Feynman Vorlesungen über Physik. Band 3: Quantenmechanik. Definitive Edition, 5. Auflage

5. 6

5.6 Die Mas hinerie der Quantenme hanik

enn die nicht richtig gen" erloren' .

äre blieb die

91

ahrsch inlichkeit nicht erhalten' und Teilchen gin-

Be or wir fortfahren, möchten ir die drei ichtigen allgemeinen Ge etze über Amplituden zu amm n teHen! E ind die die Gin. (5.24) (5.25) und (5.26): (jli)==Öji'

n

(X I
I ( li) (i1 rP ) ,

(5.27)

all

m

(
Iif>).

In die en Gleichung n b ziehen ich i und j auf alle Basi zu tände einer Dar tellung, während

5.6

Die Ma chinerie der Quantenmechanik

Wir möchten TImen zei en, warum die e Ge etze nützlich ind. Angenommen, ir hätten ein Atom in eine gegeb nen Zu rand (womit wir meinen, das e irgendwie präpariert i t), und wir mächten wi en, wie e i h in einem E periment verhält. Mit anderen Worten, ir gehen von un erem Atom im Zu tand if> au und wir möchten wi en, wie die Chancen tehen, da es durch einen Apparat hindurchgeht der nur Atome im Zu tand X aufnimmt Die Ge etze agen au ,da wir den pparat mit drei kample en Zahlen (X I i ) oll tändig be ehreiben können. Die ind die Amplituden für jed n einzelnen Ba i zu tand, im Zu tand X zu ein. Außerdem agen die Ge etze au da wir agen können wa ge chehen wird, wenn wir den Zu tand de Atom durch ngabe dreier Zahl n ( i I
(5.28

s

R

Mit A meinen wir jede b liebige komplizierte Anordnung von Stem-Gerlach-Appar.aten mit Masken oder Halbm ken in brägen inkeln au gerichtet mit eigenartigen elektri ehen und

5

92

magneti eben Feldern... fa t alle wa inem zu nehmen einfäJI1. E i t hüb h, G dankene perimente zu machen - man hat nicht die ganze übe den pparat \'irkli h zu bauen! Dann i t da Problem: Mit welcher Amplitude kommt ein Teilchen d d n b hnitt in inem e durch d 1 tz[ R-Filter geh n (+S)-Zu tand betritt, au A im (0 R)-Zu tand herau, 0 d wird? Für oIch eine Amplitude gibt e eine reguläre ehreibwei e. i lauter (OR[A I +S) .

Wie ge öhnlich mu

man ie von recht nach links le en wie bebräi h:

( enden I durch I anfangen) . Wenn A zufällig nichts bewirkt - ondem einfach ein offener (ORll !+S)

:=

anal i

t -,

dann

(ORI+S) .

hreib n wir (5.29

die beiden Symbole ind gleichwertig. In einem allgemeineren Problem '''onten ir (+ dur h einen allgemeinen Anfang zu tand l/J und (0 R) durch einen allgem in n Endzu tand e tz n, und wir wüs ten dann gern die AmpLitude (x IA ItP) -

Eine voll tändige Analy e de Apparate A mü te die Amplitude ( IA 14» frr j de mögh h Zu tandspaar

s

T

T

R

Die i tin rrklichkeit überhaupt keine Abänd rung, da di eit geöffneten T- pparate ni ht bewirken. Aber ie bringen un zu mer Analy e de Problem. E gibt ein g i Gruppe on Amplituden ( i I +S) ,das die Atome au Sind n i-ten Zu land on T g h n. ann gibt e n h eine Amplitudengruppe das ein i-Zu tand (bezüglich T der in A intrin. al j-Zu tand je
<0 R I j) <j IA Ii)

(i I +8) ,

und die Ge arntamplitude i t die Summe der Au drü ke die ir au al1 n nationen von i und j erhalten können. Die gewün chte Amplitude i t

L = (0 R IJ) (j IA I i) ( iI +S) . ij

öCJlich n K mbi-

. 1

5.6 Die Ma hinerie der QlIamellm

93

hanik

Wenn (0 Rund (+ dur h die allo ein n Zu lände und rp er etzt werden, würden wir einen gleichartigen u druck b k rnrn n; daher haben wir d allgemeine Re cltat

<x I A 141) = I

=<

(5.32)

Ij) (j IAI i) (i I
')

un beachten ie. d die rechte ite on GL. (5.23) wirklich ,einfacher" a1 die linke elte 1 t. Der ApparatA i t 11 tändi be chrieben dur h die neun Zahlen (j IAI i) die uns die Reaktion von A bezüglich d r dr i B i zu tänd d pparate T mitteilen. Wenn wir er t einmal die e neun Zahlen kennen können wir irgend zwei ankommende und au gehende Zu tände f/J und X behandeln, " enn wir jeden dur h die dr i Amplituden für den Üb rgang in jeden oder au jedem der drei Ba i zu tände definieren. Da Ergebni eine Ver uehe wird durch Anwendung der GI. 5.32 orherge agt. Die i t al 0 die Maschinerie der Quant nmechanik für ein Teilchen om Spin ein . Jeder Zustand wird durch drei Zahlen be hrieben, die die Amplituden ind, in einem Zu tand eine au gewählten atze on B i zu tänden zu ein. Jeder Apparat wird durch neun Zahlen be chrieben, di die Amplituden für den Übergang von einem Basi zu tand in den anderen innerhalb de Apparate iod. u die en Zahlen kann alles berechnet werden. Die n un Amplituden die d n pparat be chreib n werden oft al quadrati che Matrix (j IA I i ) - atri genannt - ge hri ben:

nach

on 0

+

+ (+IAI+)

(+IAIO)

(+IAI-)

0

(OIAt+)

(OIAIO)

(OIAI-)

{-\AI+}

(-IAIO)

(-IAI-)

(5.33)

Die athematik d r Quantenm hanik i t nur eine Erweiterung die es Gedanken . Wir wollen Ihnen ein einfa he Bei pi I geben. ehmen wir an, wir hätten einen Apparat C, den wir analy ier n m" chten heißt wir möchten die er chiedenen (j ICI i) berechnen. ir könnten zum B j pi I i n oll n, a in einem derartigen E periment ge chieht

(5.34)

au zwei Teilapparaten A und B in Reihe aufgebaut i t - die Aber dann teilen ir fe t, d Teilchen gehen dur hA und dann durch B - daher können wir ymbolisch chreiben

(5.35)

94 Den C-Apparat können wir da "Produkt" on A und B n nnen. 'ehmen wir au h an. da \ ir chon wü ten. wie die beiden Teile zu anal ieren ind, 0 d wir di latriz n \' n und B (bezügüch T) erhalten können. Un er Problem i t dann gelö t. ir k" nnen lei hl

(xICllb) für jeden Eingang - und Au gang zu tand finden. Zuer

(xICIl/J)1 =

1

ehr ib n \\ ir, da

L (xIBlk)l(kIAI<ß)I. k

Wi en Sie warum? (Hinw i : Man telle i h einen z i hen

vor.) enn wir dann die pezialfalle betra hren, in d nen r/J und ind, agen wir i und j, erhalten wir (jICli)1

=

I

und B er IIten T- pparat u h B i zu tänd ( n T

(jIBlk)l(kIAli)l.

c.

6)

k

Die e Gleichung liefen die Matrix für den "Produkt"-Apparal C. au gedrückt dur h die id n trüen Matrizen der Apparate A und S. Die neue Matrix (j I C I i) - die au den beid n (jIBli) und (jIAli) gemäß der in GI. (5.36) pezifizierten umme gebild [\ ird - ird on arhematikem ..Produkt"-Matrix BA der beiden atrizen Bund A genannt. ( an b a hte. das die Reihenfolge wichtig i t. AB 1= BA.) Folglich könn n ir agen. d die larri für die Hintereinander chalrung zweier Teilapparate gleich dem atrizenprodukl der trizen für di beiden pparare i t (hierbei reht der erste pparat im Produkt uf der recht fI it). J d r. der die atrix- 1gebra kennt. ver tehr dann, da wir einfach GI. C. 6) mein n.

5.7

Tran formation auf eine and re Ba i

ir möchten eine ab chließende F t teilung über di in d n Rechnun n b nutzt n B i zu tände ma hen. ehmen wir an, wir hätten e orgez g n, mit einer b limmten B i zu arbeiten - agen wir mit der S-Ba i -, und ein anderer nt hlieBt ich. die lben R hnungen mit einer anderen Basi - z. B. der T -Ba i-durchzuführen. m die Dinge klar zu halten. woUen wir UD ere Ba i zu tände die (i )-Zu tänd nenn n. wob i i = er - i 1. .. nnn n \\ ir un r rbeit mit lieh bezeichnen" ir die Ba i zu lände dander n nUt (jT. I einer vergleichen? Bei jeder e ung ollten die Iben ndergebni h rau k mm n, r in der Rechnung werden die ver chiedenen Amplituden und atrizen, die v rven et w rd n. unterschiedhch ein. Welche Beziehungen be rehen z i hen ihnen? enn \ ir zum B i pi I beide mit dem eiben lb begjnnen, werden ir e mit d n drei mpliLUd n (i I t/J) b hr iben, da l/J in un ere Ba i zu lände in der -Dar t lIung überg ht, \l, ähre nd er ur h di drei Amphtuden (jT Ilb) be chreiben wird, da der Zu tand r/J in di B i LU länd in Joer T-Darstellung übergehen wird. Wie könn n wir prüfen, da ir wirklich b i d n lb n Zu Land 4J be chreib n? Da können wir mj( der allgern inen Regel T ' n (-.17 . durch einen einer Zu tände jT er etzen, erhalten wir (jT I t/J) =

L(jr I

iS) (iS Il/J) .

.7

5.7 Tran formation auf eine andere Ba i

95

Zur erknüp ung der b id n Dar I Bungen brau hen ir nur die neun komplexen Zahlen der am kann dann dafür erwendet werden, alle eine GleiMatri (}T I i ) anzugeb n. Die hungen in un ere F rm zu üb rtrag n. i agt un wie man von einem Satz on Ba i zuländen auf ein n anderen Iran formiert, ( u die em Grund wird (jT I iS) manchmal "die Tran formation matri nd r Dar teilung S zur Dar teilung T" genannt. Große orte.)

Im Falle der ~ i lehen v m pin in, für die wir nur dr i Ba i zu tände haben (bei höheren pin gibt e mehr). i t di math mati ehe Situation analog zu der, die wir in der Vektor-Algebra ktor kann durch die Angabe dreier Zahlen - die Komponenten kennengelemt haben. J d r in Richtung der X-, y- und::- h - darg teilt werden. Da heißt jeder Vektor kann in drei , Basi "_. ektoren zerlegt erden, die ktoren in Richtung der drei Ach en ind. Aber angenommen ein and r r zieht e r. drei andere h en - x', ) I und ~ - zu benutzen. Er wird zur Dar teHung jede einz In n ektor andere Zahlen benutzen. Seine Rechnungen werden ander au ehen ab r ine End rgebni ewerden di eiben ein. Wir haben die früher chon überlegt und ir kenn n die Regeln um ektoren on ein m Koordination tem in ein andere zu tran formieren. ielleicht mö hten einmal hen, wie die quamenmechani chen Tran formationen funktioni ren, wenn ir i au probi ren; darum wollen wir hier, ohne Bewei , die Tran formation mamz TI zur .. bertragung der pin- in -Amplituden au einer Dar tellung S in eine andere Dar rellun Tang b n, und zarfür er chiedene pezielle relati e Oriemierungen der S- und T -Filter. (ln einem pät r n KapiteL werden wir Ihnen zeigen, wie man die e Ergebni e herleitet.)

Erster Fall: D r T - pparat haI di eLbe y-Ach e (in deren Richtung ich die Teilchen bewegen) wie der S- pparat, j t aber um die gem in ame -Ach e um den Winkel a gedreht (wie in Fig. -6). (Um genau zu ein: Im T - pparat i t ein Koordinaten y tem x', y', i fe [gelegt, da mit den x- y-, -Koordinaten de - pparale verknüpft ist durch: t = 7 co a + x sin a. x' = xeo a - - in ll' . I = ..) Dann lauten die Tran formation amplituden

(+TI S)

= t(l

(0 TI + )

= --

+co a), I

Y2

(-TI+S) =

ina

~(l - co ll'),

I

(+TIOS) = + (OTIOS)

(-TIOS)

(+TI- )

'

= co

ll')) 1

Y2 = 1(1-

In

a, (5.38)

ina,

o a),

1

(0 T I-S) =+- ina,

Y2

(-TI-

)

= ~ (l + co

ll').

96 Zweiler Fall: Der T - pparar hat die elbe::-

h e wie ,i t ab r um die -. eh e um d n inkel ß gedreht. (Die Koordinatentran 'formaüon laut t ::: = -. x' = x ß T Y inß· l = co ß- x inß.) Dann lauten die Tran formation amplituden: ( TI S)

= I. = e-jß , ( -TI-5) alle anderen = O. (OTlOS)

- 9)

Beachten Sie. da jede beliebige Drehung von T au den b id n b zu arnmenge erzt werden kann.

hri benen Drehungen

Wenn ein Zu tand d> dur h die drei Zahlen (5.40)

definiert i t und der eIbe Zu rand au der iehr von T durch die dr i Zahlen C:

= (+TliP). Cb = (OTliP),

C~

= (-TI
( AI)

be chrieben wird, dann ergeben die Koeffizienten ( jT I iS) on ) oder (. ) die Tran fonnation, die Ci und C; erbindet. Die Ci ind. mit anderen Worten. den Kompon TI[ nein Vektor ehr ähnlich. die au der iehr von Sund T er meden er cheinen. ur für ein Spin-ein -Teilchen - weil e drei Amplituden verlangt - be [eht eine ehr enge Korre pondenz zu einem Vektor. In beiden Fällen gibt e drei zahlen. di i h ur g nz be tirnmte ei e tran formieren mü en, wenn j h die K rdinaten ändern., gibr tat ä hlich einen Satz on Basi zu tänden, die sich genau wie die drei Komponenlen eine Vektor transformieren. Die drei Kombinationen ( .·L

tran formieren i h zu C;. C~ und C genau 0, wie ieh x. y. - zu x', )". -' tran r rrnier n. [ ie können nachprüfen. d die zutrifft, wenn ie die Tran f nn Lion e etz -. ) und ~. 9 anwenden.] un ve tehen ie, warum ein pin-ein ..Teil h n ft ein.. 'tor-T il h n" eenannr wird.

5.8

Andere Situationen

ir haben anfang hervorgehob n, da un ere Di ku ion d pin-ein -T il h n in u terbei piel jede quamenmeehani ehen Problem wäre. Die rallgem in run h t nur mit der Anzahl der Zu tände zu tun. n teHe on nur drei Ba i zu tänden kann irg nd ine pezi 11 ituation n B i zu tände enthalten. t n ere Grundge tze in GI. -._7) haben g nau di 1b Form - mit der Bedingung, da i und j alle n Ba i zu tände durchlauf n mu n. J -rDie Anzahl der Basi zu tände n kann unendlich ein. und im AlJgem men

I

1 ,te

d .

5.

Andere Situaliollell

97

Phänomen kann b rechnet werd n, \ nn man all mplituden angibt, da e in einem der Ba i zu tände anfängl und in irgend in m anderen der Ba i zu tände endet und dann über da ganze Stern \' n Ba i zu länden ummiert. Jede geeignete Sy tem von Ba i zu tänden kann benutzt werden, und wenn jemand ein and r Sy tem benutzen mächte, i t e auch recht; die beiden k"nnen durch nwendung einer /l x JI- Tran formation matrix verbunden werden. Wir mü en üb r I h Tran fonnationen päter mehr au agen. chließli h hab n \ ir ver prochen, zu en ähnen, wa zu tun i t, wenn Atome direkt au einem Ofen kommen. durch einen pparal, agen wir A, gehen und dann in einem Filter, da den Zu 'tandX au wählt, anal ien \ rden. ie \ i en nicht, on welchem Zu tand ep ie au gingen. Eil ielleichr am be t n. wenn ie ich im Augenblick um die e Problem nicht kümmern. ondern ich auf Pr bl me konzentrieren, di immer on reinen Zu tänden au gehen. Wenn ie aber doch darauf b leh n. geb n \ Ir hier an, wie da Problem behandelt werden kann. Zuer t mü n ie münftig ab hätzen können, wie die Zu tände in den Atomen, die au dem Ofen kommen. verteilt ind. enn zum Bei piel nicht ,.Spezielle" über den Ofen zu ag n gibt. können i emünftigerwei e annehmen, das die Atome den Ofen mit zufälligen "Orienlierungen" verla en. Quanrenm chani eh ent pricht das der Au age, da Sie nicht über die Zu lände wi en, auß r da ein Drittel im (+S)-Zu tand, ein Drittel im (0 S)-Zu rand und ein Drittel im (-S)-Zu land i t. Für die die im (+S)-Zu tand ind, ist die Amplitude für den Durchgang< I A I + ) und die ahr heinlichkeit I <X I AI +S) 12 und ähnlich für die anderen. Die Ge aml ahr heinlichk it i t dann

Warum benutzen wir an [elle von agen wir T . Da Re ultat i t er launlicherwei e da eIbe, ganz gleich, \ a ir für un re nfang z rlegung wählen - olange \ ir un mit vollkommen zufälligen Orientierun en befa en. uf gleiche Wei e kommt herau dass

I

I (x I i ) 1-

= I I(

2

IjT) 1

j

für jede

. (Den Bewei üb rla en

Bea ht n i, da

ir Ihn n.)

e ni ht richtig i t, wenn man agt, da

die Eingang zu lände die Am-

plituden, {ljj im (+S)-, ...[li3 im (0 - und {113 im (-S)-Zustand zu ein, haben' da würde beinhalten, da gewi e Interferenz n möglich wären. E i teinfach 0 da Sie nicht wissen wel he der Anfan zu rand i t; ie mü n on d r Wahr cheinlichkeit au gehen da das tem in d n er chied n n möglichen nfang zu tänden beginnt, und dann mü . en ie über die er chiedenen . öglichk ilen ein r:ß i htete Mittel bilden.

6

Spin 1/2

6.1

Tran formation on Amplituden

Im letzten Kapitel ~ b n wir eine r i hl über di allgemeinen Prinzipien der Quantenmech nik, obei wir ein tem m pin ein al Bei piet benutzten: Jeder Zu land 1/1 kann durch ein Sy tem on Ba iszu tänden be chrieben werden. indem man die rnplitud n für den ufenthalt in jedem der Ba i zu tände angibt. Die mplitude für den .. b rgang von einem Zu tand in einen anderen kann im Allg m in n a1 llmme von Produkten ge hrieben werden, wobei jedes Produkt die mplitude für den Übergang in inen d r Ba i zu tände multipliziert mit der Amplitude für den .. b rgang on die m Ba i zu tand in den Endzu tand ist und die umme inen Tenn für jeden Ba i zu tand enthält: (x 11/1)

=I

(x 1i) (i 11/1) .

(6.] )

Die Ba i zu tänd ind orthogonal- die Amplitude für den Aufenthalt in einem i null, enn man h n in dem anderen i t

t

(6.2)

Die mplitud für den direkt n .. bergang on einem Zu tand in einen anderen i t da k mpl K njuoien d umoek hrten Vorgang ( 11/1) =(1/11 ).

(6.3)

ir di kutiert n auch in enig über den Tatbe tand da e mehr al eine Ba i für die Zu tände geben kann lind da ,ir GI. (6.1) [\ enden können, um von einer Ba i auf eine hm n wir zum B i piel einmal an da wir die Amplituden ( iS Ix ) , ander überzugeh n. den Zu tand I/J in jedem der Ba i zu tänd i ein Ba i t m zu finden hatten, aber d wir un dann en ehlieBen den Zu rand d h lieber durch ein andere Sy tem on Ba i zu tänden zu be ehr ib n ag n ir dur h die Zu tänd j, die zu der Ba i T gehören. In der allgemeinen ormel, GL (6.1), k nnt n wir jT für ub tituier n und rhielten die Formel

ur I r/J) =I

UT I i S) (i 1r/J ) .

(6.4)

TDie e Kapitel ist ein ziemlich lange und ab trakt Ab chweifung. und fuhrt keinen Gedaltken ein, zu dem wir nicht au h in päteren Kapiteln auf anderen \ gen kommen \ erden. ie können e daher übe chlagen, und wenn ie [nIere e haben. päter darauf wrü kkommen.

6

100

pin 112

Die Amplituden. da der Zu land (1/1) in den Ba i zu tänden (iT) i 1. ind mit d n mplituden, da er in den Ba i zu tänden (iS) i 1. durch ein rem on Koeffizienten (jT I i ) \'erknüpft. Wenn e Ba i zu tände gibt, dann gibt e 2 von 'olchen Koeffizienten. ein K ffizienten y tem wird oft ooTransjormalionsrnarrix für den ,. bergang von d r S-Dar lellu/lg in di T -Dar lellung" genannt. Da ieht furchtbar mathemati 'ch au ,aber wenn \\ ir e in wenig umbenennen, können wir ehen. das e wirkli h nicht 0 chlimm i l. Wenn \ ir die mplitude. da der Zu tand t1J im Basi zu tand (i ) i t, Ci nennen - da heißt ,= (i 11/1) - und b zei hnen mit Ci die ent prechenden mplituden für da Ba i tern T - da heißt j = (jT 11/1) -. dann kann GI. (6.4) ge chrieben werden a1 C'.1

= LJ '\' R..e. CJ c'

(6. )

wobei Rji da eibe bedeutet wie ( jT I iS) . Jede Amplitude Cj i t gleich der umme üb r all~ i von einem der Koeffizienten R JI multipliziert mit der rnplitude C" ie hat die Ibe Form \ le bei der Tran formation eine Vektor von einem Koordinaten lern in ein andere . Damit wir mcht für zu lange Zeit zu ab trakt ind, haben ir Ihnen inige Bei pi le die er Koeffizienten für den pin-ein -Fall gegeben, damit Sie eh n können wi man i in der Praxi anwendet. Anderer eil i t da etwa ehr Schöne in der Quantenm chanik - noomJi h, da man au der bloßen Tatsache, da e drei Zu tände gibt, und au d n ymmetrie igen h fl n d Raume bei Drehungen die e Koeffizienten allein durch ab trakte .. berlegun en h rl ilen kann. Wenn wir Ihnen in die em frühen tadium olche rönerungen vorführen. hat eden a ht il, da je in ein eitere Sy tem on b traktionen verwickelt w rden, b vor \\ ir ..auf f t n Grund" kommen. Die e Sache i (jedoch 0 chön, da wir e trotzdem tun werden. ir werd TI llmen in die em Kapitel zeigen. wie die Tran fonnation -K ffizi nten für ~ ilchen vom Spin! hergeleitel werden können. Wir nehm n di en Fall lj b r a1 pin in. w il er etwas einfach-er i t. n er Problem be teht in der Be timmung der K ffizi nten R'j fur in Teilchen - ein tom tem -, da in einem tem-G rla h- ppara[ in zwei trah! n u'o P 1ten wird. Wir werden aJle Koeffizienten für die Tran formation von iner ar r llung in in andere dur h reine Überlegung - plu einige nn hmen - h r1eit n. Eini e nnahm n ind imm r notwendig. wenn man ,,reine" Überlegung anwenden wilJ~ Obw hl di u ftihrungen ab trakt und etwa verwickelt ein werden. wird das rgebni, da wir erhalten w rden. relati einfach darzu teilen und lei ht zu er tehen ein - und da rg bni i t da \i i hti c te. i können die, enn ie wollen aJ eine Art k.rultur lIe E kur ion an h n. Tat ä hli h hab 11 Ir vorge ehen d aJle we entliehen Ergebni e, die hier herg leit t w rden. au h auf ndere rt hergeleitet werden. \ enn ie in päteren Kapiteln benötigt rden.

Sie brau hen daher nicht zu befürchten, den Faden un r r qu m nme hani h n tudien zu verljeren, wenn ie die e Kapitel ganz au la en oder e zu einem päter n Z itpunkt b i htigt. d durcharbeiten. Die E kur ion i t ..kulturell" in dem inne, da ie zu zeig n die Prinzipien d r Quantenmechanik ni ht nur intere ant, ond m tiefg h nd ind. d \V ir dur h Hinzufügung on nur wenigen zu ätzLi hen H p Lh n über di truktur de R e eine große Anzahl von Eigen chaften on phy ikali ehen t men ab] it n können.. i t au h wichtig zu wi en. woher die ver chiedenen KOß equenzen d rum nme hanik k mmen weil e . olang un er phy ikali ehen Ge etze un 1I tändig ind - und wir \!'i n d ie e ind -. intere am i t herau zufinden, b die teilen. wo un re Th on n ni ht mehr

Koordillalell y fem

101

mit dem E p rim nt üb r in timmen. d rt ind. 0 un re Logik am be ten oder wo un ere Logik am hle hte ten L t. Bi jelZt heim . da wir dort, wo unsere Logik ganz ab trakt i t, immer korrekte Ergebni. e erhalt n - ie timmen mit dem Experiment überein. ur enn wir ruh n. pezielle delI on d rinneren echanik der Elementarteilchen und ihren e helwirkung n aufzu tell n, ind wir nicht in der Lag eine Theorie zu finden. die mit dem Experiment über in timm!. Di Th ori al 0, di wir jetzt be chreiben werden, timmt mit dem Experiment üb r in. \ 0 immer ie gete tet wurde - owohl für die elt amen Teilchen al auch für Elektronen. Protonen und 0 w iter. Be or wir fonfahr n, no h eine Bemerkung über einen törenden aber interessanten Punkt: E i t nicht mögli h, di Koeffizienten Rjl eindeutig zu be timmen, weil e inuner irgendeine illkür in den ahr eheinliehkeit amplituden gibt. Wenn Sie ein y tem von Amplituden irgendeiner rt hab n, agen ir die mplituden, an einer Stelle auf einer ganzen Menge von ver chiedenen Weg n anzukomm n. und wenn Sie jede einzelne Amplitude mit dem eIben Pha enfaktor multiplizier n - agen wir mit e icS -, dann haben Sie ein andere System, da genau 0 gut i l. Daher i te imm r m"gli h, wenn man möchte, bei einern gegebenen Problem die Pha en aller mplituden willkürlich zu ändern. Angenommen, ie b r ehnen irgendeine Wahr cheinlichkeit, indem Sie die umme on mehreren mplituden. agen ir CA + B + C + ...), auf chreiben und da Absolutquadrat bilden. Dann ber chnet jemand andere da eIbe unter Verwendung der Summe der Amplituden (A' + B' + C' + ... ) und Bildung de b olutquadrate . Wenn alle A', B', C' usw. gleich den A, B, Cu. ind, mit u nahme ine Faktor eieS. werden alle durch Bildung de Ab olutquadrate erhaltenen hr h inlichk it n genau gleich ein da dann (A' + B' + C' + ...) gleich eieS(A+B+C+ ... ) i t. Od r nehmen \ ir zum Beispiel an, da wir etwas mit GI. (6.1) au rechnen aber dann plätzli halle Pha n eine be timmten Ba is y tem ändern. Jede der Amplituden (i I ifJ) würde mit d m elb n Faktor ei6 multipliziert. Ähnlich würden auch die Amplituden (i Ix) dur h eieS g ändert, aber die mplituden (X li) ind da komplex Konjugiene der Amplituden ( i Ix) . daher ird die er t re durch den Faktor e- iÖ geändert. Die plu und minu io in den E ponent n heb n ich auf, und wir hätten d n eIben Au druck wie zuvor. So i t e eine allgem in Reg I d e keinen nter chied macht, enn wir alle Amplituden bezügli h eine gegebenen Ba i t m um die eibe Pha e ändern - oder wenn wir einfach ogar alle Amplituden in irgend inem Probl m um die lbe Pha e ändern. E be teht daher eine gewi e Freiheit bei der u \! ahl d r Pha n in un erer Tran formation matrix. Ab und an \ erden wir olch ine willkürli he ahl treffen - gewöhnlich folgen wir dabei den allgemein gebräuchlichen Kon nlion n.

6.2

Tran formation auf ein gedrehtes Koordinat n y em

Wir b trachten wied r d n "erbe erten Stem-Gerlach-Apparat, der im letzt n Kapitel be hri ben wurde. Ein trahl n pin-!-Teil hen, der on links eintritt ürde im Allgemein n in 7Wei trahl n aufge palten werd n, wie in Fig. 6-1 ehemati ch gezeigt i t. (Für Spin eins gab e dreitrahl n. ie zu or werden die Strahlen wieder vereinigt, wenn nicht der eine oder der andere on ihnen dur h ine" perre blocki rt wird die den Strahl auf halbem ege unterbricht. In der Abbildung i t ein Pfeil gezeigt, der in Richtung wach ender Feldstärke

102 Seitenan i ht ,- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - i I I

I J

I

I

I I J

--------------

I

Feldgradient

Auf icht .- -----------, ..,

,,

,,

,

I

Fig. 6-1: Auf ichl und eitenan i ht in . verbe r. . I len" Slem-Geriach- pparale mit trahlen me pln-~Teilchen.

wei t - agen wir zum Magnetpol mjt den charfen Kanten. Der Pfeil oll di . ufi...ärtsach von irgendeinem einzelnen pparat dar teIlen Die ch e i t mit dem pparat verbund n und ie ird un ge tauen. die relativen Orientierungen aufzuzeigen, \ enn wir mehr re pparate zu ammen benutzen Ir nehmen auch an das die Richtung de magneti hen Feld in jedem Magnet bezüglich de Pfeile die gleiche i t Wir

erden agen, d

diejenigen Atome, die im "oberen"

Lrahl laufen. im ( )-Zu tand

in Be:ug auf diesen Apparat und jene im "unteren" trahl im (-)-Zu tand ind. (E gibt kein n (O)-Zu rand für Spin-4-TeiJchen.)

rehmen wir an. wir teIlen jetzt zwei un erer abgeändenen t rn-Gerla h- pparate in Reihe auf, wie in Fig. 6-2(a) gezeigt Der er te den wir S n nnen. kann dazu benutzt werden. durch Blockierung de einen oder de anderen Strahl einen r in n (+ )- od r einen rein n (-5)-2u tand zu eneugen. [In un erer Zeichnung teUt er einen rein n (+ )-Zu t nd h r.] Für herau ommt eine mplitu . entv. ed r im jeden Zu tand gibt e für ein Teilchen, da au (+ T)- oder (-T)-Strahl de zweiten Apparate zu ein. Ta ächJi h gibt e g rade vi r mplituden: Die AmpLiruden für den Übergang von (+ ) na h ( T) von (+ ) n h - T), von (nach (+ T) und von (- nach (- T). Die e Amplituden ind oerade die vi r K ffizi nt n d r Tran formation matrix R ji für den Übergang von der -Dar teIlung in die T -D teilung. ir können e 0 an ehen, das der er te Apparat einen gewi en Zu tand in d r inen D t Ilung ,.her teilt" und da der zweite pparat di en Zu land in u drü k nd r zweiten t llung "anal iert"'. Die Frage. die ir dann beantworten woUen, lautet Wenn w'rein t m in ein n gege n n Zu tand - agen ir den (+S)-Zu rand - gebracht hab TI, indem ir in n d r trahl n im pparat S bloclGerten. welche Chance hat e dann, durch d n Z\ eiten pparat T zu gehen, nn die er für den (- T)-Zu tand eingerichtet i t? Da Ergebni ird natürli h n d n ink In zwi eben den beiden Sternen Sund Tabhängen. ir oBten erklären, warum wir überhaupt Hoffnung hab TI önnen, di oe zi nt n Rji dur h Deduktion zu finden. ie wi en, da e fast unm"gli hit zu glauben. d . welln d r Spin eine Teil hen in die +z-Richtung wei t, eine Chance be teht d I il h n mit pin in der x-Richtung - oder irgendeiner anderen Richtung - v nufinden. Tat ä hli hit da inahe unmögIich_ aber nicht ganz. E j tonahe am nmöglichen. da nur ein n Lö url we gibt. und darum können wir die en einzigen Weg herau find n.

Koordillorellsy tem

103

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Fig. 6·2: Zwei gleichwertige Experimente.

Da er te Argument, da wir brino-en können ist folgende. ehmen wir an, wir hatten einen Aufbau ie in Fig. 6-2(a), in dem wir zwei Apparate Sund T haben wobei T bezügkh S um den inkel a g kippt i I, und wir ließen durch 5 nur den (+ )-Strahl und durch T nur den (- )-Strahl hindurchgehen. Au der Beobachtung erhielten wir einen gewi en Wert für die Wahr cheinlichkeit da di Teil hen. die au S kommen, durch T gehen. ehrnen wir jetzt an, wir machten no h eine e ung mit dem Apparat au Fig. 6-2(b). Die relative Orientierung von Sund T i t di glei h ,nur liegt da ganze y tem im Raum in einern anderen Winkel. Wir wollen voraus er-eil da die e beiden Experimente denselben Betrag für die Chance ergeben, da ein Teil hen in einem bezüglich reinen Zu tand in einen peziellen Zu tand bezüglich T gehen ird. ir etzen mit anderen orten vorau, da jede Experiment die er An das gleiche Ergebni hai - da die Ph) ik die eIbe i t -, unabhängig da on, wie der gesamte Apparat im Raum au aerichtet i t. ( ie agen, ,Da er teht ich von selbst". Aber e ist eine Annahme und ie i t nur dann ,.richtig", wenn da , wa ge chieht, der WirkJichkeit ent pri ht.) Da bedeutet da di K effizienten Rji nur on der relati en Lage on Sund T im Raum abhängen und nicht nd r ab olmen Lage. Um e ander au zudrücken Rjj hängt nur von der Drehung ab, die in T überführt, d nn ffen ichtlich i t da wa in Fig. 6-2(a) und Fig. 6-2(b) gleich i t, die dreidimen i nal r hun die den Apparat in die Orientierung de Apparate T brincren würde. W nn die Tran rmation matri Rji wie hier nur von einer Drehung abhängt, wird ie eine Drehmatrix genannt. Für un eren nä h t n hritt benötigen wir ein weitere Infannation. Angenommen, ir fügen ein n dritten pparat, d n wir U nennen können hinzu, der auf T in einem beliebigen Winkel folgt, wi in ig. 6-3(a). (E fangt an, fürchterlich au zu ehen, ab r da i t da ette arn ab trakten D nken - dur h bloße Zeichnen on Linjen können Sie die wilde ten Experimente machen.) a i t nun die S 4 T 4 V-Tran formation? onach wir irklich frag n oll n i t die Amplitude für den Übergang von einem Zu tand bezüglich S zu ein m nderen Zu tand b züglich V, wenn wir dje Tran formation von S nach

6

104

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(a)

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7 I

(b)

I

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pill 1/2

I

- -, \

I

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I

',' I •

I I

._------------' 5

5

Fig. 6·3: Wenn T "weit geöffnet" i t. i

I

(b) gleichwenig mit (a).

T und on T nach U kennen. Wir unter uchen dann ein E periment. in d m beid Kanäle von

T geöffnet ind. Die Antwort können wir erhalten, wenn wir GI. (6.5) zweimal hint r inand r anwenden. Für den Übergang von der S-Dar teilung zur T -Dar tellung haben \\ ir ( .6

wobei wir die oberen Indize TS an da R chreiben, damit wir e von den K ffiLient n RUT unter cheiden können, die wir für den Übergang on T nach rhallen \\ erden. Wenn wir annehmen. das C~' die mplituden ind, in den B i zu tänd nd r -D t 1lung zu ein, können wir ie durch nochmalige n ndung d r Gl. (6.-) auf die T- mplituden beziehen; wir erhalten:

C",

=~ ~ RU!C'. kJ J'

.

)

j

UD können wir die Glei hungen (6.6 und (6.7) erknüp n. um di TI n f nnati n von direkt nach U zu erhalten. enn wir C. au GI. 6.6 in l. (6.7) in elzen. haben I,l, ir J

Oder wir können, da i nicht in R~T auflritt die ummation üb r i au h

C" - ~ ~ R T RT k - L.; L....J kj JI

.cj •

J

Die i t die Fonnel für eine doppelte Tran fonnation.

rlieh n un

hrei n

6.

6.2 Tran formation auf

1/1

edrehres KoordillQfen y rem

105

Bea hten je jedo h, da di Zu lände, di aus T herau kommen, die eIben ind wie die die hineinging n, olange kein trahl in T blockiert wird. Wir hätten eben 0 gut eine Tran formation au der S-Dar. tellung direkt in di -Dar tellun cr machen können. E mü te da eIbe ein a] w nn der U - pparat direkt hinter S ufge telltwürd , wie in Fig. 6-3(b). In die em Fall hätten ir ge chri b n

eilk = 6"

RL. Sc;'

(6.10)

RJ

wobei zu die er Tran fomlati n die ffizi nten gehören. un oilten die GIn. (6.9) und 6.10) offenbar die eiben mplilUden [' ergeben, und die ollte unabhängig da on gelten. ie der ur prüngli he Zu tand 4> au ah, der un die Amplituden Ci liefene. Daher mu gelten:

Rf,S

= L RkI R~s .

(6.11 )

)

j[ anderen on n. für jede Dr hung -7 U iner Bezug ba is, die a1 Zu ammen etzung zweier au~ inanderfolgend r Dr hungen 5 -7 T und T -7 U ange ehen wird, kann die Drehmatrix R~ au den atrizen der bei den Drehungen mittel GI. (6.11) erhalten werden. enn Sie wollen können i GI. (6.11 direkt au Gl. (6.1) erhalten. denn je i t nur eine andere ehr ibwei e für ( k I iS) = Lj (kU I)T ) UT IiS ) .

Der Voll tändigkeil halber Illen \ ir die folgenden Bemerkungen ein chieben. Sie ind jedoch nicht o furchtbar wi htig. ie können daher, \ enn i .. ollen, gleich zum näch ten Ab chnitt übergehen. \ as wir ge agl haben. i t ni hl ll3nZ ri htig. . ir können ni ht wirkli hagen, da die GI. 6.9) und die GI. (6.10 genau die gleich n mplilud n geben mü en. ur die Physik ollte die gleiche ein, alle mpliruden könnlen um einen gemein amen Phasenfaklor wie eiD ver chieden ein. ohne das Ergeblli iraendeiner Bere hnung der \ irklichen eil zu verändern. Daher i t alle, as wir an Stelle on G1. (6.11) wirklich agen könn n, da e'tJ RUS k,

= U\' R(,JT RJIT

(6.12)

J

wob i 6 irgel1de;ne reelle Kon tante i t Die er zu ätzliche Faktor e'o bedeutel natürlich, da die Amplituden die ir dur h Am endung der atrix R S erhalten, ich alle um die gleiche Phase (e- iO ) von den Amplituden unter cheiden können, die \ ir rhall n würden, wenn wir die beid n Drehungen R T und RTS verwenden. ir i. n, da e ni ht au macht wenn all Ampliluden um die elb Pha e geändert werden, daher könnten wir, ,enn ir \ IIren die en Pha enfaktor einfach ignorieren. E tellt i h jedo h herau da b i einer nderen Definition all un erer Drehmatrizen die er zu ätzliche Pha enfaktor niemal auftreten wird - da 6 in 1. (6.12) \! ird immer null ein. Ob ohl e für den Re t un rer uführungen nicht, i htig i L. könn n ir die durch Verwendung eine mathemati chen Lehr atz über Detenninanten kurt. b \ i en. l on ie no h ni ht iel über Detenninanten wi en, kümmern ie ich nicht um den Bewei ,ondem geh n ie infach zu d r D finition in GI. (6.15) über.] Zuer tollten wir agen, da GI. (6.11) die mathemati che Definition eine ,Produkte' on zwei atrizen i t. CE i I einfa h bequem, agen zu können,,R si t d Produkt on R T und RTS".) Außerdem

6 pin 1/2

106

gibt e einen mathemati hen Lehrsatz - den Sie leicht für die 2x2- aIrizeß. die \\ir bi r haben, wei n Produkt ihrer können -. welcher be agt, das die Determinante ein ,,Produkte' 'on zwei Matrizen Determinanten i 1. enn wir diesen Lehrsatz auf GI. (6.12) an enden. rhalten ",'

6.13) ir las en die UDteren Indize weg, weil ie nichts Brauchbare au agen. Ja, d U i t richti . B d nken Sie, das wir uns mit 2x2- atrizen befas eo, jeder Term in der atrix S wird mit . rnultiplizi n. daher ird jed Produkt in der Determinante - das zwei Faktoren hat - mit e116 multiplizien.• un nehmen wir die Quadratwurzel au GI. 6.13) und dividieren GI. (6.12 dadurch' wir malten nlJS /{ki

_ \'

"';DetKJs -

R.l:UT J

RTS JI

L: "';DerKJT YDetR

6.1 ) TS

Der zu ätzliehe Phasenfaktor ist ver chwunden. enn wir alle unsere Amplituden in irgendeiner gegebenen Darstellung 11 rmiert an ehen wollen (was,wieSie icherinnem,bedeutet,das L.j(
RSundard

= .~.

6.1 )

"DetR

1f können die tun, weil wir jeden Term von R einfach mit dem eiben Ph ofaktor multiplizieren. um die gewünschten Phasen zu erhalten. Im Folgenden werden ir immer rau tzen, ureatrizen in die Standardform gebracht iod, dann können wir GI. (6.11 verwen n, hn wir z ootz1i h Pbasenfaktoren haben.

6.3

D eh ngen um die z-Ach e

Jetzt ind ir in der Lage, die Tran formation matrix Rji Z i hen z hi d n n DartelJuogen zu finden. 't un erer Regel für die Zu ammen tzung Oll en und un rer orau etzung, d der Raum eine Vorzug richtung hat ha n ir i hlü • di ir benötigen, um die atrix für irgendeine beliebige Drehung zu find n. E gi t nur eine .. ung. l1" beginnen mit der Tran formation, die einer Drehung um di z- eh nt pri bl. hIn 0 wir an, wir hatten zwei pparate Sund T die in Reihe läng ein r gerad n ioie u' e t Ilt ind und deren Achsen parallel ind und au der Hu h eÜe herau ze] eu. wi in i. (a) gezeigt i t. Ir legen un ere ,,Z-Ach e' in die e Ri htung. enn d r trahJ in d m - ppara t nach oben" (nach +.:: geht, wird er icher da eIbe im T - pparat tun. G i h ["\ i wir r wenn er in S nach unten geht, auch in T nach unten gehen. e m n wir jed h an. r T - pparat in einem anderen inkel aufge teilt wäre, aber immer noch e parall 1 zur eh e on S hätte, wie in Fig. 6-4(b). Rein gefühl mäßig ürd n ie g n, in +)Strahl in S auch von einem (+)-Strahl in T begleitet wurde, eil die eId r nd Feld di fit n

6.3 Drehungell um die -Aeh e

107

r-

(b)

(a)

y

eidgradient

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"

P

,

...

Fig. 6·4: 90 -Drehung um die ".

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J

s

h e.

immer noch in der eiben phy ikalj hen Richtung liegen. Da wäre auch ganz richtig. Auch würde ein - - tra j in immer n h in einen (-)-Strahl in T gehen. Da eibe Ergebni würde für jede Orientierung on T in der '-Ebene on S zutreffen. Wa agt die au über die Beziehung zwi ehen C: = (+Tlrlt), C~ = (-Tlif!) und C+ = (+SIt/J), C_ = (-SIif!)? Sie könnten chließen da j d Drehung um die z-Ach e de "Bezug y tem ' der Ba i zu tände die Amplituden ie zu or .oben und unten' belä t. Wir könnten C: = C+ und C~ = C_ chreiben - aber d i tjal eh. Alle. a ir folgern können, i t da für oIehe Drehungen die Wahr cheinlichkeiten. im . ob n' - trahl zu ein, für die S- und T -Apparate gleich ind. D heißt,

Ic:r = IC I und

IC~I =

ICJ.

Wir können nicht agen. da die Phasen der Amplituden, bezogen auf den T -Apparat, nicht ver chieden für die zwei er chieden n Ori ntierungen in (a) und (b) von Fig. 6-4 ind. Die zwei pparate in a) und (b von Fig. 6-4 ind tat ächlich ver chieden wie wir folgendennaßen er ennen k··nnen. ehmen wir an da wir einen Apparat or Sauf tellen der einen reinen (+x)-Zu tand erzeugt. (Die x-Ach e zeigt in der Figur nach unten.) Solche Teilchen ürden in S in (+ )- und (-z)- trahJ n aufg palten. ber die zwei Strahlen würden bei PI - dem Au gang on S - ieder zum Zu tand (+x) ereinigt werden. Da eIbe ge chieht in T ieder. Wenn . ir auf T einen dritten pparat V folgen ließen de sen Ach e ich in der (+x)-Richtung befindet wie in Fig. 6-5(a gez igt, ürden alle Teilchen in den (+)-StraW on U gehen. un 0 teUen Sie ich or wa g hieht enn T und V zu ammen um 90 in die Stellungen die in Fig. 6-5(b) gez igt ind, g dr ht ürden. Wieder gibt der Apparat T genau da herau, wa er auch aufninum, 0 d di 1i iIchen, die in V eintreten in einem (+x)-Zu tand bezüglich S ind. Ab r U wei t j tzt den (+ )-Zu tand bezügli h S nach, d r er chieden i t. (Au S mrnetriegründen würden wir nun erwarten, da nur die Hälfte der Teilchen hindurchgeht.) Wa kann ich geändert haben. Die pparate T und V haben immer noch die eIbe ph sikaUsche Beziehumg zueinander. Kann ich die Ph) ik ändern, nur weil T und V ander au gerichtet ind? ach un er r ur prüngli hen orau tzung dürfte da nicht ein. Die Amplituden bezüglich T mü n in den b iden in ig. 6-5 g z igten Fällen verschieden ein - und daher auch in ' ig. 6-4. Fiir ein Teilch n mu e eine Möglichkeit geben zu erkennen das e bei P abgebogen i t. ie könnte e da f t tellen? un all , wa wir gefunden haben, i t. da di~

6 pin 112

10 ?)

(b)

(a)

y

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x

I

*

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(+x)

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P

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5

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T

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..J

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(+x)

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I

s

U

Fig. 6-5: Ein Teilchen in einem (+ xl-Zu tand verhält ich in (a und b \ e chieden.

Beträge on C' und C_ in beiden Fällen gleich ind aber ie könnten - und tat ä hli h mü en ie - ver chiedene Phasen haben. Wir cbließen darau da C' und C_ erknüpft ind dur h

und das

C~

und C_ erknüpft ind durch

obei il. und J1 reelle Zahlen ind, die irgend ie mit dem menhang tehen.

und T in Zu am-

ink I z

o Einzige, W Wll Im oment über A und J1 agen können. i t, i ni ht 1 i h zu ein brauchen [außer für den peziellen, in ig. 6-5(a) g 'h igten Fall, in d m T di 1be Orientierung ie S hatJ. Wir haben ge ehen, da gleich Änd rung n d r Ph en in all TI Amplituden keine ph ikali he u wirkung haben. u dem eIDb TI nd "nn n wi immer zu \' rändern. i t un dah r den eIben beliebigen Betrag zu A und J1 addieren, ohne e[\ ge lallet AundJ1 0 zu wählen, das ie den eiben Betrag haben, a r e hi den orz i hen. D heißt. wir können immer etzen A' = 1 _ il. + J1

2 '

I i\.+J1 J1 = f J - 2 -- .

Damit wird

A'

= ~2 - !!. =-p'.

Wir führen daher die Konvention + ein, d

J1 = -A.

ir haben dann di

+Wenn man e and berra biet. bringen wir die Tran formation eint: h in die hnilt 6.2 durch Anwendung von GI. .15) be chricben ist.

llgem in R

tan~ rm", di

in

eJ. b-

6.3 Drehungen wn die ::;-Ach e

109

das die Tran formaLi n für eine Dr hung de Bezug apparate um irgendeinen Winkel um die z-Ach e lautet

(6.16) Die ab oluLen rte ind 1 i h nur die Pha en ind er crueden. Die e Pha enfaktoren ind verantwortlich für die er hied nen Ergebni e der beiden Experimente on Fig. 6-5. un würd n ir gern d Ge etz kennen, da A zu dem Winkel zwi ehen Sund T in Beziehung elzt. Für einen Fall wi en wir hon die ntwort. Wenn der Winkel null i t, i t A null. UI1 ollen ir vorau e/::;en, d die Pha n er chiebung A eine tetige Funktion de Winkel cb zwi ben Sund T i h Fig. 6-4 j t, wenn fj) gegen null geht - ie e auch emünftig er cheint. enn wir. mitand ren orten, T um den kleinen Winkel E aus der Geraden dur h S herau drehen, i t "-eben a11 ein kleine Größe, agen wir InE, wobei mirgendeine Zahl i t. Wir chreiben die o. weil ir z igen können da i\. prop rtional zu E ein mu . Stellen wir un vor wir mü ten hinter T in n w iteren Apparat T' auf teIlen, der den Winkel E mit T bildet und daher den mkel _ mit . Dann erhalten wir bezüglich T

und bezüglich T'

Aber ir wi en da ir d Ib Ergebni erhalten mü sten, wenn wir T' direkt hinter S teilen würden. Folgli h . ird, enn der Wink 1 verdoppelt wird, auch die Phase verdoppelt. Offen ichtlich könn n \ ir d n Bewei e eitern und jede beliebige Drehung au einer Folge infinite imaler Drehung n autbauen. Wir zi hen darau den SchIu das für jeden Winkel fj), A dem inkel proporti nal i t. ir können daher chreiben A = mfj).

Wir erhalten dann d

1Igem ine Re ultat, da ink I f/J b zügli h gilt

um den

für eine Drehung von T um die z-Ach e

(6.17) Für den inkel fj) und für a1l Drehung n, n denen wir in Zukunft prechen werden, führen wir die tandardk n nli n ein da eine positive Drehung ine Rechtsdrehung um die po iti e Richtung der BeZLIg ach i t. Ein p iti e fj) hat den Dreh inn einer Recht cmaube, die in po iri e z-Richtung einge chraubt wird. un mü n wir herau find n wa mit. Zuer t probieren wir einmal die en An atz: Angen rnmen T ürde um 36 0 edr hl' dann i t e offenbar wieder bei. null Grad anaelangt und wir Uten I = C und C~ = C_ rhalten od r, wa da eibe i t, e,m2Jr = 1. Wir erhalten In ;:: I. Die e rgumentat;on; r falsch! Damit ie ehen da da der Fall i t denken Sie ich T um 180 g dreht. nn 111 glei h 1 är ürd n wir C: = ei7f C+ = -C+ und C~ = e- i7fC_ = -C_ erhalten. Die j t jedo h hon ieder der ursprüngliche Zustand. Beide Amplituden ind eini der das ur prüngliche ph ikali ehe Sy tem ergibt. fach mit -I multiplizi nord n. a 0

6 pin 112

110

(B i t wieder ein Fall on gemein amer Pha enänderung.) Da bedeutet, d bei ein m Anlern ( zügli h T) on wach en de Winkel zwi ehen Sund T in Fig. 6-5(b) auf 1 0" das der ull-Grad-Situation nicht zu unter cheiden wäre, und die Teilchen Ylürden lider dur h - pparat den (+ )-Zu tand de U- pparate gehen. Bei 180 i t al 0 der ( )-Zu tan d der (-x)-Zu tand des ur prünglicben S-Apparate . Daher würde al 0 ein (+x)-Zu tand zu einem (-x)-Zustand werden. Aber ir haben nicht getan, um den U pIÜnglichen Zu tand zu ändern; die Antwort i t fal eh, Wir können nicht m = 1 erhalten. 0

0 ein, dass nur eine Drehung um 360 und kein kleinerer. mkel d nDie Situation mu eIben pby ikali chen Zu land reproduziert. Die wird zutreffen, enn in i t. Dann und a nur dann wird der e te Winkel, der den eIben physika li ehen Zu tand reproduziert. (/J = 60 ein. t Esergibr ich 0

=!

c: = -c+ } C~ = -c_

(6.1 )

0

360 um die z-Ach e.

0

E i t ehr eigenartig, wenn man agt, das man bei einer Drehung de Apparat um 60 neue Amplituden erhält. lfklich neu ind ie aber doch nicht eil die gemein ame derung de Vorzeichen eine andere Phy ik: ergibt. Wenn ich irgendein anderer D bIo en hat, a ämtliche Vorzeichen der Amplituden zu ändern, weil er gedacht bat, [ hätte um 360 g dreht. dann i t das in Ordnung, er erhält die eIbe Pby ik.; Daher lautet un ere ab chlieBende Antwort: Wenn wir die Amplituden C+ und C_ für Spin-}-Teilchen im Hinblic auf ein Bezug y tem S kennen, und wenn wir dann das auf T bezogene Basi y tern benutzen d wir au S durch eine Drehung um t/J um die z-Ach e erbalten, dann werden die neuen Amplituden durch die alten folgendermaßen au gedrückt

6.1'9

6.4

Drehungen von 180 und 90° um 0

Als ächste ollen wir er uchen, die Tran formation für ein Drebung on T bezügli h a S um 180 um eine Ach e senkrecht zur z-Ach e - agen ir um die y- h - h rau zu kommen. (Die Koordinatena b en haben wir in Fig. 6-1 fe tg legt.) 't and ren orten. wir beginnen mit zwei identi hen Stern-Gerlach-Vorrichtungen, obei die Zl; ite. T. ,mit dem Obersten zuunterst" bezüglich zur er ten, S, teht, wie in ig. 6-6. enn ir un un re T< ilehen al kleine magneti che Dipole denken, wird ein Teilchen. as im ( -Zu tand i t -

°

das e den "oberen' Weg im ersten Apparat nimmt -, auch im z eil n pparat den "oberen" eg nehmen, 0 da e bezüglich T im Minu -Zu tand i t. (Im umge hrte T- pparat ind

-t

TEs beint, das m = e auch tun würde. ln (6.17) ben wir jedoch, ledigli h die chreibweise fiir ein Teilchen mit pin nach oben umdefiniert. ;Wenn e in einer Folge von kleinen Drehungen gedreht word n ist, Ausgang lage zurückkehrt. i t e auch möglich, die Auffi ung zu begründen. um im Unterschied zur rein null-Drehung -, wenn Sie die ganze Ge hi bte verfolgt baben_ (lot nicht für eine Drehung um 72(j.)

6.4 Drehungen

VOll

III

I 0 und 900 Wll Y 0

,- - - - - - -- - - I

I I

I

..J

T

Fig. 6·6: Eine Drehung on 180' um die y-Ach e.

sowohl die Gr dienten al alt h di Feldri htung umgedreht, die Kraft auf ein 11 ilchen, de en magneti ehe oment ein gegebene Richtung hat, bleibt ungeändert.) JedenfalI ird das was bezüglich S , nach oben" i t, b züglich T . nach unten' ein. Für die e reLati en Lagen on Sund T wi en ir dann, d di Tran fonnation ergeben mu

ie zuvor können ir einige Z\.l ätzliehe Phasenfaktoren nicht au schließen' wir könnten (für 180 um die y-Ach e) rhalten 0

und

C'-

wobei ß und')' noch be timmt

= ire+'

(6.20)

erden mü en.

Was i t nun mit einer Dr hung um 60 0 wn die y-Ach e? un ja wir wi en chan die Antwort für eine Drehung um 360 um die z-A h e - die Amplitude, in irgendeinem Zu tand zu ein änden da orzeichen. Eine Drehung on 360 um irgendeine Ach e bringt un immer in 0 die ur prüngliche Lage zurü k. E rou gelten da für jede 360 -Drehung da eibe Ergebni 0 herau kommt wie bei einer 360 -Drehung um die z-Ach e - alle Amplituden ändern einfach das orzeichen. UD nehmen ir an ir ürden un zwei aufeinanderfolgende Drehungen um 180 um y or teHen - wobei wir GI. (6.20) benutzen - wir oUten das Ergebni von GI. (6.18) erhalten. Mit anderen orten 0

0

0

(6.21)

und

Das bedeutet

0

Daher kann die Tran formation für ine Dr hung on 1 0 um die -Ach e ge chrieben werden

al (6.22) Die eben benutzten Argumente ind genau 0 gut auf eine Drehung von 180 um jede Ach e in der xy-Ebene an endbar obwohl er chiedene Ach en natürlich er chiedene Zahlen für ß 0

pi" 1/2

112

ergeben können. Das i t jedoch da Einzige, worin ie i hunter h iden könn n. un t ht eine ge i e illkür für die Zahl ß, aber wenn ie einmal für eine Dreha hein der xy-Eben pezifiziert i t, i t ie für jede andere Ach e fe tgelegt. E i t üblich. für in 1 0 -Dr hung um die y-Ach e ß = 0 zu wählen. Um zu zeigen, d wir die e ahl haben. wollen Ir un "or Lell n, d ß fLir ein D hung um die y- eh e nicht gleich null wäre; dann können . ir zeigen. da e eine andere Ach e in der X)'-Ebene gibt, für die der ent prechende Pha enfaktor l1ull ein.\ ird. ir oU n den Pha enfaktor ßA für eine Ach e A finden, di den inkel a mit d r y- h bildet. ie in Fig. 6-7(a) gezeigt. (Der Deutlichkeit halber i t in der Figur aglei h iner ne ati n Zahl. aber das pielt keine RaUe. enn wir nun einen T - pparat nehmen. d r u prüngti h mit in einer Linie tand und dann 1 0° um die Ach e A gedreht ward n j t, w rd n in h ndie wir x', y" und ..1/ nennen wollen - 0 ein. wie in Fig. 6-7 a) ge eigt i t. Dann \\-erd n di Amplituden bezüglich T ein

e_ = - e-iß C+' il

ir können un nun or teIlen, zu der eIben Orienti rung durch die z 'ei au~ inanderfolgend n Drehungen zu gelangen. die in eb) und e) der Figur darge teilt ind. Zu r t t 11 n \ ir un in n h n x. y' und pparat U or der bezüglich S um 180' um die y-Ach e g dr ht i t. Di ;! von U erden 0 ein. wie in Fig. 6-7(b) darg teilt, und dj mplituden be:ii li h ind durch (6.22) gegeben.

z

(a

... ...

(b)

;

,,

,

y

A I

I

:'t

-/,

c

y

..11

/'

Fig. 6-7: Eine I 0 -Dr hung um di eh i l gl i h\\ rti mit einer Drehung on I um )'. der ein D bung um :: ~ Jgt.

113

un baht n i da ir dur h in Dr hung um die, --Ach e' von V nämlich um ::.' on V na h T üb rgehen könn n, wie in Fig. 6-7( g zeigt. Au der Figur können Sie er ehen da d r rfor rli he inkel z im I inkel a i t, aber in entgegenge etzter Richtung bezüglich -' . Dur h \i ndung d r Tran formation on (6.19) mit c/J -2a erhalten wir

=

C+"

= e-iaC' •

c~

=-

urC:.

(6.24)

Durch erknüpfung der GIn. 6.24) und 6.22 erhalten wir (6.25) Die e Amplituden ü en natürli h die eiben em die wir in (6.23) erhielten. Daher rou zu Cl" und ß in folgend r B zi hung tehen

ßA

(6.26)

Das bedeutet da wenn der ink la z i hen der A-Ach e und der y-Ach e ( on S) gleich t, die Tran formation für ein Drehung von 1 00 um A ein ßA = 0 haben wird.

ßj

Wenn nun irgendeine Ach e enkr ehr zur z-Ach e ß = 0 hat können wir ie genau 0 gut ache der Übereinkunft, und wir nehmen die allgemein gebräuchli he an. n er Ero-ebni: ür eine Drehung von 180° um die )-Ach e haben ir

aI y-Achse nehmen E i t a1l in eine

c+ = CC~

} 1 0° um) .

(6.27)

=-C

äch te nach der Tran formaDa wir gerade üb r die y- h e nachdenken wollen wir al tion matri für ine Dr hung on 90° um y fragen. Wir können ie finden, weil ir j en da zwei aufeinand rfolgende 90°-Drehungen um die eibe Ach e gleich einer 180°-Drehung ein mü en. ir beginnen, ind m v ir die Tran formation für 90° in der allgemein ten Form auf chreiben: (6.28) Eine z eile Drehung on 90° um di eIbe Ach

C"

= ae' + ~ ,

C~

= ce: + dC~ .

Durch Verbindung der GIn. 6.2 C" = a(aC + bCJ C~

u

C"+ = C-'

n

+ b( C+ + dC~).

ir jed h. da

eil-

= -C+

(6.29)

und (6.29) erhalt n wir

= c(aC+ + bC_) + d( C+ + dC~).

6.27 wi

ürde die eIben Koeffizienten haben:

(6.30)

114

o das gelten mu

ab+ bd a 2 + bc

= I, = 0,

ae

= -1. = O.

ed

bc + d 2

6.31

Die eier Glei hungen genügen zur Be timmung aller UD erer nbekannten: a, b, e und d. E i t ni ht eh ierig. Betrachten wir die zweite und vierte Glei bung. ir folgern, da a- = di t, was bedeutet, da a = d oder auch, da a = -d i t. ber a = -d faUt au , il dann die er te Gleichung nicht richtig wär . Daher i t d = a. enn ir di benutz n, erhalten ir ofort, das b = 112a und d e = -1I2a i 1. un haben wir alle ur ha au gedrü kt. nn wir die z eite Gleichung ganz durch a au drücken, erhalten Ir 1

7

a- - - = 0 oder 40-

a

1

4

4

- =-

Die e Gleichung hat verschiedene Lö ungen, aber nur zwei on ihnen geben d n tandardwert für die Determinante. ir könnten wirklich a = 1/Y2 etzen. t Dann i t

a = 1I-.fi, c =

-11{2,

b

= l/{2,

d

= 1IY2,

't anderen orten i t die Tran formation für zwei Apparat um 90~ um die y- hegedreht i t,

Cf

+

C~

und T, wobei T bezügLi h

I

= ..fi(e+ . Cl }. 2 =

1 (-C~ + C_) 2

90~

um y.

6. -

ir können die e Gleichung natürlich nach C+ und C_ auf!ö .. D ird un di Tranfonnarion für eine Drehung um minu 90 um angeben. Durch mändem d r trieh würd n ir folgern 0

Cf+ I

-(C -C)}

= ,fi

+

-

0

I

c_ = - c.

-90 um)'. C_)

2

·Die andere Lösung änden alle Vorzeichen von a. b, c und d und entsprichl einer -270 -Drehung.

6.

6.5 Drehun en um x

6.5

115

Drehungen um x ieIJeicht denken ie: ..o "ird lä

herlieh. Was werden ie woW al äch te machen etwa 47 0 um y und dann 3° um x und 0 eiter für immer?" ein wir ind fast fettig. Mit genau z\! inden Tran f rmationen, di ir haben, 90 um und ein willk.'Ürlicher inkeI um z (was wir, wie ie i h rinnem ,erden zuer t behandelt haben) können wir alle Drehungen erzeugen. 0

<:

z (b)

(a)

)"

-"

i

er y

t

y

A

'"

I

I I

X

X

I

i"

',zt'

~ I

\

(e)

\

--

y'" )'

Fig. 6~8: Eine Drehung um er um die x-Ach e i t gleich, ertig mit Ca) einer Drehung von +90 um y, gefolgt von (b) einer Drehung um er um l gefolgt von (e) einer Drehung on -90 um i. 0

0

Zur Erläuterung nehmen wir an, da ir den Winkel a um x haben wollen. Wu wissen, wie man bei dem Inkel a um zorgeht, aber nun möchten wir ihn um x haben. Wie machen wir das? Zuer t drehen ir die;:- eh herunter auf x - da ist eine Drehung on +90 um wie in Fig. 6-8 gezeigt. Dann dr,ehen wir um den mkel a um z'. Dann drehen wir 90° um y". Das Ergebni der dr i Drehungen i t da eIbe wie bei einer Drehung um x um den Winkel a. Es i t eine Eigen chaft de Raume. 0

Die eTat achen der erknüpfung - on Drehung n und was darau ent teht ind an chaulich chwi rig zu erlas en. E i t einigermaßen eit am, wo ir doch in drei Dirnen ionen leben aber e i t cbwer für un einzu ehen, was ge ehieht, wenn wir un einmal 0 herum und dann o herum drehen. enn ir Fi che oder Vögel wären und ein wirkliche Verständni on dem bätten, w ge hi ht ,nn wir im Raum Purzelbäume chlagen könnten wir die e Dinge vielleicht leichter erfa en. Wir wollen jedenfall die Tran fonnation für eine Drehung um a um die x-Ach eherau bekommen, indem wir d benutzen, was wir wi en. ach der er ten Drehung on +90c um y verhalten ich di Amplituden gemäß GI. (6.32).. Wenn wir die gedrehten Achsen x', y' und t nennen führt un die näch te Drehung um den Winkel a um t zu einem Sy tem x", y", t' für

6 Spin 1/2

116

da gilt

Die letzte Drehung on -90 um y" bringt un zu x", ylll, ::"' au 0

(C" - C") . . = _1_ Y2'" -,

Co,

CIII

-

6.

folgt

= _1_ (C" + C") . .,(2+ -

Dur h erknüpfung die er letzten zwei Tran formation n erhalten

Durch Anwendung der GI. (6.32) für C: und C~ erhalten

lr

ir die oll ländige Tran fonnation:

c;' = ~{e+iol2(C: + C_) - e- ia12 ( -c+ + C~)}. C':' = He+ ia12 (C: + C_) + e-io12 (_C+ + C~)}. Die e Formeln können

ir in eine einfachere Form bringen,

enn .. ir daran d nk n, d

WIr erhalten

Hier i t UD ere Tran formation für eine Drehung um die x- eh i t nur etwas omplizi rter al die anderen.

6.6

Beliebige Drehungen UD

können wir ehen. wie wir überhaupt jeden

da jede relati e Orientierung von zwei 1<: ordinaten werden kann, ie in Fiig. 6-9 gezeigt. Wenn wir ein eh en gendwi in Bezug auf x, y und z orientiert i t, könn n ir di ternen mit Hilfe d r drei Euler ehen ink 1 a, ß und l' folgende Drehungen be timmen, die da x, y z- y tem in d

um irgendein n

'ink I .

6.6 Beliebige DrehUlI en

117

Fig. 6-9: Die Lage irgendeine Koordinaten ystem K,)' ,: bezüglich eine anderen Sy rem x. y, z kann durch die Euler ehen inkel er, ß, y gekennzeichnet werden.

Beginnend mit x. y, ::, dreh TI ir un er tem um den Winkel ß um die z-Ach e wobei wir die x-Ach e zur Linie xI bringen. Dann drehen ir um a um diese derzeitige x-Ache, um . . herunter nach ::.' zu bringen. chli mich ird eine Drehung um die neue z-Ach e (das i t Z/) um den Winkel T' die x- h na h und die) - ch e nach)' bringen. t Wu kennen die Tran formationen für jede der drei Dr hungen - ie ind in (6.19) und (6.34) angegeben. Wenn wir ie in der richtigen Reihenfolge erbinden, . rhalten wir

x

C+I

=

co ~ e irJ1+y )12 C + i in ~ e- i f/J-y)12 C 2 + 2 -,

(6.35)

C' ;;;: i in ~ e i(ß-y)12 C+ + co ~ e- i(ß+y)12 C . 2 2-

Au gehend on eini en orau etzungen üb r die Eigen chaften de Raume haben wir 0 die Amplitudentran formation für jede beli big Drehung hergeleitet. Da heißt da wir bei KenntIri der Ampl'roden für irgendeinen Zu tand eine Spin-i-Teilchen in die zwei Strahlen eine Stern-Gerla h- pparate S zu g h n, de en Ach en x, und z ind berechnen können, wel her Anteil in jeden trab] ine Apparate T mit den Ach en x, y' und t gehen würde. I

Mit anderen Worten w nn wir einen Zu tand ifJ eine Spin-~-Teilchen haben, de en Amplituden bezügli h der::.- eh d X,), -tern, oben" und unten zu ein C+ = ( + II/J) und C_ ;;;: ( -I ifJ) ind dann kennen ir auch die Amplitud n C: und C~, oben' und unten' bezüglich d r z' -Ach e irgendeine anderen tem x'. ',7' zu ein. Die vier Koeffizienten in den Gin. (6.35 ind die Terme der "Tran formation matrix' , mit der wir die Amplituden eine Spin-1-Teil hen in irgend in ander Koordinaten y tem projizier n können. ir wollen nun einig Bei pi le au arbeiten um Ihnen zu zeio-en, wie das all funktioniert. ehm n ir folgend infa h Frage. Ir chieken ein Spin-t-Atom durch einen SternGerlach- pparat der nur d n (+z}-Zu tand dur hlä t. Wie groß i t die Amplitude da e im ühe können i auch zeigen, da das x, y. -- lern durch die folgenden drei Drehungen um die ch en in d x', y'. '" - tem gebracht werden kann: Cl) Drehung um den Winkel 'Y um die ur pTÜngliehe z-Ach e. (2) Drehung um den IOkel Q' um die u pIiingliche x-A h e, (3) Drehung um den Winkel ß um die u prungliche --A h e.

t it et ursprfingli hell

6 p;n JI2

118

(+x)-Zu tand ein wird? Die +x- eh e i t die eibe wie die ~ - h e ein um 90 um die y-Ach e gedrehten Sy rem. Für die e Problem i te dann am einfa h ten, die Gin. 6. 2 zu benutzen - ob.. oW ie natürlich auch die oll tändigen Gleichungen von 6. benutzen können. Da C+ = 1 und C_ = 0 i t, erhalten wir C~ = l/{2. Die ahrs heinli hk iten ind da Ab olutquadrat die er Amplituden; e be reht eine Chan e on -0 Prozent, d d t il hen durch einen Apparat gehen wird, der den (+x)-Zu tand au wählt. V on ir na h dem (-x)Zu tand gefragt hätten, wäre die Amplitude -1/ {2 auch ein ahrs h inlichkei on 1/:. ergibt - wie man au der Symmetrie de Raume erwarten würde. enn daher in 1i il h n im (+:)-Zu tand j t, i legleich wahr ch inlieh im (+x)- oder (-x)-Zu tand. aber mit entgegenaeetzter Pha e. Eben 0 gibt e in y keine Voreingenommenheit. Ein Teil hen im ( - -Zu tand hat ine 50:50 Chanc in (+Y) oder (-y) zu ein. Für die e illd jedoch b i n ndung der Fonnel für -900 -Drehung um x) die Amplituden 1I{2 und -i-fi. In die ern Fall haben di Ampüruden eine Pha endifferenz on 90° tatt 1 0°, wie bei (+x) und (-x. uf die e i z igt i h tat ächlieh der nter chied zwi ehen x und y.

4-li

ten, da ein pinil hen in in m Zu tand tfJ i t, derart, da e läng einer Ach e A, die durch die mkel (J ünd t/J in Fig. 6-10 tgelegt i t, oben' polari ien i 1. Wir möchten die Amplitude C i en, da da Teil hen ., ben' läng : i t. und die mplitude C_, das läng z "unten" i t.

A

y B

Fig. 6-10: ine durch die Pol gekennz ichn te

'ink I

und fb

<11 -- h in ir können die e Amplituden finden. enn wir un or t lien, tem i (, de en x- hein beliebig r Ri hrung liegt - a en ir in d r ben ,di durch und ~ gebildet ird.

ir können dann mit drei Drehungen da 'y rem on A 'n x. '. z überführen. Zu t ma h n \\ ir eine Dr hung um -n12 um die h e A, wel he di x- h zur Linie B in d r i ur brinot. Dann drehen wir um (J um die Gerade B (die neue x- eh de J tem zur :- h

119

6.6 Beliebige Drehungen

zu bringen. cWießlich dr hen ir um den Winkel (n12 - 4;) um z. Wenn wir bedenken da wir nur einen (+)-Zu tand bezügli hA haben, erhalten wir

Zum chlu woll n wir die Ergebni e die e Kapitel in einer für un ere pätere Arbeit nützlichen Form zu ammen a n. Zuer t erinnern wir Sie, das un er ur prüngliches Ergebni in den Gin. (6.35 in einer anderen otaLion ge chrieben werden kann. Beachten Sie, da die GIn. (6.35) genau da eIbe bedeu(en ie GI. (6.4). Das heißt, in den G1n. (6.35) ind die Koeffizienten on C = <+5! 1/1) und C_ =(- I t/J > gerade die Amplituden UT I iS) von Gl. (6.4) - da ind die Amplituden d ein Teilchen im i-Zu tand bezüglich S im j-Zu tand bezüglich T ein ird ( enn die Lage von T bezüglich 5 durch die WInkel a, ß und 'Y gegeben ist). In GI. (6.6) nannten wir ie au h R~s. (Wrr haben eine Fülle von Schreibwei en!) Zum Bei piel i t R:~ = (-T I +S) der Koeffizient on C+ in der Formel für C~, nämlich i in(aI2)e i (B-y)l2. Wrr können daher un ere Ergebni e in Form einer Tabelle zu ammenfa sen, wie wir e in Tabelle 6.1 gemacht haben. Tabelle 6.1: Die Amplituden< jT I i ) für eine durch die Euler ehen Winkel a, ß, '}' aus Fig. 6-9 definierte

Drehung. (jT I; >

+5

+T

co ~ei(ß+Y)12

-T

i in ~ e i (B-y)12 2

2

-s 1

.

er -i(B-y)12

ID-e

2

0

::. e-i(ß+y)12

2

E ird g legentli h prakti h in, die e Amplituden für einige einfache Spezialfälle chan au gerechnet zu hab n. Mit R_( -, die die Amplituden au dem tem in da T- y tem projizieren, wobei T au S durch die angegebene Drehung hervorgeht.

6 Spin J/2

120 Tabelle 6.2: Die Amplituden (jT I iS) für eine Drehung R(cP) um den oder y-Achse.

(jT I iS)

+5

-5

+T

ei~12

0

-T

0

e- i611

(jT I iS)

+S

-S

+T

co
1

-T

i in fjJ/2

co
(jT j iS)

+5

-5

+T

co <jJ/2

in fjJ/2

-T

- inifJ/2

in
co 4J/

in

II/J um die :-

h e, x- eh e

7

Die Zei abhängigkeit der Amplituden

Siehe auch: Band I, Kapitel 17, Raum-Zeit eh ebungen Band I Kapitel 4

7.1

Atome in Ruhe; stationäre Zustände

Wir oOen nun ein wenig über da zeitliche Verhalten der Wahrscheinlichkeitsamplituden prechen. ir agen ,ein enig" eil in da , irkliche zeitliche Verhalten auch da räumliche Verhalten mit eing ht. olglich kommen ir ofort in die denkbar chwierig te Situation, enn wir e korrekt und detailliert behand In mü en. Wir haben immer die Schwierigkeit, da wir etwas entweder tren o Jogi eh jedo h recht ab trakt behandeln können oder wir können et\ a tun. as durebau nicht treng 1gerichtig i t wa un aber eine Vorstellung on der irklichen Gegebenheit gibt - dabei er chieben wir eine orgfältigere Behandlung auf päter. a die Energieabhäliltgigkeit betrifft werd n wir den zweiten Weg nehmen. Wir wollen eine Reihe von ngab n mach n. ir\ Ben ni ht er uchen genau zu ein - sondern Ihnen einfach Dinge erzählen. die man herau cr fund n hat, um llmen ein Gefühl für da Verhalten der Amplituden al Funkti n d r Zeit zu eben. ährend ir or ärt kommen, wird ctie Genauigkeit der Be chreibuog zunehm n. erden ie daher nicht nervö , wenn e 0 cbeint, als wenn wir die Dinge au der Luft griffen. atürli hit alle au der Luft gegriffen - au der Luft der Ex.periment und der· or teilung kraft de Men ehen. Aber e würde zu lange dauern der gechichtlichen Ent icklung zu fol eo ir mü en daher irgendwo hinein pringen. lf könnten in da Ab trakte hinein pringen und alle herleiten - wa Sie nicht ver tehen würden - oder wir könnten eine gr Be Anzahl on Experimenten durchgehen um jede Fe tsteUung zu begründen. Wir wählen den Mitteh g. Ein Elektron, allein im leer n Raum kann unter gewi en Um tänden eine gewi e betimmte Energie hab n. enn e zum B i pi 1 till teht ( 0 da e keine Tran lation be egong kein n Impul der keine kineti ehe Energie hat), hat e eine Ruheenergie. Ein komplizierte Objekt ie in tom, kann auch eine bestimmte Energie haben, wenn e till leht aber e kann auch innerlich auf in and re Energieni eau angeregt ein. (Wir wollen päter die eo Mechani mu b hreib n. Ein tom in inem ang regten Zu tand können wir oft 0 betrachten al hätte e eine betirnmte Energi , aber da i t nur näherung wei e richtig. Ein Atom bleibt nicht für immer angeregt, . eil e ihm elingt ein nergie dur h iue Wech elwirkung mit dem elektromagneti ehen F ld abzugeben. E gibt dah r eine Amplitude, da ein neuer Zu tand ent teht wo d Atom in einem niedrigeren und da elektromagn ti ehe Feld in einem höheren Anregung zu tand i 1. Di Ge amten rgie de y tem i torher und hinterher die gleiche, aber die

122 Energie de Atoms hat ich erringen. E i t daher nicht genau enn man agt, ein ang regte Atom hane eine be timrnte Energie ab re i t häufig bequem und nicht allzu fal eh, w nn man agt. das e das hätte. [Übrigens. warum läuft e in die er Richtung ab und nicht in der ander n. arum trahlt ein Atom Licht au ? Die Antwort hängt mit der Entropie zu amm n. nn i h di En rgi im elektromagneti chen Feld befindet. kann ie ich darin auf 0 iele er chi d n 11 n aufhalten - e gibt 0 viele verschiedene Stellen, wohin ie gehen kann -, d wir bei d ruh na h dem Gleichgewich zustand finden, das in der ahr cheinlichslen ituation das Feld durch ein Photon angeregt i t und nicht da Atom. E dauert ehr lange bi da Photon zurückkommt und bemerkt, da e das Atom wieder aufmuntern kann. Eil dem kl i hen Probl m dur hau analog: Warum trahlt eine be chleunigre Ladung? icht, eil ie Energie zu erli ren ,wüo cht", weil ja ta ächlich, wenn ie trahlt, die Energie der elt di eIbe ie orher bleibt. trahlung oder Ab orption läuft in Richtung wach ender Entropie ab.] Kerne können auch in er chiedenen Energieni eau e i tieren und in einer äherung, die ein K rn in ein m andie elektromagneti chen Effekte auß r Acht läs t, können wir a en, d geregten Zu tand darin verbleibt. Obwohl wir wi en, das er darin ni ht für imrn r verbleibt. i t e oft nützlich, mit ein r äherung zu beginnen die etw ideali iert und lei hter zu erf en i t. nter gewi en Um länden i t e auch oft eine gerechtfertigt äherung. I wir anfang die ldas i ehen Ge etze de fallenden Körper einführten, haben ir di Reibun nicht berü ichtigr, aber e gibt fast nie einen Fall, in dem nicht irgendeille R ibung auftrin.) Dann gibt en haben. her die eh eren e die ubnuklearen, elt amen Teilchen", die ver chiedene le zerfallen in andere leichte Teilchen, 0 da e wieder nicht richtig i t, wenn man a t. d on ie flir immer be t h n würeine genau be timmte Energie haben. Da wäre nur richtig, den. enn wir daher näherung wei e agen, das ie eine be thront Energi ha n. er n wir die Ta ache, da ie explodieren mü en. Im oment ollen ir a] 0 olch ab ichtlich verge en und er t päter lernen, wie man ie berüc ichtigt. h n -, d in ebmen wir an. wir hätten ein Atom - oder ein Elektron od r irgen Ruhe ein bestimmte Energie Eo hat. Mit der Energie Eo minen ir di 'I d anz, n Dinge mal Cl. Die e e enthält ggf. innere Energie; ein an ere [ tom hat dah rein die ich von der edelben Atom im Grundzu rand un~ rsch id L D r Gnmdzu tand ei der Zu tand mit niedrig ter Energie.) Eo wollen wir di .,Ruheen rgi "nennen. Bei einem tom in Ruhe i t die quantenmechani he Amplitude, ein om an in r tell zu finden. iiberall die eibe; ie hängt nicht om Ort ab. Di bed Ul t atürli h. d di 'Ohrscheinlichkeil d tom irgendwo zu finden immer die lbe i t. ber d ut t a r n h mehr. Die Wahrscheinlichkeit könnte unabhängig vom Ort in und h "nnte i h d.i Pha e der Amplitude on Punkt zu Punkt ändern. Aber für ein v Heh n in Ruh i t di g. amt Amplitude überall identi eh. ie hängt jedoch on der Zeit ab. ür ein eil h n in '0 m Zu t nd . n be timmter Energie Eo i t die Amplitud • da Teilch n zur Zeit t bei (x, y, ::) zu n n. 1 i h

7.1 wobei a eine Konstante i 1. Di Amplüude, an irgend inern Punkt im um zu in, i türalle Punkte glei h, hängt aber gemäß (7.1) von der Zeit ab. ie, rd n einfa b nn hm n, d die e Regel richtig i t.

7.1 Atome in Ruhe,' laliolJäre Zu lände

1I

könnten natürli h (7.1 au h

0

123

hrei en (7.2)

ae-I~,

mit hw

,

=Eo =Me-.

obei M die Ruhem atomar n Zu tande oder Teilchens i t. E gibt drei er chiedene Möglichkeiten die nergi anzug b n: Dur h die Frequenz einer Amplitude, durch die Energie im kla ihn inn oder dur h die Trägheit. Sie ind alle gleichwertig' e sind einfach er chieden Arten. da Ib au zudrti ken.

1 am i t ich ein , Teilchen orzu teBen de sen Ampliie denk n iell i ht, da e tude e aufzufinden, im ganzen Raum gleich i t. cWießlich teilen wir un gewöhnlich ein •Teilchen" aJ klein n G gen tand vor, der ich, irgendwo" befindet. Aber erge sen Sie nicht das nb timrntheitspriJnzip. enn ein Teilchen eine be timmte Energie hat, hat e auch einen be timmten Impul. enn di nbe timmtheit de Irnpul e null i tagt un die Unbe timmt= h, da die nbe timmtheit de Orte unendlich ein rou und das i t heitsrelation Äp genau da , wa wir meinen enn wir agen, da e dieselbe Amplitude gibt, da Teilchen an allen Punkten im aum zu finden. enn di inn r n 11 iJ ine Amme in einem anderen Zu tand mit anderer Gesamtenergie ind, dann i t di Änd rung der mplitude mit der Zeit auch ander . Wenn ie nicht wi en in weIch m Zu tand i t ird in ge i Amplitude dafür geben, da es in dem einen Zuland i t, und eine gewi e mplitud da e in einem anderen i t - und jede die er Amplituird ein Interferenz ziehen die en ver chiedenen den ird eine andere requ nz haben. E Komponenten geben - ie ein ch bung ton -, die al eine ich ändernde Wahr cheinlichkeit auftreten kann. twa '\ ird in dem torn, ergehen - obwohl e , in Ruhe" i t in dem Sinne, da ein ch erpunkt ich nicht bewegt. Wenn jedoch da Atom eine be timmte Energie hat, wird die rnplitud dur h (7.1) gegeben und da Ab olutquadrat die er Amplitude hängt nicht von der Zeit ab. enn in Ding eine be timrnte Energie hat und wenn Sie irgendwelche Fragen nach Wahr cheinlichkeiten t 11 n, dann hen ie a1 0 da die Antwort unabhängig 00 der Zeit i t. Obw hl di Amplituden mit d r Zeit ariieren, ändern ie sich, wenn die Energie definiert i t, al ein imaginäre E ponential, und der b olutbetrag ändert ich nicht. Darum agen ir oft, d ein tom in einem be timmten Energieniveau in einem stationären Zu land i t. enn ie irg nd elche Me ungeo am Inneren machen wollen, dann werden ie finden, d i h nich (an der abI cheinlichkeit) mit der Zeit ändert. Damit ich die ahr heinJi h.k it n zeitlich ändern, mü en wir di Interferenz on zwei Amplituden mit z ei e chi d n n Frequenzen hab n, und da bedeutet da ir nicht wi en können wie groß die Energi i t. D Obj kt ird ein Amplitude in einem Zu tand mit der einen Energie zu ein und in and re Amplüud ,in inern Zu tand mit einer anderen Energie zu ein, haben. Da i t di quant nme hani h Be chr ibung von Dingen, deren Verhalten von der Zeit abhängt. b nh it' hab n die eine Mi chung on zwei er chiedenen Zu tänden enn ir ein"O mit ver hied nen En rgien i t dann ändert ich die Amplitude für jeden der z ei Zu tände mit der Zeit gemäß GI. (7.2) zum Bei pi I wie

(7.3)

124

7 Die Zeitabhän

Und wenn wir eine Kombination der b iden haben, ird e eine b1ter{ r nz geben. ber beachten ie, da die Addition einer Kon tanten zu b iden Energien kein n nte hi d ergeb n würde. Wenn jemand ander eine andere Energie kala benutz n mü I, bei der alle Energien um einen kon tanten Betrag - agen wir um den Betrag A - erhöht (oder venninden) würd n. dann wären die rnplituden in den beiden Zu tänden on einem tandpunkt au

(7.4 Seine Amplituden wÜIden alle mit dem eiben Faktor e-i(Alfrlt multiplizien. und alle Linearkombinationen oder Interferenzen hätten den eIben Faktor. Wenn wir die b olutquadrat bilden, um die ahr eheinlichkeiten zu finden, wären alle Ant orten die glei hen. Die ahl eine Anfang punkte für un ere Energie kala i t nicht au chlaggebend: .. ir önnen die En rgi on jedem beliebigen ullpunkt an me en. Für relati i ti ehe Zecke i t on ilhaft di Energie 0 zu mes en, das die Ruhema e mit inbezogen i t, ab r für i le Z k, di nicht relati i ti ch ind i t e häufig angebracht, einen Standardbetrag on allen auftretenden Energien abzuziehen. Beim Atom zum Bei piel i t e gewöhnlich bequem. die Energie c2 abzuziehen, wobei M s die a e aller ein-einen Teile - de Kern und der Elektr nen - i t die natürlich on der Mas e des Atoms erschieden i t. Bei anderen Problem n dürfte e nützlich ein, von allen Energien den Betrag Mg c2 abzuziehen, wobei Mg die Mas d aanz n tom im Gmnd:ustand i t· dann i t die auftretende Energie gerade die Anregung eD rgi d tom . Wir können daher un eren Energie- ullpunkt manchmal um eine ehr große Kon tant erchieben. Die pielt aber keine Rolle, olange wir in einer einzelnen Re hnung alle En r!rien um die eibe Ko tante ver chieben. 0 viel ei für ein till t hende Teilchen ge aal.

7.2

Gleichförmige Bewegung

Wenn wir annehmen. das di Relativitätstheorie richtig i t. kann in Teil h n. d in in m Inenial tem in Ruhe i t, in einem anderen Inertial y tern in gleichförmiger B w ung ein. In dem Ruhe y tern de Teilchen i t die ahr eheinlichkei arnplitud für all x, y und - di r di gleiche, ie änden ich aber mit t. Der Betrag d r Amplitud i t für a1l r der glei h, Phase hängt von tab. ir können eine Art Bild von dem erhalt n der mplimd bek mm n. wenn wir die Lini n gleicher Pha e - agen wir di Linien der ullpha - al Fun rion n x und t auftragen. Bei einem Teilchen in Ruhe ind die e Linien gl ieher Ph e paralI I zur x-Ach e und haben gleichen Ab tand in der t-Koordinat, ie mit d n ge tri h lt n Lini n in Fig. 7-1 gezeigt i l.

In einem and ren Stern - X, j, :', /' -, da ich in Bezu auf d n 'Lr, der x-Ri htung bewegt. ind die x' - und t' -Koordinaten on irgendein m pezi 11 n Punkt im Raum mit x und t durch die Lorentztran formation erknüpft. Die Tran ~ rrnaLion kann graphi eh darg teilt werd n. indem man die r- und /'- eh n einz i hnel, 'W.j e in ig.7-1 getan i t. ( iehe Kapitel 17, Bd. I, Fig. 17-2.) ie können hen, da die Punkt gl i II r Ph et im Xl, ('-lern entlang der (' - eh e einen ander n b Land haben. 0 d die requ nz +Wir tzen voraus. d n an ent prechenden Punkten in den nselben Wert haben ollten. Das ist jedoch ern verzwic, da die Ph e einer quantenmechani hen Amplitud y,eltg h n .... illkürli h i I. Eine \'011 tändige Rechtfertigung die er Annahme erfordert eine ausführlichere Di u i n. die Inte~ r nzen von z\\ei oder mehr Amplituden umf t.

125

t'

Fig. 7·1: Relati i ti ehe Tran fonnation der Amplitude eine im X-l-Sy tern ruhenden Teilchen.

x

der z itlichen .. nd rung and r i t. U h ändert ich di Pha e mit x' lichkeit amplitud in Funkti n v n x' in mu . Bei einer Lor nLztran formation für die Ge ehwindigkeit Richtung, i t di Zeit t mit d r Zeit (' erknüpft durch

=

t o da

(' - xv/Cl

VI - v-Ic-

un ere

Im ge trichenen plitude al

chreib n

hen

11

0

agen

da WIr

die

ahr chein-

m negati er x-

,

mplirude nun

0

arii

t m änd rt i

rt

i h owohl räumli h al auch zeitlich. Wenn

E; = Eoy1 - \ 2/ 2 di

ir d

der Ruheen rgi Eo, da i h mit der G dazugehörige Teilchenimpul .

=

Ener ie i t, die man kla i eh für in Teilchen

h indigk it \ bewegt, berechnet p' =

=

ir die Am-

E; I c 2 i t der

ie i en, da xJJ (I, x. ,-) und Pil CE. Px' Pr' pJ Vierer ektoren ind und das p x Et - p . x ine kalar ]n ariant i t. 1m Ruhe ten'i de Teilchen i t PJlxj.4 gerade gleicfh wenn ir d h r auf ein nd re t m tran formier n, ird Et er etzt dur h

Folglich

ird di

ahr h iali hk

amplitud

=

EI,

me Teilchen, da d n Impul p hat, propor-

tional zu 7.5)

7 Die Zeitabhängigkeit der mplimden

126

wobei Ep die Energie eine Teilchen mit dem Impul pi t da heißt

wobei Eo' ie orher, die Ruheenergie i t. Für ni htrelati i ti he Probl me könn n ben

Ir

hr i-

obei Wp die Energie oberhalb der Ruheenergie Mil. der Be tandteile de tom i t. Im 11gemeinen würde Wp owoW die kineti che En rgie de Atoms al au h eine Bindung - oder Anregung energie enthalten, die wir die "innere" (engl. interna!) Energie nennen können. H würden chreiben Wp

r = ~n1 +-, 2M

7.

und die Amplituden wären 7.9 Da wir im Allgemeinen nichtrelativi ti ehe Rechnungen au führen, die Wahrscheinlichkeitsamplituden benutzen.

erd n \vif die e onu für

Beachten Sie, das UD ere relativi tische Tran foonation un die .. nderung der Amplitude eine Atoms, das ich im Raum bewegt, angegeben hat, ohne j de zu ätzü h orau etzung. Die WeJlenzahl der räumlichen Änderung i t nach (7.9)

k=!!.. 11' damit wird die

7.10 ellenlänge (7.11

Die i t die eIbe ellenIänge, die wir vorher für Teilchen mit d mImpul p benutzt h31 n. Zu die er Formel gelangte zuer t de Broglie auf genau di gleich ei e.. ür ein bew gt Teilchen wird die Frequenz der Amplitudenvariation immer 00 h g geben dur h

7.1 ) Das Ab olutquadrat von (7.9) i t genau 1 daher i t für ein be egte Teil hen mit be timmter Energie die ahr cbeinlichkeit e anzutreffen, überall die gl ich , und i änd rt i h ni ht mit der Zeit. (E i t ichtig zu beachten, da die Ampütud eine komplexe lle i 1. enn wir

7.2 Gleichfömlige Bewe

127

ein

eine reelle inu elle b nutzen was nicht richtig är.) ir o da

ürden würd

ich da Quadrat on Punkt zu Punkt ändern,

i en n türli h, d ituationen gibt wo ich die Teilchen on Ort zu Ort b \ egen die abr hinli, hk Ü om Ort abhängt und ich mit der Zeit ändert.

ituationen? ir können d tun indem wir Amplituden betrachten, die ine Überla erung on z ei oder mehr mplituden von Zu tänden mit be timmter Energie ind. ir haben di e iru tion hon in Kapitel 48 von Band I - ogar für Wahr cheinlichkeitsamplirud n - b pr ehen! Ir fanden herau das die Summe on zwei Amplituden mit er chied n n Uenzablen k da ind Impul e) und Frequenzen w (da ind Energien) ich da Quadrat der Amplitude räumlnleder nzbuckel oder eh ebung n ergeben, 0 da lich und z itlich änd rt. ir fanden auch da ich die e Schwebungen mit der 0 genannten "Gruppenge hwindigkeir' begen, die gegeben i t durch

wobei kund w die Differenzen zwi hen den ellenzahlen und Frequenzen der beiden ellen ind. Bei 'omplizi rten lIen - die au der umme von vielen Amplituden, die aUe nahezu die eIbe' requenz haben. be t hen - i t die Grupp nge hwindigkeit dw

(7.13)

v - dk Wenn

irw

= E/h und k = pfi

etzen, ehen wir, da

(7.14) Durch

nv endlmg

dE p

2

011

GI. (7.6) ergibt ich

P

-=C-. dp

(7.15)

Ep

E gilt ab r Ep = M2, damit wird

(7.16)

a genau die kla i he Ge h indigk it de Teilchen i i ti ehen

u drü ke benutz n rhalten wir

und

p

k= tr

t. Wenn wir dagegen die nichtrelati-

7 Die Zeitabhän

128

und dw _ dWp

dk was

\!

_

!!..-( [l ) _ l!...

(7.17)

dp - dp 2M - M'

ieder die kl

i ehe Ge chwindigkeit i t.

Un er Ergebni i t damit da . wenn mehrere Amplituden für reine Energiezu tänd on fa t der eiben Energie orliegen, ihre Interferenz "Wahr eh inlichkeit klümp hen" rgibt, di ich durch den Raum mit einer Ge chwindigkeit gleich der Ge h indig it ein kla ihn Teilchen die er Energie bewegen. Wir Dillen jedoch anm rken, da wir e[\ a geführt haben - was wir nicht au der Relativität theorie h rleiten können -, enn wir agen. das wir zwei Amplituden von er chiedener Wellenzahl zu ein r ch ebung zu ammenzieh n können, die einem bewegten Teilchen ent pricht. Wir agten, wie ich die Amplitude für ein till tehende Teilchen verhält. und hab n dann abgeleitet, wie ie ich verhalten würde, wenn ich da eilchen bewegte. ber au die n orau etzungen können ir nicht herleiten, wa ge ehehen würde. enn e ~"ei ellen gäbe, die i h mit ver chiedenen Ge chwindigkeiten bewegen. enn wir ine anhalten, können wir nicht die andere anhalten. ir haben daher till chweigend die ~ll äHiche Hyp the e hinzugetem auch fügt, da nicht nur 7.9) eine mögliche Lö ung i t, ondem da e für cl eibe Lö ungen mit allen Arten von p' geben kann und da die er chi den n Tenne interferieren werden.

7.3

Potentielle Energie; Energieerhaltung

\ ir möchten jetzt di kutieren. was ge ehieht. wenn ich die Energie ine Teil h änd rn kann. Zu Beginn denken wir UD ein Teilchen. das ich in einem durch ein Potential b hriebenen Kraftfeld bewegt. V ir be prechen zuer t die Wirkung eine kon tanten Potential. t lien wir un vor. wir hätten eine große MetaJldo e, die \i ir auf ein elektro tati h P tentiaJ dJ gebracht hätten. wie in Fig. 7-2. Wenn in der Do e geladene Objekte iod. wird d ren potenti He Energie qdJ ein, wir ollen ie V nennen, und ie wird ollkommen unabhängig \' m Ort in. Dann kann i h an der Phy ik darin nicht ändern, weil d kon tant Potential für all ,wa innerhalb der Do e vorgeht nicht au ma ht. E gibt nun keine ögli hk it, i wir UD di Antwort herleiten könnten, wir mü en dah r erraten. Die nnahm. di brau hbar i t, i t

y M Fig. 7-2: Ein Teilchen mit d r e Mund

einem Gebiet kon tanten Potential .

mimpul p in

1-9 mehr oder nig r die. die i au h erwarten würd n: Al Energie mü en wir die umme der potentiellen En rei und d r n roie Ep - die Ib t die umme der inneren und der mplirude i t prop rtional zu kineti h n Ener ie i t - \ ef' 'end n. Oi (7.1 )

Da allgemeine Prilrip i t. d d r K ffizient on t den \ ir w nennen önnen. immer durch die Ge am/ener ie de tem geg ben i t: inn r (od r ,Ma en- Energie plu kineri che Energie plu p t ntielle En rei iiw

=Ep + V.

(7.19)

Oder für nichtrelati i ti be iruationen: tlw == l

inl

+ 2M fT +

k"nnen ir nun über di ph ikali ehen Phänomene innerhalb der 00 e agen? a werden wir erhalten. enn e mehr re er chiedene Energiezu lände gibt? Für jeden Zu tand hat die Amplitude den eiben zu ätzli hen Faktor e-(i/f1IVr

zu d rn, w b i = 0 härt . Da i t genau d eIbe wie eine Änderung de uHpunkte un erer En rgie k 1a. E rz u t eine gleiche Pha enänderung in aUen Ampliruden aber da ändert \ i wir rher ge ehen hab n, k ine der Wahr cheinlichkeiten. Die pb ikali ehen Phänomen ind alle die elb n. ( ir hab n angenommen, da \ ir über er chiedene Zu tände de eiben gelad nen bjekt pr hen, da q für alle gleich i t. enn ein Objekt eine Ladung beim Üb rgang on inem Zu tand in ein TI anderen ändern könnte hätten ir ein ganz andere Ergebni , aber die Erhaltung der Ladung erhindert die .) o eil timmt un er nnahme mit dem. a wir für eine Änderuno- des Energiebezug ni eau erwarten ürden üb rein. enn e aber irkli h richtig wäre, oHte e auch für eine potentielle Energie. die ni ht g rad in on tante i t, gültig bleiben. Im AJIgemeinen könnte V in beliebiger ei e mit beiden Z it und Raum varii r n und da oB tändige Ergebni für die Amplitud mu al Diffi rentialgleichung au gedrückt werden. ir wollen un mit dem allgemein n· all jetzt n h ni ht ab eb n, ondern nur eine Vor teilung da on bekommen, \ ie manche Dinge ge hehen. ir oll n un daher nur ein Potential denken, d zeitlich kontant i t und i h räumli h nur hr lang am ändert. Dann können wir die kla i chen und die Quanten- r tellungen rgl i hen. tell n ir un di itu Li n in Fig. 7- or in der z ei Do en ind, die auf den kon tanten [den. Daz i ehen i t ein Raum on dem wir annelunen Pot nti 1 n , und c/J_ halt n wollen, d i h da P t nti 1 on der einen zur anderen Do e tetig ändert.. ir nehmen an irgendein Teil h n hätt eine mplitude, in irgendeinem Bereiche gefunden zu werden. ir nehmen auch an. da der Impul groß genug i t, da in jedem kleinen Bereich in dem e iele 11 nlängen gibt. da Pot nrial nahezu kon tant i t. Wir würden dann denken da

130

Fig. 7·3: Di Ampliru

für ein Teil hen. cl on einem Potential zu einem and ren übergeht.

in jedem Teil de Raume die Amplitude wie (7.18) au ehen ollte. mit dem die em Teil de Raume ent prechenden V. Denken wir an einen Spezialfall, in dem
und die Amplitude in der zweiten Do e wäre proportional zu 7.22)

ir wollen agen, da die innere Energie nicht geändert ird ondern'n be'den Bereichen gleich bleibt.) Die Frage i t: Wie pas eD sich die Amplituden in dem Bereich zwi h n d n Do en aneinander an? Wlf nehmen an da die Potentiale alle zeitlich kon tant ind - 0 d i h an den B dingungen Dich änden. Wir wollen weiterhin annehrn n, das die Änderungen der mplitud {das heißt ihrer Phase überall die eIbe Frequenz haben - weil ozu agen ieht im,i dium" i t. was . on der Zeit abhängt. enn ich nicht im Raum änden, önnen \ ir annehmen, d die elle in einem Gebiet im ganzen Raum ebenwellen "erzeugt', die aUe mit de 1 n Frequenz eh ingen werden - wie auch Lichtwellen, die durch ruhend aterie gehen, ni ht ihr Frequenz ändern. enn die Frequenzen in (7.21 und 7.22) gleich ind rou gelten 2

PI

2M

(7.- )

Auf heiden eiten teht die kla i ehe Ge amtenergie, daher drückt GI. (7._3) di Erhaltun der Energie au . Mit anderen Worten i t die kla i ehe Au age über die rhaltung d rEn rgi

7.3 Potenlielle

131

äquivalent zu der uantenm hani hen u age da die Frequenzen für ein Teilchen überall gleich ind enn i h die Bingun en zeitlich nicht ändern. Das timmt alle mit der or teIlung überein, d liw :: E i t. Für d pezielle Bei piel, 1:: 0 und V2 negati ergibt GI. (7.23), da P2 größer al PI . t. Al 0 j t die ellenlänc drellen im Gebi t 2 kürzer. Die Flächen gleicher Phase ind durch die ge trichelten Lini n in Fig. 7- dar e tellt. Wir haben auch eine Kurve für den Realteil der Amplirude gezeichnet di n hinmal zeigt wie die Wellenlänge beim Übergang om Gebiet 1 na h Gebiet 2 abnimmt. Die Gruppenge chwindigkeit der Wellen die gleich piMit, wäch t auch in drei e, ie man au der kJa i ehen Energieerhaltung erwarten würde da die e genau da elb \i ie GI. (7.23) i t. E gibt einen intere anten Sonderfall, wenn V2 0 groß ird das V2 -

I

größ r aI

pt I

Mit. Dann i t p~ da durch

(7.24) gegeben i t, negari . Da bed utet, da P2 eine imaginäre Zahl i t, agen wir ip'. Klas i ch würden wir agen, d d Teilchen niemal in das Gebiet 2 kommt - e hat nicht g nug Energie um den Potentialb rg zu über. inden. Quantenmechanisch i t jedoch die Amplitude noch dur h GI. (7.22) gegeben' ihre räumliche Änderung verläuft noch gemäB

Wenn aber P2 imaginär i t, ird die Raumabhängigkeit ein reeller Exponentialau druck. ao-en wir, das Teilchen ginge ursprünglich in die +x-Riehtung, dann würde die Amplitude variieren wie (7.25) Die Amplitude nimmt mit

a h endem x ebnell ab

an telle ich Of das die beiden Gebiete mit ver chiedenem Potential ehr dicht beieinander v aren, 0 d ich die pot ntielle Energie plötzlich von VI nach V2 änderte, 1e 10 Fig. 7-4(a) gezeigt. on ir den Realteil der Wahr cheinlichkeit amplitude auftragen erhalten ir die Funktion die in 11 i1 (b der Figur gezeigt i 1. Die Welle im er ten Bereich ent pricht einem Teilchen das e ucht, in den zeiten Bereich zu gelangen dort fällt aber die Amplitude ebnen ab. E b teht eine hance, da e im zweiten Bereich beobachtet wird - wohin e klas i ch niemals kommen könnte -, aber die Amplitude ist, außer in der Nähe der Grenze ehr klein. Die ituation i t derj nigen ehr ähnlich die wir für die innere Totalreflexion de Lichte gefunden hatten. Da Licht kommt normalerwei e nicht herau , wir können e aber beobachten wenn wir etw ein bi zwei Wellenlängen on der Oberfläche entfernt auf tellen. Sie w rden ich erinnern das , wenn wir eine zweite Oberfläche nah an die Grenze teilten, wo da Licht total reflektiert wurde etwa ieht in da zweite Material tüek überging. Etwas Ent pre hende ge ehieht in der Quantenmechanik mit Teilchen. Wenn e ein ehmale Gebiet mit einem Potential gibt, da 0 groß i t da die kJa i ehe kineti ehe Energie negati äre würde da Teilchen k1as i eh nie durchkommen. Quantenmechani eh kann aber

132

(b)

0: rt::

-<

'-'

I

(.)

I I

a::::

x

I

I

h PI

I

h :

Pig. 7-4: Die Amplitud für ein 1 il h n. d

I

Ip2' ~

ich einem tar' ab loBenden P lenlial näh rt.

----, -

die e ponentiell abfallende Amplitude über die e Gebiet hinau reichen und eine klein ahrcheinlichkeit ergeben, da da Teilchen auf der anderen eile ge nd n wird \ di kinti ehe Energie wieder po itiv i t. Die e Situation i t in Fig. 7-5 illu trien Die r ffekt" ird quantenme bani ehe .Durchdringung einer Potenlialbanier "od r ..Tunn leffe r' g nannt.

Fig. 7·5: Di mplitu eine Potentialbarri re.

du h ringt

Die Dur hdringung einer PotentiaJbarriere dur h eine quantenmechani h mplilUd..) t die Erklärung - oder Be chreibung - de a-Teilchenzerfall eine ran m. Die pot nti lI Energie ine a-TeiLchen al Funkt'on d r Entfernun b om inelpunkl i t in Fig. -6 gezeigt.

7.4 Kräfte; der kla

133 (b)

Ver

E I----J<---"\-------

r r

Fig. 7·6: (a) Die PotentiaJfunktion für ein a-Teilchen in einem Urankem. (b) Die qualilati e Foan der

ahrscheinlichkeit amplirud .

enn man er u ht. ein lI-Teil hen mit der Energie E in den Kern zu chießen würde e on der Kemladung ~ ein lektro tati he b loßung erfahren und \da i eh nicht näher al bi zum b tand Tl gelan n. I; 0 eine Ge amtenergi gl ich der potentiellen Energie i t. In größer r ähe i t di P l nti II En raie jedoch wegen der tarken Anziehung der kurzreichrnkräfte i I ni drig r. wei tigen ie k mmt dann, d ir b im radioaktiven Zerfall lI-Teilchen finden die innerhalb de Kerne 10 gin en und mü der Energie Eherau kommen? Da kommt daher, weil ie mit der Energie E inn rhalb d Kern 10 ain en und durch die Potentialbarriere ,durch ickern". Die ahr cheinli hk i amplitud i tin 'D il (b) d r Fig. 7-6 grob kizziert, tat ächlich i t der exponentielle bfall vi 1 größer al darge teIlt. E i t in der Tat recht bemerken ert, da die mittler Leben dauer in -~ ileh TI im Urankern Milliarden Jahre beträgt obwoW die hv ingun en innerhalb de K rn 0 außerordentlich cbnell ind - etwa 1022 pro natürlichen S 9 2 ekunde! ie kommt man v n 10-- e zu einer Zahl wi 10 Jahre? Die Ant ort i t. da der E ponenti 1 u dru k den äußer t kleinen Faktor on twa e-4S ergibt - mit dem man die ehr kJieine, do h b timrnr Durch ickerwahr heinlichk it rhält. Wenn da a-Teilchen er t einmal im Kern i t. 2ibl e f t üb rh upt k in Amplitude, außerhalb zu finden; wenn ie jedoch iel I
4!

7.4

Krä

t .

der kla i ehe Grenzfall

. ngenommen \ ir hätten in 11 i1ch n, da ich fortb wegt und durch ein Gebiet kommt o e ein Potential gibt. da i h im r ht n irrkel zur Bewegung ändert. KJa i eh würden ir die ituation ie in Fi .7-7 angedeutet be chreib D. W on ich d Teilchen in x-Richtung fortbewegt und in ein G bi tintritt, wo e in Pot ntial gibt, da mit y ariiert wird das Teilchen on d r Kraft F = -& / &, in Qu rbe chleunigung rhalten. Wenn die Kraft nur in ein m b gr nzten G bi t d r u dehnung I orhand n i t wird die Kraft nur während der Zeit w/v wirken. Da D iIchen ird d n Querimpul

w

p) = F-\

7 Die Zeitabhä1l

134

.v

niedrige

f

v

V

/'

--p_:--..---~'~P' ~/~~;;;:

Fig. 7-7: Di Ablenkung ein Teilchen dur h einen Iran versalen PorentiaJgradiemen.

/.

erhalten. Der Ablenkwinkel68 i t dann

68=P~=Fw, p pv wobei p der Anfang impul i t. Wenn wir w

-8V /8)' für Fein eLzen. erhalt n \ lr

8

68= - - - .

pv 8y

E i t jetzt un ere ache, zu ehen, ob un ere Vor teIlung. da die Wellen gemäß (7._0) laufen. das eIbe Re ultat ergeben werden. Wir betrachten die elb a he quantenme h ni h. wobei .. ir vorau etzen. das alle in einem ehr großen aß ta im eroleich mit iner V 1lenIänge un erer ahr heinlichkeit amplituden ge chiehl. [n jedem kJ in n Gebiet könn n wIr agen, da die mplirude variiert wie (7.27) Können wir ehen. da die auch eine Ablenkung de Teilchen b wir t. \ enn inen Lran er alen Gradienten hat? ir haben in Fig. 7- kizzien, ie die ellen d f Wahr ch inlichkeitsamplitude au ehen werden. Wif haben eine Reihe von" ellenknoten" g z i hn t die i ich aI die Ebenen vor teilen können wo die Pha e der mplirude null i l. In jed m kJ in n Gebiet i [die ellenlänge - der b tand zwi ehen ufeinanderfolgend n Kn 1 n-

h

,\ = -, p

wobei p mit V verknüpft i t durch

w+

(7.

V = kon l.

p-

2M

a

k

b

Wellenknoten

I I

I t---

I

I I

I ,"\.'

----t

I

ig. 7- : Die \'ah!'s h inli h eil.' amplitude in einem Gebiet mit t.ran .. e aJem P I milli-

gradienten.

In Gebieten o größ r i t. i t p kJeiner und die ellenlänge i t größer. Daher ändert ich der Winkel der ellenkn ten, \ i in der Figur gezeigt i 1. m die" nderung d i n k ] der Wellenknoten zu finden, beachten wir, da für die beiden ege a und b in Fig. 7- ein P tentiaJdifferenz V = (oV 10y)D be teht, 0 da e eme Differenz p der tropul e läng d r beiden Wege gibt die man au (7.28) erhalten kann: (7.29)

Die Wellenzahl pltz i t daher läng der b iden Wege er chieden, wa bedeutet da die Phae mit unter hi dli her Ge eh\ indigkeit fort chreitet. Der Unter ehied der Zm ach raten der Pha en i t k = ~plli, daher hat ich nach der ge amten Länge w folgende Pha endifferenz ange ammell: b.(Pha e)

= b.k· w

= -

p . \I' Ii

M = -b.V . ptz

\I .

(7.30)

Die i t der B trag, um den die Pha e auf dem Weg b der Pha e auf dem Weg a , oreilr', wenn die Wellen den treiC n verla en. ber außerhalb de treifen entspricht ein Pha en or prung von die em Betrag einem ellenknoten, der um den Betrag

tz

Il b.x=27'(

Pha e) = - b.(Pha e) p

oder '11'

v rau i t. enn \ ir un auf Fig. 7- b ziehen Winkel d(} tehen erd TI, d r gegeben i t durch tu

= D<58 ,

(7.31 ) ehen wir, dass die neuen Wellenfronten im

(7.32)

damit ergibt i h

D8B

M

= --:;p-

. lV.

(7.33)

Da i t mit GI. 7.26) identi eh, wenn wir p/M durch v und ~V /D durch oV10) ersetzen. Da R ultat, da ir eb n erhalten hab n, i t nur richtig, wenn die Potentialänderungen lang am und glatt iod - im 0 genannten kla i chen Grenzfall. Wir haben gezeigt da wir unter die en Bedineungen die eIben 11 ilchenbewegungen erhalten werden, die wir au F::: I1W erhalten, nn wir nur vorau etzen da ein Potential der ahr cheinlichkei amplitude eine Pha e zuteilt die gleich \11 lft i t. Im kla i ehen Grenzfall rimmt die Quantenmechanik mit der ewtol1 ehen Mechanik überein.

] 6

7 Die Zeitabhäll igkeit der Amplintden

Die Präze ion' eIne Spin-~-Teilchen

7.5

Beachten Sie. das wir über die potentielle Energie ni hl pe z.ieII 'orau ge {Z( hab n - ie i t einfach die Energie. deren bleitung eine Kraft rgibt. In dem (m-GerIaeh- ruh hatten wir z.um Bei piel die Energie U = -p' B, die ein Kraft ergibt. "" nn B räumli h \' ränderIieh i t. Wenn \ ir eine quantenmechani ehe Be hreibung hätten geben \\ollen, hätten \ ir ge agt. d die Teilchen in dem einen trah] eine En rgie hatten. die auf die ein n variiert. und die Teilchen in dem anderen Strahl eine entgegenge tzte nergievariation. Wir k"nnl n die magneti ehe Energie U zur potentiellen Energie V oder zur .,inn ren" Energie l zähl n. da pielt keine RoHe.) egen der Energievariation erden die eil n gebr hen und di lfahlen nach oben oder unten abgelenkt. (Wir ehen jetzt. da un die Quantenmechanik die eIbe b1enkung liefert. wie ir ie au der kla i hen echanik herleiten \.\'ürden.) egen der bhängigkeit der mplitude von der pot nüellen En rgie würden wir u h erich die Wahr cheinlichkeit amplitude eine Teilchen in einem glei hF'rmioen wart n. da agnetfeId in ::-Richtung mit der Zeit ändern mu , gemäß

( if können die durchau aJ Definition vonJ1_ betrachten.) it anderen orten. wenn lr 10 Teilchen für eine Zeit r in ein gleichförmige Feld B bringen. wird eine Wahr heinliehkeitamplitude den Faktor

mehr haben. a] wenn e in keinem Feld wäre. Da bei einem pin-~-Teil h n J1. nl'''' d r plu oder rninu eine Zahl. agen wir ji. ein kann, würden die beiden mÖglichen Zu 'länd in in m gleichförmigen Feld ihre Pha en mit der eIben Ge hwindigkeil. aber in nto g nge elzten Richtungen ändern. Die beiden Amplituden werden multipliziert mit

(7. 4) Di e Ergebni hat einige intere ante Kon equ nzen. ngen mmen. wir h··tl nein pin~-Teil hen in einem Zu tand. der kein reiner pin-ob n- od r pin-um n-Zu rand i t. ir können einen Zu land dur h die mplituden, in reinen Ob n- und r in n nt n-Zu tänd n zu ein. be hreiben. ber in einem magneti ehen Feld w rden die e b id n Zutände Pha en h ben. die ich mit ver hieden r Ge chwindigkeit ändern. enn ir dah r na h den mplitud n fragen. wird die ntwort davon abhängen, wie lange da Teilchen im Feld g we niL

1 Bei piel betra hten wir den Zerfall de Myon in einem magneti ehen eId. enn ynen al Zerfall produkte von 'Jr- e onen ent tehen, ind je p lari iert (mil nd r n Wort n. i haben eine orzug - pinn htung). Die yonen wied rum zerf 11 n - in dur h hnittli h twa

_.2 Mikro ekunden - und emittieren dab i ein Elektron und z ji-+e

y

i

utrin

:

Y.

Bei die em Zerfall teilt i h herau, da (zuminde t bei den h" h ten En rci n) die EIe -tr nen vorzug wei e in die Ri htung eminiert werden, die der pinrichtung d yon fit engetzt i t.

pin- ~ -Teilchen

B

137

x

e

Fig. 7-9: Ein Monzerfall experiment.

ehm n ir it rhin an. d \l ir di er u h anordnung betrachten. die in Fig. 7-9 genn polari jerte nen on links eintreten und bei A in einem aterialblock zum zeigt i t. Still Land gebra ht erden, erden ie kurze Zeit päter zerfallen. Die emittierten Elektronen werden im Ilgemein n in al1 mögli h n Ri htungen davonfliegen. ehmen wir jedoch an, das die Manen alle b i A mit ihr n pin in x-Richtung in den Ab toppblock eintreten. Ohne magneri ehe F ld gäb irgendeine inkel erteilung für die Zerfall riChtungen. Wir möchten g rn wi en. ie di en ilung dur h die Anwe enheit de magneti ehen Felde geändert wird. Wir erwarten, da ie auf irgendeine ei e mit der Zeit variiert. Wir können herau finden, wa ge hieht, enn '\ ir in jedem Moment dana h fragen, wie groß die Amplitude i t, das d My n im (+x)-Zu rand gefunden wird. ir können da Problem folgendermaßen darlegen: on einem M on i t bekannt das e bei t ::: 0 den pin in +x-Richtung hat; \ ie groß i t die Amplitude da es zur Zeit T in demselben Zu tand ein wird? ir haben nun keine Regel für da Verhalten eine Spin-~-Teilchen in einem magn ti h n F Id. d im r hten Winkel zum Spin teht wir wi en aber wa mit den Zu länden ge chiehr. b i denen der pin ob n oder umen in Bezug auf da Feld i t - ihre Amplituden \ rden mit dem akt r (7.34 mulriplizi rt. Un er Verfahren i t dann, die Dar teIlung zu wählen, in der die Ba i zu tänd d n pin ob n oder unten bezüglich der 7-Rj htung (der Feldrichtung haben. Jede rage kann dann unt r B zugnahme auf die Amplituden für die e Zu tände au gedrückt erden. Sag n ir, da !/JeT) d n on-Zu rand dar teilt. enn da M on in den Block A eintritt, i t ein Zu land 1/1(0), und' ir m" hten !/J(T) zum pät r n Zeitpunkt T wi en. Wenn wir die beiden Ba i zu tände mit (+-) und -.,. b z ihnen, kennen wir die beiden mplituden ( +;: I!/J(O) und ( -"'1 r,[t(O) - \ ir kennen die mplituden, eil wir wi en, da !/JeO) ein n Zu land dar teIlt. de en pin im (+x)-Zu rand i 1. it den Re ultaten de letzten Kapitel ergeben ich die e Amplitud n I t

(7.35)

und (-"'1 +x) =

I

c_ = {2'

Sie ind zufälli o I i h. Da i h di wir i Ct

(

Amplitud n auf den Zu rand bei t

=:

0 beziehen nennen

)undC_(O).

tenn ie Kapitel 6 über prungen haben. können ie er teinmal (7.35) al nichthergeleitete Regel an ehen. päter (in Kapitel 10) werden wir eine voll tändigere Di ku ion der Spin-Präze i n bringen, ein hließlich einer Herleirung die er mpliruden.

138

un wi en wir, wie ich die e Amplituden zeitli h erhalten. Durch erhalten wir

C (t)

=C

w ndun von (7. 4)

(O)e -(ilh 'JilJt

7. 6)

und

Aber wenn wir C+ (1) und C_ (t) kennen, haben wir alle, as man über den Zu tand bei t wi en kann. Der einzige Haken i t nur, da s da , wa wir wi en wol/ell, die :ahrs heinJi hk it dafür i t, da bei I der pin in +x-Richtung zeigt. Un ere allgemeinen Regeln könn n jed h die Problem lö en. Die Amplitude dafür, zur Zeit t im (+x)-Zu tand zu in, ir könn n i A 1) nennen, chreiben wir A+(t)

= <+x II/J(t)} = <+x I +z:}

(+z JI/J(t)}

+ ( +x 1-;::) (-: 14'(t»

oder

Wieder benutzen wir die Ergebni e de letzten Kapitel - oder be Kapitel 5 - und wi en dann da

<X I 1> }. au

(+xl+z}

1f kennen

1

= .r;;' -y2

r di GI i hung
>=

1

(+xj-z)

= {2'

daher alle Größen in GI. (7.37). Wir erhalten

A (1) == 1. e(ilh)'JilJ1 + 1. e-(ilhJJBI -

2

1

oder

A...(t)

= co

P: t .

Ein be onder einfache Ergebni ! Beachten Sie, das die Lö ung mit em überein timrnt. W wir für t == 0 erwarten, ir erhalten A (0) = 1, wa richtig i t, weil ir vorau g tzt ha n, da dayon für t == 0 im (+x)-Zu tand war. Die

oder

ahrscheinlicbkeit P.,., das d

M on bei t im (+x)-Zu tand angetr ff n ird. i t

)-

pin-!-Teilchen

139

Fig. 7·10: Die Zeitabhängigkeit der

ahrcheinlichkeit. das in Spin-~-TeiJchen in einem C+)-Zu land bezüglich-der x-Achse ein wird.

Die ahr heinli hkeit zilli rt ziehen null und ein , wie in Fig. 7-10 gezeigt Beachten ie d die ahr cheinlichkeit ieder ein wird für J.lBt 117 = n (nicht 2n). Weil wir die Ko inu funktion quadriert haben, wiederh Ir ich die Wahr cheinJichkeit mit der Frequenz 2jiBlh. Folglich finden wir, da i h die Chance, ein Zerfall elektron in dem Elektronenzähler on Fig. 7-9 aufzufangen, p riodi ch mü der Zeitdauer ändert, die da M on im Magnetfeld verbracht hat. Die Frequenz hängt von dem magneti chen Moment J1 ab. Da magneti che Moment de Myon wurde tat ächlich auf di Art geme en. ir können natürli h di elb ethode benutzen um alle anderen Fragen über den Myonzerfall zu beant orten. le i t zum Bei pieldie Z itabhängigkeit der Chance ein Zerfall elektron in y-Richtung, 90° zur x-Richtung, aber noch im rechten Winkel zum Feld nachzuwei en?

enn Sie e durchrechnen ehen ie da die Amplitude, im (+ )-Zu tand zu ein wie co 2 {(j1BI Ifl) - nl 4} ariiert. Die ariiert mit der eiben Periode, erreicht aber da Maximum eine iertel Schwingung dauer päter wenn }.ißt 111 = n/4 i t. Wa nun wirklich ge chieht i t die: Im Lauf der Zeit g ht da yon durch eine Folge von Zuständen die einer oll tändigen Polari ation in eine Richtung entsprechen, die ich kontinuierlich um die z-Ach e dreht. Wir können die be chreiben dur h di Au age, da der Spin präzessien mit der Frequenz

2j1B f1

w =--. P

(7.38)

Sie erden jelzt erkennen können, welche Fonn un ere quantenmechani che Be chreibung annehmen wird wenn wir be hr iben wie ich Dinge zeitlich erhalten.

8

Die Hamiltonsche Matrix

Siehe auch: Band

Kapit I 49

ch ingung formen.

Amp 'it den und Vektoren

8.1

Be or wir mit dem Hauptthema die e Kapitel beginnen mächten wir eine Reihe on mathemati chen Begriffi n be hreib n, die ielfach in der Literatur über Quantenmechanik benutzt werd n. Ihre Kenntni ird llmen das Le en anderer Bücher oder Schriften über die e Gebiet erlei htem. Da E te i t die große mathemati che Ähnlichkeit zwi chen den Gleichungen der Quantenmechanik und den Gleichungen für da kalar Produkt on zwei Vektoren. Wenn X und ifJ z i Zu tände ind dann werden Sie ich erinnern, da die Amplitude, on ifJ au gehend in X zu enden ge chrieben werden kann al Summe über einen 011 tändigen Satz von B iszu tänden d r Amplituden für den Übergang von ifJ in einen der Ba i zu tände und dann au die em B i zu tand w'ed r herau nach X: (X Ilß)

=

(

li)(ilifJ)·

(8.1)

alle i

Zur Erklärung b nutzt n wir einen Stem-Gerlach-Apparat. Wir mächten Sie aber dann erinnem cl man den pparat nicht unbedingt braucht. Gleichung (8.1) i tein mathemati ehe Ge etz de n Gültigkeit ni ht da on abhängt, ob wir die Filtereinri htung ein etzen oder ni ht - e i t nj ht immer n twendig, ich orzu teU n das der Apparat da wäre. Wir können die Gleichung infach a1 Formel für die mplitude (X I
~(B' ej)(e j alle

(8.2)

,

j

obei da S mbol e j für die drei inh it ektor n in x- ) - und z-Richtung tehen 011. Dann i t wa ir gewöhnlich B x nennen' B 'e 2 i t das, wa wir gewöhnlich B). nennen und 0 weiter. GI. 8.2 i t daher leichb deutend mit .

B' ej da

wa das inn r Produkt B .

i t.

8 Die Harni/ton ehe Matrix

142

ennwirdieGln.( .1) und (8. ) ergleichen können irfolg nd nalo-j erkennen:Die Zu tände X und r/> entsprechen den zwei Vektoren Bund . Die Basi zu lände i ent pr h nd n pezieUen ektoren ej , auf die wir alle anderen ektoren bezieh n. Jeder ektor 'ann dur h ine Linearkombination der drei "Ba i vektoren" ej darg teUt werd n. enn ie außerdem in die er Kombination die Koeffizienten jede ,Ba j vektor" - d heißt di dr i Komp n nten - kennen dann wi en ie alle über einen Vektor. Ähnlich kann man jed n quant nme hanieben Zu tand durch die Amplituden ( i Ir/» für den Übergang in die B i zu tände voll tändig be chreiben. enn Sie die e Koeffizienten kennen. dann i en ie alle . \\ man über den Zu tand wi en kann. Wegen die er genauen Analogie wird d a s " ir einen ,Zu land' oenannt haben. auch oft ein .Zu tand vektor" genannt. Da die Ba i ektoren ej alle im rechten Winkel zueinand r tehen, erhalt n " ir di Beziehung . )

Die entspricht den Beziehungen 5.25) zwi ehen den Ba i zu länden i. ( .4)

Sie ehen jetzt. warum man agt. da

die Ba i zu tände i alle ,arth gonal' ind.

Ein kleinerer nter chied zwi ehen GI. (8.1) und dem inneren Prod kt i tjed den. E i t nämlich

(r/> Ix>

h orhan-

.

= (X Itb >",

)

während in der ektoralgebra gilt

A·B=B· Bei den komplexen Zahlen der Quantenmechanik mü en" ir di Reihe~ 1 d r u drück treng beachten. Beim inneren Produkt pieh ie dagegen keine Rolle. Betra hten i jetzt di folgende Vektorgleichung

ie i t etwas ungewöhnlich aber richtig. Sie bedeutet da

lbe wi

Bea hten ie aber das GI. (8.6) eine Größe be chreibt, die ke'o inn re Pr ukt i r. in 'nnere Produkt i t einfach eine Zahl während GI. (8.6) eine Vekrorgleichung i t. ar in r d r deutenden Kunstgriffe der Vektoranaly i , au den Gleichun eo den B griff d kl0~ lb t

8. J Amplituden und Vektoren

143

zu ab tram ren. Gleicbermaß n konnt man geneigt ein etwas au der quantenmechani hen Formel GI. ( .1) zu ab trahier n \ as einem, ktor' analog i t - und da kann man ta ächlieh. Wir entfern n da <X I auf b id n eilen on GI. (8.1) und chreiben folgende Gleichung auf (haben Sie keine ng t i t nu eine hreib ei e. und ie werden gleich merken as die ymbol bedeuten):

(8.8) Man denke icb die KJamm r (= bracket) < I werden auch Zustandsvektoren genannt. Sie ind jedenfaU keine Zahlen und im Allgemeinen mö hten wir, da da Ergebni un erer Rechnungen al Zahl herau kommt. Daher ind olche, unfertig n' Größen nur chritte auf halbem Wege in un eren Rechnungen. E hat ich ergeben da wir bi jetzt alle un r Re ultate durch Zahlen an gedrückt haben. kLoren zu vermeiden? E i t amüsant fe tw teUen, da wir ogar Wie i te un gelung n, in der ge öhnlichen ektoralgebra alle Gleichungen 0 chreiben könnten das ie nur Zahlen beinhalten. ir hatten zum Bei piel tatt einer Vektorgleichung wie

F=ma immer chreib n könn n

C· F

= C·(ma).

Wir haben dann eine GI,ei hung mit zwei inneren Produkten, die für jeden Vektor C gilt. Wenn ie aber für jede C gilt, hat e k in n inn, da C immer mitzuschreiben ! Betrachten Sie jetzt GI. (8.1 . D . i t eine Gleichung die für jedes X gilt. Wtr oilten daher, um chreibarbeit zu par n da weglassen und stattde en GI. (8.8) chreiben. Sie enthält die eibe Irrf rmati n vorausge et.. t wir wi en da ie immer auf beiden Seiten ergänzt werden ollte durch ultiplikation on links mit" - wa einfach ein Wiederein etzen bedeutet _ irgendeinem ( I. Daher b deutet 01. genau da eibe wie Gl. (8.1) - nicht mehr und nicht weniger. enn i n hab n wollen, etzen Sie das <X I da Sie möchten, ein.

zaw

Vielleicht hab n ie ich hon üb r da ljJ in GI. (8.8) gewundert. Da die Gleichung für jedes gilt warum behalten wir e dann bei? Tat ächlich chlägt Dirac or das da ifJ genau 0 gut wegab tramen erden kann, 0 da wir nur no h behalten

I:: ~Ii) (il.

(8.9)

i htig G etz der Quantenmechanik! (E gibt nicht Analoge in der ektoagt au: nn i z i b liebige Zu tände X und ljJ link und re ht auf beiden ranaly i . eiten ein elzen erhalten ie wieder GI. (8.1). E i t in Wirklichkeit nicht ehr nützlich aber e i t ein netter Hin ei ,das di Glei hung für zwei b liebige Zu Lände gilt.

144

Die Hamilron ehe MarrLr:

8.2

Zerlegung von Zu tand vektoren

Betrachten ir wieder GI. (8.8), ir können über ie folgende .. berleaungen an t 11 n. J d r Zustand ektoT I t/J) kann mit geeigneten Koeffizienten darge leUt erden a1 Lin arkombination eine S tems von .Ba i vektoren' - oder fall Sie e orzjehen al eine" rlag rung von ,,Einheit el1:oren' in geeigneten Verhältni en. m her orzuheben, d die ffizj nten ( i I rb) nur ge öhnliche (kümple e Zahlen ind, chreiben ir einmal

UI q,) = Cj . Damit wird GI. (8. ) zu

Für jeden anderen Zu tand vektor agen wir Ix) , können wir eine ähnliche Glei hung ben natürlich mit anderen Koeffizienten - agen wir Dj • Dann erhalten ir

hrei-

Die D; ind gerade die Amplituden< i Ix) . Angenommen. wir hätten damit begonnen da t/J au GI. erhalten

<xl

=I

(Xli)

ir hätten

(il.

enn wir bedenken das

(Xl

.1 zu ab trahier n.

<X li) = (i Ix) • i t. könn

.12 n

ir die

hr iben aJ

= ID; (il.

.I )

E i t nun intere 3m, da wir GI. 8.13 und GI. 8.10) einfach mit inander nm/riplher, n 'önnen. um .. ieder< I t/J) zu erhalten. W. nn wir die tun, mü n ir mit d n umm ti n indiz o ichtig umgehen. da ie in den beiden Gleichungen ganz e ind. hreiben " ir zuer t GI. (8.1 noch einmal al

<xl =

ZD

j

(jl,

j

übei ich nicht ändert.

( Irb)

enn wIr ie dann mit Gi. (8.10 zu amm nfü en

=LDj(jli)Ci. ij

rh It n ,,'ir

.1

8.2 Zerlegung \'on Zu lafld I'ektoren

Bedenken ie ab r d ()'I i) j = i hab n. ir erhalten

<xlcP> = I:D;

= 8.. i t. I)

0

dirlinks in der

=

umm nur die Terme mir

(8.15)

i

=(

wobei natürlich D i (i I >~ Analogie mil dem inner n Pr dukt.

B·A

145

I i) und C j

= (i I cP)

i t. Wieder ehen wir die genaue

=~ \:"' AB. 11

Der einzige merschied i t da komplex Konjugierte beim D j • GI. (8.1S) agt daher au: enn die Zu rand vektoren (X I und Il/J) in die Ba i ekroren (i I oder I i) aufge palten werden, dann wird die Amplitud für den Übergang on l/J nach X durch die Art von innerem Produkt in GI. (8.15) geg ben. Di e GI i hung i t natürlich gerade GI. (8.i), nur mit anderen Symbolen ge chrieben. Ir ind a ben im Krei gegangen um die neuen Symbole zu gebrauchen. ir oUten iell icht n h einmal betonen: Während Vektoren im dreidimen ionalen Raum durch drei orthogonal Einhei ektoren b hrieben erden müs en ich die Basi vektoren I i) der qu ntenmechani ehen Zu tände über da voll tändige Sy tern er trecken, da für das jeweilige Problem zutreffend i t. Je na h der ituation können zwei oder drei oder fünf oder eine unendliche Anzahl on B i zu länden dazugehören.

Wir haben u h darüb r g pro hen, wa ge chieht, wenn Teilchen durch einen Apparat gehen. Wenn ir die Teilchen on einem be tinunten Zu tand r/J au gehen las en, ie dann durch einen pparat hi k n und hinterher eine Me sung machen um zu sehen, ob ie im Zu tand X ind, dann ird das Er bni b chrieben durch die Amplitude (x IA 11»

.

(8.16

mbol hat kein genau Analogen in der ektoralgebra. CE i t enger mit der enSolch ein o ralgebra rwandt, aber die nalogie i t nicht be onder nützlich.) Wir ahen in Kapitel 5 ir ( .16) chreib n konnten al GI. (5.32), d (X IA

I; l/J)

= Z (X li)

(; IA IJ) (j If/J )

.

(8.17)

ij

Die i t in Bei pi I für di z eimalig Wir hab n auch gefunden da

nwendung der fundamentalen Regel GI. (8.9).

wir bei Hinzufügung eines anderen Apparate B in

erie

mit A chreiben konnten

(XI B Il/J)

=I(Xl i ) U\BIJ) (jIAlk) (kll/J).

(8.18)

ijk

Wieder kommt die dir kt mit Dirac Methode die GI. (8.9) zu chreiben, herau - bedenken Sie, cl ir imm r einen tri h (1), der genau wie der Faktor 1 i t, zwi ehen Bund A elzen können.

146

'ebenbei ge agt können wir GL (8.17) auch auf andere An betrachten. ng nommen. wir denken an da TeiJchen, das in den Apparat A im Zu land t/J eintritt und au im Zu tand 1/1 (..p i ') herau kommt. Wir können un mit anderen orten die Frage teIlen: Können wir ein 1/1 finden, 0 da die Amplitude für den Übergang von 1/1 nach X immer identi h und überall die gleiche i t wie die Amplitude (X IA I rP ) ? Die Antwort i t ja. lf m" hten GI. .17) e tzen durch

(X 11/1) =

I

ir können die

(x Ii) (i 11ft)

elb tver tändlich tun, wenn

= LUIAlj)

(ill/l)

.19

.

(Jlt/J) =(iIAI~),

j

womit 1/1 be timmt i t. ,.Aber das be timmt 1ft doch nicht" werden ie agen, .,da be timmt nur ( i 11/1)" Aber ( i Iift) be timrnt doch 1/1. denn wenn Sie alle Koeffizienten haben, die l/J mit den Basi zu länden i verknüpfen, dann i t l/t eindeutig be timmt. ir können dur hau mit un rer chreibwei e piejen und den letzten Au druck von GI. (.20 chreiben a1

= L:(ilj) (JIAlrP)·

UII/I)

j

Oa die e Gleichung für alle i gilt, können wir außerdem einfach chreiben

ll/J)

= 'LU} (JIAIc'b)

(

.

.2~

j

Dann können wir agen: ,Der Zu tand und durch den Apparat A gehen."

I/J i t da , wa wir erhalten, wenn wir mit

Ein letzte Bei piel für die e Kun tgriffe. Wir beginnen ieder mit GI. jede X und c'b gilt, können wir ie beide weglas en! Wir erhalten dann t

A

=}) i} ( i IA Ij) (j I

~ beoinnen

.17 Da

j

für

( .-

ij

as bedeutet da ? E bedeutet ni ht mehr und nicht weniger al d , a i erh Ir n, \ nn r/J undX ieder einsetzen. So wie e da teht. i teine, offene' GI i hung und un oll tändi e · enn wir ie,.von recht " mit Ilß) multiplizieren, wird darau A 14>}

=LI;) UIAIj) (jl~) ij

- ie önnten meinen, wir allten 1.41 an Stelle von nur A hreiben. ber dann y,iird ,,absoluter Betrag "on A" au hen, daher werden die triche gewöhnlich wegge~ n. 1m der Strich (J) br ähnli h wie der Faktor eins.

.4

147

Ir hätt n tat ächlich die j

w chon i der GI. und ehreiben könn n

au die er Gleichung

II/I} =AI
eglas en

(8.25)

Das ymbol A i t in mplitud no hein ektar; e i t etwa euartige, das Operator genannt \vird. E i t etw da auf einem Zu tand" perien um einen neuen Zu tand herzuteIlen - GI. .2 b gt, da I/J d i t a ich ergibt wenn A auf I f/J} angewandt wird. Wieder i t ie 0 lange eine off, n IGI i hung bi digt wird, und dann rgibt (x Il/t) = (

ie dureh irgendein bra wie

I I

.

<X I

ervoll tän-

(8.26)

Der Operator A i t narurli h oll tändig be chrieben, wenn wir die Matrix der Amplituden (i IA I j) - au haI Ai) ge hrieb n - durch irgendein y tem von Ba i vektoren dar tellen. ir hab n bei all die r neuen mathemati ehen Schreibwei e wirklich nicht eue hinzugefügt. Ein Grund dafür, die alle zur prache zu bringen, be tand darin, Ihnen zu zeigen wie man Teile on Glei hungen chreibt, eil ie in ielen Büchern die Gleichungen in UD olltändiger Fonn ge chrieben finden erden und Sie haben keinen Grund tarr vor Schrecken zu ein enn ie ihnen beg gnen. Wenn Sie e orziehen, können Sie immer die fehlenden Teile hinzufüg n um in Gleichung zwi ehen Zahlen herzustellen, die dann etwas ertrauter au ehen ird. ie werden auch b mer en, cl die "bra - und "ket"-Schreibweise sehr bequem i t. Einmal können wir on nun an einen Zu tand durch Angabe eine Zu tand ektor kennzeichnen. enn wir un auf einen Zu tand mit be timmtem lmpul p beziehen wollen können wir agen: ,Der Zu tand Ip).'< Oder wir können von einem beliebigen Zu tand Il/t > prechen. Um kon equent zu ein. ollen, ir immer das ket benutzen und Il/t) chreiben um einen Zustand zu kennzeichn n. (Da i t natürlich \ illkÜflich gewählt, wir könnten genau 0 gut das bra <'" I nehmen.)

8.3

Wa

ind die Ba i zustände der Welt?

ir haben fe tge teIlt d jeder Zu tand in der Welt al eine Überlagerung - eine Linearkornbinarion mJ( ent prechend n oeffizienten - on Ba i zu tänden darge teilt werden kann. Al Er te w rd n ie fragen was für Ba i zu tände? un ja, e gibt da iele ver chiedene Möglichkeit n. i können zum Bei piel einen pm in die z-Richtung oder eine andere Richtung projizieren E gibt iel, iele er chiedene Darstellungen die den er chiedenen Koordinaten )' femen ent prechen, di man zur Dar te]]ung gewöhnlicher ektoren benutzen kann. Al äch te w rden ie fragen, was für Koeffizienten? un das hängt von den ph ikali ehen Um tänden ab. Andere Koeffizienten y terne ent prechen anderen phy ikali ehen Bedingungen. Ein i htige ache, die man kennen mu i t der "Raum' in dem Sie arbeiten - mit ander n ort n, die phy ikali be Red utung der Ba i zu tände. Wa Sie daher im Al gemein n zuer t i en rnü en, i t die Be chaffenheit der Ba i zu tände. Dann können Sie ver rehen, wie man ein ituation dur h die e Ba i zu tände be chreibt.

14

atrix

Wir möchten ein bi chen ergreifen und ein enig darüb r ben hten wie di allg mine quantenmechani che Beschreibung der· atur au eh n wird - jedenfali in d n jetzt aeläufigen phy ikali chen Begriffen. Zuer t eot cheidet man ich für eine be timmte D t llung für die Basi zu tände - andere Dar teHungen ind immer möglich. Zum Bei piel können wir für ein Spin-!-Teilchen die Plu - und Minus-Zustände bezüglich der z- ch e benutzen. ber an der z-Achse i t ni ht Be endere. ie können auch jed beliebige andere h benutzen u Gründen der Einheitlichkeit wollen wir jedoch immer die <:- ch eherau gr ifen. ngenommen wir beginnen mit einer ituation in der ein Elektron orhanden i t. Zu ätzli h zu d n beiden pinmöglichkeiten (,,nach oben" und "nach unten läng der ::-Ri htung gibt e n h den Impul de Elektrons. Wir greifen un einen Satz on Ba i zu tänd n h rau, obei j der einem Impul wert en pricht. as tun wir, wenn da Elektron keinen be rirmm n lmpul hat? D i t in Ordnung, wir agen nur, welche die Basi zu tände ind. enn d Elektr n k in n be timmten lmpuJ hat, dann hat e eine Amplitude für den einen Impul und eine and r Amplimde für den anderen Impul und 0 weiter. Und wenn eden pin auch ni ht unbedingt na h oben hat, 0 hat e doch eine Amplitude, den Spin nach oben zu haben und ich mit die em Impul zu bewegen, oder e hat eine andere Amplitude den Spin na h unten zu haben und ich mit jenem Impul zu bewegen und 0 weiter. Die voll tändig Be cbreibung eine Elektrons erfordert nur, soweit wir wissen, da die Ba i zu tände durch Impuls und Spin be chrieb n werden. Für ein einzeln Elektron bezieht ich daher ein annehmbar S tem von B i zutänden li) auf ver chiedene Impul werte und darauf, ob der pin na h 0 n od r na hunten i 1. Andere Amplitudenmi chungen - da heißt, andere Komb.in ti n n d r C - be hreiben e b andere Gegeb nheiten. Wie ich jede einzelne Elektron rhält, ird durch di schrieben, mit welcher Amplitude e einen Spin nach oben oder unten oder d n inen od r n in voll tändig anderen Impul bat - für aUe möglichen Impul e Sie können daher ehen quantenmechani che Be chreibung eine einzelnen Elektron beinhaltet. as kann man nun über Sy terne mit mehr al einem Elektron age ? Die B i zustände werden dann komplizierter. ehmen wir an, wir hänen zwei Elektronen. ir haben zunä h t einmal bezüglich d Spin vier mögliche Zu lände. B ide Elektronen a n pin b n, d er te nach unten und da zweite nach oben, da er te na h oben und d zw it na hunten oder beide nach unten. ir mü sen auch angeben da d e te Eie n den lmpul PI und das zeit Elektron den Impul P2 hat. Die Ba i zu tände ruf z ei Elektronen erlord rn die Angabe on zwei ImpuJ en und zwei pineigen chaften. Bei ieben Elektron n mü n wir ieben von jedem angeb n. enn ir ein Proton und ein Elektron haben mü en WIr pinri htung und lmpul Protons und Spinrichtung und Impul de Elektron angeb n. 0 timmt zuminde ( näh rung Ir i t. E wei e. Wir wi sen in Wirklichkeit nicht, welche di richtig D tellun fiir di i t chön und gut, von der Annahme au zugehen da .e die B i zu tänd haben rd n. enn Sie Spin und lmpul de Elektron und gleichermaßen eine Pr ton ange n, ber w i t mit dem ,lnneren . de Proton? Betrachten wir e einmal 0: In in m t atom. das 3U ein m Proton und einern Elektron be leht, mü en ir iet e hi d ne B i zu lände be cbreiben - pin oben und unten vom Proton und om Elektron und di v hi n n möglichen Impul e de Proton und de Elektron. Dann gibt e e hi n mbinationen der Amplituden Ci die zu ammen die Eigen chaft d a er toffato in hi n n Zu tänden b chreiben. Angenommen aber, wir betrachten d ganz toff: (am aJ in ,Tedchen. enn wir nicht ü ten, da da W: er toffatom au ein m Pr ton un in m Elektron gemacht i t, hätten wir gleich angefangen und ge agt Oh ich iB, w di B i-

149

zu tänd ind - i n pr h n in m peziellen lrnpul das as er toffatorns:' ein, denn d as e toffatom bat inn r B tandteile. E kann daher er chiedene Zu tänd on unterchiedlicher innerer En r ie hab n und die Be chreibung d r wirklichen atur erfordert größere Au führlichkeit. Die Frage i t: Hat ein Pr t n inn r B tandteile? Ü en wir ein Proton durch Angabe aller möglichen Zu tänd von Protonen, e onen und eltsamen Teilchen beschreiben? Wl.[ wi en e nicht. Ob ohl, ir annehm n da da Elektron einfach i t, 0 das wir allein über einen lmpul und einen pin u agen mach n mü en, werden wir vielleicht morgen entdecken das auch d Elektron einen inneren echani mu hat Da würde bedeuten, da unsere Dar teilung un oll tändig oder fal eh oder angenähert i t - eben 0 wie eine Darstellung de er toffatom cli nur de en lmpul be chr ibt, un oll tändig ein würde, weil ie clie Ta ach allß r cht lä t, d da as erstoffatom inwendig angeregt ein könnte. Wenn ein Elektron inwendil1 anger gt in könnte und ich in etwa anderes zum Bei piel in ein Myon erwandelte, dann ürde e ni ht infa h durch Angabe der Zu tände de neuen Teilchens be chrieb n, ond rn ennutlich dur h einen omplizierten inneren Mechani mu . Das Hauptproblern beim Studium der Elementarteilchen heute b t ht darin herauszubekommen, welche die richtigen Dar t llungen für di Be cbreiblmgen der Natur ind. Gegenwärtig vermuten wir, das für da Elektron die Angabe de Impul e und de Spin au reicht. Wir vermuten auch, das e ein ideali ierte Proton gibt. deine rr-Me onen, K-Me onen und 0 weiter hat, die alle einzeln aufg fühn werden mü en. ehrere Dutzend Teilchen - da i t eITÜckt. Die Frage, wa ein Elementarteil h n ; t und a nicht - ein Thema über da Sie in die en Tagen 0 ieL hören -, i t die Frage, wie chli ßLich die Dar teilung in der endgültigen quantenmechaniehen Be hr ibung der Welt au ehen ird. Wird der Impul de Elektron das richtige Mittel ein, um di atur zu be ehr ib n? Oder ollen wir die Frage überhaupt 0 tellen? Die e Frage rou bei jeder i en haftli h n F r chung auftauchen. Jedenfall ehen wir ein Problem wie find n ir eine Dar teilung. Wir wi en die Antwort nicbt. Wir wissen nicht einmal, ob wir das ,richtige' Problem r un hab n, oder wenn dem 0 i t mü en wir zuer t herauszufinden ve ucben, ob irgendein pezielle Teilchen "fundamental' i t oder nicht. In der nichtrelati i ti hen Quantenmechanik - wenn die Energien nicht zu hoch ind 0 da ie den inner< n e hani mu der elf amen Teilchen und 0 weiter nicht tören - können Sie ganz gut zurechtkommen, ohne ich um die e Einzelheiten zu kümmern. Sie öonen einfach be cWieß n, Impul und pin der Elektronen und Kerne anzugeben; dann wird alle in Ordnung ein. Bei den mei ten ehemi ehen Reaktionen und anderen niederenergeti chen orgängen ge chjeht in d n Kernen ni ht . ie werden nicht angeregt. enn ich ferner ein as ertoffarom lang am bewegt und anft geg n andere Wa er roffatome tößt - obei es niemal inwendig ange gt wird der trahlt oder andere komplizierte Sachen tut, ondem immer im Grundzu tand der inneren Bewegung energi bleibt -, können Sie eine äherung benutzen, in der ie da Wa er toffatom wie ein Objekt oder Teilchen behandeln und ich nicht um die Tat ache kümmern, d inwendig etwa ge chehen kann. Da wird eine gute äherung ein olange die kineti che nergie b i jedem Zu ammen toß deutlich unter 10 Elektronenvolt i t das i t die Energie. die b nötigt ird, um da Wa er toffatom zu einem anderen inneren Zuäherung machen bei der wir die Möglichkeit innerer rand anzuregen. u werden oft ein Bewegung ni ht b rü i htigen und dabei die Zahl der Einzelheiten herab etzen, die wir in unsere Ba i zu tänd aufnehmen mü en. Wir übergehen dabei natürlich einige Phänomene die gewöhnlich) b i einer h"heren En rgie auftreten würden, aber durch oIehe äherungen können wir die B re hnung ph ikali cher Probleme ehr tark ereinfachen. Zum Bei piel

150

können wir den Zu ammen toB on zwei artoff tom n gendeinen cbemi chen Proze - di kutieren ohne un um di T: t Atomkern angeregt ein könnte. Um e zu ammenzuf n: \ nn 'ir i irgendwelchen inneren angeregten Zu tänden ine Teilch n \ ema hl" wir ein Basi tem au wählen. da au d n Zu länden mit be timmlem :-Komponente de Drehimpul e be teht. t liung Ein Problem 00' der Be chreibung der atur be teht dann darin. in für die Basi zu tände zu finden. Aber das i t nur der nfang. \ II möcht n au h n h a en können, was "ge: chiebt. enn wir den ,,zu tand" der lt u in m Zeitpunkt k nn n. \\'Ürden wir gern wi en wie der Zu tand zu einem päteren Zeitpunkt au i hl. , lf mü n dah r auch die Ge etze finden, die angeben, wie ich die Dinge mit d r Z it änd ro. Wlf nd nun nun dem zeiten Teil im Gern t der Quantenmechanik zu - i i h Zu tän mit d r Zeit erändern.

8.4

Wie ich die Zu ände lll1t der Z it erän rn

ir haben chon be proehen wie wir eine ituati TI d t lien könn n, in d r '" .r durch einen Apparat chicken. un i t ein für die Behandlung bequem rund rfreuh her. pparat' einfach eine artezeit on einigen Minuten. d heißt, ie präpari r n in n Zu tand dJ und las eo ihn dann vor dem Analy ieren einfach warten. i Beicht I TI i ihn in in m be timmten elektri ehen oder magneti ehen Feld arten - d hänl!t v n TI pl1 ikali h n Um tänden in der elt ab. Ganz gleich, wie die Bedingung n ind.l n i d Objekt von der Zeit I. bi zur Zeit 12 warten. ehmen Sie an, e wurde au Ihrem e ten pparat zur Zeit t l im Zu tand dJ herau gela en. Danach geht e durch einen, pparat'". aber d r pparaC be tebt nur au einer Wartezeit bi 12 , Während der artezeit konnt n ve bied n Ding cheben - Anwendung äußerer Kräfte oder anderer n inn -, d t\ P iert. m End die er artezeit i t die Amplitude, das Ding in einem Zu Land zu finden, ni ht mehr genau die gleiche wie ohne die Wartezeit. Da da ., arten" nur in peziaJfall ein , pparat .. i t, können wir das Ge ehehen durch die Angabe einer rnplitud 'n d I n F rm wie GI. (8.17) be chreiben, Da die Operation de, Mt n ,. 00 ond i hti i t. wien ir i U tatt A nennen, und um die Anfang - und Endzeiten t. und 12 anzu be, woB n wir 12 , /.) chreiben. Die gewün cbte Amplitude i t

Wie jede andere on oIehen Amplituden kann ie in dem ein n od r an darge teUt erden, indem man ie chreibt

I

(xl i) 01 U(lZ' t.)! j) (jl.

ij

Dann i t U voll tändig be ehrieb n dur h

ngabe d

g nz n

r n

151

ebenb i können \l ir darauf hin i n da die atrix (iIU(1 2,11)1j) viel mehr Einzelheiten angibt al man brauh n kann. Der qualifizierte theoreti che Phy iker der ich mit Hochenergieph i b häf igt, betra hter Probleme on folgender allgemeiner Be chaffenheit (weil die E perim nt g öhnlich dur hgeführt werden). Er beginnt mit einem Paar on Teilchen i in Pr ton und in Proton, die au dem nendlichen zu ammenkommen. (Im Laboratorium teht ein TeiIch n ge öhnlich till und d andere kommt au einem Be chleuruger, das i t im atomaren aß tab prakti ch au d m n ndlicben.) Die Dinger knallen zu ammen und herau Iwrnm nagen ir, z ei Kon n, eeh 1f-Me onen und zwei eutronen in gewi en Richtungen mit g wi en Impul en. a i t die Amplitude dafür da die ge chieht? Die athematik i ht 0 au : D r (jJ-Zu rand gibt die Spin und Impul e der aTlkommenden Teilchen an. D är di Frage na h dem, wa herau kommt. Zum Bei piel, mit welcher Amplitude erhalten ie e h e onen, die in die und die Richtungen laufen und zwei eutranen, die in jene Richtungen da on fliegen mit ihren Spin so und o. X wurde mit anderen orten durch die ngabe aller Impul e und pin und 0 weiter der Endprodulcte genau betimmt ein. E i t dann ufgab de Theoretiker die Amplitude (8.27) zu berechnen. Er i t jedoch tat äehlieh nur an dem pezialfall intere iert, in dem 1( gleich -00 und 12 gleich +00 i t (Für die Einzelheiten de Proz e gibt keine xp rimentellen Bewei e ondem nur für da ,wa ankommt und da a herau geht.) Der Grenzfall von U(t2' t]), wenn t l -+ -00 und t2 -+ +00, ird S genannt, und a er haben möchte i t

(xl S 1(1) . Oder er würde unter Benutzung d r Form

.28) die Matri

(iISIj) berechnen, die S-Matrix genannt wird. Wenn Sie aI 0 einen theoreti ehen Pby iker auf und ab gehen ehen und agen hören, He, was ich tun mu ,i t, die S-Matrix zu berechnen,' erden Sie wi en, orüb r er ich Gedanken macht. Wie man die S- atri berechnet - wie man ihre Ge etze angibt - i teine intere ante Frage. rn der relati i ti hen Quantenmechanik für h he Energien kann e auf eine Art und in der nichtrelati i ti ehen Quantenm hanik auf ine andere Art gemacht werden, die ehr bequem i t. (Die andere ethod kann au h im relati i ti ehen Fall angewendet werden aber dann i t ie nicht 0 bequem. gilt, die U- atri für ein kl ine Zeitintervall herau zubekommen - mit anderen Worten für dicht zu ammenliegend 12 und 1I' enn wir in Folge oIcher U' für aufeinanderfolgende Zeltintervalle finden können, können ir den Ablauf der Dinge al Funktion der Zeit erfolgen. Sie können fort ein eh n, da die e Methode im relativi ti ehen Fall nicht 0 gut i 1, weil ie nicht gern angeb n ollen, ie alle üb ra11 , gl i hzeitig' au ieht. WIr wollen un darum aber nicht orgen - ir \ erden un nur mit der oi htrelati i ti ehen Mechanik beschäftigen. ehmen wir an ir denken an di Matrix U für eine Wartezeit von t l bi t3 da größer i t a1 (2' ehmen wir mit anderen Worten drei aufeinanderfolgende Zeitpunkte 11 kleiner al kleiner al t3 • Dann f rdem wir da die Matrix, die z i chen t l und'3 ermittelt das aufeinanderfolgend Produkt on dem i t, wa ge chieht wenn ie von t l bi t') warten und

'1

8 Die HamiJlofl ehe Matrix

152

dann von t 2 bi 13 , Das ent pricht genau der Situation, als wir z ei pparate Bund A in Ruhe batten. Der Scbreibwei e von Ab chnitt 5.6 folgend, können ir dann brei ben

. 0 Wir können, mit anderen Worten, jede Zeitintervall berechnen wenn \: ir in dazwi h n liegende Folge von kurzen Zeitintervallen berechnen können. ir multiplizieren a11 Teil tü k miteinander di i t die Methode, naeh der die Quantenmechanik ci htrelati i ti ch behandelt wird. n er Problem i t damit, die Matrix V(t z, (1) für ein infinite imale Zeitimer"aH- für'2 = t 1 + t - zu ver tehen. ir teilen un die e Frage: Wenn wir jelZt ein n Zu tand dJ haben. wie ieht die er Zu tand eine infinite imale Zeit ßt päter au? ir ollen h n, wi wir d auf chreiben. Der Zu tand zur Zeit t ei I !/J(t» (wir zeigen die Zeitabhängigkeit von r/f um ganz klar zu machen, das wir den Zu tand zu der Zeit t meinen.) un fragen ir: el h n Zu rand haben wir ein kurze Zeitintervall 6.1 päter? Die Antwort i t

I rf!(r + t) = U(l + ß.t, t) I rf!(t) . Die bedeutet das eIbe wie da

wa wir mit (8.2S) agen wollten nämlich das di

( .3 1) mplim

.

X zur Zeit 1 + t vorzufinden, die ei t (x I r/f{t +

t»

= (X I V(t + ß/, t) I rf!(t) .

Da wir die e ab trakten Dinge noch nicht allzu gut beherr ehen, wollen ir un ere mplituden in eine bestimmte Dar teilung projizieren. Wenn wir beide eilen on GI. . 1 mit ( i I multiplizieren, erhalten wir (iltft(t +

t»

= (iIU(t+6.l,t)Irf!(t».

u können auch da 11!J(t» in Basi zu tände auflö en und chreiben

UII/t(t+

)

= L
Wir können GI. (8.34) folgendermaßen ver tehen. enn ir mit j t) = <j I r/f(r)) di mplitude, zur Zeit t im Ba i zu tand i zu ein, bezeichnen, dann können \: ir un v t Hen, das die e Amplitude (einfach eine Zahl. erinnern Sie ich! mit der Zeit variiert. Jede C, ird in Funktion von t. ir haben auch einige Infonnationen daIiiber, wie die plitud n i mit d r Zeit ariieren. Zur Zeit (t + ßt) i t jede Amplitude prop monal zu all den anderen mplirud n zur Zeit t, multipliziert mit einem Satz von Koeffizient n. ir ollen die - atri V,) n nn n, wa bedeuten oJ]

153

Dann können Cj(r

ir G1. ( . 4) 0

=.L

+ ,

I)

hreiben

t

1+

Cp .

.35)

)

So al 0

ird die D narnik d r Quantenm chanik au ehen.

Wir i en üb r die jj bi jetzt nicht iel bi auf ein . Wir wi en, das für Jit gegen null nicht g chehen kann - ir mü en einfach d n ur prünglichen Zu tand erhalten. Daher gilt Vii ~ I und Vi) ~ O. enn i j i t. 't anderen Worten Uij -4 0ij; für ß.r -4 O. ir für kleinet jed r der Koeffizienten Uij ich von oij um Beträge können auch ann hmen d unter cheiden olite, die pr porti nal zu tlt ind' wir können daher chreiben

"*

U.. I)

= ö·· + K.. I)

I)

(8.36)

t.

Au ge chichtlichen und nd ren Gründen i t e jedo h üblich, den Faktor (-ilf1)t au den Koeffizienten Kij herau zuziehen- \ ir chreiben al 0 lieber 1

VI)..(r + /1/, r) = 5.. - -f1 H.. (r) Al . ') r)

E

j [

natürlich d

ie GI. .36 und definiert, wenn ie 0 wollen, die Koeffizienten ind g rade die Ableitungen der Koeffizienten U;ß2' t l ) nach T2 be-

elb

Hi/t). Die All drü k

( .37)

H ij

rechnet für ' 2 = /. = t. Wenn wir die e oon ür U in GI. 8.35) benutzen erhalten wir I)

= L.J '\' [0..') - 11') ~ H· .(t) ß/] C) .(r) '

(8.38)

j

enn ir über den 6 jrT: rm ummieren erhalten wir Ci(t) wa wir auf die andere Seite der Gleichung bring n könn D. enD wir dann durch 601 dividieren, rhalten wir e,(r +

) - CI(r)

t

= _~ \:" H ..(t)C.(t). fj

LJ

I)

)

j

,elch

wir al

bleitung

. d jet) ~rh - - = LJ Hij(t) /r). dt .

( .39)

J

rnplitude (i II/t > dafür i t, den Zu land I/t in einern der Ba ] zu find n. GI. ( . 9) agt un daher, wie jeder der Koeffizienten { i I t/J > i I) di

t\ ir ind hier mil der hreibwei e elw in hwierigkeit n. In dem aktor (-iNI) bedeutel das i die imaginäre Einheil ~ und nicht den Index i. drauf den i-lcn Ba i zu land hinwei l. Wir hoffen, ie finden das nicht allzu verwirrend.

154

zeitlich variiert. ber da entspricht der Au age, da un GI. (8.39 agt, ie ich der Zu tand ljJ zeitlich verändert, da wir !/J durch die Amplituden ( i Iif!) be hreib n. Die zeitliche eränderung von ifr wird durch die atrix Hjj be chrieben die narürlich all d umf en mu , w "ir mit dem Sy tem tun um eine Änderung hervorzurufen. Wenn ir die H,) kennen - elche di Phy ik der Situation enthalten und im llgem inen zeitabhängig ein können - hab n wir eine vollständige Be chreibung de zeitlichen Verhalten de y tems. Gleichung ( . 9 i t dantit da quantenmechani che Ge etz für die Dynamik der elt. (Wir ollten erwähnen, da wir immer ein Sy tem on Basi zu tänden nehm n wer en, die fe tstehen und ich ni ht mü der Zeit verändern. E gibt Leute, di benutzen B i zu lände, die ich ebenfali verändern. Da i t jedoch 0 al wenn man in der e hanik ein rotierendes Koordinaten y tern benutzt, und wir mächten nicht in olche Komplikation n ven; ickelt werden.)

8.5

Die Hamilton ehe Matrix

Das Prinzip i t aI 0, das wir zur Be chreibung der quantenmechani hen elt einen atz von Basi zu tänden i au ählen und die phy ikali ehen Ge etze durch ngab der K ffizientenmatrix Hij chreiben mü en. Dann haben wir alle - wir können jede rage üb r da , was ge chehen wird, beantworten. Wir mü en daher lernen, welche Regeln für d uffind n der H' gelten, die zu irgendeiner phy ikali ehen Situation gehören einem magneri hen Feld oder einem elektri ehen Feld und 0 weiter ent pricht. D i t der h ierig te eil. Zum Bei piel haben wir keine Ahnung wa für H; " wir für die neuen elt am n Teilchen erwenden aUen. Mit anderen orten, niemand ke~nt die vollständigen H,j für die ganze It (Ein Teil der Schwierigkeit i t da man kaum hoffen kann die Hij zu entdecken \ enn man nicht einmal weiß, welche die Ba i zu tände ind!) Wir haben jedoch au gezeichnete äherungen für nichtrelari i ti ehe Phänomene und einige andere pezialfälle. [n be ondere h ben wir die Au drücke, die für die Bewegungen der Elektronen in Atomen gebraucht \ rden - um die hmie zu be chreiben. Da volJ tändige richtige H für d ge amte oi er um kennen wir aber nicht. 1

Die Koeffizienten Hij werden Hamilton ehe Matrix oder im Engli eh n einfa h kurz Haie eine quantenmeehani ehe atrix den am n on Hamilton, drum 1830 wirkte, erhalten hat, i t aehe der Ge chiehte. ie ürde j I b r Ener iematru h iBen und zwar au Gründen, die er ichtlieh werden, wenn wir mit ihr arb it n. Die i t daher die Aufgabe: Kennen ie Ihre Hamiltonmatrix,

miltonian) genannt.

Die Hamiltonmatri hat eine Eigen ehaft die ofort hergel itet H~. I}

=H ..

( . 0

),'

Di folgt au der Bedingung gendeinem Zu tand i t, nicht Welt - beginnen dann bleibt e lichkeit, e irgendwo zu finden

I, lC (t)1 i

2

erden kann, närnli h da

•

da ich die Ge amtwahr cheinlichkeit d d . t m in irrändert. enn Sie mit einem Teilch n - in m Objekt d r d r Ihnen au h, wenn die Zeit er treicht. Di G amt\ hein-

i t

8.6 Da Ammoniakmolekiil

i h nicht mit d r Zeit dann mu au h GI. .40

I 5

ränd m darf. I~

enn di

für jeden Anfang zu tand rp gelten mu ,

n.

AI ir ein ituation in der ich di ph ikali hen erhäJtni ir minen di äußeren phy ikali chen Bedingungen o das H unabhängig \' n d r Zeit i t. i mand t Ut Magn te an oder ab. Ir ählen uns auch in (ern au , fiir d en B hreibung nur in B i zu rand erforderli hit e i teine äherung. die ir für ein ruh nd er toffatom m chen I önnten oder etwas Ähnliche. Gleichung (.39 agt dann

. deI

d'l -

dt

= H 11

8.41)

I'

ur eine leichlJng - da i ( a1 zu lö en und man rhält

nn H 11 kon tant i t i t die Differentialgleichung leicbt

Die i t die Zeitabhängi keil me Zu rande mit b timmter Energie E = HIl' ie eben, warllm Hij Energiematri g nanm erden ollle. Sie i t die Verallgemeinerung der Energie für komplexere ituationen. m hr n d r Bedeutung der Gleichungen zu er tehen, betrachten m al äch te t wir ein y t m, d zwei B i zu lände bat. Dann lautet GI. ( .39)

(8.43)

ind können Sie di Gleichungen leicht lö en. Ir er eh n und kommen auf die Lö ung er t päter he Lö ung finden ohne dieH' zu kennen olange

8.6

Da Ammoniakmo elcül

Wrr mö hten Ihnen j LZt Z igen

i di d nami che Gleichung der Quantenmechanikang wendet werd n kann um eine p zi Ue ph ikali che Gegebenheit zu b ehr iben. lf hab n ein inter an ,ab rein a he Bei piel h rau g griffen au dem wir durch einig emünftige Annahm TI üb r die Hamiltonmatri einig wi htig - und ogar prakti che - Ergebni e herau arbeiren önn n. Ir n hmen ine durch zw i Zu tände be hreibbare ituation: Das Amm niakrnolekül. D Ammoniakmol kül har in tick toffatom und drei Wa er toffatome, die ich in ei. ner Ebene unterhalb de tic toffe befinden 0 das da Molekül die Form einer P ramide 01 kül wie jede andere eine unendliche hat, wie in ig. -1 a 0" zei hnet. un hat die e

B Die Hamilton ehe Matrix

156

on Zu tänden. E kann ich um jede mögliche Ach e drehen, e kann i h in jed Richtung bewegen e kann inwendig vibrieren und 0 weiter und 0 weit r. E i t daher üb rhaupt kein Zweizll tand y tem. Wir möchten aber al äh rung annehmen, d all anderen Zu tände UD erändert bleiben, weil ie in da ,wa UD im omenl be chäftigt, ni ht ingehen. Wrr wollen nur in Betracht ziehen, das da Molekül i h um eine ymmetri a h dr ht (~ i 0 emu i möglich in der Figur gezeigt). das e den Tran lation impul null hat und d vibriert Anzahl

11 )

12)

Fig. 8-1: Zwei äqui alente geom lri he

Ordn~ngen

de AmmoniaJcmoJeküJ .

Damit ind alle Bedingungen angegeben, bi auf eine: Es ihr noch :wei mögli he SteliLlngen für das Sticksto.fJatom - der tick toff kann auf der einen oder der and ren it d· r Eb n der Was erstoffatome ein wie in Fig. 8-1 (a) und (b gezeigt. ir erd n daher d o l e ml 0 behandeln al wäre e ein Zweizu tand y tem. Wir meinen das e nur z\ ei Zu tänd gibt, mit denen wir un wirklich be chäftigen werden alle andere nehmen wir al fe lehend an. Sie ehen elb t enn wir wi en da e ich mit inern ge j en Drehimpul um die Ach e dreht und ich mit einem g wi en Impul b wegt und auf be timmte Art ibriert, d 01 kiil im Zu tand e immer noch zwei mögliche Zu tände gibt. Wir waUen agen, da d 11) i t, wenn der tic toff "oben" i t wie in Fig. 8-1 a) und d e im Zu tand 12) i t wenn der tic toff, unten' i t wie in b). Die Zu tände 11) und 12) w rd n al SalZ der Basi zu lände für un ere Unter uchung de Verhalten de . mmoniakrnol kül genommen. olekül darge teilt erden dur h Zu jedem Zeitpunkt kann der wirkliche Zu tand II/t) de die Angabe on CI = (111/1). der Amplitude. im Zu rand 11 > zu ein, und on C2 = (21 ift) der Amplitude. im Zu tand I } zu ein. nt r nwendung der GI. können wir dann d n Zu tandsvektor chreiben al

II/I} ::: 11) UII/t) + 12) (211/J)

8.6 Da Ammoniakmolekül

157

oder (8.44)

Da Intere ame i t nun d enn man iß das da Molekül zu einem Zeitpunkt in irgend inem Zu rand i l, e ein kleine eilch n päter nicht in dem eIben Zu tand ein wird. Die z ei C-Ko ffizi nt n w rden ich mit der Zeit ändern, gemäß den Gleichungen (8.43) - die für jed Z eizu tand tem gültig ind. hmen .. ir zum Bei piel an, das ie eine Beobachtung gema ht haben - der da ie eine Au wahl der Moleküle getroffen haben - 0 da ie wissen da da olekül anfänglich im Zu tand 11) i t. Einige Zeit päter gibt e eine Chance, d e im Zu tand 12> org funden wird. m herau zufinden, wie groß die e Chance i t mü en ir di Dif~ rentialgl ichung lö en, die un agt wie ich die Amplituden zeitlich ändem. Die einzi e h ierigkeit be teht darin, da wir nicht wi en, a wir für die Koeffizienten Hij in GI. (8.43 n hmen ollen. E gibt jedoch einige Dinge, die wir agen können. ehmen wir an, obald d oie ül inmaL im Zu tand 11) i t, gibt e keine Chance, da s e jemal in den Zu tand 12) g langen kann und umgekehrt. Dann wären H l2 und H 21 beide null und GI. . 8.43 ürd laul n

. d ") rh-dt Die e b iden Glei hunoen könn n

= H-2C? ir 1 icht lö en wir erbalten (8.45)

Die ind die Ampliruden für stationäre Zu tände mit den Energien EI = B II und E 2 = H22 . Wir bemerken jedoch. da di Z\1 ei Zu tände 11) und 12) rur da Ammoniakmoleküi eine betimrnt mm trie hab n. enn di atur überhaupt ernünftig i t, mü en die Matrixelemente H I1 und H22 gl i h ein. Ir erden ie beid Eo n nnen, weil ie der Energie en pre hen die die Zu lände hätten, enn H 12 und R 21 null wären. Die Gin. (8.45) agen un aber nicht, wa d Ammoniak wirklich tut E teUt ich berau da e fLir den tick toff mögLieb i t ich einen eg durch di drei a er toffatome zu bahnen und auf die andere eite zu pringen. D i t recht eh.. i rig, zur Mitte durchzukommen erfordert eine Menge Ener~e. le kann er durchkomm n \ enn r ni ht genügend En rgie hat. E . gibt eine gewis e Amplitud , da s er die En rgiebarriere dur hdringen wird. In der Quantenmechanik i t e rnögli h, chnell durch ein Gebi t zu cWüpfen, denerg [i ch erboten i t. E gibt daher eine kleine Amplitude, dein olekül, da in 11) b ginnt in d n Zu tand 12) gelangt. Di Koeffizienten H n und H 21 ind ni ht wirklich null. . der au . mmetriegründen oHten ie beide - zuminde t dem Betrag nach - glei hein. ir i en rat ächLich hon, das im ALlgemeinen Hij gleich dem konjugiert omple n n Hji in mu 0 da ie ich nur in der Pha e unte heiden k.Önnen. E t llt ich herau wie ie eh n werden, da e keine Be chränkung der Allgemeinheit i t, nn wir ie al einander
=

8.46)

8 Die Hamiltonsche Matrix

158

.4 )

Die e Gleichungen ind recht einfach und können auf beb big viele Art,en gelö t werden. Eine bequeme ethode i t folgende. ir bilden die umme der b iden und erhalten

die Lösung davon i t .4 ) Wenn wir dann die Differenz von (8.46 und ( .47) bilden finden wir, da

wa ergibt .49 Wir haben die beiden Integration kon tanten a und b genannt ie ind! natürH h 0 zu wähl n, da ie für jede pezielle phy ikali ehe Problem die geeignete nfang bedingung ergeb n. Durch Addition und Subtraktion von (8.48) und (8.49) erhalten wir nun CI und C2 : C (l) I

=

~ e-(ilfl)(Eo-Alr + ~ e-(i/ii)(Eo+A)1 2

C (t) = ~ e-(ilfJ)(Eo-A)1 2

2

2

_

.5

'

~ e-(i/h) Eo+A)/ 2 .

.51

Sie iod bi auf das orzeiehen de zweiten Term gleich. ch ierige bei der Quantenm haDie 10 ungen haben wir, wa bedeuten ie nun? D nik i t nicht nur, die Gleichungen zu lö en, ondem auch. die Bed utung d r L" ung n zu verstehen!) Zunäch t beachten Sie da ,wenn b 0, beide u drü k die lbe Frequenz w = (Eo - A)/ti haben. enn ich aBe mit einer Frequenz ändert. d ur l d ,da i h das Sy tem in einem Zu tand von be timmter Energie b findet - hier d r nerg' (Eo - . D her gibt e einen tationären Zu tand on die er Energie in d m die beid n Amplirud n CI und C2 gleich ind. ir erhalten das Ergebni ,da da Ammoniakmolekiil eine be rimmte En ie (Eo-A) hat, wenn e für da Stickstoffatom gJeiche Amplitud n dafür gibt, ,oben' oder "I.lnten'"

=

zu em.

Auch ein anderer tationärer Zu tand i t mögli h, wenn a = 0 i t; dann ha n beide mplituden die Frequenz Eo + A)/ti. E gibt daher einen anderen Zu tand mit d r be rimmt n rzei h n Energie (Eo + A), enn die beiden Amplituden gleich ind, aber en g g nge tzte haben; C2 = -Cl' Die ind die beiden einzigen Zu tände mit be timmter nergi . I nä h ten Kapitel wollen ir die Zu tände de mmoniakmolekül au führlieher di kuti r n; ruer w Il n ir nur ein paar Dinge erwähnen.

8.6 Das Ammon;akmolekii/

159

Weil e eine Chan e gibt da da n einer Po iti n in die ander um pnngen kann folgern wir, da die En rgi d o l kül nicht g nau Eo i t wie wir erwartet härten ~wei Energieni au (Eo + ) und (Eo - A) gibt. Jeder der möglichen Z tände ondem d d I rül gl' h I h. Energie hat. j t in zwei i eau , aufge palten. Ir agen, jeder d r Zu tänd . \ il ir i erinnern ich icher ein n einzelnen Zu tand der Rotation und inneren En rgi und w it r herau g !!fif~ n haben. Für jeden möglichen Zu tand die er Art gibt e e n der mklappung d I kül ein Doublett von Energieni eau .

ber da mmoniakmol km w 11 n \ ir nun Fol ende wi en. Angenommen wir i en. da zur Zeit I = 0 in olelrül im Zu tand 11) i t der mit anderen Worten, da CJ (0 = 1 und C2 ( ) = 0 i I. i gr ß i t dann die ahr cheinJichkeit da da Molekül zur Zeit t im Zu tand 12) rn h'm Zu tand 11) g fund n ird? n ere Anfang bedingung agt un , was a und b in den GIn. 0) und .S 1 iod. enn ir I = 0 etzen, erhalten wir

Q-b

a+b

"} 0)= - - =0.

CI (0) = -2- = 1 .

-

2

Offen ichtlich i t a = b = I. enn ir die e Werte in die Formeln für Cl (t) und C... (t) ein etzen und einige Term um rdn n, erhalt n ir

Die können wir auch

0

cl:rreiben AI

h' (8.52)

Die b iden

mplimden haben einen Betrag, der harmoni ch mit d r Zeit ariieft.

Die ahr cheinli hk it, d Ab olutquadrat on Cl t):

das

olekül zur Zeit t im Zu tand 12) gefunden wird, i t das

.53)

Die Wahr eheinlichkeir b ginnt ie ollte) b i null, teigt auf ein an und 0 zilliert dann zwi ehen null und in hin und her ie in der mit P2 bezeichneten Kur e der Fig. 8-2 gezeigt. Die Wahr cheinliehk iL in d m 11) - Zu tand zu ein bl ibt natürlich n1 ht bei ein . Sie "fällt" in den zw it n Zu tand, bi di ahr cheinliehkeit, da Molekül im er teD Zu tand zu finden null i t ie die Kur PI der Fig. 8-2 zeigt. Die Wahr cheinlichkeit eh ankt zwi ehen den beiden hin und h r. Vor langer Z ir hab n wir ge h n wa g ehieht wenn wir zwei gleiche Pendel mit einer eh aehen Kopplung h ben. ieh Kapitel 49 Bd. 1.)

8 Die Hamiltonsche MaTrix

160 p 1.0

0.5 Fig. 8-2: Die WahP.> heinlichkeit PI'

o (Einheiten von ~)

da ein mmoniakrnolekül. da zur Zeit r = 0 im Zu tand 11) i l. zur Z it I im Zu land 11) ge unden wird. Di \ ah cheinlichkeit p,. da e im Zuland 12) gefunden \\ ird.

Wenn wir ein anheben und gehen la en, chwingt e , aber dann beginnt allmähli h da andere zu chwingen. Recht bald hat da zweite Pendel die ge amte Energie aufgenommen. Dann kehrt i h der organg um und das Pendel Nummer ein nimmt die Energie auf. Da i I g nau der eibe organg. Die Ge chwindigkeir. mit der die Energie au getau cht wird, hängt ab \'on der opplung zwi chen den beiden Pendeln - der Ge chwindigkeit, mit der die .. ch\ ingung" hinüb r i k m kann. Erinnern Sie ich au h, da e bei den heiden Pendeln z ei pezielle Bewegungen gibt - jede mit einer be tirnrnten Frequenz -, die wir die Grund ch\ ingungen nennen. enn wir beide Pendel zugleich au lenken, chwingen ie gemein am mit ein r Frequenz. enn wir anderer eits da eine in die eine Richtung und das andere in die andere Richtung au lenken. gibt e eine andere tationäre chwingung fonn, ebenfall mit einer be timmten Frequenz. Gut. hier haben wir eine ähnliche Situation - da mmoniakmolekül i t mathemati eh le ein Paar on Pendeln. Die ind die beiden Frequenzen -(Eo + )/h und (Eo - A)/tJ -. wenn ie gemein am oder entgegenge etzt ehwingen. Die Analogie mit dem Pendel geht nicht viel tiefer a1 bi zu dem Prinzip, da die elb n Gleichungen die eIben Lö ungen haben. Die linearen Glei hungen für die mplituden ( . 9) ind den linearen Glei hungen der harmoni ehen 0 zillatoren ehr ähnli h. (In der Tat i t di der Grund, der hinter dem Erfolg un erer kla i hen Theorie de Brechung inde teht. in d r wir das quamenmeehani ehe Atom durch einen hannoni hen 0 zillator er tzl haben. obw hl die klas i eh kein emünftige Bild von Elektronen i t die um einen K m krei n.) \ enn i den Stickstoff auf eine eite ziehen, dann rhal[en je eine "berla er/mg von die en beiden tem nicht in cl minen er Frequenzen. und ie erhalten eine Art Schwebung, w il da dem anderen Zu tand on be timm[er Frequenz i t. Die uf paltung d rEn rgi niveau d Arnmoniakrnolekül i tjedoch treng genommen ein quantenmechani her Effekt Die uf pa1tung der Energieni eau de mmoniakmolekül hat wichtige prakLi eh nwendungen, die wir im näch ten Kapitel be ehreiben werden. Endlich haben \ ir ein B i piel eine prakti ehen phy ikali hen Problem, da ie ntit Hilfe d r Quant nm hanik ver leh n können!

Der A.. .

9 ER

9.1

~

_ A. ....

.......

oniak-Maser

=

ierowa\' mplifi ation b timulated Emi ion of Radiation (= MikrO\vellenver lärkung dur hinduzierte Strahlungsemi ion)

Die Zu tände eine Ammoniakmolekül

In die em Kapitel erden wir die Am ndung der Quantenmechanik auf eine prakti ehe Vorrichtung, den mmoniak-Ma er, b pre hen. Vielleicht wundern Sie ich, warum wir unere formale nt ieklung der Quamenm hanik unterbrechen, um ein pezielle Problem zu behandeln. aber ie \ erd n bemerken, da vi le Merkmale diese spezi lien Problem in der allgemein n Th rie der Quantenmechanik ganz alltäglich ind, und Sie werden eine ganze Menge lernen, wenn i die in Problem au führlich betrachten. Der Anunoniak-Ma er i t eine orrichtung zur Erzeugung elektr magneti cher eil n, de en Arbeitswei e auf den Eigen chanen de mmoniakm lekül b ruht. die wir im letzten Kapitel kurz be prochen haben. Zu Beginn fa en wir da zu ammen. wa \ ir dort gefunden hab n. Da mmoniakmolekül hat iele Zu tände, ir betrachten e aber al ein Z, eizu tand y tem und denken jetzt nur daran. a g hi ht, wenn ich da Molekül in ir<>endeinern pezielIen Rotati n - der Tran lation zu r.and b findet. Ein phy ikali che Modell für die zwei Zu lände kann f. loendermaßen ran haulicht werden. Wenn wir annehmen, da das Arnmonialcmolekül um ine h e roti rt, di durch da tick toffatom geht und enkrecht auf der Ebene der \ a 1 ff t me teht. wie in Fig. 9-1 g z iot, dann gibt e noch zwei mögliche Zulände - der liek [Off kann auf drin n der dranderen eite der Ebene der Wa er toffato-

12)

Fig. 9-1: in ph ikali ehe Modell der heiden Ba iszu tände für da Ammoniakm 1 kül. Die e Zu lände haben die elektri hen Dipolmomente Ji.

9 Der Ammoniak-Mo er

me ein. Die e beiden Zu tände nennen wir 11) und 12) . Sie erden für un ere de erhaJten de Ammoniakmolekül al Satz der Ba i zu tände benutzt.

nter uchung

In einem Sy tem mit zwei Ba i zu tänden kann jeder Zu tand Il/J) de y tem immer al Linearkombination der beiden Basi zu tände be chrieben werden; das heißt. e gibt in ge\ i e Amplitude CI in dem einen Ba i zu tand zu ein, und eine Amplitude C'2' in dem anderen zu ein. ir können 01 h einen Zu tand vektor hreib n al

(9.1 ) wobei CI

= (lil/J)

und

C2

= (21l/t) .

Die e beiden Amplituden ändern ich mit der Zeit, enL prechend den Hamilton h n Glei hungen, GI. (8.43). nter Au nutzung der Symmetrie die er beiden Zu tände d mmoniakmolekül etzen wir H J I = H2'1 = Eo und H 12 = H21 = -A und erhalten die Lö ung [ iehe die Gin. (8.50) und ( .51)]

C

I

C2

= ~ e-(ilh)(Eo-A)t + ~ e-(i/Il)(Eo+Alt 2

2

'

= ~ e-(ilh)(Eo-A)t _ ~ e-(I!!l)(Eo+A)I. 2

2

(9.2) (9 ....

Wir wollen un jetzt die e allgemeinen Lö ungen näher an chauen. Tehmen \vir an, da da Molekül anfang in einen Zu tand Il/JII) gebracht würde b i dem der Koeffizient b gleich null war. Dann ind für t = 0 die Amplituden, im Zu tand 11) und 12) zu ein, id mi h, und das bleiben sie fiir alle Zeit. Ihre Pha en ariieren mit der Zeit b ide auf die glei h i - mit der Frequenz (Eo - A)/1i. Wenn wir da Molekül in einen Zu tand Il/!{) bringen, für egarive von CI i t. und den a = 0 i t. ergibt ich gleichermaßen, das die Amplitude C1 d die e Beziehung würde für immer 0 be rehen. Beide mpliruden würden nun zeitlich mit der Frequenz (Eo A)/fl variieren. Die ind die zwei einzigen ögli hkeit n für Zu tänd . b i denen die Beziehung zwi ehen CI und C2 unabhängig von der Zeit i t. Wir haben zwei pezielle Lö ungen gefunden, bei denen die b iden rnplituden nicht im BeTrag variieren und außerdem Pha en haben. die mit derselb TI Frequ nz \'arii ren. Di ind stationäre Zustände. wie wir ie in Ab chnitt 7.1 definiert haben, wa b d ut t, da e Zustände mit bestimmter Energie ind. Der Zu tand II/J 11 ) hat die Energi Eil = Eo und der Zu land I tlt{) hat die Energie Er = Eo + A. Die ind die beiden inzig n tationären Zu lände, die e gibt, wir finden aJ 0, da da Molekül z ei En rgieni au hat mit d r nergi differenz 2A. ( ir meinen natürlich zwei Energieniveau für den orau ge etzten Rotation - und Ibrarion zu tand, auf den wir un in un eren anfänglichen orau· etzung n bezogen haben.)t

i' Im Folgenden wird e eine Hilfe ein - wenn ie für sieh le en oder mit einem and ren pr h n -. eine bequem Methode zu haben. zwi ben den arabi ehen I und 2 und den römi hen I und 11 zu unte h Iden. Wir finden e prakti eh. die Bezei hnungen ..one" und ,.ewo" rur die arabi ehen Zahlen zu re er\ieren und I und 11 .,ein .. und "zwei" zu nennen (obwohl .,unu .. und ..duo" logi cher wären!).

9. J Die ZlIslällde eine

m11lol/iakmolekiil

163

enn \ ir ni ht di ögli hkeit berü k ichtigt hätten, da der Stick toff hin und her gl ei h null g erzt und die beiden Energieni eau würden bei der pringl, 0 h"tlen \\ir Energie Eo aufeinander itz n. Die wirklichen i eau ind nicht 0: ihre miltlere Energie i t E o, aber ie palten i h um auf, wob i i hein b tand von 2A zwi hen den Energien der b iden Zu länd ergibt. Da tal ächli h ehr klein i l. i I die Energiedifferenz auch ehr klein. m in Elektron innerhalb eine tom anzur gen, bedarf e relati hoher Energien - e erfordert Ph tonen im opti ehen oder ultravioletten Bereich. Die Anregung der Vibrationen de olekül erfordert Photon n im Infrarot n. Wenn Sie über die Anreguno- von Rorariollen prechen, dann ent pricht die nergiediffer nz der Zu t.ände den Photonen im fernen Infraroten. Aber die Energiedifferenz 2A i t niedriger al irg ndeine von die en und liegt tat ächlich unt.erhalb de In rar t n un ri htig im ikro\ ellenbereich. Experimentell hat man gefunden. da e ein Paar on En rgi ni eau mit einem b tand von 10-4 Elektronenvolt gibt - das ent pricht einer Fr quenz. v n 24000 Megahertz. Die bedeutet offenbar, da 2A = hf mit f = 24000 eeahertz i t (enl prechend einer ellenläng on li cm). Wir haben daher ein Molekül, da einen .. b roang hat. der nicht Lichl im gewöhnlichen Sinne au endet, ondem ikrowellen. Für die folgende rbeil mü n wir di e b iden Zu lände on be tinunter Energie etwas be er b ehr ib n. ehmen \vir an, wir mü ten au der Summe der z\ ei Zahlen Cl und c.l eine Amplitude Clf k n truieren:

CII =

I

+ C2

= (11
+ (21<1» .

(9.4)

Wa würde da bedeuten. uno di i t die mplitude. den Zu land I ) chreib n, können ir da 1<1» au GI. (9.4 wegab trahieren - eil e für jed gilt -. und ir erhalten (111

= (11

+ (21,

wa das eIbe bed utel wi

III)

=11) + 12) .

Für den Zu land I JI) i t die

(9.5 mplilude, im Zu land 11) zu ein

(11/1) = (111) + (112). wa natürlich genau I i t da 11) und 12) Ba i zu tände ind. Die Amplitude für den Zu tand I!I), im Zu tand 12) zu in, i t eb nfall 1, der Zu tand 111) i t daher einer, der gleiche Amplituden hat, in den b id n Ba i zu tänden 11) und 12) zu ein. ir haben jed h no h eine kl ine ch ierigkeit. Der Zu tand III) hat eine Ge amt ahrcheinlichkeit g('ß r al ein, in irgendeinem Ba i-oder anderen Zu land zu ein. Da bedeutet jedo hinfach, da d r Zu tand ekl r nicht richtig "nonnierr' i t. ir können da in

9 Der mmol/iak-Ma er

l6-t

Ordnung bringen. wenn wir bedenken, da <1111I) = I ein ollle. w gelten mu . Wenn \vir die allgemeine Beziehung anwenden. da

<x I <1»

=

I <x I i)
für jeden Zu tand

,

i

und dabei für und den Zu Land I/ein erzen und die umme über die Ba i zu länd und 12) bilden. erhalten wir. da {l11II)

= (1//1)