Fluidmechanik, Bd.1: Grundlagen und elementare Strömungsvorgänge dichtebeständiger Fluide

Klassiker der Technik Die ,,Klassiker der Technik“ sind unveränderte Neuauflagen traditionsreicher ingenieurwissenschaft...

Author: Erich A. Truckenbrodt

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Klassiker der Technik Die ,,Klassiker der Technik“ sind unveränderte Neuauflagen traditionsreicher ingenieurwissenschaftlicher Werke. Wegen ihrer didaktischen Einzigartigkeit und der Zeitlosigkeit ihrer Inhalte gehören sie zur Standardliteratur des Ingenieurs, wenn sie auch die Darstellung modernster Methoden neueren Büchern überlassen. So erschließen sich die Hintergründe vieler computergestützter Verfahren dem Verständnis nur durch das Studium des klassischen fundamentaleren Wissens. Oft bietet ein ,,Klassiker“ einen Fundus an wichtigen Berechnungs- oder Konstruktionsbeispielen, die auch für viele moderne Problemstellungen als Musterlösungen dienen können.

Erich Truckenbrodt

Fluidmechanik Band 1: Grundlagen und elementare Strömungsvorgänge dichtebeständiger Fluide Vierte, ergänzte Auflage 1996 Nachdruck 2008 in veränderter Ausstattung

123

Dr.-Ing. Dr.-Ing. E.h. Erich Truckenbrodt Uni.-Prof., em. Lehrstuhl für Fluidmechanik der technischen Universität München

4. Auflage 1996; Nachdruck in veränderter Ausstattung 2008

ISBN 978-3-540-79017-4

e-ISBN 978-3-540-79018-1

DOI 10.1007/978-3-540-79018-1 Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. © 2008, 1996, 1989, 1980, 1968 Springer-Verlag Berlin Heidelberg Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Sollte in diesem Werk direkt oder indirekt auf Gesetze, Vorschriften oder Richtlinien (z. B. DIN, VDI, VDE) Bezug genommen oder aus ihnen zitiert worden sein, so kann der Verlag keine Gewähr für die Richtigkeit, Vollständigkeit oder Aktualität übernehmen. Es empfiehlt sich, gegebenenfalls für die eigenen Arbeiten die vollständigen Vorschriften oder Richtlinien in der jeweils gültigen Fassung hinzuziehen. Herstellung: le-tex publishing services oHG, Leipzig Einbandgestaltung: eStudio Calamar S.L., F. Steinen-Broo, Girona, Spanien Gedruckt auf säurefreiem Papier 987654321 springer.com

Vorwort zur vierten Auflage

Die vorliegende neue Auflage wurde iiberarbeitet und in einigen Abschnitten erweitert. Letzteres betrifft vor allem die bereits im Vorwort zur dritten Auflage angekiindigte starkere Beriicksichtigung der Thermodynamik bei Stromungsvorgangen, d.h. der Thermofluidmechanik. Aus Band 2 wird Tab. C iiber die thermodynamischen Beziehungen elementarer Zustandsanderungen ubernommen. Die thermodynamischen Einfliisse auf die physikalischen Eigenschaften und StoffgroBen in Kap. 1.2 sind noch eingehender besprochen. Die enge Verbindung zur Thermodynamik findet auch besondere Beriicksichtigung beim Energiesatz in Kap. -2.6. Die Transportgleichungen der Fluidmechanik in Kap. 2.3.4 sind anschaulicher dargestellt. Dasselbe gilt bei den Ausfiihrungen iiber die Stromung bei den Rohrverbindungen in Kap. 3.4.4. Dabei wird die theoretische Herleitung der Gleichungen zur Berechnung der fluidmechanischen Energieverluste gegeniiber den oft nur empirisch gewonnenen Formeln mehr in den Vordergrund gestellt. Man gewinnt so ein besseres Verstandnis fiir die eigentlichen fluidmechanischen Stromungsvorgange. Unterlagen zur unmittelbaren Anwendung findet man im Beitrag "Stromungstechnik" des vor kurzem im Springer-Verlag erschienenen Buchs Rietschel, Esdorn: "Raumklimatechnik". Zur Bezeichnung von GroBen, die den EinfluB von StoffgroBen der Fluide oder die bestimmte fluidmechanische Verhaltensweisen kennzeichnen, wird nach DIN 5485 in Wortverbindungen der Begriff Koeffizient anstelle der friiher verwendeten Begriffe Zahl oder Ziffer einheitlich eingefiihrt, z.B. Ausdehnungskoeffizient statt Ausdehnungszahl oder Ausdehnungsziffer. Fiir Geschwindigkeitsverteilungen iiber die Querschnitte von Rohren und Gerinnen, d.h. bei durchstromten Korpern, ist zum Unterschied von Geschwindigkeitsverteilungen bei umstromten Korpern, z.B. der Umstromung zylindrischer Korper, die Bezeichnung Geschwindigkeitsprofile verwendet. Bei der Beschreibung von Stromungsvorgangen an der Kontrollflache eines raumfesten Kontrollvolumens sollen abweichend von der bisherigen Festlegung eintretende Volumenstrome in analoger Weise wie eintretende Warmestrome positiv gerechnet werden. Eine entsprechende negative Vorzeichenregelung gilt fiir austretende Volumen- bzw. Warmestrome. Bei den symbolischen Differentialoperationen wird die anschaulichere Schreibweise mit grad, div und rot gegeniiber der formalen Darstellung mit dem Nablaoperator V und seinen Verkniipfungen bevorzugt, vgl. Tab. B. Wahrend auf das Namenverzeichnis verzichtet wird, vgl. die Literaturverzeichnisse, ist das Sachverzeichnis im Sinn einer umfassenderen Handhabung erweitert worden.

VI

Vorwort zur zweiten Auflage

Eine sorgfa'ltige und kritische Durchsicht der gesamten neuen Auflage hat Frau Dipl.- Ing. C. Weishaupl iibernommen, und die umfangreichen Schreib- und Zeichenarbeiten haben Frau E. Rathgen bzw. Frau M. GroB erledigt. Diesen hilfreichen Unterstiitzungen durch den Lehrstuhl fur Fluidmechanik der TU Miinchen, die ich auch von einigen anderen Angehorigen des Lehrstuhls erfahren habe, sowie den Mitarbeitern des Springer-Verlages, die bereitwillig auf meine vielen Anderungswiinsche eingegangen sind, gilt mein Dank. Munchen, im April 1996

E. Truckenbrodt

Vorwort zur dritten Auflage Vorgelegt wird hiermit die dritte, uberarbeitete Auflage des ersten Bandes des 1980 in zweibandiger Form erschienenen Werkes (erste Auflage einbandig unter dem Titel "Stromungsmechanik", 1968). Neben der Berichtigung von Druckfehlern und kleineren sachlichen Unstimmigkeiten sowie der Verbesserung von einigen sprachlichen Ausdrucksformen wurden verschiedene Teile des Buches iiberarheitet. Dies betrifft in besonderem MaB das Kapitel 3.4 iiber die Stromung in Rohrleitungen, wobei die Darstellung derjenigen des in zweiter Auflage 1988 erschienenen "Lehrbuchs der angewandten Fluidmechanik" angepaBt wurde. Die alte Tabelle 2.1 iiber die Tensoroperatoren auf Seite 56 wurde erweitert und ubersichtlicher gestaltet. Wegen der Bedeutung dieser Unterlage fur den theoretischen Teil des Buches wurde die neue Tabelle als Tabelle B im ArischluB an die Tabelle A an den Anfang (Seiten XXII und XXIII) gestellt. Der Unterschied bei der Behandlung von Stromungen in der bahn- bzw. stromlinienorientierten Schmiegebene wurde einsichtiger als bisher herausgearbeitet. Eine wiinschenswerte, noch tiefer greifende Neubearbeitung des gesamten Werkes, besonders im Hinblick auf das thermodynamische Verhalten von Fluiden, ist fur einen spateren Termin geplant. Munchen, im Januar 1989

Vorwort zur zweiten Auflage Das unter dem Titel "Stromungsmechanik" im Jahr 1968 erschienene Werk wurde fur die zweite Auflage von Grand auf neu bearbeitet und unter den neuen Titel "Fluidmechanik" gestellt. Mit diesem verbindet sich - besser noch als mit dem Begriff Stromungsmechanik - die Vorstellung von der Mechanik einer ganz bestimmten Gruppe von Stoffen, namlich der Fluide als Sammelbegriff fur Fliissigkeit, Dampf und Gas. Ziel und Aufgabenstellung der neuen Auflage sind gegenuber der ersten unverandert geblieben. Der gestiegene Umfang hat aber dazu gefuhrt, das Werk nun in zwei Banden erscheinen zu lassen.

Vorwort zur zweiten Auflage

VII

Das bisher in acht Kapiteln dargebotene umfangreiche Fachwissen wird jetzt in nur sechs Kapitel aufgegliedert. Eine solche Straffung, verbunden mit einer auf wenige Grundprinzipien (Massenerhaltungssatz, Impulssatz, Energiesatz, Entropiesatz) beschrankten Darstellung, erscheint mir sowohl aus sachlichen als auch vor allem aus didaktischen Griinden dringend erforderlich. Bei stromenden Fluiden spielen neben dem mechanischen Verhalten haufig auch thermodynamische Einfliisse eine wesentliche Rolle. Dies wird bei der Herleitung und Anwendung der Energiegleichung der Fluidmechanik (Arbeitssatz der Mechanik) und der Energiegleichung der Thermofluidmechanik (erster Hauptsatz der Thermodynamik) besonders deutlich. Fluid- und Thermofluidmechanik iibernehmen haufig die Rolle eines Bindeglieds zwischen Mechanik und Thermodynamik. Wie bisher enthalt Kapitel 1 die physikalischen StoffgroBen und Eigenschaften der Fluide, wobei mechanische und thermische (kalorische) Einfliisse gleichrangig behandelt sind. Andert sich die Dichte eines Fluids sowohl mit dem Druck als auch mit der Temperatur, so liegt ein dichteveranderliches Fluid vor. Dieser Begriff prazisiert den bisher haufig hierfiir gebrauchten Begriff eines kompressiblen (zusammendriickbaren) Fluids. Entsprechend ist von einem dichtebestandigen und nicht vom inkompressiblen Fluid die Rede. Kapitel 2 beschreibt ausfiihrlich die Grundgesetze der Fluid- und Thermofluidmechanik bei ruhenden und stromenden Fluiden. Die Kapitel 3 und 4 befassen sich mit elementaren Stromungsvorgangen dichtebestandiger bzw. dichteveranderlicher Fluide, wobei die Fluidstatik als Sonderfall auftritt. Ein besonderes Kapitel iiber ruhende Fluide, wie Kapitel 2 der ersten Auflage, wurde daher entbehrlich. Kapitel 5 mit der Uberschrift "Drehungsfreie und drehungsbehaftete Stromungen" faBt die Kapitel 6 und 7 der ersten Auflage zusammen. Dadurch laBt sich das Gebiet der reibungslosen Stromungen sowohl fiir drehungsfreie als auch drehungsbehaftete Bewegung in geschlossener und ubersichtlicher Form darstellen. SchlieBlich ist Kapitel 6, wie Kapitel 8 der ersten Auflage, den Grenzschichtstromungen gewidmet. Der vorliegende Band I enthalt die Kapitel 1 bis 3. Auf die Darstellung und Erlauterung der Formeln wurde groBer Wert gelegt. Dabei entsprechen die Formelzeichen jetzt weitgehend denjenigen der Normung. Sofern es fiir die Anwendung zweckmaBig ist, sind die erforderlichen Ausgangsgleichungen besonders herausgestellt. Dies trifft vor allem fiir die Kapitel 3 und 4 zu. Durch zahlreiche Hinweise auf Formeln im selben oder in fremden Kapiteln ist gewahrleistet, einerseits das Verstandnis fiir die Herleitung zu erleichtern und andererseits die sachlichen Zusammenhange deutlicher zu machen. Am Ende jedes Kapitels findet sich ein Literaturverzeichnis. Das Ziel, dabei Ausgewogenheit zwischen alteren grundlegenden und neueren richtunggebenden Untersuchungen auf dem Gebiet der Fluidmechanik zu erreichen, konnte naturgemaB nur angestrebt werden. Hinweise auf die erstgenannten Arbeiten sind haufig als Beitrage zur geschichtlichen Entwicklung der Fluidmechanik anzusehen, wahrend die zweitgenannten Arbeiten den Zugang zu den neueren Entwicklungen vermitteln sollen und so der wissenschaftlichen Vertiefung dienen konnen. Munchen, im September 1979

VIII

Aus dem Vorwort zur ersten Auflage

Aus dem Vorwort zur ersten Auflage Um die wissenschaftliche und technische Entwicklung, welche die Stromungsmechanik in den letzten Jahrzehnten erfahren hat, ausreichend erfassen zu konnen, ist eine moglichst einheitliche Beschreibung der Stromungsvorgange sowohl bei inkompressiblen und kompressiblen als auch bei reibungslosen und reibungsbehafteten Fluiden anzustreben. Die Grundlagen und Methoden, wie sie bei vielen Fragestellungen in ahnlicher Weise haufig wieder auftreten, sind daher weitgehend unter gemeinsamen Gesichtspunkten zu sehen. Eine zu starke Beschrankung nur auf stationare Stromungen, wie sie sich aus didaktischen Griinden in manchen Fallen anbietet, soil moglichst vermieden werden. Der dargebotene Stoff soil das Verfolgen des Weges vom Ansatz bis zum praktisch verwertbaren Ergebnis erleichtern. Aus dieser Aufgabenstellung heraus ergibt sich der Grundaufbau des Werkes. Es gliedert sich in acht Kapitel. Kapitel 1 beschreibt die physikalischen Eigenschaften und Stoffwerte der Fluide. Das hinsichtlich des Einflusses von Reibung, Kompressibilitat und Schwere teilweise analoge Verhalten stromender Fluide wird einander gegeniibergestellt. Die Ahnlichkeitsgesetze der Stromungsmechanik werden aus der Dimensionsanalyse hergeleitet und in ihrer Bedeutung und Anwendung besprochen. Kapitel 2 befaBt sich mit den ruhenden Fluiden und berichtet iiber die im allgemeinen bekannten Tatsachen der Hydro- und Aerostatik. Ein sehr umfangreiches Kapitel 3 beschaftigt sich sodann mit den Grundgesetzen der Stromungsmechanik. Den ausfiihrlich dargestellten Bewegungsgleichungen der reibungslosen, zahigkeitsbehafteten (laminaren), turbulenten und schleichenden Stromungen folgen die Transportgleichungen und die Erhaltungssatze, wie Massenerhaltungs-, Impuls- und Energiesatz, die sowohl in integraler als auch in differentieller Form gebracht werden. Die Kapitel 4 und 5 beschreiben elementare Stromungsvorgange bei inkompressiblen und kompressiblen Fluiden. Diese beiden Kapitel dienen in besonderem MaBe der Anwendung und Vertiefung der Grundgesetze der Stromungsmechanik. Neben der Rohrhydraulik und der Stromung in offenen Gerinnen findet man in diesem Teil des Buches u. a. Ausfiihrungen iiber Wellen und StoBe bei Uberschallstromungen. Die Kapitel 6 und 7 betreffen die drehungsfreien Potentialstromungen und die drehungsbehafteten Wirbelstromungen. Es wird der EinfluB der Kompressibilitat, der Zahigkeit und der Schwere, letzterer bei instationarer Potentialstromung mit freier Oberflache, aufgezeigt. Kapitel 8 behandelt schlieBlich Grenzschichtstromungen. Neben den Grundlagen der Grenzschichttheorie werden besonders die Stromungs- und Temperaturgrenzschicht an der langsangestromten Platte besprochen. Die Aufnahme der Integralsatze der Grenzschichttheorie in dieses Buch dient der Erfassung des Einflusses des Druckgradienten der AuBenstromung auf die Ausbildung der Grenzschicht. Fragen der abgelosten Grenzschichtstromungen sowie die Grenzschichten ohne feste Begrenzung bilden den AbschluB der Darstellung. Dies nahezu alle Bereiche der Stromungsmechanik ansprechende Werk kann fur die sehr fortgeschrittenen Teilgebiete, wie etwa diejenigen der kompressiblen

Vorwort zur zweiten Auflage

IX

Stromungen und der Grenzschichtstromungen, naturgemaB nur als Einfiihrung dienen. Auf die Behandlung der Stromungen realer Gase sowie auf die kinetische Gastheorie muBte verzichtet werden. Um die mathematisch notwendigen Ableitungen leichter verstandlich zu machen, ist der Text mit zahlreichen anschaulichen Abbildungen und einfachen Beispielen versehen. Ein sehr ausfiihrliches Schrifttumsverzeichnis weist auf Originalarbeiten sowie Lehr- und Handbiicher hin. Das vorliegende Werk stellt zunachst ein Lehrbuch fur Studierende der naturwissenschaftlichen und technischen Facher dar. Daneben wendet es sich auch an berufstatige Ingenieure und Physiker, die sich mit den neueren Fortschritten der Stromungsmechanik vertraut machen wollen. Fiir viele' Aufgaben kann es als Nachschlagewerk benutzt werden. Miinchen, im Herbst 1968

E. Truckenbrodt

Inhaltsverzeichnis

Verzeichnis der Tabellen

xvi

Bezeichnungen, Dimensionen, Einheiten

XVII

1

Einfuhrung in die Fluidmechanik

l

1.1

Cberblick

1

1.2

Physikalische Eigenschaften und StoffgroBen der Fluide 1.2.1 Einfuhrung 1.2.2 Dichteanderung 1.2.2.1 Grundsatzliches 1.2.2.2 Dichte von Fluiden 1.2.2.3 Schallgeschwindigkeit von Fluiden 1.2.3 ReibungseinfluB 1.2.3.1 Grundsatzliches 1.2.3.2 Normalviskose Fluide (newtonsche Fluide) 1.2.3.3 Anomalviskose Fluide (nicht-newtonsche Fluide) 1.2.3.4 Turbulenter Impulstransport (Wirbelviskositat) 1.2.4 SchwereinfluB 1.2.4.1 Grundsatzliches 1.2.4.2 Fallbeschleunigung 1.2.4.3 Wichte von Fluiden 1.2.5 Thermodynamisches Verhalten 1.2.5.1 Grundsatzliches 1.2.5.2 Warmekapazitat 1.2.5.3 Energetische Zustandseigenschaften 1.2.5.4 Warmeleitung 1.2.6 Zusammenwirken mehrerer Stoffe und Aggregatzustande 1.2.6.1 Grundsatzliches 1.2.6.2 Grenzflachen (Kapillaritat) 1.2.6.3 Hohlraumbildung (Kavitation)

3 3 5 5 6 11 12 12 13 16 17 18 18 18 18 19 19 19 20 24 26 26 26 30

1.3

Physikalisches Verhalten von Stromungsvorgangen 1.3.1 Einfuhrung 1.3.2 Darstellungsmethoden stromender Fluide 1.3.2.1 Beschreibung von Stromungsvorgangen 1.3.2.2 Kennzahlen der Fluid- und Thermofluidmechanik 1.3.2.3 Ahnlichkeitsgesetze der Fluid- und Thermofluidmechanik 1.3.3 Erscheinungsformen stromender Fluide 1.3.3.1 Allgemeines 1.3.3.2 Laminare und turbulente Stromung (ReibungseinfluB) 1.3.3.3 Stromende und schieBende Fliissigkeitsbewegung (SchwereinfluB)

30 30 31 31 34 38 41 41 41 44

XII

Inhaltsverzeichnis 1.3.3.4 Gasstromung mit Unter- und Uberschallgeschwindigkeit (DichteeinfluB)

2

45

Literatur zu Kapitel 1

48

Grundgesetze der Fluid- und Thermofluidmechanik

50

2.1

Uberblick

50

2.2

Ruhende und gleichformig bewegte Fluide (Statik) 2.2.1 Einfiihrung 2.2.2 Krafte im Ruhezustand 2.2.2.1 Druckkraft (Oberflachenkraft) 2.2.2.2 Massenkraft (Volumenkraft) 2.2.2.3 Kraftegleichgewicht ruhender Fluide 2.2.3 Mechanik ruhender Fluide 2.2.3.1 Statische Energiegleichung der Fluidmechanik 2.2.3.2 Hydrostatische Grundgleichung (Euler) 2.2.3.3 Niveauflachen 2.2.3.4 Statischer und thermischer Auftrieb (Archimedes)

51 51 51 51 57 57 58 58 59 60 62

2.3

Bewegungszustand (Kinematik) 2.3.1 Einfuhrung 2.3.2 GroBen der Bewegung 2.3.2.1 Geschwindigkeitsfeld 2.3.2.2 Kinematische Begriffe zur Beschreibung des Stromungsverlaufs . 2.3.2.3 Beschleunigungsfeld 2.3.3 Kinematisches Verhalten eines Fluidelements 2.3.3.1 Gradiententensor des Geschwindigkeitsfelds 2.3.3.2 Drehung eines Fluidelements 2.3.3.3 Verformung eines Fluidelements 2.3.3.4 Anwendungen 2.3.4 Transportgleichungen der Fluid- und Thermofluidmechanik 2.3.4.1 Physikalische GroBen und Eigenschaften 2.3.4.2 Transportgleichung fur die FeldgroBe 2.3.4.3 Transportgleichung fur die Volumeneigenschaft

64 64 64 64 67 71 76 76 77 79 81 82 82 83 84

2.4

Massenerhaltungssatz (Kontinuitat) 2.4.1 Einfuhrung 2.4.2 Kontinuitatsgleichungen 2.4.2.1 Kontinuitatsgleichung fur den Kontrollraum 2.4.2.2 Kontinuitatsgleichung fur den Kontrollfaden 2.4.2.3 Kontinuitatsgleichung fur das Fluidelement 2.4.3 Einfiihren der Stromfunktion 2.4.3.1 Vektorielle Stromfunktion 2.4.3.2 Zweidimensionale Stromung 2.4.3.3 Volumen- und Massenstrom

87 87 88 88 90 91 93 93 93 95

2.5 Impulssatz (Kinetik) 2.5.1 Einfuhrung 2.5.2 Impulsgleichungen 2.5.2.1 Impulsgleichung ftir den Kontrollraum 2.5.2.2 Impulsgleichung fur den Kontrollfaden 2.5.2.3 Impulsmomentengleichung 2.5.3 Bewegungsgleichungen (Impulsgleichung fur das Fluidelement)

95 95 97 97 104 106 109

Inhaltsverzeichnis 2.5.3.1 2.5.3.2 2.5.3.3 2.5.3.4 2.5.3.5 2.5.3.6 2.6

3

XIII Ausgangsgleichung Bewegungsgleichung der reibungslosen Stromung (Euler, Bernoulli) Bewegungsgleichung der laminaren Stromung normalviskoser Fluide (Navier, Stokes) Bewegungsgleichung der schleichenden Stromung normalviskoser Fluide (Stokes, Oseen) Bewegungsgleichung der turbulenten Stromung normalviskoser Fluide (Reynolds) Uber die Entstehung der Turbulenz

Energiesatz (Energetik) 2.6.1 Einfuhrung 2.6.2 Energiegleichungen der Fluid- und Thermofluidmechanik 2.6.2.1 Energiegleichungen fur das mitbewegte Systemvolumen 2.6.2.2 Energiegleichungen fur den Kontrollraum 2.6.2.3 Energiegleichungen fur den Kontrollfaden 2.6.2.4 Energiegleichungen fur das Fluidelement 2.6.3 Warmetransportgleichung 2.6.3.1 Energieumwandlung 2.6.3.2 Energien und Arbeiten 2.6.3.3 Warmetransportgleichung bei laminarer Stromung 2.6.4 Entropiegleichung 2.6.4.1 Reversible und irreversible Prozesse 2.6.4.2 Entropiegleichung fiir den Kontrollraum 2.6.4.3 Entropiegleichung fiir das Fluidelement 2.6.5 Energiegleichungen bei turbulenter Stromung 2.6.5.1 Voraussetzungen und Annahmen 2.6.5.2 Energiegleichung der Fluidmechanik bei turbulenter Stromung . . 2.6.5.3 Warmetransportgleichung bei turbulenter Stromung

109 110 119 133 134 147 150 150 154 154 155 161 163 165 165 166 170 172 172 175 177 179 179 179 182

Literatur zu Kapitel 2

183

Elementare Stromungsvorgange dichtebestandiger Fluide

186

3.1

Uberblick

186

3.2

Dichtebestandige Fluide im Ruhezustand (Hydrostatik) 3.2.1 Ausgangsgleichungen 3.2.2 Fliissigkeitsdruck auf feste Begrenzungsflache 3.2.2.1 Druckkraft auf ebene Flache 3.2.2.2 Druckkraft auf gekriimmte Flache 3.2.2.3 Schwimmender Korper 3.2.3 Druck auf freie Oberflache 3.2.3.1 Kommunizierendes Gefafi 3.2.3.2 Fliissigkeitsmanometer 3.2.3.3 Kapillarrohr

186 186 187 187 189 190 193 193 193 194

3.3

Stromfadentheorie dichtebestandiger Fluide 3.3.1 Einfuhrung 3.3.2 Stationare Fadenstromung eines dichtebestandigen Fluids 3.3.2.1 Voraussetzungen und Annahmen 3.3.2.2 Ausgangsgleichungen der stationaren Fadenstromung 3.3.2.3 Anwendungen zur stationaren Fadenstromung 3.3.3 Instationare Fadenstromung eines dichtebestandigen Fluids

195 195 195 195 196 200 208

XIV

Inhaltsverzeichnis 3.3.3.1 3.3.3.2 3.3.3.3 3.4

3.5

3.6

Voraussetzungen und Annahmen Ausgangsgleichungen der instationaren Fadenstromung Anwendungen zur instationaren Fadenstromung

208 208 210

Stromung dichtebestandiger Fluide in Rohrleitungen (Rohrhydraulik) 3.4.1 Einfuhrung 3.4.2 Grundlagen der Rohrhydraulik 3.4.2.1 Uber Stromungsquerschnitt gemittelte StromungsgroBen 3.4.2.2 Fluidmechanischer Energieverlust 3.4.2.3 Ausgangsgleichungen der Rohrhydraulik 3.4.3 Stromung dichtebestandiger Fluide in geradlinig verlaufenden langen Rohren 3.4.3.1 Voraussetzungen und Annahmen 3.4.3.2 Vollausgebildete Rohrstromung 3.4.3.3 Vollausgebildete laminare Rohrstromung 3.4.3.4 Vollausgebildete turbulente Stromung durch glattes Rohr 3.4.3.5 Vollausgebildete turbulente Stromung durch rauhes Rohr 3.4.3.6 Rohreinlaufstromung 3.4.4 Stromung durch Rohrverbindungen und Rohrleitungselemente 3.4.4.1 Allgemeines 3.4.4.2 Rohrquerschnittsanderung (Erweiterung, Verengung) 3.4.4.3 Rohnichtungsanderung (Stromumlenkung) 3.4.4.4 Rohrverzweigung (Trennung, Vereinigung) 3.4.4.5 Einbau einer Stromungsmaschine (Turbine, Pumpe) 3.4.5 Aufgaben der Rohrhydraulik 3.4.5.1 Ausgangsgleichungen 3.4.5.2 Stationare Rohrstromung dichtebestandiger Fluide 3.4.5.3 Instationare Rohrstromung dichtebestandiger Fluide

217 217 219 219 221 222

Stromung in offenen Gerinnen (Gerinnehydraulik) 3.5.1 Einfuhrung 3.5.2 Grundlegende Erkenntnisse 3.5.2.1 Begriffe der Gerinnehydraulik 3.5.2.2 FlieBzustand und Grenzverhalten 3.5.2.3 Druckverteilung in einem Gerinnequerschnitt 3.5.3 Gleichformige Stromung in geradlinig verlaufenden Gerinnen 3.5.3.1 Voraussetzungen und Ausgangsgleichungen 3.5.3.2 Gleichformige laminare Gerinnestromung 3.5.3.3 Gleichformige turbulente Gerinnestromung 3.5.4 Ungleichformige Stromung in geradlinig verlaufenden Gerinnen 3.5.4.1 Voraussetzungen und Ausgangsgleichungen 3.5.4.2 Lage des Flussigkeitsspiegels (Wasserspiegel) 3.5.4.3 Wechselsprung (Wassersprung) 3.5.5 Sonstige Stromungsvorgange in offenen Gerinnen 3.5.5.1 Uberfallstromung und AbfluB unter einer Schutze 3.5.5.2 Gerinnestromung bei Querschnitts- und Richtungsanderung 3.5.5.3 Instationare Stromungsvorgange in offenen Gerinnen

291 291 293 293 296 300 302 302 304 306 308 308 309 313 316 316 320 320

....

Mehrdimensionale stationare Stromungsvorgange dichtebestandiger Fluide . . 3.6.1 Voraussetzungen und Ausgangsgleichungen 3.6.2 Reibungslose zweidimensionale Stromung dichtebestandiger Fluide 3.6.2.1 Theorie des Auftriebs angestromter ebener Korper 3.6.2.2 Strahlkraft auf angestromte und durchstromte Korper 3.6.2.3 Quellstromung eines dichtebestandigen Fluids 3.6.3 Reibungsbehaftete mehrdimensionale Str6mungen dichtebestandiger Fluide

226 226 227 233 236 244 251 256 256 257 267 272 279 280 280 281 283

321 321 324 324 330 339 341

Inhaltsverzeichnis 3.6.3.1 3.6.3.2

XV Ermittlung des Reibungswiderstands eines Korpers aus dem Impulsverlust hinter dem Korper (Nachlauf) Theorie der hydromechanischen Schmiermittelreibung

Literatur zu Kapitel 3 Sachverzeichnis

341 347 349 355

Band II Elementare Strdmungsvorgange dichteveranderlicher Fluide sowie Potential- und Grenzschichtstromungen 4 Elementare Stromungsvorgange dichteveranderlicher Fluide 5 Drehungsfreie und drehungsbehaftete Stromungen 6 Grenzschichtstromungen Bibliographie Sachverzeichnis

Verzeichnis der Tabellen

Tabelle Tabelle Tabelle Tabelle Tabelle Tabelle Tabelle Tabelle

A. B. C. 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5.

Basis- und abgeleitete GroBen Vektor- und Tensoroperationen Thermodynamische Beziehungen elementarer Zustandsanderungen . . . . StoffgroBen von Flussigkeiten und Gasen sowie von Wasserdampf . . . . Thermodynamische Eigenschaften von Flussigkeiten und Gasen Eigenschaften von Grenzflachen Zur Bestimmung der fluid- und thermofluidmechanischen Kennzahlen . . Besonders kennzeichnende Erscheinungsformen stromender Fluide . . . .

XXIII XXIV XXVI 9 23 27 36 43

Tabelle Tabelle Tabelle Tabelle

2.1. 2.2. 2.3. 2.4.

55 74 78

Tabelle Tabelle Tabelle Tabelle Tabelle Tabelle

2.5. 2.6. 2.7. 2.8. 2.9. 2.10.

Massen-, Schwer- und Druckkraft am Fluidelement Beschleunigung eines Fluidelements Drehung eines Fluidelements TransportgroBen und Bilanzgleichungen der Fluid- und Thermofluidmechanik Kontinuitatsgleichung Ubersicht iiber die Impulsgleichungen der Fluidmechanik Impulsgleichungen der laminaren Stromung normalviskoser Fluide . . . . Spannungstensor der laminaren Stromung normalviskoser Fluide Massebezogene Spannungskraft Bewegungs- und Energiegleichungen der turbulenten Stromung normalviskoser, homogener Fluide Beitrage der Mechanik und Thermodynamik zu den Kraften, Arbeiten (einschliefilich Warme) und Energien an der Grenze und im Volumen eines geschlossenen Systems Erlauterung der potentiellen und inneren Druckenergie Dissipationsfunktion der laminaren Stromung normalviskoser Fluide . . . Entropieanderung moglicher thermodynamischer Prozesse

Tabelle 2.11. Tabelle 2.12. Tabelle 2.13. Tabelle 2.14. Tabelle 3.1. Tabelle 3.2. Tabelle Tabelle Tabelle Tabelle Tabelle Tabelle

3.3. 3.4. 3.5. 3.6. 3.7. 3.8.

Tabelle 3.9. Tabelle 3.10.

Ubersicht iiber mogliche fluidmechanische Energieverluste in Rohrleitungssystemen Stromungsquerschnitt mit ungleichmaBigem Geschwindigkeits- und Druckprofil Rohrreibungszahlen fiir glatte und technisch rauhe Rohre Technische Rauheitshohen in turbulent durchstromten geraden Rohren . . Zur Berechnung der Rohreinlaufstromung Uberfallkoeffizienten Zur Berechnung der Schubkraft von Strahlantrieben Zur theoretischen Ermittlung des Reibungswiderstands aus dem Impulsverlust hinter einem Korper Widerstandsbeiwerte normal angestromter Platten Widerstandsbeiwerte einfacher drehsymmetrischer Korper

82 92 110 115 124 125 137 ,

153 159 169 174

218 220 247 248 254 318 338 342 345 346

Bezeichnungen, Dimensionen, Einheiten

Formelzeichen a, a, (a) a = X/pCp a, at b cF, cp, cv c, co c = 1/VX cA, cw c = vabs e, e, e = v2/2 e, = e + u /,/ g, g h h i = i(p) j, j k / m, m mA = pvA n p, p, p* pe p0 pK q = (p/2)v2 q, qi^i r r,
Skalar, Vektor, Tensor (allgemein), Tab. B Temperaturleitkoeffizient in m 2 /s, (1.36), Tab. 1.1 Beschleunigung in m/s 2 , (2.27), Abb. 2.18, Tab. 2.2 Breite in m spezifische Warmekapazitat in J/K kg, (1.22, 1.25, 1.26), Tab. 1.1, 1.2 Ausbreitungsgeschwindigkeit einer schwachen Druckstorung (Schallgeschwindigkeit) in m/s, (1.9), Tab. 1.1; bzw. einer Grundwelle (Flachwasserwelle), (1.50) Geschwindigkeitsbeiwert (FlieBformel) [-], (3.110, 3.199), Abb. 3.64 Beiwert (mit Index) [-], z. B. Auftrieb, Widerstand, (3.238, 3.268) Absolutgeschwindigkeit in m/s, (2.31) Einheitsvektor [-], (2.28, 3.46) spezifische kinetische Energie (Geschwindigkeitsenergie) in J/kg, (2.186, 2.225), Tab. 2.4 spezifische totale kinetische Energie in J/kg, Tab. 2.4 massebezogene Kraft (mit Index) in N/kg, (2.91), Tab. 2.1, 2.6 und 2.9 Fallbeschleunigung in m/s 2 , (1.19), Normfallbeschleunigung gn = 9.807 m/s 2 Hohe in m; Spalthohe, FliissigkeitshOhe (hydraulische Hohe) in m, (3.43c) spezifische Enthalpie in J/kg, (1.31, 2.194a) Tab. 1.2, 2.4, 2.12 spezifisches Druckkraftpotential, spezifische potentielle Druckenergie in J/kg, (2.5), Tab. 2.1, 2.12 spezifische EigenschaftsgroBe (GroBe/Masse), (2.40), Tab. 1.2, 2.4 Rauheitshohe in m, Tab. 3.4 Lange, Bezugslange in m, d\ Linienelement in m Masse in kg, (1.1, 2.50), Tab. 2.4 Massenstrom iiber Kontrollfadenquerschnitt in kg/s, (2.56c) Polytropenexponent [-], (1.5, 2.5c) Druck in bar, Druckspannung in N/m2 = Pa, (2.1, 2.134b) fluidmechanischer Energieverlust (mit Index) in N/m2 = J/m 3 , (3.64, 3.65) Staupunktdrack, Abb. 3.10 Kriimmungsdruck (Grenzflachendruck) in N/m2 = Pa, (1.40), Abb. 3.8 Geschwindigkeitsdruck (Staudruck) in Pa, (3.23) massebezogene Warme in J/kg, (1.22, 2.182a, 2.202) Ortsvektor (Lagevektor) in m, Abb. 2.12 zylindrische Koordinaten, Abb. 1.13; r, tp polar, Abb. 1.12a; r, z drehsymmetrisch, Abb. 1.12b Kriimmungsradius in m, Abb. 1.9, 2.17 spezifische Entropie in J/K kg, (1.32, 2.213, 2.215), Tab. 1.2, 2.4 Stromlinienkoordinate in m, (2.24), Abb. 2.13 Wirbellinienkoordinate in m, (2.35) Zeit in s Temperatur in °C

XVIII

Bezeichnungen, Dimensionen, Einheiten

M

spezifische innere Energie (im Sinn der Thermodynamik) in I/kg, (1.30, 2.194a), Tab. 1.2, 2.4 Geschwindigkeitskomponenten bei ebener Stromung in m/s, Abb. 1.14 spezifische innere Druckenergie (im Sinn der Mechanik) in J/kg, (2.177), Tab. 2.12 Schubspannungsgeschwindigkeit in m/s, (2.154b, c, 3.86c) spezifische auBere potentielle Energie, Massenkraftpotential, Schwerkraftpotential in J/kg, (2.10, 2.12, 2.173), Tab. 2.1 spezifisches Volumen in m 3 /kg Geschwindigkeit in m/s, (2.20), Abb. 2.12 Anstromgeschwindigkeit (Anstromung) in m/s, Abb. 3.10, 3.75 mittlere Geschwindigkeit (Gerinne, Rohr) in m/s, (3.79a, 3.110, 3.175, 3.199), Abb. 3.21, Tab. 3.2 massebezogene Arbeit (mit Index) in J/kg, (2.182a, 2.184) kartesische (rechtwinklige) Koordinaten, Abb. 1.13 Hochlage (mit Index) in m, z > 0 nach oben, Abb. 3.20 (Ausnahme Kap. 3.2.2)

a, p ap,ar av Pp, fir

Geschwindigkeitsausgleichswerte (Energie, Impuls, Rohr) [-], (3.79b,c), Tab. 3.2 dimensionslose Ausdehnungskoeffizienten (isobar, isotherm), (1.3), Tab. 1.1, 1.2 dimensionsloser Spannungskoeffizient, Tab. 1.2 dimensionsbehaftete Ausdehnungskoeffizienten (Warme in 1/K, Kompressibilitat in I/Pa), (1.3) Schwerkraftdichte (Wichte) in N/m 3 , (1.21) Eigenschaftdichte (GroBe/Volumen), (2.40), Tab. 2.4 Verlustbeiwert der Rohrstromung (mit Index) [-], Tab. 3.1 dynamische (molekulare) Viskositat, Scherviskositat in Pa s, (1.12), Abb. 1.4, Tab. 1.1 scheinbare (turbulente) Viskositat in Pa s, (1.18) Wirkungsgrad (Diffusor, Propeller, Stromungsmaschine) [-], (3.39, 3.123, 3.150) geometrischer Winkel [-] Verhaltnis d e r Warmekapazitaten [-], (1.27), Tab. 1.1, 1.2 Isentropenexponent, Isentropenkoeffizient [-], (1.29), Tab. 1.1, 1.2 (molekularer) Warmeleitkoeffizient (Warmeleitfahigkeit) in J/s m K, (1.33), Tab. 1.1 scheinbarer (turbulenter) Warmeleitkoeffizient in J/s m K, (1.35) Rohrreibungszahl [-], (3.82, 3.86a), Abb. 3.31, Tab. 3.3 Mach-Winkel [-], (1.52), Abb. 1.17d Kontraktionskoeffizient, Einschniirungskoeffizient, Uberfallkoeffizient [-], (3.34, 3.125) kinematische Viskositat in m 2 /s, (1.15), Tab. 1.1; Wirbelviskositat (turbulent) Massendichte (Dichte) in kg/m 3 , (1.1), Abb. 1.2, Tab. 1.1, 2.5; dichteveriinderlich p(p, T), kompressibel = barotrop p ( p ) , dichtebestandig p = const Grenzflachen-, Kapillarspannung, Kapillarkonstante in N/m, (1.40), Tab. 1.3 gesamte (druck- und reibungsbehaftete) Spannung in N/m 2 = Pa, (2.77, 2.114, 2.145a), Abb. 2.38, Tab. 2.8 (i = j Normal-, ;' # j Tangentialspannung) reibungsbedingte Spannung (Schubspannung) in N/m 2 , (1.12, 2.111, 2.145a) Wandschubspannung in N/m 2 , (1.12b, 2.154a, 3.84b) Warmestromdichte in J/s m 2 , (1.33, 2.178) Winkelgeschwindigkeit in 1/s, Abb. 2.19 Drehung (Rotation) des Fluidelements in 1/s, (2.34) Abb. 2.22, Tab. 2.3

y = pg e = pj, s f r\ t]' = Ar x] i? ic = Cp/cv /Cj X X' = CpAq X ti li. = A*IA v = r)/p, v' p a o,(o),Oij r, Tjj xw , w a> = (1/2) rot v A A, FA A r , Aq

Flache in m 2 ; Kontrollflache (freier Teil), Flachenvektor dA positiv nach auBen, Abb. 2.25b, 2.27; Querschnitts-, Mantelflache, Abb. 2.26 Auftriebskraft (Verdrangung, Umstromung), in N, (2.18, 3.242a) (turbulente) ImpulsaustauschgroBe, WarmeaustauschgroBe in Pa s, (1.18, 1.35,2.152)

Bezeichnungen, Dimensionen, Einheiten D = 2R Dg = AA/U E E, E E, E EF E, = E + U Ec = v2/cpT Eu = p/pv2 F, F Fr = v/yfgl G, FG H /, I J,J, J /,,, Js L, L M, M Ma = v/c P Pe = vl/a Pr = v/a Pr' = Ax/Aq Q, Q R Re = vl/v 5 S Sr = l/vt T Tu U Ua Uj V V(t), A(t) V VA = vA W W T *, * <J>=2

XIX

Durchmesser (Rohr, KreiszyUnder, Kugei) in m gleichwertiger Durchmesser (Rohr, Gerinne) in m, (3.77, 3.173) Ergiebigkeit (Quelle, Sinke) in m 2 /s (eben), in m 3 /s (raumlich), (3.261) kinetische Energie, (Geschwindigkeitsenergie) in J, (2.170a), Tab. 2.4, Tab. 2.11 physikalische, mechanische, thermodynamische Eigenschaft (FeldgroBe), (1.42, 1.43), Tab. 2.4 Elastizitatsmodul des Fluids in Pa, (1.4) totale kinetische Energie in J, (2.170b), Tab. 2.4. Eckert-Zahl [-], (1.47h), Tab. 1.4 Euler-Zahl [-], (1.47b), Tab. 1.4 Kraft (mit Index) in N, (2.75, 2.87, 3.54), Tab. 2.4, Tab. 2.6 Froude-Zahl [-], / = h bei Gerinne, (1.47d), Tab. 1.4 Schwerkraft (Gewicht) in N, (1.21) Enthalpie in J, Tab. 2.4 Impuls (Bewegungsgrofie) in kg m/s, (2.73), Tab. 2.4 Volumeneigenschaft, TransportgroBe, (2.46), Tab. 2.4 Energiegefalle, Sohlengefalle (Rohr, Gerinne) [-], Abb. 3.20b, Abb. 3.57 Impulsmoment (Drall) in kg m 2 /s, (2.85), Tab. 2.4 Kraftmoment (mit Index) in N m, (2.86, 2.87), Tab. 2.4 Mach-Zahl [-], (1.47e), Tab. 1.4 Leistung (mit Index) in J/s, (2.169), Tab. 2.4 Peclet-Zahl [-], (1.47g), Tab. 1.4 (molekulare) Prandtl-Zahl [-], (1.37, 1.47i), Tab. 1.1 turbulente Prandtl-Zahl [-], (1.39) Warme in J, Warmestrom in J/s, (1.22, 1.33, 2.179), Tab. 2.11 spezifische (spezielle) Gaskonstante in J/K kg, Tab. 1.1 Reynolds-Zahl [-], / = D bei Rohr, (1.47c), Tab. 1.4 Kontrollflache (korpergebundener Teil) in m 2 , Flachenvektor dS positiv nach aufien, in den Korper gerichtet, Abb. 2.27 Entropie in J/K, (2.212), Tab. 2.14 Strouhal-Zahl [-], (1.47a), Tab. 1.4 thermodynamische (absolute) Temperatur in K; thermodynamische Konstanten (mit Index), Tab. 1.1 Turbulenzgrad [-], (2.165) innere Energie (im Sinn der Thermodynamik) in J, Tab. 2.4 und 2.11 SuBere potentielle Energie, Lageenergie, Massenkraftpotential in J, (2.173), Tab. 2.11 innere Druckenergie (im Sinn der Mechanik) in J, (2.177), Tab. 2.11 Volumen in m 3 zeitveranderliches Systemvolumen (Systemflache), (2.45), Abb. 2.25a Volumenstrom in m 3 /s, Teilvolumenstrom dV = —v • dA bzw. dV = —v • dS (iiber Kontrollflache eintretend: positiv), (2.46, 2.51), Abb. 2.27 Volumenstrom iiber Kontrollfadenquerschnitt in m 3 /s, (2.55, 3.19), Abb. 2.6 Arbeit (mit Index) in J, (2.168), Tab. 2.11 Widerstandskraft (Reibung) in N, (3.242b, 3.264, 3.267), Abb. 3.83, Tab. 3.8 Zirkulation in m 2 /s, (3.239a) (vektorielle) Stromfunktion in m 2 /s (in m 3 /s bei drehsymmetrischer Stromung), (2.64), Abb. 2.28 Warmestrom in J/s, (1.33, 2.179)

(O) = (A) + (S) geschlossene raumfeste Kontrollflache, Abb. 2.27 (A), (S) freier, korpergebundener Teil der Kontrollflache, Abb. 2.30 (V) raumfestes Kontrollvolumen, Abb. 2.27

XX

Bezeichnungen, Dimensionen, Einheiten

FuBzeiger a, i auBen, innen (2.166a, 2.211), Tab. 2.11, 2.14 abs, rel absolut, relativ, (2.32) b Bezugszustand, Tab. 1.1 e fluidmechanischer Energieverlust, (3.64) (', j = 1, 2, 3 kartesische Zeiger, FuBnote 14, 23 (Kap. 2) m massebedingt, (2.74a), mittlerer Wert, (Rohr, Gerinne), (3.70, 3.175), Tab. 3.2 «, t normal, tangential, (2.28a, 2.119c), Abb. 2.17a 0 Ruhezustand (Kessel, Staupunkt); blendenartig verengte Rohrquerschnittsflache, (3.32a, 3.130) Abb. 3.37 p, P druckbedingt, Druckkraft (Schleppen, Formanderung), (2.2, 2.188, 2.197), Abb. 2.1, 2.6 r, R reibungsbedingt, Reibungskraft (Schleppen, Formanderung), (2.184, 2.198, 3.87) r, • 2 oo

freier Teil der Kontrollflache (A), Ersatzkraft, (2.78a, 2.87a, 2.174b) Massenkraft (body force), Schwerkraft, (2.7, 2.10, 2.76, 2.86, 2.173), Tab. 2.1, 2.6 Dissipation (Reibungsarbeit), (2.193b, 2.234, 3.87c), Tab. 2.10b, 2.13 tragheitsbedingt, Tragheitskraft, (2.172a), Tab. 2.11 Flussigkeit, Gas fester Korper, Korperkraft, Strahlkraft (Fluid - • Korper), (2.78b, 3.245) Stromungsmaschine (Pumpe P, Turbine T), (3.149), Tab. 3.1 Rohrleitungsteil, (Angabe spezieller Indices A, C, D, E, K, L, M, R, S, U, V, Z, 0, 1, 2), (3.64), Tab. 3.1 Kontrollflache (geschlossen), (2.74b, 2.174a) Warme (2.179) korpergebundener Teil der Kontrollflache (S), Stiitzkraft (Korper -> Fluid), (2.78b, 2.87b, 2.174c) Volumenanderung, (2.193a, 2.196) feste Wand, Wandschubspannung (1.12, 2.154a) Punkte im Stromungsfeld, langs einer Linie (Strom-, Bahnlinie; Zustandsanderung), (2.182, 3.67) Weg im Stromungsfeld; ProzeBablauf, Rohrleitung, (2.182, 3.67) ungestorter Zustand (Anstromung), Abb. 3.10

Kopfzeiger A *

Ableitung nach der Zeit TransportgroBe bei konstantem Volumen, (2.46c) momentane turbulente Bewegung, turbulente Schwankungsbewegung, (2.134, 2.224a), Tab. 2.10 gemittelte turbulente Bewegung, (2.137), FuBnote 59, 83 (Kap. 2), Tab. 2.10

Sonstige Symbole d d 3 A

substantielles (vollstandiges) Differential, Zustandsdifferential wegabhangiges (unvollkommenes) Differential, ProzeBdifferential partielles Differential Differenz zweier GroBen gleicher Art, Kennzeichnung der GroBen eines Fluidelements

Bezeichnungen, Dimensionen, Einheiten def v div v diss v grad v rot v Av (i = 1,2,3)

Deformationstensor, (2.39) Divergenz des Geschwindigkeitsfelds, Tab. B.4 Dissipationsfunktion, Tab. 2.13 Gradiententensor des Geschwindigkeitsfelds, Tab. B.I Rotation des Geschwindigkeitsfelds, Tab. B.3 Laplace-Operator des Geschwindigkeitsfelds, Tab. B.5 hinter Formel, bedeutet, daB Summationsvereinbarung (FuBnote 14, S. 66) nicht anzuwenden ist, sondem die Formel jeweils fur / = 1, 2 und 3 anzuschreiben ist, vgl. FuBnote 23, S. 77

Begriffe spezifische GroBe: ZustandsgroBe/Masse (masse-) bezogene GroBe: ProzeBgroBe/Masse GroBendichte: GroBe/Volumen GroBenstrom: GroBe/Zeit GroBenstromdichte: GroBe/Zeit x Flache abgeschlossenes System: Systemgrenze warme- und masseundurchlassig geschlossenes System: Systemgrenze warmedurchlassig, masseundurchlassig offenes System (Kontrollraum): Systemgrenze warme- und massedurchlassig

Dimensionen und Einheiten1 BasisgroBen, Basisdimensionen, Basiseinheiten: Lange L in m (Meter); Masse M in kg (Kilogramm); Zeit T in s (Sekunde); Temperatur & in K (Kelvin). Abgeleitete GroBen, Dimensionen, Einheiten: Kraft F = ML/T2 in N (Newton) = kg m/s 2 ; Spannung, Druck F/L2 in Pa (Pascal) = N/m 2 oder in bar; Arbeit, Energie, Warme FL in J (Joule) = N m; Leistung FL/T in W (Watt) = J/s; Temperatur (Celsius-Skala) °C, (Kelvin-Skala) K Umrechnungsformeln in Tabelle A.

1

XXI

Internationales Einheitensystem: SI = Systeme International d'Unites.

Bezeichnungen, Dimensionen, Einheiten

XXIII

Tabelle A. Basis- und abgeleitete GroBen mit den Einheiten verschiedener Einheitensysteme (eingerahmte Einheiten: Gesetz uber Einheiten im MeBwesen, 1969) GroBenart

Dimension Einheit

Lange

L

Meter, m inch, in foot, ft

BasisgroBe

Masse

Kilogramm, kg Tonne, t

M

pound-mass, lbm slug, si Zeit

T a)

Temperatur

0

ML

tete GroBe

1 in = 2,5400 cm 1 ft = 0,3048 m 1 t = 103 kg = 1 Mg 1 lbm = 0,4536 kg 1 si = 14,5939 kg 1 min = 60 s, 1 h = 3600 s

Kelvin, K Celsius, °C

1 K = (9/5)R = 1°C 1 R = (5/9)K = 1°F

Newton, N

tK = tc + 273,15
T2

Kilopond, kp pound-force, lbf

Spannung Druck

1 m = 102 cm = 103 mm

Sekunde, s

Fahrenheit, °F Rankine, R

Kraft

Umrechnung

F

u

Pascal, Pa Bar, bar techn. Atmosphare phys. Atmosphare Torricelli

1 kp = 9,80665 N 1 lbf = 4,4482 N 1 Pa = 1 N/m2 = 1 kg/m s2 1 bar = 105 Pa = 10 N/cm2 1 at = 1 kp/cm2 = 0,980665 bar = 10 m H2O 1 atm= 1,01325 bar 1 Torr = 1 atm/760 = 1 mm Hg

a) <

Arbeit Energie Warme

Leistung

FL

Joule, J = Ws Kalorie, cal Brit, thermal unit

FL ~T~

Watt, W Pferdestarke, PS horse-power, hp

1 J = 1 Nm = 1 kg m 2 /s 2 = 107 erg 1 kcal = 427 kp m = 4,1868 kj 1 Btu = 1,0551 kJ 1 W = 1 J/s = 1 kg m 2 /s 3 1 PS = 75 kp m/s = 0,7355 kW 1 hp = 0,7457 kW

a) ' C . ' K . ' F . 'R sind Zahlenwerte der Temperaturen in °C (Grad Celsius), K (Grad Kelvin), °F (Grad Fahrenheit) bzw. R (Grad Rankine)

CO

1

1

Cry =

Crz =

z

r Crr =

Cxz =

z

r, (p, z

Cxy =

Cxx =

Cyz =

Cyy =

Cyx =

17'

daz

IF'

dar dr '

Cyz =

Cyy =

Cyr =

dr ' r d
3a 1 3a 3a \

17'

3a z

17'

3a-y

17'

* - ( 37

3/ Yz)

3fly

"

c

=

dax

1 3az r dcp '

1 (day

1 (dar r V d
17'

daz

17'

J

\

a \ a
Czz =

.

czr

Czz

17

3a z

17

17

=

dar dz

17

day

~

~

~

r

Cz=ir

^ ~

dx

dy

by daz r dip

3
by dav

daz

by dar r dcp

r

17

,bz

da

hbz

day

+

+

17

3a z

day

byOr

r

byav

17 + ~7" bZ

b

dz

3a r

17

3a z

17

+ bz

Tdj+t hYz

by da

y

day

dax Sax
'17" + by

+ 3

, .

dr Say dr

3a r

, 3a

bx

day ~dx

x

~dx

x

3a 3a da h byy— + b 7 dx dy -Jz

r — br

c

Cz

Cy

Cx

c = bx

da\

da

da

b • grad a = k. • Va. = £ 2

V; g_ = £.

grad a =

B.2 b • grad a = b_-Va = c

Gradient

grad a = Va (normale Multiplikation), div a = V- g_ (skalare Multiplikation), rot a = Vx g_ (vektorielle Multiplikation), grad a = V; a_ (dyadische Multiplikation)

grad a = Va = £

B.I

y

X

x, y, z

Koordinaten

Tabelle

Es bedeutet a = Skalar (Tensor nullter Stufe), a = g_ = Vektor (Tensor erster Stufe), (a) = S_ = Tensor (Tensor zweiter Stufe)

Tabelle B. Vektor- und Tensoroperationen fiir kartesische und zylindrische Koordinaten nach Abb. 1.13.1

zylin

a

s

s

X X

3

3ar\ dip )

i

~

°

Cz

C
Cr

°

z

y

Cx

dax +

day +

daz

r\

dr

1 ^3(rarz)

1 (d{rarip) r \ dr

|

dazr dz

daz ' 3z av
l

t

dip )

9a^z^

l

§

dz

9a zz

daw\ dazlp avr ' dip ) ' dz ' r

da,pr\ dip )

1 fd(rarr) r\ dr

3azz dz

dazy 3z

dazx dz

9a^^ ' dip )

t

+

1 f d(rar) r\dr

dayz dy

daxz dx

dayx 3y 3avv dy

+

daxv dx

daxx dx

~ ~~dx 1 i 7 ~fa

c

div(a) = V • g_ = c_

div a = V-g_ = c

B.4 Divergenz

°

z

Clf

Cr

°

Cz

Cy

Cx

C

+

"9^

d2a

d2ay ~W +

d2ay ~dzT

32^ 32^ 3y2 ' 3Z2

~W

d2a

1 9 / 9az\ r dr V dr )

r dr V dr )

1 9 / dav\

1 9 / 3ar\ rdr\ dr )

1 3 / da\ rdr V dr)

1 d2a r2 dip2

+

d 2a dz2

' r

dip

2

'

3z 2

32a^ 1 d2az d 2a z 2 2 ' r dip ' 9z2

2

1 a2a^

2

1 d2ar 3 2a r 2 ' r dip ' 9z2

+

d2az d2az 32az 2 2 ~ dx ' dy ' 3z2

d2ay ~ ~dx2

32^ dx2 +

2 +

~ ~dx

d2a

2 dar

2 da^ r2 dip ' r2 dip

Aa = grad(diva) — rot(rota) = Aa. = c_

Aa = div(grada) = V • Va = c

B.5 Laplace-Operator

r2

av

ar r2

2 b grada = {b • grad)a = j[grad(« • b) — (a x rotb + b x rota) +rot(a x b) — (a div ft — b diva)] 3 rot(grada) = 0, div(rota) = 0

1 vgl. Schade, H.: Kontinuumstheorie stromender Medien, Springer, 1970, Spiegel, M.R.: Vektoranalysis, Theorie und Anwendung (engl. Ubersetzung 1959), McGraw-Hill, Hamburg 1990

°

1 fd{rav) r \ dr

z

dz

da^

daz dr

z

r dcp

1 9a z

dar dz

°

r

(Cr, Cp, Cz)

dax 3y

r

£ -

r, ip, z

day ~ dx

Cz

z

dax daz ~~di~~dx

day dz

(cx,cy,cz)

daz ~ dy

Cy

Cx

y

X

L=

rota = V x £ = c

Koordinaten

x,y,z

B.3 Rotation

Tabelle

kartesisch

zylindrisch

X X

K—

cp-

Cp-

Cv -

Ks

Isentropenkoeffizient

spezifische Warmekapazitat (Tabelle 1.2)

Civ

ap

aT

V

dv

V

Spannungskoeffizient

Ausdehnungskoeffizient

thermische Zustandsgleichung p

dp hUp

V

(dv\

Cp_

/dp

O-pOlv —

pv

T

Cv

K-l

T

Kapav pv

a p a« pv

v (dp\ _ P \dv)s

(dh\

Cv

Otv

Op

/ s

I = aTKs

K

aT

Op_

d -( A = P \9TJ

T

W)v

W)p

=

Y

dT

T(dv\ _ aTav v \dTjp

v \dpJT

p/9v\

-CUT

v = v(p, T)

K-l

(du\

2

1

=0

K =

= 00

1

cp = c(T)

--cp(T)

cv(T)

1 aT

Cv =~-

Cp-

Cv -'-

Ks ==

T dp ' p dT

=0

Ctv =

Up--

(XT == 0

V

dv

v = const

raumbestandiges Fluid

dp p

dT

Y

K-l

K

K=K(T)

const

R

,R K— 1

Cp - cv = R =

Cp{T)

r (T\) — Cv(l

Ks = K(T)

Otv = 1

<*p = l

(XT = 1

dv v

K = const

cp — const

cv — const

3

KS = K = const

(1.27a, b)

(1.28a, b)

(1.26a, b)

(1.25a, b)

(1.2.9b)

(1.3b)

(1.3a)

(1.2a), (1.8c)

(1.8b)

(v = l/p)

thermisch pv - RT

Gleichung

ideales Gas vollkommen

Crt a'

g

n

2

allgemeines Fluid

C.I

thermodynamische Zustandseigenschaft

X

Tabelle C. Thermodynamische Beziehungen elementarer Zustandsanderungen (Koeffizienten, Zustandsgrofien) [3, 8, 14, 21, 24, 28, 35]

ds = 0

ds

-ap)vdp

-av)pdv

»

cp dv ap v

cv dp av p

p

-cipvdp

CpdT

cvdT + avpdv

T = const

c(T)dT

c(T)dT + vdp

c(T)dT

raumbestandiges Fluid

P

dp 1" Cp

v

dv

p

v

il_+Kdl=Q

Cv

CpdT — vdp

cvdT + pdv

cp(T)dT

cv(T)dT

thermisch

ideales Gas

3

KS = const: Isentropenexponent R =R/M = spezifische Gaskonstante R = universelle Gaskonstante (M = Molmasse)

2

du + p dv = dh — v dp

cpdT + (1

dh

T ds

h = u + pv

h

cvdT - ( 1

du

x v = spezifisches Volumen, p = l/v = Massendichte v = const: volumen-, raumbestandig p = const: dichtebestandig, inkompressibel P Tp(13b)

spezifische Entropie (Tabelle 1.2)

spezifische Enthalpie (Tabelle 1.2)

u = h — pv

allgemeines Fluid

ii

thermodynamische Zustandseigenschaft

spezifische innere Energie (Tabelle 1.2)

C.2

K—1

K —1

pv" = const

s = cv ln(pu")

h = cpT =

u = CVT =

vollkommen

-pv

-pv

(1.6)

(1.32c)

(1.32a, b)

(1.31)

(1.30)

(v = 1/p)

Gleichung

X X

5!

I'

q

1. Einfuhrung in die Fluidmechanik

1.1 Uberblick Stromungstechnische Aufgaben kommen in den verschiedensten Bereichen von Naturwissenschaft und Technik vor. Bei den stromenden Medien, allgemein Fluide genannt, kann es sich um Fliissigkeiten, Dampfe oder Gase handeln. Im Bauwesen bestehen die Hauptanwendungen in der Ermittlung von Wasserkraften auf Unterwasserbauwerke sowie von Windkraften auf Gebaude, in der Erfassung von Stromungsablaufen in wassergefiillten Rohrleitungen, Kanalen, Fliissen (einschlieBlich der vielfaltigen Einbauten, wie z. B. Uberfall und WasserschloB) sowie im Talsperrenbau, in der Beschreibung von Grundwasser- und Sickerstromung sowie von Geschiebebewegungen. Im Maschinenwesen stellen neben einigen bereits beim Bauwesen genannten Anwendungen (Rohrleitungen) die Energieumsetzung, die Vermischung sowie die Warmeiibertragung bei Stromungsmaschinen (Pumpe, Verdichter, Turbine, Verbrennungsmotor) die Hauptanwendungen dar. Neben der Liiftungs- und Klimatechnik gehoren auch die hydraulischen Getriebe, die Lagerschmierung sowie die fluidmechanischen Steuerelemente (Fluidiks) hierzu. Im Verkehrswesen sind Fragen der Umstromung bei Land-, Wasserund insbesondere Luftfahrzeugen von groBer Bedeutung. In der Verfahrenstechnik (Chemie-Ingenieurwesen) sind die stromungstechnischen Probleme besonders verwickelt, da es sich hierbei im allgemeinen um das Zusammenwirken mehrerer Aggregatzustande (fest, fliissig, dampf- und gasformig) handelt. Fliissigkeitsund Gasstromungen sind oft Trager von Fremdstoffen (schmutzige Stromung, Staubbewegung). Der hydraulische und pneumatische Transport sowie Mehrstoffstromungen, Misch- und Riihrvorgange stehen im Vordergrund der Betrachtung. Haufig reichen diese Anwendungen in das Gebiet breiartiger und plastischer Medien hinein. In diesem Zusammenhang seien z. B. auch die Stromungsvorgange im menschlichen Organismus genannt. In der Akustik sind es die Schallbewegungen und Explosionsvorgange sowie in der Meteorologie das Verhalten der Erdatmosphare und der Wassermassen der Meere, welche stromungstechnische Fragen aufwerfen. Da es unmoglich und auch nicht beabsichtigt ist, alle mit Stromungsfragen zusammenhangenden Aufgaben liickenlos darzustellen, muB auf das zahkeiche in Buchform und Einzelveroffentlichungen vorliegende Schrifttum verwiesen werden. Die Grundlagen und Grundgesetze zur Behandlung der genannten Aufgaben der Stromungstechnik liefert die Fluidmechanik. Sie ist ein Teilgebiet der Mechanik und Gegenstand dieses Buches. Wahrend man in der Mechanik fester

2

1.1 Uberblick

Korper von der Vorstellung einzelner oder eines Systems freier oder in bestimmter Weise gefiihrter Massenpunkte ausgehen kann, handelt es sich bei der Mechanik der Fluide (fliissige, dampf- oder gasformige Korper) um kontinuierlich iiber bestimmte Raume verteilte Massenelemente. Nach der hierfiir entwickelten Mechanik der Kontinua stehen die einzelnen Fluidelemente zu jedem Zeitpunkt unter der Wirkung ihrer Umgebung und beeinflussen sich somit gegenseitig standig in ihrer Bewegung. In der Mechanik versteht man unter der Kinematik die Lehre von den Bewegungen und unter der Dynamik die Lehre von den Kraften. Das Zusammenwirken von Kinematik und Dynamik wird als Kinetik bezeichnet. Befindet sich das Fluid in Ruhe oder in gleichformiger Bewegung, so wird das (mechanische) Gleichgewicht der Krafte von der Statik beschrieben. Spielen neben rein mechanischen Vorgangen Einfliisse der Thermodynamik eine Rolle, so soil dies Teilgebiet Thermofluidmechanik genannt werden. Damit in Zusammenhang stehende Fragen gehoren in den Bereich der Energetik. Am haufigsten treten bei technischen Aufgaben Wasser- und Luftstromungen auf. Sie gehoren in das Gebiet der Hydro- bzw. Aeromechanik oder gegebenenfalls der Hydro- bzw. Aerostatik. Werden nur Gase betrachtet, so hat man hierfiir auch den Namen Gasdynamik (Gasmechanik) eingefiihrt. Das Ubergangsgebiet zwischen dem festen und dem fliissigen Aggregatzustand wird von der Rheologie (FlieBkunde) beschrieben. Bei sehr stark erhitzten Gasen kommen chemische Reaktionen vor, die mit einer Stoning des thermodynamischen Gleichgewichts verbunden sein konnen. Findet dabei eine Beeinflussung des elektrisch leitenden (ionisierten) Fluids durch elektro-magnetische Felder statt, so hat man es mit der Magneto-Fluidmechanik als Teilaufgabe der Plasmaphysik zu tun. Vorgange, bei denen das Fluid nicht mehr als Kontinuum angesehen werden darf, z. B. bei stark verdiinnten Gasen, gehoren in das Gebiet der kinetischen Gastheorie. Fragen der stark erhitzten und der stark verdiinnten Gase werden in diesem Buch nicht erortert. Die vollstandigen Bewegungsgleichungen stromender Fluide wurden gegen Mitte des neunzehnten Jahrhunderts von Navier und Stokes angegeben. Wegen der groBen mathematischen Schwierigkeiten bei der Losung dieser Gleichungen wurden jedoch zunachst weitgehend nur Falle unter Vernachlassigung der inneren Reibung des Fluids behandelt. Die hieraus entstandene theoretische Fluidmechanik, auch klassische Hydromechanik genannt, wich in vielerlei Hinsicht so stark von der Wirklichkeit ab, daB die praktisch arbeitenden Ingenieure eine eigene, den ReibungseinfluB insbesondere bei Rohrstromungen erfassende, stark empirisch ausgerichtete Fluidmechanik ^fo technische Hydraulik schufen. Bis zum Ende des neunzehnten Jahrhunderts haben sich so zwei kaum noch miteinander in Beriihrung stehende Zweige der Fluidmechanik entwickelt. Durch die Anfang des zwanzigsten Jahrhunderts von Prandtl fur wandnahe Stromungen (Stromungsgrenzschicht) aufgestellte ReibungsschichtTheorie konnte die Verbindung beider Zweige hergestellt werden. Seit dieser Zeit arbeiten Mathematiker, Naturwissenschaftler und Ingenieure gemeinsam nach einheitlichen Grundgedanken an der Losung fluidmechanischer und stromungstechnischer Aufgaben. Dadurch hat die Fluidmechanik eine sehr starke Entwicklung und Ausweitung genommen. So konnen z. B. Vorgange,

1.2.1 Einfiihrung

3

die in der Stromungsgrenzschicht mit Warme- und Stoffaustausch verbunden sind (Temperatur- bzw. Diffusionsgrenzschicht), mittels der verallgemeinerten Grenzschicht-Theorie beschrieben werden. Mathematische Methoden und experimentelle Untersuchungen stellen die Grundlagen der modernen Fluidmechanik dar, wobei die entscheidenden Fortschritte meist durch einige grundsatzliche Versuche zusammen mit entsprechenden theoretischen Uberlegungen erzielt werden. Es werden die theoretischen Grundgesetze der Fluid- und Thermofluidmechanik ausfiihrlich dargestellt, um so das Riistzeug fiir die Behandlung technischer Anwendungen zur Verfiigung zu stellen. IngenieurmaBige Aufgaben lassen sich bereits in hohem MaG auf theoretischem Weg losen. Wo dies noch nicht der Fall ist, konnen sinnvoll ausgefiihrte experimentelle Untersuchungen die anstehenden Fragen beantworten. Es ist daher versta'ndlich, daB sich zur Bewaltigung der meBtechnischen Aufgaben ein sehr ausgedehntes und fortschrittliches stromungstechnisches Versuchswesen entwickelt hat. Wahrend sich Kap. 1.2 mit den wesentlichen fluidmechanischen und thermodynamischen Eigenschaften und StoffgroBen der Fluide beschaftigt, geht Kap. 1.3 auf das grundsatzliche Verhalten von Stromungsvorgangen hinsichtlich ihrer Darstellungsmethoden und Erscheinungsformen ein. Einen Uberblick zur Fluidmechanik geben Prandtl, Oswatitsch und Wieghardt [27]. Auf die Ubersichtsberichte im Handbuch der Physik [15] sei hingewiesen. Beabsichtigt man, sich mit der geschichtlichen Entwicklung der Fluidmechanik zu beschaftigen, so kann die Darstellung von Szabo [37] empfohlen werden. Ausfiihrliche Referate iiber die wichtigsten Veroffentlichungen erscheinen laufend in den "Annual Review of Fluidmechanics" (z. Zt. Band 27, 1995). Eine nach Sachgebieten geordnete Bibliographic bekannter Biicher zur Fluidmechanik findet man in Band II.

1.2 Physikalische Eigenschaften und StoffgroBen der Fluide 1.2.1 Einfuhrung Fluide kann man entsprechend ihrem Aggregatzustand in Fliissigkeiten, Dampfe und Gase unterteilen. Wahrend man unter Fliissigkeiten tropfbare Fluide versteht, handelt es sich bei Dampfen um Gase in der Nahe ihrer Verfliissigung. Man nennt einen Dampf gesattigt, wenn schon eine beliebig kleine Temperatursenkung ihn verfliissigt; er heiBt iiberhitzt, wenn es dazu einer endlichen Temperatursenkung und gegebenenfalls einer Druckerhohung bedarf. Gase sind nichts anderes als stark iiberhitzte Dampfe. Da sich alle Gase verfliissigen lassen, besteht kein grundsatzlicher Unterschied zwischen Gasen und Dampfen. Bei geniigend hoher Temperatur und niedrigen Driicken nahert sich ihr Verhalten dem des idealen Gases.

1.2 Physikalische Eigenschaften und StoffgroBen der Fluide 2,0

1,5 Flussigkeit

1,0 •n=0

0,5

Vakuum

0,5

1,0

1,5

2,0

Abb. 1.1. Ruhende Fluide jeweils in zwei Behaltern von verschieden groBen Volumina V" > V, Masse tri = m. a Flussigkeit m'F = mp, V'F — V>. b Gas m'G = me, V'G > Vg-C polytrope Zustandsanderung dichteveranderlicher Fluide p = p(p) nach (1.5c), n = 0: isobar (p = const), n = oo: isochor (p = const); Gas (Luft), n = 1: isotherm (T = const), n = KS = K = 1,4: isentrop (s = const)

In der Mechanik des starren Kdrpers leistet der Begriff des Punkthaufens nutzliche Dienste. Er ist dagegen fur die Behandlung der Fluide nur bedingt anwendbar. Man denkt sich vielmehr die Masse eines Fluids kontinuierlich verteilt und spricht dann von einem Kontinuum, d. h. von einem im allgemeinen zeitlich veranderlichen, kontinuierlich mit Masse erfiillten Raumbereich. Anstelle der endlich vielen Massenpunkte eines Punkthaufens wird eine unendlich groBe Anzahl von Massenelementen, die sich standig gegenseitig beeinflussen, angenommen. Ein Kontinuum ist dadurch gekennzeichnet, daB man es in immer kleiner werdende Volumenbereiche aufteilen kann, ohne daB dadurch die physikalischen Eigenschaften verloren gehen. Das Kontinuum ist physikalisch gesehen eine idealisierte Vorstellung eines materiellen Korpers. Die physikalische GroBe Masse kennzeichnet die Eigenschaft eines Korpers, die sich sowohl als Tragheit gegeniiber einer Andening seines Bewegungszustands als auch in der Anziehung zu anderen Korpern auBert. Die mikroskopische Verteilung der Materie sowie das Versagen der Darstellung des Fluids als Kontinuum, wenn die freie Weglange der Atome oder Molekule nicht mehr klein gegeniiber den Korperabmessungen ist, wird nicht besonders beriicksichtigt. Wahrend ein bestimmtes Fliissigkeitsvolumen einen Behalter von groBerem und beliebigem Volumen nicht voll ausfiillt, ist dies bei einem Gas durch Ausfiillen des gesamten Behalters immer der Fall. Eine Flussigkeit wird durch intermolekulare Krafte eng zusammengehalten, so daB sie zwar ein bestimmtes Volumen, aber keine feste Form besitzt. Bei einem Gas sind die Molekule in dauernder Bewegung, stoBen dabei miteinander zusammen und verteilen sich so iiberall in einem vorgegebenen Behalter. Ein Gas besitzt also im allgemeinen weder ein bestimmtes Volumen noch eine feste Form. In Abb. 1.1 wird das unterschiedliche Verhalten von Fliissigkeiten und Gasen, die sich jeweils in einem kleinen und in einem groBen Behalter befinden, betrachtet. Bei gleichbleibender Fluidmasse bleibt das von der Flussigkeit nach Abb. 1.1a eingenommene Volumen gleich groB, wahrend sich beim Gas nach Abb. 1.1b eine

1.2.2 Dichteiinderung

5

starke Volumenanderung ergibt, Kap. 1.2.2. Fliissigkeiten bilden im Gegensatz zu Gasen freie Oberflachen (z. B. Grenzflachen zwischen Wasser und Luft). Ein Fluid ist durch leichte Verschieblichkeit seiner Elemente gekennzeichnet. Um die urspriingliche Anordnung der Elemente grundlegend zu verandern, geniigen im Gegensatz zum festen Korper sehr kleine Krafte und Arbeiten, wenn die Formanderung nur hinreichend langsam erfolgt. Das Verschieben der Fluidelemente gegeneinander hangt von den angreifenden Normal- und Tangentialkraften ab. Die ersteren sind im wesentlichen Druckkrafte und die letzteren durch Reibung bedingte Schubkrafte, Kap. 1.2.3. Beim deformierbaren Fluidelement muB zwischen elastischem und unelastischem Verhalten unterschieden werden. Wahrend im ersten Fall ein verzerrtes Fluidelement ohne zusatzliche auBere Arbeit in den unverzerrten Zustand zuriickkehrt, kann im zweiten Fall der Ausgangszustand nur durch eine zusatzliche auBere Arbeit wieder erreicht werden. Fliissigkeiten unterliegen weit mehr als Gase dem EinfluB der Schwere, Kap. 1.2.4. Umgekehrt sind Temperatureinfliisse bei Gasen von weit groBerer Bedeutung als bei Fliissigkeiten, Kap. 1.2.2 und 1.2.5. Haufig erweist sich eine Unterteilung nach der Zusammensetzung des Fluids als zweckmaBig. Ein Fluid nennt man homogen, wenn es iiberall aus dem gleichen Stoff (einphasig) besteht und wenn seine physikalischen StoffgroBen im betrachteten Raum unveranderlich sind. Den Begriff inhomogen (— nicht homogen) verwendet man bei einem raumlich ungleichmaBig verteilten Fluid mit veranderlichen StoffgroBen. SchlieBlich kann man von heterogen (= im Gegensatz zu homogen) sprechen, wenn mehrere Aggregatzustande (mehrphasig), verschiedene Fluide oder Fluide mit Fremdstoffen vorliegen, Kap. 1.2.6. Mit Ausnahme gewisser Unstetigkeiten im Stromungsgebiet werden in einem stromenden Fluid als Kontinuum die makroskopischen Eigenschaften als stetige Funktionen von Zeit und Raum angesehen. Diese Betrachtungsweise gestattet die Anwendung der meisten Methoden der Mathematik, da diese in der Hauptsache auf stetigen Funktionen beruhen.

1.2.2 Dichteanderung 1.2.2.1 Grundsatzliches Fliissigkeiten erfahren in einem Behalter selbst unter sehr hohem Druck nur eine sehr kleine Volumenanderung, so daB man bei fast alien praktisch wichtigen Stromungsvorgangen von Fliissigkeiten, hier insbesondere bei Wasser (Hydromechanik), das Fluid als raumbestandig ansehen kann. So betragt z. B. die Raumverminderung des Wassers bei normaler Temperatur durch eine Druckerhohung von 1 bar nur etwa 0,057°° des urspriinglichen Volumens. Ein solches Fluid besitzt also praktisch ein unveranderliches Volumen, d. h. eine nahezu konstante Dichte (Masse/Volumen). Obwohl man eine Fliissigkeit im allgemeinen als dichtebestandiges Fluid auffassen kann, spielt ihre geringe Elastizitat dennoch z. B. bei DruckstoBproblemen eine wichtige Rolle und darf hierbei nicht vernachlassigt werden. Im Gegensatz zu der beschriebenen

6

1.2 Physikalische Eigenschaften und StoffgroBen der Fluide

Eigenschaft der Fliissigkeiten sind die Gase, hier insbesondere die Luft (Aeromechanik), nicht raumbestandig. Sie suchen vielmehr jeden ihnen zur Verfiigung stehenden Raum unter Anderung ihrer Dichte gleichmaBig zu erfiillen und bleiben nur durch die Wirkung auBerer Druckkrafte auf einen bestimmten Raum beschrankt. AuBerdem ist ihr Volumen bei konstant gehaltenem Druck auch noch von der Temperatur abhangig. Ein Gas ist also im allgemeinen als dichteveranderliches Fluid aufzufassen. Indessen hat die Erfahrung gelehrt, daB die Dichteanderungen, welche bei der Stromung eines Gases relativ zu einem ruhenden Korper oder bei der Bewegung eines Korpers in einem ruhenden Gas auftreten, nur gering sind, solange die Geschwindigkeiten wesentlich kleiner als die Schallgeschwindigkeit fur das betreffende Gas sind. So ergibt sich z. B. fur Luft im Normzustand bei einer Geschwindigkeit von 55 m/s R* 200 km/h gegeniiber dem Ruhezustand eine Dichteanderung von etwa 1,5%, vgl. Kap. 3.3.2.2. Vernachlassigt man derartige Schwankungen der Dichte, so konnen auch die Gase unter den obigen Voraussetzungen angenahert als dichtebestandig angesehen werden, und die Bewegungsgesetze der Hydromechanik gelten dann unverandert auch fur Gase. Bei stromungstechnischen Problemen konnen sowohl Druck- als auch Temperatureinfliisse eine Rolle spielen. Man bezeichnet haufig die von beiden hervorgerufene Dichteanderung sachlich unvollstandig mit Kompressibilitat (Zusammendriickbarkeit), da im allgemeinen die Druckeinfliisse gegeniiber den Temperatureinfliissen von groBerer Bedeutung sind. Eine Stromung, bei der sich das Fluid dichtebestandig verhalt, wird daher auch inkompressible Stromung und eine solche mit einem dichteveranderlichen Fluid kompressible Stromung genannt. Obwohl diese Begriffe sehr haufig ganz allgemein fiir Stromungen dichtebestandiger bzw. dichteveranderlicher Fluide verwendet werden, wird in diesem Buch auf ihre Verwendung weitgehend verzichtet. 1.2.2.2 Dichte von Fluiden Definition. Unter der Dichte, genauer als Massendichte bezeichnet, versteht man die auf das Volumen AV bezogene Masse Aw eines kontinuierlich verteilten Fluids Masse Am dm 1 p = —= hm -TT7 =-777, P = ~ (Definition). (1.1a, b) Volumen AV^O AV dV v Es ist p eine StoffgroBe des Fluids, welche die Dimension M/L 3 = FT2/L4 mit der Einheit kg/m 3 = Ns2/m4 besitzt. Den Kehrwert der Dichte nennt man das spezifische Volumen v = dV/dm — l/p. Diese GroBe wird haufiger in der Thermodynamik als in der Fluidmechanik verwendet. Im allgemeinen sind die genannten StoffgroBen vom (thermodynamischen) Druck p in N/m2 = Pa und von der Temperatur T in K abhangig, v = v(p,T) oder p — p(p,T). Fiir die totale Dichteanderung eines Fluids in diesem Zustand kann man schreiben dp = (dp/dp)dp + (dp/dT)dT oder — =aT^--aP%-=pTdp-ppdT. p p T

(1.2a, b)

1.2.2 Dichteanderung

7

Als Abkiirzungen werden der dimensionslose isotherme Ausdehnungskoeffizient CCT bzw. der dimensionsbehaftete Kompressibilitatskoeffizient fir in I/Pa und der dimensionslose isobare Ausdehnungskoeffizient ap bzw. der dimensionsbehaftete Warmeausdehnungskoeffizient fip in 1/K eingefuhrt, vgl. Tab. C.I,

P \dpJT

P

Bei einem dichtebestandigen Fluid (p = const) ist otj —0 = ap. Ahnlich dem Hookeschen Elastizitatsgesetz fiir feste Stoffe a = E • s (a = Spannung, e = relative Langenanderung, E = linearer Elastizitatsmodul) kann man fiir das elastische Verhalten von Fluiden schreiben Ap = —Ep • sv (Ap — Druckanderung, ev = A V / V = relative Volumenanderung, £/r=kubischer Elastizitatsmodul in N/m2). In differentieller Form kann man mit Ap = dp und

AV/V = dv/v = —dp/p schreiben EF = p— « pi — ) = — dp \dpJT PT

(Volumenelastizitat).

(1.4)

Barotroper Zustand. Hangt die Dichte nur vom Druck ab, d. h. ist p(p, T) = p[p, T(p)] = p(p), dann gilt ap = 0 ^ aj und man spricht von einem kompressiblen Fluid im barotropen Zustand.1 Eine einfache Zustandsanderung la'Bt sich z. B. durch die polytrope Zustandsgleichung —n = const, — = n— , —= (— ) (polytrop) (1.5a, b, c) P P P Pb \PbJ mit n als Polytropenexponenten beschreiben. Der Index b kennzeichnet einen bestimmten Bezugszustand. Eine isobare Zustandsanderung p/pb = 1,0 liegt fiir n = 0 vor, wahrend mit n = oo die isochore Zustandsanderung, d. h. ein Vorgang bei dichtebestandigem Fluid p/pb — 1,0, erfafit wird. In Abb. 1.1c sind die beiden Zustandsanderungen fiir n = 0 und n — oo dargestellt. Bei sehr kleinen Driicken p ->• 0 strebt die Dichte dem Wert p —> 0 (Vakuum) zu.2 In der Fluidmechanik ist die adiabate Zustandsanderung von besonderer Bedeutung. Man versteht darunter einen Vorgang, bei dem eine bestimmte Fluidmasse von ihrer Umgebung warmedicht abgeschlossen ist, oder anders gesagt, bei welchem ein Warmeaustausch mit der Umgebung nicht stattfinden kann. Erfolgt dariiber hinaus der Stromungsablauf reversibel, z. B. bei Vernachlassigung von innerer Reibung, so bleibt dabei die Entropie unverandert (spezifische Entropie s = const). Die zugehorige Zustandsanderung p = p(p, s=const) nennt man isentrop (— adiabat-reversibel). Fiir n = KS erhalt man aus (1.5 c), vgl. Abb. 1.1c, die Isentropengleichung

P = (IJ-) P \ 1/Ks S-

(isentrop)

(1.6)

Pb \PbJ mit KS = const als Isentropenexponenten, vgl. (1.29b). Fiir ein dichtebestandiges Fluid mit p = const ist \/KS —0 und KS = oo. Eine isentrope Zustandsanderung 1

Der Begriff der Barotropie schlieBt auch die Falle T(p, p) = T[p, p(p)] = T(p) sowie p(p, s) = p[p, s(p)] = p(p) ein, (s = spez. Entropie). 2 Dieser Fall gehOrt in das Gebiet der kinetischen Theorie der Fliissigkeiten und Gase.

8

1.2 Physikalische Eigenschaften und StoffgroBen der Fluide

liegt bei stetig verlaufender Stromung eines reibungslosen Fluids vor, vgl. Kap. 4.3.2.5. Fliissigkeiten. Aus Untersuchungen an Wasser ist bekannt, daB sich der Kompressibilitatskoeffizient $j (dimensionsbehafteter isothermer Ausdehnungskoeffizient UTIP) nur wenig mit dem Druck und der Temperatur andert und zwar stellen ySr ^ 5 • 10" 10 /Pa bzw. EF «* 2 • 109 Pa brauchbare Mittelwerte dar.3 Im Gegensatz hierzu hangt der Warmeausdehnungskoeffizient f}p (dimensionsbehafteter isobarer Ausdehnungskoeffizient ap/T) stark von der Temperatur ab, und zwar gelten bei einem Druck von p = 1 bar die Werte [22, 40] Temperatur t in

fip in 10-3/K

4

0

°C

-0,080

0

25

0,259

50

0,457

99,6 0,748

Wegen f}p = 0 bei t = 4°C hat dort die Dichte ein Maximum. Dies Verhalten ist als Anomalie des Wassers bekannt. Die kleinen Zahlenwerte fur fir und fip zeigen, daB die Dichte von Wasser nur wenig verandert werden kann. Bei den im Wasserbau im allgemeinen auftretenden Driicken und Temperaturen konnen die fluidmechanischen Berechnungen somit genUgend genau mit der Dichte von p RS 1 g/cm 3 = 1000 kg/m 3 = 1 t/m 3 durchgefiihrt werden. Fiir das Dichteverhaltnis von Fliissigkeiten kann man naherungsweise — % 1,0 (Flussigkeit)

(1.7)

Pb

setzen, d. h. das Fluid als dichtebestandig ansehen. In Tab. 1.1 sind Zahlenwerte der bisher besprochenen StoffgroBen fiir Wasser und Quecksilber (fliissiges Metall) zusammengestellt. Gase. Stromungsvorgange von Gasen, die mit groBeren Dichteanderungen verbunden sind, konnen nicht mehr unter der Vorstellung eines dichtebestandigen Fluids behandelt werden. Vielmehr ist bei ihnen die Veranderlichkeit der Dichte in Abhangigkeit von Druck und Temperatur p = p(p, T) in Betracht zu ziehen. Der Zusammenhang zwischen den ZustandsgroBen spezifisches Volumen v = l/p, Dichte p = l/v, Druck p und Temperatur T wird durch die thermische Zustandsgleichung (Boyle, Gay-Lussac, Mariotte) DT pv = RT,

DT p = pRT,

— = — — (Gas) Pb

d

dT P = dP ,h —-; — p p T

(1.8a,b,c;d)

Pb T

beschrieben. Hierin stellt R = R/M die spezifische (spezielle) Gaskonstante fiir das betreffende Gas in J/kg K dar. Ihr Wert entspricht der Arbeit in J, die 1 kg Gas bei der Erwarmung um 1 K gegen konstanten Umgebungsdruck verrichtet. Wahrend R von Gas zu Gas verschieden ist, ist R eine Konstante der Physik, 3

Bei isentroper Zustandsanderung (1.6) wird fir = (\/p)(dp/dp) = \/(Ksp). Fiir Wasser bei p = 1 bar folgt mit KS s» 20000 nach Tab. 1.1 der angegebene Wert fur pT.

Cp/Cv

Pr

ts

Prandtl-Zahl

Siedetemperatur

X-103

Warmeleitkoeffizient

a-10

K =

Temperaturleitkoeffizient

cp

spezifische Warmekapazitat

6

vW

kinematische Viskositat

Ts

°C

-

m /s

2

W/mK

kJ/kgK

m /s

2

Pas K K K

t)W6

dynamische Viskositat

6

J/kgK

R

spezifische Gaskonstante

TA TB

m/s

kg/m

c

Ks

P aT ap

3

Schallgeschwindigkeit

Dichte

StoffgroBe

Fluid

99,63

13,51

0,1327

561,0

4,228 1,001

1,793

1792 506 -150

-

1430

999,8 0,00005 -0,0219 20420

H2O

357

0,030

4,093

7790

0,140 1,134

0,124

168,5 160 -96

-

1455

13595 0,0000 0,0494 284070

Hg

99,63

0,999

20,83

25,08

2,042 1,340

20,81

890

12,27

461,5

473

0,5896 1,003 0,787 1,320

H2O

Wasser

Wasser Quecksilber

Dampf

Fliissigkeit

-194,5

0,718

18,85

24,18

1,006 1,403

13,52

113

17,24

287,7

331

1,275 1,007 1,004 1,397

Luft

Gas

-195,8

0,716

18,86

24,23

1,041 1,402

13,49

105

16,65

296,8

337

1,234 0,987 1,003 1,402

N2

Stickstoff

-78,4

0,770

9,147

14,73

0,826 1,301

7,044

253

13,74

188,9

258

1,951 1,007 1,022 1,300

CO2

Kohlendioxid

-33,7

0,939

12,79

21,22

2,178 1,310

12,01

503

9,148

488,2

415

1,064 1,311

0,7615

NH3

Ammoniak

Tabelle 1.1. StoffgroBen (Stoffwerte) von Flussigkeiten und Gasen (Bezugszustand = 1 bar, tb = 0°C) sowie von Wasserdampf (Bezugszustand pb = 1 bar, tb = 100°C) [2, 4, 13, 17, 22, 23, 29, 32, 38, 40]. Auf eine Kennzeichnung des Bezugszustands in der Tabelle selbst durch den Index "b" wird verzichtet

(O

to

10

1.2 Physikalische Eigenschaften und Stoffgrb'Ben der Fluide

namlich die molare (universelle) Gaskonstante R = 8,3143 J/mol K. Es ist M die Molmasse (Molekiilmasse) in kg/mol. 4 Fiir Luft ist M «s 29 kg/kmol, was zw/? & 287 J/kg K = 287 m 2 /s 2 K fiihrt. Gase, welche die thermische Zustandsgleichung (1.8) erfiillen, nennt man thermisch ideale Gase. Die Zustandsgleichung (1.8) ist ein Grenzgesetz bei kleinen Driicken und nicht zu niedrigen Temperaturen.5 Fiir eine isotherme Zustandsanderung mit T/Tb = 1 gilt das Boyle-Mariottesche Gesetz p/pi, = p/pb, was nach (1.5c) dem Polytropenexponent n — 1 entspricht. Eine isentrope Zustandsanderung wird durch (1.6) beschrieben. Dabei ist, wie in Kap. 1.2.5.3 noch gezeigt wird, fiir vollkommen ideale Gase der Isentropenexponent gleich dem Verhaltnis der spezifischen Warmekapazitaten bei konstantem Druck und konstantem Volumen, KS = K = cp/cv — const. Fiir Luft ist K «s 1,4. Aus (1.3) erhalt man durch Einsetzen von (1.8) bei thermisch idealen Gasen fiir den dimensionslosen isothermen Ausdehnungskoeffizienten (Kompressibilitat) und den dimensionslosen isobaren Ausdehnungskoeffizienten ar = 1 = ap, vgl. Tab. C.I.

woo kg/m3 500

siedende Flussigkeit

200 100 50

7 Erstorrungspunkt (fliissig—fest) nasser Oampf/

2 Siedepunkt, Verdamplen (flussig^gasform/g) 3 laupunkt, Kondensieren (gasformig^flussig)

0.1

4

Abb. 1.2. Dichteanderung beim Erwarmen und Verdampfen von Wasser (Flussigkeit) unter dem konstanten Druck p = 1 bar; Siedetemperatur ts = 99,6°C

Zwischen der Masse m und der Molmasse M besteht der Zusammenhang m = nM mit n als Stoffoder Molmenge in mol. Auf die Masse bezogene GroBen nennt man spezifische GrbBen und die auf die Molmenge bezogenen GroBen molare GroBen. 5 Fiir reale Gase gilt pv = ZRT mit Z = Z(/>, T) als Realgasfaktor [40]. In brauchbarer Naherung kann Z % 1 gesetzt werden.

1.2.2 Dichteanderung

11

Dampfe. Ahnlich wie fur sehr vide Vorgange stromender Gase stellt das thermisch ideale Gas auch fur stark iiberhitzte Dampfe eine brauchbare Idealisierung dar. Bei leicht iiberhitzten Dampfen (Gase in der Nahe ihrer Verfliissigung) treten Abweichungen auf, die von der van der Waalsschen Zustandsgleichung als einer Erweiterung der thermischen Zustandsgleichung des idealen Gases erfaBt werden konnen. In Abb. 1.2 ist die Dichte p beim Erwarmen und Verdampfen einer Fliissigkeit (Wasser) unter konstantem Druck (1 bar) iiber der Temperatur t in °C dargestellt. Im vorliegenden Fall kleinen Drucks reicht die thermische Zustandsgleichung (1.8) zur Berechnung der Dichte des iiberhitzten Dampfes aus. In Tab. 1.1 sind Zahlenwerte der bisher besprochenen StoffgroBen fiir Wasserdampf zusammengestellt.

1.2.2.3 Schallgeschwindigkeit von Fluiden Definition. Ist ein Fluid dichteveranderlich, so kann sich eine im Inneren des Fluids erzeugte kleine Druckstorung als schwache Druckwelle (Longitudinalwelle) allseitig wie der Schall ausbreiten. Jede ortliche Druckanderung bringt auch eine ortliche Dichteanderung, hier als schwache Dichtewelle, mit sich. Die Wellenausbreitungsgeschwindigkeit, auch Schallgeschwindigkeit c genannt, erhalt man aus (4.30) zu 2

Druckanderung Dichteanderung

dp dp

Idp\ \dp)

s

(dp\ \ dp)

s T

p p (1.9a, b,c, d)

Es ist c = c(p, T) eine StoffgroBe des Fluids und besitzt die Dimension L/T mit der Einheit m/s. Da es sich um schwache Druckanderungen handelt, verlauft der Ausbreitungsvorgang bei konstanter Entropie s, was durch (1.9b) beschrieben wird. Gl. (1.9c, d) folgt durch Einsetzen von (1.27a) bzw. (1.29b).6 Verhalt sich das Fluid dichtebestandig, p = const, d. h. wie ein starrer Korper, dann ist nach (1.9a) wegen dp = 0 die Schallgeschwindigkeit c = oo. Dies bedeutet, daB sich eine Druckstorung in einem solchen Fluid ohne jeden Zeitverlust sofort iiberall im Stromungsgebiet bemerkbar macht. Fliissigkeiten. Fiir Fliissigkeiten kann man wegen K % 1 naherungsweise (dp/dp)s « (dp/dp)T = pfr ^C2 setzen und findet mit fiT « \/EF nach (1.4) c^J-Ep, VP

— « 1,0, c b

(1.10a, b)

wobei fur Wasser mit EF « 2-10 9 Pa und p « 103 kg/m 3 der Wert ch « 1412 m/s gilt. Zahlenwerte fur Quecksilber entnimmt man Tab. 1.1. 6

Erfolgt die Zustandsanderung nicht bei konstanter Entropie, sondem bei ungeanderter Temperatur (T = const), dann gilt c 2 = (dp/dp)r = KTP/P (Newton) mit KJ = l/<*r u n d « T als isothermem Ausdehnungskoeffizienten nach (1.3a).

12

1.2 Physikalische Eigenschaften und StoffgroBen der Fluide

Gase. Fiir die Schallgeschwindigkeit von vollkommen idealen Gasen gilt nach (1.9c, d) in Verbindung mit (1.6), (1.8b) und mit KS = K — const (Laplace).

(1.11a; b)

Die Schallgeschwindigkeit von Gasen ist auBer von den Grb'Ben K und R nur noch von der thermodynamischen (absoluten) Temperatur T abhangig. Liegt der Zustand des Vakuums vor, bei dem p, p und T null sind, dann gilt hierfiir c = 0.7 Beim Verhaltnis der Schallgeschwindigkeiten stellen Q, und Tt, BezugsgroBen dar. Bei Tb = 273 K erhalt man mit K = 1,4 und R = 287 J/kg K fur Luft cb = 331 m/s. Da nach Kap. 4.2.3.1 in der ruhenden Atmosphare die Temperatur mit wachsender Hohe zunachst abnimmt, und zwar in 10 km Hohe auf T « 223 K, liefert (1.11a) hierfiir c «* 300 m/s. Zahlenwerte fiir andere Gase findet man in Tab. 1.1. Angaben iiber die Schallgeschwindigkeit von stromenden Gasen werden in Kap. 4.3.2.3 gemacht. Vergleicht man die angegebenen Zahlenwerte fur die Schallgeschwindigkeiten von Wasser und Luft, so ergibt sich cwasser ^ 4cmft-

1.2.3 ReibungseinfluR 1.2.3.1 Grundsatzliches Fiir viele Stromungsvorgange erscheint die Annahme berechtigt, von Reibungseinfliissen iiberhaupt abzusehen. Die Erfahrung hat namlich gelehrt, daB sich aufgrund einer solchen Hypothese der Gleichgewichtszustand sowie gewisse Bewegungsvorgange in guter Ubereinstimmung mit der Wirklichkeit beschreiben lassen. In solchen Fallen spricht man von reibungslosen Stromungen. Andererseits ist aus der Erfahrung bekannt, daB zur Bewegung eines Korpers relativ zum Fluid oder umgekehrt eines Fluids relativ zum Korper eine Kraft aufgewendet werden muB, um den dabei auftretenden Widerstand (Reibungskraft) zu iiberwinden. In diesen Fallen handelt es sich um reibungsbehaftete Stromungen. Beim Verschieben der Fluidelemente gegeneinander erfahren sie Formanderungen (Verzerrungen). Dies sagt aus, daB zwischen den einzelnen in Bewegung befindlichen Elementen kleine Reibungsspannungen wirken, wobei es sich im wesentlichen um Tangentialspannungen handelt. Der hervorgerufene Verlust an fluidmechanischer Energie bzw. der Energiebedarf zur Aufrechterhaltung einer reibungsbehafteten Stromung wird durch ein physikalisches Verhalten ausgelost, welches man Zahigkeit nennt. Diese ist bedingt durch die dem Fluid eigene Viskositat, welche eine StoffgroBe der inneren Reibung ist. Man spricht je nach der Art des Reibungsverhaltens von einem normalviskosen Fluid (newtonsches Fluid) oder von einem anomalviskosen Fluid (nichtnewtonsches Fluid). Die experimentelle Bestimmung der jeweiligen Stoffeigenschaften ist eine Aufgabe der Viskosimetne und Rheometrie [30, 39]. 7

Dieser Fall kann von der Kontinuumstheorie nur naherungsweise beschrieben werden. Er gehort in das Gebiet der kinetischen Gastheorie.

1.2.3 ReibungseinfluB

13

T3ei den zahigkeitsbehafteten Stromungen bewegen sich die Fluidelemente bei kleinen und maBigen Geschwindigkeiten als laminare Stromungen wohlgeordnet in Schichten. Unter bestimmten Voraussetzungen konnen jedoch zeitlich und raumlich ungeordnete Bewegungen der Fluidelemente als turbulente Stromungen auftreten, die zusatzliche Reibungswirkungen hervorrufen. Das Reibungsverhalten in Stromungen kann also auBer von der Viskositat des Fluids noch von der Turbulenz der Stromung mitbestimmt werden. 1.2.3.2 Normalviskose Fluide (newtonsche Fluide) Molekularer Impulstransport. Auf Newton geht die Vorstellung zuriick, daB im Gegensatz zur trockenen Reibung zwischen festen Korpern die innere, molekulare Reibung zwischen zwei aneinander grenzenden Fluidelementen nahezu unabhangig von der dort herrschenden Normalkraft und proportional der Geschwindigkeitsanderung beim tjbergang vom einen zum anderen Element ist. Betrachtet wird nach Abb. 1.3a die Stromung zwischen zwei sehr langen parallelen ebenen Platten, die den Abstand h voneinander haben. Wahrend die untere Platte in Ruhe ist, wird die obere Platte mit der konstanten Geschwindigkeit UQ in ihrer eigenen Ebene bewegt. Im ganzen mit einem Fluid gefiillten Zwischenraum sei der Druck konstant. Aus dem Versuch erhalt man die Aussage, daB das stromende Fluid an beiden Platten infolge Adhasion haftet (Geschwindigkeit des Fluids an der unteren Platte u = 0, an der oberen Platte u = UQ) und ferner zwischen den Platten ein lineares Geschwindigkeitsprofil u = (uo/ h)y herrscht. Um diesen Bewegungszustand aufrechtzuerhalten, muB an der oberen Platte eine Tangentialkraft in der Bewegungsrichtung angreifen, welche den Reibungskraften des Fluids das Gleichgewicht halt. Nach den Versuchsergebnissen ist diese auf die Plattenflache A A bezogene Schubkraft A F , d. h. die Schubspannung r = AF/AA, proportional der Geschwindigkeit «o und umgekehrt proportional dem Plattenabstand h. Der Proportionalitatsfaktor wird mit r\ bezeichnet. Er hangt von der Art des verwendeten Fluids ab. Mithin ist die Schubspannung der hier betrachteten Scherstromung (Schichtenstromung) r = r)(tio/h) in N/m 2 = Pa. Die gemachten Darlegungen gelten verallgemeinert auch fur den EinfluB der Reibung im Inneren eines Stromungsgebiets. Nach Abb. 1.3b besitzen zwei normal

Abb. 1.3. Zur Definition der Schubspannung z bei der einfachen laminaren Scherstromung. a Stromung zwischen zwei ebenen Platten. b Bewegung zweier benachbarter Fluidelemente

14

1.2 Physikalische Eigenschaften und StoffgroBen der Fluide

zur Stromungsrichtung benachbarte in x-Richtung sich bewegende Fluidelemente die Geschwindigkeiten u — A M / 2 bzw. u + A M / 2 . Von den beiden benachbarten Elementen zweier Fluidschichten wird also dasjenige, welches die groBere Geschwindigkeit besitzt, infolge Kohasion durch die innere Reibung unter gleichzeitiger Formanderung verzbgert, das andere dagegen beschleunigt. Mithin laBt sich die Schubspannung durch 7

=

Schubkraft AM du T71- u = r) lwn — = JJ — , Flache Ay^o Ay dy

(du\ zw = r)w[ — ) \dy J w

(Newton)

(1.12a, b) beschreiben.8 Der empirisch gegebene Proportionalitatsfaktor r\ wird als Zahigkeitskoeffizient, molekulare Viskositat (molekularer Impulstransport), Schicht- oder auch Scherviskositat bezeichnet.9 Es besitzt r] die Dimension FT/L 2 = M/TL mit der Einheit Ns/m2 = Pa s. Es ist du/dy die Geschwindigkeitsanderung normal zur Schnittflache. An einer festen Wand (y = 0) ist die Wandschubspannung rw gemaB (1.12b) gegeben. Gl. (1.12) bezeichnet man als Newtonsches Elementargesetz der Zahigkeitsreibung laminar stromender normalviskoser Fluide (newtonsche Fluide). Seine Verallgemeinerung auf den dreidimensionalen Fall wird durch das Stokessche Gesetz der Zahigkeitsreibung beschrieben, vgl. Kap. 2.5.3.3. Dynamische Viskositat. Wegen der bei der molekularen Viskositat r) auftretenden Kraftdimension F wird diese als dynamische Viskositat bezeichnet.10 Es ist r) eine StoffgroBe, die fur die einzelnen Fluide verschieden groB ist. Sie hangt stark von der Temperatur und schwach vom Druck ab, d. h. r\ = r)(p, T) «s r)(T). Fur das Verhaltnis der dynamischen Viskositaten von Fliissigkeiten gilt im Temperaturbereich 0 < t < 100°C die Beziehung von Andrade [1, 18] ex

P (

V

^

)

(FHlssigkeit)

(1-13)

wobei die Bezugswerte r/i, sowie die Konstanten TA und TB fur Wasser und Quecksilber in Tab. 1.1 zusammengestellt sind. Wie aus Abb. 1.4 hervorgeht, nimmt die dynamische Viskositat von Fliissigkeiten mit wachsender Temperatur stark ab. Fur das Verhaltnis der dynamischen Viskositaten von Gasen lautet, ebenfalls vom Druck unabhangig, die halbempirische Formel von Sutherland [36] » T ~ T

T

(GaS,

(U4,,b,c)

Der Bezugswert r)b sowie die Sutherland-Konstante Ts sind fur verschiedene Gase in Tab. 1.1 zusammengestellt. Abb. 1.4 zeigt, daB die dynamische Viskositat von Gasen im Gegensatz zu derjenigen von Fliissigkeiten mit wachsender Temperatur zunimmt. Fur Luft gilt (1.14b) bei maBigen Temperaturen 102 < T < 103 K mit 8

Eine Spannung = Kraft/Flache laBt sich als Impulsstromdichte = Impuls/(Zeit x Flache) mit Impuls = Masse x Geschwindigkeit = Kraft x Zeit darstellen. Der Kehrwert der dynamischen Viskositat 1/IJ wird Fluiditat genannt. 10 Als SI-Einheit fur die dynamische Viskositat soil 1 Pa s (Pascalsekunde) = 1 (N/m2) s verwendet werden. Die Einheit 1 P (Poise) = 10" 1 Pa s wird nicht mehr empfohlen.

9

1.2.3 ReibungseinfluB

15

2,2

/

s

/ /

2,0

V'

1.8 .'

IB

/

A

1.2

/C^ iiberhitzter Wasserdampf

/

6cise

/ 0

icB 110 —.-.

200

250

—"H~—*—L.

0,8

Ouecksilter

0,6 \ • OA

/

'Aut \~l~~7y r > y 1.1

U

/ 1,0-

/

Kohleniioxid

3110

'

3i <0X400

•

-

\ Wasser

Fillssigke/ten

0,2

Siedepunkt

0 0

20

40

60

100

120

HO °C 760

Abb. 1.4. Temperaturabhangigkeit der dynamischen Viskositat von Fliissigkeiten und Gasen bei einem Druck von 1 bar, vgl. (1.13) und (1.14). Bezugswerte % aus Tab. 1.1; gestrichelt: Gase, r) ~ T

co % 0,7 bis 0,8 und bei iiberhitzten Dampfen bis co = 1,2. Oft geniigt fiir Gase die Annahme eines linearen Zusammenhanges von dynamischer Viskositat und Temperatur, d. h. co « 1 mit r) ~ T.n Kinematische Viskositat. Oft empfiehlt es sich, die dynamische Viskositat des Fluids auf seine Dichte p zu beziehen, und man definiert v—

dynamische Viskositat r\ = — (abgeleitete StoffgroBe) Dichte p

(1.15)

als kinematische Viskositat. Ihre Dimension L 2 / T mit der Einheit m 2 /s ist unabhangig vom Masse- und Kraftbegriff, d. h. v ist eine kinematische GroBe.12 In Tab. 1.1 sind Werte fiir die kinematische Viskositat v^ zusammengestellt. Viskositatsfunktionen. Bei der Behandlung zahigkeitsbehafteter Stromungen, bei denen die Temperatur eine Rolle spielt, tritt die Viskositat in zwei verschiedenen Kombinationen auf, und zwar als DichteViskositatsfunktion t, und als Temperatur-Viskositatsfunktion \x,. Diese dimensionslosen abgeleiteten StoffgroBen seien folgendermaBen definiert:

K =

Pbib

Pb '

1

(Gas).

Wegen r\ s* r)(T) nach Abb. 1.4 ist /J, = ix(T). Fiir Gase mit p = p/RT nach (1.8b) und (1.14c) gelten die in (1.16a, b) angegebenen Naherungsausdriicke, vgl. Abb. 1.5.

(1.16a, b) T nach

" N a c h der kinetischen Gastheorie [9, 19] ist bei kugelformigen starren Molekiilen (einatomige Molekule) die Viskositat nicht vom Druck, sondern nur von der Temperatur abhangig, und zwar gilt r) = r\(T) = CVf, d. h. w = 1/2, was (1.14a) fur sehr groBe Temperaturen T, Tb » Ts richtig wiedergibt. Fur sehr kleine Temperaturen T, Tb «. Ts gilt to = 3/2. 12 Die Einheit 1 St (Stokes) = 10~4 m 2 /s wird nicht mehr empfohlen.

1.2 Physikalische Eigenschaften und StoffgroBen der Fluide

16

— /,/ 1

56

100

150

200 t-250X

1

3/4 U,b

—~~. —

-

•

—

.

0,6 a.

— 0,4 — 0,2

W

1,2

1,4 J/Tb

1,6

1,8

Abb. 1.5. Temperatur-Viskositatsfunktion \x = Tbr\/Tr\b fur Gase in Abhangigkeit vom Temperaturverhaltnis T/Tb. Naherungskurven ii^(Tb/T)^~a nach (1.16b) mit u> = 1,3/4 und 1/2; 2,0 gestrichelt: exakt (Tb = 273,2 K, tb = 0°C)

Druckviskositat. Neben der Scherviskositat ij tritt bei dichteveranderlichen Fluiden noch die Druckviskositat fj, auch Kompressions- oder Volumenviskositat genannt, auf, vgl. Kap. 2.5.3.2. Hieriiber liegen noch keine zuverlassigen Zahlenwerte vor. Als gesichert kann angesehen werden, daB r\ > 0 und jj > 0 sind. Naherungsweise kann man zunachst fj « 0 setzen.

1.2.3.3 Anomalviskose Fluide (nicht-newtonsche Fluide) Definition. Die bisherigen Betrachtungen Uber die Wirkungen der Ziihigkeit betreffen die normalviskosen oder newtonschen Fluide. Das sind Medien, die sich durch leichte Verschieblichkeit ihrer Elemente auszeichnen, d. h. einer Formanderung nur geringen Widerstand entgegensetzen. Bei ihnen ist nach (1.12) die Schubspannung dem Geschwindigkeitsgradienten normal zur Stromungsrichtung du/dy proportional. Dies Gesetz gilt fur viele praktisch interessierende Fluide, wie Wasser und Luft. Daneben gibt es eine ganze Reihe von Fluiden, die dem angegebenen Schubspannungsgesetz nicht gehorchen; man nennt sie anomalviskose oder nicht-newtonsche Fluide. Zu ihnen gehoren z. B. Ol, Teer und Asphalt, die einer Formanderung einen mehr oder weniger groBen Widerstand entgegensetzen. SoUen bei solchen Medien die zur Formanderung notwendigen Krafte klein bleiben, so muB diesen Fluiden im weiteren Sinn geniigend Zeit ftir ihre Formanderung zur Verfiigung stehen. Das Studium nichtnewtonscher Fluide gehort in das Gebiet der Rheologie [5, 6, 10, 12, 30, 33, 39]. Anomalviskose Fluide werden nach ihrem Reibungsgesetz, welches die Abhangigkeit der Deformation eines Fluidelements von der Belastungsstarke, Belastungsanderung und Belastungsdauer angibt, behandelt. Ein gegeniiber (1.12) erweiterter Schubspannungsansatz zwischen dem Geschwindigkeitsgradienten du/dy, der Schubspannung (FlieBspannung) T, der zeitlichen Schubspannungsanderung f und der Zeit ( lautet — = / ( r , r , 0 (Ansatz), dy wobei man im allgemeinen eine Unterteilung in drei Gruppen vornimmt.

(1-17)

Viskounelastische Fluide. Solche Medien verhalten sich zeitunabhangig. In Abb. 1.6 werden verschiedene Schubspannungsgesetze t — f (du/dy) schematisch dargestellt. Dabei hat man zu unterscheiden in die Falle ohne FlieBfestigkeit nach Abb. 1.6a und mit FlieBfestigkeit nach Abb. 1.6b. Das lineare Newtonsche Schubspannungsgesetz (newtonsches Fluid) nach (1.12) stellt die Gerade (la) dar. Bei Bingham-Fluiden setzt der FlieBvorgang erst ein, wenn die Schubspannung gemaB der Geraden (lb) einen fur das Medium charakteristischen Wert (FlieBfestigkeit T/) erreicht hat. Abweichungen gegeniiber dem linearen Schubspannungsgesetz treten bei strukturviskosen (shear thinning) Fluiden gemaB den Kurven 13 Bei einatomigen Molekiilen, die nach der kinetischen Gastheorie keine inneren Freiheitsgrade (Rotation, Schwingung) besitzen, ist t) = 0. Bei mehratomigen Molekiilen ist, bedingt durch das Vorhandensein innerer Freiheitsgrade der Molekiile und das Auftreten von Relaxation, im allgemeinen

n # o, [41].

17

1.2.3 ReibungseinfluB

z

\3b)

du/dy

/ ^Ub)

M

/ \

/ /Bingham

FlieOgr du/dy •

Abb. 1.6. Ubersicht ilber das zeitunabhangige Reibungsverhalten anomalviskoser Fluide (nichtnewtonsche Fluide). a Ohne FlieBfestigkeit. b Mit FlieBfestigkeit. (la) NewtonFluid, (lb) Bingham-Fluid, (2a, b) strukturviskoses Fluid, (3a, b) dilatantes Fluid

(2a, b) sowie bei dilatanten (shear thickening) Fluiden gemaB den Kurven (3a, b) auf. Bei wachsender Scherung du/dy macht sich im ersten Fall eine Verkleinerung und im zweiten Fall eine VergroBerung der effektiven Viskositat bemerkbar. Fluide mit zeitabhangigem Schubspannungsgesetz. Das Zahigkeitsverhalten hangt in besonderem MaB von der Dauer der Belastung ab, du/dy = f(x, t). Solche Medien konnen thixotrop oder rheopekt sein, d. h. ihre effektive Viskositat nimmt bei konstant gehaltener Schubbelastung mit der Zeit ab bzw. zu. Sie werden auch "Stoffe mit Gedachtnis" genannt. Viskoelastische Fluide. Diese Stoffe besitzen sowohl elastische als auch plastische Eigenschaften, du/dy = / ( T , r ) . Auf die genauere Beschreibung der physikalischen Eigenschaften anomalviskoser Fluide und ihr Vorkommen bei praktischen Aufgabenstellungen kann hier nicht eingegangen werden.

1.2.3.4 1\irbulenter Impulstransport (Wirbelviskositat) Bei der in Kap. 1.2.3.1 erwahnten turbulenten Stromung kann man die durch molekularen und turbulenten Transportvorgang hervorgerufene gemittelte Schubspannung bei einer einfachen turbulenten Scherstrpmung eines normalviskosen Fluids nach Boussinesq folgendermaBen anschreiben: x* = f + f = r\

du Vx 3v

mit

_. .du dii x = r) — = Ar — , dy dy

_ du xw = r\ — . dy (1.18a, b)

Bei u handelt es sich um die gemittelte Geschwindigkeit der Hauptbewegung, vgl. Kap. 2.5.3.5. Ftir die von der turbulenten Schwankungsbewegung durch Impulsaustausch zusatzlich hervorgerufene Schubspannung f wird ein zu (1.12) analoger formaler Ansatz gemacht, wobei man rj' als scheinbare Viskositat der turbulenten Mischbewegung bezeichnet. Den entsprechenden Ausdruck fur die kinematische Viskositat v' = r]'/p nennt man die Wirbelviskositat. Es ist r)' im eigentlichen Sinn keine physikalische StoffgroBe, sondern eine ImpulsaustauschgrbBe v[ = AT, die vom Geschwindigkeitsverhalten der Stromung selbst noch abhangig ist. Gl. (1.18b) nennt man daher den Austauschansatz fur die turbulente Schubspannung, (Impulsstromdichte). Eine Angabe von allgemein giiltigen Zahlenwerten fur AT ist nicht moglich. In den meisten Fallen ist f ^> f und damit auch y{ 3> r). An festen Wanden verschwindet die turbulente Austauschbewegung, so daB dort AT = 0 und r* = fw zu setzen ist. Es sei erwahnt, daB auch turbulente Stromungen von anomalviskosen Fluiden (nichtnewtonsche Fluide) vorkommen konnen.

18

1.2 Physikalische Eigenschaften und StoffgroBen der Fluide

1.2.4 SchwereinfluB 1.2.4.1 Grundsatzliches Bei Fliissigkeiten spielt im Gegensatz zu Gasen die Schwere (Gravitation) eine wesentlich groBere Rolle. Dies bedeutet, daB in der Hydromechanik alle die Fallbeschleunigung (Schwer-, Gravitationsbeschleunigung) g enthaltenden GroBen im allgemeinen nicht vernachlassigt werden diirfen. Aber auch in der Aeromechanik, z. B. bei der Beschreibung der Atmosphare, ist die Fallbeschleunigung g zu beriicksichtigen. 1.24.2 Fallbeschleunigung Die Fallbeschleunigung g hat die Dimension L/T 2 mit der Einheit m/s 2 . Fiir sie gilt in Abhangigkeit von der Hohe z (1.19a, b)

g = g(z) = ( —^— ) go * go = const.

Hierin sind go ^ gn die Fallbeschleunigung .an der Erdoberflache bei z = 0 mit gn = 9,807 m / s 2 als Normfallbeschleunigung und ro = 6370 km der mittlere Erdradius. Fiir die meisten fluidmechanischen Aufgaben geniigt es, mit einem konstanten Wert fiir die Fallbeschleunigung zu rechnen; es sei dann auf die Kennzeichnung durch den Index 0 verzichtet. Um die Richtung der Fallbeschleunigung zu kennzeichnen, fiihrt man den nach unten gerichteten Vektor g ein. Zeigt in einem kartesischen Koordinatensystem x, y, z die z-Achse positiv nach oben, dann wird gx=0 = gy,

gz = -\g\=-g.

(1.20)

Bei einem massebehafteten jedoch nahezu schwerlosen Fluid ist g -> 0 zu setzen. 1.2.4.3 Wichte von Fluiden14 Fiir ein Massenelement Am betragt nach dem Newtonschen Grundgesetz der Mechanik die Schwerkraft (Gravitationskraft) AFQ — Amg. Ihr Betrag ist gleich dem Gewicht AG des betrachteten Fluidelements in N. Unter der Wichte, genauer als Schwerkraftdichte bezeichnet, versteht man die auf das Volumen AV bezogene Schwerkraft (Gewicht) AG Gewicht

AG

dG

„

„„

„

Y = TT, = l i m TT7 = ~^7 ~ P8 (abgeleitete StoffgroBe). Volumen AV^O AV dV (1.21a, b,c) Wegen AG = Amg und Am = pAV nach (1.1) folgt der Zusammenhang von Wichte y und Dichte p in (1.21c). Die Wichte hat die Dimension F/L 3 mit der Einheit N/m 3 . Fiir Wasser, bei dem die 14

Diese auch als spezifisches Gewicht bekannte GroBe sollte moglichst nicht mehr benutzt werden, da sie keine StoffgroBe im eigentlichen Sinn ist und leicht durch (1.21c) beschrieben werden kann.

1.2.5 Thermodynamisches Verhalten

19

Wichte am haufigsten benutzt wird, ist bei einer Temperatur von 4°C der Zahlenwert y = 9806 N/m 3 = 1000 kp/m3. Nach (1.19a) ist g = g(z) die ortlich veranderliche Fallbeschleunigung. Mithin ist die Wichte keine eigentliche StoffgroBe des Fluids. Bei g = const besteht ein fester Zusammenhang von Wichte und Dichte, und es gilt fur die Wichte das bereits in Kap. 1.2.2.2 bei der Dichte fiber die Druckund Temperaturabhangigkeit Gesagte unverandert.

1.2.5 Thermodynamisches Verhalten

1.2.5.1 Grundsatzliches Bei den in Kap. 1.2.2 und 1.2.3 mitgeteilten mechanischen Eigenschaften, insbesondere bei den StoffgroBen der Dichte p und der Viskositat r\, wurde auf den EinfluB der Temperatur T bereits eingegangen. Dariiber hinaus sollen jetzt einige bei Stromungsvorgangen auftretende thermodynamische Eigenschaften und StoffgroBen besprochen werden. Hierunter sind die von Temperaturanderungen auf das Warmeverhalten (Warmekapazitat, Warmeleitung) einwirkenden Einflusse sowie die thermodynamischen (energetischen) Zustandsanderungen (innere Energie, Enthalpie, Entropie) zu verstehen. Einfliisse innerer Warmequellen (Warmesinken), Absorption von durchdringender Warmestrahlung, Ablauf chemischer Reaktionen sowie DurchfluB elektrischer Strome sollen vernachlassigt werden. Hinsichtlich der tbermodynamischen GroBen und Beziehungen sowie der Literaturangaben wird auf Tab. C verwiesen.

1.2.5.2 Warmekapazitat Bei einem mit Warme verbundenen ProzeB besteht nach Abb. 1.7a aufgrund der kalorimetrischen Gleichung (Stofftheorie) zwischen der in einem Fluidelement der Masse Am in kg aufgenommenen (gespeicherten) Warmemenge (Caloricum) S(AQ) in J und einer Temperaturanderung ST in K der Zusammenhang 5(A<2) = CpST. Es ist CF eine extensive GroBe, die man die Warmekapazitat des Fluidsystems nennt:

Cp =

Warmeaufnahme . S(AQ) d(AQ) = hm = , Temperaturanderung ST^O ST dT

CF = %

(1.22a, b)

Wird unter q = AQ/Am die massebezogene Warmemenge in J/kg verstanden, dann ist die Definitionsgleichung fur die spezifische Warmekapazitat cp = Cp I Am. Sie ist eine StoffgroBe des Fluids, welche die Dimension FL/M0 = L 2 /T 2 © mit der Einheit J/kg K = m 2 /s 2 K besitzt. Die Warmemenge, welche die Temperatur von 1 kg Wasser bei einem Druck von 1 atm von 14,5°C auf 15,5°C erhoht, hat man als Kilokalorie (1 kcal = 4, 1868 kJ) definiert.

20

1.2 Physikalische Eigenschaften und StoffgroBen der Fluide

/

,-f

— 6r,6[AQ) X

:

r

Am

Abb. 1.7. Zur Erlauterung des Warmeverhaltens an einem einzelnen bzw. zwei sich beriihrenden Fluidelementen. a Wiinneaufnahme S(AQ) bei ST > 0 (Warmekapazitat CF). b Warmestrom A * = AQ bei A 7 > 0 (Warmeleitkoeffizient A)

1.2.5.3 Energetische Zustandseigenschaften15 Definitionen. Fiir ein System im thermodynamischen Gleichgewicht geniigt fur die Beschreibung der thermodynamischen Zustandsanderung die Angabe der ZustandsgroBen Z\ und Zi zu Beginn und am Ende des Prozesses. Beim Auftreten von Arbeit und Warme ist es nicht gleichgiiltig, unter welchen Umstanden diese an der Zustandsanderung des Systems beteiligt sind. Die Beschreibung erfordert neben der Angabe der ZustandsgroBen Z\ und Z2 auch die Angabe der Bedingungen, unter denen die Zustandsanderung Zi_>.2 ablauft. Man nennt dies den thermodynamischen ProzeB. Der Begriff des Prozesses ist weitgehender und umfassender als der Begriff der Zustandsanderung. In differentieller Form sollen die Anderungen der ZustandsgroBen durch dZ mit d als vollstandigem Differential (Zustandsdifferential) und der ProzeBgroBen durch dZ mit d als unvollstandigem Differential (ProzeBdifferential) gekennzeichnet werden. Fiir auf die Masse bezogene Zustands- und ProzeBgroBen werden kleine Buchstaben verwendet, und man spricht bei den ZustandsgroBen von spezifischen GroBen sowie bei den ProzeBgroBen von massebezogenen (kurz bezogenen) GroBen. Nach dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik bestehen bei einem ruhenden geschlossenen Gleichgewichtssystem, auf das nur Druckkrafte von auBen wirken, zwischen der iiber die Systemgrenze durch Warmeleitung iibertragenen massebezogenen Warme dq = dqKS als thermodynamischer ProzeBgroBe, dem Druck p, der Temperatur T und dem spezifischen Volumen dv als thermischen ZustandsgroBen sowie der spezifischen inneren Energie du, der spezifischen Enthalpie dh und der spezifischen Entropie ds als energetischen (kalorischen) ZustandsgroBen die Zusammenhange, vgl. Kap. 2.6.3 und 2.6.4 mit dwo = 0:16 15 Die allgemein verwendete Bezeichnung "Kalorische Zustandseigenschaft" beruht auf der aufgegebenen Vorstellung, nach der die Warme im Sinn der Stofftheorie als Warmemenge (Caloricum) aufgefaBt wird, vgl. Baehr, H.D.: Der Begriff der Warme im historischen Wandel und im axiometrischen Aufbau der Thermodynamik. Zeitschr. Brennstoff-Warme-Kraft 15 (1963), 1-7 16 Da die Warme keine ZustandsgroBe sondern eine ProzeBgroBe ist, soil dieser Tatbestand durch Uberstreichen des Differentialoperators gekennzeichnet werden, d. h. dq. Aus (1.23b, c) findet man die thermodynamischen Definitionen fiir den Druck und fiir das spezifische Volumen zu p = (du/dv)s bzw. v = (dh/dv)s.

1.2.5 Thermodynamisches Verhalten

21

dq = du + p dv — dh — v dp = T ds

mit

h = u + pv.

(1.23a, b, c)

Alle GroBen haben die Dimension FL/M mit der Einheit J/kg. Man nennt (1.23) die energetische (kalorische) Zustandsgleichung. Aus ihr folgt, daB die einem geschlossenen System zugefiihrte Warme dq>0 bei konstantem Volumen v—const dessen innere Energie du und bei konstantem Druck p = const dessen Enthalpie dh erhoht. Setzt man in (1.23) entgegen der giiltigen Auffassung der Thermodynamik anstelle der Warme dq (Energie, die als Warme die Systemgrenze iiberschreitet) die Warmemenge dq = cpdT (kapazitive Warme) nach (1.22b) ein, dann wird du C

dv

dh

+P

dp V

ds T

(

In dieser Darstellung kann die "spezifische Warmekapazitat" jetzt nur als Abkiirzung fur den TemperatureinfiuB bei der thermodynamischen Zustandsbeschreibung gedeutet werden. Gl. (1.24) ist also als Definitionsgleichung fur die GroBe Cf zu verstehen. Die "spezifische Warmekapazitat" hangt auBer vom thermodynamischen Zustand auch von der Art des Prozesses ab. Die beiden technisch wichtigsten Prozesse erfolgen bei konstantem spezifischen Volumen (isochorer ProzeB mit dv = 0) und bei konstantem Druck (isobarer ProzeB mit dp = 0). Man definiert daher nach (1.24) eine spezifische Warmekapazitat bei konstantem Volumen (isochore Warmekapazitat) cv und eine spezifische Warmekapazitat bei konstantem Druck (isobare Warmekapazitat) cp, was zu den Definitionsgleichungen du\

(ds\ )

dh\

J

T

(isochor)'

) const

(isobar)

-

(1.25a, b) (1

-26a'b)

fiihrt. Es sind cp > cv ZustandsgroBen, die von zwei ZustandsgroBen, z. B. von Druck p und Temperatur T, abhangen konnen. Zahlenwerte cv(p, T) und cp{p, T) sind in [40] wiedergegeben. In brauchbarer Naherung kann in der Fluidmechanik fur die Fluide (Fliissigkeit, Gas) jeweils mit konstanten Werten gerechnet werden.17 Energetische Koeffizienten. In besonderer Weise treten der Verhaltniskoeffizient und die Differenz der Warmekapazitaten ^1 pv

(1.27a, b) (L28a, b)

17 Man bezeichnet cv = cu auch als spezifischen inneren Energiekoeffizienten und cp = Ch als spezifischen Enthalpiekoeffizienten. Im folgenden werden neben den intensiven GroBen p, T nur massebezogene, d. h. spezifische ZustandsgroBen v — \/p, u, h, s verwendet, wobei jedoch auf den besonderen Hinweis "spezifisch" verzichtet wird.

22

1.2 Physikalische Eigenschaften und StoffgroBen der Fluide

auf mit aj und ap als isothermem bzw. isobarem Ausdehnungskoeffizienten, av als isobarem Spannungskoeffizienten und KS als Isentropenkoeffizienten, iiber den nachstehend berichtet wird. Verlauft der Stromungsvorgang bei konstanter Entropie ds = 0, d. h. ist z. B. p(v,s) = p(v), dann lautet die Isentropengleichung dp = (dp/dv)sdv oder

dp/p + ics{dv/v) = 0 mit Ks

= --(JL\ dv

P \ Js

=

^ ( _ P )

(Isentropenkoeffizient)

(1.29a, b)

d

P \ PJS

als Isentropenkoeffizienten. Dieser ist im allgemeinen eine ZustandsgroBe KS = Ks(p, v) = Ks[p, v(p, T)] = ics{p, T). Zwischen dem Verhaltniskoeffizienten der Warmekapazitaten K und dem Isentropenkoeffizienten KS besteht der Zusammenhang K/KS = otj. Im Fall KS = const kann man die Isentropengleichung integrieren, was zu pvKs = const fiihrt, und man nennt jetzt KS den Isentropenexponenten, vgl. (1.6). Geht man von den Abhangigkeiten p(T,s) = p(T) oder T(v, s) = T(v) aus, lassen sich in analoger Weise entsprechende Isentropenkoeffizienten bzw. Isentropenexponenten definieren. Bei einem raumbestandigen Fluid mit v = const und ap = 0 ist cp = cv, K = 1 und KS = ex). Flussigkeiten verhalten sich nahezu dichtebestandig mit p = l/v » const und ctj ^ 0. Auf eine Unterscheidung von cp und cv kann weitgehend verzichtet werden, d. h. cp « cv = cp. Dies hangt damit zusammen, daB von Flussigkeiten bei einer Warmezufuhr keine nennenswerte Volumenarbeit verrichtet wird. In Tab. 1.2 sind die Beziehungen fiir Flussigkeiten zusammengestellt und in Tab. 1.1 fiir Wasser und Quecksilber Zahlenwerte fiir cp, K, KS und R wiedergegeben. Thermisch ideale Gase, welche nach (1.8a) der thermischen Zustandsgleichung pv = RT gehorchen, ist aT, ap, av — 1. Die Warmekapazitaten cv — cv(T) und cp = cp(T) sind nur temperaturabhangig. Das Verhaltnis der Warmekapazitaten ist gleichbedeutend mit dem Isentropenkoeffizienten K = ics, und die Differenz der Warmekapazitaten cp — cv = R stellt die Gaskonstante dar. Man kann in der Idealisierung noch einen Schritt weitergehen und annehmen, daB die Warmekapazitaten cp und cv jede fiir sich konstant sein sollen. So idealisierte Gase nennt man voilkommen ideale Gase.18 Hierfiir sind in Tab. 1.2 die Beziehungen wiedergegeben und in Tab. 1.1 fiir einige Gase Zahlenwerte fur cp, K, KS und R zusammengestellt. Fiir Luft ist K — 1,4. Energetische Zustandsgleichungen. Fiir die energetischen (kalorischen) ZustandsgroBen Innere Energie u, Enthalpie h und Entropie s werden die Zustandsgleichungen in differentieller Form fiir den allgemeinen Fall im folgenden wiedergegeben, vgl. Tab. C. 18

Nach der kinetischen Gastheorie [9, 19] hangt K von der Molekiilstruktur ab. Es gilt *: = (2 + / ) / / > 1 mit / als Anzahl der Bewegungsfreiheitsgrade der Molekiile, welche als starre Verbindungen der Atome betrachtet werden. Im einzelnen gilt: einatomige Molekiile / = 3 (drei Freiheitsgrade) K = 5/3 = 1,67, zweiatomige Molekiile (z.B. Luft) / = 5 (Hantelmodell mit drei Translations- und zwei Rotationsfreiheitsgraden) K = 7 / 5 = 1,4, mehratomige Molekiile / = 6 (drei Translations- und drei Rotationsfreiheitsgrade) K = 8/6 = 1,33.

23

1.2.5 Thermodynamisches Verhalten

Tabelle 1.2. Thermodynamische Eigenschaften von Flussigkeiten und vollkommen idealen Gasen, vgl. Tab. C Fluid

Fliissigkeit

Gas

thermische ZustandsgroBe

p ft const

P = pRT

Ausdehnungskoeffizient

aT

aT-- = 1 = ap

Spannungskoeffizient

av

« . = =1 1 Cv

=

K—

cp>

K

spezifische Warmekapazitat

K— K

cp

=

^

Cp_ )C

=

1R

=

>1

Ks

Cv

K -

Cp- - cv £& 0

u s=s

energetische ZustandsgroBen

C

Cp

Cv =

1

u = evT-

Fl

c F T ~\~ — p

h-

[sentropenexponent

'"•(5)

Ks -»

00

p

K — 1/0

cpT -

K

p

K - l p

f

s ^

—c p - R

k

s = cvln\ P K

\P

c2 K(K — 1) C2

K - \

\ = cp In 1 -— j

Ks = K

Fiir die innere Energie u = u(v,T) folgt: du = cv dT — (1 — av)p dv

(u = h — pv)

(1.30)

mit cv als isochorer Warmekapazitat und av als isochorem Spannungskoeffizienten. Zwischen der Enthalpie h als abgeleiteter ZustandsgroBe und der inneren Energie u besteht der Zusammenhang h = u + pv. Fiir h = h(p, T) folgt:

dh = cp dT + (1 — ap)v dp

(h = u + pv)

(1.31)

mit cp als isobarer Warmekapazitat und ap als isobarem Ausdehnungskoeffizienten. Zwischen der Entropie ds und der inneren Energie du bzw. der Enthalpie dh bestehen die einfachen Zusammenhange

Tds — du + pdv = dh — v dp.

(1.32a, b)

Fiir die Entropie selbst s = s(p, v) folgt: ds =

^d-P av p

cn dv ap v

mit cv, cp und av, ap, wie bereits oben verwendet.

(1.32c)

24

1.2 Physikalische Eigenschaften und StoffgroBen der Huide

Bei einem raumbestandigen Fluid mit v — const (dv = 0), ap = 0 und cv = cp ist du = cv dT, dh = cv dT + vdp und ds = cv(dT/T). Fur nahezu dichtebestandige Fliissigkeiten mit p « const und cp & const konnen die differentiellen Ausdriicke integriert werden. Dasselbe gilt auch fur vollkommen ideale Gase mit pv = RT, av = 1 = ap, cv = R/(K — 1) und cp = KR/(K — 1). Beachtet man die Beziehung fur die Schallgeschwindigkeit c nach (1.11a), so kann man c2 fur die Beschreibung von u und h heranziehen. In Tab. 1.2 sind die verschiedenen Zustandsgleichungen wiedergegeben. Dabei kann auf die Angabe einer Integrationskonstanten verzichtet werden. Diese ist physikalisch bedeutungslos, da es stets nur auf die Differenzen der energetischen ZustandsgroBen ankommt. 1.2.5.4 Warmeleitung Molekularer Warmetransport. Beim Warmeiibergang zwischen zwei aneinandergrenzenden Fluidelementen nach Abb. 1.7b ist der Warmestrom proportional der Temperaturanderung beim Obergang von einem zum anderen Element (diabate bzw. diatherme Durchlassigkeit). Der Warmestrom (Warme/Zeit) d(AQ)/dt = A<2 = Act in J/s durch das Element der Beriihrungsnache A A betragt A = cp A A mit (p als Warmestromdichte in J/m 2 s. Nach Fourier gilt Warmeaustausch AQ AT dT w= = hm = —A hm = —A— (Fourier). Flache x Zeit AA^O AA AJ-»O Ay dy (1.33) Es ist dT'/dy die Temperaturanderung normal zur Beriihrungsflache in K/m und A der molekulare Warmeleitkoeffizient (Warmeleitfahigkeit). Letzterer ist eine StoffgroBe des Fluids und besitzt die Dimension F / T 0 mit der Einheit N/s K = J / s K m = W/K m. Das negative Vorzeichen drtickt aus, daB die Warrne infolge Warmeleitung in Richtung abnehmender Temperatur stromt. Auf die Ahnlichkeit von (1.33) mit (1.12) fur die Schubspannung x sei hingewiesen. Der Warmeleitkoeffizient wird im wesentlichen von der Temperatur beeinfluBt, d. h. A = X(p, T) % A(T). Bei Fliissigkeiten ist er nahezu temperaturunabhangig, wahrend er bei Gasen wie die dynamische Viskositat r\ mit der Temperatur zunimmt, vgl. [40]: ^ « Aft

(Gas).

(1.34)

r\b

Zahlenwerte fur A sind fur einige Fliissigkeiten und Gase in Tab. 1.1 zusammengestellt. Eine Verallgemeinerung des Fourierschen Gesetzes der Warmeleitung wird in (2.178) gegeben. Turbulenter Warmetransport. Neben dem zusatzlichen Impulsaustausch bei turbulenter Strdmung, welcher nach Kap. 1.2.3.4 durch die ImpulsaustauschgroBe Ax erfaBt wird, tritt bei turbulenter Stromung auch ein zusatzlicher Warmeaustausch auf. Fiir die durch den molekularen und turbulenten Transportvorgang hervorgerufene Warmestromdichte kann man analog zu (1.18a, b) folgendermaBen schreiben: ^

=
= - \

dy

- + $'

mit {p' = --k'— dy

= -cpAq

— . (1.35a, b) dy

1.2.5 Thermodynamisches Verhalten

25

Bei f handelt es sich um die gemittelte Temperatur der Hauptbewegung, vgl. Kap. 2.6.5.3. Fur die von der turbulenten Schwankungsbewegung durch Warmeaustausch zusatzlich hervorgerufene Warmestromdichte (p1 wird ein zu (1.33) analoger formaler Ansatz gemacht, wobei man k' als scheinbaren Warmeleitkoeffizienten der turbulenten Mischbewegung bezeichnet. Es ist k' in gleicher Weise wie rj' im eigentlichen Sinn keine physikalische StoffgroBe, sondern eine WarmeaustauschgroBe cpAq. Damit AT in (1.18b) und Aq in (1.35b) gleiche Dimensionen M/TL haben, hat man k' — cpAq eingefiihrt. Gl. (1.35b) nennt man den Austauschansatz fur die turbulente Warmestromdichte. Eine Angabe von allgemein giiltigen Zahlenwerten ist fiir Aq genauso wie fur AT nicht moglich. In den meisten Fallen ist (p und damit auch k' ^> k. Fiir die AustauschgroBen gilt aufgrund experimenteller Daten bei Gasen in grober Naherung ATfnAq. An festen Wanden verschwindet die turbulente Austauschbewegung, so daB dort AT — 0 = Aq zu setzen ist. Temperaturleitfahigkeit. Eine haufig bei der Beschreibung eines Temperaturfelds gebrauchte StoffgroBe stellt die Kombination aus dem Warmeleitkoeffizienten k, der Dichte p und der spezifischen Warmekapazitat cp dar. a =

Warmeleitkoeffizient k = Dichte x Warmekapazitat pcp

(abgeleitete GroBe).

(1.36)

Man nennt a den Temperaturleitkoeffizienten. Er hat wie die kinematische Viskositat in (1.15) die Dimension L 2 /T mit der Einheit m 2 /s. Zahlenwerte fiir a sind in Tab. 1.1 zusammengestellt. Molekulare Prandtl-Zahl. Die dimensionslose Zahl aus kinematischer Viskositat v und Temperaturleitkoeffizient a oder aus spezifischer Warmekapazitat cp, dynamischer Viskositat r\ und Warmeleitkoeffizient k bezeichnet man als Prandtl-Zahl des molekularen Transportvorgangs. kinematische Viskositat

v cDn - = -E-L (Kennzahl). (1.37a, b) Temperaturleitkoeffizient a k Die molekulare Prandtl-Zahl hangt nur von den physikalischen StoffgroBen des Fluids ab. Sie ist im Sinn von (1.47i) eine Kennzahl. Bei Fliissigkeiten besteht eine starke Abhangigkeit der Prandtl-Zahl von der Temperatur nach [11, 29, 40]. Fiir Wasser verringert sich die Prandtl-Zahl bei dem kleinen Temperaturunterschied von 20°C bereits von Pr = 13,5 bei t = 0°C auf Pr = 7,0 bei t = 20°C. Bei Gasen ist die Prandtl-Zahl wegen cp «* const und rj/k « const nahezu temperaturunabhangig. Luft besitzt den Wert Pr «s 0,72.19 Zahlenwerte fiir andere Gase sind in Tab. 1.1 zusammengestellt. Naherungsweise kann man stark vereinfacht Pr^ const Rs 1 (Gas) (1.38) Pr =

19

=

Nach der kinetischen Gastheorie [9, 19] ist unter Beriicksichtigung der Eucken-Korrektur Pr = (4 + 2 / ) / ( 9 + 2 / ) < 1 mit / als Anzahl der Bewegungsfreiheitsgrade der Molekule, vgl. die FuBnote 18 (S. 22). Im einzelnen gilt: Einatomige Molekule Pr = 2/3 = 0,67, zweiatomige Molekule Pr = 14/19 = 0,74 und mehratomige Molekule Pr = 16/21 = 0,76.

26

1.2 Physikalische Eigenschaften und StoffgroBen der Fluide

setzen. Bei vollkommen idealen Gasen folgt wegen Pr « const und cp % const aus (1.37b), daB der Warmeleitkoeffizient X proportional der Viskositat r\ ist, d. h.

X(T) T\irbulente Prandtl-Zahl. Neben der Prandtl-Zahl der molekularen Austauschvorgange kann man bei turbulenten Vorgangen auch eine verallgemeinerte PrandtlZahl Pr* definieren, bei der anstelle der molekularen Viskositat t] und des molekularen Warmeleitkoeffizienten A, auch noch die durch turbulente Austauschvorgange hervorgerufene scheinbare Viskositat r\' = AT bzw. der scheinbare Warmeleitkoeffizient X' = cpAq mitberiicksichtigt werden. Es sei also pr

p /

X + X' X + cpAq X' Aq gesetzt. Da fiir Stromungen, bei denen turbulente Austauschvorgange wesentlich sind, r}'» r] und X' » X ist, geht die verallgemeinerte Prandtl-Zahl in die sogenannte turbulente Prandtl-Zahl Pr' iiber. Sie stellt das Verhaltnis von ImpulsaustauschgroBe A r zu WarmeaustauschgroBe Aq dar. Fiir Luft liegen die experimentellen Werte fiir Pr' zwischen 0,8 und 0,9. Hieraus folgt, daB Ax < Aq ist. Die haufig bei Luft benutzte Vereinfachung Pr & Pr' ss 1 gilt fiir turbulente Stromung noch besser als fiir laminare Stromung, bei der nur molekulare Austauschvorgange auftreten.

1.2.6 Zusammenwirken mehrerer Stoffe und Aggregatzustande 1.2.6.1 Grundsatzliches Bei den bisherigen Betrachtungen iiber die Eigenschaften und StoffgroBen von Fluiden in den Kap. 1.2.2 bis 1.2.5 handelt es sich jeweils um gleichartige Stoffe bei ungeandertem Aggregatzustand (Fliissigkeit, Dampf, Gas). Diese werden nach Kap. 1.2.1 homogene oder inhomogene Fluide genannt. Liegen nun mehrere Fluide oder Aggregatzustande gleichzeitig vor, so sollen diese als heterogene Fluide bezeichnet werden. Solche Falle treten z. B. auf, wenn ein in alien seinen Teilen physikalisch gleichartiges Fluid von einem anderen Fluid gleichen oder anderen Aggregatzustands durch eine Grenzflache getrennt ist. Diese Erscheinung faBt man haufig unter dem nur teilweise zutreffenden Begriff der Kapillaritat zusammen; sie wird in Kap. 1.2.6.2 behandelt. Zu den heterogenen Fluiden gehijren besonders die nassen Dampfe, die ein Zweiphasengemisch aus siedender Fliissigkeit und gesattigtem Dampf (Gas) sind, vgl. Abb. 1.2. Kommen im Inneren einer stromenden Fliissigkeit dampf- oder gasgefiillte Hohlraume vor, so ist diese Erscheinung unter dem Namen der Kavitation oder Hohlraumbildung bekannt; sie wird in Kap. 1.2.6.3 besprochen. Neben den genannten Beispielen gehoren auch Fragen der Gemische, der Zerstaubung, des Geschiebe- und Schwebestofftransports in Fliissigkeiten sowie des Sand- und Schneetransports im Sturm zum Themenkreis dieses Kapitels. Es soil jedoch hierauf nicht eingegangen werden.

1.2.6.2 Grenzflachen (Kapillaritat) Allgemeines. Grenzen zwei Fluide, z. B. Fliissigkeiten, die sich nicht mischen, oder Fliissigkeit und Gas aneinander, so unterliegen die Molekiile in der Nahe der Grenzflache der Wirkung der molekularen Anziehungskrafte beider Fluide. Die Form der Grenzflache hangt von der Natur der beiden aneinander grenzenden Fluide ab. Hierauf beruht z. B. die Erscheinung, daB ein auf eine Fliissigkeit gebrachter Tropfen einer leichteren Fliissigkeit als Tropfen erhalten bleibt (Wassertropfen auf Schwefelkohlenstoff) oder sich als diinne Haut iiber die Oberflache der schwereren Fliissigkeit ausbreitet (Ol auf Wasser, Wasser auf Quecksilber).

27

1.2.6 Zusammenwirken mehrerer Stoffe und Aggregatzustande

Freie Grenzflache. Auf jedes Molekiil im Inneren einer ruhenden Fliissigkeit werden nach Abb. 1.8a von seiner Umgebung molekulare Anziehungskrafte (Kohasion = Zusammenhalt gleichartiger Molekiile) innerhalb eines kleinen Wirkungsbereichs (Radius r/n <& 10~6 mm) ausgeilbt. Befindet sich ein solches Molekiil mindestens ran r\i von einer freien Oberflache (Grenzflache zwischen Fliissigkeit und Gas) entfernt, so werden sich die von alien Richtungen her wirkenden Krafte gegenseitig aufheben. Anders ist es jedoch bei einem Molekiil, dessen Abstand a von der Oberflache kleiner als r^ ist. Es wirkt eine von null verschiedene, in das Innere der Fliissigkeit ziehende resultierende Kraft FM- Die Anziehungskrafte der Gas- auf die Fliissigkeitsmolekiile sind vernachlassigbar klein. Die Kraft FM ist um so groBer, je kleiner a ist. Hierdurch verbleiben an der Oberflache nur so viele Molekiile, wie zur Bildung der Oberflache unbedingt notwendig sind. Die freie Oberflache einer Fliissigkeit zeigt daher das Bestreben sich zu verkleinern. Bei der Tropfenbildung entstehen also Korper kleinster Oberflache. Man kann hieraus schlieBen, daB in einer Grenzflache ein Spannungszustand ahnlich einer gleichmaBig gespannten diinnen Haut herrscht. Grenzflachenspannung. Wesentlich fur das Verhalten der Grenzflachen (einschlieBlich der freien Oberflachen) ist das Auftreten von Spannungskraften in der Grenzflache. Die Tangentialkomponente der molekularen Anziehungskraft dFa an einem Oberflachenelement (Grenzflachenelement) nach Abb. 1.8b bezieht man auf die Lange des Linienelements ds normal zur Spannungsrichtung und bezeichnet die so gewonnene GroBe als Grenzflachenspannung, oder auch Kapillarspannung a = dFa/ds. DaB es sich bei a tatsachlich um eine Spannung handelt, ist von Prandtl [26] gezeigt worden. Die Grenzflachenspannung a hat an alien Punkten der Grenzflache unabhangig von der Richtung dieselbe GroBe und besitzt die

freie Oberflache

t

dF,

i -^ 1

1

ds

-—

\ r—o-^'WirkunasbereichMolekur b

-—ds

Abb. 1.8. Zur Deutung der molekularen Anziehungskrafte bei freien a Fliissigkeitsraum. b quadratisches Oberflachenelement (eben dargestellt)

Fliissigkeitsoberflachen.

Tabelle 1.3. Eigenschaften von Grenzflachen. a Grenzflachenspannung (Kapillarkonstante) a fiir verschiedene nichtmischbare Fluide. Bezugszustand p *z 1 bar, t sa 20°C (bei Wasser/Wasserdampf p = 1 bar, t = 99,6°C). b Wandwinkel $w zwischen Gas/Flussigkeit und reiner Glaswand, vgl. [2, 22, 23] Fluid-Kombination Wasser

Quecksilber

Alkohol

Ol

a (N/m)

Flussigkeit

&w

Luft Wasserdampf

0,073 0,059

Wasser

-1°

Luft Wasser

0,475 0,427

Schwerol

26°

Luft Wasser

0,023 0,004

Athylalkohol

28°

Luft Wasser

0,025 . . . 0,035 0,023 . . . 0,048

Quecksilber

138°

28

1.2 Physikalische Eigenschaften und StoffgroBen der Fluide

Dimension F/L mit der Einheit N/m. Man kann a auch als die zur Erzeugung der Grenzflache benotigte Arbeit je Flache in Nm/m2 = J/m2 auffassen. Es ist a eine jeweils von zwei sich nicht mischenden Fluiden abhangige StoffgroBe. Sie wird Koeffizient der Grenzflachenspannung oder Kapillarkonstante genannt. Der Name Kapillaritat riihrt her von dem besonders auffalligen Verhalten einer Flussigkeit unter dem EinfluB von Oberflachenspannungen in engen Rohren (Kapillaren). In Tab. 1.3a sind fur einige Fluid-Kombinationen Werte fiir a zusammengestellt. Sie nehmen mit wachsender Temperatur stets ab und sind sehr empfindlich gegen Verunreinigungen; vgl. auch [16]. Grenzflachendmck. An ebenen Grenzflachen tritt die Grenzflachenspannung nicht in Erscheinung, da sie hier in sich im Gleichgewicht ist. Bei einem gekriimmten Grenzflachenelement liefern die an ihm wirksamen Grenzflachenspannungen eine normal zur Flache stehende resultierende Kraft. Bezogen auf das Flachenelement ergibt sich eine Normalspannung, die man den Grenzflachen-, Krummungs- oder Kapillardruck nennt. Dieser ist der Kriimmung proportional. Zur Ermittlung des Grenzflachendrucks sei das in Abb. 1.9a skizzierte raumlich gekrummte Flachenelement dA betrachtet, welches durch die zwei normalen Hauptschnitten entsprechenden Linienelemente ds\ und ds2 begrenzt sei. Die zugehorigen Kriimmungsradien seien mit r\ und ri sowie die Kriimmungswinkel mit #i und &2 bezeichnet. Infolge der Kriimmung liefern die Grenzflachenspannungen a nach Abb. 1.9b die normal zur Flache dA = ds\ds2 stehende Resultierende von der GroBe dFan = dFa\&\ + dFCT2^2mitdFCTi = ads\ und Fa2 = adsj, wobei ds\ = rii?i und ds2 = r2&2 ist. Der gesuchte Kriimmungsdruck pK (= Normalkraft dA) in Pa = N/m2 ergibt sich also zu PK='

p

= — (n = r2 =

(Kriimmungsdruck).

(1.40a, b)

n

Er wird positiv, also nach innen gerichtet sein, sofern das Flachenelement wie in Abb. 1.9a einer nach auBen konvexen Grenzflache angehort. Im Fall einer konkaven Grenzflache sind die Kriimmungsradien negativ einzufiihren, und das Flachenelement erfShrt einen Zug nach auBen. Gl. (1.40b) gilt fiir eine angenahert kugelformige Grenzflache mit r\ = r2 = r/c. Da in dem in Abb. 1.9a dargestellten Flachenelement Gleichgewicht bestehen muB, ist der Kriimmungsdruck pK = p\ — pu die Druckdifferenz, welche sich in der gekriimmten Grenzflache zweier Fluide mit verschiedener Dichte p\ bzw. pn einstellt. Korperhaftende Grenzflache. Beriihrt eine Flussigkeit die Wand eines festen Korpers, so stehen ihre in der Oberflache liegenden Molekiile nicht nur unter dem EinfluB des an ihre Oberflache angrenzenden Fluids (fliissig oder gasfdrmig), sondern auch unter dem des festen Korpers (Adhasion = Haften verschiedener Stoffe). Sind z. B. die von dem festen Korper herruhrenden Anziehungskrafte sehr viel groBer als die von den Nachbarmolekttlen der Flussigkeit ausgeiibten, so muB sich die Flussigkeit

Abb. 1.9. Gekriimmtes Grenzflachenelement. a Grenzflachenspannung. b Grenzflachendruck

1.2.6 Zusammenwirken mehrerer Stoffe und Aggregatzustande

29

iiber die Wand ausbreiten; man spricht von einer benetzenden Fliissigkeit. Bei einer nichtbenetzenden Fliissigkeit (z. B. Quecksilber) ist dies nicht der Fall, wohl aber ist der WandeinfluB deutlich erkennbar, weil er in unmittelbarer Wandnahe zu einer gekrummten Hussigkeitsoberflache fiihrt. Zu unterscheiden sind die in Abb. 1.10a und b angedeuteten beiden Falle, wie z. B. filr Wasser bzw. Quecksilber gegen Glas. In jedem dieser Falle kommt es zwischen Wand und gekriimmter Fliissigkeitsoberflache an der Wand zu einem bestimmten Wandwinkel (Rand-, Kontaktwinkel)fty/,der in Abb. 1.10 dargestellt ist. Am Beriihrungspunkt P zwischen Wand und Hussigkeitsoberflache kommen nach Abb. 1.10c drei Stoffe miteinander in Beriihrung, und zwar das Material der festen Wand (W), die Fliissigkeit (1) und das daruber liegende Gas oder auch eine zweite Fliissigkeit (2). An den jeweiligen Grenzflachen sind dann die Grenzflachenspannungen jeweils in Richtung der betreffenden Grenzflache wirksam o\2 (Fliissigkeit gegen Gas), ow\ (Wand gegen Fliissigkeit) und owi (Wand gegen Gas). Mit dem als &w eingefiihrten Wandwinkel zwischen der Wand und der Flussigkeitsoberflache ergibt sich daraus die Gleichgewichtsbedingung in Richtung der Wand = owl — <*w\ =

— =cos&w aF

(Grenzflachengesetz),

(1.41a,

wobei aw als Haftspannung an der Wand bezeichnet wird, und oy = C12 > 0 die Grenzflachenspannung der Fluidkombination bedeutet. Diese als Kapillaritatsgesetz bekannte Bedingung fiihrt hinsichtlich des Wandwinkels &w zu folgenden Aussagen: Fur owl op > 1 ist wegen des unmoglichen Werts c o s i V > 1 kein Gleichgewichtszustand moglich. Der Zustand tritt bei &w -*• 0 auf, wobei die Wand vollstandig benetzt wird (ideale Benetzung). Bei (TW/VF < 1 konnen sich die beiden in Abb. 1.10a und 1.10b dargestellten Oberflachenformen ausbilden. Dabei handelt es sich im ersten Fall mit aw /OF > 0 um eine benetzte Wand (spitzer Winkel, &w < x/2), bei der sich das Wandmaterial hydrophil (wasseranziehend) verhalt (Karbonate, Silikate, Sulfate, Quarz). Im zweiten Fall liegt mit <JW/&F < 0 eine nichtbenetzte Wand (stumpfer Winkel, &w > TT/2) vor, bei der sich das Wandmaterial hydrophob (wasserabstoBend) verhalt (reine Metalle, Sulfide, Graphit). Bei verschwindender Haftspannung aw -> 0 stellt sich mit &w -* x/2 eine ebene freie Oberflache ein. Der Wandwinkel &w und die Haftspannung an der Wand &w bestimmen maBgeblich die Auswirkungen der Kapillaritat, wie sie z. B. bei der Kapillaraszension und -depression in engen Rohren und Spalten in Erscheinung treten, vgl. Kap. 3.2.3.3. Die GroBen des Wandwinkels &w von einer Fliissigkeit gegen eine benetzte reine Glaswand sind in Tab. 1.3b mitgeteilt. Auch bei der Ausbreitungsgeschwindigkeit von Oberflachenwellen kann die Grenzflachenspannung (Kapillarspannung) eine wesentliche Rolle spielen, vgl. Kap. 5.3.4.

Gas [ 2 )

•

/

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7////7T//////////////

Abb. 1.10. Formen der freien Oberflache von Fliissigkeiten an festen Wanden. a benetzende Fliissigkeit (Wasser-Glas), &w < 90°, rK < 0. b nichtbenetzende Flussigkeit (Quecksilber-Glas), $w > 90°, rg > 0. c wirksame Grenzflachenspannungen

30

1.3 Physikalisches Verhalten von Stromungsvorgangen

1.2.6.3 Hohlraumbildung (Kavitation) Dampfdruck. Jeder Stoff kann bei bestimmten Druck- und Temperaturwerten p, T die drei Aggregatzustande fest, fliissig, gasformig durchlaufen, z. B. Eis, Wasser, Wasserdampf. Abb. 1.11 zeigt in einem p, T-Diagramm schematisch die drei Grenzkurven fiir den Sublimations-, Schmelz- und Dampfdruck. Fur Stromungsvorgange ist besonders der Ubergang vom fllissigen zum gasformigen Zustand, d. h. die Dampfdruckkurve, von Bedeutung. Zu jedem Druck gehort eine bestimmte Sattigungstemperatur (Siedetemperatur) und umgekehrt gehort zu jeder Temperatur ein bestimmter Druck, bei dem die Flussigkeit verdampft. Diesen Druck nennt man den Dampfdruck (Sattigungsdruck, Siededruck) der Fliissigkeit pD = pD(T). Der Dampfdruck steigt bei alien Fluiden sehr schnell mit der Temperatur an. Zahlenwerte fiir Wasser findet man in [35]. Bei Wasser mit einer Temperatur von 100°C ist der Dampfdruck gleich dem Atmospharendruck po = 1,0133 bar, wahrend sich bei einer Temperatur von 20° C ein Wert PD = 0,0234 bar, d. h. nur etwa 2% des Atmospharendrucks ergibt.

fest

\flussigjggasfdrmig

'

.11. Abhangigkeit der Aggregatzustande eines Stoffs von Temperatur und Druck

Blasenbildung. Grenzt Dampf an eine Wand, deren Temperatur niedriger als die Sattigungstemperatur ist, so findet Kondensation statt. Das Kondensat kann dabei entweder einen zusammenhangenden Film bilden, oder sich in Form kleiner und kleinster Tropfen niederschlagen (Tropfenkondensation). Sinkt der Druck in einer Flussigkeit bis auf den Dampfdruck p —> po, so zerreiBt die Stromung und scheidet bei Vorhandensein von Verdampfungskernen unter Hohlraumbildung Dampfblasen aus. Dadurch wird der Stromungsvorgang vollstandig verandert. Bei wiederansteigendem Druck ist diese Erscheinung infolge schlagartiger Kondensation mit heftigen Zusammenfallen der Blasen verbunden. Dieser kritische Vorgang wird Kavitation oder Hohlsog genannt. Kavitationszahl. Die beschriebenen Verhaltnisse kommen in der wasserbaulichen Praxis, z. B. bei der Umstromung von Turbinenschaufeln, dadurch vor, daB bei groBen Stromungsgeschwindigkeiten ortlich Unterdriicke von der GroBe des Dampfdrucks auftreten. Die fast immer unerwiinschte Kavitation auBert sich im Auftreten von ratternden Gerauschen (Kavitationslarm), im Anfressen des umstromten Wandmaterials u. a. Durch Einfuhren einer geeignet definierten Kennzahl lassen sich das Auftreten der Kavitation und die GroBe der Kavitationsblasen verhaltnismaBig zuverlassig erfassen.

1.3 Physikalisches Verhalten von Stromungsvorgangen 1.3.1 Einfiihrung Der Ablauf von Stromungsvorgangen wird von den physikalischen StoffgroBen des betrachteten Fluids (Dichte, Viskositat, Warmekapazitat, Warmeleitkoeffizient

1.3.2 Darstellungsmethoden stromender Fluide

31

u. a.), von dem kinematischen Verhalten (Zeit, Geschwindigkeit, Beschleunigung) sowie von den dynamischen und thermodynamischen Einwirkungen (Druck, Temperatur, Kraft, Impuls, Arbeit, Energie, Warme u. a.) bestimmt. Von den zuletzt genannten Einfliissen wurde bisher noch nicht gesprochen. Hierauf wird bei der Herleitung der Grundgesetze der Fluid- und Thermofluidmechanik in Kap. 2 ausfuhrlich eingegangen. Ohne jedoch bereits iiber diese Kenntnisse zu verfiigen, lassen sich schon jetzt wesentliche Aussagen iiber das physikalische Verhalten von Stromungsvorgangen machen. Wahrend in Kap. 1.2 die StoffgroBen der Fluide behandelt wurden, befaBt sich Kap. 1.3.2 mit den Darstellungsmethoden der Stromungslehre. Hierbei ist die Ahnlichkeitsmechanik, nach der aufgrund bestimmter Ahnlichkeitsbetrachtungen charakteristische Kennzahlen der Fluidund Thermofluidmechanik hergeleitet werden konnen, von auBerordentlicher Bedeutung. Die Kennzahlen dienen der Kennzeichnung und Einteilung der verschiedenen Erscheinungsformen stromender Fluide, woriiber in Kap. 1.3.3 berichtet wird.

1.3.2 Darstellungsmethoden stromender Fluide 1.3.2.1 Beschreibung von Stromungsvorgangen Zur kinematischen Beschreibung der Bewegung eines stromenden Fluids ist die Angabe der Geschwindigkeit und der Beschleunigung zu jeder Zeit und an jeder Stelle des Stromungsgebiets erforderlich, wahrend zur dynamischen Beschreibung der Bewegung auBerdem noch die Angabe der auf das Fluid wirkenden Krafte, wie Tragheits-, Volumen- und Oberflachenkraft, notwendig ist. Zur Losung dieser Aufgaben kann man von zwei verschiedenen Vorstellungen aus vorgehen. Die von Lagrange begriindete Betrachtungsweise entspricht dem Sinn nach der in der allgemeinen Mechanik der Systeme iiblichen Methode. Sie faBt das bewegte Fluid als einen Punkthaufen auf, dessen einzelne Massenpunkte (Fluidelemente) gewissen, durch den Zusammenhang des Fluids bedingten Bewegungsbeschrankungen unterworfen sind, und fragt nach dem zeitlichen Ablauf der Bewegung jedes einzelnen Fluidelements. Bei dieser substantiellen Betrachtungsweise weist man jedem Fluidelement einen bestimmten Lagevektor (fluidgebundene Koordinaten) rL zu, etwa seine Anfangslage zur Zeit t — 0. Seine Lage (augenblickliche Koordinaten) r zur Zeit t wird dann als Funktion von r^ und t dargestellt: r=r(t,rL),

E = E(t,rL)

(Lagrange).

(1.42a, b)

Da die Beziehung von (1.42a) entsprechend auch fiir die sonstigen physikalischen GroBen E wie die Geschwindigkeit, den Druck, die Temperatur u.a. gilt, folgt (1.42b), vgl. Abb. 2.12. Die GroBe 17, sowie die Zeit t sind die unabhangigen Veranderlichen, wahrend r die abhangige Veranderliche des Problems ist. Die Lagrangesche Methode eignet sich besonders fiir die Verfolgung der Eigenschaften bestimmter einzelner Fluidelemente, wie sie z. B. bei den Wirbelbewegungen vorkommen.

32

1.3 Physikalisches Verhalten von Stromungsvorgangen

Wesentlich vorteilhafter fur die Fluidmechanik ist die von Euler begriindete Betrachtungsweise. Diese verzichtet darauf, den zeitlichen Verlauf der Bewegung jedes Fluidelements in alien Einzelheiten kennenzulernen, sondern fragt nur danach, welche physikalischen GroBen zu einer gegebenen Zeit t an jedem Aufpunkt (raum- oder korperfeste Koordinaten) r des Stromungsfelds herrschen. Bei dieser lokalen Betrachtungsweise erscheinen die physikalischen GroBen E als Funktionen der Zeit t und des Orts r E = E(t,r)

(Euler).

(1.42c)

Haufig wird die Anderung einer an das Fluidelement gebundenen GroBe E = E(t,rL) mit der Zeit, d. h. die substantielle (materielle) Ableitung dE/dt, benotigt: d£ 'dt

fdE\

(dE\

(9E\

dr

=

(1.42d)

Es bedeutet (dE/dt)rL (= partielle Differentiation nach t bei r^ = const) in der Lagrangeschen Darstellung die zeitliche Anderung der GroBe E fur ein durch den Wert rL gekennzeichnetes Fluidelement. Der Ausdruck dE/dt (— totale Differentiation) gibt in der Eulerschen Darstellung die zeitliche Anderung der GroBe E an, die ein bestimmtes Fluidelement, welches sich augenblicklich am Oil r befindet, bei seiner Bewegung erleidet. Diese setzt sich aus dem lokalen Anteil ( = partielle Differentiation nach t bei r = const) und dem konvektiven Anteil (= partielle Differentiation nach r bei t = const) zusammen, vgl. Kap. 2.3.4.2. Ein Stromungsgebiet nennt man auch ein Stromungsfeld und die zugehorigen physikalischen GroBen entsprechend FeldgroBen. Bei einem zeitlich unveranderlichen Stromungsfeld liegt stationare und bei einem zeitlich veranderlichen Stromungsfeld instationare Stromung vor. Diese Begriffe beziehen sich nicht auf den Bewegungszustand des einzelnen Fluidelements sondern immer auf den Bewegungszustand des ganzen Fluidsystems. Je nach der Art des raumlich veranderlichen Stromungsfelds kann man drei-, zwei- und eindimensionale Stromungen unterscheiden. Die dreidimensionale Stromung stellt den allgemeinsten Fall eines raumlichen Stromungsfelds dar. Wesentlich einfacher als diese ist die zweidimensionale Stromung zu behandeln.

Meridianetem

•Li

Abb. 1.12. Zweidimensionale Stromungen. a Kartesische Koordinaten x, y, Polarkoordinaten r, (p. b Drehsymmetrische Koordinaten r, z. (Miteingetragen sind die zugehorigen Geschwindigkeitskomponenten)

1.3.2 Darstellungsmethoden stromender Fluide

33

Zu ihr gehort vomehmlich die ebene Stromung, bei der sich zu jeder Zeit samtliche Fluidelemente nach Abb. 1.12a in Ebenen JC, y bzw. r, (p bewegen, derart, daB in jeder Parallelebene das gleiche Stromungsfeld herrscht. Eine solche Stromung kommt strenggenommen nicht vor; vielmehr treten an den Grenzen des betreffenden Stromungsfelds immer gewisse Abweichungen von der ebenen Stromungsform auf. In vielen Fallen ist es jedoch aus Griinden der Vereinfachung vorteilhaft, zunachst von einer ebenen Stromung auszugehen und, sofern es erforderlich ist, nachtraglich eine entsprechende Korrektur an den Randern des Stromungsgebiets vorzunehmen. Auch die drehsymmetrische Stromung ist eine zweidimensionale Stromung. Sie ist der ebenen Stromung nahe verwandt. Bei ihr geht die Stromungsbewegung nach Abb. 1.12b in Ebenen r, z vor sich, welche sich samtlich in einer festen Achse schneiden, wobei das Stromungsfeld in all diesen Ebenen (Meridianebene) das gleiche ist. Die drehsymmetrische Stromung stellt einen Sonderfall einer in Zylinderkoordinaten r,
z,

Abb. 1.13. Verwendung verschiedener Koordinatensysteme; Kartesische rechtwinklige Koordinaten x, y, z, (eben x, y), Zylinderkoordinaten r,
34

1.3 Physikalisches Verhalten von Stromungsvorgangen

kann. Befindet sich der Beobachter dagegen in einem gegeniiber dem absoluten Bezugssystem mitbewegten Bezugssystem (z. B. Fahrzeug, drehendes Teil einer Stromungsmaschine), so nennt man dies ein "relatives Bezugssystem". Man spricht daher auch von Absolut- und Relativbewegung, oder iibertragen auf die Fluidmechanik von Absolut- und Relativstromung. Will man den physikalischen Vorgang nicht im ruhenden, sondern in einem bewegten, insbesondere rotierenden Bezugssystem beschreiben, so erfordert dies zusatzliche Uberlegungen.

1.3.2.2 Kennzahlen der Fluid- und Thermofluidmechanik Um die dimensionslosen KenngroBen als Kriterien fiir die physikalische Ahnlichkeit zu bestimmen, kann man drei Wege beschreiten. a) Methode der gleichartigen GroBen. Bei Verwendung von WirkungsgroBen jeweils gleicher Dimension, wie z. B. von Kraftkomponenten (Tragheits-, Schwer-, Druck-, Zahigkeitskraft u. a.), von Arbeiten (hervorgerufen durch Druck- und Zahigkeitskrafte, Warmezu- oder abfuhr u. a.) oder von Energien (kinetische, potentielle Energie u. a.), setzt man diese zueinander ins Verhaltnis. Das Verfahren eines Kraftvergleichs, bei dem man die verschiedenen Krafte im allgemeinen jeweils auf die Tragheitskraft bezieht, stellt eine anschauliche Ahnlichkeitsbetrachtung dar, die sehr haufig fiir die Ableitung der dimensionslosen Kennzahlen benutzt wird. Verschwindet allerdings die Tragheitskraft, wie z. B. bei der vollausgebildeten Stromung durch ein Rohr mit konstantem Querschnitt nach Kap. 3.4.3, dann ist eine Deutung der Kennzahlen als Krafteverhaltnis nicht moglich. In solchen Fallen kann die Betrachtung z. B. iiber einen Vergleich von Impulsstromdichte und maBgebender Spannung erfolgen. b) Methode der Differentialgleichungen. Die physikalischen GroBen werden nicht im einzelnen betrachtet, sondern die Kennzahlen werden anhand bekannter, den Stromungsvorgang beschreibender Differentialgleichungen (Bewegungsgleichungen, Energiegleichungen) abgeleitet. Dies Verfahren verbindet formale Strenge mit physikalischer Anschaulichkeit, vgl. S. 127 bis 128. c) Methode der Dimensionsanalyse. Es ist lediglich die Kenntnis der verschiedenen GroBenarten erforderlich, die bei dem zu untersuchenden Stromungsvorgang von wesentlicher Bedeutung sind. Aus diesen GroBen, die durchweg verschiedenartige Dimensionen haben, bildet man durch entsprechende Kombination dimensionsfreie Produkte. tiber die Bedeutung der Kennzahlen fiir die Ahnlichkeitsgesetze und Modellregeln in der Fluidmechanik wird in [7, 34, 42] berichtet. Das sehr vielseitige Verfahren der Dimensionsanalyse wird im folgenden ausfiihrlich beschrieben und angewendet. Herleitung der Kennzahlen aus der Dimensionsanalyse. Jede physikalische GroBe laBt sich als Potenzprodukt der Grunddimensionen (Lange L in m, Zeit T in s, Masse M in kg, Temperatur 0 in K) oder gegebenenfalls rait der abgeleiteten Grunddimension (Kraft F in N = kg m/s 2 anstelle der Masse M) angeben. Hieraus folgt, daB alle AhnlichkeitskenngroBen als dimensionslose Potenzprodukte auftreten miissen und rein formal aus Dimensionsbetrachtungen gewonnen werden konnen. Die Kennzahl folgt als Verknupfung von dimensionsbehafteten GroBen zu einem dimensionslosen Ausdruck. Man

1.3.2 Darstellungsmethoden strdmender Fluide

35

geht also davon aus, daB sich alle physikalischen GroBen in einer Form darstellen lassen miissen, die nicht von dem gewahlten MaBsystem abhangig ist. Die Zahl der moglichen Kennzahlen erhalt man nach einem von Buckingham [7] aufgestellten allgemeinen Prinzip, dem sogenannten n-Theorem: Eine Funktion zwischen n dimensionsbehafteten GroBen a\, ai, • • •, an, die mit m voneinander unabhangigen Grunddimensionen gemessen werden, besitzt genau n — m dimensionslose Argumente (Kennzahlen) rii, F l 2 , . . . , n K _ m . Es gilt also f{a\,..., an) = 0 und /•'(FIi,..., Un-m) = 0. Im folgenden seien die wichtigsten Kennzahlen hergeleitet, die sich aus der Beriicksichtigung sowohl der fluidmechanischen als auch der thermodynamischen GroBen ergeben. Im einzelnen handelt es sich bei den geometrischen GroBen um die Bezugslange / mit L in m, bei den mechanischen GroBen um die Zeit t mit T in s, die Geschwindigkeit v mit L/T in m/s, die Beschleunigung, insbesondere die Fallbeschleunigung g mit L/T 2 in m/s 2 und den Druck p mit F/L 2 = M/T 2 L in N/m2 = kg/s 2 m, bei den thermodynamischen GroBen um die Temperatur T mit 0 in K sowie bei den StoffgroBen um die Dichte p mit M/L 3 in kg/m 3 , die Schallgeschwindigkeit c mit L/T in m/s, die kinematische Viskositat v mit L 2 /T in m 2 /s, die Konstante der Grenzflachenspannung (Kapillarkonstante) a mit F/L = M/T 2 in N/m = kg/s 2 , die spezifische Warmekapazitat, z. B. bei konstantem Druck cp mit FL/MO = L 2 / T 2 0 in J/kg K = m 2 /s 2 K und die Warmeleitfahigkeit X mit F / T 0 = ML/T 3 © in N/s K = kg m/s 3 K. Es sind dies insgesamt zwolf GroBen (n = 12), die vier Grunddimensionen (m = 4) enthalten. Nach dem Fl-Theorem lassen sich also n — m = 8 Kennzahlen herleiten. Zum Bilden einer Kennzahl n — m = 1 konnen bei Beriicksichtigung der geometrischen und mechanischen GroBen wegen L, M, T bzw. L, F, T, d. h. mit m = 3, vier unabhangige GroBen (n = 4) miteinander verkniipft werden. Beriicksichtigt man auch die thermodynamischen GroBen, claim gilt diese Aussage wegen L, M, T, 0 bzw. L, F, T, 0 , d. h. mit m = 4, fur fiinf unabhangige GroBen (n = 5). Drei von den vier bzw. fiinf unabhangigen GroBen, die eine Kennzahl bilden, d. h. a\, a2, «3, seien durch die Lange /, die Geschwindigkeit v und die Dichte p festgelegt. Die noch fehlende vierte bzw. vierte und fiinfte GroUe sei jeweils eine der oben noch genannten GroBen und werde als Platzhalter mit E bzw. E und E bezeichnet, vgl. Tab. I.4. 20 Wahrend E die Dimension V T^ M? mit bekannten Exponenten a, 0, y haben moge, soil fur E und E gelten L 6 T^ M^ 0* bzw. L" T^ M^ 0 * mit bekannten Exponenten a, fi, y, 8 bzw. a, ft, y, S. Die Kennzahlen der fluidmechanischen und der thermofluidmechanischen Ahnlichkeit lassen sich somit in den Formen Kz = v" • lb • pc • Ed [-]

(Fluidmechanik),

Kz = va • lb • pc • Ed • Ee [-]

(1.43a)

(Thermofluidmechanik)

(1.43b)

darstellen. Dabei sind die Exponenten a bis e aus der Dimensionsanalyse so zu bestimmen, daB die Kenn^ahlen dimensionslos werden. Ohne Beschrankung der Allgemeinheit kann man einen der Exponenten gleich eins wahlen, da jede beliebige Potenz der dimensionslosen GroBe auch wieder eine dimensionslose Zahl ist. Es sei a = 1 gesetzt. Fiihrt man in (1.43a, b) die Dimension fiir v, I, p, E bzw. fur v, I, p, E, E ein, dann gilt fiir die Herleitung der Kennzahlen (1.44a) -Lb

(^\

( L s T % j ; 0 y (L^M*©*)' = L ¥ M ° 6 ° .

(1.44b)

Die rechte Seite folgt aus der Forderung, daB die Kennzahlen dimensionslos sein sollen. Durch Gleichsetzen der Exponenten von L, T, M, 0 in (1.44b) links und rechts erhalt man die vier Gleichungen

L : 1 +b — 3c + ad + ae = 0, T: -\ + fid + fie = 0,

M : c + yd + ye = 0, . &:Sd + Se = O '

°}

(

' '

Aus (1.44a) folgen drei Gleichungen fiir L, M, T, die man aus (1.45) erhalt, wenn man e = 0 sowie a = a, ft = p, y = y setzt. Die bereits getroffene Vereinbarung fiir a und die Auflosung der Gleichungssysteme liefert die Exponenten in (1.43a, b) zu 20

Die Wahl von l,v, p, E bzw. /, v, p, E, E ist an sich willkiirlich. Sie wurde im Hinblick auf die in der Fluid- und Thermofluidmechanik iiblichen Kennzahlen getroffen. Jede andere Wahl wiirde folgerichtig bei etwas geanderter Herleitung zu denselben Ergebnissen fiihren.

0;0

-2;0

2;0

cp;T

8

0;l

2;1

cp;X

7

1

0

0

0

l

0

y;y

y

M

-2;-3

-2

0

a

6

-1

c

5

1

g

4

2

-2

V

3

-2

_j

1

P

2

1

0

a; a

E\E

t

/3

a

E

1

T

L

-l; l

-1;-1

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

a

s-s 0

V

1

1

0

1 2

1 2

0

0

0

0

-1 1 ~2

1 ~2

-

-

-

1

1 ~2

1 ~2 J

-

-1

1 ~2

-

1 ~2

1 2 0

-

£

1

d

E,E

0

c

P

1

0

-1

b

Physikalische GroBen

-

0

Tabelle 1.4. Zur Bestimmung der fluid- und thermofluidmechanischen Kennzahlen nach der Dimensionsanalyse

r>c,ll2T-W

vlpcpX~x

vll/2p\l2a-\/2

vl-l,2g-\/2

vlv~l

vpl'2p-V2

vl~lt

Kennzahl Kz

1.3.2 Darstellungsmethoden strb'mender Fluide

37

=b =

p

ps-ps

p

ps-ps ps-ps

L

pi-pi

fl46)

Es gelten die ersten Ausdriicke jeweils fiir die fluidmechanischen und die zweiten Ausdriicke jeweils fiir die thermofluidmechanischen Kennzahlen.

Auswertung. Betrachtet man jetzt der Reihe nach die verschiedenen Eigenschaften E bzw. E, E, und zwar die Zeit t, den Druck p, die kinematische Viskositat v, die Fallbeschleunigung g, die Schallgeschwindigkeit c, die Konstante der Grenzflachenspannung a, die Temperatur T, die spezifische Warmekapazitat cp und den Warmeleitkoeffizienten A., dann ergibt sich unter Beachtung der jeweiligen oben angegebenen Dimension Tab. 1.4. Die in der letzten Spalte wiedergegebenen Kennzahlen Kz = Fl werden im folgenden z. T. noch etwas umgeschrieben und hinsichtlich ihrer Bedeutung besprochen. Die gefundenen Kennzahlen werden mit Namen hervorragender Forscher bezeichnet, die sich zuerst oder besonders eingehend mit dem Problem, welches durch die Kennzahl charakterisiert werden kann, beschaftigt haben. Im einzelnen gilt21 Sr = — vt ^

(Strouhal-Zahl),

(1.47a)

(Euler-Zahl),

(1.47b)

Re = — (Reynolds-Zahl), v Fr = - £ = (Froude-Zahl),22

(1.47c) (1.47d)

Ma = - (Mach-Zahl), c pv2l

(1.47e)

Pe = — (Peclet-Zahl), a2 v Ec = (Eckert-Zahl). cPT

(1.47g)

We = -— a

(Weber-Zahl),

(1.47f)

(1.47h)

In (1.47g) wurde der Temperaturleitkoeffizient a=X/pcp eingefiihrt. Durch Multiplikation oder Division von zwei oder mehreren Kennzahlen kann man weitere Kennzahlen gewinnen, z. B. liefert der Quotient aus der Peclet-Zahl und der Reynolds-Zahl die nach (1.37) bereits bekannte Prandtl-Zahl 21

Die Namen "Reynolds-Zahl" und "Mach-Zahl" wurden von Sommerfeld (1908) bzw. von Ackeret (1929) eingefuhrt. 22 Es sei erwahnt, daB die Froude-Zahl haufig auch in der Form Fr — v2/gl angegeben wird.

38

1.3 Physikalisches Verhalten von Stromungsvorgangen

Pr = — = - = — (Prandtl-Zahl). (1.47i) Re a k Sie ist das Verhaltnis zweier StoffgroBen, und zwar der kinematischen Viskositat v und dem Temperaturleitkoeffizienten a. Auch das Verhaltnis der spezifischen Warmekapazitaten K — cp/cv stellt eine Kennzahl von zwei StoffgroBen dar.23 EinfluB der Kennzahlen. Aufgrund der zwolf als wesentlich fur den gegebenenfalls mit WarmeeinfluB ablaufenden Stromungsvorgang angesehenen GroBen v, I, p, t, p, v, g, c, a, T, cp, k haben sich nach (1.47) die acht Kennzahlen Sr, Eu, Re, Fr, Ma, We, Pe, Ec ergeben. Das Verhalten einer physikalischen GroBe laBt sich also durch die Funktion F(Sr, Eu, Re, Fr, Ma, We, Pe, Ec) = 0 beschreiben. Nach dem Fl-Theorem stellt eine willkiirlich herausgegriffene Kennzahl eine abhangige GroBe dar. Wahlt man hierfur die Euler-Zahl, so ist Eu = f(Sr, Re, Fr, Ma, We, Pe, Ec). Nach (1.47) tritt der Druck p nur bei der Euler-Zahl Eu = p/pv2 auf. Diese Kennzahl ist somit ein MaB fur den dimensionslosen Druckbeiwert. Mit pb als Bezugsdruck und (p/2)v2 als Geschwindigkeitsdruck kann man also schreiben _ p- pb " ~ (P/2)V2 = 2 - f(Sr,Re,Fr,Ma,We,Pe,Ec)

C

(Druckbeiwert).

(1.48)

Werden alle in der Funktion / angegebenen Kennzahlen als Ahnlichkeitskriterien erfullt, so stellt sich der Zahlenwert fur Eu von selbst ein.

1.3.2.3 Ahnlichkeitsgesetze der Fluid- und Thermofluidmechanik Grundlagen der Ahnlichkeitstheorie. Zwei Stromungen werden als ahnlich bezeichnet, wenn die geometrischen und die charakteristischen physikalischen GroBen fiir beliebige, einander entsprechende Punkte der beiden Stromungsfelder zu entsprechenden Zeiten jeweils ein festes Verhaltnis miteinander bilden. Bei geometrischer Ahnlichkeit bezieht sich diese Aussage auf die Langen-, Flachenund Raumabmessungen, wahrend sich die physikalische Ahnlichkeit auch auf die StoffgroBen und die den Stromungsverlauf bestimmenden mechanischen und thermodynamischen GroBen erstreckt. Vollkommene physikalische Ahnlichkeit zweier Stromungsvorgange, die bei geometrischer Ahnlichkeit der um- oder durchstromten Korper beide unter der Wirkung gleichartiger mechanischer (kinematischer und dynamischer) sowie thermodynamischer Einfliisse stehen, ist kaum zu erzielen. Es ist vielmehr nur moglich, die wesentlichen physikalischen GroBen miteinander zu vergleichen. Hierzu bedient man sich bestimmter dimensionsloser, voneinander unabhangiger Ahnlichkeitsparameter, die in Kap. 1.3.2.2 als Kennzahlen oder KenngroBen abgeleitet wurden. Man kann so die Stromung in iibersichtlicher Weise 23

Da die miteinander verglichenen GroBen nur von der Atomzahl der Gasmolekule abhangen, kann Ahnlichkeit nur erzielt werden, wenn Gase mit Molekiilen gleicher Atomzahl, d. h. gleichen Freiheitsgraden der Molekiilbewegung, betrachtet werden.

1.3.2 Darstellungsmethoden stromender Fluide

39

kennzeichnen, was fur die Einordnung theoretisch ermittelter oder experimentell gefundener Ergebnisse von groBem Nutzen sein kann. Eine besondere Bedeutung hat die Ahnlichkeitstheorie fur das Versuchswesen erlangt. Der zu untersuchende Stromungsvorgang wird zunachst an einem kleineren Modell dargestellt, welches der GroBausfiihrung in bezug auf dessen Randbedingungen geometrisch ahnlich ist und beziiglich der Stromung ganz bestimmte Ahnlichkeitsbedingungen erfiillen muB. Unter Beachtung der Ahnlichkeitsgesetze (Modellgesetze) werden die gefundenen MeBergebnisse sodann auf die GroBausfiihrung iibertragen. Lassen sich die Ahnlichkeitsforderungen nicht voll erfiillen, so wird manchmal auch naherungsweise zur Methode der geometrischen Modellverzerrung gegriffen. ReibungseinfluB. Die Reynolds-Zahl Re wird im allgemeinen als Verhaltnis von Tragheits- und Zahigkeitskraft gedeutet.24 Bei Stromungen mit sehr groBen Reynolds-Zahlen beschrankt sich der ReibungseinfluB auf diinne Stromungsschichten, die sogenannten Stromungsgrenzschichten. Bei kleinen Reynolds-Zahlen ist der ReibungseinfluB groB. Der Grenzfall sehr kleiner Reynolds-Zahlen beschreibt die sogenannte schleichende Stromung. Auf die Bedeutung der Reynolds-Zahl bei reibungsbehafteter Stromung wird in Kap. 1.3.3.2 eingegangen. Sollen zwei Stromungen hinsichtlich des Reibungseinflusses ahnlich verlaufen, so muB die Reynolds-Zahl fiir beide Vorgange den gleichen Zahlenwert Re haben. Innerhalb dieser Forderung konnen sich v, I und v beliebig andern, und man kann bei Versuchen, soweit man nicht durch andere Vorschriften eingeschrankt ist, die ModellgroBe, die Geschwindigkeit und das Fluid frei wahlen, wenn nur dafiir gesorgt wird, daB Re konstant bleibt. Werden mit (1) die GroBen der GroBausfiihrung und mit (2) diejenigen des Modells gekennzeichnet, so lautet das Reynoldssche Ahnlichkeitsgesetz UJ/J/VJ = V2h/v2- Da die Modelle meist verkleinerte Ausfiihrungen des Originals sind, ergeben sich aus der Ahnlichkeitsforderung meist hohe Geschwindigkeiten bei den Modellversuchen. Bei Gasstromungen konnen diese in vielen Fallen die Schallgeschwindigkeit iibersteigen, was den Stromungsablauf grundsatzlich verandert (Machsches Ahnlichkeitsgesetz). Bei Fliissigkeitsstromungen kann man in den Bereich der Kavitation kommen, vgl. Kap. 1.2.6.3. Man ist daher bei der Anderung der Geschwindigkeit ziemlich stark eingeschrankt. Eine Moglichkeit, das Ahnlichkeitsgesetz dennoch zu erfiillen, ergibt sich durch eine Anderung der kinematischen Viskositat entweder durch Wahl eines anderen Fluids fiir den Modellversuch oder bei gleichen Fluiden durch Anderung der Temperatur und des Drucks, man vgl. hierzu die Ausfuhrungen iiber die Viskositat in Kap. 1.2.3.2. SchwereinfluB. Die Froude-Zahl Fr ist das Kriterium fiir die Ahnlichkeit von Stromungen, die im wesentlichen unter dem EinfluB der Schwerkraft stehen. Sie kann als das Verhaltnis von kinetischer und potentieller Energie beschrieben werden. Sie spielt bei Fliissigkeitsstromungen mit freier Oberflache, d. h. bei der Bildung von Schwerwellen, eine wichtige Rolle, vgl. Kap. 1.3.3.3. Bei Modellversuchen, z. B. zur Ermittlung des Widerstands von Schiffen, der sowohl 24 Auf das Versagen eines Kraftvergleichs bei verschwindender Tragheitskraft wurde in Kap. 1.3.2.2 hingewiesen.

40

1.3 Physikalisches Verhalten von Stromungsvorgangen

von der Fliissigkeitsreibung als auch von der Wellenbildung abhangt, mtiBten gleichzeitig das Reynoldssche und das Froudesche Ahnlichkeitsgesetz erfiillt werden. Wird das gleiche Fluid auch fiir den Modellversuch verwendet, dann ist sowohl fiir die GroBausfiihrung (1) als auch fiir das Modell (2) die kinematische Viskositat v\ = v^. Weiterhin gilt fiir die Fallbeschleunigung g\ = g2- Demnach stellen die beiden Ahnlichkeitsgesetze die Bedingungen v\li = 1^2 und v\/l\ — v\lI2. Diese Forderung laBt sich fiir h/h ^ 1 nicht erfiillen. Man kann also nur eine angenaherte Ahnlichkeit erzielen, indem man dasjenige Ahnlichkeitsgesetz bevorzugt erfiillt, von dem der Stromungsvorgang maBgeblich bestimmt wird. Bei Untersuchungen an Schiffen und auch sonstigen Wasserbauaufgaben ist dies meistens das Froudesche Gesetz. Der ReibungseinfluB wird durch theoretische Uberlegungen oder durch entsprechende Erfahrungswerte beriicksichtigt. Dichteeinfluft. Die Mach-Zahl Ma stellt das Verhaltnis der Stromungs- zur Schallgeschwindigkeit dar. Sie ist eine wichtige Kennzahl fiir die Beschreibung von Stromungen mit Dichteanderungen des stromenden Fluids (Gas), vgl. Kap. 1.3.3.4. Angaben zur Schallgeschwindigkeit werden in Kap. 1.2.2.3 gemacht. Fiir Stromungen mit Ma < 0,3 kann man das Gas als dichtebestandig ansehen. Das Machsche Ahnlichkeitsgesetz spielt eine besondere Rolle fiir die Aerodynamik des Flugzeugs. Grenzflachenspannung. Die Weber-Zahl We erfaBt den EinfluB der Grenzflachenspannung (Kapillaritat), vgl. Kap. 1.2.6.2. Wahrend fiir die Ahnlichkeit von Schwerwellen das Froudesche Gesetz maBgebend ist, muB im Fall der durch Oberflachenspannung hervorgerufenen Kapillarwellen das Webersche Ahnlichkeitsgesetz erfiillt werden. Bei Modellversuchen ist zu beachten, daB an kleinen Modellen manchmal Kapillarerscheinungen vorkommen, die bei der GroBausfiihrung entweder gar nicht oder in anderer GroBenordnung auftreten. WarmeeinflufJ. Die Peclet-Zahl Pe ist das Verhaltnis des Warmestroms durch Konvektion zum Warmestrom durch Leitung. Sie tritt bei Fragen des Warmeubergangs stromender Fluide auf. Im Aufbau ist die Peclet-Zahl der ReynoldsZahl sehr ahnlich, derart, daB an die Stelle der kinematischen Viskositat v der Temperaturleitkoeffizient a tritt, vgl. Kap. 1.2.5.4. Die Eckert-Zahl Ec gibt das Verhaltnis von kinetischer Energie und Enthalpie wieder. Sie spielt besonders bei Warmeproblemen schnellfliegender Korper eine Rolle. Instationare Strdmung. Die Strouhal-Zahl Sr tritt bei instationaren Stromungsvorgangen auf.25 Es ist l/v die Zeit, welche ein Fluidelement benotigt, um mit der Geschwindigkeit v die Strecke / zuriickzulegen. Ist diese Zeit klein im Vergleich zur GroBenordnung der Zeit t, in welcher sich der instationare Vorgang abspielt, so ist Sr klein, und die Stromung kann als quasistationar betrachtet werden, d.h. Sr -> 0. Fiir stationare Stromung gilt t = co und damit Sr = 0. Bei periodisch wechselnden Vorgangen kann fiir l/t eine Frequenz / eingefuhrt werden, so daB Sr = If/v gesetzt wird. Bei ausreichend niedrigen Frequenzen kann die Stromung wieder als quasistationar aufgefaBt werden, wahrend bei groBeren 25

Vgl. FuBnote 17 (S. 72).

1.3.3 Erscheinungsformen stromender Fluide

41

Frequenzen Sr als Ahnlichkeitskriterium angesehen werden muB. Ein Beispiel hierzu stellt die Karmansche WirbelstraBe in Kap. 5.4.2.3 dar.

1.3.3 Erscheinungsformen stromender Fluide 1.3.3.1 Allgemeines Die in Kap. 1.2 besprochenen Eigenschaften und StoffgroBen der Fluide sowie die in Kap. 1.3.2 angegebenen dimensionslosen Kennzahlen lassen erwarten, daB die Stromungen entsprechend dem Uberwiegen der einen oder anderen physikalischen GroBe besondere kennzeichnende Erscheinungsformen zeigen. Auf die wichtigsten, namlich die durch Reibung, Schwere und Dichteanderung bedingten Einflusse, sei nachfolgend kurz eingegangen. Die Darlegungen betreffen Stromungsbewegungen von Fliissigkeiten und Gasen bei umstromten und durchstromten Korpern.

1.3.3.2 Laminare und turbulente Stromung (ReibungseinfluB) Laminare Bewegung. Bei der Schichtenstromung bewegen sich die Fluidelemente nebeneinander auf voneinander getrennten Bahnen, ohne daB es zu einer Vermischung zwischen den parallel zueinander gleitenden Schichten kommt. Auf dieser Vorstellung beruht die Bezeichnung Laminarstromung. Die Geschwindigkeit ist dabei in alien Schichten tangential zur Hauptstromungsbewegung. Fur diese Art der Stromungen gelten die in Kap. 1.2.3 angegebenen Schubspannungsgesetze normal viskoser bzw. anomalviskoser Fluide. Beachtet man, daB die Fluidelemente, welche eine feste Wand beriihren, wegen der Randbedingung (Haftbedingung) dort zur Ruhe kommen, so ergeben sich bei durchstromten Korpern (Rohr) die in Abb. 1.14a und bei umstromten Korpern (Platte) die in Abb. 1.14b gezeigten Geschwindigkeitsprofile v(r) bzw. u(y). Bei der bisher besprochenen laminaren Bewegung verteilen sich die Geschwindigkeiten entsprechend den ausgezogenen Kurven.

'////////y////////////////////

Wand

a

b

A b b . 1.14. Cieschwindigkeitsprofile infolge ReibungseinfluB. a Rohrstromung. b Plattenstromung. A u s gezogene Kurve: laminar; gestrichelte Kurve: turbulent

42

1.3 Physikalisches Verhalten von Stromungsvorgangen

Turbulente Bewegung. Im Gegensatz zur laminaren Bewegung kann auch ein durch die gestrichelten Kurven in Abb. 1.14a und b gekennzeichnetes Geschwindigkeitsprofil einer gemittelten turbulenten Bewegung auftreten. Das stromende Fluid bewegt sich dabei nicht mehr in geordneten Schichten wie bei laminarer Stromung, sondern der Hauptstromungsbewegung sind jetzt zeitlich und raumlich ungeordnete Schwankungsbewegungen (Langs- und Querbewegungen) iiberlagert. Diese sorgen fiir eine mehr oder weniger starke Durchmischung des stromenden Fluids sowie fur einen Austausch von Masse, Impuls und Energie vor allem quer zur Hauptstromungsrichtung. Die Mischbewegung ist die Ursache fiir die gleichmaBigere Verteilung der gemittelten Geschwindigkeit. Bei turbulenten Stromungsvorgangen handelt es sich um vollig anders geartete Erscheinungen als bei laminaren Bewegungen. Die turbulenten Vorgange sind auBerordentlich verwickelt und sowohl physikalisch als auch mathematisch noch unvollkommen erfaBbar. In unmittelbarer Wandnahe kommen die Schwankungsbewegungen zur Ruhe, so daB dort nur der EinfluB der Viskositat eine Rolle spielt. Diese diinne wandnahe Stromungsschicht nennt man die viskose Unterschicht. Von den technischen Anwendungen her gesehen kommt den turbulenten Stromungen gegeniiber den laminaren Stromungen die weit groBere Bedeutung zu. Bestimmende Kennzahl. Ausgehend von der Ahnlichkeitsbetrachtung in Kap. 1.3.2.3 kann man zeigen, daB sich der ReibungseinfluB durch Viskositat und Turbulenz bei Einfiihren der Reynolds-Zahl Re = vl/v nach (1.47c) erfassen laBt. Hierin ist v eine charakteristische Geschwindigkeit (mittlere Durchstromgeschwindigkeit, auBere Anstromgeschwindigkeit), / eine charakteristische Lange (Rohrdurchmesser, Korperlange) und v die kinematische Viskositat. Laminar-turbulenter Umschlag. Die Frage, wann eine Stromung laminar oder turbulent verlauft, hat bereits Reynolds [31] beschaftigt. Er fiihrte eine Reihe von systematischen Versuchen durch und zeigte, daB der Ubergang von der laminaren zur turbulenten Stromung immer dann eintritt, wenn der Parameter, den man heute Reynolds-Zahl nennt, einen bestimmten Zahlenwert iiberschreitet. Je nach Form und Oberflachenbeschaffenheit des durch- oder umstromten Korpers gibt es eine bestimmte kritische Reynolds-Zahl oder genauer gesagt Reynolds-Zahl des Umschlagpunkts Reu, die den Wechsel von laminarer in turbulente Stromung bestimmt, und zwar gilt Re < Reu : laminare Stromung, Re > Reu : turbulente Stromung.

(1.49)

Fiir umstromte Korper, d. h. im einfachsten Fall fiir die langsangestromte ebene Platte, betragt die mit der Anstromgeschwindigkeit v ^ und dem Abstand von dem Plattenanfang bis zum Umschlagpunkt xu gebildete Reynolds-Zahl Reu = VOQXU/V fv 106. Die Bedeutung der Reynolds-Zahl des Umschlagpunkts sei am Widerstand W von zylindrischen Korpern mit elliptischem Querschnitt und verschiedenem Dickenverhaltnis d/l sowie der Breite b gezeigt. In Abb. 1.15 sind die dimensionslosen Widerstandsbeiwerte cy? = W/q^bl m i t ^ = (p/2)v%o als Geschwindigkeitsdruck der Anstromung in Abhangigkeit von der Reynolds-Zahl

43

1.3.3 Erscheinungsformen stromender Fluide

Abb. 1.15. Widerstandsbeiwerte cw = W/?ooW von elliptischen Zylindern mit verschiedenen Dickenverhaltnissen d/l bei Anstromung in Richtung der groBen Achse nach [20],
Tabelle 1.5. Besonders kennzeichnende Erscheinungsformen stromender Fluide EinfluB

Stromungszustand

Reibung

laminare Stromung Re < Reu stromende Bewegung Fr < 1 Unterschallstromung Ma < 1

Schwere Dichte

Umschlagpunkt Re = Reu -> Wechselsprung «- Fr = 1 VerdichtungsstoB -«- Ma = 1

turbulente Stromung Re > Reu schieBende Bewegung Fr > 1 Uberschallstromung Ma > 1

/?eoo = VOQI/V bei Anstromung mit der Geschwindigkeit UQO in Richtung der groBen Achse aufgetragen. Es ist d/l = 0 die langsangestromte ebene Platte und d/l — 1 der Kreiszylinder. Der gestrichelte Bereich um Re^ ~ 106 stellt den Obergang von der laminaren zur turbulenten Stromung dar. Auf die fluidmechanischen Ursachen, die bei der Platte zu einer Erhohung und beim Kreiszylinder zu einer Verminderung des Widerstandsbeiwerts fiihren, wird in Kap. 6.3 eingegangen. Bei durchstromten Korpern, d. h. bei Rohrstromungen, betragt die mit der mittleren Durchstromgeschwindigkeit vm und dem Rohrdurchmesser D gebildete Reynolds-Zahl des laminar-turbulenten Umschlags Reu = vmD/v «s 2300. Hinsichtlich weiterer Einzelheiten sei auf Kap. 3.4.3.4 verwiesen. Die gemachten Feststellungen iiber den EinfluB der Reynolds-Zahl bei laminarer und turbulenter Stromung sind in Tab. 1.5 zusammengestellt und werden dort mit anderen typischen Erscheinungsformen stromender Fluide verglichen. Unter bestimmten Voraussetzungen kann auch ein Ubergang vom turbulenten in den laminaren Stromungszustand erfolgen (Relaminarisierung).

44

1.3 Physikalisches Verhalten von Stromungsvorgangen

Abb. 1.16. AbfluB von Flussigkeitsstromungen mit freier Oberflache. a Stromender AbfluB: v < CQ, Fr < \ b SchieBender AbfluB: v > c 0 , Fr > 1

1.3.3.3 Stromende und schiefiende Fliissigkeitsbewegung (SchwereinfluB) Offene Gerinne. Bei AbfluBvorgangen in offenen Gerinnen oder teilweise gefiillten Rohrleitungen treten Fliissigkeitsstromungen (Wasserstromungen) mit freien Oberflachen auf. Bei diesen spielt der EinfluB der Schwere eine besondere Rolle. In einem vorgegebenen Gerinnequerschnitt kann die Stromungsbewegung unabhangig vom laminaren oder turbulenten Stromungszustand auf zweierlei Art erfolgen. Nach Abb. 1.16 erzielt man in einem rechteckigen Querschnitt den gleichen Volumenstrom (Volumen/Zeit) entweder bei kleiner Stromungsgeschwindigkeit v\ und groBer Fliissigkeitstiefe h\ oder bei groBer Strbmungsgeschwindigkeit i>2 und kleiner Fliissigkeitstiefe ft 2- Fur diese unterschiedlichen AbfluBarten der Freispiegelstromungen hat sich im ersten Fall des ruhigeren Vorgangs die Bezeichnung stromender AbfluB, kurz Stromen, und im zweiten Fall des heftigeren Vorgangs die Bezeichnung schieBender AbfluB, kurz SchieBen, eingefiihrt. Bestimmende Kennzahl. Die Frage, welche AbfluBart sich einstellt, hangt vom Verhaltnis der FlieBgeschwindigkeit v zur Ausbreitungsgeschwindigkeit der Grundwelle c 0 ab. Bei kleinen Fliissigkeitstiefen betragt die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Flachwasserwelle Co = Vgh- Nach (1.47d) ist mit / = h dann die Froude-Zahl Fr - v/c0. Es gilt, vgl. (5.162c), Fr < 1 : stromende Bewegung, Fr > 1 : schieBende Bewegung.

(c0 = \fgh)

(1.50)

Schwerwelle. Die Eigenart der verschiedenen Gerinneabflusse wird besonders deutlich, wenn man beachtet, daB sich bei freien Oberflachen Druckstorungen stets in Wellenbewegungen auBern. Hat die Gerinnestromung eine FlieBgeschwindigkeit von v < Co (Stromen), dann kann sich die von einer Druckstorung verursachte Wellenbewegung sowohl stromabwarts als auch stromaufwarts ausbreiten. Ist dagegen V>CQ (SchieBen), so kann sich die Druckstorung nicht stromaufwarts auswirken. Wahrend sich der Ubergang vom Stromen zum SchieBen im Gerinne stetig vollzieht, geht der Ubergang vom SchieBen zum Stromen dagegen unstetig

1.3.3 Erscheinungsformen stromender Fluide

45

mit einem Wechselsprung (Wassersprung) vor sich. Auf Tab. 1.5 und den Vergleich mit anderen typischen Erscheinungsformen stromender Fluide wird wieder hingewiesen.

1.3.3.4 Gasstromung mit Unter- und Uberschallgeschwindigkeit (DichteeinfluB) Bestimmende Kennzahl. Die in Gasstromungen starke Abhangigkeit der Dichte vom Druck fiihrt bei Unter- und Uberschallgeschwindigkeit sowohl bei durchstromten als auch bei umstromten Korpern z. T. zu grundsatzlich verschiedenen Erkenntnissen. Bezeichnet v die Stromungsgeschwindigkeit und c die Schallgeschwindigkeit, dann ist die Mach-Zahl nach (1.47e) Ma — v/c. Es gilt also Ma < 1 : Unterschallstromung,

Ma > 1 : Uberschallstromung. (1.51)

Bewegte Storquelle. Es sei nach Abb. 1.17 eine Storquelle (A) betrachtet, die sich mit der Geschwindigkeit v von links nach rechts durch das ruhende Fluid bewegt. Relativ zu diesem Storzentram erfolgt dann die Ausbreitung der Druckwellen mit der Schallgeschwindigkeit c. Abb. 1.17a zeigt den Fall der ruhenden

Abb. 1.17. Ausbreiten von Druckwellen einer mit der Geschwindigkeit v durch ein ruhendes Fluid (Gas) bewegten Storquelle (A), a Storquelle befindet sich in Ruhe; v = 0, Ma = 0. b Storquelle bewegt sich mit Unterschallgeschwindigkeit; v < c, Ma < 1. c Storquelle bewegt sich mit Schallgeschwindigkeit; v = c, Ma = 1. d Storquelle bewegt sich mit Uberschallgeschwindigkeit; v > c, Ma > 1 (JJ. = Machwinkel)

46

1.3 Physikalisches Verhalten von Stromungsvorgangen

Storquelle, v = 0, wobei die Ausbreitung der Druckwellen (Schallwellen) auf konzentrischen Kugelflachen erfolgt. Abb. 1.17b bis d geben die Lagen der in zeitgleichen Abstanden ausgesandten Druckwellen fur die Falle an, bei denen sich die Storquelle mit Unterschallgeschwindigkeit v < c, mit Schallgeschwindigkeit v = c bzw. mit Uberschallgeschwindigkeit v > c bewegt. Folgendes Ergebnis wird festgestellt: Fur Fortbewegungsgeschwindigkeiten der Storquelle, die kleiner als die Schallgeschwindigkeit sind (Ma < 1), breiten sich Druckstorungen nach Abb. 1.17b allseitig im Raum aus. Sind dagegen die Fortbewegungsgeschwindigkeiten groBer als die Schallgeschwindigkeit (Ma > 1), so konnen sich Druckstorungen nach Abb. 1.17d nur in einem hinter der Quelle gelegenen Kegel bemerkbar machen, [25]. Die Wirkung der Storquelle beschrankt sich auf das Innere dieses sogenannten Machkegels, dessen halber Offnungswinkel sich leicht aus der Beziehung sin/A = — = - =

vt

v

(Ma > 1)

(1.52)

Ma

berechnet, wobei ct und vt die jeweils in der Zeit t bei der Ausbreitung der Storang bzw. bei der Fortbewegung der Storquelle zuriickgelegten Wege bedeuten. Die Begrenzungslinien des Machkegels heiBen Machlinien (Wellenfront). Der Machwinkel ist nur fiir Ma > 1 definiert. Aus Abb. 1.17d ersieht man auch, daB im Gegensatz zur Unterschallstromung (subsonische Stromung) bei der Uberschallstromung (supersonische Stromung) jeder Raumpunkt P innerhalb des Machkegels von zwei zu verschiedenen Zeiten ausgesandten Druckwellen getroffen wird. Fur Ma = 1 wird fj, = n/2, was in Abb. 1.17c dargestellt ist. Die Storquelle bewegt mit sich eine zur Bewegungsrichtung normal stehende Wellenfront (Schallmauer). Es sei erwahnt, daB die gemachten Aussagen nur fiir kleine Druckstorungen zutreffen. Bei sehr groBen Druckanderungen, z. B. bei Explosionen, gelten andere Gesetzma'Bigkeiten. StoBfront. Ein Korper werde mit Uberschallgeschwindigkeit Maoc > 1 angestromt. Dann stellt jeder Punkt der Korperoberflache eine Storquelle dar. In Abb. 1.18a, b ist die Ausbildung der Wellenfront (Kopfwelle) urn einen vorn spitzen und einen vorn stumpfen Korper dargestellt. In Abb. 1.18b sind die ortlich auftretenden Mach-Zahl-Bereiche Ma ^ 1 eingetragen. Die Kopfwelle bezeichnet man auch als StoBfront (VerdichtungsstoB), da in ihr groBere Druckanderungen auftreten. Bei schwachen Storungen (schlanke Korper) gehen die StoBlinien in Machlinien (Wellenfront) iiber. Zur experimentellen Bestimmung der Lage von Machlinien (Wellenfronten) und VerdichtungsstoBen (StoBfronten) konnen optische Methoden (Schlieren-, Interferometeraufnahmen) angewendet werden. Stromfadenquerschnitt. Als Beispiel eines durchstromten Korpers sei der Massenstrom durch einen Stromfaden mit veranderlichem Stromfadenquerschnitt nach Abb. 1.19 betrachtet, vgl. Kap. 4.3.2.5. Bei Durchstromgeschwindigkeiten unterhalb der Schallgeschwindigkeit (Ma < 1) wird mit zunehmender Geschwindigkeit dv > 0 der Stromfadenquerschnitt kleiner, dA < 0, wahrend bei Durchstromgeschwindigkeiten oberhalb der Schallgeschwindigkeit (Ma > 1) mit zunehmender Geschwindigkeit dv > 0 der Stromfadenquerschnitt groBer wird, dA > 0. Diese Unterschiede beruhen darauf, daB im vorliegenden Fall die mit der

1.3.3 Erscheinungsformen stromender Fluide Stoflfront Stromlinie _L

47 Stofflront .-

Stromlinie _L

/ '

'

Abb. 1.18. Ausbilden der Wellen- und StoBfronten bei mit Uberschallgeschwindigkeit angestromten Korpern, v > c. a Vorn spitzer Korper: Wellenfront, VerdichtungsstoB anliegend, schief und gerade. b Vorn stumpfer Korper: Wellenfront, StoBfront abgehoben und gekriimmt

Abb. 1.19. Massenstrom durch einen Stromfaden, der mit Unter- oder Uberschallgeschwindigkeit durchstromt wird, Anderung des Stromfadenquerschnitts (schematisch)

Drucksenkung dp < 0 langs des Stromungsvorgangs bei Ma > 1 verbundene groBe Dichteabnahme dp < 0 den Volumenstrom so stark vergroBert, daB mit Riicksicht auf die Erhaltung des Massenstroms im Gegensatz zu Ma < 1 eine Erweiterang des Stromfadenquerschnitts erforderlich wird. Bei abnehmender Geschwindigkeit liegen die Verhaltnisse umgekehrt. Der kleinste Stromfadenquerschnitt ergibt sich bei Ma = 1. Eine Uberschallstromung kann unstetig durch einen nahezu normal zur Stromungsrichtung stehenden VerdichtungsstoB in eine Unterschallstromung iibergehen, vgl. Kap. 4.3.2.6. Umgekehrt geht der Ubergang von Unter- zu Uberschallstromung im allgemeinen stetig vor sich. Auf die Zusammenstellung in Tab. 1.5 und den Vergleich mit anderen typischen Erscheinungsformen stromender Fluide sei auch hier hingewiesen. Flachwasseranalogie. Vergleicht man die Gasstromung bei Unter- und Uberschallgeschwindigkeit mit der stromenden und schieBenden Fliissigkeitsbewegung nach Kap. 1.3.3.3, so kann man gewisse Analogien feststellen. Bei der Unterschallstromung (Ausbreiten einer Druckstorung im ganzen Stromungsfeld) treten Erscheinungsformen wie beim Stromen und bei der Uberschallstromung (Ausbreiten einer Druckstorung nur in einem stromabwarts liegenden Storbereich)

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Literatur zu Kapitel 1

wie beim SchieBen auf. Das Analogon des VerdichtungsstoBes bei Gasstromungen ist bei Fliissigkeitsstromungen der Wechselsprung. Aus der zwar nicht in alien Einzelheiten vollstandigen Ahnlichkeit zwischen den Stromungen dichteveranderlicher, reibungsfreier Fluide (Gase) und den Stromungen schwerer Fluide (Flussigkeiten) mit freien Oberflachen wurde fiir das Versuchswesen der Gasdynamik die sogenannte Flachwasseranalogie entwickelt.

Literatur zu Kapitel 1 1. Andrade, E. N. da C : A theory of the viscosity of liquids. Phil. Mag. Ser. 7, 17 (1934) 497-511; 698-732 2. D'Ans, J.; Lax, E.: Taschenbuch fiir Chemiker und Physiker, 3. Aufl. 3 Bde. Berlin, Heidelberg, New York: Springer 1964/70 3. Baehr, H.D.: Thermodynamik, Eine Einfiihrung in die Grundlagen und ihre technischen Anwendungen, 8. Aufl. Berlin, Heidelberg, New York, 1992 4. Baehr, H. D.; Schwier, K.: Die thermodynamischen Eigenschaften der Luft. Berlin, Heidelberg, New York: Springer 1961 5. Bird, R. B.; Armstrong, R. C ; Hassager, O.: Dynamics of polymeric liquids, 2 Bde. New York: Wiley & Sons 1977/79 6. Bohme, G.: Stromungsmechanik nicht-newtonscher Fluide, Stuttgart: Teubner 1981 7. Buckingham, E.: On physically similar systems, Illustrations of the use of dimensional equations. Phys. Rev. 4 (1914) 345-376. Gortler, H.: Dimensionsanalyse, Berlin, Heidelberg, New York: Springer 1975 8. Cerbe, G.; Hoffmann, H.J.: Einfuhrung in die Warnielehre, 9. Aufl. Munchen: Hanser 1990 9. Chapman, S.; Cowling, T. G.: The mathematical theory of non-uniform gases, 3.Aufl. Cambridge: Univ. Press 1970 10. Coleman, B. D.; Markovitz, H.; Noll, W.: Viscometric flows of non-newtonian fluids, Theory and experiment. Berlin, Heidelberg, New York: Springer 1966 11. Denbigh, K. G.: Note on a method of estimating the Prandtl number of liquids. J. Soc. Chem. Ind., Trans. 65(1946)61-63 12. Ebert, F.: Stromung nicht-newtonscher Medien, Braunschweig: Vieweg 1980 13. Eder, F.X.: Arbeitsmethoden der Thermodynamik, Bd. 2: Thermische und kalorische Stoffeigenschaften, Berlin, Heidelberg, New York: Springer, 1983 14. Eisner, N.: Grundlagen der Technischen Thermodynamik, 3. Aufl. Braunschweig: Vieweg 1985 15. Fliigge, S. (Hrsg.): Handbuch der Physik. Berlin, Gottingen, Heidelberg: Springer Bd. 8/1, 8/2, 9: Stromungsmechanik (1959) Bd. 10: Struktur der Flussigkeiten (1960) Bd. 12: Thermodynamik der Gase (1958) Bd. 13: Thermodynamik der Flussigkeiten und Festkorper (1962) 16. Grigull, U.; Bach, J.: Die Oberflachenspannung und verwandte ZustandsgroBen des Wassers. Brennst.-Warme-Kraft 18 (1966) 73-75. Grigull, U.; Straub, J.: Prog. Heat a. Mass Transf. 2 (1971) 151-162 17. Grigull, U.; Straub, J.; Schiebener, P.: Wasserdampftafeln, Steam Tables in Si-Units, 3. Aufl. Berlin, Heidelberg, New York: Springer 1990 18. Gutmann, F.; Simmons, L. M.: The temperature dependence of the viscosity of liquids. J. Appl. Phys. 23 (1952) 977-978 19. Hirschfelder, J. O.; Curtiss, C. F.; Bird, R. B.: Molecular theory of gases and liquids, 2. Aufl. New York: Wiley & Sons 1964 20. Hoerner, S. F.: Der Widerstand von Strebenprofilen und DrehkOrpern. Jb. 1942 d. Deutsch. Luftfahrtforsch. I, 374-384 21. Knoche, K.-F.: Technische Thermodynamik, 3. Aufl. Braunschweig: Vieweg 1981 22. Kohlrausch, F.: Praktische Physik, 22. Aufl. 3 Bde. Stuttgart: Teubner 1968 23. Landolt-Bornstein: Zahlenwerte und Funktionen aus Physik, Chemie, Astronomie, Geophysik und Technik, 6. Aufl. Berlin, Heidelberg, New York: Springer 1955/71 24. Loffler, H.J.: Thermodynamik, 2 Bde. Berlin, Heidelberg, New York: Springer 1969

1.3.3 Erscheinungsformen stromender Fluide

49

25. Mach, E.; Salcher, P.: Photographische Fixierung der durch Projektile in der Luft eingeleiteten Vorgange, Sitz. Ber. Akad. Wiss. Wien. Abt. II, 95 (1887) 764-780 26. Prandtl, L.: Zum Wesen der Oberflachenspannung. Ann. Phys. 6. Folge, 1 (1947) 59-64. Nachdruck: Ges. Abh. (1961) 1598-1603 27. Prandtl, L.; Oswatitsch, K.; Wieghardt, K.: Fiihrer durch die Stromungslehre, 9. Aufl. Braunschweig: Vieweg 1990 28. Puschmann, G.; Drath, R.: Technische Warmelehre, 23. Aufl. Darmstadt: Fikentscher 1975 29. Reid, R. C ; Sherwood, T. K.: The properties of gases and liquids, Their estimation and correlation, 2. Aufl. New York: McGraw-Hill 1966 30. Reiner, M.: Rheologie in elementarer Darstellung, 2. Aufl. (engl. Aufl. 1960). Miinchen: Hanser 1969 31. Reynolds, O.: An experimental investigation of the circumstances which determine whether the motion of water shall be direct or sinuous, and of the law of resistance in parallel channels. Phil. Trans. Roy. Soc. 174 (1883) 935-982; A 186 (1895) 123-164 32. Schmidt, E. (Hrsg.): Properties of water and steam in Si-Units (kJ, bar), ZustandsgroBen von Wasser und Wasserdampf. Berlin, Heidelberg, New York: Springer. Miinchen: Oldenbourg 1969 33. Skelland, A. H. P.: Non-newtonian flow and heat transfer. New York: Wiley 1967 34. Spurk, J.H.: Dimensionsanalyse in der Stromungslehre, Berlin, Heidelberg, New York: Springer 1992 35. Stephan, K.; Mayinger, F.: Thermodynamik, Grundlagen und technische Anwendungen, 12. Aufl. 2 Bde. (1.-10. Aufl.: Schmidt, E.), Berlin, Heidelberg, New York: Springer 1986/88 36. Sutherland, D. M.: The viscosity of gases and molecular forces. Phil. Mag. Ser. 5, 36 (1893) 507-530 37. Szab6, I.: Geschichte der Mechanik der Fluide, Geschichte der mechanischen Prinzipien, Kap. III. Basel: Birkhauser 1977 38. Touloukian, Y. S. (Hrsg.): Thermophysical properties of matter, A comprehensive compilation of date by TPRC, z. Z. 13 Bde. New York: IFI/Plenum Press 1970/76 39. Umstatter, H.; Schwaben, R.: Einfiihrung in die Viskosimetrie und Rheometrie. Berlin, Gottingen, Heidelberg: Springer 1952 40. VDI-Warmeatlas, 6. Aufl. Dusseldorf: VDI-Verlag 1991 41. Vincenti, W. G.; Kruger, C. H. jr.: Introduction to physical gas dynamics. New York: Wiley & Sons 1965 42. Zierep, J.: Ahnlichkeitsgesetze und Modellregeln der Stromungslehre, 2,Aufl. Karlsruhe: Braun 1982

2. Grundgesetze der Fluid- und Thermofluidmechanik

2.1 Uberblick In Kap. 1 wurden einige grundlegende Erkenntnisse der Fluidmechanik besprochen. Dabei handelt es sich in Kap. 1.2 um die physikalischen Eigenschaften und StoffgroBen der Fluide und in Kap. 1.3 um das physikalische Verhalten von Stromungsvorgangen. Aufgabe dieses Kapitels soil es sein, die Grundgesetze der Mechanik ruhender und bewegter Fluide abzuleiten. Diese bestehen im wesentlichen aus den Bilanzgleichungen fur die Masse, den Impuls, die Energie und die Entropie. Zur Ableitung und Anwendung der Grundgesetze der Fluidund Thermofluidmechanik wird auf die Bibliographic in Band 2, insbesondere Abschnitt A Grundlagen der Fluidmechanik, hingewiesen. Fur ein ruhendes und gleichformig bewegtes Fluid wird zunachst in Kap. 2.2 der Satz vom Gleichgewicht der Krafte (Statik) besprochen. Kommt das Fluid in eine ungleichformige Bewegung (stationar, instationar), so stellt sich ein Bewegungszustand (Kinematik) ein, der in Kap. 2.3 beschrieben wird. Abgeleitet werden das kinematische Verhalten eines Fluidelements sowie die Transportgleichungen der Fluidmechanik. Kap. 2.4 enthalt den fiir die Fluidmechanik wichtigen Massenerhaltungssatz (Kontinuitat). Die beim Stromungsvorgang beteiligten Krafte (Dynamik) werden beim Impulssatz (Kinetik) in Kap. 2.5 behandelt. Neben der Impuls- und Impulsmomentengleichung fiir einen raumfesten Kontrollraum gehoren hierzu auch die Bewegungsgleichungen der Fluidmechanik. Der Energiesatz (Energetik) in Kap. 2.6 betrifft das Zusammenwirken der verschiedenen Energien (mechanisch, thermodynamisch) und Arbeiten (hervorgerufen durch Krafte, durch Warmezu- oder -abfuhr). Dabei werden sowohl die Energiegleichung der Fluidmechanik (Arbeitssatz der Mechanik) als auch die Energiegleichung der Thermofluidmechanik (erster Hauptsatz der Thermodynamik) besprochen. Ausfiihrungen zur Gleichung der Warmeubertragung, zur Entropiegleichung sowie zur Energiegleichung bei turbulenter Stromung beschlieBen dies Kapitel. Die jeweils maBgebenden Gleichungen konnen skalaren oder vektoriellen Charakter haben und in differentieller oder integraler Form auftreten.

2.2.2 Krafte im Ruhezustand

51

2.2 Ruhende und gleichformig bewegte Fluide (Statik) 2.2.1 Einfiihrung Bei ruhenden oder auch mit gleichformiger Geschwindigkeit bewegten Fluiden spielt das kinematische Verhalten der Fluidelemente keine Rolle. Bei der Beschreibung solcher Zustande kommt dem dynamischen Verhalten der Fluidelemente die entscheidende Bedeutung zu. Die jeweils auftretenden Krafte bilden ein mechanisches Gleichgewichtssystem (Statik). Von den in Kap. 1.2 besprochenen physikalischen Eigenschaften und StoffgroBen der Fluide bestimmen insbesondere der Druck und die Fallbeschleunigung das statische Gleichgewicht. Entsprechend den vorliegenden Fluiden, wie Fliissigkeiten (z. B. Wasser) und Gasen (z. B. Luft) beziehen sich die folgenden Ausfuhrungen auf die Hydro- bzw. Aerostatik.

2.2.2 Krafte im Ruhezustand 2.2.2.1 Durckkraft (Oberflachenkraft) Druckspannung. Denkt man sich aus dem Innern des Fluids ein kleines Volumen herausgeschnitten, so werden auf dessen Oberflache vom umgebenden Fluid Krafte ausgeiibt, die in Verbindung mit den am Element auBerdem wirksamen Massenkraften dessen Bewegungs- oder Ruhezustand bedingen. Die Oberflachenkrafte bestehen im allgemeinen aus Normal- und Tangentialkraften. Bei ruhendem Fluid sowie auch in einer reibungslosen Stromung konnen offenbar nur Normalkrafte in Form von Druckkraften auftreten. Zugkrafte konnen im Inneren eines Gases oder einer Fliissigkeit normalerweise nicht iibertragen werden. Dies Verhalten hangt bei Gasen damit zusammen, daB eine Gasmasse ein endliches Volumen nur dann einnehmen kann. wenn es unter Druckkraften steht. Bei Fliissigkeiten spielt ihre ZerreiBfestigkeit die entscheidende Rolle. Diese verschwindet, wenn sich in der technisch nicht vollstandig reinen Fliissigkeit Verdampfungskerne befinden, vgl. Kap. 1.2.6.3. Bezeichnet A A nach Abb. 2.1 ein durch einen beliebigen Punkt der Oberflache des Fluidvolumens gehendes Flachenelement und AFp die auf A A wirkende

AFr-pAA Abb. 2.1. Zur Definition des Drucks p in einem Fluid nach (2.1a)

52

2.2 Ruhende und gleichformig bewegte Fluide (Statik) AA

z AAy

AJ

pAA

AzJ, PyAAy

'PtAAx

/

-Ay pzAAz

z

y X

X

Abb. 2.2. Kraftegleichgewicht am Tetraeder eines ruhenden Fluids

y

Druckkraft, so heiBt der Quotient AFp dFP Druckkraft = > 0 P — Flache dA i iilll AA

(Definition)

(2.1a)

die Druckspannung an der betrachteten Stelle. Er besitzt die Dimension F/L 2 = M/LT2 mit der Einheit Pa = N/m2 = kg/s 2 m. Da keine Zugspannungen (negative Druckspannungen) auftreten, ist stets p > 0. Der Begriff des Drucks p — \p\ in einem Fluid wurde erstmalig von Euler [14] genau definiert und mathematisch beschrieben. Seine GroBe ist bei Fluiden im Gegensatz zur Elastizitatstheorie fester Korper, bei der sich die Normalspannung mit der Schnittrichtung andert, von der durch den gewahlten Punkt gelegten Schnittrichtung unabhangig. Um dies zu beweisen, schneide man nach Abb. 2.2 aus dem Innern des Fluids einen kleinen Tetraeder heraus, dessen eine Ecke durch die rechtwinkligen Koordinaten x, y, z festgelegt ist. Bezeichnen px, py, pz die Driicke in Richtung der Koordinatenachsen und p den Druck normal zur schiefen Tetraederflache, so ergeben sich die aus Abb. 2.2 ersichtlichen, an den Tetraederoberfiachen AA, AAX, AAy und AAZ angreifenden Normalkrafte. Sie sind als Oberflachenkrafte den Tetraederflachen proportional und demnach klein von zweiter Ordnung. Die auf das Fluidelement auBerdem wirkende Massenkraft, z. B. die Schwerkraft, ist eine Volumenkraft. Sie ist proportional dem Tetraedervolumen und somit klein von dritter Ordnung und kann daher gegeniiber den Normalkraften als kleine GroBe gestrichen werden. Daraus folgt, daB die auf das kleine Tetraeder wirkenden Normalkrafte fur sich allein die statische Gleichgewichtsbedingung erfiillen miissen. Bezeichnen a, ft, y die Winkel, welche die Richtungen x, y bzw. z mit der Normalen zur Flache AA bilden, dann ist AAX = AAcosa, AAy = AAcos/J, AAZ = AAcosy. Fur die am Tetraeder angreifenden Oberflachenkrafte lauten die Gleichgewichtsbedingungen in den drei Koordinatenrichtungen

pxAAx — pAAcosa = 0,

pyAAy

— pAAcos/3 = 0,

p2 AA2 — pAA cos y = 0, woraus durch Einsetzen der Beziehungen fur die Flachenelemente P = Px = Py = Pz

(Pascal)

(2.1b)

folgt. Diese Erkenntnis stammt bereits von Pascal. Sie besagt, daB fur jede durch einen bestimmten Punkt im Fluid beliebig gelegte Flache der Druck p den gleichen Wert hat. In einem Fluid ist somit der Druck eine richtungsunabhangige

2.2.2 Krafte im Ruhezustand

53

(skalare) GroBe. Er ist eine im allgemeinen stetig differenzierbare Ortsfunktion p = p(x,y,z). Man spricht vom Druckfeld p = p(r). Unstetigkeiten konnen z. B. an einer gekriimmten Grenzflache zweier verschiedener Fluide infolge der Grenzflachenspannung (Kapillaritat) nach Kap. 1.2.6.2 auftreten. Druckkraft auf eine Flache. Die vorstehenden Uberlegungen iiber die Druckspannung gelten sowohl fur Teile, die aus dem Innern eines stetig zusammenhangenden Fluids herausgeschnitten sind, als auch fur den Fall, daB das Fluid mit einem festen Korper, etwa einer GefaBwand, in unmittelbarer Beriihrung steht. Die durch die Druckspannung p hervorgerufene Druckkraft dFP, welche auf ein Flachenelement dA ausgeiibt wird, steht normal zu diesem und besitzt nach (2.1a) die vektorielle GroBe p dA. Nach Abb. 2.3 ergibt sich unter Beachtung der entgegengesetzten Richtung von dFp und dA dFP = -pdA,

FP = -

I p dA.

(2.2a, b)

(A)

Dabei ist dA = en dA der nach auBen positiv gezahlte Normalvektor des Flachenelements und A eine beliebig geformte Flache, fur welche die resultierende Druckkraft gesucht wird. Druckkraft am Fluidelement. In einem ruhenden Fluid sei nach Abb. 2.4 ein kleines Raumelement von beliebiger Form betrachtet. Das Element habe das Volumen AV und die Masse Aw = pA V mit p als Dichte nach (1.1). An der Oberflache A A greifen nur normal auf die infinitesimal kleinen Flachenelemente dA gerichtete Druckkrafte an, die von dem umgebenden Fluid ausgeiibt werden. Der im Ursprung x = y = z = 0 herrschende Druck sei p = p0. Wird das Raumelement als klein angenommen, dann kann man die Driicke auf der Oberflache AA(x, y, z) nach einer Taylorschen Reihe entwickeln:

Hierin sind der Druck po sowie die Druckgradienten (dp/dx)o, (dp/dy)o und (dp/dz)o jeweils konstante GroBen. Nach (2.2a) erhalt man in Verbindung mit Abb. 2.4a die Teilkraft in x-Richtung auf ein normal zur x-Richtung orientiertes Flachenelement dAx zu dFx =dFx\ — dFX2 — (pi — pi)dAx mit pi=p(xu yi, zi) und p2 = p(x2, yi, z2)} Es wird

Abb. 2.3. Von einem Fluid auf das Flachenelement dA eines festen Korpers ausgeiibte Druckkraft dFp 1

Auf den Index P bei dFx sowie auf den Index 0 bei dp/3x,...

wird verzichtet.

54

2.2 Ruhende und gleichformig bewegte Fluide (Statik)

AAix.yz)

a b Abb. 2.4. Druckkraft an einem Fluidelement von beliebiger Form, a Teilkraft in x-Richtung. b Teilkraft in y -Richtung

dp dFx = -JL(X2-Xl)dAx ox

dp AFPx = —f&V,

dp = - ^ ox

dx wobei die Komponente der Druckkraft am Raumelement in x-Richtung AFPx = JdFx durch Integration iiber das Volumen AV = JdVx mit dVx = AxdAx als schraffiert dargestelltes Teilvolumen folgt. Zu demselben Ergebnis kommt man, wenn man die einfachere Ableitung fur den in Abb. 2.5a gezeigten Quader vornimmt. Fiir die Komponenten der Druckkraft in y- und z-Richtung gelten die entsprechenden Ausdriicke, man vgl. hierzu Abb. 2.4b. Die auf die Masse Am = pAV bezogene Druckkraft betragt in Vektor- und Zeigerschreibweise = hm Am~>0 Am 18 f _ P fpi -~pdxl

dFP = —gradp, dm P (2.3a, b)

(1 = 1,2,3).

Die vektorielle Darstellung in (2.3a) ist unabhangig von der Wahl des Koordinatensystems. Gl. (2.3) besitzt die Dimension F/M = L/T 2 mit der Einheit N/kg = m/s 2 . Die Komponenten der Druckkraft fiir verschiedene Koordinatensysteme entnimmt man entsprechend (2.3a) Tab. 2.1. Als Sonderfall der Zylinderkoordinaten findet man die Komponenten der Druckkraft in radialer und azimutaler Richtung zu =

-.

(2.4a, b)

Es ist aufschluBreich, hierfiir auch die Ableitung anzugeben. In Abb. 2.5b ist das gekriimmte Raumelement durch sein Volumen AV = b Ar rA

55

2.2.2 Krafte im Ruhezustand AV-AxAyAz

Abb. 2.5. Druckkraft an einem Fluidelement von einfacher geometrischer Form. a Quader, kartesische Koordinaten x, y, z. b Sektor eines Kreisringkorpers mit rechteckiger Querschnittsflache, polare Koordinaten r,
Tabelle 2.1. Massen-, Schwer- und Zentrifugal- sowie Druckkraft am Fluidelement fs = AFg/Am bzw. fp = AFp/Am, Koordinatensysteme nach Abb. 1.13, (=) bedeutet schweres bzw. barotropes Fluid (vgl. Tab. B.I)

lindrisc

kartesisch

Koordinaten

fB =- - g r a d « B ( = ) g

fp = — gradp(=) - gf ad /

X

fax

fPx =

y

fBy

z

fBz —

duB, , \—> o dz

r

fBr

duB dr

V

fBcp

z

fBz

to

"~p3x 1 dp

= -17(=)0

~

fPy =

8 2 r

di

' ~~p~~dz

fp

r dip

1 dp p dr

dz

(

)

8

fPz

=

dz di

~dr

1 1 dp

1 to

p r dip

r d
N

r.

di dy~

/„ =

fPr =

~dx

~~p~~dz

di dz

56

2.2 Ruhende und gleichformig bewegte Fluide (Statik)

dp /

P(P)' —7—^,

. = P_p P i = —

(barotrop)(2.5a, b)

schreiben.2 Diese Beziehung besagt, daB man die bezogene Druckkraft //> aus dem spezifischen Druckkraftpotential i — i (p) ableiten kann.3 Die GroBe / hat die Dimension FL/M mit der Einheit Nm/kg = J/kg. Fiir ein dichtebestandiges Fluid ist i = pip und bei polytroper Zustandsanderung mit (1.5) (polytrop)

n-l

pb

\pbj

Druckkraft im und am Fluidvolumen. Neben der Druckkraft am Fluidelement interessiert haufig auch die an einem endlich ausgedehnten Fluidvolumen V angreifende Druckkraft. Das beliebig gewahlte Volumen sei nach Abb. 2.6 von der Flache A umschlossen. In dem Volumen befinden sich die Raumelemente dV, an denen gemaB (2.3a) die Druckkrafte dFP = fP dm = — grad p dV angreifen. Die gesamte Druckkraft erhalt man durch Integration iiber V zu FP = -

gradpdV = - <j> pdA — FA. (V)

(2.6a, b, c)

(A)

Die zweite Beziehung folgt durch Anwenden des Greenschen Integralsatzes (f> adA = / gradadV A

(Greenscher Integralsatz),

V

wonach man ein Volumenintegral (V) in ein Integral iiber die geschlossene Randflache (A) umformen kann. Dabei ist dA = en dA der nach auBen positiv gezahlte Normalvektor des Flachenelements dA. Gl. (2.6b) sagt aus, daB sich

Abb. 2.6. Druckkrafte im Inneren eines Fluidvolumens (V) und an seiner auBcren Begrenzung (A) 2

Nach den Regeln der Vektor-Analysis ist grad / ( a ) = (df/da) grad a, wenn / ( a ) eine gewohnliche Funktion und a ( r ) ein skalares Feld ist. Gl. (2.5a, b) folgt, wenn man a = p, / ( a ) = i(p) und df/da = di/dp = \/p setzt. 3 Unter einem Potential versteht man eine GroBe, deren Wert zwischen einem Anfangs- und einem Endzustand vom dazwischen durchlaufenden Weg unabhangig ist. Die aus dem Potential abzuleitenden GroBen findet man durch Gradientenbildung (partielle Ableitung nach den Ortskoordinaten). Es wird i auch als Druckfunktion Oder Druckintegral bezeichnet.

2.2.2 Krafte im Ruhezustand

57

die Druckkrafte im Inneren des Volumens (V) gegenseitig aufheben und die Kraftwirkung nur aus den an der Begrenzungsflache (A) herrschenden Druckkraften besteht. Man nennt diese auBere Druckkraft entsprechend (2.6c) auch Oberflachenkraft FA2.2.2.2 Massenkraft (Volumenkraft) Massenkraft am Fluidelement. Neben der in Kap. 2.2.2.1 besprochenen Oberflachenkraft (Druckkraft) wirken am mit Masse belegten Raumelement noch Massenkrafte als auBere Krafte (Femwirkungskraft, eingepragte Volumenkraft, elektromagnetische Kraft). Eine beliebig gerichtete Massenkraft sei mit AFB = /fiAm bezeichnet.4 Dabei bedeutet/s analog zu (2.3) die auf die Masse des Fluidelements Am = pAV bezogene Massenkraft. Sie besitzt die Dimension F/M = L/T 2 mit der Einheit N/kg = m/s 2 . Schwerkraft. Am haufigsten tritt die Massenkraft in Form der Gravitationskraft (Schwerkraft) auf, vgl. Kap. 1.2.4.3. Mit g als Vektor der Fallbeschleunigung (Schwerbeschleunigung) ist AFg = Amg und damit die bezogene Massenkraft

fB=g;

fBx=0

= fBy,

fBz = -fG = -8<0,

(2.7a; b, c)

wobei die negative z-Achse mit der Lotrechten zusammenfallt. Bei groBen Hohenunterschieden ist g = g(z) gemaB (1.19a) zu beriicksichtigen. Meistens kann jedoch nach (1.19b) mit g s» const gerechnet werden. Kann man den SchwereinfluB, z. B. bei Gasen vernachlassigen, so ist g —> 0 zu setzen. Zentrifugalkraft. Bei einem um die vertikale z-Achse mit gleichformiger Winkelgeschwindigkeit co rotierenden Fluid greift am Fluidelement der Masse Am, welches sich im Abstand r von der Drehachse befindet, neben der vertikalen Schwerkraft AFBz — —Amg als zusatzliche Massenkraft eine in radialer Richtung horizontal wirkende Zentrifugalkraft AFgr = Am co2 r an. In Zylinderkoordinaten nach Abb. 1.13 gilt in diesem Fall fur die bezogene Massenkraft fBr=a?r,

fBv = 0,

fBz = -8-

(2.8a, b, c)

Diese Krafte bestimmen z. B. nach Kap. 2.2.3.3 die Form der Oberflache einer Fliissigkeit in einem rotierenden GefaB. 2.2.2.3 Kraftegleichgewicht ruhender Fluide Gleichgewichtsbedingung. Ein Gleichgewichtszustand stellt sich nach Euler [14] am ruhenden Fluidelement Am = pAV ein, wenn die Summe aus Massenkraft und Druckkraft AFP verschwindet.5 Mit den Beziehungen aus Kap. 2.2.2.1 4

Die Massenkraft entspricht der "body force", weshalb der Index B gewahlt wurde. I m Gegensatz zu den Uberlegungen in Kap. 2.2.2.1 iiber die skalare Eigenschaft der Druckspannung an einem kleinen Tetraeder nach Abb. 2.2 darf jetzt die Massenkraft gegeniiber der Druckkraft nicht vernachlassigt werden. Sie ist zwar gegeniiber den am Fluidelement im einzelnen wirkenden Oberflachendruckkraften immer noch beliebig klein, jedoch von der gleichen GroBenordnung wie deren Anderungen beim Ubergang von einer Quaderflache zur gegeniiberliegenden. 5

58

2.2 Ruhende und gleichformig bewegte Fluide (Statik)

bzw. 2.2.2.2 gilt also bezogen auf die Masse Am die statische Grundgleichung fB +fP = 0

(rahendes Fluid).

(2.9)

Setzt man nach (2.5a) fur die Druckkraft eines barotropen Fluids fP = — grad / ein, so muB sich die Massenkraft ebenfalls als Gradient einer skalaren Funktion darstellen. Die bezogene Massenkraft betragt dann B,

fBi = - ^ l

0 = 1,2,3).

(2.10a, b)

Man bezeichnet die auf die Masse bezogene GroBe uB in Nm/kg = J/kg analog zu (2.5b) als spezifisches Massenkraftpotential.6 Die Komponenten in (2.10a) fiir kartesische und zylindrische Koordinatensysteme entnimmt man Tab. 2.1. Tritt nur die Schwerkraft nach (2.7) auf, ist uB = gz. Konservatives Kraftfeld. Kraftfelder, die sich durch eine eindeutige Potentialfunktion beschreiben lassen, heiBen konservativ oder energieerhaltend (Potentialkraft = konservative Kraft). Damit (2.9) erfiillt wird, gilt als notwendige und hinreichende Bedingung wegen rot (grad..) = 0 rot/p = 0,

rot/s = 0.

(2.11a, b)

Diese Bedingungen weist man unter Beachtung von Tab. B.3 mit a = fp bzw. a =fB auch mittels der Komponentengleichungen (2.3b) bzw. (2.10b) leicht nach. Man gelangt zu dem wichtigen Satz, daB bei einem barotropen Fluid (der Fall eines dichtebestandigen Fluids ist hierin eingeschlossen) nur dann Gleichgewicht bestehen kann, wenn die Massenkrafte (eingepragte Krafte) ein Kraftpotential besitzen. Massenkraftpotential. Fiir die Schwer- und Zentrifugalkraft lautet das spezifische Schwerkraftpotential, auch Gravitationspotential genannt, bzw. das Zentrifugalkraftpotential7 uB(z) = gz,

uB(r) = -\co2r2.

(2.12a, b)

Im allgemeinen ist g — g(z) « const, vgl. (1.19). Durch partielle Differentiationen nach z bzw. r erhalt man unter Beachtung des negativen Vorzeichens die Krafte nach (2.7c) bzw. (2.8a).

2.2.3 Mechanik ruhender Fluide 2.2.3.1 Statische Energiegleichung der Fluidmechanik Das Gleichgewicht der Druck- und Massenkraft an einem ruhenden Fluidelement wird durch (2.9) beschrieben. Hieraus folgt, daB die Summe der bezogenen Druckkraft- und Massenkraftpotentiale im ganzen, von einem barotropen Fluid 6

Da die Massenkraft von auBen wirkt, kann UB auch als spezifisches auBeres Kraftpotential aufgefaBt werden, vgl. (2.173). 7 Die GroBe gz ist in der Mechanik als bezogene potentielle Energie bekannt.

2.2.3 Mechanik ruhender Fluide

59

angefiillten Raum unverandert ist. Setzt man / nach (2.5b) ein und beriicksichtigt bei uB nur das Schwerkraftpotential nach (2.12a), dann wird UB + i = const,

f dp / J Pip)

\- gz = const,

dp + pgdz = 0. ,~ ,~ , , (2.13a, b, c) Es bedeutet pg = y nach (1.21c) die Wichte des Fluids. Da (2.13a, b) die Dimension FL/M mit der Einheit J/kg und (2.13c) die Dimension F/L 2 mit der Einheit J/m3 besitzen, stellt (2.13) die Energiegleichung der Fluidmechanik fur die bei ruhenden Fluiden auftretende Lage- und Druckenergie (potentielle Energien) bezogen auf die Masse bzw. auf das Volumen dar. Wahrend im folgenden nur iiber einige grundlegende Beziehungen zur Mechanik ruhender Fluide (Statik) berichtet werden soil, befassen sich die Kap. 3.2 und 4.2 mit den Anwendungen bei dichtebestandigem bzw. dichteveranderlichem Fluid im Ruhezustand (Hydro- bzw. Aerostatik). 2.2.3.2 Hydrostatische Grundgleichung (Euler)8 Fur ein dichtebestandiges Fluid, d. h. naherungsweise fur eine Fliissigkeit, folgt nach (2.13b) p + pgz = const,

p = po + pg(z0 - z) = po + Pgh

(p = const). (2.14a, b,c)

In (2.14b) soil zo nach Abb. 2.7 die Lage der freien Oberflache einer Fliissigkeit bezeichnen, an welcher nach der dynamischen Randbedingung (Druckbedingung) der Atmospharendruck p = po herrscht. Es sind p und pgz zugeordnete Werte an der Stelle x, y, z. Die Tiefe der betrachteten Stelle wird mit h = ZQ — z > 0 angegeben, und man bezeichnet p — po als Schwerdruck, auch Ruhedruck oder Gleichgewichtsdruck genannt. Es ist (2.14) die hydrostatische Grundgleichung fur die Druckverteilung in einem ruhenden Fluid, die besagt, daB der (hydrostatische) Druck infolge des Schwereinflusses linear mit der Tiefe zunimmt. Alle Punkte, die sich in gleicher Tiefe unter der freien Oberflache befinden, besitzen denselben Druck p, vgl. Kap. 2.2.3.3. Wird an irgendeiner Stelle im Inneren der Fliissigkeit oder an einer begrenzenden Wand ein Druck auf die Fliissigkeit ausgeiibt, so pflanzt sich dieser durch die Fliissigkeit gleichmaBig fort und addiert sich an jeder Stelle in gleicher GroBe zu dem vorhandenen Schwerdruck. Gleichung (2.14b, c) kann man auch aus dem Gleichgewicht der Schwerkraft einer Fliissigkeitssaule von der Hohe h = zo — z und der Querschnittsflache AA, d. h. dem Volumen AV = hAA, mit den vertikal angreifenden Druckkraften erhalten. Es muB pgAV + (po — p)AA = 0 sein. Somit wird fur den Oberdruck gegeniiber dem Atmospharendruck p — po = pgh. Ist der Uberdruck p — po gerade eine technische Atmosphare, 1 at = 0, 9807 bar, dann ergibt sich bei Wasser mit p = 103 kg/m 3 bei einer Temperatur von 4°C die Hohe der Wassersaule zu h = 10 m. Man merke also: 1 at ^ 1 0 m H2O; d. h. auf 10 m Tiefe nimmt der Druck u m l a t * 1 bar zu.

Hydrostatisches Paradoxon. Nach Abb. 2.8 mogen GefaBe von verschiedener Form, jedoch jeweils gleichgroBer horizontaler Bodenflache A bis zur Hohe h mit Auf die aerostatische Grundgleichung fur ein dichteveranderlich.es Fluid wird in Kap. 4.2.1 ausfiihrlich eingegangen.

2.2 Ruhende und gleichformig bewegte Fluide (Statik)

Abb. 2.7. Kraftegleichgewicht an einer ruhenden Fliissigkeitssaule (hydrostatische Grundgleichung)

Abb. 2.8. Bodendruckkraft bei gleich hoch mit Fliissigkeit gefilllten GefaBen verschiedener Form, jedoch gleichgrofier Grundflache (hydrostatisches Paradoxon)

Fliissigkeit gefiillt werden. Nach (2.14c) betragt der Bodendruck p = po + pgh und damit die Bodendruckkraft infolge der Fliissigkeit F = pgh A

(Stevin).

(2.15)

Die Kraft ist unabhangig von der Form des GefaBes. Es kann hiernach bei gleicher Bodenflache A und gleicher Fliissigkeitshohe h die Bodendruckkraft wesentlich kleiner oder auch groBer als das Gewicht der gesamten Fliissigkeit im GefaB sein. Diese Tatsache bezeichnet man als das hydrostatische Paradoxon. 2.2.3.3 Niveauflachen Im allgemeinen sind die Driicke p an den einzelnen Stellen eines mit Fluid angefiillten Raums verschieden groB. Denkt man sich alle Punkte im Inneren des Fluids, in denen der gleiche Druck herrscht, durch eine Flache A(x, v, z) = const miteinander verbunden, so erhalt man eine sog. Niveauflache (Gleichdruckflache). Durch jeden Punkt des Fluids geht immer nur eine Niveauflache (Gleichdruckflache), was sofort aus der Definition dieser Flachen folgt. Nach (2.13a) sind die Niveauflachen wegen i(p) = const gleichbedeutend mit den Flachen gleichen Massenkraftpotentials (Potentialflachen) UB = const. Die Tatsache, daB sich beim Fortschreiten auf einer Niveauflache um das Langenelement ds das Massenkraftpotential nicht andert, d. h. nach der Druckbedingung dug = 0 ist, fiihrt mit (2.10a) zu nachstehender Erkenntnis: dug = gradMfi • ds = —JB • ds = 0,

= const

(Niveauflache). (2.16a, b) 9

9

M a n b e a c h t e , daB grad(- ••)•<& = d(- • •) ist.

2.2.3 Mechanik ruhender Fluide

61

Es stellt / g • ds das skalare Produkt der Vektoren der Massenkraft /# und des Langenelements ds dar. Dies verschwindet, wenn/ f i normal zu ds ist, was bedeutet, daB eine Niveauflache in jedem Punkt des Fluidgebiets normal zur Richtung der dort herrschenden Massenkraft verlauft Das gefundene Ergebnis gilt auch fiir die freie Oberflache (Spiegelflache) einer Fliissigkeit, auf welcher der konstante Atmospharendruck herrscht. Verallgemeinert besagt die Druckbedingung, daB an Grenzflachen verschiedener sich nicht miteinander mischender Fluide jeweils der Druck des angrenzenden zuoberst liegenden Fluids auf das zuunterst liegende Fluid wirkt. Herrscht nur die Schwerkraft als vertikal nach unten gerichtete Massenkraft, so sind die Niveauflachen samtlich horizontale Ebenen. Tritt jedoch noch die Zentrifugalkraft hinzu, so entstehen z. B. in einem rotierenden GefaB gekriimmte Oberfiachen. Fliissigkeit in rotierendem Gefafi. In einem nach Abb. 2.9 oben offenen zylindrischen GefaB vom Radius R befinde sich eine homogene Fliissigkeit in gleichformiger Drehbewegung um die GefaBachse. Die Bewegung denke man sich etwa dadurch erzeugt, daB das mit w rotierende GefaB die Fliissigkeit infolge ihrer Zahigkeitskrafte mitnimmt, und diese nach einer gewissen Zeit dieselbe Drehgeschwindigkeit wie das GefaB annimmt. Es handelt sich also um eine mit dem GefaB rotierende, aber in sich ruhende Fliissigkeit. Nach Eintritt der gleichformigen Drehbewegung zeigt sich, daB der anfangs im Zustand der Ruhe horizontale Fliissigkeitsspiegel (z = H) in der Mitte abgesenkt und nach der GefaBwand zu angehoben ist. Dieser Vorgang ist eine Folge der nach (2.8) zusatzlich zur Schwerkraft (Gravitationskraft) wirksamen Zentrifugalkraft. Das zugehorige bezogene Massenkraftpotential ist durch (2.12) gegeben. Die Gleichung zur Berechnung der Spiegelflache (Niveauflache) z(r) erhalt man aus der Bedingung, daB nach (2.16b) das Potential der Massenkraft in Punkten P(r, z) der Fliissigkeitsoberflache konstant sein muB, d. h. u^(r, z) = const ist. Wird der tiefste Punkt bei r — Omitzmin = z(r = 0) bezeichnet, dann wird zunachst

Z(r) = Zmin +

mit

,

=

/

/

-

•

(2.17a, b)

In der Meridianebene stellt z(r) eine Parabel mit vertikaler Achse dar. Die Spiegelflache selbst ist das zugehorige Rotationsparaboloid. Zur voUstandigen Bestimmung der Spiegelform bedarf es nach (2.17b) noch einer Angabe iiber die Gr6Be Zmjn, durch welche die Spiegelabsenkung bestimmt ist. Hierzu dient die Bedingung, daB das Fliissigkeitsvolumen im Ruhezustand das gleiche sein muB wie wahrend der Drehbewegung. Mithin erhalt man fiir die Form der Fliissigkeitsoberflache (Spiegelflache)

Abb. 2.9. Spiegelflache einer Fliissigkeit in einem gleichformig rotierenden zylindrischen GefaB

2.2 Ruhende und gleichformig bewegte Fluide (Statik)

62 z(r) = H -

co2R2

= H

co2R2

(2.17c, d)

Man erkennt, daB das Ergebnis fur alle Fliissigkeiten unabhangig von ihrer Dichte ist.

2.2.3.4 Statischer und thermischer Auftrieb (Archimedes) Fester Korper. Ein fester Korper von beliebiger Gestalt nach Abb. 2.10 sei vollkommen von einer ruhenden Fliissigkeit, von einem ruhenden Gas, oder teilweise von beiden umgeben, d. h. allseitig benetzt. Im ersten und zweiten Fall spricht man von einem vollkommen eingetauchten und im dritten Fall von einem teilweise eingetauchten Korper. Auf die Korperoberflache wirken Druckkrafte, die eine resultierende Kraft Fp ergeben. Da nach Kap. 2.2.3.3 in horizontalen Ebenen (Niveauflachen) die Driicke jeweils gleich sind, konnen keine Krafte in horizontaler Richtung auftreten. Es verbleibt also nur eine Kraft in vertikaler Richtung nach oben, die man den Auftrieb FA nennt. Die Druckkraft an einem Flachenelement des KSrpers dA erhalt man nach (2.2a) zu dFp = — p dA. Von zwei vertikal iibereinander liegenden Flachenelementen dA\ und dAi mit gleich groBer (positiver) Projektionsflache dAz, vgl. Abb. 2.4b, wird zur Auftriebskraft der Beitrag dF^ = dFp\ — dFp2 geliefert. Es wird dFA = (pi - p2) dAz

mit

p\ - p2 = g / pdz > 0

als Druckdifferenz zwischen der Unter- und Oberseite des Korpers nach (2.13c). Flir den in Abb. 2.10 gezeigten teilweise eingetauchten Korper ist fur ZQ g z g z% die Dichte des Gases p = pG und fiir z\ g z g zo die Dichte der Fliissigkeit p = pF. Durch Integration bekommt man die gesamte nach oben gerichtete Auftriebskraft (Volumenkraft) zu

pdV = g(mo + mp) =

FBG

+

(Archimedes).

(2.18a, b)

(V)

Es ist iiber die Massenelemente dm = pdV mit dV = dAz dz als Volumenelement zu integrieren. Dabei stellt das Integral die Summe der vom Korper verdrangten Gas- und Fliissigkeitsmasse ma bzw. mp dar. Haufig kann wegen pG
Abb. 2.10. Statische Auftriebskraft FA bei einem teilweise eingetauchten Korper, m = me + mp verdrangte Fluidmasse, G Gas, F Fliissigkeit

2.2.3 Mechanik ruhender Fluide

63

Dies riihrt daher, daB im Inneren des mit Fluid angefiillten Raums die Wirkung der Schwerkraft auf das Fluidelement durch den gleich groBen statischen Auftrieb, den jedes Fluidelement von seiner Nachbarschaft erfahrt, aufgehoben wird. Bei homogenen Fluiden ohne freie Oberflachen herrscht also an jedem Raumelement Gleichgewicht zwischen der Schwerkraft und dem statischen Auftrieb. Die Schwerkraft erlangt erst wieder Bedeutung an Begrenzungsflachen, z. B. bei freien Oberflachen, wo der Druck p gewisse Randbedingungen (Druckbedingung, z. B. p — Atmospharendruck) erfiillen muB. Thermischer Auftrieb. Auch bei inhomogenen Fluiden kann der EinfluB der Schwere eine wesentliche Rolle spielen, wenn z. B. durch Temperaturunterschiede (Erwaimung, Abkiihlung) eine ungleichmaBige Dichteverteilung im Fluid hervorgerufen wkd. Diese hat eine zusatzliche Volumenkraft in Form des thermischen Auftriebs, auch Warmeauftrieb genannt, zur Folge. Das betrachtete Fluidelement vom Volumen AV moge die Dichte p und die Temperatur T besitzen, wahrend in seiner Umgebung die Werte p ' und T' herrschen. Die zur eingeschlossenen Masse Am = pAV gehorende Schwerkraft betragt also AFG = gpAV. Die fiir die Auftriebskraft maBgebende verdrangte Masse ist dagegen Am' = p'AV, was zu AF'A = gp'AV fiihrt. Wegen p ^ p' tritt somit ein Kraftunterschied AFA = AF'A — AFg = g(p' — p)&V auf. Bezogen auf die Masse des Fluidelements Am erhalt man den bezogenen Warmeauftrieb /A = AFA/Am mit Ap = p — p' zu Ap fA = ~g— = PgAT, P

AT fA = g — T

(Gas).

(2.19a, b, c)

Die Dichteanderung Ap soil durch eine Temperaturanderung AT = T — T' hervorgerufen sein. Bei Annahme ungeanderten Drucks wird dieser Zusammenhang durch (1.2) in der Form Ap/p = —/HAT mit fl = pp als Warmeausdehnungskoeffizienten beschrieben, was zu (2.19b) fiihrt. Nach den Angaben in Kap. 1.2.2.2 ist fiir thermisch ideale Gase f) = \/T, was (2.19c) liefert. Am Fluidelement tritt also bei Erwarmung mit AT > 0 ein thermischer Auftrieb / A > 0 und bei Abkiihlung mit AT < 0 ein thermischer Abtrieb /A < 0 auf.10

AbschluBbemerkung zu Kapitel 2.2. Wie in Kap. 2.2.1 einfiihrend gesagt wurde, gelten die Grundgesetze ruhender Fluide auch fur gleichformig bewegte Fluide. Die an einem Fluidelement nach Kap. 2.2.2 angreifenden Druck- und Massenkrafte treten in gleicher Weise auch bei ungleichformig bewegten Fluideirauf. Bei beschleunigter oder verzogerter Stromung muB man nach dem d'Alembertschen Ansatz noch die Tragheitskraft (negativer Betrag der GroBe Fluidmasse x Beschleunigung) hinzufiigen. Fiir das in Abb. 2.2 dargestellte Tetraeder gilt z. B. fiir das Kraftegleichgewicht in *-Richtung, vgl. Kap. 2.2.2.3, Am-p = at

AF

Bx + &FPx,

p I —^ - fBx ) AV = (px \ at J

p)AAx.

Hierin sind Am = pAV die eingeschlossene Masse mit AV als Tetraedervolumen, vx die Geschwindigkeitskomponente sowie AFBX = fsxAm = pfsxAV die Massenkraftkomponente und AFpx = (px — p)AAx die Druckkraftkomponente, jeweils in x-Richtung. Die angegebene zweite Gleichung folgt durch Einsetzen der genannten Beziehungen in die erste Gleichung. Entsprechende Gleichungen gelten fiir die y- und z-Richtung. Da die Tetraederflachen klein von zweiter Ordnung und das Tetraedervolumen klein von dritter Ordnung sind, kann fiir kleine Tetraeder die linke Seite gegeniiber der rechten Seite unberiicksichtigt bleiben. Es gilt 10 Als Kennzahl zur Beschreibung von Vorgangen, bei denen im Inneren eines Fluids neben Zahigkeitskraften Auftriebskrafte auftreten, verwendet man haufig die Grashof-Zahl

Hierbei ist / eine charakteristische Lange, AT eine charakteristische Temperaturdifferenz und v = r)/p die kinematische Viskositat des Fluids.

64

2.3 Bewegungszustand (Kinematik)

somit das Pascalsche Gesetz (2.1b) auch fur ungleichformig bewegte (beschleunigte oder verzdgerte) Fluide. Der Druck ist somit auch bei stromendem Fluid eine skalare GroBe. Auf die Handbuchbeitrage von Oswatitsch [27] iiber die physikalischen Grundlagen der Stromungslehre und von Serrin [43] iiber die mathematischen Grundlagen der klassischen Fluidmechanik sowie auf die Bibliographie (Abschnitt A) am Ende des Bandes II sei hingewiesen.

2.3 Bewegungszustand (Kinematik) 2.3.1 Einfuhrung Bei der ungleichformigen Bewegung eines Fluids treten zeitlich und raumlich veranderliche Stromungsfelder auf. Die vorkommenden Gro'Ben der Bewegung werden in Kap. 2.3.2 besprochen, wobei unterteilt wird in die Darstellung des Geschwindigkeitsfelds, die Erklarung der kinematischen Begriffe zur Beschreibung des Stromungsverlaufs sowie die Ableitung des Beschleunigungsfelds. Letzteres dient der Aufstellung der Bewegungsgleichungen der Fluidmechanik. Einen vertieften Einblick in das kinematische Verhalten eines Fluidelements vermittelt Kap. 2.3.3, in dem insbesondere seine Drehung und Verformung behandelt werden. Kap. 2.3.4 befaBt sich mit der Herleitung der Transportgleichungen der Fluidmechanik, die fur die Transportvorgange von Masse, Impuls, Energie und Entropie von Bedeutung sind. Abgeleitet werden die Beziehungen fiir den Kontrollraum, den Kontrollfaden und das Fluidelement bzw. Raumelement (Kontrollelement).

2.3.2 GroBen der Bewegung 2.3.2.1 Geschwindigkeitsfeld Bewegungszustand. Zu einer bestimmten Zeit besitzt jedes Fluidelement, das man sich im Sinn der Mechanik der Kontinua als beliebig klein vorzustellen hat, eine bestimmte an die Masse gebundene Geschwindigkeit. Im allgemeinen werden dabei die Geschwindigkeiten v der einzelnen Fluidelemente nach GrdBe und Richtung verschieden sein; sie stellen also Geschwindigkeitsvektoren dar. Ordnet man nun jedem Fluidelement zur Zeit t einen bestimmten auf ein gegebenes Bezugssystem (Koordinatensystem) bezogenen Lagevektor r zu, so laBt sich das Geschwindigkeitsfeld des vom Fluid erfiillten Gebiets durch die Angabe der an jedem Aufpunkt herrschenden Geschwindigkeit v = v(t,r) beschreiben. Ist v = const, d. h. ist der Geschwindigkeitsvektor nach GroBe und Richtung ungeandert, so handelt es sich um eine gleichformig verlaufende Translationsstromung. Bleibt die Geschwindigkeit an jedem Ort r unabhangig von der Zeit t

2.3.2 GroBen der Bewegung

65

Abb. 2.11. Stromung um einen Kreiszylinder (Stromlinienbild bei reibungsloser Stromung). a Betrachtung im korperfesten Koordinatensystem, stationare Stromung. b Betrachtung im raumfesten Koordinatensystem, instationare Stromung

stets die gleiche v = v(r), so nennt man die Stromung stationar; im anderen Fall eines zeitabhangigen Geschwindigkeitsfelds v = v(t, r) ist die Stromung instationar. Eine stationare Stromung liegt vor, wenn z. B. nach Abb. 2.1 la ein homogener Luftstrom von gleichbleibender Geschwindigkeit Voo einen in ihm festgehaltenen Kreiszylinder anstromt, da hierbei die ortliche Geschwindigkeit v an einem durch r festgelegten, jedoch beliebig gewahlten Raumpunkt P des Geschwindigkeitsfelds stets die gleiche bleibt.11 Der Ort P wird dabei laufend von verschiedenen, stromabwarts sich bewegenden Fluidelementen beriihrt. Betrachtet man dagegen nach Abb. 2.11b den umgekehrten Fall eines mit konstanter Geschwindigkeit v^ in ruhender Luft bewegten Zylinders, so handelt es sich um eine instationare Stromung, da sich mit der Fortbewegung des Zylinders an einem festgehaltenen Raumpunkt P die Stromungsgeschwindigkeit v mit der Zeit nach GroBe und Richtung dauernd andert. Die Wahl des Koordinatenursprungs, ob kdrperfest wie in Abb. 2.11a oder raumfest (mit ruhendem Fluid verbundenes Koordinatensystem) wie in Abb. 2.11b, kann also dariiber entscheiden, ob die Stromung stationar oder instationar verlauft. Es sei hervorgehoben, daB die Stromungsvorgange um einen mit der ungeanderten Geschwindigkeit Woo translatorisch in ruhendem Fluid bewegten festen Korper fiir einen Beobachter, welcher die Bewegung des Korpers mitmacht, die gleichen sind, als wenn der ruhende Korper von einem Fluidstrom getroffen wird, dessen Geschwindigkeit die gleiche GroBe, aber die entgegengesetzte Richtung wie VQO hat. Geschwindigkeit. Bewegt sich das Fluidelement nach Abb. 2.12 in der Zeit At auf seiner Bahn um das Wegelement Ar = As weiter, dann ist seine Geschwindigkeit 11

Die Stromungsbilder in Abb. 2.11 sind idealisiert. In Wirklichkeit bildet sich hinter dem Kreiszylinder infolge Ablosung der StrSmung ein Wirbelgebiet aus.

66

2.3 Bewegungszustand (Kinematik)

v = lim — At

dXi

ds

dr Tt ~ dt'

Vj

=

dt

0"=

1,.2, 3)

(Definition). (2.20a, b) 12

Sie besitzt die Dimension L/T mit der Einheit m/s. Werden bei raumlicher Stromung in einem kartesischen Koordinatensystem x, y, z die Geschwindigkeitskomponenten mit vx, vy, vz bezeichnet, dann gilt fiir den Geschwindigkeitsvektor v = exvx + eyvy + ezvz oder in Zeigerschreibweise u,- = Vi(t,Xj) mit /, 7 = 1,2, 3. 13 Der Betrag der Bahngeschwindigkeit wird v2z =

v = \v\ =

(2.21a, b) 14

Bei ebener Stromung, z. B. in der x, _y-Ebene nach Abb. 1.12a, ist d/dz = 0 und vz = 0. Fiir die Umrechnung der kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten r,
,

v^ = vy cos

(2.22a, b)

In Zylinderkoordinaten r, cp, z nach Abb. 1.13 mogen die Geschwindigkeitskomponenten mit vr, v^, vz bezeichnet werden. Bei drehsymmetrischer Stromung nach Abb. 1.12b geniigt die Bestimmung des Stromungsverlaufs in einer Meridianebene r, z. Es ist also hierfiir d/dcp = 0 und vv = 0. Es treten nur radiale und axiale Geschwindigkeitskomponenten ly bzw. vz auf. Eine schraubenformig verlaufende Stromung liegt bei vr = 0, vv, vz = const vor.

Bahnlinie

Abb. 2.12. Zur Erlauterung der Geschwindigkeit v(t, r) 12

Gl. (1.42d) bestatigt dies Ergebnis mit E = r = r(t, it) = r(t, r), d. h. dr

fdr\

fdr\ dt

. /3r\ dr),

dr dt

mit (dr/dt)r = 0 und (dr/dr), = 1. 13 In kartesischen Koordinaten ist x\ = x, xi = y, xz = z und v\ = vx, V2 = vy, v^ = vz. 14 Die Summationsvereinbarung besagt, daB iiber jeden Index (i,j = 1,2,3), der in einem Produkt zweimal vorkommt, zu summieren und das Summenzeichen fortzulassen ist. Es gilt a,-ft,- = aifti +02^2 + a^bj,. Bei Differentialquotienten erster Ordnung dai/dxj besteht das Produkt aus dem Operator 3/3x, und der Feldfunktion a,. Kommt der Differentialquotient quadratisch vor, so ist (dai/dxj)2 gleichbedeutend mit (ddj/dxj) x (daj/dxj). Fiir Differentialquotienten zweiter Ordnung d2ai/dxj wird im allgemeinen d2dj/dxjdxj geschrieben. Treten die Indizes i und j jeweils doppelt auf, so handelt es sich um eine Doppelsumme iiber i und j .

2.3.2 GroBen der Bewegung

67

2.3.2.2 Kinematische Begriffe zur Beschreibung des Stromungsverlaufs Bahnlinie. Die von einem Fluidelement in der Zeit dt nach Abb. 2.12 zuriickgelegte Weganderung ds bzw. ihre Komponenten dx, dy, dz oder dxj betragen gemaB (2.20) ds = vdt,

dxt = vi dt

(i = 1,2,3).

(2.23a, b)

Durch Integration iiber die Zeit t erhalt man hieraus die Bahnlinie, auch Strombahn genannt. Sie stellt den geometrischen Ort aller Raumpunkte dar, welche dasselbe Fluidelement mo wahrend seiner Bewegung (t ^ const) nacheinander durchlauft. Das Verfolgen eines Fluidelements langs seiner Bahn entspricht nach Kap. 1.3.2.1 der Lagrangeschen Betrachtungsweise. Bahnlinien konnen mittels einer ortsfesten Kamera durch Zeitaumahmen sichtbar gemacht werden, wenn man dem stromenden Fluid suspendierte Teilchen (Schwebeteilchen oder Farbzusatze) beigibt. Stromlinie. Bei der Eulerschen Betrachtungsweise kommt es nach Kap. 1.3.2.1 bei festgehaltener Zeit t auf die Kenntnis der Stromungsgeschwindigkeit v an jedem Ort r des Strbmungsfelds an. Das Gesamtbild des Geschwindigkeitsfelds wird besonders anschaulich durch Einfiihren der Stromlinien beschrieben. Unter einer Stromlinie versteht man diejenige Kurve in einem Stromungsfeld, welche zu einer bestimmten Zeit an jeder Stelle mit der dort vorhandenen Richtung des Geschwindigkeitsvektors iibereinstimmt. Die Geschwindigkeitsvektoren der zu einer Stromlinie gehorenden verschiedenen Fluidelemente stellen also nach Abb. 2.13 die Tangenten der Stromlinie dar. Stromlinien konnen durch Momentaufnahmen zugesetzter suspendierter Teilchen sichtbar gemacht werden. Jedes Teilchen beschreibt dabei kurze Striche, die zusammengefiigt das Richtungsfeld der Stromlinien bestimmen. In Abb. 2.13 wird der Verlauf einer Stromlinie mit demjenigen einer Bahnlinie verglichen. Zur Zeit t — to befinde sich im Punkt P ein Fluidelement der Masse m = mo sowohl auf der Bahn- als auch auf der Stromlinie.

V ^.Stromlinie Nf o = const) Bahnlinie U*const)

Abb. 2.13. Erlauterung der Bahn- und Stromlinie

68

2.3 Bewegungszustand (Kinematik)

In diesem Punkt beriihren sich beide Kurven. Das Fluidelement mo besitze dort die Geschwindigkeit v = VQ und wiirde in der Zeit dt den Weg ds = vdt zuriicklegen. Die Bahnlinie ist die Verbindungslinie aller Orte, an denen sich das Fluidelement mo zu verschiedenen Zeiten t = t-2, ?-i» ?o> h, h aufhalt. Die Stromlinie ist dagegen die Verbindungslinie von Orten, an denen sich zur gleichen Zeit t = to verschiedene Massen m = m-2, m.-\, mo, mi, m2 mit den Geschwindigkeiten v = v~i, V-i, vo, v\, i»2 befinden. Bei instationarer Stromung andern die Stromlinien entsprechend der zeitlichen Anderung der Geschwindigkeit an einem bestimmten Ort des Stromungsfelds im allgemeinen dauernd ihre Gestalt. Sie weichen daher von den Bahnlinien ab. Eine Ausnahme bilden jedoch Stromungsvorgange, bei denen sich die Geschwindigkeiten mit der Zeit nur hinsichtlich ihrer Betrage, jedoch nicht ihrer Richtungen andern. In einem solchen Fall, der z. B. bei pulsierender Stromung in einer Rohrleitung auftreten kann, fallen die Strom- und Bahnlinien zusammen. Diese Aussage gilt immer fur die stationare Stromung. Stromlinien konnen keinen Knick haben und konnen sich auch niemals schneiden, da anderenfalls an der betreffenden Stelle gleichzeitig zwei verschiedene Geschwindigkeiten herrschen miiBten, was bei endlichen Geschwindigkeiten nicht moglich ist. Eine Ausnahme liegt im Staupunkt eines umstromten Korpers vor, in welchem die Geschwindigkeit den Wert null annimmt. Die Tatsache, daB bei den Stromlinien der Geschwindigkeitsvektor v parallel zu ds ist, kann durch das vektorielle Produkt aus Geschwindigkeit und Stromlinienelement v x ds — 0 beschrieben werden. Hieraus folgen bei festgehaltener Zeit t die Stromliniengleichungen fur drei- und zweidimensionale Stromungen, vgl. Abb. 2.14, zu dx

dy

dz

1 dr vr = —; r dcp vv

dx dz vz — = — (Stromlinie). dr vr

(2.24a, b; c; d)

Diese drei Beziehungen sind bei gegebenen Komponenten der Geschwindigkeit die Differentialgleichungen fur die Stromlinien der ebenen Stromung y(x) bzw.

• y.

Stromlinie y(x). (V=const) x

s

k~-v

\

—y x

Abb. 2.14. Analytische Beschreibung der Stromlinie fiir eine ebene Stromung, y(x) bzw. r(ip)

2.3.2 GroBen der Bewegung

69

r(
ox

r d
or

vr =

—, vz = - — , (2.25a; b; c) r dz r or wahrend die letzte Beziehung nach Stokes bei drehsymmetrischer Stromung gilt. Die Geschwindigkeitsfelder werden jeweils durch eine einzige Funktion, namlich * ( x , y ) , *(r, = 0 und damit * = const ist. Jeder Stromlinie kann also ein ganz bestimmter Wert * zugeordnet werden. Wie man leicht zeigt, gilt diese Aussage auch fur die r, ^-Ebene sowie fur die r, z-Ebene der drehsymmetrischen Stromung. Stromfaden, Stromrohre. Die Gesamtheit aller Stromlinien, die nach Abb. 2.15 durch eine Flache A (gegebenenfalls ein Flachenelement dA) hindurchtreten, kann man zu einem gedachten Stromfaden zusammenfassen. Er besteht aus der Eintrittsund Austrittsfiache A\ bzw. Ai sowie der Stromrohre (Mantelflache) A\^,i, welche die Summe der Randstromlinien darstellt, vgl. Abb. 2.26. Im allgemeinen werden die verschiedenen physikalischen GroBen, wie z. B. Dichte, Druck und Geschwindigkeit, gleichmaBig iiber die Stromfadenquerschnitte verteilt angenommen, was einen eindimensionalen Stromungsvorgang darstellt. Da durch die Stromrohre, in welcher die Geschwindigkeitsvektoren tangential verlaufen, kein Massenstrom moglich ist, kann ein solcher nur durch die Ein- und Austrittsfiache erfolgen. Uber die hiermit in Zusammenhang stehende Kontinuitatsgleichung wird in Kap. 2.4.2.2 berichtet. Stromflache. In Abb. 2.11a wurde das Stromlinienbild fur einen stationar umstromten Korper (Kreiszylinder) wiedergegeben, wie es theoretisch ohne EinfluB der Reibung entstehen wurde. Dabei gibt es eine Stromlinie, die vorn auf den Korper auftrifft, sich dort teilt, der Kontur des Korpers folgt und sich hinten am Korper vereinigt. Die Teilungspunkte, insbesondere den vorderen, hennt man Staupunkte. Dort herrscht nach Abb. 2.16a die Geschwindigkeit v = i>o = 0. 15 Auf die Bedeutung der Stromfunktion bei der Kontinuitatsgleichung wird in Kap. 2.4.3 eingegangen. Dort wird auch gezeigt, daB man fur dichteveranderliche Fluide ebenfalls eine Stromfunktion einfuhren kann.

70

2.3 Bewegungszustand (Kinematik) Austrittsflache

Stmmfadenachse Entrittsflache

Randstroinlinien= Stmmrdhre.A,

Abb. 2.15. Zum Begriff des Stromfadens und der Stromrohre (stationare Stromung)

,P=A)

Staupunkt Stromflache

/////////////////

Abb. 2.16. Randbedingungen der Fluidmechanik. a Geschwindigkeitsverteilung an einem umstromten Korper (kinematische Randbedingung), Staupunkt: vo = 0, Konturbedingung: vn = 0, Haftbedingung: v, = 0, reibungslose Stromung: vn = 0, v, ^ 0, reibungsbehaftete Stromung: vn = 0, vt = 0. b Fliissigkeitsoberflache (dynamische Randbedingung), Druckbedingung

Der Korper selbst wird von Stromlinien gebildet, deren Gesamtheit Stromflache genannt wird. Entsprechend der Definition der Stromlinie diirfen die Geschwindigkeiten keine Komponenten normal zu den Stromflachen haben. An der Korperkontur muB nach Abb. 2.16a also vn = 0 sein, was man als kinematische Konturbedingung bezeichnen kann. Diese Aussage kann als das skalare Produkt v • dA = 0 mit v als Geschwindigkeit am Korper und dA als nach auBen positiv zahlendem Vektor des Oberflachenelements geschrieben werden. 1st dagegen die Korperoberflache poros (stoffdurchlassige Wand), so kann Fluid aus der Stromung in den Korper abgesaugt oder Fluid aus dem Korper in die Stromung ausgeblasen werden. In solchen Fallen stellt vn ^ 0 die Absaug- oder Ausblasgeschwindigkeit dar. Solange man eine reibungslose Stromung annimmt und den festen Korper als eine herausgegriffene Stromflache betrachtet, ist die Geschwindigkeitskomponente tangential zur Korperkontur t>f=f=O. Dies bedeutet, daB die mit dem Korper in Beriihrung kommenden Fluidelemente an diesem entlanggleiten. Ist die Stromung dagegen reibungsbehaftet, so kommt sie relativ zur Wand zur Ruhe, d. h. es muB dort die tangentiale Geschwindigkeitskomponente vt mit derjenigen des Korpers bei bewegter Wand iibereinstimmen, was man als (molekulare) Haftbedingung bezeichnet. Ruht der feste Korper, so verschwindet an der Beruhrungsstelle

2.3.2 GroBen der Bewegung

71

die tangentiale Geschwindigkeitskomponente v, = 0. 16 Es gilt also fiir eine nichtporose Wand vn = 0 / vt

(reibungslos),

vn = 0 = vt

(reibungsbehaftet). (2.26a, b)

1st die Begrenzung des Stromungsfelds nach Abb. 2.16b eine freie Oberflache (Wasseroberflache), so muB dort iiberall der gleiche Druck (Atmospharendruck) p = Po herrschen. Es ist dies im Gegensatz zu den kinematischen Randbedingungen eine dynamische Randbedingung (Druckbedingung).

2.3.2.3 Beschleunigungsfeld Allgemeines. Eine weitere kinematische GroBe, die besonders bei der Aufstellung der dynamischen Grundgleichung eine wichtige Rolle spielt, ist die Beschleunigung a. Sie wird in der Mechanik als die Anderung der Geschwindigkeit dv mit der Zeit t definiert und hat die Dimension L/T 2 mit der Einheit m/s 2 . Das Beschleunigungsfeld wird also durch a = a{t,r) beschrieben. Hierin ist AD dv a = lim = —, A(->o At dt

dvi a,• = —dt

(j = 1, 2, 3)

(Definition). (2.27a, b)

Diese totale Ableitung stellt die materielle oder substantielle Beschleunigung dar, die ein bestimmtes Fluidelement zur Zeit t am Aufpunkt r bei seiner Bewegung langs des nach Abb. 2.13 zusammenfallenden Bahn- oder Stromlinienelements ds erfahrt. Sie hat wie die Geschwindigkeit vektoriellen Charakter. Der Beschleunigungsvektor hat die Richtung der Geschwindigkeitsanderung dv, die jedoch nicht mit der Richtung der Geschwindigkeit t; iibereinstimmen muB, a \\ dv. Bewegung in der Schmiegebene. Untersucht wird die eindimensionale Stromung eines Fluidelements in der Schmiegebene nach Abb. 2.17a. Ein Element dieser Ebene wird aus dem Bahnlinienelement (Stromlinienelement) ds und dem vom Bahnkriimmungsmittelpunkt 0 gemessenen Kriimmungsradius r^ gebildet. Es ist 7-fc ein MaB fiir die Abweichung der Bahnlinie von einer Geraden, r^ ->• oo. Einem im Punkt P befindlichen Fluidelement sei ein begleitendes Bezugssystem (Dreibein) mit den natiirlichen Koordinaten in Stromungsrichtung (tangential), in Richtung auf den Kriimmungsmittelpunkt (normal) und in Richtung normal auf der Schmiegebene (binormal) zugeordnet. Der Beschleunigungsvektor a fallt, wie aus der allgemeinen Mechanik bekannt ist, stets in die Schmiegebene. Seine zwei Komponenten heiBen die Bahnbeschleunigung (Tangentialbeschleunigung) at und die Zentripetalbeschleunigung (Normalbeschleunigung) an. Eine Komponente in binormaler Richtung tritt nicht auf, a/, = 0. Sind et der Einheitsvektor in Richtung der Geschwindigkeit, en der Einheitsvektor in Richtung zum Kriimmungsmittelpunkt der Bahnlinie und e\, der 16 Die Haftbedingung ist fiir die meisten Fluide unter normalen Driicken und Temperaturen experimentell bestatigt wbrden. Bei stark verdiinnten Gasen, die nicht mehr als Kontinuum angesehen werden konnen, treten dagegen gewisse Gleitbewegungen relativ zur Wand auf.

2.3 Bewegungszustand (Kinematik)

72

OyrKriimmungsmittelpunkt ™- -Schmiegebene

Stromlinien

1

Stromlinien

d / Abb. 2.17. Stromungsbewegung in der Schmiegebene. a bahnlinienorientiertes Dreibein; b stromlinienorientiertes Dreibein, konvektiver Beschleunigungsanteil (konstant gehaltene Zeit, t = const); c, d stromlinienorientiertes Dreibein, lokaler Beschleunigungsanteil (veranderliche Zeit, / bzw. t + dt)

Einheitsvektor der Binormale, so gilt fur den Beschleunigungsvektor

dv dv v2 a = e,a, + enan + ebab = — = e,— + en — dt dt rk

(2.28a)

mit v — \v\ als Betrag der Geschwindigkeit. Hieraus erhalt man die Beschleunigungskomponenten bei instationarer Stromung zu dv dv dv at = — = \-v—, dt at as

v2 an = —, rk

cib = 0

. (Schmiegebene).

(2.28b, c, d) Wahrend fur die Bahnbeschleunigung at ^ 0 ist, gilt fur die Zentripetalbeschleunigung immer an > 0 (positiv zum Kriimmungsmittelpunkt hin). Die Anderung der Geschwindigkeit v = v{t, s) in Bahnrichtung betragt dv = (dv/dt) dt + (dv/ds)ds. Dies fiihrt mit v = ds/dt zu dem angegebenen Ergebnis. Die substantielle Beschleunigung dv/dt setzt sich aus der lokalen Beschleunigung dv/dt und der konvektiven Beschleunigung v(dv/ds) zusammen. Die lokale Beschleunigung beschreibt die zeitliche Geschwindigkeitsanderung bei festgehaltenem Ort; sie tritt bei stationarer Stromung nicht auf. Die konvektive Beschleunigung folgt aus der Geschwindigkeitsanderung bei Ortsveranderung des Fluidelements; sie verschwindet bei stationarer Stromung im allgemeinen nicht.17 17

Das Verhaltnis von lokaler zu konvektiver Beschleunigung entspricht nach (1.47a) der Strouhal-Zahl

Sr = (dv/dt)/[v(dv/3s)] ~ l/vt.

2.3.2 GroBen der Bewegung

73

Betrachtet man die in Abb. 2.11a dargestellte stationare Stromung um einen in ihr festgehaltenen Zylinder, so ist z. B. an einer bestimmten Stelle s auf dem Zylinderumfang zwar dv/dt = 0, jedoch a, = dv/dt = v(dv/ds) ^ 0. Die Geschwindigkeit v(s) und damit auch die Beschleumgung at(s) andern sich, wenn sich das Fluidelement von der angenommenen Stelle 5 zu einer Stelle s + ds fortbewegt.18 Bewegung im dreidimensionalen Raum. Bei einem raumlichen Stromungsfeld mit den Geschwindigkeitskomponenten vx, vy, vz in einem kartesischen Koordinatensystem x, y, z sind die Beschleunigungskomponenten nach (2.27) durch ax=dvx/dt, ay=dvy/dt und az=dvz/dt gegeben. Hierbei handelt es sich um substantielle Beschleunigungen, die ein Fluidelement, welches sich zur Zeit t augenblicklich am Ort x, y, z befindet, bei seiner Bewegung in Richtung der jeweiligen Koordinatenachse erfahrt. Der Beschleunigungsvektor lautet a = exax+eyay+ezaz oder in Zeigerschreibweise a, = ai(t, Xj) mit i, j = 1, 2, 3. Das totale Differential von vt(t, Xj) betragt dv, = (dvj/dt)dt + (dvifdxj)dxj. Hierin ist dxj = vj dt der im Zeitintervall dt in Richtung der durch j angegebenen Achse zuriickgelegte Weg. Nach Division durch dt erhalt man die Komponenten der Beschleumgung in Zeigerschreibweise

Das Glied dvt/dt stellt die lokale und die Summe der restlichen drei Glieder die konvektive Beschleumgung dar. Als Verallgemeinerung von (2.29a) erhalt man unabhangig von der Wahl des Koordinatensystems das Beschleumgungsfeld zu19 dv dv a=— = h v • grad v dt at dv fv2\ = h grad — J - (v x rotu) dt \ 2 /

(2.29b) (raumlich).

(2.29c)

18 Fur ein stromlinienorientiertes Dreibein nach Abb. 2.17b, c, d ergeben sich die Beschleunigungskomponenten zu

dv dt

dv dt

dv ds

dvn dt

v2 rk

dvt dt

Wahrend fur die Geschwindigkeit v = ds/dt # 0 , vn = 0 = vi, gilt, treten die Geschwindigkeitsanderungen (Bv/ds)ds, (dvn/ds)ds = (v/rk)ds, (dv/dt) dt, (dvn/3t) dt = v(d®n/dt)dt und (dvb/dt)dt = v(d®t,/dt)dt auf. Durch Division mit dem Zeitelement dt erhalt man die angegebenen Beziehungen. Ein Vergleich mit (2.28b) zeigt, daB sich die tangentiale Beschleunigungskomponente a, beim Ubergang von der bahn- zur stromlinienorientierten Betrachtung nicht andert. 19 Gl. (1.42d) bestatigt das Ergebnis mit E = v = v(t, rL) = v(t, r), d. h. _ dv _ (dv\ dt ~ \dt)n~

_(dv\ \dt)r

mit (dv)/dr), = gradv und dr/dt = v.

/3»\ ' \dr),

dr Tt

74

2.3 Bewegungszustand (Kinematik)

Tabelle 2.2. Beschleunigung eines Fluidelements a = dv/dt, Koordinatensysteme nach Abb. 1.13; substantielle Beschleunigung dv/dt, lokale Beschleunigung dv/dt, konvektive Beschleunigung v • grad v (vgl. Tab. B.2) Koordinaten

z

'lindrisch

r

~dt

dvx

+

dVy

+

ot

~ ~dT

dt

_ dvy dt

0V7

41-

z

=

41- 41-

kartesiscl

y

dv

dv ~dt

4-

X

a =

+ v- gradt; dvx

dvx

dvx

dvy

3Vy

dVy

ot

+ Vx~dx~

uVr

dvr

dy Vv dVr Vzd_V^+Vr^

+

+

dvz

dvz

3u z

~ + ~7~dV vvdvz

dvz

dvz

Man bezeichnet gradv als Gradiententensor des Geschwindigkeitsfelds, vgl. Kap. 2.3.3.1.20 Die tensorielle Darstellung v • gradv laBt sich nach den Regeln der Tensor-Analysis in die vektorielle Form grad (v2/2) — (vx. rot v) iiberfiihren. In Tab. 2.2 sind die Beschleunigungskomponenten fur kartesische und zylindrische Koordinatensysteme zusammengestellt. In Polarkoordinaten, als Sonderfall der Zylinderkoordinaten r,
dvr

(dvr

+ II ar = — dt + vr— dr + — r \o

dv,p

"a7

dr

Vr

^

r

+

V

\p

d
vr

(2.30a, b)

Mit vr = 0 und vv = v sowie r = r^ und ds = rd(p werden wegen av = at und ar = —an die Beziehungen fiir die Stromung in der Schmiegebene (2.28a, b) bestatigt. Ware man bei der Ableitung ahnlich wie bei den kartesischen Koordinaten vorgegangen, indem man z. B. von vr(t, r,
Um den Unterschied zwischen dem Gradienten eines Skalars a und eines Vektors a fiir kartesische und zylindrische Koordinatensysteme zu zeigen, sind in Tab. B.I die GroBen grad a und grad a einander gegeniibergestellt.

2.3.2 GroBen der Bewegung

75

-y. • Stromlinie

8t

'

r

^ ^ -

^Jfirbellinie €u=—rot v 2

Abb. 2.18. Erlauterung der einzelnen Anteile des raumlichen Beschleunigungsvektors

vrotv

beachtliche Rolle, vgl. Kap. 5. Man kann zeigen, daB das Glied (v x rotu) in (2.29c) in drei Fallen ohne EinfluB ist: (a) Die Bewegung wird langs einer Stromlinie betrachtet. Um dies zu zeigen, ist bei festgehaltener Zeit ttber das skalare Produkt (v x rot v) • ds mit ds als Stromlinienelement zu integrieren. Wegen ds = vdt und der Tatsache, daB der Vektor (v x rot v) normal auf dem Geschwindigkeitsvektor v steht, ist der Integrand langs der Stromlinie (v x rot v) • v = 0. (b) Die Stromung ist drehungsfrei, d. h. rot v = 0. Man nennt dies eine Potentialstromung, da man bei ihr das Geschwindigkeitsfeld aus einem Geschwindigkeitspotential ableiten kann, vgl. Kap. 5.3.1. (c) Geschwindigkeits- und Drehvektor (Wirbelvektor) bzw. Stromlinie und Wirbellinie fallen im Beriihrungspunkt zusammen, d. h. v\\ totv. Eine solche Stromung nennt man Beltrami-Stromung. Sie kann bei ebener und drehsymmetrischer Stromung nicht auftreten, da in diesen Fallen rot v stets normal auf der Geschwindigkeitsebene steht, d. h. v _L rotv. Rotierendes Bezugssystem. Oft empflehlt es sich, den Stromungsvorgang nicht in einem ruhenden raumfesten, sondern in einem mitbewegten korperfesten Bezugssystem (Fiihrungssystem) zu beschreiben. Fiihrt das mitbewegte oder relative Bezugssystem wie bei rotierenden Schaufelradern in Stromungsmaschinen nur eine Drehung um eine feste Achse mit der Winkelgeschwindigkeit co aus, so handelt es sich um ein rotierendes Bezugssystem.21 Zum Beispiel verhalt sich die Stromung im rotierenden Schaufelrad im ruhenden Bezugssystem periodisch instationar, wahrend sie im mitbewegten System stationar verlauft. Die Stromung im mitbewegten Bezugssystem bezeichnet man als Relativstromung, wahrend man die gleiche Stromung im ruhenden Bezugssystem Absolutstromung nennt, vgl. Kap. 1.3.2.1. Die Absolutgeschwindigkeit jjat,s = c eines Fluidelements setze sich aus der Relativgeschwindigkeit v und der Fiihrungsgeschwindigkeit (Umfangsgeschwindigkeit) u zusammen. Letztere betragt bei dem angenommenen rotierenden Bezugssystem u=a>xr' =
(2.31a, b)

21 Im allgemeinen Fall eines mitbewegten Bezugssystems tritt neben der Rotations- auch eine Translationsbewegung des bewegten Systems auf.

76

2.3 Bewegungszustand (Kinematik) 'Krummungsmittelpunkt , der Relativstromlinie

'S

Relativstromlinie Drehachse raumfest

Abb. 2.19. Rotierendes Bezugssystem. a Geschwindigkeiten. b Beschleunigungen (Ebene normal zur Drehachse, Zylinderkoordinaten r, ip, z) Nach dem Gesetz iiber die Kinetik der Relativbewegung gilt fur die Absolutbeschleunigung «abs = «rei +af

+ac

mit

dv aKi = —

(2.32a, b)

als Relativbeschleunigung sowie mit den Zusatzbeschleunigungen bei gleichformiger Drehung (w = const) = co x u = —cor = — grad

und

ac = 2(
(2.32c, d) 22

als Fiihrungs- bzw. Coriolisbeschleunigung. Der Vektor der Fuhrungsbeschleunigung «/ liegt in der von to und r gebildeten Ebene und zeigt als Zentripetalbeschleunigung normal zur Drehachse in die negative Richtung von r. Der Vektor der Coriolis-Beschleunigung ac steht normal auf der von eo und v gebildeten Ebene, d. h. er wirkt stets normal zur Relativstromlinie in Richtung auf den Krummungsmittelpunkt der Relativstromlinie hin. Der weiteren Betrachtung sei nach Abb. 2.19b ein Bezugssystem in Zylinderkoordinaten (r, -Ebene (z = const) dargestellt. Mit eingezeichnet ist die Projektion der Relativstromlinie in der r, ^-Ebene. Wahrend die Fuhrungsbeschleunigung zur Drehachse gerichtet ist, zeigt die Coriolisbeschleunigung zum Krummungsmittelpunkt der projizierten Schmiegebene. Bei kreisformig verlaufender Relativstromlinie (y, = 0, v^ # 0, vz = 0) fallen Drehpunkt der Achse und Krummungsmittelpunkt der Stromlinie und damit auch die Richtungen der Zentripetal- und Coriolisbeschleunigung zusammen.

2.3.3 Kinematisches Verhalten eines Fluidelements 2.3.3.1 Gradiententensor des Geschwindigkeitsfelds Bei der Bewegung eines Fluidelements kann dies im Stromungsfeld sowohl seine raumliche Lage als auch seine Form verandern. Wahrend die raumliche Lage durch die Angabe des Ortsvektors r und 22

Man beachte, daB < B x u = < » x ( < B x r ) = — ap-r = —co2r ist, wobei die letzte Beziehung aus der Tatsache folgt, daB die Vektoren 2r2/2) = (l/2)[a) 2 gradr 2 +r 2 grad&) 2 ] mit gradr 2 = 2\r\ xgrad|r| = 2r und r 2 grada> 2 = 0 wegen
2.3.3 Kinematisches Verhalten eines Fluidelements

77

Abb. 2.20. Relative Bewegung zwischen zwei benachbarten Punkten A und B bei gleichbleibender Zeit t = const

gegebenenfalls die Winkelgeschwindigkeit a> bestimmt ist, wird eine Verformung durch die bei der Bewegung auftretenden Anderungen der ursprilnglichen Langen und Winkel des Elements beschrieben. Will man die Drehung und die Verformung bestimmen, so kommt es nur auf die zu einer gegebenen Zeit t = const vorhandene relative Bewegung (Verschiebung) zwischen zwei benachbarten Punkten A und B an. Die betrachteten Punkte mogen nach Abb. 2.20 durch die Lagen r bzw. r + dr gegeben sein. Ihre Geschwindigkeiten betragen dann v bzw. v + dv, wobei dv die gesuchte Geschwindigkeitsanderung ist. In einem kartesischen rechtwinkligen Koordinatensystem x, miu' = 1,2,3 betragt die raumliche Geschwindigkeitsanderung, auch Verschiebungstensor genannt, in Zeigerschreibweise dvi = —- dxj = (Dij + Rij)dxj

(i = 1,2, 3)

(2.33a)

mit den Abkiirzungen : Dji,

Da = —

: -Rji,

Ru = 0

(; = 1,2,3), (/ = 1,2,3).

(2.33b)23 (2.33c)

Bei D^ = Dji handelt es sich um einen symmetrischen und bei Rjj = —Rji um einen schiefsymmetrischen (alternierenden) Tensor zweiter Stufe. Nachstehend sei die physikalische Bedeutung der angegebenen kinematischen GroBen besprochen. Dabei soil gezeigt werden, wie ein Fluidelement bei seiner Bewegung im Stromungsfeld sowohl seine raumliche Lage als auch seine Form (Gestalt) andert.

2.3.3.2 Drehung eines Fluidelements Drehvektor. Die Bewegung eines zunachst noch unverformten Fluidelements wird an einer Stelle r des Stromungsfelds durch die Translation, d. h. die Verschiebung des Schwerpunkts mit der Geschwindigkeit v, und durch die Rotation, d. h. die Drehung des Fluidelements um seinen Schwerpunkt mit der Winkelgeschwindigkeit a>, bestimmt. Fur ein Fluidelement in Form eines Quaders mit den Kantenlangen Ax, Ay, Az betragen in ebener Stromung nach Abb. 2.21a die Komponenten der Translation vx dt und vy dt, wahrend sich bei der Rotation die in Abb. 2.21b dargestellte Lage des Fluidelements ergibt. Dabei haben sich die Eckpunkte um die Strecken — (3vx/3y)Aydt und (dvy/dx)Axdt in xbzw. y-Richtung verschoben. Das unverformte Fluidelement hat sich also wie ein fester Korper um den Winkel dy = (dvy/dx)dt = (-3vx/3y) dt gedreht (Festkorperrotation). Die auf die Zeit bezogene Winkelanderung y = dy/dt ist gleich der Winkelgeschwindigkeit in 1/s um die z-Achse (rechtsdrehend positiv in Richtung der positiven z-Achse). Diese kann man als arithmetisches Mittel von dvy/dx und —dvx/dy darstellen, d. h., 2u>z = 3vy/dx — 3vx/dy setzen. Im raumlichen Fall treten nach 23 Fiir i = j ist D,, = dvt/dxt jeweils fiir i = 1,2 oder 3. Obwohl bei dvi/dxt der Index ; zweimal vorkommt, soil hier die Summationsvereinbarung gemaB der FuBnote 14 auf S. 66 nicht angewendet werden. Um dies auszuschlieBen, wird hier und auch spater in ahnlich gearteten Fallen stets der Zusatz (i = 1,2,3) gemacht.

2.3 Bewegungszustand (Kinematik)

78

dydt

Abb. 2.21. Bewegung und Verformung eines quaderformigen Fluidelements in ebener Stromung (kinematisches Verhalten). a Translationsbewegung (Verschiebung). b Rotationsbewegung (Drehung). c Dehnung (Volumendilatation). d Scherung (Schiebung)

Tabelle 2.3. Drehung eines Fluidelements, Koordinatensysteme nach Abb. 1.13 und 2.22 (vgl. Tab. B.3) Koordinaten

to --= 5 rot v X

(Ox

y

(Oy

-l(8 2

dVy\

V3

dz J

a

JS

o tn 'en

z

(Oz

r

(Or

«V

z

*z

lindrisc

-C

l

(B

£)

z /3

dv

\

'dj)

= i(; i

(d

l

/ 3

OV(A \

oz J dvz\ dvr\

Abb. 2.22 Winkelgeschwindigkeiten um alle drei Achsen auf. Die zugehorigen Beziehungen fiir wx und (oy erhalt man durch zyklisches Vertauschen aus a>z. Die Drehung laBt sich als Dreh- oder Wirbelvektor to = ex(ox + ey(oy + ezwz oder als Tensor der Rotation OHJ darstellen, und zwar ist unabhangig von der Wahl des Koordinatensystems , > = 1i rott),

, /dvj eon = —ft),-, = l k — ' ' \3xi

3^, I dxj

(Rotation).

(2.34a, b)

Es bedeutet a>x = wyi = —ani, (oy = w\j, = — WT,\, U>Z = a>2\ = —eon. Ein Vergleich von (2.34b) mit (2.33c) zeigt, daB es sich bei a>ij = Rtj um den schiefsymmetrischen Teil des Tensors der Geschwindigkeitsanderung handelt. Der Dreh- oder Wirbelvektor ist rein kinematischer Natur und fallt in die Richtung der Drehachse des betreffenden Fluidelements. Die Komponenten fiir kartesische und zylindrische Koordinatensysteme sind in Tab. 2.3 zusammengestellt.

2.3.3 Kinematisches Verhalten eines Fluidelements

79

Abb. 2.22. Festlegung der Vorzeichen fur die Drehung (Rotation) eines Fluidelements in kartesischen Koordinaten

Abb. 2.23. Zur anschaulichen Erklarung der Drehung einer Stromungsbewegung: a drehungsbehaftet: dl/dt ^ 0, b drehungsfrei: dl/dt = 0 Der Begriff der Drehung moge noch anschaulich erklart werden. Auf die freie Oberflache einer sich bewegenden Flussigkeit sei ein Korkstuck gelegt, auf welchem eine bestimmte Richtung / markiert ist. Andert diese markierte Richtung bei der Fortbewegung des Stiicks langs einer Stromlinie zu verschiedenen Zeiten t\, t2, tj, ihre Richtung gegenuber ihrer Ausgangslage, wie z. B. bei der rotierenden Flussigkeit in einem zylindrischen GefaB nach Abb. 2.23a, dann ist die Stromung langs der gezeichneten Stromlinie drehungsbehaftet, dl/dt ^ 0. Bleibt dagegen die Markierung entsprechend Abb. 2.23b parallel zur Anfangslage, so liegt eine drehungsfreie Stromung vor, dl/dt = 0. Wirbellinie. Analog zu den Stromlinien nach Kap. 2.3.2.2 bezeichnet man in einem drehungsbehafteten Stromungsfeld Kurven, die an jeder Stelle jeweils tangential zum Wirbelvektor verlaufen, als Wirbellinien. Bei festgehaltener Zeit t lautet die Wirbelliniengleichung co x ds' = 0 oder (2.35) wobei dx', dy', dz' die Komponenten des Langenelements ds' der Wirbellinie sind, vgl. hierzu (2.24a).

2.3.3.3 Verformung eines Fluidelements Allgemeines. Jeder Korper kann unter der Einwirkung auBerer Krafte oder durch WarmeeinfluB eine Formanderung erfahren. Die auf die GrundgroBen (Langen, Winkel) bezogene Formanderung nennt man auch Verzerrung. Der Verzemingszustand laBt sich in Dehnung (Langenandening) und in Scherung (Schiebung, Winkeldeformation) unterteilen. Diese beiden Grandtypen der Verformung lassen sich linear iiberlagern und konnen daher getrennt voneinander behandelt werden. Dehnung, Volumendilatation. Ein urspriinglich unverformter Quader mit den Kantenlangen AJC, Ay, Az erfahre nach Abb. 2.21c bei der Bewegung Langenanderungen in x-, y- und z-Richtung

80

2.3 Bewegungszustand (Kinematik)

der GroBe d(Ax) = (dvx/dx)Axdt, d(Ay) = (dvy/dy) Ay dt bzw. d(Az) = (3vz/dz)Azdt. Die auf die Zeit dt bezogenen Dehnungen werden Dehngeschwindigkeiten in 1/s genannt und betragen

Bx =

dvx

£y =

JI'

En = —

dvy

Sz =

17 •

0 = 1,2,3)

dvz

~a7;

(Dehnung).

(2.36a, b)

oXi

Ein Vergleich mit (2.33b) zeigt, daB es sich bei e,-,- = A , u m die Glieder der Hauptdiagonalen des symmetrischen Teils des Tensors der Geschwindigkeitsanderung handelt. Die durch die Formanderung der Dehnung hervorgerufene Volumenanderung (Raumdehnung) betragtd(AV) = [Ax + d(Ax)][Ay + d(Ay)][Az + d(Az)]- AxAyAz. Macht man durch Division mit dem Ausgangsvolumen AV = AxAyAz dimensionslos und setzt die oben angegebenen Beziehungen fur d(Ax), d(Ay) und d(Az) ein, dann erhalt man unter Vernachlassigung der Glieder hoherer Ordnung die auf die Zeit dt bezogene relative Volumenanderung, d. h. die Dilatationsgeschwindigkeit in 1/s zu 1 d(AV)

dvy dvz dvj '--\ = —*-, i/r = div«, (2.37a, b) AV dt dx dy 3z dxj wobei div v die Divergenz des Vektors v ist (vergleiche Tabelle B.4). Die letzte Beziehung gilt unabhangig von der Gestalt des betrachteten Elements und von der Wahl des Koordinatensystems. Es ist d(AV)/AV die aus der Elastizitatstheorie bekannte Volumendilatation (Volumenausdehnung, kubische Dehnung). So hat sich z. B. das Volumen nicht geandert, wenn ijr = 0 ist, was bei einem dichtebestandigen Fluid der Fall ist, vgl. die Kontinuitatsgleichung (2.61b). t/r =

avx

=

Scherung. Der zunachst unverformte Quader moge jetzt eine Winkelverformung erfahren. Am einfachsten fiihrt man diese tJberlegung, wie bei der Drehung in Kap. 2.3.3.2, fiir den ebenen Fall nach Abb. 2.21d durch. Aus dem Rechteck ist durch Scherung ein Parallelepiped entstanden. Es haben sich jeweils die untere und die obere Flache um den Winkel dy\ sowie die linke und rechte Flache um den Winkel dyi gedreht. Dadurch wird der urspriingliche rechte Winkel um den Winkel dy = dy\ + dyi geandert. Aus den Verschiebungen (dvy/dx)Axdt und (dvx/dy)Aydt ergibt sich die auf die Zeit dt bezogene gesamte Winkelanderung zu y = dy/dt. Ahnlich wie bei der Winkelgeschwindigkeit der Drehung kann jetzt eine Winkelgeschwindigkeit der Scherung oder kurz Schergeschwindigkeit in 1/s mit 2&z = dvy/dx + dvx/dy eingefiihrt werden. Im raumlichen Fall erhalt man &x und &y durch zyklisches Vertauschen. In Zeigerschreibweise wird &ji = &ij = \ (a-p- + p-) \ OXi

(i ji j) (Scherung).

(2.38)

oXj J

Es bedeutet &x = &32 = $23, &y = $n = *3i. &z = J?2i = &n- Ein Vergleich von (2.38) mit (2.33b) zeigt, daB es sich bei # i ; = D,y um den symmetrischen Teil des Tensors der Geschwindigkeitsanderung handelt. Die nach (2.37) berechnete Dilatationsgeschwindigkeit bleibt von der Scherung unbeeinfluBt. Deformationszustand. Die aus Dehnung und Scherung zusammengesetzte Verformung (Verzerrung) wird durch den symmetrischen Teil des Tensors der Geschwindigkeitsanderung beschrieben. Dabei stellen die Glieder der Hauptdiagonalen i = j die Dehnung und die iibrigen Glieder; ^ j die Scherung dar. Man nennt die Matrix, die aus D;7 = Dy, gebildet werden kann, den Tensor der Deformation. Der Verzerrungszustand eines Fluidelements wird also durch sechs Verzerrungskomponenten, namlich drei Dehngeschwindigkeiten s,, und drei Schergeschwindigkeiten fry, d. h. durch den Tensor der Formanderungsgeschwindigkeit defv = (£>,;) gekennzeichnet. Unabhangig von der Wahl des Koordinatensystems gilt def v = \ [grad v + (grad v)*]

(Deformation).

(2.39)

Hierin ist (gradt))* der transponierte Gradiententensor des Geschwindigkeitsfelds (Spiegelung an der Hauptdiagonalen), vgl. Tab. B.I. Bei den Ableitungen wurde vorausgesetzt, daB der Verschiebungsgradient so klein ist, daB in ihm quadratische Ausdriicke neben linearen vernachlassigt werden diirfen. Es handelt sich also um eine lineare Theorie infinitesimaler Verformungen. Jeder Deformationszustand ist mit einem Spannungszustand verkniipft, und zwar erzeugen die Dehnungen Normal- und die Scherungen Tangentialspannungen, vgl. Kap. 2.5.3.3.

2.3.3 Kinematisches Verhalten eines Fluidelements

81

2.3.3.4 Anwendungen Beispiele. Um die Anschaulichkeit der abgeleiteten Begriffe der Drehung nach Kap. 2.3.3.2 und der Verformung nach Kap. 2.3.3.3 zu beleben, seien einige einfache stationare, ebene Stromungen eines dichtebestandigen Fluids besprochen. Fiir solche Stromungen darf keine Volumendilatation am Fluidelement auftreten. Fiir die nachstehend behandelten Beispiele ist gemaB (2.37) stets ijr = 0, d. h. die Kontinuitatsgleichung (2.61b) erfiillt. Zu untersuchen bleiben die Drehung 2 = 0 sowie EX = a, ey = —a und i?z = 0. Es handelt sich also um eine drehungsfreie Stromung, bei welcher die Fluidelemente nur konstante Dehnungen in x- und yRichtung erfahren. Um dies Ergebnis deutlich zu machen, ist in Abb. 2.24 ein Fluidelement an einer bestimmten Stelle des Stromungsfelds in Form eines Kreises (K) dargestellt. Auf der zu (K) gehorenden Stromlinie wird der Kreis infolge der Dehnungen verformt und nimmt die Form von flachengleichen Ellipsen (ijr = 0) an. Da keine Drehung der durch die Ellipsen erfaBten Fluidmasse auftritt, bestehen der obere bzw. der untere Teil der Ellipsen immer aus den gleichen Fluidmassen. c) Scherstromung. Die Beziehung vx = ay, vy = 0 gibt die einfache Schichtenstromung eines viskosebehafteten Fluids nach Abb. 1.3a wieder. Hierfiir gilt a>2 = —a/2 sowie ex = 0 = ey und # z = a/2. Es handelt sich also um eine drehungsbehaftete Stromung, bei der die Verformung nur in einer Winkeldeformation besteht. d) Kreisstromung. Der Ansatz ly = 0, vv = a/r + br + c stellt die Stromung auf konzentrischen Kreisbahnen dar, wobei es sich um einen mit 1/r abnehmenden, um einen mit r zunehmenden und um einen konstanten Geschwindigkeitsanteil handelt. Es sei nur der Begriff der Drehung erlautert. Diese erhalt man nach Tab. 2.3 wegen 2«>z = dv^/dr + v9/r zu co7 = b + c/2r. Es besitzt also nur das erste Glied keine Drehung, wahrend die beiden letzten Glieder drehungsbehaftete Stromungen zur Folge haben. Der Ausdruck vv = br entspricht einem mit konstanter Winkelgeschwindigkeit a>z = b rotierenden Fluid-element (Festkorperrotation). Dieser Fall tritt auf, wenn in einem rotierenden GefaB nach Abb. 2.23a ein Fluid durch die Zahigkeitskrafte (Reibung) in rotierende Bewegung versetzt wird. Die drehungsfreie Stromung v = a/r stellt den sog. Potentialwirbel eines reibungslosen Fluids mit vr =a = const dar. Hieriiber wird in Kap. 5.3.2.4, Beispiel c, berichtet. Folgerungen. Vergleicht man die vorstehenden Beispiele untereinander, so kann man feststellen, daB die zahigkeitsbehafteten Stromungen drehungsbehaftet und die anderen Stromungen drehungsfrei sind. Der zunachst rein kinematisch abgeleitete Begriff der Drehung hat also auch eine wichtige physikalische Bedeutung, vgl. Kap. 2.5.3.2. Weiterhin tritt Drehung auf bei Trennungsschichten, vgl. Kap. 5.4.2.4,

y

n'/////////,

Abb. 2.24. Ebene drehungsfreie Eckenstromung, Verformung besteht nur in einer Dehnung

82

2.3 Bewegungszustand (Kinematik)

sowie bei gekriimmten VerdichtungsstoBen, vgl. Kap. 5.4.4.3. Stetig verlaufende und nicht durch Zahigkeitskrafte beeinfluBte Stromungen besitzen dagegen im allgemeinen keine Drehung. Die Gesamtheit der Stromungen laBt sich also in zwei Klassen einteilen, die sich sowohl rein kmematisch wie auch physikalisch und damit auch in ihrer mathematischen Behandlung unterscheiden. Es sind dies die drehungsfreienund drehungsbehafteten Stromungen.

2.3.4 Transportgleichungen der Fluid- und Thermofluidmechanik 2.3.4.1 Physikalische GroBen und Eigenschaften Bei der Beschreibung von Stromungsvorgangen spielt die zeitliche und raumliche Anderung bestimmter physikalischer Eigenschaften und TransportgroBen, die sowohl skalaren als auch vektoriellen Charakter haben konnen, die beherrschende Rolle.24 Die hierzu benotigten Beziehungen seien als Transportgleichungen der Fluidmechanik bezeichnet. Eine physikalische GroBe, die von der Masse des betrachteten Fluids nicht abhangt, nennt man eine masseunabhangige oder intensive GroBe (Intensitatseigenschaft). Sie kann als FeldgroBe eine

Tabelle 2.4. TransportgroBen (FeldgroBen E(t, r), Volumeneigenschaften J{t)) und Bilanzgleichungen der Fluid- und Thermofluidmechanik Volumeneigenschaft

FeldgroBe E, E Eigenschaften

jj

e, s

JJ

dJ/dt

Kap.

Druck

-

P

Temperatur

-

T

Masse

1

P

m

dm dt

2.4.2

Impuls

V

pv

I

Impulsmoment

r x v

p(r x v)

L

kinetische Energie

p —

pe

E

V2

2

f=M dt 2.6.2

dt

innere Energie

u

pu

U

dU ~~dt ~

totale Energie

e, = e + u

p(e + u)

E,

dE, dt ~

Enthalpie

h

ph

H

totale Enthalpie

h, =e + h

p(e + h)

H,

Entropie

s

ps

S

24

2.5.2

dt

'

dH

~dl ~ dH,

~d7 ~ dS

~dt ~~

2.6.4

Solange bei der Darstellung fur die skalaren und vektoriellen GroBen kein Unterschied besteht, wird nur die skalare Schreibweise verwendet.

2.3.4 Transportgleichungen der Fluid- und Thermofluidmechanik

83

Funktion der Zeit und des Orts r sein und werde mit E = E{t, r) bezeichnet. Zu den skalaren FeldgroBen rechnet man den Druck p und die Temperatur T, wahrend die Geschwindigkeit v eine vektorielle FeldgroBe E(t, r) darstellt. 1st die betrachtete TransportgroBe proportional der Masse eines abgegrenzten Fluidsystems, so spricht man von einer masseabhangigen oder extensiven GrSBe (Massenoder Volumeneigenschaft). Sie ist nur von der Zeit t abhangig und werde mit J = Jit) bzw. J = J (t) bezeichnet. Hierzu gehoren neben der Masse m, der Impuls / die Energie E, die Enthalpie H sowie die Entropie S. Start der Masseneigenschaft fiihrt man auch die auf die Masse bezogene, d. h. die spezifische EigenschaftsgroBe (GroBe/Masse) ein und faBt diese im Grenzfall verschwindender Masse ebenfalls als FeldgroBe E = j = dj/dm auf.25 Bezieht man dagegen auf das Volumen, so nennt man diese GroBe die Eigenschaftsdichte (GroBe/Volumen) und bezeichnet diese im Grenzfall verschwindenden Volumens als FeldgroBe mit E = g = dJ/dV. Wegen dm = pdV nach (1.1) besteht der Zusammenhang e = pj. Das Gesagte ist nachstehend zusammengestellt. Fur die Integralwerte iiber ein geschlossenes zeitlich veranderliches Fluidvolumen V(t), auch Systemvolumen genannt, welches stets die gleiche Masse m(t) = m = const besitzt (materielles Integral), gilt J(t) =

jdm=

sdV

(m)

mit

e = pj (Eigenschaftsdichte).

(2.40a, b)

V(0

In dem betrachteten Fluidvolumen diirfen sich raumliche Unstetigkeiten, wie z.B. Trennungsflachen oder VerdichtungsstoBe befinden. Die Aufgabe besteht darin, von der FeldgroBe E(t,r) und von der Volumeneigenschaft J{t) jeweils deren zeitlichen und raumlichen bzw. nur zeitlichen Transport im Stromungsfeld zu bestimmen.

2.3.4.2 Transportgleichung fiir die FeldgroBe Grundsatzliches. Die einem bestimmten Fluidelement zu einer Zeit t an einem Ort r zugeordnete FeldgroBe E(t, r) befinde sich in einer stetig verlaufenden Stromung. Von den Feldfunktionen sei vorausgesetzt, daB sie einschlieBlich der in den folgenden Gleichungen auftretenden Differentialquotienten stetige Funktionen ihrer Argumente sind. Es werden also Unstetigkeiten, wie Trennungsflachen oder VerdichtungsstoBe, ausgeschlossen. Die substantielle (materielle, massegebundene) Ableitung dE/dt liefert die Transportgleichung fiir die FeldgroBe. Wird dE/dt = 0, so bedeutet dies, daB das betrachtete Fluidelement seine Eigenschaft wahrend der Fortbewegung langs seiner Bahn beibehalt. Sie kann jedoch von Fluidelement zu Fluidelement verschieden sein. Im folgenden sollen die skalare FeldgroBe E und die vektorielle FeldgroBe E getrennt voneinander behandelt werden. Skalare FeldgroBe. Bei eindimensionaler Stromung erhalt man mit s als Feldlinienkoordinate die substantielle Ableitung der FeldgroBe E(t, s) zu dE = (dE/dt) dt + (8E/ds)ds. Stellt ds das Element der Bahn- bzw. Stromlinie dar, dann ist ds = vdt und somit

dE dE dE — = h v— dt

ot

ds

(Bahn-, Stromlinie).

(2.41a)

Bei dreidimensionaler Stromung ergibt sich die substantielle Ableitung der Feldeigenschaft E(t, xj)mit dxj = VJ dt zu AT*

HP'

/IP"

r\ F1

— = hi), — = dt ot oXj ot

h ti • grad E

(Stromungsfeld).

(2.41b)

Dabei ist grad E nach Tab. B.I der Gradientenvektor der skalaren Feldfunktion. Die Transportgleichung einer Feldeigenschaft laBt sich in Eulerscher Betrachtungsweise als Summe der lokalen Anderung (zeitliche Anderung bei festgehaltenem Ort) und der konvektiven Anderung (raumliche Anderung bei festgehaltener Zeit) angeben. Wahrend der erste Anteil nur bei instationarer Stromung auftritt, kommt der zweite Anteil im allgemeinen bei jeder Stromungsbewegung vor, da er die Verschiebung der Fluidelemente bei verschiedener Geschwindigkeitsrichtung und -groBe beschreibt. 25

Mit Ausnahme der Masse werden extensive GroBen mit groBen und spezifische GroBen mit kleinen Buchstaben gekennzeichnet.

84

2.3 Bewegungszustand (Kinematik)

Wenn man die zweite Beziehung in (2.41b) mit p multipliziert und ihr die mit E multiplizierte Kontinuitatsgleichung (2.60b) hinzufugt sowie dabei beachtet, daB d(pE)/dt = p(dE)/dt) + E(dp/dt) und div{pvE) = pv • gradE + Ediv(pv) ist, erhalt man dE dt

=

90*) dt

=3JpE1+

+

HPEVJ! dxj

dt

(konservativ)

Diese Formulierung (Divergenzform) nennt man die konservative Transportgleichung. Sie eignet sich besonders bei der numenschen Berechnung von Impuls- und Energiegleichungen mittels elektronischer Rechenanlagen. Die Beziehungen (2.41a, b) gelten in gleicher Weise fiir E = j sowie E = e = pj, wobei der Zusammenhang di ds 9E p— = |- £ div i> = h div(sv) dt dt dt

(quellfrei)

(2.42a, b)

besteht. Fur den durch die Differentiation pdj = ds — s dp/p zunachst auftretenden Ausdruck dp/dt kann man unter der Voraussetzung eines quellfreien Stromungsfelds nach der Kontinuitatsgleichung (2.60a) schreiben dp/dt + pdiw = Omitu als artlicher Geschwindigkeit. Gl. (2.42b) folgt aus (2.42a) durch Einsetzen von (2.41b) mit E = s und mittels der Umformung div(su) = v • grad e + s div v. Vektorielle FeldgrolSe. Die substantielle Ableitung einer vektoriellen FeldgroBe E{t,r) erhalt man fiir ein kartesisches Koordinatensystem aus (2.41b), wenn man anstelle von E die drei Komponenten Ej(t,xj)miti = 1,2,3 als Skalare einsetzt und die drei Gleichungen zu einer Vektorgleichung zusammenfaBt, d. h. dEi

dEi

dEi

dE

dE

,s +

d

£

(2

-43a'b)

wobei die zweite Beziehung die Verallgemeinerung fiir beliebige Koordinatensysteme ist. Ein entscheidender Unterschied von (2.43b) gegeniiber (2.41b) besteht darin, daB jetzt grad E der Gradiententensor der vektoriellen Feldfunktion E ist. In welcher Weise dieser fiir nichfkartesische Koordinatensysteme vom Gradientenvektor grad£ abweicht, wird in Tab. B.I mita = E bzw. a = E gezeigt. Fiir E = v als Geschwindigkeit ergibt sich fiir die Beschleunigung dv/dt der Ausdruck in (2.29b). Gl. (2.42a, b) gilt auch fiir j = j bzw. e = s. In diesem Fall stellt in (2.42b) der Ausdruck (a) = (eu) ein dyadisches Produkt (Tensor zweiter Stufe) dar.

2.3.4.3 Transportgleichung fiir die Volumeneigenschaft Systemvolumen. Wahrend in Kap. 2.3.4.2 die Transportgleichung fiir die skalare und vektorielle FeldgroBe E bzw. E besprochen wurde, soil jetzt die Transportgleichung fiir die skalare und vektorielle Volumeneigenschaft J bzw. J nach (2.40) behandelt werden.24 Der Volumenbereich (Systemvolumen) V(t) nach Abb. 2.25a sei als einfach zusammenhangend betrachtet. Ahnlich wie fiir die FeldgroBen sei jetzt von der Volumeneigenschaft die substantielle Ableitung dj/dt mit Jit) gesucht, d. h. ausgehend von (2.40a)

^

dt

= ~ f jdm=

dt J (m)

f ^-dm=

J dt

[ p^-dV.

J

(2.44a, b, c)

dt

V(f)

(m)

Bei der Ableitung nach der Zeit t wird vorteilhaft von der Tatsache m(t) = m — const Gebrauch gemacht, was bedeutet, daB die Integrationsgrenze im Gegensatz zur Integration iiber das Volumen V(t) zeitunabhangig ist. Die Differentiation kann also unter dem Integralzeichen vorgenommen werden. Nach Einsetzen von (2.42a, b) wird fur ein quellfreies Stromungsfeld

— = f (— +edivtA dV= f [—+div(et;)l dV. dt

J \dt v(D

26

)

J [dt

(2.45a, b)

J

Vit)

Nach den Regeln der Vektor-Analysis ist zu schreiben v • gradE = (v • grad)£ = (v • V)E = v-VE, vgl. Tab. B.2.

2.3.4 Transportgleichungen der Fluid- und Thermofluidmechanik

85

Wendet man auf (2.44b) den GauBschen Integralsatz gemaB FuBnote 27 an, dann wird mit Ait) als geschlossener Systemflache

— = — f EdV= f —dV+ I eiv-dA) (quellfrei). dt dt J J at J Vit)

Vit)

(2.45c)

Ait)

Die Integration iiber das Systemvolumen Vit) setzt fiir ds/dt eine gebietsweise stetige Funktion voraus, wahrend die Integration iiber die Systemoberflache Ait) erfordert, daB e eine beschrankte Funktion ist. Kontrollraum. Von dem mitbewegten Volumen Vit) nach Abb. 2.25a mit der masseundurchlassigen Begrenzungsflache A(?) kann man bei festgehaltener Zeit t zu einem raumfesten Volumen Vit) = V = const nach Abb. 2.25b mit der massedurchlassigen Begrenzungsflache Ait) = A = const iibergehen. Dies entspricht einem sog. offenen System. Es seien hierfiir die Bezeichnungen Kontrollraum oder Kontrollvolumen (V) sowie Kontrollflache (A) eingefuhrt. Befindet sich in dem betrachteten Stromungsbereich ein fester Korper, so gehort dieser nicht zum Kontrollraum (V). Die geschlossene Kontrollflache (A) ist entsprechend zu legen. Auf die diesbeziiglichen Ausfiihrungen in Kap. 2.4.2.1 und 2.5.2.1 wird verwiesen. Mit (2.44c) und (2.45c) erhalt man fiir die Transportgleichung der Volumeneigenschaft Jit) nach (2.40a,b)

^L= dt

[ p^ldV = I—dV+ isivdA). J

J dt

dt

iV)

(V)

(2.46a, b)

J (A)

Da (V) raumfest angenommen wird, kann beim Volumenintegral in der zweiten Beziehung der Differentialquotient nach der Zeit 3/3? in (2.46b) vor das Integral gezogen werden. Am Flachenintegral (A) stellt — v • dA = dV den Volumenstrom in m 3 /s iiber das Flachenelement dA gemaB Abb. 2.25b dar. Mit diesen Angaben kann man fiir (2.46b) auch schreiben — = dt dt

/ edV J (A)

mit

/(?) = / edV J

und dV = -v • dA % 0,

(2.46c)

iV)

wobei / die instationare Volumeneigenschaft und e die Eigenschaftsdichte ist.

dV.dQ^O Ait)

U Ait)

Abb. 2.25. Zur Erlauterung der Transportgleichung fiir die Volumeneigenschaft a bewegtes, geschlossenes System (Lagrange, Zeitaufnahme), Fluidsystem: (m), V(t), A(t); dV = 0, dQ ^ 0. b raumfestes, offenes System (Euler, Momentaufnahme), Kontrollraum: (V), (A); Volumenstrom dV = — v • dA, Warmestrom dQ = d = -
0, austretend: dV, dQ < 0) 27

/ / / diva dV = SiadA

(GauBscher Integralsatz).

86

2.3 Bewegungszustand (Kinematik)

Mit a als Winkel zwischen dem Geschwindigkeitsvektor v und dem Flachenvektor dA (positiv nach auBen) ist fiir eintretende Volumenstrome |a| < n/2 und somit dV > 0 sowie fiir austretende Volumenstrome |a| > n/2 und somit dV < 0, vgl. hierzu die Ausfuhrung in Kap. 2.4.2.1. Es bedeutet dj/dt die substantielle Ableitung der Volumeneigenschaft J(t) bei mitbewegtem Volumen V(t), wahrend mit dJ/dt die zeitliche Anderung der Volumeneigenschaft J(t) bei raumfestem Kontrollvolumen (V) gemeint ist.28 Das Flachenintegral beschreibt die Eigenschaftsstrome edV% 0 iiber die Kontrollflache (A). Diese Feststellung entspricht der Eulerschen Betrachtungsweise, nach der sich die substantielle Anderung aus der lokalen und der konvektiven Anderung zusammensetzt. Der lokale instationare Anteil dJ/dt verschwindet bei stationarer Stromung. Man bezeichnet (2.46) als das Reynoldssche Transport-Theorem. Die zunachst fiir die skalare Volumeneigenschaft J(t) abgeleitete Beziehung gilt auch fiir die vektorielle Volumeneigenschaft J(t). Dies zeigt man, indem man (2.46c) zunachst fiir die drei Komponenten anschreibt und anschlieBend die drei entstandenen Gleichungen zu einer Vektorgleichung zusammenfaBt. Auf zwei Erweiterungen sei hingewiesen. Der Fall mit bewegter Kontrollflache wird von Jeffry [19] untersucht. Uber die Gestalt der Transport- und Bilanzgleichungen der Fluidmechanik an Unstetigkeitsflachen berichtet Bednarczyk [2]. Kontrollfaden. Wie in Kap. 2.3.2.2 gezeigt wurde, erhalt man ein anschauliches Bild des Stromungsfelds durch Einfiihren der Stromlinien, die zusammengefaBt nach Abb. 2.15 einen Stromfaden bilden. In Anlehnung an diese Darstellung soil ein mitbewegter Fluidfaden betrachtet werden, der als Sonderfall von Abb. 2.25 aufzufassen ist. Entsprechend dem Ubergang vom mitbewegten Fluidvolumen zum Kontrollvolumen in diesem Kapitel gelangt man vom mitbewegten Fluidfaden zum Kontrollfaden. Dieser sei nach Abb. 2.26 durch eine zwischen den Stellen (1) und (2) raumfest angenommene Achse (Richtung der Geschwindigkeitsvektoren) der Lange I = S2 — s\ = const gekennzeichnet. Langs der Kontrollfadenachse werden die Querschnitte A(s) normal zur Achse angenommen. Sie seien im allgemeinen Fall sowohl raumlich als auch zeitlich veranderlich. Es kann sich also entweder um einen elastischen Kontrollfaden mit A = A(f, s) oder um einen unelastischen Kontrollfaden mit A = A(s) handeln. Sowohl die Geschwindigkeiten v als auch die Eigenschaftsdichten e seien gleichmaBig (konstant) iiber die Querschnitte verteilt. Das Volumen des Kontrollfadens wird von der Ein- und Austrittsflache A\ bzw. A2 sowie der verbindenden Mantelflache A\^2 begrenzt. GroBe und Richtung der Eintritts- und Austrittsflache geben die Flachennormalen A\ = n\A\ bzw. A2 = ft2A2mit/ii bzw. «2 als jeweils nach auBen gerichteten Einheitsvektoren der Flachennormalen an. Entsprechend gilt fiir die Geschwindigkeitsvektoren v\ = —n\V\ bzw. V2 = n2V2- Fiir die ein- bzw. austretenden Volumenstrome ergibt sich also V\ = - (

V2 = -(in -A2) =

-v2A2.

Nach sinngemaBer Anwendung von (2.45c) und (2.46b) lautet die Transportgleichung fiir den Kontrollfaden mit dV = Ads als Volumen eines Kontrollfadenelements der Lange ds, d. h. edV = sAds

Austrittsttache A, dV-Ads

Eintrittsflache A,

//

Abb. 2.26. Zur Erlauterung der Transportgleichung fiir den Kontrollfaden

' Wegen / = J(t) gilt die Identitat dJ/dt = (dJ/dt)v = dJ/dt.

2.4.1 Einfuhrung

87 (2)

— = — lsAds = / ——ds + S2V2A2-S1V1A1. (2.47a,b) at at J J at HD (1) Hierbei wurde beriicksichtigt, daB ein Eigenschaftsstrom iiber die Mantelflache Ai_>2 weder ein- noch austreten kann. D a s Integral in (2.47b) tritt bei stationarer Stromung nicht auf. Kontrollfadenelement. Oft interessiert die Transportgleichung fiir ein Kontrollfadenelement der konstanten Lange A s . Bei normal zur Kontrollfadenachse liegenden Querschnitten wird mit sfv^A^ = B1V1A1 + [d(evA)/ds]As-i die zeitliche Anderung der Volumeneigenschaft A / entsprechend (2.47b)

1 d(AJ) 8(EA) d(svA) d(sA) dv 1 \d(evA) = . 1 = h sA — =

As

dt

dt

ds

dt

ds

v [

dt

dv] eA — , dt]

(2.47c)

v

'

wobei die zwei letzten Beziehungen unter sinngemaBer Anwendung von (2.41a) folgen. Bei stationarer Stromung verschwinden jeweils die Glieder mit d/dt. Fluidelement. LaBt man in (2.40a) das Volumen V auf das Elementarvolumen AV zusammenschrumpfen, so kann man den Integranden vor das Integral ziehen (Mittelwertsatz der Integralrechnung) und erhalt fiir die Transportgleichung der Volumeneigenschaft des Raumelements A / = y Am mit Am = pAV = const unter Beachtung von (2.42a)

1 d(AJ)

dj

de

.

de

Zu demselben Ergebnis (2.48b) gelangt man durch folgende Uberlegung: Betrachtet man ein mitstromendes Fluidelement vom Volumen AV(f), dann lautet die Transportgleichung fiir AJ = eAV nach Anwenden der Produktregel der Differentialrechnung d(AJ)/dt = AV(ds/dt) + e[d(AV)/dt], Die auf AV bezogene zeitliche Volumenanderung berechnet sich nach (2.37b) zu divv. Durch Einsetzen in den angegebenen Ausdruck findet man (2.48) bestatigt.

2.4 Massenerhaltungssatz (Kontinuitat) 2.4.1 Einfuhrung Im Sinn der Mechanik der Kontinua wird eine zu einer bestimmten Zeit t in einem abgegrenzten Systemvolumen V(t) befindliche Fluidmasse m als ein System von kontinuierlich verteilten Massenelementen dm = pdV mit p als Massendichte in kg/m3 und dV als Volumenelement in m3 gebildet. Von dem Volumen V(t) wird angenommen, daB es stets vollkommen ausgefiillt ist und keinerlei Hohlraume besitzt. Man nennt dies die Kontinuitatsbedingung der Fluidmechanik. Der Massenerhaltungssatz, oder auch als Kontinuitatsgleichung der Fluidmechanik bezeichnet, besagt nun, daB in einem abgegrenzten Fluidvolumen im allgemeinen Masse weder verlorengehen noch entstehen kann. Die mathematische Formulierung dieser Bilanzgleichung lautet — = 0 mit m{t) = pdV (mitbewegtes Systemvolumen) dt J V(t)

(2.49a, b) als Gesamtmasse in kg. Die Dichte im Inneren des Volumens p = p{t,r) kann sowohl von der Zeit t als auch vom Ort r abhangig sein. Es ist dm/dt die

88

2.4 Massenerhaltungssatz (Kontinuitat)

substantielle Anderung der Masse m nach der Zeit t. Befinden sich jedoch im Innern des betrachteten Volumens Quellen, durch die sich die Masse vergroBern, oder Sinken, durch die sie sich verkleinern kann, so laBt sich dies dadurch beriicksichtigen, daB man solche singularen Stellen nicht zum Systemvolumen zahlt, sondern sie als ortlich verteilte feste, porose Systemgrenzen betrachtet, iiber die Masse in das System ein- oder ausstromen kann. Die Kontinuitatsgleichung wird der Reihe nach in Kap. 2.4.2.1 fiir den Kontrollraum, in Kap. 2.4.2.2 fiir den Kontrollfaden und in Kap. 2.4.2.3 fiir das Fluidelement abgeleitet.

2.4.2 Kontinuitatsgleichungen

2.4.2.1 Kontinuitatsgleichung fiir den Kontrollraum Im Stromungsfeld sei ein endliches Fluidvolumen V(t) betrachtet. Wenn sich dies zunachst als abgegrenztes Volumen mit der Stromung mitbewegt, dann gilt der Satz von der Erhaltung der Masse nach (2.49) mit dm/dt = 0, vgl. Tab. 2.4. Fiir die praktische Handhabung dieser Gleichung empfiehlt es sich nach Kap. 2.3.4.3, anstelle des mitbewegten Volumens V(t) zeitlich gleichbleibende raumfeste Begrenzungen, und zwar den Kontrollraum (V) mit der zugehorigen Kontrollflache (O), zu wahlen. Letztere setzt sich nach Abb. 2.27 aus einem im Stromungsfeld liegenden freien Teil (A) und einem gegebenenfalls mit einem Korper in Beriihrung stehenden korpergebundenen Teil (S) zusammen, d.h. (O) = (A) + (S). Geht man von der Transportgleichung (2.46c) aus und setzt fiir die Volumeneigenschaft J = m sowie fiir die Eigenschaftsdichte s = p. so wird dm dm — = dt dt

f • f • / pdV — / pdV = 0 J J (A) (S)

mit

f m(t) = / J (V)

pdv. (2.50a, b) 29

Abb. 2.27. Zur Anwendung des Massenerhaltungssatzes (Kontinuitatsgleichung) auf das Kontrollvolumen (V) mit der Kontrollflache ( 0 ) = (A) + (S); freier Teil der Kontrollflache (A), korpergebundener Teil der Kontrollflache (S)

29

Es ist dm/dt = dm/dt, vgl. Ausfiihrung zu (2.46c) und FuBnote 28 (S. 86).

2.4.2 Kontinuitatsgleichungen

89

Dies ist die integrale Form der Kontinuitatsgleichung fiir ein quellfreies Stromungsfeld. Die substantielle Massenanderung dm/dt setzt sich aus dem lokalen Anteil (erstes Glied auf der rechten Seite) und dem konvektiven Anteil (zweites und drittes Glied) zusammen. Ersterer ist aus dem Volumenintegral iiber (V) zu berechnen und tritt nur bei instationarer Stromung auf. Letzterer stellt den Massenstrom iiber die KontroUflache (O) dar und ist aus den beiden Oberflachenintegralen iiber (A) and (5) zu ermitteln. Im Inneren des Kontrollraums konnen sich Unstetigkeiten, wie Trennungsflachen oder VerdichtungsstoBe, befinden. Durch die zusammenfallenden Teile (A1) des freien Teils der KontroUflache tritt bei dem angenommenen quellfreien Stromungsfeld genauso viel ein wie aus. Man kann also diesen Teil der KontroUflache bei der Auswertung des Integrals iiber (A) im allgemeinen fortlassen. Die GroBe dV in (2.50a) stellt den Volumenstrom durch ein Element der KontroUflache (O) dar. Sie hangt von der Geschwindigkeit normal zum Flachenelement vn und von der GroBe des Flachenelements dA bzw. dS ab. Dies leuchtet ohne weiteres ein, da nur die Normalkomponente der Geschwindigkeit Fluidmasse durch die Flache transportieren kann, wahrend die Tangentialkomponente der Geschwindigkeit vt nur ein Verschieben des Fluids innerhalb der Flachenelemente bewirken kann. Es ist nach (2.46c) dV = -v • dA ^ 0,

dV = -v • dS ^ 0

(Teilvolumenstrom). (2.51a, b)

Hierbei sind jeweils die skalaren Produkte aus den Vektoren der Geschwindigkeiten v und den Vektoren der Flachenelemente dA bzw. dS (nach auBen positiv) zu bilden. Die Vorzeichenregelung bedeutet, daB dS jeweils in das Korperinnere gerichtet ist. Eintretende Volumenstrome mit \a\ > jr/2 werden positiv dV > 0 und austretende Volumenstrome mit |a| < JT/2 negativ dV < 0 gerechnet. Die GroBen d riiA = pdV und dm$ = p dV in kg/s werden Massenstrome (Masse/Zeit) durch die KontroUflache (O) = (A) + (S) bezeichnet. Nach Einsetzen in (2.50a) folgt auch -^- +

pv-dA+ (A)

/ pv • dS = 0

(Kontrollraum).

(2.52)

(S)

Die GroBe pv wird Massenstromdichte in kg/sm 2 genannt. Das Integral iiber den korpergebundenen Teil der KontroUflache (5) tritt auf, wenn sich im Korper Quellen oder Sinken befinden, was beim Ausblasen oder Absaugen (ein- bzw. austretendes Fluid) durch eine porose Wand mit vn ^ 0 der Fall sein kann. Neben einem solchen Ein- oder Austritt von Fluidmasse durch den korpergebundenen Teil der KontroUflache kann auch fluide oder feste Masse in den Kontrollraum gelangen, die von der korpereigenen Masse herriihrt. Dies ist z. B. bei einer Rakete der Fall, bei welcher der zeitliche Abbrand des Raketentreibstoffs ms bei verschwindender Geschwindigkeit vn = 0 die Masse im Kontrollraum vergroBert. In einem solchen Fall ist das letzte Glied in (2.52) durch rhs > 0 (eintretend) zu ersetzen. Der Fall der stationaren Stromung ist in (2.52) mit dm/dt = 0 enthalten.

90

2.4 Massenerhaltungssatz (Kontinuitat)

2.4.2.2 Kontinuitatsgleichung fiir den Kontrollfaden Fiir den in Kap. 2.3.2.2 definierten und in Abb. 2.26 dargestellten Kontrollfaden liefert die Transportgleichung (2.47a,b) mit der Masse als skalarer Volumeneigenschaft / = m und der Massendichte als Eigenschaftsdichte e = p bei Annahme gleichmaBiger Dichte- und Geschwindigkeitsverteilung iiber die Kontrollfadenquerschnitte die Kontinuitatsgleichung in integraler Form (2)

ds + p2 v2A2 — pivxA\

= 0 (Kontrollfaden).30

(2.53)

dt (i)

Die Dichte p — p{t,s) ist im allgemeinen Fall fiir die einzelnen Schnitte verschieden und wird von den langs der Achse des Kontrollfadens veranderlichen Driicken und gegebenenfalls Temperaturen bestimmt. Bei einem unelastischen Kontrollfaden ist A{t, s) — A(s). Handelt es sich dariiber hinaus um ein dichtebestandiges Fluid, dann wird nach (2.53) vi(t)Ai = v2(t)A2

(p = const).

(2.54)

Da A\ und A2 zwei langs des Kontrollfadens beliebig gewahlte Querschnitte sein konnen, gilt (2.54 b) fiir jeden Querschnitt A(s). Damit wird der zeitlich veranderliche Volumenstrom (Volumen/Zeit) in m 3 /s durch normal zur Kontrollfadenachse liegende Querschnitte VA(t) = v(t, s)A(s) = C(t)

(Volumenstrom).

(2.55)

In differentieller Form erhalt man die Kontinuitatsgleichung fiir ein Kontrollfadenelement der Lange As bei normal zur Kontrollfadenachse liegenden Querschnitten nach (2.47c) mit A / = Am und e = p zu d(pA)

d(pvA)

d(pA)

dv

(PI)A)

- pA— = 0 (mA=pvA). (2.56a, b; c) dt dt Hierin bedeutet d/dt = d/dt+v(d/ds) die substantielle Anderung nach (2.41a). In (2.56a) hat man es mit zwei Anteilen zu tun, namlich einem, der von der zeitlichen Massenanderung im Kontrollfadenelement herriihrt, und einem, der durch den Massenstrom iiber den Kontrollfadenquerschnitt mA—pvA entsteht. Nach Einsetzen des Massenstroms bzw. bei dichtebestandigem Fluid des Volumenstroms VA = vA in (2.56c) erhalt man zwei Beziehungen fiir die lokale Beschleunigung in der Form dv 1 dmA — = —-—— dt pA dt

( p ^ const),

dv 1 dVA —= - — dt A dt

(p = const), (2.57a, b)

30

Der Fall ungleichmaBigen Geschwindigkeitsprofils iiber den Kontrollfadenquerschnitt wird bei der Rohrstromung in Kap. 3.4.2.3 behandelt.

2.4.2 Kontinuitatsgleichungen

91

die eine besondere Rolle bei der instationaren Stromung durch einen KontroUfaden spielen. Stationare Stromung. Fiir diesen Fall ist d/dt = 0, was nach (2.53) zu P\V\A\ = P2V2A2 (p ^ const)

(2.58)

fiihrt. Fiir ein dichtebestandiges Fluid (p\ = pi) stimmt (2.58) formal mit (2.54) fiir die instationare Stromung iiberein. Analog zum Volumenstrom fiihrt man fiir das dichteveranderliche Fluid den Massenstrom (Masse/Zeit) in kg/s durch normal zur Kontrollfadenachse liegende Querschnitte mit riiA = pvA = const,

dp dv dA 1 1 = 0 (Massenstrom) p v A

(2.59a, b)

ein. Den auf die Querschnittsflache bezogenen Massenstrom bezeichnet man als Massenstromdichte © = pv in kg/s m 2 . Schlufifolgerung. Aus den in diesem Kapitel angegebenen Beziehungen kann geschlossen werden, da8 in einer endlich begrenzten Stromung eine Stromlinie weder beginnen noch enden kann; wohl aber kann sie in sich zuriicklaufen. 2.4.2.3 Kontinuitatsgleichung fiir das Fluidelement Man denke sich zur Zeit t am Ort r aus einem stetigen Strdmungsfeld ein Fluidelement mit dem Volumen AV und der Masse Am = pAV der Betrachtung unterworfen. In dem Element sollen sich weder Quellen noch Sinken befinden. Fiir den Massenerhaltungssatz eines Fluidelements gilt (2.49) mit d(Am)/dt = 0. Diese Beziehung wertet man mittels der Transportgleichung fiir das Raumelement (2.48) dadurch aus, daB man fiir die Volumeneigenschaft AJ = Am und fur die Eigenschaftsdichte e = p m i t p = p(t,r) als Massendichte setzt, vgl. Tab. 2.4. Es folgt unabhangig von der Wahl des Koordinatensystems in vektorieller Darstellung dp

dp h p div v —

dt =

dt dp at

. . . . h div(pi>) h v • grad p + p div v = 0.

(2.60a, b, c)

Es bedeutet dp/dt die substantielle, dp/dt die lokale und v • gradp die konvektive Dichteanderung. Die GrdBe 0 = pv bezeichnet man als Vektor der Massenstromdichte in kg/s m 2 . Gl. (2.60a) findet man auch unmittelbar aus d(Am)/dt = d(pAV)/dt = AV(dp/dt) + pd(AV)/dt = 0 mit d(AV)/dt = AVdivv nach (2.37b). Fiir (2.60) lassen sich zwei Sonderfalle angeben, namlich p = const

(div v = 0),

dp ~ = 0 (di\(pv) = 0). at

(2.61a, b)

Bei (2.61a), die rein kinematischer Natur ist, ist die Dichte im ganzen Stromungsfeld unveranderlich. Diese Beziehung gilt sowohl fiir instationare als

92

2.4 Massenerhaltungssatz (Kontinuitat)

auch stationare Stromung, d. h. p — p(t,r) = const, v = v(t,r). Dagegen ist (2.61b) auf stationare Stromung beschrankt, d. h. p{t, r) = p(r) undv(t, r)=v(r). Ist dp/dt = 0, so sagt dies aus, daB die Dichte langs einer Bahnlinie unveranderlich ist (isochore Stromung). Die Dichte kann je nach Anfangsverteilung von Bahnlinie zu Bahnlinie verschieden sein. Mit grad p = 0 wird ein raumlich homogenes Dichtefeld beschrieben (homochore Stromung). In Zeigerschreibweise folgt bei instationarer Stromung eines dichteveranderlichen Fluids aus (2.60a, b)

dp_ dt

dvj_ = 9p dx dt

d(pvj) dxj

(2.62a, b)

=

Es sind bei kartesischen Koordinaten v\ = vx, vj = vy und v?, = vz die zu x\ = x, xi = y bzw. XT, = z parallelen Geschwindigkeitskomponenten. In (2.60b) und (2.62b) hat man es analog zu (2.56a) mit zwei Anteilen zu tun, namlich einem, der von der zeitlichen Massenanderung im Raumelement herriihrt, und einem, der durch den Massenstrom iiber die Oberflachen des Raumelements entsteht. Fur kartesische und zylindrische Koordinatensysteme ist die Kontinuitatsgleichung (2.60b) in Tab. 2.5 zusammengestellt. Fur ein dichtebestandiges Fluid (p = const) seien die Beziehungen bei ebener Stromung entsprechend Abb. 1.12a sowie bei drehsymmetrischer Stromung entsprechend Abb. 1.12b gesondert angegeben: du

9 ^ _

dx

dy ~ '

0

dvr T~ or

H

Vr

1 dvv \~~~^~ = r r o
d(rvr) , d(rvz)

0 ;

8z

dr

=

a

(2.63a, b; c) 31

Es wurde vx = u und vy = v gesetzt. Fur eine radiale Stromung mit vr ^ 0, vv = 0, vz = 0 wird die Kontinuitatsgleichung (2.63b) nur erfullt, wenn vr = a/r ist. Dies ist die sogenannte ebene Quellstromung nach Kap. 3.6.2.3, Beispiel e.l). Fur eine schraubenformig verlaufende Stromung mit vr = 0, vv = v9{r), vz = const zeigt man unter Zuhilfenahme von Tab. 2.5, daB hierfur die Kontinuitatsgleichung von selbst erfullt ist, wenn p = const oder auch p = p(r) ist. Alle in diesem Kapitel angegebenen Beziehungen stellen die differentielle Form der Kontinuitatsgleichung dar. Uber die Moglichkeit, die Kontinuitatsgleichung durch Einfiihren einer Stromfunktion zu losen, wird anschlieBend berichtet. Tabelle 2.5. Kontinuitatsgleichung, Koordinatensysteme nach Abb. 1.13, dichtebestandiges Fluid p = const (vgl. Tab. B.4) dp •£• + div(pv) at

Koordinaten

kartesisch

x,y,z

zylindrisch

r,
1

Man beachte, daB r(3v z /3z) = 3(ri>z)/3z ist.

= 0

dp

d(Pvx)

d(pvy)

dt

dx

dy

dp

1 fd{prvr)

dt

r V

dr

d{pVl) dz

d(pv9)\ d

d(pvz) 3z

2.4.3 Einflihren der Stromfunktion

93

2.4.3 Einfiihren der Stromfunktion 2.4.3.1 Yektorielle Stromfunktion Die Kontinuitatsgleichung fur ein quellfreies Stromungsfeld in Kap. 2.4.2.3 kann durch Einfiihren einer vektoriellen Stromfunktion »P, auch vektorielles Geschwindigkeitspotential genannt, erfiillt werden. Macht man fur die Massenstromdichte den Ansatz pv — pi, rot *P

(2.64)

(Ansatz),

wobei pb eine konstante Bezugsdichte ist, dann verschwindet wegen der Vektoridentitat div (rot...) = 0 die GroBe di\(pv). Damit erfiillt der gemachte Ansatz bei stationarer Stromung mit d/dt = 0 die Kontinuitatsgleichung (2.60b) von selbst. Fur kartesische Koordinaten lauten die Beziehungen fur die Komponenten der Massenstromdichte nach Tab. B.3 mit a — pv PVy = Pb

ay = Pb

dz

dx

3*. dy

dx

(2.65)

Praktischen Nutzen bringt die gewonnene Erkenntnis erst bei zweidimensionalen Stromungen. 2.4.3.2 Zweidimensionale Stromung Ebene Stromung. Fur die stationare Stromung eines dichteveranderlichen Fluids erhalt man fur die Geschwindigkeitskomponenten in kartesischen Koordinaten x, y

gvbdx (>vr7irdz

dW W

0 a Abb. 2.28. Berechnung des Massenstroms m\ bei zweidimensionaler Stromung aus den Werten der Stromfunktion * . a Ebene Stromung (x, y-Ebene). b Drehsymmetrische Stromung (r, z-Ebene = Meridianebene)

94

2.4 Massenerhaltungssatz (Kontinuitat)

nach Abb. 1.12a sowie in natiirlichen Koordinaten s, n nach Abb. 2.28a zu Pb 9 * u=

Pb 9 * ,

v—

; p ox vn = — = 0. p as

p ay us = — —-, p an

(2.66a, b)

Dabei wurde wegen * ( 0 , 0 , * z ) nach Lagrange die skalare Stromfunktion * = * z in m 2 /s eingefiihrt. Fiir die Stromung eines dichtebestandigen Fluids erhalt man mit p = pb = const fiir kartesische bzw. polare Koordinaten die bereits in (2.25a, b) angegebenen Beziehungen. Liegt eine instationare Stromung vor, so kann dies in (2.66a) durch eine Erganzung erfaBt werden. Man macht fiir den Zusammenhang zwischen den Geschwindigkeitskomponenten und der Stromfunktion * 0 , x, y) z. B. die Ansatze

„=»»*, P dy

v=

_»(°*+?i) P \3x

mit

3t J

9=[JLdy y

(2.67a,b)

} Pb

als transformierter Koordinate in >>-Richtung eines dichteveranderlichen Fluids bei x = const. Die Integrationsgrenzen bei y sind gemaB der Aufgabenstellung zu wahlen. Die Richtigkeit von (2.67) weist man bei Stetigkeit der auftretenden Ableitungen durch Einsetzen in (2.62b) mit v\ = u und vi = v sowie x\ = x und x% = y nach. Fiir ein dichtebestandiges Huid braucht die GroBe y nicht eingefiihrt zu werden. In diesem Fall gelten die Beziehungen in (2.66) auch fur den instationaren Fall mit *V(t, x, y).

Drehsymmetrische Stromung. Fiir die zweidimensionale Stromung in der r,zEbene mit den Geschwindigkeitskomponenten vr und vz wird wegen d/d

pb d% pb 1 3 * —— -—, p az p r dz

_ pb 1 vz — p r

or

.

p r or

(Z.oo)

In der zweiten Beziehung wird anstelle der Komponente * p die skalare Stokesche Stromfunktion »!>(/-, z) = r^v verwendet, vgl. (2.25c). Auch die Ansatze mit VP statt tyv als Stromfunktion erfiillen die Kontinuitatsgleichung bei stationarer Stromung, was man z. B. fiir p — Pb leicht durch Einsetzen in (2.63c) nachweist. Feststellung. Die gefundenen Ergebnisse lassen sich folgendermaBen zusammenfassen: Durch Einfiihren einer Stromfunktion * , welche in bestimmter Weise mit den Geschwindigkeitskomponenten zusammenhangt, wird die Kontinuitatsgleichung eines quellfreien Stromungsfelds, insbesondere bei ebener und drehsymmetrischer Stromung von selbst erfiillt. Benutzt man fiir die weitere Rechnung die Stromfunktion ^ , so braucht die Kontinuitatsgleichung nicht mehr besonders beriicksichtigt zu werden. Diese Aussage gilt sowohl fur reibungslose als auch reibungsbehaftete Stromungen. Auf eine weitere bereits in Kap. 2.3:2.2 besprochene Eigenschaft der Stromfunktion sei hingewiesen: Bei ebener und drehsymmetrischer Stromung werden Stromlinien durch Linien jeweils konstanter Werte der Stromfunktion ( ^ = const) beschrieben. Bei drehsymmetrischer Stromung gilt diese Aussage fiir die Stokessche Stromfunktion * = r^v; nicht dagegen fiir ^v, was man durch Auswerten von (2.24c) mittels (2.68) zeigt.

2.5.1 Einfiihrung

95

2.4.3.3 Volumen- und Massenstrom Die Stromfunktion laBt sich fiirein stationares, zweidimensionales Stromungsfeld vorteilhaft zur Berechnung des Volumenstroms VA in m 3 /s bei einem dichtebestandigen Fluid und des Massenstroms riiA in kg/s bei einem dichteveranderlichen Fluid zwischen zwei durch die Stromlinienwerte * i und *2 gekennzeichnete Flachen heranziehen. Ebene Stromung. Zwischen zwei nach Abb. 2.28a in der x, y-Ebene im Abstand dn benachbarten Stromlinien mit den Werten * u n d * + rf* betragt der Volumenstrom CIVA = vsbdn, wobei vs die Geschwindigkeit langs der Stromlinien und b die Breite normal zur x, y-Ebene ist, und der zugehorige Massenstrom dm A = pdVA- Mit vs nach (2.66b) erhalt man wegen d * = (3*/3n)d/i die Teilstrome dVA = (pblp)bd^ bzw. dm A = pbbd'H. Zwischen zwei in endlichem Abstand voneinander liegenden Stromlinien ^ i und 1*2 findet man durch Integration mA = /oA6(*2 - * i ) ( p + const),

VA = £(*2 - * i )

(p = const).

(2.69a, b)

Man gelangt zu demselben Ergebnis von (2.69a), wenn man nach Abb. 2.28a zunachst die Teilmassenstrome durch die Teilflachen bdyundbdx mit den Massenstromdichten pu bzw. pv nach (2.66a) bestimmt und unter Beachtung der Vorzeichen fur die ein- bzw. austretenden Strome zwischen (1) und (2) integriert. Die Strome in (2.69) hangen von der Differenz der Werte derjenigen Stromfunktionen * ab, welche durch die Stellen (1) und (2) gehen. Ist * 2 > * i , wie in Abb. 2.28a, so stromt das Fluid mit mA > 0 von links nach rechts durch die von (1) nach (2) verlaufende Querschnittsflache. Drehsymmetrische Stromung. Fur die Stromung in der r, z-Ebene nach Abb. 2.28b wird eine ahnliche Betrachtung wie bei der ebenen Stromung in der x, y-Ebene nach Abb. 2.28a durchgefuhrt. Die in z-Richtung und in r-Richtung durchstromten Flachenelemente sind 2nrdr bzw. 2nrdz. Fiir die Massenstromdichten wird (2.68) herangezogen. Man erhalt, ohne hier auf die Einzelheiten der Ableitung einzugehen, mA = 1npb(^>2 - *i)(/o / const),

VA = 2w(* 2 - * i ) ( p = const).

(2.70a, b)

3

Es bedeuten * i und *2 in m /s die Werte der Stokesschen Stromfunktion, die in einer Meridianebene r, z durch die Stellen (1) und (2) gehen. Gl. (2.70) bestimmt den Massen-bzw. Volumenstrom durch die schraffiert dargestellte Kreisringflache A.

2.5 Impulssatz (Kinetik) 2.5.1 Einfiihrung AUgemeines. Die Mechanik ist die Lehre von der Bewegung und vom Kraftegleichgewicht materieller Kbrper, im vorliegenden Fall der Fluide. Wahrend in Kap. 2.3 die Bewegungsvorgange als Kinematik der Fluide bereits behandelt wurden, sollen jetzt die den Bewegungsablauf bestimmenden Krafte, d. h. die Dynamik der Fluide miteinbezogen werden. Die Verbindung von Kinematik und Dynamik wird als Kinetik bezeichnet. Bei ruhenden oder gleichformig bewegten Fluiden spielt die Kinematik keine Rolle, und man spricht von der Statik der Fluide, vergleiche die AbschluSbemerkung zu Kap. 2.2. Das Gleichgewicht der Krafte und der von ihnen hervorgerufenen Momente erfassen die Impuls- bzw. Impulsmomentengleichung. Zur vollstandigen Beschreibung von Stromungsvorgangen ist im allgemeinen die Kontinuitatsgleichung nach Kap. 2.4 mitheranzuziehen. Unter einer Bewegungsgleichung soil daher das aus der Impuls- und gegebenenfalls auch aus der Impulsmomentengleichung sowie der Kontinuitatsgleichung bestehende Gleichungssystem verstanden werden.

96

2.5 Impulssatz (Kinetik)

Impulsgleichung. Das Newtonsche Grundgesetz der Mechanik (Impulssatz) gilt bei sinngemaBer Anwendung auch ftir Stromungsvorgange von Fluiden. Es ist die zeitliche Anderung des Impulses (BewegungsgroBe) / einer Masse m, die sich in einem abgegrenzten Systemvolumen V(t) befindet, gleich der auf das System wirkenden resultierenden Kraft F. Mithin lautet die Impulsgleichung der Fluidmechanik (Bilanzgleichung fiir das Kraftegleichgewicht) bei einem mitbewegten Fluidvolumen dl — =F dt

mit

I(t)=

( / pvdV J v(t)

(mitbewegtes Systemvolumen) (2.71a, b)

als Gesamtimpuls in kg m/s. Bei der Bewegung eines Massenelements dm = pdV mit der Geschwindigkeit v(t,r) betragt der zugehorige Teilimpuls dl = vdm = pvdV, was durch Integration iiber V(t) zu (2.71b) fiihrt. Es ist dl /dt die substantielle Anderung des Impulses / mit der Zeit t, vgl. Tab. 2.4. Die im und am Volumen V(t) angreifende Gesamtkraft F besteht nur aus der Summe der auBeren Krafte, da sich die inneren Spannungskrafte, wie in Kap. 2.5.2.1 noch gezeigt wird, gegenseitig aufheben. Ist der Impuls zeitlich unverandert, was bei zeitunabhangiger Masse m = const und gleichformiger Bewegung v = const der Fall ist, oder befindet sich das Fluid in Ruhe v = 0, so ist nach der Gleichgewichtsbedingung der Statik F = 0, vgl. Kap. 2.2.2.3. Impulsmomentengleichung. Eine der Impulsgleichung analoge Aussage gilt fiir den Zusammenhang von Impulsmoment (Drehimpuls, Drall) und Kraftmoment. Es ist die zeitliche Anderung des Impulsmoments L einer Masse m, die sich in einem abgegrenzten Systemvolumen V(t) befindet, in Bezug auf einen Bezugspunkt 0 gleich dem resultierenden Moment M aller auf den gleichen Punkt 0 bezogenen auf das System wirkenden Krafte. Mithin lautet die Impulsmomentengleichung der Fluidmechanik (Bilanzgleichung fiir das Momentengleichgewicht) dh f — = M mit L(t) = / p(rxv)dV dt J v(t)

(mitbewegtes Systemvolumen) (2.72a, b)

als Gesamtimpulsmoment in kg m 2 /s. Hat ein Massenelement dm in Bezug auf einen Bezugspunkt 0 den Abstand (Fahrstrahl) r und bewegt sich mit der Geschwindigkeit v(t, r ) , dann ergibt sich das zugehorige Teilimpulsmoment aus dem vektoriellen Produkt aus Fahrstrahl r und Teilimpuls dl — v dm zu dL—(rx v) dm = p (r x v) dV. Es ist dL ein Vektor, der normal auf der von r und v gebildeten Ebene steht. Durch Integration ttber V(t) folgt (2.72b). Es ist dL/dt die substantielle Anderung des Impulsmoments L mit der Zeit t, vgl. Tab. 2.4. Feststellung. Die Impuls- und Impulsmomentengleichung sind frei von Einschrankungen und gelten daher sowohl fiir Stromungen mit Verlusten an fluidmechanischer Energie (Reibungsverluste) als auch fur Stromungen mit Unstetigkeiten (Trennungsschichten, VerdichtungsstoBe). Ein Warmeaustausch iiber die Systemgrenze hat keinen EinfluB. Entsprechend dem Newtonschen Grundgesetz

2.5.2 Impulsgleichungen

97

beziehen sich (2.71) und (2.72) auf die Absolutstromung, die von einem ruhenden Bezugssystem aus beobachtet wird. Will man, was z. B. bei Stromungsmaschinen zweckmaBig ist, die Betrachtung in einem mitbewegten Bezugssystem, d. h. fur die Relativstromung vornehmen, so werden zusatzliche Oberlegungen erforderlich, man vgl. die Ausfiihrungen in Kap. 2.3.2.3 iiber die Beschleunigung in einem rotierenden Bezugssystem. Der Impuls / und das Impulsmoment L sowie die Kraft F und das Kraftmoment M sind Vektoren, d. h. die Impuls- und Impulsmomentengleichung sind Vektorgleichungen. Sie konnen jeweils durch drei Komponentengleichungen ersetzt werden. In vielen Fallen geniigt bereits eine Komponentengleichung zur Losung der gestellten Aufgabe. Die Impulsgleichungen sind fast immer in Verbindung mit der Kontinuitatsgleichung nach Kap. 2.4 sowie sehr haufig auch in Verbindung mit der Energiegleichung nach Kap. 2.6 anzuwenden. Ahnlich wie in Kap. 2.4 fur die Kontinuitatsgleichung wird die Impulsgleichung der Reihe nach in Kap. 2.5.2.1 fur den Kontrollraum, in Kap. 2.5.2.2 fur den Kontrollfaden und in Kap. 2.5.3 fur das Fluidelement, dort in Verbindung mit der Kontinuitatsgleichung Bewegungsgleichung genannt, abgeleitet. Die Impulsmomentengleichung wird in Kap. 2.5.2.3 nur fur den Kontrollraum besprochen.

2.5.2 Impulsgleichungen 2.5.2.1 Impulsgleichung fur den Kontrollraum Ausgangsgleichung. Bei vielen technischen Stromungsvorgangen kommt es weniger auf die Kenntnis der Bewegung jedes einzelnen Fluidelements an, sondern vielmehr auf die Vorgange an den Oberflachen eines in bestimmter Weise abgegrenzten Fluidvolumens. Fur solche Falle ist die Impulsgleichung und entsprechend auch die Impulsmomentengleichung von besonderer Bedeutung. Die Impulsgleichung (2.71) besagt, daB dl /dt = F sein muB, wobei es sich zunachst um ein abgegrenztes mitbewegtes Volumen handelt. Ahnlich wie bei der Kontinuitatsgleichung in Kap. 2.4.2.1 kann man anstelle des zeitlich veranderlichen Volumens V(t) die weiteren Oberlegungen fur einen zeitlich gleichbleibenden Kontrollraum (V) mit der zugehorigen Kontrollflache (O) = (A) + (5) gemaB Abb. 2.29c durchfuhren. Dabei wird wie in Abb. 2.27 der freie Teil der Kontrollflache mit (A) und der korpergebundene Teil mit (5) bezeichnet. Zunachst werden im folgenden die Impulsanderung dl /dt sowie die im und am Volumen angreifenden Krafte ermittelt. Impulsbeitrag. Geht man von der Transportgleichung (2.46c) aus und setzt fur die Volumeneigenschaft J = I sowie fur die Eigenschaftsdichte e = pv, dann erhalt man in Analogie zu (2.50) die zeitliche Impulsanderung — =

dt

I pvdV

8t

- I pvdV

mit I(t)=

f pvdV.

J

J

J

W

(S)

(V)

(2.73a, b) 3 2

Das erste Glied auf der rechten Seite von (2.73a) stellt den lokalen Anteil (Volumenintegral) dar und tritt nur bei instationarer Stromung auf, wahrend das zweite und dritte Glied den konvektiven Anteil 32

Es ist df/dt = dl/dt,

vgl. Ausfuhrung zu (2.46c) und FuBnote 28 (S. 86).

98

2.5 Impulssatz (Kinetik)

(Oberflachenintegral) beschreiben. Die GroBe pv wird nach Kap. 2.4.2.1 als Massenstromdichte in kg/sm 2 bezeichnet. Weiterhin ist dV ^ 0 nach (2.51) der Volumenstrom in m 3 /s, welcher durch ein Flachenelement der Kontrollflache (O), d. h. durch dA bzw. dS ein- oder austritt. Den Ausdruck pvdV in kg m/s 2 = N nennt man Impulsstrom (Impuls/Zeit) durch ein Flachenelement der Kontrollflache. Er besitzt die Dimension einer Kraft. Fur die zusammenfallenden Teile (A') des fireien Teils der Kontrollflache heben sich die Impulsstrome bei dem angenommenen quellfreien Stromungsfeld. Man braucht also bei der Auswertung des Integrals iiber (A) diesen Teil der Kontrollflache im allgemeinen nicht besonders zu beriicksichtigen. Das Integral fiber den korpergebundenen Teil der Kontrollflache (S) liefert nur dann einen Beitrag, wenn am Korper durch eine porose Wand abgesaugt oder ausgeblasen wird, d. h. dort dV ^ 0 ist. liber die zweckmaBige Wahl der Kontrollflache wird unten noch berichtet werden. Kraftbeitrage. In (2.71a) stellt F die auf das Fluid im mitbewegten Volumen und an der zugehorigen Systembegrenzung wirkende Kraft dar. Da das Impulsintegral auf einen raumfesten Kontrollraum erstreckt werden soil, hat man jetzt auch die Volumen- und Oberflachenkrafte fur den Kontrollraum (V) bzw. fur die Kontrollflache (O) = (A) + (S) zu bestimmen. Neben den sowohl im Ruhe- als auch im Bewegungszustand auf das Fluidvolumen nach Kap. 2.2.2 wirkenden Massen- und Druckkraften treten bei ungleichformigen Bewegungszustanden zusatzliche, spannungsbedingte ZShigkeitskrafte auf. Dariiber hinaus kann der Bewegungsvorgang durch Turbulenzeinfliisse verandert werden. Hierbei handelt es sich um Impulsanderungen, die durch die turbulenten Schwankungsbewegungen hervorgerufen werden. Man kann diese Impulsanderungen entsprechend dem d'Alembertschen Ansatz vom Gleichgewicht der Krafte bei der Bewegung als (negative) spannungsbedingte Turbulenzkrafte auffassen.33 In einem abgegrenzten Fluidvolumen (V) verteilen sich bei der Annahme des Fluids als Kontinuum die Fluidelemente (Massenelemente) dm = pdV kontinuierlich iiber V. Dabei greifen jeweils an den Elementen die Massenkrafte dFm =fmdm = pfm dV an mit/ m als der auf die Masse bezogenen Massenkraft. Sie kann durch auBere Ursachen, wie z. B. durch SchwereinfluB oder durch elektromagnetische Einwirkung, hervorgerufen werden (eingepragte Kraft). Die resultierende Massenkraft gewinnt man durch Integration iiber (V). Herrscht in einem Korper ein Spannungszustand, so treten nach den Erkenntnissen der Mechanik an den Begrenzungsflachen eines Volumenelements dV Spannungskomponenten auf, die durch den Spannungstensor (
Fm=

I Pfm dV,

Fa=

(V)

(2.14a, b)34

I div((T) dV = I adO. (V)

(O)

Dabei erhalt man die letzte Beziehung durch Anwenden des auf Tensoren erweiterten GauBschen Integralsatzes von S. 85. Das Volumenintegral fiber (V) laBt sich unter Beachtung der erforderlichen Stetigkeitsbedingungen in das zugehorige Oberflachenintegral (HUllenintegral) fiber ( 0 ) umwandeln. Es ist a der Spannungsvektor am Flachenelement dO. Da bei der Bestimmung von Fm fiber das Volumen V zu integrieren ist, kann anstelle der Bezeichnung Massenkraft auch der Ausdruck (a'uBere) Volumenkraft eingefuhrt werden. Gl. (2.74b) besagt, daB nur Spannungskrafte an der Oberflache des abgegrenzten Fluidvolumens auftreten. Die Spannungskrafte im Inneren des Volumens heben sich also gegenseitig auf. Da bei der Bestimmung von Fa fiber die Oberflache O zu integrieren ist, kann anstelle der Bezeichnung Spannungskraft auch der Ausdruck (auBere) Oberflachenkraft benutzt werden. Da sowohl die Volumenkraft (Massenkraft) als auch die Oberflachenkraft von auBen auf das abgegrenzte Fluidvolumen wirken, kann man diese beiden Anteile zur auBeren Kraft Fa = Fm + Faa zusammenfassen, wahrend eine innere Kraft nicht auftritt, F, = FCT, = 0. Die massegebundene Volumenkraft Fm wird hiernach nicht zur inneren Kraft gerechnet. Aufgrund der gemachten Ausfuhrungen wird die Kraft im Kontrollvolumen (V) aus der Massenkraft FB = Fm, am freien Teil der Kontrollflache (A) aus der Spannungskraft FA und dem korpergebundenen Teil der Kontrollflache (S) aus der Spannungskraft Fs gebildet, d. h. F = FB + FA + Fs

(Gesamtkraft).

(2.75)

Die Massenkraft (Volumenkraft) im Kontrollraum betragt nach (2.74a) mit fm FB=

I PSB dV,

FB =FG=

(V) 33 34

Vgl. Ausfuhrungen in Kap. 2.5.3.5. Es sei vermerkt, daB a = en • (a) ist.

mg

(Schwerkraft),

=/B (2.76a, b)

2.5.2 Impulsgleichungen

99

wobei die zweite Beziehung fur den Fall gilt, daB nur der EinfluB der Schwere (Gravitationskraft = Gewicht Fo) mit fs=S wirksam ist. Fallt die negative z-Achse mit der Lotrechten zusammen, dann ist FBX = 0 = Fsy und FBZ = Fa = — mg, vgl. (2.7). Die Spannungskraft (Oberflachenkraft) setzt sich aus den Kraften zusammen, die von den Normalund Tangentialspannungen an der Kontrollflache (O) = (A) + (S) herriihren. Mit a = an + a, als Vektor der resultierenden Spannung an einem Flachenelement des freien oder korpergebundenen Teils der Kontrollflache (A) bzw. (5) nach Abb. 2.29a ergeben sich die jeweils von auBen her angreifenden Oberflachenkrafte nach Abb. 2.29b zu dFA = odA bzw. dFs = adS. Sie haben jeweils die Richtung von a. Die gesamte Kraft an der Kontrollflache betragt also

= Fo=FA+Fs =

f adA+ I.adS (A)

mit a = —enp + x.

(2.77a, b)

(S)

Der Spannungsvektor a setzt sich aus dem druckbedingten Anteil — enp mit en als Einheitsvektor der Flachennormale und p als normal auf das jeweilige Flachenelement wirkendem (skalarem) Druck sowie dem reibungsbedingten Anteil z zusammen. Letzterer laBt sich in eine Normal- und in eine Tangentialkomponente zerlegen, d. h. T = xn + T, , wobei tt in der Ebene des betrachteten Flachenelements liegt. In der freien Stromung, d. h. am freien Teil der Kontrollflache (A) sind die durch Viskositat und Turbulenz reibungsbedingten Spannungen nur gering und konnen im allgemeinen gegeniiber der druckbedingten Spannung vernachlassigt werden, aA "» — en p, XA & 0. Am korpergebundenen Teil der Kontrollflache (S) konnen dagegen sowohl druck- als auch reibungsbedingte Spannungen auftreten, os = — enp + xs. Nach Einfiihren der positiv nach auBen gerichteten Vektoren der Flachenelemente dA = endA unddS = en dS erhalt man aus (2.77) >FP

= - £ pdA, (A)

Fs = - [pdS + I (5)

(2.78a, b)

(S)

FA ist naherungsweise gleich der Druckkraft Fp auf den freien Teil der Kontrollflache, vgl. (2.6). Man kann sie als Ersatzkraft auffassen, welche den freien Teil der Kontrollflache raumfest in der Stromung halt. Bei F$ handelt es sich um die Kraft, die vom festen Korper auf das stromende Fluid wirkt. Sie ist die Kraft, welche den korpergebundenen Teil der Kontrollflache festhalt. Wegen der

(A)

W)

dA

Abb. 2.29. Zur Anwendung der Impulsgleichung auf den raumfesten Kontrollraum, vgl. Abb. 2.27. a Normal- und Tangentialspannung a = an +
100

2.5 Impulssatz (Kinetik)

ausgeiibten Stiitzwirkung nennt man sie Stiitzkraft oder, da sie von auBen auf einen in der Stromung befindlichen Korper iibertragen werden muB, auch Halte- oder Fremdkraft. Nach dem Konzept der Grenzschicht-Theorie, iiber das in Kap. 6.2.3.2 noch ausfiihrlich berichtet wird, kann an bestromten Wanden innerhalb der Stromungsgrenzschicht die reibungsbedingte Normalspannung xn gegeniiber der Druckspannung p vernachlassigt werden. Mithin kann man in (2.78b) fiir die reibungsbedingte Spannung schreiben Xs ^ xt = — r^,, wobei xw die vom Fluid auf die Wand (Korper) ausgeiibte Wandschubspannung ist. Bei reibungsloser Stromung besteht die Stiitzkraft wegen xs = 0 nur aus einer Druckkraft. Nach dem Wechselwirkungsgesetz ist die Reaktionskraft, welche vom Fluid auf den korpergebundenen Teil der Kontrollflache, und damit auf den Korper selbst, iibertragen wird FK = —FsHaufig ist diese Korperkraft die gesuchte GroBe der Aufgabe, so daB sich in diesem Fall eine Auswertung von (2.78b) eriibrigt.

Kraftgleichung. Nach Zusammenfiigen der Ausdriicke fiir den Impulsbeitrag und fur die Kraftbeitrage erhalt man die Impulsgleichung fiir den Kontrollraum nach Abb. 2.29c zu

di

r

r

/ pvdV W

pvdV =FB+FA+FS

(Kontrollraum). (2.79)

(S)

Hierin werden die Teilvolumenstrome dV durch (2.51a, b) beschrieben. Bei der Anwendung der Impulsgleichung, die eine Vektorgleichung ist, ist stets darauf zu achten, daB die Kontinuitatsgleichung (2.50) erfiillt ist. Stationare Stromung. Fiir diesen Fall ist 6 7 / 9 ? = 0 . Liegt dariiber hinaus eine undurchlassige Korperoberflache (S) vor, dann verschwindet das zweite Integral auf der linken Seite von (2.79). Mit dV nach (2.51a) und FA nach (2.78a) erhalt man

f[pv(v-dA) + pdA] = FB+Fs, (A)

fpvdA

= 0 (vs = 0),

(A)

(2.80a, b) wobei der zweite Ausdruck die Kontinuitatsbedingung (2.52) liefert. Die Anwendung der Impulsgleichung in Verbindung mit der Kontinuitatsgleichung erfordert nicht die Kenntnis der Stromungsvorgange im Inneren des betreffenden raumfesten Stromungsbereichs, sondern nur die StromungsgroBen an seinen auBeren Begrenzungsflachen.35 Aus diesem Grund bildet die Impulsgleichung ein wertvolles Hilfsmittel zur Losung einer groBen Anzahl technisch wichtiger Stromungsaufgaben. Wahl des Kontrollraums. Im Folgenden seien noch einige Angaben iiber die Wahl des Kontrollraums gemacht. Die den Kontrollraum (V) abgrenzende Kontrollflache (O) — (A) + (S) muB in sich einfach zusammenhangend sein. Man muB sie in einem Zug zeichnen konnen. Will man die Wirkung eines Kdrpers oder eines Teils von ihm auf das stromende Fluid oder umgekehrt die Wirkung des stromenden Fluids auf den gesamten Korper nach Abb. 2.29c oder einen Teil von ihm nach Abb. 2.29b bestimmen, so muB der korpergebundene Teil der Kontrollflache (S) mit der betrachteten Korperkontur zusammenfallen. Der andere Teil der Kontrollflache, namlich der freie Teil (A), ist moglichst weit entfernt vom Korper zu wahlen, damit die Voraussetzung XA ^ 0 als erfiillt angesehen 35

Die Integration iiber das Volumen (V) nach (2.76a) enthalt keine vom Stromungsvorgang abhangigen GroBen, sofern fiir die Dichte p ein mittlerer Wert eingesetzt wird.

101

2.5.2 Impulsgleichungen

werden kann. Es ist (A) so im Stromungsfeld festzulegen, daB die dort herrschenden Driicke und Geschwindigkeiten moglichst einfach zu beschreiben sind. In Abb. 2.30 sind drei typische Falle fiir die Wahl des freien Teils der KontroUflache (A) dargestellt: a) Nach Abb. 2.30a wird der freie Teil der KontroUflache (A) weitgehend nach geometrischen Gesichtspunkten gewahlt. Dies hat im allgemeinen Vorteile bei der Berechnung der Volumen- und Oberflachenkraft nach (2.76a) bzw. (2.78a), wahrend die Bestimmung des Impulsstroms, d. h. des Beitrags des Impulsstromintegrals iiber (A) nach (2.79), nicht so einfach wird. Die Vorteile bestehen darin, daB man einerseits den freien Teil der KontroUflache aus ebenen Flachen aufbauen und andererseits diese Flachen soweit entfernt vom Korper annehmen kann, daB dort iiberall der gleiche Druck p ss const herrscht, was die Integration nach (2.78a) erheblich erleichtert. Die Erschwerung hat ihre Ursache darin, daB bei der Auswertung von (2.79) der Volumenstrom iiber (^4) iiberall von null verschieden sein kann, dV ^ 0. Es kommen sowohl eintretende (dV > 0)

dV<0

Abb. 2.30. Wahl des freien Teils der Kontrollflache (A) bei der Anwendung der Impulsgleichung. a Geometrisch orientierte freie Kontrollflache. b Fluidmechanisch orientierte freie Kontrollflache. c Erzwungene freie Kontrollflache (Die Stromlmienbilder sind schematische Darstellungen)

102

2.5 Impulssatz (Kinetik)

Abb. 2.31. Zur Anwendung der Impulsgleichung bei der Berechnung der Krafte auf einen beliebigen Korper in der reibungslosen Stromung eines dichtebestandigen Fluids

als auch austretende Volumenstrome (dV < 0) vor. Auch wenn die seitlichen Begrenzungen der freien KontroUflache sehr weit vom Korper entfernt sind, wo man annehmen kann, daB die Geschwindigkeitsvektoren v bereits in die Ebenen dieser Flachen fallen, konnen von dort Beitrage zum Impulsstromintegral geliefert werden. Dies hangt mit der Erfiillung der Kontinuitatsgleichung, d. h. des Beitrags des Integrals iiber (A) nach (2.80b), zusammen, man vgl. hierzu das Beispiel in Abb. 2.31. b) Nach Abb. 2.30b wird der freie Teil der Kontrollflache (A) weitgehend nach fluidmechanischen Gesichtspunkten gewahlt, indem man diesen moglichst mit Stromflachen (Stromlinien) zusammenfallen laBt. Dies bedeutet fiir die Berechnung der Volumen- und Oberflachenkraft im allgemeinen groBere Schwierigkeiten als bei der Wahl des freien Teils der Kontrollflache nach Abb. 2.30a, da die Driicke langs der Stromlinien verschieden groB sind. Beziiglich der ortlichen Volumenstrome dV treten dagegen erhebliche Vorteile dadurch auf, daB durch die Stromflache kein Volumenstrom moglich ist, d. h. dort immer dV = 0 ist. Man braucht also bei der Bestimmung des Impulsstroms, d. h. des Beitrags des Impulsstromintegrals iiber (A) in (2.79), nur iiber denjenigen Teil der freien Kontrollflache zu integrieren, der nicht Stromflache ist. Dies sind die Eintrittsflache mit dV > 0 und die Austrittsflache mit dV < 0. Bei dieser Betrachtungsweise eriibrigt sich haufig die Nachpriifung der Kontinuitatsgleichung. Der in Kap. 2.5.2.2 noch zu behandelnde Kontrollfaden ist ein besonders einfaches Beispiel der hier gewahlten Kontrollflache. c) Nach Abb. 2.30c handelt es sich bei dem freien Teil der Kontrollflache (A) um eine erzwungene freie Kontrollflache. Man denke sich den Korper z. B.

2.5.2 Impulsgleichungen

103

von einem Rohr mit konstantem Durchmesser D so umgeben, daB die reibungslos angenommene Stromung an der Mantelflache gefuhrt wird. Dort ist dann iiberall dV = 0. Sucht man die Druckkraft in Richtung der Rohrachse, so liefert die Mantelflache keinen Beitrag, da dort die Druckkrafte normal zur Rohrachse wirksam sind. Hat man die Rechnung fiir den endlichen Durchmesser D durchgefuhrt, dann gewinnt man das Ergebnis fiir die ungestorte Umstromung des Korpers durch den Grenziibergang D ->• oo. Wie man die Kontrollflache zweckmaBig festlegt, hangt von der Aufgabenstellung, d. h. von den gegebenen und gesuchten GroBen ab. Krafte auf einen Korper in der reibungslosen Stromung eines dichtebestandigen Fluids. An einem einfachen Beispiel soil die Anwendung der Impulsgleichung fur den Kontrollraum gezeigt werden. Dabei werden zwei grundlegende Erkenntnisse der Fluidmechanik hergeleitet. Ein beliebig geformter undurchlassiger Korper vom Volumen VK befinde sich nach Abb. 2.31 in einer unbegrenzten stationaren Parallelstromung, die weit vor dem Korper die horizontale Geschwindigkeit Vx, besitzt. Verlauft die Stromung ohne EinfluB der Reibung, dann schlieBen sich die Stromlinien hinter dem Korper in ahnlicher Weise, wie sie sich vor dem Korper geteilt haben, vgl. Abb. 2.11a. In einiger Entfernung hinter dem Korper, theoretisch bei unendlich groBem Abstand, herrscht dann iiberall wieder Parallelstromung mit der Geschwindigkeit Voa- Zur Berechnung der bei der Anstromung auf den Korper ausgeiibten Krafte soil die Impulsgleichung benutzt werden. Die Kontrollflache moge nach geometrischen Gesichtspunkten festgelegt werden. Der freie Teil der Kontrollflache (A) bestehe aus den Flache A\ bis A& eines Quaders wahrend der korpergebundene Teil durch die den Korper umgebende Flache (S) gebildet werde. Befinden sich die Flachen A\ bis Af, weit genug vom Korper entfernt, so herrscht dort iiberall die ungestorte konstante Geschwindigkeit Vx,. Soil der Korper keine Quellen oder Sinken enthalten, so ist die Kontinuitatsgleichung fiir die Kontrollflache (O) = (A) + (S) in einfacher Weise erfullt. Weiterhin ist im vorliegenden Fall sofort einzusehen, daB die Summe der ein- und austretenden Impulsstrome fiir alle Richtungen verschwindet. Von der Impulsgleichung (2.79) bleibt fiir die Losung der Aufgabe also nur 0 = FB + FA + Fs iibrig. Besteht die Massenkraft FB nur aus der Schwerkraft, dann ist FB = pgiVQ — VK) nach (2.76b) mit V = VQ — VK als Kontrollvolumen (VQ = Volumen des abgegrenzten Quaders, VK = Korpervolumen). Der Vektor der Fallbeschleunigung g ist nach unten gerichtet. In Abb. 2.31 sind die auf die Flachen Ai bis A4 wirkenden Driicke dargestellt. Diese sind iiber die Flachen A3 = A4 jeweils konstant verteilt und hangen mit h als Hohenunterschied der beiden Flachen nach (2.14c) durch p4 = p3 + pgh miteinander zusammen. Uber die Flachen A\ = A2 und A5 = As verteilen sich die Driicke entsprechend (2.14b) linear vom Wert pj, auf den Wert p^. In vertikaler Richtung (positiv nach oben, Index v) hat die vertikale Komponente der Massenkraft den Wert FBV — ~PS^VQ — VK)- Die vertikale Komponente der Druckkraft betragt FAV = Fpv = (P4 — P3)Ai = pghAi = pgVQ mit VQ = hA-i als Volumen des abgegrenzten Quaders. Somit erhalt man nach dem Wechselwirkungsgesetz fur die vertikal nach oben gemessene Auftriebskraft A = — Fs,, = FBV + FAV = pgVK- In horizontaler Richtung (Index h) ist Fsh = 0. Da auch FAA = 0 ist, folgt sofort F$h = 0 und somit fiir die in Anstromrichtung gemessene Widerstandskraft W = —Fsh = 0. Beide Ergebnisse zusammengefaBt lauten A = pgVK

(Archimedes),

W=0

(d'Alembert).

(2.81a, b)

Die Auftriebsformel (2.81a) stimmt mit (2.18) fiir den statischen Auftrieb uberein und ist als Archimedessches Prinzip bekannt. Die Anstromgeschwindigkeit spielt keine Rolle. Es sei bemerkt, daB (2.81a) nicht mehr gilt, wenn um den Korper eine zirkulatorische Stromung herrscht, vgl. Kap. 3.6.2.1. Nach der Widerstandsformel (2.81b) tritt bei der stationaren reibungslosen Stromung eines dichtebestandigen Fluids um einen festen Korper keine Widerstandskraft (Druckwiderstand) auf. Diese Feststellung ist als d'Alembertsches Paradoxon bekannt.36 Befindet sich der Korper in einer reibungsbehafteten Stromung mit auftretender Nachlaufdelle im Geschwindigkeitsprofil hinter dem Korper, oder liegen Storungen in Form von Trennungsschichten (Wirbelschichten) vor, welche die Begrenzungen des freien Teils der Kontrollflache durchschreiten, so gilt die obige Aussage fur den Widerstand nicht.

36

Dies Paradoxon wird im allgemeinen d'Alembert zugeschrieben, obwohl die von ihm gegebene Begriindung nicht befriedigt und bereits vor ihm Euler einen einwandfreien Nachweis hierzu geliefert hat, vgl. SzabO [47, S. 237-245].

104

2.5 Impulssatz (Kinetik)

2.5.2.2 Impulsgleichung fur den Kontrollfaden Fiir den in Kap. 23.4.3 definierten und in Abb. 2.26 dargestellten Kontrollfaden geht man zur Ermittlung des Impulsbeitrags analog wie bei der Kontinuitatsgleichung in Kap. 2.4.2.2 vor, indem man jetzt in der Transportgleichung (2.47a,b) fiir die vektorielle Volumeneigenschaft J = I als Impuls und fiir die vektorielle Eigenschaftsdichte e = pv als Massenstromdichte setzt Bei gleichmaBiger Geschwindigkeits- und Impulsverteilung iiber die KontroUfadenquerschnitte folgt fiir normal durchstromte Ein- und Austrittsflachen nach Abb. 2.26 analog zu (2.53) und in Verbindung mit (2.79) die Kraftgleichung37. (2)

d(pvA) ds + P2V2A2V2- P1V1A1V1 =FB+FA dt

+ FS.

(2.82)

(1)

Da die Geschwindigkeit v und das Langenelement ds die gleiche Richtung haben, wurde im ersten Glied beriicksichtigt, daB v ds = vds ist. Die Massenkraft FB ermittelt man nach (2.76). In den meisten Fallen ist nur die Schwerkraft wirksam. Die Oberflachenkraft bestimmt man entsprechend (2.77). Fiir den freien Teil der KontroUflache (A) besteht diese, sofem man entsprechend den Ausfiihrungen in Kap. 2.5.2.1 am Ort der KontroUflache (A) von Reibungseinfliissen absieht, nach (2.78a) nur aus einer Druckkraft. Die Ersatzkraft FA ^ Fp setzt sich nach Abb. 2.26 zusammen aus den Komponenten auf die Eintritts- und Austrittsflache FM = —piA\ bzw. FA2 = — P2A2, wobei die Driicke p\ und P2 jeweils iiber die Querschnittsflache A\ bzw. A2 gleichmaBig verteilt angenommen werden sowie nach Abb. 2.32a aus der Komponente auf die Mantelflache A\->2> d. h. FA —FAX +FA2 + {FA)\-*2- Die Stiitzkraft Fs auf den korpergebundenen Teil der KontroUflache (S) kommt vor, wenn sich wie in Abb. 2.32a, ein fester Korper im Kontrollfaden befindet. Besteht nach Abb. 2.32b die Mantelflache aus einer festen Wand (Rohr), so ware diese mit Si-,2 start mit A 1^.2 zu bezeichnen, und es wiirde

Abb. 2.32. Zur Anwendung der Impulsgleichung auf den Kontrollfaden, in dem sich ein K5rper befindet, vgl. Abb. 2.26. a Mantelflache (Stromflache) gehort zum freien Teil der KontroUflache (Ai_>2)b Mantelflache (feste Rohrwand) gehort zum korpergebundenen Teil der KontroUflache (S1-+2) 37

Siehe FuBnote 30 (S. 90).

2.5.2 Impulsgleichungen

105

dann (^,4)1^2 = 0 sein. Die jetzt auftretende Kraft (Fs)i^>2 soil in Fs enthalten sein. Bei Fs handelt es sich dann um die Kraft von der festen Mantelfiache und gegebenenfalls von dem festen Korper auf das stromende Fluid. Nach dem Wechselwirkungsgesetz ist FK = —Fs die Reaktionskraft, welche vom Fluid auf den korpergebundenen Teil der Kontrollflache als Korperkraft ausgeiibt wird. Haufig ist sie die gesuchte GroBe der Aufgabe. Werden die Querschnitte A\ und A2 gemaB Abb. 2.32 normal durchstromt, so ist V\A\ — — v\A\ und V2A\ — +V2A2 und man erhalt (2)

f d(pvA)

/ -~ J at

,

,

ds + (pi + piuf)Ai + (p2 + P2vj)A2 =FB +

(FA)i^2+Fs.

(1)

(2.83) Die Dnickanteile auf die Querschnittsflachen und die Impulsbeitrage haben jeweils die gleiche Richtung, namlich diejenige von A\ bzw. A2. Die GroBen p\v\ bzw. P2v\ werden Impulsstromdichten in kg/s 2 m = N/m 2 und die mit A\ bzw. A2 multiplizierten Summenausdriicke totale Impulsstrome in kg m/s 2 = N genannt. Jedes Glied in (2.83) stellt einen Kraftvektor dar, so daB diese Gleichung, ahnlich wie in der Statik fester Korper, durch vektorielle Addition der einzelnen GroBen gelost werden kann. Kraft auf Rohrkriimmer. Als Beispiel zur Anwendung der Impulsgleichung fur den unelastischen Kontrollfaden ist in Abb. 2.33a ein gekriimmtes Stuck eines in der Horizontalebene verlegten Rohrs dargestellt. Gesucht ist die beim stationaren Durchstromen (d/dt = 0) auf die Wandung des Kriimmers ausgeubte Kraft. Es soil eine reibungslose Stromung eines dichtebestandigen Fluids (pi = pi = P = const) vorausgesetzt werden, bei der nur Normal- und keine Tangentialkrafte auftreten. Dies berechtigt zur Annahme eines uber die Rohrquerschnitte jeweils konstanten Geschwindigkeitsprofils. Fur die Berechnung wird die fiir den Kontrollfaden angegebene Impulsgleichung (2.83) benutzt. Wegen der horizontalen Lage des Kriimmers liefert die Schwerkraft (Massenkraft) keinen Beitrag, d. h. es ist Fg = 0. Die Mantelflache des Kontrollfadens ist zugleich die feste Wandflache des Kriimmers, was bedeutet, daB (FA) 1^2 n icht auftritt, sondern als (Fs)i-+2 in Fs enthalten ist. Nach dem Wechselwirkungsgesetz ist —Fs die vom stromenden Fluid auf die innere Krlimmerwand iibertragene Korperkraft FKI = —Fs = —(pi +pv\)A\ — (p2+pv\)A2- Diese ergibt sich als geometrische Summe zweier Krafte mit den negativen Richtungen der Flachennormalen. In Abb. 2.33a ist die graphische Bestimmung der GroBe und Lage von FKi gezeigt. Fiir den Sonderfall eines kreisformig gekriimmten Rohrs mit konstantem Querschnitt A\ = A2 = A nach Abb. 2.33b wird ui = «2 = "• Verlauft die Stromung reibungslos, so ist auch pi = p2 = pt mit/?, als Innendruck. Mit & als Neigungswinkel der Rohrsehne gegen die Normalen der Endquerschnitte erhalt man die vom Kriimmungsmittelpunkt nach auBen gerichtete Kraft auf die innere Kriimmerwand Fm = 2(p, + pv2)A sini?. Die Kraft Fica infolge des AuBendrucks pa auf die AuBenwand wirkt Fia entgegen. Sie ist zum Kriimmungsmittelpunkt hin gerichtet und wird nach (2.2b) berechnet. Sie betragt FKU = 2paA sintf. Formal erhalt man diesen Ausdruck auch, wenn man in der Beziehung fiir Fg, die Geschwindigkeit v = 0, den Druck pi = pa und FKQ = Fgj setzt. Die gesamte auf den Kreiskriimmer ausgeubte Kraft wird also Fg = 2(pi - pa+ pv2)A sin & = 2pv2 A sin & (Kreiskriimmer),

(2.84a, b)

wobei die letzte Beziehung fiir einen Kriimmer gilt, bei dem der innere gleich dem auBeren Druck ist, d. h. p, = pa. Die Kraft auf den Kriimmer ist in diesem Fall dem Quadrat der Durchstromgeschwindigkeit v proportional. Hieraus folgt, daB sie bei Anderung der Stromungsrichtung (Stromungsumkehr) sowohl nach GroBe als auch nach Richtung wegen v2 = (—v)2 ungeandert bleibt. Fiir einen Halbkreiskriimmer mit & = nil ist Fg = 2pv2A. Weitere Anwendungsbeispiele werden bei der Fadenstromung in Kap. 3.3 und 4.3, bei der Rohrstromung in Kap. 3.4 und 4.4 sowie bei der Gerinnestromung in Kap. 3.5 behandelt.

106

2.5 Impulssatz (Kinetik)

[2)

Krummungsmitfelpunkl

Rohrachse

Abb. 2.33. Reaktionskraft des stromenden Fluids auf die Wandung eines Rohrkriimmers. a Beliebig gekriimmtes Rohr. b Kreisformig gekriimmtes Rohr (9 < n/T)

2.5.2.3 Impulsmomentengleichung Ausgangsgleichung. Nach der Impulsmomentengleichung (2.72) ist die substantielle Anderung des Impulsmoments der im abgegrenzten mitbewegten Volumen V(t) enthaltenen Masse gleich der vektoriellen Summe der an ihr angreifenden Kraftmomente, d. h. dL/dt — M. Es ist zu beachten, daft Impulsmoment und Kraftmoment auf den gleichen, jedoch frei wahlbaren Momentenbezugspunkt zu beziehen sind. Impulsmoment und damit auch das Kraftmoment sind links drehend positiv definiert. Zunachst werden im folgenden die Impulsmomentenanderung dL/dt sowie die im und am Volumen angreifenden Kraftmomente M ermittelt. Ahnlich wie bei der Kontinuitatsgleichung in Kap. 2.4.2.1 und bei der Impulsgleichung in Kap. 2.5.2.1 kann man anstelle des mitbewegten Volumens V(t) die weiteren Uberlegungen fur einen zeitlich gleichbleibenden Kontrollraum (V) mit der zugehorigen Kontrollflache (O) = (A) + (S) durchfiihren. Beziiglich der Aufteilung der Kontrollflache (O) in einen freien Teil (A) und einen kbrpergebundenen Teil (S), der gegebenenfalls bei der Umstromung eines festen Korpers auftritt, wird auf Kap. 2.5.2.1 verwiesen. Dort werden auch Angaben iiber die zweckmaBige Wahl des freien Teils der raumfesten Kontrollflache gemacht. Der Bezugspunkt fur das Impuls- und Kraftmoment ist ebenfalls raumfest anzunehmen. Impulsmomentenbeitrag. Geht man von der Transportgleichung (2.46c) aus und setzt fur die Volumeneigenschaft J = L sowie fur die vektorielle Eigenschaftsdichte s = p(r x v), dann wird filr die zeitliche Anderung des Impulsmoments dL dL — = dt dt

f J (A)

p(r xv) dV -

f J (S)

p(r x v)dV

mit

f L(t) = j p(r x v)dV. J

,a (2.85a, by*

(V)

Das erste Glied auf der rechten Seite von (2.85a) stellt den lokalen Anteil (Volumenintegral) dar und tritt nur bei instationarer Stromung auf, wahrend das zweite und dritte Glied den konvektiven Anteil * Es ist dL/dt = dL/dt, vgl. Ausfuhrung zu (2.46c) und FuBnote 28 (S. 86).

2.5.2 Impulsgleichungen

107

(Oberflachenintegral) beschreibt. In (2.85a) ist dV ^ 0 nach (2.51) der Volumenstrom, der durch ein Flachenelement der Kontrollflache (0), d. h. durch dA bzw. dS ein- oder austritt. Kraftmomentenbeitrage. Das resultierende Moment M in (2.72a) setzt sich ahnlich wie die resultierende Kraft F aus dem Moment der Massenkraft MB im Kontrollraum, dem Moment der Ersatzkraft am freien Teil der Kontrollflache MA und dem Moment der Stiitzkraft am korpergebundenen Teil der Kontrollflache Ms zusammen, d. h. M = MB + MA + MsMit/a als Vektor der bezogenen Massenkraft (Volumenkraft) betragt das Moment der Massenkraft analog zu (2.76)

MB = I p(r xfB)dV

= / p(r xg)dV

(V)

(Schwerkraftmoment),

(2.86a,b)

(V)

wobei die zweite Beziehung gilt, wenn nur der EinfluB der Schwerkraft wirksam ist. Fiir (2.86b) kann man auch MB = rs x FB schreiben. Dabei ist TB der Fahrstrahl vom Momentenbezugspunkt zum Schwerpunkt der im Kontrollraum (V) abgegrenzten Masse und FB nach (2.76b) die zugehorige Schwerkraft mit den Komponenten FBX = 0 = Fsy und FBZ = FG- Die Momentenachse steht normal auf der von FB und /•# aufgespannten Ebene. In gleicher Weise wie die Krafte bei der Impulsgleichung in Kap. 2.5.2.1 heben sich die Momente aus den Spannungskraften im Inneren des abgegrenzten Kontrollvolumens (V) gegenseitig auf. Es tritt also nur ein Moment der Oberflachenkrafte am freien und korpergebundenen Teil der Kontrollflache (O) = (A) + (S) auf. Unter den gleichen Annahmen fiir die an den Flachenelementen dA und dS wirksamen Spannungen wie in Kap. 2.5.2.1 folgt in Analogie zu (2.78a, b) mit a A ^ —VnP, *A *** 0 und
= -

I p(r x dA),

Ms =

W

(r xtr)dS = -MK.

(2.87a, b)

(S)

Man bezeichnet MA als Ersatzmoment, Ms als Stiitzmoment und MK als das Moment der Korperkraft (Reaktionsmoment = Moment, welches vom Fluid auf den Korper iibertragen wird).

Momentengleichung. Nach Zusammenfiigen der Ausdriicke fiir den Impulsmomentenbeitrag und fiir die Kraftmomentenbeitrage erhalt man die Impulsmomentengleichung fiir den Kontrollraum nach Abb. 2.29c zu dL

dt

f

f

(A)

(S)

/ p(r x v) dV — / p(r x v) dV J J = MB+MA+MS

(Kontrollraum).

(2.88)

Dies ist wie die Impulsgleichung (2.79) eine Vektorgleichung. Bei stationarer Stromung ist dt/dt = 0 zu setzen. Diese Beziehung sagt aus, daB das Moment des aus der Kontrollflache (O) = (A) + (S) austretenden Impulsstroms (Impuls/Zeit) in Bezug auf einen beliebigen Festpunkt, vermindert um das Moment des eintretenden Impulsstroms, gleich der Summe der auf denselben Festpunkt bezogenen Momente aller am stromenden Fluid im Kontrollvolumen und an der Kontrollflache angreifenden auBeren Krafte ist. Hanptgleichung der Stromungsmaschinentheorie. Eine seit langem bekannte Anwendung der Impulsmomentengleichung stellt die stationare Stromung eines dichtebestandigen Fluids durch ein Laufrad (kreisformiges Fliigelgitter) nach Abb. 2.34 dar. Dies soil sich in gleichformiger Drehbewegung um die feste, vertikale Laufradachse 0 befinden. Die Ein- und Austrittsgeschwindigkeiten der Relativbewegung seien v\ bzw. V2 und die entsprechenden Umfangsgeschwindigkeiten der Fiihrungsbewegung u\ bzw. ui. Dann gilt nach (2.31a) fiir die absoluten Geschwindigkeiten c\ = v\ + u i bzw. C2 = V2 + U2- Diese sind als maBgebliche Geschwindigkeiten in die Impulsmomentengleichung (2.88) mit p = const einzusetzen. Die Kontrollflache (O) falle mit einer Kanalbegrenzung zusammen, wie sie in Abb. 2.34 strichpunktiert als freier Teil (A) und gestrichelt als korpergebundener Teil (S) dargestellt ist. Die Momentenbezugsachse sei gleich der Laufradachse durch den Punkt 0. Nach (2.88)

108

2.5 Impulssatz (Kinetik)

ist im Fall stationarer Stromung das Moment des bei (2) aus dem Kanal austretenden Impulsstroms, vermindert um das Moment des bei (1) eintretenden Impulsstroms, gleich dem Moment der auBeren Krafte, welche auf die augenblicklich im Kanal vorhandene Fluidmasse wirken. Es stellen ih\c\y und —riiAC2cp die Komponenten des eintretenden bzw. austretenden Impulsstroms in Umfangsrichtung (Umfangsimpuls Iv) an den Stellen (1) bzw. (2) dar, wenn rriA der Massenstrom durch samtliche Gitterkanale ist. Die Komponenten des Impulsstroms in radialer Richtung (Radialimpuls Ir) kdnnen keinen Beitrag zum Impulsmoment liefern, da ihre Richtungen jeweils durch den Bezugspunkt 0 gehen. Sowohl die Massenkraft (parallel zur Momentenachse gerichtete Schwerkraft) als auch die Krafte auf den freien Teil der Kontrollflache (Kraftangriffslinien der Druckkrafte an den AbschluBfiachen des Kanals innen und auBen gehen durch den Punkt 0) liefern keine Beitrage zum Rraftmoment, MB = 0 = MA?9 Ein Moment entsteht nur von den sowohl druck- als auch reibungsbedingten Stiitzkraften auf den korpergebundenen Teil der Kontrollflache (Kanalwande), Ms # 0. Ein entgegengesetzt gleich groBes Moment iibt die Stromung als Reaktionsmoment MR = —Ms auf die Kanalwandung aus. Fiir das von alien Gitterkanalen an die Laufradachse abgegebene Drehmoment gilt also die Momentgleichung MK =

-rh

(2.89)

(Drehmoment).

Dreht sich das Gitter mit der gleichformigen Winkelgeschwindigkeit w um die Achse, so betragt die Leistung P/c = w MK . Beachtet man noch, daB die Umfangsgeschwindigkeiten u i = co r\ und «2 = o r2 sind, dann erhalt man aus (2.89) die Leistungsgleichung (Leistung).

(2.90a,b)

Die maximale Leistung ergibt sich aus (2.90a) fiir c^ = 0, d. h. bei radialem Austritt. Gl. (2.90) ist als Hauptgleichung der Stromungsmaschinentheorie (Eulersche Turbinengleichung) bekannt. Die Herleitung von (2.89) bzw. (2.90) stiltzt sich auf die Geschwindigkeitsdreiecke am Einund Austritt des Fliigelgitters, wobei es sich bei den Geschwindigkeiten jeweils um Mittelwerte Uber die freien Teile der Kontrollflache handelt. Hinsichtlich des Reibungseinflusses am Fliigelgitter selbst (korpergebundener Teil der Kontrollflache) wird keine Voraussetzung gemacht. Die Hauptgleichung gilt somit auch bei reibungsbehafteter Stromung fiir alle Typen von Stromungsmaschinen (Pumpe, Turbine).

Abb. 2.34. Zur Anwendung der Impulsmomentengleichung: Stromung durch ein kreisformiges Fliigelgitter; (Eulersche Turbinengleichung)

39

Da es sich um eine ebene Stromung handelt, konnen die Momente als skalare GroBen geschrieben werden.

2.5.3 Bewegungsgleichungen (Impulsgleichung fur das Fluidelement)

109

2.5.3 Bewegungsgleichungen (Impulsgleichung fur das Fluidelement) 2.5.3.1 Ausgangsgleichung Wahrend in den Kap. 2.5.2.1 und 2.5.2.2 die integrate Form der Impulsgleichung fur das raumlich ausgedehnte Stromungsgebiet (Kontrollraum, Kontrollfaden) abgeleitet wurde, soil jetzt die differentielle Form der Impulsgleichung (Kraftgleichung) naher untersucht werden. Dies fiihrt in Verbindung mit der Kontinuitatsgleichung auf die Bewegungsgleichungen der Fluidmechanik. Impulsgleichung fiir das Fluidelement. Zwischen der Impulsanderung d(AI)/dt eines bewegten Fluidelements der Masse Am, welches sich zur Zeit t in einem bestimmten Raumpunkt r befindet und der angreifenden Schleppkraft AF gilt nach (2.71) der Zusammenhang d(AI)/dt = AF mit A/ = Amv als Impuls des Massenelements.40 Wegen der Kontinuitatsbedingung nach (2.49) mitd(Am)/dt = 0, d. h. Am = const gilt somit auch Am(dv/dt) = AF, was mit a = dv/dt als substantieller Beschleunigung nach (2.27) der haufig gebrauchten Formulierung der Newtonschen Impuls- (Kraft-) gleichung entspricht (Kraft = Masse x Beschleunigung): a Am = AF.41 Bei der Lagrangeschen Betrachtungsweise ist nach FuBnote 19 (S. 73) die Beschleunigung eines bestimmten Fluidelements bei festgehaltenem Wert r^ zu nehmen, d. h. dv/dt = {dv/dt)ri. Die Anwendung und Auswertung der Lagrangeschen Bewegungsgleichung ist fiir die Beschreibung von Stromungsvorgangen im allgemeinen weniger gut geeignet und wird daher hier nicht weiter besprochen. Bei der im folgenden angewandten Eulerschen Betrachtungsweise, bei welcher die Bewegung des Fluidelements, das sich zu einer bestimmten Zeit t am Ort r befindet zugrundegelegt wird, ist fiir die Beschleunigung dv/dt mit (2.29) zu rechnen. Die am Fluidelement angreifende Kraft AF wird entsprechend den Ausfiihrungen in Kap. 2.5.2.1 aus den auBeren Kraften gebildet. Hierzu gehoren nach (2.74) die Massenkraft (Volumenkraft) AFm und die Spannungskraft (Oberflachenkraft) AFa. Wahrend die erstere nach (2.76b) meistens gleich der Schwerkraft ist, setzt sich die letztere nach (2.77) aus Normal- und Tangentialkraften zusammen. Entsprechend ihrer physikalischen Bedeutung soil fur die resultierende Kraft AF = AFg + AF/> + AFz + AFj geschrieben werden. Unter AFP soil die durch Abspalten des (mittleren statischen) Drucks aus dem gesamten Spannungszustand gewonnene Druckkraft verstanden werden, vgl. Kap. 2.2.2.1. Der EinfluB der Reibung soil durch die Reibungskraft AFR = AFz + A F j erfaBt werden, wobei die Zahigkeitskraft A F Z von der Viskositat des Fluids herriihrt. Sie ist bei normalviskosen Fluiden der Viskositat proportional, vgl. Kap. 2.5.3.3. Unter der Turbulenzkraft AF^ soil diejenige Kraft verstanden werden, welche durch die der Turbulenz eigenen zusatzlichen Schwankungsbewegungen hervorgerufen wird, vgl. Kap. 2.5.3.5. Dem Wesen nach ist die Turbulenzkraft die Tragheitskraft der turbulenten Schwankungsbewegung. Fiihrt man die Turbulenzkraft in der beschriebenen Weise in die Impulsgleichung 40 41

Der auf die Masse bezogene Impuls ist gleich der Geschwindigkeit v. Das Newtonsche Gesetz bezieht sich auf die Absolutstromung, vgl. S. 9 6 - 9 7 .

2.5 Impulssatz (Kinetik)

110

ein, dann sind die Geschwindigkeit, die Beschleunigung, der Druck und gegebenenfalls auch die StoffgroBen als (zeitlich) gemittelte Werte anzusehen. Fiir die weitere Behandlung sollen alle Krafte AF als bezogene Krafte / = AF / Am eingefiihrt werden, was zu der differentiellen Form der Impulsgleichung (Kraftgleichung) fiir das Fluidelement dv

-

-

-

-

(2.91a, b)

=fB+fp+fz+fT

fiihrt. Sie hat wie jede Kraftgleichung vektoriellen Charakter. Bei reibungsloser Stromung tritt die Reibungskraft nicht auf, /R =fz +fa = 0, was in Verbindung mit der Kontinuitatsgleichung zur Eulerschen Bewegungsgleichung in Kap. 2.5.3.2 fiihrt. Bei der zahigkeitsbehafteten laminaren Stromung ist / z ^ 0 und fa = 0, was die Navier-Stokessche Bewegungsgleichung in Kap. 2.5.3.3 liefert. Ist die Tragheitskraft AFg = — a Am bzw. fE=—a sehr klein und kann gegeniiber den anderen Kraften vernachlassigt werden, so gelangt man mit a = dv/dt «* 0 zur Bewegungsgleichung der schleichenden Stromung in Kap. 2.5.3.4. Soil bei reibungsbehafteter Stromung auch die Turbulenz mitberiicksichtigt werden, dann ist fz ^ 0 und fa ^ 0, was durch die Reynoldssche Bewegungsgleichung in Kap. 2.5.3.5 erfaBt wird. Ist das Fluid im ganzen Stromungsraum in gleichformiger Bewegung (v = const) oder in Ruhe (v = 0), so sind a = 0 sowie/z +fa = 0 , und man erhalt die statische Grundgleichung (2.9). In Tab. 2.6 sind fiir die verschiedenen Falle die Impulsgleichungen zusammengestellt. Um die Bewegungsgleichungen angeben zu konnen, sind jeweils die Kontinuitatsgleichungen nach Tab. 2.5 mitheranzuziehen.

2.5.3.2 Bewegungsgleichung der reibungslosen Stromung (Euler, Bernoulli) Allgemeines. Im folgenden soil die Stromung ohne EinfluB von Reibungskraften untersucht werden. Diese Aufgabe wurde erstmalig und grundlegend von

Tabelle 2.6. Ubersicht iiber die Impulsgleichungen der Fluidmechanik; Impulsgleichung fiir das Fluidelement nach (2.91) Stromungszustand

«=/

Newton

Kapitel

Gleichung

ruhend

0 =fB +fp

Euler

2.2.2.3

(2.9)

reibungslos, drehungsfrei

a=fB +fp

Euler, Bernoulli

2.5.3.2

(2.92)

zahigkeitsbehaftet laminar

a=fB +fp +fz

Navier, Stokes

2.5.3.3

(2.108)

zahigkeitsbehaftet schleichend

0=/B

+fp +fz

Stokes, Oseen

2.5.3.4

(2.131)

zahigkeitsbehaftet turbulent

a =}B +fp +fz +/T

Reynolds

2.5.3.5

(2.142)

2.5.3 Bewegungsgleichungen (Impulsgleichung fiir das Fluidelement)

111

Euler [14] gelost. Es lautet die Impulsgleichung (2.91a) mit/« = 0 entsprechend Tab. 2.6 dv (2.92) a = — =/B +fp (reibungslos).

at

Wahrend iiber die Beschleunigung in Kap. 2.3.2.3 berichtet wird, gelten fur die Massen- und Druckkraft die Ausfiihrungen von Kap. 2.2.2.2 bzw. 2.2.2.1. Bewegung in der Schmiegebene. Fur viele technische Aufgabenstellungen spielt die Verfolgung von Stromungsvorgangen in natiirlichen Koordinaten eine besondere Rolle. Die Bewegung eines Fluidelements wird nach Abb. 2.17 langs gekriimmter Bahnlinien in der Schmiegebene betrachtet.

Kriimmungsmittelpunld

P

dn

2 )

A A

"

dn

Bfh •Vertikalebene

Horizontalebene

Abb. 2.35. Zur Ableitung der eindimensionalen Impulsgleichung bei reibungsloser Stromung. a Fluidelement in der Schmiegebene. b Lage der Schmiegebene

112

2.5 Impulssatz (Kinetik)

Ein Element der Schmiegebene wird aus derjenigen Ebene gebildet, die vom Kriimmungsmittelpunkt 0 und dem Bahnlinienelement (Bahnelement) ds aufgespannt wird. Die Koordinate in Stromungsrichtung (tangential zur Bahnlinie) wird nach Abb. 2.35a mit s und die Koordinate normal zur Stromungsrichtung (positiv zum Krummungsmittelpunkt hin) mit n angenommen. Im allgemeinsten Fall fallt die Schmiegebene nach Abb. 2.35b weder mit der Horizontal- noch mit der Vertikalebene zusammen. Die Neigung der Schmiegebene gegeniiber der Horizontalebene wird nach Abb. 2.35b durch den Winkel fi angegeben. Fiir (i = n/2 fallen Schmieg- und Vertikalebene zusammen. Aus Abb. 2.35a, b lassen sich die geometrischen Beziehungen dz/ds = sin /S cos a und dz/dn — sin ft sin a ablesen, wobei a der Winkel der Bahnlinie mit der z'-Achse ist. Das dargestellte Fluidelement besitze die Masse Am = pAV mit p als Dichte und AV = AAsA.s = AAnAn als Volumen und bewege sich mit der zeitlich veranderlichen Geschwindigkeit v(t,s) in Bahnlinienrichtung. Die Komponenten der Beschleunigung in Bahnlinienrichtung und normal zur Bahnlinienrichtung beschreibt (2.28b, c). Bei der Betrachtung der am Fluidelement in der Schmiegebene angreifenden Krafte wirkt von der Fallbeschleunigung g nach Abb. 2.35b nur die Komponente g' — g sin/3. Die Komponenten der bezogenen Massenkraft (Schwerkraft) fB=g nach (2.7a) betragen fst = —g'cosa und / g n = — g'sina. Die Komponente der Druckkraft in Bahnlinienrichtung und normal dazu ergeben sich aus den Driicken an den Begrenzungsflachen normal zur s-Richtung AAS und normal zur n-Richtung AAn. Die resultierende Druckkraft z. B. in s-Richtung betragt AFpt — [p —

(dp/ds)(As/2)]AAs

-[p + (dp/ds) x (As/2)]AAS = -(dp/ds)AV,

vgl. (2.3).

Unter Beachtung der bereits angegebenen geometrischen Beziehungen findet man fiir die auf die Masse Am = pAV bezogenen Komponenten der Schwer- und Druckkraft ,

dz

JBt = —gT~'

dz JBn = —g-Z~\

ds

I dp JPt =

dn

7-7

I dp JPn =

p ds

1T~ •

p dn (2.93a; b)

Durch Einsetzen von (2.28b, c) und (2.93a; b) in (2.92) folgt die Impulsgleichung langs und normal zur Bahnlinienrichtung fiir ein Fluidelement in einer reibungslosen Stromung zu dv dt

1-

dv ds

dz ds

1 dp p ds

+ < V + g - + - / = 0 n,

v2 -+g ry_

dz — dn

1 dp p dn

+ -JL=O.n

nA (2.94a, b)

Man erkennt, daB weder die Neigung der Schmiegebene noch die Form des Fluidelements eine Rolle spielen. Es sei angemerkt, daB die Beziehung (2.94a) sowohl fiir die Bahn- als auch Stromlinie gilt, vgl. FuBnote 18 (S. 73). Gl. (2.94) hat die Dimension einer massebezogenen Kraft in N/kg = m/s 2 . Zur Beschreibung des Stromungsablaufs braucht im vorliegenden Fall die Kontinuitatsgleichung nicht besonders herangezogen zu werden. Bernoullische Energiegleichung. Multipliziert man die Impulsgleichung (Kraftgleichung) (2.94a) mit einem zunachst beliebigen Feldlinienelement (Wegelement) ds, dann erhalt man die Energiegleichung der Fluidmechanik bei reibungsloser Stromung. In den Integranden treten die Ausdriicke (df/ds) ds =

2.5.3 Bewegungsgleichungen (Impulsgleichung fiir das Fluidelement)

113

[df(t, s)/ds]ds mit f(t, s) = v(t, s), z(t, s) und p(t, s) auf. La'Bt man jetzt die Feldlinie mit der Stromlinie, die nach Abb. 2.13 als Linie bei festgehaltener Zeit t definiert ist, zusammenfallen, dann wird (df/ds)ds = df. Durch dieses Vorgehen lassen sich die einzelnen Glieder in (2.94a) geschlossen integrieren, und man findet die sog. Bernoullische Energiegleichung bei instationarer Stromung [4, 5] jd^-ds+V—+gz + i = C{t) mit i = / ^ . (2.95a, b) 42 J dt 2 J p Bei einem dichtebestandigen Fluid (p = const) ist / = p/p. Die zeitabhangige Integrationskonstante C{t) wird haufig als Bemoullische Konstante bezeichnet. Sie ist im allgemeinen von Stromlinie zu Stromlinie verschieden. Herrscht jedoch in einem Kessel ein Ruhezustand oder bei der Anstromung eines Korpers im Unendlichen eine ungestorte stationare Stromung (stationare Randbedingung), so ist C fiir alle von dieser Voraussetzung betroffenen Stromlinien sowohl vom Ort als auch von der Zeit unabhangig. Liegt eine barotrope Stromung mit p = p(p) vor, dann stellt i = i(p) das spezifische Druckkraftpotential nach (2.5b) dar. In (2.5c) ist die Auswertung bei polytroper Zustandsanderung wiedergegeben. Fur stationare Stromung folgt vdv + gdz + di = 0,

v2

\- gz + i = C

(barotrop).

(2.96a, b)

Es stellen die einzelnen Glieder auf die Masse bezogene GroBen fiir die kinetische Energie, die potentielle Lageenergie und die potentielle Druckenergie in Nm/kg = J/kg = (m/s) 2 dar, vgl. Kap. 2.6.2.3. Querdruckgleichung. Fiir die Impulsgleichung quer (normal) zur Bahnlinienrichtung (2.94b) lassen sich zwei aufschluBreiche Sonderfalle ableiten, namlich dp v2 — = -p— dn rk

(z = const),

pgz + p = C

(p = const, rk -+ oo). (2.97a, b)

Haufig ist bei Stromungsvorgangen der EinfluB der Schwere ohne praktische Bedeutung, g -> 0. Er entfallt vollkommen, wenn es sich urn Stromungen in horizontalen Ebenen z = const handelt. Gl. (2.97a) wird Querdruckgleichung (radiale Druckgleichung) genannt. Aus ihr erkennt man, daB bei einer Bahnlinienkrummung (rk ^ oo) ein Druckabfall quer zur Bahnlinienrichtung (negativer Druckgradient) nach dem Kriimmungsmittelpunkt hin stattfindet. Bei geraden Bahnlinien ist dieser wegen rk —*• oo gleich null. Bei einem Strahl, der geradlinig aus einer Offnung austritt, ist daher der Druck quer zum Strahl konstant, d. h. er ist gleich demjenigen des umgebenden Fluids, p = const. Man sagt, der Druck wird dem Strahl von auBen aufgepragt. Vernachlassigt man den SchwereinfluB nicht, so folgt fiir die Stromung eines dichtebestandigen Fluids (p = const) bei ungekriimmten Bahnlinien (rk —• oo) aus (2.94b) die Beziehung (2.97b). Diese 42

tiber die bedeutenden Beitrage, die sowohl von Daniel als auch Johann Bernoulli (Vater von Daniel) stammen, berichtet ausfuhrlich Szabo [47, S. 157-198].

114

2.5 Impulssatz (Kinetik)

besagt, daB sich der Druck p mit der Hohe z entsprechend der hydrostatischen Grundgleichung (2.14a) andert. Bewegung im dreidimensionalen Raum. Durch Einsetzen der Beziehungen fiir die aus einem auBeren Kraftpotential uB ableitbare bezogene Massenkraft/e nach (2.10) und fur die bezogene Druckkraft//> nach (2.3) in (2.92) gelangt man zur Eulerschen Impulsgleichung. Bei dreidimensionaler reibungsloser Stromung gilt fiir die Impulsgleichung in Vektor- und Zeigerschreibweise dv — = -graduB dt

1 gradp, p

dvi duB — = --at dxi

I dp —- 0 = 1,2,3). p dxt (2.98a, b)

Hierin ist die substantielle Beschleunigung (jeweils die linke Seite) durch (2.29) gegeben.43 Fiir ein barotropes Fluid mit p = p(p) und / = i(p) als spezifischem Druckkraftpotential nach (2.5b) kann man wegen (2.3a) mit (2.5a) und (2.29c) auch dv dt

fv2 \ (v x rot?;) + grad I \- uB + i I = 0 (barotrop) \ 2 J

(2.98c)

schreiben. Fiir die vollstandige Beschreibung des Stromungsvorgangs muB neben der Impulsgleichung stets die Kontinuitatsgleichung (2.60) bzw. (2.62) beachtet werden. Bei gegebenem Kraftfeld uB und bekannter Dichte p(p) oder bekanntem Potential i(p) steht ein Gleichungssystem mit vier Gleichungen fiir die drei Komponenten der Geschwindigkeit v(t, r) und fiir den Druck p(t,r) zur Verfiigung. Fiir kartesische und zylindrische Koordinatensysteme sind die Beziehungen fur die Eulersche Bewegungsgleichung in Tab. 2.5 und Tab. 2.7 mit v — 0 wiedergegeben. Die Randbedingungen sind der Aufgabenstellung anzupassen. Bei den technisch wichtigen Stromungen liegen die Verhaltnisse im allgemeinen so, daB gewisse feste oder bewegte Wande gegeben sind, langs derer die Stromung vor sich gehen soil. Da das stromende Fluid nicht in die Wand eindringen soil (porose Wande sollen hier ausgeschlossen sein), muB gemaB der kinematischen Randbedingung (Konturbedingung) nach (2.26a) die zur Wandrichtung normale Geschwindigkeitskomponente verschwinden, vn = 0. Bei der hier behandelten reibungslosen Stromung ist im allgemeinen die Geschwindigkeitskomponente parallel zur Wand entsprechend (2.26a) von null verschieden, v, ^ 0. An einer freien Oberflache, worunter im allgemeinen eine an die Luft grenzende Fliissigkeitsoberflache verstanden wird, muB aus Stetigkeitsgriinden der Fliissigkeitsdruck gemaB der dynamischen Randbedingung gleich dem auf die Flache wirkenden auBeren Druck, im allgemeinen also gleich dem 43

Mit p multipliziert kann man gemaB der konservativen Transportgleichung (2.41c) mit E = u, fiir die substantielle Beschleunigung auch schreiben P

dvi_ _ d(pvj) dt dt

2.5.3 Bewegungsgleichungen (Impulsgleichung fur das Fluidelement)

115

Tabelle 2.7. Impulsgleichungen der laminaren Stromung normalviskoser Fluide, Koordinatensysteme nach Abb. 1.13. Beschleunigung (links vom Gleichheitszeichen) nach Tab. 2.2, Massenund Druckkraft nach Tab. 2.1, Zahigkeitskraft nach (2.118) (vgl. Tab. B.5); Impulsgleichung der reibungslosen Stromung (Euler) fur v = 0; Impulsgleichung der reibungsbehafteten Stromung (Navier, Stokes) fiir ein homogenes Fluid mit v = r)/p = const Koordinaten

dv

X

1y r X< O

zyl indri

dv

• gradv = -gradKfi

~dt

~dt

dx

P dx

dVy

dt

duB dy

1 dp P dy

dvz

dUB

1 dp

dt

dz

P dz

dvr

duB dr

1 dp

dt

dvz ~dt

P dr

1 (duB

dvv H> dt

z

+v

d2vx dx2

d2vx dy2

"I

dx2

dy2

\d2vz [dx2

a2uz ' 3j2

1 dp

dvx

1 v

9 4-Ji (rdV^\ [rdr\dr; 1

dp\ V

dip) dus

~

a7

1»rad p + v Av

1 dp P 3z

dlVx ] 8z2\

|

1 d2vr

|

2

32ur dz2

7"2 dtp

fl 3 / aua,\

i a 2 tu

\r dr \ '

2

\\ d ( dvz^ \j ~dr V dr J

V

1

dr )

' r

r 2 3^)2

By

2

2 dv,p

vr |

7"2 d(p

7"2

a2^

2 ai;r

%!

3z 2

' 7-2 3 ^

7-2 J

gz2

Atmospharendruck sein, p = p$. Die Randbedingungen lauten also vn = 0

(nichtporose Wand),

P = Po (freier Fliissigkeitsspiegel). (2.99a, b)

Bei instationaren Stromungsvorgangen sind weiterhin die Anfangsbedingungen zu beachten. Fiir den Fall ebener Stromung ergibt sich das Gleichungssystem zur Berechnung der drei Unbekannten vx = u(t, x, y), vy = v(t, x, y) und/?(f, x, y) zu p = p(p)

(barotrop),

M + !^!> + ! ^

(2.100a)

= 0.

(2,oob,

dt dx ay du du du — + u— + v— = dt dx dy

duR 1 3p dp dUB -, d ~ ppdx dx' ~dx

(2.100c)

dv dv dv \-u— + v— = dt dx dy

1 dp dug duB -. ddy ~ ppdy dy-

(2.100d)

Beschreibt yw(x) bei einer festen Berandung die Wandstromlinie, dann lautet nach (2.24b) die Randbedingung (dy/dx)w = vw/uw.

116

2.5 Impulssatz (Kinetik)

Stromungsumkehr. Bei Annahme eines zeitlich unveranderlichen Kraftfelds (Volumenkraft) ug — ug(r) und bei Vorgabe einer ebenfalls zeitlich gleichbleibenden Randbedingung sei v(t, r) eine Losung der Eulerschen Bewegungsgleichung, Impulsgleichung (2.98a) und Kontinuitatsbedingung (2.60a). Soil die Stromung langs der Bahnlinien jetzt riickwarts statt vorwarts verlaufen, so ist fiir die Zeit —t und fur die Geschwindigkeit — v{—t,r) zu setzen. Der Vorzeichenwechsel in v bedeutet fiir die Beschleunigung keine Anderung, d a o ( f , r ) = dv/dt — a{—t,r) ist. Aus (2.98a) kann man dann folgern, da6 dann auch der Druck p(t, r) = p(—t, r) unverandert bleibt. Auch die Kontinuitatsbedingung bleibt wegen dp(t, r)/dt = —dp(—t, r)/dt und pdivu = —p(—t, r) &\vv{—t, r) erfiillt. Das gefundene Ergebnis besagt, daB stetige reibungslose Stromungen kinematisch und dynamisch umkehrbar, d. h. reversibel, sind. Bei einem umstromten Korper bleibt die Druckverteilung auch bei Umkehr der Anstromrichtung dieselbe. Losungsmoglichkeiten der Eulerschen Bewegungsgleichung. Es sei jetzt noch eine Aussage iiber die grundsatzlichen Losungsmoglichkeiten der Eulerschen Impulsgleichung fiir ein barotropes Fluid gemacht. a) Gl. (2.98c) vereinfacht sich auBerordentlich, wenn man von ihr die Rotation bildet44 {dv\ do> rot — - rot(v x rot v) = 0, rot(v x a>) = 0 (2.101a, b) \atj at mit to = i rot v nach (2.34a) als Drehung des Fluidelements. Diese Gleichung besagt, daB jede drehungsfreie Stromung (a = 0) Losung der Eulerschen Impulsgleichung ist. Drehungsfreie, reibungslose Stromungen nennt man Potentialstromungen, weil man bei diesen das Geschwindigkeitsfeld stets durch den Ausdruck v = grad mit 4> als skalarem Geschwindigkeitspotential darstellen kann. Wegen rot v = rot(grad ) = 0 wird die Bedingung der Drehungsfreiheit von selbst erfiillt. Zur Losung braucht also nur noch die Kontinuitatsgleichung (2.60) herangezogen zu werden, siehe hierfiir Kap. 5.3. b) Bei der bisher besprochenen Lb'sungsmoglichkeit wird das Verschwinden des Vektorprodukts (v x rotv) dadurch herbeigefiihrt, daB rotv — 0 gesetzt, d. h. die Stromung als drehungsfrei angesehen wird. Indessen besteht auch bei stationarer drehungsbehafteter Stromung die Moglichkeit, daB (v xrot v) — 0 wird, niimlich dann, wenn die Wirbellinien mit den Stromlinien im Beriihrungspunkt zusammenfallen (Beltrami-Stromung).45 c) Der Fall einer rotationsbehafteten (drehungsbehafteten) reibungslosen Stromung mit rotv ^ 0 bzw. (t, r) ^ 0, allgemein als Eulerstromung bezeichnet, laBt sich mit wenigen Ausnahmen nur numerisch Ibsen. Dies ist durch den Einsatz elektronischer Rechenanlagen moglich geworden. Dabei wurden bedeutsame Ergebnisse und Erkenntnisse gewonnen, vgl. [18, 28].

44

Man beachte, daB rot (grad . . . ) = 0 und rot(3«/3f) = 3 ( r o t « ) / 3 < ist, da rot ( . . . ) nur Differentiationen nach den Ortskoordinaten enthalt. 45 Vgl. hierzu die Ausfuhrung auf S. 7 5 .

2.5.3 Bewegungsgleichungen (Impulsgleichung fur das Fluidelement)

117

Bemerkungen zur Bernoullischen Energiegleichung46. Fiir eine stationare, drehungsfreie Stromung eines barotropen Fluids geht (2.98c) mit dv/dt = 0 und rotv = 0 iiber in grad (u 2 /2 + UB + i) = 0.47 Dies bedeutet, daB der Klammerausdruck mit UB = gz im Gegensatz zu dem Ausdruck von (2.96b) im ganzen Stromungsfeld unveranderlich ist. Mithin lautet jetzt die Bernoullische Energiegleichung — + UB + i = const

(barotrop, drehungsfrei).

(2.102a)

Im Ruhezustand geht diese Beziehung mit v — 0 in (2.13a) iiber. Am Beispiel der stationaren ebenen reibungslosen Stromung soil die Zusammenfassung der Impulsgleichungen (2.100c) und (2.100d) zur Energiegleichung der Fluidmechanik bei reibungsloser Stromung gezeigt werden. Multipliziert man die genannten Gleichungen mit dx bzw. dy und addiert sie anschlieBend, so folgt nach Umformung mit \v\ = y u2 + t)2 als resultierender Geschwindigkeit 47 dp (drehungsbehaftet). (2.102b) + duB + — = - 2 a>z P Bei der Ableitung ist im einzelnen zu beachten, daB fiir das totale Differential d = (3/3x) dx+(d/dy) dy v-dv

gilt und udu + vdv = vdv, dv/dx - du/dy = 2co7 nach Tab. 2.3 sowie u = 3*/3y, v = -dV/dx nach (2.25a) ist. Auf der rechten Seite tritt das Produkt aus der Drehung a>z und der Anderung des Werts der Stromfunktion d^ auf. Verfolgt m a n die Stromung langs einer Stromlinie, dann ist nach Kap. 2.3.2.2 hierfiir d * = 0, In diesem Fall geht (2.102b) mit UB = gz in (2.96a) iiber. Verschwindet dagegen im ganzen Stromungsfeld die Drehung, dann fiihrt die Integration von (2.102b) fur ein barotropes Fluid zu (2.102a). Gegeniiberstellung. U m den Unterschied in den zwei Losungen (Integration langs Stromlinie oder drehungsfreie Stromung) anschaulich zu machen, sei auf die in Kap. 2.3.3.4 als Beispiel d besprochenen Stromungen auf konzentrischen Kreisbahnen zuriickgegriffen, von denen der erste Geschwindigkeitsansatz v = a/r drehungsfrei und der zweite Ansatz v = br drehungsbehaftet ist. Es sei die Stromung eines dichtebestandigen Fluids betrachtet. Nach (2.97a) betragt bei Vernachlassigung der Massenkraft die Druckverteilung in radialer Richtung (negative n-Richtung) dp = p(v2/r)dr. Fiir v = a/r wird mit dp = p(a2/r3) dr nach Ausfiihren der Integration P - po = •

(2.103a)

wobei po den Druck und no = a/ro die Geschwindigkeit fiir den Kreis v o m Radius ro bezeichnen. Diese Stromung ist im ganzen Stromungsbereich mit Ausnahme der singularen Stelle im Kreismittelpunkt

Abb. 2.36. Geschwindigkeits- und Druckverteilungen bei Stromungen auf konzentrischen Kreisen. a v = a/r, drehungsfrei. b v = br, drehungsbehaftet 46 47

Ausfiihrlich wird iiber die Energiegleichung der Fluidmechanik in K a p . 2.6.2 berichtet E s ist v2 = v2 sowie v • dv = vdv = d(v2/2) mit v = \v\ als resultierender Geschwindigkeit.

118

2.5 Impulssatz (Kinetik)

(r —• 0) drehungsfrei. Es darf also (2.102a) fiir Punkte der Kreise r ^ ro > 0 angewendet werden. Man uberzeugt sich, daB hierbei mit UB = 0 und i = p/p das Ergebnis von (2.102a) bestatigt wird. Setzt man dagegen v = br, so wird mit dp = pb2rdr nach Ausfiihren der Integration ,2

-vk 2

(drehungsbehaftet).

(2.103b)

Diese Stromung ist im betrachteten Gebiet drehungsbehaftet. Gl. (2.102a) gilt also nicht, wenn man von einem zum anderen Kreis r ^ ro iibergeht. Wiirde man sie dafiir dennoch anwenden, dann wttrde sich p — po = —(p/2)b2(r2 — r£) errechnen, was zu obigem Ergebnis hinsichtlich des Vorzeichens in Widerspruch steht. In Abb. 2.36 sind fiir die beiden Falle die Geschwindigkeits- und die Druckverteilungen iiber dem Radius dargestellt. Mit wachsendem Abstand r steigt danach der Druck jeweils verschieden stark an. Radiales Gleichgewicht. Fiir eine stationare Stromung sei noch das radiale Gleichgewicht an einem Fluidelement betrachtet. Ein nur der Schwerkraft unterworfenes Fluid mijge sich in einer Stromung befinden, deren StromungsgroBen nur vom Radius r abhangen. Fiir die Darstellung in Zylinderkoordinaten mit vertikaler z-Achse gilt also d/dt = 0, UB = gz mit z(r), vr(r), vv(r), vz(r) sowie p(r). Nach Tab. 2.7 erhalt man hierfiir die Eulersche Impulsgleichung mit v = 0 dr

r

dr

p dr

r*- dr

dr

(2.104a)

wobei sich der Druck in der ersten Beziehung nach (2.96a) durch dp = —(p/2) d(v2 + v2 + v2) — pg dz eliminieren laBt. In der so gewonnenen zweiten Beziehung treten die Dichte p, die Hohe z sowie die Geschwindigkeitskomponente vr nicht mehr auf. Besitzt das Fluidelement mit der Masse Am den konstanten Drall (Impulsmoment) AL = Am vv r, so folgt, daB die Geschwindigkeit uz = const ist. Wegen vv ~ 1/r verlauft die Stromung entsprechend Beispiel d in Kap. 2.3.3.4 fiir r ^ 0 drehungsfrei. Sie tritt bei der Wirbelflu'Bmaschine auf. Erfolgt die Stromung wie bei der Festkorperrotation mit gleichformiger Winkelgeschwindigkeit (w = const), dann gilt fiir die Geschwindigkeitskomponenten v
vz = \jv2a - 2(o2r2

mit vzo = v7(r = 0).

(2.104b)

Diese Stromung ist drehungsbehaftet, vgl. (2.103b). Rotierendes Bezugssystem. Bei Stromungsmaschinen spielt oft der Fall eine Rolle, bei dem das Bezugssystem (Koordinatensystem) nicht mehr in Ruhe ist, sondern sich z. B. um eine feststehende Achse dreht. Wahrend in Kap. 2.3.2.3 zunachst nur die Kinematik bei rotierendem Bezugssystem behandelt wurde, soil jetzt die Kinetik bei rotierendem Bezugssystem besprochen werden. Da die Aussage des Newtonschen Grundgesetzes entsprechend Kap. 2.5.1 fiir die Absolutstromung gilt, ist a in (2.92) durch die Absolutbeschleunigung aabs nach (2.32a) zu ersetzen. Man erhalt fiir die auf die Masse bezogene Impulsgleichung arej = / g +//> —a/—ac. Die durch die Fuhrungsbeschleunigung/)- und durch die Coriolis-Beschleunigung ac nach (2.32c, d) hervorgerufenen Anteile sind zusatzliche Tragheitskrafte der Relativbewegung. Es ist ff = —a/ = grad(a>2r2/2) die nach Abb. 2.37 in Richtung des Fiihrungsradius r wirkende bezogene Zenfrifugalkraft der Relativbewegung und/ c = —ac = — 2(a> x v) die in Richtung des Kriimmungsradius der Stromlinie r% (normal zur Stromlinie) wirkende Corioliskraft, vgl. Abb. 2.19. Wenn man den Index "rel" bei der Relativbeschleunigung arei = (dv/dt)K\ fortlaBt, wird a = dv/dt = fs +fp +ff +fc- Nach Einsetzen aller Beziehungen fiir die auf die Masse bezogenen Krafte wird in Erweiterung von (2.98c) mit dv/dt nach (2.29c) a>2r2 \ 2—- - 2(a> x v)

dv ( — = - g r a d [uB+i

dt

V

/

(a> = const).

(2.105)

Dies ist die Eulersche Impulsgleichung im rotierenden Bezugssystem. Fiir Zylinderkoordinaten r, (p, z mit z als Drehachse wird, vgl. Tab. 2.7 mit v = 0, ^ - ^ - 2 ^ = - ^ - ! ^ , dt dr p dr dv9 dvL dt

+2(OV

=

lduB

1 1 dp

-r^--p-rJj' _duJL_l_dL dz p dz

(2.106a)

2.5.3 Bewegungsgleichungen (Impulsgleichung fiir das Fluidelement)

119

Krummungsmittelpunkt \der Relotivstromlinie

Drehachse

Relativstromlinie

Abb. 2.37. Rotierendes Bezugssystem, Zentrifugalund Corioliskraft (Ebene normal zur Drehachse, Zylinderkoordinaten r,
Wahrend die Glieder auf den rechten Seiten fiir die Massen- und Druckkraft von der Drehung des Bezugssystems unbeeinfluBt bleiben, treten auf den linken Seiten neben den substantiellen Beschleunigungen d/dt nach Tab. 2.2 z. T. zusatzliche von der Drehung des Bezugssystems abhangige Ausdrticke auf. Multipliziert man (2.105) skalarmitcis = vdt, dann verschwindet wegen (wxv)-v = 0 der EinfluB der Corioliskraft (diese wirkt normal zur Stromlinie). Weiterhinist (dv/dt)-ds = udt>undgrad(.. .)ds = d(...). Nach Integration langs einer Stromlinie wird dann bei stationarer Stromung v2

a?r2 \-UB+i

= C

(langs Stromlinie, barotrop),

(2.107)

wobei die Konstante C von Stromlinie zu Stromlinie verschieden ist. Gl. (2.107) stellt die auf ein rotierendes Bezugssystem angewendete Bernoullische Energiegleichung dar. Gegeniiber der Beziehung fiir die stationare Relativstromung nach (2.96b) ist bei einem mit gleichformiger Winkelgeschwindigkeit (co = const) rotierenden Bezugssystem auf der linken Seite die GroBe co2r2/2 abzuziehen mit r als kurzestem Abstand des auf der Stromlinie betrachteten Punkts von der Drehachse des Bezugssystems.

2.5.3.3 Bewegungsgleichung der laminaren Stromung normalviskoser Fluide (Navier, Stokes) Allgemeines. Bisher wurde die reibungslose Stromung untersucht, die sich einstellen wiirde, wenn in ihr keine durch die Viskositat bedingten Krafte an den einzelnen Fluidelementen wirksam waren. Die Erfahrung hat gelehrt, da6 durch diese Hypothese gewisse Stromungsvorgange in guter Ubereinstimmung mit der Wirklichkeit erklart werden konnen, andere dagegen nicht. Das letztere gilt besonders dann, wenn es sich um Stromungen in der Nahe fester Wande oder an freien Strahlgrenzen handelt. In diesen Fallen spielt die Viskositat des Fluids eine wichtige Rolle. Die Stromung eines viskosen Fluids, bei dessen Bewegung keinerlei turbulente Erscheinungen auftreten, verlauft laminar und soil als laminare Stromung viskoser Fluide bezeichnet werden. Begrifflich wird unterschieden zwischen Viskositat als physikalischer StoffgroBe eines Fluids nach Kap. 1.2.3.2 und der Zahigkeit als physikalischem Verhalten der Stromung eines viskosen Fluids nach Kap. 1.3.3.2. Wegen des Fehlens der Turbulenzkraft/r = 0 erhalt man aus (2.91b) entsprechend Tab. 2.6 dv

a = -r- = / « +fP +fz at

(laminar).

(2.108)

120

2.5 Impulssatz (Kinetik)

Bei der Ableitung der Impulsgleichung fiir die zahigkeitsbehaftete laminare Stromung geht man zunachst in ahnlicher Weise wie in Kap. 2.5.3.2 bei der Aufstellung der Impulsgleichung fiir die reibungslose Stromung vor. Nur hat man jetzt neben den am Element wirkenden Massen- und Druckkraften fg +fp auch die Kraft aus der Zahigkeitswirkung fz zu beriicksichtigen. Als Elementaransatz fiir die Reibung bei zahigkeitsbehafteten laminaren Stromungsvorgangen wurde mit (1.12) das Newtonsche Schubspannungsgesetz eingefiihrt. Danach sind bei der einfachen laminaren Scherstromung nach Abb. 1.3b die zwischen den Fluidelementen auftretenden Tangentialspannungen proportional der Schergeschwindigkeit du/dy.4S Hierbei erfahren die Fluidelemente eine Verformung in Form einer Winkelanderung. Verallgemeinert wird angenommen, daB die an einem Fluidelement auftretenden Normal- und Tangentialspannungen jeweils proportional der Formanderungsgeschwindigkeit def v nach (2.39) sind. Hierin unterscheiden sich die Fluide grundsatzlich von den festen Korpern, bei denen die Spannungen den Formanderungen selbst proportional sind (Hookesches Gesetz der Elastizitatstheorie). Wesentlich fiir die Herleitung der gesuchten Bewegungsgleichung einer zahigkeitsbehafteten laminaren Stromung ist die Kenntnis des vollstandigen Spannungszustands (a) an einem Fluidelement in Abhangigkeit vom Deformationszustand def v. Die grundlegenden Arbeiten hierzu stammen von Navier [25], de Saint-Venant [37] und Stokes [45], vgl. hierzu Schlichting [38] und White [53]. Auf den Handbuchbeitrag von Berker [3] iiber die Integration der Bewegungsgleichungen zahigkeitsbehafteter Stromung bei einem dichtebestandigen Fluid sei hingewiesen.49 Spannungen am Fluidelement. Die dem Newtonschen Reibungsansatz bei einfacher Scherstromung zugrunde liegende Vorstellung soil fiir die dreidimensionale Bewegung einer zahigkeitsbehafteten laminaren Stromung ubernommen und erweitert werden. Bezeichnet AAX nach Abb. 2.38a das Flachenelement einer normal zur x-Achse liegenden Schnittflache und AFay die an der Flache AAX in Richtung der y-Achse wirkende tangentiale Komponente der Spannungskraft, so lautet analog der Definition fiir die Druckspannung in (2.1a) die zugehorige Komponente der Tangentialspannung Spannungskraft ,. AFCV dFav dFas ry xy

__

^

Schnittflache

liin — ^^ AAX^O AAX

—-

dAx '

ft'' ^ lJ

—

dAt ' (2.109a, b)

In entsprechender Weise lassen sich am Flachenelement AAX die Komponente der Tangentialspannung in z-Richtung axz sowie die Normalspannung in x -Richtung oxx definieren. Abb. 2.38b zeigt ein Element (Quader) des stromenden Fluids mit den Kantenlangen Ax, Ay, Az, fiir dessen Eckpunkt P der Spannungszustand angegeben werden soil. An den Oberflachen des Quaders wirken die neun 48

Der Begriff der Schergeschwindigkeit wurde in Kap. 2.3.3.3 erlautert. In seiner Darstellung der Geschichte der Theorie zaher Fliissigkeiten kommt Szab6 [47] bei der Wiirdigung der Verdienste von De Saint-Venant und Stokes zu der Feststellung, daB hinsichtlich der Namensgebung fiir die Bewegungsgleichung zaher Fluide De Saint-Venant anstelle von Stokes hatte "fungieren" miissen. 49

2.5.3 Bewegungsgleichungen (Impulsgleichung fiir das Fluidelement)

121

AFax\x I Schnittflache A A.

Abb. 2.38. Spannungszustand an einem Fluidelement (a gesamte Spannung, r reibungsbedingte Spannung). a Definition der Spannung am Element einer Schnittflache. b Spannungskomponenten an einem herausgeschnittenen Raumelement (Quader)

Oberflachenspannungen axx,ayy,azz bzw. axy, axz, ayx, ayz, azx, azy, wobei die Normalspannungen mit zwei gleichen Indizes und die Tangentialspannungen mit zwei verschiedenen Indizes versehen sind. Der erste Index kennzeichnet entsprechend (2.109a) das normal zur angegebenen Richtung stehende Flachenelement AAX, AAy, AAZ, wahrend der zweite Index die durch den ersten Index noch nicht bestimmte Richtung x, y, z der Spannungskomponente festlegt. In Zeigerschreibweise gilt fiir die Spannungen atj gemaG (2.109b). Die Spannungen mit / = j = 1, 2, 3, d. h. ati bzw. 0 eingefiihrt, obwohl Gase und im allgemeinen auch Fliissigkeiten im Gegensatz zu festen Korpern kaum Zugspannungen iibertragen konnen, vgl. Kap. 2.2.2.1. Im ruhenden Zustand oder bei reibungsloser Stromung sind im Punkt P die Normalspannungen nach (2.1b) in alien Richtungen gleich groG, namlich gleich dem negativen Druck cry, = — p. Weiterhin treten hierbei keine Tangentialspannungen auf, a^ = 0 fiir / ^ j . Bei einer ungleichformigen Drehbewegung des Fluidelements sei die Drehung um die durch den Schwerpunkt des Elements gehende y-Achse betrachtet. Das von der Winkelbeschleunigung coy = dcoy/dt und dem Massentragheitsmoment A&y hervorgerufene Kraftmoment muB gleich den aus den Tangentialkraften in den Flachen AAX und AAZ um die y-Achse wirksamen Momenten sein, d. h. — A&ycby = oxzAAxAx — ozxAAzAz = (axz — azx)AV. Die Spannungsanderungen {daxz/dx)Ax und (dazx/dz)Az konnen gegeniiber den Spannungen axzhzw.ozx vernachlassigt werden. Da das Tragheitsmoment A@y = (p/l2)(Ax2 + Az2)AV der fiinften Potenz der Langenabmessung, das Volumen AV = AAxAx = AAzAz jedoch nur der dritten Potenz proportional ist, kann bei Anwendung auf das infinitesimal kleine Fluidelement bei d>y ^ oo die

122

2.5 Impulssatz (Kinetik)

linke Seite gegeniiber der rechten vernachlassigt werden, was zu axz = azx fiihrt. Dies Ergebnis ist in der Mechanik als Satz von der Gleichheit einander zugeordneter Tangentialspannungen bekannt. Die Erkenntnisse iiber die an den Oberflachen eines Fluidelements auftretenden Spannungen lauten zusammenfassend on = ~P + *a

d = 1, 2, 3),

Oij = Oji = tij = Zji

(i ^

j).

(2.110a, b) Bei den drei Normalspannungen or,-,- empfiehlt es sich nach (2.110a), diese aus dem negativen Betrag der Druckspannung (—p) und der durch die Viskositat des Fluids zusatzlich hervorgerufenen zahigkeitsbedingten Normalspannung r,-,- zusammenzusetzen. Im allgemeinen ist a\\ ^ 022 ^ 033- Da die Tangentialspannungen nach (2.110b) nur aus den drei Komponenten an = 0-21, o"i3 = 031 und 023 = 032 bestehen, bilden die neun Komponenten also einen symmetrischen Tensor. Bei den Tangentialspannungen handelt es sich stets um zahigkeitsbedingte Spannungen, die mit xij = tji gekennzeichnet werden sollen. Zusammenhang von Deformations- und Spannungszustand. Die Bewegung und Verformung eines stromenden Fluidelements wird nach Kap. 2.3.3 durch die Translation (Parallelverschiebung) und die Rotation (Drehung) sowie durch die Dehnung und Scherung bestimmt. Man kann sich iiberlegen, daB die Translation und Rotation, durch die sich das Fluidelement wie ein starrer Korper durch das Stromungsfeld bewegt, nicht die Ursache fur irgendwelche an den Oberflachen des Elements zusatzlich zum Druck hervorgerufene Spannungen sein konnen. Zusatzliche Spannungen konnen also nur bei der Verformung (Deformation) des Elements entstehen. Der Deformationszustand eines Fluidelements (Volumenelement) wird nach Kap. 2.3.3.3 durch den Deformationstensor deft; = (Ay) beschrieben, in dem nur Geschwindigkeitsanderungen nach den Raumkoordinaten dvi/dxj in der Anordnung von (2.33b) vorkommen. Wegen D,j = Djj sowie Tjj = i),- sind sowohl der Deformationstensor (Djj) als auch der Spannungstensor (r,-j) symmetrisch. Sie haben also gleiche Symmetrieeigenschaften. Ausgehend vom Newtonschen Reibungsansatz wird nun angenommen, daB die Spannungen proportional den Geschwindigkeitsanderungen des Deformationstensors (Formanderungsgeschwindigkeit) sind. Diese Festsetzung trifft fiir die in Kap. 1.2.3.2 besprochenen normalviskosen Fluide (newtonsche Fluide) zu. Bei dem Fluid handele es sich dariiber hinaus um einen isotropen Korper, bei dem keine Koordinatenrichtung vor der anderen ausgezeichnet ist. Bei der Verformung erfahrt das Fluidelement eine Dehnung mit der Dehngeschwindigkeit £,, = £),-,- nach (2.36b), eine Volumenausdehnung mit der Dilatationsgeschwindigkeit \jr nach (2.37) und eine Scherung mit der Schergeschwindigkeit #, ; = Djj nach (2.38). Die von der Viskositat herriihrenden Beitrage zu den Normalspannungen konnen in einem isotropen Fluid aus Symmetriegriinden nur von den Dehngeschwindigkeiten abhangen. Weiterhin ist auch verstandlich, daB die Dilatationsgeschwindigkeit nur bei den Normalspannungen vorkommt. Fiir die zahigkeitsbedingten Normal- und Tangentialspannungen T,y kann man somit die Ansatze xii=2neii+Xd-^-

(i = l,2,3),

Tij=Tji=2n»ij

(i ± j)

(2.111a,b)

machen. Es stellen r) und X Proportionalitatsfaktoren fiir die StoffgroBen dar, iiber deren physikalische Bedeutung noch gesprochen wird. Der Faktor 2 wurde aus Griinden der ZweckmaBigkeit eingefiihrt. Gl. (2.111) hatte man, wie es haufig geschieht, auch aus einer Analogiebetrachtung zur linearen Elastizitatstheorie fester Korper gewinnen konnen (Hookesches Gesetz). Wendet man (2.111b) auf die einfache Scherstromung v\ =• u und y2 = 0 = 1)3 mit 3/3*1 = 0 = 8/8x3 und 3/8^2 = d/dy sowie #12 = (l/2)(3«/3y), #13 = 0 = #23 nach (2.38) an, so folgt mit r 12 = T = ??(8H/3V) das Newtonsche Elementargesetz der Zahigkeitsspannung, vgl. (1.12). Der Faktor r) stellt also die Scheroder Schichtviskositat nach Kap. 1.2.3.2 dar. Nach Einsetzen von (2.36b) zunachst in (2.111a) und anschlieBend in (2.110a) erhait man die gesamte Normalspannung zu i p ) f i ~ dx

(i" = l,2,3)

mit

rj = k+lv

d

(2.112a, b)

2.5.3 Bewegungsgleichungen (Impulsgleichung fiir das Fluidelement)

123

als neuer StoffgroBe.50 Man nennt r) die Druck-, Kompressions- oder Volumenviskositat (bulk viscosity). Wahrend iiber die Scherviskositat r\ genaue Unterlagen vorliegen, sind die Kenntnisse iiber die Druckviskositat r) noch sehr liickenhaft. Will man den wirklichen Wert von r) beriicksichtigen, so miiBte man ein nicht im thermodynamischen Gleichgewicht befindliches Fluid zugrundelegen. Hierzu fehlen aber noch wesentliche physikalische Grundlagen. Nach den bisherigen Erfahrungen kann man nach Kap. 1.2.3.2 als Naherung r) « 0 setzen. Diese Hypothese wurde bereits von Stokes [45] vorgeschlagen. Unter der gemachten Annahme besteht dann also ein fester Zusammenhang zwischen r\ und X, namlich k = — (2/3)JJ. In der Stromung eines dichtebestandigen Fluids ist p eine grundlegende dynamische GroBe, wahrend man in der Stromung eines dichteveranderlichen Fluids den Druck p als eine thermodynamische GroBe aufzufassen hat. Im letzteren Fall sind r\ und rj skalare Funktionen des thermodynamischen Zustands. Als mittlere Normalspannung a>, definiert man das arithmetische Mittel der drei Komponenten der Normalspannungen CJ\\, (T22, 033 on = jo,y = — p + rj—- = — p + ^ d i v u

(;' = 1,2,3).

(2.113a,b)

Die mittlere Normalspannung stimmt mit dem negativen Wert des Drucks iiberein a = —p, wenn divti = 0 ist, d. h. nach (2.61b) bei einem dichtebestandigen Fluid, oder wenn die Druckviskositat unberiicksichtigt bleibt, d. h. rj = 0. Die Scherviskositat r\ tritt iiberhaupt nicht auf. Bei einem dichteveranderlichen Fluid mit div v^O, bei dem r) =£ 0 sein kann, kann also an 7^ — p werden. Der gesamte Spannungstensor (&), bestehend aus den Normalspannungen nach (2.112a) und aus den Tangentialspannungen nach (2.111b) in Verbindung mit (2.38), laBt sich als Stokessches Gesetz der Druck- und Zahigkeitsspannungen mit rj = 0 folgendermaBen zusammenfassen: (2.114) 51 Diese Beziehung gibt die zahigkeitsbedingten Spannungen ry = T); in (2.111) wieder, wenn man p = 0 setzt. Aus (2.114) erkennt man, daB die Tangentialspannungen a y = Ty miti ^ j wegen <5y = 0 nicht von der Dichteanderung des Fluids, enthalten in dvk/dxi = divt>, abhangen. Fiir den Fall ebener Stromung 3/8x3 = 0 und 113 = 0 eines dichtebestandigen Fluids (p = const) erhalt man mit x\ = xundx2 = y sowie v\ = u und V2 = v bei laminarer Stromung du dv (du dv\ oxx=—p + 2n — , CTVV = — p + 2n — , x= n 1 I, (2.115a, b,c) dx dy \dy dx J wobei T = axy — ayx die Schubspannung bezeichnet. Wegen du/dx = —dv/dy nach der Kontinuitatsgleichung (2.63a) folgt aus (2.115a, b) der Zusammenhang axx +oyy = —2p. Bei der einfachen Scherstromung u(y), v = 0 ergibt sich axx = ayy = — punAx = r)(dujBy), wobei die letzte Beziehung wieder den Newtonschen Schubspannungsansatz entsprechend (1.12) bestatigt. Die Komponentendarstellung des Spannungstensors der laminaren Stromung normalviskoser Fluide (a) bzw. (T) = 2r\ def v gema'B (2.39) fiir kartesische und zylindrische Koordinatensysteme wird in Tab. 2.8 mitgeteilt. Spannungskraft am Fluidelement. Die an den einzelnen Flachenelementen des in Abb. 2.38b gezeigten Raumelements angreifenden Oberflachenkrafte erhalt man durch Multiplikation der Spannungen mit den jeweils zugehorigen Flachen AAX = AyAz, AAy = AxAz und AAZ = Ax Ay. Wie man aus Abb. 2.38b sofort abliest, ergibt sich am betrachteten Fluidelement die resultierende Komponente der Spannungskraft in x-Richtung zu . dayx . dazx\ . . . (daxx . daxy . dax —H AxAyAz = H AV. d 9z \ dx dy dz J V dx y / Die zweite Beziehung folgt unter Beachtung von (2.110b) mit AV = AxAyAz. Mit ax = exaxx + eyaxy + ez
50

(daxx

Auf FuBnote 23 (S. 77) sei hingewiesen. Es ist Sij = c, • e, der Einheitstensor (Kronecker-Symbol) mit c,, Bj als Einheitsvektoren; und zwar gilt Sij = 1 fiir (' = j und5y = 0 fiir 1 ^ j .

51

Koordinaten

Koordinaten

z

r

z

y

X

(dvy

+

dvx\

9 /f«,\

ldvr\

fdvz \ dr

dvr\ dz J

'{ Yr{v)+-r^)

r /r

fldVr

/3u z

fdvx \ 3y

d

3u y \

9u y \ 3x J

/V9\\

/ I dvz dvv\ 11 \ r- T9ip — + "^ 9z /

^ (1 3 u™ \r d
ur r

>{-r^+rVr\T))

r

fdvr 1 \ -p + 2^— --divt,j

dvx\

Jy-)

\

*>

+

1

{jx--3dlyV)

2n

(dvx

y

r

(dvz

{jX-

r)

-p

X

1 . 3

\ /

z

-

z

ia«A

/9«.

\ oz

3r /

3i>z\

\ 9z

/3i) r

5

'J

)

1^ \ dlvt

"("aF"3

/3i;z

9u z \

/3u y

p+ 2

3u z \

/3v*

Tabelle 2.8. Spannungstensor (a) der laminaren Stromung normalviskoser Fluide (fj = 0), Koordinatensysteme nach Abb. 1.13

kartesisch

zylindrisch

I

2.5.3 Bewegungsgleichungen (Impulsgleichung fiir das Fluidelement)

125

Tabelle 2.9. Massebezogene Spannungskraft fa = - div(tr), Koordinatensysteme nach Abb. 1.13. Tensordivergenz des Spannungstensors div(tr), (vgl. Tab. B.4)

kartesisch

Koordinaten

dOXX X

y

z zylin drisch

div(<7)

r

V

z

dx

O&y

'

dy

dx

dy

daxz

day

dx

dy

dazx dz

-+ - +

dz dazz

-+

dz

1 fd(rarr) 6 +dtp r \ dr 1 (d(rarlp) r \ d r

1 (d{mrz) r V dr

+-

)

dtp )

a afz\

+ -

dtp )

+ + +

dozr

dz dazlp

3z

r °

w

r

~dz~

AV schreiben. Verallgemeinert erhalt man die auf die Masse Am = pAV Spannungskraft am Fluidelement zu fa — — (ex div
bezogene (2.116a)

r

0 = 1,2,3). (2.116b) —H p dxt p Es ist div (a) die Tensordivergenz des Spannungstensors, Tab. 2.9. Die gesamte Spannungskraft setzt sich nach (2.108) aus der Druckkraft//> und der Zahigkeitskraft/z zusammen. Wahrend fiir die druckbedingte Spannungskraft bereits (2.3b) angegeben wurde, gilt fiir die zahigkeitsbedingte Spannungskraft der zweite Term.

=

Zahigkeitskraft am Fluidelement. In (2.116c) fUhrt man die zahigkeitsbedingten Spannungen nach (2.114), indem dort p = 0 zu setzen ist, ein und erhalt fiir die bezogene Zahigkeitskraft in der Stromung eines inhomogenen Fluids (veranderliche StoffgroBen p ^ const, r\ ^ const)

ira

/ n*

3v,\\

/ ^

2 9

( . = ii2i3) _

(2.117a)52 Ohne auf den Nachweis einzugehen, kann man mit (2.39) frei von der Wahl des Koordinatensystems auch schreiben fz = - [2 div(r) def v) - \ grad(?j div v)]. (2.117b) P Fiir die Stromung eines homogenen Fluids (p = const, rj = const) ist nach der Kontinuitatsgleichung (2.61a) divv = 0 sowie unter Beachtung dieser Beziehung 2

Bei der Ableitung wurde berticksichtigt, daB Sjj -

ist.

126

2.5 Impulssatz (Kinetik)

nach den Regeln der Tensor-Analysis 2 div(defu) = — rot(rotr) = A r m i t A als Laplace-Operator angewendet auf einen Vektor.53 Fiir diesen Fall erhalt man die bezogene Zahigkeitskraft zu

fz = —v rot(rotu) = v Av,

d2vt

fzi = v Au,- = v—~- (i = 1, 2, 3).

dxj

(2.118a, b) Hierin ist v = r)/p = const die kinematische Viskositat nach (1.15). Die Zahigkeitskraft verschwindet nur fiir rot v = 0 und zugleich div v = 0, d. h. fiir die drehungsfreie Stromung eines dichtebestandigen Fluids. Dabei spielt die Viskositat selbst keine Rolle. Der rein kinematische Begriff der Drehung erlangt fiir Stromungen dichtebestandiger Fluide somit eine sehr weitgehende physikalische Bedeutung, da er aussagt, daB es sich fiir diesen Fall um eine reibungslose Stromung im Sinn der getroffenen Voraussetzungen fiir die Eulersche Bewegungsgleichung in Kap. 2.5.3.2 handelt. Das Verschwinden der Zahigkeitskraft ist jedoch nicht gleichbedeutend damit, daB keine Zahigkeitsspannungen auftreten konnen. Diese sind gemaB (2.114) im allgemeinen immer vorhanden. Lediglich wenn man r\ = 0 setzt, sind sowohl die von der Viskositat bedingten Spannungen als auch die Zahigkeitskraft am Fluidelement null. Fiir u = const sind die bezogenen Zahigkeitskrafte fiir verschiedene Koordinatensysteme in Tab. 2.7 zusammengestellt. Navier-Stokessche Bewegungsgleichung. Die Impulsgleichung (Kraftgleichung) der zahigkeitsbehafteten laminaren Stromung erhalt man aus (2.108) durch Einsetzen der Beziehungen fiir die Beschleunigung nach (2.29), fiir die bezogene Massenkraft nach (2.10), die bezogene Druckkraft nach (2.3) und die bezogene Zahigkeitskraft nach (2.117). Fiir den allgemeinen Fall der Stromung eines inhomogenen Fluids ( p ^ const, r\ ^ const, fj = 0) erhalt man als Erweiterung der Eulerschen Bewegungsgleichung (2.98) die Navier-Stokessche Bewegungsgleichung zu dv dt ~

gra u

dt

duB dxi

1 P

1 2 H—[2div(»?defu) — -grad(r;divu)], p 3 (2.119a)

1 dp P dx.

1 F 3 / (dVj dvjX\ p [dxj \ \dxj dxiJJ

2 3 / dVjY\ 3dxi \ dxjj\

._ (2.119b)

wobei zur vollstandigen Beschreibung des Stromungsfelds noch die Kontinuitiitsgleichung (2.60) bzw. (2.62) sowie die Stoffgesetze fiir p gemaB Kap. 1.2.2.2 und fiir r] gemaB Kap. 1.2.3.2 gehoren. Bei gegebenem bezogenen Kraftfeld UB, Z. B. nur des Schwerkraftpotentials UB = gz, und bekannten StoffgroBen (p, r\) steht ein Gleichungssystem mit vier Gleichungen fiir die 53 Es

ist Av = grad(divu) — rot(rotti), vergleiche Tabelle B.5.

2.5.3 Bewegungsgleichungen (Impulsgleichung fur das Fluidelement)

127

drei Komponenten der Geschwindigkeit v{t,r) und fur den Druck p(t,r) zur Verfiigung. Bei der Umstromung fester nichtporoser Wande sind die kinematischen Randbedingungen (Kontur-, Haftbedingung) nach (2.26b) zu erfiillen, und zwar muB vn = 0 = v,

(feste nichtporose Wand)

(2.119c)

sein, wobei n den Index der Normal- und t denjenigen der Tangentialrichtung bezeichnen. AuBerdem sind bei instationaren Stromungsvorgangen die Anfangsbedingungen zu beachten. Fur die Stromung eines homogenen Fluids ergibt sich mit (2.118a) dv ( p\

h v • grad v = — grad ug -\—

+ v Av

(p = const, v = const). (2.120)

Fiir kartesische und zylindrische Koordinatensysteme sind die Beziehungen der Navier-Stokesschen Bewegungsgleichung fiir die Stromung eines homogenen Fluids in Tab. 2.5. und Tab. 2.7 mit p= const bzw. v^O wiedergegeben. Bei ebener Stromung folgt hieraus das Gleichungssystem zur Berechnung von vx — u(t,x,y), vy = v(t, x, y) und p(t, x, y) mit v = r\lp als kinematischer Viskositat: dv du = 0, + ~dx dy"~ du

du

It

+ U

Vx

dv

Jt

dv + u

Yx

+V

+V

(2.121a) 3M

duB

I dp , _ J d 2 u

3^

dx

p dx

dv

\dx2

J_UB_1_BP+V(BJV

dy

pdy

,d2u\

dy BJV\

+

\dx

2

2

dy J

E der Viskositat auf eine kleine wandnahe Beschrankt sich der EinfluB Stromungsgrenzschicht, was besonders bei umstromten Korpern der Fall ist, so kann man nach Prandtl [29] die Navier-Stokessche Bewegungsgleichung entscheidend vereinfachen und gelangt so zur Prandtlschen Grenzschichtgleichung. Fiir laminare Stromungsgrenzschichten reduzieren sich die beiden Impulsgleichungen auf eine Gleichung in Hauptstromrichtung (z. B. die x-Achse), namlich bei stationarer Stromung du du 1 dp d2u . \-v— = 1- v—r-2 (Stromungsgrenzschicht). (2.121d) dx dy p dx dy Dabei ist p = p(x) der am Rand der Grenzschicht vorgegebene Druck. In Verbindung mit (2.121a) kommen also die zwei Unbekannten u, v vor.54 u

Stromungsumkehr. Unter gewissen Voraussetzungen wurde in Kap. 2.5.3.2 gezeigt, daB die Eulersche Bewegungsgleichung fiir reibungslose Stromungen kinematisch und dynamisch umkehrbar (reversibel) ist. Wird jedoch die Viskositat des Fluids mitberiicksichtigt, so folgt aus der Navier-Stokesschen Gleichung, daB die zahigkeitsbehaftete Stromung nicht umkehrbar, d. h. irreversibel ist. Wahrend 54

Uber Grenzschichtstromungen wird gesondert in Kap. 6.3 berichtet, vgl. u. a. die ausfiihrliche Darstellung von Schlichting [38].

128

2.5 Impulssatz (Kinetik)

fur die Beschleunigung dv/dt = d(—v)/d(—t) die Zahigkeitskraft vAv = — vA(—v).

ist, gilt z. B. nach (2.118a) fur

Ahnlichkeitsbetrachtung. WeiB man die einen Stromungsvorgang beschreibenden Differentialgleichungen, so lassen sich daraus, ohne die Losung der Gleichung im einzelnen zu kennen, bereits gewisse Ahnlichkeitseigenschaften angeben. Auf die Methode zur Bestimmung der dabei auftretenden Kennzahlen wurde in Kap. 1.3.2.2 hingewiesen. Am Beispiel der Navier-Stokesschen Gleichung fur die ebene Stromung eines homogenen Fluids in der x, y-Ebene sei diese naher erlautert. Ausgangspunkt ist das Gleichungssystem (2.121). Als Massenkraft sei nur die Schwerkraft beriicksichtigt. Nimmt man mit y die vertikal nach oben zeigende Achse an, dann ist UB(X, y) = gy. Die in den angegebenen Gleichungen auftretenden Langen x, y seien durch die Bezugslange L, die Geschwindigkeiten u, v durch die Bezugsgeschwindigkeit U, der Druck p durch den Bezugsdruck pU2 und die Zeit t durch die Bezugszeit T dimensionslos gemacht. Mit den Abkiirzungen x y u v X y= u= u=

=T

T

u'

f7'

~_ pU2' * ~ T wird nach~ Einsetzen in (2.121) fur das Gleichungssystem der dimensionslosen P

GroBen du dv T ^ + ^ = 0,

du dt dv 3?

dx dy ^du ,du +u dx + v dy dv dv dx dy

(2.122a)

dp 1 fd2ul d2ii\ dx Re \dx dy JL + + ) 2 1 dp 1 (d v d2v Fr dy Re \dxz dy1

(2.122b)

Bei dieser Darstellung treten die dimensionslosen GroBen Sr = L/UT, Re = UL/v und Fr = U2/gL auf. Sie stellen nach (1.47) Kennzahlen der Fluidmechanik dar. Man nennt sie die Strouhal-, die Reynolds- und die Froude-Zahl, wobei die erste den instationaren Stromungsvorgang, die zweite den ReibungseinfluB (Zahigkeit) und die dritte den SchwerkrafteinfluB beschreiben.55 Das Gleichungssystem (2.122) besagt, daB zahigkeitsbehaftete laminare Stromungen um geometrisch ahnliche Korper dynamisch ahnlich sind, wenn die genannten Kennzahlen fur die Vergleichskorper jeweils unverandert sind. Man spricht von dynamischer Ahnlichkeit, weil es sich bei der betrachteten Impulsgleichung um das Gleichgewicht von Kraften handelt. Bei stationarer Stromung (Sr = 0) und Vernachlassigung des Schwerkrafteinflusses (Fr » 1) wird die Impulsgleichung der zahigkeitsbehafteten laminaren Stromung allein von der Reynolds-Zahl Re bestimmt. Diese Kennzahl spielt daher bei reibungsbehafteten Stromungen, hier der laminaren Stromung eines viskosen Fluids, die entscheidende Rolle. Losungsmoglichkeiten der Navier-Stokesschen Bewegungsgleichung. Von der Eulerschen Bewegungsgleichung der reibungslosen Stromung nach (2.92) 55

Beziiglich der Definition der Froude-Zahl vgl. FuBnote 22 (S. 37).

2.5.3 Bewegungsgleichungen (Impulsgleichung filr das Fluidelement)

129

unterscheidet sich die Navier-Stokessche Impulsgleichung der zahigkeitsbehafteten laminaren Stromung nach (2.108) durch die zusatzlich auftretende Zahigkeitskraft, z. B. bei einem homogenen Fluid nach (2.118a) durch fz — v A « . Vom mathematischen Standpunkt aus ist dieser Unterschied insofern wesentlich, als die Eulersche Gleichung nur erste Ableitungen und die NavierStokessche Gleichung dagegen in den zahigkeitsbehafteten Gliedern auch die zweiten Ableitungen der Geschwindigkeiten enthalten. Letztere Gleichung ist also von hoherer Ordnung als erstere. Dieser Unterschied wird auch vom physikalischen Standpunkt aus verstandlich, wenn man die bereits angegebenen kinematischen Randbedingungen betrachtet, die in den Flachen erfullt sein miissen, in denen die Stromung an feste Wande grenzt. Bei der reibungsbehafteten Stromung miissen sowohl die normale als auch die tangentiale Geschwindigkeitskomponente nach (2.119c) verschwinden, wahrend dies bei der reibungslosen Stromung nach (2.99a) nur fur die Normalkomponente der Fall ist. Fur die Eulersche Gleichung geniigt diese eine Randbedingung, fur die um eine Ordnung hohere Navier-Stokessche Gleichung dagegen nicht. Aus diesem Grunde ist es also selbst bei sehr kleinen Werten fur die Viskositat nicht zulassig, die zahigkeitsbehafteten Glieder in den Differentialgleichungen zu streichen, wenn man das wirkliche Verhalten der Stromung an den festen Wanden richtig beschreiben will. Durch das aus der Kontinuitatsund Impulsgleichung bestehende Gleichungssystem ist die zahigkeitsbehaftete laminare Stromung eines homogenen Fluids (unveranderliche Dichte p und Viskositat rf) in Verbindung mit den Randbedingungen vollkommen bestimmt. Diese Aussage gilt, sofern man die oben eingefiihrte Hypothese hinsichtlich der Proportionalitat von Spannungen und Formanderungsgeschwindigkeiten als zutreffend ansieht. Dariiber kann jedoch nur der Versuch entscheiden. Eine Vergleichsmoglichkeit mit der Theorie wird dadurch erschwert, daB von der Bewegungsgleichung zahigkeitsbehafteter laminarer Stromungen wegen der groBen mathematischen Schwierigkeiten eine Losung in allgemeiner Form nicht moglich ist. Die an Sonderfallen vorgenommenen Vergleiche der Theorie mit dem Versuch bestatigen die Richtigkeit der obigen Spannungshypothese. Fur die Losung der Navier-Stokesschen Bewegungsgleichung empfiehlt sich auch die Darstellung der Impulsgleichung als Wirbeltransportgleichung. Sie ist fur den Fall ebener Stromung und der Annahme eines homogenen Fluids in Kap. 5.2.3.2 angegeben und enthalt als Unbekannte die Geschwindigkeitskomponenten u und v sowie die Drehung a>. In der Definitionsgleichung fiir co treten nach (2.34b) ebenfalls nur die Geschwindigkeitskomponenten u und v auf. In beiden Gleichungen lassen sich u und v durch die Stromfunktion * nach (2.66a) mit p = Pb ausdriicken, wobei das Einfuhren von * die Kontinuitatsgleichung (2.121a) von selbst erfullt. Die genannten Umformungen liefern ein aus zwei Gleichungen bestehendes Gleichungssystem fiir co(t, x, y) und *(f, x, y). Mittels des Einsatzes hochleistungsfahiger Rechner ist es gelungen, die NavierStokessche Bewegungsgleichung fiir viele bis dahin nicht erfaBbare Falle numerisch zu losen. Die hierbei erzielten Ergebnisse, die in guter Ubereinstimmung mit MeBergebnissen sind, haben die theoretischen Erkenntnisse iiber laminare

130

2.5 Impulssatz (Kinetik)

Stromungen normalviskoser Fluide erheblich erweitert.56 Aufgrund aller bisher durchgefiihrten Untersuchungen darf die Giiltigkeit der Navier-Stokesschen Bewegungsgleichung weitestgehend als gesichert angesehen werden. Die Impulsgleichungen vereinfachen sich erheblich, wenn iiberhaupt keine Tragheitsglieder auftreten. Dies ist bei den technischen Anwendungen besonders fur die stationare laminare Stromung in Rohren und in Gerinnen der Fall. Bei solchen Stromungen ist der EinfluB der Viskositat des Fluids iiber den ganzen Stromungsquerschnitt wirksam. Man spricht hierbei von einer vollausgebildeten Stromung. Solche Stromungen werden ausfiihrlich in Kap. 3.4 und 3.5 fur dichtebestandige Fluide sowie in Kap. 4.4 fur dichteveranderliche Fluide besprochen. Bei sehr langsamer Stromung konnen die Tragheitsglieder gegeniiber den Zahigkeitsgliedern vernachlassigt werden. Solche schleichenden Stromungen, deren Grundlagen in Kap. 2.5.3.4 behandelt werden, verlaufen im allgemeinen bei groBen Werten der kinematischen Viskositat v = r)/p und bei entsprechend kleiner ReynoldsZahl. In dies Gebiet gehoren von den technischen Anwendungen her besonders die Schmiermittelstromung sowie die Sickerstromung. Die meisten praktisch interessierenden Stromungsvorgange werden allerdings durch das gleichzeitige Vorhandensein von Tragheits- und Zahigkeitskraften in den Impulsgleichungen beherrscht, wobei die letzteren sich besonders in der Nahe fester Wande bemerkbar machen. Schwierigkeiten bei der Integration der partiellen Differentialgleichungen treten immer dann auf, wenn die auf der linken Seite stehenden nichtlinearen Tragheitsglieder von der gleichen GroBenordnung wie die rechts stehenden Zahigkeitsglieder sind, was bei mittleren Reynolds-Zahlen der Fall ist. Im allgemeinen ist in diesen Fallen die kinematische Viskositat v klein. Aber selbst dann, wenn die Zahigkeitsglieder sehr klein sind, bleiben die Schwierigkeiten bestehen, da die Haftbedingung nach (2.119c) eben nur bei Beriicksichtigung der Viskositat befriedigt werden kann. Auf die bei groBen Reynolds-Zahlen zusatzlich zu den Zahigkeitseinfliissen auftretenden turbulenten Schwankungsbewegungen und die sich daraus fur den Stromungsablauf ergebenden Folgen wird in Kap. 2.5.3.5 eingegangen. Handelt es sich um die zahigkeitsbehaftete laminare Stromung eines inhomogenen Fluids (p ^ const, r\ ^ const), so treten zusatzlich zu dem bereits Gesagten weitere Schwierigkeiten dadurch auf, daB noch Angaben iiber die Abhangigkeiten von p = p(p, T) und r\ s» rj(T) und deren Auswirkungen auf den Stromungsverlauf benotigt werden. Die StoffgroBen werden mittels der Stoffgesetze des Fluids gemaB Kap. 1.2.2 bzw. 1.2.3 erfaBt und deren Einfliisse durch die Energiegleichung der Thermofluidmechanik (Warmetransportgleichung) nach Kap. 2.6.2.3 bzw. 2.6.3.3 beschrieben. Einfache Losungen der Navier-Stokesschen Gleichung. Bei Stromungen eines homogenen Fluids ( p = const, r)= const), die auf geradlinigen oder kreisformigen Stromlinien stationar oder auch instationar verlaufen, nehmen die Navier-Stokesschen Gleichungen linearen Charakter an. Drei einfache Falle zahigkeitsbehafteter laminarer Stromungen sollen im folgenden behandelt werden: a) Stationare Spaltstromung (Poiseuille). In einem ebenen Spalt der Hone h = 2a nach Abb. 2.39a herrsche bei mittlerer Reynolds-Zahl eine stationare Schichtenstromung. In diesem Fall ist d/dt = 0, 56

In diesem Zusammenhang sei erwahnt, daB sich neben der theoretischen und experimentellen Fluidmechanik, insbesondere bei reibungsbehafteter Stromung, die numerische Fluidmechanik entwickelt hat, vgl. u. a. [18, 28, 34, 40]

2.5.3 Bewegungsgleichungen (Impulsgleichung fiir das Fluidelement)

131

\\u(x,yj-u(y)

Abb. 2.39. Einfache Losungen der Navier-Stokesschen IJewegungsgleichung. a Laminare Spaltstromung (Poiseuille). b Laminare Scherstromung (Couette), P = -(h2/2riU)(dp/dx), P = 0: einfache Scherstromung; u/U < 0: Ruckstromung

u = u(x, v), v = 0, p = p(x, v) mit der Randbedingung (Haftbedingung) u = 0 fiir y = ±a. Aus (2.121a, b, c) wird bei Vernachlassigung der Massenkraft (UB = 0) 3«

3M

3p

'SI

3x

l da2,, u

0= —-. dy

(2.123a, b, c)

Aus (2.123a) folgt, daB die Geschwindigkeit von x unabhangig, d. h. u = u(y) ist. Im Gegensatz dazu hangt nach (2.123c) der Druck nur von der Lauflange x ab, d. h. p = p(x). Damit nimmt (2.123b) die Form r)(d2u/dy2) = dp/dx = const an und besitzt die Losung 1 2 2 dp u(y) = — — (a — y' ) — , T.X] dx

Kmax =

a2 dp 2rj dx

(dp/dx = const).

(2.124a, b)

Man spricht von einer Druckstromung in einem Spalt mit parabelformigem Geschwindigkeitsprofil ttber die Spalthohe —a^y^a. Der zeitlich unveranderliche Volumenstrom VA durch den Spalt mit der Breite b in m3/s sowie die mittlere Durchstromgeschwindigkeit um = V^/Amit A = lab betragen a

VA=b ju(y)dy = -—ba

,dp dx'

a2 dp 3») dx

(2.125a, b)

Bei der angenommenen laminaren Schichtenstromung sind sowohl die Stromungsgeschwindigkeiten als auch der Volumenstrom proportional dem Druckgefalle (—dp/dx). Die Druckanderung Ap fiir einen Spalt der Lange / folgt aus (2.125b) zu Ap = —(3r)l/a2)um < 0. Die hier besprochene Spaltstromung stellt die ebene Kanalstromung dar. Die entsprechende drehsymmetrische Rohrstromung wird in Kap. 3.4.3.3 besprochen. Die stationare Bewegung eines Fluids durch ein poroses Medium, wie z. B. die Sickerstromung, besitzt einen ahnlichen Stromungscharakter wie die hier besprochene laminare Spaltstromung, da hierbei ebenfalls Proportionalitat zwischen der FlieBgeschwindigkeit und dem Druckgefalle besteht. b) Stationare Scherstromung (Couette). Von zwei parallelen ebenen Platten, die sich im Abstand h voneinander befinden, moge sich nach Abb. 2.39b eine in Ruhe befinden, wahrend sich die andere mit der konstanten Geschwindigkeit U in ihrer eigenen Ebene bewege. Die Randbedingungen fiir die Geschwindigkeitsverteilung u = u(x,y) und v = 0 lauten u = 0 fiir v = 0 und u = U fiir y = h. Die Ausgangsgleichungen stimmen mit (2.123) iiberein, so dafi auch im vorliegenden Fall die Bestimmungsgleichung rj(d2u/dy2) = dp/dx = const zu losen ist. Es folgt

"

1-rhlf

(dp/dx = 0),

(dp/dx = const), (2.126a, b)

wobei man von einer Schleppstromung infolge Plattenbewegung spricht. Gl. (2.126b) gilt fiir verschwindende Druckgradienten (dp/dx = 0) und beschreibt die einfache Scherstromung gemaB

132

2.5 Impulssatz (Kinetik)

Abb. 1.3a. Die Form der Geschwindigkeitsverteilung wird durch das dimensionslose Druckgefalle P = — (h2/2riU)(dp/dx) bestimmt. In Abb. 2.39b sind einige Geschwindigkeitsverteilungen fiir verschiedene Werte von P dargestellt. Danach ist fiir P > — 1 die Geschwindigkeitsverteilung iiber die ganze Spalthohe positiv, wahrend sie fiir P < — 1 negativ sein kann, was Riickstromung in der Nahe der ruhenden Platte bedeutet. Man kann zeigen, daB sich (2.126a) aus der linearen Uberlagerung der einfachen Scherstromung nach (2.126b) mit der Spaltstromung nach (2.124a) zusammensetzt, wobei entsprechend dem in Abb. 2.39 a zugrunde gelegten Koordinatensystem v durch (y — h/2) und a durch h/2 zu ersetzen ist. c) Stromung zwischen zwei konzentrischen, gleichformig rotierenden Kreiszylindern (Couette). Es sei die stationare Stromung zwischen zwei mit verschiedener Winkelgeschwindigkeit gleichformig umlaufenden Zylindern (1) und (2) berechnet. Der innere Zylinder habe den Halbmesser r\ und der auBere rj\ die zugehorigen Winkelgeschwindigkeiten seien w\ bzw. art- In Zylinderkoordinaten gilt fiir die Geschwindigkeitskomponenten und fiir den Druck bei der vorliegenden ebenen Stromung vr = 0, Dp = v(r), vz = 0, p = p(r). Nach Tab. 2.7 lautet die Navier-Stokessche Bewegungsgleichung bei Vernachlassigung der Massenkraft, UB = 0,

v2 dp p— = -f, r dr

I d2v 1 dv V J T + -W \ drl r dr

v\ 2 )=°r2 j

(2.127a,b)

Die Kontinuitatsgleichung (2.63 c) ist wegen der gleichformigen Kreisbewegung von selbst erfiillt. Die Randbedingungen werden durch v = v\ = r\a>\ fiir r = r\ und v = V2 = rioi fur r = r% erfiillt. Die Losung von (2.127 b) erhalt man zu

mit A = - '&
r2-rl

}

,

B= ^

fl.

(2.128., b)

r2 - rl

Bei (2.128) handelt es sich um die Geschwindigkeitsverteilung, die bereits in Kap. 2.3.3.4 als Beispiel d kurz behandelt wurde. Bei ihr spielt die Viskositat keine Rolle. Die radiale Druckverteilung berechnet man nach (2.127 a), vgli hierzu die Ergebnisse in (2.103a, b). Steht der innere Zylinder mit w\ = 0 still, dann wird von dem auBeren umlaufenden Zylinder auf das stromende Fluid das Drehmoment M2 = {2nbr2T2)r2 iibertragen. Hierin ist b die Breite des Zylinders und nach Tab. 2.8 die Schubspannung X2 = xrif(r = ^2) = —2T)(alrj). Mithin ist M2 =4izr)b

r2r22 ' .o)2 r2 r,

(o)i=0).

(2.129)

Ebenso groB ist auch das Moment M\, welches von dem stromenden Fluid auf den ruhenden inneren Zylinder tibertragen wird. Fiir den Fall eines einzigen Zylinders (1) in einer unendlich ausgedehnten Stromung (j2 —>• 00, £02 ->• 0) ergibt sich aus (2.128) mit A = r\a>\ und B = 0 V(r)

= r-l^l = JL

r

(r2

=

oo).

(2.130)

2nr

Dies ist nach Kap. 5.3.2.4, Beispiel c die Geschwindigkeitsverteilung in der Umgebung eines Wirbelfadens in reibungsloser Stromung (Potentialwirbel) mit der Zirkulation Y = 2izr2w\. Den vorstehenden Untersuchungen liegt die Voraussetzung der laminaren Stromungsform zugrunde, d. h. die dabei auftretenden Schubspannungen sind lediglirh eine Folge der Viskositat. Die Erfahrung hat indessen gezeigt, daB bei groBeren Reynolds-Zah^u eine Instabilitat der Stromung eintreten kann, die zur Turbulenz fiihrt. Bei der Stromung zwischen rotierenden Zylindern wird der Umschlag vom laminaren zum turbulenten Stromungszustand wesentlich durch das Auftreten von Zentrifugalkraften beeinfluBt. Eine theoretische Erklarung hat bereits Prandtl [30] gegeben. Im Fall eines gedrehten inneren und eines ruhenden auBeren Zylinders wirken die Zentrifugalkrafte destabilisierend. Diese besondere Art von Instabilitat wurde von Taylor [49] eingehend theoretisch und experimentell untersucht. Dabei treten als Sekundarstromung zwischen den Zylinderwanden oberhalb einer gewissen Reynolds-Zahl ganz bestimmt ausgepragte, abwechselnd links und rechts drehende Wirbel von der Tiefe des Spalts und ungefahr gleicher H6he mit Achsen, die der Umfangsrichtung parallel sind, auf. Diese Wirbel werden als Taylor-Wirbel bezeichnet, vgl. hierzu auch [9, 42].

2.5.3 Bewegungsgleichungen (Impulsgleichung fiir das Fluidelement)

133

2.5.3.4 Bewegungsgleichung der schleichenden Stromung normalviskoser Fluide (Stokes, Oseen) Allgemeines. Streicht man in (2.91) das Glied auf der linken Seite dv/dt = 0, so erhalt man eine stark vereinfachte Navier-Stokessche Impulsgleichung fur die zahigkeitsbehaftete laminare Stromung. Nach Tab. 2.6 lautet die Impulsgleichung 0=fB+fP+fz

(schleichend).

(2.131)

Diese zuerst von Stokes getroffene Annahme bedeutet, daB man die Tragheitskraft AFE — — Am(dv/dt) gegeniiber der Zahigkeitskraft AFz = Am fz vernachlassigt, was unter der Voraussetzung sehr kleiner Reynolds-Zahlen, d. h. im allgemeinen bei sehr groBen Werten der Viskositat, naherungsweise zulassig ist. Man nennt solche Stromungsvorgange eine schleichende Bewegung. In diesem Sinn rechnet man die Stromung bei der Schmiermittelreibung nach Kap. 3.6.3.2 und die Sickerstromung (Stromung durch porose Stoffe) nach Kap. 5.5.3 zu den schleichenden Stromungen. Bei gleichformig verlaufenden laminaren Stromungen, wie z. B. der Spalt-, Scher- und Rohrstromung (Beispiel a und b in Kap. 2.5.3.3 bzw. Kap. 3.4.3.3) sind die Tragheitsglieder identisch null. Das bedeutet jedoch nicht, daB die Voraussetzung kleiner Reynolds-Zahl gegeben ist. Diese Stromungen rechnet man daher nicht zu den schleichenden Stromungen. Losungsmoglichkeiten. Zugrunde gelegt wird die Stromung eines homogenen Fluids (p = const, r\ = const) bei Vernachlassigung der Massenkraft {ug = 0). Hierfur gilt die Navier-Stokessche Impulsgleichung (2.120) mit dv/dt = 0 in Verbindung mit den Randbedingungen bei fester Wand nach (2.119c). Durch Bilden der Divergenz von grad p = —J7rot(rotv) folgt wegen div(rot...) = 0 und mit A als Laplace-Operator, vgl. Tab. B.5, d2p

dvi

div(grad p) = Ap = —^ = 0,

div v = —*- = 0.

oXj

aXj

(2.132a, b)

Die zweite Beziehung stellt die Kontinuitatsgleichung (2.62) dar. Gl. (2.132 a) ist eine Laplacesche Potentialgleichung mit dem Druck p als Potentialfunktion. Stromung um eine Kugel. Die alteste bekannte Losung fiir eine schleichende Stromung wurde von Stokes [46] fiir die stationare Parallelstromung um eine Kugel angegeben. Die Kugel habe den Radius R und werde mit der Geschwindigkeit Uoo angestromt. Als Ursprung des Koordinatensystems wird der Kugelmittelpunkt gewahlt und der Abstand von diesem mit r bezeichnet. Als Randbedingungen sind die Haftbedingung mit v = 0 fiir r = R sowie die Bedingung im Unendlichen mit u = Uoo und p = PQQ fur r -*• oo einzuhalten. Auf die Losung wird im einzelnen nicht eingegangen. Kennt man die ortlichen Normal- und Tangentialspannungen auf der Korperkontur, so ergibt sich durch Integration eine in Anstromrichtung wirkende Widerstandskraft W = 6nr)RU0O. Bildet man den Widerstandsbeiwert in der Form cw = W/qooA mit ^oo = (/o/2){/^) als Geschwindigkeitsdruck der Anstromung sowie A = TZ R2 als Stirnflache der Kugel, so wird 24 cw = —

(Stokes),

cw=

24 / — [1

+

3 \ J^Re)

(Oseen).

(2.133a, b)

Fur die Reynolds-Zahl gilt Re = U^D/vmitD = 2fi als Kugeldurchmesser. Gl. (2.133 a) liefert nur fur sehr kleine Reynolds-Zahlen Re < 1 eine befriedigende Ubereinstimmung mit dem Experiment. Dies sind Kennzahlen, die lediglich in viskosen Olen vorkommen, oder bei Fluiden mit geringer Viskositat nur dann, wenn der Kugeldurchmesser D, wie z. B. bei winzigen Nebeltropfchen in der Atmosphare, sehr klein ist. Erweiterungen der Stokesschen Theorie durch teilweise Beriicksichtigung

134

2.5 Impulssatz (Kinetik)

der Tragheitskrafte stamraen u. a. von Oseen [26] und Goldstein [15]. Man gelangt dabei zu der in (2.133 b) wiedergegebenen Beziehung, wobei der zweite Summand in der Klammer ein Korrekturglied gegeniiber der Stokesschen Gleichung (2.133a) ist. Nach den vorliegenden Versuchsergebnissen gilt (2.133b) etwa bis zur Reynolds-Zahl Re as 5. Eine ausfiihrliche Darstellung der Fluidmechanik bei kleinen Reynolds-Zahlen geben Happel und Brenner [16].

2.5.3.5 Bewegungsgleichung der turbulenten Stromung normalviskoser Fluide (Reynolds) Allgemeines. Wie in Kap. 1.3.3.2 bereits ausgeftthrt wurde, verlaufen technisch wichtige Stromungen im allgemeinen turbulent. Hierunter versteht man eine Stromungsform, bei der sich das Fluid nicht wie bei laminarer Stromung in geordneten Schichten bewegt, sondern es iiberlagern sich der Hauptstromungsbewegung zeitlich und raumlich ungeordnete Schwankungsbewegungen. Aufgrund experimenteller Beobachtung hat man erkannt, daB nicht einzelne Molekiile die Schwankungsbewegungen ausfiihren, sondern ganze Molekulhaufen, die zu Turbulenzballen von verschieden groBer Ausdehnung zusammengeschlossen sind und die im Bewegungsablauf standig neu entstehen und sich wieder auflosen. In Abb. 2.40 sind fur eine Rohrstromung mit zeitlich konstantem und mit zeitlich sinkendem Druckabfall an einem festgehaltenen Raumpunkt die Geschwindigkeitsanderungen in Abhangigkeit von der Zeit fur eine statistisch-stationare Stromung als Kurve (1) und fur eine statistisch-instationare Stromung als Kurve (2) wiedergegeben. Die in Kap. 2.5.3.3 fur die laminare Stromung normalviskoser Fluide abgeleitete Navier-Stokessche Bewegungsgleichung gilt grundsatzlich auch fur die turbulente Stromung normalviskoser Fluide. Bei einer vorgegebenen Aufgabenstellung miiBte sie mittels eines geeigneten Berechnungsverfahrens numerisch gelost werden. DaB dies nicht moglich ist, liegt in der Tatsache begriindet, daB wesentlichen Einzelheiten des Turbulenzmechanismus, wie z. B. der turbulenten Dissipation (irreversible Umwandlung turbulenter Schwankungsenergie in Warme) LangenmaBe der kleinsten Turbulenzballen zugeordnet sind, deren GroBenordnung fur eine typische Gasstromung z. B. bei 10~2 cm liegen kann. Um einen Raum von 1 cm 3 zu iiberdecken, miiBte somit ein numerisches Verfahren an 106 diskreten Punkten die Unbekannten der Navier-Stokesschen Bewegungsgleichung berechnen. Ein fur die praktische Anwendung im allgemeinen interessierender Raum wiirde die Kapazitat hochleistungsfahiger Rechner iibersteigen.

Abb. 2.40. Turbulente Geschwindigkeitsschwankung in einer Rohrstromung mit zeitlich konstantem und zeitlich sinkendem Druckabfall; Geschwindigkeitsanderung bei festgehaltenem Raumpunkt in Abhangigkeit von der Zeit, v*(t, r) = v{t,r) + v'(t, r) bei r = const nach (1) statistisch-stationare Stromung dv/dt = 0, (2) statistisch-instationare Stromung dv/dt ^ 0

2.5.3 Bewegungsgleichungen (Impulsgleichung fiir das Fluidelement)

135

Da sich turbulente Stromungen veranderten Randbedingungen jeweils mit einer raumlichen Verzogerung unter Ausnutzung der durch die Schwankungsbewegung gegeniiber laminaren Stromungen zusatzlich vorhandenen Bewegungsfreiheitsgraden anpassen, spricht man in diesem Zusammenhang von der "Vorgeschichte" oder dem "Gedachtnis" der turbulenten Stromungen. Der genannte EntwicklungsprozeB laBt sich durch Transportgleichungen ftir bestimmte charakteristische Mittelwerte der Turbulenz erfassen. Nach einem erstmals von Reynolds [33] gemachten Ansatz kann man sich die turbulente Stromung aus einer regularen Grundbewegung (Hauptstromung) mit der gemittelten Geschwindigkeit v und einer unregelmaBigen hochfrequenten Schwankungsbewegung (Nebenstromung) mit der Geschwindigkeit v' zusammengesetzt denken. Entsprechende Aussagen gelten auch fur die anderen physikalischen GroBen, wie z. B. den Druck p und die Temperatur T. Die momentanen Verteilungen lassen sich in der Form

(2.134a; b; c) anschreiben. 1st E* = E + E' die betrachtete physikalische FeldgroBe, so liegt der Darstellung der Gedanke zugrunde, daB der gemittelte Wert iiber die SchwankungsgroBe null ist, d. h. E' = 0. Mittelwertbildung. Um zu einer Definition iiber die gemittelten Werte zu kommen, bedient man sich der Methode der Wahrscheinlichkeitsrechnung, nach der turbulente Stromungen als stochastische Prozesse mit der Zufallsvariablen E* aufzufassen sind. Fiir den allgemeinen Fall einer statistisch-instationaren oder statistisch-inhomogenen Stromung kann man einen geeigneten gemittelten Wert (Ensemble-Mittel), z. B. in der Form I " _ E*(t,r) = -'%2E*(t,r) = E(t,r),

_ E'(t,r) = 0 (£* = £ + £')

(2.135a, b,c)

v=l

bilden. Aus einer groBen Anzahl n von momentanen Beobachtungen, die, insbesondere bei zeitlich veranderlicher Stromung, stets unter den gleichen Bedingungen durchzufiihren sind, ist das arithmetische Mittel zu nehmen. Bei statistisch-stationarer Stromung bietet sich eine zeitliche und bei statistischhomogener Stromung eine raumliche Mittelung an:

W(r) = ^ j ' E*(t',r)dt',

~E*(t) = -^ J E*(t,r')dV.

Ar

(2.136a, b)

AV

Hierbei sind die Integrationen iiber ein hinreichend groBes Zeitintervall At bzw. iiber einen hinreichend groBen Volumenbereich AV zu erstrecken. Im Hinblick auf spatere Anwendungen seien einige Rechenregeln fiir die Mittelung bestimmter physikalischer FeldgroBen £ * , E* und £ | zusammengestellt, deren Herleitung aus (2.135 a, b) folgt. Es gilt u. a. E* = E, = —,

E = E,

£ ' = 0; = 0;

Ef • £2* = E\ • E2 + E[ • E'2;

£* • — - = £ i • — - + £'[ • — - ,

(2.137a) (2.137b)

wobei s eine der unabhangigen Veranderlichen entweder der Zeit t oder der Ortskoordinaten x\ mit i = 1, 2, 3 darstellt.57

Aus dem zahlreichen in Buchform niedergelegten Schrifttum iiber turbulente Stromungen seien bier die Werke von Schlichting [38], Hinze [17], Rotta [36], 57 In diesem Kapitel iiber die turbulente Stromung wird ausschlieBlich die Zeigerdarstellung fiir ein kartesisches rechtwinkliges Koordinatensystem (;, j = 1, 2, 3) verwendet.

136

2.5 Impulssatz (Kinetik)

Cebeci und Smith [7] sowie White [53] genannt. Auf die Handbuchbeitrage von Lin und Reid [24] iiber die theoretischen Gesichtspunkte sowie von Corrsin [8] iiber die Versuchsmethoden bei turbulenter Stromung sei hingewiesen. Im folgenden sollen nur Stromungen eines homogenen Fluids mit p = const und T) = const behandelt werden. Das Ziel der Untersuchung besteht in der Angabe von Beziehungen, denen die zeitlich gemittelten Werte der Geschwindigkeit und des Drucks geniigen miissen. Kontinuitatsgleichung. Setzt man (2.134b) mitu/ ^ v* = Vj + u' in die Kontinuitatsgleichung (2.62) fur p = const ein und schreibt die so entstandene Beziehung zum einen ftir die momentanen und zum anderen fur die gemittelten Werte an, so folgt unter Beachtung von (2.137b) mit E* = vj aus dem Vergleich dVi

^=0,

dv'i

dv't

oXj

aXj

T^=0,

aXj

T ^ = 0 (p = const).

(2.138a, b, c)

Sowohl das Feld der gemittelten Geschwindigkeit v als auch das der Schwankungsgeschwindigkeit v' erfiillen jeweils fur sich die Kontinuitatsgleichung, vgl. Tab. 2.10a. Reynoldssche Bewegungsgleichung. Fiihrt man die Reynoldsschen Ansatze fur die Geschwindigkeit v* und fiir den Druck p* in die Navier-Stokessche Gleichung mit u,- ^ v* und p = p* ein und mittelt iiber die jeweils auftretenden Glieder, so fiihrt dies zur Reynoldsschen Bewegungsgleichung der gemittelten turbulenten Stromung normalviskoser Fluide. Man kann sie auch als erweiterte Navier-Stokessche Bewegungsgleichung bezeichnen. Ausgangsgleichung ist die Impulsgleichung (2.119b), vgl. auch (2.120) sowie Tab. 2.10a, in der Form

^L

=

_^i_i^£!

+ vAw*

(/0 = const,

(2.139)58

n = const)

at axj p axi mit u*B = UB+U'B. Nachfolgend werden von den einzelnen Gliedern gemaB (2.137) die gemittelten Werte gebildet, und zwar gilt fiir die Beschleunigung gemaB (2.29a) d

A. =dJi+ v/Ji +vfA = ** + /A

(2.140a)

sowie fiir die massebezogene gemittelte Massen-, Druck- und Zahigkeitskraft gemaB (2.10b), (2.3b) bzw. (2.118b) 7

3«B dXi

hi = —T,—.

7

1 dP p dXi

hi = —T—.

7

d2Vi dxf

.-

hi = v—-j- = v Avt. (2.140b, c,d)

Diese Krafte werden jeweils nur von den gemittelten Werten der betrachteten physikalischen GroBen bestimmt. Durch Einsetzen der gefundenen Beziehungen in (2.139) erhalt man die Impulsgleichung der turbulenten Stromung normalviskoser 58

Es ist A = 82/dxf

der Laplace-Operator, vgl. Tab. B5.

o-

I11

co o

i

dx:

3u —i

=0

Kontinuitatsgleichung

=

"37

dvj

dv\

'dxj

_ dVi + VJ

Tragheitskraft fEi = -dvt/dt

It

dvi

dt

dv*

Masse x Beschleunigung

Impulsgleichung (Kraftgleichung)

Druckkraft hi

~~p"dx~i

1 dp

dp

1 dp

1 dp*

Druckkraft

Reibungskraft hi = fzi + hi

1 3 p dXj \ dXj

Jxj

~8xJ

d2vf

fzi

Zahigkeitskraft

Tabelle 2.10. Bewegungs- und Energiegleichungen der turbulenten Stromung normalviskoser, homogener Fluide

dx;

Turbulenzkraft

c

3

o' 3 en

of

If

•a

I

SB

b

S

60

stromung

1

I

B

=

dt

de'

h Vi J

dxj

de'

de de dt ' "] dxj

substantielle Anderung der Schwankungsenergie

dt

de'

de dt

dxj J

\ dt

„ de* dxj

J

dXj J

itBvf\

de* dt

J

_ (dv*

de* dt

' \ dt

Kinetische Energie

Tabelle 2.10. (Fortsetzung)

ng

Haupt sro'mu (gemil

Vebenstrc ^gemittelt

=

dXi

P

konvektive

+

h

,

-

i-

)

VV

%

i

ax;_

d2v i

f

dX

d2dt

»?/!*

V V

dVj

zahigkeitsbedingte

v 9 1 ' (dV'

turbulente Diffusion

Li fp' e'W

dXi

1 _ dp

p

1 _ dp

~~pVi 3^"

"ifPi

- v;

=

turbulente Dissipation

2 \ dxj

Energiegleichung der Fluidmechanik (Arbeitssatz der Mechanik) Arbeit der Zahigkeitskrafte Arbeit der Druckkrafte

3xi 1

' J

turbulente Energieproduktion

v'7^-

-

jj-

Arbeit der Turbulenzkrafte

5r

c

•a

2.5.3 Bewegungsgleichungen (Impulsgleichung fiir das Fluidelement)

139

Fluide zu

^ f^ at

dxj

(

'# J

p 0Xi

)

(

aXj

Dies Gleichungssystem bildet den Ausgangspunkt zur theoretischen Behandlung der turbulenten Bewegung. Die GroBen dii/dt auf der linken Seite von (2.141) stellt die substantielle Beschleunigung der Hauptstromung dar. Das erste, zweite und dritte Glied auf der rechten Seite sind die auf die Masse bezogene Massen-, Druck- bzw. Zahigkeitskraft. Das vierte Glied auf der rechten Seite tritt nur bei turbulenten Stromungen auf. Da dieser Ausdruck die Dimension einer Kraft bezogen auf die Masse hat, sei hierfiir der Begriff der bezogenen Turbulenzkraft fn eingefuhrt. Fiir die Impulsgleichung der turbulenten Hauptstromung (2.141) kann man also d v i

_

_

_

_

_

_

_

- 7 1 = fn + fpi + fzt + fn = fat + fpi + /*« (turbulent) at (2.142a, b) schreiben. Die Erweiterung der Navier-Stokesschen Gleichung fiir die laminare Stromung viskoser Fluide (2.108) besteht also darin, daB der Gleichung fiir eine mit der gemittelten Geschwindigkeit v und beim gemittelten Druck p ablaufende Hauptstromung eines viskosen Fluids additiv die gemittelte Turbulenzkraft fTi hinzuzufiigen ist, vgl. Tab. 2.6. Es ist fR = fz + fr die bezogene reibungsbedingte (zahigkeits- und turbulenzbedingte) Kraft. Zur Losung von (2.142) muB die Abhangigkeit der Turbulenzkraft von der gemittelten Bewegung bekannt sein, wobei diese nur halbempirisch angegeben werden kann. Turbulenzkraft. Durch Vergleich von (2.141) mit (2.142a) gilt fiir die massebezogene Turbulenzkraft dv'fn = -v'j-J ± =

d(v':v') r^-

aXj

0 = 1,2,3),

(2.143a, b)

aXj

wobei die zweite Beziehung aus der ersten Beziehung durch Hinzufiigen der mit (—v'j) multiplizierten gemittelten Kontinuitatsgleichung (2.138c) folgt. Nach dem d'Alembertschen Ansatz stellt fn die von der konvektiven Beschleunigung der Schwankungsbewegung hervorgerufene Tragheitskraft der Nebenstromung dar. Turbulenter Spannungszustand. Vergleicht man (2.143b) mit (2.116b) fiir die bezogene Spannungskraft an einem Fluidelement, so kann fiir die durch die turbulente Schwankungsbewegung zusatzlich hervorgerufenen Spannungen geschrieben werden59

f/,. = -p^f-

(i = l, 2,3),

i'u = -pity.

(2.144a, b)60

Es spielen also die gemittelten Produkte der Geschwindigkeitsschwankungen die bestimmende Rolle. Die durch Impulsaustausch infolge turbulenter Schwankungsbewegung zusatzlich auftretenden Spannungen stellen Tragheitsspannungen dar. Da sie zusatzlich zu den Spannungen einer mit der gemittelten 59

U m bei den durch die turbulente Bewegung bedingten Spannungen den Charakter der Mittelung

hervorzuheben, wird f/7 geschrieben. (Eine Kennzeichnung x[- wiirde bei folgerichtiger Anwendung von (2.137a) wegen ~E' = 0 zu dem falschen Ergebnis T J = 0 fuhren.) 60

Auf FuBnote 23 (S. 77) sei hingewiesen.

140

2.5 Impulssatz (Kinetik)

Geschwindigkeit vt ablaufenden laminaren Stromung viskoser Fluide nach (2.114) auftreten und sich in ahnlicher Weise wie diese auf den Bewegungsablauf auswirken, nennt man sie formal die scheinbaren Zahigkeitsspannungen der turbulenten Stromung oder einfach auch die Reynolds-Spannungen. Die gesamten durch die Viskositat und die Turbulenz verursachten Reibungsspannungen setzen sich aus dem zahigkeits- und dem turbulenzbedingten Anteil zusammen. Fur den vorliegenden Fall der Stromung eines homogenen Fluids folgt analog zu (2.114) mit (dv^/dxk) = 0 wegen p = const sowie aus (2.144) der Spannungstensor der gemittelten turbulenten Bewegung normalviskoser Fluide ^

= -%/5+^

mit

^

=

riJ+f..

= t,(^.

+^ j -

p

^ .

(2.145a)

Dieser Tensor ist wie bei der laminaren Stromung viskoser Fluide symmetrisch. Fur die Normal- und Tangentialspannungen gilt fi

^

^

,

rfj=Wi

('¥=!)•

(2.145b, c)

oXi

Bei ebener Stromung (i, j = 1,2) ist, vgl. (2.115), ^

^

^-pl^,

(2.146a, b)

r* = T + z' = ri — + — )-pu'v'. \dx dyj

(2.146c)

Im allgemeinen uberwiegen die Spannungen der turbulenten Schwankungsbewegung bei weitem die durch die Viskositat hervorgerufenen Spannungen, so daB man letztere in vielen Fallen vernachlassigen kann. In unmittelbarer Wandnahe ist die Schwankungsgeschwindigkeit normal zur Wand sehr klein, so daB man hier die von der Turbulenz hervorgerufenen zusatzlichen Schubspannungen gegeniiber den Zahigkeitsspannungen der Hauptstromung unberiicksichtigt lassen kann. Es tritt also bei jeder turbulenten Stromung in unmittelbarer Wandnahe eine sehr diinne viskose Unterschicht auf. An der Wand selbst verschwindet die turbulente Schwankungsbewegung vollstandig.

Berechnung turbulenter Scherstromungen. Turbulente Scherstromungen sind dadurch gekennzeichnet, daB erhebliche Gradienten der gemittelten Geschwindigkeiten UJ, VJ auftreten. Sie besitzen nach (2.38) fur #,;- = ^(dvt/dxj+dvj/dxi) einen von null verschiedenen Wert. Solche Stromungen kommen bei durchund umstromten Korpern in vielfaltiger Weise vor. Gl. (2.141) lautet unter Vernachlassigung der Massenkraft und in Verbindung mit (2.143), vgl. Tab. 2.10a, y

dt

| dXj

|

^ . ! ^ > p dXj

dxf

<,_,.„).

(2.147,

dxj

Zur Beschreibung des Stromungsfelds gehoren neben diesen drei Komponentengleichungen noch die Kontinuitatsgleichung (2.138a). Die Komponenten der Turbulenzkraft (letztes Glied) stellen neue Unbekannte dar, was bedeutet, daB das aus vier Gleichungen bestehende Gleichungssystem mehr als vier Unbekannte hat. Das Gleichungssystem ist also nicht geschlossen. Diese durch die Mittelwertbildung entstandene Tatsache wird das SchlieBungsproblem bei der Berechnung turbulenter Stromungen genannt. Die Losung dieser Aufgabe besteht offensichtlich darin, einen funktionalen Zusammenhang zwischen den neuen Unbekannten, namlich den sechs voneinander unabhangigen Komponenten des Spannungstensors der turbulenten Schwankungsbewegung (Reynoldsscher Korrelationstensor) f/; = fjj = —pv'jVj gemaB (2.144) in Verbindung mit (2.145b) und dem gemittelten Geschwindigkeitsfeld w,- anzugeben. Die dazu notwendigen SchlieBungsansatze in

2.5.3 Bewegungsgleichungen (Impulsgleichung fiir das Fluidelement)

141

Form von Turbulenzmodellen beruhen nach dem derzeitigen Stand der Turbulenztheorie sowohl auf Hypothesen als auch auf Erkenntnissen, die aus MeBergebnissen gewonnen werden (halbempirische Ansatze). Die kinematischen Randbedingungen, welche die Geschwindigkeit zu erfiillen haben, sind die gleichen wie bei der laminaren Stromung, namlich nach (2.119c) Verschwinden samtlicher Geschwindigkeitskomponenten bei der Umstromung fester nichtporoser Wande, d. h. vn=0=vt,

v'n=O=v't

(feste nichtporose Wand).

(2.148a, b)

Fiir die statistisch-stationare ebene turbulente Stromung eines homogenen Fluids folgt in Abanderung (gemittelte Werte) und Erganzung (Turbulenzkraft) des Gleichungssystems fiir die laminare Stromung (2.121) aus (2.138a) und (2.147) das Gleichungssystem (2.149a)

^ = 0 , dy dii l

Tx

+

_du V ~dy"

d2u

/9 2 M

1 ,.

/

P 9x

1

h

9y

d(u'2)

2

dx

d(u'v') \ +

dy J ' (2.149b)

dv "dx"

_3t5 + V

dy~~

1 9^ P

92v

v'2)

\

9j

dy

d(u'v')

dx J (2.149c)

Man erkennt, daB den drei Gleichungen die sechs Unbekannten «, v, p, u'2, v'2 und u'v' gegeniiberstehen. Fiir turbulente Stromungsgrenzschichten reduzieren sich die beiden Impulsgleichungen auf eine Gleichung in Hauptstromrichtung (z. B. die x-Achse), namlich in ahnlicher Weise wie nach (2.121d) fiir die laminaren Stromungsgrenzschicht _du _du u h v— = dx dy

ldp 92M h v—T p dx dy2

d(u'v') dy

(Stromungsgrenzschicht).

(2.150) Dabei ist p = p(x) der am Rand der Grenzschicht vorgegebene Druck. In Verbindung mit (2.149a) kommen also die drei Unbekannten u, v und u'v' vor. Das reduzierte Gleichungssystem la'Bt sich dadurch schlieBen, daB man fiir die Reynoldssche Schubspannung f = —pu'v' einen algebraischen Ausdruck angibt. SchlieBungsansatze auf der Grundlage des gemittelten Geschwindigkeitsfelds. Die zu besprechenden Ansatze beruhen auf der Annahme, daB sich der EinfluB der turbulenten Schwankungsbewegung auf das gemittelte Geschwindigkeitsfeld ohne Beriicksichtigung des eigentlichen Turbulenzmechanismus durch gewisse Analogiebetrachtungen erfassen la'Bt. Damit ist die Anwendbarkeit dieser Ansatze auf verschiedene Stromungstypen (Grenzschicht-, Rohrstromung u. a.) von vornherein eingeschrankt; es sei denn, die in den Ansatzen enthaltenen freien Parameter werden dem jeweiligen Stromungstyp angepaBt. Den ersten VorstoB in dieser Richtung hat Boussinesq [6] unternommen. In Analogie zum Newtonschen Schubspannungsansatz fiir die laminare Scherstromung eines viskosen Fluids u(y) entsprechend

142

2.5 Impulssatz (Kinetik)

(1.12) wird fiir die gesamte Schubspannung bei der gemittelten Geschwindigkeit u(y) ausgehend von (2.146c) du

r* = r1—+r' ay

,

mit

,

.du

du

f = -pu'v' = IJ'— = Ar— ay ay

(2.151a, b, c, d)

gesetzt, vgl. (1.18). Die GroBe rj' besitzt die gleiche Dimension wie die molekulare Viskositat r\ und wird daher formal als scheinbare Viskositat der turbulenten Stromung bezeichnet. Den entsprechenden Ausdruck der kinematischen Viskositat v = r)lp nennt man die Wirbelviskositat (eddy viscosity) v' = rj'/p. Da es sich bei der turbulenten Schwankungsbewegung jedoch im wesentlichen um einen Austauschvorgang von Impuls handelt, wird r\' sinnvoller als ImpulsaustauschgroBe Ax bezeichnet, vgl. Kap. 1.2.3.4. Trotz der formalen Ubereinstimmung der Schubspannungsansatze fur die laminare und turbulente Stromung bestehen jedoch zwischen den beiden GroBen r\ und rf grundsatzliche physikalische Unterschiede. Wahrend die Viskositat rj den Impulsaustausch aufgrund der molekularen Bewegung beschreibt und abgesehen von moglichen Druck- und Temperaturschwankungen vom Ort unabhangig, d. h. eine reine StoffgroBe ist, beschreibt r)' den Impulsaustausch aufgrund der makroskopischen turbulenten Schwankungsbewegung der Fluidelemente. Damit ist die AustauschgroBe Ax = r\' sowohl vom Ort als auch von der Verteilung der gemittelten Geschwindigkeit abhangig. Um den Ansatz (2.15Id) als Berechnungsgrundlage nutzbar zu machen, ist diese Abhangigkeit funktional auszudriicken. In Analogie zur kinetischen Gastheorie hat Prandtl [31] diesen Weg beschritten. Die aus der kinetischen Gastheorie ableitbare Proportionalitatsbeziehung v ~ Ac mit A. als mittlerer freier Weglange und c als Schallgeschwindigkeit, laBt sich im Hinblick auf die Wirbelviskositat v' formal iibernehmen, namlich v' = lcvc mit/ c und vc als einer fiir die turbulente Schwankungsbewegung charakteristischen Lange bzw. Geschwindigkeit. Fiir die charakteristische Lange wird der sogenannte Mischungsweg / und fiir die charakteristische Geschwindigkeit der Ausdruck l(du/dy) angesetzt. Der Mischungsweg wird nur als eine Funktion des Orts angenommen und kann anschaulich folgendermaBen gedeutet werden: Man betrachte einen Fluidballen der Masse Am in einer ebenen gemittelten Scherstromung, der sich entsprechend Abb. 2.41 augenblicklich an der Stelle y befindet

Abb. 2.41. Zur Erlauterung der Schwankungsgeschwindigkeiten und des Mischungswegs in einer ebenen turbulenten Scherstromung

2.5.3 Bewegungsgleichungen (Impulsgleichung fiir das Fluidelement)

143

und dort parallel zur x-Achse die gemittelte Geschwindigkeit u(y) besitzt. Infolge der Querschwankung v' ^ 0 durchlaufe er in der y-Richtung den Weg ±/', bis er sich mit den Schichten an den Stellen y±l' vermischt hat. Unter der Annahme, daB er bei dieser Querbewegung seinen x-Impuls AOTM beibehalt, besitzt er an den Stellen y±l' eine kleinere bzw. groBere gemittelte Geschwindigkeit in x-Richtung als dieser Stelle mit u{y±V) = u(y)±(du/dy)l' + \{d2u/dy2)l'2 + • • • entspricht. Die infolge der Querbewegung entstehende Geschwindigkeitsdifferenz kann nun als Langsschwankung u' g[ 0 gedeutet werden. Bei der Bewegung von y — V bis y+V betragt die Geschwindigkeitsdifferenz AM = 2(du/dy)l'.61 Um etwas iiber die GroBe der Querschwankung v' aussagen zu konnen, denke man sich zwei Ballen, die sich infolge der Schwankungsbewegung aus verschiedenen Schichten oberhalb und unterhalb von y, d. h. y ± / ' , kommend in der Schicht y mit verschieden groBer Geschwindigkeit u bewegen. Besitzt der hintere Ballen eine groBere Geschwindigkeit als der davorliegende, so stoBen sie aufeinander, im anderen Fall entfernen sie sich voneinander. Ihre Relativgeschwindigkeit betragt AM = 2{du/dy)l', wenn man die beiden Mischungswege als gleich groB annimmt. Beim ZusammenstoB der beiden Fluidballen weichen diese nach beiden Seiten aus, umgekehrt dringt Fluidmasse aus der Umgebung in die entstandene Liicke ein, wenn die Ballen sich voneinander entfernen. Die in beiden Fallen auftretenden Querbewegungen v' sind aus Kontinuitatsgriinden von der gleichen GroBenordnung der Langsschwankungen M'. Fiir die zeitlichen Mittelwerte der absoluten Betrage der Geschwindigkeitsschwankungen kann man also \u'\ = (3w/9y)/' und \v'\ = k\\u'\ schreiben, wobei k\ eine unbekannte Zahl darstellt. Aus Abb. 2.41 ist ersichtlich, daB einem positiven v' immer ein negatives u' entspricht und umgekehrt. Damit erhalt man fiir den zeitlichen Mittelwert der Schwankungsbewegung (Korrelation der Schwankungsgeschwindigkeiten) u'v' = —k2\u'\ • \v'\ = —(3M/3V) 2 / 2 . Das negative Vorzeichen ist wegen der wechselnden Vorzeichen von u' und v' erforderlich. Weiterhin ist I2 = kikjl'2 gesetzt worden, was lediglich einer Abanderung der ohnehin noch unbekannten Lange /' entspricht. Die GroBe / wird als Mischungsweg bezeichnet. Durch Einsetzen von u'v' in (2.151b) erhalt man fiir die Reynoldssche Schubspannung AT— dy

mit

AT = pi

dy

(2.152a, b)

als ImpulsaustauschgroBe. Um zum Ausdruck zu bringen, daB einem positiven Wert du/dy eine positive Schubspannung f entspricht und umgekehrt, wird in (2.152b) der Absolutwert \du/dy\ eingefiihrt. Der Vergleich von (2.152) mit (2.151b, c) liefert fiir die Wirbelviskositat den Ausdruck v ' = y/\u'v'\l. Neben dem Austauschansatz und dem Einfiihren der Mischungswegformel liegen noch einige andere Uberlegungen vor. So wird z. B. von Taylor [48] die Wirkung der Turbulenzbewegung auf die gemittelte Stromungsgeschwindigkeit als Wirbeltransport gedeutet. Der Prandtlsche Mischungswegansatz (2.152) hat sich bei der theoretischen Behandlung einfacher turbulenter Scherstromungen mittels der Reynoldsschen 61

Die Glieder mit der zweiten Ableitung d2u/dy2 heben sich heraus.

144

2.5 Impulssatz (Kinetik)

Bewegungsgleichung als recht erfolgreich erwiesen. Um die Mischungswegformel praktisch anwenden zu konnen, ist es zunachst notwendig, aus typischen Versuchsergebnissen, den Mischungsweg / als Funktion des Oils zu ermitteln, wobei (2.152) die Bedeutung einer Definitionsgleichung besitzt. Die empirisch gewonnenen GrbBen korreliert man mit geeigneten Parametern mit dem Ziel, die so gefundenen Zusammenhange auch auf andere Stromungstypen oder Randbedingungen iibertragen zu konnen. Tatsachlich haben entsprechende Untersuchungen gezeigt, daB dies Vorgehen fur einzelne Stromungstypen jeweils moglich ist. Fiir Stromungen mit fester Begrenzung (Rohr stromung, Wandgrenzschicht) oder fur Stromungen mit freien Grenzen (Nachlaufstromung, Freistrahl) kann man naherungsweise die Ansatze l = Ky

(feste Wand),

/ = /?b(x)

(freie Stromung)

(2.153a,b)

machen. Hierin stellen y den Wandabstand und b(x) z. B. die Breite einer Nachlaufstromung sowie K und ft konstante Werte dar. Letztere sind dem jeweiligen Stromungstyp einschlieBlich der Randbedingungen anzupassen. Aufgrund einer Ahnlichkeitsbetrachtung iiber den Schwankungsmechanismus turbulenter Stromungen gibt von Karman [21] fiir den Mischungsweg die Beziehung / = K(du/dy)/(d2ii/dy2) mit K = const an. Sie laBt erkennen, daB der Mischungsweg nur von der Art der Geschwindigkeitsverteilung u(y) an der betrachteten Stelle y abhangt, was in Wirklichkeit nur in Wandnahe zutrifft. Dariiber hinaus versagt sie, wenn die Geschwindigkeitsverteilung u(y) einen Wendepunkt (d2u/dy2 = 0) besitzt. Trotz der grundsatzlich verschiedenen Vorgange bei den molekularen und turbulenten Transportvorgangen, haben es die angegebenen phanomenologischen Ansatze ermoglicht, eine halbempirische Turbulenztheorie zur Losung vieler praktischer Aufgaben zu entwickeln. Auf eine Erweiterung und damit auch eine Verbesserung dieser Theorie durch Einfiihren von SchlieBungsansatzen auf der Grundlage des gemittelten Energiefelds wird bei der Behandlung der Energiegleichung in Kap. 2.6.5.2 eingegangen. Geschwindigkeitsverteilung einer ebenen turbulenten Stromung in der Niihe fester Wande. Messungen von turbulenten Geschwindigkeitsschwankungen in der Nahe fester Wande wurden verschiedentlich durchgefuhrt. Abb. 2.42a zeigt die von Laufer [23] fiir ein zylindrisches Rohr mit glatter Innenwand gewonnenen Ergebnisse. Aufgetragen sind iiber dem dimensionslosen Wandabstand yT = uzy/vmitur = \frw/p als sogenannter Schubspannungsgeschwindigkeit und xw als Wandschubspannung die drei Schwankungskomponenten in der Form V ua/uT, V va/uz und V wa/uT. Der dimensionslose Wandabstand yr stellt eine mit der Schubspannungsgeschwindigkeit ur, dem Wandabstand y und der kinematischen Viskositat v gebildete ortliche Reynolds-Zahl dar. Wie aus Abb. 2.42a ersichtlich ist, ist die Schwankungsbewegung in unmittelbarer Wandnahe (y -> 0) stark behindert. Diese Aussage gilt nach Abb. 2.42b auch fiir die Reynoldssche Schubspannung i'lpu\ = —«'«'/"?• In unmittelbarer Wandnahe ist die Reynoldssche Schubspannung gegeniiber der zahigkeitsbedingten Spannung f/pM^mitf = r)(du/dy) vernachlassigbar klein (viskose Unterschicht). An der Wand selbst ist Vw = 0, was nach (2.146c) fiir die Wandschubspannung zu r* = xw fiihrt. In Abb. 2.42c ist die gemittelte Geschwindigkeit in der Form u/uz iiber yT = uTy/v in halblogarithmischer Darstellung aufgetragen. Je nach GroBe y r laBt sich der Verlauf in drei Bereiche unterteilen; und zwar in die viskose Unterschicht (0 g y r < 5), in welcher der EinfluB der Viskositat vorherrscht, in die Ubergangsschicht (5 < yT < 60), in welcher die Newtonsche (viskose) und Reynoldssche (turbulente) Schubspannung von gleicher GroBenordnung sind, und in die vollturbulente Wandschicht (yr > 60), in welcher bei ausreichend groBer Reynolds-Zahl nur die Reynoldssche Schubspannung wesentlich ist.

145

2.5.3 Bewegungsgleichungen (Impulsgleichung fiir das Fluidelement) 3.0 2.5

1.0

0

-•.—

2.0

/

*"" —-o

1.5

W 0.5

T/Zw

/

1/

f

0.6

—

/

0.8

-•—c

. —o— —•

0.4

_ - < > • • -

0,2

r

k

0

20

30

iO

50

60

70

J

/

1

0

W

20

30

iO

50

60

70

a

30

Rohr ]

25

1 T 1 1

f /

\

I '

0 >° -^

(2) \

r

A

20

15

\

V3

)

W •«o—

1^

(3)

i

o •

-~,

-6,—

Re--5-10' Re--5-W5

i

J5

0 1

2

(

10

2

— viskose Unterschicht —• - Ubergangsschtht c

4

6 S 10 J -

2

4

6

8 10

10'

vollturbulente Wandschicht

yt--uvy/v

Abb. 2.42. Turbulente Stromungsbewegung in der Nahe der glatten Wand (y -*• 0) eines mit der mittleren Geschwindigkeit um durchstromten zylindrischen Rohrs vom Durchmesser D, Messungen nach [23], Schubspannungsgeschwindigkeit uz = y/fw/p, dimensionsloser Wandabstand yz = yur/v, Reynolds-Zahl Re = umD/v. a Schwankungsgeschwindigkeiten. b Reynoldssche und Newtonsche Schubspannung, x'/fw bzw. X/XW(X*/TW « 1). c Gemittelte Geschwindigkeit u/uz (halblogarithmische Auftragung), vgl. [10]. (1) Viskose Unterschicht. nach (2.155), (2) universelles logarithmisches Wandgesetz nach (2.156), (3) viskos-turbulente Ubergangsbereich nach (2.158a) in Verbindung mit (2.158c)

Mit den experimentell bestatigten Erkenntnissen laBt sich nun die Verteilung der gemittelten Geschwindigkeit in Wandnahe u(y) theoretisch, oder genauer gesagt halbempirisch, ermitteln. Hierbei soil die Prandtlsche Mischungsformel zur Anwendung kommen. Bei der betrachteten ebenen Scherstromung u(y) soil keine Riickstromung mit u < 0 auftreten. Weiterhin gelte dii/dy = du/dy > 0. Aus (2.151a) und (2.152a) folgt fiir die gesamte Schubspannung der turbulenten Stromung: du

= ?j I —— I

(Scherstromung).

(2.154a)

In unmittelbarer Wandnahe, d. h. in der viskosen Unterschicht 0 g y g So mit So als Dicke der Unterschicht ist / = 0 und in der turbulenten Wandschicht y > S, ist r\ = 0 zu setzen. Damit ergeben sich

146

2.5 Impulssatz (Kinetik)

aus (2.154a) mit xw = pu\ folgende Bestimmungsgleichungen filr die Geschwindigkeitsverteilungen in den beiden genannten Bereichen: du ul r* -T = —— dy v zw

(OgygSo),

Fiir die gesamte Wandschicht sei die fiir Stromungen ohne Druckgradient in Hauptstromungsrichtung experimentell bestatigte weitgehende Annahme getroffen, daB die Schubspannung x*{y) «* xw ungeandert gleich der Wandschubspannung ist, d. h. x*/xw « 1. Hiermit erhalt man als Losung von (2.154b) in dimensionsloser Darstellung — = ^ - = yr «r v

(viskose Unterschicht, 0 < v < &>).

(2.155)

Es nimmt die Geschwindigkeit linear mit dem Wandabstand zu. Dies Ergebnis ist in Abb. 2.42c als Kurve (1) wiedergegeben. Es gilt bis etwa yr = 5, woraus sich die Dicke der viskosen Unterschicht zu So f» 5(v/uT) ergibt. Fiir die vollturbulente Wandschicht gilt nach (2.153a) fiir den Mischungsweg der Ansatz / = icy. Nach Einsetzen in (2.154c) und Ausfiihren der Integration findet man in dimensionsloser Darstellung — = AlnyT + B = A\gyT + B

(turbulente Wandschicht, y > S,)

(2.156a, b)

Mr

Die GroBen A = \JK und B sind universelle Konstanten, die aus MeBergebnissen zu bestimmen sind, vgl. z. B. [10]. Bei glatter Wand ergeben sich die Werte K = 0,4 bzw. A = 2,5 oder A = 5,75 sowie B « 5,24. Die Beziehung nach (2.156) ist in Abb. 2.42c als Kurve (2) im halblogarithmischen MaBstab als Gerade dargestellt. Man nennt (2.156) das universelle logarithmische Wandgesetz der turbulenten Geschwindigkeitsverteilung. Bei Annaherung an die Wand (y —>• 0) wiirde die Geschwindigkeit u nach (2.156) gegen - c o gehen, wahrend wegen der Haftbedingung dort u = 0 sein muB. Dies unbefriedigende Ergebnis ist die Folge der unberiicksichtigten viskosen Unterschicht. Bei rauher Wand geht B in eine Funktion der Wandrauheit B = B(kr) mixkr = kur/v (k = Rauheitshohe) iiber. Die angegebenen Gesetze (2.155) und (2.156) lassen sich nach von Karman [21] auch aus einer Ahnlichkeitshypothese ableiten. Die Ahnlichkeitsgesetze lauten — = /(v T ) uT

(glatt),

— = f(yT,kz) ur

(rauh).

(2.157a, b)

Dabei beschreibt (2.157a) auch den durch MeBergebnisse an glatter Wand in Abb. 2.42c als Kurve (3) dargestellten Ubergang von der viskosen Unterschicht zur vollturbulenten Wandschicht So ^ y ^ St • Um diesen Ubergangsbereich theoretisch beschreiben zu konnen, geht man von dem Ansatz (2.154a) fiir die gesamte Schubspannung aus, indem man nach du/dy auflost und iiber y integriert. Nach Einfiihren der dimensionslosen GroBen yT =uTy/v, lz = url/v und f = x*/xw sowie Umformung wird u _

f

2i

u

*~ I 1 + v T

-dyx.

(2.158a)

Unter der bereits oben gemachten Annahme, wonach nalierungsweise x* ss xw, d. h. f ss 1, sein soil, fuhrt (2.158a) mit lz = 0 zu (2.155) und mit 2/ r = 2icyz » 1 zu (2.156). Um jetzt auch den Ubergangsbereich erfassen zu konnen, ist eine Abanderung des einfachen linearen Ansatzes fiir den Mischungsweg I = icy nach (2.153a) in der Weise vorzunehmen, daB die Verhaltnisse in der viskosen Unterschicht richtig wiedergegeben werden. Nach Rotta [35] bzw. van Driest [10] kann man /=0

furOgyg^o,

/ = «(y - So)

fur y ^ So

(Rotta),

(2.158b)

l = Ky l - e x p ( - — II f u r y > 0 (Driest) (2.158c) L V ybj] setzen. Fiir die durch Vergleich mit Messungen an glatten Wanden bestimmten Konstanten gilt K = 0,4, 5 0 = 6,7V/M T und yi, = 26v/uz. In Abb. 2.43 sind die dimensionslosen Mischungswege lT = url/v iiber dem dimensionslosen Wandabstand y r = ury/v aufgetragen. Wahrend sich (2.158a) fiir den einfacheren Ansatz (2.158b) geschlossen losen laBt, ist dies fiir den physikalisch einleuchtenderen Ansatz (2.158c) nur numerisch moglich. Das letzte Ergebnis ist in Abb. 2.42c als Kurve (3) eingetragen und gibt die MeBergebnisse sehr gut wieder.

2.5.3 Bewegungsgleichungen (Impulsgleichung fiir das Fluidelement)

147

25r 20 (/)

15 •

10 5

10

30

20

40

50

60

70

Abb. 2.43. Ansatze fiir den turbulenten Mischungsweg, (1) nachPrandtl, (2.153a), (2) nach Rotta, (2.158b), (3) nach van Driest, (2.158c)

2.5.3.6 Uber die Entstehung der Turbulenz Methode der kleinen Schwingung. Bisher wurde der Zustand turbulenter Stromung als eine gegebene physikalische Tatsache angesehen, ohne daB dabei die Frage nach der Entstehung der Turbulenz erortert wurde. Wie man weiB, stellen die laminaren Stromungen auch ftir beliebig groBe Reynolds-Zahlen eine strenge Losung der Navier-Stokesschen Gleichung dar. Da sie aber unter gegebenen Voraussetzungen (groBe Re-Zahlen) nicht beobachtet werden, sprach Reynolds [33] wohl als erster die Vermutung aus, daB die Laminarbewegung moglicherweise instabil wird und in die turbulente Stromungsform umschlagt. Unterstellt man diese Annahme als richtig, so kann man zur Erklarung des Phanomens theoretisch folgendermaBen vorgehen: Man denkt sich der anfangs laminaren Bewegung kleine Storungen uberlagert. Klingen diese mit der Zeit, d. h. im weiteren Verlauf der Bewegung ab, so ist die Laminarbewegung stabil, vergroBern sie sich dagegen in zunehmendem MaB, dann ist sie instabil und kann in die turbulente Form umschlagen. Die Frage nach der Entstehung der Turbulenz ist nach dieser Anschauung ein Stabilitatsproblem ahnlich dem Knick- oder Beulproblem der Elastizitatstheorie. Zu seiner Losung kann die Methode der kleinen Schwingungen herangezogen werden. Der Behandlung dieser fiir die gesamte Fluidmechanik auBerst wichtigen Frage ist seit Reynolds groBe Aufmerksamkeit geschenkt worden. Der grundlegende Gedanke sei nachstehend kurz wiedergegeben. Der Betrachtung sei die ebene Stromung eines dichtebestandigen Fluids mit konstanter Viskositat zugrunde gelegt, fiir welche bei Vernachlassigung der Massenkraft die Grundgleichungen (2.121a, b, c) gelten. Die stationare laminare Grundstromung habe die Geschwindigkeitskomponenten u(x, v), v(x, y) und den Druck p, denen jetzt die Storkomponenten u'(t, x, y), v'(t, x, y), p'(t, x, y) uberlagert werden sollen, so daB u = u+ u

p = p + p'

V = V + V,

(Ansatz)

(2.159)

62

die entsprechenden Werte der gestorten Stromung sind. Dabei sollen u',v', p' sehr viel kleiner als u,v,p sein. Der Einfachheit halber sei als Grundstromung die einfache Scherstromung u = u(y), v = 0 angenommen. Wahrend die Kontinuitatsgleichung (2.121a) erfiillt ist, gilt mit du/dt = 0 = dv/dt, us = 0 fur die Impulsgleichungen (2.121b, c) 1 dp

32«

)=

(Grundstromung).

(2.160a, b)

P dy

Fiir die Storbewegung folgt aus (2.121) nach Einsetzen von (2.159) und (2.160) das Gleichungssystem fiir «', v' und p' du'

dv'

(2.161a)

+

du' at

_du' ,du \-u \-v — = dx

ay

1 dp' — P

a2u'

(2.161b)

ax

62 Es sei ausdriicklich darauf hingewiesen, daB hier unter u', u'die Storgeschwindigkeiten und nicht die turbulenten Schwankungsgeschwindigkeiten zu verstehen sind.

148

2.5 Impulssatz (Kinetik)

dv'

dv'

+

1 dp' p fdy

+

(d2v' \Udxl

d2v' l + dy )

Bei der Herleitung von (2.161b, c) wurde entsprechend der getroffenen Annahme iiber die GroBe der Storgeschwindigkeiten berilcksichtigt, da8 u'
(Storansatz)

(2.162)

gemacht werden, wobei anstelle einer trigonometrischen Funktion die komplexe Schreibweise gewahlt wird. (Physikalisch kommt fiir die Schwingung nur der reelle Anteil dieses Ausdrucks in Frage.) Es bedeuten f(y) die Amplitudenfunktion der Storbewegung, A. = 27t/a die Wellenlange der Schwingung und p = ft + ipi eine komplexe GroBe, deren reeller Teil ft- die Kreisfrequenz der Schwingung und deren imaginarer Teil ft eine Anfachungs- bzw. DampfungsgroBe darstellt. Setzt man ft ein, d. h. exp(/[ax - (Pr + iPi)t]), so erkennt man, daB der reelle Teil des Exponenten -i2Pit = Pit fiir ft > 0 positiv wird. In diesem Fall wachst * ' mit der Zeit, die Schwingungen werden also angefacht, was gleichbedeutend ist mit einer Instabilitat der laminaren Grundstromung. Dagegen tritt fiir ft < 0 Dampfung ein; die Stromung ist also stabil. SchlieBlich gibt der Wert ft = 0 die Grenze der Stabilitat an. Die ihm entsprechenden Schwingungen werden als neutrale Schwingungen bezeichnet. Es ist zweckmaBig, neben a und p auch noch die aus ihnen gebildete GroBe c = p/a — cr + ic,- einzufiihren. Dabei bedeutet cy die Wellenfortpflanzungsgeschwindigkeit der Storung (Phasengeschwindigkeit). Setzt man (2.162) in die Differentialgleichung fiir >!'' ein, so erhalt man eine gewohnliche lineare Differentialgleichung fiir f(y) von der Form (ecu - P)(f" - a2f)

- au"f

= -iv(f"" - 2a 2 /" + a 4 /).

(2-163)

welche als Differentialgleichung der Storbewegung (Orr-Sommerfeldsche Gleichung) bezeichnet wird. Es bedeuten (• • •)', (• • •)" und (• • •)'" jeweils Differentiationen nach y. An einer festen Wand (y = 0) gelten die Randbedingungen / = 0 = / ' . Man kann (2.163) noch dimensionslos machen, indem man alle Langen auf eine geeignet gewahlte Lange / (Kanalbreite, Grenzschichtdicke) und alle Geschwindigkeiten auf eine charakteristische Geschwindigkeit um der Grundstromung (maximale oder mittlere Geschwindigkeit) bezieht. Dann tritt neben den Parametern a und p noch die Reynolds-Zahl Re = uml/v auf. Aufgabe der Stabilitatsuntersuchung ist nun die Losung von (2.163) fiir eine vorgegebene Laminarstromung mit verschiedenen*Geschwindigkeitsprofilen u(y), wobei Re als bekannt anzusehen ist. Es handelt sich dabei um ein Eigenwertproblem, bei dem fiir vorgegebene /?e-Zahlen und ebenfalls gegebene Wellenlangen X = 2n/a die zugehorigen Eigenwerte p = ft +ift und Eigenfunktionen (Eigenlosungen) / ( y ) zu bestimmen sind. Aus dem Vorzeichen von ft J 0 laBt sich dann erkennen, ob die Laminarstromung unter den gemachten Voraussetzungen stabil ist oder nicht. Die Losung der vorstehend in seinen Grundziigen dargelegten Aufgabe ist schwierig und hat lange nicht zu dem erhofften Erfolg gefiihrt. Tollmien [50] gelang es, eine Reynolds-Zahl des Instabilitatspunkts fiir die langsangestrSmte ebene Platte theoretisch zu bestimmen. Ergebnisse der Stabilitatstheorie. Aufgrund der Tollmienschen Rechnungen kann eine Indifferenzkurve angegeben werden, durch die sich der stabile vom instabilen Bereich abtrennen laBt. Abb. 2.44 zeigt diese Indifferenzkurve fiir die langsangestromte ebene Platte. Als Abszisse ist die mit der Verdrangungsdicke der Reibungsschicht Si, der ungestorten Anstromungsgeschwindigkeit Utx und der kinematischen Viskositat v gebildete Reynolds-Zahl UxS\/v sowie als Ordinate die auf Ux bezogene Wellenfortpflanzungsgeschwindigkeit Cr/U^, gewahlt worden.63 Die Kurve ft = 0 bestimmt die Grenze Die Definition der Verdrangungsdicke ist in Kap. 6.3.2.3. gegeben.

2.5.3 Bewegungsgleichungen (Impulsgleichung fiir das Fluidelement)

149

0.5 OA

k

0.3

instabil (fl,=-O)

^ 0.2 st 0,1

4 o

W2

103

W< Re

w5

ws

Abb. 2.44. Indifferenzkurve der laminaren Stromung einer langsangestromten ebenen Platte nach [50]; Re — ^oo^i/i 1 = Reynolds-Zahl. S\ Verdrangungsdicke der Reibungsschicht, vgl. Abb. 6.10, cr Wellenfortpflanzungsgeschwindigkeit der Stoning

des stabilen Bereichs der Stromung. Durch die Tangente an die Indifferenzkurve parallel zur Ordinatenachse wird diejenige Reynolds-Zahl der neutralen Schwingung Ren festgelegt, unterhalb welcher die Storungen gedampft verlaufen. Danach ist =420,

=0,59-105

(2.164a, b)

Die zweite Beziehung folgt aus der ersten nach Einsetzen der Beziehung fiir die Verdrangungsdicke Si(x). Die durch Messung bestimmbare Reynolds-Zahl Reu, bei der der Umschlag laminar-turbulent auftritt, betragt etwa 3,6 • 10 5 . Dieser bemerkenswerte Unterschied gegenilber Ren laBt sich daraus erklaren, daB die berechneten Storwellen, welche zur Instabilitat fiihren, sehr langgestreckt sind, im Gegensatz zur eigentlichen Turbulenz, die wesentlich kurzwelliger ist. Die errechnete Reynolds-Zahl des Indifferenzpunkts (Neutralpunkts) Ren gibt also erst die Grenze der Stabilitat an, aber noch nicht den Umschlag in die turbulente Stromungsform. Dieser erfolgt stets erst in einem gewissen Abstand stromabwarts vom theoretisch berechneten Instabilitatspunkt. Fiir die Reynolds-Zahl des Umschlagpunkts gilt also Reu > Ren. Ein wichtiges Stabilitatskriterium, das mit der Form des Geschwindigkeitsprofils u(y) in unmittelbarem Zusammenhang steht, konnte ebenfalls von Tollmien [51] nachgewiesen werden. Es besagt, daB bei hinreichend groBen Reynolds-Zahlen Geschwindigkeitsprofile mit Wendepunkt instabil sind. Wendepunkte treten bei Stromungen mit Druckanstieg dp/dx > 0 auf, wahrend bei Druckabfall dp/dx < 0 die Profile frei von Wendepunkten sind. Druckabfall bedeutet also Stabilitat, Druckanstieg dagegen Labilitat. Bei der langsangestromten Platte besitzt das laminare Geschwindigkeitsprofil einen Wendepunkt am Plattenrand y = 0. Es liegt also ein Grenzfall des Wendepunktkriteriums vor. DaB hier trotzdem bei entsprechend groBen Reynolds-Zahlen Instabilitat auftritt, ist auf eine anfachende Wirkung der Viskositat zuriickzufiihren, durch welche Energie von der Hauptbewegung an die Storbewegung abgegeben wird. Ein weiteres wichtiges Anwendungsgebiet der Stabilitatstheorie ist die Untersuchung von Stromungen dichteveranderlicher Fluide. Dabei hat sich gezeigt, daB der EinfluB der Dichteanderung auf die GroBe der Reynolds-Zahl Ren gering ist, solange kein Warmeiibergang von der Wand zum stromenden Fluid stattfindet. Im anderen Fall dagegen macht sich ein erheblicher EinfluB auf die Stabilitat der Stromung bemerkbar. Bei der Stromung langs einer konvex gekriimmten Wand unterliegt die wandnahe Stromung (Reibungsschicht) infolge ihrer geringen Geschwindigkeit im Gegensatz zur auBeren Stromung nur kleinen Zentrifugalkraften. Sie wirken stabilisierend, was einer Abschwachung der turbulenten Vermischung entspricht. Das Entgegengesetzte tritt ein bei konkav gekriimmten Wanden, da jetzt die schnelleren Fluidelemente nach innen zu wandern suchen und damit die Vermischung in der Reibungsschicht verstarken. Die Ergebnisse der Tollmienschen Theorie konnten zunachst durch den Versuch nicht erhartet werden. Erst die experimentellen Untersuchungen in einem turbulenzarmen Kanal von Dryden [11] sowie Schubauer und Skramstad [41] bestatigen die Gultigkeit der beschriebenen Stabilitatstheorie. Ober die Entwicklung und die Fortschritte zur Forschung der Turbulenzentstehung geben zusammenfassende Berichte von Tollmien [52] und Schlichting [39] Auskunft, vgl. die Ausfiihrung im letzten Abschnitt auf S. 132. 'Rirbulenzgrad. Als MaB fiir die Storungen eines Fluidstrahls fiihrt man den Turbulenzgrad Tu =

= ^—\J7i

(isotrop)

(2.165a, b)

150

2.6 Energiesatz (Energetik)

V\ \

u

• MAC A Hep 3K oNACA Step. 581

3,2

18 If 10

L

V,

IB

•^

U

1

i Abb. 2.45. Reynolds-Zahl des Umschlagpunkts Reu = UooD/v (Kugelkennzahl) in Abhangigkeit OM

0,03 Tu

00 ~

0,05 o,oe

von der Windkanalturbulenz Tu = vua/UaD Messungen von Dryden und Kuethe [12]

nach

ein, wobei die Wurzel das arithmetische Mittel aus den zeitlich gemittelten Quadraten der turbulenten Schwankungskomponenten darstellt. Bei isotroper Turbulenz («' = v' = w') gilt (2.165b). Bei Messungen im Windkanal spielt der Turbulenzgrad fiir die Ubertragbarkeit der Messungen vom Modell auf die GroBausflihrung und auch fiir den Vergleich der Messungen in verschiedenen Kanalen untereinander eine wichtige Rolle. Die Maschenweite der eingebauten Gitter und Siebe bestimmen maBgebend den Turbulenzgrad. Wahrend normale Windkanale Werte Tu w 0,01 besitzen, lassen sich bei sogenannten turbulenzarmen Windkanalen durchaus Werte Tu « 0,001 erzielen. Eine wichtige experimentelle Feststellung ist, daB die Reynolds-Zahl Reu (Kugelkennzahl), bei welcher nach Abb. 3.84 ein steiler Abfall des Widerstandsbeiwerts mit der Reynolds-Zahl eintritt, stark vom Turbulenzgrad des Windkanals abhangt. In Abb. 2.45 ist Reu iiber Tu aufgetragen. Es leuchtet ein, daB Reu um so kleiner wird, je groBer Tu wird, da eine groBe auBere Turbulenz das Auftreten des Umschlagpunkts in der wandnahen Stromungsschicht am Korper (Reibungsschicht) begiinstigt.

2.6 Energiesatz (Energetik) 2.6.1 Einfuhrung Allgemeines. Der alle Naturwissenschaften beherrschende Energiesatz (Energieerhaltungssatz) besagt, daB bei einem physikalischen Vorgang Energie weder erzeugt noch vernichtet, sondern nur von einem Korper auf den anderen ubergehen oder nur von einer Erscheinungsform in eine andere umgewandelt werden kann. Alle Energieformen sind untereinander gleichwertig. Diese als Energetik bekannte

2.6.1 Einfuhrung

151

Lehre befaBt sich mit der Fahigkeit, durch Anderung der Energie Arbeit zu verrichten. Sowohl Energien (ZustandsgroBen) als auch Arbeiten (ProzeBgroBen) treten in verschiedenen Formen als mechanische, thermische oder elektromagnetische GroBen auf. Sie werden in Nm = J (Joule) gemessen. Fur das Gebiet der Fluidmechanik beschreibt die Energetik vornehmlich das Zusammenwirken von mechanischen und thermodynamischen Vorgangen. Es sollen die elektrischen und magnetischen Eigenschaften der Fluide nicht beriicksichtigt und weiterhin Grenzflachenerscheinungen (Kapillarwirkung) vernachlassigt werden. Im allgemeinen spielen die zeitlichen Anderungen der Energien und Arbeiten die bestimmende Rolle. Obwohl es sich dabei um die GroBen Energie/Zeit = Energiestrom, Arbeit/Zeit = Leistung oder Warme/Zeit = Warmestrom in J/s = W (Watt) handelt, spricht man immer vom Energiesatz. Kommen nur rein mechanische GroBen vor, so werden diese vom Energiesatz der Fluidmechanik (Form I) erfaBt. Werden die Aussagen der Mechanik durch Einbeziehen von dort nicht explizit auftretenden Energie- und Arbeitsformen der Thermodynamik (innere Energie, Warme) erweitert, so wird dies vom Energiesatz der Thermofluidmechanik (Form II) beschrieben., man vgl. hierzu u. a. [1, 13, 20, 44]. Die Energiegleichungen der Fluidund Thermofluidmechanik werden in Kap. 2.6.2 hergeleitet und lassen sich in Kap. 2.6.3 zur Warmetransportgleichung (Form III) zusammenfassen. Kap. 2.6.4 befaBt sich mit dem Entropiebegriff (Entropiegleichung) und seiner Bedeutung (Entropieungleichung) fur die Fluidmechanik. Abgesehen von den allgemein geltenden Beziehungen in den Kap. 2.6.1 bis 2.6.4 beziehen sich die Ausfiihrungen zunachst auf den laminaren Stromungszustand. Die Besonderheiten bei turbulenter Stromung werden in Kap. 2.6.5 besprochen. Im Gegensatz zur Impuls- und Impulsmomentengleichung (2.71) bzw. (2.72) haben die Energiegleichungen nicht vektoriellen, sondern skalaren Charakter, was fur ihre Anwendung von wesentlicher Bedeutung ist. So wird die Energiegleichung besonders einfach fiir im Mittel eindimensionale (quasieindimensionale) Bewegungsvorgange, z. B. beim Durchstromen von Rohren und Kanalen. Zur vollstandigen Beschreibung von Stromungsvorgangen stehen

'Systemgrenze Alt)

Abb. 2.46. Beitrage der Mechanik und Thermodynamik zu den Energiegleichungen, in einem bewegten geschlossenen System, m = (m) = const und V = V(t), vgl. Tab. 2.11

152

2.6 Energiesatz (Energetik)

neben den Stoffgesetzen fur die Dichte, Viskositat und gegebenenfalls fur die Warmekapazitat und den Warmeleitkoeffizienten nach Kap. 1.2 drei Bilanzsatze zur Verfugung, namlich der Massenerhaltungssatz (Kontinuitatsgleichung) nach Kap. 2.4, der Impulssatz nach Kap. 2.5 und der hier zu untersuchende Energiesatz. Beitrage der Mechanik und Thermodynamik zu den Energiegleichungen. Zunachst wird ein allgemeiner Uberblick gegeben, wobei den Uberlegungen wie beim Massenerhaltungssatz nach Kap. 2.4.1 und wie beim Impulssatz nach Kap. 2.5.1 ein geschlossenes zeitveranderliches Systemvolumen V(t) entsprechend Abb. 2.46 zugrundegelegt sei. Dies wird von seiner Umgebung durch eine gedachte Begrenzungsflache (Systemgrenze) A(t) getrennt. Ein solches System enthalte stets dieselbe Masse (m). Die Systemgrenze soil fur einen Warmeaustausch Q durchlassig, d. h. diabat sein.64 An einem herausgegriffenen Volumenelement dV wirkt einerseits am Massenelement dm = p dV die von einem auBeren Kraftfeld herriihrende Massenkraft (eingepragte Volumenkraft, Fernkraft) dFm = d¥B, und andererseits steht die Oberfiache des Volumenelements unter der Einwirkung von Normal- und Tangentialspannungen a, die eine Spannungskraft dFa hervorrufen.65 Die im und am System angreifende resultierende Kraft F erhalt man durch Integration iiber die genannten Teilkrafte. Dabei heben sich die Spannungskrafte im Inneren des Systems gegenseitig auf, F, = 0, vgl. hierzu die Ausfiihrung im AnschluB an (2.74b). Es verbleibt also nur eine auBere Kraft F =Fa=Fm+ Faa =FB+FA. Als weitere am Massenelement angreifende Kraft kann man nach d'Alembert noch die Tragheitskraft dFg = —a dm ansehen, wobei a = dv/dt nach (2.27a) die substantielle Beschleunigung des Massenelements ist.65 Die gesamte Tragheitskraft betragt FEBei der Bewegung des geschlossenen Systems werden sowohl an den Volumenelementen (Massenelemente) als auch an den Flachenelementen der Systemgrenze Arbeiten verrichtet. Herrscht an den betrachteten Stellen die Geschwindigkeit v, so legt das Volumenelement dV bzw. das Oberflachenelement dA im Zeitintervall dt jeweils die Wege ds = vdt zuriick. Nach dem Arbeitssatz der Mechanik sind die dabei verrichteten mechanischen Arbeiten als skalare Produkte aus Kraft und Weganderung definiert. Durch Integration iiber dV bzw. dA erhalt man die zugehorigen Arbeiten. Analog zu den genannten Kraften treten somit nach Tab. 2.11 sowohl Arbeiten der auBeren Krafte Wa = WB + WA als auch Arbeiten der inneren Krafte W, auf. Wahrend die im Systemvolumen auftretende resultierende innere Kraft verschwindet (f, = 0), ist die resultierende Arbeit der inneren Krafte, wenn sich das System nicht starr verhalt, von null verschieden (Wi ^ 0). Man nennt W, auch die innere Arbeit im Sinn der Mechanik. Diese Arbeit kann, hervorgerufen durch Druckkrafte, ganz oder teilweise als elastische

64

In der Thermodynamik unterscheidet man ein abgeschlossenes System (isoliert = masse- und warmeundurchlassig) von einem geschlossenen System (masseundurchlassig, warmedurchlassig), wobei letzteres dem oben definierten System entspricht. 65 Fur die Massenkraft wird der Index B eingeftihrt, vgl. FuBnote 4 auf Seite 57. Da die Tragheitskraft in engem Zusammenhang mit der kinetischen Energie steht, wurde zu ihrer Kennzeichnung der Index E gewahlt.

2.6.1 Einfiihrung

153

Tabelle 2.11. Beitrage der Mechanik und Thermodynamik zu den Kraften, Arbeiten (einschlieBlich Warme) und Energien an der Systemgrenze A(t) und im Systemvolumen V(t) eines geschlossenen (massebestandigen und warmedurchlassigen) Systems, vgl. Abb. 2.46

Ort

Alt)

auBere Arbeit innere Arbeit (£/, gilt nur fiir elastische innere Druckkrafte) totale Arbeit totale kinetische Energie

Mechanik

Thermodynamik

Arbeit

Energie

Arbeit

auBere Spannungskraft

-

Warme Q

FA^WA Massenkraft FB^y WB

potentielle Energie

Tragheitskraft

kinetische Energie E = -WE

FE^WE innere Spannungskraft Fi = 0 -+ Wi ^ 0

-

fluB

Ua = -WB

innerer

Vlt)

Ein-

auBerer

Wa = WA + WB Wi W, = Wa + Q Et = E + U

innere Energie U; = ~Wi

U

Arbeit im Systemvolumen gespeichert werden. Sie kann aber auch ganz oder teilweise durch Reibung als mechanische Arbeit verloren gehen und in Warmearbeit (Dissipationsarbeit, Reibungswarme) umgewandelt werden. Neben den besprochenen mechanischen Arbeiten kommt noch die Arbeit in Form der iiber die Systemgrenze zu- oder abgefiihrten Warme Q vor. Sie tritt zwischen dem System und seiner Umgebung auf, sofern zwischen beiden ein Temperaturunterschied vorhanden ist. Strahlungseinfliisse sollen vernachlassigt werden, so daB Warme nur durch Leitung iibertragen wird. Der im Systemvolumen gespeicherte Energieinhalt besteht nach Tab. 2.11 aus mechanischen und thermodynamischen Anteilen. Unter der mechanischen Energie versteht man im allgemeinen die Summe aus der auBeren potentiellen Energie und der kinetischen Energie. LaBt sich die eingepragte Massenkraft aus einem (negativen) Massenkraftpotential Ua ableiten, so ist die auBere potentielle Energie gleich diesem Kraftpotential, d. h. dem negativen Betrag der von den Massenkraften verrichteten Arbeit Ua — —WB- Besteht die Massenkraft nur aus der Schwerkraft, so stellt die auBere potentielle Energie (Schwerkraftpotential) die Lageenergie dar. Die kinetische Energie E, auch Geschwindigkeitsenergie der Stromungsbewegung genannt, ist gleichbedeutend mit dem negativen Betrag der Arbeit der d'Alembertschen Tragheitskraft FE d. h. es ist E = —WE- Bestehen die inneren Krafte nur aus elastischen Druckkraften im barotropen Zustand, so kann man die von ihnen verrichtete Arbeit als negative innere Druckenergie im Sinn der Mechanik auffassen, d. h. [/, = — W;. Unter U wird die innere Energie im Sinn der Thermodynamik verstanden. Sie ist ein MaB fiir die Geschwindigkeitsenergie der Molekiilbewegung.

154

2.6 Energiesatz (Energetik)

2.6.2 Energiegleichungen der Fluid- und Thermofluidmechanik 2.6.2.1 Energiegleichungen fur das mitbewegte Systemvolumen Gleichung der Fluidmechanik. Nach dem Arbeitssatz der Mechanik ist die substantielle Ableitung der kinetischen Energie dE/dt einer Masse m, die sich in einem geschlossenen Systemvolumen V(t) befindet, gleich der zeitlichen Anderung der im und am System verrichteten Arbeit, d. h. der Leistung P = dW/dt.66 Mithin lautet die Energiegleichung der Fluidmechanik (Bilanzgleichung fur das Gleichgewicht von mechanischer Energie und Arbeit) bei einem mitbewegten Fluidvolumen — = P = Pa + Pi dt

mit

E(t) = f -v2dV J 2

(Form I)

(2.166a, b)

V(t)

als kinetischer Energie in Nm = J. Bei der Bewegung eines Massenelements dm = pdV mit der Geschwindigkeit v(t, r) nach Abb. 2.46 betragt die zugehorige Teilenergie dE = (1/2) dm v2 = (p/2)v2 dV, was durch Integration iiber V(t) zu (2.166b) fiihrt, vgl. Tab. 2.4.67 Die am und im Volumen verrichtete Leistung setzt sich gemaB Tab. 2.11 aus den Leistungen der auBeren Arbeit Pa = PB + PA = dWa/dt

mit

Wa = WB + WA

und der inneren Arbeit F, = dWj/dt zusammen. Eine moglicherweise dem System Uber die Systemgrenze zu- oder abgefiihrte Warme bleibt bei der Energiegleichung der Fluidmechanik ohne EinfluB. Gleichung der Thermofluidmechanik. Treten neben den mechanischen GroBen auch thermodynamische GroBen bei der Energie- bzw. Arbeitsumwandlung auf, so wird dies mittels des ersten Hauptsatzes der Thermodynamik erfaBt. Bei der Formulierung dieses Satzes hat man zu unterscheiden zwischen der bei der zeitlichen Anderung in einem geschlossenen Massensystem gespeicherten Energie und der wahrend des Prozesses von auBen an der bewegten Systemgrenze verrichteten Arbeit. Die Energiegleichung der Thermofluidmechanik (Bilanzgleichung fur das Gleichgewicht von kinetischer und innerer Energie sowie mechanischer Arbeit und Warme) lautet dE, = pt = Pa + P Q ~dt

m i t E,{t) =

I p(^

+u\dV

(Form II)

V(t)

(2.167a, b) als totaler (gesamter) kinetischer Energie E, = E + U in Nm = J, mit E als kinetischer Energie nach (2.166b) und U als innerer Energie bzw. u = dU/dm als 66

Zeitliche Anderungen von Energien bedeuten substantielle Ableitungen und werden mit d/dt (d = Zustandsdifferential = vollstandiges Differential) gekennzeichnet. Die zeitlichen Anderungen der Arbeiten und der W a r m e (ProzeBgroBen) stellen wegabhangige Anderungen dar, was durch d/dt (d = ProzeBdifferential = unvollstandiges Differential) zum Ausdruck gebracht wird. 67 Fur die spezifische kinetische Energie gilt e = dE/dm = (p/2)v2 m i t u 2 = v2.

2.6.2 Energiegleichungen der Fluid- und Thermofluidmechanik

155

spezifischer innerer Energie, vgl. (1.30). Die von den eingepragten Massenkraften im Systemvolumen und von den auBeren Spannungskraften an der Systemgrenze verrichtete Arbeit Wa sowie die Arbeit durch Warmetransport iiber die Systemgrenze WQ = Q seien als totale Arbeit Wt = Wa + Q bezeichnet. Die zugehorige totale Leistung ist dann P, = dW,/dt = Pa + P g m i t P g = dQ/dt. Bei der gegebenen Formulierung des ersten Hauptsatzes der Thermodynamik sind innere Reibung und Warmeleitung im Inneren des Systemvolumens zulassig. Warmetransportgleichung. Die Energiegleichungen der Fluid- und Thermofluidmechanik lassen sich zusammenfassen, wenn man in (2.167a) die GroBen dE/dt und Pa mittels (2.166a) eliminiert. Es verbleibt mit dt multipliziert dU = dQ-

dW, =dWv+dWD

+ dQ

(Form III).

(2.168a, b)

Die innere Arbeit dWi setzt sich aus einem druckbedingten Anteil dWj und einem reibungsbedingten Anteil dW" zusammen, d. h. es ist dW( = dW- + dW". Nach den Erkenntnissen der Thermodynamik entspricht —dW- = dWy der Volumenanderungsarbeit und —dW" = dWo der Dissipationsarbeit (Reibungswarme), vgl. die Ausfiihrung in Kap. 2.6.3.1. In (2.168a) eingesetzt folgt die Formulierung (2.168b). In gleicher Weise wie in Kap. 2.4 fur die Kontinuitatsgleichung und in Kap. 2.5 fur die Impulsgleichung werden die Energiegleichungen der Reihe nach in Kap. 2.6.2.2 fur den Kontrollraum, in Kap. 2.6.2.3 fur den Kontrollfaden und in Kap. 2.6.2.4 fur das Fluidelement abgeleitet. In Kap. 2.6.3 wird die Warmetransportgleichung besprochen. 2.6.2.2 Energiegleichungen fur den Kontrollraum Ausgangsgleichungen. Fur ein bewegtes geschlossenes Fluidvolumen nach Abb. 2.25a werden die Energiegleichungen der Fluidmechanik (Form I) und der Thermofluidmechanik (Form II) in (2.166) bzw. (2.167) mit dE/dt = P bzw. dE,/dt — Pt angegeben. Anstelle des mitbewegten Fluidvolumens V(t) sollen die weiteren Uberlegungen ahnlich wie bei der Kontinuitatsgleichung in Kap. 2.4.2.1 und bei der Impulsgleichung in Kap. 2.5.2.1 fur einen zeitlich gleichbleibenden Kontrollraum (V) nach Abb. 2.47 durchgefiihrt werden.68 Die raumfeste Kontrollflache (O) — (A) + (S) wird aus dem freien Teil (A) und

dQ>0 Abb. 2.47. Zur Herleitung der Energiegleichungen fur den raumfesten Kontrollraum, vgl. Abb. 2.27 und 2.29c; Kontrollvolumen (V) und Kontrollflache (O) = (A) + (S). Darstellung der ein- und austretenden Warmestrome dQ = d<j> = —
In der Thermodynamik spricht man statt von einem Kontrollraum von einem offenen System (unveranderliches Volumen, masse- und warmedurchlassige Begrenzung), vgl. FuBnote 64 (S. 152).

156

2.6 Energiesatz (Energetik)

dem korpergebundenen Teil (S) gebildet. Uber die zweckmaBige Wahl der KontroUflache wird in Kap. 2.5.2.1, vgl. Abb. 2.30, berichtet. Da die Energieintegrale jeweils auf einem raumfesten Kontrollraum erstreckt werden, hat man ahnlich wie fiir die Krafte in Kap. 2.5.2.1 jetzt auch die Arbeiten fiir das durch die KontroUflache abgegrenzte Kontrollvolumen zu bestimmen. Die Arbeit der auBeren Krafte setzt sich zusammen aus der im Kontrollvolumen (V) von den raumlich verteilten eingepragten Massenkraften verrichtete Arbeit WB und den an der KontroUflache (O) — {A) + (S) von den flachenhaft verteilten Spannungskraften verrichteten Arbeiten Wa — W& + W$. ZusammengefaBt gilt dE dW — = = PB + PA + Ps + Pi

(Form I).

(2.169a)

at dt —- = 1 = = PB + PA + Ps + PQ (Form II). (2.169b) dt dt dt dt Im folgenden werden zunachst die Energieanderungen dE/dt bzw. dEt/dt, die im und am System verrichteten Leistungen P = dW/dt bzw. Pt = dWt/dt sowie die durch Warmeleitung iibertragene Warmeleistung PQ = dQ/dt ermittelt. Energiebeitrage. Geht man von dem Transporttheorem (2.46c) aus und setzt fiir die Volumeneigenschaft J = E bzw. J = E, = E + U sowie fiir die Eigenschaftsdichte e = (p/2)v2 bzw. e, = p(v2/2 + u), dann erhalt man die substantiellen Energieanderungen zu dE

dt

_

9£

1 P..2w

dt

J

2

mit

E(t)= I ?-v2dV

(O)

(Form I),

(2.170a)69

(V)

—- = —- -
mit

E,(t) = / p — + u ) dV • - J/ ' (\ T2 (V)

(Form II). (2.170b)by

Das erste Glied auf den rechten Seiten von (2.170a) bzw. (2.170b) stellt den lokalen Anteil (Volumenintegral) dar und tritt nur bei instationarer Stromung auf, wahrend das zweite Glied den konvektiven Anteil (Oberflachenintegral) beschreibt und bei stationarer Stromung im allgemeinen nicht verschwindet. Es sind gemaB Abb. 2.27 dV = -vdA

= -vndA

%0

und

dV = -v • dS = -vn dS % 0

(2.171a, b)

3

die Volumenstrome in m /s, welche durch die Flachenelemente der KontroUflache (O), d. h. durch dA bzw. dS, ein- oder austreten, dV > 0 bzw. dV < 0. Die Ausdriicke p(v2/2) dV bzw. p(v2/2 + u) dV in Nm/s = J/s = W nennt man Energiestrome (Energie/Zeit) durch die Flachenelemente der KontroUflache. Fiir den zusammenfallenden Teil (A') des freien Teils der KontroUflache heben sich die Energiestrome gegenseitig auf, sofern sich dort nicht gerade eine Unstetigkeit in der Stromung befindet. Man braucht also bei der Auswertung des Integrals liber (A) diesen Teil der KontroUflache im allgemeinen nicht besonders zu beriicksichtigen. Das Integral uber den korpergebundenen Teil der KontroUflache (S) liefert nur dann einen Beitrag, wenn am Korper durch eine porose Wand abgesaugt oder ausgeblasen wird, d. h. dV J 0 ist. Arbeitsbeitrage. 1. Die im Inneren des Volumens am Massenelement dm = pdV angreifende d'Alembertsche Tragheitskraft dFE = fEdm = —p(dv/dt)dV verrichtet den Leistungsbetrag (skalares Produkt aus Geschwindigkeit und Kraft) dPE = v • dFE = -pv • (dv/dt)dV = -p[d(v2/2)/dt]dV. Die 69

Es ist dE/dt = dE/dt bzw. dE,/dt = dE,/dt, vgl. die Ausfuhrung zu (2.46c).

2.6.2 Energiegleichungen der Fluid- und Thermofluidmechanik

157

resultierende Leistung (Arbeit) ergibt sich durch Integration zu

(V)

V(t)

in Ubereinstimmung mit (2.166b). Bei der Herleitung der zweiten Beziehung in (2.172a) wurde fur ein quellfreies Stromungsfeld das Transporttheorem (2.46a) mit / ( / ) = £(()undy = u 2 /2 bzw. e = (p/2)v2 herangezogen, vgl. Tab. 2.4. Der gefundene Zusammenhang bestatigt das aus der Mechanik fester Korper bekannte Ergebnis, wonach die Arbeit der Tragheitskrafte WE gleich dem negativen Betrag der kinetischen Energie E ist, vgl. Tab. 2.11. 2. Die durch auBere Einwirkung am Massenelement dm = pdV eingepragten Massenkrafte dFs = /B dm mit fs als bezogener Massenkraft (Kraft/Masse) liefert die Leistung dPs = pv fsdV. Es sei angenommen, dafi sich die bezogene Massenkraft nach (2.10a) aus dem bezogenen Massenkraftpotential UB in der Form/a = — gradwe ableiten laBt, wobei UB = ws(r) zeitunabhangig angenommen werden soil. Durch Integration iiber das Kontrollvolumen ergibt sich die gesamte von den ortlich verteilten Massenkraften verrichtete Leistung (Arbeit) mit v • gradMg = dus/dt zu dt

J

„.

at

dt

(V)

,...„_.

J

mit

Ua(t)=

(O)

I J

puBdV.

V(t)

(2.173a, b, c, d) Bei der Herleitung der verschiedenen Formulierungen wurde (2.46a,c) mit J{t) = Ua(t) und dJ/dt = dUa/dt = 0 sowie j = ug bzw. s = pus herangezogen, Fur die Volumenstrome durch die Kontrollflache (O) = (A) + (S) gilt (2.171a,b). Gl. (2.173) gilt fur ein quellfreies Stromungsfeld. Es ist Ua(t) das Massenkraftpotential der im mitbewegten Systemvolumen eingeschlossenen Fluidmasse. Das aus der Mechanik fester Korper bekannte Ergebnis wird bestatigt, wonach bei einem konservativen Kraftfeld die Arbeit der Massenkrafte WB gleich dem negativen Betrag des Massenkraftpotentials Ua, auch auBere potentielle Energie oder Massenkraftenergie genannt, ist, vgl. Tab. 2.11. Herrscht nur der EinfluB der Schwere (Gravitationsfeld), dann ist das Schwerkraftpotential UB = gz nach (2.12a) mit z als vertikaler Koordinate (positiv nach oben). 3. Die Leistung (Arbeit/Zeit) der aufieren Spannungskrafte (Oberfiachenkrafte) Po = PA + Ps erhalt man in einfacher Weise, wenn man die Integranden in (2.77) skalar mit der Geschwindigkeit v multipliziert Po =

= vodO

at

= - I p vdO

+ vx

J

J

J

(O)

(O)

(O)

dO.

(2.174a)70

Im einzelnen gelten mit (2.78a,b) fur die am freien Teil der Kontrollflache (A) verrichtete Ersatzleistung sowie filr die am korpergebundenen Teil der Kontrollflache (S) verrichtete Stiitzleistung ui

f • • I pdV J

(ZA

*» 0),

f Ps = I pdV • J (S)

(A)

(S)

(2.174b, c) 7 0 mit dV = —v • dA bzw. dV = —v • dS nach (2.171a,b) als Volumenstrome durch die Flachenelemente dA bzw. dS. Das erste Integral in (2.174c) liefert einen Beitrag, wenn dV ^ 0 ist, d. h. wenn durch eine porose Korperwand Fluid ausgeblasen (eintretendes Fluid mit dV > 0) oder abgesaugt (austretendes Fluid mit dV < 0) wird. Bei nichtporoser Wand muB das erste Glied wegen der kinematischen Konturbedingung (2.26a) mit vn = 0 verschwinden, d. h. P's = 0. 4. Die Ermittlung der Leistung (Arbeit/Zeit) der gesamten Spannungskrafte soil unter Annahme einer reibungslosen Stromung (x = 0) erfolgen. Von den Spannungskraften treten also nur elastische 70

Werden druckbedingte Spannungsleistungen mit P' und reibungsbedingte Spannungsleistungen mit P" bezeichnet, dann kann man schreiben

3. Po = P', + P'o = PA + Ps = P, 4+ P, 4+ PS + PS 4. Pa = mi t h . d . + Pi Pa" * o, Pa ^ ra>

K

5. />,- = , P!¥P"

mit

P?*

d. h. P '-

mit

n

, d. h. PA « P'A,

158

2.6 Energiesatz (Energetik)

Druckkrafte auf. An einem Fluidelement betragt nach Abb. 2.6 die druckbedingte Spannungskraft dFa = dFp =—gxadpdV, was nach skalarer Multiplikation mit der Geschwindigkeit v durch Integration iiber das Volumen (V) zu Pa =

Rs — / v • gmdpdV

at

= — i> p v • dO + / pdivvdV

J

(V)

J

J

(V)

(druckbedingt). (2.175a, b)

fiihrt. Durch Anwenden der Umformung v • gradp = di\(pv) — pdivv sowie des GauBschen Integralsatzes FuBnote 27 (S. 85) mit a = pv findet man (2.175b). Die gesamte Leistung laBt sich in den auBeren und inneren Anteil zerlegen, d. h. Pa = Pa + Pi. 5. Das erste Integral in (2.175b) stellt nach (2.174a) die Leistung der auBeren Druckkrafte dar, was bedeutet, daB das zweite Integral gleich der Leistung (Arbeit) der inneren Druckkrafte ist. Pi =

dWj f ~ / pdivvdV dt J (V)

f p dp =— I dV (druckbedingt). J p dt

(2.176a,b)

(V)

Den zweiten Ausdruck kann man fiir das angenommene quellfreie Stromungsfeld unter Beachtung der Kontinuitatsgleichung (2.60a) in (2.176b) uberfiihren. Er ist nur fiir ein dichteveranderliches Fluid (p ^ const) von null verschieden. Unter Annahme eines Fluids im barotropen Zustand p = p(p) wird nach Tab. 2.12 die spezifische innere Druckenergie w, = i — p/Q = w,(/j)mit/ = i(p) als spezifischer potentieller Druckenergie (Druckkraftpotential) eingefiihrt. Wegen di = dp/p folgt p du\ = (p/p) dp, was durch Einsetzen in (2.176b) zu Pi = dt

'- = -fp J

— dV = dt

— dt

mit

Ui(t)= f putdV J

(V)

(2.177a)

V«)

als innerer Druckenergie (innere Energie im Sinn der Mechanik) fiihrt. In Tab. 2.12 wird durch Gegeniiberstellung der Erkenntnisse der Thermofluidmechanik und Fluidmechanik gezeigt, daB der Stromungszustand bei konstanter Entropie (ds = 0) erfolgt. Die zweite Beziehung in (2.177a) besagt, daB Wj = —Ui ist, vgl. Tab. 2.11. Die Umformung vom mitbewegten Volumen V(t) in das Kontrollvolumen (V) geschieht nach (2.46c) mit Jit) = Uj(t)undJ(t) = £/,(?) sowie e = pu,, so daB man dUi

dUi

dt

dt

f

—- = —- + * puidV J

f

mit Ui(t) = I puidV J

(O)

(isentrop)

(2.177b)

(V)

schreiben kann. 6. Ein Warmetransport (Warmeaustausch) iiber die Kontrollflache (Systemgrenze) (O) = (/4) + (S) soil durch Warmeleitung erfolgen. Diesen erhalt man mittels des Fourierschen Gesetzes der Warmeleitung. Durch Verallgemeinerung von (1.33) auf den dreidimensionalen Fall erhalt man den Vektor der Warmestromdichte zu tp = —X grad T. Hierin bedeutet X den molekularen Warmeleitkoeffizienten nach Kap. 1.2.5.4. Der z. B. iiber das Flachenelement dA der Kontrollflache ausgetauschte Warmestrom in J/s betragt mit den in Abb. 2.47 dargestellten vektoriellen GroBen

97 dQ = d

{ = -X grad T)

(2.178a, b,c) 7 1 Die Richtung von n fallt mit der Richtung der Flachennormale zusammen, d. h. sie ist von der Kontrollflache aus gesehen nach auBen positiv zu rechnen. Der Warmestrom erfolgt in Richtung abnehmender Temperatur. Somit gilt fiir den in den Kontrollraum eintretenden Warmestrom d
0 und fiir den austretenden Warmestrom d < 0. Durch Integration iiber die Kontrollflache (O) = (A) + (S) erhalt man die gesamte durch Leitung iiber die Kontrollflache transportierte Warmeleistung (Warmearbeit/Zeit) zu Pn = — = i d
(A)

(diabat).

(2.179a, b)

(5)

Eine Warmezufuhr erfolgt bei einer Temperaturabnahme von auBen nach innen, d. h. dT/dn > 0, und eine Warmeabfuhr bei einer entsprechenden Temperaturzunahme, d. h. dT/dn < 0. 71

Auf die Bedeutung des negativen Vorzeichens in (2.178a) wird im Zusammenhang mit der irreversiblen Entropieanderung in FuBnote 81 (S. 176) hingewiesen.

il

1

di = dh n pi — p n —\

isentrop (1.6) p ~ p11" (n - KS)

(1.32b)

1 n—1

dui = du

du = -pdv

(1.32a)

I

c

I

a.

u = h — pv

h = u + pv

ds = 0 dh = vdp

3

innere Energie

Enthalpie

s

dm = (p/p)(dp/p) = -pdv

(2.5b)

di = dp/p = vdp

t

«; =i - P/P = «i(p)

innere Druckenergie

I

i =ut + p/p = i{p)

potentielle Druckenergie

Druckenergie

to

isentrop

P = P(P)

barotrop

Zustand

Tabelle 2.12. Zur Erlauterung der spezifischen potentiellen und inneren Druckenergie; Gegeniiberstellung der fluidund thermofluidmechanischen Betrachtung \p = 1/u)

Th dyi

Folgerung

160

2.6 Energiesatz (Energetik)

Bestimmungsgleichungen Instationare Stromung. Mit den Umwandlungen in (2.173c) und (2.177a), die zum Einfiihren der auBeren Massenkraftenergie Ua bzw. der inneren Druckenergie Uj fiihrten, lassen sich die Energiegleichungen der Fluidmechanik (Form I) und der Thermofluidmechanik (Form II) nach (2.169a,b) wie folgt schreiben: d — (E + Ua + Ui) = PA + Ps

(barotrop, reibungslos)

1

j{E

+ Ua + U) = PA + Ps + PQ

(Form II).

(Form I), (2.180a) (2.180b)

Fur den angenommenen raumfesten Kontrollraum (V) und die raumfeste Kontrollflache (O) — (A) + (S) bestimmen sich die verschiedenen GroBen nach den oben im einzelnen abgeleiteten Beziehungen. Es gilt (2.180a) entsprechend den getroffenen Einschrankungen bei Vernachlassigung der inneren Reibung und der Annahme eines Fluids im barotropen Zustand. Fiir diesen Fall erhalt man durch Vergleich mit (2.180b) den Zusammenhang dU — dUi + dQ (Form III), vgl. (2.168b). Die Anderung der inneren Energie (Druckenergie) im Sinn der Mechanik dUi stimmt fiir dQ = O mit der Anderung der inneren Energie im Sinn der Thermodynamik dU iiberein, d. h. fiir Stromungen mit einem Fluid, bei welchem die innere Reibung und Warmeleitfahigkeit vernachlassigt werden konnen. Die Energiegleichung der Thermofluidmechanik (2.180b) besagt, daB die substantielle Ableitung der kinetischen, auBeren und inneren Energie eines abgegrenzten Stromungsbereichs, auch Stromungsenergie genannt, gleich ist der Anderung der an der freien und korpergebundenen Berandung von den Spannungskraften verrichteten Arbeiten zuziiglich der vom Warmetransport durch Leitung iiber die Berandung herruhrenden Warme. Stationare Stromung. Im folgenden sei die Betrachtung fiir die Energiegleichung der Thermofluidmechanik auf stationare Stromung beschrankt (d/dt = 0). Nach Einsetzen der fur die raumfeste Kontrollflache gefundenen EinfluBgroBen gemaB (2.170b), (2.173c) und (2.174b,c) fiir eine nichtporose Korperoberflache sowie Einfiihren der spezifischen Enthalpie entsprechend der Definition h = u + p/p nach (1.31) in (2.180b) erhalt man die Energiegleichung der Thermofluidmechanik bei stationarer Stromung - j> p (— + uB + h\ dV = P's + PQ (Form II).

(2.181a)

(0)

Es ist Pg = / v • zdS = (S)

v, -x,dS

(reibungsbedingt)

(2.181b)

(S)

die an der korpergebundenen Kontrollflache (5) verrichtete reibungsbedingte Stiitzleistung (Korper -» Fluid). Im ersten Integral ist

2.6.2 Energiegleichungen der Fluid- und Thermofluidmechanik V • X = (Vn + V,) • (xn + X,) = Vn-Tn+Vf

161 Xt,

wobei die Vektoren vt und xt in der Ebene dS liegen, ihre Richtungen im allgemeinen jedoch nicht zusammenfallen. Wie bereits im AnschluB an die Gleichung fur die Stiitzkraft nach (2.78b) ausgefiihrt wurde, kann xn aufgrund des Konzepts der Grenzschicht-Theorie vernachlassigt werden. Es darf also v • x «! vt • rt = — vw • xw gesetzt werden, wobei vw die Geschwindigkeit der gegebenenfalls bewegten Korperwand und xw die vom Fluid auf die Korperwand ausgeiibte Wandschubspannung ist. Nach dem Wechselwirkungsgesetz ist die Korperleistung, welche vom Fluid auf den korperfesten Teil der Kontrollflache, und damit auf den Korper selbst (Fluid -> Korper) iibertragen wird, PK — —P'iWird bei reibungsloser Stromung (P$ = 0) iiber eine warmeundurchlassige (adiabate) Kontrollflache Warme weder zu- noch abgefiihrt (PQ = 0), verschwindet die rechte Seite (2.181a), was besagt, daB durch die Kontrollflache (O) die Summe an eintretender kinetischer und auBerer potentieller Energie sowie an Enthalpie gleich der entsprechenden Summe an austretender Energie und Enthalpie ist.

2.6.2.3 Energiegleichungen fur den Kontrollfaden Uber die Definition des elastischen zeitveranderlichen Kontrollfadens (Stromfaden) wurde in Zusammenhang mit Abb. 2.26 berichtet. Da hier nur der stationare Fall erortert werden soil, braucht zwischen dem Kontroll- und Stromfaden nicht unterschieden zu werden. In Abb. 2.32 werden zwei verschiedene Moglichkeiten dargestellt, und zwar in Abb. 2.32b ein Kontrollfaden zwischen zwei Stellen (1) und (2) mit freier Ein- und Austrittsflache (Ai) bzw. (A2) sowie mit fester Mantelflache (Si-,.2) und in Abb. 2.32a ein Kontrollfaden mit freier Ein- und Austrittsflache (A\) bzw. (A2) und freier Mantelflache (A1-+2) sowie zusatzlich mit einem festen Korper im Inneren des Kontrollfadens (S). Es wird zunachst die Energiegleichung der Thermofluidmechanik (Form II) bei stationarer Stromung fur einen Korper mit nichtporoser Oberflache behandelt. Da iiber die Mantelflache Ai_>2 kein Volumenstrom stattfindet Vi_».2 = 0, erhalt man mit V\ = v\A\ und V2 = —V2A2 entsprechend (2.171a) unmittelbar aus (2.181) die Beziehung p2(v2/2 + UB + /O2V2 — Pi(v2/2 + iig +h)\V\ = P'^ + PQ. Unter Beriicksichtigung der Kontinuitatsgleichung P2^2 = Pi V\ = rhA = const als Massenstrome iiber die Kontrollfadenquerschnitte A\ bzw. A2 wird hieraus mit UB — gz (nur SchwereinfluB, z = Hochlage der Kontrollfadenachse) v2 v2 — +gz2 + h2 = — +gzl+hi

+ wi^2 + qi^2

(Form II).

(2.182a)

Hierin stellt w\->2 = P'S/MA die auf die Masse bezogene technische Arbeit wy^,2 — Wtech ~ (Korper ->• Fluid, reibungsbedingte Stiitzarbeit) dar. Weiterhin ist (7i_>.2 = PQ/^A die auf die Masse bezogene Warme (Warmeleitung), die dem Kontrollfaden iiber die Mantelflache A i_>2 und gegebenenfalls iiber die Ein- und Austrittsflache A\ bzw. A2 von auBen zu- oder abgefiihrt wird. Bemerkenswert ist,

2.6 Energiesatz (Energetik)

162

daB in der Energiegleichung fiir den KontroUfaden die Kontrollfadenquerschnitte A(s) nicht vorkommen. Durch Eliminieren der thermodynamischen GroBen fi2 — h\ und q\^>2 in (2.182a) gelangt man zur Energiegleichung der Fluidmechanik. Im Vorgriff auf (2.203b) gilt (2)

h2 -hi

= i\

dp/p

mit - / (1)

als negativer Druckanderungsarbeit (bei barotropem Fluid mit p = p(p) ist i\^,2 = i2 - h mit i(p) als potentieller Druckenergie und (wD)i^2 als Dissipationsarbeit. Mithin wird v2 v2 y + g*2 + ii->2 = y + #?i + «>i->2 -

(U>D)I-2

(Form I).

(2.182b)

Anwendungen. Im Hinblick auf technische Anwendungen sind in Abb. 2.48 zwei Abb. 2.32 entsprechende KontroUfaden dargestellt. Dabei beschreiben Abb. 2.48a einen StromungsprozeB durch eine ruhende Rohrleitung und Abb. 2.48b einen ArbeitsprozeB, bei dem in den durchstromten ruhenden KontroUfaden eine Huidenergiemaschine (Turbine, Pumpe oder auch sonstige technische Einrichtungen) eingebaut ist, vgl. [13].

Abb. 2.48. Zur Anwendung der Energiegleichung auf den KontroUfaden a StromungsprozeB: Ein- und Austrittsflache (A), Mantelflache (S) b ArbeitsprozeB: Ein- und Austrittsflache sowie Mantelflache (A), Fluidenergiemaschine (5) 1. StromungsprozeB. Im Fall der Rohrstromung (unstetige Rohrerweiterung = Stufendiffusor) nach Abb. 2.48a ist wegen der Haftbedingung am ruhenden korpergebundenen Teil der KontroUflache (S), der sich aus der Mantelflache (Si_>2) und aus der Stirnfiache (A2 — Ai) zusammensetzt, u>i_>2 = 0. Nach (2.182b) gilt also

4

(2.183a)

Fiir ein dichtebestandiges Fluid erhalt man mit p\ = fn = p = const und ;i_>2 = h — ii = pi/p — Pi/P aus (2.183a) die Beziehung

-v\ + pgz\ + pi = -v\ + pgz2

(P=

const).

2.6.2 Energiegleichungen der Fluid- und Thermofluidmechanik

163

Durch Vergleich mit der bei der Rohrstromung in Kap. 3.4.2.3 angegebenen erweiterten Bernoullischen Energiegleichung (3.68) findet man bei stationarer Stromung zwischen der Dissipationsarbeit und dem fluidmechanischen Energieverlust bei einer Rohrstromung den Zusammenhang P(WD)I^2 = (pe)i^2Dies ist ein Ergebnis, welches flir die vollausgebildete Rohrstromung in (3.87d) nochmals bestatigt wird. 2. Arbeitsprozefi. Mittels einer Fluidenergiemaschine nach Abb. 2.48b (bewegter korpergebunner Teil der Kontrollflache (S)) kann das System laufend technische Arbeit (Wellenarbeit) abgeben oder empfangen. In (2.182a,b) ist zu setzen 101^2 = wtech 7^ 0, und zwar u>i^2 > 0 bei Pumpen (Korper -> Fluid, Zufuhr von mechanischer Arbeit) und w 1^2 < 0 bei Turbinen (Fluid —> Korper, Entnahme von mechanischer Arbeit). Nach der technischen Arbeit aufgelost erhalt man in differentieller Schreibweise, vgl. [13], dwach = dh+de + gdz - dq = di + de + gdz + dwD.

(2.183b) 72 ' 73

2.6.2.4 Energiegleichungen fur das Fluidelement Allgemeines. Es soil jetzt fiir die Energiegleichungen die Betrachtung an einem Fluidelement (Raumelement) durchgefiihrt werden, und zwar zunachst bei laminarer Stromung. Der Fall turbulenter Stromung wird besonders in Kap. 2.6.5 besprochen. Ausgangsgleichungen. In einer stetigen Stromung bewege sich das Fluidelement der Masse Am — pAV mit AV als Elementarvolumen langs seiner Bahn mit der Geschwindigkeit v, wobei der Schwerpunkt in der Zeit dt den Weg ds = vdt zuriicklegt. Die zur Bewegung erforderliche Schleppkraft betragt AF = f Am m i t / als massebezogener Kraft (eingepragte Massen-, Druck-und Reibungskraft) nach (2.91a). Die Energiegleichung der Fluidmechanik folgt aus der Anwendung des Arbeitssatzes der Mechanik nach dem die vektorielle Kraftgleichung (Impulsgleichung) skalar mit dem zuriickgelegten Weg zu multiplizieren ist. Die neue Beziehung hat skalaren Charakter und besagt, daG die in der Zeit dt eingetretenen Anderungen der Geschwindigkeitsenergie (kinetische Energie) d(AE) — Am{dv/dt) • ds und der Arbeit d(AW) = AF • ds, bestehend aus der Arbeit der eingepragten Massenkraft am Massenelement Am sowie der Arbeit der auBeren und inneren Spannungskrafte im und am Volumenelement AV (Schleppkraft am Schwerpunkt), im Gleichgewicht sein miissen, d. h. d(AE) = d(AW), vgl. (2.166a). Mogliche Formanderungen des Fluidelements beeinflussen den Schleppvorgang nicht. Die Energiegleichung der Thermofluidmechanik folgt aus der Anwendung des ersten Hauptsatzes der Thermodynamik, nach dem die in der Zeit dt eingetretenen Anderungen der totalen Energie (kinetische und innere Energie) d(AE,) mit der totalen Arbeit bestehend aus der Arbeit der eingepragten Massenkraft am Massenelement Am, der Arbeit der auBeren Spannungskrafte (Schlepp- und Formanderungskrafte) sowie der Arbeit des Warmeaustausches d(AQ) an den Oberflachen des Fluidelements A A im Gleichgewicht sein miissen, d. h. d(AEt) = d(AWt), vgl. (2.167a). 72 73

Als Abkiirzungen werden e = v2/2 und di — dp/p eingefiihrt. In der Schreibweise der Thermodynamik ist mit v = \/p als spezifischem Volumen di =

vdp.

164

2.6 Energiesatz (Energetik)

Bezogen auf die Masse Am wird mit e = AE/Am als spezifischer Energie, w = AWIAm als massebezogener Arbeit und q = AQ/Am als massebezogener Warme de = dwB + dwP + dwR

(Form I),

de + du = dwB + dwp + dwr + dq

(2.184a) (Form II).

(2.184b)

Die Anderungen der Energien (ZustandsgroBen) treten auf den linken Seiten und diejenigen der Arbeiten (ProzeBgroBen) auf den rechten Seiten auf. Sie werden durch vollstandige Differentiale (Zustandsdifferentiale d) bzw. durch unvollstandige Differentiale (ProzeBdifferentiale d) gekennzeichnet, vgl. die FuBnote 66 (S.154). Zur Kennzeichnung der Arbeitsanteile der Schleppkrafte (Krafte am Schwerpunkt) werden Indizes mit groBen Buchstaben und fur die Arbeitsanteile der Schlepp- und Formanderungskrafte (Krafte an den einzelnen Oberflachen des Fluidelements) werden Indizes mit kleinen Buchstaben verwendet, d. h. bei DruckeinfluB P, p und bei ReibungseinfluB 4 ZahigkeitseinfluB R ^ Z,r ^ z. Die Arbeiten der auBeren Spannungskrafte (Oberflachenkrafte) beinhalten sowohl die Schlepp- als auch die Formanderungsarbeit, da die Spannungskrafte (Druck- und Reibungskrafte) neben der Bewegung des Fluidelements auch eine Verschiebung der Begrenzungsflachen (Dehnung, Scherung), verursachen. Zustandsanderung. Bezieht man die Anderungen von intensiven oder spezifischen ZustandsgroBen (z. B. p,e,u, h) auf die Zeit dt, so handelt es sich nach dem Transporttheorem (2.41b) um substantielle Ableitungen (lokale und konvektive Anderungen), d. h. um den Operator d

d

dt ~ ~d~t

3

+ «• grad = dl

d

t»-grad=

+

. dt

(2.185a, b)

dt

Besonders auf die zweite Darstellung wird im folgenden noch mehrfach zuriickgegriffen. Energiebeitrage. Die substantielle Ableitung der spezifischen Geschwindigkeitsenergie bei einem zeitund ortsveranderlichen Geschwindigkeitsfeld v = v(t, r) betragt nach (2.41b) mit E = e nach Tab. 2.4 de — =vdt

dv de — = \-v- grade dt dt

mit

v e = —. 2

nA

(2.186a, b) 74

Eine entsprechende Beziehung gilt fur e, = e + u. Arbeitsbeitrage. Die auf die Zeit bezogenen (massebezogenen) Arbeiten (Leistungen) folgen aus der Beziehung dw/dt = v f (Geschwindigkeit v multipliziert mit der massebezogenen Kraft/). 1. und 2. Die zeitlichen Anderungen der bezogenen Arbeiten der Massen- und Druckkraft (Schlepparbeiten) erhalt man mit (2.10a) bzw. (2.3a) zu

74

Nach den Regeln der Mechanik besteht die kinetische Energie aus einem translatorischen und einem rotatorischen Anteil, wobei die kinetische Rotationsenergie fiir ein Fluidelement AV -* 0 klein von hoherer Ordnung ist. Diesselbe Aussage gilt auch fiir die Rotationsarbeit, die von den eingepragten Massenkraften und den Spannungskraften verrichtet wird.

2.6.3 Warmetransportgleichung

165

Bei den Herleitungen treten Ausdriicke v • grad auf, die nach (2.185b) zu d/dt — d/dt ftthren, wenn us = «s(',*•) und p = p(t,r) sowohl zeit- als auch ortsabhangig sind. Im allgemeinen ist das spezifische Massenkraftpotential ua(t,r) = UB(T) zeitunabhangig, so dafi das Glied dus/dt = 0 ist. In diesem Fall besteht dws = —ditB = —gdz (nur SchwereinfluB) aus einem vollstandigen Differential. 3. Die in der Zeit dt verrichtete Arbeit der Druckspannungskrafte erhalt man durch Summation (Integration) aller an der Flache A A des Huidelements AV verrichteten Teilarbeiten. Herrscht an einem Flachenelement die Kraft d(AFp) = —p d(AA) sowie die Geschwindigkeit v = ds/dt, dann betragt die zugehorige Arbeit d(AWp) — pv • d(AA)dt. Die von den Druckraften verrichtete Oberflachenarbeit (druckbedingte Schlepp- und Formanderungsarbeit) erhalt man auf die Zeit dt bezogen entsprechend (2.174b) zu

d(AW AWpp)) == _ I

pv.d(AA^ == __

f fdidi\(pv)d(AV) = -div(pv)AV.

AV

Zunachst wird durch Anwenden des GauBschen Integralsatzes (S. 85) das Oberflachenintegral iiber AA mit a = pv in ein Volumenintegral iiber AV umgeformt und sodann das Volumen AV auf einen Punkt zusammengezogen, wobei der Integrand div(pu) vor das Integral genommen werden kann. Mit div(pv) = p div v + v • grad p sowie p div v = —dp/dt nach (2.60a) und v • grad p = dp/dt — dp/dt nach (2.185b) mit E = p erhalt man auf die Masse Am = pAV bezogen

^

( ) + ! £ =£

dt

dt \pj

p dt

*+!•£.

dt

dt

(2.l89a, b)

p dt

Die letzte Beziehung folgt durch Einfiihren der spezifischen Enthalpie h = u + p/p.

Bestimmungsgleichungen. Nach Einsetzen der gefundenen Beziehungen in (2.184a, b) erhalt man die auf die Zeit dt bezogenen Energiegleichungen der Fluidmechanik (Form I) bzw. Thermofluidmechanik (Form II) bei instationarer und stationarer Stromung (d/dt = 0) zu de dt

+

duB dt

+

v dv + dug -+ de dt

+

duB dt

+

I dp p dt dp__ P dh dt

duB dt

+

1 dp p dt '

dt

dwR, duB dt

+ duB+dh=dwr+dq,

(2.190a, b) 1 dp 0 dt

dwr dt

dq_ (2.191a, b)

wobei die zweiten Beziehungen fiir den Fall stationarer Strdmung mit d/dt — 0 gelten.

2.6.3 Warmetransportgleichung 2.6.3.1 Energieumwandlung Allgemeines. Im folgenden sollen die in Kap. 2.6.1 und 2.6.2 besprochenen Energiegleichungen der Fluid- und Thermofluidmechanik zur Beschreibung des Warmeverhaltens strdmender Fluide herangezogen werden. Dabei interessiert besonders das Zusammenwirken von innerer Energie, Enthalpie und Warmeleitung sowie Warmekonvektion durch die Strdmung und Warmeerzeugung durch die

166

2.6 Energiesatz (Energetik)

Reibungsarbeit. Auf die Beriicksichtigung der durch Strahlung iibertragenen Warme soil wegen der bei fluidtechnischen Aufgaben im allgemeinen nur maBigen Temperaturunterschiede verzichtet werden. Die Untersuchungen werden entsprechend Kap. 2.6.2.4 fiir das Fluidelement bei laminarer Stromung durchgefiihrt. Ausgangsgleichungen. Durch Subtraktion der Energiegleichung der Fluidmechanik (Form I) nach (2.184a) von der Energiegleichung der Thermofluidmechanik (Form II) nach (2.184b) wird in differentieller Darstellung fiir die spezifische innere Energie u oder die spezifische Enthalpie h = u + p/p im mitbewegten Bezugssystem du=dh-d(p/p)=dwv

+dwD+dq

(Form III).

(2.192a, b)

Wahrend die spezifische kinetische Energie de und die bezogene Arbeit durch die Massenkraft dw% nicht mehr vorkommen, treten die neuen GroBen dwy = dwp — dwp,

dwo = dwr — dv)R

(2.193a, b)

als bezogene Volumenanderungsarbeit (Arbeit, die durch Kompression eine Volumendilatation bewirkt) bzw. als bezogene Dissipationsarbeit (Arbeit, die durch Dissipation in Warme umgewandelt wird, Warmeproduktion) sowie dq als bezogene Arbeit durch Warmeleitung (Warmekonduktion) auf. Zunachst werden in den Kap. 2.6.3.2 und 2.6.3.3 die Vorgange bei laminarer Stromung eingehend behandelt. In Kap. 2.6.5.3 wird sodann die turbulente Stromung besprochen. 2.6.3.2 Energien und Arbeiten 1. Innere Energie, Enthalpie. Die allgemein giiltigen Beziehungen fur die spezifische innere Energie u und fiir die spezifische Enthalpie h sind in (1.30) bzw. (1.31) angegeben. Fiihrt man anstelle des spezifischen Volumens v die Dichte p = 1/u ein, dann gilt du = cvdT + (l-av)-

—, PP

(2.194a)

dh = cpdT + (\-ap)-

—. (2.194b) PP Nach Tab. 1.2 ist fiir vollkommen ideale Gase atv = 1 = ap und cv = const bzw. cp = const und damit u = cvT bzw. h = cpT. In den genannten Beziehungen stellt d/dt die substantielle Ableitung gemaB (2.41b) mit E = u = cvT dar, und man erhalt

J

^

n

=^

,

^

(Gas).

2,95a,

+ ( b) j t ox Die Beziehung (2.195a, b) gilt in gleicher Weise fiir die Ableitung der Enthalpie, wenn man u durch h und cv durch cp ersetzt.

at

at

2. Warmeiibertragung durch Konvektion. In StrOmungen iiberlagern sich grundsatzlich zwei Vorgange der Warmeiibertragung, und zwar der Warmetransport mit deni stromenden Fluid (Konvektion = Mitfuhrung) sowie der Warmetransport durch Warmeleitung. Je nach den Eigenschaften des Fluids und nach der Art der Stromung kann der eine oder andere Vorgang iiberwiegen. In (2.195b) kann man (pc = pcTvmAc = cv bzw. c = cp als Warmestromdichte infolge Konvektion in J/m2s bezeichnen.75 75

Mit p multipliziert kann man gemaB der konservativen Transportgleichung (2.41c) mit E = pT fur die substantielle Ableitung der inneren Energie auch schreiben P

du_ _ d(pcvT) dt ~ dt

d(pcvTvj) dxi

2.6.3 Warmetransportgleichung

167

Abb. 2.49. Zur Berechnung der Arbeit, die von den Oberflachenkraften (Druckkraften) an den Flachen eines sich verformenden Fluidelements (Dehnung) verrichtet werden

Die Warmekonvektion wird bei Fluiden iiber die innere Energie u, cv oder iiber die Enthalpie h, cp in der Warmebilanz beriicksichtigt. Bei dem beschriebenen Warmetransport spricht man von einer erzwungenen Warmekonvektion, da sie den Warmetransport mit dem stromenden Fluid (Massentransport durch Ortsveranderung) beschreibt. Neben der erzwungenen Konvektionsstromung kennt man noch die natiirliche Konvektionsstromung, die durch den Warmeauftrieb erzeugt wird und die sich bei kleinen Stromungsgeschwindigkeiten abspielt. Einzelheiten hierzu werden in Kap. 6.3 besprochen. 3. Volumenanderungsarbeit. Durch Einsetzen von (2.188) und (2.189) in (2.193a) erhalt man die massebezogene Leistung der druckbedingten reversiblen Dichteanderung zu 76 dwv dt

dwICy _ p dp _ dt p2 dt

p

_

p

>0.

(2.196a, b,c,d)

Dabei hebt sich die lokale Anderung dp/dt heraus. Die Gin. (2.196c, d) erhalt man fur ein quellfreies Stromungsfeld durch Einsetzen der Kontinuitatsgleichung (2.60a) bzw. (2.62a). Die von den Druckkraften an der Systemgrenze verrichteten Arbeiten mogen unter Verwendung der Komponentendarstellung nochmals anschaulich hergeleitet werden. Dabei ist zu unterscheiden in die Schlepparbeit AW> (Index P) sowie in die Schlepp- und Formanderungsarbeit AWP (Index p). Nach Abb. 2.49 wird ein Fluidelement als Quader mit den Seitenlangen Ax, Ay, Az aus dem Stromungsfeld herausgegriffen. Es besitzt das Volumen AV = AxAyAz = AxAAx und die Masse Am = pAV. An den durch (1) und (2) gekennzeichneten Flachenelementen AAX = AyAz greifen in x-Richtung die

Druckkrafte [p - (dp/dx)(Ax/2)]AAx

bzw. [p + (dp/dx)(Ax/2)]AAx

an. Dabei ist p der Druck

im Schwerpunkt des Fluidelements. Die zugehorigen Geschwindigkeitskomponenten in x-Richtung sind vx - (dvx/dx)(Ax/2) bzw. vx + (dvx/dx)(Ax/2), wenn vx die mittlere Geschwindigkeit am Schwerpunkt des Fluidelements ist. In x-Richtung wird in der Zeit dt einerseits die druckbedingte elastische Schlepparbeit d(AWp)x sowie andererseits die druckbedingte Schlepp- und plastische (bleibende) Formanderungsarbeit d(AWp)x verrichtet:

3pAx\l AAxvx dt 3x 2 ) \

d(AWP)x = ox

3vx

dx 76

ovx Ax

-AV dt.

Die Volumensanderungsarbeit hangt ab von den am Fluidelement angreifenden Normalspannungen "n = -enp + xn, vgl. (2.77b). Dabei sind der druckbedingte Beitrag eine reversible GroBe dwm und der reibungsbedingte Beitrag eine irreversible GroBe dwm. Letzterer ist Teil der Dissipationsarbeit und wird in (2.199b) mit i = j erfaBt.

168

2.6 Energiesatz (Energetik)

Analoge Gleichungen gelten ftlr die y- und z-Richtung. Nach Division dieser Beziehungen durch die Masse Am = pAV folgt fiir die bezogenen Leistungen L=_\_

^

dt

dwJ,=_l_d(pvll

p ' dxj

dt

p dxj

was durch Einsetzen in (2.193a) ebenfalls zu (2.196d) fiihrt. Die Volumenanderungsarbeit tritt nur bei Stromungen dichteveranderlicher Fluide mit p ^ const auf. Fur dp > 0 spricht man von einer Arbeit durch Verdichtung und fiir dp < 0 von einer Arbeit durch Verdtinnung. Die Volumenanderungsarbeit kann auch Dichteveranderungsarbeit genannt werden. 4. Dissipationsarbeit. Ein Teil der an den Oberflachen des Fluidelements durch Reibungskrafte des stromenden Fluids verrichteten mechanischen Arbeit wird in Warme umgewandelt (dissipiert). Die bezogene Dissipationsarbeit ist durch (2.193b) gegeben. Ihre Ermittlung soil analog wie bei der Volumenanderungsarbeit unter Benutzung der Komponentendarstellung durchgefilhrt werden. Betrachtet wird ein Quader nach Abb. 2.38b. Die an den einzelnen Oberflachen wirkenden Spannungen a,y sind dargestellt. Die reibungsbedingten Spannungen werden nach (2.111) mit T,y = T,, bezeichnet und ergeben sich aus (2.114), wenn man dort p = 0 setzt. In *-Richtung wird in der Zeit dt einerseits die reibungsbedingte (hemmende) Schlepparbeit d(A WR)X sowie andererseits die reibungsbedingte Schleppund Formanderungsarbeit d(AWr)x verrichtet: x

d(AWr)x =

ra

T

'"- -' dx

dy

dz

1

dy

dz

Entsprechende Gleichungen gelten fiir die y- und z-Richtung, so daB man die bezogenen Leistungen zu dt

p

dxj

dt

p dxj

erhalt. Nach Einsetzen in (2.193b) folgt die irreversible Dissipationsleistung zu dVi

1

dt

=

=

dt

T

p

j = ro = v diss v

(laminar)

(2.199a, b, c, d)

mit ro als Abkiirzung. Die Dissipationsarbeit stellt die irreversible Reibungswarme (Warmeproduktion) dar. Bei laminarer Strdmung besteht der ReibungseinfluB aus dem EinfiuB der Zahigkeit. Da die zahigkeitsbedingten Spannungen T,y neben der Viskositat r] nur von den Geschwindigkeitsanderungen abhangen, soil die Dissipation als Produkt aus der kinematischen Viskositat v = rj/p und der geschwindigkeitsabhangigen Dissipationsfunktion diss v dargestellt werden. Die Berechnung von rp ist somit eine rein fluidmechanische Aufgabe. Nach Einsetzen von (2.114) mit p = 0 in (2.199a) ergibt sich bei Vernachlassigung der Druckviskositat (iy = 0) fiir die Dissipationsfunktion77

Die Zusammensetzung der Dissipationsfunktion nur aus quadratischen Ausdriicken entspricht ihrer physikalischen Bedeutung als richtungsunabhangiger GroBe (irreversibler ProzeB). Durch Umformung von (2.200) kann man zeigen, daB der neue Ausdruck stets positiv ist. Dies bedeutet fiir die Dissipationsarbeit rp > 0. In Tab. 2.13 sind die Beziehungen diss v fiir kartesische und zylindrische Koordination zusammengestellt. Bei der Stromung eines dichtebestandigen Huids (p = const) verschwindet in (2.200) wegen der Kontinuitatsgleichung (2.62) das letzte Glied, und es ist diss v = 2 #?• mit #,7 nach (2.38). Fiir die ebene Strdmung ist in (2.200) zu setzen i, j = 1,2 und x\ = x, xj = y sowie v\ = u und i>2 = v. Insbesondere gilt fiir die einfache Scherstromung u = u(y), v = 0, d. h. es ergibt sich die einfache Beziehung. 77

Man beachte, daB

(dvi_ <^A 9^ = 1 (Svi_ \dxj dXi) dxj 2\dxj

dvjV ax,) '

dvLdvL = ( ''axjdxk \dxj

ist. In der ersten Beziehung hat man es mit einer Doppelsumme liber /, j = 1,2, 3 zu tun.

2.6.3 Warmetransportgleichung

169

Tabelle 2.13. Dissipationsfunktion der laminaren Stromung normalviskoser Fluide, diss v, Koordinatensysteme nach Abb. 1.13 Koordinaten

diss v

2

[(E)

(dv \21 2 +

(^)2

kartesisch

/9fz

v"97 + "a7y

V 9y

-2*{T,

*

3D, 9

?) 2

zylin drisch

V "^ /

\dx

'I

V9 z y

r/

/ 1 01

V 9z

9r y

3ur dtp

dvv vv\2 dr r )

2 f

C

dt

7

= >jdissu=)j( — I = T

3yJ

+

^)

—

By

(2.201a, b)

Dabei wurde in der letzten Beziehung der Newtonsche Ansatz fiir die Schubspannung einer laminaren Stromung nach (2.115c) eingefiihrt. 5. Arbeit durch Warmeleitung. Vernachlassigt man die erst bei sehr groBen Temperaturen auftretende Warmezufuhr durch Strahlung, so ist neben dem Warmetransport durch Massentransport (Anderung der inneren Energie, Warmekonvektion) eine Warmezufuhr oder -abfuhr noch durch Leitung moglich. Die gesamte in der Zeit durch Warmeleitung verrichtete Arbeit CI(AWQ) = d(AQ) erhalt man durch Integration aller iiber die Flache A A des Raumelements A V ein- oder austretenden Warmestrome nach (2.179a) in Verbindung mit (2.178) auf die Zeit dt bezogen zu

dt

f
AV

Zunachst wird durch Anwenden des GauBschen Integralsatzes (S. 85) das Oberflachenintegral iiber AA in ein Volumenintegral tiber AV umgeformt und sodann das Volumen AV auf einen Punkt zusammengezogen, wobei der stetig angenommene Integrand div^p vor das Integral genommen werden kann. Bezieht man auf die Masse Am = pAV, dann erhalt man die bezogene Warmeleistung zu dq 1 — = — div
0 mit

dT

(2.202a, b)

Man bezeichnet

170

2.6 Energiesatz (Energetik)

Bestimmungsgleichungen. Setzt man die fiir die Energien und Arbeiten gefundenen Beziehungen in die Ausgangsgleichungen (2.192a, b) ein, dann lauten die Warmetransportgleichungen fiir die spezifische innere Energie und die spezifische Enthalpie du — dut + dwD + da

mit

dut = dwv = — — , PP

(2.203a)78

di = dwv +d(-\ =—. (2.203b)78 \P) P Bei p = p(p, T) = p[p, T(p, p)] mu8 der PrqzeBverlauf T = T(p, p) bekannt sein, was bedeutet, daB es sich bei di und diij um unvollstandige Differentiale (ProzeBdifferentiale) handelt. Bei p = p(p), d. h. barotrop, vgl. Tab. 2.12, p = p ( p , T = const), d. h. isotherm oder p = p(p, s = const), d. h. isentrop, sind di und dut vollstandige Differentiale (Zustandsdifferentiale). Fiir ein Fluid, welches der polytropen Zustandsandemng (1.5c) gehorcht, ergibt sich bei einem vollkommen idealen Gas unter Zuhilfenahme von Tab. 1.2 dh = di + dwD + dq

mit

i n(K — 1)

(Gas)

(2.204a)

n(K — 1) n-l

mit

/ = / —— = — — — ( — ) " J p(p)

n - l pb

(polytrop)

(2.204b)

\pbj

(n = 0 isobar, n = 1 isotherm, n = K isentrop und n = oo isochor)..

2.6.3.3 Warmetransportgleichung bei laminarer Stromung Fiir die laminare Stromung normalviskoser Fluide kann man die Warmetransportgleichung angeben, wenn man in (2.203a, b) fiir die Anderungen der inneren Energie bzw. der Enthalpie (2.194a, b), der Dissipationsarbeit (2.199d) sowie der Arbeit durch Warmeleitung (2.202a) -alle GroBen auf die Masse und Zeit bezogeneinsetzt. Man erhalt fur ein Fluidelement in allgemeiner Darstellung dT

1 /

pdp

\

T (dp (2.205a)

dp ' dt

\ )

.

_ p

T (dp p \dT/p (2.205b)

Es stellen die Differentialoperatoren d/dt substantielle Ableitungen gemaB (2.185a) dar. 78

In der Schreibweise der Thermodynamik ist mit v = l/p als speziflschem Volumen du = —pdv + dwo + dq und dh = vdp + dwo + dq, d. h. es gilt duj = —pdv als Volumenanderungsarbeit und di = vdp als (negative) Druckanderungsarbeit. Die Differenz di — duj = d(pv) bezeichnet man als Verschiebearbeit.

2.6.3 Warmetransportgleichung

171

In kartesisdhen Koordinaten kann man fiir (2.205b) schreiben 'dT 8T\ 1 T /3p dp\ 9 / dT (2.206a) ( oVi

mit

rD = -

ox); \

2 ( oVj \

-[ — + — ) ~ -

p [2 \dxj

dxij

—

(2.206b)

3 \dxjj J

Die angegebenen Warmetransportgleichungen (2.205) bzw. (2.206) enthalten als Unbekannte die Geschwindigkeit v bzw. die Geschwindigkeitskomponenten i>,, vj, den Druck p sowie die Temperatur T als Funktionen von Zeit t und Ort r bzw. Xi, Xj. AuBerdem konnen die StoffgroBen infolge ihrer moglichen Abhangigkeiten von den ZustandsgroBen p, T von EinfluB sein. Zur Losung ist neben den gegebenenfalls benotigten Stoffgesetzen nach Kap. 1.2 die Bewegungsgleichung nach Kap. 2.5.3.3 heranzuziehen. Bei einem homogenen Fluid mit p = const ist dp/dt = 0 = ap sowie cv = Cp. In diesem Fall tritt der DruckeinfluB nicht explizit auf. Fiir ein thermisch ideales Gas mit p = pRT ist ap = 1 = av. Auf Einzelheiten wird bei der Behandlung der Temperaturgrenzschicht in Kap. 6.3 eingegangen. Losung der Warmetransportgleiehung fiir die einfache Scherstromung (Couette). Ahnlich wie in Kap. 2.5.3.3 (Beispiel b) fiir die Bewegungsgleichung der laminaren Stromung (Navier, Stokes) soil auch fiir die Warmetransportgleichung eine einfache Losung angegeben werden. Gewahlt wird die stationare ebene Scherstromung eines homogenen Fluids ohne Druckgradient nach Abb. 2.39b mit P = 0. Die iiber den normalen Wandabstand y lineare Geschwindigkeitsverteilung ist in (2.126b) mitu(y) = (y/h)ua angegeben, wobei ua = u(y = h) die Geschwindigkeit der bewegten Platte ist. Wegen dT/dt = 0 sowie u(y), v = 0 und d/dx\ = 0 = 9/9x3, 9/3x2 = d/dy sowie v\ = u, V2 = 0 =-vj findet man die Warmetransportgleichung zu }

^T2=-')(?r) 2

dy

=-^{Uv]

\dy)

=const

(u = (y/h)ua),

(2.207a)

\hj

wobei folgende thermische Randbedingungen zu erfiillen sind: y =0:

T = To;

y= h :

T = Ta.

(2.207b)

Als Losung ergibt sich fur die Temperaturverteilung

TOO = T0 + (Ta - T0)l + \juli n

Ik

f 1- T V n\

(2.208a)

h)

In dimensionsloser Darstellung kann man fiir (2.208a) auch schreiben (2.208b)

Ta-T0 2 Dabei werden als Kennzahlen fiir das vorliegende Problem die Prandtl-Zahl Pr = rjCp/k entsprechend (1.47i) und die Eckert-Zahl Ec = u^/cp(Ta — To) entsprechend (1.47h) eingefiihrt d. h. Pr-Ec = - ——— > 0 (Kennzahl). A. r a — 7o

(2.209)

Fiir die Warmestromdichten (p =
172

2.6 Energiesatz (Energetik)

eine parabolische Verteilung, welche von der Reibungswarme (r) / 0) herriihrt und die von der Kennzahl Pr • Ec abhangt. Fur Ta > To besitzen nach (2.210a, b) die Warmestromdichten die Vorzeichen (po < 0 bzw. ipa g: 0. Diese Ergebnisse besagen, daB an der nichtbewegten Platte der Warmestrom entgegen der y-Richtung, d. h. vom Fluid auf die Wand (Aufheizen der ruhenden Platte) vor sich geht. Bemerkenswert ist, daB an der bewegten Platte ein Warmestrom nicht auftritt, wenn Pr • Ec = 2 oder (Ta - To) = r)U2a/2\ ist. Fur Pr • Ec < 2 ist <pa < 0, so daB der Warmestrom von der Wand auf das Fluid (Kuhlen der bewegten Platte) verlauft. Fur Pr • Ec > 2 ist <pa > 0, wodurch sich die obige Aussage umkehrt (Aufheizen der bewegten Wand). Aus dem besprochenen einfachen Beispiel ist also zu entnehmen, daB durch die Reibungswarme die Kuhlwirkung betrachtlich beeintrachtigt wird und bei groBen Stromungsgeschwindigkeiten sogar statt der erwarteten Abkiihlung ein Aufheizen der warmeren Wand durch die Reibungswarme eintritt. Dieser EinfluB ist von grundlegender Bedeutung fur das Kiihlungsproblem bei groBen Stromungsgeschwindigkeiten, d. h. im vorliegenden Fall fur

u\ > (2k/r,)(Ta - To).

2.6.4 Entropiegleichung 2.6.4.1 Reversible und irreversible Prozesse Allgemeines. Wahrend der erste Hauptsatz der Thermodynamik als Energiegleichung der Thermofluidmechanik nach Kap. 2.6.1 bis 2.6.3 das Gesetz von der Erhaltung und Umwandlung mechanischer und thermischer Energien und Arbeiten ausspricht, dient der zweite Hauptsatz der Thermodynamik der Beschreibung des moglichen oder auch unmoglichen Ablaufs einer mit Warmevorgangen verbundenen Stromung, vgl. [1, 13, 44]. Befindet sich ein durch eine materielle oder gedachte Begrenzungsflache festgelegtes System im thermodynamischen Gleichgewicht (Gleichgewichtszustand), so laBt sich sein Zustand verandern, indem man z. B. das Volumen des Systems vergroBert oder/und eine Arbeit durch Krafteinwirkung bzw. durch Warmeleitung iiber die Systemgrenze zu- oder abfuhrt. Einen solchen Vorgang bezeichnet man als thermodynamischen ProzeB. Bei jedem ProzeB andert sich der Zustand des Systems; es durchlauft eine Zustandsanderung. Die Erfassung des Prozesses erfordert aber nicht nur die Angabe der Zustandsanderung, sondern es miissen dariiber hinaus auch das Verfahren und die naheren Umstande festgelegt werden, unter denen die Zustandsanderung ablauft. Der Begriff des Prozesses ist weitergehender und umfassender als der Begriff der Zustandsanderung. Die Angabe der Zustandsanderung ist nur ein Teil der ProzeBbeschreibung. Befindet sich das System zu Beginn des Prozesses in einem Gleichgewichtszustand, so wird die Zustandsanderung im allgemeinen auf Nichtgleichgewichtszustande fiihren. Eine derartige Zustandsanderung wird nicht-statische Zustandsanderung genannt. Besteht dagegen die Zustandsanderung aus einer Folge von Gleichgewichtszustanden, so spricht man von einer quasi-statischen Zustandsanderung als idealisiertem Grenzfall. Fur die folgenden Ausfiihrungen seien immer quasi-statische Zustandsanderungen vorausgesetzt, d. h. die Abweichungen vom thermodynamischen Gleichgewicht sind vernachlassigbar. Die klassische Thermodynamik beschrankt sich auf die Beschreibung von Gleichgewichtszustanden. Zugehorige ZustandsgroBen nennt man Zustandsfunktionen. Eine GroBe ist eine ZustandsgroBe, wenn die Differenz ihrer Werte in zwei Gleichgewichtszustanden nur von den beiden Zustanden des Systems abhangt und nicht davon,

2.6.4 Entropiegleichung

173

wie das System von dem einen Zustand in den anderen gelangt. Mathematisch gesehen besitzen ProzeBgroBen im Gegensatz zu ZustandsgroBen im allgemeinen unvollstandige Differentiale, vgl. FuBnote 66 (S. 154). Kann ein System, in dem ein ProzeB abgelaufen ist, durch Richtungsumkehr von selbst vollstandig und ohne bleibende Veranderung in der Umgebung des Systems in seinen Anfangszustand gebracht werden, so heiBt dieser ProzeB reversibel (umkehrbar). Ein solcher ProzeB besteht immer, d. h. in jedem Augenblick, aus einer Folge von Gleichgewichtszustanden. AuBer der quasistatischen Zustandsanderang verlangt der reversible ProzeB, daB Reibung und andere dissipative Einfliisse in alien Teilen des Prozesses ausgeschlossen sind. Reversible Prozesse sind Grenzfalle (idealisierte Prozesse) der tatsachlich in der Natur vorkommenden Prozesse. Sie sind zur Darstellung einfacher, stetig verlaufender Stromungsvorgange sehr gut geeignet. Ist der Anfangszustand des Systems ohne Anderungen in der Umgebung nicht von selbst wiederherzustellen, so nennt man den ProzeB irreversibel (nichtumkehrbar). Die tatsachlich vorkommenden naturlichen Prozesse sind strenggenommen immer irreversibel. Dabei unterteilt man in Ausgleichsprozesse und in dissipative Prozesse. Bei den Ausgleichsvorgangen liegen stets nicht-statische Zustandsanderungen vor. Sie werden hier, wie bereits gesagt wurde, nicht behandelt. Die dissipativen Prozesse sind im wesentlichen mit Reibungseinflussen verbunden und sollen hier als quasistatische Zustandsanderungen des Systems angesehen werden. Einfuhren der Entropie. In qualitativer Hinsicht spricht der zweite Hauptsatz der Thermodynamik das Prinzip der Irreversibilitat aus. Zur quantitativen Kennzeichnung reversibler, irreversibler oder auch unmoglicher Prozesse bedient man sich der Entropie S, auch VerwandlungsgroBe genannt. Sie ist eine extensive ZustandsgroBe und besitzt die Dimension FL/© mit der Einheit J/K. Zur Unterscheidung der verschiedenen Prozesse geniigt die Kenntnis des Anfangs- und Endweits der Entropie. Die Anderung der Entropie kann als Summe zweier Terme dS = dSa + dSc

dSa ^ 0,

dSt ^ 0;

dS ^ dSa (2.211a,b,c)

geschrieben werden, wobei dSa die dem System von auBen zu- oder abgefiihrte Entropie und dSi die innerhalb des Systems erzeugte Entropie darstellt. Je nach der Wechselwirkung des Systems mit seiner Umgebung (abgeschlossenes System—masse- und warmedicht, geschlossenes System=massedicht und warmedurchlassig, offenes System = masse- und warmedurchlassig) kann dSa positiv, null oder negativ sein. Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik besagt, daB nach der Entropieungleichung dSj null fiir reversible und positiv fur irreversible Umwandlungen des Systems sein muB. In Tab. 2.14 sind die Entropieanderungen thermodynamisch moglicher Prozesse schematisch dargestellt. Fiir ein geschlossenes System stellt dSa nur den Entropieaustausch durch Warme dar. Bei einem offenen System muB beachtet werden, daB sich dSa sowohl aus dem Entropieaustausch durch Warme als auch aus dem Entropieaustausch durch Masse zusammensetzt. Ein Fall dS < dSa wurde nur bei dSj < 0 auftreten, was jedoch nach (2.211b) dem zweiten Hauptsatz widerspricht. Solche Prozesse sind also thermodynamisch

2.6 Energiesatz (Energetik)

174

Tabelle 2.14. Entropieanderung moglicher thermodynamischer Prozesse. Reversibler ProzeB: dSj = 0, dS = dSa\ irreversibler ProzeB: dSj > 0, dS > dSa\ (unmoglicher ProzeB: dSi < 0, dS < dSa) ProzeO

System

Entropie dSi-0

reversibel

ds-n

dS

dS--0

obgeschlossen (adiobot) irreversibel

dS>0 dS>0

dS

ds>n

dS

dSa>0 reversibel,

dS

dS<0 geschlassen, often (Warmezu-oder abfuhr)

,dSa>0

dSi>0

\

1 dS>0

1

•

dS

,>0

irreversibel, dS/>0

dS>dS0

dS

dSa<0

dS<0

dS

unmoglich, wahrend der reversible ProzeB mit dSt = 0 als idealisierter ProzeB gerade noch denkbar ist. Bezeichnet s = s(t,r) die auf die Masse dm = pdV bezogene spezifische Entropie in J/kg K, dann betragt die zeitliche Anderung der Entropie dS/dt einer Masse m, die sich in einem abgegrenzten (geschlossenen) Systemvolumen V(t) befindet79 dS

dt

dSa , dSi dt dt

k

S(t)=

f

s d v

(2.212a, b)

V(t)

Da die Systemgrenze masseundurchlassig ist, enthalt dSa/dt nur den Entropiestrom infolge Warmeleitung. Definition. Die Anderung der spezifischen Entropie ds findet man nach der Gibbsschen Fundamentalgleichung (Bilanzgleichung), angewendet auf einfache Systeme (ohne Arbeit der Grenzflachenspannung sowie ohne elektromagnetische 79

Es wird fiir die spezifische Entropie derselbe Buchstabe s verwendet, der in anderer Bedeutung auch zur Beschreibung des Wegs benutzt wird.

2.6.4 Entropiegleichung

175

Einwirkung, thermodynamische und chemische Potentiale), fiir quasi-statische Prozesse (thermodynamisches Gleichgewicht) zu ds = —dqTev

(dw = dwTev)

(Gibbs).

(2.213a, b)

Es ist 1/T der mit der Temperatur T gebildete integrierende Faktor eines reversiblen Vergleichsprozesses, mit dem die ProzeBgroBe dqTtv multipliziert die ZustandsgroBe ds liefert. Fiir die Anderung der spezifischen Entropie ds = (l/T)dqrew erhalt man durch Heranziehen der Warmetransportgleichung (2.192b) zwei Falle der Darstellung. Wahrend es sich bei der druckbedingten Volumenanderungsarbeit um einen reversiblen und bei der reibungsbedingten Dissipationsarbeit um einen irreversiblen Vorgang, d. h. dwy = dwiev bzw. dwj) = dwm handelt, kann sich die Warme aus einem reversiblen und einem irreversiblen Vorgang zusammensetzen. Man kann also schreiben du = dwv + dwD +dq = dwiev + dwin + dqTev + dq\n. Fiir die Entropieanderung des reversiblen Vergleichsprozesses ds = erhalt man aus (2.214b) mit dwm = 0 = dqm ds = -(du

- dwv)

ds = -(dwD

(l/T)dqKW (2.215a)80

(Fall a),

+ dq),

(2.214a, b)

(Fall b).

(2.215b)

Gl. (2.215b) folgt aus (2.215a) wenn man dort (2.214a) einsetz. Im Fall a treten wegen dwv = (p/p)(dp/p) nach (2.196b) bei der Entropieanderung nur die Zustandsgrossen u, p, p und T auf. Im Gegensatz hierzu hangt im Fall b die Entropieanderung von den ProzeBgroBen dwo nach (2.199) und dq nach (2.202) ab. 2.6.4.2 Entropiegleichung fiir den Kontrollraum Ausgangsgleichung. Ahnlich wie bei den Energiegleichungen in Kap. 2.6.2.2 kann man nach Abb. 2.47 anstelle des mitbewegten Fluidvolumens V(t) die weiteren Uberlegungen fiir einen zeitlich gleichbleibenden Kontrolkaum (offenes System) (V) durchfiihren. Fiir ein quellfreies Stromungsfeld erhalt man nach (2.46a) mit / = S als Volumeneigenschaft und j = s als spezifischer EigenschaftsgroBe fur die substantielle Ableitung der Entropie

f = d-^ + dt

dt

d L

4 =[p^dV

dt

J

(quellfrei).

(2.216a, b)

dt

(V)

Fiir den Kontrollraum soil die in (2.215b) angegebene Formulierung bei laminarer Stromung herangezogen werden. Bezieht man die Anderung der spezifischen Entropie ds auf die Zeit dt, dann ergibt sich mit (2.199d) und (2.202a) die 80

Mit p = \/v lautet (2.215a) in der Schreibweise der Thermodynamik T ds = du + pdv = vgl. Tab. C.2.

dh-vdp,

176

2.6 Energiesatz (Energetik)

Beziehung ds 1 p— = — (rj diss v — div^o) at T Fur das letzte Glied kann man auch (l/T)di\
(laminar, Fall b).

(2.217a)

= d i v ( ^ / r ) -

schreiben. Setzt man (2.217a) mit dieser Umformung in (2.216b) ein und wandelt das Volumenintegral iiber div(
j(ri (O)

diss v-
(2.217b)

(V)

Durch Vergleich mit (2.216a) zeigt man, daB der erste Ausdruck auf der rechten Seite den Entropiestrom infolge Warmeleitung iiber die Kontrollflache (O) und der zweite Ausdruck die Entropieerzeugung im Kontrollvolumen (V) darstellen: % dO

mit %=- = -k-

^ 0 ,

(2.217c)

(O)

^L=jxdV

mit

x =r

,^-+kl^-\

£0.

(2.217d)81

(V)

In (2.217c) wurde die Warmestromdichte

Wegen der Irreversibilitat von \ miissen in (2.217d) beide Terme unabhangig voneinander positiv sein. Dies erklart das negative Vorzeichen bei der Warmestromdichte

2.6.4 Entropiegleichung

177

Geht man von der Transportgleichung (2.46c) aus und setzt fur die Volumeneigenschaft J — S sowie fur die Eigenschaftsdichte s = ps und fiir den Volumenstrom dV = —v • dO, dann erhalt man dS dS f — = vipsv-dO dt dt J

mit

f S(t) = IpsdV. J

(O)

(2.218a, b)

(V)

Das erste Glied auf der rechten Seite von (2.218a) stellt den lokalen Anteil (Volumenintegral nach (2.218b)) dar und tritt nur bei instationarer Stromung auf, wahrend das zweite Glied den konvektiven Anteil (Oberflachenintegral) beschreibt. Die GroBe psv wird analog zur Massenstromdichte pv mit Entropiestromdichte infolge Massentransport bezeichnet. Fiir (2.218a) kann man jetzt mit (2.217c, d) schreiben dS

r

It = - j>

t

dS

f - d10+ I XdV,

(0)

r

r

(0)

(V)

It = - j> $ftiO + j ;

(V)

(2.218c, d) mit %t = psv +£ als der totalen (gesamten) durch Massentransport und Warmeleitung hervorgerufenen Entropiestromdichte. Wahrend dS/dt nach (2.218c) die substantielle Formulierung darstellt, beschreibt dS/dt nach (2.218d) die lokale Formulierung.82 Bei stationarer Stromung ist dS/dt = 0, und man erhalt den Zusammenhang zwischen Entropiestrom und Entropieerzeugung zu j) (H + psv) (0)

dO =

xdV ^ 0

(stationare Stromung).

(2.219)

(V)

Da die Entropieerzeugung im Inneren des Kontrollvolumens (V) stets positiv oder im Grenzfall null sein muB, besagt dies, daB der gesamte Entropiestrom iiber die Kontrollflache (O) ebenfalls positiv bzw. null sein muB. 2.6.4.3 Entropiegleichung fiir das Fluidelement Quellfreies Stromungsfeld. Ausgehend von den fur den Kontrollraum (V) bei einem quellfreien Stromungsfeld (verschwindende Massenquelldichte) gefundenen Beziehungen werde die Anderung der spezifischen Entropie fiir ein aus dem Fluid herausgegriffenes Fluidelement (AV) bestimmt. Auf das Massenelement Am = pAV bezogen erhalt man fur die substantielle Ableitung der spezifischen Entropie, vgl. (2.41b) mit E — s und (2.216a)

£ = ^+.grad, = ^

+

^>^.

(2.220a, b)

dt dt dt dt ~ dt Ist die spezifische Entropie langs einer Bahnlinie, d. h. langs einer Kurve, die ein bestimmtes Fluidelement bei seiner Bewegung durchlauft, ungeandert, so spricht man von einem isentropen (adiabat-reversibel) Zustand. Dieser ist durch ds = 0 82

Es ist 3S/3t = dS/dt, vgl. Ausfiihrung zu (2.46c).

178

2.6 Energiesatz (Energetik)

gekennzeichnet. 1st dagegen die Entropie im ganzen Stromungsfeld ungeandert, so driickt man dies fur den Fall stationarer Stromung (3/3? = 0) durch grads = 0 aus und spricht von einem homentropen Zustand. Fall a. Diese Formulierung wird durch (2.215a) beschrieben und entspricht nach Tab. C.2 der ftir einfache Zustandsanderungen allgemein giiltigen Beziehung (1.32c) mit v = l/p als spezifischem Volumen, d. h.

av

ap

Bei der Entropieungleichung spricht man von der adiabaten Irreversibilitat. Entropieverhalten idealer Gase. Beim vollkommen idealen Gas ist av = 1 = ap sowie cv = const und cp = const, und (2.221a) laBt sich geschlossen integrieren. Angewendet auf zwei durch (1) und (2) gekennzeichnete Zustande mit K = Cp/cv = const wird

s2-si

pi

= cp In pi

Pi

I

Pi\K ex

= [P\ —)

P — (2.221b, c)

wobei die zweite Beziehung die Auflosung nach dem Dichteverhaltnis darstellt. Bei konstanter Entropie fe—*i = 0) erhalt man das fiir die isentrope Zustandsanderung in (1.6) bereits angegebene Gesetz. Da bei adiabat verlaufender Stromung wegen ds ^ 0 stets S2~ s\ ^ 0 sein muB, folgt aus (2.221), daB das Dichteverhaltnis einer adiabat-irreversiblen, d. h. anisentrop verlaufenden Stromung (52 > si) stets kleiner als das Dichteverhaltnis bei adiabat-reversibler, d. h. isentroper Stromung (s2 = s\) sein muB

S (— )

= (— V

(adiabat).

(2.222a, b)

Die Beziehung spielt eine groBe RoUe bei Stromungen dichteveranderlicher Fluide (Gase), iiber die in Kap. 4 ausfiihrlich berichtet wird. Fall b. Wandelt man in (2.218c) das Integral iiber die Kontrollflache (AO) mittels des GauBschen Integralsatzes (S. 85) mit a — f in ein Volumenintegral iiber (AV) um, dann lassen sich im Fall sehr kleinen Volumens AV ->• 0 die Integranden bei Annahme stetiger Funktionen fur div § und x v o r die Integrale ziehen. Die so entstandene Gleichung wird auf die Masse Am — pAV bezogen, was zu

^ = --div | at p

at

(Fallb)

(2.223)

fiihrt, wobei | der Vektor der Entropiestromdichte nach (2.217c) und x die Entropiequelldichte nach (2.217d) ist.

2.6.5 Energiegleichungen bei turbulenter Stromung

179

2.6.5 Energiegleichungen bei turbulenter Stromung 2.6.5.1 Voraussetzungen und Annahmen Uber die Besonderheiten turbulenter Stromungen wurde bei der Herleitung der Bewegungsgleichung der turbulenten Stromung normalviskoser Fluide in Kap. 2.5.3.5 berichtet. In Analogie zu den dortigen Ausfuhrungen sollen entsprechende Aussagen iiber die Energiegleichungen der Fluidmechanik und Thermofluidmechanik gemacht werden, wobei sich die Untersuchungen auf die turbulente Stromung eines homogenen Fluids (Dichte p = const, Viskositat rj = const, spezifische Warmekapazitat c = cv = cp = const, Warmeleitkoeffizient A. = const) erstrecken sollen. Wie bei der Reynoldsschen Bewegungsgleichung wird auch hier die Zeigerschreibweise benutzt. Gemittelte Werte werden durch Uberstreichen gekennzeichnet und gemittelte GroBen genannt, vgl. (2.137) sowie die FuBnote 59 (S. 139). Auf die Darstellungen in [7, 17, 36, 38, 53] sei hingewiesen. 2.6.5.2 Energiegleichung der Fluidmechanik bei turbulenter Stromung Allgemeines. In Kap. 2.5.3.5 wurde die Bewegungsgleichung der turbulenten Stromung normalviskoser Fluide (Reynoldssche Bewegungsgleichung) durch eine Erweiterung der Bewegungsgleichung der laminaren Stromung normalviskoser Fluide (Navier-Stokessche Bewegungsgleichung) nach Kap. 2.5.3.3 hergeleitet. In ahnlicher Weise soil jetzt die Energiegleichung der Fluidmechanik bei turbulenter Stromung aus der Energiegleichung der Fluidmechanik bei laminarer Stromung nach Kap. 2.6.2.4 gefunden werden. Fiir den Turbulenzmechanismus gelten die in Kap. 2.5.3.5 gemachten Ausfuhrungen, wobei die Reynoldsschen Ansatze, d. h. die Aufteilung der Gesamtstromung in eine Haupt- und in eine Nebenstromung nach (2.134) sowie die Mittelung nach (2.136) und (2.137) als Grundlage dienen. Hinzu kommt die Kontinuitatsgleichung (2.138). Besitzt ein Massenelement Am die momentane Geschwindigkeit v* = v + v' mit v' = 0, so betragt die auf die Masse bezogene Geschwindigkeitsenergie (kinetische Energie) e* — AE*/Am = v*2/2. Fiir die momentane und gemittelte Geschwindigkeitsenergie gilt dann83 e* = e + e' + VjVj,

e*=e

+ e',

HJ7j=0,

(2.224a, b, c)

wobei die einzelnen GroBen folgendermaBen lauten:

e = \v),

e' = \vf,

e' = \vf.

(2.225a, b, c)

Weiterhin gilt nach (2.134b) fiir den momentanen Druck p* = p + p'. Die Impulsgleichung der momentanen Bewegung lautet nach (2.108) bzw. (2.139)84

83

Anstelle der Bezeichnung "spezifische Energie" soil vereinfacht nur der Ausdruck "Energie" benutzt werden. Die gleiche Vereinbarung soil auch fiir massebezogene Krafte, Arbeiten und Leistungen gelten. Uber die Kennzeichnung von e' statt e' vergleiche die FuBnote 59 (S. 139). 84 Auf die Erfassung des Einflusses der Massenkraft wird hier verzichtet.

180

2.6 Energiesatz (Energetik)

Durch Multiplikation dieser Beziehung mit der Geschwindigkeit v* und anschlieBende Summation iiber / = 1, 2, 3 erhalt man die Energiegleichung der Fluidmechanik fur die momentane Bewegung, vgl. (2.184a), de* dwt dw*R —- = —!- H - ^ = dt dt dt

1 Jp* J2v* vf-J— + vv*—f p ' dxt ' dxj

(p = const, r\ = const). (2.227a, b)

Hierin bedeutet d/dt — d/dt + v*(d/dxj) die substantielle Anderung mit der Momentanbewegung. Um zu weiteren Ansatzen zu gelangen, soil wie bei der Reynoldsschen Bewegungsgleichung eine Mittelung vorgenommen werden. Es empfiehlt sich, die weitere Darstellung getrennt fur die Hauptstromung (gemittelte Bewegung) und fur die Nebenstromung (Schwankungsbewegung) durchzufiihren. Zu diesem Zweck multipliziert man (2.226b) einerseits mit der gemittelten Geschwindigkeit u,- sowie andererseits mit der Schwankungsgeschwindigkeit v\, bildet die jeweiligen Mittelwerte und summiert anschliefiend die drei Gleichungen fur i = 1, 2, 3, vgl. Tab. 2.10b. Hauptstromung. Die Multiplikation von (2.226b) mit u,, die anschlieBende Mittelung sowie die Summation iiber / = 1, 2, 3 liefert die Energiegleichung der Hauptstromung de l_dp d2vt _ djv'jV'j) — = — vt —- + vvi — j - vt . dt p dxj dxj OXJ

(2.228a)

Hierin bedeutet jetzt d/dt = d/dt + Vj(d/dxj) die substantielle Anderung mit der Hauptbewegung. Die Glieder auf der rechten Seite lassen sich durch Einfiihren der massebezogenen Krafte entsprechend (2.140c, d) und (2.143b) noch umformen. Fur (2.228a) kann man somit auch schreiben de de de i : (/ / /) (2.228b) dt at oXj Hierbei stellt die rechte Seite die druck-, zahigkeits- und turbulenzbedingte massebezogene Schleppleistung dar. In Analogie zu (2.184a) lautet somit die Energiegleichung der Fluidmechanik fur die turbulente Hauptbewegung de = dwB + dwP + dwz + dwT = dwB + dwP + dwR

(2.229a, b) 85

mit dwR = dwz + dwj als massebezogener reibungsbedingter Schlepparbeit. Nebenstromung. Die Multiplikation von (2.226b) mit v[, die anschlieBende Mittelung sowie die Summation iiber i = 1, 2, 3 liefert die Energiegleichung der Nebenstromung 2 ,de 1 ,dp' ,dp ,dv rrdvi de' ,de' ,d + v]— = —v';— + vv[—\ - » » - . J ] = l + v v' + vv[ dt dxj p dxi ' dxj ' ' dxj

85

(2.230)

Auf eine besondere Kennzeichnung der gemittelten Werte fiir die Arbeiten durch Uberstreichen wird verzichtet. Wegen der Bezeichnung d sei auf FuBnote 66 (S. 154) verwiesen.

2.6.5 Energiegleichungen bei turbulenter Stromung

181

Hierin bedeuten e' und e' nach (2.225b,c) die momentane bzw. die gemittelte Geschwindigkeitsenergie der Schwankungsbewegung (turbulente Schwankungsenergie). Unter d/dt = 9/6? + Vj(d/dxj) wird wieder die substantielle Anderung mit der Hauptbewegung verstanden. Die Energiegleichungen der Haupt- und Nebenstromung (2.228a) bzw. (2.230) unterscheiden sich in folgender Weise voneinander: Die lokalen Anderungen der gemittelten Geschwindigkeitsenergien treten in den Formen 8e/dt bzw. de'/dt auf. Die gemittelten konvektiven Anderungen der Geschwindigkeitsenergien erfolgen mit der Hauptbewegung Vj(de/dxj) bzw. mit der Gesamtbewegung Vj(de'/dxj) + vUde'/dXj) = vj(de'/dxj). Bei den druck- und zahigkeitsbedingten Leistungen kommen die Werte fiir die gemittelte Bewegung t>;, p bzw. fur die Schwankungsbewegung v\, p' vor. Die Beziehungen der turbulenzbedingten Leistungen (jeweils das letzte Glied) sind verschieden aufgebaut. Aufgrund einer Analogiebetrachtung mit (2.198a, b) lassen sich wegen r,y = f,' = — pv'^v'- bei geanderten Bezeichnungen die GroBen

dt

dxj

dt

3xj

bilden. Die Differenz dieser beiden Ausdriicke stellt das letzte Glied in (2.230) dar. Es soil hierfiir in Anlehnung an die GroBe rp in (2.199c) geschrieben werden

£ ^ ^ £ Wahrend ro = v diss v ein Mafi fiir die Warmeproduktion (Dissipationsarbeit) bei laminarer Stromung ist, kann r'T = prod v' als Ma8 fiir die Turbulenzproduktion (Erzeugung von turbulenter Schwankungsenergie) aufgefaBt werden. Das zahigkeitsbehaftete Glied in (2.230) sei im Hinblick auf eine weitere Deutung noch umgeformt, und zwar liefert eine elementare Rechnung unter Beachtung der Kontinuitatsgleichung (2.138c) •d2v''

•

"'

(2.233)

Neu eingefiihrt wurde der Ausdruck r'D = v diss v'

mit

j/W

diss v' = -

—'--\

dv'-V '-

>0

(2.234a, b)

als Dissipationsfunktion der gemittelten Schwankungsbewegung, vgl. (2.200). Mit der kinematischen Viskositat v multipliziert ist sie ein MaB fiir die durch innere (molekulare) Reibung infolge der turbulenten Schwankungsbewegung irreversibel in Warme umgewandelte (dissipierte) mechanische Stromungsenergie. Es wird f'D als turbulente Dissipation bezeichnet. Sie wird von den gemittelten Gradienten der Geschwindigkeitsschwankungen verursacht und ist stets positiv (Entropieerhohung). Alle im einzelnen noch nicht besprochenen Glieder seien wieder unter Beachtung von (2.138c) zusammengefaBt, vgl. Tab. 2.10b, und wie folgt gekennzeichnet:

Dieser Ausdruck hangt nur von der Schwankungsbewegung (Mischbewegung) ab. Man nennt ihn turbulente Diffusion mit dem Symbol diff v', da man diesen Vorgang als Transport infolge von Konzentrationsunterschieden im verallgemeinerten Sinn auffassen kann. Man unterscheidet in einen Transport durch turbulenten Austausch (Energie- und Druckdiffusion) und in einen Transport durch molekularen Austausch (Zahigkeitsdiffusion). Die beiden eckigen Klammern (im zweiten Glied mit v multipliziert) stellen die Diffusionsstromdichte y dar, was in Vektor-Symbolik zu diff v = div y fiihrt. Nach Einsetzen der gefundenen Beziehungen in (2.230) erhalt man schlieBlich die Energiegleichung der Fluidmechanik fiir die Nebenstromung zu de' — = r'T + r'c - r'D = prod v' + diff v' - v diss v'. dt

(2.236)

Gesamtstromung. Die Energiegleichung fiir die gesamte turbulente Stromung setzt sich additiv aus den Energiegleichungen der Haupt- und Nebenstromung

182

2.6 Energiesatz (Energetik)

zusammen, de* = de + de'. Man kann dies aufgrund obiger Ableitung erwartete Ergebnis auch unmittelbar aus (2.226b) finden, wenn man diese Beziehung mit v* = vi + v'j multipliziert und die gemittelten Werte bildet. Schliefiungsansatze auf der Grundlage des gemittelten Energiefelds. In Kap. 2.5.3.5 vvurde die Berechnung turbulenter Scherstromungen mittels der Reynoldsschen Bewegungsgleichung (gemittelte Impulsgleichung in Verbindung mit der gemittelten Kontinuitatsgleichung) beschrieben, wobei die Komponenten des Reynoldsschen Korrelationstensors u-uj die unbekannten GroBen der Schwankungsbewegung sind. Dabei wurde gezeigt, daB man ein geschlossenes Gleichungssystem nur durch Einfuhren bestimmter phanomenologischer Annahmen (Wirbelviskositat, ImpulsaustauschgroBe, Mischungsweg) gewinnen kann. Die Methode zur Berechnung turbulenter Scherstromungen kann man durch Heranziehen der Gleichung fiir die gemittelte Geschwindigkeitsenergie der Schwankungsbewegung e' verbessern. Um mit (2.236) arbeiten zu konnen, miissen weitere phanomenologische Annahmen, und zwar fiir die Turbulenzproduktion nach (2.232), fiir die turbulente Diffusion nach (2.235) sowie fiir die turbulente Dissipation nach (2.234) getroffen werden. Als erste haben unabhangig voneinander Prandtl [32] und Kolmogoroff [22] die Verwendung von (2.236) in Verbindung mit einem Austauschansatz vorgeschlagen. Fiir die Reynoldssche Schubspannung gilt (2.15Id), wobei jetzt fiir die AustauschgroBe Az = cip/VI 7

(2.237)

gesetzt werden kann mit c\ als empirisch zu bestimmendem dimensionslosem Koeffizienten und / als charakteristischem LangenmaBstab (z. B. Ausdehnung der groBen Wirbel, Mischungsweg). Der neue Ansatz unterscheidet sich formal von (2.152b) dadurch, daB als charakteristische Geschwindigkeit •/I' statt des Ausdrucks l\du/dy\ genommen wird. Physikalisch bedeutet dies die Kopplung der Impulsgleichung mit der Energiegleichung. Fiir den Mischungsweg konnen die bereits angegebenen algebraischen Ausdriicke (2.153) benutzt werden. Zur SchlieBung des aus Kontinuitats-, Impuls- und Energiegleichung gebildeten Gleichungssystems miissen noch die Abhangigkeiten der in (2.236) auftretenden GroBen von der gemittelten Geschwindigkeitsenergie der turbulenten Schwankungsbewegung e' bestimmt werden. Unter der Voraussetzung groBer Reynolds-Zahl kann man die Ansatze

VF

(S) 2

£ fc^f) ^ = " 7 ^

(Z238abc)

''

machen mit C2 und C3 als weiteren empirisch zu bestimmenden dimensionslosen Koeffizienten. Durch die zusatzliche Verwendung der Energiegleichung der Schwankungsbewegung werden die Moglichkeiten zur Berechnung turbulenter Scherstromungen erheblich verbessert. Auf weitere Einzelheiten muB hier verzichtet werden, vgl. [35].

2.6.5.3 Warmetransportgleichung bei turbulenter Stromung Allgemeines und Ausgangsgleichung. In Kap. 2.6.3.3 wurde die Warmetransportgleichung bei laminarer Stromung behandelt. Diese Untersuchung soil jetzt auf den Fall turbulenter Stromung eines homogenen Fluids (p = const, ap = 0,cp = c, k = const) erweitert werden, indem in (2.206) die den Turbulenzmechanismus beschreibenden GroBen mit v ^ v* = v + v', p = p* = p + p' und T ^ T* = f + T' eingefiihrt werden. In Zeigerdarstellung lautet die Ausgangsgleichung fiir die weitere Untersuchung dT* dt

f8T* r

^T*

\dt 32T*

2

nn(dv* (dv* i [ —

dv*^ dv*Y L

+ )

(homogen).

(2.239)

2.6.5 Energiegleichungen bei turbulenter Stromung

183

Entsprechend dem Reynoldsschen Ansatz sind jetzt von den einzelnen Gliedern gemaB (2.137) die gemittelten Werte zu bilden. Gesamtstromung. Als Ergebnis der vorzunehmenden Umformung erhalt man den Warmetransport bei turbulenter Stromung zu

IT ( f ^

+PD +

~r'°- (2-240)

J p dxj \ dxj ) Die GroBen ?& = v diss v und r'D = v diss v' stellen die direkte bzw. die indirekte (turbulente) Dissipation mit den gemittelten Dissipationsfunktionen

, / dvi dv;\ diss t> = A I — - + —

>0,

1 / 3u' civ', \ diss »' = - — L + — } > 0

(2.241a, b)

dar. Die gesamte Dissipation setzt sich additiv aus einem Anteil der Hauptstromung ro und aus einem Anteil der Nebenstromung r'D zusammen, vgl. (2.200) bzw. (2.234). Der erste Ausdruck auf der rechten Seite von (2.240) erfaBt den Warmetransport infolge Warmeleitung sowie den konvektiven Warmetransport infolge der turbulenten Schwankungsbewegung. Es seien hierflir in Analogie zur turbulenzbedingten Spannung nach (2.145a) die neuen Bezeichnungen

_

ri =

1 dtf J

p dxj

mit

—

df

(ff = ifj + ip = -X h pcv': T' > ' dxj '

(2.242a, b)

eingefiihrt, wobei ifij und ip': die Warmestromdichten der Haupt- bzw. Nebenstromung bedeuten. Auf die formale Ubereinstimmung zwischen der turbulenzbedingten Spannung f[j = —pv-v'j nach (2.144) und der turbulenzbedingten Warmestromdichte ip'j = pcv'jT' nach (2.242b) sei besonders aufmerksam gemacht. SchlieBungsansatz auf der Grundlage des gemittelten Temperaturfelds.. Ahnlich wie in der Bewegungsgleichung und in der Energiegleichung ist auch in der Warmetransportgleichung (2.240) der durch die Schwankungsbewegung verursachte EinfluB mittels einer phanomenologischen Annahme zu erfassen. Bei turbulenten Scherstromungen kann man in Analogie zu (2.151) fiir die Gesamtwarmestromdichte den Austauschansatz, vgl. (1.36), 3T , , ,df df p' ——= =-cA q q— dy dy dy

(2.243a, b)

machen. Bei dem angenommenen dichtebestandigen Fluid ist c = cp = const. Die GroBe Xf besitzt die gleiche Dimension wie der molekulare Warmeleitkoeffizient und wird als sogenannter scheinbarer Warmeleitkoeffizient der turbulenten Stromung bezeichnet. Da es sich bei der turbulenten Schwankungsbewegung im vorliegenden Fall im wesentlichen um einen Austauschvorgang von Warme handelt, wird sinnvoller die WarmeaustauschgroBe Aq eingefiihrt, vgl. Kap. 1.2.5.4. Sie hat die gleiche Dimension wie die ImpulsaustauschgroBe AT in (2.151d) und ist wie diese keine StoffgroBe. Das Verhaltnis der beiden AustauschgroBen stellt nach (1.39b) die turbulente Prandtl-Zahl Pr' = AT/Aq dar. Bei der beschriebenen Analogie wird vorausgesetzt, daB zwischen den Geschwindigkeits- und Temperaturschwankungen eine statistische Korrelation besteht.

Literatur zu Kapitel 2 1. Baehr, H. D.: Thermodynamik, 8. Aufl. Berlin, Heidelberg, New York: Springer 1992 2. Bednarczyk, H.: Zur Gestalt der Grundgleichungen der Kontinuumsmechanik an Unstetigkeitsflachen. Acta Mech. 4 (1967) 122-127; 6 (1968) 117-139 3. Berker, R.: Integration des equations du mouvement d'un fluide visqueux incompressible, Handb. Phys. (Hrsg. S. Flugge) VIII/2, S. 1-384. Berlin, GOttingen, Heidelberg: Springer 1963 4. Bernoulli, D. (1700-1782): Hydrodynamica, sive de viribus et motibus fluidorum commentarii. StraBburg: 1733/38

184

Literatur zu Kapitel 2

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2.6.5 Energiegleichungen bei turbulenter Stromung

185

38. Schlichting, H.: Grenzschicht-Theorie, 8. Aufl. Karlsruhe: Braun 1982. Boundary-layer theory, 7. Aufl. (Ubersetzg. J. Kestin). New York: McGraw-Hill 1979 39. Schlichting, H.: Entstehung der Turbulenz, Handb. Phys. (Hrsg. S. Flugge) Vm/1, S. 351-450. Berlin, Gottingen, Heidelberg: Springer 1959 40. Scheming, B. E.: Numerische Stromungsmechanik, inkompressible Strijmungen mit komplexen Berandungen. Berlin, Heidelberg, New York: Springer 1990 41. Schubauer, G. B.; Skramstad, H. K.: Laminar boundary-layer oscillations and stability of laminar flow. J. Aer. Sci. 14 (1947) 69-78; Nat. Bur. Stand, J. Res. 38 (1947) 251-292; NACA Rep. 909 (1947) 42. Schultz-Grunow, F.; Hein, H.: Beitrag zur Couette-Stromung. Z. Flugwiss. 4 (1956) 28-30 43. Serrin, J.: Mathematical principles of classical fluid mechanics, Handb. Phys. (Hrsg. S. Flugge) VIII/1, S. 125-263. Berlin, Gottingen, Heidelberg: Springer 1959 44. Stephan, K.; Mayinger, F.: Thermodynamik, Grundlagen und technische Anwendungen, 12. Aufl., 2 Bde. (1.-10. Aufl.: Schmidt, E.), Berlin, Heidelberg, New York: Springer 1986/88 45. Stokes, G. G. (1819-1903): On the theories of the internal friction of fluids in motion. Trans. Camb. Phil. Soc. 8 (1845) 287-305 46. Stokes, G. G.: On the effect of internal friction of fluids on the motion of pendulums. Trans. Camb. Phil. Soc. 9 (1851) n, 8-106 47. Szab6, I.: Geschichte der mechanischen Prinzipien, Kap. III. Basel: Birkhauser 1977 48. Taylor, G. I.: The transport of vorticity and heat through fluids in turbulent motion. Proc. Roy. Soc. A 135 (1932) 685-705. Nachdruck: Sci. Pap. 2 (I960) 253-267 49. Taylor, G. I.: Stability of a viscous liquid contained between two rotating cylinders. Phil. Trans. Roy. Soc. A 223 (1923) 289-343. Nachdruck: Sci. Pap. 4 (1971) 34-85 50. Tollmien, W.: Uber die Entstehung der Turbulenz. 1. Mitt. Nachr. Ges. Wiss. Gottingen, Math.-phys. Kl. (1929) 21-44 51. Tollmien, W.: Ein allgemeines Kriterium der Instabilitat laminarer Grenzschichten. Nachr. Ges. Wiss. Gottingen, Math.-phys. KL, Fachgr. I (1935) 79-114 52. Tollmien, W.: Fortschritte der Turbulenzforschung. Z. angew. Math. Mech. 33 (1953) 200-211 53. White, F. M.: Viscous fluid flow. New York: McGraw-Hill 1974

3. Elementare Stromungsvorgange dichtebestandiger Fluide

3.1 Uberblick Nachdem in den Kapiteln 1 und 2 iiber die Grundlagen und Grundgesetze der Fluidmechanik ausfiihrlich berichtet wurde, mogen jetzt die Anwendungen im Vordergrund stehen. Hierbei sollen einfach zu iibersehende elementare Stromungsvorgange behandelt werden. Wahrend sich in diesem Kapitel die Untersuchungen zunachst auf ein dichtebestandiges Fluid beschranken, erfolgt die Erweiterung auf ein dichteveranderlich.es Fluid (Fliissigkeit) im anschlieBenden Kapitel.1 Zunachst beschreibt Kap. 3.2 das dichtebestandige Fluid im Ruhezustand (Hydrostatik) als Grenzfall einer Stromung mit verschwindender Geschwindigkeit. Sodann wird in Kap. 3.3 die eindimensionale Stromung eines reibungslosen Fluids, d. h. die Stromfadentheorie, besprochen. AnschlieBend befassen sich Kap. 3.4 und 3.5 mit quasi-eindimensionalen Stromungen eines reibungsbehafteten Fluids, wie sie bei der Rohr- und Gerinnestromung auftreten. AbschlieBend werden in Kap. 3.6 einfache mehrdimensionale Vorgange sowohl bei reibungsloser als auch bei reibungsbehafteter Stromung behandelt. Auf die Bibliographic in Band II (Teil B: Angewandte Fluidmechanik) sei hingewiesen.

3.2 Dichtebestandige Fluide im Ruhezustand (Hydrostatik) 3.2.1 Ausgangsgleichungen Zur Behandlung hydrostatischer Aufgaben stehen die in Kap. 2.2 bereitgestellten Beziehungen zur Verfiigung. Danach berechnet sich die Druckkraft dFp auf ein Flachenelement dA bzw. die Gesamtkraft Fp auf die Flache A gemaB (2.2) und Abb. 2.3 zu

dFp = —pdA,

Fp = — W

pdA

mit

p = Po + pg(zo — z) (3.1a, b,c)

1 liber die Begriffe inkompressibel und kompressibel anstelle von dichtebestandig und dichteveranderlich wird in Kap. 1.2.2.1 berichtet.

3.2.2 Fliissigkeitsdruck auf feste Begrenzungsflache

187

als Druck nach der hydrostatischen Grundgleichung (2.14b). Es ist po der Druck (Atmospharendruck) an der freien Oberflache ZQ, wahrend p der nach Abb. 2.7 mit der Tiefe (z < 0) linear zunehmende Druck an einer beliebigen Stelle z ist.

3.2.2 Fliissigkeitsdruck auf feste Begrenzungsflache2'3 3.2.2.1 Druckkraft auf ebene Flache a.l) Geneigte Wand. Ein nach Abb. 3.1 gestaltetes, oben offenes GefaB sei mit Fliissigkeit gefiillt. In einer unter dem Winkel a gegen die Vertikale z geneigten ebenen Seitenwand sei eine Flache A abgegrenzt, die in Abb. 3.1a durch Umklappen in die x, z'-Ebene dargestellt ist. Die x-Achse liegt in Hone der Spiegelflache. Der vertikale Abstand von der Spiegelflache betragt dann z = z'cosa > 0. Nach (3.1c) gilt unter Beachtung des Vorzeichenwechsels bei z fiir die Druckverteilung in Tiefenrichtung mit ZQ = 0 P = Po + Pgz = Po + pgz' cos a > 0

(z, z' > 0),

(3.2a, b)

wobei po der Druck an der Spiegelflache ist. Auf ein Flachenelement dA an der Stelle z wirkt nach (3.1a) von innen her die Druckkraft dFp = pdA. Betrachtet man nur den vom Schwerdruck der Fliissigkeit herrtihrenden Anteil (p — po)> dann ist dF = pgz' cos a dA, hier ohne Index. Durch Integration iiber die Flache A ergibt sich die Druckkraft zu F = pgz's cos a A = (ps - po)A

mit

z's = — \ z dA

(3.3a, b, c)

als Abstand des Schwerpunkts S der Flache A in z'-Richtung gemessen. Gl. (3.3b) besagt, daB die auf die Flache A von der ruhenden Fliissigkeit ausgeiibte Druckkraft gleich dem Produkt aus der Flache A und der im Flachenschwerpunkt wirkenden Druckdifferenz (p$ — po) ist. Da die Druckverteilung nach (3.2) iiber die Flache nicht gleichmaBig verlauft, sondern eine lineare Funktion der Tiefe z bzw. z' ist, geht der Angriffspunkt der Druckkraft F nicht durch den Flachenschwerpunkt S, sondern durch den Druckmittelpunkt D, dessen Lage xo, z'D aus den Momentengleichgewichten um die z'- bzw. x-Achse

Abb. 3.1. Druckverteilung und Druckkraft einer ruhenden Fliissigkeit auf eine geneigte ebene Flache. a Beliebige Flache. b Rechteckige Flache 2

Zwecks einer anschaulicheren Darstellung wird in Kap. 3.2.2 die x, y-Ebene in die Fliissigkeitsoberflache (Spiegelflache) z = ZQ = 0 gelegt und die Koordinate z > 0 nach unten positiv gezahlt. 3 Die Anwendungsbeispiele in Kap. 3.2.2 werden fortlaufend mit kleinen Buchstaben gekennzeichnet.

188

3.2 Dichtebestandige Fluide im Ruhezustand (Hydrostatik)

zu ermitteln ist. Es wird (3.4a, b) (A)

[A)

wobei Ixx das axiale Flachentragheitsmoment in bezug auf die *-Achse und Ixz>, das zugehorige Flachenzentrifugalmoment in bezug auf die Achsen x, z' ist: " /

z'2dA,

=

(3.5a, b)

/«•«.

M)

Nach dem Steinerschen Satz gilt fiir das axiale Flachentragheitsmoment Ixx = Is + Azf mit Is als axialem Flachentragheitsmoment in bezug auf die zu x parallele Achse durch S. Fiihrt man dies in (3.4a) ein, dann folgt fiir den Abstand des Druckmittelpunkts vom Schwerpunkt in z'-Richtung e = z'D - z's =-^r

> 0 mit

dA.

ls=

(3.6a, b)

W

Da Is und z's stets positiv sind, liegt der Druckpunkt D immer tiefer als der Schwerpunkt S, d. h. Die in Abb. 3.1b dargestellte Flache ist ein geneigtes Rechteck von der Hohe a und der Breite b, wobei die Oberkante vom Fliissigkeitsspiegel in z'-Richtung den Abstand z'a besitzt. Im einzelnen ist A = ab, Is = ahb/\2 und z's = z'a + a/2. Nach Einsetzen in (3.3a) bzw. (3.6) wird a2b 1 a2 a 'PS^r. e(=)r . - , (=);• (3.7a, b) 2 6 a + 2z'a 6 Die zweiten Ausdriicke gelten jeweils bei vertikal stehendem Rechteck (a = 0), dessen Oberkante mit der Spiegelflache abschlieBt (z'a = 0). Die Kraft F ist das Produkt aus der Wichte pg — y und dem Inhalt eines Keils, der aus der Breite b und dem gleichschenkligen Dreieck mit den Katheten a gebildet wird. Der Druckmittelpunkt liegt nach (3.6a) bei z'D = zp = 2a/3 unter dem Flussigkeitsspiegel. a.2) Horizontale Wand (Boden). Die auf eine horizontal liegende Wand, welche die Flache A besitzt und sich im Abstand h unter der Spiegelflache befindet, ausgeiibte Bodendruckkraft betragt nach (3.2a) bzw. (3.3a) mit z = z's = h und a — 0 F = (po + pgh)A,

F = pghA

(fliissigkeitsbedingt).

(3.8a, b)

Dabei beschreibt (3.8b) nur die fliissigkeitsbedingte Kraft. Auf die Bedeutung dieser Beziehung bei fliissigkeitsgefullten GefaBen verschiedener Formen nach Abb. 2.8 wurde in Kap. 2.2.3.2 bei der Erlauterung des hydrostatischen Paradoxons eingegangen. a.3) Vertikale Wand (Spundwand). Eine vertikale Wand der Breite b steht nach Abb. 3.2 beidseitig unter Fliissigkeitsdruck, und die verschieden groBen Spiegelhohen seien z\ und Z2. Nach (3.7a) wirkt auf die linke Wandflache die Druckkraft F\ = pgbz\/2, wobei der Angriffspunkt von der Sohle urn z i / 3 entfernt ist, und auf die rechte Wandflache die Kraft F2 = pgbz2/2, die in der Hohe Z2/3 von der Sohle

/ / / / / / / / / •

Abb. 3.2. Hydrostatische Druckkraft auf eine vertikal stehende Wand (Spundwand) bei beidseitig verschiedener Fliissigkeitshohe

3.2.2 Fliissigkeitsdruck auf feste Begrenzungsflache

189

angreift. Beide Druckkrafte werden in Abb. 3.2 durch die Inhalte der gleichschenkligen, rechtwinkligen Dreiecke dargestellt. Die von der Flussigkeit auf die Wand ausgeiibte resultierende Druckkraft sowie ihr von der Sohle aus gemessener Abstand des Angriffpunkts betragen

:pg\b(z\-z\),

(3.9a, b)

wobei ID sich aus der Momentengleichung F ZQ = Fi (Z2/3) — F\ (z\ /3) ergibt. Fiir z\ = 0 geht (3.9a,b) in F = (p/2)gbz2 und zp = Z2/3 iiber. Im Grenzfall z\ = Z2 tritt keine resultierende Druckkraft auf (F = 0), wahrend die (rechnerische) Lage des Angriffspunkts dem Wert z = z\/2 zustrebt.

3.2.2.2 Druckkraft auf gekriimmte Flache b.l) Gesamtkraft. Das in Abb. 3.3 dargestellte Flachenstiick A sei Teil der Wandung eines beliebig geformten, oben offenen GefaBes, das mit Flussigkeit gefiillt ist. Die betrachtete einfach gekriimmte Flache wird auf ein rechtwinkliges Koordinatensystem x, y,z bezogen. Die von der Flussigkeit herriihrende resultierende Druckkraft betragt nach (3.1b) (3.10a, b)

= / (P - Po) dA = pg I zdA, (A)

(A)

wobei (p — po) der Fliissigkeitsdruck nach (3.2a) und dA der auf die GefaBinnenwand gerichtete Flachenvektor ist. Die Zerlegung in rechtwinklige Koordinaten liefert die Kraftkomponenten

F, =,

= pg I zdAy

zdAx

Fz - pg

zdAz.

(3.11a,b,c)4

(A,)

(Ax)

Bei beliebiger Form der gekriimmten Flache A gehen die drei Komponenten der Druckkrafte Fx, Fy, Fz im allgemeinen nicht durch denselben Punkt. Neben der resultierenden Kraft F tritt noch ein resultierendes Kraftmoment M auf. In einzelnen Fallen ist die Zusammensetzung der Druckkraftkomponenten zu einer Einzelkraft bei verschwindendem Moment jedoch moglich; so z. B. wenn die unter Druck stehende Flache kugelformig gekriimmt ist, da in diesem Fall alle Teildruckkrafte durch den Kugelmittelpunkt gehen miissen. b.2) Horizontalkraft. Mit zsx als Schwerpunktabstand der Flachenkomponenten Ax von der x, y—Ebene erhalt man nach (3.11a) die horizontale Kraftkomponente in x—Richtung Fx analog zu (3.3a) mit F = Fx, a = 0 und z's = zsx. Die Richtungslinie von Fx moge die y, z-Ebene nach Abb. 3.3 im Punkt Dx schneiden. Seine Koordinaten yox, ZDX berechnet man analog zu (3.4). Mithin gilt =

pgzsxAx;

AxzSx

dF

4

E s sind dAx,dAy Richtung.

(3.12a; b,c)

Abb. 3.3. Zur Berechnung der hydrostatischen Druckkraft auf eine gekriimmte Flache

und dAz die Komponenten des vektoriellen Flachenelements dA in x-, y- bzw. z-

190

3.2 Dichtebestandige Fluide im Ruhezustand (Hydrostatik)

Abb. 3.4. Zur Berechnung der hydrostatischen Druckkraft auf gekriimmte Flachen: a horizontale Druckkraft auf die Flache (1') — (2) — (3), maBgebend ist nur die vertikale Flachenprojektion (1) — (1'), b vertikale Druckkraft auf die von unten benetzte Flache (1) — (2), maBgebend ist das iiber (1) — (2) befindliche Volumen V'F Dabei ist / y y das axiale Flachentragheitsmoment der Flachenprojektion Ax in bezug auf die y-Achse sowie / y z ihr Flachenzentrifugalmoment in bezug auf die Achsen y und z, vgl. (3.5a, b). Unter Beachtung der in Kap. 3.2.2.1 gefundenen Ergebnisse erkennt man, daB die Druckkraft Fx genauso zu bestimmen ist, als handele es sich um eine der y, z-Ebene parallele ebene Flache von der GroBe Ax. Eine entsprechende Uberlegung gilt fur die Druckkraftkomponente Fy, nur daB jetzt an die Stelle der Flache Ax die Flachenprojektion Ay mit den ihr entsprechend (3.12) zugeordneten geometrischen GroBen tritt. Da die Lage des Achsenkreuzes x, y in der Spiegelflache beliebig angenommen werden kann, laBt sich das Ergebnis der vorstehenden Betrachtungen wie folgt zusammenfassen. Die in einer beliebigen Richtung gemessene horizontale Druckkraft einer ruhenden Fliissigkeit auf eine gekriimmte GefaBfiache ist gleich der Druckkraft, welche die Projektion dieser Flache auf eine zur angenommenen Richtung normale Ebene erfahrt. Zeigt sich beim Projizieren, daB einzelne Flachenteile sich uberschneiden, so sind diese Teile bei der Bestimmung von Ax bzw. Ay auszuschalten, da die auf sie wirkenden horizontalen Druckkraftanteile sich gegenseitig aufheben. So kommt z. B. in Abb. 3.4a bei der Berechnung der horizontalen Druckkraft auf die krumme Flache (1') - (2) - (3) als Projektion Ax nur die Flache (1) - (1') in der y, z-Ebene in Betracht. b.3) Vertikalkraft. Die vertikale Komponente der auf die Flache A in Abb. 3.3 wirkenden Druckkraft Fz ergibt sich nach (3.11c) zu • = pg I zdAz = pgVF,

(3.13a, b)

wobei VF das Volumen und pgVp die Schwerkraft (Gewicht) des Fliissigkeitskorpers mit dem Querschnitt Az und den veranderlichen Tiefen z sind. In Abb. 3.4a ist Fz das Gewicht der auf der Flache (1') — (2) — (3) ruhenden Fliissigkeit vom Volumen VF. Die Richtungslinie von Fz geht durch den Schwerpunkt S> von W , womit Fz nach GroBe und Lage bestimmt ist. Gl. (3.13) gilt auch fur gekriimmte Wande nach Abb. 3.4b, bei denen die zugehorigen Flachenelemente dA eine aufwarts gerichtete vertikale Druckkraft dFz < 0 erfahren. Die Druckkraft auf das Flachenstiick (1) —(2) bestimmt man aus dem Volumen VF einer iiber (1) — (2) als Druckfiache ruhend gedachten Fliissigkeit, durch dessen Schwerpunkt die vertikale, nach oben gerichtete Druckkraft — Fz geht.

3.2.2.3 Schwimmender Korper Schwimmbedingung. Nach dem Gesetz von Archimedes (2.18) ist die hydrostatische Auftriebskraft FA eines in einem ruhenden Fluid beflndlichen Korpers gleich der Schwerkraft (Gewicht) der verdrangten Fluidmasse ma+mp. Fur einen teilweise in eine Fliissigkeit mit der unveranderlichen Dichte pF = const eingetauchten Korper kann die verdrangte Gasmasse mg mit der Dichte pQ
191

3.2.2 Flilssigkeitsdruck auf feste Begrenzungsflache

verdrangtem Fliissigkeitsvolumen zu setzen ist. Dabei gilt die Bedingung, da6 sich der Korper frei in der Fliissigkeit befindet.5 Bei vollkommenem Eintauchen des Korpers in die Fliissigkeit stellt VF das Korpervolumen VK dar, VF = VK- Wirken am Korper der Auftrieb der Fliissigkeit FA und sein Gewicht FK , so lautet die notwendige Gleichgewichtsbedingung, damit der Korper schwimmt FA

—— VK

=

(teilweise eingetaucht).

(3.14a, b)

PF

Dabei gilt die zweite Beziehung fur einen homogenen Korper mit pK = const, d. h. FK = g PK VK • Da beim teilweise eingetauchten Korper immer VF < VK ist, muB im Gleichgewichtsfall stets pF > pK sein. c.l) Eintauchtiefe. Ist FA < FK, sinkt der Korper, wahrend er bei FA > FK steigt. In Fliissigkeiten taucht im letzten Fall der Korper soweit aus, bis (3.14a) erftillt wird. Gl. (3.14b) stellt somit die Bestimmungsgleichung fiir die Berechnung der Eintauchtiefe eines in einer Fliissigkeit schwimmenden Korpers dar. Handelt es sich bei dem Korper um einen Quader mit der Lange a, der Breite b und der Hohe c, dann erhalt man die Eintauchtiefe t mit VK = abc und Vp = abt z\xt = ac mit a = pKjpF < 1. Auf der Messung der Eintauchtiefe beruht das Prinzip des Areometers zur Bestimmung der Dichte von Fliissigkeiten. Schwimmstabilitat. Bei vollkommen eingetauchten Korpern, fur welche die Bedingung (3.14a) mit VF = VK erfiillt ist, kann stabiles Gleichgewicht nur bestehen, wenn der Korperschwerpunkt SK lotrecht unter dem Schwerpunkt der Verdrangung SF ist. Bei teilweise eingetauchten Korpern nach Abb. 3.5a geniigt (3.14a) mit FA = FK allein noch nicht zur Aufrechterhaltung des Gleichgewichts. Dazu ist weiter erforderlich, daB die Krafte FK und FA kein Moment bilden, welches eine Drehung des Korpers zur Folge hatte. Die Wirkungslinien dieser Krafte miissen sich also decken. Dies ist der Fall, wenn die Verbindungslinie des Korperschwerpunkts SK und des Schwerpunkts der verdrangten Flussigkeit SF, die sogenannte Schwimmachse (z-Achse), vertikal steht. SchlieBlich muB noch untersucht werden, ob das Gleichgewicht des Korpers auch stabil, d. h. unempfindlich gegen kleine Storungen ist, die seine Gleichgewichtslage zu verandern suchen. Zur Entscheidung dieser besonders fiir die Schiffstechnik wichtigen Frage denke man sich den in einer Flussigkeit befindlichen Korper durch irgendeine auBere Ursache um ein geringes MaB aus seiner Gleichgewichtslage gebracht und untersuche, ob die am Korper in dieser neuen Lage wirkenden Krafte das Bestreben haben, den urspriinglichen Gleichgewichtszustand wiederherzustellen oder nicht. Ist ersteres der Fall, so nennt man das Gleichgewicht statisch stabil. Haben die angreifenden Krafte dagegen das Bestreben, die storende Ursache zu verstarken, d. h. den Korper noch weiter aus der Gleichgewichtslage zu bringen, so ist letztere labil. SchlieBlich nennt man das Gleichgewicht indifferent, wenn die auBeren Krafte bei der betrachteten kleinen Lageanderung weder das eine noch das andere Bestreben haben. Ein schwimmender, teilweise eingetauchter Korper, welcher die oben genannten

Auftriebsrichtung-\[_ Schwimmachse ^Metazentrum Schwimmachse Schwirnmebene

Schwimmflache, A

Abb. 3.5. Zur Stabilitat schwimmender Korper: a Gleichgewichtslage, b Definition des Metazentrums M 5

Steht er jedoch mit festen Wanden in Beriihrung, so hat die Berechnung fiir die an ihm angreifenden fliissigkeitsbedingten Druckkrafte nach Kap. 3.2.2.2 zu erfolgen.

192

3.2 Dichtebestandige Fluide im Ruhezustand (Hydrostatik)

zwei Bedingungen (FA = FK, Schwimmachse = z-Achse) erfiillt, befindet sich hinsichtlich einer Parallelverschiebung in vertikaler Richtung im stabilen Gleichgewicht. Bei einer Abwartsverschiebung in z-Richtung, d. h. bei tieferem Eintauchen, vergroBert sich der Auftrieb und sucht den Korper in seine urspriingliche Lage zuriickzufiihren. Beim Austauchen wird der Auftrieb verkleinert, was wiederum eine Ruckfiihrung des Korpers in die anfangliche Lage zur Folge hat. Hinsichtlich einer Parallelverschiebung in Richtung seiner Langs- oder Querachse (x- bzw. y-Achse) und einer Drehung um die Schwimmachse (z-Achse) ist das Gleichgewicht indifferent, da unter der Voraussetzung einer reibungslosen Fliissigkeit in keinem dieser Falle die auBeren Krafte das Bestreben haben, eine derartige Lageanderung aufzuhalten oder zu vergroBern. MaBgebend fur die Beurteilung der Stabilitat bleibt also nur eine Drehung um zwei die Schwimmachse rechtwinklig schneidende Achsen (Langs- bzw. Querachse). c.2) Metazentrum. Abb. 3.5a zeigt den schwimmenden Korper in der Gleichgewichtslage. Die x, yEbene, in welcher der Flussigkeitsspiegel den Korper schneidet, wird als Schwimmebene, die in ihr liegende Korperschnittflache als Schwimmflache (auch Wasserlinienflache) bezeichnet. Es sei 0 der Schnittpunkt von Schwimmachse und Schwimmflache sowie Vp das Volumen der verdrangten Fliissigkeit. Zur Untersuchung der Stabilitat denke man sich den Korper entsprechend Abb. 3.5b um die durch 0 gehende, zur Bildebene normale x-Achse (Langsachse) um den als klein angenommenen Winkel Adi gedreht. Bezeichnen dA ein beliebiges Flachenelement der Schwimmflache im Abstand y von der Drehachse 0 und dV = yA&dA das zugehorige Volumen, so ist dF& = pFg dV = pFgyA8dA ^ 0 die bei y ^ 0 positive bzw. negative Auftriebskraft. Die gesamte bei der Drehung durch Verdrangung hervorgerufene Auftriebsanderung AF^ erhalt man durch Integration iiber die zur Drehachse symmetrische Schwimmflache A(x,y,z -> 0). Sie nimmt dabei den Wert AFA as 0 an. Wahrend sich also der Auftrieb des eingetauchten Korpers nicht andert, verlagert sich jedoch sein Angriffspunkt relativ zum schwimmenden Korper. Der Auftrieb FA geht jetzt durch den Schwerpunkt S'F der Verdrangung, die filr die gedrehte Lage des Korpers maBgebend ist, und bildet mit dem Korpergewicht FK ein Kraftepaar. Sofern dies wie im Fall der Abb. 3.5b riickdrehend wirkt, ist die betrachtete Gleichgewichtslage stabil, im andern Fall labil. Um die Lage des Punkts M, in dem die Auftriebsrichtung die Schwimmachse schneidet, zu bestimmen, sei zunachst die horizontale Verschiebung a des Punkts S'F vom Punkt SF berechnet. Bezogen auf die Momentenachse durch SF gilt mit Aa = const als horizontalem Abstand des Punkts SF vom Druckpunkt 0 fur das Momentengleichgewicht FAa=

(Aa + y) dFA = gpFhA& (A)

mit

AFA = 0

und

h = j y2 dA (A)

als polarem Flachentragheitsmoment der Schwimmflache in bezug auf die Drehachse. Aus Abb. 3.5b und mit FA nach (3.14a) folgt a = (hM+ e)A& =—A&, hM = — - e (stabil, hM > 0). (3.15a, b) VF VF Es ist hM der auf der Schwimmachse liegende Abstand des Punkts M vom Korperschwerpunkt SKDer Punkt M heiBt das Metazentrum des Korpers fur die hier betrachtete Drehung um die Langsachse (x-Achse). Die Strecke h/u wird entsprechend als metazentrische Hohe bezeichnet. Fur die Drehung um die Querachse (y-Achse) gibt es ein zweites Metazentrum, das in entsprechender Weise zu berechnen ist. Nach (3.15b) ist tiM bei kleinem Drehwinkel unabhangig von AS; bei starkeren Neigungen trifft dies jedoch nicht mehr zu. Andererseits hangt HM vom polaren Moment /o der Schwimmflache, von dem verdrangten Fliissigkeitsvolumen VF und vom Abstand der Punkte SK und Sf (e > 0) ab. Dieser wird bei anderen als der hier angenommenen Tauchtiefe seinen Wert andern. Fur h/n > 0 liefern FA und FK ein riickdrehendes Kraftepaar, also ein stabiles Gleichgewicht. Umgekehrt verhalt sich der Korper bei hM < 0 instabil. Fur den Quader nach Abb. 3.6 rechts mit den Kantenlangen a, b, c sei a ^> b. Dies stellt einen prismatischen Korper der Lange a und dem rechteckigen Querschnitt b c dar, der sich gegebenenfalls um eine zur Kante a parallele x-Achse drehen kann. Die in (3.15b) benotigten GroBen IQ = ab11X1, Vp = abt und e = (c — t)/2 sowie t/c = a mitff = Pg/Pp < 1 a ' s bezogener Eintauchtiefe, sodaS

ist, wobei die zweite Beziehung die Bedingung fur die Stabilitat (hM > 0) angibt, bei der die Kante c nach einer kleinen Stoning des Gleichgewichts um die x-Achse normal zum Flussigkeitsspiegel (x, yEbene) bleibt. In Abb. 3.6 ist die Grenzkurve (b/c)o fiir hM = 0 in Abhangigkeit von 0 ^ PKIPF = * ausgezogen dargestellt. Der Bereich auBerhalb der Kurve, d. h. fiir b/c > (b/c)o, gibt den stabilen und

3.2.3 Druck auf freie Oberflache

193

1.00 r

075

10

Abb. 3.6. Stabilitatskurven (ft/c)p eingetauchter Quader. Ausgezogene Kurve: stabil b/c > (b/c)o, gestrichelte Kurve: stabil b/c < (b/c)o

der Bereich innerhalb der Kurve den labilen Gleichgewichtszustand an. In der um 90° gekippten Lage des Korpers nach Abb. 3.6 links, bei der die Kante b normal zum Fliissigkeitsspiegel bleibt, sind zur Berechnung der Stabilitat fcundc in (3.16) miteinander zu vertauschen. Werden die Bezeichnungen findie Kantenlangen beibehalten, so ergibt sich die in Abb. 3.6 gestrichelte Grenzkurve, und zwar gilt jetzt fur den stabilen Zustand b/c < (b/c)o. In dem schraffierten Bereich zwischen den beiden Kurven ist nur eine schrage stabile Schwimmlage moglich. Auf die ausfiihrliche Wiedergabe weiterer Beispiele in [13] sei hingewiesen.

3.2.3 Druck auf freie Oberflache 3.2.3.1 Kommunizierendes Gefafi Die einfachste Anwendung der hydrostatischen Grundgleichung stellt die Berechnung der Fliissigkeitshohen in den zwei Schenkeln eines kommunizierenden GefaBes (U-Rohr) nach Abb. 3.7a dar. Auf die freien Oberflachen der beiden oben offenen Schenkel des mit einer homogenen Riissigkeit gefiillten GefaBes wirken die Driicke p\ und/>2- Fur die Druckdifferenz folgt aus (3.1c) jeweils auf die Stellen (1) und (2) angewendet pi - p\ = pg(z\ - z2). Dabei ist (zx - z 2 ) der Hohenunterschied beider Spiegel. Die Ebene a - a ist eine Niveauflache, in der nach Kap. 2.2.3.3 der gleiche Druck pa = p\ + pgzi = p2 + pgZ2 = const herrscht. Fiir P2 = p\ stehen die Fliissigkeitsspiegel in beiden Schenkeln gleich hoch, Z2 = z\. Die Form des kommunizierenden GefaBes einschlieBlich einer gegebenenfalls veranderlichen Verteilung der Flachenquerschnitte langs der GefaBachse ist ohne EinfluB auf das gefundene Ergebnis.

3.2.3.2 Flussigkeitsmanometer Die vorstehenden Uberlegungen finden u. a. Anwendung bei den Fliissigkeitsmanometern zur Messung von Druckunterschieden. Soil z. B. der Druck p gemessen werden, der innerhalb eines mit Dampf oder Gas gefiillten, allseitig geschlossenen Behalters (Kessel) herrscht, so ordnet man gemaB Abb. 3.7b eine Vorrichtung (l)-(2) an, welche mit MeBflussigkeit gefullt ist und deren Steigrohr (MeBrohr) bei (2) oben offen oder geschlossen sein kann. Der auf den Fliissigkeitsspiegel (1) wirkende Druck ist gleich dem gesuchten Kesseldruck p\ = p, wahrend im Steigrohr auf dem Fliissigkeitsspiegel (2) der Druck p 2 herrscht. Bei oben offenem Rohr ist pt — po gleich dem Atmospharendruck. Bei oben geschlossenem Rohr kann man das Gas an der Stelle (2) entfernen und so ein Vakuum mit p 2 -*• 0 erzeugen. Bezeichnet man den Hohenunterschied der beiden Fliissigkeitsspiegel, auch Steighohe genannt, mit h = zi — z\ und

194

3.2 Dichtebestandige Fluide im Ruhezustand (Hydrostatik)

-(1)

(Z)-

I

,,p 0 -const

Abb. 3.7. Kommunizierende GefaBe. a U-Rohr, b Fliissigkeitsmanometer (schematisch) die Dichte der MeBfliissigkeit, z. B. Quecksilber, mit pF dann wird unter Einsetzen der angegebenen Bezeichnungen in die hydrostatische Grundgleichung = P2 + PFgh,

0.

h =

(3.17a, b)

P p-8

Es bedeutet h > 0 Uberdruck und h < 0 Unterdruck im Kessel gegeniiber dem Druck pj im oberen Teil des offenen oder geschlossenen MeBrohrs.

3.2.3.3 Kapillarrohr Taucht man nach Abb. 3.8a ein zylindrisches Rohr von sehr kleinem Radius R in eine benetzende Fliissigkeit (z. B. Wasser), so steigt letztere erfahrungsgemaB um ein gewisses MaB im Rohr in die Hohe. Dies Aufsteigen nennt man Kapillaraszension. Die Oberflache der Fliissigkeit im Inneren des Rohrs bildet dabei eine nach innen konkav gekrummte Umdrehungsflache. Handelt es sich dagegen um eine das Rohr nichtbenetzende Fliissigkeit (z. B. Quecksilber), so tritt nach Abb. 3.8b eine Kapillardepression ein, d. h. ein Absinken der Fliissigkeit im Rohr, wobei die Kriimmung nach auKen konvex ist. Die Ursache fur die KapiUarwirkungen sind molekulare Anziehungskrafte (Adhasion, Kohasion), vgl. Kap. 1.2.6.2. Kapillaraszension. Dieser in Abb. 3.8a fur eine benetzende Fliissigkeit dargestellte Fall sei naher untersucht. Hierfiir ist entsprechend Abb. 1.10a der Wandwinkel &w < T / 2 . Die gekrummte Umdrehungsflache sei naherungsweise kugelformig angenommen. Ein beliebiger Punkt A dieser Flache moge in bezug auf den umgebenden auBeren Fliissigkeitsspiegel um die Hohe z > 0 angehoben

Abb. 3.8. Kapillarrohre. a Benetzende Fliissigkeit steigt im Rohr (Kapillaraszension). b Nichtbenetzende Fliissigkeit sinkt im Rohr (Kapillardepression)

3.3.2 Stationare Fadenstromung eines dichtebestandigen Fluids

195

werden. Bezeichnen po den SuBeren Luftdruck und p f die Dichte der Flussigkeit im Kapillarrohr, so herrscht an der Stelle A' vertikal unter A der Druck p'A = po + pg + PFgz- Hierin ist pg der Kapillardruck (Kriimmungsdruck), dessen Kraftwirkung an der Fliissigkeitsoberflache im Rohr zum Kriimmungsmittelpunkt hin, d. h. nach oben gerichtet ist. Er berechnet sich nach (1.40b) zu pg = 2a/rg, wobei rg = — R/cos&w als Kriimmungsradius der konkaven Oberflache mit &w als Wandwinkel und a als Kapillarkonstante nach Tab. 1.3 zu setzen ist. Beachtet man, daB p'A as p'o = Po + PGgz *** Po gleich dem Druck der umgebenden Luft (Dichte p o ) in der Hohe z = 0 ist, dann erhalt man die mittlere Steighohe im Rohr z m « z zu zm =

2
=

2a costfw -?-, R

gPF

zm =

4cr gPFD

0V=0).

(3.18a, b)

Nimmt man fiir sehr enge Rohre naherungsweise die Oberflache der Flussigkeit im Rohr als Halbkugel an, so erhalt man mit #w = 0 die in (3.18b) angegebene Beziehung. Die Steighohe zm ist also dem Durchmesser D umgekehrt proportional. Nach Tab. 1.3a ist fiir Wasser gegen Luft a = 0,073 • 10~ 2 N/cm. Mit g = 9,81 • 102 cm/s 2 und pF = 103 kg/m 3 = 10~5 Ns 2 /cm 4 erhalt man somit in einem Kapillarrohr mit dem Durchmesser D = 0,1 cm eine Steighohe von zm = 3,0 cm. Fiir den Fall der Kapillardepression einer nichtbenetzenden Flussigkeit nach Abb. 3.8b ist entsprechend Abb. 1.10b der Wandwinkel t V > n/2, und die obige Untersuchung kann auch hier sinngemaB angewendet werden.

3.3 Stromfadentheorie dichtebestandiger Fluide 3.3.1 Einfiihrung Nach Abb. 2.15 kann man eine bestimmte Anzahl von Stromlinien als Stromfaden zusammenfassen, wobei dieser von der Stromrohre umschlossen wird. Im Sinn von Kap. 2.3.4.3 soil an die Stelle des mitbewegten Fluidfadens entsprechend Abb. 2.26 der Kontrollfaden mit raumfester Kontrollfadenachse treten. Dieser besteht aus der Ein- und Austrittsflache A\ bzw. A-i sowie aus der verbindenden Mantelflache A\-,.2- Bei stationarer Stromung besteht zwischen einem Stromfaden und einem Kontrollfaden kein Unterschied. Es sei der unelastische Kontrollfaden angenommen, bei dem die Kontrollfadenquerschnitte nur ortsabhangig sind, d. h. A(t,s) = A(s). Den folgenden Untersuchungen liegt der Fall einer dem SchwereinfluB unterworfenen reibungslosen Fadenstromung zugrunde. Diese ist im Gegensatz zu den reibungsbehafteten Rohr- und Gerinnestromungen in Kap. 3.4 bzw. 3.5 als charakteristisches Kennzeichen fiir die im folgenden dargestellte Stromfadentheorie anzusehen. Es werden hier in Kap. 3.3 nur Stromungen dichtebestandiger Fluide besprochen, wahrend sich Kap. 4.3 mit der Stromfadentheorie dichteveranderlicher Fluide (Gase) befaGt.

3.3.2 Stationare Fadenstromung eines dichtebestandigen Fluids 3.3.2.1 Voraussetzungen und Annahmen Fliissigkeiten (Wasser) konnen meistens als dichtebestandige Fluide angesehen werden, wahrend Gase (Luft) im allgemeinen dichteveranderlich sind. Es wurde in Kap. 1.2.2.1 bereits erwahnt und wird in Kap. 3.3.2.2 noch gezeigt, daB

196

3.3 Stromfadentheorie dichtebestandiger Fluide

Drucklinie

12)

Abb. 3.9. Darstellung der Hohenform der Bernoullischen Energiegleichung bei stationarer reibungsloser Stromung eines dichtebestandigen Fluids

Dichteanderungen gering sind, solange die Stromungsgeschwindigkeit v des betreffenden Fluids wesentlich kleiner als seine Schallgeschwindigkeit c ist, v 2 versehen.

3.3.2.2 Ausgangsgleichungen der stationaren Fadenstromung Kontinuitatsgleichung. Durch die Kontrollfadenquerschnitte A (s) ist nach dem Massenerhaltungssatz gemaB Kap. 2.4.2.2 bei dichtebestandigem Fluid mit pl = p2 — p der Volumenstrom V& in ni3/s unverandert und berechnet sich nach der Kontinuitatsgleichung (2.55) zu7 VA =

= V2A2 = const.

(3.19a, b)

Ein Volumenstrom kann nur iiber die Ein- und Austrittsflache A\ bzw. A2, dagegen nicht iiber die Mantelflache A\-+2 erfolgen. 6

Bei der Rohrstromung in Kap. 3.4.2.1 wird gezeigt, wie ein ungleichmaBiges Geschwindigkeitsprofil uber den Rohrquerschnitt durch Einfilhren von Geschwindigkeitsausgleichswerten zu erfassen ist. 7 E s ist VA = Vi= -V2, vgl. S. 86.

3.3.2 Stationare Fadenstromung eines dichtebestandigen Fluids

197

Impulsgleichung. Der Impulssatz gemaB Kap. 2.5.2.2 liefert fiir das dichtebestandige Fluid mit pi = p2 = p und d/dt = 0 nach (2.83) die Kraftgleichung fiir den Kontrollfaden (pi + pv\) Ai + (p2 + pv\)A2 =FB + (FAh^2+Fs.

(3.20)

Hierin sind A\ und^2 die normal zu den Querschnitten A\ bzw. A2 stehenden, nach auBen gerichteten Flachennormalen. Gl.(3,20) gilt unter der Voraussetzung, daB nach Abb. 2.32 die Stromlinien die Flachen A\ und A2 normal schneiden, d. h. daB A\ undA2 parallel zu V\ bzw. v2 verlaufen. FB ist die Massenkraft (Volumenkraft) der im Kontrollraum (V) von der Kontrollflache (O) = (A) + (S) eingeschlossenen Fluidmasse m. Besteht sie nur aus der Schwerkraft, so ist FB die nach unten wirkende Gewichtskraft entsprechend (2.76b). (FA)I-»-2 ist die Druckkraft auf die Mantelflache des Kontrollfadens Ai_>2 sofern diese nach Abb. 2.32a zum freien Teil der Kontrollflache (A) gehort. Fallt die Mantelflache jedoch nach Abb. 2.32b mit einer festen Wand (z. B. Rohrwandung) zusammen, so ist sie mit S\-+2 zu bezeichnen und zum korpergebundenen Teil der Kontrollflache (S) zu rechnen, wobei die auf das Fluid ausgeiibte Kraft in diesem Fall (Fs)\->2 = (FA)I-*2 betragt. Sie soil in der vom korpergebundenen Teil der Kontrollflache (S) auf das Fluid ausgeiibten Stiitzkraft F$ enthalten sein, was bedeutet, daB in (3.20) der Ausdruck (FA)\-±2 nicht auftritt. Die vom Fluid auf den Korper ausgeiibte Korperkraft FK folgt aus dem Wechselwirkungsgesetz (2.78b). Mithin gilt (2)

FB=mg

= pgV = pg I Ads,

FK = -FS.

(3.2la,b)

(i)

Gl. (3.20) ist eine Vektorgleichung, die entweder zeichnerisch oder numerisch gelost werden kann. Oft ist die Komponentendarstellung zu wahlen. Bernoullische Energiegleichung. Der Energiesatz gemaB Kap. 2.6.2.2 liefert u. a. die Energiegleichung der Fluidmechanik, wobei diese fiir den Kontrollfaden bereits in Kap. 2.5.3.2 aus der Impulsgleichung der reibungslosen Stromung in (2.96) hergeleitet wurde. Mit / = p/p erhalt man auf die Stellen (1) und (2) angewendet 8Zi + ^ + — = 8Z2 + % + — (Form la). (3.22a) 2 p 2 p Diese Beziehung ist als Bernoullische Energiegleichung der reibungslosen Stromung bekannt. Neben den bereits in (3.19) und (3.20) auftretenden GroBen p, Si P\i P2i v\ u n d V2 stellen z\ und Z2 die Hochlage der Kontrollfadenachse bei (1) und (2) dar. Im Gegensatz zur Kontinuitatsgleichung (3.19) und Impulsgleichung (3.20) enthalt die Energiegleichung (3.22a) die Querschnittsflachen des Kontrollfadens nicht. Die einzelnen Glieder der als "Form I" bezeichneten Gleichung stellen die auf die Masse des stromenden Fluids bezogenen Energien in J/kg dar. Die ersten beiden Glieder sind aus der Punktmechanik bekannt. Sie heiBen potentielle und kinetische Energie oder auch Lage- bzw. Geschwindigkeitsenergie. Das dritte Glied bezeichnet man analog als (potentielle) Druckenergie. Gl. (3.22a) besagt,

198

3.3 Stromfadentheorie dichtebestandiger Fluide

daB bei der stationaren reibungslosen Stromung eines dichtebestandigen, nur der Schwere unterworfenen Fluids die Summe aus Lage-, Geschwindigkeits- und Druckenergie (Stromungsenergie) langs der KontroUfadenachse ungeandert ist.8 Durch Multiplikation von (3.22a) mit der Dichte p erhalt man eine zweite Form der Energiegleichung, bei der die einzelnen Glieder auf das Volumen bezogene Energien (Energiedichten) in N/m 2 = J/m3 darstellen: Pi+pgzx + ^

= p2 + pgz2 + ^vl

(Formlb).

(3.22b)

Hierin ist pg = y nach Kap. 1.2.4.3 die Wichte des stromenden Fluids. Da die Glieder in (3.22b) die Dimension eines Drucks haben, bezeichnet man diese Beziehung auch als Bernoullische Druckgleichung der reibungslosen Stromung. Die drei Druckglieder faBt man in ihrer Summe p + pgz + (p/2)v2 = pt als Totaldruck zusammen. Das letzte Glied nennt man den kinetischen Druck oder Geschwindigkeitsdruck und fiihrt hierftir die neue GroBe q = (p/2)v2 ein.9 Im Ruhezustand vi = 0 = V2 liefert (3.22b) mit p\ +pgz\—p2 + pgzi die hydrostatische Grundgleichung (2.14a). Man bezeichnet daher p auch als statischen Druck. Nach Division von (3.22a) durch g folgt als dritte Form der Energiegleichung

^Z^ Pg

^

2g

^ ^ pg

i

(FormIc)

(3.22c)

2g 2 ls konstantem Bezugsdruck. Alle Glieder stellen auf die Schwerkraft (Gewicht) bezogene Energien in J/N=Nm/N oder Langen in m dar. Man bezeichnet daher (3.22c) auch als Hohenform der Energiegleichung und nennt die Glieder der Reihe nach Ortshohe oder auch geodatische Hohe zg = z gegenuber einer beliebig gewahlten horizontalen Bezugsebene, Druckhohe zp = (p — po)/pg, sowie Geschwindigkeitshohe zv = v2/2g. Die Definition fur die Druckhohe entspricht der Hohe h von (3.17b). Bei einem fliissigkeitsfuhrenden Kontrollfaden ist also zp nach Abb. 3.9 die Steighohe der Fliissigkeit in einem vertikalen Steigrohr, bei dem am unteren Ende der Druck p und am oberen Spiegel der Druck po (bei offenem Rohr ist po gleich dem Atmospharendruck) herrscht. Die durch die Hohe ZQ = zg + zp gekennzeichnete Linie wird Drucklinie genannt. Fur sie findet man auch die Ausdriicke Fliissigkeits- oder Wasserlinie, da sie nach Abb. 3.9 die Verbindungslinie der Fliissigkeitsspiegel in Steigrohren an verschiedenen Stellen langs des Kontrollfadens ist. Die GroBe zv entspricht der Hohe, die ein Korper im freien Fall zuriicklegen muB, um die Geschwindigkeit v zu erlangen. Eine graphische Darstellung der Hohenform der Energiegleichung (3.22c), wonach die Summe aus Orts-, Druck- und Geschwindigkeitshohe konstant ist, d. h. zg + zp + zv — const, zeigt Abb. 3.9. Dort sind fur die Punkte langs der Stromfadenachse iiber den Ortshohen die zugehorigen Druck- und Geschwindigkeitshohen aufgetragen. Die Endpunkte dieser Streckensumme liegen in einer horizontalen Ebene, dem Energieniveau der reibungslosen Stromung. Da es sich um die reibungslose Stromung eines dichtebestandigen Fluids handelt, ist die Stromung nach (2.102a) drehungsfrei. Die Energiegleichung gilt daher nicht nur fur Stellen auf der Achse eines Kontrollfadens, sondern auch fur beliebige Punkte in einem raumlich ausgedehnten Stromungsfeld. 9 Die frtther iibliche Bezeichnung "Staudruck" wird nach DIN 5492 nicht rnehr empfohlen.

3.3.2 Stationare Fadenstromung eines dichtebestandigen Fluids

199

Diese Darstellung zeigt, daB zv und damit die Geschwindigkeit v um so kleiner wird, je groBer ZQ ist, d. h. je hoher die Fliissigkeit im Steigrohr steht. Druckverhalten dichtebestandiger Fluide bei stationarer Stromung. Bei einem horizontal liegenden Kontrollfaden, d. h. bei z\ = zi, oder fiir eine Stromung, bei welcher der SchwereinfluB vernachlassigt werden kann, d. h. bei einem massebehafteten (p =£ 0) aber schwerlos angesehenen Fluid (g -» 0), insbesondere bei Gasen, folgt aus (3.22b) langs der Kontrollfadenachse P i

p + —v = po = pt P ? q = — v

(Totaldruck),

(Geschwindigkeitsdruck).

(3.23a, b)

Kommt das Fluid aus dem Ruhezustand (Kesselzustand) oder nimmt die Geschwindigkeit wie im Staupunkt eines umstromten Korpers den Wert v = i>o = 0 an, so erreicht der Druck seinen groBten Wert, p = p0. Man bezeichnet p0 = p, = const als Ruhe- oder Totaldruck. Er setzt sich aus dem (statischen) Druck p und dem Geschwindigkeitsdruck q zusammen. Gl. (3.23a) sagt aus, daB mit sinkender Geschwindigkeit der Druck zunimmt, wahrend mit wachsender Geschwindigkeit der Druck abnimmt. Nahert sich der Druck dem Wert null, so zerreiBt die Stromung und scheidet bei tropfbaren Fliissigkeiten unter Hohlraumbildung Dampf- oder Gasblasen aus. Man vgl. die Ausfiihrungen tiber die Kavitation in Kap. 1.2.6.3. Dadurch wird der Stromungsvorgang vollstandig verandert, und die angegebenen Beziehungen besitzen keine Giiltigkeit mehr. Neben der Druckgleichung langs des Stromfadens (3.22b) ist haufig auch die Druckgleichung quer zum Stromfaden, d. h. die Querdruckgleichung (2.94b) mit d/dt = 0 oder (2.97a) von Bedeutung. Gas als dichtebestandiges Fluid. Die Bernoullische Druckgleichung (3.22b) bietet die Moglichkeit, die GroBe der Dichteanderung eines Gases bei verschiedenen Geschwindigkeiten abzuschatzen. Zwischen zwei gleich hoch liegenden Stellen (1) und (2) tritt die groBte Druckanderung auf, wenn eine der Geschwindigkeiten verschwindet, z. B. i>2 = 0. Mit z\ — Z2 ist dann p2 = p\ + (p\/2)v\. Stetige reibungslose Stromungen verlaufen im allgemeinen bei konstanter Entropie, d. h. bei isentroper Zustandsanderung gemaB (1.6) mit KS = K. AUS pilp\ = (p2/pi)l/K ergibt sich unter Einsetzen von P2/P1 = 1 + {p\/2p\)v\ fur das Dichteverhaltnis r

i1

^ = 1 + \*-v\V

I

= [l + K-Ma]\ K * 1 + \Ma\.

(3.24)

Pi L Pi i L 2 J Als Kennzahl wurde die Mach-Zahl Mai = v\/c\ mit c\ — y/xpi/p\ als Schallgeschwindigkeit des Gases eingefiihrt. Bei kleiner Mach-Zahl ist (ic/2)Ma\ <SC 1, was zu der letzten Beziehung fiihrt. Man erkennt, daB die Dichteanderung um so groBer wird, je groBer Ma\ ist. Fiir Ma\ = 0,2 ergibt sich z. B. fiir Luft ein Dichteverhaltnis von P2//O1 % 1,020 und fiir Ma\ = 0,3 bereits P2/P1 % 1,045. Hieraus folgt als Voraussetzung fiir Stromungen dichtebestandiger Gase, daB die Mach-Zahl

200

3.3 Stromfadentheone dichtebestandiger Fluide

den Wert Ma = 0,3 nicht iibersteigen sollte, sofern man eine Dichteanderung von 5% noch als vernachlassigbar ansieht. 3.3.2.3 Anwendungen zur stationaren Fadenstromung An einigen einfachen Beispielen durch- und umstromter Korper seien die vielfaltigen Moglichkeiten der Anwendung der Stromfadentheorie auf stationare reibungslose Stromungen eines dichtebestandigen Fluids gezeigt. Man erkennt hieraus die groBe Bedeutung dieser, den ReibungseinfluB zunSchst noch nicht berticksichtigenden Theorie. a) Ermittlung von Drucken und Geschwindigkeiten a.l) Druckverteilung an umstromten Korperwanden. Bei der reibungslosen Umstromung eines Korpers nach Abb. 3.10 mit der ungestorten Anstromgeschwindigkeit Vx, beim ungestorten Druck px herrschen an der Korperoberflache (Wand) die Geschwindigkeit VK und der zugehorige Druck paDie Anwendung der Druckgleichung (3.22b) liefert bei Vemachlassigung des Schwereinflusses mit PK + (p/2)vj, = poo + (/t>/2)v^0 die mit dem Geschwindigkeitsdruck der Anstromung qx ^ dimensionslos gemachte Druckverteilung Ap

PK-P°° <7oo

= 1- ( — ) « - 2 —

(Druckbeiwert).

(3.25a, b)

Uoo

Bei beschleunigter Stromung VK > "oo ist der Druckbeiwert negativ; es herrscht Unterdruck gegeniiber dem Druck der ungestorten Stromung pK < p^. Bei verzogerter Stromung v% < i>oo herrscht wegen PK > Poo Uberdruck. Die Beziehung (3.25b) gilt fur den Fall kleiner Stoning VK = Vx, + Av mit |Aw| <SC Vao als Storgeschwindigkeit. Unmittelbar vor einem vorn stumpfen oder auch spitzen Korper staut sich nach Abb. 3.10 die Stromung auf und teilt sich dann vor dem Korper nach alien Seiten, um ihn zu umstromen. Die Verzweigungsstromlinie fiihrt zum Staupunkt 0, in welchem das Fluid vollig zur Ruhe kommt, VK = 0. Dort herrscht der Staupunktdruck pK = p0 gemaB (3.23a), auch Ruheoder Totaldruck genannt. Bei der Stromung eines dichtebestandigen Fluids betragt also nach (3.25a) der groBtmogliche Druckbeiwert (Ap/^oo)max = (&p/qco)o = 1 oder Ap0 = qoca.2) Druckmessung. Zur experimentellen Bestimmung der Wanddruckverteilung, d. h. des (statischen) Drucks einer Stromung langs einer Korperoberflache, kann man nach Abb. 3.11a in der Wand ein

Abb. 3.10. Zur Berechnung der Druckverteilung an einem umstromten Korper (Stromlinien entsprechen reibungsloser Stromung)

statische Sonde

Abb. 3.11. Zur Messung von Druck und Geschwindigkeit (schematische Darstellungen). a Druckverteilung an umstromten Korperwanden. b Statische Drucksonde. c Pitot-Rohr, Prandtl-Rohr

3.3.2 Stationare Fadenstromung eines dichtebestandigen Fluids

201

sauber bearbeitetes Bohrloch anbringen und an dies ein U-formig gebogenes Manometerrohr anschlieBen, dessen freier Schenkel oben offen ist. Im U-Rohr befindet sich eine MeBfliissigkeit (Alkohol, Wasser oder Quecksilber) mit der Dichte pF. Je nach der GrSBe des an der AnschluBstelle herrschenden Wanddrucks pK werden die Spiegel der MeBfliissigkeit in den Rohrschenkeln gehoben oder gesenkt, bis sich im Manometer (U-Rohr) Gleichgewicht eingestellt hat. Nach (3.17a) ist der (statische) Druck an der AnschluBstelle des U-Rohrs p\ = P2 + pFgh. U-Rohre oder GefaBmanometer eignen sich nur zur Bestimmung kleiner oder maBiger Driicke. Bei groBeren Driicken verwendet man zweckmaBig Federmanometer. Soil der Druck in einer freien Stromung bestimmt werden, so kann man anstelle der hier nicht vorhandenen Wand eine statische Drucksonde nach Abb. 3.11b verwenden. Diese besteht aus einem in Stromungsrichtung liegenden vorn verschlossenen, aber mit seitlichen Schlitzen oder Bohrungen versehenen diinnen MeBrohr, an das ein rechtwinklig abgebogener Schenkel angeschlossen ist. Dieser steht mit einem auBerhalb der Stromung liegenden Manometer in Verbindung. Der in der Stromungsrichtung liegende Rohrschenkel ersetzt dabei die oben besprochene angebohrte Wand. Dies Gerat ist stark richtungsempfindlich. Zur Bestimmung des Totaldrucks in einer Stromung kann man nach Abb. 3.1 lc ein Pitot-Rohr, das ein rechtwinklig abgebogenes MeBrohr mit Offnungen an beiden Enden ist, benutzen. In dem abgebogenen Rohrschenkel findet ein Aufstau der Stromung statt, so daB der im Horizontalschenkel vorhandene Druck gleich dem Totaldruck (Pitot-Druck) p, der Stromung an der betreffenden Stelle ist. Der vertikale Schenkel wird wieder mit einem Manometer verbunden. a.3) Geschwindigkeitsmessung. Hat man den (statischen) Druck p mit Hilfe einer statischen Drucksonde und den Totaldruck pt mittels eines Pitot-Rohrs bestimmt, so liefert (3.23a) in Verbindung mit (3.17a) fur die Geschwindigkeit v die Beziehung v = . / - ( / > , - p) = ,\2g—h

>0

(Prandtl-Rohr)

(3.26a, b)

mit p als Dichte des stromenden Fluids und pF als Dichte der MeBfliissigkeit im U-Rohr. Eine von Prandtl angegebene Verbindung von Drucksonde und Pitot-Rohr zeigt Abb. 3.11c. Mit Hilfe dieses Prandtlschen Druckrohrs (Prandtl-Staurohr) ist es moglich, den Geschwindigkeitsdruck unmittelbar aus der Druckhohendifferenz h = (p, — p)/pFg in den beiden Schenkeln des mit dem Staurohr verbundenen U-Rohrs (oder eines anderen Manometers) zu bestimmen. Das Prandtl-Rohr ist verhaltnismaBig unempfindlich gegeniiber kleineren Abweichungen der Rohrachse von der Stromungsrichtung. a.4) Volumenstrommessung. Zur Messung des Durchstromvolumens in Rohrleitungen bedient man sich vielfach des Venturi-Rohrs, auch Venturi-Diise genannt. Dies besteht nach Abb. 3.12 im wesentlichen aus einem sich in Stromungsrichtung von dem Rohrquerschnitt A\ allmahlich auf einen etwa halb so groBen Querschnitt A2 verjiingenden Rohr mit daran anschlieBender Erweiterung auf den urspriinglichen Querschnitt A\. An den Stellen (1) und (2) konnen die in den betreffenden Querschnitten herrschenden Driicke p\ und P2 mit Hilfe von Manometern gemessen werden; sie sind also als bekannte GroBen anzusehen. Bezeichnen ui die mittlere Geschwindigkeit im Querschnitt A\ und V2 diejenige im Querschnitt A2, so folgt aus der Kontinuita'tsgleichung (3.19b) die Beziehung v\ = (A2/A\)\>2. Den Zusammenhang zwischen Druck und Geschwindigkeit liefert die Druckgleichung (3.22b), und zwar betragt bei Annahme eines horizontal liegenden Rohrs mit i\ = Z2 die Druckanderung

Ap = pi-P2

= ^(vl - v\) = ^v\[\ - (A2/AO2] > 0.

Manometer

(3)

Abb. 3.12. Zur Volumenstrommessung mittels eines Venturi-Rohrs und manometrischer Druckmessung

202

3.3 Stromfadentheorie dichtebestandiger Fluide

Der Volumenstrom (Volumen/Zeit) ergibt sich wegen V = V2A2 zu VA =

mit

a =

=

> 1

(Venturi-Rohr)

(3.27a, b)

als Durchstromkoeffizient. Wird der Druckunterschied Ap z. B. manometrisch bestimmt, so kann V aus vorstehender Gleichung berechnet werden. Zur Erlangung moglichst genauer Ergebnisse ist eine Eichung der Vorrichtung erforderlich, da Querschnittsanderungen eines Rohrs, wie spater in Kap. 3.4.4.2 bei der Rohrstromung gezeigt wird, stets gewisse Verluste an Stromungsenergie zur Folge haben. Da diese bei einer allmahlichen Verengung des Rohrs (Diise) wesentlich geringer sind als bei einer allmahlichen Erweiterung (Diffusor), muB der Druckunterschied fur die sich verjiingende Rohrstrecke (l)-(2) gemessen werden und nicht fur die darauffolgende Erweiterung (2)-(3). Durchstromkoeffizienten, die den EinfluB der Reibung miterfassen, sind fur die Normventuridiise in [8, 15] wiedergegeben. Sie sind erwartungsgemaB stets kleiner als diejenigen nach (3.27b). Wird das Venturi-Rohr in schrager Lage eingebaut, so muB die Druckanderung infolge des Hohenunterschieds Az = z\ — Z2 durch Ap = pgAz besonders bei Fliissigkeiten zusatzlich beriicksichtigt werden. Eine weitere Moglichkeit zur Volumenstrommessung besteht in der Verwendung einer MeBdiise oder MeBblende. b) Ausfluli einer Fliissigkeit aus einem oben offenen GefaB b.l) AusfluB ins Freie durch kleine Offnung. Aus einem nach Abb. 3.13a oben offenen GefaB, dessen Fliissigkeitsspiegel durch gleichmaBig iiber den GefaBquerschnitt A\ verteilten ZufluB dauernd auf konstanter Hohe z = z\ = const gehalten wird, moge durch eine an der Stelle zi — 0 im Verhaltnis zur Spiegelflache sehr kleine geneigte Offnung A2 Fliissigkeit ins Freie ausstromen.10 Es handelt sich dabei um den AusfluB eines Fluids groBerer Dichte, z. B. einer Fliissigkeit (Wasser) mit pF, in ein Fluid weniger groBer Dichte, z. B. eines Gases (Luft) mit pG. Die GefaBoffnung an der AusfiuBstelle sei zunachst mit einem abgerundeten Ansatzstiick versehen, an das sich der austretende Strahl gut anschmiegen kann. Unter der getroffenen Voraussetzung des standigen Zuflusses verhalt sich der Stromungsvorgang stationar. Dabei herrschen am Fliissigkeitsspiegel die Geschwindigkeit v\ und am Austritt die Geschwindigkeit V2 • Zur Berechnung der AusfluBgeschwindigkeit kommt die Energiegleichung (3.22b) mit p = pF und 12 = 0 zur Anwendung. Wahrend am freien Fliissigkeitsspiegel der Druck gleich dem Atmospharendruck p\ in der Hohe z = i\ ist, nimmt der Druck in Hohe der AusfluBoffnung z = z2 = 0 auBerhalb des GefaBes zwischen (1') und (2') nach (3.1c) den Wert p'2 = p\ + PGSZ\ a n - Dieser Druck wird dem langs geradliniger Stromlinien ins Freie austretenden Strahl von auBen aufgepragt, P2 = p'^X Zwischen den Geschwindigkeiten v\ und V2 besteht nach der Kontinuitatsgleichung (3.19b) der Zusammenhang v\ = (A2/A\)V2. Nach Einsetzen der Beziehungen fiir P2 und v\ in (3.22b) erhalt man fur die AusfluBgeschwindigkeit des Freistrahls

\\

Abb. 3.13. AusfluB einer Fliissigkeit ins Freie aus einem oben offenen GefaB mit kleiner Offnung, Freistrahl. a Zur Berechnung der AusfluBgeschwindigkeit und der Strahlreaktion. b Strahlkontraktion bei scharfkantiger Offnung. c Strahlkontraktion in der Borda-Miindung 10 11

Die folgenden Uberlegungen gelten auch fiir beliebige GefaBformen. Vgl. Ausfuhrung zu (2.97b).

3.3.2 Stationare Fadenstromung eines dichtebestandigen Fluids 1

V

2 = t/2«zi

-

PQIPF / t

°'\

7

« V2gzi

203

(Torricelli).

(3.28a, b)

Im allgemeinen ist PG/pF -C 1 und kann somit unberiicksichtigt bleiben. Nimmt man dariiber hinaus an, daB A2 gegenilber A\ sehr klein ist, dann kann auch (A2/A1)2 Pgz\, d. h. V2 = V2(Pi - P2) IP bei A2/Ai «: 1. Aus Versuchen hat sich ergeben, daB die wirkliche AusfluBgeschwindigkeit etwas kleiner als die theoretisch ermittelte ist, was auf die Vernachlassigung der Reibung zuruckzufiihren ist, die einen Verlust an fluidmechanischer Energie zur Folge hat. Man kann dies durch Einfiihren eines Geschwindigkeitskoefflzienten c zum Ausdruck bringen, indem man v'2 = c^/2gz\ anstelle von V2 in (3.28b) schreibt. Nach Versuchen von Weisbach [85] ist c von der Hohe z\ abhangig und hat fiir Wasser Werte von 0,96 < c < 1,0. Sieht man nicht wie in Abb. 3.13a ein abgerundetes Ansatzstiick vor, sondem la'Bt die Fliissigkeit nach Abb. 3.13b unmittelbar durch eine scharfkantige Offnung in der GefaBwand austreten, so konnen die nach der GefaBoffnung gerichteten Stromlinien nicht plotzlich in die Austrittsrichtung umbiegen. Der ins Freie austretende Strahl erfahrt vielmehr eine Einschniirung (Kontraktion), d. h. sein Querschnitt A | ist kleiner als der Querschnitt A2 der AusfluBoffnung. Das Verhaltnis /x = A\l A2 wird als Einschnurungs- oder Kontraktionskoeffizient bezeichnet. Man kann /i im allgemeinen nUr empirisch bestimmen [85]. Fiir scharfkantige Offnungen, die sich in groBerer Entfernung von den seitlichen GefaBwandungen und vom Fliissigkeitsspiegel befinden, ist fi ss 0,61. tfber die theoretische Abschatzung des Kontraktionskoeffizienten wird in Beispiel b.3 berichtet. Der aus dem oben offenen GefaB austretende Volumenstrom betragt analog (3.19b) VA = v'^A^ = VA = fi*A2J

1

^

/ M ) 2

* ti*A2^2g~z\ (Freistrahl).

(3.29a, b)

Durch den EinfluB der Reibung auf die AusfluBgeschwindigkeit v>2 und die Wirkung der Strahleinschniirung auf den tatsachlich fiir den AusfluBvorgang zur Verfiigung stehenden AusfluBquerschnitt A\ wird der Volumenstrom entsprechend verkleinert, was durch den AusfluBkoeffizienten fi* = c\x «* 0,6 erfaBt wird, [85]. Beim AusflieBen iibt die Fliissigkeit auf die innere GefaBwand eine Strahlreaktion aus, die sich in einer im wesentlichen der AusfluBgeschwindigkeit entgegengesetzt gerichtete Reaktions- oder RiickstoBkraft auswirkt. Diese laBt sich mittels der Impulsgleichung (3.20) berechnen, die auf die Stellen (1) und (2) in Abb. 3.13a mit p2 = p\ anzuwenden ist. Da die Mantelnache als GefaBwand zum festen Teil der Kontrollflache gehort, ist {FA)\^2 = 0 ZU setzen. Die Massenkraft (Volumenkraft) FB = pgVp zeigt als Schwerkraft vertikal nach unten und ist gleich dem Gewicht der Fliissigkeit im GefaB. Diese GroBe wird vom AusfluBvorgang wegen des ungeanderten Fliissigkeitsvolumens VF nicht beeinfluBt und liefert somit keinen Beitrag zu der vom Stromungsvorgang selbst verursachten Reaktionskraft. Die vom korpergebundenen Teil der Kontrollflache ausgeiibte Stiitzkraft F$ entspricht, mit negativem Vorzeichen versehen, nach (3.21b) der vom Fluid auf die inneren GefaBwande ubertragenen Kraft F, = FK = —FsDie resultierende Kraft auf das GefaB (fester Korper) setzt sich aus den Druckkraften auf die innere und auBere GefaBwand Fr = F, +Fa zusammen. Da der auBere Druck iiberall pa = p\ ist, greift am GefaB von auBen die Kraft Fa = p$A\ +A2) an. Zu dieser Formel gelangt man durch Anwenden der Beziehungen fiir ruhende Fluide nach Kap. 3.2.2. Die vom Stromungsvorgang hervorgerufene RiickstoBkraft (einschlieBlich der Kraft Fa) betragt F =Fr -FB und berechnet sich nach (3.20) zu F =-p(y\Ai

12

+v\A2) = -mA ( -^n\ + n2 ) v2 \A{ J

Es wird bei p der Index "F" fortgelassen.

(FB = const).

(3.30a, b)

204

3.3 Stromfadentheorie dichtebestandiger Fluide

In der letzten Beziehung wurde beriicksichtigt, daB nach der Kontinuitatsgleichung v\ = (A2/A$V2 und rriA = PV2A2 der austretende Massenstrom ist. Weiterhin wurden die Einheitsvektoren der Flachennormalen in der Form A\ = A\n\ und A2 = A2112 eingefiihrt. Die von den ersten Gliedern in (3.30a, b) herriihrende Kraftkomponente wirkt entgegen der Richtung des Flachenvektors A\ vertikal nach unten und diejenige von den zweiten Gliedern entgegen der Richtung des Flachenvektors A2 nach links oben. Die Reaktionskraft besitzt somit sowohl eine horizontale als auch eine vertikale Komponente. Nimmt man wieder einen kleinen AusfluBquerschnitt an, dann folgt mit A2I A\
= -pv\A2

= -2pgziA2

(A2/' Ax

1).

(3.31a, b,c)

Hierbei wurde beriicksichtigt, daB V2112 = *>2 ist und fiir V2 die Beziehung fur ein kleines Querschnittsverhaltnis nach (3.28b) eingesetzt werden kann. Die Kraft wirkt entgegen der Geschwindigkeitsrichtung t>2- Ihre GroBe hangt nach (3.31a) vom Massenstrom und von der AusfluBgeschwindigkeit oder nach (3.31b) von der Austrittsflache und vom Quadrat der Geschwindigkeit oder nach (3.31c) von der Austrittsflache und von der Fliissigkeitshohe ab. Aus (3.31b) entnimmt man, daB die RiickstoBkraft bei Stromungsumkehr wegen v\ = (—V2)2 weder die GroBe verandert noch die Richtung wechselt, man vgl. die Ausfiihrung iiber die reibungslose Stromung in einem Rohrkriimmer nach Kap. 2.5.2.2. Ist & nach Abb. 3.13a die Neigung des AusfluBstrahls gegen die Horizontale, dann findet man die Komponenten der RiickstoBkraft in x- und z-Richtung zu

Fx =-2pgz\A2Cos-&,

F2 = 2pgzlA2sin&

(A2/Ai «: 1).

(3.32a,b)

Bei horizontalem AusfluB mit 1? = 0 ist Fx = —2pgz\A2 und Fz = 0, sowie bei vertikalem AusfluB nach unten mit & = JT/2 ist Fx = 0 und Fz = 2pgz\A2 (entgegen der Schwerkraft der eingeschlossenen Fluidmasse). Das Auftreten des doppelten Werts der Offnungsflache 2A2 in (3.32a) kann man sich z. B. fiir 1? = 0 anhand von Abb. 3.13a, b folgendermaBen erklaren: Zusatzlich zum Wegfall der Kraft im Bereich der Offnung mit der Querschnittsflache Aix = A2 als Folge des (statischen) Uberdrucks pi — pa = pgz\ entsteht durch die Zustromung zur Offnung in ihrer unmittelbaren Umgebung langs der Wand ein Unterdruck p < p\, der nochmals einen gleichgroBen Kraftbetrag liefert. b.2) Zufluft unterhalb eines Fliissigkeitsspiegels. Gegeben sind nach Abb. 3.14 zwei sehr groBe mit Fliissigkeit gefiillte GefaBe, die durch eine vertikale Wand, welche eine Offnung mit der Flache A besitzt, voneinander getrennt sind. Die Fliissigkeitsspiegel z\ und Z2 stehen verschieden hoch, und zwar soil Z2 < zi sein. Im Gegensatz zum AusfluB ins Freie nach Beispiel b.l handelt es sich jetzt um den AusfluB einer Fliissigkeit aus einem GefiiB (Oberwasser) in die gleiche Fltissigkeit eines zweiten GefaBes (Unterwasser). Mit Z2 > zo erfolgt der AusfluB vollkommen unterhalb des Fliissigkeitsspiegels im Gefa'B (2). Die Anwendung der Energiegleichung auf den AusfluBvorgang beruht auf der Kenntnis des Gegendrucks am Ort z der DurchfluBoffnung. Die Spiegelhohen z\ und Z2 des oberen und unteren Fliissigkeitsspiegels seien als unveranderlich angenommen. Es wirkt also an der Eintrittsseite z < z\ der hydrostatische Druck p = p0 + pg(z\ — z), wahrend an der Austrittsseite z < Z2 der Druck p = PQ + pg(z2 — z) betragt. Der maBgebende Druckunterschied ist also Ap = pg{z\ — Z2). Er ist unabhangig von der Lage des Punkts z im Bereich der DurchfluBoffnung. Die Anwendung von (3.22b) auf zwei gleich hoch liegende Stellen (z = const) sehr weit vor (v = 0) und unmittelbar hinter der Offnung liefert fiir die ZufluBgeschwindigkeit und fiir den Volumenstrom

(Tauchstrahl)

ft)

(3.33a, b)

Po

Abb. 3.14. AusfluB einer Fliissigkeit unterhalb der Fliissigkeitsspiegel (Oberwasser ->• Unterwasser), Tauchstrahl

3.3.2 Stationare Fadenstromung eines dichtebestandigen Fluids

205

mit h = z\ — Z2 = const als unveranderlichem Hohenunterschied der oberen und unteren Spiegelflachen.13 Die Geschwindigkeit verteilt sich gleichmaBig iiber den Austrittsquerschnitt A. Analog zu (3.29b) wurde beim Volumenstrom der AusfluBkoeffizient n* eingefUhrt [85]. b.3) Abschatzung des Kontraktionskoeffizienten. Erfolgt der AusfluB nicht, wie in Abb. 3.13b gezeigt, durch eine einfache Offnung, sondern durch eine in Abb. 3.13c dargestellte Borda-Miindung, so kann man hierfur eine Abschatzung des Kontraktionskoeffizienten durchfiihren, welche als Ergebnis zugleich die unterste Grenze fur ix liefert. Wahrend sich bei der Offnung nach Abb. 3.13b in der Umgebung der Offnung im Inneren des GefaBes ein Unterdruck p < p, einstellt, kann man bei der Borda-Miindung in grober Naherung abschatzen, daB im Inneren des GefaBes, dort, wo bei der einfachen Offnung p < p, war, jetzt p i=» p, ist. Dies bedeutet, daB der in der Umgebung der einfachen Offnung wirksame Anteil der Reaktionskraft Fx/2 jetzt fehlt, siehe die Ausfiihrung im AnschluB an (3.32a). Ausgehend von (3.31b) ergibt sich der Betrag der RuckstoBkraft bei der Borda-Miindung zu Fx = — | p u | A 2 . Wendet man jedoch die Impulsgleichung auf eine Kontrollflache an, welche die wirksame AusfluBflache A\ enthalt, dann ergibt sich nach (3.31b) fur die gesuchte Kraft auch Fx = —pv^-A\. Zu beachten ist, daB jetzt der eingeschniirte Querschnitt A\ und die zugehbrige Geschwindigkeit u | einzusetzen sind. Wie mit (3.28b) gezeigt wurde, ist bei kleinen AusfluBoffnungen die AusfluBgeschwindigkeit von der GroBe der Austrittsquerschnittsflache A 2 bzw. A\ unabhangig, d. h. es ist i>2 = v\. Durch Gleichsetzen der beiden Beziehungen fiir Fx folgt dann A 2 = 2A|,, oder wegen A | = 11A2 fiir den Kontraktionskoeffizienten fi = 1/2. Dieser durch eine einfache Abschatzung gewonnene Wert laBt sich fiir ebene Stromung exakt herleiten [48]. Mithin gilt fiir den Kontraktionskoeffizienten unabhangig von der Dichte des Fluids 0,5 I fi £ 1,0

(Wertebereich).

(3.34)

Weitere Ausfiihrungen iiber p. werden in Kap. 3.4.4.2 bei der plotzlichen Rohrverengung sowie in Kap. 3.6.2.3 bei der Quellstromung gemacht. c) Propeller und Windrad c.l) Scheibenformiger Propeller. Propeller sind Vortriebsorgane, die das von einer Energiequelle (Motor) gelieferte Drehmoment in axialen Schub umsetzen. Bei der Drehung des Propellers wird standig neues Fluid durch die Propellerebene nach hinten beschleunigt. Es entsteht auf diese Weise ein Strahl, dessen Querschnitt von den Propellerabmessungen abhangt und der gegeniiber dem iibrigen Fluid nicht nur eine fortschreitende, sondern auch eine drehende Bewegung ausfiihrt. Ein Propeller mit den genannten fluidmechanischen Eigenschaften wird Schraubenpropeller genannt. In Abb. 3.15a ist ein freifahrender Propeller mit dem zugehorigen Bild der Strahlgrenzen dargestellt.14 Es sei angenommen, daB der Propeller selbst in Ruhe ist und in Achsrichtung angestromt wird. Eine stark vereinfachte Wirkungsweise kann man sich nach Rankine dadurch vorstellen, daB man den Propeller als massedurchlassige Scheibe ansieht. Dabei sollen nur Geschwindigkeiten in axialer Richtung auftreten. Einfliisse der Strahldrehung und Reibung werden vernachlassigt. Die hierauf aufbauende Methode bezeichnet man als einfache Rankinesche Strahltheorie. Weit vor dem Propeller ist die Geschwindigkeit innerhalb und auBerhalb des Strahls gleich der ungestorten Anstromgeschwindigkeit v\. Hinter dem Propeller ist auBerhalb des Strahls die Geschwindigkeit ebenfalls v\, wahrend sie im Strahl selbst konstant ist und die GroBe 1)4 > DI besitzt. Beim Durchgang durch die Scheibe mit der Propellerkreisflache As sei die Geschwindigkeit u2=i>3 = i>sIn Abb. 3.15b ist die tiber A5 gleichmaBig verteilte Geschwindigkeit v langs der Propellerachse (x-Richtung) schematisch dargestellt. Der durchtretende Massenstrom ist gemaB der Kontinuitatsgleichung (3.19) rhs = pv\A\ = pvsAs = PV4A4.

(3.35a, b, c)

Vor dem Propeller und auch im Strahl sehr weit hinter dem Propeller, wo die Stromlinien wieder geradlinig und parallel verlaufen, sind die Driicke gleich groB pn = p\. Unmittelbar vor der Propellerscheibe 13 Will man den AusfluBvorgang durch Anwenden der Energiegleichung auf die in Abb. 3.14 dargestellten Stellen (1) und (2) berechnen, so muB gemSB (3.68) der Austrittsverlust des Tauchstrahls beriicksichtigt werden. Mit p\ «= P2 u n d v\ *** 0 «* vz lautet die erweiterte Bernoullische Energiegleichung in Verbindung mit (3.65b) und (3.124b) pgz\ = pgZ2 + (p/2)v2, was dem Ergebnis (3.33a) entspricht. 14 In Kap. 3.6.2.2 wird als Beispiel d.l der Propeller im Rohr behandelt. Das vereinfachte Modell des scheibenformigen Propellers entspricht in seiner fluidmechanischen Wirkung dem Turbostrahltriebwerk, iiber das als Beispiel d.2 noch ausfiihrlich berichtet wird.

3.3 Stromfadentheorie dichtebestandiger Fluide

206

freie Sfrahlgrenze durchlassige A

i~t

^r f^&f-^^ Scheibe

mv* Jr

Pi

•j-

^7—f

.

+''

m*—Y7;

PI

(V' a

Abb. 3.15. Zur Berechnung des Propellerschubs nach der einfachen Strahltheorie (schematische Darstellung). a Freifahrender scheibenformiger Propeller, b Geschwindigkeitsverteilung langs Propellerachse. c Druckverteilung Jangs Propellerachse

herrsche der iiber As gleichmaBig verteilte Unterdruck p2 < Pi u n d unmittelbar hinter ihr ebenfalls konstant iiber Aj der Uberdruck ^3 > p\. Das Druckverhalten langs der Propellerachse ist in Abb. 3.15c skizziert. Fiir die Drttcke vor und hinter dem Propeller, d. h. an den Stellen (2) und (3) erhalt man aus der Bernoullischen Energiegleichung (3.22a) bei horizontal liegender Propellerachse Pi

Pi

P\ + 2"! = P2+ 2Vs

bzw.

Die Druckdifferenz (p3 - p2) liefert als Integralwert iiber As eine erste Beziehung fiir die Schubkraft (Schub) Fs (positiv entgegen der x-Richtung), und zwar gilt mit pa, = p\ Fs = (P3 -

0.

(3.36a, b)

Durch Anwenden der Impulsgleichung (3.20) in Strahlrichtung la'Bt sich eine zweite Beziehung zur Berechnung der Schubkraft herleiten. Die raumfeste Kontrollflache (O) = (A) + (S) besteht aus dem freien Teil (A), der aus der Strahleintrittsflache A\, der von der Strahlgrenze gebildeten Mantelflache Ai^4 und der Strahlaustrittsflache A 4 besteht, sowie aus dem um die Propellerscheibe gelegten korpergebundenen Teil (5). Unter Beachtung der Vorzeichen der Flachennormalen wird in x-Richtung

- (p\

pv\)A\

Wegen der horizontalliegenden Propellerachse liefert die Massenkraft FB keinen Beitrag. Der Schub Fs soil entsprechend Abb. 3.15a positiv nach vorn gerichtet sein.16 Er ist dann nach (3.21b) gleich der 15 Wegen der Energiezufuhr durch den Propeller an der Stelle (2) - (3) darf die benutzte Energiegleichung nicht iiber diese Stelle hinweg, d. h. z. B. fiir die Stellen (1) und (4), angewendet werden. Eine solche Einschrankung trifft jedoch nicht fiir die Impulsgleichung zu. 16 Man beachte, daB mit Fs nicht die Stiitzkraft im Sinn der Impulsgleichung, sondern die mit entgegengesetztem Vorzeichen versehene Strahlkraft auf die durchlassige Scheibe gemeint ist.

3.3.2 Stationare Fadenstromung eines dichtebestandigen Fluids

207

Komponente der Stiitzkraft in x-Richtung, d. h. Fs = —FRX = Fsx- Der freie Teil der Kontrollflache (A) steht nur unter der Einwirkung von Druckkraften. Die gesamte auf (A) ausgeiibte Kraft verschwindet, d. h. es ist piAi + (/ ? AX)I^2 — P4A4. = 0, wenn man annimmt, da6 auf der freien Strahlgrenze J4I_>.2 der Druck des umgebenden Fluids herrscht, d. h. />i^4 = p\ = /?4 ist. An der freien Strahlgrenze kann man die Querdruckgleichung (2.97a) wegen der zunachst konvexen und dann konkaven Kriimmung im Mittel als erfiillt ansehen. Aus der Impulsgleichung folgt somit unter Beriicksichtigung der Kontinuitatsgleichung (3.35) Fs = p(v}AA - v2xAi) = ms(vA - vx) > 0.

(3.37a, b) 17

Fur die Schuberzeugung kommt es also neben der GroBe des durch den Propeller erfaBten Massenstroms ths insbesondere auf den Unterschied der Strahlgeschwindigkeit U4 hinter dem Propeller und der Anstromgeschwindigkeit v\ vor dem Propeller an. Aus (3.35b), (3.36b) und (3.37b) bzw. aus (3.36b) findet man fiir die einzelnen Geschwindigkeiten die Zusammenhange vs = i(wi + u 4 ),

— = \/l+cs,

(3.38a, b)

wobei cs = Fs/q\Asmitqi = (p/2)v\ als Schubbelastungsgrad eingefiihrt wird. Nach (3.38a) ist die axiale Geschwindigkeit vs, mit welcher der Strahl die Propellerkreisflache durchstromt, gleich dem arithmetischen Mittel aus v\ und U4. Man kann jetzt noch eine Betrachtung iiber die Nutzleistung Pj = v\Fs, den Leistungsaufwand Ps = vsFs sowie den Propellerwirkungsgrad r]a anschlieBen. Es ergibt sich mit (3.38a, b) 2

Ps

Vs

2

(3.39)

1 + U4/V1

Man bezeichnet r\a als axialen Wirkungsgrad. Er ist um so groBer, je kleiner cs ist. Dies ist der Fall bei schwachbelasteten Propellern, die verhaltnismaBig groBe Propellerflachen haben. Bei der Berechnung des Werts r\a fur den scheibenformigen Propeller wurde auf die Strahldrehung eines Schraubenpropellers sowie auf Reibungseinfliisse keine Rucksicht genommen, so daB der fiir r\a gefundene Wert sicher zu hoch ist. Da bei technisch ausgefiihrten Propellern weitere Verluste infolge der Vorgange an den einzelnen Propellerblattern unvermeidlich sind, gibt r\a einen oberen Grenzwert an, welcher mit dem wirklichen Wirkungsgrad durch die Beziehung r\ = i,r\a verkniipft ist, wobei der Giitegrad ? einen Erfahrungswert bezeichnet, der fiir gut durchgebildete Propeller etwa 0,85 bis 0,90 betragt. Wird die Stromung durch einen Propeller, wie bisher beschrieben, beschleunigt (1)4 > v\), so handelt es sich um eine Energiezufuhr in die Stromung, wie sie auch bei Ventilatoren, Verdichtern und Pumpen auftritt. c.2) Scheibenformiges Windrad. Soil der Propeller dagegen so arbeiten, daB die Stromung durch ihn verzogert wird (1)4 < v{), so ist dies mit einer Energieentnahme aus der Stromung verbunden. Dieser Fall entspricht dem Windrad und liegt auch bei Turbinen vor. Die erzielbare Leistung (negativer Leistungsaufwand) ergibt sich zu Ps = —vsFs mit Fs nach (3.36b) und 1)4 aus (3.38a) zu

Ps = 2pv\ (l - —)

(—)

AS,

PSmax = ^zPv\As = msv\.

(3.40a, b)

Die maximale Leistung berechnet man aus dPs/dvs = 0 bei vs/v\ = | . Aus den vorstehenden Uberlegungen geht hervor, daB die besprochene einfache Strahltheorie keinen AufschluB iiber den EinfluB der Fliigelzahl und der Profllform der Propellerblatter zu geben vermag. Dazu kommt, daB die Annahme eines drehungsfreien, zylindrischen Strahls, der sich mit einer bestimmten Geschwindigkeit durch das ihn umgebende Fluid bewegen soil, physikalisch nicht voll befriedigend ist. Der wirkliche Charakter des Schraubenstrahls wird klarer beschrieben, wenn man die Wirbelbildung verfolgt, die durch die Bewegung der einzelnen Propellerfliigel bedingt ist. Hierzu wird in Kap. 5.4.3.4, Beispiel b, noch berichtet. 17

Vgl. (3.260a).

208

3.3 Stromfadentheorie dichtebestandiger Fluide

3.3.3 Instationare Fadenstromung eines dichtebestandigen Fluids 3.3.3.1 Voraussetzungen und Annahmen Nachdem bisher in Kap. 3.3.2 nur stationare Stromungen behandelt wurden, sollen jetzt instationare reibungslose Stromungen eines dichtebestandigen Fluids nach der Stromfadentheorie besprochen werden. Nach Kap. 3.3.1 wird ein unelastischer Kontrollfaden zugrunde gelegt, bei dem die Querschnitte A = A(s) normal zur Kontrollfadenachse s liegen. Fur die gleichmaBig iiber die Kontrollfadenquerschnitte verteilten Drticke und Geschwindigkeiten gilt p=p(t,s) bzw. v = v(t,s). Der Kontrollfaden besteht nach Abb. 2.32 a aus der Eintritts- und Austrittsflache A\ bzw. A% sowie der Mantelflache A\^.2. Die Indizes 1 und 2 geben die auf der Kontrollfadenachse raumfest zu haltenden Stellen s\ = const bzw. .$2 = const an. Bei instationaren Fliissigkeitsstromungen mit freien Oberflachen, wie sie in Kap. 3.3.3.3 behandelt werden, kann man die Einfliisse der iiber den Fliissigkeitsspiegeln befindlichen Gase vemachlassigen. Dies fuhrt dazu, daB man die Stellen (1) und (2) in die sich zeitlich andernden Fliissigkeitsspiegel, d. h. s\ = s\(t) bzw. s2 — s2{t) legt. Entsprechend gilt fur den Druck p\ = p$t) und fur die Geschwindigkeit v\ = v\{t). Da neben der Ortskoordinate s auch die Zeit t als unabhangige Veranderliche auftritt, hangen die Losungen sowohl von den (ortlichen) Randbedingungen als auch von den (zeitlichen) Anfangsbedingungen ab.

3.3.3.2 Ausgangsgleichungen der instationaren Fadenstromung Kontinuitatsgleichung. Der von der Zeit t abhangige Volumenstrom V betragt nach (2.55)18

V(t) = v(t, s)A(s) = DI(/)AI = v2(t)A2.

(3.41a, b)

Bei dem angenommenen unelastischen Kontrollfaden stimmt (3.41a, b) formal mit der Beziehung fur die stationare Stromung nach (3.19a, b) iiberein. Bernoullische Energiegleichung.19 Angewendet auf die Stellen (1) und (2) langs der Kontrollfadenachse lautet die Energiegleichung der Fluidmechanik (2.95a, b), vgl. (3.22b), px + pgzx + | u ? = p2 + Pgz2 + | u | + (P/)i-^2-

(3-42)

Der aus der konvektiven Beschleunigung herriihrende Geschwindigkeitsdruck laBt sich unter Beachtung von (3.41b) in der Form ^v22-v$ = ^-aV2 18

mit

fl

= - ! - - !

(3.43a)

Bei V wird auf den Index A verzichtet, vgl. FuBnote 7 (S. 196). Aus Griinden der zweckmaBigeren Darstellung wird die Energiegleichung vor der Impulsgleichung gebracht. 19

3.3.3 Instationare Fadenstromung eines dichtebestandigen Fluids

209

schreiben. Fiir das letzte Glied in (3.42) gilt .

(2)

f dv J p dV (pi)i->2 = P / -z-ds = -b\^2— J dt 2 dt

(2)

. mit

„ f ds bx^2 = 2 ——. J A(s)

(i)

(3.43b)

(i)

Dieser Ausdruck enthalt die lokale Beschleunigung dv/dt und soil Beschleunigungsdruck genannt werden. Unter Einfiihren des Volumenstroms nach (3.41a) mit v(t,s) = V(t)/A(s) gilt dv/dt = d[V(t)/A(s)ydt - [l/A(s)]dV(t)/dt. Bei dieser Darstellung kann die partielle Differentiation d/dt in eine totale Differentiation d/dt iiberfiihrt werden, was eine wesentliche Vereinfachung darstellt. Durch Einfiihren von dv/dt in die Ausgangsgleichung folgt die in (3.43b) angegebene Beziehung. Um die GroBe £>i_>2 zu bestimmen, braucht nur iiber die reziproke Querschnittsverteilung \/A{s) langs des KontroUfadens integriert zu werden. Fur die in (3.42) noch nicht besprochenen Glieder sei geschrieben h = z, - z2 + Pl~P2 (3.43c) Pg als hydraulischer Hone. Diese setzt sich zusammen aus dem Hohenunterschied z\ — i2 der beiden Stellen (1) und (2) sowie einer Druckhohe {p\ — pi)lPg, sofern p\ / p2 ist. Nach Einsetzen der angegebenen Abkiirzungen (3,43a, b, c) in (3.42) erhalt man als Bestimmungsgleichung fiir den Volumenstrom V(t) die Differentialgleichung H = 2gh

mit

., dV aV + » i ^ 2 — = H dt

[H V = \ — (stationar). Va (3.44a, b)

(instationar),

Gl. (3.44a) driickt die Energieerhaltung bei der instationaren Stromung durch einen unelastischen Kontrollfaden aus. Wahrend die GroBen a und b\^,2 ausschlieBlich von geometrischen Daten abhangen, kann H dariiber hinaus noch von den Driicken an den Stellen (1) und (2) beeinfluBt werden. Impulsgleichung. Unter den gemachten Voraussetzungen gilt nach dem Impulssatz die Kraftgleichung (2.83), vgl. (3.20), {pi + pv\)A\ + (p2 + pv2)A2 + (FL)I^2

= FB + (FA)I->2 + Fs- (3.45)

Setzt man mittels der Kontinuitatsgleichung (3.41b) den Volumenstrom V in die von der konvektiven Beschleunigung herriihrenden Glieder ein, dann kann man hierfur p(v2Ai +vJA2) = peV2

e= — +— (3.46a) A\ A2 schreiben. Dabei wurden die Einheitsvektoren der Flachennormalen in der Form A\ — Ai«i bzw. A2 = A2B2 eingefiihrt. Das von der lokalen Beschleunigung dv/dt herriihrende Glied laBt sich wegen dv/dt = (l/A)(dV/dt) in (2)

f dv 2

mit

.

= P j T-Ads = p—-ri-,2 J dt dt (i)

(2)

dV

f mit ri_>2 =

ds J (i)

(3.46b)

210

3.3 Stromfadentheorie dichtebestandiger Fluide

umformen. Es stellt r\^i die Vektordifferenz aus dem Fahrstrahl nach der Stelle (2) und demjenigen nach der Stelle (1) dar, d. h. die vektorielle Verbindungslinie zwischen (2) und (1). Die noch nicht besprochenen Glieder in (3.45) werden zur Kraft F'=FB-

(PIAI

+ piA2) + (FA)^2

+ Fs,

FK = -Fs

(3.46c, d)

zusammengefaBt. Uber die Bedeutung der Krafte FB, (f A)I-+2. FS und FK wurde bereits in Kap. 3.3.2.2 im AnschluB an (3.20) berichtet. Nach Einsetzen der angegebenen Abkiirzungen (3.46a, b) in (3.45) erhalt man die Vektorgleichung F'.

(3.47a)

Sie driickt das Kraftegleichgewicht bei der instationaren Stromung durch einen unelastischen Kontrollfaden aus. Die GroBen e und ri_>2 hangen ahnlich wie a und bi^.2 in (3.44a) von geometrischen Daten ab. Zur Auswertung von (3.47a) miissen V und dV/dt bekannt sein. Die letzte GroBe kann man mittels (3.44a) eliminieren. Dann wird p \eV2 + {H - a V2)*^A

= F',

(3.47b)

wobei in F' die Massenkraft gleich der Schwerkraft ist. Bei stationarer Stromung gilt wegen dV/dt = 0 oder H-aV2 = 0 nach (3.44b) die Beziehung peV2 = F', vgl. (3.20). 3.3.3.3 Anwendungen zur instationaren Fadenstromung An einigen Beispielen von zeitlich veranderlichen Fliissigkeitsstromungen mit freien Oberflachen sei die Anwendung der Stromfadentheorie auf instationare Stromungen gezeigt. Auf die in Kap. 3.3.3.1 liber die Wahl des Kontrollfadens gemachte Bemerkung wird hingewiesen. a) Instationare Bewegung von Fliissigkeitsspiegeln Spiegelgeschwindigkeit. Von besonderem Interesse sind die bei instationaren Fliissigkeitsstromungen an den Spiegelflachen auftretenden zeitlichen Anderungen der Spiegelhiihen und Spiegelgeschwindigkeiten. Dabei kann man grundsatzlich die Stromungen in kommunizierenden GefaBen von den Stromungen in AusfluBgefaBen unterscheiden. Bei einem kommunizierenden GefaB sind nach Abb. 3.16 die Stellen (1) und (2) in die Spiegelflachen der beiden Schenkel zu legen. Die Querschnitte A\, A(s) und A2 sind normal zur Kontrollfadenachse si g s i S2. Die Spiegelflachen sind immer horizontale Niveauflachen. Sind diese nicht normal zur Kontrollfadenachse, so sind sie durch die normal stehenden Flachen zu ersetzen. Wahrend si = 0 und $2 = so die Ruhelage (Beharrungszustand bei t = 0) beschreiben, geben die Strecken si(t) und S2(t) die jeweiligen Spiegellagen mit den

Flachen A(t,si) = A[t,s$t)] = A\(t) und A(f,si) = A[t,S2(t)] = A2(t) an. Sind ds\ und ds2 die zeitlichen Verschiebungen der Spiegelflachen, dann betragen die zugehorigen Spiegelgeschwindigkeiten

v(t,si) = v[t,s\(t)] = vi(t)=ds\/dt=s\

undv(t,S2) = v[t, S2(t)] = vi(t) = ds2/dt = $2. Da das abge-

senkte Volumen im Bereich OS s g si gleich dem hochgehobenen Volumen im Bereich so i s i S2 sein muB, gilt si

n

I A(s)ds=

I A(s)ds,

^2=^0 + ^1 (A = const).

(3.48a, b)

Bei gegebener Querschnittsverteilung A(s) lassen sich die Integrate analytisch oder graphisch auswerten. Aus diesem Ergebnis kann man die Abhangigkeit des Wegs S2 = f(s$ und hieraus wegen A(s) auch diejenige der Flache A2 = Afe) = A2O1) ermitteln. Bei ungeandertem Fadenquerschnitt erhalt man

3.3.3 Instationare Fadenstromung eines dichtebestandigen Fluids

211

Abb. 3.16. Zur Berechnung der instationaren Flussigkeitsbewegung in einem kommunizierenden GefaB (oben offener Kontrollfaden) bei reibungsloser Stromung

Abb. 3.17. Zur Berechnung des zeitlichen AusfluBvorgangs aus einem oben offenen GefaB (AusfluBgefaB) bei reibungsloser Stromung. a Beliebiger GefaBquerschnitt. b Konstanter GefaBquerschnitt (zylindrisch) aus (3.48a) die einfache Beziehung (3.48b), wobei so eine Konstante ist. Da das GefaB an den beiden Stellen (1) und (2) offen sein soil, ist p\ = p2 gleich dem Atmospharendruck, was nach (3.43c) zu h = h(s\) = i\ - z2 fiihrt. Bei einem AusfluBgefaB nach Abb. 3.17 ist die Stelle (1) in die Spiegelflache und die Stelle (2) in die AusfluBoffnung zu legen. Es ist also wahrend des AusfluBvorgangs s\ = s\ (f) und S2 = const. Die nachfolgenden Ausfiihrungen gelten unter jeweiliger Beachtung der aufgezeigten Besonderheiten fur die beiden in Abb. 3.16 und 3.17 dargestellten Falle. Fiihrt man (3.41b) in (3.44a) ein, dann erhalt man je eine Bestimmungsgleichung fur die Geschwindigkeit v$t) oder V2(t). Im folgenden sei nur die Gleichung fur die Stelle s\ (t) angeschrieben, wahrend sich die Gleichung fur die Stelle xf(f) in entsprechender Weise durch Auswechseln der Indizes angeben laBt. Beim GefaBausfluB gilt die letzte Aussage wegen S2 = const nicht. Wegen V(t) = v\(t)A\(t) = viA\ mit v\ = t>i(f) = ds\/dt = s\ sowie dvi/dt = d1s\/dt2 = s\ gilt fur den Volumenstrom (Volumen/Zeit) bzw. fiir die zeitliche Anderung des Volumenstroms, vgl. [79], . . .

: Alii = Al«l,

dV

— = dt

dAx .2

Ai d(v$ dAi

2 vf.

+ —— sf = —-—-*- +ds\——

212

3.3 Stromfadentheorie dichtebestandiger Fluide

Nach Einsetzen von V und dV/dt in (3.44a) erhalt man zur Ermittlung der Spiegellage z$l) zwei Darstellungen der Bestimmungsgleichung jfi + i c(ji)s? + i d(S[)=0, 1

L

^^-+c(sl)v2l+d(sl)=0. ds\

(3.49a,b)

Dabei werden gemaB (3.43a, b, c) mit pl = p2 die neuen Abkiirzungen J

c(si) =

/ A \ 2 OJ0,,b)

L(si)

mit der rechnerischen Lange des Flussigkeitsfadens zwischen den Stellen (1) und (2) (2) ()

ds L(si) = {Axbx^2 =Jf 4k Ms) (l)

eingefiihrt. 1st wie in Abb. 3.16 und 3.17a die Querschnittsverteilung A(s)/A\ £ 1, dann wird L(si) 5 S2—s\. Bei konstantem Kontrollfadenquerschnitt A(s) = A\ = A2 wird L{s$ = S2 — s\ gleich der tatsachlichen Lange des Flussigkeitsfadens. In diesem Fall ist weiterhin c = 0 und d = —2gh/L. Gl. (3.49a) ist eine nichtlineare Differentialgleichung zweiter Ordnung fiir die Spiegellage si(t), wahrend (3.49b) eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung fiir das Quadrat der Geschwindigkeit v$s$ ist.20 Auf das bemerkenswerte Ergebnis, daB die Dichte der Fliissigkeit keine Rolle spielt, d. h. die Bestimmungsgleichung (3.49a, b) fiir beliebige Fliissigkeiten gilt, sei hingewiesen. Die allgemeine Losung der Differentialgleichung (3.49b) lautet v\ = \c - Id expf / cdsi ) ds\ • exp ( - / cds\ ) , L

J

\"

/

J

\

J

(3.51)

J

wobei sich die Integrationskonstante C z. B. aus der Anfangsbedingung bestimmt, wenn fiir die Ruhelage s\ = 0 die Geschwindigkeit v\ bekannt ist. Nimmt man an, daB der Stromungsvorgang aus der Ruhe heraus erfolgt, so erhalt man mit v\ = s\ = 0 nach (3.49a) die Anfangsbeschleunigung (dvi/dt)o = gh(s\ = O)/L(s\ = 0). Sie ist bei einem AusfluBgefaB nach unten gerichtet. Bei der GefaBform mit beliebigem GefaBquerschnitt nach Abb. 3.17a oder nach 3.17b mit konstantem GefaBquerschnitt gilt wegen h(s\ = 0) g L(s\ = 0) fiir die Anfangsbeschleunigung (dv\/dt)o g gSpiegelhohe. Die Lage des Fliissigkeitsspiegels an der Stelle (1) in Abhangigkeit von der Zeit t wird durch Angabe der Funktion s$t) beschrieben. Sie laBt sich unmittelbar aus (3.49a) berechnen. Aus s\(t) ergibt sich aufgrund der gegebenen Geometrie die Hochlage des Spiegels z\(t). Kennt man als Losung von (3.49a) die Spiegelgeschwindigkeit v\(t) = s\ = ds\/dt, so kann man durch Trennung der Veranderlichen ds\ = v\ (t) dt die Integration sofort ausfiihren und gelangt zu dem Ergebnis n

si(h)= I = / vi(t)dt, vi(t)dt,

*i

zi(0 = z o0 - / cos8(s)ds,

(3.52a, b)

wobei die zweite Beziehung durch Einfiihren des Neigungswinkels &(s) der KontroUfadenachse i gegen die Vertikale z nach Abb. 3.16 folgt. Bei einem ungekriimmten Faden, wie er z. B. beim AusfluBgefaB nach Abb. 3.17 vorliegt, ist S(s) = 0 und damit zi = zo — s\ mit s\ nach (3.52a). Dies Ergebnis bestatigt man sofort, wenn man die Beziehung dz\ = —ds\ integriert. Ist die Geschwindigkeit als Losung von (3.49b) oder (3.51) mit v\(s$ = ds\/dt gegeben, dann laBt sich der Zusammenhang von Ort und Zeit durch Integration der Beziehung dsi/vi(s\) = dt gewinnen. Instationare Krafte. Von weiterem Interesse ist hauflg auch die Kenntnis der Krafte, die bei der instationaren Bewegung auf die Mantelflache eines fliissigkeitsgefullten GefaBes ausgeiibt werden. Zu ihrer Berechnung stehen (3.47a, b) zur Verfiigung. Wird der Volumenstrom V gemaB (3.41b) durch die Spiegelgeschwindigkeit v\ = V/A\ ausgedriickt, und fiihrt man die bereits definierten Funktionen a, e, 20

Es stellt v\/2 die auf die Masse bezogene kinetische Energie am Ort der Spiegelflache (1) dar.

3.3.3 Instationare Fadenstromung eines dichtebestandigen Fluids

213

bi^2, n->2, H sowie L ein, so erhalt man mit (3.47b) die in (3.46c) beschriebene Kraft

In dieser Beziehung kommen neben der konstanten Dichte der Fliissigkeit p und der Fallbeschleunigung g an geometrischen GroBen die Querschnittsflachen A\ und Aj, mit ihren Einheitsvektoren n\ — A\/A\ und «2 = A2/A2, die hydraulische Hohe h(s\) nach (3.43c), die rechnerische Lange des Fliissigkeitsfadens L nach (3.50c) sowie der Fahrstrahl ri_>.2 von der Stelle (1) zur Stelle (2) nach Abb. 3.16 vor. Weiterhin benotigt man zur Auswertung die Kenntnis der Spiegelgeschwindigkeit v\ = s\ nach (3.49). In F' ist entsprechend (3.46c) die gesuchte Kraft enthalten. Nach Abb. 3.16 stellt die Mantelflache des Kontrollfadens eine feste Begrenzung dar. Dies bedeutet, daB die Kraft (F,i)i^2 = Cs)i->2 als Teil der Stiitzkraft in Fs enthalten ist. Nach dem Wechselwirkungsgesetz (3.46d) ist die von der Fliissigkeit auf die innere Wandung des GefaBes ubertragene Kraft F, = FK = —Fs- Fur die Driicke soil angenommen werden, daB sie gleich dem Atmospharendruck sind, d. h. p\ = P2 ist. Die Druckkraft auf die auBere Wandung des GefaBes ist Fa = p\(A\ +A2). Die resultierende Kraft auf das GefaB betragt also mit F' nach (3.53) Fr = Ft +Fa=FB-F',

F =Fr-FB=-F'

(FB = const).

(3.54a, b)

Die zweite Beziehung stellt die vom instationaren Stromungsvorgang hervorgerufene Reaktionskraft dar, wenn, wie z. B. bei einem kommunizierenden GefaB die Schwerkraft F g unverandert ist, vgl. [80]. b) Schwingung einer Fliissigkeit in einem kommunizierenden Gefafi bei reibungsloser Stromung b.l) Geneigte Schenkel. In einem nach Abb. 3.18a gebogenen Rohr von konstantem Querschnitt A, dessen oben offene Schenkel gegen die Vertikale um die Winkel Si < n/2 bzw. 82 > n/2 geneigt sind, befinde sich eine reibungslose Fliissigkeit zunachst in Ruhe. Dann steht die Fliissigkeit nach dem Gesetz der kommunizierenden Rohren in beiden Rohrschenkeln gleich hoch, s\ = 0. Denkt man sich das Gleichgewicht durch irgendeine auBere Ursache voriibergehend gestort, so fiihrt die Fliissigkeit nach Fortfall der Stoning unter der Wirkung der Schwere im Rohr Schwingungen aus. Es liegt somit der Fall einer instationaren Stromung vor. Zur Berechnung der Spiegelbewegung empfiehlt sich (3.49a). Bezeichnet man die Lage der linken Spiegelflache mit (1) und die Lage der rechten Spiegelflache mit (2), dann erhalt man mit A\ = A2 = A nach (3.50c) die Lange des Fliissigkeitsfadens zu L{s\) = S2 — s\ = so = const. Sofern sich die Fliissigkeitsspiegel oberhalb des gekriimmten Teils des Rohrs befinden, betragt der Spiegelunterschied h(s\) = z\ — zi = — (cos<5i — cos 82)^1, vgl. (3.52b). GemaB (3.50a, b) ist weiterhin c(s\) = 0 und d(s\) = (2g/L)(cos8\ — cos82)^1. Mithin wird g i'l + — (cos 8\ — cos 82)^1 = 0, si = ii max sin(&)«). (3.55a, b) was einer harmonischen Schwingung entspricht. Mit si = 0 fiir r = 0 und mit co=y/(g/L)(cos8i — cos 82) als Kreisfrequenz der ungedampften Schwingung beschreibt s\ (t) die zeitabhangige Spiegellage, wobei simax den groBten Ausschlag gegeniiber der Ruhelage z = ZQ angibt. Fiir die Dauer einer vollen Schwingung (Zeit zwischen zwei Durchgangen in gleicher Richtung) erhalt man die Schwingdauer T = — =2TTJ , a V g(co&8 -cos<5 2 )

7 = 271-./— *'"-

(U-Rohr),

(3.56a, b)

wahrend T' = T/A die Zeit zwischen dem groBten Ausschlag s\ m a x und dem Nulldurchgang z = ZQ bedeutet. Die Spiegelgeschwindigkeit v\ = s\ findet man in bekannter Weise aus (3.55b) durch Differentiation nach der Zeit t. Theoretisch wiirde die von der Dichte der schwingenden Fliissigkeit unabhangige Bewegung unendlich lange andauern. Tatsachlich wird sie jedoch bei reibungsbehafteter Stromung infolge der fluidmechanischen Reibungsverluste gedampft, so daB die Fliissigkeit nach einiger Zeit im Rohr wieder zur Ruhe gelangt, vgl. Kap. 3.4.5.3, Beispiel b. b.2) U-Rohr. Fiir 8\ = 0 und 82 = 71 geht das Rohr nach Abb. 3.18b in ein Rohr mit parallel nach oben gerichteten Schenkeln iiber. Die Spiegelbewegung und Spiegelgeschwindigkeit erhalt man aus (3.55b) zu si = ii m a x sin(wf) bzw. v\ = u> s 1 max cos(&rf) mit a> = sjig /L = In IT. Nachstehend soil die beim Schwingungsvorgang nach (3.54b) auftretende instationare Reaktionskraft (ohne die Schwerkraft Fg = const) berechnet werden. Diese besteht aus einer horizontalen und einer vertikalen Komponente, Fx bzw. Fz. Folgende GroBen treten neben v\ bei der Auswertung von (3.53) auf: die Rohrquerschnitte A\ = A2 = A, die zugehorigen Einheitsvektoren der Flachennormalen n\ = nj, die hydraulische Hohe h = —2s\, die Lange des Fliissigkeitsfadens L sowie die Komponenten des Fahrstrahls ri_>2 in*- und zRichtung rx = I bzw. rz = 2si. Die gesamte Masse der schwingenden Fliissigkeit betragt m = pAL mit

214

3.3 Stromfadentheorie dichtebestandiger Fluide

Abb. 3.18. Zur Berechnung einer schwingenden Flussigkeit in kommunizierenden GefaBen bei reibungsloser Stromung. a Rohr mit geneigten Schenkeln. b U-Rohr

L als Lange des Fliissigkeitsfadens. Mit mx = pAl werde die horizontal schwingende Masse bezeichnet. Nach Einsetzen in (3.53) und anschlieBend in (3.54b) wird nach Umformung, vgl. [80],

Fx = 2gmxksin [ In —

Fz = —Agmk cos ( 4jr —

(3.57a, b) 2

Dabei wurde die Abkiirzung k = slmax/L und T = 2n/w nach (3.56b) eingefiihrt. Die horizontale Kraftkomponente Fx andert sich in gleicher Weise wie die Schwingung des Fliissigkeitsspiegels s\(t). Sie verschwindet beim Durchgang durch die Nullage t = 0, t = T/2, t = T usw. Die vertikale Kraftkomponente Fz wirkt beim Durchgang durch die Nullage immer mit der GroBe Fzo = -4mgk2 nach unten. Bei den maximalen negativen oder positiven Ausschlagen bei t = T/4, t = \T USW. ist sie in gleicher Starke nach oben gerichtet. Die Kraft Fz verschwindet bei t = T/S, t = | T USW., vgl. [80]. Der Schwerpunkt der gesamten schwingenden Fliissigkeitsmasse m = pAL bewegt sich nach Abb. 3.18b auf einer Parabel mit den Koordinaten x's = (l/L)s\ und z's = z'so + (1/L)s 2 mit z's0 als Hochlage im Ruhezustand (si = 0). Die Richtigkeit dieser Angabe findet man, wenn man Fx = — mx's und Fz = —m'i's bildet und mit (3.57c,d) vergleicht. c) Instationarer Ausflufi aus einem Gefafi. Das nach Abb. 3.17a beliebig gestaltete oben offene GefaB sei mit einer Flussigkeit gefiillt, deren Spiegel anfangs (Zustand der Ruhe zur Zeit ( = 0) um die Hohe z = zo iiber der AusfluBoffnung bei z = Z2 = 0 liegt. Nach plotzlicher Offnung des Bodenabflusses A2 tritt eine instationare, nach Voraussetzung reibungslose StrSmung ein, in deren Verlauf der Spiegel sinkt. Zur Zeit t\ habe er die Hohe z = zf iiber der AusfluBoffnung erreicht, wobei der von ihm erfilllte GefaBquerschnitt Ai ist. Dort herrsche die mittlere Spiegelgeschwindigkeit v\, wahrend V2 die zugehorige AusfluBgeschwindigkeit bezeichnet. Wirkt auf den freien Spiegel der auBere Atmospharendruck p\ und erfolgt der AusfluB ins Freie, so gilt pi = p\Zur Ermittlung der Spiegelgeschwindigkeit geht man von (3.51) aus, wobei man die Integrationsveranderliche durch s\ =ZQ-Z\ bzw. ds\ = -dz\ ersetzt. Die Funktionen c(zi), d{z\) und L{z\) lassen sich nach (3.50a, b, c) bei bekannter GefaBform A{z\) angeben. Fiir ein GefaB mit konstantem Querschnitt (z. B. zylindrisches GefaB) nach Abb. 3.17b, d. h. mit A(z\) = A\ = const, wird L(z\) = z\, c(zi) = (a2 — l)/zj mit dem Flachenverhaltnis a = A1/A2 = const und d(z\) = - 2 g = const. Mit diesen GroBen sowie der Anfangsbedingung fiir das plotzliche Offnen mit v\ = 0 und z\ = ZQ liefert 21

Durch Anwendung der Impulsgleichung F = -d(mv)/dt findet man fiir die Kraftkomponenten in xund z- Richtung mit mxvx = pAlv\ bzw. mzvz = 2pAsiV\ die Beziehungen Fx = -pAli>i,

Fz = -2pA{s\V\ + v\).

Durch Einsetzen der Werte fUr s\, V\ und 1)1 bestatigt man das Ergebnis von (3.57a, b).

(3.57c, d)

3.3.3 Instationare Fadenstromung eines dichtebestandigen Fluids

215

die Auswertung der Integrate in (3.51) fur die Spiegelgeschwindigkeit vi = v(z\) bzw. den Volumenstrom Vt = V{z\) a2-2

1-

—

, Vi = ui Ai

(instationar).

(3.58a, b)

Nach Abb. 3.17b bedeutet Az = ZQ — z\ die Absenkung des Fliissigkeitsspiegels nach einer bestimmten Zeit t\. In Abb. 3.19a ist die GroBe v\/2gz$ iiber Az/zomitO < AilA\ ^ 1,0 als Parameter als ausgezogene Kurve aufgetragen. Sie stellt das Verhaltnis der kinetischen Energie v\/2 bei einem bestimmten Zeitpunkt zur potentiellen Energie des Ausgangszustands gzo dar. Wie zu erwarten war, nimmt die Geschwindigkeit v\ beim instationaren AusfluBvorgang vom Wert null bei z\ = ZQ bzw. Az = 0 ausgehend mit groBer werdender Absenkung Az > 0 zu, erreicht einen Hochstwert und fallt bis zur Beendigung des AusfluBvorgangs bei zi = 0 bzw. Az = zo wieder auf den Wert null ab. Die Maximalwerte von (v^/2gzo)max stellen jeweils Zustande dar, bei denen die Beschleunigung der Spiegelbewegung in eine Verzogerung ubergeht. Eine haufig benutzte Naherung stellt der quasistationare AusfluBvorgang dar. Man nimmt an, daB die Stromung in jedem Augenblick als naherungsweise stationar betrachtet werden kann, d. h. man vernachlassigt die lokale Beschleunigung dv/dt = 0. Dies driickt sich in (3.49b) durch Fortfall des ersten Glieds aus. Mithin erhalt man wegen v\ = —d(zi)/c(z\) die auch ftir GefaBe mit veranderlichen Querschnittsflachen A\ = A(z\) geltende Beziehung

t ^2gZx

(A IA \\2 - 1 ^

(q u a s i s t a t i o n a r )-

(3.59a, b)

Die letzte Beziehung gilt fur A2 •C A\. Diesen Fall kann man als pseudo-quasistationaren AusfluBvorgang bezeichnen. Er stimmt wegen v\A\ = V2A2 formal mit der Torricellischen AusfluBformel (3.28b) fiir stationare Stromung iiberein. Die Ergebnisse nach (3.59a, b) sind in Abb. 3.19a auch fur die nach Voraussetzung nicht zulassigen groBen Flachenverhaltnisse A2IA\ in der Form v\/2gzo als strichpunktierte bzw. gestrichelte Geraden miteingetragen. In beiden Fallen erhoht sich die Geschwindigkeit Vi nach Beginn des Offhens bei Az = 0 sprunghaft auf den Wert des stationaren AusfluBvorgangs und nimmt dann stetig bis auf den Wert v\ = 0 bei Beendigung des AusfluBvorgangs bei Az = ZQ ab. Dies Ergebnis steht bei mittleren und groBeren Flachenverhaltnissen A2/A1 in krassem Widerspruch zu der exakten Losung nach (3.58). Eine ausfiihrliche Diskussion dieses Sachverhalts findet man in [79]. Die AusfluBzeit t\ =t{z\) erhalt man aus der Beziehung fiir die Spiegelabsenkung v\ = —dz\/dt, d. h. mit dt = —dzi/v(z\) zu z

o

J_ f

dzi

(Al/Al

« 1).

(3.60a, b)

A2 J Fiir die Geschwindigkeit v(z\) = v\ wird der nach (3.59b) fiir ein sehr kleines Querschnittsverhaltnis giiltige Ausdruck eingesetzt. Da, wie schon friiher in Abschnitt a gezeigt wurde, die Spiegelgeschwindigkeit nicht von der Dichte des Fluids abhangt, gelten die Beziehungen zur Berechnung der AusfluBzeit fiir beliebige Fliissigkeiten. Fiir ein GefaB mit konstantem Querschnitt A(zi) = A\ = const erhalt man nach Ausfiihren der Integration in (3.60b)

F)\^> z o/ V 8

-

^

/ M\

( ^ i D

(3.61a,b)

g

Die Entleerungszeit (maximale AusfluBzeit) fmax ergibt sich nach (3.61b) fur z\ = 0. In Abb. 3.19b ist tmax/\/2zQ/g

uber dem Querschnittsverhaltnis A2/A1 bei dem zugrunde gelegten pseudoquasista-

tionaren AusfluBvorgang als gestrichelte Kurve aufgetragen. Von besonderem Interesse ist jedoch die Kenntnis der tatsachlichen Entleerungszeit des instationaren AusfluBvorgangs, vgl. [79]. Das Ergebnis ist in Abb. 3.19b als ausgezogene Kurve dargestellt. Trotz der sehr verschiedenen Abhangigkeiten von v\ = / ( A z ) nach Abb. 3.19a stimmen die Entleerungszeit fiir verschiedene Werte 0 < A2IA\ g 1 nahezu iiberein. SchlieBlich ist auch der quasistationare AusfluB als strichpunktierte Kurve wiedergegeben. Bei A2IA\ = 1 wird das GefaB nach dem Offnen ohne Zeitverlust entleert, was bedeutet, daB sich bei groBen Flachenverhaltnissen grundsatzliche Unterschiede gegeniiber der exakten Losung ergeben. Obwohl (3.60b) zwei einschneidende Annahmen (vernachlassigte lokale Beschleunigung, kleine Spiegelgeschwindigkeit im GefaB) enthalt, gibt sie die Entleerungszeit fiir alle Werte 0 < A2IA\ g 1 recht gut wieder. Wie stark sich jedoch die unterschiedlichen Geschwindigkeitsgesetze auf den zeitlichen Verlauf des AusfluBvorgangs auswirken, geht aus Abb. 3.19c hervor. Dort ist die exakte AusfluBzeit ti/tmax iiber der Spiegelabsenkung

216

3.3 Stromfadentheorie dichtebestandiger Fluide

l.Oy/ / 'Ofr?/

A2/ArO

0

0,2

0,2 1

V UP us

0.6

IArO

M

[

0.4

0.8

t

Jo.2

A \

T "^ 1

11 \_Jo)4

2- —

1

1.0

-

S

A

1.0 0,2

0.4

0,6

0,8

w

o

0.2

d

0.4 Az/z-

1

0.6

0.8

W

Abb. 3.19. Instationarer AusfluB aus einem GefaB mit konstantem Querschnitt nach Abb. 3.17b bei reibungsloser Stromung. instationare Bewegung (dv/dt ^ 0), - . - . quasistationare Bewegung

(dv/dt = 0),

pseudo-quasistationare Bewegung (dv/dt = 0, v\
v\/2gzQ in Abhangigkeit von der Spiegelabsenkung Az/zo fiir verschiedene Querschnittsverhaltnisse 0 < A2/A\ :£ 1,0. b Entleerungszeit tm3X/J2z0/g in Abhangigkeit vom Querschnittsverhaltnis ^ 2 / ^ 1 c AusfluBzeiten ri/«max in Abhangigkeit von der Spiegelabsenkung Az/zo fur verschiedene Querschnittsverhaltnisse A2/A1. d Reaktionskraft Fr/FrQ in Abhangigkeit von der Spiegelabsenkung AZ/ZQ fiir verschiedene Querschnittsverhaltnisse A2/A1

Az/zo m it A2/A1 als Parameter dargestellt. Die Untersuchung zeigt, daB man mit (3.61a) rechnen kann, solange A2/A1 < 0,2 ist. Im folgenden soil noch die beim instationaren AusfluBvorgang auftretende RuCkstoBkraft berechnet werden. Dabei wird die Untersuchung wieder auf GefaBe mit konstantem Querschnitt beschrankt. Aus Symmetriegriinden tritt keine horizontale Kraftkomponente in x-Richtung auf. Mit den in (3.53) in vertikaler Richtung (z-Richtung) auftretenden GroBen n\ = 1,712 = — 1, L = h = z\ und rz = —z\ sowie FBZ = FB = —pgA\z\ erhalt man aus (3.54a) die vertikale Kraftkomponente in z-Richtung Frz = Fr. Sie ist zugleich die am GefaB beim AusfluBvorgang angreifende resultierende Kraft (einschliefilich der zeitveranderlichen Schwerkraft FB)- Nach Einfiihren des Volumenstroms V = v\A\ nach (3.41b) sowie der Abkiirzung a = A1/A2 folgt nach kurzer Zwischenrechnung

= FB<0

(A2/Ai

1),

(3.62a, b)

3.4.1 Einfuhrung

217

wobei die zweite Beziehung fiir ein sehr kleines Querschnittsverhaltnis (u » 1) mit V «* A 2 d2gzl nach (3.59b) gilt. Hiernach entspricht Fr, wie zu erwarten war, der Schwerkraft Fg der im GefaB befindlichen Masse. Wegen Fr < 0 wirkt die resultierende Kraft immer nach unten. Das Verhaltnis der resultierenden Krafte bei instationarem und stationarem AusfluBvorgang (Index 0) betragt mit V = v\A\ nach (3.58) und Vb nach (3.29a) mit /x* = 1 und z\ = ZQ

A Fro

=

(Y\2^Izll

f^Y2-2} i i , fi (±

\V0J

\zoj

2

a -2[

J z0

z0 \Ai

<

,).

(3.63a,b)22

)

Es hangt Fr(t)/Fro bei vorgegebenem Querschnittsverhaltnis AilA\ = I / a nur vom Verhaltnis der Fliissigkeitshohen zi(/)/zo ab. Letzteres kann der Abb. 3.19c in Verbindung mit Abb. 3.19b entnommen werden. In Abb. 3.19d ist Fr/Fro iiber Az/zo = (zo — zi)/zo mit A2/A1 als Parameter dargestellt. Sowohl bei AZ/ZQ = 0 (Beginn des Offnens) als auch bei Az/zo = 1,0 (vollstandig entleertes GefaB) wird Fr/Fro = 0. Zum Zeitpunkt des plotzlichen Offnens (t = 0) andert sich die resultierende Kraft sprunghaft, derart, daB kurzfristig Fr null wird. Durch die instationare Stromung wird die Schwerkraft FB zunachst bei ( = 0 vollstandig und dann anschlieBend bei t > 0 zu einem groBer werdenden Anteil aufgehoben. Fiir den Grenzfall A2IA\ -»• 0 nimmt Fr -> FB wahrend des AusfluBvorgangs linear mit der Spiegelabsenkung ab. Weitere Beispiele iiber Krafte bei instationaren Flussigkeitsbewegungen in oben offenen GefaBen werden in [80] mitgeteilt.

3.4 Stromung dichtebestandiger Fluide in Rohrleitungen (Rohrhydraulik) 3.4.1 Einfuhrung Allgemeines. Rohrleitungen dienen dem geregelten Transport von Stoff oder Energie. Sie werden nach dem stromenden Stoff (Fluid) als Wasser-, O1-, Dampf- oder Gasleitung oder nach dem Druck des Stromungsmittels als Druck-, Saug-, Hochdruck- oder Niederdruckleitung bezeichnet. Beim Durchstromen von Rohrleitungssystemen setzt sich ein Teil der mechanischen Stromungsenergie in andere Energieformen (Warme, Schall) um; geht also fiir den mechanischen Stromungsvorgang verloren. Solche Verluste an fluidmechanischer Energie sind im wesentlichen durch Reibungseinfliisse bedingt. In Tab. 3.1 ist ein Uberblick iiber die moglichen Energieverluste gegeben, welche an der eigentlichen Rohrleitung durch die innere Rohrwand, an den Rohrverbindungen (Formstiicke) durch Querschnittsanderung (Verengung, Erweiterung), Richtungsanderung (Umlenkung) und Verzweigung (Trennung, Vereinigung) sowie an den Rohrleitungselementen (Armaturen) durch Blenden (Drosselscheiben), Stromdurchlasse (Siebe, Gitter) und Rohrleitungsschalter (Regel-, Drossel-, Absperrorgan) auftreten konnen. Da durch eine in das Rohrleitungssystem eingebaute energieverbrauchende Stromungsmaschine (Turbine) fluidmechanische Energie verlorengeht, kann auch die Turbinenarbeit als Verlust in obigem Sinn aufgefaBt werden. Entsprechend bringt eine eingebaute energiezufiihrende Stromungsmaschine (Pumpe) einen 22

Fro ist in Ubereinstimmung mit (3.30b), wenn man beachtet, daB in z-Richtung Fro = = -pgA\z0 und 2gz 0 = [1 - (A 2 /Ai) 2 ]t) 2 ist.

3.4 Stromung dichtebestandiger Fluide in Rohrleitungen (Rohrhydraulik)

218

Tabelle 3.1. tjbersicht iiber mogliche fluidmechanische Energieverluste in Rohrleitungssystemen Bezeichnung

Index N

Rohrleitungsteil

Stromungsverhalten

Rohrstromung

R

geradlinig verlaufendes langes Rohr Rohrquerschnitt: kreis-, nichtkreisformig, ebener Spalt

Wandreibung (Haftbedingung), vollausgebildetes Geschwindigkeitsprofil (laminar, turbulent), Oberflache (glatt, rauh)

Rohreinlaufstromung

L

geradlinig verlaufendes Rohr (ebener Spalt) an Behalter angeschlossen: Rohreinlaufstrecke

Entwicklung des Geschwindigkeitsproflls vom RohranschluB (gleichmaBig) bis Beendigung der Beschleunigung der reibungslosen Kernstromung (vollausgebildet)

Rohrquerschnittsanderung

S

plotzliche Rohrerweiterung: Stufendiffusor (Stofidiffusor)

unstetige Stromerweiterung (Vermischung, Wirbelbildung)

A

offenes Rohrende (Austritt)

Strahlaustritt ins Freie (Sprungubergang)

D,DA

allmahliche Rohrerweiterung: Ubergangs-, Austrittsdiffusor

divergente Stromquerschnittsanderung (verzogerte Stromung, Gefahr der Stromungsablosung)

C,CA

allmahliche Rohrverengung: Ubergangs-, Austrittsdiise

konvergente Stromquerschnittsanderung (beschleunigte Stromung, keine Stromungsablosung)

V

plotzliche Rohrverengung Stufendiise Blende: Drosselscheibe

unstetige Stromverengung (Strahleinschniirung = Kontraktion mit anschlieBender Stromerweiterung

E

Ansatzrohr an einem Behalter (Eintritt) Rohransatzoffnung: scharf, abgenindet

Stromeintritt (Sprungiibergang), Rohreintrittsstromung (Entstehung des Geschwindigkeitsprofils im Eintrittsquerschnitt)

K U

Rohrkrurraner: Bogen, Knie, Segmentbogen (Rriimmungsverhaltnis, Kriimmerwinkel) Ubergangskrummer, Kriimmer mit anschlieBender Ablaufstrecke, Einbau von Umlenkschaufeln

schraubenformige Stromumlenkung (Sekundarstromung) gestorte Ablaufstromung

Rohrtrennung, Rohrvereinigung: VerzweigstUck (Verzweigwinkel, Querschnittsverhaltnis)

Stromtrennung, Stromvereinigung (Gegenstrom Gleichstrom Volumenstromverhaltnis)

energieverbrauchend: Turbine (Index T) energiezufiihrend: Pumpe (Index P)

Fallhohe = Verlust an fluidmechanischer Energie Forderhohe = Gewinn an fluidmechanischer Energie = negativer Verlust

VC, VS

Rohrrichtungsanderung

Rohrverzweigung

z

Stromungsmaschine

M

(0; 1, 2)

Verbesserung des Stromungsverhaltens

3.4.2 Grundlagen der Rohrhydraulik

219

Gewinn, d. h. einen negativen Verlust an fluidmechanischer Energie.23 Die einzelnen Rohrleitungsteile seien als starre (unelastische) Korper gegeben. Im Gegensatz zur Gerinnestromung in Kap. 3.5 soil bei der Rohrstromung das Rohrleitungssystem stets vollstandig gefiillt sein. Das umfangreiche Aufgabengebiet, welches sich mit den stromungstechnischen Problemen in Rohrleitungssystemen unter Beriicksichtigung der genannten fluidmechanischen Verluste befaBt, bezeichnet man als Rohrhydraulik.24 Stromungsverhalten. Gegeniiber der in Kap. 3.3 behandelten reibungslosen Fadenstromung ist bei der Rohrstromung auch der ReibungseinfluB zu beriicksichtigen. Dieser driickt sich durch das Auftreten von Reibungsspannungen (vomehmlich Schubspannungen) im stromenden Fluid und an den begrenzenden festen Wanden sowie als Folge hiervon durch ungleichmaBige Geschwindigkeitsprofile iiber die Stromungsquerschnitte aus. Dies soil durch entsprechende Erweiterungen der Beziehungen fiir die Stromfadentheorie in Kap. 3.3 erfolgen, wobei entsprechend Kap. 1.3.3.2 zwischen laminarer und turbulenter Stromung zu unterscheiden ist. Auch die Wandbeschaffenheit der durchstromten Rohrteile (glatt, rauh) kann den Stromungsvorgang erheblich beeinflussen. Die Rohrstromung la'Bt sich als stationare oder gegebenenfalls instationare quasieindimensionale Stromung beschreiben, wobei in diesem Kapitel ein dichtebestandiges Fluid vorausgesetzt wird. Mit der Rohrstromung dichteveranderlicher Fluide befaBt sich Kap. 4.4.

3.4.2 Grundlagen der Rohrhydraulik

3.4.2.1 tiber Stromungsquerschnitt gemittelte StromungsgroBen (Mittelwerte) Infolge des Reibungseinflusses kommen die Fluidelemente an der Wand zum Stillstand (Haftbedingung), was eine iiber den Stromungsquerschnitt ungleichmaBiges Geschwindigkeitsprofil zur Folge hat. Um den Stromungsvorgang quasieindimensional beschreiben zu konnen, ist fiir die Geschwindigkeit v, den Druck p und die Hochlage z mit bestimmten Mittelwerten iiber den Querschnitt A zu rechnen. Dabei werden neben der mittleren Geschwindigkeit vm, dem mittleren Druck pm und der mittleren Hochlage insbesonders bestimmte Geschwindigkeitsausgleichwerte fur den Impuls- und Energiestrom eingefiihrt. Mittlere Geschwindigkeit. Die mittlere Geschwindigkeit vm ist entsprechend (3.41a) als das Verhaltnis von Volumenstrom V und Stromungsquerschnitt A, d. h 23 Bei Stromungsmaschinen unterscheidet man entsprechend der Richtung der fluidmechanischen Energieiibertragung haufig in Leistung abgebende Kraftmaschinen (Turbine) und in Leistung aufnehmende Arbeitsmaschinen (Pumpe). Vom Standpunkt der Mechanik aus gesehen erscheinen die Bezeichnungen Kraft- bzw. Arbeitsmaschine nicht sinnvoll, da Kraft und Arbeit (= Kraft x Weg) keine grundsatzlichen Unterschiede sind. Einschlagiges in Buchform erschienenes Schrifttum ist in der Bibliographic (Abschnitt D.2a) am SchluB des Bandes II zusammengestellt.

3.4 Stromung dichtebestandiger Fluide in Rohrleitungen (Rohrhydraulik)

220

Tabelle 3.2. Stromungsquerschnitt mit ungleichmaBigem Geschwindigkeits- und Druckprofil Mittelwertbildung, a = Energiebeiwert, jS = Impulsbeiwert V =

vdA = vmA

(A)

a

Volumenstrom

1 f vm = — / vdA (A)

f dv

P

dvm dA = p A

J Tt

^T

(A)

b

Impulsstrom

J(p + pv2) dA = (pm + Ppv2m)A (A)

p= ^-jv2dA
Pm = \-fpdA, AJ (A)

(A)

pfJ d\dA dt w H

c

Energiestrom

P d( - ^A 2 dt

^ ^ dt

2 [

+

^ ] y r dt J

j (p + pgz + ^v2} v dA = {j>m + pgzm+a^v2m^V (A)

Pm =

7 / pvdA,zm vmA J (A)

=

/ zvdA, vmA J (A)

a = - r - - / v3dA v^A J (A)

vm = V/A, definiert, vgl. FuBnote 7 (S. 196). Dabei ergibt sich der Volumenstrom durch Integration der iiber den Querschnitt verschieden stark herrschenden Volumenstrome dV = v dA, vgl. Tab. 3.2a.25 Mittlerer Impulsstrom. Ausgangspunkt ist die Impulsgleichung (3.45) mit der entsprechenden Erweiterung auf die iiber den Querschnitt A ungleichmaBig verteilten Geschwindigkeiten v und Driicke p. Fiir den von der lokalen Beschleunigung dv/dt herriihrenden Anteil sowie fiir den totalen Impulsstrom sind die Beziehungen in Tab. 3.2b zusammengestellt. Man nennt /? den Impulsbeiwert25 Mittlerer Energiestrom. Ausgangspunkt ist die Energiegleichung der Fluidmechanik fiir den Kontrollfaden bei instationarer Stromung nach (3.42). Die Glieder der zunachst fiir reibungslose Stromung giiltigen Beziehung stellen Energiedichten in J/m3 dar. Je nach der GroBe des ortlich verschiedenen Volumenstroms dV in m 3 /s ist der Beitrag der einzelnen Glieder von Stromlinie zu Stromlinie verschieden. Um den gesamten in einem Stromungsquerschnitt enthaltenen 25

Beim Volumenstrom VA=V wird fortan auf den Index A verzichtet; Genauer miiBte es Impulsstrombzw. Energiestrombeiwert (Leistungsbeiwert) heiBen.

3.4.2 Grundlagen der Rohrhydraulik

221

Energiestrom in J/s zu erfassen, miissen die Energiedichten in (3.42) jeweils mit dem durch das betrachtete Flachenelement des Rohrquerschnitts dA hindurchtretenden Volumenstrom dV = v dA multipliziert und das Ergebnis iiber die Querschnittsflache A integriert werden. Dies liefert die in Tab. 3.2c wiedergegebenen Beziehungen.26 Man bezeichnet a als Energiebeiwert.25 1st die Geschwindigkeit iiber den gesamten Querschnitt positiv (v > 0), so gilt a > p > 1, wahrend bei konstantem Geschwindigkeitsprofil a = ft = 1 ist. 3.4.2.2 Fluidmechanischer Energieverlust Als Kraftwirkungen treten infolge der Reibung des stromenden Fluids im wesentlichen Schubspannungen auf, die an den festen Rohrwanden am groBten sind. Sie hemmen den Stromungsvorgang. Dieser kann nur durch ein entsprechendes Druckgefalle in Stromungsrichtung aufrechterhalten bleiben. Befinden sich in dem Rohrleitungssystem neben der eigentlichen Rohrleitung auch andere Rohrleitungsteile gemaB Tab. 3.1, so bewirken diese infolge zusatzlich auftretender Sekundarstromungen und Stromungsablosungen fluidmechanische Energieverluste, zu deren Uberwindung eine weitere VergroBerung des Druckgefalles erforderlich ist. Der sich als Druckabfall auBernde Verbrauch an fluidmechanischer Energie stellt einen Gesamtdruckverlust dar, da er die dem Rohrleitungssystem ursprunglich zur Verfiigung stehende gesamte fluidmechanische Energie (Lage-, Geschwindigkeits- und Druckenergie) vermindert. Wird der auf das Volumen bezogene Verlust an fluidmechanischer Energie in J/m3 gemessen, so entspricht dies der Dimension eines Drucks in N/m 2 . Die Verluste an fluidmechanischer Energie (Index e) seien mit (pe)N angegeben, wobei der Index N das jeweils betrachtete Rohrleitungsteil kennzeichnet. Fur die praktische Anwendung kommt es darauf an, fur die einzelnen Energie verluste geeignete Beziehungen zu finden. Haufig ist neben den theoretischen Ansatzen das Einfiihren von gewissen, experimentell zu ermittelnden Beiwerten unerla'Blich. Man kann davon ausgehen, daB der Verlust (pe)N naherungsweise proportional der auf das Volumen bezogenen kinetischen Energie (Energiedichte) ist, d. h. proportional dem Geschwindigkeitsdruck (p/2)i;^mituw = (um)w als mittlerer, jeweils genau zu definierender Geschwindigkeit. Mit AN als Bezugsquerschnitt des betrachteten Rohrleitungsteils N erhalt man bei gegebenem Volumenstrom V nach Tab. 3.2a die Bezugsgeschwindigkeit zu VN = V/AN- Der dimensionslose Proportionalitatsfaktor sei mit ^ bezeichnet und werde Verlustbeiwert genannt. Der Verlust eines in Tab. 3.1 aufgefiihrten Rohrleitungsteils N laBt sich also in der Form (Pe)N = f/VT-^A"

(z«)/v = SN^-

(VN = V/AN)

(3.64a, b)

angeben. Besonders bei wasserbaulichen Aufgaben benutzt man gern die Verlusthohe ze = pe/pg gemaB (3.64b). Formeln fur die Berechnung von £# oder aus Versuchen gewonnene Zahlenwerte werden in den folgenden Kapiteln mitgeteilt. Bei der instationaren Rohrstromung ist das Problem schwieriger, da hierbei 25

Vgl. die Ausfiihrungen ttber den mittleren Druck und die mittlere Hochlage auf S. 229

222

3.4 Stromung dichtebestandiger Fluide in Rohrleitungen (Rohrhydraulik)

die Verlustbeiwerte wegen der zeitlich sich andernden Geschwindigkeit auch von der Zeit abhangen konnen. Untersuchungen zu dieser Frage wurden von SchultzGrunow [72], Daily u. a. sowie Kochenov und Kuznetsov [41] durchgefiihrt. Bei nicht zu groBen zeitlichen Geschwindigkeitsanderungen kann man naherungsweise die entsprechenden Werte der stationaren Rohrstromung verwenden. Man kann daher im allgemeinen von einer zeitlichen Anderung der Verlustbeiwerte £# absehen. Der gesamte Verlust an fluidmechanischer Energie eines Rohrleitungssystems zwischen zwei Stellen (1) und (2) ergibt sich durch Addition der einzelnen VerlustgroBen der verschiedenen Rohrleitungsteile zu (2)

(2)

(Peh-,2 = £ > ) (1)

(2)

££ > " -

(1)

J2 (1)

N

Aufgabe der folgenden Ausftihrungen ist die Bestimmung der verschiedenen Verlustbeiwerte, wobei zunachst in Kap. 3.4.3 der EinfluB der inneren Rohrwand und sodann in Kap. 3.4.4 die Einfliisse der verschiedenen Rohrverbindungen und -elemente einschlieBlich der Wirkung von eingebauten Stromungsmaschinen behandelt werden. 3.4.2.3 Ausgangsgleichungen der Rohrhydraulik Kontinuitatsgleichung. Fiir ein Rohrleitungssystem mit unelastischen Querschnitten lautet die Kontinuitatsgleichung (3.41) zwischen zwei Stellen (1) und (2) nach Abb. 3.20b

V(t) = vm(t, s)A(s) = vi(t)Ai = v2(t)A2

(Volumenstrom), (3.66a, b)

wobei v\ und v2 die mittleren Geschwindigkeiten in den normal zu den Stromlinien stehenden Querschnitten A\ bzw. A2 gema'B Tab. 3.2a bedeuten. Liegt eine Rohrverzweigung nach Kap. 3.4.4.4 vor, dann ist die Kontinuitatsgleichung bei Rohrtrennung oder Rohrvereinigung jeweils fiir die verschiedenen Rohrstrange getrennt anzuschreiben. Bernoullische Energiegleichung. Die Ausdriicke fiir die Mittelwerte der Energiestrome in einem Rohrleitungssystem nach Tab. 3.2c enthalten den langs der Rohrachse unveranderlichen Volumenstrom V{t) = vm(t,s)A(s). Beriicksichtigt man entsprechend (3.42) zwischen den Stellen (1) und (2) die Druck-, Lage-, Geschwindigkeits- und Beschleunigungsenergie sowie den fluidmechanischen Energieverlust und dividiert das Ergebnis durch V, dann erhalt man27 P 2

2l

_

,

1 ^ 2 2, / x 2

A .( ) nfn\ - • < ! - > . .

mit (2)

f = p / J

dv fi—ds dt

(Beschleunigungsenergie).

(3.67b)

(i) 27

Auf die Kennzeichnung der Mittelwerte durch den Index m wird analog zu (3.66b) verzichtet. Weiterhin sei vermerkt, daB die Rohrquerschnittsflache A nicht explizit auftritt.

223

3.4.2 Grundlagen der Rohrhydraulik Energieniveau

Abb. 3.20. Zur Ableitung und Erlauterung der erweiterten Bemoullischen Energiegleichung (Hohenform) fur die Rohrstromung. a Reibungslose Stromung (Stromlinie). b Reibungsbehaftete Stromung (Rohr)

Die Geschwindigkeitsausgleichswerte a und ft beriicksichtigen mittelbar die uber die Strbmungsquerschnitte als Folge der Reibung veranderlichen Geschwindigkeitsprofile. Grundsatzlich konnen a = a(t, s) und ft = fi(t,s) zeit- und ortsabhangig sein. Naherungsweise soil jedoch a « a(s) und p « P(s) gesetzt werden, was fur p in (3.67b) bereits beachtet wurde. Um auch den unmittelbaren EinfluB der Reibung zu erfassen, mu8 noch der fluidmechanische Energieverlust, d. h. {pe)i^2 nach (3.65) auf der rechten Seite hinzugefugt werden. Gl. (3.67) stellt die Erweiterung der Energiegleichung fur reibungslose Stromung auf den Fall reibungsbehafteter Rohrstromung dar. Man nennt sie auch die erweiterte Bemoullische Energiegleichung. Diese Beziehung hat die Dimension einer Energie bzw. Arbeit bezogen auf das Volumen in J/m3, was gleichbedeutend der Dimension eines Drucks in N/m 2 ist. Haufig verzichtet man auf die Beriicksichtigung der Geschwindigkeitsausgleichswerte in (3.67a) und schreibt fur die stationare Rohrstromung P

Pi PgZ2 + - V2

7

(a = l=P).

(3.68)

Es wird der Bemoullischen Energiegleichung fiir die reibungslose Stromung formal nur das Reibungsglied (pe)i-+2 hinzugefugt. Aus dem Vergleich von (3.67a) und (3.68) folgt der Zusammenhang P,

(Pe)l->2 = (Pe)l->2 + ^

(3.69)

wonach sich das rechnerische Reibungsglied (pe)\^i aus dem fluidmechanischen Energieverlust (Dissipationsarbeit) {pe)\^,2 zuziiglich der Anderung der

224

3.4 Stromung dichtebestandiger Fluide in Rohrleitungen (Rohrhydraulik)

kinetischen Energie infolge ungleichmaBigen Geschwindigkeitsprofils iiber die Stromungsquerschnitte (1) und (2) ergibt. Da bei turbulenter Stromung ct\ ^ 1 £» ci2 ist, kann man in diesem Fall in (3.69) das zweite Glied gegeniiber dem ersten Glied vernachlassigen, was zu {pe)\^2 ^ (pe)\^2 fiihrt. Zwischen (3.67a) und (3.68) besteht dann kein Unterschied. LaBt man die Stellen (1) und (2) sehr nahe zusammenriicken, so findet man aus (3.67a) die Energiegleichung fur ein Rohrelement der Lange As, wenn man das Ergebnis durch pAs dividiert, zu

Jv

, ld(av2)

9 V

dz

t

+

«F +

1 (dp _ dp,

^

+

T

a

(3 70)

-

2 os os p \os o J Mit a = ft = I und pe = 0 geht diese Beziehung in die differentielle Form der Eulerschen Impulsgleichung fur reibungslose Stromung (2.94a) iiber. Nach Division von (3.67a) durch pg gelangt man bei stationarer Stromung, ahnlich wie fur die reibungslose Stromung nach (3.22c), zur Hohenform der Energiegleichung. Zusatzlich zur Orts-, Druck- und Geschwindigkeitshdhe tritt noch die Verlusthohe (Energieverlusthohe) ze = pe/pg auf. Bei stationarer reibungsbehafteter Rohrstromung nimmt die Summe aus Oils-, Druck- und Geschwindigkeitshohe, die man auch Energiehohe nennt, in Stromungsrichtung ab. In Abb. 3.20b ist dieser Sachverhalt schematisch dargestellt, vgl. Abb. 3.9. Die Verbindungslinie der Energiehohen bezeichnet man mit Energielinie. (Energiegefalle Je = dze/ds > 0). Auf die Hohenform der Energiegleichung wird in Kap. 3.5.2.1 bei der Gerinnestromung nochmals eingegangen, vgl. (3.177). Analog dem Vorgehen in K^p. 3.3.3.2 wird jetzt in (3.67a) anstelle der mittleren Geschwindigkeit der Volumenstrom V nach (3.66) eingefuhrt. Dabei kommt man zu der mit (3.44) formal iibereinstimmenden Beziehung aV2 + bi^2— = H at

(instationar),

V — \\ — Va

(stationar). (3.71a, b)

Es erfahren die GroBen a und b\-±% gegeniiber (3.43a, b) Erweiterungen in der Form ' '

(2)

«2

«i , v ^

ZN

U

„O /" f P(s)_ds. A(s)

(3.72a, b)

(i)

Die GroBe H ist unverandert durch (3.43c) gegeben, wenn man beachtet, daB unter z und p die Mittelwerte nach Tab. 3.2c zu verstehen sind. Impulsgleichung. Ausgangspunkt ist (3.45) mit der entsprechenden Erweiterung hinsichtlich der Mittelwerte nach Tab. 3.2b. Das ungleichmaBige Geschwindigkeitsprofll iiber den Stromungsquerschnitt wird durch den Impulsbeiwert fi > 1 erfaBt, wahrend fur den Druck der Mittelwert nach Tab. 3.2b einzusetzen ist. Es ergibt sich die erweiterte Impulsgleichung der reibungsbehafteten Rohrstromung zu (pi + Pipv2)Ai + (p2 + P2PV22)A2 + (FLh^2

=FB+FS

(3.73a)

3.4.3 Stromung dichtebestandiger Fluide in geradlinig verlaufenden langen Rohren

225

mit (2)

(Fi)i^2 = p

f

.

(2)

dv dV A—ds = p—r^2

f und rx^2 = / ds.

(i)

(3.73b)

(i)

Die Mantelflache besteht aus der festen inneren Rohrwand; sie gehort damit zum korpergebundenen Teil der Kontrollflache (5). Von diesem wird eine Stiitzwirkung auf das strdmende Fluid ausgeiibt. Es ist somit (F^)i^2 = (Fs)\->2 definitionsgemaB in der Stiitzkraft Fs enthalten, man vgl. hierzu das Beispiel in Kap. 2.5.2.2 iiber die Kraft auf einen Rohrkrummer. Fg ist die Massenkraft (Schwerkraft) der im Rohr zwischen den Stellen (1) und (2) befindlichen Masse m, d. h. Fg = mgrmig als Fallbeschleunigung. In (3.73a) sind A\ — n\A\ und Ai = n2A2 die normal zu den Rohrquerschnitten A\ bzw. A2 stehenden nach auBen gerichteten Flachennormalen. Gl. (3.73) hat die Dimension einer Kraft in N. Sie ist eine Vektorgleichung fiir das Kraftegleichgewicht zwischen den Stellen (1) und (2) langs der Rohrachse bei instationarer Stromung. Sie kann entweder rechnerisch oder zeichnerisch gelost werden. Unter Einfiihren des Volumenstroms V(t) nach (3.66) kann man (3.73a) in die Form I nach (3.47a) und bei weiterer Umformung mittels (3.71a) in die Form II nach (3.47b) iiberfuhren: dV\ eV2 + 7W2— = F' dt ) eV2 + (H - aV2)1^-

(Form I) = F'

(Form II).

(3.74a) (3.74b)

Dabei treten neben H nach (3.43c), a und b\^,2 nach (3.72a, b) sowie ri_>2 nach (3.73b) folgende gegeniiber (3.46a) und (3.46c) abgeanderte GroBen auf: e=^

+ ^ , F'=FB-(PlAl+p2A2)+Fs. (3.75a, b) A\ A2 Bei geradlinig verlaufender Rohrachse erhalt man eine skalare Gleichung fiir das Kraftegleichgewicht in Richtung der Rohrachse, wenn man in (3.73a) die GroBen A\ durch —A\, A2 durch A2, Fg durch Fg = mg sin;? (Komponente der Schwerkraft in Richtung der Rohrachse mit •& als Neigungswinkel der Rohrachse gegeniiber der Horizontalen nach Abb. 3.20b) sowie Fs durch Fs ersetzt. LaBt man die Stellen (1) und (2) sehr nahe zusammenriicken, dann findet man aus (3.73a) die Impulsgleichung fiir ein Rohrelement der Lange As. Bei horizontal verlegtem Rohr (# = 0) wird nach Division mit As d(Pv2A)]

d{vA)

at

+

ds J

+

djp A) +

ds

rwwU = 0.

(3.76)

Die Stiitzkraft AF$ riihrt her von der Schubspannungskraft, welche die innere Rohrwand auf das stromende Fluid iibertragt, und zwar ist AFs = tw AS mit AS = UAs als benetzter Oberflache (U = Umfang des Rohrquerschnitts) und rw als Wandschubspannung (Wand-> Fluid, positiv entgegen der s-Richtung).

3.4 Stromung dichtebestandiger Fluide in Rohrleitungen (Rohrhydraulik)

226

3.4.3 Stromung dichtebestandiger Fluide in geradlinig verlaufenden langen Rohren

3.4.3.1 Voraussetzungen und Annahmen Geometric Als wichtigstes Rohrleitungsteil ist das geradlinige oder schwach gekriimmte Rohr anzusehen. Starkere Umlenkungen durch Kriimmer werden in Kap. 3.4.4.3 gesondert erfaBt. Wie fur den Kontrollfaden in Kap. 3.3 sei ein unelastisches Rohr vorausgesetzt, bei welchem die Rohrquerschnittsflachen A nur von der Lage s langs der Rohrachse und nicht von der Zeit t abhangen, A{t,s) = A{s). An zwei langs der Rohrachse s festgelegten Stellen (1) und (2) ist also A\ = A{s\) bzw. A2 = A(s2). Die zugehorige Rohrlange betragt L = s2 — s\. Im allgemeinen besitzen die Rohre kreisformigen Querschnitt vom Durchmesser D == 2R. Bei Rohren mit nichtkreisformigem Querschnitt kann anstelle von D naherungsweise mit dem gleichwertigen Durchmesser (3.77) (gleichwertiger Durchmesser) U gerechnet werden, wobei U der Umfang der inneren Rohrwand und A die Querschnittsflache ist. Fiir kreisformigen Querschnitt ist wegen A — JTR2 und U — 2nR der gleichwertige Durchmesser gleich dem tatsachlichen Durchmesser Dg = 2R = D.2S Auf die Unterschrift zu Abb. 3.25 sei hingewiesen. De = 4

Rohrreibung. Die Viskositat des stromenden Fluids bewirkt, da6 an der festen Innenwand des Rohrs im Gegensatz zur reibungslosen Stromung eine Wandschubspannung auftritt. Sie hat zur Folge, da6 das Fluid an der Wand zur Ruhe kommt (Haftbedingung) und sich der Stromungsverlauf iiber den Rohrquerschnitt stark verandert. Ein am Rohranfang nach Abb. 3.21 iiber den Querschnitt zunachst konstantes Geschwindigkeitsprofil wird weiter stromabwarts ungleichmaBig, da die

v-vm=wns\

Kernstrijmung v-v(s,r)

v-vfr)

vollausgebildefe Stromung

Eintrittsstromung -? (s-Dj

()

-Einlaufsfromung

Abb. 3.21. Entwicklung des Geschwindigkeitsprofils im Einlauf eines Rohrs vom gleichmaBigen bis zum vollausgebildeten Geschwindigkeitsprofil, dargestellt fiir ebene laminare Stromung (Spalt) 28

Eine friiher haufig auch bei Rohren als hydraulischer Radius Rh = A/U verwendete GroBe fuhrt bei kreisformigem Querschnitt zu dem wenig sinnvollen Ergebnis Rh = R/2.

3.4.3 Stromung dichtebestandiger Fluide in geradlinig verlaufenden langen Rohren

227

Geschwindigkeit an der Wand mit dem Wert null beginnend zur Rohrmitte bis zu einem Maximum ansteigt. Der vom ReibungseinfluB erfaBte Stromungsbereich (Reibungsschicht) nimmt mit zunehmender Entfernung vom RohranschluB zu. Die von der Reibungswirkung noch nicht betroffene Kemstromung wird dabei wegen der Kontinuitatsbedingung beschleunigt, bis sich nach einer gewissen Einlauflange die Reibung iiber den gesamten Rohrquerschnitt auswirkt. Von dieser Stelle an andert sich das Geschwindigkeitsprofil stromabwarts nicht mehr. Es spielt also dann der EinfluB des Rohranschlusses keine Rolle mehr. Man spricht in diesem Fall von der vollausgebildeten, unbeschleunigten Rohrstromung im Gegensatz zur noch nicht vollausgebildeten, beschleunigten Rohreinlaufstromung.29 Uber erstere wird in den Kap. 3.4.3.2 bis 3.4.3.5 und iiber letztere in Kap. 3.4.3.6 berichtet. 3.4.3.2. Vollausgebildete Rohrstromung Geschwindigkeit. Bei einem kreisformigen Rohrquerschnitt stellt sich je nach Stromungsart (laminar, turbulent) das vollausgebildete Geschwindigkeitsprofil v(r) entsprechend Abb. 3.22b ein, wobei insbesondere v(r = R) = 0

(Haftbedingung),

v(r = 0) = vn

(3.78a, b)

ist. Die Bedingung (3.78a) gilt fur alle reibungsbehafteten Fluide, d. h. sowohl fur normalviskose (newtonsche) als auch fur anomalviskose (nichtnewtonsche) Fluide. In der Rohrmitte hat die Geschwindigkeit nach (3.78b) im allgemeinen einen Hochstwert. Die mittlere Geschwindigkeit ist nach Tab. 3.2a zu vm — V/A definiert, wobei V der langs der Rohrachse unveranderliche Volumenstrom (Volumen/Zeit) und A die Rohrquerschnittsflache bedeuten. Fiir ein kreisformiges Rohr nach Abb. 3.22a gilt mit den Querschnittsflachen dA = 2nr dr

Abb. 3.22. Vollausgebildete Stromung durch ein Rohr von kreisformigem Querschnitt. a Rohrquerschnitt b Geschwindigkeitsprofil v(r). (1) Laminare Stromung fiir Re < Reu, (2) turbulente Stromung fiir Re > Reu; Schubspannungsverteilung x(r), gilt fiir (1) und (2) 29

Im Gegensatz zur ortlich veranderlichen Rohreinlaufstromung ist eine sich zeitlich ausbildende Rohrstromung mit Rohranlaufstromung zu bezeichnen.

228

3.4 Stromung dichtebestandiger Fluide in Rohrleitungen (Rohrhydraulik)

(Ringquerschnitt) und A = TTR2 (Gesamtquerschnitt) R

V

2

f

vm = — = —z / v(r)rdr 2 A

(mittlere Geschwindigkeit).

(3.79a)

R J o Bei bekanntem Geschwindigkeitsprofil v(r) laBt sich (3.79a) unmittelbar auswerten. Das in Abb. 3.22b dargestellte laminare bzw. turbulente Geschwindigkeitsprofil ist jeweils auf den Wert der mittleren Geschwindigkeit bezogen, d. h. in beiden Fallen stromt zeitlich das gleiche Volumen durch den betrachteten Querschnitt A(s). Die mittlere Geschwindigkeit kann zeit- und ortsabhangig sein, vm=vm(t, s). Da stets mit der mittleren Geschwindigkeit vm gerechnet werden soil, sind die iiber den Querschnitt veranderlichen Geschwindigkeitsprofile gegebenenfalls durch Einfiihren von Geschwindigkeitsausgleichswerten zu beriicksichtigen. Solche Werte treten bei der Energie- und Impulsgleichung als Energie- und Impulsbeiwert a bzw. /5 auf. Nach Tab. 3.2b, c gilt

0 R

2

—) \vmj

rdr*>\{a + 2). 3

(3.79b, c) 30

o Bei bekanntem Geschwindigkeitsprofil v(r)/vm, z. B. nach Abb. 3.22b, lassen sich die Zahlenwerte fiir a und fi ermitteln. Bei laminarer Stromung ist die Abweichung vom Wert eins besonders groB, wahrend bei turbulenter Stromung infolge des iiber den Rohrquerschnitt ausgeglicheneren Geschwindigkeitsprofils naherungsweise a «* fl « 1 gesetzt werden darf. Kennzahl. Der Stromungsverlauf in einer Rohrleitung hangt von der ReynoldsZahl und von der Rauheit der inneren Rohrwand ab. Die Reynolds-Zahl lautet bei der Rohrstromung gemaB (1.47c) mit dem Rohrdurchmesser D = 2R als charakteristischer Lange, der mittleren Geschwindigkeit vm nach (3.79a) als charakteristischer Geschwindigkeit und der kinematischen Viskositat v nach (1.15)

Re = —— v

mit

v = —, p

vm — — und D = Ds = 4—. A U (3.80a)

Die GroBe der Reynolds-Zahl ist nach Kap. 1.3.3.2 maBgebend dafiir, ob es sich um eine laminare oder turbulente Stromung handelt, und zwar betragt die kritische Reynolds-Zahl (unterer Grenzwert), bei welcher der Wechsel von der laminaren in die turbulente Stromung eintritt, Reu = 2320 30

(laminar-turbulenter Umschlag).

(3.80b)

Der Naherungsausdruck in (3.79b) folgt, wenn man v = vm + Av setzt und das Glied (Av/vm)3 vemachlassigt sowie auBerdem (3.79a) beachtet. Er gilt exakt fiir das Kreisrohr bei laminarer Stromung nach (3.91a, b).

3.4.3 Stromung dichtebestandiger Fluide in geradlinig verlaufenden langen Rohren

229

Nahere Angaben hierzu werden in Kap. 3.4.3.6 noch gemacht. Unterhalb des Werts Re < Reu verlauft die Stromung laminar, Kurve (1) in Abb. 3.22b, wahrend sie oberhalb (Re > Reu) turbulent ist, Kurve (2). Druck, Hochlage. Fur horizontalliegende Rohre mit zur Querebene symmetrischem Querschnitt (Kreis, Rechteck) sei die Hochlage der durch die Rohrachse gehenden Querebene mit ZQ und die Lage eines Flachenelements dA mit z = ZQ+Z' gegeben, wobei z' ^ 0 ist. Fiir die Druckverteilung in vertikaler Richtung gilt nach (2.14b) p = po + pg(zo — z) = po — pgz' und fiir die Geschwindigkeitsverteilung v(z' > 0) = v(z' < 0). Nach Auswertung der Beziehungen von Tab. 3.3 fur den mittleren Druck pm und die mittlere Hochlage zm erhalt man, wenn man beachtet, daB die Integrate iiber die Integranden z' ^ 0 bzw. z'v ^ 0 verschwinden, Pm = Po(s) = p(s),

zm = zm(s) = z(s)

(Mittelwerte).

(3.81a)31

Wegen der vorausgesetzten vollausgebildeten Stromung ist der Druckabfall langs der Rohrachse const, d.h. dpjds = const. — = const ds fiir Rohre mit konstantem Querschnitt.

(3.81b)

Rohrreibungszahl. Bei vollausgebildeter Stromung durch ein Rohr mit konstantem Querschnitt A und von der Lange L kann man den Verlust an fluidmechanischer Energie (Druckverlust) infolge von Wandreibung nach dem erstmalig von Darcy und Weisbach angegebenen Rohrreibungsgesetz entsprechend (3.64a) mit dem Index N = R in der Form p -> L p -, (Pe)R

=

^R=k — ,

^V2R=X~^V2m,

k = X(Re,k/D)

(3.82a, b, c)

anschreiben.32'33 Es ist VR = vm die mittlere Geschwindigkeit nach (3.79a), £K der dimensionslose Rohrverlustbeiwert und A, die zugehorige dimensionslose Rohrreibungszahl. Der Rohrverlustbeiwert ist bei gleichbleibender Rohrreibungszahl um so groBer, je langer das Rohr und je kleiner sein Durchmesser ist. Bei glatter Rohrwand kann man zeigen, daB die Rohrreibungszahl X von den StoffgroBen des Fluids (Dichte p, Viskositat t] oder v = r?/p), dem Rohrdurchmesser D und der mittleren Durchstromgeschwindigkeit vm abhangen muB. Die genannten GroBen bilden die in (3.80a) angegebene Reynolds-Zahl, so daB sowohl fiir laminare als auch turbulente Stromung X = X(Re) gilt. Vom technischen Standpunkt aus gesehen sind die inneren Rohrwande jedoch mehr oder weniger rauh. Daraus folgt, daB die Rohrreibungszahl nicht nur eine Funktion der Reynolds-Zahl sein kann, sondern auch von einer anderen dimensionslosen GroBe abhangen muB, welche die Wandrauheit zum Ausdruck bringt. Als 31

Auf den Index " m " zur Kennzeichnung der Mittelwerte kann fortan verzichtet werden. Den Zusammenhang (3.82b) kann man gemaB K a p . 1.3.2.2 aus einer Dimensionsanalyse mit den unabhangigen GroBen p , vm, D und (pe)R/L (auf Lange bezogener Druckverlust) herleiten. 33 Im vorliegenden Fall ist an zwei Stellen (1) und (2) langs der Rohrleitung v\ = i>2 und a\ = <*2, was nach (3.69) zu (p<.)i->2 = (Pe)R = (Pe)R = (P*)i->2 fuhrt. 32

230

3.4 Stromung dichtebestandiger Fluide in Rohrleitungen (Rohrhydraulik)

solche fiihrt man den Rauheitsparameter (relative Rauheit) k/D ein und versteht darunter das Verhaltnis einer noch naher zu definierenden Rauheitshohe k zum Durchmesser D. Mithin gilt k = k(Re, k/D). Kann man die Rohrwand als fluidmechanisch vollkommen rauh ansehen, dann hangt die Rohrreibungszahl nur vom Rauheitsparameter k = k(k/D) ab. Die GesetzmaBigkeiten fiir die Rohrreibungszahlen sind bei laminarer und bei turbulenter Stromung sowie bei der Stromung in rauhen Rohren verschieden und werden daher in Kap. 3.4.3.3 bis 3.4.3.5 getrennt untersucht. 1st k = const, so stellt (3.82a) das in bezug auf die mittlere Geschwindigkeit quadratische Rohrreibungsgesetz dar, (pe)R ~ v2^. Da der Volumenstrom bei kreisfbrmigem Rohrquerschnitt V = vmA = (n/4)D2vm ist, verhalt sich bei V = const und k = const der Druckverlust infolge Wandreibung wie (pe)R ~ l/D5. Man erkennt, da8 der Rohrdurchmesser eine sehr entscheidende Rolle fiir den Strb'mungsvorgang spielt. Fiir ein Rohrstiick der Lange ds kann man nach (3.82a) in Verbindung mit (3.64b)

ds JR

V ds )

R

D2

m

setzen, wobei man die GrbBe Je > 0 als Energiegefalle bezeichnet, vgl. Abb. 3.20b. Den Verlust an fluidmechanischer Energie infolge Wandreibung bei veranderlichem Rohrquerschnitt zwischen zwei Stellen (1) und (2) erhalt man durch Integration von (3.83a) iiber s. Bei geringer Querschnittsa^iderung langs Rohrachse kann mit stiickweise konstanten mittleren Werten fiir die Teilrohrlangen gerechnet werden. Die Integration bzw. die Summation ist unter Beachtung der Kontinuitatsgleichung mit vm = V / A auszufiihren. Stationare Stromung. Fiir horizontalliegende Rohre mit konstantem Querschnitt seien unter der Annahme stationarer Stromung weitere allgemein giiltige Beziehungen angegeben, welche die Kenntnis des genauen Strbmungszustands (laminar, turbulent, rauh) noch nicht erfordern. In der Stromung durch ein gerades zylindrisches Rohr werde nach Abb. 3.23a ein koaxiales zylindrisches Stiick von der Lange As und vom Radius r betrachtet. Zum Aufrechterhalten des Strbmungsvorgangs in Richtung der Rohrachse (sRichtung) greifen Normalkrafte an den Stirnflachen nr2 und Tangentialkrafte an der Mantelflache 2nrAs an. Da der Vorgang stationar sein soil, treten Tragheitskrafte nicht auf.34 Bei der angenommenen geradlinigen und horizontalen Bewegung ist der Druck (Normalspannung) in Querschnittsebenen jeweils konstant p(s, r) = p(s).31 Entgegen der Strbmungsrichtung wirken

die Druckkraft pur2As — [p+(dp/ds)As]nr2

= —(dp/ds)nr2A.s

sowie die

Schubspannungskraft — z2nr As mit r(s, r) = r ( r ) als Schubspannung. Aus dem 34

Hinsichtlich des Verschwindens der Tragheitskraft bei der Kennzahl-Bestimmung sei auf die Bemerkung in Kap. 1.3.2.2 aufmerksam gemacht. Die Reynolds-Zahl ist in einem solchen Fall als das Verhaltnis von Impulsstromdichte und Wandschubspannung zu deuten, Re ~ pv^/tw mit rw ~

n(vm/D).

3.4.3 Stromung dichtebestandiger Fluide in geradlinig verlaufenden langen Rohren

231

Stirnguerscliniff

Ringquerschnift

Abb. 3.23. Vollausgebildete stationare Rohrstromung, Druck- und Schubspannungen: a am Element eines Kreiszylinders, b am Ringelement

Kraftegleichgewicht in Stromungsrichtung wird also rdp

Rdp

x

(3.84a, b, c)

Fur das nach Abb. 3.23b aus der Querschnittsflache 2nrdr und der Lange As gebildete Ringelement lautet das Kraftegleichgewicht in Stromungsrichtung —r(dp/ds) = 3(rr/3r). 3 5 Wegen p(s) und x(r) kann man hierfiir schreiben

1 d(rr) = r dr

dp = const. ds

(3.84d)

Da die GroBe dp Ids keine Funktion von r ist, kann sie nur konstant sein. Eine Integration iiber r liefert (3.84a). Die Schubspannung verteilt sich, wie in Abb. 3.22b dargestellt, von der Rohrachse aus linear iiber den b'rtlichen Radius 0 ^ r ^ R. In der Rohrmitte (r = 0) verschwindet sie, wahrend sie an der Rohrwand (r = R) den groBten Wert annimmt, namlich die Wandschubspannung rw = const. Fur die stationare, vollausgebildete Rohrstromung eines horizontal liegenden Rohrelements mit dem konstanten Querschnitt A = const und der Lange As erhalt man aus der differentiellen Form der Energie- und Impulsgleichung (3.70) bzw. (3.76) mit 3/9? = 0 , z = const, v = const, a = const, ft = const und d/ds=d/ds sowie (3.77)

ds 35

dpe ds

= ~~7Tw = ~JiTu> ~

const

(3.85a, b)

-

R

Man beachte den Zusammenhang | r

— dr\(r or I (3.84d) iiber r liefert erwartungsgemaB (3.84a).

— dr) = zr —

dr. Die Integration von dr

232

3.4 Stromung dichtebestandiger Fluide in Rohrleitungen (Rohrhydraulik)

Der Druckabfall (Druckgefalle) im Rohr dp/ds < 0 ist gleich dem Druckverlust infolge Wandreibung nach (3.83a). Zwischen der Rohrreibungszahl X und der Wandschubspannung zw bestehen somit die Zusammenhange

xw = -pv2m,

A. = 8—^-,

vr = J— = J-vm.

(3.86a, b, c)

Man kann also k ermitteln, wenn man die Wandschubspannung rw kennt oder auch umgekehrt. Haufig wird auch die sogenannte Schubspannungsgeschwindigkeit vT zur Beschreibung des Reibungseinflusses eingefiihrt. Energiebetrachtung. Im folgenden seien noch einige Bemerkungen iiber den Zusammenhang des fluidmechanischen Energieverlusts (Druckverlust) mit der von der Reibungskraft verrichteten Arbeit sowie ilber die durch Reibung irreversibel umgewandelte Energie bei stationarer, vollausgebildeter Rohrstromung gemacht. Der Betrachtung wird wieder Abb. 3.23b zugrundegelegt. Die im Rohr der Lange As enthaltene Masse betragt Am = pnR2As. Hierauf sollen die nachstehend angegebenen GroBen bezogen werden. Mit der bereits oben abgeleiteten Beziehung fur die Schubspannungskraft an einem Ringelement findet man die massebezogene Reibungskraft (hemmer.de Schleppkraft) zu36 AFR IR = -7— = Am

2 f d(rr) 52 / - 5 — d r = pR2 J dr

2xw D = pR

1 dpe !-• p ds

(3.87a)

0

Im einzelnen wurde als Randbedingung bei der Integration x (/• = /?) = zw beriicksichtigt und die Wandschubspannung xw nach (3.85a, b) eingesetzt. Da jedes Ringelement mit der ihm eigenen Geschwindigkeit v verschoben wird, betragt die massebezogene Schleppleistung (WR = AWR/Am) dwR 2 f d(zr) -T— = -—52 I " - 3 dr = dt pR2 J dr

2xw ovm= pR

1 dpe -J-Vmp ds

(3.87b)

0

Bei der Auswertung des Integrals wurde (3.84c) mit T = (r/R)rw beriicksichtigt und weiterhin die mittlere Geschwindigkeit vm nach (3.79a) eingesetzt. Die von den Schubspannungskraften an den einzelnen Flachen des betrachteten Ringelements verrichtete Schlepp- und im Zylinder gespeicherte Formanderungsleistung erhalt man auf die Masse bezogen (wr = AWr/Am) zu

/ U pR2 J dr

dt

0.

(3.87c)

Nach Ausfiihren der Integration ist diese GroBe wegen der Haftbedingung v(r = R) = 0. Die Dissipationsarbeit (Reibungswarme) ist in (2.193b) definiert. Fiir den vorliegenden Fall der Rohrstromung gilt also fur die massebezogene Dissipationsleistung dwD

=

dwr

dwR

~dT ^r-^r

=

dwR

~^r

=

1 dpe Vm =

P~ik

X 3 Vm

2D -

(3 87d)

-

Die letzte Beziehung erhalt man durch Einsetzen der Rohrreibungszahl nach (3.83a). Die vorstehende Betrachtung zeigt also, daB der Druckverlust tatsachlich ein Verlust an fluidmechanischer Energie ist., vgl. die Ausfiihrung zu (2.183a). 36

In den Gin. (3.87a bis d) steht der Index R fiir Reibung; der Index R fiir Rohr wird hier nicht verwendet.

3.4.3 Stromung dichtebestandiger Fluide in geradlinig verlaufenden langen Rohren

233

3.4.3.3 Vollausgebildete laminare Rohrstromung Kreisformiger Rohrquerschnitt. Beim Durchstromen von geraden Kreisrohren mit maBigen Geschwindigkeiten, genauer gesagt bei Reynolds-Zahlen Re, die kleiner als die Reynolds-Zahl des laminar-turbulenten Umschlags Reu nach (3.80b) sind, stellt sich im Rohr Laminar- oder Schichtenstromung ein. Es lassen sich hierfiir das Geschwindigkeitsprofil iiber den Rohrquerschnitt sowie der Druckverlust infolge Reibung langs der Rohrachse exakt berechnen. Ausgangspunkt ist der Elementaransatz fiir die infolge Viskositat n] eines normalviskosen (newtonschen) Fluids auftretende Schubspannung.37 Nach (1.12) gilt mit u£±v und 3 v ^ — dr sowie nach Einsetzen von (3.84a)

r = -rQ

or

= -rQ

dr

> 0,

^ = ^-^dr

2r\ ds

< 0 (Re < Reu).

(3.88a, b)

Da bei stationarer, vollausgebildeter laminarer Rohrstromung v(t, r, s) = v(r) ist, d. h. das Geschwindigkeitsprofil sich iiber den Rohrquerschnitt A achsensymmetrisch verteilt, kann in (3.88a) 3/3r = d/dr gesetzt werden. Es ist dv/dr < 0, da v von r = 0 nach r — R abfallt. Die Beziehung (3.88b) stellt die Bestimmungsgleichung zur Berechnung des Geschwindigkeitsprofils dar.38 Wegen der Haftbedingung (3.78a) verschwindet die Geschwindigkeit an der Rohrwand. Fiir den Druckgradient gilt dp Ids = const, vgl. (3.85). Gl. (3.88b) laBt sich sofort iiber r integrieren und liefert mit der Randbedingung v(r = R) = 0

v(r) = - - V - r*)d-f, w = -t** 4r/

ds

4r] ds

Vm =

#*P

8)7 ds

(3.89a, b, c)

wobei die Geschwindigkeit auf der Rohrachse am groBten ist, v(r = 0) = v max . Die Geschwindigkeit vm erhalt man durch Einsetzen von (3.89a) in (3.79a) und anschlieBende Integration. Aus (3.89b, c) folgt, daB die maximale Geschwindigkeit in Rohrmitte doppelt so groB wie die mittlere Geschwindigkeit ist. In dimensionsloser Schreibweise ergibt sich fiir das Geschwindigkeitsprofil

41(^)1

— =2.(3.90a.b,c) V

Hiernach ist die Geschwindigkeit nach einem Rotationsparaboloid, dessen Scheitel in die Rohrachse fallt, iiber den Rohrquerschnitt verteilt, Kurve (1) in Abb. 3.22b. 37 Auf das Verhalten nichtnewtonscher Huide soil hier nicht eingegangen werden, vgl. Kap. 1.2.3.3 und die Ausfiihrungen in [9]. 38 In drehsymmetrischen Koordinaten (r, d/d

dp — = 0, d. h. p = p(s) dr

und

r\ d ( dv\ dp - — r— I = — = const. r dr \ dr J ds

Durch einmalige Integration iiber r mit der Randbedingung dv/dr = 0 bei r = 0 zeigt man die Obereinstimmung mit (3.88b).

3.4 Stromung dichtebestandiger Fluide in Rohrleitungen (Rohrhydraulik)

0,008 0,007

Abb. 3.24. Rohrreibungszahlen X fur glatte Rohre und gerade Spalte. (1) Laminare Rohrstromung (3.93b) ftir Re < Reu, (1') laminare Spaltstromung (3.95c), (2a) turbulente Rohrstromung (3.96) fUr Re < Re < 10 5 , (2b) turbulente Rohrstromung (3.103) fur Reu < Re < oo, (2') turbulente Spaltstromung (3.104)

Die in (3.79b, c) definierten Geschwindigkeitsausgleichswerte berechnet man zu a = 2,

= - = 1,333.

(3.91a, b)

Der Volumenstrom durch den Rohrquerschnitt betragt nach (3.66a) in Verbindung mit (3.89c) V = vmA = - 8

> 0

(Kreisquerschnitt).

(3.92a, b)

X] ds

Er ist bei laminarer Rohrstromung proportional der vierten Potenz des Rohrradius R und proportional dem Druckabfall dp/ds < 0 sowie umgekehrt proportional der Viskositat rj des Fluids. Dies Ergebnis wird als das Hagen-Poiseuillesche Gesetz [24, 54] bezeichnet. Es wird durch den Versuch mit groBer Genauigkeit bestatigt. Den zugehorigen Druckverlust sowie die Rohrreibungszahl erhalt man mittels (3.85a), (3.89c) und (3.83a) zu 'dpe ds

~ Re~

Re

(Re < Reu)

(3.93a, b)

mit der Reynolds-Zahl Re nach (3.80a). In Abb. 3.24 ist die Rohrreibungszahl iiber der Reynolds-Zahl A. = k(Re) in doppeltlogarithmischem MaBstab als Kurve (1) aufgetragen. Die Ubereinstimmung mit MeBergebnissen ist bis zur Reynolds-Zahl

3.4.3 Stromung dichtebestandiger Fluide in geradlinig verlaufenden langen Rohren

235

des laminar-turbulenten Umschlags Reu = 2320 sehr gut. Das heiBt, fur Re < Reu verlauft die Stromung laminar, wahrend sie fur Re > Reu turbulent sein kann. Nahere Ausfiihrungen hierzu werden in Kap. 3.4.3.4. gemacht. Durch Versuche wurde bestatigt, daB die Rauheit der Rohrinnenwand bei laminarer Stromung keinen nennenswerten EinfluB auf die Rohrreibungszahl hat, k(Re, k/D) «s X(Re), vgl. Kurve la in Abb. 3.30. Nichtkreisformiger Rohrquerschnitt. Es stellt sich die Frage, inwieweit die vorstehenden Uberlegungen fiir das geradlinig verlaufende Rohr mit Kreisquerschnitt auch auf andere Querschnittsformen (Ellipse, Polygon, Dreieck, Trapez, Rechteck, Spalt) iibertragen werden konnen. Fiir regelmaBige Polygone darf man die obigen Gesetze als giiltig ansehen, wenn es sich dabei um eine geniigend groBe Zahl von Polygonseiten handelt, wodurch das Profil dem Kreis stark angenahert ist. Bei beliebig gestalteter Querschnittsform sind jedoch nicht alle Elemente des bestromten Umfangs in gleichem MaB an der Ubertragung der Wandschubspannung beteiligt. Anstelle des Kreisdurchmessers D ist dann der gleichwertige Durchmesser Dg nach (3.77) einzusetzen. Es ist also in der Beziehung zur Berechnung des Druckabfalls gema'B (3.85) mit (3.83a) ds

Dg 2

(3.94)

die Rohrreibungszahl A. neben ihrer Abhangigkeit von der Reynolds-Zahl Re = vmDg/v mit vm = V/A auch eine Funktion der Querschnittsform, und zwar besteht bei laminarer Rohrstromung stets die Beziehung A. = c/Re. Angaben iiber c findet man u. a. bei Brauer [9]. Fiir elliptischen, rechteckigen und ringformigen Querschnitt sind die Werte c in Abb. 3.25 wiedergegeben.

Abb. 3.25. Rohrreibungszahlen X = c/Re bzw. c = XRe fiir verschiedene Rohrquerschnittsformen bei laminarer Stromung nach [9], Re = vmDg/v; Rechteck Dg = 2h/(l + h/b), Ringspalt sowie gerader Spalt Dg = 2h und Ellipse Dg = h • f(h/b) mit f(h/b) « (TC/2)(\ + h/b)/[ith/b + (1 f a Bei der exakten Berechnung des Umfangs einer Ellipse tritt ein vollstandiges elliptisches Integral zweiter Gattung auf; Naherungsformel nach HUtte-Mathematik, 2. Aufl., S. 182.

236

3.4 Stromung dichtebestandiger Fluide in Rohrleitungen (Rohrhydraulik)

Gerader Spalt. Die laminare Stromung in einem ebenen Spalt wurde bereits in Kap. 2.5.3.3, Beispiel a, als exakte Losung der Navier-Stokesschen Bewegungsgleichung behandelt, vergleiche Abb. 2.39a. Nach (2.124) stellt sich zwischen den zwei parallelen Wanden vom Abstand h — 2a, ahnlich wie bei der Stromung durch den Kreisquerschnitt, ein parabelformiges Geschwindigkeitsprofil ein. Dabei gelten im vorliegenden Fall fur das Verhaltnis der maximalen zur mittleren Geschwindigkeit, die Geschwindigkeitsausgleichswerte sowie die Spaltreibungszahl tw 3 - . , vm 2

54 , ... a = — = 1,543, 35

_ 6 . ._ /3 = - = 1,20; 5

. 96 A= — Re

(Spalt) (3.95a, b, c)

mit Dg = AA/U = 2h. Die Spaltreibungszahl k = k(Re) ist in Abb. 3.24 als Kurve (1') wiedergegeben. Bei gleicher Reynolds-Zahl (gebildet mit dem gleichwertigen Durchmesser Dg) ist sie um den Faktor 1,5 groBer als beim Kreisrohr. Anwendungsbereich. Die bisher behandelte Laminarbewegung bei Rohr- und Spaltstromungen tritt bei entsprechend kleinen Geschwindigkeiten und kleinen Abmessungen der Stromungsquerschnitte auf. Sie stellt sich auBerdem je eher ein, desto groBer die kinematische Viskositat des Fluids ist. Sie umfaBt nur eine verhaltnismaBig kleine Gruppe technisch wichtiger Stromungen, und zwar gehoren hierzu die Schmiermittel- und Sickerstromung in Kap. 3.6.3.2 bzw. 5.5.3. Die fur die laminare Bewegung geltenden Bedingungen werden von den Stromungen in menschlichen und tierischen GefaBsystemen weitgehend erfiillt. Damit spielt die in diesem Kapitel besprochene laminare Rohrstromung in der Biofluidmechanik eine groBere Rolle, insbesondere, wenn man die Untersuchungen auf die Stromungen anomalviskoser (nichtnewtonscher) Fluide und auf Mehrphasenstromungen ausdehnt. Im Rahmen dieses Buches kann hierauf nicht eingegangen werden.

3.4.3.4 Vollausgebildete turbulente Stromung durch glattes Rohr Grundsatzliches. Wahrend die laminare Scherstromung durch ihr geordnetes Verhalten in nebeneinander verlaufenden Schichten gekennzeichnet ist, hat man es bei der turbulenten Scherstromung mit einer Bewegung zu tun, bei welcher sich die nebeneinander stromenden Schichten standig miteinander vermischen. Es entsteht das Bild einer unruhigen, scheinbar ohne jegliche GesetzmaBigkeit wirbeligen Bewegung. Sofern die Stromung als Ganzes betrachtet von der Zeit unabhangig ist, besitzt dabei die Geschwindigkeit jedes stromenden Fluidelements einen stationaren Mittelwert (Hauptstromung), dem unregelmaBige Schwankungen in Langs- und Querrichtung (Nebenstromung) iiberlagert sind. Durch die Turbulenz werden Impuls und Energie zwischen benachbarten Fluidschichten ausgetauscht und damit vom Inneren an die Wand transportiert. Dies bewirkt einen Ausgleich der Geschwindigkeit iiber den Rohrquerschnitt. Das Geschwindigkeitsprofil in einem kreiszylindrischen Rohr ist nicht mehr wie bei der laminaren Bewegung parabolisch, sondern im mittleren Stromungskern nahe der Rohrachse wesentlich

3.4.3 Stromung dichtebestandiger Fluide in geradlinig verlaufenden langen Rohren

237

gleichmaBiger, wahrend der Geschwindigkeitsabfall nach dem Rand zu entsprechend steiler ist, Kurve (2) in Abb. 3.22b. Zwischen dem Druckverlust (dpe/ds)x und der mittleren Geschwindigkeit vm besteht nicht mehr die durch (3.93a) zum Ausdruck kommende lineare Abhangigkeit, sondern vielmehr ist (dpe/ds)n bei der turbulenten Stromung entsprechend (3.83a) bei nahezu konstanter Rohrreibungszahl X eher proportional dem Quadrat der Geschwindigkeit. Es stellen sich erheblich groBere Stromungswiderstande in Form von Verlusten an fluidmechanischer Energie ein. Die Ursache dieser Verluste sind in den Mischbewegungen zu suchen, welche durch die oben erwahnten Geschwindigkeitsschwankungen entstehen. Die charakteristischen Unterschiede der beiden Stromungsarten (laminar, turbulent) wurden schon von Hagen [24] und Poiseuille [54] beobachtet. Die richtunggebende Grundlage, welche fiir das Verstandnis und die Beurteilung der Turbulenzentstehung von Bedeutung geworden ist, verdankt man indessen erst Reynolds [61], vgl. Kap. 2.5.3.5. Nach dem erstmalig von ihm durchgefuhrten Versuch laBt man Wasser, dem man mit Hilfe eines Kapillarrohrs gefarbte Fliissigkeit in Richtung der Rohrachse zufiihrt, durch Glasrohre von verschiedenem Durchmesser flieBen. Dabei zeigt sich, daB bei kleinen DurchfluBgeschwindigkeiten die gefarbte Fliissigkeit einen geraden Faden innerhalb des ungefarbten Wassers bildet, was auf laminare Bewegung schlieBen laBt. Bei Erreichen einer gewissen kritischen Geschwindigkeit zerreiBt dieser gefarbte Stromfaden und durchsetzt mit seinen Farbteilchen nahezu alle iibrigen Stromfaden des Rohrs. Dies ist ein Zeichen dafiir, daB sich jetzt die turbulente Stromungsform eingestellt hat. AuBerdem stellte Reynolds bei seinen Versuchen fest, daB die kritische Geschwindigkeit um so kleiner ist, je groBer die Rohrweite gewahlt wird. Aus dieser Beobachtung schloB er zunachst auf das Vorhandensein einer zahlenmaBig feststellbaren Grenze fiir den Ubergang von der laminaren zur turbulenten Stromungsform. Aus einer Ahnlichkeitsbetrachtung erkannte er weiter, daB diese Grenze durch eine dimensionslose Kombination aus der mittleren DurchfluBgeschwindigkeit vm, dem Rohrdurchmesser D und der kinematischen Viskositat des Fluids v bestimmt ist. Die hieraus gebildete Kennzahl, vgl. Kap. 1.3.2.2, und spater nach ihm benannte Reynolds-Zahl ist in (3.80a) mit Re = vmD/v angegeben. Unter der Voraussetzung gleicher Versuchsbedingungen, besonders hinsichtlich des Zulaufs im Rohr, tritt danach der Umschlag der laminaren in die turbulente Stromungsform bei einer bestimmten Reynolds-Zahl des laminar-turbulenten Umschlags Reu, haufig auch als kritische Reynolds-Zahl Re^r bezeichnet, ein. Wahrend laminare Rohrstromung bei Re < Reu vorliegt, stellt sich bei Re > Reu die turbulente Rohrstromung ein. Reynolds sprach bereits die Vermutung aus, daB die laminare Bewegung, da sie mathematisch eine mogliche Stromungsform darstellt, jenseits der oben angegebenen Grenze labil werden miisse und zugunsten der turbulenten Form geandert werde. Diese Auffassung hat sich in der Tat bestatigt, wie bei den Ausfiihrungen iiber die Entstehung der Turbulenz in Kap. 2.5.3.6 bereits gezeigt wurde. Als Reynolds-Zahl des laminar-turbulenten Umschlags fiir die Rohrstromung ermittelte Reynolds aus eigenen und alteren Versuchen von Darcy den Wert Reu «a 2000, mit geringen Streuungen nach beiden Seiten. Nach spateren Messungen von Schiller [63] ist fiir technisch glatte, gerade Rohre Reu = 2320, bei scharfkantigem

238

3.4 Stromung dichtebestandiger Fluide in Rohrleitungen (Rohrhydraulik)

AnschluB des Rohrs an eine vertikale Wand Reu = 2800. Reynolds beobachtete auch, daB sich bei entsprechend vorsichtigem Experimentieren die laminare Stromung wesentlich langer aufrechterhalten laBt, als es den vorstehend angegebenen Werten entspricht.39 Die turbulente Stromung in Rohren besitzt eine groBe technische Bedeutung. Fiir Wasser von 10°C mit einer kinematischen Viskositat v — 1,3 • 10~ 6 m 2 /s ergibt sich z. B. bei einem Rohrdurchmesser von D = 0,1 m aus Reu = 2320 eine Geschwindigkeit fiir den laminar-turbulenten Umschlag von vm = 0,03 m/s = 3 cm/s. Man erkennt daraus, daB Stromungen in Wasserleitungsrohren im allgemeinen turbulent verlaufen, da bei ihnen gewbhnlich wesentlich groBere Geschwindigkeiten auftreten. Erschwerend fiir die Beurteilung der fluidmechanischen Vorgange in einem Rohr tritt noch die Frage nach der Wandbeschaffenheit des Rohrs auf. ErfahrungsgemaB besteht hinsichtlich der GroBe des Stromungswiderstands in Rohren ein Unterschied, je nachdem ob es sich um glatte oder rauhe Rohrinnenwande handelt. Nun gibt es zwar absolut glatte Flachen selbst bei feinster Polierung der Oberflache in der Natur nicht. Indessen hat sich gezeigt, daB sich Rohre mit nicht zu groBer Rauheit als technisch oder fluidmechanisch (hydraulisch) glatt verhalten. Hieriiber geben die Betrachtungen in Kap. 3.4.3.5 einige Aufschliisse. Kreisfdrmiger Rohrquerschnitt. Im folgenden sollen experimentelle und theoretische Untersuchungen uber das Geschwindigkeitsprofil und iiber die Rohrreibungszahl der vollausgebildeten turbulenten, im Mittel stationaren Stromung durch kreisformige, fluidmechanisch glatte Rohre besprochen werden. Die Ermittlung des Druckverlusts infolge der Reibung an der inneren Rohrwand geschieht unter Einsetzen zeitlich gemittelter Werte fiir Geschwindigkeit und Druck in (3.83a).40 Auch bei der vollausgebildeten turbulenten Stromung ist die Rohrreibungszahl X im allgemeinen keine Konstante, sondern sie hangt nach (3.82c) von der Reynolds-Zahl Re ab. Uber die zahlreichen Beziehungen zur Berechnung der Rohrreibungszahl bei fluidmechanisch glatter Rohrinnenwand k = X(Re) berichten Unser und Holzke [82] in einer sogenannten Bestandsaufnahme. Man beachte auch die kritischen Betrachtungen zur Frage der Rohrreibung von Kirschmer [39], Lehmann [44] und Schroder [71]. Aufgrund experimenteller Auswertung stellt Blasius [7] die Abhangigkeit der Rohrreibungszahl von der Reynolds-Zahl Re > Reu = 2320 durch die halbempirische Potenzformel A. = -^=

= (100/?e)"?

(Reu < Re < 105) (Blasius)

(3.96)

t/Re dar. In Abb. 3.24 ist der Verlauf A = \{Re) als Kurve (2a) wiedergegeben. Verglichen mit der Kurve (1) fiir die laminare Stromung ergibt sich eine erheblich geringere Abhangigkeit von der Reynolds-Zahl. Spatere Versuche, besonders von Nikuradse [50], haben gezeigt, daB das Blasiussche Rohrreibungsgesetz kein fiir beliebig groBe Reynolds-Zahlen extrapolierbares Gesetz ist, sondern fiir Werte 39 Die GroBenordnung des Werts von Reu haben MeiBner und Schubert [61] auf der Grundlage des Entropieprinzips auch theoretisch gefunden. 40 Auf eine besondere Kennzeichnung der gemittelten GroBen, z. B. durch Oberstreichen wie in Kap. 2.5.3.5, wird hier verzichtet.

3.4.3 Stromung dichtebestandiger Fluide in geradlinig verlaufenden langen Rohren

239

Re > 100000 seine Giiltigkeit verliert. Mit wachsender Reynolds-Zahl Re geht der Abfall von k langsamer vor sich, als es (3.96) entsprechen wiirde. AuBer der Rohrreibungszahl wurde auch das Geschwindigkeitsprofil iiber den Rohrquerschnitt experimentell untersucht. Solche Messungen sind in Abb. 3.26 wiedergegeben. Wahrend bei laminarer Rohrstromung nach (3.90) keine Abhangigkeit des Geschwindigkeitsprofils von der Reynolds Zahl besteht, tritt eine solche bei der Verteilung der (gemittelten) Geschwindigkeit der turbulenten Rohrstromung auf. Man erkennt, daB sich mit wachsender Reynolds-Zahl eine immer gleichmaBigere Verteilung der Geschwindigkeit iiber den Querschnitt einstellt. Ist y = R — r der Abstand von der Rohrwand (y = 0, r = R) und "max die groBte Geschwindigkeit in der Rohrmitte (v = R, r — 0), dann laBt sich das Geschwindigkeitsprofil naherungsweise durch die Interpolationsformeln (3.97a) = Umax

1_ (_) L

\R)

(Potenzprofile) J

(3.97b)

beschreiben. Aus dem Blasiusschen Rohrreibungsgesetz hat Prandtl [55] fiir den Exponenten n in (3.97a) den Zahlenwert n = 1/7 abgeleitet. Man spricht daher auch vom Einsiebentel-Potenzgesetz des Geschwindigkeitsprofils bei turbulenter Rohrstromung. Dies ist in Abb. 3.26 gestrichelt dargestellt. Nach den wiedergegebenen Geschwindigkeitsprofilen muB bei Anwendung der Potenzformel (3.97a) der Exponent n = n{Re) sein; so ist z. B. n = 1/6 bei Re = 4 • 103 bis herab zu n = 1/10 bei 3,2 • 106. Nunner [43] gibt fiir den Exponenten n die einfache Beziehung n = v ^ mit X = k(Re) als Rohrreibungszahl an. Die Formel (3.97b) mit 1,25 ^ m ^ 2 und n = 1 / 7 stammt von Karman [33]. Sie ergibt eine

7-r/ff-

Abb. 3.26. Geschwindigkeitsprofile in einem turbulent durchstromten glatten Rohr bei verschiedenen Reynolds-Zahlen nach [50], y = R — r- Wandabstand, das laminare Geschwindigkeitsprofil ist nach (3.90a) zum Vergleich mit dargestellt

240

3.4 Stromung dichtebestandiger Fluide in Rohrleitungen (Rohrhydraulik)

etwas bessere Annaherung an die Messungen in Rohrmitte. Den EinfluB der Reynolds-Zahl kann man nach Dubs [16] mit m = 2 und n = 1/(1 +0,141/?e 1/6 ) erfassen.41 Es sei darauf hingewiesen, da8 nach beiden Interpolationsformeln der die Wandschubspannung bestimmende Geschwindigkeitsgradient bei n < 1 den Wert (dv/dr)r=R = —oo annimmt. Es wird also von (3.97a, b) die viskose Unterschicht nicht richtig beschrieben. Nach Einsetzen von (3.97b) in (3.79a) erhalt man nach Integration fur das Verhaltnis der maximalen zur mittleren Geschwindigkeit fur m = 1 bzw. m = 2 \{\+n)(2 + n)> — > l+n. (3.98a) 2 vm Weiterhin findet man nach Auswertung von (3.79b, c) die Geschwindigkeitsausgleichswerte zu )3(2 + n ) 3 >

4 ( l + 3 n ) ( 2 + 3«)) l ( l + H ) ( 2 + ,)»

(l+ng -

l + 3»

(1+^

4 l + 2 n - F ~ l + 2 n Fiir das Einsiebentel-Potenzgesetz (n = 1/7) gelten die Zahlenwerte 1,224 ^ i>max/i>m ^ 1,143, 1,058 ^ a ^ 1,045 und 1,020 ^ /3 ^ 1,016. Fur die Geschwindigkeitsprofile in Abb. 3.26 sind die zugehorigen Werte vmax/vm mitangegeben. Die Ausgleichswerte der turbulenten Rohrstromung sind im Gegensatz zur laminaren Rohrstromung nach (3.91) nur wenig von eins verschieden, so da6 man naherungsweise a w j 8 « l setzen kann. Nachstehend seien einige theoretische Aussagen iiber die Verteilung der Geschwindigkeit iiber den Rohrquerschnitt bei turbulenter Stromung gemacht. Bei der Ableitung des asymptotischen logarithmischen Wandgesetzes fiir das Geschwindigkeitsprofil turbulenter Stromungen in Kap. 2.5.3.5 wurde bereits festgestellt, daB sich der EinfluB der Viskositat bei wenig viskosen Fluiden im wesentlichen auf eine sehr diinne viskose Unterschicht, 0 ^ y ^ So, beschrankt, wahrend sonst die Turbulenz von maBgebendem EinfluB ist. Tragt man analog zu Abb. 2.42c die Abb. 3.26 zugrunde liegenden MeBwerte in der Form v/vT = f(yT) mit vr = y/xw/p als Schubspannungsgeschwindigkeit und yT = vTy/v als dimensionslosem Wandabstand auf, so erhalt man Abb. 3.27. Von der viskosen Unterschicht Kurve (1), gelangt man iiber die Ubergangsschicht, Kurve (2), zur vollturbulenten Schicht, Kurve (3). In der gewahlten Darstellung (Abszisse: logarithmisch, Ordinate: linear) stellt die Kurve (3) eine Gerade dar, welche durch das universelle Wandgesetz (2.156) beschrieben wird, vgl. Prandtl [56, 57]. Mit den hier verwendeten Bezeichnungen gilt nach Nikuradse [50] — = - In (—) Vr

K

\

+ B = 5,75 lgyT + 5,5

(Log.-Profile),

(3.99a, b)

V )

wobei die Zahlenwerte den MeBergebnissen angepaBt sind, K = 0,4 und B = 5,5. Bestatigt durch die experimentellen Ergebnisse folgt, daB das zunachst nur fiir 41

Fiir m = 1 stimmen (3.97a) und (3.97b) miteinander iiberein. Gl. (3.97b) gibt mit m = 2 und n = 1 das Geschwindigkeitsprofil der laminaren Rohrstromung nach (3.90a) wieder.

3.4.3 Stromung dichtebestandiger Fluide in geradlinig verlaufenden langen Rohren

VA f-M

y

oRe-%00-103 A

2,33-W

'

1,05- 10s

°

3,91-10s

x

1,11-10

s

e

1,96-10'

•

3,2t-Ws

•

/fe/dard i

0

6 Re-3,2^10

Nikuradse

r Re-hft 10s

t iS'l

241

60/v-5 1

2 3 \$yt-\3(vty/v)

f

5

Abb. 3.27. Geschwindigkeitsverteilungsgesetz einer turbulenten Stromung im glatten Rohr nach [50], vgl. Abb. 2.42c. (1) Viskose Unterschicht, (2) Ubergang von der viskosen Unterschicht zur vollausgebildeten turbulenten Rohrstromung, (3) logarithmisches Gesetz nach (3.99b)

Punkte in Wandnahe aufgestellte Geschwindigkeitsgesetz auBerhalb der viskosen Unterschicht und der viskos-turbulenten Ubergangsschicht auf den ganzen Strb'mungsbereich bis zur Rohrmitte angewendet werden kann. In der Rohrmitte ist y — R und die maximale Geschwindigkeit v = umax zu setzen. Aus (3.99a) erhalt man mit y = R — r fur das Geschwindigkeitsprofil v(r) die Beziehung — v= — l n f l - - ) K \ R)

(Prandtl).

(3.100a)

Weiterhin ergibt sich durch Integration iiber den Rohrquerschnitt gemaB (3.79a) die mittlere Durchstromgeschwindigkeit zu - C = - In

vTR

+ B-C

(3.100b, c)

K

mit ic = 0,4, B = 5,5, C = 3/2/c = 3,75 und B - C = 1,75. Nach vorliegenden Messungen ist C = 4,07. Auf die der Herleitung von (3.99) zugrunde liegenden Annahmen, namlich konstante Schubspannung iiber den gesamten Stromungsquerschnitt, r/xw = 1, sowie lineare Zunahme des Mischungswegs mit wachsendem Wandabstand, / = icy, sei besonders aufmerksam gemacht. Karman [34] gibt ebenfalls eine Formel fur das Geschwindigkeitsprofil an, indem er fur die Schubspannungsverteilung den in (3.84c) angegebenen exakten Verlauf mit x/xw = r/R und fiir den Mischungsweg den von ihm vorgeschlagenen Ansatz / = —ic(dv/dr)/(d2v/dr2) verwendet. Es ist - |

(Karman).

(3.101)

242

3.4 Stromung dichtebestandiger Fluide in Rohrleitungen (Rohrhydraulik)

Man nennt dies das Mittengesetz der turbulenten Rohrstromung, da es im Gegensatz zu der aus dem Wandgesetz hergeleiteten Beziehung (3.100a) die Schubspannung auch in Rohrmitte richtig erfaBt. Gl. (3.101) gilt eigentlich nur fur ebene Strdmung. Ein Vorschlag zur genaueren Erfassung der achsensymmetrischen Stromung wird in [71] gemacht. In den besprochenen beiden Fallen ist die mit der Schubspannungsgeschwindigkeit vr dimensionslos gemachte Differenz (umax — v) eine universelle Funktion von r/R. Da die Reynolds-Zahl nicht explizit auftritt, gelten die Geschwindigkeitsgesetze, wenn man von kleinen Reynolds-Zahlen absieht, bei denen sich die Viskositat starker bemerkbar macht, fur alle Reynolds-Zahlen. In Abb. 3.28 sind die Geschwindigkeitsprofile nach (3.100a) als Kurve (1) mit K = 0,4 und nach (3.101) als Kurve (2) mit K = 0,36 dargestellt. Trotz der erheblich verschiedenen Annahmen bei dem Wandgesetz mit konstanter Schubspannung und linearer Mischungsverteilung sowie bei dem Mittengesetz mit linearer Schubspannungsverteilung und nicht-linearer Mischungswegverteilung weichen diese beiden Kurven nur wenig voneinander ab. An der Rohrwand r = R treten in beiden Fallen unendlich groBe Geschwindigkeiten auf, d. h. die Haftbedingung vw = 0 ist nicht erfullt. Dies Ergebnis wird wegen der nicht beriicksichtigten viskosen Unterschicht (ImpulsaustauschgrdBe Ax S> molekulare Viskositat -q) verstandlich. Die theoretisch ermittelten Geschwindigkeitsprofile stimmen nach Abb. 3.28 sowohl fur glatte als auch rauhe Rohrinnenwande mit experimentellen Ergebnissen sehr gut iiberein. Im folgenden sei noch eine Bemerkung zum Verlauf des Mischungswegs iiber den Rohrquerschnitt 0 fS r ^ R gemacht. Nikuradse [50] hat diesen aus seinen Messungen ermittelt. Die Verteilung ist in Abb. 3.29 fur Reynolds-Zahlen Re = vmD/v > 105 dargestellt. Dabei zeigt sich praktisch eine Unabhangigkeit sowohl von der Reynolds-Zahl Re als auch vom Rauheitsparameter k/R.Es ist k

\

\

°

•

U2)

o glatt • rauh \ \

\ '.

X(2)^

s 0,01

0,02!

0,50

0,25

7-r/ff-

0,5

Abb. 3.28. Vergleich zweier Geschwindigkeitsverteilungsgesetze fur glatte und rauhe Rohre bei turbulenter Stromung, Re = 106. (1) Prandtlsches Wandgesetz (3.100a), (2) von 1,0 Karmansches Mittengesetz (3.101), Messungen nach Nikuradse [50]

3.4.3 Stromung dichtebestandiger Fluide in geradlinig verlaufenden langen Rohren

243

OX

o,n

i—

w— 0,10

0,0f— /

0,02

y

y ° glatt, i,V10s^Fie<3,l-i0s • rauh, 0M
/ 10

0,2 y/R-1-r/R •

Abb. 3.29. Verteilung des Mischungswegs l/R uberdem Rohrquerschnitt 0 ^ y/R = 1 — r/R ^ 1 fur glatte und rauhe Rohre nach [50]

die Rauheitshohe, iiber die in Kap. 3.4.3.5 noch ausfiihrlich berichtet wird. Weiterhin laBt die Auftragung l/R = f(r/R) erkennen, daB der Mischungsweg fur kleine Wandabstande linear ansteigt, dann aber langsamer zunimmt, bis er in der Rohrmitte ein Maximum erreicht. Fiir y/R -^ 0 bzw. r/R —^ 1 folgt der Prandtlsche Ansatz (2.153a) mit / = icy = K(R - r) und K = 0,4. Fiir die technischen Anwendungen interessiert im allgemeinen weniger das genaue Geschwindigkeitsprofil iiber den Rohrquerschnitt als vielmehr der bei der Rohrstromung auftretende fluidmechanische Energieverlust. Dieser laBt sich nach (3.82) durch die Rohrreibungszahl k erfassen. Wahrend iiber experimentelle Ergebnisse bereits berichtet wurde, moge jetzt die theoretische Ableitung eines allgemein giiltigen halbempirischen Gesetzes besprochen werden. Ausgangspunkt hierfiir sind das logarithmische Geschwindigkeitsgesetz fiir die mittlere Geschwindigkeit (3.100c) sowie die Definitionsgleichungen (3.86c) fiir die Schubspannungsgeschwindigkeit und (3.80a) fiir die Reynolds-Zahl; d. h. es gilt A./8 = (vr/vm)2. Auf diese Weise erhalt man die von Prandtl [57] angegebene Beziehung fiir die Rohrreibungszahl des fluidmechanisch glatten Rohrs in der Form

-^= = a in(ReVk) -b = a

- b

(Prandtl)

(3.102a, b)

mit den Zahlenwerten a = 1/KVS = 0,884 bzw. a = 2,035 und b = [(3 + In 32)/ 2K - B]/VS = 0,913. Der Ausdruck (3.102b) stellt die Gleichung einer Geraden der Veranderlichen l/Vk und \g{Re\fk) dar und wird durch Versuche von Nikuradse [50] sehr gut bestatigt, wenn die Zahlenwerte den ausgewerteten Messungen noch angepaBt werden. Man erhalt mit a = 2,0 und b = 0,8 schlieBlich

-J= = 2,0 ig(ReVk) - 0,8 (Rohr).

(3.103)

Diese Beziehung enthalt die Rohrreibungszahl k nur implizit. Einfach auswertbare explizite Naherungsausdriicke sind in [82] sowie mit A. ss l,02(lg/?e) • von White [86] wiedergegeben. Mit (3.103) liegt ein Rohrreibungsgesetz fiir Kreisrohre vor, das fiir alle Reynolds-Zahlen der vollturbulenten Rohrstromung gilt, sofern

244

3.4 Stromung dichtebestandiger Fluide in Rohrleitungen (Rohrhydraulik)

die Rohre als fluidmechanisch (hydraulisch) glatt angesehen werden konnen, vgl. Kap. 3.4.3.5. Der Verlauf A = X(Re) ist in Abb. 3.24 als Kurve (2b) eingezeichnet. Bis Re = 100000 stimmen die Kurven (2a) und (2b) zufriedenstellend iiberein. Nichtkreisformiger Rohrquerschnitt. Auch fur Rohre mit nichtkreisfornigem Querschnitt ist die Rohrreibungszahl, sofern die Rohre als fluidmechanisch glatt angesehen werden konnen, nur eine Funktion der Reynolds-Zahl, X = X(Re). Versuche von Schiller [64] (gleichseitiges Dreieck, Quadrat, Rechteck, Wellenrohr) und Nikuradse [52] (Dreieck und Trapez) haben gezeigt, da6 der EinfluB der Querschnittsform auf die Rohrreibungszahl X gegeniiber demjenigen der ReynoldsZahl eine geringere Bedeutung besitzt. Es laBt sich (3.103) naherungsweise auch auf Dreieck-, Trapez- und Rechteckquerschnitte anwenden, wenn man anstelle des Rohrdurchmessers D iiberall den gleichwertigen Durchmesser Dg nach (3.77) einfiihrt. Nikuradse [50] hat auch das Geschwindigkeitsprofil in recht- und dreieckformigen Querschnitten durch Messung bestimmt. Dabei hat sich gezeigt, daB in den Querschnittsecken verhaltnismaBig hohe Geschwindigkeiten auftreten, was auf Sekundarbewegungen zuriickzufiihren ist. Im einzelnen kann hierauf nicht eingegangen werden. Gerader Spalt. Fur die Stromung durch einen fluidmechanisch glatten Spalt liefert eine ahnliche Rechnung wie bei der Kreisrohrstromung die Spaltreibungszahl X zu

-J= = 2,0lg(ReVx) - 1,0

(Spalt)

(3.104)

mit Re nach (3.80a) und Dg = 2h nach (3.77), wenn h die Spalthohe ist. Wie die Kurve (2') in Abb. 3.24 zeigt, ergeben sich keine groBen Abweichungen gegeniiber den Werten bei der Stromung durch kreisformige Querschnitte.

3.4.3.5 Vollausgebildete turbulente Stromung durch rauhes Rohr Grundsatzliches. Fiir die Erforschung des Verhaltens einer turbulenten Rohrstromung sind die am glatten Rohr gewonnenen Erkenntnisse von groBer Bedeutung. Jedoch handelt es sich dabei um einen Sonderfall, da technisch verwendete Rohre mehr oder weniger rauhe Innenwande besitzen. Es erhebt sich dann die Frage, unter welchen Umstanden der Stromungswiderstand beim rauhen Rohr groBer als beim glatten ist. Bei sonst gleichen Verhaltnissen bestehen je nach Art der Rauheit (GroBe und Anzahl der Wandunebenheiten, Entfernung derselben voneinander, Neigung gegen die Stromungsrichtung usw.) erhebliche Unterschiede. Die Wandunebenheit wird durch die Rauheitshohe k erfaBt. Das Verhaltnis dieser GroBe zum Rohrdurchmesser D, bei nichtkreisformigem Querschnitt zum gleichwertigen Durchmesser Dg nach (3.77), bezeichnet man als relative Rauheit oder als Rauheitsparameter k/D. Es wurde bereits in Kap. 3.4.3.4 darauf eingegangen und in Abb. 3.27 gezeigt, daB der Ubergang von der iiber den Rohrquerschnitt vollausgebildeten turbulenten Stromung in unmittelbarer Wandnahe iiber eine schmale viskose Unterschicht von der Dicke So erfolgt. Diese bildet sich sowohl bei glatter als auch bei rauher

3.4.3 Stromung dichtebestandiger Fluide in geradlinig verlaufenden langen Rohren

245

Rohrinnenwand aus. Neben der turbulenten Rohrstromung bei glatter Wand hat Nikuradse [50] auch die turbulente Rohrstromung bei rauher Wand experimentell untersucht. Einige dieser Ergebnisse sind in Abb. 3.28 fur die auf die Schubspannungsgeschwindigkeit bezogene Geschwindigkeitsverteilung und in Abb. 3.29 fur die Verteilung des Mischungswegs wiedergegeben. In beiden Fallen gelten fiir die glatte und rauhe Rohrwand die gleichen Gesetzma'Bigkeiten. Diese Feststellung trifft fiir groBere Reynolds-Zahlen (Re > 105) zu. Fiir die Darstellung des Geschwindigkeitsprofils durch ein Potenzgesetz entsprechend (3.97a) findet Nunner [43], daB dies in gleicher Weise auch fiir die Stromung in einem Rohr mit rauher Wand gilt, wobei wieder n = *Jk ist mit A. als Rohrreibungszahl des rauhen Rohrs. Auf grand der Erkenntnisse ist zu folgern, daB die Wandbeschaffenheit des Rohrs auf die Schwankungsbewegung der Stromung nahezu ohne EinfluB ist, solange man von den Vorgangen in der schmalen, von der Viskositat stark beeinfluBten Zone in Wandnahe absieht. Es ist nun einleuchtend, daB die Frage glatt oder rauh offenbar von dem Verhaltnis der GroBe der Wandunebenheit k zur Dicke So abhangt. Da nach Abb. 3.27 So ~ v/vT ist, gilt also IC/SQ ~ vrk/v. Je groBer dieser Verhaltniswert ist, desto rauher ist das Rohr. Sind nun die unvermeidlichen Wandunebenheiten so klein, daB sie von der viskosen Unterschicht vollkommen eingehiillt werden, dann ist die Wandrauhheit auf den viskosen Stromungsvorgang ohne Bedeutung. Das Rohr wird in diesem Fall als fluidmechanisch (hydraulisch) glatt bezeichnet, und es gelten die in Kap. 3.4.3.4 abgeleiteten Gesetze. Ragen dagegen die Rauheitselemente erheblich iiber die mit wachsender Reynolds-Zahl schmaler werdende viskose Unterschicht hinaus, dann setzen sie der turbulenten Stromung zusatzliche Widerstande entgegen. Ein solches Rohr wird als fluidmechanisch vollkommen rauh angesehen, und es gelten dafiir andere GesetzmaBigkeiten. Aus systematischen Versuchen an rechteckigen Kanalen von verschiedener Hohe und unter Verwenden verschiedenen Wandmaterials (Drahtnetz, sageartig bearbeitetes Zinkblech, zwei Arten von Waffelblech) sowie aus weiteren zum Vergleich herangezogenen Versuchsergebnissen kann man schlieBen, daB bei der turbulenten Stromung zwei Arten von Rauheit zu unterscheiden sind. Diese gehorchen zwei verschiedenen Ahnlichkeitsgesetzen und werden als eigentliche Wandrauheit bzw. als Wandwelligkeit bezeichnet. Wandrauheit zeigt sich bei besonders groben und dicht nebeneinanderliegenden Wandunebenheiten, z. B. bei rauhen Eisen- und Betonrohren, und umfaBt das Gebiet des vollkommen rauhen Rohrs. Wandwelligkeit liegt bei kleinerer Rauheit oder bei sanfteren Ubergangen zwischen den einzelnen Rauheitselementen vor und betrifft das Ubergangsgebiet vom glatten zum rauhen Rohr. Rohrreibungszahl des vollkommen rauhen Rohrs. Wahrend fiir das glatte Rohr die Rohrreibungszahl A nur von der Reynolds-Zahl Re abhangt, tritt jetzt fiir das rauhe Rohr die Frage nach der Abhangigkeit der Rohrreibungszahl k vom Rauheitsparameter k/D neu hinzu, vgl. (3.82c). Umfangreiche Messungen zur Erforschung des Rohrreibungsgesetzes in rauhen Rohren werden in [50] mitgeteilt. Sie erstrecken sich iiber den laminaren und turbulenten Bereich bis zu ReynoldsZahlen von Re «a 106. Die Innenwande der Versuchsrohre wurden durch ein Gemisch aus Lack und Sand von bestimmter KorngroBe kiinstlich rauh gemacht,

246

3.4 Stromung dichtebestandiger Fluide in Rohrleitungen (Rohrhydraulik)

sogenannte Sandkornrauheit. Als relative Rauheit wurde das Verhaltnis k/R mit R = D/2 als Rohrradius und k als Hohe der Sandkornrauheit (kiinstliche oder ideelle Rauheit im Gegensatz zur natiirlichen oder technischen Rauheit) eingefiihrt. Die Versuchsergebnisse gibt Abb. 3.30 wieder, in welcher die Rohrreibungszahl A. als Funktion der Reynolds-Zahl Re im doppeltlogarithmischen MaBstab aufgetragen ist. Die stark geneigte Gerade (1) stellt die Rohrreibungszahlen A. = A.(/?e) im laminaren Bereich fiir glatte Rohre und die ihr parallele gestrichelte Gerade (la) diejenigen im gleichen Bereich fiir rauhe Rohre dar. Bei gleicher Reynolds-Zahl unterscheiden sich die Werte von A praktisch nicht voneinander. Als Reynolds-Zahl des laminar-turbulenten Umschlags wurde fiir das rauhe Rohr 2160 < Reu < 2410 gefunden; also etwa der gleiche Wert wie fiir das glatte Rohr mit Reu = 2320. Die iibrigen Kurven entsprechen der turbulenten Stromungsform, und zwar stellen die Kurven (2a) und (2b) die Rohrreibungszahl fiir das glatte Rohr A. = X(Re) dar, wahrend die Kurven (3) mit A. = X(Re, k/R) fiir rauhe Rohre bei wachsender relativer Rauheit gelten. Alle Werte von A fiir das rauhe Rohr liegen bei gleicher Reynolds-Zahl Re hoher als diejenigen fiir das glatte Rohr. AuBerdem erkennt man, daB bei groBeren Reynolds-Zahlen fiir alle untersuchten Rauheiten das quadratische Rohrreibungsgesetz (3.82a) gilt, da bei vorgegebener Geometrie A. = X(k/R) = const nicht mehr von der Reynolds-Zahl abhangt. Dies Gesetz wird um so eher erreicht, je groBer der Rauheitsparameter k/R ist. Zur Ableitung eines theoretischen Gesetzes fiir die Rohrreibungszahl der vollausgebildeten Rauheitsstrdmung in kreiszylindrischen Rohren A = k(k/D) kann nach Karman [34] die Beziehung (3.100b,c) benutzt werden. Ist, wie hier

0,120 0,100

Re-vmD/v Abb. 3.30. Experimentell bestimmte Rohrreibungszahlen fiir kiinstlich rauhe (sandrauhe) Rohre, theoretische Beziehungen fiir glatte Rohre. (1) Laminar glatt, nach (3.93b), (la) laminar rauh, (2a) turbulent glatt, nach (3.96), (2b) turbulent glatt, nach (3.103), (3) turbulent sandrauh, nach (3.107 b). Messungen nach [50], vgl. Tab. 3.3

3.4.3 Stromung dichtebestandiger Fluide in geradlinig verlaufenden langen Rohren

247

Tabelle 3.3. Rohrreibungszahlen X = X(Re, k/D) fiir glatte und technisch rauhe Rohre mit Kreisquerschnitt, Re = vmD/v, k/D nach Tab. 3.4 Zustand

RohrreibungszaM

1 VI

laminar (glatt)

ilent

allgemein

1

1

VX

„

ReVx 64 ( 2,51

"°l£\Rey/k

„ k\

' °'"7Dj

Reynolds-Zahl

Gleichung

Abb.

Re < Reu = 2320

(3.93b)

3.24 3.30

Reu < Re < oo

(3.108)

3.31

(3.103)

3.24 3.30

glatt

-L=2,01g(^)-0,8

rauh

—= = l,14-2,01g ( — ) s/X \DJ

Re -»• oo

(3.107b)

3.30 3.31

Grenze

—= = 2,0lg(Re^/X) - 3,5

X R* const

(3.109b)

3.31 3.32

3 -

vorausgesetzt wird, die mittlere Wandrauheit k groB gegeniiber der Dicke der viskosen Unterschicht So, so besteht, wie bereits oben angegeben, die Abhangigkeit vT/v ~ \/k. Fiihrt man diesen Zusammenhang in die Beziehung (3.100c) fiir die mittlere Geschwindigkeit ein, so geht diese mit einem geanderten Wert fiir die Konstante B iiber in v 1. / « —m = - In B-C (3.105) mit

K = 0,4,

B = 8,5, C = 3,75 und B - C = 4,75. In Analogie zu (3.102) erhalt man aus A./8 = (vx/vm)2 die Beziehung fur die Rohrreibungszahl des fluidmechanisch vollkommen rauhen Rohrs in der Form —

+ d (Karman)

(3.106a, b)

mit den Zahlenwerten a — 1/A;V8 = 0,884 bzw. a = -2,035 und d = (B - C)/V8 = 1,679 bzw. d = d - aln2 = 1,067. Nach Anpassen der Zahlenwerte an die Messungen von Nikuradse [50] findet man schlieBlich • . . .

_ _,

. K

(3.107a, b) Im Gegensatz zu (3.103) laBt sich X explizit berechnen. Die auftretenden Konstanten gelten zunachst nur fiir die den Versuchen zugrunde liegende kiinstliche Rauheit, d. h. fiir die Sandkornrauheit, vgl. die in Abb. 3.30 an der rechten Ordinate angegebenen Werte. In gleicher Weise wie beim glatten Rohr sei auch hier auf [39, 82] hingewiesen. Um nun (3.107) auch fiir die in der Technik vorkommende natiirliche Rauheit verwenden zu konnen, empfiehlt es sich, der tatsachlichen Rauheit eine aquivalente Sandkornrauheit zuzuordnen, die nach (3.107) dieselbe Rohrreibungszahl A,

3.4 Stromung dichtebestandiger Fluide in Rohrleitungen (Rohrhydraulik)

248

Tabelle 3.4. Technische Rauheitshohen in turbulent durchstromten geraden Rohren, nach Kirschmer [12] Wandbeschaffenheit

Beispiele

k in mm

1

besonders glatt, d. h. annahernd fluidmechanisch glatt

Glas, Metall, Gummi, Kunststoff, gezogen, gepreBt, poliert, geschliffen, extrudiert, lackiert,...

^ 0,002

2

technisch glatt

wie Nr. 1, jedoch nicht so sorgfaltig hergestellt, Asbestzement, nahtlose Stahlrohre (handelsubliche Ware),...

^ 0,05

3

maBig rauh

Schleuderbeton, Sonderbeton, Steinzeug, asphaltierte Rohre, Rohre mit Kunststoffauskleidung, Pechfaserrohre,...

normal 0,20/0,25- • 0,5

4

rauh

wie Nr. 3, jedoch mit leichten bis mittleren Verkrustungen, Beton ohne besondere Giite, rauhes Holz, regelmaBiges Mauerwerk, versenkt genietete Rohre, torkretierte Stollen,...

0,5 ••• 2,0

5

sehr rauh und unregelmaBig

schlechte Ausfiihrungen von Nr. 4, mit schlechten StoBstellen, Fugen, Querlaschen, starken Verkrustungen im langjahrigen Betrieb,...

10---20

Nr.

liefert wie die vorliegende natiirliche Rauheit. Systematische Messungen der aquivalenten Sandkornrauheit fiir eine groBere Anzahl von regelmaBig angeordneten Rauheitselementen in Kugel-, Kalotten- und Kegelform stammen von Schlichting [66]. Anhaltswerte iiber die GroBe der aquivalenten Rauheitshdhen fiir eine Anzahl technisch wichtiger Rohre liefert Tab. 3.4, welche Kirschmer [12] zusammengestellt hat. Sie zeigt den verhaltnismaBig groBen Streubereich, welcher in der richtigen Wahl von k bei alien technischen, d. h. natiirlichen Rauheiten besteht. Eine weitere Schwierigkeit liegt in der dauernden Veranderung, welche die Innenwand der Rohre im Betriebszustand durch Rostbildung, Verschleimung, Verkrustung, chemische Einwirkung von Sauren und dergleichen erleidet. Dadurch

3.4.3 Stromung dichtebestandiger Fluide in geradlinig verlaufenden langen Rohren

249

wird nicht nur die Wandbeschaffenheit, sondern auch bis zu einem gewissen Grad der Stromungsquerschnitt, beeinfluBt. Einen iiberschlagigen Anhalt fiir eine erste Abschatzung der Rohrreibungszahl liefert der Wert A. ~ 0,03, der fiir neue Rohre zu groB ist, aber fiir gebrauchte mit diinner Ansatzschicht bei mittleren Geschwindigkeiten von 0,5 bis 1 m/s ungefahr zutrifft. Rohrreibungszahl im Ubergangsbereich. Eine Unsicherheit liegt noch vor, wenn man sich im Ubergangsgebiet zwischen glatter und rauher Rohrwand bewegt, wo sich ein Teil der Wandunebenheiten noch in der viskosen Unterschicht befindet, wahrend ein anderer bereits in die turbulente Zone hineinragt. Um diese Liicke zu schlieBen, hat Colebrook [12] eine Interpolationsformel angegeben, welche als Ubergangsgesetz bekannt ist, und zwar gilt fiir A = k(Re, k/D)42

Es ist k in (3.108) wieder die fiir technische Rohre maBgebende aquivalente Sandrauheit gema'B Tab. 3.4. Dieses fiir technische oder natiirliche Rauheit giiltige Gesetz ist in Abb. 3.31 als sogenanntes Moody-Diagramm [12] dargestellt. Es weicht gegeniiber Abb. 3.30 im Ubergangsbereich von den Werten fiir kiinstliche Sandrauheit entscheidend ab. Die Beziehung (3.108) enthalt mit k -» 0 den Grenzfall des fluidmechanisch glatten Rohrs nach (3.103) und mit Re —> oo den Grenzfall des fluidmechanisch vollkommen rauhen Rohrs nach (3.107).42 Der Aufbau der Gleichungen (3.103), (3.107) und (3.108) kann somit als in sich geschlossen angesehen werden. Hinsichtlich weiterer Beziehungen zur Berechnung der Rohrreibungszahl fiir den Ubergangsbereich vom glatten zum rauhen Rohr sei wieder auf [82] verwiesen. Um den Unterschied im Ubergangsbereich vom fluidmechanisch glatten zum vollkommen rauhen Zustand noch klarer hervortreten zu lassen, ist in Abb. 3.32 die GroBe / = 1/VI + 2,01g(£/D) uber g = (k/D)ReV^ halblogarithmisch aufgetragen. Kurve (1) stellt nach (3.103) das glatte Rohr mit / = 2,0 Igg - 0,8 dar, Kurve (2) nach (3.107b) das vollkommen rauhe Rohr mit / = 1,14, Kurve (3) die Messungen fiir das kiinstlich rauhe (sandrauhe) Rohr nach Abb. 3.30 und Kurve (4) den Ubergangsbereich fur das technisch rauhe Rohr nach (3.108) mit / = - 2,01g(2,51/g + 0,27). Es zeigt sich, daB beim technisch rauhen Rohr entscheidende Abweichungen gegeniiber den am kiinstlich rauhen Rohr ermittelten Werten auftreten. Im ersten Fall sind die Werte der Rohrreibungszahl stets groBer als im zweiten Fall. Fiir Werte g > 200 treten keine merklichen Unterschiede zwischen der kiinstlichen und technischen Rauheit auf. Die beiden Kurven (3) und (4) gehen in die Kurve (2) fiir das vollkommen rauhe Rohr iiber. Fiir den Ubergangsbereich vom vollkommen glatten zum vollkommen rauhen Rohr gelten also Werte g < 200. Mithin laBt sich fiir die Grenze, von der ab die Rohrwand sich fluidmechanisch

42

Haufig wird (3.108) als Formel von Colebrook und White bezeichnet.

250

3.4 Stromung dichtebestandiger Fluide in Rohrieitungen (Rohrhydraulik) ted k

r \

010

ch rauh, (3 a) vollkommen rauh, (3b

)

0,08

.

k/D - 0 05 N,

0,06 —— 0,05 \

-—.

—

nm,

N.

\

—

,

0,02

—

—

\

==

0,01

~—^

0005

\ \

0,03

\

— - = —. ~—

glatt

.

\

0,02

0,001

• —

00005

Ml \ _l (

^

\ 001

6

S

•

6

8 10°

2

6 S

S

8 '

Re=vm-D/v Abb. 3.31. Rohrreibungszahlen fiir technisch rauhe Rohre, Moody-Diagramm [12]. (1) laminar nach (3.93b), (2) turbulent glatt, nach (3.103), (3a) turbulent technisch rauh, nach (3.108), (3b) turbulent vollkommen rauh, nach (3.107), (4) Grenzkurve nach (3.109), vgl. Tab. 3.3

Abb. 3.32. Obergangsbereich von fluidmechanisch glattem zu vollkommen rauhem Rohr bei turbulenter Stromung. (1) Fluidmechanisch glatt, nach (3.103), (2) vollkommen rauh, nach (3.107), (3) kiinstlich rauh, nach Abb. 3.30, (4) technisch rauh, nach (3.108), g = 200: Ubergang, nach (3.109)

vollkommen rauh verhalt, mit g = 200 die Beziehung -^

= -^--=2,0

ig(ReVx) - 3,5

(Grenzkurve)

(3.109a, b)

3.4.3 Stromung dichtebestandiger Fluide in geradlinig verlaufenden langen Rohren

251

angeben. Dabei folgt der Zusammenhang in (3.109b) durch Einsetzen von k/D = 200/Rey/k in (3.107b). Das so gefundene Ergebnis ist in Abb. 3.31 als Kurve (4) gestrichelt dargestellt. Die Formeln zur Berechnung der Rohrreibungszahlen X(Re, k/D) fur Rohre mit kreisformigem Querschnitt sind in Tab. 3.3 zusammengestellt. Die daraus berechneten, in Abb. 3.31 wiedergegebenen Werte kann man auch fur nichtkreisformige Querschnitte verwenden, wenn man anstelle des Rohrdurchmessers D den gleichwertigen Durchmesser Dg nach (3.77) einsetzt. FlieBformel. Schon Brahms und de Chezy haben eine Formel zur Berechnung der Stromungsgeschwindigkeit in geradlinig verlaufenden Rohrleitungen mit konstantem Querschnitt angegeben. Diese kann man nach (3.83b) folgendermaBen schreiben: mit

c=—=.

(3.110a, b)

Hierin bedeutet D den Rohrdurchmesser, g die Fallbeschleunigung, Je das Energiegefalle und c den Geschwindigkeitsbeiwert. Das Energiegefalle gibt die Neigung der Energielinie in Abb. 3.20b an. Der Geschwindigkeitsbeiwert c wurde zunachst empirisch bestimmt. Aufgrund der jetzt vorliegenden theoretischen oder zumindest halbempirischen Ergebnisse kann die zuverlassigere Formel (3.110b) zur Ermittlung von c angegeben werden.43

3.4.3.6 Rohreinlaufstromung Grundsatzliches. Die bisher gefundenen Rohrreibungsgesetze gelten fiir die vollausgebildete Rohrstromung, die sich bei AnschluB des Rohrs an ein GefaB theoretisch nach unendlich langer Strecke im Ansatzrohr einstellt. Auf das beim Einlaufvorgang (Index N = L) vorliegende Stromungsverhalten wurde bereits bei der Erlauterung von Abb. 3.21 hingewiesen. Bei gut abgerundetem RohranschluB ist das Geschwindigkeitsprofil dort gleichmaBig iiber den Querschnitt verteilt (Kolbenprofil) und entwickelt sich stromabwarts als Rohreinlaufstromung in das vollausgebildete Geschwindigkeitsprofil der reibungsbehafteten Stromung (z. B. Paraboloid-Profil bei laminarer Stromung). Die Ausbildung der wandnahen reibungsbehafteten Stromung (Reibungsschicht) und der reibungslosen beschleunigten Kernstromung im Inneren des Rohrs ist in Abb. 3.33 schematisch dargestellt. Dabei kann es sich nach Abb. 3.33a um eine laminare oder eine turbulente sowie nach Abb. 3.33b um eine laminarturbulente Einlaufstromung handeln. Bei einem scharfkantigen RohranschluB nach Abb. 3.33c wurde zunachst kurz hinter dem Eintritt des Fluids in das Rohr eine Stromungsablosung auftreten und sich von hieraus die Rohreinlaufstromung

43

Die Beziehung (3.110) wird besonders bei der Gerinnestromung in Kap. 3.5.3 verwendet, vgl. Abb. 3.64.

252

3.4 Stromung dichtebestandiger Fluide in Rohrleitungen (Rohrhydraulik)

Reibungsschicht

f

\ \

(

|

I U

laminar

vollausgebi Stromung

iibergang laminar-turbulent

abgeloste Stromung

Einlauflange s,

Abb. 3.33. Schematische Darstellung der Rohreinlaufstromung, vgl. Abb. 3.21. a Laminare oder turbulente Stromung. b Laminarturbulente Strijmung. c Scharfkantiger Eintritt mit Stromungsablosung

ausbilden. Uber die mit der Rohreintrittsstromung zusammenhangenden Fragen wird in Kap. 3.4.4.2 berichtet. Bei stationar verlaufender Stromung besteht die Beschleunigung nur aus dem konvektiven (ortsveranderlichen) Anteil. Praktisch kann man den Beschleunigungsvorgang der Kernstro'mung als beendet ansehen, wenn die maximale Geschwindigkeit in der Rohrmitte etwa 99% des endgiiltigen Werts des vollausgebildeten Geschwindigkeitsprofils erreicht hat. Mit dieser Annahme kann man eine endliche Beschleunigungsoder Einlaufstrecke (Einlauflange) SL = sj — s\ = ST, definieren. Die Rohreinlaufstromung erfahrt gegeniiber einer vollausgebildeten Rohrstromung bei gleicher Rohrlange und ungeandertem Volumenstrom einen zusatzlichen fluidmechanischen Energieverlust. Experimentelle und theoretische Untersuchungen zur Einlaufstromung wurden sowohl fiir die laminare als auch fiir die turbulente Stromung in groBer Zahl durchgefiihrt. Den theoretischen Methoden liegen im allgemeinen Naherungsverfahren zugrunde, bei denen entweder eine Vereinfachung iiber die beschleunigte Kernstromung (Linearisierung) gemacht wird, oder bei denen das reibungsbedingte Stromungsverhalten mittels der Grenzschicht-Theorie (Differential- oder Integralverfahren) erfaBt wird. Ansatze, die laminare Einlaufstromung mittels der Navier-Stokesschen Bewegungsgleichung exakt zu losen, gewinnen in neuerer Zeit an Bedeutung. Die laminare Rohreinlaufstromung stellt sich bei Re < Reu ein, wobei Reu die Reynolds-Zahl des laminar-turbulenten Umschlags (kritische Reynolds-Zahl) ist, die in (3.80b) mit Reu = 2320 (unterer Grenzwert) angegeben

3.4.3 Stromung dichtebestandiger Fluide in geradlinig verlaufenden langen Rohren

253

ist. Bei besonders storungsfreier Einlaufstromung (gut abgerundeter RohranschluB, sorgfaltige Versuchsdurchfiihrung) hat man Werte bis zu Reu « 50000 (oberer Grenzwert) beobachtet. Das Problem der laminaren Einlaufstromung haben erstmalig Schiller [63] und Schlichting [65] behandelt, wahrend fur die turbulente Einlaufstromung ein erstes Ergebnis von Latzko [43] stammt. Einfache Berechnungsformeln ftir beide Stromungsformen gibt Scholz [68] an. Von den weiteren Untersuchungen sei fur die laminare Stromung auf [10, 46, 75] und fur die turbulente Stromung auf [2, 14] hingewiesen. Druckabfall. Die Umformung des Geschwindigkeitsprofils in der Einlaufstrecke gemaB Abb. 3.21 bzw. 3.33a, v = v(s, r), bedeutet eine Erhohung der ortlichen Wandschubspannung gegeniiber derjenigen eines vollausgebildeten Geschwindigkeitsprofils bei gleicher mittlerer Geschwindigkeit vm = vm ^ Diese Erhohung ist am RohranschluB (s = s\ = 0) sehr groB und nimmt mit wachsendem Abstand (s\ ^ s ^ S3) stromabwarts laufend ab, bis sie nach Beendigung des Einlaufvorgangs (53 = s^) den Wert null erreicht hat. Bei der Einlaufstromung ist also rw(s) ^ fw = const. Dies Verhalten erfordert zur Aufrechterhaltung der Einlaufstromung einen zusatzlichen Druckabfall. Zwischen den Stellen s\ und S2 betragt die Druckdifferenz (negativer Druckabfall) nach der erweiterten Bernoullischen Energiegleichung (3.67a) mit z\ = z2, dv/dt = 0 und v\ = V2 = vm Pi ~ Pi = (C*2 - a\)-V2m + (Pe)^2

= (O!2 ~ «1 +

K\^2)^V2m.

(3.111a, b) Hierin ist wegen des gleichmaBigen Geschwindigkeitsprofils am Eintritt (Kolbenprofil) <x\ = 1. Weiterhin gilt nach (3.65b) und (3.82b) fiir den auf die Geschwindigkeit vm bezogenen Verlustbeiwert ^1^2 = KR + KL mitf/j = k(s/D) als Rohrverlustbeiwert und %L als zusatzlichem Verlustbeiwert der Einlaufstromung. Aus der Druckdifferenz (p\ — pi) erhalt man bezogen auf den Geschwindigkeitsdruck {p/2)v2% den dimensionslosen Druckbeiwert mit o<2 = «2(s) > 1 zu Pl P

~l

= A |+^ > 0

mit ^ = Q f 2 - l + ^ .

(3.112a, b)

Es stellt t,'L > £ L den durch die Einlaufstromung bedingten dimensionslosen Druckabfall (hier positiv gerechnet) dar. Im allgemeinen ist diese GroBe Gegenstand der theoretischen und experimentellen Untersuchungen. In [46] wird fiir die laminare Stromung die auch fiir nichtkreisformige Querschnittsformen giiltige Naherungsformel ^Lmax = 2 ( " - P) (beendete Einlaufstromung, s = sL)

(3.113)

abgeleitet, wobei a und fi die Geschwindigkeitsausgleichswerte der vollausgebildeten Stromung bedeuten. Mit (3.91a, b) gilt fiir das Kreisrohr bei laminarer Stromung ?£ max = 1,33. Im Schrifttum findet man bedingt durch die getroffenen Annahmen fiir das Kreisrohr als theoretische Werte 1,08 ^ £z,max = 1.41. ' Die vollausgebildete Stromung wird durch Uberstreichen gekennzeichnet.

3.4.3 Stromung dichtebestandiger Fluide in geradlinig verlaufenden langen Rohren

255

Neben den bereits bekannten GroBen 0:2, £i->-2 = KR + KL tritt noch der Verlustbeiwert der Rohreintrittsstromung £E auf, der bei nicht ausreichend abgerundeter Eintrittsoffnung, vgl. Abb. 3.33c, von Bedeutung ist. Auf ihn wird in Kap. 3.4.4.2 naher eingegangen. Als Druckbeiwert im Sinn von (3.112a) gilt dann

cPo = ^~}Pvl

=KE+^+

K'l mit

S'l = a2 + SL = \+K'L.

(3.115a, b)

Mit (3.113) ist naherungsweise f£ m a x = 1 + 2(a - /3), vgl. Tab. 3.5. Fluidmechanischer Energieverlust. Kennt man die GroBe %'L in (3.112b), so folgt der maximale Verlustbeiwert der Einlaufstromung (Gesamtdruckverlust) in Verbindung mit (3.113) SLma

= S'Lina + l - a = l+a-2f}

(s t sL)

(3.116a, b)

mit a und ft als den Geschwindigkeitsausgleichswerten der vollausgebildeten Rohrstromung. Zahlenwerte sind in Tab. 3.5 wiedergegeben. Einlauflange. Die Kenntnis der GroBe der Einlaufstrecke st ist fur experimentelle Untersuchungen von Rohrstromungen von besonderer Bedeutung. Nach Schiller [63] ist es z. B. fur die Bestimmung der Viskositat mittels eines Viskosimeters notwendig, daB sich die MeBstrecke in vollausgebildeter Rohrstromung befindet. Eine grobe Abschatzung, insbesondere iiber den EinfluB der Reynolds-Zahl kann man folgendermaBen vornehmen: Fiir die reibungslose Kernstromung betragt fur die Stellen (1) und (3) auf der Rohrachse der Druckabfall nach der Energiegleichung Pl~P3 = (P/2)(^max - VVm m i t ^max = V3meix/vm > 1 Und V\max/vm = 1. Bei sinngemaBer Anwendung von (3.112) erhalt man nach der Lauflange ^2 = ^3 = *L aufgelost ^ = ^(^max-^max-D.

^ = aReh

(glatt).

(3.117a, b)

Wahrend der Klammerausdruck in (3.117a) fiir die laminare und turbulente Rohrstromung jeweils ein fester Zahlenwert ist, enthalt der Faktor I/A (reziproke Rohrreibungszahl) gemaB (3.82c) die Abhangigkeit von der Reynolds-Zahl Re=vmD/v und gegebenenfalls vom Rauheitsparameter k/D. Unter Beachtung der Gesetze fiir die Rohrreibungszahl eines glatten Rohrs nach (3.93b) bzw. (3.96) findet man die in (3.117b) angeschriebene Beziehung mit b — \ fiir die laminare und b = 1/4 fiir die turbulente Stromung. Fiir die laminare Stromung erhalt man mit 00 auftreten kann. Als Richtwerte konnen fiir das Kreisrohr dienen: laminar : a % 0,06,

b = I;

turbulent: a % 0,6,

b % 0,25

(3.118a) (glatt).

(3.118b)

256

3.4 Stromung dichtebestandiger Fluide in Rohrleitungen (Rohrhydraulik)

Der EinfluB der Reynolds-Zahl ist bei laminarer Stromung besonders groB. Fiir /?e = 2000 wiirde sich SL «* 120D ergeben. Die Einlauflangen konnen also verhaltnismaBig groB sein. In kurzen, am Eintritt gut abgerundeten Rohrstiicken kommt es daher vielfach uberhaupt nicht zu einem vollausgebildeten laminaren Geschwindigkeitsprofil. Uber die genaue Abhangigkeit der Lange der Einlaufstrecke von der Reynolds-Zahl bei turbulenter Stromung (Re > Reu = 2320) herrscht noch verhaltnismaBig groBe Unsicherheit. Nach Nikuradse [50] hat sich das vollausgebildete turbulente Geschwindigkeitsprofil bei glatter und auch rauher Rohrinnenwand nahezu unabhangig von der Reynolds-Zahl nach einer Lange von SL — 40 bis 50D eingestellt. Geschwindigkeitsprofil. Unterlagen uber die Verteilung der Geschwindigkeiten in der Einlaufstrecke findet man fiir die laminare Stromung durch Kreisrohre und Spalte in [10, 65, 75].

3.4.4 Stromung durch Rohrverbindungen und Rohrleitungselemente

3.4.4.1 Allgemeines Die in Kap. 3.4.3 angestellten Untersuchungen zur Berechnung des fluidmechanischen Energieverlusts in einer Rohrleitung gelten zunachst nur fiir das gerade oder schwach gekriimmte Rohr mit konstantem oder nahezu konstantem Querschnitt. Bei einem technisch ausgefiihrten Rohrleitungssystem handelt es sich indessen meistens nicht nur um ein einziges gerades Rohr, sondern um mehrere gerade Rohrteile, die zwecks Querschnitts- oder Richtungsanderung oder auch Verzweigung durch Zwischenstiicke (Formstiicke) miteinander verbunden sind. Ein Sonderfall liegt vor, wenn das Rohr ins Freie fiihrt. In diesem Fall geht das Zwischenstiick in ein Endstiick iiber. Fiir den Betrieb der Leitungsanlage, insbesondere der Volumenstromsteuerung, sind noch Einbauten (Armaturen) vorzusehen. Aus Tab. 3.1 geht hervor, um welches Rohrleitungsteil (Index N) es sich im einzelnen handeln kann. Alle Zwischenstiicke, Endstiicke und Einbauten haben gewisse zusatzliche fluidmechanische Energieverluste (Gesamtdruckverluste) zur Folge, die in gleicher Weise wie derjenige durch Wandreibung im geraden Rohr mittels (3.64a, b) zu erfassen sind. Der dort deflnierte Verlustbeiwert £/y hangt wesentlich von der Art des Rohrleitungsteils und der hiervon beeinfluBten Stromung ab. Er ist bedingt teils durch Stromungsablosung und teils durch Sekundarstromung, die sich dem Hauptstrom iiberlagert und so zu einem erhohten Energieaustausch fiihrt. Er kann von der Reynolds-Zahl abhangig sein. Bei der Bestimmung der zusatzlichen Verlustbeiwerte £N ist man haufig auf Versuche angewiesen. In Einzelfallen fiihren auch theoretische Uberlegungen zu einer Abschatzung der GroBe von f#. Den fluidmechanischen Energieverlust des Rohrleitungssystems zwischen den Stellen (1) und (2) erhalt man durch Summation iiber alle Rohrleitungsteile entsprechend (3.65). Beriicksichtigt man den Verlust infolge der Wandreibung nach (3.83a), so

257

3.4.4 Stromung durch Rohrverbindungen und Rohrleitungselemente

wird der gesamte Verlust zwischen den Stellen (1) und (2) = (Pe)R + |

(pe)R

= X / T^m

ds

-

(3.119a, b) 45 Bei konstantem Rohrdurchmesser D geht (3.119b) in (3.82a) liber. 3.4.4.2 Rohrquerschnittsanderung (Erweiterung, Verengung) Bei den moglichen Querschnittsanderungen in einem Rohrleitungssystem kann es sich nach Tab. 3.1 um eine allmahliche und plotzliche Querschnittserweiterung oder Querschnittsverengung handeln. Der Stromungsvorgang sowie das Stromungsverhalten und damit die GroBe des fluidmechanischen Energieverlusts hangen wesentlich davon ab, ob eine Stromerweiterung oder Stromverengung vorliegt, und ferner davon, ob die Anderung des Stromquerschnitts stetig oder unstetig vor sich geht. Plotzliche Rohrerweiterung (Stufendiffusor). Bei der unstetigen Erweiterung eines Rohrs vom Querschnitt A\ auf den Querschnitt A 2 nach Abb. 3.35a die man auch StoBdiffusor (Index S) nennt, tritt das stromende Fluid mit der mittleren Geschwindigkeit v\ zunachst als geschlossener Strahl aus dem engeren in den weiteren Querschnitt ein und vermischt sich weiter stromabwarts infolge des Reibungseinflusses unter starker Wirbelbildung mit dem umgebenden Fluid, das dadurch z. T. mitgerissen wird. Die Wirbelbewegung begiinstigt das Wiederanlegen des aufgerissenen Strahls an die Rohrwand, so daB sich nach einer gewissen Ubergangsstromung wieder eine nahezu gleichmaBige Stromung mit der kleineren mittleren Geschwindigkeit vi < v\ einstellt. Das Rohr moge horizontal liegen. Sowohl im Strahlquerschnitt A\ als auch in der Umgebung des Strahls unmittelbar nach der Erweiterung, d. h. iiber die Stirnflache (A2 — Ai), herrsche der Druck p\. Da der Strahl zunachst geradlinige Stromlinien besitzt, tritt nach (2.97a)

Abb. 3.35. Plotzliche Rohrquerschnittsanderungen. Rohr-verengung (Stufendiise, Index V) 45

a Rohrerweiterung

(Stufendiffusor, Index S). b

Das Summenzeichen £ ' soil kennzeichnen, daB (N = f« nicht in der Summe enthalten ist, da dieser EinfluB bereits durch das Integral erfaBt wird.

258

3.4 Stromung dichtebestandiger Fluide in Rohrleitungen (Rohrhydraulik)

kein Druckgradient quer zur Stromungsrichtung auf, was die gemachte Annahme begriindet. In dem hinreichend weit stromabwarts liegenden Querschnitt (2) stellt sich der Druck p2 iiber die Flache A 2 ein. Fur die Berechnung des durch den Mischvorgang verursachten fluidmechanischen Energieverlusts miissen die drei Grundgesetze der Rohrhydraulik, namlich die Kontinuitats-, die Energie- und die Impulsgleichung (in Richtung der Rohrachse) entsprechend Kap. 3.4.2.3 herangezogen werden. Bei horizontaler Lage der Rohrerweiterung und bei stationarer Stromung gilt mit z\ = z2 und d/dt = 0 nach (3.66b), (3.67) bzw. (3.73) das Gleichungssystem viAi = v2A2,

(3.120a)

|

Pi-

p2A2 - piAi -Fs=

p{Piv\Ax

P2,

(3.120b)

- ftvf A 2 ).

(3.120c)

In der letzten Beziehung bleibt die Massenkraft Fg unberiicksichtigt, und Fs ist die in s-Richtung auf den korpergebundenen Teil der in Abb. 3.35a gestrichelt gezeichneten Kontrollflache (S) wirkende Stiitzkraft. Diese besteht aus zwei Anteilen, und zwar aus den Schubspannungskraften an der Wand des erweiterten Rohrs A2 sowie aus der Druckkraft auf die Stirnflache (A2 — A\). Oberhalb eines nicht genau festgelegten Werts A2/A\ > 1 kann man die Wirkung der Wandschubspannungen vernachlassigen, so daB die Stiitzkraft nur aus der Druckkraft auf die Stirnflache {A2 — A\), d. h. Fs = P\{A2 — A\) besteht. Hiermit nimmt die linke Seite von (3.120c) den Ausdruck (p2 — p\)A2 an. Auf der rechten Seite wird v\A\ nach (3.120a) durch v2A2 ersetzt, so daB man die Druckdifferenz zwischen den Stellen (2) und (1) zu p\ — p2 — —p{P\V\ — f52v2)v2 erhalt. Nach Einsetzen in (3.120b) findet man den durch die plotzliche Erweiterung (Stufendiffusor) verursachten Energieverlust (Mischverlust) (pe)\^>2 = (pe)s zu, vgl. (3.64a), (Pe)s = is^vj

= |[oiW? - 20iUiU2 + (2^2 - a2)i%] « |(Wi -

V2f.

(3.121a, b,c) Zu seiner Berechnung ist die genaue Kenntnis des Stromungsvorgangs in der Vermischungszone nicht erforderlich. An den Stellen (1) und (2) treten neben den mittleren Geschwindigkeiten v\ bzw. v2 nur die zugehorigen Ausgleichswerte a und ft fiir die ungleichmaBigen Geschwindigkeitsprofile iiber die Querschnitte gemaB (3.79b, c) auf. Als Folge des Mischvorgangs kann man im erweiterten Rohr an der Stelle (2) mit a2 «* 1 & fi2 rechnen. Nach Eliminieren der Geschwindigkeit v2 mittels (3.120a) ergibt sich der Verlustbeiwert zu

4 +f 4 ) A2

\A2J

( V

l

^ ) (vs vi)>

(3.122a, b)

A

j

wobei x>s = v\ als Bezugsgeschwindigkeit gewahlt wurde. Je nach dem Geschwindigkeitsprofil im Querschnitt A\ sind die Werte a\ > fi\ > 1 einzusetzen. Verlauft die Stromung im Zustromrohr turbulent, kann man naherungsweise mit a\ « 1 « fl\ rechnen, was dann zu der einfacheren Borda-Carnotschen Formel (3.122b)

3.4.4 Stromung durch Rohrverbindungen und Rohrleitungselemente

259

fiihrt. Durch Versuche ist ihre Brauchbarkeit zur Berechnung des fluidmechanischen Energieverlusts infolge plotzlicher Querschnittserweiterung (Stufendiffusor) bestatigt worden, [73]. Wichtig ist dabei die Feststellung, daB der Mischvorgang von der Erweiterungsstelle stromabwarts eine Langenausdehnung von L2 s» 10Z>2 besitzen muB. Erst dort hat sich wieder ein normaler Stromungszustand eingestellt. Definiert man das Verhaltnis des tatsachlichen Druckanstiegs der reibungsbehafteten Stromung (p2 — Pi) = (p/2)[(a\ — %s)v{ — a2Vj\ gema'B (3.120b) zum theoretisch groBtmoglichen Druckanstieg bei reibungsloser Stromung {p2—P\)th — {p/2)(v\ — v\), so kann man fiir den hieraus gebildeten Diffusorwirkungsgrad Vs = (P2 - Pi)/(P2 - Pi)th rnit v2/v\ = At/A2 schreiben 1

r>

1

ft

- («! - 1) + (a2 - l)(Ai/A2)2 ^

2 < 1 (3.123a, b,c)

In Abb. 3.40a sind die Wirkungsgrade der unstetigen Querschnittserweiterung (Stufendiffusor) r)s denjenigen einer stetigen Querschnittserweiterung (Ubergangsdiffusor) r\o gegeniibergestellt, vgl. die dort gemachte Bemerkung. Rohraustrittsstromung. Tritt am Rohrende der Strahl ins Freie aus, dann geht in Abb. 3.35a der Querschnitt A2 —> 00. Es liegt also der Fall des Ausstromens aus einer Rohrleitung in einen groBen Raum vor. Hierbei ergibt sich aus (3.122a) mit A2/A\ = 00 der maximale Verlustbeiwert einer Querschnittserweiterung, der zugleich der Austrittsverlustbeiwert (Index A) ist, zu {Pe)A = KA^y\,

U = ^Smax = «1 ^ 1

(lM = «l).

(3.124a, b)

Dies Ergebnis besagt, daB die kinetische Energie des austretenden Strahls als fluidmechanische Energie verlorengeht, d. h. (P€)A = ai(p/2)v\. Sind die Geschwindigkeiten konstant iiber die Austrittsfla'che verteilt, wie dies bei turbulenter Stromung nahezu der Fall ist, so gilt £4 « 1. Ist die Stromung im Austrittsquerschnitt dagegen laminar, so wird mit a\ = 2 nach (3.91a) der Austrittsverlustbeiwert £4 = 2. Plotzliche Rohrverengung (Stufendiise). Bei der unstetigen Verengung eines Rohrs (Index V) vom Querschnitt A\ auf den Querschnitt A2 nach Abb. 3.35b, findet ahnlich wie bei der Stromung durch eine Offnung in einer Wand nach Abb. 3.13b eine Einschniirung (Kontraktion) der ankommenden Stromung auf den Querschnitt A\ statt. Diese zunachst verengte Stromung erfahrt dann stromabwarts wieder eine Erweiterung auf den Querschnitt A2 und legt sich somit nach einiger Entfernung wieder an die Rohrwand an. Zwischen dem eingeschniirten Strahl und der Rohrwand entsteht ein Wirbelgebiet (Totraum). Nach hinreichend groBer Lange des kleineren Rohrs verlaufen die einzelnen Stromfaden wieder parallel. Die plotzliche Stromverengung kann man in ihrer fluidmechanischen Wirkung auffassen wie eine allmahliche Verengung (Index VC) in Form einer Diise (hier ohne feste Wand) mit A\j'A2 < 1, der sich hinter dem eingeschniirten Querschnitt eine plotzliche Stromerweiterung (Index VS) in Form eines Stufendiffusors mit A2jA\ > 1 anschlieBt.

260

3.4 Stromung dichtebestandiger Fluide in Rohrleitungen (Rohrhydraulik)

Wegen v\A\ = V2A2 nach der Kontinuitatsgleichung (3.120a) ist die Geschwindigkeit im verengten Stromungsquerschnitt u | = (Aj/A^)v2- Es ist fi = A2/A2 < 1 der Kontraktionskoeffizient. Uber diesen wurde bereits in Kap. 3.3.2.3 (Beispiel b.3) berichtet. Danach iiberdecken die Koeffizienten den Wertebereich 0,5 < ii < 1,0. Eine Interpolationsformel von gemessenen Werten fiir die Rohrverengung mit kreisformigem Querschnitt (achsensymmetrischer Fall) wird in [3] angegeben, und das Ergebnis einer theoretischen Untersuchung fiir die Spaltverengung (ebener Fall) findet man in [48]. Diese Beziehungen fiir die Kontraktionskoeffizienten einfacher (nicht abgeblendeter) Verengungen lauten = 0,614+

= ^ =J ^

mit

(Rohr)

(3.125a)

und aj = 0, a 2 = 0,133, a 3 = 0, a 4 = -0,261, a5 = 0, a6 = 0,511 sowie ; =

P2 2 2 1- S

F

I

1H

n

6S

i — I arctan S\ S J|

1

A

mit

& = n— Ai

(Spalt).

(3.125b)

Es gelten fiir A2/A\ = 0 die Werte fio = 0,614 bzw. ^0 = (JT/(JT + 2) = 0,611. In Abb. 3.36a sind die Werte n = fi(A2/Ai) als Kurve (1) fur das Rohr, bzw. Kurve (2) fur den Spalt aufgetragen.46 In [3] wird zur Berechnung des Verlustbeiwerts einer plotzlichen Rohrverengung (Stufendiise) die Formel =0,578

mit

(Rohr)

(3.126)

Abb. 3.36. Kontraktionskoeffizienten /J, bei unstetiger Rohrquerschnittsanderung. a plotzliche Verengung nach Abb. 3.35b, n = A\lA2 aufgetragen liber 0 < A2IA\ < 1, Kurve (1): Kreisrohr nach (3.125a), Kurve (2): Spalt nach (3.125b). b abgeblendete Querschnittsanderung nach Abb. 3.37a, b), fi = AQ/AO aufgetragen fiber 0 < Ao/A\ < 1 mit A0/A2 als Parameter, Kurve (1): A0/A2 = 1,0, es liegt der Fall der plotzlichen Rohrverengung wie bei Kurve (1) in Abb. 3.36a vor (wegen Ao = A2 gilt fiir die Abzisse der Wertebereich 0 g A2/A\ g 1), Kurve (2): A0/A2 = 0, es liegt der Fall der Austrittsstromung vor 46

Bei einer Auftragung iiber dem Durchmesserverhaltnis D2/O1 bzw. dem Spalthohenverhaltnis H2/H1 ergeben sich keine wesentlichen Unterschiede fiir die Kontraktionskoeffizienten /x.

3.4.4 Stromung durch Rohrverbindungen und Rohrleitungselemente

261

mit bx = 0,395, b2 = -4,538, b3 = 14,243, b 4 = -19,222 und b5 = 8,540 angegeben 4 7 Aus fluidmechanischer Sicht wird nachstehend eine eingehendere Untersuchung gemacht. Danach besteht der fluidmechanische Energieverlust der plotzlichen Rohrverengung (pe)v aus der Summe der Teilverluste der Stromverengung (p e )vc und der Stromerweiterung (pe)vs- Es ist (Pe)v = iv^v2v

= (pe)Vc + (pe)vs = d + *)(pe)vs

(3.127a)

mit (p e )vc = k(pe)\s, wobei k eine noch zu bestimmende GroBe darstellt. Es ist (p<.)vs durch sinngemaBe Anwendung von (3.121c) fiir die plotzliche Rohrerweiterung mit (A\ -» A2) = (Aj —>• A2), d.h. v\ ^ D | und V2 = V2 gegeben. Es folgt P * 2 P 2 (Pe)vs = T-( U 2 ~ U2) = ^ V S T ^ '

1 (Pe)vc = k(v2 — V2) •

(3.127b, c)

Nach Einsetzen in (3.127a) und Einfiihren des Kontraktionskoeffizienten \x = A\lA2 = U2/"J e r r i a lt man fiir den Verlustbeiwert einer plotzlichen Rohrverengung neben (3.126) eine weitere Formel .2

/1

.. \ 2

(vv = v2).

(3.127d)

Zur Auswertung dieser Beziehung bedarf es bei einem Kreisrohr des Einsetzens der Kontraktionskoeffizienten ft = ii.(A2/A\) nach (3.125a) und der Kenntnis des Verhaltniswerts k. Wenn man von dem Verlustbeiwert t,v nach (3.126) ausgeht und diesen auf den Verlustbeiwert fvs = (1 ~ At)2/A*2 gemaB (3.127b) in Verbindung mit (3.125a) bezieht, stellt man fest, daB ?v/fvs = 1 +k R* const ist, und zwar ergibt sich nach Auswertung von ?y/fvs fiir den Bereich 0 < A2IA\ < 1 die Verhaltniszahl k R* 0,5. Dies bedeutet, daB sich die Verluste durch die Verengung (pe)wc und durch die Erweiterung (pe)v$ wie 1 : 2 verhalten.

Rohreintrittsstromung. Der Fall A2/A\ = 0 bedeutet nach Abb. 3.35b, daB an die AusfluBoffnung eines groBen Behalters A\ —> 00 ein Ansatzrohr mit scharfkantigem Ubergang von der Behalterwand zur Rohrwand angeschlossen ist. Es liegt also der Fall des Einstromens aus einem Raum in eine Rohrleitung vor. Das Fluid wird aus dem Ruhezustand auf die Geschwindigkeit im Eintrittsquerschnitt des Ansatzrohrs (Index E) beschleunigt. Der Eintrittsverlustbeiwert folgt aus (3.126c) zu (VE = V2).

(3.128)

Von der Ausbildung der Ansatzoffnung werden der Kontraktionskoeffizient //o und damit auch der Verlustbeiwert f E stark beeinfluBt. Den kleinsten Wert fiir den Kontraktionskoeffizienten besitzt das in den Behalter hereinragende Ansatzrohr (BordaMiindung) mit no — 1/2 nach Kap. 3.3.2.3 (Beispiel b.3). Der zugehorige Verlustbeiwert betragt je nach Scharfe der Rohransatzkante 0,6 < £E < 1,5, wahrend man bei gut abgerundetem Rohransatz (geformtes Ansatzrohr) mit ^ % 0,1 rechnen kann. Abgeblendete Rohrquerschnittsanderungen. Querschnittserweiterungen und Querschnittsverengungen, bei denen ein unstetiger Querschnittsiibergang durch eine blendenartige Verengung (Blende) erfolgt, sind in Abb. 3.37 dargestellt. Ftir 47

Eine stark vereinfachte Formel zur Berechnung des Verlustbeiwerts einer plotzlichen Rohrverengung gewinnt man aus (3.130a) mit A0/A2 = 1 zu tv = a 11

- |

V MJ

mit a = 0, 5.

262

3.4 Stromung dichtebestandiger Fluide in Rohrleitungen (Rohrhydraulik)

A,

>3n—I

±-h-^

"z

\ \

\t

/?=const'

= const

Abb. 3.37. Abgeblendete Rohrquerschnittsanderungen, Geometrie (Querschnittsflachen) und fluidmechanische Betrachtung (Geschwindigkeiten, Stromlinienverlaufe). a geometrische Erweiterung. b geometrische Verengung

das fluidmechanische Verhalten ist es dabei wesentlich, ob sich der Fluidstrahl im Rohr zusammenzieht oder ausbreitet. Bei der Strahleinschniirung (Kontraktion) wird dies durch den Kontraktionskoeffizienten fi = AyAo < 1 erfaBt. Man kann annehmen, daB unmittelbar hinter dem unstetigen Ubergang vom Rohr mit dem Querschnitt A\ in das Rohr vom Querschnitt A2 der Druck des Querschnitts Ao herrscht. Weiter stromabwarts vermischt sich der Fluidstrahl vom Querschnitt Ao mit dem umgebenden Fluid unter starker Wirbelbildung. Die Wirbelbewegung begiinstigt wie bei der plotzlichen Rohrerweiterung und Rohrverengung nach Abb. 3.35a, b das Wiederanlegen des aufgerissenen Strahls an die Rohrwand, so daB sich nach einer gewissen Ubergangsstromung wieder eine nahezu gleichmaBige Stromung mit der mittleren Geschwindigkeit v2 *s v\ einstellt. Nach der Kontinuitatsgleichung (3.66b) gelten die Zusammenhange V = v\A\=

VQA0

=

VQAQ

= v2A2

(Volumenstrom).

(3.129)

Idelchik [28] zeigt, daB der Verlustbeiwert fiir Reynoldszahlen Re — VQDQ/V ^ 105 (turbulente Stromung) durch die einfache Berechnungsformel

' fjv = ? o =

1 + i/fl

1-

7^~ 0 .-

"2 A2

mit

a sa 0,5 (vpj = VQ

/ (3.130) fiir alle Anordnungen mit plb'tzlicher Querschnittsanderungen sehr gut wiedergegeben werden kann. In Abb. 3.38 ist dies anschaulich zusammengestellt. Die Verlustbeiwerte erstrecken sich iiber den Wertebereich 0 < fo < 3.0. Aus fluidmechanischer Sicht wird nachstehend eine eingehendere Untersuchung gemacht. Danach soil der fluidmechanische Energieverlust (Gesamtdruckverlust) einer abgeblendeten Rohrquerschnittsanderung nach Abb. 3.37a, b aus den Verlusten bei einer allmahlichen Stromverengung (tibergangsdiise), d. h. (pe)i_>o* = (Pe)c, und einer plotzlichen Stromerweiterung (Stufendiffusor), d. h. (/7e)o»->2 = (Pe)s, zusammengesetzt werden (Pe)l^2 = £N^VN

= (pe)c + (Pe)s

(KN = ?l->2)-

(3.131a)

Durch sinngemaBe Anwendung von (3.127b) fiir die Stromerweiterung mit (A^ -> A2) = (AQ -» A2), d.h. DJ ^ DQ und V2 = 1)2 fiir die Stromverengung mit (A2 -> A|) ^ (Ao —* AQ), d.h. 1)2 = vo und

3.4.4 Stromung durch Rohrverbindungen und Rohrleitungselemente

,0

263

Abb. 3.38. Verlustbeiwerte ft fur verschiedene Anordnungen abgeblendeter Rohrquerschnittsanderungen nach (3.130)

= v£, vgl. hierzu die Abb. 3.37a, b mit Abb. 3.35b, erhalt man (Pe)s = ^(t
(Pe)c = * | ( " o ~ ^o)2-

(3.131b, c)

Setzt man in (3.130) ein und bezieht den Druckverlust auf die Geschwmdigkeit im engsten Querschnitt u/v = uo, dann erhalt man unter Beachtung der Kontinuitatsgleichung (3.120a) und mit n = AQ/AQ = VQ/VQ neben (3.130) eine weitere Formel fur den Verlustbeiwert einer abgeblendeten Rohrquerschnittsanderung

= ft = \

| k(\ -

— jj.— I I

mit

k «* 0,5 (ujv = '

(3.131d)

Die Auswertung dieser Formel setzt die Kenntnis der Kontraktionskoeffizienten fi in Abhangigkeit von den Querschnittsverhaltnissen Ao/A\ und A0/A2 voraus, d. h. /x = fi(Ao/Ai, A0//I2). Den gesuchten Zusammenhang findet man, wenn man die in (3.130) fur £0 angegebene Beziehung in (3.131d) einsetzt und nach /x auflost. Das Ergebnis ist in Abb. 3.36b iiber dem Querschnittsverhaltnis 0 S Ao/Ai g 1 mit A0/A2 = 1,0 und A0/A2 = 0 als Parameter dargestellt. Man erkennt den geringen EinfluB von A0/A2 und eine recht gute Ubereinstimmung mit Abb. 3.36a (Kurve 1), wenn man dort A2IA\ durch Ao/A\ ersetzt. Dies bedeutet, daB man die Kontraktionskoeffizienten n in Abb. 3.36a auch fur abgeblendete Querschnittsanderungen durch Anderung der Abszisse A2/A1 = AQ/AI verwenden kann.

Allmahliche Rohrerweiterung (tlbergangsdiffusor). Mittels einer stetigen QuerschnittsvergroBerung (divergente Querschnittsanderung. Index D) soil in einem Ubergangsdiffusor nach Abb. 3.39a eine Stromung bei groBer Geschwindigkeit v\ und kleinem Druck p\ mit mb'glichst geringem Verlust an fluidmechanischer Energie in eine Stromung bei kleiner Geschwindigkeit V2 < v\ und groBem Druck P2 > p\ umgewandelt werden. Durch die Wandreibung (Reibungsgrenzschicht) wird das Fluid stark abgebremst und vermindert dadurch den theoretisch moglichen Druckanstieg der reibungslosen Stromung. Sofern der Offnungswinkel des Diffusors (Diffusorwinkel) 2 # o nicht wesentlich von

264

3.4 Stromung dichtebestandiger Fluide in Rohrleitungen (Rohrhydraulik)

Abb. 3.39. Allmahliche Rohrerweiterung (Obergangsdiffusor, Index D). a Geometrie und fluidmechanisches Verhalten (Geschwindigkeitsprofile z.T. mit Stromungsablosung). b Stufendiffusor (unstetige Rohrerweiterung, Index S). Zum Vergleich, Erweiterungszone L$ = 0, Energieverlustzone Li, Energieverlust Aps- c Ubergangsdiffusor (stetige Rohrerweiterung), Erweiterungszone Lo, Energieverlustzone LD + Li, Energieverlust Apr,

einem bestimmten optimalen Wert 2#jr, abweicht, entsteht ein maBiger Verlust an fluidmechanischer Energie. Bei Diffusorwinkeln 2#o > 2&p findet eine Ablosung der Stromung von der Wand statt, was erheblich groBere fluidmechanische Energieverluste zur Folge hat. Eine grobe Abschatzung fur den optimalen Diffusorwinkel bei kreisformigen Diffusoren ist 2#£ *=s 8°, wahrend bei rechteckigen Kanalen 2ft*D % 10° auftreten kann. Mit wachsender Reynolds-Zahl nimmt 2#£ ab, und zwar gilt nach Nikuradse [51] bei ebenen Diffusoren naherungsweise 2#|, = 150°/ ffRe mit Re = vma/v (2a = Kanalhohe). Auf die Moglichkeit, die Ablosung durch Beeinflussung der wandnahen Reibungsschicht (z. B. Absaugen) zu verhindern, sei hingewiesen. Als Druckriickgewinnkoeffizient, haufig auch als Diffusorwirkungsgrad X)D bezeichnet, definiert man wie in (3.123a) fur den Stufendiffusor das Verhaltnis des tatsachlichen Druckanstiegs der reibungsbehafteten Stromung (p2 — p\) zum theoretisch groBtmoglichen Druckanstieg bei reibungsloser Stromung (p2 — pi)th, d. h. 1 -

KD

(3.132a)

3.4.4 Stromung durch Rohrverbindungen und Rohrleitungselemente

265

Nach dem Diffusorverlustbeiwert £o aufgelost erhalt man aus (3.132a) y

(Pe)D

,

,

JA2

\A2J ( ^)

(3.132b)

Aus der Vielzahl der Untersuchungen iiber das Stromungsverhalten von Diffusoren seien die umfangreichen Messungen an geraden und gekriimmten Diffusoren [76], die Veroffentlichungen [60], die zusammenfassenden Berichte [5, 11, 17, 22, 74] sowie die Handbiicher von Idelchik [28] und Miller [47] genannt. Die Zahlenwerte fur die Diffusorverlustbeiwerte £o bzw. die Diffusorwirkungsgrade TJD schwanken in sehr weiten Grenzen. Sie hangen vom Diffusorwinkel #o, vom Flachenverhaltnis AilA\, von der Diffusorlange LD/D\, von der Querschnittsform (kreisformig, elliptisch, rechteckig) und von der Art der Erweiterung (stiickweise geradlinig oder geschwungene Mantelbegrenzung) sowie besonders auch von der Zustrombedingung (Geschwindigkeitsprofil) am Diffusoreintritt ab. In Abb. 3.40a sind Wirkungsgrade von Diffusoren T)D mit gerader Achse in Abhangigkeit vom Diffusorwinkel ftp fur verschiedene Querschnittsverhaltnisse A2/A1 wiedergegeben. Fiir Winkel &D ^ &D arbeitet der gerade Diffusor bei Werten T)D s» 0, 9 nahezu ablosungsfrei. Fiir •&£> = 90° geht der Ubergangsdiffusor in den Stufendiffusor iiber. Dort gilt r)D = r)S nach (3.123c). Aus den verschiedenen Kurvenverlaufen ersieht man, daB bei gleichgehaltenem Querschnittsverhaltnis fiir groBere Diffusorwinkel der Stufendiffusor giinstiger als der tjbergangsdiffusor arbeitet. Ein wichtiges Ergebnis der Untersuchung an Diffusoren ist die Feststellung, daB die Dicke der turbulenten Reibungsschicht im Einlauf einen groBen EinfluB auf den Wirkungsgrad der Druckumsetzung ausiibt. In Abb. 3.40b ist der Wirkungsgrad r\u nach [76] fiir Diffusoren mit Kreisquerschnitt und einem Diffusorwinkel &B = 4°, d. h. bei noch nicht abgeloster Wandgrenzschicht, als Funktion von 2ti\/D\ wiedergegeben.48 Dabei ist &\ die Verdrangungsdicke der Reibungsschicht am Eintritt und D\ der Eintrittsdurchmesser. Gegeniiber dem geraden Diffusor fallt der Wirkungsgrad beim gekriimmten Diffusor mit zunehmendem Umlenkwinkel stark ab. Systematische Grenzschichtrechnungen an geraden Diffusoren wurden in [67] durchgefiihrt. Uber den EinfluB eines Dralls in Diffusoren wird in [45] berichtet.

Austrittsdiffusor. Fiihrt ein zu dem bereits besprochenen dung von einem kleinen zu oder Enddiffusor (Index DA). schreiben

Diffusor ins Freie, so nennt man ihn im Gegensatz Ubergangsdiffusor, welcher die stetige Rohrverbineinem groBen Rohrquerschnitt darstellt, AustrittsFiir den fluidmechanischen Energieverlust kann man

(Pe)DA = (Pe)D + iPe) A = KDAIM48

Fiir den Wirkungsgrad gilt die Definition Pi-Pi

_,

KD

(3.133a)

3.4 Stromung dichtebestandiger Ruide in Rohrleitungen (Rohrhydraulik)

20°

40°

60°

80'

30

26/D,

Abb. 3.40. Diffusorwirkungsgrade JJD. a In Abhangigkeit vom Diffusorwinkel &p und vom Querschnittsverhaltnis A2/A1 nach [11, 22], Vergleich mit Wirkungsgraden bei plotzlicher Erweiterung, r)s- b In Abhangigkeit von der Grenzschichtdicke (Verdrangungsdicke <$i) am Eintritt, nach [1, 76]

Zusatzlich zum Diffusorverlust (PC)D = £o(p/2)i>f nach (3.132b) tritt der Austrittsverlust (pe)A = ot2(pl2)v\ nach sinngema'Ber Anwendung von (3.124) mit v\ = ^2 und a 1 ^ a 2 auf. Den gesamten fluidmechanischen Verlustbeiwert des Austrittsdiffusors erhalt man unter Beachtung von V2/v\ = A1/A2 zu KDA

=a\-

(VDA

= v\).

(3.133b)

Fur das abgeschnittene nicht erweiterte Rohr gilt nach (3.124b) fur den Austrittsverlustbeiwert £A = OH. Wegen A1/A2 < 1 und r)D > 0 ist stets £DA < %A Dies Ergebnis besagt, daB man den Austrittsverlust durch einen einwandfrei arbeitenden Enddiffusor {&D ^ ftp) gegeniiber einem einfach abgeschnittenen

3.4.4 Stromung durch Rohrverbindungen und Rohrleitungselemente

Rohr (Rohraustritt) verkleinern kann. Fiir a\ «

267

1 und r)D «* 1 ist

Allmahliche Rohrverengung (Ubergangsdiise). Bei der stetigen Querschnittsverengung vom Querschnitt A\ auf den Querschnitt A2 < A\ (konvergente Querschnittsanderung, Index C) in einer Ubergangsdiise, die der Beschleunigung der Stromung dient, entstehen nur geringe Verluste an fluidmechanischer Energie, da sich das Fluid hier in einer Stromung abnehmenden Drucks bewegt. Das durch die Wandreibung verzogerte Fluid erhalt durch das vorhandene Druckgefalle standig neuen Antrieb, so daB die Vorwartsbewegung auch in der wandnahen Reibungsschicht aufrechterhalten bleibt. und so im Gegensatz zur Rohrerweiterung (Ubergangsdiffusor) keine Stromungsablosung auftritt. Nimmt man an, daB sich die Geschwindigkeitsprofile langs der Rohrachse wie diejenigen der vollausgebildeten Rohrstromung nach Kap. 3.4.3.2 verhalten, so kann man den fluidmechanischen Energieverlust unter Beachtung von (3.83a) naherungsweise ermitteln: (2)

(pe)\->.2 = / —-zi> ds = ZcizVc

(vc = v\).

(3.134a)

(i)

Fiir den auf die Geschwindigkeit v\ bezogenen Verlustbeiwert gilt ii\

(2)

2

ds

L

r / n\

(l)

-5+«

(i)

Im einzelnen wurde fiir das Kreiskegelrohr der geometrische Zusammenhang ds/dD = —L/(D\ — D2), die Kontinuitatsgleichung (3.66a, b) mi mit v/v\ = (D\/D)2 sowie die Rohrreibungszahl bei glatter Rohrinnenwand nach (3.93b) und (3.96) ~\viDi)

~\Di

mit n = \ fiir die laminare bzw, n ss 1/4 fiir die turbulente stromung beriicksichtigt. Nach Ausfiihren der Integration ergibt sich

mit

^(^S^^

1

(3J34b)

als Verengungsgrad und

SRI

=ki(L/Di)

als Verlustbeiwert eines geraden Rohrs mit dem Durchmesser D\ = const , 49

3.4.4.3 Rohrrichtungsanderung (Stromumlenkung) Allgemeines. Die in Kap. 3.4,3 abgeleiteten Rohrreibungsgesetze gelten fur Rohre mit geradlinig verlaufender Achse. Dabei sind bei kreisformigem Rohrquerschnitt die Geschwindigkeitsprofile sowohl bei laminarer als auch bei turbulenter Stromung achsensymmetrisch. Bei der Stromung durch Rohre mit gekrummter Achse (Stromumlenkung, Index U) sind die Geschwindigkeitsprofile nicht mehr achsensymmetrisch. Dariiber hinaus kb'nnen b'rtlich in der Rohrleitung Stromungsablosungen 49

Fiir D2/D1 = 1 ist erwartungsgemaB a = 1.

268

3.4 Stromung dichtebestandiger Fluide in Rohrleitungen (Rohrhydraulik)

Abb. 3.41. Rohrkriimmer. a Rohrbogen. b Kriimmer mit Umlenkschaufeln. c Rohrknie geknickt). d Segmentbogen (zweifach geknickt)

(einfach

sowie Sekundarstromungen auftreten. Durch Stromumlenkungen werden zusatzliche Verluste an fluidmechanischer Energie hervorgerufen, iiber die im einzelnen nachstehend berichtet wird. Rohrkriimmer. Hierunter werden Rohrleitungselemente (Index K) verstanden, die nach Abb. 3.41 zwei gerade Leitungsabschnitte (Zu- und Ablaufstrecke) miteinander verbinden. Nach Abb. 3.41a tritt neben dem Kriimmerwinkel (Umlenkwinkel) $K als Kennzahl das Kriimmungsverhaltnis rn/D^ mitfifc = D als Durchmesser des Rohrkriimmers mit der konstanten Rohrquerschnittsflache AK und rK als Kriimmungsradius der Rohrachse auf. Weiterhin spielen wie bei der Stromung durch gerade Rohre auch die Reynolds-Zahl Re = vmD/vmitvm = VK = V/A als mittlerer Geschwindigkeit sowie der Rauheitsparameter k/D eine Rolle. Fluidmechanisches Verhalten. Abb. 3.42a zeigt das Verhalten der Geschwindigkeitsproflle im Kriimmer und im anschlieBenden Ablaufrohr. Durch die Wirkung der Zentrifugalkrafte langs der gekriimmten Stromlinien wird entsprechend der Querdruckgleichung (2.97a) ein radialer Druckanstieg von der Innen- zur AuBenseite des Rohrs hervorgerufen. Der im Zulaufquerschnitt (1) gleichma'Big iiber den Rohrquerschnitt verteilte Druck p\ erfa'hrt auf der AuBenseite vom Punkt A bis zum Punkt A' eine Druckerhohung p'A > PA^ P\, so daB sich im Bereich A — A' das Fluid gegen steigenden Druck bewegt. Auf der Innenseite sinkt der Druck zunachst bis zum Punkt B und steigt dann beim Punkt B' naherangsweise auf den Druck p2 an, p2 ~ p'B > PB- Erst wenn sich der Ablaufquerschnitt (2)

A'

Abb. 3.42. Stromumlenkung durch einen Rohrkriimmer. a Ausbildung des Geschwindigkeitsprofils und der Stromungsablosung. b Sekundarstromung mit Doppelwirbel

3.4.4 Stromung durch Rohrverbindungen und Rohrleitungselemente

269

weit genug hinter der Rohrkrummung befindet, verteilt sich der Druck P2 wieder gleichmaBig iiber den Rohrquerschnitt. Im Bereich B — B' bewegt sich das stromende Fluid also ebenfalls gegen steigenden Druck. In beiden Bereichen liegen demnach ahnliche Verhaltnisse wie bei Diffusoren (Druckanstieg in erweiterten Rohren) vor. Solche Stromungen fiihren nach Abb. 3.39a in Wandnahe zu verminderter Geschwindigkeit und bei geniigend groBen Druckanstiegen zur Ablosung der wandnahen Reibungsschicht verbunden mit Wirbelbildung. Das achsensymmetrische Geschwindigkeitsprofil im Schnitt (1) erfahrt durch die Richtungsanderang der Stromung im gekriimmten Rohr (Rohrkrummer) die in Abb. 3.42a dargestellte starke Anderung. Diese wird erst im geraden AnschluBrohr (gestorte Ablaufstromung) am Schnitt (2) wieder in ein achsensymmetrisches Geschwindigkeitsprofil zuriickverwandelt, was ungeanderte Energiebeiwerte a\ = 012 bedeutet. Die gestorte Ablaufstrecke (EinfluBzone) kann eine Rohrlange von etwa 50- bis 70fachem Durchmesser hinter dem Kriimmer betragen. Bei der Durchfiihrang von Versuchen an gekriimmten Rohrleitungen ist diese Erkenntnis besonders wichtig. Neben dem in der Hauptstromung auftretenden Stromungsverhalten hat man es bei der Stromung in einer Rohrumlenkung noch mit einer anderen Erscheinung zu tun, welche zu Sekundarstromungen innerhalb der einzelnen Querschnitte fiihrt. Betrachtet werde ein Rohrquerschnitt nach Abb. 3.42b. Bei der Stromung eines viskosen Fluids haften die Fluidelemente an der Rohrwand. Das an der Innenund AuBenseite der Rohrwand sich nur langsam vorwartsbewegende Fluid unterliegt besonders stark dem durch die Kriimmung hervorgerufenen Druckgefalle Pi < pa. Das wandnahe Fluid wandert dem Druckgefalle folgend von auBen nach innen, wahrend sich in der Querschnittsmitte ein Ruckstrom von innen nach auBen einstellt. Auf diese Weise entsteht eine Nebenstromung in Gestalt eines Doppelwirbels nach Abb. 3.42b, die sich der Hauptstromung iiberlagert und mit dieser ein schraubenformiges Stromungsbild liefert. Fluidmechanischer Energieverlust. Der bei einer Stromumlenkung infolge ReibungseinfluB eintretende Verlust an fluidmechanischer Energie (Umlenkverlust) entsteht aus der Anderang der Wandschubspannung als Folge der nicht mehr achsensymmetrischen Geschwindigkeitsprofile, aus den Stromungsablosungen an der Innen- und AuBenseite des Rohrs sowie aus dem Auftreten von Sekundarstromungen. In Abb. 3.43a wird fur eine Rohrumlenkung mit konstantem Durchmesser Dy = DK = D die Definition des Umlenkenergieverlusts (pe)u bzw. des Umlenkverlustbeiwerts £# P 7

(Pe)u = Ku^vm

(vv = vK = vm)

(3.135a)

schematisch erlautert. Der Verlustbeiwert einer zwischen den Stellen (1) und (2) aus dem geraden Zulaufrohr, dem Kriimmer und dem geraden Ablaufrohr bestehenden Rohrumlenkung der Gesamtlange L\^,2 = LR\ + LK + LR2 = L R + Lg mitLR = LRi + LR2 betragt

?i_2 = ?* + fr mit

SR = ^

(3.135b)

270

3.4 Stromung dichtebestandiger Fluide in Rohrleitungen (Rohrhydraulik) Zulauf

Kriimmer

gerader Ablouf

0,4

i At-

0,1

/ Rohrobschnitte a

0 b

tr k

0,2

/

rx/D

/

A/ /si

5

10 - — -

Abb. 3.43. Fluidmechanische Energieverluste in Rohrkriimmern (Umlenkverlustbeiwerte). a Zusammensetzung der Verlustbeiwerte nach (3.135b, c). b EinfluB des Kriimmungsverhaltnisses, #K = 90°

als Verlustbeiwert der beiden geraden Rohrstiicke (A. = Rohrreibungszahl) nach (3.82) und £[/ dem durch die Rohrumlenkung im Kriimmer und im gestorten Ablaufrohr (L = Lv) hervorgerufenen Verlustbeiwert, der sich folgendermaBen zusammensetzt:

K'u

D

(3.135c)

Die zweite Darstellung besteht darin, da6 man sich den Umlenkverlust in einen rechnerischen Verlustbeiwert eines geraden Rohrs £'R von der Lange LR des Kriimmers (Kriimmerachse) und in einen rechnerischen Umlenkverlustbeiwert i;'y aufgeteilt denkt. Bei gleichem Kriimmerwinkel &K nimmt £/, mit grofier werdendem Kriimmungsradius ab, wahrend %'R wegen der wachsenden Lange des Kriimmers zunimmt, d. h. i;'R gewinnt gegeniiber £^ an Bedeutung. Abb. 3.43b zeigt, wie sich %'R mit L# = (n/2)rfc und t,'v zu £j/ zusammensetzen. Das Minimum von fj/ liegt bei kleineren Werten rK/D als das Minimum von £y. Die groBe Zahl der moglichen geometrischen und fluidmechanischen Parameter (Kriirnmungsverhaltnis, Kriimmerwinkel, Querschnittsflache, Querschnittsform, Wandbeschaffenheit, Reynolds-Zahl u. a.) sei erwahnt. Uber experimentelle Versuche zur Ermittlung der fluidmechanischen Druckverluste in Rohrkriimmern (Rohrbogen, Rohrknie) bei glatter und z. T. rauher Rohrinnenwand wird in [9, 17, 27, 29, 38, 53, 84] berichtet. Auf die zusammenfassenden Darstellungen [5], auf die Handbiicher von Idelchik [28] und Miller [47] sowie auf die in [81] der unmittelbaren Anwendung dienenden Angaben sei hingewiesen.

3.4.4 Stromung durch Rohrverbindungen und Rohrleitungselemente

271

Theoretische Energiebetrachtung. Fiir ein unter dem Winkel &g abgewinkeltes Rohr nach Abb. 3.44a mit den zwei verschiedenen Querschnitten A\ und A2 im Zu- und Ablaufrohr (A2/Ai ^ 1) sowie den zugehorigen Geschwindigkeiten v\ bzw. v2 findet man aus einer einfachen Impuls- und Energiebetrachtung den fluidmechanischen Druckverlust bzw. den Verlustbeiwert der Umlenkung fy theoretisch zu 50 = Hi).

(3.136a)

- - Kontrollflache Ubergangsquerschnitt

P2

Abb. 3.44. Zur theoretischen Berechnung des fluidmechanischen Umlenkverlustbeiwerts t;u eines abgewinkelten Rohrs (Knie). a Kontrollflache, Annahme der fluidmechanischen GroBen. b Vergleich der theoretischen und experimentellen Beiwerte (Kurve 1, 2), Kontraktionskoeffizienten /i

50 Wahlt man eine Kontrollflache nach Abb. 3.44a und macht die angegebenen Annahmen fiir die Driicke und die Wandschubspannung, dann gelten fiir die Kontinuitatsgleichung, fiir die in Richtung des Ablaufrohrs angewandte Impulsgleichung und fur die Energiegleichung die Beziehungen

=

v2A2, = 0,

cos &K ~ Pi

W

mit

(pe)u

272

3.4 Stromung dichtebestandiger Fluide in Rohrleitungen (Rohrhydraulik)

Korrekturfaktoren zur Angleichung an experimentell ermittelte Werte werden z. B. in [83] mitgeteilt. Die Beziehung (3.136a) geht fur den Fall ohne Umlenkung mit 0K = 0 in den Verlustbeiwert fur den Stufendiffusor nach (3.121c) bzw. (3.122b), d. h. ft/ ^ & iiber.

Fur ein einfaches Knie mit konstantem Querschnitt A\ = A 2 = A bzw. konstanter Geschwindigkeit v\ = V2 = vm folgt (Vu = vm).

(3.136b)

In Abb. 3.44b ist fy in Abhangigkeit von $K als Kurve (1) dargestellt und in Kurve (2) mit experimentellen Werten verglichen [28]. Wahrend der Verlauf t,u gut wiedergegeben wird, weichen die Werte selbst voneinander ab, und zwar betragt z. B. bei $K = 90° der Unterschied (&/)theor = 2,0 gegenuber (£[/) exp = 1,2 bei kreisformigem Querschnitt. Durch Vergleich mit einer plotzhchen Rohrverengung kann man nach [85] im Hinblick auf die Kontraktion nach der Umlenkung bzw. nach der Querschnittsverengung das Verhaltnis der Querschnittsanderung mit fi — A*/A als Kontraktionskoeffizienten zur Grundlage der Berechnung machen. Man kann also fur den Verlustbeiwert der Umlenkung mit (3.126c) auch & = £vc schreiben, d. h. I.

(3.137a)

Lost man nach /x auf, dann gilt

Auch der Zusammenhang \x = (J,(&K) ist in Abb. 3.44b dargestellt. Dabei nehmen (i plausible Werte an. AbschlieBend sei noch auf die Moglichkeit der Berechnung der bei der Durchstromung eines Rohrkriimmers auftretenden Kraft mittels der Impulsgleichung hingewiesen. Ftir den Fall reibungsloser Stromung gilt hierfiir (2.84). Einbau von Leitschaufeln. Durch Unterteilung eines Krummerquerschnitts mittels besonderer Fiihrungen, wie Umlenkschaufeln oder Leitapparate nach Abb. 3.41b, kann der Umlenkverlust nicht unwesentlich herabgesetzt werden. Voraussetzung ist dabei allerdings die richtige Formgebung der Leitschaufeln, die zweckmaBig durch Modellversuche bestimmt wird, [42, 53].

3.4.4.4 Rohrverzweigung (Trennung, Vereinigung) Allgemeines. Im Fall einer Rohrverzweigung (Index Z, bzw. 0 und j = 1,2) ist je nach Stromungsrichtung zwischen einer Stromtrennung (Rohrtrennung) nach Abb. 3.45a, c und einer Stromvereinigung (Rohrvereinigung) nach Abb. 3.45b, d zu unterscheiden. Die vom Verzweigungspunkt ausgehenden geradlinigen Rohrstiicke haben zunachst je nach Lange, Durchmesser, Durchstromgeschwindigkeit

273

3.4.4 Stromung durch Rohrverbindungen und Rohrleitungselemente

(oil

(0)

Houptlsitung

Durchgangsmhr

Abb. 3.45. Rohrverzweigungen. a Stromtrennung. b Stromvereinigung. c, d Hauptleitung (Durchgangsleitung) und abgewinkelte Nebenleitung (Verzweigleitung)

und gegebenenfalls Rauheitsparameter bestimmte fluidmechanische Energieverluste (Druckverluste) zur Folge, die sich nach den Rohrreibungsgesetzen in Kap. 3.4.3 berechnen lassen. Dem im Bereich der Verzweigung und weiter stromabwarts gestorten Stromungsverhalten entsprechen zusatzliche Verluste an fluidmechanischer Energie, sogenannte Verzweigverluste. Diese bestehen ahnlich wie bei der Stromquerschnittsanderung und der Stromumlenkung im wesentlichen aus Verlusten infolge des Auftretens von Ablosungsbereichen und Sekundarstromungen. Die Verzweigverluste konnen fiir die Stromungen durch die Verzweigungsrohre (1) und (2) jeweils verschieden groB sein. Sie hangen von den Verzweigwinkeln #y- (j = 1,2), von der Rohrdurchdringung (scharfkantig, abgerundet), von der Form der Querschnitte Ao, Aj, vom Querschnittsverhaltnis Aj/A0, von der Stromungsrichtung (Geschwindigkeiten v0, Vj) in den einzelnen Rohren (Trennung, Vereinigung) sowie vom Verhaltnis der Volumenstrome Vj/Vo ab. Die durch die Verzweigung gestorten Ablaufstrecken (EinfluBzonen) konnen Rohrlangen von etwa 50- bis 100-fachem Durchmesser betragen. Volumenstrom. Die Summe der durch die einzelnen Rohrquerschnitte Ao, Aj ein- und austretenden Volumenstrome betragt ^0 + ^1 + ^2 = 0

mit

V0 = ±voA0,

Vj = TVjAj

(j = 1,2). (3.138a, b)

GemaB (2.171a) besitzen eintretende VolumenstrSme positives und austretende Volumenstrome negatives Vorzeichen. Fluidmechanisches Verhalten. Das Fluid in der Rohrverzweigung (Trennung, Vereinigung), befinde sich von einer raurafesten Kontrollflache (O) = (A) + (S) eingeschlossen. Uber die Rohrwandung (S) kann kein Volumenstrom erfolgen. Bei stationarer Stromung lautet die fur den Kontrollraum angeschriebene Energiegleichung der Fluidmechanik (2.169a) in Verbindung mit (2.170a) und (2.174a)

274

3.4 Stromung dichtebestandiger Fluide in Rohrleitungen (Rohrhydraulik) V = -(PB + Ps + Pi) = -Pi = Pe (stationar).

(3.139)

Die Leistung der Massenkraft PB soil unberiicksichtigt bleiben. Die Stlitzleistung Ps tritt in (3.139) nicht auf, da die Geschwindigkeit wegen der Haftbedingung an der Rohrwand verschwindet. Da hier ein dichtebestandiges Fluid (p = const) zugrunde gelegt wird, stellt P, die Leistung der reibungsbedingten inneren Spannungskrafte dar. Es ist — P\ = Pe die fluidmechanische Leistung, die in Warmeleistung (Dissipationsarbeit/Zeit) iibergeht. Sie stellt den gesuchten fluidmechanischen Energieverlust dar. Fiihrt man in (3.139) die Integration iiber die drei Querschnitte an den Stellen (0), (1) und (2) aus, dann findet man die gesamte fluidmechanische Verlustleistung

Pe = (po + ao|i>o) Vb+ (pi +oi|i>?) Vi + (p 2 + <*2^vty V2.

(3.140)

Die Ausdrucke in den Klammera stellen jeweils Totaldriicke im Sinn von (3.23a) dar. Weiterhin bedeuten c*o, a\, ai Energiebeiwerte nach Tab. 3.2c bzw. nach (3.79b), welche der Erfassung ungleichmaBiger Geschwindigkeitsprofile Uber die Rohrquerschnitte Ao, A\, Aj dienen. Mit Vb = —(V\ + V2) nach (3.138a) kann man fur (3.140) auch schreiben Pe = (Pe), + (Pe)2 mit (Pe)j = [PJ + oij^vj - (po + « o | " o ) ] Vj U = 1. 2).

(3.141a)

Mit j = 1 bzw. 7 = 2 werden die Stromungsvorgange in den Verzweigungsleitungen (0 ->• 1, 1 —>• 0) bzw. ( 0 - » 2 , 2 - » 0 ) beschrieben.

Fluidmechanischer Energieverlust. Unter Einfiihren des fluidmechanischen Energieverlusts (pe)j ist (Pe)j = T(Pe)jVj, wobei das obere Vorzeichen fur die Trennung mit V) < 0 und das untere Vorzeichen ftir die Vereinigung mit Vj > 0 gilt. In (3.141a) eingesetzt erhalt man

T (Pe)j = Pj +aJ2Vf ~ {Po + ao-Voj

(Verzweigung).

(3.141b)

Der Energieverlust pe setzt sich aus dem Verlust infolge der Reibung (Index R), der bereits ohne Verzweigung vorliegt, und dem Verlust, der durch die Verzweigung (Index Z) zusatzlich auftritt, zusammen, d. h. (Pe)j = [(Pe)R + (Pe)z]j

mit (p e )y = o

0" = 1, 2). (3.142a, b)

Der Verlustbeiwert infolge der Verzweigung £,• soil auf die Geschwindigkeit des Gesamtstroms vz = vo bezogen werden. Im Einzelnen erhalt man nach (3.141b) fur die Rohrtrennung (oberes Vorzeichen) £y = £07 un< i fur die Rohrvereinigung (unteres Vorzeichen) fy = £yo mit 7 = 1,2

Po + oio^vl = Pj +oij-vj+ Pj+aj-vj

{pe)R + Koj^l

= po + ao-vl + (pe)R+ZjO-vl

(Trennung),

(3.143a)

(Vereinigung). (3.143b)

Bei {pe)R wurden die Indizes O7 bzw. 7O fortgelassen. Diese Beziehungen bestatigen, daB man zum selben Ergebnis mit Hilfe der erweiterten Bernoullischen Gleichung (3.67a) mit 3/9? = 0 gelangt, wenn man diese auf die Stellen 0 —> j bzw. auf die Stellen j —> 0 anwendet. Die groBe Zahl der moglichen geometrischen und fluidmechanischen Parameter (Verzweigwinkel, Verzweigungsiibergang, Querschnittsflache, Querschnittsform, Wandbeschaffenheit, Reynoldszahl u. a.) sei erwahnt. Uber experimentelle

3.4.4 Stromung durch Rohrverbindungen und Rohrleitungselemente

275

Versuche zur Ermittlung der fluidmechanischen Druckverluste in Rohrverzweigungen (Trennung, Verzweigung, gerade durchgehende Hauptleitung mit abgewinkelter Nebenleitung) wird in [6, 17, 21, 23, 30, 37, 83] berichtet. Auf die zusammenfassenden Darstellungen [5, 87], auf die Handbiicher von Idelchik [28] und Miller [47] sowie auf die in [35, 81] der unmittelbaren Anwendung dienenden Angaben sei hingewiesen. Alle Messungen bestatigen, da6 die Verlustbeiwerte neben dem Querschnittsverhaltnis Ay/Ao im wesentlichen nur vom Verhaltnis der Volumenstrome | V"i / Vo I abhangig sind. Abschatzung der Verlustbeiwerte. Die weitere Untersuchung sei fiir die Rohrverzweigung nach Abb. (3.45c, d), d. h. fiir eine gerade Hauptleitung (0 -»• 2) mit &2 = 0 von konstantem Querschnitt A2 = AQ mit einer unter einem bestimmten Abzweigwinkel !?i angeschlossenen Nebenleitung (1) mit dem Querschnitt A\, durchgefiihrt (T-Stiick mit Gleichstrom in der Hauptleitung und recht- oder schiefwinklig angeschlossener Nebenleitung). Diese Verzweigung kann als Rohrtrennung Oder Rohrvereinigung durchstromt werden. Bei verschlossenem Verzweigrohr (1) ist V\ = 0 (v\ = 0), so daB ein Volumenstrom V2 + Vo = 0 (v2 = VQ) nur in der geraden Hauptleitung vorkommt. Es stellt sich dort eine vollausgebildete Rohrstromung entsprechend Kap. 3.4.3.2 ein. Hierflir betragt der ohne Verzweigung verursachte Energieverlust bei der Stromtrennung (pe)R — Po — Pi und bei der Stromvereinigung (pe)R = pi — po- Mit v2 = vo und cti = «o erhalt man aus (3.143a, b) fiir j = 2, wie zu erwarten war, verschwindende Verlustbeiwerte. Obwohl im Nebenrohr (1) fiir j = 1 keine Stromung mit v\ = 0 herrscht, laBt sich hierfiir ein Verlustbeiwert aus (3.143a, b) ableiten, wenn man (pe)R % po — Pi bzw. (pe)R <** pi — po einfiihrt. Es gelten also die Grenzwerte ioi = 0 = f20>

foi = oro ** 1,

£io = ~co ^ —1 (V'l/V'o = 0).

(3.144a, b)

Bei turbulenter Stromung kann man mit dem Energiebeiwert «o ^ 1 rechnen. Die angegebenen Verlustbeiwerte sind vom Verzweigwinkel #i und auch vom Flachenverhaltnis Ai/Ao unabhangig. Ein negativer Verlustbeiwert bedeutet einen Gewinn an fluidmechanischer Energie. Dieser macht sich in dem betroffenen Rohr durch eine pumpartige Wirkung bemerkbar. Bei gedrosseltem Durchgangsrohr (2) ist v2 —>• 0, und die Verzweigung kann nach Abb. 3.46a, bei der Trennung fiir (0 —> 1) als Umlenkung und fiir (0 —• 2) als plotzliche Erweiterung (Austritt) sowie bei der Vereinigung fur (1 ->• 0) als Umlenkung und fiir (2 —>• 0) als plotzliche Verengung (Eintritt) aufgefaBt werden. Somit entsprechen sich die Vergleichswerte ioi~iu=iw,

%02 = SA,

Z2O = ZE

(V2/Vb-»• 0)

(3.144c, d)

mit den Beziehungen fur ft, nach (3.136b), fur £4 nach (3.124b) und fur f£ nach (3.128).

—2

Abb. 3.46. Einfache Rohrverzweigung A§ = A1 = A2 bei gedrosseltem Durchgangsrohr trennung. b Rohrvereinigung

2.

a Rohr-

276

3.4 Stromung dichtebestandiger Fluide in Rohrleitungen (Rohrhydraulik) 1 =2

^\»\

PX2

Kontrollflache

Abb. 3.47. Zur theoretischen Berechnung fluidmechanischer Energieverluste (Druckverluste, Verlustbeiwerte) von Rohrverzweigungen. a Trennung. b Vereinigung

Theoretische Energiebetrachtung. Fiir die in Abb. 3.47a,b dargestellten Rohrverzweigungen (Trennung, Vereinigung) findet man aus einer einfachen Impuls- und Energiebetrachtung (gleichmaBige Geschwindigkeitsprofile iiber die einzelnen Rohrquerschnitte, plausible Annahmen iiber die Driicke der verzweigenden Teilstrome, Vernachlassigung der Wandschubspannungen) die fluidmechanischen Verlustbeiwerte der Verzweigung fo/ und f;o theoretisch zu51

— I wo/ Kjo =

1-2

A\

(Trennung),

(3.145a)

A 2 /V2 , — — COS!?2

+ ( —)

(Vereinigung). (3.145b)

Die Formel fiir die Rohrvereinigung folgt durch Eliminieren der Druckdifferenz (pi2 — po) in den unten angegebenen Gleichungen. Erstmalig hat Favre [18] diesen Fall theoretisch behandelt. Die Beziehungen (3.145a,b) konnen zur Anpassung an gemessene Werte mit bestimmten Korrekturfaktoren versehen werden [83]. Fiir eine Rohrverzweigung mit gerade durchgehender Hauptleitung (&2 = 0) und einer unter dem Winkel #1 = 90° abgehenden Nebenleitung (T-Stiick) sowie gleichen Flachenquerschnitts fiir alle drei Rohre Ao = Ai = A2 ist (3.146a) (T-Stuck). (3.146b) 1 voj v0 wo V wo Hierin wurde die Kontinuitatsgleichung Vb + + V2 = 0 und daraus folgend vo = v\ + v2 bzw. D2/uo = 1 — VI/VQ beriicksichtigt. ?io = 2

51

Bei der Stromtrennung nimmt man an, daB diese sich nach Abb. 3.47a aus zwei Knieen zusammensetzt. Es ist (3.136a) sinngemaB anzuwenden. Fiir den Fall der Stromvereinigung werden die Kontrollflache fiir die Mischzone nach Abb. 3.47b gewahlt sowie die Driicke und die Wandschubspannung wie angegeben angenommen. Fiir die in Richtung des Hauptrohrs angewandte Impulsgleichung und fiir die Energiegleichung gelten die Beziehungen p(v\A\

COSl?l

P12 + I W? = po + I l>o + (Pe)jO

(P12 - PO>Ao = 0, (p)jO

= SjO J V

An der Verzweigungsstelle muB Druckausgleich herrschen, d. h. es ist dort p\2 als Mittelwert von und pi zu setzen.

277

3.4.4 Stromung durch Rohrverbindungen und Rohrleitungselemente 2,2

12

2,0

10

1,8

0.8

1,6

0,6

/

1,4

U 5 W<

(,

O

0,6

0,2 0

0

1

n

o—

nTr

y

A

A

' /

-0,2

^?

*

j

-0,4

Messung

/

-0,6

T

heorie

7

OJ 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

-W

0

OJ 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 - 0,9 1,0

|K/ft I

..

0,8 0,6

0,2 0.9

W

-

/ /

fA

OJ 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

—

-0,8

10

0

/

0.2

0,8

0,4

1

? 0

O-

7/ /

,

0,4

'—-— -o.—

2—.

s

if

VOJ 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 W

0<0

I nfil Abb. 3.48. Verlustbeiwerte in Rohrverzweigungen (T-Stuck, Ai = Aj = A3, &i = 90°); Messung nach [37], Vergleich mit Theorie nach (3.146a, b). a Stromtrennung, £02. foi- b Stromvereinigung, ^20, fio

In Abb. 3.48 sind die theoretisch berechneten Verlustbeiwerte foy und £)o uber dem Volumenstromverhaltnis | V"i / Vb I = v\/vo aufgetragen und werden mit MeBergebnissen verglichen. Die Grenzwerte (3.144a, b) fur V1/V0 = 0 werden bestatigt. Fiir die Kurven selbst geben die obigen Naherungsformeln die grundsatzlichen Verlaufe wieder. EinfluB der Bezugsgeschwindigkeit auf die Verlustbeiwerte von Rohrverzweigungen. Bei den bisherigen Darstellungen der Verlustbeiwerte von Rohrverzweigungen fy (Trennung ^oy, Vereinigung f,o) wurde die Geschwindigkeit des Gesamtstroms vz = vo als Bezugsgeschwindigkeit zugrundegelegt, vgl. (3.143a, b). Eine andere Moglichkeit besteht darin, die fluidmechanischen Energieverluste auf die Geschwindigkeit einer Teilleitung Vj = Vj/Aj mit j = 1,2 zu beziehen. Die entsprechenden Verlustbeiwerte sollen mit f, (Trennung £ Q ; , Vereinigung f' o ) bezeichnet werden. Es besteht dann der Zusammenhang (3.147a, b) Die Auswirkung der anders definierten Verlustbeiwerte fj statt %j sei fiir eine Rohrvereinigung nach Abb. 3.45d mit &2 = 0° und &\ = 45° sowie A2 = Ao = const und 0 < A\ < A% untersucht, und zwar fur den fluidmechanischen Energieverlust zwischen den Stellen (1) -> (0), d. h. fiir fio bzw. t,[0. In Abb. 3.49a, b sind zunachst in einer Paramreterdarstellung die Verlustbeiwerte fio in Abhangigkeit vom Volumenstromverhaltnis | Vi j Vb I und vom Querschnittsverhaltnis 0 g A \ / A Q S ' wiedergegeben. Dort wird auch der Vergleich zwischen experimentellen und theoretisch berechneten Werten gezeigt, wobei eine gute qualitative tfbereinstimmung festzustellen ist.

3.4 Stromung dichtebestandiger Fluide in Rohrleitungen (Rohrhydraulik)

0.1

0

0,1

0,2

0.2

0,3

0,3

0,4 0,5

0,4 0,5

0,6 0,7

0.6 0.7

0,8

0,9 1.0

°-9

1

-°

Abb. 3.49. Verlustbeiwerte einer Rohrvereinigung mit gerader Hauptleitung (i?2 = 0, A2 = Ao) und abgewinkelter Nebenleitung (#1 = 45°, 0 g Ai g A o ) in Abhangigkeit yom Volumenstromverhaltnis I Vi/Vb|. a experimentelle Werte fio nach [47], b theoretische Werte fio nach (3.148a). c theoretische Werte fio nach (3.148a) im oberen Diagonalfeld (ausgezogen) bzw. ?( 0 nach (3.148b) im unteren Diagonalfeld (gestrichelt)

Fiir das vorliegende Beispiel gilt fur den auf vo bezogenen Verlustbeiwert nach (3.145b) (3.148a) Bezieht man auf v\, ist diese Beziehung nach (3.147a) mit (i>o/"i)2 zu multiplizieren, was zu 2

(3.148b)

3.4.4 Stromung durch Rohrverbindungen und Rohrleitungselemente

0.2

0,3

0,4 0.5

0,6 0,7

0,9

279

1,0 Abb. 3.49. Fortsetzung

fiihrt. Fiir die Geschwindigkeitsverhaltnisse gilt und

vo

^ = 1wo

(3.148c)

Bei V'I/V'O -> 0 ergibt sich fio -> —1 bzw. f{ 0 -> — oo, und bei /4[//4o -> 0 erhalt man fio -> — oo bzw. fj 0 —> + 1 . Es stellen fio, ?io ~> ~ ° ° unbrauchbare Werte dar. Durch eine Auftragung gemaB Abb. 3.49c bei der im oberen Diagonalfeld fio und im unteren Diagonalfeld £[ 0 aufgetragen ist, kann man diesen Mangel vermeiden. Auf der Diagonalen A\/AQ = |Vi/Vbl, d. h. bei V\/VQ = 1 und «2/wo = 1 - A1/A0, stimmen fio = Z'l0 uberein. Die gemachte Betrachtung zeigt die Bedeutung der Bezugsgeschwindigkeit bei der Definition der Verlustbeiwerte.52

3.4.4.5 Einbau einer Stromungsmaschine (Turbine, Pumpe) Befindet sich im Rohrleitungssystem eine Stromungsmaschine (Index N = M) entweder als Turbine oder als Pumpe, so wird dem System fluidmechanische Energie entnommen bzw. zugefiihrt. Dies entspricht am Ort der Stromungsmaschine einem positiven bzw. negativen Verlust an fluidmechanischer Energie (pe)MDie der Stromung entnommene bzw. zugefiihrte Maschinenleistung, (Kraft der Druckanderung (p e )wA M )x (Stromungsgeschwindigkeit vM), betragt = (Pe)M

= {Pe)M V

= V/AM)

(3.149a, b)

mit AM als Bezugsflache und VM als Bezugsgeschwindigkeit. Handelt es sich um eine Turbine (Index T), dann betragt bei Beriicksichtigung 52 Die Darstellung von f 10 links und ?[„ rechts von der Diagonalen mit jeweils nur begrenzten Zahlenwerten fiir die Verlustbeiwerte ist fluidmechanisch einleuchtend, da ja der fluidmechanische Energieverlust (pe)z im allgemeinen nur ein Teil oder ein geringes Vielfaches der Geschwindigkeitsenergie (p/2)u 2 ist.

280

3.4 Stromung dichtebestandiger Fluide in Rohrleitungen (Rohrhydraulik)

des Turbinenwirkungsgrads r)r die entnommene Turbinenleistung (Nutzleistung) pT = x]jPM. Hieraus ergeben sich der Energieverlust durch die Turbine und die zugehorige Verlusthdhe entsprechend (3.64) zu (Peh = Pg{2e)T = -%

= PghT > 0.

(3.150a)

Die Verlusthohe (ze)r > 0 wird auch Fallhohe (Nutzhohe) hj > 0 genannt. Bei Einbau einer Pumpe (Index P) wird Arbeit auf das Fluid iibertragen, was einem Gewinn an fluidmechanischer Energie oder einem negativen Verlust entspricht. Mit dem Pumpenwirkungsgrad ??/> betragt die effektive Pumpenleistung (Antriebsleistung) r\pPp = —PM- Der negative Energieverlust und die zugehorige negative Verlusthohe ergeben sich jetzt zu (Pe)p = Pg(ze)p = —UjL

= -Pghp < 0.

(3.150b)

Die negative Verlusthohe (ze)p < 0 wird Forderhohe hp > 0 genannt. Die angegebenen Beziehungen gelten fiir Stromungsmaschinen, die ein dichtebestandiges Fluid verarbeiten. Der Einbau einer Stromungsmaschine in ein Rohrleitungssystem kann wie alle anderen Rohrleitungsteile nach Tab. 3.1 durch Einfiihren des Energieverlusts (pe)M = PM/V nach (3.149b) oder speziell nach (3.150a, b) in (3.65) beriicksichtigt werden. 3.4.5 Aufgaben der Rohrhydraulik 3.4.5.1 Ausgangsgleichungen Die in den Kap. 3.4.1 bis 3.4.4 abgeleiteten Beziehungen sollen jetzt auf Rohrleitungssysteme angewendet werden, die ein dichtebestandiges Fluid verarbeiten. Die zwischen zwei besonders herausgegriffenen Stellen (1) und (2) vorhandenen Rohrleitungsteile, gegebenenfalls einschlieBlich eingebauter Stromungsmaschinen, werden nach Tab. 3.1 mit dem Index N gekennzeichnet. Die Rohrquerschnitte seien jeweils unelastisch angenommen A^(t, s) = AN(S). Fiir die Anwendung empfiehlt es sich, die mittleren Geschwindigkeiten u/v iiber die Stromungsquerschnitte AN jeweils durch den Volumenstrom V = v^An entsprechend der Kontinuitatsgleichung (3.66b) auszudriicken. Als weitere Beziehung wird die Energiegleichung (erweiterte Bernoullische Gleichung) in der Form (3.71) herangezogen. Die Bestimmungsgleichung zur Berechnung instationarer und stationarer Rohrstromungen lautet dann aV2 + "I + b— = H V at

aV2 + " = H V

(instationiir),

(stationiir).

(3.151a, b)

Fur die Abkiirzungen gilt nach (3.72) unter Beachtung von (3.119)53-54 (2)

a=a-\-a-\- f / " 2

2 m =

-PM,

P 53

1

1 X

(3.152a, b)

+ 1

(1)

H = 2g h

(2)

2

ds

mit

N

h — Zl — Z2 "

(1)

Pi - P2

(3.152c, d)

Pg

Das Summenzeichen E " soil kennzeichnen, daB der EinfluB der Rohrreibung und derjenige Stromungsmaschine darin nicht enthalten sind, da sie getrennt aufgefuhrt werden. 54 D e r Einfachheit halber wird b = &i^,2 gesetzt.

einer

3.4.5 Aufgaben der Rohrhydraulik

281

Die GroBe a enthalt die Rohrlange L = S2—s\ sowie die verschiedenen Querschnittsflachen A\, A2, A(s) und AN der Rohrleitung bzw. der Rohrleitungsteile. Dariiber hinaus kommen die Energiebeiwerte a i , a2, die Rohrreibungszahl X und die Verlustbeiwerte fw vor. Fur a gelten die Zahlenwerte nach (3.91a) und (3.98b). Bei den praktisch meist vorkommenden turbulenten Stromungen kann a s» 1,0 gesetzt werden. Die Rohrreibungszahl X = X(Re,k/D) kann nach Abb. 3.30 oder 3.31 sowohl von der ReynoldsZahl Re als auch vom Rauheitsverhaltnis k/D abhangen. Die GroBe der Rauheit k ist nach Tab. 3.4 geometrisch gegeben. Lediglich die Reynolds-Zahl Re = vD/v wird von der Stromungsgeschwindigkeit bestimmt. Wegen v = V/A ist die Rohrreibungszahl eine Funktion des Volumenstroms, sofern sich die Wand des Rohrs nicht fluidmechanisch vollkommen rauh verhalt, d. h. X = X(k/D) ist. Die Beziehungen fur die Verlustbeiwerte JJV sind fiir die verschiedenen Rohrleitungsteile in Kap. 3.4.4 angegeben. Ihre GroBen werden im wesentlichen von den geometrischen Parametern des jeweiligen Rohrteils bestimmt. Die GroBe b ist weitgehend durch die Rohrquerschnittsverteilung A(s) bestimmt. Fiir den Impulsbeiwert fi gelten die Zahlenwerte nach (3.91b) und (3.98c). Fiir praktische Aufgaben geniigt es bei turbulenter Stromung im allgemeinen ahnlich wie beim Energiebeiwert fi ss 1,0 zu setzen. Die GrciBe m beriicksichtigt nach (3.149) bzw. (3.150) den Einbau von Stromungsmaschinen mit PM = PT/IT > 0 fiir eine Turbine und PM = — rjpPp <0 fiir eine Pumpe. Die GroBe H ist ein MaB fiir die zur Verfiigung stehende Druckhohe. Nach (3.43c) wird h = H/2g als hydraulische Hohe bezeichnet. Sie setzt sich zusammen aus dem Hohenunterschied zi — zi der beiden Stellen (1) und (2) zuziiglich einer Druckhohe (p\ — piMpg, wenn p\ =fc pj ist. Entsprechend den gegebenen und gesuchten GroBen hat die Anwendung und Auswertung der Bestimmungsgleichung (3.151) zu erfolgen. Die in der GroBe a auftretende Rohrreibungszahl X und die Verlustbeiwerte fAT sind nach den dafiir angegebenen Formeln einzufiihren. Die Rohrreibungszahl X kann, wie bereits gesagt wurde, u. a. von der Reynolds-Zahl Re = vD/v abhangen. Am einfachsten gestaltet sich daher die Rechnung, wenn bei v = const v und D unmittelbar gegeben sind. Ist dies nicht der Fall, so muB man X zunachst schatzen, dann mittels (3.151) die jeweils noch unbekannte GrOBe v oder D ermitteln und so die Reynolds-Zahl bestimmen. Jetzt hat man zu priifen, ob die gemachte Annahme fiir X richtig war. Meistens muB man mit den in erster Naherung gewonnenen Werten v oder D einen neuen Wert fiir X bestimmen, usw. Fiir eine erste Schatzung empfiehlt sich bei nicht zu groBen Rauheiten der Wert X « 0,03. 55

3.4.5.2 Stationare Rohrstromung dichtebestandiger Fluide Wie man bei der Behandlung von Rohrstromungen im einzelnen zu verfahren hat, soil nachstehend zunachst an einigen Beispielen stationarer Stromung gezeigt werden. a) Berechnung des Volumenstroms. Befindet sich in einem Rohrleitungssystem keine Stromungsmaschine (Turbine, Pumpe), und besitzt die Rohrleitung der Lange L = S2 — si konstanten Querschnitt (A = const), so erhalt man aus (3.151b) mit m = 0 fiir den Volumenstrom

2g(zi - z 2 ) + ~(p\ - Pi) p

V =A A a2 I -7- 1 - <*i I —

Verbindet nach Abb. 3.50a eine lange Rohrleitung von konstantem Querschnitt A = A/v = const zwei groBe mit Fliissigkeit gefiillte oben offene GefaBe miteinander, dann gilt, wenn man die Stellen (1) und (2) in die Fltissigkeitsspiegel legt, A/A2 <S 1, A/Ai <SC 1 sowie p\ = p2. Mithin ergibt sich fiir diesen Fall V = A

+ Ku D

(i) (3.154)

55

Da in den nachstehend wiedergegebenen Anwendungen die Impulsgleichung nicht benotigt wird, wird sie hier nicht besonders erwahnt, vgl. hierzu die Berechnung der Kraft auf einen Rohrkriimmer bei reibungsloser Stromung in Kap. 2.5.2.2.

282

3.4 Stromung dichtebestandiger Fluide in Rohrleitungen (Rohrhydraulik)

fl

(V

Abb. 3.50. Zur Berechnung des Volumenstroms in Rohrleitungssystemen bei stationarer Stromung. a Verbindung zweier groBer oben offener fliissigkeitsgefijllter GefaBe durch lange Rohrleitung. b AusfluB aus einem oben offenen GefaB durch eine lange Rohrleitung ins Freie

Die Bedeutung der Verlustbeiwerte f/v geht aus Tab. 3.1 hervor. Im vorliegenden Beispiel erfolgt der AusfluB unterhalb der Fliissigkeitsspiegel, vgl. hierzu Beispiel b.2 in Kap. 3.3.2.3. Sofern die Rohrreibungszahl von der Reynolds-Zahl Re = vD/v = (4/izvD)V, d. h. vom Volumenstrom abhangt, ist die Rechnung, wie bereits in Kap. 3.4.5.1 beschrieben wurde, iterativ durchzufiihren. Beim AusfluB ins Freie nach Abb. 3.50b wird die Stelle (1) in den Fliissigkeitsspiegel des GefaBes und die Stelle (2) entweder auBerhalb des Rohrs hinter die Austrittsoffnung in Hohe ihres Flachenschwerpunkts mit A/A2 = 0 oder innerhalb des Rohrs kurz vor die Austrittsoffnung mit A/A2 = 1 gelegt. Im ersten Fall enthalt (3.153) den Austrittsverlustbeiwert t,&, wahrend im zweiten Fall der Austrittsverlustbeiwert nicht vorkommen kann, sondern statt dessen die GroBe a2(A/Ai)2 = 1*2 auftritt. Aus den beiden Betrachtungsweisen folgt £4 = aj in sinngemaBer Obereinstimmung mit (3.124b). Da dem austretenden Fliissigkeitsstrahl der AuBendruck p\ aufgepragt wird, ist in beiden Fallen an der Stelle (2) der Druck p2 = p\. Nach (3.152d) ist somit h = z\ — 7.2 die Lage der Austrittsoffnung unterhalb des Fliissigkeitsspiegels im GefaB. Fur das vorliegende Beispiel des Ausflusses ins Freie gilt ebenfalls (3.154), vgl. Beispiel b.l in Kap. 3.3.2.3. Wird die Rohrleitung am Austritt mit einem Enddiffusor versehen, so findet man fur den Volumenstrom verglichen mit demjenigen beim Austritt ohne Diffusor nach (3.154)

Vmp

> 1

L

mit

(3.155)

X-

\

Wegen ZDA < £A nach (3.133b) ist bei sonst ungeanderten GroBen Vmo > Voo; d. h. durch Anbringen eines ablosungsfrei arbeitenden Enddiffusors (Austrittsdiffusors) kann der Volumenstrom gesteigert werden. Besitzt das GefaB nur eine Offnung mit einem kurzen AusfluBrohr, so bestehen die fluidmechanischen Energieverluste nur aus den Verlusten der Eintritts- und Austrittsstromung, d. h. es spielen nur die Eintritts- und Austrittsverlustbeiwerte £E +1,A » HL/D) eine Rolle. Aus (3.154) folgt fur den Volumenstrom V = A

mit

<1

1,5-3^

(3.156a, b,c)

+ 2,5/4

als AusfluBkoeffizient. Dieser ergibt sich nach Einsetzen von (3.128) und (3.124b) mit t,^ = 1. Fur einen sehr gut abgerundeten RohranschluB an die GefaBwand ist JXQ <« 1 und damit auch

3.4.5 Aufgaben der Rohrhydraulik

283

Rohrleitungssystem von Abb. 3.50a oder 3.50b eingebaut ist. In diesem Fall muB, da die ReynoldsZahl Re wegen des gesuchten Durchmessers noch nicht bekannt ist, die Rechnung zunachst mit einer geschatzten Rohrreibungszahl k begonnen werden. Der Verlust an fluidmechanischer Energie durch Reibung an der Rohrwand sei so groB, daB in (3.152a) sowohl die Verluste durch andere Rohrleitungsteile vernachlassigt als auch die Glieder 012/A2, und a\/A2 unberiicksichtigt bleiben konnen. Mit a = kL/DA2 = 16kL/x2D5 und H = 2gh ergibt sich durch Auflosen von (3.151b) nach dem Durchmesser $ kL V2 —z n2 gh 1 - EM

(turbulent),

/128 vL V D =4\ \j n gh I - EM

(laminar).

(3.157a, b)

Hierin wird der EinfluB einer Stromungsmaschine durch EM = m/HV = PM/pghV mit PM = PT/1T fur Turbinen und PM = —ipPp fiir Pumpen erfaBt. Mit k = const gilt (3.157a) in guter Naherung fiir die turbulente Rohrstromung. Bei laminarer Stromung ist nach (3.93b) k = 64v/vmD = \(mvD/V, was nach Einsetzen in (3.157a) zu (3.157b) fiihrt. Fur den Fall, daB keine Stromungsmaschine eingebaut ist, ist EM = 0 ZU setzen. Fluidenergieverbrauchende Turbinen EM > 0 erfordern bei gleichem Volumenstrom groBere Durchmesser, wahrend fluidenergiezufuhrende Pumpen EM < 0 mit kleineren Durchmessern auskommen. c) Berechnung des Druckgefalles und der Pumpleistung. Bei konstant gewahltem Rohrdurchmesser D und gegebenem Volumenstrom V kann die Rohrreibungszahl k sofort nach Kap. 3.4.3 berechnet werden. Bei sehr langen Rohren erhalt man unter den gleichen Annahmen wie bei (3.157a) aus (3.151b) fur die Druckanderung zwischen den Stellen (2) und (1) 81 L

'"1 -

P

f.

(3.158)

Ist die Stelle (1) mit der Atmospharenluft vom Druck po in Verbindung, z. B. die Spiegelflache eines mit Flussigkeit gefiillten GefaBes, und die Stelle (2) irgendein Punkt des flussigkeitsfiihrenden Rohrsystems, so gilt fiir die Driicke p\ = po und P2 ^ Po- Bei p2 > Po herrscht in der Leitung Uberdruck; man spricht dann von einer Druckrohrleitung. Ist dagegen p2 < po, so herrscht in der Leitung Unterdruck. Undichte Leitungen, z. B. Stollen, wttrden in einem solchen Bereich Luft ansaugen. Steht am Rohraustritt nicht wieder geniigend Druck zur Verfiigung, so kann der FlieBvorgang unterbrochen werden. Beim Absinken des Unterdrucks in der Rohrleitung bis auf den Dampfdruck kann sich Kavitation einstellen, wodurch neben dem Unterbrechen des Stromungsablaufs auch eine Beschadigung der Rohrwand auftreten kann, vgl. hierzu Kap. 1.2.6.3. Stehen die Fliissigkeitsspiegel in den beiden nach Abb. 3.50a oben offenen GefaBen gleich hoch, dann ist p2 = p\ und zj = i\. Eine stationare Stromung vom GefaB (1) ins Gefa'B (2) ist in diesem Fall nur durch Einbau einer Pumpe moglich. Die Pumpleistung ergibt sich wegen PM — —r\pPp aus (3.158) zu PP=p-^-

—1>3~—

(P2 = puz2 = z1).

(3.159)

Hiernach ist die Pumpleistung bei unverandert angenommener Rohrreibungszahl k f» const proportional der dritten Potenz des Volumenstroms.

3.4.5.3 Instationare Rohrstromung dichtebestandiger Fluide Wahrend bei den vorstehend besprochenen Beispielen nur stationare Rohrstromungen behandelt werden, sollen jetzt auch noch einige einfache Beispiele instationarer Rohrstromungen besprochen werden. Dabei soil sich keine Stromungsmaschine im Rohrleitungssystem befinden. Nach (3.151a) ist also mit m = 0 die Beziehung • •,

dV

aVl + b— = H (ohne Stromungsmaschine) at

(3.160)

284

3.4 Stromung dichtebestandiger Fluide in Rohrleitungen (Rohrhydraulik)

zu losen. Diese Darstellung stimmt formal mit (3.44a) fur die instationare Fadenstromung eines reibungslosen Fluids iiberein.56 Wahrend H nach (3.152d) unverandert mit (3.43c) iibereinstimmt, weicht b nach (3.152b) wegen fS «» 1,0 nur geringfiigig von (3.43b) ab. Die GroBe a nach (3.152a) erfahrt gegeniiber (3.43a) eine wesentliche Erweiterung durch die Beriicksichtigung der Reibungseinflusse a, A und f JV • Von diesen Werten soil angenommen werden, daB sie von der Zeit nicht abhangen, vgl. hierzu die Feststellung in Kap. 3.4.2.2. a) Instationare Bewegung von Fliissigkeitsspiegeln. Ahnlich wie in Kap. 3.3.3.3 soil auch hier die instationare Bewegung von Fliissigkeitsspiegeln behandelt werden. Wegen der formalen Ubereinstimmung von (3.44a) und (3.160) gelten die in (3.49a, b) fur die Spiegelgeschwindigkeit v\ = s\ angegebenen Beziehungen. Die Stelle (1) fallt nach Abb. 3.17 oder 3.18 in die Spiegelflache eines mit Fliissigkeit gefiillten GefaBes bzw. Rohrs. Fiir die Funktionen c(s\) und d(s\) gilt jetzt in Erweiterung von (3.50) unter Beachtung von (3.152) (2)

LF(SI)

D

(3.161a) (2)

— ds.

(3.161b, c)

(i)

Lp(si) stellt wie L(s\) in (3.50c) die rechnerische Lange des Flussigkeitsfadens zwischen den Stellen (1) und (2) dar.57 Andert sich wie bei Schwingungsvorgangen die Stromrichtung von (1) —>• (2) in (2) -> (1), so ist dies bei der Erfassung der irreversiblen Reibungsverluste (pe)i^2 = (Pe)2^\ in der GroBe c durch sinngemaBe Vorzeichen zu beriicksichtigen. Ftir (1) -» (2) gilt das positive und fiir (2) ->• (1) das negative Vorzeichen. b) Schwingungen in kommunizierenden GefaBen und Rohren bei reibungsbehafteter Stromung. Zwei mit Fliissigkeit gefiillte, oben offene GefaBe mit den Querschnitten A\ und A2 seien nach Abb. 3.51 durch ein langes Rohr vom Querschnitt A miteinander verbunden. Im Ruhezustand steht die Fliissigkeit nach dem Gesetz der kommunizierenden GefaBe gemaB Kap. 3.2.3.1 in beiden GefaBen gleich hoch. Denkt man sich das Gleichgewicht durch eine auBere Ursache voriibergehend gestort, so fiihrt die sich selbst uberlassene Fliissigkeit nach Entfernen der Stoning Schwingungen aus, die je nach der Art, in welcher man die Reibung beriicksichtigt, verschiedenes Verhalten haben. Zur Losung der Aufgabe mittels (3.49a) oder (3.49b) sind zunachst die Funktionen c{s\) und d(s\) nach (3.161a, b) zu bestimmen. Der Rechengang soil fur den einfachen Fall erlautert werden, bei dem zwei groBe zylindrische GefaBe von gleichem Querschnitt Ai = A2 = const, d. h. A1/A2 = 1, durch eine lange Rohrleitung von ebenfalls konstantem Querschnitt A = const miteinander verbunden sind. Es bedeutet L = s2 — s[ die Rohrlange und / = (s[ — si) + (S2 — s2) = l\ +12 die Summe der Fliissigkeitshohen in den beiden GefaBen. Die Reibungsverluste in den GefaBen (1) und (2), an den RohranschluBstellen (1') und (2') sowie durch die Rohrumlenkungen (Rohrkriimmer) seien gegeniiber denjenigen, die durch die Wandreibung des Verbindungsrohrs hervorgerufen werden, vemachlassigbar klein. Weiterhin sei ai »» «2 ^ 1 und fi « 1 angenommen. Da die GefaBe oben offen sind, ist fiir die Driicke auf die Fliissigkeitsspiegel pi = p\ zu setzen. Dies fiihrt nach (3.152d) zur hydraulischen Hohe h = i\ — 12 = —2s\. Unter Beachtung der gemachten Angaben wird aus (3.161) X L

( A1 \

c = ±—-r-l-r) • D Lp \ A j

4P

d=—su Lp

A1

Z.F=/ + — L. A

(3.162a,b,c)

Die Beziehung (3.162c) fiir die rechnerische Lange des Flussigkeitsfadens gilt, sofern bei den Schwingungen der Fliissigkeitsspiegel die RohranschluBstellen (1') und (2') nicht erreicht; es ist Lp = const. Die Rohrreibungszahl k > 0 hangt vom Stromungszustand (laminar, turbulent, rauh) und grundsatzlich auch von der Zeit ab. Wie bereits gesagt wurde, soil die Zeitabhangigkeit vernachlassigt 56

Beachte die FuBnote 54 (S. 280). Zum Unterscheiden von der geometrischen Rohrlange L wurde fiir die rechnerische Lange Lp eingefiihrt. AuBerdem wurde ft = 1 gesetzt. 57

3.4.5 Aufgaben der Rohrhydraulik

285

Abb. 3.51. Zur Berechnung einer schwingenden Flilssigkeit in kommunizierenden GefaBen bei reibungsbehafteter Stromung (reibungslose Stromung, Abb. 3.18)

werden. Das obere Vorzeichen in (3.161a) bezieht sich auf die in Abb. 3.51 eingetragene Stromrichtung (1) -> (2), wahrend das untere Vorzeichen fiir die riicklaunge Bewegung (2) ->• (1) gilt. Bei reibungsloser Stromung ist wegen 1 = 0 auch c = 0. In diesem Fall liegt eine harmonische Schwingung entsprechend Beispiel b in Kap. 3.3.3.3 vor. Bei reibungsbehafteter Stromung wird die Schwingung wegen A ^ 0 bzw. c ^ 0 in jedem Fall gedampft. Bei laminarer Rohrstromung in einem Kreisrohr erhalt man mit (3.93b) fiir die Rohrreibungszahl Re

6Av ~vD

64v v\(Ai/A)D

(Av A —

(ii ^ 0).

(3.162d)

Nach Einsetzen in (3.162a) ergibt sich mit den Grofien c und d aus (3.49a) fiir den Schwingungsvorgang die Differentialgleichung 32v Ai L

2g

-jry -r- «i + Lp 7 - ^ = 0 (laminar). Dz —r A Lf

(3.163)

Die Faktoren bei s\ und s\ sind Konstante und seien mit 25 = 32vA\L/D2ALp sowie a> = •^/2g/LF bezeichnet, wobei S die Dampfungskonstante und a> die Kreisfrequenz der ungedampften Schwingung bezeichnet. Bei s\ + 2&s\ + u?s\ = 0 handelt es sich um die Differentialgleichung einer geschwindigkeitsproportional gedampften Schwingung. Ihre aus der Mechanik fester Korper her bekannte Losung wird hier nicht besonders angegeben. Ist S < a>, so ergibt sich eine schwach gedampfte Schwingung, deren Schwingungsdauer (Zeit zwischen zwei gleichartig aufeinanderfolgenden Durchgangen, von der Anzahl der vorausgegangenen Schwingungen unabhangig) T =

2it

T =

(3.164)

betragt. Die zweite Beziehung gilt fur ein U-Rohr nach Abb. 3.18b mit A/A\ = 1 = LF/L, vgl. (3.56b). Fiir S > w liegt eine stark gedampfte Schwingung mit aperiodischer Bewegung vor. Bei turbulenter Rohrstromung kann, sofern sich dieser Zustand wahrend des gesamten Schwingungsvorgangs iiberhaupt einstellt, in (3.162a) fiir die Rohrreibungszahl X «* const gesetzt werden. In diesem Fall handelt es sich um eine geschwindigkeitsquadratische Dampfung. Fiir die zugehorige Differentialgleichung laBt sich keine geschlossene Losung angeben. c) WasserschloBschwingungen. Wirkungsweise eines Wasserschlosses. Ein fiir den Wasserbau wichtiges Beispiel instationarer Fliissigkeitsbewegung stellen die Schwingungen in einem Wasserschlofi dar. Nach Abb. 3.52 liege ein hydraulisches System vor, welches aus einem Staubecken, einem Druckstollen, einem WasserschloB,

286

3.4 Stromung dichtebestandiger Fluide in Rohrleitungen (Rohrhydraulik) „

P=P\

r,

(7)

Regelvorrichtung"• {Kraftstation)' "

Abb. 3.52. Schematische Darstellung eines Wasserschlosses, bestehend aus Staubecken, Druckstollen (I), WasserschloB (II), Druckrohrleitung (Falleitung) und Kraftstation (Regelvorrichtung, Turbine)

einer Druckrohrleitung (Falleitung) und schlieBlich einer Regelvorrichtung (Kraftstation) besteht. Eine solche Anlage hat die Aufgabe, aus der Wasserfassung (Staubecken, WasserschloB) einer Kraftstation das benotigte Wasser zura Betrieb von Turbinen zuzufiihren. Solange der Wasserbedarf der Turbinen gleichmaBig ist, besteht ein Beharrungszustand in der FlieBbewegung des gesamten Systems von der Wasserfassung bis zu den Turbinen. Andert sich der Wasserbedarf der Turbinen, so spricht die Wasserbewegung hierauf instationar an. Durch Offnen oder SchlieBen der Regelvorrichtung entstehen in der Rohrleitung Druckwellen von kurzer Periode, auch DruckstoBe genannt, wahrend sich zwischen Staubecken und WasserschloB Schwingungen von langer Periode, auch Massenschwingungen genannt, einstellen. 5 8 Bei erhohtem Bedarf der Turbine flieBt augenblicklich mehr Wasser durch die Rohrleitung ab, als durch den Stollen nachstromen kann. Dieser Mehrbedarf wird aus dem WasserschloB gedeckt, dessen Spiegel sich daher senkt. Das Absinken des Wasserspiegels im WasserschloB erhoht das Druckgefalle zwischen Staubecken und WasserschloB, wodurch das Wasser im Stollen beschleunigt wird. Da dieser Vorgang zeitlich der Steigerung des Wasserbedarfs nachhinkt, entstehen Schwingungen des Spiegels im WasserschloB. Bei vermindertem Bedarf der Turbine werden ebenfalls Schwingungen in ahnlicher Weise erzeugt. Da der Stollen im allgemeinen gegen starkere Druckanderungen empfindlich ist, kommt dem WasserschloB auch noch die Aufgabe zu, ihn gegen zu hohe Druckschwankungen zu schiitzen, indem von der Rohrleitung herkommende Druckwellen im WasserschloB aufgefangen werden. Die Art und Form des Wasserschlosses ist von wesentlichem EinfluB auf den Verlauf der WasserschloBschwingungen. Im folgenden sollen nur grundsatzliche Erkenntnisse besprochen werden; beziiglich der vielfa'ltigen Einzelfragen sei auf die ausfiihrlichen Darstellungen in [19, 20, 3 1 , 58, 78] verwiesen. AUgemeine Berechnungsgrundlage. Es werden zunachst die Ausgangsgleichungen zur Berechnung eines Wasserschlosses (II) angegeben, welches eine veranderliche Querschnittsverteilung in vertikaler Richtung Au(z) besitzt. Das im Zeitintervall dt im WasserschloB ab- oder zuflieBende Volumen betragt dVjj = —Adz (abflieBend positiv), was zum Volumenstrom V7;/ = dVu/dt = —A(dz/dt) fiihrt. 59 58

Uber die DruckstoBwellen, die stark von der Kompressibilitat des Wassers und von der Elastizitat der Druckrohrleitung abhangen, wird in Kap. 4.3.3.3, welches sich mit Stromungen dichteveranderlicher Fluide beschaftigt, als Beispiel b berichtet. 59 Die dem Wasserspiegel im WasserschloB zugeordneten GroBen werden ohne Index angeschrieben, d. h. seine Lage mit z(f) und seine Querschnittsflache mit A(z).

3.4.5 Aufgaben der Rohrhydraulik

287

Bezeichnet V(t) den augenblicklichen Wasserbedarf (Volumenstrom) der Kraftstation (Turbine), der aus dem Staubecken durch den Stollen mit Vi (t) und aus dem WasserschloB mit V// (f) gedeckt wird, dann ist wie bei einer Rohrvereinigung die Kontinuitatsgleichung (3.138a) mit V = VJ + V,I,

V, = V + A — (DurchfluBgleichung) (3.165a) at heranzuziehen. Zur weiteren Berechnung wird die Energiegleichung (3.160) benutzt und nach Abb. 3.52 auf den Wasserspiegel des Staubeckens (1) sowie auf einen Punkt (2) im WasserschloB in Hone des Stollens angewendet. Bei dem maBgeblichen Volumenstrom handelt es sich um Vi, so daB man aVJ + b—-!- = H (Beschleunigungsgleichung)

(3.165b)

schreiben kann. Die SystemgroBen a und b sind durch (3.152a, b) gegeben. Auf ihre Bestimmung soil im einzelnen noch nicht eingegangen werden. Allezwischen den Stellen (1) und (2) auftretenden fluidmechanischen Energieverluste sind unter Beachtung der Vorzeichen fur die im Stollen vor- oder riicklaunge Stromung zu berilcksichtigen; man vergleiche Beispiel b in diesem Kapitel. An der Stelle (2) herrsche bei Vernachlassigung der Stromung im WasserschloB nach der hydrostatischen Grundgleichung (3.1c) der Druck p2 = p+pg(z—Z2), so daB sich H nach (3.152d) mit p = p\ und z\ = 0 zu H = — 2gz berechnet. Die GroBe H ist somit proportional dem Spiegelunterschied z der Wasseroberflachen im WasserschloB und im Staubecken. Von letzterem sei angenommen, daB sich der Wasserstand wegen A\ —> oo nicht andert, d. h. z\ « ZQ (Koordinatenursprung) ist. Durch Einsetzen von (3.165a) in (3.165b) erhalt man die Schwingungsgleichung fur die Spiegelbewegung im WasserschloB z(t) zu

/ .

a[V \

d ( • dz dz\ dz \ 2 + A— ) + b b—[V [ V + A—)+2gz A dt ) at \ at)

= Q (Form I).

(3.166a)

Hierin sind V und z Funktionen der Zeit t. Die vorkommende Spiegelquerschnittsflache im WasserschloB hangt zunachst von z ab, d. h. A(z). Wegen z(t) ist dann aber auch A[z(f)] = A(t). Dies ist zu beriicksichtigen, wenn man beim zweiten Glied auf der linken Seite die Differentiation nach t ausfiihrt,

und zwar ist dA/dt = (dA/dz)(dz/dt). Mit dV/fdt = (dVi/dz)(dz/dt) und dz/dt aus (3.165a) findet man aus (3.165b) die Schwingungsgleichung ftlr den Volumenstrom im Stollen Vi(t) zu aVf + -(V,-V)—+2gz A dz

= 0 (Form II).

(3.166b)

Diese Beziehung liefert mit v/ (t) = V/ (t)/A/ auch die Geschwindigkeit im Stollen. Bei den Gleichungen (3.166a, b) handelt es sich um nichtlineare Differentialgleichungen, deren Losungen nur in einfachen Fallen geschlossen gelingt. Als Anfangsbedingung ist im allgemeinen der durch die Rohrleitung der Kraftstation zuflieBende Volumenstrom gegeben. Er wird durch das Regelgesetz (SchlieBen, Offnen) der Turbine (Regelvorrichtung) V = V(t) bestimmt. VerhaltnismaBig einfach zu ilbersehende Betriebsvorgange sind plotzliches vollstandiges SchlieBen (Fall a) von V = Va = const auf V = 0, plotzliches vollstandiges Offnen aus der Ruhe heraus (Fall b) von V = 0 auf konstanten Wasserverbrauch V = Vb = const und plotzliches teilweises Offnen mit Regelung auf konstante Turbinenleistung (Fall c). Der Fall a des vollstandigen SchlieBens entspricht dem in diesem Kapitel behandelten Beispiel b der Fliissigkeitsschwingungen in kommunizierenden Rohren und GefaBen, hier im System Staubecken-Stollen-WasserschloB. Der Fall b kann nur verwirklicht werden, wenn die Absperrvorrichtung entsprechend geregelt wird, da anderenfalls die zeitlich veranderliche Druckhohe bei konstant gehaltener Stellung der Regelvorrichtung einen von der Zeit abhangigen Volumenstrom V = Vfc(f) zur Folge hatte. Beschreibt t ^ 0 — e mit e ->• 0 die Zeit des stationaren Ausgangszustands, so ist wegen dz/dt = 0 nach (3.165a) V/ = V = const und V// = 0. Die vorgesehenen Regelvorgange spielen sich jeweils im Zeitintervall 0 — e ^ f g O + s a b , dem sich fiir t > 0 + s der instationare Stromungsvorgang anschlieBt. ZusammengefaBt gelten folgende Reglergleichungen:60

60

Der Fall c wird nicht weiter besprochen.

3.4 Stromung dichtebestandiger Fluide in Rohrleitungen (Rohrhydraulik)

288

/ \.

V4,-0

y

z'-O

-I*-

Abb. 3.53. WasserschloBschwingungen; Volumenstrome in der Rohrleitung V(t), im Stollen V/*(f) und im WasserschloB V?,(t), Wasserspiegellagen im WasserschloB z*(t) mit z j ^ , z j ^ nach (3.171) bei reibungsloser Stromung (mit Stern als Index), a Plotzliches voUstandiges SchlieBen entsprechend (3.167a). b Plotzliches voUstandiges Offnen aus der Ruhe heraus auf konstanten Wasserverbrauch entsprechend (3.167b)

Fall

Regelung

t < 0-s

a

SchlieBen

v

b

Offnen

V

=

t

V,= Va 0

^ 0+ £

t -•>

dz

V = 0

— v,--= A dt

v = vb

V,-

4

S

00

v, = 0

(3.167a)

v, = vb

(3.167b)

In Abb. 3.53 sind die beiden Regelgesetze iiber der Zeit t dargestellt. Fiir den Beharrungszustand ist VJJ = V — Vj = 0, und es ergeben sich aus (3.166b) die stationaren Wasserspiegellagen im WasserschloB zu •00).

(3.168a, b)

Gegeniiber dem Ruhezustand zo = 0 sind die Spiegelabsenkungen za bzw. zb erwartungsgemaB urn so groBer, je groBer die in der GroBe a enthaltene Reibung im Stollen ist. SchachtwasserschloB. Bei einem ungedrosselten SchachtwasserschloB ist der Querschnitt A(z) = An = const iiber die gesamte Hohe des Wasserschlosses. Bei plotzlicher Anderung des Volumenstroms V(t) erhalt man zur Berechnung des Schwingungsvorgangs z(t) bei t > 0 + s aus (3.166a) in Verbindung mit (3.167a, b) mit dz/dt = z und d2z/dt2 = z 6 1 = 0

Fall a:

Fallb:

bA,,i + a(Vb + Anzf

(V = 0),

+ 2gz = 0 (V = Vb).

(3.169a) (3.169b)

Man erkennt, daB beim plotzlichen voUstandigen SchlieBen (Fall a) die mathematische Losung erheblich einfacher als beim plotzlichen Offnen aus der Ruhe heraus ist, da die zweite Beziehung den Volumenstrom Vb = const enthalt. Fiir die weitere Betrachtung wird ein unveranderlicher Querschnitt des Stollens Aj(s) = Ai = const mit dem Durchmesser D/ = const langs seiner Lange L/ angenommen. Die GroBe a erhalt man aus (3.152a), wenn man diese Beziehung fiir die Stelle (1) des Wasserspiegels im Staubecken und fiir die Stelle (2) im WasserschloB in Hohe des Stollens jeweils fiir die Stromung vom Staubecken (1) in Richtung des Wasserschlosses (2) und umgekehrt anschreibt, vgl. die Ausfiihrungen 61

Auf die Wiedergabe der aus (3.166b) folgenden Beziehungen wird hier verzichtet.

3.4.5 Aufgaben der Rohrhydraulik

289

zu (3.161), a2 o = —x

ai (k, L, T ± —*•

™,,SN\ h > —s-

,(k,L, «* ± —~

® , , ft, \ h > —T- .

., , „ . , (3.170a, b)

Bei den Verlustbeiwerten ft, in dem Summenzeichen Yl" (ohne Rohrreibung, ohne Stromungsmaschine) ist der Verlustbeiwert £4 s» 1 entsprechend (3.124) mit A,i = A/ enthalten. Wegen A\ 3> A/ 0, und das untere Vorzeichen fur die entgegengesetzte FlieBrichtung von (2) nach (1), d. h. fiir u; < 0.62 Wegen der Vorzeichenregelung vgl. man (3.162a). Zur Berechnung der Rohrreibungszahl Xj bei laminarer Stromung sei auf (3.162d) hingewiesen. Ist der Stollen sehr lang, so enthalt a im wesentlichen die Verluste an fluidmechanischer Energie infolge der Wandreibung, so daB die anderen Anteile haufig vemachlassigt werden konnen, a R» ±(A//A 2 )(£//D/). Fiir die GroBe b findet man nach (3.152b) mit fi « const und A = A] durch Integration iiber die Lange des Stollens s = L/ b = 2/8— ^ 2 — , (3.170c, d) A, A/ wobei die zweite Beziehung fiir fi a* 1 (turbulente Stromung) gilt. Einen ersten Anhaltspunkt iiber das Schwingungsverhalten in einem einfachen WasserschloB und dem zugehorigen Stollen gewinnt man, wenn man in (3.169a, b) zunachst a = 0 setzt und fiir b mit (3.170d) rechnet. Dies entspricht dem Fall der reibungslosen Stromung, dessen Zustand mit einem Stem (*) gekennzeichnet wird. Sowohl fiir den SchlieB- als auch fiir den Offnungsvorgang bleibt die gleiche lineare homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten, bei welcher kein Glied mit z vorkommt, zu losen, d. h. z* + (g/L/)(/l;/A//)z* = 0, vgl. (3.55). Mit z*(t = 0) = 0 erhalt man fiir f g 0 die harmonische Schwingung z* = z* sin(arf)

mit

u> = > VL A

(reibungslose Stromung),

(3.171a, b)

^, ^,ax ^ z ^ n die Amplituden der ungedampften Schwingung sind. Letztere findet man aus den Anfangsbedingungen fur f = 0 =F e (Index 0). Aus (3.171a) erhalt man zunachst ZQ = coz^. Im Fall a (plotzliches vollstandiges SchlieBen) ist nach (3.167a) V /o = A/;Zg = Va und hieraus ZQ = Va/Au. Im Fall b (plotzliches vollstandiges Offnen) ist nach (3.167b) V/o = Vb + Anil = 0 und z^ = -Vb/AnZusammengefaBt gilt fur die Amplituden der ungedampften Schwingung Fall a:

z^x

Fallb:

zVB = - ^ -

i

/ Z l ^ l

< 0

.

(3.171c, d)

Die Spiegelbewegungen im WasserschloB z*(f) sind in Abb. 3.53a, b dargestellt. Dabei ist die Schwingdauer (Zeit zwischen zwei Durchgangen in gleicher Richtung) 7"* = 2n/a>mi\.a> nach (3.171b). Die zeitlich veranderlichen Volumenstrome im Stollen Vf(t) lassen sich fiir t ^ 0 + e nach (3.167a, b) mit z* = z^ COS(OJO berechnen. Nach Einsetzen der Beziehungen fiir ZQ erhalt man Fall a:

V* = Va cos(
Fall b:

V* = Vb[\ - cos(arf)],

(3.172a, b)

wobei w durch (3.171b) bestimmt ist. Abb. 3.53 zeigt fur t g 0 + e die Verliiufe Vf(t) sowie die Verlaufe Vf, (t) = V- Vf(t), und zwar fur Fall a mit V = 0 und im Fall b mit V = Vb. Man erkennt, daB im Fall a die Volumenstrome V*(t) und damit auch die Geschwindigkeiten v*j(t) = V*(t)/Ai im Stollenihre Richtungen wechseln (verschiedenes Vorzeichen), wahrend im Fall b die Stromrichtung immer erhalten bleibt (positives Vorzeichen). Die gefundenen Ergebnisse machen deutlich, daB die Verlaufe V*(t) und V*j(t) mit z*(O nicht in Phase sind. 62

Fiir den stationaren Stromungszustand verlauft die Stromung von (1) nach (2); es gilt hierfiir das obere Vorzeichen.

290

3.4 Stromung dichtebestandiger Fluide in Rohrleitungen (Rohrhydraulik) -Schtieflen — (a)

- OffnenIb) 1,2

10

\eibungslos

0,8 0,6 OA \3a)

0,2

\

0,2. Ruhelage

0 1,0

0,8 ^

0

0.6 OA 0,2 / //*

0,2

[2 b)

V

OA

Zm<0 0,6 0,8 0,2

OA 0,6

0,8 1,0

Abb. 3.54. Hochste und tiefste Wasserstande ( z m / z ^ , zm/z^n) in einem ungedrosselten SchachtwasserschloB bei reibungsbehafteter turbulenter Stromung in Abhangigkeit von der Spiegellage im WasserschloB beim Beharrungszustand (za/ziJ,ax, z^/z^) nach [78]. Spiegelanstieg: ausgezogen. Spiegelabsenkung: gestrichelt. a Plotzliches vollstandiges SchlieBen, (3.167a). (la) Erster Spiegelanstieg (zm = zmax). (2a) erste Spiegelabsenkung, (3a) zweiter Spiegelanstieg. b Plotzliches vollstandiges SchlieBen auf konstanten Wasserverbrauch, (3.167b). (lb) Erste Spiegelabsenkung (zm = zmin), (2b) erster Spiegelanstieg

Liegt jetzt die reibungsbehaftete Stromung mit a / 0 in (3.169) vor, so werden bei a ^ const (turbulente Stromung mit X w const) die Schwingungen proportional dem Quadrat der Geschwindigkeit gedampft oder angefacht. Wahrend sich (3.169a) noch analytisch geschlossen losen laBt, muB die Auswertung von (3.169b) iterativ oder grafisch erfolgen. Auf Einzelheiten der Rechnung wird hier nicht eingegangen. Fiir das erste Aufschwingen des Wasserspiegels (maximaler Spiegelanstieg zmax) beim plotzlichen voUstandigen SchlieBen (Fall a) und fiir das erste Abschwingen (maximale Spiegelsenkung Zmax) beim plotzlichen Offnen aus der Ruhe heraus (Fall b), lassen sich die Amplitudenverhaltnisse Zmax/zmax und Zmin/zlJun unabhangig von den sonstigen Daten des Wasserschlosses als Funktionen von Wzinax < 0 bzw. zb/z^ > 0 darstellen. Dabei sind z ^ > 0 bzw. zjj^ < 0 nach (3.171c, d) die Amplituden bei reibungsloser Stromung und za < 0 bzw. z* < 0 nach (3.168a, b) die Spiegelabsenkungen im Beharrungszustand bei reibungsbehafteter Stromung. In Abb. 3.54 ist dies Ergebnis wiedergegeben, wobei die Zahlenwerte aus [31] entnommen sind. Wahrend beim SchlieBvorgang durch den ReibungseinfluB eine Verkleinerung der ersten Amplitude eintritt, fuhrt die Beriicksichtigung der Reibung beim Offnungsvorgang zu einer VergroBerung der ersten Amplitude. Es liefert also die reibungslose Stromung nicht immer die extremen Wasserspiegellagen im WasserschloB. In [78] wird der EinfluB der Reibung auch auf die der ersten Amplitude folgenden Auslenkungen (Spiegelabsenkung, Spiegelanstieg) untersucht. Solche Ergebnisse sind in Abb. 3.54 miteingetragen. Die fiir das Schwingungsverhalten z(t) wiedergegebene Skizze gilt fiir z a /z m a x = —0,6 bzw. zt,/z^n = 0,4. Im Fall a (SchlieBen) beginnt die Schwingung im Beharrungszustand mit z(t = 0) = za < 0 und geht im Ruhezustand asymptotisch gegen den Wert z(t -»• <x>) = 0. Die Schwingung im Fall b (Offnen) geht aus dem Ruhezustand

3.5.1 Einfiihrung

291

ZQ = z(t = 0) = 0 und nimmt im Beharrungszustand asymptotisch den Wert z(t —> oo) = Z£ < 0 an. Dabei kann die Auslenkung fur den ersten Spiegelanstieg sowohl positiv als auch negativ sein, zm ^ 0. Stabilitat des Wasserschlosses. Man kann zeigen, daB bei Beriicksichtigung der Reibung WasserschloBschwingungen stabil sind, wenn der abflieBende Volumenstrom V(t) = const ist Oder der Vorgang bei konstant gehaltener Stellung der Absperrvorrichtung erfolgt. Eine auf konstante Leistung selbsttatig geregelte Turbinenanlage (Fall c) kann zu angefachten Schwingungen im WasserschloB fiihren. Von den Systemabmessungen hangt es dabei ab, ob die unter der Einwirkung der Regelung entstehenden Schwingungen gedampft (Stabilitat) oder angefacht (Instability, Resonanz) sind. Es sind daher auch Stabilitatsuntersuchungen fur das WasserschloB erforderlich, aus denen man beurtejlen kann, ob eine Schwingungsanfachung moglich ist. Die Regelung auf konstante Turbinenleistung bedingt eine MindestgroBe fiir den Querschnitt des Wasserschlosses.

3.5 Stromung in offenen Gerinnen (Gerinnehydraulik) 3.5.1 Einfiihrung Allgemeines. Die Bewegung einer Fliissigkeit (dichtebestandiges Fluid) in offenen Gerinnen (Kanalen, Fliissen usw.) hat mancherlei gemeinsame Kennzeichen mit der Stromung in geschlossenen Rohrleitungen. Wahrend jedoch bei vollgefiillten Rohren die Fliissigkeit allseitig von festen Wandungen umgeben ist, hat man es bei offenen Gerinnen sowie auch bei teilgefiillten Rohren neben festen Wanden auBerdem noch mit einer freien Oberflache zu tun. In der Mehrzahl der praktisch wichtigen Falle stellt diese eine Trennungsflache zwischen Wasser und Luft dar, sodaB an ihr iiberall der als konstant anzusehende Atmospharendruck herrscht. Bei den offenen Gerinnen unterscheidet man zwischen kiinstlichen und natiirlichen Gerinnen. Zu den ersteren gehoren die Kanale und Graben mit mehr oder weniger regelmaBigen Querschnitten (Rechteck, Trapez, Parabel usw.) und zu den letzteren die Fliisse und Bache mit oft stark veranderlichen Querschnitten. Bei den natiirlichen Gerinnen ist der AbfluBvorgang haufig mit einer Geschiebebewegung verbunden. Diese tritt auf, wenn der FluB bei seinem Lauf vom Gebirge talabwarts mehr oder weniger grobe, bewegliche Korper (Sand, Kies, groBere Steinblocke) mit sich fiihrt. In solchen Fallen konnen die Gerinnewandungen im Gegensatz zu Rohren und befestigten Kanalen nicht mehr als vollkommen fest angesehen werden. Es ist einleuchtend, daB bei derartigen Stromungsvorgangen die Schwierigkeiten, die sich schon bei der Rohrstromung hinsichtlich einer genaueren Definition der Wandrauheit ergeben, noch wesentlich groBer werden. Um diese Erscheinungen einigermaBen richtig zu erfassen, miissen z. T. ganz neue Vorstellungen entwickelt werden. Bei den nachstehenden Betrachtungen sollen derartige Geschiebebewegungen ausgeschlossen, d. h. die Gerinnewandungen als fest und starr angesehen werden. Das umfangreiche Aufgabengebiet der Stromungen in offenen Gerinnen wird als Gerinnehydraulik bezeichnet.63 63

In Buchform erschienenes Schrifttum ist in der Bibliographie (Abschnitt D2b) am SchluB des Bandes II zusammengestellt.

292

3.5 Stromung in offenen Gerinnen (Gerinnehydraulik) Pa

A b b . 3.55. AbfluBformen stationarer G e r i n n e s t r o m u n g . a Gleichformige B e w e g u n g , h2 = hi, V2 = v\. b Beschleunigte B e w e g u n g , hi < hi, V2 > Vi. c Verzogerte B e w e g u n g , h2 > hi, vi < vj. Js Sohlengefalle, JQ Spiegelgefalle

Stromungsverhalten. Die Fliissigkeitsstromung in offenen Gerinnen kann stationar sein, also unabhangig von der Zeit; sie kann aber auch instationar sein, z. B. beim Hochwasserablauf, beim Offnen und SchlieBen gewisser Absperrvorrichtungen (Schieber, Schiitze usw.). Die stationare Stromung ist dadurch gekennzeichnet, daB durch jeden Querschnitt des Gerinnes zu jeder Zeit das gleiche Fliissigkeitsvolumen flieBt. Eine solche Bewegung ist gleichformig, wenn die Stromungsquerschnitte wie in Abb. 3.55a uberall gleich groB sind. Sie ist ungleichformig, wenn sich die Querschnitte wie in Abb. 3.55b in Stromungsrichtung verkleinern (absenken) oder sich wie in Abb. 3.55c vergroBern (aufstauen). Die Stromung in offenen Gerinnen ist eine Folge des vorhandenen Gefalles, wobei im allgemeinen zwischen dem fliissigkeitsbedingten Spiegelgefalle Jo und dem geometrischen Sohlengefalle Js zu unterscheiden ist. Bei gleichformiger Bewegung und unter der Voraussetzung eines prismatischen Betts sind Spiegel und Sohlengefalle gleich groB, Jo = Js. Die hoher liegenden Fliissigkeitsteile besitzen eine bestimmte Lageenergie (potentielle Energie), die beim AbwartsflieBen in Geschwindigkeitsenergie (kinetische Energie) umgesetzt wird und zur Uberwindung der infolge Reibung auftretenden Stromungswiderstande dient. Der Stromungsvorgang von Fliissigkeiten mit freien Oberflachen wird im wesentlichen also durch die Einfliisse der Schwere und der Fliissigkeitsreibung bestimmt. Wie bei der Stromung in geschlossenen Rohrleitungen hat man auch hier grundsatzlich zu unterscheiden zwischen laminarer und turbulenter Stromung. Indessen kommt bei den praktisch interessierenden Geschwindigkeiten und Gerinneabmessungen fast ausschlieBlich die turbulente FlieBart in Frage. Unabhangig vom Begriff der laminaren oder turbulenten Bewegung kann sich die Fliissigkeit (Wasser) in offenen Gerinnen, einschlieBlich teilgefiillter Rohrleitungen, auf zweierlei Art fortbewegen. Fiir die unterschiedlichen AbfluBarten der Freispiegelstromungen werden die Bezeichnungen stromender und schieBender AbfluB benutzt. Dabei versteht man beim Strdmen einen ruhigeren und beim SchieBen einen schnelleren, heftigeren AbfluBvorgang. Unter bestimmten Bedingungen kann eine schieBende Bewegung mittels eines Wechselsprungs (Wassersprung) in eine stromende Bewegung unstetig iibergehen, vgl. Kap. 1.3.3.3. Geschwindigkeit. Wesentlich schwieriger als bei der Rohrstromung lassen sich Angaben iiber das Geschwindigkeitsprofil der turbulenten Gerinnestromung machen, da jetzt nicht mehr die Symmetrieeigenschaften vorhanden sind, welche die Rohrstromung auszeichnen. Es ist einleuchtend, daB solche Verteilungen

3.5.2 Grundlegende Erkenntnisse

293

Abb. 3.56. Geschwindigkeitsprofil, iiber den Stromungsquerschnitt eines offenen Gerinnes. a Geschwindigkeitsprofil. b Isotachen. A Fliissigkeitsfiihrender Querschnitt, U benetzter Umfang

um so unbestimmter ausfallen, je unregelmaBiger die Stromungsquerschnitte sind. Das Geschwindigkeitsprofil iiber einem Gerinnequerschnitt v(n) hat etwa die aus Abb. 3.56a ersichtliche Gestalt. Die maximale Geschwindigkeit umax liegt in der Regel nicht genau im Fliissigkeitsspiegel, wie man zunachst vermuten konnte, sondern etwas unterhalb desselben, bei rechteckigen Kanalen etwa in ein Fiinftel der Kanaltiefe. Dies diirfte im wesentlichen wohl auf den ReibungseinfluB zwischen der Fliissigkeit (Wasser) und dem angrenzenden Gas (Luft) zuriickzufuhren sein. Bei unsymmetrischen Querschnitten tritt das Maximum auch nicht in der Gerinnemitte auf, sondern mehr oder weniger seitlich verschoben. An der Sohle ist nach genauen Untersuchungen die Geschwindigkeit null. Der Abfall erfolgt allerdings in einer sehr schmalen Randzone so schnell, daB bei praktischen Messungen gewohnlich eine gewisse Sohlengeschwindigkeit festgestellt wird. Auch von der Mitte nach den seitlichen Wandungen hin nimmt die Geschwindigkeit ab und erreicht am Rand wieder den Wert null. Bei FluBlaufen ist wegen der bestehenden UnregelmaBigkeiten eine rechnerische Bestimmung des Geschwindigkeitsprofils so gut wie ausgeschlossen. Man ist hier ausschlieBlich auf Messungen angewiesen. Zu diesem Zweck werden haufig sog. hydrometrische Fliigel verwendet. Fiir genauere Versuche benutzt man gewohnlich ein Prandtl-Rohr nach Abb. 3.11c. Alle Punkte gleicher Geschwindigkeit miteinander verbunden bilden die Isotachen, welche nach Abb. 3.56b ein anschauliches Bild des Geschwindigkeitsprofils liefern.

3.5.2 Grundlegende Erkenntnisse 3.5.2.1 Begriffe der Gerinnehydraulik Geometric In Analogie zur Rohrstromung kann man auch bei der Gerinnestromung nach (3.77) einen gleichwertigen Durchmesser Dg definieren. Im Wasserbau wird haufig auch mit der hydraulischen Querschnittstiefe hf, friiher auch hydraulischer Radius oder Profilradius genannt, gearbeitet. Es gilt A A Dg=A—, hf = — (Definitionen) (3.173a, b) mit A als Fla'che des fliissigkeitsfiihrenden Querschnitts normal zur FlieBrichtung und U als Umfang der von der Fliissigkeit benetzten Gerinnewand, vgl.

294

3.5 Stromung in offenen Gerinnen (Gerinnehydraulik)

Abb. 3.56b. Von der Anschauung her ware bei Stromungen durch vollgefiillte Rohrleitungen der gleichwertige Durchmesser und bei Stromungen durch Gerinne die hydraulische Querschnittstiefe als BezugsgroBe zweckma'Big. Zwischen beiden besteht der Zusammenhang Dg = 4hf. Da sehr viele Ergebnisse der Rohrstromung auf die Gerinnestromung iibertragen werden konnen, soil auch bei der Gerinnestromung der hier nicht immer anschauliche gleichwertige Durchmesser verwendet werden. Fiir ein Gerinne mit rechteckigem Querschnitt (Rechteckgerinne) der Breite b, das bis zur Hohe h (normal zur Hauptstromrichtung gemessen) mit Fliissigkeit gefiillt ist, gilt hb Dg=4-—Tr^4h,

bh f = T—^T,^h

h

(& = const),

(3.174a, b)

wobei die zweiten Beziehungen jeweils das sehr breite Gerinne mit b —*• oo beschreiben. Mittlere Geschwindigkeit. Die mittlere FlieBgeschwindigkeit ist entsprechend (3.66a) zu vm = V / A definiert, wobei V der zu einem festgehaltenen Zeitpunkt langs der Hauptstromrichtung unveranderliche Volumenstrom (zeitliche Anderung des abflieBenden Volumens) in m3/s und A die fliissigkeitsgefiillte Gerinnequerschnittsflache in m2 bedeutet. Ist dV = vdA der Volumenstrom durch ein Flachenelement dA des Gerinnequerschnitts, dann ist, vgl. Tab. 3.2a, h

vm = — = — / vdA = - / v(n)dn

A

AJ

(b = const),

(3.175a, b, c)

hJ

(A)

0

wobei die letzte Beziehung fiir ein Rechteckgerinne mit der Fliissigkeitshohe h (normal zur Hauptstromrichtung) gilt. Das Verhaltnis der mittleren Geschwindigkeit vm zur groBten Oberflachengeschwindigkeit VQ betragt bei Fliissen ungefahr 0,7 < vm/vo < 0,8. Es nimmt mit wachsender Rauheit ab. Kennzahlen. Der Stromungsverlauf in einem offenen Gerinne hangt zum einen von der Reynolds-Zahl und der Rauheit der Gerinnewandung sowie zum anderen von der Froude-Zahl ab. Die Reynolds-Zahl werde bei der Gerinnestromung gemaB (1.47c) mit dem gleichwertigen Durchmesser Dg nach (3.173a), der mittleren Geschwindigkeit vm nach (3.175) sowie der kinematischen Viskositat v — r]/p nach (1.15) gebildet, vgl. Kap. 1.2.3.2. Bei der Froude-Zahl werde gemaB (1.47d) die hydraulische Querschnittstiefe hf nach (3.173b), die mittlere Geschwindigkeit vm nach (3.175) sowie Fallbeschleunigung g nach (1.19b) benutzt. Mithin gilt fiir die Kennzahlen der Gerinnestromung, vgl. (3.80a), v Re=

J?RjL,

F r =

_ ^ .

(3.176a, b)

Die GroBe der Reynolds-Zahl ist nach Kap. 1.3.3.2 maBgebend dafiir, ob es sich um eine laminare oder turbulente Stromung handelt, und zwar betragt die Reynolds-Zahl, bei welcher der Umschlag von der laminaren in die turbulente Stromung eintritt, in Analogie zur Rohrstromung etwa Reu — 2300. Bei Wasserstromungen in offenen Gerinnen wird Re = Reu bei weitem iiberschritten, was

3.5.2 Grundlegende Erkenntnisse

295

turbulenten Stromungszustand bedeutet. Die Froude-Zahl kann nach Kap. 1.3.3.3 als Verhaltnis der FlieBgeschwindigkeit vm zur Ausbreitungsgeschwindigkeit der Grundwelle CQ als maBgebend dafiir angesehen werden, ob es sich um stromende oder schieBende Fliissigkeitsbewegung handelt. Energiehohe. In der Gerinnehydraulik wird bei stationarer Stromung im allgemeinen mit der Hohenform der erweiterten Bernoullischen Energiegleichung gerechnet. Diese wird fur die reibungslose Stromung in (3.22c), vgl. hierzu Abb. 3.9, und fur die reibungsbehaftete Rohrstromung im AnschluB an (3.67a), vgl. hierzu S. 224 und Abb. 3.20b, angegeben. Fur zwei Stellen (1) und (2) langs des Gerinnes gilt somit

(zs +zp

= (zs +zp + zv)2

e)!_>2

(3-177)

In Abb. 3.57 ist dieser Sachverhalt dargestellt. Es ist zs die Lage der Gerinnesohle (Ortshohe), zp = h die Druckhohe (Fliissigkeitstiefe), zv = a(u^/2g) die Geschwindigkeitshbhe mit a > 1 als Energiebeiwert nach Tab. 3.2c und vm als mittlerer Geschwindigkeit sowie ze entsprechend (3.64b) die Energieverlusthohe (Verlust an nuidmechanischer Energie). Bei turbulenter Stromung, die, wie schon gesagt wurde, bei Stromungen in Gerinnen fast ausnahmslos vorliegt, kann a s» 1 gesetzt werden. Die Lage des Fliissigkeitsspiegels betragt ZQ = zs + h. Fiir die Neigungen der Gerinnesohle (Sohlengefalle), des Fliissigkeitsspiegels (Spiegelgefalle) sowie der Energielinie (Energiegefalle) kann man aus Abb. 3.57 die Beziehungen Js = —dzs/dx > 0, JQ = —dzo/dx > 0 bzw. /,, = dze/dx > 0 ablesen. In vielen Fallen sind die Neigungen Js und Jo verhaltnismaBig klein, so daB die Fliissigkeitstiefe h' normal zur Hauptstromrichtung gemessen naherungsweise gleich der vertikal gemessenen Fliissigkeitstiefe h ist, h' » h. Zur Beschreibung der Lage der Energielinie iiber der Gerinnesohle sei der Ausdruck Energiehohe mit H -h + zv = h + a(v^/2g) eingefuhrt. Mit (3.175a) wird fiir einen bestimmten Gerinnequerschnitt

/Energieniveou

i - ^ f T _ /Energielinie

Flussigkeitsspiegel •Hauptstromungsrthtung

Abb. 3.57. Zur Erlauterung der Energiegleichung (Hohenform) fiir die Gerinnestromung, man vergleiche Abb. 3.20b fiir die Rohrstromung

296

3.5 Stromung in offenen Gerinnen (Gerinnehydraulik)

V2 r (Energiehohe) 2gA2 mit A = A(h) sowie a «* 1. H =h+ a

(3.178)

Krafthohe. Nach Kap. 2.5.2.2 stellt die Impulsgleichung fiir den Kontrollfaden (3.73) eine Kraftgleichung dar. Dabei kommt dem Impulsintegral (Integral iiber die totalen Impulsstrome) eine fiir den Bewegungsvorgang wesentliche Bedeutung zu. Der Betrag des Integrals sei mit T = (pm + fipvfyA gekennzeichnet, wobei nach Tab. 3.2b >S > 1 der Impulsbeiwert und pm der mittlere Druck des fliissigkeitsfiihrenden Querschnitts A ist. Fiir Gerinne mit gerader Sohle und parallel verlaufenden geradlinigen Stromlinien folgt mittels der hydrostatischen Grundgleichung (3.1c) die Beziehung pm = p0 + pg(z 0 - z s ) = p0 + pg(h - hs), wenn h$ die Lage des Schwerpunkts der Flache A von der Gerinnesohle aus gemessen ist, vgl. (3.3b). Da po nur ein Bezugsdruck ist, kann er im folgenden fortgelassen werden, wenn man unter pm den Druckunterschied gegeniiber po (reduzierter Druck) versteht. Der totale Impulsstrom ergibt sich zu T = pgh (I - — + p^-)

V

h

A

(Impulsstrom)

(3.179a)

ghj

und hieraus durch Division mit pgA/2h die sogenannte Krafthohe zu 2V

(Krafthohe).

(3.179b)

Es ist V = vmA der Volumenstrom, und weiterhin gilt h$ = hs(h), A = A(h) sowie fi « 1. Wahrend T die Bedeutung einer Kraft in N hat, stellt K eine Lange in m dar. 3.5.2.2 Fliefizustand und Grenzverhalten Grenztiefe und Grenzgeschwindigkeit. Der folgenden Aufgabenstellung liegt der Gedanke zugrunde, zu untersuchen, welchen Anderangen die Energiehohe nach (3.178) oder die Krafthohe nach (3.179b) in ein und demselben FlieBquerschnitt unterworfen sind, wenn der DurchfluB (Volumenstrom) konstant gehalten wird. Die Frage kann auch umgekehrt gestellt werden, wenn die Veranderlichkeit des Durchflusses mit der ortlich zur Verfiigung stehenden Energie- oder Krafthohe angegeben werden soil. Bei den Gerinnestromungen gelangt man dabei zu auBerordentlich wichtigen Aussagen iiber die Lage des Fliissigkeitsspiegels (Wassertiefe), die unabhangig sind von den Begriffen wie Gleich- oder Ungleichformigkeit des Abflusses bzw. laminare oder turbulente Stromung. Ausgangspunkt fiir die weiteren Uberlegungen sind die Beziehungen fiir die Energiehohe nach (3.178) sowie fiir die Krafthohe nach (3.179b). Fur den Fall des Rechteckgerinnes der Breite b findet man mit A — bh und h s = h/2 sowie der fiir turbulente Stromung gerechtfertigten Annahme a « 1 % f$

3.5.2 Grundlegende Erkenntnisse

297 1,0

0

1.0 10 1.5 2,0 h/hgr Schiefien —~i~-—Stromen 0,5

V

0

\

(7)

/ /

?0,5

\

\ 0,5

10

1.5

w

2.0

1 . h/hgr I h«—Schiefien — • + « — Sfrom en —•A

Abb. 3.58. FlieBzustand und Grenzverhalten in Rechteckgerinnen. (1) Energiebetrachtung (Energiehohe), (2) Impulsbetrachtung (Krafthohe). a Energie- und Krafthohe in Abhangigkeit von der Fliissigkeitstiefe bei konstantem Volumenstrom, (3.183a, b). b Volumenstrom in Abhangigkeit von der Fliissigkeitstiefe bei konstanter Energie- bzw. Krafthohe, (3.178a, b)

Bei bekannten Werten von b, H und V bzw. b, K und V stellen (3.180a, b) Gleichungen zur Berechnung der Fliissigkeitstiefe h dar. In Abb. 3.58a sind bei ungeandertem Volumenstrom V = const die Energiehohe H(h) als Kurve (1) und die Krafthohe K{h) als Kurve (2) in dimensionsloser Form dargestellt. Beide Kurven besitzen danach ein Minimum H = Hmin bzw. K = Kmin. Dies findet man aus der Bedingung dH/dh = 0 bzw. dK/dh = 0. In beiden Fallen ergibt sich fiir den Wert, bei dem sich das Minimum einstellt, dasselbe Ergebnis, namlich

V =

(V = const).

(3.181a, b)

Diese Tiefe bezeichnet man mit Grenztiefe h = hgr. Die zugehorige Grenzgeschwindigkeit vm = vgr erhalt man unter Beachtung der Kontinuitatsbedingung V — vmbh = vgrbhgr = const. Die Extremwerte fiir H und K betragen

gr

"•min

—

Energiehdhenminimum bzw. Krafthohenminirnum stellen diejenigen Hdhen dar, die zur Erzielung eines Volumenstroms V mindestens erforderlich sind. Nach Einsetzen von (3.182a, b) in (3.180a, b) erhalt man die der Abb. 3.58a zugrunde liegenden dimensionslosen Ausdriicke H //min

Kn

(3.183a, b)

Bei Energiehohen H > // m i n bzw. Krafthohen K > Kmin konnen sich jeweils zwei verschiedene AbfluBtiefen h ^ hgr einstellen. Wegen dieses Ergebnisses kann zwischen einem strdmenden AbfluB (Fltisse) bei groBer Fliissigkeitstiefe h > hgr und geringer Geschwindigkeit v < vgr sowie einem schieBenden AbfluB (Wildbache)

298

3.5 Stromung in offenen Gerinnen (Gerinnehydraulik)

bei kleiner Fliissigkeitstiefe h < hgr und groBer Geschwindigkeit v > vgr unterschieden werden, vgl. hierzu die Ausfiihrungen in Kap. 1.3.3.3. Volumenstrom. Aus (3.180) erhalt man nach V aufgelost fiir das Rechteckgerinne V =bhy/2g(H -h),

V = b\j\gh{K2-h2)

(b = const). (3.184a, b)

Der Volumenstrom ist null bei h = 0 und h — H bzw. bei h = 0 und h = K. In Abb. 3.58b ist der Volumenstrom V(h) bei ungeanderter Energiehohe H = const als Kurve (1) und bei ungeanderter Krafthohe K = const als Kurve (2) in dimensionsloser Form dargestellt. Beide Kurven besitzen danach ein Maximum V = Vmax. Dies findet man aus der Bedingung dV /dh = 0. Die Maxima stellen sich bei der Grenztiefe 2 hgr = -H (H — const), hgr = —=K (K = const) (3.185a, b) 3J ein und betragen

Vmax = by/g{lH)3,

Vmax = bJg (^K)

.

Vmax = b^g~h[r. (3.186a, b,c)

Durch Einsetzen von (3.185a, b) ergibt sich fiir beide Falle dasselbe in (3.186c) wiedergegebene Ergebnis oder auch hgr = \Zv max /g& 2 . Ein Vergleich mit (3.182a, b) zeigt, daB bei V = Vmax fiir H = // m m bzw. K = Kmin die Grenztiefen hgr in beiden Betrachtungen (Energiehohe bzw. Krafthohe) iibereinstimmen. Dies bedeutet, daB Vmax, ^min und A'min im gegebenen Gerinne simultan auftreten. Die in Abb. 3.58b zugrunde gelegte dimensionslose Darstellung lautet

Fiir h/hgr = 0 und h/hgr = 1 stimmen die Werte beider Beziehungen miteinander iiberein. Der zweite Punkt, wo V/Vmax = 0 wird, ergibt sich bei der Energiehohe zu h/hgr — 1,5 und bei der Krafthohe zu h/hgr = V3 = 1,732. Volumenstrome V < Vmax konnen sowohl im stromenden als auch im schieBenden Bereich abgefiihrt werden. DaB die Kurvenverlaufe nicht voUstandig iibereinstimmen, liegt an der gemachten Vernachlassigung der Stromfadenkriimmung, an der Annahme konstanten Geschwindigkeitsprofils iiber den Querschnitt, a » 1 % ft, und vor allem an der Tatsache, daB H und K nicht gleichzeitig konstant gehalten werden konnen. Uber Einzelheiten zur Aufklarung der bestehenden Unterschiede sei z. B. auf [58] verwiesen. Dort werden auch Ausfiihrungen iiber andere Gerinnequerschnittsformen als das hier behandelte Rechteckgerinne gemacht. Froude-Zahl. In (3.176b) wurde die Froude-Zahl als Kennzahl fiir die Beschreibung schwerbehafteter Fliissigkeitsstromungen angegeben. Als

3.5.2 Grundlegende Erkenntnisse

299

If - •

1,

(3)

(2)

(7)

Abb. 3.59. Zur Erlauterung des Fliefizustands. (1) Stromen: h > hgr, vm < CQ, (2) Grenzfall: h = hgr, vm = vgr = Co, (3) SchieBen: h < hgr, vm > Co FlieBgeschwindigkeit vm = (hgr/'h)vlgr ~ \/h\ Ausbreitungsgeschwindigkeit der Flachwasserwelle CQ = -fgh = ^Jhj hgr vgr ~ \fh

Bezugstiefe hf werde die Fliissigkeitstiefe h eingefiihrt, so daB Fr = vm/^/gh ist.64 Hierin ist Co = \fgh die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Grundwelle (Flachwasserwelle), vgl. Kap. 5.3.4.2. Die mittlere FlieBgeschwindigkeit ermittelt man aus (3.181a) zu vm = V/bh = Jgh^r/h2. definierte Froude-Zahl FT

Mithin gilt fiir die im obigen Sinn

= — =

= const)

(3.188)

CO

mit vgr nach (3.181b). ist zugleich die AusbreitungsDie Grenzgeschwindigkeit vgr = geschwindigkeit der Flachwasserwelle bei h = hgr. Stromender AbfluB tritt bei Fr < 1 und schieBender AbfluB bei Fr > 1 auf. Physikalisch bedeutet diese Aussage, daB sich bei einem stromenden AbfluB Storungen wegen Co > vm sowohl stromaufwarts als auch stromabwarts ausbreiten konnen, wahrend sich beim schieBenden AbfluB Storungen wegen CQ < vm nur stromabwarts auswirken konnen. In Abb. 3.59 sind die FlieBvorgange fur den Fall des Stromens (1), den Grenzfall (2) und den Fall des SchieBens (3) bei unveranderlichem Volumenstrom V anschaulich dargestellt. FormelmaBig gilt zusammengefaBt Stromen :

Fr < 1,

h > hgr, vgr > vm < CQ,

(3.189a)

Grenzfall:

Fr = 1,

h = hgr,vgr

(3.189b)

SchieBen :

Fr > 1,

h < hgr, vgr < vm > Co-

= vm = c0,

(3.189c)

Grenzgefalle. Zu jeder dieser AbfluBmoglichkeiten ist jeweils ein anderes Gefalle notwendig. Unter Bezugnahme auf die FlieBformel (3.199) lassen sich hierfiir einfache Angaben machen. Mit (Js)gr = Jgr als Grenzgefalle gilt Stromen : Js < Jgr,

SchieBen : Js > Jgr.

(3.190a, b)

Fiir Rechteckgerinne mit sehr groBer Breite b ~^> h betragt der gleichwertige Durchmesser nach (3.174a) Dg = Ah und mithin im Vorgriff auf (3.199) die Grenzgeschwindigkeit vgr = vm mit h — hgr und Js = Jgr. Durch Vergleich mit 64

Nach (3.174b) ist fur sehr breite Rechteckgerinne hf = h.

300

3.5 Stromung in offenen Gerinnen (Gerinnehydraulik)

(3.181b) folgt fiir das Grenzgefalle (3.191a, b)

= - = —- > 0 (b = const).

Die Moglichkeit zweier verschieden groBer Fliissigkeitstiefen (Wassertiefen) bei gleichen Werten von V und H bzw. V und K kann zu einem Wechselsprung (Wassersprung) fiihren, woriiber in Kap. 3.5.4.3 noch berichtet wird.

3.5.2.3 Druckverteilung in einem Gerinnequerschnitt Ohne Stromlinienkrummung. Langs geradlinig und parallel verlaufender Stromlinien erhalt man nach Abb. 3.60 aus dem Kraftegleichgewicht quer zur Stromlinie, d. h. in w-Richtung, bei stationarer Stromung analog zu (3.81) die Druckverteilung in einem Gerinnequerschnitt zu P ~ Po = Pg(zo - z)

(3.192a)

(rk ->• oo, s = const),

wobei po und zo die GroBen am Fliissigkeitsspiegel sind. Den Druck am Ort der Gerinnesohle z = zs findet man zu Ps - Po = Pg(zo - zs) = pgh cos

pgh.

(3.192b) 2

Hierin wurde die geometrische Beziehung ZQ ~ zs = h cos !? aus Abb. 3.60 ermittelt. Wegen des im allgemeinen kleinen Gerinnegefalles Js = sin & < 0,1 kann cos 2 •& & 1,0 gesetzt werden. Mit Stromlinienkrummung. Wahrend man es bei Rohrleitungen nach Kap. 3.4 mit Ausnahme der ortlich begrenzten Umlenkungen und Verzweigungen im allgemeinen mit schwach gekriimmten Leitungen, d. h. nahezu geradlinig verlaufenden Stromlinien, zu tun hat, treten im Wasserbau haufiger Stromungen auf, bei denen die Stromlinien auf langeren Strecken des Gerinnes gekriimmt sind. Besondere Bedeutung kommt hierbei den Uberfallen iiber Wehre zu. Es mogen im folgenden einige grundsatzliche Aussagen iiber die Druckverteilung in einer konvex oder in einer konkav gekriimmten, in vertikalen Ebenen verlaufenden Fliissigkeitsstromung gemacht werden. Die Stromlinien sollen nach Abb. 3.61a in dem betrachteten Bereich konzentrische Kreise sein. Bei Annahme einer stationaren, reibungslosen Stromung gilt mit den Bezeichnungen von Abb. 3.61a (konkave Kriimmung) nach (3.22c) und (2.94b) mit p = const fur die Druckverteilung in einem radialen Schnitt in der Vertikalebene mit

Abb. 3.60. Zur Ermittlung der Druck- und Wandschubspannungsverteilung sowie des Kraftegleichgewichts in einem Gerinne bei geradlinig und parallel verlaufenden Stromlinien

301

3.5.2 Grundlegende Erkenntnisse

Flussigkeitsoberflache z$

Abb. 3.61. EinfluB der Stromlinienkriimmung auf die Druckverteilung in einem Gerinnequerschnitt. a Bezeichnungen. b Kriimmungsbedingte Druckverteilung. (1) Konvexe Kriimmung, r < ro, (2) konkave Kriimmung f > ro

d/dn = -d/dr und rk = r pg dr

Pg

dr

gr

(3.193a, b)

Hierin ist pg = y nach (1.21) die Wichte der Fliissigkeit. Da reibungslose Stromung vorausgesetzt wird, ist nach den Ausfuhrungen auf S. 117 diese drehungsfrei. Das bedeutet, daB die Bernoullische Konstante C im ganzen Stromungsfeld unveranderlich ist. Die Tieflage eines Punkts P gegeniiber dem Punkt 0 an der Fliissigkeitsoberflache betragt z = - (r - ro) sina, so daB dz/dr = - sina wird. Durch Eliminieren der Geschwindigkeit v lassen sich die beiden Gleichungen wie folgt zusammenfassen: 1

/ Hn

0

\

7

— ( — + -p ) + -(rosina - C) - 3 sina = 0. pg \dr r ) r

(3.193c)

Dies stellt bei a = const eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung fur pi pg = fir) dar, welche die Losung p B B — = C + -zr + (r - ro) sina = C + -^2 - z pg r2 r

(3.193d)

hat. Die Integrationskonstanten C und B in (3.193a) und (3.193d) bestimmen sich aus der Bedingung an der Flussigkeitsoberflache z = ZQ = 0 bzw. r = romitp = po und v = VQ. Nach Einsetzen in (3.193d) erhalt man die gesuchte Druckverteilung in einem Radialschnitt a = const zu 65 P - Po =

-p

+

1- ( ^ )

| f o = ~PSZ + AP-

(3.193e)

Das erste Glied auf der rechten Seite stellt die Verteilung bei geradlinig verlaufenden Stromlinien (r = oo = ro) nach (3.192a) dar, wahrend das zweite Glied auf der rechten Seite den EinfluB der Kriimmung der Stromlinien nach (2.103a) beschreibt. Bei konkaver Kriimmung ist r/ro > 1 und bei konvexer Kriimmung r/ro < 1, so daB die konkave Kriimmung einen zusatzlichen Uberdruck Ap > 0 und die konvexe Kriimmung einen zusatzlichen Unterdruck Ap < 0 bewirkt. Flir die Geschwindigkeitsverteilung der hier vorliegenden drehungsfreien Stromung gilt nach (2.103a) wegen v ~ 1/r (drehungsfrei).

(3.194)

Von der Richtigkeit dieses Ergebnisses uberzeugt man sich, wenn man (3.193a) ftir die Punkte z und zo = 0 aufschreibt und die Druckdifferenz p — po nach (3.193e) einsetzt. 65

Auf die Losung des Falls ohne SchwereinfluB nach (2.103a) sei hingewiesen.

302

3.5 Stromung in offenen Gerinnen (Gerinnehydraulik)

Es werde jetzt noch der Volumenstrom und die mittlere Geschwindigkeit bestimmt. Fiihrt man den mittleren Kriimmungsradius f als arithmetisches Mittel der Kriimmungsradien der Flussigkeitsoberflache und der Gerinnesohle ein, dann ist die Geschwindigkeitsverteilung iiber den Bereich von r — h/2 bis f + h/2 zu integrieren, wobei h die Fliissigkeitshohe im Scheitelschnitt (a = 90°) bedeutet.66 Mit b als Breite und A = bh als Querschnittsflache des Gerinnes gilt fur den Volumenstrom und die mittlere Geschwindigkeit f+h/2

V =b

I J

v(r)dr = bvoro\n%^\, 2r — h

vm = v^\n%^-. h 2r — h

(3.195a, b)

f-h/2

Unter Einfiihren von vo kann man die durch die Stromlinienkrummung zusatzlich verursachten Driicke Ap in (3.193e) auch in Abhangigkeit von (p/2)v^n statt von (p/2)v$ darstellen. Fiir den Scheitelschnitt ergibt sich mit ro = r =p h/2 und r = ro^z = r^ (h/2 + z) fiir den auf den Geschwindigkeitsdruck qm = (p/2)v^n bezogenen dimensionslosen Druckbeiwert ,2

Ap

L

, T V . , _,,.,_,

^

Q

^

k =

( 3 i % )

Hierin gelten die oberen Vorzeichen fiir die konkave und die unteren fiir die konvexe Kriimmung. Es stellt r/h •= k/2 den Kriimmungsparameter dar. Bei geradliniger Bewegung ist k = oo, was in diesem Fall zu Ap/qm = 0 fiihrt. Nach (3.196) hangt Ap/qm auBer von der Tiefiage (z/h < 0) noch vom Kriimmungsparameter ab. In Abb. 3.61b sind die kriimmungsbedingten Druckverteilungen fiir den Scheitelschnitt iiber z/h < 0 mit r/h als Parameter dargestellt. Man erkennt das grundsatzlich verschiedene Verhalten bei konkaver oder konvexer Kriimmung.

3.5.3 Gleichformige Stromung in geradlinig verlaufenden Gerinnen 3.5.3.1 Voraussetzungen und Ausgangsgleichungen Unter einer gleichformigen Gerinnestromung soil nach Kap. 3.5.1 eine stationare Stromung verstanden werden, bei der sich die flussigkeitsfuhrenden Querschnitte nach Abb. 3.55a in Stromungsrichtung nicht andern. Fliissigkeitstiefe. Bei einem geradlinig verlaufenden Gerinne von unveranderlichem, prismatischem Querschnitt nach Abb. 3.60 ist bei gleichformiger Stromung die Fliissigkeitshohe an alien Stellen langs der Gerinneachse gleich groB h = h{s) = const

(r - • oo).

(3.197)

Druckverteilung. Die Druckverteilung in einem Gerinnequerschnitt verteilt sich entsprechend (3.192a) nach der hydrostatischen Grundgleichung, wobei die Neigung des Gerinnes (Sohlengefalle = Spiegelgefalle) vernachlassigt werden darf, zu P = Po + Pg(zo-z).

(3.198)

Die mit z und z0 gekennzeichneten Punkte liegen auf einer Vertikalen. Fliefiformel. Bei prismatischen Gerinnen mit festen Wanden wird bei gleichformiger Bewegung der FlieBvorgang durch die Komponente der 66

Man beachte, daB nach Abb. 3.61b bei konkaver Kriimmung f — ro + h/2 und bei konvexer Kriimmung f = ro — h/2 ist.

3.5.3 Gleichformige Stromung in geradlinig verlaufenden Gerinnen

303

Schwerkraft langs der Gerinnesohle (parallel zur Fliissigkeitsoberflache) aufrechterhalten. Die jeweils nach dem hydrostatischen Grundgesetz (3.198) verteilten Druckkrafte liefern keinen Kraftbeitrag in Stromungsrichtung. Ein Druckgefalle in Stromungsrichtung ist bei gleichformiger Bewegung also nicht vorhanden. Nach Abb. 3.60 gilt fiir das Kraftegleichgewicht an einem Element des Gerinnes der Lange As mit dem fliissigkeitsfiihrenden Querschnitt A sowie mit dem benetzten Umfang U, iiber den die Wandschubspannungen xw naherungsweise gleichmaBig verteilt sein sollen, pg AAs sinfi — xwU As = 0. Hieraus folgt unter Einfiihren des Sohlengefalles Js = sin# nach der Wandschubspannung aufgelost xw = pg(A/U)Js = (pg/4)DgJs, wobei Dg — 4A/U der gleichwertige Durchmesser nach (3.173a) ist. Den Zusammenhang mit der Rohrstromung stellt man iiber (3.86b) mit xw = (A./8)pu^ her, wobei k die Rohrreibungszahl ist. Lost man nach der mittleren Geschwindigkeit auf, dann wird (3.199a, b) wobei c = l/\/X als Geschwindigkeitsbeiwert eingefiihrt und X. als Reibungszahl der Gerinnestromung bezeichnet wird. Diese von Brahms und de Chezy angegebene FlieBformel wurde in gleicher Weise schon bei der Rohrstromung durch (3.110) angegeben. Beim gleichformig durchstromten Gerinne ist das Energiegefalle Je gleich dem Sohlengefalle Js. Es konnen somit die bei der Rohrstromung gewonnenen Erkenntnisse zu einem sehr groBen Teil fiir die Gerinnestromung iibernommen werden, [71]. Vorstehende Feststellung zeigt, daB es auch bei der Gerinnestromung zweckmaBig ist, mit dem gleichwertigen Durchmesser nach (3.173a) anstelle der hydraulischen Querschnittstiefe nach (3.173b) zu rechnen. Wandschubspannung. Fiir die Sonderfalle des sehr breiten und des sehr tiefen Rechteckgerinnes seien Angaben iiber die Verteilung der Schubspannungen iiber die Stromungsquerschnitte gemacht. Bei sehr breitem, im Grenzfall bei unendlich breitem Gerinne, treten Wandschubspannungen nur an der Gerinnesohle auf. Fiir ein Fluidelement der Breite b, der Lange As und der Hohe dn nach Abb. 3.60 und 3.62a lautet das Kraftegleichgewicht in FlieBrichtung (s-Richtung) — xbAs + (x + (dx/dn) dn)bA.s + pgbAs dn sin & = 0 oder mit sin# = —dzjds = Js einfach dx/dn = —pgjs. Durch Integration iiber n und Beachten der Randbedingung an der Sohle (n = 0, r = xw) wird x = xw — pgJsn. Hieraus folgt mit der Randbedingung fiir den Fliissigkeitsspiegel (n = h, x = 0) xw = pghJs

und

— = 1 - - (b » h). (3.200a, b) xw h Die Schubspannung nimmt also linear vom Wert xw an der Sohle auf den Wert r = 0 an der Oberflache ab und verhalt sich damit ahnlich wie bei der Rohrstromung entsprechend (3.84c). Bei sehr tiefem, im Grenzfall bei unendlich tiefem Gerinne, treten Wandschubspannungen nur an den vertikalen Gerinnewanden auf. Das Geschwindigkeitsprofil ist iiber die Querschnitte y symmetrisch. Fiir ein Fluidelement der Breite 2|v|, der Lange As und der Hohe h nach Abb. 3.62b lautet das Kraftegleichgewicht

304

3.5 Stromung in offenen Gerinnen (Gerinnehydraulik)

Abb. 3.62. Zur Berechnung der Schubspannungsverteilung in Gerinnen mit einfachem Querschnitt. a Sehr breites Rechteckgerinne. b Sehr tiefes Rechteckgerinne

in FlieBrichtung —2rhAs + 2pgh\y\As sin# = 0 oder mit sin# = Js einfach r = pgjs\y\. Hieraus folgt fur \y\ = b/2 und r = zw = \pgbJs

, und

r \y\ —= — TW b/2

(b « A).

(3.201a, b)

Auch bei einem sehr tiefen Rechteckgerinne verteilt sich die Schubspannung ahnlich wie bei der Rohrstromung von der Mitte aus linear iiber die Breite. Die gleichwertigen Durchmesser fiir die zwei besprochenen Sonderfalle betragen Dg = AA/U = Abh/(b + 2h) « Ah fur b -> oo bzw. Dg = Abh/(b + 2h) « 2b fiir h —> oo. Nach Einsetzen in (3.200a) und (3.201a) erhalt man in beiden Fallen fiir die Wandschubspannung rw = \pgDgJs.

(3.202)

Dieses zunachst fiir sehr breite oder sehr tiefe Rechteckgerinne abgeleitete Gesetz gilt auch fiir andere Gerinneformen, sofern angenommen werden darf, daB alle Elemente des benetzten Umfangs unabhangig von der Querschnittsform in gleichem MaB an der Ubertragung der Wandschubspannung rw beteiligt sind. Trifft dies nicht zu, so stellt (3.202) eine brauchbare Naherung dar. Es hat sich in der Tat gezeigt, daB bei groBen Reynolds-Zahlen die Profilform des Gerinnes nur von untergeordneter Bedeutung auf den Mittelwert der Wandschubspannung ist. Um die FlieBformel anwenden zu konnen, kommt es jetzt darauf an, die GroBe c in Abhangigkeit von den die Stromung bestimmenden GroBen darzustellen. Wie bei durchstromten Rohren ist sie offenbar eine Funktion der Reynolds-Zahl und der relativen Wandrauheit. 3.5.3.2 Gleichformige laminare Gerinnestromung In einem geradlinigen Rohr mit unveranderlichem Querschnitt liegt laminare Stromung vor, sofern die Reynolds-Zahl Re gemaB (3.176a) kleiner als die

305

3.5.3 Gleichformige Stromung in geradlinig verlaufenden Gerinnen

Reynolds-Zahl des laminar-turbulenten Umschlags Reu ist. Als unterster Wert ist nach (3.80b) Reu = 2320 anzusehen. In analoger Weise wie bei der laminaren Rohrstromung in Kap. 3.4.3.3 gelten nach dem Newtonschen Reibungsgesetz (3.88a) fur die Schubspannung des sehr breiten und sehr tiefen Gerinnes nach Abb. 3.62a, b die Beziehungen r = r)(dv/dn) bzw. r — ±r)(dv/dy) fur y ^ 0. Nach Einsetzen in (3.200b) bzw. (3.201b), Integration iiber n bzw. y sowie Beachtung der Haftbedingungen bei n = 0 bzw. | j | = b/2 erhalt man die Geschwindigkeitsprofile zu , ,

v(n) = —— (2/J-W)

(b

*w

(b « h). (3.203a, b)

In beiden Fallen ergeben sich in Analogie zur laminaren Rohrstromung entsprechend (3.90) Geschwindigkeitsprofile mit parabelformigem Verlauf iiber die Stromungsquerschnitte mit den maximalen Geschwindigkeiten bei n = h bzw. y — 0, namlich vmax = rwDg/Sr], wenn man die oben ermittelten gleichwertigen Durchmesser mit Dg — Ah bzw. Dg = 2b einfiihrt. Die mittlere Geschwindigkeit erhalt man wie in Kap. 2.5.3.3 fiir die laminare Spaltstromung (Beispiel a) zu vm = V/A = (2/3)u max = rwDg/l2r). Die Reibungszahl A. und den Geschwindigkeitsbeiwert c in (3.199) findet man mit (3.86a) und wegen

c = 1/VX zu 96 k = —, Re

= 0,l02VRe

(laminar).

(3.204a, b)

Hierin stellt Re = vmDg/v die mit dem gleichwertigen Durchmesser gebildete Reynolds-Zahl dar. Die Beziehung (3.204a) wurde bereits in (3.95c) als Spaltreibungszahl gefunden. In Abb. 3.63 sind die Reibungszahl und der Geschwindigkeitsbeiwert fiir die laminare Gerinnestromung iiber der Reynolds-Zahl in doppeltlogarithmischem MaBstab als Kurve (1) aufgetragen, man vergleiche hierzu dieKurve (1') in Abb. 3.24.

0,10 0,08 0,06 0,0$

\

nr

TV

" • ^ ^

•On

0,02

o

(2) 0,01 3 10

2

t

6 8 10*

2

•f

6

8 10s

Abb. 3.63. Reibungszahlen der Gerinnestromung \ (= Rohrreibungszahlen) und Geschwindigkeitsbeiweite c des glatten Rechteckgerinnes (3,75 < b/h < 150) bei gleichformiger Stromung nach [59]. (1) Laminar, (3.204), (2) turbulent, (3.205). b = 0,8; b = 1,06

306

3.5 Stromung in offenen Gerinnen (Gerinnehydraulik)

3.5.3.3 Gleichformige turbulente Gerinnestrdmung In analoger Weise, wie bei der turbulenten Rohrstromung in Kap. 3.4.3.4 und 3.4.3.5 die Rohrreibungszahl k von der Reynolds-Zahl Re = vmD/v > Reu = 2320 und von der relativen Wandrauheit k/D abhangt, gilt dies auch fiir den Geschwindigkeitsbeiwert c der turbulenten Gerinnestromung. Alle Formeln fiir die Stromung durch vollgefullte, kreisformige Rohre mit dem Durchmesser D konnen auf die Gerinnestromung iibertragen werden, wenn man die Reynolds-Zahl und die relative Rauheit jeweils mit dem gleichwertigen Durchmesser Dg bildet. Fiir Gerinne mit fluidmechanisch glatter Wandung gilt in Anlehnung an (3.103) und (3.104) c = —= = 2,0 lg (ReVk) - b (turbulent, glatt)

(3.205)

mit Re = vmDg/v. Wahrend beim Kreisrohr b = 0,8 und beim Spalt b = 1,0 ist, fand u. a. Reinius [59] fiir ein breites Rechteckgerinne b = 1,06. In Abb. 3.63 sind die Reibungszahl k und der Geschwindigkeitsbeiwert c fiir die turbulente Stromung im fluidmechanisch glatten Gerinne iiber der Reynolds-Zahl als Kurve (2) aufgetragen, man vgl. hierzu die Kurven (2) und (2') in Abb. 3.24. Messung und Theorie stimmen recht gut miteinander iiberein. Fur ein Gerinne mit fluidmechanisch vollkommen rauher Wandung gilt in Anlehnung an (3.106) und (3.107) c = — = d - 2,0 lg (k/Dg)

(turbulent, rauh).

(3.206)

s/k

Werte fiir d wurden fiir Gerinne mit Sand- oder Kugelrauheit aufgrund experimenteller Ergebnisse u. a. von Reinius [59] und Keulegan [36] mit d = 0,98 bis 1,0 gefunden, wahrend fiir Kreisrohre d = 1,14 angegeben wurde. Sowohl beim vollkommen glatten als auch beim vollkommen rauhen Gerinne sind hinsichtlich der Reibungszahlen die Unterschiede gegeniiber den Werten beim glatten bzw. rauhen Rohr nur gering. Es liegt daher nahe, auch den Ubergangsbereich vom glatten zum rauhen Zustand entsprechend den GesetzmaBigkeiten der Rohrstromung auf die Gerinnestromung zu iibertragen. Fiir technische Rauheiten wurde die Zuverlassigkeit dieser Annahme von Schroder [71] nachgewiesen. Nach (3.108a) kann man also fiir den Geschwindigkeitsbeiwert

c = 55= = 2,Olg VA

( (^+0,n ^ ^ ~ ) V Re^/k D

(glatt-rauh)

(3.207)

DJ

schreiben. Nach Messungen an Gerinnen wurde 3,40 anstelle von 2,51 und 0,32 anstelle von 0,27 gefunden. Die Unterschiede der fiir Gerinne ermittelten Zahlenwerte sind gegeniiber denjenigen fiir Kreisrohre noch tragbar, so daB es fur praktische Zwecke ausreichend sein diirfte, fiir die Stromung durch Rohre und Gerinne mit derselben Formel zu rechnen. Dies ist um so gerechtfertigter, als durch die zwangslaufig auftretende Unsicherheit bei der Wahl eines der natiirlichen Rauheit entsprechenden Werts fiir k ohnehin gewisse Ungenauigkeiten in Kauf genommen werden, Eine sowohl fur Rohre als auch fiir Gerinne giiltige Zusam-

307

3.5.3 Gleichformige Stromung in geradlinig verlaufenden Gerinnen

menstellung der aquivalenten Rauheitshohen wurde von Schroder [71], vgl. [58], erarbeitet; siehe auch Tab. 3.4. Zur praktischen Anwendung der FlieBformel (3.199) sei noch folgendes bemerkt: Neben der tatsachlichen Geschwindigkeit vm werde fiir den hypothetischen Fall c—l/*/X.= l eine rechnerische Geschwindigkeit vm eingefiihrt, so daB man Vm = cvm

mit

vm = ^/2gDgJs

(3.208a)

schreiben kann. In ahnlicher Weise wird eine rechnerische Reynolds-Zahl definiert: Re =

vmDg

(3.208b)

Den Geschwindigkeitsbeiwert nach (3.207) kann man also fur technisch rauhe Gerinne (Rohre) auch in der Form (3.209)

Dg

schreiben, wobei c und A in Abb. 3.64 als Funktionen der rechnerischen ReynoldsZahl Re und der relativen Rauheit k/Dg dargestellt sind. Auf die vielen empirischen, alteren FlieBformeln (Gebrauchsformeln) tiber Gerinnestomungen, die im allgemeinen als Potenzgesetze der EinfluBgroBen angegeben werden, sei hier nicht eingegangen, [31, 58]. Auf die vornehmlich

0,006

^

.

0,008 0,010 _

•

^

^

_

-

_

—

-

—

0,015

-

—

5-1ts 10"* l-W"* ( , « • »

. —

10"3

0,020

7

=

1-10-3

.—-—

S

0,030

—

5-10-3 ' 10-2

OflW

-

S 2-10-2

0,060

0,080

_—-— 5-10-2

_ - .

0,100 TO3

10s

2

Abb. 3.64. Geschwindigkeitsbeiwert c in der FlieBformel (3.199) fiir turbulent durchflossene, technisch rauhe Gerinne (Rohre) nach (3.209)

308

3.5 Stromung in offenen Gerinnen (Gerinnehydraulik)

anwendungsbezogenen Schriftenreihen von Franke [20] und Schroder [70] sei hingewiesen.

3.5.4 Ungleichformige Stromung in geradlinig verlaufenden Gerinnen 3.5.4.1 Voraussetzungen und Ausgangsgleichungen Unter einer ungleichformigen Gerinnestromung soil nach Kap. 3.5.1 eine stationare Stromung verstanden werden, bei der sich die fliissigkeitsfiihrenden Querschnitte nach Abb. 3.55b und c in Strbmungsrichtung andern konnen. Im Gegensatz zu vollkommen gefiillten Rohrleitungen (Drackrohren) mit vorgegebenen Querschnitten nach Kap. 3.4.3 kann sich nach Kap. 3.5.1 bei offenen Gerinnen oder Kanalen ahnlich wie bei teilweise gefiillten Rohrleitungen fur einen bestimmten VolumenabfiuB die Fliissigkeitstiefe zunachst beliebig einstellen. Uber grundlegende Erkenntnisse zu diesem Fragenkreis wurde bereits in Kap. 3.5.2 berichtet. Kontinuitatsgleichung. Der langs des Gerinnes bei veranderlicher Fliissigkeitstiefe h(s) konstante Volumenstrom V berechnet sich in Analogie zur Kontinuitatsgleichung (3.66) bei stationarer Stromung (t = const) allgemein oder fiir die Stellen (1) und (2) langs der Gerinnesohle zu V = vm(s)A(s)

= ui Ax = v2A2.

(3.210a; b)

Hierin sind vm(s), v\ und v2 die mittleren Geschwindigkeiten in den fliissigkeitsfiihrenden Gerinnequerschnitten normal zur Hauptstromrichtung, vgl. Abb. 3.55. In einem Schnitt s = const hangen sowohl die Geschwindigkeit vm als auch die Querschnittsflache A von der Fliissigkeitstiefe h = h{s) ab. Soil also z. B. bei gegebenem Volumenstrom die AbfluBgeschwindigkeit berechnet werden, so reicht bei offenen Gerinnen hierzu die Kontinuitatsgleichung nicht aus. Erst durch Hinzunahme der Energie- und/oder Impulsgleichung laBt sich die Aufgabe losen. Bernoullische Energiegleichung. Die Hohenform der erweiterten Energiegleichung fiir reibungsbehaftete Stromung bei stationarer Stromung lautet mit den Bezeichnungen nach Abb. 3.57, vgl. auch (3.177), Zsi +h\ +zvi = zs2 + h2 + zv2 + (ze)i->2-

(3.211)

Hierin sind jeweils an den Stellen (1) und (2) die Lage der Gerinnesohle durch zs\ bzw. zS2, die Fliissigkeitstiefe (vertikal gemessen) durch h\ bzw. h2 und die Geschwindigkeitshohe durch zv\ bzw. zv2 gegeben. Unter (ze)\^2 ist der Verlust an Energiehohe zwischen den beiden Stellen (1) und (2) zu verstehen. Impulsgleichung. Ausgangspunkt hierfiir stellt (3.73a) dar. Fiir stationare turbulente Stromung ist mit f!>\ «s 1 « f}2

(pi + pv\ )Ai + (p2 + pvl)A2 =FB + (FA)i^2 + Fs.

(3.212a)

Unter Beachtung der Ausfiihrung zu (3.73a) wurde (FA)i^2 als Kraft auf die freie Fliissigkeitsoberflache A\^2, an welcher der Druck p = po herrscht, hinzugefiigt.

3.5.4 Ungleichformige Stromung in geradlinig verlaufenden Gerinnen

309

Unter p\ und p2 sind in gleicher Weise wie bei der Krafthohe nach Kap. 3.5.2.1 die Driicke in den Flachenschwerpunkten der Querschnitte A\ bzw. A2 zu verstehen, d. h. p\,2 = po + PgQi — hs)i,2 nut h als Hohe des Fliissigkeitsspiegels und h$ als Schwerpunktabstand des flussigkeitsfiihrenden Querschnitts (beide von der Gerinnesohle aus gemessen). Die Stiitzkraft F$ setzt sich aus den Druck- und Schubspannungskraften an der benetzten Gerinnewand Si^2 zusammen. Fur sie sei Fs = Fso + F's gesetzt, wobei F$o der Beitrag von po ist. Der EinfluB des Drucks p = po fallt wegen p$(A\ +^2) + (FA)^2+FSo = 0 aus (3.212a) heraus, so daB man p[g(h - hs)i + v\}Ax + p[g(h - hsh + v\]A2 =FB+F'S

(3.212b)

schreiben kann. Hierin ist FB die Massenkraft (Schwerkraft) der zwischen den Querschnitten A\ und A2 beflndlichen Fliissigkeit. A\ und A2 sind die Flachennormalen der Gerinnequerschnitte A\ bzw. A2, und zwar ist A\ stromaufwarts und A2 stromabwarts gerichtet. 3.5.4.2 Lage des Fliissigkeitsspiegels (Wasserspiegel) Berechnungsgrundlage. In einem prismatischen, offenen Gerinne denke man sich durch Einbau eines Hindernisses, etwa eines Wehrs oder einer Schiltze, den gleichfbrmigen AbfluB gestort. Dann wird diese Stoning einen EinfluB auf den Verlauf der Fliissigkeitsoberflache (Wasserspiegel) hinter und unter bestimmten Voraussetzungen auch vor der Storungsstelle ausiiben. Zur Bestimmung dieses Spiegelverlaufs soil vorausgesetzt werden, daB die jetzt vorhandene ungleichformige Bewegung stationar und turbulent sei, was praktisch in der Regel der Fall sein wird. Weiter sei angenommen, daB die Stoning sich gleichmaBig iiber die ganze Gerinnebreite erstreckt, so daB alle Spiegelpunkte eines Querschnitts die gleiche Erhohung oder Absenkung gegeniiber der ungestbrten Lage erfahren. Zur Berechnung der Spiegellage geht man am zweckmaBigsten von der differentiellen Form der Energiegleichung (3.211), aus, d. h. es ist dh dzs dzv dze — + — + — + — =0 ds ds ds ds

mit

/, =

dz> ds

(3.213a, b)

als Sohlengefalle. Weiterhin gilt fur die Anderungen der Geschwindigkeitshohe dzv = d\a{v\l2gj\ mit a % const und der Verlusthohe nach (3.83b) dze = (k/2gDg)vll x ds. Es sei ein prismatisches Gerinne angenommen, bei dem sowohl der flussigkeitsfiihrende Querschnitt A als auch der benetzte Umfang U eindeutige Funktionen der Fliissigkeitstiefe h sind, d. h. A = A(h) bzw. U = U(h). Bei Beriicksichtigung der Kontinuitatsgleichung (3.210a) mit vm(s) = V/A(s) ergibt sich dzv bV2dh —- = -a—- 6 — , ds gA ds

dze XUV2 —- = r->0. ds 8 gAi

(3.214a, b)

Im einzelnen ist zu beachten, daB bei der Herleitung von (3.214a) fur den zunachst auftretenden Differentialquotienten dA(h)/ds = (dA/dh){dh/ds) = b(dh/ds) mit b = b{h) als Breite des Gerinnes in Hohe des Fliissigkeitsspiegels gesetzt und

310

3.5 Stromung in offenen Gerinnen (Gerinnehydraulik)

in (3.214b) der gleichwertige Durchmesser Dg = AA/U nach (3.173a) eingefiihrt wurde. Die Reibungszahl (Rohrreibungszahl) k ist fur technisch rauhe Gerinnewande bei turbulenter Stromung nach (3.207) gegeben, vgl. hierzu Abb. 3.64. Die angegebenen Beziehungen werden in (3.213a) eingesetzt, und man erhalt nach dh/ds aufgelost die Differentialgleichung der Spiegelkurve fiir prismatische Gerinne bei Vernachlassigung der Stromlinienkriimmung zu

xuv2 dh _-s ds

8^43" bV2

_gblhi-

-Js(b^>h).

(3.215a, b)

In (3.215a) sind b = b(h), U = U(h) und A = A(h) Funktionen der gesuchten Fliissigkeitstiefe h. Die Beziehung (3.215b) gilt fur ein sehr breites Rechteckgerinne mit b 3> h,U ^ b und A = bh. Weiterhin wird a « 1 gesetzt. Ohne zunachst die Integration von (3.215b) auszufiihren, kann man sie benutzen, um einige allgemeine Aussagen iiber den moglichen Verlauf der Spiegelkurve zu machen. Dabei ist von besonderer Bedeutung, daB sowohl der Zahler als auch der Nenner verschwinden konnen. Ist der Zahler gleich null, so sind wegen dh/ds = 0 die Fliissigkeitstiefe und damit auch die AbfluBgeschwindigkeit ungeandert.67 Diese Stromungsart sei NormabfluB genannt (Index «). Ihr ist die Normtiefe hn zugeordnet. Ist der Nenner gleich null, so entspricht dies dem in Kap. 3.5.2.2 behandelten Grenzzustand (Index gr). Fiir das breite Rechteckgerinne gilt somit fiir die zwei genannten Falle —— = A' ~^~ (^ = "n

const),

V Jgt

(3.216a, b,c) wobei die Beziehungen fiir die Grenztiefe und das Grenzgefalle in (3.181a) bzw. (3.191a) bereits angegeben sind. Nach (3.189) beschreibt h > hgr die stromende und h < hgr die schieBende Bewegung.68 Eliminiert man in (3.215b) den Volumenstrom, indem man doit hn und hgr einfiihrt, so kann man die Differentialgleichung der Spiegelkurve fiir breite Rechteckgerinne auch in der Form

ds

h5 — hgr

(Form I)

(3.217a)

angeben. Dies ist als Formel von Bresse bekannt und beschreibt die Spiegelneigungen gegeniiber der Gerinnesohle. Neben (3.217a) kann man die Spiegelkurve auch in der Weise anschaulich deuten, daB man die Lage des Fliissigkeitsspiegels 67

Aus V2 = (Sg/^Jsb2^ mit V = vmbh und Dg = Ah findet man die FlieBformel (3.199a) bestatigt. Gelegentlich werden hn > hgr als stromender NormabfluB und hn < hgr als schieBender NormabfluB bezeichnet. 68

3.5.4 Ungleichformige Stromung in geradlinig verlaufenden Gerinnen

311

gegeniiber der Horizontalen zo = zs + h bestimmt. Wegen dzs/ds = — Js erhalt man fiir die Spiegelneigung gegeniiber der Horizontalen dzo hgr — hn — = h3 _ h3 Js

(Form II).

(3.217b)

Der Fliissigkeitsspiegel verlauft mit dh/ds = 0 nach (3.217a) bei h = hn parallel zur Gerinnesohle. Horizontale Fliissigkeitsspiegel stellen sich mit dzo/ds = 0 nach (3.217b) bei hgr ~ hn ein, d. h. wenn nach (3.216c) das Sohlengefalle Js = Jgr — A/8 betragt, oder wenn die Fliissigkeitstiefe h -»• oo wird. Fiir die weitere Betrachtung sei durchweg positives Sohlengefalle (Js > 0) vorausgesetzt. Je nach dem Vorzeichen des Faktors von / s in (3.217a, b) kann die Spiegelneigung gegeniiber der Gerinnesohle dh/ds bzw. die Spiegelneigung gegeniiber der Horizontalen dz$/ds ansteigen oder abfallen. Es bedeutet dh/ds > 0 eine verzogerte und dh/ds < 0 eine beschleunigte Stromung. Dabei kann das Spiegelgefalle Jo = —dz^/ds positiv (fallend) oder negativ (steigend) sein. Die Integration von (3.217a) liefert bei konstantem Sohlengefalle Js = const mit r) = h/hn und rjgr = hgr/hn fiir das Rechteckgerinne

(3.218) Angaben iiber die numerische Auswertung findet man z. B. in [58]. Die Integrationskonstante C ist zunachst willkiirlich und muB dem jeweiligen Fall angepaBt werden. Es sind sieben verschiedene Formen des Fliissigkeitsspiegels moglich, iiber die nachstehend kurz berichtet wird. Stromende Bewegung. In Abb. 3.65a und 3.65b sind fiir die Falle h > hgr, d. h. wenn die Nenner in (3.217a, b) positiv sind, die moglichen Spiegelkurven schematisch gezeigt. Die Kurven (1) bis (3) stellen Staulinien dar, bei denen die Fliissigkeitstiefen von einem gegebenen Ausgangswert hn > hgr, hn = hgr bzw. hn < hgr aus ansteigen (verzogerte Stromungen) und sich asymptotisch der Horizontalen annahern und dabei theoretisch die Tiefe h -> oo erreichen. Bei stromendem ZufiuB nach Kurve (1) bildet sich ein stetiger Spiegelverlauf, der asymptotisch aus dem Fliissigkeitsspiegel des gleichformigen Normzuflusses dh/ds = 0 entsteht. Wegen des asymptotischen Ubergangs vom NormzufluB zur Staulinie kann eine Staugrenze nicht genau definiert werden. Man legt sie iiblicherweise dort fest, wo die Staulinie den Wert h/hn = 1,01 annimmt. Erfolgt der ZufiuB nach Kurve (2)mit/i n = hgr, so liefert (3.217b) hierfiir dz^/ds = 0, d. h. die Staulinie verlauft horizontal und schlieBt mit einem Knick an die ZufluBkurve an. Die stromend verlaufende Staulinie nach Kurve (3) kann nur aus einem schieBenden ZufiuB h < hgr mittels eines Wechselsprungs (Wassersprung) bei h & hgr entstanden sein. Die in Abb. 3.65b dargestellte Kurve (4) nennt man eine Senkungslinie, bei der die Fliissigkeitstiefe von dem gegebenen Ausgangswert hn > hgr aus abnimmt (beschleunigte Stromung). Die durch die Kurven (1) bis (4)

3.5 Stromung in offenen Gerinnen (Gerinnehydraulik)

312

Fliissigkei/sspiegel;

z^sj.hls)

Abb. 3.65. Fonnen von Fliissigkeitsspiegeln in Gerinnen bei ungleichformiger Stromung (schematisch, Ordinaten uberhoht). a Stromende Bewegung, h > hgr, Staulinien: (1) hn > hgr, (2) hn = hgr, (3) hn hgr, Senkungslinie: (4) hn > hgr. c SchieBende Bewegung, h < hgr, SchuBstrahlen: (5), (6) hn < hgr, (7) hn = hgr

beschriebenen Gerinnestromungen werden durch Schiitze, Wehre oder Uberfalle stromaufwarts gestort. Die Kurven (1) und (4) nennt man auch gewohnliche Staubzw. Senkungslinie, weil bei ihnen der weit stromaufwarts liegende ZufiuB wegen hn > hgr stromend erfolgt. Der AbfluB bei den gestauten Kurven unter einer Absperrvorrichtung kann wegen h < hgr nur schieBend erfolgen, man vergleiche hierzu die folgenden Ausfuhrungen. SchieBende Bewegung. In Abb. 3.65c sind fur schieBenden AbfluB h < hgr, d. h. wenn die Nenner in (3.217a, b) negativ sind, die moglichen Spiegelkurven gezeigt. Die dargestellten Kurven (5) bis (7) konnen beim Unterstromen einer Absperrvorrichtung als SchuBstrahlen auftreten. Dabei stellen die Kurve (5) eine

3.5.4 Ungleichformige Stromung in geradlinig verlaufenden Gerinnen

313

beschleunigte und die Kurven (6) und (7) verzogerte Stromungen dar. Die Verlaufe von (5) und (6) nahern sich asymptotisch der Fliissigkeitstiefe des Normabflusses h -> hn, wahrend Kurve (7) mittels eines Wechselsprungs an der Stelle h « hgr in stromenden AbfluB iibergeht. Fur h = hgr wird in (3.217a) die Anderung der Fliissigkeitstiefe dh/ds = ±oo. Es sind dies die beiden Stellen, an denen die Kurven (4) und (7) bzw. (3) und (5) theoretisch aneinanderschlieBen.

3.5.4.3 Wechselsprung (Wassersprung) Bei schieBender Stromung vollzieht sich der Ubergang aus der gleichformigen in die ungleichformige Bewegung kurz oberhalb der Storstelle in Gestalt einer nahezu plotzlichen, unstetigen Erhebung des Fliissigkeitsspiegels (Wasserspiegel), die als Wechselsprung (Wassersprung) bezeichnet wird. Derartige Erscheinungen konnen auch auftreten, wenn sich in der Gerinnesohle ein Knick befindet, und zwar dergestalt, daB oberhalb des Knicks ein gro'Beres Sohlengefalle und damit groBere FlieBgeschwindigkeit vorhanden ist als unterhalb des Knicks. Im folgenden sollen nur einige grundsatzliche Bemerkungen gemacht werden. Im iibrigen sei auf das Schrifttum, z. B. [20, 31, 58] verwiesen. Wechselsprung auf horizontaler Sohle. Die Berechnung eines Wechselsprungs auf horizontaler Sohle nach Abb. 3.66 laBt sich durch Anwenden der Kontinuitatsgleichung und der Impulsgleichung durchfiihren. Das Gerinne sei rechteckig angenommen und besitze die Breite b. Mit A\ = bh\ und Ai = bhj ergibt sich aus (3.210b) fur den Volumenstrom V = bv\h\ = bv2h2. In (3.212b) tritt in horizontaler Stromungsrichtung keine Komponente der Massenkraft (Schwerkraft) FB auf. Da der Bereich, in dem sich der Wechselsprung vollzieht, nur eine geringe Langenausdehnung besitzt, kann die von der Gerinnewand auf die Fliissigkeit iibertragene Reibungskraft als horizontale Komponente der Stiitzkraft Fs' vernachlassigt werden. Mithin lautet mit hs\ = hi/2undhs2 — h2/2 die Impulsgleichung in Stromungsrichtung (gh\ +2v\)h\ = {gh2+2v\)h2. Nach Eliminieren

Abb. 3.66. Wechselsprung (Wassersprung) in offenen Gerinnen. a Wechselsprung mit Deckwalze. b Wechv////////////////, selsprung mit gewellter Oberflache

314

3.5 Stromung in offenen Gerinnen (Gerinnehydraulik)

von V2 = {h\/h2)v\ und Einfiihren der Froude-Zahl des Zuflusses Fr\ = v\/y/gh\ erhalt man nach einiger Umformung eine quadratische Gleichung fur das Tiefenverhaltnis /i 2 /^i in der Form (hj/hx)2 + fi2/h\ = 2Fr2. Hieraus folgt fiir die sog. konjugierten Tiefen des Wechselsprungs

(3.219a, b) Die zweite Beziehung erhalt man durch Einsetzen von (3.188) mit h=h\. Man zeigt sofort, daB fiir h\ =hgr auchh2 = hgr ist, d. h., daB hierfiir kein Wechselsprung auftritt. Bei bekannten Werten des Zuflusses h\ und Fr\ oder h\ und hgr kann man nach (3.219a, b) die Tiefe hinter dem Wechselsprung h2 und damit die Sprunghohe (Ii2 — h\) berechnen. Obwohl die Voraussetzungen, welche der Ableitung dieser Gleichung zugrunde liegen, verhaltnismaBig grob sind, steht das gewonnene Ergebnis doch in guter Ubereinstimmung mit der Erfahrung. In Abb. 3.67 ist /22M1 iiber Fr\ als Kurve (1) aufgetragen. Im Bereich der stromenden Bewegung (0 < Fr\ < 1) ist ht/hx < 1, und im Bereich der schieBenden Bewegung {Fr\ > 1) ist /i 2 / ^1 > 1. DaB das Ergebnis fiir die erstgenannte Stromungsform physikalisch nicht moglich ist, wird noch gezeigt. Zunachst soil noch der Zusammenhang zwischen der Froude-Zahl des Zuflusses Fr\ = vi/^/ghi und der Froude-Zahl des Abflusses Fr2 = V2lsfgh2 angegeben werden. Mit v\h\ = V2/Z2 erhalt man Fr2/Fr\ = (hi/h2)3^2 und hieraus unter Einsetzen von (3.219a) -3/2

Fr2 = VS I yZFr2 + 1 - 1 J

Frx.

(3.220)

Dies Ergebnis ist als Kurve (2) in Abb. 3.67 wiedergegeben. Danach gelten die Zuordnungen Fr\ < 1, Fr2 > Fr\ und Fr\ > 1, Fri < Fr\. Fiir Fr\ —> 00 geht Fr2 -> 0. Den Verlust an fluidmechanischer Energie, d. h. die Verlusthohe ze = (ie)\^i erhalt man aus der Energiegleichung (3.211) mit zs\ = Z&, zv\ = v\/2g und zv2 = v2/2g zunachst zu ze = (v2—v2)/2g+hi—h2.69 Hieraus wird bei Beriicksichtigung der Kontinuitats- und Impulsgleichung nach einiger Umformung

v

/

8 F r

2

+ 1

_

1

Die letzte Beziehung folgt durch Einfiihren der Froude-Zahl Fr\ mittels (3.219a). Auch dies Ergebnis ist in Abb. 3.67, und zwar als Kurve (3) dargestellt. Bei

69

Bei der Rohrstromung gilt bei einer horizontal liegenden plotzlichen Erweiterung sinngemaB nach (3.121b) fur die Verlusthohe z'e = pe/pg = (ui - V2)2/2g. Wilrde man hiermit die Verlusthohe des Wechselsprungs bestimmen, so ergaben sich wegen z'e/ze = [(A2/A1 + l)/(h2/h\ — I)] 2 > 1 groBere Werte als nach (3.221).

— i 1 i —

3.5.4 Ungleichformige Stromung in geradlinig verlaufenden Gerinnen

__ \ \

A2)

V \

/ \ \ \

-== /

/

0,5

/

i -0,5 0 0,5 U-Strom

- .

(3) /

315

2 4 — SchieOen —

Abb. 3.67. Fluidmechanische GroBen des Wechselsprungs in Abhangigkeit von der Froude-Zahl des Zuflusses Fr = v\/*Jgh\ = \/(hgr/hi)3, vgl. Abb. 3.66. (1) Konjugierte Tiefen des Wechselsprungs (Tiefenverhaltnis h2lh\), (2) Froude-Zahl des Abflusses Fr2 = v2/s/gJn, (3) Verlusthohe des Wechselsprungs ze/hi

Fr\ = 1, d. h. wenn wegen h2 = h\ kein Wechselsprung auftritt, ist erwartungsgemaB die Verlusthohe null. Eine positive Verlusthohe (mechanischer Energieverlust) ze/h\ > 0 ergibt sich nur bei schieBendem ZufluB mit Fr\ > 1, wahrend sich bei stromendem ZufluB mit Fr\ < 1 eine physikalisch nicht mogliche negative Verlusthohe (mechanischer Energiegewinn) einstellen wiirde. Damit ist gezeigt, daB ein Wechselsprung nur beim Wechsel von der schieBenden zur stromenden Bewegung und nicht umgekehrt auftreten kann. Wegen Fr\ — \f{hgr/h\)^ > 1 folgt, daB stets h\ < hgr < hj ist, vgl. Abb. 3.66b. Wechselsprung mit Deckwalze. Bei groBeren Sprunghohen von hilh\ > 2,0, d. h. bei Froude-Zahlen des Zuflusses von Fr\ > 1,7, ist der Wechselsprung nach Abb. 3.66a von einem starken Wirbel, der sog. freien Deckwalze, iiberlagert, was mit erheblichen mechanischen Energieverlusten verbunden ist. Die Lage des Wechselsprungs ergibt sich naherungsweise aus der Berechnung der Lage des Fliissigkeitsspiegels gemaB Kap. 3.5.4.2. Die Lange der Deckwalze ist theoretisch nur unvollkommen zu ermitteln; hierfur bedient man sich vielmehr bestimmter empirischer Formeln. Wechselsprung mit Oberflachenwellen. Fiir kleinere Sprunghohen von hi/h\ < 2, d. h. bei Froude-Zahlen des Zuflusses von Fr\ < 1,7, kann der Wechselsprung nach Abb. 3.66b auch in gewellter Form auftreten. Zwischen einem gewellten Wechselsprung mit stationaren Oberflachenwellen (1 < Fr\ < 1,6) und einem Wechselsprung mit Deckwalze (Fr > 1,7) kann man einen Wechselsprung mit anfanglich kleiner Deckwalze und anschlieBenden stationaren Oberflachenwellen (1,6 < Fr < 1,7) beobachten.

316

3.5 Stromung in offenen Gerinnen (Gerinnehydraulik)

3.5.5 Sonstige Stromungsvorgange in offenen Gerinnen7® 3.5.5.1 Uberfallstromung und AbfluB unter einer Schiitze Allgemeines. Die in Abb. 3.65 dargestellten theoretischen Formen der Spiegelkurven werden in der Praxis tatsachlich beobachtet. Einige kennzeichnende Falle sind in Abb. 3.68 schematisch wiedergegeben. Storungen der gleichfbrmigen Stromung, wie sie im Wasserbau besonders haufig vorkommen, werden verursacht durch Stauwehre, Sohlenstufen, Gefallsknicke, Schiitze, Pfeilereinbauten und dergleichen mehr. Bei stromendem ZufluB ist die Ursache der Stoning stromabwarts zu suchen (Staumauer, Wehr). Die Berechnung hat hier stromaufwarts zu erfolgen. Bei schieBendem AbfluB ist die Ursache der Storung stromaufwarts zu suchen. Die Berechnung ist stromabwarts vorzunehmen. Diese Aussagen sind in Ubereinstimmung mit den in Kap. 3.5.2.2 bereits gemachten Angaben iiber die Ausbreitung von Grundwellen. Uberfallstromung. Fur den AbfluBvorgang, der sich beim Uberstrbmen einer im allgemeinen horizontal liegenden Oberkante eines Staubauwerks einstellt, benutzt man haufig den Ausdruck Uberfall, obwohl das Bauwerk mit seiner Ausbildung, der sog. Uberfallkrone, selbst als Uberfall oder auch als Wehr bezeichnet wird. Je nach Verwendungszweck unterscheidet man Uberfallwehre zur geregelten Wasserabfiihrung und MeBwehre zur genauen Bestimmung von Wassermengen in hydraulischen Versuchsanstalten oder bei Hochdruckwasserkraftanlagen. Je nach Lage des Unterwasserspiegels wird in vollkommene und unvollkommene Uberfalle

(5)

Abb. 3.68. Mogliche Spiegelkurven bei stromender und schieBender Bewegung in offenen Gerinnen (schematisch), die Bezeichnung der Kurven ist Abb. 3.65 zu entnehmen 70

Wegen des unmittelbaren Bezugs auf Fragen des Wasserbaus wird in diesem Kapitel immer von Wasserstromungen anstelle von Fliissigkeitsstromungen gesprochen.

3.5.5 Sonstige Stromungsvorgange in offenen Gerinnen

317

eingeteilt. Das Abfiihrvermogen des vollkommenen Uberfalls wird allein durch die Lage des Oberwasserspiegels bestimmt, wahrend der AbfiuB des unvollkommenen Uberfalls durch die Hohenlage sowohl des Ober- als auch des Unterwasserspiegels beeinfluBt wird. Um das Abfiihrvermogen moglichst groB zu machen, werden Uberfalle mit gut abgerandeter Krone ausgefiihrt, wahrend MeBwehre mit scharfkantiger horizontaler Krone (Plattenwehre) und mit Beliiftung der Unterseite des Uberfallstrahls ausgebildet werden. Oft werden Uberfalle zwecks Regulierung auch beweglich ausgefiihrt. Abb. 3.69 zeigt einige Uberfallformen. Die Fiille der verschiedenen Formen und Aufgaben der Uberfalle schlieBt eine ausfiihrliche Behandlung hier aus, vgl. z. B. [20, 31, 40, 58]. Bei normal angestromten Uberfallen kann der AbfluBvorgang als ebene Strbmung behandelt werden. Den Volumenstrom kann man naherungsweise aus den Formeln berechnen, die in Kap. 3.3.2.3 fur den AusfluB aus Offnungen abgeleitet werden, wenn man in Abb. 3.14 die obere Begrenzung der Offnung als nicht vorhanden ansieht. Die tatsachliche Absenkung des Wasserspiegels an der Uberfellkrone sowie die Tatsache, daB der Geschwindigkeitsvektor nicht iiberall gleichgerichtet ist (gekriimmte Stromlinien), wird durch einen Uberfallkoeffizienten IJL, beriicksichtigt. Erfolgt wie z. B. bei SchuBwehren nach Abb. 3.70 kein Riickstau des Unterwassers, so liegt ein vollkommener Uberfall vor. Er entspricht dem AusfluB ins Freie nach Abb. 3.14. Tritt dagegen wie z. B. bei Grundwehren Riickstau des Unterwassers auf, so ist dies ein unvollkommener Uberfall.

d

e

f

Abb. 3.69. Oberfallformen, nach [58], Kennzeichnungen a bis f sind Tab. 3.6 zu entnehmen

Abb. 3.70. Vollkommener Uberfall mit abgerundeter Krone, Druck- und Geschwindigkeitsverteilung im Scheitelschnitt

3.5 Stromung in offenen Gerinnen (Gerinnehydraulik)

318

Beim vollkommenen Uberfall andert sich im Scheitelschnitt die Geschwindigkeit ahnlich wie die AusfluBgeschwindigkeit eines Freistrahls nach Torricelli, (3.28b). Es gilt mit den Bezeichnungen von Abb. 3.70 im Schnitt (1) fiir die Geschwindigkeitsverteilung v(z) = y/2g(h — z). Die Hohe des wasserfiihrenden Querschnitts betragt 0 ^ z ^ h! = nh vaitn < 1. Den iiberfallenden Volumenstrom erhalt man zu h'

V = b I v(z)dz = ix\bh^/2gh

mit

\x = 1 - (1 - n) 3 / 2 . (3.222a, b)

o Hierin ist b die Breite des Uberfalls und yu, der Uberfallkoeffizient. Letzterer beriicksichtigt die Absenkung des Wasserspiegels an der Uberfallkrone sowie die Tatsache, daB die Geschwindigkeit nicht iiberall den Scheitelschnitt normal durchstromt. Fiir einen vollkommenen Uberfall mit breiter Uberfallkrone erhalt man unter stark vereinfachten Annahmen theoretisch (i = 1/V3 = 0,577 bzw. n = 0,437. Der Uberfallkoeffizient /x ist in erster Linie von der Form des Uberfalls abhangig. Gut abgerundete Uberfalle ohne Ablosung des Uberfallstrahls ergeben giinstigere Werte fiir n gegeniiber Uberfallen mit scharfkantigen Formen. Fiir

Tabelle 3.6. Uberfallkoeffizienten nach [58] Uberfallform nach Abb. 3.69

Kronenausbildung

a

breit, scharfkantig, horizontal

0,49 .. 0,51

b

breit, gut abgerundete Kanten, horizontal

0,50 .. 0,55

c

breit, vollstandig abgerundet, z. B. mit ganz umgelegter Stauklappe

0,65 .. 0,73

d

scharfkantig, Uberfallstrahl beltiftet

-0,64

e

rundkronig, mit vertikaler Oberwasser- und geneigter Unterwasserseite

0,73 ... 0,75

f

dachformig, gut ausgerundet

^0,79

3.5.5 Sonstige Stromungsvorgange in offenen Gerinnen

319

die in Abb. 3.69 dargestellten Uberfallformen gelten nach [58] die in Tab. 3.6 angegebenen Zahlenwerte. Eine Steigerung der Leistungsfahigkeit eines Uberfalls kann durch Beliiftung der Strahlunterseite erreicht werden. Abgerundete Uberfalle besitzen eine konvexe Kriimmung der Uberfallkrone. Dies fiihrt zu Druck- und Geschwindigkeitsverteilungen im Scheitelquerschnitt, wie sie durch (3.193e) bzw. (3.194) beschrieben werden, vergleiche Abb. 3.61a (Fliissigkeitsoberflache und Sohle sind in ihrer Wirkung miteinander zu vertauschen) und Abb. 3.61b, Kurven (1). Die Verteilungen sind in Abb. 3.70 im Schnitt (2) skizziert. AbfluB unter einer Schiitze. Neben der Ermittlung des Ausflusses einer Fliissigkeit aus oben offenen GefaBen spielt bei den Gerinnestromungen auch der AbfluB unter einer Schiitze nach Abb. 3.71 eine wichtige Rolle. Bei den erstgenannten AusfluBvorgangen hat man nach Kap. 3.3.2.3, Beispiel b, zu unterscheiden zwischen einem AusfluB ins Freie mit dem zugehorigen Freistrahl sowie einem AusfluB unter Wasser mit dem zugehorigen Tauchstrahl. Befindet sich die AbfluBoffnung bei einer Schiitze an der Gerinnesohle, so hat man es mit einem Grundstrahl zu tun. Je nach den AbfluBbedingungen stromabwarts von der Schiitze kann der AbfluB analog zu den Uberfallstromungen vollkommen oder unvollkommen sein. Ein vollkommener AbfluB liegt vor, sofern der erzwungene schieBende Grundstrahl nach Abb. 3.71a nicht von einem Riickstau des Unterwassers betroffen ist. Der schieBende AbfluB geht nach Abb. 3.71b

Schiitze Grundstrahl

o < i_

Abb. 3.71. AbfluB unter einer Schiitze, Beeinflussung des Grundstrahls durch den Unterwasserstand, nach [58]. a Vollkommener AbfluB, hi g h, schieBender Grundstrahl. b Vollkommener AbfluB, /12 > h, schieBender Grundstrahl mit Wechselsprung stromabwarts von der Schiitze. c Unvollkommener AbfluB, hj > h, Grundstrahl tritt als Tauchstrahl in das Unterwasser ein

320

3.5 Stromung in offenen Gerinnen (Gerinnehydraulik)

stromabwarts mittels eines Wechselsprungs iiber in einen stromenden AbfluB. Erst wenn der Wechselsprung die Schiitze erreicht, wird der Grundstrahl nach Abb. 3.71c vom Unterwasser iiberdeckt, und man spricht dann von einem unvollkommenen AbfluB. Fur den vollkommenen AbfluB durch eine spaltformige Offnung der Breite b und der Hohe h erhalt man aus (3.29b) fiir den abflieBenden Volumenstrom V - ix*bh^2ghx

(Grundstrahl)

(3.223)

mit ix* als AbfluBkoeffizient. Bei scharfkantigen Planschiitzen entsprechen die Werte fur den AbfluBkoeffizienten etwa denjenigen fur den AusfluBkoeffizienten fiir schlitzformige Offnungen, d. h. /A* « 0,6. Bei einer in Richtung des Grundstrahls geneigten Planschiitze ist fi* > 0,6, vgl. [58]. 3.5.5.2 Gerinnestromung bei Querschnitts- und Richtungsanderung Querschnittsanderung. Ahnlich wie bei der Rohrstromung in Kap. 3.4.4.2 treten auch bei der Gerinnestromung Querschnittsanderungen in Form von Verengungen oder Erweiterungen auf, die entweder allmahlich (stetig) oder plotzlich (unstetig) vor sich gehen. Neben einfachen Querschnittsiibergangen spielen weitere, meistens plotzliche Querschnittsanderungen als positive oder negative Sohlenstufen, als Sohlenwellen, als Pfeilerein- oder -vorbauten sowie als Rechen eine wesentliche Rolle. Durch die genannten Profilanderungen des Gerinnes kann je nach den vorliegenden Umstanden die ungleichformige Bewegung ohne oder mit einem Wechsel der FlieBweise (Stromen oder SchieBen) vor sich gehen, [20, 31, 58]. Fiir Gerinne, bei denen die wasserfiihrenden Querschnitte Rechteckform haben, lassen sich durch Anwenden der Impulsgleichung (3.212b) in Verbindung mit der Kontinuitatsgleichung (3.210b) die unstetigen Querschnittsanderungen (positive oder negative Sohlenstufe, plotzliche Breitenanderung) einfache Beziehungen fiir das Verhaltnis der Wassertiefe hinter und vor der Querschnittsanderung sowie fiir die fluidmechanischen Verluste herleiten. Dies geschieht in ahnlicher Weise wie bei der Berechnung des Wechselsprungs in Kap. 3.5.4.3. Der EinfluB der Schubspannung an der Gerinnewand bleibt dabei unberiicksichtigt. Einer theoretischen Behandlung des Pfeilerstaus stehen im allgemeinen erhebliche Schwierigkeiten entgegen, da es sich hier um ein Widerstandsproblem handelt, bei dem nicht nur die Fliissigkeitsreibung, sondern auch die Vorgange an der freien Oberflache (Wellenwiderstand) eine Rolle spielen. Richtungsanderung. Der in einer Gerinnekriimmung auftretende Verlust an fluidmechanischer Energie ist noch schwieriger zu bestimmen als bei der Rohrstromung nach Kap. 3.4.4.3. Dies trifft besonders fiir den Fall der schieBenden Bewegung zu. Einzelheiten zu diesem Fragenkreis kann man u. a. [58] entnehmen. 3.5.5.3 Instationare Stromungsvorgange in offenen Gerinnen Bei den bisherigen Betrachtungen handelte es sich durchweg um StrOmungsvorgange, die von der Zeit unabhangig sind, d. h. um stationare Bewegungen. Danach

3.6.1 Voraussetzungen und Ausgangsgleichungen

321

ist zu unterscheiden zwischen gleichformigen Bewegungen, bei denen die Erscheinungen unabhangig von Zeit und Ort sind, und ungleichformigen Bewegungen, bei denen eine Abhangigkeit vom Ort, d. h. von der Lage des Querschnitts, besteht. Bei den von der Zeit abhangigen, nichtstationaren Stromungen ist die theoretische Behandlung der einzelnen Vorgange wesentlich verwickelter als bei den stationaren. Alle an der freien Oberflache eines Gerinnes beobachtbaren instationaren Erscheinungen konnen im weiteren Sinn als Wellen aufgefaBt werden, vgl. z. B. Abb. 3.66b. Hierzu gehoren z. B. die kleinen Anschwellungen, welche durch voriibergehende Stoning einer an sich stationaren Stromung entstehen, sowie die Wasserbewegungen, die sich in Kanalen und Werkgraben beim Offnen und SchlieBen von AbschluBorganen ausbilden und die man gewohnlich als Schwall oder Sunk (Hebung bzw. Senkung des Wasserspiegels) bezeichnet. Auch die Frage nach dem Verlauf des Hochwassers in Fliissen sowie des als Flutwelle fluBaufwarts wandernden Schwalls beim Eindringen der Flut in FluBmiindungen u. a. m. gehort in den Gedankenkreis dieser Betrachtungen. Im iibrigen muB hier auf das einschlagige Schrifttum verwiesen werden, [20, 31, 58]. In Kap. 5.3.4 wird auf die instationaren Potentialstromungen mit freien Oberflachen noch eingegangen.

3.6 Mehrdimensionale stationare Stromungsvorgange dichtebestandiger Fluide 3.6.1 Voraussetzungen und Ausgangsgleichungen Wahrend in Kap. 3.3 bis 3.5 Stromungsvorgange behandelt wurden, die sich als eindimensional oder quasi-eindimensional darstellen lassen (Stromfaden, Rohr-, Gerinnestromung), sollen jetzt mehrdimensionale Stromungsvorgange besprochen werden, deren Berechnung sich durch besondere Einfachheit auszeichnet. Dies ist insbesondere dann der Fall, wenn man die gestellte Aufgabe durch Anwenden des Impulssatzes losen kann. Die Untersuchungen werden auf stationare Stromungen beschrankt. Die Dichte des Fluids wird bereichsweise konstant angenommen.71 Nach Abb. 2.27, 2.29c oder 2.47 sei ein bestimmtes Kontrollvolumen (V) durch eine raumfeste Kontrollflache (O) — (A) + (5) abgegrenzt. Hierbei bedeutet (A) den in der Stromung liegenden freien Teil und (S) den bei einem festen Korper gebundenen Teil der Kontrollflache. Uber die zweckmaBige Wahl des freien Teils der Kontrollflache wird in Kap. 2.5.2.1 im Zusammenhang mit Abb. 2.30 berichtet. Die nachstehend wiedergegebenen Ausgangsgleichungen gelten fur eine zweidimensionale Stromung in der x, )>-Ebene nach Abb. 3.72. Dargestellt ist ein Flachenelement des freien Teils der Kontrollflache dA mit dem zugehorigen Flachenvektor dA (positiv nach auBen). Dieser besitzt die 71

Diese Annahme wird im Hinblick auf die Berechnung der Schubkraft eines Strahltriebwerks (jeweils konstante, jedoch nicht gleiche Dichte p im Austrittsstrahl und in seiner Umgebung) gemacht, Beispiel d.2 in Kap. 3.6.2.2.

3.6 Mehrdimensionale stationare Stromungsvorgange dichtebestandiger Fluide

Abb. 3.72. Bezeichnungen in den Ausgangsgleichungen bei zweidimensionaler Stromung in der x, y-Ebene, Flachenelement dA am freien Teil der Kontrollflache (A), Volumenstrom dV = —v • dA < 0 (austretend)

Komponenten dAx und dAy. Fiir die Geschwindigkeit v lauten die Komponenten entsprechend vx und vy. Fiir ein Flachenelement des korpergebundenen Teils der Kontrollflache dS gelten sinngemaBe Angaben. Kontinuitatsgleichung. Fiir das abgegrenzte Kontrollgebiet lautet die Kontinuitatsgleichung (2.50a) pdV = (O)

pdV + (A)

pdV = 0

(stationar).

(3.224a)

(S)

Nach (2.51) ist die GroBe dV= -v • dA = -vxdAx - vydAy bzw. dV = —v-dS = —vx dSx — vy dSy der Volumenstrom, der ortlich die Flachenelemente der Kontrollflache dA bzw. dS mit der Geschwindigkeitskomponente normal zu den Flachenelementen durchstromt. Eintretende Volumenstrome sind positiv (dV > 0) und austretende Volumenstrome negativ (dV < 0) zu rechnen. Bei nichtporoser Wand des umstromten Korpers verschwindet in (3.224a) das Integral iiber (S). Bei unveranderlicher Dichte hebt sich p aus (3.224a) heraus, und es verbleibt

(p dV — — / vx dAx — / vy dAy —0 (A)

(Ax)

(p = const).

(3.224b)

(Ay)

Impulsgleichung. Aus der Kraftgleichung (2.79) ergeben sich die Komponentengleichungen in x- und y-Richtung zu I pvx dV = -(FBx

+

FAX

+ FSx),

(0)

(b pvy dV = — (FBy + FAy + FSy),

(3.225a, b)

(0)

wobei jeweils iiber die Kontrollflache (O) = (A) + (5) zu integrieren ist. Hierin bedeuten Fgx, FBy, FAX, F^y und F$x, Fsy die Komponenten der Massenkraft (Volumenkraft), der Kraft auf den freien Teil der Kontrollflache (A) bzw. der

3.6.1 Voraussetzungen und Ausgangsgleichungen

323

Stiitzkraft auf den korpergebundenen Teil der Kontrollflache (S). Besteht die Massenkraft nur aus der Schwerkraft und fallt die negative y-Achse mit der Richtung der Fallbeschleunigung zusammen, dann gilt nach (2.76b) Fgx = 0,

Fgy = —mg (Massenkraft = Schwerkraft),

(3.226a, b)

wobei m die im abgegrenzten Kontrollvolumen (V) eingeschlossene Masse ist. Die Krafte auf den freien Teil der Kontrollflache (A) bestehen nach (2.78a) nur aus Druckkraften, wenn sich (A) weit genug entfernt vom Korper befindet: FAX ™ -

/ pdAx,

FAy^-

(.Ax)

I pdAy

(Druckkraft). (3.227a, b)

(Ay)

Hierin sind dAx und dAy die Komponenten des Flachenvektors dA. Im allgemeinen wird die Kraft des stromenden Fluids auf den um- oder durchstromten Korper gesucht. Diese wirkt nach dem Wechselwirkungsgesetz (2.78b) der Stiitzkraft entgegen und betragt FKX = ~FSX,

FKy = -FSy

(Korperkraft).

(3.228a, b)

Von der Momentengleichung (2.88) tritt fur den Fall ebener Stromung nur eine Komponentengleichung, namlich p(xvy - yvx) dV = -(MB + MA + MS) /

(3.229)

•

(O)

auf, wobei wieder iiber (O) — (A) + (S) zu integrieren ist. Es wird angenommen, daB die Momentenbezugsachse durch den Koordinatenursprung x = y = 0 geht und normal auf der x, ^-Ebene steht. Die GroBen x und y auf der linken Seite sind die Komponenten des Fahrstrahls r und geben die Lagen der Flachenelemente des freien Teils der Kontrollflache (^4) an, die vom Volumenstrom dV durchstromt werden. Die Momente MB , MA und M$ sind linksdrehend positiv. Sie bestimmen sich nach (2.86b) und (2.87a, b) zu MB = -mgxB,

MA^

-

p(xdAy ~ydAx),

MK — -Ms.

(A)

(3.230a, b,c) MB enthalt nur den EinfluB der Schwere. Mit XB wird die horizontale Lage des Schwerpunkts der Masse m gemessen. Energiegleichung. Zur Anwendung kommt die Energiegleichung der Fluidmechanik (Arbeitssatz der Mechanik) bei reibungsloser Stromung nach (2.95a, b) bzw. (2.102a) mit / = p/p nach (2.5b). Es gilt im ganzen Stromungsfeld mit v2 = v2x + v2 p

2

— v + pug + p = const (reibungslos).

(3.231)

Soil wie in (3.226) von der Massenkraft wieder nur die Schwerkraft beriicksichtigt werden, dann ergibt sich das bezogene Schwerkraftpotential nach (2.12a) zu uB = gy.

324

3.6 Mehrdimensionale stationare Stromungsvorgange dichtebestandiger Fluide

Die Untersuchungen der folgenden Kapitel betreffen sowohl reibungslose als auch reibungsbehaftete zwei- oder dreidimensionale Stromungen. Dabei werden einige grundlegende Erkenntnisse gewonnen, die iiber einfache Beispielrechnungen hinausgehen.

3.6.2 Reibungslose zweidimensionale Stromung dichtebestandiger Fluide 3.6.2.1 Theorie des Auftriebs angestromter ebener Korper72 a.l) Auftriebskraft eines geraden Fliigelgitters. Abb. 3.73 zeigt ein gestaffeltes, gerades und ebenes Fliigelgitter, auch Schaufelgitter genannt, mit unendlich vielen kongruenten Flligel- bzw. Schaufelprofilen, welche der Einfachheit halber durch ihre Skelettprofile ersetzt werden. Den jeweils konstanten Profilabstand t in Richtung der Gitterfront bezogen auf die Profiltiefe / bezeichnet man als Gitterteilung. Die Breite des Gitters sei mit b angenommen. Das Koordinatensystem wird durch die n-Achse (x-Achse) normal zur Gitterfront und durch die f-Achse (y-Achse) tangential zur Gitterfront festgelegt. Das ruhende Gitter soil mit der ungestorten Parallelgeschwindigkeit v\ in groBer Entfernung vor dem Gitter beim Druck p\ angestromt werden. Bei der vorausgesetzten ebenen Stromung herrscht dann langs jedes Profils sowie auch langs jeder kongruenten Stromflache der gleiche Stromungszustand, d. h. gleiche Geschwindigkeit und gleicher Druck an geometrisch eindeutig zugeordneten Stellen. Nach der Stromungsumlenkung durch das Gitter liegt weit hinter dem Gitter wieder Parallelstromung vor, und zwar mit der Geschwindigkeit t>2 beim Druck pi. Die Komponenten der Geschwindigkeiten in Richtung der Gitterfront und normal dazu sind v\t, V2t bzw. v\n, V2n- Im folgenden soil die Kraft, welche von dem stromenden Fluid auf die Fliigel des Gitters ausgeiibt wird, berechnet werden. Diese Kraft sei zunachst als Korperkraft FK mit den Komponenten FKn und F^t normal bzw. tangential zur Gitterfront bezeichnet. Zu ihrer Berechnung milssen alle drei in Kap. 3.6.1 wiedergegebenen Grundgesetze der Fluidmechanik, namlich die Kontinuitats-, Impuls- und Energiegleichung herangezogen werden.

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Abb. 3.73. Stromung durch ein gerades Fliigelgitter, Berechnung der Auftriebskraft (Kutta-Joukowskyscher Auftriebssatz)

- Die Anwendungsbeispiele werden in Kap. 3.6.2 fortlaufend mit kleinen Buchstaben gekennzeichnet.

3.6.2 Reibungslose zweidimensionale Stromung dichtebestandiger Fluide

325

Nach Abb. 3.73 wird die Kontrollflache ( 0 ) im Sinn von Abb. 2.30b so gelegt, daB ihr freier Teil (A) aus zwei der Gitterfront parallelen Flachen der Lange t und der Breite b vor und hinter dem betrachteten Fliigel (a — b bzw. c — d) sowie ihren Verbindungsflachen langs kongruenter Stromflachen (b — c bzw. d — a) gebildet wird. Der korpergebundene Teil der Kontrollflache (S) umschlieBt einen herausgegriffenen Fliigel in der gezeichneten Weise. Vor und hinter dem Gitter sei die Kontrollflache so weit vom Gitter entfernt, daB dort die Geschwindigkeiten und die Driicke jeweils konstant iiber die zugehorigen Teile der freien Kontrollflache (a — b bzw. c — d) angenommen werden konnen. Nach dem Wechselwirkungsgesetz (3.228) ist die vom Fliigel auf das stromende Fluid ausgeiibte Stiitzkraft Fs(Fsn, Fst) entgegengesetzt gleich groB der gesuchten Korperkraft FK = —Fs oder Fgn = — Fsn und Fgi = — Fst • Im Hinblick auf spater wird das vektorielle Mittel aus der Zu- und Abstromgeschwindigkeit gebildet und als mittlere Geschwindigkeit durch Uberstreichen gekennzeichnet: V = j(v\ + V2),

Vn = J (V\n + V2n),

V, = j(V\, + V2,).

(3.232a, b, C)

Nach der Kontinuitatsgleichung (3.224b) muB, da kein Massenstrom iiber die Stromflachen (b — c bzw. d — a) auftritt, der Volumenstrom V = v\nbt — V2nbt = 0 sein mit bt als Ein- oder Austrittsflache. Hieraus folgt die bemerkenswerte Beziehung V\n = V2n = Vn,

(3.232d)

nach der die Normalkomponente keine Anderung erfahrt. In Abb. 3.73 sind unter Beachtung dieses Zusammenhangs die Geschwindigkeitsdreiecke dargestellt. Die Impulsgleichung wird nach (3.225) normal und tangential zur Gitterfront angewendet. Dabei soil der EinfluB der Massenkraft (Schwerkraft) vernachlassigt werden, Fgn = 0 = Fg,. Die Komponenten der Korperkraft erhalt man zu

FKn=P J vn dV + FAn,

FKt=p J v,dV + FAt.

W

(3.233a, b)

(A)

Da durch die Fliigel kein Massentransport erfolgt, braucht das Impulsstromintegral nur iiber den freien Teil der Kontrollflache (A) ausgewertet zu werden. Dabei liefern nur die Ein- und Austrittsflache bt Beitrage, wahrend iiber die Stromflachen im Inneren des Gitters keine Impulsstrome auftreten konnen. Beachtet man, daB eintretende Volumenstrome positiv und austretende Volumenstrome negativ einzusetzen sind, so wird fur die Impulsintegrale mit V = ±vnbt p

vndV = pvn(vin

p

- v2n)bt = 0,

v, dV- = pvn(v\, - v2,)bt / 0.

(3.234a)

w Da auf den kongruenten Stromflachen jeweils gleiche Stromungszustande herrschen, heben sich die Druckkrafte an zwei auf dem freien Teil der Kontrollflache entsprechenden Punkten P und P' sowohl in normaler als auch tangentialer Richtung gegeneinander auf. Es konnen also bei der Druckkraft nach (3.227) nur Druckanteile an der Ein- und Austrittsflache auftreten: FAn = (Pi - P2)bt # 0,

FAt = 0.

(3.234b)

In der Formel ftir FAn kann man die Driicke mittels der Energiegleichung (3.231) durch die Geschwindigkeiten ausdriicken. Mit UB =0,V\ = v\n + v\t und v\ = v\n + v\t erhalt man unter Beachtung von (3.232c, d) ftir die Differenz der Driicke vor und hinter dem Gitter Pi-P2 = |(^2 - v\) = ~(v\,

- 4 ) = -pvt(v\t - V2,).

(3.234c)

Nach Einsetzen der gefundenen Beziehungen in (3.233) folgen die Komponenten der Korperkraft FKn = -pv,(vu

- v2,)bt,

FKl = pvn(vu

- v2,)bt

(3.235a, b)

und hieraus der Betrag der resultierenden Korperkraft F

K = yjFh + Fl, = pv(vu - v2l)bt

(3.235c)

326

3.6 Mehrdimensionale stationare Stromungsvorgange dichtebestandiger Fluide

mit v2 = vf + v2. Die Angriffsrichtung der Kraft FK ist nach Abb. 3.73 gegeniiber der Gitterfront um den Winkel tp geneigt. Es gilt also, wenn man (3.235a, b) beriicksichtigt, tamp= — ^ - = —, FKI

vnFKn + v,FK, = 0 oder v-FK=0.

(3.236a, b, c)

vn

Das Verschwinden des skalaren Produkts v • FK = 0 bringt zum Ausdruck, daB die Korperkraft normal auf der durch (3.232a) definierten mittleren Anstromrichtung i; steht. Dies Ergebnis laBt sich auch aus dem Geschwindigkeitsdreieck ablesen. Man nennt eine Kraft, die normal zur Anstromrichtung steht, eine Auftriebskraft, oder kurz auch einen Auftrieb (Quertrieb). Es sei hierfiir die Bezeichnung A = FK eingefiihrt, was zu A = pvivu - v2t)bt,

A±v

(Auftrieb)

(3.237a, b)

73

fiihrt. Bezieht man den Auftrieb auf die Projektionsflache eines Fliigels bl und auf den Geschwindigkeitsdruck der mittleren Geschwindigkeit q = (p/2)v2, so findet man den Auftriebsbeiwert CA = A/qbl zu cA = 2 - (— - —) =2-sin^(cot/3i -cotjfc).

(3.238a, b)

Der Ubergang von (3.237a) nach (3.238b) geschieht durch Einfiihren der in Abb. 3.73 dargestellten Zuund Abstromwinkel, und zwar ist sin/J = vn/v, cot^i = v\t/vn sowie cotft = ^itl^nDie Formel fur die Auftriebskraft soil durch Einfuhren einer kinematischen GroBe, der sog. Zirkulation, noch etwas umgeschrieben werden. Unter der Zirkulation T versteht man nach (5.6) das Linienintegral der Geschwindigkeit iiber eine geschlossene Kurve (Z-). Es sei die Zirkulation um einen Fliigel im Gitterverband berechnet, wobei der Integrationsweg rechts herum positiv gewahlt wird. Im Gegensatz zur Kontrollflache (O), die den Fliigel ausschlieBt, schlieBt die Kurve (L) den Fliigel ein. Eine rechtsdrehende Zirkulation wird positiv gerechnet. Im vorliegenden Fall sei die in Abb. 3.73 in der Stromungsebene gezeigte Begrenzung des freien Teils der Kontrollflache als Kurve (L) = (a — b — c — d — a) gewahlt. Bei der Bildung der Zirkulation wird die untere Stromlinie d — a gegeniiber der oberen Stromlinie b — c im entgegengesetzten Sinn durchlaufen. Wegen der bestehenden Kongruenz beider Linien und der somit gleichen Stromungszustande an entsprechenden Punkten P und P' konnen beide Linien zusammengenommen keinen Beitrag zur Zirkulation liefern. Es verbleiben demnach nur die Beitrage der parallel zur Gitterfront verlaufenden Linien a — b und c — d, so daB die Zirkulation um einen Fliigel T =
= (vu - v2,)t

(3.239a, b)

(£)

wird. 7 4 Durch Einsetzen in (3.237a) erhalt man fiir die Auftriebskraft (Auftrieb) A = pbVv,

A±v

(Kutta, Joukowsky).

(3.240a, b)

Dies ist der Kutta-Joukowskysche Auftriebssatz, der aussagt, daB die GroBe des Auftriebs A auBer von der Dichte p des strdmenden Fluids und von der Breite b des Fltigels nur abhangt v o m Betrag der mittleren Anstromgeschwindigkeit v und der Zirkulation T u m den Rtigel. In dieser allgemein giiltigen Darstellung spielen die Form des Gitters und die Ausbildung der Flugelprofile keine Rolle. a.2) Fliigelgitter als Elemente von Stromungsmaschinen. Im folgenden mogen einige Hinweise iiber die Verwendung von Fliigelgittern in Stromungsmaschinen gemacht werden. Wesentliche Elemente bei Stromungsmaschinen (Turbinen, Verdichter, Pumpen) stellen die Leitrader, auch Leitapparate genannt, und die Laufrader dar. Wahrend die feststehenden Leitrader der Zu- und Ableitung des stromenden Fluids dienen, sind die u m eine feste Achse sich drehenden Laufrader die eigentlichen Arbeitsorgane der Stromungsmaschine. Erfolgt die Durchstromung des Laufrads nach Abb. 3.74a im wesentlichen in axialer Richtung, so spricht man von axial beaufschlagten Radern (Axialrader). Denkt man sich in Abb. 3.74a einen koaxialen Zylinderschnitt gelegt und wickelt den Zylindermantel auf eine Ebene ab, so erhalt man als Schnittfigur der Laufradschaufeln eine gerade Flugelreihe. Legt man jetzt sehr nahe zum ersten Schnitt einen zweiten Zylinderschnitt und wickelt diesen ebenfalls ab, so kann man die Stromung zwischen beiden 73

Eine Verwechslung mit dem Symbol A fiir eine Flache kann hier im Rahmen der sonst verwendeten Bezeichnungen ausgeschlossen werden. 74 E s ist v • dl das skalare Produkt aus dem Wegelement dl als Teil der geschlossenen Kurve (L) und dem zugehorigen Geschwindigkeitsvektor v.

3.6.2 Reibungslose zweidimensionale Strbmung dichtebestandiger Fluide

327

\

gerades Bitter a

kreisforuiiges (jitter b

U

1

Abb. 3.74. Flugelgitter als Elemente von Stromungsmaschinen mit zugehorigen Geschwindigkeitsdreiecken. a Koaxialer Zylinderschnitt durch ein axiales Laufrad und Abwicklung zu einem geraden Gitter. b Radialschnitt durch ein radiales Laufrad, kreisfflrmiges Gitter, vgl. Abb. 2.34. c Geschwindigkeitsdreiecke

Zylindermanteln als eben ansehen, sofern alle radialen Geschwindigkeitskomponenten im Arbeitsraum des Laufrads als klein gegeniiber den axialen Komponenten vernachlassigt werden kbnnen. Dabei wiederholt sich an jedem Fliigel (Schaufel) der gleiche Vorgang, genauso als handle es sich um die Stromung durch ein gerades Flugelgitter, wie es oben besprochen wurde. Im Gegensatz zu den Axialradern gibt es nach Abb. 3.74b die radial beaufschlagten Rader (Radialrader). Das System der Laufradschaufeln kann als kreisfbrmiges Flugelgitter aufgefaBt werden, welches durch symmetrische Anordnung der Fliigel (Schaufeln) gekennzeichnet ist. Die Fliigelprofile beider Gitter kbnnen aus geraden oder gewblbten Platten sowie auch aus dicken Profilen bestehen. Die Flugelgitter kbnnen verschiedenen Zwecken dienen, je nachdem ob sie Energie von dem stromenden Fluid aufnehmen (Kraftmaschine) oder aber an dieses abgeben (Arbeitsmaschine). Sofern dabei Druck in Geschwindigkeit umgesetzt wird, spricht man auch von Beschleunigungsgittern (Turbine), im anderen Fall von Verzbgerungsgittern (Verdichter, Pumpe). In beiden Fallen wird man bestrebt sein, die bei der Energieumsetzung auftretenden Strbmungsverluste durch entsprechende Form und Anordnung der Fliigel (Schaufeln) in moglichst geringen Grenzen zu halten. Die Aufgabe der Flugelgitter wird durch Umlenkung der Stromung erfiillt. Nach Abb. 3.73 ist fur ein gerades Verzbgerungsgitter \vi\ < \v\\ oder pi > pi, also /3 < n/2 und fiir ein gerades Beschleunigungsgitter |t>2| > It'll oder p2 < p\, also p > TZ/2. In einem ruhenden Bezugssystem ist die Stromung im rotierenden Laufrad instationar. Man nennt sie die Absolutstromung mit der zugehorigen Absolutgeschwindigkeit c. Die Stromung um das mit der Umfangsgeschwindigkeit (Fiihrungsgeschwindigkeit) u gleichfbrmig sich drehende Laufrad wird stationar, wenn man ein rotierendes Bezugssystem einfiihrt, von dem aus die einzelnen Fliigel (Schaufeln)

328

3.6 Mehrdimensionale stationare Stromungsvorgange dichtebestandiger Fluide

als ruhend angesehen werden konnen. Diese Stromung nennt man dann die Relativstromung mit der zugehorigen Relativgeschwindigkeit v. In einem Raumpunkt besteht zwischen den Geschwindigkeiten die vektorielle Beziehung c = u + v. In Abb. 3.74c sind die hieraus gebildeten Geschwindigkeitsdreiecke an der Eintritts- und Austrittsseite des geraden und kreisformigen Fltigelgitters, Index (1) bzw. (2) dargestellt. Fiir die angenommene ebene Stromung ist u = cor, wenn to die gleichformige Winkelgeschwindigkeit und r der Abstand des Raumpunkts von der Drehachse ist. Die Komponentenzerlegung in Achs- und Umfangsrichtung (Zylinderkoordinaten mit den Indizes a und
(3.241)

mit niA als Massenstrom durch samtliche Gitterkanale und u\ = wr\, ui = wrj., c\v, c^ als Geschwindigkeiten in Umfangsrichtung an den Stellen (1) und (2) entsprechend Abb. 2.34. Fiir ein gerades Flugelgitter ist r\ s« r2 R* f und damit u\ R* «2 ^ u = cor sowie vit — V2t = Vty — V29 = c\v — C2,p- Die von alien Fliigeln durch die Stromung hervorgerufene Umfangskraft erhalt man nach (3.235b) zu FR, = riiA(v\, — V2t) = rriA(c\v — C2V) mit rriA als Massenstrom durch das gesamte Gitter bestehend aus der Summe der Gitterteilungen tg = 2izr. Hieraus folgen das vom Fluid ausgeiibte Moment MR = rFxt sowie die iibertragene Leistung PK = IOMK = rhAr(c\v — C2V). Dies Ergebnis ist wegen u \ = «2 = oo gehen laBt. Besitzt der Fliigel (Tragflugel) einen Auftrieb A ^ 0, dann muB nach (3.240a) die Zirkulation r # 0 endlich bleiben, was bedeutet, daB in (3.239b) die Geschwindigkeitsdifferenz {v\t — V2t) -*• 0 gehen muB. Mit v\t = V2t = vt werden die resultierenden Geschwindigkeiten v\ und«2 vor bzw. hinter dem Fliigel gleich groB, und zwar nach (3.232a) gleich der ungestorten Anstromgeschwindigkeit v = v^. Es gilt jetzt der Kutta-Joukowskysche Auftriebssatz in der Form A = pbv^r,

A _L Voo,

W = 0

(Tragflugelprofil).

(3.242a, b, c)

Die Auftriebskraft steht nach Abb. 3.75 normal auf der vor und hinter dem Fliigel ungestorten Anstromrichtung. Damit an einem Tragflugel ein Auftrieb erzeugt werden kann, muB eine Zirkulation um den Korper vorhanden sein. Die Frage, weshalb am Fliigel eine Zirkulationsstromung iiberhaupt

'Auftrieb A

Abb - 3.75. Stromungskraft an einem angestellten Tragflachenprofil bei reibungsloser ebener Stromung

3.6.2 Reibungslose zweidimensionale Stromung dichtebestandiger Fluide

329

auftritt und wie man die GroBe der Zirkulation berechnen kann, wird spater in Kap. 5.4.3.1 erortert. Dort werden weitere Angaben zur Theorie des Tragfliigels (Profiltheorie) gemacht. Die Auftriebskraft A ist zugleich die resultierende Stromungskraft. Diese Erkenntnis besagt, daB in der nach Voraussetzung ebenen und reibungslosen Stromung keine Kraftkomponente in Anstromrichtung, die man Widerstandskraft W nennt, auftritt. Dies Ergebnis bestatigt das d'Alembertsche Paradoxon nach (2.81b). 7 5 a.4) Stromung um einen quertrieberzeugenden ebenen KOrper. Ein ebener (prismatischer) Korper mit beliebiger Querschnittsform von der Breite b werde nach Abb. 3.76 mit der Geschwindigkeit ux in x-Richtung angestromt. Damit der Korper eine zur jc-Richtung normal wirkende Querkraft FKy erfahren kann, muB entsprechend dem Kutta-Joukowskyschen Auftriebssatz nach (3.242a) um den Korper eine zirkulatorische Stromung mit der Zirkulation T herrschen. Diese Stromung ist der Parallelstromung «oo zu iiberlagern. Zur Ermittlung der auf den Korper von der resultierenden Stromung ausgeubten Kraft sei wieder die Impulsgleichung (3.225) angewendet. Zu diesem Zweck wird um den Korper nach Abb. 3.76 eine freie zylindrische Kontrollflache (A) gelegt. Der in der Zeichenebene liegende Kreis habe den Radius r. Der Kreis soil zugleich die geschlossene Kurve (L) sein, langs der die Zirkulation als Linienintegral der Geschwindigkeit gemaB (3.239a) berechnet werden soil. Ist r sehr groB, d. h. befinden sich die Punkte auf der Kurve (L) sehr weit vom Korper entfernt, so besitzt die zirkulatorische Stromung die konstante Umfangsgeschwindigkeit VY = const. Die linksdrehende positive Zirkulation betragt dann F = 2nrvr, wobei 2irr der Umfang des Kreises ist. 7 6 Zur Auswertung der Impulsgleichung (3.225) werden sowohl die kartesischen als auch die polaren Geschwindigkeitskomponenten benotigt. Dabei sind Uao und i>r = T/lnr bekannt. Nach Abb. 3.76 ist

r 2lr7

COSp,

Vr((p) = UooCOSip.

(3.243a)

Abb. 3.76. Zur Berechnung der Stromungskraft (Querkraft) an einem angestromten prismatischen Korper von beliebigem Querschnitt bei zirkulatorischer Umstromung mittels der Impulsgleichung 75

Es sei darauf hingewiesen, daB unter bestimmten Voraussetzungen auch bei reibungsloser Stromung druckbedingte Widerstandskrafte auftreten konnen, namlich beim Tragfliigel endlicher Spannweite (induzierter Widerstand, Kap. 5.4.3.3) und bei der Umstromung eines Fliigels mit Uberschallgeschwindigkeit (Wellenwiderstand, Kap. 4.5.3.1). 76 Man beachte, daB die Zirkulation im Gegensatz zu Abb. 3.75 linksdrehend positiv angenommen wird, was dem Drehsinn des Winkels

330

3.6 Mehrdimensionale stationare Stromungsvorgange dichtebestandiger Fluide

Der Volumenstrom durch ein Flachenelement des Kreiszylinders dA = brdip betragt dV(y>) = —vr dA = —bruoo cos tpd
0 fiir eintretende Volumenstrome im Bereich 7r/2 <

sin
(3.243b)

mit p c = poo — (/o/2)(r/2jrr) 2 = const fiir r = const. Auf den freien Teil der Kontrollflache (A) wirken am Flachenelement dA = br d

= —br I (p cos (p + pUaoVx cos
= — br I(psiiup + pitcaVy cos
(3.244a)

(3.244b)

Dies Ergebnis bestatigt den Kutta-Joukowskyschen Auftriebssatz (3.242a) fiir ebene Korper von beliebigem Querschnitt, die normal zu ihren Erzeugenden angestromt werden, vgl, die Ausfiihrungen in Kap. 5.4.3.1. Im Zusammenhang mit der dargestellten Quertriebtheorie steht eine Erscheinung, die unter dem Namen Magnus-Effekt bekannt ist. Dabei handelt es sich um einen rotierenden Kreiszylinder in einer Parallelstromung. Infolge der Oberflachenreibung am Zylinder wird das umgebende Fluid in zirkulatorische Bewegung versetzt, vgl. (2.130), so daB beim Anstromen des Zylinders durch eine normal zu seiner Achse gerichtete Stromung ganz ahnliche Verhaltnisse entstehen, wie sie (3.244b) zugrunde liegen. Es tritt dabei ein Quertrieb auf, der bereits bei der von Flettner ausgefiihrten Konstruktion von Rotoren zum Antrieb von Schiffen technisch verwertet wurde.

3.6.2.2 Strahlkraft auf angestromte und durchstromte Korper b) Strahlkraft auf angestromte ruhende Korper b.l) Geneigte Platte. Ein aus einer Diise austretender Strahl trifft nach Abb. 3.77 schrag auf eine gegen die Diisenachse unter dem Winkel a geneigte, unendlich ausgedehnte Platte. Dabei werden die einzelnen Fluidelemente bei hinreichend groBer Ausdehnung der Platte als Teilstrahlen in die zur Platte parallelen Richtungen abgelenkt. Nimmt man an, daB dabei keine tangential wirkenden Reibungskrafte hervorgerufen werden, so iibt der Dusenstrahl eine normal zur Platte stehende Druckkraft aus, die man auch als Strahlkraft (Strahldruck) bezeichnet. Ist die Geschwindigkeit v iiber den Dusenstrahl gleichmaBig verteilt, dann betragt der austretende Volumenstrom V& = vA. Der Druck p^o auBerhalb des Strahls wird, da die Stromlinien geradlinig aus der Diise austreten sollen, gemaB der Querdruckgleichung (2.97a) auch dem Strahl aufgepragt. Diese Aussage gilt auch fiir die Teilstrahlen, wenn man sie weit genug entfernt vom Ablenkpunkt P betrachtet, d. h. dort, wo die Stromlinien bereits wieder parallel zur Platte verlaufen. Wegen pi = P2 = Poo fuhrt dies nach der Energiegleichung (3.231) mit UB = 0 zu dem Ergebnis, daB die Geschwindigkeiten v\ und vj genauso groB sind wie die Geschwindigkeit v des aus der Diise austretenden Strahls, v = vi = V2Fiir die Anwendung der Impulsgleichung denke man sich die Kontrollflache ( 0 ) = (A) + (S) so abgegrenzt, daB ihr freier Teil (A) in der gezeichneten Weise sowohl den von der Platte noch unbeeinfluBten Gesamtstrahl als auch die abgelenkten Teilstrahlen schneidet. Der korpergebundene Teil (S) falle mit der bestromten Plattenflache zusammen. Die Impulsgleichung normal zur Platte ist durch (3.225b) gegeben, wenn die v-Richtung durch die n-Richtung ersetzt wird. Die im Impulsintegral auftretende Komponente der Strahlgeschwindigkeit ist vn = v sin a mit v = \v\ als Betrag der Diisengeschwindigkeit. Der SchwereinfluB sei vernachlassigt, FBn = 0. Die Druckkraft auf den freien Teil der Kontrollflache (A) in Richtung der Normalen betragt F^n = PaoA^, wobei Ax die Flache parallel zur Platte ist. Die Stiitzkraftkomponente Fsn stellt die Normalkraft dar, welche der bestromte Teil der Platte dem Strahl entgegensetzt. Sie ist gleich dem negativen Betrag der Strahlkraft auf die innere Plattenseite

3.6.2 Reibungslose zweidimensionale Stromung dichtebestandiger Fluide

331

7) 2 <0

Abb. 3.77. Diisenstrahl gegen eine geneigte ebene Platte; Anwendung der Impuls- und Impulsmomentengleichung zur Berechnung der GroBe und des Angriffspunkts der Strahlkraft

Fxi = —Fsn- Auf die auBere nicht bestromte Plattenseite wirkt entgegen der Normalrichtung auf eine Flache der GroBe Ax, die Kraft Fga = —Poo^oo- Die gesamte infolge des Strahldrucks auf die Platte in n -Richtung ausgeiibte Korperkraft betragt FK = F/U + F/(a. Mithin erhalt man aus der Impulsgleichung (3.225b) mit V = vA als eintretendem Volumenstrom (positiv) r

FK = p j> vndV = pv2Asina

= mAvsina

(Strahlkraft).

(3.245a,b)

(A)

Hierin bedeutet niA = pvA den aus der Diise mit der Geschwindigkeit v austretenden Massenstrom. Wie (3.245) zeigt, spielt die GroBe der Platte keine Rolle, da sich FAn = PooA^ und FKa = -pooAoc gegenseitig aufheben. Weiterhin erkennt man, daB die Dusenquerschnittsform (Kreisrohr, Spalt) auf die Berechnung der Strahlkraft ohne EinfluB ist. Im folgenden soil die Untersuchung auf den Fall ebener Stromung beschrankt werden, d. h. der Strahl tritt aus einer Spaltdiise der Hohe h und der Breite b aus. Wie bereits ausgefiihrt wurde, herrschen in alien Strahlen, sofern sie keine Stromlinienkrummung mehr besitzen, der konstante Druck p ^ sowie die gleichen Geschwindigkeiten v = vi = «2. Aus der Kontinuitatsgleichung (3.224b) erhalt man mit den Volumenstromen iiber die Kontrollflache V = vA (eintretend) sowie Vi = —v\Ai = —vA\ und Vi = —V2A2 = — VA2 (austretend) eine erste Bestimmungsgleichung fiir die Strahlquerschnitte A = bh, A\ =bh\ und Aj = bhj bzw. deren Hohe • dV = v(A - Ax - A2) = 0,

h=hi+h2.

(3.246a)

(A)

Da die Kontinuitatsgleichung, die Energiegleichung und die Impulsgleichung fiir die Richtung normal zur Wand bereits verbraucht wurden, liegt es nahe, fiir die weitere Losung der Aufgabe die Impulsgleichung in Richtung tangential zur Platte heranzuziehen. Diese ist in (3.225a) angegeben, wenn die ?-Richtung der x-Richtung entspricht. Bei Vernachlassigung der Schwere und Reibung sind Fg, = 0 bzw. Fst = 0. Da die Driicke auf dem freien Teil der Kontrollflache (A) iiberall gleich p^ sind, ist darilber hinaus auch FAI = 0. Fiir die Auswertung des Impulsintegrals miissen die tangentiale Geschwindigkeitskomponente des zustromenden Gesamtstrahls sowie die Geschwindigkeiten in den beiden abflieBenden Teilstrahlen bekannt sein. Es ist v, = — ucosa, v\t = v, v2t = —v. Somit wird als zweite Bestimmungsgleichung

332

3.6 Mehrdimensionale stationare Stromungsvorgange dichtebestandiger Fluide

fur die Strahlquerschnitte bzw. deren Hohe p vtdV = -pv2(Acosa

+ Ai - A2) = 0,

hcosa = h2 - h\.

(3.246b)

Aus (3.246a, b) erhalt man fur die Hohen der Teilstrahlen normal zur Platte hi = \(\ - caaa)h,

h2 = |(l+cosa)A

(b = const).

(3.247a, b)

Bei normal zur Platte auftreffendem Strahl (a — n/2) ist hi = h2 und bei langs zur Platte verlaufendem Strahl (a = 0) ist hi = 0, h2 = h. Zur Berechnung der Lage des Angriffspunkts der Strahlkraft Fg wird die Impulsmomentengleichung (3.229) herangezogen. Als Bezugsachse fiir Impulsmoment und Kraftmoment sei die Achse durch den Schnittpunkt der Diisenachse mit der Platte gewahlt, Punkt 0 in Abb. 3.77. Linksdrehende Momente sind positiv anzusetzen. Der Angriffspunkt der resultierenden Strahlkraft (Druckkraft) Fg nach (3.245) sei mit P bezeichnet. Er habe von 0 den noch unbekannten Abstand e. Soil die auf die auBere Plattenseite wirkende Kraft Fga auch im Punkt P angreifen, so muB, wie in Abb. 3.77 gezeichnet, die Flache Ax symmetrisch zu P liegen, d. h. es muB /1 = h = / sein. Hierauf muB beim Festlegen der Kontrollfiache ( 0 ) fiir die Impulsmomentengleichung geachtet werden. Fiir die Kraftmomente nach (3.230) gilt MB = 0, MA = Poo^ocA Ms = —Mgj und Mga = — pxAooe. Das auf die Achse durch 0 ausgeiibte Moment betragt MK = MKI + MKO- Mit V\ = —bhiv, vin = 0, vi, = v und «i = — hi/2 sowie V2 = —bhiy, V2n = 0, v2t = —v und n2 = —h2/2 erhalt man aus (3.229) MK = p nv, dV = ?rv2b(hl - h\). (A)

(3.248)

(A)

Da die Achse des Gesamtstrahls durch den Bezugspunkt 0 geht, liefert der eintretende Impuls keinen Beitrag zum Impulsmoment. Das Moment aus (3.248) muB gleich Mg — F%e sein mit Fg = pv2bh sina. Mithin erhalt man unter Beachtung von (3.247) fur die gesuchte Lage des Angriffspunkts der resultierenden Strahlkraft das einfache Ergebnis e=±hcota

(Angriffspunkt der Strahlkraft).

(3.249)

Fiir die normal angestromte unendlich ausgedehnte Platte (a = n/2) wird nach (3.245), (3.247) und (3.249) FKmax = QV2A =rriAV,

hi=h2

=-,

e=0

(a = JT/2).

(3.250a, b, c)

Das vorstehende Beispiel zur Anwendung der Impuls- und Impulsmomentengleichung wurde sehr ausfiihrlich besprochen, urn die Vielseitigkeit des Impulssatzes nicht nur fur die Berechnung von Kraften, sondern auch fiir die Bestimmung anderer interessierender GroBen, wie z. B. der Stromungsquerschnitte und des Angriffspunkts der Stromungskraft, zu zeigen. b.2) Gewolbte und geknickte Platten. Die bisherigen Ausfiihrungen iiber den Strahldruck auf gerade Platten lassen sich auf die Berechnung der Strahlkraft auf gewolbte und geknickte Platten (Umlenkkorper), wie sie in Abb. 3.78 dargestellt sind, erweitern. Der Strahl moge die Umlenkkorper, welche entweder eben oder drehsymmetrisch ausgebildet sein konnen, symmetrisch treffen. Nach dem Verlassen der inneren Umlenkflachen sollen die Teilstrahlen den Abstromwinkel ft besitzen. Wahrend nach Abb. 3.77 fiir die normal angestromte unendlich ausgedehnte Platte fi = JT/2 ist, sei fiir die endlich ausgedehnte Platte nach Abb. 3.78a und c der Abstromwinkel zwischen 0 < fi < JT/2 angenommen. Bei Strahhimkehr, wie sie in Abb. 3.78b und d gezeigt ist, wird n/2 < fi i n. Ohne hier im einzelnen auf die Durchrechnung einzugehen, liefert die Anwendung der Impulsgleichung die in Strahlrichtung auf den Umlenkkorper wirkende Strahlkraft FK = pv2A(l-cosf))

=mAv(\ - cos fl)

(Strahlkraft).

(3.251a, b)

Bei vollstandiger Umlenkung fi = n ergibt sich Fgmax = 2thAV, d. h. der doppelte Wert wie bei der normal angestromten unendlich ausgedehnten Platte nach (3.250a). Auch bei den hier betrachteten Umlenkkorpem spielt die GroBe der vom Strahl getroffenen Korperflache keine Rolle. c) Strahlkraft auf angestromte bewegte Korper c.l) Bewegte Umlenkkorper. Wird der Korper selbst mit einer Geschwindigkeit u < v in Strahlrichtung bewegt, so ist der Stromungsvorgang instationar, Abb. 3.78d. Man kann inn stationar machen, indem man

3.6.2 Reibungslose zweidimensionale Stromung dichtebestandiger Fluide

v A \

i

333

i

m Abb. 3.78. Dusenstrahl gegen symmetrisch angestromte gewolbte und geknickte Platten (Umlenkkorper, eben oder drehsymmetrisch). a Gerade Platte mit endlicher Ausdehnung. b Geknickte Platte mit vollstandiger Strahlumkehr. c, d Gewolbte Platten. v Strahlgeschwindigkeit, fi Abstromwinkel der Stromung an den Plattenrandern, u Geschwindigkeit des gegebenenfalls bewegten Korpers, wie in d

ein Bezugssystem einfiihrt, welches relativ zum Korper in Ruhe ist und damit seine Bewegung mitmacht. Fiir die Berechnung des Strahldrucks kommt also anstelle von v nur die Relativgeschwindigkeit des Strahls gegeniiber dem Korper (v — u) in Betracht. In (3.251a) ist also v durch (v — u) zu ersetzen. Dies fiihrt fiir die symmetrisch angestromten Umlenkkorper zu folgendem Ergebnis fiir die Strahlkraft: FK = p(v -u)2A{\

-

= rh'A(v - u)(\

-

(3.252a, b)

wobei A wieder den Strahlquerschnitt bezeichnet. Im Gegensatz zu dem aus der DUse austretenden Absolutmassenstrom mA = pvA bedeutet m'A = p(v — u)A den Relativmassenstrom. Die am Korper bei der Bewegung mit der Geschwindigkeit u verrichtete Leistung berechnet sich zu P = UFK- Sie betragt z. B. bei vollstandiger Umlenkung (0 = iz) P = 2pAu(v-u)z Die maximale Leistung Pm srbracht.

'max

(3.253a, b)

—

erhalt man bei ih\ = pvA = const aus dP/du = 0. Sie wird bei u = v/3

c.2) Umlenkkorper als Elemente von Stromungsmaschinen. Umlenkkorper linden Anwendung bei Becherturbinen (Freistrahl-Wasserturbine, Pelton-Turbine). Dabei handelt es sich nach Abb. 3.79a um eine von einem oder mehreren Diisenstrahlen tangential beaufschlagte Gleichdruck-Stromungsmaschine. Die einzelnen auf dem Umfang des Laufrades angeordneten Umlenkkorper bestehen nach Abb. 3.79b aus zwei spiegelbildlich angebrachten Bechern (Halbellipsoidschalen), gegen deren gemeinsame Schneide der allseitig freie Wasserstrahl stromt und gemaB Abb. 3.79c in einer Ebene parallel zur Drehachse (Schnitt B — B) nahezu vollstandig nach beiden Seiten umgelenkt wird. Wegen des symmetrischen Umlenkvorgangs konnen dabei keine Krafte in axialer Richtung auftreten. Damit das zugefiihrte Wasser die nachfolgenden Becher nicht mehr trifft, ist der Umlenkwinkel etwas kleiner als fi = it. Zui Anwendung des Impulssatzes wird der freie Teil der raumfesten Kontrollflache (A) entsprechend Abb. 3.79a, c gewahlt. Der aus der Duse (Querschnitt A) mit der Absolutgeschwindigkeit c ausstromende Massenstrom m\ = pcA tritt an der Stelle (1) in den Kontrollraum ein und verlaBt diesen wieder an den seitlich liegenden Stellen (2). Auf diesen Stromungsvorgang laBt sich die Hauptgleichung der Stromungsmaschinentheorie anwenden, und zwar erhalt man nach (3.241) mit der Umfangsgeschwindigkeit u\ = U2 = u = u>r die vom Dusenstrahl am Laufrad verrichtete Maschinenleistung zu P = mAuiciip — C2,p) = pAcu{c\v — C2tf). Die Komponenten der Absolutgeschwindigkeiten in Umfangsrichtung flndet man aus Abb. 3.79c zu civ = c und C2V = u — V2 cos(w — /J). Nach den bisherigen Uberlegungen iiber die Strahlkraft von angestromten Platten und UmlenkkOrpern ist bei reibungsloser Stromung der Betrag der Relativgeschwindigkeit des abstromenden Strahls V2 genauso groB wie der Betrag der Relativgeschwindigkeit des auftreffenden Strahls, d. h. V2 = v\ = c — u. Beriicksichtigt man, daB wegen (jr — fi) & 0 naherungsweise cos(7r — /}) & 1 gesetzt werden darf, erhalt man fur die Umfangskomponente der Absolutgeschwindigkeit am Austritt C2V & u — i>2 = 1u — c. Die Leistung der Freistrahl-Turbine ergibt sich somit zu P = 2pAcu(c - u),

Pmax = 2mAu2

(u = c/2).

(3.254a, b)

Die maximale Leistung erhalt man bei rriA = pcA = const aus dP/du = 0. Sie wird bei u = c/2 erbracht. Wurde man mit (3.253a) rechnen, indem man dort v = c setzt, so ergabe sich P = 2pAu(c — u)2.

3.6 Mehrdimensionale stationare Stromungsvorgange dichtebestandiger Fluide

334

Becher

Laufrad

Schneide

Duse

c

[A) [2) \~

I Umlenkkorper

Umfangsrichtung

Abb. 3.79. Umlenkkorper als Elemente von Stromungsmaschinen. a Laufrad einer Freistrahl-Turbine (Pelton-Turbine). b Freistrahl-Becher. c Stromungsverhalten im Schnitt (B - B)

Der Unterschied zu (3.254a) erklart sich daraus, daB im Fall der Freistrahlturbine der Absolutmassenstrom riiA = pcA in den freien Teil der Kontrollflache (A) eintritt, wahrend bei dem bewegten Umlenkkorper nur der Relativmassenstrom m'A = p(c — u)A < mA wirksam ist. Im Gegensatz zu dem bewegten Umlenkkorper, der sich von der Dusenoffnung laufend entfernt, gelangen bei der Freistrahlturbine immer wieder neue Becher bei im Mittel ungeanderter Entfernung von der Duse in den Strahl, so daB hierbei der gesamte Massenstrom m^ einen Beitrag liefern kann. Bei gebremstem Rad ist u = 0 und damit in beiden Fallen ebenfalls P = 0. Bei gleichem aus der Diise austretenden Massenstrom mA = pcA = pvA und gleicher Korpergeschwindigkeit u = c/2 erhalt man fiir die Freistrahl-Turbine nach (3.254) mit c = 2u die Leistung P = Pmax = Im^u1, wahrend ein bewegter Umlenkkorper nach (3.253a) mit v = c = 2u die Leistung P = riiAU2 erfahrt. Dies Ergebnis besagt, daB unter den getroffenen Annahmen die Leistung aller beaufschlagten Becher eines Laufrads gerade doppelt so groB ist wie die Leistung, die von einem einzelnen bewegten Umlenkkorper verrichtet wird. d) Strahlantrieb Im folgenden sollen als Beispiele durchstromter Korper Strahlantriebe besprochen werden, die vornehmlich in der Flugtechnik verwendet werden. Hierbei gibt es grundsatzlich zwei Antriebsarten, namlich den Propeller (Luftschraube) und das Turbostrahltriebwerk (auch mit Propeller gekoppelt) oder die Rakete. Die Schuberzeugung dieser Antriebe beruht darauf, daB jeweils eine bestimmte Fluidmasse (Stiitzmasse) nach hinten mit erhohter Geschwindigkeit in Bewegung gesetzt wird. Wahrend der Propeller und das Turbostrahltriebwerk bordfremde Masse (umgebende Luft) verarbeiten, wird bei der Rakete bordeigene Masse (mitgefiihrter fliissiger oder fester Treibstoff) verwendet. Im Sinn der Fluidmechanik kann man die erste Art der Antriebe als Durchstromtriebwerke und die zweite Art als Ausstromtriebwerke bezeichnen. Ausfiihrliche Angaben iiber Aufbau und Wirkungsweise der verschiedenen Flugantriebe findet man u. a. bei Munzberg [49]. Die Berechnung der Schubkraft (Vortriebskraft) erfolgt im wesentlichen durch Anwenden der Impulsgleichung. Dabei kommt der Wahl des freien Teils der Kontrollflache (A) besondere Bedeutung zu. In Abb. 2.30 wurden hierfiir drei Moglichkeiten herausgestellt. Die Verwendung einer fluidmechanisch orientierten freien Kontrollflache im Sinn von Abb. 2.30b wurde bei der Berechnung der Schubkraft eines freifahrenden Propellers nach der einfachen Strahltheorie in Kap. 3.3.2.3, Beispiel c, gezeigt.

3.6.2 Reibungslose zweidimensionale Stromung dichtebestandiger Fluide

335

Dabei muBte jedoch eine Annahme iiber die Driicke an der freien Strahlgrenze getroffen werden, deren Richtigkeit noch nachzuweisen ist. d.la) Propeller in einem Rohr. Nach Abb. 3.80a befinde sich der Propeller mit der Propellerkreisflache As in einem horizontal liegenden Rohr mit der Querschnittsflache A\. Die Kontrollflache ( 0 ) = (A) + (S) besteht aus dem freien und dem korpergebundenen Teil. Dabei kann die Mantelflache des Rohrs als erzwungene freie Kontrollflache Ai^2 im Sinn von Abb. 2.30c aufgefaBt werden. Wichtig ist, daB durch die Mantelflache kein Volumenstrom, und damit kein Impulsstrom erfolgen kann. Bei reibungsloser Durchstromung des Rohrs treten an der Mantelflache nur normal wirkende Druckkrafte auf, die keinen Beitrag zur Schubkraft des Propellers F$ (positiv in Richtung der negativen x-Achse) liefern. Bei der Auswertung der Impulsgleichung in x-Richtung spielen also die Eintritts- und die Austrittsflache A\ = A2 + A'2 = const als freie Teile der Kontrollflache (A) und die den Propeller umschlieBende Flache als korpergebundener Teil der Kontrollflache (S) die bestimmende Rolle. Wie schon bei der einfachen Strahltheorie nach Abb. 3.15 sollen die Geschwindigkeitsverteilungen vor dem Propeller iiber A\, im stromabwarts gelegenen Propellerstrahl iiber A2 und in seiner Nachbarschaft iiber A2 jeweils konstant sein, und mit v\, v2 bzw. v'2 bezeichnet werden. Eine entsprechende Annahme soil auch fur die Druckverteilungen p\, P2 bzw. p'2 getroffen werden. Wegen der hinter dem Propeller geradlinig verlaufenden Stromlinien wird dem Strahl A2 der umgebende Druck aufgepragt, P2 = p'2- Bei der angenommenen reibungslosen Stromung gilt nach der Energiegleichung (3.231) fur Pi = p'2 = Pi + j(vf

- V?).

(3.255a)

Weiterhin muB die Kontinuitatsgleichung (3.224b) wegen Vi = viA\, V'2 = -v'2(A\ —V2A2 in der Form <j> dV = v\A\ - v2(Ai - A2) - v2A2 = 0

- A2) und V2 = (3.255b)

(A)

erfullt werden, Aus der Impulsgleichung in x-Richtung (3.225a) erhalt man den Propellerschub Fs (Stiitzkraftkomponente F$x) mit v\x = v\, v'2x = v'2 und V2X = V2 zu Fs = -p i> vx dV - FAx (/i)

+ v'22(Ai - A2) + vJA2) - (pi -

= pl-vJAi

p'2)Ax.

(3.255c)

Rohr

!

b:

As 'i t1 Propeller

—

-

—

•

—_». _ i

1 .1 yi.p'i

\AV _

"L'' 2»Pi

1—•

B

AUI

\

(/)

(i-)

Rohr

Nahenkorper

;vim

\Pi b

(7)

(2)

Abb. 3.80. Zur Anwendung der Impulsgleichung bei reibungsloser Stromung. a Propeller (erzwungene freie Kontrollflache). b Nabenkorper in einem Rohr

336

3.6 Mehrdimensionale stationare Stromungsvorgange dichtebestandiger Fluide

FaBt m a n die Beziehungen (3.255a, b , c) zusammen, indetn man dabei v'2 eliminiert, dann folgt nach einiger Umformung fur die Schubkraft eines Propellers in einem Rohr der Querschnittsflache A \ Fs = x , / ' A . \ 2 [ ( 2 ^ i - 3A2)vj " 2(Ai - 2A2)Vlv2 - A2vj].

(2.256a) 77

2 (A] - AJY LaBt man jetzt A\ —>• oo gehen, so erhalt man die Schubkraft eines freifahrenden Propellers Fs = ms(vA - Doo) > 0 (vA > Doo) (3.256b) mit rhs = PV2A2 als dem vom Propeller beim Durchstromvorgang erfaBten Massenstrom. Es wurden die neuen Abkiirzungen Vx, = v\ fiir die ungestorte Anstromgeschwindigkeit und i>2 = VA fiir die Strahlgeschwindigkeit weit hinter dem Propeller eingefiihrt. Die Formel (3.256b) ist in Ubereinstimmung mit (3.37b).77 Sie bestatigt, daB die Annahme des konstanten Drucks p\ auf der freien Strahlgrenze berechtigt ist, vgl. hierzu Abb. 3.15. d.lb) Nabenkorper in einem Rohr. Aus (3.256a) laBt sich in einfacher Weise die Kraft auf einen Nabenkorper FN (positiv in Stromungsrichtung), der sich nach Abb. 3.80b in einem Rohr befindet, ermitteln. An die Stelle des Propellerstrahls in Abb. 3.80a tritt jetzt der feste Nabenkorper, was man in (3.256a) durch V2 = 0 und F^ = — F$ + P2A2 beriicksichtigen kann. Als Ergebnis folgt

- A

2

^!"')

Ai

(3 257)

^ °-

-

Diese Beziehung gilt fiir reibungslose Stromung. Bei gegebenem Flachenverhaltnis A2/A1 nimmt die Nabenkraft Fs mit steigender Geschwindigkeit v\ ab. Je nach der GroBe von p\ kann sie sogar nach vorn gerichtet sein, F^ < 0. Man nennt sie dann den Nabenschub. Fiir A1/A2 -*• 00 wird FN d.2) 1\irbo- und Raketenstrahltriebwerk. Bei der Berechnung der Schubkraft eines Durchstromtriebwerks (Turbostrahltriebwerk, Index T) und eines Ausstromtriebwerks (Raketenstrahltriebwerk, Index R) nach der Impulsgleichung soil der freie Teil der Kontrollfiache (A) im Gegensatz zu Abb. 3.15 und Abb. 3.80 nach geometrischen Gesichtspunkten im Sinn von Abb. 2.30a gewahlt werden. Abb. 3.81a, b zeigt die Lage der Kontrollfiache (O) = (A) + (S) fiir die beiden zu untersuchenden Falle. Dabei sind die von dem korpergebundenen Teil der Kontrollfiache (S) umschlossenen Triebwerkteile nur schematisch dargestellt. Wahrend fiir den freien Teil der Kontrollfiache (A) normal zur Flache Ai = Aoo und in der in groBer Entfernung vom Triebwerk gelegenen Flache Ai_»2 die ungestorte Anstromgeschwindigkeit vx = Voo herrscht, sind in der Flache A2 = A^ wegen der im Austrittsquerschnitt A A erhohten Strahlgeschwindigkeit vx = vA > foo die Geschwindigkeiten ungleichmaBig iiber A2 verteilt. Es soil angenommen werden, daB diese in den Flachen ( A ^ — AA) und AA jeweils konstant sind, und zwar Vx, bzw. VA- AuBerhalb und innerhalb des austretenden Strahls seien ahnlich wie bei den Geschwindigkeiten auch die Driicke und Dichten iiber die betrachteten Flachen jeweils konstant angenommen, und zwar iiberall p = poo, p = poo mit Ausnahme der Strahlquerschnittsflache A A mitp = PA, P = PA- Diese Angaben sind fiir die verschiedenen den Kontrollraum abgrenzenden Flachen in Tab. 3.7 zusammengestellt. Die zugehorigen Massenstrome sind fur das Turbostrahltriebwerk und fiir das Raketentriebwerk getrennt aufgefiihrt, wobei nach Vereinbarung eintretende Massenstrome positiv und austretende Massenstrome negativ einzusetzen sind, vergleiche die Ausftihrungen zu (3.224a). Wahrend die Ermittlung der Massenstrome durch A1, durch (A 2 — A A) sowie durch A A sofrft einleuchtet, bedarf es bei der Bestimmung der Massenstrome iiber A i_>2 und (5) besonderer Uberlegungen. Nach der Kontinuitatsgleichung (3.224a) muB der gesamte Massenstrom iiber die Kontrollfiache (O) = (A) + (S) null sein mA+ms = 0,

(3.258a, b) 78

mi+mi^2 + m2 + ms =0.

Beim Turbostrahltriebwerk tritt keine Masse iiber den korpergebundenen Teil der Kontrollfiache (S) in den Kontrollraum ein, wenn man von dem eingespritzten Kraftstoff absieht, d. h. es ist hierfiir m$ = 0 zu setzen. Der Massenstrom im Raketenstrahl betragt riiR = PAVAAA- Dieser kommt dadurch zustande, daB durch den Abbrand des Raketentreibstoffs eine auf die Zeit bezogene Masse rhs von der Geschwindigkeit vs = 0 am Ort der Rakete mittels einer Diise (im allgemeinen einer Uberschalldiise = Laval-Duse) auf die Strahlgeschwindigkeit VA gebracht wird. tJber den korpergebundenen Teil der Kontrollflache (S) eines Raketentriebwerks gelangt bei verschwindender Geschwindigkeit (vs = 0) die auf die Zeit 77 78

In A b b . 3.15 ist i>i = Vx, und V4 s VA ZU setzen. Es wurde vereinfacht rh\ = rriAi, m2 = niAi und mi->2 = mAl-*2

geschrieben.

3.6.2 Reibungslose zweidimensionale Stromung dichtebestandiger Fluide

337

(Ak

Abb. 3.81. Zur Berechnung der Schubkraft von Strahlantrieben mittels der Impulsgleichung, geometrisch orientierte freie Kontrollflache (A), vgl. Tab. 3.7. a Turbostrahltriebwerk (Propeller), b Rakete

bezogene Masse m$ = riiR (eintretend positiv) in den Kontrollraum. Kennt man mi (eintretend), mj (austretend) und gegebenenfalls mj (eintretend), dann laBt sich mi_>.2 nach (3.258b) berechnen. Die Ergebnisse sind in Tab. 3.7 wiedergegeben. Damit die Kontinuitatsbedingung erfullt werden kann, muB beim Turbostrahltriebwerk ein Massenstrom mi_>2 > 0 in den Kontrollraum eintreten, wahrend bei dem Raketentriebwerk ein Massenstrom m\-+i < 0 austreten muB. Diesen grundlegenden Unterschied kann man sich anschaulich folgendermaBen klarmachen: Beim Turbostrahltriebwerk tritt im Schnitt (2) mehr Masse aus als im Schnitt (1) eintritt. Der MasseniiberschuB des Schnitts (2) muB also iiber die Flache A\-,2 einstromen. Beim Raketentriebwerk kann die durch den Schnitt (1) eintretende Masse nicht vollstandig durch den Schnitt (2) austreten, da durch den Raketenstrahl ein Teil des Schnitts (2) hierfiir nicht zur Verfiigung steht. Es muB also der MasseniiberschuB des Schnitts (1) iiber die Flache A\^2 ausstromen. Die genannten Masseniiberschiisse betragen m\^2 = ±/"oo"oo -A\^2- Da v^ jedoch nur eine Komponente in jt-Richtung besitzen soil, muB die Flache Ai_»2 unendlich groB sein, damit das skalare Produkt i>oo • M-*2 einen endlichen Wert annimmt. Der freie Teil der Kontrollflache A\^,2 befindet sich theoretisch gesehen in unendlicher Entfernung vom Strahltriebwerk oder von der Rakete. Die Schubkraft soil nach (3.225a) berechnet werden. Die Impulsstrome in Strahlrichtung (jr-Richtung) durch die verschiedenen den Kontrollraum abgrenzenden Flachen erhalt man durch Multiplikation der Massenstrome mit den zugehorigen Geschwindigkeiten vx. Die Auswertung ist in Tab. 3.7 vorgenommen. Durch Summation erhalt man hieraus die in den dick umrandeten Feldern hervorgehobenen resultierenden Impulsstrome. Der SchwereinfluB soil vernachlassigt werden, Fgx = 0. Von den Driicken wird auf den freien Teil der Kontrollflache (A) in x-Richtung die Ersatzkraft FAX = (.Poo — PA)AA ausgeubt, wenn px, der Druck auBerhalb und PA der Druck innerhalb des Strahls ist. Die Schubkraft eines Turbostrahltriebwerks FT oder eines Raketenstrahltriebwerks FR ist nach dem Wechselwirkungsgesetz (3.228a) entgegengesetzt gleich groB wie die Komponente der Stiitzkraft in *-Richtung, F$x- Die Schubkrafte sollen entgegen der jr-Richtung positiv gerechnet werden, so daB FT = —FKX = Fsx bzw. FR = — FKX = Fgx- Unter Beachtung der gefundenen Einzelergebnisse wird

vs=0

S

= (A) + (S)

(S)

(0)

Poo

PA

PA

Poo

Poo

Poo

A2

Poo

Poo

Ai

Koo

»iA+ms

0 =0

+(PAVA - POOVOO)AA > 0

-POOVOOAA

< 0

+pAVAAA > 0

PAVAAA(VA

0 -

Doo)

+ (PAVA - POOVOO)VOOAA > 0

<0

-pAvAAA

-PAVAAA

VA

< 0

-Pooi&CAoo - AA) < 0

-Poofoo^oo - AA) < 0

+Poo^Aoo > 0

Woo

Woo

+Pooi>ooAoo > 0

Turbostrahltriebwerk

Raketentriebwerk

Turbostrahltriebwerk

Vx

P

P

Impulsstrom (in x-Richtung)

Massenstrom

Zustand

Al^-2

(A)

Kontrollflache

PAV2AAA

0

-POOV^AA

Raketentriebwerk

< 0

Tabelle 3.7. Zur Berechnung der Schubkraft von Strahlantrieben (Turbo-, Raketenstrahltriebwerk), Massenstrom und Impulsstrom in jc-Richtung, vgl. Abb. 3.81

8"

I

3.6.2 Reibungslose zweidimensionale Stromung dichtebestandiger Fluide FT = mr(vA-Voo)

+(PA - POC)AA,

FR = mRVA + (PA - POO)AA

339 (3.259a, b)

mit rhj = PAVAAA = rnR als Massenstrom im Austrittsstrahl, der beim Turbostrahltriebwerk aus bordfremder Stiitzmasse(Luft) und beim Raketenstrahltriebwerk aus bordeigener Stiitzmasse (Raketentreibstoff) besteht. Die Druckglieder (p\ — POOMA in (3.259) treten bei ungeniigender Entspannung des Strahls p& # Poo auf. Erfolgt die Entspannung auf den AuBendruck PA = Poo, dann erhalt man FT = mT(vA - Woo),

FR = IHRVA

(PA = Poo)-

(3.260a, b)

Aus (3.260b) kann man schlieBen, daB bei einem Turbostrahltriebwerk durch den eingespritzten bordeigenen Kraftstoff der Masse nig eine im allgemeinen vernachlassigbare zusatzliche Schubkraft A FT = ihsVA entsteht. Bei Vernachlassigung des eingespritzten Kraftstoffs sowie bei vollstandiger Entspannung entspricht das Turbostrahltriebwerk in seiner fluidmechanischen Wirkung einem freifahrenden Propeller. Fur beide Antriebe berechnet sich die Schubkraft nach der gleichen Formel, namlich (3.260a) bzw. (3.256b). Die Schubkraft hangt jeweils ab von der zeitlich verarbeiteten bordfremden Masse rhj und dem Unterschied der Strahlgeschwindigkeit VA von der ungestorten Geschwindigkeit (Fluggeschwindigkeit) Uoo ab. Das Turbostrahltriebwerk (Propeller) liefert nur einen geringen Schub in stark verdiinnter Atmosphare (mj->0) sowie bei Geschwindigkeiten des austretenden Gases in der GroBenordnung der Fluggeschwindigkeit (VA —* Woo). Dies Verhalten macht es ebenso wie auch die Abarten (z. B. Staustrahltriebwerk) fiir Aufgaben der Raumfahrt ungeeignet. Diese Erkenntnis fiihrt zur Entwicklung des Raketenstrahltriebwerks. Fiir solche Triebwerke hangt die Schubkraft nur von der zeitlich verarbeiteten bordeigenen Masse rhR und von der Austrittsgeschwindigkeit VA, die groBer als die Schallgeschwindigkeit ist, ab. Der wesentliche fluidmechanische Unterschied in den Beziehungen fur die Schubkrafte nach (3.260a, b) besteht darin, daB beim Turbostrahltriebwerk der bordfremde Strahl infolge der Fluggeschwindigkeit bereits einen Eintrittsimpuls (in die Kontrollflache) besitzt, wahrend dieser beim bordeigenen Strahl des Raketenstrahltriebwerks fehlt. Der Raketenschub entspricht der Reaktionskraft beim AusfluB einer Fliissigkeit aus einem GefaB nach (3.31a).

3.6.2.3 Quellstromung eines dichtebestandigen Fluids e.l) Radial verlaufende Stromungen. Unter Quellstromungen versteht man ebene oder raumliche Stromungen, die sich nach Abb. 3.82a auf geradlinig verlaufenden Stromlinien radial nach auBen mit der Geschwindigkeit vr = v(r) ausbreiten mit r als Zylinder- bzw. Kugelkoordinate. Solche Stromungen kann man sich entstanden denken beim Ausstromen eines Fluids aus einem geraden, normal zur Stromungsebene stehenden zylindrischen Korper mit poroser Oberfiache bzw. aus einem kugelformigen Korper mit poroser Oberfiache. Auf zylindrischen Flachen bzw. Kugelflachen vom Radius r sind die physikalischen GroBen, wie die Geschwindigkeit v und der Druck p, jeweils ungeandert. Nach der Kontinuitatsgleichung betragt beim Durchtritt der Stromung durch den Zylinder bzw. die Kugel (beide vom Radius r Index K = poroser Korper) der Volumenstrom Vg = Inrbv = bE bzw. Vjf = Anr2v = E. Dabei ist im ebenen Fall E in m 2 /s die auf die Breite b bezogene von r unabhangige ebene Quellergiebigkeit und im raumlichen Fall E in m3/s die ebenfalls von r unabhangige raumliche Quellergiebigkeit. Fiir die Geschwindigkeitsverteilung v(r) erhalt man unmittelbar v=

E

znr

\ ~ -

r

(eben),

v=

E

\ T

Anr1

T

rl

(raumlich).

(3.261a, b)

hn raumlichen Fall nimmt die Geschwindigkeit erheblich schneller mit wachscndem Abstand r ab als im ebenen Fall. Im Ursprung r = 0 besitzen die Geschwindigkeiten unendlich groBe Werte, v = oo. Man hat es hier mit singularen Stellen zu tun. Liegt eine Sinkenstromung vor, dann ist E < 0 und v < 0, d. h. die Stromung stromt nach innen. Ausschnitte aus Quell- und Sinkenstromungen kommen nach Abb. 3.82b in keil- oder kegelformigen divergenten bzw. konvergenten Diisen vor. Die Sinkenstromung kann man nach Abb. 3.82c als Austrittsstromung aus einer Ecke oder nach Abb. 3.82d als Austrittsstromung aus einer horizontalen oder auch irgendwie geneigten, schlitz- oder kreisformigen Offnung deuten. Weitere Ausfiihrungen iiber die Quellstromung dichtebestandiger Fluide findet man in Kap. 5.3.2.4, Beispiel b und Kap. 5.3.2.6, Beispiel c. e.2) Abschatzung des KontraktionskoefHzienten. Die in Abb. 3.82d beschriebene ebene oder raumliche Sinkenstromung kann man zur Abschatzung des Kontraktionskoeffizienten (Einschniirungskoeffizient des austretenden Strahls) beim Ausstromen durch kleine scharfkantige Schlitzbzw. Kreisoffnungen heranziehen. In Anlehnung an Abb. 3.13b ist in Abb. 3.82e die Austrittsoffnung mit dem dazugehorigen Austrittsstrahl dargestellt. Die Zustromung werde als radiale Stromung mit der

340

3.6 Mehrdimensionale stationare Stromungsvorgange dichtebestandiger Fluide

Abb. 3.82. Radial verlaufende Stromungen. a Ebene oder raumliche Quellstromung, Quelle v > 0, Sinke v < 0. b Keil- oder kegelformige divergente DUse (Diffusor), c Austritt aus einer Ecke. d Austritt aus einer schlitz- oder kreisformigen Offnung (BodenabfluB). e Zur Berechnung des Kontraktionskoeffizienten bei scharfkantiger Austrittsoffhung

Geschwindigkeit v\ = const auf der Kreis- bzw. Kugelhalbflache A\ aufgefaBt. Der eingeschniirte Strahl habe den Querschnitt A\ und besitze die Geschwindigkeit v\. Im folgenden konnen die ebene und raumliche Stromung zunachst gemeinsam betrachtet werden. Es werden die Flachenverhaltnisse m = A2/A1 < 1 mit A2 als Flache der Offnung (Projektionsflache des Halbzylinders bzw. der Halbkugel) und fi = A2/A2 < 1 als Kontraktionskoeffizient eingefiihrt. Weiterhin ist aus Abb. 3.82e sowohl fiir den ebenen als auch fiir den drehsymmetrischen Fall die Beziehung dA2 = dA\ cos a abzulesen. Nach der Kontinuitatsgleichung betragt der durch A\ ein- und durch A\ austretende Volumenstrom V\ = V1A1 bzw. Vj* = ~ " 2 ^ 2 ' ^- n - Iui'/U2l = ^ 2 / ^ 1 = mfl- ^ ^ e m Flachenelement dAi ist der eintretende Volumenstrom dV = vi dA\. Zur Anwendung der Impulsgleichung (3.225a) sei die Kontrollflache entsprechend Abb. 3.82e festgelegt. Sie besteht danach nur aus einem freien Teil (O) = (A), wobei Ai die Eintritts- und A\ die Austrittsflache ist. In Richtung des Strahls (x-Richtung) gilt fiir die Geschwindigkeitskomponenten v\x = v\ cos a und v\x = v|- Somit ergibt sich der Impulsstrom zu p

-

(3.262a)

(A)

Bei der Berechnung der Kraft auf den freien Teil der Kontrollflache spielt nur die von der Stromung hervorgerufene Druckanderung eine Rolle. Der AuBendruck pa herrsche sowohl an der Strahlgrenze als auch im Querschnitt A\. Angewendet auf Punkte der Flachen A\ und A\ liefert die Energiegleichung (3.231) die Druckanderung (reduzierter Druck) p\ - pa = Go/2)(t>22 - v\) = (1 - mV 2 )(p/2)t>| 2 . Die Komponente der Druckkraft am Flachenelement dA\ in x-Richtung betragt dF^x = (p\ — Pa)dA\ cos a = (pi — pa)dA2. Die gesamte auf den freien Teil der Kontrollflache in x-Richtung wirkende Kraft wird also FAX = (pi - Pa)A-2 = - ( 1 -

(3.262b)

Aufgrund der getroffenen Annahmen ist Fgx = 0 und F$x = 0. Mithin folgt aus (3.225a) die Beziehung 1 — 2/i + m2//,2 = 0 mit der Losung fiir den Kontraktionkoeffizienten

3.6.3 Reibungsbehaftete mehrdimensionale Stromungen dichtebestandiger Fluide

341 (3.263)

Fur die SchlitziSffnung wird mit m = ibR/nbR = 2/JT, wobei b die Schlitzbreite ist, ji = 0,565 und mit m = nR2/27zR2 = 1/2 fur die Kreisoffnung /x = 0,536. Diese Werte sind kleiner als die in (3.125a, b) gegebenen, experimentell oder theoretisch ermittelten Kontraktionskoeffizienten. Diese Abweichungen sind die Folge der getroffenen stark vereinfachenden Annahmen.79 Einer besonderen wissenschaftlichen Bearbeitung hat Hansen [25] das Ausstromproblem hinsichtlich der Einfliisse der Schwere, Reibung und Grenzflachenspannung sowie des Vergleichs zwischen vertikalem und horizontalem Austritt unterzogen.

3.6.3 Reibungsbehaftete mehrdimensionale Stromungen dichtebestandiger Fluide

3.6.3.1 Ermittlung des Reibungswiderstands eines Korpers aus dem Impulsverlust hinter dem Korper (Nachlauf) Allgemeines. In einer reibungsbehafteten Stromung werden an der riickwartigen Kdrperseite eines umstromten Korpers die der reibungslosen Stromung entsprechenden Driicke nicht mehr erreicht. Die dadurch in Anstromrichtung bedingte Kraft, d. h. die vektorielle Summe aller Druckspannungskrafte, wird als Druckwiderstand infolge Reibung bezeichnet. Er bildet zusammen mit dem von den Wandschubspannungen hervorgerufenen Schubspannungswiderstand den Reibungswiderstand des Korpers, auch Profilwiderstand gennannt. Bei profilierten Korpern, wie z. B. bei angestromten Tragfliigelprofilen, hat man es weitgehend mit einer am Korper anliegenden Stromung zu tun, wahrend bei stumpfen Korpern, wie z. B. bei einer normal angestromten Platte, bei einem querangestromten Kreiszylinder oder bei einer angestromten Kugel, die wandnahe Stromung auf der riickwartigen Korperflache unter Bildung von Wirbeln ablost. Als Folge der reibungsbehafteten Stromung entsteht eine Verminderung der Stromungsenergie hinter dem Korper. In Abb. 3.83 ist eine Nachlaufstromung hinter einem angestromten Korper in Form der Geschwindigkeitsprofile iiber die Stromungsquerschnitte normal zur Anstromrichtung dargestellt. Wahrend vor dem Korper iiberall die gleiche Geschwindigkeit herrscht, weist das Geschwindigkeitsprofil als Folge der anliegenden oder gegebenenfalls auch abgelosten korpernahen Reibungsschicht hinter dem Korper eine Nachlaufdelle auf, die in sehr weitem Abstand hinter dem Korper allmahlich wieder ausgeglichen wird. Zwischen der GroBe dieser Delle und dem Reibungswiderstand besteht ein ursachlicher Zusammenhang. Der Einfachheit halber soil nur der ebene Fall in der x, y-Ebene naher behandelt werden. Betrachtet wird ein in der Stromung festgehaltener prismatischer Korper. Die ungestorte Anstromung sei stationar und habe die Geschwindigkeit MQO, wahrend die Geschwindigkeit im Nachlauf mit u(x, y) bezeichnet werde. Bekannt ist, daB stromabwarts vom Korper die ungestorten Werte vor dem Korper 79

Der in [40] auf der gleichen Grundlage fur die Kreisoffnung gefundene Wert n = 0,595 gibt den tatsachlichen Wert richtig wieder. Die dortige Herleitung ist jedoch fehlerhaft.

342

3.6 Mehrdimensionale stationare Stromungsvorgange dichtebestandiger Fluide

Abb. 3.83. Zur theoretischen und experimentellen Ermittlung des Reibungswiderstands eines Korpers aus dem Impulsverlust hinter dem Korper (Nachlauf), {A), vgl. Tab. 3.8

wesentlich schneller vom Druck als von der Geschwindigkeit erreicht werden. Nach Abb. 3.83 werde durch das stromende Fluid in der x-Richtung auf den ruhenden Korper die Widerstandskraft, kurz der Widerstand W genannt, ausgeiibt. Theoretische Ermittlung des Reibungswiderstands. Die Anwendung der Impulsgleichung (3.225a) zur Berechnung des Widerstands eines festen Korpers geschieht in ahnlicher Weise, wie es fiir das Turbostrahltriebwerk in Kap. 3.6.2.2, Beispiel d.2 gezeigt wurde. Dabei soil die Anstromrichtung mit der *-Achse zusammenfallen. Entsprechend Abb. 3.81a wird die Kontrollflache (O) = (A) + (S) in Abb. 3.83 so gewahlt, da8 die Stelle (2) sich so weit hinter dem Korper

Tabelle 3.8. Zur theoretischen Ermittlung des Reibungswiderstands aus dem Impulsverlust hinter einem Korper (Nachlaufdelle), vgl. Abb. 3.83 Kontrollflache

(A)

(0)

Zustand

Massenstrom

Impulsstrom (in jc-Richtung)

P

P

Vx

A\

P

Poo

Uoo

+pb I Uoo dy

+pbju2ocdy

Ai

P

Poo

u(y)

—pb

—pb 1 u dy

Ai ^2

P

Poo

Uoo

-pb /(«oo

Ergebnis

0

udy -u)dy

-pb

/ MOOCMOC

pb / («oo - u)u dy

-u)dy

3.6.3 Reibungsbehaftete mehrdimensionale Stromungen dichtebestandiger Fluide

343

befindet, wo der (statische) Druck bereits den ungestorten Wert p = poo wieder erreicht hat. Dies ist theoretisch fur x -* oo der Fall. Bei Vernachlassigung des Schwereinflusses und wegen der konstanten Driicke auf dem freien Teil der Kontrollflache (A) sind FBX = 0 und FAX = 0. Die Kraft von dem korpergebundenen Teil der Kontrollflache (S) auf das Fluid, d. h. die Stiitzkraft, ist entgegengesetzt gleich der gesuchten Widerstandskraft, d. h. W = —Fsx. Mithin verbleibt von (3.225a) mit vx = u W = p I udV, (A)

p j> dV = 0

(p = const),

(3.264a, b)

(A)

wobei die Auswertung des Impulsstromintegrals (3.264a) unter Beachtung der Kontinuitatsgleichung (3.264b), vergleiche (3.224a) mit p = const, zu erfolgen hat. In Analogie zu Tab. 3.7 erstellt man Tab. 3.8. Dabei bedeutet b die Breite des prismatischen Korpers normal zur Stromungsebene. Den Widerstand erhalt man aus dem Impulsverlust hinter dem Korper zu 00

W = pb / («oo - u)udy

(Theorie fiirjt - • oo).

(3.265)

—oo

Die Integration ist iiber die gesamte Nachlaufdelle —oo ^ y ^ +oo zu erstrecken. Experimentelle Ermittlung des Reibungswiderstands. Zur Bestimmung des Widerstands ist man weitgehend auf Messungen angewiesen. Die experimentelle Ermittlung des gesamten Reibungswiderstands aus einer Kraftmessung ist in vielen Fallen, z. B. im Windkanal, wegen des groBen Zusatzwiderstands der Modellaufhangung zu ungenau, so daB andere Methoden zur Anwendung kommen miissen. Die Beziehung (3.265), nach der man den Widerstand aus der Nachlaufstrb'mung hinter dem Korper berechnen kann, ist in der vorliegenden Form fur Messungen im Windkanal nicht zu gebrauchen, da u{y) in einem zu groBen Abstand vom Korper bestimmt werden miiBte. Man kann sie jedoch im Hinblick auf die praktische Anwendung in der Weise abandern, daB man den Schnitt (2) nicht in unendliche Entfernung (x -*• oo) hinter den Korper, sondern nach Abb. 3.83 in einen dem Korper naher gelegenen MeBquerschnitt (2') verlegt. Durch Messungen des (statischen) Drucks p' und des Gesamtdrucks p'g iiber die Nachlaufdelle dieses Schnitts kann man dann den Widerstand ermitteln. Diese Aufgabe ist auf zwei in der Methode etwas voneinander abweichende Arten gelost worden, und zwar von Betz sowie von Jones [32]. Beide Verfahren sind in ihrem Endergebnis als gleichwertig anzusehen. Da die zweite Methode in der Beweisfiihrung und auch in der rechnerischen Auswertung die einfachere ist, soil diese nachstehend besprochen werden. In den Schnitten (1), (2') und (2) herrschen jeweils die Geschwindigkeiten u\ = Moo, «2' = u' und U2 — u sowie die (statischen) Driicke p\ = p^, p2> = p' und p2 ^ Poo- Jones nimmt an, daB die Stromung vom Schnitt (2') bis zum Schnitt (2) ohne fluidmechanische Verluste vor sich geht, was bedeutet, daB die zugehorigen Gesamtdriicke gleich groB sind, p'g = pg mit p'g = p' + (p/2)u'2 und pg = poc + (p/2)u2. Fiihrt man noch den Gesamtdruck der Anstromung

344

3.6 Mehrdimensionale stationare Stromungsvorgaiige dichtebestandiger Fluide

pgoo = PQQ + {pjl^u2^ ein, dann gilt fur die Geschwindigkeiten - Poo), u(y) = \ -(Pg ~ Poo), u'{x, y) = \ -(P'g ~ />')• (3.266) Betrachtet man zwischen den Ebenen (2') und (2) einen schmalen, aus zwei Stromflachen gebildeten Bereich, so muB aus Kontinuitatsgriinden dV = u'bdy' — ub dy sein, wenn dy' die Dicke des Stromungsbereichs in der Ebene (2') und dy die zugehorige Dicke in der Ebene (2) ist. Schreibt man (3.265) fur den Schnitt (2') mit udy = u'dy' an und setzt die fur die Geschwindigkeiten gefundenen Ausdriicke ein, so erhalt man als Formel fur die experimentelle Bestimmung des Widerstands CO

W = 2b

(\/pgoo ~ Poo- Jp'g - Poo) Jp'g - P' dy'

(Experiment).

—oo

(3.267) Die ungestorten Werte pgoo und p^ sind als gegeben anzusehen. Zur Berechnung des Widerstands W kommt es somit nur auf die Messung des Gesamtdrucks p' und des (statischen) Drucks p' iiber den Querschnitt (2') an. Da auBerhalb der Nachlaufdelle der Integrand von (3.267) wegen p'2 = pgoo verschwindet, hat man das Integral nur iiber die Delle zu erstrecken. Widerstandsbeiwert. Bereits Newton konnte feststellen, daB der Widerstand eines umstromten Korpers proportional der groBten Querschnittsflache A des Korpers quer zur Anstromrichtung, der Dichte des Fluids p und dem Quadrat der Anstromgeschwindigkeit w2^ ist. Das Produkt pAu2^ hat die Dimension einer Kraft. Den dimensionslosen Proportionalitatsfaktor nahm Newton als eine Konstante an, die nur von der Gestalt des Korpers auf der Vorderseite abhangen sollte. Auf Grand genauerer Beobachtungen und aus den Erkenntnissen der Grenzschicht-Theorie nach Kap. 6.3 weiB man jedoch, daB fur die GroBe des Widerstands besonders die riickwartige Ausbildung der Korperform maBgebend ist. Dariiber hinaus ist der Widerstand im allgemeinen von der Reynolds-Zahl Re^ = «oo//v abhangig, wobei / eine charakteristische Langenabmessung des Korpers und v die kinematische Viskositat ist. Nach dem Reynoldsschen Ahnlichkeitsgesetz ist der Proportionalitatsfaktor bei geometrisch ahnlichen Korpern nur so lange konstant, als die Reynolds-Zahl Re^ dieselbe bleibt. Uber die GroBe des Faktors selbst kann man, von einigen Sonderfallen abgesehen, zunachst nichts aussagen. Es ist allgemein iiblich, als Proportionalitatsfaktor cw/2 mit cw als Widerstandsbeiwert zu setzen und das Widerstandsgesetz in der Form W = ^ypAulc = cwqooA,

cw =

(Definition)

(3.268a, b)

anzuschreiben. Hierin bezeichnet q^, = (p/2)u2x> den Geschwindigkeitsdruck der Anstrb'mung in N/m 2 . Er ist gleichbedeutend mit der auf das Volumen bezogenen kinetischen Energie in Nm/m3 = J/m 3 . Neben der Korperabmessung A ist also der

345

3.6.3 Reibungsbehaftete mehrdimensionale Stromungen dichtebestandiger Fluide

Widerstand proportional dieser Energie, wobei cw angibt, welcher Anteil hiervon durch Reibung fluidmechanisch verlorengeht. Die Formel (3.268b) ist kein Gesetz im physikalischen Sinn, sondern lediglich eine Definition des Widerstandsbeiwerts, der seinerseits die Unbekannte des Problems darstellt. Aus der Beziehung zur theoretischen Ermittlung des Widerstands aus dem Impulsverlust hinter dem Korper nach (3.265) erhalt man bei ebener Stromung mit A = bl als Bezugsflache (b Korperbreite, / charakteristische Korperlange) den Widerstandsbeiwert zu mit

(3.269a, b) als Impulsverlustdicke sehr weit hinter dem Korper. Bei nicht abgeloster Reibungsschicht kann man ^oo durch eine einfache Beziehung aus der Impulsverlustdicke an der Hinterkante des Korpers ermitteln. Die Widerstandsformel laBt sich dann noch weiter auswerten, vgl. [77]. Die Bestimmung des Widerstandsbeiwerts fiir beliebig gestaltete Korper, bei denen in groBerem Umfang Ablosungserscheinungen auftreten, ist zuverlassig nur auf experimentellem Weg, insbesondere durch Messungen in Windkanalen moglich. In denjenigen Fallen, wo der Schubspannungswiderstand gegeniiber dem Druckwiderstand klein ist, tritt keine merkliche Abhangigkeit des Widerstandsbeiwerts von der Reynolds-Zahl auf, cw ^ const. Der Widerstandsbeiwert ist dann fiir eine bestimmte Korperform eine Konstante (Formfaktor), und es gilt in bezug auf die Geschwindigkeit das quadratische Widerstandsgesetz (3.268a). Dies trifft z. B. fiir normal angestromte diinne Platten nach Tab. 3.9 zu. Tab. 3.10 gibt einen Uberblick Uber Widerstandsbeiwerte von einfachen drehsymmetrischen Korpern. Bei gleicher Stimflache und gleicher Anstromgeschwindigkeit sind die Widerstandsbeiwerte cw zugleich ein Mal3 fiir den Widerstand selbst. Bei vorn und hinten abgerundeten Korpern ist der Widerstandsbeiwert im allgemeinen eine Funktion der Reynolds-Zahl. Dies hangt damit zusammen, daB die Stromung bei einer bestimmten Reynolds-Zahl vom laminaren in den turbulenten Stromungszustand umschlagt. In Abb. 1.15 wurden bereits Widerstandsbeiwerte von elliptischen Zylindern mit verschiedenen Dickenverhaltnissen in Abhangigkeit von der Reynolds-Zahl wiedergegeben. Weiterhin sind in Abb. 3.84 die Widerstandsbeiwerte fiir einen Kreiszylinder, der quer zu seiner Achse angestromt wird (ebene Stromung) und fiir eine angestromte

Tabelle 3.9. Widerstandsbeiwerte normal angestromter Platten, cw = W/qooA mit <7oo als Geschwindigkeitsdruck der Anstromung und A als Stimflache, vgl. [26] Rechteckige Platte , b Breite, h Hohe

Kreisplatte

b/h

1

2

4

10

18

00

cw

1,10

1,15

1,19

1,29

1,40

2,01

1,11

3.6 Mehrdimensionale stationare Stromungsvorgange dichtebestandiger Fluide

346

Tabelle 3.10. Widerstandsbeiwerte einfacher drehsymmetrischer Korper, cw — W/qooA mit ^oo als Geschwindigkeitsdruck und A als Stirnflache, vgl. [26]. (1) Kreisscheibe; (2), (3) Kegel (mit Boden, Spitzenwinkel 30° bzw. 60°); (4), (5) Halbkugel (ohne Boden); (6) Drehkorper geringsten Widerstands Korper

o

(1)

11,11

(2)

•0,34

(3)

(4)

(5)

• 0,34

o

—

• 1,33

(6)

o,oi

10,06

e

8 JO*

I

t

S

810s

t

e 8ffle

Abb. 3.84. Widerstandsbeiwerte querangestromter Kreiszylinder (1) und angestromter Kugeln (2), cw = W/qooA mit qx als Geschwindigkeitsdruck und A — bD bzw. A = (n/4)D2 als Stirnflache {b Zylinderbreite, D Korperdurchmesser) in Abhangigkeit von der Reynolds-Zahl Re^ = UOQD/V, vgl. [26]

Kugel (raumliche Stromung) iiber der Reynolds-Zahl Reoo — UooD/vmitD als Korperdurchmesser als Kurve (1) bzw. (2) dargestellt. Der erwahnte laminarturbulente Umschlag findet in dem schramert gezeichneten Reynolds-Zahl-Bereich start. Sowohl fiir Re^ < Reu als auch fur Re^ > Reu sind die Widerstandsbeiwerte cw nahezu konstant, und zwar ist cw bei turbulenter Stromung kleiner als bei laminarer Stromung.

3.6.3 Reibungsbehaftete mehrdimensionale Stromungen dichtebestandiger Fluide

347

3.6.3.2 Theorie der hydromechanischen Schmiermittelreibung Allgemeines. Zwei gegeneinander bewegte, aufeinander Druckkrafte ausiibende Maschinenteile werden zur Verhiitung schneller Abnutzung ihrer Lagerflachen und zur Herabsetzung der Reibungsverluste durch eine diinne Schmierschicht (Olschicht) voneinander getrennt. Die Erfahrung lehrt, daB die in geschmierten Lagern auftretenden Reibungswiderstande wesentlich anderen Gesetzen folgen als bei trockener Reibung ohne Schmierschicht. Wahrend im letzteren Fall die Reibung im wesentlichen vom Normaldruck und von der Oberflachenbeschaffenheit der sich beriihrenden Korper abhangt, zeigt sich bei der hydrodynamischen Schmierung, daB die Reibungskraft von der Oberflachenbeschaffenheit der Korper fast gar nicht, jedoch wesentlich von der Viskositat des Schmiermittels, von der GroBe der Gleitgeschwindigkeit und von der Dicke der Schmierschicht bestimmt wird. Da das viskose Fluid an den Wandungen der von ihr getrennten Korper haftet, wird diese Gleitgeschwindigkeit auch auf das Fluid iibertragen. Die Schmiermittelreibung ist also auf die Viskositat in der Schmierschicht zuriickzufiihren und somit ein Problem der Fluidmechanik. Erste Untersuchungen zur ebenen Theorie der Schmiermittelreibung stammen von Reynolds sowie von Sommerfeld [62]. Dabei zeigt sich, daB zur Ubertragung einer Druckkraft zwischen Zapfen und Lager eine Schmierschicht von veranderlicher Dicke vorhanden sein muB. Trotz der nicht immer der Wirklichkeit entsprechenden Voraussetzungen (ebenes Problem, voll umschlieBende Lagerschale, allseitige Schmierung des Zapfens, konstante Viskositat, Vernachlassigung der Tragheitskrafte im Schmierfilm) bildet die genannte Theorie Grundlage und Ausgangspunkt fur alle theoretischen und experimentellen Untersuchungen iiber die Schmiermittelreibung.80 Bei den in Frage kommenden Anwendungsgebieten der Schmiermitteltheorie handelt es sich durchweg um Querschnitte von sehr geringer Hohe und um Fluide mit groBer Viskositat (Ol). Die Reynolds-Zahl wird also immer sehr klein sein.81 Die folgende Darstellung gibt nur stark vereinfachte Uberlegungen wieder. Zu tiefergehendem Studium muB auf das einschlagige Schrifttum verwiesen werden, vgl. den Ubersichtsbeitrag von Saibel und Macken sowie das Buch von Vogelpohl [62]. a) G leitlager auf ebener Ftihrung. Der sich bei der Schmiermittelreibung einstellende Stromungszustand laBt sich am leichtesten ilbersehen bei der Bewegung eines Gleitschuhs auf ebener Fiihrung, dessen Breite b zwecks Erzeugung einer annahernd ebenen Stromung hinreichend groB angenommen wird. Der Gleitschuh bewege sich gegeniiber der ruhenden Stiitzebene mit der konstanten Geschwindigkeit U nach links. Zwecks Erlangung einer stationaren Stromung soil der Gleitschuh nach Abb. 3.85a als ruhend angenommen und die Stiitzebene mit der Relativgeschwindigkeit U nach rechts bewegt werden. Der zwischen beiden Korpern vorhandene keilformige Spalt sei vollkommen von dem Schmiermittel erflillt. Fiir die in x-Richtung veranderliche Spalthohe gilt h(x) — h\ — ax, wobei a = (hi —hi) 11 der klein angenommene Spaltoffnungswinkel ist. Erfolgt die Stromung, wie die stationare Spaltstromung nach Kap. 2.5.3.3, Beispiel a, zwischen zwei parallelen Wanden, so ist der Druckgradient dp/dx in jc-Richtung konstant. Neigt man dagegen die ruhende Wand nach Abb. 3.85a um einen kleinen Winkel a, so ist zu erwarten, daB sich jetzt der Druckgradient mit der Langsrichtung andert. Das Stromungsverhalten entspricht naherungsweise der stationaren Scherstromung nach Kap. 2.5.3.3, Beispiel b, und zwar gilt analog zu (2.126a) fiir die Geschwindigkeitsverteilung 8 2 80

vgl. die Bibilographie in Band II (Teil D3b: Fluidmechanische Schmiermittelreibung). Man faBt daher die Bewegung des Schmiermittels auch als schleichende Stromung im Sinn von Kap. 2.5.3.4 auf. 82 Man beachte, daB in A b b . 2.39b die obere und in Abb. 3.85a die untere Platte bewegt wird. 81

348

3.6 Mehrdimensionale stationare Stromungsvorgange dichtebestandiger Fluide

2,0

0,20

A

10 0,5 0

/

1

0,15

t

0,10 \

0,05

N

10,(6

0,2

OA

0,6

0,8

1,0

0

Abb. 3.85. Zur Theorie der Schmiermittelreibung, Gleitlager auf ebener Fiihrung (Gleitschuh der Breite b und der Tiefe /). a Bezeichnungen, Geschwindigkeits- und Druckverteilungen im Spalt, zum Vergleich ist das Lager mit konstanter Spalthohe dargestellt. b Mittlerer Uberdruck p — po auf die Stutzebene nach (3.275b), aufgetragen sind f$h2/hi) als Kurve (1) und f2(h2lh$ als Kurve (2)

u(x,y)=

[l-j-

yh2dp(x)-\ hit] dx \

U

(0 •gy g h(x)).

(3.270)

Hierin ist dp/dx ^ const eine Funktion nur von x und nicht von y. Bei dp/dx = 0 ist u(x, y) = (1 — y/h)U eine von y lineare Funktion. Durch Integration von u(x, y) iiber einen Querschnitt der Schmierschicht A(x) = bh(x) erhalt man zunachst den Volumenstrom zu h(x)

"

'

/

h2(x)dp(x)1\ 6r) dx \ = const.

•

(3.271a, b)

Dieser darf wegen der Kontinuitatsbedingung nicht von x abhangig sein, d. h. es ist V = const. Lost man (3.271b) nach dem Druckgradienten dp/dx auf, dann liefert eine Integration iiber x mit h(x) = hi—ax die Druckverteilung, wobei die Drflcke an den Stellen x = 0 und x = / gleich dem Atmospharendruck po sein miissen. Unter Beriicksichtigung dieser Randbedingungen wird nach einiger Umformung mit

p(x) - p0 =

1(1 -x)x U. hi + h2 [hi(l -x) + h2x]2

(3.272)

Bei parallelen Begrenzungsfiachen der Schmierschicht ware h(x) = hi = h2 und somit der Druck p(x) = po = const. Ein Uberdruck uber den auBeren Luftdruck hinaus konnte also nicht entstehen, so daB eine Last nicht ubertragen werden kann. Bildet man von (3.272) die GroBe dp/dx und fiihrt diese in (3.271b) ein, dann ergibt sich fur den Volumenstrom des Schmiermittels die einfache Beziehung83

VA=b 83

hih2 V hi+h2

^

(3.273)

Diese Formel kann man in Zusammenhang mit der Bestimmung der Integrationskonstanten auch unmittelbar finden.

3.6.3 Reibungsbehaftete mehrdimensionale Stromungen dichtebestandiger Fluide

349

Nach Einsetzen in (3.271b) erhalt man die Druckgradienten bei x = 0 mit h(x) = h\ und bei x = l mit

h(x) = h2 < hi zu ip\ dxjo

= = J

6 UH H 1 J 11 1 h\ hi+h2

U_p\ _ \dxj \dxj,

= =

_W H1H1 _ h\ h+h h\

ErwartungsgemaB herrscht bei x = 0 ein Druckanstieg und bei x = I ein Druckabfall. Der Druckgradient verschwindet nach (3.271b) und (3.273) bei h(xm) = 2h\h2/{h\ + hi) mit xm/l ='h\/(h\ + hi). Fiir die Schnitte x = 0, x = xm und x = I sind die Geschwindigkeitsverteilungen nach (3.270) ilber y dargestellt. Weiterhin zeigt Abb. 3.85a die Druckverteilung p(x) — po iiber x an der Stiitzebene nach (3.272). Der Maximalwert p m a x — po liegt bei xm. Die resultierende Oberdruckkraft des Gleitlagers wird nach nochmaliger Integration iiber x

FP = b[(pb[(p- P0P0)dx )dx == -^L-^L-221 fin finffJJl) l ) -- 2 ^ 1 V. J Jo

(hi -hi) 1 [ \h2) (h hi) [ \h)

(3.275a)

h +h\

Der Angriffspunkt von f> liegt, wie man aus Abb. 3.85a erkennt, nicht in der Lagermitte, sondern hinter dieser, was fiir die praktische Anwendung der Gleitlager besonders beachtenswert ist. In Abb. 3.85b ist der mittlere Druck als Funktion von h2/hi wiedergegeben, und zwar in der Form ~

po =

FP n (h2\ 1 TF = ~U~ h\ ' f \T

bl

h\

\h\)

=

niv (h2\ T T -/2 r '

h\

(3.275b)

\h\)

Wahrend die Kurve (1) fiir f\ monoton vom Wert f\ = oo bei h2/h\ = 0 auf f\ = 0 bei h2/h\ = 1 abnimmt, besitzt die Kurve (2) bei h2/h\ = 0,457 ein Maximum mit f2 = 0,160. Fiir ein Lager mit der mittleren Spalthohe h = (hi + hi)/2 = 0,2 mm = 2 • 10^ 4 m, dem Spalthohenverhaltnis ^2/^1 = 0,5 und der Lange / = 0,1 m ergibt sich bei einer Geschwindigkeit von U = 10 m/s mit einer Viskositat des Schmierols von r] = 4 • 10~2 Ns/m2 fur den mittleren Druck p - p0 = 3,6 • 10 5 N 2 /m 2 = 3,6 bar. Dies Beispiel zeigt, wie auBerordentlich groB die Driicke in der sehr diinnen Schmierschicht von h = 0,2 mm sein konnen. b) Zapfenlager. Die vorstehend angestellten tjberlegungen konnen auch auf den sich in einer Lagerschale drehenden Lagerzapfen ubertragen werden. Dabei kann man, was praktisch immer der Fall ist, annehmen, daB der zwischen Zapfen und Lagerschale vorhandene, von dem Schmiermittel ausgefiillte Spalt sehr eng, d. h. wesentlich kleiner als der Zapfenhalbmesser ist. Auf die fur diesen Fall von Sommerfeld [62] entwickelte Theorie kann hier nicht eingegangen werden. Als wesentliches Ergebnis sei in Ubereinstimmung mit der bereits beim Gleitschuh gewonnenen Erkenntnis festgehalten, daB bei verschwindender Exzentrizitat (Lager- und Zapfenachse fallen zusammen) keine Druckkraft ubertragen werden kann. Um also eine bestimmte Druckkraft aufnehmen zu konnen, ist eine gewisse Exzentrizitat, die sich als verSnderliche Spaltweite in Umfangsrichtung auBert, erforderlich.

Literatur zu Kapitel 3 1. Ackeret, J.: Grenzschichten in geraden und gekriimmten Diffusoren. In: Grenzschichtforschung (Hrsg. Gortler, H.), S. 22-40. Berlin, Gottingen, Heidelberg: Springer 1958 2. Barbin, A.R.; Jones, J.B.: Turbulent flow in the inlet region of a smooth pipe, ASME D, J. Bas. Eng. 85 (1963) 29-34. Bowlus, D.A.; Brighton, J.A.: ASME D, J. Bas. Eng. 90 (1968) 431-433. Wang, J.-S.; Tullis, J.P.; ASME I, J. Fluids Eng. 96 (1974) 62-68 3. Benedict, R.P.; Carlucci, N.A.; Swetz, S.D.: Flow losses in abrupt enlargements and contractions, ASME A. J. Eng. Pow. 88 (1966) 73-81 4. Betz, A.: Einfiihrung in die Theorie der Stromungsmaschinen, Karlsruhe: Braun 1959 5. BHRA (Brit. Hyd. Res. Ass.): Reviews of the literature on system losses. Cockrell, D.J.; King, A.L.: Flow through diffusers, TN 902 (1967). Crown, D.A.; Wharton, R.: Division and combination of flow, TN 937 (1968). Zanker, K.J.; Brock, T.E.: Flow through bends, TN 901 (1967). Campbell, F.B.; Rhone, T.J.; Schumann, J.E. jr.; Lawton, F.L.: J. Hyd. Div. 91 (1965) 123-152

350

Literatur zu Kapitel 3

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76.

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Sachverzeichnis*)

Abkiihlen, Aufheizen (Erwarmen) 11,63, 172 Ableitung (Anderung), zeitlich, substantiell (total, massegebunden, materiell), lokal, konvektiv 32, 83-87, 154 —»Beschleunigung, Transportgleichung Ablosung —»Stromungsablosung Absaugen, Ausblasen (porose Korperoberflache), stoffdurchliissig 70, 89, 98, 156, 157 Adiabate (adiabat, warmeundurchlassig) 7, 16.1, 178 -, adiabat-reversibel = isentrop, adiabat-irreversibel (anisentrop)7,8, 11,22, 177-178, 199 Aggregatzustand (fliissig, dampf-, gasformig) 1, 3, 5, 26-30, Abb. 1.11 Ahnlichkeit, Ahnlichkeitsgesetz, Modellgesetz31, 34-35, 38-41,128,144, 146,237,245, 344 -> Kennzahl Alerabert- (d'Alembert-) Ansatz (Tragheitskraft), -Paradoxon (verschwindender Widerstand) 63, 98, 103, 139, 152, 329 Alkohol Tab. 1.3 Ammoniak Tab. 1.1 Anfangsbedingung (zeitlich) 115, 127,208 —, instationare Fliissigkeitsbewegung (GefaB, WasserschloB) 212, 214, 287 Anstromung, Anstromgeschwindigkeit (Korper) 42^13, 46, 103, 148, 205, 207, 324-333, 336, Abb. 1.18,3.10, 3.75, 3.76, 3.78

-, Gesamt-, Geschwindigkeitsdruck (Staudruck) 42, 133, 200, 343, 344 Arbeit = Kraft x Weg, Leistung = Arbeit/Zeit (ProzeBgroBe) 5, 28, 31, 34, 50, 151-153, 156-160, 164-165, Tab. 2.10b, 2.11 -, auBere, innere, elastische, totale Arbeit 152-155, 158, 163, Tab. 2.11 -, technische Arbeit 161-163 -, turbulenzbedingte Arbeit 180-183, Tab. 2.10b -, Dissipationsarbeit (Reibungswarme) 153, 155, 162, 166, 168-169, 170, 175, 181, 183, 232, 274, Tab. 2.13 -, Druckanderungsarbeit 162, 170 -, Ersatz-, Stiitzarbeit 157, 161, 274 -, Formanderungsarbeit (druck-, reibungsbedingt) 164, 165, 167, 232 -, Massenkraftarbeit (eingepragt) 152-157, 164 -, Schlepparbeit (druck-, reibungsbedingt) 164-165, 167, 180, 232 -, Volumenanderungsarbeit (Dichteanderung) 155, 166, 167-168, 170, 175 -, Warmeleitungsarbeit (Temperatur) 153, 156, 158-160, 169, 170 ArbeitsprozeB (Fluidenergiemaschine) 162, 163, Abb. 2.48b Arbeitssatz (Mechanik) 50, 152, 154, 163, 323, Tab. 2.10b -» Energiegleichung der Fluidmechanik Archimedes-Prinzip (Auftriebsformel) 62, 103, 190

Auftriebskraft, Auftrieb (Druckkraft) -, Umstromung (Oberflachenkraft, Tragfliigel, Kutta-Joukowsky) 324-330, Abb. 3.73, 3.75, 3.76 -, Verdrangung (Volumenkraft, statisch, Archimedes) 62-63, 103, 190-191, Abb. 2.10 -, Warme, Temperatur (Volumenkraft, thermisch) 63, 167 Ausbreitungsgeschwindigkeit (Druck-, Flachwasser-, Kapillar-, Schwerwelle 11, 29, 44, 295, 299 Ausdehnungskoeffizient, isotherm (Kompressibilitat), isobar (Warme) 7-10, 11, 63, Tab. 1.1, 1.2 Bahn, Bahnlinie (substantiell) 67,68, 71, 83,92, 111-113, 116, 163, 177, Abb. 2.13, 2.17, 2.35 Barotropie (barotroper Zustand) 7 -»Fluid Behalter —> Kessel Beiwert -»Druck, Widerstand Beltrami-Stromung (Stromlinie = Wirbellinie) 75, 116 Bernoulli-Gleichung —> Druck-, Energiegleichung, Gerinne-, Rohrstromung Beschleunigung, Beschleunigungsfeld (substantiell, lokal, konvektiv) 31, 63, 71-76, 84, 90, 109, 116, 139, 152,200, 208-209, 215, Abb. 2.17-2.19, Tab. 2.2 -> Rohr-. Gerinnestromung -, absolut, relativ (rotierendes Bezugssystem) 76, 118-119, Abb. 2.19b

*) Fur die Rohr- und Gerinnestromung sind die anwendungsbezogenen Stichworte unter diesen Oberbegriffen zusammengefaBt.

Sachverzeichnis

356 -, normal (zentripetal), tangential 71-73, 76 -, radial, azimutal, axial 74 Bewegung (Kinematik), Translation (Parallel-, Schwerpunktbewegung), Rotation (Drehung) 2, 64-87,122, Abb. 2.21a,b-> Stromung Bewegungsgleichung = Impuls + Kontinuitatsgleichung (Fluidelement) 2, 34, 50, 95, 110 -, reibungslose Stromung (Euler, Bernoulli) 110-119, 126, 128 -, reibungsbehaftete (laminar, turbulent) Stromung (Navier, Stokes, Oseen, Reynolds) 119-150 Bezugssystem (Koordinatensystem) -, absolut, ruhend (raumfest), relativ, mitbewegt, rotierend (korperfest) 33-34, 64-65, 75-76,97, 118-119,327, Abb. 2.19, 2.37 Bilanzgleichung (Masse, Impuls, Energie, Entropie) 50, 87, 96, 154, 174, Tab. 2.4 Bodendruckkraft (hydrostatisches Paradoxon) 59-60, 188, Abb. 2.8 Borda-Miindung (Strahlkontraktion) 205, 261, Abb. 3.13c Buckingham-Theorem (Pi-Theorem) 35 -> Dimensionsanalyse Coriolisbeschleunigung, Corioliskraft 76,118-119, Abb. 2.37 Couette-Stromung 131-132, 171-172, Abb. 2.39b Dampf (Wasserdampf), Dampfdruck (Kavitation) 1-3, 11, 15, 26, 30, 93, 199, 283, Abb. 1.2, Tab. 1.1 Deformation (Verformung), Deformationstensor, (def) 80, 122 -> Formanderung Dehnung (Volumendilatation, Fluidelement), Dehngeschwindigkeit 79-80, 122, 164, Abb. 2.21c, 2.24, 2.49 Diabasie, Diathermie -> Wandbeschaffenheit Dichte (Eigenschaftsgr6Be/Volumen) -, Massendichte ((kurz: Dichte, Definition, DichteeinfluB, Dichteanderung) 5-11,25, 30,

40,91, 152, 179, Abb. 1.2, Tab. 1.1, 1.5-> Fluid Diffusor (Rohrerweiterung), Stufen-, Ubergangs-, Austrittsdiflusor (Enddiffusor) 202, 257-259, 263-267, 282, Abb. 3.35a, 3.39, 3.40 Dilatation (Volumenausdehnung), Dilatationsgeschwindigkeit 79-80, 122 Dimensionsanalyse (Kennzahlbestimmung, Buckingham) 34-38, 229, Tab. 1.4 Dissipation, Dissipationsfunktion (diss) 166, 168, 181-183, Tab. 2.10b, 2.13 -»Arbeit Divergenz, Tensordivergenz (Operator, div) 125, Tab. B.4 —»Integralsatz (GauB) Divergenzform (konservative Transportgleichung) 84 Drall (Drehimpuls) 96, 118, 265 -> Impulsmoment Drehung (Rotation), Drehvektor -, Fluidelement 57, 75, 77-79, 81, 116, 122, 126, Abb. 2.21b, 2.22, 2.23, Tab. 2.3 -, drehungsbehaftete Stromung (Drehstromung) 79, 81, 116-118 -, drehungsfreie Stromung (Potentialstromung) 75, 79, 81, 116-118, 126, 301, Tab. 2.6 Druck (Druckspannung), DruckeinfluB 3, 5-11, 20, 30, 31, 39, 45, 51-53, 64, 99, 121-123, 133, 135, Abb. 2.1 -> Messung -, momentan, gemittelt (turbulent) 135 -, statisch, (hydrostatisch, kinetisch) 59, 109, 193-195, 199 -, thermodynamisch 6, 20, 123 -, Atmospharendruck (freie Fliissigkeitsoberflache) -> Druckbedingung -, Beschleunigungsdruck (instationare Stromung) 209, 222 -, Fliissigkeitsdruck (feste Begrenzungsfliiche) 187-190, Abb. 3.1-3.4 -, Geschwindigkeitsdruck (Energiedichte) 38, 42, 133, 198-199,200,208, 2 2 1 ^ Anstromung -, Grenzflachendruck (Kriimmungsdruck) 28, 195 -, Schwer-, Total-, Gesamtdruck (Kessel-, Ruhedruck)

59, 187, 193, 198-199, 200-201, 343 -, Staupunktdruck 200 -> Staudruck -, Uber-, Unterdruck 30, 59, 194, 200, 204 Druckabfall, Druckgefalle —> Rohr-, Spaltstromung Druckanderungsarbeit 162, 170 Druckbedingung (dynamische Randbedingung) -, Fliissigkeitsoberflache (Atmospharendruck), Niveauflache (Gleichdruckflache) 59, 60-61, 63, 71, 114-115, 193-195, 308, 348, Abb. 2.16b -, Strahl (aufgepragt) 113, 202, 205, 335 Druckbeiwert 38, 200, 253, 255, 302 Druckenergie (innere, potentielle) —> Energie Druckgleichung (Bernoulli) 198, 199 —»Energiegleichung -, hydrostatische Grundgleichung (Euler) 59-60 -, Querdruckgleichung (normaler Druckgradient) 113-114, 199, 207, 268 Druckhohe (Fliissigkeitshohe), Drucklinie 198, 209, 224, 281, 287, 295, Abb. 3.9, 3.57 Druckkraft (Spannungskraft) 5, 20, 51-53 -, hydrostatisch 186-190, Abb. 3.1-3.4 -> Bodendruckkraft -, Fluidelement (dichteveranderlich, barotrop, turbulenzbedingt), Fluidvolumen 53-58,63, 109, 112, 120, 125, 136, 139, 167, Abb. 2.3-2.6, 2.49, Tab. 2.1, 2.10 ^Auftriebskraft -, Kontrollflache (Ersatz-, Stiitzkraft) 99-100, 323, 325, 330, 335 -, Kontrollfaden (Stromfaden), Rohr, Gerinne 104, 197, 203, 207, 213, 230, 258, 309 Druckkraftpotential (barotropes Fluid) = Druckenergie (potentielle) 56, 58-59, 113-114, 158, Tab. 2.12 Druckverlust, Gesamtdruckverlust (fluidmechanischer Energieverlust) —• Rohrstromung Druckverteilung -, hydrostatisch (Wanddruckverteilung) 59, 186-190, Abb 2.7, 3.2

357

Sachverzeichnis -, radial (Stromlinienkriimmung) 117-118,132,300-302, Abb. 2.36 -> Querdruckgleichung Druckviskositat (Volumenviskositat, bulk viscosity) 16, 123 Druckwelle (Dichtewelle), DruckstoB (WasserschloB) 11, 45-48, 286, Abb. 1.17 Druckwiderstand (reibungslose, reibungsbehaftete Stromung) 103, 341, 345 Diise (Rohrverengung), Stufen-, tjbergangsdiise 202, 259-261, 267 Dusenstrahl (angestromter Korper) 330-335 Eckenstromung 81, 339, Abb. 2.24 Eckert-Zahl 37, 40, 171 Eigenschaft, EigenschaftsgroBe (physikalisch) 3-30, 31-32, 82-83, Tab. 1,2, 2.4 -> Fluidelement, Fluidvolumen Eigenschaftsdichte (EigenschaftsgroBe/Volumen), Eigenschaftsstrom (Eigenschaft/Zeit) 83-87,88,97,104, 106, 156, 177, Tab. 2.4 -> Transportgleichung Einheitsvektor 71-72 Einschniirung ->Kontraktion Elastizitat (Hooke-Gesetz), Elastizitatsmodul 7, 120, 122 -, elastisches Verhalten (Druck, Viskositat) 5, 7, 17, 80, 153, 158 -, Kontrollfaden 86 Energie (Zustandsgrofle), Energiesatz, Energetik 2, 31, 34, 50, 83,150-153,232, Tab. 2.4, 2.11 -, totale Energie 154, 156 -, turbulenzbedingte kinetische Energie 179-182, Tab. 2.10b -, Beschleunigungsenergie (instationare Stromung) 222 -, Druckenergie (innere, potentielle = Druckkraftpotential) 56,59,113,153,158,160, 162, 197, 221, Tab. 2.11, 2.12 -, Geschwindigkeitsenergie (kinetische) 39^0,113,153,154, 156, 157, 163, 164, 179, 182, 197, 215, 221, Tab. 2.10b -, Innere (thermische) Energie —> Innere Energie -, Lageenergie (potentielle) = Schwerkraftpotential 39, 58,

59, 113, 153, 157, 197,215, 221, 222, 292 -, Massenkraftenergie (potentielle) = Massenkraftpotential 157, 160 Energieentnahme, Energiezufuhr (Stromungsmaschine) 205-207, 279-280, 328 Energiegleichung (Bilanzgleichung, Fluid-, Thermofluidmechanik) 34, 50, 151-165, 323, Tab. 2.11 -> Arbeitssatz, Hauptsatz der Thermodynamik, Bilanzgleichung -, statisch, hydrostatisch (Euler) 58-60 -, Bernoulli-Energiegleichung (einfach, erweitert) 112-113, 117-118, 119, 197-199, 205-206, 208-209, 222-224, 323, Abb. 3.9 ->Rohr-, Gerinnestromung -, Bezugssystem (rotierend) 119 -, Systemvolumen, Kontrollraum, Kontrollfaden, Fluidelement 154-165, 179-182, 323, Abb. 2.46-2.48, Tab. 2.4, 2.10b Energiestrom (Energie/Zeit) 151, 156,220 Energieverlust (fluidmechanisch) 12, 96 -+ Rohr-, Gerinnestromung Enthalpie (energetische ZustandsgroBe) 20-24, 40, 83, 160-163, 165-166, 170, Tab. 1.2, 2.4, 2.12 Entropie (energetische ZustandsgroBe), Entropiequelldichte (Entropieproduktion), Entropiestromdichte 7, 11, 20-24, 83, 173-178, 181, 238, Tab. 1.2, 2.4 Entropiegleichung (Bilanzgleichung), Entropieungleichung (Gibbs-Fundamentalgleichung) 50, 172-178, Tab. 2.14 Ersatzkraft, Ersatzmoment (Kontrollflache, freier Teil) 99, 104, 107, 337, Abb. 2.29b, c-» Arbeit Euler-Betrachtungsweise (lokal) 32, 67, 83, 86, 109, Abb. 2.25b Euler-Bewegungsgleichung = Impuls- + Kontinuitatsgleichung (reibungslose Stromung) 110-119, 126, 129, Tab. 2.5-2.7

Euler-Stromung (reibungslos, drehungsbehaftet) 116 —> Divergenzform Euler-Turbinengleichung 108, 328, Abb. 2.34 -»Stromungsmaschine Euler-Zahl 37, 38 Fadenstromung (Stromfaden, Kontrollfaden), Fadentheorie (stationar, instationar) 195-207, 208-217 Fallbeschleunigung (Schwerbeschleunigung) 18-19, 40, 57,62,103, 112 Fallhohe, Forderhohe (Stromungsmaschine) 280, Tab. 3.1 FeldgroBe (physikalische GroBe, spezifische EigenschaftsgroBe, Eigenschaftsdichte) 32, 83-84, 135, Tab. 2.4 -»TransportgroBe Flachennormale, Flachenvektor 53, 56, 70, 89, 189, 209, Abb. 2.3,2.25b, 2.26,2.27 Flachwasser, Flachwasseranalogie (Fliissigkeit/Gas), Flachwasserwelle, Grundwellengeschwindigkeit 44, 47^48, 299 FlieBformel -»Rohr-, Gerinnestromung Flugelprofil (Tragflugel), Flugelgitter (Stromungsmaschine) 107-108, 207, 324-329, Abb. 2.34, 3.73-3.75 Fluid (Fliissigkeit, Dampf, Gas) 1-2 -> Aggregatzustand -, barotrop geschichtetes Fluid (Gas) 7-8, 54-56, 58-59, 113-119, 158, 160, 162, Abb. 1.1c, Tab. 2.1, 2.12 -, dampfformiges Fluid -» Dampf -, dichtebestandiges (inkompressibles) Fluid 6, 7, 11, 186-349 -, dichteveranderliches (kompressibles) Fluid 6, 7,11, 16, 45-48, 91-95, 123, 168 -, homogenes, inhomogenes Fluid 5, 63, 125-130, 133, 136-150, 171, 179, 182, Tab. 2.7 -, schwerloses Fluid 18, 57, 199 -, tropfbares Fluid 3 -»Flussigkeit -, viskoses, normalviskoses = newtonsches Fluid (NewtonFluid), anomalviskoses =

358 nichtnewtonsches Fluid (Bingham-Fluid) 12-17, 41, 109, 119-150, 227, 233, Abb. 1.4-1.6 -, Eigenschaften, StoffgroBen 3-30, Tab. l . l ^ D i c h t e (Massendichte), Wichte (Schwerkraftdichte), Viskositat, Temperaturleitkoeffizient, Warmekapazitat, Warmeleitkoeffizient Fluidelement (Raumelement, Volumenelement) 13-14, 19, 24,31-34,53-58,62-68, 71-82, 87, 91-94, 109-150, 163-172, 177-178, 179-183, Abb. 1.3b, 1.7,2.21,2.35,2.38, 2.49 Fluid-, Thermofluidmechanik (Energiegleichung) 1-3, 50, 151 Fluidvolumen (Volumeneigenschaft) 56-57, 83, 84-87, 88, 97, 104, 106, 156, 175 ^ S y stemvolumen, Kontrollvolumen Fliissigkeit (tropfbares, dichtebestandiges Fluid, Wasser), Fliissigkeitsstromung 1-6, 8, 11, 14,22,24,25,39,44-45, 48, 51, Abb. 1.1a, Tab. 1.2 -> Gerinnestromung -, rotierende Fliissigkeit (GefaB) 61-62, 77, Abb 2.9, 2.23a -, ruhende Fliissigkeit (Hydrostatik) 2, 59-60, 186-195, Abb. 3.1-3.4, Tab. 2.6 -, schwingende Fliissigkeit (kommunizierendes GefaB, WasserscbloB) 213-214, 284-291 -, Eigenschaften, StoffgroBen 3-30, Tab. 1.1 Fliissigkeitsoberflache (freie Oberflache), Fliissigkeitsspiegel, Grenzflache 5, 26-29, 39, 44,48,59,61,63,71,114-115, 186-195, 198, 202-205, 208, 210-217, Abb. 1.8-1.10, 2.7 -> Gerinnestromung Formanderung, Verformung, Deformation (Fluidelement) 5, 12, 16, 64, 79-80, 120, 122, Abb. 2.21 -> Verschiebung, Dehnung, Scherung Formanderungsarbeit (druck-, reibungsbedingt) 164, 165, 167, 232 Fourier-Gesetz (Warmeleitung) 24, 158

Sachverzeichnis Froude-Ahnlichkeitsgesetz, Froude-Zahl 37, 39, 40, 44, 128 -> Gerinnestromung Gas (dichteveranderliches Fluid, Luft), Gasstromung 1-6, 8, 12, 14, 24, 25, 40, 45^48, 51, 63, Abb. l.lb.c -, barotropes Gas —> Fluid -, dichtebestandiges Gas (kleine Mach-Zahl) 40, 196, 199-200 -, thermisch ideales, reales Gas 8-10, 22 -, vollkommen ideales Gas 10, 12, 22, 24, 26, 166, 170, 178, Tab. 1.2 -, Eigenschaften, StoffgroBen 3-30, Tab. 1.1 Gaskonstante (molare, spezifische), Sutherland-Konstante 8-10, 14, 22, Tab. 1.1 GefaB (fliissigkeitsgefullt), AusfluBgefafl 59-60, 187-190, 202-205, 210-213, 214-217, 281-284, 339, Abb. 3.13, 3.14, 3.17, 3.19, 3.50 -, kommunizierend (U-Rohr) 193-194, 210, 213-214, 284-285, Abb. 3.7a, 3.16, 3.18, 3.51 -> WasserschloB -, rotierend 57, 61-62, 79, 81, Abb. 2.9 -, AusfluBoffnung, Ansatzstiick (abgerundet, scharfkantig, Borda-Mundung) 202-205, 211,214, 339, Abb. 3.13 -, Bodendruckkraft (Paradoxon) 59-60, 188, Abb. 2.8 Gerinne, Gerinnestromung (Kanalstromung) 33, 44-45, 130, 291-321, Abb. 1.16,3.55 -, beschleunigt, verzogert 292, 311, 313, Abb. 3.55 -, gleichformig, ungleichformig 292, 302-315, Abb. 3.65 -, instationar 292, 320-321 -, laminar, turbulent 292, 294, 304-308 -, stromender, schieBender AbfluB, ZufluB (Stromen, SchieBen) 44-45, 292, 295-299, 311-320, Abb. 1.16, 3.59, 3.65, 3.68, Tab. 1.5 -, vollkommener, unvollkommener Abflufi, Uberfall 316-320, Abb. 3.68, 3.70, Tab. 3.6 -, Druckverteilung (Stromlinienkrummung) 300-302, Abb. 3.61

, Durchmesser (gleichwertiger, Querschnittstiefe) 293-294, 299 , Energiegleichung (erweitert, Bernoulli), fluidmechanischer Energieverlust, Energiehohe 295-298, 308, 309, 314, Abb. 3.57, 3.58 , FlieBzustand (AbfiuBformen) 296-300, Abb. 3.55, 3.58, 3.59 , Fliissigkeitsoberflache (freie Oberflache), Fliissigkeitsspiegel, Spiegelgefalle, Spiegelkurve (Stau-, Senkungslinie) 292-293, 295, 296, 303, 309-315, 319, Abb. 3.57, 3.65, 3.68 , Geschwindigkeitsprofil, mittlere Geschwindigkeit (FlieBformel) 44, 292-293, 294, 302-304, 307, Abb. 3.56 , Grund-, Schufi-, Tauch-, Uberfallstrahl 312, 317-318, 319-320 , Impulsgleichung = Kraftgleichung, Krafthohe 296-298, 308-309, Abb. 3.58 , Kennzahl (Froude-, Reynolds-Zahl) 44, 294-295, 298-299, 304-308, 314-315 , Kontinuitatsgleichung 308, 309 , Oberflachenwelle (Flachwasser-, Kapillar-, Schwerwelle) 40, 44, 299, 315 , Reibungsgesetz, Schubspannung, Wandschubspannung, Reibungszahl (Geschwindigkeitsbeiwert) 303-308, Abb. 3.62-3.64 , Schutze, Uberfall, Wehr 292, 300,309,312,316-320, Abb. 3.65, 3.68-3.71, Tab. 3.6 , Sohle, Sohlengefalle 292, 295, 311,319 , Strahl (Grund-, SchuB-, Tauch-, Uberfallstrahl) 312, 317-318, 319-320 , Stromungsumschlag (laminar —> turbulente Stromung, kritische Reynolds-Zahl) 294-295, 305, Tab. 1.5 , Volumenstrom 44, 298, 308, 318, Abb. 3.58b , Wandbeschaffenheit (glatt, rauh) 291, 294, 306-308 , Wechselsprung (Wassersprung, stromende -> schieBende Flussigkeitsbewegung) 45, 48, 292, 300,

359

Sachverzeichnis 311-315, 320, Abb. 3.66, 3.67, Tab. 1.5 Geschwindigkeit, Geschwindigkeitsfeld 31,64-67, 109, Abb. 2.12 -> Messung -, absolut, relativ (rotierendes Bezugssystem) 75-76, 107-108, 118-119, 326-328, Abb. 2.19 -, momentan, gemittelt (turbulent) 17, 42, 135, Abb. 2.40 -, mittlere (durchstromter Korper) -»Gerinne-, Rohr-, Spaltstromung) -, normal, tangential 70,89,114, 127, 129 -, radial, azimutal, axial 66, 92, 327, 339 Geschwindigkeitsdruck (Staudruck) 38, 198-199, 208, 221, 253, 302, 326 -, Anstromung (Korper) 42, 133, 200, 344 Geschwindigkeitsenergie (kinetisch) -> Energie Geschwindigkeitshohe 198,224, 295, Abb. 3.9, 3.57 Geschwindigkeitspotential (Potential-, Stromfunktion) 75, 93, 116 Geschwindigkeitsprofil (reibungsbedingt) 13,41-42, 131, Abb. 1.14 -»Rohr-, Gerinnestromung Geschwindigkeitsverteilung Abb. 2.36 —> Korperumstromung Gewicht (Schwerkraft) 18, 60, 99, 190, 198, 203 Gibbs-Fundamentalgleichung (Entropie) 174 Gradient, Gradiententensor (Operator, grad) 54-56, 58, 74, 76-77, 84. Tab. B.I, B.2 -»Integralsatz (Green) Grashof-Zahl 63 Grenzflache (freie Oberflache, korperhaftende Wand), Grenzflachenspannung (Kapillarspannung), Grenzflachendruck (Oberflachenkrummung) 5, 26-29, 40, 53, 61, Abb. 1.8-1.10, Tab. 1.3 -» Wandbeschaftenheit Grenzschichtstrbmung, Grenzschichtgleichung (Prandtl) 100, 127, 141 ->Stromungsgrenzschicht Grundwelle —> Flachwasserwelle

Haftbedingung, Haften (kinematische Randbedingung, Korperoberflache, Wand) 13, 28-29, 41, 70-71, 127, 129-131, 133, 141, 146, 219, 226, 227, 233, 242, 305, Abb. 2.16a Hydrostatische Grundgleichung (Euler) 59-60,114,187, Abb. 2.7 Impuls (BewegungsgroBe), Impulssatz (Kinetik) 2, 31, 50, 83, 95-150, Tab. 2.4 Impulsgleichung (Bilanzgleichung) = Kraftgleichung 96 -, Bahnlinie (langs, normal) 112-114, Abb. 2.35 -, Fluidelement, Schmiegebene (Bewegungsgleichung = Impuls- + Kontinuitatsgleichung) 109-150, 179, 182, Tab. 2.6, 2.7, 2.10a -, Systemvolumen, Kontrollraum, Kontrollfaden 96-108, 197, 203, 206-207, 209-210, 322-323, Abb. 2.29-2.33, Tab. 2.4 -»Rohr-, Gerinnestromung Impulsmoment (Drehimpuls, Drall), Impulsmomentengleichung (Euler-Turbinengleichung) 95-97, 106-108, 323, 332, Abb. 2.34, Tab. 2.4 Impulsstrom (Impuls/Zeit = negative Tragheitskraft), Impulsstromdichte 34, 98, 101-103, 105, Tab. 3.8 -, totaler Impulsstrom (Kontrollfaden) 105 Impulsverlust hinter Korper (Nachlaufdelle, Reibungswiderstand) 103, 341-346, Tab. 3.8 Innere Druckenergie (barotropes Fluid) 153, 158, 160, Tab. 2.11,2.12 Innere Energie (energetische ZustandsgroBe) 20-24, 153, 165-166,170, Tab. 1.2,2.4,2.11 Integralsatz (GauB, Green) 56,85 Isentropie (isentrop = adiabat-reversibel) 4, 7-8, 11, 22, 177-178, 199, Tab. 2.12 -, Exponent, Koeffizient 7, 10, 22, Tab. 1.1, 1.2 Isobarie (isobar), Isochorie (isochor), Isothermie (isotherm) 4, 7, 10, 21, 92

Kalorik (kalorisch), kalorimetrische Gleichung (Warmekapazitat) 19 Kapillaritat (Grenzflache), Kapillarwelle (Fliissigkeitsoberflache) 26-29, 40, 53 Kapillarrohr (Aszension, Depression) 28-29, 194-195, 237, Abb. 3.8 Kavitation (Hohlraum-, Blasenbildung) 30, 39, 199, 283 Kennzahl (Ahnlichkeitskenngrofie) 25, 31, 34-45, 63, 128, 230, 294, Tab. 1.4 Kessel (Behalter) 4, 5, 113, 193-194, 199, 254, Abb. 1.1, 3.7b Kohlendioxid Abb. 1.4, Tab. 1.1 Kompressibilitatskoeffizient (isothermer Ausdehnungskoeffizient) 7-10, Tab. 1.1 Kontinuitat (Kontinuum), Massenerhaltungssatz 2, 4-5, 50, 64, 71, 87-95 Kontinuitatsgleichung (Bilanzgleichung), Kontinuitatsbedingung -, Fluidelement 91-94,109, 116, 136, Tab. 2.5, 2.10a -, Stromfunktion (eben, drehsymmetrisch) 93-95, 129, 148 -, Systemvolumen, Kontrollraum, Kontrollfaden 87-91, 100, 102, 196, 208, 322, Abb. 2.27, Tab. 2.4 -• Rohr-, Gerinnestromung Kontraktion (Strahleinschnurung), Kontraktionskoeffizient (Einschniirungskoeffizient) 203, 205, 259-263, 272, 339-341, Abb. 3.36-* Strahleinschniirung Kontrollfaden (Eintritts-, Mantel-, Austrittsflache) 86-87, 90-91,103,104-106,161-163, 195-217, Abb. 2.26, 2.32 ->Rohr Kontrollraum, Kontrollvolumen (raumfest), Kontrollflache (freier, korpergebundener Teil) 33, 85-86, 88-89, 97-103, 106-108, 155-161, 175-177, 205, 258, 273, 321-323, 325-342, Abb. 2.27, 2.29, 2.30, 2.47, 3.72, 3.76, 3.77, 3.80, 3.81, 3.83, Tab. 3.7, 3.8 Konturbedingung (kinematische Randbedingung, Korperoberflache, Wand) 70-71,

360 114-115, 127, 129, 141, 148, Abb. 2.16a Koordinatensystem (Bezugssystem)33, 65, Abb. 1.12, 1.13,2.11 Korper, Korperkontur, Korperoberflache (Wand), Gefafi (fliissigkeitsgefullt) -, angestromt 42^3,46,70, 100, 103, 205, 324-339, 341 -, durchstromt 38,41-43,45,46, 334-339 -»Rohrstromung -, eingetaucht, schwimmend 62-63, 190-193, Abb. 2.10, 3.5, 3.6 —, ruhend, bewegt 6, 33 -, umstromt 38, 41^2, 45, 68, 103, 106, 116,130,200,322, 341, 344, Abb. 2.11a, 3.10 -, Festkorperrotation (unverformtes Fluidelement) 77, 81, 118 Korperkraft, (Strahlkraft, Reaktionskraft) = negative Stutzkraft (Fluid -+ Korper), 100, 105-106, 197, 203-204, 212-213, 216-217, 323, 324-325, 330-339 -»Auftriebs-, Widerstandskraft Kraft, Kraftmoment (Dynamik) 2, 5, 31, 34, 50, 95-107, 152, 332, Tab. 2.11-»Auftriebs-, Bodendruck-, Coriolis-, Druck-, Ersatz-, Fern-, Korper-, Massen-, Oberflachen-, Reibungs-, Schlepp-, Schub-, Schwer-, Strahl-, Stiitz-, Tragheits-, Turbulenz-, Volumen-, Widerstands-, Zahigkeits-, Zentrifugalkraft Kraft-, Kraftmomentengleichung 100, 107, 109-110, Tab. 2.10 —• Impuls-, Impulsmomentengleichung) Kraftpotential -»Druck-, Massen-, Schwer-, Zentrifugalkraftpotential Kreisstromung (azimutal, konzentrische Kreisbahn) 81, 117-118, 132, Abb. 2.36 Kreiszylinder (angestromt, umstromt), Kreiszylinderwiderstand 43, 65, 69, 341, Abb. 1.15,2.11,3.84 -, rotierend (Couette), MagnusEffekt 132, 330 Kriimmungs-, Kapillardruck (Grenzflache) 28, 195 Kugel (angestromt, umstromt), Kugelwiderstand 133, 341, Abb. 3.84

Sachverzeichnis Kutta-Joukowsky-Auftriebsatz 326-330, Abb. 3.75 Lageenergie (Schwerkraftpotential) -»Energie Lagrange-Betrachtungsweise (substantiell) 31, 67, 109 Laminare (zahigkeitsbehaftete) Stromung (Navier, Stokes, Oseen) 13-14,41-43,44, Tab. 1.5 -> Rohr-, Gerinnestromung -, Bewegungsgleichung = Impuls- + Kontinuitatsgleichung 119-134 -, Energiegleichung 163-165 -, Entropiegleichung 177-178 -, Impulsgleichung 119-134, 147, Tab. 2.6, 2.7 -, Kontinuitatsgleichung 91-95, Tab. 2.5 -, Spannungstensor, Schubspannung, Wandschubspannung 13-14, 16-17, 41, 100, 122-123, 144-146, 168, Abb. 1.3, Tab. 2.8 -, Stabilitat, Instability (Turbulenzentstehung) 132, 147-149 -, Warmetransportgleichung 165-172 -, Zahigkeitskraft (Spannungskraft) 125-126 Laplace-Operator Tab. B.5 Leistung = Arbeit/Zeit 151-161 -> Arbeit Luft Abb. 1.4, Tab. 1.1,1.3 ->Gas Mach-Ahnlichkeitsgesetz, Mach-Zahl 37, 39, 40, 45^7, 199-200 Machkegel, Machlinie, Machwinkel (Oberschallstromung) 46, Abb. 1.17d Magnus-Effekt (angestromter rotierender Kreiszylinder) 330 Masse (Fluidmasse), Massenerhaltungssatz, Bilanzgleichung (Kontinuitat) 4, 6, 50, 64, 83, 87-95, Tab. 2.4 Massendichte -»Dichte Massenkraft (eingepragte Volumenkraft, Fernkraft), Massenkraftpotential, Massenkraftmoment 51-52, 57-58, 60-63,98, 104, 107,109, 114, 120, 136, 139, 152-153, 155-157, 164, 197, Tab. 2.1, 2.11 -» Schwer-, Tragheitskraft, Arbeit

Massenstrom (Masse/Zeit), Massenstromdichte (Stromfunktion) 46-47, 89-92, 93-95, 98, 104, 108, 161, 203-205, 328, 331-339, Abb. 1.19, 2.28, Tab. 3.7, 3.8 -> Volumenstrom Messung, experimentelle Bestimmung, Manometer, Versuchswesen (Druck, Geschwindigkeit, Volumenstrom, Widerstand u.a.) 3, 39, 48, 136, 150, 193-194, 200-202, 221, 256, 293, 343-344, Abb. 3.7b, 3.11, 3.12 Metazentrum (schwimmender Korper) 192, Abb. 3.5b Moment -»Impuls-, Kraftmoment Nabenkorper (im Rohr) 336, Abb. 3.80b Nabla-Operator Tab. B Nachlaufstromung (Nachlaufdelle, Impulsverlust) 103,144, 341-344 Navier-Stokes-Bewegungsgleichung = Impuls- + Kontinuitatsgleichung (laminare Stromung) 2, 119-132, 133, 134, 136, 139, 147-149, 233, 236, Tab. 2.5-2.7 Newton-Schubspannungsgesetz (Zahigkeitsreibung) 14, 120, 122, 141, 169 -> Schubspannung (laminar, turbulent) Newton-Grundgesetz der Mechanik (Impulsgleichung) 18, 96-97, 109, 118, Tab. 2.6 Niveauflache (Gleichdruckflache) 60-62, 193, 210 Normalspannung (druck-, reibungsbedingt), Tangentialspannung (reibungsbedingt) 12, 52, 80, 99, 120-123, 133, 140, 152, Abb. 2.29a Oberflache -> Fliissigkeits-, Korperoberflache Oberflachenkraft (Fluidbegrenzung, Kontrollflache), 31, 51-53, 57, 98-99, 101-102, 107,109 -> Auftriebs-, Druck-, Reibungs-, Spannungskraft Oberflachenwelle -> Gerinnestromung Ol 26, 133, 347, Tab. 1.3 Orr-Sommerfeld-Gleichung (Storbewegung, laminare Stabilitat) 148

361

Sachverzeichnis Ortshohe (geodatische Hohe) 198, 224, 295 Ortsvektor (Lagevektor), Fahrstrahl 31-32, 64, 76-77, 210, Abb. 2.12, 2.20, 3.16 Oseen-Bewegungsgleichung (schleichende Stromung) 133, Tab. 2.6 Paradoxon, Bodendruckkraft (hydrostatisch), Widerstand (d'Alembert) 59-60, 103, 188, 329 Peclet-Zahl 37, 40 Pitot-Rohr, Pitot-Druck (Totaldruck) 200-201, Abb. 3.11c Platte (langs-, normal-, schragangestromt), Plattenwiderstand 13, 41-43, 131-132, 148-149, 171-172, 330-333, 341, 345, Abb. 1.14b, 1.15, 3.77, 3.78, Tab. 3.9 Polytropie (polytroper Zustand), Polytropenexponent 7, 10, 56, 170, Abb. 1.1c Potential -> Geschwindigkeits-, Kraftpotential Potentialstromung, Potentialwirbel 75, 81, 116, 132 Prandtl-Grenzschichtgleichung (Reibungsschicht-Theorie) 2-3, 127 Prandtl-Rohr (Prandtl-Staurohr) 200-201, 293, Abb. 3.11c Prandtl-Zahl (molekular, turbulent) 25-26, 38, 171, 183 Tab. 1.1 Propeller (massedurchlassige Scheibe), Propellerstrahl, Windrad 205-207, 335-336, 339, Abb. 3.15, 3.80a ProzeB (thermodynamisch), ProzeBgroBe (Arbeit, Warme), ProzeBdifferential (unvollstandiges Differential) 20-21,151,154,164,172-175, Tab. 2.14 -, reversibel (adiabat-reversibel = isentrop), irreversibel 7, 168, 172-178, 181, 232-284, Tab. 2.4 -»Entropiegleichung -, stochastisch (turbulent) 135 Pumpe —» Stromungsmaschine Quecksilber (flussiges Metall) 8, 26, 29, 194, 201, Abb. 1.4, 1.10b, Tab. 1.1, 1.3 Quellstromung (Sinkenstromung, Ergiebigkeit) 88, 91-92, 339-341, Abb. 3.82

Querdruckgleichung (normaler Druckgradient) 113-114, 199, 207, 268 Radiale Druckverteilung (Stromlinienkrummung), radiales Gleichgewicht 117, 118, 132,268,300-301, Abb. 2.36, 3.61 Randbedingung (ortlich) 39, 208, 232, 233, Abb. 2.16 -, dynamisch —> Druckbedingung -, kinematisch -> Haft-, Konturbedingung -, thermisch (diabat, diatherm) -» Wandbeschaffenheit Rauheit (Wandbeschaffenheit) 146, Tab. 3.4 -> Rohr, Gerinne Reibung, ReibungseinfluB (Zahigkeit, Turbulenz) 5, 12-17, 39-40,41-43,69-71,81,94, 103, 109, 153, 173, 203, Abb. 1.6, Tab. 1.5 -> Bewegungsgleichung (reibungslos, reibungsbehaftet), Rohr-, Gerinnestromung Reibungskraft (Spannungskraft, laminar, turbulent) = Zahigkeitskraft + Turbulenzkraft, Reibungswiderstand 12, 13, 109, 139, 341-346, Tab. 2.10a Reibungsschicht -» Stromungsgrenzschicht Reibungswarme (Dissipationsarbeit) ->Arbeit Reynolds-Ahnlichkeitsgesetz 39, 40, 344 Reynolds-Ansatz (Grund+ Schwankungsbewegung) 135, 139-140, 179 Reynolds-Bewegungsgleichung = Impuls + Kontinuitatsgleichung, Energiegleichung (turbulente Stromung) 134-147, 179-183, Tab. 2.6, 2.10a Reynolds-Zahl 37-38, 39, 42^(3, 128, 133, 147, 182, 346 —»Rohr-, Gerinnestromung Rheologie (FlieBkunde) 2, 16 Rohr, Rohrstromung (Rohrhydraulik, dichtebestandiges Fluid) 33, 34, 43, 104, 130, 151, 217-291, Abb. 3.50, Tab. 3.1 ->Kapillar-, Pitot-, Prandtl-, Venturirohr, GefaB (kommunizierend), Spalt

, instationar (turbulente Schwankungsbewegung, WasserschloB) 134, 221, 222-225, 283-291, Abb. 2.40, 3.52-3.54 , quasieindimensional 33, 219 , laminar, turbulent 41, 130, 145, 219, 227-229, 233-256, , nichtkreisformiger Querschnitt 235, 244, Abb. 3.25 , vollausgebildet 227-251, Abb. 3.21-3.32 , Druck, Druckabfall, Druckgefalle, Druckverlust 219-220, 221, 229-235, 253-255, 283, 286, Abb. 3.23, 3.34, Tab. 3.2b, c , Durchmesser (gleichwertiger) 226, 235-236, 244, 282 , Energiegleichung (erweitert, Bernoulli), fluidmechanischer Energieverlust = Gesamtdruckverlust, Energiebetrachtung 217, 221-224, 232, 255, 256-281, Abb. 3.20, 3.23, Tab. 3.1 , Geschwindigkeitsprofil, mittlere Geschwindigkeit (FlieBformel), Geschwindigkeitsausgleichswert (Energie, Impuls) 41-42, 219-221, 223, 226-227, 228, 233-234, 236, 239-242, 251, 256, Abb. 1.14a, 2.42c, 3.22, 3.26-3.28, Tab. 3.2 , Hochlage 219, 229 , Impulsgleichung = Kraftgleichung 224-225 , Kennzahl (Reynolds-Zahl, Rauheitsparameter) 34, 228, 229, 230, 233-236, 237-251, Tab. 3.3 , Kontinuitatsgleichung 222 , Reibungsgesetz, Schubspannung, Wandschubspannung, Rohrreibungszahl (DarcyWeisbach, Hagen-Poiseuille, Blasius, Prandtl-Karman, Colebrook-Moody), 229-251, Abb. 3.23-3.25, 3.30-3.32, Tab. 3.3 , Stromungsablosung, Sekundarstromung 221, 244, 252, 256, 264, 267-269, 273, Abb. 3.42 -, Stromungsumschlag (laminar -> turbulente Stromung, kritische Reynolds-Zahl) 228-229, 233-235, 237-238, 246, 252-253

362 -, Volumenstrom 219-221, 222, 225, 234, 281-283, Abb. 3.50, Tab. 3.2a -, Wandbeschaffenheit (glatt, rauh) 144-147, 219, 229-235, 236-251, Abb. 3.32, Tab. 3.4 Rohraustrittsstrbmung 259, 266-267, 282 Rohreintritts-, Rohreinlaufstromung (RohranschluB) 226-227, 251-256, 261, Abb. 3.21, 3.33, 3.34, Tab. 3.5 Rohrquerschnittsanderung (Erweiterung, Verengung) 162-163, 202, 257-267, Abb. 2.48a, 3.35-3.37, 3.38 -> Diffusor, Diise Rohrrichtungsanderung (Stromumlenkung) 105-106, 267-272, Abb. 2.33, 3.41-3.44 Rohrverzweigung (Trennung, Vereinigung) 272-279, Abb. 3.45-3.49 Rotation (Operator, rot), Tab. B.3 Ruhezustand (Hydrostatik, Kessel, Haft-, Konturbedingung, Staupunkt) 2, 51-64, 110, 113, 127, 141, 186-195, 199, 254, 261, Abb. 3.1-3.4 Tab. 2.6 Schallgeschwindigkeit, (Unter-, Uberschallgeschwindigkeit), Schallmauer 6, 11-12, 24, 39, 40, 45-48, 142, 196, Tab. 1.1 Scherung (Winkelverformung), Schergeschwindigkeit, Scherstromung (laminar, turbulent) 13, 17, 80, 81, 120, 122-123, 130-132, 140-147, 164, 168, 171-172, 182,183,236,347, Abb. 2.21d, 2.39b, 2.41 Schleichende Stromung (kleine Reynolds-Zahl, Oseen, Stokes) 39, 130,133-134, 347, Tab. 2.6 Schleppkraft (druck-, reibungsbedingt) 109, 163, 232-•Arbeit SchlieBvorgang (Regelvorrichtung, WasserschloB) 285-291 Schmiegebene (Dreibein, bahn-, stromlinienorientiert) 71-73, 111-114, Abb. 2.17, 2.35 Schmiermittelreibung (laminar, Gleitlager) 130, 133, 236, 347-349, Abb. 3.85 Schubkraft, Schub (Strahlantrieb), 205-207, 334-339

Sachverzeichnis Schubspannung (Tangentialspannung, reibungsbedingt), Wandschubuspannung ->larainare, turbulente Stromung, Rohr-, Gerinnestromung Schwere (Graviation), Schwereinflufi, Schwerwelle (Flussigkeitsoberflache) 5, 18-19, 39-40, 4 4 ^ 5 , 59, 98-99, 107, 113, 165, 195, 198,292,323, 341, Tab. 1.5 Schwerkraft (Gewicht), Schwerkraftdichte (Wichte), Schwerkraftpotential = Lageenergie, Schwerkraftmoment 18-19, 39, 52, 57, 58, 59, 61, 62,98,103,104,107,109,112, 113, 127, 128, 153, 157, 190, 197, 203, 213, 216-217, 225, 303, 323, Tab. 2.1 Schwimmen (Auftrieb, Eintauchtiefe, Metazentrum) 62-63, 190-193, Abb. 3.5, 3.6 Schwingungsverhalten (Turbulenzentstehung, kommunizierendes GefaB, WasserschloB) 147-149, 213-214, 284-291 Sickerstromung (Grundwasser) 130, 131, 133, 236 Spalt, Spaltstromung, Spaltreibungszahl (laminar, turbulent) 130-132, 235-236, 244, 254-256, 260, 305, 347-349, Abb. 2.39a, 3.21, 3.24, 3.34 Spannung, Spannungskraft (Oberflachenkraft) 98-100, 107, 109, 120-122, 123-125, 139, 152, 155-157, Abb. 2.29, 2.38, Tab. 2.9, 2.11 -* Druck-, Zahigkeitsspannung, Grenzflachenspannung, Normal-, Tangentialspannung Staudruck (Geschwindigkeitsdruck) 198 -> Anstrdmung Staupunkt, Staupunktdruck (Ruhedruck), Staurohr (Prandtl) 68, 69, 199, 200, Abb. 2.16a, 3.10 Stickstoff Tab. 1.1 Stoffgesetz, StoffgroBe 3-30, 38, 110, 122-123, 125, 126, 130, 152, 171, Tab. 1.1 Stokes-Bewegungsgleichung (schleichende Stromung) 133-134, Tab. 2.6 Stokes-Spannungsgesetz (Druck, Zahigkeit) 14, 123 Strahl (Fluidstrahl), Freistrahl, (Strahlgeschwindigkeit, Strahlgrenze) 113, 144, 149,

202-204 -> Diise, Gerinne, Rohraustritt Strahlantrieb (Propeller, Turbo-, Raketenstrahltriebwerk) 205-207, 334-339, Abb. 3.81, Tab. 3.7 Strahleinschniirung (Strahlkontraktion) 203, Abb. 3.13b,c -> Kontraktion Strahlkraft, Strahlreaktion (angestromter Korper), RiickstoBkraft (GefaBausfluB) 203-204, 212-213, 216-217, 330-339 Stromfaden (Stromrohre), Stromfadentheorie (stationar, instationar) 33, 46-47, 69, 195-217, Abb. 1.19, 2.15 -»Kontrollfaden Stromfunktion, vektoriell, eben (Lagrange), drehsymmetrisch (Stokes) 69, 93-95, 117, 129, 148, Abb. 2.28 Stromlinie, Relativstromlinie, Wandstromlinie (festgehaltene Zeit) 67-71, 73, 75, 91, 94, 102, 113, 115, 116, 117, 119, 300-302, 325, Abb. 2.11, 2.13, 2.14,2.17,2.19 Stromung, Stromungsfeld (Darstellung, Erscheinungsform) 31-48, Tab. 1.5-•Fluid -, absolut, relativ 34,75,97,107, 109, 118-119,327-328 -, em-, quasiein-, zwei- (eben, drehsymmetrisch), dreidimensional (raumlich), Schmiegebene 32-33, 66, 71-73,93-95, 111, 114, 120, 219, 321-349, Abb. 1.12, 1.13, 2.17, 2.28, 2.35 -, gleich-, ungleichformig 2, 50, 51-64,98, 110, 121, 133 -• Gerinnestromung -, instationar, quasistationar 32, 40-41,65,68,86,89,115, 127, 134, 160, 208-217, 327, 332, Abb. 2.11b -» Rohr-, Gerinnestromung -, laminar (zahigkeitsbehaftet), turbulent (momentan, gemittelt, statistisch) 41-43, 119-150, 170-172, 178-183 —> laminare, turbulente Stromung -, quellfrei 84, 85, 89, 93-94, 98, 157-158, 167, 175 -, stetig, unstetig 47, 89, 98,156 -, stromend, schieBend 44-45, 4 7 ^ 8 , Abb. 1.16, Tab. 1.5 -> Gerinnestromung

363

Sachverzeichnis -, umkehrbar, reversibel, irreversibel (Bewegungsgleichung) 105, 116, 127, 204 Stromungsablosung 65, 341, 345 —> Rohrstromung Stromungsgrenzschicht (Wandnahe, laminar, turbulent) 2-3, 39, 42, 100, 127, 141, 144, 148-149, 227, 251-252, 263-266, 269, 328, 341 -, viskose Unterschicht, viskosturbulente Ubergangsschicht 42, 140, 144-146, 240-242, 244-249, Abb. 2.42c Stromungsmaschine (Fluidenergiemaschine), Pumpe, Turbine 30, 34, 107-108, 118, 162-163,217,279-280, 283, 287, 326-328, Abb. 2.34, 2.48b, 3.73, 3.74, 3.79, Tab. 3.1 Stromungsumkehr 105, 116, 127-128 Stromungsumschlag, Umschlagpunkt (laminar -> turbulente Stromung, kritische Reynoldszahl 4 2 ^ 3 , 132, 149-150, 346, Abb. 2.45, Tab. 1.5 -»Rohr-, Gerinnestromung Strouhal-Zahl 37, 40, 72, 128 Stiitzkraft (Fremd-, Haltekraft) = negative Korperkraft), Stiitzmoment (Kontrollflache, korpergebundener Teil, Korper -»Fluid) 100, 104, 107-108, 157, 197, 225, 309, 323, Abb. 2.29b, c -> Arbeit Stiitzmasse (Strahlantrieb, bordeigen, bordfremd) 89, 334, 339 Summationsvereinbarung 66,77 Systemvolumen (mitbewegtes Fluidvolumen), Systemgrenze 84-85, 87, 88, 96, 106, 152-155, 173-174, Abb. 2.25a, 2.46, Tab. 2.11 Tangentialspannung -»Normalspannung Taylor-Wirbel 132 Temperatur, TemperatureinfluB 3, 5-12, 14-15, 19-25, 28, 30, 31,39, 63, 153, 160, 171, 175, Abb. 1.2, 1.4, 1.5 -> Warmeleitung -, momentan, gemittelt (turbulent) 135, 182-183

Temperaturleitkoeffizient (Temperaturleitfahigkeit) 25, 38, 40, Tab. 1.1 Thermodynamik -, thermodynamisches Verhalten 19-26 -, erster Hauptsatz 20, 50, 154-155, 163->Energiegleichung der Thermofluidmechanik -, zweiter Hauptsatz 172-183 —> Entropiegleichung (Entropieungleichung) Torricelli-AusfluBformel (GefaB) 203, 215, 282, 318 Tragheitskraft.(tragheitsbedingte Volumenkraft, d'Alembert) 31, 34, 39, 63, 130, 152, 156-157, 230, Tab. 2.11 -, turbulente Schwankungsbewegung = Turbulenzkraft 109-110, 130, 139 TransportgroBe (FeldgroBe, Volumeneigenschaft), Transportgleichung (konservative Form, Kontrollraum, Kontrollfaden) 82-87, 88, 90, 97, 104, 106, 156, 166, 177, Abb. 2.25b, 2.26, Tab. 2.4 Turbine, -> Stromungsmaschine Turbulente (turbulenzbedingte) Stromung (Reynolds) 13, 17, 24, 42^13, 44, 109, 130, Abb. 2.40, Tab. 1.5 -> Rohr-, Gerinnestromung -, Diffusion (diff), Dissipation (diss), Produktion (prod) 181-183, Tab. 2.10b -, Bewegungsgleichung = Implus- + Kontinuitatsgleichung 134-147 -, Energiegleichung 179-182, Tab. 2.10b -, Impulsgleichung, ImpulsaustauschgroBe 17, 26, 110, 136-141, 143, 182, 242, Tab. 2.6, 2.10a -, Kontinuitatsgleichung 136, Tab. 2.10a —, Mischungsweg (turbulent) 142-147, 182, 241-243, Abb. 2.41, 2.43, 3.29 -, Spannungstensor, Schubspannung 17, 99, 139-140, 141-147, 182 -, WandeinfluB (Geschwindigkeitsverteilung), Wandgesetz (logarithmisch) 17, 25, 146, 240, Abb. 2.42c

-, Warmetransportgleichung, WarmeaustauschgroBe 25-26, 182-183 Turbulenzentstehung, Turbulenzgrad (Kugelkennzahl) 132, 147-150, 237, Abb. 2.45 Turbulenzkraft = Tragheitskraft der turbulenten Schwankungsbewegung 98, 109, 139, Tab. 2.10 Umlenkkorper (gewolbte, geknickte Platte, Stromungsmaschinenelement), Strahlkraft 332-335, Abb. 3.78 Umschlag -»Stromungsumschlag Unterschallstromung (subsonisch), Uberschallstromung (supersonisch) 45-48, 329, Abb. 1.17, Tab. 1.5 Unterschicht (viskos) -> Stromungsgrenzschicht U-Rohr -> GefaB (kommunizierend) Vakuum (sehr kleiner Druck) 7, 12, 193 Venturi-Rohr (Volumenstrommessung) 201-202, Abb. 3.12 VerdichtungsstoB (Stofifront, tjberschall—• Unterschallstromung) 46-48, Abb. 1.18, Tab. 1.5 Verformung (Deformation) -> Formanderung Verlust (fluidmechanisch) -• Energieverlust Verschiebung, Verschiebungstensor (raumliche Geschwindigkeitsanderung) 77, 80, Abb. 2.20 Viskositat (ZahigkeitskoefBzient) 12-14, 25-26, 30, 152, 179 -> Fluid -, dynamisch, kinematisch 14-16, 24-25, 38, 39, 40, 168, 176, 181, Abb. 1.4, Tab. 1.1 -, normal (Newton, Andrade, Sutherland), anomal (Bingham) 12-17, 25-26, 41, Abb. 1.4, 1.6 -, scheinbar (Boussinesq, turbulent), Wirbelviskositat 17, 26, 141-143, 182 -, Scherviskositat, Druckviskositiit 14, 16, 17, 123 -, Viskositatsfunktion (Dichte, Temperatur) 15, Abb. 1.5

364 Volumen, Volumeneigenschaft Fluid-, Kontroll-, Systemvolumen -, spezifisch (thermische Zustandsgr6Be) 6, 8, 20 Volumen~nderungsarbeit 155, 166, 167-168, 170, 175 Volumeneigenschaft (Systemvolumen, Kontrollraum, Kontrollfaden) 84-87, 88, 90, 97, 104, 106, 156, 177, Abb. 2.25, Tab. 2.4 Volumenkraft 31, 52, 57, 98, 101-102, 109 ~ Auftriebs-, Massen-, Schwer-, Tr~igheitskraft Volumenstrom (Volumen/Zeit) --* Messung, Rohr-, Gerinnestr6mung -, GefaBausfluB 202-204, 211, 215 , Kontrollfaden (Stromfaden) 44, 47, 86, 90, 161, 196, 208-209 -, Kontr011fl~iche (eintretend: positiv, austretend: negativ) 85, 89, 98, 100, 101-103, 107, 156-157, 177, 322, 325, 330-331,335, 339-340, 348, Abb. 2.25b, 2.27, 2.30 -, Stromfunktion (ebene Str6mung) 95 -, WasserschloB 288, Abb. 3.53 Wandbeschaffenheit (Oberfl~ichenbeschaffenheit, WandeinfluB) -, benetzt = hydrophil, nichtbenetzt = hydrophob 28-29, Abb. 1.10, 3.8 -, w~irmedurchl~issig (diabat, diatherm) 155, 173, 194 fluidhaftend, konturbildend, turbulentbehindernd ~ Haft-, Konturbedingung, turbulente Str6mung

Sachverzeichnis , glatt, rauh 144 147 ~ Rohr, Gerinne -, stoffdurchliissig (por6s) Absaugen, Ausblasen Wandn~he ~ Str6mungsgrenzschicht W~irme (W~irmemenge), W~irmeeinfluB 19-26, 31, 40, 153, 165, Abb. 1.7, Tab. 2.11 W~irmeausdehnungskoeflizient (isobarer Ausdehnungskoeffizient) 7-8, 63, Tab. 1.1 W~irmekapazit~it (isobar, isochor, Differenz, Verh~iltnis) 10, 19~4, 25, 30, 38, 152, 179, Abb. 1.7a, Tab. 1.1, 1.2 Wiirmekonvektion (str6mungsbedingt) 40, 165, 166-167 W~irmeleitung, W~rmeleitkoeffizient (W~irmeleitf'ahigkeit), W~irmestrom 24-26, 30, 40, 151, 152, 158, 161, 165, 169, 174, 176, 183, Abb. 1.7b, 2.47, Tab. 1.1, 2.11 --* Arbeit W~irmetransportgleichung (laminar, turbulent) 130, 165-172, 182-183 Wasser Abb. 1.2, 1.4, 1.10, Tab. 1.1, 1.3 ~ Fliissigkeit Wasserschlog (Staubecken, Druckstollen, WasserschloB, Druckrohrleitung, Regelvorrichtung) 285-291, Abb. 3.52-3.54 Weber-~hnlichkeitsgesetz, Weber-Zahl 37, 40 Wechselsprung ~ Gerinnestr6mung Wellenbewegung ~ Druck-, Flachwasser-, Kapillar-, Schwerwelle Wichte (spezifisches Gewicht, Schwerkraftdichte) 18-19, 59, 301

Widerstandskraft, Widerstand (Druck, Reibung, d'Alembert), Widerstandsbeiwert (Drehk6rper, Kreiszylinder, Kugel, Platte, Tragfliigel) 12, 42~43, 103, 133, 150, 328 329, 341-346, Abb. 1.15, 3.75, 3.83, 3.84, Tab. 3.8-3.10 Wirbel, Wirbellinie, Wirbelgebier 65, 75, 78, 79, 116, 259, 341 ---,Potential-, TaylorWirbel Wirbeltransportgleichung 129 Wirbelviskosit~t (turbulent) 17, 142, 182 Wirkungsgrad (Diffusor, Propeller, Pumpe, Turbine) 207, 259, 264, 280 Zfihigkeit, Z~ihigkeitsspannung 12, 14, 16-17, 122-123, Tab. 2.8 Z~ihigkeitskraft (Spannungskraft, viskos-, turbulenzbedingt) 39, 61, 81, 98, 109, 120, 125-126, 129-130, 136, 139, Tab. 2.10 Zeit, Zeitabh~ingigkeit ~ StriSmung (instation~ir) Zentripetal-, Zentrifugalbeschleunigung, Zentrifugalkraft, Zentrifugalkraftpotential 57, 58, 61, 71-72, 75, 76, 118, 132, 149, 268, Abb. 2.37, Tab. 2.1 Zirkulation, ZirkulationsstriSmung 103, 132, 326, 328, 329, Abb. 3.75, 3.76 Zustand (thermodynamisch), Zustandsgr6Be, Zustandsgleichung (thermisch, energetisch = kalorisch), Zustandsdifferential (vollst~indiges Differential) 7, 8 10, 11, 19-24, 151-154, 164, 172-173, 175, 177-178, Tab. 1.2

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