzt fragen Sie sich vielleicht, was passiert, wenn die zwei Ziffern der Zahl zusammen mehr als 9 ergeben. In diesem Fall erhöht man die vordere Stelle der Zahl um 1 und fügt dann wie gehabt die Endziffer der Summe zwischen die bei­ den Ziffern ein. Multipliziert man beispielsweise 76 x 11, rechnet man 7 + 6 13. Man erhöht die 7 in 76 um eins aufS, fügt die übrig bleibende 3 zwischen 8 und 6 ein und erhält das Endergebnis 836. Im Diagramm sieht das so aus: =

76 x 11

7_6 1 3

= 836

Sie sind dran. Versuchen Sie 68 x 1 1 68 x 11

6 8 1 4 _

= 748

Wenn Sie erst mal den Bogen raus haben, werden Sie nie mehr anders mit 1 1 multiplizieren als mit dieser Methode. Machen Sie noch ein paar Aufgaben und überprüfen Sie Ihre Ergebnisse anhand der Lösungen am Ende des Buchs. Obung: Multiplikation mit 1 1 1. X

35 11

2.

48 )( 1 1

3.

94 )( 1 1 81

M U LTI PLI KATION M IT ZWISC H E N PRODU KTEN

Kehren wir zur Additionsmethode zurück. Die nächste Auf­ gabe wird Ihnen beim ersten Versuch vermutlich richtig schwer fallen. Versuchen Sie 89 x 72 im Kopf zu rechnen. Schauen Sie notfalls zwischendrin wieder auf die Angabe. Wenn Sie ein paar Mal von vorne anfangen müssen, ist das auch okay. 89 70 )( 89 2 )( 89

� (70 + 2) 6.230 + 1 78 6.408

Wenn Sie die Lösung im ersten oder zweiten Versuch hinbe­ kommen haben, dürfen Sie sich auf die Schulter klopfen. Schwieriger werden Multiplikationen zweier zweistelliger Zahlen nicht. Keine Angst, wenn Sie die Lösung nicht gleich gefunden haben. In den nächsten beiden Abschnitten werde ich Ihnen ein paar Kniffe beibringen, wie Sie Aufgaben wie die letzte viel einfacher anpacken. Aber üben Sie zuerst die Additionsmethode anband der folgenden Multiplikationsauf­ gaben, bevor Sie weiterlesen. Obung: M ultiplikation zweier zweistelliger Zahlen mit der Additionsmethode 1.

31 )( 41

2.

27 )( 1 8

7.

62 )( 94

8.

88 )( 76

82

3.

9.

59 )( 26 92 )( 35

4.

10.

53 )( 58

5.

77 )( 43

34 )( 1 1

11.

85 )( 1 1

6.

23 )( 84

ZWEISTELLIG MAL ZWEISTELLIG

Die Subtraktionsmethode

Die Subtraktionsmethode ist vor allem dann praktisch, wenn eine der zu multiplizierenden Zahlen aufS oder 9 endet. Die folgende Aufgabe illustriert, was ich meine: 59 (60 - 1 ) 17 1 .020 - 17 1 .003

X

60 X 1 7 -1 X 17

Zwar fallen fast allen Leuten Additionen leichter als Subtrak­ tionen, dennoch ist es normalerweise einfacher, kleine Zah­ len zu subtrahieren, als große zu addieren. (Hätten wir diese Aufgabe mit der Additionsmethode gelöst, hätten wir gerech­ net: SSO + 153 1.003) Packen wir jetzt die knifflige Multiplikation vom Ende des letzten Abschnitts an: =

90 -1

X X

72 72

89 (90 - 1 ) X 72 6.480 - 72 6.408

War das nicht viel einfacher? Hier eine Aufgabe, wo eine Zahl aufS endet:

90 X 23 - 2 X 23

88 (90 - 2) X 23 2.070 - 46 2.024

In diesem Fall sollte man SS als 90 2 behandeln und zuerst -

S3

M U LTIPLI KATI O N M IT ZWISC H E N PRODU KTEN

90 x 23 = 2.070 berechnen. Jetzt hat man aber mit einer zu großen Zahl multipliziert. Um wie viel liegt das Zwischener­ gebnis zu hoch? Um 2 x 23, also um 46 zu hoch. Ziehen Sie daher 46 von 2.070 ab, dann erhalten Sie das Endergebnis 2.024. Ich möchte hier betonen, wie wichtig es ist, dass Sie diese Aufgaben im Kopf lösen und nicht einfach im Diagramm nachsehen, wie wir es gemacht haben. Arbeiten Sie sich durch die Aufgaben und sagen Sie sich die einzelnen Schrit­ te im Geist oder laut vor, um Ihren Gedankengang zu unter­ stützen. Ich verwende die Subtraktionsmethode nicht nur für Zahlen, die auf 8 oder 9 enden, sondern auch für Zahlen hoch in den Neunzigern, weil sich mit 100 so gut multiplizieren lässt. Würde mich jemand auffordern, 96 x 73 zu rechnen, würde ich 96 sofort auf 100 aufrunden: 96 (1 00 - 4) 73 7.300 - 292 7.008 X

1 00 4 -

X X

73 73

Wenn die Teilaufgabe mit der Subtraktion es erfordert, dass Sie eine Zahl borgen, kann Ihnen die Verwendung von Kom­ plementen (siehe 1. Kapitel) dabei helfen, schneller zur Lö­ sung zu gelangen. Sie werden erkennen, was ich damit meine, während Sie sich durch die nachstehenden Aufgaben arbeiten. Nehmen Sie beispielsweise 340 - 78. Wir wissen, dass die Lösung in den 200ern liegen wird. Die Differenz zwi­ schen 40 und 78 ist 38. Nehmen Sie jetzt das Komplement von 38 - das ist 62. Und schon haben wir die Antwort: 262!

ZWEISTELLIC MAL ZWEISTELLIC

340 - 78 262

78 - 40 = 38 Komplement von 38

=

62

Versuchen wir eine weitere Aufgabe:

90 )( 76 - 2 )( 76

88 (90 - 2) )( 76 6.840 - 1 52

Es gibt zwei Arten, die Teilaufgabe mit der Subtraktion zu lösen. Beim »langen(( Weg zieht man erst 200 ab und addiert dann wieder 48 hinzu: 6.840 - 1 52 (erst 200 abziehen)

6.640 + 48

6.688

(dann 48 addieren)

Die »Abkürzung(( nimmt man, wenn man erkennt, dass die Lösung bei 6.600 und irgendwas liegt. Um irgendwas zu be­ stimmen, rechnen wir 52 - 40 = 12 und ermitteln dann das Komplement zu 12, nämlich 88. Die Antwort lautet also 6.688. Versuchen Sie diese:

60 )( 67 - 1 )( 67

67 )( 59 (60 - 1 ) 4.020 - 67 3.953

Sie werden wieder erkennen, dass die Antwort in den 3.900em liegt. Nun gilt 67 - 20 = 47, das Komplement dazu ist 53, und folglich heißt das Endergebnis 3.953. Sie haben vielleicht schon verstanden, dass Sie diese Metho­ de bei jeder Subtraktion verwenden können, bei der Sie eine 85

M U LTIPLI KATION M IT ZWISCH E N PROD U KTEN

Zahl borgen müssen. Das zeigt wieder einmal, dass Komple­ mente ein sehr mächtiges Instrument für Mathemagiker sind. Lernen Sie es zu beherrschen, und sehr bald werden Sie Komplimente von anderen Leuten erhalten! Übung: Multiplikation zweier zweistelliger Zahlen mithilfe der Subtraktionsmethode 2.

X

29 45

8.

X

37 19

1.

7.

X

98 43

X

87 22

J. X

47 59

X

85 38

9.

4.

5.

X

68 38

11.

X

57 39

10.

X

96 29

X

88 49

6. X

79 54

Die Faktorisierungsmethode

Diese Methode ist meine Lieblingsart, zweistellige Zahlen miteinander zu multiplizieren, denn sie erfordert weder Ad­ ditionen noch Subtraktionen. Man verwendet sie, wenn eine der beiden Zahlen einer solchen Aufgabe in einstellige Fakto­ ren zerlegt werden kann. Eine Zahl in Faktoren zu zerlegen heißt, zwei einstellige Zah­ len zu ermitteln, die, miteinander multipliziert, die Aus­ gangszahl ergeben. Die Zahl 24 beispielsweise kann in 8 x 3 oder 6 x 4 faktorisiert werden (oder in 2 x 12, aber wir ver­ wenden lieber einstellige Faktoren) Hier sind einige weitere Beispiele für faktorisierte Zahlen: 42 = 7 63 = 9 84 = 7

X X X

6 7 6

X

2 oder 7

X

4

X

3

An der folgenden Aufgabe erkennt man, wie Faktorisierung das Malnehmen vereinfacht: 86

ZWEISTELLlei MAL ZWEISTELLlei

46 )( 42 (7 )( 6) Weiter oben lösten wir diese Aufgabe, indem wir 46 x 40 rechneten, dann 46 x 2 und die beiden Teilergebnisse addier­ ten. Bei der Faktorisierungsmethode behandelt man 42 als 7 x 6 und beginnt, indem man 46 x 7 = 322 rechnet. Dann multipliziert man 322 mit 6 und erhält das Endergebnis 1 .932. Sie wissen schon, wie man zwei- und dreisteilige Zah­ len mit einer einstelligen multipliziert; die Berechnung dürf­ te Ihnen also nicht zu schwer fallen: 46 )( 42 = 46 )( (7 )( 6)

=

(46 )( 7) )( 6 = 322

X

6 = 1 .932

Natürlich ließe sich diese Aufgabe auch lösen, wenn man die beiden Faktoren von 42 vertauscht: 46

X

42 = 46

X

(6

X

7) = (46

X

6)

X

7 = 276

X

7 = 1 .932

Bei dieser Aufgabe ist es einfacher, 322 x 6 zu nehmen, als 276 x 7. In den meisten Fällen multipliziere ich zuerst mit dem größeren Faktor und hebe mir den kleineren für die Multiplikation mit dem (meist) dreisteiligen Zwischenresul­ tat auf. Der Vorteil der Faktorisierungsmethode liegt beim Kopfrech­ nen darin, dass man sich nicht viel merken muss. Betrach­ ten wir ein weiteres Beispiel, 75 x 63: 75

X

63 = 75

X

(9

X

7) = (75

X

9)

X

7 = 675

X

7 = 4.725

Wie zuvor vereinfachen wir diese Multiplikation zweier zwei­ stelliger Zahlen, indem wir 63 in 9 x 7 faktorisieren und dann 75 mit diesen beiden Faktoren multiplizieren. (Der Grund, warum wir im zweiten Schritt die Klammern verschieben dürfen, heißt Assoziativgesetz der Multiplikation.) Beim letz87

M U LTIPLI KATI O N M IT ZW I SC H E N PRO D U KTEN

ten Beispiel hätten wir übrigens auch die zweite Zahl faktori­ sieren können: 63 )( 75 = 63 )( (5 )( 5 )( 3 ) = (63 )( 5) )( 5 )( 3 = 3 1 5 )( 5 )( 3 = 1 5 75 )( 3 = 4.725 Versuchen Sie zur Übung mal die folgende Aufgabe: 57 )( 24 = 5 7 )( 8 )( 3 = 456 )( 3 = 1 .368 Sie hätten 24 auch in 6 x 4 faktorisieren können und hätten folgende leichte Berechnung erhalten: 57 )( 24 = 57 )( 6 )( 4 = 342 )( 4 = 1 .368 Vergleichen Sie dieses Vorgehen mit der Additionsmethode:

20 )( 5 7 4 )( 57

57 � (20 + 4) 1 .1 40 + 228 1 .368

oder

50 )( 24 7 )( 24

57 (50 + 7) )( 24 1 .200 + 1 68 1 .368

Bei der Additionsmethode multipliziert man zweimal eine zweistellige Zahl mit einer einstelligen und addiert die Teiler­ gebnisse. Bei der Faktorisierungsmethode hat man lediglich zwei Multiplikationen, bei denen ebenfalls immer ein Faktor einstellig ist, und schon ist man fertig. Mit der Faktorisie­ rungsmethode sparen Sie also Ihrem Gedächtnis in der Regel Arbeit. Erinnern Sie sich an die schwierige Multiplikation weiter oben? Hier ist sie noch mal: 89 )( 72 Mit der Subtraktionsmethode sind wir der Aufgabe einfach

ZWEISTELLIC MAL ZWEISTELLIC

genug zu Leibe gerückt, aber mit der Faktorisierung geht's noch schneller: 89

X

72 = 89

X

9

X

8 = 801 X 8 = 6.408

Besonders einfach wird das Rechnen dadurch, dass die 801 in der Mitte eine 0 hat. Am nächsten Beispiel sieht man, dass es sich manchmal auszahlt, die Zahlen derart zu faktorisie­ ren, dass man zu genau einer solchen Situation gelangt. Be­ trachten wir die zwei Wege, 67 x 42 zu berechnen: 67 67

X X

42 = 67 42 = 67

X X

7 6

X X

6 = 469 7 = 402

X X

6 = 2.81 4 7 = 2.81 4

Normalerweise sollte man 42 in 7 x 6 aufspalten, wie in der oben Zeile geschehen, wenn man der Regel folgt, den größe­ ren Faktor voranzustellen. Doch die Aufgabe lässt sich leich­ ter lösen, wenn man 42 in 6 x 7 aufbricht, weil man so eine Zahl mit 0 in der Mitte bekommt, die man leicht multiplizie­ ren kann. Ich nenne solche Zahlen freundliche Produkte. Suchen Sie in folgender Aufgabe, die wir aufzwei Wegen ge­ löst hab en, nach dem freundlichen Produkt: 43 43

X X

56 = 43 56 = 43

X X

8 X 7 = 344 7 X 8 = 301

X X

7 = 2.408 8 = 2.408

Finden Sie, dass der zweite Weg einfacher war? Wenn man die Faktorisierungsmethode verwendet, zahlt es sich aus, wo immer möglich freundliche Produkte aufzuspü­ ren. Die folgende Liste kann Ihnen dabei helfen. Ich erwarte nicht, dass Sie sie auswendig lernen, aber Sie sollten sich mit ihr vertraut machen. Mit zunehmender Übung werden Sie immer öfter freundliche Produkte erschnüffeln, und die Liste wird größere Bedeutung für Sie bekommen. 89

M U LTI PLI KATION M IT ZW I SC H E N PRODU KTEN

Zahlen mit freundlichem Produkt

1 2: 1 3: 1 5: 1 7: 18: 21: 23: 25: 26: 27: 29: 34: 35: 36: 38: 41 : 43: 44:

45: 51 : 52: 53: 54: 56: 61 : 63: 67: 68: 72: 76: 77: 90

12 x l3 x 15 X 17 X 18 X 21 X 23 X 25 X 26 X 27 X 29 X 34 X 35 x 36 X 38 X 41 X 43 X 44 X 45 X 51 x 52 X 53 X 54 X 56 X 61 X 63 X 67 X 68 X 72 X 76 X 77 X

9 = 1 08 8 = 1 04 7 = 1 05 6 = 1 02 6 = 1 08 5 = 1 05 9 = 207 4 = 1 00, 25 X 4 = 1 04, 26 X 4 = 1 08 7 = 203 3 = 1 02, 34 X 3 = 1 05 3 = 1 08 8 = 304 5 = 205 7 = 301 7 = 308 9 = 405 2 = 1 02, 51 x 2 = 1 04, 52 X 2 = 1 06 2 = 1 08 9 = 504 5 = 305 8 = 504 3 = 201 , 67 X 3 = 204, 68 X 7 = 504 4 = 304, 76 X 4 = 308

8 = 200 8 = 208

6 = 204, 34

X

9 = 306

4 = 204, 5 1 x 6 = 306, 5 1 x 8 = 408 4 = 208

6 = 402 , 67 6 = 408 8 = 608

X

9 = 603

ZWEISTELLIG MAL ZWEISTELLIG

78: 81: 84: 88: 89:

78 81 84 88 89

X X X X X

9 = 702 5 = 405 6 = 504 8 = 704 9 = 801

Weiter oben in diesem Kapitel haben Sie gelernt, wie einfach es ist, mit 1 1 zu multiplizieren. Normalerweise lohnt es sich, die Faktorisierungsmethode zu verwenden, wenn eine der Zahlen ein Vielfaches von 1 1 ist, wie bei den unten stehenden Beispielen. 52 83

X X

33 = 52 66 = 83

X X

11 11

X X

3 = 5 72 6 = 91 3

X X

3 = 1 .71 6 6 = 5.478

Übung: Multiplikation zweier zweistelliger Zahlen mit der Faktorisierungsmethode 2.

X

27 14

8.

X

72 17

1.

7.

86 X 28 X

85 42

3. X

57 14

X

33 16

9.

4.

5.

X

81 48

11.

X

62 77

10.

56 )( 29

X

45 36

X

83 18

X

48 37

6.

12.

K R EAT I V E S H E RA N G E H E N A N M U LT l P L I KAT I 0 N E N

Ich erwähnte am Anfang des Kapitels, Multiplikationsaufga­ ben seien amüsant, weil sie auf mehrere Arten gelöst werden könnten. Nun, da Sie wissen, was ich gemeint habe, lassen Sie uns alle drei in diesem Kapitel vorgestellten Methoden auf eine Aufgabe anwenden, 73 x 49. Wir beginnen mit der Additionsmethode: 91

M U LTIPLI KATION M IT ZWISC H E N PRO D U KTEN

73 (70 + 3) 49 70 X 49 = 3.430 3 X 49 = + 1 4 7 3.577 X

Versuchen Sie nun die Subtraktionsmethode:

50 -1

X

X

73 49 (50 1 ) 73 = 3.650 73 = - 73 3.577 X

-

Beachten Sie, dass die zwei letzten Stellen der Subtraktion da­ durch erhalten werden konnten, dass man 50 + (Komplement von 73) rechnete, also 50 + 27 = 77. Alternativ hätte man auch einfach das Komplement von (73 - 50) nehmen können, also das Komplement von 23; dies ist 77. Versuchen Sie zum Schluss die Faktorisierungsmethode: 73 X 49 = 73 X 7 X 7 = 51 1 X 7 = 3.577 Glückwunsch! Sie haben die Multiplikation zweier zweistel­ liger Zahlen im Griffi Sie verfügen über alle Kenntnisse, um schnell im Kopf zu rechnen. Um ein blitzschneller Kopfrech­ ner zu werden, brauchen Sie lediglich Übung! Obung: M ultiplikation zweistelliger Zahlen im Freistil - alles ist erlaubt!

Viele der nachfolgenden Übungen können auf mehr als eine Weise gelöst werden. Versuchen Sie, sie auf so viele Arten zu lösen, wie Ihnen einfallen, und überprüfen Sie Lösungswege und Lösungen im Anhang des Buches. Wir schlagen ver92

ZWEISTELLIG MAL ZWEISTE LLIG

schierlene Lösungswege vor und beginnen jeweils mit demjenigen, den ich für den einfachsten halte. 1.

6.

53 )( 39

2.

81 )( 5 7

92 )( 53

7.

87 )( 87

3.

8.

73 )( 1 8

�.

89 )( 55

5.

67 )( 58

9.

56 )( 37

10.

77 )( 36 59 )( 21

Folgende Multiplikationen zweistelliger Zahlen treten als Teilaufgaben späterer Berechnungen auf, wenn wir dreisteilige Zahlen mit zwei- und dreisteiligen Zahlen multiplizieren oder fünfstellige mit fünfstelligen. Sie können diese Aufgaben jetzt zur Übung anpacken und später darauf zurückkommen, wenn sie bei schwierigeren Aufgaben wieder auftauchen. 11.

1 6.

21.

26.

31.

37 )( 72 74 )( 62

1 2.

17.

57 )( 73 61 )( 3 7

l l.

18 .

1 5.

43 )( 75

38 )( 63

1�.

43 )( 76

36 )( 41

1 9.

54 )( 53

20.

53 )( 53

29 )( 26

25.

41 )( 1 5

30.

65 )( 47

83 )( 58

22.

91 )( 46

23.

52 )( 47

2�.

65 )( 1 9

27.

34 )( 2 7

28.

69 )( 78

29.

65 )( 69

32.

95 )( 26

33.

41 )( 93

95 )( 81

93

M U LTIPLI KATION M IT ZWISC H E N PRODU KTEN

Q U A D R I E R E N D R E I ST E L U G E R Z A H L E N

DreisteHige Zahlen im Kopf zu quadrieren ist ein beeindru­ ckendes Kunststück geistiger Akrobatik. Genau wie man zweistellige Zahlen quadriert, indem man zum nächsten Vielfachen von 10 auf- oder abrundet, quadriert man dreistel­ lige Zahlen, indem man zum nächsten Vielfachen von 100 auf- oder abrundet. Nehmen Sie 193: ;J--'1"'" 2 00 1 932 ........_ 3 7.200 + 72 = 37.249 ....... . _7 ...... 1 86

�

Indem Sie auf 200 aufgerundet und auf 186 hinuntergegan­ gen sind, haben Sie die Multiplikation zweier dreisteiliger Zahlen in eine deutlich einfachere Multiplikation einer drei­ steiligen mit einer einstelligen Zahl umgewandelt. Schließ­ lich ist 200 x 186 einfach 2 x 186 = 372, an das man hinten zwei Nullen anhängt. Fast fertig! Jetzt müssen Sie nur noch 72 49 addieren und gelangen zum Endergebnis 37.249 Versuchen Sie jetzt, 706 zu quadrieren: =

7062

�

� - 6 ......

71 2

� � 498.400 + 62 = 498.436 . 700 ........-

Wenn Sie einerseits auf 700 abrunden, müssen Sie beim an­ deren Faktor um 6 nach oben gehen, auf 712. Da 712 x 7 = 4.984 (eine einfache Multiplikation einer dreisteiligen Zahl mit einer einstelligen), ist 712 x 700 = 498.400. Jetzt addieren Sie 62 = 36 und erhalten das Endergebnis 498.436. Die beiden obigen Aufgaben waren nicht besonders schwer, weil keine echte Addition nötig war. Außerdem wissen Sie längst auswendig, wie viel 62 und 72 sind. Haariger wird es, 94

QUADR I E R E N DREISTELL I C E R ZA H LE N

wenn man eine Zahl quadrieren muss, die weiter vom nächs­ ten Vielfachen von 100 entfernt ist.

Zur Berechnung dieser Aufgabe geht man gleichzeitig um 14 nach unten, auf 300, und nach oben, auf 328. Dann multipli­ ziert man 328 x 3 984, hängt zwei Nullen an und erhält 98.400. Dann addiert man das Quadrat von 14. Wenn Sie blitzartig sehen, dass 142 1 96 (weil Sie das auswendig wis­ sen oder sofort errechnet haben), sind Sie gut in Form. Jetzt zählen Sie nur noch 98.400 und 1 96 zusammen, was 98.596 ergibt. Wenn Sie ein wenig Zeit brauchen, 142 zu errechnen, sollten Sie sich die Zahl 98.400 ein paar Mal vorsagen, bevor Sie weitermachen. (Sonst berechnen Sie 142 196, haben aber mittlerweile vergessen, zu welcher Zahl Sie das addie­ ren müssen.) Je weiter man sich von einem Vielfachen von 1 00 entfernt, desto schwieriger wird das Quadrieren dreistelliger Zahlen. Versuchen Sie 5292: =

=

=

Wenn Sie vor einem Publikum stehen, das Sie beeindrucken 95

M U LTI PLI KATIO N M IT ZWISC H E N PRODU KTEN

wollen, können Sie die 279.000 schon aussprechen, bevor Sie 292 berechnet haben. Aber das geht nicht immer, wie zum Beispiel bei 6362: 672 + 636� y � � 403.200 + 362 = 404.496 / 600 362 1 .280 + 42 = 1 .296 32

�

s:: ">

Jetzt ist Ihr Gehirn wirklich warm gelaufen, stimmt's? In die­ sem Fall liegt der Schlüssel darin, sich die 403.200 ein paar Mal vorzusagen. Dann quadriert man 36 und erhält auf dem üblichen Weg 1 .296. Schwierig wird es, wenn man 1 .296 zu 403.200 addieren muss. Tun Sie das Stelle für Stelle, von links nach rechts, um zum Endergebnis zu gelangen: 404.496. Ich verspreche Ihnen, dass Ihnen Aufgaben dieser Art immer leichter fallen werden, je vertrauter Sie mit den Quadraten zweistelliger Zahlen werden. Jetzt kommt eine noch schwierigere Aufgabe, 8632: 8632

<

900 8??

Das erste Problem besteht schon darin zu erkennen, welche Zahlen man miteinander multiplizieren muss. Klar, die eine ist 9()9, und die andere ist irgendwo in den 800em. Aber wo genau? Das können Sie auf zwei Arten berechnen: 1 . Auf die harte Tour:

Die Differenz zwischen 863 und 900 ist 37 (das Komplement von 63). Ziehen Sie 37 von 863 ab; das Ergebnis ist 826. 96

QUAD R I E R E N DREISTELLI C E R ZA HLEN

2. Auf die leichte Art: Verdoppeln Sie die Zahl 63, das gibt 126. Nehmen Sie davon die beiden letzten Ziffern und hän­ gen Sie sie an die 800 dran. Sie erhalten 826. Hier die Erklärung, warum die leichte Art funktioniert: Weil beide Zahlen gleich weit von 863 entfernt sind, muss ihre Summe zwei Mal 863 ergeben, also 1.726. Eine Ihrer Zahlen ist 900, also muss die andere 826 sein. Sie berechnen die Lösung dann so:

900 + 86 3 � 3]/ � � 743.400 + 3 72 = 744.769 / 826 3 72 1 .360 + 32 = 1 .369 3 34 ./""'

� s:: �

Keine Angst, wenn Sie es nicht schaffen, sich 743.400 zu mer­ ken, während Sie 37 quadrieren. In einem späteren Kapitel lernen Sie ein Merksystem kennen, dass es Ihnen viel leich­ ter machen wird, Zahlen wie diese zu behalten. Versuchen Sie sich nun daran, 359 zu quadrieren; dies ist die bisher schwierigste Aufgabe.

�

+ 41 3592

400

� 1 27.200 412 1 28.881 � - 41 � 3 1 8 /� 42 -- , 1 .680 + 1 2 = 1 .681 41 2 40 +

=

5: >

Um zu 318 zu gelangen, können Sie entweder 41 (das Kom­ plement von 59) von 359 abziehen oder 59 x 2 = 1 1 8 rechnen und die beiden letzten Stellen verwenden. Rechnen Sie als 97

M U LTIPLI KATI O N M IT ZWISC H E N PROD U KTEN

nächstes 400 x 318 = 1 27.200. Addieren Sie nun 412 oder 1.681 , und schon haben Sie das Ergebnis, 128.881. Puuh! Auf­ gaben dieser Art können kaum schwieriger sein! Verneigen Sie sich vor Ihrem Publikum, wenn Sie das beim ersten Ver­ such hinbekommen haben! Schließen wir diesen Abschnitt mit einer großen Aufgabe ab, die aber leicht zu rechnen ist, 9872: +

; 974.000 + 1 32 = 974.1 69 974 � � �

1 .ooo , .

� ��

987

1 32

� 1 0/

= 1 60 + 32 = 1 69

Übung: Quadrieren dreisteiliger Zahlen 1. 5. 9.

4092 3452 431 2

KU B I E R EN

2. 6. 10.

8052 3462 781 2

3. 7. 11

2 1 72 2 762 9752

4. 8.

8962 6822

(in die dritte Potenz erheben)

Wir beenden dieses Kapitel mit einer neuen Methode, um zweistellige Zahlen zu kubieren. (Zur Erinnerung: Eine Ku­ bikzahl ist eine Zahl, die zweimal mit sich selbst multipliziert wird. Fünfhoch drei, 53 geschrieben, bedeutet das gleiche wie 5 x 5 x 5 = 1 2 5 .) Sie werden sehen, das ist auch nicht viel schwerer als die Multiplikation zweistelliger Zahlen. Die Be­ rechnungsmethode beruht auf dem algebraischen Zusam­ menhang, dass

wobei d jede beliebige Zahl sein kann. Wie beim Quadrieren 98

KUBIEREN

Was befindet sich hinter Tür Nr. 1?

1 991 erschien i m Magazin Parade eine mathematische Knobelei, die riesige Aufregung verursachte. Autorin war Marilyn vos Sant, i die Frau, die laut Guiness Buch der Weltrekorde den weltweit höchsten IQ hat. Das Paradox erlangte als >>Monty Hall-Pro­ blem« Berühmtheit und geht so: Sie spielen bei der Show Machen wir ein Geschäft mit. M onty Hall erlaubt I h nen, eine von d rei Türen zu wählen. H i nter einer Tür be­ fi ndet sich ein großer Gewinn, hi nter den beiden anderen stehen Ziegen. Sie wählen Tür 2. Doch bevor Monty zeigt, was Sie ge­ wonnen haben, zeigt er Ihnen, was Sie nicht gewählt haben, näm­ l ich was sich hinter Tür 3 befindet. Eine Ziege. l n seiner gemei­ nen Art stellt Monty Sie jetzt wieder vor die Wahl: Bleiben Sie bei Tü r 2 oder wollen Sie es riskieren und zu Tür 1 wechseln? Was sollten Sie tun? Nehmen wir einmal an, Monty zeigt i m mer nur, wo sich der Hauptgewi nn nicht befunden hat. Er öffnet also immer eine Ziegen-Tür. Es bleiben folglich zwei Türen ü brig, hin­ ter einer ist der Hau ptgewinn, hi nter der anderen eine Ziege. Sie haben bei Ihrer Wahl also eine fifty-fifty-Chance, oder? Falsch! Die Chance, dass Sie mit Ihrer ersten Wahl richtig liegen, i blei bt bei einem Drittel. Die Wahrschei n lichkeit, dass der Haupt­ gewinn sich hi nter der anderen noch geschlossenen Tür befindet, steigt also auf zwei Drittel. Wenn Sie die Tü r wechseln, verdop­ peln Sie folglich Ihre Gewinnchancen! ( Bei diesem Rätsel wird an­ genommen, dass Monty jedem Spieler die Chance gibt, seine Wahl einmal zu revidieren, dass Monty i m mer eine Ziegentür öff­ net, nie die Tür, hinter der sich der Hauptgewinn befindet) . Stellen Sie sich vor, Sie spielten das Spiel mit zehn Türen. Sie wählen ' eine, dann öffnet Monty acht andere Türen, h inter denen jeweils Ziegen stehen. ln diesem Fall würde Ihr I nsti n kt I h nen vielleicht raten, die Tür zu wechseln. Viele Leute bringen diese Problem mit einer Variante durcheinander: Wenn M onty Hall nicht weiß, wo sich der Gewinn befindet, Tür drei öffnet und dort eine Ziege vor­ findet (obwohl dort eben auch der große Preis hätte sein kön­ nen) , dann ist Tür 1 mit fünfzigprozentiger Chance die richtige.

99

M U LTI PLI KATI O N M IT ZW ISCH E N PRO D U KTEN

zweistelliger Zahlen wähle ich d als den Abstand zum nächs­ ten Vielfachen von 10. Wenn wir beispielsweise 13 kubieren, setzen wir d = 3 und bekommen: 1 3 3 = (1 0

X

13

X

1 6)

+

(32

X

1 3)

Da 13 x 16 = 13 x 4 x 4 = 52 x 4 = 208 und 9 x 13 = 1 17, haben wir: 1 3 3 = 2.080 + 1 1 7 = 2.1 97 Wie sieht es mit 35 hoch drei aus? Mit d = 5 bekommen wir: 35 3 = (30

X

35

X

40) + (5 2

X

35)

Da 30 X 35 X 40 = 30 X 1.400 = 42.000 und 35 X 5 X 5 = 175 X 5 = 875, erhalten wir: 35 3 = 42.000 + 875 = 42.875 Beim Kubieren von 49 setzen wir d = 1, um auf 50 aufzurun­ den. Es gilt: 493 = (48

X

49

X

50) + (1 2

X

49)

Wir können 48 x 49 mit der Faktorisierungsmethode ermit­ teln, aber bei dieser Art Aufgabe verwende ich lieber die Nahe-beieinander-Methode, die im 8. Kapitel beschrieben wird. (Blättern Sie nur vor und sehen Sie gleich nach, wenn Sie wollen!) Mit dieser Methode bekommen wir 48 x 49 = (50 x 47) + (1 x 2) = 2.352. Wir multiplizieren das mit 50, er­ halten 1 17.600 und daher: 493 = 1 1 7.600 + 49 = 1 1 7.649 Hier ist eine größere Zahl. Versuchen Sie mal, 92 zu kubie­ ren: 923 = (90 X 92 X 94) + (22 X 92) 100

KUBIEREN

Wenn Sie zweistellige Zahlen rasch quadrieren können, rech­ nen Sie vielleicht lieber 92 x 94 = 932 - 1 = 8.648. Oder Sie nehmen die Nahe-beieinander-Methode mit 92 x 94 = (90 x 96) + (2 x 4) = 8.648. Wenn wir das mit 9 multiplizieren (wie am Anfang des 8. Kapitels beschrieben), erhalten wir 9 x (8.600 + 48) = 77.400 + 432 = 77.832. Daher gilt 90 x 92 x 94 = 778.320. Da 4 x 92 = 368, erhalten wir: 923 = 778.320 + 368 = 778.688 Beachten Sie: Wenn wir die Nahe-beieinander-Methode ver­ wenden, um Multiplikationsaufgaben zu lösen, die bei der Kubierung zweistelliger Zahlen entstehen, wird das kleine Produkt, das addiert wird, immer (je nachdem, ob d = 1 , 2, 3, 4, oder 5) 1 x 2 = 2, 2 x 4 = 8, 3 X 6 = 1 8, 4 x 8 = 32 oder 5 x 10 = 50 sein. Schließen wir die Sache mit dem Kubieren von 96 ab: 963 = (92 )( 96 )( 1 00)

+

w

)(

96)

Das Produkt 92 x 96 kann auf vielerlei Arten ermittelt wer­ den. Lassen Sie uns ein paar davon hernehmen, um das Ende dieses Kapitels zu feiern. Ich fange mit der Methode an, die ich für am schwersten halte und ende mit derjenigen, die ich am leichtesten finde. Mit der Additionsmethode bekommen wir: I

(90 + 2) )( 96 = 8.640 + 1 92 = 8.832 mit der Subtraktionsmethode 92 )( (1 00 - 4) = 9.200 - 368 = 8.832 mit der Faktorisierungsmethode 92 X 6 X 4 X 4 = 552

X

4 X 4 = 2.208 X 4 = 8.832 101

M U LTIPLI KATION M IT ZW I SC H E N PRODU KTEN

durch Quadrieren 942 - 22 = 8.836 - 4 = 8.832 durch die Nahe-beieinander-Methode mit 90 als Basis (90 X 98) + (2 X 6) = 8.820 + 1 2 = 8.832 und durch die Nahe-beieinander-Methode mit 100 als Basis (1 00 X 88) + (- 8 X - 4) = 8.800 + 32 = 8.832 Das Produkt 42 x 96 kann ebenfalls aufverschiedenen Wegen ermittelt werden, zum Beispiel so: 96 X 4 X 4 = 384 X 4 = 1 .536 Oder so: 16 X (1 00 - 4) = 1 .600 - 64 = 1 .536 Schlussendlich bekommen wir, da 8.832 x 100 = 883.200: 963 = 883.200 + 1 .536 = 884.736 Übung: Kubieren zweistelliger Zahlen 1. 6. 11. 16.

102

1 23 393 65 3 993

2. 7. 1 2.

1 73 403 71 3

3.

2P

4.

8.

443

9.

1 3.

783

14.

283 523 85 3

5. 10. 1 5.

33 3 563 87 3

•

KAPIT E L

Teile und herrsche Division im Kopf V / enn man im Kopf dividieren kann, kommt einem das W im Geschäfts-, aber auch im Alltagsleben oft zupass.

1

Wie oft stehen Sie nicht vor Situationen, wo Sie Dinge ge­ recht aufteilen müssen, zum Beispiel die Rechnung in einem Restaurant? Oder Sie nutzen die Fähigkeit, um auszurech­ nen, wie viel die einzelne Dose Hundefutter in der günstigen Sechserpackung kostet, wie viel jeder KarteJlspieler erhält, wenn der Stock aufgelöst wird, oder wie viel Benzin man für einen 20-€-Schein bekommt. Die Fähigkeit, rasch und sicher im Kopf zu dividieren, erspart es Ihnen, jedes Mal einen Ta­ schenrechner zücken zu müssen, wenn irgendetwas geteilt werden muss. Beim Dividieren im Kopf kommt die Methode, von links nach rechts zu rechnen, quasi nach Hause. Denn genau so haben wir alle es auch in der Schule gelernt. Sie werden also ganz so vorgehen können, wie es Ihnen instinktiv richtig vor­ kommt. Ich erinnere mich noch, wie ich als Kind dachte, diese Links­ nach-rechts-Methode, wie sie bei Divisionen anwendet wird, sollte doch eigentlich überall eingesetzt werden. Oft habe ich spekuliert: Wenn den Schulen eine Methode einfallen würde, wie man auch Divisionen von rechts nach links anpacken kann, würden sie diese Methode lehren! 103

DIVISION I M KOPF

D I V I S I O N D U RC H E I N E E I N ST E L L I G E Z A H L

Als erstes bestimmt man bei der Division im Kopf, wie viele Stellen die Lösung haben wird. Versuchen Sie sich mal an der folgenden Aufgabe, um zu verstehen, was ich meine: 1 79 + 7 Beim Berechnen der Lösung von 1 79 -:- 7 suchen wir nach einer Zahl Q, für die gilt 7 mal Q ist 179. Da 179 zwischen 7 x 10 = 70 und 7 x 100 = 700 liegt, muss Q zwischen 10 und 100 liegen. Unsere Antwort hat also zwei Stellen (vor dem Komma). Mit diesem Wissen fragen wir uns, was das größte Vielfache von 10 ist, das mit 7 multipliziert unter 1 79 liegt. Wir wissen, dass 20 x 7 = 140 und 30 x 7 = 210, also muss un­ sere Lösung in den Zwanzigern liegen. Jetzt subtrahieren wir: 179 - 140 = 39. Unsere Aufgabe hat sich auf die Division 39 -:- 7 reduziert. Da 7 x 5 = 35, haben wir den Rest der Lö­ sung gefunden: 5, mit Rest 4 (39 - 35 = 4) oder 5 j . Unsere Antwort lautet also 25, Rest 4, oder, wenn Ihnen das lieber ist 25 j . Und so sieht das Vorgehen aus: ,

1 79 + 7 = 25 - 1 40 39 - 35 4 � Rest Antwort 25 , Rest 4, o d e r 25

j

Versuchen wir jetzt eine ähnliche Division, mit der gleichen Methode des Kopfrechnens: 675 + 8 Wie gehabt, fallt 675 zwischen 8 x 10 = 80 und 8 x 100 = 800, 104

DIVISION D U RC H E I N E E I N STELLI G E ZAHL

die Lösung liegt also zwischen 10 und 100 und ist demnach eine zweistellige Zahl. Wie oft passt jetzt 8 in 675? Bekannt­ lich ist 8 x 80 = 640 und 8 x 90 = 720. Die Antwort liegt also irgendwo in den 80em. Aber wo genau? Um das herauszu­ finden, ziehen Sie 640 von 675 ab und erhalten 35. Unser Pro­ blem hat sich also auf 35 -:- 8 reduziert. Weil 8 x 4 = 32, heißt das Endergebnis 84, Rest 3 oder 84 � . Im Diagramm sieht das so aus: 675 + 8 = 84 - 640 35 - 32 3 f- Rest Ergebnis: 84, Rest 3, od e r 84

�

Wie bei fast allen Kopfrechenarten kann man den Lösungs­ weg bei Divisionen als einen Vereinfachungsprozess auffas­ sen. Je weiter man rechnet, desto einfacher wird die Aufgabe. Was als 675 -:- 8 begann, wurde zu dem leichteren 35 -:- 8 ver­ einfacht. Versuchen wir jetzt eine Division mit einer dreisteHigen Lö­ sung: 947 + 4 Jetzt wird die Lösung dreistellig sein, weil 947 zwischen 4 x 100 = 400 und 4 x 1.000 = 4.000 fällt. Wir müssen also als ers­ tes das größte Vielfache von 100 finden, das sich in 947 hi­ neinquetschen lässt. Da 4 x 200 = 800, liegt unsere Lösung si­ cher in den 200em. Los, sprechen Sie es schon mal laut aus. Wir ziehen 800 von 947 ab und erhalten unsere neue Divisi­ onsaufgabe 147 -:- 4. Da 4 x 30 = 120, wissen wir sofort, dass die Lösung in den 230ern liegt. Wir ziehen 120 von 147 ab, 105

DIVISION I M KOPF

bekommen 27, teilen das durch 4 und bekommen 6, Rest 3. Das Endergebnis lautet 236, Rest 3, oder 236 ! . 947 + 4 = 236 - 800 1 47 - 1 20 27 - 24 3 f- Rest Ergebnis : 236

!

Der Prozess ist genauso einfach, wenn man eine vierstellige Zahl durch eine einstellige teilt, wie im nächsten Beispiel: 2.1 96 + 5 Hier liegt das Ergebnis in den Hundertern, weil 2196 zwi­ schen 5 x 100 = 500 und 5 x 1.000 = 5.000 liegt. Wenn wir 5 x 400 = 2.000 von 2.196 abziehen, können wir die »Vierhun­ dert« schon aussprechen, und unsere Aufgabe hat sich zu 196 -:- 5 vereinfacht, was gelöst wird, wie oben gezeigt. 2.1 96 + 5 = 439 - 2.000 1 96 - 1 50 46 45 1 Ergebnis : 439

f

Allerdings gibt es einen viel einfacheren Weg, die letzte Auf­ gabe zu lösen: Indern wir beide Zahlen verdoppeln. Da 2.196 x 2 = 4.392, bekommen wir: 2.196 -:- 5 = 4.392 -:- 10 oder 439,2 106

D I E DAU M E N R EGEL

bzw. 439 120 • Im nächsten Abschnitt lernen wir mehr Abkür­ zungen bei Divisionen kennen. Übung: Division durch eine einstellige Zahl. 318 + 9 289 + 8

2. 5.

726 + 5 1 .328 + 3

3. 6.

428 + 7 2. 782 + 4

D I E » DA U M E N R EG E L N «

Wenn man im Kopf statt auf dem Papier dividiert, kann es einem schwer fallen, sich Teile der Lösung zu merken, wäh­ rend man weiterrechnet Eine Option ist, wie gesehen, Teile des Ergebnisses schon mal laut auszusprechen. Um einen stärkeren dramatischen Effekt zu erzielen, ziehen Sie es aber vielleicht wie ich vor, sich die Antwort mithilfe der Finger zu merken und die vollständige Lösung erst am Ende zu präsen­ tieren. In diesem Fall haben Sie vielleicht Schwierigkeiten, sich Zahlen über 5 zu merken, wenn Sie, wie die meisten von uns, nur fünf Finger an jeder Hand haben. Die Lösung liegt darin, eine spezielle Technik anzuwenden, die auf der Zei­ chensprache basiert, und die ich die »Daumenregel« nenne. Sie ist höchst effektiv, wenn man sich drei- und mehrsteHige lahlen merken muss. Diese Technik wird Ihnen auch zur Hand gehen (entschuldigen Sie den Kalauert. vyenn Sie es in späteren Kapiteln mit längeren Aufgaben und größeren Zah­ len zu tun bekommen, die Sie sich merken müssen. Sie wissen ja schon, dass Sie, um die Zahlen 0 bis 5 darzu­ stellen, einfach nur die entsprechende Zahl an Fingern der 1 1and ausstrecken müssen. Aber mithilfe des Daumens ist es t·benso leicht, die Zahlen von 6 bis 9 darzustellen. Hier sind d ie »Daumenregeln«: 107

DIVISION I M KOPF

•

•

•

•

Um sich die 6 zu merken, legen Sie den Daumen auf den kleinen Finger. Um sich die 7 zu merken, legen Sie den Daumen auf den Ringfinger. Um sich die 8 zu merken, legen Sie den Daumen auf den Mittelfinger. Um sich die 9 zu merken, legen Sie den Daumen auf den Zeigefinger.

Bei dreisteHigen Lösungen halten Sie die Hunderter mit der linken Hand fest und die Zehner mit der rechten. Wenn Sie bei den Einsem ankommen, sind Sie schon am Ende der Be­ rechnung (von einem möglichen Rest mal abgesehen). Sagen Sie jetzt die Zahl der linken Hand, dann die Einser, die Sie gerade errechnet haben und zu Schluss die Zahl der rechten Hand (und den Rest, den Sie sich gemerkt haben). Voila, die Lösung! Versuchen Sie zur Übung die folgende Division mit einer vierstelligen Zahl im Kopf: 4.579 + 6 4.579 - 4.200 3 79 - 360 19 18 1

6

f-

=

Rest Ergebnis : 763

1 763 6

-t

Wenn Sie die »Daumenregel« anwenden, um sich die Ant­ wort zu merken, halten Sie die 7 mit der linken Hand fest, 108

D I E DAU M E N R EGEL

indem Sie den Daumen auf den Ringfinger legen, und die 6 mit der rechten, wo sie den Daumen auf den kleinen Finger legen. Sobald Sie die Einserstelle (3) und den Rest berechnet haben, können Sie das Endergebnis vorlesen: Von der linken Hand, aus dem Kopf, von der rechten Hand, und den Rest wieder aus dem Kopf. »Siebenhundertdreiundsechzig, Rest eins, beziehungsweise und ein Sechstel.(( Einige Divisionen mit vierstelligen Dividenden ergeben auch ein vierstelliges Ergebnis. Da Sie nur zwei Hände haben, müssen Sie die Tausenderzahl der Antwort sofort laut aus­ sprechen und sich den Rest wieder mit der Daumenregel merken. Zum Beispiel: 8.352 + 3 8.352 + 3 - 8.1 00 252 - 240 12 12 0

=

2.784

Ergebnis : 2.784

Bei dieser Aufgabe teilt man die 8 Tausender durch 3, erhält 2, spricht >>Zweitausend(( laut aus und dividiert dann 2.352 durch 3 wie gewohnt.

109

DIVISION I M KOPF

D I V I S I O N D U R C H ZW E I ST E L L I G E ZA H L E N

I n diesem Abschnitt gehen wir davon aus, dass Sie die Kunst beherrschen, durch eine einstellige Zahl zu teilen. Natürlich werden Divisionen immer schwieriger, je länger die Zahlen werden, durch die man teilt. Glücklicherweise habe ich ein wenig Magie im Ärmel, um Ihnen das Leben zu erleichtern. Beginnen wir mit einer relativ einfachen Aufgabe: 597 + 1 4 Da 597 zwischen 1 4 x 1 0 = 140 und 1 4 x 100 = 1.400 liegt, be­ findet sich die Lösung (auch Quotient genannt) zwischen 10 und 100. Auf dem Weg zur Lösung fragt man sich als erstes, welches Vielfache von 10, mit 14 multipliziert, gerade noch in 597 passt. Da 14 x 40 = 560, weiß man, dass die Lösung in den Vierzigern liegt. Ziehen Sie nun 560 von 597 ab. Sie bekommen 37, was die Aufgabe darauf reduziert, 37 durch 14 zu teilen. Da 14 x 2 = 28, lautet die Antwort 42. Nachdem man 28 von 37 abgezo­ gen hat, bleibt ein Rest von 9. Im Diagramm sieht der Lö­ sungsweg so aus: 597 - 560 37 - 28 9

14

42

=

�

Ergebnis : 42 1

Die folgende Aufgabe ist ein bisschen schwieriger, weil der zweistellige Divisor (hier 23) größer ist. 682 + 23 1 10

D IV I S I O N DURCH ZWEISTELLI G E ZAH LEN

Die Lösung dieser Aufgabe wird eine zweistellige Zahl sein, weil 682 zwischen 23 x 10 = 230 und 23 x 100 = 2.300 liegt. Um die Zehnerstelle der Lösung zu ermitteln, fragen Sie sich, welches Vielfache von 10, multipliziert mit 23, noch in 680 passt. Wenn Sie 30 probieren, werden Sie feststellen, dass das ein wenig zu groß ist, weil ja 23 x 30 = 690. Also muss die Lösung in den Zwanzigern liegen. Subtrahieren Sie nun 23 x 20 = 460 von 682; das gibt 222. Da 23 x 9 = 207, lautet die Ant­ wort 29, mit einem Rest von 222 - 207 = 15. 682 + 23 = 29 - 460 222 - 207 15 Ergebn i s : 29

i�

Betrachten Sie nun 491 + 62

Da 491 weniger ist als 10 x 62 = 620, wird ihre Lösung nur eine Stelle haben (und eventuell einen Rest). Vielleicht pro­ bieren Sie mal 8, aber 62 x 8 = 496, ein bisschen zu viel. Also 7; da 62 x 7 = 434, bleibt ein Rest von 491 - 434 = 57. 491 + 62 = 7 - 434 57 Ergebn i s : 7

�;

Nun gibt es aber einen gewitzten Trick, wie man sich bei Auf­ gaben dieser Art das Leben vereinfacht. Erinnern Sie sich, wie Sie zuerst 62 x 8 gerechnet haben, aber feststellen muss­ ten, dass Sie mit 496 ein wenig zu hoch lagen? Nun, das war 111

DIVISION I M KOPF

keine vergebene liebesmüh'. Sie sahen nämlich sofort, dass die Antwort 7 sein musste, und auch den Rest hätten Sie so­ fort berechnen können. Da 496 um 5 über 491 liegt, wird der Rest um 5 unter 62 (dem Divisor) liegen. Da 62 - 5 = 57, lau­ tet Ihre Antwort 7 �� . Dieser Trick funktioniert, weil 491 = (62 X 8) - 5 = 62 X (7 + 1) - 5 = (62 X 7 + 62) - 5 = (62 X 7) + (62 5) = 62 X 7 + 57. Probieren Sie jetzt, 380 + 39 zu berechnen, indem Sie die eben vorgestellte Abkürzung nehmen. 39 x 10 = 390, was um 10 zu hoch ist. Die Lösung ist also 9, mit einem Rest von 39 10 = 29. Ihre nächste Herausforderung wird, eine vierstellige Zahl durch eine zweistellige zu teilen: 3 .657 + 54 Da 54 x 100 = 5.400, wissen Sie, dass Ihre Lösung zweistellig wird. Um die vordere Stelle zu ermitteln, müssen Sie heraus­ bekommen, wie oft 54 in 3.657 passt. Da 54 x 70 = 3.780 zu viel ist, muss die Lösung in den 60em liegen. Multiplizieren Sie als nächstes 54 x 60 = 3.240 und rechnen Sie 3.657 - 3.240 = 417. Die Aufgabe hat sich nun darauf re­ duziert, 417 + 54 zu ermitteln. Da 54 x 8 = 432 zu hoch liegt, ist die letzte Stelle eine 7, der Rest ist 54 - 15 = 39. 3.657 + 54 = 67 - 3.240 41 7 - 3 78 39 Ergebnis : 67

��

Versuchen Sie sich jetzt an einer Aufgabe mit einer dreistel­ ligen Lösung: 112

DIVISION D U R C H ZWEISTELLI C E ZAH LE N

9.467 + 1 3 9.467 + 1 3 = 728 - 9. 1 00 367 260 1 07 - 1 04 3 Ergebnis : 728 133

Vereinfachen von Divisionsaufgaben Ist Ihr Hirn mittlerweile heiß gelaufen? Nur keine Panik. Wie versprochen, werde ich Ihnen ein paar Tricks verraten, wie man bestimmte Divisionsaufgaben vereinfacht. Diese Tricks beruhen darauf, dass man beide Teile der Aufgabe durch einen gemeinsamen Faktor teilt. Sind beide Zahlen gerade, können Sie die Schwierigkeit der Aufgabe halbieren, indem sie beide Zahlen durch 2 teilen, bevor Sie anfangen. Bei­ spielsweise besteht 858 + 16 aus zwei geraden Zahlen. Teilt man beide durch 2, erhält man die viel einfachere Aufgabe 429

+

8:

858 + 1 6 - 800 58 - 48 10 Erge bnis: 53

��

=

5 3 durch 2 teilen 429 + 8 - 400 29 - 24 5 Lösung 53

=

53

�

Offenkundig unterscheidet sich der Rest, 10 bzw. 5, bei bei­ den Rechenwegen. Aber wenn man den Rest in Form eines Bruchs ausdrückt, bekommt man �� und � , was das glei­ che ist. Wenn man diese Methode benutzt, muss man die 113

DIVISION I M KOPF

Lösung daher immer in Form eines »gemischten Bruchs« angeben (also in Form einer ganzen Zahlen und einer ange­ hängten Bruchzahl). Wir haben beide Berechnungen durchgeführt, um zu zeigen, wie viel einfacher die rechte ist. Versuchen Sie zur Übung jetzt selbst eine: 3.61 8 + 54 3 .61 8 + 54 = 67 - 3 .240 3 78 - 3 78 0

1 .809 + 27 = 67 1 - .620 1 89 - 1 89 0

durch 2 teilen

Lösung 67 Die rechte Aufgabe ist viel einfacher im Kopf zu rechnen. Wenn Sie ganz schnell im Kopf sind, könnten Sie beide Sei­ ten auch durch 18 teilen und zu der noch einfacheren Aufga­ be 201 -:- 3 = 67 gelangen. Achten Sie darauf, ob bei Aufgaben zweimal durch 2 geteilt werden kann, wie bei 1.652 -:- 36. 1 .652 + 36 = 826 + 1 8 = + 2

+2

Lösung 45

41 3 + 9 = 45 - 3 60 53 - 45 8

�

Normalerweise fällt es mir leichter, eine Aufgabe zweimal durch 2 zu teilen, als beide Zahlen durch 4 zu dividieren. Wenn beide Zahlen auf 0 enden, können Sie sie durch 10 teilen: 114

D IVISION D U R C H ZWEISTELLI C E ZAH LE N

580 + 70

=

58 + 7 = 8 56 2

+ 10

�

Lösung 8

Wenn beide Zahlen auf 5 enden, verdoppeln Sie sie und tei­ len dann durch 10, um sich das Leben einfacher zu machen. Beispielsweise: 475 + 35

=

)( 2

950 + 70

=

95 + 7 = 1 3 - 70 25 - 21 4

+10

Lösung 1 3

j

Und schließlich: Falls der Divisor auf 5 endet und der Divi­ dend auf 0, multiplizieren Sie beide mit 2 und teilen dann durch 10, genau wie oben: 890 + 45 )(=2 1 . 780 + 90+ = 1 78 + 9 = 1 9 10 - 90 88 - 81 7 Lösung 1 9

�

Übung: Division durch eine zweistellige Zahl

Hier finden Sie eine ganze Reihe von Divisionsaufgaben, die Ihre geistige Fitness auf die Probe stellen werden. Verwen­ den Sie die Vereinfachungstechniken, die weiter oben im Ka­ pitel vorgestellt wurden. Am Schluss des Buches finden Sie Lösungen und Erklärungen. 115

DIVI S I O N I M KOPF

738 + 1 7 4.268 + 28

1. 4.

2.

5.

J.

591 + 24 7.2 1 4 + 1 1

6.

321 + 79 3 .074 + 1 8

G EG E N D E N TAS C H E N R E C H N E R A N T R ET E N : LE R N E N , W l E M A N B R Ü C H E I N D EZ I M A LB R Ü C H E U M WA N D E LT

Wie Sie vielleicht schon erraten haben, wende ich gern ein wenig Zauberei an, wenn ich Bruchzahlen in Dezimalzahlen umwandle. Im Fall von Brüchen mit einstelligem Zähler und Nenner merkt man sich folgende Brüche - von einem Hal­ ben bis zu einem Elftel - am besten auswendig. Das klingt schlimmer, als es ist. Unten werden Sie sehen, dass die meis­ ten »einstelligen« Brüche spezielle Eigenheiten haben, die sie unvergesslich machen. Wann immer Sie einen Bruch zu einem bereits bekannten Bruch reduzieren können, be­ schleunigen Sie den Rechenprozess. Vermutlich kennen Sie bereits das dezimale Gegenstück zu folgenden Brüchen: 1

T = 0,5

1 T = 0,333

2 T = 0,666

Ebenso: 1

4 = 0,25

Die Fünftel kann man sich leicht merken:

+ = 0,2

� = 0,4

� = 0,6

4 s = 0,8

Bei den Sechsteln muss man sich nur zwei neue Zahlen merken: 1 6 = 0,1 666 2 4 6 = T = 0,666

1 16

2 1 6 = T = 0,333 5

6 = 0,83 3 3

B R 0 C H E I N D EZ I M ALBR0 C H E U M WAN DELN

Auf die Siebentel komme ich gleich. Die Achtel gehen wie im Flug: 1 2 8 = 4 = o,2 5 4 1 8 = 2 = 0,5

1 8 = 0, 1 25 1 3 8 = 0,3 75 (3 )( 8 = 3 )( 0, 1 25 = 0,3 75) 1 5 8 = 0,675 (5 )( 8 = 5 )( 0, 1 25 = 0,675) 7 1 8 = 0,875 (7 )( 8 = 7 )( 0, 1 25 = 0,875)

� = ! = 0,7 5

Die Neuntel haben ihre ganz eigene Magie: 1

-

g- = 0, 1 5 g- = 0,5

-

2 g- = 0,2 6

4 g- = 0,4 8 g- = 0,8

3 g- = 0, 3 7 g- = 0,7

-

g- = 0,6

Der Strich über der Zahl bedeutet dabei, dass sich dieser Teil unendlich wiederholt. Zum Beispiel gilt: � = 0,4 = 0,444... Die Zehntel kennen Sie schon: 1 0 = 0,1

1

1 0 = 0,2

2

1 0 = 0,3

3

4 1 0 = 0, 4 7 1 0 = 0,7

5 1 0 = 0,5 8 1 0 = 0,8

6 1 0 = 0,6 9 1 0 = 0,9

Bei den Elftein muss man sich nur merken, dass ,t\ = 0,0909 ist, der Rest ist einfach: ...

1 TI = 0,09 = 0,0909

-

2 TI = 0,1 8 (2 x 0,0909) 3 4 0,3 5 0,27 (3 x 0,0909) 6 0,45 = = = TI TI TI 6 7 8 TI = 0,54 TI = 0,72 TI = 0,63 10 9 TI = 0,81 TI = 0,90 -

-

-

117

DIVIS ION I M KOPF

Die Siebtel sind wirklich bemerkenswert. Merkt man sich einmal + = 0,142857, bekommt man all die anderen Siebtel, ohne sie berechnen zu müssen: 1

---------

7 = 0, 1 42857

4

2

---------

3

5

---

7 = 0,428571

7 = 0,28571 4

6

7 = 0,5 7 1 428 7 = 0,71 4285

7 = 0,85 7 1 42

Beachten Sie, dass sich das gleiche Zahlenmuster in jeder Dezimalzahl wiederholt. Nur die Ausgangszahl zu Beginn ändert sich. Die Startzahl bekommen sie sofort, wenn Sie 0,14 mit dem Zähler multiplizieren. Im Fall von � gilt 2 x 0,14 = 0,28, also muss man die Abfolge mit 0,28 beginnen: 0,285 714. Das gleiche gilt für � , da 3 X 0,14 = 0,42. Man fangt also mit 0,42 an und fahrt wie gehabt fort: 0,428571. Der Rest ergibt sich auf die gleiche Weise. Natürlich werden Sie Brüche mit größeren Zählern und Nen­ nern berechnen müssen als ��· Halten Sie trotzdem die Augen offen, ob Sie solche Aufgaben weiter vereinfachen können. Beispielsweise kann man den Bruch l! verein­ fachen, indem man beide Zahlen durch 2 teilt. Man er­ hält {7 , was einfacher zu berechnen ist. Wenn der Nenner eines Bruchs gerade ist, können Sie den Bruch durch Halbieren von Zähler und Nenner vereinfa­ chen, auch wenn der Zähler ungerade ist. Zum Beispiel: �- Q

14

-

7

Durch die Teilung von Zähler und Nenner haben wir Siebtel erhalten. Obwohl die ganzzahligen Siebtel weiter oben keinen Wert für 1f- angeben, werden die bekannten Zahlen bald auftauchen, sobald Sie sich an die Rechnung machen: 1 18

B R 0 C H E I N DEZ I M ALBR 0 C H E U M WAN DELN

4 , 5000000

+

7

=

0,6428571

- 4,2 3

Wie Sie sehen, mussten wir gar nicht die ganze Aufgabe be­ rechnen: Sobald man sie darauf reduziert hat, dass man 3 durch 7 teilt, kann man die ganze Zahlenreihe herunterrat­ tern und sein Publikum schwer beeindrucken. Wenn der Nenner aufS endet, lohnt es sich fast immer, Zäh­ ler und Nenner zu verdoppeln und dann durch 10 zu teilen. Zum Beispiel: 29

45

>< 2

58 � 90 +�0 9

=

6 , 44

Nenner, die auf 25 oder 75 enden, sollten mit 4 multipliziert werden, bevor man durch 100 teilt:

Man kann diesen Trick sogar mitten in der Berechnung einer Aufgabe anwenden. Sehen Sie, was passiert, wenn Sie a n 1� knobeln: 3 ,000

+

1 6 = 0,1

� 14

Sobald die Aufgabe auf �: reduziert ist, kann man weiter zu � vereinfachen, und Sie wissen bereits, dass das 0,875 ist. Also gilt 1� 0,1875. =

119

D I V I S I O N I M KOPF

Obung: Umwandlung in Dezimalzahlen

Vergessen Sie nicht, bei der Umwandlung folgender Brüche in Dezimalzahlen Ihr Wissen über B rüche mit einstelligem Zähler und Nenner anzuwenden. Vereinfachen Sie die Brü­ che, wo immer möglich, bevor Sie sie in Dezimalzahlen um­ wandeln. 1.

2

2.

7.

14 24

8.

4

3.

T

T

13

27

3

4.

9.

18 48

10.

9

5.

10 14

11.

TI

8

5

6.

6

12.

32

6

'IT

TI

19

45

Wl E M A N A U F T E l L BA R K E I T T E ST ET

Im letzten Abschnitt sahen wir, wie sich Brüche vereinfachen ließen, wenn Zähler und Nenner durch einen gemeinsamen Faktor teilbar waren. Wir beenden dieses Kapitel mit einer kurzen Abhandlung darüber, wie man herausfindet, ob eine Zahl ein Faktor einer anderen ist. Die Fähigkeit, Faktoren auf­ zuspüren, hilft uns dabei, Divisionsaufgaben zu vereinfa­ chen, und kann die Berechnung vieler Multiplikationsaufga­ ben beschleunigen. Sie wird sich auch auszahlen, wenn wir zur fortgeschrittenen Multiplikation gelangen, wo man oft mitten in einer Multiplikation nach Faktoren einer zwei-, drei- oder sogar fünfstelligen Zahl sucht. Natürlich kommt es einem dann zupass, wenn man Zahlen rasch in Faktoren zer­ legen kann. Und darüber hinaus finde ich die Regeln einfach wunderschön. Es ist einfach zu testen, ob eine Zahl sich (glatt) durch 2 tei­ len lässt. Man muss lediglich nachsehen, ob die letzte Ziffer gerade ist. Steht an letzter Stelle eine 0, 2, 4, 6 oder 8, ist die ganze Zahl durch 2 teilbar. 120

A U F TE I LBA R K E I T TESTEN

Ob eine Zahl durch 4 teilbar ist, sieht man daran, ob die letz­ ten zwei Stellen durch 4 teilbar sind. 57.852 lässt sich durch 4 teilen, weil 52 = 1 3 x 4. Die Zahl 69.346 ist kein (ganzzahli· ges) Vielfaches von 4, weil 46 kein (ganzzahliges) Vielfaches von 4 ist. Dieser Test funktioniert, weil 100 ein Vielfaches von 4 ist und deswegen auch jedes Vielfache von 100 sich restlos durch 4 teilen lässt. Da sich 57.800 restlos durch 4 teilen lässt und 52 ebenfalls, wissen wir, dass sich auch die Summe der beiden Zahlen, 57.852, glatt durch 4 teilen lässt. Da sich 1.000 restlos durch 8 teilen lässt, überprüft man ana­ log, ob eine Zahl durch 8 teilbar ist, indem man die letzten drei Stellen der Zahl ansieht. Bei 14.918 versucht man, 918 durch 8 zu teilen. Da ein Rest übrig bleibt (918 -;- 8 = 1 14 � ) , kann man die gesamte Zahl nicht glatt durch 8 teilen. Das hätten Sie auch daran erkennen können, dass die 18 an den letzten beiden Stellen der Zahl sich nicht durch 4 teilen lässt. Wenn die Zahl 14.918 aber nicht durch 4 teilbar ist, kann sie nicht durch 8 teilbar sein. In Sachen Teilbarkeit durch 3 gibt es eine coole Regel, die sich leicht merken lässt: Eine Zahl ist genau dann durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme - die Summe aller Ziffern in einer Zahl - durch 3 teilbar ist. Um zu überprüfen, ob 57.852 durch 3 teilbar ist, addiert man einfach 5 + 7 + 8 + 5 + 2 = 27. Da 27 ein Vielfaches von 3 ist, muss auch 57.852 ein Vielfa­ ches von 3 sein. Die gleiche verblüffende Regel gilt für die Teilbarkeit durch 9. Jede Zahl lässt sich genau dann durch 9 teilen, wenn ihre Quersumme 9 beträgt. 57.852 ist also ein Vielfaches von 9, während 31.416, dessen Quersumme 15 ist, keines ist. Dieser Trick funktioniert deshalb, weil die Zahlen 1 , 10, 100, 1.000, 10.000 usw. alle um 1 größer sind als ein Vielfaches von 9. 121

DIVISION I M KOPF

Man kann eine Zahl genau dann durch 6 teilen, wenn sie ge­ rade und durch 3 teilbar ist. Eine Teilbarkeit durch 6 lässt sich also leicht überprüfen. Noch einfacher ist es festzustellen, ob eine Zahl durch 5 teil­ bar ist. Egal, wie groß sie ist: Sie ist einzig dann ein Vielfa­ ches von 5, wenn sie auf 5 oder 0 endet. Probieren Sie es ein­ fach aus! Die Teilbarkeit durch 1 1 ist fast so leicht zu bestimmen wie die Teilbarkeit durch 3 oder 9. Eine Zahl ist genau dann glatt durch 1 1 teilbar, wenn man als Ergebnis entweder 0 oder ein Vielfaches von 11 erhält, nachdem man die Ziffern einer Zahl abwechselnd subtrahiert und addiert. Beispielsweise lässt sich 73.958 nicht durch 1 1 teilen, weil 7 - 3 + 9 - 5 + 8 = 16. Die Zahlen 8.492 und 73.194 allerdings sind Vielfache von 11, weil 8 - 4 + 9 - 2 = 11 und 7 - 3 + 1 - 9 + 4 = 0. Dieser Test be­ ruht, ähnlich wie der Test für 3er und 9er, auf der Tatsache, dass 1, 100, 10.000 und 1.000.000 um 1 über einem Vielfachen von 11 liegen, während die Zahlen 10, 1.000 und 100.000 um 1 unter einem Vielfachen von 1 1 liegen. Der Test auf Teilbarkeit durch 7 ist ein bisschen diffiziler. Man erhöht oder senkt die zu prüfende Zahl um ein Vielfa­ ches von 7, und wenn die verbleibende Zahl ein Vielfaches von 7 ist, fällt der Test positiv aus. Ich wähle das Vielfache von 7 immer so, dass eine Zahl entsteht, die auf 0 endet. Wenn die zu prüfende Zahl beispielsweise 5.292 ist, subtrahiere ich 42 (ein Vielfaches von 7), um 5.250 zu erhalten. Jetzt streiche ich die 0 (da eine Division durch 10 nicht beeinflusst, ob die Zahl durch 7 teilbar ist), es bleibt 525. Dann wiederhole ich den Vorgang, addiere 35 (ein Vielfaches von 7) und bekom­ me 560. Wenn ich die 0 streiche, bekomme ich 56, von dem ich weiß, dass es ein Vielfaches von 7 ist. Die ursprüngliche Zahl 5.292 ist also durch 7 teilbar. 122

A U F TEILBAR K E I T TESTEN

Diese Methode funktioniert nicht nur für 7, sondern für jede ungerade Zahl, die nicht auf 5 endet. Um beispielsweise zu testen, ob 8.792 durch 1 3 teilbar ist, zieht man 52 (4 x 13) von 8.792 ab und erhält 8.740. Das Streichen der Null führt zu 874. Man addiert 2 x13 = 26 und kommt zu 900. Man streicht die zwei Nullen und bekommt 9, offenkundig kein Vielfaches von 13. Daher ist 8.792 kein Vielfaches von 13. Übung: Testen aufTeilbarkeit

Passen Sie in dieser abschließenden Übungseinheit beson­ ders auf, wenn Sie aufTeilbarkeit durch 7 und 17 prüfen. Der Rest sollte Ihnen leicht fallen. Teilbarkeit durch 2

5 3.428

4.

9.846

358

8.

57.929

11.

248

12.

6.1 1 1

293

1 5.

7.241

1 6.

9.846

67.386

19.

248

20.

5.991

8.469

23.

43.762

27.

2.

293

3.

7.241

6.

67.348

7.

10.

73.488

14.

18.

Teilbarkeit durch 4

3.932 Teilbarkeit durch 8 9.

59.366

Teilbarkeit durch 3 13.

5 3.428

Teilbarkeit durch 6 1 7.

5.334

Teilbarkeit durch 9 21.

1 .234 22

4.425.575 24. 3 1 4.1 59.265

Teilbarkeit durch 5 25.

47.830

26.

56.785 28.

37.21 0

123

D I V I S I O N I M KOPF

Teilbarkeit durch 1 1 29.

5 3.867

)0.

4.969

)1.

3.828

12.

941 .369

)�.

7.336

JS .

875

)6.

1 .1 83

)8.

629

)9.

8.273

�0.

1 3.855

Teilbarkeit durch 7 )).

5. 784

Teilbarkeit durch 1 7

694

BRÜCH E

Wenn Sie mit ganzen Zahlen umgehen können, wird Ihnen das Rechnen mit Brüchen fast genauso leicht fallen. In die­ sem Abschnitt wiederholen wir die grundlegenden Metho­ den der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division sowie des Kürzens von Brüchen. Diejenigen, denen vertraut ist, wie man mit Brüchen umgeht, können diesen Abschnitt bedenkenlos überspringen. Multiplizieren von Brüchen Um zwei Brüche miteinander zu multiplizieren, multipli­ ziert man einfach die oberen Zahlen (die Zähler) miteinan­ der, dann multipliziert man die unteren Zahlen (die Nenner) miteinander. Zum Beispiel: 2 4 8 T X 5 = IT

1

2

X

5 = 5 18

9

Was könnte einfacher sein! Versuchen Sie folgende Aufga­ ben, bevor Sie weiterlesen. Übung: Multiplikation von Brüchen 1.

124

3 2 5x7

2.

4

11

gX]

)

3 6 7x4

�.

BAOCHE

Division von Brüchen Die Division von Brüchen ist so einfach wie die Multiplika­ tion. Es ist nur ein zusätzlicher Schritt erforderlich: Man stellt den zweiten Bruch auf den Kopf (man bildet den Kehr­ wert) und multipliziert erst dann jeweils die oberen und un­ teren Zahlen miteinander. Der Kehrwert von � beispiels­ weise ist � . Deswegen gilt: 2 . 4

2

5

10

1

1

9 = 9 10

T � 5 = T >< 4 = u

. 5

T � 9 = Tx 5

Übung: Division von Brüchen

Jetzt sind Sie dran. Dividieren Sie folgende Brüche: 2

I.

•

1

5�2

2•

1

•

6

T�5

3.

Kürzen von Brüchen Man kann Brüche als kleine Divisionen betrachten. � ist beispielsweise das gleiche wie 6 -7- 3 = 2. Der Bruch ! bedeu­ tet das gleiche wie 1 -7- 4 (was in Dezimalschreibweise 0,25 ist). Nun wissen wir, dass eine Zahl unverändert bleibt, wenn wir sie mit 1 multiplizieren. Zum Beispiel gilt: � = + x 1. Wenn wir nun 1 durch � ersetzen, bekommen wir � = + x 1 =f x = 160 . Analog erhalten wir, wenn wir 1 durch + er3 = 15 • setzen, T 9 . M"1t anderen \TT worten. \Tl wenn wu 3 =5 3 xT Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl multiplizieren, be­ kommen wir einen Bruch, der mit dem ursprünglichen Bruch äquivalent ist. Diesen Vorgang nennt man Erweitern. Ein weiteres Beispiel:

�

•

125

DIVISION I M KOPF

Nun gilt aber auch: Wenn wir den Zähler und den Nenner durch die gleiche Zahl dividieren, erhalten wir einen Bruch, der mit dem ursprünglichen Bruch äquivalent ist. Zum Beispiel: 4

4

2

.

2

6 = 6�T = T

25 25 5 5 35 = 35 � s = T •

Diesen Vorgang nennt man Kürzen.

Obung: Erweitern und Kürzen von Brüchen

Können Sie zu den folgenden Brüchen einen äquivalenten Bruch finden, dessen Nenner 12 ist? 1

l.

T

5

6

2.

Kürzen Sie: 5.

8

w

6

5

6.

3

4

3.

24 36

7.

5

�-

T

8.

36

20

Addition von Brüchen Im einfachen Fall haben beide Brüche den gleichen Nenner. Dann addieren wir die Zähler und behalten den Nenner. Zum Beispiel: 3

1

4

s+s=s

Manchmal kann man die Lösung noch vereinfachen. Bei­ spielsweise:

Obung: Addition von (gleichnamigen) Brüchen 1.

126

2 g

5

+ g

2.

5

4

IT + IT

3.

5

6

18 + 18

�-

BR0CH E

Der schwierigere Fall: ungleiche Nenner. Wenn die Nenner nicht gleich sind, ersetzen wir unsere Brüche durch solche, wo die Nenner gleich sind. Um beispielsweise zu addieren 2

1

T + TI

wandeln wir um

Es gilt: 1

2

5

2

7

7

11

T + TI = TI + TI = TI ·

Um folgendes zu berechnen

_l_ + _l_

2

erweitern wir

8

Also gilt 1

7

4

T + s = s + s = s·

Um folgendes zu addieren

_l_ + .l..

3

erweitern wir 1

so

dass

5

T = TI

5

2

6

und 5 = TI

127

DIVISION I M KOPF

Übung: Addition von (ungleichnamigen) Brüchen 1

1

2

5

s + TO

1.

T + 2i

4.

1

5

6 + 18

2.

1._ + ]_

5.

3

4

3.

_l 5 3 + _l

l_ 7 + ]_ 5

6.

2 5 TI + 9

7.

Subtraktion von Brüchen Die Subtraktion von B rüchen funktioniert ähnlich wie die Addition. Das haben wir mit ein paar Beispielen illustriert; danach folgen Übungen für Sie. 4 2 2 3 1 2 -s - s = s y - -=r = T 1 4 1 5 8-8=3=2 1 2 5 2 3 1 T - 15 = 15 - 15 = 15 = s 7 1 7 4 3 8-2=8-8=8 1 7 4 7 3 2-8=8-8=-8 2 1 8 7 1 T - 4 = 28 - 28 = 28 2 5 16 15 1 T - 8 = 24 - 24 = 24

Übung: Subtraktion von Brüchen 1.

4.

7.

128

8

3

4

1

TI - TI -s - 15

1 7 8 - 16

1.. 5.

8.

12

8

T-7

3 9 1 0 - -s 2 4

T-5

3.

6.

9.

13

5

3

2

18 - 18 4-T

1 8 9-2

·.1;

.

KAPITE L

Passt schon - die Kunst des

»

Überschlagens«

B genaue Lösung zu einer Aufgabe zu finden. Oft genug is jetzt haben Sie die geistige Fähigkeit perfektioniert, die

braucht man aber eigentlich nur eine ungefähre »Hausnum­ mer« des Ergebnisses. Angenommen, Sie holen von mehre­ ren Banken die Zinssätze für die Finanzierung Ihres Hauses ein. In dieser Phase der Informationssammlung benötigen Sie eigentlich nur eine grobe Schätzung, wie hoch Ihre mo­ natliche Belastung ausfallen wird. Oder angenommen, Sie gehen mit Freunden ins Restaurant und teilen sich danach die Rechnung, aber nicht auf den letzten Cent genau. Mit den hier vorgestellten Methoden, wie man »über den Daumen peilt«, erleichtert man sich das Leben bei zahlreichen Pro­ blemstellungen ungemein. Ob bei Addition, Subtraktion, Di­ vision und Multiplikation - überall lassen sich Näherungs­ methoden einsetzen. Wie gewohnt, werden Sie Ihre Berechnungen von links nach rechts durchführen.

Ü B E R S C H LAG E N

VO N S U M M E N

Mit einer überschlägigen Berechnung macht man sich das Leben viel einfacher, wenn die Zahlen einer Aufgabe so groß sind, dass man sie sich nicht mehr merken kann. Der Trick besteht darin, die Ausgangszahlen auf- oder abzurunden: 129

D I E K U N ST DES »0 BERSCH LACi E N S«

8.367

+ 5.81 9

...

1 4.1 86

8.000 + 6.000 1 4.000 ( � bedeutet »ist un gefähr«)

Beachten Sie, dass wir die erste Zahl auf den nächsten Tau­ sender abgerundet und die zweite Zahl aufgerundet haben. Das genaue Ergebnis war 14.186, unser relativer Fehler war also klein. Wenn Sie genauer rechnen wollen, können Sie auch jeweils zum nächsten Hunderter statt zum nächsten Tausender auf­ bzw. abrunden: 8.367 5.81 9 1 4. 1 86

+

+

8.400 5.800 1 4.200

Unsere Schätzung liegt nur 14 vom exakten Ergebnis weg, eine Abweichung von weniger als 0,1 %. Das nenne ich mal eine gute Schätzung! Versuchen wir eine Aufgabe mit fünfstelligen Zahlen; wir runden auf die nächsten Hunderter: 46.1 87 + 1 9.378 65.565

46.200

+ 1 9.400 65.600

Wenn wir auf Hunderter runden, wird unsere Schätzung immer weniger als 100 daneben liegen. Bei einem Ergebnis, das über 10.000 ist, beträgt der relative Schätzfehler also immer unter 1 %. Probieren wir jetzt etwas Abgefahrenes: 23.859.379 7.426.087 31 .285.466

+

130

23,9 M illionen

24.000.000

+ 7.000.000

31 .000.000

oder

+ 7,4 M i llionen 3 1 ,3 M illionen

0BERSCHLAC E N VO N S U M M E N

Rundet man auf die nächste Million, bekommt man 31 Mil­ lionen als Lösung, etwa 285.000 daneben. Nicht schlecht, aber genauer wird es, wenn Sie auf die nächsten Hunderttausen­ der runden, wie in der rechten Spalte gezeigt. Wieder wird Ihre Schätzung weniger als 1 % vom exakten Ergebnis abwei­ chen. Wenn man also nicht zu grob vereinfacht, kann man für jede beliebige Summe eine gute Schätzung abgeben. Oberschlagen im Supermarkt Nehmen wir ein Beispiel aus dem Alltag. Haben Sie sich je beim Einkaufen gefragt, ob Sie genug Geld dabei haben, um die Sachen im Einkaufswagen zu bezahlen? Meine Technik in einem solchen Fall ist, jeden Preis auf die nächsten 50 Cent zu runden. Wahrend die Kassiererin die exakten Preise (links) eingibt, addiere ich im Kopf die Zahlen auf der rechten Seite: 1 ,39 € 0,87 € 2,46 € 0,61 € 3,29 € 2,99 € 0,20 € 1 ,1 7 € 0,65 € 2,93 € 3,1 9 € 1 9,75 €

1 ,50 € 1 ,00 € 2,50 € 0,50 € 3 ,50 € 3 ,00 € 0,00 € 1 ,00 € 0,50 € 3 ,00 € 3 ,00 € 1 9,50 €

der Regel liegt meine Schätzung keinen Euro vom exakten Ergebnis weg. In

131

D I E KU N ST DES ,.QBERSC H LACi E N S«

George Parker Bidder: Der rechnende I ngenieur Auch die Briten hatten ihre Blitz-Kopfrechner, und die Vorführun­ gen des i n Devonshire geborenen George Parker Bidder (1 8061 878) waren so leicht nicht zu ü bertrumpfen. Wie die meisten Kopfrechenakrobaten begann Bidder schon als j unger Bub, sich mit Kopfrechnen zu beschäftigen. Beim Spielen mit M urmeln lernte er Addieren, Subtrahieren, Multipl izieren und Dividieren. Im Alter von neun Jahren ging er aufTour, begleitet von seinem Vater. Fast keine Aufgabe war zu schwer für ihn. »Der Mond ist 1 23 .256 Meilen von der Erde entfernt, Schall bewegt sich mit vier Meilen in der M inute fort. Wie lang bracht der Schall, um von der Erde zum Mond zu gelangen?« Der junge Bidder legte seine Stirn fast eine M i nute lang in Falten, dann antwortete er: »Einundzwanzig Tage, neun Stunden, vierunddreißig M i n uten.« (Heute wissen wir, dass die Entfernung eher bei 240.000 Meilen liegt und Schall sich durch das Vakuum des Weltalls n icht fortsetzen kann.) I m Alter von zehn Jahren berechnete Bidder i m Kopf d i e Wurzel von 1 1 9.550.669.1 2 1 in gerade mal dreißig Sekunden: 345 . 761 . I m Jahr 1 81 8 traten Bidder u n d der amerikanische Blitzrechner Zerah Colburn zu einem Rechend uell an. Wenn Colburn gedacht hatte, er könnte Bidder schlagen, hatte er sich verrechnet: Bidder ge­ wann. Auf den Wogen seines Ruhms schrieb sich George Bidder i n der Un iversität Edinburgh ein und wurde zu ei nem der angesehens­ ten I ngenieure Englands. Das Parlament zog ihn oft als Experten hinzu, wenn es um Eisenbahnfragen ging - zum Schrecken der Gegenseite. Ein Oppositioneller beschwerte sich: >>Die N atur hat ihn mit so außerordentlichen Fähigkeiten ausgestattet, dass seine Gegenspieler kei ne fai re Chance haben.<< Anders als Col­ burn, der sich im Alter von 20 Jahren als Rechenkünstler zur Ruhe setzte, machte Bidder sein ganzes Leben lang weiter. Noch 1 878, kurz vor seinem Tod, berechnete er, wie viele Schwingungen des Lichts das Auge in einer Sekunde erreichen (unter der Annah me, dass 36.9 1 8 Wellenberge roten Lichts in einen Zoll passen und Licht sich mit etwa 1 90.000 Meilen in der Stunde fortbewegt) .

132

OB ERSC H LAG E N VON Q U OTI E NTEN

Ü B E R S C H LAG E N VO N D I F F E R E N Z E N

Die Methode ist genau die gleiche wie bei Summen: Man rundet auf die nächsten Tausender oder, vorzugsweise, Hun­ derter. 8.367 - 5.81 9 2.548

8.000 - 6.000 2.000

8.400 - 5.800 2.600

oder

Sie sehen, wenn Sie auf Tausender runden, liegen Sie mit Ihrer Schätzung ziemlich weit daneben. Wenn Sie auf die zweite Stelle der Zahlen runden (hier auf Hunderter). liegt die Schätzung in der Regel um weniger als 3 % daneben. In unserem Fall haben wir uns nur um 52 vertan, ein relativer Fehler von 2 %. Rundet man auf die dritte Stelle statt auf die zweite, verbessert man die Genauigkeit der Schätzung erheb­ lich. Ü B E R S C H LAG E N VO N Q U OTI E N T E N

Der erste und wichtigste Schritt bei der Schätzung, was bei einer Division ungefähr herauskommt, liegt darin, die Grö­ ßenordnung des Ergebnisses zu bestimmen. 57.867

+

6 = 9.644, 5

58.000 + 6 - 54 4

9.000 + . . .

Ergebnis: 9 � Tausend = 9.667 Als nächstes rundet man die größeren Zahlen auf den nächs­ ten Tausender, hier 57.867 auf 58.000. Man teilt das durch 6 und bekommt 9 mit einem Rest. Aber der wichtigste Teil bei dieser Aufgabe besteht darin, die 9 richtig einzuordnen. =

133

D I E KU N ST DES » 0 BERSC H LAG E N S«

Multipliziert man beispielsweise 6 x 90, bekommt man 540, multipliziert man 6 x 900, bekommt man 5.400. Beides ist zu klein. Aber 6 x 9.000 gibt 54.000, was ziemlich nah dran ist. Das verrät Ihnen, dass die Lösung bei 9.000 plus irgendwas liegt. Wie hoch dieses »irgendwas« ist, überschlagen Sie, indem Sie zunächst 58 - 54 = 4 rechnen. Jetzt könnten Sie die 0 herunter holen und 40 durch 6 teilen, aber wenn Sie schnell schalten, sehen Sie sofort, dass 4 geteilt durch 6 nichts ande­ res ist als � = i 0,667. Da Sie wissen, dass das Ergebnis in den 9.000ern liegt, können Sie sofort 9.667 schätzen. Das exakte Ergebnis liegt übrigens bei 9.645 - verflixt nah! Divisionen aufdiesem Niveau sind einfach. Aber wie sieht es aus, wenn man größere Zahlen teilen muss? Berechnen wir mal so zum Spaß, was ein Spitzenathlet am Tag verdient, wenn sein Jahreseinkommen 5.000.000 € beträgt. ==

5.000.000 € + 365 Tage

Zuerst müssen Sie die Größenordnung des Ergebnisses schätzen. Verdient der Sportler einen Tausender am Tag? Nun, 365 x 1.000 = 365.000, viel zu wenig. Verdient er Zehntausend am Tag? 365 x 10.000 = 3.650.000, das kommt schon eher hin. Um das Ergebnis zu überschla­ gen, verwenden Sie die ersten beiden Stellen beider Zahlen für Ihre Division. Sie teilen 50 durch 36 und erhalten 1 j: oder 1 /s Da 18 ungefähr 4 mal in 70 passt, schätzen Sie das Ta­ geseinkommen des Athleten auf 14.000 €. Der exakte Wert beträgt 1 3.698,63 €. Nicht schlecht - weder die Schätzung noch das Einkommen! Jetzt habe ich eine astronomische Schätzung für Sie: Wie viele Sekunden braucht das Licht, um von der Sonne zur Erde zu gelangen? Nun, Licht bewegt sich mit einer Ge­ schwindigkeit von 186.282 Meilen pro Sekunde fort und die .

134

0BERSC H LACEN VON PRODUKTEN

Sonne ist (im Schnitt) 92.960. 130 Meilen weit weg. Wahr­ scheinlich sind Sie nicht besonders scharf darauf, eine derar­ tige Aufgabe im Kopf zu rechnen. Glücklicherweise ist es re­ lativ einfach, einen ungefähren Wert zu überschlagen. Zuerst vereinfacht man die Aufgabe: 92.960.1 30 + 1 86.282

93.000

"'

+

1 86

Jetzt teilt man 930 durch 186 und bekommt 5, ohne Rest. Holen Sie jetzt die zwei Nullen herunter, die von 93.000 noch übrig sind, und Sie bekommen 500 Sekunden. Der exakte Wert beträgt 499,02 Sekunden, die Schätzung war also sehr respektabel. Ü B E R S C H LAG E N VO N P R O D U KT E N

Sie können so ziemlich die gleichen Techniken anwenden, um das Ergebnis von Multiplikationen zu überschlagen. Zum Beispiel: 88 X 54 4.752

90 X 50 4.500

Man vereinfacht die Aufgabe erheblich, wenn man beide Fak­ toren auf den nächsten Zehner rundet, aber dafür liegt man beim Ergebnis auch um 252 daneben, also um etwa 5 %. Sie können die Schätzung verbessern, wenn Sie beide Zahlen um den gleichen Betrag verändern, die eine erhöhen Sie, die senken Sie. Wenn Sie also 88 um 2 auf90 aufrunden, sollten Sie 54 um 2 verringern: 88 54 4.752 X

90 52 4.680 X

135

D I E KU NST DES »0BERSC H LAG E N S44

Jetzt haben Sie es zwar nicht mehr mit einer Multiplikation zweier einstelliger Zahlen zu tun, sondern müssen eine zwei­ stellige Zahl mit einer einstelligen multiplizieren, aber das sollte Ihnen keine Schwierigkeiten bereiten. Ihre Schätzung liegt nur 1,5 % daneben. Wenn Sie die Größe eines Produkts überschlagen, indem Sie die größere Zahl aufrunden und die kleinere verringern, lie­ gen Sie mit Ihrer Schätzung zu niedrig. Verringern Sie die größere Zahl und runden Sie die kleinere auf, so dass die Zahlen näher beieinander liegen, fällt Ihre Schätzung zu hoch aus. Je weiter Sie auf- bzw. abrunden, desto größer wird Ihr Schätzfehler. Zum Beispiel: 70 X 68 4.760

73 X 65 4.745

Da die Zahlen nach der Rundung näher beieinander liegen, ist Ihre Schätzung etwas zu hoch. 70 64 4.480

67 67 4.489

X

X

Da die Zahlen nach der Rundung weiter auseinander sind, liegen Sie mit Ihrer Schätzung zu niedrig, aber wieder nicht viel. Beachten Sie, dass wir zuletzt schlicht 672 berechnen wollten und unsere Methode zur Schätzung genau dem ers­ ten Lösungsschritt bei der Berechnung von Quadraten ent­ sprach. Sehen wir uns ein weiteres Beispiel an: 83 52 4.3 1 6 X

136

""

85 50 4.250 X

ÜBERSC H LAGEN VON PRODUKTEN

Wir bemerken, dass die Schätzung am genauesten ist, wenn die Ausgangszahlen nahe beieinander liegen. Versuchen Sie mal, das Ergebnis folgender Aufgabe zu lösen: 728 63 45.864

731 60 43.860

X

X

Indem Sie 63 auf 60 abgerundet und 728 um 3 auf731 erhöht haben, haben Sie die Multiplikation vereinfacht; Sie müssen die dreisteHige Zahl nur noch mit einer einstelligen multip­ lizieren. Ihre Schätzung weicht dafür auch um 2.004 (oder 4,3 %) vom exakten Ergebnis ab. Überschlagen Sie jetzt mal, was bei der Multiplikation der folgenden dreistelligen Zahlen herauskommt: 359 X 500 1 79.500

367 X 492 1 80.564

Sie werden bemerken, dass die Schätzung um mehr als 1.000 daneben liegt. Angesichts dessen, dass die Ausgangszahlen groß waren und um 8 gerundet wurde, hält sich der Fehler in erfreulichen Grenzen, unter 1 %. Wie große Zahlen kann man mit dieser Schätzmethode noch sinnvoll überschlagen? Beliebig große. Sie brauchen nur zu wissen, wie die ganz großen Zahlen heißen. Tausend mal tausend ist eine Million, tausend Millionen sind eine Milliar­ de. Gehen Sie mit diesem Wissen mal auf folgende Aufgabe los: X

28.65 7.493 1 3.864

...

29 M i ll ionen x 1 4 Tausend

Wie zuvor ist das Ziel, die Ausgangswerte zu einfacheren 1 37

D I E KU NST DES »0BERSCH LAG E N S«

Zahlen zu runden, zum Beispiel auf 29.000.000 und 14.000. Lässt man die Nullen einmal weg, bleibt eine einfache Multi­ plikation zweier Zahlen: 29 x 14 = 406 (29 x 14 = 29 x 7 x 2 203 x 2 = 406). Da tausend Millionen eine Milliarde sind, liegt das Ergebnis bei etwa 406 Milliarden. =

Ü B E R S C H LAG E N VO N W U RZ E L N : T E I L E N U N D M I TT E L N Vn, die (Quadrat-)Wurzel einer Zahl n, ist die Zahl. die mit sich selbst multipliziert n ergibt. Die Wurzel von 9 beispiels­ weise ist 3, weil 3 X 3 = 9. Ingenieure und Wissenschaftler haben oft mit Wurzeln zu tun und berechnen sie fast immer mit dem Taschenrechner. Mit der folgenden Methode gelan­ gen Sie zu einer guten Schätzung des Ergebnisses. Beim Überschlagen von Wurzeln ist Ihr Ziel, eine Zahl zu finden, die mit sich selbst multipliziert ungefähr die Aus­ gangszahl ergibt. Da die Wurzel von Zahlen nur selten eine ganze Zahl ist, wird auch Ihre Schätzung meist einen Bruch oder Nachkommastellen enthalten. Fangen wir damit an, die Wurzel von 19 zu schätzen. Als ers­ tes überlegen Sie, welche Zahl mit sich selbst multipliziert 19 am nächsten kommt. Nun, 4 x 4 = 16 und 5 x 5 = 25. Letzte­ res ist zu hoch, also muss das Ergebnis »4 Komma irgend­ was(( lauten. Als nächstes teilen Sie 19 durch 4 und erhalten 4,75. Da 4 x 4 weniger ist als 4 x 4,75 = 19, was wiederum we­ niger ist als 4,75 x 4,75, wissen wir, dass 19 (oder 4 x 4,75) zwischen 42 und 4,752 liegt. Die Wurzel von 19 liegt deshalb zwischen 4 und 4,75. Ich würde schätzen, dass die Wurzel von 19 ungefähr aufhal­ ber Strecke liegt, bei 4,375. Tatsächlich ist die Wurzel von 19 (auf drei Nachkommastellen gerundet) 4,359, unsere Schät-

138

TEILEN U N D M ITTELN

zung kommt also ganz gut hin. Unsere Methode sieht im Diagramm so aus: Teile: 1 9,0 + 4 = 4,75 - 16 30 - 28 20 - 20 0

Mittle: 4

+

4,75 2

=

4,375

Allerdings können wir dieses Ergebnis auch auf andere Weise bekommen, die Sie vielleicht einfacher finden. Wir wissen, dass 4 zum Quadrat 16 ist, um 3 weniger als 19. Um die Schätzung zu verfeinern, addieren wir den Fehler, geteilt durch das Doppelte unserer Schätzung. In diesem Fall addieren wir 3, geteilt durch 8 (2 x 4) und erhalten 4 � . Beachten Sie, dass Sie mit dieser Methode Werte erhalten, die immer ein wenig über dem exakten Ergebnis liegen. Versuchen Sie mal eine bisschen schwierigere Aufgabe: Was ist die Wurzel von 87? Teile: 87,0 + 9 = 9,66

M ittle: 9 + 9,66 2

=

9 ' 33

Als erstes ermitteln Sie die ungefahre Hausnummer; das geht recht flott, wenn Sie bedenken, dass 9 x 9 = 81 und 10 x I 0 = 100. Das bedeutet, die Lösung liegt bei 9 Komma irgend­ was. Wenn Sie das Ergebnis von 87 -:- 9 auf zwei Nachkom­ mastellen berechnen, bekommen Sie 9,66. Nun nehmen Sie das Mittel aus 9 und 9,66; das ist 9,33 - exakt die Wurzel von �7. gerundet auf die zweite Nachkommastelle! Mit der alter1 39

D I E K U N ST D ES »O BERSCH LAG E N S«

nativen Methode ergibt sich eine Schätzung von 9 + (Feh­ ler)/18 = 9 + 6/18 = 9,33. Mit dieser Technik lassen sich die Wurzeln zweistelliger Zah­ len recht flott schätzen. Aber wie sieht es mit dreisteHigen Zahlen aus? Erstaunlicherweise sind die nicht viel schwieri­ ger. Ich kann Ihnen sofort sagen, dass die Wurzel aller drei­ und vierstelligen Zahlen zwei Stellen vor dem Komma haben. Und die Berechnungsmethode bleibt immer die glei­ che, egal wie hoch die Zahl ist. Angenommen, Sie wollen die Wurzel aus 679 ermitteln. Als erstes müssen Sie die ungefäh­ re >>Hausnummer« finden. Weil 20 zum Quadrat 400 ist und 30 zum Quadrat 900, muss die Wurzel aus 679 zwischen 20 und 30 liegen. Teilen Sie 679 durch 20, bekommen Sie ungefähr 34. Nun mitteln Sie zwischen 20 und 34 und gelangen zu Ihrer Schät­ zung: 27. Aber Sie hätten es in diesem Fall besser machen können: Wenn Sie wissen, dass 25 zum Quadrat 625 ist, dann beträgt Ihr Fehler 679 - 625 = 54. Wir teilen ihn durch 50 (das Zweifache des groben Schätzwerts); �6 = i: = 1,08 und be­ kommen unseren verbesserten Schätzwert 25 + 1,08 = 26,08. (Noch besser liegen Sie, wenn Sie wissen, dass 26 zum Qua­ drat 676 ist. Der Fehler ist jetzt 3, also müssen Sie f2 "' 0,06 addieren und erhalten 26,06.) Der exakte Wert liegt bei 26,06 (aufzwei Nachkommastellen gerundet). Um die Wurzel einer vierstelligen Zahl zu überschlagen, sehen Sie sich die vorderen zwei Stellen der Zahl an. Das ver­ rät Ihnen die erste Ziffer der Wurzel. Bei der Suche nach der Wurzel von 7.369 zum Beispiel betrachtet man die 73. Was ist die Wurzel von 73? 8 x 8 = 64 und 9 x 9 = 81, also steht an ers­ ter Stelle der Lösung eine 8. Jetzt gehen Sie wie gewohnt vor. Sie teilen 7.369 durch 80 und erhalten 92 und einen Rest. 86 ist also eine gute Schätzung. Quadriert man 86, bekommt 140

TEILEN U N D M ITTELN

man 7.396, was um 27 zu hoch liegt. Subtrahieren Sie N2 0,16, um die Schätzung zu verfeinern. Sie erhalten 85,84, was genau hinkommt. Die ungefähre Bestimmung der Wurzel einer sechsstelligen Zahl wie 593.472 mag dem Uneingeweihten als unmöglicher Auftrag vorkommen, aber Ihnen macht das keine Mühe. Da 7002 = 490.000 und 8002 = 640.000, muss die Wurzel von 593.472 zwischen 700 und 800 liegen. Tatsächlich haben alle fünf- und sechsstelligen Zahlen eine Wurzel mit drei Stellen vor dem Komma. In der Praxis müssen Sie nur die ersten zwei Stellen einer sechsstelligen Zahl (oder die erste Ziffer einer fünfstelligen Zahl) betrachten. Sobald Sie erkannt haben, dass die Wurzel von 59 zwischen 7 und 8 liegt, wissen Sie, dass die Schätzung in den 700em liegt. Gehen Sie jetzt auf die gewohnte Art vor: =

Teile: 593.472

Mittle: +

700 5.934 =

+

7 = 847

700 + 84 7 2

=

773 5 •

Der exakte Wert der Wurzel von 593.472 liegt (gerundet) bei 770,37, Ihre Schätzung ist also ganz gut hingekommen. Aber man hätte noch näher kommen können, wie der folgende Trick zeigt. Beachten Sie, dass die ersten zwei Stellen, 59, näher bei 64 (8 x 8) liegen als bei 49 (7 x 7). Deswegen kön­ nen Sie Ihre Schätzung mit 8 beginnen und von dort weiter­ rechnen: Teile: 593.472

Mittle: +

800

=

5.934

+

8 = 741

800 + 741 = 770,5 2

Legen wir uns zum Spaß mal mit einer echten Monsterzahl an und suchen wir die Wurzel von 28.674.529. Das ist nicht so 141

D I E K U N ST D ES »0BE RSCH LAG E N S��

schwer, wie es aussehen mag. Ihr erster Schritt besteht darin, zur nächsten großen Zahl zu runden - in diesem Fall geht es einfach darum, die Wurzel aus 29 zu finden. Teile: 29,0 + 5 = 5,8 - 25 40

Mittle: 5 + 5,8 = 5,4 2

Alle sieben- und achtstelligen Zahlen haben vierstellige Wur· zeln, also wird 5,4 zu 5.400, Ihrer Schätzung. Der exakte Wert liegt bei etwas über 5.354,8. Nicht schlecht! Damit endet das Kapitel über Schätzungen. Machen Sie die Aufgaben von Seite 150/15 1 , und gehen Sie dann zum nächs­ ten Kapitel über, wo Sie Zettel und Stift verwenden dürfen. Sie werden dort lernen, Berechnungen auf Papier festzuhal­ ten, aber viel schneller, als Sie es bisher getan haben. W E I T E R E T R I N KG E L D-T I P PS

Wie im 0. Kapitel bereits erwähnt, ist es in vielen Fällen ganz leicht, das korrekte Trinkgeld zu errechnen. Um ein zehnpro­ zentiges Trinkgeld zu ermitteln, multiplizieren wir die Rech­ nung einfach mit 0,1 (oder teilen sie durch 10). Beträgt die Rechnung beispielsweise 42 €, wäre das Trinkgeld 4,20 €. Ein zwanzigprozentiges Trinkgeld bestimmen Sie, indem Sie die Rechnung mal 0,2 nehmen oder das zehnprozentige Trink­ geld verdoppeln. Im Fall der obigen Rechnung von 42 € wären das 8,40 €. Um ein Trinkgeld von 15 % zu ermitteln, haben wir verschie­ dene Optionen. Wenn Sie die Techniken aus Kapitel 2 beherr­ schen, multiplizieren Sie die Rechnung mühelos mit 15 = 5 x 3 und teilen dann durch 100. Bei einer Rechnung von 42 € 142

WEITERE TI PPS

gäbe das 42 x 15 = 42 x 5 x 3 = 630, was durch 100 geteilt ein Trinkgeld von 6,30 € gibt. Eine weitere Möglichkeit wäre, das Mittel aus einem 10%- und einem 20 %-Trinkgeld zu neh­ men. Im Beispielfall wäre das 4,20 € + 8,40 € 2

1 2,60 € 2

=

6 30 € •

Der vielleicht gängigste Weg, ein 15 %-Trinkgeld zu ermit­ teln, ist, 10% der Rechnung zu nehmen, diesen Betrag zu halbieren (was einem 5 %-Trinkgeld entspricht) und diese zwei Zahlen zu addieren. Im Beispiel unserer Rechnung von 42 €, würde man 4,20 € draufschlagen und davon noch mal die Hälfte, 2,10 €: 4,20 € + 2,1 0 € = 6,30 € Lassen Sie uns alle drei Methoden anwenden, um 1 5 % einer Rechnung von 67 € zu errechnen. Mit der direkten Methode erhalten wir 67 x 3 x 5 = 1005, was, durch 100 geteilt, 10,05 € gibt. Mit der Durchschnittsmethode bekommen wir das Mit­ tel aus dem zehnprozentigen Trinkgeld (6,70 €) und dem zwanzigprozentigen (13,40 €): 6,70 € + 1 3,40 € 2

20,1 0 € 2

=

1 0 05 € I

Bei der letzten Methode schließlich nehmen wir 6,70 € und addieren die Hälfte davon (3,35 €) dazu. Wir erhalten: 6,70 € + 3,35 € = 1 0,05 € Um nun ein 25 %-Trinkgeld zu berechnen, schlagen wir zwei Methoden vor. Nehmen Sie den Rechnungsbetrag mal 25 und teilen Sie durch hundert oder teilen Sie den ihn durch 4 (vielleicht, indem Sie ihn zweimal halbieren). Am Beispiel 143

D I E KU NST DES »OBE RSC H LAC E N S«

der Rechnung von 42 € kann man rechnen 42 x 25 = 42 x 5 x 5 = 210 x 5 = 1050, was durch 100 geteilt ein Trinkgeld von 10,50 € gibt. Oder man teilt den Rechnungsbetrag direkt durch 4 oder halbiert ihn zweimal: die Hälfte von 42 € ist 21 €, die Hälfte davon 10,50 €. Bei einer Rechnung von 67 € würde ich wahrscheinlich direkt durch 4 teilen: 67 -:- 4 = 16 l ; das 25 %-Trinkgeld macht 16,75 €. KRUM M E H U N DE

In diesem Abschnitt zeige ich Ihnen meine Methode, wie man mit >>krummen« Prozentzahlen umgeht. Solange man nur mit Sätzen wie 5 %, 6 % oder 10% zu tun hat, ist die Be­ rechnung ganz einfach. In Amerika aber gibt es zum Beispiel regional unterschiedliche Sales Taxes, eine Art Mehrwert­ steuer, die auf den Verkaufspreis draufgeschlagen wird. Um eine Sales Tax von 6 % zu errechnen, multiplizieren Sie den Preis der Ware mit 6 und dividieren dann durch 100. Bei einem Preis von 58 $ wäre das 58 x 6 = 348, was durch 100 ge­ teilt die Sales Tax von 3,48 $ ergibt. (An der Kasse müssen Sie also 61,48 $ bezahlen.) Aber wie berechnet man eine Sales Tax von 6,5 % auf 58 $? Ich werde Ihnen verschiedene Methoden zeigen, von denen Sie diejenige aussuchen können, die Ihnen am einfachsten vorkommt. Die vielleicht einfachste Art, ein halbes Prozent von einem beliebigen Betrag zu ermitteln, besteht darin, den Dollarbetrag zu halbieren und in Cent umzuwandeln. Im Falle der 58 $ ist die Hälfte 29, also addiert man einfach 29 Cent zu der 6 %-Steuer (die wir bereits errechnet haben: 3,48 $) und erhält 3,77 $. Eine weitere Möglichkeit wäre, die 6 %-Steuer zu nehmen, sie durch 12 zu teilen und diese beiden Beträge zu addieren. Da 144

W E ITERE TI PPS

zum Beispiel 6% aus 58 $ gleich 3,48 $ und 12 fast 30 mal in 348 passt, schätzt man 30 Cent und schlägt diese auf die 3,48 $. Man erhält 3,78 $, was nur einen Cent daneben liegt. Das mathematische Duell des �variste Galois Die tragische Geschichte des französischen Mathematikers Eva· riste G alois (1 81 1 - 1 832), der im Alter von 20 Jahren in einem Duell um ••eine berüchtigte Kokette« starb, wurde i n den Annalen der Geschichte der M athematik zur Legende. Als ü beraus früh­ reifer und begabter Student legte Galois die Grundlagen für einen Zwei g der Mathematik namens Gru ppentheorie. Der Legende nach schrieb er seine Theorie in der Nacht vor dem Duell nieder, weil er seinen Tod befürchtete und der Gemeinschaft der Mathe­ matiker ein Vermächtnis hinterlassen wollte. Stunden vor seinem Tod am 30. Mai 1 83 2 schrieb Galois an Auguste Chevalier: »Ich habe ei nige Neuentdecku ngen in der Analysis gemacht. Die erste betrifft die Theorie der G leichungen, die andere l ntegralfunktio­ nen.« Er beschrieb sie und bat seinen Freund: »Bitte Jacobi oder Gauß öffentlich, ihre Meinung über d iese Theoreme abzugeben; nicht darüber, ob sie korrekt sind, sondern darüber, wie wichtig sie sind. Danach, hoffe ich, werden sich ein paar Männer finden, um dieses Durcheinander zu ordnen.« Allerdings stimmen romantische Legende und historische Wahr­ heit nicht i m mer ü berein. Was Galois in der Nacht vor seinem Tod notierte, waren Korrekturen und Änderungen a n wissen­ schaftlichen Aufsätzen, die schon längst von der Akademie der Wissenschaften angenommen worden waren. Mehr noch: Seine ersten Arbeiten hatte Galois drei Jahre vor dem Duell eingereicht, als er gerade mal siebzehn Jahre alt war! Danach hatte sich Galois i n politische Kontroversen verstrickt, war verhaftet u nd eine Zeit· lang eingesperrt worden und geriet schließlich in den tödlichen Streit um eine Frau. Galois war sich bewusst, wie sehr er seiner Zeit voraus war. Er be­ merkte: »Ich habe Dinge erforscht, die viele Weise in ihrer For· schung aufhalten werden.« Damit behielt er über ein Jahrhundert lang recht.

145

D I E K U N ST D ES -.OBERSC H LA G E N S«

Wenn Sie lieber durch 10 als durch 1 2 dividieren, nur zu. Dann berechnen Sie halt 6,6% (weil 1� = 0,6) statt 6,5 %, aber als Überschlagswert kommt das gut hin. In unserem Fall nähmen Sie 3,48 $, würden 34 Cent addieren und kämen auf 3,82 $. Nehmen wir mal andere Sales-Tax-Sätze an. Wie können wir 7 l % auf 124 $ berechnen? Beginnen wir mit der Berech­ nung der 7 % von 124. Aus Kapitel l wissen Sie, dass 124 x 7 = 868, also sind 7 % von 1 24 $ gleich 8,68 $. Um ein Viertel­ prozent zu addieren, können Sie den ursprünglichen Dollar­ betrag durch vier teilen (oder zweimal halbieren) und die Dollar in Cent umwandeln. Da 124 -;- 4 = 31, addieren Sie 31 Cent zu den 8,68 $, und erhalten die exakte Sales Tax von $ 8,99. Sie könnten die 31 Cent auch ermitteln, indem Sie die Sales Tax von 7 % durch 28 teilen. Das funktioniert, weil J8 = 1f4. Um die Zahl rasch im Kopf zu überschlagen, würde ich wahr­ scheinlich 8,68 $ durch 30 teilen und etwa 29 Cent erhalten. Das gäbe eine Sales Tax von insgesamt 8,97 $. Wenn Sie durch 30 teilen, berechnen Sie eine Steuer von 7 j0 , was etwa 7,23 % entspricht statt 7 ,25. Wie würden Sie eine Sales Tax von 7, 75 % berechnen? Als Näherung würde es wohl meist genügen zu sagen, die Steuer liege knapp unter einem Satz von 8 %. Wenn Sie es genauer wissen wollen, hier einige Vorschläge: Im letzten Beispiel haben Sie gesehen, wie Sie einfach ermitteln, was ein l % ausmacht. Diesen Betrag nehmen Sie mal drei, dann haben Sie ! %. Um 7,75 % aus 124 $ zu ermitteln, berechnen Sie zuerst 7% und bekommen 8,68 $. Wenn Sie berechnet haben, dass l % 31 Cent sind, dann sind ! % 93 Cent und die gesamte Steuer beträgt 8,68 $ + 0,93 $ = 9,61 $. Für eine schnelle Überschlagsrechnung können Sie die Tatsache ausnützen, dass � = 0,777, also un146

F O R A N LECER U N D HAUSLEBAUER

geHihr 0,75 sind. Sie können demnach die Sales Tax von 7 % durch 9 teilen und erhalten ein wenig mehr als die 0,75 %. I n unserem Beispiel ist 8,68 $ geteilt durch 9 gleich 9 6 Cent. Sie addieren dann einfach 8,68 $ + 0,96 $ = 9,64 $ und liegen damit nur knapp zu hoch. Wir können diese Näherungsmethode für jeden beliebigen Prozentsatz anwenden. Die allgemeine Formel lautet: Um eine Sales Tax von A,B % zu überschlagen, multiplizieren Sie zuerst den Preis auf dem Preisschild mit A %. Dann teilen Sie diesen Betrag durch die Zahl D, wobei gilt � = O,B (D ist also gleich A mal der Kehrwert von B) . Wenn Sie diese Zah­ len addieren, bekommen Sie die gesamte Sales Tax (oder eine Näherung, wenn Sie D gerundet haben). Im Beispiel mit den 7, 75 % wäre der magische Nenner D 7 x � = 238 = 9 +· den wir auf 9 gerundet haben. Um eine Sales Tax von 6 � % zu ermitteln, berechnet man erst die 6 % und teilt diese Zahl dann durch 16, da 166 = � . (Um eine Zahl durch 16 zu tei­ len, teilt man sie zweimal durch 4 oder erst durch 8, dann durch 2.) Sie sehen, mit dieser Methode lässt sich noch der >>krumms­ te« Hund an die Leine legen! B E R EC H N U N G E N FÜ R A N LEG E R U N D H Ä U S L E BA U E R

Zum Schluss gehen wir kurz auf einige Aufgabenstellungen im Alltag ein, in denen Zinssätze vorkommen. Wir denken da an Anleger, die wissen wollen, wie schnell ihr Vermögen wächst und an Schuldner, die wissen wollen, wie schnell sie ihre Schulden abtragen. Wir beginnen mit der berühmten 70er-Regel, die Ihnen ver­ rät, wie lange es dauert, bis sich Ihr angelegtes Vermögen ver•.

147

D I E KU N ST DES »ÜBERSC H LA C E N S«

doppelt:

Um die Anzahl der Jahre zu ermitteln, die es

braucht, bis Ihr Vermögen sich verdoppelt hat, teilen Sie die Zahl 70 durch den Zinssatz.

Angenommen, Sie finden eine Anlagemöglichkeit, die Ihnen 5 % Verzinsung im Jahr verspricht. Da 70 -:- 5 =14, wird es etwa 14 Jahre dauern, bis sich Ihr Kapital verdoppelt hat. Falls Sie beispielsweise 1.000 Euro auf einem Festgeldkonto ange­ legt haben, wo Ihr Geld mit diesem Satz verzinst wird, haben Sie nach 14 Jahren 1.000 € x (1,05) 1 4 = 1.979,93 €. Bei einem Zinssatz von 7 % zeigt die 70er-Regel. dass es etwa 10 Jahre braucht, bis das Kapital sich verdoppelt. Und tatsächlich haben Sie, wenn Sie 1.000 € zu diesem Satz anlegen, nach zehn Jahren 1.000 € x (1,07)10 = 1.967,15 €. Bei einem Zins­ satz von 2 % dauert es nach der 70er-Regel etwa 35 Jahre, bis sich das Kapital verdoppelt hat: 1 .000 € X (1 ,02) 35 = 1 .999,88 €

Eine ähnliche Methode heißt 110er-Regel. die verrät, wie lang es dauert, bis sich Ihr Kapital verdreifacht. Bei 5 % Verzinsung dauert es 1 10 -:- 5 = 22 Jahre, um 1.000 € in 3.000 € zu verwan­ deln. Das bestätigt die genaue Berechnung 1.000 € x (1,05)22 = 2.925,26 €. Die 70er- und die l lOer-Regel beruhen auf den Eigenschaften der Zahl e = 2,71828... und natürlicher Loga­ rithmen, aber glücklicherweise müssen wir keine höhere Ma­ thematik anwenden, sondern nur den Regeln folgen. Sagen wir nun, Sie leihen sich Geld und müssen es zurück­ bezahlen. Angenommen, Sie leihen sich 360.000 € zu einem jährlichen Zinssatz von 6 % (was wir so interpretieren wer­ den, dass der Zins pro Monat 0,5 % beträgt) und haben 30 Jahre Zeit, den Kredit zurückzuzahlen. Wie viel müssen Sie ungefähr pro Monat an Zahlungen leisten? Zuerst einmal müssen Sie monatlich 360.000 € x 0,5 % = 1 .800 € allein für 148

F0R A N LECER U N D HlUSLEBAUER

die fälligen Zinsen aufbringen. (Allerdings sinkt die Zinszah­ lung im Laufder Zeit.) Da Sie 30 x 1 2 = 360 Monatsraten leis­ ten, könnten Sie den Kredit abbezahlen, indem Sie jeden Monat 1 .000 € abstottern. Die obere Grenze für die monatli­ che Rate liegt also bei 1.800 € + 1.000 € = 2.800 €. Zum Glück müssen Sie aber tatsächlich weniger bezahlen. Hier kommt meine Methode, um die Höhe der monatlichen Raten über den Daumen zu peilen: Der monatliche Zinssatz sei i, die Höhe des Kredits P und die Laufzeit in Monaten N. Dann be­ trägt Ihre monatliche Rate M etwa M=

Pi (1

+

i)N

----

(1

+

i)N - 1

Für unser Beispiel ist P = 360.000 € und i = 0,005, nach unse­ rer Formel sollte die monatliche Rate etwa betragen: M=

360.000 € (0,005) (1 ,005)360 (1 ,005)360 - 1

Beachten Sie, dass die beiden ersten Faktoren im Zähler sich zu 1.800 € multiplizieren. Benutzen Sie (ausnahmsweise) einen Taschenrechner, um (1 ,005)360 = 6,02 zu berechnen, dann ergibt sich eine monatliche Rate von € 1.800 (6,02)/ (5,02), was etwa 2.160 € sind. Hier ein weiteres Beispiel. Angenommen, sie kaufen sich ein neues Auto. Nach der Anzahlung bleiben Sie 18.000 € schul­ dig, die Sie über fünf Jahre abbezahlen, bei einem jährlichen Zinssatz von 4 %. Gäbe es die Zinsen nicht, müssten Sie mo­ natlich 18;;� = 300 € bezahlen. Da die Zinsen für das erste Jahr 18.000 x (0,04) = 720 € ausmachen, wissen Sie, dass die Raten nicht höher als 300 € + 60 € = 360 € im Monat liegen können. Mithilfe unserer Formel errechnen wir (der monat­ liche Zinssatz i = 01�4 = 0,00333) folgendes: 149

D I E KU NST DES ,.QBERSCH LACi E N S«

M=

1 8.000 (0,00333) (1 ,00333)60----

(1 ,00333)60 - 1

Da (1 ,00333)60 = 1,22, ergibt sich eine monatliche Rate von etwa 60(1,22)/(0,22) € = 333 €. Wir schließen mit einigen Aufgaben, die sich hoffentlich ft.ir Sie auszahlen. S C H ÄTZ- Ü B U N G E N

Machen Sie die folgenden Übungen zu Überschlagsrechnun­ gen und kontrollieren Sie Ihre Resultate anhand der Lösun­ gen am Ende des Buchs. Übung: Oberschlagen von Summen

Runden Sie diese Zahlen auf oder ab und sehen Sie, wie nah Sie dem exakten Resultat kommen: 1.

+

1 .479 1 .1 05

2·

+

5 7.293 3 7.421

3.

+

31 2.025 79.41 9

4·

+

8.971 .01 1 4.01 6.367

Schätzen Sie die Gesamtsumme folgender Preise, indem Sie auf die nächsten 50 Cent runden. 2,67 € 1 ,95 € 7,35 € 9,21 € 0,49 € 1 1 ,21 € 0,1 2 € 6,1 4 € 8,31 € 150

Übung: Oberschlagen von Differenzen

Schätzen Sie das Ergebnis folgender Subtraktionen, indem Sie auf die zweite oder dritte Stelle runden. 1.

2.

4.926 - 1 .659

67.221 - 9.874

3

.

4·

8.349.241 - 6.1 03.839

526.978 - 42.009

Übung: Oberschlagen von Quotienten

Passen Sie die Zahlen so an, dass es möglich wird, das Resul· tat folgender Divisionen abzuschätzen: 4.379 + 7

1.

4

.

3.

23.958 + 5

2.

5 . 1 02.35 7 + 289

549.21 3 + 1 3

8.329.483 + 203 .637

5.

Übung: Oberschlagen von Produkten

Passen Sie die Zahlen so an, dass Sie das Ergebnis der folgen­ den Multiplikationen abschätzen können: 1.

X 5.

2.

98 27 312 X 98 9.

X

76 42

X

639 1 07

6.

1 04.972 X 1 1 .201

3.

X

88 88

X

428 313

7.

4.

X 8.

X 10.

539 17

51 .276 489

5.462. 741 X 203.41 3

151

D I E KU NST D ES »O BERSCH LAG E N S«

Übung: Oberschlagen von Wurzeln

Schätzen Sie die Wurzeln folgender Zahlen, indem Sie die Teile-und-mittle-Methode anwenden: 2.

V3 s

3.

V1 63

4.

V4.279

s.

V8.o39

Übung: Mathematik für den Alltag

1 . Berechnen Sie 1 5 % von 88 € 2. Berechnen Sie 1 5 % von 53 € 3. Berechnen Sie 25 % von 74 € 4. Wie lange dauert es bei ei ner jährl ichen Verzinsung von 1 0 %, bis sich I h r Kapital verdoppelt h at? 5. Wie lange dauert es bei einer jährlichen Verzinsung von 6 %, bis s ich Ihr Kapital verdoppelt hat? 6. Wie lange dauert es bei einer jährlichen Verzinsung von 7 %, bis s ich Ihr Kapital verdreifacht hat? 7. Wie lange dauert es bei einer jährl ichen Verzinsung von 7 %, bis s ich I h r Kapital vervierfacht hat? 8. Schätzen Sie I h re monatliche Rate, wen n Sie einen K redit von 1 00.000 € bei einem jährl i chen Zinssatz von 9 % über zehn Jahre abbezahlen wollen. 9. Schätzen Sie die monatliche Rate, wen n Sie einen Kredit von 30.000 € bei einem jährl ichen Zinssatz von 5 % ü ber vier Jahre abbezahlen wollen.

152

6 . KA PITE

Mathe für die Tafel ­ rechnen mit Papier und Stift

I

n der Einführung zu diesem Buch habe ich über die vielen Vorteile gesprochen, die man hat, wenn man im Kopf rech­ nen kann. In diesem Kapitel werde ich einige Methoden vor­ stellen, wie man auch das Rechnen mit Papier und Stift be­ schleunigt. Da es in den meisten Alltagssituationen dank des Taschenrechners unnötig geworden ist, mit Zettel und Stift zu rechnen, habe ich beschlossen, mich auf die vergessene Kunst des Wurzelziehens und auf die spektakuläre Ober­ kreuz-Methode fur die Multiplikation großer Zahlen zu kon­ zentrieren. Beide dienen eher der Geistesgymnastik, keinen praktischen Zwecken, daher werde ich vorher kurz auf Addi­ tion und Subtraktion eingehen und Ihnen rasch ein paar klei­ ne Tricks zeigen, wie man schneller rechnen und seine Re­ sultate überprüfen kann. Diese Methoden sind im täglichen Leben nützlich, wie Sie sehen werden. Wenn Sie ungeduldig darauf warten, zu schwierigeren Mul­ tiplikationen zu kommen, können Sie dieses Kapitel über­ springen und direkt zum 7. Kapitel gehen, das Sie benötigen, wenn Sie die langen Aufgaben im 8. Kapitel lösen wollen. Wenn Sie allerdings eine kleine Pause brauchen und sich ein wenig amüsieren wollen, rate ich Ihnen, sich dieses Kapitel vorzunehmen. Es wird Ihnen Spaß machen, wieder einmal mit Zettel und Stift zu spielen. 153

RECH N E N M IT PAP I E R U N D STI FT

ZA H L E N KO LO N N E N

Lange Zahlenkolonnen zu addieren, ist eine Aufgabe, wie sie Ihnen im Geschäftsleben oder bei Ihrer privaten Finanzpla­ nung öfters mal vorkommt. Addieren Sie die folgenden Zah­ len, wie Sie es gewohnt sind, und sehen Sie sich dann an, wie ich es mache. 4.328 884 620 1 .477 61 7 + 725 8.651

Wenn ich Zettel und Stift greifbar habe, addiere ich die Zah­ len von oben nach unten und von rechts nach links, genau wie wir es in der Schule gelernt haben. Mit Übung können Sie diese Art Aufgabe im Kopf mindestens genauso schnell rechnen wie mit einem Taschenrechner. Wahrend ich die Zif­ fern addiere, sind die einzigen Zahlen, die ich »höre«, die Teilsummen. Wenn ich also die erste (rechte) Spalte zusam­ menzähle, 8 + 4 + 0 + 7 + 7 + 5, dann höre ich: 8 .. . 12 ... 19 ... 26 ... 3 1 . Ich schreibe die 1 hin, übertrage die 3 und mache es in der nächsten Spalte genauso. Die klingt dann so: 3 . .. 5 ... 13 ... 15 ... 22 ... 23 ... 25. Sobald ich das Gesamtergebnis habe, schreibe ich es nieder und überprüfe meine Rechnung, indem ich die Zahlen von unten nach oben addiere und hoffentlich - zum gleichen Ergebnis gelange_. Die erste Spalte liest sich, wenn man von unten nach oben geht, 5 + 7 + 7 + 0 + 4 + 8 (was beim Summieren in meinem Kopfklingt wie: 5 ... 12 ... 1 9 ... 23 ... 31). Die 3 übertrage ich im 154

Kopf und rechne 3 + 2 + 1 + 7 + 2 + 8 + 2 usw. Indem ich die Zahlen in einer anderen Reihenfolge addiere, verringere ich die Wahrscheinlichkeit, den gleichen Fehler zweimal zu ma­ chen. Logisch: Wenn die beiden Ergebnisse unterschiedlich sind, muss mindestens eine Berechnung falsch sein. M O D- S U M M E N

Wenn ich Zweifel an meinem Ergebnis habe, überpriife ich es manchmal mit einer Methode, die ich »Mod-Summe« nenne (weil Sie auf der eleganten Mathematik der modula­ ren Arithmetik beruht). Diese Methode ist auch unter den Namen digitale Wurzeln oder 9er-Probe bekannt. Zugegebe­ nermaßen ist sie nicht so praktisch, dafür aber einfach zu veiWenden. Bei der Mod-Summen-Methode bildet man die Quersum­ men jeder Zahl, bis man nur noch eine einstellige Zahl hat. Im Falle von 4.328 beispielsweise rechnet man 4 + 3 + 2 + 8 = 17. Dann addiert man die Ziffern von 17 und erhält 1 + 7 = 8. Die Mod-Summe von 4.328 ist also 8. Die Zahlen der vorigen Aufgabe werden wie folgt zu Mod-Summen: 4.328 884 620 1 .477 61 7 + 725 -8.651

+ +

_____.

_____.

_____.

_____. _____.

_____.

17 20 8 19 14 14

_____.

8 2 8

_____. _____.

_____.

10

_____.

_____.

5 5 29

_____. +

+ +

20

11

2

2

155

RECH N E N M IT PAP I E R U N D STI FT

Wie oben gezeigt, besteht der nächste Schritt darin, alle Quersummen zu addieren (8 + 2 + 8 + 1 + 5 + 5). Das gibt 29, dessen Quersumme 11 ist, dessen Quersumme wiederum 2 ist. Beachten Sie, dass die Mod-Summe von 8.65 1, Ihrem Er­ gebnis für die Gesamtsumme aller Zahlen, ebenfalls 2 ist. Wenn Sie die Summe und die Mod-Summen korrekt berech­ net haben, müssen am Ende die Mod-Summen übereinstim­ men. Tun sie das nicht, dann haben Sie unterwegs definitiv einen Fehler gemacht. Es gibt allerdings eine Chance von 1 aus 9, dass die Mod-Summen zufällig übereinstimmen. Wenn Sie einen Fehler gemacht haben, wird diese Methode ihn in 8 von 9 Fällen aufdecken. Mathematiker und Buchhalter kennen die Mod-Summen­ Methode eher unter der Namen >>9er-Probe«, da die Mod­ Summe einer Zahl dem Rest entspricht, der bleibt, wenn man diese Zahl durch 9 teilt. Im Fall oben war die Mod­ Summe des Ergebnisses (8.651) gleich 2. Teilt man 8.651 durch 9, ist das Ergebnis 961, Rest 2. Einen kleinen Unter­ schied gibt es aber: Erinnern Sie sich daran, dass die Quer­ summe aller durch 9 teilbaren Zahlen ebenfalls ein Vielfa­ ches von 9 ist? Wenn eine Zahl ein Vielfaches von 9 ist, hat sie daher eine Mod-Summe von 9. Der Rest der Division aber ist 0 (die 9er-Probe gibt also den Wert 0). A U F PA P I E R S U BT R A H I E R E N

Natürlich können Sie Kolonnen von Zahlen nicht auf die glei­ che Weise subtrahieren wie addieren. Stattdessen zieht man eine Zahl nach der anderen ab. Das bedeutet, alle Subtrakti­ onsaufgaben umfassen nur zwei Zahlen. Wiederum ist es leichter, von rechts nach links zu subtrahieren, wenn man Zettel und Stift zur Hand hat. Ihr Ergebnis überprüfen Sie, 156

WURZELN Z I E H E N

indem Sie es zur zweiten Zahl addieren. Stimmt die Lösung, erhält man die oberste Zahl. Wenn Sie wollen, können Sie auch Mod-Summen verwen­ den, um Ihr Resultat zu überprüfen. Der Schlüssel liegt darin, die Mod-Summen voneinander abzuziehen und sie mit der Mod-Summe des Ergebnisses zu vergleichen. 65.71 7 - 38.491 27.226

'

19

_____,..

_____,.. _____,..

8 - 7 1

'

10

Eine Komplikation gibt es noch: Wenn die Differenz der Mod-Summen negativ oder gleich 0 ist, addiert man 9. Zum Beispiel: 42.689 - 1 8.764 23.925

' '

21 3

W U RZ E L N Z I E H E N M I T Z ETT E L U N D STI FT

Seit der Erfindung des Taschenrechners ist die Kunst, Wur­ zeln mit Zettel und Stift zu errechnen, praktisch in Verges­ senheit geraten. Sie haben bereits gesehen, wie man die Größe von Wurzeln im Kopf überschlägt. Jetzt zeige ich Ihnen, wie man sie exakt errechnet, mit Zettel und Stift. Erinnern Sie sich, wie Sie beim Überschlagen von Wurzeln die Wurzeln aus 19 berechnet haben? Nehmen wir uns die 1 57

RECH N E N M IT PAP I E R U N D STI FT

Aufgabe noch einmal vor; doch diesmal rechnen wir den Wert genau aus.

v19�oooooö

8 83 86 865 870 8.708

42 = ---16 X S 300 X 3 = ---249 5 . 1 00 X S 4.325 X 5 = X S 77.500 69.664 X 8 =

= 4,358

Ich werde die allgemeine Methode beschreiben, die für alle Fälle gilt, und sie anband des obigen Beispiels erläutern. 1. Schritt Wenn die Zahl der Stellen vor dem Komma unge­ rade ist (eins, drei, fünf, sieben usw.), ist die erste Stelle der Lösung die größte Zahl. deren Quadrat kleiner ist als die erste Stelle der AusgangszahL Steht links des Kommas eine gerade Zahl an Stellen (zwei, vier, sechs usw.) ist die erste Zif­ fer des Resultats die größte Zahl, deren Quadrat in die ersten zwei Stellen der Ausgangszahl passt. In unserem Beispiel ist 19 zweistellig, also ist die erste Ziffer der Lösung die größte Zahl, deren Quadrat unter 19 liegt. Diese Zahl ist 4. Schrei­ ben Sie sie rechts vom = Zeichen in der ersten Zeile hin und setzen Sie dahinter das Komma. 2. Schritt Ziehen Sie das Quadrat der Zahl aus Schritt 1 von der Ausgangszahl ab und holen Sie zwei weitere Stellen he­ runter. Da 42 = 16, rechnen wir 19 - 1 6 = 3. Wir holen zwei Nullen herunter, was uns einen Rest von 300 gibt.

158

WURZELN Z I E H E N 3.

Schritt Verdoppeln Sie die Zahl aus Schritt 1 und setzen

Sie eine Leerstelle dahinter. Hier: 4 x 2 = 8. Schreiben Sie 8 x links neben den aktuellen Rest, hier 300. _

_

4. Schritt Die nächste Ziffer der Lösung ist die größte Zahl,

die in beide Leerstellen gesetzt werden kann, so dass das Er­ gebnis der Multiplikation maximal genauso groß ist wie der Rest. In diesem Fall ist diese Zahl 3, da 81 x 1 = 249, während 84 x 4 = 336, was zu hoch wäre. Schreiben Sie diese Zahl in der ersten Zeile hinter das Komma nach der 4. Unsere Lö­ sung hat jetzt zwei Stellen, 4,3. 5. Schritt Wenn Sie mehr Stellen benötigen, ziehen Sie das

Produkt vom Rest ab (hier 300 - 249 = 5 1) und holen Sie die nächsten zwei Stellen herunter. Im Beispiel wird 5 1 zu 5.100. Setzen Sie 86 x links davon hin. Die Zahl 5 ergibt 865 x 5 4.325, das größte Produkt, das noch in 5.100 passt. Die 5 wird in die Lösung in der ersten Zeile übertragen. Diese lau­ tet nun 4,35. Um noch mehr Stellen zu erhalten, wiederholen Sie den Prozess, wie ich es im Beispiel gemacht habe. Jetzt kommt ein Beispiel mit einer ungeraden Anzahl an Stel­ len vor dem Komma: _

_

=

V8 39 ,4000 = 28,97 2 2 = 4 X S 439 X 8 = 384 X :S 5.540 X 9 = 5.1 21 X :S 41 .900 X 7 = 40.509 ----

4 48 56 569 578 5.787

----

159

REC H N E N M IT PAP I E R U N D STI FT

Als Nächstes berechnen wir die Wurzel einer vierstelligen Zahl. In diesem Fall betrachten wir - wie bei den zweistelli­ gen Zahlen - die ersten zwei Stellen der Ausgangszahl. um die erste Ziffer der Lösung zu finden: 82 16 X 1 62 X 2 1 64 X 1 .640 X 0 1 .640 X 1 6.406 X 6

V6i.3s ,oooo = 82,06 = 64 :S 335 = 324 :S 1 .1 00 = 0 :S 1 1 0.000 = 98.436 ----

----

Falls nun die Zahl. aus der Sie die Wurzel ziehen, ein perfek­ tes Quadrat ist, merken Sie das, sobald Sie einen Rest von 0 bekommen und keine Zahl mehr von oben herunter holen können. Zum Beispiel: \116-.89 32 6 63

-

X

X

=

:S

3

-

=

3,3

9 1 89 1 89 0

-

M U LT I P L I KAT I O N A U F PA P I E R

Für die Multiplikation auf Papier verwende ich die Kreuzmul­ tiplikation. Die erlaubt mir, die fertige Lösung in einer Zeile hinzuschreiben, ohne irgendwelche Zwischenergebnisse! Das ist eines der beeindruckendsten Mathe-Magie-Kunststü­ cke, wenn Sie Papier und Stift zur Hand haben. Früher haben viele Blitzrechner ihren Ruf mithilfe dieser Technik erwor­ ben. Man gab ihnen zwei große Zahlen vor und sie schrieben 160

M U LTI PLI KATION

die Lösung beinahe ohne Verzögerung auf. Die Kreuzmulti­ plikation lernt man am besten anband von Beispielen.

4 )( 347 1 .598

1. Schritt Multiplizieren Sie 4 x 7 = 2§, schreiben Sie die 8 hin und übertragen Sie die 2 auf die nächste Berechnung:

4

7I 4

3

(4 4)

2. Schritt Folgen Sie dem Diagramm und rechnen Sie zu­ sammen: 2 + x + (3 x 7) 32. Schreiben Sie die 9 und übertragen Sie die 3 in den letzten Rechenschritt unten. =

4 3

7 x4

15 berech­ nen und niederschreiben. Damit haben Sie das Endergebnis. 3.

Schritt Schließen Sie ab, indem Sie 3 + (3 x 4)

4 I

3

=

7 4

Die Lösung steht jetzt da: 1.598. Lösen wir eine weitere Multiplikationsaufgabe mit zweistelli­ gen Zahlen mit der Kreuzmultipli.kation: 83 )( 65 5.395 161

RECH N E N M IT PAPIER U N D STI FT

Die Schritte und Diagramme sehen wie folgt aus: 1 . Schritt 5 x 3 = 1 5

2. Schritt 1

+

(5 x 8)

+

(6 x 3) = 52

8

3

6

5

8

3

6 3.

Schritt 5

+

(6 x 8) = 53

I

x

5

8

3

6

5

I

Ergebnis: 5 .395 Bei der Multiplikation dreisteiliger Zahlen wird die Über· kreuz-Methode ein wenig komplizierter. 853 X 762 649.986

Wir gehen vor, wie im untenstehenden Diagramm gezeigt: 1.

Schritt 2 x 3 = 6

2. Schritt (2 x 5)

+

(6 x 3) = 2!

8

5

3

7

6

2

8 7

3.

Schritt 2 + (2 x 8) + (7 x 3)

162

+6

x 5) = 6.2

I

4. Schritt 6 + (6 x 8) + (7 x

5)

M U LTI PLI KATION

=

8 5 3 x 5 3

8�

7

5. Schritt 8 + (8 x 7)

=

6

2

6

2

8

64

I

7

Ergebnis: 649.986 Merken Sie sich, dass die Zahl der Multiplikationen pro Schritt 1 , 2, 3, 2 und schließlich wieder 1 ist. Die Mathematik hinter der Kreuzmultiplikation ist nichts weiter als das Distri­ butivgesetz. Zum Beispiel gilt: 853 x 762 = (800 + 50 + 3) x

(700 + 60 + 2) = (3 X 2) + [(5 X 2) + (3 X 6)] X 10 + [(8 X 2) + (5 X 6) + (3 X 7)] X 100 + [(8 X 6) + (5 X 7)] X 1.000 + (8 X 7) X 10.000, was genau den Teilschritten der Kreuzmultiplikation

entspricht. Die Lösung können Sie mit der Mod-Summen-Methode überprüfen, indem Sie die Mod-Summen der zwei Zahlen multiplizieren und aus dem Resultat wiederum die Mod­ Summe ermitteln. Vergleichen Sie diese Zahl mit der Mod­ Summe der Lösung, die Sie mithilfe der Kreuzmultiplikati­ on erhalten haben. Ihr Ergebnis kann nur dann korrekt sein, wenn beide Zahlen übereinstimmen. Im Beispiel:

853

X

762 649.986

'

42

'

7 X 6

42

' 6

6

163

RECH N E N M IT PAPI ER U N D STI FT

Stimmen die Mod-Summen nicht überein, haben Sie einen Fehler gemacht. Im Schnitt entdeckt diese Probe 8 von 9 Feh­ lern. Wenn man eine zweistellige mit einer dreisteiligen Zahl mul­ tipliziert, bleibt das Vorgehen das gleiche, man behandelt die Hunderterstelle der zweistelligen Zahl einfach als 0. 846 )( 037 3 1 .302 1 . Schritt 7 x 6 = 42

2. Schritt 4

+

(7 x 4)

+

(3 x 6)

=

SQ

8

4

6

0

3

7

8

4

6

0

3

3. Schritt 5 + (7 x 8) + (0 x 6) + (3 x 4) = 71 8

+

(0 x 4)

=

x

7

�6

0 4. Schritt 7 + (3 x 8)

I

�7

3l

6 7

5. Schritt 3

+

(0 x 8)

=

3

8

4

6

0

3

7

I

Ergebnis: 3 1 .302 In der Praxis würde man alle Multiplikationen mit 0 natür­ lich einfach ignorieren. Man kann die Überkreuz-Methode für Multiplikationen beliebiger Größe verwenden. Der Weg 164

M U LTI PLI KATION

zur Lösung der folgenden Aufgabe mit fünfstelligen Zahlen wird neun Schritte umfassen. Die Zahl der Multiplikationen pro Schritt wird dabei 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1 sein, insgesamt 25 Multiplikationen. 42.867 X 52.049 2.23 1 .1 84.483

1 . Schritt 9 x 7 = 63

2.

3.

4

2

8

6

7

5

2

0

4

9

Schritt 6 + (9 x 6) + (4 x 7) = 8! 4

2

8

5

2

0

Schritt 8 + (9 x 8)

+

(0 x 7)

+

(4 x 6) 4 5

4. Schritt 1 0 + (9 X 2)

+

(2 X 7)

+

+

�7 0�9

2

�7

2

�9

(4 X 2) + (2 X 6) 4

+

(0 X 8) = 9!

�7

5 6. Schritt 9 + (4 X 4) + (5 X 6)

1 0,1 2 8

(4 X 8) + (0 X 6) = 7_1 2 4 5

5. Schritt 7 + (9 X 4) + (5 X 7)

=

I

+

�9

(0 X 2) + (2 X 8) 4

=

�

5

7l 6

�4

7 9

165

RECH N E N M IT PAP I E R U N D STI FT

7. Schritt 7 + (0 x 4)

+

(5 x 8)

+

(2 x 2) 4

+

7

�0

4

9

2

8

6

7

2

0

4

9

4

2

8

6

7

5

2

0

4

9

(5 )( 2) = 2! 4 5

9.

Schritt 2 + (5 x 4) = 22

5!

6

5 a. schritt 5 + (2 )( 4)

=

�8

X

I

Endergebn i s: 2.23 1 . 1 84.483

Ihre Lösung können Sie mithilfe der Mod-Summen-Methode überprüfen: 42.867 )( 52.049 2.23 1 .1 84.483

+

36

+

9 )( 2 18

+

9

9

1 1 E R- P R O B E Um die Richtigkeit Ihrer Lösung auf eine andere Weise zu überprüfen, können Sie die Methode verwenden, die als >> ller-Probe« bekannt ist. Sie läuft ähnlich wie die 9er-Probe, nur dass man die Ziffern einer Zahl von rechts nach links ge­ hend abwechselnd subtrahiert und addiert. Ein eventuelles Komma ignoriert man einfach. Falls das Ergebnis negativ ist, addiert man 11. (Es mag verführerisch sein, bei dieser Probe 166

l l ER•PROBE

von links nach rechts vorzugehen, wie man es bei Quersum­ men tut, aber das funktioniert hier nicht.) Zum Beispiel: 234,8 7 _____.. 7 - 8 + 4 - 3 + 2 = 2 _____.. 2 + 58,61 ---. 1 - 6 + 8 - 5 = - 2 ---. 9 293 ,48 ---. 8 - 4 + 3 - 9 + 2 = o ---.n ---.

o

Die gleiche Methode funktioniert auch bei Subtraktionen: 65.71 7 _____.. 3 1 4 _____.. ____ _. . - 38.491 ____._. - (- 9) +9 -_____.. 1 2 _____.. 1 27.226

+

Sie funktioniert sogar mit Multiplikationen: 853 762 649.986 X

+ +

-4

_____.. _____.. _____..

6 X 3 --

18

+ 7

7

Wenn die Zahlen nicht übereinstimmen, haben Sie irgend­ wo einen Fehler gemacht. Allerdings könnte weiter ein Feh­ ler existieren, selbst wenn die Zahlen übereinstimmen. Im Schnitt entdeckt diese Methode 10 von 11 Fehlern. Ein Schnitzer hat also eine Chance von 1 in 1 1, durch die 11er­ Probe zu rutschen, und eine Chance von 1 in 9, die 9er-Probe zu überstehen. Wenn Sie beide Proben anwenden, haben Schnitzer nur noch eine Chance von 1 in 99, unentdeckt zu bleiben. Mehr darüber und über weitere faszinierende 167

R EC H N E N M IT PAPI ER U N D STIFT

Mathe-Themen finden Sie in den Büchern Martin Gardners über unterhaltsame Mathematik, die ich Ihnen sehr ans Herz lege. Sie sind jetzt vorbereitet für die ultimative Zettel-und-Stift­ Aufgabe in diesem Buch: eine Multiplikation zweier zehn­ stelliger Zahlen! Anfangen können Sie in der Praxis damit gar nichts - außer angeben. (Ich persönlich finde ja, dass die Multiplikation zweier fünfstelliger Zahlen schon beeindru­ ckend genug ist, da das Ergebnis die Kapazität der meisten Taschenrechner sprengt.) Wir demonstrieren die Aufgabe hier nur um zu beweisen, dass sie lösbar ist. Die Kreuzmul­ tiplikationen folgen dem gleichen Grundschema wie bei den fünfstelligen Zahlen. Wir werden 19 Schritte durchführen müssen, und beim zehnten Schritt bekommen wir es mit 10 Kreuzmultiplikationen zu tun. Auf geht's! 2. 766.829.451 X 4.425.575.21 6

Und so machen wir es: 1 . Schritt l. Schritt 3. Schritt 4. Schritt 5. Schritt 6. Schritt 7. Schritt 8. Schritt

168

6 x 1 =6 (6 x 5) + (1 x 1 ) = 3l 3 + (6 x 4) + (2 x 1 ) + (1 x 5) = 3� 3 + (6 X 9) + (5 X 1 ) + (1 X 4) + (2 X 5) = 7§_ 7 + (6 X 2) + (7 X 1 ) + (1 X 9) + (5 X 5) + (2 X 4) = 68 6 + (6 X 8) + (5 X 1 ) + (1 X 2) + (7 X 5) + (2 X 9) + (5 X 4) = 1 3� 1 3 + (6 x 6) + (5 x 1 ) + (1 x 8) + (5 x 5) + (2 X 2) + (7 X 4) + (5 X 9) = 1 6� 1 6 + (6 x 6) + (2 x 1 ) + (1 x 6 ) + (5 x 5) + (2 X 8) + (5 X 4) + (5 X 2) + (7 X 9) = 1 9�

M U LTI PLI KATION

9. Schritt

1 9 + (6 X 7) + (4 X 1 ) + (1 X 6) + (2 X 5)+ (2 X 6) + (5 X 4) + (5 X 8) + (5 X 9) + (7 X 2) 21 f 21 + (6 x 2) + (4 x 1 ) + (1 x 7) + (4 x 5) + (2 X 6) + (2 X 4) + (5 X 6) + (5 X 9) + (7 X 8) + (5 X 2) 22� 22 + (1 X 2) + (4 X 5) + (2 X 7) + (4 X 4) + (5 X 6) + (2 X 9) + (7 X 6) + (5 X 2) + (5 X 8) 2 1 � 21 + (2 x 2) + (4 x 4) + (5 x 7) + (4 x 9) + (7 X 6) + (2 X 2) + (5 X 6) + (5 X 8) 22� 22 + (5 X 2) + (4 X 9) + (7 X 7) + (4 X 2) + (5 X 6) + (2 X 8) + (5 X 6) = 20! 20 + (7 x 2) + (4 x 2) + (5 x 7) + (4 x 8) + (5 X 6) + (2 X 6) = 1 5! 1 5 + (5 x 2) + (4 x 8) + (5 x 7) + (4 x 6) + (2 X 6) = 1 2� 1 2 + (5 x 2) + (4 x 6) + (2 x 7) + (4 x 6) = 8� 8 + (2 x 2) + (4 x 6) + (4 x 7) = 6� 6 + (4 x 2) + (4 x 7) = 4.f 4 + (4 x 2) 1 2 =

1 0. Schritt

=

1 1 . Schritt

=

1 2. Schritt

=

1 3. Schritt 1 4. Schritt 1 5. Schritt 1 6. Schritt 1 7. Schritt 18. Schritt 1 9. Schritt

=

Falls Sie es geschafft haben sollten, diese extrem schwierige Aufgabe im ersten Anlauf zu bewältigen, sind Sie aufbestem Weg, vom Zauberlehrling zum Mathemagiker aufzusteigen! Die Antwort können Sie anhand der Mod-Summen-Methode überprüfen: 2. 766.829.451 X 4.425.575.21 6 1 2.244.81 1 .845.244.486.41 6

+

79

�

16

�

�

�

5 X 5 25

-

+

7

169

RECH N E N M IT PA PIER U N D STIFT

Shakuntala Devi: Kaum zu glauben! 1 976 berichtete die New York Times von ei ner I nderi n namens Shakuntala Devi (geboren 1 939), die 25 .842 + 1 1 1 .201 . 721 + 370.247.830 + 55.5 1 1 .3 1 5 rechnete, die Summe mit 9.878 m u lti­ plizierte und das korrekte Ergebnis von 5 . 5 59.369.456.432 erhielt - all das in unter zwanzig Sekunden. Schwer zu glauben, auch wenn diese ausbildungslose Tochter armer Eitern sich in den Ver­ einigten Staaten und Europa einen Namen als Blitzrech nerin ge­ macht hatte. Unglücklicherweise sind die meisten von Devis wirklich bemer­ kenswerten Kunststücken (also denjenigen, die nicht mithilfe der gängigen Tricks vollführt werden konnten) nur schlecht doku­ mentiert. I h re angeblich größte Leistung - die mit der Uhr ge­ stoppte M ultiplikation zwei er dreizehnstelliger Zahlen auf Papier - registrierte das Guiness-Buch der Weltrekorde unter der R ubrik »menschl iche Computer«. Ob die gestoppte Zeit aber sti m men kann, ist höchst fragwürdig. Devi, eine Meisterin der Kreuzmulti­ plikation, rechnete am 1 8. Juni 1 980 angeblich 7.686. 369.774.870 mal 2.465.099. 745.799, zwei von der Computerfakultät des I m pe­ rial College in London zufällig generierte Zahlen. Ihre korrekte Lö­ sung, 1 8.947.668.1 77.995.426.773.730, erm ittelte sie angeblich in unglaublichen 20 Sekunden. Das Guiness-Buch fügte folgende Einschränkung hinzu: »Einige berühmte Autoren auf mathemati­ schem Gebiet melden Zweifel an den Bedi ngungen an, u nter denen diese Leistung offenbar erbracht wurde, und sagen voraus, dass Devi dieses Kunststück unter scharf kontrollierten Bedin­ gungen n icht wird wiederholen können.« Da sie 1 69 M ulti plika­ tionen und 1 67 Additionen durchführen m usste, insgesamt 336 mathematische Operationen, hätte sie jede Berechnung in weni­ ger als einer Zehntelsekunde schaffen m ü ssen; die Zeit für das korrekte H i nschreiben der 26 Ziffern der Lösung ist dabei noch gar nicht eingerechnet. Wen n man allein die Reaktionszeit be­ denkt, fällt d ieser Rekord wahrlich in die Kategorie: >> Kaum zu glauben!<< Wie dem auch sei ; aufjeden Fall ist Devi eine ausgewiesene Blitz­ rechneri n; s ie hat auch ein Buch über dieses Thema geschrieben.

170

0 BU N C E N

Ü B U N G E N Z U M R E C H N E N M I T PA P I E R U N D STI FT Übung: Zahlenkolonnen

Addieren Sie folgende Zahlenkolonne und überprüfen Sie Ihr Ergebnis, indem Sie die Kolonne von unten nach oben ad­ dieren, und dann mit der Mod-Summen-Methode. überprü­ fen Sie Ihre Berechnung, wenn die beiden Mod-Summen nicht übereinstimmen: 1.

672 1 367 1 07 7845 358 21 0 + 91 6

Addieren Sie diese Kolonne von Euro- und Centbeträgen: 2.

21 ,56 € 1 9,38 € 21 1 ,02 € 9,1 6 € 26,1 7 € + 1 ,43 €

Obung: Subtraktionen auf dem Papier

Rechnen Sie die folgenden Subtraktionsaufgaben und über­ prüfen Sie Ihre Ergebnisse zuerst mithilfe der Mod-Sum­ men-Methode und danach, indem Sie das Ergebnis und die untere Zahl addieren und (hoffentlich) die obere Zahl erhal­ ten: 171

RECH N E N M IT PAP I E R U N D STIFT 1.

75.423 - 46.298

2·

876.452 - 593.876

3·

3.249.202 - 2.903 .445

4·

45.394.358 - 36.472.65

Übung: Wurzeln ziehen

Berechnen Sie die exakte Wurzel folgender Zahlen mit der Technik, die wir in diesem Kapitel erläutert haben. 1.

v1 s

2

vso2

4

.

v36

Übung: Multiplikation auf dem Blatt

Wenden Sie zum Abschluss dieser Übungseinheit die Kreuz­ multiplikation auf folgende Aufgaben unterschiedlicher Schwierigkeitsgrade an. Schreiben Sie die Lösungen der Auf­ gaben in einer Zeile hin, von rechts nach links. überprüfen Sie die Lösung anband der Mod-Summen. 1.

X

4.

172

54 37

3.309 X 2.868

2.

273 X 21 7

5.

X

52.81 9 2.674.093

3

. X

6.

725 609

3.923.759 47.820

X

Ein erinnerungswürdiges Kapi­ tel- wie man sich Zahlen merkt

E auf mein Gedächtnis. Nein, ich habe kein außergewöhn­

ine der Fragen, die ich am häufigsten höre, bezieht sich

liches Gedächtnis. Stattdessen behelfe ich mir mit einem Merksystem, das jeder erlernen kann. Auf den nächsten Sei­ ten werde ich es darstellen. Tatsächlich haben Experimente gezeigt, dass fast jeder durchschnittlich intelligente Mensch lernen kann, sein Zahlengedächtnis massiv zu verbessern. In diesem Kapitel werde ich Ihnen zeigen, wie Sie das schaf­ fen. Ein gutes Zahlengedächtnis hat nicht nur offensichtliche praktische Vorteile, wenn es um Kalenderdaten oder Telefon­ nummern geht, sondern erlaubt dem Mathemagiker auch, viel umfangreichere Aufgaben im Kopf zu lösen. Im nächs­ ten Kapitel zeigen wir Ihnen, wie Sie die hier vorgestellten Techniken anwenden, um zwei fünfstellige Zahlen im Kopf zu multiplizieren! E I N S ATZ VO N M N E M OT E C H N I K E N

Die hier dargestellte Methode gehört zu den Mnemotechni­ ken - Methoden, mit denen man das Abspeichern und Abru­ fen von Gedächtnisinhalten verbessert. Mnemotechniken be­ ruhen darauf, dass man »sinnlose« Daten (wie die Abfolge 173

WIE M A N S I C H ZA H LE N M E R KT

von Zahlen) in etwas »Sinnvolleres« umwandelt. Nehmen Sie sich zum Beispiel kurz die Zeit, sich den untenstehenden Satz einzuprägen: »Motorteile pansche lahm, Elfenpack, bei meinemfrischen Ascher.« Lesen Sie das ein paar Mal, sehen Sie dann von der Seite weg und sprechen Sie sich den Satz vor. Stellen Sie sich die lahm gepanschten Motorteile vor, die das Elfenpack bei meinem frischen Ascher panscht. Gemerkt? Glückwunsch! Sie haben sich soeben die ersten vierund­ zwanzig Stellen der Zahl n (pi) gemerkt. Die Zahl bezeichnet bekanntermaßen das Verhältnis zwischen dem Umfang eines Kreises und seinem Durchmesser; in der Schule be­ nutzt man meist die Näherungswerte 3,14 oder 2f . Aller­ dings ist n eine irrationale Zahl, sie hat unendlich viele Nach­ kommastellen ohne Muster oder Wiederholungen. Mithilfe von Computern hat man Milliarden Nachkommastellen von n berechnet. D E R P H O N ET I S C H E CO D E

Jetzt fragen Sie sich sicher, wie sich »Motorteile pansche lahm, Elfenpack, bei meinem frischen Ascher« in 24 Stellen von Jt verwandelt. Dafür müssen Sie zuerst den phonetischen Code auswendig lernen, wo jeder Zahl zwischen 0 und 9 ein Lautwert zuge­ ordnet wird. 1 entspricht t oder d 2 entspricht n 3 entspricht m 4 entspricht r 5 entspricht l 174

DER P H O N ETISCH E CODE

6 entspricht}, eh oder seh 7 entspricht k oder g 8 entsprichtfoder v 9 entspricht p oder b 0 entspricht z oder s

Es ist nicht so schwer, wie es aussieht, sich diesen Code ein­ zuprägen. Wenn einer Zahl mehrere Buchstaben zugeordnet sind, haben diese ähnliche Lautwerte. So ist der Lautwert von k (wie in kalt oder Kamm) demjenigen von g (wie in galt oder Gramm) ähnlich. Sie können sich auch folgende Eselsbrü­ cken merken, um sich den Code einzuprägen: 1 In Druckschrift haben t und d nur einen senkrechten Strich. 2 In Druckschrift hat n zwei senkrechte Striche. 3 In Druckschrift hat m drei senkrechte Striche. 4 Die Wort für die Zahl 4 endet auf r. 5 Halten Sie Ihre linke Hand vor sich, die Finger nach oben gestreckt, den Daumen in einem rechten Winkel abste­ hend - Sie sehen 5 Finger in L-Form. 6 Für die 6 stehen Ihnen sechs Buchstaben zur Verfügung: j, eh, seh. 7 Ein K kann als zwei 7er gezeichnet werden, die Rücken an Rücken stehen. 8 In Druckschrift sieht ein kursivesfein wenig wie 8 aus. 9 Die Zahl neun sieht aus wie ein spiegelverkehrtes p oder ein auf den Kopf gestelltes, spiegelverkehrtes b 10 Der letzten Zahl wird der letzte Buchstabe, z, zugeordnet. Oder Sie merken sich Liste in einfach von oben nach unten, anhand des Namens Toni Marloschkovips. 175

WIE M A N SICH ZA H L E N M ER KT

Oben Sie, um sich diese Liste einzuprägen. In etwa zehn Mi­ nuten sollten Sie alle einstelligen Zahlen mit Konsonanten­ werten verbinden können. Als nächstes verbinden Sie die Konsonanten zu ganzen Wörtern, indem Sie Vokale um die Konsonanten herum einsetzen. Die Zahl 32 kann beispiels­ weise zu jedem der folgenden Wörter werden: Mann, Miene, Mähne, mahne, Amen, Omen, Amino, Mini, Manie und so wei­ ter. Beachten Sie, dass auch Mann akzeptabel ist, weil der Lautwert n nur einmal vorkommt. Folgende Wörter stehen nicht für die 32, weil sie andere Konsonantenwerte enthalten: Mähren, Melone, Mint. Diese Wörter stehen für die Zahlen 342, 352 und 321. Die Konsonanten x, y und h dürfen frei ver­ wendet werden, weil sie nicht auf der liste stehen. 32 kann also auch zu human, hemmen oder mixen werden. Die folgende Liste verschafft Ihnen einen Vorgeschmack da­ rauf, welche Art Wörter Sie mit dem phonetischen Code ge­ nerieren können. Fühlen Sie sich nicht verpflichtet, sie aus­ wendig zu lernen, sondern fassen Sie sie als Inspiration auf, die Möglichkeiten auf eigene Faust zu erkunden. 1 Tee 2 Nee 3 Emu 4 Er 5 Lee 6 Schuh 7 Kuh 8 Fee 9 0b 10 Dose 1 1 Tod 12 Ton 176

13 Tom 14 Tor 15 Tal 16 Tisch 17 Decke 18 Doof 19 Tube 20 Nase 21 Nut 22 Nun 23 Name 24 Nero

25 Nellie 26 Nasche 27 Necke 28 Nova 29 Nabe 30 Maus 31 Maat 32 Mann 33 Mumie 34 Meer 35 Mal 36 Mische

37 Micky 38 Muff 39 Mop 40 Rose 41 Rot 42 Ran 43 Ramme 44 Rohr 45 Rolle 46 Rasch 47 Rock 48 Ruf

D E R P H O N ETISC H E CO DE

49 Robe 50 Los 51 Lot 52 Lohn 53 Lamm 54 Leer 55 Lalle 56 Lösche 57 Luke 58 Lief 59 Lippe 60 Juso 61 Schot

62 Schone 63 Schmähe 64 Schere 65 Schal 66 Juchee 67 Jacke 68 Schaf 69 Schub 70 Kose 71 Gut 72 Kenne 73 Gummi 74 Kehre

75 Kehle 76 Koch 77 Gucke 78 Kufe 79 Gabe 80 Fass 81 Fete 82 Feen 83 Ofen 84 Für 85 Fühle 86 Fisch 87 Fuge

88 Viva 89 Vip 90 Böse 91 Boot 92 Bahn 93 Baum 94 Bär 95 Ball 96 Busch 97 Backe 98 Baff 99 Puppe lOO Theseus

Die Zahl-Wort-Liste

Übersetzen Sie zur Übung die folgenden Zahlen in Wörter und überprüfen Sie unten, ob Ihre Lösung richtig war: 42

74

67

86

93

10

55

826

951

620

367

Folgende mögliche Wörter sind mir eingefallen: 42: Ren, Rhein, Ran, Ehren, Ohren, Ruine, Rein, Ame 74: Ocker, Grau, Kehre, Chor (das eh klingt hier wie k, ist also erlaubt) 67: Jacke, Schock, Jecke, Schick 86: Fisch, Fach, Fesch 93: Baum, Beim, Bam, Bumm 1 0: Dose, Diese, Tose, Tesa 55: Lalle, Wie, Lila, Halal 177

W I E M A N S I C H ZA H LE N M E R KT

826: 951 : 620: 376:

Finn i sch Plot, Pilot, Bellt, Bal lt, Bald Schönes, Jeans Magisch !

Übersetzen Sie zur Übung jedes der folgenden Wörter in eine eindeutige Zahl: Tag Ofen Karte Fossil Banane Pinsel Mudd M u lti plikation eleveland Ohio Lösungen: Tag: Ofen: Karte: Fossil: Banane: Garage:

17 82 741 805 922 746 (das zweite g gibt mit dem e einen

sch-Laut) Pinsel: 9.205 M udd: 31 M u ltiplikation: 351 95702 (das zweite »ti« spricht sich wie z) Cleveland: 758521 (nichts) Ohio:

178

DER PH O N ETISC H E CODE

Obwohl jede Zahl normalerweise in viele Wörter umgewan­ delt werden kann, kann jedes Wort nur in eine Zahl übersetzt werden. Das ist für unsere Anwendung ganz entscheidend, da es erlaubt, uns ganz spezifische Zahlen einzuprägen. Mithilfe dieses Systems können Sie jede Zahl oder Zahlen­ reihe (z. B. Telefonnummern, Kontonummern, Passnum­ mern, den Wert von rc) in ein Wort oder einen Satz verwan­ deln. So hat der Code funktioniert, um die ersten 24 Stellen von rc umzuwandeln: 3 1 41 5

92 6 5 3

58

9 7 9

3 2 3

» M otorteile pansche lahm, Elfen pack, bei mei nem

84 6 2

6 4

frischen Ascher.«

Da dieser Satz nur in die obige 24-stellige Zahlenfolge zu­ rückübersetzt werden kann, haben Sie sich so tatsächlich die ersten 24 Stellen von rc gemerkt! Dieses System erlaubt Ihnen, sich eine unbegrenzte Zahl an Ziffern einzuprägen. Die beiden nächsten Sätze ergeben, in Kombination mit dem Motorteile-Satz, die ersten 60 Stellen von rc: 3 3

8 3 2 7 95 0 2 8 8 4 1 9 7 1

»Mama vom N icki blies h inauffür die Pakete«

und 6 9

3

9 9 3 7 5 1 0

58 20

9 74 94

»Schi ppe wem? Papa, M i kael, Tess, Alfons: O PEC-Räu ber••

Ach, was soll's - machen wir die 100 Stellen voll: 4 59 2

3 0 7 8 1 6

4 0

6 2 8 6

2 0

» Rol l bahn? Maus, kaufTi sche, Rose, schöne Fische, N üsse!<<

179

WIE M A N S I C H ZAH LE N M E R KT

8

9 98 6 2 8 0 3

48 25 3

42

>>Phoebe Biff, schniefe: Sommer von Lämmern

1 1 7 0 6

-

7

Tod, Chaos, Schock.((

Sie können echt stolz auf sich sein, wenn Ihnen diese Sätze erst einmal stolpernd von der Zunge gehen und Sie fähig sind, sie schnell wieder in Zahlen zurück zu verwandeln. Bis zum Weltrekord fehlt es Ihnen allerdings noch weit: Der Ja­ paner Hiroyuki Goto sagte im Jahr 1995 die ersten 42.195 Stellen von auswendig auf, in siebzehn Stunden und ein­ undzwanzig Minuten. n

W I E M N E M O N I K DAS KO P F R EC H N E N V E R E I N FAC H T

Mnemonik verbessert nicht nur Ihre Fähigkeit, sich lange Zahlenfolgen einzuprägen, sondern hilft Ihnen auch dabei, sich Zwischenergebnisse schwieriger Kopfrechenaufgaben zu merken. Hier ist ein Beispiel dafür, wie Sie Mnemonik bei der Quadrierung einer dreisteiligen Zahl nutzen können: +5--"" 384 � »Titel« 1 1 5.200 + 422 = 1 1 6.964 342�� / 300 � 1 .760 + 22 = 1 .764 / - 2� 40

� 422 <::

Wie Sie sich vielleicht aus Kapitel 3 erinnern, quadriert man 342, indem man zuerst 300 x 384 rechnet (= 115.200) und dann 422 addiert. Aber bis man 422 = 1.764 ermittelt hat, hat man vielleicht die frühere Zahl, 115.200, vergessen. Hier 180

M NEMONIK

kommt unser Merksystem rettend zum Einsatz: Um die Zahl 115.200 zu speichern, legen Sie 200 in den Fingern ab (indem Sie zwei Finger spreizen) und verwandeln 1 1 5 in ein Wort wie Titel. (Übrigens fasse ich es überhaupt nicht als ))Schwin­ deln(( auf, wenn ich mir die 200 mit den Fingern merke. Wofür hat man schließlich seine Hände?) Sagen Sie sich das Wort Titel ein-. zweimal vor. Das ist viel leichter zu merken als 1 15.200, insbesondere, nachdem man sich daran gemacht hat, 422 zu berechnen. Sobald Sie 1 .764 ermittelt haben, ad­ dieren Sie das zu Titel 2, oder 1 15.200, und erhalten das End­ ergebnis 1 16.964. Hier ist noch eine: +

273 � � 2�

300 �>Gummi« 73.800 + 272 = 74.529 / 246 272 r � 720 + 32 = 729 -� /

� 24

Nachdem Sie 300 x 246 = 73.800 errechnet haben, verwan­ deln Sie 73 in Gummi und halten die 800 fest, indem Sie acht Finger ausstrecken. Sie berechnen 272 = 729, addieren das zu Gummi 8, alias 73.800, und erhalten 74.529. Anfanglieh mag das ein wenig umständlich wirken, aber mit ein wenig Übung wird das Umwandeln von Zahlen in Wörter und wie­ der zurück fast zur zweiten Natur. Sie haben gesehen, wie leicht zweistellige Zahlen in einfache Wörter wngewandelt werden können. Bei dreisteiligen Zah­ len geht das oft nicht so einfach, aber wenn Ihnen kein gutes Wort als Gedächtnisstütze einfällt, tut es auch ein ausgefalle­ nes oder Nonsens-Wort. Wenn Ihnen auf die Schnelle nichts Gutes zu 286 oder 638 einfallt, bilden Sie einen zusammenge181

W I E M A N S I C H ZA H LE N M E R KT

Eine pi-nomenale Leistung von Alexander Craig Aitken Alexander Craig Aitken (1 895 - 1 967), Professer für Mathematik an der U niversität Edinburgh, hat eine der vielleicht beeindru­ ckendsten Leistungen im Kopfrechnen vollbracht. Er wusste d ie Zahl Jt nicht nur auf1 .000 Stellen auswendig, sondern ratterte die ersten 250 Stellen auch i n einer Vorlesung herunter, nachdem er gebeten worden war, sein verblüffend gutes Gedächtnis zu de­ monstrieren. Danach wurde er aufgefordert, einen Sprung zu ma­ chen, bei der 551 . Stelle wieder einzusetzen u nd weitere 1 50 Stel­ len aufzuzählen. Das gelang ihm, ohne einen einzigen Fehler. Wie hat er das geschafft? Aitken erklärte seinen Zuhörern: » M ei­ ner Ansicht nach besteht das Gehei mnis in Entspannung, also genau dem Gegenstück zur Konzentration, wie wi r sie normaler­ weise verstehen.« Aitkens Technik beruhte ungewöhnlich stark auf seinem Gehör. Er arrangierte die Zahlen in 50er-Biöcken und lernte diese in einer Art Rhyth mus auswendig. Selbstironisch er­ klärte er: >>Das Auswendiglernen wäre eine verwerflich unsin nige Tat gewesen, wäre es mir n icht so leicht gefal len.« Dass Aitken sich 1 .000 Stellen von Jt merken konnte, macht ihn noch nicht zum Bl itz-Rech ner. Woh l aber die Tatsache, dass er problemlos zwei fünfstellige Zahlen miteinander multiplizieren konnte. E i n Mathematiker namens Thomas O' Beirne erin nert sich, wie Aitken ei nmal der Demonstration eines Tischrechners beiwohnte. O' Beirne schrieb: >>Der Vertreter sagte in etwa >Wir multiplizieren nun 23.586 m it 71 .283<, worauf Aitken sofort erwi­ derte: >Und bekommen ... (was auch immer die Lösung war)<. I ronischerweise bemerkte Aitken, dass seine Kopfrechenfähigkei­ ten rasch schwanden, nachdem er sich einen Tischrechner ge­ kauft hatte. Er ahnte, was die Zukunft bringen würde, und u n kte: » Kopfrechner könnten vom Aussterben bedroht sein, wie M aoris oder Tasmanier. Deswegen verspüren Sie vielleicht so etwas wie anthropologisches I nteresse, wenn Sie ein i nteressantes Exem­ plar beobachten können. Einige, die mir zugesehen haben, wer­ den im Jahr 2000 behau pten können: >Ja, ich hab so einen noch gekannt.< << Zum Glück hat die Geschichte ihn widerlegt!

182

Ci E DlC HTN IS·MACi i E

setzten Ausdrücken wie nie feig oder ein Nonsens-Wort wie Schmiff. Selbst solche Schöpfungen sollten sich während einer komplizierten Berechnung leichter merken lassen als 286 oder 638. G E D Ä C H T N I S- M AG I E

Ohne Gedächtnishilfen kann das durchschnittliche mensch­ liche Gehirn (auch meines) nicht mehr als sieben, acht Zif­ fern gleichzeitig behalten. Aber wenn Sie die Kunst beherr­ schen, Zahlen in Wörter zu verwandeln, erweitern Sie Ihre Gedächtniskapazität beträchtlich. Lassen Sie jemanden lang­ sam 16 Ziffern ausrufen, die jemand auf einer Tafel oder einem Blatt Papier festhält. Sobald sie niedergeschrieben sind, wiederholen Sie sie in ihrer exakten Reihenfolge, ohne aufTafel oder Papier zu blicken. Bei einem Demonstrations­ vortrag wurden mir kürzlich folgende Zahlen vorgegeben: 1 , 2, 9, 7, 3 , 6 , 2, 7, 9, 3 , 3, 2, 8, 2, 6, 1 Noch während die Zahlen vorgelesen wurden, wandelte ich sie mithilfe des phonetischen Codes in Wörter um und ver­ knüpfte diese über eine Nonsens-Geschichte miteinander. 12 wurde in diesem Fall zu Ton, 97 zu Pack, 362 zu Mischen, 79 zu Kappe, 332 zu Mimen und 8261 zu Finished. Die gerade gefundenen Wörter fügte ich zu einer unsinnigen Geschichte: Ich stellte mir ein Tonpack vor (eine ungezogene Punk-Band), das ich mische (den Bassisten ans Schlagzeug usw.). Dann tue ich so (ich mime), ich hätte eine Kappe auf, und schon bin ich fertig Finished! Diese Geschichte mag zwar merkwürdig sein, aber je lächerlicher sie ist, desto leich­ ter kann ich sie mir einprägen. Und mehr Spaß machen sol­ che Nonsens-Geschichten sowieso. -

183

8.

KAPITEL:

Das Schwere leicht gemachtMultiplikation für Fort­ geschrittene

Wsen haben, können Sie inzwischen im Kopf addieren,

enn Sie das Buch bis hierher Kapitel für Kapitel gele­

subtrahieren, multiplizieren und dividieren. Darüber hinaus beherrschen Sie die Kunst des Oberschlagens, des Rechnens auf Papier und den phonetischen Code, mit dem Sie sich Zahlen merken. Dieses Kapitel richtet sich an ernsthafte, hartgesottene Mathemagiker, die ihren Grips bis an die Gren­ zen der Kopfrechenkunst führen wollen. Die Problemstellun­ gen in diesem Kapitel reichen von der Quadrierung vierstel­ liger Zahlen bis zu den härtesten Aufgaben, die ich vor Publikum löse: die Multiplikation zweier fünfstelliger Zahlen miteinander. Wenn Sie diese Aufgaben meistem wollen, muss Ihnen der Umgang mit dem phonetischen Code in Fleisch und Blut übergegangen sein. Auch wenn die Probleme anfangs über­ wältigend scheinen - lassen Sie mich die zwei Grundsätze wiederholen, auf denen dieses Buch beruht: 1 . Fast jeder kann alle Kopfrechenkünste erlernen. 2. Der Schlüssel liegt in der Vereinfachung aller Aufgaben in leichtere Teilaufga­ ben, die sich rasch bewältigen lassen. In diesem Kapitel (oder sonst wo) finden Sie keine Hürden, die nicht mit den Verein184

QUAD R I E R E N V I ERSTELL l ei E R ZA H LE N

fachungstechniken bewältigt werden könnten, die Sie in den vorigen Kapiteln erlernt haben. Nun setzen wir voraus, dass Sie die Methoden beherrschen, die Sie für dieses Kapitel be­ nötigen, wir werden also hauptsächlich anband von Illustra­ tionen erläutern, anstatt den Lösungsweg Wort für Wort hin­ zuschreiben. Mit vielen der einfacheren Teilaufgaben, die in die schwierigen Aufgaben eingebettet sind, haben Sie übri­ gens schon in früheren Kapiteln Bekanntschaft gemacht; dies nur als kleine Hilfe. Wir beginnen mit dem Quadrat vierstelliger Zahlen. Viel Glück! Q U A D R I E R E N V I E RSTE L U G E R Z A H L E N

Voraussetzung für das erfolgreiche Quadrieren vierstelliger Zahlen ist, dass Sie vierstellige mit einstelligen Zahlen mul­ tiplizieren können. Aufgaben dieser Art wiederum werden aufgebrochen in zwei Multiplikationen zweistelliger Zahlen mit einstelligen, wie im folgenden Beispiel gezeigt:

9 )( 4.800 = 9 )( 67 =

4 )( 2. 700 4 )( 81

= =

4.867 (4.800 + 67) 9 43.200 + 603 43.803 )(

2.781 (2.700 + 81 ) )( 4 1 0.800 + 324 1 1 .1 24

185

M U LTIPLI KATION FÜR FORTCESC H R ITTE N E

8 )( 6.700 = 8 x 18 =

5 )( 4.200 = 5 )( 69 =

6.71 8 (6.700 + 1 8) )( 8 53.600 + 1 44 53.744 4.269 (4.200 + 69) 5 )( 21 .000 + 345 21 .345

Sobald Sie solche Multiplikationen beherrschen, sind Sie be­ reit, das Quadrieren vierstelliger Zahlen anzupacken. Lassen Sie uns 4.267 quadrieren. Wir verwenden die gleiche Metho­ de, die wir beim Quadrieren zwei- und dreisteHiger Zahlen benutzt haben: Wir runden um 267 auf 4.000 ab und erhöhen gleichzeitig den zweiten Faktor um 267, auf 4.534. Jetzt rech­ nen wir 4.534 x 4.000 (eine Multiplikation einer vierstelligen mit einer einstelligen Zahl) und addieren dann das Quadrat der Zahl, um die wir nach unten gerundet haben, hier 2672, wie unten illustriert: + 2�4.534 � »d umm? Ich?« 5 4.2672 � 1 8.1 36.000 (4. 3 4 )( 4.000) / - 267 4.000 + 71 .289 (2672) 1 8.2o1.28y 300 � 2672 70.200 (300 )( 234) - 33 234 /+ 1 .089 (332) 71 .289

� �

Nun, offenkundig rührt sich bei dieser Aufgabe so einiges. Ich bin mir bewusst, dass sich leicht daherreden lässt >>jetzt 186

QUAD R I E R E N V I E RSTELL I G E R ZA H LE N

addieren Sie einfach das Quadrat von 267«, dass es aber etwas ganz anderes ist, das tatsächlich zu rechnen und sich dann auch noch an die Zahl zu erinnern, zu der man das Teilergeb­ nis addieren muss. Schon wenn Sie 4.534 x 4 gerechnet und 18.136 erhalten haben, können Sie allerdings den ersten Teil des Ergebnisses laut aussprechen: ))Achtzehn Millionen...« Das können Sie, weil die Ausgangszahl immer zum nächs­ ten Tausender gerundet wird. Die größte dreisteilige Zahl, die man im zweiten Schritt quadriert, ist daher 500. Das Quadrat von 500 ist 250.000; sobald Sie also sehen, dass der Rest Ihres Zwischenergebnisses (in diesem Fall 136.000) unter 750.000 liegt, wissen Sie, dass sich an den Millionen nichts mehr än­ dern wird. Da Sie ))achtzehn Millionen« schon ausgesprochen haben, müssen Sie sich noch 136.000 merken. Und kommt Ihnen jetzt die Mnemotechnik aus dem letzten Kapitel zu Hilfe! Mit dem phonetischen Code können Sie 136 zu dumm? Ich? um­ wandeln (1 = d, 3 = m, 6 = eh). Jetzt machen Sie sich an das nächste Teilproblem und merken sich schlicht dumm? Ich? (und die drei Nullen dahinter - die wird es immer geben). Wenn Sie irgendwann im Lauf Ihrer Berechnungen verges­ sen, was die Ausgangsaufgabe ist, schauen Sie kurz auf die Angabe. Sollten Sie keine haben, bitten Sie das Publikum, die Fragestellung noch mal zu wiederholen (das vermittelt die Il­ lusion, Sie würden ganz von vom anfangen, wo Sie in Wirk­ lichkeit doch schon einige Berechnungen durchgeführt haben). Sie quadrieren nun die dreisteilige Zahl, wie Sie es bereits ge­ lernt haben, und erhalten 71.289. Früher fiel es mir oft schwer, mir die Hunderterstelle (hier 2) der Lösung zu mer­ ken. Ich behalfmir, indem ich Finger spreizte (hier zwei Fin­ ger). Wenn Sie die letzten zwei Ziffern (89) vergessen haben, 187

M U LTI PLI KAT I O N F0R FORTGESC H R ITTE N E

können Sie zur Ausgangszahl (4.267) zurückgehen, deren letzte zwei Stellen quadrieren (672 4.489) und die beiden letzten Stellen davon nehmen. Ihr Endergebnis erhalten Sie, indem Sie 71.289 und dumm? Ich? (zurückübersetzt: 136.000) addieren. Das Ergebnis, 207.289, können Sie nun laut aussprechen. Lassen Sie uns noch eine weitere vierstellige Zahl quadrie­ ren, 84312: 4 8.862 »phobisch« � 70.896.000 8.43 1 2 y (8.862 8.000) � / + 1 85.761 (431 2) - 43 1 8.000 n .o81 .76V 462 � 1 84.800 (462 400) 431 2 / / - 31 400 961 (3 1 2) 1 85.761 =

+

X

� �

X

+

Ohne hier alle Schritte genau durchzugehen, wie wir es bei der letzten Aufgabe gemacht haben, will ich auf einige Knackpunkte dieser Aufgabe eingehen. Nachdem wir 8 x 8.862 70.896 gerechnet haben, sehen wir, dass 896 über 750 liegt, sich die erste Millionenstelle also womöglich noch än­ dert. Da 4312 größer ist als 4002 160.000, ändert sie sich sogar bestimmt, wenn man das zweite Teilergebnis zum ers­ ten addiert. Deswegen können wir zu diesem Zeitpunkt be­ reits mit Sicherheit verkünden »einundsiebzig Millionen ... Quadriert man 431, bekommt man 185.761. Zählen Sie 185 zu 896, was 1.081 ergibt, und verkünden Sie den Rest des Er­ gebnisses. Erinnern Sie sich aber daran, dass Sie die Million im Geist schon übertragen haben. Sie sagen also nur: 81 Tausend... 761(( Fertig! Ein kleines Detail illustrieren wir noch mit 2.7532: =

=

«

>>• • •

188

QUADR I E R E N VI ERSTELL I C. E R ZAH LEN

+ 2� 3.000 � alle tief« 2.7532 ........_ .......- 7.51 8.000 (3.000 >< 2.506) - 24 7 ' 2.506 / + 61 .009 (2472) 7.579.ooy 294 ........_ 2472 58.800 (294 " 200) - 47 200 + 2.209 (472) 61 .009 ..

� �Ä /

Da Sie auf 3.000 runden, werden Sie 3.000 mit einer Zahl in den 2.000em multiplizieren. Sie könnten 2.753 - 247 = 2.506 rechnen, aber das ist ein bisschen kniffiig. Um die letzten drei Stellen zu erhalten, verdoppeln Sie besser 753 zu 1.506. Die drei letzten Stellen dieser Zahl. 506, sind die letzten drei Stellen der 2.000er-Zahl: 2.506. Das funktioniert, weil die zwei Zahlen, die man miteinander multipliziert, sich zum doppelten der Ausgangszahl addieren müssen. Gehen Sie dann wie gewohnt vor: Rechnen Sie 3.000 x 2.506 = 7.518.000, verwandeln Sie 518 in Wörter wie alle tiefund sprechen Sie den ersten Teil der Lösung aus: »Sieben Millio­ nen...« Das können Sie gefahrlos sagen, da 518 unter 750 liegt und sich die Millionen also nicht mehr ändern werden. Als nächstes addieren Sie das Quadrat von 247. Vergessen Sie nicht, dass Sie 247 schnell als das Komplement von 753 ablei­ ten können. Dann ermitteln Sie das Endergebnis wie bei der vorigen Aufgabe dieser Art. Obung: Quadrieren vierstelliger Zahlen l.

4"

1 2342 98632

2 " 86392 s.

361 82

3·

6"

531 22 2971 2 189

M U LTI PLI KATION F O R FORTGESC H R ITTE N E

Thomas Fuller: Gebildete Männer und große Narren Helen Keller war gehörlos und blind - und machte dennoch ihren Universitätsabschluss. Ähnlich gewaltig wie diese körperliche Be­ hinderung war das soziale H andicap, mit dem Thomas Fuller zu kämpfen hatte. Fu ller wurde 1 71 0 i n Afrika geboren, und war nicht nur Analphabet, sondern musste in den Feldern Virgi n ias Sklavenarbeit verrichten und erhielt sein ganzes Leben lang kei­ nen einzigen Tag U nterricht. Fuller, >>Eigentum« von M rs. Eliza­ beth Cox, brachte sich selbst bei, bis 1 00 zu zählen und erweiter­ te sein Zahlenspektrum, i ndem er Di nge des Alltags zählte: die Zahl der Körner i n einem Scheffel Weizen, der Saatkörner in einem Scheffel Flachs, der H aare an einem Kuhschwanz (2.872) Vom reinen Abzählen ging er zum Hochrechnen über und lernte, die Zahl an Dachziegeln zu errech nen, d i e man zum Decken eines Daches brauchen würde, oder auszurechnen, wie viele Dachbalken man brauchte, um es zu stützen. Bald wusste er zu ermitteln, wie viel Baumaterial man für jedes beliebige Projekt brauchte. Seine außergewöhnlichen Fäh igkeiten entwickelten sich fort u nd sein Ruhm wuchs. Als er schon alt war, forderten ihn zwei Pennsylvanier heraus, Zahlen i m Kopf zu berechnen, die den besten Blitzrechner ins Schwitzen gebracht hätten . Sie stellten ihm Aufgaben wie diese: >>Angenommen ein Bauer hat sechs Säue und alle Säue bekom men im ersten Jahr sechs weibl iche Ferkel, und alle pflanzen sich mit der gleichen Rate weiter fort, wie viele Säue hat der Bauer dann nach acht Jahren? Die Aufgabe kan n als 78 X 6 formuliert werden, also (7 X 7 X 7 X 7 X 7 X 7 X 7 X 7) X 6. I n nerhalb von zehn Minuten gab Fuller seine Antwort: 34.588.806. Das stim mte. Nach Fullers Tod im Jahr 1 790 berichtete der Columbian Centi­ nel: >>er konnte angeben, wie viele Pfosten, Yards, Feet, Zoll oder Gerstenkörner in jede beliebige Strecke passten, zum Beispiel in den Durchmesser der U mlaufbahn der Erde. Nach jeder Berech­ nung gab er die richtige Antwort, schneller, als es 99 von 1 00 Männern es mit Stift und Papier hätten tun können.« Als Fuller gefragt wurde, ob er es nicht bereut hätte, nie eine klassische Ausbildung erhalten zu haben, antwortete er: >> Nein, M assa, ist besser, wen n ich keine Ausbildung nicht bekomme. Den n viele gebildete M änner sind große Narren.«

190

D R E I STELUG MAL ZWEISTE LLIG

M U LT I P L I KAT I O N VO N D R E I ST E L U G E N M I T Z W E I ST E L L I G E N ZA H L E N

Bei der Multiplikation zweier zweistelliger Zahlen sahen wir, dass es mehrere verschiedene Wege gibt, eine Aufgabe anzu­ greifen. Die Vielfalt der Methoden wächst noch weiter, wenn Sie längere Zahlen miteinander multiplizieren. Bei der Mul­ tiplikation von dreisteHigen mit zweistelligen Zahlen zahlt es sich meiner Ansicht nach aus, die Aufgabe einige Augenbli­ cke lang anzusehen, um den einfachsten Rechenweg heraus­ zufinden. Faktorisieren

Am leichtesten sind diejenigen Aufgaben mit zwei- und drei­ steHigen Faktoren zu lösen, deren zweistellige Zahl faktori­ sierbar ist. Zum Beispiel: 637 X 56 (8 637

X

56 = 637

X

8

X

X

7)

7 = 5 .096

X

7 = 35 .672

Das läuft prima, weil man nichts addieren muss. Man fakto­ risiert einfach 56 in 8 und 7, multipliziert eine dreisteilige Zahl mit einer einstelligen (637 x 8 = 5.096) und dann eine vierstellige Zahl mit einer einstelligen (5.096 x 7 = 35.672). Es gibt keine Schritte mit Additionen und man muss sich keine Zwischenergebnisse merken. Über die Hälfte aller zweistelligen Zahlen lässt sich in Fakto­ ren spalten, die unter 12 liegen, Sie werden diese Methode also bei vielen Aufgaben dieses Typs anwenden können. Hier ist ein Beispiel: 191

M U LTIPLI KAT I O N F 0 R FORTGESC H R ITTE N E

X

853 44 (1 1 X 4)

853 X 1 1 X 4 = 9.383 X 4 = 3 7.532 Um 853 x 11 zu rechnen, behandeln Sie 853 als 850 + 3 und gehen wie folgt vor: 850 X 1 1 3 X 11

9.350 33 9.383

+

Berechnen Sie nun 9.383 x 4, indem Sie wie folgt 9.383 als 9.300 + 83 behandeln: 9.300 X 4 83 X 4

= =

37.200 + 332 3 7.532

Lässt sich die zweistellige Zahl nicht in kleine Faktoren auf­ spalten, untersuchen Sie die dreisteHige Zahl, ob diese zer­ legt werden kann: 1 44 (6 X 6 X 4) X 76 76 X 1 44

=

76 X 6 X 6 X 4 456 X 6 2.736 X 4 1 0.944 =

X

4

=

=

Beachten Sie, dass zuerst eine zweistellige Zahl mit einer ein­ stelligen multipliziert wird, dann eine dreisteHige und schließlich eine vierstellige. Da Sie Aufgaben dieser Art in­ zwischen locker beherrschen, dürfte dieser Typ von Multipli­ kationen einer zwei- und einer dreisteiligen Zahl überhaupt kein Problem darstellen. Hier ist ein weiteres Beispiel dafür, dass die zweistellige Zahl nicht faktorisierbar ist, dafür aber die dreistellige: 192

D R E I STELUG MAL ZWEISTELLIG

X

53

X

11

X

7

X

6

462 (1 1 53

=

583

X

7

X

7

X

X

6)

6 4.081 =

X

6 24.486 =

Hier ist die Abfolge eine Multiplikation zweier zweistelliger Zahlen, dann einer dreisteiligen Zahl mit einer einstelligen, dann einer vierstelligen mit einer einstelligen. Wenn die drei­ steilige Zahl durch 1 1 teilbar ist, können Sie die Elfer-Metho­ de hernehmen und eine sehr einfache erste Multiplikation bekommen (53 x 1 1 = 583). Es zahlt sich also aus, wenn man erkennt, dass eine Zahl durch 1 1 teilbar ist. Die Methode dafür haben wir im 4. Kapitel beschrieben. Lässt sich die zweistellige Zahl nicht faktorisieren und die dreisteilige nur in einen einstelligen und einen zweistelligen Faktor zerlegen, löst man das Problem immer noch relativ mühelos, indem man die zweistelligen Zahlen miteinander multipliziert und das (vierstellige) Ergebnis mit dem einstel­ ligen Faktor multipliziert:

83

X

47

X

423 (47 83

X

9 3.901 =

X

9) X

9 35 . 1 09 =

Hier muss man erkennen, dass 423 durch 9 teilbar ist, was die Aufgabe zu 83 x 47 x 9 vereinfacht. Die vordere Multipli­ kation ist nicht so einfach, aber wenn man 83 als 80 + 3 be­ handelt, bekommt man: 83 (80 + 3) X 47 3.760 80 X 47 3 X 47 + 1 41 3.901 =

=

193

M U LTI PLI KATION F O R FORTCiESCH RITTE N E

Dann rechnet man nur noch 3.901 x 9 und erhält das End­ ergebnis 35.109 Die Additionsmethode

Wenn sich in einer Aufgabe dieser Art weder die zweistellige noch die dreisteHige schön zerlegen lässt, können Sie immer auf die Additionsmethode zurückgreifen:

720 X 3 7 1 X 37

721 (720 + 1 ) X 37 26.640 (wobei m a n 7 2 als 9 x 8 auffasst) + 37 26.677

Bei dieser Methode müssen Sie das Produkt zweier zweistel­ liger Zahlen zum Produkt einer zweistelligen und einer ein­ stelligen Zahl addieren. Aufgaben dieser Art sind in der Regel schwieriger als Aufgaben, wo man faktorisieren kann, weil man eine zweistellige Zahl mit einer einstelligen multi­ pliziert, sich gleichzeitig eine fünfstellige Zahl merken muss, und am Ende die beiden Teilergebnisse addiert. Tatsächlich lässt sich diese Aufgabe vielleicht einfacher lösen, indem man 721 in 103 x 7 faktorisiert und dann rechnet 37 x 103 x 7 = 3.811 X 7 = 26.677. Hier ist noch ein Beispiel: 732 (730 + 2) X 57 730 X 57 = 41 .610 (man behandelt 7 3 als 70 + 3) 2 )( 5 7 = + 1 1 4 41 .724 Normalerweise sollten Sie bei Verwendung der Additionsme­ thode die dreisteHige Zahl runden, doch gelegentlich lohnt es 194

D R E I STELUG MAL ZWEISTELLIG

sich, stattdessen die kleinere Zahl zu runden, insbesondere, wenn sie auf 1 oder 2 endet, wie im folgenden Beispiel: 386 � (50 + 1 ) 1 9.300 + 386 1 9.686

50 X 386 1 X 386

Damit multipliziert man im ersten Schritt nur eine dreistel­ lige mit einer einstelligen Zahl, und der zweite Schritt ist be­ sonders einfach, weil man nur mit 1 multipliziert. Beachten Sie auch, dass es uns geholfen hat, 5 mit einer geraden Zahl zu multiplizieren. Dies ergibt eine zusätzliche Stelle mit 0 im Zwischenergebnis, so dass man bei der Addition nur an einer Stelle wirklich rechnen muss. Die folgende Aufgabe ist ein Beispiel dafur, wie 5 mit einer geraden Zahl multipliziert wird:

60 X 835 2 X 835

835 62 (60 + 2) 50.1 00 + 1 .670 5 1 .770 X

=

Wenn Sie die 6 in 60 mit der 5 in 835 multiplizieren, fuhrt das zu einer weiteren 0 im Zwischenergebnis, was die Addition besonders leicht macht. Die Subtraktionsmethode

Wie im Fall der Multiplikation zweier zweistelliger Zahlen, ist es auch bei der Multiplikation einer dreisteiligen mit einer zweistelligen Zahl manchmal bequemer, mit einer Subtrak­ tion zu arbeiten statt mit einer Addition. Das zeigen die fol­ genden Beispiele: 195

M U LTI PLI KATION F O R FORTGESCH RITTE N E

629 (630 1 ) X 38 38 = 23 .940 (63 9 X 7) 38 38 23.902 -

630 X 1 X -

760 X 43 -2 X 43

=

=

-

758 (760 - 2) )( 43 32.680 (43 40 + 3) 86 32.594 =

Vergleichen Sie das Vorgehen im letzten Beispiel mit der Ad­ ditionsmethode für die gleiche Aufgabe:

750 X 43 8 X 43

758 (750 + 8) 43 32.250 (75 5 X 5 X 3) + 344 32.594 X

=

Bei dieser Aufgabe würde ich die Subtraktionsmethode vor­ ziehen, weil ich immer versuche, am Ende des Lösungs­ weges eine möglichst einfache Subtraktion oder Addition zu bekommen. In diesem Fall wäre es mir lieber, 86 zu subtra­ hieren, als 344 zu addieren, auch wenn die Multiplikations­ aufgabe bei der Subtraktionsmethode oben etwas schwieri­ ger ist als diejenige bei der Additionsmethode. Die Subtraktionsmethode kann auch angewendet werden, wenn die dreisteilige Zahl nur knapp unter einem Vielfachen von 100 oder nahe bei 1.000 liegt, wie in den nächsten beiden Beispielen: 196

D R E I STELLIC MAL ZWE I STELLI C

300 X 87 - 7 x 87

1 .000 X 68 -1 2 X 68

293 (300 - 7) 87 26. 1 00 - 609 25.491 X

=

=

988 (1 000 - 1 2) X 68 68.000 - 81 6 (1 2 = 6 x 2 ) 67. 1 84

Die letzten drei Stellen der beiden Ergebnisse wurden ermit­ telt, indem die Komplemente von 609 - 100 509 bzw 816 ge­ nommen wurden. In der folgenden Demonstration schließlich brechen wir die zweistellige Zahl auf und verwenden die Subtraktionsmetho­ de. Beachten Sie, wie wir 736 abziehen, indem wir 1 .000 sub­ trahieren und dann das Komplement wieder hinzu addieren. =

60 X 736 - 1 X 736

736 59 (60 - 1 ) 44.1 60 - 736 43 .424 X

=

=

44.1 60 - 1 .000 43.1 60 + 264 43.424

(Komplement von 736)

Obung: Multiplizieren mit der Faktorisierungs-, der Additions- und der Subtraktionsmethode

Lösen Sie die folgenden Multiplikationsaufgaben mit einer der drei behandelten Methoden. Normalerweise ist Paktori­ sieren am einfachsten, aber eben nicht immer möglich. Die Lösungen finden Sie am Ende des Buchs. 197

M U LTI PLI KATION F O R FORTGESC H R ITTE N E

1.

6.

858 X 15 952 X 26

11.

16.

21.

157 X 33 538 X 53 281 X 44

2.

7.

12.

1 7.

22.

796 X 19 41 1 X 93 61 6 X 37

3.

8.

13.

81 7 X 61

18.

988 X 22

23.

773 X 42

5.

484 X 75

10.

1 48 X 62

4.

967 X 51

9.

841 X 72

14.

361 X 41

668 X 63

1 9.

499 X 25

X

X 1 5.

906 46 1 26 87

21 8 X 68

20.

X

1 44 56

383 X 49

Die folgenden Multiplikationen werden in späteren Aufgaben wieder auftauchen, wo fünfstellige Zahlen quadriert oder zwei fünfstellige Zahlen miteinander multipliziert werden. 24.

29.

589 X 87

25.

1 54 X 19

30.

34.

X

198

822 95

286 X 64 834 X 34

26.

31.

853 X 32 545 X 27

27.

32.

878 X 24 653 X 69

X

423 45

X

21 6 78

28.

33 .

FO N FSTE LLI C E ZA H LE N QUAD R I E R E N

Q U A D R I E R E N F Ü N F STE L L I G E R ZA H L E N

Bis man die Multiplikation dreisteiliger Zahlen mit zweistel­ ligen beherrscht, braucht es eine ziemliche Übung, aber so­ bald Sie den Bogen raus haben, können Sie sich an das Qua­ drieren fünfstelliger Zahlen machen. Denn das lässt sich vereinfachen zu einer Multiplikation einer dreisteiligen Zahl mit einer zweistelligen plus dem Quadrat einer zweistelligen Zahl und dem Quadrat einer dreisteiligen Zahl. Sehen Sie selbst: 46.7922 Behandeln Sie das als: 46.000 + 792 )( 46.000 + 792 Mithilfe des Distributivgesetzes können wir das aufspalten in: 1.

2.

46.000 )( 46.000 + 2 (46.000) (792)

3. +

792 )( 792

Dies kann vereinfacht geschrieben werden als: 462 x 1 M i l l ion + (46) (792) (2000) + 7922

Aber ich rechne das nicht in dieser Reihenfolge. Stattdessen fange ich in der Mitte an, weil die Multiplikation einer drei­ steiligen Zahl mit einer zweistelligen die härteste Nuss bei der Lösung dieser Aufgabe sein wird. Wir halten uns also an den Grundsatz, die harte Arbeit als erstes zu erledigen, be­ ginnen mit 792 x 46 x 2 und hängen hinten drei Nullen an. So geht's: 199

M U LTI PLI KATI O N F O R FORTCi ESC H R ITTE N E

800 X 46 - 8 X 46

= =

792 (800 - 8) 46 3 6.800 - 368 >>Fischer« 36.432 X 2.000 72.864.000 X

=

Berechnen Sie 792 x 46 36.432 mit der Subtraktionsmetho­ de, wie oben gezeigt, und verdoppeln Sie diese Zahl zu 72.864. Wenden Sie den phonetischen Code aus dem letzten Kapitel auf die Zahl 864 an und merken Sie sich die Zahl als 72 Fischer. Als nächstes errechnen Sie 462 x 1 Million, was 2.116.000.000 ist. Jetzt können Sie laut aussprechen: »Zwei Milliarden...« Erinnern Sie sich an die 72 aus 72 Fischer und addieren Sie 116 Millionen. Das gibt 188 Millionen; doch bevor Sie diese Zahl laut aussprechen, müssen Sie überschlagen, ob sich das noch ändert, wenn Sie Fischer, oder 864 zu 7922 addieren. (Das tun Sie, indem Sie betrachten, dass 8002 gleich 640.000 ist, was zusammen mit 864.000 locker über eine Million er­ gibt. Sie erhöhen die 188 daher um eins und verkünden: » ... 189 Millionen. . .« . ) Merken Sie sich Fischer weiterhin, während Sie das Quadrat von 792 berechnen. Dafür verwenden Sie die Methode für das Quadrieren dreistelliger Zahlen (Sie runden um 8 auf, sen­ ken den anderen Faktor um 8 usw.) und erhalten 627.264. Ad­ dieren Sie zum Schluss 627 und Fischer, bzw. 864, was 1 .491 ergibt. Da Sie die 1 schon übertragen haben, lassen Sie sie weg und sagen: »491 tausend 264«. Manchmal entfallen mir die letzten drei Stellen des Ergebnis­ ses, weil ich von den schwierigeren Berechnungen so abge­ lenkt wurde. Bevor ich meine letzte Addition mache, merke ich mir die 2 mit den Fingern und versuche, mir die 64 ein=

200

F O N FSTELL I G E ZAH LE N QUADR I E R E N

zuprägen. Das schaffe ich normalerweise auch, weil uns die zuletzt gehörten Dinge am besten im Gedächtnis bleiben. Falls es mir nicht gelingt, kann ich die letzten zwei Stellen er­ mitteln, indem ich die zwei letzten Stellen der Ausgangszahl quadriere. 922 = 8.464; die beiden letzten Stellen des Ergeb­ nisses sind die Ziffern, nach denen ich suchte: 64. (Alterna­ tiv können Sie die 264 auch in ein Wort umwandeln, z.B. Na­ scher.) Ich bin mir bewusst, dass das eine ganze Menge auf einmal war. Hier zeige ich noch einmal in einem Diagramm, wie ich 46.7922 berechnet habe: 792 (800 - 8) X 46 800 X 46 36.800 - 8 X 46 = - 368 »Fischer« 36.432 X 2.000 = 72.864.000 =

72.864.000 / 800 46.0002 = + 2.1 1 6.000.000 "" 627.200 2.1 88.864.000 / 7922 � / 627.264 # 7922 = + - B 784 + 64 (82) 2.1 89.491 .264 627.264 Betrachten wir ein anderes Beispiel einer fünfstelligen Qua­ dratzahl: 83 .5222 Wie zuvor berechnen wir das Ergebnis in dieser Reihenfolge: 83 x 522 x 2.000. 832 x 1 M i l l ion, dann 5222 Beachten Sie bei der ersten Teilaufgabe, dass 522 ein Vielfa­ ches von 9 ist. Es gilt 522 = 58 x 9. Wir behandeln 83 als 80 + 3 und erhalten: 201

M U LTIPLI KATI O N F0R FORTC ESCH R I TTE N E

522 (58 )( 9) )( 83 83 )( 58 )( 9 = 4.81 4 )( 9 = 43.326 Man verdoppelt 43.326 und erhält 86.652, was als 86 Schulen gespeichert werden kann. Da 832 = 6.889, können wir verkün­ den: ))Sechs Milliarden... «. Die Addition von 889 und 86 gibt uns 975. Bevor wir aber ))975 Millionen« aussprechen kön­ nen, müssen wir überprüfen, ob das Quadrat von 522 und ju­ lian (652.000) zusammen mehr als eine Million ergeben. Wir überschlagen 5222 als etwa 270.000 (500 x 540), es kommt also keine Million mehr zusammen. Deswegen können Sie gefahrlos aussprechen: )) ... 975 Millionen ... « Quadrieren Sie schließlich 522 auf die gewohnte Weise. Ad­ dieren Sie das Ergebnis, 272.484, zu Julian (652.000), um den Rest des Endergebnisses zu erhalten: )) ...924.484«. Im Diagramm sieht der Lösungsweg so aus: 83.5222 522 )( 83 83 )( 58 )( 9 = 4.81 4 )( 9 = 43.326 43.326 X 2.000 = 86.652.000 »Schulen« +/ 544 """ 272.200 83.0002 = + 6.889.000.000 / + 484 (222) 6.975.652.000 ./ 5222 � - 22 500 272.484 5222 = + 272.484 � 6.975.924.484 Übung: Quadrieren fll nfstelliger Zahlen 1.

4.

202

45.7952 62.45 72

2. 5.

21 .23 1 2 89.8542

3. 6.

58.3242 76.9342

D REISTELUG MAL D R E I STELUG

M U LT I P L I KAT I O N ZW E I E R D R E I ST E L L I G E R ZAH L E N

In der Vorbereitung auf das große Finale - die Multiplikation zweier fünfstelliger Zahlen - stellt die Multiplikation zweier dreisteiliger Zahlen die letzte Hürde dar. Auch hier gibt es, wie oben, eine ganze Palette von Möglichkeiten, wie man die Eigenschaften der Zahlen im Vereinfachungsprozess ausnüt­ zen kann. Faktorisieru ng

Wir wollen mit der Faktorisierung beginnen. Unglücklicher­ weise lassen sich die meisten dreisteiligen Zahlen nicht in einstellige Faktoren zerlegen. Wenn das aber möglich ist, geht die Berechnung relativ einfach: 829 X 288 (9 X 8 X 4) 829 X 9

X

8 X 4 7.461 X 8 X 4 59.688 X 4 = 238.752 =

=

Beachten Sie die Abfolge. Sie vereinfachen die Aufgabe, indem Sie eine dreisteilige Zahl mit einer einstelligen multi­ plizieren, die resultierende vierstellige Zahl ebenfalls, und die resultierende fünfstellige Zahl wiederum. Das geht, weil Sie 288 in 9 x 8 x 4 aufsplitten konnten. Dieses Vorgehen war deswegen so elegant, weil Sie nichts addieren oder im Kopf behalten mussten. Wenn Sie bei der letzten Multiplikation angekommen sind, sind Sie schon fast fertig. Diese Multiplikation einer fünfstelligen Zahl mit einer ein­ stelligen lässt sich in zwei Schritten durchführen: Man be­ handelt 59.688 als 59.000 + 688, bildet die zwei Produkte 19.000 x 4 und 688 x 4 und addiert sie: 20 3

M U LTI PLI KAT I O N F O R FORTGESCH RITTE N E

59.688 (59.000 + 688) 4 59.QQQ X 4 = 236.QQQ 688 X 4 = + 2. 752 238.752 Wenn beide Ausgangszahlen sich in ein- und zweistellige Faktoren aufteilen lassen, kann die Aufgabe in eine Folge von Multiplikationen aufgeteilt werden: eine Multiplikation zwei­ er zweistelliger Zahlen, multipliziert mit einer einstelligen und noch einmal multipliziert mit einer einstelligen: X

X

5 1 3 (57 X 9) 246 (41 X 6)

57 X 41 X 9 X 6

2.337 X 9 X 6 21 .033 X 6 = 1 26.1 98 =

=

Wie üblich, schafft man sich anfangs am besten gleich den schwierigsten Teil der Aufgabe vom Hals, die Multiplikation zweier zweistelliger Zahlen. Sobald man dieses Produkt hat, muss man nur noch zweimal mit einer einstelligen Zahl multiplizieren. Meistens wird sich aber maximal eine der Ausgangszahlen faktorisieren lassen, dann reduziert sich die Schwierigkeit darauf, eine dreisteilige Zahl mit einer zwei­ stelligen zu multiplizieren und das Ergebnis mit einer ein­ stelligen zu multiplizieren: X

459 (51 X 9) 526

526 X 459

=

=

= =

204

526 X 5 1 X 9 526 (50 + 1 ) X 9 26.826 X 9 241 .434

D R E I STELUG MAL D R E I STELU G

Die nächste Multiplikation zweier dreisteHiger Zahlen ist in Wahrheit nur eine getarnte Multiplikation einer dreisteiligen Zahl mit einer zweistelligen: 624 X 435 Indem wir die 624 halbieren und die 435 verdoppeln, erhalten wir ein äquivalentes Problem: X

87 X 52

X

3 1 2 (52 X 6) 8 70 (8 7 X 1 0)

6 X 1 0 = 87 X (50 + 2) X 6 = 4.524 X 6 X 1 0 = 27. 1 44 X 1 0 = 271 .440

X

10

Die Nahe-beieinander-Methode

Sind Sie bereit für etwas Leichteres? Die nächste Abkürzung bei Multiplikationen, die wir im 0. Kapitel bereits erwähnt haben, beruht auf der folgenden algebraischen Formel: (z + a) (z + b)

=

z2 + za + zb + a b

Was wir umschreiben zu: (z + a) ( z + b) = z (z + a + b) + a b Diese Formel gilt für beliebige Werte von z, a und b. Wir wer­ den das ausnutzen, wenn beide Faktoren (z + a) und (z + b) einer Multiplikation nahe bei einer einfachen Zahl z liegen, typischerweise einer Zahl mit vielen Nullen. X

1 07 111 205

M U LTI PLI KATION F O R FORTCESC H R ITTE N E

Wir behandeln diese Aufgabe als (100 + 7)(100 + 11). Mit z = 100, a = 7 und b = 1 1 ergibt die Formel: 1 00 (1 00 + 7 + 1 1 ) + 7 )( 1 1 = 1 00 )( 1 1 8 + 77 = 1 1 .877 Im Diagramm sieht das so aus: 1 07 (7) � (1 1 ) 1 00 )( 1 1 8 = 1 1 .800 7 >< 1 1 = + 77 1 1 .877 Die Zahlen in Klammem zeigen den Abstand zwischen der Zahl und der bequemen »Basiszahl« (hier ist z = 100). Die Zahl 118 erhält man, indem man entweder 107 + 1 1 rechnet oder 111 + 7. Beide Summen sind immer gleich groß, weil (z + a) + b = (z + b) + a. Ganz schnell noch mal ein Beispiel, diesmal mit weniger Worten: 1 09 (9) )( 1 04 (4) 1 00 )( 1 1 3 = 1 1 .300 9 )( 4 = + 36 1 1 .336 Cool! Erhöhen wir den Einsatz ein bisschen und wählen wir eine höhere Basiszahl: 408 (8) )( 409 (9) 400 )( 41 7 = 1 66.800 72 8 >< 9 = + 1 66.872 206

D R E I STELLIC MAL D R E I STELLIC

Obwohl diese Methode normalerweise für die Multiplikation zweier dreisteHiger Zahlen angewendet wird, können wir sie auch bei der Multiplikation von zweistelligen Zahlen einsetzen: 78 (8) )( 73 (3) 70 )( 81 = 5.670 8 )( 3 = + 24 5.694 Hier ist die Basiszahl 70, die wir mal 81 (78 + 3) nehmen. Selbst die Additions-Teilaufgabe ist üblicherweise sehr einfach. Wir können diese Methode auch anwenden, wenn beide Zah­ len unter der Basiszahl liegen, wie in der folgenden Aufgabe:

400 )( 383 -4 )( - 1 3

=

=

396 (-4) )( 387 (- 1 3) 1 53.200 + 52 1 53.252

Die Zahl 383 errechnet sich entweder aus 396 - 13 oder aus 387 - 4. Ich würde diese Methode für Aufgaben wie die folgenden einsetzen: 97 (-3) )( 94 (-6) 1 00 )( 91 9.1 00 - 3 )( - 6 = + 1 8 9.1 1 8 =

79 (-1 ) )( 78 (-2) 80 )( 77 = 6.1 60 - 1 )( -2 = + 2 6.1 62 207

M U LTI PLI KAT I O N FOR FORTCESC H R ITTE N E

I n unserem nächsten Beispiel fallt die Basiszahl zwischen die zwei Zahlen: 396 (-4) � (13) 400 X 409 = 1 63.600 -4 X 1 3 = - 52 1 63 .548 Die Zahl 409 ergibt sich aus 396 + 13 oder 413 - 4. Beachten Sie, dass - 4 und 1 3 unterschiedliche Vorzeichen haben, wes­ halb man hier 52 subtrahieren muss. Erhöhen wir den Einsatz noch mal ein bisschen, bis man beim zweiten Schritt zwei zweistellige Zahlen multiplizieren muss: 621 (21 ) X 637 (3 7) 600 X 658 = 394.800 21 x 3 7 = + 777 (37 x 7 x 3) 395.577 Hier sei vermerkt, dass schon der erste Schritt der Multiplika­ tion (600 x 658) einen guten Überschlagswert ergibt. Unsere Methode erlaubt Ihnen, von der Schätzung zum exakten Er­ gebnis zu gelangen. 876 (- 24) X 853 (-47) 900 X 829 = 746.1 00 -24 x -47 = + 1 .1 28 (47 x 6 x 4) 747.228 Beachten Sie auch, dass in all diesen Beispielen die beiden Faktoren, die wir im ersten Schritt multiplizieren, zusam208

D R E I STELU G MAL D R E I STELUG

men die gleiche Summe ergeben wie die Ausgangszahlen. Im obigen Beispiel: 900 + 829 = 1.729, ebenso wie 876 + 853 = 1.729. Das gilt, weil: z + ( (z + a) + b] = (z + a) + (z + b)

Um die Zahl zu bekommen, die mit 900 multipliziert werden soll, müssen Sie nur auf die letzten zwei Stellen von 76 + 53 = 129 sehen: Da die Zahl in den 800em liegen muss, kann es sich nur um 829 handeln. Im nächsten Beispiel verrät uns 827 + 761 = 1.588, dass wir einfach 800 x 788 rechnen müssen und dann 27 x 39 ab­ ziehen: 827 (+ 27) � (- 39) 800 X 788 = 630.400 -39 X 27 = - 1 .053 (39 X 9 X 3) 629.347 Diese Methode ist so effektiv, dass es sich bei Aufgaben die­ ser Art lohnen kann, Zahlen, die nicht nahe beieinander lie­ gen, so zu manipulieren, dass sie näher zusammen kom­ men. Dies macht man, indem man einen Faktor mit einer Zahl multipliziert und den anderen durch den gleichen Wert dividiert. 672 x 157 kann beispielsweise so gelöst werden: X

672 1 57

+ x

22= X

336 (36) 3 1 4 (1 4) 300 X 350 = 1 05.000 36 X 1 4 = + 504 (36 X 7 X 2) 1 05.504

Wenn die miteinander zu multiplizierenden Zahlen iden­ tisch sind (näher beisammen können sie nicht liegen), führt 209

M U LTIPLI KAT I O N F O R FORTGESC H R ITTE N E

die Nahe-beieinander-Methode zu den exakt gleichen Re­ chenschritten wie unsere traditionelle Methode beim Qua­ drieren von Zahlen:

300

X

394 472

347 (47) 347 (47) 1 1 8.200 + 2.209 1 20.409 X

=

=

Additionsmethode

Wenn keine der oben dargestellten Methoden anwendbar ist, suche ich nach einer Anwendungsmöglichkeit für die Addi­ tionsmethode, insbesondere, wenn sich mit den ersten zwei Stellen einer Zahl leicht arbeiten lässt. Im untenstehenden Beispiel etwa ist die 64 in 641 zerlegbar zu 8 x 8. Ich würde die Aufgabe wie folgt lösen: 3 73 ' 641 (640 + 1 ) 640 X 3 73 238.720 (373 X 8 X 8 1 X 3 73 = + 3 73 239.093 X

=

X

1 0)

Aufähnliche Weise ist im nächsten Beispiel die 42 von 427 in 7 x 6 zerlegbar, man kann also die Additionsmethode anwen­ den und 427 als 420 und 7 behandeln:

420 X 7X

210

656 427 (420 + 7) 656 = 275.520 (656 X 7 X 6 X 1 0) 656 = + 4.592 280.1 1 2 X

D R E I STELLICi MAL D R E I STELLICi

Oft teile ich mir die letzte Addition in zwei Schritte auf: 7 X 600 7 X 56

275.520 4.200 279.720 + 392 280.1 1 2

= + =

Da Aufgaben, bei denen man die Additionsmethode anwen­ det, sehr kniffiig sein können, unternehme ich normalerwei­ se große Anstrengungen, um eine Möglichkeit zu finden, wie ich am Ende einen leichten Rechenschritt bekomme. Das obige Beispiel etwa hätte mit der Faktorisierungsmethode ge­ löst werden können. Und das hätte ich auch getan: X

656 X 61 X 7

656 427 (61 X 7)

656 X (60 + 1 ) X 7 40.01 6 X 7 = 280.1 1 2 =

=

Die einfachsten Aufgaben bei der Additionsmethode sind diejenigen, wo eine Zahl in der Mitte eine 0 hat, wie hier:

300 X 732 = 8 X 732 =

732 X 308 (300 + 8) 21 9.600 + 5.856 225.456 ---

Aufgaben dieser Art sind so viel leichter als andere mit der Additionsmethode zu rechnen, dass es sich nachzuprüfen lohnt, ob sich eine Multiplikationsaufgabe mit zwei dreistel­ ligen Zahlen in eine Aufgabe dieser Art umwandeln lässt. 211

M U LTI PLI KATI O N F0R FORTGESC H R ITTE N E

Die Aufgabe 732 x 308 etwa hätte man aus folgenden Auf­ gaben »ohne Null« erhalten können: X

244 X 3 = 924 + 3 =

X

732 308

oder X

366 61 6

X

+

2 = 732 2 = X 308

Es sei erwähnt, dass sich diese Aufgabe auch als 308 x 366 x 2 rechnen ließe, wobei man die Nähe von 308 und 366 aus­ nützen würde. Versuchen wir eine tückische Aufgabe: 739 X 443 (440 + 3) 440 X 739 = 325.1 60 (739 X 1 1 3 X 700 = + 2 . 1 00 327.260 3 X 39 = + 1 1 7 327.377

X

4 X 1 0)

Die Subtraktionsmethode

Die Subtraktionsmethode wende ich manchmal an, wenn eine der dreisteiligen Zahlen auf ein »angenehmes<< Vielfa­ ches von 10 gerundet werden kann, wie im nächsten Beispiel:

720 -1

X

X

71 9 (720 - 1 ) X 247 247 = 1 77.840 (247 X 9 X 8 247 = - 247 1 77.593

X

1 0)

Ähnlich im nächsten Beispiel: 538 (540 - 2) 346 540 X 346 = 1 86.840 (346 X 6 X 9 X 1 0) -2 )( 346 = - 692 1 86.1 48 X

212

DRE ISTE L U G MAL D R E I STELUG

Die Methode, wenn alles andere versagt

Folgende Methode ist narrensicher und bricht die Multipli­ kation zweier dreistelliger Zahlen in drei Teile auf: die Multi­ plikation einer dreistelligen Zahl mit einer einstelligen, einer zweistelligen mit einer einstelligen und einer zweistelligen mit einer zweistelligen. Nach jedem Schritt summieren Sie die Zwischenergebnisse. Das Rechnen solcher Aufgaben ist schwierig, insbesondere, wenn Sie die Angabe nicht schrift­ lich vor sich haben. Wenn ich bei Auftritten öffentlich langer Zahlen multipliziere, schreibe ich die Aufgabe nieder, führe aber alle Berechnungen im Kopf durch. Hier ist ein Beispiel: 851 )( 527 500 )( 851 = 425.500 27 )( 800 = + 21 .600 447.1 00 27 )( 51 = + 1 .377 448.477 In der Praxis läuft die Berechnung tatsächlich ab wie unten gezeigt. Manchmal verwende ich den phonetischen Code, um mir die Tausender zu merken (z.B. 447 = rührig) und halte die Hunderter mit den Fingern fest: 851 527 5 )( 851 = 4.255 8 X 27 = + 21 6 »rührig« 4.471 )( 1 00 = 447. 1 00 5 1 )( 27 = + 1 .3 77 448.477 )(

213

M U LTI PLI KATION F 0 R FORTCESC H R ITTE N E

Lassen Sie uns ein weiteres Beispiel probieren. Diesmal teile ich aber die erste Zahl auf. ( Üblicherweise breche ich die grö­ ßere Zahl auf, damit die Additionsaufgabe leichter wird.) 923 673 9 X 673 = 6.05 7 6 X 23 = � »ich Depp!<< 6.1 95 X 1 00 = 61 9.500 73 X 23 + 1 .679 621 .1 79 X

---

=

Übung: Multiplikation zweier dreistelli1er Zahlen 1.

6.

11.

1 6.

644 X 286 942 X 879 824 X 206 41 7 X 298

2.

7.

1 2.

1 7.

596 X 1 67 692 X 644 642 X 249 557 X 756

3.

8.

1 3.

1 8.

853 X 325 446 X 1 76 783 X 589 976 X 878

�-

9.

1 �.

343 X 226 658 X 468 871 X 926

1 9.

X

5.

809 X 527

10.

X 15.

273 1 38

341 X 71 5

765 350

Die folgenden Multiplikationen sind in die größeren Multiplikationen zweier fünfstelliger Zahlen im nächsten Abschnitt eingebettet: 20.

1 54 X 423

214

21.

545 X 834

22.

21 6 X 653

23.

X

393 822

F O N FSTELLICi MAL F 0 N FSTELLICi

M U LT I P L I KAT I O N ZW E I E R F Ü N F ST E L L I G E R ZAH L E N

Die aufwändigsten Aufgaben, die wir im Kopf zu rechnen versuchen werden, bestehen darin, zwei fünfstellige Zahlen miteinander zu multiplizieren. Damit das gelingt, müssen Sie die Multiplikation zweier dreisteHiger Zahlen und den phonetischen Code beherrschen. Jetzt muss man nur noch alles zusammenfügen. Wie beim Quadrieren fünfstelliger Zahlen verwenden Sie das Distributivgesetz, um die Zahlen aufzubrechen. Zum Beispiel: X

27.639 (27.000 + 639) 52.1 96 (52.000 + 1 96)

Davon ausgehend, können Sie die Aufgabe in vier einfache­ re Multiplikationen aufteilen, die ich unten nach Art der Kreuzmultiplikation notiert habe: Eine Multiplikation zwei­ er zweistelliger Zahlen, zwei Multiplikationen einer zweistel­ ligen Zahl mit einer dreisteHigen und schließlich die Multi­ plikation zweier dreistelliger Zahlen. Sie summieren die Zwischenergebnisse und erhalten so das Endergebnis. Wir rechnen: (27 x 52) M illionen + [(27 x 1 96) + (52 x 639)) tausend + (639 X 1 96) Wie beim Quadrieren fünfstelliger Zahlen fange ich in der Mitte an, und zwar mit der schwierigeren der zwei Multipli­ kationen: »Mama, nie Honnefl«

1.

52 X 639 = 52 X 71 X 9 = 3 .692 X 9 = 33 .228 215

M U LTIPLI KATIO N F O R FORTG ESCH RITTE N E

Sie merken sich 33.228 mit »Mama, nie Honnef1« und wen­ den sich der zweiten Multiplikation dieser Art zu: 2.

27 X 1 96 = 27 X (200 - 4) = 5 .400 - 1 08 = 5 .292

Addieren Sie das zur gemerkten Zahl: 3.

33.228 (»Mama, n i e Honnef!<<) 5.292 38.520

+

Dieses neue Zwischenergebnis speichern wir als » M ufflons« (38 M i llionen, 520 tausend)

Sie merken sich »Muffions« und berechnen das Produkt der Tausenderstellen: 4.

52 X 2 7 = 52 X 9 X 3 = 1 .404

Jetzt können Sie einen Teil der Lösung aussprechen. Da wir soeben ausgerechnet haben, wie viel 52 x 27 Millionen macht, steht 1 .404 für 1 Milliarde, 404 Millionen. Da aus den 404 Millionen auch nach Addition der anderen Zwischener­ gebnisse keine Milliarde mehr wird, können Sie gefahrlos sagen: »eine Milliarde ... « 5.

404 + »Muff« (38) = 442

In diesem Schritt addieren Sie 404 und Mu.ff ( 38, dem ersten Teil der Mufflons); das ergibt 442. Jetzt können Sie verkünden: » 442 Millionen... « Sie können das sagen, weil Sie wissen, dass sich 442 nicht mehr erhöhen wird - Sie haben einen kurzen Blick auf die Multiplikation der zwei dreistelligen Zahlen geworfen und überprüft, ob noch eine weitere Milli­ on zusammen kommt. Wäre das der Fall gewesen, hätten Sie »443 Millionen« gesagt. Da aber Ions (der traurige Rest der ...

216

F 0 N FSTELLIC MAL F 0 N FSTELLIC

Muffions) für 520.000 steht und 639 x 196 keine 480.000 erge­ ben wird (eine grobe Schätzung zeigt das: 600 x 200 = 120.000) , können Sie mit »442 Millionen(( nicht falsch liegen. 6.

639 X 1 96 = 639 X 7 X 7 X 4 = 4.473 X 7 X 4 = 31 .3 1 1 x 4 = 1 25.244

Während Sie sich weiterhin die Ions merken, berechnen Sie das Produkt der zwei dreisteiligen Zahlen mithilfe der Fakto­ risierungsmethode. Sie bekommen 125.244. Die 244 könnten Sie in einen Ausdruck wie ein Rohr verwandeln. Der letzte Schritt ist eine einfache Addition von: 7.

1 25.244 + ••Ions« (520.000)

Jetzt können Sie den Rest der Lösung aussprechen: )) .. ,645.244((. Da ein Bild so viel sagt wie tausend Berechnungen, haben wir Ihnen ein Diagramm gemacht: 27.639 X 52. 1 96 Mama, nie Honnefl

639 X 52 = 33 .228 1 96 X 27 = + 5 .292 »Mufflons« 38.520 X 1 .000 = 38.520.000 52 X 2 7 X 1 Million = + 1 .404.000.000 1 .442.520.000 639 X 1 96 = + 1 25.244 1 .442.645.244 Ich sollte hier allerdings in Klammem hinzufügen, dass ich annehme, dass Sie die Angabe für Aufgaben dieser Länge auf einer Tafel oder einem Blatt niederschreiben können. Falls das nicht geht, müssen Sie eine Gedächtnisstütze für jede der 217

M U LTI PLI KATION F O R FORTCiESC H R ITTE N E

vier (Teil-) Zahlen bilden. I m letzten Beispiel könnten Sie sich die Angabe merken als: 27.639 »Nick Jumbo« X 52. 1 96 »Lohn-Depesche<< Dann würden Sie Lohn x Jumbo multiplizieren, Depesche x Nick, Lohn x Nick und schließlich Depesche x Jumbo. Das würde Sie natürlich ein wenig aufhalten, aber selbst mit der zusätzlichen Schwierigkeit, die Angabe nicht sehen zu kön­ nen, können Sie diese Aufgabe noch lösen. Wir schließen mit einer weiteren Multiplikation zweier fünf­ stelliger Zahlen: 79.838 X 45.547 Die Schritte hier sind die gleichen wie beim vorigen Beispiel. Man beginnt mit der schwierigeren der zwei Multiplikatio­ nen einer zwei- mit einer dreisteHigen Zahl und merkt sich das Ergebnis mit einer Gedächtnisstütze: 547 X 79 = 547 X (80 - 1 ) = 43 . 760 - 547 = 43.21 3 >>Rom Anatomie«

1.

Dann berechnen Sie das andere Produkt aus zwei- und drei­ steHiger Zahl: 2.

838 X 45 = 838 X 5 X 9 = 4. 1 90 X 9 = 3 7.71 0

Sie addieren diese zwei Ergebnisse und merken sich das neue Zwischenergebnis: 3. +

218

43.21 3 »Rom Anatomie« 3 7.710 80.923 »Phase Panama«

F O N FSTE LLI Ci MAL F O N FSTELLICi

4.

79 )( 45

=

79 )( 9 )( 5 = 71 1 )( 5

=

3.555

Diese Multiplikation gibt Ihnen die erste Stelle der Lösung, die Sie gefahrlos aussprechen können: »drei Milliarden... « 5.

555 + »Phase« (80)

=

635

Allerdings wird sich die Millionenstelle noch erhöhen, weil Panama (923) nur noch 77.000 braucht, um die Million voll zu machen, und die lange Multiplikation (838 x 547) locker mehr ergibt. Daher verkünden Sie: �� . .. 636 Millionen. . .<< Die lange Multiplikation berechnen Sie mit der Additionsme­ thode: 6.

838 )( 547 (540 + 7) 540 )( 838 = 452.520 (838 )( 9 )( 6 )( 1 0) 7 )( 800 = + 5.600 458.1 20 7 )( 38 + 266 458.386 =

Und im nächsten Schritt addieren Sie dieses Ergebnis zu Panama (923.000): 7.

923.000 + 458.386 1 .381 .386

Da Sie die 1 bereits auf die (636) Millionen übertragen haben, sprechen Sie nur noch die Tausender aus: »... 381 tausend... 386« und verneigen sich.

219

M U LTIPLI KAT I O N F 0 A FOATCESC H A ITTEN E

Der Lösungsweg lässt sich wie folgt illustrieren: 79.838 )( 45.547 >>Rom Anatomie«

547 )( 79 = 43.21 3 838 X 45 =+ 3 7. 71 0 >>Phase Panama« 80.923.000 80.923 )( 1 .000 = + 3 .555.000.000 M i l lion 79 x 45 x 1 = 3 .635.923.000 838 )( 547 = + 458.386 3 .636.381 .386 Übung: Multiplikation zweier fll nfstelliger Zahlen 1.

65.1 54 )( 1 9.423

2.

34.545 )( 27.834

3.

69.21 6 )( 78.653

4.

95.393 )( 81 .822

•

KA

IT

'

,

Ohne Kaninchen und Zylinder die Kunst der Mathe-Magie

D

as Spielen mit Zahlen hat mir im Leben viel Freude be· reitet. Ich finde Arithmetik genauso unterhaltsam wie Magie. Aber um die magischen Geheimnisse der Arithmetik zu verstehen, braucht man ein wenig Algebra. Natürlich gibt es auch andere Gründe, Algebra zu lernen (man will sich z. B. auf Schulaufgaben vorbereiten). Aber ich begann mich erst für Algebra zu interessieren, als ich herausfinden wollte, wie einige mathematische Zaubertricks funktionieren, die ich Ihnen jetzt vorstelle. M AT H E M AT I S C H E S G E DA N K E N L E S E N

Bitten Sie einen Ihrer Zuschauer, sich eine beliebige Zahl auszudenken. Fügen Sie aber an: »Aber nehmen Sie eine ein­ oder zweistellige Zahl, um es sich nicht zu schwer zu ma­ chen.« Betonen Sie ausdrücklich, dass es natürlich völlig un­ möglich ist, dass Sie die Zahl kennen, die er sich ausgedacht hat. Bitten Sie ihn dann, 1. die Zahl zu verdoppeln 2. 12 zu addieren 3. das Ergebnis durch 2 zu teilen und

4. die Ausgangszahl abzuziehen. 221

D I E KU NST D E R M AT H E·MAC I E

Dann sagen Sie: »Denken Sie jetzt an die Zahl sechs?« Pro­ bieren Sie diesen Trick erst mal an sich selbst, und Sie wer­ den erkennen, dass diese Abfolge immer die Zahl 6 hervor­ bringt, egal. mit welcher Zahl Sie anfangen. Warum dieser Trick funktioniert

Dieser Trick beruht auf einfacher Algebra. Tatsächlich führe ich ihn oft vor, um Studenten in die Algebra einzuführen. Die geheime Zahl. die Ihr Freiwilliger wählt, kann durch den Buchstaben x dargestellt werden. Hier sind die Operationen, die Sie nacheinander ausgeführt haben: 1. 2x (Zahl verdoppeln) 2. 2x + 12 (12 addieren) 3. (2x + 12) -:- 2 = x + 6 (durch 2 teilen) 4. x + 6 - x = 6 (Ausgangszahl abziehen). Egal welche Zahl Ihr Freiwilliger wählt, das Ergebnis der Be­ rechnung wird immer 6 sein. Wenn Sie diesen Trick wieder­ holen: Lassen Sie den Freiwilligen beim 2. Schritt eine ande­ re Zahl addieren (z. B. 18). Am Ende der Berechnung kommt dann die Hälfte dieses Werts als Ergebnis heraus (nämlich 9). D I E M AG I S C H E 1 .089!

Jetzt kommt ein Trick, der schon seit Jahrhunderten kursiert. Bitten Sie Ihren Freiwilligen, Zettel und Stift zu nehmen und 1 . eine geheime dreisteilige Zahl aufzuschreiben, deren Zif­ fern immer kleiner werden (wie 851 oder 973) 2. diese Zahl umzudrehen und von der ersten Zahl abzu­ ziehen 222

D I E MACISC H E

1089

3. das Ergebnis aufzuschreiben, umzudrehen und diese zwei Zahlen zu addieren. Am Ende dieser Abfolge ergibt sich wie durch Magie immer die Zahl 1089 als Ergebnis, unabhängig von der Zahl, die Ihr Freiwilliger gewählt hat. Zum Beispiel: 851 - 1 58 693 + 396 1 089 Warum dieser Trick funktioniert

Egal, welche dreisteilige Zahl Sie oder Ihre Freiwilligen wäh­ len, bei diesem Spiel wird das Endergebnis immer 1089 sein. Warum? Nennen wir die unbekannte Zahl abc. Algebraisch lässt sich das als l OOa + l Ob + c ausdrücken. Dreht man diese Zahl um, so erhält man l OOc + l Ob + a Zieht man das von der Ausgangszahl ab, bekommt man l OOa + l Ob + c - (l OOc + l Ob + a) = 1 00 (a - c) + (c - a) = 99 (a - c) Nach diesem 2. Schritt muss man also eines der folgenden Vielfachen von 99 haben: 198, 297, 396, 495, 594, 693, 792 oder 891. Jede dieser Zahlen ergibt, zu ihrer Umkehrung addiert, 1089. Genau das passiert in Schritt 3. 223

D I E K U N ST D E R MAT H E·MACi i E

T R I C KS M I T F E H L E N D E N Z l F F E R N

Verwenden Sie die Zahl 1.089 vom letzten Trick, reichen Sie einem Freiwilligen einen Taschenrechner und bitten Sie ihn, 1089 mit einer beliebigen dreisteiligen Zahl zu multiplizie­ ren, diese Zahl aber nicht zu verraten. (Angenommen, er rechnet 1.089 x 256 = 278.784). Fragen Sie, wie viele Stellen das Ergebnis hat. Er antwortet: »Sechs«. Als nächstes sagen Sie: »Lesen Sie mir fünf ihrer sechs Zah­ len in beliebiger Reihenfolge vor, ich versuche dann, die feh­ lende Zahl zu bestimmen. Angenommen, er verkündet: »Zwei ... vier ... sieben ... acht ... acht.« Dann können Sie ihm (korrekt) auf den Kopf zusagen, dass er die Ziffer sieben ausgelassen hat. Das Geheimnis beruht darauf, dass eine Zahl genau dann ein Vielfaches von 9 ist, wenn ihre Ziffern zusammen ein Vielfa­ ches von 9 ergeben. Da 1 + 0 + 8 + 9 = 18 ein Vielfaches von 9 ist, ist 1089 ebenfalls eines - und jedes (ganzzahlige) Vielfa­ che von 1089 auch. Da die verkündeten Zahlen zusammen 29 ergeben und das nächste Vielfache von 9 bei 36 liegt, muss der Freiwillige die Zahl 7 verschwiegen haben (da 29 + 7 = 36). Es gibt auch subtilere Möglichkeiten, den Freiwilligen schließlich mit einem Vielfachen von 9 dastehen zu lassen. Hier sind einige meiner Lieblingsmethoden: 1. Lassen Sie den Freiwilligen eine zufällige sechsstellige Zahl wählen, deren Ziffern durcheinander würfeln und die kleinere sechsstellige Zahl von der größeren abziehen. Da wir zwei Zahlen mit der gleichen Mod-Summe (und auch der gleichen Quersumme) voneinander abziehen, wird die Differenz eine Mod-Summe von 0 haben und deswegen ein Vielfaches von 9 sein. Machen Sie dann weiter wie oben, um die fehlende Zahl heraus zu finden. 224

TRICKS M IT F E H LE N D E N ZAH LEN

2. Lassen Sie den Freiwilligen eine vierstellige Zahl wählen, umdrehen und die kleinere Zahl von der größeren abzie­ hen (Das gibt ein Vielfaches von 9.) Multiplizieren Sie das mit einer beliebigen dreisteiligen Zahl und gehen Sie wei­ ter vor wie gehabt. 3. Bitten Sie den Freiwilligen, so lange einstellige Zahlen zu einer eimtelligen Zahl hinzu zu multiplizieren, bis das Produkt sieben Stellen hat. Damit bekommen Sie zwar nicht »garantiert« ein Vielfaches von 9, aber in der Praxis doch in mindestens 90% der Fälle (die Chancen liegen gut, dass unter den einstelligen Zahlen, mit denen multipliziert wird, eine 9 oder zwei Dreien oder zwei Sechsen oder eine 3 und eine 6 sind). Diese Methode verwende ich oft vor einem mathematisch gebildeten Publikum, das meine an­ deren Methoden durchschauen könnte. Vor einer Schwierigkeit muss ich Sie aber warnen. Ange­ nommen, die Zahlen, die verkündet werden, addieren sich zu einem Vielfachen von 9 (beispielsweise 18). Dann haben Sie keine Möglichkeit zu unterscheiden, ob die fehlende Zahl 0 oder 9 ist. Wie behelfen Sie sich? Ganz einfach - Sie schummeln! Sie sagen einfach: >>Sie haben keine 0 weggelassen, oder? Wenn der Freiwillige eine 0 wegließ, haben Sie den Trick erfolgreich abgeschlossen. Wenn nicht, sagen Sie: »Oh, es schien mir, als hätten Sie an nichts gedacht! Sie haben auch keine Eins, Zwei, Drei oder Vier weggelassen, oder?(( Der Freiwillige wird den Kopf schütteln oder nein sagen. Sie machen nun weiter mit: »Und auch keine Fünf, Sechs, Sieben oder Acht. Sie haben die Zahl neun weggelassen, stimmt's?(( Der Freiwilli­ ge wird das schließlich bestätigen, und Sie bekommen ihren wohlverdienten Applaus! 225

D I E KU NST D E R MATH E·MAG I E

A D D I T I O N S-S P R Ü N G E

Bei diesem Trick können Sie sich als Blitzrechner und als Hellseher profilieren. Sie reichen einem Freiwilligen eine Karte mit zehn Zeilen, die von 1 bis 1 0 durchnummeriert sind, bitten ihn, sich zwei positive Zahlen zwischen 1 und 20 auszudenken und in die Zeilen 1 und 2 der Karte einzutra­ gen. Lassen Sie den Freiwilligen dann die Summe der beiden Zahlen in Zeile 3 eintragen, die Summe aus Zeile 2 und 3 in Zeile 4 und so weiter, wie in der Abbildung unten. 2 3 4 5 6 7 8 9 10

9 2 11 13 24 37 61 98 1 59 257

---

---

Bitten Sie den Freiwilligen nun, Ihnen die Karte zu zeigen. Sie können sofort sagen, wie viel alle Zahlen zusammen er­ geben. Bei unserem Beispiel könnten Sie verkünden, dass die Zahlen addiert 671 ergeben, viel schneller, als er es mit dem Taschenrechner könnte. Als Dreingabe können Sie ihn bit­ ten, mit einem Taschenrechner die Zahl in Zeile 10 durch diejenige in Zeile 9 zu dividieren. In unserem Beispiel ist der Quotient ��� = 1,616 .. Lassen Sie den Freiwilligen die ersten drei Zahlen des Quotienten vorlesen und drehen Sie dann die Karte um (wo Sie bereits Ihre Vorhersage aufgeschrieben .

226

ADDITION S·SPR O N G E

haben). Erstaunt wird er feststellen, dass dort bereits die Zahl 1,61 steht. Warum dieser Trick funktioniert

Um die Blitz-Addition vorzunehmen, multiplizieren Sie ein­ fach die Zahl in Zeile 7 mit 1 1 . Im Beispiel: 61 x 1 1 = 671. Warum das geht, illustrieren wir in der nächsten Abbildung. Wir bezeichnen die Zahlen in Zeile 1 und 2 allgemein mit x bzw. y. Die Summe aller Zahlen auf der Karte muss dann SSx + 88y ergeben, was 11 mal (Sx + 8y) entspricht, also elf Mal die Zahl in Zeile 7. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Gesamt:

X � X+� X + 2� 2x + 3� 3x + 5� 5x + 8� 8x + 1 3� 1 3x + 21 � 2l x + 34� 55x + 88�

Nun zu unserer Vorhersage: Hier nutzen wir die Tatsache aus, dass für alle positiven Zahlen a, b, c und d mit t < d gezeigt werden kann, dass die Zahl, die man durch »fal­ sches« Addieren der Brüche (d. h. durch Addition der Zähler bzw. der Nenner) bekommt, zwischen den zwei Ausgangs­ brüchen liegt. Also: a a+c c -<
227

D I E K U N ST D E R MATH E·MAC I E

Der Quotient aus Zeile 10 und Zeile 9 (llx + 34 Y) muss daher (13x + 2ly) . . hegen zWischen 1 , 61 5 ... =

21 x 21 x + 34 y 34y = 1 , 61 9 ··· < < 1 3 x 1 3 x + 21 y 21 y

Das Verhältnis der beiden Zeilen muss also mit 1,61 begin­ nen, wie vorhergesagt. Tatsächlich nähert sich das Verhältnis zweier aufeinanderfol­ gender Zahlen, das man bekäme, wenn diese Additions­ Sprünge unendlich fortgesetzt würden, immer näher an 1 + vs 2

==

1 ,61 80339887

Diese Zahl hat so viele verblüffend schöne und mysteriöse Ei­ genschaften, dass sie oft »der goldene Schnitt« genannt wird. M AG I S C H E Q U A D RAT E

Sind Sie bereit für eine Herausforderung ganz anderer Art? Unten sehen Sie ein so genanntes magisches Quadrat. Es ist viel über magische Quadrate geschrieben worden und darü­ ber, wie man sie konstruiert, schon im alten China. Hier stel­ len wir eine Methode vor, wie man magische Quadrate auf unterhaltsame Weise präsentiert. Folgenden Trick führe ich jetzt seit Jahren vor: Ich zücke eine Visitenkarte, auf deren Rückseite folgendes steht: 8 13 3 10 228

11 2 16 5

14 7 9 4

1 12 6 15

= 34

MACISC H E QUADRATE

Ich sage: »Das hier ist ein magisches Quadrat - und zwar das kleinste magische Quadrat mit 16 Feldern. Für die Konstruk­ tion habe ich die Zahlen 1 bis 16 verwendet. Sie werden fest­ stellen, dass jede Zeile und jede Spalte zusammengerechnet 34 ergibt. Nun habe ich mich so ausführlich mit magischen Quadraten beschäftigt, dass ich jetzt eines vor Ihren eigenen Augen konstruieren werde.(( Ich bitte dann das Publikum, mir eine beliebige Zahl größer als 34 vorzugeben. Angenommen, jemand sagt 67. Ich zücke dann eine weitere Visitenkarte, zeichne eine leere Tabelle mit 4 Zeilen und 4 Spalten und schreibe daneben die Zahl 67. Dann bitte ich einen Freiwilligen, hintereinander auf beliebige Felder der Tabelle zu deuten. Sobald er auf ein Feld deutet, schreibe ich umgehend eine Zahl hinein. Das Ender­ gebnis sieht so aus: 16 22 11 18

19 10 25 13

23 15 17 12

9 20 14 24

=

67

Ich fahre dann fort: »Beim ersten magischen Quadrat haben sich Zeilen und Spalten jeweils zu 34 addiert. [Normalerwei­ se lasse ich die Visitenkarte mit dem ersten magischen Qua­ drat jetzt verschwinden.] Schauen wir jetzt mal, wie es uns bei dem Quadrat ergangen ist.(( Nach der Überprüfung, dass alle Zeilen und Spalten jeweils 67 ergeben, füge ich hinzu: »Aber das ist nicht alles. Ich habe beschlossen, für Sie noch einen Schritt weiter zu gehen. Be­ achten Sie, dass sich beide Diagonalen ebenfalls zu 67 addie­ ren!(( Dann zeige ich, dass sich die vier Felder in der Ecke links oben zu 67 addieren (16 + 19 + 22 + 10 67), die vier Fel­ der in allen anderen Ecken ebenfalls, die vier Felder in der =

229

D I E KU NST D E R MATH E·MAG I E

Mitte ebenfalls, und die vier Eckfelder auch! Ich entlasse den Freiwilligen mit den Worten: »Alle ergeben zusammenge­ rechnet 67. Aber das müssen Sie mir nicht glauben. Sie dür­ fen diese Karte als Souvenir mitnehmen - überprüfen Sie meine Behauptung selbst!« W I E M A N E I N M AG I S C H ES Q U A D RAT KO N ST R U I E RT

Sie können magische Quadrate konstruieren, die sich zu jeder beliebigen Zahl (über 34) addieren, indem Sie das ur­ sprüngliche magische Quadrat nutzen, das sich zu 34 ad­ diert. Behalten Sie das Quadrat in Sichtweite, während Sie das neue magische Quadrat füllen. Vollführen Sie im Geist die Berechnungen von Schritt 1 und 2, während Sie die Lini­ en der Tabelle zeichnen: 1. Ziehen Sie 34 von der gegebenen Zahl ab (im Beispiel 67 34 = 33) 2. Teilen Sie diese Zahl durch 4 (hier 33 + 4 = 8, mit Rest 1). Das Ergebnis ist die erste magische Zahl, das Ergebnis mit Rest die zweite magische Zahl (im Beispiel 8 und 9) 3. Wenn der Freiwillige aufein Feld deutet, werfen Sie einen unauffälligen Blick auf das Originalquadrat. Wenn im ent­ sprechenden Feld 13, 14, 15, oder 16 steht, addieren Sie die zweite Zahl (hier 9). Wenn nicht, addieren Sie die erste ma­ gische Zahl (hier 8) 4. Setzen Sie die entsprechenden Zahlen ein, bis das Quadrat vollständig ist. Beachten Sie: Wenn die vorgegebene Zahl gerade, aber kein Vielfaches von 4 ist, sind erste und zweite magische Zahl 230

MAGISC H E QUAD RATE

identisch. Dann hat man nur eine magische Zahl, die man zu allen Zahlen im 34er-Quadrat addiert. Warum dieser Trick funktioniert

Diese Methode beruht auf der Tatsache, dass alle Zeilen, Spalten, Diagonalen (usw.) des ursprünglich gezeigten magi­ schen Quadrats sich zu 34 addieren. Angenommen, die gege­ bene Zahl wäre 82 gewesen. Da 82 - 34 48 (und 48 -:- 4 12), würde man zu jedem Feld 12 addieren. Dann würde jede Vie­ rergruppe, die sich zuvor zu 34 addierte, jetzt zu 34 + 48 = 82 addieren. Das sehen Sie im unten abgebildeten magischen Quadrat: =

20 25 15 22

23 14 28 17

26 19 21 16

13 24 18 27

=

= 82

Lautete die vorgegebene Zahl aber 85, wären unsere magi­ schen Zahlen 12 und 15 und wir würden zu den Feldern im Originalquadrat, in denen 13, 14, 15 oder 16 steht, drei mehr hinzu addieren. Da jede Spalte, Zeile und Vierergruppe genau eine dieser Zahlen enthält, würde sich jede Vierer­ gruppe zu 34 + 48 + 3 = 85 addieren, wie unten gezeigt: 20 28 15 22

23 14 31 17

29 19 21 16

13 24 18 30

= 85

Lassen Sie mich an dieser Stelle auf eine interessante mathe­ matische Eigenschaft des berühmten magischen Quadrats mit 9 Feldern hinweisen. So sieht es aus: 231

D I E KU N ST DER M ATH E·MACi i E

4 3 8

9 5 1

2 7 6

=

15

Wie gehabt, addieren sich alle Zeilen, Spalten und Diagona­ len zur gleichen Zahl, hier 15. Wenn Sie außerdem die Zeilen bzw. Spalten des Quadrats als dreisteHige Zahlen lesen, gilt: 4922 + 3572 + 8162 = 2942 + 7532 + 6182. Ebenfalls gilt 4382 + 9512 + 2762 = 8342 + 1592 + 6722. Kontrollieren Sie das ruhig mit dem Taschenrechner. Wenn es Sie interessiert, warum diese Eigenschaft auftritt, sollten Sie vielleicht einen Blick in meinen Aufsatz Magie »Squares« Indeed! werfen (bibliografi­ sche Angaben im Anhang des Buches). S C H N E L L E K U B I KW U RZ E L N

Bitten Sie jemanden, sich eine zweistellige Zahl auszuden­ ken, aber nicht zu verraten. Lassen Sie ihn dann (mit dem Ta­ schenrechner) die Zahl kubieren, also die Zahl zweimal mit sich selbst multiplizieren. Angenommen, die geheime Zahl ist 68. Der Freiwillige rechnet 68 x 68 x 68 = 314.432. Dann bitten Sie ihn, sein Ergebnis zu verkünden. Kaum hat er 3 14.432 vorgelesen, als Sie schon die Kubikwurzel davon ver­ künden: 68, die Ausgangszahl. Wie ging das? Um Kubikwurzeln berechnen zu können, müssen Sie ler­ nen, wie viel die Zahlen von 1 bis 10 jeweils ergeben, wenn sie hoch drei genommen werden: 11 1 8 23 33 27 64 43 1 25 53 232

SCH N ELLE K U B I KWURZELN

21 6 343 51 2 729 1 .000

63 73 83 g3 1 03

Sobald Sie diese Zahlen auswendig wissen, geht das Berech­ nen von Kubikwurzeln wie das Brezelbacken. Für unseren Beispielfall gilt: Was ist die Kubikwurzel von 314.432? Anfangs sieht das wie eine ziemlich harte Nuss aus, aber keine Panik, in Wirklichkeit geht die Berechnung ganz ein­ fach. Wie üblich gehen wir die Sache Schritt für Schritt an:

1. Sehen Sie auf die Größenordnung der Tausenderzahl (die Zahlen links vom Punkt), hier 314. 2. Da 314 zwischen 63 216 und 73 343, liegt die Kubikwur­ zel in den 60em (weil 603 216.000 und 703 343.000). Die erste Ziffer der Kubikwurzel ist also eine 6 3. Um die zweite Stelle der Kubikwurzel zu bestimmen, ma­ chen Sie sich zunutze, dass nur die Zahl 8, hoch 3 genom­ men, eine Zahl ergibt, die auf2 endet (83 512). Also muss an der zweiten Stelle eine 8 stehen. =

=

=

=

=

Folglich ist die Kubikwurzel von 314.432 gleich 68. Drei ein­ fache Schritte, und Sie haben das Ergebnis. Beachten Sie, dass jede Ziffer, von 0 bis 9, genau einmal an letzter Stelle der Kubikzahlen von 1 bis 10 vorkommt. (Tatsächlich ist die letz­ te Ziffer der Kubikwurzel gleich der letzten Stelle der Kubik­ zahl der letzten Stelle der Ausgangszahl. Knobeln Sie das mal aus!) 233

D I E KU NST D E R MATH E· M AC I E

Jetzt versuchen Sie eine zur Übung: Was ist die Kubikwurzel von 1 9. 683 ? 1. 19 liegt zwischen 8 und 27 (23 und 33). 2. Die Kubikwurzel liegt daher in den 20ern. 3. Die letzte Stelle von 19.683 ist eine 3, was mit 343 73 kor­ respondiert. Also ist die letzte Stelle der Antwort 7. Die Antwort lautet 27. =

Beachten Sie, dass die Ermittlung der letzten Ziffer nur dann funktioniert, wenn die Ausgangszahl, die kubiert wurde, eine ganze Zahl war. Beispielsweise ist die Kubikwurzel von 19.684 gleich 27.0004572 ... und ganz gewiss nicht 24. Deswe­ gen haben wir diesen Trick in das Kapitel über mathemati­ sche Zauberkunststücke aufgenommen und nicht in ein frü­ heres Kapitel. (Außerdem geht die Berechnung so schnell, dass man an Zauberei glauben könnte.) V E R E I N FAC H T E W U RZ E L N

Auch einfache (Quadrat-)Wurzeln lassen sich leicht errech­ nen, wenn man das Quadrat einer ganzen Zahl vorgelegt be­ kommt. Wenn Ihnen jemand beispielsweise verriete, das Quadrat seiner geheimen Zahl sei 7.569, könnten Sie ihm so­ fort antworten, dass die Ausgangszahl 87 war. So geht das: 1. Sehen Sie auf die Größenordnung der Hunderter (die Stel­ len vor den letzten beiden Ziffern), hier 75. 2. Da 75 zwischen 82 (8 x 8 64) und 92 (9 x 9 81) liegt, muss die Wurzel in den 80em liegen. Die erste Stelle der Antwort ist also 8. Nun gibt es zwei Zahlen, deren Quadrat auf9 endet: 32 = 9 und 72 = 49. Die hintere Stelle ist also 3 oder 7. Welche Zahl nun? =

234

=

VER E I N FACHTE WURZELN

3. Vergleichen Sie die gegebene Zahl mit dem Quadrat von 85 (das wir als 80 x 90 + 25 = 7.225 leicht berechnen kön­ nen). Da 7.569 größer ist als 7.225, muss die Wurzel die größere Zahl sein, also 87. Machen wir ein weiteres Beispiel: Was ist die Wurzel aus 4. 761 ? Da 47 zwischen 62 = 3 6 und 72 = 49 liegt, befindet sich die Lö­ sung in den 60ern. Da die letzte Zahl der Zahl eine 1 ist, muss die letzte Stelle ihrer Wurzei l oder 9 sein. Da 4.761 grö­ ßer ist als 652 = 4.225, muss die Wurzel 69 sein. Wie beim vo­ rangegangenen Trick mit Kubikwurzeln funktioniert diese Methode nur, wenn ganze Zahlen quadriert wurden. E I N E » E R STA U N L I C H E« S U M M E

Den folgenden Trick zeigte mir zuerst James »der erstaun­ liche« Randi, der ihn in seinen Shows mit schönem Erfolg vorgeführt hat. Hier gelingt es dem Zauberer, die Gesamt­ summe von vier zufällig gewählten dreisteiligen Zahlen vo­ rauszusagen. Zur Vorbereitung dieses Tricks benötigen Sie drei Sätze mit jeweils neun Karten und einen Zettel, auf dem die Zahl 2.247 steht. Dieser steckt in einem versiegelten Umschlag. Machen Sie als nächstes mit jedem der drei Kartensätze das folgende: Schreiben Sie in Satz A je eine Zahl auf eine Karte, und zwar: 4.286 5.771 9.083 6.5 1 8 2.396 6.860 2.909 5.546 8.1 74 Schreiben Sie aufdie Karten von Satz B je eine der folgenden Zahlen: 5.792 6.881 7.547 3 .299 7.1 87 6.557 7.097 5 .288 6.548 235

D I E KU NST D E R MATH E- M AG I E

und auf die Karten von Satz C je eine der folgenden: 2.708 5.435 6.81 2 7.343 1 .286 5.23 7 6.470 8.234 5 . 1 29 Wählen Sie drei Leute aus dem Publikum und geben Sie ihnen jeweils einen Satz Karten. Lassen Sie jeden Freiwilli­ gen eine beliebige Karte aus dem Satz ziehen. Angenommen, sie ziehen 4286, 5792 und 5435. Lassen Sie nun nacheinan­ der jeden eine Ziffer der Zahl vorlesen, erst Person A, dann B, dann C. Angenommen, die Freiwilligen rufen die Zahlen 8, 9 und 5. Schreiben Sie die Zahlen 8, 9 und 5 (895) hin und sagen Sie: »Sie werden zugeben müssen, dass diese Zahl rein zufällig zustande kam und unmöglich vorhergesagt werden konnte((. Lassen die als Nächstes die drei Freiwilligen eine weitere (andere) Ziffer von ihren Karten ausrufen. Sagen wir, sie rufen 4, 5 und 3. Schreiben Sie 453 unter 895. Wiederho­ len Sie den Vorgang noch zwei Mal Rir die zwei noch ausste­ henden Ziffern auf jeder Karte. Danach haben Sie vier drei­ steilige Zahlen, z. B.: A B c 5 8 9 5 3 4 4 2 2 5 6 7 4 7 2 2 Lassen Sie als nächstes jemanden die vier Zahlen addieren und das Ergebnis verkünden. Bitten Sie nun jemanden, den Umschlag zu öffnen und Ihre Weissagung zu enthüllen. Ver­ beugen Sie sich. Warum dieser Trick funktioniert

Sehen Sie sich die Zahlen in jedem Kartensatz an und schau­ en Sie, ob sie eine Gemeinsamkeit in ihnen finden. Alle Zah236

E I N E ERSTA U N L I C H E SU M M E

len in einem Satz haben die gleiche Quersumme. Die Ziffern jeder Zahl in Satz A ergeben immer 20, in Satz B immer 23, in Satz C immer 17. Die Ziffern der Person C stehen in der rechten Spalte Ihrer Addition und ergeben 17. Sie schreiben also immer 7 und merken sich 1. Die Ziffern von B geben zu­ sammen 23, mit der gemerkten 1 gibt das 24; Sie schreiben 4 und merken sich 2. Die Ziffern von Person A schließlich ad­ dieren sich zu 20, zusammen mit den 2 gemerkten schreiben Sie 22 und erhalten als Gesamtsumme 2247! E I N WO C H E N TAG F Ü R J E D E S DATU M

Wir beenden unser Buch mit einem Klassiker der Kopf­ rechenkunst Wie man den Wochentag für jeden beliebigen Geburtstag bestimmt. Das ist übrigens eine sehr nützliche Kunst. Man wird nicht jeden Tag gebeten, eine dreisteHige Zahl zu quadrieren, aber es vergeht kaum ein Tag, an dem nicht jemand ein vergangenes oder zukünftiges Datum er­ wähnt. Mit nur ein wenig Übung werden Sie es schaffen, schnell und mühelos den Wochentag für praktisch jedes Datum der Geschichte zu bestimmen. Als erstes weisen wir jedem Wochentag eine Codenummer zu. Die sind leicht zu merken: Zahl

2 3 4 5 6 7 oder 0

Tag Montag Dienstag M ittwoch Don nerstag Freitag Sam stag Son ntag

237

D I E K U N ST D E R M ATH E·MACIE

Als nächstes benötigen wir einen Code für jeden Monat des Jahres. Diese Monatscodes werden für jedes Jahr verwendet, mit zwei Ausnahmen: In Schaltjahren (wie 2000, 2004, 2008) ist der Monatscode für Januar 5 und für Februar 1. Damit Sie sich die Monatscodes leichter merken können, haben wir eine Reihe von Gedächtnishilfen angefügt: Monat J anuar Februar März April Mai Juni Juli

Code 6* 2* 2

5 0 3

5

August September 4

Gedächtnishilfe »Winter« hat 6 Buchstaben Februar i st der 2. Monat im Jahr März hat auch » nicht mehrz« als Februar Apri l hat 5 Buchstaben M ai-o-nese Hat 3 Buchstaben mit J u li gemeinsam Das L in J u l i steht fü r 5 (im phonetischen Code) . »August« fängt mit A a n , dem ersten Buchstaben des Alphabets Septem heißt 7 - und 72 = 49, wie i n

4.9.

Oktober

6

Novem ber 2 Dezember 4

Der » Herbst« hat begon nen - und 6 Buchstaben Allerseelen ist am 2. N ovember Am vieru ndzwanzigsten Dezember i st Weihnachten

* l n Schaltjahren i st der Code fü r Januar 5 und fü r Februar 1 .

Lassen Sie uns jetzt den Wochentag für ein beliebiges Datum im Jahr 2006 berechnen. Danach wenden wir uns 2007 zu, dann 2008 und so fort, bis zum Ende Ihres Lebens. Sobald wir dann die Zukunft abgehandelt haben, können wir in die 238

E I N WOC H E NTACi F O R J E DES DATU M

Vergangenheit blicken und die Wochentage für jedes Datum im zwanzigsten Jahrhundert oder in jedem früheren Jahr­ hundert bestimmen. Jedes Jahr bekommt eine Codenummer; für das Jahr 2006 ist es die 0 (s. S. 241). Um nun den Wochentag zu berechnen, addieren wir einfach den Tag im Monat, den Monatscode und den Jahrescode. Für den 3. Dezember 2006 läuft die Berechnung so: Tag i m Monat + Monatscode + Jahrescode = 3 + 4 + 0 = 7 Das Datum wird also auf einen Tag 7, einen Sonntag, fallen. Wie steht es mit dem 18. November 2006? Da November den Monatscode 2 hat, bekommen wir Tag im Monat + Monatscode + Jahrescode = 1 8 + 2 + 0 = 20 Da sich die Wochentage nach 7 Tagen wiederholen, können wir jedes Vielfache von 7 von diesem Ergebnis abziehen (7, 14, 21, 28, 35, ... ), ohne den Wochentag zu verändern. Unser letzter Schritt besteht also darin, das größtmögliche Vielfache von 7 abzuziehen. Das gibt uns 20 - 14 = 6. Der 18. Novem­ ber 2006 fällt auf einen Samstag. Wie sieht es mit 2007 aus? Nun, was passiert im Lauf der Jahre mit Ihrem Geburtstag? Die meisten Jahre haben 365 Tage, und da 364 ein Vielfaches von 7 ist (7 x 52 = 364), ver­ schiebt sich der Wochentag Ihres Geburtstags in den meis­ ten Jahren um einen Tag nach hinten. Wenn zwischen zwei Geburtstagen 366 Tage liegen, verschiebt sich der Wochentag um zwei Tage nach hinten. Für das Jahr 2007 berechnen wir den Wochentag also genau wie zuvor, verwenden diesmal aber einen Jahrescode von 1. Das darauf folgende Jahr, 2008, ist ein Schaltjahr. (Jedes vierte Jahr ist ein Schaltjahr. Die Schaltjahre des 21. Jahrhunderts sind also 2004, 2008, 239

D I E K U N ST D E R MATHE•MACi i E

2012. . .2096). Für das Jahr 2008 steigt der Jahrescode also um 2, auf3. Das darauffolgende Jahr 2009 ist kein Schaltjahr, der Jahrescode steigt also um 1 auf 4. Für den 2. Mai 2007 gilt: Tag im Monat + Monatscode + Jahrescode = 2 + 0 + 1 = 3 Es handelt sich um einen Mittwoch. Für den 9. September 2008 bekommen wir: Tag im Monat + Monatscode + Jahrescode = 9 + 4 + 3 = 1 6 Subtrahieren wir das größte Vielfache von 7, erhalten wir 16 - 14 = 2; es handelt sich um einen Dienstag. Aber aufgepasst! Der 16. Januar 2008 fällt in einen Schaltjahr­ Januar, weswegen der Monatscode 5 statt 6 ist. So bekommen wir: Tag im Monat + Monatscode + Jahrescode = 1 6 + 5 + 3 = 24 Der 16. Januar fällt auf Tag 24 - 21 = 3, auf Mittwoch. Wir haben alle Jahrescodes von 2000 bis 2099 auf der nächsten Seite 241 in einer Tabelle gesammelt. Dort können Sie jeder­ zeit nachschlagen. Jetzt aber die gute Nachricht: Sie müssen die Tabelle nicht auswendig lernen. Wir können den Code für jedes Jahr zwi­ schen 2000 und 2099 im Kopf berechnen. Der Code des Jah­ res 2000 + x nehmen wir einfach ; (ein eventueller Rest wird ignoriert) und addieren das zu x. Dann subtrahiert man das größtmögliche Vielfache von 7. Für das Jahr 2061 zum Beispiel ergibt sich 6J = 15 (der Rest 1 wird ignoriert). Es hat also einen Code von 61 + 1 5 = 76. Und da wir jedes Vielfache von 7 subtrahieren dürfen, neh­ men wir den einfacheren Jahrescode von 76 - 70 = 6. 240

E I N WOC H E NTAG F O R J EDES DATU M

Jahr

Code

Jahr

Code

Jahr

Code

Jahr

Code

2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 201 0 201 1 201 2 201 3 201 4 201 5 201 6 201 7 201 8 2019 2020 2021 2022 2023 2024

0

2025 2026 2027 2028 2029 2030 203 1 2032 2033 2034 2035 2036 203 7 2038 2039 2040 2041 2042 2043 2044 2045 2046 2047 2048 2049

3 4 5 0

2050 205 1 2052 2053 2054 2055 2056 205 7 2058 2059 2060 2061 2062 2063 2064 2065 2066 2067 2068 2069 2070 2071 2072 2073 2074

6 0 2 3 4 5 0

2075 2076 2077 2078 2079 2080 2081 2082 2083 2084 2085 2086 2087 2088 2089 2090 2091 2092 2093 2094 2095 2096 2097 2098 2099

2 4 5 6 0 2 3 4 5 0

2 3 5 6 0 1 3 4 5 6 2 3 4 6 0 2 4 5 6 0 2

2 3 5 6 0 1 3 4 5 6 1 2 3 4 6 0 1 2 4 5

2 3 5 6 0 1 3 4 5 6 2 3 4 6 0

2 3 5 6 0 3 4 5 6 2 3 4

Für den 19. März 2061 gilt demnach: Tag im Monat + Monatscode + Jahrescode = 1 9 + 2 + 6 = 27 Wir ziehen 21 ab und stellen fest, dass dieses Datum auf einen Samstag fällt (27 - 21 = 6). 241

D I E KU NST D E R MATH E· MACi i E

Wie sieht es mit Geburtsdaten zwischen 1900 und 1999 aus? Führen Sie die Berechnung genauso aus wie gerade, aber ver­ schieben Sie den Tag am Ende um 1 weiter (oder addieren Sie einfach 1 zum Jahrescode) . Der 19. März 1961 fiel also auf einen Sonntag. Für das Datum 3. Dezember 1998 bekommen wir 9! = 24 (mit Rest 2, den wir ignorieren). Das Jahr 1998 hat also einen Code von 98 + 24 + 1 = 123 - die 1 wurde addiert, weil es sich um ein Jahr zwischen 1900 und 1999 handelt. Als nächstes subtrahieren Sie das größte Vielfache von 7. Hier die Viel­ fachen von 7, die Sie bei dieser Art Rechnung oft brauchen: 7, 1 4, 21 , 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91 , 98, 1 05, 1 1 2, 1 1 9, 1 26 Da 123 - 1 19 = 4, hat 1998 den Jahrescode 4. Für den 3. De­ zember 1998 gilt demnach Tag im Monat + Monatscode + Jahrescode = 3 + 4 + 4 = 1 1 Mit 1 1 7 4 kommen wir auf das korrekte Ergebnis: Don­ nerstag. Für Jahreszahlen von 1800 bis 1899 addieren wir zum Jahres­ code 3. Beispielsweise wurden Charles Darwin und Abraham Lincoln beide am 12. Februar 1809 geboren. Da 2009 einen Jahrescode von 4 hat, hat 1809 einen Jahrescode von 4 + 3 7, was zu 0 reduziert werden kann. Für den 12. Februar 1809 gilt also: -

=

=

Tag im Monat + Monatscode + Jahrescode = 1 2 + 2 + 0 1 4 =

Nun ist 14 - 14 0, beide wurden also an einem Sonntag ge­ boren. Für Jahre von 2100 bis 2199 addieren wir 5 zum Jahrescode (oder subtrahieren 2, was aufs Gleiche hinauskommt). Da =

242

E I N WOC H E NTAC F0R J E D ES DATUM

2009 beispielsweise den Jahrescode 4 hat, hat 2109 den Jah­ rescode 4 + 5 = 9, oder, wenn man 7 abzieht, 2. Daten der Jahre von 1700 bis 1 799 werden genauso behandelt wie dieje­ nigen von 2100 bis 2199 (indem man 5 addiert bzw. 2 subtra­ hiert), aber wir müssen aufpassen: Unsere Formel beruht auf dem Gregorianischen Kalender, der 1582 eingeführt wurde. Aber England (und die amerikanischen Kolonien) übernah­ men diese Zeitrechnung erst 1752, als auf Mittwoch, den 2. September Donnerstag, der 14. September folgte. Oberprü­ fen wir zunächst, ob der 14. September 1752 wirklich ein Donnerstag war. Da 2052 einen Jahrescode von 2 hat (von S. 241 oder aus 52 + 1 3 - 63 = 2), hat 1752 den Code 0. Daher gilt für den 14. September 1752:

Tag im Monat + Monatscode + Jahrescode = 1 4 + 4 + 0 = 1 8 18 - 14 = 4, es handelte sich also wirklich um einen Donners­ tag. Für frühere Daten (als noch der Julianische Kalender galt) funktioniert diese Formel für Daten aus England f Ame­ rika nicht mehr. In Europa übernahmen einige katholische Länder den Gregorianischen Kalender bereits 1 582, als auf den 4. Oktober gleich der 15. folgte. Bis dahin kann man un­ sere Formel für Daten aus diesen Gebieten also noch anwen­ den. Der Jahrescode für die Jahre von 1600 bis 1699 ist dabei der gleiche wie für die Jahre von 2000 bis 2099, der für 1 583 bis 1599 der gleiche wie für die Jahre 1983 - 1999. Zum Schluss sei vermerkt, dass im Gregorianischen Kalen­ der Schaltjahre alle 4 Jahre vorkommen, mit Ausnahme der Jahre, die glatt durch 100 teilbar sind. Es gibt aber eine Aus­ nahme von der Ausnahme: Jahre, die sich glatt durch 400 tei­ len lassen, sind Schaltjahre. 1600, 2000, 2400 und 2800 sind also Schaltjahre, 1700, 1800, 1900 2100, 2200, 2300 und 2500 nicht. Der Gregorianische Kalender wiederholt sich alle 400 243

D I E KU NST D E R MATH E·MAG I E

Jahre, man kann also jedes beliebig weit in der Zukunft lie­ gende Datum in eines umwandeln, das näher bei 2000 liegt. Der 19. März 2361 und der 19. März 2761 fallen beispielswei­ se auf den gleichen Wochentag wie der 19. März 1961, für den wir bereits errechnet haben, dass er auf einen Sonntag fällt. Übung: Ein Tag ft.lr jedes Datum

Ordnen Sie jedem der folgenden Daten einen Wochentag zu: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 1 0.

244

1 9. J a nuar 2007 1 4. Februar 201 2 20. J u ni 1 993 1 . September 1 983 8. September 1 954 1 9. November 1 863 4. J u l i 1 776 22. Februar 2222 31 . J u ni 2468 1 . J anuar 2358

oo ,

KA P I T E L

,

,

Epilog - Mathematik und Übersinnliches ls Herausgeber der Zeitschrift Skeptic, Vorstand der Skeptics Society und Herausgeber des Scientific Ameri­ can mit einer regelmäßigen Kolumne namens »Skeptic« er­ halte ich bergeweise Post von Leuten, die mich mit Berichten über ihre außergewöhnlichen Erlebnisse konfrontieren: Dort lese ich von verwunschenen Häusern, Geistern, Erfahrungen an der Schwelle zum Tod und außerhalb des eigenen Kör­ pers, U FO-Sichtungen, Entführungen durch Außerirdische, Träumen, in denen Todesfälle vorausgesehen wurden, und vielem mehr. Ich finde diejenigen Geschichten am interessantesten, die von hochgradig unwahrscheinlichen Begebnissen handeln. Die Logik der Briefeschreiber geht dabei so: Wenn ich keine befriedigende natürliche Erklärung für dieses spezielle Ereig­ nis geb en kann, dann sind übernatürliche Phänomene also möglich. Eine sehr gängige Geschichte ist diejenige, dass je­ mand den Tod eines Freundes oder Verwandten im Traum voraussieht - und am nächsten Tag vom unerwarteten Tod dieser Person erfährt. Das ist doch extrem unwahrscheinlich, oder? Und hier kommt die Mathematik ins Spiel. Ich will hier keine Sonntagsreden schwingen, dass Mathematikunterricht in den Schulen den Kindern beibringt, kritisch zu denken,

A

245

MATH E M ATI K U N D OBERSI N N LI C H ES

weil das wahrscheinlich so ziemlich jeder Mathelehrer min­ destens einmal im Jahr vor seiner Klasse behauptet. Lieber gebe ich Ihnen hier ein paar konkrete Beispiele, wie ich ganz einfache Mathematik für die Erklärung »übersinnlicher« Phänomene einsetze. Ich kann natürlich nicht jedes einzelne seltsame Ereignis die­ ser Welt erklären, aber ein Gesetz auf dem Gebiet der Wahr­ scheinlichkeitsrechnung, genannt >>Gesetz der großen Zahl«, besagt, dass ein Ereignis, das bei einer kleinen Anzahl Versu­ che nur mit geringer Wahrscheinlichkeit auftritt, bei einer großen Anzahl Versuche mit hoher Wahrscheinlichkeit auf­ tritt. Oder, wie ich gerne sage: Dinge, die einem mit einer Chance von eins zu einer Million passieren, geschehen in Amerika täglich 295 mal - weil es eben 295 Millionen Ein­ wohner gibt. Fangen wir mit vorgeahnten Todesfällen an. Hier eine kurze Überschlagsrechnung, die ich gemacht habe: Psychologen sagen, im Durchschnitt habe man am Tag fünfTräume, eine Zahl, die sich über das Jahr auf 1.825 summiert. Selbst wenn wir uns nur an jeden zehnten Traum erinnern, sind das immer noch 182,5 Träume im Jahr, an die wir uns erinnern. Bei 295 Millionen Amerikanern macht das 53,8 Milliarden Träume pro Jahr, an die man sich erinnert. Nach Auskunft von Anthropologen und Soziologen kennt jeder von uns etwa 150 Leute recht gut (der Durchschnittsmensch hat also etwa die Namen von 150 Leuten in seinem Adressbüchlein, die ihm persönlich bekannt sind). Zwischen den 295 Millionen Amerikanern besteht also ein Geflecht von 44,3 Milliarden persönlichen Bekanntschaften. Die Sterblichkeit beträgt 0,008 pro Jahr, über alle Altersstufen und für alle Todesursa­ chen; es sterben also 2,6 Millionen Leute im Jahr. Unvermeid­ licherweise müssen einige der 53,8 Milliarden Träume, an die 246

C ES ETZ DER C ROSSEN ZA H L

sich jemand erinnert, von diesen 2,6 Millionen Todesfallen unter den 295 Millionen Amerikanern handeln, die über ein Geflecht von 44,3 Milliarden persönlichen Beziehungen mit­ einander verbunden sind. Tatsächlich wäre esfast ein Wunder, wenn kein einziger dieser Todesahnungs-Träume sich erfüllen würde. Auch wenn ich mit meinen Zahlen falsch liege, auch wenn ich schwer daneben liege, bleibt die Logik intakt: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Traum mit Todesahnung wahr wird? Antwort: verdammt hoch. In diesem Fall kommt zusätzlich ein psychologischer Faktor ins Spiel. der selektive Wahrnehmung genannt wird: Wenn es um unsere liebsten Überzeugungen geht, nehmen wir jede Bestätigung unserer Theorien wahr und ignorieren alle Dinge, die ihr widersprechen. Verschwörungstheorien bei­ spielsweise basieren auf dem Mechanismus der selektiven Wahrnehmung. Leute, die einer bestimmten Verschwö­ rungstheorie anhängen (z. B. der 1 1 . September wurde von der Regierung Bush organisiert, um einen Krieg in Nahost anzetteln zu können) suchen erfolgreich nach winzigen Fak­ ten-Splittern, die darauf zu verweisen scheinen, dass die Theorie stimmt (Bush etwa saß zum Zeitpunkt der Anschlä­ ge ganz gelassen in einem Klassenzimmer und las den Kin­ dem was über Ziegen vor, als ob er genau wüsste, dass ihm nichts passieren kann). Die überwältigenden Beweise für eine wahrscheinlichere Erklärung (dass nämlich Osama bin Laden und seine Bande internationaler Terroristen für den Anschlag verantwortlich waren) ignorieren sie. Mithilfe der selektiven Wahrnehmung lässt sich auch erklären, warum Astrologen, Tarotkarten-Leger und Hellseher so erfolgreich darin scheinen, in Leuten zu »lesen((. Leute, denen Voraussa­ gen gemacht werden, erinnern sich vornehmlich an die we247

MAT H E MATI K U N D OBERS I N N LI C H ES

nigen Treffer und vergessen die zahlreichen falschen Vorher­ sagen. Wenn Treffer und Fehler tatsächlich gezählt werden ­ was ich einmal für ein Special des Fernsehsenders ABC über Hellseher gemacht habe -, stellt sich heraus, dass einfach nur geraten wird, mal richtig, mal falsch, ganz nach den Ge­ setzen der Wahrscheinlichkeit. Im Falle der Todesahnungs-Träume scheint an übersinnli­ chen Phänomenen »doch etwas dran zu sein((, sobald nur ein paar der Leute, denen das passiert ist, ihre wundersamen Er­ zählungen in der Öffentlichkeit (demnächst bei Oprah Win­ frey!) ausbreiten. In Wirklichkeit arbeitet hier schlicht das Ge­ setz der großen Zahl. Der mathematische Ansatz, dem Übersinnlichen zu begeg­ nen, führte mich zu einer weiteren Überschlagsrechnung in Sachen »Wunder((. Typischerweise verwenden Leute das Wort Wunder für äußerst ungewöhnliche Ereignisse, die nur mit der Wahrscheinlichkeit von »eins zu einer Million(( ge­ schehen. Nehmen wir das mal als Ausgangsdefinition. Ein Wunder sei ein Ereignis, das nur mit der Wahrscheinlichkeit von eins zu einer Million eintritt. Nun ist es aber im Alltag so, dass wir unablässig wahrnehmen, wie zahllose Dinge pas­ sieren, etwa eines pro Sekunde. Daten über die Welt und die Geschehnisse darin strömen also mit der Rate von einem Er­ eignis pro Sekunde über unsere Sinne auf uns ein. Wenn wir uns wach und aufmerksam acht Stunden täglich in der Welt da draußen bewegen, macht das dreißigtausend Datenbits pro Tag oder etwa eine Million Ereignisse im Monat, die wir wahrnehmen. Die überwältigende Mehrheit dieser Informa­ tionen und Ereignisse bedeuten uns natürlich überhaupt nichts. Unser Gehirn ist so geschaltet, dass diese Daten weg­ gefiltert und vergessen werden, damit wir nicht mit Informa­ tionen überflutet werden. Aber über einen Monat gesehen 248

W U N D E R U N D WA H RSC H E I N LIC H K E IT

sollte man erwarten, mindestens ein Ereignis wahrzuneh­ men, für das die Chancen eins zu einer Million stehen. Neh­ men Sie dazu noch die selektive Wahrnehmung - unge­ wöhnliche Dinge merken wir uns, den Rest vergessen wir ­ und es wird ganz unvermeidlich, dass irgendjemand irgend­ wo jeden Monat ein Wunder berichtet. Und die Boulevard­ blätter stehen bereit, das Wunder zu verkünden! Das war eine kleine Einführung, wie man wissenschaftlich denkt. In unserem Streben zu verstehen, wie die Welt funk­ tioniert, müssen wir unterscheiden lernen, was real ist und was nicht, was zufällig passiert und was aufgrund einer spe­ zifischen Ursache. Dabei haben wir damit zu kämpfen, dass das menschliche Gehirn von der Evolution daraufhin ge­ trimmt wurde, die wirklich ungewöhnlichen Dinge wahrzu­ nehmen und den ganzen Wust unnützer Daten zu ignorie­ ren, der auf uns einströmt. Deswegen ist uns der Umgang mit Wahrscheinlichkeiten auch nicht in die Wiege gelegt. Wissenschaftliches Vorgehen ist uns nicht in die Wiege ge­ legt. Wir brauchen also Ausbildung und Übung. Und dann sind da noch diese penetranten Wahrnehmungs­ verzerrungen, die ich erwähnt habe, wie die selektive Wahr­ nehmung. Es gibt noch weitere. Daten sprechen nicht für sich selbst, sie werden von sehr subjektiven und voreinge­ nommenen Hirnen gefiltert. Die selbstwertdienliche Wahr­ nehmung (Self-Serving Bias) etwa macht, dass wir uns selbst in positiverem licht sehen, als andere das tun. Landesweite Untersuchungen zei�n etwa, dass die meisten Geschäftsleu­ te sich für moralischer als andere Geschäftsleute halten. Auch Psychologen, die sich mit moralischer Intuition be­ schäftigen, halten sich für moralischer als ihre Kollegen, die sich mit der gleichen Materie beschäftigen. In einer Studie, die 829.000 Eintrittsprüfungen zum College auswertete, fan249

MATH E M ATI K U N D O B ERSI N N LICH ES

den 0 Prozent der Teilnehmer, sie kämen nur >>Unterdurch­ schnittlich« mit anderen Leuten zurecht, volle 60 Prozent sahen sich hinsichtlich ihrer sozialen Fähigkeiten in den »obersten 10%«. 1997 befragte U.S. News and World Report Amerikaner, wer wohl wahrscheinlich in den Himmel käme. 52 Prozent mein­ ten Bill Clinton, 60 Prozent Prinzessin Diana, 65 Prozent waren für den Basketballspieler Michael Jordan, 79 Prozent stimmten für Mutter Theresa. Die Person aber, die mit 87 Prozent am wahrscheinlichsten in den Himmel kommt: der Antwortende selbst. Emily Pronin, eine Psychologieprofessorin an der Princeton University, testete eine Wahrnehmungsverzerrung namens blinder Fleck. Die Probanden konnten sehr wohl beurteilen, inwieweit andere Personen einer Reihe von acht verschiede­ nen Wahrnehmungsverzerrungen unterlagen, aber es gelang ihnen nicht, diese Verzerrungen bei sich selbst wahrzuneh­ men. Im Rahmen einer Studie an der Stanford University wurden Studenten gebeten, sich hinsichtlich einiger Charak­ tereigenschaften mit ihren Mitstudenten zu vergleichen. Wenig überraschend: In Kategorien wie Freundlichkeit oder Uneigennützigkeit stuften sich alle überdurchschnittlich gut ein. Selbst als die Probanden vor der Tendenz gewarnt wur­ den, sich zu gut einzuschätzen, und gebeten wurden, ihre ur­ sprüngliche Einschätzung zu überprüfen, blieben 63 Prozent dabei - und 13 Prozent behaupteten sogar, sie seien anHing­ lich zu bescheiden gewesen! In einer zweiten Studie wies Pronin Personen zufällige hohe oder niedrige Werte in einem Test auf soziale Intelligenz zu. Wenig überraschend: Diejenigen mit den guten Ergebnissen fanden den Test fai­ rer und nützlicher als diejenigen mit den schlechten Werten. Als sie befragt wurden, ob sie nicht möglicherweise vom Test250

VERZERRTE WAH R N E H M U N G

ergebnis in ihrer Bewertung beeinflusst worden seien, ant­ worteten die Teilnehmer, dass andere Teilnehmer viel vorein­ genommener gewesen seien als sie selbst. In einer dritten Studie befragte Pronin die Teilnehmer, welche Methoden sie benutzten, um Wahrnehmungsverzerrungen bei sich selbst und bei anderen zu bewerten. Sie fand heraus, dass Men­ schen bei der Bewertung anderer allgemeine Verhaltenstheo­ rien anwendeten, aber Nabelschau (Introspektion) betrieben, wenn sie sich selbst einschätzen sollten. Allerdings - und das ist die lntrospektions-Illusion - glauben Leute nicht, dass man diese Selbsterkenntnis anderen Leuten zutrauen darf. Ihre Einstellung lautet: Für mich ist das okay, du darfst das aber nicht. Frank J. Sulloway, Psychologe an der University of California in Berkeley, und ich machten eine ähnliche Entdeckung einer Attributions-Verzerrung. Im Rahmen einer Untersuchung fragten wir Menschen, warum sie an Gott glaubten und warum andere Leute ihrer Ansicht nach an Gott glaubten. Allgemein rechtfertigen Menschen ihren Glauben mit ratio­ nalen Gründen wie der Schönheit und der Komplexität der Schöpfung, während sie den Glauben anderer Leute aufemo­ tionale Motiven zurückführen: Glaube tröste, stifte einen Sinn, und überhaupt seien die Leute einfach zum Glauben erzogen worden. Politikwissenschaftler haben auf dem Ge­ biet der politischen Überzeugungen etwas Ähnliches festge­ stellt: Republikaner rechtfertigen ihre konservative Einstel­ lung mit rationalen Gründen, behaupten aber, Demokraten seien »bleeding-heart liberals« (die wörtliche Übersetzung »Weichherzige Sozialdemokraten« drückt die Verachtung nicht annähernd aus). Gleichzeitig behaupten Demokraten, ihre fortschrittliche Einstellung sei die vernünftigste, und werfen den Republikanern vor, »herzlos« zu sein. 251

MAT H E M AT I K U N D O BERSI N N LI C H ES

Wie geht die Wissenschaft mit solchen Wahrnehmungsver­ zerrungen um? Wie finden wir heraus, ob eine Behauptung Unfug ist oder zutreffend? Wir müssen offen genug sein, um radikal neue Konzepte akzeptieren zu können, die hin und wieder in Erscheinung treten. Aber wir dürfen nicht so offen sein, dass wir hirnlos alles glauben, was uns vorgesetzt wird. Dieses Dilemma veranlasste uns von der Skeptics Society, einen Werkzeugkasten zusammenzustellen, den wir Un­ sinn-Detektor-Kasten nannten, inspiriert von Carl Sagans wunderbarem Buch darüber, wie man Nonsens aufdeckt (Der Drache in meiner Garage oder die Kunst der Wissenschaft, Un­ sinn zu entlarven). In diesem Unsinn-Detektor-Kasten stellen wir einen Katalog von 10 Fragen vor, wie man angesichts einer Behauptung überprüft, ob man sie zu bereitwillig glaubt oder zu leichtfertig ablehnt. Daniel Kevles hat in seinem 1999 erschienenen Buch The Baltimore Affair ein­ drücklich gezeigt, dass es bei der Untersuchung von Schum­ meleien in der Wissenschaft ein Abgrenzungsproblem gibt. Es ist schwierig, absichtlichen Betrug aus dem Hintergrund­ rauschen von Fehlern und Schlampereien herauszufiltern, das unvermeidlicherweise auftritt, wo Wissenschaft betrie­ ben wird. Bei einer Oberprüfung von Forschungsaufzeichun­ gen eines Labors, das mit dem Nobelpreisträger David Salti­ more zusammen arbeitete, stieß ein unabhängiges, vom Kongress eingesetztes Komitee auf eine verblüffende Anzahl von Fehlern, aber aufkeine Anzeichen für absichtlichen Be­ trug. Wissenschaft läuft chaotischer ab, als die meisten Leute sich klarmachen. Saltimore wurde entlastet, als sich heraus­ stellte, dass keine Daten absichtlich manipuliert worden waren. 1 . Wie glaubwürdig ist die Quelle der These?

252

DER U N S I N N -DETEKTOR

2. Stellt diese Quelle oft ähnliche Thesen auf? Pseudowissen­ schaftler haben die Angewohnheit, weit über die belegten Fakten hinaus Behauptungen aufzustellen. Wenn Einzelne also häufig sensationelle Ergebnisse präsentieren, sind sie nicht unbedingt Genies. Diese Frage erlaubt nur eine qualita­ tive Einordnung, kein endgültiges Urteil, da viele große Geis­ ter in ihren kreativen Spekulationen über das hinausschie­ ßen, was sie auch handfest belegen können. Thomas Gold etwa von der Cornell University ist für seine radikalen Ideen berüchtigt. Aber er hat oft genug Recht behalten, so dass an­ dere Wissenschaftler weiterhin zuhören, was er zu sagen hat. Beispielsweise glaubt Gold, dass Erdöl kein fossiler Brenn­ stoff ist, sondern das Nebenprodukt einer tiefen, heißen Bio­ sphäre. Kaum ein Geologe, mit dem ich gesprochen habe, nimmt diese Theorie ernst, trotzdem hält man Gold nicht für einen Spinner. Was wir mit dieser Frage aufzuspüren versu­ chen, ist eine ganze Ansammlung grenzwertiger Theorien, bei deren Erstellung Daten rigoros ignoriert oder verzerrt wurden. 3. Wurde die These von unabhängiger Seite erfolgreich über­ prüft? Pseudowissenschaftler stellen in der Regel Behauptun­

gen auf, die unbewiesen sind oder nur von Leuten aus ihrem eigenen Umfeld verifiziert wurden. Wir müssen uns fragen, wer den Wahrheitsgehalt von Behauptungen überprüft, und sogar, wer die Prüfer überprüft. Das größte Problem etwa beim Debakel um die kalte Kernfusion lag nicht darin, dass die Wissenschaftler Stanley Pons und Martin Fleischmann sich täuschten, sondern darin, dass sie ihre spektakuläre Ent­ deckung auf einer Pressekonferenz ausposaunten, bevor sie von anderen Labors überprüft werden konnte. Schlimmer noch: Auch als die kalte Fusion sich im Experiment nicht wie253

MATH E M ATI K U N D O BERSI N N LICHES

derholen ließ, beharrten die beiden weiterhin auf ihrer Be­ hauptung. 4. Wie verträgt sich die These mit unserem Wissen darüber, wie die Welt funktioniert? Jede außergewöhnliche These muss

in einen weiteren Kontext gestellt werden. Wenn Leute etwa behaupten, die Pyramiden und die Sphinx seien vor über zehntausend Jahren von einer hochentwickelten Kultur er­ richtet worden, bieten sie keinerlei Kontext für diese angebli­ che Zivilisation. Wo sind ihre Kunstwerke, ihre Waffen, Klei­ der, Werkzeuge, ihre Abfälle? So läuft Archäologie einfach nicht. 5. Hat jemand sich Mühe gegeben, die These zu widerlegen oder wurde nur nach Indizien gesucht, die ftlr sie sprechen?

Es geht hier um den Confirmation Bias, also um die Tendenz, nach Beweisen für etwas zu suchen und alle Indizien zu ver­ werfen oder zu ignorieren, die gegen eine These sprechen. Diese Versuchung ist sehr groß; fast niemand kann sich ihr entziehen. Deswegen sind die Regeln des wissenschaftlichen Vorgehens auch so streng: Daten müssen überprüft und nochmals überprüft werden, Theorien verifiziert werden, Ex­ perimente wiederholbar sein. Eine besonders wichtige Rolle spielt darin der Versuch, eine These zu widerlegen (also nach Gründen und Indizien dafür zu suchen, dass sie nicht stimmt). 6. Konvergiert ein Großteil der Fakten darauf hin, dass die Schlussfolgerung einer Person richtig ist, oder eher in eine an­ dere Richtung? Die Evolutionstheorie beispielsweise wird

durch die Konvergenz von Hinweisen aus einer Reihe von unabhängigen Forschungsrichtungen bewiesen. Aufkeinem 254

D E R U N SI N N - D ETE KTOR

Fossil, aufkeinem biologischen oder paläontologischen Fund steht ))Evolution«, stattdessen gibt es eine Konvergenz von Hinweisen aus zehntausenden Beweisstückchen, die sich zu einem Bild von der Evolution des Lebens zusammenfügen. Kreationisten blenden diese Konvergenz aus, weil sie ihnen nicht in den Kram passt, und verbeißen sich stattdessen in triviale Anomalien und in bisher unerklärte Phänomene in der Geschichte des Lebens. 7. Hält derjenige, der die Behauptung aufstellt, sich an die all­ gemein anerkannten Argumentationsregeln und Forschungs­ methoden, oder wurden diese zugunsten anderer Methoden über Bord geworfen, die zum gewünschten Ergebnis führen?

UFOlogen gehen in diese Denk-Falle: Sie konzentrieren sich auf eine Handvoll unerklärter atmosphärischer Phänomene und die fragwürdigen Aussagen einiger Augenzeugen. Gleichzeitig ignorieren sie die Tatsache, dass die überwälti­ gende Mehrheit der so genannten UFO-Sichtungen (nämlich 90 bis 95 Prozent) mit ganz prosaischen Umständen erklärt werden kann. 8. Hat jemand, der eine existierende, akzeptierte Erklärung ftlr ein beobachtetes Phänomen zurückweist, eine bessere? Das ist eine klassische Debatten-Strategie: Kritisiere deinen Wi­ dersacher, aber verrate nie, was du selbst denkst - dann kann dich keiner dafür kritisieren. Doch in der Wissenschaft ist ein solches Vorgehen inakzeptabel. Kritiker der weitgehend aner­ kannten Urknalltheorie beispielsweise verbeißen sich in die wenigen Lücken im anerkannten Modell, ignorieren die Kon­ vergenz der Hinweise auf das kosmologische Modell, bieten aber keine Altemativtheorie, die von einem Großteil der Fak­ ten gestützt würde. 255

MATH E M ATI K U N D O BERSI N N LI C H ES

Kann eine neu aufgestellte Theorie genauso viele Phänome­ ne erklären wie die Vorgänger-Theorie? Skeptiker der H IV­

9.

Theorie behaupten, nicht H IV, sondern ein Lebensstil verur­ sache AIDS. Um eine solche These aufstellen zu können, muss man aber die Konvergenz der Hinweise aufHIV als Ur­ sache für AIDS ignorieren und gleichzeitig so offensichtliche Umstände ignorieren wie den signifikanten Anstieg von AIDS-Fällen unter Blutern, nachdem HIV unbeabsichtigt über Blutkonserven weiter verbreitet worden war. Darüber hi­ naus erklärt die alternative Theorie bei weitem nicht so viele Phänomene wie die HIV-Theorie. 10. Beeinflussen persönliche Ansichten und Vorurteile des Forschers das Ergebnis? Jeder Wissenschaftler hat soziale, po·

litische und ideologische Überzeugungen, die seine Interpre­ tation der Daten beeinflussen könnte. Aber wie wirken sich diese Überzeugungen auf die Ergebnisse aus? Normaler­ weise werden im Laufe des wissenschaftlichen Prozesses Vor·Urteile dieser Art herausgefiltert, meist während der Überprüfung der Ergebnisse durch Forscherkollegen (im Peer-Review-System). Ohne eine solche Überprüfung wird kein Text gedruckt. Deswegen sollte niemand in einem intel­ lektuellen Vakuum arbeiten. Wenn Sie Ihre eigene Voreinge­ nommenheit nicht erkennen, wird das ganz bestimmt ein anderer für Sie erledigen. Es gibt keinen endgültigen Maßstab dafür, wie offen wir für neue Ideen oder Behauptungen sein sollten. Aber wenn wir mithilfe der Mathematik die Wahrscheinlichkeit für außerge· wöhnliche Ereignisse überprüfen und uns die oben skizzier­ ten Fragen stellen, wenn wir auf etwas Ungewöhnliches sto­ ßen, haben wir schon einen wichtigen ersten Schritt gemacht zum Verständnis unserer seltsamen und wunderbaren Welt. 256

LÖ S U N G E N 1 . KAPITEL:

Ein bisschen Geben und Neh men: Addition u nd Su btraktion im Kopf Addition zweistelliger Zahlen (S. 38) 1. 23 + 1 6 = 23 + 1 0 + 6 = 33 + 6 = 39 2.

64 + 43 = 64 + 40 + 3 = 1 04 + 3 = 1 07

). 95 + 3 2 = 95 + 30 + 2 = 1 25 + 2 = 1 27

4. 34 + 26 = 34 + 20 + 6 = 54 + 6 = 60 5.

89 + 78 = 89 + 70 + 8 = 1 59 + 8 = 1 67

6.

73 + 58 = 73 + 50 + 8 = 1 23 + 8 = 1 3 1

7.

4 7 + 3 6 = 4 7 + 3 0 + 6 = 7 7 + 6 = 83

8. 1 9 + 1 7 = 1 9 + 1 0 + 7 = 29 + 7 = 36 9.

55 + 49 = 55 + 40 + 9 = 95 + 9 = 1 04

10.

39 + 38 = 39 + 30 + 8 = 69 + 8 = 77

Addition dreisteiliger Zahlen (S. 44) 1. 242 + 1 3 7 = 242 + 1 00 + 30 + 7 = 342 + 30 + 7 = 372 + 7 = 3 79 2.

3 1 2 + 256 = 3 1 2 + 200 + 50 + 6 = 5 1 2 + 50 + 6 = 562 + 6 = 568

). 635 + 8 1 4 = 635 + 800 + 1 0 + 4= 1 .435 + 1 0 + 4 = 1 .445 + 4 = 1 .449

4. 457 + 241 = 457 + 200 + 40 + 1 = 6 5 7 + 40 + 1 = 697 + 1 = 698

s.

91 2 + 475 = 91 2 + 400 + 70 + 5 = 1 .3 1 2 + 70 + 5 = 1 .382 + 5 = 1 .387

6.

852 + 3 78 = 852 + 300 + 70 + 8 = 1 .1 52 + 70 + 8 = 1 .222 + 8 = 1 .230

257

7.

45 7 + 269 = 45 7 + 200 + 60 + 9 = 65 7 + 60 + 9 = 71 7 + 9 = 726

8.

878 + 797 = 878 + 700 + 90 + 7 = 1 5 78 + 90 + 7 = 1 .668 + 7 = 1 .675 oder 878 + 797 = 878 + 800 - 3 = 1 .678 - 3 = 1 .675

9.

276 + 689 = 276 + 600 + 80 + 9 = 876 + 80 + 9 = 956 + 9 = 965

10.

877 + 5 3 9 = 877 + 500 + 30 + 9 = 1 3 7 7 + 30 + 9 = 1 .407 + 9 = 1 .41 6

11.

5 .400 + 252 = 5.400 + 200 + 52 = 5.600 + 52 = 5.652

1 2.

1 .800 + 855 = 1 .800 + 800 + 5 5 = 2.600 + 55 = 2.655

n.

6. 1 20 + 1 36 = 6.1 20 + 100 + 30 + 6 = 6.220 + 30 + 6 = 6.250 + 6 = 6.256

14.

7.830 + 348 = 7.830 + 300 + 40 + 8 = 8.1 30 + 40 + 8 = 8.1 70 + 8 = 8.1 78

15.

4.240 + 371 = 4.240 + 300 + 70 + 1 = 4.540 + 70 + 1 = 4.61 0 + 1 = 4.61 1

Subtraktion von zweistelligen Zahlen (S. 46) 1.

38 - 23 = 38 - 20 - 3 = 1 8 - 3 = 1 5

2.

84 - 59 = 84 - 60 +

1

= 24 + 1 = 25

+

3.

92 - 34 = 92 - 40 + 6 = 52

4.

67 - 48 = 67 - 50 + 2 = 1 7 + 2 = 1 9

5.

79 - 29 = 79 - 20 - 9 = 59 - 9 = 50 oder 79 - 29 = 79 - 30 + 1 = 49 + 1 = 50

6.

63 - 46 = 63 - 50 + 4 = 1 3 + 4 = 1 7

6 = 58

7.

51 - 27 = 51 - 30 + 3 = 21 + 3 = 24

8.

89 - 48 = 89 - 40 - 8 = 49 - 8 = 41

9.

1 25 - 79 = 1 25 - 80 + 1 = 45 + 1 = 46

10.

1 48 - 86 = 1 48 - 90 + 4 = 58 + 4 = 62

258

Subtraktion von dreisteiligen Zahlen (S. 5 1 ) 1.

5 8 3 - 2 7 1 = 583 - 200 - 70 - 1 = 383 - 70 - 1 = 313 - 1 = 312

2.

936 - 725 = 936 - 700 - 20 - 5 = 236 - 20 - 5 = 21 6 - 5 = 21 1

3.

587 - 298 =

587 - 300 + 2 = 287 + 2 = 289

4.

763 - 486 =

763 - 500 + 1 4 = 263 + 1 4 = 277

5.

204 - 1 85 =

204 - 200 + 1 5 =

04 + 1 5 = 1 9

6.

793 - 402 =

793 - 400 - 2 = 393 - 2 = 391

7.

21 9 - 1 76 =

2 1 9 - 200 + 24 =

8.

978 - 784 =

978 - 800 + 1 6 = 1 78 + 1 6 = 1 94

9.

455 - 3 1 9 =

455 - 400 + 81 =

10.

772 - 596 =

772 - 600 + 4 = 1 72 + 4 = 1 76

11.

873 - 357 =

873 - 400 + 43 = 473 + 43 = 5 1 6

12.

564 - 228 =

564 - 300 + 72 = 264 + 72 = 336

1 9 + 24 = 43 55 + 81 = 1 36

13.

1 .428 - 5 71 = 1 .428 - 600 + 29 = 828 + 29 = 857

14.

2.345 - 678 = 2.345 - 700 + 22 = 1 645 + 22 = 1 .667

15.

1 .776 - 987 = 1 .776 - 1 .000 + 1 3 = 776 + 1 3 = 789

259

2. KAPITEL:

Das Ergebnis ei ner verschwendeten J ugend: einfache M ultiplikation Multiplikation zweistelliger Zahlen mit einer einstelligen (S. 58) 1.

82 9 720 + 18 738

X

6.

2.

49 49 oder X 9 X 9 360 450 + 81 - 9 441 441

11.

97 4 360 + 28 388

12.

16.

37 6 1 80 + 42 222

17.

X

X

260

3.

43 7 280 + 21 301

X

7.

67 5 300 + 35 335

4.

X

28 4 80 + 32 112

8.

53 5 250 + 15 265

9.

13.

96 9 81 0 + 54 864

14.

46 2 80 + 12 92

18.

76 8 560 + 48 608

19.

X

X

X

5.

84 5 400 + 20 420

10.

58 6 300 + 48 348

X

75 X 4 280 + 20 300

1 5.

29 3 60 + 27 87

20.

X

93 8 720 + 24 744

X

X

X

X

78 2 1 40 + 6 1 56

X

71 3 21 0 + 3 21 3

X

57 7 350 + 49 399

X

64 8 480 + 32 512

X

Multiplikationen dreisteiliger Zahlen mit einstelligen Zahlen (S. 66) 1.

431 X 6 2.400 + 1 80 2.580 + 6 2.586

2.

637 X 5 3 .000 + 1 50 3 . 1 50 + 35 3 . 1 85*

3.

862 X 4 3.200 + 240 3.440 + 8 3.448

4.

957 X 6 5.400 + 300 5.700 + 42 5.742

5.

927 X 7 6.300 + 1 40 6.440 + 49 6.489

6.

728 X 2 1 .400 + 40 1 .440 + 16 1 .456

7.

328 X 6 1 .800 + 1 20 1 .920 + 48 1 .968

8.

529 X 9 4.500 + 1 80 4.680 + 81 4.761

9.

807 X 9 7.200 + 63 7.263

10.

587 X 4 2.000 + 320 2.320 + 28 2.348.

11.

1 84 7 700 + 560 1 .260 + 28 1 .288

12.

214 X 8 1 .600 + 80 1 .680 + 32 1 .71 2

757 X 8 5.600 + 400 6.000 + 56 6.056

1 3.

259 X 7 1 .400 + 350 1 .750 + 63 1 .81 3

14.

297 X 8 1 .600 + 720 2.320 + 56 2.376

X

1 5.

oder 300 X 8 = -3 X8=

297 8 2.400 - 24 2.376

X

751 9 6.300 + 450 6.750 + 9 6.759

16.

X

*Bei dieser Art von Aufgaben können Sie die Antwort schon teilweise laut aussprechen während Sie rechnen.

261

1 7.

21.

457 X 7 2.800 + 350 3.1 50 + 49 3 . 1 99

18.

578 9 X 4.500 + 630 5 . 1 30 + 72 5.202

499 X 9 3.600 + 810 4.4 10 + 81 4.491

22.

25.

29.

oder

500 X 9 = -1 X9=

285 X 6 1 .200 + 480 1 .680 + 30 1 . 710

30.

339 8 X 2.400 + 240 2.640 + 72 2.71 2 247 X 5 1 .000 + 200 1 .200 + 35 1 .235" 499 X 9 4.500 9 4.491

488 X 9 3.600 + 720 4.320 + 72 4.392

19.

1 34 8 800 + 240 1 .040 + 32 1 .072

20.

X

1 88

23.

24.

�

600 + 480 1 .080 + 48 1 . 1 28

670 X 4 2.400 + 280 2.680

26.

31.

429 X 3 1 .200 + 60 1 .260 + 27 1 .287

968 X 6 5 .400 + 360 5 .760 + 48 5.808 862 5 X 4.000 + 300 4.300 + 10 4.310"

27.

693 X 6 3 .600 + 540 4.1 40 + 18 4.1 58

61 1 3 X 1 .800 + 33 1 .833

28.

32.

722 �

6.300 + 1 80 6.480 + 18 6.498

*Bei dieser Art von Aufgaben können Sie die Antwort schon teilweise laut aussprechen während Sie rechnen.

262

33.

4579 +4.3.450060050 +4.1 6313

X

3129 6913 7673 +2.2.211800080 +2.2.77009090 +2.1.082700070 +2.30121 +2.80818 +2.0733 72) 18 ----... 1 80+4'= 196 14'� � 10 � 30 ----... 720 + 3' 729 27' � � 24 � 70 65'< >4.200+5'=4.225 60 90 89' < > 7.920 + = 7.921 88 100 98'< >9.600+2'=9.604 96 34.

36.

35.

X

X

X

--

Quadrieren zweistelliger Zahlen (S.

1.

2.

3.

4.

5.

=

l'

263

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

264

32 ----... 960 + 1' = 961 31' � � 30 � 42 41'� >1.680+1'�1.681 40 60 59'� > 3.480 + � 3.481 58 30 26' � ----... 660 + 4' = 676 �22 � 56 53' < > 2.800 + 3' � 2.809 50 22 � ----... 440+ 1'=441 21' � 20 � 68 64' < >4.080+4'�4.096 60 p

14.

15.

16.

1 7.

18.

19.

60 55' < >3.000+5'�3.025 50 80 75' < > 5.600 + 5' � 5.625 70 50 45' < > 2.000 + 5' � 2.025 40 84' <'' > 7.040 + 4' � 7.056 80 70 67' < > 4.480 + 3' � 4.489 64 ] 0� 103� � 10.600+3' � 10.609 100 265

20.

�16 + 208'� >43.200+8'�43.264 200

3· KAPITEL: Neue und noch bessere Produkte

81) X 3511 3 8 5 385 X 9411 9 13 4 = 1.034 82) 31 (30 + 1) X 41 301 XX 4141 == +1.23041 1.27127 (20 + 7) 207 XX 1818 == X+ 36012618 48653 (50+ 3) +2.90058 503 XX 58= 58= +3.017474

Multiplikation mit 11 (S. 1.

).

__

=

2.

X 4811 4 12 8 = 528 __

__

Multiplikation zweier zweistelliger Zahlen mit der Additionsmethode (S.

31 (40+ 1) 401 XX 3131 == +1.24031 1.25971 (50+ 9) 509 XX 2626 == X+1.32340026 1.53477 401 XX 4177 == �( 3.+ 023180 40+3) 3.311

1.

oder

2.

3.

4.

5.

266

�

23 (20 3) 2384 (80 4) X 84 X 203 XX 8484 1.252680 804 XX 2323 1.84092 1.932 1.932 8876 (80 8) 62 (60 2) X X 94 602 XX 9494 5.618840 808 XX 7676 6.060880 6.688 5.828 9235 (90 2) X 902 XX 3535 3.1 5070 3.220 X 3411 3 7 4 374 34037434 X 8511 8 13 5 935 85093585 liger Zahlhodeen 86) miMulthitilpfelikderatioSubtn zweiraktistelonsmet 29 (30-1) 2. X 4398 (100-2) X 45 1-200 XX 4343 -4.30086 -130 XX 4545 -1.1.33055045 4.214 +

6.

oder

=

=

=

=

+

+

7.

+

+

8.

=

=

=

+

=

+

+

+

9.

=

=

10.

+

__

=

oder

+

11.

__

=

oder

+

(S.

1.

=

=

= =

267

47 60- 1) 68 (70-2) X 43 �( -160 XX 4747 -2.2.87204773 -270XX 3838== -2.2.65608476 9629 (1 00-4) 96 30-1) X �( 30 XX9696 == -2.88096 100-4 XX 2929 == -116 2.900 -1 2.784 2.784 79 (80-1) 37 20- 1) X 54 �( -180 XX54=54= -4.4.23206654 -201 XX 3737 == - 70374037 85 40- 2) 8722 (90- 3) X �( -240 XX 8585 == -3.3.421700030 -390 XX 2222 == -1.1.99668014 57 40-1) 8849 (50-1) �( X X 88 -4.40088 -140 XX 57=57= -2.2.22802357 -501 X88= 4.3 12 Mulmit tderiplikFaktor ationizweisierustngsmethode elliger Zahlen 91) 27X 1414=27X7X2= 189X2=378 X 27 = 14 X 9 X 8657 XX 2814 ==5786 XX 77 XX 42 == 6023993 =XX12642 ==X2.79834=08378 81 X 4848 X= 8181 X 488 XX69=X6489 =X4326 =X3.98=8 3.888

].

4.

= =

5.

oder

6.

7.

8.

9.

10.

11.

=

(S.

1.

oder

2. 3.

4.

oder

268

=

5. 6. 7. 8. 9.

10. 11.

12.

56 X 29 = 29 X 7 X 8 = 203 X 8 = 1 .624 83 X 1 8 = 83 X 6 X 3 = 498 X 3 = 1 .494 72 X 1 7 = 1 7 X 9 X 8 = 1 53 X 8 = 1 .224 85 X 42 = 85 X 6 X 7 = 5 1 0 X 7 = 3.570 33 X 1 6 = 33 X 8 X 2 = 264 X 2 = 528 oder 1 6 X 33 = 1 6 X 1 1 X 3 = 1 76 X 3 = 528 62 X 77 = 62 X 1 1 X 7= 682 X 7= 4.774 45 X 36 = 45 X 6 X 6 = 270 X 6 = 1 .620 oder 45 X 36 = 45 X 9 X 4 = 405 X 4 = 1 .620 oder 36 X 45 = 36 X 9 X 5 = 324 X 5 = 1 .620 oder 3 6 X 45 = 36 X 5 X 9 = 1 80 X 9 = 1 .620 3 7 X 48 = 3 7 X 8 X 6 = 296 X 6 = 1 .776

Multiplikation zweistelliger Zahlen im Freistil 53 � (40 - 1 ) 40 X 53 = 2.1 20 - 1 X 53 = - 53 2.067

1.

81 ( 80 + 1 ) X 57 80 X 57 = 4.560 1 X 57 = + 57 4.61 7

2.

3.

73 X 1 8 (9 X 2)

4.

90 X 55 = 1 X 55 =

(S. 92/93)

oder

53 (50 + 3) X 39 50 X 39 = 1 .950 3 X 39 = + 1 1 7 2.067

oder 5 7 X 81 = 57 X 9 X 9 = 5 1 3 X 9 = 4.61 7

73 X 1 8 = 73 X 9 X 2 = 657 X 2 = 1 .3 1 4 oder 73 X 18 = 73 X 6 X 3 = 438 X 3 = 1 .3 1 4

89 (90 - 1 ) X 55 4.950 - 55 4.895

oder 89 X 55 = 89 X 1 1 X 5 = 979 X 5 = 4.895

269

X 3677 (4 X 9) 7777 XX 3636 = 7777 XX 49 XX 94 == 308693 XX 94 == 2.2.777272 92 (50+3) � 503 XX 9292 == +4.627600 4.876 90 87'� >7.560-3'=7.569 84 67 60- 2) �( 60 X 67 = -4.015420 -2X67= 3.886 37 X 8 X 7 = 296 X 7 = 2.072 X 5637 (8 X 7) 3377 XX 56= 56 = 37 X 7 X 8 = 259 X 8 = 2.072 5921 (60-1) 59 20+1) X �( 20X59= -160X21X 21 == -1.1.22602139 1 X 59= +1.1.21 598039 59 X 21 =59 X 7 X 3 = 413 X 3 = 1.239 57 X 7237 (9 X 8) �( 7 0+3) 57= +3.917190 37 X 9 X 8 = 333 X 8 = 2.664 703 XX 57= 4.1 61

5.

oder

=

6.

'·

�

9.

oder

1�

oder

oder 11.

270

lL

n.

38 X 63 (9 X 7)

38 X 63 = 38 X 9 X 7 = 342 X 7 = 2.394 1 5.

43 X 75 (5 X 5 X 3)

60 X 37 = 1 X 37 =

19.

61 (60 + 1 ) X 37 2.220 + 37 2.257

54 (9 X 6} X 53

74 � (60 + 2) 60 X 74 = 4.440 2 X 74 = + 1 48 4.588

16.

43 X 75 = 43 X 5 X 5 X 3 = 2 1 5 X 5 X 3 = 1 .075 X 3 = 3.225 1 7.

43 (40 + 3} X 76 40 X 76 = 3.040 3 X 76 = + 228 3.268

14.

36 (6 X 6} X 41

18.

41 X 36 = 41 X 6 X 6 = 246 X 6 = 1 .476

54 X 53 = 53 X 9 X 6 = 477 X 6 = 2.862

<> 56

"·

53'

2.800 +

l'

= 2.809

50 21

.

80 X 58 = 3 X 58 =

23.

50 X 47 = 2 X 47 =

91 (90 + 1 ) X 46 90 X 46 = 4.1 40 1 X 46 = + 46 4.1 86

83 (80 + 3} X 58 4.640 + 1 74 4.81 4

22.

52 (50 + 2} X 47 2.350 + 94 2.444

24.

30 X 26 = - 1 X 26 =

29 (30 - 1 ) X 26 780 - 26 754

271

25.

41 X 1 5 (5 X 3)

65 � (20 - 1 ) 20 X 65 = 1 .300 - 1 X 65 = - 65 1 .235

26.

41 X 1 5 = 41 X 5 X 3 = 205 X 3 = 61 5 27.

34 X 27 (9 X 3)

�

70 X 78 = 5.460 - 1 X 78 = - 78 5.382

34 X 27 = 34 X 9 X 3 = 306 X 3 = 91 8 29.

95 X 81 (9 X 9)

65 (60 + 5) X 47 60 X 47 = 2.820 5 X 47 = + 235 3.055

30.

95 X 81 = 95 X 9 X 9 = 855 X 9 = 7.695 31.

70 X 65 = -1 X 65 =

33.

40 X 93 = 1 X 93 =

69 (70 - 1 )

28.

65 X 69 (70 - 1 ) 4.550 - 65 4.485

95 � (20 + 6) 20 X 95 1 .900 6 X 95 = + 570 2.470

32.

=

41 (40 + 1 ) X 93 3.720 + 93 3.81 3

Quadrieren dreisteiliger Zahlen (S. 98)

<> 41 8

'·

409'

400

272

1 67.200 + 9' = 1 67.281

810 < 805'

----.....

25 0 648. 5' + 00 0 648. 800� 234--� 3. 21 7' � � 46.800 + 17' 47.089 20 200 c:)( 1 � �/ 280 + 3' � 289 14 900 802.200 + 4' 802.816 896' � 892390 11 7.000 + 45' 119.025 5. 345' 300�\...� 45,;;/ � �40'-../2.000 + ,, � 2.025 392 117.600+ 46' 119. 7 16 . 346' 50 300 \...� 46AC+,� V �42�/2.1 00+4' � 2.1 16

2.

--...

4.

----.....

----.....

6

--� � � �

=

=

=

=

=

273

7

300----...---::.. 75.600 + 24' = 76.1 76 . 276' � � - ,. "'.--28 , . GA 24�� / . +4' = "' 700--- 20 . 682' �....---GA ---:: 464.80020+ 18' = 465.1 24 18�� / ". +,, = ,,. 462--- 16 431' � --...---::.. 1 84.800+ 31' = 185.761 � .--32 . GA 31 �'0... / . +l'= 961 30 80Q___ �609.600+ 19' = 609.961 781' 20 ,GA -- 19� � . + " = 361 18/ -.....

B

9·

..

. .

,.

, .

10.

274

11.

975'

+25

1 . 00Q__

�

950

�

----... 950.000 + 25' = 950.625 �

� Q( 30

_.

y-"'�600 + 5' = 625 -�/

25+,

20

Kubieren zweistelliger Zahlen (S. 1 02) 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 1 3. 14. 15. 16.

1 2' = (1 0 X 1 2 X 1 4) + (2' X 1 2) = 1 .680 + 48 1 .728 1 7' = (14 X 1 7 X 20) + (3' X 1 7) = 4.760 + 1 53 = 4.91 3 21 ' (20 X 21 X 22) + (1 ' X 21 ) = 9.240 + 21 = 9.261 28' = (26 X 28 X 30) + (2' X 28) = 21 .840 + 1 1 2 = 21 .952 33' = (30 X 33 X 36) + (3' X 33) = 35.640 + 297 = 35.937 39' (38 X 39 X 40) + (1 ' X 39) = 59.280 + 39 = 59.3 1 9 40' = 40 X 40 X 4 0 = 64.000 44' = (40 X 44 X 48) + (4' X 44) = 84.480 + 704 = 85.1 84 52' = (50 X 52 X 54) + (2' X 52) = 1 40.400 + 208 = 1 40.608 56' = (52 X 56 X 60) + (4' X 56) = 1 74.720 + 896 1 75.61 6 65' = (60 X 65 X 70) + (5' X 65) = 273.000 + 1 .625 = 274.625 71 ' = (70 X 71 X 72) + (1 ' X 71 ) = 3 57.840 + 71 = 357.91 1 78' = (76 X 78 X 80) + (2' X 78) = 474.240 + 3 1 2 = 474.552 85' = (80 X 85 X 90) + (5' X 85) = 61 2.000 + 2.1 25 = 614.1 25 87' = (84 X 87 X 90) + (3' X 87) = 657.720 + 783 = 658.503 99' = (98 X 99 X 1 00) + (1 ' X 99) = 970.200 + 99 = 970.299 =

=

=

=

275

4· KAPITEL: Tei le u nd herrsche: Division im Kopf Division durch eine einstellige Zahl (S. 1 07) 1.

...

31879

35t - 27 48 - 45 3

=

289 +8 = 36t - 24 49 - 48

2.

5.

726 + 5 = 1 45t - 5 22 - 20 26 - 25 1

3.

1 .328 + 3 = 442t - 12 12 - 12 08 - 6 2

6.

428 7 7

6l t - 42 0 - 7 1

=

--

2.782+4 = 695t - 24 38 - 36 22 - 20 2

Division durch eine zweistellige Zahl (S. 1 1 5{1 1 6) 1.

738 + 1 7 = 43 ,Z, - 68 58 - 51 7

4. 4.268 +28

276

1 52* - 28 1 46 - 1 40 68 - 56 12

=

2.

591 + 24

24* 48 111 - 96 15

3.

655 ,\ - 66 61 - 55 64 - 55 9

6.

=

-

5.

7.21 4 + 1 1

=

321 + 79 = 4 19 - 316 5

3.074 + 1 8

1 70ti - 18 1 27 - 1 26 14

=

Umwandlung in Dezimalzahlen (S. 1 20) 1.

5

2

= 0,40

2.

4

= 0,571 428

3.

3

7

8

= 0,3 75

4.

9

= 0,75

5.

5

IT

IT

= 0,41 66

6.

TI

6

= 0,5454

0,5833

8.

7.

14 24

=

9.

18 48

= 0,3 75

10.

1 1.

6 32

= 0,1 875

12.

13

= 0,481

10

= 0,71 4285

19 45

= 0,422

27

14

Testen aufTeilbarkeit (S. 1 23) Teilbarkeit durch 2 1. 5 3 .428 ja

2.

293 nein

3.

7.241 nein

4.

9.846 ja

Teilbarkeit durch 4 3 .932 5. ja

6.

67.348 ja

7.

358 nein

8.

57.929 nein

Teilbarkeit durch 8 59.366 9. nein

1 0.

73.488 ja

1 1.

248 ja

1 2.

6.1 1 1 nein

Teilbarkeit durch 3 13. 83.671 nein: 8 + 3 + 6 + 7 + 1 = 25 15. 7.359 ja: 7 + 3 + 5 + 9

=

24

Teilbarkeit durch 6 17. 5.334 ja: 5 + 3 + 3 + 4 = 1 5

14.

94.737 ja: 9 + 4 + 7 + 3 + 7 = 30

16. 3.267.486 ja: 3 + 2 + 6 + 7 + 4 + 8 + 6 = 36 18. 67.386 ja: 6 + 7 + 3 + 8 + 6 = 30

277

19.

248 nein : 2 + 4 + 8 = 1 4

Teilbarkeit durch 9 21. 1 .234 nei n: 1 + 2 + 3 + 4 = 1 0 23.

24.

26.

43.762 nein

3 .828 ja: 3 - 8 + 2 - 8

8.469 ja: 8 + 4 + 6 + 9

875 ja:

30.

- 11

=

Teilbarkeit durch 1 7 37. 694 nein: 694 - 34

=

=

34.

=

36

56.785 ja

28.

4.969 nein: 4 - 9 + 6 - 9

3 7. 2 1 0 ja

=

-8

7.336 ja: 7.336 + 14 = 7.350 735 - 35 700 7 =

840 70 7

1 . 1 83 ja: 1 . 1 83 + 7 1 .1 90 1 1 9 + 21 = 1 40 14 =

38.

660 66

27

941 .369 ja: 9 - 4 + 1 - 3 + 6 - 9 = 0

36.

875 - 35 84 - 1 4

=

32

=

27.

32. =

Teilbarkeit durch 7 5 . 784 33. nein: 5 . 784 - 7 = 5.777 5 77 - 7 = 5 70 57

278

22.

3 1 4.1 59.265 ja: 3 + 1 + 4 + 1 + 5 + 9 + 2 + 6 + 5

Teilbarkeit durch 1 1 29. 53.867 ja: 5 - 3 + 8 - 6 + 7 = 1 1

35.

5.991 nein: ungerade

4.425.575 nein: 4 + 4 + 2 + 5 + 5 + 7 + 5

Tei l barkeit d u rch 5 25. 47.830 ja

31.

20.

629 ja: 629 + 51

=

680 68

40.

8.273

)9.

nein: 8.273 + 1 7 = 8.290

1 3 .855 1 3 .855 + 85 = 1 3 .940 1 .394 - 34 = 1 .360 1 36 + 34 = 1 70 17

ja:

829 + 5 1 = 880 88

Multiplikation von Brüchen (S. 1 24) 6 1• 35

2•

18 - 9 ). 28 14

44 63

63

4• 80

Division von Brüchen (S. 1 25) 1.

4

5

5

2. 18

)

10 2 . 15 = 3

Erweitern und Kürzen von Brüchen (S. 1 26) 4 1 . 31 TI 8 4 5. 10 - 5

5 - 10

. 2

6.

6 - 12

6

15

2 5

� . 1. 4 = 12 24 2 . 7 36 3

4.

)

a.

1 = ��

5 20 36 = 9

Addition von (gleichnamigen Brüchen) (S. 1 26) 3 5 + 4 = 9 TI TI = 4 6 3 + 3 3 4 · 10 10 = 10 = 5

5 2 7 1· 9 +9 =9

2• TI

5 11 6 3 · 18 + 1 8 = 18

Addition von (ungleichnamigen) Brüchen (S. 1 28) 1 + 1 _ 2 + 1 _ 3 1· 5 1 0 - 10 10 - 10 1 _ 5 1 3 _ 8 ) . 3 + 5 - 15 + 15 - 15

5• 7•

2

3

8

9

17

3 + 4 - TI + 1 2 - 1 2

2 5 18 + 55 73 IT + 9 = 99 99 = 99

2•

1

5 _ 3

5 _ 8 _ 4

6 + 18 - 18 + 1 8 - 18 - 9

2 + 5 _ 6 + 5 _ " 4. 7 21 - 21 21 - 21 6·

3 3 1 5 + 21 = 36 35 35 7 + 5 = 35

279

Subtraktion von Brl.lchen (S. 1 28)

8 3 5 TI - TI = TI 13 5 _ 8 _ 4 18 - 1 8 - 18 - 9 9 3 9 6 3 5· 10 - 5 = 10 - 10 = 10 7 1 14 1 13 8 - 1 6 = 16 - 1 6 = 16 8 1 16 9 7 9· 9 - 2 = 1 8 18 = 1 8 1·

3

•

7·

2.

}l _ ! = .i 7 7 7

4 1 12 1 11 4· 5 - 15 = 15 - 15 = 15 3 2 9 8 1 6· 4 - 3 = u - u = u 8· 74 - 52 3205 - 3145 365 =

=

-

5 · KAPITEL: Passt schon Oberschlagen von Summen (S. 1 50) Exakte Ergebn isse: 1 .479 2. 5 7.293 + 1 .1 05 + 3 7.421 94.71 4 2.584

1.

Ü berschlagswerte: 1 .500 1 .480 oder + 1 .1 00 + 1 .1 00 2.580 2.600

1.

3.

3 1 0.000 + 80.000 390.000

oder 3 1 2.000 + 79.000 391 .000 oder

3.

2.

4.

+

3 1 2.025 79.41 9 391 .444

8.971 .01 1 + 4.01 6.367 1 2.987.378

5 7.000 + 3 7.000 94.000

oder

9 Mill. 4 Mill. 1 3 Mill.

oder

+

8,97 Mill.

+ 4,02 Mill. 1 2,99 Mill.

280

4.

5 7.300

+ 3 7.400 94. 700 8,9 M ill.

+ 4,0 M ill. 1 2,9 M i l l .

Exakt

Geru ndet

2,67 € 1 ,95 7,35 9,21 0,49 1 1 ,21 0,1 2 6,1 4

2,50 € 2,00 7,50 9,00 0,50 1 1 ,00 0,00 6,00 8,50 47,00 €

_.!d!

47,35 €

Oberschlagen von Differenzen (S. 1 5 1 ) Exakte Ergebnisse: 1.

4.926 - 1 .659 3.267

2.

67.221 - 9.874 5 7.347

8.349.241 - 6.1 03.839 2.245.402

3.

526.978 - 42.009 484.969

4.

2.

67.000 - 1 0.000 5 7.000

oder

4.

8.3 Mill. 6.1 Mill. 2.2 M i ll.

Ü berschlagswerte: 1.

4.900 - 1 .700 3.200

3.

530.000 - 40.000 490.000

oder 527.000

- 42.000 485.000

-

67.200 - 9.900 57.300

oder 8.35 M ill. - 6.10 Mill. 2.25 Mill.

Oberschlagen von Quotienten (S. 1 5 1 ) Exakte Ergebnisse: 1. 3. 5.

4379 + 7 625,57 549.21 3 + 13 42.247, 1 5 8.329.483 +203.637 40,90 =

=

2. 4.

23.958 + 5 4.791 ,6 5 . 1 02.357+289 1 7.655,21 =

=

=

Überschlagswerte: 1. 3. 5.

4400+ 7 630 2. 24.000 + 5 4.800 550.000 + 1 3 42.000 4. 5.1 00.000 + 300 5 1 .000 + 3 8.000.000 + 200.000 8000+ 200 40 =

=

=

=

=

=

1 7.000

=

281

Oberschlagen von Produkten (S. 1 51 ) Exakte Ergebnisse: 98 2. X 27 2.646

1.

312 98 30.576

5.

X

6.

3.

639 1 07 68.373

7.

88 88 7. 744

4.

428 31 3 1 33.964

8.

X

539 17 9.1 63

X

X

1 04.972 1 1 .201 1 .1 75. 791 .3 72

9.

76 42 3 . 1 92

X

X 10.

X

X

5 1 .276 489 25.073.964

5 .462.741 203 .41 3 1 .1 1 1 . 1 92.535.033

X

Oberschlagswerte: 1.

1 00 25 2.500

2.

90 86 7. 740

4.

310 1 00 3 1 .000

6.

430 310 1 3 3.300

8.

78 40 3.1 20

X

3.

X

5.

646 1 00 64.600

X

7.

X

9.

1 05 .000 1 1 .000 1 . 1 55 M illionen 1 , 1 55 M i l l iarden

X =

282

540 17 9.1 80

X

X

ODER

X

5 1 .000 490 24.990.000

X 10.

5.500.000 200.000 1 .1 00 Milliarden 1 , 1 Billionen

X =

640 110 70.400

X

Oberschlagen von Wurzeln (S. 1 52) Exakte Ergebnisse (auf zwei Nachkommastellen): 1.

4 12 m=

5 91 �

2.

1 2 76

v'l63

3.

4.

65 41 Y4.'iJ9

5.

89 66 vs:o39

Teile und mittle: 1. 3.

1 7 +4

=

1 63 + 1 0

/

4 + ·2

4,2

=

4,1

+ 1 6, 3 1 0 1 6·3 2 71 60

=

4.

4.279 + 60

=

71

5.

8.03 9 + 90

=

89

;

90 + 89 2

=

2.

35+6

=

5,8

6 + 5 ·8

=

2

5,9

1 3, 1 5

=

65,5

=

89 ' 5

Mathematik ftlr den Alltag (S. 1 52) 1.

8,80 € + 4,40 €

2.

5,30 € + 2,65 €

). 74+ 2 + 2

=

=

=

37+2

1 3,20 € 7,95 € =

1 8,50 €

4.

Sieben Jahre (70 + 1 0

5.

Es dauert etwa 1 2 Jahre, bis sich das Kapital verdoppelt (70 + 6 1 1 ,67).

=

7)

=

6.

Es dauert 16 J ahre, bis sich das Kapital verdreifacht hat (1 1 0 + 7 1 5, 7 1 4) . =

7.

D a 70+ 7 1 0, dauert e s 1 0 Jahre, b i s e s sich verdoppelt hat, dann nochmal zehn J ahre. I nsgesamt dauert es also 20 Jahre, bis sich das Kapital vervierfacht hat. =

8

- 1 00.000 (0.0075)(1 .0075)'20 € - 750(2,451 ) € - 1 267 € . M - . (1 .00333)'20 - 1 1 ,451 30. 000 (0.0041 6 7)(1 .004 1 6 7)" € - 1 25 (1 ,22) € . M 0,22 (1 .003 3 3 ) 120 1

9

_

_

=

693 €

283

6. KAPITEL: M athe für die Tafel Zahlenkolonnen (S. 1 71 ) 672 ---+ 6 1 .367 ---+ 8 1 07 ---+ 8 7.845 ---+ 6 358 ---+ 7 21 0 ---+ 3 + 91 6 ---+ 7 1 1 .475 ---+ 9

1.

2.

€ 21 ,56 ---+ 5 1 9,38 ---+ 3 21 1 ,02 ---+ 6 9, 1 6 ---+ 7 26,1 7 ---+ 7 1 43 ---+ 3 € 288, 72 ---+ 9

Subtraktion auf dem Papier (S. 1 71 ) 1.

75.423 ---+ 3 - 46.298 ---+ 2 29. 1 25 ---+ 1

2.

876.452 ---+ 5 - 593.876 ---+ 2 282.576 ---+ 3

3.

3.249.202 ---+ 4 - 2.903.445 ---+ 9 345.757 ---+ 4

...

45.394.358 ---+ 5 - 36.472.659 ---+ 6 8.921.699 ---+ 8

2.

vso2.oooo

Wurzeln ziehen (S. 1 72) 3 8 7

v1 s:oooo

1.

3' =

9 600

6! X ! = � 5.600 767 X 7 5.369 =

284

2 2,

4

0

2' = 4 1 02 42 X 2 = 84 1 .800 444 X 4 = 1 .776 2.400 4480 X 0 = 0

2 0, 9 5 v'439.2000 2' = 4-'o 3__9 40 X 0 = __;;0 � 3.920 409 X 9 = 3.681 23.900 4485 X 5 = 22.425

).

1 9

4.

v'36l

1' = 1 261 29 X 9 = 261 0

_ _

Multiplikation auf dem Blatt (S. 1 72) 54 ____. 9 37 __"". 1 1 998 ____. 9

2.

725 ____. 5 X 609 __"". 6 441 .525 ____. 3

4.

52.81 9 ____. 7 47.820 __"". 3 2.525.804.580 ____. 3

6.

1.

X )

.

5.

X

273 ____. 3 X 21 7 ----. 1 59.241 ____. 3 X

X

3.309 ____. 6 2.868 __"". 6 9.490.21 2 ____. 9

3.923.759 ____. 3 2.674.093 __"". 4 1 0.492.496.475.587 ____. 3

8. KAPITEL M u ltiplikation fLir Fortgeschrittene Quadrieren vierstelliger Zahlen (S. 1 89)

1.

/ 1 .234' \ + 234 - 234

\ »Urschiff« 268 1 .468.000 / \ 53 .600 1 .000 I 54.756 (234')• 234' \ 1 .522.756 \ + 1 .1 56 (34') I 54.756 200

1 .468

+

+

34

- 34

285

2.

9.000\ > leasen« / 8.639'\ / 74.502.000 400\ / 8.278 74.6130.32.332121 (361') • 361' 128.1.850021 (39') 322 130.321 5./ 624 \ > DNS« 324 \ 5.3 12' \ /28.1 20.000 / 28.297.17.334444(312')• 312' \300 I 97.97.321444400 (1 2') lO.<XlC\ > Nachos« / 174 \ 9.863'\ /97.260.000 / 9. 726 97.278.18.776969(1 37') •137' \ I 17.1.430069 (37') 18. 7 69 100 4.000\ > Bohrer< / 400\ 3.618'\ / 12.944.000 / 3.236 13.0145.89.992424 (382')• 382' \ / 145.632400 (1 8') , /000\(keine Gedächtnisstütze nöti364g) 145.924 2.971\ I 8.826.084100 (29') 2.942 8.826.841 (S. 197f198) 79619 (800 -4) 858 5 X 3) X �( 4.858290XX153 85812.870X 5 X 3 800-4 XX 1919 - 15.15.21 002476 + 36 1

- 3 61

+ 39

+

-

3.

+ 12

5.ooo +

- 12

+

\

+ 137

- 1 37

+ 37

+

-

5.

+

37

+ 382

- 382

+ 18

+

+

- 18

,_

/,

f:i"

+ 312

- 31 2

4.

\

39 \

+ 29/

- 29 \

+

Multiplizieren mit der Faktorisierungs-, der Additions- und der Subtraktionsmethode 1.

2.

=

=

286

=

=

=

1 48 � (60 + 2) 1 48 X 60 = 8.880 1 48 X 2 + 296 9.1 76

1 48 (74 X 2) X 62 (60 + 2) 62 X 1 48 62 X 74 X 2 = 4.588 X 2 9.1 76

oder

3.

=

=

=

773 X 42 (7 X 6) 773 X 42 = 773 X 7 X 6 5.41 1 X 6 32.466

906 (900 + 6) X 46 41 .400 + 2 76 41 .676

5.

4.

900 X 46 6 X 46

=

=

=

=

41 1 (41 0 + 1 ) X 93 38. 1 30 + 93 38.223

952 (950 + 2) X 26 950 X 26 24.700 2 X 26 = + 52 24.752

7.

967 � (50 + 1 ) 50 X 967 = 48.350 1 X 967 = + 967 49. 3 1 7

484 X 75 (5 X 5 X 3) 484 X 75 484 X 5 X 5 X 3 = 2.420 X 5 X 3 = 1 2. 1 00 X 3 = 36.300

6.

4 1 0 X 93 = 1 X 93 =

=

8.

9.

=

1 57 X 3 3 (1 1 X 3) 1 5 7 X 3 3 = 1 57 X 1 1 X 3 = 1 . 727 X 3 5.1 81

1 26 (9 X 7 X 2) X 87 1 26 X 87 = 87 X 9 X 7 X 2 783 X 7 X 2 5.481 X 2 1 0.962

11.

61 6 (61 0 + 6) X 37 61 0 X 3 7 22.570 6 X 3 7 = + 222 22.792

13.

10.

=

=

12.

=

=

=

841 X 72 (9 X 8) 841 X 72 = 841 X 9 X 8= 7.569 X 8 = 60.552

287

21 8 X 68 (70 - 2) 70 X 21 8 = 1 5.260 - 2 X 2 1 8 = - 436 1 4.824

361 (360 + 1 ) X 41 360 X 41 = 1 4.760 1 X 41 = + 41 1 4.801 14.

1�

538 (540 - 2) X 53 540 X 53 = 28.620 - 2 X 53 = - 1 06 28. 5 1 4

oder

81 7 � (60 + 1 ) 60 X 81 7 49.020 1 X 81 7 =±......lli 49.837

11.

16.

530 X 53 = 8 X 53 =

1�

538 (530 + 8) X 53 28.090 + 424 28.5 1 4 668 X 63 (9 X 7)

=

668 X 63 = 668 X 9 X 7 = 6.01 2 X 7 = 42.084

499 (500 - 1 ) X 25 500 X 25 = 1 2. 500 - 1 X 25 = 25 1 2.475

20.

19.

281 X 44 (1 1 X 4) 281 X 44 = 281 X 1 1 X 4 = 3 .091 X 4 = 1 2.364

21.

1 44 X 56 = 1 44 X 7 X 8 = 1 .008 X 8 = 8.064

288

281 (280 + 1 ) X 44 280 X 44 = 1 2.320 1 X 44 = + 44 1 2.364

oder

988 (1 .000 - 1 2) 22 X 1 .000 X 22 = 22.000 - 1 2 X 22 = - 264 2 1 . 736

22.

1 44 X 56 (7 X 8)

2J.

383 X 49 (7 X 7) 383 X 49 = 383 X 7 X 7 = 2.681 X 7 = 1 8.767

589 (600 - 1 1 ) X 87 600 X 87 = 52.200 1 1 X - 87 = - 957 51 .243

25.

26.

853 X 32 (8 X 4) 853 X 32 = 853 X 8 X 4 = 6.824 X 4 = 27.296

27.

28.

29.

24.

423 (47 X 9) X 65 423 X 65 = 65 X 47 X 9 = 3.055 X 9 = 27.495

834 (800 X 34 800 X 34 = 27.200 34 X 34 = + 1 .1 56 28.356 30.

+

34)

653 (650 + 3) X 69 650 X 69 = 44.850 3 X 69 = + 207 45.057

32.

34.

286 X 64 (8 X 8) 286 X 64 286 X 8 X 8 = 2.288 X 8 = 1 8.304 =

31.

878 X 24 (8 X 3) 878 X 24 = 878 X 8 X 3 = 7.024 X 3 = 21 .072 1 54 (1 1 X 1 4) X 19 1 54 X 1 9 = 1 9 X 1 1 X 1 4 = 209 X 7 X 2 = 1 .463 X 2 = 2.926 545 X 27 (9 X 3) 545 X 27 = 545 X 9 X 3 = 4.905 X 3 X 1 4.71 5

2 1 6 (6 X 6 X 6) X 78 2 1 6 X 78 = 78 X 6 X 6 X 6 = 468 X 6 X 6 = 2.808 X 6 = 1 6.848

33.

822 � (1 00 - 5) 1 00 X 822 = 82.200 - 5 X 822 = - 4.1 1 0 78.090

289

Quadrieren ftlnfstelliger Zahlen (S. 202) 1.

45.795' 800 X 45 = - 5 X 45 =

45.000' = 795' =

2.

795 (800 - 5) X 45 36.000 >>Loll ies« - 225 35.775 X 2.000 = 71 .550.000 800 71 .550.000 + 2.025.000.000 +5 2.096.550.000 / 795' \ 632.000 + 5 25 (5') + 632.025 .K \ 2.097.1 82.025 790 632.025 -

; \ /

21 .23 1 '

231 � (7 X 3) 231 X 7 X 3 = 1 .61 7 X 3 4.851 =

>>Cousin«

4.851 X 2.000 = 21 .000' = +

9.702.000 262 441 .000.000 450.702.000 / 231+\ 23 1 ' = -'--+ 53.361 .K - 3\ ----::-:::o-=�:--":-::':'200 4 5 . 7 5 5 . 3 61

3.

1 \ I

+

52.400 961 (31') 53 . 3 61

58.324'

324 (9 X 6 X 6) X 58 324 X 58 = 58 X 9 X 6 X 6 = 522 X 6 X 6 = 3.1 32 X 6 = 1 8.792 >>Liefere!«

348 3 7.584.000 1 8.792 X 2.000 = 58.0002 = + 3.364.000 .000 + 3.401 .584.000 / 324' \ 1 04.400 (348 X 24 \ + 576 (24') 324' = + 1 04.976 .K 300 1 04.976 3.401 .688.976 -

290

21 \ /

4. 62.457'

60 X 457 2 x 457

= =

457 � (60 + 2) 27.420 + 91 4 »Schi-Chef« 28.334 X 2.000 56.668.000 500 56.668.000 + 3.844.000.000 + 43 3 .900.668.000 _......4 I 207.000 (500 X 41 4) . 5 7' 43 + 208.849 Jtt' Ii" 1 .849 (43') 3.900.876.849 4 1 4 208.849 =

5.

62.000'

=

4572

=

/ \ - \

89.8542 854 89 (90 - 1 ) 76.860 854 »Stein« 76.006 X 2.000 1 52.01 2.000 900 1 52.01 2.000 + 7.921 .000.000 + 46 8.073.01 2.000 _..,... 8542 \ I 727.200 (900 X 808) Ii" 2.1 1 6 (46') 46 \ + 729.31 6 Jtt' 808 729. 3 1 6 8.073.741 .31 6

X 90 X 854 - 1 X 854

=

=

=

6.

89.000'

=

8542

=

-

/ \

76.9342 930 X 76 4 X 76

= =

934 (930 + 4) 76 X 70.680 + 304 >>beschaffe!« 70.984 X 2.000 1 41 .968.000 968 1 41 .968.000 + 5.776.000.000 + 3 5.91 7.968.000 _..,... 9342 \ J8 71 .200(968 X 900) + 872.356 Jtt' /i... 1 .1 56 (34') 34 \ 5.91 8.840.356 900 872.356 =

76.000'

=

9342

=

-

'l \

291

Multiplikation zweier dreisteiliger Zahlen (S. 2 1 4) 1.

2.

644 (7 X 92) 644 (640 + 4 ) oder X X 286 286 640 X 286 = 1 83.040 {8 X 8 X 1 0) 4 X 200 = + 800 684 X 286 = 286 X 7 X 92 = 1 83.840 2.002 X 92 = 1 84.1 84 4 X 86 = + 344 1 84.184 853 596 (600 - 4) 3. X 1 67 X 325 (320+ 5) 600 X 1 67 = 1 00.200 320 X 853 = 272.960 5 X 800 = + 4.000 - 4 X 1 67 = - 668 99.532 276.960 5 X 53 = + 265 277.225

4.

X

343 (7 X 7 X 7) 226

343 X 226 = 226 X 7 X 7 X 7 = 1 .582 X 7 X 7 = 1 1 .074 X 7 = 77.5 1 8 5.

809 (800 + 9) X 527 800 X 527 = 421 .600 9 X 527 = + 4.743 426.343

6.

942 (+42) X 879 (-21 ) 900 X 921 = 828.900 21 X 42 = - 882 828.01 8

292

692 ( + 8) X 644 (-56) 700 X 636 = 445.200 448 (-8) X (-56) =+ 445.648

7.

8.

X

446 1 76 (1 1 X 8 X 2)

446 X 1 76 = 446 X 1 1 X 8 X 2 = 4.906 X 8 X 2 = 39.248 X 2= 78.496 9.

X

658 (47 X 7 X 2) 468 (52 X 9)

658 X 468 = 52 X 47 X 9 X 7 X 2 = 2.444 X 9 X 7 X 2 = 21 .996 X 7 X 2 = 1 5 3.972 X 2 = 307.944 10.

X

273 (91 X 3) 1 38 (46 X 3)

273 X 1 38 = 91 X 46 X 9 = 4. 1 86 X 9 = 3 7.674 824 X 206 400 X 424 = 1 69.600 1 44 12 X 1 2 = + 1 69.744

11.

12.

X

642 (107 X 6) 249 (83 X 3)

642 X 249 = 1 07 X 83 X 18 = 8.881 X 9 X 2 = 79.929 X 2 = 1 59.858

783 (87 X 9) X 589

13.

783 X 589 = 589 X 87 X 9 = 5 1 .243 X 9 = 461 . 1 87 871 (-29) X 926 (+ 26) 900 X 897 = 807.300 -29 X 26 = - 754 806.546

14.

341 71 5 7 X 341 = 2.387 3 X 15 = + 45 2.432 X 1 00 = 243.200 41 X 1 5 = + 61 5 243.81 5 41 7 16. X 298 (300 - 2) 300 X 41 7 = 1 25.100 - 2 X 41 7 = - 834 1 24.266

1 5.

X

17.

X

557 756 (9 X 84)

557 X 756 = 557 X 9 X 84 = 5.01 3 X 7 X 6 X 2= 35.091 X 6 X 2 21 0.546 X 2 = 421 .092 =

976 (1 000 - 24) X 878 878 X 1 .000 = 878.000 - 878 X 24 = - 21 .072 856.928

18.

294

765 X 350 (7 X 5 X 1 0)

19.

765 X 350 = 765 X 7 X 5 X 1 0 = 5.355 X 5 X 1 0 = 26.775 X 1 0 = 267.750 1 54 (1 1 X 1 4) X 423 (47 X 9)

20.

1 54 X 423 = 47 X 1 1 X 9'X 1 4 = 51 7 X 9 X 7 X 2 = 4.653 X 2 X 7 = 9.306 X 7 = 65. 1 42 545 (109 X 5) 834 1 00 X 834 = 83 .400 9 X 834 = + 7.506 90.906 X 5 = 454.530

21.

X

22.

21 6 (6 X 6 X 6) X 653

216 X 653 = 653 X 6 X 6 X 6 = 3.91 8 X 6 X 6 = 23.508 X 6 = 1 41 .048 393 (400- 7) X 822 400 X 822 = 328.800 - 7 X 822 = - 5.754 323.046

23.

Multiplikation zweier ftlnfstelliger Zahlen (S. 220) 1.

65 . 1 54 X 1 9.423 »N ick Rüpel«

423 X 65 = 27.495 1 54 X 1 9 = + 2.926 30.421 X 1 .000 65 X 1 9 X 1 M i llionen

»mosernd«

30.421 .000 + 1 .235.000.000 1 .265.421 .000 1 54 X 423 = + 65. 1 42 1 .265.486.1 42

2.

=

34.545 X 27.834 »nie vom Lech«

834 3 34 = 28.356 »Rom is gut!« 545 3 27 = + 1 4.71 5 43.071 .000 43.071 X 1 .000 34 X 27 X 1 M I LLI Onen = + 9 1 8.000.000 961 .071 .000 834 X 545 = + 454.530 961 .525.530 ].

69.21 6 X 78.653 »roll-selig«

653 X 69 = 45.057 21 6 X 78 = + 1 6.848 61 .905 X 1 .000 69 X 78 X 1 M i llionen = 2 1 6 X 653 =

296

»Stab-Esel<<

61 .905.000 + 5.382.000.000 5.443.905.000 141 .048 + 5 .444.046.048

4.

95.393 X 81 .822 >>Kaufe Saabs!«

822 X 95 = 78.090 393 X 81 = + 3 1 .833 »das ab Panama« 1 09.923 X 1 .000 1 09.923.000 95 X 81 X 1 Mil lionen = + 7.804.000.000 7.804.923.000 393 X 822 = + 323.046 7.805.246.046 Ein Tag fUr jedes Datum (S. 244) Der 1 9. Januar 2007 ist ein Freitag: 1 9 + 6 + 1 = 26; 26 - 21 = 5 2. Der 1 4. Februar 201 2 ist ein Dienstag: 14 + 1 + 1 = 1 6; 1 6 - 14 = 2 3. Der 20. Juni 1 993 war ein Son ntag: 20 + 3 + 5 = 28; 28 - 28 = 0 4. Der 1 . September 1 983 war ein Donnerstag: 1 + 4 + 6= 11; 11 - 7=4 5. Der 8. September 1 954 war ein M ittwoch: 8 + 4 + 5 = 1 7; 1 7 - 1 4 = 3 6. Der 1 9. November 1 863 war ein Donnerstag: 1 9 + 2 + 4 = 25; 25 - 21 = 4 7. Der 4. J uli 1 776 war ein Donnerstag: 4 + 5 + 2= 11; 11 - 7=4 8. Der 22. Februar 2222 ist ein· Freitag: 22 + 2 + 2 = 26; 26 - 21 = 5 9. Der 3 1 . Juni 2468 existiert nicht (der J uni hat nur 30 Tage)! Doch der 30. J uni 2468 ist ein Samstag, der nächste Tag wäre 1.

also ein Sonntag. 10.

Der 1 . Januar 2358 ist ein M ittwoch: 1 + 6 + 3 = 1 0; 1 0 - 7 = 3

297

Bibliographie

Blitz-Rechnen

Cutler, Ann und Rudolph McShane: Die Trachtenberg­ Schnellrechenmethode Freiburg i. Br. : Hyperion-Verl., 1963 Devi, Shakuntala: Figuring: The ]oys ofNumbers. New York: Basic Books, 1964. Doerfler. Ronald W: Dead Reckoning: Calculating Without Instruments. Houston: Gulf Publishing Company, 1993. Flansburg, Scott und Victoria Hay: Math Magie. New York: William Morrow and Co., 1 993. Handley. Bill: Speed Mathematics: Secrets ofLightning Mental Calculation. Queensland, Australia: Wrightbooks, 2003 . Julius, Edward H.: Rapid Math Tricks and Tips: 3 0 Days to Number Power. New York: John Wiley & Sons, 1992. Lucas, Jerry: Becoming a Mental Math Wizard. Crozet, Virginia: Shoe Tree Press. 1991. Menninger, K.: Rechenkniffi: lustiges und vorteilhaftes Rechnen Göttingen: Vandenhoeck und Ruprecht, 13. Aufl. 1992 Smith, Steven B.: The Great Mental Calculators: The Psycho­ logy. Methods. and Lives of Calculating Prodigies. Past and Present. New York: Columbia University Press, 1983. Sticker, Henry: How to Calculate Quickly. New York: Dover, 1955. Stoddard, Edward: Speed Mathematics Simpli.fied. New York: Dover, 1994. Tirtha, Jagadguru Swami Bharati Krishna, Shankaracharya of Govardhana Pitha. Vedic Mathematics or »Sixteen Simple Mathematica! Formulaefrom the Vedas.« Benares, Indien: Hindu University Press, 1965. 298

B I B LIOGRAP H I E

Gedächtnis

Lorayne, Harry and Jerry Lucas: The Memory Book. New York: Ballantine Books, 1974. (Andere Bücher von H . Lorayne zum Thema Gedächtnis wurden auch ins Deutsche übersetzt.) Sanstrom, Robert: The Ultimate Memory Book. Los Angeles: Stepping Stone Books, 1990. Vergnügliche Mathematik

Gardner, Martin: Mathematische Zaubereien Köln: DuMont, 2004 ders.: Mathematischer Karneval. Berlin, Ullstein, 1 993 ders.: Mathematische Hexereien. Berlin: Ullstein, 1 979 ders.: Logik unter dem Galgen. Braunschweig, Wiesbaden: Vieweg: 2. Aufl. , 1 982 Huff, Darrell: Wie lügt man mit Statistik. Zürich: Sanssouci Verlag, 1956 Paulos, John Allen: Zahlenblind: mathematisches Analpha­ betentum und seine Konsequenzen. München: Heyne, 1993 Stewart, Ian: Spiel, Satz und Siegfor die Mathematik. Frank­ furt am Main, Leipzig: Insel-Verlag, 1997 Höhere Mathematik (von Arthur Benjamin)

Benjamin, Arthur T.und Jennifer J. Quinn: Prooft That Really Count: The Art oJCombinatorial ProofWashington Mathematical Association of America, 2003. Benjamin, Arthur T. und Kan Yasuda: >>Magie >Squares< Indeed!« The American Mathematical Monthly 106, Nr. 2 (Februar 1999), S. 1 52-56.

299

Sachregister A Addieren, Tricks 29 Addition dreisteiliger Zahlen 38 Addition mit überlappenden Stellen 56 Addition von Brüchen 126 Addition von links nach rechts 35 Addition zweier zweistelliger Zahlen 36 Additionsmethode 57, 77, 82, 91, 194, 210[ Additions-Sprünge 226 f. Aitken, A. C. 182 Algebra 221 Arithmetik 16 Assoziativgesetz 87 Auf- und Abrunden 57, 70 f. 8

Baltimore, D. 252 Basiszahl 206 Bidder. G. P. 1 32 Blitz-Kopfrechner 12 Blitzrechner 226 Brüche kürzen 125 Brüche dividieren 125 300

Brüche in Dezimalbrüche umwandeln 1 16 ff. Brüche multiplizieren 1 24 Brüche 124 ff. c

Colburn, Z. 75

D Daumenregel 107 f. Denken, kreatives 23 Devi, S. 1 70 Digits 1 1 Distributivgesetz 72, 163, 199 Division durch eine einstelli­ ge Zahl 104 Division durch zweistellige Zahlen l lO ff. Division i m Kopf 103 ff. Divisionsaufgaben vereinfa­ chen 1 1 3 [ Divisor 1 1 5

E Elfermethode 193 Elferprobe 166f. Erweitern von Brüchen 126 Evolutionstheorie 254

SAC H REGISTER

F Faktorisieren 191, 203 Faktorisierungsmethode 86f., 92, 217 Fleck, blinder (Wahmeh­ mungsverzerrung) 250 Fleischmann, M. 253 Fuller, T. 190

G Galois, E. 145 Gardner, M. 77, 168 Gauß, C. F. 43 Gedächtnis-Magie 183 f. Gedankenlesen, mathematisches 221 f. Gehirnfunktionen 1 3 Gold, T. 253

Kevles, D. 252 Komplemente 48 [, 84 Kopfrechnen 14, 22 Kreationismus 255 Kreuzmultiplikation 16, 1 60 [ Krumme Hunde 144 [ Kubieren 98 ff. Kubikwurzeln, schnelle 232f.

L Links-nach -rechts-Methode 103 Logarithmus, natürlicher 148 Lösungswege 23

M H Hellseher 226 HIV-Theorie 256 Hundertzehnerregelung 148

Introspektion 251

Jahrescode 239

K Kernfusion, kalte 253

Magie Castle 19 Magische 1 ,089 222 f. Magische Quadrate 228 Mathemagiker 1 3 Mnemonik 180 f. Mnemotechniken 173 fT. Mod-Summe 155, 163 Monatscode 238 Monolog, innerer 40 Monty Hall Problem 99 Multiplikand 65 Multiplikation auf Papier 160[ 301

Multiplikation von Drei­ steHigen mit zweistelligen Zahlen 191 ff. Multiplikation zweier drei­ steiliger Zahlen 203 ff. Multiplikation zweier fünf­ stelliger Zahlen 215 ff. Multiplikation, einfache 52ff. Multiplikationen von zwei­ stelligen Zahlen mit ein­ stelligen 53 Multiplikationen mit drei­ steiligen Zahlen 59 ( Multiplikationen zweier einstelliger Zahlen 77 ff. Multiplikationstabelle 53 Multiplikator 65

Pronin, E. 250 Pseudowissenschafiler 253

Q Quadrate, magische 228 Quadrieren dreisteiliger Zahlen 94 Quadrieren fünfstelliger Zahlen 199 ff. Quadrieren vierstelliger Zahlen 1 85 f. Quadrieren zweistelliger Zahlen 67ff. Quadrieren 27 ( Quersumme 121, 1 56

R Randi, J. 235 Rundungen 1 36

N Nahe-beieinander-Methode 29, 100, 205 f. Näherungsmethode 147 Nenner 1 18 Neunerprobe 16, 1 56

p Peer-Review-System 256 Phonetischer Code 174 f. Pi 174 Pons, S. 253 Produkte, >>freundliche<< 90 302

s

Sagan, C. 252 Sales taxes 144 Schätzen 1 30 Schätzfehler 1 30 Siebzigerregel 147 Sofort-Multiplikation 24 Steuerberechnung 146 f. Subtrahieren, Tricks 29 Subtraktion dreisteiliger Zahlen 46 Subtraktion von Brüchen 128

SAC H REGISTER

Subtraktion von links nach rechts 44 Subtraktion zweistelliger Zahlen 44 Subtraktionsmethode 83 f., 92, 195, 212 Sulloway, F. J. 251 Summe, erstaunliche 235

T Taschenrechner 20, 1 16 Teilbarkeit testen 120f. Teilen und mitteln 1 38 Todesfalle, vorgeahnte 246 Trinkgelder 31 Trinkgeld-Tipps 142 Ttir Nr. 1 99 u

Überschlagen im Super­ markt 1 3 1 Überschlagen von Differenzen 133 f. Überschlagen von Produkten 13S f. Überschlagen von Summen 129 f. Überschlagen von Wurzeln 1 3 8 ff. Überschlagen 1 2 9 ff. U FO-Sichtungen 255 Unsinn-Detektor 252 Urknall-Theorie 255

V Von-links-nach-rechts­ Methode 34 w

Wahrnehmung, selektive 247 Wahrscheinlichkeit, mathe­ matische 246 f. Wochentag für jedes Datum 237 f. Wochentage berechnen 32 Wunder und Wahrschein­ lichkeit 248 Wurzeln ziehen 157f. Wurzeln, vereinfachte 234f. z

Zahlen aufspalten 78 Zahlen runden 45 Zahlen übertragen 37, 62 Zahlen zerlegen 41 Zahlenakrobatik 15, 22 Zahlengedächtnis 22, 173 Zahlenkolonnen 1 54 Zähler 1 18 Zahl-Wort-Liste 177 f. Zauberkunststücke, mathematische 76 Zaubertricks, mathematische 221 Ziffern, fehlende 224 f. Zinsberechnung 147 f. Zwischenprodukte 76 ff. 303

Die Autoren Dr. Arthur Benjamin studierte an der renommierten John

Hopkins Universität in Baltimore und promovierte dort zum Doktor der Mathematik. Er lehrt heute am Harvey Mudd College in Claremont, Virginia. 2000 zeichnete ihn die Amerikanische Mathematische Gesellschaft mit dem Haimo-Preis für ausgezeichnete Lehrtätigkeit aus. Artbur Benjamin ist gleichzeitig ein professioneller Zauber­ künstler, der regelmäßig im »Zauberpalast« in Hollywood auftritt. In vielen Ländern der Welt hat er sein außerordent­ liches Rechentalent demonstriert und erklärt. >>Readers Digest bezeichnete ihn 2005 als den besten Mathe-Könner der USA«. Dr. Michael Shermer, Mitherausgeber und monatlicher

Kolumnist von >>Scientific American«, Herausgeber der Zeitschrift >>Skeptic« sowie leitender Direktor der >>Skeptic Society«, ist Autor bzw. Co-Autor zahlreicher wissenschaft­ licher und populärwissenschaftlicher Bücher, die sich mit dem Grenzbereich zwischen Wissenschaft und Magie be­ fassen und in den USA zu Bestsellern wurden.