Tipps zur Physik. Eine Erganzung der Feynman-Vorlesungen uber Physik

Tipps zur Physik Eine Ergänzung der Feynman-Vorlesungen über Physik von Richard P. Feynman, Michael A. Gottlieb und Ralph Leighton Erinnerungen von Matthew Sands Übungen von Robert B. Leighton und Rochus E.Vogt Zusatzmaterial auf www.feynmanlectures.info Aus dem Amerikanischen von Ulrike Pahlkötter

Oldenbourg Verlag München

Richard P. Feynman gilt als einer der großen Physiker des 20. Jahrhundert der \ esentliche Beiträge zum Verständnis der Quantenfeldtbeorien geliefert hat. Zusammen mit hinichirö Tomonaga und Julian Schwinger erhielt er 1965 den obelpreis fur seine Arbeit zur Quantenelektrodynamik (QED). Seine anschau liebe Dar teilung quantenfeldtheoreti eher elementarer Wechselwirkungen durch Feynman-Diagramme ist heute ein De-facto-Standard. Michael A. Gottlieb ist Mathematiker und Software-Entwickler. ] 999 traf er Ralph Leighton, der sein Interesse fuf Phy ik weckte. Daraus ergab sich eine Zu ammenarbeit, die 2005 zur ,Defmiti en Edition" der Feynman-Vorle ungen über Physik sowie der zugehörigen 'Y eb ite ·wwwJeynmanlecwres.info führte. Seit 2007 ist er "Visitor" am Fachbereich Phy ik de alifomia lnstitute of Technology und arbeitet dort mit Kip Thome, Feynman-Profes or fiir Theoretische Phy ik, an einer elektronischen Au gabe der Feynman-Vorlesungen über Physik. Ralph Leightons Vater, Robert B. Leighton, war Kollege Feynmans am Caltech und MitHerausgeber der Feynman-Vorlesungen über Physik. Ralph Leighton lernte Feynman in den späten 1960em kennen durch ihr bei der Interesse am Trommeln. Dies brachte feynman dazu viele seiner legendären Geschichten zu erzählen, die Leighton schließlich aufnahm und niederschrieb. Ergebnis des eu sind u.a. die Bestseller Sie belieben wohl zu cherzen, Mr. Feynman! (1985) und Kümmert Sie, was andere Leute denken? (1989). Das Buch erschien zuvor unter dem

amen Physik. The Los/ Lee/ures bei Pearson tudium.

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ationalbibliothek

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2009 Oldenbourg Wissen chafts erlag GmbH Rosenheimer Straße 145 D-81671 München Telefon: (089) 45051-0 oldenbourg.de Das Werk ein chHeßlich aller Abbildungen i t urheberrechtlich geschützt. Jed erwertung außerhalb der Grenzen des Urheberrechtsgesetzes i t ohne Zustimmung des erlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere fur Vervielfaltigungen., Übersetzungen ikro erfilmung n und die Einspeicberung und Bearbeitung in elektronischen Systemen. Lektorat: Kathrin önch Herstellung: Anna Grosser Coerentwurf: Kocban & Partner, München Satz: Henning Heime, ümberg Gedruckt auf säure- und chlorfreiem Papier Gesamtherstellung: Kösel, Krugzell

ISB 978-3--486-58932-0

Vorwort Von einem ein amen Grenzpo ten hoch oben im Himalaya schaute Ramaswamy Bala ubramanian durch ein Femgla auf die in Tibet tationierten Soldaten der Volk befreiungsarmee (YBA) - die ihrer eit durch ihre Fernrohre zu ihm zurückblickten. Zwi chen Indien und China hatte e eit 1962 immer wieder große Spannungen gegeben, als e zwi ehen beiden Ländern an der umstrittenen Grenze zu Schu swechseln kam. Die YBA-Soldaten die wu sten, da s sie beobachtet wurden, verspotteten Balaubramanian und eine indi chen Kameraden, indem ie trotzig ihre tiefroten Ta chenbuchau gaben der, Worte des Vorsitzenden Mao Tsetung" - im Westen be er bekannt al die, rote Mao-Bibel" - chwenkten. Bala ubramanian, der damal al Wehrpflichtiger in seiner Freizeit Physik studierte, war die e ticheleien leid. De halb kam er eine Tages mit einer pa enden Erwiderung zu einem Beobachtung po ten. Sobald die YBA-Soldaten begannen, mit ihren rot n ao-Bibeln zu winken, nahmen er und zwei indische Kameraden die drei großen eben 0 roten Bände der Fe)nman Lectures on Physics und hielten ie hoch. Eine Tage bekam ich einen Brief von Herrn Balasubramanian. Einer on Hunderten on Briefen die ich im Laufe der Jahre erhalten habe und die den bleibenden Einflu von Ri hard Feynman auf da Leben der Men ehen beschreiben. achdem er den Zwischenfall mit den "roten Büchern' an der chjnesi eh-indischen Grenze ausführlich erzählt hart chrieb er: , Welche roten Bücher werden jetzt, zwanzig Jahre päter, immer no h gele en?' In der Tat. Heute mehr al ierzig Jahre nach ihrem Er cheinen werden die Fey111nan- Vorlesungen über Physik immer noch gele en - und ie begei tern nach wie or, auch in Tibet nehme ich an. Ein be anderes Bei piel: Vor ein paar Jahren habe ich Michael Gott]jeb auf einer Party getroffen, deren Ga tgeber auf einem Computer-Bildschirm die harmoni ehen Obeltöne eine Liv -Ob rton änger dar teUte - eines jener Ereignis e, durch die das Leben in der ähe on San Franci co olchen Spaß macht. Gottlieb hatte Mathematik tudiert und war ehr an der Phy ik intere iert, 0 da s ich ihm vor chlug die Feynman- Vorlesungen über Ph)sik zu le en - und etwa ein Jahr später nahm er ich ech Monate eine Leben dafür Zeit, die Feynman Lecfures sehr genau on Anfang bi Ende zu studieren. Wie Gottlieb in einer Einführung be chreibt, führte die letztlich zu dem Bu h da Sie jetzt in der Hand halten, und auch zu einer neuen Definiti n Edition' der Feynman- Vorle ungen über Physik.

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Vonvorf

Daher freut e rruch, das Physikinrere ierte in der ganzen Welt jetzt mit die em zu ätzlichen Band neue Feynman-Vorle ungen tudieren können - arie ungen, die Studenten, ob mitten in München oder hoch oben im HimaJa a. auch in den kommenden Jahrzehnten informieren und in pirieren werden. Ralph Leighton

Einführung 1986 habe ich zum er ten Mal on Richard Feynman und Ralph Leighton gehört und zwar durch ihr unterhalt ame Buch Sie belieben wohl zu scher en, M,: Fe)'l7/11al7! Dreizehn Jahre päter habe ich Ralph auf einer Party getroffen. Wir wurden Freunde und während de näch ten Jahre arbeiteten wir zu ammen an dem Entwurf für eine Fanta iebriefmarke zu Ehren Feynman . * Die ganze Zeit gab Ralph mir Bücher von oder über Feynman zu le en, auch (da ich Programmierer bin) die Feynman Leerures on Computaliol1 '-. Die Di ku ion von quantenmechanischen Berechnungen in die em fa zinierenden Buch haben mich gefe elt, aber ohne die Quantenmechanik gelernt zu haben, hatte ich Schwierigkeiten, der Argumentation zu folgen. Ralph empfahl mir, die Feynman- Vorle ungen über Ph)sik, Band 111: Quantenmechanik zu le en. Ich fing damit an, aber die Kapitel 1 und 2 de drinen Bande sind Wiederholungen der Kapitel 37 und 38 de er ten Bande und so war ich mehr damit beschäftigt, Quer erwei e au dem er ten Band zurückzu erfolgen al im dritten Band voranzukommen. Oe halb beschlo ich alle Fe)mnan-Vorlesungen von Anfang bi Ende zu lesen - ich wollte unbedingt etwa über Quantenmechanik lernen! Diese Ziel wurde jedoch mit der Zeit aL ich immer tiefer in die fa zinierende Welt Feynmans eindrang, zweitrangig. Die reine Freude am Lernen von phy ikali chen Zusammenhängen bekam für mich ober te Priorität. Ich war üchtig! Al ich etwa die Hälfte de ersten Bande durchgele en hane, nahm ich ein Au zeit m Programrrüeren und verbrachte echs Monate in Co ta Rica auf dem Land, um nur The Lectures zu le en. Jeden ach mittag nahm ich mir eine neue Vorlesung vor und arbeitete an Ph sikaufgaben. Morgen wiederholte ich und la die Vorlesung vom Vortag Korrektur. Ich hatte mit Ralph E-MaiL-Kontakt und er ermutigte mich, Fehler im Auge zu behalten, auf die ich im er ten Band ge toßen war. Da war keine große Bela tung, weil e ehr wenige Fehler in dem Band gab. Al ich mich allerdings durch den zweiten und dritten Band durcharbeitete war ich be türzt immer mehr Fehler zu finden. Am Ende hatte ich in ge amt über 170 Fehler in d n Fe) nman- Vorlesungen zu ammengetragen. Ralph und ich waren überra cht: Wie konnten 0 viele Fehler so lange über ehen werden? Wir be chlo en zu chauen, wa wir tun konnten, um ie bis zur näch ten Auflage zu korrigieren. Dann entdeckte ich einige interes ante Sätze in Feynmans Vorwort: Der Grund warum e keine Wiederholung vorle ungen gibt, ist d r da

e Vortrag -

"Die Briefmarke ers heim im Begleiuext zu Back TUVA Future (Warner Bro .), einer CD üb r den Obenon iogmeister Qlldar mit Ri hard Feynman in einer kleinen ebenrolle, die im Jahre 1999 veröffentlichl wurde. t Fe)'nmall Lee/ures OIP Computatioll. on Richard P. Feynman, herau gegeben von Anthony l.G. He und Robin W. lien, Addi n-\ esley 1996, I B 0-201-48991-0.

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Einführung

reiben gab. Obwohl ich drei Wiederholungsvorle ungen im er ten Jahr gehalten habe. sind ie hier nicht enthalten. E gab auch eine Vorlesung über Trägheit na igation. die icher hinter die Vorle ung über rotierende Systeme gehört, aber leider urde ie weggela sen." Das brachte un auf die Idee, die fehlenden Vorlesungen zu ammenzu teilen und ie, fall ie ich al intere sant erwei en würden, Caltech· und Addi on-We le anzubieten, damit ie in eine voll täudigere und korrigierte Au gabe der LectLlres aufgenommen werden konnten. Aber zunächst mus te ich die fehlenden Vorle ungenfinden, und ich war immer noch in Co ta Rica! Mithilfe von etwa Spür inn und einigen achfor chungen konnte Ralph die Aufzeichnungen zu den Vorle ungen au findig machen. Sie waren zu einem früheren Zeitpunkt irgendwo zwischen dem Büro eine Vater und den Caltech-Archiven weggeräumt worden. Ralph fand auch Tonbandaufzeichnungen der fehlenden Vorle ungen und während ich nach meiner Rückkehr nach KaJiforruen da Fehlerverzeichnis in den Archiven recherchierte, entdeckte ich in einer Schachtel mit ver chiedenen egativen zufällig die (lange verloren geglaubten) Tafelfoto . Die Erben Feynman erlaubten uns großzügigerwei e, die e Material zu erwenden, und 0 teIlten Ralph und ich, begleitet von einigen kriti chen Anmerkungen von att Sands, dem einzigen noch lebenden Mitglied de Feynman-Leighton-Sand -Trio den Wiederholungskurs B al Muster zu ammen und legten ihn mit dem Fehlerverzeichni für die Feynman- Vorlesungen Caltech und Addi on-We ley vor. Addi on-We ley war begei tert von un erer Idee, Caltech dagegen anfang keptisch. De halb wandte Ralph ich an Kip Thorne, den Richard-Fe nman-Profe or für Theoreti che Phy ik am Caltech, der e schließlich chaffte eine .. bereinkunft zwichen allen Beteiligten zu erreichen, und sich danken werterwei e zur erfügung teUte, un ere Arbeit zu begutachten. Da Caltech au histori chen Gründen die drei exi tierenden Bände der Lectures nicht verändern wollte, schlug Ralph or die fehlenden Vorle ungen in einem eparaten Buch zu ammenzustellen. Das war die Geburt tunde die e zu ätzlichen Bande. Er wird parallel mit einer neuen Definitiven Edition der Feynman- Vorlesungen über Physik herau gebracht, in der die Fehler, die ich gefunden habe, owie Fehler, auf die einige andere Le er aufmerksam geworden ind korrigiert ind.

Erinnerungen von Matt Sands Bei unserem Bemühungen, die vier neu gefundenen Vorlesungen zu ammenzutragen, taten ich für Ralph und mich viele Fragen auf. Wir empfanden e al GIü fall, das Profes or Matt Sand der Mann des en Idee e war da ehrgeizige Projekt der Feynman- Vorlesungen über Physik in Angriff zu nehmen, un Fragen beantworten konnte. Wir waren überra cht, da die Ge chichte ihrer Ent tehung nicht allgemein bekannt war, und al Profe or Sand erkannte, das die es Projekt eine Gelegenheit 'Caljfomja Institute ofTechnology

EinfÜhrung

IX

b t, die e Defizit zu b eitigen. erklärte er ich freundlicherweise bereit, eine Erinnerung über die Ur prünge der Feynman Leetures für diesen zu ätzlichen Band zu chreiben.

Die vier Vorlesungen Von Matt Sand erfuhren wir, da im Dezember 1961 gegen Ende de er ten Trime ter * on Feynman Einführung vorle ung am Caltech entschieden wurde, da s e unfair ei die tudenten 0 kurz vor der Ab chlus prüfung noch mit neuem Stoff zu konfrontieren. De halb hielt Feynman in der Woche vor der Prüfung drei wahlfreie Wiederholung vorle ungen, in denen kein neuer Stoff durchgenommen wurde. Die Wiederholung vorle ungen waren für Studenten gedacht die im Kurs Schwierigkeiten hatten, und Feynman legte be onderen Wert auf Techniken für da Ver tehen und Lö en on Phy ikaufgab n. Einige der Beispielaufgaben waren von historischem lntere e, ein chließlich der Entdeckung de Atomkern durch Rutherford und der Betimmung der Ma se de Pion. Mit bezeichnendem Einfühlung vermögen erörterte Feynman auch die Lö ung für eine andere Art von Problem da für mindesten die Hälfte der tudenten in seinem Anfangerkur eben 0 wichtig war, und zwar da emotionale Problem, ich unterhalb des Durch chruns wiederzufinden. Die iene Vorle ung Dynamik und ihre Anwendungen wurde zu Beginn de zweiten Trime ter de Anfängerkur es gehalten kurz nachdem die Studenten aus der Winterpause zurückgekehrt waren. Ur prüng1ich war ie als Vorlesung 21 konzipiert worden und der Gedanke der dahinter teckte, war, eine Pause von der schwierigen theoreti ehen Erörterung on Drehbewegungen in Kapitel 18 bis ein chließlich 20 zu machen und ,ju t for fun den tudenten einige intere ante, au Drehbewegungen ent tehende Anwendung n und Phänomene zu zeigen. Der größte Teil der Vorle ung war einer Di ku ion über eine Technologie gewidmet, die 1962 relativ neu war nämlich der prakti chen Trägheit navigation. Der Rest der Vorle ung erörterte natürliche Phänomene die ich au Drehbewegungen rgeben, und bot außerdem einen Hinwei darauf, warum Feynman da Wegla en die er Vorlesung in den Feynman- Vorlesungen über Phy ik al ,unglücklich" be chrieb.

Nach der Vorle ung ach dem Ende iner Vorle ung ließ Feynman oft ein Mikrofon an. Dadurch hatten wir die einzigartige Möglichkeit Zeuge zu ein, wie Feynman mit einen Studenten kommunizierte. Da hier ang führte Beispiel, da nach Dynamik und ihre Anwendungen aufgenommen wurde i t be onder beachten wert wegen einer Erörterung de beginnenden Übergang in der Echtzeitberechnung von analogen zu digitalen Verfahren im Jahr 1962. "Das akademi ehe Jahr am Caltech i t in drei Trime ter aufgeteilt: Das erste läuft von Ende September bi Anfang Dezember. da zweite von Anfang Januar bi Anfang März und das dritte von Ende Märt, bi Anfang Juni.

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EinfÜhrung

Übungsaufgaben Im Laufe de Projekte nahm Ralph wieder Kontakt zu dem guten Freund und Kollegen eines Vater , Rochu Vogt, auf der liebenswürdigerwei e eine Erlaubni gab Übungen und Lö ungen au den Exercises in Introductory Physics erneut zu eröffentlichen, jener Sammlung die Robert Leighton und er peziell für die Lecture in den 1960er Jahren ge chaffen hatten. Au Platzgründen habe ich nur die Übungen für Band I, Kapitel Ibis 20 (da Material, da vor Dynamische Effekte und ihre Anwendungen behandelt wird) ausgewählt und dabei vorzugswei e jene Aufgaben genommen die um Robert Leighton zu zitieren, "numeri ch bzw. analytisch einfach, aber doch prägnant und inhaltlich auf chlu reich ind".

Website Weitere Informationen zu die em Band und den Feynman- Vorle ungen iiber Phy ik ind auf der (englisch prachigen) Website www. feyrunanlectures. info zu finden. Mike Gottlieb Playa Tamarindo, Costa Rica mg@feynmanleetures. info

Danksagungen ir m" ht n allen, di die e Bu h möglich gema h1 haben, un eren tief empfundenen Dank au prech n in bond re:

Thoma Tombrello, or i1zender der Abteilung für Physik, Mathematik und A tron mi für ine Billigung die e Projekte im amen on Caltech sowie earl Fe 0man und ichelle Fe nman d n Erben Richard Feynman , für ihre ErJaubni die Vorle ungen ihre

ater in die em Buch zu eröffentlichen.

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Korrekturle en de Manu krip und eine ge i enhafte Bearbeitung de Fehler erzeichni e der Fe)mnan- Vorle ungell über Physik. Roehus E. ogt für di genialen Aufgaben und Lö ungen in d n Exereises in Introdu t01y Phy ie und für eine Erlaubnis, sie für die Projekt zu erwenden. Jobn eer für ine orgfaltige Dokumentation der Feynman- orle ungen bei der Hughes Aireraft Corporation und dafür, da er un die e Aufzeichnungen zur Verfügung ge teilt hat.

Helen Thek, Feynman langjährige Sekretärin für ihre Ermutigung und Unter tützung.

dam Black Cheflektor für

aturwi eo chaften bei Addi on-We Je , für eine Regei t rung und Beharrli hkeit bei der Drucklegung die e Bande. Kip horne für in b r it illige und un rmüdliche Arbeit die allen Beteiligten Vertrauen und nter tützung ich rte owie für die Betreuung un erer Arbeit.

Über die Ursprünge der Feynman-Vorlesungen über Physik Eine Erinnerung von

atthew Sands

Die Bildungsreform in den 1950er Jahren Al ich 1953 ein ordentliche Fakultätsmitglied am Ca1tech wurde wurde ich gebeten, einige Autbaukur e zu unterrichten. Ich war ziemlich ent etzt über da Kur programm für die Studenten im Aufbau tudium. Während de ersten Jahre wurden ie nur in kla ischer Phy ik unterrichtet - Mechanik, Elektrizität und Magnetismu . (Und 0gar in d n Fortge hrittenen-Kur en wurde überhaupt keine Strahlungsthearie ondem nur tatik behandelt.) Ich hielt e für kandalös, dass die e Überflieger-Studenten er t im zweiten oder dritten Jahr Aufbau tudium mit den Ideen der modernen Ph ik ( on denen ie1e bereit eit 20 - 50 Jahren oder mehr bekannt waren) konfrontiert würden. De halb begann ich ine Kampagne zur Reformierung de Curriculum. Ich kannte Richard Feynman seit un erer Zeit in Lo Alamo und wir waren beide einige Jahre zuvor zum CaJtech gekommen. Ich bat eynman, die Kampagne zu unter tützen, und wir entwarlen ein neue Programm und überzeugten chließlich die Phy ik-Fakultät, e zu übernehmen. Da Programm für da er te Jahr sah einen Kur in Elektrodynamik und Elektronenth orie ( on mir unterrichtet) eine Einführung in die Quantenmechanik (von Feynman unterrichtet) und oweit ich mich erinnern kann einen Kur in Mathemati chen Methoden unt mchtet von Robert Walker, vor. leh denke da da neue Programm ziemlich erfolgreich war. Ungefähr zu der Zeit war der Sputnik-Schock für Jerrolf Zacharia om MIT'" Anpom genug um auf ein Programm zur Wiederbelebung de Phy ikunterrichte in den amerikani chen High School zu drängen. Ergebni waren die Gründung de PSSCProgramm P C = Ph)sical Science Stud Committee) und die Ent tehung ieler neuer Mat rialien und Ideen owie auch einige Kontro erseo. Al da PSSC-Prograrnm fast fertig ge teilt war be chlo en Zacharia und einige Kollegen ich glaube unter ihnen auch Francis Friedman und Philip Morri on), da e Zeit ei auch eine Üb rarbeitung der Phy ikkur e an den Univer itäten in Angriff zu nehmen. Sie organi ierten eine Reihe von großen Zu ammenkünften on Ph ikdozenten, wa chließlich zur Gründung de Comm.ittee on College Physics führte •Massachu elf In fillue ofTechnology.

XIV

Über die UrsprÜnge der Feynmcm- Vorlesungen Über Physik

eine nationalen Komitee mit einem Dutzend Univer ität dozenten für Ph ik, da on der ational Seien ce Foundation unter tützt wurde und den Auftrag erhiell. inige An trengungen zur Modernisierung de Phy ikunterrichte an Ho h chulen und Uni er itäten zu unternehmen. Zacharia lud mich zu die em er ten Treffen ein. ich arbeitete bei dem Komitee mit und wurde chlieBlich der Vor itzende.

Das Caltech-Programm Die e Akti itäten eranla ten mich dazu darüber nachzudenken, a man mit dem Caltech-Programm für da Grund tudium machen könnte mit dem ich eil langem ziemli<::h unglücklich war. Der Einführung kurs in Phy ik ba iene auf dem Buch von Millikan. Roller und Wat on, einem ehr schönen Buch da , glaube ich, in d n 1930er Jahren ge chrieben worden war und da , obwohl e päter von Roll r üb rarbeitet wurde, ehr enig oder gar keine moderne Ph ik enthielt. Außerd m wurde d r Kur ohne Vorle ungen unterrichtet, 0 da es ehr w nige Gelegenheiten gab neuen Stoff einzuführen. Die Stärke de Kur e war eine Reihe erzwickter" ufgab n". die von Foster Strong* zu ammenge teilt worden waren und als wöchentli he ufgaben für die Bearbeitung zu Hau e benutzt wurden, owie zwei wöchentli he ortrag veranstaltungen in denen die Srudenten die ge tellten Aufgaben be prachen. Wie andere Lehrkräfte für Phy ik wurde ich jede Jahr zum entor für eine Handvoll on Studenten mit Phy ik al Hauptfach be timmt. Im Ge präch mit den tudenten war ich häufig be türzt darüber da ie vor ihrem drinen Studienjahr den ur erloren, weiter Phy ik zu tudieren - zuminde t chien e teilwei e 0 weil ie chon zwei Jahre lang Phy ik tudiert hanen. ohne mit irgendeinem Thema au der modernen Ph ik in Berührung gekommen zu ein. De halb be chlo ich nicht zu warten, bi da nationale Programm au gereift war. ondem am Caltech direkt er a zu tun. or allem wollte ich da er\ a on den Inhalten au der modernen Ph ik - wme, tomkerne Quantenphy ik und Relati ität - rnü in den Einführung kur übernommen wurde. ach einigen Di ku ionen mit ein paar Kollegen - in be ondere Thoma Laurit en und Feynman - chlug ich Robert Bacher, dem damaligen Dekan der Fakultät für Ph ik, or, ein Programm zur Reformierung de Einführung kur e zu taften. ein er te Antwort war nicht ehr ennutigend. Er agte:, Ich habe den Leuten erzählt. d ir in ehr chöne Programm haben, auf da ich tolz bin. Un ere Tutorien ind mit einigen un erer leitenden Lehrkräft be erzt. Warum oIlt n ir da ändern?' Ich blieb hartnäckig und wurde von einigen anderen unter tützt. Schli Blich gab Bacher nach, akzeptierte die Idee und batte bald Fördermittel von der Ford Foundation be hafft enn ich mich richtig erinnere, mehr aI eine iHion Dollar). Die Fördermittel wurd n zur Deckung der Ko ten für die Entwicklung neuer Geräte für da Einführung labor und neuer Kur inhalte erwendet - in be andere auch für einige neue befri tete itglied r •Die ungen in Kapital 5 enthalIen über ein Dutzend Aufgaben au Fo ler lrong ammlung. di mil G nehmigung in Exercises in Inrrodllctory Physics von Robert B. Leighlon und Rochu E. YogI wieder \erwendel wurden.

xv im Lehrkörper. die die Aufgab n jener Mitglieder übernehmen konnten, die ihre Zeit d m Projekt idmeten. Al die F'rd rmittel eintrafen ernannte Bacher eine kleine Projektgruppe, die da Programm leiten ollte: Robert Leighton al Vor itzenden Victor eher und mich. Leighton ar· chon lanöe an dem Programm für die höheren Semester beteiligt - de en Haupt tütze ein Buch Principle 0/ Modern Physics* war - und Neher war al exzellenter Techniker bekannt. Ich \ ar damal erärgert darüber, da Bacher nicht mich gebet n hatte die Gruppe zu leiten. Ich vermutete, dass die Ur ache teilweise darin lag, da ich bereit reichlich mit der Leitung de Synchroton-Labor be chäftigt war aber ich hatte immer da G fühl, da er auch be orgt war, dass ich zu "radikal' ein könnte und da er da Projekt mithilfe Leighton kon ervativer Ein teIlung in der aage halten Ute. Da Komitee erklärt ich gleich zu Beginn damit einver tanden, das eher ich auf die Entwicklung n uer Labore konzentrieren sollte - ein Thema, zu dem er ehr viele Ideen hart - und da ir daran arbeiten ollten, im folgenden Jahr einen Vorle ung kur orzu teIlen - eil \ ir glaubten, da Vorlesungen die be te Veran taltung art für die Entwicklung n uer Kur inhalte eien. Leighton und ich mussten einen Lehrplan für die orle ungen entwerfen. Wir begannen unabhängig voneinander, an einem Konzept für den Kur zu arbeiten, trafen un aber jede Woche, um un ere Fort chritte zu vergleichen und zu v r uchen, eine gemein ame Ba is zu finden.

Immobilität und Inspiration E wurde bald klar, da e nicht leicht ein würde, eine gemeinsame Ba i zu finden. I h ah Leighton An atz normalerwei e mehr al Aufgus der Inhalte der Phyikkur e, wi ie eit 60 Jahren in Mode gewe en waren. Leighton meinte, ich würde auf prakti ch nicht durchführbare Vor teilungen drängen - da Studienanfanger nicht breit eien für di ufnahme "moderner' Inhalte, wie ich sie einführen oUte. Glücklicher ei e urde ich durch häufige Ge präche mit Feynman in meiner Entchlo enheit be tärkt. Feynman war breit al eindruck voller Dozent bekannt und konnt be onder gut die Vor teilungen der modernen Phy ik einem breiten Publikum darlegen. Auf m inem Heim eo- vom In titut habe ich oft bei ihm angehalten, um ihn zu fragen wa r on meinen Ideen hält, woraufhin er häufig Vor chIäge machte, was man tun könnte, und in ge amt ein große Stütze war. ach inigen Monaten die er B mühungen war ich ziemlich entmutigt. Ich konnte nicht erkennen, ie ighton und ichjemal bezüglich de Lehrplan auf einen enner kommen llten. n r Kur konzepte waren öllig er chied n. Dann hatte ich eine Tage eine In piration: Warum nicht Feynman bitten, die Vorlesungen zu dem Kur zu halten. ir konnten ihm 0 ohl Leighton ,al auch mein Konzept vorlegen und ihn ent heiden la en. ofort machte ich Feynman die en Vor chlag: "Schau Dick Du on R ben B. Leighton, McGraw-Hill, 1959.

XVI

Über die Ursprünge der Fe)nman- Vorlesungen über Ph'rsik

ha t jetzt vierzig Jahre deine Leben damit verbracht, nach Wegen für ein er tändni der Welt der Phy ik zu suchen. Hier i t die Gelegenheit für Dich aJle zu ammenzubringen und e einer neuen Generation von Wi enschaftlem zu prä entieren. arum hält t nicht Du die Anfangervorle ungen im näch ten Jahr?" Anfang ar er nicht begeistert, aber während der näch ten paar Wochen di kutierten wir die Id weiter und bald hatte er ich mit dem Gedanken angefreundet. Er agte, man könnte die oder jene machen. Oder da würde hier pa en und so weiter. ach ein paar 0 hen mit olchen Di ku sionen fragte er mich: "Hat es jemal einen bedeutenden Ph iker gegeben der einen Anfangerkur unterrichtet hat?' Ich sagte ihm, ich glaubte nicht. Darauf meinte er: ,,Ich mach !'

Feynman hält die Vorlesungen Beim nächsten Treffen un ere Komitee legte ich begei tert meinen or chlag or - und war prompt ent etzt über Leighton zurückhaltende Reaktion. Da i t keine gute Idee. Feynman hat noch nie einen Kur im Grund tudium gegeben. Er eiß nicht ie man mit Anfängern pricht oder wa ie lernen können. Aber eher rettete die Situation. Seine Augen leuchteten vor Aufregung und er agte:, Da wär up r. Dick weiß o viel über Phy ik und er weiß wie man die Physik interes ant macht. E wäre fanta ti eh, wenn er e wirklich machen würde." Leighton wurde überzeugt und nachdem er einmal überzeugt war, unterstützte er die Idee mit ganzem Herzen. Einige Tage päter stand ich vor der näch ten Hürde. Ich legte Bacher die Idee or. Er hielt nicht ehr iel von ihr. Er meinte, Feynman ei zu wichtio für d ufbautudium und ei nicht zu er etzen. Wer würde Quanteneleletrod namik unterrichten? Wer würde mit den Studenten im Aufbau tudium theoretisch arbeiten? nd auß rdem. könnte er ich wirklich auf da iveau der Studienanfänger herabbegeben? An die m Punkt warb ich bei einigen der leitenden Mitglieder der Phy ikabteilung um nter tützung, die ich bei Bacher für Feynrnan einsetzten. Und chließlich erwendete ich da bei Akademikern beliebte Argument: Wenn Feynman e wirklich ma hen will, wollen Sie ihm dann agen er ollte e nicht tun? Die Ent cheidung war gefallen. Sech onate blieben un noch bi zur er ten Vorle ung und Leighton und ich prachen mit Feynman darüber, was wir un vorge teIlt hatten. Er begann inten i an der Entwicklung eigener Ideen zu arbeiten. Minde ten einmal in der oehe ar i h bei ihm und di kutierte mit ihm eine Vor telJungen. Manchmal fragte er mich ob ich eine be timmte Herangehen wei e für ver tändlich für die Studenten hielt oder ob ich meinte, d die e oder jene Stofffolge am be ten , funktionieren ürd. Ich ill ein pezielle Bei piel anführen. Feynman hatte an der Frage gearbeitet, ie man die Interferenz und Beugung on Wellen prä entieren könnte, und hatte Sch ierigkeit n, einen pa enden mathemati ehen An atz zu finden - einen direkten und gleichzeitig überzeugenden. E gelang ihm nicht, einen ohne die Verwendung kample er Zahlen zu finden. Er fragte mich ob die Studienanfanger meiner einung nach in der Lage

d r Fe"nman- Vorle lIngen iiber Physik

XVII

eien, mit der 1gebra komplexer Zahl n zu arbeiten. Ich erinnerte ihn daran, da die Studenten in er ter Linie auf Grund ihrer Fähigkeiten im Fach Mathematik. arn Caltech zug la en worden ien und da ich zuver ichtlich sei, da sie keine Probleme mit kompie er Algebra haben ürden, wenn ie eine kurze Einführung in das Thema erhielten. Seine 22. Yorle ung enthält eine wunderbare Einführung in die Algebra komplexer Größen, die er dann päter immer wieder in ieien Vorle ungen bei der Be hreibung on chwingung y ternen bei Aufgaben aus der Wellenoptik und 0 weiter erwenden konnte. Bald tauchte ein kleine Problem auf. Feynman hatte in der dritten Woche de Herb ttrime ter einen langfri tigen Termin, an dem er nicht am Caltech ein würde, o da er z ei Vorle ungen nicht würde halten können. Wir kamen überein, da das Problem leicht zu lö en sei. Ich würde ihn an die en Tagen er etzen. Aber damit die Kontinuität einer Prä entation nicht unterbrochen würde, würde ich zwei Vorle ungen über ein paar untergeordnete Themen halten, die für die Studenten nützlich sein könnten aber keine Beziehung zu einem roten Faden hätten. Das erklärt, warum Kapitel 5 und 6 de er ten Bande etwa ungewöhnlich ind. Mei ten arbeitete Feynmanjedoch allein an der Entwicklung de kompletten Konzept für da oanze Jahr - und nahm genug Detail in sein Konzept auf um icherzugehen da e keine unvorherge ehenen Schwierigkeiten gab. Den Rest de akademiehen Jahre arbeitete er inten i weiter und war im September (1961) 0 weit, da er sein er te Vorle ung jahr beginnen konnte.

Der neue Physikkur r prünglich hatten wir üb rlegt da s die Vorle ungen von Feynman den Beginn eine überarb iteten Progranun für den zweijährigen Einführungskur darstellen würden - ein Kur, der für alle neuen Studenten am Caltech obligaton eh war. In den folgenden Jahren ollten andere Mitglieder de Lehrkörper Verantwortung für jede der beiden Jahre übernehmen und 0 chLießlich einen Kur 'entwickeln - mit einem Lehrbuch .. bungen, einer Laborpha e und 0 weiter. Für die er ten Jahre der orlesungen brauchte man allerding ein andere Kongab keine Kur material i n, ie mus ten im Verlauf de Kur e er t ent tehen. zept. E wurden zwei ein tündige Yorle ungen in den Stundenplan aufgenommen - jeweil eine dien tag und donner tag um 11 Uhr. Die Studenten mu ten jede Woche ein ein tündige Tutorium be uchen da von einem Mitglied des Lehrkörper oder einer wi en chaftlichen Hilf kraft geleitet wurde. Außerdem fand unter der Leitung on eher jede Wo he eine drei tündige nterrichtseinheit im Labor tatt. Während der Vorle ungen trug Feynman ein Mikrofon um den HaI da an ein Tonbandgerät in einem anderen Raum ange ehlo en war. In regelmäßigen Ab tänden wurden on den Inhalten auf den Tafeln Foto gemacht. Beide lag in der Verantwortung on Tom Harv y dem techni eh n A i tenten, der für den Hörsaal erantwort-

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Über die Ursprünge der Fevnman- VorJe uligen iiber Phr ik

lich war. Harve half Fe nman auch bei der Konzipierung gelegentlicher E perimenre für die arIe ungen. Die aufgezeichneten Vorlesungen wurden on Juhe Cur io. einer Schreibkraft, in eine Je bare Form gebracht. In die em er ten Jahr übernahm Leighton die Verantwortung dafür da die ieder chriften 0 chnell wie möglich unter dem Ge icht punkt d r Klarheit bearbeitet wurden, 0 da die Studenten die gedruckten Skripte schon kurz nach den orle ungen zum Lernen zur Verfügung hatten. Wir dachten zu Anfang da die tudenten im Aufbau tudium, die die Tutorien und die Laboreinheiten leiteten. die e ufgabe übernehmen könnten indern wir jeweil einem von ihnen eine Vorle ung ZU\ ie en. Da funktionierte aber nicht, weil e die Studenten viel zu lange in An pruch nahm und da Ergebni mehr die Vor teHungen der Studenten al die Feynman . ider piegelte. Leighton änderte da umgehend, übernahm ehr viel Arbeit elb t und konnte außerdem ver chiedene Lehrkräfte (von der Phy ik und vom Ma hinenbau) dafür gewinnen, eine oder mehrere Vorle ungen zu überarbeiten. Nach die em u t r bearbeit t auch ich mehrere Vorle ungen in die em er ten Jahr. Für da z eite Jahr de Kur e wurden einige Änderungen orgenonlill n. Leighton übernahm die Verantwortung für die Studenten im er ten Studienjahr - er hielt die Vorle ungen und managte allgemein den Kur . Glücklicherwei e hatten die tudenten jetzt von Anfang an die Skripten der Vorle ungen Feynman au dem orhergehenden Jahr zur Verfügung. Ich bekam die Verantwortung für die Detail de Kur e für da zweite Studienjahr, für da Feynman jetzt die Vorle ungen hielt. nd ich hatt au h die Verantwortung dafür, das die überarbeiteten ieder chriften rechtzeitig fertig urden. Auf Grund der Be chaffenheit de Stoffe im zweiten Jahr kam ich zu dem chlu da e am be ten ei, die Aufgabe elb t zu übernehmen. Ich war bei fa t allen Vorle ungen seIb t dabei - ie übrigen auch während d er ten Jahre - und übernahm eine der Di ku ion eran !altungen elb t. 0 da ich mir ein Bild da on machen konnte, wie der Kur für die Studenten lief. achj der orle ung gingen nonnalerwei e Feynman Gerry eugebauer und ich, gel g ntlich auch noch ein oder zwei andere zum Mittage en in die Studenten-C~ teria und prachen dort darüber. weI he zu Hau e zu Iö enden Aufgaben für die Studenten zum Thema der arIe ung pa end eien. Feynman hatte im Allgemeinen mehrere Ide n für die Übungen. andere ergaben sich während de Ge präehe . eugebauer \ ar dafür rantwonlich, die e .. bungen zu ammeln und jede Woche einen .. atz .. ungen" zu er teIlen.

Wie waren die Vorlesungen? E ar ein große ergnügen, bei den Vorle ungen dabei zu ein. Fe nman r chien etwa fünf inuten or dem planmäßigen B ginn der Vi rle ung. r nahm ein d r zwei kleine tücke Papier - ielleicht 10 mal 20 cm groß - au ein r H mdta h , faltete ie au einander und trieb ie mitten auf dem Pult orne im Hör aal glatt. Da

Über die Ur prünge der Fewzman- Vorle ungen Über Physik

XIX

waren eine otizen für die Vorle ung obw hl er selten auf ie zurückgriff. (Ein Foto da zu Beginn on Kapitel 19 im zweiten Band abgedruckt ist, zeigt Fe nman während einer einer orle ungen, ie er hinter dem Pult tehl. Dabei ind zwei olche Blätter mit otizen auf dem Pult zu erkennen.) Sobald die Klingel als Zeichen de offiziellen Yorle ung b ginn ertönte, b gann er mit einer Yorle ung. Jede Vorle ung war eine In zenierung mit einem orgfaltig erda hten Drehbuch, da er klar und deutlich bi in Detail geplant hatte - normalerwei e mit einer Einführung, einer Entwicklung. einem Höhepunkt und einer Auflö ung. Und ein Timing war äußer t beeindruckend. ur ehr elten war er mehr al den Bruchteil einer Minute vor oder nach dem Ende der tunde fertig. Selb t der Gebrauch der Tafeln vorne im Hörsaal chien orgfältig horeografiert zu ein. Er begann oben link auf Tafel ummer eins und am Ende der Yorle ung hatte er genau Tafel ummer zwei ganz recht oll ge chrieben. Aber da größte Vergnügen war natürlich, die Entwicklung einer Gedanken - die mit Klarheit und Stil dargelegt wurden - zu beobachten.

Die Ent eheidung für ein Bueh Ob ohl wir anfang nicht daran gedacht hatten, au den Vorl ung kripten ein Bu h zu machen, wurde etwa in der Mitt de zweiten Vorle ung jahre - im Frühjahr 1963 - die e Idee rn thaft in Betra ht gezogen. Der Gedanke wurde zum Teil durch Anfragen eiten Phy iker ander r Hoch chulen angeregt, die un um Skripten baten, und zum Teil durch Vor chläg mehrerer Verleger - die natürlich Wind da on bekommen hatten, da die Yorle ungen liefen, und möglicherwei e auch Kopien der Skripte ge ehen hatten. ach einigen Di ku ionen be chlo en wir, da man au den Skripten nach ein wenig Bearbeitung ein Bu h machen könnte, und wir baten die intere ierten Verleger, un ent prechende Vor hläge zu unterbreiten. Der attrakti te Vor chlag kam on Vertretern d r Addi on-We le Publi hing Company, die un anboten, da ie un rechtzeitig für den eptemb rkur 1963 gebundene Bücher liefern könnten - nur ech Monate nach der Ent cheidung für die Veröffentlichung. Außerdem boten ie angeicht der Tat ache da wir keine Autorenhonorare verlangten an, die Bücher zu einem recht niedrigen Prei zu verkaufen. Ein olch chnell r Zeitplan für die Veröffentlichung war möglich, weil je all orri htung n und Mitarbeiter für die Bearbeitung, das Setzen bi hin zum FotoOff etdruck im Hau hatten. nd durch die Übernahme eine (zu die er Zeit) neuen Formate, be teh nd au einer einzig n breiten Text palte und einem ehr breiten Seitenrand konnt n ie Gleichung n und Zu atzmaterial unterbringen. Die e Format bedeutete, da da, wa normal rwei e die Druckfahnen gewe en wären. direkt für die endgültigen Seiten layout er endet werden konnte ohne da der Te t, um Gleichungen und Ähnliche unterzubringen, neu ge etzt werden mu te. Der Vor chlag von Addi on-We ley etzte ich durch. Ich üb rnahm die Aufga-

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Über die Ursprünge der Feynman-Vorle ungen über Physik

be, alle notwendigen Überarbeitungen und Anmerkungen in den orle ung kripten vorzunehmen und allgemein mit dem Verlag zu ammenzuarbeiten - Lektorierung de ge etzten Material und 0 weiter. (Leighton war zu die er Zeit ehr damit be chäftigt, die zweite Runde de Anfangerkur e zu unterrichten.) Ich arbeitete jede orie ung kript hin ichtlich Klarheit und Genauigkeit durch, gab es dann Fe nman für eine letzte Überprüfung und obald ein paar Vorle ungen fertig waren wurden ie an Addi onWe ley ge chickt. Die er ten paar orle ungen chickte ich ziemlich chnell ab und erhielt auch hr bald die Druckfahnen zum Korrekturle en. E war ein De aster. Die Lektorin bei Addison-We le hatte prakti ch eine euformulierung vorgenommen und den lockeren Stil der Skripte in einen traditionellen, formellen Lehrbuch til geändert - ie hatte z.B. "Sie' durch .,man" er etzt und 0 weiter. Ich hatte Ang t or einer möglichen Konfrontation in die er Sache und rief die Lektorin an. achdem ich ihr erklärt hatte, da wir der An icht eien da der ungezwungene Plauderton we entlicher Be tandteil der Vorle ungen ei und da ir per önliche Pronomen den unper önlichen orzögen und o weiter, erkannte ie wa wir wollten, und machte ihre Sache an chließend großartig - die mei ten Sachen ließ ie 0, wie ie waren. (Ich habe gern mit ihr zu ammengearbeitet und ich wün chte, ich könnte mich an ihren amen erinnern.) Der näch te Stolper tein war größer: Die Wahl eine Buchtitel. Ich erinnere mich an einen Be uch in Feynman Büro, bei dem wir die e Thema di kutierten. Ich chlug vor, einen einfachen amen wie ,Physics" oder ,,Ph sie One' zu ählen und da al Autoren Feynman Leighton und Sands er cheinen oHten. Fe nman macht aber den vorge cWagenen Titel nicht be onder und reagierte ziemlich heftig auf die orgeschlagene Erwähnung der beiden weiteren Autoren: "Warum ollten Thre amen dort auftauchen - ie machen nur Stenografenarbeitl" Ich war anderer einung und wie ihn darauf hin, da au den Vorle ungen ohne di Bemühungen on Leighton und mir niemal ein Buch ent randen wäre. Die Meinungsver chiedenheit urde nicht ofort beigelegt. Ich kam einige Tage päter auf die Di ku ion zurü k und zu ammen fanden wir einen Kompromi : "The Feynman Lecrures on Phy ie on Fe nman, Leighton und Sand ."

Das Vorwort Feynmans ach Ab chlu de zweiten Vorle ung Jahre - etwa nfang Juni 1963 - war i h in meinem Büro dabei, die oten für die Ab chlu prüfungen zu ergeben, al Fe nman hereinkam, um ich zu verab chieden, bevor er die Stadt erließ ieBeicht um nach Brasilien zu rei en). Er fragte, wie die Studenten in der Prüfung abg chnitten hätten. leh agte, ich glaubte, recht gut. Er fragte nach der Durch hnitt note und ich agte ie ihm - enn ich mich richtig erinnere, 65 ~ oder o. Seine Antwort ar: "Oh, o chlecht. Sie hätten e be er chaffen müs en. Ich bin ein e ager." Ich er u hte ihm die en Gedanken au zureden indem ich darauf hin ie da die Dur h hnit -

Über die Ur prünge der Fe)'nman- Vorlesungen über Physik

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note ehr willkürlich ei und von ie1en Faktoren wie z.B. dem Schwierigkeitsgrad der ge teilten Aufgaben dem verwendeten Bewertung verfahren und so weiter abhinge und da wir nomlaler ei e er uchten, den Durchschnitt 0 niedrig anzu etzen, da s e eine g wi e Spanne innerhalb der otenstufen gab um eine vernünftige "Kurve" für die Verteilung der oten zu bekommen. (Da i t übrigen ein Verfahren, da ich heute nicht mehr billigen würde.) Ich agte, da s ich glaubte, dass viele Studenten ehr iel au dem Kur mitgenommen hätten. Er war nicht überzeugt. Dann erzählte ich ihm da die Veröffentlichung der Leetures zügig voranging, und fragte ihn ob er ein orwort dafür chreiben wollte. Die Idee fand er intere ant, aber er hatte wenig Zeit. Ich chlug vor, das ich da Diktiergerät auf meinem Schreibti eh an tellen und er ein Vorwort diktieren könnte. So diktierte er, während er noch über eine iederge hlagenheit wegen der Durchschnittsnote bei der Ab chlus prüfung der Studenten au dem zweiten Studienjahr nachdachte, den ersten Entwurf des Fe) nmans Vorwort da ie orne in jedem Band der Leetures finden. Darin agt er: "Ich glaube ich hab bei den Studenten keinen guten Job gemacht." Ich habe e oft bedauert das ich ihn ein Vorwort auf die e Wei e verfassen ließ, weil ich nicht glaube da da eine ehr durchdachte Beurteilung war. Und ich fürchte, da sie von vielen Lehrern a1 Au rede dafür benutzt wurde um die Fe) nman- Vorlesungen nicht mit ihren Studenten au zuprobieren.

Der zweite und der dritte Band Die Ge ehichte der eröffentlichung de zweiten Vorle ungsjahres ist ein bi ehen ander al die de er ten Jahre. Zunäch t einmal wurde am Ende de zweiten Jahres (etwa Juni 1963) be ehlo sen, die Skripten in zwei Teile für zwei einzelne Bände aufzuteilen: Elektromagnetismus und Struktur der Materie und Quantemneehanik. Zweiten meinte man, da die Skripten über Quantenphysik durch einige Zu ätze und inten i e Überarbeiten we entlieh verbessert werden könnten. Zu diesem Zweck chlug Feynman vor am Ende des folgenden Jahre einige zu ätzliche Vorle ungen über Quantenphy ik zu halten, die dann zusammen mit dem Original kript einen dritten Band mit gedruckten Vorle uogen bilden könnten. E gab eine zu ätzliche Komplikation. Die Bunde regierung hatte etwa ein Jahr zuvor den Bau eine z ei Meilen langen Linearbeschleuniger an der Stanford Univer ity zur Her tellung on 20 GeV Elektronen für For chung zwecke in der Elementarteilchenphy ik genehmigt. E oHte der größte und teuerste bi dahin gebaute Be chleunig r ein mit Elektronenenergien und -inten itäten, die um ein Vielfache über denen exi tierender Anlagen liegen ollten - ein aufregendes Projekt. Mehr al ein Jahr lang hart W.K.H. Panof ky der zum Direktor des neu ge chaffenen Labor - dem Stallford Linear Aecelerator Center - ernannt worden war ver ucht, mich zu überreden al ein tellvertreter am Bau de neuen Be chleuniger mitzuarbeiten. Im FrüWing de Jahre hatte er mich 0 weit und ich erklärte mich einver tanden Anfang Juli nach

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Über die UrsprÜnge der Feynman- Vorle ungen über Phv ik

Stanford zu kommen. Ich mu te allerding The Lectures bi zur Fertig teilung eiter betreuen, 0 das ein Teil der Abmachung war, da ich die e Arbeit mitnehmen würde. Al ich dann in tanford war, zeigte ich, da meine neuen erantwonlichk iten mich mehr in An pruch nahmen, al ich erwartet hatte, 0 da ich die Arbeit an den Lectures vorwiegend abend machen mu te wenn ich orankommen ollte. I h chaffte e ,bi März 1964 mit der endgültigen Bearbeitung de zweiten Bande fertig zu ein. GlückJicherwei e war mir meine neue Sekretärin, Patricia Preu eine ehr kompetente nter tützung. Bis Mai de Jahre hatte Feynman die zu ätzlichen Vorle ungen über Quantenph ik gehalten und wir begannen mit der Arbeit am dritten Band. Da einige größer mtrukturierungen und Überarbeitungen erforderlich waren, rei te ich einige ale nach Pa adena und beriet mich lange mit Feynman. Wir überwanden die Probleme leicht und das Material für den dritten Band war im Dezember fertig.

Die Reak ion der Studenten Durch meinen Kontakt mit den tudenten während meiner Tutorien konnte ich einen guten Eindruck da on bekommen wie ie auf die Vorle ungen reagi nen. Ich denke da iele, wenn nicht ogar die mei ten von ihnen erkannten da i eine b ondere Erfahrung machen durrten. Ich ah auch, da ie on den aufregenden Ideen und dem Lernen ieler A pekte der Phy ik begei tert waren. Da galt natürlich ni ht für alle Studenten. Bedenken Sie, da der Kur für alle Studienanfänger obligatori ch war, obwohl weniger al die Hälfte Phy ik al Hauptfach hatten. nd 0 aren die nderen in der Tat ein unfreiwillige Publikum. Auch einige ängel d Kur urden offen ichtlich. Die Studenten harren z.B. häufig Schwierigkeiten die Hauptgedanken in den orle ungen on neben ächlichem Stoff zu trennen, der zur eran chauli hung gedacht war. ie fanden da besonder bei der Prüfung orbereitung fTU trierend.

In einem pezieLlen orwort zu den Feynman- Vorlesungen über Phy ik haben Da id Good tein und Gerry eugebauer ge chrieben, da ... im erlauf de Kur e di Zahl der an e enden einge chriebenen Studenten alarmierend ank. -, Ich 18 nicht woher ie die e Infonnation haben. Und ich frage mich, welchen BIeg ie dafür haben, da iele der Studenten den Kur fürchteten... . Good tein ar zu d r Zeit ni ht am Caltech. eugebauer gehörte zu dem Team, da an dem Kur mitarb it te, und agr manchmal im herz, da im Hör aal keine tudent n au dem Grund tudium mehr anwe end eien - nur Studenten au höheren Seme terno Kann ein, da ihnen da in der Erinnerung 0 er chien. Ich habe in den mei ten Vorle ung n hinten im Hör aal ge e en und na h meiner Erinnerung - die natürlich durch die Jahr er a g trübt i t - machten ich vielleicht 20 ~ der Studenten nicht die ühe die orle ung zu be uchen. Eine oIehe Zahl war nicht ungewöhnlich für einen groß n orle un kur und ich kann mich nicht erinnern, da irgendjemand ,alarmi rt" war. nd ob ohl e in meiner ortrag eran taltung vielleicht ein paar Studenten gegeben hat, die d n

Über die UrsprÜnge der F. VI1111on- Vorle ungel1 über Physik

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Kur für hteten \ aren die mei ten engagiert und von den Vorlesungen begei tert wennglei h einige on ihn n hö h twahr cheinlich Ang t vor den Aufgaben harren, die zu Hau e bearb it t werden mu ren. Ich möchte drei Bei piele anführen, die den Einftu der Vorle ungen in die en beiden er ten Jahren auf die tudenten iUu trieren. Da erste datiert au der Zeit al der Kur lief, und ob ohl e mehr al 40 Jahre zurückliegt, hat es auf mich einen 01chen Eindru k gema ht, da ich mich deutlich daran erinnern kann. E war ganz am Anfang de zweiten Jahre und durch einen Fehler im Stundenplan traf ich mein Tutorium zum r ten al or der er ten Vorle ung von Feynman in dem Jahr. Alldieweil wir keine orl ung hanen, über di wir di kutieren konnten, und auch noch keine Hau aufgaben verteilt worden waren, war nicht klar, über wa wir sprechen oHten. Ich begann d n nterri ht und bat die Studenten, ihre Eindrücke on den Vorle ungen au dem orhergehenden Jahr zu childern - da etwa drei Monate zuvor zu Ende gegangen war. ach einig n Reaktionen agte ein Student, da er fasziniert war von d r Erörterung d utbau de Auge der Biene und davon, wie e durch eine Balance zwi chen den Au wirkungen geometri cher Optik und den Beschränkungen auf Grund der lIennatur de Lichte ( ieh Abschnitt 36.4 in Band I) optimiert worden war. Ich fragte ihn ob er die Argumente rekon tTUieren könne. Er ging zur Tafel und war, ohne da ich viel helfen mu ste, in der Lage, die we entliehen Elemente der Argumentation zu wiederholen. nd das etwa ech Monate nach der Vorle ung und ohne Wiederholung.

Das zweite Bei pie] i t ein Brief den ich 1997 - etwa 34 Jahre nach den Vorle ungen - on einem Studenten, Bill atterthwaite, erhielt, der die Vorle ungen und auch meine Vortrag eran taltung be ucht hatte. Der Brief kam au heiterem Himmel. Er war durch die B gegnung on Bill Satterthwaite mit einem meiner alten Freunde am MIT ang regt worden. Er chrieb:

"Mit die em Brief mächte ich Ihnen und jedem anderen für die Feynmansehe Phy ik danken. . .. In einer Einführung sagt Dr. Feynman, dass er glaubt, da s er für eine Studenten keine große Hilfe war . .. Ich kann dem nicht u timmen. Meine Freunde und ich sind immer gern dorthin gegangen und haben erkannt, wel h ein I~gartige und wunderbare Erfahrung sie waren. Und wir haben \ iel gelernt. Al objektiven Beweisfür un eren Eindruck ei envähnt, dass ich mich an keine andere ordentliche Vorlesung während meines Werdegang Gm Caltech erinnern kann, bei der applaudiert wurde, und meine Erinnerun agt mir, da das häufig am Ende einer Vorlesung von Dr. Fe 111711111 pa ierte ... " Da letzte Bei piel liegt ein paar Wochen zurück. Ich Ia zufallig den autobiographichen Te t von Dougla 0 heroff, der 1996 (zusammen mit David Lee und Robert Richard on) den ob Ipr i für Ph ik für die Entdeckung der Suprafluidität in Helium-3 erhielt. 0 heroff chrieb:

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Über die UrsprÜnge der Feynman- Vorlesungen über Ph)Sik

"Es war eine gute Zeit am Calrech, als Feynman seinen berühmten Kur für Studenten im Grundstudium hielt. Diese zweijährige Reihe war ein äußerst wichtiger Teil meiner Ausbildung. Auch wenn ich nicht sagen kann, da ich alles ver tanden habe, denke ich, dass sie den größten Teil zur Enru ieklung meiner physikali ehen Intuition beigetragen hat. "

Epilog ein ziemlich plötzlicher Weggang vom Caltech direkt nach dem z e' ten orleungsjahr bedeutete das ich keine Gelegenheit hatte, die weitere Entwicklung de Einführung km e in die Phy ik zu verfolgen. De halb weiß ich nur ehr \i enig über die Wirkung der veröffentlichten Vorle ungen auf pätere tudenten. E war immer klar da The Leetures für ich nicht al Lehrbuch dienen konnten. E fehlt zu iel von der Aufmachung eine Lehrbuche: Kapitelzu ammenfa ungen mit eran chaulichenden Beispielen Übungen für da Selbststudium zu Hau e und 0 weiter. Die e Dinge hätten on fleißigen Dozenten au gearbeitet werden mü en. Leighton und Rochu Vogt, die nach 1963 die Verantwortung für den Kur übernahmen, haben inige bereitgestellt. E gab eine Zeit, al ich in Erwägung zog ie in einem zu ätzlichen Band zur Verfügung zu tellen, aber die er Gedanke i t nie in die Tat umge erzt orden. Auf meinen Rei en im Zu ammenhang mit der Commission on College Physies traf ich oft Phy iklehrkräfte an ver chiedenen Univer itäten. Ich bekam zu hören das die mei ten Dozenten The Leetures für ungeeignet zur Verwendung in ihr rn Unterricht hielten - obwohl ich auch von einigen hörte, die da eine oder andere Buch in einer 0 genannten ..Honor Clas 'oder al zu ätzlichen Text zu einem normalen Lehrbuch benutzten. (Ich mu agen, ich hatte oft den Eindruck, da einige Dozenten die Feymnan- Vorlesungen nicht au probieren wollten, weil i Ang t hatten. da die Studenten Fragen tellen könnten, die ie nicht beantworten konnten.) m häufig ten hörte ich, das Studenten im Aufbau tudium die Fe)nman- Vorle ungen für eine au gezeichnete Hilfe bei der Vorbereitung auf qualifizierende Prüfungen hielten. E chien da die Feynman- Vorlesungen im Au land mehr irkung z igten aJ in den SA. Der Verlag hatte dafür ge orgt, da The Leeture in iele prach n - zwölf wenn ich mich richtig erinnere - über etzt wurden. nd wenn ich zu Konferenzen üb r Hochenergiephy ik in Au land fuhr, wurde ich oft gefragt ob ich der Sand au den roten Büchern ei. nd ich hörte häufig, da The Leetures für Einführung kur e in die Phy ik benutzt wurden. Eine andere bedauerliche Kon equenz meine Weggang om Caltech war, da ich meinen Kontakt mit Feynman und einer Frau Gweneth nicht weiter fortführ n konnte. Er und ich pflegten eit den Tagen von Lo Alamo eine herzli he KolI gialität und 'tte der 1950er Jahre war ich Ga t bei ihrer Hochzeit ge e en. Bei den elten n Gelegenheiten zu denen ich nach 1963 nach Pa adena kam ohnte i h bei ihn n oder wenn ich mit meiner Familie kam, verbrachten wir immer einen bend zu amm n.

Über die Ursprünge der Fe)'nman- Vorlesungen iiber Physik

Beim letzt n Be u h erzählte er un danach be iegte ihn der Kreb .

on einer kürzlichen Kreb operation.

xxv icht lange

Für mich i te eine große Freude da jetzt nach etwa vierzig Jahren die FeynmanVorlesungen über Ph) ik immer noch gedruckt, gekauft, gele en und, da wage ich zu

behaupt

11,

ge hätzt

erden.

Matthe'rv Sand Santa Cruz, Kalifornien

Inhalt verzeichnis 1 1-\ \-2 1-3 1-4

Grundlagen

\-7 1-8 1-9 1-10

Einführung in die iederholung vorlesungen. . . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . Calteeh von unten , ,...... ... .. ............ athematik für Ph ik., ,....................... Di fferenziation ,.. ...... .......... .. .......... ........ . Integration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vekt ren............................................................ Differenziation on Vektoren........................................ Linienintegrale , Ein einfa he Bei piel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Triangulation

2 2-} 2-2 2-3 2-4 2-5 2-6 2-7 2-8 2-9

Die ph ikali eh n Ge etze.. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Die niehtrelativi ti ehe äherung.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Bewegung mit Kräften.... .. .. . . .. . .. . .. Kräfte und ihre Potenziale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ph ik lernen durch Bei piele Phy ik phy ikali eh ver tehen Eine ufgabe bei der Kon truktion von Ma ehinen Fluehtge chwindigkeit der Erde...................................... ttemati e Lö ungen

1-5

1-6

aturge etze und Intuition

3 3-1 3-2 3-3 3-4 3-5 3-6 3-7 3-8 3-9

ufgaben und Lö ungen Satellitenbewegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Entd ekung de Atomkern Die grund\eg nde Raketengleichung .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Ein nurn ri ehe Integrati n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Chemi ehe Raketentri bwerke....................................... Raketen mit Ionenantrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. Raketen mit Photonenantrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Eine elektro tati ehe Protonen trahlablenkvon-iehtung .. . . . . . . . . . . . . .. Be timmung der Ma e de Pion

4 4-1 4-2

Dynamik und ihre Anwendungen Ein Gyro kop . .. .. .. .. . .. . .. .. . . . . . . . . .. . .. .. . .. . .. . . . . . .. . .. . .. . Der Kur krei el . .. .. .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. .. . .. . . . . . . . . .. . .. . . ..

1 1

2 4 5

8 9 14 17 19 23

27 27 29 30 33 35 37 40 51 54

59 59 64 67 70 72 73 76 77 80 83 84 85

xxvrn 4-3

4-4 4-5 4-6 4-7 4-8 4-9 4-10 4-11 4-12 4-13 4-14

5 5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6 5-7 5-8 5-9

5-10 5-11 5-12 5-13 5-14

Der kün tliche Horizont . Ein G ro kop zur Schiff tabili ierung . Der Krei elkompa . Verbe erungen am Entwurf und der Kon truktion on G ro kopen Be chJeunigung me er............................................. Ein oll tändige avigation y tem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Au wirkungen der Erdrotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Die rotierende Scheibe ., . .. . .. . .. . .. .. . . . .. .. . . .. . .. .. . . .. . .. . . . . utationderErde Drehimpu1 in der A tronomie Drehimpul in der Quantenmechanik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ach der Vorle ung

92 9 103 106 109 112 112 114

115

Ausgewählte Aufgaben

121

Energieerhaltung, Statik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Die Kepler chen Ge etze und die Gravitation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Bewegung Die ewton ehen Ge etze Die Impu1 erhaltung Vektoren iehtrelativi ti ehe Stöße zwi ehen zwei Körpern in drei Dirnen ionen Kräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Potenziale und Felder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Einheiten und Maße Relativi ti ehe Energie und relativi ti eher Impul Drehungen in zwei Dirnen ionen und Ma enmitt 1punkt Drehimpul und Trägheit moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Drehbewegung in drei Dirnen ionen ,

121 125 125 127 129 130 131 132 133 135 135 136 13 140

Lösungen zu den ufgaben

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BiJdnachweis

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Index

15

-

1 Grundlagen Wieder/lOlul1gsvorle ung A

1-1 Einführung in die Wiederholungsvorlesungen* Die e drei zu ätzlichen orle ungen werden ziemlich langweilig: Wir behandeln den eiben Stoff wi orher und ab olut nicht eue. Deshalb bin ich ehr überra cht, ie 0 zahlreich er chienen ind. Ehrlich ge agt, ich hatte eigentlich gehofft, da s da nicht 0 jele on Ihnen hier auftauchen würden und dass die e Vorle ungen überflü ig ein würden. i ollen hier Gelegenheit bekommen, sich zu ent pannen, Zeit zum Nachdenken haben und mjt den Dingen, on denen Sie gehört haben, mal etwas herumprobieren können. Da i t wahr cheinlich der effektiv te Weg um Physik zu lernen. Einfach hereinzukommen und ich eine Vorle ung zur Wiederholung anzuhören ist dagegen keine gute Idee. Be er i te wenn Sie e1b t die Vorlesungen nacharbeiten. De halb rate ich Ihnen - vorau ge etzt Sie ind nicht völlig ahnungslo , verwirrt und durcheinanderda Sie die e orl ungen au en 1a en und einfach elb t ein wenig au probieren und er uchen herau zufinden wa für Sie intere ant ist, ohne ich allerdings an irgendeinem pezielJen Thema fe tzubeißen. Sie werden ehr viel be er und leichter und oll tändiger lernen wenn Sie ich ein Problem herau picken da Sie intere ant finden und an dem Si gern herum pielen möchten - irgendetwa , das Sie gehört haben und nicht er t hen oder das Sie näher analy ieren oder mit dem Sie mal etwa Knifflige au probieren mö hten - da ist die be te Art und Wei e Dinge zu begreifen. Die bi herigen Vorle ungen ind ein neuer Kur und konzipiert worden, um ein bekannte Problem zu lö en: Kein Men ch weiß wie man den Leuten Phy ik beibringen und ie unterrichten 11. Da i t eine Tat ache und wenn Sie die Art und Wei e, wie da hier ge chieht, nicht mögen dann i t da öllig normal. Man kann einfach nicht zufri den stellend unterrichten: Seit Jahrhunderten oder noch länger er uchen die Men chen herau zufinden wie man lehrt, aber niemand hat e bi her ge chafft. Wenn Sie al 0 die er neue Kur nicht zufri den teIlt, dann i t da nicht Be andere. Am Caltech ändern wir immer wieder die Kur e in der Hoffnung, da wir ie dadurch erbe ern. So haben wir die e Jahr den Phy ikkur wieder verändert. Eine der Be chwerden in den letzten Jahren war, da die lei tungsstärkeren Studenten die ge•Alle Fußnolen ind Kommentare der uloren (au genommen Feynman), Redaktellre oder MitarbeiteL

-.

1 Grundlagen

2

amte Mechanik langweilig fanden: Sie büffelten, machten Aufgaben, be chäftigten ich mit Wiederholungen und legten Prüfungen ab und e war keine Zeit. ich Gedanken über irgendetwa zu machen. E gab nicht Aufregende. keinen Bezug zur modemen Phy ik oder Ähnliche. Und deshalb ollte die Vorle ung reihe in die er Hin icht be er ein und die en Studenten helfen, indem wir die erbindung zum Re t des Uruver um her teilen und das Thema auf diese Wei e möglich t etv a intere anter ge talten. Anderer eit hat eine oIehe Herangehen wei eden achteil, da ie iele Leute verwirrt, weil ie nicht wi en was ie lernen ollen - oder be er ge agt, e gibt 0 viel Stoff, da ie nicht alle lernen können, und e fehlt ihnen an der erforderlichen Intelligenz um herau zufinden, wa ie interessant finden, und ich dann nur auf die e Sache zu konzentrieren. Oe halb wende ich mich an jene von Ihnen, die die Vorle ungen ehr· erwirrend. lä tig und irritierend fanden. die nicht wi en, wa ie lernen ollen und die ich etwa verloren fühlen. Die anderen, die ich nicht verloren fühlen ollten ni ht hier ein und ihnen gebe ich jetzt die Gelegenheit zu gehen ...• Ich ehe chan keiner traut ich. Oder ich bin hier die Fehlbe etzung. ich verloren fühlt! (Vielleicht ind Sie auch nur zur nterhaltung hier.)

enn jeder

1-2 Caltech von unten So, jetzt teile ich mir or, das einer von ihnen in mein Büro kommt und agt: ,Feynman, ich habe alle Ihre Vorle ungen gehört und meine Ziehenprüfung abgelegt. Ich ver uehe, die Aufgaben zu lö en, und ich kann nicht . Ich glaub , ich bin der Schwäch te in der Gruppe. Ich weiß nicht, was ich machen oll. Wa würde ich Ihnen agen? Al Er te würde ich Sie auf Folgende hinwei n: Die ufnahme am C lte h hat Vor- und achteile. Die Vorteile haben Sie mal gekannt, aber mittlerweile erg en. und ie haben damit zu tun, da die e niver ität einen au gezei hneten Ruf hat. D r gute Ruf i tz eifello gerechtfertigt. E gibt ehr gute Kur e. a diesen Ph ikkur angeht, eiß i h nicht 0 recht ... natürlich hab ich meine eigene einung dazu. Diejenigen die da Caltech ge ehafft haben, agen wenn ie in die lndu tne der in die For chung gehen das ie hier eine ehr gute Au bildung bekommen hab n, und wenn ie ich mit Leuten ergleichen die eine andere Lehran talt be u ht hab n (ob\ ohl i igentli h e viele andere ehr gute olcher An talten gibt) stellen ie fe t da immer mit denen mithalten können. Sie glauben immer da ie die be te Lehran ralt von allen be ucht haben. Da i t ein Vorteil.

·Niemand ging hinaus.

1-2 Ca/te h \ on unten

3

Aber e gibt auch einen gewi en achteil: Weil das Caltech einen so guten Ruf hat bewirbt ich fa t jeder hier der in einer High-School-Klasse der Be te oder Zweitbe te i t. E gibt ziemlich viele High School und von allen bewerben ich die be ten chüler*. Wir haben ein Auswahl y tem ausgearbeitet mit allen Arten von Te t, 0 da wir die Be ten der Be ten bekommen. Und 0 ind Sie ehr orgfältig au all die en Schulen au ge ucht worden und hierher gekommen. Aber wir arbeiten immer noch an diesem Sy tem denn wir haben ein sehr ernstes Problem festge teIlt: Egal wi.e orgfältig wir die Studenten au wählen egal wie geduldig wir analy ieren - wenn ie hierher kommen, pa iert etwa: Es stellt sich immer heraus, dass ungefähr die Hälfte von ihnen unter dem Durchschniflliegf! atürlich la hen Sie darüber, denn rational gesehen i t das selb tver tändlich, aber emotional ge ehen nicht. Emotional ge ehen kann man darüber nicht lachen. Wenn Sie in den naturwis en chaftlichen Fächern an der High School lange Zeit die ummer ein oder Ummer zwei (oder möglicherwei e noch die Nummer drei) waren und Sie wis en, da jeder, der in den naturwis enschaftlichen Fächern unter dem Durchschnitt war ein kompletter Idiot war, und Sie jetzt plötzlich fest tellen, dass Sie unter dem Durch chnitt sind - und die Hälfte von Ihnen ist unter dem Durch chnitt -, i t da ein heftiger Schlag denn in, Ihrer Vor tellung bedeutet da , dass Sie, relativ ge ehen genau 0 dumm sind wie die e Typen in der High Schoo!. Das ist der große achteil hier am Caltech: Da dieser psychologi ehe Schlag so chwer wegzu tecken i t. Ich bin natürlich kein P ychologe. Ich stelle mir das alles nur vor. Ich weiß natürlich nicht wie e wirklich wäre l Die Frage i t, wa zu tun i t, w nn Sie fe tstellen, da Sie unter dem Durchschnitt liegen. E gibt zwei Möglichk iten. Ersten könnten Si.e zu dem Schlu s kommen, da e so schwierig und ärgerlich i t dass sie au steigen müssen - das ist ein emotionale Problem. Sie können Ihren Ver tand bemühen und sich selb t klar machen, wa ich Ihnen gerade aufgezeigt habe: Das die Hälfte der Leute hier unter dem Durch chnin liegt, obwohl ie alle spitze ind de halb bedeutet es ab olut nichts. Sehen sie, wenn Sle die en Quat ch die e merkwürdige Gefühl vier Jahre lang durchstehen dann gehen Sie wieder in die Welt hinau und werden entdecken, dass die Welt ist, wie ie immer war und da Sie z.B. wenn Sie irgendwo einen Job bekommen wieder die ummer ein ind. Dann werden Sie mit großem Vergnügen der Ex.perte ein, zu dem alle in die m be timmten Betrieb immer dann gelaufen kommen, wenn sie lnche nicht in Zentimeter umrechnen können! E timmt: Die Leute, die in die Indu trie gehen oder an eine kleine Lehran talt, die keinen ausgezeichneten Ruf im Bereich Phy ik hat, ind ehr gefragt, elb t wenn ie im unteren Drittel, im unteren Fünftel im unteren Zehntel der Kla e waren - wenn ie nicht ver uchen, sich elbst unter Druck zu etzen (ich erklär da gleich). Sie stellen fe t dass da ,wa sie gelernt haben, ehr nützlich i t und da ie wieder da ind was ie waren: glücklich, die ummer ein . Anderer eit kann Ihnen ein Fehler unterlaufen: Einige Leute treiben ich möglicherwei e elb t bi zu einern Punkt, an dem ie darauf bestehen, die Nummer ein '1961 waren am Caltech nur Männer zugelassen.

4

J Grundlagen

werden zu mü eo. und trotz allem wollen sie zu einer weiterführenden Ho h ehule gehen und der be te Doktor in der be ten Hoch chule werden ob ohI ie h.i r der Schwäch te in der KJa e ind. aja, die werden wahr cheinlich enrtäu eht und für den Rest ihre Leben unglücklich ein, weil ie immer die Sch äeh ten in einer pitzengruppe ein werden weil ie ieh die e Gruppe au gesucht haben. Da i t ein Problem, und e liegt an Ihnen - es hängt von Ihrer Per önlichkeit ab. (Denken ie daran, ich preehe mit dem Typ der in mein Büro gekommen i t, weil er zum unteren Zehntel gehört. Ich preche nicht zu den anderen, die glücklich ind eil ie im oberen Zehntel liegen - da i t owie 0 eine Minderheit!) Al 0, wenn Sie die en p ychologi chen Schlag verkraften. enn ie ich elb t agen können: ,.Ich bin im unteren Drittel der Kla e, aber ein Drittel on un ind im unteren Drittel der Kla e, weil e 0 ein muss! Ich war in der High eho I der Be te und ich bin nach wie vor ein toller Kerl! Wir brauchen i n chaftler in di em Land und ich werde ein i en chaftler ein und wenn ich mit dem tudium fertig bin, dann werde ich uper ein, verdammt! Und ich werde ein guter i en haftler ein. ,dann wird e 0 kommen. Sie werden ein guter Wi en chaftler in. Trotz der rationalen Argumente be teht da einzige Problem darin i r Jahr lang die e merkie die e merk ürdig würdige Gefühl zu ertragen. enn Sie der Meinung ind da Gefühl nicht ertragen können. denke ich, da e da Be te i t zu r uchen, woander hinzugehen. Da i t kein Ver agen. E i t einfach eine emotionale a he. Selb t wenn Sie zu den beiden Schwäch ten in der KJa e gehören b d utet da nicht, da Sie nicht gut iod. Sie mü en ich nur mit einer pa enden Gruppe vergl iehen an tan mit die er wahn innigen Au le e, die wir hier am Calteclh hab n. De halb mache ich die e Wiederholung mit Ab ieht für die, die ich erloren fühlen, 0 da ie noch eine Chance haben, etwa länger hier zu bleiben um herau zufinden, ob ie e au halten können oder nicht, okay?

o h et a: die i t keine Examen vorbereitung oder 0 et a. Ich . eiß gar ni ht über die Prüfungen - ich meine, ich habe nicht mit ihrer orbereitung zu tun und ich weiß nicht, was darin vorkommt. Al 0 gibt e überhaupt keine Garanti , d da. a in der Prüfung orkommt. nur mit dem Stoff zu tun hat, der in die en orle ung n wiederholt wird, oder ähnlichem Quat ch.

1-3 Mathematik für Phy ik Al 0 die er Typ kommt in mein Büro und bitt t rnich alle das a i h ihn gelehrt habe, zu erklären. nd da i t da Be te, was ich tun kann. Da Probl m b t ht darin zu er uchen, den Stoff, der gelehrt wurde, zu erklären. Al 0 b ginn ich j tzl mit der Wiederholung. Ich ürde die em Studenten erklären: ,,Zuer t mü en je die athemati lern n. nd da heißt zunäch t Integralrechnung. Und nach der Integralre hnung die Diff. renziation. "

1-4 Differenziation

5

Die athematik i tein hönes Thema. Sie hat zwar auch ihre vielen kleinen Tücken aber wir er uchen herau zufinden, wie groß der Mindestumfang i t, den wir für die Zwecke der Physik I rnen mü en. Deshalb kann man die Haltung, die wir hier der Mathematik gegenüber zeigen getro t als ,,respektlos" bezeichnen. Sie i t rein na h Ge icht punkten der Effizienz au gerichtet. Ich werde nicht versuchen, die Mathematik zu Grunde zu richten. Wir mü en un damit be chäftigen, das Differenzieren zu lernen wie wir gelernt haben wie iel 3 plu 5 oder 5 mal 7 ist, weil diese Art von Arbeit 0 häufig vorkommt, das e gut i t, enn man dadurch nicht mehr erwirrt wird. Wenn Sie etwa auf chreiben ollten Sie in der Lage ein, es sofon ohne achdenken und ohne Fehler zu differenzieren. Sie werden ehen, das Ihnen diese Rechenoperation tändig begegnet - nicht nur in der Phy ik, ondern in allen aturwi en chaften. De halb verhält e ich mit der Differenziation wie mit der Arithmetik, die Sie lernen mus ten, bevor Sie Algebra lernen konnten. .. rigen gilt da eIbe auch für die Algebra: Sie brauchen in der Physik sehr viel Algebra. Wir g hen da on au , das Sie Algebra im Schlaf beherr ehen, ohne einen Fehler zu ma hen. Wir wi en da da nicht timmt, also sollten Sie Algebra üben: Schreiben Sie ich viele Au drücke auf, üben Sie sie und machen Sie keine Fehler. Fehler in 1gebra, Differenziation und Integration ind einfach lä tig. Sie bringen die Phy ik durcheinander und lenken Sie ab während Sie ver uchen, etwa zu analy ieren. Sie oUten in der Lage ein, Berechnungen 0 chnell wie möglich und mit möglich t wenigen Fehlern durchzuführen. Dazu mu man einfach au wendig lernen - nur damit klappt e ! E i t, al ob man ich selbst eine Multiplikation tabelle macht wie in der Grund chule. Si haben einen Haufen Zahlen an die Tafel ge chrieben und dann ging 10: Die mal da , die mal da "und so weiter. Zack! Zackl Zack!

1--4 Differenziation Genau 0 mü en Sie die Differenziation lernen. Machen Sie ich eine Karte und chreiben ie eine Reihe on u drücken de folgenden allgemeinen Typ darauf. Zum Bei pie\: I + 6t 4f +2f I + 2t)3

(1.1 )

-VI + 5t Cf + 7fl)I/3 und 0 weiter. Schreiben Sie agen wir, ein Dutzend oIeher Au drücke auf. Ab und zu nehmen Sie dann einfach die Karte au Ihrer Tasche, legen Ihren Finger auf irgendeinen

6

1 Grundlagen

Au druck und agen die Ableitung laut vor ich hin. Mit anderen Worten, ie oIlten in der Lage ein, sofort zu erkennen. da

~(l + 6t) = 6 i

dt

t (Zack!),

oder da

d -(4? + 2?) dt

= 8t + 6?- 1. t (Zack!),

1.2)

oder da ~

d

2

-(I + 2t)"' = 6(1 + 2t) i t (Zack!).

dt

Alle klar? Al 0, zuerst einmal mu man ich einprägen, \ ie man abI it t - ganz einfach. Da i t eine notwendige Übung. Für da Differenzieren komplizierterer Au drücke i t die Ableitung einer umme einfach: Sie i t einfach die umme der Ableitungen jede einzelnen ummand n. In die er Pha e un ere Phy ikkur e mü en wir nicht wi en wie man kompliziertere Au drücke al die obigen oder deren Summen differenziert. De halb ollte ich Ihnen im Sinne die er Wiederholung auch nicht mehr darüber erzählen. b r gibt eine Formel für das Differenzieren on komplizierten Au drücken, die in Kur n üb r di Integralrechnung nonnalerwei e nicht in der Form angegeben wird, in der ich ie Ihnen gebe. Sie i t äußer t nützlich. Sie werden die e Fonnel päter ni ht lernen, eil niemand sie Ihnen agen wird, aber e kann nicht chaden zu wi en, \ ie man ie anwendet. ehmen

ir an, ich möchte Folgende differenzieren: I.

Jetzt i ( die Frage. wie wir da schnell erledigen. Da zeige ich Ihnen jetzt (Die ind nur Regeln. E i t da i eau, auf da ich die Mathematik reduziert hab \\ iI ir ja hier mit den Leuten arbeiten, die mal gerade 0 durchhalt n. I 0: Sie chreib n den den eine Klammer:

u druck ein weitere

al auf und erzen hinter jed n umman-

6(1 + 2(2)(~ - t)2 . [

.Jt + 5t2(4t)3/1.4

"'1/1 + 2t . [, t

+

...f1+7i .

/ -4 Di{feren::Jation

7

Dann chreiben Sie et in die Klammern 0 da Sie, wenn Sie fertig ind, die Ableitung de Originalau drucks haben. (Oe halb chreiben Sie den Ausdruck noch mal auf fall Sie ihn nicht erlieren möchten.) un chauen ie i h jeden Term an und ziehen einen Strich - einen Teiler - und etzen den Term in d nenn r: Der erste Term i t 1 + 2t2 , er wird in den enner ge etzt. Die Potenz de Term wird nach om gestellt (e i t die er te Potenz, 1) und die Ableitung de Term nach un erem Übungsspiel), 4t, kommt in den Zähler. Da i t der eine Term:

6( I + 21 2)(rJ - t)2 [ 4t - - - - - - . I----=~5 + 12 (4t)3/2 I + 21 2 (1.5)

+ 1

Y1+2i[ . + -YJ+7i

(Wa i t mit der 6? Verge en ie iel E i t egal, welche Zahl davor steht: Wenn Sie wollten könnten ie folgendermaßen beginnen: "Die 6 geht in den enner ihre Pot nz, 1, wird nach om ge teilt und ihre Ableitung, 0, kommt in den Zähler.") äch ter Term: (3 -t geht in den enner die Potenz, +2 wird nach vom ge teilt, die Ableitung, 3r - 1, kommt in d n Zähler. Der nächste Term, t + Sr, geht in den enner, die Potenz, -] /2 (die umg kehrte Quadratwurzel ist eine negative halbe Potenz) wird nach om ge etzt, die Ableitung, I + 101, geht in den Zähler. Der näch te Term 4t, wird in den enner ge etzt eine Potenz, -3/2, nach vom, eine Ableitung, 4 kommt in d n Zähl r. chließen Sie die' lammer. Da ist der eine Summand:

6(1+2r2)(t 3 _t)2 ....rs+fi(4t)3/2

+

.

[4t 3t2 -1 11+10t 2 3 1 1 + 2t + 2 t - t - 2 t + 5t2

34] -

24t

(1.6)

~I + 2t . [ t + ...;r+t2

äch ter ummand er ter Tenn: Die Potenz ist + 1/2. Wir nehmen die Potenz on I + 2t, die Ableitung i t 2. Die Potenz de nächsten Terms, t + Vl+fi, i t -1. (Wie Sie ehen, i te ein Kehrwert.) Der Term kommt in den enner und eine Ableitung (die i t di inzig chwierige relati ge ehen) hat zwei Teile weil sie eine Summe i t: 1 2t 1 + - _~. . chließen ie die Klammer:

2 vI + t 2

6( I + _t2 )(t3 -

[4t 3t2 - 1 1 1 + 1üt ~t + 5t2( 4t)3/2 . 1 1 + 2t2 + 2 t3 - t - 2: t + 5t2 t)2

-

3 4] 2: 4t

(1.7)

1 Grundlagen

8

_~ I + 2~ I 2/ ] vI + 2t [ 1 2 + t + ...fl+ti' 2Cl + 2r) - I t + ...fl+ti

.

Da i t die Ableitung de Originalau druck. Sehen Sie, durch das Einprägen die er Vorgehen wei e können Sie alles differenzieren - außer inu, Co jnu , Logarithmen etc. Aber Sie können die Regeln für diese Funktionen leicht lernen.ie ind ehr einfach. nd dann können Sie die e Vorgehen wei e anwenden, elb t wenn die Tenne Tangensfunktionen oder 0 etwa enthalten. Al ich den Ausdruck aufge chrieben habe, habe ich bemerkt, da je be orgt au ahen, weil er 0 kompliziert ist. Aber ich denke, jetzt er tehen ie da e i h um ein wirklich überzeugende Verfahren für die Differenziation handelt weil e zack! - die Antwort ohne Verzögerung liefert egal, wie kompliziert die ache i 1. die Ableitung einer Funküon f = k . lla . vb

Der Gedanke hier i t, da

df =

f.

~

[a duldt + b duldt + c dwldt + ...] u

u

w

.W

C

•••

nach t 1.8)

ist (wobei kund a b, c .. . Konstanten ind). Allerding glaube ich nicht, da die Aufgaben in die em Ph ikkur 0 kompliziert ind 0 dass wir wahr cheinlich gar keine Gelegenheit haben werden, die e Verfahren anzuwenden. Aber a oll ,da i t die Art und Wei e, mit deren Hilfe ich differ nziere, und ich bin mittlerweile ganz gut darin.

1-5 Integration Der umgekehrte Proze i t die Integration. Sie oIlten eben 0 gut lernen. 0 ehn 11 wie möglich zu integrieren. Die Integration i t nicht 0 einfach wie die Differenziation, aber Sie oHten in der Lage ein einfache Au drücke im Kopf zu imegrieren. ie mü en nicht jeden Au druck integrieren können, (f + 7(2) 1/3 kann man z.B. ni ht auf einfache ei e integrieren, die folgenden Au drücke allerding chon. enn Sie al 0 Au drücke zum Üben der lntegration au wählen, achten ie darauf das ie lei ht zu integrieren ind:

f Cl +

f

6t) dt = t + 3c2

4c3

(4

(4? + 2?) dt = - + ·32

f

21

(I + 21)3 dt = (I +8 )'

9

1-6 Vektoren

f -fl+5i

1+5tdt=

f

(l

+ 7r-)1/3 dt

2 I + 51)3/2 15

(1.9)

= .. ?

Mehr habe ich Ihnen über die Dift'erenzial- und Integralrechnung nicht zu agen. Alle Weitere liegt bei Ihnen: Sie mü en die Differenziation und die Integration üben - und natürlich auch die erforderliche Algebra, um Horrorszenarien wie in Gleichung 0.7) zu reduzieren. Da Üben von Algebra sowie Differenzial- und Integralrechnung auf die e tumpf innige Art und Wei e - das ist die er te Sache.

1-6 Vektoren Da andere Gebiet der Mathematik mit dem wir e als rein mathematische Thema zu tun haben, ind Vektoren. Zunäch t müssen Sie wissen, was Vektoren ind, und wenn Sie kein Ge pür dafür haben, weiß ich nicht, was wir machen ollen. Wir mü ten un eine Weile unterhalten damit ich Ihre Schwierigkeiten einschätzen kann - ander könnte ich e nicht erklären. Ein Vektor ist wie ein Stoß der eine bestimmte Richtung hat oder ein Ge chwindigkeit die eine bestimmte Richtung hat, oder eine Bewegung die eine be timmte Richtung hat - und er wird auf einem Stück Papier mithilfe eine Pfeils darge tellt, der in die Richtung de Ma senpunktes zeigt. Wir tellen z.B. eine Kraft, die auf etwa einwirkt durch einen Pfeil dar, der in die Richtung der Kraft zeigt. Die Länge de Pfeil i t ein Maß für den Betrag der Kraft auf einer beliebigen Me kala - einer Skala die allerdings für alle Kräfte in der Aufgabe beibehalten werden mu . Wenn ie eine andere Kraft doppelt so tark machen, teilen Sie die e Kraft durch einen doppelt 0 langen Pfeil dar ( iehe Abbildung 1-1).

Abbildung 1-1: Zwei ek'toren, durch Pfeile darge teilt.

un e gibt Operationen die mit die en Vektoren durchgeführt werden können, Wenn z.B. zwei Kräfte gleichzeitig auf einen Körper einwirken - wenn etwa z ei Menehen ein TI Gegen tand ehieben - dann können die beiden Kräfte durch zwei Pfeile Fund F' darge teilt werden. Wenn wir eine Zeichnung von einer olchen Situation

1 Grundlagen

10

anfertigen. i te häufig zweckmäßig, die Pfeile im Angriff punkt der Kräfte anfangen zu la en, obwohl die Lage der Vektoren eigentlich ohne Bedeutung i t iehe bbildung 1-2). Angriff: punkt der Kräfte ~ ~ _ _=-F_-,

Abbildung 1-2: Dar teilung zweier Kräfte, die in dem eIben Punkt au geübt werden.

Wenn wir die re ulrierende ettokraft oder die Ge amtkraft be timmen ollen, addieren wir die Vektoren. Da können wir zeichneri ch darstellen indem ir den Anfang de einen eklor auf die Spitze de anderen er chieben. (E ind immer no h die elben Vektoren wenn Sie ie ver choben haben, weil ie die eibe Ri htung und die eibe Länge haben.) Dann i t F + Y' der Vektor der vom nfang on zur pitze on F' (oder om Anfang von F' zur Spitze von F) gezeichnet urde, ie in bbildung 1-3 darge teUt. Die e Methode zur Addition on ektoren ird manchmal auch als ,Vektoraddition mittel Parallelogramm' bezeichnet. ~

F __--r,

, ,,,

I I I

" I

,,,

, I

Abbildung 1-3:

ekl raddition mittels Parallelogramm.

ehmen wir auf der anderen Seite an da zwei Kräfte auf einen Körp reinwirken, wir aber nur i eu das die eine Kraft F' i 1. Die andere Kra t. die wir nicht kennen, nennen wir . Wenn die auf den Körper au geübte ge amte Kraft Fit dann gilt '+ X = F. Al 0 gilt X = F - F'. Um X zu ermitteln rnü en Sie omit die Differ nz zweier ektoren bilden. Da können Sie auf zwei unter hiedliche i en tun: le

1-6 VekToren

11

Abbildullg /-4: Vektorsublraktion, erste Method .

können - F', ein n Vektor der in die entgegenge etzte Richtung wie F' zeigt zu F addieren ( iehe Abbildung ]-4). Anderer eit i t F - F' infach der Vektor, der von der Spitze von F' zur Spitze von F gezeichnet wird. Der acht il der zweit 11 M thode i t allerdings, das Sie vielleicht den Pfeil, wie in Abbildung 1-5 darge tellt zeichnen möchten. Obwohl die Richtung und die Länge der Differenz richtig ind befindet ich der Angriff punkt der Kraft nicht am Anfang des Pfeil - al 0 pa en ie auf. Wenn Sie Angst haben oder wenn etwas unklar i t benutzen Sie die er te Methode ( iehe Abbildung 1-6). F

Abbildutlg }·5: ektor ubtraktion, zweite Methode.

nicht hier.

AbbilduTlg }-6: ubtraktion zweier Kräfte die in demselben Punkt ausgeübt werden.

1 Grundlagen

]2

Wir können Vektoren auch in be timmte Richtungen projizieren. enn wir z.B. wi en möchten, wie groß die Kraft i t, die in x-Richtung wirkt (ie ird Komponente der Kraft in die er Richtung genannt), projizieren wir einfach im rechten inkel hinunter auf die x-Ach e und da ergibt dann die Komponente der Kraft in die er Richtung, die wir Fx nennen. Mathemati ch i t Fx der Betrag on F (ge hrieb n IFI multipliziert mit dem Co inu de Winkels den F mit der x-Ach e bildet. Da liegt an den Eigenschaften de rechtwinkligen Dreieck ( iehe Abbildung 1-7 . \

\

x

Abbildung 1-7: Die Komponeme de Vekror F in x-Richtung.

F x = IFlco ()

1.10

Wenn nun A und B zu C addiert werden, dann addieren ich offen i htlich die Projektionen, die in einer gegebenen Richtung x einen rechten Winkel bilden. Die Komponenten der Vektor umme ind al 0 die Summe der Vektorkomponenten und d gilt fur Komponenten in jeder Richtung ( iehe Abbildung 1-8). \

\

\

\

1\ 1 \ {

{ {

{

\

/

\

{

\ \

x

\ \ \ \

x

Abbildung 1-8: Eine Komponente einer Vektor umme i t gleich der Summe der nlSprechenden ektor-

komponenten.

13

1-6 Vektoren A +B

= C :::::) A x + B x = C x

(1.11)

Be onder z eckmäßig i t die Be chreibung von Vektoren in ihren Komponenten auf den enkrechten Ach en x und y (und z - die Welt i t chließlich dreidimen ional; mei ten erge e ich da , weil ich immer auf einer Tafel zeichne!). Wenn wir einen Vektor F in der x-y-Ebene haben und wir seine Komponente in x-Richtung kennen, definiert da F no h nicht 011 tändig, weil e viele Vektoren in der x-y-Ebene gibt, die die eIbe Komponente in x-Rl htung haben. Aber wenn wir auch die Komponente on F in der y- Richtung kennen, dann i t voll tändig definiert (siehe Abbildung 1-9).

x Abbildung 1-9: Ein Vektor in der x-y-Ebene i t durch zwei Komponenten vollständig definien.

Die Komponenten von F entlang d r x-, y- und z-Ach e chreibt man al Fx , F y und F:. Da Addieren on ektoren i t äqui alent zur Addition ihrer Komponenten. Wenn die Komponenten eine weiter n Vektor F' F~, F~ und F; ind, dann hat F + F' omit die Komponenten F x + F~p F y + F~ und F: + F~. Da war der leichte Teil. Jetzt wird e etwas schwieriger. Es gibt einen Weg, zwei Vektoren zu einem Skalar zu multiplizieren - zu einer Zahl die in jedem beliebigen Koordinaten t rn die lbe i t. (Genau genommen kann man au einem Vektor einen kalar ma hen ich komm päter darauf zurück.) Sehen Sie wenn die Koordinatenach en ich ändern ändern ich di Komponenten - aber der Winkel zwi ehen den Vektoren und ihren Beträgen bleibt der eIbe. Wenn A und B Vektoren ind und der Winkel zwi chen ihnen (] i t kann ich den Betrag von A mit dem Betrag on Bund dann mit dem Co inu von B multiplizieren und die e Zahl A· B (,A mal B") nennen ( iehe Abbildung 1-10). Die e Zahl, da 0 genannte "Skalarprodukt" i t in allen Koordinaten y tem n gleich:

A. B = I IIBI

0

B

Abbildung 1-10: Da Skalarprodukt I 1181 co ei t in allen Koordinaten y ternen gleich.

(1.12)

1 GTllndlagen

14

E i toffen ichtlich. da . da lAI co () die Projektion on auf Bit, . B gleich dem Produkt au der Projektion von A auf B und dem Betrag on Bit. Genau 0 i t, da IBI co () die Projektion on B auf A i t, A· B auch gleich dem Produkt au der Projektion von B auf A und dem Betrag von A. Ich per önlich mein da .B = IAIlBI cos der einfach te Weg i t zu behalten, wa da kalarprodukt i t. Dann kann ich immer ofon die anderen Beziehungen erkennen. Da Problem i t natUrli h. da e 0 viele Wege gibt, das eibe au zudrücken, da e nicht gut i t zu ver uchen. ie alle zu behalten - ein Punkt auf den ich in ein paar Minuten näher eingehen werde.

e

Wir können A . Bauch al Komponenten von A und B auf einem beliebigen chen tern definieren. Bei drei enkrecht zueinander tehenden ch n x.lj und:: mit beliebiger Au richtung ergibt ich für A . B (1.13 E i t nicht ofort er ichtlich wie man von IAIIBI co () nach AxBx+AyBy + :B: kommt. Obwohl ich e bewei en kann wenn ich will: dauert mir da zu lange und ich behalte beide im Gedächtnis. Wenn wir das Skalarprodukt eine Vektors mit sich selbst bilden i t () gleich 0 und der Co inu on 0 i t 1 0 da A . A = IAIIAI co () = IAI 2 . In Komponenten chr ibwei e gilt A· A = + + Die po itive Quadratwurzel die er Zahl i t der Betrag de Vektors.

A; A; A;.

1-7 Differenziation von Vektoren Jetzt können wir Vektoren differenzieren. Die Ableitung eine ektar nach der Zeit i t ohne Bedeutung, e sei denn der Vektor hängt on der Zeit ab. Da h ißt wir mü en un einen Vektor vor teHen, der ich ständig ändert: Der ktor ändert ich mit der Zeit und wir wollen da Maß der Änderung bestimm n. Der ektor (t) könnte z.B. der Ort eine herumfliegenden Körpe zum Zeitpunkt ein. Zum näch ten Zeitpunkt L' hat ich der Körper von t nach (t') b gt. ir mächten das aß der Änderung von zum Zeitpunkt t berechnen.

t

Die Regel i t folgende: In dem Intervalll:1t = t' - t hat ich der Körp r on t na h A(t') bewegt, 0 da die Ver chiebung I:1A = A(t') I) beträgt ein Differenz ektor om alten zum n uen Ort ( iehe Abbildung 1-11). Je kürzer das Intervall 1:11 i t, de to näher befindet i h natürlich (t' an t. on Sie M durch I:1t dividieren und dann den Grenzwert bilden wenn beide gegen null g ein Ort i t i t in hen, dann erhalten Sie die Ableitung. In die em Fall, in dem Ableitung ein Ge chwindigkeit vektor. Der Geschwindigkeit ektor i t in einer Ri htung Tangente an die Kurve weil da die Richtung der Ver chiebungen i t. einen •Siehe Band I der Feynman- Vorlesungen über Physik., Ab chnitt 11.7.

1-7 Ditferen:.iation

\'0/1

Vekroren

15 ~A

'=

A(I') -

~I '= I' -

bbildullg }.J J: On vektor

und er chiebung

(I)

/

während de Zeitintervall t11.

Betrag können ie nicht dur h da B trachten die e Bilde herausfinden weil er davon abhängt \ ie schnell ich da Teil entlang der Kurve bewegt. Der Betrag de Geeh indigkeit ektor i t die Ge chwindigkeit. Sie gibt an, wie chnell ich der Körper pro Zeiteinheit bewegt. Damj[ hätten wir die Definition des Ge chwindigkeit vektor: Er i t eine Tang nte an die Bahn und ein Betrag ist gleich der Ge chwindigkeit der Be egung auf die er Bahn ( i he Abbildung 1-12).

Abbildung 1-12: Ort v ktar

I

=

d

dr

und eine Ableitung v zum Zeitpunkt

. A = I1m1-+0

t

l.

(1.14)

brigen i t e gefährli h, den Ort ektor und den Geschwindigkeit vektor in demeIben Diagramm zu zeichnen - e ei denn Sie ind äußer t vor ichtig. Und da ir einige chwierigkeiten haben di e Dinge zu ver tehen, wei e ich auf alle möglichen Fallen hin die mir in d n Sinn kommen weil Sie al äeh tes möglicherwei e A zu addieren möchten. Da i t nicht erlaubt, denn damit Sie den Ge chwindigkeit vektor wirkJich zei hnen könn n, mü en i den Maß tab der Zeit kennen. Der Ge chwindigkei ektor hat ein n anderen Maß tab al der Ort vektor, ie haben unter chiedliehe Einheit n. Man ann generell Orte und Ge hwindigkeiten nicht addieren - auch nicht in die em Fall. Um tat ächli h einen ekt r eichneris h dar tell n zu können, mu ich eine Entcheidung bezüglich de aß tab treffen. Al wir über Kräfte ge pro hen haben,

16

1 Grundlagen

haben wir ge agt da ound 0 iele ewton durch I Meter (oder I Zentimeter oder was auch immer) darge teilt würden. Und in die em Fall mü en wir fe tleg n. da 0undso viele Meter pro Sekunde durch 1 Zentimeter darge tellt werd n. lern nd könnte da Diagramm mit Ort ektoren, die die eIbe Länge wie un ere haben. zei hn n aber mit einem Ge chwindigkeit vektor, der nur ein Drittel 0 lang wie un erer i t - die r Jemand benutzt einfach einen anderen Maß tab für einen Ge chwindigkeit ektor. E gibt nicht einen be timmten Weg, die Länge eine Vektor zu zeichnen, eil die ahl de Maß tabe beliebig i 1. un, die Komponenten chreibwei e für die Ge chwindigkeit mit X-. y- und ;::Komponente i t sehr einfach weil z.B. da Maß der Änderung der x-Komponent de Orte gleich der x-Komponente der Ge chwindigkeit i t und 0 weiter. Da liegt einfach daran, das die Ableitung tat ächlich eine Differenz i 1. und da di Komponentenl eine Differenzvektor mit den Differenzen der ent prechenden Kompon nten iden ti ch ind ergibt ich l.IS)

Die Bildung der Grenzwerte liefert dann die Komponenten der Ableitung: ( 1.16)

Da gilt für jede Richtung: Wenn ich die Komponente on Cr) in einer beliebigen Richtung bilde dann i t die Komponente de Ge chwindigkeit ekto in die r Ri htung die Ableitung der Komponente von AU) in die er Richtung. llerding mu ich eine ern te Warnung au prechen: Die Richtung darf ich nicht in Abhängigkeit der Zeit ändern. Sie können nicht agen:, Ich nehme die Komponente . on in der Richtung von v" oder 0 etwa , weil v sich bewegt. Die Au age da die bleitung der Ort komponente gleich der Ge chwindigkeit komponente i t i t nur ahr l'\ enn die Richtung, in der Sie die Komponente bilden, selbst fest ist. 0 gelten di Glei hungen C1.15) und (1.16 nur für die X-, y- und z-Ach e owie andere fe t tehend h en. Wenn ich die Ach en drehen, während Sie ver u hen, die Ableitung zu bilden. i t di Formel we entlieh komplizierter. Das ind einige der Au nahmen und chwierigkeiten beim Differenzieren on· ektoren. atürlich kann man die bleitung eine Vektor differenzieren, dann da Ergebni differenzieren und 0 weiter. Ich habe die Ableitung von A , Ge chwindigkeit" genannt, aber nur weil der Ort i 1. Wenn etwas andere i t, i t die Abi itung e a andere als die Ge chwindigkeit. Wenn A z.B. der Impul i t ent pricht die bleitung d die Kraft äre. ud Impul e nach der Zeit der Kraft, 0 da die Ableitung on wenn A die Ge chwindigkeit wäre, wäre die Ableitung der G ch indigkeit nach d r

1

Linieni11tegrale

17

Zeit die Be chleunigung und 0 eiter. Wa ich Ihnen erzählt habe, ist allgemeingültig für da Differenzieren on Vektor n aber hier habe ich nur das Beispiel von Orten und Ge chwindigkeiten geg ben.

1-8 Linienintegrale Zum chlu mu ich nur no h über eine Sache bezüglich der Vektoren sprechen. Dabei handelt eich allerding um ein chreckliche , komplizierte Ding. das so genannt Linienintegral": -

J

(1.17)

·ds.

a

Al Bei piel teIlen ir un ein be timmte Vektorfeld F vor da Sie entlang einer Ku eS om Punkt a zum Punkt z integrieren wollen. Damit nun diese Linienintegral irgendeine Bedeutung hat. mü en wir den Wert von F in jedem Punkt auf S zwi chen a und z irgendwie definieren. enn F al die Kraft definiert i t, die auf einen Körper im Punkt a au geübt wird, Sie mir aber nicht agen können, wie ich die Kraft ändert wenn Sie ich entlang S bewegen zumindest zwi ehen a und z, dann macht ,da Integral on F ntlang S on a nach z ' keinen Sinn. (Ich sagte "zumindest' , weil Fauch irgend 0 ander d finiert erden könnte, aber Sie mü en sie zuminde t auf dem Teil der Kurve definieren, entlang d en Sie integrieren.) Gleich w rde ich da Linienintegral eine beliebigen Vektorfelde entlang einer beliebigen Kur e definieren aber Ja en Sie un zunächst den Fall betrachten, in dem F kon tant und S eine geradlinig Bahn on a nach z i t - ein Ver chiebung ektor, den ich s nenn iehe Abbildung 1-13). Da F kon tant i t können wir ie dann au dem Int gral h rau nehmen (gen au wie eine normale Integration), und das Integral von ds ziehen a und i teinfach s. Die Lö ung i t a1 0 F . s. Da i t da Linienintegral für eine kon tante aft und ein geradlinige Bahn - der einfache Fall: -

J. = J = z

ds

a

d

F·

F . s.

a

a

Abbildung ]·13: Eine kon tante Kraft ,die entlang der geradlinigen Bahn a - z definiert i t.

(1.18)

18

1 Grundlagen

(Denken Sie daran, da F . s die Komponente der Kraft in Richtung der er chiebung multipliziert mit dem Betrag der Ver chiebung i t. it anderen orten. e i t einfach der Weg entlang der Linie multipliziert mit der Komponente der Kraft in dieer Richtung. E gibt iele andere Betrachtung wei en: E i t die Komponente d r Ver chjebung in Richtung der Kraft multipliziert mit dem Betrag der Kraft. E i t der Betrag der Kraft multipliziert mit dem Betrag der Ver chiebung multipliziert mit dem Co inu de Winkel, den ie miteinander bilden. Die e Betrachtung ei en ind aJle äquivalent.) Allgemeiner i t da Linienintegral folgendennaßen definiert. Zunäch t zerl g n wir das Integral indem wir S zwi chen a und:: in 11 gleiche Ab chnitte aufteilen: \. öS 2 ... t:,.S n' Dann i t da Integral entlang S da Integral entlang t:,.S J plu da lnt gral entlang f."S 2 plu da Integral entlang f."S 3 und 0 weiter. ir äblen 11 groß, da s wir jede ÖS j mithilfe eine kleinen Ver chiebung vektor, j üb r dem Feinen annähernd kon tanten Wert, F j , hat näherung wei e be timmen können (iehe bbildung 1-14). Dann liefert der Ab chnitt S j gemäß der Kon tanre-Krafr-G radlinigeBahn-Regel" näherung wei e F j · t:,.Sj zu dem Integral. enn Sie dann F j · i für i gleich 1 bi n addieren, i t da eine au gezeichnete äherung für da Integral. Da Integral i t nur dann genau gleich die er Summe, wenn wir den Grenz ert für n gegen unendlich bilden; ie wählen die Ab chnitte 0 klein wie möglich und no h etwa kleiner und dann erhalten Sie da korrekte Integral:

f a

F . ds = lim

f. F

n~oo .L..J

i .

ÖSj.

( 1.19

i=J

(Die e Integral hängt natürlich von der Kurve ab - im Allgemeinen -, in der Ph manchmal auch wieder ni ht.)

ik

Abbildung 1-14: Eine veränderliche Kraft F, definiert entlang der Kurve

un, da i t alle an athematik, wa ie für die Phy ik i en mü n - 0 eit zurnjnde t - und die e Dinge, in be ondere die Differenzial- und Integralrechnung 0wie die er ten Teile der Vektortheorie, oHten Ihnen in PI i eh und Blut übergeh n.

... J-9 Ein einfaches Bei piel

19

an h Dinge, \ i da Lini nintegral indjert no h nicht 0 wichtig. Aber ie werden irgend ann wi htio r werden. je mehr Sie ie anwenden. Die Dinge die Sie jetzt in Ihren Kopf reinkrieg n mü en', ind die Differenzial- und Integralrechnung und die Kleinigkeiten über die Zerlegung on Vektoren in ihre Komponenten in verschiedenen Richtungen.

1-9 Ein einfaches Bei piel Ich gebe Ihnen in B i pi 1 - ein ehr einfa he -, um Ihnen zu zeigen. wie man die Kompon nten on ektoren ermittelt. Nehmen wir an, wir haben eine be timmte Ma chine, ie in Abbildung \-15 d rge tellt: Sie be teht au zwei Stangen die dur h ein Gelenk (ähnli h dem Ellbogengelenk) miteinander verbunden ind, auf dem ein große Gewicht li gt. Da Ende d r einen Stange i t dur hein fe te Gelenk mit dem Boden erbunden und da Ende der anderen Stange hat eine Rolle, die in einer Rille den Boden ntlang rollt - ehen ie, ie i t Teil der Ma chine und ie macht t hu-t chuck. t chu-t hu k - die Rolle be gt ich or und zurück und da Gewicht bewegt ich auf und ab und 0 eit r.

hu-

Abbildllllg 1-15: Eine einfa he

t chuck

chine.

ehmen ir an, da G wicht b trägt 2 kg die Stangen ind 05 m lang und zu einem be timmt n Zeitpunkt, enn die a chine till teht beträgt der Weg zwi chen dem Gicht und d m Boden glücklicherwei e genau 0,4 m 0 das wir ein 3-4-5Dr ieck haben und da Rechnen damit einfacher wird ( iehe Abbildung 1-16). (Da Rechnen ollt k inen nt r chied machen, die eigentlich Schwierigkeit be teht darin gedanklich den richtig n W g zu finden.) Da Probl mit h rau zufinden, wie groß der horizontale Druck P i t, der auf die Roll au geübt rden mu ,um da Ge icht oben zu halten. Jetzt gehe ich von einer Annahme au . die . ir brauchen um die Aufgabe zu lö en. Wir nehmen an da die ettokraft immer entlang der Stange gerichtet ist, wenn eine Stange an heiden Enden Gel nke hat. (E zeigt ich da da zutrifft· Ihnen erscheint e möglichen ei e elb t er tändlich. E wäre nicht unbedingt wahr, wenn nur an einem Ende der Stange ein Gelenk orhand n äre weil ich dann die Stange eitwärt chieben könnte. Aber wenn an beiden Enden ein Gel nk vorhanden i t, kann ich nur entlang der Stan-

J Gmndlagen

20

Rolle

Gelenk

O.3m

Abbildung 1·16: Welche Kraft P i I erforderlich, um da Gewicht oben zu hallen?

ge schieben. Las en Sie un al 0 annehmen, dass wir da wi en - d die Richtungen der Stangen wirken müs en.

die Kräfte in

Au der Phy ik wissen wir auch noch etwas andere: Da die Kräfte an den Enden der Stangen identi ch und entgegengerichtet ind. Die Kraft die die Stange auf di Rolle au übt, mu z.B. on dieser Stange auch in die entgegenge etzte Richtung auf da Gewicht au geübt werden. Da i t ornÜ die Aufgaben teHung: it die em i eo über die Eigen chaften on Stangen im Kopf ver uchen wir herau zu finden, ie groß die horizontale Kraft i t, die auf die Rolle au geübt wird. Ich möchte ver uchen die Aufgabe folgendermaßen zu lö en: Die horizontale Kraft, die von der Stange auf die Rolle au geübt wird i teine b timrnte Komponente der auf ie einwirkenden ettokraft. ( atürlich gibt e auf Grund der , inengenden Rille" auch eine vertikale Komponente, die aber unbekannt und unintere ant i 1. ie i t Teil der auf die Rolle au geübten ettokraft die der auf da Ge i ht au geübten ettolcraft genau entgegengerichtet i 1.) De halb kann ich die Komponenten der on der Stange auf die Rolle au geübten Kraft - in be ondere die horizontale Kompon nte die ich be timmen rnö hte - ermitteln wenn ich die Komponenten der on der tange auf das Gewicht au geübten Kraft ermitteln kann. Wenn ich die auf d Ge icht au geübte horizontale Kraft Fx nenne, dann i t die auf die Rolle au geübte horizontale Kraft -Fx und die Kraft, die erforderljch i t, um da Gewicht oben zu halten, i t glei h groß und entgegengerichtet so das IPI = Fx i t. Die von der Stange auf da Gewicht au geübte vertikale Kraft F y i t ehr lei ht zu errnüteln: Sie i t einfach gleich dem Gewicht de Teil, da 2 kO' beträgt, rnultiplizi rt .mit g, der Gravitation kon tanten. Da i t auch noch etwa da Sie au der Ph i wi en mü en - 9 i t 9,8 im KS-Sy tern.) F y i t 2 mal 9 oder 19 6 e ton, 0 da s die auf die Rolle einwirkende vertikale Kraft -19 6 ewton beträgt. i arm ich nun die horizontale Kraft be timmen? Antwort: Ich erhalte ie, weil ich eiß da die ettokraft entlang der Stange gerichtet ein rnu . Wenn F y 19,6 b trägt nd di ettokraft entlang der Stange gerichtet i t, mus Fx wie groß ein iehe bbildung 1-17)?

1-9 Ein einfache Beispiel

21

Abbildung 1-17: Die von einer tange auf da Gewicht und auf die Rolle au geübte Kraft.

un wir hab n die Projektionen der Dreiecke, die ehr hübsch kon tfuiert wurden 0 da da Verhältni der horizontalen zu den vertikalen Seiten 3 zu 4 i t. Das i t da eibe VerhäJtni wie F x zu F y (die ettokraft F intere iert mich hier nicht, ich brauche nur die Kraft in hori-antater Richtung) und die vertikale Kraft kenne ich bereit. Der Betrag der horizontalen Kraft - unbekannt - verhält ich zu 19,6 wie 0,3 zu 04. Oe halb multipliziere ich 3/4 mit 19,6 und erhalte:

Fx 03 = 19,6 04 03 :. Fx = 04.196 = 147 ewton.

(1.20)

Wir chließen darau da \PI, die auf die Rolle au geübte horizontale Kraft, die erforderlich i t um da Gewi ht oben zu halten 14,7 ewton beträgt. Da i t die Lö ung für die e ufgab Oder nicht? hen ie Phy ik be teht nicht au dem einfachen Ein elzen in Formeln: Sie erreichen gar nicht enn ie nicht neben dem Wi en der Regeln, der Formeln für Projektion n und dem ganzen Kram noch etwa andere be itzen: Sie mü en ein gewi e Gefühl für die reale Situation haben! Darüber werde ich gleich noch einige Bemerkung n machen, aber hi r in die er peziellen Aufgaben teIlung i t die S hwierigkeit folgende: Die auf da Gewicht einwirkende ettokraft rührt nicht nur von einer Stange her, ondem e gibt au h eine Kraft, die von der anderen Stange in einer Richtung auf ie au geübt wird und da habe i h b i meiner Anal e außer Acht gela en - al 0 i t alle fal chI

22

1 Grundlagen

Außerdem mu ich die Kraft berücksichtigen, die die Stange mit dem fe ten Gelenk: auf da Gewicht au übt. Jetzt wird e kompliziert: Wie kann ich herau find n. wie groß diese Kraft i t? un, wie groß i t die gesamte ettokraft , die auf d Gewicht ausgeübt wird? Genau gleich der Gravitationskraft - ie gleicht di Gra itation kraft genau au . E gibt keine horizontal auf das Gewicht ausgeübte Kraft. omü liegt der Schlüssel, mÜ de en Hilfe ich herau finden kann, wie viel Power entlang der Stang mit dem fe ten Gelenk fließt, in der Beachtung der Tat ache, da ie horizontal gerade eine 0 große Kraft au üben mu ,da die horizontale Kraft. die die and r tang ausübt, au geglichen wird. Wenn ich die Kraft, die die Stange mit dem fe ten Gelenk au übt. zeichnen mü te wäre ihre horizontale Komponente folglich der horizontalen Komponente. die die Stange mit der RoUe au übt, genau entgegengerichtet. Die ertikalen Kompon nten wären auf Grund der identi ehen 3-4-5-Dreiecke, die die Stangen bilden glei h: Beid Stangen drücken denselben Betrag nach oben, weil ihre horizontalen Komponenten ich au gleichen mü en - wenn die Stangen unter chiedlich lang ären, mü ten ie etwas mehr rechnen, aber der Gedanke ist der eIbe. Beginnen wir noch einmal mü dem Gewicht: Die Kräfte, die von den Stangen auf das Gewicht au geübt werden müs en wir zuer t klären. Al 0 chauen wir un die Kräfte an, die von den Stangen auf das Gewicht au geübt werden. Der Grund \ arum ich da für mich elb t wiederhole, i t der, da ich on t alle Vorzeichen dur beinander bringen würde: Die Kraft die von dem Gewicht auf die Stangen au geübt wird. i t da Gegenteil der Kraft. die von den Stangen auf das Gewicht au geübt ird. Ich mu immer wieder on neuem anfangen, nachdem ich alle durcheinander gebracht habe. Ich mu e mir wieder durch den Kopf gehen la en und nUch en cheiden, über wa ich prechen will. Al 0 age ich: ,.Schauen Sie ich die Kräfte an, die wn den Stangen auf das Gewicht au geübt werden: E gibt eine Kraft F, die in die Richtung einer Stange gerichtet i L Dann gibt e eine Kraft F', die in die Richtung der anderen tange verläuft. Da ind die beiden einzigen Kräfte und ie verlaufen in die Richtungen d r Stangen. etDie ettokraft die er beiden Kräfte - ahhhh! Jetzt geht mir ein Li ht auf. Di tokraft die er beiden Kräfte hat keine horizontale Komponente und ein ertikal Komponente von 196 ewton. Aha! La en Sie mich die Zeichnung noch iomaJ mach n, denn orhin habe ich ie fal ch gezeichnet ( iehe Abbildung 1-18 .

rtikalen Die horizontalen Kräfte gleichen ich au , de halb addieren ich die Komponenten und die 19 6 ewton ind nicht nur die ertikale Komponente der on einer Stange au geübten Kraft ondern die von beiden Stangen au geübte G amtkraft. Da beide tangen jeweil die Hälfte dazu beitragen b trägt di on der tange mit der Rolle au geübte ertikale Komponente nur 9 8 ewton. enn wir jetzt die horizontale Projektion die er Kraft nehmen und ie wie zu or

mit

3

4: multiplizieren, erhalten wir die horizontale Komponente der

on d r tange mit

23

1-10 Triangulation

-F'

Abbildung 1-18: Die on beiden Stangen auf da Gewicht ausgeübte Kraft und die auf die Rolle und da Gelenk au geübten Kräfte.

der Rolle auf da Gewicht au geübten Kraft und somit haben wir alles berück ichtigt:

03

= 04 03 ... F x = 04 ·9 8 = 7,35 e ton.

(1.21)

1-10 Triangulation Mir bleiben no h ein paar Augenblicke, de halb möchte ich ein paar Sätze zum Verhältni d r Mathematik zur Ph ik agen - da in der Tat durch die e kleine Bei piel gut eran haulicht urde. E geht nicht darum ich die Formeln einzuprägen und ich elb t zu agen: ,Ich kenne alle Formeln. Jetzt brauche ich nur noch herau zufinden wie ich ie in di Aufgabe ein etzen mu !' un, eine Zeit lang haben ie damit i lIeicht Erfolg und je mehr Sie daran arbeiten, ich die Formeln einzuprägen de to länger werden Sie mit die er Methode arbeiten - ab r ir end ann wird damit nicht mehr klappen. ie könnten agen: I h glaube ihm nicht, denn e hat bei mir immer geklappt: Ich hab da immer 0 gemacht, ich werde e weiter 0 machen."

24

1 Grundlagen

Sie werden nicht immer 0 weitermachen, sie werden Misserfolge haben - nicht diese Jahr, nicht näch tes Jahr, aber eine Tages, wenn Sie einen Job bekommen oder o etwa, werden Sie aufgeben, denn die Phy ik i t ein enorm umfas ende Thema: E gibt Millionen on Formeln! E i t unmöglich, alle Fonneln zu behalten i t unmöglich! Und die große Sache, die Sie ignorieren, die mächtige Ma chine die Sie nicht nutzen, i t Folgende: Tehmen wir 'In, Abbildung 1-19 ist eine Karte aller Ph ikfonneln, aller Relationen in der Ph ik. (Sie sollte eigentlich mehr al zwei Dirnen ionen haben. aber nehmen wir an ie ieht 0 au .)

* *

* *

*

*

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*

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*

*

* *

Abbildung 1-19: Imaginäre Karte aller Phy ikformeln.

ehmen wir nun an, etwa i t mit Ihrem Ver tand ge chehen, irgendwie wurde da gesamte Material in einer be timmten Hirnregion gelö cht und an einer Stelle fehlt etwa ,Masse". Die Zu arnmenhänge in der atur sind 0 chön, da e durch Logik möglich i t, au dem Bekannten "durch Dreiecke zusammenzu etzen' oder zu ..triangulieren " wa ich in dem Loch befindet ( iehe Abbildung 1-20).

Abbildung 1-20: Verge ene Fakten können wieder rekon truiert werden, indem man au bekannten ten Dreiecke zu ammen tzt oder trianguliert".

k-

/-10 TriaJ1gularion

25

Und Sie können die Ding, die Sie verge sen haben, für immer rekon truieren wenn Sie nicht zu iele erge en haben und wenn Sie genug wi en. Mit anderen Worten e wird eine Zeit kommen - die e Stadium haben Sie jetzt noch nicht erreicht -, in der Sie 0 iele Dinge wi sen, da Sie ie, wenn Sie sie verge sen, au den tücken, die ie noch im Gedächtnis haben, rekon tmieren können. Es ist daher äußer t ie wi en wie man Dinge "trianguliert" - d.h. zu wis en, wie man etwas wichtig da au Fakten, die man bereit kennt herausfindet. Das ist absolut notwendig. Sie könnten agen: Ach da intere iert mich nicht. Ich kann mir Dinge gut merken! Ich weiß, wie man ich etwas \ irklich einprägt! Ich habe agar einen Kurs in Gedächtnistraining gemacht!" Da wird auch nicht funktionieren! Denn Phy iker ind - sowohl für die Entdeckung neuer aturgesetze, al auch für die Entwicklung neuer Dinge in der Indu trie und 0 weiter - nicht dazu da über bereit bekannte Dinge zu reden, sondern etwa Neues zu tun. nd de halb triangulieren sie au bekannten Tat achen: Sie führen "Triangulationen durch die nie"mand jemals zuvor genw.cht hat (siehe Abbildung 1-21).

*

**

*

* *

* *

Abbildung /-21: eue Entdeckungen werden von Physikern gemacht, die au bekannten Tat achen zu bi dahin unbekannten Fakten ,triangulieren .

m da zu lernen mü en Sie da Einprägen von Formeln verges en und ver uehen zu lernen die We hseLbeziehungen in der Natur zu verstehen. Da ist am Anfang ziemlich" chwierig, aber e i t der einzig eifoLgreiche Weg.

2 Naturgesetze und Intuition Wiederhohmgs\ orie ung B Letzte Mal haben wir über die Mathematik ge prochen, die Sie für die Ph sik brauchen und ich habe darauf hingewie en, da man sich Gleichungen al Werkzeug merken aHte, da e aber keine gute Idee i t sich alles merken zu wollen. Auf lange Sicht ge eh n i t e unmöglich, alle au wendig zu lernen. Das heißt nicht, da man gar nicht au wendig wi en ollte - an je mehr Sie ich erinnern, desto be er in gewi er Hin icht -, aber ie oHten alle ,wa Sie verge en haben, rekonstruieren können. Wa übrigen die Tat a he angeht, dass Sie ich plötzlich unter dem Durch chnitt wied r fanden, al Sie an Caltech kamen (wir haben letztes Mal darüber ge prochen), i t Folgende zu agen: Wenn Sie e irgendwie chaffen, au der unteren Hälfte de Kurses hinau zukommen, dann i t jemand anderer der Unglückliche, weil Sie damit jemand anderen in die untere Hälfte zwingen! E gibt allerdings einen Weg, wie Sie niemand n b lä tigen: Finden und erfolgen Sie etwa lntere ante, da Ihnen Freude macht. Auf die e ei werden Sie in orübergehender Experte für irgendein Phänomen über da Sie mal etwas gehört haben. Damit können Sie sicb vor dem ntergang retten - und ie können immer agen: aja wenig ten wi en die anderen gar nichts über dieses Thema!'

2-1 Die phy ikali ehen Gesetze So, in die er iederholung orIe ung werde ich über die phy ikali chen Gesetze prechen. Dazu mü n ir er t einmal erklären, was da ist. Wir haben ie bi jetzt in den Vorle ungen oft in orten au gedrückt und e i t chwierig, alle noch einmal ohne den Iben Zeitaufwand zu wiederholen. Aber man kann die phy ikali ehen Ge etze auch mithilfe einiger Gleichungen zu ammenfa en und die werde ich jetzt ich Ihr Mathematikkenntni einzwischen 0 weit an chreiben. (Ich nehme an, da entwickelt haben da Sie die Schreibwei e auf Allhieb ver tehen können.) Die folgenden Gleichungen beinhalt n alle phy ikali ehen Ge etze die Sie kennen oIlten. Al Er te :

dp

F=-. dl

(2.1)

28

2

aturgeset-e lind Intuition

Da bedeutet, das die Kraft F identi ch i t mit dem Maß der Änderung de Impul p in Abhängigkeit der Zeit. (F und p ind Vektoren. Die Bedeutung der S mbole mü ten Sie mittlerweile kennen.) Ich möchte darauf hinwei en, da man bei jeder physikalischen Glei hung i en muss, für was die Buchstaben tehen. Sie ollen aber nicht agen:" ch ja. p kenne ich, da teht für da Produkt au Ma se in Bewegung und Ge ehwindigkeit oder au ruhender a e und Ge chwindigkeit geteilt durch die Quadratwurzel on I minu u geteilt durch c zum Quadrat ':"

(2.2

Stattde en ollten Sie ph sikalisch ver tehen wofür p steht, und dafür mü en ie wi en, da s p nicht einfach "der Impul ist, sondern der Impul on etwas - der Impul eines Massenpunhes, de en Ma e mund de en Ge chwindigkeit i 1. Und in Gleichung (2.1) i t F die Ge amtkraft - die Vektorsumme aller Kräfte. die auf dieen Ma enpunkt au geübt werden. ur dann können Sie die e Gleichungen wirklich ver tehen. Hier nun ein weitere phy ikali ehe Gesetz, da Sie kennen oIlten, und zarder Impul erhaltung atz:

I

Pnachher

=

Z

(2.3)

P,'orher .

~\IIassenpunkte

Massenpunkte

Der Impul erhaltung atz be agt, da der Ge amtimpul immer eine Kon tame i t. Was bedeutet da phy ikali eh? Bei einem Stoß heißt da z.B., das die umme d r Impul e aller Ma enpunkte vor einem Stoß mit der Summe der Impul e aller a enpunkte nach dem toß identi eh i t. In der relativi ti ehen elt können ieh die Ma senpunkte nach dem StoB erändert haben - Sie können neue a enpunkte chaffi n und alte zer tören - aber die Au age da die Vektor umme der Ge arntimpul e aller Ma senpunkte vorher und nachher gleich i t, gilt nach wie or. Da näeh te physikali ehe Ge etz da atz, hat die elb Form:

I

npunkte

Enachher

=

L

ie kennen olIten d r Energieerhaltung -

Euorher'

(2.4)

Massenpunkte

Das bedeutet, da die Summe der Energien aller Mas enpullkte \ or einem toß identi eh mit der Summe der Energien aller .as enpunkte nach dem Stoß i t. Damit ie ·u = [vi i t die Ge hwindigkeit de Massenpunkte und c i t die Lichtge chwindigkeit.

29

2-2 Die nichtrelativistische äherung

die e Form I anwenden könn n, mü en Sie wi en, wie groß die Energie eine Maenpunkte i t. Die Energie eine Ma enpunkte mit der ruhenden Masse m und der Geschwindigkeit v i t

(2.5)

2-2 Die niehtrelativisti ehe Näherung So das sind die in der relati i ti chen Welt geltenden Gesetze. [n der nichtrelativi ti chen Näherung - d.h. wenn wir Ma enpunkte bei im Verhältnis zur Lichtge chwindigkeit kleiner Ge chwindigkeit betrachten - gibt e einige Spezialf31le der Ge etze die ich eben genannt habe. Beginnen wir mit dem Impuls bei kleinen Geschwindigkeiten. Da ist einfach: ..../1 - v2 /c 2 i t näherung wei e 1 0 da die Gleichung (2.2) zu

p=m

(2.6)

wird. Da heißt, da man die Ponnel für die Kraft, F = dp/dt, auch al F = dem )/dt . chr iben kann. Wenn wir dann die Kon tante m voran tellen, ehen wir da die Kraft bei kJeinen Ge chwindigkeiten gleich dem Produkt au Masse und Be chleunigung i t:

=

dp dt

=

d(mv) df

d

=m.- =ma.

(2.7)

dt

Der lmpul [haltung atz für Ma senpunkte bei kleinen Ge chwindigkeiten hat dieeibe Form wie die Gleichung (2.3) außer da die Formel für den Impul p = 111 i t (und alle Ma en kon tant ind):

I Mas npunkle

(m )Ila hher

=

I

(m )vorher'

(2.8)

Mas enpunkte

Der Energieerhaltung atz bei kl inen G chwindigkeiten be teht jedoch aus zwei Geetzen: Er ten i t die Ma se jede Mas enpunktes kan tant - man kann kein Material

2

30

aturgeset-e und Intuition

1

er ehaffen oder zer tören - und zweitens i t die Summe der 2 kineti ehe Energie Ekin ) aJler Ma senpunkte konstant:*

mu-,

(die ge amte

mllachher ::: mvorher

I

(~mv2) 2

Ma.-!.enpunkte

I llaclJher

Mas enpunkte

(~mu2) 2

vorher

Wenn wir uns große Alltag gegen tände al Mas enpunkte mit kleinen G chwindigkeiten vor teIlen - wie z.B. einen A chenbecher -, dann i t der atz. da die umme der kinetischen Energien vorher gleich der Summe nachher i t, nicht \ ahr. eil einige

der kineti ehen Energien

GmU')

der Ma enpunkte im Inneren der G g n lände in

Form on innerer Bewegung - z.B. Wärme - vermi chr ein können. omit heint die e Ge etz beim Stoß zwi ehen großen Körpern zu ver agen. E gilt nur für EI mentarteilchen. atürlich kann e bei großen Körpern pa ieren, das nicht" iel Energi in die innere Bewegung gebt, 0 da der Energieerhaltung atz näherul1gswei e ahr i t. Da nennt man dann einen näherungswei e elastischen Stoß - manchmal ideaJi iert al ideal elastischer Stoß. Energie i t aJ 0 viel chwieriger im Auge zu behalten al der Impul , weil der Energieerhaltung atz beim unela ti chen Stoß großer Körper, Je Gewichte und Ähnliche, nicht wahr ein mu .

2-3 Bewegung mit Kräften Wenn wir jetzt einmal nicht einen Stoß, ondem eine B wegung b trachten, b i d r Kräfte wirken, dann erhalten wir al Er te einen Satz, der be agt d di .. nderun der kinetischen Energie eine a enpunkte identisch mit der an ihm on den Kräften verrichteten Arbeit i t: 6Elcin

:::

6.W

.10

Denken Sie daran. da das etwa bedeutet - ie mü en wi en wa die B ueh taben bedeuten. E bedeutet: enn ich ein Ma enpunkt unter Ein irkung einer aft F 'Die Beziebung zwi ehen der kineti hen Energie eine Massenpunkte und

iner (relativi ti hen) Gesamtener-

gie kann man leicht erkennen. wenn man die ersten heiden Tenne der Taylor-Enrwi klung \on 1/-.11 - l~ lel in die Gleichung (_.5 einsetzt: I ---=1

VI - xl

?

E=

"I-

mc-

') = mc- (I '+) IJ 12c-

... )

tl/Cl

')

:::: mc-

I

')

2" miT

=Ruheenergie + Elcin (für v «

c).

2-3 Beu'egul1g mit Kräften

auf einer Kur e Ge amtkraft i

1.

31

on A nach B bewegt, wobei F die auf den Ma enpunkt au geübte 1 und Sie wi en wie groß 2 mu 2 des Ma enpunkte im Punkt A und

im Punkt B j t, dann unter cheiden ich die kineti ehen Energien durch da Integral von F. ds on na h S, wobei ds ein Inkrement de Wege entlang S i t ( iehe Abbildung 2-1 .

E kin

1 1 ') mus - - mu2 2

=-

(2.11 )

und B

W=JF'd.

(2.12)

A

In be timmten Fäll n kann die e Integral ganz leicht und chnell berechnet werden weil die auf den a enpunkt au o-eübte Kraft nur einfach vom Ort de Ma senpunkte abhängt. nt r solchen Umständen können wir chreiben, da die an dem Ma senpunkt erri htete Arbeit identi ch i t mit der Änderung einer anderen Größe die wir potenzielle Energie EPOI' nennen. olche Kräfte bezeichnet man al "kon ervativ": ßW = -

Epol

bei einer kon ervativen Kraft F) .

(2.13)

'A

I

B

Abbildung 2-1: 2:1 mus1 - 2:1 111 VA.,

=

F· ds.

A

Die Wort die wir in der Physik benutzen ind übrigen chrecklich: "kon ervati e Kräfte bedeutet nicht da die Kräfte kon er i rt werden oder erhalten bleiben, ondem da die Kräfte 0 be chaffen ind, da die Energie der Körper, an denen die

32

2

Kräfte Arbeit errichten. erhalten bleiben kann: E zu aber ich kann es nicht ändern. Die Gesamtenergie eine Ma enpunkte einer potenziellen Energie:

t ehr verwirrend. da gebe i h

t die Summe au

einer kineti hen und

2.14 Wenn nur kon ervati e Kräfte wirken, ändert ich die Ge amtenergie eine punkte nicht:

!J.E

= tJ.Ekjn + Mpot = 0

(bei konservativen Kräften).

(2.15)

Wenn aber nichtkonservative Kräfte wirken - Kräfte, die in keinem Potenzial nthalt n ind - dann ist die Änderung der Energie eine Ma enpunkte gleich der on die eo Kräften an ihm errichteten Arbeit:

!1E = tJ. W

(2.16)

(bei nichtkonservativen Kräften).

So, diesen Teil der Wiederholung werden wir mit der Angabe aller bekannt n Reg In für die er chiedenen Kräfte beenden. Aber zuvor gibt e noch eine ehr nützliche Fonnel für die Be chleunigung: enn ich zu einem gegebenen Zeitpunkt ein Körper auf einer Krei bahn mit dem Radiu r mit der kan tanten Ge chwindigkeit v bewegt, i t eine Be chleunigung zum ittelpunkt hin gerichtet und ihr Betrag i t identi ch mit (iehe bbildung 2-2). Das

v,r

Abbildung 2-2: Ge chwindigkeit - und Be chleunigung vektor bei einer Krei bewegung mit

n tanter

Ge chwindigkeit.

-Eine Kraft wird al konservativ definiert, wenn die ge amte Arbei 4 die ie an einem npunkt \'em hlet. der i h von einem Ort zu einem anderen bewegt, gleich i t, und zwar unabhängig von der Bahn, ur der i h der Mas enpunkt bewegt - die gesamte verrichtete Arbeit hängt nur von den Endpunkten der Bahn ab. Die \'on einer leon rvativen Kraft vem htete Arbeit an einem Mas enpunkt, der ich aur einer ge chI nen Bahn bewegt (al einer Bahn, die dort endet, wo je anfängt), j t immer null. Siehe Band I der Feynmoll- \0rie ungen tiber Phy ik. b hnin 14.3.

2-4 Kräfte und ihre

Poten~iale

33

hat eigentlich nicht mit dem zu tun. worüber ich gerade gesprochen habe, aber die e Formel prägt man ich b er ein weil e nervig ist, ie herzuleiten: *

v2

lai =-.

(2.17)

r

Tabelle 2-1

Immer wahr

Im Allgemeinen fal ch (nur bei kleinen Geschwindigkeiten wahr)

F = dp

F=ma

Kraft Impul

p=

Energie

E=

dt m

~l -

p = mv

2 2 V /C

111C

2

..jl - v2 /c 2

Tabelle 2-2

en Kräften

Wahr bei nichtkonservativen Kräften

ßEPOI = -öW

E po1 ist nicht definiert

ßE = ßEl;jn + I1Epol = 0

I1E

Definitionen: Killeti Ire Energie Ekin =

~ mi;

Arbeit W

=

= I1W

J

F-ds.

2-4 Kräfte und ihre Potenziale Jetzt zurück zum eig ntlich n Thema: Ich werde eine Reihe von Gesetzen über er chiedene Kräfte und die Formeln für ihr Potenziale auflisten. Bei der er ten Kraft handelt e ich um die Gravitation kraft nahe der Erdoberfläche. Die Kraft i t nach unten geri htet dabei piett das Vorzeichen keine Rolle. Pas en Sie nur auf elche Rjchtung die Kraft hat, denn wer weiß, wie Ihre Ach en erlaufen - vielleicht wählen Sie die z-Ach e nach unten gerichtet! (Das dürfen Sie!) Al 0 i t die Kraft -mg und die potenzielle Energie i t mg , wobei m die Ma e eine Körper, 9 eine Kon tante (die FaHbe hleunigung an der Erdoberfläche - on t wäre die Formel nicht 0 gut! und z die Höhe über dem Boden oder einem anderen iveau i 1. Da heißt da der ert der potenziellen Energie an jedem beliebigen Ort null ein kann. Wir werd n un hier mit den Änderungen der potenziellen Energie be chäftigen - und dann macht e natürli h k inen Unter chied, ob man eine Kon tante addiert. • iehe Band I der FeYlllllGIl- Vorlesllngen über Physik, Ab chnill 11.6.

2

34

aturgeset-e wzd Intuition

Tabelle 2-3

Kraft

Potenzial

Gravitation kraft nahe der Erdoberfläche

-mg

rng-

Gra itation kraft zwi chen Mas enpunkten

-Gm,m2/ r

? ')

- Gm lm1/ r

Elektri che Ladung

q,Q2/ 4TrEo"-

ql q1/ 4TrEor

Elektri che Feld

qE

qdJ

Ideale Feder

-kx

~k_1

Reibung

2 'ein!

Die näch te Kraft i t die Gravitation kraft im Raum zwi chen a enpunkten. Diese Kraft i t zentral gerichtet und proportional zu dem Produkt au der einen a e und der anderen Ma e di idiert durch den Ab tand zwi hen den beiden zum Quadrat, -mm' /? oder -mlm2/r2 oder wie Sie e auch immer chreiben oll n. E i t be er, ich einfach die Richtung der Kraft einzuprägen an tatt ich Gedanken über das orzeichen zu machen. ber eine mü en Sie sich merken: Die Gra itation kraft nimmt mit dem umgekehrten Quadrat de Ab tande zwi chen den a enpunkten ab. (Aber wie sieht da Vorzeichen aus? un gleiche Vorzeichen ziehen i h unter dem Einflu der Gravitation an, al 0 i t die Kraft dem Radiu vektor entgegen gerichtet. 0 z igt, da ich mich nicht an das Vorzeichen erinnern kann, ich weiß nur phy ikali eh. um welches Vorzeichen e ich handelt: Die a enpunkte ziehen ich an - das i t aJl , was ich wi en mu .) Die poten::.ielle Energie zwi ehen zwei a enpunkten i t -Gmlm2/r. Ich tue mt h chwer damit, mir zu merken in welche Richtung die potenzielle Energi gerichtet enpunkte verlieren potenzielle Energie, ~ enn ie zu ammen i 1. al ehen: Die kommen. Da bedeutet, enn r kleiner i t, ollte die potenzielle Energie geringer in, also i t ie negativ - ich hoffe, da timmt! Ich habe 0 meine S h ierig eit n mü d n orzeichen. Bei der Elektrizität i t die Kraft proportional zum Produkt der Ladungen q I und q1, dividiert durch da Quadrat de Ab tande zwi chen ihnen. Die Proportionalität kontante wird allerding nicht (wie bei der Gravitation kraft) in den Zähl r ge hri b n, ondem al 4TrEQ in den enner. Die elektri che Kraft i t radial au g ri htet i die Gra itation kraft, ie verhält ich aber nach dem entgegenge etzten orz ichen e tz: Gleiche orzeichen stoßen sich elektri eh ab und de halb hat die elektri he pot nzielle Energie da entgegenge etzte Vorzeichen der potenziellen Energie a1 F 19 d r Gra itation. Dann i t allerding die Proportionalität kon tante nicht gl ich: 1/4lrEQ antatt G.

35

2-5 Physik lernen dur h Beispiele

Einige fachliche Punkte au den Ge etzen der Elektrizität: Die auf q Ladungseinheiten au geübte Kraft kann al Produkt au q und dem elektrischen Feld, qE geschrieben werden. Die Energie kann man al Produkt au q und dem elektri ehen Potenzial qep, chreiben. Hier i tE ein Vektorfeld und ep ein Skalarfeld. q wird in Coulomb gemes en, ep in Volt, wenn die Energie. wie normalerwei e üblich, in Joule angegeben i t. Wenn wir nach der Formeltabelle weitergehen, haben wir als äch tes eine ideale Feder. Die Kraft, um eine ideale Feder bi zu einer Au lenkung x au einander zu ziehen, i teine Kon tante k mal x. Jetzt mü sen Sie natürlich wieder einmal wi en, wa die Buch taben bedeuten: x i t der Weg, um den Sie die Feder au ihrer Gleichgewicht lage ziehen, und die Kraft zieht sie einen Weg -kx zurück. Ich habe da Vorzeichen dazuge etzt, weil ich damÜ ausdrücken will dass die Feder zurückzieht. Sie wi en erdammt genau, da eine Feder einen Körper zurückzieht und nicht noch weiter weg chiebt wenn ie daran ziehen. So, die potenzielle Energie ist

~ kJ? 2

Wenn Sie

eine Feder au einanderziehen, errichten Sie Arbeit an ihr. Deshalb ist, wenn die Feder au einandergezogen i t, die potenzielle Energie po itiv. Also ist die Sache mit dem Vorzeichen einfach - wenig ten bei der Feder. Sehen Sie, Einzelheiten ie die Sache mit den Vorzeichen, die ich verge en habe ver uche ich, durch Argum nte zu rekon truieren. So erinnere ich mich an a11 die Dinge, an di ich mich nicht erinnere. Reibung: Die Reibung kraft auf einer trockenen Oberfläche beträgt -J1N. Und wieder müs en Sie i en, wa die S mbole bedeuten: Wenn man einen Körper auf einer Fläche chiebt, und zwar mit einer Kraft deren Komponente enkrecht zu der Fläche N gerichtet i t, dann i t die Kraft, die erforderlich i t damit der Körper weiter entlang der Fläche gleitet, J1 mal . Sie können leicht herau finden welche Richtung die Kraft hat. ie i t der Richtung in der Sie chieben entgegen gerichtet. un teht in der Spalt Potenzial' bei der Reibung in Tabelle 2-3 ein ein. Bei der Reibung bleibt die Energie nicht erhalten und de halb gibt e bei der Reibung keine Formel für die potenzielle Energie. Wenn Sie einen Körper entlang einer Fläche in eine Richtung chieben, errichten Sie Arbeit. Wenn Sie ihn dann zurückziehen, verri hten Sie i der rbeit. Wenn Sie einmal durch sind, tellen Sie fe t, da Sie nicht ohne Änderung der Energie durchgekommen ind. Sie haben Arbeit verrichtet und de halb hat die Reibung keine potenzielle Energie.

2-5 Phy ik lernen durch Beispiele Da ind alle R geln, die ich al notwendig in Erinnerung habe. So, nun agen Sie: ,Da i t ja einfach: Ich präge mir einfach die verdammte Tabelle ein und dann bin ich perfekt in Phy ik.' 0 funktioniert e nicht.

36

?

Am Anfang kann etat ächüch ganz gut funktionieren, aber e wird immer chwieriger, wie ich in Kapitell chan erkJärt habe. De halb mü en wir al äch te lernen, wie man die athematik auf phy ikali che Aufgaben anwendet, damit ir die Welt er tehen. Die Gleichungen behalten für un die .. ber icht, de halb benutzen \ ir ie a1 Werkzeuge. Aber damit wir das können, mü sen wir wi en, wovon die Glei hungen handeln. E i t wirklich ehr chwierig, jemandem beizubringen wie man neue Dinge au alten herleitet und wie man Aufgaben lö 1. Ich weiß nicht, wie man da macht. Ich \l eiß nicht, wie ich Ihnen etwa erzählen oll da au Ihnen, einem en ch n der neue Situationen nichT anal ieren oder Probleme nicht lö en kann, einen en chen macht. der da alle kann. In der athematik kann ich au Ihnen der ie nicht differenzier n können, jemanden machen, der das kann indem ich Ihnen alle Regeln nenne.ber wa die Phy ik betrifft, da kann ich au Ihnen, der etwa nicht kann, nicht jemanden machen, der etwa k.ann. Daher weiß ich nicht was wir machen ollen. allerding Denn ich ver tehe intuitiv, wa phy ikali ch vor ich geht, ich finde chwierig da zu ermitteln: Ich kann Ihnen höch ten Bei piele zeigen. De halb erden der Re t die er arIe ung und die näch te au dem Durchführen on ielen kleinen Bei pieten be tehen - Anwendung bei piete, Phänomene au der ph ikali chen oder indu triellen Welt, phy ikah che Anwendung bei piele an er chiedenen teilen -. um Ihnen zu zeigen, wie das was ie chan wi en, Ihnen da Ver lehen oder die nal der Vorgänge ennöglichr. ur durch die Bei piele werden ie e kapieren. Wir haben iele alte Texte mit alter Baby ton i eher Mathematik gefunden, unter anderem auch eine groBe Bibliothek oll mit Mathematik-Arbeit büchern für tudenten. Und das i t ehr intere ant: Die Babyionier konnten quadrati eh Gleichungen lö en. Sie hatten ogar Tabellen zum Lö en on Gleichungen dritten Grade. ie konnten Dreiecke bearbeiten iehe Abbildung 2-3), ie konnten alle möglichen Dinge machen, aber ie haben nie eine algebrai ehe Formel aufge chrieben. Die alt n Bab 10-

Abbildung 2-3: Pythagorei ehe Tripel auf der Tafel Plimpton 322, etwa 1700 . hr.

2-6 Phy ik physikalisch verstehen

37

nier kannten keine eth de für da Auf chreiben von Formeln. Stattde en machten ie ein Bei piel nach dem anderen - da i t alle . Man meinte, dass man ich Bei piele an chauen ollte, bi man e kapiert hatte. De halb besaßen die alten,Babylonier nicht die Fähigkeit da in mathemati cher Form auszudrücken. Heute be itzen ir nicht die Fähigkeit, einem Studenten zu zeigen, wie er Phy ik physikalisch ver tehen kann! Wir können die Gesetze aufschreiben aber wir können immer noch nicht agen wie man ie phy ikali eh ver teht. Mangels einer Au druck möglichkeit i t der einzige eg, Phy ik phy ikali eh zu verstehen, auch heute noch der langwei lige, Bab loni ehe Weg, viele Bei piele zu machen, bis man e kapiert hat. Da i t alle wa ich für Sie tun kann. Die Studenten, die es in Babylonien nicht kapiert haben, ind durchgefallen, und die Typen, die es kapiert haben, sind ge torben. Al 0 kommt alle auf GI iche herau ! So nun ver uchen wir e .

2-6 Phy ik physikali eh ver tehen Die er te Aufgabe au Kapitel] hatte viel mit physikalischen Dingen zu tun. Wir hatten zwei Stangen eine Rolle ein Gelenk und ein Gewicht -2 kg glaube ich. Da geometri che Verhältni der Stangen war 0,3, 0,4 und 0,5 und die Aufgabe war herau zufinden, wie groß die horizontale Kraft P an der Rolle sein mu um das Gewicht oben zu halten, wie in Abbildung 2-4 darge teilt. Wir mu ten etwas herumprobieren (tat ächlich mu te ich die Aufgabe zweimal machen, bevor ie richtig gelö t war), aber wir fanden herau da die auf die Rolle au geübte horizontale Kraft einem Gewicht on 3/4 kg ent prach wie in Abbildung 2-5 darge teIlt. un lö en Si ich mal on den Gleichungen und denken Sie etwa darüber nach, krempeln Ihre Ärmel hoch und chütteln Ihre Arme au und dann können Sie beinahe

I I I 0.4 m Rolle

p

I

Gelenk

I 0.3 m

Abbildung 2-4: Die einfache Ma chine au Kapitell.

---

2

38

3 4

l.:I

g

ko e

I kg

1.:I

1

ko e

4

kg

Abbildung 2-5: eneilung der Kraft vom Gewicht durch die Stangen auf die Roll und das Gelenk.

verstehen. wie die Antwort lauten wird - ich kann e zuminde t. Ihnen beibringen, wie da geht.

nd jetzt mu

ich

Sie könnten agen: "Die von dem Gewicht au geübte Kraft erläuft direkt na h unten und ent pricht _ kg und das Gewicht wird gleichmäßig auf z ei Beine erteilt. De halb mu die on jedem Bein au geübte vertikale Kraft 0 groß in, da ie 1 kg oben halten kann. Die ent prechende auf jede Bein au geübte horizontale Kraft mu der Anteil der ertikalen Kraft ein der nur dem Yerhältni horizontal zu ertikal in die em rechtwinkligen Dreieck - 3 zu 4 - ent pricht. Oe halb ent pri ht die auf die Rolle au geübte horizontale Kraft 3/4 kg Gewicht - Punkt. ' un, las en Sie un mal ehen, ob da Sinn macht: Wenn die RoHe entlich näher an da Gelenk herange choben würde 0 da der Ab tand zwi ehen den Beinen we entlieh kleiner wäre, würde ich ent prechend die er Idee e arten, da eine we entlieh geringere Kraft auf die Rolle ausgeübt würde. Stimmt e ,da die auf di Rolle au geübte Kraft gering i t, wenn ich da Gewicht gaaaanz eit oben b find t? Jawohl! (Siehe Abbildung 2-6).

F

F

Abbildung 2-6: Die auf die Rolle au geübte Kraft änden ich miL der Höhe de Ge\ icht .

39 Wenn i e nicht erkennen können, i t e chwer zu erklären, warum da 0 ist - aber wenn i z.B. er u hen, etwas mit einer Leiter hoch zu halten, und Sie die Leiter direkt unter die e Etwa teIlen i te kein Problem, die Leiter am Wegrut chen zu hindern. Aber wenn die Leiter ein Stück weiter weg in ein m be timmten Winkel angelehnt wird, i te erdammt chwierig, da Etwas oben zu halten! Wenn Sie sich gaaanz weit nach außen bewegen . 0 da der Ab tand zwi chen dem oberen Ende der eiter und dem Boden ganz klein i t, werden Sie in der Tat herau finden dass eine nahezu unendliche h rizontale Kraft erforderlich ist, um das Etwa in einem ehr flachen Winkel oben zu halten. Alle di e Dinge können Sie fühlen. Sie mü sen ie nicht fühlen. Sie können sie durch da Anfertigen on Zei hnungen und durch Berechnungen erarbeiten. Aber da die Aufgaben immer chwieriger werden und da Sie versuchen, die atur in immer komplizierteren Situationen zu ver tehen ind Sie wesentlich be er dran, je mehr Sie vermuten, fühlen und er tehen können, ohne tatsächlich zu rechnen! Da sollten Sie beim Bearbeiten der er chiedenen Aufgaben er uchen zu üben: Wenn Sie irgendwie Zeit haben und Sie die Antwort nicht für ein Quiz oder so etwa finden müssen, schauen Sie ich die Aufgab an und er uchen Sie, ob Sie die Art und Wei e ver tehen wie ich die Aufgabe chär-ungsweise erhält, wenn Sie einige der Zahlen ändern. ur weiß ich nicht wie man erklärt, wi man da machen soll. Ich erinnere mich an einen Fall al ich er ucht habe, jemanden zu unterrichten, der sehr viele Probleme im Phy ikkur hane. obwohl er gut in Mathematik war. Ein gutes Bei piel war folgende Aufgabe, die er nicht lö en konnte: "Ein rund r Ti ch hat drei Beine. An welcher Stelle ollte man ich auf den Ti eh lehnen damit die er eine in tabilste Po ition einnimmt?" Die Lö ung de Studenten lautete: Wahr cheinlich oben auf eine der drei Beine, aber mal ehen: I h berechne, welche Kraft welche Hubkraft an verschiedenen Stellen erzeugt und 0 eiter. Dann habe ich ge agt: "La en ie mal da Rechnen bei eire. Können Sie ich einen realen Ti ch vor teilen. ,Aber

0

oll man e da h nicht machen!'

"Egal wi man e machen oll. Sie haben hier einen realen Ti eh mit ver chiedenen Beinen ehen ie? un, wo glauben Sie, würden Sie ich auflehnen? Wa würde pa ier n, wenn ie direkt über einem Bein nach unten drücken würden? ' " ieht! Ich age: Da timrnt. nd wa pa iert wenn ie nahe der Kante mitten zwi zwei Beinen nach unten drü ken?'

hen

,Er kippt um!"

Ich age: Gut! Da hört ich be er an! Der Pun ti t da der tudent nicht erkannt hatte da da nicht einfach mathemati ehe Aufgaben teilungen aren. E wurde ein realer Ti ch mit Beinen beschrieben.

40

2

Tat ächlieh war e kein realer Tisch, weil er vollkommen rund ar. die Beine gerade waren und 0 weiter. Aber er be chrieb näherungsweise, grob gesagt, einen realen Ti eh. nd wenn man weiß, wie ich ein realer Ti ch erhält kann man ich ehr gut vorstellen, wie ich dieser Ti ch verhält, ohne da man irgendwelche Rechnungen anteIlen mu - Sie wis en verdammt gut, an welcher Stelle Sie ich auflehnen mü en. damit der Ti ch umkippt. Ich habe keine Ahnung, wie man da erklärt. Aber wenn ie einmal kapiert haben, da e keine mathemati ehen, sondern phy ikalische Aufgaben teilungen ind, i t da chon ehr hilfreich. Jetzt werde ich diese Herangehen wei e bei einer Reihe on ufgab n an enden: Zuer t bei der Konstruktion von Maschinen, zweiten bei Be egungen on Satelliten, dritten beim Raketenantrieb, vierten bei Strahlenanaly atoren und dann. enn noch Zeit i t, beim Zerfall von Pionen und bei ein paar anderen Dingen. Alle die e ufgaben ind ziemlich chwierig aber ie veran chaulichen im weiteren Verlauf er chiedene Punkte. So, nun schauen wir mal, wa pa iert.

2-7 Eine Aufgabe bei der Kon truktion von Maschinen Beginnen wir mit der Kon truktion von Ma chinen. Hier i t die ufgabe: Zwei drehbare Stangen. jeweil einen halben Meter lang, tragen ein Ge icht on 2 kg kommt Ihnen bekannt or oder? - und auf der linken eite wird eine Rolle durch einen Meehani mu mit einer kon tanten Ge chwindigkeit on 2 m pro ekunde 0[und zurückbewegt. OK? Die Frage für Sie lautet: " Wie groß ist die dafür erforderLiche Kraft, wenn sich das Gewicht in einer Höhe von 0,4 m befindet?" (Siehe bbildung 2-7.)

0.3 m

Abbildung 2-7: Die einfache

aschine in Bewegung.

Sie könnten denken: "Da haben wir chon gemacht! Die horizontale Kraft di erforderlich i t um das Gewicht au zugleichen beträgt 3/4 on 1 kg Gewicht.

2-7 Eine Aufgabe bei der Konstruktion von Maschinen

41

Aber i hage: , Die Kraft beträgt ni ht 3/4 kg, weil ich das Gewicht bewegt." Sie könnten entgegnen: , enn ich in Körper bewegt, ist dann eine Kraft erforderlich um ihn in Bewegung zu halt n. ein! "Aber e ist eine Kraft erforderlich, um die Bewegung de Körper zu ändern." "Ja, aber die Rolle bewegt ich mit kon tanter Geschwindigkeit!" "Ah ja, timmt: Die Rolle bewegt sich mit einer konstanten Ge chwindigkeit von 2 m pro ekunde. Aber wie teht' mit dem Gewicht: Bewegt ich das mit kon tanter Ge chwindigkeit? Stellen wir e un vor: Bewegt ich da Gewicht manchmal lang am und manchmal chnell?' ,Ja ... ' "Dann ändert ich seine Bewegung - und das i t un ere Aufgabe: Wir müs en die Kraft herau finden die erforderlich i t damit ich die Rolle kon tant mit 2 m pro Sekunde bewegt, wenn ich da Gewicht in einer Höhe von 0,4 m befindet." Schauen wir mal, ob ändert.

ir er tehen können, wie ich die Bewegung des Gewichte

un, wenn ich da Gewicht nahe der ober ten Po ition befindet und die Rolle fa t direkt darunter i t, bewegt ich da Gewicht kaum auf und ab. In die er Po ition bewegt ich da Gewi ht nicht hr chnell. Aber wenn ich da Gewicht unten befindet wie vorhin, und Sie die Rolle nur etwas nach recht chieben - mein lieber Mann, dann mu ich da Gewicht ganz chön nach oben bewegen, um nicht im Weg zu sein! Al 0 wenn wir beginnen die Rolle zu chi ben, beginnt das Gewicht, sich sehr schnell nach oben zu bewegen und wird dann lang amer, richtig? Wenn e ich ehr schnell nach oben bew gt und lang amer wird in welche Richtung i t dann die Be chleunigung gerichtet? Die Be bleonigung mu nach unten gerichtet ein: E i t 0, al ob ich e chnell nach oben erfe und e dann lang amer wird - als ob e fällt, 0 da s die Kraft reduziert werden mu . Da heißt, die horizontale Kraft, die ich auf die RaUe au übe , i t klein r, al wenn ie ich nicht bewegen würde. Also müs en wir herausfinden, wie viel kleiner. (Der Grund, warum ich da alle durchgehe, ist, da ich die Vorzeichen in den Gleichungen ni ht richtig behalten kann. So mu sich am Ende durch die e ph ikali ehe Argument herau finden, wie die Vorzeichen au sehen.) .. brigen hab ich die e Aufgabe ungefahr viermal gemacht - jede Mal mit einem ehler -, aber chließlich habe ich ie hinbekommen. Ich chätze, da wenn Sie eine al in Angriff nehmen viele viele Dinge durcheinander geraten: Aufgabe da er t Ich habe die Zahlen v reh elt, i h habe da Quadrieren verge en, ich habe da fal ehe Vorzeichen für die Zeit genommen und viele andere Dinge fal ch gemacht aber immerhin jet f habe i hege chafft und ich kann Ihnen zeigen wie man e richtig machen kann - i h mu all rding zugeben, offen gesagt, da s ich ziemlich lange gebraucht habe, bi ich e ge chafft hatte. (Mann, bin ich froh da ich meine otizen noch habe.)

2

42

uno um die Kraft zu berechnen brauchen wir die Be chleunigung. ur dur h nchauen der Zeichnung kann man die Be chleunigung unmöglich herau finden, denn in der Zeichnung ind alle Maße zum betreffenden Zeitpunkt fe t. m da aß der .. nderung zu bestimmen, können wir nicht alle fe t la en - ich mine ir können ni ht agen: "Da i t 0,3, da i t 04, da i t 0,5, da ind 2 m pro Sekunde. ie gr ß i t di Be chleunigung?" E i t nicht einfach, dorthin zu kommen. Die einzig öolichkeit. die Be chleunigung herau zufinden, i t die aJIgem ine Bewegung zu b timmen und ie nach der Zeit zu differenzieren.· Dann können wir den Betrag für di Zeit ein etzen der dieser be timmten Zeichnung ent pricht. De halb mu ich die e Ding in einer allgemeineren ituation anal ieren, in der ich da Gewicht an einem beliebigen Ort befindet. Sagen wir, d Gelenk und die Rolle befinden ich zum Zeitpunkt t = 0 zu ammen und der b tand z i hen ihnen beträgt 2t, weil ich die Rolle mit 2 Metern pro Sekunde bewegt. Der Zeitpunkt. für den wir die Analy e durchführen wollen, liegt 0,3 ekunden bevor die Rolle und das Gelenk zu ammen ind, d.h. t = -0,3 und der Ab tand zwi ehen ihn n beträgt tat ächlieh minus 2t - aber e i t OK, wenn wir t = 0,3 und für den Ab tand 2t \ ählen. Zum SchJu werden eine enge Vorzeichen fal ch ein, aber weil ich am nfang et a herumprobiert habe, welche Vorzeichen die Kraft hat, wird e pa en - i h I e die Mathematik lieber ruhen und nehme das Vorzeichen direkt au der Ph ik. das klappt be er al umgekehrt. ie dem auch sei, da haben wir e . (Tun Sie da nicht, e i t zu chwierig - man mu er t üben!) (Denken Sie daran, was das t bedeutet: t i t die Zeit be or die G lenke zu ammen sind, eine Art negati e Zeit, die jeden verrückt macht, aber ich kann e n! ht ändern so habe ich die Aufgabe nun mal gelö t.) un, geometri eh ieht e 0 au , da ich da Gewicht immer (horizontal in der Mitte zwi ehen der Rolle und dem Gelenk befindet. enn ir al 0 d n r prung unere Koordinaten y tem am Gelenk wählen i t die x-Koordinate de Ge ichte

1

x = -(2t) = t. 2

Die Länge der tangen beträgt 0,5 omit erhalte ich nach dmSatz de Pythagora für die Höhe de Gewichte, d.h. eine y-Koordinate,

y = ~O 2S -

(2

( iehe Abbildung 2-8). Können Sie ich vor tellen, da er te Mal gemacht habe übrigen ehr orgfaltig,

y=

..Ja 2S

ich, al ich die

ufga e d

(2

herau bekommen habe? "Eine Möglichkeit. die Be hleunigung de Gewichte ohne Differenliation zu be timmen. find n ie in d n 1temath-en Lösungen am Ende die e Kapitel.

2-7 Eine ufgabe bei der Konstruktion, on Maschinen

y = , 0.25 - ,2

Abbildung 2-8: Mithilfe de

43

x = t

atze de Pythagora wird die Höhe de Gewichte be timmt.

Jetzt brau hen wir die Be chleunigung und die Beschleunigung hat zwei Komponenten: Eine i t die horizontale Be chi unigung und die andere die vertikale Be chIeunigung. enn e eine hOrtz ntal Be hleunigung gibt, gibt e eine horizontale Kraft und die mü 'en wir durch die tange hinunter verfolgen und herau finden, wie groß die auf die Rolle au geübte Kraft i t. Die e Aufgabe ist etwa einfacher, al ie au ieht, d nn e gibt keine h rizontale Be chleunigung - die x-Koordinate de Gewichte i t immer di Hälft d r x-Koordinat der Rolle. E bewegt ich in die eIbe Richtung, aber mÜ halb 0 groß r G hwindigkeit. Al 0 bewegt ich da Gewicht horizontal kon tant mit 1 m pro S kunde. E gibt, Gott sei Dank keine eitliche Be chleunigungl Da macht die Aufgabe et a einfach r. Wir mü en un nur mit der Be chleunigung nach ob TI und unt TI be chäftigen. De halb mu ich, um dj B chleunigung zu erhalten, die Höhe de Gewichte zweimal differenzieren: Einmal um di Ge chwindigkeit in y-Richtung zu bestimmen, und noch einmal, um die Be chleunigung zu erhalten. Die Höhe i t

y = "';0,25 - t- . Da

ollten

y

,

chnell diffi renzier n können. Die Antwort lautet: -f

= -;::::====== "';025 -

(2.18)

t

ie i t negati , ob ohl i h da Gewicht nach oben bewegt. Aber ich habe mit meinen Vorzeichen i t gebaut~ al 0 la e i h so. Ich weiß owie 0 da die Ge ch indigkeit nach ob n geri htet i t und die wäre fal ch, wenn f po itiv wäre, al 0 oIlte t tat ächl i h negativ ein - f 19lich i te doch richtig. Jetzt berechnen ir di B chleunigung. E gibt mehrere Möglichkeiten. Sie könn n e auf herkömmlich i e ma hen, aber ich werde die neue nSupermethode"

44

2 Naturgeset e und Intuition

anwenden, die ich Ihnen in Kapitel 1 gezeigt habe: Sie chreiben noch einmal y' auf. Dann sagen Sie: ,,Der er te Term, den ich differenzieren will, gebört zur e ren Potenz -t. Die Ableitung von -1 i t -1. Der nächste Term, den ich differenzieren ill gehört zur negativen halben Potenz. Der Term i t 0,25 - (2. Die Ableitung i t -2t. Fertig.

y' = -t(0,25 -

flr'/2

"= -t(025-?)-1/2[.1. -1

1J,

(-t)

_!.

-2t ] 2 (0 25 - t 2 )

2.19)

Jetzt haben wir die BescWeunigung zu jedem beliebigen Zeitpunkt. Um die Kraft zu be timmen müs en wir ie mit der Ma e multiplizieren. Die Kraft - d.h. die zu ätzliehe Kraft neben der Gravitationskraft, die auf Grund der Be cb1eunigung beteiligt i t - ist das Produkt au der Mas e 2 kg in diesem Fall, und die er Be chJeunigung. un setzen wir die zahlen in die e Ding ein: t i t 0,3. Die Quadratwurzel on 0,2 - j2 i t die Quadratwurzel von 0 25 minus 009, al 0 von 0,16 und die Quadratwurzel da on i t 04 - wie prakti ch! Stimmt das? Jawohl meine Herren: Die e Quadratwurzel i t mit lJ elb t identi ch und wenn t 0,3 ist, ist y nach un erer Zeichnung 04. OK kein Fehler. (Beim Rechnen prüfe ieh immer nach, weil ich 0 viele Fehler mache. Eine öglichkeit zur Überprüfung i t das man die Mathematik ehr orgfaltig anwendet. Die andere Möglichkeit i t, das man immer wieder chaut, ob die Zahlen die herau kommen, plausibel ind ob ie be chreiben wa wirklich pas jert.) Jetzt rechnen wir. (Da er te Mal, al ich die e Aufgabe gerechnet habe habe ich 0,25 -? = 0 4 an tatt 0, 6 ge chrieben. Da hat vielleicht gedau rt bi ich diesen ehler gefunden hatte!) Wrr erhalten irgendeine ZahI*, die ich au gerechnet habe: ungefah

3,9. beträgt die Be chleunigung 39. Und jetzt die Kraft: Die ertikale Kraft zu der die e Be chleunigungpas , i t das Produkt au 3,9 2 kg undg. ein das timmt nicht! Ich habe erge en, das e jetzt kein 9 gibt. 3,9 i t die tatsächliche Be chleu igung. Die vertikale Gra itation kraft i t das Produkt au 2 kg und der Fallbe cWeunigung 9,8 - da j t 9 - und die ertikale Komponente der on der tange auf das Ge icht au geübten Kraft i t die Summe die er beiden, wobei eine ein negati e orzeichen hat. Die relativen Vorzeichen ind entgegenge etzt gerichtet. ie ubtrahi ren a:t 0 und erhalten

Al

0

FGewicbl

= ma -mg = 78 -19,6 = -11,8

ewton.

(2.20

Aber denken Sie damn, da i t die auf das Gewicht au geübteertikale Kraft. le groß i t die auf die Rolle au geübte horizontale Kraft. Die An ort i t: D'e auf die Rolle au geübte horizontale Kraft beträgt drei Viertel einer Hälfte der auf d Gicht °J,90625.

2-7 Eine Aufgabe bei der Kon truktion von Maschinen

45

au geübten ertikalen Kraft. Da haben wir vorhin chon bemerkt: Die nach unten gerichtete Kraft wird durch zwei Beine ausgeglichen, dadurch wird sie durch zwei dividiert. Die Geometrie i tobe chaffen dass da Verhältni der horizontalen zur vertikalen Komponente 3{4 i t - und de halb lautet die Antwort, dass die auf die Rolle au geübte horizontale Kraft drei Achtel der auf das Gewicht ausgeübten vertikalen Kraft beträgt. Ich habe die drei A htel für jedes der Teile ausgerechnet und habe für die Gra itation kraft 7 35 2 925 für den ~ rm, der sich aufgrund der Be chleunigung ergibt, und für die Differenz 4,425 ewton erhalten - ungefähr 3 ewton weniger al die Kraft, die erforderlich i t um das Gewicht in derselben Po ition zu halten, wenn e sich nicht bewegt ( iehe Abbildung 2-9).

FGewichl

0.3 m F

FRaU",

= -Gellti 2-

hl X

0.3 m 0.3 0.4 "" 4.425

ewton

Abbildung 2-9: erwendung gleicher Dreiecke, um die auf die Rolle au geübte Kraft zu be timmen.

So kon truiert man jedenfalI Maschinen. Sie wis en, wie viel Kraft Sie brauchen um da Ding vorwärts zu bewegen. Jetzt

erden ie agen: ,I t da denn der richtige Weg, so etwa anzugehen?"

So etwa gibt e gar nicht! E gibt keinen "richtigen" Weg, etwa zu tun. Ein betimrnter Weg etwa zu tun i t möglicherwei e richtig, aber e i t nicht der ricbtige Weg. ie önnen e verdammt noch mal, 0 tun, wie Sie es möchten. (Na ja, Entschuldigung: E gibt natürlichjalsche ege etwa zu tun ... ) Wenn ich clever genug wäre könnte ich eben mal einen Blick auf die ganze Sacbe werfen und Ihnen dann agen wie groß die Kraft i t, aber ich bin eben nicht clever genug. AJ 0 mu ich e auf irgendeine andere Weise angehen - aber es gibt viele Wege. Ich werde einen anderen Weg aufzeigen der ehr nützlich i t, in be andere wenn Sie im Kon truktion bereich für reale Ma cllinen tätig ind. Die e Aufgabenstellung

46

2

i t etwa vereinfacht dadurch. da die Beine identi eh ind und 0 weiter, eil i h die Arithmetik nicht erkomplizieren wollte. Aber die physikalischen Vor tellwl en ind a be chaffen, das Sie die ganze Sache auf andere Art und ei e au rechnen können, auch wenn die Geometrie nicht 0 einfach i 1. Die er andere intere ante eg ieht folgendennaßen au . Stellen Sie ich or, Sie haben eine Menge Hebel, die iele Gewichte be egen. Dann können Sie Folgende tun: Wenn Sie da Ding vorwärt be eg n und alle Gewichte auf Grund a]Jer Hebel beginnen, ich zu bewegen. errichten Sie eine be timmte Arbeit, W. Zu jedem beliebigen Zeitpunkt wird eine be timmte Lei tung zugeführt, und zwar da Maß. in dem Sie arbeiten dWjdt. Gleichzeitig ändert i h die Energie aller Gewichte, E, in einem bestimmten Maß dE/dt und die e b iden aß ollten aß, in dem Sie Arbeit errichten, aIlte dem aß d r zueinander pa en, d.h. da Änderung der Ge amtenergie a]Jer Gewichte ent prechen: dE

dt

=

dW

dt

Vielleicht erinnern Sie ich au den Vorle ungen daran, da au Kraft und Ge chwindigkeit i t:* dW

F·ds

die Lei tung da Produkt

ds

-dt = -dt- = F· -dt = F· v. Und

0

. 2)

ergibt ich

dE -=F· dt

.23

Folgender Gedanke teckt dahinter: Die Gewichte haben zu einem b timrnt n Zeitpunkt eine Ge ch indigkeit und omit auch eine kineti eh Energie. Sie befinden ich in einer be timmten Höhe über dem Boden und haben de halb auch ein porenzi 11 Energie. Wenn wir nun herau finden können wie chnell ich die Ge i ht begen und wo ie ich befinden um ihre Ge amtenergie zu erhalten und . ir dann da nach der Zeit differenzieren ent pricht da dem Produkt au der Kraftkompon nLe in d r Richtung in die ich da betreffende Teil bewegt, und einer Ge chwindio- eie Schauen wir mal. ob wir da auf un ere Aufgaben teilung an

nden können.

un, wenn ich die Rolle mit einer Kraft P = -FRolle hiebe und ie dab i mit einer Ge hwindigkeit RoUe bewege, aHte da aß der nderung d r Energi d ge amten Teil in bhängigkeit der Zeit mit dem Produkt au dem Betra d r Kraft und der Ge eh indigkeit, F RollelJRolle, identi ch ein, weil in die m Fall Kraft und G chwindigkeit in die eibe Richtung erlaufen. Da i t keine allg mine Form l. enn •Siehe Band I der Feynman- Vorlesungen über Physik, Kapitel I .

47 ich Sie na h der Kraft in einer Qnderen Richtung gefragt hätte, hätte ich die e nicht direkt mit die er Argumentation be timmen könn n, weil die e Methode Ihnen nur die Komponente der Kraft liefert, die die Arbeit errichtet! ( atürlich können Sie sie indirekt be timmen, weil ie wi en können, das die Kraft entlang der Stange gerichtet i t. enn e einige miteinander erbundene Stangen mehr gäbe, würde die e Methode immer n eh funktionieren, vorau ge etzt, Sie würden die Kraft in einer Bewegungsrichtung nehm n. Wa i t mit all der Arbeit, die on den Kräften der Rolle, den Gelenken und a11 den ander n echani m n enichtet wird, die den ganzen Kram richtig in Bewegung halten? Sie mchten keine Arbeit vorau ge etzt, dass an ihnen nicht von anderen Kräften Arbeit errichtet wird enn ie ich mitbewegen. Wenn z.B. jemand dort sitzt und ein Bein au treckt während ich da andere zurückdrücke, mu ich die Arbeit die mein Gegenüber erricht t berück ichtigen! Aber das macht hier keiner und deshalb ergibt ich bei URolie = 2 dE = 2FRolle

(2.24)

dt

Al 0 bin ich tartklar, iehe d : die Kraft l

enn ich dE/dt berechnen kann - dividiert durch zwei und

Alle klar? Auf geht Wir haben die Ge amtenergie des Gewichte in zwei Teilen: Kineti che plu potenzieller Energie. un, dj potenzielle Energie j teinfach: mgy ( iehe Tabelle 2-3). Wir wi en chan, da y 0,4 = m, In 2 kg und 9 9,8 = m pro Sekunde zum Quadrat i 1. Al 0 beträgt die pot nzielle En rgie 2·9,8 . 0,4 = 7,84 J. Jetzt zur kineti ehen Energie: ach ziemlich viel Herumprobieren erhalte ich die Ge chwindigkeit de Gewichte und füge die kineti che Energie dafür ein. Da machen wir gleich. Dann bin i h bereit, weil ich die Ge amtenergie hab .

=

Stimmt nicht, ich bin nicht b r it, denn leider will ich die Energie nicht! Ich brauche die Ableitung der Energi nach der Zeit und Sie können nicht herau finden wie chnen ich twa ändert, ind m Sie au rechnen wie groß e jetzt i t! Sie mü en e entweder zu zwei dire t hintereinander lieg nden Zeitpunkten - jetzt und einen Augenblick päter - berechnen oder e wenn Sie die mathemati ehe Form benutzen wollen für einen beli bigen Zeitpunkt t au rechnen und nach t differenzieren. E hängt davon ab, wa am einfa h ten i t: E i t möglicherwei e numerisch viel einfacher die Geometrie für z ei Orte zu berechnen al die Geometrie allgemein au zurechnen und zu differenzieren. (Die mei t n Leute ruch n f rt, eine Aufgabe in mathemati ehe Form zu bringen und zu differenzier n, weil ie mit der Arithmetik nicht genug Erfahrung haben um die ungeheure acht und Leichtigkeit beim Rechnen mit Zahlen an tat! mit Bu htab n zu chätz n. Trotzd m ma he ich e mit Buchstaben.)

2 Naturgeset-e Lind Intuition

48

Wieder haben wir die e Aufgabe zu lö en, in der x = t und y = ..jO,25 - t 2 i t, 0 da wir die Ableitung berechnen können. Jetzt brauchen wir die potenzielle Energie. Die können wir ehr leicht be timmen: Sie i t da Produkt au mg und der Höhe y, und da ergibt

Epo[ = mgy = 19,6

= 19 6

= 2 kg . 9 8 mf

..ja 25 - t 2 m

2.

ewton· ";0,25 - t2 m

-Ja 25 -

( .25)

t 2 1.

Aber intere anter und chwieriger au zurechnen i t die kineti che Energie. Die ki1 netische Energie i t - mu2 . Um die kinetische Energie zu be timmen mu ich da 2 Quadrat der Ge ch indigkeit berechnen, und dafür i t ie} Herumprobieren nötig: Die Geschwindigkeit zum Quadrat i t ihre x-Komponente zum Quadrat plu ihrer yKomponente zum Quadrat. Ich könnte die y-Komponente wie zu or b timmen. Die x-Komponente, darauf habe ich chon hingewiesen, i t 1. Die e beiden hätt i h quadrieren und addieren können. Aber nehmen wir an, ich hätte da noch ni ht getan und möchte noch über einen anderen Weg zur Be timmung der Ge eh indig eit na hdenken. un, ein guter Maschinenkon trukteur kann da nachdem er darüber na hgeda ht hat, auf Grundlage der geometri chen Prinzipien und d r Kon truktion der a chi ne ich z.B. da G wicht normalerwei e ausrechnen. Da da Gelenk tationär i t, mu auf einer Krei bahn um das Gelenk bewegen. Und in welcher Richtung mu die Gechwindigkeit de Gewichte verlaufen? E kann keine Ge eh indigk it komponente parallel zur Stange be itzen weil dann die Länge der Stange verändert würde ri htig. De halb i t der Ge chwindigkeit vektor senkrecht zur tange gerichtet iehe bbildung 2-10).

, ,,

,

/

/ /

I I

I I I

I

,, I

I

Abbildung 2-10: Das Gewi ht bewegt ich auf einer Krei bahn. de halb i t eine Ge h\ indig it enkrecht zur Stange gerichtet.

49

2-7 Eine Aufgabe bei der Kon truktion von Maschinen ie könnten ich agen: "Oh! Den Trick mu

ich lernen!

ein. Die er Trick i t nur für eine ganz be timmte Aufgaben teIlung gut. Mei ten funktioniert r ni ht. Sie werden ehen, dass Sie die Geschwindigkeit eines Körper der um einen fe ten Punkt rotiert, äußer t selten benötigen. E gibt keine Regel, die be agt: "Ge chwindigkeiten ind enkrecht zu Stangen gerichtet!" oder so etwas. Sie mü en Ihren ge unden Men chenver tand 0 oft wie möglich benutzen. Hier in diesem Fall i t die allgemeine Idee, die Ma chine geometri ch zu analysieren, wichtig - nicht irgendeine pezielle Regel. So, jetzt kennen wir die Richtung der Geschwindigkeit. Die horizontale Komponente der Ge ch indigkeit da wi sen wir chon, ist I, weil sie halb so groß wie die Ge chwindigkeit der Rolle i t. Aber chauen Sie! Die Ge chwindigkeit i t die Hypotenu e eine rechtwinkJigen Dreieck ,das einem Dreieck gleicht da die Stange als Hypotenu e hat! Um den Betrag der Ge chwindigkeit zu be timmen, müssen wir nur ihr Verhältni zu ihrer horizontalen Komponente herausfinden. Dieses Verhältnis können wir au dem anderen Drei ck, da wir bereits genau kennen, erhalten (siehe Abbildung 2-11).

/ ,/ ,/ ,/ ,/

I I

I

1 _ _----,.1

1 \

025 .

(2

I I I

,I I

v I

Abbildung 2-11:

(2

an erwendel glei he Dreiecke um die Ge chwindigkeit de Gewichte zu be timmen.

chließlich erhalten

Ekjn =

0.5

0.25 -

ir für di kineti che Energie:

~ nzv2 = ~ .2 kg. ( 2

2

0S

~O 25 - t 2

mf ]2 =

1

1 - 4t2 1.

(2.26)

un zu den Vorzeichen: Die kineti che Energie i t ieher positiv und die potenzielle Energie i t po iti weil ich den Ab tand vom Boden gemessen habe. Also sind die

50

2

Vorzeichen OK. Da bedeutet, da E = E ldn + Epo, =

I 1 - 4t-

die Energie zu jedem Zeitpunkt

+ 19,6 -V0,25 -

(2

(2.~ 7)

beträgt. Um die Kraft mit die em Trick herau zufinden, mü en ir jetzt die Energie differenzieren. Dann können wir durch zwei dividieren und alle ird be ten ein. Die cheinbare ühelo igkeit, mit der ich da hier mache. i t aufge etzt: [eh hwör. i h hab da mehr al einmal gemacht. bevor es richtig war!) Jetzt differenzieren wir die Energie nach der Zeit. Damit werde ich hier keine Zeit ver chwenden. Ich gehe da on au . da Sie mittlerweile differenzieren können. I o. die Antwort für dE/dt (wa übrigen zweimal die erforderliche Kraft i t lautet:

19,6t

dE 8r = - - -2 dr (l - 4t )2

Da war' . Ich brauche nur 0,3 für t einzu etzen und bin f, l1ig. ich da richtige Vorzeichen ergibt. mu ich t = -0,3 etzen: dE

dt( -0,3) = ~

2,4 - 0,4096

0,3 + 19,6· 0,4

2.2 un, nicht ganz - damit

2.29

8,84Wall.

Jetzt chauen wir mal. ob da Sinn macht. Wenn e keine Bewegung äb und ich mich nicht mit der lcineti chen Energie be chäftigen mü te, äre die Ge amt n r i des Gewichte gleich einer potenziellen Energie und ihre Ableitung äre die Kraft al Folge de Ge ichte.· Und ganz icher kommt hier da gleiche Ergebni herau 1 In Kapitel I 2 mal 9,8 mal 3/~. Der er te Term auf der rechten eite von Gleichung (2.29) i t negativ eil da Gewicht abnimmt und damit kineti ehe Energie erloren geht; der z eite T nn i t po iti weil da Gewicht zunimmt r al 0 potenzielle En rgie ge innt. Beide T rm ind jedenfalI einander entgegenge etzt gerichtet, und das i t alle. a i h wi en i11. Sie können die Zahlen ein etzen und ganz be tirnmt ird die Kraft di elb in wie vorher: dE 2FRoUe = -::::: , 4 dt F Rolle ::::: 2 ewton.

(2.30

• Die Ableitung der Ge amIenergie nach der Lage der Rolle j t der Betrag der KrafL die au di Rolle au geübt wird. Da die Lage der Rolle jedoch in die em peziellen Fall gleich 2/ i t, i I die bleiLUng der Energie n h I glei h zweimal der Kraft auf die Rolle.

2-8 Fluchtge

ch~1"indigkeit

der Erde

51

Da i t eigentlich der Grund, warum ich e 0 oft machen rnu ste: achdem ich e zum er ten al gemacht hatte und völlig zufrieden mit meiner falschen Antwort war be chlo i h e auf ine ganz andere Wei e zu ver uchen. achdem ich es mit dem anderen Weg probiert hatte war ich mit einer öllig anderen Antwort zufrieden! Wenn Sie viel arbeiten gibt e omente, in denen Sie denken: "Endlich habe ich herausgefunden, da die Mathematik inkon equent i t!" Aber schon bald werden Sie den Fehler ntdecken wie ich chließlich auch. Da ind jed nfall z ei Lö ung möglichkeiten für die e Aufgabe. E gibt nicht den einen Lö ung weg für ine be timmte Aufgabe. Wenn Sie immer einfall reicher werden. können Sie Wege finden die immer weniger Arbeit erfordern, aber dazu braucht man Erfahrung.·

2-8 Fluchtge chwindigkeit der Erde Ich habe nicht mehr iel Z it, aber da näch te Problem, über das wir prechen werden, hat mit den Planetenbewegungen zu tun. Ich werde noch darauf zurückkommen, denn ich kann Ihnen die es al be timmt nicht alles erzählen. Die er te Frage i t, wie groß die für da erla en der Erdoberfläche erforderliche Ge chwindigkeit i 1. Wie ehnell mu ich in Körper bewegen um gerade au dem Gravitation feld der Erde ent eichen zu k"nnen? un, in MögE hkeit, um da au zurechnen wäre, die Bewegung unter dem Einftu der Gra itation kraft zu berechn n. Eine andere Möglichkeit i t der Energieerhaltung atz. Wenn der Körper die Bindung an di Erde überwindet und unendlich weit eg i t i t die kineti che Energie null und die potenzielle Energie i t da wa für unendliche Entfernungen herau kommt. Die Formel für da Potenzial al Folg der Gravitation finden Sie in Tabelle 2-3, Sie be agt da die potenzielle Energie bei Ma enpunkten, die unendlich weit entfernt ind, gleich null

i

1.

Somit mu , enn ein Körper die Erde mit Fluchtge chwindigkeit verlä st die Geamtenergie die e Körper die eIbe ein wenn der Körper einen unendlichen Weg zurü kgelegt hat und die Erdanziehung kraft ihn auf Geschwindigkeit null abgebrem t hat (vorau ge etzt da keine anderen Kräfte beteiligt ind). Wenn M die Erdma e R der Erdradiu und G die uni er elle Gra itation kon tante i t, ergibt ich da da Quadrat d r Flu htge chwindigkeit 2GM/ Rein mu .

• Drei weitere Lösung möglichkeiten für die e Aufgaben teilung finden ie in den Alternativen Lösungen am Ende

die e Kapitel .

52

2 (E kin

+ Epo[) für

00.

v =0

=

(E

in

+ Epo[) für R, v = UF

(Energieerhaltungssatz) Epol

... GMm 1m Unendlichen = - - 00

E kin

=0

EPOI

m02 bei v = 0 = =0 2

GMm bei R = -~?

.

E kin bel v =

+

Uy=

=

mUf

2

+

o

=

(_ G~m + m;'] (2.31

Übrigen i t die Gravitation kon tante 9 (die Fallbe chleunigung nahe der Erdoberfläche) GMIR, eil da Ge etz der Kraft für eine Ma e miautet: mg = GMmfR 2 . In der einfacheren Schreibwei e mit der Gravitationskon tanten kann ich hreiben: v2 = 2gR. 9 i t 9. mf 2 und der Erdradiu beträgt 6400 km 0 da die Fluchtgechwindigkeit der Erde

ur

= .J2gR = .J2· 98·6400·1000 = 11200 mf

2.3_

beträgt. Da heißt, Sie mü en ich mit 11 km pro Sekunde be egen, um die Bindung an die Erde zu überwinden - da i t ziemlich chnel!. äch te mö hte ich darüber prechen, wa pa iert, enn ie ich mit I km pro ekunde bewegen und einen be timmten Ab tand über die Erd hinaus chieB n. Al

un mit 15 km in der Sekunde hat der Körper genug Energie, um au dem Graitation feld der Erde zu fliehen wenn er ich direkt nach oben be egt. b r verl"' t er Z'Y ang läufig da Gra üalion feld der Erde, au h wenn er ich nickt dir kt n h oben bewegt? I t e möglich, da der Körper die Erde umrundet und zum kkommt. Da i t nicht elb tver tändlich. Wir mü en darüber nachdenken. i agen: ,,Er hat genug Energie um zu fliehen. Aber woher wi en Sie da? ir haben die Hu htgechwindigkeit für diese Richtung gar nicht berechnet. Könnte e ein da die itliehe Fallbe ehleunigung 0 groB i t, da der Körper umkehrt (iehe bbildung 2-(2) .

Im Prinzip i te möglich. Sie kennen da Ge etz nach dem in gleichen Zeit n gl iche Flächen über triehen erden. Al 0 wis en Sie da wenn i ich it nach draußen bewegen, Sie ich irgendwie eitwärt bewegen mü en. E i t nicht klar d die Bewegung, die Sie zum Überwinden der Bindung an die Erde brauchen, nicht eitli h gerichtet i t 0 da ie eJb t bei 15 km pro ekunde nicht au dem Gra itation feld der Erde fliehen. nde die BinTat ächlich teIlt ich herau da der Körper b i 15 km in der dung an die Erde überwindet - da ge chieht, olange die Ge eh indigkeit größer al

53

2-8 FluehIge ehwindigkeit der Erde

.

15 km/s

Die er Körper ent\'Ieicht au dem Gra itation feld der Erde!

.

., -------------------- ---

Und die er?

???

. ----------

---

---- -

Abbildung 2·12: Garantiert die orhandene Fluchtgeschwindigkeit ein Entkommen aus dem Gra itationsfeld?

die Fluchtge chwindigkeit i t die wir orhin ausgerechnet haben. Solange der Körper fliehen kann, flieht er - obwohl da nicht elbstver tändlich i t - und das nächste Mal werde ich v r uchen, e Ihnen zu zeigen. Aber ich gebe Ihnen noch einen Tipp wie ich e Ihnen zeigen werde, damit Sie chan mal elb t etwa herumprobieren können. Wir werden den Energieerhaltung atz in zwei Punkten, A und B, im klein ten Abtand on der Erde a und im größten Ab tand von der Erde, b, verwenden wie in Abbildung 2-13 dar e tellt. Die Aufgabe be teht darin, b zu berechnen. Wir kennen

,,,,/

I

"

""

"

---

--- --------- --

-,

,,

"

, "-

"'

I

Vb

\ \

I

\

, I

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\

a

Ae-----{

~-=================1 B b

\

,I

I

\ I I /

" "- , ,

/

,

-

,,"

'-

,,-

""

-------------Va

Abbildung 2-13: Ab Land und Ge chwindigkeit eine im Aphel ( onnenfernster Punkt).

atelliten im Perihel (sonnennäch ter Punkt) und

54

2

Naturgese{~e

und Imuirion

die Ge arntenergie de Körper im Punkt A. Im Punkt Bist ie auf Grund der Energieerhaltung gleich groß. Wenn wir die Ge chwindigkeit im Punkt B kennen \ ürden. könnten wir al 0 die potenzielle Energie de Körpers und damit b au rechnen. Aber wir kennen die Ge chwindigkeit im Punkt B nicht! Doch: Von dem Ge erz, da be agt, das in gleichen Zeiten gleiche Flächen übertrichen werden wi en wir da die Geschwindigkeit im Punkt B geringer ein mu al die Ge chwindigkeit im Punkt A, und zwar in einem be timmten erhälmi - nämlich im Verhältnis a zu b. Wenn wir die eTat ache nutzen, um die Ge ch indigkeit im Punkt B zu bestimmen, können wir die en Abstand b al Funktion on a berechnen. al tun. Da werden wir näch te

2-9 Alternative Lö ungen Von Michael Gottlieb Hier sind drei weitere Lö ung möglichkeiten für die Aufgabe au dem Ma chinenkonstruktion bereich in Ab chnitt 2-7.

a)

Geometri che Be timmung der Be chleunigung de Gewichte

Da Gewicht befindet ich immer horizontal in der Mitte zwi chen d r Rolle und dem Gelenk. De halb beträgt seine horizontale Geschwindigkeit I m/ . Da ent pricht der halben Ge chwindigkeit der Rolle. Da Gewicht bewegt ich auf einer Krei bahn eine Ge chwindigkeit enkrecht zu d r (mit dem Gelenk al Mittelpunkt), so da Stange gerichtet i 1. ithilfe von gleichen Dreiecken erhalten wir die Ge chwindigkeit de Gewichte (iehe Abbildung 2-14a).

a)

b) I

I I

,

I

I

I I

" 0.4 rn f

, f

I

I

.!:.

=

0.5 0.4

Abbildllllg 2-14

2-9 Alternative Lösungen

55

Da ich da Gewicht auf ein r Krei bahn bewegt, ist die radiale Komponente emer Be chleunigung laut Gleichung (2.17)

v2

Grad

=-r =

(I 25)2

0

,5

= 3.125.

Die vertikale Beschleunigung d Gewichtes ist die Summe einer radialen und seiner tran ver alen Komponente (siehe Abbildung 2-14b). Auch die vertikaJe Be chleunigung erhalten wir mithilfe gleicher Dreiecke:

0,5

Gy

Gy

= - .Grad = -0 ·3,125 = 3,90625 ,4

Grad

b)

Trigonometri ehe Be timmung der Beschleunigung des Gewichte Da Gewicht bewegt ich auf einem Krei bogen mit dem Radiu

~, 2

0

da

eme

Bewegung gleichungen al Funktion de Winkels, den die Stangen mit dem Boden bilden, au gedrückt werden können ( iehe Abbildung 2-15). 1

x=-c 2

y=

2:1

() .

m

e -----

x

Abbildung 2-15

Die horizontale Ge chwindigkeit de Gewichte beträgt 1 mls (die Hälfte der Ge2 2 chwindigk it der Rolle). De halb gilt: x = t, dx/dt 1 und d x/dt O. Die ertikale

=

=

56

2 Naturgeset:e und Intuition

Be chleunigung erhält man, wenn man y zweimal nach t differenziert. Da t =

1

2" co

8.

gilt aber zunäch t:

d8

dt Folglich i

dy dt

2 =--t

= ~ co

8. d8

2

dt

= ~ cos e.

~; = ~'e ~~ = Wenn x

=t =

0,3 i t Y

2

;:' e =

( __ 2_) sin 8

(- Si~ e) = -

04 und in ±

vertikalen Be chleunigung i t omit d2y

dt 2

c)

= - cot 8 ;:3 e

= 0,8

(da y

I

=2

in 8). Der Betrag der

2

= (08)3 = 3,90625.

Be timrnung der auf da Gewicht au geübten Kraft mittel Drehmoment und Drehimpuls

Da auf da Gewicht au geübte Drehmoment i t M = xFIj - yFx . Das Gewicht bewegt ich horizontal mit 1 m/ , so da keine horizontale Kraft auf die e au geübt = rFy. wird: Fx = O. Wenn wir x = t nehmen reduziert ich da Drehmoment auf Da Drehmoment i t die Ableitung de Drehimpul e nach der Zeit. enn ir al 0 den Drehimpul L de Gewichte be timmen können können wir ihn differenzieren und durch 1 di idieren, um F y zu erhalten:

F _ M _ ~ dL Y - t - t dt Der Drehimpul de Gewichte i t leicht zu be !immen weil ich da Gewi ht auf einer Krei bahn bewegt. Sein Drehimpul ist einfach da Produkt au der Läng d r Stange, r, und dem Impul de Gewichte, der wiederum da Produkt au der e m de Gewichte und einer Ge chwindigkeit v i t. Die Ge chwindigkeit können ir mithilfe der geometri ehen Methode nach Feynman ( iehe Abbildung 2-16) oder dur h Differenziation der Bewegung gleichungen de Gewichte ermitteln.

57

2-9 Altemati\ e J.ij ungen

.- .-

/ /

""

"

/

/--::-O-?S---:;-2

I'

.-

-

{

I I I I

, I

~ =

1

0.5 ,0.25-/ 2

Abbildung 2-16

Alle das zu ammen liefert: Fy

I dL

= t -;;;

1d = t dt (rmu)

0,5·2 - -_. t

d ( 0,5 = -t . dt "';0,25 _

0,5t (0,25 - (2)3 / 2

)

rm

=

4 (1 - 4t2 )3 / 2

[2

.

Zum Zeitpunkt t = 03, i t Fy = 7 8125. Wenn wir das durch 2kg di idieren erhalten wir die vertikale Be chleunigung, die wir auch schon vorhin ausgerechnet haben: 3,90625.

3 Aufgaben und Lösungen Wiederholungsvorle ung C

Wir machen weit r mit die em Wiederholung kurs und fragen un wie man Phyik lernen kann, indem man eine Reihe von Aufgaben löst. Alle Aufgaben, die ich au gewählt habe, ind au getüftelt kompliziert und chwierig. Ich überlas e Ihnen die leichten Aufgaben. Außerdem leide ich unter der Krankheit, unter der alle Profe oren leiden - e scheint nie genug Zeit zu geben und ich habe mir zweifellos mehr Aufgaben ausgedacht, al wir chaffen können. De halb habe ich ver ucht, Zeit zu gewinnen, indem ich einige Dinge im Vorau an die Tafel ge chrieben habe, und zwar mit der 11lu ion die jeder Profe er hat: Wenn ich mehr rede lehre ich auch mehr. atürlich gibt e nur ein begrenzte Maß an Stoff, das der menschliche Ver tand aufnehmen kann, trotzdem mi achten wir oft die en Sach erhalt und gehen zu chnell voran. Ich denke, wir oHten de halb heute lang arn machen und ehen, wie weit wir kommen.

3-1 Satellitenbewegungen Zuletzt haben wir über Satellitenbewegungen gesprochen. Wir haben un mit der Frage be chäftigt, ob ein Ma enpunkt, der ich in einem Abstand a enkrecht zum Radiu der onne eine Planeten oder einer anderen Ma e M mit Fluchtge chwindigkeit bewegt auch tat ächlich die Bindung überwinden würde - da ist nicht selb tver tändlich. Das wäre e , wenn er direkt radial nach außen gerichtet wäre. Aber ob er e tun würde oder nicht wenn er enkrecht zum Radius gerichtet i t, da ist eine andere Frage (siehe Abbildung 3-1). F

Abbildung 3-1: F1uchlge hwindigkeit radial gerichtet und

E teIlt ich herau ,da

nkrecht zum Radiu gerichtet.

wir - wenn wir un an einige der Kepler ehen Ge etze erinnern und einige andere G etze wie den Energieerhaltungs atz dazunehmen - Fol-

60

3 Aufgaben Lind Lösungen

gende au rechnen können: Wenn der Massenpunkt nicht entweichen würde. 0 ürde er ich auf einer ellip enfönnigen Bahn bewegen, und wir können berechnen, ie weit weg er ich bewegen würde. Und das werden wir jetzt tun. Wenn a da Perihel der Ellip e i t, wie weit i t dann da Aphel b entfernt? (Übrigen habe ich er ucht, die e Aufgabe an die Tafel zu chreiben, aber ich wusste nicht, wie man ,Perihel" chreibt!) (siehe Abbildung 3-2).

b

Abbildung 3-2: Ge chwindigkeit und Abstand im Perihel und Aphel eine Satelliten auf einer ellip nförmigen Bahn.

Letzte Mal haben wir die Fluchtge chwindigkeit mithilfe de Energi erhaltung atze berechnet ( iehe Abbildung 3-3). VF

m

I I I I

Ja

I I

Me Abbildung 3-3: Fluchtgesch indigkeit von einer Mas e M im Ab rand Q.

Ekin + Epot bei a = Ekin +

mvi:

GmM

----==0+0 2 a

EPOI

für

00

3-1 Satelliten bewegungen

V~ 2

=

"F=

61

GM

(3.1 )

a

p~M.

un da i t die Formel für die Fluchtge chwindigkeit im Radiu a, aber nehmen wir an, die Ge chwindigkeit Va i t beliebig und wir ver uchen b al Funktion on Va zu bestimmen. Der Energieerhaltung atz besagt, da die kinetische Energie plu der potenziellen Energie de a enpunkte im Perihel gleich der kineti chen Energie plu der potenziellen Energie im Aphel ein mu - und das können wir verwenden um b zu be timmen - jedenfalls auf den er ten Blick:

mv~

Gm M

mv~

GmM

----=---2 a b

(3.2)

Infelizmente* haben wir Vb jedoch nicht, 0 dass wir die Gleichung (3.2) nie nach b auftö en können e ei denn e gibt irgendeine externe Vorrichtung oder Analy e, um Vb zu erhalten.

Aber wenn wir un an da Kepler ehe Ge etz über gleiche Flächen erinnern, wis en wir, da in einem gegebenen Zeitintervall im Aphel die gleiche Fläche überstrichen wird wie im Perihel: In einem kurzen Zeitintervall b..t bewegt ich der Ma senpunkt im Perihel um den Weg vab..t, 0 da die über trichene Fläche ungefähr av a!1t/2 beträgt während im Aphel wo ich der Ma enpunkt mit vbb..t bewegt die über trichene Fläche ungeHihr bUbb..t/2 b trägt. Und omit b deutet "gleiche Flächen", dass av a b..t/2 gleich bVbb..t/2 i t - und da b deutet, da die Ge chwindigkeiten ich umgekehrt zu den Radien ändern iehe bbildung 3-4).

au a b..t/2 = bVb!1t/2 (3.3)

Da liefert un eine Formel für Vb a1 Funktion on Va die wir in die Gleichung (3.2) ein etzen können. Und damit haben wir eine Gleichung, um b zu be timmen:

mu2 2

_0

GmM = Q

m(~uof __GmM . __ 2

b

(3.4)

Die Divi ion durch m und die Um teIlung liefern:

(3.5)

62

3 Aufgaben und Lösun.gen

vb!::,.r

I~====================---4. b

Abbildung 3-4: Anwendung de Kepler ehen Ge etzes über gleiche Flächen, um die Ge chwindigkeit eine Satelliten im Aphel zu be timmen.

Wenn Sie die Gleichung (3.5) eine Weile betrachten, könnten Sie ag n: • a j~ ich kann mit b2 multiplizieren und dann habe ich eine quadrati che Gleichung mit b." Oder Sie könnten. wenn Ihnen das be er gefällt die Gleichung 0 nehmen i ie i t und die quadrati che Gleichung nach l/b lösen - wie Sie wollen. Die Lö ung für l/b lautet: I b

GM a va

- = -2-2+ -

GM)2 + u~/2 - GM/a ( a2~ a2v~/2

3.6)

Ich werde jetzt nicht die Algebra erörtern, Sie wi en, wie man eine quadrati che Gleichung lö t, und e gibt zwei Lö ungen für b: Wie ich zeigt, lautet eine da b gl ich a i t - und da kommt gut hin, denn wenn Sie ich die Gleichung (3.2) an hauen ehen Sie, da es offen ichtlich i t, da die Gleichung pa t, wenn b gleich a i 1. Da heißt natürlich njcht da bai 1.) Die andere Lö ung liefert eine Formel für b aJ Funktion von a: a b= 2GM

.7)

---1 a~

Die Frage i t ob wir die Formel 0 chreiben können da die Beziehung on Va zur F1uchtge chwindigkeit im Ab tand a ohne weitere zu erkennen i 1. B achten Sie. da laut Gleichung (3.1) 2GM/a da Quadrat der Fluchtge chwindigkeit i 1. De halb kön-

3-}

Satellirenbewegungen

63

nen wir die ormel folgendermaßen chreiben: (3.8) Das i t da Endergebni und es ist ziemlich intere anl. Nehmen wir zunächst an da Va kleiner al die Fluchtge chwindjgkeit i l. Unter diesen Vorau etzungen würden wir erwarten, da der Ma senpunkt nicht entweicht, und de halb ollten wir für beinen plausiblen Wert rhalten. Und ganz be timmt i t, wenn Va kleiner al VF i t, VF/Va größer al I und da Quadrat i t ebenfall größer all. Wenn wir die I abziehen, erhalten wir eine chöne po itive Zahl, und wenn wir a durch diese Zahl dividieren, erhalten wir b. Um die Genauigkeit un erer Analy e grob zu überprüfen, können wir gut die numeri che Berechnung für die Umlaufbahn ausprobieren, die wir in der neunten Vorlesung'" ange teIlt haben. Dann können wir ehen wie genau da b, da wir damals berechnet haben, mit dem b, da die Gleichung (3.8) liefert, überein timmt. Warum ollten die beiden nicht genau überein timmen? Weil die numerische Methode der Integration natürlich Zeit al kleine Kleckse und nicht a1 etwa Stetige betrachtet. De halb i t die Überein timmung nicht perfekt. Auf jeden Fall bekommen wir b auf die e Wei e, wenn Va kleiner als VF i t. (Übrigen wenn ir bund a kennen kennen wir auch die große Halbachse der Ellipse und könnten 0 wenn wir e wollten, die Periode der Umlaufbahn mithilfe der Gleichung (3.2) berechnen.) Aber intere ant i t Folgend : ehmen wir zunäch t an, dass Va genau gleich der Fluchtge ch indigkeit i t. Dann i t VF/V a gleich 1 und die Gleichung (3.8) besagt da in die em Fall b unendlich i l. Da bedeutet da die Umlaufbahn keine Ellip eil. E bedeutet ielmehr da die Umlaufbahn gegen Unendlich geht. (Man kann zeigen, da e ich in die em peziellen Fall um eine Parabel handelt.) Somit stellt ich heraus: Wenn Sie ich irgendwo in der ähe eine Sterns oder Planeten befinden und Sie ich mit Fluchtge chwindigkeit bew gen (ganz gleich in welche Richtung!) dann werden Si entkommen - Sie werden nicht eingefangen obwohl Sie nicht in die richtig Richtung gerichtet ind. Eine weitere Frage i t, wa pa iert wenn Va größer als die Fluchtge chwindigkeit i 1. Dann i t VF/V a kleiner al 1 und b wird negativ - und da bedeutet gar nicht. E gibt kein reale b. Phy ikali ch ieht die Lö ung 0 au : Mit ehr großer Ge chwindigkeit, we entlich größer al die Fluchtge chwindigkeit wird ein ankommender Ma enpunkt abgelenkt - aber eine Umlaufbahn i t keine Ellipse. Tat ächlich i t ie eine Hyperbel. Somit ind die Umlaufbahnen von Körp m, die ich um die Sonne bewegen nicht nur Ellip en, wie Kepler dachte ondem die Verallgemeinerung auf größere Ge chwindigkeiten chließt Ellip en, Parabeln und Hyperbeln ein. (Wir haben nicht bewie en, da e Ellip en, Parab In oder Hyperbeln ind, aber da ist die Lö ung der Aufgabe.) • iehe Band I der FeynmaJl-Voriesull eil über Phy ik, Ab chnitt 9.7.

64

3 Aufgaben lind Lösungen

3-2 Entdeckung de Atomkerns Die e Sache mit der h perboli chen Umlaufbahn i t intere ant und hat eine ehr interessante histon ehe Anwendung, die ich Ihnen zeigen möchte. ie i t in Abbildung 3-5 darge teilt. Wir nehmen den Grenzfall einer extrem hohen Ge ch indigkeit und einer relativ kleinen Kraft. Das heißt der Körper bewegt ich 0 chnell vorbei. da er sich in der er ten äherung auf einer geraden Bahn bewegt ( iehe Abbildung 3-5).

ProIon

b

~

+Zqel

Kem

Abbildung 3-5: Ein cbnelle Proton wird vom elektrischen Feld abgelenkt. während e Atomkern vorbeibewegt.

i h nahe am

ehmen wir an wir haben einen Atomkern mit der Ladung +Zqel ( obei -qel die Elementarladung i t) und einen geladenen Mas enpunkl, der ich im bland b am Kern vorbeibewegt - irgendein Ion (ur prünglich war e ein Alphateilchen) e pi lt keine Rolle, Sie können nehmen, wa Sie wollen. Ent cheiden wir un für ein Proton mit der Masse m der Ge ehwindigkeit v und der Ladung +qel (bei einem Alphateilchen wäre die Ladung +2qel). Da Proton bewegt sich nicht genau auf einer geraden Bahn ondern wird in einem ehr kleinen Winkel abgelenkt. Die Frage i t ie groß die er Winkel i t. un ich werde da nicht genau au rechnen, aber grob über chlagen - um eine Vor tellung da on zu bekommen, wie ich der Winkel in Abhängigkeit on b ändert. (Ich mache e nichtrelativi ti ch obwohl e genauso einfach i t wenn man die Relativität berücksichtigt - nur eine klitzekleine Änderung, die Sie elb t herau finden können.) Je größer bit, de (0 kleiner mu natürlich der Winkel ein. Und die Frage i t, wird der Winkel im Verhältnis zu b 2 , zu b 3 , zu b oder wie kleiner? Davon möchten wir eine Vor teilung bekommen.

(So gehen Sie jede komplizierte oder unbekannte Problem an: Zue t er chatfen Sie ich eine grobe or teIlung dann, wenn Sie e be er er t hen, gehen einmal an den Anfang zurück und nehmen da Problem genauer in Angriff.)

ie noch

Die er te grobe Analy e läuft dann ungefähr 0 ab: Wenn da Proton orbeiflieot, wirken darauf eitliche, vom Kern au gehende Kräfte - natürlich gibt e auch Kräfte, die in anderen Richtungen wirken, aber die eitliche Kraft bewirkt das da Proton abgelenkt wird an tatt ich weiter auf einer geraden Bahn zu bewegen. Jetzt hat e eine nach oben gerichtete Ge chwindigkeit komponente. it anderen orten e hat einen nach oben gerichteten lmpul al Folge der in die er Ri htung irk nden Kräfte erhalten.

3-2 Entde kung des Atomkern

65

Wie groß ist nun die nach oben gerichtete Kraft? Na ja, ie ändert sich, wenn da Proton weiterfliegt aber ie mu mehr oder weniger von b abhängen. Die maximale Kraft (wenn da Proton die zentrale Po ition durchläuft) beträgt vertikale Kraft ~

Z q2

Ze-

Cbl2 :::

b2

47fSo

(3.9)

.

?

2

(Ich habe e für

q~l

47fso

einge etzt.

0

kann ich die Gleichungen schneller chreiben.·

Wenn ich wü te wie lange die e Kraft wirkt, könnte ich den abgegebenen lmpul chätzen. Wie lange wirkt die Kraft? un ie wirkt nicht, wenn da Proton einen Kilometer entfernt i t, aber ganz allgemein ge agt, wirkt eine Kraft in die er normalen Größenordnung 0 lange wie ich da Proton in normaler ähe befindet. Wie weit entfernt? ehr oder eniger wenn e ich innerhalb eines Abstandes b vorn Kern bewegt. Somit liegt die Zeit, in der die Kraft wirkt in einer Größenordnung des Quotienten aus dem Ab rand b di idiert durch die Ge chwindigkeit v ( iehe Abbildung 3-6).

-b-..

Kern

Abbildu1lg 3-6: Die elektri ehe Kraft de Kern wirkt während eine Zeitintervall auf das Proton, das proportional zu dem kJein ten Ab tand zwi ehen Kern und Proton i 1.

. Zelt

~

b -.

(3.10)

u

Das ewton ehe Axiom be agt dass Kraft gleich dem Maß der lmpulsänderung ist - wenn wir al 0 die Kraft mit der Zeit multiplizieren, während der die Kraft irkt erhalten wir die ImpuJ änderung. De halb beträgt der on dem Proton aufgenommene vertikale Impul ertikaler lmpul ::: ~

IOn

ertikale Kraft· Zeit

Ze 2 b b- u

---=

Ze 2 bu

(3.11)

• Die e hj he chreibwei e wird in Band I der Fe)'nman- Vorlesungen über Physik, Ab chnin 32.2. eingeflihrt. Heute wäre die Variable e in die em Zu ammen hang typi cherwei e für die Elementarladung reservien.

3 Aufgaben Lind Lösungen

66

Da stimmt nicht genau. Wenn wir dieses Ding genau integrieren kommt ielleicht letzten Endes ein numeri eher Faktor von 2,716 oder 0 herau - aber bi jetzt er uehen wir nur, die Größenordnung. wie sie von den erschiedenen ariablen abhängt, herau zufinden. Der hori::.ontale Impul des Ma enpunktes ist im Grunde bei seinem Auftau hen und bei einem Ver chwinden gleich, nämlich mv: (3.12)

horizontaler Impul :::: mv.

(Da i t die einzige Sache, die Sie ändern müssen, wenn Sie die Relati ität mit einbeziehen.) Wie groß i t nun der Ablenkung winkel? un wir wi en da der nach oben gerichtete Impul Ze 2 /bu und der "seitliche" Irnpul mv i t. Und das erhältni on "nach oben" zu " eitIich' i t der Tangens de Winkels - od r prakti h der Winkel elb t, weil er 0 klein i t ( iehe Abbildung 3-7). e~

Ze 2

Ze 2

(3.13)

-/mv= - - . bv bmu2

Die Gleichung (3. j 3) zeigt, wie der Winkel von der Ge chwindigkeit der a e. der Ladung und dem 0 genannten, Stoßparameter" - dem Ab tand b - abhängt. enn Sie tatsächlich e au rechnen, indem Sie die Kraft integrieren an tatt ie nur zu hätzen, teilt ich heraus, da wirklich ein numerischer Faktor fehlt, und der Faktor i t genau 2. Ich weiß nicht. ob ie chan 0 weit fortge chritten in der Integralrechnung ind: Wenn Sie da nicht können i t e OK. E i t njcht wichtig, aber der korrekte inkel i t

2Ze2 (J=-

(3.14

bmv2 '

(Tat äcWich können Sie die Fonnel für eine beliebige hyperboli che mlaufbahn genau berechnen, aber e i t egal: Für die en Fall, für kleine Winkel können i alle ver tehen. atürlich i t die Gleichung (3.14) nicht wahr, wenn di ink I 30 oder 50 Grad groß werden. Dann haben wir eine zu grobe äherung gemacht.) un die e Sache hat eine ehr intere ante Anwendung in der Ge chjchte der Ph ik. Auf die e Wei e entdeckte Rutherford, da da Atom einen Kern hat. Er hatte eine ehr einfa he Idee: Er baute eine Anordnung auf, in der ich Alphat ilchen on einer

...-==========---

----J-J ~~.2

-----l}:..-(} mv

Abbildung 3-7: Die horizontale und vertikale Komponente de lmpul e de Proton be timmen den lenkung winkel.

b-

67

3-3 Die grundlegende Raketengleichung

radioakti en Quelle durch einen chlitz bewegten - 0 wus te er, da sie ich in eine be timmt Ri htung bewegten - und ließ ie auf einem Zink ulfidschirm aufprallen. Dabei konnt er an einer einzigen teile direkt hinter dem Schlitz Szintillationen ehen. Wenn er aber eine Goldfolie zwi chen den Schlitz und den Schirm setzte tauchten die Szintillationen manchmal woander auf ( iehe Abbildung 3-8). cintillation -

Scintillation -

chinn

chinn

I

Goldfolie

Quelle des C\-Teilchens 0- - - - - - - -

I Schlitz

,. /

~-{--:.~ -=- .

~~(~: ""

,

Abbildung 3·8: Das Ruth rford ehe Experiment, bei dem Alphateilchen abgelenkt werden, flihrte zur Entdeckung de Atomkern .

atürlich war der Grund, dass die Alphateilchen, die an den kleinen Kernen in der Goldfolie orbeikamen abgelenkt urden. Durch Mes en der Ablenkung winkel und Anwendung der Gleichung (3.14) in umgekehrter Form konnte Rutherford die Ab tände b, rhalten die erforderlich waren, um ein so große Maß an Ablenkung zu erzeugen. Die große .. berra chung war, da die e Ab tände ehr viel kleiner al ein Atom waren. Bevor Rutherford sein Experiment machte glaubte man, da die po itive Ladung de Atom nicht in einem Punkt in der Mitte konzentriert ondem gleichmäßig verteilt ei. Unter 'olchen Um tänden konnte das Alphateilchen niemal die große Kraft erfahren, um die bobachteten Ablenkungen zu erzeugen, denn wenn eich außerhalb de Atom befände, wäre es nicht nah genug an der Ladung und wenn e ich innerhalb de Atom befände, wäre über und unter ihm eine identi che Menge an Ladung und da würde nicht genügend Kraft erzeugen. Durch die starken Ablenkungen wurde al 0 demon triert, da e Quellen mit tarker elektri cher Kraft innerhalb de tom gibt. Und dann wurde vermutet, da e einen zentralen Punkt geben mu an dem ich alle po itiven Ladungen befinden. Durch Beobachten der Ablenkungen 0 weit nach auß n ie möglich owie ihrer Häufigkeit konnte man einen chätzwert rhalten ie klein bein mü te, und letzten Ende erhielt man die Größe de Kern - und die er Je ich al 10- 5 mal kleiner als da Atom! So wurden die Atomkerne entd ckt.

3-3 Die grundlegende Raketengleichung Da näch te Problem, üb r da ich pre hen möchte, i t ein völlig anderes: E hat mit dem Raketenantrieb zu tun. Zuer t n hme ich mal eine Rakete die im leeren Raum herumfliegt - di Gra itation kraft und 811 da la e ich außer Acht. Die Rakete wird

68

3 Aufgaben lind Lö IIngen

gebaut, damit ie eine Menge Treib toff aufnehmen kann. Sie hat eine Art Kraftmachine, durch die ie an ihrem hinteren Ende Treib toff au tößt - und au Sicht der Rakete wird die er Treibstoff immer mit der eIben Ge chwindigkeit au ge toßen. ie wird zwi chendurch nicht aus- oder eingeschaltet ondern wir tarten ie und dann tößt ie konstant am hinteren Ende Treib toff au ,bi keiner mehr da i t. Wir nehmen an, da da Zeug mit einer Rate J1 (da bedeutet Ma e pro Sekunde au ge roßen ird und da e mü der Ge chwindigkeit u herau strömt ( iehe Abbildung 3-9 . 11

JL =

dm

dt In

Abbildung 3-9: Rakete mit der Ma e m, die mir einer Rate f.1 Treib toff au rößt.

= dm/dt

und einer Ge chwindigkeir

Sie könnten agen: "Ist da nicht das eibe? Sie kennen die da nicht die Ge chwindigkeit?"

Li

a e pro ekunde. I t

ein. Ich kann eine be timmte enge von Masse pro Sekunde herau chleudem, indem ich einen rie engroßen Haufen von dem Zeug nehme und e jede Mal lang am al nach nach draußen befördere, oder ich kann die eibe Ma e nehmen und jede draußen werfen. Wie Sie ehen ind da zwei ganz unterschiedliche or teHungen. un, die Frage i t wie groß die Ge chwindigkeit i t die die Rakete nach einer Zeit hat. ehmen wir z.B. an, da sie 90 % ihre Gewichte erbraucht: Da b deutet, da ,wenn der ge amte Treib toff verbraucht i t, die Ma e der erbleibenden Hülle ein Zehntel 0 groß i t wie die Ma e de ganzen beladenen Ding or dem Start. Wie groß i t die Ge chwindigkeit, die die Rakete erreicht? Jeder mit ge undern Men chenver tand würde agen da e unmögli hit, eine größere Ge chwindigkeit al u zu erreichen, aber das timmt nicht, ie ie gleich ehen werden. ielleicht agen Sie auch, da i t ja ganz klar. Mal ehen. Aber e ümmt tat ächlich, und zwar au folgendem Grund.) Betrachten ir die Rakete zu jedem beliebigen Z itpunkt wie je ich mit irgendeiner beliebigen Ge chwindigkeit bewegt. Wenn wir un mit der Rakete bewegen und ie über einen Zeitraum I:1t beobachten wa ehen wir dann? un, da i teine be timmte Ma e 6m die au trämt - natürlich i t da da Produkt au der erlu trat J1 der Rakete und der Zeit 111. Und die Ge chwindigkeit, mit der die e a e au trömt, i t Li (siehe Abbildung 3-10). ie ehnell bewegt ich nun die Rakete zu dem Zeitpunkt orwärt na hdem die e as e nach hinten geworfen wurde? Die Ge chwindigkeit mit der ie ich orwärt bewegt mu 0 groß ein, das der Ge amtimpul erhalten bleibt. Da heißt. ie legt etwa an Ge h indigkeit, ßu zu, und zwar 0: Wenn die a e der Raketenhüll und de re tlichen Treib toffe zu die em Zeitpunkt mit dann ent pricht m mal u dem während die er Zeit abgegebenen Irnpul der wiederum fun mal u beträgt. nd

69

3-3 Die grundlegende Raketengleichung

/1

. .·~--O . ~11I

= p.,j,r In

Abbildung 3-10: Die Rakete gewinnt an Ge chwindigkeil b.u während des Zeitinter all b./, indem ie die M e 6.m mit der Ge chwindigkeil LI au tÖßt.

m hr gibt e zur Raketentheorie auch nicht zu agen, denn da i t die grundlegende Raketengleichung:

mflu = utlm.

(3.15)

Wir könnten Jiflt für mein etzen und mit ein bi chen Herumprobieren herau finden, wie lange e dauert, bis eine be timmte Ge chwindigkeit erreicht ist,* aber unsere Aufgabe i t e ja, die Endge chwindigkeit zu bestimmen, und da können wir direkt mithilfe der Gleichung 3.15) tun:

flu fun

u ==

du =

m dm m

U-.

(3.16)

Um die Ge chwindigkeit herau zufinden, die die Rakete erreicht, wenn ie au der Ruhelage tartet integri ren Sie u(dm/m) von der Anfang masse zur Endrnasse. u hatten wir al kon tant angenommen und de halb kann e au dem Integral herausgenommen werden. So ergibt ich:

(3.17) I1lAn(ang

Da Integral om dm/m i t Ihnen möglicherwei e bekannt oder auch nicht. ehmen wir an Sie kennen e nicht. ie agen: ,l/m i t so eine einfache Funktion, ich muss die Ableitung kennen: Ich probiere ein bi ehen mit dem Differenzieren herum, bis ieh ie herau gefunden habe. Aber e teilt ich herau, da Sie nichts Einfache finden können - al Funl.rtion von m, Potenzen von In oder 0 etwa - da beim Differenzieren] / m ergibt. Wenn Sie jetzt nicht wi en wa ie tun ollen machen wir e ander. Wir wählen die numeriehe Integration. ·Wenn die Rakete zum Zeitpunkt t = 0 mit einer Ma e 111 = mo tartet und j.J = dm/dl kon lam i t, dann i t j.J1 und die Gleichung (3.16) wird zu du = lIj.Jdt/(mo - pr), Die Integration liefert u = -u ln[l - {Jlt/1II0)] und die Auflö ung nach t liefert die flir da Erreichen der Ge hwindigkeit u erforderliche Zeit: r(u) = (mo/p)(l - e-v/ U ). m

= mo -

70

3 Aufgaben Lind Lösungen

Denken Sie daran: Wenn Sie bei einer mathematischen Analyse nicht weiter wissen, können Sie die Aufgabe immer arithmetisch lösen!

3-4 Eine numeri ehe Integration Gehen wir davon au . da die Anfang ma se 10 beträgt, und nehmen ir al einfache äherung, da wir jeweil eine Masseeinheit au toBen. La en Si un außerdem alle Ge chwindigkeiten in der Einheit Li me en, denn dann haben ir einfach

6v = 6m/m. Wir wollen die Endge chwindigkeit be timmen. Schauen wir mal: i groB i t die Ge chwindigkeit, die erreicht wird, während wir da er te al eine Einheit Ma e au toßen? un, da i teinfach: 11m

6v = -

m

1 10

= -.

Aber da i t nicht ganz richtig denn während Sie eine Einheit a e au toßen, i t die a e, die reagiert nicht 10. Wenn Sie die ganze Einheit au ge toB n haben. dann beträgt ie 9. Sehen Sie. nachdem 11m au ge toßen wurde, b trägt die' a e der Rakete In - f..m. Al 0 wäre e be er zu chreiben:

Aber da timmt auch nicht ganz. E wäre wahr, wenn die Rakete wirklich Klumpen an toßen würde aber da tut ie nkht - ie wirft kontinuierlich Ma e au . Zu Beginn i t die a e der Rakete 10. m Ende der einen au ge toß nen Einheit beträgt di Ma e nur 9 - 0 da ie im Durch chnitt etwa 95 beträgt. Für da Zeitintervall. in dem die er te Einheü au ge toßen wird agen wir, d 171 = 9,5 die effekti e durchschnittliche Trägheit i t. die gegen 6171 = 1 reagiert 0 da die Rakete einen Kraft toß f..v erhält, der mit i/9,5 idenri ch i t:

f..v

6m

~ 171 -

1 = -. f..m/2 9,5

E i t hilfreich, die e Hälften einzu etzen, weil ie dann weniger chrine brau h n. um eine hohe Genauigkeit zu erreichen. atürlich i te immer no h ni ht ganz g nau. Wenn wir e genauer machen wollten, könnten wir kleinere a klump n. ie z.B. flm = 1/l0 nehmen und we entlieh mehr analy ieren. ber wir nehm n di grob Variante mit m = 1 und machen weiter. Jetzt beträgt die as e der Rakete nur noch 9. Wir toß n eine \ eitere Einh it hinten au der Rakete au und finden a1 äch. te herau da u. .. 1/9 i t? in

3-4 Eine numeri he Integration

71

... 1/? ein. E gilt v = ]/ 5 eil die Ma e ich kontinuierlich von 9 auf 8 geändert hat und durch chnittlich näherung wei e 8,5 betrug. Für die nächste Einheit erhalten wir Ilv = 1/7,5, und 0 entdecken wir da die Antw0I1 die Summe von 1/9.5 1/85 1/7,5. 1/6.5 - tatatatam, bi zum Ende - i t. Mit dem letzten Schritt gehen wir on 2 Ma eeinh iten auf I die Ma e beträgt durch chnittlich l,5 und un bleibt eine a eeinheit übrig. chließlich b r hnen wir alle die e Yerhältni e (das dauert nur einen Moment, diese Zahlen ind alle OK, man kann ie leicht au rechnen), addieren ie und erhalten die Antwort 2 26 . Da bedeutet, da die Endge chwindigkeit v 2,268-mal höher ist al die Au trömge chwindigkeit u. Da i t hier die Antwort - und e i t dem nicht hinzuzufügen!

1/9,5 1/85 1/7,5 1/6,5 1/55 1/4,5

0,106 0,11 0,133 0,154 o 182

~

2,26 u

(3.18)

0222 1/3,5 02 6 1/2,5 0400 0667 I/I 5 226

Jetzt könnten ie agen: "Da gef,illt mir in puncto Genauigkeit nicht - e i tein bi ehen hlampig. E i t gut und hön zu agen Im er ten Schritt ändert sich die Mas e on J0 auf 9, al 0 beträgt ie etwa 9,5'. Aber im letzten Schritt ändert ie ich von 2 auf I undie hab n dafür den Durch chnitt wert l,5 angenommen. Wäre e nicht be er den letzten Schritt aufzuteil n und jeweils nur eine halbe Einheit auszu toßen, damit man ein twa genauere Ergebni erhält?" (Da i t ein fachlicher arithmeti eher Punkt.) Schauen \ ir mal. Während der er ten Hälfte de Zeitintervall , in dem eine Einheit au ge toßen wird, r duziert i h die Ma e on 2 auf 1 5, im Durch chnitt ind da 1,75, 0 da ich 1/1,75 mal ine halbe Einheit für mein ~m/m nehme. Dann mache ich da Glei he für die zweite Hälfte einer Einheit. Die Ma e fällt on 1,5 auf 1, beträgt al 0 durch chnittli h 1 25:

05 + 05 2 + 1,5)/2 (15+ 1)/2

=~+~=06. 1,75

125

,86

i könn n al 0 im letzten Schritt eine Yerbe erung vornehmen - auf die eibe ei e können Sie auch d n R t erbe ern, w nn Sie ich die Mühe machen wollen - und e

3 Aufgaben und Lö ungen

72

kommt 0,686 an tart 0 667 heraus. Das bedeutet, das un ere Antwort etwa zu niedrig war. Wenn Sie e genauer ausrechnen, kommt u ~ 2 287 u berau . Die letzte Ziffer i t wirklich nicht zuverlä ig aber un ere Schätzung ist ehr gut und da genaue Ergebni wird nicht weit on 2,3 entfernt liegen.

J x

Jetzt mus ich Ihnen agen da

man, da da Integral

dm/m olch eine einfache

1

Funktion ist und in so vielen Aufgaben vorkommt, dafür TabeJlen angefertigt und ihm einen amen gegeben hat: Man nennt e den natürlichen Logarithmus.. ln(x). nd wenn Sie mal In(IO) in einer Tabelle für natürliche Logarithmen nach chauen. dann werden Sie ehen, da er 2,302585 beträgt: JO

v

=u

J

dm m

= In(lO)u = 2,302585 u.

(3.19)

J

Mit dem Verfahren das wir oben angewendet haben, können Sie den gleichen Grad an Genauigkeit erreichen, vorau ge etzt, da Sie wesentlich kleinere Ab tänd, ie z.B. 11m = 1/1000, an tatt 1 benutzen - und genau da wurde hier gemacht. ir Wie dem auch ei wir haben uns in kurzer Zeit gut ge hlagen, ohne d vorher irgendetwa wu ten und ohne in Tabellen nachzu chauen. Al o. ich kann nur noch einmal betonen, da ie im otfall immer auf die Arithmetik zugreifen können.

3-5 Chemische Raketentriebwerke un, die e Frage de Raketenantrieb i t intere ant. ie v erden zunäch teinmal fe tstellen, das die Ge chwindigkeit, die chließlich erreicht ird, pr ponional zu u der Au trörnge ch indigkeit, i t. Deshalb ind alle mögli hen An trengungen unternommen worden, um die Verbrennung ga e 0 schnell wie rnögli h au zu toßen. Wenn Sie Wa er toffperoxid mit die em oder jenem oder Sauer toff mit aer toff oder Ähnlichem verbrennen, dann wird eine be timrnte cherni he Energi pro Gramm Treib toff erzeugt. nd wenn ie die Dü en und wa weiß ich noch alle richtig kon truieren, dann können Sie erreichen, da ein hoher meil die r chemichen Energie in die Au trömge chwindigkeit übergeht. Aber natürlich können ie nicht mehr al 100 % erreichen und 0 gibt e eine Obergrenze für in n b timmten Treib toff bezüglich der Ge chwindigkeit, die durch eine ideale Kon tru tion bei einem gegebenen Mas enverhältni erreicht werden kann eil e eine Obergrenz für den L{- ert gibt der durch eine be timrnte chemj che Reakri n erreicht erd n kann. Betrachten wir zwei Reaktionen, a und b, die die eIbe Energie pro freige

rzr m

3-6 Raketen mit Ionenantrieb

73

Atom, aber Atome mit unter ehi dliehen Ma en m a und die Au trömge ehw'ndigkeiten ind, ergibt ich dann

2

mb,

haben. Wenn

Ua

und

Ub

(3.20)

2

Die Ge chwindigkeiren werden a1 0 bei der Reaktion mit dem leichteren Atom größer sein weil die Gleichung (3.20) be agt da s für m a < mb gilt: Ua > Ub. De halb ind die mei ten für Raketen erwendeten Treibstoffe leicht. Die Ingenieure würden gern Helium mit Wa er toff erbrennen aber leider brennt dieses Gemi ch nicht de halb müs en ie z.B. auf Sauer toff und Wa er toff zurückgreifen.

3-6 Raketen mit Ionenantrieb Statt der utzung chemi eher Reaktionen ieht ein anderer Vorschlag die Herstellung eine Mechani mu , durch den Atome ioni iert werden, und deren anschließende elektrische Be chleunigung vor. Damit kann man eine irre Ge chwindigkeit erreichen weil man die Ionen 0 tark be chleunigen kann wie man möchte. Und hier habe ich eIn weitere ufgabe für Sie. ehmen ir an wir haben eine 0 genannte Ionenantrieb rakete. Am hinteren Ende toßen wir Cä iumionen au di durch einen elektro tati ehen Be chleuniger bechleunigt w rden. Die Ionen tarten vorne an der Rakete und zwi ehen dem vorderen und dem hinteren Ende wird eine Spannung Va angelegt - in unserem peziellen Fall eine ziemli h große Spannung - ich habe Va = 200000 V gewählt. Die Frage i t jetzt, wie groß der ehub i t den die e erzeugt. Da i t eine andere Aufgab al die, die ir orhin hatten, als wir herau finden mus ten, wie schnell die Rakete war. Die e Mal mö hten wir wi en, wie groß die Kraft ist, die erzeugt wird, wenn die Rakete auf einem Ver ueh tand gehalten wird ( iehe Abbildung 3-] 1). QV

Abbildung 3-11: Rakete mit lonenantrieb auf einem Ver uchs land.

74

3 Aufgaben und Lösungen

Die Lö ung methode ieht 0 au: ehmen wir an, da die Rakete in ein m Z itintervall 6.[ eine Menge an a se ßm = 11l1t mit der Ge ehwindigkeit II au toßen oll. Dann i t der abgegebene Tmpul (j1!1t)u. Da Aktion und Reaktion iden ti eh ind. geht ein eben 0 großer Tmpul in die Rakete hinein. In der anderen Aufgabe befand i h die Rakete im Raum und hob de halb ab. Die e Mal wird ie durch den er u h tand fe tgehalten und der durch die Ionen erreichte Impul pro Sekunde i t die Kraft. die au geübt werden mu um die Rakete an Ort und Stelle zu halten. Der Oll d n I nen erzeugte Ge amtimpul pro Sekunde i t (;J.ßt)u/ ßt. Somit i t die hubkraft d r Rakete einfach J1U, die a e pro Sekunde, die freige etzt wird, multipliziert mit der Au trömge chwindigkeit. Und de halb rnu ich für mein Cä iumion nur au re hnen, wie groß die au strömende a e pro Sekunde i t und mit welcher Ge ehwindigkeit ie au trömt: Schub

= 6.(Irnpul

au )

Ö,[

= (j.t6.t)u/6.[ = J1U. Zuer t berechnen wir die Ge chwindigkeit der Ionen, und zwar 0: Die kineti che Energie eine Cä iurnion ,da au der Rakete au tritt, i t glei h dem Pr dukt au einer Ladung und der Spannung differenz im Be chleuniger. D i t pannung: Sie i t wie potenzielle Energie, 0 wie Feld wie Kraft i t - ie mü en nur mit der Ladung multiplizieren. um die Differenz in der potenziellen Energie zu erhalten.

Da Cä iumion i t einwertig - e hat eine E1ektronenladung -,

0

da

gilt:

So nun la en Sie un die e qel!mC· au rechnen. Die Ladung pro 01 i t di e berühmte Zahl 96500 Coulomb pro Mol. Die Ma e pro 01 nenn n wir d tomg wicht oder die Atomrnas e und wenn Sie im Period nsy tem nach hauen, nd n i für Cä ium 0 133 kg pro 01. Sie agen: "Was oll d

mit die en Molen? Ich will di 10

erden!"

Wir ind ie chan 10 : Alle ,wa wir brauchen, i t da Verhälmi zwi ehen Ladung und Mas e. Da kann ich in einem tom oder in einem 01 on t men m en. 'Ein Mol i

t

gJei h 6.02 x IoD Atome.

3-6 Raketen mit lonenaf1trieb

75

i t da eibe erhältni. So erhalten wir für die Au tr"mge chwindigkeit

u

=

qel

-

0--

96500 400000· 0,133

=

mc~

(3.23)

;:::; 5 387 . 105 01/ . .. brigen , 5· 10 5 m/ i t we entli h chneller als das, wa Sie jema1 durch eine ehemi ehe Reaktion erreich n können. eh Oli che Reaktionen ent prechen Spannungen in der Größenordnung on einem Volt. Da heißt da diese Rakete mit Ionenantrieb 200000-mal mehr Energie liefert a1 eine chemi che Rakete. Da i t ehön, aber wir wollen nicht nur die Ge chwindigkeit. Wir wollen den chub. Und de halb mü n ir die G chwindigkeit mit der Ma e pro Sekunde J.1, multiplizieren. Ich will die ntwort al Funktion de Elektrizität trame geben, der au der Rak te au trömt - weil der natürlich proportional zu der Ma se pro Sekunde i t. Al 0 will ich herau finden, wie iel Schub pro Ampere Strom orhanden i t. ehmen wir an da ein mpere aus trömt: Wie viel Ma se i t da ? Da i tein Coulomb pro ekunde oder 1/96500 Mol pro Sekunde weil so viele Coulomb in einem Mol enthalten ind. bel' in 01 wiegt 0,133 kg, das liefert 0,133/96 500 kg pro Sekunde und da i t der Ma endurch atz:

I Amp r

= I Coul

J1 =

1

mb/

-t

96500 Molj

(96100 Moll ) . (0 133 kg/Mol)

= 1,378· 10-6 kg/

(3.24)

.

Ich multipliziere J.1 mit der Ge hwindigkeit u, um den Schub pro Ampere zu bekomm n. Da Ergebni i t: Schub pro Ampere = pu

= (1,378 x

;:::; 074

10-6 ). (5,387

ewton/Amper .

X

105 ) (3.25)

niger al drei Vieltel eine ewtons pro Ampere - da i t hlecht Wir erhalten al 0 mi erabel hwach. in Ampere i t verdammt wenig Strom, 100 oder 1000 Ampere ind chan ganz ord ntlich. aber elb t da liefert kaum Schub. E i t chwierig, eine ordentliche Menge Ionen zu bekommen. Jetzt rechnen wir au ie iel Energie verbraucht wird. Bei einem Strom von 1 mp r wird 1 Coulomb an Ladung pro Sekunde über ein Potenzial von 200000 V au g toBen. Oldie nergie (in Joule) zu be timmen, multipliziere ich die Ladung mit d r pannung weil Volt eigentlich nichts andere al Energie pro Ladung einheit

76

3 Aufgaben und Lösungen

(Joule/Coulomb) i t. Deshalb werden 1 x 200000 Joule pro ekunde erbraucht und das ent pricht 200000 Watt: 1 Coulomb/ x 200000 V = 200000 Watt.

(3.26)

Au 200000 Wart erhalten wir nur 0,74 Newton und da i t om energeti ehen Standpunkt au ge ehen grau ig. Da Verhältnis SchubjLeistung beträgt nur 3,7 x 10-6 ewton pro Watt - da i t äußerst schwach: SchubjLel. tung;:::;

0,74 200000

= 3,7·10- 6

ewton/Watt.

Auch wenn e eine nette Idee ist, bedeutet das, da man eine ungeheure Energie braucht um in die em Ding irgendwohin zu kommen!

(3 .27)

enge an

3-7 Raketen mit Photonenantrieb Eine andere Raketenkon truktion ist vorge chlagen worden. und zwar nach dem Motto "Je chneller man au toßen kann, desto besser". Al 0, warum nicht Photonen aus toß n - sie ind da chnell te wa e auf der Erde gibt - Licht hinten au der Rakete chießen! Die Photonen toßen hinten an der Rakete au , chalten ein Blitzlicht ein und erhalten einen Schub! Sie können ich allerding ieher or teilen da man eine wahn innige Menge Licht au toßen kann, ohne da man einen pürbaren Schub erhält: Sie wi en aus Erfahrung elb t da e Sie nicht von den Füßen haut enn Sie ein Blitzlicht ein chalten. Selb t wenn Sie eine 100- art-Birne ein halten und ine Foku iervorrichtung darauf etzen, püren Sie gar nicht ! Somit i t e ehr unwahrcheinlich, da wir ehr viel Schub pro Watt erhalten. Rechnen wir aber trotzdem mal das Verhältni SchubjLei tung für eine Rakete mit Photonenantrieb au . Jede Photon da wir am hinteren Ende der Rakete au toßen trägt einen be timrnten Impul p und eine be timmte Energie E und bei Photonen i t die Energie da Produkt au dem Impul und der Lichtge chwindigkeit: E= pe.

.2 )

Al 0 i t bei einem Photon der lmpul pro Energie gleich I/e. Da bedeutet: Egal, wi iele Photonen wir verwenden, der Impul den wir pro Sekunde au toßen, hat in be timmte erhältni zu der Energie, die wir pro ekunde au toßen - und di Verhältni i t eindeutig und fe tgelegt: 1 dividiert durch die Lichtge ch indigk it. Der pro ekunde au ge toßene lmpul i t jedoch die Kraft die benötigt wird, um die Rakete an Ort und Stelle zu halten, während die pro Sekunde au ge toBen Energie die Lei tung der Ma chine i t die die Photonen erzeugt. Folgli h beträgt da erhältni

3-8 Eine elektrostatische Protonenstrahlablenkvorrichtung

77

SchubjLei tung auch l/c (dabei i tc = 3 X 108 ) oder 3,3 x 10- 9 ewton pro Watt und da i t tau endmal chlechter al der Cä iumionen-Be chleuniger und eine Million Mal chlechter al eine chemische Rakete! Da ind einige Punkte der Raketenkon truktion. (Ich zeige Ihnen alle diese komplizierten halbneuen Dinge, damit Sie ehen können, das Sie efH as gelernt haben und da Sie jetzt in der Lage ind, einen großen Teil on dem was in der Welt 0 or ich geht zu ver tehen.)

3-8 Eine elektrostatische Protonenstrahlablenkvorrichtung Die näch te Aufgabe, die ich mir ausgedacht habe, um Ihnen zu zeigen, wie man Dinge anpacken kann, i t folgende. Im Kellogg Laboratory* haben wir einen Van-deGraaff-Generator, der Protonen mit 2 Millionen Volt erzeugt. Die Potenzialdifferenz wird elektro tati ch durch ein Band erzeugt, da ich bewegt. Die Protonen fallen durch die e Potenzial, nehmen eine Menge Energie auf und kommen in Fonn eine Strahl heraus. ehmen wir an, wir möchten für bestimmte Versuchszwecke, dass die Protonen in ver chiedenen Winkeln au treten, 0 dass wir sie ablenken müssen. Da geht arn Be ten mit einem Magneten. Trotzdem können wir auch berechnen, wie man da elektrisch machen kann - i wurden ja so erzeugt - und da machen wir jetzt. Wir nehmen ein Paar gebogener Platten die sich im Vergleich zum Radius ihrer Krümmung ehr dicht beieinander befinden - z. B. näherungswei e d = 1 cm aneinander entt rnt - und durch I olatoren voneinander getrennt ind. Die Platten sind

v

0=2 1V ---~.~ d= 1 cm

R

Abbildung 3-12: Elektro tati he Protonenstrahlablenkvorrichrung. •Da Ke/logg Radiation Laboratory am Caltech führt Exp rimente in der Kernphysik, Elememaneilchenphy ik und der A trophy ik durch.

78

3 Aufgaben lind Lö ungel1

kreisförmig gebogen und wir legen eine möglichst große Spannung von iner pannung quelle durch die Planen hindurch, 0 da wir zwi ehen ihnen ein elektri che Feld erzeugen, da den Strahl radial um den Kreis herum ablenkt iehe Abbildung 3-12). Tat ächlich hat man wenn man erheblich mehr al 20 kV über einen Ab tand on I cm im Vakuum legt. Probleme mit Durch chlägen - obald e eine kleine undichte Stelle gibt gelangt Schmutz hinein und es ist sehr chwierig, ein .. ber hlagen zu erhindern - al 0 legen wir 20 kV durch die Platten. (Ich mache die e ufgabe allerding nicht mit Zahlen. Ich erkläre nur alle mit Zahlen. Oe halb nenne ich die pannung durch die Platten V p.) Jetzt möchten wir wis en: Bi zu \i elchem Krümmung radius mü sen wir die Platten biegen, damit 2 MeV-Protonen zwi ehen ihnen abgelenkt werden? Da hängt einfach von der Zentripetalkraft ab. Wenn m die Ma e eine Proton i t dann be agt die Gleichung (2.17), dass mi/ R gleich der Kraft i t. die erforderlich ist, um da Proton hineinzuziehen. Und die Kraft, die da Proton hineinzieht. i t die Ladung de Proton - wieder un er berühmte qel - multipliziert mit dem elektri ehen Feld, da ich ziehen den Planen befindet:

Die e Gleichung i t da ewton che Axiom: Kraft i t gleich M e mal Be chleunigung. Damit Sie e anwenden können, müs en Sie allerding die Ge eh indigkeit de Proton, das au dem Van-de-Graaff-Generator herau kommt. kennen. un Informationen über die Ge chwindigkeit der Protonen haben \i ir dadurch, da wir wi en, wie groß da Potenzial i t, durch da i gefallen ind - 2 illionen Volt -, da nenne ich Vo. Der Energieerhaltung atz be agt das di kineti he Energie de Proton mu 2 /2, gleich dem Produkt au der Ladung de Pr ron und der pannung i t durch die e gefallen i 1. v2 können wir darau direkt berechnen:

3. 0

Wenn ich u- au der Gleichung (3.30) in die Gleichung 3.29) ein etze. erhalt ich

3. 1)

3-8 Eine elektro tatische Protonenstrahlablenkvorrichtung

79

enn ich al 0 ü te, wie groß da elektri ehe Feld zwischen den Platten ist. könnte ich den Radiu leicht b timmen - auf Grund dieser einfachen Beziehung zwi chen dem elektri ehen Feld, der pannung bei der die Protonen gestartet ind, und der Krümmung der Platten. un, wa i t da elektri ehe Feld? Wenn die Platten nicht zu stark gebogen sind, i t das elektri ehe Feld überall zwi chen ihnen ungefähr gleich groß. Und wenn ich eine Spannung durch die Platten lege gibt es eine Energiedifferenz zwi ehen einer Ladung auf der einen Platte und einer Ladung auf der anderen. Die Energiedifferenz pro Ladung einheit i t die pannung differenz - da bedeutet Spannung. Wenn ich nun eine Ladung q durch ein kon tante elektri ehes Feld c von der einen Platte zur anderen tran portieren würde, wäre die auf die Ladung au geübte Kraft qc und die Energiedifferenz qSd, wobei d der Ab tand zwi chen den Platten i t. Durch Multiplizieren von Kraft und Ab tand rhalte ich die Energie - oder durch Multiplizieren von Feld und Ab tand erhalte ich da Potenzial. AI 0 beträgt die Spannung an den Platten Sd:

_ Energiedifferenz _ q8d _ d ----8 Ladung q C; = Yp/d. p-

(3.32)

Oe halb habe ich E: au d r Gleichung (3.32) in die Gleichung (3.31) für den Radiu ie lautet 2 0/ p mal dem Ab tand zwi ehen den Platten:

R= 2

0

(Vp/d)

=2

Va d. Vp

(3.33)

In un erer peziellen Aufgabe ist da Verhältni von Va zu V p - 2 Millionen Volt zu 20 kV - 100 zu 1 und d = I cm. De halb ollte der Krümmung radiu 200 em oder 2 m betragen. Eine Vorau etzung, on der wir hier au gegangen ind, i t, das da elektri che Feld zwi chen den Platten kon tant i t. Wie gut i t unsere Ablenkvorrichtung enn das elektri che Feld nieht kon tant i t? Immer noch ziemlich gut weil die Platten bei einem Radiu on 2 m fa t flach ind 0 da da Feld näherung wei e kon tant ist. nd enn wir den Strahl direkt in der Mitte haben i t das OK. Aber elb t wenn da ni ht der Fall i t i t ie ehr gut, denn wenn da Feld auf einer Seite zu tark i t, i te auf der anderen Seite zu hwach. Die e Dinge gleichen ich fa t au . Mit anderen Worten wenn wir da Feld nahe der Mitte verwenden, erhalten wir einen au gezeichneten Schätzwert Selb t wenn er nicht p rfekt i t, i t er bei olchen Dirnen ionen ein verdammt guter äherung wert. Bei R/d = 200 zu 1 i t er fa t genau.

80

3 Aufgaben und Lösungen

3-9 Bestimmung der Ma e des Pions Ich habe eigentlich keine Zeit mehr, aber ich bitte Sie noch ein inute zu bleiben damit ich Ihnen über ein weitere Problem berichten kann: Die hi tori he Art und Wei e wie die a e de Pion (lf) be timmt wurde. Tat ächlich urde da Pion zuer t auf fotografi ehen Platten entdeckt, auf denen Spuren von My-Me onen- ll) ·orhanden waren: Ein unbekannte Teilchen war darauf gelanot und hatte ge toppt und dort, wo e ich nicht weiter bewegt hatte, gab e eine kleine abgehende pur, deren Eigen chaften, o fand man herau die eine Myon waren. (Myonen aren orher berei bekannt, aber da Pion wurde anband dieser Bilder entdeckt.) Man nahm an, da ein eutrino (v) in die entgegenge etzte Richtung flog (und dabei kein Spur hinterließ weil e keine Ladung be itzt) ( iehe Abbildung 3- L3).

-- --- ..

-"';.-~-:"" ..

IJ'" _--_.-:-.~"-

Abbildung 3-13: Spuren eine Pion, da in ein Myon und ein un iehtbare (elektri eh neutrale) Teil hen zerfällt.

Die Ruheenergie de Myon betrug bekannterwei e 105 e und man fand anhand eine kineti ehe Energie 4 5 betrug. le der Eigen chaften der Spur herau, da können wir unter die en Vorau setzungen die Ma e de Pion be timmen (iehe bbildung 3-14)?

7T

---0

~

Abbildung 3-14: Zerfall eine Pions in Ruhe in ein Myon und ein eutrino mit idemi hen und entgegenge etzt gerichteren Impul en. Die Ge amtenergie de M on und eutrino i I identi h mit der Ruheenergie de Pion.

ehmen wir an, das ich da Pion in Ruhe befindet und in in on und in utrino zerfällt. ir kennen die Ruheenergie owie die kineti he Energie und damit auh die Ge amtenergie de yon. Aber wir rnü en außerdem die Energie d eutrino kennen, eil auf Grund der Relativität die a e d Pion mal c zum Quadrat eine Energie i t, und die e ge amte Energie geht in da Myon und das eutrino über. ehen eutrino bleib n übrig. ach dem Sie, da Pion er chwindet und da Myon und da Energieerhaltung atz rnu die Energie de Pion die Summe der En rgie de on • ,My-Me on" i tein veralteIer Begriff für ein Myon, ein Elememaneilchen mil de

lben Ladung ~ ie ein Eie tron. n°O

aber einer näherungsweise 207-mal 0 großen Ma e (laI ä blich i tein der modemen Bedeutung de \ one .. r1

gar kein Me on).

3-9 Bestimmung der Ma se des Pions und der Energie de

eutrino

81

em:

(3.34) Also müssen wir die Energie de Myons und die Energie des eutrino berechnen. Die Energie de Myon i teinfach ie ist prakti ch gegeben: 4,5 MeV i t die kineti ehe Energie, addiert zur Ruh energie - und wir erhalten

Ep

= 109,5 MeV.

Und wie groß i t die Energie de eutrino? Das ist schwieriger. Aber laut dem Impul erhaltung atz kennen wir den Impuls des eutrino, weil er mit dem Impuls de Myons genau identi ch und ihm entgegengesetzt gelichtet i t - und das ist der Sehlü el. Sie ehen, ich rolle da Ganze on hinten auf: Wenn wir den Impuls de eutrino kennen würden könnten wir wahr cheinlich eine Energie ausrechnen. Also ersuchen Wlf

.

Wir berechnen den Impul de Myon mit der Formel E 2 = m 2c 4 + p2 c 2 und wählen 2 ein Einheiten y tem in dem c = 1 i t, 0 da s E = m2 + p2 i t. Da liefert für den Impul de M on :

pp

= ~E~ - m~ = ~(l09,5)2 -

(105)2

~ 31 MeV.

(3.35)

Aber der Impuls de eutrino i t identi ch und entgegenge etzt gerichtet, 0 da und dabei kümmern wir un nur um den Betrag nicht um Vorzeichen - der Impul de eutrino auch 31 MeV beträgt. Wie ieht

mit einer Energie aus?

Da die Ruhemas e des eutrino null i t i t seine Energie gleich dem Produkt au seinem Impuls und c. Darüber haben wir bei der Rakete mit Photonenantrieb ge prochen. Bei die er Aufgab la en wir C = 1, 0 da die Energie de eutrino gleich groß i t wie ein Impul ,31 MeV. euSo da wär : Die Energie de Myon beträgt 1095 MeV, die Energie de trino i t 31 MeV 0 da s die in der R aktion freigesetzte Ge amtenergie 1405 MeV beträgt - alle gegeben durch die Ruhema e de Pion : mTf = EJi

Und

0

+ Eu

~ 1095

+ 31 = 140,5 MeV.

wurde die Ma e de Pion ur prünglich be timmt.

Für mehr reicht die Zeit jetzt nicht. Danke. Bi zum näch ten Mal. Alle Gute!

(3.36)

4 Dynamik und ihre Anwendungen Ich möchte ankündig n da die heutige Vorlesung sich von den anderen dadurch unter cheiden wird da ich über eine Vielzahl von Themen prechen werde die nur zu Ihrer Unterhaltung dienen und die Phy ik für Sie interessant machen sollen. Wenn Sie etwa nicht er tehen, weil e zu kompliziert i t, können Sie e einfach erge en, e ist völlig unwichtig. Wir könnten jede Thema da wir behandeln, natürlich noch mehr im Detail behandeln - ganz icher iel detaillierter als bei einer ersten Annäherung - und wir könnten die Probleme der Drehd namik fa t ndlo weiterverfolgen, aber dann hänen wir keine Zeit, etwa andere au der Ph ik zu lernen. Also werden wir uns hier von dem Thema verab chieden. Eine Tage werden Sie ielleicht aufIhrem eigenen Weg zur Drehdynamik zurückkehren ollen ob al Ma chinenbauer oder al A tronom der ich Gedanken über die rotierenden Sterne oder die Quantenmechanik macht (in der Quantenmechanik gibt es Drehb wegungen) - wie auch immer Sie ich wieder damit be chäftigen, da hängt von Ihnen ab. Eist allerding das er te Mal, dass wir ein Thema verla en da wir nicht abge chlos en haben. ir haben eine Menge unterbrochener Gedanken oder Gedankengänge die irgendwo hing hen und nicht weitergedacht werden, und ich möchte Ihnen erzählen wohin ie gehen damit Sie eine be ere Ein chätzung da on bekommen, wa Sie wi en. Die mei ten Vorle ungen bi jetzt waren zu einem großen Teil theoreti ch - oller Gleichungen und 0 weiter - und viele VOn Ihnen mit einem Intere se an praktischem Ma chinenbau möchten lieb nd gerne ein paar Bei pie1e für die "men chliche Cleveme "bei der Anwendung die er Theorien sehen. Wenn dem 0 i t, dann i t un er heutige Thema be ten geeignet Sie zu erfreuen, weil e nicht Erle enere im Machinenbau gibt a1 die prakti he Ent\ icklung der Trägheit na igation in den letzten Jahren. Da wurde eindruck oll durch die Fahrt des U-Boote Nautilus unter dem Polarei v ran chaulicht: E konnten keine Sterne beobachtet werden, Karten om eere boden unter dem Polarei gab e prakti ch nicht, im Schiff gab e keine Möglichkeit zu ehen 0 man ich befand - und trotzdem wu te die Be atzung immer wo ie war.* Die Fahrt wär ohne die Entwic lung der Trägheit navigation unmöglich gewe en und ich rnöcht Ihnen heute erklären, wie ie funktioniert. Aber vorher mö hte ich Ihnen iene

84

4 Dynamik und ihre Anwendungen

ein paar ältere, weniger empfindliche Geräte erklären, damit ie die Grundlagen und Aufgaben reHungen. die die chwierigen und wunderbaren Ent icklungen der päreren Jahre betreffen. be er verstehen können.

4-1 Ein Gyro kop Fall Sie noch kein oIche Teil ge ehen haben zeigt Ihnen Abbildung 4-1 eIn Gyro kop in kardanj cher Aufbängung.

Abbildung 4-1: Ein Gyro kop.

Wenn da Rad einmal in Drehbewegung ge etzt i t, behält e eine u richtung. selb t wenn die Ba i aufgenommen und in einer beliebigen Richtung bewegt \: ird - da G ro kop bleibt mit einer Drehach e AB im Raum fe t. Bei prakti hen nwendungen, bei denen da Gyro kop ich weiterdrehen mu . ird ein klein r tor einge etzt, um die Reibung in den Ach zapfen de Gyro kop au zugleichen. Wenn ie er uchen, die Richtung der Ach e AB zu ändern indem ie im Punkt nach unten drucken (und 0 ein auf da Gyro kap ein irkende Drehmoment um di Ach e XY erzeugen) bewegt ich Punkt A nicht nach unten ondem eitlich Ri htun O Y in Abbildung 4-1. Da Au üben eine Drehmom nle auf d G ro k p um in beliebige Ach e (außer der Drehach e) erzeugt eine Drehbe egung d G r k p um

...........

85

4-2 Der Kurskreisel

eine Ach e, die jeweil enkrecht zu dem au geübten Drehmoment und zur Drehach e de Gyro kop verläuft.

4-2 Der Kurskrei el Ich beginne mit der einfach ten möglichen Anwendung eine Gyroskop: Wenn e sich in einem Flugzeug befindet, das seine Richtung ändert, zeigt die Drehach e des Gyro kop - z.B. horizontal au gerichtet - weiter in dieselbe Richtung. Das ist ehr nützlich: Da das Flugzeug mehrere unter chiedliche Bewegungen macht, können Sie eine Richtung beibehalten - dieses Gyroskop nennt man Kurslerei el (siehe Abbildung 4-2).

",

/

,

/

'" '"

...

------

/

"- "-

... ...

.... ....

I I

I

Abbildung 4-2: Ein Kur krei el behält seine Ausrichtung in einem Flugzeug, da

eine Richtung ändert.

Sie sagen: , Das ist da Gleiche wie ein Kompas ." I t e nicht weil der Kur krei el nicht orden ucht. Er wird 0 benutzt: Wenn ich da Flugzeug am Boden befindet stellen Sie den magnetischen Kompa ein und verwenden ihn um die Ach e de Gyroskops in einer Richtung, z.B. orden, einzuteilen. Wenn Sie dann herumfliegen, behält da Gyro kop eine Au richtung bei und Sie können e immer benutzen, um orden zu finden. "Warum benutzt man denn nicht infach den magnetischen Kompas ?" E i t ehr chwierig einen magneti chen Kompa in einem Flugzeug zu benutzen weil die adel auf Grund der Bewegung schwingt od r abfällt und e Ei en und andere Quel1en magneti eher Felder im Flugzeug gibt. Anderer eit werden Sie fe t t llen da da Gyro kop wenn da Flugzeug ruhiger fliegt und ich eine Zeitlang auf einer geraden Linie bewegt auf Grund der Reibung

86

4 Drnamik und ihre mrendllngen

in der kardani ehen Aufhängung nicht mehr nach orden zeigt. Da Flugz ug hat ich lang am in eine andere Richtung bewegt und e war Reibung vorhanden. kleine Drehmomente wurden erzeugt. da Gyro kop hat Präze ion be egungen gemacht und zeigt nicht mehr genau in dieselbe Richtung. Oe halb mu . der Pilot on Zeit zu Zeit einen Kur krei el nach dem Kompas neu ein tellen - jede Stunde oder ielleicht auch häufiger je nachdem wie perfekt reibung 10 da Ding herge tellt urde.

4-3 Der künstliche Horizont Der kün rIiche Horizont, eine Vorrichtung zur Be timmung der uf ärt richtung. funktioniert nach dem eiben Muster. Wenn Sie ich am Boden b finden, t II n ie ein G ro kop 0 ein, da eine Achse vertikal au gerichtet i t. Dann gehen i in di Luft und da Flugzeug chaukelt und wackelt hin und her. Da G ro k p behält eine vertikale Au richtung, aber e rnu auch gelegentlich neu einge teilt werden. Wie können wir den kün tlichen Horizont abgleichen? Wir könnten die Schwerkraft benutzen um die uf ärt ri htung zu be timm n, aber Sie können ich icher gut vor teilen, da bei einem Kurvenflug die heinbare Schwerkraft in einem be Ürnmten Winkel abweicht und d da bgleich n ni ht 0 einfach i t. Aber auf Dauer und im Durch chnitt ge ehen i t die hwerkraft in eine be timrnte Richtung gerichtet - e ei denn, da Flugzeug fliegt letzten End mit der Unter eire nach oben ( iehe Abbildung 4-3).

~"'~- --~'--------"'-~,-----

~,~,r~

! /! Abbildung 4·3: S heinbare Schwerkraft in einem Flugzeug, d

! die Richtung änd r1.

Überlegen ie de halb mal, wa pa ieren würd enn ir ein Ge i ht in die kardanj ehe uthängung im Punkt A de in bbildung 4-1 darge teHten G ro kap einfügen und dann da Gyro kap mit vertikal au gerichteter eh e und Punkt in unterer Po ition in Orehbewegungen ver etzen würden. enn da Flugzeug gerad au

4-4 Ein Gyroskop ;.ur Schiffsstabilisierung

87

und eben fliegt, zieht da Gewicht direkt nach unten und hält dadurch die Drehach e in vertikaler Au richtung. Fliegt da Flugzeug eine Kurve, ver ucht da Gewicht die Achse ertikal egzuziehen, aber durch die Präzes ion setzt das Gyro kap dem einen Wider tand entgegen und die Achse bewegt sich nur ehr lang am weg von der ertikaien Au richtung. Schließlich beendet das Flugzeug ein Manö er und das Gewicht zieht wieder gerade nach unten. Auf Dauer und im Durchschnitt richtet da Gewicht die Ach e de Gyroskop in Richtung der Schwerkraft au . Da i t fast 0 wie der Abgleich zwi ehen dem Kur kreisel und dem Magnetkompas , außer da die er Abgleich nicht stündlich oder 0 erfolgt, sondern tändig während de Fluge, 0 da strotz der Tendenz des Gyro kops, ehr lang am abzuweichen, seine Ausrichtung durch die durchschnittliche Au wirkung der Schwerkraft über lange Zeiträume beibehalten wird. Je lang amer da Gyro kop abweicht, de to länger i t natürlich der Zeitraum, über den die er Durchschnittswert tat ächlich genommen wird und desto besser eignet ich da In tfument für kompliziertere Manöver. E i t nicht ungewöhnlich Flugmanäver zu machen bei d nen die Schwerkraft eine halbe Minute lang ausge chaltet i 1. Wenn alo der Zeitraum für die Durch chnittberechnung nur eine halbe Minute wäre, würde der kün tliche Horizont nicht richtig funktionieren. Die Geräte, die ich gerade beschrieben habe - der künstliche Horizont und der Kur krei el - ind die In trumente, die al Leitvorrichtung für die Autopilotfunktion in Flugzeugen benutzt werden. Da heißt, das man Infoffi1ationen, die man von dieen In trumenten erhält, erwendet, um da Flugzeug in eine be timrnte Richtung zu lenken. Wenn ich ein Flugzeug z.B. von der Achse des Kur krei eIs weg bewegt werden elektri che Kontakte herge teilt, die über eine Reihe von Teilen dazu führen, da ein paar Klappen bewegt werden und da Flugzeug 0 wieder auf Kur gebracht wird. Solche Gyro kope bilden da Herz tück von Autopiloten.

4-4 Ein Gyro kap zur Schiffsstabilisierung Eine weitere interes ante Anwendung on Gyroskopen, die heute nicht mehr einge etzt wird früher aber orgeschlagen und gebaut wurde, i t die Stabili ierung on Schiffen. Jeder glaubt natürlich, man dreht einfach ein große Rad auf einer am Schiff befe tigten ch e aber da timmt nicht. Wenn Sie da wirklich auf die e Wei e z.B. mit vertikal au gerichteter Drehach e machen würden und eine Kraft da Schiff vorne hoch chleudern würde wäre da Endre ultat da da Gyro kap eine Präze ion bewegung zu einer Seite machen und da Schiff umkippen würde - das funktioniert al 0 nicht!' Ein Gyro kap tabili iert nicht durch ich elbst. Wa tattde en pa iert veran chaulicht ein Prinzip, das bei der Trägheit navigation verwendet wird. Der Trick ieht 0 au : Irgendwo in dem Schiff gibt e ein ehr kleine ,aber wunderbar gebaute Master-Gyro kop, de en Ach e z.B. vertikal au gerichtet i t. In dem Moment in dem da Schiff etwas au der vertikalen Ausrichtung rollt, teuern elektri ehe Kontakte in dem Ma ter-Gyroskop ein rie ige Slave-G ro kop

88

4 D)namik und ihre AmlJendungen

Abbildung 4·4: Ein G ro kap zur Schiff rabili ierung: Wird das Gyro kop Drehmoment erzeugt. das das Schiff nach rechts rollt.

VOIv:ärt getrieben. wird ein

da zur Stabili ierung de Schjffe verwendet wird - da waren wahr h inlich die größten Gyro kope, die jemal gebaut wurden ( iehe Abbildung 4-4 ~ onnaJerwei wird die Achse de Slave-Gyro kop in vertikaler Au richtung gehalten, aber da e ich in einer kardani chen Aufhängung befindet, kann e um die ickach e de Schiffe gedreht werden. Wenn da Schiff beginnt, nach recht oder link zu rollen. wird da Sla e-Gyro kop zweck Korrektur vor- oder rilckwärt gen en - Sie wi en, ie eigen innig Gyro kope immer ind und ich einfach nicht in die richtige Richtung bewegen wollen. Die plötzliche Drehung um die ickach e erzeugt ein Drehmoment um die RoIlach e da der Rollbewegung de Schiffes entgegengerichtet i 1. Die eigung de Schiffe wird durch die e Gyroskop nicht korrigiert aber natürlich i t die eigung eine großen Schiffe relativ klein.

4-5 Der Krei elkompa s Jetzt möchte ich ein andere Gerät be chreiben da auf Schiffen erwendet ird den Krei elkompa ". Im Unter chied zum Kur krei el der immer on der ordrichtung abweicht und regelmäßig neu einge teUt werden mu , ucht ein Krei 1 mpa elb t die ordrichtung - er i t ogar bes er a1 der Magnetkompa , eil er di echte ordrichtung im Sinne der Erdrotationsachse uch1. Er funktioniert. folgendermaß n: ehmen wir an, ir chauen von oberhalb des ordpol auf die Erde und bewegen un gegen den Uhrzeiger inn. Irgendwo haben wir ein Gyro kop aufge teilt z.B. am .. quator, und die Ach e de Gyro kop verläuft in 0 t-We t-Richtung parallel zum Äquaror wie in Abbildung 4-5(a) darge teHt. Für den Moment la en ie un da Bei piel eine idealen freien Gyro kop mit vielen kardani ehen Ringen und wa weiß ich nicht

4-5 Der Kreiselkompass Bli k \on oberhalb de

a

89 ordJXlI:

b

c

Blick von direkt oberhalb des Gyro kops am Äqunlor:

a

b

c

+ Abbildung 4-5: Ein freie Gyro kop, das sich mit der Erde dreht, behält eine Au richtung im Raum bei.

noch allem nehmen. (E könnte ich in einem Ball, der in Öl chwimrnt befindenoder wo immer Sie wollen, 0 da s keine Reibung vorhanden ist.) Sech Stunden später würde da Gyro kop immer noch in die eibe absolute Richtung zeigen (weil keine Drehmomente a] Folge von Reibung auf es einwirken), aber wenn wir in der ähe de Äquator tehen würden, könnten wir beobachten, wie e ich lang am umdreht: Sech Stunden päter würde e direkt nach oben zeigen, wie in Abbildung 4-5(c).

Abbildung 4-6: Da Gyro kop mit Gewichten, die die Drehachse enkrecht ZUr Schwerkraft halten.

90

4 Dynamik und ihre Anwendungen

Aber jetzt teilen Sie sich vor wa pa ieren würde wenn \vir ein Gewi ht an d Gyro kop hängen würden wie in Abbildung 4-6 darge teHt. Da Ge\ icht würde die Drehachse de Gyro kop enkrecht zur Schwerkraft halten. Blick von oberhalb de

Tordpol:

a

b

Blick von direkt oberhalb de Gyroskop. am Äquator: c

b

+ Abbildung 4-7: Ein be chwerter Krei elkompa s richtet eine Drehach e paraJl I zur Erdrotation a h e

au .

Auf Grund der Erdrotation wird da Gewicht hochgehoben und da hochgehobene Gewicht will natürlich wieder nach unten. Da erzeugt ein Drehmoment parallel zur Erdrotation wodurch da Gyro kop ich im rechten Winkel zu allem dreht. In die em peziellen Fall bedeutet das, da s da Gewicht nicht hochgehoben \ ird ond m tande en da G TO kop umkippt. Und 0 dreht e eine Ach e um in Richtung orden wie in Abbildung 4-7 darge teHt. Blic von obernalb des

c

ordpols:

d

Blick von direkt oberhalb de Gyro kop am Äquator:

+

c

d

Abbildung 4·8; Ein Krei elkompas mit parallel zur Rotation ach behält eine Lage bei.

e

der Erde au geri hleler Dr ha h

4-5 Der Kreiselkompass

91

Jetzt nehmen wir an, da die Achse de Gyroskop schließlich nach Norden zeigt: Bleibt ie o? Wenn wirda eIbe Bild mit der nach Norden ausgerichteten Achse zeichnen, wie in Abbildung 4-8 darge teIlt, schwingt der Arm, da die Erde sich dreht um die Achse des Gyroskops herum und da Gewicht bleibt unten. Es wirken keine Drehmomente von dem hochgehobenen Gewicht auf die Achse ein und die Achse zeigt auch später in Richtung orden. Wenn al 0 die Achse de Kreiselkompa e nach Norden zeigt, gibt es keinen Grund, warum das nicht so bleiben sollte; wenn aber seine Ach e nur leicht in 0 tWe t-Richtung zeigt, dann dreht da Gewicht die Achse in Richtung Norden, da die Erde sich dreht. Der Kreiselkompa i t de halb ein nord uchende In trument. (Wenn ich ihn genau so bauen würde, würde er Norden suchen und sich vorbeibewegen auf der ander n Seite au rollen und sich eigentlich hin- und herbewegen - deshalb mu s etwa Dämpfung ingebaut werden.) Jetzt haben wir ine Art kün tlichen Krei elkompa , der in Abbildung 4-9 dargestellt ist. Leider ind nicht alle Ach en des Gyroskops frei. ur zwei sind frei und Sie mü sen ein bisschen nachdenken um herauszufinden, da da fast da Gleiche ist. Sie drehen da Ding, um die Bewegung der Erde zu imulieren, und die Schwerkraft wird durch ein Gummiband nachgeahmt, da analog zu dem Gewicht am Ende de Arms am

~striert eil)~Iil"

Abbildung 4-9: Feynman demO

.

. .....

\cu n thehen Kreiselkolllpa

92

4 D, namik und ihre Anwendungen

Gyro kop befe tigt i t. Wenn Sie beginnen da Ding zu drehen macht da G ro kop eine Zeit lang eine Präze ion bewegung, aber wenn Sie geduldig g nug ind und da Ding immer weiter drehen beruhigt e sich. Der einzige Ort, an dem e bleiben kann ohne zu ver uchen, ich in eine andere Richtung zu drehen. i t parallel zur Rotation ach e eine Rahmen - in diesem Fall der imaginären Erde - und daher pendelt e sich sehr hüb ch ein und zeigt in Richtung orden. Wenn ich die Drehbewegung toppe, driftet die Ach e ab weil in den Lagern verschiedene Reibung kräfte und andere Kräfte wirken. Reale Gyro kope weichen immer ab. Sie erhalten ich nicht ideal.

4-6 Verbesserungen am Entwurf und der Kon truktion

von Gyroskopen Die be ten Gyro kope, die vor ungefahr zehn Jahren gebaut erden konnten, hatten eine Abweichung zwi chen zwei und drei Grad in der Stunde - da ar die Be chränkung der Trägheit navigation: E war unmöglich, die Richtung im Raum genauer zu be timmen. Wenn Sie z.B. eine zehn tündige Fahrt in einem -Boot gemacht hätten hätte die Abweichung der Ach e Thre Kur krei el bi zu 30 Grad betragen können! (Der Krei eLkompa und der kün tliehe Horizont würden richtig arbeiten, eil ie durch die Schwerkraft, überprüft' werden, aber die frei drehenden Kur krei I wären nicht genau.) Die Entwicklung der Trägheit navigation verlangte die Entwi kJung e entlieh be erer Gyro kope - Gyro kope in denen die unkontrollierbaren Reibung kräfte, die zur Präze ion bewegung der Gysro kope führen, auf ein ab olute inimum reduziert ind. E ind eine Reihe von Erfindungen gemacht worden um die zu ermöglichen, und ich möchte die daran beteiligten allgemeinen Prinzipien eran chau1i hen. Zunäch t einmal ind die Gyro kope, über die wir bi her ge pr chen haben, G rokope mit zwei Freiheit graden", weil e zwei Möglichkeiten für die Drehach gibt ich zu drehen. E zeigt ich, das e be ser i t, wenn ie ich nur mit je\ eil einer Möglichkeit be chäftigen mü en - da heißt, eist be er wenn Sie Ihr Gyro kope so anordnen das Sie nur die Rotationen jede Gyro kap um eine einzige A h e betrachten mü en. Abbildung 4-10 zeigt ein Gyro kop "mit einem Freiheit grad". (Ich mu Herrn Slcul1 vom Jet Propul ion Laboratory dafür danken da er mir di e Folien geliehen und mir alle erklärt hat, wa in den letzten Jahren 0 10 war. Das Krei elrad dreht ich um eine horizontaJe Ach e Drehach e' in d r bbildung), die ich nur um eine Ach e (EA) und nicht um zwei frei drehen kann. D nnoch i t die eine nützliche Vorrichtung, und zwar au folgendem Grund: teilen ie ich or, da das Gyro kop um die vertikale Eingang ache EA) gedreht ird, weil eich in einem Auto oder in einem Schiff befindet da eine Richtung ändert. Dann v r ucht da Krei elrad, um die horizontale Au gang ach e (AA) eine Präze ion bewegung zu machen. Genauer ge agt, e wird ein Drehmoment um die Au gang ach erzeugt und

4-6 Verbesserungen om Entwwt und der Konstruktion von G)roskopen

93

Dreha h e

yro kopgehäu e

Abbildung 4·10: Vereinfa hte ehemati ehe Dar teilung eine Gyro kop mit einem Freiheit grad. basierend auf einer Originalf lie au der orle ung.

wenn die em Drehmoment nicht entgegengesetzt wird, macht das Gyro kop eine Präze sion bewegung um die e Ach e. Wenn wir also einen Me sgenerator (MG) haben, der den Winkel der Präze ion bewegung des Rade erfa en kann, können wir die en benutzen um herau zufinden da da Schiff eine Richtung ändert. un mu man hier einige Eigen chaften berücksichtigen: Das Schwierige i t, da da Drehmoment um die Au gang ach e ab olut genau das Ergebnis der Drehbewegung um die Eingang ach e dar tellen mu . Alle anderen Drehmomente um die Au gang ach e bedeuten Störungen und wir mü sen ie loswerden, um nicht durcheinander zu bringen. Die Schwierigk it i t da da Kreiselrad elb tein gewi e Gewicht hat da gegen da Gewicht der Zapfen an der Ausgang ach e gestützt werden mu und die ind da wirkliche Problem, weil ie eine Reibung erzeugen, die un icher und un be timmt i t. Der er te und wichtig te Trick mit dem man da Gyroskop verbe erte, be tand darin, da man das Krei elrad in einen Behälter packte und den Behälter in Öl schwimmen li ß. Der Behälter i t ein Zylinder, der oll tändig von Öl umgeben i t und ich um ein Ach e ( Ausgang ach e" in Abbildung 4-11) frei drehen kann. Da Gewicht de Behälter ein chließlich des darin befindlichen Rade und der Luft im Inner ni t genau gleich (oder 0 nah wie möglich) dem Gewicht de Öl, da er verdrängt, 0 da ich der Behälter im neutralen Gleichgewicht befindet. Auf die e Weise i t da Gewicht da an den Zapf n ge tützt werden mu sehr gering und damit

94

4 D)/wmik lind ihre Anwendungen chwimmende

DrehmomenterLeuger

Aufhängung

Dämpfer

Mes generator

Drehach e

Drehwinkel der Aufhängung

Eingangsachse

Abbildung 4-11: Detail1iene chemati ehe Dar teilung eine integrierenden G ro kop mit einem Freiheit grad. basierend auf einer Originalfolie au der Yorle ung.

können ehr feine Lager teine wie bei Uhrwerken erwendet werden, die au einem Stift und einem Edel tein be tehen. Lagersteine können ehr wenig itE h Kraft aufnehmen. aber da mü en ie in die em Fall au h nicht - und ie ind au ge proehen reibung arm. Da war a] 0 die er te gr Be Yerbe erung: Da eh immen de Krei elrade und die Verwendung von Lager teinen an den Zapfen. die da Rad tragen. Die näch te bedeutende Verbe erung war, da man da G ro kop nie irkli h benut';.re. um irgendwelche Kräfte - oder sehr große Kräfte - zu rzeug n. Bi her haben wir darüber ge proehen da da Krei elrad um die Au gang ach e eine Präz ion bewegung macht und wir me en, wie weit die Präze ion be egung geht. ber ein andere imere ante Verfahren, um die Au wirkung der Dr hbew gun um die bbildung 4Eingang ach e zu me en, ba ien auf dem folgend n Gedanken ieh 10 und Abbildung 4-11): lehmen wir an, wir haben ein ehr g nau gebaute Gerät, o da wir, indem wir e mit einer be timmten Menge trom ve orgen, ehr g nau ein be timmte Drehmoment um die Au gang ach e erz ugen können - ein 1ekrroertg b [mit enormagneti eher Drehmomenterzeug r. Dann können wir einen e mer Ver tärkung zwi eh n den Me generator und den Drehmomenterzeuoer etzen, o da . enn ich da Schiff um die Eingang ach dreht, da Krei elrad mit einer Präze ion bewegung um die Au gang ach e beginnt der Me g n rat r aber, obald ich da dliff um einen Hauch eine Haaresbreite - wirklich ein Haare breite - beweot, agt: He! Es bewegt ich!" und der Drehmomenterzeuger ofon ein Drehmoment um die Au gang ach e legt da dem Drehmoment, d für die Präze ion be gung de Krei eLrade verantwortlich i t entgegenwirkt und dachiff in P ition hält. nd dann fragen wir: ,Wie kräftig mü en wir e halten?" it anderen rt n, ir me en die enge an Saft die in den Drehmomenterzeug r g ht. Im Grund m en \ ir da Drehmoment, da zur Präze ion bewegung de Krei elrad führt. indem \ ir m -

4-6 Verbesserungen

Dm

Enrwwfund der Kon Iruktion von Gv·oskopen

95

en, wie groß da Drehmoment i t da Iiorder1ich i t, um e auszugleichen. Die e Feedback- od r Rückführung prinzip ist für die Konstruktion und Entwicklung von Gyro kopen on großer Bed utung. Ein weitere intere ante Fe dback-Verfahren, das noch häufiger eingesetzt wird, i t in Abbildung 4-12 darge teilt.

Abbildung 4-12; chemati ehe Dar teIlung einer tabili ierten Plattform mit einem Freiheitsgrad, b ierend auf einer Originalfolie au der Vorle ung.

Da G r kop i t der kleine Behält r ( Gyro kop" in Abbildung 4-12 ) auf der horizontalen Plattform (Plattform) im Mittelpunkt de Tragrahmen . (Für den Moment können Sie den Be chleunigung me er (Be chI.) vernachlä sig n. Wir kümmern un nur um da G ro kop.) Im Unterschied zu dem vorhergehenden Beispiel i t die Drehach e de G ro kop GDA) ertikal. Di Au gang ach e (AA) ist allerding nach \ ie vor horizontal. Wenn wir un or teilen, da der Rahmen in einem Flugzeug angebracht i t da ich in die angezeigte Richtung ("Vorwärt richtung" in Abbildung 4-12) bew gt, dann i t die Eingang achse die ickach e de Flugzeug. Wenn ich da Flu o zeug nach oben oder unten neigt beginnt da Krei elrad eine Präze ion be egung um die Au gang ach e und der Me generator gibt ein Signal au , aber an tatt die durch ein Drehmoment au zugleich n, arbeitet die e Feedback- y tem folgendemlaBen: Sobald da Flugzeug b ginnt, ich um die ickach e zu drehen wird der Rahmen, der da Gyro kop in Bezug auf da Flugzeug trägt, in die entgegenge etzte Richtunogedreht, damit die Bewegung rückgängig gemacht wird. Wir drehen e zurück 0 da wir kein ignal mehr erhalten. Mit anderen Worten wir halten die Plattform mittel Feedback oder Rückführung tabil und in Wirklichkeit bewegen wir da G ro kop nie! Da i t verdammt iel be er als es zu chwingen und zu drehen und zu ver uchen, die eigung de Flugz ug durch Me sen de Au gang ignal de Me generator herau zufinden. E i t i I einfacher, da Signal auf die e Wei zurückzuführen, 0 d

96

4 Dynamik und ihre Anwendungen

die Plattform sich überhaupt nicht dreht und da Gyroskop eine eh e beib hält dann können wir den ickwinkel einfach sehen indem wir die Plattform mit dem Flugzeugboden ergleichen. Abbildung 4-13 zeigt eine Schnittzeichnung, die dar tellt ie ein wirkliche G roskop mit einem Freiheitsgrad aufgebaut ist. Da Kreiselrad ieht in die er Zeichnung ehr groß au , aber der ganze Apparat pa t in meine Handfläche. Da Krei elrad befindet ich in einem Behälter, der in einer ganz kJeinen Menge Öl ch, immt - alle in einer kJeinen Spalte um den Behälter herum -, aber e i t genug. da di winzigen Lager teine an jedem Ende kein Gewicht tragen mü en. Da Krei elrad dreht ieh ständig. Die Lager auf denen es sich dreht, brauchen nicht reibung frei zu ein. denn e wird ihnen etwa entgegengesetzt - der Reibung wird die a chine entgegenge etzt, die einen kleinen Motor dreht, der wiederum da Krei elrad dreht. E gibt elektromagneö ehe Wicklungen ("kombinierter Me sgenerator und Drehmomemerzeuger" in Abbildung 4-] 3), die die minimalen Bewegungen de Behälter erfa en und die Feedback ignale liefern, die entweder zur Erzeugung eine auf den Behälter au geübten Drehmomente um die Ausgang ach e oder zur Drehung der Planform, auf der i h das Gyroskop befindet, um die Eingang ach e benutzt werden. kombinierter Mes generator u. Drehmomenterzeuger Anschlu Heizung und en or leirung An chl us :=:i:.'""'llö~~r=l';"';~ Ablenkplanen- lcJemme '-----= heizung

Lagerstein

Gehäuse

Abbildung 4-13: Schnittansicht eine wirldichen integrierenden Gyro kop mit einem Freiheit grad, baierend auf einer OriginaJfohe au der Vorlesung.

Hier gibt e ein techni che Problem: Um den Mot r der da Gyro kap dr ht mit Energie zu er orgen, mü en wir von einem fe ten Teil der orri htung trom in den drehenden Behälter leiten. Das bedeutet da Leitungen mit dem Behälter in ntakt kommen mü eo die Kontakte aber mü en ihrer eit prakti ch reibung frei ein

4-6 Verbessentngen am Enf1

wt und der Kon

truktion von G) roskopen

97

und da i t ehr chwierig. Das Problem wird folgendermaßen gelö t: Vier sorgfältig herge teIlte, halbrunde F dem werden an Leiter an dem Behälter ange chlo en, wie in Abbildung 4-14 darge tellt. Die Federn ind aus sehr gutem und feinem Material, wie hrenfedem. Sie werden au balanciert, 0 da ie kein Drehmoment erzeugen, wenn ich der Behälter genau in der ull teIlung befindet. Wird der Behälter nur leicht perfekt herge teIlt gedreht, erzeugen ie ein kl ine Drehmoment - da die Federn ind i t die e Dr hmoment allerdings genau bekannt (wir kennen die pa enden Gleichungen dafür) 0 da e in den Stromkrei en der Feedback-Vorrichtungen korrigiert werden kann.

°

leitende Feder

schwinunende

Aufhängung ("Behälter")

Öl

G häuse Abbildung 4-/4: Elektri ehe

erbindungen vom Gehäuse zu der ehwimmenden Aufhängung in einem Gyro kop mit einem Freiheit grad.

Außerdem übt da Öl eine Menge Reibung auf den Behälter aus und dadurch wird ein Drehmoment um die Au gang achse erzeugt, wenn der Behälter ich dreht. Aber da R ibung ge etz für ftü siges Öl ist sehr genau bekannt: Da Drehmoment i t genau proportional zur Drehge chwindigkeit de Behälter. Und kann e in den Rechenelementen de Krei es, die für die Rückführung zu tändig sind, eben wie die Federn voll tändig korrigiert werden.

°

°

Das grundlegende Prinzip all dieser genauen Vorrichtungen i t nicht so sehr. alles perfekt zu machen, ondern vielmehr alles sehr eindeutig und präzise zu machen. Die e Vorrichtung i t wie di wunderbare "one-horse hay' "': Bei der Her teilung eine beliebigen Gegen tande geht man bi an die ab olute Grenze der mechani ehen Mäglichk it n zu der jeweiligen Zeit und ver ucht immer noch, e be er zu machen. Aber da gräßt Problem i t folgende : Wa pa iert, wenn sich die Ach e des Kreielrade nicht mittig im Behälter befindet wie in Abbildung 4-15 dargestellt. Der chwerpunkt de Behälter fällt dann nicht mit der Au gang ach e zu ammen und 'Tlre D acoll' Ma rerpiece or The Wonderfll/ "Olle-Hoss Shay": A Logical Story i t da Gedicht on Oliver Wendel Holme über einen Ein pänner, d r 0 perfekt kan truiert war, das er hundert Jahr hielt und dann pIötlli h au einanderbra h.

98

4 O)'namik und ihre Anwendungen

Abbildu1Ig 4-15: Eine nicht im Gleichgewicht befindliche chwimmende Aufhängung erzeugt ein unerwün chte Drehmoment um die Au gang ach e in einem Gyroskop mit einem Freih i grad.

da Gewicht de Rade dreht ich um den Behälter und erzeugt an unerwün chtem Drehmoment.

0

eine große

enge

Zur Befe tigung bohren Sie als Erste kleine Löcher oder befe tigen Gewichte an dem Behälter damit er 0 weit wie möglich ausbalanciert . ird. Dann me en je ehr ert zum genau wie groß die re tliche Abweichung i t, und verwenden die en e Ju tieren. Wenn ie eine be timmte Vorrichtung, die Sie g baut haben, me n und fe t teilen, da ich die Abweichung nicht auf null reduzieren lä t. können i da immer in der Feedback-Schaltung korrigieren. Da Problem in die em Fall i t jedo h. dass die Abweichung nicht eindeutig i t: achdem da Gyro kop zider drei runden gelaufen i 1. verändert ich der Ort de Schwerpunkte auf Grund on bnutzung in den Ach lagern leicht. Heute ind G ro kope die er Art über hundert al be er aJ jen . die or 10 Jahren gebaut wurden. Die Allerbe ten haben nur no h eine Ab eichung on 1/100 eine Grade pro Stunde. Für die in Abbildung 4-13 darge tellte orrichtung bedeut ( da . illion tel lodas ich der Schwerpunkt de Krei elrade nicht mehr al 1/10 eine che * om Mittelpunkt de Behälter weg bewegen kann. Gute me hani he Pra i liegt bei JOO illion tel eine lnche da heißt, da die e G ro kap no h tau end Mal be er ein mu al gute mechani che Praxi . Da i t tat ächli h ine der größten Probleme - eine Abnutzung der Achslager zu vermeiden damit ich da G ro kap nicht mehr aJ 20 Atome zu jeder Seite vom Mittelpunkt eg bewegen kann.

4-7 Be chleunigung me er Die orrichtungen, über die wir ge proehen haben. können un d·e uf ärt ri hwng anzeigen oder erhindem, da ich etwa um eine Ach e dreht. nn ir drei o1cher orrichtungen mit allen Sorten on kardani her Aufhängung und 0 eit r n • I Inch = 2 •.:t cm

99

4-7 Be chleuniglll1gsmesser

drei ch n befe ti gen, können wir eine Sache ab olut stationär halten. Während da Flugzeug eine Kur e fliegt bleibt die Plattform innen drin horizontal und bewegt ich nie nach rechts oder link. ie macht gar nicht. Auf diese Weise können wir un eren orden oder 0 ten oder un ere Auf- und Abwärt richtung oder jede andere Richtung beibehalten. Aber da näch te Problem i t herau zufinden, wo wir sind: Wie eit haben wir un bewegt? un, Sie wissen, da Sie in einem Flugzeug nicht me en können, wie schnell e sich bewegt, al 0 können Si icherlich auch nicht me en, wie weit e geflogen ist, ab r Sie können me en. wie tark e beschleunigt. Wenn wir anfang keine Be chleunigung me en, agen ir: ,Wir ind in ullpo ition und haben keine Beschleunigung. ' Wenn wir tarten, mü en wir be chleunigen. Wenn wir beschleunigen können wir da me en. nd wenn wir dann die Be chleunigung mit einer Rechenma chine integrieren können wir die Ge hwindigkeit de Flugzeug berechnen, und wenn wir auch die integrieren können wir die Po ition de Flugzeug be timmen. Um herau zufinden, wie weit ich etwa bewegt hat, mü en wir deshalb die Beschleunigung die e Etwa me en und dann z eimal integrieren. Wie mi t man die Be chleunigung? Abbildung 4-16 zeigt die schernati che Darteilung einer Vorrichtung zur Beschleunigungsme ung. Der wichtigste Bestandteil i t einfach ein Gewicht (, ei mi che Ma e" in der Abbildung). Außerdem gibt e eine Art chwache Feder (ela ti ehe Rückhalte orrichtung), um das Gewicht mehr oder weniger in Po ition zu halten und einen Dämpfer, um Schwingungen de Gewichte zu erhindern. Aber die e Detail sind unwichtig. Jetzt nehmen wir an, diese ganze Vorrichtung wird in Vorwärt richtung be chleunigt das heißt in die Richtung, in die der Pfeil zeigt en iti e Ach e). Dann beginnt das Gewicht natürlich. sich zurückzu-

Dämpfer

sensitive Ach e

ei mi ehe Mas e ela tische Rückhaltevorrichtung

Gehäu e

Abbildung 4-16: ehemati ehe Dar teilung eines einfachen Be chleunigung me er, ba ierend auf einer Originalfolie au der Vorle ung.

4 Dynamik und ihre Amvendungen

100

bewegen, und wir benutzen die Skala (Skala mit den angezeigten Be chleunigung werten) um zu me en, wie weit ich das Gewicht zurückbewegt. Damit können wir die Be chleunigung be timmen und wenn wir die zweimal integrieren erhalten wir die Entfernung. Wenn wir beim Me en der Position de Gewichte einen kleinen Fehler machen so das die Be chleunigung, die wir damit berechnen. an einer tell I i ht abweicht, dann weicht nach langer Zeit, über die wir zweimal integriert haben, die Entfernung natürlich chon erheblich ab. AI 0 mü en wir die orrichrung erbe ern. Die näch te Srufe der Verbe erung chemati ch darge teUt in bbi1dung 4-17. verwendet un er bekanntes Feedback-Prinzip: Wenn die e orrichtung be chleunigt. bewegt ich die a e, und die Bewegung führt dazu, da sein e generator eine Spannung au gibt die proportional zur Entfernung i 1. Der Trick i t jetzt folg nder: An tatt einfach die Spannung zu me en, wird ie über einen er tärker an eine orrichtung zurückgeführt. die da Gewicht zurückzieht. 0 können wir herau finden. wie groß die Kraft i t, die erforderlich i t, um eine Bewegung de Ge iehte zu erhindern. Mit anderen Worten, an tatt Bewegungen de Gewichte zuzula en und zu me en, wie weit e ich bewegt, me en wir die Reaktion kraft, die erforderlich i t. um e im Gleichgewicht zu halten und dann be timmen wir mit = ma die Be chleunigung. trom proportional Ausgang spannung de Me ngebe

zur Be chleunigung

/

~[

Präzi ion serienwiderstand

-

\

\

Verstärker

\ \ \ \

\

\

\

, \ \

\ \ \

Unwucht

\

~lt:i::ti::~1 ~~ Kraftwicklung

\

\

Kraft

y.,..~---"~-....L...,- - - - - - - ~

, I

~~--T-~/------,;

/

Be chleunigungskraft

!,

---,

-e

-e

._~---

, Modell eine Beschleunigung me ers

rrcgung de e \ ngebers (e)

Abbildung 4-17: Schemali ehe Dar teilung eines Unwucht-Be chJeunigung me e

mit Kraftrü kfüh-

rung. bierend auf einer Originalfolie au der Vorlesung.

Eine Au führung art die er Vorrichtung i t chemati h in bbildung 4-1 dargeteIlt. Abbildung 4-19 i teine Schnittzeichnung die zeigt wie die irkJi he onichtung aufgebaut i t. Sie ieht dem Gyro kop au Abbildul1 0 4-11 und bbildung 4-13 ehr ähnlich, außer da der Behälter leer au ieht: An telle eine G ro kop gibt e nur ein an der einen Seite nahe dem Boden angebrachte Gewicht. Der ge amte Behäl-

4-7 Be chleunigungsmesser

lO1

chwimmende ufhängung

Drehmomenterzeuger

Dämpfer

. .................

.. -

..................

Eingang ach e

Gewicht

Abbildung 4-18: Sehemaü ehe Dar teilung eine Be chleunigungsme er mit chwimmender Aufhängung mit Drehmomemruckführung, ba ierend auf einer Originalfolie aus der Vorlesung. Signalgeneralor

Federbalg Lagerstcin

Gehäu e

Abbildung 4-19: Schniuan icht eine wirklichen Be chleunigung mes er mit chwimmender Autbängung bierend auf einer Originalfolie au der Vorle ung.

ter chwimmt, 0 da er insge amt von flüssigem Öl getragen und im Gleichgewicht gehalten wird (er bewegt ich auf wunderschönen feinen Lagersteinen) und die beschwerte Seite de Behälter bleibt natürlich al Folge der Schwerkraft unten.

4 Dynamik und ihre mrendungen

102

Die e Vorrichtung wird benutzt, um die horizontale Be chleunigung in der zur ehe de Behälter enkrechten Richtung zu me en. Sobald die om htung in die er Richtung be chleunigt. bewegt ich da Gewicht erzögen und er chi bt di eit de Behälter, der ich auf einen Zapfen dreht über ihre normale Po ition hinau . Der Me generator gibt ofort ein Signal aus und diese Signal wird an die icklungen de Drehmomenterzeuger weitergegeben, um den Behälter in eine ur prüngliche Po ition zurückzuziehen. Wie vorhin führen wir ein Drehmoment zurück. um Dinge wieder in ihre korrekte Po ition zu bringen, und wir mes en, ie groß da erforderliche Drehmoment i t. um da Ding am Schütteln zu hindern. Di e Drehmoment gibt un an, wie groß die Be chleunigung i t. Eine andere intere ante Vorrichtung zum Me en der Be hleunigung. die genau genommen eine der beiden nötigen Integrationen automatisch durchführt. i t in bbildung 4-20 chemati ch darge teHt. Die Anordnung i t die glei he ie die orrichtung in Abbildung 4-11. außer da sich auf der einen Seite der Drehach e ein Ge i ht (, Pendelmas e' in Abbildung 4-20) befindet. Wenn die e om htung nach ob n bechleunigt wird, wird ein Drehmoment auf da Gyro kop au ueübt. und dann gilt da Gleiche wie für un ere andere Vorrichtung - da Drehmoment \ ird nur durch eine Be chleunigung erur acht und nicht durch da Drehen de Behälter . Der generator, der Drehmomenterzeuger und der ganze Kram, da i t alle gl ei h. Die Rückführung wird benutzt. um den Behälter um die Au gang ach e zurückzudrehen. rn den Behälter im Glei hgewicht zu halten, mu die nach oben gerichtete. auf da G i ht au geübte Kraft proportional zur Be chleunigung ein, aber die nach oben gen htete. auf da Gewicht au geübte Kraft i t proportional zur inkelge eh indigkeir. mit der

Pendelmas e Drehmomemerzeuger Dämpfer

chwimmende ufhängung

Eingang ach e Abbildung 4-20: ehemati ehe Dar teilung eine integrierenden Pendelkrei el mit einem Freih i grad.

der aI Be ehleunigung me er verwendet wird. Der Drehwinkel der ufhängung zeigt die Ge eh indigkeit an. Basierend auf einer OIiginalfolie au d r Vorle ung.

4-8 Ein vollständige

avigatiol15System

103

der Behälter gedreht wird, 0 da die Winkelge chwindigkeit de Behälter proportional zur Be chleunigung i 1. Da bedeutet, da der Winkel des Behälters proportional zur Geschwindigkeit i t. Wenn Sie rnes en wie weit sich der Behälter gedreht hat, erhalten Sie die Ge chwindigkeit - und ornit i t die eine Integration schon erledigt. (Da heißt nicht, da die er Be chI unigung me er be ser ist al der andere. Wa in einer be timmten Anwendung am be ten funktioniert, hängt von einer Reihe technischer Detail ab, und da i t eine Frage der Kon truktion.)

4-8 Ein vollständige Navigationssystem So enn ir einige olcher Vorrichtungen bauen, können wir ie auf einer Plattform zu ammen anordnen, wie in Abbildung 4-21 darge teilt, und 0 ein voll tändige avigation s stern zu ammen teIlen. Die drei kleinen Zylinder (G x , Gy, Gz ) ind Gyro kope mit drei jeweil zueinander senkrecht stehenden Achsen und die drei rechteckigen Kä tchen (8 x , By , BJ ind Be chleunigung me er, jeweils einer für jede Ache. Die e G ro kope mit ihren Feedback-Sy ternen halten die Plattfonn im ab oluten Raum, ohne in irgendeine Richtung zu drehen - e gibt weder Gieren noch Stampfen noch Rollen - während da Flugzeug (oder Schjff oder wo immer es auch angebracht i t) eine Richtung ändert. 0 da s die Plattformebene immer sehr genau fixiert i t. Da i t ehr wichtig für die Be chleunigung me er, denn Sie mü seIl genau i en, in welcher Richtung die me n: Wenn ie chief und krumm ind, so da da avigation y tem denkt, ie ind in die eine Richtung gedreht worden, ie aber tatsächlich in eine andere Richtung gedreht worden ind, dann spielt das Sy tem verrückt. Der Trick i t, da man die Be chleunigung me er in einer fe ten Au richtung im Raum hält. 0 da e einfach i t die Wegberechnungen zu machen.

Abbildung

4~21:

in v 1l tändige

avigatiün system mit drei Gyro küpen und drei Be chleunjgung me ern montiert auf einer tabili ierten Plattform, ba ierend auf einer Originalfolie au der Vürle ung.

104

4 Dynamik und ihre Anwendungen

Die Au gang größen de x-, lj- und ::-Be chleunigung me er gehen in integrations er tärker, die den Weg durch zweimaliges Integrieren in jeder Richtung berechnen. ehmen wir an wir tarten au der Ruhelage von einem bekannt n On au . dann können wir auf die e Wei e jederzeit wi en, wo wir un befinden. nd wir wi n au h in welche Richtung wir un bewegen, weil die Plattform ich immer noch in der elben Richtung wie bei un erem Start befindet (im Idealfall). Da i t die aJlgemeine Idee. Ich muss allerding ein paar Anmerkungen dazu machen. nn die Überlegen Sie beim e en der Be chleunigung zuer t, a pa iert Vorrichtung einen Fehler on z.B. einem Million tel erzeugt. ehmen ir an, die Vorrichtung befindet ich in einer Rakete und mu Be chleunigungen on bi zu 10 9 me en. E wäre chwierig, weniger al lO- Sq mithilfe einer orri htung aufzulö en, die bis zu 10 9 me en kann (ich bezweifle in der Tat ob ie da könnten). ber e zeigt ich, da ein Fehler von 1O- 5g in der Be chleunigung nach z eimaliger Integration über eine Stunde eine Ort abweichung von über einern halben Kilometer bedeutet - nach 10 Stunden ind da mehr aJ 5,0 Kilometer und da i t eine ,erhebliche bweichung. Die e Sy tem arbeitet al 0 nicht einfach weiter. Bei Raketen pielt d keine Rolle, weil die ge amte Be chleunigung ganz am Anfang pa iert \Jnd die Raketen danach frei herumfliegen. Aber bei einem Flugzeug oder Schiff mu man da tern genauso wie eiDen normalen Kur krei el von Zeit zu Zeit neu ein teIlen um i herzustellen, das e immer noch gleich au gerichtet i t. Da kann man nach der Po ition eine Stern oder nach dem Stand der Sonne machen. Aber ie überprüft man d in einem -Boot? un, wenn wir eine Meere karte haben, können wir ehen, ob ir über einen Berggipfel oder 0 etwa gefahren ind, der unter un liegen mll te. Aber nehm n ir an, wir haben keine Karte - auch dann gibt e eine Überprüfung möglichkeit! Hi r die Idee: Die Erde i t rund und wenn wir be timmt haben da ir z.B. 1 Kilometer in eine Richtung gefahren ind, dann ollte die Gra itation kraft nicht mehr in die elb Richtung zeig n wie zuvor. Wenn wir die Plattform nicht enkrecht zur Gra itation kraft halten. dann ind die Au gang größen der Be chleunigung me orrichrungen alle fal eh. De halb machen wir Folgendes: Wir tarten mit der Plattform in horizontaler Po ition und verwenden die Be chleunigung me orrichrungen, um un eren Ort zu berechnen. Ent prechend dem Ort rechnen wir au wie wir die Plattform drehen sollten, damit ie in horizontaler Po ition bleibt, und ir drehen ie mit einer für da Halten in horizontaler Po ition vorau berechneten Ge chwindigkeit. Da i t einer eil ehr prakti ch - anderer eit i t es genau da wa un er Problem lö t~ Überlegen wir wa pa ieren würde, wenn e einen Fehler gäbe. ehmen ir an die Ma dune tände einfach in einem Raum ohne ich zu bewegen und nach iniger Zeit wäre die Plattform auf Grund eine Kon truktion fehler nicht mehr horiz Dtal ondem hätte ich leicht gedreht wie in Abbildung 4-22 a darge teilt. Dann ären die Ge ichte in den Be chleunigung me em ent pre hend einer Be hleunigung er choben und die von dem Mechanismu berechneten One ürden Be gung na h recht, Richtung (b) anzeigen. Das System, da ver ucht, die PlattfornJ in horizontaler

4-8 Ein \ olIsTändige

avigaTionss 'stern

105 b

Abbilduflg 4-22: Die Erdanziehung kraft wird benutzt um zu überprüfen, dass die stabilisierte Plattform in horizontaler Position bleibt.

Position zu halten, würde ie leicht drehen und schließlich wenn die Plattform wieder in horizontaler Po ition wäre würde das System nicht mehr merken, da se be chleunigt. Auf Grund der cheinbaren Be chleunigung würde das Sy tem allerding immer noch denken, da e eine Ge chwindigkeit in der elben Richtung hat und so würde der Mechani mu ,der er ucht, die Plattform in horizontaler Position zu halten, die Plattform weiter ehr langsam drehen, bis ie ich, wie in Abbildung 4-22(c) dargeteIlt, nicht mehr in der horizontalen Position befände. Tatsächlich würde das Sy tem den ullpunkt der Be chleunigung durchlaufen und dann denken, da es in der entgegenge etzten Richtung beschleunigt. So hätten wir eine sehr kleine schwingende Bewegung und die Fehler würden ich nur über eine dieser Schwingungen umrnieren. Wenn Sie alle Winkel Drehungen und wa weiß ich noch alle berechnen, braucht man für eine dieser Schwingungen 84 Minuten. So muss man die Vorrichtung nur 0 gut machen, da ie innerhalb eine Zeitraum von 84 Minuten die pa ende Genauigkeit hat weil ie ich in die er Zeit elbst korrigiert. Da i t wie bei einem Flugzeug in dem der Krei elkompa von Zeit zu Zeit mit einem magneti chen Kompa abgeglichen wird, aber in die em Fall wird der Mechani mu wie beim kün tlichen Horizont mit der Schwerkraft abgeglichen. In ungefähr der eIben Wei e wird da Azimutsy tem in einern -Boot (das angibt, wo orden i t) on Zeit zu Zeit mit einem Kreiselkompa s abgeglichen, der den Durch chnitt wert über einen langen Zeitraum nimmt, 0 da die Bewegungen de Schiffe keinen nter chied machen. So können Sie den Azimut mit dem Krei elkompa abgleichen und die Be chleunigungsme er mit der Schwerkraft. Auf die e ei e summieren ich die Fehler nicht tändig, ondem nur etwa über anderthalb Stunden.

In der Nautilu gab e drei ungeheuer große Plattformen dieser Art jede in einem rie engroßen Ball, wobei alle Bälle direkt nebeneinander an der Decke de avigation raum aufgehängt war n. Die Plattformen waren öllig unabhängig oneinander, fall eine von ihnen au fallen oHte (oder fall ie keine übereinstimmenden Me s erte anzeigen ollten) würde der avigator die beiden besten on den dreien nehmen (da dürfte ihn ziemlich nervö gemacht haben!). Die e Plattformen waren alle unter chiedlich al ie gebaut waren, denn man kann nicht alle pertekt machen. Die durch leichte Ungenauigkeiten erur achte Abweichung mu ste in jeder Vorrichtung gerne en werden und die Vorrichtungen mu ten zum Au gleich kalibriert werden.

106

4 Dynamik und ihre Amvendwzgen

E gibt am Je! Propulsion Laboratory ein Labor, in dem einige die er neu n orrichtungen gere tet werden. E ist ein intere sante Labor wenn Sie überlegen wie Sie eine oIehe Vorrichtung überprüfen würden: Sie möchten nicht in ein chiff teigen und herumfahren. ein. in die em Labor wird die Vorrichtung mit der Erdrotation abgegliehen! Wenn die Vorrichtung empfindlich i t dreht ie ich auf Grund der Erdrotation und weicht ab. Durch da Me sen der Abweichung können Korrekturen innerhalb ehr kurzer Zeit be timmt werden. Die es Labor i t wahr cheinlich da einzige auf der eH de sen Hauptmerkrnal - da ,wa das Labor am Leben erhält - die Tat ache i [, da die Erde ich dreht. Für da Abgleichen wäre e recht unprakti h. wenn die Erde ich nicht drehen würde!

4-9 Auswirkungen der Erdrotation Die näch te Sache, über die ich prechen möchte, ind die u irkungen der Erdrotation (neben den Au wirkungen auf da Abgleichen on Vorrichtung n mit Trägheit navigation). Eine der deutlich ten Au wirkungen der Erdrotation findet man b i den großen Bewegungen der Winde. E gibt eine berühmte Ge chichte. die man immer wieder hört: Wenn Sie bei einer Badewanne den Stöp el herau ziehen, läuft da rauf der ordhalbkugel in die eine Richtung ab und auf der Südhalbkugel in die and reaber wenn Sie e er uchen, funktioniert e nicht. Der Grund, warum man annimm! da e in die eine Richtung abfließt rou ungefähr 0 lauten: Gehen ir da on au . da wir einen Stöp el in einem Abflu auf dem Meere boden unter dem ordpol haben. Dann ziehen wir den Stöp el herau und da Wa er beginnt, im bflu rohr hinunterzufiießen ( iehe Abbildung 4-23).

Abbildung 4-23:

a er fließt in einem imaginären Abflu rohr amordpol hinunter.

Da eer hat einen großen Radiu und da Wa er dreht i h auf Grund d r Erdrotation lang am um den Abflu herum. Wenn da Wa er in den bflu hineinläuft, fließt e on einern größeren Radiu in einen kleineren Radiu und de halb mu e

4-9 Auswirkungen der Erdrotaliol1

107

sich chneller drehen damit e einen Drehimpul behält (wie wenn eine sich drehende Ei läuferin ihre Arme inzieht). Da Wa er bewegt sich in die eibe Richtung wie ich schneller drehen so dass jemand, der auf der Erde teht da die Erde, aber e mu Wa er um den bflu herumwirbeln sehen würde. Da i t richtig 0 und so oUte e funktionieren. nd 0 funktioniert e tatsächlich mit den Winden: Wenn an einem Ort ein Tiefdruckgebiet orhanden i t und die umgebende Luft ver ucht, ich dort hineinzubewegen, erfährt die e umgebende Luft eine eitliche Bewegung, an taU sich direkt geradeau hineinzubewegen - in der Tat wird die eitliche Bewegung chließlich 0 groß, da die Luft, an tan ich hineinzubewegen, prakti ch um da Tiefdruckgebiet rotiert. Da i t a1 0 eines der Wetterge etze: Wenn Sie auf der Nordhalbkugel in Windrichtung blicken, befindet ich der Tiefdruck immer auf der linken und der Hochdruck auf der rechten Seite ( iehe Abbildung 4-24) und der Grund dafür hat mit der Erdrotation zu tun. (Da stimmt fast immer. Unter be timmten errückten Um tänden pas te gelegentlich nicht weil neben der Erdrotation andere Kräfte beteiligt ind.)

\

Tief

~

Abbildung 4·24: HochdruckJufr läuft in einem Tiefdruckgebiet auf der

ordhalbkugel zu ammen.

Der Grund warum da in Ihrer Badewanne nicht funktioniert, i t folgender: Wa die e Phänomen erur acht i t die anfängliche Rotation de Was ers - und da Wa er in Ihrer Badewanne rotiert tat ächlich. Aber wie chnell ist die Rotation der Erde? Die Erde dreht ich einmal pro Tag. Können Sie garantieren das da Wa ser in Ihrer Badewanne ich nur 0 iel bewegt, wi e ein m Umlauf in der Badewanne pro Tag ent prechen würde? ein. rmalerwei e gibt e viel Gezi che und Geplätscher in der Wanne! Da funktioniert also nur in einem genügend großen Maß tab, wie bei einem rie engroßen See, wo das Wa er schön ruhig i t und Sie leicht demonstrieren können da die Zirkulation nicht 0 groß i t, dass ie einer Drehung im See pro Tag ent prechen würde. Wenn ie dann ein Loch in den Boden des Sees machen und da Wa er abfließen la en wird e ich, wie angekündigt in die richtige Richtung drehen. Es gibt einige andere intere ante Punkte bezüglich der Erdrotation. Einer von ihnen i t die Tat ache., da die Erde keine vollkommene Kugel ist. Al Folge ihrer Rotation weicht ie etwa davon ab - die Zentrifugalkräfte, die die Schwerkraft au gleichen, flachen ie an den Polen et a ab. nd ie können berechnen wie groß die Abflachung i t wenn Sie wi en wie groß die Rotationsgeschwindigkeit der Erde i t. Wenn Sie annehmen da ie ich wie eine ideale Flü igkeit verhält, die in ihre Endpo ition tropft

L08

4 Dvnamik und ihre Amvendungen

ie mit der und fragen wie groß die Abflachung ein soll, werden Sie fe t teilen, da tatsächlichen Abflachung der Erde innerhalb der Genauigkeit der Berechnungen und Messungen übereinstimmt (eine Genauigkeit von ungefähr] % . Da gilt nicht für den Mond. Der Mond i t chiefer al er - gerne en an einer Drehge chwindigkeit - ein oIlte. Mit anderen Worten entweder hat der ond ich chneller gedreht, aI er erflü igt war, und i t dann tark genug gefroren. um der Tendenz die richtige Form anzunehmen, zu widerstehen oder er war nie g chrnolzen, sondern i t durch da Zu ammenwerlen eine Haufens von eteoriten entstanden und der Gott der da gemacht hat, hat e nicht ganz genau und au gewogen getan, und deshalb hängt der Mond etwas zu einer Seite über. Ich möchte auch über die Tat ache sprechen, dass die abgeflachte Erd i h um eine Achse dreht, die nicht enkrecht zu der Ebene der Erdrotation um die onne (oder der Rotation de onde um die Erde, denn das i t nahezu die eibe Ebene) erläuft. Wenn die Erde eine Kugel wäre würden die auf ie wirkenden Gravitation - und Zentrifugalkräfte in Bezug auf ihren Mittelpunkt au geglichen, aber da ie et a chief i t, erden die Kräfte nicht au geglichen. E gibt a1 Folge der Gravitation ein Drehmoment. da dazu neigt die Erdach e enkrecht zu der Kraftlinie zu dr hen und de halb macht die Erde, wie ein große Gyro kap eine Präze ion bewegung im Raum (iehe bb.4-25. Die Erdach e, die heute in Richtung de Polarstern zeigt treibt prakti eh lang am

Abbildung 4-25: Die an den Polen abgeflachte Erde macht eine Präze ionsbe egung auf Grund von Drehmomenten, die dur h die Gravitation bewirkt werden.

4-10 Die rotierende Scheibe

109

herum und wird mit der Zeit auf alle Sterne am Himmel auf einem großen Kegel, der einen Winkel on 23 112 Grad begrenzt, gerichtet ein. Sie braucht 26000 Jahre, um zum Polar tem zurückzukehren. Al 0 wenn Sie in 26000 Jahren on jetzt an gerechnet wiedergeboren erden, brauchen Sie vielleicht nichts Neues zu lernen. Aber wenn Sie zu einer anderen Zeit wieder auf die e Erde zurückkehren, werden Sie eine andere Po ition (und ielleicht auch eine andere Bezeichnung) für den Polar tem lernen mü sen.

4-10 Die rotierende Scheibe Am Ende der I tzten Yorle ung* haben wir die interes ante Tat ache erörtert, da der Drehimpul eine tarren Körper nicht zwang läufig in die eibe Richtung gerichtet i t wie seine Winkelge chwindigkeit. Al Bei piel haben wir eine Scheibe genommen, die an einer rotierenden Welle chief angebracht wird, wie in Abbildung 4-26 darge teilt. Die e Bei piel mö hte ich genauer unter uchen.

Abbildung 4-26: Eine S h ibe wird chief an einer rotierenden Welle angebracht.

Zunäch t möchte ich Sie an eine intere sante Sache erinnern, über die wir chan ge prochen haben: Bei j dem tarren Körper gibt es eine Ach e durch den Ma enmittelpunkt de Körper um die da Trägheit moment maximal i t, und eine andere Ach e durch den Ma enmittelpunkt de Körper, um die das Trägheit moment minimal ist. Die e Achsen verlaufen immer im rechten Winkel zueinander. Bei einem rechteckigen Block wie in Abbildung 4-27 i t da leicht zu erkennen aber er taunlicherwei e gilt da für alle tarren Körper. Die e beiden Ach n und die Achse, die zu beiden enkrecht verläuft nennt man die Hauptach en de Körper. Die Hauplach en eine Körpers haben folgende be andere Eigenschaft: Die Komponente de Drehimpul e de Körpers in Richtung einer Hauptach ei t gleich dem Produkt au der Komponente einer Winkelge chwindigkeit in die er Richtung und dem Trägheit moment des Körper um die e Ach e. Wenn i j und k Einheit ektor n entlang der Hauptach en eine Körper und A Bund C die jeweiligen Hauptträgh it momente sind dann i t der Drehimpuls de Körper wenn • iehe Band 1 der Fe)'l1Illon- Vorlest/ligen über Physik, Kapitel 20.

4 Drnamik und ihre Anwendungen

110

Abbildung 4-27: Rechteckige Blöcke und ihre Hauptach cn mü minimalem und m moment.

ich der Körper mit der Winkelge chwindigkeit w = mittelpunkt dreht,

imalem Träghei -

um einen

(Wj, Wj, Wk

a en(4.1 )

Eine dünne Scheibe mit der Ma e m und dem Radiu r hat folgende Hauptach en: Die Hauptach e erläuft enkrecht zu der Scheibe und hat ein maximale Trägheit moment von

1

2 A = -mr 2 .

Jede Ach e, die enkrecht zu der Hauptach e verläuft, hat ein minimale Trägheit moment on B

1 4

')

= C = -mr.

nn Die Hauptträgheit momente ind nicht identisch. Tat ächlich i t = 2B = 2C. die Welle in Abbildung 4-26 gedreht wird, i t al 0 der Drehimpul der cheibe nicht parallel zu ihrer Winkelge chwindigkeit. Die Sch ibe befindet ich im [arischen

\ \ \

\

0 0

\ \ \

W /

/ /

--

0 0

/ /

/ / /

/

/

---0/

Abbildung 4-28: Die Winkelge hwindigkeit w und der Drehimpul L der gedreht wird. und ihre Komponenten entlang der Hauptach en der cheibe.

/

heibe. die dur h eine

elle

4-10 Die rotierende Scheibe

111

Gleichge icht, weil ie in ihrem Ma enmittelpunkt an der Welle befe tigt i t. Aber sie befindet ich nicht im dynamischen Gleichgewicht. Wenn wir die Welle drehen, mü en wir den Dr himpul der Scheibe drehen und daher ein Drehmoment au üben. Abbildung 4-28 zeigt die Winkelge chwindigkeit w der Scheibe und ihren Drehimpul L owie deren Komponenten entlang der Hauptach en der Scheibe. Aber jetzt hauen wir un mal folgenden interessanten Aspekt an: ehmen wir an, wir montieren ein Lager an der Scheibe, 0 da wir die Scheibe auch um ihre Hauptach e mit der ink Ige chwindigkeit n drehen können, wie in Abbildung 4-29 darge teIlt.

Abbilduflg 4-29: Drehen der S heib um ihre Hauptachse mit der Winkelge chwindigkeit Q, während die Welle ruhig g hall n wird.

Während die Welle ich dr ht, würde die Scheibe einen tatsächlichen Drehimpul al Folge d r drehenden Welle und der drehenden Scheibe haben. Wenn wir die Scheibe in di Richtung drehen, die der Richtung entgegengesetzt ist in die die Welle ie dreht, wie in der Abbildung gezeigt, reduzieren wir die Komponente der Winkelgechwindigkeit d r Scheibe entlang ihrer Hauptachse. Da das Verhältni der Hauptträgheit momente der cheibe genau 2:1 i t, besagt die Gleichung (4.1) in der Tat, da wir, wenn wir die cheibe g nau mit der halben Ge chwindigkeit rückwärt drehen, mit der die Welle die Scheibe herumdreht ( 0 dass .n = (w; j2)i), die e Ding auf 0 wunderbare Wei e zu ammenpacken können, da der Ge amtdrehimpuls genau entlang der Welle gerichtet i t - und dann können wir die Welle wegnehmen eil keine Kräfte wirken ( iehe Abbildung 4-30)1

o

o

o o

Abbildung 4-30: Drehen der Welle und gleichzeitige Drehen der Scheibe um ihre Hauptach e in die entgegengesetzte Richtung, so da

der Ge amtdrehimpuls parallel zur Welle erläuft.

4 Dynamik lind ihre Anwendungen

112

Und 0 dreht ich ein freier Körper: Wenn Sie einen Körper allein in den Raum werfen, z.B. eine Scheibe· oder Münze, werden Sie ehen, da ie ich nicht einfa h um eine Ach e dreht. Wa ie macht i t eine Kombination au Drehen um ihre Hauptach e und Drehen um irgendeine andere chiefe Ach e und zwar in olch einem n tten ettore ultat ein kon tanter Drehimpul i 1. Dadurch taumelt Gleichgewicht, da da ie - und die Erde taumelt auch.

4-11

utation der Erde

Von der Periode der Präze ion der Erde - 26 000 Jahre - i en \ ir da da maximale Trägheitsmoment (um den Pol) und da minimale Trägheit moment (um ein Ach e im Äquator) ich nur um 1/306 voneinander unter cheiden - die Erde i t fa t eine Kugel. Da ich die beiden Trägheit momente aber unter cheiden. könnte jegliche Störung der Erde zu einer leichten Rotation um eine andere Ach e führen der, wa auf da selbe herau kommt: Die Erde chwankt (nutiert) und macht eine Präze ionbewegung. Sie können die utation frequenz der Erde berechnen: E teilt ich tat ä hlich herau ,da s ie 306 Tage beträgt. Und Sie können ie ehr genau me en: Der Pol taum It im Raum um ca. 15 m. gerne en an der Erdoberfläche. Er taumelt herum, hin und her. ziemlich unregelmäßig, aber die Hauptbewegung hat eine Periode on 4 9 und nicht 306 Tagen. Und darin liegt ein Geheimni . Aber die e Geheimni i t lei ht aufzuklären: Die Analy e wurde für tarre Körper gemacht aber die Erde i t nicht tarr. Sie hat eine chmierige Pampe im funeren und omit i t er ten ihre Periode nicht die eine tarren Körper. Zweiten wird die Bewegung gedämpft da ie chließlich ganz zum Still tand kommen oHte - de halb i t ie 0 klein. a di Erde trotz der Dämpfung überhaupt zum Taumeln bringt, da sind ver chiedene unregelmäßig Einflü e, die an der Erde rütteln, wie z.B. plötzliche Windbewegungen und eere tröm.

4-12 Drehimpuls in der A tronomie Eine der bemerken werte ten Eigen chaften de Sonnen tem, die on Kepler entdeckt urde, i t die Tat ache da ich alle auf ellip enförmigen Bahnen b wegt. Da urde chließlich durch da Gravitation ge etz erklärt. Ab r e gibt eine enge anderer Dinge über da Sonnen y tem - eit ame Vereinfachungen -, die eh ieriger zu erklären ind. Alle Planeten cheinen sich z.B. ungefahr in de eIben Eben um die Sonne zu drehen und bi auf einen oder zwei rotieren ie alle in der elb n ei e um ihre Pole - von e t nach 0 t wie die Erde. Fa t alle Planet nmonde dreh n ich in die Ibe Richtung und omit dreht ich alles, bi auf w nige u nahmen, in di eibe Richtung. Eine intere ante Frage i t: Warum i t da im onnen lern o. 'Die rotierend taumelnde cheibe hane eine be ondere Bedeutung ur Dr. Feynman, wie er in "The Dignified Profe or" in Surely You 're Joking. Mr. Feynman! chreibt: "Die Diagramme und der ganze m, ur den i h den obelprei bekommen habe. ind aus dem Herum pielen mit der taumelnden cheibe enu.tanden:·

4-12 Drehimpul in der Astronomie

113

Bei der nter uchung de r prung de Sonnensystem betrifft eine der wichtig ten .. berlegungen den Drehimpul . Wenn Sie ich eine Menge Staub oder Gas or teIlen die ich al Folge der Gra itation konzentriert elbst wenn nur eine geringe Menge an innerer Bewegung darin orhand ni t, mu der Drehimpul kon tant bleiben. Diee" piralarme" bewegen ich weiter nach innen und da Trägheit moment nimmt ab al 0 mu die Winkelge chwindigkeit zunehmen. Vielleicht sind die Planeten einfach nur da Ergebni iner otwendigkeit, da da Sonnensy tem von Zeit zu Zeit einen Drehimpuls weg chleudem mu damit es sich noch weiter konzentrieren kann - wir wi en e nicht. Aber e timmt, da 95 % des Drehimpulses im Sonnensystem in den Planeten und nicht in der onne orhanden sind. (Die Sonne dreht sich, OK, aber sie hat nur 51ft de Gesamtdrehimpul es.) Die es Problem i t chon oft diskutiert word.en, aber man ver teht immer noch nicht, wie sich ein Gas konzentriert oder wie ein Haufen Staub zu ammenfällt, wenn er leicht rotiert. Die mei ten Diskussionen legen anfang ein Lipp nbekenntni zum Drehimpul ab. Wenn sie dann die Analyse machen, ignorieren ie ihn. Ein andere chwierige Problem in der A tronomie hat mit der Entwicklung der Galaxien zu tun - die ebe!. Wa be timmt ihre Form? Abbildung 4-31 zeigt erchiedene Arten on ebeln: Den berühmten normalen Spiralnebel (unserer eigenen Galaxie ehr ähnlich) einen Balkenspiralnebel (de en lange Spiralarme von einem langen Balken au gehen und einen ellipti ehen ebel (der nicht einmal Spiralarme hat). Und die Frage i t: Warum unterscheiden sie sich voneinander?

Abbildung 4.31: ers hjedene Arten von

ebel: Spiralnebel, Balken piralnebel und ellipti ehe eOOI.

E könnte natürlich ein, da die Ma en ver chiedener Nebel unter chiedLich (Troß ind und da wenn man am Anfang unterschiedlich große Ma sen hat Chließlichunter chiedliche Re ultate herau kommen. Da ist möglich, aber da der Spiralcharakter der ebel mit ziemlicher icherheit etwa mit dem Drehimpuls zu tUn hat cheint e wahrscheinlicher das die Unter chiede zwi chen den Nebeln durch Dnt~r chiede

114

4 Dynamik und ihre Am...·endungen

im Anfang drehirnpul der ur prunglichen Mas en on Ga und taub (oder wa Ie auch immer al ihren Ur prung annehmen) zu erklären ind. Eine 'i itere ögliehkeit, die einige Leute in Ge präch gebracht haben, ist, da die er chiedenen ebelarten unter chiedliche Entwicklung tadien dar teilen. Da ürde bedeuten. da. i alle ver chieden alt ind - wa natürlich dramati ehe Folgen für un ere Theorie de Uni er um hätte: r t alle gleichzeitig explodiert und i t da Gas an chli ßend konden iert und hat 0 er chiedene ebelarten gebildet? Dann mü ten ie alle glei halt ein. Oder bilden ich die ebel ständig au Trümmern im Raum. Dann könnten ie unter chiedlich alt ein. Die Bildung die er ebel wirklich zu ver tehen, i tein mechani ehe Problem, da mit dem Drehimpul zu tun hat und noch nicht gelö t i 1. Die Ph iker IIten ich schämen: A tronornen fragen immer wieder: "Warum rechnet ihr nicht für un au. wa pa ien. wenn eine große Ma e Gerumpel durch die Gravitation kraft zu ammengezogen wird und rotiert? Könnt ihr die Formen die er ebel er tehen?" nd keiner antwortet ihnen.

4-13 Drehimpul in der Quantenmechanik In der Quantenmechanik ver agt da grundlegende Ge etz = ma. ber einige Dinge bleiben be tehen: Der Energieerhaltung atz bleibt be tehen, der [mpul erhaltung satz bleibt be rehen und der Drehimpul erhaltung atz bleibt ebenfall b· t hener bleibt in einer ehr chönen Form be tehen ehr tief im Herzen der Quantenmechanik. Der Drehimpul i t ein zentrale Merkmal in den Anal n der Quantenmechanik, und da i t tat ächlich einer der Hauptgründe, warum wir 0 eit in die echanik h.ineingehen - um die Phänomene in Atomen ver tehen zu können. hanik und der Einer der imere anten Unter chiede zwi chen der kla i chen Quantenmechanik i t folgender: In der kla i chen echanik kann ein be timmter Körper eine beliebige Menge an Drehimpul durch Drehen bei er chied nen Gechwindigkeiten erfahren. In der Quantenmechanik kann d r Drehimpul entlang in r gegebenen Ach e nicht beliebig ein - er kann nur einen ert hab n der ein ganzoder haJbzahlige Vielfache der Plank ehen Kon tante di idiert dur h zwei Pi h/2rc oder !i) i t, und die e Vielfache mu in Stufen von h on einem ert zum anderen anteigen. Die i t eine der tiefgreifenderen Prinzipien der Quantenme hanik in Bezug auf den Drehimpul . Schließlich ein intere anter Punkt: Wir teilen un da Elektron aJ Elementart ilehen. 0 einfach wie nur möglich vor. Trotzdem hat e einen eigenen Drehimpul. ir teIlen da Elektron nicht einfach al Punktladung dar, ondem a1 Pun tladung. die eine Art Begrenzung eine reaJen Körper i t, der einen DrehirnpuI hat. E i t o t a wie ein Körper der ich in der kJa i chen Theorie um eine h e dreht aber ni ht genau 0: E zeigt ich da ich da Elektron analog zu der infa h t n in. G ro kop verhält, für da wir un ein ehr kleine Trägheit moment or t I1 n und da

4-14

ach der Vorle ung

115

ich extrem chnell um eine Hauptach e dreht. Und interes anterweise scheint da , was wir in der kla i ehen Mechanik immer in der er ten Näherung tun, nämlich die Trägheit momente um die Präze ion achse zu vernachlässigen, genau das Richtige zu ein für da Elektron! Mit anderen Worten, da Elektron eheint wie ein Gyro kop mit einem unendlich kleinen Trägheit moment zu ein das sich mit unendlicher Winkelge chwindigkeit dreht, 0 da s wir einen begrenzten Drehimpuls haben. Es ist ein Grenzfall. E i t nicht genau da Gleiche wie ein Gyroskop - e i t ogar noch einfacher. Aber e i t immer noch eine Kurio ität. Ich habe hier da Innenleben des Gyroskops au der Abbildung 4-13, wenn Sie ich da mal anschauen möchten. Da war s für heute.

4-14 ach der Vorlesung Feynman: Wenn Sie sehr genau durch die Lupe schauen, dann können Sie die eeeehr feinen. halbrunden Drähte ehen, die den Behälter mit Strom ve argen und mit die en kleinen Pin hier an der Außen eite verbunden sind. Student: Wie iet kostet ein von diesen Teilen? Feynman: Oh. da weiß nur Gott allein. Da teckt 0 viel Feinarbeit drin, nicht 0 ehr, um da Teil herzu teilen ondern um die ganzen Kalibrierungen und Mes ungen zu machen. Sehen Si die winzigen Löcher und die vier goldenen Pin , die 0 au ehen al ob jemand ie erbogen hätte? Man hat diese Pin extra so gebogen, damit sich der Behälter im voll tändigen Gleichgewicht befindet. Wenn ich die Dichte de Öl ändert chwimmt der Behälter allerding nicht: Er inkt im Öl ab oder steigt im Öl und auf die Zapfen wirken Kräfte. Damit die Öldichte immer den richtigen Wert hat, so das der Behälter gerade chwimmt, mu man die Temperatur mithilfe einer Heizschlange innerhalb eine Bereiche von ein paar Tausendstel Grad auf dem richtigen Wert halten. Und dann i t da da Steinlager der Punkt, der in den Edel tein führt, wie in ein r hr. Al 0, ie ehen, e rnu ehr teuer ein - aber ich weiß nicht, wie teuer. Student: Hat e chon irgendwelche Arbeiten über eine Art Gyro kop a1 Gewicht am Ende einer bieg amen Stange gegeben? Fe nman: Oh ja.

an hat er ucht andere Wege, andere Verfahren zu entwerfen.

Student: Würd da nicht da Problem der Lagerung reduzieren? Feynman:

un e reduzi rt ine Sache und bringt irgendetwa andere her or.

tudent: Wird e einge etzt.

Feynman:

icht, da ich wü te. Die Gyroskope, über die wir ge proehen haben, iod die einzigen, die bi her tat ächlich eingesetzt werden, und ich denke nicht, da die anderen ihnen jetzt schon da Wa er reichen können, aber ie sind nahe dran. E i tein Grenzthema. Man kon truiert immer noch neue Gyro kope, neue orrichtungen

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4 Dynamik und ihre Anwendungen

neue Wege und e kann gut ein, da ein von ihnen die Probleme lö en ird, z.B. diesen Wahn inn, da die Ach lager 0 genau ein mü en. enn Sie eine Zeitlang mit dem Gyro kap herum pie] n, werden Sie ehen, das die auf eine Achse au geübte Reibung kraft nicht klein i t. Der Grund dafür i t, da s, wenn die Lager zu reibung frei gemacht würden, die Ach e taumeln würde und Sie ich um die e Zehntel eine Million tel Zentimeter Gedanken machen mü sten - und das i t lächerlich. E mu einen be eren Weg geben.

Student: Ich habe in einer Ma chinenwerk tart gearbeitet. Feynman: Dann wi en Sie, wa ein Zehntel eine

illion tel Zentimeter heißt:

Das i tunmöglich!

Anderer Student: Wa i t mit der Ei enkeramik? Feynman: Die e Sache mit der Ab tützung eines Supraleiter in inem

agnetfeld? Wenn e einen Fingerabdruck auf der Kugel gibt, geht von den Strömen die durch da wech elnde Feld erzeugt werden, an cheinend ein geringer Teil erloren. an erucht, das in den Griff zu bekommen, bis jetzt hat es aber noch nicht geklappt. Es gibt eine Menge chlauer Ideen, aber ich wollte nur eine in ihrer endgültigen. teehni chen Form mit allen Details zeigen. St dent: Die Federn an die ern Teil indfurchtbar fein.

Feynman: nd ob. Sie ind nicht nur fein in dem Sinne, da ie klein ind, ondem ie ind auch fein in dem Sinne, wie ie herge teilt iod: Wi en Sie, i ind au ehr gutem Stahl Feder tahJ, gemacht, alle be ten . Die e Art von Gyro kop i t wirklich unprakti eh. E i t 0 eh ierig. e 0 genau hinzubekommen wie e ein mu . E mu in Räumen herge teilt Iden. die ab olut taubfrei ind - die Leute tragen pezielle Kittel Hand ehuhe, .. berzieh ehuhe und Ma ken denn wenn ich auch nur ein Staubkörnchen in die en Teilen befindet, wird die Reibung velfal chI. Ich wette, ie werfen mehr weg aJ ie rfolgreich her t 11 n weil alle so genau gebaut werden mu . E i t nicht nur einfach in kleine Teil, da man zu ammenbaut. E i t chan ziemlich ehwierig. Die e bemerken rte Präzi ion bewegt i h am Rande un erer derzeitigen Fähigkeiten d halb i t e inter ant und jede Verbe erung, die Sie dafür erfinden oder entwerfen können wäre ein große Sache. Eine der Hauptprobleme exi tiert, wenn die Ach de Behälter nicht mehr mittig i t und da Ding ich dreht. Dann me en Sie die Drehung um die fal eh eh e und können 0 eine komi ehe Antwort erhalten. Aber mir cheint e offen i htlich oder fa t - ielleicht liege ich aber auch fal eh), da das nicht wesen/lich i 1. E mu einen Weg geben, um ein rotierende Teil abzustützen, 0 da die tütze dem h erpunkt folgt. Gleichzeitig können Sie me en, da e gedreht ird weil Dr hen etwa andere i t, aI den ehwerpunkt nicht mehr mittig zu haben.

ir möchten eine Vorrichtung haben, die die Drehung um den chwrpunkt dir kt

4-14

ach der Vorlesung

117

mi t Wenn wir einen Weg finden könnten, da das Teil, da die Drehung mi st ie sicher um den Schwerpunkt mi t wäre e egal, ob der Schwerpunkt taumelt Wenn die ganze Plattform immer dieselbe Taumelbewegung wie das Teil, da Sie zu messen er uchen machen würde, dann gäbe es keinen Ausweg. Aber dieses außermittige Rad i t nicht genau da uleiche wie da Teil da Sie messen wollen, also mus e einen Au weg geben. Student: Sind mechani ehe/analoge Integrierer generell Au laufmodelle im Vergleich zu elektri ehen bzw. digitalen? Feynman: Ja. Die mei ten Integrierer ind elektri eh, aber es gibt zwei allgemeine Modelle. Da eine, al .,analog" bezeichnete Modell: Diese Vorrichtungen verwenden eine physikalische Methode. eine, für die die Me ergebnisse ein Integral von etwa sind. Wenn Sie z.B. einen Wider tand haben und eine be timmte Spannung erzeugen, erhalten Sie einen be timmten Strom durch den Wider tand, der proportional zu der Spannung i t. Wenn Sie aber die ge amte Ladung und nicht den Strom messen i t da das Integral des Strom ehen Sie. Al wir eine Be chleunigung durch da Messen eine Winkel integriert haben, war da ein Bei piel aus der Mechanik. Sie können auf verschiedene Wei e 0 integrieren und e macht keinen Unter ehied, ob es sich dabei um eine mechani ehe oder elektri che Methode handelt - normalerweise i t e ein elektri ehe Verfahren - aber e i t immer noch eine analoge Methode. Dann gibt e ein andere erfahren und zwar erhält man da Au gang ignal und wandelt e z.B. in eine Frequenz um: Da Ding löst eine Menge Impul e au und wenn da Signal tärker i t, folgen die Impul e chneller aufeinander. Und dann zählen Sie die Impul e, hen Sie? Student: Und integrieren die Anzahl der Impulse? Feynman: ie zählen die impulse nur. Sie könnten sie mit einer Von'iehtung wie die e kl inen Schrittzähler zählen wo Sie einmal pro Impul drücken oder Sie könnten das auch elektri eh mit Schläuchen machen, die hin und her cWagen. Wenn Sie das dann wieder integrieren wollen können Sie es numerisch tun - wie wir unsere numeri che Integration an der Tafel gemacht haben. Sie können.im Grunde genommen eine Addierma chine kon tmieren - keinen Integrierer sondern eine Addierma crune - und wir verwenden die Addierma chine, um die Zahlen zu addieren, und diese Zahlen haben keine nennen erten Abweichungen wenn Sie die Ma chine richtig kon truieren. So können die Fehler die auf die integrierenden Vorrichtungen zurückzuführen ind, auf null reduziert werden obwohl die Fehler in den Me seinrichtungen auf Grund von Reibung und 0 weiter immer noch vorhanden ind. Man verwendet noch nicht ehr häufig digitale Integrierer in Raketen und UBooten. Ab r ie ind im Kommen. Vielleicht werden ie die Fehler 10 die durch die Ung nauigk iten der Integriermechanismen entstehen - und man kann ie 10 werden enn man einmal da Signal in, wie ie es nennen digitale Informationen Punkte - zählbare Dinge - umgewandelt hat.

118

4 Dynamik und ihre Anwendungen

Student: Und dann hat man einfach einen digitalen Rechner? Feynman: Dann haben Sie einfach eine An kleinen digitalen Re hner. der z el Integrationen numeri ch macht. Langfri tig i t da be er. a1 e auf analoge ei e zu machen.

Im Moment i t der Rechnerbereich meisten analog, aber ehr wahr cheinlich wird er auf digital umge teilt - wahr cheinlich in ein oder zwei Jahren -, weil im digitalen Bereich keine Fehler ent tehen. tudent:

an könnte eine lOO-MHz-Logik verwenden.

Feynman: Die Ge chwindigkeit i t nicht ent cheidend. E i t einfa h ine rage der Kon truktion. Analoge Integrierer erweisen ich heutzutage I nicht genau g nug und 0 i t e da Einfach te, zu digital zu wech eIn. Da i t ahrscheinlich der nä h t Schritt, nehme ich an. Aber da eigentlkhe Problem i t natürlich da G ro kap elb t. Da mu eiter verbe ert werden.

immer

tudent: Vielen Dank für die Yorle ung über die n endungen. Denken Si . da Sie vielleicht päter im Trime ter noch mehr machen. eynman:

ie mögen die e Anwendungen?

Student: Ich überlege. ob ich in den Ma chinenbau g he. Fe nman: OK. Die i t natürlich wirklich eine der chön ten Ding 1m nenbau.

a hi-

Ver uchen wir e mal ...

-I te an? tudent:

ein. Ich glaube, der Stecker i t ni ht drin.

Feynman= Oh, Ent huldigung. So. Jetzt. chatten

ie je/-rt mal ein.

tudent: E zeigt "OFF' an, wenn ich da tue.

Fe nman: Wa ? Ich weiß nicht, wa pa iert i t. Egal. Tut mir lid. nderer tudent: Könnten Sie noch mal erklären. wie die Corioli -Kraft uf Gyro kop wirkt?

In

eynman: Ja. tudent:

Ir I t chon klar, wie ie auf in Karu eil wirkt.

Feynman: Gut. Hier i t ein Rad, da i h um eine h e dreht - \vie ein Karo eil, das ich dreht. Ich mö hte zeigen, da ich der Prä::.e sion bew un Wider tand entgegen eren mu damit die Achse rotiert . .. oder e wird Dehnung la tunQen in den tangen geben, die die Ach e tragen, OK?

4-14

119

ach der Vorle Img

Student: OK. Fe nman: be timmt r drehen.

un, jetzt er uchen wir den Weg zu beobachten, auf dem ich ein npunkt auf dem Krei elrad tatsächlich bewegt, wenn wir die Ach e

Wenn ich da Rad nicht drehen würde, wäre die Antwort, dass der Ma senpunkt ich auf einer Krei bahn b \ gt. Es wirkt eine Zentrifugalkraft auf ihn, die durch die Dehnung belastungen. die auf die Speichen de Rade wirken au geglichen wird. Aber da Rad dreht ich ehr ehnell. enn wir also die Ach e drehen bewegt ich der Ma enpunkt, und da Rad hat ich auch gedreht, ehen Sie? Zuer t ist er hier jetzt i t er hier: Wir haben un nach hier oben bewegt, aber das Gyroskop hat ich gedreht. Al 0 bewegt ich der kleine Mas enpunkt auf einer Kurve. Wenn wir um eine Kur e fahren irkt eine Zugkraft - die Zentrifugalkraft wenn der Ma senpunkt ich auf einer Kur e bewegt. Die e Kraft wird nicht durch die Speichen au geglichen, die radial aLl g ri htet ind. Sie mu durch irgendeinen seitlichen Schub auf da Rad au geglichen werden. tudent: Ah ja! Klar!

Feynman: De halb mu ich einen eitlichen Schub auf das Rad ausüben, um die e Ach e zu halren, während da Rad ich dreht. Soweit klar? Student: Klar. eynman: Ab r da i t no h eine Sache. Sie könnten fragen: "Wenn e eine eitliche Kraft gibt warum bewegt ich dann nicht da ganze Gyroskop? Und die Antwort ist natürlich, da i h die andere Seite de - Rades in die entgegenge erzte Richtung bewegt. nd enn ie da gleiche Spi Ihn mit einem Ma senpunkt auf der anderen Seite de Rade ma hen, enn da Rad i h dreht, übt er eine entgegengesetzt gerichtete Kraft auf di Seite au . AI 0 wirkt keine ettokraft auf das Gyroskop. udent: Ich fange an da zu er tehen, aber ich ver tehe nicht, welchen Unterchied die Drehung de Rade au macht. Fe nman: chauen Sie, e macht in n rie engroßen Unterschied au . Und je chneiier e ich dreht, de to größer ist der Effekt - obwohl man etwas herumprobieum zu erk nnen, warum. Denn wenn eich chneller dreht i t die Kur e die d r a enpunkl ma ht, nicht 0 charf. Andererseit dreht eich chneller und wahr hein lieh mu man eine gegen das andere abwägen. Auf jeden Fall teIlt ich herall da die Kraft größer i t, wenn e ich chneller dreht - tat ächlich proportional zur Ge chwindigkeit. nderer tudent: Dr. Fe nman ...

Fe

oman: Jawohl.

Student: timmt e ,da Fe nman: Nein. Da

Je ieben tellige Zahlen im Kopf multiplizieren können?

timmt nicht. E

timmt nicht einmal dass ich zwei tellige

120

4 Dynamik und ihre

nwendungen

Zahlen im Kopf mulüplizieren kann. Ich kann da nur mit ein teHigen Zahlen.

Student: Kennen Sie irgendwelche Philo ophie-Dozenten am C ntraJ C liege in Wa hington?

Feynman:

arum?

Student: Ich habe einen Freund dort. Ich hatte ihn eine Zeitlang ni ht ge ehen und in den Weihnacht ferien hat er mich gefragt, wa i h 0 mache. I h habe ihm erzählt. da ich am Caltech bin. nd dann fragte er: Ha t du dort einen D z nt n. der Feynman heißt?' . Denn ein Philosophie-Dozent hatte ihm erzählt. da ein gewi er Feynman am Caltech ieben teUige Zahlen im Kopf multiplizieren könnte. Fe nman: Stimmt nicht. Aber ich kann andere Dinge.

Student: Kann ich ein paar FO[Q von dem Apparat machen. Feynman: icher!

tudent: Da i

t

öchten ie eine

ahaufnahme, oder

chon OK o. Aber er t mö hte i h ein Bild zur Erinnerung an

Sie.

Feynman:

a.

nd ich behalte Sie in Erinnerung.

5 Ausgewählte Aufgaben t Die folgenden ufgaben ind nach den Kapiteln der Exercises in Introductory Ph)sics in Ab chnitte aufget ilt. In Klammem i t der ent prechende Querverwei zu dem Thema in d n Feynman- Vorlesungen iiber Physik, Bände I-lU, angegeben. Das Thema der" bungen in Ab chnitt ,5.1 Energieerhaltung, Statik (Bd. I, Kap. 4)' wird Z.B. in den Fe)nman- Vorle ungen über Ph ik Bd. I Kap. 4 behandelt. In jedem Ab hnitt ind die Aufgaben nach ihrem Schwierigkeitsgrad unterteilt. In der Reihenfolge in der ie in den einzelnen Ab chnitten erscheinen, gibt es: leichte Aufgaben Aufgab n für Fortge chrittene C"') und schwierigere und komplizierte Aufgaben (....). Der durch chnittliche Student ollte die einfachen Aufgaben ohne große Probleme und die mei t n Aufgaben für Fortge chrittene innerhalb einer angeme enen Zeit - ielleicht zehn oder zwanzig Minuten pro Aufgabe - lösen können. Die ch ierigeren Aufgab n erfordern im Allgemeinen ein tiefere phy ikali che Vertändni oder komplexere .. berlegungen und werden haupt ächlich für den lei tung tärkeren Studenten on lntere e sein.

r,

5-1 Energieerhaltung, Statik (Bd. I, Kap. 4) 1 .. Ein Ball mit inem Radiu von 3 0 cm und einem Gewicht von 1,00 kg ruht auf einer chiekn Ebene, die mit der Horizontalen einen Winkel Q' bildet, und berührt außerdem eine ertikale Wand. Beide Flächen haben eine emachlä igbare Reibung. Be timmen Sie die Kraft, mit der der Ball auf jede der Flächen drückt.

Abbildung 5-1.1 t Au den Exercises illlTlrT'Odllclory Physics \/on Roben B. Leighton und Rochu E. ogl, Addi on-We ley 1969. Siehe auch den Ab hnill ÜbuTlg allfgaben in der Einführung von Michael Gonlieb, Seile X.

122 _ * Da abgebildete Sy tem befindet ich im tati ehen Gleiehge\ i ht.

enden ie da Prinzip der irtuellen Arbeit an und ermitteln ie die G \ i hte und B. Vernachlä igen Sie da Gewicht der eile und die Reibung in den Rollen.

Abbildung 5-1.2

3 • Wie groß mu die (an der eh e au geübte) horizontale Kraft F in. um ein Rad mit dem Gewicht W und dem Radiu R über einen BI k mit der Höhe h zu ehjeben?

F

R

Abbildung 5-1.3

4 *" Eine a e MI gleitet wie darge teilt, auf einer chi f n Eb eigung winkel on 45° und der Höhe H. je i t dur h ein He emachläs igbarer Ma e da über eine kleine Rolle vema hlä Ma e) läuft mit einer id nti ehen Ma e M2 erbund n, di.

H

Abbildung 5-/.4

n mit einem ibl il mir igen i ihr ie darge teilt.

5-1 Energieerhaltung, Statik

123

enkrecht nach unten hängt. Di Länge des Seil i tobe chaffen, dass die Ma en in der Höhe H /2 b ide in der Ruhelage gehalten werden können. Die Abme ung n der Ma en und der Rolle sind im Vergleich zu H vernachlässigbar. Zum Zeitpunkt t = 0 erden die beiden Ma en 10 gela en. a) B rechnen ie für t > 0 die vertikale Be chleunigung von M 2 • b)

elche Ma e bewegt ich nach unten? Zu welchem Zeitpunkt t] trifft Je auf dem Boden auf?

c) Zeigen ie ob di andere Ma e auf die Rolle trifft, wenn die Masse in (b) zum Still tand kommt, wenn ie auf dem Boden auftrifft und die andere Ma eich weiterbe egt.

5 .. Ein Brett mit dem Gewicht W und der Länge ...f3R liegt in einer glatten, krei förmigen ulde mit dem Radiu R. An dem einen Ende de Brette befindet ich ein Gewicht W/2. Ber ehnen Sie den Winkel in dem das Brett liegt, wenn es ich im Gl ichgewicht befindet.

e,

Abbildung 5-1.5

6·· in Ornament für einen Innenhof bei einer Weltausstellung oll aus vier identi chen reibung freien

I

etallkugeln hergestellt werden, von denen jede ein Ge-

wicht n 2 Y6t hat. Die Kugeln ind wie darge teIlt anzuordnen: Drei Kugeln ruhen auf einer horizontalen Fläche und berühren einander, die ierte Kugel ruht frei auf d n drei anderen. Schweißpunkte an den jeweiligen Kontakt teIlen verhindern da die unteren drei au einander rollen. Wie groß i t die Zugkraft der die Schweißpunkte tandhalten mü en, wenn Sie von einem Sicherheit faktor on 3 au gehen?

nicht von oben

Abbildung 5-1.6

An icht von der Seite

124

5

7 ** Eine Spule mit der Ma e M ::: 3 kg be teht au inem z ntralen Z lind r mit dem Radiu r = 5 cm und zwei Endplatten mit dem Radiu R = 6 m. i lie ( auf einer chiefen Ebene mit Schlitz. auf der ie rollt, ab r ni ht rut ht und ine Ma e m = 4,5 kg hängt an einer Schnur die um di pul g \I\,'ick It i L an beobachtet, da ich da Sy tem im rati chen GI i hg wicht b nd t. V i eroS i t der eigung winkel (J der chiefen Ebene?

Abbildung 5-1.7

8 ** Ein agen auf einer chiefen Ebene wird durch d Gewicht w im GI i hg wicht gehalten. Die Reibung aller Teile kann vema hl" igt rd n. B timmen ie das Gewicht W de agen.

bbildung 5-1.8

9

Abbildung 5-1.9

Ein Behälter mit der Quer chnitt flä he A enthält ine Flü igkeit mit d r Di hte (}. Die Flü igkeit pritzt frei au einem kJeinen Loch mit d r Flä hain in m Ab tand H unter der freien Oberfiäch der Flü igkeit h rau. i gr ß i t di Ge ch indigkeit, mit der die Flü igkeit au tritt, nn i ein ion r R ibun 1 ko ität hat? U

5-2 Die Keplerschen Gesetz.e lind die Gravitation

125

5-2 Di Kepler ehen Ge etze und die Gravitation (Bd. I, Kap. 7) "' Die E zentrizität der Erdumlaufbahn beträgt 0,0167. Be timmen Sie da Verhältni ihrer maximalen Ge chwindigkeit auf ihrer Umlaufbahn zu ihrer minimalen Ge ch indigkeit. 2 .. Ein wirklicher (geo tationärer) "Syncom"-Satellit bewegt sich ynchron mit der Erde auf in r Umlaufbahn. Er bleibt immer in einer fe ten Po ition in Bezug auf einen Punkt P auf der Erdoberfläche.

a) Betrachten Si.e die Gerade, die den Erdmittelpunkt mit dem Satelliten erbindet. Kann P. wenn er ich im Schnittpunkt dieser Geraden mit der Erdoberflä he befindet. eine geografi che Breite be itzen oder welche Bechränkungen gibt e ? Erklären Sie. b) Wie groß i t der Ab tand rs eine Syncom-Satelliten mit der Ma e m vom Erdmittelpunkt. Geben ie r in Einheiten de Erde-Mond-Ab tande rE 1 an.

Anmerkung: B trachten Sie die Erde a] eine gleichförmige Kugel. Für die Periode de ond können ie TM = 27 Tage verwenden.

5-3 Bewegung (Bd. I, Kap. 8) * Ein kyhook-For hung ballon mit einer wis en chaftlichen urzlast teigt mit einer Ge chwindigkeit on 305 m in der Minute. In einer Höhe on 9 14km explodiert d r Ballon und die La t fällt im freien Fall. (Solche Katastrophen pa ieren.)

a) Wie lange b) Wi groß

ar die

utzla t in der Luft?

ar die Ge eh indigkeit der

utzla t beim Aufprall?

Vemachlä igen Sie den Luftwider tand. 2 "' B tra hten Sie inen Zug, der mit einer Beschleunigung von 20 cm -2 bechleunigen und mit einer Verzögerung von 100 cm -2 abbrem en kann. Be timmen Si die Minde tzeit, die der Zug für die Fahrt zwi ehen zwei Stationen, die 2 km voneinander entfernt liegen, braucht. 3 "' Wenn Si einen kleinen Ball in realer Luft mit Luftwider tand enkrecht nach ob n werfen braucht er dann länger um nach oben oder nach unten zu kommen?

5

126

4 .. Bei einem er uch während einer Vorle ung hüp tein kl in t hlkugel auf einer Stahlplatte. Bei jedem Hüpfer wird die nach unten gen htete Ge h\ indigkeit der Kugel. die auf der Platte aufprallt, um einen Faktor e beim Zurü kprallen reduzien. d.h. Vna hoben

= e . Vnach

unten'

Wie groB i t der Betrag von e, wenn die Kugel anfang zum Z itpunkt I = 0 au einer Höhe von 50 cm über der Platte fallen gela en wird und 0 ekunden päter das er tummen de ikrofon anzeigt, da die Hüpfb egungen aufg hört haben? 5 .. Ein Autofahrer fahrt: mit einem uto hinter in m Lk lieh, da zwi ehen zwei der Hinterreifen de Lkw ein orsichtiger Fahrer und außerdem Phy iker i t, erhöht zu dem Lkw auf 22,5 m, damit er nicht von dem tein g ich lö t. ie groß i t die Ge chwindigkeit de Lkw? Stein nach dem Aufprall auf dem Boden nicht hüpft.

her und bem rkt pI"' tztein t itzt. Da er ein r 0 n in n brand troffen \ ird. fall die r ehm n ie an. d d r

6 .... Ein Studienanf<:inger am Caltech der ich mit den erkehr p Iizi t n in d n oronen nicht au kennt, hat gerade einen trafzett 1 wegen zu hn 11 TI Fahren erhalten. 1 er danach zufallig an einem der ..Tachomet rt ("'- b hnitt auf gerader Strecke auf einem Highway orbeikommr, b hli Bt er. ine Tachoanzeige zu überprüfen. Al er den "Start'" de marki nen b hnitt p iert, tritt er auf da Ga pedal und hält ein ahrzeug \ ähr nd d r ge amt TI Te tzeit auf on tanter Be chleunigung, Er be bachtet, da er die ,10- eil nMarkierung 16 Sekunden nach dem Start und 8,0 kunden päter di 0,_0eilen- arkierung pa ien. a)

a hätte ein Tacho an der 0,20-

eilen-

b)

ie groß war eine Be chleunigung?

arkierung anzeig n mü

n.

7...... uf der langen horizontalen Ver ueh tre ke auf d r d l'ard ir Force Ba e können owohl Raketen, al auch Dü entriebwerk oete tet w rd n. n in m be timrnten Tag be chJeunigte ein Raketentriebwerk da au der Ruhetag tartet urde, on tant. bi der Treib toff aufgebr u ht war. Dan h be gt i h mit kon tanter Ge chwindigkeit. an beoba htete, d d r aket ntr ibtoff au ging, a1 i h die Rakete mitten auf der g me eIl n -r; t tr k b f nd. Dann urde ein Dü ntriebwerk au der Ruhelag auf d r 11 t tre k g tmet, das auf der ge amten Entfernung kon tant be hleunigt. .an b ba ht t j tzt, da da Raketentriebwerk und da Dü entriebwerk die Te ( tre k in gnu d r gleichen Zeit zurücklegten, Wie war da Verhältni d r Be chi uniöung d Düentriebwerke zu der de Raketentriebwerke .

5~

]27

Die Nell'lOHSchen Ge e!:;.e

5-4 Die

ewton ehen Gesetze (Bd. I Kap. 9)

* Zwei Körp r. die je· il eine Mas e m = l kg haben und über eine straff gepannte S hnur mit der Länge L = 2 m miteinander verbunden sind bewegen i h auf ein r krei förmig n Bahn mit kon tanter Ge chwindigkeit V = 5 m S-I

um ihren oemein amen Mittelpunkt C in einer schwerelo en Umgebung. Wie gr ß i t die Zugkraft in der Schnur in ewton?

) bbi/dung 5-4./

2·· ie groß mu die horizontale Kraft F ein, die ständig auf Mau geübt werden mu ,damit i h MI und M_ relativ zu M nicht be egen? Vemachlä igen Sie die Reibung.

T F

bbiLdung 5-4.2

Abbildung 5-4.3

3··

in frühe Anordnung zum Me en der Fallbe chleunigung, die 0 genannte tw d h Fallma chine i t in der Abbildung darge tellt. Die Ma e und die Reibung der Roll P und de Seil C können vernachlä igt werden. Da Sy tem

128

Abbildung 5-4.4

bbi/dung 5-4.5

5 ... Ein tronaut der den Mond betreten oll, hat eine Fed rwaa e und in e von 1.0 kg bei ich. Wenn die Ma e auf der Erde an der aage hängt z igt die aage 9. ewton an. Al der A tronaut den ond an einer teile b tritt. an der die FaHbe chleunjgung nicht genau bekannt i t ab r in n ert n er 1/6 der Fallbe hleunigung an der Erdoberftäche hat hebt r inen tein B auf, d r beim iegen auf der Federwaage einen Anzeig en \ on 9. ewton ufw i t. Dann hängt der tronaut und B über eine Rolle, \ ie in d r bbildung g z igt, und beoba htet. da B rrut einer Be chleunigung on 12m -2 fallt. i groß j t rue a e on tein B?

5-5 Die Implliserhalwng

129

5-5 Die Impul erhaltung (Bd. I Kap. 10) 1 • Zwei egelflugmodell können ich frei auf einem horizontalen Luftkis en bewegen. Da eine i t tationär und da andere kollidiert mit ihm in einem ideal ela ti ehen toß. i prallen beide mit identi cher und entgegenge etzt gerichteter G chwindigkeit zurück. W lehe Yerhältni haben ihre Massen zueinander? 2 .. Ein a ehin ng ehr, da am nördlichen Ende einer Plattform mit einer Ma e on 10000 kg und einer Länge on 5 m montiert i t die ich frei auf einem horiz ntalen Luftlager bew gen kann feuert Kugeln in eine dicke Ziel cheibe die am üdlichen Ende der Plattform angebracht i 1. Das Gewehr feuert pro Sekunde 10 Kugeln mit einer Ma e on je eil lOOg mit einer Mündung ge chwindigkeit on 500 m -\ ab. a Bewegt ich die Plattform? b In

elche Richtung?

) Wie ehnell? 3 •• Da Ende ein r K tt mit iner Ma e f.l pro Längeneinheit befindet ich zum Zeitpunkt I = 0 auf einer Ti chplatte in der Ruhelage und wird dann mit kOil tanter Ge ch indigkeit rtikal nach oben gehoben. Berechnen Sie die nach oben gerichtete Hubkraft in bhängigkeit der Zeit.

I

I

I

f

I

I

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I I

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_L __ I

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I_--~----M _I

H Abbildung 5-5.3

L

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m

Abbildung 5-5.4

4 ... Di Ge ch indigk it einer Gew hrkugel kann mithilfe eine baLlisti ehen Pend I gerne en werd n. Di Kugel deren Ma se m bekannt und deren Gehwindigkeit unb kannt i t dringt in inen tationären Holzblock mit der 'a e M ein, der al P ndel mit der Länge Laufgehängt i 1. Dadurch beginnt der Bio k zu ch ing n. Di chwingung amplitude x kann gerne en erden und unt r An ndung de nergi erhaltung atze kann man die Ge chwindigkeit de Blocke dir kt na h dem AufpraH bestimmen. Leiten Sie einen Au druck für di G h indigkeit der Kugel al Funktion on m, M, L und x her. 5 ••• Zwei egelflugmodeUe mit identi ehen Ma en, die ich auf einem ebenen Luftki en mit glei h groB n und entgegenge etzt gerichteten Ge chwindigkeiren u und -u b wegen toBen näherung wei e ela ti eh zu ammen und prallen

130 mit etwa kleineren Ge chwindigkeiten zurück. In dem t erb r n i ein n Bruchteil f « 1 ihrer kineti ehen Energie. ie groB i t di G hv. indi keit, mit der ich da zweite egelflugmodell nach dem toß bew gt. wenn i Ib n Segelflugmodelle einen StoB au führen und ich dab i in anfang in d r Ruh lage befindet? (Die e kleine Re tge hwindig it v kann lei ht a1 Funkti nd r Endge chwindigkeit v de ur prünglich tationär n eg Iflugmod 11 g m n und 0 die Ela tizität der toBfänger be timmt \-\lerden.) 1 Anmerkung: . enn x « I, dann gilt ~::::: 1 - l't. 6 .. * Ein Erd atellit mit einer a e on 10 kg und ein r dur h hnittli hen Qu rchnitt fläche on 0,50 m2 bewegt ich auf einer kr i ~.. rmig n mlaufbahn in einer Höhe von 200 km, wo die mittlere frei gläng d r 1 lekül vi le ter und die Luftdichte ca. 1,6 x LO- 10 kgm- 3 betr"gt. Bere hn n i unt r d r implen nnahrne. da die töße zwi chen den 01 külen und d m atelliten tat ächlich inel ti eh ind (aber da die olekül ni ht \ irkli h an d m atelhten haften bleiben, ondem mit kJeiner Relari g hwindigk it bf 11 n). di erzögerung kraft, die der atellit auf Grund d r Luflf ibußo erfahr n ürde. ie mü te ich eine olehe Reibung kraft in bhängigkeit d r Ge h indigkeit verändern. ürde die Ge hwindigkeit d t Iliten in loe drauf ihn wirkenden ettokraft abnehmen? ( .. berprüfen i di G hwindigk it uf ein r krei fönnigen atellitenumlaufbahn im erglei h zu d r H"h .)

5-6 Vektoren (Bd. I, Kap. 11) 1. ** Ein anno der am Ufer eine 1,0 Meilen breiten lu t ht. m" ht an inen direkt gegenüberliegenden Punkt am and ren Fer gelang n. Er h t zwei glichkeiten, den Au zu überqueren: (1) Er b egt i h tw lf mauf\ ärt , 0 da eine re ultierende Bewegung gerade üb r d n Flu . ührt. (_) er b \\ (Tt ich direkt auf da gegenüberli gende fer zu und geht dann am ~ r \' n d m lPunkt. an den ihn die Strömung tromabwärt g tri b n hat, tr maufwärt. ehe öglichkeit i t die chnellere und um wi i I i t ie hn 11 r, w' nn r eilen h- I chwimmen und 4.0 eilen h- 1 gehen kann und di tr"mun _,0 eilen h- I beträgt? r lati zum r 2... Ein otorboot, da mit on tanter Ge hindi keit fährt, wird in einem geraden Flu b tt ge t u rt in dem d W r ruhig mit kon tanter Ge chwindigkeit R fließt. Zunäch [ ird d B 1 auf in Rundfahn von einer Anker teile zu einern Punkt in einer ntfernung d direkt tr maufärt ge ehiekt. Dann wird auf ein Rundfahrt n in r ' r t 11 zu inern Punkt in einer Entfernung d dir kt über d n Au ge hi t. hm n i der Einfachheit halber an, da da Boot j d 1 d n g nz n \\ g mit voll r mdr h n am End der HinGe eh indigkeit fahrt und da keine Z it für da

5-7

iehtrelativi ti he Stöße z'rvi ehen zwei Körpern in drei Dimensionen

131

fahrt erlor n geht. Iv i t di Zeit, die da Boot für die Rundfahrt stromaufwärt braucht, tA i t die Zeit, die da Boot für die Rundfahrt über den Flu s braucht, und lL i r die Zeit. di da Boot für inen Weg 2d auf einem See brauchen würde. a) Wie i r da Yerhältni tv / tA

.

b) Wie i t da Y rhältni tA/tL? 3.•• Eine a e m hängt am Ende einer Schnur mit beliebiger Länge von einem reibung freien Drehzapfen herunter und wird dazu gebracht, auf einer horizontalen Krei bahn der n Ebene in einem Abstand H unter dem Drehpunkt liegt, herumzuwirbeln. Be timmen Sie die Umlaufdauer der Masse auf ihrer Umlaufbahn.

H

~) /

Abbildung 5-6.3

4.... Sie b finden ich an Bord eine Schiffes da kontinuierlich mit einer Gechwindigkeir on 15 Knoten nach 0 ten fährt. Ein Schiff auf einem kon tanten Kur de en Ge chwindigkeit 26 Knoten beträgt, wird 6,0 Meilen genau üdlich n Ihnen beobachtet. päter wird beobachtet wie e hinter Ihnen orbeifährt. Dabei b trägt der gering te Ab tand zu Ihrem Schiff 3,0 Meilen. a)

el hen Kur fährt da andere Schiff?

b) Wi groß ar di Zeitspanne zwi chen einer Po ition üdlich von Ihnen und ein r Po ition mit dem gering ten Ab tand zu Ihnen?

5-7

ichtrelativisti ehe Stöße zwi ehen zwei Körpern in drei Dirnen ionen (Bd. I, Kap. 10 und 11)

1 .. Ein ich be egender

a enpunkt mit der Ma e M führt einen ideal ela ti ehen toß mit inem tationären Ma enpunkt mit der Ma e 111 < M au . B timmen i den maximal möglichen Winkel um den der einfallende Ma enpunkt abgel nkt erden kann.

132

5 Ein Körper mit der Ma e mt, der ich mit der linearen Ge hwindigk it v in inern Labor tem bewegt, tößt mit einem Körper mit d r. a e m_ zu ammen. der ich in dem Labor in Ruhelage befindet. ach dem t ß ird b oba htet, da (1 - (1'2) der kineti ehen Energie im ehwerpunkt tem b i dem toß rlor n gegangen i t. Wie groß i t der prozentuale Energieverlu t im Labor t m?

_ **

3 .. Ein Proton mit einer kineü ehen Energie on I tößt 1a ti h mit inem tationären Kern zu ammen und wird um in n ink I von 9 0 abgelenkt. Wie groß i t die Ma e de Zielkern in Einheiten d r Protonenm . enn die Energie de Proton jetzt 0,80 Me V beträgt?

5-8 Kräfte· Bd. I Kap. 12) .. Zwei a en. ml ::: 4 kg und m3 ::: 2 kg, ind mit il n. deren G i ht erna hlä igt werden kann. über im Prinzip reibung fr i Roll n mit iner dritten a e m2 ::: 2 kg verbunden. Die Ma e m2 be egt i h au inem lang n Ti h mit einer Reibun zahl J1 ::: 112. Wie groß i t die Be hl unieun der a nachdem da y tem au der Ruhelage 1 gela en \ urde.

In.

Abbildung 5-8.1

2 .... Eine Kugel mit einer Ma e on 5 g ird horizontal in ein n Holzbio k mit einer a e on 3 kg ge cho en der auf einer horizontal n FI" h ruht. Oi Gleitreibung zahl zwi ehen dem Bio k und der Ob rftäcne beträgt ._. Oi ugel bleibt in dem Block tecken der 25 cm, 0 ird b ba htet, üb r di Flä h rut cht. ie groß \ ar die Ge chwindigk it der Kuoel. 3 ... Bei der Unter uehung eine Unfallorte nach einem utounf II hat die P Liz i dur h e ungen ermittelt, da Auto 45,7 m lang Brem pur n hint rla en hat, be or e mit Auto B zu amm ng toß n i t. E i t uß rd m b kannt. da die Reibung zahl zwi ehen dem Gummi und d m traßenbelag am nfallort minde ten 0,6 beträgt. Zeigen ie da ulo di n ez i G h indigkei begrenzung von 70 krn/h direkt or dem nfall üb hritt n hab n mu . 4 .... Ein Schulbu mit Klimaanlage näh rt ich ein m Bahnüb rgang. Ln der Kind r hat einen mit a er toff gefüllten Ballon an in m itz t bund n. 0 Sie beobachten. da die Befe tigung hnur d B lIon ein n mk I n 0

5-9 Poten;,iale lind Felder

133

Abbildung S~8.4

mit der Vertikalen in Bewegung richtung bildet. Brem t der Fahrer den Bus ab oder be chleunigt er den Bu und wie groß ist die Abbrem ung oder Be chleunigung? (Würde ein Verkehrspolizi t den Fahrer auf Grund einer Fähigkeiten empfehlen?) 5 .. * Ein Teilchen mit dem Gewicht W ruht auf einer rauen chiefen Ebene, die einen inkel Cl' mit der Horizontalen bildet. a) B timmen Sie unter der Voraussetzung, dass die Haftreibung zahl J1 = 2 tan a i t die gering te quer zur eigung der Ebene wirkende hori:,onrale Kraft H min die das Teileh n in Bewegung setzt. b) In welche Richtung bewegt eich? / /

BJ/

H

/

/ / /

AbtJildwlg 5-8.5

/

5-9 Potenzial und Felder (Bd. I, Kap. 13 und 14) 1 * Eine Ma e m kollidiert mit einer Feder mit der Federkonstanten k. An welchem Ort kommt ie zuer t zur Ruhe? Vemachlä :igen Sie die Mas e der Feder.

k I-------:.----'--L- x

Abbildung 5-9.1

glatt

134

lifgaben

2

Ein hohler. kugelförmiger A teroid bewegt ich frei im Raum. In in m Inn ren befindet i hein kJeiner a enpunkt mit d r a e m. n \\ I hem Ort im Inneren befindet ich der a enpunkt in der Gleichgewi ht lag ?

3

Die Ge chwindigkeit. di ein Körper braucht, um da Gravitation· Id d r rde zu verla en. beträgt (näherung wei e) 70 eil n -I. \Vi cr ß i t die Gehwindigkeit relativ zur Erde. mit der ein interplan tare onde fli el. di dir t oberhalb der Erdatmo phäre eine Ge eh indigkeit von. ilen -I erfahrt, 6 w nn ie einen b tand von 10 Meilen on der Erde hat. *

4 ** Ein kleiner. reibung freier

agen rollt auf ein r g neigt n pur mit m m krei förmigen Looping mit dem Radiu R an ihrem unter n End" u w Ihr Höhe H über dem oberen End de Looping mu d r \Vag n tan n. damit r den Looping durchfahrt, ohne die pur zu ver! en?

5 ** Ein bieg ame Kab I mit der Länge L und einem Gewicht n k~m-I hängt über einer Rolle. deren a e. Radiu und Reibung m hr" igt" rd n k""nnen. Anfang befindet ich da Kabel gerade im Gleichg i. ht. Da' ab I ird leicht ange toßen. um e au dem Gleichge ieht zu brin e n. und e be hl unigt weÜer. Be timmen ie in Ge chwindigkeit zu d m Z itpunkt. an dem da Ende von der Rolle wegA iegt. 6 ** Ein Ma enpunkt tartet au der Ruh lag ob n uf einer r ibun o r ien Ku o I mit dem Radiu R und gleitet auf der Kugel um r d m Einflu der hw rkraft.

ie weit unter einen fliegt?

u gang punkt rut eht er, bevor r" n d rugel w g-

7 ** Ein

uto mit einer von 1000 kg ird n mern t r mit iner nnlei tung von 110 kW angetrieben. i gr ß i t die ma imal Be hl unigung, di da uto bei einer Ge chwindigkeit on 60 km h- I h b n kann. w nn d r t r die e ennlei rung b i die er G ehwindigkeit abgibt.

im KU e I t ß n. Di ku werfen und peerw rfen. Die a n der b treffi nd n \\'ur rät r n 7,~5 kg, g und O. kg" ergleich n i di on jed m Rekordhalt rb i in m j d Flug ahn in Rekord urf erricht te Arbeit und n hrnen Sie dab i an. d einer Höhe von 1, 0 m über d m Boden beginnt und anfang um -0 na h b n geneigt i 1. ernachlä igen je den Luft id r land. ** 19.30m, 59. 7 mund

6,09m

ar n (196)

Irr k rd

9 ,,** Ein atellit mit der a m b wegt ich auf einer kr um emen teroiden mit d r a e M (M > > m). a pa ieren, enn die a e d A t miden plötzli h um die Häl t würde?t Be hreib n Sie eine neue mlaufb hn.

=

135

5-10 Einheilen lind Maße

5-10 Einheiten und Maße (Bd. I, Kap. 5) und Joe, z\ ei 0 mi he Ph iker, die auf er chiedenen Planeten aufgea h. en ind, tr ff n i h auf einem interplanetaren Sympo iurn über Maße und Ge icht , um die Einführung eine allgemeinen Einheiten stern zu di kutiebe chreibt tolz die Vorzüge de MKSA-Sy tem , das in jeder zivilir n. iert n R gion d r Erde b nutzt \ ird. Joe be ehreibt ebenso tolz die wunderbar nEigen chaften d 'K' Si -Sy tem , da überall on t im Sonnen tem er endet ird. Ich aktoren werden für die Umrechnung der Einheiten on o hwindigkeit. Be chleunigung. Kraft und Energie von einem Sy tem in da andere benötigt, wenn die kon tanten Faktoren, die sich auf die Ba i größen der b iden t me für a . Länge und Zeit beziehen, J.l. A und T ind. 0 das I

/11'

= J.l1ll, l' = /ll

und

t' = TI

ind?

2 .. E \ ird in maß läbliche Modell de Sonnensy tems herge teilt, bei dem ateriali n er ndet rden. die j weil die eIbe durchschnittliche Dichte wie di onn bz\. die Planet n haben. He linearen Maße werden allerding um ein n Maß tabfaktor k r duziert. Wie hängt die Umlaufdauer der Planeten on k ab?

5-11 Relaf vi ti he Energie und re1ativi tischer Impuls (Bd. K p. 16 und 17) 1 • a Drü ken ie den Impul eine a enpunkte a1 Funktion einer kinetieh n Energie Ekin und der Ruheenergie moc2 au b Wie groß i t die Oe hwindigkeit eine Ma enpunkte, de en kineti ehe Energie gl i h einer Ruheenergie i t?

2·*

in Pion (mir = 27 l1le in der Ruhelage zerfällt in ein Myon (mp = 207ll1e) und ein eutrino (m u = 0). Be timmen Si die kineti he Energie und den Impul utrino in Me , de on und de

3 .. Ein Ma enpunkt mit der Ruherna e 111, der ich mit der Ge ehwindigkeit u = 4c/5 b \ gt führt einen inela ti hen Stoß mit inern gleichen Ma enpunlrt

in Ruh lage au . a)

ie gr ß i t di G eh indigkeit de zu ammengesetzten Ma enpunkte?

b) Wie groß i

t

in Ruhema e.

136 4 Ein Proton-Antiproton-Paar kann bei der Ab orption eine Photon (r) dur hein Proton in der Ruhelage ent rehen. y

+p

~ p

+ (P + p)

Wie groß i r die Minde tenergie E y , die da Photon haben mu Er a1 Funktion der Ruheenergie de Photon mpc2 au .)

?

Drü

en

ie

5-12 Drehunge in zwei Dimensionen und Massenmittelpunkt (Bd. I, Kap. 18 und 19 1 ** Au einer Scheibe mit homogener Dichte wird, wie abgebildet, ein Loch her-

au ge chnitten. Be timmen Sie den Ma enmittelpunkt. y

-I---I---l-+-- x

Abbildung 5-12.1

2 .. Ein ma i er Zylinder hat eine Dichte, die ie abgebildet, na h Quadranten variiert. Die Zahlen gebenjeweil die relari e Dichte an. ie lautet die Gleichung der Geraden durch den Ur prung und durch den a enmittelpunkt. wenn die xund y-Ach e 0 erlaufen wie angegeben? }'

Abbildung 5-12.2

Abbildung 5-12.3

3 ... Au einem quadrati chen Stück au homogenem Blech oll ein olei h chenklige Dreieck auf einer Seite, wie abgebildet herau ge hnitten erd. n, 0 da da re diche etall wenn e im Scheitelpunkt P de chnitte aufgehängt \ ird. in jeder Po irion in der Gleichgewicht lage bleibt. i groß i t di Höh de au ge chnittenen Dreiecks?

5-12 Drehungen in :wei Dimen ionen und Massenmittelpunkt

137

4 .. Die a n M] und M 2 befinden ich an den entgegengesetzten Enden einer tarren tange mit der Länge L und vernachlä igbarer Ma e. Die Abmessungen on MI und M2 können im erglei h zu L ernachlä igt werden. Die Stange oll in Dr hbewegungen um eine zu ihr enkrecht tehende Ach e er etzt werden. Durch welchen Punkt auf die er Stange olIte die e Ach e verlaufen damit die Arbeit die erforderli hit um die Stange in eine Drehbewegung mit einer inkelge eh indigkeit Wo zu er etzen auf ein Minimum begrenzt wird? 5 ... Ein homogener Zi gel tein mit der Länge L wird auf eine glatte, horizontale Fläche gelegt. Andere gleich große Ziegel teine werden jetzt wie abgebildet aufeinander ge rap It, 0 das die eiten durchgehende FLächen bilden, die Stirneiten aber jew il on einem Ziegel tein zum näch ten um einen Ab tand L/a er erzt ind. ob i a ein ganze Zahl i t. Wie viele Ziegel teine kann man 0 aufeinander tapeln be or der Stapel umkippt.

Abbildung 5-12.5

6 ••• Ein rotierender Dr hzahlregler oll, wie abgebildet 0 konstruiert ein da er die Energiezufuhr ab chaltet, wenn di Maschine an die der Regler direkt ange ehlo en i t. eine Dr hzahl on 120 V/min. erreicht. Der Schaltring C hat ein Gewicht on 45 kg und gleitet reibung frei auf der vertikalen Welle AB. Ci r 0 au g I gt, da er die Energiezufuhr ab chalret, wenn der Ab tand AC ich auf 0. 43 m verringert.. ie groß ollt n die Ma en M ein, damit der Regler planmäßig funktioniert, enn die ier Verbindung tücke de Reglerrahmen zwi chen reibung frei n Gelenken jeweil 030 m lang und relativ ma elo ind? A

M

M

B

Abbildung 5-12.6

138

5 ALlsgewählte Aufgaben

5-13 Drehimpuls und Trägheitsmoment (Bd. I, Kap. 18 und 19) * Ein gerader, homogener Draht mit der Länge L und dera e M wird in einem Mittelpunkt gebogen und bildet so den Winkel (). ie groß i t ein Trägheit moment um eine Ach e, die durch den Punkt A enkre ht zu der von dem gebogenen Draht be timmten Ebene verläuft? A

/

Abbildung 5-13.1

~

2 * Eine Ma e m hängt an einer Schnur die um einen ma i TI rund n Z linder mit der a e M und dem Radius r gewickelt i t. der ich, wie darge teIlt. auf Lagern dreht. deren Reibung vemachlä igt werden kann. Be timm n ie die Be chleunigung on m.

Abbildung 5-13.2

3 ** Eine dünne, horizontale Stange mit der Ma e Mund d r Länge L ruht an einern Ende auf einer tütze und i t am anderen Ende an ein r chnur aufg hängt le groß i t die Kraft die von der Stange auf die rütze direkt na h dem Durchbrennen der Schnur au geübt wird?

I Abbiltlung 5-13.3

139

5-13 Drehimpuls und TrägheitsmomenT

4 .. Au der Ruhelage rollt ein ymmetri cher Körper (ohne Gleiten) eine schiefe Ebene mit d r Höhe h hinunter. Das Trägheit moment de Körper um einen Ma enmin lpunkt i t J, die Ma e M und der Radiu der rollenden Fläche, die mit der chiefen Ebene in Kontakt i t i t r. Be timmen Sie die lineare Ge chwindigkeit de a enmittelpunkte am Fuß der schiefen Ebene. 5 .. Ein homogener Z linder wird 0 auf einem Endlo band, da in einem Winkel () zur Horiz ntalen geneigt i t platziert, da s eine Ach e horizontal und enkrecht zum Rand de Bande gerichtet i t. Die Oberflächen sind 0 be chaffen, das der Zylind r auf dem Band ohne Gleiten rollen kann. Wie mü te da Band in Bewegung ge etzt werden, damit ich die Ach e des Zylinder beim Lo la en nicht b egt? 6 •• Der Rei~ n H mit dem Radiu r rollt ohne Gleiten die chiefe Ebene hinunter. Die u gang h"he h bewirkt, da s der R ifen eine Ge chwindigkeit erreicht, die gerade au reicht, um ,einen Looping zu machen"- d.h. der Reifen bleibt im Punkt P g rad in Kontakt mit der runden Spur. Wie groß i t h? H

p

h

Abbildung 5-13.6

7 ... Eine h rnogene Bowling-Kugel mit dem Radiu R und der Ma e M wird ie mit der Ge chwindigkeit Va ohne Rollen auf anfang 0 10 geworf< n da einer Bahn mit der Reibung zahl 11 gleitet. Wie weit bewegt ich die Kurrel be or ie beginnt, ohne Gleiten zu rollen, und wie groß i t ihre Ge chwindigkeit zu dem Zeitpunkt. 8 ••• E i t ganz lu tig, ein Murmel auf einer horizontalen Ti chplatte mit einem Finger 0 hinunterzudrücken, da ie mit einer linearen Anfang ge ch indigkeit Va und einer rü kwärt gerichteten Anfang drehge chwindigkeit Wo über den Ti eh chießt wobei Wo um eine horizontale Ach e enkrecht zu Va gerichtet i t. Die Gleitreibung zahl zwischen urmel und Ti chplatte i t kon tant. Die Munn. I hat den Radiu R. a)

elche VerhäJtni mu zwi ehen Vo, R und Wo be tehen, damit die Gleitbe egung d r urmel ganz zum Still tand kommt?

5 Ausgewählte ufgaben

140

Abbildung 5-13. 7

b) Welche VerhäJtni mu zwischen Vo R und Wo be tehen. damit die urmel in ihrer Gleitbewegung anhält und dann beginnt. i h in Richtung ihrer Anfangspo ition mjt einer konstanten linearen Endge chwindigkeit on 3/7 Vo zurückzubewegen?

5-14 Drehbewegung in drei Dirnen ionen (Bd. I Kap. 20) 1 * Ein Dü enflugzeug, in dem sich alle Triebwerke in Richtung einer hraube mit Recht gewinde in Flugrichtung drehen, fliegt eine Linkskurve. Bewirkt die Krei elwirkung der Triebwerke, dass a) da Flugzeug nach recht rollt b) das Flugzeug nach link rollt c) da Flugzeug nach recht giert d das Flugzeug nach link giert e) ich das Flugzeug chräg nach oben teilt f) ich da Flugzeug nach unten neigt?

2 ** Z ei gleich große a en ind durch eine bieg ame Schnur miteinander erbunden. Ein E perimentator hält eine Ma e in einer Hand \ ähr nd er die anie auf einer horizontalen Kr i bahn um die in d r dere Mas e dazu bewegt, da Hand gehaltenen Ma e herumwirbelt. Dann lä t er die a e in der Hand 10 . a)

enn die Schnur während de Experimente reißt, reißt ie or oder nach dem Lo 1a en der a en?

b) Be chreiben Sie die Bewegung der Schnur nicht reißt.

a en nach ihrem Lo I

n, fall die

3 .. Ein dünner, runder Holzreifen mit defa e m und dem Radiu R ruht auf einer horizontalen, reibung freien Ebene. Eine Kugel, ebenfall mit d r ae m, die ich mit der horizontalen Ge chwindigkeit b '\ egt. trifft d n R i~ n und bleibt, wie in der Abbildung gezeigt darin tecken. Bere hnen i di Gechwindigkeit de Ma enmiuelpunkte den Drehimpul de tem um den

141

5-14 Drehbeu egung in drei Dimen ionen

v

.~ m

Abbildung 5-14.3

a enminelpunkt, die Winkelgeschwindigkeit w des Reifens und die kineti ehe Energie de Sy tems vor und nach dem Stoß. 4 •• Eine dünn Stange mit der Ma e M und der Länge L ruht auf einer horizontalen, reibung freien Fläche. Ein kleine Stück Kitt, ebenfalls mit der Ma se M, da ich mit der Ge ehwindigkeit v enkrecht zu der Stange bewegt, trifft ein Ende und bleibt haften und führt 0 einen inelastischen Stoß von sehr kurzer Dauer au . a) Wie groß i t die Ge ehwindigkeit de Mas enmittelpunkte de Sy tem vor und nach dem Stoß? b Wie groß i t der Drehimpuls des Systems um einen Ma enmittel pu nkt direkt vor dem Stoß? c) Wie groß ist die Winkelge ehwindigkeit (um den Mas enminelpunkt) direkt nach dem Stoß? d) Wie viel kineti ehe Energie geht bei dem Stoß verloren?

M

M

v

e-+Abbildung 5-J4.4

.~

B

AbbildU1lg 5-14.5

5 •• Eine dünne, homogene Stange AB mit der Masse M und der Länge L dreht ich an ihrem Ende A in einer ertikalen Ebene frei um eine horizontale Ach e. Ein kleine Stück Kitt, ebenfall mit d r Ma e M, wird mit der Ge chwindigkeit V horizontal an da untere Ende B geworfen während die Stange ich in der Ruhelage befindet. Der Kin bleibt an der Stange haften. Wie groß i t die Minde tge chwindigkeit de Kitt vor dem Aufprall die dazu führt, da ich die Stange ganz um A herum dreht?

142

5

6 *.. Auf einer ruhenden Dreh cheibe T, i t eine Dreh cheibe T_ angebra ht. die ich mit der inkelge chwindigkeit w dreht. Zu einem be timrnten Zeitpunkt bewirkt eine interne Kupplung das die Ach e on T_ in Bezug auf TI zum tilltand kommt, TI ich aber frei drehen kann. TI allein hat ine e MI und ein Trägheit moment J, um eine Ach e AI, die dur h ihren inelpunkt enkrecht zu ihrer Ebene verläuft. T2 hat eine Ma e M 2 und ein Trägh it moment h um eine eben 0 gelegene Ach e A 2 . Der Ab tand zwi ehen ,und A_ i t r. Be timmen Sie Q für T" nachdem T2 aufgehört hat, i h zu drehen. CQ i t die Winkelge chwindigkeit von TI') r

Abbildung 5-14.6

7 *** Auf eine enkrecht tehende Stange mit der a 1 und der Länge L wird an ihrer Ba i ein Kraft roß Ff...t au geübt, der in einem inkel on 4 ~O von der Horizontalen nach oben gerichtet i t und der die tange um irft. 1 h (n Wert(e) mü te Ff...l annehmen, damit die tange \; ieder enkre ht land t (d.h. enkrecht tehend auf dem Ende, an dem F tau geübt wurd )?

L

Abbildung 5-14.7

8 *** Eine Dreh cheibe mit einem Trägheit moment 10 dreht i h frei um ine hohl . enkrechte ch e. Auf einer geraden radialen Bahn auf der Dr h heibe läuft ein agen mit der Ma e m reibung frei. Ein eil da an d m . aoen b tigt i t, läuft über eine kleine Rolle und dann durch die hohle ch e nach unten. Anfang dreht ich d ge amte Sy tem mit der inkelge h indigk it Wo und der agen befindet ich in einem fe ten Radiu R on dreh e entfernt. Dann wird eine übermäßige Kraft auf da eil au geübt und d r a o nonach inn n gezogen. chJießlich erreicht er den Radiu rund erharn dort. a)

ie groß i t die neue Winkelge chwindigkeit de

5-14 Drehbewegung in drei Dimensionen

143

Abbildung 5-14.

b) Zeigen ie genau aLlf da die Energiedifferenz de Sy tems zwischen den b id n Zu tänd n glei h der durch die Zentripetalkraft errichteten Arbeit i t. c Wi groß i t die Radialge chwindigk itdr/dt mit der der Wagen den Radiu R durchläuft, \ enn da Seil 10 gela en wird? 9 • Ein chwungrad, da di Form einer homogenen, dünnen runden Platte mit einer Ma e on 10,0 kg und einem Radiu on 1,00 m hat, ird auf einer Welle angebra ht, die durch ihren a enrnittelpunkt verläuft, aber mit ihrer Ebene 0 ein n ink I on 1 0' bildet. Wie groß i t da Drehmoment, da die Lager liefern mü n, nn da Rad ich mit iner Winkelge chwindigkeit on 25 0 Radianten -I um di e ch e dreht.

Lösungen zu den Aufgaben 5-1

Energieerhaltung 1

I. FF = ka co a 0

= (~+~) kg

2.

F w = tanakg B

=

f{

kg

-Vh(2R - h)

3. F = W - - -

R-h

4. a)

a=

-~ (I - ~) 9 b

Mz

t]

2H

=

c)

ein.

5. () = 30°

6. 2t 7. () = 30°

4w 8. W = --:--{) In

9. v = -V2gH

5-2 Die Kep]er ehen Ge etze und die Gravitation I. 1 033

2. a)

5-3

,1

=0

Bew gung

1. a) t = 1843,

2. : : :; 155 3.

ach unten.

4. e:::::; 0 98 5. 148m -)

b

v:::::; 422 m

-I

Lösungen -u den IIfgaben

146

6. a) 84,5 kmh- I

b) 0,84 m

-2

8

9 QR

7. ao =

5-4 Die

ewtonschen Gesetze

l. T = 25 2. F ") j.

MJ

= M~ (M + MI + M2)g u2 (2M + m)

9=

4. a)

2mh Qna hoben

= g/3

b)

126 kg

5. mB::::: 5,8 kg

Die Impul erhaltung

5-5

1. m2/mJ = 3

2. a) Ja. J-lU U +

3. F =

4. V=x 5.

b)

m

+ m

ach

gt)

M

.f! L

1

v:::::u-

4 6. FR = 5,l X 10- 3

5-6 Vektoren 1. Mögli hkeit 2 um 4,0 Min. Iv

2. a) - = t

3. T = 27f

V

----;:::~::::;

-.JV2 - R2 H

9 4. a) Direkt nach

orden.

b) 0 17 h

orden.

c)

=5 X

10-4 m

-1

[jj

ungen ::.u den ufgaben

147

1.

iehtrelati i ti ehe Stöße ziehen zwei Körpern in drei Dirnen ionen . -I In ()max = In -

2

-21 _(I - a

5-7

M

. T

lab-

2 ) 111_

111)+/71_

=9

3. M Inp

5-8 Kräfte g 1. a = -2. Vo

= 595 m

3. 83,3 km h-

-I I

4. Er be chleunigt.

g a=-m

5. a

b

-2

V3

-vJW ina

c/J = 60°

5-9 Potenziale und Felder I. Xo - x = Xo - Vo

3.

Voo ~

6,3 km

~

2.

berall.

-I

1 4. H =-R

2

5.

=f!

R

6. 3

7. 7,2m -2 ~ 625J 9.

o

tellit

r

~

570J

330J

ürd au einer parabelförmigen Umlaufbahn entweichen.

5-10 Einheiten und Maße ,

~

A.

1.V=-V T

J.i,1

F'=-F 2 T

2. T i t unabhängig on k.

,

,1

Q=-a T2

IJ A.E,=r-E

T2

148

Li)

ungen -u den llfgaben

5-11 Relati i ti ehe Energie und relativi ti cher Irnpul 1. a) pe

2mc2)1/2

= Ekin ( 1 + - Ekjn

=4 1

2. TJI

eV

3. a) e/2

u-{3

b) -

e

=-

2 Tu = 29,7 MeV b) -

4

'!3

PJI

= Pu = 29,7

e je

m

4. EI' = 4mpe-(3,8 Ge V)

5-12 Drehungen in zwei Dirnen ionen und Ma enmi ttelpunkt 1. x = 1,7 cm 1 2. y = - x 2 3. h =

~(3 2

-Y3)

mlL

4. x =

ml

+m

on m2)

5. n = a 6. M

= 1,8kg

5-13 Drehimpul und Trägheit momen 1. J =

mLL

?

_

_. a - m

mg

+M ?

= Mg3. F 4 4. Uo = r

~

2Mgh J + M,2

5.a=2ginB 3d

6. h = -

- 3r

2 12V2

7. S = __0 49/1g 2 8. a) Vo = "5 Rwo

5

u = -Vo 7

b) Uo =

1

4 Rwo

Lösungen -u den Aufgaben

149

5-14 Drehbewegung in drei Dirnen lonen 1. e. 2. a) Vor dem Lo la en.

1 Wo 2

b) v = -

W

=

Wo

(wobei I die Länge der Schnur i t)

u

3R 2

Ekin 2

1 -

L

u 4. a) -

b) Mu4

2

6 u

d) 20%

- -

c)

W=-

I = -3mu

I - Tmu?

E kin

v

muR L=2

= -2

3. u

5 L

5. u = ../8g L

6.

n=

h.

1 1 + h + M2 r2

!!.t = M

7.

8. a

W

~

Cn = ganze Zahl)

10 + mR2 = . Wo Jo + rnr2

c) v =

9. T

~ -3ngLn

W

27

Wo

m

b) (Keine Lö ung angegeben.)

ISO

BildnClchwei

Bildnachwei Seite V. Fe nman etwa um 1962. (Fotograf unbekannt mit freundli her G nehmigung on Ralph Leighton

Seite 50. lean

hton Rare Book and Manu cript Library, Butler Library. Columbia Uni er ity. 53 - We t 114 th Street, ew York. Y 100_7

Seite 92, Fakultät für Phy ik, Univer ität Bri tol Seite 104, Califomia In titute ofTechnolog

i tb Floor

Index Abfla hung - der Erd 107 - de onde 10 Arbeil30 Atomkern, Emd kung de 64 BabyJoni ehe lathematik 6 Bade\ an ne 106 Be chJeunigung -9. 2 Be chleunigung me er 98 CaJlech 2 Differ nziation 5 - von ekloren 14 Drehimpul 56. 1 - in d r tr n mie 1 L - in der Quantenm hanik 114 -, tal ächlicher 111 Drehmomenterzeuger 94 inprägen - v n F rmeln_

Elektriz.ilät 3Elektron 114 Energie 2 . 46 - eine eutnn 80 - eine PhOton 76 -, G amten rgie _ -, kineti he 0 -, p tenzielle 31, 3 -, potenzielle Energie al Folg der Gravitati n 34 En rgieerhalrung atz 60 Erde -, bftachung 107 -, utation 112 -, Präze ion 10 -. Rotation 106 feder, ideale 5 Feedback (Rückführung prinzip) 95

Fluchlge ch\ indigkeil 5] Freiheitsgrad 92 Ge amtenergie 32 Ge chwindigkeit vektor 14 Gra itation, potenzielle Energie al Folge der 34 Gra itation kraft - nahe der Erdoberfläche 34 - zwi chen Mas enpunkten 34 Gyro k p 4 -, Ein teilung eine 5 -, Verbe erungen am 9_ - zur Schiff tabili ierung 7 Hauptach e 109 Implli - bei kleinen Ge chwindigkeiten _9 - eine eutnno I - eine Photon 76 - und Kraft 2 Implliserhaltung 28, 81 Integration -, Linienintegrale 17 -, numeri ehe 70 K pier che Ge etze 59 Komponenten 12 Kraft 28. 33 - bei kleinen Ge eh indigkeiten 29 -. kon er ali e 31 Krei elkompas 88

Lager t ine 94 Llnienintegrale 17 Logarithmu , natürlicher 72 Messgenerator 93 Mond Abftachung de 10 Nautilu 3, 105 avigation tem, oll tändige ]03

152 niehtrelaüYi ti ehe äherung 29 numeri ehe Integration 70 ulation der Erde 11_ Ortsvektor ,Ph ik ph) ikali eh verstehen 37 phy ikalische Ge erze 27 Pion 80 Präze ion der Erde '08 PrOlonen uahJablenkvorriehrung 77 Raketen 67 - mit Ionenantrieb 73 - mit Pholonenanoieb 76 Raketenglei hung, grundlegende 67 Raketentriebwerke chemi ehe 72 Reibung 35 Rurherford 66 SateUirenbewegungen -9 Scheibe. rotierende 109 Schub 73 -, Verhälmi SchubjLei tung 76 Skalarprodukt 13 Stoß zwi ehen Ma epunkren 2 Trägheit moment 109 Trägheirsnavigation 3 mJaufbahn -. ellip enfömtige 60 -. hyperboli ehe 64 Vektoren 9 -. Addition 10 -, Ge chwindigkeil vektor L4 -. Komponenten L2. 13, 16,20 -, Lage der 10 -. Ort vektor I -, kalarprodukt 14 -, Subtraktion I 1 ind 106

\ inkelge chwindigkeil 109

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