Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik Band 2, 2. Auflage

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Adalbert Prechtl Vorlesungen fiber die Grundlagen der Elektrotechnik Band 2 Mit 315 Wiederholungsfragen und 265 Aufgaben und L6sungen Zweite, iiberarbeitete Auflage

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O. Univ.-Prof. Dipl.-Ing. Dr. Adalbert Prechtl Institut fiir Elektrische Mess- und Schaltungstechnik Technische Universit~it Wien, Wien, Osterreich

Das Werk ist urheberrechtlich geschfitzt. Die dadurch begrfindeten Rechte, insbesondere die der (2bersetzung, des Nachdruckes, der Entnahme von Abbildungen, der Funksendung, der Wiedergabe auf photomechanischem oder ~ihnlichem Wege und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Buch berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichenund Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wiiren und daher von jedermann benutzt werden diirfen. Produkthaftung: Siimtliche Angaben in diesem Fachbuch erfolgen trotz sorgf~iltiger Bearbeitung und Kontrolle ohne Gewiihr. Insbesondere Angaben fiber Dosierungsanweisungen und Applikationsformen mfissen vom jeweiligen Anwender im Einzelfall anhand anderer Literaturstellen auf ihre Richtigkeit iiberprfift werden. Eine Haftung des Autors oder des Verlages aus dem Inhalt dieses Werkes ist ausgeschlossen. 9 1995 und 2008 Springer-Verlag/Wien Printed in Austria Springer-Verlag Wien New York ist ein Unternehmen von Springer Science + Business Media springer.at

Satz: Thomson Press (India) Ltd., Chennai Druck: Novographic Druck GmbH, 1230 Wien Gedruckt auf siiurefreiem, chlorfrei gebleichtem Papier- TCF SPIN 12057818

Mit 397 Abbildungen Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie, detaillierte bibliografische Daten sind im Internet fiber http://dnb.ddb.de abrufbar.

ISBN ISBN

978-3-211-72455-2 978-3-211-82685-0

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1. Aufl. SpringerWienNewYork

Vorwort Dies sind die Vorlesungen ,,Grundlagen der Elektrotechnik", die ich seit Ende der 80er Jahre an der Technischen Universitiit Wien ffir alle Studierenden der elektrotechnischen Studienzweige im ersten Jahr halte. Zus/itzlich aufgenommen wurden zahlreiche Wiederholungsfragen und viele Aufgaben mit L6sungen, die in den begleitenden Recheniibungen besprochen werden. Ziel dieser Lehrveranstaltungen ist es, eine anwendungsnahe Einffihrung in die grundlegenden Begriffsbildungen. Prinzipien und Rechenmethoden der Elektrotechnik zu geben. An mathematischen Kenntnissen wird zuniichst recht wenig vorausgesetzt, der Wissenszuwachs w/ihrend des ersten Studienjahres ist jedoch angemessen berficksichtigt. Ganz verzichtet habe ich auf die lokalen vektoranalytischen Formulierungen der Eigenschaften elektromagnetischer Felder zugunsten von Aussagen globaler Art fiber Ladungen und Str6me, Spannungen und Flfisse. An Pr/izision und formaler Einfachheit geht dabei nichts verloren. Im Gegenteil: Die Verbindungen zur Netzwerktheorie und zu anderen Beschreibungsformen der elektromagnetischen Erscheinungen--etwa den alternierenden Differentialformen--lassen sich auf diese Weise leichter herstellen. Beim Erstellen der Lehrbehelfe, aus denen beide Biinde entstanden sind, haben mich die Angeh6rigen des Instituts fiir Grundlagen und Theorie der Elektrotechnik kr/iftig unterstfitzt. Besonders herzlichen Dank sagen m6chte ich meinem verehrten Vorgiinger, Herrn Professor Dr. Hellmut Hofmann, fiir sein f6rderndes Wohlwollen und Herrn Professor Dr. Herbert Haas, dem ich fiir viele wertvolle Anregungen verpflichtet bin. Wien, im M/irz 1994

Adalbert Prechtl

Inhaltsverzeichnis

Hinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

XI

15 Magnetische Erscheinungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

15.1 15.2 15.3 15.4 15.5

Elektrische Str6me und Magnetismus ................. M a g n e t i s c h e Kr/ifte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die elektromagnetische Induktion ................... Fragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16 Das 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6

magnetische F e l d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

Der magnetische FluB .......................... Die magnetische Spannung ....................... V e r k n i i p f e n m a g n e t i s c h e r S p a n n u n g e n u n d Fliisse. D i e I n d u k t i v i t i i t Magnetisierbare K6rper ......................... Fragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12 18 25 31 37 39

17 Elementare Methoden der Berechnung magnetischer Felder . . . . . . . . 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5

Linienstr6me. Magnetische Dipole ................... Fl~ichenstr6me . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R~iumliche S t r o m v e r t e i l u n g e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18 Magnetische Kreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.1 F i i h r e n m a g n e t i s c h e r Fliisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2 D e r m a g n e t i s c h e G r u n d k r e i s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.3 K r e i s e m i t m e h r e r e n S p u l e n . V e r z w e i g t e K r e i s e 18.4 D a u e r m a g n e t k r e i s e . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.5 F r a g e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.6 A u f g a b e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

........... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19 Globale und lokale Eigenschaften magnetischer Felder . . . . . . . . . . . 19.1 19.2 19.3 19.4 19.5

D e r S a t z v o m m a g n c t i s c h e n Htillenflul3 . . . . . . Dcr Durchflutungssatz ......................... Materialglcichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 3 7 9 9

43 43 52 58 60 61 74 74 75 80 83 85 85 98 98 101 102 103 103

VIII

Inhaltsverzeichnis

20 lnduktionserscheinungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.1 20.2 20.3 20.4 20.5

108

Die elektromagnetische Induktion ................... I n d u k t i o n in r u h e n d e n L e i t e r n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I n d u k t i o n in b e w e g t e n L e i t e r n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21 Schaltungen mit Spulen und Transformatoren . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1 21.2 21.3 21.4 21.5

. . . . . . . . . . . . . . .

130 130 131 141 144 144

D a r s t e l l u n g e n y o n Sinusgr613en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zeitmittelwerte periodischer Gr6gen ................. Sinusgr6Ben an Zweipolen ....................... Fragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

156 160 162 171 172

Spulen . . . . . . . . . . . . . . . . B e r e c h n e n einfacher S c h a l t u n g e n Transformatoren . . . . . . . . . . Fragen . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . mit Spulen ............. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

22 Sinusschwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.1 22.2 22.3 22.4 22.5

23 Komplexe Behandlung von Wechselstromkreisen . . . . . . . . . . . . . . 23.1 D i e K i r c h h o f f - R e g e l n i m K o m p l e x e n . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.2 B e r e c h n e n e i n f a c h e r S c h a l t u n g e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.30rtskurven und Frequenzg~inge .................... 23.4 F r a g e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.5 A u f g a b e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24 Resonanzerscheinungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.1 24.2 24.3 24.4 24.5

108 111 116 120 121

Der Reihenschwingkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Der Parallelschwingkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Begriffe u n d K e n n g r 6 1 3 e n v o n R e s o n a n z k r e i s e n . . . . . . . . . . . Fragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25 Mehrphasensysteme

156

178 178 179 184 192 193 209 209 212 213 216 216

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Symmetrische m-Phasensysteme .................... Symmetrische Drehstromsysteme ................... Unsymmetrische Drehstromsysteme .................. Fragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

222 223 230 234 237 238

26 Das elektromagnetische Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

245 245 247 251 253 258 258

25.1 25.2 25.3 25.4 25.5

26.1 L a d u n g s e r h a l t u n g u n d d e r A m p ~ r e - M a x w e l l - S a t z ......... 26.2 D i e E x i s t e n z e l e k t r o m a g n e t i s c h e r W e l l e n . . . . . . . . . . . . . . . 26.3 T r a n s f o r m a t i o n e l e k t r o m a g n e t i s c h e r G r 6 g e n . . . . . . . . . . . . 26.4 G l o b a l e u n d l o k a l e E i g e n s c h a f t e n e l e k t r o m a g n e t i s c h e r F e l d e r . . . 26.5 F r a g e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.6 A u f g a b e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Inhaltsverzeichnis

IX

27 Elektromagnetische Wellen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27.1 E b e n e W e l l e n i m f r e i e n R a u m 27.2 K a n a l w e l l e n

263

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

264

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

272

27.3 W e l l e n

auf Leitungen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

281

27.4 F r a g e n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

289

27.5 A u f g a b e n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28 Energie im Elektromagnetismus

290

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

294

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

294

28.2 E n e r g i e t r a n s p o r t

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

301

28.3 E n e r g i e e r h a l t u n g

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

304

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

306

28.1 E n e r g i e s p e i c h c r u n g

28.4 F r a g e n

28.5 A u f g a b e n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

L6sungen der Aufgaben Literatur

307

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

314

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

485

Sachverzeichnis

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

487

Inhalt des ersten Bandes 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.

Zeit. Raum, Bewegung K6rper und Teilchen. Masse und Stoffmenge Impuls und Kraft. Kraftfelder. Allgemeine Felder Arbeit und Leistung. Energie. W~irme und Temperatur Schwingungen und Wellen. Licht Elektrische Ladungen, Str6me und Spannungen Physikalische Gr6Ben, Einheiten und Dimensionen Stromkreise und einfache Stromkreiselemente Das elektrische Feld Schaltungen mit Kondensatoren Erg~inzendes zum elektrischen Feld Verteilte elektrische Str6me Elementare Methoden der Berechnung elektrischer Felder Globale und lokale Eigenschaften elektrischer Felder

Hinweise Dieser zweite Teil der ,,Vorlesungen fiber die Grundlagen der Elektrotechnik" setzt die Einffihrung in die Grundziige der Elektrizitiitslehre und in die elementaren Methoden der Behandlung elektrotechnischer Aufgaben fort. Wie im ersten Teil ist das Ziel auch hier das Vertrautwerden und schliel31ich das sichere und konstruktive Umgehen mit den Begriffen und Gr6gen unseres Fachgebietes. Sie schaffen sich damit ein fest verankertes Geriist, in das Sie die spezielleren Methoden und Rechenverfahren einhiingen k6nnen. Nach meiner Erfahrung werden allgemeine Zusammenhiinge oft erst durch die Beschiiftigung mit speziellen Problemen wirklich verstanden. Ich habe deshalb neben den Wiederholungsfragen, die Sie bei der Erarbeitung der Textinhalte unterstfitzen sollen, zu jedem Kapitel wieder eine Reihe von Rechenaufgaben aufgenommen. Einige, bereits im ersten Band genannte Hinweise ffir deren Bearbeitung sind mir so wichtig, dab ich sie hier wiederhole: Zur L6sung einer Aufgabe gehiSren die m6glichst vollstiindige Offenlegung der Voraussetzungen, der klare, lfickenlose, auch yon jemand anders nachvollziehbare Rechen- oder Argumentationsgang und die Uberpriifung der Ergebnisse durch Einheitenkontrollen, Reduktionen auf Sonderf~ille, die Plausibilitiit numerischer Resultate und/ihnliches. Jede KontrollmiSglichkeit sollte Ihnen willkommen sein. Schlagen Sie erst dann im L6sungsteil nach, wenn Sie eine Aufgabe gel6st haben, oder wenn Sie trotz ernsthafter Anstrengungen keinen Zugang finden!

Kapitel 15 Magnetische Erscheinungen

15.1 Elektrische Striime und Magnetismus In ihren wesentlichen Ziigen begreifen wir heute jene Gruppe physikalischer Erscheinungen, die wir ,,Magnetismus" nennen, als Wechselwirkung elektrischer Str6me. Es kann sich dabei um Str6me in Leitern handeln, aber auch um Str6me, die wir der Bewegung geladener Teilchen innerhalb von Atomen oder ihrer, im abstrakten Sinn aufzufassenden, Eigenrotation (Spin) zuschreiben. Tats/ichlich sind die elektrischen und die magnetischen Erscheinungen so eng miteinander verkniipft, dab sie in der gemeinsamen Theorie des Elektromagnetismus erfal3t werden. Diese Erkenntnis hat sich im Lauf des vorigen Jahrhunderts durchgesetzt, und sie fand ihre vorl/iufige Vollendung in den Konzepten der relativistischen Physik. Das Wissen um die aul3ergewiShnlichen Eigenschaften des namengebenden Minerals Magnetit (Magneteisenstein, FeO. Fe zO3) ist bereits aus der griechischen Antike iiberliefert 1: Stiicke aus Eisen und aus eisen~ihnlichen Metallen, Kobalt und Nickel, werden von Magneten stark angezogen. Wir bezeichnen Stoffe dieser Art als ferrornagnetisch. Andere Materialien, wir nennen sie pararnagnetisch, werden nur sehr schwach angezogen (z.B. Aluminium) oder sogar ganz leicht abgestol3en (diamagnetische Stoffe, z.B. Wismut). Nadeln aus Stahl, geeignet mit Magneten behandelt, nehmen selbst dauermagnetische Eigenschaften an, und es waren solche Nadeln, deren Ausrichtung im Erdmagnetfeld bereits im Mittelalter in der Seefahrt als Navigationshilfe genutzt wurde 2. In den Schriften von Peregrinus 3 - er kannte die Abstol3ung gleichnamiger und die Anziehung ungleichnamiger Magnetpole zusammen mit der Tatsache, dab das Brechen von Magneten immer vollst/indige Teilmagnete mit je zwei ungleichnamigen Polen liefert-und von Gilbert4-er f/ihrte systematische Untersuchungen dutch und begriff die Erde als einen riesigen M a g n e t e n - f i n d e n wir Anzeichen wissenschaftlichen Interesses. Es gab jedoch kaum Hinweise auf irgendwelche Verbindungen zwischen den magnetischen Erscheinungen und denen der Elektrizit/it. Dies ~inderte sich erst zu Beginn des 19. Jahrhunderts, als mit der Entwicklung elektrochemischer Elemente die Erzeugung station/irer elektrischer Str6me m6glich wurde.

1 Es handelt sich dabei um natiirliche Dauermagnete, entstanden durch Lagerung im Erdmagnetfeld. 2 MiSglicherweise kannte man im alten China den KompaB schon viel friiher. In Westeuropa ist seine Verwendung seit ca. 1100 belegt. 3 Pierre le P61erin de Maricourt, um 1270, franz6sischer Kreuzfahrer und Gelehrter. 4 William Gilbert, 1544-1603, englischer Arzt und Naturforscher.

2

15 Magnetische Erscheinungen

Im Jahre 1820 ver6ffentlichte 0rsted 5 seine Beobachtung der Ablenkung einer KompaBnadel durch einen stromdurchflossenen Draht aus ihrer nat/irlichen Lage in eine Richtung senkrecht zum Draht (Abb. 15.1). Es war Amp6re 6, der die fundamentale Bedeutung dieses Effektes sofort erfal3te und weitere Experimente durchfiihrte. Durch wendelf6rmiges Aufspulen des Drahtes konnte er die magnetische Wirkung verst~irken und auBerdem zeigen, dab sich in der Umgebung einer solchen Spule7 qualitativ der gleiche magnetische Zustand, das gleiche magnetische Feld einstellt wie in der Umgebung eines Dauermagnetstabes (Abb. 15.2). Dies fiihrte ihn auf die sogenannte Elementarstromhypothese, einem stark vereinfachten Modell f/Jr Magnete: Ein magnetisierbarer K6rper, z.B. ein Eisenstiick, besteht aus vielen Teilchen, von denen jedes einen unverS.nderlichen elektrischen Strom in Umfangsrichtung tr~igt8 und damit wie ein kleiner Magnet wirkt. Gew6hnlich sind diese Elementarmagnete ungeordnet, sie machen sich nach aul3en nicht bemerkbar. Wird der K6rper aber in das Feld eines Dauermagneten oder einer stromdurchflossenen Spule gebracht, so richten sich die Elementarmagnete 5.hnlich einer KompaBnadel aus. Es entsteht dann eine regelmfiBige Anordnung von ElementarstriSmen, die nach aul3en einem entlang des Umfangs flieBenden Strom gleichkommt (Abb. 15.3), also selbst ein magnetisches Feld erzeugt. Nach dem Entfernen des K6rpers aus der Nfihe des Dauermagneten bzw. der Spule oder nach dem Abschalten des Spulenstroms stellt sich in ferromagnetischen Materialien nicht

Abb. 15.1 In der Umgebung eines stromdurchflossenen Drahtes wird eine KompaBnadel entlang der Umf~inge konzentrischer Kreise senkrecht zur Drahtachse ausgerichtet. Bei Umkehr der Stromrichtung weist die KompaBnadel in die entgegengesetzte Richtung

5 6 7 8

Hans Christian 0rsted, 1777-1851, d/inischer Physiker. Andr6 Marie Amp6re, 1775-1836, franz6sischer Physiker und Mathematiker. Amp6re nannte sie ,,Solenoid". Denken Sie beispielsweise an rotierende, geladene Partikel.

3

15.2 Magnetische Kr/ifte

Abb. 15.2 Magnetischer Zustand in der Umgebung eines Dauermagnetstabes a und eines Solenoids b, mit Eisenfeilsp/inen sichtbar gemacht

Abb. 15.3 Die regelm/il3ige Anordnung Amp6rescher Elementarstr6me liefert ein grobes Modell der Magnetisierung

wieder der v611ig ungeordnete Zustand ein, sondern es bleibt ein Rest an pauschaler Ordnung erhalten (Restmagnetismus oder ,,remanenter" Magnetismus). Wenn der Restmagnetismus relativ grog und bestiindig ist, dann sprechen wir von Dauermagneten oder ,,permanenten" Magneten. Amp6re erkannte also in den elektrischen Str6men die Ursache der magnetischen Erscheinungen, eine Ansicht, die (mit einigen Ergiinzungen) bis heute die Grundlagen des Magnetismus pr/igt. Selbst seine Elementarstromtheorie leistet in modifizierter Form als besonders einfaches und anschauliches Modell im Bereich der makroskopischen Physik immer noch wertvolle Dienste.

15.2 Magnetische Kr/ifte ,,Gleichsinnig parallele Str6me ziehen einander an; gegensinnig parallele Str6me stogen einander ab; gekreuzte Str6me suchen sich gleichsinnig parallel zu stellen". Diesen qualitativen Regeln gab Amp6re aus den Ergebnissen einer Reihe geschickt angestellter Versuche mit stromdurchflossenen Dr/ihten eine quantitative Fassung. Wir verstehen sie heute in zwei Schritten:

4

15 Magnetische Erscheinungen 1. Jeder stromdurchflossene Leiter umgibt sich mit einem magnetischen Feld, das sich durch die Angabe des Vektors B d e r magnetischen FluBdichte an jedem Ort, also durch ein Vektorfeld charakterisieren l~il3t. Tr~igt beispielsweise ein gerader Linienleiter im leeren Raum (oder in Luft) einen elektrischen Strom der St~irke I, so gilt im Abstand p vom Leiter (Abb. 15.4a) -" /z~ B = 2-~p ~'s,

(15.1)

wobei/~o die magnetische Feldkonstante_(G1. (6.6)) und gs die Umfangsrichtung bezeichnet. Die Vektorlinien von B sind in diesem Fall also konzentrische Kreise (s. Abb. 15.1). Beachten Sie die rechtswendige Zuordnung der Feldrichtung zur Stromrichtung, d.h. die Zuordnung im Sinn einer Rechtsschraube. Im folgenden werden wir das vektorielle Produkt, eine geometrische Verkniipfung einfach gerichteter Gr613en im dreidimensionalen euklidischen Raum, verwenden: Mit zwei unterschiedlichen Richtungen (,,Einsvektoren") gl und ~2 spannen Sie eine Ebene auf und legen mit ihrer Reihenfolge gleichzeitig eine innere Orientierung, einen Drehsinn in der Ebene fest, indem Sie 0 1 auf kiirzestem Weg nach e'2 drehen, e'3 sei die Richtung senkrecht auf die Ebene (der ,,Einsnormalenvektor") und sei dem Drehsinn rechtswendig, d.h. im Sinn einer Rechtsschraube zugeordnet (Abb. 15.4b). Bedeutet ~ [ 0 , n] den Winkel zwischen den beiden Richtungen dl und ~2, so ist deren vektorielles Produkt (,,Exprodukt", ,,Kreuzprodukt") e'l X 6'2 =

sin(~)g3-

(15.2)

Beachten Sie: Bei Vertauschung der beiden Faktoren im vektoriellen Produkt ergibt sich das negative Vorzeichen, e'2 X e l = --___,elX e'2, und gl x gl = 0. Das vektorielle Produkt zweier Vektoren d = a g a und b = be'b, deren Richtungen den Winkel

Abb. 15.4 a MagnetischesFeld in der Umgebungeines geraden Linienleiters. Die zugeh6rigen Vektorlinien sind konzentrische Kreise. b Zur Definition des vektoriellen Produkts: Zwei Richtungen gl und e2 spannen eine Ebene auf und legen mit ihrer Reihenfolge einen Drehsinn fest. Die Normalenrichtung e3 wird diesem im Sinn einer Rechtsschraube zugeordnet

15.2 Magnetische Kr~ifte

5

einschliel3en, ist dann der Vektor d • b = e = cg c m i t dem Betrag c = a b sin (~). Seine Richtung steht senkrecht auf die Richtungen von d und b'und ist diesen in ihrer Reihenfolge im P r o d u k t rechtswendig zugeordnet (,,Schrauben Sie d auf kurzem Weg nach b !"). Eine andere Verkniipfung gerichteter Gr6Ben ist das skalare Produkt. Fiir zwei Richtungen (,,Einsvektoren") 0-1 und 0"2, die den Winkel ~ einschliel3en, erkl~iren wir das skalare P r o d u k t (,,Inprodukt", ,,Punktprodukt")als 0-1"0-2 = cos(a),

(15.3)

was der N o r m a l p r o j e k t i o n von gl auf 0-2 oder umgekehrt entspricht. Die Faktoren k6nnen hier ohne Vorzeichenwechsel vertauscht werden. Das skalare Produkt zweier Vektoren d = a e " a und b = bg b, deren Richtungen den Winkel ~ einschlieBen, ist dann die ungerichtete (skalare) Gr613e d-b = abcos (~). 2. Jedes stromdurchflossene Element eines Leiters erf~ihrt im magnetischen Feld eine Kraft, und zwar senkrecht zur Richtung des Magnetfeldes und zur

lokalen Stromrichtung. Angenommen, ein gerader Linienleiter fiihrt einen Strom der StS,rke I, und irgendein anderer Leiter oder Magnet erzeugt im Punkt 5~ die magnetische Flul3dichte B (Abb. 15.5). D a n n greift an dem Leiterstiick der (kurzen) L~inge I um 5~ die Kraft F = Ilg I • B

an, w e n n

(15.4)

0-i die lokale Stromrichtung bedeutet.

Betrachten wir nun zwei gerade, parallele Linienleiter mit den Str6men 11 bzw. 12 im Abstand p (Abb. 15.6). Gem~iB G1. (15.1)erzeugt der erste Linienstrom entlang des zweiten ein Magnetfeld der FluBdichte B = B J s mit B = # o I 1 / ( 2 r c p ) , und daher liefert G1. (15.4) fiir die l~ingenbezogene Kraft auf den zweiten Linienstrom F

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l

e

2rcp

_ I •

e s.

Dies entspricht G1. (6.5), die wir zur Festlegung der SI-Stromst~irkeeinheit Ampere bzw. der magnetischen Feldkonstanten #0 verwendet haben. Elektrischer Strom bedeutet Bewegung von Ladungstr~igern. Wenn wir also in magnetischen Feldern an stromdurchflossenen Leitern Kr~ifte feststellen, die es im stromlosen Zustand nicht gibt, dann muB das etwas mit Kr~iften auf bewegte Ladungstr~iger zu tun haben. Tats~ichlich l&iBtsich diese neue F o r m der Wechselwir-

Abb. 15.5 Die Kraft aufdas Elementeines stromdurchflossenen Linienleiters steht senkrecht auf die lokalen Richtungen des Magnetfeldes und des Stromes

6

15 Magnetische Erscheinungen

Abb. 15.6 Gleichsinnig parallele Str6me ziehen einander an

kung durch die Existenz einer zus~tzlichen, geschwindigkeitsabh~ingigen Kraftkomponente Q~ x B erkl~iren, wobei Q die elektrische Ladung des (punktf6rmigen) Trffgers, ~ seine momentane Geschwindigkeit und B die magnetische Flul3dichte am momentanen Ladungsort angeben. Wir fassen sie mit der alten Kraftkomponente QE (G1. (3.12)) zur sogenannten Lorentz-Kraft 9

F=

Q (E"+ ~ x B-') ]

(15.5)

zusammen. Das geladene Teilchen erf~ihrt_,demnach eine ladungsbezogene Kraft, die sich i.a. aus dem elektrischen Anteil E und dem magnetischen Anteil ~ x B, letzterer immer senkrecht zur Geschwindigkeit und zur magnetischen Flul3dichte, zusammensetzt. Wenn z.B. in einem Linienleiter wfihrend des Zeitabschnitts t die Ladungsmenge_Q = I.t fiber die Strecke 1 transportiert wird, so gilt ~ = (1/t)gg und damit Qo x B = I l g l x B, also genau der Ausdruck (15.4). Der elektrische Anteil ist wegen des hohen Ausmal3es an Ladungsneutralit~it in makroskopischen K6rpern i.a. verschwindend klein. Die Lorentz-Kraft (15.5) spielt eine wichtige Rolle fiir das Verst~indnis der elektromagnetischen Wechselwirkungen. Es ist sogar m6glich, sie als Erfahrungstatsache an die Spitze der Theorie_. des Elektromagnetismus zu stellen und die lokalen Feldgr6gen E und B dann fiber ladungsbezogene Kr~ifte mit Hilfe von Testladungen und deren Geschwindigkeiten zu ,,definieren", wenigstens unter den idealisierten Bedingungen eines Gedankenexperiments. Spfitestens hier taucht eine wichtige Frage auf. Stellen Sie sich vor, Sie beobachten ein geladenes Teilchen im elektromagnetischen Feld, zuerst von einem festen Inertialsystem (,,Laborsystem") aus. Zu einem bestimmten Zeitpunkt befinde sich das Teilchen am Ort ~ und besitze dort die Geschwindigkeit ~ gegen/iber dem Laborsystem_: Herrschen in ~ die elektrische Feldst~/rke E und die magnetische Flul3dichte B, so erf~ihrt es dort die Lorentzkraft F = Q(E + ~ • B). Versetzen Sie sich nun in ein Inertialsystem, das sich in ~ momentan mit der gleichen Geschwindigkeit bewegt wie das Teilchen (,,momentanes Ruhsystem"). Von diesem Standpunkt aus ist im betrachteten Zeitpunkt die Teilchengeschwindigkeit if'= 0-'. Ist deshalb auch die Lorentzkraft eine andere,

9 Hendrik Antoon Lorentz, 1853-1928, holl~indischer Physiker.

15.3 Die elektromagnetischeInduktion

7

etwa F = Q E? Das kann nicht sein, weil alle Inertialsysteme in bezug auf Kriifte gleichwertig sind 1~ Was sich/indert, ist nicht der Wert der Lorentzkraft, sondern der Wert der elektrischen Feldst/irke!__. __. Vom momentanen Ruhsystern aus beobachtet reagiert das Teilchen fiber F = Q E' auf den neuen Feldst/irkewert E', ignoriert aber wegen ~' =0" das magnetische Feld, also F ' = Q E " = Q(E'+ ~ x B-'). Wir schliegen daraus: Herrschen am Ort ~ eines elektromagnetischen Feldes in bezug__.auf ein Inertialsystem die elektrische Feldst//rke E und die magnetische FluBdichte B, dann finden wir in bezug auf ein anderes, gegeniiber dem urspriinglichen mit der Geschwindigkeit ~ bewegtes Inertialsystem in ~ die elektrische Feldst/irke 11 [E" = E'+ ~ x B'[.

(15.6)

Dieses Ergebnis ist sehr wichtig, beispielsweise um das Verhalten bewegter Leiter in magnetischenFeldern zu verstehen. Ein bewegter K6rper ,,spiirt" gewissermaBen E' anstelle von E. ......

15.3 Die elektromagnetische Induktion Amp6re formulierte seine magnetischen Kr/ifte im Rahmen einer Fernwirkungstheorie, d.h. er betrachtete die gegenseitige Wirkung elektrischer Str6me, ohne dem vermittelnden Raumzustand zwischen den Str6men eine physikalische Bedeutung zu geben. Die Feldvorstellung war damals erst im Entstehen begriffen, im wesentlichen getragen durch die experimentellen Untersuchungen und die Ansichten Faradays 12. Er verband mit dem magnetischen Zustand die Existenz des magnetischen Flusses, und er untersuchte dessen Eigenschaften anhand von Mustern aus Eisenfeilspiinen (Abb. 15.2). Es waren seine Ideen, die sich in der Folge als besonders fruchtbar erwiesen. Wenn elektrische Str6me Magnetfelder hervorrufen, sollte es dann nicht umgekehrt m6glich sein, durch Magnetfelder elektrische Str6me zu erzeugen? Anders ausgedriickt: Wenn in einer von zwei parallel gefiihrten Drahtschleifen elektrischer Strom flieBt, miil3te sich dann nicht auch in der anderen ein Strom feststellen lassen? Alle diesbez/iglichen Experimente verliefen zun/ichst negativ, bis schlieBlich Faraday im Jahr 1831 erkannte, worauf es dabei ankommt; n/imlich auf die zeitliche Nnderung des magnetischen Feldes. Wird der Strom in der ersten Schleife eingeschaltet (Abb. 15.7), so zeigt ein Indikator in der zweiten Schleife einen StromstoB an. Beim Ausschalten gibt es wieder einen StoB, aber mit umgekehrtem Vorzeichen. Die Stromst6Be sind die Folge von SpannungsstiSBen, die sich durch die rasche

l O Solange die Relativgeschwindigkeiten als klein gegen/iber der Lichtgeschwindigkeit vorausgesetzt werden k6nnen. 11 Dies gilt wiederum fiir Geschwindigkeitsbetriigeklein gegen/iberder Lichtgeschwindigkeit.Der Wert der magnetischen FluBdichte bleibt in dieser Nfiherung iibrigens derselbe, d.h. B'= B. 12 Michael Faraday, 1791-1867, englischer Physiker und Chemiker.

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15 Magnefische Erscheinungen

Abb. 15.7 Beim Ein- und Ausschalten des Stromes in der ersten Drahtschleife zeigen sich in der zweiten Schleife StromstiSl3e

zeitliche )~nderung des v o n d e r zweiten Schleife umfal3ten magnetischen Flusses einstellen 13. Wir nennen diese Erscheinung elektromagnetisehe Induktion und die dabei auftretenden elektrischen Spannungen induzierte Spannungen. Dabei ist es v611ig belanglos, wodurch die Flul3iinderung entsteht. Beispielsweise k6nnen wir auch einen Dauermagnetstab in eine Spule stecken oder die Spule vom Magnetstab abziehen (Abb. 15.8)-in beiden F/illen 1/il3t sich zwischen den Anschliissen eine induzierte Spannung proportional zur momentanen ~nderungsrate des umfal3ten magnetischen Flusses 14 feststellen. Sp/iter werden Sie in den schematischen Anordnungen der Abb. 15.7 und 15.8 die Urformen unserer modernen Transformatoren und elektromechanischen Generatoren erkennen. In den folgenden Kapiteln beschiiftigen wir uns ausfiihrlich mit den heute iiblichen Fassungen der Ideen von Amp6re, Faraday und anderen Forschern des 19.

Abb. 15.8 Die zwischen den Spulenenden auftretende induzierte Spannung ist proportional zur momentanen *nderungsrate des vonder Spule umfal3ten magnetischen Flusses

13 StromstiSl3e messen wir als transportierte Ladungsmenge, also in Amperesekunden, Spannungsst6Be in Voltsekunden. 14 Von einer Spule mit mehr als einer Windung wird derselbe Flul3 mehrfach umfal3t.

9

15.5 Aufgaben

J a h r h u n d e r t s . Amp6res magnetische Krfifte u n d F a r a d a y s elektromagnetische Ind u k t i o n bleiben aber n a c h wie vor die Grundpfeiler der elektrischen Energietechnik.

15.4 Fragen 1. Was verstehen Sie unter dem Begriff,,Magnetismus" im traditionellen Sinn? 2. Welche Erfindung erm6glichte eine systematische Untersuchung der Beziehung zwischen Elektrizit~it und Magnetismus? Welche ffir den Magnetismus wichtige Beobachtung machte Orsted um 1820? 3. Wie erkl/irte Amp6re den Magnetismus yon K6rpern (Elementarstromhypothese)? Kann man die Amp6reschen Elementarstr6me direkt messen? Warum? 4. Was bedeutet remanenter, was permanenter Magnetismus? 5. Was besagen die qualitativen Regeln yon Amp6re? 6. In welchen Schritten verstehen wir heute die Amp6re-Regeln der Wechselwirkung zwischen parallelen Linienstr6men? 7. Wie berechnen Sie die 1/ingenbezogene Kraft zwischen zwei geraden, parallelen Linienstrt~men im leeren Raum ? 8. Wie lautet der Ausdruck f/Jr die vollst~indige Lorentz-Kraft an einer bewegten Punktladung? 9. Wie ist die elektrische Feldst/irke beim Obergang zwischen Inertialsystemen nichtrelativistisch zu transformieren? Was bedeutet hier ,,nichtrelativistisch"? 10. Was verstehen Sie unter dem Phfinomen der elektromagnetischen Induktion?

15.5 Aufgaben AI5.1 Geladenes Teilchen im Magnetfeld: Ein E l e k t r o n wird mit der Geschwindigkeit 1 0 0 0 0 k m / s senkrecht zur Feldrichtung in ein h o m o g e n e s Magnetfeld der Flul3dichte 1 m T geschossen. Bestimmen Sie die F l u g b a h n des Teilchens. Wie g r o g ist seine W i n k e l g e s c h w i n d i g k e i t ? Wie grol3 ist die vom M a g n e t f e l d an dem Teilchen verrichtete A r b e i t ? Wie sieht die F l u g b a h n aus, wenn das Teilchen schr~ig zur F e l d r i c h t u n g eingeschossen wird? A15.2 Kraft auf Stiitzisolatoren: In Schaltanlagen werden parallele Leiter als sogen a n n t e S a m m e l s c h i e n e n auf Sttitzisolatoren befestigt (Abb. A15.2a). Wie grog ist bei einer m a x i m a l e n Stromst~irke von 50 kA die von j e d e r Stfitze a u f z u n e h m e n d e ,,Umbruchkraft"? A15.3 Kriifte in einer Parallelleiteranordnung: In einer ebenen A n o r d n u n g paralleler Linienleiter fliel3t ein S t r o m der Stfirke I in abwechselnder R i c h t u n g (Abb. A15.3a). B e r e c h n e n Sie allgemein die beiden l~ingenbezogenen Krfifte auf die am R a n d liegenden Leiter 1 u n d 2 nach Betrag u n d Richtung. Hinweis: oc

" ~ ( - 1)"/n = - In (2). n=l

A15.4 KrMte zwischen gekreuzten Linienleitern: Zwei stromdurchflossene gerade Linienleiter k r e u z e n e i n a n d e r rechtwinkelig im A b s t a n d a (Abb. A15.4a). Berechnen

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15 Magnetische Erscheinungen

Abb. A15.2a

Abb. A15.3a

Abb. A15.4a Sie die 1/ingenbezogene Kraft entlang des Leiters 1. Skizzieren Sie deren Verlauf und geben Sie insbesondere Gr613en und Orte der Extremwerte an. A15.5 Drehmoment an einer Spule: Eine Rahmenspule mit N Windungen ist um die feste Achse senkrecht zu einem homogenen Magnetfeld drehbar gelagert

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15.5 Aufgaben

Abb. A15.5a

(Abb. A15.5a). G e b e n Sie d e n V e r l a u f d e s D r e h m o m e n t e s n a c h B e t r a g und R i c h t u n g in Abh~ingigkeit v o n e an. Stellen Sie diesen Z u s a m m e n h a n g fiir B = 0 , 2 T , a = b = 1 cm, N = 10 u n d I = 50 m A graphisch dar.

Kapitel 16 Das magnetische Feld Wir haben das elektrische Feld kennengelernt als die Kombination von rS.umlichen Verteilungen der elektrischen Spannung und des elektrischen Flusses: Jeder Kurve ist zu jedem Zeitpunkt ein Wert der elektrischen Spannung, jeder F15.che ein Wert des elektrischen Flusses zugeordnet. Die Verteilungen besitzen gewisse Eigenschaften, ausgedriickt im Satz vom Verschwinden der elektrischen Umlaufspannung (gfiltig in (quasi-)elektrostatischen Situationen) und im Satz vom elektrischen Hiillenflnl3, und sie sind fiber ihre lokalen Repr~isentanten, die elektrische Feldst/irke und die elektrische Flul3dichte, miteinander verkniipft. ~hnlich werden wir bei der quantitativen Erfassung des magnetischen Feldes vorgehen. Hier sind die Verteilungen des magnetischen Flusses und der magnetischen Spannung zu kombinieren und deren Eigenschaften im Satz vom magnetischen Hfillenflul3 bzw. im Durchflutungssatz (giiltig ffir (quasi-) stationiire elektrische Str6me) zu formulieren. Die Verkniipfung erfolgt wieder fiber lokale Repr~sentanten, n~mlich die magnetische Flul3dichte und die magnetische Feldst/irke.

16.1 Der magnetische Fluff Der magnetische Flul3 ist eine fihnlich abstrakte Gr613e wie der elektrische Flul3. Es ,,fliel3t" also nichts im Sinn einer materiellen Bewegung. Wenn wir trotzdem von einem ,,Flul3" sprechen, so sind damit seine strukturellen (mathematischen) Eigenschaften gemeint. Eine gewisse Vorstellungshilfe bietet das Sichtbarmachen des magnetischen Zustandes durch Eisenfeilsp~ine. Tatsfichlich gewinnen wir z.B. aus Abb. 15.2b den Eindruck von einem Flul3 durch das Innere der Spule und einem/iul3eren Riickflul3, erhalten aber keinen Hinweis auf den Richtungssinn. Dazu gibt es folgende Vereinbarung: Der Nordpol einer Kompal3nadel zeigt in die Flul3richtung 1. Weiters lassen sich Werte des magnetischen Flusses direkt messen, z.B. durch Verschieben oder Umklappen einer Probespule nach dem Muster der Abb. 15.8 und Bestimmen des dabei zwischen den Spulenenden auftretenden Spannungsstol3es (SI-Einheit: 1 Vs). Damit k6nnen wir im Prinzip jedem (orientierten) Fliichenstiick sJ zu jedem Zeitpunkt einen Wert ~(s~') des magnetischen Flusses zuordnen. Seine SI-Einheit ist die Voltsekunde (1 Vs), ffir die in diesem Zusammenhang der besondere Einheitenname Weber 2 (1 Wb = 1 Vs) vorgesehen ist. Ubrigens k o m m t der magnetische Flul3 1 ~quivalent, aber meist bequemer anzuwenden ist die sp/iter zu begriindende Konvention: Der Richtungssinn des magnetischen Flusses ist dem Richtungssinn des erzeugenden elektrischen Stromes rechtswendig, d.h. im Sinn einer Rechtsschraube zugeordnet. 2 WilhelmEduard Weber, 1804-1891, deutscher Physiker.

16.1 Der magnetische Flul3

13

im Zusammenhang mit Supraleitung nur in ganzzahligen Vielfachen des elementaren Flul3quants (,,Fluxoid") @o = h/(2e) ~ 2,07-10-15 Wb vor 3. Als geeignete rfiumliche Vorstellung fiir die Flul3verteilung bietet sich wieder ein System von Flul3r6hren an: Jede R6hre trfigt den gleichen Flul3wert A @ (Abb. 16.1). Wollen Sie nun den magnetischen Flul3 @(d) bestimmen, der durch eine gegebene Fl~iche d tritt, so brauchen Sie lediglich die durchsetzenden Flul3r6hren unter Beriicksichtigung der gew~ihlten Orientierung von ~ (als positiv angenommenen Durchtrittssinn, Bezugssinn) abzuz~ihlen. Sie zfihlen positiv, wenn die R6hre im Bezugssinn durch d tritt, sonst negativ. Die ganze Situation erscheint also zun~ichst recht fihnlich dem Fall des elektrischen Flusses, als dessen Quellen wir die elektrischen Ladungen festgestellt haben. Die Quellen des magnetischen Flusses w~iren demnach magnetische L a d u n g e n - aber hier h6rt die Analogie auf. In der Natur lassen sich nfimlich magnetische Ladungen nicht finden. Wir werden diese Erfahrungstatsache nun ganz allgemein formulieren.

Der Satz yore magnetischen Hfillenflufl Stellen Sie sich wieder das in Abb. 8.1 dargestellte Gebilde vor: Irgendein Raumteil Y/ ist durch seine H/ille c~// vom Rest der Welt abgegrenzt. Fassen Sie aber die H/ille am besten nicht als ein materielles Gebilde auf, sondern als eine gedachte F1/iche mit dem positiven Durchtrittssinn yon innen nach aul3en. 0Y/ kann im speziellen mit der Oberfl/iche eines K6rpers zusammenfallen, oder auch einen K6rper durchschneiden, sodal3 ein Teil des K6rpers in Y/" und sein Rest nicht in Y/" liegt. Wenn es nun keine Quellen und Senken des magnetischen Flusses gibt, so mul3 sein Gesamtwert an einer geschlossenen F1/iche verschwinden. Dies wird im Satz vom magnetischen HiillenfluB ausgedriickt,

I @(c~'U)=0].

(16.1)

Abb. 16.1 Ausschnitt aus einer magnetischen Flul3verteilung.Der einem F1/ichenstiick d zugeordnete Flul3 @(d) lfil3t sich bestimmen durch Abz~ihlen der durchsetzenden Flul3r6hren 3 ~0

ist der Reziprokwert der Josephson-Konstante Kj.

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16 Das magnetische Feld

Abb. 16.2 Besitzenzwei F1/ichenstiicke~r and ~" denselben Rand t?sr so werden sie auch vom gleichen magnetischen FluB durchsetzt. Die Orientierungen (Bezugssinne) der F1/ichenstiicke und der Randkurven sind einander rechtswendig zugeordnet In Worten: Ein durch die geschlossene Oberfl/iche t?~/~eines Raumteils ~/" austretender magnetischer FluB ist stets gleich Null. Der Satz besagt natiirlich nicht, dab es iiberhaupt keinen magnetischen Flul3 gibt, sondern nur, dab der auf einem Teil der Hiille eintretende FluB gleichzeitig und vollst/indig auf einem anderen Teil wieder austritt. Wir k6nnen daraus sofort eine wichtige Folgerung ziehen. Stellen Sie sich dazu irgendein orientiertes F1/ichenstfick s~' mit dem Rand c3d und dem zugeordneten magnetischen Flul3 ~(sr vor (Abb. 16.2). Ein zweites F1/ichenstiick d ' mit demselben Rand erg/inze d zu einer geschlossenen F1/iche. Der Satz vom magnetischen Hfillenflug liefert dann (achten Sie auf die Orientierungen!) @(~) - @(~') = 0, d.h. den Fl~ichenstiicken ~ und d ' , die nur ihren Rand gemeinsam haben, ist der gleiche FluBwert zugeordnet: In einer gegebenen Verteilung h/ingt der Wert des magnetischen Flusses an einem Fl~ichenstfick d lediglich ab vom Verlauf der Randkurve, nicht v o n d e r speziellen Gestalt der F1/iche. Alle gleiehsinnig orientierten Fl/iehen mit demselben Rand werden vom gleiehen magnetisehen FluB durehsetzt. Diese universelle Eigenschaft paBt genau zu unserem Bild von den FluBr6hren als einem in sich geschlossenen Kanalsystem ohne innere Quellen und Senken. Denken Sie sich beispielsweise in einer Verteilung wie in Abb. 16.1 eine feste geschlossene Kurve gezogen. Wie immer Sie die damit berandete F1/iche deformieren, die Anzahl der gerichtet durchsetzenden FluBr6hren ~indert sich nicht. Das v o n d e r Kurve umfaBte FluBr6hrenbfindel bleibt dasselbe. In den technischen Anwendungen mfissen wir magnetische Flfisse oft an recht komplizierten Fl~ichen bestimmen. Als Randkurven treten n~imlich h/iufig linienf6rmige Leiter in mehreren Windungen auf, und es ist nicht yon vornherein klar, was dann unter @ ( ~ ) z u verstehen ist. Tr/igt beispielsweise ein FluBr6hrenbfindel den FluB t~ 1 und wird es von einem Draht zweimal umschlungen (Abb. 16.3a), so durchsetzt @~ die vom Draht berandete F1/iche d zweimal. Wir haben daher 9 ( d ) = 2 @~. ~hnliches gilt fiir eine gr6Bere Anzahl yon Windungen, z.B. in Spulen (Abb. 16.3b). Beachten Sie aber, dab die wendelf/frmige Fl~iche hier nicht notwendig yon demselben FluB mehrfach durchsetzt wird. U m die FluBwerte an einfachen Fl~ichenstiicken von denen an komplizierten Gebilden zu unterscheiden, nennt man letztere meistens Verkettungsfliisse oder auch FluBverkettungen und sagt z.B., eine Spule ist mit einem bestimmten magnetischen FluB ,,verkettet". Falls erforderlich, verwenden wir daf~r das Gr613ensymbol @v4. 4 Als Gr6Bensymbol fiir den Verkettungsflug ist auch ~ in Gebrauch.

16.1 Der magnetische Flul3

15

Abb. 16.3 In vielen technisch wichtigen Fallen wird eine Flache d von einem magnetischen Flul3 zumindest teilweise mehrfach durchsetzt. Wir nennen in diesen Fallen ~(d) meist ,,Verkettungsflul3", speziell dann, wenn die Randkurve von einem linienf6rmigen Leiter gebildet wird

Der Satz vom magnetischen HiillenfluB behauptet die Nichtexistenz magnetischer Ladungen. Andererseits k6nnten wir die Flugverteilung in der Umgebung eines Dauermagnetstabes (Abb. 15.2a) auch so verstehen, dab sich im Bereich des Nordpols, sagen wir, eine positive magnetische OberschuBladung und im Bereich des Sfidpols die entgegengesetzt gleich groBe Menge an negativer magnetischer OberschuBladung befindet. Erfahrungsgem~iB lassen sich jedoch keine insgesamt positiv oder negativ magnetisch geladenen K6rper herstellen. Wenn Sie etwa von unserem Dauermagnetstab ein Stiick des Nordpols abschneiden, dann erhalten Sie nicht etwa zwei unterschiedlich magnetisch geladene Teile, sondern wieder zwei vollst/indige Magnete. Das Amp6resche Modell der gebundenen ElementarstriSme kann dieses Verhalten erkl/iren. Es ist aber auch noch eine andere Auffassung denkbar, n/imlich dab es zwar irgendwelche Teilchen mit positiver oder negativer magnetischer Ladung gibt, dab diese aber gew6hnlich fest in Aggregaten/ihnlich denen elektrischer Dipole gebunden sind. Es gibt Theorien dieser Art, und sie sagen sehr hohe, auch in absehbarer Zukunft in den gr6Bten Teilchenbeschleunigem nicht iiberwindbare Bindungsenergien der magnetischen Ladungen in den Dipolen voraus. Vielleicht ist deshalb der experimentelle Nachweis der Existenz magnetischer Monopole bisher noch nicht gelungen.

Die magnetische Fluj3dichte Jede kontinuierliche FluBverteilung im Raum 1/iBt sich auch lokal beschreiben. Im magnetischen Feld verwenden wir dazu, wie bereits erw/ihnt, das Vektorfeld der

16

16 Das magnetische Feld

magnetischen FluBdichte 5, d.h. jedem Ort wird (zu j e d e m Zeitpunkt) ein Wert des Vektors B mit der physikalischen Dimension ,,magnetischer FluB durch F1/iche" nach Betrag und Richtung zugeordnet. Die zugehiSrige SI-Einheit ,,Weber durch Q u a d r a t m e t e r " besitzt den besonderen Einheitennamen Tesla 6'7 (1 T = 1 W b / m 2 = 1 Vs/m2). Das im Abschnitt 9.2 fiber die formalen Eigenschaften der elektrischen FluBdichte Gesagte gilt sinngem~iB auch f/Jr die magnetische FluBdichte, obwohl nat~/rlich der physikalische Gehalt ein ganz anderer ist. Wir k 6 n n e n den Wert B d e r magnetischen FluBdichte an einem Ort stets durch die Angabe ihres Betrages B (Zahlenwert mal Einheit, etwa B = 0, 9 T im Luftspalt einer elektrischen Maschine) und ihrer lokalen Richtung g als B = Bd darstellen. Bezeichnet gn irgendeine andere Richtung (z. B. die lokale Richtun__g einer F1/ichennormalen), die mit g den Winkel ~ einschlieBt, so nennt m a n B n = B. gn = B COS (00 die N o r m a l p r o j e k t i o n von B auf en (die N o r m a l p r o j e k t i o n auf d i e N o r m a l e n r i c h t u n g , kurz ,,Normalenproj_ektion"), und der zugeh6rige Vektor B n = B n g n heiBt die K o m p o n e n t e von B in Richtung gn (die N o r m a l k o m p o n e n t e , Abb. 16.4a). Wollen Sie aus einem bekannten Vektorfeld der magnetischen FluBdichte den einem F1/ichenst/ick ~ zugeordneten magnetischen FluB berechnen, d a n n f/ihren Sie einen SummationsprozeB nach dem bekannten Muster aus (Abb. 16.4b): Zerlegen von ~r in eine ausreichende Anzahl von Flfichenelementen (jeweilige F1/ichennormalen weisen auf die gleiche Seite wie der angenommene Durchtrittssinn), bilden der Normalenprojektionen der FluBdichte und S u m m a t i o n ihrer P r o d u k t e mit dem F1/icheninhalten. Sie erhalten damit die

Abb. 16.4 Der einer F1/iche d zugeordnete magnetische FluB ~(d) l~iBt sich als F1/ichensumme der magnetischen FluBdichte darstellen, a Normalprojektion der FluBdichte auf die Normalenrichtung. b Zerlegung der F1/iche und Bildung der F1/ichensumme 5 Eine ~ltere, auch heute noch h/iufig verwendete Bezeichnung fiir B'ist ,,magnetische Induktion" oder kurz ,,Induktion". 6 Nicola Tesla, 1856-1943, serbisch-amerikanischer Ingenieur. 7 Eine veraltete, nicht zum SI, sondern zu den cgs-Systemen geh6rende Einheit ffir die magnetische FluBdichte ist das GauB (1G). 1G entspricht 10-4T. Carl Friedrich GauB, 1777-1855, deutscher Mathematiker und Naturwissenschaftler.

16.1 Der magnetische FluB

17

Darstellung des magnetischen Flusses als Fl~chensumme der magnetischen Flulhtichte, 9 (d)=

m ~ k=l

;~r

Bnk'A k

oder

q)(~/)=

Bn'dA

(16.2)

Das magnetische Vektorpotential Ich m6chte hier noch eine andere Darstellungsform des magnetischen Flusses erw/ihnen, die direkt aus seiner universellen Quellenfreiheit folgt. Erinnern Sie sich dazu an das elektrische Feld: Elektrische Spannungen sind immer irgendwelchen Kurven zugeordnet, und ihr Wert h/ingt i.a. vom Verlauf der Kurve zwischen ihrem Anfangspunkt und ihrem Endpunkt ab. In elektrostatischen Situationen gilt jedoch der Satz vom Verschwinden der elektrischen Umlaufspannung, der die Unabh/ingigkeit der Spannung vom speziellen Kurvenverlauf nach sich zieht. Wir schlossen daraus auf die Existenz des elektrostatischen Potentials und konnten fiber Potentialdifferenzen die Spannungen direkt Paaren von Randpunkten zuordnen. Auf eine formal/ihnliche Situation treffen wir im magnetischen Feld, aber um eine Raumdimension h6her: Anstelle von Kurven haben wir hier-F1/ichen, die R/inder werden nicht durch Punktepaare sondern durch Randkurven gebildet, und anstatt mit dem Skalarfeld des elektrostatischen Potentials arbeiten wir mit einem Vektorfeld, dem magnetischen Vektorpotential. Magnetische Fliisse sind zun/ichst immer irgendwelchen F1/ichen zugeordnet. Andererseits zeigt aber der (universell giiltige) Satz vom magnetischen HiillenfluB, dab es nicht auf den speziellen Verlauf der F1/iche, sondern nur auf die Lage ihrer Randkurve in einer gegebenen Flugverteilung ankommt. Wir schlieBen daraus auf die Existenz eines Vektorfeldes A, eben des magnetischen Vektorpotentials, mit dessen Hilfe ein magnetischer FluB direkt der Randkurve zugeordnet werden kann, und eine allgemeine Zuordnung dieser Art kann nur eine Kurvensumme sein. Das Ergebnis unserer Uberlegungen ist die Darstellung des magnetischen Flusses als Kurvensumme des magnetischen

Vektorpotentials,

cI)(~) = ~ Ask.S, k=l

oder

(I)(s/) = rod As'ds

(16.3)

wobei A s = A-gs die Normalprojektion von A auf die lokaleRichtung e"s der Kurve bezeichnet (Denken Sie sich in Abb. 9.8 das Vektorfeld E durch das Vektorfeld ...... A ersetzt). Beachten Sie: Der Umlaufsinn der Randkurve c~d ist dem Durchtrittssinn der F1/iche d (Bezugssinn fiir den magnetischen Flu8) rechtswendig zugeordnet (Abb. 16.4b). Und: Die SI-Einheit des magnetischen Vektorpotentials ist 1 Wb/m = 1 Vs/m. Fiir eine bekannte, station/ire Verteilung elektrischer Str6me 1/igt sich das magnetische Vektorpotential formal/ihnlich berechnen wie das zu einer statischen Ladungsverteilung gehiSrende elektrische Skalarpotential. Damit werden wir uns sp/iter besch/iftigen.

18

16 Das magnetischeFeld

16.2 Die magnetische Spannung Unsere n~ichste Aufgabe ist die Beschreibung der felderzeugenden Wirkung elektrischer Str6me. Wir werden dazu in einem ersten Schritt jeder Kurve im Raum einen Wert zuordnen, den wir magnetische Spannung nennen. Die resultierende Verteilung der magnetischen Spannung enth/ilt, wie Sie sehen werden, die vollst/indige Information fiber die Verteilung der elektrischen Str6me,/ihnlich wie die Verteilung des elektrischen Flusses die gesamte Information fiber eine Ladungsverteilung einschlieBt. Der zweite Schritt, die lokale Verkniipfung der magnetischen Spannung mit dem magnetischen FluB, ist Gegenstand des n~ichsten Abschnitts.

Der Begriff der magnetischen Spannung Verschaffen wir uns als erstes eine Vorstellung v o n d e r physikalischen Gr6Be ,,magnetische Spannung"! Angenommen, auf einer schlanken Zylinderfl~iche flieBt in Umfangsrichtung und gleichm~iBig fiber die L/inge verteilt ein elektrischer Strom der St/irke I c (Abb. 16.5). Es entsteht dann ein magnetisches Feld nach Art der Abb. 15.2b. Bringen wir diese Spule in ein anderes, r~iumlich weit ausgedehntes und im betrachteten Bereich im wesentlichen gleichf6rmiges Magnetfeld, so kann damit bei geeigneter Ausrichtung (Spulenachse in Feldrichtung) und einem bestimmten Wert von Ic der magnetische FluB im Spuleninneren vollst~indig beseitigt, d.h. nach auBen verdr/ingt werden (Abb. 16.6a). In einer allgemeinen Lage der Spule zum Magnetfeld tritt zwar ein QuerfluB auf (Abb. 16.6b), der L~ingsfluB im Spuleninneren l~iBt sich aber mit einem passenden Wert von Ir wiederum unterbinden. Wir ordnen nun dem Kurvenstiick ~ mit dem Anfangspunkt ~ und dem Endpunkt ~ die magnetische Spannung V(~) des urspriinglichen (ungest6rten) magnetischen Feldes durch folgende Festlegung zu: Der Wert V(c~) der magnetischenSpannungist gleich dem Gesamtwert des Stromes Ir der zur Beseitigung des L/ingsflusses entlang c~ erforderlich ist. Dies schlieBt eine Verallgemeinerung auf inhomogene Magnetfelder und beliebig geformte Kurven ~ ein. Die Spule stellen Sie sich dann am besten als einen diinnen Schlauch mit ~ als Mittellinie vor. AuBerdem miissen Sie den Umfangsstrom i.a. ungleichm~iBig verteilen, maBgebend fiir V(~) ist aber immer der Gesamtwert Ic.

Abb.16.5 Zwei /iquivalente Realisierungen eines schlanken, stromdurchflossenen Zylinders: a als ,,Einwindungsspule" aus einem diinnen Leiterstreifen, b als Spule mit N Windungen eines diinnen Drahtes

16.2 Die magnetische Spannung

19

Abb. 16.6 Die schlanke Spule aus Abb. 16.5 wird in ein homogenes Magnetfeld gebracht, a Liegt sie in L~ingsrichtung, so l~il3tsich mit einem passenden Wert von I c der magnetische Flul3 aus dem Spuleninneren verdr~ingen, b In einer allgemeinen Lage kann immer noch der L~ingsflul3beseitigt werden Die magnetische S p a n n u n g besitzt nach unserer Festlegung die physikalische Dimension des elektrischen Stromes, also die SI-Einheit Ampere. Sie ist immer irgendwelchen orientierten, d.h. mit einem Durchlaufsinn 8 versehenen K u r v e n c~ zugeordnet. W e n n Sie den Durchlaufsinn ( = Bezugssinn) ~indern, wechselt die magnetische S p a n n u n g das Vorzeichen. Sie besitzt aul3erdem die Eigenschaft der Additivit~it, d.h., ist eine K u r v e aus mehreren Teilstiicken zusammengesetzt, so erhalten Sie die G e s a m t s p a n n u n g als Summe der Teilspannungen.

Der Durchflutungssatz Wir k o m m e n n u n zur zentralen Eigenschaft magnetischer Spannungsverteilungen. Stellen Sie sich eine allgemeine r~iumliche Verteilung station~irer Str6me vor und aul3erdem irgendein Fl~ichenstiick d mit Durchtrittssinn u n d rechtswendig zugeordneter R a n d k u r v e 0 ~ . D e n G e s a m t w e r t des gerichtet d u r c h d tretenden elektrischen Stroms bezeichnen wir mit I ( d ) (Abb. 16.7) u n d n e n n e n ihn, wenn wir den Unterschied zu Einzelstr6men herausstreichen wollen, elektrische Durchflutung oder kurz D u r c h f l u t u n g 9. O b e r den Durchflutungssatz 1~ wird d a n n der Z u s a m m e n hang zur magnetischen S p a n n u n g V(c3d ) e n t l a n g der Randkurve hergestellt, n~imlich V(c3z~r = I ( d ) .

(16.4)

In Worten: In einer (quasi-) stationfiren Stromverteilung 11 ist die magnetische S p a n n u n g V(c3d ) e n t l a n g des R a n d e s c3d einer Fl~iche d gleich d e m G e s a m t w e r t 8 Genaugenommen liefert unsere Festlegung nicht einen Durchlaufsinn von cg, sondern einen ,,Umschlingungssinn", n~imlich den Richtungssinn des Kompensationsstromes I c. Zus~itzlich vereinbaren wir eine rechtswendige Zuordnung zum ,,erzeugenden" Strom- Ic. 9 H~iufigwird fiir die Durchflutung ein eigenes Gr613ensymbolverwendet, bevorzugt 0. xo Der Durchflutungssatz heil3t auch Amp+rescher Satz. ~ Den Begriffder (Quasi-)Stationarit~it werden wir gleich kl~iren.

20

16 Das magnetische Feld

Abb. 16.7 Zur Berechnung der Durchflutung I(s~'). Der Strom 11 tritt N mal im Bezugssinn, der Strom 12 einmal entgegen dem Bezugssinn durch d I ( d ) des elektrischen Stroms durch die F1/iche (rechtswendige Z u o r d n u n g der Orientierunge n von s~' und c3d vorausgesetzt). Kurz: ,,Die magnetische Umlaufspannung ist gleich der rechtswendig umfaBten Durchflutung." Mit dem Durchflutungssatz driicken wir im Grunde eine spezielle Eigenschaft des elektrischen Str6mungsfeldes aus. Angenommen, s~' ist eine geschlossene F1/iche, z. B. die Hiille eines Bereiches f , s~' = c ~ . D a n n schrumpft c3d gewissermaBen auf einen P u n k t zusammen 12 und damit verschwindet auch V(0s~'). Gleichung(16.4) liefert also I ( 0 f ) = 0 , im Widerspruch zum allgemeinen Ausdruck I ( c ~ ) = - (~(~) (G1. (8.1)) der Ladungserhaltung. Aul3erdem gilt mit dem Satz vom elektrischen Hiillenflul3 (G1. (9.5)) I ( c ~ ) = - ~(c3V). Daraus erkennen wir: Der Durchflutungssatz kann nur dann giiltig sein, wenn sich die Ladungsverteilung bzw. die elektrische FluBverteilung im betrachteten Raumbereich zeitlich nicht /indert, oder wenn zumindest deren zeitliche ~nderungsraten gegeniiber den LeitungsstriSmen vernachliissigbar klein sind. M a n spricht dann von einer stationiiren bzw. yon einer quasistationiiren Stromverteilung. Ob eine quasistationiire Situation vorliegt oder nicht, h/ingt ab von den geometrischen Abmessungen, den Eigenschaften der beteiligten Werkstoffe und vor allem yon den Frequenzen der elektromagnetischen Gr6Ben. Je h6her die Frequenzen, desto stiirker machen sich die ~nderungsraten bemerkbar. Den allgemeinen Fall werden wir sp/iter betrachten, eines ist jedoch klar: Der Durchflutungssatz ist iiberall dort anwendbar, wo auch die erste Kirchhoff-Regel gilt. Beide setzen die (n/iherungsweise) Erfiillung der Gleichung I(c~U ) = 0 voraus. Wir schliel3en hier eine interessante Llberlegung an. Die Gleichung I ( ~ ? ~ ) = 0 behauptet, wenn sie ffir alle geschlossenen F1/ichen in einem Raumbereich gilt, die Quellenfreiheit des elektrischen Stromes. D a r a u s folgt, dab es ffir den Wert I ( d ) der Stromst/irke iiberhaupt nicht auf die spezielle Gestalt der Flfiche d ankommt, 12 ,,Der Rand eines Randes ist gleich Null".

16.2 Die magnetische Spannung

21

sondern nur auf die Lage ihrer Randkurve 0 ~ ' in der Stromverteilung (Erinnern Sie sich an die analogen Betrachtungen im Anschlul3 an den Satz vom magnetischen Hiillenflul3, speziell an Abb. 16.2!). Der Wert I ( d ) kann also direkt der Randkurve zugeordnet werden, und das begriindet formal die Existenz der magnetischen Spannung. In diesem Sinn ist der Durehflutungssatz lediglieh eine Darstellungsform (quasi-) station~irer elektriseher Str~Jme, und zwar, wie Sie sehen werden, als Kurvensumme der magnetischen Feldst~irke. Der Durchflutungssatz liefert den Gesamtwert der magnetischen Spannung an einer geschlossenen Kurve. Sie k6nnen damit auch Beziehungen zwischen den magnetischen Spannungen an Teilstficken der geschlossenen Kurve herstellen, diese Werte aber i.a. nieht im einzelnen bereehnen. Betrachten wir z. B. die Anordnung in Abb. 16.8. Die Teilstiicke cg1, cg2 und cr 5 verlaufen durch die Spulen (diese k6nnen beispielsweise auf Eisenk6rper gewickelt sein), die St/icke cg3 und ~4 neben den Spulen. Beachten Sie: Die Werte der zugeh6rigen magnetischen Spannungen zwischen ~ and ~ hfingen i.a. vom Verlauf der Kurve ab. Sie k6nnen die Kurven zwar deformieren (es gilt V(Cgl)= V((~92), V((~3)= V((br miissen aber darauf achten, dab sich dabei die umfal3te Durchflutung nicht findert. Es gibt einige Sonderfiille, in denen der Durchflutungssatz eine weitergehende Aussage fiber die magnetische Spannungsverteilung erm6glicht, etwa beim Vorliegen einer besonders hohen Symmetrie. Beispielsweise k6nnen wir sofort angeben, dab sich um einen geraden, stromdurehflossenen Linienleiter im leeren Raum die magnetische Umlaufspannung entlang konzentrischer Kreise senkrecht zur Leiterachse gleichm/il3ig aufteilt (Abb. 16.9a). Ein Kreisbogen mit dem Offnungswinkel c~besitzt dann die magnetische Spannung I c~/(2re), unabh/ingig von seinem Radius. Daran kniipft sich die bildliche Vorstellung der magnetischen Spannungsverteilung als einem gleichm/il3ig geordneten, mit einem Richtungssinn versehenen F/icher von Ebenen (Abb. 16.9b). Jedem Keil zwischen zwei B1/ittern ist der Spannungswert A V zugeordnet, z. B. bei n B1/ittern A V = I/n. Wollen Sie die magnetische Spannung

Abb. 16.8 Mit dem Durchflutungssatz lassen sich die Beziehungenzwischen den magnetischen Spannungen entlang aller Kurven herstellen, die zwei feste Orte ~ and ~ verbinden

22

16 Das magnetische Feld

Abb. 16.9 a Ffir einen geraden, stromdurchflossenen Linienleiter l~il3t sich wegen der hohen Symmetrie die magnetische Spannungsverteilung ohne weiteres angeben, b Wir k6nnen damit das Bild von einem gleichm~il3igen Ebenenf~icher (magnetischen Spannungsfl~ichen) verbinden. Dargestellt ist ein Ausschnitt

entlang einer ganz beliebig verlaufenden Kurve bestimmen, so brauchen Sie lediglich die durchsetzten magnetischen Spannungsfl~ichen gerichtet abzuz~ihlen. Das Bild von den magnetischen Spannungsfl~ichen ist iibrigens durchaus verallgemeinerungsf'~ihig. Sie k6nnen sich eine magnetische Spannungsverteilung immer als eine schichtenartige, eine magnetis~he Flul3verteilung immer als eine r6hrenartige r~iumliche Struktur vorstellen. Der zweite Sonderfall, den wir uns hier ansehen wollen, ist die schlanke, gleichfiirmig dicht gewickelte Zylinderspule im leeren Raum (oder in Luft, ,,Luftspule") (Abb. 16.10). Abgesehen von den (bei der schlanken Spule kleinen) Randst6rungen konzentriert sich die magnetische Spannung hier nahezu vollstfindig auf das Spuleninnere und verteilt sich gleichm~il3ig fiber die Spulenl~inge 13. Jeder aul3erhalb genommene Spannungswert, z. B. V(Cg2), ist dann gegeniiber der innen genomme13 Das ist leicht einzusehen, wenn Sie sich die zur quantitativen Festlegung der magnetischen Spannung verwendete Kompensationsspule (Abb. 16.6) iiberlagert und damit das magnetische Feld wieder ausge16scht denken.

16.2 Die magnetische Spannung

23

Abb. 16.10 Schlanke Luftspule mit N gleichm~il3ig verteilten Windungen, von denen jede den Strom I fiihrt. Die magnetische Spannung ist nahezu vollst/indig auf das Spuleninnere konzentriert

Abb. 16.11 Ringspule. Die N Windungen sind gleichf6rmig verteilt

nen magnetischen Spannung V(Cgl) ~ N I vernachl/issigbar klein (Vorsicht: Das gilt nicht f/Jr eine Spule mit ferromagnetischem Kern!). Schliel31ich betrachten wir, als dritten Sonderfall, eine gleichf6rmig dicht gewickelte Ringspule (Abb. 16.11). Jede im Spuleninneren einmal umlaufende Kurve umfal3t die Durchflutung N I, und es teilt sich, wenn es sich um einen Kreis wie in Abb. 16.11 handelt, die magnetische Spannung fiber die Bogenl~inge gleichm/il3ig auf. Wir erhalten daher im Spuleninneren eine magnetische Spannungsverteilung ganz analog zu der in Abb. 16.9 angegebenen (ersetzen Sie I durch N I, und schneiden Sie die Spannungsfl~ichen aul3erhalb des Ringes weg). Im Aul3enraum ist das magnetische Feld gleich Null. f]brigens k6nnen Sie das Spuleninnere mit einem homogenen Material, beispielsweise mit einem Eisenkern ausf/illen. An der magnetischen Spannungsverteilung/indert sich nichts.

Die magnetische Feldstdrke Durch Versuche mit einer schlanken Kompensationsspule in einem im wesentlichen homogenen Magnetfeld (Abb. 16.6) k/Snnen wir feststellen:

24

16 Das magnetischeFeld 1. Die mit der Spule gemessene magnetische Spannung nimmt dann ihren Maximalwert, sagen wir V0, an, wenn die Spulenachse in Feldrichtung liegt (Abb. 16.6a). Schliel3t die Spulenachse mit der Feldrichtung den Winkel ot ein (Abb. 16.6b), so wird der kleinere Wert Vo cos (or) gemessen. 2. Fiir eine feste Lage ist die gemessene magnetische Spannung proportional zur Spulenl/inge l, aber unabh~ingig vom Spulenquerschnitt 14. Ein Bezug auf die L~inge Iist daher sinnvoll.

Sei nun ~ irgendein Ort in einem allgemeinen magnetischen Feld und 1 - lY ein kurzes Geradensttick in ~ , derart ausgerichtet, dab der ihm zugeordnete Wert der magnetischen Spannung V maximal ist. Wir nennen dann die gerichtete physikalische Gr6fSe, dargestellt durch den Vektor

~q_v 1

(16.5)

die magnetische Feldst~irke 15 am Ort ~ . Dabei ist die L~inge 1 so klein zu w~ihlen, dab der Quotient V/1 unabh~ingig von 1 wird. Die begriffliche Erweiterung auf ein Vektorfeld ist klar. Die magnetische Feldst~irke, sie besitzt die SI-Einheit 1 A/m, ist der lokale Repr~isentant einer magnetischen Spannungsverteilung. Ihren Wert H an einem Ort k6nnen wir stets durch die Angabe des Betrages H (Zahlenwert mal Einheit, z.B. H - 7 2 0 k A / m ) und der lokalen Richtung 0" als H - H0 ~ darstellen. Kennen Sie umgekehrt das Vektorfeld H und wollen Sie daraus die irgendeiner Kurve ~ zugeordnete magnetische Spannung berechnen, dann gehen Sie wie fiblich vor (Abb. 16.12): Zerlegen von c~, Normalprojektionen, Summation. Dieser Formalismus ist die Darstellung der magnetischen Spannung als Kurvensumme der magneti-

schen Feldst~irke,

d

s,ls oer,

,,66

Ftir die Sonderf~ille, in denen wir bei bekannter Stromverteilung allein durch Anwenden des Durchflutungssatzes die zugeh6rige magnetische Spannungsverteilung finden k6nnen, ist sofort auch die magnetische Feldst~irke an jedem Ort angebbar. Sie steht immer senkrecht auf die magnetischen Spannungsfl~ichen, und ihre Richtung stimmt lokal mit dem Richtungssinn der magnetischen Spannung iiberein. Beim geraden Linienleiter haben wir eine gleichmS.Bige Aufteilung der magnetischen Spannung entlang konzentrischer Kreise (Abb. 16.9). Wir brauchen also lediglich dutch die Bogenl~inge zu dividieren und erhalten, wenn I die Stromst~irke, p den Radius und 0"s die Umthngsrichtung angibt, ftir die magnetische

,4 Solangedie Spule noch schlank bleibt. ,5 Ein anderer Name ftir die magnetischeFeldst~irkeist ,,magnetischeErregung".

16.3 Verknfipfen magnetischer Spannungen und F1/isse. Die Induktivit~it

25

Abb. 16.12 Die einer Kurve cg zugeordnete magnetische Spannung 1/iBt sich als Kurvensumme der magnetischen Feldst/irke darstellen, a Normalprojektion der Feldst/irke auf eine vorgegebene Richtung. b Zerlegung und Bildung der Kurvensumme

Feldstiirke eines geraden, stromdurchflossenen Linienleiters I H = 2-~p e's

(16.7)

Beachten Sie die rechtswendige Zuordnung! F/ir die magnetische Feldst/irke im Inneren einer gleichfiirmig dicht gewickelten Ringspule (Abb. 16.11) gilt dieselbe Beziehung, wenn I den Gesamtstrom (die Durchflutung) bedeutet. Bezeichnen Sie dagegen mit I die Stromstiirke im Draht (Leiterstrom) und tr/igt die Spule N Windungen, dann ersetzen Sie I in G1. (16.7) durch N.I. Sehen wir von den Randbereichen ab, so verteilt sich die magnetische Spannung auch in der besprochenen Zylinderspule (Abb. 16.10) gleichmiiBig fiber die L/inge l. Mit der dem Umfangsstrom rechtswendig zugeordneten axialen Richtung gl gilt demnach fiir die magnetische Feldst&irke im Inneren einer schlanken, gleichf6rmig dicht gewickelten Zylinderspule im leeren Raum nfiherungsweise

~=NI ~F el

(16.8)

Tats5chlich stellt sich dieses homogene Magnetfeld im Spuleninneren erst in ausreichendem Abstand yon den Spulenenden ein. Wir werden das sp~iter noch genauer untersuchen. Eine 1/ingenbezogene Durchflutung, wie sie in G1. (16.8) auftritt, nennt man gelegentlich auch Strombelag.

16.3 Verkniipfen magnetischer Spannungen und Fliisse. D i e Induktivit~it Magnetische Spannungen und magnetische F1/isse treten stets gemeinsam auf. Wir werden in diesem Abschnitt ihre lokalen und globalen Verkn/ipfungen besprechen und uns dabei haupts/ichlich auf den leeren Raum beschrfinken. Die formal/ihnlichen lokalen Verkniipfungen in isotropen K6rpern werden wir hier nur kurz behandeln.

26

16 Das magnetische Feld

Die magnetische Feldkonstante Sehen wir uns zuerst das magnetische Feld eines geraden, stromdurchflossenen Linienleiters im leeren Raum an. Es gilt hier einerseits der Ausdruck (16.7) fiir die magnetische FeldstS,rke, andererseits sind wir bei der Interpretation der Amp+reschen Beobachtungen fiber die Kr~ifte zwischen stromfiihrenden Leitern aufden Ausdruck (15.1)fiir die magnetische FluBdichte gestoBen. Die beiden Gleichungen passen nur dann zusammen, wenn zwischen der magnetischen Feldst~irke und der magnetischen FluBdichte die Verkniipfungsbeziehung im leeren Raum

] B'= #o/~ ]

(16.9)

besteht. Die Konstante #o, wir nennen sie magnetische Feldkonstante oder Induktionskonstante, wird, wie Sie wissen, im Internationalen Einheitensystem zur Festlegung des Ampere benutzt und dabei als exakter Wert

#o = 4 n. 10- 7 Vs = 1,2566... ~ H / m Am

(16.10)

fixiert. Das Einheitenzeichen H steht fiir die abgeleitete SI-Einheit Henry (1H = 1Vs/A). Die Verkniipfungsbeziehung (16.9) ist im leeren Raum allgemein giiltig, und/~o ist eine universelle Konstante, unabh~ingig vom r/iumlichen und zeitlichen Verlauf des magnetischen Feldes. Damit erhebt sich natiirlich die Frage, ob die Konstante #o eine physikalische Bedeutung besitzt oder ob sie nur zur Anbindung an die praktischen Einheiten des Internationalen Einheitensystems ben/Stigt wird, d.h., sollen wir ftir den leeren Raum begrifttich iiberhaupt zwischen ~q und B"unterscheiden?16 Wir haben hier die magnetische Spannung und den magnetischen FluB als begrifflich eigenst/indige Gr6gen eingefiihrt und betrachten demgem~iB die Verkniipfungsbeziehung (16.9) als Ausdruck einer Eigenschaft des leeren Raumes. Sie k6nnen es aber auch anders halten-die formale Entwicklung unserer Theorie wird davon nicht berfihrt. Hinweisen m6chte ich Sie aber noch auf folgendes: Nach unserer gegenw/irtigen Auffassung wird das elektromagnetische Feld im eigentlichen Sinn lokal durch die elektrische Feldst/irke zusammen mit der magnetischen FluBdichte reprfisentiert. Die magnetische Feldst/irke und die elektrische FluBdichte geh/Sren zusammen zum Strom-Ladungs-Feld. Sie vermitteln die vollstfindige Information fiber die Verteilungen von Str6men und Ladungen, sind aber durch diese nur bis auf sogenannte Eichtransformationen bestimmt. Ihre vollst~ndige Festlegung geschieht formal in den Verkniipfungsbeziehungen (9.17) und (16.9) oder fiber entsprechende Werkstoffgleichungen.

16 Eine ~hnliche Frage 1/iBt sich iibrigens auch fiir L/ingen- und Zeitintervalle stellen: Bedeutet die Fixierung der Vakuumlichtgeschwindigkeitco als universelle Konstante eine begriffliche Gleichsetzung von L~ingeund Zeit?

16.3 Verkniipfen magnetischer Spannungen und Fliisse. Die Induktivit~it

27

Als nfichstes sehen wir uns nochmals die schlanke, gleichf/Srmig dicht gewickelte Zylinderspule im leeren Raum oder in Luft an (Abb. 16.13). Fliel3t durch die N Windungen der Spule ein elektrischer Strom der St~rke I (elektrische Durchflutung N I), so stellt sich ein magnetischer Flul3 9 ein, und zwar im Spuleninneren weitgehend gleichm~il3ig fiber den Spulenquerschnitt (Fl~icheninhalt A) verteilt. Man kann den Wert von q~ messen, beispielsweise mit einer m6glichst dicht anliegenden Induktionsspule (Abb. 16.13): Beim Einschalten des Spulenstroms I wird in dieser Mel3spule ein Spannungsstol3 induziert, dessen Gesamtwert ein Mal3 fiir den aufgebauten magnetischen FluB ist (Die Details der Mel3methode brauchen uns vorerst nicht zu interessieren). Bei der Ausfiihrung derartiger Versuche mit schlanken zylindrischen Luftspulen unterschiedlicher L~ingen, Querschnittsfl~ichen und Windungszahlen l~il3t sich folgendes feststellen. Der magnetische Flus ist - proportional der l~ingenbezogenen Durchflutung N Ill, - p r o p o r t i o n a l dem Inhalt A der Querschnittsfl~iche, und alle Mel3ergebnisse k6nnen wir im wesentlichen in der einfachen Gleichung

NI

~ = #o--~

(16.11)

zusammenfassen. Als Proportionalit~itskonstante erscheint wiederum die magnetische Feldkonstante ~7. Nun zur Interpretation: Auf der linken Seite von G1. (16.11) steht der Quotient q~/A, wegen der gleichm/iBigen FluSverteilung im Spuleninneren also der dort im wesentlichen konstante Betrag Bder magnetischen Flu$dichte (s. G1. (16.2)). Auf der rechten Seite finden wir neben Sto genau den Betrag H der magnetischen Feldst/irke

Abb. 16.13 L~ingsschnittdurch eine schlanke, gleichf6rmigdicht gewickelte Zylinderspule. Im Inneren der Spule bildet sich ein nfiherungsweise homogenes Magnetfeld aus. Der magnetische Flul3 q~l~il3tsich messen, z.B. mit einer Induktionsspule

17 Wfirendie Mal3einheiten fiir den magnetischen Flul3und fiir die elektrische Stromst~irkeunabh~ingig voneinander festgelegt, dann k6nnten Sie auf diese Weise den Wert yon Po im Prinzip mel3technisch bestimmen.

28

16 Das magnetische Feld

aus G1. (16.8). Fiir den speziellen Fall der schlanken Luftspule driickt demnach unsere empirische G1. (16.11) wiederum die Verkniipfungsbeziehung (16.9) aus. Was bedeutet nun die Verkniipfungsbeziehung geometrisch? Die magnetische Flul3dichte gibt lokal die Richtung der Fluf3riShren an, und die magnetische Feldst~irke steht stets senkrecht auf die magnetischen Spannungsfliichen. Im leeren Raum durchsetzen einander das Schichtensystem einer magnetischen Spannungsverteilung und das R6hrensystem der zugeh6rigen magnetischen Flul3verteilung immer senkrecht. Sie bilden zusammen eine orthogonale Zellenstruktur.

Die Induktivitdt Nochmals zurfick zu unserer schlanken, gleichf6rmig gewickelten Zylinderspule! Der Wert 9 des magnetischen Flusses ist hier durch jeden Querschnitt (F1/icheninhalt A) im wesentlichen derselbe 18. Stellen Sie sich jetzt die Spule als dichtgewickelte Wendel von N Windungen eines diinnen Drahtes vor-/ihnlich Abb. 16.3b, aber schlanker und dichter gewickelt. Abgesehen von den Anschlul3driihten ist dann die von dem Draht berandete F1/iche se' eine Art von Wendelfliiche mit N Umliiufen, sie besitzt also einen F1/icheninhalt von etwa N.A. Der Gesamtflul3 durch die Wendelfliiche d , der Verkettungsflul3 der Spule ist daher in diesem Fall q~v= N. A. B = N q~ oder, unter Verwendung von G1. (16.11),

[cb,,=L'I

I

(16.12)

mit der Induktivit~it L der schlanken, gleichf6rmig dfinn gewickelten, zylindrischen Luftspule

IL= laoN2A/l[.

(16.13)

Fassen Sie die Formel (16.13) als eine erste N~iherung auf. Je schlanker die Spule und je diinner der Wickelraum, desto geringer sind die Fehler. Die wichtigsten Zfige des Verhaltens schlanker, zylindrischer Luftspulen werden jedoch erfal3t: Ihre Induktivit~it ist proportional zum Quadrat der Windungszahl, proportional zum Inhalt der Querschnittsfl~iche und umgekehrt proportional zur Spulenl~inge. Die Form der Querschnittsfl~iche ist in dieser Nfiherung belanglos, genauso wie die genaue Lage der Windungen am Mantel: Der Draht kann sich durchaus fiberkreuzen, oder die Spule kann mehrlagig gewickelt sein. Wesentlich weitreichender ist die Beziehung (16.12). Sie driickt als globales Gegenstiick zur lokalen Verknfipfung (16.9) ganz allgemein die Proportionalit~it zwischen dem Spulenstrom und dem mit der Spule verketteten Fluff aus, und diese Proportionalit~it ist zumindest ffir alle Luftspulen giiltig, unabh~ingig von ihrer

8 Tats~ichlich nimmt der magnetische FluB gegen die Spulen6ffnungen hin etwas ab, weil ein Teil des Flusses durch den Spulenmantel aus- bzw. eintritt. Wir wollen das im Hinblick auf die Schlankheit der Spule momentan nicht beriicksichtigen.

16.3 Verkniipfen magnetischer Spannungen und Fliisse. Die Induktivitiit

29

F o r m 19, natiirlich aber mit jeweils anderen Werten von L. Selbst ein irgendwie zusammengekniilltes Sttick isolierten Drahtes besitzt eine Induktivitiit, auch wenn wir ihren Wert in diesem Fall kaum rechnerisch (wohl aber durch Messung) bestimmen k6nnen. Die Einheit der lnduktivifiit im Internationalen Einheitensystem l~iBt sich direkt aus G1. (16.12)ablesen: 1 Weber durch 1 Ampere. Daffir ist der besondere Einheitenname Henry 2~ (Einheitensymbol H) in Gebrauch, also

I 1 H = 1 Wb/n = 1 Vs/n .

(16.14)

Beispielsweise besitzt eine schlanke Luftspule mit 1000 Windungen, einem Durchmesser d = 1 cm (A = 0,785 cm 2) und einer L~inge 1--- 10cm gem~iB G1. (16.13) die Induktivit~it L ~ 1 mH. Verkettungsfliisse und Induktivit~iten spielen vor allem im Zusammenhang mit dem Induktionsgesetz eine wichtige Rolle. Wir werden das im Kapite120 ausffihrlich besprechen. Erw~ihnen m6chte ich aber bereits hier die Erweiterung des Induktivit~itsbegriffs auf mehr als eine Spule im leeren Raum. Stellen Sie sich dazu zwei allgemein gelegene Spulen mit den Str6men I1 bzw. 12 vor (Abb. 16.14). Angenommen, es ist zuerst nur die erste Spule stromdurchflossen. Sie erzeugt ein magnetisches Feld, und wir k6nnen ihr einen VerkettungsfluB proportional zu I ~ zuordnen, sagen wir q~v~~ = L a 11~. Aber auch die zweite (noch immer stromlose) Spule wird yon magnetischem FluB durchsetzt, und der zugehiSrige VerkettungsfluB, wir nennen ihn q~v2~, ist ebenfalls p r o p o r t i o n a l zu I~ 2~, ~v21 -- L2~'I~. Fliel3t nun zus~itzlich in der zweiten Spule der Strom 12, so fiberlagern sich den schon vorhandenen noch die Verkettungsfli3sse q~v22--L22"I2 in der zweiten und ~v~2--L~2"I2 in der ersten

Abb. 16.14 Magnetischgekoppelte Luftspulen. a Jeder der beiden SpulenstriSmebewirkt sowohlin der eigenen wie auch in der anderen Spule einen VerkettungsfluB. b Beispiel: Zwei ineinandergeschobene Zylinderspulen

~9 Der Induktivitiitsbegriff ist dann wohldefiniert, wenn die Stromverteilung im Detail angegeben werden kann, und wenn sich alle beteiligten Werkstoffe magnetisch linear verhalten. 20 Joseph Henry, 1797-1878, amerikanischer Physiker. 21 Dies ist eine Folge der linearen Verkniipfungsbeziehung (16.9) im leeren Raum: ,,Doppelter Strom, doppelte Feldstiirke, doppelte FluBdichte".

30

16 Das magnetische Feld

Spule. Insgesamt haben wir also (Pvl -'- (/)vll + (Pv12 "-- L l l 11 -+- L 1 2 1 2 , ~v2 ~ ~v21 "~ ~/9v22 ---~L2111 + L2212-

(16.15)

Beachten Sie die rechtswendige Z u o r d n u n g zwischen F1/issen und Str6men bzw. deren Bezugssinnen. Wenn Sie den Bezugssinn einer vorkommenden Gr6Be umdrehen, dann m/issen Sie das in den G1. (16.15) durch ein ge/indertes Vorzeichen berficksichtigen. Ubrigens gilt stets L12 = L21 , d.h. ein Strom der St~irke I ruft in der jeweils andere'n Spule den gleichen (Teil-) VerkettungsfluB hervor 22. M a n nennt die beiden Spulen in diesem Zusammenhang magnetiseh oder induktiv gekoppelt und bezeichnet den Koeffizienten L12 -- L 21 als ihre gegenseitige Induktivitiit oder auch als ihre Gegeninduktivitiit. Die Koeffizienten L 11 und L22 heiBen dann Seibstinduktivit/iten- sie sind die gew6hnlichen Induktivit~iten 23. Ein einfaches Beispiel (Abb. 16.14b): Zwei schlanke Zylinderspulen, gleichf6rmig d/inn mit den Windungszahlen N 1 bzw. N 2 gewickelt, mit den Querschnittsfl~ichen A 1 bzw. A z ( < A 1 ) und mit der gleichen L~inge I. N~iherungen fiir die beiden Selbstinduktivit~iten k6nnen wir mit der Formel (16.13) sofort angeben: Lll

= lao N 2 A1/1,

L 2 2 = lto N 2 A2/I.

F/ir 12 = 0 herrscht im Inneren der ersten Spule die axiale Flul3dichte B = #o H = #oNlI1/l, die zweite Spule ist deshalb mit dem FluB ~v21 = N z A z B - lao N 1 N 2 A2 I1/1 verkettet, und die gegenseitige Induktivit~it betr~igt L21 ~- lto N 1 N 2 A 2 / l . F/ir 11 = 0 haben wir andererseits nur im Inneren der zweiten Spule die axiale FluBdichte B - P0 H = Po N 2 I2/1, auBerhalb ist sie (nfiherungsweise) gleich Null. Die erste Spule ist daher mit dem FluB ~v12 -- N1A2 B = / t o N 1N 2 A 2 I2/1 verkettet; also gilt, wie zu erwarten, L12 = L 21" Die Verallgemeinerung auf eine gr6Bere Anzahl, sagen wir n, induktiv gekoppelter Spulen bereitet formal keine Probleme. Wir haben dann n Selbstinduktivit~iten Lkk, k = 1 , . . . , n, und n(n - 1)/2 gegenseitige Induktivit~iten Lkl, k ~ 1; k = 1 , . . . , n; l = 1 , . . . , n , weil die Symmetriebeziehung Lkl = Llk ganz allgemein gilt. Die G1. (16.15) gehen fiber in das lineare System ~vl "-Ll111 -k- "'" q- L l l I t q- "" -k- L l n I n (I)vk -- L k I I 1 -k- "'" -Jr-L k l I t + "'" + L k ,, I,,

(16.16)

@v,, = L,,1 I1 'k "'" q- L,a I t + "" + L,,,, I,,

voneinander i.a. unabh~ingiger Gleichungen. 22 Wir werden das spfiter allgemein begrfinden. 23 Abkiirzend werden h/iufig f/Jr die beiden Selbstinduktivitfiten die Formelzeichen L 1 und L 2 verwendet, und fiir die gegenseitige Induktivit~it das Formelzeichen M.

16.4 Magnetisierbare KiSrper

31

16.4 Magnetisierbare K~Jrper Die einfache lokale Verknffpfungsbeziehung B - #o H gilt exakt im leeren Raum, ist aber ffir magnetische Felder innerhalb von K6rpern nicht allgemein anwendbar 24. Sind im Rahmen der zugrundeliegenden MeBgenauigkeit Abweichungen vom Zusammenhang B = / t o H feststellbar, so nennen wir einen K6rper magnetisierbar. Stellen Sie sich vor, wir wickeln einen langen, diinnen Draht gleichm~il3ig dicht auf einen homogenen Eisenring, wir stellen also eine Ringspule mit Eisenkern her (Abb. 16.11). Aufgrund des Durchflutungssatzes und der erhaltenen Symmetrie wird sich an der magnetischen Spannungsverteilung gegeniiber der in einer Luftspule gleicher Form nichts Wesentliches findern. Was wir aber feststellen ist, bei der gleichen Durchflutung, ein deutlich gr613erer magnetischer Flul3 im Spuleninneren, gemessen z.B. mit einer Induktionsspule nach dem Muster der Abb. 16.13. Anders ausgedriickt: Zur Erzeugung des gleichen magnetischen Flusses ist im Eisen ein viel kleinerer Wert der magnetischen Spannung erforderlich als in Luft. Als einfache Vorstellungshilfe zur Erklhrung dieses Verhaltens kann das Modell der Amp6reschen Elementarstr~Sme aus Abb. 15.3 dienen: Unter dem Einflul3 des Spulenstroms richten sich die urspriinglich ungeordneten, in mikroskopischen Aggregaten gebundenen ElementarstriSme aus und machen sich so makroskopisch als zusfitzliche Felderzeuger bemerkbar. Seien Sie aber bei der Anwendung dieses Modells vorsichtig. Im Durchflutungssatz sind nur die ,,wahren" elektrischen Str~me, nicht jedoch die fiktiven ElementarstriJme zu beriicksichtigen! Fiir die makroskopische Erfassung des lokalen Zusammenhanges zwischen den Verteilungen der magnetischen Spannung und des magnetischen Flusses in magne_2 tisierbaren K6rpern haben wir die einfache Verkniipfungsbeziehung B = #o H durch andere, die speziellen magnetischen Materialeigenschaften beriicksichtigende Stoffgleichungen zu ersetzen. Stimmt die Richtung der magnetischen Flul3dichte B in jedem Feldpunkt mit der Richtung der magnetischen Feldsthrke H iiberein, so nennen wir das Materialverhalten magnetisch isotrop und schreiben die Stoffgleichung in der Form B=#HI"

(16.17)

Die Gr6Be # heil3t (absolute) Permeabilit~it 25. Sie wird h~iufig als Produkt

I~-- #0 ~r ]

(16.18)

der magnetischen Feldkonstanten #o und der Permeabilit~itszahl (relative Permeabilit~it) #r dargestellt. Die Werte yon ~r h~ingen ab vonder Art des Materials, von anderen physikalischen Gr613en wie Temperatur und Druck, aber i.a. auch vom Betrag der magnetischen Feldsthrke selbst.

24 Wir betrachten hier die Felderin K6rpern vom makroskopischen Standpunkt aus, d.h. wir verwenden ein Kontinuumsmodell. 2s Man nennt deshalb die magnetische Feldkonstante auch ,,Permeabilitht des leeren Raumes".

32

16 Das magnetische Feld

Stoffe, bei denen im Rahmen der geforderten oder erreichten Genauigkeit und im betrachteten Bereich die Permeabilitfit unabh~ingig vom Betrag der Feldst~rke ist, bei denen also B'und H einander proportional sind, nennen wir magnetiseh linear wirkend, kurz magnetisch linear oder auch linear magnetisierbar. In diese Kategorie geh6ren die meisten diamagnetischen und paramagnetischen Stoffe, fiir die eine nur geringffigig von 1 abweichende Permeabilit~itszahl charakteristisch ist 26. Einige Beispiele finden Sie in Tabelle 16.1. Sie sehen, dab wir diese Stoffe ffir technische Anwendungen in der Regel als nicht magnetisierbar betrachten k6nnen, d.h. wir setzen/~ =/z o. Magnetisch wesentlich ausgepr~igter verhalten sich ferromagnetische Stoffe 27 wie Eisen in seinen unterschiedlichen technischen Formen. Sie zeigen iiberdies die Erscheinungen der magnetischen S~ttigung und der magnetischen Hysterese: Angenommen, der Eisenkern unserer Ringspule befinde sich zuerst in einem nicht magnetisierten Zustand. Wir erh6hen nun kontinuierlich den Spulenstrom bis zu einem Wert, sagen wir 11, und tragen die jeweils zusammen auftretenden Werte der Feldst~irke und der FluBdichte als MeBpunkte in einem Diagramm auf (Abb. 16.15a). Dies liefert den Kurvenzweig 01, einen Teil der sogenannten Neukurve des Eisenwerkstoffs. Jetzt verringern wir den Spulenstrom bis Null und erh6hen ihn in der umgekehrten Richtung bis 12 < 0. Dabei durchlaufen wir in unserem Diagramm den Kurvenast 12 und stellen etwas Wichtiges fest: Mit dem Spulenstrom Null (und damit H = 0) verschwindet keineswegs auch die magnetische Flul3dichte. Es bleibt ein Restmagnetismus, der bei zunehmender Gegenfeldst~irke (H < 0) abnimmt. Dann erst dreht sich auch der Richtungssinn des magnetischen Flusses um. Diese Erscheinung nennt man magnetische Hysterese. Bei einer nochmaligen kontinuierlichen Ver~inderung des Spulenstroms in Richtung positiver Werte wird schlieBlich, von 2 ausgehend, der untere Ast durchlaufen, wobei wir i.a. nicht wieder den Punkt 1 treffen, nicht einmal ffir 12 = - I1. Erst bei mehrmaligem Hin- und Herpendeln zwischen 11 und 12 stellt sich eine geschlossene Schleife ein. Darstellungen nach Art der Abb. 16.15, die einen Zusammenhang zwischen der

Tabeile 16.1 Permeabilit~itszahlen einiger diamagnetischer (Pr < 1) und paramagnetischer (pr > 1) Stoffe fiir 20~ und Normaldruck Stoff Wismut Kupfer Wasser Luft Aluminium Platin

Pr 0,999843 0,999990 0,999991 1,0000004 1,000021 1,000257

26 Technisch iibliche FeldstS.rken reichen hier in der Regel nicht aus, in den nichtlinearen Bereich vorzudringen. 27 Auch die ferrimagnetischen und antiferromagnetischen Stoffe geh6ren in diese Gruppe.

16.4 Magnetisierbare K6rper

33

Abb. 16.15 a Magnetisierungskurvenferromagnetischer Stoffezeigen die Erscheinungen der magnetischen Hystereseund der magnetischen S/ittigung.b Beispiele:Grenzschleifenffir Siliziumeisen(weichmagnetisch, kleine Koerzitivfeldstiirke)und Stahl mit ca. 1% C (hartmagnetisch, groBe Koerzitivfeldst/irke) magnetischen Flul3dichte und der magnetischen Feldst/irke in einem Stoff angeben, heigen allgemein Magnetisierungskurven. Geschlossene Magnetisierungskurven nennt man (magnetische) Hysteresesehleifen. Sie geben die magnetische Hysterese eines Stories bei zyklischer ~nderung der magnetischen Feldst/irke an und werden immer nur im angegebenen Sinn durchlaufen. Beginnen wir unseren Versuch mit der Ringspule yon neuem[ Anstelle der Verkleinerung des Spulenstroms ab dem Pkt. 1 in Abb. 16.15a wird er jetzt weiter erh/Sht, die Neukurve also weiter verfolgt. Wir kommen dann in einen Bereich, in dem trotz wachsender Feldstiirke keine wesentlichen Flul3steigerungen mehr m6glich sind (Pkt. 3, entsprechend einem Spulenstrom I3), n u r mehr solche /ihnlich denen in einer Luftspule. Wir sprechen dann von magnetiseher Siittigung und sagen, der Eisenkern ist magnetisch ges/ittigt 28. Wenn jetzt der Spulenstrom wieder zuriickgenommen und bis zum negativen W e r t - I 3 gebracht, der Stoff also in den entgegengesetzten S/ittigungsbereich getrieben wird, so liegen die zusammengehiSrenden B-H-Werte auf dem oberen Kurvenast 33'. Bei nochmaliger Stromumkehr gelangen wir schliel31ich entlang des unteren Astes wieder nach 3. Diese Hystereseschleife ist charakteristisch ftir den magnetischen Werkstoff. Sie heiBt /iulierste Hystereseschleife oder Grenzschleife, weil alle anderen m6glichen Hystereseschleifen innerhalb des yon ihr berandeten Gebietes liegen (zumindest f/Jr hinreichend langsam verlaufende Magnetisierungszyklen). Besondere magnetische Zustandspunkte auf der Grenzschleife sind der fiir H = 0 vorhandene Wert der magnetischen Flul3dichte B r - e r wird magnetische Remanenzflulidichte g e n a n n t - u n d der fiir B = 0 vorhandene Wert der Feldstiirke H c - d i e Koerzitivfeldstiirke (der magnetischen Flul3dichte). Wichtig dabei ist, dab die Hystereseschleife tats/ichlich in die S/ittigungsbereiche des Magnetwerkstoffes vordringt. Die Remanenzflul3dichte und die Koerzitivfeldstiirke sind (ftir feste Temperatur) charakteristische Stoffgr6Ben. Wir k6nnen sie im speziellen fiir eine grobe Klassifizierung ferromagnetischer Werkstoffe verwenden. Man nennt Werkstoffe mit grol3en Werten der Koerzitivfeldstiirke (etwa Hc > 0, 5 kA/m) hartmagnetisch und solche mit kleinen Werten der Koerzitivfeldstiirke (etwa He < 0, 1 kA/m) weichmagnetisch. Beispiele sehen Sie in Abb. 16.15b. Moderne Dauermagnetwerkstoffe 28 Stellen Sie sich gem~il3dem Amp6reschen Modell vor, dab in diesem Zustand alle verfiigbaren Elementarmagnete vollst~indigausgerichtet sind.

34

16 Das magnetische Feld

erreichen Remanenzflul3dichten B~ > 1 T und glei,chzeitig Koerzitivfeldstiirken He bis zu Werten v o n Br/la o (z.B. 796 kA/m fiir B r = 1 T). Ihre magnetischen Eigenschaften sind jedoch in der Regel stark richtungsabhiingig (anisotrop). Eine mathematische Beschreibung allgemeiner Art von Magnetisierungskurven mit Hysterese ist naturgemiil3 ziemlich kompliziert. M a n verwendet deshalb in der Elektrotechnik fiir den Entwurf und die Analyse ferromagnetischer Kreise dem jeweiligen Problem angepal3te, manchmal stark vereinfachte Modelle. Beispielsweise liegt es nahe, bei einem weiehmagnetisehen Stoff die ohnehin relativ schmale Grenzschleife (Abb. 16.15b) durch eine einzige Kurve zu ersetzen. Damit 1/il3t sich, unter Verzicht auf die Beschreibung des remanenten Magnetismus, wenigstens ein eindeutiger B-H-Zusammenhang herstellen (Abb. 16.16). Grunds/itzlich ist dann auch die Verkn//pfungsbeziehung B = / ~ H fiir isotrope ferromagnetische Stoffe anwendbar, allerdings mit feldstiirkeabhiingigen Werten der Permeabilitiit. So k6nnen wir etwa der Kurve a in Abb. 16.16 fiir Flul3dichtebetriige B < 1 T (d.h. aul3erhalb der S/ittigungsbereiche) Permeabilitiitszahlen in der Gr613enordnung von /~r = 5000 zuordnen. Sie nehmen aber mit dem Vordringen in die S/ittigungsbereiche kontinuierlich ab. Eine noch weitergehende Vereinfachung fiihrt auf die Beschreibung als ideal magnetisierbarer Kiirper. Dieses Modell entspricht dem Grenzfall ]~r ~ O0 (Abb. 16.17a) und ist deshalb nur im unges~ittigten Bereieh und nur bei relativ groBen Werten der Permeabilit~itszahl anwendbar. Wegen H - 0 ist hier jeder Kurve,

Abb. 16.16 VereinfachteMagnetisierungskurvenffir a Elektroblech (kaltgewalzt, Beispiel)und b Graugul3. Dargestellt ist der Zusammenhang der Vektorbetr~ige

Abb. 16.17 Grob vereinfachte Magnetisierungskurven. a Modell des ideal magnetisierbaren K6rpers. Bmaxmul3 unterhalb des SS,ttigungsbereichs liegen, b Modell eines ideal magnetisch s~ittigbaren K6rpers. Die Parameter Bs und ~ts sind passend zu wfihlen

16.4 Magnetisierbare K6rper

35

die ganz im K6rper verliiuft, die magnetische Spannung Null zugeordnet. Kann auf die Erfassung der magnetischen S/ittigung nicht verzichtet werden, so ist entweder eine Magnetisierungskurve nach Art der Abb. 16.16 zu verwenden, oder, fiir eine grobe Beschreibung, das Modell eines ideal magnetisch siittigbaren Kiirpers (Abb. 16.17b). Das reale Materialverhalten wird dabei im ungesiittigten Zustand durch ideale Magnetisierbarkeit, im S/ittigungsbereich durch eine Magnetisierungskurve konstanter Steigung angen~ihert; der Obergangsbereich wird nicht erfaBt. Fiir die Klassifizierung magnetischer Werkstoffe k6nnen wir, immer mit Bezug auf die geforderte oder erreichte Genauigkeit und den betrachteten Bereich, neben der Einteilung in diamagnetische, paramagnetische, ferromagnetische u./i. Stoffe, bei letzteren wieder in weichmagnetisches und hartmagnetisches Verhalten, auch die Begriffspaare linear-niehtlinear, homogen-inhomogen und isotrop-anisotrop verwenden. Linearitiit bedeutet hier in jedem festen_. K6rperpunkt Proportionalitiit, nicht notwendig aber Parallelit//t von B und H; ein Werkstoff heiBt magnetisch homogen, wenn er in jedem Punkt die gleichen magnetischen Stoffeigenschaften besitzt; er heiBt isotrop, wenn die Stoffeigenschaften in jedem K6rperpunkt richtungsunabhiingig sind. Im einfachsten Fall der linear homogen isotropen K6rper gilt die Beziehung B -/~ H mit konstanten Werten der Permeabilitiit #. Dia- und paramagnetische Substanzen lassen sich meist so beschreiben, wenn sie iiberhaupt als magnetisierbar beriicksichtigt werden miissen. Im Gegensatz dazu sind weichmagnetische K6rper, deren Verhalten sich in jedem Punkt durch dieselbe, richtungsunabhiingige Magnetisierungskurve nach Art der Abb. 16.16 darstellen liiBt, zwar homogen und isotrop, i.a. abet nichtlinear, d.h. die Permeabilitiit ist feldst/irkeabhiingig. Nur auBerhalb des S~ittigungsbereiches k6nnen wir auch solchen Stoffen n/iherungsweise konstante ~-Werte zuordnen, z.B. eine Permeabilitiitszahl von ~r 5000. Magnetisch anisotropes Verhalten finden wir in nahezu allen technischen Dauermagnetwerkstoffen, aber auch in einigen technisch wichtigen weichmagnetischen Materialien, etwa in magnetisch hochwertigen Blechen, aus denen die Kerne moderner Leistungstransformatoren hergestellt werden. Wie bereits erw/ihnt, h~ingt das magnetische Verhalten von K6rpern i.a. auch noch von anderen physikalischen Zustandsgr613en ab, etwa von den mechanischen Spannungen bzw. den lokalen Verzerrungen in einem K6rper, vor allem aber von der Temperatur. Ferromagnetische K6rper verlieren z.B. bei Ann/iherung von unten an eine ffir das Material charakteristische Temperatur, die CurieZ9-Temperatur 8c, ihre ausgepriigten magnetischen Eigenschaften und verhalten sich oberhalb von 8 c wie Paramagnete. Reines Eisen besitzt die Curie-Temperatur 8 c = 770 ~ Die formale ~hnlichkeit der Verkniipfungsbeziehung B'= #o ~ fiir den leeren Raum bzw. in nicht magnetisierbaren K6rpern und der Stoffgleichung B = # H mit # = #o/Zr, #r = const., fiir linear homogen isotrope K6rper bringt in Sonderf~illen eine starke Vereinfachung bei der rechnerischen Bestimmung magnetischer Felder mit sich. Ist niimlich der Feldraum, etwa das Innere einer Ringspule, vollstiindig mit einem einheitliehen Medium dieser Art ausgefiillt, so brauchen wir lediglich die magnetische Feldkonstante #o durch die konstante Permeabilit/it # = #0#r ZU -

-

29 Pierre Curie, 1859-1906, franziSsischer Physiker.

36

~o Das magnetische Feld

ersetzen. Die Induktivit~it von Spulen erh6ht sich dann einfach auf den/~r-fachen Wert.

Feldlinien Zur Unterstiitzung der r/iumlichen Vorstellung magnetischer Felder bieten sich die natiirlichen, direkt aus den physikalischen Eigenschaften folgenden Bilder an: R6hrenartige Strukturen ffir die magnetischen Flul3verteilungen und schichtenartige Strukturen f/ir die magnetischen Spannungsverteilungen. Daneben ist noch eine andere geometrische Darstellungsform iiblich, n/~mlich Systeme von Feldlinien, die wir mit dem Bild faserartiger Strukturen verbinden. Die Grundlage der Konstruktion magnetischer Feldlinien bildet der Begriff der Vektorlinien von Vektorfeldern 3~ Ihr Verlauf gibt an jedem Ort die Richtung der beschriebenen physikalischen Gr613e an, und fiber passende Festlegungen der Liniendichte lfil3t sich auch der Betrag erfassen. Wird so dem Vektorfeld B der magnetischen Flul3dichte ein System von Feldlinien zugeordnet, so nennen wir dieses die magnetisehen Flufidiehtelinien. Sie verlaufen immer entlang der Flul3r/Shren. Dajede Flul3r/Shre einen festen Flul3wert A q~fiihrt, enthfilt sie auch eine feste Anzahl von Flul3dichtelinien. Das Feldliniensystem zum Vektorfeld H der magnetischen Feldstfirke heil3t die magnetisehen Feldstfirkelinien. Sie stehen immer senkrecht auf die Schichtenstruktur der zugeh6rigen magnetischen Spannungsverteilung. Im leeren Raum und im Inneren von nicht magnetisierbaren oder von magnetisch linear homogen isotropen K6rpern sind die Vektoren B und H gleichgerichtet und einander fiber einen im ganzen Bereich konstanten Faktor proportional. Wir brauchen dann nicht zwischen Flul3dichtelinien und Feldstfirkelinien zu unterscheiden und sprechen einfach von magnetisehen Feldlinien. Beachten Sie: Diese Identifizierung ist i.a. nicht m6glich in magnetisch nichtlinearen, inhomogenen oder anisotropen K6rpern, also fiberall dort, wo Sie nicht die einfache Verknfipfung B -- ~ H mit konstantem, skalaren/~ anwenden k6nnen. An der Grenzfl~iche zwischen K6rpern mit unterschiedlichen magnetischen Eigenschaften mfissen wir, ~ihnlich wie im elektrischen Feld, mit r/iumlichen Spriingender lokalen Feldgr613en rechnen. Wir werden das im Kapitel 19 formal erfassen, ich m6chte Sie aber bereits hier auf eine wichtige Konsequenz fiir das Bild der Feldlinien hinweisen. In einem K6rper, dessen Verhalten wir als ideal magnetisierbar beschreiben k6nnen, ist die magnetische Feldstfirke stets identisch gleich Null, d.h. jeder Kurve, die ganz im K6rperinneren verlfiuft, ist der magnetische Spannungswert Null zugeordnet. Die K6rperoberfl~iche ist dann notwendig eine magnetische Spannungsfl~iche, und die magnetisehen Feldstfirkelinien des angrenzenden Feldrnums miinden immer senkrecht 3~. Ist das angrenzende Medium magnetisch isotrop oder fiberhaupt nicht magnetisierbar, dann gilt das gleiche auch fiir die 30 Erinnern Sie sich dazu an die fdberlegungen im Abschnitt 11.2. 31 Vorausgesetzt,die Oberfl/iche ist frei von (wahren) Fl~ichenstr6men.

16.5 Fragen

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magnetischen Flul3dichtelinien bzw. die FluBrShren. N/iherungsweise erfiillt finden wir diese geometrische Beziehung an der Grenzfl/iche zwischen hochpermeablen und niedrig permeablen Medien.

16.5

Fragen

1. In welchem Sinn ist der magnetische Flug als ,,Flug" aufzufassen? Wie kann man magnetische Flfisse in speziellen Fallen beispielsweise sichtbar machen? 2. Nach welcher Konvention wird der Richtungssinn des magnetischen Flusses festgelegt? 3. Was verstehen Sie unter einem Spannungsstog? Welche Beziehung besteht zwischen Flugiinderungen und SpannungsstSgen in Probespulen? 4. Welche koh/irente Einheit ist dem magnetischen Flug im (VAsm)-System zugeordnet und welcher besondere Einheitenname ist daffir im SI festgelegt? 5. Was ist ein Fluxoid? 6. Welche r~iumliche Vorstellung verbinden Sie mit einer magnetischen Flugverteilung? 7. Was wissen Sie fiber die Quellen des magnetischen Flusses? 8. Wie lautet der Satz vom magnetischen Hfillenflug formal und verbal? 9. Was folgt aus dem Satz vom magnetischen Hfillenflug ffir die Flugwerte an F1/ichen mit dem selben Rand, und wie folgt diese Aussage? 10. Was bedeutet der Ausdruck "verkettet" im Zusammenhang mit dem magnetischen Flug? Wie ist der Verkettungsflug in einfachen und wie in komplizierten Ffillen erkl/irt? 11. Wodurch wird eine magnetische Flugverteilung lokal repr/isentiert und von welchem mathematischen Charakter ist diese physikalische Gr6ge? 12. Welche/iltere Bezeichnung wird auch heute noch h/iufig ffir die magnetische Flugdichte benutzt? 13. Welche koh/irente Einheit ist der magnetischen Flugdichte im (VAsm)-System zugeordnet und welcher besondere Einheitenname ist dafiir im SI vorgesehen? 14. Was bedeutet die Einheit 1 Gaug? 15. Wie erfolgt die Darstellung des magnetischen Flusses als F1/ichensumme (als F1/ichenintegral) bildlich und wie formal? 16. Worauf grfindet sich die Existenz eines magnetischen Vektorpotentials? Welche SI-Einheit ist dem magnetischen Vektorpotential zugeordnet? 17. Wie erfolgt die Darstellung des magnetischen Flusses als Kurvensumme (als Kurvenintegral) bildlich und wie formal? 18. Welcher Art von geometrischen Objekten sind magnetische Spannungen zugeordnet? 19. Durch welches Gedankenexperiment 1/igt sich der Begriff der magnetischen Spannung erlfiutern? 20. Welche koh/irente SI-Einheit ist der magnetischen Spannung zugeordnet? 21. Wie lautet der Durchflutungssatz formal und verbal? 22. Auf welche Weise enth/ilt eine magnetische Spannungsverteilung die vollst/indige Information fiber eine elektrische Stromverteilung? 23. Von welcher Art ist der Widerspruch zwischen dem Durchflutungssatz und dem Satz von der Erhaltung der elektrischen Ladung? Auf welche Vorg/inge ist die (n/iherungsweise) Gfiltigkeit des Durchflutungssatzes deshalb eingeschr/inkt? 24. Unter welcher Voraussetzung besitzen zwei Kurven mit den selben Anfangs- und Endpunkten den gleichen Wert der magnetischen Spannung? 25. Welche magnetische Spannungsverteilung stellt sich in der Umgebung eines geraden Linienstroms im leeren Raum ein ? Wie ist diese geometrisch zu veranschaulichen? 26. Wie kSnnen Sie allgemein magnetische Spannungsverteilungen geometrisch veranschaulichen? 27. Wie verteilt sich die magnetische Spannung im Inneren einer leeren, schlanken, gleichf6rmig gewickelten Zylinderspule? Wie grog ist ihr Gesamtwert? 28. Wie verteilt sich die magnetische Spannung im Inneren einer gleichfSrmig gewickelten Kreisringspule? Welche Rolle spielt dabei das Kernmaterial? Welche Rolle spielt die Form der Querschnittfl~iche?

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16 Das magnetische Feld

29. Wodurch wird eine magnetische Spannungsverteilung lokal repr/isentiert ? Von welchem mathematischen Charakter sind die dabei verwendeten Gr6Ben? 30. Kennen Sie noch einen anderen Namen ffir die magnetische Feldstiirke? 31. Welche koh/irente Einheit ist der magnetischen Feldst~irke im SI zugeordnet? 32. Wie erfolgt die Darstellung der magnetischen Spannung als Kurvensumme (als Kurvenintegral) bildlich und wie formal? 33. Wie berechnen Sie die magnetische Feldst/irke in der Umgebung eines geraden Linienstroms im leeren Raum? 34. Wie berechnen Sie die magnetische Feldst/irke im Inneren einer leeren, schlanken, gleichf6rmig gewickelten Zylinderspule? Welche Rolle spielt dabei die Form des Spulenquerschnitts? 35. Wie berechnen Sie die magnetische Feldst/irke im Inneren einer gleichfiSrmig dicht gewickelten Kreisringspule? 36. Wie erfolgt die lokale Verkniipfung magnetischer Spannungs- und Flul3verteilungen im leeren Raum? 37. Auf welche Weise wird die magnetische Feldkonstante im SI festgelegt und wie grol3 ist dieser Wert? 38. Wie erfolgt die globale Verkniipfung von magnetischen Spannungen und magnetischen Fliissen bzw. von elektrischen Str6men und Verkettungsfliissen? 39. An welche Voraussetzungen ist die Existenz des InduktivitS, tsbegriffs gebunden? 40. Welche koh/irente Einheit besitzt die Induktivitiit im (VAsm)-System und welcher besondere Einheitenname ist dafiir im SI vorgesehen? 41. Wie berechnen Sie n/iherungsweise die Induktivit/it einer schlanken, gleichf/Srmig gewickelten Zylinderspule im leeren Raum ? 42. Was verstehen Sie unter den Begriffen Selbstinduktivitiit und Gegeninduktivit~it? 43. Wann bezeichnet man einen K6rper als magnetisierbar? Wie 1/il3t sich Magnetisierbarkeit im Modell der Amp~reschen ElementarstriSme erkl/iren? 44. Welche Art von elektrischen Str6men beriicksichtigen Sie im Durchflutungssatz? 45. Wann nennt man ein Material magnetisch isotrop? 46. Wie ist die (absolute) Permeabilit~it eines Materials erkl/irt, und welche koh/irente Einheit besitzt sie im SI? Was verstehen Sie unter der Permeabilitiitszahl? 47. Wann nennt man ein Materialverhalten magnetisch linear? 48. Wodurch ist paramagnetisches, wodurch diamagnetisches Materialverhalten gekennzeichnet? Wie grog sind etwa die Permeabilit/itszahlen von Luft, Wasser, Kupfer und Aluminium? 49. Warum sind ferromagnetische Werkstoffe fiir magnetische Anwendungen so iiberaus wichtig und welcher ist ihr bedeutendster Vertreter? 50. Was verstehen Sie allgemein unter einer Magnetisierungskurve? 51. Was verstehen Sie unter dem Begriff der magnetischen Hysterese? 52. Welchen Zustand bezeichnen wir als magnetisch ges/ittigt? 53. Was zeichnet die/iuBere Hystereseschleife eines Materials unter allen (quasistatischen) Hystereseschleifen aus? 54. Wie sind die Kenngr6gen Remanenzflul3dichte und Koerzitivfeldst/irke (der magnetischen Flul3dichte) erkl/irt? 55. Wann bezeichnet man ein Materialverhalten als weichmagnetisch, wann als hartmagnetisch? Wo liegt ungef~ihr die Grenze? 56. Was verstehen Sie unter einem ideal magnetisierbaren K6rper? 57. Was passiert in ferromagnetischen K6rpern bei Ann/iherung von unten an die Curie-Temperatur? Wie grog ist die Curie-Temperatur von reinem Eisen? 58. Wie ist ein System von Vektorlinien, wie ein System von Feldlinien allgemein erkl/irt? 59. Was verstehen Sie unter magnetischen Flul3dichtelinien, was unter magnetischen Feldst/irkelinien? Welche Verbindung besteht zu den Bildern der magnetischen Flul3riShren und der magnetischen Spannungsfliichen? Wann k6nnen wir einfach von magnetischen Feldlinien sprechen und warum? 60. Welche Eigenschaften besitzen magnetische Feldstiirkelinien an der stromfreien Oberfliiche hochpermeabler K6rper?

16.6 Aufgaben

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16.6 Aufgaben A16.1 Abfall des Magnetfeldes: In einem langen, geraden Leiter mit Kreisquerschnitt des Durchmessers d fliel3t ein elektrischer Strom. In welchem Abstand von der Mittelachse ist aul3erhalb des Leiters der Betrag der Feldst~irke 1% des Maximalwertes? A16.2 Stromdurchflossener Leiter mit Kreisquerschnitt: In einem langen, geraden Leiter mit Kreisquerschnitt fliel3t ein elektrischer Gleichstrom der St~irke I (Abb. A16.2a). Geben Sie die Richtung und den Verlauf der magnetischen Feldst~irke innerhalb und aul3erhalb des Leiters an.

Abb. A16.2a

A16.3 Koaxiale Metallrohre: Zwei koaxiale, kreiszylindrische Metallrohre werden in entgegengesetzter Richtung von Gleichstr/Smen der St/irke 100 A durchflossen. Die Durchmesser sind: Innenrohr innen 12 mm, aul3en 20mm; Aul3enrohr innen 30mm, aul3en 35 mm. Wie grol3 sind die magnetischen Feldst~irken an den vier Zylinderoberfl~ichen ? Skizzieren Sie den Verlauf der Feldst~irke fiber dem Radius. A16.4 Radiale FluBverteilung: Geben Sie eine Formel ftir die magnetische Fluf3dichte B" in der/iul3eren Umgebung der Offnung einer sehr langen, diinnen Zylinderspule mit dem bekannten Spulenflul3 q~an (Abb. A16.4a, d <
Abb. A16.4a

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16 Das magnetischeFeld

A16.5 Streuflu6: Im Zug einer Streuungsberechnung ffr das ausschnittsweise in Abb. A16.5a skizzierte Magnetsystem soll der l~ngenbezogene StreufluB ~ fiber die abgeschr~gten Seitenfl~chen bestimmt werden. Nehmen Sie dazu kreisbogenfiSrmige Feldlinien und einen allgemeinen Wert 1/der magnetischen Spannung an.

Abb. A16.5a

A16.6 Ferritring auf Leitung: Zur Erh6hung der Induktivitfit einer Leitung wird ein kleiner Ferritring F aufgeschoben (Abb. A16.6). Wie grol3 ist ungef~hr sein Beitrag zur Induktivit~t ? Nehmen Sie die Verteilung des magnetischen Flusses fiber den Ringquerschnitt nfiherungsweise als gleichf(Srmig an.

Abb. A16.6

A16.7 Induktivitfit koaxialer Spulen: Zwei schlanke, dfinnwandige, koaxiale Kreiszylinderspulen gleicher Windungszahl, gleicher Lfinge aber unterschiedlichen Durchmessers werden zu Versuchszwecken wie in Abb. A16.7a angegeben zusammengeschaltet. Leiten Sie eine Formel zur nfiherungsweisen Berechnung der Induktivit~t der Anordnung ab.

16.6 Aufgaben

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Abb. A16.7a

A16.8 Gegenseitige Induktivitfiten: Geben Sie N/iherungsausdriicke fiir die gegen-

seitigen Induktivit&iten der drei ineinandergeschobenen Abb. A16.8 an.

Zylinderspulen aus

Abb. A16.8

A16.9 Kreisringspule: Berechnen Sie fiir die diinnwandige Kreisringspule mit N Windungen aus Abb. A16.9a (i) das magnetische Feld, (ii) die Induktivit/it.

Abb. A16.9a

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16 Das magnetische Feld

A16.10 Ortsabhiingige Siittigung: Ein gerader Leiter mit Kreisquerschnitt wird senkrecht durch die Kreisbohrung einer ferromagnetischen Platte gefiihrt (Abb. A16.10a). Zeichnen Sie unter Verwendung der Magnetisierungskurve aus Abb. 16.16a den Verlaufder Flul3dichte mit dem Radius im Bereich 0 _< 0 -< 100 mm.

Abb. A16.10a

K a p i t e l 17

Elementare Methoden der Berechnung magnetischer Felder Sie kennen bereits die wesentlichen Eigenschaften des magnetischen Feldes: Das Verschwinden des magnetischen Gesamtflusses an jeder geschlossenen Flfiche, ausgedriickt im universell gtiltigen Satz vom magnetischen Hfillenflul3; den Durchflutungssatz, der die Verbindung zwischen der magnetischen Spannung entlang jeder geschlossenen Kurve und den umfal3ten (quasi-) station~iren elektrischen Str6men herstellt; die Verkniipfung der lokalen Reprfisentanten magnetische Flul3dichte und magnetische Feldstfirke im leeren Raum, in nicht magnetisierbaren K6rpern und in einfachen, magnetisierbaren K6rpern. Aus diesen Eigenschaften lassen sich unterschiedliche, auf die jeweilige Anwendung zugeschnittene Berechnungsverfahren ableiten. Formal am einfachsten zu behandeln sind die magnetischen Felder bekannter stationfirer und quasistation~irer Stromverteilungen im leeren Raum, weil sich ihre Berechnung, wie Sie gleich sehen werden, im wesentlichen auf Summationsprozesse reduziert. Damit werden wir beginnen.

17.1 Linienstri~me. Magnetische Dipole Gleich eine wichtige Anmerkung: Wenn ich hier vom ,,leeren Raum" spreche, so meine ich damit nicht wirklich einen materiefreien Raum, sondern nur die Abwesenheit magnetisierbarer K6rper im interessierenden Raumbereich. Anders ausgedriickt, ich setze im ganzen Feldraum die Giiltigkeit der einfachen Verkniipfungsbeziehung B -- #o H voraus. Erzeugt dann eine Stromverteilung an irgend einem Ort ~' die magnetische Flul3dichte B~ (~) und eine andere Stromverteilung ftir sich allein am selben Ort die Flul3dichte B2(~),__.so bewirkt__, die_~l.)berlagerung der beiden Stromverteilungen in ~ die Flul3dichte B(~') = B~ (~) + B 2 (~). Auf dieser wichtigen E r f a h r u n g s t a t s a c h e - dem fSberlagerungsprinzip(Superpositionsprinzip)~ beruhen die im folgenden behandelten Berechnungsverfahren.

Linienstrdme Fiir die Berechnung des magnetischen Feldes einer gegebenen (quasi-) station~iren Verteilung von Linienstr6men im leeren Raum addieren wir die Beitrfige aller stromdurchflossenen Linienelemente (Abb. 17.1). Analog zum elektrischen Feld

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17 Elementare Methoden der Berechnung magnetischer Felder

Abb. 17.1 Das magnetische Feld eines Linienstromes l~iBt sich durch Oberlagerung der Beitriige aller stromdurchflossenen Liniensegmente berechnen

einer Linienladung (Gln. (13.17), (13.18)), aber mit Berficksichtigung des unterschiedlichen Richtungscharakters der magnetischen Feldgr6Ben gelten danli bei ausreichend feiner Zerlegung die Summenformeln ffir das magnetische Vektorpotential A-'(~) und fiir die magnetische FluBdichte B (~) an einem Ort -.

l.t o ~, IkekSk

A(~) =G

~

....

k= 1

r~k

~(~)

= ~o ~ 2.. Ik ek sk k= 1

2 r~k

-~ x e~k

(17.1)

oder, als Integrale geschrieben, ~'(~) = #o f~ I (2) s ds

-. l.t o f I ( 2 ) d l d S B ( ~ ) = ~ j~ 2

_, • e~

(17.2)

Wichtig ffir die Anwendungen ist insbesondere die zweite G1. (17.2). Sie heiBt Biot-Savartsches Gesetz oder, besser, Biot-Savart-Formel 1. Ein stromdurchflossenes Segment am Ort 2 liefert demnach im leeren Raum am Ort ~ einen Beitrag zur magnetischen FluBdichte proportional der Stromst/irke I(2), der (kleinen) Segmentl~/nge ds und dem Sinus des v o n d e r lokalen Stromrichtung FI mit der Richtung e ~ von 2 nach ~ gebildeten Winkels, sowie umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes zwischen ~ und 2. Seine Richtung steht senkrecht auf die von den Richtungen ei und e ~ aufgespannte Ebene und ist der Stromrichtung rechtswendig zugeordnet. Beachten Sie: Das magnetische Feld eines einzelnen Stromsegments hat fiir sieh allein keine physikalische Bedeutung, weil station/ire und quasi-station/ire LinienstriSme immer geschlossene Stromschleifen b i l d e n - denken Sie an die erste Kirchhoff-Regel. Erst die Kurvensumme fiber einen geschlossenen Stromkreis ergibt ein tats/ichlich realisierbares magnetisches Feld.

1

Jean-Baptiste Biot, 1774-- 1862, und F61ix Savart, 1791-- 1841, franz/Ssische Physiker.

17.1 LinienstriSme.Magnetische Dipole

45

Gegenseitige Induktivitdt Als erste Anwendung der Formel (17.2)1 fiir das magnetische Vektorpotential leiten wir den allgemeinen Ausdruck ffir die gegenseitige Induktivitiit zweier Leitersehleifen ab. Die beiden Schleifen bilden die Berandungen ~?s~'1 und ~ 2 der F1/ichen d l bzw. d z, jeweils rechtswendig zugeordnet (Abb. 17.2). Angenommen, es ist zuerst nur die erste Schleife stromdurchflossen. Dann erhalten wir das magnetische Vektorpotential in einem Punkt 2 auf ~ 2 als -/./011 ;,~ e/1 dsl A(2)= 4re d l r12 und deshalb mit der Darstellung (16.3) ffir den magnetischen Flul3 durch ~ 2 , hervorgerufen von I1, (/)21= fo

~,

A-'(2)'e/2ds2 = / * ~ err

fo e~!"e~2ds lds 2. d~ d2 r12

Daraus ist die gegenseitige Induktivitiit L21 als Proportionalitiitskonstante in (/)21 -- L21 I1 sofort ablesbar. Vertauschen der Rollen der beiden Schleifen liefert fiir L12 in der Beziehung (/)12 = L 1 2 I 2 genau denselben Wert, wie Sie leicht fiberpriifen k6nnen. Mit den vektoriellen Linienelementen dYl=e~lds 1 und dVz=e~zds2 schreiben wir das Ergebnis in der Form #~ f~d~ fo d~ dd71" 7r12 2~ L12 = L21 -- 4n

,

(17.3)

die den symmetrischen Aufbau deutlich hervortreten 1/il3t. Wir haben damit die Symmetrieeigenschaft L~2 = L2a der gegenseitigen Induktivitiiten zweier Spulen gezeigt. Die Selbstinduktivitiiten lassen sich nicht auf diese Weise berechnen: Dafiir ist das Linienleitermodell nicht brauchbar, es miissen die Querschnittsabmessungen der Dr/ihte beriicksichtigt werden. Wir kommen darauf zuriick.

Abb. 17.2 Zur Berechnung der gegenseitigenInduktivitiit zweier Leiterschleifen

46

17 Elementare Methoden der Berechnung magnetischer Felder

Kreisf6rmige Stromschleifen Als nfichstes sehen wir uns das magnetische Feld einer kreisf'6rmigen Stromschleife im leeren Raum an, werden uns bei der Berechnung aber auf den Verlauf der magnetischen FluBdichte entlang der Achse beschr~inken (Abb. 17.3a). Mit dem Schleifenradius a, dem Bogenelement ds = ad~0 und der Beziehung r ~ = a/sin(a) liefert die Biot-Savart-Formel (17.2)2 -" = #o I f~'~ ~e~a d• ~eo~ B(~) ~ r~

PoI

- - ~ a sin3 (e) ~'..,

weil der Abstand r ~ ffir einen Feldpunkt ~ auf der Achse konstant ist und sich die Komponenten von b~i x e ~ senkrecht zur Achse bei einem vollst~indigen Umlauf gegenseitig aufheben. Gibt z die Koordinate von ~ entlang der Achse mit dem Ursprung im Kreismittelpunkt an, so gilt sin(a) = l/w/1 + (z/a) 2 und daher e~ B = Bz(z)ez = #o I 2a [1 + (z/a)2] 3/2"

(17.4)

Wie aus Symmetriegriinden zu erwarten, finden wir auf der Achse die Flul3dichte entlang der Achse ausgerichtet. Ihren Verlauf sehen Sie in Abb. 17.4.

Magnetische Dipole Die geschlossene Darstellung des vollstiindigen Magnetfeldes der Kreisschleife, skizziert in Abb. 17.3 b, ist m6glich mit Hilfe elliptischer Integrale. Wir werden darauf hier verzichten. Es gibt jedoch einen wichtigen Grenzfall, der sich elementar

Abb. 17.3 Magnetisches Feld einer stromdurchflossenen Kreisschleife. a Zur Berechnung der FluBdichte entlang der Achse. b Darstellung des Magnetfeldes. Gezeichnet sind Vektorlinien der magnetischen FluBdichte (durchgezogen) und Spuren der magnetischen Spannungsfliichen (strichliert)

17.1 LinienstrSme. Magnetische Dipole

47

Abb. 17.4 Verlauf der magnetischen FluBdichte einer Kreisschleife entlang ihrer Achse: Auswertung der Beziehung (17.4)

b e h a n d e l n 1/il3t, n/imlich die B e r e c h n u n g des Feldes in einem A b s t a n d r g r o g gegeniiber d e m Schleifenradius a. Mit den B e z e i c h n u n g e n aus Abb. 17.5 finden wir in diesem Fall 2 1 r~

{ a

1 1 + sin(0)cos(q~) + O[(a/r) 2] r r

r 2 --r-5

+ O[(a/r)2]

er + - [ 3 s i n ( ~ 9 ) c ~ 1 7 6

e~ = cos(~o)g~ + sin(~o)Jy,

} '

e5 = e~ x e-*o.

Weiters definieren wir das magnetisehe M o m e n t r~ einer e b e n e n Stromschleife als das P r o d u k t d e r S t r o m s t i i r k e I u n d der Schleifenfliiche a A mit deren N o r m a l e n r i c h t u n g g., die d e r S t r o m r i c h t u n g rechtswendig z u g e o r d n e t ist,

I ~fi = I. A ~, ,

(17.5)

hier also r~ = I - a 2 7r ez- D i e A u s w e r t u n g der beiden I n t e g r a l e (17.2) liefert d a n n u n t e r Vernachliissigung d e r T e r m e O [(a/r) 2] das m a g n e t i s c h e V e k t o r p o t e n t i a l u n d die m a g n e t i s c h e F l u B d i c h t e einer Stromschleife in einem A b s t a n d g r o g gegen die A b m e s s u n g e n d e r Schleife, das s o g e n a n n t e magnetische Dipolfeld .-+

_.+

~ ' = Pore x er 4re r 2 (17.6) ~=

],to 3mr -- rn 4n /.3

mit

/~r --" (/~ ~ er) e+r.

2 Das Landau-Symbol O [g(x)] (,,grog Ovon g(x)") bedeutet folgendes. Seien f(x) und g(x)>0 zwei Funktionen. Dann driicktf(x) - O [g(x)] aus: Es gibt eine Konstante K derart, dab gilt If(x)l < K g(x) f/Jr alle x. Man sagt dann, ,,fix) ist von gleicher (oder kleinerer) Gr6Benordnung wie g(x)". Hier bedeutet dies speziell, dab der relative Fehlerbetrag h6chstens von der GrSBenordnung (a/r) 2 ist, wenn wir den Rest in den geschlungenen Klammern vernachl/issigen. 3 Die Gestalt des ebenen F1/ichenstiicks ist dabei unwesentlich.

48

17 ElementareMethoden der BerechnungmagnetischerFelder

Abb. 17.5 Zur Berechnungdes magnetischenDipolfeldes

In bezug auf das erzeugte Magnetfeld 1/iBt sich demnach die in der Umgebung des Ursprungs konzentrierte Stromverteilung allein durch die Angabe ihres magnetischen Momentes r~ charakterisieren. Wir kommen darauf bei der Behandlung riiumlicher Stromverteilungen zuriick.

Gerade Linienleiter Stromfiihrungen lassen sich h/iufig als Polygone behandeln. Es ist deshalb sinnvoll, die Biot-Savart-Formel ffir Geradenstiicke zu spezialisieren und das magnetische Feld dann durch Uberlagerung der Beitr/ige dieser Geradenstiicke zu berechnen. Abbildung 17.6 zeigt die Situation. Einsetzen der angegebenen geometrischen Beziehungen in die Formeln (17.2) liefert nach dem Ausffihren der Integration /~o I A'-- ~ l n

X/1 -- sin(a1) 1 + sin(a2) i + s-~n~j" 1 -- sin(~2) e-~i (17.7)

#o I B= ~ [sin(~2) -- sin(~l)]~B Der Beitrag zum magnetischen Vektorpotential weist also an jedem Ort in Richtung des erzeugenden Stromes, w/ihrend der Beitrag zur magnetischen Flul3dichte senkrecht auf die durch das Geradenstiick und den Feldpunkt ~ aufgespannte Ebene steht und dem erzeugenden Strom rechtswendig zugeordnet ist. Beachten Sie: Die durch die G1. (17.7) dargestellten Ausdrticke haben ftir sich allein keine physikalische Bedeutung. Erst die ~berlagerung der Beitr/ige aller, einen geschlossenen Stromkreis bildenden Leiterabschnitte fiihrt auf ein realisierbares Feld.

17.1 LinienstriSme.Magnetische Dipole

49

Abb. 17.6 Ein gerades Leitersegment mit der L/inge l fiihrt einen Strom der St/irke I. Sein Beitrag zum magnetischen Feld am Ort ~, festgelegt durch den Normalabstand 0 und die beiden Winkel c~1 und 0~2, soll bestimmt werden Betrachten Sie z.B. die rechteckige Rahmenspule in Abb. 17.7. Angenommen, wir wollen die magnetische FluBdichte im Zentrum berechnen. N a c h Anwenden der Formel (17.7)2 a u f j e d e der vier Seiten l~il3t sich der gesuchte Wert sofort angeben:

B-. = # ~ 4re

sin(~)

a/ 2

2 sin(fl)l < = /toN ~ 4I

---~-_]

2 rt

~~-2 + 1 e~.

-~

Das magnetische V e k t o r p o t e n t i a l verschwindet im Spulenzentrum. Sie kSnnen das entweder durch A n w e n d e n der Formel (17.7)1, oder durch eine einfache Symmetriebetrachtung best/itigen. Die Beziehungen (17.7) enthalten natiirlich auch die Ausdriicke fiir das magnetische Feld eines beidseitig unendlich ausgedehnten geraden Linienleiters, und zwar mit

Abb. 17.7 Eine rechteckige Rahmenspule besitzt N Windungen, jede vom Strom I durchflossen. Gesucht ist die magnetische Flul3dichte im Zentrum

50

17 Elementare Methoden der Berechnung magnetischer Felder

al = - re/2 und (~2 " - - re/2. Allerdings 1/igt sich dieser Grenziibergang ffir das Vektorpotential nicht direkt ausffihren, wir k6nnen aber denselben Trick wie im elektrischen Fall anwenden, n/imlich eine sogenannte Renormierung. Dazu wird zuerst der Feldpunkt ~ in die Mittenebene des Leiterstficks verlegt (vgl. Abb. 13.14), sodaB ~2 ~ - - - - ( X l ~--- ~" Der zu logarithmierende Ausdruck lfigt sich dann genau auf die Form wie in G1. (13.23)1 bringen. Analog zum Ubergang von G1. (13.23)1 zu G1. (13.24) verlegen wir den Bezugsort ffir das Potential aus dem Unendlichen an einen Ort im Abstand Qo. Nun ist der Grenzfibergang l ~ oe ausfiihrbar, und wir erhalten zusammen mit der bekannten Formel fiir die Flugdichte X = -~-u In

g,

(17.8)

2~z 0

Bei zwei oder mehreren parallelen Leitern brauchen Sie lediglich die Beitriige der Einzelleiter zu fiberlagern. Die resultierenden Felder sind in jedem Fall unabhiingig v o n d e r Lfingskoordinate. Man nennt allgemein ein Feld, dessen Werte nicht von der Liingenkoordinate entlang einer festen Richtung abhfingen, ein translationsinvariantes Feld oder ein ebenes Feld, weil solch ein Feld in allen Normalebenen zur festen Richtung gleich aussieht.

Doppelleitungen Das magnetische Vektorpotential 1/il3t sich speziell zur bequemen Bestimmung magnetischer Flfisse in ebenen Feldern verwenden. So erhalten wir etwa in der Umgebung eines beidseitig unendlichen, geraden Linienleiters fiir den FluB durch das in Abb. 17.8 a dargestellte F1/ichenstiick fiber die Beziehungen (16.3) und (17.8)1 q)(~') = [Az(01 ) --

Az(o2)]l = lz~ ~-~--

.

(17.9)

(Beachten Sie die rechtswendige Z u o r d n u n g des Randes zum Bezugssinn des Flusses.) Oder: FlieBt in der einen Doppelleitung aus Abb. 17.8 b ein Strom der St~irke 11 hin und zurfick, so wird die zweite, parallel dazu verlaufende Doppelleitung vom l~ingenbezogenen Flug

~'2 -#~176 1-

2 rc

\012/

2 rc

\01,2/

durchsetzt. Wir lesen daraus unmittelbar eine Formel fiir die liingenbezogene gegenseitige Induktivitiit zweier paralleler Doppelleitungen ab:

/-,'12 -- L21 = ~--~In

2 ~~

]

(17.10)

17.1 LinienstrSme.Magnetische Dipole

51

Abb. 17.8 In ebenen magnetischen Feldern l~iBtsich der FluB direkt fiber Differenzen des Vektorpotentials angeben, a Berechnung des Flusses in der Umgebungeines geraden Linienleiters. b Zur Bestimmung der gegenseitigen Induktivit~it zweier Doppelleitungen

Voraussetzung ffir ihre Anwendung ist die Kleinheit der Leiterdurchmesser gegenfiber den Leiterabst~inden. Sehen Sie sich nochmals Abb. 17.8 a und die zugehSrige G1. (17.9) an. Ffir 01 ~ 0 ergibt sich ein unendlich groBer FluBwert, was natfirlich physikalisch sinnlos ist. Hier versagt das Modell des Linienleiters - - wir miissen die Querschnittsabmessungen berficksichtigen. Angenommen, zwei lange Drfihte oder Leiterseile mit Kreisquerschnitt bilden eine Doppelleitung (Abb. 17.9), wobei die Leiterdurchmesser d als klein gegenfiber dem Leiterabstand D vorausgesetzt werden k6nnen. Wir wollen die Induktivit~it dieser Leitung bestimmen. Den FluB, der zwischen den Leitern durch den F1/ichenstreifen mit der Breite D - d tritt (den ,,fiuBeren" FluB), erhalten wir 1/ingenbezogen aus G1. (17.9),

O~)ta =

2"-~-n In

(o

-d/ 2

,] "~

n

In

= E'a " I.

Wir nennen den F a k t o r L'a die lfingenbezogene ~iuflere Induktivitiit der Doppelleitung. Dazu k o m m t fiir jeden der beiden Leiter noch seine sogenannte lfingenbezogene innere lnduktivit~it L'i. Sie erfaBt den VerkettungsfluB innerhalb des Leiters, hfingt v o n d e r Verteilung des Stroms fiber den Querschnitt ab, und sie l~iBt sich am bequemsten fiber die Berechnung der damit verknfipften Energie bestimmen. Ich gebe hier nur das Ergebnis ffir eine gleichf6rmige Stromverteilung fiber den

Abb. 17.9 Zur Berechnung der Induktivit~it einer Doppelleitung mit d <
52

17 Elementare Methoden der Berechnung magnetischer Felder

Kreisquerschnitt an: L'i = ~o/(8 ~z). Insgesamt erhalten wir damit die l~ingenbezogene Induktivifiit (den Induktivit~itsbelag) der Doppelleitung ,

,

L' -- L a + 2 E i ,

/~o

L i - - 87z'

(17.11) fiir d <
17.2 Flfichenstriime Die Berechnung der zu bekannten fl~ichenhaften Stromverteilungen im leeren Raum ~ gehfrenden magnetischen Felder kann ebenfalls nach dem Uberlagerungsprinzip erfolgen, d.h., es werden einfach die Beitfiige aller Stromelemente im betrachteten Feldpunkt addiert. Wir brauchen daher lediglich in den Summenformeln (17.1) bzw. (17.2) die Linienstromsegmente durch Fl~ichenstromsegmente zu ersetzen und tiber die gesamte Tfiigerflfiche zu summieren (Abb. 17.10): -"

~o ~ Kk Ak r~k

A ( ~ ) = 4--~ k= 1

-~(~)

Ak Kk ~.

~o

G

r~k

k = 1

x e~k

(17.12)

oder _.._.

-" Po f~, K (~)dA A(~)=~ r~

B'(~) = / t ~ f d K (~)2 dA

_,

X e~.

(17.13)

Die zweite G1. (17.13) ist die der Biot-Savart-Formel fiquivalente Beziehung.

Abb. 17.10 Das magnetische Feld eines stationfiren Flfichenstromes l~iBt sich im leeren Raum durch Uberlagerung der Beitfiige aller (tangential) stromdurchflossenen Flfichensegmente berechnen

17.2 F15.chenstr6me

53

r ~ = a/sin (~), dA = a 2 dcp d~/sin2(~),

K=Ke~, g~ox e-~ = cos (~) eo + sin (~)gz, cos (~1)= (z + l/2)/x/(z +//2) 2 + a 2, cos (~2)= (z - l/2)/x/(z --//2) 2 + a 2.

Abb. 17.11 Zur Berechnung des magnetischen Feldes einer diinnwandigen Kreiszylinderspule entlang ihrer Achse

Zylinderspule Das flfichenhafte Gegenstiick zur kreisf6rmigen Stromschleife (Abb. 17.3) ist die

diinnwandige Kreiszylinderspule (Abb. 17.11). Wir werden ihre magnetische FluBdichte entlang der Spulenachse berechnen und dann den Begriff,,Schlankheit" diskutieren. Trfigt die Spule die Fl~ichenstromdichte K~= K ~ in U m f a n g s r i c h t u n g mit dem k o n s t a n t e n Betrag 4 K, so liefert das Integral (17.13)2 mit den angegebenen geometrischen Beziehungen ~ . = t.to K 4~z

= Po K

'~

[cos(a) G + sin(a) ~ ] dq~ da

C o s ( a 1 ) - COS(a2) _.. 2 ez,

(17.14)

oder, wenn wir anstelle der Winkel zur Festlegung des Feldpunktes 5~ die v o m Spulenmittelpunkt aus gemessene Axialkoordinate z einfiihren,

-l I ~ / z + l/2 B = B z (z) ez = ~o K-~ (z +//2) 2 + a 2

z -- 1/2 x/(z-//2) 2 + a2

1 ~z.

(17.15)

Wie zu erwarten, liegt die FluBdichte an der Spulenachse genau axial und ist dem Spulenstrom rechtswendig zugeordnet. Ihren Verlauf entlang der Achse sehen Sie in 4 Bei gleichf6rmiger Bewicklung der Spule mit N Windungen und mit dem Spulenstrom I gilt K = NI/l.

54

17 Elementare Methoden der Berechnung magnetischer Felder

Abb. 17.12a, u n d zwar ffir zwei Spulen, eine mit dem Verh~iltnis Spulenl~inge zu Spulendurchmesser I/d = 10, die andere mit l/d = 1. Im ersten Fall ist die Flu6dichte nahezu im gesamten Spuleninneren k o n s t a n t gleich B~ = # o K ( = #oNI/l). Erst bei Ann~iherung an die Spulenenden ist ein starker Abfall feststellbar. D u r c h die Stirnfliiche tritt etwa die H~ilfte des gesamten Spulenflusses, wfihrend sich die andere Hiilfte fiber den Mantel verteilt. Bei der kurzen Spule ist der Flu6dichteverlaufstark verschliffen. Die Auswirkungen unterschiedlicher L~inge-Durchmesser-Verhiiltnisse lassen sich auch deutlich im Ausdruck ftir die magnetisehe Spannung V~im Spuleninneren erkennen: Aus den Gln. (16.6) und (17.15) folgt mit H~ = BJl~o und der Spulendurchflutung O = K" 1(= N I )

Vi =

~

I/2

d-l~2

X//12 +

a 2 _

a

H z . d z = O.

(17 16) l

"

"

Eine zylindrische Luftspule nennen wir ,,schlank", wenn Vi ~ 6 ) = N I (Abb. 16.10). Sie sehen nun in Abb. 17.12b, dab ffir l/d = 5 bereits Vi = 0, 90- O, ffir lid = 10 schon Vi = 0, 9 5 - O gilt. Bei einem zul~issigen Fehler von z.B. 5% ist demnach die zweite Spule schlank. Gleichung(17.14) liefert fiir ~ 1 = 0 und ~ 2 = n die magnetische FluBdichte B = #oKgz im Inneren einer beidseitig unendlieh ausgedehnten, diinnwandigen Kreiszylinderspule 5. Im A u 6 e n r a u m verschwindet d a n n zwar die magnetische Flul3dichte, nicht aber das magnetische Vektorpotential, wovon Sie sich selbst a n h a n d der Darstellung (16.3) fiberzeugen k 6 n n e n (Die zugeh6rigen Vektorlinien sind koaxiale Kreise).

Koaxialleitung ,~hnlich wie im elektrostatischen Fall gibt es auch bei der Berechnung magnetischer Felder Situationen, in denen wir anstelle der direkten Auswertung der Summations-

Abb. 17.12 Diinnwandige Kreiszylinderspule. a Verlauf der magnetischen Flul3dichte entlang der Achse: Auswertung der Beziehung (17.15). b Mit wachsendem L~inge-Durchmesser-Verh~iltnisI/d nfihert sich die magnetische Spannung Viim Spuleninneren dem Wert O = K l( = N I) der Spulendurchflutung 5 Die Form der Querschnittsfl~iche ist hier fiir den Wert der Flu6dichte iibrigens belanglos, mul3 also keine Kreisfl~iche sein.

17.2 F1/ichenstrSme

55

formeln mit Vorteil passende Ausschnitte bereits bekannter Felder benutzen. Ein Beispiel dafiir ist die innen home Koaxialleitung, bestehend aus zwei koaxialen, diinnwandigen, von entgegengesetzt gleich grol3en Str6men axial durchflossenen Rohren (Abb. 17.13). Im Feldraum zwischen den beiden Rohren finden wir wegen der Symmetrie der Anordnung zusammen mit dem Durchflutungssatz das magnetische Feld eines beidseitig unendlich ausgedehnten, geraden Linienleiters, also (s. G1. (17.8)2)

o
B=0,

#o I B = ~ oe~, B=0.

Weiters liefert G1. (17.9) mit ~)2 D/2 und 01 = d/2 den lfingenbezogenen magnetischen Flul3 und daher die lfingenbezogene Induktivitfit (den Induktivitfitsbelag) =

der innen hohlen Koaxialleitung =~-~ln

(17.17)

Achten Sie bei der Anwendung dieser Formel auf die Voraussetzungen: Das magnetische Feld mul3 (quasi-) station~ir sein, und die beiden StrSme miissen sich tatsfichlich (zumindest n/~herungsweise)als gleichm~il3ig verteilte Fl~ichenstrSme angeben lassen. Ist etwa der Innenleiter nicht hohl, sondern verteilt sich der Strom gleichm~il3ig fiber den ganzen Kreisquerschnitt (innerer Volleiter und niedrige Frequenzen), dann haben Sie zu dem Wert aus G1. (17.17) noch den inneren Induktivit~itsbelag L'i = po/(8 ~z) zu addieren.

Abb. 17.13 Das magnetische Feld einer Koaxialleitung l~il3t sich als Ausschnitt des Feldes eines geraden Linienleiters darstellen

56

17 Elementare Methoden der Berechnung magnetischer Felder

Abb. 17.14 Berechnen des magnetischen Feldes einer gleichf6rmig mit Fl~ichenstrombelegten Ebene durch direkte Anwendung des Durchflutungssatzes

Bandleitung Zur Vorbereitung eines weiteren Beispiels dieser Art sehen wir uns das magnetische Feld einer ebenen, unendlieh ausgedehnten, mit einem konstanten Fl~iehenstrom belegten Sehieht im leeren Raum an (Abb. 17.14). Die Symmetrie der Anordnung zusammen mit dem Durchflutungssatz, angewendet auf den schraffierten Streifen, erfordert H1 = --H2 und Hzl + H~l = Kl, d.h. _

B 2 = - - B 1 =-~--

•

(17.18)

D e m n a c h erzeugt eine derartige Schicht allein im leeren Raum auf beiden Seiten homogene magnetische Felder mit entgegengesetzt gleichen FluBdichten tangential zur Schicht und senkrecht zur F15.chenstromdichte, dieser rechtswendig zugeordnet. Ein etwas allgemeineres Problem, n~imlich die Berechnung des magnetischen Feldes eines geraden Strombandes im leeren Raum (Abb. 17.15 a), l~iBt sich ebenfalls relativ einfach 16sen. Mit K = K~'z und K = I/b folgt, wenn wir den Wert des Vektorpotentials entlang der z-Achse nullsetzen, entweder durch Anwenden der

Abb. 17.15 MagnetischesFeld eines geraden Strombandes im leeren Raum. a Geometrie des Streifens. b Darstellung des Feldes. Jede Flul3r6hre trfigt den lfingenbezogenen FluB A~'=/%1 ln(2)/(8n)

17.2 F1/ichenstr/Sme

57

Summationsformeln (17.13), oder durch f0berlagern der Felder von Linienstr6men mit Hilfe der Gln. (17.8), A : #~ - K I(Y 2--b2) In ~(~/2) - z(Y + ~ ) In)~/~-~(

O~'X1, (17.19)

B=

2re

-~2

ex

Eine Darstellung dieses Magnetfeldes finden Sie in Abb. 17.15b. Fiir b--+ oo ergibt sich der Ausdruck (17.18). Im leeren Raum k6nnen wir die magnetischen Felder ebener Stromschichten ohne weiteres iiberlagern und erhalten beispielsweise das Magnetfeld von zwei parallelen ebenen Stromschichten mit gleichen bzw. mit entgegengesetzt gleichen, gleichf6rmigen FlfichenstriJmen (Abb. 17.16). Ein streifenf~Srmiger Ausschnitt davon liefert ein grobes Modell fiir die in Abb. 17.17 skizzierte Bandleitung. Unter Verzicht auf die Erfassung der Randst6rungen und mit der Annahme gleichfiSrmiger Stromverteilungen erhalten wir fiir den l~ingenbezogenen magnetischen Flul3 ~ ' = B " a = #o I a / b = L' I. Die l~ingenbezogene Induktivit~it der Bandleitung ist daher

Abb. 17.16 Magnetisches Feld zweier paralleler ebener Stromschichten mit gleichen a bzw. mit entgegengesetzt gleichen b gleichf6rmig verteilten Flfichenstr6men

Abb. 17.17 Fiir die niiherungsweise Ermittlung der Induktivitiit einer Bandleitung 1/iBt sich ein Ausschnitt des Magnetfeldes aus Abb. 17.16b verwenden

58

17 Elementare Methoden der Berechnung magnetischer Felder

in erster N/iherung

-L ' = #o a/b I 9

(17.20)

Diese Formel liefert jedoch nur ffir a << b und ffir relativ niedrige Frequenzen brauchbare Ergebnisse.

17.3 R~iumliche Stromverteilungen Dreidimensionale, bereichsweise stetige Verteilungen elektrischer Str6me im Raum werden lokal durch die Stromdichte J erfaBt. Wollen wir das magnetische Feld einer solchen stationiiren oder quasi-stationiiren Verteilung an einem Ort ~ berechnen, so brauchen wir dort lediglich die Beitr/ige aller Stromelemente zu fiberlagern. Die Summation erfolgt dabei fiber den gesamten Tr/igerbereich:

-~(~) = #o ~ Jk Vk

~.(~)

--4-~ k = 1 l'~k

= Uo ~ J~ v~

_~

k=l

e2k

Y~k •

(17.21)

oder, in der Integraldarstellung (Abb. 17.18), -" V ~.(~@)= / t o f ~ J(~)d

B'(~@)= ~/t~f ~ J (~)r~2d V X

e~

(17.22)

Direkt anwenden k6nnen Sie diese Formeln natiirlich nur dann, wenn Sie die riiumliche Stromverteilung tats/ichlich kennen. Das Modell der r/iumlichen Stromverteilung 1/iBt sich h/iufig auch zur Beschreibung kompakter Wicklungen, bestehend aus Dr/ihten und Isoliermaterial, verwenden. Dazu ein Beispiel: Eine dickwandige Kreiszylinderspule bestehe aus N isolierten Drahtwindungen, dicht und gleichm~iBig fiber den Wickelraum verteilt (Abb. 17.19). Wir denken uns die gesamte Spulendurchflutung O = N I fiber den Wicklungsquerschnitt A gewissermaBen verschmiert, arbeiten also mit einer konstanten Ersatzstromdichte J = O/A. Angenommen, wir wollen die magnetische

Abb. 17.18 Das magnetische Feld einer station~iren Stromverteilung lfiBt sich im leeren Raum durch Uberlagerung der Beitr~igealler Stromelementeberechnen

59

17.3 R/iumliche Stromverteilungen

J= JYq,, J = NI/A, A = l(D -- d)/2, F~,.~ --- N / ~ 2 Af_ Z 2 '

e~ = -- (Oao + z~)/r~, dV= 0dQdqgdz

Abb. 17.19 Dickwandige Kreiszylinderspule. Die Spulendurchflutung stellen wir uns gleichm~iBig fiber den Wicklungsquerschnitt verschmiert vor. Zu berechnen ist die FluBdichte im Spulenmittelpunkt

FluBdichte im Spulenmittelpunkt berechnen. Daf/ir liefert das Integral (17.22)2

___~ ].Zoj fD/2 f~n~i/2 0e--~z_Ze-.o ~ J d/2 j-1/2 (~92 _~_z2)3/2 0 d 0 d q g d z

B

#oJl f o/2 2

dQ

=

~_~~D/2 fl/2 J a/2 J-l/2

~o2d~odz -" (~2 _31_Z2)3/2 ez

#oJl

ja/2 x//Q2 +(//2) 2 ~'~=

~D/2 + w/(D/2) 2 +(1/2)21 __, _~i/~2 ez' 2 In [_d/2 + ~ 2

d.h.

D~

+ ~--d2 + F

b~z"

(17.23) ._..,.

Im Grenzfall langer Spulen ergibt sich daraus der bekannte Wert B = (#oNI/l)e'z, und z.B. fdr D/d = 2 und l/d = 1, 5 der Wert B = 0, 710 (#o NI/1)~,. AbschlieBend noch eine Anmerkung zur Charakterisierung (quasi-) station~irer, d.h. (n~iherungsweise) quellenfreier Stromverteilungen. Stellen Sie sich eine solche Str6mung auf einen Tr~igerbereich ~ in der Umgebung eines Ortes (9 beschr~inkt vor (Abb. 17.20). AuBerhalb einer Kugel mit dem Radius a um (9 soll es keinen elektrischen Strom_geben. Bezeichnet nun ~(.~) den gerichteten Abstand des Ortes von (9 und ist J(~) die dort herrschende Stromdichte, so definieren wir das magnetische Moment der Stromverteilung als

i f _ ~(~) x J(~) _ dV

r~ = ~

(17.24)

60

17 Elementare Methoden der Berechnung magnetischer Felder

Abb. 17.20 Jede lokalisierte Stromverteilung l~il3t sich in erster N~iherung bzw. aus groBer Entfernung durch ihr magnetisches Moment beschreiben

eine Verallgemeinerung des Ausdrucks (17.5) 6. Fiir die Berechnung des magnetischen Feldes an Orten ~' in AbstS.nden r grol3 gegenfiber a k6nnen wir dann die Formeln (17.6) verwenden; das magnetische Feld nimmt demnach mit wachsendem Abstand die F o r m eines Dipolfeldes an. Wir schliel3en daraus: Jede lokalisierte quellenfreie Stromverteilung l~il3t sich in erster Nfiherung bzw. aus grol3er Entfernung durch ihr magnetisehes Moment eharakterisieren. Diese Charakterisierung kann verfeinert werden. Zus~itzlich zum magnetischen Moment (Strommoment erster Ordnung) gibt es nfimlich eine Folge von Strommomenten hiiherer Ordnung, darstellbar als Tensoren h6herer Stufe. Das Magnetfeld am Ort ~ erscheint dann als eine sogenannte Multipolentwieklung, wobei die Ausdriicke (17.6) die fiihrenden Terme bilden.

17.4 Fragen 1. Was bedeutet die Voraussetzung der Giiltigkeit des f,)berlagerungsprinzips bei der Berechnung magnetischer Felder bekannter Stromverteilungen? 2. Wie lautet die Biot-Savart-Formel und welche Voraussetzungen sind bei ihrer Anwendung zu beachten ? 3. Wie berechnen Sie das magnetische Vektorpotential von Linienstr6men? 4. Welche Konfiguration besitzt das magnetische Feld in der Umgebung einer stromdurchflossenen Kreisschleife? (Skizze !) 5. Wie verl~iuft der Betrag der magnetischen FluBdichte entlang der Achse einer stromdurchflossenen Kreisschleife? (Skizze!) Wie grol3 ist ihr Maximalwert? 6. Was verstehen Sie unter dem magnetischen Moment einer ebenen Stromschleife? 7. Wie stellen Sie sich einen magnetischen Punktdipol vor? 8. Wie verlaufen die magnetischen FluBr6hren und die magnetischen Spannungsfl~ichen in der Umgebung eines magnetischen Punktdipols? (Skizze!) 9. Wie verlaufen die Vektorlinien des magnetischen Vektorpotentials eines magnetischen Dipolfeldes? 10. Wie hfingen die Werte der magnetischen Flul3dichte und des magnetischen Vektorpotentials in einem magnetischen Dipolfeld vom Abstand Dipolort-Feldpunkt ab? 11. Welche Richtung besitzt das magnetische Vektorpotential eines geraden, beidseitig unendlich langen Linienstroms? Warum tritt bei seiner Berechnung ein Bezugsradius auf? 12. Auf welche Schwierigkeiten stol3en Sie bei der Berechnung des InduktivitS.tsbelages einer Doppelleitung aus dem Feld von Linienstr6men? Wie umgehen Sie diese Schwierigkeiten? 6 Wegen der vorausgesetzten Quellenfreiheit des Str6mungsfeldes ist der Wert von r~ iibrigens unabh~ingig vonder speziellen Wahl des Bezugsortes (_9.

17.5 Aufgaben

61

13. Was verstehen Sie unter dem ~iuBeren,was unter dem inneren Induktivit~itsbelag einer Doppelleitung? 14. Wie berechnen Sie das magnetische Vektorpotential und die magnetische FluBdichte einer Fl~ichenstromverteilung im leeren Raum? 15. Wie verlaufen die Vektorlinien des magnetischen Vektorpotentials und der magnetischen FluBdichte einer diinnwandigen Kreiszylinderspule im leeren Raum? (Skizze!) 16. Wie verl~iuft der Betrag der magnetischen FluBdichte einer diinnwandigen Kreiszylinderspule im leeren Raum entlang der Achse ? (Skizze!) Welche Rolle spielt dabei das Verh~iltnis Spulenl~inge/Spulendurchmesser? 17. Wound wie bildet sich das magnetische Feld einer Koaxialleitung aus und wie berechnen Sie daraus dessen Induktivit~itsbelag? 18. Wie verlaufen die magnetischen FluBdichtelinien in der Umgebung eines geraden Stromstreifens im sonst leeren Raum? 19. Wie l~iBt sich das magnetische Feld zweier paralleler, ebener Stromschichten zur Berechnung des Induktivit~itsbelages einer Bandleitung verwenden? 20. Was verstehen Sie unter dem magnetischen Moment einer r~iumlichen Stromverteilung?

17.5 Aufgaben A17.1 D r e i l e i t e r a n o r d n u n g : D r e i L i n i e n l e i t e r v e r l a u f e n p a r a l l e l z u e i n a n d e r in L u f t m i t d e n g e g e n s e i t i g e n A b s t ~ i n d e n a (Abb. A17.1.a). D i e S t r o m s t ~ i r k e n sind als Z e i t f u n k t i o n in d e r F o r m A

11 = I cos(cot + 2zt/3), A

12 -- I COS(cot), A

13 = I cos(cot - 2rc/3) A

g e g e b e n . B e r e c h n e n Sie fiJr a = 50 cm, I = 400 A, f = 50 H z (i) die m a g n e t i s c h e F l u B d i c h t e a n d e r z-Achse u n d in e i n e r E n t f e r n u n g v o n d e r z - A c h s e g r o B g e g e n d e n L e i t e r a b s t a n d a, (ii) die l ~ i n g e n b e z o g e n e K r a f t , die a n j e d e m d e r drei L e i t e r angreift.

Abb. A17.1a

62

17 Elementare Methoden der Berechnung magnetischer Felder

A17.2 Magnetfeld einer Freileitung: Ffir eine Drehstrom-Hochspannungsffeileitung nach Abb. A17.2a mit den Stromst~irken A

I 1 = I cos(oot + 27c/3), A

12 -- I cos(cot), 13 = I COS(COt- 2~z/3) ist der Vektor der magnetischen Flul3dichte am O r t ~ zuerst allgemein zu berechnen. Geben Sie dann einen vereinfachten Ausdruck f/fir a << h an.

Abb. A17.2a

A17.3 Ebenes Quadrupolfeld: Die vier parallelen, geraden Linienleiter aus Abb. A17.3a werden in der angegebenen Weise yon Str6men der gleichen St~irke I durchflossen. Berechnen und skizzieren Sie das magnetische Feld in der N~ihe der z-Achse (Abstand v o n d e r z-Achse << a).

Abb. A17.3a

17.5 Aufgaben

63

A17.4 Geknickter Linienleiter: Ein gerader Linienleiter ist rechtwinkelig abgeknickt (Abb. A17.4). Berechnen Sie mit Bezug auf das angegebene kartesische Koordinatensystem die magnetische Flul3dichte (i) entlang der z-Achse, (ii) in der (x, y)-Ebene.

Abb. A17.4

A17.5 Ebene Leiterfiihrung: Berechnen und skizzieren Sie fiir die in Abb. A17.5a angegebene Leiterfiihrung den Verlauf der magnetischen FluBdichte entlang der x-Achse.

Abb. A17.5a

A17.6 Kraftverteilung: Berechnen Sie allgemein und skizzieren Sie den Verlauf der l~ingenbezogenen Kraft entlang der U-f6rmigen Stromschiene aus Abb. A17.6a, als Linienleiter angen~ihert.

Abb. A17.6a

A17.7 Kraft auf ein Kontaktstiick: In der Schleife um das bewegliche Kontaktstiick K aus Abb. A17.7a fliel3t kurzzeitig ein Strom von 100 A. Wie grol3 ist die an dem Kontaktstiick insgesamt angreifende Kraft? Welche Richtung hat sie?

64

17 Elementare Methoden der Berechnung magnetischer Felder

Abb. A17.7a

A17.8 Magnetfeld einer U-Bahn: Das beim Anfahren einer U-Bahngarnitur entstehende magnetische Feld soll mit dem in Abb. A17.8a skizzierten Modell von Linienleitern, die in der xy-Ebene liegen, abgesch~tzt werden. Berechnen Sie die magnetische FluBdichte B(~) am Ort ~ 5 m oberhalb der Anfahrstelle.

Abb. A17.8a

A17.9 Lokale Kompensation des Erdmagnetfeldes: Ftir eine genaue Messung soll das magnetische Erdfeld, das bei der geographischen Breite von Wien den FluBdichtebetrag von ca. B = 5 , 2 . 1 0 -5 T und die Inklination f l = 6 7 ~ besitzt, an einem Ort ~ kompensiert werden. Dazu werden zwei Rahmenspulen eine horizontal und eine vertikal mit dem Mittelpunkt in ~ angeordnet (Abb. A17.9a). Welche Werte der Stromst~rken 11 und 12 sind etwa einzustellen?

17.5 Aufgaben

65

Abb. A17.9a

A17.10 Flu6dichte einer Kreisspulenanordnung: Berechnen Sie allgemein die magnetische FluBdichte im Zentrum (9 der in Abb. A17.10a im L~ingsschnitt dargestellten Spule, die aus f/inf gleichen, koaxialen, kreisf6rmigen Teilspulen besteht. Die Gesamtwindungszahl sei N.

Abb. A17.10a

A17.11 Helmholtz-Spulen: Zwei parallele Kreisspulen (Abb. A17.11a) mit den Durchmessern 2a und gleichen Durchflutungen sollen in einem solchen Abstand 2c voneinander plaziert werden, dab das magnetische Feld in der Umgebung des Zentrums (9 m6glichst homogen verl~iuft. (i) Wie groB ist das Verh~iltnis a/c zu w~ihlen? (Hinweis: Setzen Sie d2B~/dz 2 in (9 gleich Null). (ii) Skizzieren Sie fiir diese Wahl den Verlauf der Flul3dichte entlang der Achse.

66

17 Elementare Methoden der Berechnung magnetischer Felder

Abb. A17.11a A17.12 Erzeugen einer vorgegebenen Flufldichte: Auf welche Werte O 1 und 0 2 miissen die Durchflutungen der beiden rechtwinkelig gekreuzten Kreisspulen aus Abb. A17.12a eingestellt werden, damit sich in ihrem gemeinsamen Mittelpunkt die angegebene magnetische Flu6dichte ergibt ?

Abb. A17.12a A17.13 Einstellbares Magnetfeld: An den Seitenfl~ichen eines Wiirfels sind Kreisspulen mit paarweise gleichen, unabh~ingig voneinander einstellbaren Durchflutun-

Abb. A17.13

17.5 Aufgaben

67

gen Ox, O r, Oz angebracht (Abb. A17.13). Ihr Bezugssinn ist den Koordinatenachsen rechtswendig zugeordnet. Die magnetische FluBdichte im Wiirfelzentrum soil nach vorgegebenen Werten des Betrages B und der Winkel ~9,q9einstellbar sein. Geben Sie die dazu jeweils erforderlichen Durchflutungen an. A17.14 Flache Spule: Der flache, nicht magnetisierbare Spulenk6rper aus Abb. A17.14a tr/igt an der Kontur 200 Windungen. Der Spulenstrom ist 30mA. Berechnen Sie die magnetische FluBdichte in ~.

Abb. A17.14a

A17.15 Magnetfeld einer Stromfiihrung: Berechnen Sie ftir den in Abb. A17.15a skizzierten Linienstrom allgemein die magnetische FluBdichte (Vektor!) im Punkt 5~.

Abb. A17.15a

A17.16 Magnetische Kopplung von Doppelleitungen: Berechnen Sie den gegenseitigen Induktivit~tsbelag der beiden Doppelleitungen aus Abb. A17.16a und stellen Sie deren Abh~ingigkeit vom Winkel ~ graphisch dar.

Abb. A17.16a

68

17 Elementare Methoden der Berechnung magnetischer Felder

A17.17 Gegenseitige Induktivit~it einer Parallelleitung und einer Spule 1: Eine Doppelleitung und eine rechteckige Rahmenspule mit N Windungen liegen in der selben Ebene (Abb. A17.17a). Berechnen Sie allgemein deren gegenseitige Induktivit~it (Bezugssinne beachten!).

Abb. A17.17a

A17.18 Gegenseitige lnduktivitfit einer Parallelleitung und einer Spule 2: Berechnen Sie allgemein die gegenseitige Induktivit~it der Paralleldrahtleitung und der Rechteckspule mit N Windungen aus Abb. A17.18a.

Abb. AI 7.18a

A17.19 Verkettungsflufl einer Rahmenspule: Berechnen Sie den Verkettungsflul3, den der Strom I des langgestreckten Linienleiters aus Abb. A17.19a in der rechteckigen Rahmenspule mit N Windungen hervorruft.

17.5 Aufgaben

69

Abb. A17.19a

A17.20 Streufeld einer Luftdrossel: Die kreiszylindrische Luftdrossel aus Abb. A17.20a mit dem mittleren Wicklungsdurchmesser D = 0, 5 m trfigt momentan die Durchflutung O = 5 kA. Wie groB ist die magnetische Flul3dichte in ~ ? (Verwenden Sie das zugeh6rige magnetische Dipolfeld!)

Abb. A17.20a

A17.21 Magnetischer FIuB im Dipolfeld: Senkrecht zur Achse eines magnetischen Dipols mit dem M o m e n t r~ liegt koaxial im Abstand z eine Kreislinie mit dem Radius a (Abb.A17.21a). Berechnen Sie allgemein den von der Linie umfal3ten magnetischen FluB.

70

17 Elementare Methoden der Berechnung magnetischer Felder

Abb. A17.21a A17.22 Gegenseitige Induktivitfit zweier Kreisschleifen: Zwei gleiche, koaxiale Kreisschleifen mit dem Radius a sind im Abstand I plaziert (Abb. A17.22a). Leiten Sie eine Formel ab, mit der sich die gegenseitige Induktivit~it ftir/>> a absch~itzen l~iBt.

Abb. A17.22a A17.23 Magnetisches Moment der Erde: Die FluBdichte des magnetischen Erdfeldes betr~igt am )kquator im Mittel 3,13.10-5 T. Nehmen Sie an, dab sich das Erdmagnetfeld n~iherungsweise als Dipolfeld darstellen l~iBt und berechnen Sie daraus das magnetische Moment der Erde (mittlerer Erdradius 6370 km). A17.24 Magnetisches Feld der Erde: Das magnetische Feld der Erde ist an der Erdoberfl~iche in erster N~iherung beschreibbar als Dipolfeld mit dem Zentrum im Erdmittelpunkt und der geographischen Achse als Dipolachse (Deklination vernachl~issigt). Seine Horizontalfeldst~irke betr~igt ftir die geographische Breite yon 50 ~ etwa 16 A/m. (i) Berechnen Sie ftir diese Breite die Horizontal- und die Vertikalkomponente der magnetischen FluBdichte und geben Sie die zugeh6rige Inklination an. (ii) Sch~itzen Sie das magnetische Moment der Erde ab. A17.25 Koaxiale Stromfiihrung: Die zwei dtinnwandigen, koaxialen, kreiszylindrischen Metallrohre aus Abb. A17.25a sind am rechten Ende durch eine Metallscheibe leitend verbunden. Am linken Ende wird dem Innenrohr elektrischer Strom der St~irke I zugeftihrt, im AuBenrohr wieder abgeffihrt. Berechnen Sie die Induktivit~it der Anordnung ohne Berticksichtigung der Randst~rungen am linken Ende.

17.5 Aufgaben

71

Abb. A17.25a A17.26 Schraubenwicklung: Eine dfinne, schraubenf6rmige Drahtwicklung auf einem beidseitig unendlich langen Kreiszylinder wird durch einen F1/~chenstrom der Dichte K mit IKI = konst, und konstantem Steigungswinkel ~ dargestellt (Abb. A17.26). Berechnen Sie die magnetische FluBdichte innerhalb und auBerhalb dieser Spule. Hinweis: Zerlegen Sie den Strom in eine axiale und eine Umfangskomponente.

Abb. A17.26

A17.27 Scheibenspule: Berechnen Sie die magnetische Flul3dichte im Zentrum r einer diJnnen, kreisf/Srmigen, gleichm/~Big gewickelten Scheibenspule nach Abb. A17.27a zuerst allgemein, dann speziell fiir N = 800, I - 0 , 5 A , D = 200mm, d - 40 mm.

72

17 Elementare Methoden der Berechnung magnetischer Felder

Abb. A17.27a A17.28 R~iumlich harmonischer Strombelag: In bezug auf ein kartesisches Koordinatensystem (Abb. A17.28a) ist die xz-Ebene mit einem z-gerichteten Fl~ichenstrom belegt, dessen Dichte vonder x-Koordinate nach einer Kosinusfunktion abh&ingt. Berechnen und skizzieren Sie das zugeh~Srige magnetische Feld im sonst leeren Raum.

Abb. A17.28a A17.29 Dickwandige, lange Kreiszylinderspule: Im Wickelraum einer langen, dickwandigen Kreiszylinderspule (Abb. A17.29a) sind, bezogen auf die axiale L~inge, 400 Windungen je cm untergebracht. Der Spulenstrom betr/igt 0, 5 A. Geben Sie den Verlauf der magnetischen Feldst~irke mit dem Abstand Q yon der Spulenachse an.

Abb. A17.29a

17.5 Aufgaben

73

A17.30 Verlustleistung einer Spule: Im Zentrum der dickwandigen Kreiszylinderspule aus Abb. A17.30a soll die magnetische Flul3dichte B = 3 T erzeugt werden. Die Spule ist aus Kupferdraht gewickelt, wobei das Verh~iltnis der reinen Kupferquerschnittsfl~iche zur Gesamtfl~iche des Wicklungsquerschnittes (,,Kupferfiillfaktot") mit kc~ = 0, 7 angenommen werden kann. Wie grol3 sind die Joule-Verluste in der Spule?

Abb. A17.30a

Kapitel 18 Magnetische Kreise

18.1 F i i h r e n m a g n e t i s c h e r F l i i s s e Erinnern Sie sich an den Versuch mit einer gleichm~iBig bewickelten Ringspule, den wir in Abschnitt 16.4 im Zusammenhang mit den magnetischen Werkstoffeigenschaften besprochen haben! Besteht der Kern aus ferromagnetischem Material, so stellt sich gegeniiber der Luftspule bei gleicher Durchflutung ein deutlich gr6Berer magnetischer FluB ein, d.h. zur Erzeugung eines bestimmten magnetischen Flusses ist in einem ferromagnetischen Kiirper ein viel kleinerer Wert der magnetischen Spannung erforderlich als in Luft. Wenn wir beispielsweise eine weichmagnetische Platte parallel in ein homogenes Magnetfeld legen (Abb. 18.1a), dann folgt aus dem Durchflutungssatz die Gleichheit der magnetischen Feldst~irken innen und auBen. Die FluBdichte innen wird daher auf das #r-fache des ~iuBeren Wertes angehoben. Im Gegensatz dazu liefert der Satz vom magnetischen HiillenfluB fiir die senkrecht im Homogenfeld liegende Platte (Abb. 18.1b) gleiche Werte ftir die innere und die ~iuBere FluBdichte. Die innere Feldst~irke wird auf ein /~r-tel des AuBenwertes abgesenkt. Wir finden demnach im ersten Fall eine FluBanhebung bei gleicher magnetischer Spannung, im zweiten Fall eine Spannungsabsenkung bei gleichem FluB. Noch ein Beispiel: Ein weichmagnetisches Rohr, das senkrecht in einem transversalen Magnetfeld liegt, bietet dem magnetischen FluB in seiner Umgebung wegen der groBen Permeabilit~it (,,DurchlaBf~ihigkeit") seines Materials einen giinstigen Pfad (Abb. 18.2). Der FluB wird daher bevorzugt im Eisen geftihrt. Im hohlen Inneren des Rohres ist der FluB ann~ihernd gleich Null, solange sich das Material nicht magnetisch s~ittigt. Dies ist die Grundlage der sogenannten magnetostatisehen Abschirmung: Wie Sie sich anhand des Durchflutungssatzes, des Satzes vom magnetischen HtillenfluB und der lokalen Verkntipfungsbeziehung selbst leicht tiberlegen k6nnen, bleibt ein stromfreier Hohlraum eines ideal magnetisierbaren Kiirpers ~stets frei von magnetischen Feldern. Magnetische Fliisse verlaufen also bevorzugt in hochpermeablen K6rpern. Damit lassen sich ferromagnetisehe Bauteile als FluBpfade verwenden, um zwei oder mehrere Spulen miteinander magnetisch stark zu koppeln (Transformatoren, Obertrager), oder um magnetische Fltisse auf kontrollierte Weise Luftspalten zuzuftihren, in denen eine effektive elektromechanische Energieumsetzung erfolgt (elektromechanische Wandler, elektrische Maschinen). Der geringe magnetische Spannungs-

Grenzfall/zr ~

~ , keine S~ittigung.

18.2 Der magnetische Grundkreis

75

Abb. 18.1 Eine weichmagnetische Platte mit der (i.a. feldstfirkeabh~ingigen) Permeabilit~itszahl ]~r liegt a parallel und b senkrecht in einem homogenen Magnetfeld. Im Aul3enraum gilt B a -- ~oHa, in der Platte Bi = ~0/2rHi

Abb. 18.2 Weichmagnetisches Rohr in einem transversalen Magnetfeld. Der stromfreie Hohlraum ist annfihernd feldfrei (magnetische Abschirmung)

bedarf erlaubt tiberdies die gezielte Anhebung der Induktivit~it von Spulen (Drosseln). Allgemein nennen wir eine Anordnung von Medien, die den 6rtlichen Verlauf eines magnetischen Flusses bestimmen, einen magnetisehen Kreis.

18.2 Der magnetische Grundkreis Die Grundlage ffir die Berechnung magnetischer Kreise mit stationfiren oder quasistation~iren elektrischen Str6men bilden der Durchflutungssatz, der Satz vom magnetischen Hiillenflul3 und die lokalen Verkniipfungen zwischen der magnetischen Flul3dichte und der magnetischen Feldst~irke. Darauf aufbauend verwendet man ffir eine genaue Analyse numerische Methoden 2, ftir Entwurfsrechnungen und erste Analysen sind aber auch vereinfachte Rechenverfahren brauchbar. Damit wollen wir uns nun besch~iftigen. z Insbesondere dann, wenn die magnetische S~ittigung die Flul3verteilung wesentlich beeinflul3t.

76

18 MagnetischeKreise

Ein einfacher magnetischer Kreis besteht z.B. aus einer Spule (Wicklung) auf einem Eisenkern und weiteren Eisenteilen (magnetischen Jochen), die zusammen mit dem Kern einen geschlossenen oder durch einen Luftspalt unterbrochenen ferromagnetischen FluBpfad bilden (Abb. 18.3). Ist die Wicklung stromdurchflossen, so erzeugt (,,erregr') die damit verbundene magnetische Spannung einen magnetischen FluB, der im wesentlichen an den Kern und die Joche gebunden ist und der fiber den Luftspalt tritt. Im allgemeinen verlfiuft nur ein kleiner Teil d a v o n - der StreufluB- nicht im gewfinschten magnetischen Kreis. Wollen wir solch einen magnetischen Kreis berechnen, z.B. die Beziehung zwischen der FluBdichte im Luftspalt und dem Strom in der Wicklung herstellen, dann k6nnen wir n&iherungsweise so vorgehen (Abb. 18.4): Wir unterteilen den gesamten Kreis in n Abschnitte der L&ingen l l , . . . , l , , , denen die magnetischen Spannungen V1,..., Vn und die magnetischen Fliisse q~X,...,q~n zugeordnet sind. Den Quotienten magnetische Spannung durch magnetischen FluB nennen wir den magnetischen Widerstand R m oder die Reluktanz des Abschnitts, ihren Kehrwert den magnetischen Leitwert G m oder die Permeanz, Rmk = V k / ~k,

Gmk = ~ k / V k 9

(18.1)

Abb. 18.3 MagnetischerGrundkreis. a Der ferromagnetische FluBpfad, bestehend aus dem Spulenkern

und den Jochen, ist von einem Luftspalt unterbrochen, b Die magnetische FluBverteilung bleibt im wesentlichen an den vorgegebenen Kreis gebunden

Abb. 18.4 Zur Berechnung des magnetischen Grundkreises

18.2 Der magnetische Grundkreis

77

Fiir eine abschnittsweise homogene FluBverteilung gilt Vk #kAk/l k, also

Rmk = lk/(#kAk).

~k : B k A k - - H k # k A k

:

(18.2)

Beachten Sie: Beim Auftreten magnetischer S/ittigung k 6 n n e n wir die Permeabilitiit i.a. nicht als konstant voraussetzen 3. Wir k o m m e n darauf zuriick. )[ndert sich die Querschnittsfl~iche des Flul3pfades innerhalb des betrachteten Abschnitts, dann ist die Formel (18.2) nicht anwendbar. Die Berechnung der Reluktanz muB in solchen F~illen die i n h o m o g e n e Flul3verteilung beriicksichtigen. Unabh/~ngig davon fordert der Durchflutungssatz Vk = tO

( = N I).

(18.3)

k=l

Wenn wir in unserem G r u n d k r e i s fiir die Fliisse in den einzelnen Abschnitten zun~ichst unterschiedliche Werte zugelassen haben, so schlieBen wir damit die M6glichkeit der Beriicksichtigung von Streuflfissen ein. M a n kann deren Werte entweder als feste Bruchteile eines Nutzflusses 4 @N im Kreis schfitzen und damit den Flul3 in jedem Abschnitt gem/il3 r = (I)N/(Tkmit Hilfe sogenannter Streugrade o-k proportional zum Nutzflul3 ansetzen (in unserem Beispiel aus Abb. 18.4 mit ~N = ~5, sagen wir, ax : 0,90, a 2 =0,85,0- 3 = 0,90, a 4 = 0 , 9 5 ) oder, fiir genauere Rechnungen, die Streufliisse mit eigenen Reluktanzen in verzweigten magnetischen Kreisen berficksichtigen. Im ersten Fall erhalten wir mit den Gln. (18.1) und (18.3) die Beziehung

O k=l

,184

k=l

Sie gilt natiirlich auch ffir den ,,streuungslosen" Kreis, d.h. wenn wir die Streufliisse in erster N ~ h e r u n g nicht berficksichtigen. Dazu ein orientierendes Beispiel: Unser Grundkreis aus Abb. 18.4 trage eine Wicklung mit N = 1000 Windungen, die yon einem S t r o m der St/irke I = 1 A durchflossen ist. Die L/ingen und Inhalte der Querschnittsfliichen des Kreises finden Sie in Tabelle 18.1. Das Material sei Elektroblech 5 mit der in Abb. 16.16 dargestellten Magnetisierungskurve. Wir wollen die magnetische Flul3dichte im Luftspalt (Abschnitt 5) bestimmen. Vernachliissigen wir die Streuung und nehmen wir zuerst an, dab sich kein Teil des Kreises in S~ttigung befindet! Aus der Magnetisierungskurve l~13t sich d a n n die nfiherungsweise konstante Permeabilitiitszahl von etwa 5000 entnehmen, was mit G1. (18.2) die Reluktanzen ffir die einzelnen Abschnitte 3 Hysteretisches Materialverhalten erfordert fiberhaupt eine andere Vorgehensweise. 4 Als ,,Nutzflul3" w/ihlt man meist den Flug in jenem Abschnitt, der ffir das betrachtete Problem am wichtigsten ist, z.B. den Luftspaltfluf3. 5 Ist der Kreis tatsfichlich aus Einzelblechen wie in Abb. 18.3 a geschichtet (lamelliert), dann bedeuten die angegebenen Querschnittsfl~ichen die reinen Eisenquerschnitte. Man erh/~lt sie durch Multiplikation des geometrischen F1/~cheninhalts mit dem sogenannten Stapelfaktor (Eisenfiillfaktor) kFe (z.B. kFe = 0,95), der die isolierenden Lagen zwischen den Blechen und die unvermeidbaren Zwischenr~iume befiicksichtigt.

78

18 Magnetische Kreise

Tabelle 18.1 Beispiel ffir die Berechnung eines streuungslosen, unges~ittigten Grundkreises

k

lk/mm

Ak/mm 2

1 2 3 4 5

60 50 60 45 5

400 800 400 800 800

lag 5000/% 5000 #o 5000 #o 5000/~o /~o

Rmk/mH- 1 24 10 24 9 4974

Vk/A 4,8 2,0 4,8 1,8 986,6 1000

liefert. Sie sind in der vorletzten Spalte der Tabelle 18.1 angegeben. Ihre Summe ergibt nun mit G1. (18.4) und O = N I = 1000 A fiir den in allen Abschnitten gleichen FluB (Vernachliissigung der Streuung) den Wert 9 = O / R m = 0 , 2 0 mWb und damit fiir die gesuchte Luftspaltflul3dichte B 5 = cI)/A 5 =0,25T. Wichtig ist noch eine nachtr~igliche Llberpriifung, ob tatsiichlich kein Teil des Kreises ges/ittigt ist" Mit Bk= cb/A k finden wir B 1 = B a = 0 , 5 T und B z = B 4 = O , 2 5 T , alle Flul3dichten liegen demnach, wie Abb. 16.16a zeigt, aul3erhalb des S/ittigungsbereichs. Unsere Annahme war daher gerechtfertigt. Ein Blick auf die berechneten Reluktanzen zeigt, dab der Anteil des Luftspaltes bei weitem dominiert. Sie sehen das noch deutlicher an den magnetischen Spannungen Vk = Rmk (/)in der letzten Spalte von Tabelle 18.1: Nahezu die gesamte magnetische Spannung tritt am Luftspalt auf, sodaB wir die gesuchte LuftspaltfluBdichte auch direkt aus O ~ Vs = HsI 5, d.h. B 5 ~ #o N 1/15 angeben k6nnen. Unsicherheiten bei den L/ingenangaben (ausgenommen die Luftspaltliinge) und die sicher vorhandenen Streufliisse spielen in Fallen wie dem eben betrachteten eine ganz untergeordnete Rolle. Das ist eine wiehfige Feststellung- Ist ein ungesiittigter ferromagnetischer Kreis mit der repr/isentativen Permeabilitiitszahl #r von einem Luftspalt unterbrochen und ist die Luftspaltliinge le( = 15) wesentlich gr613er als die Eisenliinge /Fe(= ll + lz + la +/4) dividiert durch die Permeabilitiitszahl, lL >> lve/l~r, dann braucht in der Regel nur die magnetische Spannung am Luftspalt beriicksichtigt zu werden. Dies entspricht dem Modell des ideal magnetisierbaren K6rpers (vgl. Abb. 16.17a). Wenn in einzelnen Abschnitten des Kreises Siittigung zu erwarten ist, empfiehlt sich fiir die hier behandelten Nfiherungsrechnungen meist die umgekehrte Vorgangsweise: Ausgehend von einem gewfinschten Wert des Nutzflusses werden fiber gesch~itzte Streugrade die Fliisse und daraus die abschnittsweise als konstant vorausgesetzten Flul3dichten bestimmt. Aus einer Magnetisierungskurve oder -tabelle entnimmt man dann die zugeh6rigen Werte der magnetischen Feldstfirke und setzt daraus, durch Multiplikation mit den Abschnittslfingen, die magnetische Umlaufspannung als Kurvensumme zusammen. Der Durchflutungssatz liefert dann den erforderlichen Spulenstrom. Falls n6tig, wird diese Prozedur mehrfach ausgefiihrt, um einen punktweisen Zusammenhang zwischen Nutzflul3 und Durchflutung herzustellen. In unserem Beispiel sieht das wie folgt aus. Angenommen, im Luftspalt unseres Kreises sollen nun nicht 0,25T, sondern 0,75T auftreten. Wie grol3 ist der erforderliche Spulenstrom? Tabelle 18.2 zeigt nochmals die Abmessungen und in

79

18.2 Der magnetische Grundkreis

Tabelle 18.2 Beispiel fiir die Berechnung eines streuungsbehafteten, teilweise gesfittigten Grundkreises

k

lk/mm

Ak/mm 2

ak

Bk/T

1 2 3 4 5

60 50 60 45 5

400 800 400 800 800

0,90 0,85 0,90 0,95 1

1,67 0,88 1,67 0,79 0,75

Hk/(kA/m ) 5,0 0,1 5,0 0,1 596,8

Vk/A 300 5 300 5 2984 3594

der vierten Spalte die geschiitzten Streugrade a k. Ausgehend von B 5 = 0 , 7 5 T berechnen wir dann fiber B, = BsA5/(Akak) die anderen Flugdichten und entnehmen der Magnetisierungskurve Abb. 16.16a die zugeh6rigen Feldst~irkewerte in der vorletzten Spalte der Tabelle 18.2 (ausgenommen H 5 = Bs/#o ). In der letzten Spalte schlieglich finden Sie alle magnetischen Teilspannungen Vk = Hkl, und deren Summe, die fiir N = 1000 den erforderlichen Spulenstrom zu I = O / N = V / N = 3, 6A liefert. Wie Sie sehen, sind die Abschnitte 1 und 3 schon stark magnetisch ges~ittigt - sie ben6tigen zur Ffihrung des Flusses bereits ca. 17% der gesamten magnetischen Spannung. Das Auftreten magnetischer S/ittigung bedeutet also insgesamt einen erhiihten Magnetisierungsbedarf des Kreises. Wollen Sie im Luftspalt eine noch gr6Bere FluBdichte, z.B. 1 T, erzeugen, dann mfissen Sie die Querschnittsfl~ichen dieser Abschnitte vergr6Bern. Lassen Sie uns abschlieBend noch den Zusammenhang zwischen dem Verkettungsflug der Wicklung in unserem Grundkreis (Abb. 18.4) und ihrem Strom herstellen. Ist der Kreis nicht merkbar gesiittigt und ist er von einem Luftspalt mit der Querschnittsfl~iche A und der Liinge 1 unterbrochen, an dem sich nahezu die gesamte magnetische Umlaufspannung konzentriert (ideal magnetisierbare Eisenteile), dann k6nnen wir unter Vernachl~issigung der Streuung diesen Zusammenhang leicht finden: Der allen Abschnitten gemeinsame FluB betfiigt q~= B A = #o O A / I = (#o N A / 1 ) I, also ist der Verkettungsflug ~v = N 9 proportional dem Strom, ~v = LI. Der F a k t o r

I

L- #oN2A/l

]

(18.5)

gibt damit in einerersten N/iherung die Induktivit~it der Spule in einem (unges~ittigten, streuungslosen) ferromagnefischen Kreis mit Luftspalt an. Beachten Sie: Die Gr6Ben A und I beziehen sich auf den Luftspalt, nicht auf die Wicklung. Tats~ichlich sind die mit G1. (18.5) berechneten Werte in der Regel zu klein, weil die Wicklung zus~itzlich mit Streufliissen ganz oder teilweise verkettet ist (Abb. 18.3 b). Sie k6nnen das durch Einffihren eines geschfitzten Streufaktors a gem~iB L = # o N 2 A / ( a l ) n~iherungsweise berficksichtigen, oder durch Addition einer genauer zu berechnenden Streuinduktivit~it L~. Bei der Berechnung der Induktivit~it in einem geschlossen, nicht von einem Luftspalt unterbrochenen aber ungesiittigten Kreis gehen Sie /~hnlich vor. Sie

80

18 MagnetischeKreise

mfissen dann, gegebenenfalls unter Berticksichtigung von Streufliissen, in der Regel die magnetischen Spannungen in allen Abschnitten in Rechnung stellen. Beim Auftreten magnetiseher S/ittigung ist der Zusammenhang zwischen VerkettungsfluB und Stromst~irke nicht mehr linear, eine lnduktivitiit im eigentlichen Sinn 1/iBt sich daher nicht angeben. In schwach ges/ittigten Kreisen mit Wechselstr6men behilft man sich gelegentlich mit Ersatzinduktivit~iten, die dann allerdings amplitudenabh~ingig sind.

18.3 Kreise mit mehreren Spulen. Verzweigte Kreise Im Zusammenhang mit einer Reihe von elektrotechnischen Ger~iten und Bauelementen stellt sich die Aufgabe, zwei oder mehrere Stromkreise zum Zweck der Energie- oder Signalfibertragung m6glichst stark aneinander zu koppeln und dabei gleichzeitig Spannungen bzw. Str6me in einem vorgegebenen Verh/iltnis umzusetzen - z.B. in Transformatoren, MeBwandlern oder fSTbertragern. Kopplungen dieser Art lassen sich besonders wirksam fiber Spulen mit einem gemeinsamen, im geschlossenen magnetischen Kreis mit m6glichst kleiner Reluktanz geffihrten FluB herstellen. In Abb. 18.5 sehen Sie das grundlegende Schema: Zwei Spulen mit den Windungszahlen N 1 bzw. N 2 sitzen auf einem magnetischen Kreis, den wir vorerst als nieht merkbar gesiittigt annehmen. Es gilt dann jedenfalls ein linearer Zusammenhang nach Art der G1. (16.15) zwischen den Verkettungsfliissen und den StriJmen, ~ v l -- Lll 11 + L1212,

(~)v2 = L21 11 + L22 I2,

(18.6)

fiber die Selbstinduktivitiiten L 11 und L22 der beiden Spulen und ihre gegenseitige Induktivit~it L 12 L21" Zusammen mit den Windungszahlen definieren wir den magnetischen Hauptleitweft (die Hauptpermeanz) Gh und die Streuinduktivitiiten L1, und L z a gem/iB -

-

-

G h = L 1 2 / ( N 1 N2),

LI~ = Lll -- L 1 2 N 1 / N 2 ,

L 2 a ~ I_~2 - L 1 2 N 2 / N 1 ,

(18.7)

Abb. 18.5 Magnetische Kopplung von zwei Spulen fiber einen gemeinsamen ferromagnetischen Kreis

18.3 Kreisemit mehreren Spulen. Verzweigte Kreise

81

und schreiben damit die Gin. (18.6) unter Verwendung der Gesamtdurchflutung 69 = N1 11 + N2 12 als q~vl = N1 GhO + Ll~ 11,

(~v2 =

NzGh 69 + Lzc~ 12.

(18.8)

Dies ist zun~ichst nur eine formale Umstellung, weil wir lediglich die Faktoren L l l, L22 und L I2 durch die drei ebenfalls unabh~ingigen Faktoren L ~ , Lz,r und Gh ersetzen 6. Im Hinblick auf die Biindelung des Flusses im magnetischen Kreis k6nnen wir die Gln. (18.8) jedoch wie folgt interpretieren. Der sogenannte I-IauptfluB q~h ---GhO ist dem gemeinsamen Spulenkern zuzuordnen (Abb. 18.5). Er wird von der magnetischen Umlaufspannung V = 69 durch den Kreis mit der Permeanz Gh getrieben, durchsetzt beide Spulen vollst~indig und bewirkt deshalb die Verkettungsfluf3anteile N~ q~h bzw. N2 ~h. Dies sind die ersten Summanden auf den rechten Seiten. Dazu kommen die im allgemeinen deutlich kleineren Verkettungsflfisse L~o Ii bzw. L2~ I2 der Spulen mit dem Streufeld, definiert als jene Flu/3verteilung, die sich fiir 6 9 - - 0 einstellt. Die Analyse eines solchen Kreises, etwa zur Ermittlung der Induktivit~iten, reduziert sich demnach im wesefitlichen auf die Bestimmung der Hauptpermeanz Gh. Mit den hier behandelten N~iherungsverfahren l~if3t sich Gh z.B. als Reziprokwert der Summe aller Teilreluktanzen nach Schema der Tabelle 18.1 berechnen. Meist etwas schwieriger durchzufiihren ist die Ermittlung der Streuinduktivit~iten, weil die Streufliisse teilweise in Luft, teilweise in Eisen und in den Wicklungen verlaufen. Brauchbare Resultate liefern hier neben numerischen Feldberechnungen in der Regel spezielle, auf die Geometrie des Problems zugeschnittene Rechenverfahren. In der Form ~vl = N1 q~h + L 1, 11,

~v2

=

N2 q~h + Lza I2

(1 8.9)

sind die beschreibenden Gleichungen auch in zwei weiteren Fallen anwendbar, die sich der linearen Analyse zun~ichst entziehen. Erstens k6nnen wir in der gegebenen Interpretation damit auch sehwaeh gesiittigte magnetisehe Kreise erfassen, vorausgesetzt, die Streuinduktivit~iten werden nicht wesentlich durch den Grad der S~ittigung beeinfluf3t. ,,Schwach ges~ittigt" heil3t, dab der Hauptfluf3 q~h immer noch als im Eisen gebiindelt aufzufassen ist und nur durch den Wert der Gesamtdurchflutung 69 bestimmt wird. Aufzustellen ist dann der nichtlineare Zusammenhang zwischen q~h und 69, die Magnetisierungskurve des Kreises. Zweitens l~if3t sich, unter gewissen Bedingungen, das Modell des ideal magnetisierbaren Kiirpers auch fiir einen geschlossenen Eisenkreis verwenden. Das bedeutet, daf3 die magnetische Spannung entlang jeder Kurve, die ganz im Eisen verl~iuft, verschwinden muf3. Insbesondere folgt damit fiir einen Umlauf entlang der gestrichelten Kurve in Abb. 18.5 wegen des Durchflutungssatzes 69 = N~ I~ + N2 12 = 0,

(1 8.10)

6 Die neuen Faktoren sind eindeutig definiert und auch mel3bar. Beispielsweise k6nnen wir L,~ aus dem Verkettungsflul3 der Spule 1 bestimmen, wenn wir die Gesamtdurchflutung mit L = - I , N,/N~ zu Null einstellen. Voraussetzung ist lediglich die Linearit~it.

82

18 Magnetische Kreise

d.h. das Modell des ideal magnetisierbaren, geschlossenen Kreises ist nur mit dem Verschwinden der Gesamtdurchflutung vereinbar. Zu jedem Zeitpunkt mtissen also die Str6me die Bedingung (18.10) erfiillen. Dieses Prinzip des Durchflutungsausgleichs beschreibt z.B. die wesentlichen Ztige des Verhaltens von Stromwandlern und von technischen LeistungstransformatorenT. Sie k6nnen es bei Wechselstr6men mit nicht zu niedrigen Frequenzen 8 anwenden, aber natiirlich nur dann, wenn sich der Strom in mindestens einer der beiden Wicklungen fiber einen fiul3eren Stromkreis frei einstellen kann. Alle diese Betrachtungen sind sinngemiiB auf mehr als zwei Spulen erweiterbar. Ich werde das hier nicht im Detail ausfiihren, sondern beispielhaft die Kopplung yon

drei Spulen fiber einen verzweigten, durch Luftspaite unterbrochenen magnetischen Kreis behandeln. Das Schema sehen Sie in Abb. 18.6. Wir konzentrieren uns auf die Kopplungen fiber die Hauptflfisse, vernachl~issigen also die Streuungen 9 und nehmen iiberdies an, dab wir die Eisenteile als ideal magnetisierbare K6rper beschreiben k6nnen (magnetische Spannungen im Eisen gegeniiber denen an den Luftspalten vernachl~issigbar klein). Bezeichnen H i , H 2 und B~,B 2 die magnetischen Feldstfirken bzw. FluBdichten an den beiden Spalten im angegebenen Durchtrittssinn, so liefern der Durchflutungssatz entlang der strichliert gezeichneten Uml~iufe und der Satz vom magnetischen HiillenfluB Ha 11 = N1 I1 - N3I 3,

(/)1 = Bj A 1 =//oHIAx,

H212 = N212 -- N313,

(~2 = B2A2 " - / / o H 2 A 2 , ~ 3 = --(/)1 - - ~ 2 "

Abb. 18.6 Verzweigter magnetischer Kreis mit Luftspalten

Unter Verzicht auf die Erfassung des sogenannten Magnetisierungsstromes. 8 Bedeuten 01 und/]2 die Amplituden der an den Wicklungen liegenden, sinusf6rmigen Spannungen, co ihre Kreisfrequenz, A die kleinste Querschnittsfliiche im magnetischen Kreis und B~ den Wert der FluBdichte, bei dem merkbar S/ittigung auftritt (Abb. 16.17b), so muB gelten o)> O~/(N~ABs)~

02/(NzAB~). 9 Die Streuung an den Luftspalten 1/iBt sich n/iherungsweise durch eine gesch/itzte Vergr6Berung der Luftspaltquerschnitte berticksichtigen.

83

18.4 Dauermagnetkreise

Mit den magnetischen Luftspaltleitwerten Gml --

#o A x/lx, Gme =

ltoA2/I2

folgen daraus die Verkettungsfliisse ~vX = NI ~1 = N1Gml (N111 - N313), r

= N2 r

= N2 Gin2 (N2 I2 -- N3 I3),

~v3 -- N3 (/)3 = -- N3 Gml N111 -- N 3 Gm2N212 -k- N3(Gml -k- Gmz)N313.

Durch einen Vergleich dieser Ausdrficke mit dem allgemeinen Schema (16.16) erhalten wir sofort die Selbstinduktivit~iten und die gegenseitigen Induktivit~iten der drei Spulen:

Lll=N2Gml,

L12 =0,

L13 = -- N1 N3 Gml,

L21 = 0,

L22--N2Gm2,

L23= --N2N3Gm2 ,

L31 = -- N3 N1 Gml,

L32 -- __ N 3 N2 Gm2,

L33 -- N32(Gml q- Gin2).

(18.11)

Dieses Ergebnis ist interessant! Sie finden zun~ichst mit Lkl = Llk die allgemeine Symmetrieeigenschaft der gegenseitigen Induktivit~iten best~itigt. Weiters sind die Spulen 1 und 2 wegen des ideal magnetisch leitffihigen Rfickschlusses in unserer N~iherung fiberhaupt nicht gekoppelt, deshalb ist L12 = 0. (Tats~ichlich besteht eine (schwache) Kopplung fiber die hier nicht berficksichtigten Streufelder und auch dann, wenn sich die magnetischen Spannungen in den Eisenteilen bemerkbar machen.) Im Gegensatz dazu ist die Spule 3 vollst~indig mit den Flfissen durch die Spulen 1 und 2 verkettet, diese Kopplungen sind also stark. Beachten Sie auBerdem die Abh~ingigkeit von den Produkten der Windungszahlen!

18.4 Dauermagnetkreise Magnetische Fliisse k6nnen nicht nur durch stromdurchflossene Spulen, sondern auch durch Dauermagnete erregt werden. Dies ist insbesondere dann vorteilhaft, wenn die Stromversorgung, die Joule-Verluste oder der Platzbedarf einer Erregerwicklung st6ren. Nachteilig ist vor allem die schlechte Vefiinderbarkeit des Flusses- man kann Dauermagnete nicht einfach ausschalten. Abbildung 18.7 a zeigt die grundlegende Anordnung: Am Luftspalt eines ferromagnetischen Kreises-wir werden das Eisen der Einfachheit halber als ideal magnetisierbar a n n e h m e n - liegt eine Dauermagnetplatte, senkrecht zur Plattenebene starr magnetisiert. Starr magnetisiert bedeutet den Grenzfall des idealen hartmagnetischen Verhaltens, d.h., innerhalb des Materials erffillen HM und B M, die Projektionen der magnetischen Feldst~irke bzw. FluBdichte auf eine ausgezeichnete

84

18 Magnetische Kreise

Abb. 18.7 Einfacher Dauermagnetkreis. a Am Luftspalt L liegt eine transversal starr magnetisierte Dauermagnetplatte M. b Die durchgezogene Gerade zeigt den Zusammenhang zwischen der Feldst/~rke und der Flul3dichte eines idealen Dauermagneten entlang der Magnetisierungsrichtung Richtungl o, die Beziehung (18.12)

B M = B r + / 2 o HM

mit einem konstanten, materialspezifischen Wert der Remanenzflul3dichte B r (Abb. 18.7b). Mit diesem einfachen Modell lassen sich D a u e r m a g n e t e aus der Klasse der Hartferrite (B r ~ 0, 4 T) oder solche auf Basis von K o b a l t oder Eisen in Verbind u n g mit Seltenen Erden ( B r ~ 1 T) im Feldstiirkebereich - H c < H M < Hc recht gut beschreiben. U n t e r Vernachl/issigung der magnetischen S p a n n u n g e n im weichmagnetischen Teil erhalten wir aus dem Durchflutungssatz, dem Satz v o m magnetischen HiillenfluB und aus der Verkniipfungsbeziehung im leeren R a u m der Reihe nach (die Indizes M und L bedeuten ,,(Dauer-) M a g n e t " bzw. ,,Luft") H L I L -k- HM1M = 0,

B L = BM,

B L = 12oNE

(18.13)

d.h. B M = -- (1201M/1L)HM.

(18.14)

Diese zweite Beziehung zwischen B M und H M , die sogenannte Luftspaltgerade (Abb. 18.7b), legt zusammen mit G1.(18.12) den ,,Arbeitspunkt" fest. Beachten Sie: Feldst~irke und Flul3dichte im D a u e r m a g n e t e n sind entgegengesetzt gerichtet. Elimination y o n H Maus den Gln. (18.12) und (18.14) liefert wegen ( 18.13)2 schliel31ich fiir die Flul3dichte im Luftspalt Br B y = 1 + lL/1 M"

(18.15)

Eine D a u e r m a g n e t p l a t t e mit B r = 1T und der Dicke 1M= 6 m m ergibt z.B. in einem Luftspalt der L/inge 1L = 2 m m die Flul3dichte BL = 0, 75T. U m in diesem Luftspalt denselben Flul3dichtewert durch eine Wicklung zu erzeugen, miil3ten wir die Durchflutung O = 1L B L / l t o ~ 1200 A aufbringen! 1o Die sogenannte Magnetisierungsrichtung; sie liegt in unserem Fall senkrecht zur Plattenebene.

18.6 Aufgaben

85

18.5 Fragen 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

10. 11. 12. 13. 14. 15.

Warum 1/il3t sich der magnetische Flul3 besonders gut fiber ferromagnetische K6rper ffihren? Auf welchem Prinzip beruht die magnetostatische Abschirmung? Was verstehen Sie unter den Begriffen magnetischer Kreis, Wicklung, Kern, Schenkel,Joch und Luftspalt? Welche Anteile des magnetischen Flusses bezeichnet man allgemein als Streuflul3? Wie sind die Gr6gen Reluktanz und Permeanz allgemein erkl/irt? Welche SI-Einheiten sind ihnen zugeordnet? Was m/issen Sie bei der Verwendung yon Reluktanzen in Kreisen mit S~ittigung besonders beachten? Wie gehen Sie bei der vereinfachten Berechnung magnetischer Kreise ohne und mit Streuung, ohne und mit S/ittigung vor? Was verstehen Sie unter dem Magnetisierungsbedarf eines magnetischen Kreises? Wodurch wird diese Gr613e beeinflul3t? Wie berechnen Sie n/iherungsweise die Induktivit/it der Wicklung in einem ferromagnetischen Kreis mit und ohne Luftspalt? Welche Voraussetzungen m/issen erfiillt sein, damit die Induktivitgt unabh~ingig vom Spulenstrom ist? Wie h/ingt die Induktivitiit im wesentlichen yon der Windungszahl ab? Wann bezeichnet man Spulen als magnetisch gekoppelt? Wodurch erreichen Sie eine besonders starke Kopplung? Welchen FluBanteil eines Transformators nennt man Hauptflug? Wie werden Streufliisse in den Verkettungsgleichungen berticksichtigt? Was besagt das Prinzip des Durchflutungsausgleichs, woraus folgt es und wann ist es anwendbar? Was verstehen Sie unter einem starr magnetisierten Dauermagneten? Wie ist sein Verhalten formal zu erfassen? Wie gehen Sie bei der Berechnung eines Kreises mit starr magnetisierten Dauermagneten allgemein vor?

18.6 Aufgaben A18.1 Magnetostatische Abschirmung: I m A u B e n r a u m eines h o c h p e r m e a b l e n K r e i s r o h r e s , d a s sich in e i n e m t r a n s v e r s a l e n , u r s p r t i n g l i c h h o m o g e n e n M a g n e t f e l d befindet, stellt sich die in A b b . A18.1 a a n g e g e b e n e F l u B v e r t e i l u n g ein. D a s R o h r soll den Innenraum gegen B o = 5 mT abschirmen, wobei zur Aufrechterhaltung der h o h e n P e r m e a b i l i t ~ i t die F l u l 3 d i c h t e im M a t e r i a l d e n W e r t 0,25 T n i c h t t i b e r s c h r e i t e n d a r f ( V e r m e i d u n g v o n S~ittigungseffekten). W i e g r o B m u B die W a n d d i c k e d m i n d e s t e n s sein?

Abb. A18.1a

86

18 MagnetischeKreise

A18.2 Ringspule mit magnetischem RiickschluB- Eine flache Ringspule mit rechteckigem Wicklungsquerschnitt ist in einen n/iherungsweise unendlich permeablen magnetischen Rtickschlul3 eingebettet (Abb. A18.2a). Berechnen und skizzieren Sie den Verlauf der Flul3dichte im gesamten Feldraum als Funktion der Radialkoordinate Q.

Abb. A18.2a

A18.3 Strommefleinrichtung: Um eine Stromschiene aus Kupfer wird--als Teil einer StrommeBeinrichtung--ein Eisenkern mit Luftspalt gelegt (Abb. A18.3a). Sch/itzen Sie seinen Beitrag zur Induktivit~it der Strombahn ab.

Abb. A18.3a

A18.4 Streuspalt: Ein Aluminiumleiter mit Kreisquerschnitt ist in ein geschlitztes Eisenteil eingebettet (Abb. A18.4a). Berechnen Sie den Anteil der 1/ingenbezogenen Induktivit/it, der dem Schlitz zukommt.

18.6 Aufgaben

87

Abb. A18.4a

A18.5 Drossel: Auf einem spaltfreien Ferritkern sitzt eine Wicklung mit 500 Windungen (Abb. A18.5a, Abmessungen in mm). Berechnen Sie ohne Beriicksichtigung der Streuung (i) die (Haupt-) Permeanz des Kreises und damit (ii) die (Haupt-) Induktivit~it.

Abb. A18.5a

A18.6 Ferritkern ohne Spalt: Berechnen Sie f/Jr den in Abb. A18.6a angegebenen spaltfreien Ferritkern (Abmessungen in mm) n~iherungsweise die Permeanz des magnetischen Kreises.

88

18 MagnetischeKreise

Abb. A18.6a

A18.7 Ferritkern mit Spalt: Zum Bau eines Llbertragers werden zwei handelstibliche E-Kerne aus Ferrit gem~il3 Abb. A18.7 (Abmessungen in mm) aneinander gelegt. Im mittleren Teil ist ein Spalt vorgesehen. Berechnen Sie niiherungsweise die Reluktanz des Kreises.

Abb. A18.7

18.6 Aufgaben

89

A18.8 Magnetische Spannungen: Das Eisengestell aus Abb. A18.8 sei n~iherungsweise ideal magnetisierbar. Geben Sie die magnetischen Spannungen entlang der Wege 1 bis 7 an.

Abb. A18.8

A18.9 Luftspaltleitwerte: F/Jr den in Abb. A18.9 schematisch dargestellten Magnetkreis wurden die Permeanzen der Spalte z u Gml : 2,4~H, Gm2 = 7,6#H, Gm3 = 5,1 # H ermittelt. Sonstige Streuungen sind zu vernachl~issigen. Berechnen Sie die Induktivit~it der Spule.

Abb. A18.9

AI8.10 Verschiebbare Platte im Luftspalt: In dem in Abb. A18.10a skizzierten Magnetsystem ist die Platte im Luftspalt horizontal verschiebbar. Berechnen Sie

90

18 MagnetischeKreise

n~iherungsweise- unter Vernachl~issigung von S t r e u u n g e n - den Verkettungsflul3 der Spule als Funktion der Lagekoordinate x > 0 und der Stromst~irke I.

Abb. A18.10a A18.11 Induktives Wandlersystem: Das in Abb. A18.11a skizzierte Wandlersystem eines induktiven Wegaufnehmers besteht aus zwei festen Eisenjochen und einem parallel verschiebbaren Eisenanker. Berechnen Sie allgemein die Selbstinduktivit~ten und die gegenseitige Induktivit~it der beiden Wicklungen als Funktion der bezogenen Verschiebung ~/l, - 1 < ~/ l < 1. Nehmen Sie dazu die Eisenteile als ideal magnetisierbar an und vernachl~issigen Sie Streuungen.

Abb. Al8.11a

18.6 Aufgaben

91

A18.12 Induktiver Wegaufnehmer: Abb. A18.12a zeigt das Schema eines Magnetsystems zur Umwandlung kleiner Verschiebungen in ein elektrisches Signal. Berechnen Sie die gegenseitige Induktivit~it zwischen der innenliegenden Aufnahmespule und der aul3enliegenden, geteilten Erregerspule als Funktion der Verschiebung x. Vernachl~issigen Sie dazu die Streuung und die magnetischen Spannungen in den Eisenteilen.

Abb. A18.12a

A18.13 Haltemagnet: Der in Abb. A18.13a skizzierte, drehsymmetrische Haltemagnet aus Gul3eisen (Abmessungen in mm) soil im Luftspalt die Flul3dichte B L = 1, 1 T erzeugen. Sch/itzen Sie mit Hilfe der Magnetisierungskurve Abb. 16.16b die dazu erforderliche Durchflutung ab.

Abb. A18.13a A18.14 Parallele FluBpfade mit S~ittigung: Abb. A18.14a (Abmessungen in mm) zeigt den Ausschnitt eines Magnetkreises. Ein Teil des magnetischen Flusses tritt durch den Steg S, der Rest tiber den Luftspalt (Streuung vernachl~issigt). Ermitteln Sie graphisch unter Verwendung der Magnetisierungskurve Abb. 16.16a den Zu-

92

18 MagnetischeKreise

sammenhang zwischen dem magnetischen Flul3 ~ und der magnetischen Spannung V fiir den Bereich 0 _< V_< 400 A. Setzen Sie dazu zun~chst alle Eisenteile auBer den Steg S als ideal magnetisierbar voraus und iiberpriifen Sie diese Annahme nachtr~glich.

Abb. A18.14a A18.15 Flulipfad mit Luftspalt und Siittigung: In Abb. A18.15a ist ein Ausschnitt des magnetischen Kreises einer elektrischen Maschine dargestellt. Ermitteln Sie graphisch unter Verwendung der Magnetisierungskurve Abb. 16.16a den Zusammenhang zwischen dem magnetischen FluB 9 und der magnetischen Spannung V fiir den Bereich 0 _< ~_< 17, 5 mWb. Setzen Sie dazu zunfichst alle Eisenteile auBer den Schaft S als ideal magnetisierbar voraus und tiberpriifen Sie diese Annahme nachtr~iglich.

Abb. A18.15a

18.6 Aufgaben

93

A18.16 Magnetischer Kreis mit S~ittigung: Der in Abb. A18.16a skizzierte Magnetkreis ist aus ferromagnetischem Material mit der in Abb. 16.16a angegebenen Magnetisierungskurve aufgebaut. Berechnen Sie n~iherungsweise den erforderlichen Spulenstrom, damit sich im Luftspalt die FluBdichte BL = 1, 0 T einstellt. Vernachl~issigen Sie dabei Streuungen und nehmen Sie die Feldgr6Ben als abschnittsweise konstant an.

Abb. A18.16a

A18.17 Dauermagnetsystem: Abb. A18.17a zeigt ein Magnetsystem, das dutch zwei starr magnetisierte Dauermagnetplatten der RemanenzfluBdichte Br = 0, 38 T erregt wird. Wie groB ist die FluBdichte in den beiden Luftspalten mit der L~inge ~? Vernachl~issigen Sie Streuungen und magnetische Spannungen in den RiickschluBteilen.

Abb. A18.17a

94

18 MagnetischeKreise

A18.18 Dauermagnetkreis mit schr~igem Spalt: In dem in Abb. A18.18 skizzierten Magnetkreis mit transversal starr magnetisierten Dauermagnetplatten der Remanenzflul3dichte B r = 380 mT befindet sich ein schr~iger Luftspalt. Wie grog ist die Magnetdicke IM ZU w~ihlen, damit in diesem Luftspalt eine Flugdichte yon 250 mT auftritt? Vernachl~issigen Sie Streuungen.

Abb. A18.18

A18.19 Dauermagnetring: Zwischen zwei ideal magnetisierbaren, gelochten Kreisscheiben S befindet sich ein starr magnetisierter Dauermagnetring M der RemanenzfluBdichte B r = 0 , 9 T (Abb. A18.19a, Abmessungen in mm). Wie grol3 ist ungef~ihr die magnetische Spannung V zwischen den beiden Scheiben?

Abb. A18.19a

18.6 Aufgaben

95

A18.20 Ersetzen einer Spule durch Dauermagnete: In dem in Abb. A18.20a angegebenen, drehsymmetrischen Magnetsystem erzeugt die Spule im radialen Luftspalt den magnetischen Flul3 9 = 0,27 mWb. Zur Verkleinerung der axialen Abmessung soll die Spule bei gleichbleibendem Luftspalt gem~il3 Abb. A18.20b dutch eine transversal start magnetisierte Dauermagnetscheibe ersetzt werden, woftir ein Material mit der RemanenzfluBdichte B r = 0 , 9 5 T zur Verftigung steht. Wie grol3 mul3 die Scheibendicke lM sein, wenn der gleiche LuftspaltfluB wie bei der elektrischen Erregung erreicht werden soll?

Abb. A18.20a

Abb. A18.20b

A18.21 Dauermagnet mit Fluflkonzentration: Berechnen Sie ftir den in Abb. A18.21 angegebenen Dauermagnetkreis die Luftspaltflul3dichte. Der Streugrad aM = ~L/~M betr~igt etwa 75 % (Sch~tzwert). Vernachl~issigen Sie die magnetischen Spannungen in den weichmagnetischen Teilen.

Abb. A18.21 A18.22 Magnetsystem fiir einen Lautsprecher: Der in Abb. A18.22a dargestellte, kreiszylindrische Magnetkreis (Abmessungen in ram) wird dutch eine radial start magnetisierte DauermagnethiJlse M der RemanenzfluBdichte B r = 1 T errregt. Sch&itzen Sie den Weft der FluBdichte im Luftspalt Lab. Vernachl~issigen Sie dazu die magnetischen Spannungen in den Eisenteilen und die Streuung.

96

18 MagnetischeKreise

Abb. A18.22a A18.23 Gleichstrommotor mit Dauermagneterregung: Fiir den Bau eines kleinen Gleichstrommotors, skizziert in Abb. A18.23a (Abmessungen in ram), sollen transversal starr magnetisierte Dauermagnetplatten M der RemanenzfluBdichte B r - - 0 , 9 5 T eingesetzt werden. Wie groB muB deren Dicke lMgew~ihlt werden, damit in den 0,5 mm dicken Luftspalten die FluBdichte BL = 0,5 T erreicht wird? Streuungen k6nnen fiir diese Absch~itzung vernachl~issigt werden.

Abb. A18.23a

A18.24 Dauermagnet im Luftspalt" Im Luftspalt zwischen zwei ideal magnetisierbaren K6rpern soll gem~iB Abb. A18.24a durch die periodische Anordnung transversal starr magnetisierter Dauermagnetplatten ein transversaler magnetischer

18.6 Aufgaben

97

FluB wechselnder Richtung mit der FluBdichte B = 0,7 T erzeugt werden. Berechnen Sie die dazu erforderliche Dicke 1Mder Magnetplatten.

Abb. A18.24a

A18.25 Gemischt erregter Magnetkreis: Das drehsymmetrische Magnetsystem aus Abb. A18.25a (Abmessungen in mm) enth~ilt-zur Erzeugung des Grundwertes BLO der magnetischen FluBdichte B L im Luftspalt L - eine transversal starr magnetisierte Dauermagnetscheibe M der RemanenzfluBdichte B r - - 0 , 3 T. Durch die Spule soll B L im Bereich yon ___30% ver~indert werden k6nnen, wozu eine Stromquelle mit - 1A _< I _< 1A verftigbar ist. Wie groB ist die Windungszahl N zu wfihlen? Setzen Sie die Eisenteile als ideal magnetisierbar voraus und vernachl~issigen Sie Streuungen.

Abb. A18.25a

K a p i t e l 19

Globale und lokale Eigenschaften magnetischer Felder Das Ziel der vorangehenden Kapitel war, Sie mit den wichtigsten Begriffen des makroskopischen Magnetismus vertraut zu machen. Wir werden jetzt die grundlegenden formalen Eigenschaften magnetischer Felder zusammenfassen und ergfinzen.

19.1

Der Satz vom magnetischen HiillenfluB

,,Ein durch die geschlossene Oberfl~iche 0Yf eines Raumteils Y/" insgesamt gerichtet tretender magnetischer Flul3 q~(c~Y/) ist stets gleich Null", d.h. (G1. (16.1)) [ ~P(O~x) = 0}.

(19.1)

Diese globale Eigenschaft magnetischer FluBverteilungen gilt, nach unserem heutigen Kenntnisstand, ganz allgemein f/ir beliebige Raumteile und ihre H/illen: Magnetische F1/isse besitzen keine Quellen oder Senken. Die Darstellung des magnetischen Flusses mit Hilfe lokaler FeldgriSBen kann auf zwei Arten erfolgen. Entweder als Fl~ichensumme der magnetischen Flul3dichte (G1. (16.2)), oder als Kurvensumme des magnetischen Vektorpotentials (G1. (16.3)). In unserem Kontinumsmodell beschreiben wir K6rperoberfl~ichen und Grenzflfichen zwischen zwei K6rpern, aber auch Fl~ichenstromverteilungen als Sprungfliithen, weil dort i.a. sprungartige Unstetigkeiten der lokalen Feldgr6Ben zu erwarten sind. Wenn z.B. ein magnetischer FluB durch solch eine Sprungflfiche 5p tritt, nimmt die Flul3dichte in einem Flfichenpunkt ~ auf den beiden Seiten i.a. unterschiedliche Werte B+ bzw. B - an (Abb. 19.1). Dieses Verhalten mul3 aber im Einklang mit dem Satz vom magnetischen HiillenfluB stehen. Um das zu priifen, denken wir uns nach dem Muster der Abb. 14.2 b um den betrachteten Flfichenpunkt ein kleines, schachtelfiSrmiges Volumen gelegt. Dann mul3 4)(c~Y/~)-- Bn+ A - B n A = 0 sein, oder, unter Verwendung der Schreibweise (14.2), [ [[B,~]]= 0].

(19.2)

Aus dem Satz vom magnetischen H/illenflul3 folgt also notwendig als lokale Eigenschaft die Stetigkeit der Normalenprojektion B n (und damit auch der Normalkomponente B,) der magnetischen FluBdichte an einer Sprungfl~che.

19.1 Der Satz vom magnetischen Hiillenflug

99

Abb. 19.1 An einer Sprungfl/iche 5p besitzt die magnetische Flul3dichte i.a. eine sprungartige Unstetigkeit Auch das magnetische Vektorpotential erfiillt eine Sprungbedingung, die sich abet auf dessen Tangentialkomponente bezieht. Wir plazieren im F1/ichenpunkt ein kartesisches Koordinatensystem (Abb. 14.5) und zerlegen den Vektor A des magnetischen Potentials auf beiden Seiten in die Normal- u. Tangentialkomponenten gem/il3

(19.3)

~-~n = Aze~,

~t = Ax0~x+

Ay-ey.

Dann stellen wir den magnetischen Flul3 an den beiden eingezeichneten, kurzen Streifen durch G1. (16.3) dar. Die Streifen seien so schmal, dab ihr Flul3 vernachl/issigt werden kannl, d.h. (/) (~ 1) = Ax+ lx -- Ax lx = ~-Ax]]lx = O, (~?'2) = Ay+ ly -- Ay ly = ~-AyHly-- 0, zusammen also

[ ~A~ t~ = ~-~ 1"

(19.4)

,,An einer Sprungfl~iche ist die Tangentialkomponente des magnetischen Vektorpotentials stetig". Die Sprungbedingung (19.4), sie ist G1. (19.2) ~iquivalent, haben wir ebenfalls als lokale Konsequenz des Satzes vom magnetischen HfillenfluB aufzufassen, weil erst aus diesem die Darstellung (16.3) folgt. Allerdings wird dadurch das magnetische Vektorpotential noch nicht eindeutig festgelegt, sondern nur bis auf sogenannte Eichtransformationen. Fiir die Beschreibung stationfirer und quasistation//rer magnetischer Felder ist es zweckm/il3ig, das Vektorfeld ~ selbst als quellenfrei anzunehmen. In den Summationsformeln des Kapitels 17 haben wir

1 Sie k6nnen das auch durch einen Grenziibergang ausfiihren.

100

19 Globale und lokale Eigenschaften magnetischer Felder

diese Art der Eichung stillschweigend eingebaut. Damit verschwindet aber an einer Sprungfl~/che auch der Sprung der Normalkomponente von ~. Wir finden dort also nicht nur die Tangentialkomponente, sondern das Vektorpotential insgesamt als stetig. Zur Formulierung der Eigenschaften elektrischer und magnetischer Felder und fiir deren Berechnung werden hiufig partielle Differentialgleichungen verwendet. Angenommen, die magnetische FluBdichte B verlaufe in der Umgebung eines Ortes ausreichend glatt, um sie durch eine lineare, vektorwertige Ortsfunktion anzunihern. Wir gehen dabei ganz analog vor wie im Abschnitt 14.1, brauchen also nur J durch B und 0 durch Null zu ersetzen. Das Ergebnis ist die lokale Form des Satzes -....

yore magnetischen Hiillenflul, 8B x OBy 8 B z G + - E + - E z =0

(19.5)

Wenn wir auBerdem das magnetische Vektorpotential in der Umgebung von linear approximieren und dann den magnetischen Flul3 durch das in Abb. 19.2 gezeigte, kleine Flfichenstiick gleichzeitig als Flichensumme (16.2) und als Kurvensumme (16.3) darstellen, so gilt (i~( d ) -- (Zz,y --

Zy,z)lyl

z - - B x l y l z.

Dasselbe ffir zwei weitere Flichenstiicke in ~ normal zur y - b z w , z-Richtung durchgefiihrt, liefert den lokalen Zusammenhang zwisehen tier magnetisehen

Flufldichte und dem magnetischen Vektorpotential t3Az Bx = c3y

63Ay 8z'

8A x

By = c3z

~3Az 8x'

63Ay c3Ax Bz = c~x

c3y

(19.6)

ausgedriickt durch die Entwicklungskoeffizienten in bezug auf das gewihlte kartesische Koordinatensystem. Diese Beziehungen sind der G1. (19.5) iibrigens im gleichen Sinn fiquivalent, wie die Sprungbedingungen (19.2) und (19.4) bzw. die Darstellungen (16.2) und (16.3) einander entsprechen. Wird das Vektorpotential zusitzlich

Abb. 19.2 Zur Darstellung des lokalen Zusammenhangeszwischen der magnetischen FluBdichte und dem magnetischen Vektorpotential

19.2 Der Durchflutungssatz

101

quellenfrei geeicht, dannist

OAx -L;

OAy

OAz + W -o

(19.7)

formal analog zu G1. (19.5) ableitbar.

19.2 Der Durchflutungssatz ,,In einer (quasi-) station~iren Stromverteilung ist die dem Rand 0 d einer Fl~iche d zugeordnete magnetische Spannung V(Od) gleich dem Gesamtwert l ( d ) des elektrischen Stromes durch d " , d.h. (s. Abb. 16.7 und G1. (16.4))

I V(Sd) -- l(d)[.

(19.8)

Der Durchflutungssatz gilt also nicht allgemein, sondern ist eine globale Eigenschaft station/~rer Stromverteilungen. Bei n/iherungsweiser Gfiltigkeit sprechen wir yon Quasistationarit~it. Je nach Art der Verteilung wird I(~1) dargestellt als FRichensumme der elektrischen Stromdichte J, als Kurvensumme der F1/ichenstromdichte K oder als Summe von Linienstr6men (Abb. 12.2 bis 12.4 und Gin. (12.1) bis (12.5)). Die magnetische Spannung erfassen wir als Kurvensumme der magnetischen Feldst~irke (Abb. 16.12 und G1. (16.6)). Wie verh/ilt sich die magnetische Feldst~irke an einer Sprungfl~iche 5 p, wenn diese allgemein einen Fl~ichenstrom der Dichte K tr/igt? Wir verwenden Abb. 14.5 und zerlegen die Feldst~irke auf beiden Seiten sowie die Fl~ichenstromdichte gem~if3

H--Hn +Ht, H. -- Hzg.,

K-

(19.9)

H~-- H~g~ + H~gy,

Kx6~ +

KyUy.

Der Durchflutungssatz, angewendet auf die beiden schmalen, kurzen Streifen, liefert dann n x + l x - Hx-lx : [[Hx]]lx = Kylx,

V ( a ~ ' l ) - -

V(Od2)

--

H;ly-

Hy-ly - ~Hy]]ly -- - K x l y . ......+

.......+

.......+

Nun gilt mit der Normalenrichtung gn -- gz allgemein gn • [[H]] = gn • [[H. + Ht]] -e~ x [[Ht]] - - ~ H x ] ] g y - - [ [ H y ] ] e x und K x gn = Kyg'x - g x e " y , wir k6nnen unser Ergebnis demnach als ._+

_.+

...+

.....}

...+

gn X [[HI] = K

oder

OHt]] =

..~

K • 6n

(19.10)

102

19 Globale und lokale Eigenschaften magnetischer Felder

Abb. 19.3 An einem Flichenstrom springt die Tangentialkomponente der magnetischen Feldstirke (vgl. Abb. 17.4)

zusammenfassen: ,,Der Sprung der Tangentialkomponente der magnetischen Feldst/irke istbetragsmiBig gleich der Flichenstromdichte, und die drei Vektoren e-n, ~Ht~ , K bilden in dieser Reihenfolge (oder zyklisch vertauscht) eine Rechtsschraube" (Abb. 19.3). Speziell: An einer stromfreien Fliche ist die Tangentialkomponente der magnetischen Feldstirke stetig. Betrachten wir nun die magnetische Spannungsverteilung in der Umgebung eines Ortes ~, der nicht auf einer Sprungfliche liegt, zusammen mit der dort herrschenden (quasi-) stationfiren, rfiumlichen Stromverteilung! Flichenstr6me und Linienstr/Sme gebe es dort nicht. Der Durchflutungssatz, angewendet auf kleine Flichenstticke normal zu den Achsenrichtungen eines kartesischen Systems in (ersetzen Sie den Vektor/-[ in Abb. 19.2 durch H) fiihrt dann auf den lokalen Zusammenhang zwischen der magnetischen Feldstiirke und der elektrischen Stromdichte im (quasi-) stationiren Fall c~H z

OHy

J x = cqy

c~z'

OH x

JY=

c~z

OHy

c~H z

c~x'

J z = Ox

c~H x

8y

(19.11)

ausgedrfickt durch die Entwicklungskoeffizienten in bezug auf das gewihlte kartesische Koordinatensystem. Es ist dies eine lokale Fassung des Durehflutungssatzes.

19.3 Materialgleichungen Sehen wir uns abschlieBend einige Konsequenzen der Sprungbedingungen im Zusammenhang mit speziellem Materialverhalten an! An der Oberfliiehe eines ideal magneti__sierbaren Kiirpers (Bezugssinn von innen ( - ) nach auBen (+)) haben wir wegen H - = 0 mit der Sprungbedingung (19.10) H+ = K • en. Gibt es dort keinen Flfichenstrom, dann gilt H + = 0": Die magnetische Feldstirke besitzt an der Oberfliche h6chstens eine Normalkomponente oder, mit anderen Worten, H + steht senkrecht zur Oberfliche. An der Grenzfliiehe zwisehen zwei magnetiseh isotropen KiJrpern (sie miissen nicht notwendig linear oder homog__en sein)_gelten allgemein die Sprungbedingungen (19.2) und (19.10) zusammen mit B + = ~+ H +. Wir schlieBen daraus -'+ = Bn

B~- ~ Bt+ - - ~

[ B t -+'~ - " ~" X en] 9 (19.12)

m

--+ = ~ ~ _

Hn

/~+

n ,

Ht+ = H , - + K •

19.5 Aufgaben

103

u n d speziell: ,,An einer Grenzfl~iche o h n e Fl~ichenstrom sind die N o r m a l k o m p o n e n t e der F l u B d i c h t e u n d die T a n g e n t i a l k o m p o n e n t e d e r Feldst~irke stetig, die T a n g e n t i a l k o m p o n e n t e d e r Flul3dichte u n d die N o r m a l k o m p o n e n t e d e r F e l d s t / i r k e d a g e g e n i.a. u n s t e t i g " .

19.4 Fragen 1. Wie lautet der Satz vom magnetischen HtillenfluB? Gilt er allgemein? 2. Was driickt der Satz vom magnetischen Htillenflul3, verglichen mit dem Satz vom elektrischen Hiillenflul3, letztlich aus? 3. Welche allgemeine Sprungbedingung ist der magnetischen Flul3dichte zugeordnet und wie ist diese zu begriinden? 4. Was folgt aus dem Satz vom magnetischen Htillenflul3 fiir das Verhalten des magnetischen Vektorpotentials an einer Sprungfl~iche? 5. Mit welcher Zusatzbedingung ist das magnetische Vektorpotential an einer Sprungflfiche stetig? 6. Wie lautet der Durchflutungssatz? An welche Voraussetzung ist er gebunden? 7. Wie verh~ilt sich die magnetische Feldst~irke an einer Sprungfl~iche? Wie ist dies zu begriinden? 8. Welche Komponente der magnetischen FluBdichte und der magnetischen Feldstfirke sind an einer stromfreien Grenzfl/iche i.a. stetig, welche sind unstetig? 9. Was folgt aus den Sprungbedingungen speziell ffir das magnetische Feld an der stromfreien Oberfl~iche eines ideal magnetisierbaren K6rpers? 10. Kann ein ideal magnetisierbarer K6rper in seinem Inneren einen elektrischen Strom ffihren? Warum?

19.5 Aufgaben A19.1 B r e c h u n g s g e s e t z fiir magnetische Feldlinien: An d e r G r e n z f l ~ c h e z w i s c h e n m a g n e t i s c h i s o t r o p e n K 6 r p e r n e r s c h e i n e n m a g n e t i s c h e F e l d l i n i e n i.a. g e k n i c k t (Abb. A19.1). D u r c h w e l c h e B e z i e h u n g sind die b e i d e n W i n k e l ~1 u n d ~2 z u r N o r m a l e n r i c h t u n g in e i n e m P u n k t der Grenzfl~iche m i t e i n a n d e r verkntipft, falls k e i n F l ~ i c h e n s t r o m auftritt?

Abb. AI9.1

104

19 Globale und lokale Eigenschaften magnetischer Felder

A19.20berfliiche mit Strombelag: An der ebenen Oberfl/iche eines ausgedehnten K6rpers fliel3t der in Abb.A19.2 angegebene F1/ichenstrom. Berechnen Sie bei bekannter Innenfeldst/irke H~ den Winkel e2-

Abb. A19.2 A19.3 Nutenleiter: In der tiefen Nut eines hochpermeablen K6rpers liegt, wie in Abb.A19.3 skizziert, ein gleichf6rmig stromdurchflossener Leiterstab. Berechnen Sie die magnetische Flul3dichte als Vektorfeld B-~(x, y) ffir den Bereich 0 < x < b, y >__0.

Abb. A19.3 A19.4 Streifenf'6rmiger Strombelag: Berechnen Sie aus dem in Abb.A19.4a angegebenen Magnetfeld eines geraden Stromfadens auf einem hochperrneablen Halbraum durch lineare Superposition die magnetische Flul3dichte B oberhalb des

105

19.5 Aufgaben

Stromstreifens aus Abb.A19.4b in der Symmetrieebene x = 0 und skizzieren Sie den Verlauf als Funktion von y/a.

Abb. A19.4a

Abb. A19.4b

A19.5 Leiter vor einspringender Kante: Ein gerader Linienleiter ffihrt einen elektrischen Strom der St~irke I und verl~iuft parallel zur einspringenden, rechtwinkligen Kante eines hochpermeablen K6rpers (Abb.A19.5a). (i) Skizzieren Sie Verktorlinien der magnetischen FlufJdichte und geben Sie damit ein Ersatzsystem yon geraden Linienleitern im leeren Raum fiir die Berechnung des magnetischen Feldes im Bereich x ~ 0, y ~ 0 an. (ii) Berechnen Sie speziell die magnetische FlufJdichte an der Ebene y = 0 als Funktion yon x ~ 0.

Abb. A19.5a

A19.6 Kraft auf einen Linienleiter: Der wechselstromdurchflossene, gerade Linienleiter aus Abb.A19.6a verl~iuft parallel zur ebenen Oberfl~iche eines ideal magnetisierbaren, elektrisch nicht leitf~ihigen (geeignet lamellierten) K6rpers. Stellen Sie eine passende Ersatzstromverteilung im leeren Raum her und berechnen Sie daraus allgemein die l&ingenbezogene Kraft, die auf den Leiter ausgeiibt wird. Geben Sie insbesondere deren zeitlichen Mittelwert nach Betrag und Richtung an.

106

19 Globale und lokale Eigenschaften magnetischer Felder

Abb. A19.6a

A19.7 Flfichenhafte Wirbelstromverteilung: Ein wechselstromdurchflossener, gera-

der Linienleiter verl~iuft gem~il3 Abb.A19.7a parallel zu einer Kupferplatte. Bei entsprechend hohen Frequenzen stellt sich auf der Platte eine Fl~ichenstromverteilung derart ein, dab das Platteninnere feldfrei wird (FluBverdr~ingung). Berechnen Sie diese Stromverteilung. Hinweis: Nehmen Sie eine passende ErsatzLinienstromverteilung im leeren Raum an.

Abb. A19.7a

A19.8 Dauermagnetplatte: Das magnetische Feld auBerhalb einer transversal starr magnetisierten Dauermagnetplatte (Abb.A19.Sa), gekennzeichnet durch die Remanenzflul3dichte B r = 0,4T und die Koerzitivfeldst~irke H c = B r / / ~ 0 , l~il3t sich dutch die Annahme eines Fl~ichenstroms der Dichte K = Hc entlang der Seitenfl~ichen im sonst leeren Raum analysieren. Berechnen Sie damit die FluBdichte im Mittelpunkt der Deckfl~iche.

Abb. A19.8a

19.5 Aufgaben

107

A19.9 Dauermagnetschiene: Starr transversal magnetisierte Dauermagnetplatten

der RemanenzfluBdichte B r und der Dicke d lassen sich in ihrer felderzeugenden Wirkung nach auBen n~iherungsweise durch einen Linienstrom der St~irke Brd/# o entlang des Umfanges beschreiben. Berechnen Sie damit die l~ingenbezogene Kraft nach Betrag und Richtung, die auf eine hochkant parallel zu einem hochpermeablen K/Srper verlaufende Dauermagnetschiene ausge/ibt wird. Abb.A19.9a zeigt einen Querschnitt der Anordnung.

Abb. A19.9a A19.10 KrMte zwischen Dauermagnetschienen: Starr transversal magnetisierte

Dauermagnetplatten der RemanenzfluBdichte B r und der Dicke d lassen sich in ihrer felderzeugenden Wirkung nach auBen n/iherungsweise durch einen Linienstrom der St/irke Brd/la o entlang des Umfanges beschreiben. Berechnen Sie damit f/Jr die beiden langen Dauermagnetschienen aus Abb.A19.10a die gegenseitigen 1/ingenbezogenen Kr~ifte nach Betrag und Richtung.

Abb. A19.10a

Kapitel 20 Induktionserscheinungen Wie schon mehrmals erw~ihnt, bilden die Elektrizit~it und der Magnetismus eine physikalische Einheit, den Elektromagnetismus. Nur durch die Beschr~inkung auf (quasi-) statische bzw. (quasi-) station~ire Vorg~inge war eine weitgehend getrennte Behandlung fiberhaupt m6glich. Wir werden diese Einschr~inkungen nun fallenlassen, und zwar in zwei Schritten. Zuerst, in diesem Kapitel, ersetzen wir den elektrostatischen Satz vom Verschwinden der elektrischen Umlaufspannung durch das Induktionsgesetz, bleiben aber auf dem Boden der Quasistationarit~it. Der Durchflutungssatz soil also weiterhin gelten. Damit l~il3t sich der technisch wichtige Bereich der Induktionserscheinungen in ruhenden und in bewegten Leitern verstehen und beschreiben. In einem zweiten Schritt, im Kapitel 26, 16sen wir die im Abschnitt 16.2 festgestellte Diskrepanz zwischen dem Durchflutungssatz und dem Satz vonder Erhaltung der elektrischen Ladung in seiner allgemeinen Form auf, was der Erweiterung des Durchflutungssatzes zum A m p e r e - M a x w e l l - S a t z gleichkommt. Nun schliel3t sich der Kreis: Zeitlich sich ~ndernde Magnetfelder sind an elektrische Felder, zeitlich sich findernde elektrische Felder sind an Magnetfelder dynamisch gekoppelt. Dies begrfindet die F~ihigkeit der Ausbreitung als elektromagnetische Wellen.

20.1 Die elektromagnetische Induktion Erinnern Sie sich an die in Abb. 15.7 schematisch dargestellte Beobachtung Faradays: Wird die eine Schleife von einem elektrischen Strom wechselnder St~irke durchflossen, so zeigt sich in der anderen, benachbarten 1 Schleife ebenfalls ein S t r o m - a b e r nur dann, wenn sich der Strom in der ersten Schleife tats~ichlich zeitlich ~indert. Mit dem Satz vom Verschwinden der elektrischen Umlaufspannung ist das nicht vereinbar, weil der zweite Kreis keine Spannungsquelle enth~ilt und damit keine Spannung-zur Verfiigung steht, um den Strom fiber den Drahtwiderstand zu treiben. Die Beobachtung Faradays entzieht sich demnach der Beschreibung durch die Quasi-Elektrostatik. In der Sprache des Elektromagnetismus k6nnen wir dieses Schlfisselexperiment so verstehen: Elektrische Str6me erzeugen magnetische Felder. ~ndert sich eine magnetische Flul3verteilung, dann entsteht gleichzeitig eine wirbelartige elektrische Spannungsverteilung. Stellen Sie sich das am besten wie in Abb. 20.1 vor! Die 1 Genauer: magnetisch gekoppelten.

20.1 Die elektromagnetische Induktion

109

Abb. 20.1 GrundvorsteUungzur elektromagnetischenInduktion. Ein zeitlich sich finderndes Biindel magnetischer Flul3dichtelinienumgibt sich wirbelartigmit elektrischen Feldst~irkelinien

elektrische Umlaufspannung ist also im allgemeinen nicht gleich Null. Wir werden das jetzt ganz allgemein formulieren. Sei d irgendein orientiertes, d.h. mit einem inneren Drehsinn bzw. einem rechtswendig zugeordneten Durchtrittssinn versehenes Fl~ichenstiick und O d sein vollst~indiger, konsistent orientierter Rand (Abb. 20.2). Ist dem Flfichenstiick der magnetische Flul3 t0(d) zugeordnet und seinem Rand die elektrische Spannung (Umlaufspannung) U(Od), so gilt das Induktionsgesetz

]

U(Od) = - @(d)].

(20.1)

Kurz: ,,Die elektrische Umlaufspannung ist gleich der Abnahmerate des rechtswendig umfal3ten magnetischen Flusses." Achten Sie bei der Anwendung dieser Gleichung sorgf~iltig auf die Orientierungen! Drehen Sie eine der beiden Orientierungen (Bezugssinne fiir den magnetischen Flul3 bzw. fiir die elektrische Spannung) um, sodal3 eine linkswendige Zuordnung statt einer rechtswendigen vorliegt, miissen Sie das durch einen Vorzeichenwechsel beriicksichtigen. Vom ,,umfal3ten magnetischen Flul3" k6nnen wir deshalb sprechen, weil es als Folge des Satzes vom magnetischen Htillenflul3 nur auf die Lage der Randkurven, nicht aber auf den speziellen Verlauf der berandeten Fl~iche ankommt (Abb. 16.2). Das Induktionsgesetz (20.1)ist eine Erweiterung der elektrostatischen Grundgleichung (9.1) mit bedeutenden Konsequenzen fiir Eigenschaften der elektrischen Spannung. Erinnern Sie sich: Elektrische Spannungen sind urspriinglich immer irgendwelchen Kurven zugeordnet. In der Elektrostatik trat diese Tatsache in den Hintergrund, weil dort Umlaufspannungen immer verschwinden, elektrische Span-

Abb. 20.2 Zur Formulierung des Induktionsgesetzes. Das F1/ichenstiick kann auch L6cher haben- der vollst~indigeRand besteht dann aus mehreren Teilen. Achten Sie auf die Orientierungen (Durchtrittssinn der Flfiche und Umlaufsinn der Randkurven)

110

20 Induktionserscheinungen

nungen deshalb wegunabh~ingig sind und direkt zwei P u n k t e n - dem Anfangspunkt und dem E n d p u n k t - zugeordnet werden k6nnen, ohne weitere Angaben fiber den speziellen Kurvenverlauf. Wir schlossen daraus auf die Existenz des elektrostatischen Potentials. Im allgemeinen Fall mfissen wir auf diese Annehmlichkeiten verzichten. Die Umlaufspannung verschwindet nicht, die elektrische Spannung h~ingt tatsiichlich vom Kurvenverlauf ab und es existiert auch kein elektrostatisches Potential 2. Die Wegabh~ingigkeit der elektrischen Spannung sehen Sie deutlich in Abb. 20.3. Beispielsweise wird eine von cg1 und - cg4 berandete Fl~iche zweimal vom gleichen FluB ~1 durchsetzt, der gesamte umfaBte FluB (VerkettungsfluB)- und nur dessen ,~aaderungsrate ist ffir die Umlaufspannung m a B g e b e n d - betrS, gt ~ d ) = ~v = 2 ~ . Die Spannungen entlang cg~ und cg4 unterscheiden sich also um - 2 ~ , obwohl die beiden Wege denselben Anfangspunkt und denselben E n d p u n k t haben. Lediglich die Spannungen entlang cg~ und cg2 sind gleich, weil durch eine von cg1 und - cg2 berandete Fl~iche fiberhaupt kein magnetischer FluB tritt. Jetzt wird auch klar, warum wir bei der Formulierung der zweiten Kirchhoff-Regel die AnschluBspannung eines konzentrierten Stromkreiselements ausdrficklich einer (gedachten) Verbindungslinie zwischen den AnschluBpunkten zugeordnet haben, die auBerhalb des Elements verl~iuft. Natfirlich k6nnen wir die zweite Kirchhoff-Regel auch weiterhin verwenden, m/issen jedoch gegebenenfalls auf diese Voraussetzungen achten: Die Masehen diirfen nicht mit magnetischen Fliissen merkbarer zeitlicher Anderungsrate verkettet sein. Jedenfalls ist ffir eine eindeutige Festlegung der AnschluBspannung zu sorgen.

Abb. 20.3 Zusammenhangzwischen den elektrischen Spannungen entlang unterschiedlicher Wegemit gleichen Anfangs- und Endpunkten. Der magnetische FluB ist im wesentlichen auf den angegebenen Bereich beschr~inkt 2 In seiner Eigenschaft als Kraftfeld ist das elektrische Feld nicht mehr konservativ.

20.2 Induktion in ruhenden Leitern

111

20.2 lnduktion in ruhenden Leitern Das Induktionsgesetz erfal3t den Kern einer Reihe von elektrotechnisch genutzten Effekten- und das in einer wunderbar einfachen, trotzdem aber ganz allgemeinen Form. Sehen wir uns als Vorbereitung ftir kompliziertere Situationen zuerst an, was in einer gesehlossenen Drahtsehleife passiert (Abb. 20.4)! Der als Linienleiter angenommene, diinne D r a h t bildet den Rand ~3d eines F1/ichenstticks d und ist mit dem magnetischen Flul3 r @v verkettet3. Bei jeder )~nderung dieses Verkettungsflusses entsteht entlang der Schleife insgesamt die elektrische Spannung U = - ~v (Beachten Sie die Bezugssinne in Abb. 20.4). Besitzt nun der Draht den Widerstand R, so stellt sich, weil der Stromkreis geschlossen ist, ein elektrischer Strom der (momentanen) St~irke I = U/R = - @v/R ein. Dies ist genau die Beobachtung Faradays. Wenn Sie im speziellen einen Wechselflul3 bereitstellen, entsteht in der Schleife ein Wechselstrom. Oberlegen Sie sich den Idealfall einer widerstandslosen, geschlossenen Schleife: Welcher Strom sich auch einstellt, die Umlaufspannung ist dann immer gleich Null, und das ist nur mit einem konstanten Wert des Verkettungsflusses vertr/iglich. Natiirlich sind reale Driihte nie wirklich widerstandslos 4, sie k6nnen jedoch'ein grundlegendes Verhalten erkennen. Je geringer der Widerstand eines Stromkreises, desto gr613er ist sein Bestreben, den mit ihm verketteten magnetischen Flul3 festzuhalten. Sprungartige Xnderungen von Verkettungsfliissen geschlossener Stromkreise sind/iberhaupt nicht m6glich. Sie erkennen auch die in friiheren Zeiten h~iufig gebrauchte Lenzsche Regel (eine Variante): ,,Induzierte Str6me sind immer so gerichtet, dal3 sie der Flul3~inderung entgegenwirken." N e h m e n Sie diese Regel nur als VorstellungshilfeI Bei Rechnungen sollten Sie besser die heute gebr~iuchlichen Bezugs- und Vorzeichenregeln konsequent anwenden.

Abb. 20.4 Geschlossene Drahtschleife in einem zeitlich sich ~indernden Magnetfeld. In der Schleife wird ein elektrischer Strom induziert

3 ~v wird hervorgerufen vom Strom in der Schleife selbst, aber auch von anderen Str6men oder von Permanentmagneten. 4 Ausgenommen im supraleitenden Zustand. Dabei miissenjedoch noch andere Bedingungen erf/illt sein.

112

20 Induktionserscheinungen

Induktion in Spulen Als n~ichstes trennen wir unsere Drahtschleife auf und ftihren die beiden Enden an zwei Anschltisse, um sie mit einem ~iuf3eren Stromkreis verbinden zu k6nnen (Abb. 20.5). Fassen Sie den Draht ganz allgemein als eine Spule oder Wicklung auf mit zwei Anschlfissen und dem inneren Widerstand R. Wie der Verkettungsflul3 zustandekommt, ob allein durch den Spulenstrom selbst, oder zus~itzlich durch Kopplung mit anderen Spulen, etwa fiber einen ferromagnetischen Kreis, braucht uns vorerst nicht zu interessieren. Wir werden aber das magnetische Feld im wesentlichen auf den angegebenen Raumbereich (das Innere des Ger/ites oder Bauelementes) beschr~inken. In der Umgebung der Anschltisse gibt es dann keine merkbaren, zeitlich ver~inderlichen Magnetfelder und wir k6nnen die Anschlugspannung eindeutig den beiden Anschlugpunkten zuordnen. Damit liefert das Induktionsgesetz (20.1) fiir die Kurve 0 d , zusammengesetzt aus den Stricken Cgl und -cg2, U ( a a g ) - U(Cgl)- U ( C g 2 ) - - - &(ag),

(20.2)

oder, wenn wir die Spannung U ( ~ ) entlang des Drahtes mit dem Spulenstrom I fiber den Spulenwiderstand R verknfipfen, die AnschluBspannung U(Cg2) ohne weitere Kennzeichnung einfach U nennen und den FluB ~(ag) durch die gesamte berandete Fl~iche im VerkettungsfluB ~v zusammenfassen, d.h. U(Cgl)-

RI,

U((~r

--

U,

~ ( d ) -- q~v

(20.3)

setzen, den wichtigen Zusammenhang zwisehen den AnsehluflgriiBen einer Spule und tier Anderungsrate ihres Verkettungsflusses ,,

U--RI+ C~v 1.

(20.4)

Aehten Sie bei der Anwendung dieser Gleichung unbedingt auf die zugrundeliegenden Orientierungen und die damit verkniipften Bezugssinne (Abb. 20.5): Anschlul3spannung und Anschlul3strom sind gem~if5 dem Verbraucherbezugssystem angenommen, und der Bezugssinn des Flusses ist dem Bezugssinn des Stromes rechtswendig zugeordnet. Drehen Sie einen Bezugssinn um, miissen Sie das Vorzeichen der entsprechenden Gr613e ~indern (Abb. 20.6).

Abb. 20.5 Die Enden der Spule (innerer Widerstand R) sind zu einem Anschluf3paar aul3erhalb des Magnetfeldbereiches geftihrt

20.2 Induktion in ruhenden Leitern

113

Abb. 20.6 Allem6glichen Zuordnungen der Bezugssinne von Anschlul3spamaung,Anschlul3strom und Verkettungsflul3. a und b entsprechen dem Verbraucherbezugssystem,c und d dem Erzeugerbezugssystem Mit U = 0 erfagt G1. (20.4) auch den vorhin behandelten Fall einer kurzgeschlossenen Spule. Gilt dagegen I - 0, so sprechen wir yon einer leerlaufenden Spule. Die elektrische Spannung entlang des Drahtes ist dann gleich Null und wir k6nnen die zeitliche ~nderungsrate des Verkettungsflusses direkt als Anschlul3spannung messen. Es ist vielleicht hilfreich, wenn Sie versuchen, sich die momentane r/iumliche Verteilung der elektrischen Spannung einer solchen Situation vorzustellen- etwa mit Hilfe yon elektrischen Spannungsfliichen wie in Abb. 20.7. Den Momentanwert der elektrischen Spannung entlang irgendeiner Kurve erhalten Sie wie iiblich durch gerichtetes Abz/ihlen der durchsetzten Spannungsfliichen. Nehmen wir beispielsweise an, unsere Spule hat N Windungen, ist in einen ferromagnetischen Kreis eingebunden und sitzt auf einem Eisenkern, der den magnetischen Wechselflul3 ~ 1 - - t b sin(cot) fiihrt. Unter Vernachliissigung von Streuungen gilt f/Jr den Verkettungsflul3 t0v = N t01 und, mit Bezug auf Abb. 20.5, fiir die Anschlul3spannung der leerlaufenden Spule U = N cotbcos(o)t). An den Anschliissen messen wir demnach im Leerlauf eine sinusf6rmige Wechselspannung mit der Amplitude proportional zur Spulenwindungszahl, zur Kreisfrequenz und zur Flul3amplitude.

Fluflverdriingung und Stromverdrdngung Mit dem Verhalten von Spulen als Stromkreiselemente werden wir uns systematisch im Kapitel 21 befassen. Eine technisch wichtige Frage im Zusammenhang mit der Induktion in ruhenden Leitern m6chte ich jedoch hier noch kurz behandeln: Was passiert, wenn ein massiver Leiter mit einem zeitlich sich iindernden magnetischen Feld in Wechselwirkung tritt? Stellen Sie sich vor, ein Eisenk6rper, etwa ein Teil

114

20 Induktionserscheinungen

Abb. 20.7 Die offene Leiterschleife (in der Zeichenebene liegend) umfaBt einen Bereich mit zeitlich ver~inderlichem magnetischen FluB (Zylinder senkrecht zur Zeichenebene). Dargestellt ist der Schnitt durch die momentane Verteilung der elektrischen Spannung in der Schleifenebene (schematisch)

eines magnetischen Kreises, ffihrt einen magnetischen Wechselflul3 (Abb. 20.8a). Gem/il3 dem Induktionsgesetz entsteht d a n n entlangjeder geschlossenen K u r v e eine elektrische U m l a u f s p a n n u n g und es bilden sich,/ihnlich wie in der geschlossenen Leiterschleife, elektrische Str6me aus. Stromverteilungen dieser Art nennen wir Wirbelstriime. Lokal gesprochen: Die d u r c h die zeitliche ~ n d e r u n g der magnetischen FluBdichte bewirkte elektrische Feldst/irke ist fiber die Leitf'~ihigkeit des Materials mit einer elektrischen Stromdichte verknfipft ( J = 7E). Wirbelstr/Sme bedeuten zun/ichst Joule-Verluste. M a n c h m a l wird dieser Effekt technisch genutzt 5, meistens ist er j e d o c h unerwfinscht. Aul3erdem passiert noch folgendes: Wirbelstr/Sme erzeugen selbst ein Magnetfeld, das dem induzierenden Feld im wesentlichen entgegengerichtet ist. Es besteht daher die Tendenz, den ursprfinglichen WechselfluB aufzuheben oder nach auBen zu verdr/ingen. M a n nennt diesen Effekt daher Fluflverdriingung. Im Extremfall, wenn die Q u e r a b m e s sungen groB gegenfiber der sogenannten Eindringtiefe 6 a = v/2/(ooy~z)

(20.5)

sind, bildet sich in einer schmalen Z o n e (etwa der Dicke ~) entlang des Umfangs eine Wirbelstromschicht aus und das Innere bleibt v611ig feldfrei, k a n n also fiberhaupt 5 Etwa zur Erw/irmung von Werkstiicken in industriellen Prozessen (Induktionsheizung). 6 Tats~ichlich nehmen die Felder mit wachsendem Randabstand x nach innen etwa proportional exp ( - x/6) ab. o9bedeutet die Kreisfrequenz, 7 und # die Leitf'~ihigkeitbzw. Permeabilit~it des K6rpers. Fiirf = 50 Hz, 7 = 107 S / m und ~1,r 5000 ergibt sich z.B. ~ = 0,32mm. - - "

20.2 Induktion in ruhenden Leitern

115

Abb. 20.8 a WirbelstrSme in massiven Leitern verursachen Joule-Verluste und verhindern das Eindringen magnetischer Wechselfliisse. b Um die Ausbildung von WirbelstrSmen zu unterdriicken, werden magnetische Kreise h/iufig als Pakete elektrisch gegeneinander isolierter Bleche ausgefiihrt

nicht zur F/ihrung des magnetischen Wechselflusses genutzt werden. Aus diesem G r u n d sind massive Eisenkerne z.B. in technischen Leistungstransformatoren ganz unbrauchbar. Eine Methode zur Unterdriickung von Wirbelstr6men besteht darin, magnetische Kreise aus Blechpaketen aufzubauen, wobei die Bleche parallel zur FluBrichtung liegen und durch eine isolierende Beschichtung elektrisch voneinander getrennt sind (Abb. 20.8b). Die Einzelbleche miissen diinner als etwa die doppelte Eindringtiefe sein. AuBerdem 1/iBt sich durch Legierungszus~itze, z.B. Silizium, die elektrische Leitfiihigkeit verkleinern (silizierte Eisenbleche). Bei hohen Frequenzen (ab einigen hundert Hertz) reichen diese MaBnahmen vielfach nicht mehr aus oder sie werden unwirtschaftlich (zu diJnne Bleche). M a n verwendet dann zur FluBfiihrung elektrisch schwach leitf'~ihige, magnetische Werkstoffe auf keramischer Basis (weichmagnetische Ferrite). ,~hnliche Effekte beobachten wir auch in nicht magnetisierbaren Leitern, besonders bei hohen Frequenzen. Gem~iB G1. (20.5) ist fiir Kupfer die Eindringtiefe ~ bei 50 Hz etwa 10 mm, bei 500 kHz etwa 0,1 mm. Wenn Sie also beispielsweise Wechselstrom fiber einen Kupferdraht relativ groBer Querschnittsabmessungen fiihren, dann verteilt er sich nicht gleichm~iBig fiber den Querschnitt, sondern flieBt im wesentlichen in einer Randzone der Dicke ~ (Abb. 20.9). Diese Induktionserscheinung heiBt Stromverdr~ingung oder, wenn die stromfiihrende Schicht nur mehr durch eine diinne Haut gebildet wird, Skineffekt. Meistens fiihrt man Leiter f/Jr WechselstriSme hoher Frequenzen als B/indel sehr diinner, mit einer isolierenden Lackschicht versehener Einzeldr~ihte aus (HochfrequenzlitzenT).

7 Auch Leiter fiir WechselstriSmeniedriger Frequenzen werden h/iufig als Litzen ausgefiihrt, allerdings nicht wegen der Stromverdr~ingung,sondern zur Erh6hung der Flexibilit~it (z.B. bei Ger~iteanschluBkabeln). Die Einzeldr~ihte werden dann nicht mit Isolierlack iiberzogen.

116

20 Induktionserscheinungen

Abb. 20.9 Stromverdr~ingung. Wechselstr6me fliel3en in einem Leiter nur bis etwa zur Eindringtiefe

20.3 Induktion in bewegten Leitern Wenn eine Leiterschleife in einem Magnetfeld derart verformt, gedreht oder sonst irgendwie so bewegt wird, dab sich der umfal3te magnetische Flul3 zeitlich ~indert, dann beobachten wir Str6me in der geschlossenen Schleife bzw. Spannungen zwischen den Enden der offenen Schleife. Die Flul3verteilung im Raum braucht sich dabei zeitlich iiberhaupt nicht zu ~indern es kommt nur auf die ,~nderungsrate des Verkettungsflusses an. Das Induktionsgesetz erfal3t grundsfitzlich auch diese F~ille. Es ist aber n6tig, den Begriff der elektrischen Spannung zu prfizisieren. Erinnern Sie sich an die Oberlegungen im Abschnitt 15.2 im Zusammenhang mit der Lorentz-Kraft: Elektromagnetische Gr6gen beziehen wir gew6hnlich auf ein festes Inertialsystem - das Laborsystem - und auf geometrische Orte (Punkte, Kurven, Flfichen, Volumina), die sich gegeniiber diesem System in Ruhe befinden. Wenn wir beispielsweise von der elektrischen Feldst/irke E und der magnetischen Flul3dichte B am Ort ~ sprechen, so setzen wir voraus, dab ~ im Laborsystem ruht. Das ist wichtig! Besitzt n~mlich ~ die Geschwindigkeit F gegeniiber dem Laborsystem 8, so messen wir in einem Inertialsystem, das sich momentan zusammen mit b e w e g t - dem momentanen R u h e s y s t e m - zwar weiterhin dieselbe magnetische FluBdichte B wie im Laborsystem, anstelle von E aber die elektrische Feldst~irke E ' = E + ~ x B. Die elektrische Spannung entlang einer bewegten Kurve c~ ist demnach durch die Kurvensumme

U(~)=f E'~.ds mit

[ ~'= ~+~x

B I

(20.6)

darzustellen, wobei sich E und B auf die momentan von der Kurve/iberstrichenen, im Laborsystem festen Orte beziehen. Mit dieser nat/irlichen Erweiterung des Spannungsbegriffs gilt das Induktionsgesetz in der F o r m (20.1) aueh fiir bewegte Fliiehen und ihre Randkurven. Klarerweise beschreibt dann @(d) die gesamte Flul3iinderungsrate, sowohl durch zeitliche Nnderung der Flul3verteilung gegentiber dem Laborsystem, als auch durch Anderung des umfal3ten Flusses infolge der Bewegung. . .

8 Die Betr/ige aller auftretender Geschwindigkeiten setzen wir als klein gegen/iber der Lichtgeschwindigkeit voraus. Die resultierenden Transformationen bilden dann eine (exzellente) Niiherung der korrekten relativistischen Lorentztransformationen.

20.3 Induktionin bewegten Leitern

117

Noch ein wichtiger Punkt, den wir bei der Anwendung der elektromagnetischen Induktion in bewegten K6rpern beachten miissen: Die wirksame elektrische Feldst/irke in einem bewegten K6rper ist nicht die Feldst~irke E in bezug auf das Laborsystem, sondern die Feldst/irke E' = E + V x B beziiglich des lokalen momentanen Ruhsystems. b'gibt dabei die lokale K/Sr__pergeschwindigkeit an. Dies bedeutet im speziellen, dab wir anstelle der Beziehung J = 7E das lokale Ohmsehe Gesetz fiir bewegte, isotrope Leiter 9 I f = 7 f ' = 7 ( f +~" x if) I

(20.7)

verwenden. E und B sind die lokalen FeldgriSl3en an jenem laborfesten Ort, der gerade mit dem betrachteten K6rperpunkt (Geschwindigkeit ~') zusammenf~illt. Beachten Sie: G1. (20.7) paBt genau zu unserer Erweiterung (20.6) des Spannungsbegriffs. Die elektrische Spannung entlang eines Drahtes ist also nach wie vor mit der Stromstarke fiber das gew6hnliche Ohmsche Gesetz verkn/ipft. Deshalb k6nnen wir auch G1. (20.4) ohne formale Anderung fiir bewegte Leiterschleifen bzw. Spulen iibernehmen. . .

Rotierende Spule Drei einfache Beispiele sollen das Gesagte verdeutlichen. Stellen Sie sich als erstes eine Spule mit N Windungen vor, die mit konstanter Winkelgeschwindigkeit/2 in einer zeitlich konstanten magnetischen FluBverteilung rotiert (Abb. 20.10). Angenommen, der magnetische Flul3 durch die einfache Spulenfl~iche h~ingt vom Drehwinkel ~ ab gem~il3 41 = {bsin(~) mit {b= konst, und ~ = / 2 t . Dies ist z.B. in einem Homogenfeld so, kann aber auch durch geeignete Konturgebung im Luftspalt eines magnetischen Kreises erreicht werden. Der Verkettungsflul3 besitzt dann die Werte q~v= N ~ sin (/2 t) und die ,~nderungsraten ~bv=/2N~cos(/2t).

Abb. 20.10 Eine Spule rotiert in einem r~iumlich und zeitlich konstanten Magnetfeld. Die Spulenenden sind fiber Schleifkontakte mit den ~iul3erenAnschliissen verbunden 9 Dies gilt wieder im Rahmen der nichtrelativistischenN/iherung. Etwaige KonvektionsstriSmewollen wir in unserer quasistation~iren Betrachtung nicht beriicksichtigen.

118

20 Induktionserscheinungen

Damit liefert G1. (20.4) als Anschlul3spannung der leerlaufenden Spule U = 0 cos (.Ot) mit

0 = ,r

~,

(20.8)

also eine sinusf6rmige Wechselspannung der Amplitude O und der Kreisfrequenz 12. FlieBt Strom durch die Spule, so miissen Sie auch den RI-Term, die sogenannte ohmsche Spannung, mitnehmen und i.a. ber/icksichtigen, dab die Spule auch mit dem von ihr selbst erzeugten FluB verkettet ist, tO~= N ~sin (Ot) + LI.

(20.9)

Im Prinzip k6nnen Sie eine Anordnung dieser Art als Wechselspannungsgenerator verwenden, sie ist aber hinsichtlich der Ausnutzung des verfiigbaren Raumes nicht optimal. Technische Generatoren sehen deshalb anders aus.

Schleife m i t v e r d n d e r l i c h e r F l d c h e Als n/ichstes betrachten wir die offene Schleife aus Abb. 20.11, bestehend aus zwei festen Schienen, den Anschlul3dr~ihten und einem verschiebbaren Biigel. Das senkrecht durchsetzende Magnetfeld ist homogen und zeitlich konstant. Kennzeichnet die Lagekoordinate x die momentane Lage des Biigels und ihre ,~nderungsrate ~ = v seine Geschwindigkeit, dann ist tO= B.l.x der momentan umfal3te Flul3, und zwischen den offenen Klemmen tritt die Spannung

U = (0= Blv

(20.10)

auf. Beachten Sie die BezugssinneI Tats/ichlich ist fiir die Giiltigkeit dieser Beziehung die Homogenit~it des Magnetfeldes keine wesentliche Voraussetzung, die FluBdichte mul3 lediglich entlang des Biigels konstant sein. Bei dieser Gelegenheit m6chte ich Sie nochmals aufdie Bedeutung von U in G1. (20.4) und damit auch in G1. (20.10) hinweisen: U bezeichnet die Anschlul3spannung, nicht die Spannung entlang der Leiterbahn. Diese ist hier nach dem Ohmschen Gesetz gleichNull, weil kein Strom fliel3t. Die eben besprochene Anordnung mit dem verschiebbaren Bfigel wird gelegentlich als Ausgangspunkt fiir eine ,,physikalische" Erkl/irung der Bewegungsinduktion gew/ihlt: Die Leitungselektronen des Biigels erfahren durch die Bewegung im Magnetfeld eine Kraft - eV x B, die sie in Abb. 20.11 von rechts nach links treibt. Es

Abb. 20.11 OffeneLeiterschleife.Die zeitliche ~nderung des umfal3ten Flusses wird durch eine Verschiebung des B/igels bewirkt

20.3 Induktion in bewegten Leitern

119

findet daher eine Ladungstrennung derart statt, dab an der oberen Klemme ein ElektroneniJberschuB entsteht (Minuspol), an der unteren dagegen ein Elektronenmangel (Pluspol). Die ladungstrennende Kraft wird dann, ladungsbezogen, als Kurvensumme von ~" • B entlang der Schleife zusammengefaBt und als elektromotorische Kraft der Bewegung (kurz: Bewegungs-EMK) E=

(~ x B). d-~

(20.11)

bezeichnet (Vergleichen Sie dazu die Anmerkungen zur E M K im Zusammenhang mit Spannungsquellen im Abschnitt 8.4). In unserem Fall ist E = v Bl mit dem Richtungssinn entlang des Biigels von links nach rechts. Im Leerlauf gilt U = E, und dieses Ergebnis stimmt mit G1. (20.10)/iberein. Tats~ichlich sind die mikroskopischen Vorg~inge im Leiter wesentlich verwickelter. AuBerdem sind Situationen vorstellbar, in denen eine Erkl~irung der Bewegungsinduktion fiber die ~ x B-Kraft auf die Ladungstr~iger recht umst~indlich wird (Denken Sie sich beispielsweise den B/igel in Abb. 20.11 von einem mitgefiihrten Rohr aus hochpermeablem Material umgeben: Trotz der Abschirmung messen Sie im wesentlichen die gleiche Leerlaufspannung wie ohne Rohr). Bei makroskopischen Betrachtungen im Rahmen des Kontinuummodells halten wir uns deshalb am besten an das Induktionsgesetz und an die Materialgleichungen, z.B. an das Ohmsche Gesetz in seiner globalen und in seiner lokalen F o r m (20.7). F/ir die sichere Beherrschung der Vorzeichen pr~igen Sie sich Standardzuordnungen wie Abb. 20.6 a ein!

Faraday-Scheibe In unserem dritten Beispiel dreht sich eine Metallscheibe in einem homogenen und zeitlich konstanten Magnetfeld (Abb. 20.12). Der Rand der Scheibe und die metallische Welle sind fiber Schleifkontakte mit ruhenden ~iuBeren Anschliissen verbun-

Abb. 20.12 Die Metallscheibe rotiert in einem homogenen, transversalen Magnetfeld

120

20 Induktionserscheinungen

den. Wie groB ist die AnschluBspannung im Leerlauf? Wir werden die Frage auf zwei Arten beantworten. Zuerst betrachten wir die aus cgl und - c g 3 zusammengesetzte geschlossene Kurve. cga besteht aus den Zuleitungsdr/ihten zu den Schleifkontakten, aus einem Stiick des Scheibenumfangs, aus einer kiJrperfesten Verbindungslinie zwischen Umfang und Mittelpunkt der Scheibe (dreht sich mit) und einem St/ick der Welle. Durch die Drehung der Scheibe vergr6Bert sich die schraffierte Fl~iche, also ~indert sich der umfaBte FluB. Mit den Betr~igen B der konstanten FluBdichte und .(2- 2 n n der Winkelgeschwindigkeit (n ist die Drehzahl oder Umdrehungsfrequenz der Scheibe) gilt, wenn ~o = B aZn den FluB durch die ganze Scheibe angibt, fiir die Anderungsrate des von unserer Kurve umfaBten Flusses ~ ( d ) - q~0 O/(2n) = ~o-n. Der ganze k6rperfeste Weg (~91 ist stromfrei, also haben wir U(C#x)= 0, U ( O ~ ) = U(C#~)- U(C#3)- - U(Cg3)= - U (U ist die h n schluBspannung), und das Induktionsgesetz (20.1) liefert U = q~o-n.

(20.12)

Die zweite Analysemethode ist folgende: Wir nehmen die aus (~2 und - c g 3 zusammengesetzte Kurve als Rand eines Fl&ichenstiicks d . (~2 besteht auBerhalb der Scheibe aus denselben Teilen wie cs 1, innerhalb der Scheibe aber aus der raumfesten Verbindungslinie zwischen Schleifkontakt und Mittelpunkt. Dieses Kurvenstiick dreht sich also nicht mit. Jetzt k o m m t das zentrale Argument: Die Scheibe ist stromfrei. Vom raumfesten Standpunkt aus betrachtet (Laborsystem) herrscht wegen des Ohmschen_. Gesetzes (20.7) daher in ihrem Inneren die elektrische Feldst~irke E = - ~ ' x B. Diese Feldstfirke ist radial nach innen gerichtet, besitzt wegen v = Or (r ist der Radialabstand vom Mittelpunkt aus) den Betrag E s = B Or und liefert U ((~2) =

Es" ( - dr) = B O

rdr = B 1 2 a 2 / 2 = ~ o . n

mit 4)o = B a2n u n d / 2 = 2n n, den gleichen Bezeichnungen wie vorher. Da unsere Randkurve nun im Raum ruht, ~indert sich der umfaBte FluB nicht: & = 0 . SchlieBlich gelangen wir mit dem Induktionsgesetz U (c~r U(Cg2)- U (c#3)= 0 wieder zum selben Ergebnis (20.12), U - U (cg3)= U (cg2)= ~o n. Wenn die Scheibe mit konstanter Winkelgeschwindigkeit gedreht wird, entsteht zwischen den Anschlfissen eine Gleichspannung. Die Anordnung ist also im Prinzip als Gleichspannungsgenerator brauchbar. Es gibt tats~ichlich Maschinen nach diesem Funktionsprinzip, wenn auch in einer etwas anderen Bauform. Man nennt sie, nicht besonders treffend, Unipolarmaschinen. Ihre technische Bedeutung ist gering, weil sie zwar groBe Str6me, aber nur kleine Spannungen erzeugen. Sie k6nnen das selbst leicht absch~itzen.

20.4 Fragen 1. WelcheGrundvorstellung verbinden Sie mit dem Phfinomen der elektromagnetischen Induktion? 2. Wie lautet das Induktionsgesetz formal und verbal?

20.5 Aufgaben

121

3. Was m/issen Sie bei der Anwendung des Induktionsgesetzes hinsichtlich der Orientierung der Randkurve - insbesondere bei mehrfach zusammenh~ingenden Bereichen - sorgfiiltig beachten? 4. Welche elektrostatische Grundgleichung wird durch das Induktionsgesetz erweitert? 5. Was mtissen Sie bei der Anwendung der zweiten Kirchhoff-Regel und bei der Definition von AnschluBspannungen (Klemmenspannungen) in bezug auf Induktionserscheinungen beachten? 6. Wie verh~ilt sich eine ideal widerstandslose Leiterschleife beziiglich des mit ihr verketteten magnetischen Flusses? 7. Welche Beziehung besteht zwischen den AnschluBgr6Ben einer Spule und ihrem Verkettungsflul3? In welchen Schritten folgt diese Beziehung aus dem Induktionsgesetz, und welche Bezugssinne liegen zugrunde? 8. Was genau verstehen Sie unter dem Begriff"VerkettungsflulY'? 9. Was verstehen Sie unter Wirbelstr6men? Wie kommen diese zustande? 10. Was bedeutet magnetische FluBverdr~ingung und wie kommt sie zustande? 11. Was bedeutet Stromverdr~ingung und wie kommt sie zustande? 12. Warum und durch welche Mal3nahmen wird die Ausbildung von Wirbelstr6men meist unterbunden? 13. Wie h/ingt die elektrische Spannung entlang bewegter Kurven mit den lokalen elektromagnetischen Feldgr6Ben zusammen? 14. Wie ist das Induktionsgesetz fiir bewegte F1/ichen und deren R/inder zu modifizieren? 15. Wie formulieren Sie das lokale Ohmsche Gesetz fiir bewegte Leiter und wie ist das zu begriinden?

20.5 Aufgaben A20.1 SpannungsstoB: Z u r M e s s u n g d e r m a g n e t i s c h e n F l u l 3 d i c h t e i m L u f t s p a l t eines G l e i c h s t r o m m a g n e t e n w i r d eine in d e n S p a l t e i n g e s c h o b e n e K r e i s s c h l e i f e (Abb. A20.1) r a s c h h e r a u s g e z o g e n . D a s a n g e s c h l o s s e n e Mel3ger~it z e i g t d a b e i e i n e n S p a n n u n g s s t o l 3 v o n 0,56 m V s . W i e grol3 ist die F l u l 3 d i c h t e ?

Abb. A20.1

A20.2 Heringsches Paradoxon: D e r in A b b . A20.2a im s c h r a f f i e r t e n Q u e r s c h n i t t s k i z z i e r t e E i s e n s c h e n k e l fiihrt e i n e n k o n s t a n t e n m a g n e t i s c h e n Flul3 9 u n d w i r d zun~ichst v o n e i n e r Mel3schleife umfal3t, in d e r ein G e r ~ t z u r M e s s u n g des S p a n n u n g s s t o l 3 e s ( Z e i t s u m m e d e r e l e k t r i s c h e n S p a n n u n g ) liegt. D i s k u t i e r e n Sie die

122

20 Induktionserscheinungen

Anzeige des Mel3ger~ites, w~ihrend die Kontakte von Stellung 1 nach Stellung 2 bewegt werden.

Abb. A20.2a

A20.3 Induktion in einer offenen Schleife: Abb. A20.3a zeigt schraffiert den Querschnitt des Schenkels eines magnetischen Kreises, der einen zeitlich sinusf/Srmigen WechselfluB der Frequenz f = 50 Hz und der Amplitude ~ = 200 m W b fiihrt. Der Schenkel ist von einem offenen Drahtbiigel umgeben. Wie gro6 ist die vom Voltmeter (sehr gro6er Innenwiderstand) in den beiden Lagen angezeigte Spannung in Abh&ingigkeit vom Winkel ~?

Abb. A20.3a

A20.4 Spannung an einer Meflspule: Eine schlanke Zylinderspule mit N = 5000 Windungen und der L~inge 1 = 25 cm wird von einem 50 Hz-Sinusstrom der Amplitude f = 50mA durchflosssen (Abb. A20.4a). In ihrem Inneren befindet sich eine Me6spule mit der Querschnittsfl~iche A M= 0,79cm z und N M= 500 Windungen. Geben Sie die Spannung U M an der offenen MeBspule an.

20.5 Aufgaben

123

Abb. A20.4a

A20.5 Vibrationsmagnetometer: Ein Ger~t zur Messung magnetischer Gleichfelder verwendet als Sonde eine Spule mit N Windungen, die um eine mittlere Winkellage vibriert (Abb. A20.5a). Die Sonde wird so gelegt, dab sich ein Maximum des Spitzenwertes 0 der Leerlaufspannung U(t) einstellt. Angenommen, es wird dann 0 = 0 , 6 m V gemessen. Geben Sie den zugeh6rigen Betrag der magnetischen FlufJdichte und deren Lage relativ zur Sonde an.

Abb. A20.5a

A20.6 Drehzahlgeber mit lmpulsdrahtsensor: Das Sensorelement S des Drehzahlgebers aus Abb. A20.6 besteht aus einem speziell pr~parierten, hartmagnetischen DrahtstiJck D, dessen axiale Flul3dichte durch vorbeibewegte Dauermagnete wechselnder Polarit~t innerhalb etwa 1 ItS von B 1 n a c h - B1 springt, und umgekehrt ("Impulsdraht"). Wie grol3 ist ungefiihr der Spitzenwert des dabei zwischen den AnschliJssen 1 und 2 der Aufnehmerspule auftretenden Spannungsimpulses?

124

20 Induktionserscheinungen

Abb. A20.6

A20.7 Flufldichtewelle: Ober die in Abb. A20.7a dargestellte Schleife l~iuft eine FluBdichtewelle der Form B = B sin (kx - 090 -ez. Berechnen Sie den Zeitverlauf der Spannung U an den offenen Anschliissen.

Abb. A20.7a

A20.8 Fluflmessung: An den offenen Anschliissen einer Probespule mit N Windungen, die gem~iB Abb. A20.8a einen FluBpfad umfaBt, wird die angegebene Wechselspannung U(t) gemessen. Berechnen Sie daraus und skizzieren Sie den Zeitverlauf des zugehSrigen magnetischen Flusses ~(t). Wird durch eine Messung dieser Art der gesamte magnetische FluB durch den Querschnitt erfaBt?

Abb. A20.8a

125

20.5 A u f g a b e n

A20.9 Tangentialfeldspule: Zur Messung der magnetischen Feldst~irke in Eisenteilen werden sogenannte Tangentialfeldspulen an den K6rper gelegt (Abb. A20.9). Im vorliegenden Fall ergibt sich eine 50 Hz-Sinusspannung der Amplitude 0,95 rnV. Wie groB ist die Amplitude der Tangentialfeldst~irke im Eisen?

Abb. A20.9

A20.10 Induktion in einer geschlossenen Schleife- Die beiden Drahtstiicke aus Abb. A20.10a mit den Widerst/inden R 1 = 50g2bzw. R E = 100,(2 sind in den Punkten A und B leitend verbunden und umfassen einen 50 Hz-SinusfluB mit der Amplitude ~ = 100 mWb. Welche Spannung wird vom Voltmeter in den beiden Lagen angezeigt? Das Magnetfeld zufolge des Schleifenstroms kann vernachl~issigt werden.

Abb. A20.10a

A20.11 KurzschluBwindung: Um das Eisenjoch aus Abb. A20.11 eines Transformators, das einen 50 Hz-SinusfluB ffihrt, wird eine kurzgeschlossene Drahtschleife gelegt. Geben Sie die Amplitude f des resultierenden Schleifenstroms unter Vernachl/issigung der Schleifeninduktivit~it an.

126

20 Induktionserscheinungen

Abb. A20.11

A20.12 lnduktion mit Dauermagnetstab: Ein starr axial magnetisierter Dauermagnetstab besitzt die Polst~irke (-- magnetischer Flul3 durch den Mittenquerschnitt) P - 0,1 mVs (Abb. A20.12a). Er wird in eine zun/ichst offene, widerstandslose Spule geschoben und diese dann widerstandslos kurzgeschlossen (Abb. A20.12b). Anschliel3end wird der Stab wieder aus der Spule entfernt. Wie grol3 ist der sich einstellende Spulenstrom?

Abb. A20.12a

Abb. A20.12b

A20.13 Topfspule: Sie stelten eine Topfspule mit Ferritkern her und es zeigt sich, dab die Induktivit~it um 5 % fiber dem gewiinschten Wert liegt. Um wieviel Prozent miissen Sie die Windungszahl korrigieren? Um welchen Prozentsatz ~indert sich dann die magnetische Flul3dichte im Kern, gleiche Amplitude der anliegenden Sinusspannung vorausgesetzt? Geben Sie auch die Richtung der ,~nderungen (gr6Ber-kleiner) an. A20.14 Bewegungsinduktion: In einem diinnwandigen Messingrohr steckt konzen-

trisch ein Dauermagnetstab (Abb. A20.14). Die Flul3verteilung ist drehsymmetrisch und liefert die Fliisse Os durch die Stirnfl~iche und OM durch die Mantelfl~iche des Rohres. Wie grol3 ist die durch Schleifkontakte abgegriffene Spannung U in jedem der angegebenen acht Fiille? Dabei bedeutet s "steht still" und r "rotiert mit der Winkelgeschwindigkeit/2 = 100 ~zs- 1,,, beides in bezug auf ein Inertialsystem.

20.5 Aufgaben

127

Abb. A20.14

A20.15 Unipolargenerator: Der dfinnwandige Metallzylinder aus Abb. A20.15a (1 = 300mm, d = 150mm) rotiert in einem radialen Magnetfeld der Flul3dichte B r = 1,6T mit der Drehzahl n = 3000 m i n - 1. Wie groB ist die an den Schleifkontakten gemessene S p a n n u n g U?

Abb. A20.15a

A20.16 Induktion in rotierenden Scheiben: Zwei metallene Riider rotieren gemiil3 Abb. A20.16a gegeneinander mit der Drehzahl n. Senkrecht dazu steht ein homogenes Magnetfeld. Berechnen Sie allgemein, aber vorzeichenrichtig, den Wert der zwischen den beiden Drehachsen auftretenden elektrischen Spannung U.

128

20 Induktionserscheinungen

Abb. A20.16a A20.17 Induktion in einem geraden Leiter: Ein gerader Leiter wird mit konstanter Geschwindigkeit transversal durch ein ann~ihernd homogenes Magnetfeld kreisfiSrmigen Querschnitts gezogen (Abb. A20.17a). Berechnen und skizzieren Sie den Zeitverlauf der gemessenen Spannung U.

Abb. A20.17a A20.18 Induktion in einem abgeschirmten Leiter: Ein gerader Kupferleiter bewegt sich zusammen mit einem ihn umgebenden, hochpermeablen Eisenrohr in einem ursprtinglich ann~ihernd homogenen Magnetfeld (Abb. A20.18a). Wie grol3 ist die elektrische Spannung U zwischen den offenen Anschlul3punkten?

Abb. A20.18a

20.5 Aufgaben

129

A20.19 Spule im r~umlich periodischen Spaltfeld: Die rechteckige Spule mit N Windungen aus Abb. A20.19a wird mit konstanter Geschwindigkeit v durch ein transversales magnetischesFeld (schraffierter Bereich) gezogen, dessen FluBdichte in der Spulenebene gem~iB B = B s i n ( n x / z ) 6 " z, ~ =const, verl~iuft. Berechnen Sie den Zeitverlauf der Spannung U an den leerlaufenden Anschliissen (Bezugssinn beachten!).

Abb. A20.19a

A20.20 Magnetohydrodynamischer (MHD) Generator: Durch einen rechteckigen Kanal aus Isoliermaterial flieBt gleichf#rmig mit der Geschwindigkeit ~"eine elektrisch leitfiihige Fltissigkeit (_Abb. A20.20a). Senkrecht dazu ist ein gleichfiSrmiges Magnetfeld der FluBdichte B eingepr~igt. Leiten Sie eine Formel ab f/Jr die Leerlaufspannung U, die durch diesen Generator zwischen den Anschltissen der innenliegenden Metallelektroden erzeugt wird (Vorzeichen beachten !).

Abb. A20.20a

Kapitel 21 Schaltungen mit Spulen und Transformatoren Konzentrierte Stromkreiselemente mit zwei elektrischen Anschliissen, deren wesentliche Eigenschaft die Induktivit~it ist, nennen wir Spulen. Sind zwei oder mehrere Spulen in konzentrierten Stromkreiselementen zum Zweck der Energie-oder Signalfibertragung induktiv gekoppelt, so sprechen wir von Transformatoren bzw. von Ubertragern. Obwohl die konstruktive Gestaltung dieser induktiven Bauelemente oder Ger~ite je nach Verwendung ganz unterschiedlich ausfallen kann, ist das Grundprinzip immer gleich: Drahtwicklungen, gelegentlich auch Metallfolien, und meistens hochpermeable Kerne zur konzentrierten Fiihrung des magnetischen Flusses.

21.1 Spulen Abgesehen vonder Verwendung als Kopplungselemente werden Spulen wegen ihres Verhaltens in Stromkreisen mit zeitlich verfinderlichen Str6men und Spannungen eingesetzt: Gleichstr~Sme k6nnen durch Spulen nahezu ungehindert flieBen (es steht ihnen nur der Drahtwiderstand entgegen), w~ihrend sie ffir Wechselstr6me mit steigender Frequenz eine immer h6her werdende Barriere darstellen. Als Schaltzeichen fiir Spulen verwenden wir die in Abb. 21.1 gezeigten Symbole. Die angefiigten Pfeile bedeuten eine rechtswendige Zuordnung der Bezugssinne ffir die Stromstfirke und den Verkettungsflul31, und dafiir gilt die Verkettungsgleichung (16.12) in ihrer urspriinglichen Form, ]q~v = L I 1.

(21.1)

Wenn Sie gegenfiber Abb. 21.1a einen der Bezugssinne umdrehen, was einer linkswendigen Zuordnung entspricht, dann miissen Sie anstelle von (21.1) die Gleichung ~v = - L I verwenden. Der Zusammenhang zwischen dem Verkettungsflul3 und dem Strom mul3 im Betriebsbereich nicht notwendig wie in Abb. 21.1 c linear sein, z.B. wenn sich magnetische S~ittigung des Kernmaterials bemerkbar macht. Wir nennen die Spule dann nichtlinear wirkend oder kurz nichtlinear. Gilt dagegen die Verkettungsgleichung (21.1) mit konstanter Induktivitiit im gesamten Betriebsbereich und ist auBerdem der Widerstand gleich Null, dann sprechen wir von einer idealen Spule. Das ist natiirlich nur ein Modell. Der unvermeidbare Widerstand realer Spulen lfiBt 1 Gleichgfiltig, wie die Spule gewickelt ist.

21.2 Berechneneinfacher Schaltungen mit Spulen

131

Abb. 21.1 Gebr~uchliche Schaltzeichen und Kennlinien ffir Spulen. a Bevorzugt zu verwenden, b Ausweichsymbol,c linearer Zusammenhang zwischen VerkettungsfluB und Strom sich aber in einer Ersatzschaltung leicht durch einen Widerstand in Reihe mit der idealen Spule beriicksichtigen. Fiir die Beschreibung des Verhaltens von idealen Spulen in Stromkreisen ben6tigen wir den Z u s a m m e n h a n g zwischen Anschlul3spannung und Stromst&irke. Wir brauchen dazu lediglich G1. (21.1) mit dem Induktionsgesetz in der F o r m (20.4) fiir R = 0 zu verknfipfen und erhalten mit den Bezugssinnen aus Abb. 20.6 a die

Elementgleichung fiir ideale Spulen [U=Li

].

(21.2)

In Worten: An einer idealen Spule ist die AnschluBspannung proportional der zeitlichen Anderungsrate der Stromst~irke. Der konstante Proportionalit~itsfaktor ist die Induktivit~it der Spule. Wichtig ist die Zuordnung der Bezugssinne. Sie sehen das in Abb. 21.2.

21.2

Berechnen einfacher Schaltungen mit Spulen

Was bewirkt nun der Z u s a m m e n h a n g (21.2) zwischen AnschluBspannung und Stromst~irke in einem Stromkreis? Sehen wir uns als erstes an, wie die Reihenschaltung einer idealen Spule mit einem Widerstand auf einen Spannungssprung reagiert (Abb. 21.3). Angenommen, an den ~iuBeren Anschliissen liegt fiber lange Zeit eine

Abb. 21.2 Ideale Spule. Bezugssinnevon Strom und Spannung und zugeh6rige Elementgleichungenim Verbraucherbezugssystem a und im Erzeugerbezugssystemb

132

21 Schaltungen mit Spulen und Transformatoren

Abb. 21.3 An der Reihenschaltung einer idealen Spule mit einem Widerstand liegt die Gleichspannung U = U a. Zum Zeitpunkt t = 0 wird fiber die/iuBere Schaltung (nicht gezeichnet) die Spannung sprungartig auf den konstanten Wert U = U 2 ver~indert

Spannung mit dem konstanten Wert U1. Alle Anderungensraten sind dann gleich Null; im speziellen gilt t < O"

i = O, ~ UL = L I = O, ~ UR = U 1 -- UL = U

1, =:~

I = UR/R = U

1/R,

d.h. die Stromst/irke wird allein durch die anliegende Spannung und den Widerstand bestimmt, und die Spule ist mit dem magnetischen FluB L I verkettet. Springt nun die angelegte Spannung U zum Zeitpunkt t = 0 auf den Wert U2, so h/ilt die Spule im ersten Augenblick ihren VerkettungsfluB und damit auch den Strom I - U 1 / R fest 2. Die Spannung am Widerstand bleibt daher gleich U 1, und die Spannung der Spule springt auf den Wert UL = U -- U R = U 2 - U 1 , d.h. t=0+:

I=U1/R,

=~ U R = U1,

=~ U L = U z - - U 1 .

Mit UL 4: 0, sagen wir U L > 0 (ffir U2 > U1), beginnt sich nun der Strom zu ~indern, U L / L > O . Er nimmt zu, gleichzeitig wfichst die Spannung UR = R I , und UL = U 2 - UR nimmt zusammen mit der ,~nderungsrate i = U L / L ab. Der ganze Vorgang dauert so lange, bis die Spule den neuen konstanten Strom I = U 2 / R fiihrt (Abb. 21.4). In der mathematischen Darstellung der Oberg~inge mit Hilfe der natiirliehen Exponentiaifunktion erscheint als charakterische Gr6Be fiir den Zeitverlauf die sogenannte Zeitkonstante

i=

: = L/R]

(21.3)

der R-L-Schaltung. ~hnlich wie bei R-C-Schaltungen gilt auch hier die praktische Regel: Nach etwa S Zeitkonstanten haben alle Gr6gen ihren Endwert mit ausreichender Genauigkeit erreicht (Abweichung kleiner 1% der Gesamt~nderung). Die Zeitkonstante der R-L-Reihenschaltung legt einen ZeitmaBstab fest, gegeniiber dem zeitliche Vorgfinge als rasch oder als langsam ablaufend eingestuft werden k6nnen, Frequenzen von Wechselgr6gen grog oder klein sind. Angenommen, die Anschlul3spannung der Schaltung in Abb. 21.3 springt periodisch zwischen den Werten U1 und U2, ist also die Oberlagerung der Gleichspannung (U1 + U2)/2 mit einer rechteckf6rmigen Wechselspannung der halben Schwingungsbreite (U2 - U1)/2 (Abb. 21.5). Ist die halbe Periodendauer klein gegeniiber der Dauer des 2 Bei einer sprunghaften Anderung des Verkettungsflusses miiBte die AnschluBspannung der Spule im Sprungzeitpunkt einen unendlich groBen Wert annehmen.

21.2 Berechnen einfacher Schaltungen mit Spulen

133

Abb. 21.4 Die an der Reihenschaltung in Abb. 21.3 liegende Spannung U ~indert sich zum Zeitpunkt t = 0 sprungartig vom Wert Ux auf den Wert U2. Dargestellt ist der anschlieBende Zeitverlauf des Stromes I und der AnschluBspannung der Spule UL ffir unterschiedliche Werte der Zeitkonstanten

"c=L/R.

Abb. 21.5 An der R-L-Reihenschaltung a liegt eine pulsierende Spannung b. Gilt T/2 <<5r, so blockt die Spule den Wechselanteil nahezu vollst~indig abe

A u s g l e i c h s v o r g a n g e s , d.h.

T/2 << 5r

oder

1 1 R f = -~ >> 10---~= 10----L'

(21.4)

d a n n bleibt die S t r o m s t ~ i r k e n a h e z u k o n s t a n t u n d wird n u r d u r c h d e n M i t t e l w e r t 3 d e r S p a n n u n g u n d d e n W i d e r s t a n d b e s t i m m t . D i e K u r v e n f o r m d e r S p a n n u n g ist d a b e i g a n z u n w e s e n t l i c h . Beziiglich einer W e c h s e l s p a n n u n g hoher F r e q u e n z verh~ilt sich die R e i h e n s c h a l t u n g so, als ob der Spulenzweig u n t e r b r o c h e n w~ire.

3 Genauer: den zeitlichen linearen Mittelwert.

134

21 Schaltungen mit Spulen und Transformatoren

Gekoppelte Spulen Bisher haben wir vorausgesetzt, dab der VerkettungsfluB unserer Spule bei einem festen Wert der Induktivitiit allein vom Strom durch die Spule selbst bestimmt wird. Dies ist natfirlich nicht mehr der Fall, wenn zwei oder mehrere Spulen magnetisch gekoppelt sind, weil dann der VerkettungsfluB einer Spule auch von den Str6men in den anderen Spulen abh/ingt. Anstelle der G1. (21.1) mfissen wir nun allgemeinere Verkettungsgleichungen nach dem Muster des Schemas (16.16) verwenden, wobei wir auch weiterhin Linearitiit (d.h. keine Siittigungseffekte) annehmen. Stellen Sie sich also zwei Spulen wie in Abb. 18.5 vor, teilweise mit dem selben magnetischen FluB verkettet. Mit den angegebenen Bezugssinnen haben wir die Verkettungsflfisse

(~vl = Ll111 + L1212,

(~)v2----L2111 + L2212,

(21.5)

deren Nnderungsraten fiber das Induktionsgesetz in der F o r m (20.4) 4 U1 = ~vl,

U2 = ~v2,

(21.6)

die Verbindung zu den AnschluBspannungen herstellen und damit die Elementgleiehungen flit zwei gekoppelte, ideale Spulen liefern, U 1 =- L l l i l "1- L121~2,

(21.7)

U 2 -~- L21 i I -~- L221(2, wenn die Spannungen gem/iB dem Verbraucherbezugssystem liegen. Diese Zuordnung sehen Sie nochmals in Abb. 21.6a z u s a m m e n mit dem Grundschaltzeichen ffir

Abb. 21.6 Grundschaltzeichen fiir zwei magnetisch gekoppelte Spulen (Transformator, Obertrager), Bezugssinne und Elementgleichungen. Das Schaltzeichen symbolisiert auBerdem einen gemeinsamen Bezugssinn fiir die Verkettungsfliisse. Wird gegeniiber dem Grundschema a ein Bezugssinn umgedreht b, so ist das Vorzeichen der entsprechenden Gr6Be in den Gleichungen zu wechseln 4 Wir setzen ideale, widerstandslose Spulen voraus. Die Widerst~inderealer Spulen lassen sich in einer Ersatzschaltung durch Widerstfinde in Reihe mit den idealen Spulen beriicksichtigen.

21.2 Berechneneinfacher Schaltungen mit Spulen

13 5

Transformatoren. Dabei symbolisiert die parallele Lage der Schaltzeichen f/Jr die beiden Spulen (sie k6nnen sowohl nebeneinander wie auch hintereinander gesetzt werden) aul3erdem einen gemeinsamen Bezugssinn ffir ihre Verkettungsfliisse. Prfigen Sie sich das Bild am besten gemeinsam mit den Elementgleichungen ein. Das Umdrehen irgendeines Bezugssinnes bedeutet gleichzeitig den Vorzeichenwechsel der entsprechenden Gr613e in den Gleichungen (Abb. 21.6b). Gelegentlich ist es bei der graphischen Darstellung yon Schaltungen vorteilhaft, wenn Sie die beiden gekoppelten Spulen nicht unmittelbar nebeneinander oder hintereinander zeichnen miissen. F/Jr die Erhaltung der Information fiber die tats/ichliche r/~umliche Zuordnung (gemeinsamer Bezugssinn der Verkettungsfliisse) verwenden Sie dann dicke Bezugspunkte wie in Abb. 21.7. In jeder der Spulen sind jetzt die Bezugssinne fi.ir den Strom und die Spannung relativ zum Bezugspunkt frei wfihlbar. Merken Sie sich am besten wieder die zur Grundform (21.7) der Elementgleichungen geh6renden Bez/ige (Abb. 21.7a): Die Str6me treten an den durch die Bezugspunkte gekennzeichneten Spulenanf~ingen ein, und die Spannungen liegen dazu im Verbraucherbezugssystem. Die Umkehr eines Bezugssinnes relativ zum Bezugspunkt bedeutet einen Vorzeichenwechsel der zugeh6rigen Gr613e in den Gleichungen (Abb. 21.7b). Anstelle der gegenseitigen Induktivit/it werden Sie zur Angabe der Kopplung zweier Spulen oder Stromkreise gelegentlich auch den (induktiven) Kopplungsgrad finden, definiert als

k12 = L 12/N//L11L22

oder

k = M/x//LI L

2

.

(21.8)

Abb. 21.7 Ffir eine freiere graphische Darstellung gekoppelter Spulen ohne Informationsverlust fiber die gemeinsameFluBrichtungverwendet man Bezugspunkte(Kennzeichnungder ,Spulenanfiinge"). Bei zwei Spulen sind auBerdem die Gr6Bensymbole Lx, L 2 und M anstelle v o n L I 1 , L22 und L~2 = L21 fiblich, a Grundzuordnung, b Vorzeichenwechsel bei Umkehr eines Bezugssinnes relativ zum Bezugspunkt

136 Es

21 Schaltungen mit Spulen und Transformatoren

gilt

immer

0~

k2 ~

ungekoppeiten Spulen; bei gekoppelt.

1.

Bei k = 0, d.h. M = 0, sprechen wir von d.h. M 2 - - L 1L2, nennen wir die Spulen ideal

k 2 - - 1,

Reihenschaltun9 und Parallelschaltung yon Spulen Wei'den zwei oder mehrere ideale, d.h. im speziellen widerstandslose Spulen direkt zu einem Zweipol zusammengeschlossen, so l~il3t sich fiir die entstehende Kombination eine Ersatzspule angeben. Die Spulen k6nnen dabei gekoppelt sein, oder nicht. Betrachten wir zuerst eine Reihenschaltung von ungekoppelten, idealen Spulen (Abb. 21.8). Die zweite Kirchhoff-Regel liefert zusammen mit den Elementgleichungen (21.2), U = U I-~.- U 2 - [ - . . . -~- U , ,

U1 =LII, Uz=L2],"',

U,=L,i,

nach Einsetzen und Herausheben der gemeinsamen Stromfinderungsrate wieder einen Zusammenhang wie fiir eine ideale Spule, O - - - - ( L 1 -k- L 2 -+- "" " +

Wir haben damit fiir die

U=Li. Induktivit~t der

L,)],

Ersatzspule einer Reihensehaltung idealer

Spulen ohne Kopplung L=L

1 +L2+""

+L,

.

(21.9)

Ffir die Ber/icksichtigung der Spulenwiderst~inde brauchen Sie zur Ersatzspule lediglich einen Widerstand mit dem Wert der Summe der Einzelspulenwiderst~inde in Reihe zu schalten. Angenommen, zwei ideale Spulen sind magnetisch gekoppelt. Es gibt dann zwei M6glichkeiten ihrer Reihenschaltung: Entweder so, dab die Bezugssinne f/Jr die Verkettungsfliisse fibereinstimmen, oder so, dab sie nicht /ibereinstimmen. Wir beriicksichtigen das durch Bezugspunkte (Abb. 21.9). Im ersten Fall folgt aus den

Abb. 21.8 Reihenschaltung von nicht gekoppelten, idealen Spulen. a Urspriingliche Schaltung, b Ersatzspule

137

21.2 Berechnen einfacher Schaltungen mit Spulen

Abb. 21.9 Die zwei M6glichkeiten der Reihenschaltung zweier idealer Spulen mit Kopplung

Elementgleichungen (21.7) und der zweiten Kirchhoff-Regel U 1 = L 111 + M ] 2 = (L 1 + M ) i , U2 = L2i2 + M i x = (L2 + M)i, U = U1 + U2 = (L1 + L2 +

2M)i = L],

d.h. fiir die Ersatzinduktivitiit zweier idealer Spulen bei Reihensehaltung mit gleiehem Bezugssinn IL : L 1 + L 2 + 2 M I . I

(21.10a)

I

Im zweiten Fall analog U 1 = L 1i 1 +

MI2 =

(L 1 -

M)!',

U2 = L2!'2 + M l l = ( - L 2 + M)!', U = U~ -- U2 = (El + L2 - 2 M ) I = L],

also fiir die Ersatzinduktivitiit zweier idealer Spulen bei Reihensehaltung mit entgegengesetztem Bezugssinn ]L = L 1 +

L 2 --

2 M].

(21.10b)

Ist M positiv, so sprechen wir im ersten Fall yon einer Mitkopplung, im zweiten Fall yon einer Gegenkopplung. D e r Spulenwiderstand lfiBt sich wie bei ungekoppelten Spulen berficksichtigen. Die Erweiterung auf eine gr6Bere Zahl idealer Spulen, sagen wir n, ist nicht schwer durchzufiihren. Mit dem symmetrischen Satz Lk~; k, l = 1,-.., n, der Selbstund gegenseitigen Induktivit~iten haben wir zunfichst Uk = ~ Lk~l~, l=1

k= 1,...,n

(21.11)

138

21 Schaltungenmit Spulen und Transformatoren

und als Bedingungen fiir die Reihenschaltung aller Spulen (Bezugssinne wie in Abb. 21.9 oben)

= ~ Uk, Ii= I,

U

l = 1,...,n.

k=l

Daraus folgt fiir die Ersatzinduktivit~it der Reihenschaltung L= ~ k=l

~ Lk~.

(21.12)

/=1

Liegen irgend zwei Spulen mit entgegengesetztem Bezugssinn in der Reihe, dann beriicksichtigen Sie das durch einen negativen Wert ihrer gegenseitigen Induktivit~it. Nun zur Parallelschaltung von Spulen! Wenn keine Kopplung vorliegt, ist die Sache wieder recht einfach (Abb. 21.10). Die erste Kirchhoff-Regel gibt zusammen mit den Elementgleichungen (21.2)

1=11 +12+"" +In, i I --

U/L~,

i2 = U / L 2 . . . . , i n = U/L,,,

also wegen

1 :

1)

+-f22 +...

1 v:-iv

fiir die lnduktivit~it L der Ersatzspule einer Parallelschaltung idealer Spulen ohne Kopplung -1=

1 + 1 +---+

LL1-L22

1

(21.13)

Dazu ein wichtiger Hinweis: Hfiufig ist diese Gleichung nicht anwendbar, weil Sie bei einer Parallelschaltung die Widerst~inde realer Spulen nicht durch einen gemeinsamen Reihenwiderstand beriicksichtigen k6nnen. Besitzen z.B. zwei Spulen die

Abb. 21.10 Parallelschaltung von nicht gekoppelten, idealen Spulen. a Ursprfingliche Schaltung, b Ersatzspule

21.2 Berechnen einfacher Schaltungen mit Spulen

139

Abb. 21.11 Sind die Widerst/inde von Spulen zu beriicksichtigen, so 1/iBtsich ihre Parallelschaltung i.a. nicht durch die Reihenschaltung einer idealen Spule mit einem Widerstand ersetzen Widerstiinde R 1 u n d R 2 u n d die Induktivitiiten L 1 bzw. L2, d a n n gilt fiir ihre Parallelschaltung (Abb. 21.11) U = R 111 + L 1 i

1 = R 2 I 2 nt-

L2112,

I = 11 + 12, u n d diese G l e i c h u n g e n lassen sich d u r c h Elimination von 11 u n d 12 i.a. nicht auf die F o r m U = R I + L!" bringen! Beim Vorliegen einer m a g n e t i s c h e n K o p p l u n g zweier Spulen h a b e n wir wieder den Fall t i b e r e i n s t i m m e n d e r u n d den Fall nicht iibereinstimmender Bezugssinne fiir die Verkettungsfliisse zu u n t e r s c h e i d e n (Abb. 21.12). Im ersten Fall 16sen wir die

Abb. 21.12 Die zwei MSglichkeiten der Parallelschaltung zweier idealer Spulen mit Kopplung

140

21 Schaltungen mit Spulen und Transformatoren

Elementgleichungen aus Abb. 21.7a nach ]1 hoff-Regeln,

und

i 2 auf und verwenden die Kirch-

i I --(L 2 UI - MU2)/(L

~L 2 --

M 2) -- U ( L 2 - M ) / ( L 1 L2 - M2),

i 2 ---(L 1 U2 -- M U 1 ) / ( L

1 L2 --

M 2) = U ( L 1 - M ) / ( L 1 L2 - M2),

] = i~ + i 2 = U / L ,

erhalten also fiir die Ersatzinduktivitgt zweier idealer Spulen bei Parallelsehaltung

mit gleiehem Bezugssinn IL =

-

+

(21.14a)

- 2M)].

Das analoge Vorgehen fiihrt im zweiten Fall mit denselben Elementgleichungen auf ]~ = (L 2 U~ - M U 2 ) / ( L

~L 2 --

] 2 = (L 1U 2 - M U x ) / ( L ~ ] = i x -i

L 2 --

M 2) = U ( L 2 + M ) / ( L 1 L 2 - M 2 ) , M 2) = -- U ( L 1 nt- M ) / ( L ~ L 2 - - M2),

2 = U/L,

und liefert daher fiir die Ersatzinduktivitiit zweier idealer Spulen bei Parallelsehaltung

mit entgegengesetztem Bezugssinn nt- L 2 -k- 2M)

[ L = (L 1L 2 - M2)/(L1

I.

(21.14b)

Bei positiven Werten von M sprechen wir im ersten Fall wieder von Mitkopplung, im zweiten Fall von Gegenkopplung. Nhnlich wie bei der Parallelschaltung ungekoppelter Spulen sind die Formeln (21.14a) und (21.14b) nicht anwendbar, wenn die Spulenwiderstiinde beriicksichtigt werden mtissen. Fiir die Parallelschaltung einer gr6geren Anzahl idealer Spulen gehen wir so vor: Zuerst werden die Elementgleichungen (21.11) nach den Strom~inderungsraten aufgel6st, d.h. das lineare Gleichungssystem wird invertiertS: ] k = ~ FklUl,

k=l,...,n.

/=1

Wir setzen voraus, dab das m6glich ist, dab also die Elementgleichungen linear unabhiingig sind (keine idealen Kopplungen). Parallelschaltung bedeutet (Bezugssinn wie in Abb. 21.12 oben)

i = ~ ik,

U l-- U,

1-

1 , . . . , n,

k=l

und daraus folgt ffir die Ersatzinduktivitiit L der Parallelschaltung

1_ L

i k=l/=l

5Fk/ sind die Elemente der zu (Lkl) inversen Matrix.

t 11,I

21.3 Transformatoren

141

Wenn irgend zwei Spulen mit entgegengesetztem Bezugssinn parallel liegen, dann beriicksichtigen Sie das durch einen negativen Wert ihrer gegenseitigen Induktivitat.

21.3 T r a n s f o r m a t o r e n ~176

Transformatoren dienen zur Ubertragung elektrischer Energie oder elektrischer Signale von einem Stromkreis in einen anderen (in der Regel handelt es sich um Wechselstromkreise), meist bei gleichzeitiger fJbersetzung von Spannungen und Str6men 6. Wir werden uns hier mit dem Verhalten einfacher Zwei-Spulen- Anordnungen besch~iftigen, nicht aber mit dem konstruktiven Aufbau solcher Gerfite bzw. Bauelemente. Kennzeichnend fiir Transformatoren ist die Biindelung des magnetischen Flusses in einem magnetischen Kreis kleiner Reluktanz, der von beiden Spulen umfal3t wird (Abb. 18.5). Die Verkettungsfliisse der beiden Spulen sind dann durch die Gln. (18.9) gegeben. W e n n wir fiir eine Spule, wir bezeichnen sie als Prim~irseite (Index 1), das Verbraucherbezugssystem wfihlen und fiir die andere Spule, die Sekund~irseite (Index 2), das Erzeugerbezugssystem 7 (Abb. 21.13), so folgt mit Berficksichtigung der Spulenwiderst~inde aus dem Induktionsgesetz in der F o r m (20.4) fiir die AnschluBspannungen

U1 = N1 ~h + L1~]1 + RLI1, (21.16)

U z = N2 ~h-- L2~riz -- R2I 2.

Abb. 21.13 Transformator mit zwei Spulen (,,Einphasen-Zweiwicklungstransformator"). Gh ist die Hauptpermeanz des magnetischen Kreises; N1, R 1,L1, und N2,R2,Lz,~bezeichnen die Windungszahl, den Widerstand und die Streuinduktivit~it der Primfir-bzw. der Sekundfirwicklung 6Gelegentlich verwendet man Transformatoren auch zum Vermeiden einer leitenden Verbindung zwischen Stromkreisen (,,galvanische" Trennung, ,,Potentialtrennung", Trenntransformator) oder zum Abblocken von Gleichanteilen. 7Dies ist iiblich, wenn der mittlere EnergiefluB haupts~ichlich in einer Richtung erfolgt-von der Prim~irseite zur Sekund~irseite.

142

21 Schaltungen mit Spulen und Transformatoren

Diese Grundgleichungen fiir das Verhalten der Anschlul3gr6Ben des sogenannten Einphasen-Zweiwicklungstransformators sind noch zu erg/inzen durch eine Beziehung der Gesamtdurchflutung 0 = N 11 x - N E I 2 zum HauptfluB (im linearen Fall q~h - G h O), oder durch eine Beziehung der Str6me untereinander (Durchflutungsausgleich O = 0.bei vernachliissigbarem Magnetisierungsbedarf des magnetischen Kreises). Betrachten wir zuerst einen Idealfall. Angenommen, die beiden Spulen sind widerstandslos und ideal gekoppelt, d.h. R 1 - R 2 = 0 und LI~ = L2~ = 0. Daraus folgt mit den Gln. (21.16) U 1 / U 2 = N 1 / N 2 . Weiters sei die Reluktanz des magnetischen Kreises gleich Null (Gh ~ oe). Das bedeutet Durchttutungsausgleich O = 0, also 1 1 / I 2 = N 2 / N ~. Das so definierte Stromkreiselement heiBt idealer Transformator und wird durch die Elementgleichungen U 1 U2

N1 N2'

11 I2

N2 N1

(21.17)

beschrieben. Wie Sie sehen, gilt fiir den idealen Transformator U l l l = U 2 1 2 , die zugefiihrte elektrische Leistung ist also trotz unterschiedlicher Str6me und Spannungen zu jedem Zeitpunkt gleich der abgegebenen elektrischen Leistung- keine Verluste, keine Energiespeicherung. Der feste Quotient nvl 2 = U1/U z = Nx/N z

(21.18)

heil3t die Spannungsfibersetzung des idealen Transformators. 8 Sind keine Mehrdeutigkeiten m6glich (,,Spannungs-" zur ngheren Kennzeichnung der iibersetzten GrOBe, Prim~ir- und Sekund~irseite eindeutig festgelegt), so kOnnen wir die Indizes auch weglassen und einfach n schreiben. H~iufig wird die Spannungsiibersetzung auch als ungekiirztes Verhfiltnis der Betriebs(Nenn-)spannungen angegeben (speziell bei Leistungstransformatoren), z.B. n = 220V/12V oder auch als gekiirztes Verhiiltnis (speziell bei Ubertragern), z.B. n = 1"5. Wichtig ist noch folgendes: Das Modell des idealen Transformators ist nieht flit GleiehstriJme anwendbar und auch dann nicht, wenn periodische Strbme Gleiehanteile enthalten (linearer Mittelwert ungleich Null). In diesen F~illen ist die Annahme des Durchflutungsausgleichs in der Regel nicht gerechtfertigt. Transformatoren iibersetzen mit Spannungen und StrOmen auch die KenngriJBen anderer Stromkreiselemente. Angenommen, wir legen an die Sekund~irklemmen eines idealen Transformators einen idealen Widerstand (Abb. 21.14a). Wegen U 2 -- R I 2 gilt dann mit den Elementgleichungen (21.17) U1 = n U2 = n R I 2 = n Z R I 1 . Beziiglich der Primfirklemmen k6nnen wir demnach den idealen Transformator zusammen mit dem Widerstand R allein durch einen neuen, den auf die Prim~rseite iibersetzten Widerstand R ' -- rt2 R

(21.19a)

8Bei nichtidealen Transformatoren oder bei komplizierteren Schaltungen mit mehreren Spulen entspricht die Spannungsiibersetzungnicht notwendig dem Windungszahlverhiiltnis. Man definiert sie dann gfinstigerweiseals Quotient zweier SpannungskenngrN3en, etwa der Effektivwerte der primfiren und der sekund~iren Leerlaufspannung.

21.3 Transformatoren

143

Abb. 21.14 Ideale Stromkreiselemente auf der Sekundiirseite eines idealen Transformators lassen sich in einfacher Weise auf die Prim/irseite fibersetzen darstellen. Ganz analog finden wir ffir eine ideale Spule oder einen idealen Kondensator wegen U1 = n U 2 = n L ] 2 = n 2 Li~l bzw. 11 = I 2 / n = C U z / n = C O l i n 2 die auf die Prim~irseite iibersetzten Werte der Induktivitiit bzw. Kapazifiit L' = n 2 L ,

(21.19b, c)

C ' = C / n 2.

Achten Sie auch bei der Anwendung dieser Formeln auf die Voraussetzungen: Keine GleichstriSme, keine Gleichanteile periodischer Str6me. Wir wollen nun eine hiiufig verwendete Ersatzschaltung fiir Transformatoren unter Berficksichtigung der Spulenwiderstiinde und auch der Streuung konstruieren. Ausgangspunkt dafiir ist Abb. 21.13. Die zugeh6rigen Gin. (21.16) schreiben wir mit der Spannungsiibersetzung n = N 1 / N 2 des zugeordneten idealen Transformators, mit Nl~h=Lh(Ix--I2),

Lh=NZaGh=nM,

I 2=I2/n

(L h ist die auf die Prim/irseite bezogene, sogenannte Hauptinduktivitiit) und mit den weiteren, fiber den zugeordneten idealen Transformator auf die Primiirseite fibersetzten Gr6Ben U

! 2 =

t

nU2,

gza

"-

lrl 2

gza ,

t

R2

--" n 2

R2

in der F o r m U 1 = L h ( ] 1 -- i2) + LI,~il + R 1 1 1 ,

u2 = L

(il -

L2oi'

(21.20) - R2I 2 .

Abb. 21.15 Die dargestellte Schaltung verh/ilt sich beziiglich der beiden AnschluBpaare genau wie die Schaltung aus Abb. 21.13. Man nennt sie, meist ohne den idealen Transformator, die T-Ersatzschaltung des Transformators

144

21 Schaltungen mit Spulen und Transformatoren

D i e s e n t s p r i c h t , wie Sie d u r c h A n w e n d e n d e r K i r c h h o f f - R e g e l n leicht n a c h p r i i f e n k 6 n n e n , g e n a u d e r in A b b . 21.15 a n g e g e b e n e n S c h a l t u n g , die sich d e m n a c h in b e z u g a u f die b e i d e n A n s c h l u l 3 p a a r e g l e i c h a r t i g v e r h / i l t wie die u r s p r i i n g l i c h e S c h a l t u n g a u s A b b . 21.13. D i e E r s a t z s c h a l t u n g A b b . 21.15 zeigt in d u r c h s i c h t i g e r W e i s e die u n t e r s c h i e d l i c h e n M o d e l l e z u r B e s c h r e i b u n g des l i n e a r e n V e r h a l t e n s v o n T r a n s f o r m a t o r e n . B e i s p i e l s w e i s e b e d e u t e t L h ~ ~ die V e r n a c h l & i s s i g u n g des s o g e n a n n t e n M a g n e t i s i e r u n g s s t r o m e s 11 - I 2 ( D u r c h f l u t u n g s a u s g l e i c h ) . D e r Q u e r z w e i g in d e r T - E r s a t z s c h a l t u n g f/~llt d a n n weg, u n d wir k 6 n n e n die W i d e r s t f i n d e u n d S t r e u i n d u k t i v i t ~ i t e n t zu e i n e m G e s a m t w i d e r s t a n d R - R 1 + R 2 b z w . z u e i n e r G e s a m t s t r e u i n d u k t i v i t ~ i t L~ = L 1~ + L2~ z u s a m m e n f a s s e n .

21.4 Fragen 1. Welche Art von Stromkreiselementen nennen wir Spulen, welche Transformatoren? 2. Was verstehen Sie unter einer idealen Spule und wie lautet ihre Elementgleichung? 3. Wie wirkt eine Spule in bezug auf Gleichstrom und in bezug auf Wechselstr/Sme steigender Frequenzen? Was liefert ein Vergleich mit dem Verhalten von Kondensatoren? 4. Wie reagiert die Reihenschaltung einer idealen Spule mit einem Widerstand auf einen Spannungssprung? Wie ist dieses Verhalten zu erkl~iren? Wie sind die Zeitverl&iufe des Stroms und der Teilspannungen mathematisch zu beschreiben ? Wie ist die Zeitkonstante einer RL-Schaltung erkl~irt? 5. Wie lautet die Elementgleichung ffir zwei gekoppelte, ideale Spulen? Welche Bezugsinne haben Sie dabei angenommen und wie sind die Gleichungen zu begriinden? Wie beriicksichtigen Sie die Widerst~nde der Spulen? 6. Was bedeuten die in Schaltzeichen von Transformatoren oft verwendeten Bezugspunkte? 7. Wie ist der Kopplungsgrad zweier Spulen definiert? Welche Werte kann dieser Kopplungsgrad annehmen, und wie sind die Grenzen zu begriinden? Wann nennt man Spulen ideal gekoppelt? 8. Wie berechnen Sie die Ersatzinduktivit~it der Reihenschaltung zweier Spulen mit und ohne Kopplung? 9. Wie berechnen Sie die Ersatzinduktivit~it der Parallelschaltung zweier Spulen mit und ohne Kopplung? Was miissen Sie dabei hinsichtlich der Spulenwiderst~inde beachten? 10. Wozu dienen Transformatoren? Wie ist die Spannungsiibersetzung eines Zweiwicklungstransformators definiert ? 11. Ober welche Schritte kommt man zum Modell des idealen Transformators und wie lauten seine Elementgleichungen? 12. Wie werden Widerst~inde, Induktivit~ten und Kapazit/iten durch ideale Transformatoren iibersetzt ? Wodurch sind diese Formeln zu,begriinden, an welche Voraussetzungen sind sie gebunden? 13. Was verstehen Sie unter der Hauptinduktivit/it, was unter den Streuinduktivitfiten eines Transformators? 14. Wie ist der Magnetisierungsstrom eines Transformators erkl~rt? 15. Wie sieht die T-Ersatzschaltung eines Transformators aus? Was bedeuten die darin vorkommenden Parameter?

21.5 Aufgaben A21.1 Spannungen in einem induktiven Kreis: U b e r e i n e i d e a l e S t r o m q u e l l e w i r d in d e r R L - R e i h e n s c h a l t u n g a u s A b b . A 2 1 . 1 a d e r in A b b . A 2 1 . 1 b a n g e g e b e n e S t r o m v e r l a u f eingepr/~gt. B e r e c h n e n u n d s k i z z i e r e n Sie d e n Z e i t v e r l a u f d e r S p a n n u n g e n U, U R u n d UL.

21.5 Aufgaben

145

Abb. A21.1a

Abb. A21.1b

A21.2 Teilspannungen an RLC-Reihenschaltung: In die RLC-Reihenschaltung aus Abb. A21.2a wird der in Abb. A21.2b angegebene Strom eingeprfgt. Skizzieren Sie, maBst~blich richtig, den Zeitverlauf der Teilspannungen UR, UL, Uc, URLund der Gesamtspannung U.

Abb. A21.2a

Abb. A21.2b

A21.3 Messen der lnduktivit~it: Aus einer Messung an der Schaltung Abb. A21.3a sind f/Jr einem bestimmten Zeitpunkt die Momentanwerte I = 6 A , I L = 2A, i L = -- 10A/s bekannt. Wie groB ist die Induktivit/it?

Abb. A21.3a

A21.4 Anfangswerte: Uber den lange offenen Schalter S wird an die RLC-Kombination Abb. A21.4a zur Zeit t = 0 eine Gleichspannungsquelle gelegt. Geben Sie die Werte von IL, i L u n d I c unmittelbar nach dem SchlieBen des Schalters an.

146

21 Schaltungen mit Spulen und Transformatoren

Abb. A21.4a

A21.5 Schaltvorgang: Der Schalter S in Abb. A21.5a ist fiber lange Zeit ge6ffnet und wird zur Zeit t = 0 geschlossen. Geben Sie den Verlauf des Spulenstroms ffir t < 0 und t ___0 an.

Abb. A21.5a

A21.6 B e m e s s e n von Widerst~inden: Die Widerst&inde Rx und Abb. A21.6a sind so zu bemessen, daB der S p u l e n s t r o m I L

R2

der Schaltung

(i) t~ = 5 ms nach dem SchlieBen des Schalters S den Wert IL(t~) = 250 mA und (ii) relativ lange nach dem SchlieBen des Schalters den Wert I L ( ~ ) = 5 0 0 m A annimmt.

Abb. A21.6a

21.5 Aufgaben

147

A21.7 Freilaufdiode: Ein grol3er Gleichstrommagnet mit der Induktivit~it 100 H

und dem Widerstand 200~, dargestellt durch die RL-Reihenschaltung in Abb. A21.7a, liegt tiber lange Zeit bei geschlossenem Schalter S an einer Gleichspannungsversorgung. Zur Zeit t = 0 wird der Schalter ge6ffnet. Bestimmen Sie den Zeitverlauf des Stromes IL. Die Diode kann als ideal angenommen werden. Diskutieren Sie den Verlauf der Schalterspannung U s mit und ohne Diode.

Abb. A21.7a

A21.8 Gleichstromsteller: In der Ersatzschaltung Abb. A21.8a stellt S einen leistungselektronischen Schalter dar, der periodisch geschlossen und wieder ge6ffnet wird. Die Gl&ittungsinduktivit~it L ist so groB, dab sich ann~ihernd ein Gleichstrom I = I o einstellt. Berechnen Sie diese Stromst~irke in Abh~ingigkeit von Uq, R und dem Einschaltverh~iltnis ~. Die Diode kann als ideal vorausgesetzt werden.

Abb. A21.8a

A21.9 Spannungseinbruch: An ein Netzger~it, in Abb. A21.9a ersatzweise dargestellt durch eine ideale Gleichspannungsquelle, einen Innenwiderstand und eine Induktivit~t, wird eine Last gelegt. Berechnen Sie die Werte der Ausgangsspannung U unmittelbar vor, unmittelbar nach und lange Zeit nach dem Schliel3en des Schalters und den Wert der Zeitkonstanten. Zeichnen Sie mit diesen Daten den Verlauf yon U in einem skalierten Diagramm.

148

21 Schaltungen mit Spulen und -Fransformatoren

Abb. A21.9a

A21.10 Spannungsumkehr: Die tiber lange Zeit anliegende Gleichspannung am Eingang der Schaltung aus Abb. A21.10a springt bei t = 0 auf den entgegengesetzt gleich grol3en, konstanten Wert. Berechnen Sie die Werte der Ausgangsspannung fiir t < 0, t = 0 + und t ~ ~ und skizzieren Sie mal3stabsgerecht den Zeitverlaufvon U A.

Abb. A21.10a

A21.11 Zeitkonstante: Ftir die Berechnung eines Ausgleichsvorganges wird die in Abb. A21.11 angegebene Schaltung mit einer Gleichspannungsquelle verwendet. Berechnen Sie die Zeitkonstante, die das Anwachsen des Stromes I nach dem SchlieBen des Schalters charakterisiert.

Abb. A21.11 A21.12 lnduktivit~its~inderung: Str6me und Spannungen in der in Abb. A21.12a angegebenen Ersatzschaltung sind konstant, bis sich zum Zeitpunkt t : 0 die Induktivit~it sprungartig von L = 500 m H auf L = 2 5 0 m H ~indert. Berechnen Sie I (0 - ), I (0 + ), I ( ~ ) und die Zeitkonstante. Skizzieren Sie damit den Zeitverlauf des Stromes I.

21.5 Aufgaben

149

Abb. A21.12a

oo

A21.13 Uberspannung: In der Ersatzschaltung Abb. A21.13a stellt B ein elektronisches Bauelement dar, das fiber eine Zuleitung mit der Induktivitiit L an einer Gleichspannungsquelle liegt. Zum Zeitpunkt t = 0 wird der Schalter S ge6ffnet. Der Strom I genfigt dann der Gleichung L C I + I = O, t >_ O. Bestimmen Sie daraus den Maximalwert der Spannung U c.

Abb. A21.13a

A21.14 RL-Reihenschaltung mit periodischem Strom: Angenommen, der Strom in einer Reihenschaltung yon R = 20.Q und L = 0 , 1 H besitzt den in Abb. A21.14a angegebenen Verlauf. Wie verlaufen dann die Teilspannungen U R, U L und die Gesamtspannung?

Abb. A21.14a

150

21 Schaltungenmit Spulen und Transformatoren

A21.15 RL-Parallelschaltung: An die RL-Parallelschaltung Abb. A21.15a wird zum Zeitpunkt t = 0 die rechteckf/Srmige Wechselspannung Abb. A21.15b gelegt. Skizzieren Sie den Verlauf des Stromes I (i) fiir eine ideale Spule, (ii) f/Jr eine reale Spule (mit kleinem Widerstand) nach langer Zeit.

Abb. A21.15a

Abb. A21.15b

A21.16 Differentiation durch RL-Glied: Am Eingang des RL-Gliedes Abb. A21.16a liegt die periodische Spannung UE aus Abb. A21.16b. Bestimmen Sie den Zeitverlauf der Ausgangsspannung UA fiir die Grenzf~ille (i) groBer Frequenz, (ii) kleiner Frequenz. (iii) Wie/~ndern sich die Ergebnisse, wenn die Spule nicht ideal ist, also einen merkbaren Widerstand besitzt ?

Abb. A21.16a

Abb. A21.16b

A21.17 Integration durch RL-Glied: Am Eingang des RL-Gliedes Abb. A21.17a liegt die rechteckf6rmige Wechselspannung U E aus Abb. A21.17b. (i) Bestimmen Sie den Zeitverlauf der Ausgangsspannung U A unter der Voraussetzung groBer Frequenzen. (ii) Wie /indert sich das Ergebnis, wenn die Spule nicht ideal ist, also einen merkbaren Widerstand besitzt ?

21.5 Aufgaben

151

Abb. A21.17a

Abb. A21.17b

A21.18 Leistung an einer idealen Spule: Durch die Reihenschaltung einer idealen Spule ( L = 4H) mit einem Widerstand (R = lf~) fliel3t der 50Hz- Wechselstrom 2A-sin (090. Berechnen und skizzieren Sie den Verlauf der zugefiihrten Leistung fiir die Spule und den Widerstand. Wie grol3 sind die zeitlichen Mittelwerte? A21.19 Leerlaufspannung in einem gekoppelten Kreis: Geben Sie fiir die Schaltung Abb. A21.19a den Verlauf der Spannung U an, wenn der Sinusstrom I q = 5A-sin (cot) mit f = 50 Hz eingepr~igt wird.

Abb. A21.19a A21.20 Ausgleichsvorgang: In der in Abb. A21.20a angegebenen Ersatzschaltung ist zum Zeitpunkt t = 0 der Momentanwert I = 30mA bekannt. Skizzieren Sie den Verlauf der Spannung U am leerlaufenden Ausgang fiir t > 0.

Abb. A21.20a

152

21 Schaltungenmit Spulen und Transformatoren

A21.21 Drei gekoppelte Spulen: Drei gekoppelte Spulen mit vernachl~ssigbarem Widerstand sind wie in Abb. A21.21 a angegeben zusammengeschaltet. Wie grol3 ist der Wert der Ersatzinduktivitfit beziiglich der Anschliisse 1 und 2?

Abb. A21.21a

A21.22 Ersatzschaltungen fiir gekoppelte Spulen: Bestimmen Sie fiir die Kombinationen Abb. A21.22a bis Abb. A21.22d widerstandsloser, gekoppelter Spulen die Parameter der angegebenen Ersatzschaltungen mit ungekoppelten Spulen.

Abb. A21.22a,b,c,d A21.23 Messen der gegenseitigen lnduktivit~it: An zwei gekoppelten Spulen werden zwischen den fiul3eren Anschliissen in der Schaltung Abb. A21.23a 2mH und in der Schaltung Abb. A21.23b 6mH gemessen. Bestimmen Sie daraus den Wert der gegenseitigen Induktivit~it und setzen Sie die zugeh6rigen Bezugspunkte.

21.5 Aufgaben

153

Abb. A21.23a

Abb. A21.23b

A21.24 Kopplung zweier Spulen: Eine Spule mit R = 2 f2 und L~ = 0,12H wird an eine Gleichspannung von 100V gelegt. Eine zweite Spule mit L2 = 0,3H bleibt often, ist aber mit der ersten Spule fiber den Kopplungsgrad k : 0,8 induktiv verknfipft. Berechnen Sie ffir die erste Spule die Werte des Stromes, der Anderungsrate des Stromes und der Spannung an der offenen zweiten Spule (i) unmittelbar nach dem Einschalten, (ii) nach Ablauf einer Zeitkonstanten, (iii) lange Zeit nach dem Einschalten. An die Anschlfisse der ersten Spule wird nun zus~itzlich ein 10-f2-Widerstand gelegt und dann wird die Verbindung zur Quelle unterbrochen. Berechnen Sie die Werte wie oben nach dem Ausschalten. A21.25 Transformator-Ersatzschaltung: Zeigen Sie, dag die Kombination in Abb. A21.25a eine Ersatzschaltung fiir zwei gekoppelte Spulen mit den Parametern L l, L2, k und den Spulenwiderst/inden Rl und R2 darstellt. Wie grog ist n zu w~ihlen?

Abb. A21.25a

A21.26 T-Ersatzschaltung: Der in Abb. A21.26a angegebene Transformator soll durch die ~iquivalente Schaltung Abb. A21.26b mit ungekoppelten Spulen und einem idealen Transformator ersetzt werden. Berechnen S ie fiber die Grundgleichungen ffir gekoppelte Spulen die Parameter Lh, L~ und L2~ aus gegebenen Werten L~, L2 und M.

154

21 Schaltungenmit Spulen und Transformatoren

Abb. A21.26a

Abb. A21.26b

A21.27 Streutransformator: Der in Abb. A21.27a angegebene Transformator mit bekannten Windungszahlen und Spulenwiderst~inden, einem ann/ihernd ideal magnetisierbaren Kern und einem Streuspalt bekannter Reluktanz R m kann durch die Ersatzschaltung Abb. A21.27b dargestellt werden. Berechnen Sie allgemein die Ersatzparameter R und L~. Vernachl/issigen Sie dabei andere Streuungen.

Abb. A21.27a

Abb. A21.27b

A21.28 Transformator mit zwei Streuspalten: Der magnetische Kreis des kreiszylindrisch aufgebauten Transformators aus Abb. A21.28a ist zur Herstellung eines besonderen Verhaltens mit zwei Luftspalten ausgestattet: Einem umlaufenden radialen (Ar, lr) und einem axialen (Aa,/a)" Berechnen Sie n~herungsweise die Parameter n, Lh, Lla , L2~ der Ersatzschaltung Abb. A21.28b.

Abb. A21.28a

Abb. A21.28b

21.5 Aufgaben

155

A21.29 Ubertragung auf die Prim~irseite: Geben Sie ftir die Schaltung Abb. A21.29a eine Ersatzschaltung ohne gekoppelte Spulen an.

Abb. A21.29a

A21.30 Idealer Transformator mit drei Wicklungen: Der ideale Transformator aus Abb. A21.30a hat zwei Wicldungen mit je N Windungen und eine dritte Wicklung mit n N Windungen. Am Eingang der Schaltung flieBt der zeitlich variable Strom IE. (i) Geben Sie einen Ausdruck fiir die Ausgangsspannung UA an. (ii) Es sind n = 2, R1 = R2 = 1 0 0 ~2, R3 = R4 = R5 -- 1 kf2. Wie ~indert sich UA, wenn IE um 0,1 A zunimmt? (iii) Fiir welches Verh~iltnis der Widerst~inde R3 und R4 verschwindet UA?

Abb. A21.30a

K a p i t e l 22

Sinusschwingungen Einen Vorgang, dessen Zeitabh/ingigkeit sich durch eine Sinus- oder eine Kosinusfunktion mit einem linear zeitabh/ingigen Argument beschreiben 1/il3t, nennen wir Sinussehwingung. Die zugeh6rige physikalische Gr613e, die sinusf6rmig schwingt, heiBt SinusschwingungsgriSl3e, kurz Sinusgriifle, z.B. Sinusspannung oder Sinusstrom. Auf dem Gebiet der sogenannten Wechselstromtechnik gibt es eine Reihe derartiger Begriffe, eigenst/indige Bezeichnungen und Methoden. Die wichtigsten davon werden Sie jetzt kennenlernen.

22.1

Darstellungen von SinusgriiBen

In der Elektrotechnik hat sich folgende Schreibweise eingebiirgert: Soll die Zeitabh/ingigkeit zeitlich ver/inderlicher Spannungen, Str6me und Leistungen besonders hervorgehoben werden, dann verwendet man als Gr613ensymbol fiir die Augenblickswerte die entsprechenden Kleinbuchstaben, also u, i und p anstelle yon U, I und P. Wir werden uns dem im folgenden anschliegen. Die Grogbuchstaben U, I und P bleiben den noch zu definierenden Effektivwerten von Spannung und Strom bzw. der Wirkleistung vorbehalten.

Reelle und komplexe Darstellung Der Zeitverlauf einer Sinusgr6Be, sagen wir x, 1/il3t sich mit Hilfe einer Sinus- oder Kosinusfunktion angeben. Wir werden hier die reelle Standardform x = 2 cos(~ot + ~Ox)]

(22.1)

mit der Kosinusfunktion als Darstellung verwenden. Dabei gibt die Gr613e 2 den maximalen Wert von x innerhalb einer Periode an. Wir nennen sie die Amplitude (den Scheitelwert) der Sinusgr613e, und ihr Zahlenwert ist immer positiv. Den augenblicklichen Schwingungszustand eines periodischen Vorganges bezeichnet man allgemein als dessen Phase. In Anlehnung daran heil3t das Argument q) = co t + ~ox der Kosinusfunktion der Phasenwinkel, und sein Wert q~xzur Zeit t = 0 der Nullphasenwinkel. Die Kreisfrequenz (Winkelfrequenz) co h/ingt mit der Fre-

157

22.1 Darstellungen von Sinusgr6Ben

quenz (Periodenfrequenz) f u n d

der Periodendauer T bekanntlich fiber

I co = 2 rcf = 2 rc/ T ]

(22.2)

zusammen. Wie Sie sehen, 1/iBt sich eine Sinusgr6Be durch die Angabe ihrer Amplitude, ihrer Kreisfrequenz und ihres Nullphasenwinkels mit der reellen Standardform vollstiindig charakterisieren. Welchen Wert der Nullphasenwinkel besitzt, h/ingt natiirlich davon ab, wo Sie den Nullpunkt auf der Zeitskala fixieren (Abb. 22.1). Die absolute Lage des Zeitnullpunktes ist grundsiitzlich physikalisch belanglos, er muB aber ffir alle an einer Schwingung beteiligten Sinusgr6gen derselbe sein. Nur dann k6nnen Sie deren Augenblickswerte untereinander vergleichen. Es gibt noch eine andere M6glichkeit der Darstellung von Sinusgr6Ben, und zwar fiber die natfirliche Exponentialfunktion mit rein imaginiirem Argument. Ausgangspunkt daffir ist die Euler-Beziehung 1 exp(j q9) = e jo = cos(qg) + j sin(qg),

(22.3)

wobeij 2 = - 1. Eine komplexwertige Gr6Be 2 x_mit dem Betrag I_x[und dem Winkel (Bogen) q9 = arc (x_) 1/iBt sich damit als x_ - [ x l e j~ - I x l cos(~0)+ j Ix_[ sin(qg),

(22.4)

d.h. Re(x_) = Ix_lcos(~o),

Im (_x)= Ix_lsin(qg)

(22.5)

angeben. Identifizieren wir nun den Betrag und den Winkel einer komplexen Gr6Be mit der Amplitude bzw. dem Phasenwinkel einer Sinusgr6Be = Ix_l,

q~

= o9t + qgx = arc (_x),

(22.6)

Abb. 22.1 Reelle Standardform zur Darstellung von SinusgriSgen

1 Leonhard Euler, 1707-1783, Schweizer Mathematiker und Physiker. 2 Komplexe Gr6gen werden wir hier i.a. durch Unterstriche kennzeichnen. Diese besondere Kennzeichnung ist notwendig, weil wir dieselben Kernbuchstaben auch fiir die entsprechenden reellen Gr6Ben verwenden.

158

22 Sinusschwingungen

so gilt 3 x = Re (_x)= 89 + x_*)= :~ cos(cot + q9x) 1,

(22.7)

was der reellen Standardform (22.1) entspricht. Wir nennen I x_= :~eJ"~

~_e j~'t

mit

~ = :~ej~x ]

(22.8)

die komplexe Standardform der Darstellung einer Sinusgr6Be. Ihr Realteil ist die reelle Standardform. Die zeitabh/ingige Gr613e x_bezeichnet man als den komplexen Augenblickswert der Sinusgr6Be x, und ~ ist ihre komplexe Amplitude. Die komplexe Darstellung von Sinusgr6Ben erlaubt eine besonders anschauliche geometrische Deutung: Der Wert _x einer komplexen Gr613e entspricht einem Punkt in der GauBschen Ebene, festgelegt gemaB G1. (22.4) entweder durch die kartesischen Koordinaten Re(x_) und Im (x_), oder durch die Polarkoordinaten Ixl und arc (_x). Um das noch deutlicher zu machen, wird meistens ein gerader Pfeil vom Nullpunkt zum darzustellenden Punkt (Pfeilspitze) gezeichnet (Abb. 22.2). Solche Pfeile nennt man Zeiger, eine Bezeichnung, die bequemerweise auf alle komplexen Sinusgr6Ben wie komplexe Augenblickswerte, komplexe Amplituden und komplexe Effektivwerte (noch zu definieren), aber auch aufkomplexe Koeffizienten (Quotienten komplexer Sinusgr6Ben gleicher Frequenz) iibertragen wird. Die L~inge des Zeigers gibt, fiber einen geeigneten MaBstab (z.B. 1 cm ~ 50 V fiir einen Spannungszeiger), den Betrag der komplexen Gr613e an. Sie entspricht also bei komplexen Augenblickswerten und bei komplexen Amplituden der Amplitude der dargestellten Sinusgr/SBe. Den Zeiger des komplexen Augenblickswertes haben Sie sich rotierend vorzustellen, und zwar im Gegenuhrzeigersinn mit der Kreisfrequenz 09 (daher stammt die Bezeichnung ,,Kreisfrequenz" oder ,,Winkelfrequenz"). Die Normalprojektion der Zeigerspitze auf die reelle Achse liefert dann den jeweiligen Augenblickswert. Vielleicht erscheint Ihnen die Verlegung des Schauplatzes in die komplexe Ebene als eine unn6tige Komplikation. Tats/ichlich ist das Gegenteil der Fall. Die komplexe

Abb. 22.2 Zeigerdarstellung des komplexen Augenblickswertes x und der komplexen Amplitude 8 einer SinusgriSBex 3_x*ist die zu _xkonjugiert komplexe Gr6Be.

22.1 Darstellungenvon Sinusgr6Ben

159

Darstellung von Sinusvorg/ingen bringt zwar physikalisch nichts Neues, es 1/iBt sich damit aber die Beschreibung eingeschwungener Zust/inde in linearen Systemen wesentlich besser organisieren und fibersichtlicher gestalten als fiber die reellen Winkelfunktionen. Grundlage dafiir ist folgendes: Fiihren in einem System die ErregungsgrSBen u~, =/~kCOS(COt-+-Ok)auf den eingeschwungenen Zustand Xtl ~2/cos(cot + qgl),so liefern die Erregungsgr6gen u~ = Uksin(cot + ~k) den eingeschwungenen Zustand x 7 = 2~ sin(cot + qgl), weil die Wahl des Zeitnullpunktes physikalisch unwesentlich ist. In linearen Systemen gilt nun das Oberlagerungsprinzip. Wir k6nnen daher die ErregungsgriSBen formal kombinieren gem/ig U_k= U~,+ jU~ = Ukexp[j(cot + ~'k)] und erhalten die zugeh6rige station/ire Schwingung in der komplexen F o r m X_l= x 'l +jx'/' = 2/ exp [j (co t + (p/)]. Der Vorteil besteht darin, dab sich so das etwas umst/indliche Hantieren mit Kreisfunktionen auf einfache algebraische Operationen mit komplexen Zahlen zurfickffihren 1/igt. AuBerdem liefern die graphischen Darstellungen als Zeiger in der GauBschen Ebene eine anschauliche Deutung der Beziehungen der Gr6Ben untereinander. Beachten Sie abet: Die Methode der Analyse von eingeschwungenen Zust/inden mit Hilfe der komplexen Rechnung ist wegen der Voraussetzung des Uberlagerungsprinzips nur f'tir lineare Systeme oder lineare Ersatzsysteme anwendbar.

Rechnen

mit

Sinusgr6flen

Die Regeln fiir das Rechnen mit Sinusgr6Ben folgen unmittelbar aus den bekannten Eigenschaften der Kreisfunktion bzw. der komplexen Zahlen. Wir brauchen deshalb hier nicht n/iher darauf einzugehen. Ich m6chte jedoch auf drei Eigenschaften besonders hinweisen:

1. Die Uberlagerung (die Summe) zweier Sinusgriiflen gleicher Frequenz liefert wieder eine SinusgrSfle dieser Frequenz. Mit X 1 = 2 1COS(O.)t -~- (491),

X 2 = 2 2 COS((_Dt -~- (192)

(22.9)

ist also X 1 "+- X 2 = X -~- 2 COS((Dt -1t- q)x),

(22.10)

wobei _= w/22 + 22 + 221 X2

C o s ( q ) I - - (/12)

2 COS(q)x) - - 2 1 COS(q)1) ~- 2 2 COS(q92) ,

(22.11)

2 sin(q~x)= 21 sin(q~l)+ 22 sin(~02). Fiir die komplexen Sinusgr6Ben gilt entsprechend X 1 .qt_ X 2 = X = X--1 "t- X-2-~- X 1

2 e j~

e j~~ + 2 2 e j~~ = 2- = 2 e j~ox9

Sie k6nnen diese Zusammenh/inge direkt Abb. 22.3 entnehmen.

(22.12)

160

22 Sinusschwingungen

Abb. 22.3 Summe zweier gleichfrequenter SinusgriSl3en. Die Zusammensetzung der komplexen Amplitude erfolgt nach der Parallelogrammregel

2. Das Produkt zweier SinusgriJflen gleicher Frequenz ist i.a. keine SinusgriJfle. Die Multiplikation der beiden Sinusgr6Ben (22.9) liefert n~imlich Xl X2 = X1 X2 COS(OOt"~- q~l) cos(oot + (192)

= xl ~289

+ q~l + q~2) + cos(q~ - q~2)],

(22.13)

d.h. die f]berlagerung eines zeitlich konstanten Wertes mit einer Sinusgr6Be der doppelten Frequenz.

3. Die zeitliche Anderungsrate einer Sinusgr6fle ist wieder eine Sinusgr~Jfle gleicher Frequenz. In der reellen Darstellung (22.1) erhalten wir = -~

sin(o0 t + q~x)= oo~ cos(oot + q~x+ n/2),

(22.14)

und in der komplexen Form Ix_"= j~ox_ I'

(22.15)

was einer Multiplikation der Amplitude mit der Kreisfrequenz und gleichzeitig einer Drehung des Zeigers um n/2 im Gegenuhrzeigersinn entspricht.

22.2

Z e i t m i t t e l w e r t e periodischer Gr~Jflen

In der Elektrotechnik sind als Kennwerte periodisch zeitabh/ingiger Gr6Ben unterschiedliche Zeitmittelwerte in Gebrauch. Eine Gr6Be x nennen wir dann periodisch zeitabh~ingig, wenn ihre Zeitfunktion x(t) fiir alle Zeitpunkte t und f/Jr die Periodendauer T (k/irzester Zeitabschnitt, nach dem der Vorgang sich periodisch wiederholt) die Eigenschaft

x(t + T)= x(t)

(22.16)

besitzt. Wir werden hier den linearen und den quadratischen Mittelwert zuerst allgemein definieren und dann jeweils auf Sinusgr613en anwenden.

22.2 Zeitmittelwerteperiodischer Gr6gen

161

D u r c hsc hni t t s w ert Der zeitlich lineare Mittelwert 2 einer periodisch zeitabhiingigen, sonst aber beliebig verlaufenden Gr6Be x ist definiert als 2=

xdt

(22.17)

Er wird auch arithmetischer Mittelwert, kurz Mittelwert, Durchschnittswert oder Gleichanteil genannt. Ist fiir eine periodische Gr6Be der Gleichanteil gleich Null, dann nennt man sie WeehseigriiBe. Jede periodische Gr6Be 1/iBt sich allgemein als Summe eines Gleichanteils und eines Wechselanteils darstellen. Verschwindet der Wechselanteil, so sprechen wir von einer GleiehgriiBe. Kommen dagegen beide Anteile vor, dann handelt es sich um eine MisehgriiBe. Sinusgr6Ben sind spezielle Wechselgr6gen, d.h. ihr zeitlich linearer Mittelwert ist immer gleich Null. Dies gilt aber i.a. nicht fiir Produkte yon Sinusgr6Ben. Beispielsweise folgt aus G1. (22.13) X1 X2 ~---89Xl X2 COS((D1 -- (/92)"

(22.18)

Sie ersehen daraus xl X2 ~ Xl"X2, d.h. der Mittelwert des Produktes zweier Gr6gen stimmt i.a. nicht mit dem Produkt ihrer Mittelwerte iiberein.

Ef f e k t i v w e r t Den zeitlich quadratischen Mittelwert, d.h. die positive Quadratwurzel aus dem Mittelwert des Quadrates einer periodisch zeitabhiingigen, sonst aber beliebig verlaufenden Gr6ge x nennt man deren Effektivwert. Wir verwenden hier zur Angabe des Effektivwertes von Spannungen und Str6men GroBbuchstaben, schreiben also X =

x2dt

(22.19)

Der Name ,,Effektivwert", d.h. ,,wirksamer Wert", kommt folgendermaBen zustande. Angenommen, durch einen Widerstand R flieBt der periodisch zeitabhiingige Strom i, gekennzeichnet durch seinen Effektivwert I. Im zeitlichen Mittel wird dann die Leistung 1 foT g i2 d t = g 12 P=TI"

(22.20)

umgesetzt, der Effektivwert I iibernimmt demnach die Rolle eines /iquivalenten Gleichstromes. Das Analoge gilt fiir den Effektivwert U der AnschluBspannung: p U2/R. =

162

22 Sinusschwingungen

Bei SinusgriJflen besteht zwischen dem Effektivwert X und der Amplitude wegen X =

~2

COS2(O9t+ ~0x)dt = ~

[1 + cos(2ogt + 2qgx)]dt

die Beziehung (22.21) Sie sehen: Die Angabe des Effektivwertes ist hier der Angabe der Amplitude ~iquivalent. Dies hat dazu gefiihrt, dab in der Wechselstromtechnik, speziell im energietechnischen Bereich, in der Regel direkt mit den Effektivwerten yon Sinusspannungen und Sinusstriimen gearbeitet wird. Beispielsweise bedeuten die Angaben 220V ffir die Spannung an einer gew6hnlichen Steckdose oder 100A fiir die Strombelastbarkeit eines Kabels immer Effektivwerte, wenn nicht ausdriicklich etwas anderes behauptet wird. Unter Verwendung des Effektivwertes lautet die reelle Standardform der Darstellung einer Sinusgr613e x = x,f5

os o, t +

(22.22)

und die komplexe Standardform

x_=X_x~e j~'t mit _ X = X e j~x .

(22.23)

_X nennt man den komplexen Effektivwert der Sinusgr613e x. Ffir die graphische Darstellung von Beziehungen zwischen Sinusspannungen und Sinusstr6men durch (ruhende) Zeiger werden meist deren komplexe Effektivwerte benutzt.

22.3

Sinusgriiflen an Zweipolen

Stellen Sie sich einen elektrischen Stromkreis mit zwei Polen (AnschluBpunkten, Klemmen) vor, einen sogenannten Zweipol (Abb. 22.4), aufgebaut nur aus linearen Elementen. Er kann auch Spannungsquellen und Stromquellen enthalten, wenn es sich bei den QuellengrSBen um Sinusspannungen bzw. um SinusstrSme einer einheitlichen Frequenz handelt. Wir interessieren uns ffir die Beschreibung des Zusammenhanges zwischen den zeitlich sinusfSrmig verlaufenden Anschlul3grSBen (abb. 22.5)

u= Ux/Scos(

ot + q,u),

i = I x//-2 cos(o~ t + (Pi)

(22.24)

163

22.3 Sinusgr68en an Zweipolen

Abb. 22.4 Linearer Zweipol im eingeschwungenen Zustand. Die Bezugssinne fiir AnschluSspannung und AnschluSstrom (Augenblickswerte oder komplexe Effektivwerte) k6nnen entweder gem/il3 dem Erzeugerbezugssystem a oder gem/il3 dem Verbraucherbezugssystem b kombiniert werden

Abb. 22.5 Sinusspannung und Sinusstrom an einem linearen Zweipol. a Reelle Darstellung. b Darstellung der komplexen Effektivwerte

mit den Effektivwerten U und I, der gemeinsamen Kreisfrequenz co und den Nullphasenwinkeln q~u bzw. q~i. Die Differenz (19 ~-- q)u - -

q)i]

(22.25)

nennen wir Phasenverschiebungswinkel der Spannung gegen den Strom. Die Umkehrung eines Bezugssinnes bedeutet in den Gin. (22.24) die ,~nderung des entspreehenden Nullphasenwinkels um g, d.h. ~ou ist durch q~u + ~z bzw. qh + g zu ersetzen.

L e i s t u n g s grb'flen

Die Augenblickswerte der Leistung (Momentanleistung) lassen sich mit den Ausdriicken (22.24) und (22.25) und der Beziehung (22.13) fiir das P r o d u k t zweier Sinusgr~513en schreiben als p = u i = 2 U I cos(cot + qgu)cos(oot +

(Di)

= U I cos(q@ + U I cos(2cot + q~u +

= P + S cos(2ogt + q9u + qgi).

(Di) (22.26)

164

22 Sinusschwingungen

Abb. 22.6 Die Leistung an den Klemmen des Zweipols ist eine Mischgr613e mit dem Durchschnittswert P (Wirkleistung) und der Amplitude S des Wechselanteils (Scheinleistung) Es handelt sich demnach um eine Mischgr613e, bei der ein Wechselanteil mit der Amplitude S und der zweifaehen Grundfrequenz um einen Durchschnittswert P schwingt (Abb. 22.6). Der Durchschnittswert (zeitlich linearer Mittelwert), die Wirkleistung [P = U I cos(qg) ],

(22.27)

erfal3t im zeitlichen Mittel die Transportrate an elektrischer Energie fiber die Anschlul3punkte. Ihr Vorzeichen h~ingt ab von der Gr613e des Phasenverschiebungswinkels der Spannung gegen den Strom. Haben Sie die Bezugssinne wie in Abb. 22.4a nach dem Erzeugerbezugssystem angenommen, dann gibt der Zweipol im Zeitmittel fiir P > 0 Leistung ab (Erzeuger) und nimmt fiir P < 0 Leistung auf (Verbraucher). Relativ zum Verbraucherbezugssystem (Abb. 22.4b) gilt natfirlich das Umgekehrte. Beachten Sie: Wegen des i.a. wechselnden Vorzeichens der Augenblicksleistung findert sich der Richtungssinn des Energieflusses viermal je Grundperiode. Die Amplitude des Wechselanteils der Leistungsschwingung nennen wir Sehein-

leistung IS = UI I"

(22.28)

Ihr Wert ist immer positiv oder gleich Null und stets gr613er oder gleich dem Betrag der Wirkleistung. Die Scheinleistung stellt eine wichtige Kenngr613e elektrischer Betriebsmittel dar. Neben der in G1. (22.26) dargestellten gibt es auch noch andere Zerlegungsm6glichkeiten des Augenblickswertes der Leistung. Wird z.B. q9u in G1. (22.26) mit Hilfe von G1. (22.25) eliminiert, so gilt

p = Ulcos(q~)[1 + cos(2cot + 2q9i)] - UI sin(q~) sin(2oot + 2q9i) = P [1 + cos(2cot + 2q~i)] - Q sin(2cot + 299i),

(22.29)

oder, wenn wir ~0i anstelle von q~u eliminieren, p = Ulcos(~o) [1 +cos(2cot + 2q~u)] + Ulsin(q~)sin(2ogt + 2q9,) = P [1 + cos(2ogt + 299u)] + Q sin(2ogt + 2q9,).

(22.30)

Die dabei auftretende Gr613e Q heil3t Blindleistung, [ Q = U/sin(qg) I9

(22.31)

22.3 Sinusgr66enan Zweipolen

165

)~hnlich wie die Wirkleistung kann sie, je nach Grfl3e des Phasenverschiebungswinkels der Spannung gegen den Strom, positive oder negative Werte annehmen. Oberdies besteht, wie Sie aus den Definitionen (22.27, 22.28, 22.31) unmittelbar entnehmen, zwischen der Scheinleistung S, der Wirkleistung P und der Blindleistung Q an den Anschliissen eines Zweipols der Zusammenhang IS = w/p2 + Q2 I"

(22.32)

IP/S = cos(qg) I

(22.33)

Die Gr613e

nennt man den Leistungsfaktor oder Wirkfaktor, die Gr6ge

IQ/S=sin(q))l

(22.34)

den Blindfaktor des Zweipols. Gilt im Erzeugerbezugssystem Q > 0, so sagen wir, der Zweipol ,,gibt Blindleistung ab". Ffir Q < 0 ,,nimmt er Blindleistung aug'. Im Verbraucherbezugssystem haben wir das genau Umgekehrte. Betreffend die Einheiten der LeistungsgriSl3en gilt folgende Obereinkunft: Der besondere Einheitenname Watt (Einheitensymbol W) fiir Volt mal Ampere wird nur bei Gr613enwerten der Momentanleistung p und der Wirkleistung P verwendet. Seheinleistung S und Blindleistung Q werden dagegen in Volt-Ampere (Einheitensymbol VA) angegeben4. Spricht man z.B. von einem 25MVA-Generator, so ist ein Generator mit einer (Nenn-) Scheinleistung von 25 Millionen Volt-Ampere gemeint. Alle diese Begriffsbildungen lassen sich auch in die komplexe Darstellung iibernehmen. Ausgehend von den komplexen Augenblickswerten

u = U_x/~eJ~ / =/x/~eJ~

mit mit

_U= Ue j~u, _/= Ie j~~

(22.35)

erhalten wir zun~ichst fiber

p = ui = 89 + u*)" 89 +/*) = 89Re(u/* + u i) = Re(U/* + U I e j2~

(22.36)

den Zusammenhang mit der Momentanleistung gem~iB G1. (22.26). Wir nennen

S_ = U I * = U l e J ~ = P + jQ

(22.37)

die komplexe Scheinleistung des Zweipols. Ihr Betrag ist die Scheinleistung, und sie enth~ilt die Wirkleistung als Realteil und die Blindleistung als Imagin~irteil. Beachten Sie: Die komplexe Scheinleistung ist das Produkt des komplexen Effektivwertes 4 Bei Blindleistungsangabenwerden Sie gelegentlichnoch die veraltete Einheitenbezeichnung 1VAr (Volt-Ampere-reaktiv)finden. Sie ist 1VA gleichzusetzen.

166

22 Sinusschwingungen

der Spannung mit dem konjugiert komplexen Effektivwert des Stromes. Das Produkt der komplexen Effektivwerte von Spannung und Strom ist die komplexe Wechselleistung

S__~= UI

= Vie

j(u'u+u'i)

[.

(22.38)

Sie stellt die komplexe Amplitude des Wechselanteils der Leistungsschwingung dar. In Abb. 22.7 sehen Sie die entsprechenden Zusammenhiinge im Zeigerbild.

Widerstands-

und L e i t w e r t g r 6 f l e n

Die bisher eingefiihrten Leistungsgr6f3en sind alle aus dem Produkt AnschluBspannung mal AnschluBstrom abgeleitet. Dagegen beziehen sich die nun zu besprechenden WiderstandsgriSBen auf den Quotienten AnschluBspannung durch AnschluBstrom. Der Quotient der reellen Augenblickswerte (22.24) ist als Widerstandsgr6Be fiir die Charakterisierung eines Zweipols allerdings i.a. unbrauchbar, weil er zeitabh/ingig ist und, wie Sie aus Abb. 22.5 entnehmen k6nnen, abwechselnd positiv und negativ unendliche Werte annimmt. Wir werden deshalb von den komplexen Augenblickswerten (22.35) der AnschluBgr/SBen ausgehen. Angenommen, unser Zweipol enth/ilt keine Quellen, kann also im zeitlichen Mittel keine elektrische Leistung abgeben s. Etwas allgemeiner: Die Leerlaufspannung und der Kurzsehlullstrom des Zweipols sind im eingeschwungenen Zustand gleich Null. Liegt das Verbraucherbezugssystem (Abb. 22.4b) zugrunde, so bezeichnen wir den Quotienten der komplexen Augenblickswerte von AnschluBspannung und Anschlul3strom als die (komplexe) Impedanz oder den komplexen Seheinwiderstand des Zweipols,

[Z_ = u/i = U_/I = (U/I)e j~~[.

(22.39)

Abb. 22.7 Zusammenhang der komplexen Effektivwerte von Spannung und Strom mit der komplexen Scheinleistung _Sund der komplexen Wechselleistung S~. Der Realteil der komplexen Scheinleistung ist die Wirkleistung P, ihr Imagin/irteil ist die Blindleistung Q. Die Zeiger rotieren nicht 5Dies gilt nicht ffir die Augenblickswerte!

167

22.3 SinusgriSBen an Zweipolen

Es handelt sich dabei um eine ffir den Zweipol charakteristische, i.a. aber frequenzabhfingige Gr6Be. Ihr Betrag, der Betrag der Impedanz oder der Scheinwiderstand

[ Z = U/I ]

(22.40)

ist gleich dem Quotienten der Effektivwerte von Anschlul3spannung und AnschluBstrom, und ihr Winkel ist gleich dem Phasenverschiebungswinkel (22.25) der Spannung gegen den Strom. Wenn wir die Impedanz in Real- und Imagin~rteil aufspalten, Z_ = R + jX, (22.41) ergeben sich zwei weitere gebrfiuchliche WiderstandsgriSBen, nfimlich die Resistanz oder der Wirkwiderstand R = Re (_Z)= Z cos(qg) [

(22.42)

und die Reaktanz oder der Blindwiderstand (22.43)

I X = Im (_Z)= Z sin(qg)].

Daneben sind in der Wechselstromtechnik auch einige LeitwertgriSgen im Einsatz. So nennt man den Kehrwert der Impedanz auch die (komplexe) Admittanz oder den komplexen Scheinleitwert

Y_= l/Z_ = I/U_ = (I/U) e- ~o ],

(22.44)

und den zugeh6rigen Betrag den Betrag der Admittanz oder den Scheinleitwert

[Y = 1/Z = I/U I .

(22.45)

Natiirlich l~il3t sich auch die Admittanz in Realteil und Imaginiirteil aufspalten, _Y= G + j B .

(22.46)

Das liefert die Konduktanz oder den Wirkleitwert 1

G = Re (_Y) = Y cos(q9) I

(22.47)

und die Suszeptanz oder den Blindleitwert [B = Im (_Y)= - Y sin(qg)l"

(22.48)

Beachten Sie das Minuszeichen in G1. (22.48)! AuBerdem bestehen die Beziehungen

G

= R/Z

2,

R = G / Y 2,

B = - X/Z X = -

2,

B/Y 2

Z -= N / R 2 + X 2 ,

Y

= N / G 2 -Jr" B 2

(22.49)

168

22 Sinusschwingungen

es ist also beispielsweise der Wirkleitwert i.a. nicht gleich dem Kehrwert des Wirkwiderstandes. Leicht zu zeigen sind auch die Verkniipfungen mit der Wirkleistung und der Blindleistung, P=RI2=GU

2

Q-xI

2-- _ B U 2

(22.50)

Verbraucherbezugssystem vorausgesetzt. Als Einheit ffir WiderstandsgrSBen wird generell das O h m (f~), als Einheit fiir LeitwertgrSBen das Siemens (S) verwendet. Als Sammelbezeichnung von Impedanzen und Admittanzen findet man gelegentlich die Bezeichnung Immittanz.

Elementare

Zweipole

Wir werden die gewonnenen Begriffe jetzt auf die Beschreibung des Verhaltens linearer Stromkreiselemente wie ideale Widerst~inde, ideale Kondensatoren und ideale Spulen anwenden. Ideale Widersfiinde lassen sich vollstfindig durch das Ohmsche Gesetz beschreiben. Die Augenblickswerte von AnschluBspannung und AnschluBstrom sind einander proportional, d.h. im speziellen, ihr Phasenverschiebungswinkel q~ ist entweder Null (Verbraucherbezugssystem)oder __+n (Erzeugerbezugssystem). Sie sehen das in Abb. 22.8. Drehen Sie einen der Bezugssinne um, dann miissen Sie den zugeh6rigen Zeiger in der komplexen Ebene um 180 ~ drehen und in der Elementgleichung mit einem Minuszeichen versehen. Im Verbraucherbezugssystem gilt fiir die Widerstands- und Leitwertgr6Ben U_=RI, Z_=Z=R,

U=RI,

X=O,

Y_=Y=G=I/R,

(22.51) B=O,

und fiir die LeistungsgrSBen S = S = P= RI 2 = U2/R,

Q=O.

(22.52)

An einem idealen Widerstand gibt es keine Blindleistung, nur Wirkleistung. Trotzdem schwingt die Augenblicksleistung, und zwar mit der doppelten Grundfrequenz zwischen den Werten 0 und 2 P (Abb. 22.6 mit S = P); ein RiickfluB an Energie findet aber zu keinem Zeitpunkt statt.

Abb. 22.8 Komplexe Effektivwerte von Spannung und Strom an einem idealen Widerstand. Verbraucherbezugssystem

22.3 Sinusgr6Benan Zweipolen

169

Bei idealen K o n d e n s a t o r e n ist das anders. Der Augenblickswert des Stromes ist hier proportional der zeitlichen Anderungsrate der Spannung, und damit sind die beiden Zeiger wegen G1.(22.15) um 7r/2 gegeneinander verdreht. Wenn Sie in Abb. 22.9 einen Bezugssinn ~indern, dann mfissen Sie den zugeh6rigen Zeiger in der komplexen Ebene um 180 ~ drehen und in der komplexen Elementgleichung das Vorzeichen wechseln. Im Verbraucherbezugssystem haben wir nun fiir die Widerstands- und Leitwertgr613en 6 U_ - - [ / ( j w C ) ,

U -- I / ( w C ) ,

Z_ -- 1 / ( j w C ) ,

Z---X--

Y_ -- j w C ,

Y -- B -- coC,

1/(wC),

R--O,

(22.53)

G--O,

und fiir die Leistungsgr6Ben _S -- 12/(jwC) -- - j w C

U 2,

S -

w C U 2,

(22.54) -Q

= IZ/(wC)

-

P=0.

Der ideale Kondensator ist demnach ein reiner Blindwiderstand; man spricht deshalb auch von einem Reaktanzzweipol. Der Betrag der Impedanz Z nimmt mit steigender Frequenz proportional zu deren Kehrwert ab, was unserer Erfahrung entspricht, dab Kondensatoren Wechselstr6me niedriger Frequenz abblocken, solche hoher Frequenz aber nahezu ungehindert durchlassen. Wirkleistung gibt es keine, es wird lediglich Blindleistung an den Anschliissen abgegeben: Kondensatoren sind ,,Blindleistungserzeuger" (physikalisch gesehen wird natiirlich nichts erzeugt). Gem~iB Abb. 22.6 mit P = 0 schwingt der Augenblickswert der Leistung mit der doppelten Grundfrequenz um den Mittelwert Null. Nimmt die Spannung zu, so wird im Kondensator ein elektrisches Feld aufgebaut. Die darin gespeicherte Energie flieBt fiber die Anschliisse zu. In der Viertelperiode nach Erreichen ihres Maximums nimmt die Spannung ab und der vorher aufgenommene Energiebetrag wird vollst~indig wieder zuriickgegeben. Das ist Blindleistung! Ideale Spulen sind gekennzeichnet durch die Proportionalit~it zwischen dem Augenblickswert der Spannung und der zeitlichen Anderungsrate des Stromes. Fiir die komplexen Zeiger bedeutet dies wegen G1. (22.15) eine gegenseitige Verdrehung

Abb. 22.9 Komplexe Effektivwerte von Spannung und Strom an einem idealen Kondensator. Verbraucherbezugssystem

6

Die Kreisfrequenz wollen wir hier stets als positiv voraussetzen.

170

22 Sinusschwingungen

Abb. 22.10 Komplexe Effektivwerte von Spannung und Strom an eineridealen Spule. Verbraucherbezugssystem um ~z/2, wie Sie in Abb. 22.10 sehen. Die )~nderung eines Bezugssinnes ist auch hier gleichbedeutend mit der Drehung des zugeh6rigen Zeigers um 180 ~ und einem Vorzeichenwechsel in der komplexen Elementgleichung. Legen wir das Verbraueherbezugssystem zugrunde, so gilt jetzt fiir die Widerstands- und Leitwertgr6Ben

U_= jo~ LI,

U = ~oLI,

_Z=jo~L,

Z=X=coL,

R=0,

_Y= I /(j ~oL),

Y=--B=I/(o~L),

G=O,

(22.55)

und fiir die Leistungsgr6gen S = j ~ o L I 2 = --UZ/(jo~L), (22.56)

S = Q = o ~ L I 2 = U2/(~L),

P=O.

Auch die ideale Spule ist also ein reiner Blindwiderstand, ein Reaktanzzweipol. Sein Impedanzbetrag Z nimmt aber linear mit der Frequenz zu: Wechselstr6me niedriger Frequenz werden durchgelassen, solche hoher Frequenz werden abgeblockt- genau umgekehrt wie bei Kondensatoren. Wegen P = 0 und Q > 0 sprechen wir von idealen Spulen als von reinen ,,Blindleistungsverbrauchern", was wieder eine Leistungsschwingung doppelter Grundfrequenz um den Durchschnittswert Null bedeutet: Die w~ihrend einer Viertelperiode mit ansteigendem Strom aufgenommene Energie wird im magnetischen Feld gespeichert und in der folgenden Viertelperiode wieder abgegeben. Wenn wir sagen, dab Kondensatoren Blindleistung ,,erzeugen" und Spulen Blindleistung ,,verbrauchen", so ist das lediglich eine Konvention, die sich aus der Wahl von q~ als Phasenverschiebungswinkel der Spannung gegen den Strom bzw. aus der Festlegung von U I* als der komplexen Scheinleistung ableitet. H~itten wir stattdessen _U* / als komplexe Scheinleistung definiert, dann wfiren Spulen Blindleistungserzeuger und Kondensatoren Blindleistungsverbraucher. Wie Sie den Zeigerdiagrammen der Abb. 22.9 und 22.10 entnehmen, ist der Strom durch einen idealen Kondensator gegeniiber der anliegenden Spannung um den Phasenwinkel n/2 vorverschoben, bei der idealen Spule erscheint er dagegen um den Phasenwinkel n/2 riickverschoben. Man sagt auch, an einem idealen Kondensator eilt der Strom der Spannung um 90 ~ vor, an der idealen Spule eilt der Strom

171

22.4 Fragen

der Spannung um 90 ~ nach. Vorsicht: Diese Aussagen gelten nur im Verbraucherbezugssystem! Im Erzeugerbezugssystem ist das genau Umgekehrte richtig. Um hier sicher zu sein, pr~igen Sie sich am besten die vollst/indigen Abb. 22.8 bis 22.10 ein, zusammen mit der Regel, dab bei Umkehr eines Bezugssinnes der zugehifrige Zeiger in der komplexen Ebene um 180 ~ zu drehen und auBerdem das Vorzeichen der Gr6Be in der komplexen Elementgleichung zu wechseln ist.

22.4

Fragen

1. Wie lautet die reelle Standardform der Darstellung einer SinusgriSBe? Was genau bedeuten die darin vorkommenden Gr6Ben? (Skizze!) 2. Welche Zusammenh~inge bestehen zwischen der Frequenz, der Kreisfrequenz und der Periodendauer einer Sinusgr6Be? 3. Was bedeuten die Ausdrficke Phase, Phasenwinkel und Nullphasenwinkel? 4. Welche Gr6Ben werden zur vollst~indigen Festlegung einer Sinusgr6Be ben6tigt? 5. Wie lautet die komplexe Standardform der Darstellung einer Sinusgr6Be? Welcher Zusammenhang besteht mit der reellen Standardform? 6. Welche Information enth/ilt die komplexe Amplitude einer Sinusgr6Be? 7. Wie l~il3tsich die komplexe Standardform der Darstellung einer SinusgrifBe in der komplexen Ebene geometrisch deuten? (Skizze!) 8. Welche Vorteile bietet die Verwendung der komplexen Darstellung von Sinusgr6Ben? Auf welche Zustfinde ist sie beschr~inkt? 9. Was liefert die Summe zweier Sinusgr6Ben gleicher Frequenz? Wie ist diese Summe in der komplexen Ebene zu veranschaulichen? 10. Was liefert das Produkt zweier Sinusgr6Ben gleicher Frequenz? 11. Was liefert die Zeitableitung einer Sinusgr6Be? Wie ist dies in der komplexen Ebene zu veranschaulichen? Wie ~indern sich bei der Zeitableitung einer Sinussgr6Be deren komplexe Amplitude, Amplitude, Frequenz und Nullphasenwinkel? 12. Wann nennen wir eine Gr/SBe periodisch zeitabh~ingig? 13. Wie ist der Durchschnittswert einer periodisch zeitabh~ingigen Gr6Be erkl~irt? Was bedeutet ,,Gleichanteil"? 14. Wann nennt man eine Gr6Be WechselgrifBe, wann Mischgr6Be? 15. Wie ist der Effektivwert einer periodisch zeitabh/ingigen Gr6Be erkl~rt? Wie ist diese Benennung zu verstehen? 16. Wie berechnen Sie den Effektivwert von Sinusgr6Ben? 17. Was verstehen Sie unter dem komplexen Effektivwert einer Sinusgr6Be? 18. Was verstehen Sie unter einem linearen Zweipol? 19. Unter welchen Bedingungen sind AnschluBstrom und AnschluBspannung eines Zweipols Sinusgr6Ben gleicher Frequenz? 20. Wie ist der Phasenverschiebungswinkel der Spannung gegen den Strom erkl~rt? Wie ist er in der komplexen Ebene zu veranschaulichen? 21. Wie ~indert sich der Nullphasenwinkel der Spannung und des Stroms und der Phasenverschiebungswinkel der Spannung gegen den Strom beim Ubergang von einem Verbraucherbezugssystem zu einem Erzeugerbezugssystem? 22. Wenn Spannung und Strom an einem Zweipol Sinusgr6Ben sind, welchen Zeitverlauf besitzt dann die Momentanleistung? Welchen EinfluB hat dabei der Phasenverschiebungswinkel? 23. Wie sind Wirkleistung und Scheinleistung an einem Zweipol erkl~irt und wie sind diese Gr6Ben anschaulich zu interpretieren? 24. Welche Vorzeichen k6nnen Wirkleistung und Scheinleistung annehmen? Welche Rolle spielt dabei die Wahl des Bezugssystems? ,o

172

22 Sinusschwingungen

25. Wie ist die Blindleistung an einem Zweipol definiert und wie ist sie anschaulich zu interpretieren? 26. Wann sagen wir, ein Zweipol gibt Blindleistung ab? Wie ist diese Sprechweise zu verstehen? 27. Welche Einheitensymbole werden iiblicherweise fiir Werte der Scheinleistung, Wirkleistung und Blindleistung verwendet? 28. Welcher Zusammenhang besteht zwischen Scheinleistung, Wirkleistung und Blindleistung? Wie ist dieser geometrisch zu interpretieren? 29. Wie ist der Leistungsfaktor, wie der Blindfaktor eines Zweipols definiert? 30. Was verstehen Sie unter der komplexen Scheinleistung, was unter der komplexen Wechselleistung eines Zweipols? Wie sind diese Gr6Ben in einem Zeigerdiagramm zu veranschaulichen? 31. Welche Information enth/ilt die komplexe Scheinleistung? 32. Warum 1/iBt sich der Widerstand eines Zweipols sinnvollerweise i.a. nicht einfach als Quotient Sinusspannung durch Sinusstrom definieren? 33. Wie ist der komplexe Scheinwiderstand (die Impedanz) eines Zweipols erklfirt? Welche Rolle spielt dabei das gew~ihlte Bezugssystem? Welche Information enthfilt die Impedanz? 34. Wie sind die Gr6Ben Resistanz, Reaktanz, Admittanz, Betrag der Admittanz, Konduktanz und Suszeptanz definiert? Wie h~ingen diese Gr6Ben zusammen? 35. Was bedeutet "Immittanz"? 36. Was verstehen Sie unter einem elementaren Zweipol? 37. Was ist ein Reaktanzzweipol? 38. Wie berechnen Sie die Impedanz und die Admittanz von idealen Widerst~inden, idealen Spulen und idealen Kondensatoren? Welche Rolle spielt dabei die Wahl des Bezugssystems? 39. Wie liegen Str6me und Spannungen in der komplexen Ebene relativ zueinander bei idealen Widerst~inden, idealen Spulen und idealen Kondensatoren bei Verwendung des Erzeugerbezugssystems und des Verbraucherbezugssystems? 40. In welchem Sinn sprechen wir von Kondensatoren als Blindleistungserzeuger und von Spulen als Blindleistungsverbraucher?

22.5

Aufgaben

A22.1 Vollweggleichrichter: A m E i n g a n g d e s G l e i c h r i c h t e r s aus A b b . A 2 2 . 1 a liegt eine s i n u s f 6 r m i g e W e c h s e l s p a n n u n g m i t d e m E f f e k t i v w e r t 220 V. B e r e c h n e n Sie (i) d e n D u r c h s c h n i t t s w e r t u n d (ii) d e n E f f e k t i v w e r t d e r A u s g a n g s s p a n n u n g , (iii) die W i r k l e i s t u n g a m L a s t w i d e r s t a n d .

Abb. A22.1a A22.2

M i s c h s t r o m : D e r in A b b . A 2 2 . 2 d a r g e s t e l l t e M i s c h s t r o m b e s t e h t a u s e i n e m G l e i c h a n t e i l u n d e i n e m t i b e r l a g e r t e n S i n u s s t r o m . B e r e c h n e n Sie a l l g e m e i n seinen Effektivwert.

22.5 Aufgaben

173

Abb. A22.2 A22.3

Mischspannung: Berechnen Sie ffir den Spannungsverlauf aus Abb. A22.3

(i) den Durchschnittswert, (ii) den Effektivwert, (iii) den Gleichrichtwert [u I.

Abb. A22.3 A22.4 Bemessen eines Widerstandes: In einer Schaltung tritt an einem 47 ~Widerstand die in Abb. A22.4 angegebene periodische Spannung auf. Fi~r welche Leistung ist der Widerstand zu bemessen?

Abb. A22.4

174

22 Sinusschwingungen

A22.5 Stromaufnahme eines Gleichrichters: Ein Gleichrichter entnimmt einem 50 Hz-Netz den in Abb. A22.5 dargestellten Wechselstrom. Wie grol3 ist der zugeh/5rige Effektivwert?

Abb. A22.5 A22.6 Spannungssignal: Das in Abb. A22.6a skizzierte Spannungssignal entsteht durch Vollweg-Gleichrichtung einer Sinusspannung und anschliel3endes Abschneiden auf das 1/x/~-fache des Maximalwertes. Berechnen Sie seinen Effektivwert.

Abb. A22.6a A22.7 Negativ begrenzte Stromschwingung: Berechnen Sie den Effektivwert des in den negativen Halbschwingungen beschnittenen Sinusstroms aus Abb. A22.7a als Funktion von a, 0 _< a _< 1.

Abb. A22.7a A22.8 Gesteuerter Gleichrichter: Ein Einweggleichrichter mit Phasenanschnittsteuerung liefert an einer ohmschen Last die in Abb. A22.8a skizzierte Spannung.

22.5 Aufgaben

175

Berechnen und zeichnen Sie den Durchschnittswert und den Effektivwert dieser Spannung als Funktion des Verz6gerungswinkels e.

Abb. A22.8a A22.9 Angeschnittener Sinusstrom: Berechnen Sie den Effektivwert des angeschnittenen Sinusstroms aus Abb. A22.9.

Abb. A22.9

A22.10 Symmetrischer Phasenanschnitt: Durch symmetrischen Phasenanschnitt wird die in Abb. A22.10 dargegtellte Form eines periodischen Stromverlaufes erzeugt. Berechnen Sie allgemein den zugeh6rigen Effektivwert.

Abb. A22.10 A22.11 Stromrichter mit Anschnittsteuerung: Der Ausgang eines Stromrichters mit Anschnittsteuerung liefert den in Abb. A22.11a dick ausgezogenen Span-

176

22 Sinusschwingungen

nungsverlauf mit einstellbarem Winkel ~. Der Spannungsverlauf entsteht aus drei gegeneinander um jeweils 2n/3 phasenverschobenen Sinusspannungen gleicher Amplitude (d/inn ausgezogen). Berechnen Sie allgemein den Durchschnittswert als Funktion des Winkels ~ ffir 0 < ~ < n.

Abb. A22.11a A22.12 Blindleistung: Einer oszilloskopischen Strom-Spannungs-Messung an den Anschlfissen eines Ger~ites werden die Sinusverl&iufe von Strom und Spannung mit den in Abb. A22.12 angegebenen Daten entnommen. Berechnen Sie daraus die aufgenommene Blindleistung. (Bezugssinne beachten!)

Abb. A22.12 A22.13 Blindleistungskompensation: Ein Verbraucher wird fiber eine als verlustfrei anzunehmende Leitung aus einem 50 Hz-Sinusnetz mit 220 V Effektivwert gespeist. Er nimmt dabei die Wirkleistung P = 5,0kW und die Blindleistung Q = 4,5 kVA auf. (i) Wie grol3 ist der Leistungsfaktor? (ii) Ffir welchen Effektivwert des Stromes ist die Leitung auszulegen? An die Anschlfisse des Verbrauchers wird zusfitzlich eine Kondensatorbatterie mit 188 ~F parallel gelegt. (iii) Wie grol3 ist nun der Leistungsfaktor? (iv) Ffir welchen Effektivwert des Stromes ist die Leitung jetzt auszulegen?

177

22.5 Aufgaben

A22.14 Erhiihen des Leistungsfaktors: Ein ohmisch-induktiver Verbraucher entnimmt einem Wechselstromnetz bei der Spannung 240 V (Effektivwert) die Wirkleistung 6kW mit einem Leistungsfaktor cos(q~)=0,6 (Abb. A22.14). Der Leistungsfaktor soil beziiglich des Netzes durch Parallelschalten eines Kondensators auf cos(qg')= 0,8 angehoben werden. Wie grol3 ist die Kapazit~it C zu w~ihlen?

c

r

50Hz

6kW

I

240V C

i

cos(qg)=0,6

I

c

r

ind

Abb. A22.14

A22.15 Mittelfrequenz-lnduktionsofen: Ein Induktionsofen nimmt bei der Wechselspannung U = 750V, f= 1 kHz die Wirkleistung P = 750kW mit dem Leistungsfaktor cos(~p)= 0,06 ind. auf. (i) Welche Blindleistung Q mul3 eine parallel zu schaltende Kondensatorbatterie liefern und wie grol3 ist die zugeh6rige Kapazit~it C, wenn die Speiseeinrichtung v o n d e r Blindleistung vollst~indig entlastet werden soll? (ii) Wie grol3 sind beim derart kompensierten Ofen die Str6me durch die Speiseeinrichtung, die Kondensatorbatterie und die Ofenspule?

K a p i t e l 23

Komplexe Behandlung von Wechselstromkreisen Die rechnerische Analyse der Vorg~inge in Stromkreisen, die mit konzentrierten Elementen aufgebaut sind, fiihrt im allgemeinen auf Systeme gew6hnlicher Differentialgleichungen. Wir interessieren uns hier fiir einen technisch wichtigen Spezialfall, n~imlich fiir die systematische Beschreibung eingeschwungener Zust~inde in linearen (Ersatz-)Sehaltungen mit sinusf6rmiger Erregung. Alle vorkommenden Spannungen und Str6me sind dann ebenfalls Sinusgr613en und damit der komplexen Darstellung zug~inglich.

23.1 D i e Kirchhoff-Regeln im Komplexen Die Kirchhoff-Regeln gelten, wie Sie wissen, ganz atlgemein f/Jr die Augenblickswerte von Str6men und Anschlul3spannungen unter den Voraussetzungen, dab Str6me aul3erhalb der konzentrierten Elemente nur in den Schaltverbindungen fliel3en, dab VerschiebungsstriSme aul3erhalb der Elemente vernachl~issigbar klein sind, dab Anschlul3spannungen eindeutig definiert sind und dab die betrachteten Maschen keine magnetischen Fliisse merkbarer zeitlicher ~nderungsrate umfassen. Wir werden diese beiden Regeln jetzt speziell ffir Sinusgr613en formulieren. Beginnen wir mit der ersten Kirchhoff-Regel. Die Bezugssinne einheitlich als abfliel3end vorausgesetzt, haben wir ffir Sinusstr6me an einem Knoten (im erweiterten Sinn) die Beziehung ik = k=l

~ (fk +/~) =

/k eJ~'t+

k=l

k=l

/ ~ e-j,ot = 0. k=l

Da sie fiir alle Zeitpunkte gelten muB und weil die beiden Exponentialfunktionen linear unabh/ingig sind, folgt daraus die komplexe Form der ersten Kirehholf-

Regel, ~/k=0

(23.1)

k=l

Die Knotenregel ist also nicht nur von den Augenblickswerten, sondern auch von den komplexen Effektivwerten zu erfiillen und damit, wovon Sie sich leicht iiberzeugen k6nnen, auch getrennt von deren Real- und Imaginiirteilen. Sie gilt jedoch i.a. nicht fiir die reellen Effektivwerte. Die Zeiger der komplexen Str6me bilden fiir jeden Knoten ein geschlossenes Polygon.

23.2 Berechneneinfacher Schaltungen

179

Ganz analog verfahren wir mit der zweiten Kirchhoff-Regel. Entlang jeder Masche gen/igen die Anschlul3spannungen, wenn sie Sinusspannungen sind, bei einheitlicher Orientierung der Bezugssinne der Bedingung uk = /=1

-~(U_k + U_'~)=

U_'~ e - j o ' = O,

U_k e jo' +

/=1

/=1

k=l

und daraus folgt die komplexe Form der zweiten Kirchhoff-Regel,

~Uk=O

(23.2)

k=l

Die Maschenregel gilt demnach fiir die komplexen Effektivwerte der Anschlul3spannungen und auch getrennt fiir deren Real- und Imagin~irteile, nieht aber fiir die reellen Effektivwerte. F/Jr jede Masche bilden die Zeiger der Anschlul3spannungen ein geschlossenes Polygon. Mit den Kirchhoff-Regeln erfassen wir die Beziehungen zwischen den Str6men untereinander und zwischen den Spannungen untereinander. Fiir die vollst~indige Analyse reicht das i.a. nicht a u s - es werden auch Verkniipfungen der Str6me mit den Spannungen an den Elementen ben6tigt, und zwar in komplexer Form. Wenn es sich um lineare Zweipole ohne Quellen (genauer: ohne Leerlaufspannung und Kurzschlul3strom) handelt, k6nnen wir dazu komplexe Widerstands- oder Leitwertgr613en benutzen (Abb. 23.1). Beachten Sie: Spannungen und Str6me werden durch ihre komplexen Effektivwerte beschrieben, und die Impedanzen h~ingen i.a. vonder Frequenz ab.

23.2 Berechneneinfacher Schaltungen Die Formen (23.1) und (23.2) der Kirchhoff-Regeln und die allgemeinen Elementgleichungen aus Abb. 23.1 fiir komplexe Widerst~inde zeigen deutlich die Vorteile der komplexen Analyse von Wechselstromkreisen: Abgesehen von induktiven und

Abb. 23.1 Es ist fiblich, als allgemeines Schaltzeichen fiir komplexe Widerst/inde das gew6hnliche Widerstandssymbol zu verwenden. Der dargesteUteZweipolkann ein ideales Stromkreiselement gem~il3 den Abb. 22.8bis 22.10sein, aber auch eine Kombination solcherElemente.a Verbraucherbezugssystem. b Erzeugerbezugssytem

180

23 Komplexe Behandlung von Wechselstromkreisen

kapazitiven Kopplungen k6nnen Sie formal analog wie bei Gleichstromkreisen vorgehen. Neu sind lediglich die speziellen Ausdriicke fiir die Impedanzen _Z, und natiirlich miissen Sie die Rechenregeln fiir komplexe Gr6gen beachten.

Reihenschaltung und Parallelschaltung komplexer Widerstdnde Nehmen Sie z.B. die Reihenschaltung von zwei ungekoppelten komplexen Widerst~inden (Abb. 23.2). )~hnlich wie bei gew6hnlichen Widerst~inden liefert die komplexe Form der zweiten Kirchhoff-Regel zusammen mit den komplexen Elementgleichungen die Ersatzimpedanz I_Z=_Za+_Z21 ,

(23.3a)

und zwar unabh~ingig von den gew~ihlten Bezugssinnen. Zwischen den Einzeladmittanzen _Y1 = 1/Z_a, _Y2= 1/_Z2 und der Ersatzadmittanz _Y= I/Z_ besteht dann die Beziehung

1

1 1 y~y~ = ~ + _Y2' d.h. _Y= _Ya+------~2"

(23.3b)

Einen Spezialfall sehen Sie in Abb. 23.3. Abb. 23.4 zeigt die Parallelschaltung ungekoppelter komplexer Widerst~inde. Wiederum unabh~ingig von den gew~ihlten

Abb. 23.2 Die Ersatzimpedanz der Reihenschaltung ungekoppelter komP!exer Widerst~inde ist gleich der Summe der Einzelimpedanzen

Abb. 23.3 Reihenschaltung eines idealen Widerstandes und einer idealen Spule (Ersatzschaltung fiir eine reale Spule). Beachten Sie die Frequenzabh~ingigkeit des Wirkleitwertes

23.2 Berechnen einfacher Schaltungen

181

Abb. 23.4 Die Ersatzadmittanz der Parallelschaltung ungekoppelter komplexer Widerst~inde ist gleich der Summe der Einzeladmittanzen Bezugssinnen ist die Ersatzadmittanz [_Y=_Y1 +_Yz],

(23.4a)

und damit gilt fiir die Ersatzimpedanz Z_ = 1/_Y, durch die Einzelimpedanzen Z_I = 1/_Y~, _Z2 = 1/_Y2 ausgedriickt, 1 .Z_

1 1 . ~-_Z-~2' . . _Z.= _Z1 II. _Z2 _Z~ d.h.

Z1Z 2

Z_~ -~- Z2 .

(23.4b)

Ein Spezialfall ist in Abb. 23.5 angegeben. Die Gin. (23.3) und (23.4) sind natiirlich nicht auf zwei Elemente beschriinkt, sondern driicken die allgemeine Vorschrift zur Berechnung von komplexen Ersatzgr6Ben aus: Bei Reihenschaltungen sind die Impedanzen, bei Parallelschaltungen die Admittanzen zu addieren. Bemerkenswert ist in diesem Z u s a m m e n h a n g noch folgendes: Der Scheinwiderstand Z einer Reihenschaltung komplexer Widerstiinde ist wegen I_Z1 + _Z2I _< I_Z~l + I_Z2I stets kleiner oder h6chstens gleich der Summe der Einzel-

Abb. 23.5 Parallelschaltung eines idealen Widerstandes und eines idealen Kondensators (Ersatzschaltung fiir einen Kondensator mit leitf~ihigem Dielektrikum). Beachten Sie die Frequenzabhiingigkeit des Wirkwiderstandes

182

23 Komplexe Behandlung von Wechselstromkreisen

scheinwiderst~inde. Es kann durchaus vorkommen, dab Z sogar kleiner ist als jeder Einzelscheinwiderstand ~. Das Analoge gilt f/Jr Scheinleitwerte und Parallelschaltungen.

Komplexe Teilerregeln Xhnlich wie die Regeln f/Jr die Kombination yon Widerst~inden lassen sich auch die Regeln f/Jr Spannungsteiler und Stromteiler formal in die komplexe Rechnung tibernehmen (Abb. 23.6): ,,FlieBen durch zwei ungekoppelte, komplexe (Ersatz-) Widerst~inde gleiche komplexe Str6me, so verhalten sich die komplexen Spannungen wie die entsprechenden Impedanzen". Das ist die komplexe Spannungsteilerregel, formal ausgedrtickt durch

U1 Zl

U1

Zl

U2

Z2

--~'/'2 ~Z2'

~

_Zl -[- ~Z2'

~

1-1 "[- --12

(23.5)

Duale Verh~iltnisse haben wir bei der Parallelschaltung: ,,Die komplexen Str6me in zwei ungekoppelten Zweigen, an denen die gleiche komplexe Spannung liegt, verhalten sich wie die Admittanzen der Zweige und umgekehrt wie die entsprechenden Impedanzen. Ein komplexer Teilstrom (z.B. / l ) verh/ilt sich zum komplexen Gesamtstrom (I) wie die Impedanz des anderen Zweiges _Z2 zur Gesamtimpedanz der Masche (Z~ + Z2), in der die Stromaufteilung erfolgt". Diese komplexe Stromteilerregel dr/icken wir formal aus als

Ii !2

-Yi -Z2 Ii Y2 _zl' !

_ZE Iz _z~+_z2' !

Z-i z_~+_z2

(23.6)

Abb. 23.6 a Komplexer Spannungsteiler. b Komplexer Stromteiler. Die komplexen Widerst~inde sind nicht gekoppelt

i z.B. bei der Reihenschaltung eines idealen Kondensators mit einer idealen Spule im Kreisfrequenzbereich 1/2x/~--C < 09 < V/2/(LC).

23.2 Berechneneinfacher Schaltungen

183

Wichtig fiir die Anwendbarkeit beider Regeln ist die Voraussetzung, dab keine induktive oder kapazitive Kopplung zwischen den komplexen Widerst~inden besteht.

Induktive Kopplun g Liegt eine Kopplung vor, so miissen wir das in den Elementgleichungen beriicksichtigen. Abbildung 23.7 zeigt den Fall zweier Spulen mit gegenseitiger Induktivit~it. Ideale Transformatoren sind, entsprechend G1. (21.17) und Abb. 21.14, durch die Elementgleichungen

I U_,lU_~ - LII, - N, IN21

(23.7)

charakterisiert. Daraus folgt, dab wir die Ubersetzungsregeln Gin. (21.19) im Komplexen zusammenfassen k6nnen als Z_' - - n2Z_,

Y_' -- Y_/n 2.

(23.8)

Ein Anwendungsbeispiel dafiir bietet die iibliche T-Ersatzschaltung eines Transformators aus Abb. 21.15. Werden die Hauptreaktanz Xh und die Streureaktanzen X~ und X2~ gem~il3 X

h

--

Xl,, :

O)Lh

wLlo

conM,

~

=

o)(L1

nM),

--

X2~ -- coL2~ -- co(L2 - M / n )

eingefiihrt und die Sekund~irgr6Ben auf die Prim~irseite iibersetzt, U_2 -

nU_ 2 '

1' 2 = 1 2 / n

'

R'2 -

nzR2

'

X ' 2a - - n Z X 2 ~ ,

Abb. 23.7 Zwei gekoppelte Spulen. Ausgehend von Abb. 21.7a ist beim Ubergang auf komplexe Gr613en die Operation der Zeitableitung durch die Multiplikation mit jco zu ersetzen

184

23 Komplexe Behandlung von Wechselstromkreisen

Abb. 23.8 Komplexe Ersatzschaltung fiir einen Transformator. R 1repr/isentiert den prim/iren Wirkwiderstand und XI~ die prim/ire Streureaktanz. R2 und X2, sind die entsprechenden Sekund/irgr6Ben,auf die Prim/irseite umgerechnet. Die Hauptreaktanz Xh ist bei technischen Leistungstransformatoren viel griSBerals die Streureaktanzen X1, und X2,, z.B. das Tausendfache

so erhalten wir die Gin. (21.20) mit dem ,,Magnetls9 i erungsstrom " " _Im = I ~ -/2/ in der Form -

_U~ = j Xh/m + (R~ + j X~,)/~,

-

(23.9)

_U2 = jXh_/_m-- (R2 + j X2,)/2. Wiedergegeben werden diese Beziehungen durch die komplexe Ersatzschaltung in Abb. 23.8. Bei Vernachl~issigung des Magnetisierungsstromes 2 (X h ~ ~ , Durchflutungsausgleich) l~il3t sich der Transformator allein durch den idealen Obertrager und durch die zusammengefaBte Impedanz Z_ = R 1 + R 2 + j(X1, + X2, ) darstellen.

23.30rtskurven

und Frequenzg~inge

Es ist hfiufig vorteilhaft, fiir spezielle, zeitunabh/ingige Gr6Ben einer Schaltung, z.B. fiir die Impedanz eines Zweipols oder fiir das Verh~iltnis der Effektivwerte yon Ausgangsspannung zu Eingangsspannung, die Abh~ngigkeit von einer Bestimmungsgr6Be (einem Parameter) graphisch darzustellen, etwa v o n d e r Frequenz oder von dem Wert eines Widerstandes. Ist die interessierende Gr6Be komplexwertig, so gibt es grunds~itzlich zwei DarstellungsmSglichkeiten. Erstens k6nnen wir jeden ihrer Werte als Punkt in der komplexen Ebene angeben. Unterschiedlichen Parameterwerten entsprechen dann i.a. unterschiedliche Punkte, die fiir ein gegebenes Parameterintervall ein bestimmtes Kurvensegment durchlaufen. Diese Parameterdarstellung einer Kurve in der komplexen Ebene heiBt Ortskurve. Handelt es sich bei dem Parameter um die Frequenz oder Kreisfrequenz, so nennt man die Ortskurve im speziellen Frequenzgangortskurve, kurz: Frequenzgang oder manchmal auch Nyquist-Diagramm der betrachteten Gr6Be. Zweitens lassen sich Betrag und Winkel der komplexen Gr6Be in zwei getrennten Diagrammen fiber den Parameterwerten auftragen. Wenn der Parameter die Frequenz oder die Kreisfre2 im betrfigt ftir technische Leistungstransformatoren einige Prozent der primfiren Stromst/irke bei Vollast.

23.3 Ortskurven und Frequenzg/inge

185

quenz ist, d a n n sprechen wir jetzt vom Bild des Betragsfrequenzganges bzw. des wird dabei fiir die Frequenz und fiir den Betrag jeweils eine logarithmische Skala, f/ir den Winkel dagegen eine lineare Skala gew~ihlt. Diese vielverwendete Art der Darstellung heil3t Bode-Diagramm.

Winkeifrequenzganges. Meistens

Ortskurven Beginnen wir mit einfachen Beispielen: Wie h/ingen die I m p e d a n z u n d die Admittanz einer R-L-Reihensehaltung v o n d e r Kreisfrequenz ab? Darzustellen sind also die Werte von Z_ = R +jcoL bzw. _Y= 1/(R + jogL) mit co als Parameter. Wie Sie in Abb. 23.9 sehen, ergibt sich fiir die Frequenzgangortskurve der I m p e d a n z eine Halbgerade und fiir die F r e q u e n z g a n g o r t s k u r v e der A d m i t t a n z ein Halbkreis. Entsprechende Bilder erhalten wir fiir die Frequenzgangortskurven einer R-CReihenschaltung (Abb. 23.10). Von einem etwas allgemeineren S t a n d p u n k t aus betrachtet geschieht bei der K o n s t r u k t i o n von O r t s k u r v e n folgendes. Angenommen, den k o m p l e x e n Werten z irgendeiner Gr613e werden d u r c h eine F u n k t i o n f komplexe Werte _w= f(z) zugeordnet, d.h. ein Bereich der komplexen z-Ebene wird auf einen Bereich der komplexen w-Ebene abgebildet 3. Durchlaufen nun die Werte z in Abh/ingigkeit von einem P a r a m e t e r p eine K u r v e z(p), d a n n liegen auch die Bildpunkte i.a. auf einer K u r v e w_(p) (Abb. 23.11). Von besonderem Interesse fiir die Anwendungen sind gebrochen lineare Funktionen ao + al z f ( z ) = bo +_~Tz

(23.10)

mit komplexen Koeffizienten 4 a o, al, b o u n d b:. Es l~il3t sich n~imlich zeigen, dab damit Kreise in der z-Ebene wieder auf Kreise in der w-Ebene abgebildet werden,

Abb. 23.9 Frequenzgangortskurven der Impedanz _Zund der Admittanz _Yeiner R-L-Reihenschaltung. Die Ortskurven sind im Prinzip mit den Parameterwerten (Kreisfrequenz co) zu beziffern. Meistens interessiert jedoch nur der qualitative Verlauf, und es geniigt die Angabe einiger charakteristischer Parameterwerte (hier die eingeklammerten Werte co= 0, co= R/L und co = oe) 3 Ist die komplexe Funktion f im betrachteten Bereich analytisch, so sprechen wir von einer konformen Abbildung. 4 Wir setzen a ob 1- a 1b o ~ 0 voraus, weil sich die Funktion sonst auf eine Konstante reduziert.

186

23 KomplexeBehandlung von Wechselstromkreisen

Abb. 23.10..Frequenzgangortskurven der ImpedanzZ_ und der Admittanz _Yeiner R-C-Reihenschaltung. Ahnlich wie in Abb. 23.9 bestimmt auch hier die reziproke Zeitkonstante einen charakteristischen Wert der Kreisfrequenz

Abb. 23.11 Zuordnung zwischen den Punkten der _z-Ebene und den Punkten der _w-Ebene durch eine komplexe Funktion f. Kurven werden dabei i.a. wieder auf Kurven abgebildet eingeschlossen die Geraden als Kreise mit unendlich grol3em Radius: Die gebrochen linearen Funktionen vermitteln eine Kreisverwandtschaft zwischen den beiden Ebenen. Wir verstehen damit den Zusammenhang zwischen den Frequenzgangortskurven der Impedanz und der Admittanz in Abb. 23.9 bzw. in Abb. 23.10. Die Beziehung _Y = 1/_Z entspricht f ( z ) -- 1/z, also einem Spezialfall von G1. (23.10). Aus einem Geradensegment (--spezielles Kreissegment) in der Impedanzebene entsteht demnach ein Kreissegment in der Admittanzebene. Natiirlich k6nnen wir mit gebrochen linearen Funktionen auch direkt die Koordinatenachsen (spezielle Geraden) abbilden, also beispielsweise z(p) -- 9(P) mit einer reellen Funktion 9 eines beliebigen reellen Parameters p w~ihlen. Die zugeh6rige Ortskurve w(p) --

ao + alg(p)

_b0 + b,o(p)

(23.11)

ist dann jedenfalls ein Kreisbogen, und fiir dessen Konstruktion ist nach den Regeln der Elementargeometrie die Kenntnis von drei Punkten ausreichend. Der Ortskurvenparameter muB nicht notwendig die Frequenz sein. Nehmen wir z.B. die beiden induktiv gekoppelten Kreise aus Abb. 23.12. An der ersten Spule--wir

23.30rtskurven und Frequenzg/inge

187

Abb. 23.12 Zwei induktiv gekoppelte Kreise. Gesucht ist die Ortskurve von _/ fiir ver/inderliche R-Werte. Zur Abkiirzung werden die Reaktanzen X 1, X 2 und die Streuziffer a eingefiihrt

setzen sie vereinfachend als widerstandslos v o r a u s - - l i e g t eine S i n u s s p a n n u n g fester A m p l i t u d e u n d Frequenz. Der zweite Kreis enth/ilt einen ver/inderlichen Widerstand. W i r interessieren uns f/Jr die Gr6Be des Eingangsstroms bei unterschiedlichen Widerstandswerten, d.h. gesucht ist die Ortskurve von I mit R als P a r a m e t e r . Mit den a n g e g e b e n e n Abkiirzungen folgt nach Elimination y o n / 2 ein Z u s a m m e n h a n g der F o r m (23.11) ( P a r a m e t e r p = R), _U

jX 2 +R

- / = j X l j a X 2 + R'

(23.12)

die O r t s k u r v e ist also wieder ein Kreis (Abb. 23.13). Als Beispiel fiir eine Ortskurve, die sich nicht durch eine gebrochen lineare F u n k t i o n darstellen 1/~Bt, untersuchen wir die Schaltung in Abb. 23.14. Es h a n d e l t sich um eine Kette a u s drei R-C-Gliedern mit einer Sinusspannung _U1 a m Eingang.

Abb. 23.13 Stromortskurve der Schaltung aus Abb. 23.12 entsprechend G1. (23.12). Parameter ist der Widerstand R. Der komplexe Effektivwert der Spannung ist willkiirlich mit _U= j U angenommen. Eine Ortskurve dieser Art wird als sogenanntes vereinfachtes Kreisdiagramm zur Darstellung grundlegender Zusammenhiinge bei Asynchronmaschinen (eine weitverbreitete Art elektrischer Maschinen) verwendet. Die Ersatzgr613e R kann dabei auch negative Werte annehmen (unterer Halbkreis, generatorischer Betrieb)

188

23 Komplexe Behandlung von Wechselstromkreisen

Abb. 23.14 Kettenschaltung aus drei R-C-Gliedern und zugeh6rige Frequenzgangortskurve des Spannungsiibertragungsfaktors bei leerlaufendem Ausgang

Wir fragen nach der Abh/ingigkeit der Leerlauf-Ausgangsspannung _U2 v o n der Frequenz oder, damit gleichbedeutend, nach dem Frequenzgang des Ubertragungsfaktors _G= _U2/_U~ bei leerlaufendem Ausgang. Schaltungen dieser Art lassen sich am einfachsten vom Ausgang her aufl6sen. Unter Verwendung der bezogenen Frequenz v = ogRCerhalten wir U2 1 1 _G= U_--~= (1 + jv) 3 +iv(3 + 2 j v ) - 1 - 5v 2 + j v ( 6 - v2) '

(23.13)

was sich leicht punktweise auswerten 1/iBt. Besteht die Kette aus n Gliedern, so durchl~iuft die Ortskurve n Quadranten, hier also drei. Fiir n = 1 ergibt sich ein Halbkreis im rechten Quadranten der unteren Halbebene. Frequenzgangortskurven von f2bertragungsfaktoren sind ein wichtiges Hilfsmittel zur Beurteilung der dynamischen Eigenschaften linearer Systeme. Werden sie formal in den Bereich negativer Frequenzen fortgesetzt, so nennt man sie vollst~indige Frequenzgangortskurvon (-- ~ < o9 < ~ ) . Die gew6hnliche F o r m (0 ~< 09 < ~ ) heil3t dann einfache Frequenzgangortskurve.

Bode-Diagramme Aus der Frequenzgangortskurve lassen sich im Prinzip zu jeder Frequenz sowohl der Betrag wie auch der Winkel der dargestellten komplexen Gr613e entnehmen. Wenn jedoch tats/~chlich Interesse an quantitativen Aussagen besteht, dann ist meist eine getrennte Angabe des Betrages und des Winkels als F u n k t i o n der Frequenz von Vorteil. Dabei erweist sich die Verwendung logarithmischer Skalen ffir Betrfige und Frequenzen und linearer Skalen ffir Winkel als besonders bequem und hilfreich beim Erkennen ausgeprfigter Eigenschaften, wie Sie an den folgenden Beispielen sehen werden. Als erstes untersuchen wir den Frequenzgang des Spannungsiibertragungsfaktors fiir das R-C-Glied aus Abb. 23.15 bei leerlaufendem Ausgang. Mit der komplexen

23.30rtskurven und Frequenzg/inge

189

Abb. 23.15 R-C-Glied mit TiefpaB-Charakteristik. Dargestellt ist der Ubertragungsfaktor _Gder Spannung bei leerlaufendem Ausgang als Funktion der bezogenen Frequenz v in Form der Frequenzgangortskurve sowie als Betrags- und Winkelfrequenzgang. Werden ftir die Bezifferungen der Betragsachse und der Frequenzachse logarithmische Maf3stiibe verwendet (bevorzugt dekadische Logarithmen), so sprechen wir von einem Bode-Diagramm

Spannungsteilerregel folgt unmittelbar G -

--

U2 _Ul

=

1 , 1 + jcor

T--

RC.

(23.14)

Der Kehrwert der Zeitkonstante T definiert eine charakteristische Kreisfrequenz COB= 1/r. ES ist daher zweckm~iBig, die Werte der Kreisfrequenz als Vielfache dieser Bezugsgr6Be anzugeben, also die bezogene Frequenz v = w/coB als Ver~inderliche zu verwenden, wie wir das bereits im Zusammenhang mit der Kettenschaltung aus Abb. 23.14 gemacht haben. Bei kleinen Frequenzen (v<< 1) ist der Betrag des Ubertragungsfaktors I_GI ~ 1, w/ihrend er sich bei groBen Frequenzen (v >> 1) wie I_G[ ~ 1 / v verh/ilt. Diese Grenzverl~iufe bilden sich bei logarithmischen Mal3st~iben an beiden Achsen auf Geraden ab, die Sie strichliert im rechten oberen Teilbild von Abb. 23.15 sehen. Interessant ist nun, daf~ der Betragsfrequenzgang bei einer solchen Art der Darstellung fiberhaupt nur in den Umgebungen der charakteristischen Frequenzen (hier v - - 1 , ,,Knickfrequenz") von den Asymptotengeraden abweicht, und auch dort nicht sehr stark. Der tats~ichliche Verlauf l~il3tsich demnach recht gut durch einen Polygonzug ann~ihern. Etwas weniger stark ausgepr~igt verh/ilt sich der Winkelfrequenzgang. Im vorliegenden Beispiel k6nnten wir ihn ganz grob durch einen Sprung von 0 a u f - 7 r / 2 bei der charakteristischen Frequenz beschreiben. Tats~ichlich verl~iuft er im Bereich von etwa einem Zehntel bis zum Zehnfachen der charakteristischen Frequenz verschliffen. Bei der Verwendung logarithmischer MaBe fiir die Betriige v o n GriiBenverhiiltnissen (Quotienten zweier Gr6Ben gleicher Dimension) haben sich in der Elektrotechnik und in der Akustik besondere Bezeichnungsweisen durchgesetzt. Dabei wird unterschieden zwischen Gr6f~en, die der Leistung proportional sind (Wirkleistung,

190

23 Komplexe Behandlung von Wechselstromkreisen

Scheinleistung u./i), Leistungsgr613en genannt, und Gr613en, deren Quadrate der Leistung proportional sind, wenn sie auf Impedanzen wirken (z.B. Spannung, Strom, nicht aber Impedanz oder Frequenz), in diesem Zusammenhang als Feldgr613en bezeichnet. Angenommen, _OFist das Verh~iltnis zweier Feldgr/513en gleicher Dimension, z.B. das Verh~iltnis der komplexen Effektivwerte von Ausgangsspannung und Eingangsspannung, GF = _Uz/_U1.Als natfirlich logarithmisches Mal3 von Gr613enverh~iltnissen dieser Art definieren wir 9_v = In (G_F)= ln l _GvI + j arc (_Gv).

(23.15)

Realteil und Imagin/irteil sind Gr613en der Dimension 1D, besitzen also im SI die koh~irente Einheit 1E (kurz: 1). Trotzdem verwendet man bei Winkelangaben als Hinweis auf die Gr613enart gelegentlich die Pseudoeinheit Radiant (1 rad - 1E) und analog ffir das natiirlich logarithmische Verh~iltnis des Betrages von Feldgr613en die Pseudoeinheit Neper 5 ( 1 N p = 1E). Man schreibt also mit gF--gF +JgF z.B. fiir _GF = 0,5.exp(j re/6) m

t

gF = ln(0,5) = -- 0,639 Np,

tt

9F = 7r/6 = 0,524 rad.

(23.16)

Analog gehen wit bei Leistungsgr/SBen vor. U m einen bequemen AnschluB an die Feldgr6Ben zu finden, wird jedoch das natiirlich logarithmische MaB des Verh~iltnisses _Gp zweier Leistungsgr6Ben, z.B. des Verh~iltnisses der komplexen Scheinleistungen am Ausgang und am Eingang, _Gp= _$2/_$1,fiir dessen Quadratwurzel erkl~irt, _gp= 89

" llnlGal +j 89

(23.17)

Auch daffir sind Pseudoeinheiten Neper und Radiant in Gebrauch. Beim praktischen Rechnen mit logarithmierten Gr6Benverh/iltnissen hat sich die Verwendung des dekadischen Logarithmus gegenfiber dem natiirlichen Logarithmus durchgesetzt. Ausgehend von G1.(23.17) erhalten wir gem/iB 1Oga(C) = log a (b)" 1Ogb(C) fiir den Realteil gp - 89ln(10)- lg IGpI,

(23.18)

und der Faktor In(x/i--0) wird durch die Einheit Bel (Kurzzeichen 1 B) oder h/iufiger, durch 10 Dezibel (Kurzzeichen 10dB, ldB = 0,1 B) ersetzt. Man definiert also das logarithmierte GriiBenverh/iltnis des Betrages yon LeistungsgriiBen als g p - 101gl_GaldB,

1 dB=0,1-1n(x~)l

E,

(23.19)

und daher ergibt sich, weil in G1. (23.15) der Faktor 1/2 nicht vorkommt, ffir das logarithmierte GriiBenverh/iltnis des Betrages yon FeldgriiBen gF = 20 lgIGF IdB,

(23.20)

also z.B. mitl _GEl= 0,5 die Gr613e 9v = - 6,02dB. Der G1. (23.20) werden Sie h/iufiger begegnen als der G1. (23.19), weil Netzwerkgr613en, Signale und regelungstechnische ZustandsgriSl3en meist als Feldgr613en im hier betrachteten Sinn aufzufassen sind. 5 John Napier (Neper), 1550-1617, schottischer Mathematiker und Theologe, Pionier der Logarithm e n .

191

23.30rtskurven und Frequenzg~inge

Abb. 23.16 Gegeniiberstellung der Skalen zur logarithmischen Darstellung des Betrages von Verh~iltnissen Gv gleichartiger Feldgr6Ben. Die I_Gv I-Skala ist logarithmisch, die Dezibel-Skala und die NeperSkala sind linear geteilt

Beachten Sie, dab das Dezibel lediglich fiir In (x/~0)/10 -- 0,1151... (genauer: l d B -0,1151... 1E) steht, und dab damit die Beziehung gilt l d B = 0,1151... Np,

1Np = 8,686... dB.

(23.21)

Abbildung 23.16 zeigt die Zusammenhiinge anhand von Skalen. Der in Abb. 23.15 dargestellte Obertragungsfaktor _G ist ein Verhiiltnis von FeldgriSl3en. Sein Betragsfrequenzgang zeigt im wesentlichen unterhalb der charakteristischen Frequenz einen konstanten Verlauf und oberhalb einen Abfall mit - 2 0 d B / D e k a d e der Frequenz. Bei der charakteristischen Frequenz (v = 1) ist I_GI- 1/x/~ = 0,707, was im logarithmischen Mal3 der Abweichung 20 lg(1/x//2)dB = - 3,01dB ~ - 3dB vom ann~ihernden Polygonzug entspricht. Qualitativ v611ig anders verh/ilt sich das R-C-Glied, wenn Widerstand und Kondensator gegeniiber Abb. 23.15 ihre Plfitze tauschen. Sie sehen das in Abb. 23.17. Die komplexe Spannungsteilerregel liefert nun U2

jco'~

G. . . . , _U1 1 + j c o r

~ = R C,

(23.22)

und wir erkennen die charakteristische Kreisfrequenz coB = l/c, die wir wieder als BezugsgriSge verwenden, v = m/coB. Wegen I_G]~ v fiir v << 1 und I_GI ~ 1 fiir v >> 1 liigt sich der Betragsteil des Bode-Diagrammes im Bereich v < 1 dutch eine Gerade mit der Steigung 20dB/Dekade und im Bereich v > 1 durch einen konstanten Verlauf anniihern. Die Abweichung bei der charakteristischen Frequenz (v - 1, ,,Knickfrequenz") betr/igt ~ - 3dB. Wie Sie sehen, iibertr/igt dieses Glied Spannungen hoher Frequenz nahezu ungehindert, wiihrend solche niedriger Frequenz abgeschwiicht (gediimpft) werden (HochpaB-Charakteristik). Bei der Schaltung aus Abb. 23.15 ist das umgekehrt (TiefpaB-Charakteristik). In beiden Fiillen ist der Phasenverschiebungswinkel der Ausgangsspannung gegen die Eingangsspannung frequenzabh/ingig. Ein interessantes Verhalten zeigt auch die R-C-Kombination aus Abb. 23.18. Mit Kreuzschaltungen dieser Art lassen sich sogenannte AllpaBelemente realisieren, d.h. der Betrag des Spannungsiibertragungsfaktors ist unabhiingig v o n d e r Frequenz. Unterschiedliche Frequenzen machen sich jedoch in unterschiedlichen Phasenverschiebungswinkeln der Ausgangsspannung gegen die Eingangsspannung bemerkbar. Weitere Beispiele fiir Frequenzgangortskurven und Bode-Diagramme liefert das n/ichste Kapitel.

192

23 Komplexe Behandlung von Wechselstromkreisen

Abb. 23.17 R-C-Glied mit HochpaB-Charakteristik. Dargestellt ist der Obertragungsfaktor _Gder Spannung bei leerlaufendem Ausgang als Funktion der bezogenen Frequenz v in Form der Frequenzgangortskurve und als Bode-Diagramm

Abb. 23.18 R-C-Glied mit AllpaBcharakteristik. Der Obertragungsfaktor _G der Spannung bei leerlaufendem Ausgang besitzt hier den konstanten Betrag 1. Sein Winkel ist jedoch frequenzabh~ingig

23.4 Fragen 1. Was verstehen Sie unter einer linearen Schaltung und unter einem eingeschwungenen Zustand in einer linearen Schaltung? 2. Welche Voraussetzungen sind allgemein ftir die Gfiltigkeit der Kirchhoff-Regeln zu treffen? 3. Wie lauten die Kirchhoff-Regeln im Komplexen?

193

23.5 Aufgaben

4. Gelten die Kirchhoff-Regeln bei eingeschwungenen Zust/inden in linearen Schaltungen fiir die Augenblickswerte, die reellen Effektivwerte, die komplexen Effektivwerte, die reellen Amplituden, die komplexen Amplituden? (Begriindung!) 5. Welche Informationen liefern die beiden Kirchhoff-Regeln? 6. Wie berechnen Sie die Ersatzimpedanz bzw. die Ersatzadmittanz einer Reihenschaltung und einer Parallelschaltung zweier nicht gekoppelter komplexer Widerst~inde? Wie ist dies in der komplexen Ebene zu veranschaulichen? 7. Kann der Scheinwiderstand der Reihenschaltung komplexer Widerst~inde kleiner sein als die EinzelscheinwiderstS.nde? (Beispiel!) 8. Wie lauten die Spannungsteilerregel und die Stromteilerregel im Komplexen? Woraufm/issen Sie bei ihrer Anwendung hinsichtlich der Kopplung speziell achten? 9. Was verstehen Sie unter "induktiver Kopplung"? 10. Wie lauten die Elementgleichungen zweier induktiv gekoppelter Spulen im Komplexen? Welche Rolle spielt dabei die Wahl der Bezugssinne? 11. Wie k6nnen Sie die Hauptreaktanzen und die Streureaktanzen eines Transformators definieren? 12. Welche Form nimmt das T-Ersatzschaltbild eines Transformators bei Vernachl~issigung des Magnetisierungsstromes an? Wodurch wird dann der Transformator repr~isentiert? 13. Was verstehen Sie allgemein unter einer Ortskurve, was speziell unter einer Frequenzgangortskurve, einem Betragsfrequenzgang und einem Winkelfrequenzgang? 14. Wie sehen die Frequenzgangortskurven der Impedanz und der Admittanz einer RL-Reihenschaltung und einer RC-Reihenschaltung aus? 15. Welche allgemeinste Form einer komplexwertigen Funktion einer reellen Variablen besitzt einen Kreis (oder Kreisbogen) als Ortskurve? 16. Welche Darstellungsform bezeichnet man als Bode-Diagramm? 17. Was ist ein Gr613enverh~iltnis? 18. Worauf griindet sich die Einteilung physikalischer Gr613en in Feldgr613en und LeistungsgriSBen? 19. Was bedeutet 1 dB (1 Dezibel)? 20. Wie realisieren Sie einfache TiefpaB-, Hochpal3- und Allpal3- Obertragungsglieder mit Widerst/inden und Kondensatoren? Wie sehen die Frequenzgangortskurven und die vollst~indigen Bode-Diagramme dazu aus?

23.5 Aufgaben A23.1 Realer Kondensator: Das Wechselstromverhalten eines realen Kondensators Abb. A23.1 a 1/il3t sich nach Herstellerangabe durch die Ersatzschaltung Abb. A23.1b erfassen. Ab welcher Frequenz weicht der Phasenverschiebungswinkel zwischen Spannung und Strom um mehr als 15 ~ dem des idealen Kondensators ab? F

II

r

II

,

I

I

I

I

1o

II II 1500~tF

'

' 20f2

"

~

2

10nil

1500uF Abb. A 2 3 . 1 a

Abb. A23.1b

A23.2 Realer Widerstand: Reale Widerst/inde sind in Wechselstromschaltungen beispielsweise durch die Ersatzschaltung Abb. A23.2 n~iherungsweise darstellbar. Welche Beziehung zwischen R, L u n d C ist durch den konstruktiven Aufbau des

194

23 K o m p l e x e Behandlung von Wechselstromkreisen

Widerstands anzustreben, damit der Phasenverschieb, ungswinkel zwischen Spannung und Strom fiir hinreichend kleine Kreisfrequenzen (co2 << 1/(LC)) n/iherungsweise verschwindet? R

L O

r

ii

T

Abb. A23.2

A23.3 Eingangsimpedanz: Berechnen Sie ftir die Schaltung aus Abb. A23.3a mit einem idealen Operationsverst~irker allgemein die Eingangsimpedanz Z. C

A

R2

II cl

--

I

I

9

I!

T

I

I

"

Rl

l,

~

,k

R3

T

O

Abb. A23.3a

A23.4 Spannungsteiler: An dem Spannungsteiler Abb. A23.4a werden bei fester Sinusspannung U je nach Schleiferstellung unterschiedliche Werte U 1 abgegriffen. Die Abgriffe sind stufenlos und mit linearer Teilung ver~inderbar. (i) Innerhalb welchen Bereiches erhalten Sie eine mit dem Strom / phasengleiche Spannung _U1? (ii) Sie wollen eine Spannung abgreifen, deren Effektivwert 85V betriigt mit einem Phasenverschiebungswinkel v o n - 45 ~ gegeniiber dem Strom. Wo mtissen sich die Schleifer befinden? (iii) Wie sind die Schleiferstellungen, wenn _U~ auf _U senkrecht steht? Wie groB ist dann _U1? (iv) Die Ausgangsspannung soll verschwinden. Wie liegen die Abgriffe? ~U1

u = 200v, R = 100~,

II

Xc = - 1 0 0 ~ ,

_i

R

C

L

u -

Abb. A23.4a

x,~= 273n

195

23.5 A u f g a b e n

A23.5 Hummel-Schaltung: In der MeBschaltung Abb. A23.5a liegen zwei gleiche, widerstandsbehaftete Spulen in Reihe an einer Sinusspannung. Wie groB ist der Parallelwiderstand R 3 zu wiihlen, damit der Phasenverschiebungswinkel yon _Ugegen/2 genau ~/2 betr~igt? R 3

10f2

50mH

_U,

50Hz

Abb. A23.5a A23.6 Drei-Voltmeter-Methode: Zur Untersuchung einer Drossel (strichliert gerahmter Teil der Schaltung Abb. A23.6a) wird diese fiber einen bekannten Vorwiderstand R1 an eine 50 Hz-Spannung gelegt. Mit einem Voltmeter werden die drei Effektivwerte U = 70 V, U1 = 40 V, UDr = 50 V gemessen. Wie groB sind der Wirkwiderstand RDr und die Induktivit~it LDr der Drossel?

r,

Rl=20f2

RDr

I t

r

[

"~t

U

Q

r

Abb. A23.6a A23.7 Erzeugen phasenverschobener Wechselfliisse: Zwei gleiche, magnetisch nicht gekoppelte Spulen mit L1 = L 2 = 1,2 H und R 1 = R 2 --- 250f2 sollenjeweils magnetische Sinusflfisse gleicher Amplitude, aber um rt/2 gegeneinander phasenverschoben, erzeugen. Die dazu nbtigen Spulenstrbme betragen 11 = I 2 -- 0,5 A (effektiv). Als Quelle steht das normale Wechselspannungsnetz 50 Hz, 220V zur Verfiigung. Dimensionieren Sie eine einfache Schaltung, die das Gewiinschte leistet und auBerdem m6glichst wenig Verlust besitzt.

A 23.8 Nachrichteniibertragung auf Hochspannungsleitung: Eine Hochspannungsleitung soil auBer zum Transport niederfrequente r elektrischer Energie zus~itzlich zur Nachrichteniibertragung mit einer Frequenz im Bereich yon 100 kHz genutzt werden. Die Ankopplung erfolgt gem&iB Abb. A23.8 fiber Kondensatoren C. Die

196

23 KomplexeBehandlung von Wechselstromkreisen

Spulen LE besitzen fiir 50 Hz einen vernachl~issigbar kleinen Scheinwiderstand. Die Sperrinduktivit~iten Ls verhindern ein unerwiinschtes Abfliel3en der Signalenergie. (i) Wie grol3 ist der Strom I ffir fj = 50 Hz und U~ : 63,5 kV fiber die Kondensatoren C? (ii) Wie grol3 ist der kapazitive Widerstand der Kondensatoren bei f2 = 100 kHz? (iii) Wie grol3 ist der induktive Widerstand der Sperrinduktivit~it Ls bei fl und bei

f:?

Abb. A23.8

Ein Wechselspannungsgenerator mit der in Abb. A23.9a angegebenen Innenimpedanz _Z~ soil einen Verbraucher fiir U = 230 V mit der Wirkleistung P = 1,5 kW und dem Leistungsfaktor cos (qg)= 0,7 kap. speisen. Auf welchen Effektivwert Uq ist die Quellenspannung einzustellen?

A23.9 W e c h s e l s p a n n u n g s g e n e r a t o r :

Abb. A23.9a

A23.10 Spannungsfinderung: Ein Energieversorgungsnetz, in Abb. A23.10 dargestellt durch eine ideale Wechselspannungsquelle in Reihe mit einer Reaktanz (Ersatzschaltung!), speist eine Last der Admittanz _Y. (i) Berechnen Sie das effektive Verh~iltnis I_U/Uol der Lastspannung zur Leerlaufspannung. (ii) Wie grol3 mtil3te die Kapazit~it C eines parallel zur Last geschalteten Kondensators sein, um dieses Verh~iltnis gleich 1 zu machen?

197

23.5 Aufgaben

Abb. A23.10

A23.11 Leuchtstofltampe: Bei Vernachl/issigung der Stromoberschwingungen kann man eine Leuchtstotttampe in einem vorgegebenen Arbeitspunkt als Widerstand R L auffassen, dem wegen der fallenden Strom-Spannungs-Kennlinie der Gasentladung zur Stabilisierung eine verlustbehaftete Drossel vorgeschaltet ist (Abb. A23.11). Diese Reihenschaltung nimmt bei U = 220V, 50 Hz den Strom I L = 0,42A und die Wirkleistung P = 49 W auf. Die Lampe allein verbraucht 40 W. Der Kondensator C verbessert den Leistungsfaktor. (i) Wie groB ist die Spannung U L a n der Lampe? (ii) Welchen Leistungsfaktor COS(0R) besitzt die Reihenschaltung von Lampe und 9Drossel? (iii) Welche Kapazit~it C ist erforderlich, um den gesamten Leistungsfaktor auf cos(q~) = 1 anzuheben?

Abb. A23.11

A23.12 Industrieofen: Ein Industrieofen, betrieben mit f = 50 Hz und dargestellt als Reihenschaltung von R E und X L in Abb. A23.12a, entnimmt dem Wechselstromnetz im Nennbetrieb mit I = 50 kA die Wirkleistung P = 5 M W und, ohne Kompensation, die Blindleistung Q = 8 MVA. Der Kondensator C, angeschlossen fiber einen als ideal anzunehmenden Reihentransformator mit U1/U2= 10500 V/140 V, soil den Leistungsfaktor auf cos (q~)= 0,98 ind. anheben. (i) Welche Kapazitiit C muB der Kondensator haben? (ii) Wie grog mfiBte C sein, wenn auf den Reihentransformator verzichtet werden soll?

198

23 Komplexe Behandlung von Wechselstromkreisen

Abb. A23.12a A23.13 Kapazitiver Wegaufnehmer: Der in Abb. A23.13a skizzierte Wegaufnehmer besteht aus drei parallelen Platten der Flfiche A. Die beiden fiul3eren Platten liegen im festen Abstand 21, die mittlere Platte wird tiber den aufzunehmenden Weg ~ aus der Mittellage parallel verschoben. Berechnen und skizzieren Sie den Effektivwert U a der Ausgangsspannung als Funktion yon ~ im Bereich - 1 ___~ < 1.

Abb. A23.13a A23.14 MeBschaltung: Die Mel3schaltung Abb. A23.14a wird zur Bestimmung der Ersatzgr~513en R und L von Spulen verwendet. N a c h Anlegen einer Eingangsspannung _UE passender Frequenz f werden dabei die Werte C und R s so eingestellt, dab sich die Ausgangsspannung _Ua zu Null ergibt. Bei einer speziellen Messung mit f = 2 k H z l~il3t sich der Abgleich ftir C = 0,1 ~F und R s = 2,10k[2 herstellen. Wie grol3 sind in diesem Fall die Werte R und L?

Abb. A23.14a A23.15 Wechselstrombriicke: Die Wechselstrombrticke aus Abb. A23.15a wird mit einer Sinusspannung _Ubekannter Kreisfrequenz co betrieben und dient zur Bestim-

23.5 Aufgaben

199

mung der Ersatzgr6Ben Cx und Rx verlustbehafteter Kondensatoren. Dabei werden die Werte R 2, R 3, C3 und C4 so eingestellt, dab der Spannungsmesser V Null anzeigt. Driicken Sie ftir diesen Fall C~ und R x durch die eingestellten Werte und co aus.

Abb. A23.15a

A23.16 Kapazit~itsmeflbriicke: Die von einer Sinusspannung der Kreisfrequenz 09 gespeiste Kapazit/itsmeBbriicke Abb. A23.16a dient zur Bestimmung der Ersatzparameter C x, R x eines verlustbehafteten Kondensators. U, 09 und R 1 sind bekannt, ebenso die Werte R und C, die so eingestellt werden, dab der Strom I im Querzweig verschwindet. Berechnen Sie daraus allgemein C x und R x.

Abb. A23.16a

A23.17 Schering-Briicke: Leiten Sie die Abgleichbedingungen f/ir die in Abb. A23.17 dargestellte Wechselstrombriicke ab. F/Jr MeBzwecke sind C 2 und R 3 als bekannt, C4 und R 4 als skaliert einstellbar, C1 und R 1 als MeBobjekt (Ersatzschaltung) aufzufassen.

Abb. A23.17

200

23 Komplexe Behandlung von Wechselstromkreisen

A23.18 Wien-Briicke: Die Wechselstrombriicke Abb. A23.18a bildet den passiven Teil eines Schwingungserzeugers (Wien-Briicken-Oszillator). Fiir welche Frequenz ist die Br/icke abgeglichen (_U2 = 0)?

Abb. A23.18a

A23.19 Maximale Stromaufnahme: An den Klemmen eines Magnetsystems, in Abb. A23.19a dargestellt durch die ideale Spule und den Reihenwiderstand, liegt zur Vermeidung von Spannungsfiberh6hungen beim Ausschalten parallel ein Widerstand. Aus Erw~irmungsgriinden daft die ganze Schaltung maximal 1100 W aufnehmen. Bestimmen Sie for diesen Maximalwert und Speisung aus einem 60Hz-Netz (i) die Wirkleistungen des Magnetsystems und des Parallelwiderstandes, (ii) den Effektivwert I des aufgenommenen Stromes.

Abb. A23.19a A23.20 Induktivifiit einer Drossel: An einer widerstandsbehafteten Spule liegt eine 50Hz-Sinusspannung mit U = 230 V. Es wird die Wirkleistung zu P = 94 W und der Leistungsfaktor zu cos(~p)= 0,11 gemessen. Wie grol3 sind Wirkwiderstand und Induktivit~it der Drossel?

A23.21 Drossel mit Luftspalt: Eine Drossel mit Luftspalt (Abb. A23.21a) soll an einer Sinusspannung mit 1200V Effektivwert und 300Hz betrieben werden und dabei die Reaktanz X = l k f l darstellen. Der vom magnetischen Flul3 durchsetzte Querschnitt betr~igt einheitlich 10cm 2, und es sol1 die Flul3dichte 1,0T nicht iiberschritten werden. Wie grol3 ist die Windungszahl N zu w~ihlen und welcher Wert der Luftspaltl~inge I ist einzustellen?

23.5 Aufgaben

201

Abb. A23.21a A23.22 Drossel fiir Siebkreis: Im Siebkreis einer Gleichrichterschaltung liegt eine Drossel, deren Eisenkreis einen Luftspalt der L~inge / = 0 , 5 m m und der Querschnittsfl~iche A = 9 cm 2 enth~ilt. Die Windungszahl ist N = 2500. Welchen induktiven Widerstand hat die Drossel ftir die auszusiebende ,,Brummfrequenz" f = 100 Hz? Der magnetische Widerstand des Eisens kann fiir die Oberschlagsrechnung vernachl~issigt werden. A23.23 T r a n s f o r m a t o r : Aus einem vorhandenen B lechkern mit dem wirksamen Eisenquerschnitt A = 80 cm 2 soll ein Transformator mit der Nennleistung SN = 5kVA und der Spannungstibersetzung UI/U2 = 380 V/120V ffir die Frequenz f=50Hz gebaut werden. Fiir diese Absch~itzung kann der Transformator als n~iherungsweise ideal betrachtet werden. (i) Als Scheitelwert der Flugdichte ist/~ -- 1,3 T anzunehmen. Wie grog mi.issen die Windungszahlen N1 und N2 sein? (ii) Welche Drahtquerschnitte mtissen gew~ihlt werden, wenn aus Erw~irmungsgriinden die Stromdichte mit J = 0 , 7 A/mm 2 (Effektivwert) begrenzt ist? (iii) Der so entworfene Transformator wird als ,,Spartransformator" verwendet und soll aus einem 380-V-Netz einen 500-V-Verbraucher speisen. Wie ist der Transformator zu schalten und welche Scheinleistung kann dem Verbraucher maximal zugeftihrt werden? A23.24 Auslastung eines Transformators: Ein Transformator mit der Nenn-Scheinleistung 25kVA speist einen Verbraucher, charakterisiert durch die Wirkleistung 12 kW und den Leistungsfaktor 0,6 (induktiv). (i) Zu welchem Prozentsatz ist der Transformator ausgelastet? Ausschlaggebend dafiir ist die Scheinleistung als Mal3 ftir die Strombelastung (thermische Beanspruchung) der Wicklungen. Von dem Transformator sollen zus~itzlich noch rein ohmsche Verbraucher (Leistungsfaktor 1) versorgt werden. (ii) Wie grog ist die noch abgebbare Leistung? A23.25 KurzschluBstrom: Ein Leistungstransformator, dargestellt durch die Ersatzschaltung Abb. A23.25, liegt prim~ir an einem starren Wechselspannungsnetz. W/ihrend eines St6rfalls wird die Sekund~irseite widerstandslos kurzgeschlossen. Wie grol3 sind die Effektivwerte des Dauerkurzschlugstroms (eingeschwungener Zustand) auf der Prim/irseite und auf der Sekund~irseite?

202

23 Komplexe Behandlung von Wechselstromkreisen

Abb. A23.25

A23.26 KurzschluBversuch: Ein Transformator mit der vereinfachten Ersatzschaltung Abb. A23.26a wird zur Messung der Impedanz _ZT prim/ir an eine Spannung solcher Gr613e angeschlossen, dal3 bei kurzgeschlossenen Sekund/irklemmen der N e n n s t r o m fliel3t. Im konkreten Fall werden die Effektivwerte U - 495V, I N = 25 A und die aufgenommene Wirkleistung P - 3,24kW gemessen. Bestimmen Sie daraus _ZT.

Abb. A23.26a

A23.27 Kleintransformator: Ein Transformator gem/il3 Abb. A23.27a liegt prim/ir am 50Hz-Netz mit 230V (Effektivwert) und soll sekundiir 6,3V liefern. Ftir den magnetischen Kreis steht ein Eisenkern mit 1 cm 2 Querschnittsfliiche zur Verftigung. Wie grol3 sind die Windungszahlen zu wiihlen, wenn die magnetische Flul3dichte im Kern den Wert 1,5T nicht/ibersteigen soll?

Abb. A23.27a

23.5 Aufgaben

203

A23.28 Zweitorparameter: Der in Abb. A23.28a skizzierte Transformator enthfilt einen Mittelschenkel mit einem Spalt der Reluktanz R m. Die Beziehung zwischen den komplexen Effektivwerten am Eingang und am Ausgang soll in der Form

/1 = P l l -U1 + P12/2,

_U2 = P21 _U1 -]- P22/2 dargestellt werden. Berechnen Sie allgemein die Parameter Pll, P12, P21 und P22" Vernachl~issigen Sie dazu Streuungen und Spulenwiderst&inde.

Abb. A23.28a A23.29 Streutransformator: Ftir manche Anwendungen werden ,,Streutransformatoren" nach Abb. A23.28a eingesetzt, weil bei dieser Bauart die Str6me im Fall eines sekund~iren Kurzschlusses--verglichen mit den normalen, streuungsarmen Ausfiihrungsformen--relativ kleine Werte annehmen. Solch ein Transformator mit N 1 = 800, N 2 = 200 und R m -- 9,5- 106A/Vs liege prim~ir an einem 50Hz-Sinusnetz mit dem Spannungseffektivwert U1 = 240V. Berechnen Sie nfiherungsweise--unter Vernachl~issigung der Wicklungswiderst~inde--die Effektivwertbetr~ige

(i) der Leerlaufspannung U 2 o - - U 2 fiir 12 --0, (ii) des Kurzschlul3stroms 12K = 12 fiir U 2 = 0. A23.30 Gl~itten einer Mischspannung: Am Eingang der Schaltung Abb. A23.30a liegt die Mischspannung Abb. A23.30b, bestehend aus einem Gleichanteil und einer tiberlagerten Sinusspannung. Geben Sie die Spannung am Lastwiderstand R L an (Durchschnittswert und Amplitude des Wechselanteils).

Abb. A23.30a

Abb. A23.30b

A23.31 Leistungsanpassung: Der Ausgang eines Verst~irkers, dargestellt in Abb. A23.31a als ideale Sinusspannungsquelle mit Reihenwiderstand, soil mit einem

204

23 Komplexe Behandlung von Wechselstromkreisen

idealen Ubertrager so an einen 16f~-Lautsprecher angepal3t werden, dab die iibertragene Leistung maximal wird. Wie grog ist die Spannungsiibersetzung des Ubertragers zu w~ihlen?

Abb. A23.31a A23.32 Tastkopf: Abb. A23.32a zeigt den Eingang eines Oszilloskops, die Mel31eitung und den Tastkopf, mit dem ein Spannungssignal aufgenommen wird. Bemessen Sie die Kapazit~it C des Abgleichkondensators im Tastkopf derart, dab das Verh~iltnis _U/_UMfrequenzunabh~ingig wird. Wie grol3 ist dann dieses Verh~iltnis?

Abb. A23.32a

A23.33 Kreuzglied: Berechnen Sie ffir das Zweitor Abb. A23.33a allgemein den Betrag I_01 des komplexen Spannungsiibertragungsfaktors _0 = _U2/_U1.

Abb. A23.33a

A23.34 Filter: Abb. A23.34a zeigt die Schaltung eines Filters. Geben Sie den komplexen Spannungsfibertragungsfaktor _G- _UE/_U1 als Funktion der bezogenen an. Kreisfrequenz v =

o~w/(3/2)LC

23.5 Aufgaben

205

Abb. A23.34a A23.35 Impedanzparameter: Zwei n~iherungsweise widerstandslose Transformatoren werden gemfil3 Abb. A23.35 kombiniert. Bestimmen Sie die vier Parameter Zik for die beschreibenden Gleichungen der Schaltung.

Abb. A23.35

A23.36 HochpaBfilter: Berechnen Sie f/Jr die Schaltung Abb. A23.36a bei sinusf/~rmigen Eingangsspannungen der Kreisfrequenz o~ das Verh~iltnis UA/_U E und skizzieren Sie (i) _UA/_UE in der komplexen Ebene als Funktion von coz mit z = RC, (ii) den Verlauf von I _UA/_UE[ als Funktion von coz, (iii) den Verlauf von lg] _UA/_UE] als Funktion yon lg(coz).

Abb. A23.36a

A23.37 Tiefpaflfilter: Berechnen Sie fiir die Schaltung Abb. A23.37a bei sinusf6rmigen Eingangsspannungen der Kreisfrequenz o~ das Verhfiltnis _UA/_UE und skizzieren Sie

(i) UA/U E in der komplexen Ebene als Funktion von coz mit z = RC, (ii) den Verlauf von ] _UA/_UE] als Funktion yon coz, (iii) den Verlauf yon lgl _UA/_UEIals Funktion yon lg(coz).

206

23 Komplexe Behandlung von Wechselstromkreisen

Abb. A23.37a

A23.38 Stromortskurve: In der Schaltung Abb. A23.38a ist der Widerstand R von 0 bis ~ ver~inderbar. (i) Zeichnen Sie die skalierte Ortskurve des Stroms/_ mit R als Parameter. (ii) Bei welchem Wert von R ist die aufgenommene Wirkleistung maximal?

Abb. A23.38a

A23.39 PIN-Diode: Abb. A23.39a zeigt die Hochfrequenz-Ersatzschaltung einer PIN-Diode, wobei L a die Induktivit~it der Zuleitungen, R a den Widerstand der Zuleitungen sowie der P- und N-dodierten Halbleiterbahnen und Ci die Kapazit~it der I-Zonen angibt. Die Geh~iusekapazit~it ist vereinfachend weggelassen. Der Ersatzwiderstand R i ist durch den Diodengleichstrom steuerbar. Berechnen und zeichnen Sie die skalierte Ortskurve der G e s a m t i m p e d a n z mit 0 < R i < ct3 als Parameter fiir eine Frequenz von 100MHz.

Abb. A23.39a

A23.40 Zweitor mit Operationsverst~irker: Berechnen und skizzieren Sie fiJr die Schaltung Abb. A23.40a mit einem idealen Operationsverst~rker die Frequenzgangortskurve des Ubertragungsfaktors _G= _U2/_U1. ~176

23.5 Aufgaben

-"-

Abb. A23.40a

A23.41 Drehglied: Berechnen und zeichnen Sie ffir das Zweitor Abb. A23.41a die skalierte Frequenzgangortskurve des SpannungsiJbertragungsfaktors _G= _U2/_U1.

Abb. A23.41a A23.42 Ortskurve der Impedanz: Geben Sie die Ortskurve der komplexen Impedanz Z der Schaltung Abb. A23.42a an mit R2E[-0~2 , 700~3 als Parameter.

Abb. A23.42a

A23.43 Frequenzgang des Scheinwiderstandes: Berechnen und skizzieren Sie, quantitativ richtig, den Verlauf des Betrages der Impedanz der Schaltung Abb. A23.43a als Funktion der Frequenz fiir den Bereich 0 _
Abb. A23.43a

208

23 KomplexeBehandlungvon Wechselstromkreisen

A23.44 Transistor-Ersatzschaltung: Berechnen Sie fiir die Ersatzschaltung Abb. A23.44a zun~ichst allgemein das Verhfiltnis __h=/KS/als Funktion der Kreisfrequenz, und dann speziell die Werte yon h:lhl ftir die Frequenzen 100kHz, 1MHz, 1O0M Hz.

Abb. A23.44a

A23.45 Frequenzgangortskurve der Scheinleistung: An der Schaltung Abb. A23.45a mit einem n~iherungsweise streuungsfreien Transformator liegt eine Sinusspannung konstanten Effektivwertes, abet variabler Frequenz. Berechnen und zeichnen Sie die skalierte Frequenzgangortskurve der aufgenommenen komplexen Scheinleistung.

Abb. A23.45a

Kapitel 24 Resonanzerscheinungen Wir werden jetzt Zust/inde in Wechselstromkreisen besprechen, die man in/ihnlicher Form bei vielen erzwungenen Schwingungen in der Natur und in der Technik findet: Ist ein (stabiles) System fiir sich allein schon schwingungsfiihig und erfolgt zus/itzlich eine periodische Anregung mit einer Frequenz in der Umgebung seiner Eigenfrequenz, dann spricht das System besonders stark auf die Erregung an. Bei schwacher D/impfung k6nnen die Amplituden einzelner Schwingungen sehr grog werden, Ubertragungsfaktoren, Impedanzen oder Admittanzen ne'hmen extreme Werte an. Diese Gruppe von Erscheinungen nennen wir Resonanzerscheinungen.

24.1 Der Reihenschwingkreis Angenommen, eine R-L-C-Reihenschaltungwird durch eine Sinusspannung erregt. Nach dem Abklingen des Ausgleichvorganges stellt sich dann eine erzwungene, station/ire Stromschwingung mit der Frequenz der anliegenden Spannung ein. Den EinfluB der Frequenz auf diesen eingeschwungenen Zustand wollen wir jetzt genauer untersuchen.

Frequenzgangortskurven der Teilspannungen An der in Abb. 24.1 links dargestellten Reihenschaltung liegt eine Sinusspannung mit dem komplexen Effektivwert _Uund der Kreisfrequenz co. Da sich die Impedanzen der Elemente unterschiedlich mit der Frequenz/indern, h/ingt die Spannungsaufteilung von co ab. Mit der Gesamtimpedanz Z = R + jcoL -~ . -

1

(24.1)

jcoC

erhalten wir daftir _Ua U

R Z'

_UL jo~L = -~---'

_Uc _U

1 jcoC_Z

(24.2)

Zu jedem Wertepaar von L und C gibt es eine ausgezeichnete Kreisfrequenz COo,bei der die Reaktanz X = c o L - 1/(coC) der Reihenschaltung verschwindet und damit

210

24 Resonanzerscheinungen

Abb. 24.1 R-L-C-Reihenschaltung (Reihenschwingkreis) bei anliegender Sinusspannung im eingeschwungenen Zustand. Dargestellt sind die Frequenzgangortskurven der Teilspannungen f/Jr feste Werte von _Uund des Verlustfaktors d. Parameter ist die bezogene Frequenz v. ZusammengehSrige Werte yon _UR,_UL und _Uc f/ir ein bestimmtes v sind strichliert eingetragen der B e t r a g Z der I m p e d a n z sein M i n i m u m R a n n i m m t . Diese K r e i s f r e q u e n z

coo = 1/xf-L--c [

(24.3)

e n t s p r i c h t der Eigenkreisfrequenz des unged~impflen Schwingkreises (Idealfall R = 0) u n d wird Kennkreisfrequenz g e n a n n t . W e i t e r e KenngriSBen sind der Verlustfaktor

d = R x/~/L

(24.4)

und, d a z u ~iquivalent, der D[impfungsgrad ~)= d/2 bzw. die Resonanzsch~irfe (der G i i t e f a k t o r ) Q = 1/d. U n t e r V e r w e n d u n g der b e z o g e n e n F r e q u e n z v = co/~oo folgen d a m i t aus den Gln. (24.2) mit (24.1) die in Abb. 24.1 a n g e g e b e n e n Ausdriicke fiir die T e i l s p a n n u n g e n . Ihre D a r s t e l l u n g als F r e q u e n z g a n g o r t s k u r v e n fiir feste W e r t e _U u n d d mit v als P a r a m e t e r finden Sie in Abb. 24.1 rechts. B e a c h t e n Sie im speziellen folgendes: Bei v = 1 gilt _UL = -- _Uc = j U_/d u n d _UR = _U, d.h. ffir d < 1 sind hier die Effektivwerte U L und U c der reaktiven Teilspannungen gr6Ber als der Effektivwert U der Gesamtspannung. M a n spricht d e s h a l b a u c h v o n Spannungsresonanz. Die d a b e i a u f t r e t e n d e n Spannungsiiberh~Shungen k 6 n n e n bei kleinen D~impfungen betr&ichtlich seine. D e r in Abb. 24.1 eingetragene W i n k e l q~ gibt wegen _UR = R / i m V e r b r a u c h e r b e z u g s s y s t e m a u c h den P h a s e n v e r s c h i e b u n g s w i n k e l der G e s a m t s p a n n u n g gegen den

Die Gr6Btwerte v o n U L und Uc treten allerdings nicht bei v = 1 (d.h. co = O9o) auf, sondern bei v = l/x/1 - d2/2 bzw. bei v = x/1 -d2/2, und betragen U/(dx//a - d2/4). Fiir kleine Verlustfaktoren sind diese Abweichungen jedoch vernachl/issigbar.

24.1 Der Reihenschwingkreis

211

Strom an. F/Jr v < 1 gilt - n/2 _ q9 < 0, die Schaltung stellt in diesem F r e q u e n z b e reich d e m n a c h einen V e r b r a u c h e r von Wirkleistung und einen Erzeuger von Blindleistung d a r - sie wirkt ,,ohmisch - kapazitiv". O b e r h a l b der Kennkreisfrequenz, d.h. v > 1 und d a m i t 0 < q9 < n/2, wird dagegen Wirkleistung und Blindleistung a u f g e n o m m e n - die Schaltung wirkt ,,ohmisch - induktiv".

Frequenzgdnge der Admittanz Wie Sie aus Abb. 24.1 ebenfalls e n t n e h m e n k6nnen, entspricht die F r e q u e n z g a n g o r t s k u r v e des k o m p l e x e n Scheinleitwertes (der Admittanz) mit _Y=//_U = U_R/(RU_)einem vollst~indigen Kreis. Etwas deutlicher RiBt sich dieses Frequenzverhalten unter V e r w e n d u n g des Betragsfrequenzganges und des Winkelfrequenzganges darstellen (Abb. 24.2). B e m e r k e n s w e r t sind die f/Jr Verlustfaktoren d < 1

1/~/LC) auftretenden Resobezogenen Scheinleitwertes I_yl = Y~/L/C. Beispielsweise steigt lyl lyl = 1 bei v = 0,62 auf den hundertfachen Wert lyl = 1/d = 100 bei

(Resonanzsch~irfen Q > 1) bei v = 1 (d.h. 09 = 090 =

nanzspitzen des f/Jr d = 0,01 von v = 1 an und Rillt wieder auf lyl = 1 bei v = 1,62 ab. Der Winkel arc (y) ~indert sich dabei von n/2 auf -n/2. Ein Reihenschwingkreis kleiner D~impfung stellt also fiir W e c h s e l s t r 6 m e mit Kreisfrequenzen in umittelbarer N~ihe der Kennkreisfrequenz 090 einen relativ kleinen W i d e r s t a n d dar, w~ihrend WechselstriSme a n d e r e r

Abb. 24.2 Frequenzg~inge der Admittanz _Ydes Reihenschwingkreises. Die Frequenzgangsortskurve von _Yistein vollst~indiger Kreis. Die rechte Bildh~ilfte zeigt den Betragsfrequenzgang und den Winkelfrequenzgang der bezogenen Admittanz y f/ir unterschiedliche Werte des Verlustfaktors d. Die Skalen fiir I_yl und fiir die bezogene Frequenz v sind logarithmisch geteilt

2 12

24 Resonanzerscheinungen

Kreisfrequenzen scharf abgeblockt werden. Es ist diese frequenzselektive Eigenschaft von Resonanzkreisen, die ihren breiten Einsatz in der Elektrotechnik begriindet.

24.2 Der Parallelschwingkreis Resonanzerscheinungen lassen sich nicht nur in R - L - C - R e i h e n s c h a l t u n g e n feststellen, sondern auch in anderen R - L - C - K o m b i n a t i o n e n , z.B. in einer Parallelschaltung der drei idealen Elemente. Technisch gesehen ist diese Kombination als Ersatzschaltung meistens jedoch nicht brauchbar, weil bei der Untersuchung von Resonanzerscheinungen der Widerstand von Spulen in der Regel nicht vernachl~issigt werden kann. Wir betrachten deshalb im folgenden die Parallelschaltung einer ,,realen" Spule und eines Kondensators, wobei die Spule als Reihenschaltung einer idealen Spule und eines idealen Widerstandes dargestellt wird. Diesen Parallelschwingkreis sehen Sie in Abb. 24.3. Seine Gesamtimpedanz betrfigt

Z_

j 03 C + 1/(R + j03L) '

(24.5)

und der Gesamtstrom / teilt sich frequenzabh~ingig in die beiden Zweigstrifme/L u n d / c gemfiB IL 1 -{_ = l - - 0 3 2 L C + j 0 3 R C '

Ic - - 0 3 2 L C + j03RC T = l -032LC +j03RC

(24.6)

auf. Als Kenngr6Ben sind auch hier die Kennkreisfrequenz 030 nach G1. (24.3)-die Eigenfrequenz des unged~impften Schwingkreises- und der Verlustfaktor d nach G1. (24.4) brauchbar. Bei 03=03o gilt dann im speziellen / L / / = - j / d und I c / I = 1 + j/d, d.h. fiir kleine Verlustfaktoren k6nnen die Effektivwerte I L und I c der TeilstriJme wesentlich griJBer sein als der Effektivwert I des Gesamtstroms. Deshalb spricht man in diesem Fall auch von Stromresonanz 2. Die Frequenzgangortskurve der Impedanz _Z sehen Sie in Abb. 24.3 links. Parameter ist die bezogene Frequenz v = 03/03o. Gilt d < 1, so gibt es (neben co = 0) einen Wert 031 = 03oVl = 03ox/1 - d 2 der Kreisfrequenz, fiir den die Schaltung als gew6hnlicher (reeller) Widerstand _Z = L / ( R C ) wirkt, also einen reinen Wirkleistungsverbraucher darstellt. Die von der Spule aufgenommene Blindleistung wird dabei vom Kondensator geliefert und muB nicht von augen zugefiihrt werden. Dieses in der elektrischen Energietechnik gelegentlich angewendete Verfahren zur Minimierung des Stromes in den Speiseleitungen ohmisch - induktiver Verbraucher durch Beschaltung mit Kondensatoren nennt man Blindleistungskompensation.

2 Tats~ichlich liegen die Maxima v o n IL/I und von Ic/I nicht genau bei der Kennkreisfrequenz, sondern - kleine Dfimpfungen vorausgestzt - etwas unterhalb bzw. etwas oberhalb von coo.

24.3 Begriffeund KenngriSl3en von Resonanzkreisen

213

Abb. 24.3 Frequenzg~ingeder Impedanz _Zdes Parallelschwingkreises. Links ist die Frequenzgangortskurve von _Z fiir d < 1 dargestellt. Die rechte Bildh~ilfte zeigt den Betragsfrequenzgang und den Winkelfrequenzgang der bezogenen Impedanz z fiir unterschiedliche Werte des Verlustfaktors d. Die Skalen fiir Iz] und fiir die bezogene Frequenz v sind logarithmisch geteilt

Rechts in Abb. 24.3 sind der Betrags- und der Winkelfrequenzgang der bezogenen Impedanz _Zx/~/L fiir unterschiedliche Verlustfaktoren d, d.h. unterschiedliche Widerstandswerte R dargestellt. Deutlich erkennbar sind die fiir d < x / x / 2 + 1 = 1,55 in der U m g e b u n g der Kennkreisfrequenz auftretenden ausgepr~igten Resonanzspitzen des Scheinwiderstandes (Fiir d 2 << 1 ist Zmax ~ 1/d, also Zmax ~ L/(RC)). Beachten Sie: Beim Reihenschwingkreis ist es der Scheinleitwert und beim Parallelschwingkreis ist es der Scheinwiderstand, der im schwach ged/impften Resonanzfall relativ grol3e Werte a n n i m m t .

24.3 Begriffe und Kenngr6flen von Resonanzkreisen N a c h der B e h a n d l u n g von Resonanzerscheinungen in den einfachsten R-L-CK o m b i n a t i o n e n werden wir uns nun einige Begriffe und Kenngr613en n~iher ansehen, die im Z u s a m m e n h a n g mit Resonanzkreisen auch allgemeinerer Art hfiufig gebraucht werden. Eine wichtige Kenngr613e eines linearen, schwingungsffihigen Systems ist seine Kennfrequenz fo oder seine Kennkreisfrequenz ~oo = 2~Zfo. M a n versteht d a r u n t e r die Eigenfrequenzdes unged~impftenSystems, also jene Frequenz, mit der das (fiktiv)

214

24 Resonanzerscheinungen

als verlustfrei angenommene System nach einer Anregung freie Sinusschwingungen ausfiihrt. Kompliziertere als die bisher betrachteten Systeme k6nnen auch mehrere Kennfrequenzen besitzen. Bei einer Erregung des Systems mit Sinusgr6Ben einheitlicher Frequenz stellen sich nach dem Abklingen etwaiger Ausgleichsvorg~inge Sinusschwingungen der ZustandsgriSBen (Spannungen, Str6me) ein. Nehmen die Amplituden der Zustandsgr6gen oder daraus abgeleitete Gr6Ben wie Betriige von Impedanzen oder Ubertragungsfaktoren bei Erregerfrequenzen in der N/ihe einer Kennfrequenz vergleichsweise sehr groBe oder sehr kleine Werte an, so sprechen wir yon Resonanz. Die Erregerfrequenz, bei der die betrachtete Gr6Be diese Gr6Btwerte oder Kleinstwerte erreicht, heigt Resonanzfrequenzfr , im speziellen auch Gipfelfrequenz oder Talfrequenz der Gr6Be. Demnach besitzt ein einfacher Resonanzkreis zwar nur eine Kennfrequenz, i.a. aber mehrere Resonanzfrequenzen 3. Als MaB ffir die relative Lage zweier Frequenzen fl und f2 wird in der Schwingungslehre h~iufig die Verstimmung der Frequenz f~ gegen die Frequenz f2,

verwendet. Im Zusammenhang mit Resonanzerscheinungen interessiert speziell die Verstimmung der Erreger(kreis)frequenz gegen die Kenn(kreis)frequenz, also 2(f

~)1(20

foo-

-2

(Do,)

(24.8)

Sie reduziert sich ffir kleine Abweichungen A f = f - f o , [Afl <
~r

1 1 + je/8

(24.9)

beschreiben. Die rechte Seite mit der Verstimmung e der Erregerfrequenz gegen die Kennfrequenz als Ver~inderlicher heiBt in diesem Zusammenhang Resonanzfunktion, und die graphische Darstellung ihres Betrages heiBt Resonanzkurve. Die Kenngr6Be 8 nennt man den D~impfungsgrad der Schwingung. Beispielsweise sind mite = (v - 1/v)/2 und 8 = d/2 die Ausdriicke ffir _UR, _UL und _Uc in Abb. 24.1,

3 F u B n o t e a u f Seite 210

24.3 Begriffe und KenngrSl3en von Resonanzkreisen

215

Abb. 24.4 Unterschiedliche Darstellungen der typischen Resonanzkurve. Angegeben ist fiir eine ZustandsgriSl3e x die Abh~ingigkeit d~r A m p l i t u d e - bezogen auf ihren Resonanzwert- v o n d e r Verstimmung e (Teilbild a), v o n d e r Kreisfrequenz 09 (Teilbild b) und von der bezogenen Frequenz o9/o9o unter Verwendung logarithmischer Skalen (Teilbild e)

fiir _yin Abb. 24.2 und fiir z in Abb. 24.3 von dieser Art, wenn wir die Gr6Ben auf die Resonanzwerte beziehen, d als klein gegen 1 voraussetzen und wir uns auf die Umgebung von v = 1 beschr~inken. Wie die typische Resonanzkurve verl~iuft, sehen Sie in Abb. 24.4. Die Breite des Gipfels wird durch die Resonanzbreite charakterisiert, und zwar als Differenz jener beiden (Kreis-)Frequenzen, fiir die der Ordinatenwert das 1/~/2 - fache seines Maximalwertes betr~igt (Abb. 24.4b) 4. Im logarithmischen MaBstab entspricht der 1/~/c2 - F a k t o r einer Differenz von 20 lg(1/~//2)dB = - 3, 01 dB (Abb. 24.4c). Je kleiner der D~impfungsgrad ~) bzw. der Verlustfaktor d = 2~), d.h. je gr6Ber die Resonanzsch~irfe Q = 1/d, desto schm~iler ist die Resonanzkurve. M a n nennt Q auch den Giitefaktor des Resonanzkreises, weil in elektrotechnischen Anwendungen h~iufig m6glichst scharfe Resonanzen erwiinscht sind. 4 Das Amplitudenquadrat, meist mit einer Leistungsvariablen verkniipft, nimmt dort seinen halben Maximalwert an. Die Resonanzbreite heiBt deshalb auch Halbwertsbreite.

216

24 Resonanzerscheinungen

24.4 Fragen 1. Was verstehen Sie unter dem BegriffResonanz? In welcher Art von physikalischen Systemen k6nnen Resonanzerscheinungen auftreten? 2. Wie ist die Kennfrequenz eines Reihenschwingkreises, wie sind seine Resonanzfrequenzen erkl~irt? 3. Was bedeutet "Spannungsresonanz"? 4. Wie sehen die Frequenzgangortskurven der Teilspannungen eines Reihenschwingkreises, die Frequenzgangortskurve der Admittanz, der Betragsfrequenzgang und der Winkelfrequenzgang der Admittanz aus? Welche Rolle spielt dabei der Widerstand? 5. Verh~ilt sich der Reihenschwingkreis unterhalb/oberhalb seiner Kennfrequenz induktiv/kapazitiv? 6. Wenn Sie den Parallelschwingkreis als Parallelschaltung eines idealen Kondensators mit einer widerstandsbehafteten Spule betrachten, wie sind dann die Kennfrequenz und die Resonanzfrequenzen erkl~irt? 7. Was bedeutet "Stromresonanz"? 8. Wie sehen die Frequenzgangortskurve, der Betragsfrequenzgang und der Winkelfrequenzgang der Impedanz eines Parallelschwingkreises (Parallelschaltung eines idealen Kondensators mit einer widerstandsbehafteten Spule) aus? Welchen Einflul3 hat dabei der Widerstand? 9. Verh~ilt sich der Parallelschwingkreis unterhalb/oberhalb seiner Kennfrequenz induktiv/kapazitiv? 10. Welche Immittanzen nehmen beim Reihenschwingkreis, welche beim Parallelschwingkreis im Resonanzfall vergleichsweise groBe Werte an? Unter welchen Voraussetzungen treten iiberhaupt ausgepr~igte Maxima aut'?. 11. Was verstehen Sie allgemein unter den Begriffen Kennfrequenz und Resonanzfrequenz? 12. Wie ist die Verstimmung als Mal3 ffir die relative Lage zweier Frequenzen definiert? Woraufreduziert sich dieser Ausdruck bei relativ kleinen Differenzen? 13. Wie sieht der typische Verlauf einer resonanzf'~ihigen Gr6Be als Funktion der Verstimmung in der Umgebung der Resonanzstelle aus? (Angabe der Resonanzfunktion und Skizze der typischen Resonanzkurve!) 14. Wie sind die KenngrSBen Verlustfaktor, D~impfungsgrad, Resonanzbreite und Giitefaktor definiert? Wie h~ingen diese GrSl3en zusammen und wie sind sie in Darstellungen der Resonanzkurve zu veranschaulichen? 15. Was bedeutet der Ausdruck "Halbwertsbreite"? Woher kommt diese Benennung?

24.5 Aufgaben A24.1 S c h e i n w i d e r s t a n d : E i n e w i d e r s t a n d s b e h a f t e t e S p u l e u n d ein K o n d e n s a t o r l i e g e n z u e r s t in R e i h e (Abb. A24.1 a) u n d d a n n p a r a l l e l (Abb. A24.1 b). B e r e c h n e n u n d s k i z z i e r e n Sie fiir b e i d e S c h a l t u n g e n d e n S c h e i n w i d e r s t a n d z w i s c h e n d e n A n s c h l i i s sen 1, 2 als F u n k t i o n d e r F r e q u e n z .

40 [2 -------! 40 f2

40 mH

0,02 ~tF II

le

40 mH |

lo

",

"~

IIo,o2F Abb. A24.1a

Abb. A24.1b

02

217

24.5 Aufgaben

A24.2 Reihenschwingkreis: Mit einer vorhandenen, relativ hochohmigen Spule (Abb. A24.2) soll ein Reihenschwingkreis der Kennfrequenz fo = 1MHz aufgebaut werden. (i) Wie groB ist die Kapazit~it des Kondensators zu w~ihlen? (ii) Bei welcher Frequenz ist der Uberh6hungsfaktor I_Uc/UI der Kondensatorspannung maximal und wie groB ist dieser Maximalwert?

Abb. A24.2

A24.3 Briickenschaltung: Abb. A24.3 zeigt eine Wechselstrombriicke. Stellen Sie den CYbertragungsfaktor _G= _UA/_UE als Funktion der bezogenen Reaktanz x = X/R dar und berechnen Sie daraus die Werte yon _0 und d_O/do3 bei der Abgleichfrequenz.

Abb. A24.3 A24.4 Spannungsteiler: Wie groB ist die Kapazit&it C in dem Spannungsteiler aus Abb. A24.4 zu w~ihlen, damit der Effektivwertbetrag U 2 maximal wird? Wie groB ist dann U2?

Abb. A24.4

218

24 Resonanzerscheinungen

A24.5 Reelle Eingangsimpedanz: Fiir welchen Wertf~ # 0 der Frequenz verschwindet in der Schaltung Abb. A24.5a der Imagin~irteil der Eingangsimpedanz Z ? Wie groB ist dann Z_?

Abb. A24.5a

A24.6 Kapazitiv belasteter Transformator: In der Schaltung Abb. A24.6a sind fiir den Transformator zwar die MagnetisierungsstriSme vernachl~issigbar (Durchflutungsausgleich), nicht aber die Streuinduktivit~iten: L ~ = 0,2mH, L2~ = 30mH. Fiir welche Frequenz besitzt der Betrag I_ZI der Eingangsimpedanz einen Extremwert und wie groB ist dieser?

Abb. A24.6a

A24.7 Ausschalten eines Steuerschiitzes: Abb. A24.7a zeigt schematisch die Spule eines Steuerschiitzes, das fiber eine Leitung und die Drucktaste D bet~itigt wird. Bei relativ langen Leitungen besteht die Gefahr, dab sich das Schiitz bei Unterbrechung des Stromkreises durch D wegen des Reststroms fiber die Leitungskapazit~it nicht ausschalten 1/igt. (i) Berechnen Sie, wie grog fiir ein Schlitz mit der Halteleistung 8VA, 3W und der Steuerspannung 220V, 50Hz die Leitungskapazitiit h6chstens sein darf, wenn der Reststrom nach Bet/itigen von D 40% des normalen Haltestroms nicht iibersteigen soll. (ii) Bei welcher Kapazit/it tritt Reihenresonanz auf und wie groB werden dann Strom und Spannung an der Schiitzspule?

24.5 Aufgaben

219

Abb. A24.7a A24.8 Parallelschwingkreis: Ftir welche Werte der Frequenz ist die Gesamtimpedanz der Schaltung Abb. A24.8 reell? Wie groB sind die zugehiSrigen Werte der Gesamtimpedanz?

Abb. A24.8 A24.9 Frequenzgangortskurve der Impedanz: Berechnen und zeichnen Sie fiir die Schaltung Abb. A24.9a die Frequenzgangortskurve der Gesamtimpedanz. Fiihren Sie dazu den Verlustfaktor d = R x/~/L und die bezogene Frequenz v - cox//LC ein.

Abb. A24.9a A24.10 Frequenzunabh~ingiger Schwingkreis: Zeigen Sie, dab es fiir eine Schaltung nach Abb. A24.10 zu allen Werten L u n d C einen Widerstand R derart gibt, dab die Gesamtimpedanz _Z der Schaltung frequenzunabh~ingig wird. Wie groB sind dann R und Z?

Abb. A24.10

220

24 Resonanzerscheinungen

A24.11 Anpaflglied: Das LC-tJbertragungsglied aus Abb. A24.1 la wird zur Anpassung von Last-Ersatzwiderst~inden R bei fester Kreisfrequenz verwendet. Berechnen und zeichnen Sie die Ortskurve der Eingangsimpedanz _Z mit R >__0 als Parameter. Fiir welchen Wert R ist Z reell?

Abb. A24.11a

A24.12 Reaktanzkette: Berechnen Sie die Eingangsimpedanz Z der unendlichen Kettenschaltung Abb. A24.12a und diskutieren Sie deren Frequenzverhalten. Hinweis: _Z/~ndert sich nicht, wenn ein weiteres Kettenglied angeffigt wird.

Abb. A24.12a

A24.13 Teilerschaltung: Der Eingang der Teilerschaltung Abb. A24.13a liegt an einem 50Hz-Netz mit dem Effektivwert 230V der Spannung. Zeigen Sie, dab es einen Induktivit~itswert der (n/~herungsweise idealen) Spule derart gibt, dab sich die A u s g a n g s s p a n n u n g U a unabh~ingig vonder Belastungsimpedanz Z a einstellt. Wie groB ist dieser Wert? Wie grol3 ist in diesem Fall der Effektivwert der Ausgangsspannung?

Abb. A24.13a

A24.14 Lastunabhlingiger Strom: Am Eingang der Schaltung Abb. A24.14a liegt eine Sinusspannung fester Amplitude und Frequenz. Welche Bedingungen mtissen

24.5 Aufgaben

221

die n~iherungsweise idealen Elemente L u n d C erfiillen, damit der Belastungsstrom /B unabh~ingig v o n d e r (endlichen) Lastimpedanz _ZB wird? Wie groB ist dann/B?

Abb. A24.14a A24.15 Spulengiite: Bei der Analyse eines induktiven WegmeBsystems wird die Ersatzschaltung Abb. A24.15a als Teil eines Resonanzkreises verwendet. Drticken Sie die "Spulengiite" Q = Im(_Z)/Re(Z) durch die festen Gr6gen Q I = coLI/RI, Q2 = coL2/R2 und den variablen Kopplungsgrad k = M/x//L1L2 aus.

Abb. A24.15a

Kapitel 25 Mehrphasensysteme Stellen Sie sich folgendes vor: Einem Verbraucher, z.B. einem elektrischen Heizk6rper, dargestellt durch den Widerstand R, soll fiber eine Leitung die Wirkleistung P zugeffihrt werden. Es sind dazu zwei Leitungsdr&ihte erforderlich (Abb. 25.1 a), die, wenn der Verbraucher mit dem Effektivwert U der Spannung betrieben wird, fiir den Effektivwert I = U/R = x//P/R des Stromes zu bemessen sind. Die Aufgabe l~il3t sich aber auch anders 16sen. Angenommen, wir spalten den Verbraucher auf in drei gleiche Teile (,,Strange") mit den jeweiligen Widerstandswerten 3R (Abb. 25.1 b). Fliel3t durch jeden Strang ein Drittel des ursprfinglichen Stromes, so ~indert sich die zugeffihrte Wirkleistung nicht. Ben6tigt werden nun vier Leitungsdr~ihte- drei ffir den effektiven Strom 1/3, also mit jeweils einem Drittel des urspriinglichen Querschnitts, und einer ffir den vollen Effektivwert I. Jetzt k o m m t der grol3e Trick: Wir lassen die Effektivwerte der drei sinusf6rmigen Teilstr~Sme mit 1/3 unge~indert, verschieben aber ihre Phasenwinkel um jeweils 2n/3 gegeneinander. Das ist durch geeignete Wahl der Versorgungsspannungen m6glich. Wegen cos(cot) + cos(cot - 2n/3) + cos(cot - 4n/3) = 0 verschwindet zu jedem Zeitpunkt die Summe der Teilstr6me, d.h. die vierte Leiterbahn ffihrt keinen Strom und kann daher weggelassen werden (Abb. 25.1 c). Verglichen mit der ursprfinglichen Versorgung haben wir die H~ilfte des Leitermaterials eingespart und aul3erdem die Joule-Verluste der Leitung halbiert, ohne die gesamte Wirkleistung P und den Effektivwert U der Verbraucher(strang)spannung zu findern. Unter dem Begriff Mehrphasensystem verstehen wir hier ein System von zwei oder mehr, sagen wir, m Sinusspannungen oder Sinusstr6men gleicher Frequenz und (angen~ihert) gleicher Amplitude, die in einer vorgegebenen Reihenfolge (Phasenfolge) um jeweils (angen~ihert) gleiche Winkel 2n/m gegeneinander phasenverschoben sind. Es handelt sich dabei genauer um symmetrische m-Phasensysteme yon Sinusspannungen bzw. Sinusstr6men 1. Die am weitaus h~iufigsten verwendeten Dreiphasensysteme (m = 3) nennt man im allgemeinen elektrotechnischen Sprachgebrauch Drehstromsysteme-ein Beispiel ist das in Abb.25.1c angegebene Stromsystem. Wie Sie an dem einffihrenden Beispiel gesehen haben, k6nnen Mehrphasensysteme gegenfiber den gew6hnlichen, ,,einphasigen" Systemen in der elektrischen Energietechnik erhebliche Vorteile bieten. Dies betrifft nicht nur die Verteilung elektrischer Energie, sondern auch ihre Erzeugung, Umformung und Anwendung.

1 Abweichendvon dieser Festlegung ist es fiblich, zwei zusammengehiSrigeSinusspannungen- oder Str6me -- gleicher Frequenz und Amplitude auch dann als Zweiphasensystemzu bezeichnen, wenn sie um den Winkel n/2 anstelle von n phasenverschoben sind.

25.1 Symmetrische m-Phasensysteme

223

Abb. 25.1 Versorgung eines ohmschen Verbrauchers fiber eine Leitung. a Speisung mit einfachem Wechselstrom. Die Doppelleitung ist ffir den Effektivwert I zu bemessen, b Aufspalten des Verbrauchers in drei gleichartige Str/inge. c Speisung mit drei gegeneinander um den Phasenwinkel 2rc/3 verschobenen Str/Smen. Da die Stromsumme Null ist, kann der vierte Leiter entfallen. Die drei Leiter sind ffir den Effektivwert 1/3 zu bemessen

Beispielsweise lassen sich Generatoren, Motoren und Transformatoren kleiner und mit geringerem Materialaufwand bauen, magnetische Drehfelder, wie sie in Elektromotoren benStigt werden, sind einfacher herzustellen und auch Frequenzumformungen sind mit kleinerem Aufwand mSglich. In der Regel ist der Einsatz von Mehrphasensystemen schon bei energietechnisch kleinen Leistungen, ab einigen Kilowatt, wirtschaftlich sinnvoll.

25.1 Symmetrische m-Phasensysteme Mehrphasensysteme, wie wir sie hier betrachten, entstehen durch die Kombination mehrerer, gegeneinander phasenverschobener Sinusspannungen bzw. SinusstrSme. Fiir ihre Behandlung sind daher grunds~itzlich die bisher besprochenen Methoden der Wechselstromtechnik anwendbar, und wir k6nnen uns auf einige Besonderheiten beschr/inken.

Spezielle Benennungen Wie m-Phasensysteme schematisch aufgebaut sind, sehen Sie ausschnittsweise in Abb. 25.2. Dabei symbolisiert das Schaltzeichen fiir Widerst~inde jeweils einen Zweig, den man in diesem Zusammenhang Strang nennt. Die m Striinge eines m-Phasensystems sind in ihrer Anordnung und Wirkung meist gleichwertig--es

224

25 Mehrphasensysteme

Abb. 25.2 m-Phasensystem. Angegeben sind die Bezeichnungen fiir die AuBenleiter L1 . . . . . Lm und fiir den Sternpunktleiter N, die (vereinfachten) Bezeichnungen fiir die Effektivwerte der Sternspannungen U 1. . . . . U m, der AuBenleiterspannungen U12 ..... Urn1, der AuBenleiterstriSme I~ . . . . . I m u n d des Sternpunktleiterstromes I N, sowie die Kombination der Strange in einer Sternschaltung a und in einer Ringschaltung b

kann sich z.B. um Wicklungsteile elektrischer Maschinen oder Transformatoren handeln, oder um allgemeine Verbraucher, dargestellt durch Impedanzen 2. Bei vollstiindigen Ersatzschaltungen mtissen wir in diese Zweige gegebenenfalls noch Sinusspannungsquellen oder Sinusstromquellen einfiigen. Abbildung 25.2 zeigt auch die beiden Grundschaltungen der Strange yon Mehrphasensystemen. Wir sprechen yon einer Sternschaltung, wenn von jedem der Strange jeweils ein Ende an einem gemeinsamen Knoten, dem Sternpunkt, angeschlossen ist. Die m AnschluBpunkte der anderen Strangenden heiBen AuBenpunkte. Dagegen liegt eine Ringschaltung (Polygonschaltung) vor, wenn die Strange zu einem geschlossenen Ring hintereinandergeschaltet sind. Die m Aullenpunkte fallen jetzt zusammen mit den Knoten zwischen je zwei aufeinanderfolgenden Str/ingen; einen Sternpunkt gibt es nicht. Bei Drehstromsystemen (m - 3) heiBt die Ringschaltung meist Dreieckschaltung. Die an den AuBenpunkten angeschlossenen/iuBeren Strombahnen nennen wir Aullenleiter. Sie werden nach einer zyklischen Folge, die der Phasenfolge entspricht, mit L1, L2,..., Lm gekennzeichnet. Gibt es einen Sternpunkt und ist auch dort eine /iuBere Strombahn angeschlossen, so heiBt diese Sternpunktleiter oder Neutralleiter 3, gekennzeichnet durch N. 2 Friiher wurden die Strange eines Mehrphasensystems Phasen genannt. Im heute iiblichen Benennungssystem ist ,,Phase" dem augenblicklichen Schwingungszustand vorbehalten. 3 Einen unmittelbar geerdeten Neutralleiter nennt man gew6hnlich Nul|eiter. Er kann unter gewissen Bedingungen air Schutzzwecke verwendet werden.

225

25.1 Symmetrische m-Phasensysteme

AuBenleiterstrom und Sternpunktleiterstrom sind die Str6me in den AuBenleitern bzw. im Sternpunktleiter. Ihre Angabe erfolgt meist durch die Effektivwerte I~,I2,... , I m bzw. I N entsprechend der Leiterkennzeichnung. Weiters verstehen wir unter einer AuBenleiterspannung die Spannung zwischen zwei aufeinanderfolgenden AuBenleitern, in der iiblichen Effektivwertangabe also Ua2, U23,..., Um~. Bei Drehstromsystemen (m = 3) heiBt die AuBenleiterspannung auch Dreieckspannung. Dagegen ist eine Sternspannung die Spannung zwischen einem AuBenleiter und dem Sternpunktleiter, Effektivwerte U1N, U2N,..., UmN. Der Index N kann auch weggelassen werden, d.h. U~, U2,..., Urn,wenn Bedeutung und Bezugssinn (bei komplexen Effektivwerten und Augenblickswerten wichtig) klar sind. SchlieBlich gibt es noch die Begriffe Strangspannung und Strangstrom. Sie bedeuten die Spannung zwischen den AnschluBpunkten eines Stranges bzw. den Strom durch den Strang, gleichgiiltig, auf welche Art die Str~inge zusammengeschaltet sind. Bei einer Sternschaltung stimmen Strangstrom und AuBenleiterstrom wie Strangspannung und Sternspannung (nicht AuBenleiterspannung!) iiberein. Bei einer Ringschaltung sind Strangspannung und AuBenleiterspannung gleich, w~ihrend sich Strangstrom und AuBenleiterstrom i.a. voneinander unterscheiden. Alle diese Begriffe und Namen werden in der elektrischen Energietechnik gebraucht und sind deshalb wichtig 4.

S ymmetrische m - P h a s e n s y s t e m e yon Sinusspannungen Wir betrachten ein System von Sinusspannungen zwischen den AuBenleitern L1, L2,..., Lm und, falls vorhanden, dem Neutralleiter N einer Gruppe von zusammengehiSrenden Leiterbahnen (Abb. 25.3). Wie erw/ihnt, sprechen wir dann von einem symmetrischen m-Phasensystem von Sinusspannungen, wenn bei gleichen Frequenzen und Amplituden die Sternspannungen ul, u2,..., us bzw. die AuBenleiterspannungen u12, u23,..., Um~ in der vorgegebenen Reihenfolge (Phasenfolge) um jeweils gleiche Winkel 2n/m gegeneinander phasenverschoben sind. Zwischen den SternL1

u12~

L2

U23 ~ ~ ~ ~ Uml

L3 Lm N

Ul V U2

U3

" ~ "Urn

Abb. 25.3 Sternspannungen und AuBenleiterspannungen eines m-Phasensystems

4 Fr/iher wurden Strangspannung und Strangstrom ,,Phasenspannung" und ,,Phasenstrom" genannt. Die selben Namen waren auch fiir Sternspannung bzw. AuBenleiterstrom im Umlauf; die AuBenleiterspannung hieB ,,verkettete Spannung". In den derzeit giiltigen Normen wird keine der ~ilteren Bezeichnungen empfohlen. Sie sollten daher nicht mehr verwendet werden.

226

25 Mehrphasensysteme

spannungen bestehen daher die Beziehungen Uk--U1N~COS(OJt+fPuk)

,

q)uk=q)ul--(k--1)2n/m,

k=l,...,m

(25.1)

oder, unter Verwendung der komplexen Darstellung, U k = Re(_Ukx/~eJ'~ ),

U_k= U_I e - j ( k - 1 ) 2 ~ / m ,

k=

1,...,m,

U1 = U1 eJq~u,9

(25.2)

Ihre Summe und auch die Summe ihrer komplexen Effektivwerte verschwindet, m

uk = 0 , k=l

~ _Uk=0,

(25.3)

k=l

wovon Sie sich mit Hilfe der Beziehung m

cos [e -- (k - l) 2rc/m] = 0

(25.4)

k=l

oder, anschaulich, fiber ein entsprechendes Zeigerbild leicht fiberzeugen kSnnen (Abb. 25.4). Die Verbindung zu den Aulienleiterspannungen ist durch Uk,k+ 1 = Uk -- Uk + 1,

U--k,k+ 1 = U-k -- U-k+ 1,

k = 1,..., m

(25.5)

herzustellen, wobei wir den Index m + 1 dem Index 1 gleichsetzen. Daraus folgt mit G1. (25.2)2 U-k,k + 1 = U-1 [ e - j ( k - 1)2~/m __ e - j k 2 , / m ] = U_x (eJn/m _ e - J ~ / m ) e - J t 2 k - 1)~/m

= _U12j s i n ( n / m ) e - j ( 2 k - x)~/m,

Abb. 25.4 Symmetrisches m-Phasensystem von Sinusspannungen. Zeigerdarstellung der komplexen Effektivwerte

25.1 Symmetrische m-Phasensysteme

227

d.h.

_Uk.k+l ---- _U12e-j(k-1)2,~/m ,

U_12= U12 eJq'u% (25.6)

U 1 2 --- U 1 2sin(n/m),

q~u~ = q~u~+ n / 2 - n/m.

Wir haben d a m i t das System der AuBenleiterspannungen

blk,ir + 1 "-

q~u~,~+~ = ~~

U 12 % / ~ COS(Ogt + qguk,k + 1)'

- (k - 1)2n/m, (25.7)

k = 1. . . . ,m oder, ~iquivalent,

Uk,k +1

=

Re (_Uk,k +a x/~ eJ~

U--k,k+ 1 --" -U12 e - j ( k -

1)2~/m

(25.8) k = 1,...,m.

U 1 2 = U 1 2 e j~u~,

Das Verschwinden der vollst~indigen Spannungssummen, m

m

Uk,k+l

= 0,

k=l

~

U--k,k+1

= 0,

(25.9)

k=l

folgt hier direkt aus den Definitionen (25.5) und der zweiten Kirchhoff-Regel (s. Abb. 25.3), ist also nicht an die vorausgesetzte Symmetrie des m-Phasensystems gebunden. Beachten Sie im speziellen die wichtige Beziehung (25.6)3: Sie verkniipft den reellen Effektivwert U1 der Sternspannungen mit dem reellen Effektivwert U12 der AuBenleiterspannungen. Dabei gilt U12 > U 1

ffir

2 < m < 6,

U 1 2 --- N / ~ U 1

ffir

m = 3 (wichtigster Fall),

U12 = U 1

fiir

m = 6,

U12 < U 1

ffir

m > 6.

(25.10)

Symmetrische

m-Phasensysteme

yon SinusstrSmen

Abbildung 25.5 zeigt schematisch eine G r u p p e zusammengehSrender, stromdurchflossener Leiterbahnen, bestehend aus m AuBenleitern L1, L 2 , . . . , L m und, falls vorhanden, einem Neutralleiter N. Analog zu den Spannungen sprechen wir dann von einem symmetrischen m-Phasensystem von Sinusstrbmen, wenn bei gleichen Frequenzen und A m p l i t u d e n die Str6me i 1, i2,... , in, in der vorgegebenen Reihenfolge (Phasenfolge) um jeweils gleiche Winkel 2n/m gegeneinander phasenverschoben sind. D.h., die Str6me besitzen die Darstellung

ik -- 11 x / ~ cos(oot + qgik),

goi,' = qgi~ -- (k - 1)2n/m,

k = 1,..., m

(25.11)

bzw.

ik = Re(/kX/~ eJ'~

/_k = _I~e -

j(k- 1)2n/m,

k = 1,..., m (25.12)

I1 --" I 1 e jq~i~.

228

25 Mehrphasensysteme il

L1 L2 L3

is i3 --

im

Lrn N

-~ 1N= i1+i2+ .., im

Abb. 25.5 Str6me eines m-Phasensystems

Mit der ersten Kirchhoff-Regel und G1. (25.4) folgt daraus m

m

in = ~ ik=O,

/N= Z /k=O,

k=l

(25.13)

k=l

der Sternpunktleiterstrom verschwindet demnach im symmetrischen Fall. Ist der Sternpunktleiter nicht vorhanden oder nicht angeschlossen, z.B. bei Ringschaltung, so gelten die Gin. (25.13) natfirlich auch ohne Bezug auf die Symmetrie des Stromsystems.

L e i s t ung sgrSj3en Angenommen, unsere Leitergruppe tr~igt zusammengehSrende symmetrische mPhasensysteme von Sinusspannungen und SinusstrSmen (Abb. 25.6). Wie groB ist dann die gesamte fibertragene Leistung, also der yon der Leitung gefiihrte Energiestrom? Die gesamte Momentanleistung ergibt sich als Summe der Einzelleistungen zu m

1

m

P= ~ Ukik=-~ ~ (UkeJ~" +U~e-J~ k=l

+ I~e -j~'')

k =

m

= ~k~(UkLkeJ2~' + _ _ 1

L1 L2 L3 Lm N

U_'~I__'~e-J2'~'+ U_kit + U_'~tk).

il v,,..._

U23 ~

...

U m

\) / P ]

r u3 . . . .

i,.

um~

iN- il + iz+ ... i,~

Abb. 25.6 Bezugssinne

fiir Spannungen, Str6me und Leistung eines m-Phasensystems

25.1 Symmetrischem-Phasensysteme

229

Zusammen mit Gln. (25.2)2 und (25.12)2 folgt weiter f/Jr m # 1, 2 m

m

m

--Uk--/k= -Ux -/1 ~ e- j(k-1)4n/m k=l

Y

= O,

k=l

=0,

k=l

m

m

Z -Uk-/~ = m _U1 _/~',

E _U~/-k= m _U~'--/1,

k=l

k=l

insgesamt also p = m~(_U 1/]' + _U]'/1) = m U 111 cos(CPu~-- q)i~).

(25.14)

Interessanterweise ist die gesamte Momentanleistung p in einem symmetrischen Mehrphasensystem demnach f/ir m _> 3 zeitunabh~ingig und gleich ihrem zeitlichen Mittelwert, der W i r k l e i s t u n g - im Gegensatz zu den Einzel-Momentanleistungen, die wie in gew6hnlichen (einphasigen) Systemen pulsieren. Die komplexe Scheinleistung S_definieren wir als Summe der komplexen Einzelscheinleistungen gem~il3 G1. (22.37), m

S_= ~ _Uk/* = m _U1/~',

(25.15)

k=l

sie besitzt wegen G1. (25.6)3 den Betrag m

(25.16)

S = m U1 Ix = 2 sin(n/m) U1211"

Ihr Realteil, die Wirkleistung P, entspricht genau dem Ausdruck (25.14), P = Re(_S) = m U1 Ix cos(qgu~- (/9i~) =m

und ihr Imagin~irteil ist die

COS((/gu~

~

(Di -jr- n / m ~ 2sin(him)

--

n/2)

U1211,

(25.17)

U1211.

(25.18)

Blindleistung

Q = Im(_S) = m U1 11 sin(gOul -- q)il) =m

sin((pu12 -

q)il

-~-

n/m-

2sin(n/m)

n/2)

Der Leistungsfaktor ( W i r k f a k t o r ) - wir verwenden daf/ir allgemein den Buchstaben 2 - ist als Quotient 2 = P / S = cos(qgu, - qgi~)= cos((pu, ~ - q)i~ + n / m -- n/2)

(25.19)

erkliirt. F/Jr unsymmetrische m-Phasensysteme sind diese Definitionen entsprechend zu erweitern. Wir werden das hier nicht allgemein durchf/ihren, sondern uns im n/ichsten Abschnitt auf wichtige Sonderf~ille beschr/inken.

230

25 Mehrphasensysteme

25.2 Symmetrische Drehstromsysteme Dreiphasensysteme heiBen im allgemeinen elektrotechnischen Sprachgebrauch Drehstromsysteme. Die vorzugsweise zu verwendenden Bezeichnungen und Grundschaltungen sehen Sie in Abb. 25.7. Jeder Strang wird dabei als allgemeine lineare Ersatzschaltung eines Wechselstromzweipols durch eine Impedanz und eine ideale Sinusspannungsquelle dargestellt. Wenn Sie anstelle des Verbraucherbezugssystems das Erzeugerbezugssystem verwenden wollen, dann kehren Sie, wie iiblich, die Bezugssinne entweder der Spannungen oder der Str6me um und beriicksichtigen dies durch entsprechende Vorzeichenwechsel in den Gleichungen. Ein symmetrisches Drehstromnetz wird gew6hnlich durch eine Angabe der Art 3/N ~ 50 Hz 400/230 V oder 3/N AC 50 Hz 400/230 V gekennzeichnet. Darin bedeutet 3/N die Zahl der Leiter, n~imlich 3 AuBenleiter und ein Sternpunktleiter (Neutralleiter), ,-~ oder AC (alternating current) weist auf Sinusspannungen hin, 50 Hz ist der Wert der Frequenz und 400/230 V gibt die Nenn-Effektivwerte der Spannungen zwischen zwei AuBenleitern/zwischen einem AuBenleiter und dem Sternpunktleiter an. Gelegentlich verzichtet m a n auf das Anfiihren der F r e q u e n z wenn ihr Wert klar i s t - u n d der S t e r n s p a n n u n g - w e i l sie in symmetrischen

Abb. 25.7 Drehstromsystem.a Kennzeichnung L 1, L2, L3 der AuBenleiter,N des Sternpunktleiters und Bezugssinne fiir Sternspannungen, AuBenleiterspannungen (Dreieckspannungen) und Str6me. Die friiher iiblichen Bezeichnungen R, S, T fiir die AuBenleiter werden von IEC nicht mehr empfohlen. Kombination von drei Str~ingen in einer Sternschaltung b und in einer Dreieckschaltung c. Die AnschluBpunkte von Betriebsmitteln werden ebenfalls mit L1, L2, L3 und N gekennzeichnet. Bei Drehstromgeneratoren,-motoren und -transformatoren ist f/Jr die allgemeine AnschluBkennzeichnung daneben noch die Buchstabenfolge U, V, W, N iiblich. Sie wird dann auch auf die Indizes der Formelzeichen iibertragen, z.B. _Uvvstatt _U12

231

25.2 Symmetrische Drehstromsysteme

Abb. 25.8 Zeitverlauf der Sternspannungen (dfinne Sinuskurven) und der Dreieckspannungen (dicke Sinuskurven) in einem symmetrischen Dreiphasensystem. Die Rastereinheit des Winkels betr/igt n/6. U1 bezeichnet den Effektivwert der Sternspannungen. Der Nullphasenwinkel q~.l wurde willkiirlich zu Null angenommen

Systemen ohnehin durch die AuBenleiterspannung bestimmt ist. So bedeutet z.B. ,,3/N AC 400V" ein Netz mit 3 AuBenleitern, einem Sternpunktleiter, 400V Nenn-Augenleiterspannung und 230 V ~ 400 V/x/~ Nenn-Sternspannung. In einem Netz ,3 AC 400 V" wird kein Sternpunktleiter mitgefiihrt. Die Zeitverliiufe der Spannungen in einem symmetrischen Dreiphasensystem und ihre gegenseitige Phasenlage zeigt Abb. 25.8. Sie entsprechen den reellen Formen (U12 = Ul x/~, rpu,~ -- rpu, + n/6) (25.20) u 3 = U~ x/~cos(ogt + gOu~- 4n/3),

u3~ = Ux2x/~cos(cot + gout,- 4n/3).

Bei den komplexen Darstellungen werden wir mit Vorteil die Abkiirzung (25.21)

_a = e j2n/3

benutzen (Abb. 25.9). Wie Sie sehen, bedeutet die Multiplikation eines Zeigers mit a dessen Drehung um den Winkel 2n/3 = 120 ~ im positiven Sinn (Gegenuhrzeigersinn). Wir k6nnen damit die Zusammenh~inge zwischen den komplexen Effektivwerten der Sternspannungen und der AuBenleiterspannungen gem/il3 Gln. (25.2, 25.6) schreiben als _U1 = U 1 eJ'P%

U 2 -- a 2 U1,

U 3 = a U1,

U12 = U12eJ~~

U23--- a2 U12,

U31 ~- a U12,

(25.22) _U'12 = U 1 -- U 2 ~-(1 - - a 2 ) _ U 1 - - _Ulx/~eJn/6 , U12 ~- U 1 N/~,

(]gux 2 -

qgu, +

n/6.

232

25 Mehrphasensysteme

Abb. 25.9 Zeiger der h/iufig verwendeten Konstanten a und ihrer Potenzen a "- e j2rr/3

a3=l 1+a+a2=0

Analog gilt mit den Gin. (25.12) ffir das System der symmetrischen AuBenleiterstr6me /1=11

ej~~ ,

/2 = a2/1,

__/3 = a / 1 .

(25.23)

Im Fall der Sternschaltung (Abb. 25.7b) stimmen die Strangspannungen mit den Sternspannungen und die StrangstrSme mit den Aul3enleiterstrSmen iiberein. Der Sternpunktleiterstrom verschwindet aus Symmetriegriinden, falls der Sternpunkt iiberhaupt angeschlossen ist. Die vorausgesetzte Strangsymmetrie bedeutet --21 = --22 = 2--3'

_Uq2 = a2 U q l ,

Uq3 = a _Uql,

(25.24)

also gleiche Strangimpedanzen und ein symmetrisches Dreiphasensystem der Quellenspannungen (k6nnen auch Null sein). StrangstriSme und Strangspannungen sind repr~isentativ fiber _U~ = _Z~/~ + _Uqa

(25.25)

miteinander verkniipft. Bei der Dreiecksehaltung (Abb. 25.7 c) sind dagegen die Strangspannungen gleich den Aul3enleiterspannungen. Die Strangstr6me h~ingen untereinander und mit den AuBenleiterstr6men fiber / 1 2 = I12 eJq~i~, / 2 3

= -a 2 -112, -13 1 = -a112 , -

/1 = / 1 2 - - / 3 1 - - ( 1 -- a ) / 1 2 - - / 1 2 N / ~ 112 = I 1 / x / ~ ,

e -j€

(25.26)

qgi~ = q~i~ + re~6

zusammen, vorausgesetzt, es besteht die Strangsymmetrie -Z12 - - -Z23 -" -Z31,

-Uq23 = -a 2 U- q 12 ,

U - q 31 = a- - U q 12 .

(25.27)

Die Verkniipfung der Strangstr6me und Strangspannungen erfolgt repr/isentativ fiber U 1 2 = _Z12/__12 -31- U q l 2 -

(25.28)

Der Satz von Gin. (25.22) bis (25.28) ist vollst~indig. Beispielsweise k6nnen Sie damit bei bekannten Spannungen und Impedanzen, wofiir die Angabe von _U1, _Uql und _Z1 oder von _U~2,_Uql2 und Z_~2 ausreicht, alle Str6me berechnen. Beachten

25.2 Symmetrische Drehstromsysteme

233

Sie insbesondere die wichtigen Relationen der Betr/ige U12:

gl %/~,

(25.29)

I 1 2 ~----I 1 / ~

und, fiir _Uql = 0 bzw. _Uq12 ~-- O, U

- - Z 111

bzw.

U12

Z12112

9

(25.30)

In Abb. 25.10 sind die Beziehungen (25.22, 25.23, 25.26) graphisch erfaBt. N u n zu den Leistungsgr6Ben! Ausgehend von G1. (25.15)definieren wir die komplexe Seheinleistung als S u m m e der komplexen Einzelscheinleistungen, S_= 3 _U~_/* = x / ~ U 1 2 / ~ e -j~/6.

(25.31)

S -- 3 UI la = N ~ Ua2 I 1

(25.32)

Ihr Betrag

Abb. 25.10 Zeiger der komplexen Effektivwerte der Spannungen und Str6me eines symmetrischen Dreiphasensystems. Die Darstellungen a und b sind gleichwertig. Da meist nicht die absolute, sondern nur die gegenseitige Lage der Zeiger interessiert (freie Wahl des Zeitpunktes bei eingeschwungenen Vorg/ingen), werden die Achsen der komplexen Ebene in der Regel nicht angegeben q)l -- qgu~ -- (~Oi~ q212 = q)u~2 -- q)i~2 --" (D1

234

25 Mehrphasensysteme

ist stets positiv. Die Wirkleistung

P = Re(8)= 3 Ua 11 cos((P 1) = N//~ U12 Ix cos(q~x), (~01 ~-- q)ux -- (]9ix = qgux2 -- q)ix2 "-- q)ux2 -- q)ix --

n/6,

(25.33)

kann dagegen, wie auch die Blindleistung Q = Im(S_)= 3 u 111 sin(qga)= x/~ Ua2 11 sin(q~l), ~oi = qgux-- q~ix= qg,x~-- q~ix~= ~~ -- q~ix-- n/6,

(25.34)

je nach Gr613e des Phasenverschiebungswinkels q~l der Strangspannungen gegen die StrangstrSme positive oder negative Werte annehmen. Gilt in Verbindung mit dem Verbraucherbezugssystem aus Abb. 25.7 Q > 0, so sagen wir vereinbarungsgemiiB, das Geriit nimmt Blindleistung auf (ist ein Blindleistungsverbraucher, wirkt ohmisch-induktiv). Ffir Q < 0 wird Blindleistung abgegeben (Blindleistungserzeuger, wirkt ohmisch-kapazitiv). Ein elektrisch symmetrisches Drehstromgeriit liil3t sich demnach leistungsmiiBig vollstiindig kennzeichnen durch die Angabe seiner Scheinleistung S, des Leistungsfaktors

I2 " P/S=cos(~.,)

I

(25.35)

und einen Hinweis, ob es sich um einen Blindleistungsverbraucher oder -erzeuger handelt, z.B. in der Form 2 = 0, 8 (ind.) oder 2 = 0, 5 (kap.). Die Blindleistung beschreibt, grob gesprochen, den pulsierenden Energieaustausch zwischen den drei Str/ingen. Die Wirkleistung gibt den resultierenden FluB an elektrischer Energie fiber die Leitungen an. Die Scheinleistung schlieBlich dient bei festliegenden Spannungen als MaB ffir die Stromst/irken, bestimmt also z.B. die erforderlichen Leiterquerschnitte.

25.3 Unsymmetrische Drehstromsysteme Wird ein Drehstromnetz durch drei Strange mit ungleichen Impedanzen belastet, so stellt sich ein unsymmetrisches Stromsystem ein, d.h. die Effektivwerte der AuBenleiterstrSme und ihre gegenseitigen Phasenverschiebungswinkel sind i.a. unterschiedlich. Solche Situationen treten auch in St6rf'~illen auf, etwa bei KurzschluB zweier Leiter. Wir werden hier wiederum einen vollstiindigen Satz von Gleichungen ableiten, der die Beziehungen der komplexen Effektivwerte aller vorkommenden Spannungen und Str6me erfaBt. Mit den Bezeichnungen aus Abb. 25.7 a erhalten wir zuniichst ffir den Zusammenhang der Sternspannungen und der AuBenleiterspannungen U12=

U1-

U2,

~ = _Uo + 8 9

~31),

U23=

U2-

U 3,

~ = ~0 + 8 9

c~),

U31-- _U3- UI,

_u3 = _Co +-~(_u~ - c:~),

U12 + U23 + U31 ~ O,

_Co =-~(_u~ + _u~ + _v3).

(25.36)

25.3 UnsymmetrischeDrehstromsysteme

235

Wie Sie sehen, lassen sich im unsymmetrischen Fall wohl die AuBenleiterspannungen aus den Sternspannungen, nicht aber die Sternspannungen aus den AuBenleiterspannungen allein berechnen. Wir brauchen dazu zus~itzlich den Wert der sogenannten Nullspannung _Uo oder eine ~iquivalente Angabe. Liegt nun eine Sternsehaltung nach Abb. 25.7b vor, so haben wir auBerdem die drei Strangbeziehungen und die Knotengleichung ftir den Sternpunkt zur Verftigung, Yl --" g l !1 "31-Yql'

(25.37)

Y2 -- -g2 !2 + Yq2' Y3 = - Z 3 L -31-Yq3 ,

IN = ! 1 "t-L J - L "

Wie man diese Gleichungen anwendet, soll Ihnen folgendes Beispiel zeigen. Angenommen, wir kennen die Werte _Ul2, _U23, U~I der Augenleiterspannungen, _Uql, _Uq2, _Uq3 der Quellenspannungen und _Zl, Z 2, _Z3 der Strangimpedanzen. Der Sternpunkt sei nicht angeschlossen. Die Strangbeziehungen (25.37) links und die ersten drei Gln. (25.36) rechts ergeben, mit zun/ichst unbekanntem _Uo, fiir die Strangstr6me die Ausdrficke !, -

' [_Uo + ~(_u12

-- U _,3 )--

U_q,]/Z_ _ l,

--/2 -- [-Oo + 3(-U23---012)--Uq2]/-a2,

(25.38)

1 !3 -- [-Uo -[- ~(-U31--U23)--Uq3I/-Z3-

Wegen des nicht angeschlossenen Sternpunktes mug aber ihre Summe verschwinden,-/N = 0, und dies liefert eine Gleichung zur Berechnung yon U0. Damit lassen sich nun fiber die Gln. (25.38) die Str6me und fiber die Gln. (25.37) links oder (25.36) rechts die Strangspannungen tats~ichlich angeben. Bei einer Dreieeksehaltung nach Abb. 25.7c haben wir die Stranggleichungen U, 2 = _Z12!12 + _Oq:2,

(25.39)

U23 = Z23L3 + Uq23, U3, = -Z3IL1 -J[- Uq31"

und die Beziehungen zwischen den AuBenleiterstr6men und Strangstr6men 1

_/, =_/,~ - L , ,

!,2 = L + ~q:-L),

L =L3 -!,~,

L3 = L + ~q~-L),

k =k, -k,,

1 L, - L + ~q3 -I_,),

!, + L +L =0,

1

L--

(25.40)

~'ql 2 +!2~ -- +L --.1 ),

Im unsymmetrischen Fall lassen sich hier zwar die AuBenleiterstr6me aus den Strangstr6men, nicht aber umgekehrt die Strangstr6me aus den Augenleiterstr6men allein berechnen. Wir ben6tigen dazu auch den Wert des sogenannten Nullstromes_/0, der i.a. bei der Analyse zus~itzlich zu bestimmen ist.

236

25 Mehrphasensysteme

Setzen wir abkiirzend fiir die Phasenverschiebungswinkel der Spannungen gegen die Str6me (401 -- q)u~ - - (Dix,

(D12 -- (Du~2 - - (Dix2,

(/92 --- (/9u2 - - ~i2,

(/223 "- (/2u23 - - (Di23,

(/23

(4931 -- q)u3~ - - (Di31,

=

q~u3 --

q)i3'

(25.41)

so 1/igt sich mit Bezug auf Abb. 25.7 die gesamte komplexe Scheinleistung als Summe der komplexen Einzelscheinleistungen in den Formen S -- U_I I? -Jr-U2 I~ -+- U3 I~ ~- U 1 11 e j~~ + U 212 e j~~ -+- U 313 e j~~

= -UIE/-~'e + -Ue3-/*3 + -U31/-~'~-- U~2 112 eJ~~ + UE3 123 e~~ + U3x 131 ej~o3~

(es.4e) darstellen, unabh/ingig v o n d e r Art der Schaltung. Die gesamte Momentanleistung enth~ilt bei unsymmetrischen Systemen im Gegensatz zu den symmetrischen i.a. einen pulsierenden Anteil, ist also auch im eingeschwungenen Zustand nicht zeitlich konstant. Ihr Mittelwert, d.h. der mittlere Gesamtenergieflul3 fiber die Leitungen, ist aber nach wie vor durch die Wirkleistung P = Re(_S) = U1 Ix cos(q91) + U 2 1 2 cos((D2 ) + U 3 1 3 c0s((/93) = U12112 cos((lg12) + U23123 cos(([923) --]--U31131cos(q)31)

(25.43)

gegeben. ~hnlich haben wir ffir die Blindleistung Q = Im(_S)= u~ 11 sin(q~) + U212 sin(q92) + U313 sin(q93) = U~2 I12 sin(q912) + U23123 sin(q923) + U3a 131 sin(q93~)

(25.44)

und fiir den Leistungsfaktor (25.45)

2 = P/S.

Beachten Sie: Fiir den Leistungsfaktor 2 gilt zwar - 1 < 2 < 1, er ist aber im unsymmetrischen Fall i.a. nicht gleich einem ,,cos(o)", wenn q~ einen tats/ichlich auftretenden Phasenverschiebungswinkel angeben soll. Beachten Sie aul3erdem, dab der Betrag S der Scheinleistung i.a. nicht durch die reelle Summe U~ I~ + U2 I2 -+-U313 gegeben ist, sondern fiber die Gln. (25.42) berechnet werden mul3! Abschliel3end noch eine manchmal niitzliche Beziehung: Wir ersetzen in der ersten G1. (25.42) den Strom/3 durch /3 = / y - / ~ - / 2 und erhalten s=(u~

- u3)/~' + ( u 2 - u 3 ) / ] + u 3 g r = _u~3/? + _u~3/~' + u3/,~.

Handelt es sich nun um ein beliebig unsymmetrisches Drehstromsystem ohne Sternpunktleiter, gilt also /N = 0, SO folgt daraus, unabh/ingig von der Art der Schaltung, - S = - U 1 3 / ? -~- - U 2 3 -I* 2'

P = U 1 3 11 C O S ( q ) U l

3 --

(25.46) q)i~) -+- U 2 3

I2 C O S ( q ) U 2 3

--

q)i2)"

25.4 Fragen

237

Es ist dies die Grundlage der ,,Zweiwattmetermethode" zur Messung der Wirkleistung in unsymmetrischen Drehstromsystemen ohne Sternpunktleiter. Ftir die Analyse unsymmetrischer Mehrphasensysteme gibt es ein besonderes Rechenverfahren, die Methode der Symmetrischen Komponenten. Damit lassen sich auch komplizierte Schaltungen/ibersichtlich und 6konomisch behandeln.

25.4 F r a g e n 1. Was verstehen Sie allgemein unter einem Mehrphasensystem, was speziell unter einem Drehstromsystem? 2. Welche Vorteile bietet die Verwendung von Mehrphasensystemen in der elektrischen Energietechnik? 3. Was ist unter den Begriffen Strang, Sternschaltung, Ringschaltung, Sternpunkt und AuBenpunkt, AuBenleiter und Sternpunktleiter zu verstehen? 4. Was ist der Unterschied zwischen Sternpunktleiter, Neutralleiter und Nulleiter? 5. Wie sind die Gr6Ben AuBenleiterspannung und AuBenleiterstrom, Strangspannung und Strangstrom definiert? Wie h~ingen diese Gr6Ben bei Sternschaltung und bei Ringschaltung zusammen? 6. Wie nennt man die Ringschaltung speziell fiir m = 3? 7. Was bedeutet Sternspannung, was Dreieckspannung? 8. Wie h~ingen in einem symmetrischen m-Phasensystem von Sinusspannungen die komplexen Effektivwerte der Sternspannungen untereinander, der AuBenleiterspannungen untereinander, und der Sternspannungen mit denen der AuBenleiterspannungen zusammen? Wie ist dies in einem Zeigerdiagramm zu veranschaulichen? 9. Sind die Effektivwerte der AuBenleiterspannungen im symmetrischen Fall immer gr6Ber als die Effektivwerte der Sternspannungen? (Beispiel!) 10. Wie h~ingen die komplexen Effektivwerte eines symmetrischen m-Phasensystems von SinusstriSmen zusammen? 11. Welchen Zeitverlauf nimmt die Momentanleistung in einem symmetrischen m-Phasensystem von Sinusspannungen und Sinusstr6men f/Jr m > 3? Warum m > 3? Wie wird diese Leistung berechnet? 12. Wie sind die komplexe Scheinleistung, die Wirkleistung, die Blindleistung und der Leistungsfaktor in einem vollst~indig symmetrischen System erkl~irt? 13. Wodurch unterscheiden sich unsymmetrische von symmetrischen Dreiphasensystemen? Welche Bedingungen m/issen in beiden F~llen erffillt sein, um von Dreiphasensystemen sprechen zu k6nnen? 14. Was genau bedeuten die Angaben 3/ONAC 50Hz 400/230V und 3 AC 400V? 15. Wie h/ingen die reellen Effektivwerte der AuBenleiterspannungen mit denen der Sternspannungen in einem symmetrischen Dreiphasensystem zusammen? Gilt das auch fiir unsymmetrische Dreiphasensysteme? (Veranschaulichung im Zeigerdiagramm!) 16. Wie berechnen Sie in einem symmetrischen Dreiphasensystem die Scheinleistung, die Wirkleistung, die Blindleistung und den Leistungsfaktor bei bekannten AuBenleitergr~SBen? Was genau bedeuten die Gr/513en in Ihren Formeln? 17. Welche allgemeinen Beziehungen bestehen in einem unsymmetrischen Dreiphasensystem yon Sinusspannungen zwischen den komplexen Effektivwerten der Sternspannungen und der AuBenleiterspannungen? Gelten diese Beziehungen auch fiir die reellen Effektivwerte? Was bedeutet in diesem Zusammenhang "Nullspannung"? 18. Welche allgemeinen Beziehungen bestehen in einem unsymmetrischen Dreiphasensystem von SinusstriSmen bei Dreieckschaltung zwischen den komplexen Effektivwerten der AuBenleiterstr6me und der Strangstr6me? Was bedeutet in diesem Zusammenhang "Nullstrom"? 19. Welche allgemeine Form besitzen die Stranggleichungen bei Sternschaltung und bei Dreieckschaltung? 20. Wie berechnen Sie in einem unsymmetrischen Dreiphasensystem mit und ohne Neutralleiter die komplexe Scheinleistung, die Scheinleistung, die Wirkleistung, die Blindleistung und den Leistungsfaktor? Ist hier der Leistungsfaktor als "cos(q~)" zu interpretieren? (Begr/indung!)

238

25 Mehrphasensysteme

25.5 Aufgaben

A25.1 Leitungsbemessung: Ein symmetrischer Drehstromverbraucher besitzt am symmetrischen Netz 3 ~ 50 Hz 400V/230 V die Leistungsdaten P = 11, 4kW, 2 = 0, 73(kap). Fiir welche Stromst~irke ist die Anschlul31eitung auszulegen? A25.2 Strangparameter: Die symmetrische Dreieckschaltung Abb. A25.2 liegt an einem symmetrischen Netz 3 AC 50Hz 400V. Eine Messung liefert fiir den Effektivwert des AuBenleiterstromes 8,4A und fiir die gesamte Wirkleistung 4,52kW. Berechnen Sie daraus die Strangparameter R und L.

L1 o

L3c

~. R - .

L

R

L

R

L

.

, Abb. A25.2

A25.3 Blindleistungsbelag: Von einem Hochspannungskabel mit dem Querschnitt Abb. A25.3a (drei Leiter umgeben yon einem leitenden Mantel) sind die l~ingenbezogenen Teilkapazit~iten C~2 = C~3 = C31 = 0, 15 g F / k m (Leiter gegen Leiter) Clo = C2o = C3o = 0 , 4 g F / k m (Leiter gegen Mantel) bekannt. Berechnen Sie den l~ingenbezogenen kapazitiven Blindleistungsbedarf des Kabels, wenn ein symmetrisches System 3 AC 50 Hz 6kV iibertragen wird. t

!

!

t

Abb. A25.3a

A25.4 Einphasige Ersatzschaltung: Die symmetrische Sternschaltung Abb. A25.4a mit induktiv gekoppelten Str/ingen kann fiir den eingeschwungenen Betrieb an einem symmetrischen Drehstromnetz auf die einphasige Ersatzschaltung Abb. A25.4b reduziert werden. Bestimmen Sie deren Parameter R~, L~ und _Uq.

25.5 Aufgaben

239

Abb. A25.4a

Abb. A25.4b A25.5 Einphasige Belastung: Der ohmsche Verbraucher V aus Abb. A25.5a wird

aus einem starren symmetrischen Drehstromnetz tiber die Impedanzen XT (Transformatorimpedanzen) gespeist. Beim Einschalten des Verbrauchers sinkt die Spannung an dessen Anschliissen im eingeschwungenen Zustand gegeniiber der Netzspannung um 5, 13 % ab. (i) Wie grol3 ist die vom Verbraucher aufgenommene Leistung? Durch eine St6rung f/ilk die Versorgung fiber L2 und L3 aus. In einem Versuch, den Verbraucher weiter zu betreiben, werden die drei Str/inge parallel an L1 gelegt (Abb. A25.5b). (ii) Wie groB ist jetzt die vom Verbraucher aufgenommene Leistung?

Abb. A25.5a

Abb. A25.5b

240

25 Mehrphasensysteme

A25.6 Blindleistungskompensation: Ein Drehstromnetz 3 AC 50Hz 6kV liefert einem symmetrischen Verbraucher die Wirkleistung P = 1, 5MW bei einem Leistungsfaktor ~ = 0, 7 ind. Der Abnehmer will zur Blindleistungskompensation eine Kondensatorbatterie benutzen, die eine Blindleistung von Q~ = 800kVA liefert. (i) Wie groB sind die AuBenleiterstr/Sme ohne bzw. mit Kompensation? (ii) Wie groB sind die Strangkapazit~ten der Kondensatorbatterie bei Sternschaltung? A25.7 Leitungsbeschaltung: Die n/iherungsweise verlustfreie Beschaltung Abb. A25.7 ist so auszulegen, dab sie bei Netzfrequenz die Blindleistung 1MVA an das Netz abgibt und auBerdem eine Schwingung der 5-fachen Netzfrequenz kurzschlieBt. Welche Werte L u n d C sind zu w/ihlen?

Abb. A25.7

A25.8 Unsymmetrische Sternschaltung: Die unsymmetrische Sternschaltung Abb. A25.8a wird aus einem Netz 3 AC 50Hz 400V/230V ohne Sternpunktleiter gespeist. Berechnen Sie alle Str6me und Sternspannungen. Zeichnen Sie zur Kontrolle die zugeh6rigen Zeigerdiagramme.

Abb. A25.8a A25.9 Unsymmetrische Dreieckschalmng: Die unsymmetrische Dreieckschaltung Abb. A25.9a wird aus einem Netz 3 AC 50Hz 400V/230V gespeist. Berechnen Sie die AuBenleitersstr~Sme und die Strangstr/Sme. Zeichnen Sie zur Kontrolle die zugeh6rigen Zeigerdiagramme.

25.5 Aufgaben

241

Abb. A25.9a

A25.10 Unsymmetrisches Netz: Eine symmetrische Last, die aus drei gleichen ohmschen Widerst/inden in Sternschaltung besteht (Abb. A25.10a), wird an einem unsymmetrischen Dreiphasensystem von Sinusspannungen betrieben. Durch Messung sind die Effektivwertbetr~ige der drei Augenleiterspannungen bekannt: U12 = 300 V, U23 = 150 V, U31 = 200 V. Ermitteln Sie daraus die Effektivwertbetr~ige der drei Strangspannungen.

Abb. A25.10a

A25.11 Neutralleiterstrom: Die Schaltung Abb. A25.11 wird aus einem symmetrischen Drehstromnetz 3/N ~ 50 Hz 400 V/230 V gespeist. Nehmen Sie U 1 als reell an und berechnen Sie den komplexen Effektivwert -/N des Stroms im Neutralleiter.

Abb. A25.11 A25.12 Symmetrierschaltung: Um grof~e, einphasige Verbraucher symmetrisch an ein Drehstromnetz anschlieBen zu k6nnen, werden Beschaltungen mit Kondensatoren und (n~iherungsweise idealen) Spulen nach Art der Abb. A25.12a durchgeffihrt. Angenommen, die durch R dargestellte, einphasige Belastung nimmt den Strom I12 = 10A auf. Die gesamte Schaltung soll eine symmetrische Last mit dem Lei-

242

25 Mehrphasensysteme

stungsfaktor 2 = 1 darstellen. Welche Werte miissen dann Lund C fiir ein Netz 3 AC 50Hz 500V haben?

Abb. A25.12a

A25.13 Symmetrierung: Von den drei Impedanzen der Sternschaltung Abb. A25.13 an einem symmetrischen Drehstromnetz sind _Zx und _Z2 vorgegeben. Wie ist die I m p e d a n z Z 3 zu w/~hlen, damit die AuBenleiterstr/Sme ein symmetrisches Drehstromsystem bilden?

Abb. A25.13 A25.14 Generatorkurzschlufl: An einem ursprfinglich leerlaufenden Drehstromgenerator, n/iherungsweise durch die Dreieckschaltung Abb. A25.14 dargestellt, tritt zwischen den Anschlfissen L2 und L3 ein KurzschluB auf. Berechnen Sie allgemein den Strom/~ und die Spannung _Ux2 •r den eingeschwungenen Zustand unter der Annahme eines symmetrischen Systems von Quellenspannungen.

Abb. A25.14

A25.15 Einpoliger ErdschluB: In dem urspriinglich symmetrischen Drehstromsy-

stem Abb. A25.15 (_ZL repr/isentiert die Leitungsimpedanzen, _ZB die Belastung) entsteht durch einen St6rfall der ErdschluB ES. Berechnen Sie allgemein den Wert der sich einstellenden Spannung _Uo.

25.5 Aufgaben

243

Abb. A25.15

A25.16 Leitungsfehler: In dem urspriinglich symmetrischen Drehstromsystem Abb. A25.16 tritt durch einen Fehler die zus&itzliche L~ingsimpedanz Z_/4 auf. Berechnen Sie den Betrag der Spannung _Us.

Abb. A25.16

A25.17 Leitungsunterbrechung: Abb. A25.17a zeigt die Ersatzschaltung der Prim~rseite eines Drehstromtransformators, der aus einem symmetrischen Dreiphasennetz gespeist wird. Im ungest6rten Betrieb (S geschlossen) stellt sich das System der Strangspannungen _U1 = _U, _U2 = a 2 _U, _U3 = a U ein. Infolge einer Leitungsunterbrechung (S ge6ffnet) wird eine Erdkapazit~it wirksam. Berechnen Sie flit den Fall X c = - 3 X L das System der im eingeschwungenen Zustand sich einstellenden Transformator-Strangspannungen _U'I, _U~, _U3. Vergleichen Sie die beiden Systeme in bezug auf ihre Phasenfolge. !

Abb. A25.17a

244

25 Mehrphasensysteme

25.18 Unsymmetrischer Kurzschlufl: Ein symmetrischer Verbraucher in Sternschaltung (Strangimpedanzen Z_B) wird tiber eine Leitung (Impedanzen ZL) aus einem starren, symmetrischen Dreiphasennetz gespeist (Abb. A25.18a). Durch einen Fehler tritt zwischen zwei Anschliissen ein widerstandsloser Kurzschlul3 auf. Berechnen Sie den Betrag I/KI des KurzschluBstromes im eingeschwungenen Zustand.

Abb. A25.18a

A25.19 Wirkleistung: Die drei in Abb. A25.19 angegebenen Impedanzen liegen in Dreieckschaltung am symmetrischen Drehstromnetz. Berechnen Sie (i) die Effektivwertbetr~ige der AuBenleiterstr~me, (ii) die aufgenommene Wirkleistung.

Abb. A25.19

A25.20 Energieflufl: Von einem Dreiphasensystem ohne Sternpunktleiter sind die in Abb. A25.20 angegebenen Str6me und Spannungen bekannt. Berechnen Sie die zugeh/Srige Wirkleistung P.

Abb. A25.20

Kapitel 26 Das elektromagnetische Feld Wie am Beginn des Kapitels 20 angekiindigt, werden wir nun die dynamische Kopplung elektrischer und magnetischer Felder vervollstiindigen. Im ersten Schritt der Vereinigung elektrischer und magnetischer Felder zum elektromagnetischen Feld haben wir festgestellt, dab magnetische Fliisse, die sich zeitlich ~indern, elektrische Spannungen hervorrufen. Die quantitative Formulierung dieser Erfahrung erfolgt im Induktionsgesetz, mit dem wir die Vielfalt der Induktionserscheinungen beherrschen. Andererseits bewirken aber elektrische Fliisse, die sich zeitlich ~indern, magnetische Spannungen, und die Einbeziehung auch dieser Erfahrung ist unser zweiter Schritt. Damit k6nnen wir elektromagnetische Wellen verstehen.

26.1 Ladungserhaltung und der Amp~re-Maxwell-Satz Unsere bisherige Auffassung von der magnetischen Spannung war, grob gesprochen, folgende: Gibt es irgendwo elektrische Str6me, dann gibt es auch magnetische Spannungen. Welchen Weft die magnetische Spannung entlang irgendeiner geschlossenen Kurve gerade annimmt, dar/iber gibt der Durchflutungssatz, auch Amp6rescher Satz genannt, Auskunft. Nun besteht aber zwischen dem Durchflutungssatz und dem Satz vonder Erhaltung der elektrischen Ladung eine bemerkenswerte formale Unstimmigkeit, wie wir bereits auf S. 20 bemerkt haben: Die Anwendung von V(c3~r I ( d ) auf geschlossene Fl~ichen d = t3YF liefert wegen V(c3t3~) = 0 stets I(t3Y/~)= 0, w~ihrend die Ladungserhaltung allgemein I(t3~) = - Q(y/~) fordert. Wenn wir also die Ladungserhaltung als universell giiltigen Satz anerkennen, dann mul3 im Fall zeitlich sich/indernder Ladungsverteilungender Durchflutungssatz modifiziert werden. Stellen Sie sich einen Plattenkondensator wie in Abb. 26.1 vor! Im betrachteten Zeitpunkt tr/igt die eine Platte die Ladung Q, und es fliel3t ein Strom der St/irke I zu. Die andere Platte tr/igt - Q, und fiber ihren Anschlul3 fliel3t momentan der Strom I ab. Das elektrische Feld ist dann im wesentlichen auf den Raum zwischen den Platten beschr~inkt. Denken Sie sich weiter ein Volumen Y/~, das die erste Platte enth~ilt und das von den beiden Fl~ichen d x und ~2 berandet wird. Dann liefert der Satz vom elektrischen Hiillenflul3 wegen Q(y/~)= Q und q ~ ( d a ) = 0 (merkbarer elektrischer FluB nur zwischen den Platten) ~ c 3 V ) = - - ~ O ( ~ l ) - ~ - ~ 2 ) - ~ d 2 ) = Q (Y/). Andererseits folgt aus dem Satz von der Erhaltung der elektrischen Ladung wegen I(dl) = I und I(d2) =0 die Beziehung I ( 0 ~ ) = -I(~r + I(~r - I ( d ~ ) = - Q(~), zusammen also I(~r ~u(d2).

246

26 Das elektromagnetischeFeld

Abb. 26.1 Ein Plattenkondensator wird geladen. Der Leitungsstrom setzt sich im leeren Raum zwischen den Platten als Verschiebungsstromfort

Man nennt die zeitliche Nnderungsrate des elektrischen Flusses an einer F1/iche den durch sie tretenden Verschiebungsstrom, und demgemiil3 heil3t die zeitliche )~nderungsrate der elektrischen Flul3dichte an einem festen Ort die dort herrschende Verschiebungsstromdichte ~. Stellen Sie sich vor: Der auf die eine Platte zufliel3ende Leitungsstrom setzt sich im leeren Raum zwischen den Platten als Verschiebungsstrom in gleicher St/irke fort und erscheint nach der zweiten Platte wieder als abflieBender Leitungsstrom. Und: Beziiglich der magnetischen Spannung sind ,,wirkliche" elektrische Str6me (Ladungstransport) und VerschiebungsstriSme gleichwertig. In unserem Beispiel ist also entlang der gemeinsamen Randkurve ~?dl =OsJ2 die magnetische Spannung V(c~dl) = I ( d a ) bzw. V(c~d2) = ~u(d2) eindeutig b e s t i m m t - - e s kommt nicht auf den Verlauf der berandeten F1/iche an. Genau das ist die Idee Maxwells: In den Amp6reschen Satz ist neben dem wirklichen Strom auch der Verschiebungsstrom einzubeziehen. Wir werden das jetzt allgemein formulieren. Sei sJ irgendein orientiertes, d.h. mit einem Durchtrittssinn versehenes Fl~chenstiick und O d sein vollstiindiger, rechtswendig dazu orientierter Rand (Abb. 20.2). Sind dem F1/ichenstiick die Stromst/irke I ( d ) und der elektrische Flul3 q~(d) zugeordnet und bezeichnet V(c~d)die magnetische Spannung entlang der Randkurve, so gilt der Amp~re-Maxwell-Satz ]V(~?d) = I ( d ) + ~ ( d ) 1.

(26.1)

Kurz: ,,Die magnetische Umlaufspannung ist gleich der Summe aus der elektrischen Durchflutung und der zeitlichen )~nderungsrate des elektrischen Flusses, rechtswendig umfal3t. " Wichtig ist, dab Sie die Durchflutung und den elektrischen Flul3 am

1 Diese eigentfimlichen Bezeichnungen stammen aus einer veralteten Modellvorstellung fiber die inneren Vorg/inge im sogenannten elektromagnetischenAther, den man als materielles Tr/igermedium des elektromagnetischen Feldes begriff.

26.2 Die Existenz elektromagnetischer Wellen

247

Abb. 26.2 Grundvorstellung zum Maxwellschen Teil des Amp~re-Maxwell-Satzes. Ein zeitlich sich/inderndes Biindel elektrischer FluBdichtelinien umgibt sich wirbelartig mit magnetischen Feldst/irkelinien

selben Fl/ichenstiick nehmen. I m nichtstation~iren Feld h/ingen n/imlich die Werte / ( d ) und ~ ( d ) fiir sich bei fester Randkurve vom Verlauf der berandeten F1/iche ab, wie Sie am Beispiel des Plattenkondensators in Abb. 26.1 sehen. Erst ihre Summe ist wegen der Ladungserhaltung I(d~ r) + ~(c3Y/~) = 0 wieder unabh/ingig von d . Sie k6nnen also bei der A n w e n d u n g des Amp~re-Maxwell-Satzes auf irgendeine geschlossene Kurve ~3d die berandete F1/iche d beliebig w / i h l e n - sie muB aber fiir I und ~ dieselbe sein. Wie Sie sehen, k 6 n n e n magnetische Felder nicht nur durch elektrische Str6me, sondern auch durch zeitlich ver~inderliche elektrische Felder'erregt werden 2. ~ n d e r t sich eine elektrische Flul3verteilung, dann entsteht gleichzeitig eine wirbelartige magnetische Spannungsverteilung (Abb. 26.2).

26.2 Die Existenz elektromagnetischer Wellen Die Maxwellsche Erweiterung des Durchflutungssatzes m a g f/Jr sich nicht besonders dramatisch erscheinen. Sie hat jedoch zusammen mit den anderen, bereits festgestellten Eigenschaften (speziell dem Induktionsgesetz) und den Verkniipfung e n d e r Flul3dichten mit den Feldst/irken eine bedeutende Konsequenz: Wir k6nnen damit die Existenz elektromagnetischer Wellen verstehen. Stellen Sie sich folgende Situation vor: Auf einer Ebene im sonst leeren R a u m - - w i r lassen sie mit der yz-Ebene eines kartesischen Koordinatensystems zusammenfallen - wird zum Zeitp u n k t t = 0 ein F1/ichenstrom der konstanten D i c h t e / ( sprungartig eingeschaltet (Abb. 26.3. Die A n n a h m e n der unendlichen Ausdehnung des F1/ichenstroms, seiner Gleichf6rmigkeit und des sprungartigen Einschaltens sind nicht wirklich wichtig,

2 Allerdings nicht in Konkurrenz zu Spulen: Ein elektrisches Wechselfeld mit der (sehr groBen) Feldst~irkeamplitude/~ = 1 MV/m erzeugt an einem senkrecht dazu stehenden F1/ichenstiickvon 1 cm2 einen elektrischen Wechselflul3 mit ~ = 8, 854.10-1~ As. Dies entspricht bei 50 Hz einem Verschiebungsstrom der Amplitude co~ = 0, 28 ~tA.Der MaxwellscheZusatz wird also, abgesehen von Sonderf'~illen,erst bei hohen Frequenzen oder grol3en r~iumlichenAusdehnungen wichtig.

248

26 Das elektromagnetische Feld

Abb. 26.3 Auf einer Ebene wird zum Zeitpunkt t = 0 ein homogener F1/ichenstrom sprungartig eingeschaltet. AnschlieBend laufen parallel dazu nach beiden Richtungen Wellenfronten, hinter denen das elektromagnetische Feld seine neuen Werte annimmt

machen das Wesentliche aber besser erkennbar.) Nach unseren bisherigen Erfahrungen haben wit auf beiden Seiten der Stromschicht ein magnetisches Feld zu erwarten (vgl. Sie z.B. Abb. 17.14), das vorher nicht vorhanden war. Zeitliche ~nderungen magnetischer Felder lassen aber nach dem Induktionsgesetz auch elektrische Felder entstehen. Wir k6nnen jedoch nicht annehmen, dab sich bei t = 0 gleichzeitig im ganzen Raum die neuen Felder einstellen. Die Frage ist also: Wie und mit welcher Geschwindigkeit gelangt die Information fiber das pl6tzliche Vorhandensein des Fl~ichenstromes an die Orte auflerhalb der yz-Ebene? f]berlegen wir zuerst, was passieren k6nnte, und/iberpr/ifen wir dann, ob sich das mit den grundlegenden Eigenschaften elektromagnetischer Felder in f]bereinstimmung bringen l~iBt. Von der yz-Ebene 16sen sich zur Zeit t = 0 zwei (nicht materielle) parallele Ebenen und laufen mit der konstanten Geschwindigkeit u in die positive bzw. negative x-Richtung. Vor diesen Fronten ist das Feld noch Null, dahinter stellen sich die in Abb. 26.3 angegebenen, in unserem Beispiel jeweils homogenen Felder ein. Nun zur quantitativen Analyse! Wir denken uns ein raumfestes F1/ichenstiick ~ ~ parallel zur xy-Ebene, das von der nach rechts laufenden Front geschnitten wird (Abb. 26.4), und wenden darauf das Induktionsgesetz (20.1) an: U(~5~r

- Ey/y,

t / ) ( ~ l ) -- n z l y ( u t

Ey --

u B z.

-- a),

~(~r

= nzlyu,

(26.2)

Weiters liefert der Amp~re-Maxwell-Satz (26.1), angewendet auf das raumfeste Flfichenstfick d 2 parallel zur zx-Ebene, zusammen mit den Verkn/ipfungsbezie-

26.2 Die Existenz elektromagnetischerWellen

249

Abb. 26.4 Einzelheiten zur Analyse der in Abb. 26.3 dargestellten Situation. Auf das F1/ichensttick d l wird das Induktionsgesetz, auf d 2 der Ampbre-Maxwell-Satz angewendet

hungen Bz = #oH, und Dy ~-~ 8oEy im leeren Raum: V ( S d 2 ) = Bzlz/#o,

7*(d2) = eoEylz(ut - a),

~ ( d 2 ) = soEylzu, (26.3)

Bz = #oeou Ey.

SchlieBlich ftihrt derselbe Satz am F1/ichensttick d 3 (die magnetischen FluBdichten besitzen fiir x > 0 und x < 0 gleiche Betr~ige, aber entgegengesetzte Richtungen) auf V(Oal3)--2Bzlz/#o,

I(ag3)=Kylz,

B, = #oKy/2.

hO(zz/3)=0, (26.4)

Die beiden Bedingungen (26.2, 26.3) mtissen gemeinsam erfiillt sein. Dies ist nt/r m6glich, entweder wenn Ey = 0 und gleichzeitig Bz = 0 (der triviale Fall, den wir hier wegen G1. (26.4) im Bereich - u t < x < ut ausschlieBen k6nnen), oder wenn die

Maxwell-Beziehung l u -- Co -- l / ~ o S o

I

(26.5)

250

26 Das elektromagnetische Feld

giiltig ist. Die a n g e n o m m e n e Feldkonfiguration steht also in f0bereinstimmung mit den Grundgleichungen, wobei sich die Fronten der Anderungen elektromagnetischer

Felder im leeren Raum mit dem Betrag Co = 1/x//#o e o der Geschwindigkeit parallel zu sieh selbst ausbreiten. Dies ist ein allgemein giiltiges Ergebnis, und c o ist die gr6Bte Signalgeschwindigkeit, die in der N a t u r v o r k o m m t . Weil sprungartige ~ n d e r u n g e n elektromagnetischer Feldgr6Ben an sich ausbreitenden F r o n t e n von unserem allgemeinen Wellenbegriff (vgl. Kapitel 5) erfaBt werden, sprechen wir hier von einer speziellen elektromagnetischen Welle 3. W a s geschieht, wenn der Fl~ichenstrom nach kurzer Zeit, sagen wir zum Z e i t p u n k t t = T, wieder sprungartig ausgeschaltet wird? D e m v o r h a n d e n e n Fl~ic h e n s t r o m wird dann pl6tzlich ein entgegengesetzt gleich grol3er iiberlagert. Es werden zwei Fronten mit der Geschwindigkeit u = c o ausgesandt, die das elektromagnetische Feld wieder ausl6schen, die urspriinglichen F r o n t e n aber nie einholen. Von der AusliSschung verschont bleiben nur die Bereiche zwischen den Fronten, also zwei Schichten der k o n s t a n t e n Dicke c o T(Abb. 26.5). Sie laufen nach rechts bzw. links mit der Geschwindigkeit c o. Das ist nun wirklich bemerkenswert: Die beiden Feldbl/Scke haben sich von d e m Fl~ichenstrom, d e r n u r zu ihrer Anregung diente, befreit und fliegen als freie Wellen selbst~indig durch den Raum. ,,Die Raupe hat sich in einen Schmetterling verwandelt" (R. P. Feynman). Die Existenz elektromagnetischer Wellen ist natiirlich nicht an die eben besprochene, spezielle Feldkonfiguration gebunden. In der N a t u r und in der Technik finden u n d nutzen wir sie in den unterschiedlichsten F o r m e n als Wellen, die sich im freien R a u m ausbreiten oder die in speziellen Wellenleitern gefiihrt werden. Meistens verlaufen die Wellenziige r/iumlich und zeitlich harmonisch (sinusf6rmig), oder wir kiSnnen sie zumindest in solche h a r m o n i s c h e K o m p o n e n t e n zerlegen. Die

Abb. 26.5 Der Fl~ichenstrom wird zum Zeitpunkt t = T wieder sprungartig ausgeschaltet. Die beiden FeldbliScke fliegen als freie Wellen v611igselbst~indig durch den Raum 3 Die ganze Betrachtung l~il3tsich iibrigens genauso durchfiihren, wenn wir den Raum vollst~indigmit einem linearen, homogenen, isotropen Medium ausgefiillt annehmen. Wir brauchen dann lediglich #o, eo durch #, e zu ersetzen und erhalten fiir die Ausbreitungsgeschwindigkeit u = c = Co/x/~r~r .

26.3 Transformation elektromagnetischer Gr6gen

251

Ver~inderbarkeit der Amplituden und der Frequenz erlaubt die U b e r t r a g u n g von Information in F o r m von elektromagnetischen Signalen mit sehr groBen Geschwindigkeiten und hohen Ubertragungsraten.

26.3 Transformation elektromagnetischer Griiflen Angeregt durch Helmholtz 4 ffihrte Rowland 5 im Jahr 1876 erstmals folgendes Experiment durch (Details weggelassen). Eine Kreisscheibe aus Isoliermaterial tr~igt einen elektrisch geladenen Metallstreifen (Ladungsmenge Q) und rotiert mit der Drehzahl n u m ihre Achse (Abb. 26.6a). Mit einem geeigneten Indikator l~iBt sich dann in der U m g e b u n g der Scheibe ein magnetisches Feld nachweisen. Diese Beobachtung ist nicht schwer zu verstehen: Elektrische Str6me sind bewegte elektrische Ladungen. D e m ruhenden Beobachter erscheint der rotierende, geladene Ring demnach als Kreisstrom, und dieser erzeugt ein Magnetfeld. Die tiefere Bedeutung des Rowland-Experiments liegt in seiner gedanklichen Umkehrung. Wir ersetzen der Einfachheit halber den Metallring durch zwei gerade Plattenstreifen mit den Fliichenladungsdichten ~r bzw. - a (Abb. 26.6b). AuBerdem vertauschen wir die Rollen des ruhenden und des bewegten Beobachters, nehmen also an, dab die A n o r d n u n g im Laborsystem ruht. Der ruhende Beobachter findet dann zwischen den Platten einen (im wesentlichen gleichf6rmigen) elektrischen FluB der Dichte D = a ~ n. Wie beurteilt aber ein mit der (konstanten) Geschwindigkeit b~ parallel zu den Platten bewegter Beobachter die Situation? 6 Weil sich die Fliichenladung nicht/indert, stellt er den gleichen Wert der elektrischen FluBdichte fest wie sein ruhender Partner, D ' = f f (Abb. 26.6c). Zusiitzlich bewegen sich die Platten gegeniiber seinem Standpunkt mit der Geschwindigkeit - ~' und erscheinen

Abb. 26.6 Das Rowland-Experiment und seine gedankliche Umkehrung. a Der rotierende, geladene Metallring erzeugt in seiner Umgebung ein magnetisches Feld. b Im Gegensatz zu einem ruhenden stellt ein bewegter Beobachter zwischen den Platten eines geladenen Kondensators eine magnetische Spannungsverteilung fest e 4 Hermann von Helmholtz, 1821-1894, deutscher Physiologe und Physiker. 5 Henry Augustus Rowland, 1848-1901, amerikanischer Physiker und Ingenieur. 6 Wir setzen den Geschwindigkeitsbetrag v als klein gegeniiber der Lichtgeschwindigkeit Co voraus, bleiben also im Rahmen einer nichtrelativistischen N/iherung.

252

26 Das elektromagnetische Feld

deshalb mit F1/ichenstr6men der D i c h t e / ( ' = o#' bzw. - / s belegt. Analog zu einer Bandleitung resultiert daraus ffir ihn die magnetische F e l d s t / i r k e / f ' = - / s x #'n = - a#' X #~n = --#' X /Y zwischen den Platten. Im Gegensatz zum ruhenden Beobachter migt der bewegte also ein magnetisches Feld, das sich einem ursprfinglich vorhandenen fiberlagert. Das ist unser Ergebnis: Herrsehen beziiglieh des Laborsystems am Oft ~ die magnetisehe Feldstiirke H und die elektrisehe Flulldiehte D, so stellt ein momentan mit der Geschwindigkeit ff bewegter Beobachter am seiben Ort die Werte7

[ i f ' = f f - - ~ x b',

b" = b" I

(26.6)

lest. Die magnetische Spannung entlang einer bewegten Kurve ist mit H ' fiber die lokale momentane Geschwindigkeit zu bilden. Dem k6nnen wir unser frfiheres Ergebnis G1. (20.6) zur Seite stellen: Herrsehen beziiglich des Laborsystems am Ort die elektrische Feldstiirke E'und die magnetische Flufldichte B, so miflt ein momentan mit der Geschwindigkeit ff bewegter Beobachter am selben Ort die Werte

[E'=E+ffxB',

B"=B].

(26.7)

Vielleicht haben Sie schon bemerkt, dab hier etwas nicht ganz zusammenpal3t: Einerseits gelten ffir elektromagnetische Gr6gen bezfiglich des Laborsystems im leeren Raum die Verknfipfungsbeziehungen D =eoE,

B=#o H .

(26.8)

Andererseits sollten die grundlegenden Eigenschaften des elektromagnetischen Feldes in allen Inertialsystemen dieselben sein. Es mfil3ten also, zumindest ffir konstante Geschwindigkeiten, auch die Beziehungen D ' = ~o K'', B " = #o/-I ' bestehen. Aus den Gln. (26.6) bis Gln. (26.8) folgen aber, zusammen mit der MaxwellBeziehung #oeoCg = 1, die wesentlich komplizierteren Relationen ~ ' = ~ o E " - ~ x ( i f ' + ~o ~ x ~')/(c~ - v~),

(26.9) ~ ' = uolT' + ~ x ( E " -

~o~ x IT')/(c~ - v=).

2 sehr klein. Trotzdem sieht es so aus, als Natfirlich sind die Zusatzterme fiir U 2 << CO ob es ein ausgezeichnetes Inertialsystem g/ibe, in dem die Verknfipfungen (26.8) gelten, und in anderen Inertialsystemen nicht. Man meinte dies dadurch erkliiren zu k6nnen, dab beziiglich dieses Inertialsystems das hypothetische Tr/igermedium des elektromagnetischen Feldes, der elektromagnetische *ther, ruht. Alle Versuche, den )s experimentell nachzuweisen, verliefen jedoch erfolglos. Dies fiihrte nun interessanterweise nicht zu einer Revision der Theorie der elektromagnetischen Erscheinungen, sondern zu einer )s der Auffassung von Raum und Z e i t - zur relativistischen Physik. Im speziellen haben wir im Rahmen der ge/inderten Kinematik die Beziehungen (26.6) und (26.7) durch die relativistisch korrekten

7 Giiltig in der nichtrelativistischen N/iherung.

26.4 Globale und lokale EigenschaftenelektromagnetischerFelder Transformationsgleichungen (Abkfirzung 7 = l/x/1 ----*

~

]12

H ' = ? ( H --~ x D ) 1

~"=? 17+cgV x/~

253

- (/)/Co) 2 )

1

?+ 1 ~g ~(r.n), )

72

7+1

1~ c2 v

(~ o~') (26.10)

~2

E'=v(E +~ xB)

g'=~, ( g - c g' r xE

1

? + 1 c2

)

]12

7+1

r (r-E), 1 2

Co

(~.B)

zu ersetzen. Sie sehen, dab wegen des groBen Wertes von c o unsere nichtrelativistischen Transformationsgleichungen ffir kleine Geschwindigkeiten eine exzellente N~iherung darstellen. Sie sehen aber auch, dab elektrische und magnetische Felder nur unterschiedliche Aspekte desselben Gegenstandes ,,elektromagnetisches Feld" sind, die sich gar nicht objektiv voneinander trennen lassen. Welcher Anteil davon als ,,elektrisch" und welcher als ,,magnetisch" erscheint, h&ingt vom Bewegungszustand des Beobachters ab.

26.4 Globale und lokale Eigenschaften elektromagnetischer Felder Eine Zusammenfassung soll Ihnen die grundlegenden formalen Eigenschaften elektromagnetischer Felder nochmals vor Augen ffihren. Wit werden die S~itze gruppieren in solche, die das elektromagnetische Feld im engeren Sinne betreffen, d.h. elektrische Spannungen und magnetische Flfisse, und in solche, die zum Strom-Ladungs-Feld gehSren, also mit magnetischen Spannungen und elektrischen Flfissen zu tun haben. Die Verbindung dieser beiden Gruppen erfolgt fiber Verknfipfungen im leeren Raum bzw. fiber Materialgleichungen.

Das elektromagnetische Feld im engeren Sinn Wir verstehen unter dem elektromagnetischen Feld im engeren Sinn irgendwelche Verteilungen elektrischer Spannungen und magnetischer Fliisse mit folgenden globalen Eigenschaften. Sei d irgendein orientiertes Fl~ichenstfick und 8 d sein rechtswendig zugeordneter Rand. Dann ist die elektrische Umlaufspannung U (Sd) gleich der Abnahmerate des umfaBten magnetischen Flusses @(d) (Induktionsge-

setz), IU(Sd) = - $ ( d ) 1.

(26.11)

254

26 Das elektromagnetischeFeld

Und: Ist Y/ irgendein Volumen und BY/"seine orientierte Hiille, so ist der zugeh6rige magnetische FluB ~(0~/~) stets gleich Null (Satz vom magnetischen HiillenfluB) [q~(8~') = O].

(26.12)

Als lokale Repr~isentanten dieser Verteilungen verwenden wir die Vektoren E der elektrischen Feldst~irke und ff der magnetischen FluBdichte. Elektrische Spannungen und magnetische F1/isse lassen sich damit als Kurvensummen bzw. Flfichensummen darstellen. Lokale Eigenschaften sind Aussagen fiber die lokalen Repr~isentanten. Sie lassen sich aus den globalen S~itzen ableiten, weil diese f/Jr beliebige Volumina, Flfichen und Kurven gelten. Von lokalem Charakter sind insbesondere die Sprungbedingungen an irgendwelchen materiellen oder auch nur gedachten Flfichen. Befindet sich eine solche Fl~iche in Ruhe in bezug auf das zur Beschreibung verwendete Inertialsystem und bezeichnet en die Fl~ichennormale von hinten nach vorn im betrachteten Fl~ichenpunkt, dann folgen aus den Gin. (26.11, 26.12) unter Verwendung des Sprungsymbols (Abb. 14.1) die Sprungbedingungen

I el.. x ~-E-~]-~O, e..~-g]] : 0 [.

(26.13)

Sie driicken die Stetigkeit der Tangentialkomponente der elektrischen Feldstfirke bzw. der Normalkomponente der magnetischen FluBdichte aus. Sprungbedingungen lassen sich/ibrigens nicht nur an ruhenden Flfichen angeben. Besitzt eine Fl~iche im betrachteten Punkt die Normalgeschwindigkeit u,, so gilt dort anstelle der Gln. (26.13)

en X EE-*~~-~-Un~g~,

en'~g~ ---0.

(26.14)

Wir k6nnen damit lokale Bedingungen z.B. an den Oberfl&ichen bewegter K6rper oder an Wellenfronten formulieren. Zu den lokalen Eigenschaften geh6ren auch die Beziehungen der Werte lokaler Feldgr6Ben an unmittelbar benachbarten Orten. Sie sind ebenfa~ls aus den globalen Beziehungen ableitbar und werden mit Hilfe von r~iumlichen Differentialoperatoren oder, in bezug auf ein Koordinatensystem, durch partielle Ableitungen ausgedriickt. Bei Verwendung kartesischer Koordinaten erhalten wir unter Anwendung der iiblichen Prozeduren in Erweiterung der Gin. (14.15) die lokale Form des Induktionsgesetzes c3E..

OEy __

OB x

m

8y 8Ex

8z 8Ez __

8t ' OBy

8z

8x

8t '

OEy

c3Ex

8B~

c3x

8y

c3t '

(26.15)

26.4 Globaleund lokale Eigenschaften elektromagnetischerFelder

255

und, wie bereits in G1. (19.5) angegeben, die lokale Form des Satzes yore magnetisehen HiillenfluB OBx

OBy

~3B.

+--fly +-L-z = o

(26.16)

Wir ben6tigen Ausdriicke dieser Art zum Berechnen elektromagnetischer Felder mit Hilfe von Differentialgleichungen und Rand- bzw. Anfangswerten.

Das Strom-Ladungs-Feld Die zu irgendwelchen Verteilungen elektrischer Str6me und Ladungen geh6renden magnetischen Spannungen und elektrischen Fliisse sind so konzipiert, dab sie immer folgende globale Eigenschaften besitzen: Sei d irgendein orientiertes Fl~ichenstiick und c3~r sein rechtswendig zugeordneter Rand. Dann ist die magnetische Umlaufspannung V(c3d) gleich der Summe aus der Durchflutung I ( d ) und der zeitlichen ~nderungsrate des elektrischen Flusses ~u(d) (Amp6re-Maxwell-Satz), IV(c3d)= I ( ~ ) + ~ ( d ) I "

(26.17)

Und: Ist ~ irgendein Volumen und c ~ seine von innen nach aul3en orientierte H/ille, so ist der zugeh6rige elektrische Flul3 ~(c3~) stets gleich der eingeschlossenen Ladungsmenge Q(y/~) (Satz vom elektrischen HiillenfluB), ]~(~3"U) = Q(y/) I.

(26.18)

Mit der G/iltigkeit dieser beiden Gleichungen ist auch die Erhaltung der elektrischen Ladung [ I(t3"U)= - (~('U) [

(26.19)

sichergestellt. Je nach Art der Verteilung werden Str6me und Ladungen durch die entsprechenden Dichten auf ein-, zwei- oder dreidimensionalen Tr~igern lokal erfaBt. Als lokale Repr~isentanten verwenden wir aul3erdem die Vektoren/~ der magnetischen Feldst~irke und ff der elektrischen FluBdichte. An lokalen Eigenschaften geh6ren hierher die bereits angegebenen Sprungbedingungen an unbewegten Fl~ichen (26.20) Bewegt sich eine Fl~iche in bezug auf das zugrundeliegende Intertialsystem mit der lokalen Normalgeschwindigkeit Unund ist sie frei von Fl~ichenstr6men und Fl~ichenladungen, so gelten anstelle der Gin. (26.20) die Beziehungen e-*n X ~ g ~

= - - b/n~-D-~,

e*n'~D~ = 0 .

(26.21)

256

26 Das elektromagnetischeFeld

Sie finden Anwendung z.B. an Oberflichen bewegter K6rper oder an Wellenfronten. Den lokalen Ausdruck der Erhaltung der elektrischen Ladung, auch Kontinuititsgleichung der Ladung genannt, haben wir in G1. (14.4) bereits abgeleitet. Unter analogen Voraussetzungen betreffend die Glattheit der beteiligten Funktionen li13t sich in Erweiterung der Gln. (19.11) die lokale Fassung des Amp~re-Maxwell-Satzes, C~Hz c~y

63Hy

c~Hx c3z

c3Hz 63Dy c3x = Jy + ---~-'

C~Dx c~z = Jx + --b-~-'

(26.22)

CqHy c3Hx c~D~. ~3x c3y = J" + ---~-'

und, wie in G1. (14.7) bereits geschehen, auch die lokale Form aes Satzes vom elektrischen Hiillenflul, C~Dx

-E+

~Dy

C~Dz

y +-Ez =e,

(26.23)

angeben.

Verknfipfungen Die bisher aufgelisteten Eigenschaften spiegeln die formale Struktur der elektromagnetischen Theorie wider. Was noch fehlt, ist die Einbeziehung der physikalischen Eigenschaften des Raumes und der darin befindlichen K6rper. Erst in der Verkniipfung des elektromagnetischen Feldes im engeren Sinn mit dem StromLadungs-Feld werden Krifte und Leistungen, wird die Dynamik des elektromagnetischen Feldes (im weiteren Sinn) als physikalisches System erfaBbar. Wie Sie wissen, ist bereits der sogenannte leere Raum keineswegs ein physikalisch ,,totes" Gebilde. Seine Eigenschaften driicken sich aus in der physikalischen Geometrie, die mit den Verteilungen von Impuls und Energie im Zusammenhang steht. Wenn auch durch die Verwendung euklidischer Vektoren verschleiert, so sind doch schon die einfachsten lokalen Verkniipfungen D = eo E,

B = po H

(26.24)

an das Modell der euklidischen Geometrie gebunden. Die Verkniipfungen k/Snnen wiederum von globaler oder von lokaler Art sein. Global sind z.B. die Beziehungen zwischen Spannungen, Str6men und Fliissen fiber Kapazititen oder Induktivititen. Stoffgleichungen, wie wir sie im Rahmen makroskopischer Kontinuumsmodelle benutzen, besitzen dagegen meist lokalen Charakter.

26.4 Globale und lokale Eigenschaften elektromagnetischer Felder

257

Auch Ausdriicke wie etwa fiir die Lorentz-Kraft (G1. (15.5)) sind Verkntipfungen dieser Art.

Dominant elektrische und dominant magnetische Felder In elektrotechnischen A n w e n d u n g e n k o m m t es h/iufig vor, dab entweder die elektrische K o m p o n e n t e des elektromagnetischen Feldes die wesentliche ist, w/ihrend die magnetische k a u m eine Rolle spielt, oder umgekehrt 8. In solchen Fiillen verwenden wir mit Vorteil gleich von Anfang an die passenden Niiherungen anstelle der allgemeinen Gleichungen. A n g e n o m m e n , f/Jr das zu beschreibende System l~il3t sich eine charakteristische Liinge L (etwa die gr6Bte A b m e s s u n g des Feldbereichs) und ein charakteristisches Zeitintervall T (z.B. die P e r i o d e n d a u e r einer Schwingung) angeben, und wir erwarten elektrische Felder der typischen Feldst/irke E o und magnetische Felder der typischen Flul3dichte B o. Fiir bewegte K 6 r p e r lasse sich eine typische Geschwindigkeit Vo angeben. Gilt nun

LBo

Bo

- ~ << 1 und T Eo V~

1 << '

(26.25)

so sprechen wir von einem dominant elektrischen Feld. Die beschreibenden Gleichungen sind die der Quasi-Elektrostatik, also U(c3d) = 0,

q~(c3t/~)= Q(y/),

I(~3t/~)= - 0(~//'),

(26.26)

erg~inzt durch Stoffgleichungen wie z.B. 9 D =eE,

J =TE

(26.27)

oder/iquivalente Beziehungen. Sind dagegen mit der Lichtgeschwindigkeit c o, einer typischen Permittivitiit und einer typischen Konduktivitiit ? die Bedingungen L

Eo

co T c o B o

vo

<< 1

'

Eo

c o coB o

<< 1

u nd

-~

<< 1

(26.28)

erfiillt, dann nennen wir das ein dominant magnetisches Feld. Im R a h m e n dieser N~iherung gelten die Gleichungen des quasistation~iren elektromagnetischen Feldes, d.h.

V(c3d) = I ( d ) ,

~(~Y/')= O,

U ( ~ d ) = -- ~b(d),

(26.29)

(darin ist auch I(~?t/~) = 0 enthalten) z u s a m m e n mit Stoffgleichungen wie z.B. 1o B" = # / 4 ,

$ = 7(E + ~' x B')

(26.30)

o d e r / i q u i v a l e n t e n Beziehungen. 8 Denken Sie z.B. an Kondensatoren bzw. an Spulen. 9 Die Stoffgleichungen k6nnen natiirlich viel allgemeiner sein und auch Verkniipfungen mit anderen Feldern wie der Temperatur oder den lokalen Verzerrungen einschliel3en. 1o s. Ful3note 9.

258

26 Das elektromagnetische Feld

26.5 Fragen 1. Was bedeuten die Begriffe Verschiebungsstrom und Verschiebungsstromdichte? 2. Warum muB der Durchflutungssatz im allgemeinen elektromagnetischen Feld modifiziert werden, wenn der Satz vonder Erhaltung der elektrischen Ladung gelten soil? 3. Wie lautet der Amp6re-Maxwell-Satz formal und in Worten? 4. Unter welchen Umst~inden werden VerschiebungsstriSme wichtig? 5. Welche Grundvorstellung verbinden Sie mit dem Maxwellschen Teil des Amp6re-Maxwell-Satzes? 6. Wie l~il3t sich die Existenz elektromagnetischer Wellen aus dem Induktionsgesetz und aus dem Amp6re-Maxwell-Satz anschaulich erkl~iren? 7. Wie h~ingt die Ausbreitungsgeschwindigkeit elektromagnetischer Wellen im leeren Raum mit der elektrischen und der magnetischen Feldkonstante zusammen? 8. Was schliel3en Sie aus dem Ergebnis des Rowland-Experiments und seiner gedanklichen Umkehrung? 9. Wie sind die magnetische Feldst/irke und die elektrische FluBdichte beim Ubergang zwischen Inertialsystemen nichtrelativistisch zu transformieren? Was bedeutet hier "nichtrelativistisch"? Wie sind unter gleichen Umst~inden die elektrische Feldst~irke und die magnetische FluBdichte zu transformieren? 10. Welche Verteilungen elektromagnetischer Gr6Ben geh6ren zum elektromagnetischen Feld im engeren Sinn? Welche grundlegenden globalen Eigenschaften besitzen diese Verteilungen? 11. Welchen grundlegenden Sprungbedingungen geniigen die elektrische Feldst~irke und die magnetische FluBdichte? Wie sind diese zu begriinden? 12. Welche Verteilungen elektromagnetischer Gr6Ben geh6ren zum Strom-Ladungs-Feld und welche grundlegenden globalen Eigenschaften besitzen diese Verteilungen? 13. Wie h~ingen der Amp6re-Maxwell-Satz und der Satz vonder Erhaltung der elektrischen Ladung zusammen? 14. Welchen grundlegenden Sprungbedingungen geniigen die magnetische Feldst~irke und die elektrische Flul3dichte? Wie sind diese zu begriinden? 15. Was verstehen Sie unter einem dominant elektrischen, was unter einem dominant magnetischen Feld? Welche vereinfachten Grundgleichungen verwenden Sie dafiir?

26.6 Aufgaben A26.1 K u g e l k o n d e n s a t o r : E i n u r s p r f i n g l i c h m i t d e r L a d u n g s m e n g e Qo g e l a d e n e r K u g e l k o n d e n s a t o r (Abb. A26.1a) entl~idt sich fiber d a s s c h w a c h leitf~ihige, l i n e a r homogen isotrope Dielektrikum. (i) G e b e n Sie d a s m a g n e t i s c h e F e l d z u f o l g e des E n t l a d e s t r o m e s im D i e l e k t f i k u m an. (ii) Z e i g e n Sie, d a b d a m i t d e r A m p ~ r e - M a x w e l l - S a t z erffillt ist.

Abb. A26.1a

26.6 Aufgaben

259

A26.2 Verschiebungsstrom: Ein P1/ittchen aus reinem Silizium ist beidseitig metallisch beschichtet (Abb. A26.2a). Zwischen den Metallschichten liegt eine Sinusspannug mit dem Effektivwert I_U1.Bei welcher Frequenz sind die Effektivbetr/ige der Leitungsstromdichte und der Verschiebungsstromdichte gleich grol3? Wie grol3 ist dieser gleiche Betrag und wie grol3 ist dann der Effektivwert 1/1 des Zuleitungsstroms?

Abb. A26.2a A26.3 Verschiebungsstrombelag: Ein Koaxialkabel mit n/iherungsweise verlustfreiem Dielektrikum besitzt den Kapazit~itsbelag 0,4nF/m. Berechnen Sie den Effektivwert des l~ingenbezogenen Verschiebungsstroms im Dielektrikum, wenn das Kabel an einer 50Hz-Sinusspannung mit dem Effektivwert 10kV betrieben wird.

A26.4 Transformation elektromagnetischer Griiflen: In einem festen Inertialsystem (Laborsystem) sei ein kartesisches Koordinatensystem verankert. Angenommen, an einem Ort ~ mit materiefreier Umgebung werden in bezug auf dieses System die elektrische Feldst~irke E" = 100V/m gx und die magnetische Flul3dichte ff = 0,1T ~"Y gemessen. Berechnen Sie unter Verwendung (i) der nichtrelativistischen, (ii) der relativistischen Transformationsgleichungen die Werte der Feldvektoren E--", B--", / - I ' und D--", die ein mit ~ = vg~ gegeniiber dem Laborsystem bewegter Beobachter am gleichen Ort fiJr v = 0,1 c o und fiir v = 0,9 Co feststellt. A26.5 Stromdurchflossener Block: Ober zwei als elektrisch ideal leitffihig angenommene Metallstreifen wird dem Block ~ aus Abb. A26.5a Gleichstrom der St/irke I zugeffihrt. Berechnen und skizzieren Sie den Verlauf der magnetischen Feldst/irke

Abb. A26.5a

260

26 Das elektromagnetischeFeld

zwischen den Streifen. Setzen Sie dazu b >>a voraus und vernachl~issigen Sie RandstiSrungen. A26.6 Stromdurchflossenes Rohr: Ein d/innwandiger, kreisrohrfiSrmiger Leiter wird axial von einem Strom der St/irke I durchflossen (Abb. A26.6). Berechnen Sie die an der Rohrwand angreifende F1/ichenkraftdichtefS = / ( • (B'), w o b e i / ( die Fl~ichenstromdichte und ( B ' ) = ( B ' § + B'-)/2 den Mittelwert der magnetischen FluBdichte an der Sprungfl~iche bedeutet.

Abb. A26.6

A26.7 Verluste im Kurzschlu6biigel: Um einen ferromagnetischen Schenkel (Abb. A26.7a), der einen eingepr/igten magnetischen Sinusflul3 fiihrt, liegt eine KurzschluBwindung aus lmm dickem Kupferblech (7 ~ 40-106S/m) 9Berechnen Sie n/~herungsweise die in der Windung erzeugten Verluste (Wirkleistung) unter Vernachl/issigung von Streuung und Stromverdr~ingung.

Abb. A26.7a

A26.8 Spaltpol: Der passend lamellierte, n/~herungsweise ideal magnetisierbare Schenkel aus Abb. A26.8a, der einen eingepr~gten magnetischen Sinusflul3 der komplexen Amplitude _~fiihrt, ist fiber die Flfiche A ~ von einem Luftspalt unterbro-

26.6 Aufgaben

261

chen. Die restliche QuerschnittsflS.che A 2 wird von einer KurzschluBwindung mit dem Widerstand R umfaBt. Berechnen Sie allgemein die komplexe Amplitude _~1 des Luftspaltflusses unter Vernachl~issigung von Streuungen.

Abb. A26.8a

A26.9 Wirbelstriime: Eine diinne Kreisscheibe aus Aluminium wird senkrecht in ein homogenes magnetisches Wechselfeld mit / ~ - 1T und f - 5 0 H z gebracht (Abb. A26.9a). (i) Berechnen Sie die Verteilung der Wirbelstr/Sme unter Vernachl~issigung des von diesen selbst erzeugten magnetischen Feldes. (ii) Wie groB sind die damit verkn/ipften Joule-Verluste im zeitlichen Mittel?

Abb. A26.9a

A26.10 Stromverdr~ingung: Zwei dfinnwandige, konzentrische Kreisrohre aus Metall (Abb. A26.10a) besitzen den gleichen Widerstand R. Sie sind an den Enden

262

26 Das elektromagnetische Feld

elektrisch leitend verbunden und fiihren zusammen den sinusf6rmigen Wechselstrom I. (i) Zeigen Sie, dab fiir grol3e Frequenzen der Strom nahezu ausschlieBlich im /iuBeren Rohr flieBt. (ii) Was bedeutet hier ,,groBe Frequenzen"?

Abb. A26.10a

K a p i t e l 27

Elektromagnetische Wellen Elektrische und magnetische Komponenten elektromagnetischer Felder sind stets aneinander gekettet. Das zeigt sich beispielsweise beim Ubergang von einem Inertialsystem zu einem anderen, aber auch durch die dynamischen Kopplungen im Induktionsgesetz und im Amp~re-Maxwell-Satz. Es sind diese dynamischen Kopplungen, die, wie Sie im Abschnitt 26.2 gesehen haben, die Beschreibung elektromagnetischer Wellenerscheinungen erm6glichen. Das wirklich Erstaunliche an dieser allgemeinsten Form elektromagnetischer Felder ist ihre yon den Quellen weitgehend unabh~ingige Existenz. W~ihrend wir bei statischen und station~iren Feldern meistens an die Ladungen und Str6me denken, denen sie zugeordnet sind, k6nnen sich elektromagnetische Wellen, wenn sie einmal angeregt wurden, vollst~indig von ihren Quellen 16sen und sich frei im Raum oder entlang geeigneter Fiihrungen ausbreiten und auch mit K6rpern wieder wechselwirken. Bei genauerem Hinsehen stellen wir sogar eine gewissermal3en k6rnige Struktur fest: Nicht nur die Emission und die Absorption, sondern auch die Ausbreitung elektromagnetischer Wellen erfolgt portionsweise als Photonen, den Quanten des elektromagnetischen Feldes. Zwar wird diese Erscheinung erst im optischen Bereich wirklich wichtig, sie unterstreicht aber den wesentlich eigenst~indigen Feldcharakter. Im Grunde genommen sind auch statische und station~ire Felder das Ergebnis eines Wellenausbreitungsvorganges. Selbst wenn Sie einen Kondensator an Spannung legen oder eine Spule einschalten, werden elektromagnetische Wellen angeregt, ausgestrahlt und vielfach reflektiert. Meist brauchen Sie das nicht zu beriicksichtigen, weil auch die vereinfachten M odelle die sich schliel31ich einstellenden Zust~inde ausreichend genau beschreiben. Wenn aber die interessierenden Vorg~inge so rasch ablaufen, dal3- grob gesprochen- die Wellenl~ingen der damit verkniipften Wellen der Gr613enordnung nach kleiner werden als typische Bauelementabmessungen oder, allgemeiner, als die r~iumliche Ausdehnung der betrachteten Feldbereiche, dann reicht eine Beschreibung durch quasi-statische oder quasistation~ire Modelle nicht aus. Dies ist kennzeichnend f/ir die Hochfrequenztechnik und natiirlich f/ir den optischen Bereich, etwa die Lasertechnik. Aber auch die Energietechnik, wo beispielsweise die Ausbreitung der durch Schalthandlungen in Energieversorgungsnetzen entstehenden Uberspannungen untersucht wird, oder in der Datentechnik, f/ir die bei hohen Ubertragungsraten etwa die Laufzeiten von Pulsen und Reflexionen an Verbindungsstellen besonders beachtet werden m/issen, ist das Verst~indnis der grundlegenden Eigenschaften elektromagnetischer Wellen ganz wesentlich. Naturgem~il3 k~Snnen elektromagnetische Wellenfelder, die ja die allgemeinste Form elektromagnetischer Felder darstellen, sehr viele unterschiedliche Formen annehmen. Wir werden hier nur einige Grundtatsachen behandeln und beginnen

264

27 ElektromagnetischeWellen

demgem~il3 mit einem besonders einfachen Wellenfeld, den ebenen Wellen im freien Raum. Durch Uberlagerung entstehen daraus etwas anspruchsvollere Wellenfelder, die ausschnittsweise in Wellenleitern als ,,Kanalwellen" zu finden sind. Schliel31ich werden wir uns noch kurz mit der vereinfachten Beschreibung von Wellen auf Leitungen befassen.

27.1 Ebene Wellen im freien R a u m Stellen Sie sich einen strom- und ladungsfreien riiumlichen Bereich vor, der entweder mit einem linear homogen isotropen Medium der Permeabilit~it/~ und der Permittivit~it e ausgef/illt, oder /iberhaupt ganz leer ist. Angenommen, wir haben eine integrierbare, sonst aber ganz beliebige Zeitfunktion g(t) mit Werten der physikalischen Dimension 1 gegeben. Ich m6chte Ihnen zeigen, dab mit Bezug auf ein passend gelegtes, inertiales kartesisches Koordinatensystem (Abb. 27.1) das Paar E = Eg(z)gr,

B - - Bg(z)e~

(27.1)

yon Vektorfeldern unter gewissen Bedingungen die elektrische Feldst~irke und die magnetische Flul3dichte eines elektromagnetischen Feldes beschreibt, wenn E und B feste Bezugswerte angeben und wenn die Zeitvariable t unserer Funktion g(t) durch die Kombination = t - x/c

(27.2)

aus der Zeitvariablen t, der kartesischen Koordinate x und einer konstanten Geschwindigkeit c ersetzt wird. Tats~ichlich stellen die Ausdriicke (27.1) und (27.2) einen recht einfachen, als Grundform aber wichtigen Wellentyp dar, die (homogenen) ebenen Wellen. Sie heiBen ,,(homogen) eben", weil wir zu einem festen Zeitp__unkt an einer Ebene x~ = const jeweils konstante Werte der Zustandsgr6Ben E und B feststellen. Zu einem sp~iteren Zeitpunkt t 2 finden wir die gleichen Werte an der

Abb. 27.1 Grundform einer ebenen elektromagnetischen Welle

27.1 Ebene Wellen im freien Raum

265

Abb. 27.2 Werte des Wellenprofils g zu zwei Zeitpunkten tl und t 2. Die Verl~iufe erscheinen um die Strecke c(t 2 - q ) entlang der Ortskoordinate x parallelverschoben Ebene x2 = const, die gegeniiber der ersten um die Strecke c(t z - t l ) parallelverschoben erscheint. Dies wird klar, wenn Sie einen Blick auf Abb. 27.2 werfen, in der beispielhafte Verl~iufe unserer F u n k t i o n g - wir nennen Sie das W e l l e n p r o f i l - z u zwei Zeitpunkten dargestellt sind. Beachten Sie dabei, dal3 die Werte von E und B allein durch die Werte von g bestimmt werden.

Ausbreitungsbedingungen

O b Vektorfelder der Art (27.1) mit (27.2) ein mSgliches elektromagnetisches Feld bilden, 1/il3t sich a n h a n d der grundlegenden Bedingungen entscheiden, denen ein Feld immer geniigen mul3. Es sind dies das Induktionsgesetz, der Amp~re-MaxwellSatz und die S/itze yore elektrisehen und vom magnetischen HiillenfluB. Z u r Berechnung des magnetischen Flusses betrachten wir das F1/ichenstfick d 1 aus Abb. 27.3. Bezeichnet G(t) eine S t a m m f u n k t i o n unseres Wellenprofils #(t), d.h. gilt fiir die Ableitung G ( t ) = g(O, so h a b e n wir, da B z-gerichtet ist und nicht von y und z abh~ingt, zum Z e i t p u n k t t Bg(z)dA = By

~(,5~1) =

g(t-- x'/c)dx'

1

= - c~y

g(~:) d~ = - c ~ y

d(~:) d~:

A

= - c B y [G(t - x / c ) - G(t)3.

(27.3)

Abb. 27.3 Zur Berechnung von Fliissen und Spannungen im ebenen Wellenfeld

266

27 ElektromagnetischeWellen

Ganz iihnlich ergibt sich unter Verwendung von D = e E fiir den elektrischen Flul3 durch das F1/ichenstiick d 2 q~(d2) = - e c E z [ G ( t -- x / c ) - G(t)].

(27.4)

N u n ist die elektrische Feldstiirke y-gerichtet, h/ingt aber nicht yon y ab. Wir haben daher f/ir die elektrische Umlaufspannung entlang c~sr U(c~dx) = E y [ g ( t -- x / c ) - g(t)3

(27.5)

und analog, zusammen mit H = B/#, fiir die magnetische Umlaufspannung entlang Od2 V(c~s42) = _ 1 B z [ g ( t -- x / c ) - g(t)]. #

(27.6)

Damit sind alle wesentlichen Fliisse und Umlaufspannungen erfaBt. Wit setzen die gewonnenen Ausdriicke in das Induktionsgesetz und in den AmpOre-Maxwell-Satz (stromfreier Bereich !) ~ ( d ~ ) + U (c~sJ~ ) = 0,

~ ( d 2 ) - V(~ d 2 ) = 0

(27.7)

ein und stellen in der Tat deren Erfiillung fest, falls die vorkommenden Konstanten fiber die Ausbreitungsbeflingungen /~ = c/~,

pec 2 - 1

(27.8)

miteinander verknfipft sind. DaB mit dem y-gerichteten, von y unabh/ingigen Parallelfeld D = eE und mit dem z-gerichteten, von z unabh/ingigen Parallelfeld B fiir den ladungsfreien Bereich auch die S/itze vom elektrischen und vom magnetischen HiillenfluB immer erfiillt sind, k6nnen Sie sich etwa anhand eines achsenparallelen Quaders leicht selbst iiberlegen. Halten wir das Wesentliche fest: Ebene Wellen des Typs (27.1) mit (27.2) geniigen fiir beliebige Profile den elektromagnetischen Grundgleichungen und sind d a m i t zumindest im Prinzip-realisierbar. Eine elektrische Welle ist immer von einer magnetischen gleichen Profils begleitet, und umgekehrt. Bezeichnet ~ die Ausbreitungsriehtung (sie f/illt gemiig Abb. 27.1 mit der x-Richtung zusammen, aber das ist nattirlich ganz unwesentlich), so liegen die Vektoren E und B immer qu_eer(transversal) zur Ausbreitungsriehtung ~ und auBerdem senkreeht zueinanfler. ~, E und B sind in dieser Reihenfolge einander immer rechtswendig zugeordnet. Pr~igen Sie sich am besten Abb. 27.1 ein und merken Sie sich die wichtigen Beziehungen

Die Konstante c heiBt Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle und ist durch die Maxwell-Beziehung (27.9)2 bestimmt. Die Gin. (27.9) werden h~iufig in der F o r m (27.10)

27.1 Ebene Wellen im freien Raum

267

geschrieben, wobei Z die Wellenimpedanz im freien Raum bezeichnet. Im leeren Raum reduziert sich die Wellenimpedanz auf Z0-

v/#0/e0 -- #0c0 -- 376,730-.-f2 ~ 377f2,

(27.11)

also auf eine universelle Konstante mit der physikalischen Dimension eines elektrischen Widerstandes.

Weitere

Begriffe

Unser ebenes Wellenfeld ist durch eine Schar von Ebenen gekennzeichnet, die sich parallel zueinander mit der konstanten Geschwindigkeit c gegentiber einem Inertialsystem verschieben, und jede dieser Ebenen transportiert einen bestimmten Zustand, eine Phase. Die Ebenen heiBen deshalb auch Phasenfl/iehen. In unserem Fall besteht eine Phase aus jeweils konstanten Werten E und B, weshalb man diesen Wellentyp zur n/iheren Kennzeichnung auch homogene ehene Welle nennt. Inhomogene ebene Wellen sind dann solche, bei denen die Werte von E und B zwar auf jeder ebenen Phasenfl~iche weiterhin zeitlich konstant sind, sich aber innerhalb jeder Phasenfl/iche von Punkt zu Punkt ~indern k6nnen. Solche Wellen treten speziell entlang von Leitungen auf und werden in Abschnitt 27.3 n~iher untersucht. Natfirlich stellen die ebenen Wellen nur einen G r u n d t y p u s dar, der wegen seiner unendlichen Ausdehnung nicht wirklich realisierbar ist. Ihre Stellung innerhalb der Wellenfelder ist vergleichbar mit der Stellung der homogenen Felder im statischen oder station~iren Fall: Wir k6nnen einerseits bei passender Gestaltung der R~inder Ausschnitte davon verwenden, andererseits aber auch kompliziertere F e l d e r ausgenommen an Spitzen oder / i h n l i c h e m - lokal approximieren. Zusammen mit einer etwas sorgf/iltigeren Definition der Phase sind auch direkte Verallgemeinerungen auf gekrfimmte Phasenfl~ichen m6glich" wir sprechen dann beispielsweise von Kugelwellen oder von Kreiszylinderwellen. Eine wesentliche Voraussetzung ffir die Existenz einfacher elektromagnetischer Wellen der besprochenen Art ist die Konstanz der skalaren Werte # und e. Sie bestimmen fiber die Maxwell-Beziehung (27.9)2 die dann ebenfalls konstante Ausbreitungsgeschwindigkeit c -- 1/~-~

- - co~n,

n -- ~/#re,,

(27.12)

wobei Co die in der Meter-Definition des SI festgelegte Konstante und n die durch die Permeabilit~itszahl #r und die Permittivit~itszahl e,. bestimmte Breehzahl (den Brechungsindex) des Mediums angibt, in dem die Wellenausbreitung vor sich geht. Wenn sich/z und ~ r/iumlich/indern, wie das in inhomogenen K6rpern der Fall ist, so ~indert sich damit auch die lokale Ausbreitungsgeschwindigkeit. Bei sprungartigen Anderungen der Brechzahl etwa an K6rperoberfl~ichen oder an der Grenzfl~iche zwischen zwei K6rpern beobachten wir sogar abrupte Anderungen der Ausbreitungsrichtung: Es tritt i.a. B r e e h u n g und Reflexion auf. AuBerdem kann es vorkommen dab die Werte von # und e z.B. bei zeitlich sinusf6rmigen ,~nderungen auch von der Frequenz abh/ingen. Wellen unterschiedlicher Frequenz laufen dann mit unter-

268

27 Elektromagnetische Wellen

schiedlichen Geschwindigkeiten. Aus Griinden, die wir noch besprechen werden, nennt man Wellen dieser Art dispergierend- es tritt (Material-) Dispersion auf. Die iibliche mathematische Behandlung von Wellenerscheinungen stiitzt sich auf die Konstruktion von L6sungen partieller Differentialgleichungen, die in der Regel aus den_.lokalen_. __. Ei__ggenschaftender_.Felder folgen. So erhalten Sie beispielsweise mit p = 0, J = 0, D - - e E und B = p H fiir konstante Werte von # und e aus den Gln. (26.22)1, (26.15)2,3 und (26.23) die Wellengleiehung

(~2 Ex

6~2Ex

----~ 0x +

(~2 Ex

y2 -~. .~ Z. 2 .

1 (~2 Ex C2

t---2-, c = 1 / x ~

(27.13)

vorausgesetzt, die gemischten partiellen Ableitungen sind vertauschbar. Die selbe Gleichung miissen Ey und E z und auch die kartesischen Entwicklungskoeffizienten der anderen Feldvektoren erfiillen. Sie k6nnen leicht selbst iiberpriifen, dab ein Wellenfeld (27.1) mit (27.2) solch einer Wellengleichung geniigt.

Ebene

Sinuswellen

Wir werden nun das Wellenprofil spezialisieren. Handelt es sich bei g(z) um eine periodische Zeitfunktion mit der (kleinsten) Periodendauer T, d.h. gilt g(z + T) = g(~) fiir alle z und einen festen Weft T, so sprechen wir von einer ebenen periodischen Welle. Wegen z = t - x/c zieht die zeitliche Periodizit~it notwendig auch eine r~iumliche Periodizit~it nach sich, und zwar mit der Periodenliinge (Wellenl~inge) (27.14)

12 = c TI.

Die Kehrwerte von T und 2, die zeitliche und die rïiche Frequenz (Wiederholungsrate) I f = 1/T,

a = 1/2 I,

(27.15)

heiBen kurz Frequenz bzw. Wellenzahl (Repetenz). Ein wichtiger Sonderfall periodischer Wellen sind die ebenen Sinuswellen mit einem Wellenprofil der Form g(z) = cos (ooz + q~),

z = t -- x/c

(27.16)

und einem konstanten Nullphasenwinkel q~. Es treten hier zwei weitere KenngriSl3en ]oo=2~zf=2~z/T],

[ k = 2~z~ = 2~z/21

(27.17)

27.1 Ebene Wellen im freien Raum

269

auf, n~imlich die Kreisfrequenz und die Kreiswellenzahl (Kreisrepetenz) 1, zwischen denen wegen (27.14) der Z u s a m m e n h a n g

Io9=ck I

(27.18)

besteht. W i r h a b e n d a m i t die D a r s t e l l u n g A

E = E c o s ( ~ o t - k x + ~o)ey, B = B c o s ( c o t - k x + q~)~z,

E=cB, A

(27.19)

~=ck,

A

mit den AmplitudenE u n d B. Bei der tUberlagerung von Wellenfeldern ist meistens eine k o o r d i n a t e n f r e i e D a r s t e l l u n g hilfreich. Einer K o n v e n t i o n folge_nd n e n n e n wir d a n n die R i c h t u n g gp (Einsvektor!) der elektrischen FluBdichte D die Polarisationsrichtung_der elekt r o m a g n e t i s c h e n Welle; sie s t i m m t in u n s e r e m Fall mit der R i c h t u n g von E fiberein 2. Mit der Ausbreitungsrichtung g (Einsvektor!) u n d dem O r t s v e k t o r f (Abb. 27.1) gelangen wir so zu der reellen S t a n d a r d f o r m der ebenen ( h o m o g e n e n ) Sinuswelle E = E cos (~ot - k g . Y + q~)gp, B = B cos(o)t -- k if- f + q~) ff x O'p,

E = cB,

(27.20)

co = c k .

Sie ist der D a r s t e l l u n g (27.19) vollst~indig/iquivalent und erffillt natiirlich a u c h die Beziehungen (27.9). Xhnlich wie in der k o m p l e x e n W e c h s e l s t r o m r e c h n u n g bietet auch hier die k o m p l e x e Schreibweise oft erhebliche Vorteile. Sie v e r w e n d e n d a n n a m besten E = Re(_E),

B = Re(_B)

(27.21)

z u s a m m e n mit der k o m p l e x e n S t a n d a r d f o r m der ebenen ( h o m o g e n e n ) Sinuswelle

~_ = ~_ej(~otB_ = B_ej(~ E_=cB_,

kK.-f) ~ p ,

~ x ep,

(27.22)

o~=ck.

10bwohl schon lange international empfohlen, hat sich weder der Name Kreiswellenzahl noch der bessere Name Kreisrepetenz (es handelt sich nicht um eine Zahl, sondern um eine physikalische Gr/SBe der Dimension (L~inge)- 1) fiir k so recht durchgesetzt. Es ist auch heute noch weit verbreitet, k einfach ,,Wellenzahl" zu nennen und auf a ganz zu verzichten. Vergewissern Sie sich deshalb immer, was ein Autor mit ,,Wellenzahl" meint! 2 Die Unterscheidung der Richtungen von Dund E'ist wichtig ffir die Wellenausbreitung in anisotropen K6rpern, z.B. in der Kristalloptik.

270

27 ElektromagnetischeWellen

Die Vektoren E und B sind hier komplexwertig, und die komplexen Amplituden _E und B_ sind mit den reellen Amplituden fiber den gleichen Nullphasenwinkel q) gemiiB A

A

_E=/~e j~~ _B=/~e jq'

(27.23)

verkniipft. Kann das Studium der Eigenschaften von Sinuswellen, die gegenfiber den allgemeinen Profilen eine doch recht spezielle Klasse bilden, fiir technische Anwendungen fiberhaupt von Nutzen sein? Die Frage ist klar mit ja zu beantworten. Sinuswellen werden sehr oft direkt als Informationstr~iger genutzt, wobei die Information in relativ langsamen Variationen der Amplitude, der Frequenz oder des Phasenwinkels s t e c k t - d i e Wellen werden ,,moduliert". Es gibt aber auch noch einen anderen Grund: Alle technisch bedeutsamen Zeitverl~iufe physikalischer Gr6Ben lassen sich als additive Uberlagerung von Sinusschwingungen darstellen. Die Gesamtheit der zu einem Zeitverlauf geh6renden Sinusschwingungen heiBt Spektrum, und die Zerlegung in Sinusschwingungen heiBt Spektralanalyse. Verl~iuft der Vorgang periodisch mit der (kleinsten) Periodendauer T 1 = 1/f1, so besteht sein Spektrum i.a. aus einer diskreten Menge von Sinusschwingungen unterschiedlicher Amplitude und ganzzahligen Vielfachen nfx der Grundfrequenz f~ (diskretes Spektrum, Linienspektrum). Ein nichtperiodischer Verlauf fiihrt auf ein kontinuierliches Spektrum, d.h. es sind im Prinzip Sinusschwingungen aller F r e q u e n z e n - m i t unterschiedlichem, frequenzabh~ingigem Gewicht - vertreten. Wenn also eine Welle durch einen allgemeinen Vorgang angeregt wird, dann entsteht nach dieser Betrachtungsweise ein ganzes Spektrum von Sinuswellen. Im leeren Raum und ffir linear wirkende Tr/igermedien 3 gilt aul3erdem das Superpositionsprinzip mit der Konsequenz, dab sich jede der Sinuswellen unabh~ingig von den anderen ausbreitet und dab wir durch Uberlagerung dieser Sinuswellen stets das gesamte Wellenfeld rekonstruieren k6nnen. Im Prinzip gen/igt demnach - zumindest im linearen Fall die Untersuchung des Verhaltens von Sinuswellen allgemeiner Frequenz.

Polarisation Ebene Wellen vom Typus (27.20), deren Polarisationsrichtung gp sich entlang der Ausbreitungsrichtung nicht/indert, heil3en linear polarisiert. Stellen Sie sich nun vor, wir /iberlagern zwei solcher Wellen gleicher Frequenz, gleicher Amplitude und gleicher Ausbreitungsrichtung, die nach Abb. 27.4 um n/2 gegeneinander r/iumlich gedreht und auBerdem um n/2 phasenverschoben sind! Die Addition der elektrischen Komponenten A

E1 = E cos(o9 z + qg) gy, (27.24) E 2 = -- E cos(ooz + q9 + re/2)ez 3 Die Voraussetzunglinearen Materialverhaltens ist fiir die in elektromagnetischen Wellen auftretenden Feldst/irken meistens, aber nicht immer gerechtfertigt. Beispielsweise1/iBtsich eine Reihe von auch technisch interessanten Effekten der nichtlinearen Optik mit linearen Modellen nicht beschreiben.

27.1 Ebene Wellen im freien Raum

271

Abb. 27.4 Durch passende l]berlagerung linear polarisierter Wellen lassen sich zirkular polarisierte Wellen erzeugen

liefert ffir die elektrische Feldst~irke E = E'I + E--'aund entsprechend f/ir die magnetische Flul3dichte B -- B1 + B 2 E = Egp(Z),

B = B g x ep(z),

/~ = c/~

(27.25)

mit dem Einsvektor gp(Z) = cos coz = c o t -

(~z + q~) er + sin (coz + q~) C,~, kx,

r = ck.

(27.26)

Dieses Ergebnis ist bemerkenswert: Nicht nur die Amplituden, sondern auch die Betr~ge der Feldvektoren E und B sind im ganzen Wellenfeld konstant, ihre Richtungen sind aber auf eine ganz bestimmte Weise zeit- und ortsabh~ingig. An jedem festen Ort dreht sich die Polarisationsrichtung gp mit der Winkelgeschwindigkeit 09 (Abb. 27.5). Stellen wir uns andererseits gp mit einer L~inge ausgestattet vor, so beschreiben die Zeigerspitzen beim Fortschreiten entlang der Ausbreitungsrichtung eine Linksschraube mit der G a n g h 6 h e 2 = 2 n / k . Wellen dieser Art heiBen zirkular polarisiert, in unserem Fall speziell linkszirkular polarisiert oder mit positiver Helizifiit. Bei D r e h u n g in der umgekehrten Richtung liegt eine rechtszirkular polarisierte Welle oder eine Welle mit negativer Helizit~it vor.

Abb. 27.5 Zirkular polarisierte Welle mit positiver Helizit~it

272

27 ElektromagnetischeWellen

Durch passende Uberlagerung linear polarisierter Wellen lassen sich also zirkular polarisierte Wellen erzeugen. Sie k6nnen sich andererseits leicht selbst iiberlegen, dab jede linear polarisierte Welle als ~berlagerung zweier zirkular polarisierter Wellen unterschiedlicher Helizit~it darstellbar ist, aber beides sind nur wichtige Grenzf'~ille. Im allgemeinen entsteht durch Uberlagerung zweier Sinuswellen gleicher Frequenz und gleicher Ausbreitungsrichtung bei unterschiedlichen Amplituden eine elliptiseh polarisierte Welle.

27.2

Kanalwellen

Die Uberlagerungsmethode ist ein wirksames Hilfsmittel der Konstruktion anspruchsvollerer Wellenfelder. Deren ausschnittsweise Verwendung f/ihrt uns auf eine Reihe technisch wichtiger WeUentypen, die wir im folgenden kurz behandeln werden.

Stehende

Wellen

Angenommen, zwei sonst gleiche, linear polarisierte Sinuswellen besitzen entgegengesetzte Ausbreitungsrichtungen (Abb. 27.6). Die Addition der elektrischen Komponenten e~ = ~-~ cos ( ~ t - k x +

~o) e'~,

E2 = 89 cos(o9 t + k x + qg)e r

(27.27)

und der zugeh6rigen magnetischen Komponenten fiihrt nach einer einfachen Rechnung auf das Feld A

E = E cos(k x) cos(o9 t + qg)gy, B = B s i n ( k x ) s i n ( o 9 t + qg)g z, E = cB,

og = c k ,

Abb. 27.6 •berlagern zweiergegenl~iufigerWellen zu einer stehenden Welle

(27.28)

273

27.2 Kanalwellen

das zwar ebenfalls einer Wellengleichung geniigt, im Gegensatz zu den beiden Ausgangswellen aber keinen eigentlichen Wellencharakter aufweist. Wir haben hier eine stehende Sinuswelle konstruiert. Typisch daf/ir ist die Existenz von Knotenfl~ichen, in unserem Fall einer Schar raumfester Ebenen x = const im Abstand von ganzzahligen Vielfachen der halben Wellenl~inge, an denen die elektrische Feldst~irke fiir alle Zeiten verschwindet. )~hnliches gilt fiir die magnetische Flul3dichte. Es werden dabei gerade gewisse Interferenzbedingungen erf/illt. Bevor wir diese Gedanken weiter verfolgen, wollen wir uns kurz iiberlegen, wie sich ein elektrisch gut leitf~ihiger K6rper gegeniiber einem hochfrequenten elektromagnetischen Feld verh~ilt. Wie Sie wissen, tritt in massiven Leitern als eine Induktionserscheinung der Effekt der Flul3verdr~ingung auf mit der Konsequenz, dab die magnetische FluBdichte vom Rand in das K6rperinnere hinein abklingt und in Randabst~inden von einigen Eindringtiefen 6 = \/2/(o9y#) (s.G1. (20.5)) bereits unmerkbar klein ist. Bei grol3en Frequenzen bzw. grol3on Leitf~ihigkeiten wird die Eindringtiefe so klein, d a b - makroskopisch gesehen-die entstehende Fl~ichenstromverteilung das K6rperinnere vollst~indig gegeniiber dem ~iul3eren magnetischen Flul3 abschirmt. Durch Influenz entstehende Fl~ichenladungen verhindern zus~itzlich ein Eindringen des elektrischen Feldes; demnach gibt es im Inneren elektrisch gut leitf~ihiger K6rper iiberhaupt keine hochfrequenten elektroma_ggneti-__. schen Felder. Zusammen mit den allgemeinen Sprungbedingungen ~_Et-~ = 0 und ~B,~ = 0 formulieren wir diesen Grenzfall als ideal metallisehe Randbedingungen I E't = 0_ B-~,= 0". I

(27.29)

Sie fordern das Verschwinden der Tangentialkomponente der elektrischen Feldst~irke und der Normalkomponente der magnetischen Flul3dichte an Leiteroberfl~ichen im hochfrequenten Fall und kennzeichnen ideale Spiegel. Stellen Sie sich nun vor, wir schneiden aus dem Feld (27.28) parallel zur yz-Ebene einen Bereich der Dicke a = n2/2, n~ r~, zwischen zwei Knotenebenen der elektrischen Feldst~irke aus und fiillen den Raum dahinter mit (ideal) leitfiihigem Material (Abb. 27.7). Die Randbedingung (27.29)1 ist an den Knotenebenen erfiillt und trivialerweise auch (27.29)2. Zwischen zwei ebenen Spiegeln im Abstand a k6nnen sich demnach stehende Wellen ausbilden, sofern deren Kreisfrequenz o9 ein ganzzahliges Vielfaches von n c/a mit c als Ausbreitungsgeschwindigkeit der freien Wellen betr~igt. Die zugeh6rige Frequenzbedingung r

f = n 2---a' n = 1, 2, 3,...

(27.30)

erinnert an eine Resonanzbedingung, und tats~ichlich haben wir in der Anordnung aus Abb. 27.7 die Grundform elektromagnetischer Resonatoren vorliegen, die bei hohen Frequenzen anstelle von diskret aufgebauten Schwingkreisen aus Spulen und Kondensatoren eingesetzt werden. F/Jr a = 10mm liefert G1. (27.30) mit c = c o beispielsweise die Grundfrequenz (n = 1) f = 15 GHz; wir haben es also hier wirklich mit hohen Frequenzen zu tun.

274

27 Elektromagnetische Wellen

Abb. 27.7 Ausbildung einer stehenden Welle zwischen zwei Spiegeln. Gezeichnet ist fiir n = 3 der Verlauf der elektrischen Feldst~irke nach G1. (27.28)~

TE- Wellen Als nfichstes b e r e c h n e n wir ein resultierendes Wellenfeld, das aus der O b e r l a g e r u n g v o n zwei linear polarisierten Sinuswellen gleicher F r e q u e n z , gleicher A m p l i t u d e u n d gleicher P o l a r i s a t i o n s r i c h t u n g , aber u n t e r s c h i e d l i c h e n A u s b r e i t u n g s r i c h t u n g e n n a c h Abb. 27.8 entsteht. In der k o m p l e x e n D a r s t e l l u n g (27.22) sind die b e i d e n Ausgangswellen

EL = 89~_ej(Cot-k~.-~) (pl = 89~ ejt~,t-k~os (~)x+ ksin (a)z] ey, ---

(27.31)

B 1 = l~_ej(,~t-k~,.-O ~1 X epl

= 89~e jt'~176

Ecos (00 e'~ + sin (00 e~]

und

EL -- l~eJ[O~t-kcos(~,x-ksin(~)z] ~'y,

B_--" 2 = 1B_eJr~176

[COS (e)gz -- sin (~)g~],

(27.32)

g2 = sin (~) ez + cos (~) ex e - . -- e~

/~1

=

--

sin (~) ez + cos (~) e'~

e~ ; = er

Abb. 27.80berlagerung zweier linear polarisierter Wellen zu einem TE-Wellenfeld

27.2 Kanalwellen

275

wobei E=cB,

(27.33)

o~=ck

gilt. Die Additionen E'= EL + E2 und B'= B'I + B--'2liefern dann E'= Re {_E,(z)eyeJ~'-kc~ B'= Re { [0z(z) g~ + j 0x(z)gx] e jL~ kc~

}

(27.34)

mit _Ey(z) = s cos [k sin (a) z] e j*, _Bz(z) =/~ cos(a) cos [k sin(a) z] e j*, (27. 35) B x(z) =/~ sin(a) sin[k sin (a) z]e j~, E = cB,

o) = c k .

Nach (27.34) liegt hier offenbar eine in x-Richtung laufende Welle^ von allgemeinerem Typus vor. Nicht nur h~ingen die komplexen Amplituden _Ey und _Bz von der z-Koordinate ab, es gibt auch eine magnetisehe Flufldichtekomponente in Ausbreitungsriehtung, und das ist kennzeichnend fiir diesen Wellentyp. Die elektrisehe Feldstiirke liegt aber nach wie vor quer (transversal) zur Ausbreitungsrichtung und deshalb sprechen wir yon transversal elektrischen Wellen, kurz von T E - Wellen. Untersuchen Sie die beiden Ffille ~ = 0 und ~ = n/2! Ein Blick auf die Beziehungen (27.35)~,2 zeigt, dab z.B. an der Ebene z = n / [ 2 k sin (~)] und auch an anderen, parallel dazu in passendem Abstand liegenden Ebenen die Tangentialkomponente der elektrischen Feldst~irke und die Normalkomponente der magnetischen Flul3dichte gemeinsam verschwinden, dab dort also genau die ideal metallischen Randbedingungen (27.29) erfiillt sind. Wit k6nnen demnach unser Wellenfeld einseitig durch einen Spiegel begrenzen (Abb. 27.9a), ohne es im restlichen Raum zu ~indern, und wir k6nnen iiberdies die Welle (27.31) als einfallende, die Welle (27.32) als reflektierte Welle interpretieren. Dies lfiBt sich sogar

Abb. 27.9 a Reflexion an einem idealen Spiegel. b Ftihren einer Welle im Spalt zwischen zwei Spiegeln

276

27 Elektromagnetische Wellen

noch weiterfiihren: In dem durch Anordnen eines zweiten Spiegels im Abstand nTc

a = k sin (~)

n = 1, 2, 3,

(27.36)

vom ersten entstehenden, zweiseitig begrenzten Feldraum (Abb. 27.9b) kann unser Wellenfeld ebenfalls bestehen. U m den eigenst/indigen Charakter dieser gefiihrten Wellen zu unterstreichen, schreiben wir die Ausdriicke (27.34)in der F o r m E'= Re {_E,(z) g, eJr176 _. .. B = Re { [_Bz(z) e'z + J B_x(z) ex] eJ(~176

(27.37)

unter Verwendung des Phasenkoettizienten fl, der den Begriff der Kreiswellenzahl verallgemeinert und hier die Elimination der urspriinglichen Kreiswellenzahl k und des Winkels c~ durch fl = k cos (c0

(27.38)

erm6glicht. Ausgehend von einem Spalt gegebener Breite a 1/il3t sich dann die Bedingung (27.36) zusammen mit o9 = c k als c / / = w/o92 - (no1) 2,

o91 = rcc/a,

n = 1, 2, 3,...

(27.39)

angeben. Jeder Wert der natiirlichen Zahl n definiert eine m6gliche TE-Wellenform, einen TE-Modus, und zu jedem Modus gibt es, wie (27.39) zeigt, einen Kleinstwert no91 der Kreisfrequenz. Durch Schwingungen mit Kreisfrequenzen kleiner als 091 lassen sich iiberhaupt keine TE-Wellen in unserem Spalt anregen. Dies wird noch deutlicher wenn wir auch in den Ausdriicken (27.35) ftir die komplexen Amplituden die Kreiswellenzahl k der urspriinglichen Wellen und den Winkel c~eliminieren: _Ey(z) =/~ cos(n rcz/a) e j~~ _~z(Z) = c__~fl/~cos(n rcz/a) e j~,

(27.40)

O9

B_x(z) = no91B sin(nrcz/a)e j~~ if, = cB. o9 Die Konstante c ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit im freien Raum, nicht die der gefiihrten Welle! Bei der Grenzkreisfrequenz no91 des n-ten Modus verschwindet der Phasenkoeffizient/~ und es bildet sich zwischen den Spiegeln gerade eine stehende Welle mit n Halbwellen. Keine Ausbreitung in x-Richtung! Wenn wir nun die Anregungsfrequenz steigern, beginnt sich der Modus gem/il3 (27.37) als Welle in x-Richtung auszubreiten. Mit weiter wachsender Frequenz wird bei festem _E die longitudinale komplexe Amplitude _Bx nach (27.40)3 immer kleiner und fl n/ihert sich A

A

O9/C. Gefiihrte Wellen des untersuchten Typs finden Sie mit leichten Modifikationen beispielsweise in planaren Wellenleitern, mit st/irkeren Modifikationen aber unter

27.2 Kanalwellen

277

Beibehaltung ihrer grundlegenden Eigenschaften auch in komplizierteren Strukturen. Im Gegensatz zu den noch zu besprechenden Leitungswellen kSnnen sie sich in zylindrischen Anordnungen auch mit einfach zusammenh~ingenden Querschnitten wie Rohren (Hohlleitern) ausbreiten, wobei dann natiirlich die einfachen AbhS.ngigkeiten (27.40) v o n d e r Querkoordinate nicht mehr gelten und deshalb auch die Berechnung der Grenzfrequenzen fiir die Moden etwas komplizierter ist. Auf den typischen Zusammenhang (27.39) zwischen dem Phasenkoeffizienten und der Kreisfrequenz komme ich noch zuriick.

T M - Wellen Eng verwandt mit den TE-Wellen ist ein Wellentyp, den wir uns in seiner grundle,, genden Form ebenfalls durch Uberlagerung einfacher Sinuswellen unterschiedlicher Ausbreitungsrichtung, nun aber mit einer gemeinsamen Richtung der magnetischen FluBdichte, nicht der elektrischen Feldst~irke, entstanden denken k6nnen (Abb. 27.10). Die Untersuchung erfolgt ganz ~ihnlich. Ausgehend von den komplexen Darstellungen

ES1 = lff_~eJ[cot-kcos(oOx+ksin(oOY] I-COS (O0 e'y + sin (o0 e'x], B~-I = 1B_ ej[o~t - kc~ + ksin (~)y] e z

(27.41)

und EL --- 1 _EeJ[~t-kc~

[-COS(C~)ey -- sin (~)ex],

B~_2= 1BeJ[~ot-kcos(~)x-ksin(~)Y]

ez

(27.42)

erhalten wir zunfichst E ' = Re { [-Ey(y) 6'y +j~x(Y)gx]eJt~176 B = Re {B_z(y) gz ejt~''-kc~

(27.43)

}

if2 = cos (a) G + sin (o0 G ep2 = ez x tr2

/~1 --- COS (0~)~

-

-

sin (oOG

%1 = G x~l

Abb. 27.10 Oberlagerung zweier linear polarisierter Wellen zu einem TM-Wellenfeld

278

27 Elektromagnetische Wellen

mit _Ex(Y) =/~ sin(c0 sin[k sin(a) y]e j~~

E-r(Y) =/~ cos(a) cos [k sin (a) y]e jq~,

(27.44)

O~(y) =/~ cos [k sin (c0 y]e jq', A

A

E = cB,

co = ck.

Wie sie sehen, gibt es jetzt eine longitudinale Komponente der elektrischen Feldstiirke, die magnetische FiuBdichte liegt aber im ganzen Wellenfeld quer zur Ausbreitungsrichtung. Wir sprechen deshalb von transversal magnetischen Wellen, kurz von TM-Wellen. An der Ebene y = 0 und damit an einer Schar dazu paralleler Ebenen festen Abstandes rc/[k sin(a)] verschwindet die Tangentialkomponente der elektrischen Feldstiirke und trivialerweise auch die Normalkomponente der magnetischen FluBdichte, es sind dort also die ideal metallischen Randbedingungen (27.29) erfiillt. Nach entsprechender ~nderung der Lage des Koordinatensystems behalten die im AnschluB an Abb. 27.9 angestellten Uberlegungen ihre Giiltigkeit. Insbesondere k6nnen wir die Bedingungen (27.38) und (27.39) unge/indert iibernehmen und die TM-Moden im Spalt in der Form E'= Re { [_~r(y) e-y + j ~ ( y ) ~ ] e J ~ ' t - t ~ x ) } , B = Re {B_~(y)(z e3~t-~x) }

(27.45)

mit

~x(Y) = nc~ if' sin (nrc y/a) ej~~ O9

~_y( y) = c__fl~if_,cos (n rcy/a) e j~~

(27.46)

(2)

~ (y) =/3 cos (n roy~a) e jq~, if_, = c schreiben. Wenn TE-Wellen und TM-Wellen in unserer vereinfachten Behandlung auch /ihnlich aussehen, k6nnen sich ihre Wellenformen in allgemeineren Querschnitten, etwa in Rohren, doch erheblich unterscheiden. So k6nnen sich etwa im gleichen Querschnitt ffir die entsprechenden Moden recht unterschiedliche Grenzfrequenzen ergeben. Zuriickzufiihren ist dies auf die Unsymmetrie in den Randbedingungen (27.29), die sich auf die Tangentialkomponente der elektrischen Feldst/irke, aber auf die Normalkomponente der magnetischen FluBdichte beziehen.

TEM-Wellen Wir erg~inzen die TE-Wellen und die TM-Wellen noch durch einen besonders einfachen Wellentyp, bei dem die Vektoren sowohl tier elektrischen wie auch tier

279

27.2 Kanalwellen

magnetischen Komponente quer zur Ausbreitungsriehtung liegen. Sie heil3en deshalb transversal elektriseh-magnetisehe Wellen, kurz TEM-WelIen. Besonders einfach sind sie deshalb, weil ihr Charakter im wesentlichen dem der Freiraumwellen entspricht. Sie lassen sich sogar in unser TE-TM-Schema gefiihrter Wellen mit n = 0 einorden, sind demnach nicht durch Mindestwerte der Frequenz beschr~nkt und die Beziehung (27.39) reduziert sich auf die Proportionalit~it ]c 13= o9

(27.47)

zwischen der Kreisfrequenz und dem Phasenkoeffizienten, der hier als die Kreiswellenzahl in ihrer urspriinglichen Bedeutung aufzufassen ist. Es gibt aber einen wichtigen Unterschied zu den TE- und TM-Wellen. W~ihrend sich diese entlang zylindrischer Anordnungen mit einfach zusammenh~ingenden Querschnitten - etwa in Rohren - ausbreiten k6nnen, ist das ffir TEM-Wellen nicht m6glich. Wir brauchen zu ihrer Fiihrung einen zumindest zweifaeh zusammenh~ingenden Quersehnitt, z.B. ein Koaxialkabel oder zwei parallellaufende Drfihte. Den Grund ffir diese Beschr~inkung sollten Sie sich anhand folgender Hinweise klar machen. Wegen der transversalen Lage von E und B gibt es durch einen beliebigen Querschnitt weder einen elektrischen noch einen magnetischen Flul3. Zu jedem festen Zeitpunkt und in jedem Querschnitt fiir sich betrachtet besitzen die Felder demnach den gleichen Charakter wie statische bzw. station~ire Felder. Sollen nun in einem einfach zusammenh~ingenden Querschnitt die ideal metallischen Randbedingungen erfiillt sein, so miissen die Felder im ganzen Querschnitt verschwinden. Warum? TEM-Wellen bilden, falls sie existieren k6nnen, zusammen mit den TE- und TM-Wellen ein vollst~indiges System von Sinuswellen fiir einen vorgegebenen Wellenleiter, d.h. allgemeine Wellen lassen sich daraus durch Kombination darstellen. Liegen nicht ideale oder auch andere als die hier verwendeten Randbedingungen vor, so kann es zu einer Kopplung der sonst unabh~ingigen Moden kommen.

Dispersion Bei den eben behandelten TE- und TM-Wellen ist zun/ichst gar nicht klar, welche Ausbreitungsgeschwindigkeit ihnen zukommt. Wir k6nnten uns einen Beobachter vorstellen, der sich irgendwie mit der Welle bewegt, und seine Geschwindigkeit gegeniiber dem festen Inertialsystem dann als Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle festlegen, wenn er in seiner n/iheren Umgebung einen unver~inderlichen Zustand, eine konstante Phase sieht. Dies ftihrt, wie ein Blick auf Gln. (27.37) oder (27.45) zeigt, zu der Geschwindigkeit ] cph = o~//3 I,

(27.48)

Phasengesehwindigkeit genannt. Nun liefert aber das Einsetzen des Phasenkoeffizienten/3 aus (27.39) Werte ffir cph, die i.a. fiber der Lichtgeschwindigkeit liegen. Es kann sich demnach bei der Phasengeschwindigkeit generell nicht um eine Ge-

280

27 Elektromagnetische Wellen

Abb. 27.11 Die Phasengeschwindigkeit Cph kann gr613ere Werte als die Lichtgeschwindigkeit annehmen

schwindigkeit handeln, mit der sich Energie, Impuls oder, allgemeiner, Information iibertragen l~il3t. Sind Sie vom Auftreten einer Ober-Lichtgeschwindigkeit iiberrascht? Denken Sie an zwei Phasenfl/~chen, etwa aus Abb. 27.9, in Abb. 27.11 nochmals gezeichnet! Es ist die gedachte, nicht materielle Schnittkurve der beiden Phasenflfichen, die mit Cph 1/~uft. Neben der Phasengeschwindigkeit wird noch die Gruppengeschwintligkeit eingefiihrt und allgemein als Differentialquotient

Cgr -- d (_D/dfl ]

(27.49)

definiert. Ausgehend von G1. (27.39) erhalten wir dafiir bei unseren geftihrten Wellen Cgr "~

C2/Cph

(27.50)

entsprechend Cg r = C ' C O S ( ~ ) , also immer Werte kleiner oder gleich der Lichtgeschwindigkeit c. Auch dies k6nnen Sie sich im fJberlagerungsmodell veranschaulichen: Die Verfolgung des Zick-Zack-Weges aus 27.9b mit der Geschwindigkeit c liefert ein resultierendes Fortschreiten entlang des Kanals mit der Geschwindigkeit c-cos (~). Ftir die einfacheren TEM-Wellen folgt aus G1. (27.47) Cph = Cg r = C. Eine Beziehung der Art F(co,/3) = 0 zwischen der Kreisfrequenz und dem Phasenkoeffizienten einer Sinuswelle heil3t allgemein Dispersionsbeziehung. Sie wird, wenn m6glich, in der expliziten F o r m o~ = o~(fl) oder fl = fl(~o) geschrieben und reduziert sich im einfachsten Fall auf co = c fl mit c = const. Weicht die Dispersionsbeziehung yon dieser Proportionalit~it ab oder, anders ausgedriickt, h~ingt die Phasengeschwindigkeit (27.48) von der Frequenz bzw. vom Phasenkoeffizienten ab und unterscheidet sie sich damit v o n d e r Gruppengeschwindigkeit (27.49), so nennen wir die Welle dispergierend. Dispergierendes Verhalten kann ganz unterschiedliche Ursachen haben. Es kann durch best/indige Reflexionen wie bei unseren geftihrten TE- und TM-Wellen zustande kommen, aber auch durch das Verhalten des Mediums, in dem sich die Welle ausbreitet (Materialdispersion), etwa durch eine Frequenzabh~ingigkeit der Permittivit~it. Stellen Sie sich z.B. eine Welle vor, die zu einem festen Zeitpunkt ein

281

27.3 Wellen auf Leitungen

pulsartiges Profil wie in Abb. 27.2 besitztI Wir zerlegen die Welle in ein kontinuierliches Spektrum von Sinuswellen und stellen fest, dab sich die Sinuswellen mit (leicht) unterschiedlichen Geschwindigkeiten ausbreiten, dab also ein Zusammensetzen zu einem sp~iteren Zeitpunkt nicht wieder auf das ursprfingliche Profil f/ihrt, sondern auf eine verzerrte, meist verbreiterte ,,auseinandergeflossene" Pulsform. Dieses in den Anwendungen h~iufig st6rende Verhalten ist ganz typisch fiir dispergierende Wellen. Als Gruppengesehwindigkeit haben wir uns in diesem Zusammenhang jene Geschwindigkeit vorzustellen, mit der die Hfillkurve einer Gruppe von Sinuswellen benachbarter Frequenzen- eines Wellenpaketes- l~iuft. Wenn wir beispielsweise zwei Sinuswellen gleicher komplexer Amplitude _~/2 mit benachbarten Kreisfrequenzen co + 6 und co - 6 und den zugeh6rigen Phasenkoeffizienten/~ +/~'6 bzw. / 3 - / / ' 6 (lineare Approximation der Dispersionsbeziehung /7 =/~(co) in der Umgebung eines Festwertes co,/7'= d/~/dco = 1 / C g r ) / i b e r l a g e r n , entsteht W_ = l~_ {eJ[(~

+ #'~)x] -+- e j[(~~

= _~cos [6(t - X/Cgr)]e jt~

}

(27.51)

d.h. eine mit dem Profil (Hfillkurve) cos [6(t - X/Cgr) ] amplitudenmodulierte Sinuswelle. Wie Sie sehen, ist diesem Profil die Gruppengeschwindigkeit als Ausbreitungsgeschwindigkeit zugeordnet. Es ist die Gruppengesehwindigkeit, mit der Infor-

mation iibertragen wird!

27.3 Wellen auf Leitungen TE- und TM-Wellen sind, wie Sie gesehen haben, nur oberhalb bestimmter Frequenzschwellen m6glich. Abh~ingig von der Gestalt des Feldraumes mfissen sich quer zur Ausbreitungsrichtung gewisse Eigenformen ~ihnlich denen stehender Wellen ausbilden k6nnen. F/ir TEM-Wellen gibt es keine derartigen Frequenzbeschr~inkungen, ihre geffihrte Ausbreitung ist aber an Feldr~iume mit zumindest zweifach zusammenh~ingenden Querschnitten gebunden, etwa an Koaxialkabel oder an parallel verlaufende Dr~ihte. In diesem Abschnitt werden wir uns ausschliel31ich mit derart gefiihrten TEM-WelIen beschiiftigen. Wir setzen dazu ideal metallische Randbedingungen voraus und nehmen fiberdies an, dab ein im Feldraum zwischen den Leitern befindliches Material ladungs- und stromfrei ist, also perfekt elektrisch isoliert (Weitere Annahmen fiber das Materialverhalten folgen sp/iter). Nat/irlich sind in realen Leitungen diese Voraussetzungen nicht wirklich erffillt, es zeigt sich aber, dab auch ffir nicht ideal widerstandslose Leiter und nicht ganz perfekt isolierendes Dielektrikum der TEM-Feldcharakter in guter N~herung erhalten bleibt. Der Einfachheit halber werden wir deshalb auf die Berficksichtigung yon Leitungswiderstiinden und Querstr6men verzichten (keine Joule-VerlusteI). Mit Bezug auf Sinuswellen seien die Abstiinde zwischen den Leitern klein gegeniiber der Wellenl~inge, die Leitungsl~inge liege aber in der Gr6Benordnung der Wellenl~inge, damit Wellenerscheinungen auch wirklich merkbar werden. In diesem Sinn behandeln wir hier verlustfreie, lange Leitungen.

282

27 ElektromagnetischeWellen

Die Leitungsgleichungen Der transversal elektrisch-magnetische Feldcharakter hat in Verbindung mit den ideal metallischen Randbedingungen wichtige Folgen. Sehen Sie sich dazu den in Abb. 27.12a gezeichneten Querschnitt an irgend einer festen Stelle x an! Da es keinen longitudinalen magnetischen Flul3 (quer zur Zeichenebene) gibt, liefert das Induktionsgesetz ffir jede geschlossene Kurve im Querschnitt die Umlaufspannung Null, ganz fihnlich wie in elektrostatischen Situationen. Zusammen mit der Feldfreiheit im Inneren der Leiter schliel3en wir daraus, dab jeder Kurve in unserem Querschnitt, die am ersten Leiter beginnt und am zweiten endet, der gleiche Wert der elektrischen Spannung zugeordnet ist, unabhfingig vom speziellen Verlauf der Kurve. Zu jedem Paar (x, t) gibt es daher einen eindeutig definierten Wert U(x, t). Andererseits haben wir aber auch keinen longitudinalen elektrischen Flul3, womit sich fiir jeden ebenen Umlauf der Amp~re-Maxwell-Satz wie in station~iren Magnetfeldern auf den Durchflutungssatz reduziert. Dies begriindet, warum wir jedem Paar (x,t) auch eindeutig einen Wert I(x,t) der elektrischen Stromst~irke zuordnen k6nnen, als Hinleitung im ersten, als Riickleitung im zweiten Leiter 4. f2berdies erzwingen die ideal metallischen Randbedingungen fl~ichenhafte Strom- und La-

dungsverteilungen. Wir werden nun die Beziehungen zwischen der Spannungsverteilung U(x, t) und der Stromverteilung I(x, t) entlang der Leitung herstellen. Linearit~it vorausgesetzt, sind magnetische Flfisse fiber Induktivit~iten mit magnetischen Spannungen und elektrische Flfisse fiber Kapazit/iten mit elektrischen Spannungen proportional verknfipft. Wegen der x-Abh/ingigkeit schreiben wir dies l&ingenbezogen mit Bezug auf Abb. 27.12a zun/ichst in der Form ~ ' = L'V und q~'= C' U, wobei sowohl der Induktivit~itsbelag L' wie auch der Kapazit~itsbelag C' der Leitung als konstant vorausgesetzt werden. Nun gilt wegen des Durchflutungssatzes in der beschriebenen

Abb. 27.12 a An jeder Stelle x entlang der Leitung sind zu jedem Zeitpunkt t eindeutige Werte der Spannung und des Stromes erklfirt, b Zur Anwendung des Induktionsgesetzes auf ein Leitungsstiick 4 Verallgemeinerungen auf mehr als zwei Leiter sind durchaus m6glich, werden hier aber nicht ausgefiihrt.

27.3 Wellen auf Leitungen

283

Konfiguration V - I, und der Satz vom elektrischen Hiillenflul3 liefert hu' = Q', den Ladungsbelag des einen Leiters. Der Ladungsbelag des anderen Leiters ist entgegengesetzt gleich grog. Wir haben daher die Beziehungen

q~ ' (x, t) -- L' I (x, t),

Q' (x, t) = C' U (x, t).

(27.52)

Die vorausgesetzte Konstanz der Bel/ige L' und C' betrifft natiirlich die Materialeigenschaften. Bemerkenswert ist, dab sich ffir C' der elektrostatisch berechnete Wert verwenden 1/il3t und fiir L' der dem station/iren Magnetfeld zukommende Wert, falls die Feldfreiheit des Leiterinneren beriicksichtigt wird (/iul3erer Induktivit~itsbelag !). Dies folgt aus dem statischen bzw. station/iren Charakter der transversalen Felder in jedem Querschnitt und zu jedem Zeitpunkt. Wenn Sie sich nun ein Leitungsstiick vom Anfang bis zur L~inge x vorstellen, dann erhalten Sie den magnetischen Flul3 ~(x,t) gem~il3 Abb. 27.12b und die elektrische Ladung Q(x, t) auf dem einen Leiter durch Integration der Beziehungen (27.52), q)(x, t) = f o L ' I ( ~ , t ) d ~ ,

Q(x,t)= f o C ' U ( ~ , t ) d ~ .

(27.53)

ersetzt dabei x als Integrationsvariable. Da entlang der Leiter selbst keine elektrische Spannung auftritt, gilt einerseits das Induktionsgesetz (Abb. 27.12b) d~(x, t) = U(0, t) - g(x, t), also

U ( x , t ) - U(O,t)+ f f L'i(~,t)d~=O.

(27.54)

Andererseits mug natiirlich-gleichwertig mit dem Amp6re-Maxwell-Satz-fiir jeden der beiden Leiter die Ladungserhaltung Q (x, t) = I (0, t) - I(x, t) erfiillt sein, d.h.

I (x, t) -- I (0, t) + f o C' U (~, t) d ~ = O.

(27.55)

Es ist iiblich, die beiden letzten Gleichungen nach der Ortskoordinate x zu differenzieren und sie unter Verwendung der Schreibweise fiir partielle Ableitungen als

c~U

-g-;x +

L, C~I

c~I

c, OU -b-7- = 0

(27.56)

anzugeben. Dies sind die Leitungsgleichungen in ihrer einfachsten Form. Obrigens fiihrt die Elimination von entweder U oder I wiederum auf eine Wellengleichung des Typs (27.13) ohne y- und z-Abh~ingigkeit, wie Sie selbst leicht iiberpriifen k/Snnen.

L6sungen Angenommen, g(t) ist irgendeine stetig differenzierbare Zeitfunktion mit Werten der physikalischen Dimension 1. Dann bilden die Verteilungen U - Ug(z), I = Ig(z) mit festen Werten U und I und mit z = t - x/c ein m6gliches L6sungspaar der LeiA

A

284

27 ElektromagnetischeWellen

tungsgleichungen (27.56), n/imlich eine Spannungs- und Stromwelle gleichen Profils, die in positive[ x-Richtung mit der Geschwindigkeit,. c laufen. Tatsiichlich liefert das Einsetzen - U O/c + EIO = 0 und - I O / c + C' U O O, d.h. nur die gleichzeitig zu erfiillenden Bedingungen 0 = c L ' I und I = cC' 0 oder,/iquivalent, c = 1/v/L' C'

x//L'/C ' I. Nach Einffihren der Parameter

und r

(27.57) der Ausbreitungsgeschwindigkeit..c und der Wellenimpedanz Z w, haben wir unsere L6sung durch U = Z wI vervollst~indigt. Die gleichen Oberlegungen k6nnen Sie ffir das Argument z = t + x/c anstelle von t - x/c durchffihren, entsprechend einem Wellenpaar, das mit der Geschwindigkeit c in der negativen x - Richtung l~iuft. Sie erhalten die selben Ergebnisse, ausgenommen U = - Z w I anstelle von U = ZwI. Es l~iBt sich nun zeigen, daB die Uberlagerung dieser beiden Wellenpaare, die durchaus unterschiedliche Profile haben k6nnen, bereits die allgemeine LSsung der Leitungsgleichungen bilden. Wir schreiben sie in der F o r m A

A

A

,,

U(x,t)= U a g l ( t - x/c) + U2g2(t + x/c), A

A

I ( x , t ) = I l g l ( t - - x / c ) + I2g2(t + x/c),

(27.58)

=

mit zwei beliebigen Funktionen 5 gx und g2, die wir im konkreten Fall aus den zus/itzlich anzugebenden R a n d - o d e r Anfangsbedingungen bestimmen mfissen. Die mit 1 indizierten Gr6gen geh6ren zur hinlaufenden Welle, die mit 2 indizierten zur riieklaufenden.

Die W e l l e n i m p e d a n z Spannung und Strom der hinlaufenden und, mit negativen Vorzeichen, der rficklaufenden Welle sind einander an jedem Ort und zu jedem Zeitpunkt fiber die Wellenimpedanz Z w proportional. Gemiig G1. (27.57)2 handelt es sich dabei um eine reele positive Konstante 6, abh/ingig nur vom Induktivitiitsbelag L' und vom Kapazitiitsbelag C' der Leitung. So haben wir etwa ffir Koaxialleitungen die Beziehungen L'= #

In (D/d),

2roe C' = In (D/d~)

(27.59)

5 Tatsiichlich miissen gl und g2 nicht stetig differenzierbar sein. 6 Beim Studium von Sinuswellen auf verlustbehafteten Leitungen erweist sich die Einfiihrung einer komplexen Wellenimpedanz als zweckm/igig.

27.3 Wellen auf Leitungen

285

abgeleitet, vorausgesetzt, der Feldraum ist mit einem Material konstanter Permeabilit~it/~ und konstanter Permittivitiit e ausgefiillt. Dies liefert r - - - -

Zw = N/~ In (D/d)2rt'

(27.60)

z.B. fiir ein handelsiibliches Fernseh-Antennenkabel den Wert Z w = 60f~. Wenn Sie also ein 60f~-Kabel verwenden, so hat dies nichts mit dessen ohmschen Widerstand zu tun! Entsprechende Ausdriicke ergeben sich fiir eine Zweidrahtleitung mit den Drahtdurchmessern d und dem D r a h t a b s t a n d D in der N/iherung D >> d aus L' = -~ In (2 D/d), rc

C' =

rc~ In (2D/d)'

(27.61)

oder fiir eine Bandleitung der Breite b mit dem Leiterabstand a in der Nfiherung a <
L' = ~a/b,

C' = ~b/a.

(27.62)

Vielleicht ist Ihnen in den eben angegebenen Formeln fiir L' und C' eine gewisse Dualit/it aufgefallen. Das ist natiirlich kein Zufall, sondern ffihrt in jedem Fall auf

L'C'=#a,

(27.63)

mit (27.57)1 also auf den fiir TEM-Wellen charakteristischen Wert c-- 1/x ~ der Ausbreitungsgeschwindigkeit. In den Anwendungen stellt die Wellenimpedanz eine besonders wichtige Kenngr6ge von Leitungen dar. W a r u m das so ist, wird nach den folgenden Uberlegungen klar.

Reflexionen Am Eingang der Leitung aus Abb. 27.13 liegt eine Schaltung, die s i c h - w i e wir a n n e h m e n - ersatzweise durch eine Spannungsquelle mit A

UE(t) -----UEg(t),

g(t) = 0 ffir

t < 0,

(27.64)

Abb. 27.13 Eine lange Leitung ist mit dem Widerstand R A abgeschlossen und wird fiber eine Eingangsbeschaltung mit dem Innenwiderstand Re gespeist.

286

27 E l e k t r o m a g n e t i s c h e Wellen

und den Innenwiderstand RE darstellen l~iBt. Fiir t < 0 sei die Leitung spannungsund stromfrei, ab dem Zeitpunkt t = 0 mache sich am Eingang ein Spannungssignal bemerkbar. Wir werden nun den Spannungs- und Stromverlauf entlang der Leitung in den nachfolgenden Zeitabschnitten untersuchen, wobei die Randbedingungen U(O,t)+ R E I ( O , t ) = UE(t ),

U(l,t)-RAI(l,t)=O

(27.65)

zu erfiillen sind. Im Intervall 0 < t < 1/c finden wir auf unserer Leitung nut hinlaufende Komponenten, ^ d.h. die allgemeine L/Ssung (27.58)^ ..reduziert sich auf U ( x , t ) = U x g x ( t - x / c ), I ( x , t ) = I ~ g x ( t - x/c) mit U 1 = Z w I ~. Dies ist unmittelbar einsichtig. Ausgehend von (27.64) l~iBt sich damit die Randbedingung (27.65)1 durch g x (t) = g(t) zusammen mit ^ Zw UE, U1 = RE + Z w

1 UE [1 = RE + Z w

(27.66)

I (x, t) = [1 g(t - x/c)

(27.67)

erfiillen. Die Ausdriicke U(x,t) = U l g ( t - - x/c),

geben demnach die vollst~ndige L6sung im betrachteten Zeitabschnitt an, sofern g die bekannte Funktion aus (27.64) ist und die Koeffizienten aus (27.66) entnommen werden. Da die Werte von g fiir negatives Argument verschwinden, ist die Randbedingung (27.65)2 iibrigens trivialerweise erfiillt. Das Intervall I/c < t < 21/c beginnt mit dem Eintreffen der Wellen am Leitungsende, wobei folgendes Problem entsteht: Die hinlaufenden Komponenten allein liefern U(1,t)= Z w I ( l , t ), w~ihrend die Randbedingung (27.65)2 den Zusammenhang U ( l , t ) = R a I ( l , t ) erfordert. Es ist genau dieser Widerspruch, der den AnlaB fiir die Bildung riieklaufender Komponenten darstellt. Wir haben demnach die allgemeine Form (27.58) zu verwenden und erhalten durch Einsetzen in (27.65)2 nach Elimination von 11 = Ua/Zw und 1 2 - U2/Z W A

~--

A

A

-

-

A

(R a - Z w ) U~ gx (t - l/c) = (R a + Z w ) U z g z ( t + l/c).

(27.68)

Da nach wie vor g~(t)=g(t) gilt, k6nnen wir dieser Bedingung durch gz(t) = g(t - 21/c) und, nach Einfiihrung des Reflexionsfaktors

R A -- Z W

(27.69)

r A -R A + Z w A

durch

U2 =

A

rA UI geniigen. Insgesamt ergeben sich daraus die Verteilungen U(x, t ) = U~ g ( t - x/c) + U2g(t + x / c -

21/c),

I(x, t) = I 1 g(t -- x/c) + I z g ( t + x/c -- 21/c),

=r Ol,

12 = -r

fx.

(27.70)

27.3 Wellenauf Leitungen

287

Beachten Sie, dab die Funktion g aus (27.64) bekannt ist und auch die Werte ~] 1, I1 wegen (27.66) festliegen! Aus verst~indlichen Griinden nennt man die riicklaufenden Komponenten in diesem Zusammenhang reflektiert. Zum Zeitpunkt t = 21/c trifft die Front der reflektierten Wellen am Leitungseingang ein und fiihrt nun dort zu einer Verletzung der Randbedingung (27.65)1. Was passiert? Es entsteht noch ein hinlaufendes WeUenpaar und wir erhalten, wie Sie leicht nachrechnen, mit dem Reflexionsfaktor (27.71)

RE -- Z w re = RE + Z w

fiir das Intervall 21/c < t < 3 l/c die Verteilungen A

A

~.

U ( x , t) = U1 g(t - x/c) + U z g ( t + x / c - 21/c) + U 3 g ( t - x / c - 21/c),

(27.72)

I ( x , t) = [1 g(t - x /c ) + I z g ( t + x / c - 21/c) + I 3 g ( t - x / c - 21/c),

/]3=rEU2,

02=rAU1,

I"2=--raI1,

I3=--reI 2.

Auch sie sind vollstfindig bestimmt. Dieses Hin und Her von Wellen l~iBt sich formal beliebig fortsetzen mit den Ergebnissen A

A

U(x,t) = Ulg(t-

A

x/c) + U 3 g ( t -

x/c-

21/c) + U s g ( t -

A

x/c-41/c)

+ ...

A

+ U 2 g ( t + x / c -- 21/c) + U 4 g ( t + x / c - - 4 l / c ) + ..., A

U 2 --

r n U1,

A

U 3 --

A

rEU2,

~

A

U 4 = rA U3,

~

A

U 5 = reU4,...

(27.73)

und I ( x , t) = I"1 g(t -- x/c) + I 3 g ( t - x / c -- 21/c) + I 5 9 ( t -- x / c -- 41/c) + . . . A

+ I 2 o ( t + x / c -- 21/c) + I 4 g ( t + x / c - - 4 1 / c ) + ..., x2

=

=

-

=

I"3,

=

-

(27.74)

die zwar kompliziert aussehen, im Prinzip aber immer noch die Form (27.58) besitzen. Andererseits ffihrt die Anregung etwa durch einen einfachen Puls g(t) wegen der beschriebenen Reflexionen auf eine Folge von Echopulsen, und das ist offensichtlich flit die regulfire Informationsiibertragung nicht wiinschenswert. Die Ausdriicke (27.69) und (27.71) zeigen Ihnen die L6sung des Problems: Wenn Sie dafiir sorgen, dab die Leitung sowohl am Eingang als auch am Ausgang mit Widerst~inden gleich der Wellenimpedanz abgeschlossen ist, dann gibt es keine Reflexionen und Sie haben immer die einfachen Verteilungen der Form (27.67). Aus diesem Grund werden fUbertragungswege in der Regel auf einen einheitlichen Wert der Wellenimpedanz abgestimmt. Leitungen werden nicht nur zur Informationsiibertragung, sondern auch zur Energieiibertragung in elektrischen Energieversorgungsnetzen verwendet 7. Durch Schalthandlungen oder Blitzeinschl~ige k6nnen hier Uberspannungen entv Die Abstimmungaufeine einheitliche Wellenimpedanzist dabei meistnicht m6glichoder aus anderen Grtinden nicht zweckm~iBig.

288

27 Elektromagnetische Wellen

stehen, die sich durch Reflexionen noch verst/irken. Wie Sie anhand der Gln. (27.70) leicht einsehen, fiihrt beispielsweise die Reflexion einer Spannungswelle an einem offenen Leitungsende auf eine Spannungsverdopplung!

Eingeschwungene Zustiinde Angenommen, am Eingang unserer Leitung aus Abb. 27.13 liegt eine Sinusspannung. Wenn wir auch Leitungsverluste hier nicht beriicksichtigen, so haben sie in diesem Zusammenhang doch eine wichtige Konsequenz: Die nach dem Einschalten entstehenden Ausgleichsvorgiinge klingen im Lauf der Zeit ab u n d e s bildet sich ein eingeschwungener Zustand aus, der sich, wenn wir gleich die komplexe Schreibweise verwenden, durch

U(x,t)= Re[U(x)eJ~'t], I(x,t) = Re [/(x) eJ~ .,~

A

~x, U_(x) : 01 e-J~x _+_UzeJl _ /(x) =/"1 e-Jt3x + ~2 ejBx,

A

U_I=ZwI 1,

(27.75)

.,,.

U_2 = - Z w I

2,

co=cfl=2~zc/2,

mit der Kreisfrequenz co, dem Phasenkoeffizienten fi und der Wellenliinge 2 = 2 ~z/fl erfassen 1/iBt. Uberzeugen Sie sich, dab dies nur eine spezielle F o r m der allgemeinen L6sung (27.58) ist! Es bietet sich nun eine geringfiigige Verallgemeinerung im Ersetzen des AbschluBwiderstandes R A durch eine komplexwertige Absehlullimpedanz Z a an, d.h. _U(1)= Z_AI(I ). Nehmen wir die komplexe Spannung _U(0) direkt am Leitungseingang als bekannt an, so stehen die beiden Gleichungen oo

A

A

_Ua + _U2 = _U(0), (_Z A - - Z w ) e-Jr//_U 1 A

~.

(27.76)

--(Z_A q- Zw)eJBlU2 A

--0

A

zur Bestimmung yon U 1, _U2 und damit a u c h / ~ , / 2 zur Verffigung. Riickeinsetzen in (27.75) liefert schlieBlich U(x) =

/(x) =

_ZA cos [ f l ( / - x)] + j Z w sin [ f l ( / - x)]

_ZA cos(ill) + j Z w sin(ill)

V(0),

Z w c o s [ f i ( 1 - x)] +jZ_A sin[fl(/-- x)] _U(0) Z_Acos(fil)+jZwsin(fll) Zw

(27.77)

womit die Spannung und der Strom entlang der Leitung vollst/indig bestimmt sind. Sehen wir uns abschlieBend einige Sonderf~ille an! Fiir eine am Ende offene Leitung, _ZA ---, oo, folgt aus (27.77)1 der interessante Z u s a m m e n h a n g _U(/) - U_(O)/cos(fll),

(27.78)

die Leerlauf-Ausgangsspannung ist also dem Betrag nach stets griiBer oder gleich der Eingangsspannung. Fiir fil = n/2, d.h. l = 2/4 oder co = 2nc/(41) oder ungeradzahligen Vielfachen davon ergeben sich sogar resonanzartige UberhiShungen. Energietechnische Leitungen sind wegen der relativ kleinen Frequenz meist als ,,kurz" einzustufen (z.B. f - 50 Hz, c = co: 2/4 = 1500 km), trotzdem kann sich auch hier in ausgedehnten Netzen die Abweichung der Kosinuswerte yon 1 in einer Spannungs-

289

27.4 Fragen

erhShung von einigen Prozent durchaus bemerkbar machen. Die Erscheinung heiBt in diesem Zusammenhang Ferranti-Effekt 8. Gleichung (27.77)2 liefert fiir x = 0 unmittelbar die Eingangsimpedanz

_U(0) Z_a cos(/3/) + j Z w sin(///) --Zin --/_.(0"----)= ZW ZwcOS(~l ) + jZ_A sin(/3/)"

(27.79)

Ist die Leitung mit ihrer Wellenimpedanz abgeschlossen, Z A = ZW, SO gilt auch Z_in - Z w. Fiir die am Ende offene Leitung, Z_A--* oo, ergibt sich dagegen Z i n ---- - - j Z w c o t ( ~ l

),

~ l - - 21rl/s -- ool/c.

(27.80)

Wenn wir beispielsweise an einem am Ende offenen Leitungsstiick der Lfinge 1 bei steigenden Frequenzen die Eingangsimpedanz messen, so ist diese zun~chst kapazitiv. Sie verschwindet fiir fa = c/(41) und wird dann induktiv mit [Z_in[~ OO fiir f ~ 2fa, oberhalb 2fl wieder kapazitiv usw. In der Umgebung von f l verhiilt sich das Leitungsstiick demnach wie ein Reihenschwingkreis, bei 2fl wie ein Parallelschwingkreis usw. Tats/ichlich werden Leitungsstiicke bei hohen Frequenzen gelegentlich als billige Resonanzelemente eingesetzt. Duale Verh~ltnisse finden wir bei der am Ende kurzgeschlossenen Leitung.

27.4 Fragen 1. Was stellen Sie sich unter ebenen Wellen in ihrer einfachsten Form vor? Wodurch sind solche Wellen gekennzeichnet? 2. Was verbinden Sie mit dem Begriff Wellenprofil? 3. Welche Beziehung besteht zwischen der elektrischen Feldst~irke und der magnetischen Flugdichte einer einfachen, ebenen elektromagnetischen Welle? Wie lautet die Maxwell-Beziehung zur Bestimmung der Ausbreitungsgeschwindigkeit? Gelten diese Beziehungen allgemein, oder sind sie an spezielle Medien gekniipft? 4. Welche Bedeutung besitzt die Wellenimpedanz im freien Raum? Wie ist sie definiert? Wie grog ist ihr Wert im leeren R a u m ? 5. Wodurch unterscheiden sich inhomogene von ebenen homogenen Wellen? 6. Was bedeuten die Begriffe Phase und Phasenfl/iche im Zusammenhang mit elektromagnetischen Wellen? 7. In welchem Sinn fassen wir ebene Wellen als Grundtypen auf? 8. Was stellen Sie sich unter Kugelwellen, was unter Kreiszylinderwellen vor? 9. Wie berechnen Sie die Brechzahl eines Mediums und wie hiingt sie mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit zusammen? 10. Was verstehen Sie allgemein unter der Brechung, was unter der Reflexion elektromagnetischer Wellen? 11. Wie sind Periodendauer und Periodenliinge einer ebenen periodischen Welle definiert und wie hiingen diese GrSgen zusammen? 12. Was verstehen Sie unter der Frequenz, was unter der Repetenz einer periodischen WeUe? 13. Wodurch unterscheiden sich Sinuswellen von allgemein periodischen Wellen? 14. Welcher Z u s a m m e n h a n g besteht zwischen der Kreisfrequenz und der Kreiswellenzahl von Sinuswellen im einfachsten Fall?

8 Sebastian Ziani de Ferranti, 1864-1930, britischer Ingenieur.

290

27 Elektromagnetische Wellen

15. Wie sieht die reelle, wie die komplexe Standardform der Darstellung ebener Sinuswellen aus? Was genau bedeuten die darin vorkommenden Gr6Ben? 16. Wodurch ist die lokale Polarisationsrichtung einer elektromagnetischen Welle allgemein erklfirt? 17. Warum sind Sinuswellen so wichtig und was verstehen Sie in diesem Zusammenhang unter einem Spektrum ? 18. Wann nennen wir eine Welle linear polarisiert? 19. Was ist eine zirkulare polarisierte Welle? Welche Darstellung besitzt sie und wie lfil3t sie sich durch f]berlagerung linear polarisierter Wellen erzeugen? 20. Was bedeutet der Begriff Helizit~it bei zirkular polarisierten Wellen? 21. Was stellen Sie sich unter elliptisch polarisierten Wellen vor? 22. Wie lauten die ideal metallischen Randbedingungen und wie sind sie zu begriinden? 23. Welche spezielle Form besitzen stehende elektromagnetische Sinuswellen und wie k6nnen sie entstehen? 24. Wodurch sind TE-Wellen charakterisiert? Wie k6nnen sie durch Reflexionen entstehen? Warum gibt es zu jedem TE-Modus eine untere Grenzfrequenz? 25. Wodurch sind TM-Wellen charakterisiert? Wie k6nnen sie durch Reflexionen entstehen? 26. Wodurch unterscheiden sich TEM-Wellen von TE- und TM-Wellen hinsichtlich Konfiguration und in ihren Ausbreitungseigenschaften? 27. Wie ist die Phasengeschwindigkeit, wie die Gruppengeschwindigkeit einer Welle erkl~irt? Wann unterscheiden sich deren Werte von einander? 28. Wann nennen wir eine Welle dispergierend? Was verstehen Sie unter einer Dispersionsbeziehung? 29. Wodurch kann dispergierendes Verhalten zustande kommen und wie wirkt sich dieses z.B. bei der Ausbreitung einer pulsartigen Welle aus? 30. Welche physikalischen Bedeutungen schreiben wir der Phasengeschwindigkeit und der Gruppengeschwindigkeit zu? 31. Warum sind zur Ausbreitung von TEM-Wellen mehrfach zusammenh~ingende Querschnitte erforderlich und womit sind diese Querschnitte berandet? 32. Was verstehen Sie unter einer verlustfreien, langen Leitung? Was bedeutet hier im speziellen ,,lang"? 33. Wie lauten die Leitungsgleichungen in ihrer einfachsten Form und was genau bedeuten die darin vorkommenden Gr613en? 34. Warum lassen sich der Kapazit/itsbelag und der Induktivit/itsbelag aus statischen bzw. station/iren Feldkonfigurationen berechnen ? 35. Welche Form besitzt eine allgemeine L6sung der Leitungsgleichungen? Wie interpretieren Sie die einzelnen Bestandteile? 36. Wie h/ingen die Ausbreitungsgeschwindigkeit und die Wellenimpedanz einer Leitung mit dem Induktivit/itsbelag und dem Kapazitiitsbelag zusammen? 37. Warum ist die Wellenimpedanz einer Leitung eine besonders wichtige KenngriSl3e und welche Bedeutung kommt ihr im Zusammenhang mit Reflexionen zu? 38. Warum finden an Leitungsenden i.a. Reflexionen yon Spannungswellen und Stromwellen statt? Wie sind die zugehiSrigen Reflexionsfaktoren definiert ? 39. Was verstehen Sie unter dem Ferranti-Effekt und wie kommt er zustande? 40. Warum lassen sich Leitungsstiicke bei hohen Frequenzen als Resonanzelemente verwenden?

27.5 Aufgaben A27.1

Zirkulare Polarisatio_n:

elektrischen Komponente polarisierte Wellen.

Z e r l e g e n Sie e i n e l i n e a r p o l a r i s i e r t e W e l l e m i t d e r

E = E c o s (co t - - k x + ~o) gy i n z w e i g e g e n s i n n i g z i r k u l a r

27.5 Aufgaben

291

A27.2 Reflexion und Transmission: Aus dem leeren R a u m k o m m e n d trifft eine ebene elektromagnetische Welle mit der elektrischen Komponente E'~ =/~1 9 ( t - x / c o ) ( y normal auf die Oberfl/iche__. eines Isolators~Abb. A27.2). Berechnen Sie die elektrische K o m p o n e n t e E2 der reflektierten und E 3 der iibertragenen Welle.

Abb. A27.2

A27.3 Dispersionsdiagramm: Drticken Sie die ftir einen TE- oder T M - M o d u s giiltige Dispersionsbeziehung c/~ = x/~o 2 - ~oo2 mit einer festen Grenzkreisfrequenz ~%in der F o r m e3 = ~o(/~) aus und zeichnen Sie den Verlaufin der/~, ~o-Ebene. Deuten und diskutieren Sie die Phasengeschwindigkeit und die Gruppengeschwindigkeit anhand dieses Dispersionsdiagramms. A27.4 Wellenimpedanz: Berechnen Sie die TEM-Wellenimpedanzen von drei Leitungen mit den in Abb. A27.4 angegebenen Querschnitten zuerst allgemein, dann speziell fiir # = #o, e = %, D = 10 d, b = 10 a.

Abb. A27.4

A27.5 Stromverlauf im Abschluflwiderstand:Auf der verlustfreien Leitung aus Abb. A27.5a l~iuft ein Spannungspuls der Form einer Sinus-Halbwelle. Er trifft zum Zeitpunkt t = 0 am Ausgang ein. Berechnen und skizzieren Sie den Zeitverlauf der Stromst~irke im Abschlul3widerstand.

292

27 ElektromagnetischeWellen

Abb. A27.5a

A27.6 Sprungwellen:An den Eingang einer langen, verlustfreien Leitung wird sprungartig eine starre Gleichspannung gelegt (Abb. A27.6a). Ermitteln und skizzieren Sie die nachfolgende Spannungsverteilung entlang der Leitung unter Beriicksichtigung aller Reflexionen.

Abb. A27.6a

A27.7 Spannung am Leitungsausgang: Am Eingang einer 10 m langen, n~iherungsweise verlustfreien Leitung mit /~ =/~o und e = eo liegt eine Sinusspannung der Frequenz 5 MHz mit dem Effektivwert 2 V. Berechnen Sie den Effektivwert der Spannung am offenen Ausgang der Leitung. A27.8 Eingangsimpedanz einer ~/4-Leitung: Berechnen Sie allgemein die Eingangsimpedanz einer verlustsfreien Leitung der L~inge 1 = 2/4 und der Wellenimpedanz Z w, die bei der festen Frequenz f = c/2 betrieben wird und mit der Impedanz Z_A abgeschlossen ist. A27.9 Leitungsstiick als Resonanzelement: Das in Abb. A27.9 skizzierte, m6glichst kurze Sttick einer angen~ihert verlustfreien Bandleitung soll als Reihenresonanzkreis der Kennfrequenz 1 GHz verwendet werden. Ist das Leitungsstiick kurzzuschlieBen oder offenzulassen? Wie lang muB es mindestens sein?

Abb. A27.9

27.5 Aufgaben

293

A27.10 k/4- Resonator: Der in Abb. A27.10a dargestellte, dickwandige Kreiszylinder aus keramischem Material soll als 2/4-Resonator (TEM-Modus) mit der Kennfrequenz fo = 750 M H z eingesetzt werden. Die beiden Mantelfl/ichen sind metallisch beschichtet, ebenso eine der beiden Stirnfl/ichen zur Herstellung eines Kurzschlusses. Nehmen Sie Verlustfreiheit an und berechnen Sie (i) die erforderliche L/inge des Resonators, (ii) den Betrag der Eingangsimpedanz als Funktion der Frequenz. Zeichnen Sie diesen Verlauf fiir 0 < f < 3fo.

Abb. A27.10a

K a p i t e l 28

Energie im Elektromagnetismus Elektrotechnische Vorg/inge sind fast immer mit energetischen Prozessen verkniipft. Dies ist klar fiir den Bereich der elektrischen Energietechnik, in der die Elektrizitiit ganz zielgerichtet als Energietr~iger eingesetzt wird. Aber auch in anderen Bereichen, wo die Energie nicht im Vordergrund steht, erweisen sich energetische Uberlegungen h/iufig als zweckm/il3ig und einem griindlichen, auf m6glichst einfachen Prinzipien beruhenden Verst/indnis der Vorg/inge zutr/iglich. Solch ein einfaches Prinzip ist die Energieerhaltung. ~

28.1 Energiespeicherung In seiner allgemeinen Form ist der Energiebegriff ziemlich abstrakt und, wie alle grundlegenden physikalischen Begriffe, auch durch eine noch so scharfsinnige Definition1 nicht wirklich fal3bar. Selbst die recht gute Umschreibung als Arbeitsverm6gen trifft den Sachverhalt nicht in allen F/illen. Wir miissen uns damit zufrieden geben, den Energiebegriff in seinen unterschiedlichen Auspr~igungen kennenzulernen, uns mit ihm vertraut zu machen, uns an ihn zu gew6hnen. Dies bedeutet aber keineswegs, dab es sich dabei um etwas Unpriizises handelt! Jedes physikalische System, etwas spezieller auch K6rper oder gedachte Raumteile, stellen Sie sich am besten zu jedem Zeitpunkt mit einem substanzartigen Energieinhalt ausgestattet vor. Anderungen des Energieinhaltes machen sich in Zustands~inderungen--in Prozessen--in der Regel als Energiestrbme bemerkbar, wobei wir meist klar zwischen einzelnen Energieformen wie Arbeit, W/irme, elektrische Energie usw. unterscheiden k6nnen. In Verbindung mit Variablenpaaren wie Kraft-Verschiebung, Temperatur-Entropie, elektrische Spannung-elektrische Ladung usw. lassen sich die Energieformen genau erfassen. Wenn wir von der Erhaltung der Energie sprechen, so meinen wir, dab jede ~nderung des Energieinhaltes quantitativ pr/izise durch EnergiestriSme bekannter Formen gedeckt wird, die durch Wechselwirkung, durch Energieaustausch mit anderen Systemen zustande kommen. Die Erh6hung des Energieinhaltes eines Systems durch externe Energiezufuhr verbinden wir ganz natiirlich mit einer Vorstellung von Energiespeicherung. Auf welche Art diese Speicherung erfolgt, ist jedoch weitgehend unabh~ingig davon, in 1 Logisch gesehen ist eine Definition die Erkl/irung eines Begriffes aus anderen, in ihrer Bedeutung bereits festliegenden Begriffen.Gute Definitionen sind deshalb niemals kreativ.

295

28.1 Energiespeicherung

welcher Form die Zufuhr erfolgt. Sie k6nnten beispielsweise eine bestimmte Energiemenge in Form elektrischer Energie einem System zuffihren, dort fiber gewisse Zeit elektrostatisch in einem Kondensator speichern und sie anschliel3end wieder als elektrische Energie abziehen. Sie k6nnten die gleiche Energieform aber auch einem Antrieb zuffihren, damit ein Schwungrad beschleunigen und sie dann generatorisch wieder als elektrische Energie gewinnen, die Energie dazwischen also kinetisch in der Bewegung des Schwungrades speichern. Je nach Art der Speicherung sind daher auch n~ihere Bestimmungen der Energie als Energiearten m6glich, wie z.B. elektrostatische Energie, potentielle Energie einer Feder, kinetische Energie eines Schwungrades usw. Ich m6chte aber ganz deutlich darauf hinweisen, dab solche Klassifizierungen schon recht weitgehende Idealisierungen beinhalten, weil sich in realen Systemen die einzelnen Energiespeicher und die zugeh6rigen Energiearten oft nicht klar voneinander trennen lassen.

Kondensatoren und Spulen Wir werden nun die einfachsten Stromkreiselemente, zun~ichst in ihrer idealen Form, in bezug auf Energiespeicherung untersuchen. Mit den Widerst~inden sind wir gleich fertig: Sie setzen eine elektrisch ~ugefiihrte Energiemenge vollst~indig und irreversibel in eine andere Energieform- meist in W~irme- um und entziehen sie damit dem Stromkreis, ohne die M6glichkeit einer Rfickgabe. Bei Kondensatoren und Spulen ist das anders. Sie k6nnen aus einem Stromkreis elektrische Energie aufnehmen und wieder zurfickgeben, als ideale Elemente sogar v611ig verlustfrei. Angenommen, fiber die Anschliisse eines idealen Kondensators der Kapazit~it C fliel3t ein elektrischer Strom mit dem bekannten Zeitverlauf I(t). Unter Verwendung des Verbraucherbezugssystems und der Elementgleichung.I = CU nimmt der Kondensator momentan die Leistung P(t)= U(t)I(t)= CU(t)U(t) auf. Setzen wir voraus, dab keine anderen Energieformen aul3er der elektrischen beteiligt sind, so muB sich nach dem Prinzip der Energieerhaltung die Zeitsumme der Leistung als gespeicherte Energie wiederfinden. Ausgehend vom ungeladenen Zustand zur Zeit t = 0 erhalten wir demnach.

We(t)=f~oP(t')dt'=Cf~oU(t')fJ(t')dt'=89 d.h. der Energieinhalt des idealen Kondensators, verstanden als Energiezuwachs gegenfiber dem ungeladenen Zustand, betr~igt

CU2 QU Q21 We = ~

=~

= 2---C "

(28.1)

Beachten Sie: Die so definierten Werte der Energie eines idealen Kondensators sind stets positiv oder gleich Null und h~ingen nur vom momentanen Zustand (Wert der Spannung bzw. Ladung) ab, nicht aber vom Vorgang (Zeitverlaufdes Stromes), fiber den dieser Zustand erreicht wurde.

296

28 Energie im Elektromagnetismus

Nun zu Spulen! Liegt an einer idealen Spule der Induktivit~it L eine elektrische Spannung mit dem bekannten Zeitverlauf U(t), so gilt, wieder im Verbraucherbezugssystem, mit der Elementgleichung U - L I fiir die momentan aufgenommene Leistung P ( t ) - U ( t ) l ( t ) - L l ( t ) l ( t ) . Wenn keine anderen Energieformen beteiligt sind, dann fiihrt, ausgehend vom stromlosen Zustand bei t - - 0 , die Bildung der Zeitsumme auf Wn,(0 --

f

P(t') dt' -- L

0

f

I(t') i(t') d f

~L12(0, _

0

d.h. der Energieinhalt der idealen Spule, verstanden als Energiezuwachs gegentiber dem stromlosen Zustand, betrS.gt Wm .

L I2 . 2

.

@v I . 2

(I)2 v

2L

(28.2)

Die so definierten Werte der Energie einer idealen Spule sind ebenfalls stets positiv oder gleich Null und h~ingen nur vom momentanen Zustand (Werte des Stromes bzw. Verkettungsflusses) ab, nicht vom Vorgang (Zeitverlauf der Spannung), der zu diesem Zustand fiihrt. Die Beziehung (28.2) l~il3t sich leicht auf gekoppelte Spulen ausdehnen. Einsetzen der Elementgleichungen (21.11) in den Ausdruck fiir die Momentanleistung liefert im Verbraucherbezugssystem, wenn wir m6gliche Gegenkopplungen durch negative Werte der entsprechenden gegenseitigen Induktivit~iten beriicksichtigen,

k=l

k---I

/=1

Da das Koeffizientenschema Lk~ symmetrisch ist, l~iSt sich dieser Ausdmck ohne weiteres zum Energieinhalt eines Systems yon n gekoppelten idealen Spulen, Wm --

L ktIk 11 k=l

/=1

(28.3)

2

integrieren. Ftir zwei gekoppelte Spulen ergibt sich mit den iiblichen Bezeichnungen L ~~ -- L ~, L22 - - L2 und L~ 2 - - L21 - - M speziell der Ausdruck Wm -- ~1 L l 112 -4- ~1 L2122 -Jr-Ml112.

(28.4)

Einzelne Summanden in G1. (28.3), die Kopplungen betreffen, k6nnen durchaus negative Werte annehmen. Die vollst~indige Summe ist jedoch stets positiv oder gleich Null, letzteres genau dann, wenn alle StrOme gleichzeitig verschwinden 2. Eine andere, fiir das Verhalten von induktiven Kreisen mit S/ittigung wichtige Verallgemeinerung der Ausdriicke (28.2) geht von einem nichtlinearen Zusammenhang q)v -- q)v(1) zwischen dem Verkettungsflul3 q)v einer Spule (Wicklung) und dem Spulenstrom I aus 3. Einen typischen Verlauf dieser Art, wie er in weichmagnetischen

2 Als Funktion der Str6me betrachtet ist W,n eine positiv definite quadratische Form. Die Eigenwerte der Matrix (L~,) sind alle positiv. 3 Der lineare Z u s a m m e n h a n g 4~, = L I fiJr ideale Spulen ist darin enthalten.

297

28.1 Energiespeicherung

Abb. 28.1 Zur Berechnung des Energieinhaltes einer nichtlinearen Spule

Kreisen bei Vernachl~issigung der Hysterese zustandekommt, sehen Sie in Abb. 28.1. Ausgehend von der zug.effihrten Leistung P = UI = I~v erhalten wir nach Bilden der Zeitsumme, wegen q~v = (d ~v/dI)I,

Wm

=

fl

P(t')dt'=

fld~

I --di--~ d r ' =

fl

I(tt)d~v(t' ).

Falls die Umkehrbeziehung I = I(q~v) existiert und aul3erdem ~v = 0 ~ I = 0 gilt, was wir annehmen wollen, folgt daraus ffir den Energieinhalt der niehtlinearen Spule Wm =

I(~,~)d ~,~,

(28.5)

interpretierbar als Inhalt des schraffierten Flfichenstiickes in Abb. 28.1. Im linearen Fall ist dieses F15.chenstiick ein Dreieck und es ergeben sich die Ausdriicke (28.2). Ahnliche Uberlegungen lassen sich f/ir nichtlineare Kondensatoren anstellen.

E ig e n s c h w i n g u n g en Dynamische Vorgfinge bedeuten immer ~nderungen des Inhaltes von Energiespeichern. Sind in einem System mehrere unabhfingige Speicher vorhanden, kann ein wechselnder Energieaustausch zu Schwingungen ffihren. Dies l~il3t sich anhand des besonders einfachen Modells der verlustfreien Zusammensehaltung eines idealen Kondensators mit einer idealen Spule (Abb. 28.2) gut verfolgen. Die formale Analyse ist schnell erledigt: Angenommen, der Kondensator besitzt vor dem SchlieBen des Schalters die Spannung U. Dann ist, wie Sie leicht fiber-

298

28 Energie im Elektromagnetismus

Abb. 28.2 Ein idealer elektrischer Schwingkreis priifen, durch die L6sung A

U ( t ) = U cos(coot ),

= 1/,/Lc,

A

I ( t ) = I sin(cOot),

,J-d/L

(28.6)

der in Abb. 28.2 angegebenen Gleichungen und Anfangsbedingungen der Zeitverlauf der Spannung und des Stromes vollstiindig erfaBt. Im Detail geschieht folgendes: Der Strom durch die Spule ist zuniichst gleich Null. Unmittelbar nach dem SchlieBen des Schalters liegt an der Spule die Spannung 0 und gem/iB i = U / L beginnt ein Strom zu flieBen, der seinen GriSBtwert i" dann erreicht, wenn der Kondensator vollstfindig entladen ist. AnschlieBend nimmt er wieder ab, 1/idt dabei aber den Kondensator mit umgekehrter Polaritiit auf bis zur Spannung - U. Nun beginnt das Spiel von neuem, mit umgekehrten Vorzeichen. Wir k6nnen den Vorgang auch von der energetischen Seite her betrachten. Urspriinglich ist im Kondensator der Energiebetrag l/]Ze-----CU2/2gespeichert und in der Spule der Energiebetrag Null, insgesamt also W = We. Verlustfreiheit vorausgesetzt, muB dieser Gesamtwert nachfolgend erhalten bleiben. Tats/ichlich nimmt die Energie We = C U 2 / 2 des Kondensators mit dessen Entladung bis auf Null ab, findet sich dann aber gemiiB W m = LI2/2 in gleicher Gr6Be W = ~grm = L I 2 / 2 in der Spule wieder. Dieser konstante Energiebetrag pendelt zwisehen den beiden Energiespeiehern mit der doppelten Eigenfrequenz hin und her, A

We = Wcos 2(COot), Wm = W sin 2 (COot), W = CU2/2 = LI2/2,

(28.7)

wobei im zeitlichen Mittel im Kondensator und in der Spule jeweils die Werte W e = W m = W / 2 an Energie gespeichert sind. Natiirlich sind reale Stromkreise nicht wirklich verlustfrei, d.h. dem Kreis wird laufend Energie entzogen und die Schwingung klingt allm/ihlich a b - s i e erscheint ged/impft. Soll eine Schwingung mit konstanten Amplituden aufrecht erhalten werden, ist ein passender Energiebetrag wiihrend jeder Periode einzuspeisen. Denken Sie an ein Pendel! Der einfache L-C-Schwingkreis findet sein mechanisches Analogon im eindimensionalen Schwinger, bestehend aus einer linearen Feder und einer Masse. Die Feder entspricht dem Kondensator, die Masse der Spule. Welche mechanischen Variablen entsprechen Spannung, Strom, Ladung und Verkettungsflul3? Sie k6nnen das selbst leicht herausfinden! Bei einer Schwingung des Feder-Masse-Systems tritt die Gesamtenergie abwechselnd als potentielle Energie der Feder und als kinetische Energie der Masse auf. Dies ist der Grund, warum bei einer Klassifizierung von Energiespeichern nach allgemeineren Gesichtspunkten die Kondensatoren den Speiw

299

28.1 Energiespeicherung

chern potentieller Energie, die Spulen dagegen den Speichern kinetischer Energie zugeordnet werden.

E n e r g i e s p e i c h e r u n 9 im e l e k t r o m a g n e t i s c h e n F e l d Nun zu einem weiteren wichtigen Thema! Wenn Energie in einem Kondensator oder in einer Spule gespeichert wird, wie ist sie dort r~umlich verteilt? Die Frage setzt einen substantiellen Energiebegriff voraus, d.h. dab die Energie iiberhaupt als eine verteilbare Gr613e wie etwa die Masse aufzufassen ist und nicht nur einem System in seiner Gesamtheit zukommt. Dies ist aber eine Grundannahme der klassischen Feldphysik, der wir uns hier anschliel3en. Die Auffassung vom elektromagnetischen Feld als einem dynamischen System legt uns nahe, die Energie nicht an den Orten der Ladungen und Str6me zu suchen, sondern im Feld selbst,

also verteilt fiber den Feldraum. Nehmen wir z.B. einen Plattenkondensator mit der Plattenfl~iche A, einem Plattenabstand l klein gegenfiber den Plattenabmessungen und einem linearen Dielektrikum der Permittivit~it e. Liegt zwischen den Platten die elektrische Spannung U, so folgt mit C = eArl und U = E. l aus G1.(28.1) fiir den Energieinhalt We = AIeE2/2. Im homogenen Feld zwischen den Platten erwarten wir die Energie als gleichf6rmig verteilt, berechnen ihre rfiumliche Dichte we somit einfach fiber Division durch das Volumen A-1 des Feldraumes und erhalten ffir die elektrisehe Energiedichte im linearen isotropen Medium ]We -- 89

].

(28.8)

Die Beziehung Q = CU bedeutet urspriinglich die Proportionalit~it zwischen elektrischem Flul3 und elektrischer Spannung entlang einer Flul3r6hre. Eine davon ausgehende Betrachtung legt die Vermutung nahe, dab der Ausdruck (28.8) auch in inhomogenen elektrischen Feldern seine Giiltigkeit beh~lt. Dies ist tatsfichlich der Fall, vorausgesetzt, die Materialgleichung D = eE bleibt verwendbar. Uberzeugen Sie sich davon anhand des Kreiszylinderkondensators oder des Kugelkondensators, indem Sie aus G1.(28.8) durch Integration den Energieinhalt We berechnen und dann fiber den Vergleich mit (28.1) die bekannten Formeln fiir die Kapazit~iten best~itigen! Das magnetische Gegenstiick zum Plattenkondensator ist die schlanke, diinnwandige Zylinderspule der Querschnittsfl~iche A und der Lfinge 1, gleichm~iBig mit N Windungen dicht gewickelt. Die ganze Anordnung sei in ein lineares Medium der Permeabilit~it # (speziell in Luft) eingebettet. Im Spuleninneren ist dann die Flul3verteilung im wesentlichen homogen, die Energie, wie wir annehmen, daher gleichfiSrmig verteilt, und der Beitrag des Feldes im AuBenraum zur Energie ist vernachl~issigbar klein. Aus G1.(28.2) finden wir dann mit der Induktivit~it L = #N2A/I und dem VerkettungsfluB q~v= NAB nach Division durch das Volumen A- 1 fiir die magnetische Energiedichte im linearen isotropen Medium

IWm-- 82/ I

r

300

28 Energie im Elektromagnetismus

Wie (28.8) ist aus formal/ihnlichen Griinden auch dieser Ausdruck ffir inhomogene Felder brauchbar, solange die Stoffgleichung B = / ~ H anwendbar ist. Sie k6nnen das im Vergleich mit (28.2) beispielsweise durch die Herleitung der bekannten Formel fiir den (/iul3eren) Induktivititsbelag einer Koaxialleitung bestfitigen. Halten wir fest: In elektrischen und magnetischen Feldern lilt sich- riiumlich verteilt-Energie speichern, auch dann, wenn der F e l d r a u m leer ist. Dazu ein technisch bedeutsamer Sachverhalt: Fiir eine bereits recht hohe elektrische Feldstirke von z.B. E = 30kV/cm finden wir aus G1.(28.8) m i t e - - e o die Energiedichte w e ~ 4 - 1 0 - 5 J / c m 3 . Dagegen ist einem magnetischen Feld mit der durchaus iiblichen FluBdichte B = I T gem/iB G1.(28.9) mit / t = # o die Energiedichte wm ~,~ 0 , 4 J/cm 3 zugeordnet, also der zehntausendfache Wert. Technisch gesehen 1/il3t sich demnach in magnefischen Feidern Energie mit wesentlich griileren Dichten speiehern als in elektrischen Fellern. Dies ist letztlich auch der Grund, warum elektrische Motoren und Generatoren fast immer auf magnetischer Basis arbeiten. Die angegebenen Ausdriicke ffir die Energiedichten sind an lineare isotrope Medien gekniipft, lassen sich aber unter bestimmten Voraussetzungen fiir nichtlineare und_anisotrope F/ille verallgemeinern. Wir schreiben_. _. den Ausdruck (28.8) zuerst mit E = Die als vollstindiges Differential dw e = E-dD. Liegt nun fiir ein i.a. nichtlineares, anisotropes Dielektrikum ein allgemeinerer Zusammenhang E = E(D)_. vor, so stellt E. dD dann__.wieder__,das vollstindige Differential einer Funktion we(D) dar, wenn die Funktion E ( D ) in bezug auf ein kartesisches Koordinatensystem den Integrabilititsbedingungen c~E~/c~Dy = c~Ey/c~D~ und analog f~r y z und z x geniigt, dwe(D ) = E ( D ) . dD,

we =

E(2D)" Dd2, (28.10)

c~E~ c~Ej. . . OD--~= OD----~i,

t, J = x, y, z. ~

Fiir das magnetische Feld fiihren analoge Uberlegungen auf dw m(B) = H (B)- dB,

Wm =

H(2B). Bd2, (28.11)

OH i

OHj.

c3B--~ = OB----~'

.

.

z, j = x, y, z,

eine Lokalisierung der Beziehung (28.5). Dies sieht zwar alles recht allgemein aus, entspricht aber immer noch einem stark idealisierten Modell des realen Materialverhalten. Verlusterscheinungen, wie sie etwa bei hysteretischem Verhalten auftreten, aber auch Abhingigkeiten von anderen physikalischen Variablen sind dabei nicht beriicksichtigt. Tatsichlich gibt es im Bereich des makroskopischen Elektromagnetismus keine universell giiltigen Ausdriicke fiir die Energiedichten; wir miissen uns in jedem Fall mit passenden, auf die speziellen Anwendungen zugeschnittenen Modellen begniigen. Es braucht Sie deshalb auch nicht zu verwundern, wenn Sie in der Literatur scheinbar ganz unterschiedliche Vorschlige und Betrachtungsweisen finden.

28.2 Energietransport

301

28.2 Energietransport Der Transport elektrischer Energie von einem Generator zu einem Verbraucher fiber eine Leitung, beispielsweise fiber ein Kabel bestehend aus zwei gegeneinander isolierten Metalldr/ihten, ist Ihnen vertraut. Wie groB der momentane EnergiefluB durch irgendeinen betrachteten Querschnitt des Kabels ist, wird fiber die Leistung, d.h. fiber das Produkt UI der Augenblickswerte der Spannung U zwischen den Dr~ihten und der Stromst/irke I erfaBt. Wir wollen uns die Situation anhand eines besonders einfachen Modells n/iher ansehen.

Der Po yntin9- Vektor

Angenommen, unsere Leitung besteht aus zwei nahe beieinander liegenden, relativ breiten Streifen ann/ihernd idealer Leitf'fihigkeit (Abb. 28.3), eingebettet in ein linear homogen isotropes Medium. Liegt im betrachteten Querschnitt zwischen den beiden Streifen momentan die Spannung U und flieBt dort ein Strom der St/irke I, so wird elektrische Energie mit der Rate P = UI fibertragen, und zwar im Sinn der z-Richtung, falls das Produkt positivist. Unter der Vora_ussetzung a <<_bfinden wir zwischen den Streifen wesentlich homogene Felder E--Ee'x und H = Hgy mit E = U/a und H --- I/b, k6nnen den EnergiefluB- zunfichst formal - also auch in der Form P = E. H. A mit der Querschnittsfl~iche A = a-b schreiben. Wenn Energie im elektromagnetischen Feld lokal gespeichert wird, wie kommt sie dort hin ? In konsequenter Verfolgung der Vorstellungen der klassischen Feldphysik mfissen wir annehmen, dab auch der Transport der elektromagnetischen Energie im Feld selbst gesehieht, in unserem Fall also verteilt fiber den Querschnitt zwischen den beiden Streifen. Die Lokalisierung erfolgt dann durch den Bezug auf die Querschnittsfliiche und liefert den Wert S = P/A = EH einer EnergiefluBdichte. Wir k6nnen sogar noch einen Schritt wetter gehen und unter Beriicksichtigung des Vektorcharakters der Feldst/irken die lokale EnergiefluBrichtung fiber das Vektorprodukt einbauen. Dies ffihrt, zusammengefaBt, auf folgende Idee: Liegen in einem elektromagnetischen Feld an einem Ort zu_.einem Zeitpunkt die elektrische Feldst//rke E und die magnetische Feldst/irke H vor, so herrscht dort die elektroma-

gnetische EnergiefluBdichte IS'= E" x H I'

(28.12)

Abb. 28.3 Energieiibertragung entlang einer Streifenleitung

302

28 Energie im Elektromagnetismus

nach einem ihrer Entdecker auch Poynting-Vektor genannt 4. Durch eine beliebige orientierte Flfiche sJ tritt dann momentan der elektromagnetisehe EnergiefluB (28.13)

P ( ~ ) = J ~ SndA , ....+

wobei Sn = gn" S die Normalenprojektion des Poynting-Vektors bedeutet und der Einsnormalenvektor gn den Durchtrittssinn der Fliiche, d.h. den Bezugssinn des Energieflusses angibt. DaB die Ausdriicke (28.12) und (28.13) auch ffir inhomogene Felder brauchbare Ergebnisse liefern, soll Ihnen das Beispiel der Koaxialleitung aus Abb. 28.4 nahebringen. Ffir den Poynting-Vektor ergibt sich (28.14)

i f = -E x H = __U I e~ ln(D/d) 2~zp2

und nach Integration fiber den kreisf6rmigen Querschnitt mit dem Fliichenelement d A = 2 ~zpdp P(~) =

S, d A .

.

.

.

j a/2 In (D/d) p

UI,

also tatsiichlich die momentan durch den Querschnitt fibertragene Leistung. Der EnergiefluB ist hier nicht gleichf6rmig fiber die Durchtrittsfliiche verteilt, sondern seine Dichte nimmt, wie Sie in G1. (28.14) sehen, proportional zu 1/p 2 mit wachsendem Radius p ab. Ein ~ihnliches Ergebnis finden Sie auch ffir Zweidrahtleitungen: Die EnergiefluBdichte ist groB in der unmittelbaren Umgebung der Leiter und verschwindet rasch mit wachsendem Abstand von den Dr~ihten.

Interpretation

des Po ynting- Vektors

Die Bedeutung des Poynting-Vektors geht weit fiber die Reproduktion des Produktes U - I entlang von Leitungen hinaus. Er vermittelt ein Bild des lokalen Energie-

_.

U e-, In (D/d) p d/2 < p < D/2

_.

H-

I~ 2zc p

Abb. 28.4 Energietransportentlang einer Koaxialleitung 4 John Henry Poynting, 1852-1914,britischer Physiker.

28.2 Energietransport

303

flusses in einem elektromagnetischem Feld und verleiht dem Feld zusammen mit den Ausdriicken fiir die Energiedichten die Eigenschaften eines verteilten dynarnischen Systems, das Energie speichern, transportieren und auch mit anderen Systemen austauschen kann. Erst damit wird die Einbeziehung der elektrischen Energie als Energieform im Rahmen einer feldphysikalischen Behandlung m6glich. Betrachten wir z.B. eine ebene WeRe vom Typus (27.1) im freien Raum! Wie Sie leicht nachrechnen, ergeben sich dabei nach (28.8) und (28.9) fiir die elektrische und die magnetische Komponente die gleichen Energiedichten W e =

W m

=

eE2g2('c)/2,

/~ = c/~, #ec2 = 1,

(28.15)

S'= ceff, ZgZ('c) g,

(28.16)

und fiir den Poynting-Vektor

falls ff die Ausbreitungsrichtung bedeutet. Bilden wir nun die gesamte Energiedichte als Summe der Einzelenergiedichten W--

We +

Wm,

(28.17)

so erkennen Sie den Zusammenhang ...._.

S = wcg,

(28.18)

der sich recht anschaulich interpretieren 1/iBt: Vom Laborsystem aus gesehen kommt der EnergiefluB in der freien Welle durch den Transport einer Energiemenge mit der Geschwindigkeit c zustande. Gleichung (28.18) ist die lokale Form dieser Aussage, unter Verwendung der Dichten geschrieben. Ausgehend davon 1/iBt sich direkt der AnschluB an das Teilchenbild der elektromagnetischen Strahlung finden. Oberdies wird speziell in der Optik die lokale EnergiefluBrichtung mit der Strahlrichtung identifiziert und deshalb der Poynting-Vektor auch Strahlvektor genannt. In seiner Interpretation als EnergiefluBdichte zeigt der Poynting-Vektor manchmal ein scheinbar seltsames Verhalten. Stellen Sie sich beispielsweise ein elektrostatisches Feld in der Umgebung von raumfesten Punktladungen vor und dem iiberlagert ein zeitlich konstantes Magnetfeld, von einem Dauermagneten erregt! Dann gibt es fast/iberall ein nicht verschwindendes Produkt E x H, aber es ist zun/ichst schwer vorstellbar, wie in dieser statischen Anordnung/iberhaupt ein best/indiger EnergiefluB zustande kommen kann. Zwar zeigt sich, daB der gesamte, nach G1. (28.13) gebildete FluB des Poynting-Vektors anjeder geschlossenen F1/iche verschwindet, wir uns den FluB also irgendwie zirkulierend vorzustellen haben, und wir k6nnten unter Zuhilfenahme etwa des Amp6re-Modells fiber Elementarstr6me im Dauermagneten argumentieren, w/irden dabei aber den Kern der Erkl~rung nicht treffen: In der relativistischen P h y s i k - und der Elektromagnetismus ist eine inh/irent relativistische T h e o r i e - besteht eine ganz enge Beziehung zwischen der EnergiefluBdichte und der Impulsdichte. Soll der Satz von der Erhaltung des Impulses auch unter EinschluB elektromagnetischer Felder als universeller Erhaltungssatz seine Giiltigkeit behalten, so muB tats/ichlich ein Energieflul3 auch in der beschriebenen Anordnung auftreten. Nicht das Verhalten des Poynting-Vektors ist seltsam, sondern unsere Vorstellung vom EnergiefluB bedarf einer Verfeinerung!

304

28 Energie im Elektromagnetismus

Auf einen wichtigen, die Interpretation des Poynting-Vektors betreffenden Punkt m6chte ich noch besonders hinweisen. Ahnlich wie bei der Energiespeicherung ist es auch beim Energietransport in realen K6rpern oft sehr sehwierig, die einzelnen Beitriige zum gesamten Energieflufl voneinander zu trennen. Wenn wir etwa von den mikroskopischen, stark fluktuierenden Feldern in einem K6rper ausgehen, den Poynting-Vektor bilden und dann geeignet statistisch mitteln, erhalten wir in der Regel andere Werte als wenn zuerst statistisch gemittelt und dann mit den makroskopischen Feldern der Poynting-Vektor gebildet wird. Die Unterschiede werden durch Wechselwirkungen ausgeglichen, sodal3 die Gesamtenergiebilanz in beiden F~illen stimmt, trotzdem kann sich ffir den elektromagnetischen Energieflul3 im K6rperinneren durchaus Unterschiedliches ergeben. Die Interpretation des Poynting-Vektors (28.12) in seiner einfachsten Form als elektromagnetische Energieflul3dichte paBt, wie Sie sehen werden, gut zu den einfachen Energiedichten (28.8) und (28.9) und auch zu deren Verallgemeinerungen (28.10) und (28.11).

28.3 Energieerhaltung Im Jahr 1884 entdeckten Poynting und, unabh/ingig davon, Heaviside 5 eine Gleichung, die wir heute Poynting Satz nennen und in der Form - f ~ w O'n"(E" x

H-')dA=f(E'-f+-E'~+ H" ~ ) d V

(28.19)

schreiben. Darin bedeutet 0 U die Hfille eines inertialfesten Volumens U, gn den nach augen gerichteten Einsnormalenvektor an ~?~/~,E und H sind die elektrische und die magnetische Feldst//rke, J ist die elektrische Stromdichte, D und B bezeichnen die elektrische und die magnetische Flul3dichte und die fibergesetzten Punkte geben hier die zeitlichen )knderungsraten an festen Orten, also die partiellen Zeitableitungen an, alles in bezug auf ein Inertialsystem. Die Gleichung folgt ohne weitere Annahmen allein aus dem lnduktionsgesetz und dem Amp~re-Maxwell-Satz zusammen mit den Darstellungen der Spannungen, der Fltisse und des elektrischen Stromes durch euklidische Vektorfelder als lokale Repr~isentanten, wobei Flfichenund Linienstr6me hier nicht explizite berticksichtigt sind 6 und nattirlich die Existenz der Integrale vorausgesetzt wird. Die Bedeutung des Poynting-Satzes liegt in seiner Interpretation, mit der wir uns jetzt befassen werden.

Der Poynting-Satz als Energiebilanz Auf der linken Seite von G1. (28.19) haben Sie sicher schon den Poynting-Vektor erkannt. Nehmen wir einmal an, wovon wir uns in einigen F/illen ja schon iiberzeugt 5 Oliver Heaviside, 1851-1925, britischer Physiker. 6 F1/ichen-und Linienstr6me lassen sich ohne Probleme nachtr/iglich einbauen.

28.3 Energieerhaltung

305

haben, dag der Poynting-Vektor tats~ichlich eine Energieflugdichte darstellt! Dann gibt die linke Seite, einschlieglich des Minuszeichens, den gesamten elektromagnetischen Energieflug an, der momentan durch die Hfille von augen in das Volumen eintritt. Was geschieht damit? Dariiber gibt die rechte Seite im Sinne einer Bilanz Auskunft. Jeder der drei Summanden im Integranden__, besitzt die physikalische Dimension einer Leistungsdichte. Der erste Term, E . J, erfagt die Leistung, die volumenbezogen fiber elektrische Str6me aus dem elektromagnetischen Feld abgezogen wird. In einfach elektrisch leitf~ihigen K6rpem gibt er z.B. die Dichte der Joule-Verluste an, es k6nnen abet auch andere Energieformen als die W~irme beteiligt sein. So finden wir etwa bei der genaueren Analyse des Feldes in elektrochemischen Zellen im generatorischen Betrieb r~iumliche Bereiche, in denen das Produkt E . J negative Werte annimmt, dem elektromagnetischen Feld demnach Leistung zugeffihrt wird. Oder: Bei Anwesenheit bewegter Leiter im betrachteten Raumteil gilt unter Verwendung des lokalen Ohmschen Gesetzes in der Form J - - ?'(L" + v' x/~) der Zusammenhang

~ . f _ j2/?, +

~,. ( f x/~).

(28.20)

Da J x / ~ die auf stromdurchflossene Leiter im magnetischen Feld ausgefibte Kraftdichte darstellt, haben wir hier neben der Dichte j2/y an Joule-Verlusten eine mechanische Leistungsdichte { - ( J x/~) gewonnen, die z.B. den elektrisch-mechanischen Energieaustausch in Motoren und Generatoren erfagt. Etwas vereinfacht gesprochen beschreibt E 9J also die Weehselwirkungen mit anderen Energieformen fiber elektrisehe Striime. In besonders einfachen K6rpern oder in Raumteilen, deren elektrisches und magnetisches Verhalten durch die Materialgleichungen D - cE und B - # H mit feldst~rkeunabh~ingigen, zeitlich konstanten Skalaren ~ und # ausreichend genau erfagbar ist, lassen sich die Terme E . D und H - B ganz leicht interpretieren: Es handelt sich um die Zeitableitungen tier Energiediehten We und w.... definiert dutch die Gln. (28.8) und (28.9). Bilden wir die gesamte elektromagnetische Energiedichte w wie in G1. (28.16) durch Addition von We und win, so ergibt sich ffir diesen Fall aus dem Poynting-Satz die einfache Aussage ---+

-f

S~dA -- f

(/~.f+~)dV,

~

---+

(28.21)

d.h. der Energieflug durch die Hfille 0 ~ wird zum einen tiber elektrische Str6me in andere Energieformen (z.B. Joule-Verluste) umgesetzt, zum anderen zur Erh6hung der in U elektromagnetisch gespeicherten Energie verwendet. Wie Sie nach formaler Division der Ausdriicke (28.10)j und (28.11)~ dutch das Zeitdifferential dt erkennen, bleibt diese Aussage auch unter Verwendung allgemeinerer Energiedichten ffir nichtlineare und anisotrope K6rper gtiltig. Allgemein erfassen die beiden Terme E - D + H - B jene Leistungsdichten, die unmittelbar mit elektrisehen und magnetisehen Zustandsiinderungen verkniipft sind. Dies betrifft sowohl J~nderungen der elektromagnetisch gespeicherten Energie, als auch andere Prozesse in Verbindung mit der elektrischen Polarisation und der Magnetisierung von K6rpern. Dabei k6nnen ebenfalls Wechselwirkungen mit anderen Energieformen vorkommen.

306

28 Energie im Elektromagnetismus

Abb.28.5 Hystereseschleifeeines ferromagnetischen Materials

Was mit diesen Wechselwirkungen gemeint ist, soll folgendes Beispiel verdeutlichen. Stellen Sie sich einen ferromagnetischen K 6 r p e r vor, etwa den lamellierten Kern eines Transformators, der bei Betrieb an einem Wechselspannungsnetz zyklisch mit der Periodendauer T ummagnetisiert wird. Einachsige Magnetisierung vorausgesetzt, durchlaufen d a n n zusammengehSrende, lokale Werte von H u n d B eine Hystereseschleife nach Abb. 28.5. Die E r m i t t l u n g der Zeitsumme von H . B fiber einen vollst~indigen U m l a u f liefert den Wert

w n = f f H[3dt,

(28.22)

der im B - H - D i a g r a m m dem Inhalt der v o n d e r Hystereseschleife berandeten ,,Fl~iche" (ihre physikalische Dimension ist die einer Energiedichte) entspricht. Es handelt sich dabei um jenen volumenbezogenen Energiebetrag, der infolge irreversibler Vorg~inge bei Zustands~inderungen in ferromagnetischen K 6 r p e r n w~ihrend eines Zyklus aus dem elektromagnetischem Feld abgezogen und letztlich in Wfirme umgesetzt wird. Wir haben damit ein stark vereinfachtes, pauschales Modell zur Erfassung der Hystereseverluste gefunden. D a es sich u m irreversible Prozesse handelt, lfil3t sich daraus auch erklfiren, w a r u m eine Hystereseschleife nach Abb. 28.5 immer im angegebenen Sinn durchlaufen wird, nie umgekehrt.

28.4 Fragen 1. Wie wiirden Sie den Begriff ,,Energie" definieren oder wenigstens umschreiben? Wo liegt das Problem? 2. Was verstehen Sie unter den Begriffen ,,Energieform" und ,,Energiestrom"? 3. Welche Vorstellung verbinden Sie mit ,,Energiespeicherung"? Welche Rolle spielt dabei die Energieerhaltung? 4. Was unterscheidet--vom energetischen Standpunkt--Spulen und Kondensatoren wesentlich von elektrischen Widerst~inden? 5. Wie lautet der Ausdruck fiir den Energieinhalt eines idealen Kondensators? Wie ist er zu begrtinden? 6. Wie lautet der Ausdruck fiir den Energieinhalt einer idealen Spule? Wie ist er zu begrtinden?

28.5 Aufgaben

307

7. Wie berechnen Sie den Energieinhalt zweier gekoppelter Spulen? Wie unterscheiden Sie dabei Mitkopplung und Gegenkopplung? 8. Auf welche Weise 1/il3t sich der Energieinhalt eines nichtlinearen magnetischen Grundkreises veranschaulichen, wenn ein eindeutiger Zusammenhang zwischen der Stromst~irke und dem Verkettungsflul3 der Spule bekannt ist? 9. Wie stellen Sie sich die Eigenschwingungen in einer einfachen LC-Schaltung energetisch betrachtet vor? Wodurch ist dabei der gesamte Energieinhalt bestimmt und wie groB sind im zeitlichen Mittel die Energieinhalte des Kondensators und der Spule? 10. Wenn Sie den einfachen LC-Schwingkreis mit einem mechanischen Schwinger, bestehend aus einer linearen Feder und einer Masse, vergleichen, welche mechanischen Variablen entsprechen dann der elektrischen Spannung, dem Strom, der Ladung und dem Verkettungsflug? 11. Welche Ausdriicke verwenden Sie zur Berechnung der Energiedichten des elektrischen und des magnetischen Feldes im leeren Raum und in linearen, isotropen K6rpern? Wie sind diese Ausdriicke zu begriinden? Gelten sie auch fiir inhomogene Felder? 12. Wie hiingen die Energiedichten mit dem Energieinhalt einer Spule oder eines Kondensators zusammen? 13. Warum lassen sich in einem magnetischen Feld wesentlich gr613ere Energiemengen speichern als in einem elektrischen Feld gleichen Volumens? 14. Wie stellen Sie sich den Energietransport entlang einer Leitung vor? 15. Wie ist der Poynting-Vektor definiert und wie wird er in einfachen F/illen interpretiert? Warum wird er manchmal auch Strahlvektor genannt? 16. Wie lautet der Poynting-Satz? Aus welchen elektromagnetischen Grundgleichungen folgt er? 17. Was genau gibt das Flfichenintegral im Poynting-Satz an und wie ist es zu interpretieren? In welchem Sinn ist der Poynting-Satz als Energiebilanz aufzufassen? 18. Wound wie finden Sie im Poynting-Satz speziell Joule-Verluste und elektromechanische Wechselwirkungen fiber elektrische Str6me? 19. Unter welchen Voraussetzungen sind jene Terme im Poynting-Satz, die Zeitableitungen enthalten, vollstiindig als zeitliche ,gmderungsraten von Energiedichten interpretierbar? Welche einfache Aussage liefert dann der Poynting-Satz? 20. Warum werden Hystereseschleifen bei zyklischen Magnetisierungsprozessen immer so durchlaufen, dab das Innere der Schleife zur Linken liegt?

28.5 Aufgaben A28.1 L i c h t b l i t z g e r i i t : E i n Lichtblitzger&it enth~ilt e i n e n K o n d e n s a t o r C, d e r a u f die S p a n n u n g U -- 4 k V a u f g e l a d e n w i r d u n d sich d a n n fiber eine X e n o n - L a m p e entl~idt, w o b e i ein L i c h t b l i t z v o n 25 ps D a u e r a b g e g e b e n wird. (i) W e l c h e K a p a z i t i i t ist e r f o r d e r l i c h , w e n n d e r K o n d e n s a t o r die E n e r g i e W = 100 J s p e i c h e r n soll? (ii) W e l c h e L e i s t u n g P g i b t d e r K o n d e n s a t o r bei d e r E n t l a d u n g fiber die D a u e r des Lichtblitzes im Mittel ab? A28.2 Abklingen der Energie: P a r a l l e l zu e i n e m G l e i c h s t r o m m a g n e t e n liegt e i n e F r e i l a u f d i o d e F D , die n ~ i h e r u n g s w e i s e als i d e a l a n g e n o m m e n w e r d e n k a n n (Abb. A28.2). Z u m Z e i t p u n k t t = 0 w i r d d e r S c h a l t e r S ge6ffnet. Z u w e l c h e m Z e i t p u n k t ist die i m M a g n e t e n g e s p e i c h e r t e E n e r g i e a u f 5 % des u r s p r i i n g l i c h e n W e r t e s a b g e s u n ken?

308

28 Energie im Elektromagnetismus

Abb. A28.2

A28.3 Energieverlust beim Umladen: Der Kondensator C~ aus Abb. A28.3a ist urspriinglich auf 540V geladen, der Kondensator C2 ungeladen. Nach dem Schliel3en des Schalters wird der Ladungsausgleich abgewartet. (i) Wie grol3 sind die sich schliel31ich einstellenden Spannungen an den beiden Kondensatoren? (ii) Wie grol3 ist die Energie, die der Widerstand R w~ihrend des Umladevorganges in W~irme umsetzt?

Abb. A28.3a

A28.4 Schaltverluste: In dem Ersatzkreis aus Abb. A28.4a wird der Schalter S periodisch geschlossen und ge6ffnet, wobei in jedem Ausschaltvorgang dutch das pl6tzliche Abreigen des Stroms ein Energieverlust auftritt. Berechnen Sie die mittlere Schaltverlustleistung. Beachten Sie L/R << 10ms!

Abb. A28.4a

28.5 Aufgaben

309

A28.5 Funkenl8schen: Zum ,,FunkenliSschen" beim Abschalten eines Magnetsystems mit der Ersatzschaltung aus Abb. A28.5a liegt parallel zum Schalter S ein Kondensator. Wie groB muB dessen Kapazit~it C mindestens sein, damit zwischen den Schaltkontakten ein Spanungswert yon ungef~ihr 500V nicht tiberschritten wird? Vernachl~issigen Sie ffir diese Absch~itzung die D~impfung der einsetzenden Schwingung.

Abb. A28.5a

A28.6 Energie im Reihenschwingkreis: An einer RLC-Reihenschaltung liegt eine Sinusspannung mit konstantem Effektivwert U und variabler Frequenz. Berechnen und zeichnen Sie die zeitlichen Mittelwerte der im Kondensator, in der Spule und im Schwingkreis insgesamt gespeicherten Energien als Funktion der bezogenen Frequenz v = o3x//LC fiir die Werte d = 1 und d = 0,01 des Verlustfaktors d = R x/~/L. A28.7 Laden eines Zweileitersystems: Beim Laden des Zweileitersystems aus Abb. A28.7a vom ungeladenen Zustand auf die Gleichspannung U wird im Widerstand R die Energie W = 1,5 J in W~irme umgesetzt. (i) Wie grol3 ist die Kapazit&it des Zweileitersystems? (ii) Wie grol3 ist die im Endzustand gespeicherte elektrische Energie?

Abb. A28.7a

A28.8 Energieinhalt eines Dreileitersystems: Leiten Sie den Ausdruck ffir den elektrischen Energieinhalt eines Dreileitersystems (Abb. A28.8a) ab, dessen Spannungen U lo und U2o und dessen Teilkapazit~iten bekannt sind.

310

28 Energieim Elektromagnetismus

Abb. A28.8a

A28.9 lnnerer Induktivit~itsbelag: Leiten Sie fiber den Ausdruck ftir die gespeicherte Energie die Formel L~ = #/(8n) ffir die l~ngenbezogene innere Induktivit/it einer Leitung mit Kreisquerschnitt ab. Voraussetzung: Keine Stromverdr/ingung! A28.10 Koaxialleitung: Die Koaxialleitung aus Abb. A28.10a (L~ingenmal3e in mm) besteht aus zwei Metallrohren vernachl/issigbarer Dicke. Das innere Rohr ist mit einem 10mm dicken Ferritmantel der Permeabilit/itszahl #r = 50 umgeben. (i) Wie grol3 ist der Induktivit~itsbelag der Leitung mit und ohne Ferritmantel? (ii) Wie grol3 ist der 1/ingenbezogene Wert der gespeicherten Energie, wenn in der Hin- und Rfickleitung je 1A fliel3en? (iii) Welcher Bruchteil davon entf'~illt auf den Ferritmantel?

Abb. A28.10a

A28.11 Stromschiene: Eine nicht magnetisierbare Stromschiene liegt zwischen zwei ideal magnetisierbaren Balken (Abb. A28.1 la). Berechnen Sie n/iherungsweise die l~ingenbezogene Induktivit/it unter Vemachl/issigung von Streuung und Stromverdr~ingung.

Abb. A28.11a

311

28.5 Aufgaben

A28.12 Spulenseite: In der Nut eines ausgedehnten, hochpermeablen K6rpers liegt eine Seite einer gleichf~Srmig gewickelten Spule mit N Windungen (Abb. A28.12a). Berechnen Sie die zugeh6rige lfingenbezogene Induktivit~it ohne Beriicksichtigung des Streufeldes auBerhalb der Nut.

Abb. A28.12a

A28.13 Nutenleiter: Zwei Leiterst~ibe aus Kupfer liegen in der Nut eines ideal magnetisierbaren K6rpers (Abb. A28.13a, L~ingenmaBe in mm). Berechnen Sie n~iherungsweise die l~ingenbezogenen Werte der Selbstinduktivit~iten und der gegenseitigen Induktivit~it, die mit dem magnetischen Feld innerhalb der Nut verkniipft sind. Voraussetzung: Keine Stromverdr~ingung!

Abb. A28.13a

A28.14 lnduktivitiit einer Scheibenspule: Die kreisfiSrmige Scheibenspule aus Abb. A28.14a ist, wie angegeben, auf einen ideal magnetisierbaren Tr~iger gewickelt. Leiten Sie eine Formel f/ir die n~iherungsweise Berechnung der Induktivit~it ab. Vernachl~issigen Sie dabei das ~iuBere Streufeld.

312

28 Energie im Elektromagnetismus

Abb. A28.14a

A28.15 Streuinduktivit~it eines Transformators: Ftir die Berechnung der Streuinduktivit~it eines Transformators wird das in Abb. A28.15a angegebene kreiszylindrische Modell zugrundegelegt. Setzen Sie den mittleren Durchmesser D als groB gegen die Wickelraumbreite voraus, nehmen Sie Durchflutungsausgleich an und bestimmen Sie die Werte n, L, und R der Ersatzschaltung Abb. A28.15b (i) zuerst allgemein, (ii) dann ffir N1 = 116, N 2 --

635,

R 1 =0,21fL R 2 =

6,3 f~,

D=

100mm,

1 = 100mm,

a I = 5mm

a 2 = 8 mm,

Abb. A28.15a

b=2mm.

Abb. A28.15b

A28.16 Linear polarisierte Welle: Berechnen Sie die zu einer ebenen Sinuswelle im leeren Raum mit der elektrischen Feldst~irke E = E cos

[2n(t/T-- x/).)] gy

gehiSrende mittlere EnergiefluBdichte. A28.17 Zirkular polarisierte Welle: Berechnen Sie die zu einer zirkular polarisierten Welle im leeren Raum gehiSrende EnergiefluBdichte. A28.18 Feldsfiirken der Sonnenstrahlung: Sch~itzen Sie die Amplituden der elektrischen und der magnetischen Feldst~irke der Sonnenstrahlung auf der Erdoberfl~iche ab, wenn die EnergiefluBdichte effektiv etwa 1 k W / m 2 betr~igt. Nehmen Sie dazu

28.5 Aufgaben

313

vereinfachend ebene, m o n o c h r o m a t i s c h e Sinuswellen im leeren R a u m an und betrachten Sie (i) lineare Polarisation, (ii) zirkulare Polarisation.

A28.19 Poynting-FluB gekreuzter Wellen: Zwei nach Abb. A28.19 gekreuzte ebene Wellen besitzen die elektrischen K o m p o n e n t e n E 1 = Ecos(~ot--kx)ey,

E 2 = E c o s ( o 3 t - ky)~.

Berechnen und diskutieren Sie den zeitlichen Mittelwert des P o y n t i n g - V e k t o r s fiir das resultierende Wellenfeld.

Abb. A28.19

A28.20 Stehende Wellen: Berechnen Sie fiir eine stehende Welle der F o r m - ~

A

A

E = E cos (kx) cos (cot + ~p)e~, E = cB, A

B = B sin(kx)sin(~ot + ~P)~z, co = ck, (i) die M o m e n t a n w e r t e und die zeitlichen Mittelwerte der elektrischen, der magnetischen und der gesamten Energiedichte, (ii) den M o m e n t a n w e r t und den zeitlichen Mittelwert der Energieflugdichte.

Liisungen der Aufgaben A15.1 Geladenes Teilchen im Magnetfeld Die Kraft F = - e g x B liegt senkrecht zur Bewegungsrichtung (Abb. A15.1). D a h e r folgt das Elektron einer Kreisbahn mit v = Ig I = const, wobei der Bahnradius wegen m e v 2 / r = e v B durch 107 m/s 9,110.10 T M kg 9 = 5,69 cm 1,602-10-19As 1 0 - 3 V s / m 2

me v r ..... e B

bestimmt ist. Die zugeh6rige Winkelgeschwindigkeit /3

e

/"

m e

09 . . . .

B

wird Zyklotronkreisfrequenz genannt und betr~igt hier 09= 1,76.108s -1. D a if'-~' = 0, ist auch die v o m Magnetfeld an dem Teilchen verrichtete Arbeit gleich Null. Bei schr/igem EinschuB folgt das Elektron einer Schraubenlinie.

Abb. A15.1

A15.2 Kraft auf Stiitzisolatoren Die l~ingenbezogene Kraft F'

.

#~ 2ha

.

4rc.10-VVs/Am-25- 108A 2 . . 2n-0,25m

2000 N / m

wirkt abstol3end. Fiir St/itzen im Abstand von 1 = 1 m ergibt sich die U m b r u c h k r a f t (Abb. A15.2b) F u = F " l = 2000 N.

LiSsungen der Aufgaben

315

Abb. A15.2b A15.3 Krfifte in einer Parallelleiteranordnung

Liingenbezogene Kraft auf Leiter 1 (Abb. A15.3b):

F~ = 2 h a -- 2 n . 2 a + 2 n . 3a -

....

-

2ha

-2 + -3 . . . .

/./o 12 ~ln(2). 2ha

Liingenbezogene Kraft auf Leiter 2: '

F2--

#~

1--1+

2ha

1 -2

-

1

+-.-

)

-

-3

#012[ I - - I n ( 2 ) ] . 2ha

Abb. A15.3b A15.4 KrMte zwischen gekreuzten Linienleitern

Mit den Bezeichnungen aus Abb. A15.4b ist entlang des Leiters 1 -. po I B = x---~_[ --cos (o0 ~ - sin (o0 ~ ] , zxQ F'=Ig~

x ff=#~

'

2nO

#012 X Y= 2n

D a m i t gilt F ' = f (x)-~r,

dargestellt in Abb. A15.4c.

Q = x / a 2 + x 2,

f (x) = #~ . x~ 2~z a 2 + x 2'

~02 ~y"

I

316

L6sungen der Aufgaben

Abb A15.4b

Abb. A15.4c A15.5 D r e h m o m e n t an einer Spule Bezeichnungen nach Abb. A15.5b mit den Kraftprojektionen der Drehmomentvektor = - F b cos (a) ~' z = T(a)- ( -- ~'~), T(a) = T c o s (a),

Abb. A15.5b

7"= NlabB,

Abb. A15.5c

F = NIaB. D a m i t ist

LiSsungender Aufgaben

317

gezeichnet in Abb. A15.5c mit = 1 0 - 5 0 m A - l c m 2 - 0 , 2 T = 10 -s Nm.

Abb. A16.1 AI6.1 Abfall des Magnetfeldes Bezeichnungen nach Abb. A16.1. Aus

I ffir H(Q) = 2rcO

0 > d/2,

I Hmax= xd

und der Forderung

H(O) Hmax

d!

~=1% 20

folgt der gesuchte Abstand p = 50 d.

A16.2 Stromdurchflossener Leiter mit Kreisquerschnitt Richtung der Feldstfirke (Abb. A16.2b): Umfangsrichtung, dem Strom rechtswendig zugeordnet. Verlauf der Feldst~irke (Abb. A16.2 c): Gleichstrom der Stfirke I gleichfiSrmig fiber den Querschnitt mit der Stromdichte J = I/A, A = d2x/4, verteilt. Damit folgt aus dem Durchflutungssatz

d J" 02~ 0 < 0 <-~" Hq,= 2~0 d

I

I

Jo 2

d/2 o

Q >-~" Hq, = 2rtO red 0

I 0 ~zd d/2'

318

L6sungen der Aufgaben

Abb. A16.2b

Abb. A16.2c

A16.3 Koaxiale Metallrohre

Unter Beachtung von Abb. A16.3a liefert der Durchflutungssatz o(Q)

H'~

= 2zoO'

wobei

~)2 02. 0 _< 0-< O~ : 0 ( 0 ) = O;

02 < 0 < 03 : 6)(0) = I;

01 < 0 < 0 2 : 0(0) = I 02~ - d ' 03 ~ 0 - < 0 4 O(Q)-- 1 ( 1 -

o ~ - v] ~; ~ 0 2 _ 03~

o4_
H~o(02)= I/(2rc02) = 1, 59 kA/m;

H,p(O3)=I/(2rc03)= 1,06kA/m;

H~o(04)=0.

Den Verlauf zeigt Abb. A16.3 b.

Abb. A16.3a

Abb. A16.3b

J

LiSsungender Aufgaben

319

A16.4 Radiale Fluflverteilung

Mit Beriicksichtigung der Kugelsymmetrie (Abb. A16.4b) folgt aus dem Satz vom magnetischen Hiillenflul3 = 4~zr2 Br, ff = 4nr 2 0'~.

Abb. A16.4b A16.5 Streuflufl

Nach Abb. A16.5b folgt aus der gegebenen magnetischen Spannung V = sH~ = 2eQHs"

Bs = l~oV. 2eQ

Somit ist der 1/ingenbezogene magnetische Flul3 ~; =

Bs do = - ~ - l n

,

1

also ~oV ( 2a) @~= --~-~-ln 1 +--~- ,

Abb. A16.5b

= arctan (a/b).

320

L6sungen der Aufgaben

A16.6 Ferritring aufLeitung Aus dem Durchflutungssatz und der Materialgleichung folgt iiberschl/igig fO'~ B A ~ # H A ~

#I Drc

A ~ LI,

somit L~

/~A =0,51 laH. Drc

A16.7 Induktivifiit koaxialer Spulen Ohne Berficksichtigung der Randst6rungen (schlanke Spulen) gilt fiir den Verkettungsflul3 (Abb. A16.7b) ~v = N B A = N l z ~l

".(DZ-- dz)=L1

und damit ffir die Induktivit~it der Anordnung /z(D 2 -- d 2)

L

= ]2oN 2

4l

"

Abb. A16.7b A16.8 Gegenseitige lnduktivitfiten Nach Wahl eines einheitlichen, dem Strombezugssinn der fiul3eren Spule rechtswendig zugeordneten Bezugssinnes fiir den magnetischen Flul3 nehmen die Verkettungsgleichungen die Form ~ v l = L l 1 1 1 -- L 1 2 1 2 + L 1 3 1 3 , q)v2 = L 2 1 1 1 -- L2212 + L2313, ~ 3 : L 3 1 / 1 -- L 3 2 / 2 + L 3 3 1 3

mit Lik = Lki an. Wit haben dann speziell ftir I 2 -- 0 , / 3 -- 0 q)v2 = L2111 = N 2 A e "#oN111/11 => L21 = L12 = I a o N 1 N z A z / I 1 , ~v3 = L 3 1 1 1 = N 3 A 3 " I t o N l I 1 / l l

=r L 3 1 = L13 = l t o N 1 N 3 A 3 / I 1 ,

L6sungen der Aufgaben

321

und ffir Ii = 0, 13 -- 0 ~v3 = --L3212 = - N 3 A 2

9 #0N212/12 ~

L32 -'- L23 = #oN2N3A2/12.

A16.9 Kreisringspule (i) A n w e n d e n des D u r c h f l u t u n g s s a t z e s liefert z u s a m m e n m i t der D r e h s y m m e t r i e u n d Bq~ = # o H ~ i m A u g e n r a u m B 0 u n d i m I n n e n r a u m (Abb. A 1 6 . 9 b )

B~

#oNl _~

~

~

eq).

27r 0 (ii) fiber d e n V e r k e t t u n g s f l u B 4~v = Nq~ -- L I m i t (Abb. A 1 6 . 9 c ) + d)/2

f(D

f ~eB,~ d a

m (D/2

2 , (D - d)/2 B,p(O)v/(d/2) 2


erhalten wir ftir die Induktivit~it zun~ichst den A u s d r u c k

L - ~u~

Y't"

do

~(D+d)/2

v/(d/2) 2 - (D/2

-

~oN2d f ~

~o)2 - - - - ~ - 0

(I)-.)/2

2re

~/1

--

_, D / d -

bl2 u

du , u --

D/2-

0

d/2

N a c h B e r e c h n u n g des I n t e g r a l s

f

l

x/l

_ u2

_~ p - u

du -- ( p -

v / p 2 - 1)~

ffir

p>l

ergibt sich schlieBlich D - ~ / D 2 -- d 2 L -- #0 N2

I m Fall ( 6 / 0 ) 2 << 1 gilt fibrigens D - ~ / D 2 - d 2 ~. d 2 / ( 2 D ) , u n d daraus folgt die sofort a n g e b b a r e N~iherung

62 L ,~, #oN24---~ .

Abb. A16.9b

Abb. A16.9c

322

L6sungen der Aufgaben

A16.10 Ortsabhfingige Sfittigung Mit den Radien a = 2 mm, b = 5 m m folgt aus dem Durchflutungssatz und der Drehsymmetrie fiir die Feldst~irke in Umfangsrichtung IQ

I 0 > a" H(0) = 2~z0,

O
H(a) =

1, 59 kA/m,

#oH(a)=

2 mT;

Die punktweise Entnahme der B-Werte zu H ( p ) = rungskurve liefert den Verlauf Abb. A16.10 b.

H(b)= 637 A/m. H(b)'b/o aus der

Magnetisie-

Abb. Al6.10b A17.1 Dreileiteranordnung Abb. A17.1b zeigt

01 "-- ~ 3 e y ,

a

02 =

~3(

- T~/~_, ex

--

y

2~,) '

a['~_,

03-~~--~ex--~e'y

(i) Magnetische Flul3dichte an der z-Achse: /to (Ix~Oa+I202 + I3~3) x 0'~ =/~0"(t) 2naZ/3

n - - ~

mit /~ = 3x~./~o__f = 0, 42 m T 4~z a und (Abb. A17.1c) (t) = cos (cot + 2n/3) e'x + sin (cot + 2rc/3) ey.

1 )

9

Lbsungen der Aufgaben

323

Magnetische Flul3dichte in groBem Abstand Q vonder z-Achse (Abb. A17.1d): #o~ I~ B = 2--~i= i -L-T x o i~O'z ,

#o

- -

~

O~'i'~ 2zoo2 ,= I~O'z x (20" e'~176 0')

mit I i + 12 -+-13 --0, d.h. ~

A

B = B ~'(t)

mit B=

a

2gO 2 X//3'

g (t) = sin (o~t + 2rc/3 + ~) ~ o -

cos (cot + 2rc/3 +

~9) ~ .

(ii) L~ingenbezogene Kraft, die am Leiter 1 angreift"

---, #oI~(

F 1 = 2rta 12

f~if ~ 2-a

q_ I3ffl ~ ~ 3-a

)

=

I_______~ X/~#o 2 8rta

[ - ~y "71-~ (t)]

mit x/'3/Zo fz 87~a

= 0, 028 N/m,

g(t) = - sin (2cot- rt/3) gx + cos ( 2 o t - rt/3) 0'y. Analog fiir die beiden anderen Leiter.

Abb A17.1b

Abb. A17.1c

Abb. A17.1d

324

L6sungen der Aufgaben

A 1 7 . 2 M a g n e t f e l d einer Freileitung

Mit den Bezeichnungen aus Abb. A17.2b gilt e' 1 = cos (~) G + sin (~) ey,

e 3 ~- cos ((x) ex -- sin (~) ey,

-#oll ~ //oi2 -//o13 _~ B =2zrh/cos(~) el + 2nh ex + 2nh/cos(~) e3 - #----9-0[I c~176

+

- 2nh 1 wobei I~ +

12 + 13 =

12 e'x + 13 COS(~)e3],

0. Daraus folgt

B = ~ h { [ ( I ~ + I3) cos2(~) + I23 ex + (I~ -- I3) cos(cz) sin(~) ~'y} #~ [cos(cot)sin2 (~) ~'x - x/~ sin (ogt) cos (~) sin (~) ~y]. 2nh Wegen a 1 sin(~) = ~ - x / 1 + (a/h)2, cos(~z)

1 v/1 +

(a/h)2

ist schlieBlich A

B=#~2n Ia 2h+a "h 2

cos (cot)-ex --

x/~ sin (cot) e-*y 1

und fiir a <
A

#o[a~ 2n "

cos (o)t) e x - x/~ sin (cot)ey

h2

sin (09t)~y.

Abb. A17.2b

l

LiSsungender Aufgaben

325

A17.3 Ebenes Quadrupolfeld

Mit dem Bezugsort auf der z-Achse (Abb. A17.3b) folgt durch Oberlagerung ffir das Vektorpotential -*

#o I

A = -~-~ In

(02 Q4)

~'z,

~01 03

wobei 0 2 = x 2 + ( y - a ) 2, 022=(x+a) 2+y2, 0 2 = x 2 + ( y + a ) 2,

02 = ( x - a )

2+y2.

In der Umgebung der z-Achse sind die bezogenen Koordinaten ~ = dem Betrag nach klein gegen 1: 0204 ,] 2 _ 1 - 2({2 _ .2)+({2+r/z)~)~2 01 03// - - 1 + 2 ( ~ 2 - q 2 ) + ( ~ 2 + r / Q2 Q4 ,~, ~O1~O3

1 --

2 ( ~ 2 --/,~2),

In (Q2 ~-Q ~93 Q4) 1

x/a

und q =

y/a

1 -- 4 ({2 _ r/2), 2(~2 -- r]2)"

Damit ist X

,~ - - p ~ TC

~x 2 - - y 2 _ , a2 e z"

Eine Skizze des FluBverlaufes zeigt Abb. A17.3c (Ebenes inneres Quadrupolfeld). Die Vektorlinien von ff sind die Linien A~ = const (gleichseitige Hyperbeln). Analog ergibt sich unter Verwendung der vektoriellen Abst~inde ffir die Flul3dichte ---

B~

Abb. A17.3b

/-toI2 yex+X~' Y 7~ a2 "

Abb. A17.3c

326

LSsungen der Aufgaben

A17.4 Geknickter Linienleiter Aus der Biot-Savart-Formel fiir gerade Linienleiterabschnitte, -. #o I B = ~ [sin ((X2) -- sin ((Xl)]eB, folgt: (i) Flul3dichte entlang der z-Achse; O= Izl,

B--" = ~#oz (I- - ~ y ) +

~

(X2 = 0 , (X1 =

- - 7~/2:

/ "ex + e y (-- e'x)= _ 2x/~nz/'t~ ~/~ ~

(ii) FluBdichte in der xy-Ebene: f f = 4 #n y~ \ l

- - )xe ~ _~ + r

--.

1-

/toe[(

B=-~-

#~ 4nx\

_Xr)l

(

_ _Yr ) e_.z,

r = ~/x 2 + y2,

y)l]__, ez.

7+ 1--r

Speziell gilt fiir x = y, r = x/~lxl"

d.h.,

.o,(

) 0'z

e=2nx\l--1/a/~

.oi(

fiir far

ff = 2 n x \ l +

x>0,

x

<0.

A17.5 Ebene Leiterf'fihrung Mit Bezug auf Abb. A17.5b folgt aus der Biot-Savart-Formel f/Jr gerade Linienleiterabschnitte --. #o I #o I B = 2~-a~a I1 -- sin(~l)] g - - ~ " 2 sin(fl)~ z, z 4nx sin(~l) =

x ~ a 2 ~- X2~

-. # o i [ B = ~ - a ~a 1

sin(fl) = x

x/a2+x

a ~ a 2 ~ X2~

a 2

x

a ]_. X//a2+X 2 e~,

unter Verwendung der bezogenen Koordinate ~ = x/a also

ff = #oI [ 1 . _ x/1+~2 ] na 2

Den Verlauf von B z zeigt Abb. A17.5 c.

~

e~ = Bz ~7"

LiSsungender Aufgaben

327

Abb. A17.5b

Abb. A17.5c

A17.6 Kraftverteilung

In einem allgemeinen P u n k t 9a der xy-Ebene (Abb. A17.6 b) treten zufolge der Abschnitte 1, 2 und 3 die Flul3dichten -- _/2o__I_ / B 1 - 4~Q~ [sin(~) + 1]~..,

_/2o____//

-- _ /201 [COS(fl) B 2 - ~4~Q2

+ COS(a)] e-~,

-+

B 3 - 41t03 [1 + sin(fl)] e z auf. Die FluBdichte entlang 1 zufolge 2 und 3 ist d e m n a c h B = B mit 02 = x, 03 = b, ct = rt/2,

cos(fl) = b/.,,/b 2 + x 2,

2 -~- B 3 z u s a m m e n

sin (fl) = x / v / b 2 + x 2.

D a r a u s ergibt sich fiir die 1/ingenbezogene Kraft

ff*l -- -- I0'x X (n*2 k- n-'3)--/2~ ~ 4 z c x x//b -+-X2 ~t-v-~gl bx//b 2X-~-X2]-'+ey, --., FI=

--., --F3=

/2012 1 [1 + w/1 + (b/x) 2 ] gy 2=---b'2

~ h n l i c h gilt f/Jr die FluBdichte entlang 2 zufolge 1 und 3" g = B" 1 + B"3 z u s a m m e n mit 0 1 = b / 2 - Y,

03 = b/2 + Y,

~ =0,

fl=O,

fiir die liingenbezogene Kraft also

F~ = --.,

Fz--

- I # ' y x (fix + i f 3 ) = #~ 4n #o 12 2 2rob 1 - ( 2 y / b ) 2e'"

1 ~ + b/2 -

~

1 1(-- e~),

b/2 + y

328

L6sungen der Aufgaben

Abb. A17.6b

Abb. A17.6c

Den Verlauf zeigt Abb. A17.6c, wobei zur Abkiirzung F o = #oI2/(2nb) gesetzt wurde. In den Umgebungen der Ecken treten relativ grol3e Zusatzkr~ifte auf, die fiber die L~inge b praktisch vollst~indig abklingen.

A17.7 Kraft auf ein Kontaktstiick

Aus der L6sung zu A17.6 fibernehmen wir

r ~

- 2 rob 2

1

1 + ~/1 + (b/x) 2 -ey.

329

L/Ssungen der Aufgaben

Damit ist die Kraft auf das Kontaktstfick (Abb. A17.7b) F = ;f+~F" dx = #~ 27tb "21 ; f +~ (1 + x//1 + (b/x)Z)dx-dy

#oS 1[ 2rob'2 c + b

,d a/b

,+ ] 0'

~ dLi u

Y"

Nach Auswertung des Integrals f,/l +u 2 --dUu

1 [ V/u2 + 1-- 11 = w/u2 + 1 + ~ln C x/u2 + 1 + 1

l~il3t sieh die gesuchte Kraft in der Form -.

~oI2C

F - k" 2~zb -eY schreiben, wobei der Faktor k = 2c c + x/(a + c)2 +

-x/a2+

+bln L

x/a2 + bZ _ b

"a + c

den EinfiuB der Umlenkung erfaBt. Fiir a - 5 mm, b = c = 10mm ist k = 1,25 und damit F = 2, 5 mN Vy.

Abb. A17.7b

A17.8 Magnetfeld einer U-Bahn

Mit der auf Geradenstiicke spezialisierten Biot-Savart-Formel ist gemfiB Abb. A17.8b --- = #o [11 (F1 + g2) - I2 (~1 + Fz) ] + ~#o B(~) h (11 + I2) 2sin (~)gy,

330

L6sungen der Aufgaben

wobei 0'l + 0"2 = 2sin(c~)~z,

sin(or) -- a / c , c -- v/a 2 + h 2 -- 5,025 m.

Daraus folgt /~(~)

/z0a ( l l

--

\

11 + I2 __,) h ey

1 2 __,

c

9

5,97 laT~y + 1,98 laT~'~.

--

Abb. A17.8b

A17.9 Lokale Kompensation des Erdmagnetfeldes Die Flugdichte im Z e n t r u m einer R a h m e n s p u l e nach Abb. A I 7.9b ist lzoNl Bo --

~/2

4 Jra / 2

98.

2

lzoNI =

a

2~/2 9

Jr

Die zur Kompensation erforderliche Fluf3dichte B' (Abb. A17.9c) besitzt die Projektionen auf die jeweiligen Normalenrichtungen

B1-

Bsin(fl)-

/ZoNl I, ~ . a

2~/2 Jr

,

B2 -- B c o s ( f l ) -

/zoN212 ~ . a

2~/~ Jr

Zu ihrer Erzeugung sind die Stromst~irken ll = einzustellen.

Jr

Ba

9~ s i n ( f l ) 2~/2 #oNl

-- 3,38 A,

I2 .

Jr

Ba

. . . cos(fl) = 1 , 4 4 A 2~/~ #oN2

331

LiSsungen der Aufgaben

Abb. A17.9b

Abb. A17.9c

A17.10 Flufldichte einer Kreisspulenanordnung

Die Biot-Savart-Formel liefert ffir die Flul3dichte entlang der Achse einer Kreisspule (Abb. A17.10b)

B1 (z) = #~

ez [1 + (z/a)2] 3/2"

2a

In der untersuchten Anordnung sind die Abst~inde der Spulenmittelpunkte vom Zentrum (9

z=--a,

--a/2,

O,~ a/2,

a;

somit gilt

B(C) = #~

2a

1+

(1 + 1/4) 3/2

2 1 ~'~=0,628 #~2a ez" + (1 +])3/2

Abb. A17.10b

A17.11 Helmholtz-Spulen

Aus der Biot-Savart-Formel folgt fiir die FluBdichte entlang der Achse einer Kreisspule /~o0

L6sungender Aufgaben

332 Superposition liefert daher ffir die gegebene Anordnung Bz(z)

=/too __~_a{ [ l + ( Z a + c ) 2 ] - 3 / 2 + [ 1 +

( z --c) a

2] -3/2}.

(i) Es ist B'z(O ) = 0, und zus/itzlich wird B~(0) =

3#ot9 4(c/a) 2 - 1 v a----3---[1+ (c/a)2] 7/2 - 0

gefordert, woraus sich die Bedingung 4(c/a) 2 - 1 = 0 fiir Helmholtz-Spulen, also a - 2c ergibt. (ii) Abb. A17.11b zeigt den Verlaufvon #o O Bz = 2----~f(~) mit -- Z/C,

f ( ( ) = [1 + 88 + 1)2] -3/2 + [1 + 8 8

1)2] -3/2.

Abb. A17.11b A17.12 Erzeugen einer vorgegebenen Flufldichte GemiiB Abb. A17.12b ist B x = B sin (c~)= #o 01/D 1 und analog

By -- B cos (cx)=/toOe/D2. Daraus folgt 01 = __B D l s i n (~) = 365 A, #o

B

02 =

~ D 2 cos (cx)= 652 A. #o

LSsungen der Aufgaben

333

Abb. A17.12b

A17.13 Einstellbares Magnetfeld Fiir die FluBdichte entlang der Achse einer Kreisspule gilt B.,(z') = ~#o0 [1 + (z'/a) 2] - 3/2;

im Abstand a vom Kreismittelpunkt ist daher Bz(a ) =

/~o0 4~/2a

An der Erzeugung jeder der drei kartesischen Komponenten der FluBdichte sind zwei Spulen beteiligt:

Bx

#O0x =~ = B sin(,9)cos (q0, 2~f2a ]200y = B sin (~9)sin(qg),

B 2x/~ a sin (~9)cos (~o) Ox=~o B 2~/~ a sin (~9)sin(qg),

BY= 2x//2a

0y ~- ~00

B z = #~ = Bcos(~9), 2x/~a

0z =roB 2~//-~acos (~9). #o

A17.14 Flache Spule Anwenden der Biot-Savart-Formel liefert mit den Bezeichnungen aus Abb. A17.14b und sin (n/4) = 1/x/~ ~.(~) = # o N I I 4 1 an]_, 4_~_/ __, 4n a x / ~ +~-~ eB = (2x/~ + n)eB. F/ir N = 200, I = 30 mA, a = 30 mm erhalten wir speziell B(~) = 0,12 mTg B.

334

L6sungen der Aufgaben

Abb. A17.14b A17.15 Magnetfeld einer Stromfiihrung

Anwenden der Biot-Savart-Formel liefert mit den Bezeichnungen aus Abb. A17.15b _.

_.

"olfi e ad

B z (~) = ~

"~y,

po I

B~ (~) + B3 (~) = 2

a2

= ~

insgesamt also ~ ~o'( B(~)=2--~a

~ )

e'y -k-~e*z .

Abb. A17.15b A17.16 Magnetische Kopplung von Doppelleitungen

Der gegenseitige Induktivit/itsbelag ist aus , =~-~ln /~0 (012'01'_2) L12 k 012~)1'2 '

e~,

LiSsungen der Aufgaben

335

zu berechnen, wobei O ~/1 + cos(a) -- Olcos(~/2)l, 012 -- Q1'2'___%/~

012' "- Ql'2 - - ~D x/1 _ cos(~) = D[sin(~/2)l, also L'12 = ~#0 In [tan2(~/2)] 9 Die Abh/ingigkeit vom Winkel a zeigt Abb. A17.16b. Ffir a = 90 ~ ist L~2 = 0, d.h. die Leitungen sind magnetisch nicht gekoppelt.

Abb. A17.16b

A17.17 Gegenseitige Induktivitfit einer Parallelleitung und einer Spule 1 Fiir die A n o r d n u n g aus Abb. A17.17b gilt

#~

Bz(O) = 2nO'

~1 = I f ' ~+c

, B'(o)do= ~~l ln(O*\ o,+c)"

D a m i t ist fiir die gegebene A n o r d n u n g mit I , = I u n d

N#~ ~

9 ,=

M

.

_

_

In

12 --

0

(b+C)_ln(a+b+c)l b a+b =M1,

#oNl l n I ! b + b) (b + c)] 2~ (a + -b+ c-) _]"

336

L6sungen der Aufgaben

Abb. A17.17b A17.18 Gegenseitige lnduktivitfit einer Parallelleitung und einer Spule 2 Sei speziell 12 = 0. Ausgehend yon der Beziehung A= ~

In

el

fiir das Vektorpotential eines geraden Linienleiters ist (Abb. A17.18b)

olll[ n( + c) Aus

l~v2

"-"

+

N ~ 2 = L 1 2 I i folgt dann L~2=

#oNlln[b+cN/aa2+b2 ] 2----~

b

"

2+(b+e) 2 "

Abb. A17.18b

A17.19 Verkettungsflufl einer Rahmenspule Mit den Bezeichnungen aus Abb. A17.19b und dem Ausdruck fiir das Vektorpotential eines geraden Linienleiters folgt

LiSsungen der Aufgaben

~(d) =

337

~r

A sds = ~

~v = N~(s~'),

/t~ 2n

In

- In

koa = x / a 2 + ( c - d )

2,

=

2~r

02 = x/a2~+ d2;

In / a 2 -k- d 2 X/a2 4- (c - d) TM

Abb. A17.19b A17.20 Streufeld einer Luftdrossel D a s m a g n e t i s c h e M o m e n t (Abb. A17.20b) u n d der A u s d r u c k B = / t ~ 93t~r -- m 4~z r3 .....

fiir die F l u B d i c h t e im m a g n e t i s c h e n Dipolfeld fiihren mit e~=-e~,

rfir = r~ 9~'r ~'r -- r~" gz gz = m

auf ~ ' ( ~ ) = #o 2r~ _ It o 4~z'r 3 8 ~

~

o

OD 2 ~

r 3 e'z = 7'27 gTe""

Abb. A17.20b

338

L 6 s u n g e n der Aufgaben

A17.21 Magnetischer Fluff im Dipolfeld l~lber d a s V e k t o r p o t e n t i a l i m D i p o l f e l d ,

n ~#~ ez x er, ~ ' ( ~ ) = #o. ~ _x ~er -4~ r2 4~zr 2 w o b e i (Abb. A17.21b) r = x / a z + z z,

ez x er = es s i n ( ~ ) = e~ a/r,

l~iBt sich d e r v o n d e r K r e i s l i n i e u m f a B t e m a g n e t i s c h e F l u B b e r e c h n e n : r

(" #oma 2 #oma = l Asds = 2rca = 4rcr 3 2r 3 , Je

9 ( d ) = --~-a la~ [1 + (z/a) 2-] - 3/2

Abb. A17.21b

A17.22 Gegenseitige Induktivitfit zweier Kreisschleifen W e g e n l >> a ist die D i p o l n ~ i h e r u n g ~=

#___9_o.3 ~ r -

4r~

r~

r3

m i t (Abb. A17.22b) r=l,

= IAe.

A = / z a 2,

m-~r = r ~ g 9 r e. r .= .m-. e e = n~,

also -~ = # o . 2 I A __, #o a2 4re 13 e = 2/3

339

L6sungen der Aufgaben

verwendbar. D a r a u s folgt #o a2

(19~ B n A = - ~

Ia2rc = M I ,

rc a 4 M = #o~" l--g.

Abb. A17.22b A17.23 Magnetisches M o m e n t der Erde

D e m magnetischen Dipolfeld ist mit den Bezeichnungen aus Abb. A17.23 am ~ q u a t o r die FluBdichte = #o. 3 m r - ~ r3 4re

#~

4rcr 3

ez = - Bo e~

zugeordnet. D a r a u s ergibt sich fiir den Betrag des magnetischen M o m e n t e s m--~

47~

r3Bo-- 107 9(6,37 9106) 3. 3,13" 10-5 Am 2 = 8,09- 1022 Am 2.

#o

Abb. A17.23 A17.24 Magnetisehes Feld der Erde

Magnetisches Dipolfeld, Abb. A17.24: ~ = #_2o.3r~r - m = #omz 3(~'.'~'~)~r -- e~ 4re r3 r3 4re

340

L6sungen der Aufgaben

Br = B'" e'r = #~

4~r 3

2 c o s (,9),

-" #~ sin (9). B a = B ' g o = 4zrr 3

(i) Ho = -- 16 A/m: B o = #oHo = - 2,0" 1 0 - S T ,

B r = Bo-2cot(~9) = - - 4 , 8 - 1 0 - S T ;

I n k l i n a t i o n fl: tan(fl) = B~/Bo = 2cot(~9) ~

fl ~ 67 ~

Ho 47rr 3 16" 47r" (6,37" 106) 3 A m 2 = -- 8,1" 1022 A m 2. (ii) mz = sin(----~-= sin(40o)

Abb. A17.24

A 1 7 . 2 5 K o a x i a l e Stromfiihrung

Aus d e m D u r c h f l u t u n g s s a t z , der D r e h s y m m e t r i e d e r A n o r d n u n g u n d B = / t o H folgt mit A b b . A 1 7 . 2 5 b

B =

9 (d) =

f

d

#o I

#o I I b/2 do #~ B,p dA = -~-~l = d a/2

L = ~-~-ln

.

ln(b)

=LI'

341

LiSsungen der Aufgaben

Abb. A17.25b A17.26 Schraubenwicklung Die vorgeschlagene Zerlegung ist K = K~o~ + Kzgz, K~ =Kcos(a),

K z = Ksin(a),

K = IK[.

K~ erzeugt im AuBenraum kein Magnetfeld, im Innenraum dagegen die FluBdichte B = #oKcos(a)ez,

o < a.

K, erzeugt im Innenraum kein Magnetfeld, liefert aber im AuBenraum die FluBdichte -- #o Iz/(2n@) e'~, Iz = 2naKz,

also ~ = #oKsin(a)a/@ e~,

O> a.

A17.27 Scheibenspule Fiir die FluBdichte einer FEichenstromverteilung im leeren Raum gilt allgemein ~'(~) _ Po f ~ K(~)dA 2 x e~. In der gegebenen Anordnung ist speziell (Abb. A17.27b) NI K = K g , p, K = ~

(D - d)/2'

r~=O,

e~=--e~,

dA=odqgdo,

also B((9)

#oK

= -~

/2

~ ~,~

e'~? eQo d ~ d o =

B(C) = # o N I ln(D/d) D -- d ez = 5,06 mT~ z.

~~

--b-

ez =

2

-~

z,

342

L 6 s u n g e n der A u f g a b e n

Abb. A17.27b

A17.28 Riiumlich harmonischer Strombelag Nach Abb. A17.28b gilt ~ = (x,y,0),

~ = (x', 0,z'),

r ~ = (x - x')gx +

y ey - z' gz, ez x r~ = (x - x') gy - ye~ .

D a m i t liefert die Beziehung fiir die FluBdichte eines Fliichenstromes im sonst leeren R a u m den Ausdruck B ( ~ ) = 4--~#~~-o~f

la~

~ o0I( c~

~ f~

4z

-o~

x r~

[(x-x')ey-yex]C~ yZ + z,213/2 dx'dz'.

00 [ ( x - x') 2 +

Unter Verwendung der Integrale

f ~

~

dz'

_ 2

-oc ( a 2 -F Z ' 2 ) 3/2 - - a 2 '

u c o s [k (u - x) ]

f ~ ycos[k(u- x)] f oo

U 2 _+_ y 2

oo

/g2

+ y2

Irl du -- ne -k

sin(kx),

k>O,

du = z r -Y~ e -kj,,I c o s ( k x ) ,

k>O

erhalten wir

-.

#oI( f ~ [(x- x')~y- yG]cos(kx')

B(~) = ~

~

(x

- - Xt) 2 "1- y2

#~ f oo(Uey - yG)c~ 2 + y2 B(~) =

--~y-~ cos (kx)gx +

-

dx'

du,

sin(kx)~yle-klYl

L6sungen der Aufgaben

343

Analog liil3t sich

A

A

f

--. #0 K foo oo cos ( k x ' ) d x ' d z ' e~ = @ A(~) = - ~ n -oo -oo x/(x -- x') 2 --~y2 d- Z ' 2

cos ( k x ) e - k l r l ~ . = Az~..

berechnen. Abb. A17.28c zeigt die Vektorlinien der magnetischen Flul3dichte (Linien A. = const).

Abb. A17.28b

Abb. A17.28c A17.29 Dickwandige, lange Kreiszylinderspule Das magnetische Feld ist z-gerichtet und verschwindet im Aul3enraum Q > D/2. Anwenden des Durchflutungssatzes liefert (Abb. A17.29b)

d/2 <_ Q <_ D/2:

H z 9I = 0 = I N ' I

D/2-

1 - 20/19 Hz= I N ' ~

1 -d/D"

O < Q < d/2:

Den Verlauf zeigt Abb. A17.29c.

H z= IN'.

Q

D/2-d/2'

Lasungen der Aufgaben

344

t

Abb. A17.29b

Abb. A17.29c

A17.30 Verlustleistung einer Spule

Mit den Bezeichnungen aus Abb. A17.30b liefert die allgemeine Beziehung ffir den Flugdichtebetrag im Zentrum einer dickwandigen Kreiszylinderspule endlicher L/inge den Ausdruck l a o N I l n [ d + X / D 2 +_12_,] B=D-d + x//d 2 + 12 A" Die gesamte Drahtl~inge 1Dund die Drahtquerschnittsfl~iche A D sind durch D+d kcu D - - d 2 ~z, A D = - ~ - ' - - - - ~ I

/D=N

gegeben. Fiir die Joule-Verluste erhalten wir damit zunfichst P = R I 2, R =

l---~D = ~ 2~z . D + d

TAD 7kcu1 D -- d' 02~ D + d P. . . . 7kcul D - d '

6)= NI,

und schliel31ich, wegen O

B -

-

.

D--d

m

lto ln[, D § v/D: _~/_2~ d + x,,/d 2 + 12 J

Abb. A17.30b

345

LiSsungen der Aufgaben

den Ausdruck

D2 -- d 2

( B ) 2 nd . P =

7kcu

l. d. ln2 [D + x//D2 +12]" d + x//d 2 + 12

Daraus ergibt sich fiir B = 3 T , d=20mm, D-l-100mm, kcu--0,7, 7 = 5 6 " 106 S / m (kalt) die Verlustleistung P = 94 kW! Dies zeigt eine Problematik der Erzeugung starker Magnetfelder auf. In der Regel sind zusiitzliche Mal3nahmen (direkte Leiterkiihlung, Pulsbetrieb) erforderlich.

A18.1 Magnetostatische Abschirmung Die Flul3dichte im AuBenraum liegt in der F o r m B'= BogQ + B j ~ mit BQ(Q, q~)=Bo(1 + a2/Q2)sin(q~),

Bq,(O, q~) = Bo(1 -- a2/oZ)cos(q~) vor, der leere Innenraum ist bei hinreichend groBer Permeabilit~it des Rohrmaterials n~iherungsweise feldfrei. Gem~iB Abb. A18.1b tr~igt die Rohrwandung daher in der Ebene ~o = 0 den l~ingenbezogenen FluB

;~12 ~' =

;[12 Bo(a, q~)adqo =

2Boasin(q0)dqo -- 2Boa.

Aus der Bedingung q~' <_ Bma x " d folgt dann die erforderliche Wanddicke d

> ~ ' / B m a x --

2aBo/Bma x = 4 mm.

Abb. A18.1b A18.2 Ringspule mit magnetischem RiickschluB Anwenden des Durchflutungssatzes (Abb. A18.2b) liefert zusammen mit B = #o H

0 <_0 <--dl/2" d~/2<_Q<_d2/2"

H. h = NI,

d2/2- Q

H'h=Sldz/2_d~/2,

Der Verlauf ist in Abb. A18.2c dargestellt.

B = poNI/h; #oNI d 2 -- 2Q B = h " d2 dl"

346

L6sungen der Aufgaben

Abb. A18.2b

Abb. A18.2c

A18.3 Strommefleinrichtung

Unter Vernachliissigung der magnetischen Spannung im unges/ittigten Eisen liefert fiir die Luftspaltflul3dichte der Durchflutungssatz (Abb. A18.3b) H L . I = I BL = #o I/l. Ohne Beriicksichtigung der Streuung ist daher der Verkettungsflul3

~v = BL" AL = #~l

= LI,

und somit der Beitrag zur Induktivitiit /.toAL

L= ~

=

4re"10-7" 15-20-10 - 6 2- 10- 3 H = 188,5 nil,

vorausgesetzt, Stromverdriingungseffekte spielen keine Rolle.

Abb. A18.3b A18.4 Streuspalt

Aus dem Durchflutungssatz (Abb. A18.4b) folgt die magnetische Flul3dichte im Schlitz zu B = #oI/b. Damit gilt ffir den 1/ingenbezogenen magnetischen Flul3

~' = - ~ - h = L'I, und daraus folgt der gesuchte Anteil L' = #~ = 12,6 gH/m b der l~ingenbezogenen Induktivitiit.

LiSsungen der Aufgaben

347

Abb. A18.4b A18.5 Drossel (i) Die mittlere L~inge (Abb. A18.5b) l = 2- (15 + 25)mm = 80mm und die einheitliche Querschnittsfl~iche A = 5-10mm 2= 50mm 2 des FluBpfades bedingt bei Vernachl~issigung von Streufliissen die Permeanz (den magnetischen Leitwert) #A Gh = - - ~ =

1500- 4n- 10- 7.50- 10- 6 Vs 80" 10- 3 ~ = 1,178 ~tH.

(ii) Dazu geh6rt die Induktivit~it Lh = N2Gh = (500) 2. 1,178 ~tH = 295 mH.

Abb. A18.5b

A18.6 Ferritkern ohne Spalt Die magnetische Parallelschaltung (Abb. A18.6b) von zwei gleichen Kreisen der mittleren L~nge l ~ 70 m m und der Querschnittsfl~che A -- 50 m m 2 fiihrt auf die

L6sungen der Aufgaben

348 Permeanz

Gm = 2 #A/l = 2,87 gH. Eine Wicklung mit N W i n d u n g e n auf dem Mittelschenkel besitzt d a n n n~iherungsweise die Induktivit~it L = NZGm .

II

I ~

ill ~1

~

Abb. A18.6b A18.7 Ferritkern mit Spalt Xhnlich der L6sung zu A18.6 erhalten wir mit l F ~ l , ~ 7 0 m m , 1 L - 0 , 1 m m , A = 5 0 m m 2 fiir die R e l u k t a n z 1

R m -- ~

lv

+

lL

_

lL 1+ #o2A

=0,796gH

~-1,438

Rm-- 1,14 g H -1.

A18.8 Magnetisehe Spannungen Die gegebenen K u r v e n lassen sich durch Kurvenstiicke, die ganz im Eisen verlaufen, zu geschlossenen K u r v e n erg/inzen. Ideale M a g n e t i s i e r b a r k e i t des Eisengestells vorausgesetzt, liefern letztere keinen Beitrag zur m a g n e t i s c h e n Spannung. Anwenden des Durchflutungssatzes V(Od) - I(s~') fiihrt d a n n unter Beachtung der rechtswendigen Z u o r d n u n g e n auf V1 = -- 400 A,

V5 = 2500 A + 400 A = 2900 A,

v2=0,

V6 = - 3000 A + 2500 A + 400 A = - 100 A,

v 3 = - 2500 A,

VT= V6= - 100A.

V4 = 3000 A,

A18.9 Luftspaltleitwerte Aus dem Durchflutungssatz folgt mit passenden Bezugssinnen q) 3

N / = ~ m l -~- Gm----~-- Gm---~ und aus dem Satz v o m magnetischen HiillenfluB t01 = ~2 + ~a-

Gm 3

Lbsungen der Aufgaben

349

Daraus ergibt sich NI=

1

+

)Oi,

9 v = NO 1 = LI,

Gm2 + Gm3 also die gesuchte Induktivitiit N 2

L=

1/Gmt + 1/(Gm2 + Gm3)

= 0,126 H.

A18.10 Verschiebbare Platte im Luftspalt Der Durchflutungssatz liefert (Abb. A18.10b)

B2 t~ B~ 6 + ~ 6 = (B~ + B2)~ Po

/-to

-- N I ,

#o

und der Satz vom magnetischen HiillenfluB a+x = B 1. (a + x ) b = B2ab

=*.

B 2 -

-

~

B1.

Daher ist 1 +

a ' x'~ a

fl

2a + x

B1= ~ B

#oNI

1= ~

a

_

_

#oNIab~ a+x

2a + x '

6

also

2(a + x) Ov(X, I ) = Nt0 = L o 2a + x

#o N2 L0 - - - ~

26

Abb. A18.10b

A18.11 Induktives Wandlersystem Aus den Verkettungsgleichungen #vl = LlI1 + MI2,

~)v2 =

L 2I 2 + M I t

ab.

350

L6sungen der Aufgaben

und nach Anwenden des Durchflutungssatzes gem/iB dem Schema Abb. A18.11b folgt speziell fiir 12 = 0 'I~v~ = LII ~ ~

ltoN2A L~ = 2/(1 -- ~/l)

bzw. speziell fiir I~ = 0 IIoN2A ~v2=L212 => L 2 = 2 l ( 1 + ~ / ] ) ' ~vl = MI2 - 0

=> M =0.

Abb. A18.11b A18.12 Induktiver Wegaufnehmer

Ausgehend von den Verkettungsgleichungen ~vE = LEIE + M I A,

~vA = LAIA + MIE

haben wir (Abb. A18.12b) speziell fiir IA = 0 r

= N A AB3

--

MIE.

Aus dem Durchflutungssatz folgt B l . ( a + x ) + B 2 - ( a - - x ) = 12oNEIE, B3"a + B 2 ( a - x ) = #oNEIE/2,

und der Satz vom magnetischen HiillenfluB liefert ~1 -- ~ 2 + ~3 = 0 =:> B1

-- B2 + B 3 -

also x B 3 - 3a 2 -- X 2//oNE IE.

0,

351

LiSsungen der Aufgaben

Nach Einsetzen in den Ausdruck for

tJgvA lesen wir die Beziehung

2x/a M (x) = 3 -- (x/a)2 L 1,

L 1 = N A NE #~

f/Jr die gegenseitige Induktivitiit ab, dargestellt in Abb. A18.12c.

Abb. A18.12b

Abb. A18.12c

A18.13 Haltemagnet

Es werden zun~ichst f/Jr den durch 4 = 1,1T-362. x/4 mm 2 - 1,12 mWb fixierten magnetischen Flul3 die magnetischen Spannungsanteile abgesch~itzt.

BL'IL/#O

Luftspalt"

V L - - H E l L --

Kern (Abb. A18.13b):

BK ~ BL ~ HK = 13,5 kA/m,

---

875 A.

VK ,.~ HK" IK ~ 338 A.

Joch (Abb. A18.13c):

Aj ~

63 m m . n - 10mm ~ 20cm 2,

Bj ~

(l)/Zj ,~, 0 , 5 6 T

Vj ~ n j - lj ,~

Riickschlul3 (Abb. A18.13d):

~ Hj --

1,9 kA/m,

86 A.

A R ~ 31,4 cm 2, BR ,~ ~ / A R ,~ 0,36 T ~ H R = 1,1 kA/m, VR ~ HR" IR ~ 16,5 A.

Aus dem Durchflutungssatz folgt dann O = Vges= VL W VK + Vj + VR~ 1316A~ 1320A.

352

L6sungen der Aufgaben

Abb. A18.13b

Abb. A18.13c

Abb. A18.13d

A18.14 Parallele Flulipfade mit S/ittigung

Mit den Bezeichnungen aus Abb. A18.14b gilt V = H sls = H LlL,

~=~s+~L,

wobei ~)L -- BL AL --/~o A LHL --

~s = Bs(Hs)As,

#o AL V, 1L

#o AL = 0,565 ~tH, /L

Hs = V/ls,

und der Zusammenhang Bs(Hs) durch die Magnetisierungskurve gegeben ist. Die graphische Ermittlung der Funktion q)(V) zeigt Abb. A18.14c. Fiir den Maximalweft V = 400 A ist BL = ~o V/1L = 0,5 T, d.h. die Annahme idealer Magnetisierbarkeit ftir die restlichen Eisenteile ist noch zul/issig.

Abb. 18.14b

Abb. A18.14c

L6sungen der Aufgaben

353

A18.15 FluBpfad mit Luftspalt und S~ittigung Mit den Bezeichnungen aus Abb. A18.15b gilt V = Ws "]- VL,

~ "~ (~s = (~L,

wobei

VL-

lL HElL = ---=IL- ~ ~ , #o #0AL

V~ = H~(B~)I~,

#oAL IL

= 15,7 g H ,

B~ = ~/A~,

und der Z u s a m m e n h a n g H~(B~) dutch die Magnetisierungskurve gegeben ist. Die graphische Ermittlung der Funktion r zeigt Abb. A18.15c. FiJr den Maximalwert 45 = 17,5 m W b ist BL -- t~L//AL ~'~ 0,7 T, d.h. die Annahme idealer Magnetisierb a r k e r fiir den Polschuh ist noch zul~issig.

Abb. A18.15b

Abb. A18.15c

354

L6sungen der Aufgaben

A18.16 Magnetischer Kreis mit Sfittigung Mit den angegebenen Voraussetzungen und den L~ingen aus Abb. A18.16b lassen sich zunfichst die magnetischen Teilspannungen berechnen: Be = 1,0T,

~ = B L A 1 = 1,6.10-3Vs,

BI = I,OT=c. HI '~13OA/m, 1/2 = 1/1 + VL = 198 A, (192 = B z A

2 --

VL =BL6/Po = 159A.

~I=~L=I,6"10-3Vs,

Vl = H l l l = 3 9 A .

H2 ~ V2/12 = 1980 A/m => B2 = 1,54 T,

0,616" 10 -3 Vs.

~3=q)l+~z=2,216"10-3Vs,

B3 = ~ 3 / A l = l , 3 8 5 T ~ H3 ~ 500A/m,

1/'3 = H313 = 150 A. Einem vollstfindigen Umlauf fiber die fiuBeren Schenkel und den Luftspalt ist dann die magnetische Umlaufspannung Vges--

V 3 + V 1 --~ V L - - V 3 + V 2 - - 3 4 8

A

zugeordnet. Der Durchfiutungssatz liefert schlieBlich den erforderlichen Spulenstrom I = O / N = Vges/N = 3,48 A.

I

I ~ l2 = 0,1 m

13= 0,3 rn I

I

t

O

!

i ll ~ 0,3 m /

i

Abb. A18.16b A18.17 Dauermagnetsystem Die Bezeichnungen aus Abb. A18.17b und der Durchflutungssatz ffir den strichliert gezeichneten Weg ffihren auf die Zusammenh/~nge BL HMd+--6=0

~

~toHM----

B L,

~o 9 '-B

Mh-B

L a =r

a B M-~B

L.

Eingesetzt in die Materialbeziehung B M - - ~ t o H M -q-B r fiJr starr magnetisierbare D a u e r m a g n e t e ergibt sich (a/h + 6/d)B L = Br, und daraus folgt die gesuchte LuftspaltfluBdichte Br

Be = a/h + 6/d = 1,27 T.

355

LiSsungen der Aufgaben

Abb. A18.17b

A18.18 Dauermagnetkreis mit schriigem Spalt Der Durchflutungssatz, der Satz vom magnetischen Hiillenflul3 und die Materialgleichung fiir starr magnetisierte Dauermagnete liefern der Reihe nach 2HMI M + BLIL/#o=O,

BMA =BLA/Cos(~ ),

BM=//oHM + B r.

Daraus folgt BL lL

BL IL

IM -- 2 ( B r - B M ) - 2 [ - B r - BL/COS((Z)] ' lL/2 1M = B r / B L -- 1/cos(a) = 2,74 mm.

A18.19 Dauermagnetring Mit den Bezeichnungen aus Abb. A18.19b und ~--- BMA M -- B L AL -- ~oHL AL = _ #0HMAL

gilt V + H MlM --O, B M = __//oHM AL/AM = B r + # o H M .

Daher ist V

. _ ~

"B-z =

IM 1 + ALIA M ].to

836 A.

L6sungen der Aufgaben

356

Abb. A18.19b A18.20 Ersetzen einer Spule durch Dauermagnete D e r LuftspaltfluB u n d die m a g n e t i s c h e S p a n n u n g a m Luftspalt, VL = N I = 250 A,

(g)L -- 0,27 m W b , sollen e r h a l t e n bleiben. Aus

(/)L -- BM AM,

B M= #oHM + Br

folgt #0 HM = ~ L / A M -- B~ ,

z u s a m m e n mit HMl M + VL = 0

also

lM ---

VL HM

/loV L Br -- (~L/AM'

w o b e i A M = rt- 10 - 4 m 2. Dies liefert lM = 3,47 m m .

A18.21 Dauermagnet mit Fluflkonzentration D e r D u r c h f l u t u n g s s a t z u n d der Satz v o m m a g n e t i s c h e n HtillenfluB, H E l L + H M lM = O,

~M = ~L -~- ~t7 = ~L/O'M =~ BMAM

= BLAL/tTM,

liefern z u s a m m e n mit den V e r k n i i p f u n g e n

B M--~t 0HM+Br,

BL--~I 0HL

die Beziehung

BL = aM -~L (Br +/t~ HM) = aM ~-~ML/Br -- ~M IL BL) '

LiSsungen der Aufgaben

357

d.h.

Br BL

AL/(ffMAM ) + lL/lM = 0,4 T.

--

A18.22 Magnetsystem fiir einen Lautsprecher Es gilt der D u r c h f l u t u n g s s a t z u n d der Satz v o m m a g n e t i s c h e n HtillenfluB (Abb. A18.22b), H E lL +

H Mlu = 0,

!~)L -- ~ M

:=~ B L A L =

BMAM,

z u s a m m e n mit den V e r k n i i p f u n g e n B M - B r + #oHM,

BE -- #0HE .

Dies liefert BL =

(Br +//oHM) = ~ L

/L)

Br --1-MMBL '

Br

B E - - A L I A M + lL/lM" Mit den W e r t e n A L = 89

+ 44)ft. 20 m m 2,

lL = 89

-- 4 0 ) m m ,

A M = 89

+ 70)ft. 30 m m 2,

lM = 89

-- 6 4 ) m m

ergibt sich d a r a u s B g = 0,92 T.

Abb. A18.22b A18.23 Gleichstrommotor mit Dauermagneterregung Aus d e m D u r c h f l u t u n g s s a t z (Abb. A18.23b) folgt 2/L BL/#O + lMHM- O, und aus d e m Satz v o m m a g n e t i s c h e n Hiillenflul3

BLA = BMab,

A = (D +/L) brc/6.

358 Zusammen

L6sungen der Aufgaben mit der Dauermagnetgleichung By lM --- 2 / L ~ B r --

BM

B M = B r q-//oHM

2/L

= B r

BL

D + lL rc a

e r h a l t e n wir d a r a u s

-- 3,3 m m .

6

Abb. A18.23b

A18.24 Dauermagnet im Luftspalt Anwenden des Durchflutungssatzes (Abb. A18.24b), 2/L H L + 2/MH M = 0, liefert z u s a m m e n m i t B L = #oHL,

B M - - / t o l l M -4- B r,

BM= B L = B

die B e z i e h u n g

l L B 4- lM(B -- Br) =- O, d.h. lL

1M = Br/B-------Z~ -- 2,8 m m .

Abb. A18.24b

LiSsungen der Aufgaben

359

A18.25 Gemischt erregter Magnetkreis Mit den Bezeichnungen aus Abb. A18.25b und den getroffenen A n n a h m e n gilt HMl M + B L lL/#O = N I , B E A L = BMAM,

BM =

B r + #oHM

9

D a r a u s folgt p o N I = BLl L + (BM -- Br)/M = lM[(lL/l M + AL/AM)BL -- Br-], B r + aoNI/IM B L = iL/l M + A L / A M'

und speziell f/Jr I = 0

er BLO = 1L/lM "Jr A L / A M ' entsprechend 0,6 T. Weiters ist BE -- 1 + #o ~ NI BLO Brli

=r N = B ~ l M ( B L ) - - 1 7--0/ BL0

"

Soll sich n u n fiir I = 1A der W e f t B L = 1,3 BLO einstellen, so erfordert dies die Windungszahl 0,3"6" 10 -3 N = 4n" 1 0 - 7 . 1 ( 1 , 3 - 1 ) = 430.

Abb. A18.25b A19.1 Brechungsgesetz fiir magnetische Feldlinien Aus den beiden S p r u n g b e d i n g u n g e n ~Bn~ = 0 => BlCOS(~Xl) = B2cos(~z2), ~Ht~ = 0" ~

H i s i n ( g 1 ) - H2sin(g2)

360

Lfsungen der Aufgaben

folgt direkt H1

tan (~1) =

H2

tan(~2) ,

unter Verwendung der Materialgleichungen B1 = Po#rl H1,

B2 = #0~r2 H2

also tan(~l) tan (,2)

/2rl

Pr2"

A19.20berfl~iche mit Strombelag Die Sprungbedingung ffir die magnetische Feldst/irke, ~Ht~ "- ~ x en =:> n 2 x -- n i x = K,

Hlx = H 1 sin(~l),

HEx = HEsin(~2),

und die Sprungbedingung ffir die magnetische FluBdichte zusammen mit den Materialgleichungen, ~Bn~ = 0 => #rlHl~ = ~ r 2 H 2 z , H l z = H 1 cos(o~l),

H 2 z = H 2 cos(c~2),

ffihren auf die beiden Gleichungen H2 sin(0~2)= K + H 1 sin(~l), ]2r2H2 COS(~2)= ]2rlH 1 cos(~l).

Daraus folgt tan (~2) = #r2. K + H1 sin(~l) 1 5- 103 + 40" sin(15 ~ #rl Hlcos(~I) = 50--0" 40"cos(15 ~ =0,259 entsprechend ~2 = 14,5 ~ A19.3 Nutenleiter

Der Durchflutungssatz, der Satz vorn rnagnetischen HiillenfluB, die Verkniipfungsbeziehu_ng B'= #o/~ und die Randbedingung Ht = O sind durch ein Vektorfeld der Form B = #oHx(Y)~x erfiillbar. Aus dem Durchflutungssatz folgt dann

H x 9b = ff-~by

fiir 0 < y < h,

Hx.b=I

fiir y_> h

und damit __. B=

I y /~o~.~ex

fiir O<_y<_h,

I Po ~ ex

ffir y > h.

Ltisungen der Aufgaben

361

A19.4 Streifenf'6rmiger Strombelag Wir ersetzen die Stromst/irke I in der angegebenen Beziehung d u r c h das Stromelem e n t 1/(2a)d~ u n d erhalten unter Beachtung von x = O"

Q2 = ~2 + ya,

(SymmetrieI)

-B= Bex

nach Integration -. #o I f~ yd~ex #~ B = ~ - , ~2 + y----~= 2ha

arctan (a/y)~'x,

d.h. -B = Bex ,

B = B o 2- arctan @ ) n '

B o = #~ . 2a

D e n gesuchten Verlauf zeigt Abb. A19.4c.

Abb. A19.4c A19.5 Leiter vor einspringender Kante (i) Abb. A19.5b zeigt die Vektorlinien und das Ersatzsystem v o n Linienleitern. (ii) An der Ebene y = 0 gilt aus Symmetriegr/inden B = By(X)~'y, .....

/toI [ 2 cos (el)

By = - ~

~';

-If-

2 cos(ct2)]

~-2

']'

wobei cos(~l) = (x -- a)/01,

02 = (x - a) 2 + a 2,

cos(o~2) = (x + a)/o2,

0 2 = (x + a) 2 + a 2.

D a m i t ist

By(X) = #0I [i n

x + a -] X -- a x - a) 2 + a 2 + (x + a) 2 + a 2_]

2x 3 #o I n x 4 + 4a 4"

~

~

362

L6sungen der Aufgaben

Abb. A19.5b

A19.6 Kraft auf einen Linienleiter

Das Magnetfeld der Ersatz-Linienleiteranordnung im leeren Raum aus Abb. A19.6b erfiillt die Randbedingungen an der K6rperoberfl/iche in der urspriinglichen Anordnung. Dies liefert die 1/ingenbezogene Kraft F ' - #~ -

4rca

#o ~2 COS2 (gOt) = ~/0 f2 = 4n----a 4rc----a'-2-[1 + cos(2ot)],

also den Betrag des zeitlichen Mittelwertes

F' =~o~ 87ra und die Richtung -g~.

Abb. A19.6b

L6sungen der Aufgaben

363

A19.7 Fl~ichenhafte Wirbelstromverteilung Das Magnetfeld der Ersatz-Linienleiteranordnung im leeren Raum aus Abb. A19.7b erfiillt die Randbedingungen an der Plattenoberfl~iche in der urspriJnglichen Anordnung (vollst~indige FluBverdr~ingung aus dem Platteninneren =~ Verschwinden der Normalkomponente der FluBdichte). Damit ergibt sich an der Ebene z - - 0 die magnetische Feldst~irke --,

H ( x , y, 0) -- - 2

I

/a cos(c00"x -- - ~ e~, 2:rrr 7rr 2

r -- x/a 2 + x 2. In der urspriinglichen Anordnung (Abb. A19.7c) folgt daraus die bei vollst~indiger FluBverdr~ingung sich einstellende FRichenstromdichte /a K-

e-'z • [ [ H I ] - gz • H ( x , y, O ) -

__.+

K--

I

7ZT~ Cy'

ey

7ra 1 + ( x / a ) 2

Abb. A19.7b

Abb. A19.7c

A19.8 Dauermagnetplatte Die Fluf3dichte zufolge eines FRichenstroms im leeren Raum ist allgemein aus /z0 f / ~ ( ~ ) d A

zu berechnen. Fiir die in Abb. A 19.8b skizzierte Seitenfl~iche gilt speziell K = K-Yx,

K = Br/#o,

x Y~,~ -- K . ( a / 2 g z +

r~,~ = - X e x

Zey),

+ a/2ey-Zez,

da --dxdz,

364

L6sungen der Aufgaben

und alle vier Seitenfl~ichen zusammen ergeben __ B ( ~ ) = 4. #o . K. a --

4n

2

i"''2

i-o

dxdz

ezJ_o/2J_~

[X2 -JI-(a/2) 2 -k Z2] 3/2

lZo K a 2f o

2

dz

2rr J_b(a2/4 -+- Z2)v/a2/2 + z 2

_

2 ( 1 )

B(~) -- B r - arctan :r

ez -- # o K - a r c t a n 7r

(

b v/b 2 4- a2/2

) ez,

-+

v~ 1 + ( a / b ) 2 / 2

ez.

Das Ergebnis h~ingt nur vonder RemanenzfluBdichte Br und dem Verh~iltnis a / b ab. Grenzf~ille: a/b--+cx~::> B --+ 0; a/b---~ 0:::> B --+ B~/2. Fiir B~ -- 0,4 T (z.B. Hartferrit) und a / b -- 5 ist speziell/~(~) -- 68 mTG.

Abb. A19.8b A19.9 Dauermagnetschienen Eine Ersatz-Linienstromanordnung I = Brd/lZo = 3183 A liefert

/7,_#olZ( -- 2rr

1 -~aaG+

B~ .__d2[ 1

im leeren Raum gem~il3 Abb. A19.9b mit

1 . .1 ._+ . 1 ) 2a+bG-~ 2a+bez 2a+2bgZ

1

2/Zo 7r ~ a a + 2 ( a + b )

/ 7 , - 9,59 N / m ( - G ) .

~2 2a+b

J G,

LiSsungen der Aufgaben

365

Abb. A19.9b

A 1 9 . 1 0 Kriifte zwischen D a u e r m a g n e t s c h i e n e n

Aus der Ersatz-Linienstromanordnung Abb. A19.10b im leeren Raum folgt

-

2n

ex

mit I = B r d / P o,

r = N//a 2 + b 2,

COS(00= a/r,

also if,

B2r d2 #oTra

ex 1 + (a/b) 2 - 124 N / m ex-

Abb. A19.10b

366

L6sungen der Aufgaben

A20.1 Spannungsstofl

Der gemessene SpannungsstoB gibt die ~nderung des umfal3ten Flusses an. Eine gleichfSrmige Verteilung angenommen, ist daher 5,6-10-4 Vs B = ~ = 4- 10-47r/4 m 2 = 1,78 T. A20.2 Heringsches Paradoxon

Das ,,Paradoxon" von Hering 1/iBt sich wie folgt formulieren: Eine geschlossene Kurve wird vorher (Stellung 1) vom magnetischen FluB 9 durchsetzt, nachher (Stellung 2) nicht mehr; also muB sich der umfaBte FluB. dazwischen/indern, das MeBger~it muB die FluB/inderung ( = SpannungsstoB) anzeigen. Tats/ichlich zeigt das Mel3ger~it aber nichts an! Erkl&irungen: (i) Wir denken uns den Eisenschenkel zus/itzlich von einem Metallring M umfaBt und die Schritte in Abb. A20.2b ausgefiihrt. In der strichliert gezeichneten Schleife findet keine FluB~inderung statt, somit ist (Stromfreiheit!) U = 0. (ii) Gem~iB Abb. A20.2c vervollst~indigen wir die MeBschleife durch das gedachte, mitbewegte Kurvenstiick cgx. Dann gilt V(~d) = V(%) + V ( ~ ) + V ( ~ ) -

V(%) = - ~,

wobei wegen der Stromfreiheit der MeBleitungen U(Cg3)=0, U(Cg4)=0 und U(Cgs) = U, also U = &x + U ( ~ ) . Andererseits ist auch U(Cgl) +

U((~2) =

--

&l mit

(1) U((~2)

"-- 0

(Stromfreiheit!), also

U(Cgl) = - ~1. Die Gleichungen (1) und (2) ergeben zusammen wiederum U = 0.

Abb. A20.2b

Abb. A20.2c

(2)

LSsungen der Aufgaben

367

A20.3 lnduktion in einer offenen Sehleife (i) In der rechten Lage der MeBschleife (Abb. A20.3b) ist ~v = 0 zusammen mit I = 0 (Stromfreiheit). Daher gilt fiir die AnschluBspannung U = R I + ~v = O. (ii) In der linken Lage der MeBschleife (Abb. A20.3c) ist ~P~ = ~sin(ogt),

~ = og~} cos (o) t),

I = 0.

Ffir die AnschluBspannung gilt daher U = R I + ~ , = ~v, d.h. U = U cos (o90,

U = 2nf~P= 62,8 V,

unabh~ingig vom Winkel a.

Abb. A20.3b

Abb. A20.3c

A20.4 Spannung an einer Meflspule

Die FluBdichte im Inneren der schlanken, groBen Spule ist aus A

Bz = #o NI/1,

I = I sin(ogt)

zu berechnen, also A

Bz = B sin(ogt),

A

A

B = # o N I / l = 1,257 mT.

Somit ist der VerkettungsfluB der MeBspule (Abb. A20.4b) ~v = NMAMBz, und die Spannung an der offenen MeBspule UM = ~ v = N M A M B . = NMAM ~ UM=

UMCOS(O)t),

eos(ogt),

V M ----NMAMOgB--

Abb. A20.4b

15,6 mV.

368

L6sungen der Aufgaben

A20.5 Vibrationsmagnetometer

Die FluB/~nderungsrate ist zusammen mit U maximal ffir B parallel zur Mittellage der Spulenebene und senkrecht zur Drehachse (Abb. A20.5b). Damit gilt ~v = N B A sin(g) = N B A sin [02 sin(cot)l, U(t) = ~v(t)= N B A cos(g)co~ cos(cot)

,~ U cos(cot),

U = NBA~CO,

da cos(g) ~ 1. Die angegebenen Daten geh6ren zum Betrag A

IBI = B = ~

U

N A ~co

= 10,9 m T

der magnetischen Flul3dichte.

Abb. A20.5b A20.6 Drehzahlgeber mit Impulsdrahtsensor

Der Verkettungsflul3 der Aufnehmerspule betr~igt etwa ~v = N B 1 A = 1 0 - 6 Vs,

und seine U m p o l u n g bewirkt ungef~ihr den Spitzenwert 2 ~ v _ 2 . 1 0 -6 Vs U = d 5 v ~ At 10 - 6 s

:

2V

der Leerlaufspannung. A20.7 Flufldichtewelle

Abb. A20.7b zeigt den r~iumlichen Verlauf von B z zu einem festen Zeitpunkt. Die Welle l~uft in Richtung der positiven x-Achse mit der Geschwindigkeit co/k und bewirkt in der Spule den VerkettungsfluB ~v =

fsl

BzdA =

~b/2A B sin(kx J- b/2

- (ot)ldx =

nl~kb/2-cot sin(qg)dq9 k .)- kb/2- cot

B1 = k [_cos(kb/2 + c o t ) - c o s ( k b / 2 - c o t ) ] .

Mit c o s ( ~ - f l ) - cos(g + fl)= 2 sin (a) sin (fi)

Lifsungen der Aufgaben

369

und k = 2~z/2, wobei 2 die Wellenl~inge bedeutet, gilt .. q)v = -- q~sin(o~t),

.. B/ .. q~= ~ 2 s i n ( k b / 2 ) = B l b sin(~zb/2) rob~2

Dies liefert die AnschluBspannung ..

..

U=-~v=UCos(ogt),

..

U=coBlb

sin(nb/2) rob~2 "

Deren Abh~ingigkeit vom Verh~iltnis b/2 zeigt Abb. A20.7c.

Abb. A20.7b

Abb. A20.7c A20.8 FluBmessung

Der Zusammenhang U ( t ) = - N ~ ( t ) liefert ftir die angegebene Rechteckspannung 0 < t < T/2"

~=

-- U / N ~

T / 2 < t < T"

~=

U/N ~

q~(t) = - t U / N + const,

~ ( t ) = t U / N + const.

Abbildung A20.8b zeigt diesen notwendig stetigen FluBverlauf mit unterdriicktem Mittelwert, wobei 2 q) = ( T / 2 ) U / N ,

9 = T U / ( 4 N ) = 0,6 mWb.

Durch eine Messung dieser Art wird lediglich der Wechselanteil des magnetischen Flusses erfagt.

370

L6sungen der Aufgaben

Abb. A20.8b A20.9 Tangentialfeldspule Aus

der

Sprungbedingung

Ht+ - - H t-

und

dem

Induktionsgesetz

in der

Form

(] -- coNAlzoftt ergibt sich mit A -- 5 . 1 0 -6 m 2 ftir die A m p l i t u d e der Tangentialfeldst~irke /4t =

U

IZoco N A

_

0 , 9 5 . 1 0 -3 A / m -- 96,3 A / m . 4zr. 10 -7. 100:r- 5 . 1 0 3 . 5 - 1 0 -6

A20.10 Induktion in einer geschlossenen Schleife Das I n d u k t i o n s g e s e t z U ( O d ) = - ~ b ( d ) q ~ ( d ) - ~ cos(cot),

liefert mit - ~(d)

- coq3 sin(cot)

den Z u s a m m e n h a n g (Abb. A20.10b)

U ( O d ) -- U~ + U2 -- (R~ + R2)I -- coc~ sin(cot) fiir die B e r e c h n u n g der Stromstarke. S o m i t ist

U~--RlI--g]~sin(cot),

~J~--

U2 -- R21 -- U2 sin(cot),

U2 --

R~ co~ -- 10,5 V, R1-+-R2

R2 R1 + R2

Abb. A20.10b

co~ -- 20,9 V.

L6sungen der Aufgaben

371

(Fiir R~ --+ oo u n d e n d l i c h e W e r t e v o n R2 ergibt sich U~ = coS, c h e n Sie d a z u A 2 0 . 3 ) .

~/2 = O. Verglei-

A20.11 KurzschluBwindung Aus U(Od) = RI =-

$(d),

q ~ ( d ) -- $ cos(cot), folgt

cos

i =

R

Dies e n t s p r i c h t m i t t l e r e n sofort t h e r m i s c h zerst6rt.

=

l(t)-

I sin(cot),

q3 -- 1,8 9 0 , 2 . 0 , 1 Vs -- 3 6 . 10 -3 Ws 1007r. 3 6 - 10 -3 10 -3

Joule-Verlusten

von

A = l1310A! 64kW:

Die

Drahtschleife

wtirde

A20.12 Induktion mit Dauermagnetstab D a s V e r s c h w i n d e n des W i d e r s t a n d e s , R -- 0, b e d i n g t Sv :

-U(0d)

:

0 ::> ~v -- const.

D a m i t stellt sich n a c h d e m E n t f e r n e n des D a u e r m a g n e t s t a b e s w e g e n @v = L I = N P die Stromst~irke I :

N P / L = O,4 A

ein.

A20.13 Topfspule Linearit~it v o r a u s g e s e t z t , gilt ( k o r r i g i e r t e G r 6 B e n mit Strichen g e k e n n z e i c h n e t ) L,

L'--

L

--

-- / l q ~/

AN_ N'-N N -N

L AL Z

--

-1::>-~---

1 ~ .1 . A. L . . 2 L

lq

~] ,

2,5% "

D i e W i n d u n g s z a h l ist u m ca. 2 , 5 % zu v e r k l e i n e r n . Weiters ist -- c o N S = coAN/B =r N'B' -- N B ,

:

/~' --/~ ~

--

N N'

1--

1 ~/1 + A L / L

--1 ~

1 AL 2

L

--2,5%.

Bei g l e i c h e r S p a n n u n g w i r d d a b e i die F l u B d i c h t e u m ca. 2,5% gr6Ber.

A20.14 Bewegungsinduktion N u m e r i e r u n g der Fiille n a c h der a n g e g e b e n e n Tabelle. (1) K e i n e b e w e g t e n Leiter, k e i n e z e i t l i c h e F l u B i i n d e m n g : U -- 0. (2) wie (1): U - 0. (3) S i t u a t i o n iihnlich A 2 0 . 1 5 m i t U --+ - U : U -- --~M " n -- - - 3 0 m V . (4) wie (3) m i t n --+ - n : U = q0M 9n -- 30 m V . (5) w i e (3): U = - 30 m V .

372

L6sungen der Aufgaben

(6) wie (2): U -- 0. (7) wie (4): U -- 30 mV. (8) wie(1): U -- 0. Ob sich der Magnetstab dreht oder nicht, ist belanglos. A 2 0 . 1 5 Unipolargenerator

(i) K6rperfeste Schleife (Abb. A20.15b)" u(ow)

= -,b(d);

dt- ~-

cI:,(d) = Brlotd/2,

U--qSon,

= U(~l) - u(~)

u(ow)

27rn,

$(d)

= -u,

- o;

-- BrldTrn - - qSon"

U--0,23Vs.50s

CI'o--Brldrc--0,23Vs,

u(~,)

-~-

11,3V.

(ii) Raumfeste Schleife (Abb. A20.15c): u(od)

-

-,b(w)

-o;

u(ow)

J -- v(E + ~ • B) -- O ~

-

E -- -~

u(cg~)• B,

u ( ( g 3 ) =~ u -

u(~3)

-

u(~r

E~ - - v B r - - :rcdnBr,

U(qY2) = E~l = BrldTrn = ~ o n .

Gleiches Ergebnis U -- @on wie unter (i).

Abb. A20.15b

Abb. A20.15c

A 2 0 . 1 6 Induktion in rotierenden Scheiben

Unter Zugrundelegung einer raumfesten Schleife (Abb. A20.16b) gilt fiir ein r/iumlich und zeitlich konstantes magnetisches Feld U ( 0 d ) = - $ ( ~ ' ) - - 0 , d.h. U(Od) - - U + U ( C ~ ) - - O. Wegen der Stromfreiheit, J -- v ( E -k- i~ • B) - - 0 , haben wir entlang ~ die elektrische Feldst~irke E -- -#

• B -- U2rB~,

a'-2 - - 27cn,

und damit die elektrische Spannung U(~l)-

2

E,.dr-

2X?Ba2/2,

0

also U -- -U(~l)

-- -2:rca2nB.

L6sungen der Aufgaben

373

Abb. A20.16b

A20.17 Induktion in einem geraden Leiter Entlang

der raumfesten

Kurve

( A b b . A 2 0 . 1 7 b ) , ist U ( O d )

cg, die m o m e n t a n

- - U + Us - - - $ ( d )

mit dem

Leiter zusammenf~illt

- - 0, d.h. U - - - U s -

- - E s 9 s, w o b e i

sich die e l e k t r i s c h e Feldst~irke aus d e r S t r o m f r e i h e i t ergibt: J - - O :=> E - - - g

x B => E s - - v B .

S o m i t gilt q5 U--

v Bs

U--

--

~

1 . rra

2 v/a 2 -

.

.

.

x 2,

1,91V-

1-

a

-10ms
d a r g e s t e l l t in A b b . A 2 0 . 1 7 c .

Abb. A20.17b

Abb. A20.17c

'

-

< 10ms, -

374

L6sungen der Aufgaben

A20.18 Induktion in einem abgeschirmten Leiter Das Induktionsgesetz (Abb. A20.18b) liefert u(~d)

= V(~l)-

u = - d~(d),

wobci U(~I) = 0 (Stromfreiheit!) und $(5r ~ - Blv. Trotz Abschirmung gilt demnach

U "~ - Blv.

Abb. A20.18b A20.19 Spule im r/iumlich periodischen Spaltfeld Obcr den Ausdruck fiir den magnetischcn FluB (Abb. A20.19b) @(d) = l

f

r +a/2

A

B sin(re x/'c)dx

,J ~ - a / 2

=/31 ~- {--cos [rc(r + a/2)/z] + cos [rc(r --a/2)/r]} erhalten wir mit ~ = vt ftir die Leerlaufspannung

U(t) = Nob= N~lv{sin[z(vt + a/2)/r] - sin [rc(vt - a/2)/r] } t , --NBlv2sin(rC~zz) cos (~v)__ also

U(t)

0cos(o~t),

0

NBlv 2sin (Tr~]

Abb. A20.19b

L6sungen der Aufgaben

375

A20.20 Magnetohydrodynamischer (MHD) Generator Unter den g e n a n n t e n V o r a u s s e t z u n g e n liefert das I n d u k t i o n s g e s e t z flit eine r a u m f e ste Kurve (Abb. A 2 0 . 2 0 b ) U ( C ~ l ) + U ( C ~ 2 ) - - q b ( d ) - 0 , fiir die A n s c h l u g s p a n n u n g also U = U(C~) = -U(C~2). Aus der L e e r l a u f b e d i n g u n g J = v(E + ~ • B) = 0 mit y ~ 0 folgt weiters

f-

-V•

vxBz~'y,

daher ist U

--

-U((~2)

=

-Eyb

"- - v x B z b .

Abb. A20.20b

A21.1 Spannungen in einem induktiven Kreis A l l e S p a n n u n g e n gleich Null.

t <0: 0
5ms:

UR = R I = 5O f2. L

UL -- L I -- 0,2 H - 0 , 5 A / 5 ms -- 20 V, U=UR+UL=50f2.I+20V. 5ms
UR--RI--50f2-0,5A=25V, U~ -- L ] - - O , U=

10ms
UR + UL = 25 V .

/JR=RI=50f2.L u, -

Li

-

0,2H.(-1A/5ms)

--

-40V,

U -- UR + UL = 5 0 f 2 . I - 4 0 V . t > 15 ms:

UR = R I = --25 V,

UL = 0,

U -- - 2 5 V.

376

L6sungen der Aufgaben

Abb. A21.1c

A21.2 Teilspannungen an RLC-Reihenschaltung Die gesuchten Spannungsverl~iufe sind in Abb. A21.2c-g dargestellt.

Abb. A21.2c

Abb. A21.2d

Abb. A21.2e

L6sungen der Aufgaben

377

Abb. A21.2f

Abb. A21.2g A21.3 Messen der Induktivitiit Gem/iB Abb. A21.3b mit UL -- L]L gilt --R(I-

le) + RulE + LiL --O,

ftir die angegebenen Werte also L--

RLIL-

R(I-

IL)

--]L

Abb. A21.3b A21.4 Anfangswerte iL = 0,

/c=O.

t < 0:

IL = 0,

t -- 0 +-

IL ist stetig :=~ Ic -- 0; Uc ist stetig, Abb. A 2 1 . 4 b =~ iC = U L / L

-- Uq/L"

Ic = UR / R 2 -- Uq / R 2.

=0,1H.

378

L6sungen der Aufgaben

Abb. A21.4b A 2 1 . 5 Schaltvorgang

Bezeichnungen nach Abb. A21.5b. t<0:

I=I L= Uq = ~ 1 2 V = l A . R i + R L 12 f~ ',~,,

t = 0 +"

I L

t >'0"

I L klingt nach einer natiirlichen E x p o n e n t i a l f u n k t i o n mit der Zeitkonstanten

wird im ersten Augenblick festgehalten

L

0,1 H

RL

lOf~

~

I L --

1 A.

= 10ms

ab. D e n Verlauf zeigt Abb. A21.5c.

Abb. A21.5b

Abb. A21.5c

A21.6 Bemessen von Widersfiinden

D e r Grenzfall t ~ ~ liefert U U I L ( O 0 ) = ~ =:> R 1 . . . R1 IL(~)

.

ll0V 0,5A

= 220 f~.

Aus d e m Exponentialverlauf gem/il3 Abb. A21.6b, IL(t) = I L ( ~ ) ( 1 -- e-'/~), ergibt sich speziell fiirt = t 1 die F o r d e r u n g

e-tl/*= 1 - IL(tl)/IL(~)= 1/2,

LSsungen der Aufgaben

379

und somit tl = ln(2), z D a r a u s folgt R~ I[R 2 R E = 41,14 f~.

--

L/'c

--

z

t1

- 7,21ms

ln(2)

L R 1 I[ R 2 "

34,66f~, z u s a m m e n mit R~ = 220f~ daher schliel31ich

Abb. A21.6b

A21.7 Freilaufdiode

Bezeichnungen nach Abb. A21.7b

(i) Verlauf

von

IL

S geschlossen, D sperrt, I L - - U/R L = 220 V/200 f~ = 1,1 A. 1,1 A, fliel3t fiber Diode, I = 0. t > 0: /L klingt exponentiell mit der Zeitkonstanten z = L / R E -- 0,5 s a b (Abb. A21.7c). (ii) Verlauf der S p a n n u n g Us a m Schalter t < 0:

t -- 0:

I L (0 + ) -- I L (0 -- ) =

9 Mit idealer Diode: U s = U + Uo;

t < 0" t > 0:

U D -- -- U, U D ~0,

Verlauf in Abb. A21.7d. 9 M i t groBem Zusatzwiderstand, z.B. RD = 10ks im Diodenzweig (Abb. A21.7e): z = L / ( R L + RD) = 9,8 ms, t = 0--~- : U D = I L ( 0 + ) R D = 1,1- 104 V, U s = ll,2kV(!) 9 O h n e Diode: Entspricht dem Grenzfall RD ~ ~ . Es treten hohe Spannungsspitzen an der Spule (Spannungsfestigkeit gefahrdet) und a m Schalter (Funken, Lichbogen) auf (Abb. A21.7f). Die Freilaufdiode verhindert demnach das Auftreten yon Schaltiiberspannungen.

380

L6sungen der Aufgaben

Abb. A21.7b

Abb. A21.7d

Abb. A21.7c

Abb. A21.7e

Abb. A21.7f

A21.8 Gleichstromsteller

M i t den Bezeichnungen aus Abb. A21.8b folgt zun~chst Mittelwert der Spannung an der Spule im Intervall (0, T) UL = -~

UL d t = -~ [ I ( T ) -

aus

U L =

L d I / d t fiir den

I(0)].

Soll I(t) periodisch verlaufen, also I ( T ) = 1(0) gelten, so m u g d e m n a c h an der Spule eine Wechselspannung liegen, U L - O. Fiir I(t) = I o = const h a b e n wir dann speziell m

U = U L + R I o =~ U = R I

o,

I o = U/R = ~Uq/R.

Abb. A21.8b A21.9 Spannungseinbruch

t=0-"

U(0-)=Uq--100V,

z(o-)=o.

381

LSsungen der Aufgaben

t=0+-I(0+)=I(0--)=0, t~oo: Der

i=0,

U(O+)=RI(O+)=O.

R U(~)=Ri+RUq

83,3V.

Ausgleichsvorgang verl~iuft exponentiell mit der + R) -- 0,833 ms und ist in Abb. A21.9b dargestellt.

Zeitkonstanten

-c = L / ( R i

Abb. A21.9b

A21.10 Spannungsumkehr

Mit den Bezeichnungen aus Abb. A21.10b ist

R2 IIRL t <0:

U E "~ U 1 --- 5 V ,

I L -- U A / R L --

t=0-F- "

--

U 1

=R1(I2

U A - - R 1 + R211RL

4,17 m A . + IL)+R212

U1 + R , I L U A -- R 2 1 2 -- -- 1 + R 1 / R 2

t-+oo:

U1 = 0,417 V;

W i e t < 0 m i t U 1 --+--U1;

=~ 12 = __

U1 + R I l L RI+R

2 '

= -4,58 V. UA-- -0,417V.

Den exponentiell verlaufenden Ausgleichsvorgang zeigt Abb. A21.10c, wobei -c = L / ( R L + R 1 IR2)= 83,3 ~ts. A21.11 Zeitkonstante

( "C =

L_IL2 '~1 L2 + L1 + g3,] R = 0 , 8 5 s.

L6sungen der Aufgaben

382

Abb. A21.10b

Abb. A21.10c A21.12

lnduktivit~its~inderung

Mit den Bezeichnungen aus Abb. A21.12b gilt vor d e m Sprung R3 I(0-)

U

--

=

R2 q- R3

R2 IL (0--) -- R3 1 (0--) -- 400 mA.

mA,

133

R1 -+- R2IIR3

Beim Induktivit~itssprung bleibt der Verkettungsflug q S v - L IL der Spule erhalten. Daraus folgt 500 mH ~ 4 0 0 It(0 + ) -- 250 mH

mA -- 800 mA,

U -- R1 (I + I L ) + R2I -= RIIL + (Rl + R2)I, I(0 + )

U - Rl IL(0 -+-) --

=

-67

R1-~-R2

mA.

Daran schliegt sich ein exponentieller Ausgleichsvorgang mit dem Endwert und der Zeitkonstanten l(cxz) = 1 ( 0 - ) - 133 mA,

r --

L

250mH

R3 -+- R1 IIR2

5 S2

= 50 ms.

L~sungen der Aufgaben

383

Abb. A21.12b

Abb. A21.12c

A21.13 fJberspannung Die Schwingungsgleichung LC~I" + I - - 0 besitzt die allgemeine L 6 s u n g I ( t ) = A sin(oot) + B cos(oot)

mit oo = 1 / x / L C

u n d K o n s t a n t e n A, B. D a r a u s folgt U c ( t ) = U s -- L i = U s - c o L [ A cos(cot) - B sin(cot)].

Aus den A n f a n g s b e d i n g u n g e n I(o) = Io = Vs/R = 5 A,

Vc(O)= Us

ergibt sich B = I o u n d A = 0 . Somit ist Uc(t ) = U s + r

o sin(cot),

Uc max -- Us + c o L I o = Us + ~

Io = 20,8 V.

D e n Verlauf yon U c zeigt Abb. A21.13b. D u r c h Vergr/SBern yon C k a n n die Spannungsspitze U c m a x verkleinert werden.

Abb. A21.13b

384

L6sungen der Aufgaben

A21.14 RL-Reihenschaltung mit periodischem Strom .

Bezeichnungen gem~il3 Abb. A21.14b. U R = R I , d.h. U R verl~iuft wie I. Weiters verl~iuft UL im Inneren des ersten Intervalls nach U L --

Li =

0,

1 H ' ( - 2 0 0 s- 1). 10A.e- 2oot/s = _ 200V.e-2OOt/s

und ist entsprechend fortzusetzen. An den Stellen der Stromspriinge ergeben sich modellhaft unendlich grol3e Spannungsspitzen. Gesuchte Verl/iufe in Abb. A21.14 c-e.

Abb. A21.14b

Abb. A21.14c

Abb. A21.14d

Abb. A21.14e

A21.15 RL-Parallelschaltung

(i) Bezeichnungen nach Abb. A21.5c. Ist die Spule widerstandslos, so gilt Ig = U / R = __+20 V/4f~ = __+5A, i L = U / L = _ 20 V / 1 0 m H = + 2000 A/s.

bei notwendig stetigem Verlauf I L. Die Addition I = I R d- I L zeigt Abb. A21.15d. (ii) Bei Beriicksichtigung eines relativ kleinen Spulenwiderstandes R E (Abb. A21.15e, T<< z, R L << 10 L / T ) klingt der Gleichanteil I yon I in Abb. A21.15 d mit der Zeitkonstanten z - L / R E ab, es bleibt nur der Wechselanteil fibrig: Eingeschwungener Zustand, Abb. A21.15f.

L6sungen der Aufgaben

385

Abb. A21.15d

Abb. A21.15c

Abb.A21.15f

Abb. A21.15e

A21.16 Differentiation durch RL-Glied M i t den B e z e i c h n u n g e n aus Abb. A21.16c gilt allgemein U A --Li,

U R = RI,

U E -- U A -~- U R.

(i) G r o B e F r e q u e n z T << 5 z,

z = L/R

(,,L-dominiert").

I ~ c o n s t , b e s t i m m t d u r c h den M i t t e l w e r t U E = U 1 / 2 und R: I ,,~ U J ( 2 R ) ,

U A =

U E -- U R ~ U E -

U ~ / 2 = U E -- UE.

Verlauf in Abb. A21116 d. Es wird lediglich der Mittelwert v o n U E ausgefiltert. (ii) Kleine F r e q u e n z kT

und

(1 - k) T >> 5 z,

z = L/R

(,,R-dominiert).

386

L6sungen der Aufgaben

Abb. A21.16c

Abb. A21.16d

Abb. A21.16e

Abb. A21.16f

Abb. A21.16g

Abb. A21.16h

I wird durch den M o m e n t a n w e r t von UE und durch R bestimmt: I ~ UE/R,

-g UA -- L ] ~ Z'/-)E -- ~--~U, 1" (1

--

k)T

Ul

ftir

0
ftir

k T < t < T,

387

L6sungen der Aufgaben

periodisch fortgesetzt. Verlauf in Abb. A21.16e. Am Ausgang erscheint ein (relativ kleines) Signal proportional zur differenzierten Eingangsspannung. (iii) Der Spulenwiderstand RL liegt zus/itzlich im Kreis (Abb. A21.16f), Zeitkonstante z = L / ( R + RL). Damit ist fiir groBe Frequenzen I~

U1 2(R

+ RE)'

UA-- U E .

R

U1

. . . R + RE

2 '

entsprechend Abb. A21.16g. Es verbleibt ein Mittelwert -

R L

UA--R+RL

.

U1 2

Fiir kleine Frequenzen ist dagegen I ,~, U E / ( R +

RL) ,

U A --- Li. + R L I ~ z U E +

RL

R+R

L

UE,

dargestellt in Abb. A21.16h. Dem differenzierten Eingangssignal ist zusiitzlich ein der Eingangsspannung proportionaler Anteil iiberlagert. A21.17 Integration durch RL-Glied Mit den Bezeichnungen aus Abb. A21.17c gilt allgemein U A = RI,

V L = LI,

U~ = U L -~- U A .

(i) GroBe Frequenz T<<5%

z=L/R.

In erster N/iherung ist m

I ~ const

=

N

UE/R ,

UE= 0 ~

I ,~ 0,

und als Korrektur U L ~ UE,

i--

UL/L ,

UA = R i ,~, UL/'C ~ UE/'C,

was einer Integration entspricht (Abb. A21.17d).

U A ~---0,

388

L6sungen der Aufgaben

Abb. A21.17c

Abb. A21.17d

Abb. A21.17e (ii) Bei merkbarem Spulenwiderstand R E (Abb. A21.17e) ergibt sich UE ~ A ~ ~R" R + R E "c

L "C=R+R E also ein Verlauf wie in Abb. A21.17d. A21.18 Leistung an einer idealen Spule Bezeichnungen nach Abb. A21.18a. Leistung an der Spule: I = I'sin(ogt), PL = UL I

eL ~ -

-

U L =

Li

= ogLI'cos(ogt),

= o ) L I "2 sin(cot)cos(ogt)

= / 5 L sin(2ogt),

= 2,51 kVA. m

Sinusverlauf mit 100 Hz (Abb. A21.18b), Mittelwert PL = 0.

Abb. A21.18a

L6sungen der Aufgaben

389

Leistung am Widerstand: A

U R ---

R I = R I sin(ogt),

PR = UR I = R~'2 sin/(~

= 89

1 - cos(20ot)],

R I 2 / 2 = 2W. m

V e r l a u f in A b b . A21.18c, M i t t e l w e r t PR = 2W.

Abb. A21.18b

Abb. A21.18c

A21.19 Leerlaufspannung in einem gekoppelten Kreis N a c h d e n B e z e i c h n u n g e n in Abb. A21.19b ist

U~ = L~ ]~ + V

=

--

0

Mi2, U2= L2 i2

2 "-" - -

Mi I =

-

ogMIq

+

Mi~,

cos(~ot),

also A

A

U = - U cos(oot),

A

U = ooMlq

m i t co = 27~f, f = 50 Hz.

Abb. A21.19b

=

3, 14 k V

= o,

390

L6sungen der Aufgaben

A21.20 Ausgleiehsvorgang

Ausgehend von den Bezeichnungen in Abb. A21.20b haben wir zun/ichst wegen I 2 --0 U~=L~i~ +Mi2=L~]~,

U2=L2i2

+Mil=Mi~,

U = U 2 - U 1M/L1.

I klingt, mit I o beginnend, nach einer Exponentialfunktion mit der Zeitkonstanten zl - L~/R1 - 91 ~s ab (Abb. A21.20c). Daraus folgt, da R~ / + U~ - 0, U = - I R i M / L i = -- I M / z i,

also der gesuchte Spannungsverlauf in Abb. A21.20 d mit dem Anfangswert U o =-IoM/z

1 = -6,6V.

Abb. A21.20b

Abb. A21.20c

Abb. A21.20d

L6sungen der Aufgaben

391

A21.21 Drei gekoppelte Spulen Aus den Elementgleichungen (Abb. A21.21b) U1 --- L l l i l + L12 i2 -~" L13 i3, U2 = L21 i l + L22/2 + L23 I3,

U 3 = L31 i l + L32 i2 + L33 i3

mit den Induktivit/iten (Lik -- Lki ) L l l = 2H,

L12 = 2H,

L13 = 1H,

L 2 2 = 3 H,

L23 = 2H,

L33 = 5 H

und aus den S c h a l t b e d i n g u n g e n I = 11 = 12 + 13,

U = U 1+ U2 = U1 + U3

erhalten wir U~ =(Lx~ +

L~2)i +(L13--Lx2)i 3 = 4 H - i - - 1H'i3,

U 2 = (L2~ + L22 ) i + (L23 -- L22 ) i 3 = 5 H - i -- 1H- i 3, U 3 = (L3a +

L32 ) i + (L33 -- L32 ) i 3 = 3 H - i + 3 H - i 3.

Dies liefert wegen U 2 = U 3 u n d d a m i t / 3 = U - - U 1 "~ U 2 =

in der F o r m U =

i/2 die Beziehung

9H" i - 2H" i3 = 8 H - i

Li, also die gesuchte Ersatzinduktivitiit L = 8H.

Abb. A21.21b

392

L6sungen der Aufgaben

A21.22 Ersatzschaltungen fiir gekoppelte Spulen

(a) Bezugssinne gem/iB Abb. A21.22e. U1

-

-

-

L 1 ] 1 -b Mi2 = ( L 1 -- M ) i l + M ( i l + i2),

Uz:Lzi

2+

Mil : ( L z - - M ) i

2 -+-M ( i l + i2)"

Ersatzschaltung Abb. A21.22 f. (b) Wie (a) mit M ~ -- M. Ersatzschaltung Abb. A21.22 g. (c) Entspricht Schaltung (a) mit zusammengelegten Abb. A21.22h. (d) Wie (c) mit M ~ - M. Ersatzschaltung Abb. A21.22i.

Abb. A21.22e

oberen

Anschliissen:

Abb. A21.22f

Abb. A21.22g

Abb. A21.22h

Abb. A21.22i

A21.23 Messen der gegenseitigen Induktivit~t

Da L a - - - - 2 m H < L b = 6mH, entspricht Schaltung (a) einer Gegenkopplung und Schaltung (b) einer Mitkopplung (Abb. A21.23c). Aus den Gleichungen (a)

L a -

L1+

L 2 --

2 M,

(b) L b - L x + L a + 2 M

L6sungen der Aufgaben

393

folgt dann

Abb. A21.23c A21.24 Kopplung

zweier Spulen

Die A n o r d n u n g l~igt sich zun~ichst durch die Schaltung Abb. A 2 1 . 2 4 a darstellen, wobei U, -- L , i ,

U2 - - M i ,

M -- k C L 1 L 2

Uq -- R I + Ui - - R I + L l i ,

r -- L l / R

0,152 H,

-

-- 60ms.

Nach Anlegen der G l e i c h s p a n n u n g ergibt sich daraus (i) (iii) (ii)

t=0+:

I=0,

t --+ cx~:

I -- I ~ - - U q / R - - 50 A,

t = r:

]-

Uq/L,

833 A / s ,

-

] -- 0,

I=0,632.I~=31,6A, U2 - - M i -

U2-

k~L2/L,Uq

- - 126V.

U2 -- 0.

i -- 0,368 i0 -- 307 A / s ,

46,5 V.

Den Stromverlauf zeigt Abb. A21.24b. Der zweiten Konfiguration entspricht die Schaltung Abb. A21.24c mit U1 -- L l i ,

U2 -- M ] ,

0 -- R ' I + U1 - - R ' l + L11,

r'--

LI/R'--

10ms.

Wir erhalten (i)

t -- 0 -k- :

I = I ~ -- 50 A ,

i

--

-R'I/L1

--

-I~/r'

-- --5 k A / s ,

U2 -- M i -- --759 V(!) (ii)

t = r':

I -- 0 , 3 6 8 . I ~ -- 18,4A, -

M i -

-279

v.

] -- 0 , 3 6 8 . ]o -- - l , 8 4 k A / s ,

394

L6sungen der Aufgaben

(iii) t ~ c ~ "

I=0,

i=0,

U2=0.

Der S t r o m v e r l a u f ist in Abb. A21.24d skizziert.

Abb. A21.24a

Abb. A21.24b

Abb. A21.24c

A21.25

Abb. A21.24d

Transformator-Ersatzschaltung

Die b e k a n n t e T-Ersatzschaltung Abb. A21.25b mit

L1, r = L 1 -

R' z = n 2R2,

nM,

L2. = n 2 (L 2 -- M / n ) = n 2 L2.,

L. =nM,

M = k~/L 1L 2

entspricht der Konfiguration Abb. A21.25c. Dies ist aber genau die gegebene Schaltung, wobei I

L. =nM

=

nk N/L1

L 2 "

D a r a u s folgt

n= x//L1/L2 .

k L 1.

LSsungen der Aufgaben

395

Abb. A21.25b

Abb. A21.25c A21.26 T-Ersatzschaltung Z u r urspriinglichen S c h a l t u n g Abb. A21.26c geh6ren die G l e i c h u n g e n

U 1 :LI] 1 +Mi2, U 2 =

M i I + L2i2,

u n d zur E r s a t z s c h a l t u n g Abb. A21.26d die beziiglich der AnschluBgr6Ben d a z u ~iquivalenten B e z i e h u n g e n

U~ = L~,~i, +Lh(/1 + i2/n)=(L~ +Lh)i~ + Lhi2/n, nU2 = L2,,iz/n +

Lh(il + i2/n) = Lhil

+ (L2, + Lh)i2/n.

N a c h Division der zweiten G l e i c h u n g d u r c h n liefert ein Koeffizientenvergleich mit d e m ersten G l e i c h u n g s p a a r

L h -- n M = M J L 1 / L 2 , LI,,=L1--Lh=L1--MJL,/L2-LI(1--M/JL1L2)=(1--k)L L2~ -- n 2 L 2 -- L h = L 1 -- L h = Llo..

Abb. A21.26c

Abb. A21.26d

1, k = M / x / L 1 L 2 ,

396

L6sungen der Aufgaben

A21.27 Streutransformator

Mit den Bezeichnungen aus Abb. A21.27c gilt q ~ = 4~1 + 4 h .

NII 1 =Rm~,7=N212,

Aus U1 = R1 11 + N1

~1,

--

U

2

--

R 212 -k- N 2 (~2

folgt dann U1 N1

-U2 -=R N2

11 12 11 N1 1~11 + R2 ~22-[-(~1-+-~2--R1-~1-kR2N--~211 +~,7,

wobei (0~,= N1 i l/Rm. Multiplikation mit N 1 liefert im Vergleich mit der Ersatzschaltung T

Ul=nC

2 -+-(R 1

+n2R2)I1 +N2il/Rm

9 n U 2 + R I 1 + L~]I,

d.h. R = R 1 + n2R2,

L,~ = N 2 / R m .

Abb. A21.27c A21.28 Transformator mit zwei Streuspalten

Der Durchflutungssatz und der Satz vom magnetischen Hfillenflug (Abb. A21.28c), N1 I1,

@r = B r A r ,

Ba la//A0 -- N 111 -- N212,

~a -- Ba Aa,

Brlr/#o =

liefern ffir die beiden Verkettungsfliisse ~vl = N1 (~r + ~a) = PoN1 (N1 I1Ar/lr ~)v2 :

--

N2 ~a = -- #oN2(N~ I1

--

+

N1 I1Aa/la - - N 2 1 2 A a / l a ) ,

N212)Aa/la 9

397

L~Ssungen der Aufgaben

Ein Vergleich mit den allgemeinen Beziehungen (/)vl -- L a I1 -- M I 2 ,

(~v2

=

Mix

--

+ L212

ergibt L 1 = #oN2(Zr/lr

+ Aa/la),

M = / / o N 1 N 2 A a / l a --

L2 = #oN22Aa/la,

N 1N 2 G h .

Wir schlieBen daraus auf die Parameterwerte 18,38,

n - - N a / N 2 --

L h = N 2 G h = #o N2 Aa/1 a

= 1, 57H,

L 1 , 7 = L 1 -- N Z G h = # o N Z A r / l r

L2, 7 : L 2 - N 2 G h

:

4, 61H,

O.

~

T

NII1

|

N~/~

|

y

~a

a~r + a>a

Abb. A21.28c

~

A21.29 Ubertragung auf die Primfirseite Aus der iiblichen T-Ersatzschaltung Abb. A21.29b ergibt sich die Schaltung Abb. A21.29c, wobei n 4= 0, ~ , sonst aber beliebig gew~ihlt werden kann. Beispielsweise erhalten wir ffir n = 1/2 die Schaltung Abb. A21.29d, fiir n = 1/3 dagegen die beziiglich der AnschluBgr6gen ~iquivalente Schaltung Abb. A21.29e.

398

L6sungen der Aufgaben

ideal

Abb. A21.29b

Abb. A21.29c

Abb. A21.29d

Abb. A21.29e

A21.30 Idealer Transformator mit drei Wicklungen Bezeichnungen nach Abb. A21.30b. Ein idealer T r a n s f o r m a t o r besitzt die Eigenschaften des Durchflutungsausgleichs, N I 1 -k- N I 2 -- n N I 4 - - 0

::e, 11 -k- I 2 -- n I 4 = 0 ,

und der Streuungsfreiheit, U 1 = N~h,

U 2 ~-- N & h ,

U 4 - - - / ~ N & h =~

U 1 --- U 2 - -

(i) Mit I~ = IE, 13 = I E - 12 und den beiden Maschengleichungen U 4--nU

2-R4I

4 ~

n2U2=R4(I

u~ +(e~ + R~)I~ + e ~ ( I ) . - I ~ ) = o

2--FIE),

U4/ft.

399

LiSsungen der A u f g a b e n

ergibt sich

I2

R 3 - R4/n 2 R2 + R3 + R4/n 2 + R5 IE'

also Rs(R 3 - R4/n 2) UA = R512 = R 2 + R 3 -k-R4/n 2 + R 5 IE" (ii) A UA = 31,9 V. (iii) Ra/R 4 - 1In 2.

Abb. A21.30b

A22.1 Vollweggleichrichter Die Zeitverl~iufe der Eingangsspannung UE und der Ausgangsspannung u A zeigt Abb. A22. lb. (i) Durchschnittswert: /~A = -Tl f ~ /'/A d t = - ~l

/~A = ~

f~/2 a sin(ogt)dt = x//-2Uf~ n sin(q~) dq~,

U = 198 V.

Er entspricht dem ,,Gleichrichtwert"

Ix l =-~ einer zeitlich, periodischen Gr613e x.

Ixldt

400

L6sungen der Aufgaben

(ii) Effektivwert: U2Adt--

g~= T o

(:So

u~dt--

U--220V.

(iii) Wirkleistung:

P

=

U2/R

-.

9,68 k W .

Abb. A22.1b A22.2 Mischstrom Wir stellen den Mischstrom als S u m m e seines Gleichanteils und seines Wechselanteils dar, i -- io + t~ sin(q)), io = 7 - - 1 ~(t29 + il),

(/9 = O)t, L

1

- - ~(i2 - - i l ) .

D a m i t gilt

if

12 -- ~ 2zr

o

if

92

1 ~'2

i 2 dq9 = 2--~do [i~ + ~2 sin2(q9) + 2iot_ sin(q))] dq) - t o + ~ t ,

I = ~/i~ +'~/2. A22.3 Mischspannung (i) Durchschnittswert:

1 fr

1

= -T oUdt - ~ - d ( - 1 . 5 + 3 . 1 5 ) V

-- 2 V .

(ii) Effektivwert:

U--

~ l-~f oU2dt r

-

~1~ - 6 ( 1 - 5 + 9 - 1 5 ) V - - 2 , 6 4 6 V .

L6sungen der Aufgaben

401

(iii) Gleichrichtwert:

lul -

if oTlul d t -

~-~(1.5 + 3 . 1 5 ) V -- 2 , 5 V

~

A22.4 Bemessen eines Widerstandes Das Quadrat des E f f e k t i v w e r t e s der a n g e g e b e n e n S p a n n u n g ist

U2 =-T :

wobei r --

t/(T/2)

if'

I f r u 2 dt -- -1. 9 V 2 + o 2 2

1

5 [ 3 2 -+-

1 2 57,5 - 7,5.1,5

+

( 7 , 5 r -- 1,5) 2 d r V 2 o

9,375 V 2,

1,52]V 2 =

- 1. D e r W i d e r s t a n d ist fiir die Leistung P - - U 2 / R -- 199,5 m W ~ 0 , 2 W

zu bemessen.

A22.5 Stromaufnahme eines Gleichrichters

f

T

12 __ __1 i 2 d t T o

I--

27r

o i 2 d(cot) _ _1 7r

100) 2 ~7r -k- ( 2 0 0 ) 2 ~Jr -q- (100) 2

A 2 = 2- 104A 2,

141,4A.

A22.6 Spannungssignal Gem~il3 Abb. A 2 2 . 6 b gilt

U 2 --

~ oU2 d~o = -~- [2Jo sin2(~d~ + u Jr

Jr 4- + . , o

[1--cos(2~p)]d~o

1 ~"

=--re

4-+

1 99--~sin(299)

~/4} 0

q. . . .

Jr

4

1) o2t

2

-~-1--

7/"

,

also

U = v/1-

1/rr-/~/~/-2 -- 0 , 8 2 6 / ~ / x / ~ -- 0,584/~.

402

L6sungen der Aufgaben

Abb. A22.6b A22.7 Negativ begrenzte Stromschwingung Mit Bezug auf Abb. A22.7 b ist

,2 ~[f~ ~/l[ 1 _ _

(2)] ]~ ( 2 ) }

~2 sinZ(~p)dgo +

7/"

-7r/2

-- Jr 2

~o

~sin(2~p)

a2~

- - ~01

+ a2

~01

-n'/2

-- rr

2 -2 +qg~

~sin(Zqgm) + 2a 2

991

,

also

I-- --~. f (a) mit f 2 ( a ) = 21[1 + 2 q 9 , - sin(2~o,)]zt. -+- 2 a 2 ( 1 _ 2qg,)rr'

f(a) --

2 +

n:

Abb. A22.7b

+ 2a2 1 --

.

403

Liisungen der Aufgaben

A22.8 Gesteuerter Gleichrichter Durchschnittswert:

1 F U x / ~ sin(q~)dq~ = U-~~n2[1 + cos(~)]

UA = - ~

UAdt = ~-~

= U~

7~

cos 2 (~/2).

Effektivwert: UA =

U] dt =

2U 2 sin2((p) drp = U

7c - a + sin(2,)/2 2n

Die Abhiingigkeiten vom Verz6gerungswinkel ~ zeigt Abb. A22.8 b.

Abb. A22.8b A22.9 Angeschnittener Sinusstrom 12 __ __1 T

i 2 dt = - rc

sinE (q~)dq~ = ~

? 2---~[n - ~ + 89sin(2a)], ~" ~ I=~

1-

2 ~ - sin(2~) 2~ "

[1 - cos(2q~)] dq~

404

L6sungen der Aufgaben

A22.10 Symmetrischer Phasenanschnitt

f•-" ?

I2 =--?~z

sinZ(q~) d(~ = ~

~f~-"

[1 - cos(2q))] dq9

?

- - [x - 2~ - 89sin(2x - 2~) + 89sin(2~)] = ~ 2~ I=~

Ai . / ~ z - 2 ~ +

7z

sin(2~)

[~ - 2~ + sin(2~)],

0 ~< ~ ~< re/2

A22.11 Stromrichter mit Anschnittsteuerung M i t den in Abb. A22.11b a n g e g e b e n e n W i n k e l z u s a m m e n h i n g e n U d = fi = ~3 ~

U

f

cos(qg) dq9 = 3 U

J- ~/ 3 + ~

3U

h a b e n wir

[sin0z/3 + ~) + sin(~/3 - ~)]

N//-2 7~

2 sin0z/3) cos(a),

also Ud =

rc~

U cos(a) = 1, 17 U cos(a).

Abb. A22.11b A22.12 Blindleistung Q = u I sin(qg) = 89tl Tsin(q9 u - qgi),

- 12, 5ms q~u - q~i =

20ms

360 ~ = _ 225 ~

Q = 89340 v - o, 16A- sin ( - 225 ~ = 19,23 VA.

405

L6sungen der Aufgaben

A22.13 Blindleistungskompensation (i) Scheinleistung S = x//P a + Q2 = 6, 73 kVA, Leistungsfaktor

cos(qg) = P/S =0, 74. (ii) Die Leitung ist fiir

I=S/U=30,6A auszulegen. Die K o n d e n s a t o r b a t t e r i e n i m m t die Blindleistung

Qc =

--

~

=

-

2, 86 kVA

auf. Insgesamt ist also P ' = P = 5, 0 kW,

Q ' = Q + Qc = 1, 64 kVA,

S' = x / P 'a + Q,E = 5, 26 kVA.

(iii) Leistungsfaktor cos(q;) = P'/S' = 0,95. (iv) Die Leitung ist jetzt fiir

I ' = S'/U = 23,9 A auszulegen, also ftir eine geringere Stromst~irke als ohne Kondensatorbeschaltung.

A22.14 Erhiihen des Leistungsfaktors Die aufgenommene Blindleistung ist ohne K o m p e n s a t i o n Q = P - tan(~o) und mit K o m p e n s a t i o n Q' = P- tan (q~'). Die Differenz Qc = Q - Q ' = P [ t a n ( q ) ) - tan(q)')] = c o c u 2

406

L6sungen der Aufgaben

m u g vom K o n d e n s a t o r ausgeglichen werden. D a r a u s folgt

C--

e[tan(q~) - tan(cp')] o)U 2

--

6- 103(1, 33 - 0, 75) 27t- 5 0 -

2402

F = 193 ~tF.

A22.15 Mittelfrequenz-lnduktionsofen

(i) Die ben6tigte Blindleistung Q = P - tan(o) = 750 k W - 16, 64 = 12, 48 M V A wird von einer Kondensatorbatterie der Kapazitiit Q~ C ~ ~o.)U 2

12, 48 M V A 2 ~ " I 0 3 / s (750 V) 2 --

35301aF

geliefert. (ii) Die Speiseeinrichtung arbeitet wegen der vollst~indigen Blindleistungskompensation mit c o s ( c ) = 1: I s = P/U

= 750 kW/750 V = 1 kA.

Die Scheinleistung des Ofens betr~igt

S0

~

P

750 k W

cos(q))

0, 06

~

= 12, 5 M V A ~ Q.

D a m i t ist der vom Ofen aufgenommene Strom Io = S O_ 12, 5 M V A - 16, 7 kA. U 750 V An der K o n d e n s a t o r b a t t e r i e ist die Scheinleistung gleich der Blindleistung, also Q 12, 48 M V A 16, 6 kA. Ic = U = 750 V = Zur Vermeidung von Zuleitungsverlusten ist die K o n d e n s a t o r b a t t e r i e so nahe wie m6glich am Ofen aufzustellen. A 2 3 . 1 Realer Kondensator

Gem~iB Abb. A23.1c gilt tan(6) =

R

1/(coC)-a~L"

407

L6sungen der Aufgaben

Abb. A23.1c

Daraus folgt

0) 2

LC +

RC co- 1 =0, tan(6)

d.h. es ist die Gleichung X 2 -Jr

bx-

1= 0

mit x=cox/--s

'

b = R~>> tan (6)

1

zu 16sen. Wir erhalten b b x = - b/2 + x / b 2 / 4 + 1 = -~ (x//4/b 2 + 1 - 1) ~ ~ (1 + 2/b 2

1) = 1,/b,

also

co=

tan(b) tan(b) RC ' f-2rcRC

1 42Hz.

A23.2 Realer Widerstand

Die G e s a m t i m p e d a n z betriigt (R + j~oL)/(jr Z

~__

R + jwL + 1/(j~oC)

1 --

R + jcoL +jcoRC

o,)2LC

Sie ist reell fiir R ~ x/L/C

R +j~oL 1 + joJRC

R + j c o ( L - R2C) 1 + (o~RC) 2

408

L6sungen der Aufgaben

und besitzt d a n n den Wert

R

R

Z~ ~ ~R. 1 -4-(coRC) 2 1 -+-~2LC

A23.3 Eingangsimpedanz Mit den Bezeichnungen aus Abb. A23.3b und den Eigenschaften des idealen Operationsverst~irkers gilt l = U_/R1 +Jc~

1

U_,

also z = u/I

=

R1 1 +jcoR 1 C i

Abb. A23.3b A23.4 Spannungsteiler Wir berechnen zun/ichst die abgegriffene S p a n n u n g _U1 in Abh/ingigkeit von den Stellungsparametern r und I. Der Strom / wird dabei o.B.d.A, reell a n g e n o m m e n (Abb. A23.4 b): _Z= R + j ( X L + X c ) = (100 + j 173) f~ = 200f~. e j6~176 1 = U / Z = 200 V/200f~ = 1A,

_U = Z 1 = 200 V" e j6~176

U_I = [ R ' r + j ( X L- 1 + X c ) ] I ,

_U1 = 1 0 0 V . r + j 2 7 3 V ' / - j

100V.

(i) _U1 mit / phasengleich: r e [ 0 , 1] beliebig; j 2 7 3 V ' / - - j 100V = 0 ~ (ii) _U1 = 8 5 V ' e - J 4 5 ~

l = 100V/273V = 0, 366. 100V'r=60,1V,

j273 V. l - - j 100V = - j 6 0 , 1V ~ l = 0, 146.

r=0,601;

409

L6sungen der Aufgaben

Abb. A23.4b

(iii) _U~ = U~ e-J3~176 = 0,866 U1 - j 0 , 5 U ~ = 100V-r + j ( 2 7 3 V - / 100V UI = 0= --------7 , 8 t6 ) r

lOOV)

100V - 273V" l 0,5

d.h. fiir re[0, 1] mug

1(

1=2---~

oo)

100--0,50,866 r =0,366--0,211"r

sein. Dann ist U 1 --- 115, 5V" r.

(iv) _U1=0:

r=0,

l=100V/273V-0,366.

A23.5 Hummel-Schaltung

Mit Bezug auf Abb. A23.5b gilt

/2

_ _Z1Ra -+-R3/1, ~

~

_Z

~

Z 1 -+-_Z1 [R 3

---

(

.

~

_Z1 1 + _Z1 + R3

)

,

Z 1-k-2R 3 _ZI + R 3 1 2 = Z_~(_Z~ + 2 R3)/2. R3

Aus der Forderung !

Re[_ZI(Z_ a + 2R3) 3 = Re(_Z2)+ 2R 3 9Re(Z_ 1) " 0

410

L6sungen der Aufgaben

Abb. A23.5b

folgt d a n n

R3.

Re (Z~) . . . 2" R e ( Z 1)

X~--R 2 .

2R1

7, 34 f~.

A23.6 Drei-Voltmeter-Methode

Aus d e m Z e i g e r d i a g r a m m Abb. A23.6b folgt m i t d e m K o s i n u s s a t z U2--U

COS((PDr) = -- COS(X -- fPDr) =

2-

U2r

=0,2, 2 U 1 UDr

I = U1/R 1 = 2A, U R ' = UDr COS(q)Dr) =

10V,

U L = UDr

sin(qgDr ) =

49

Dies liefert RDr = UR/I = 5f~,

LDr = UL/(O9I ) = 78mH.

Abb. A23.6b

V.

L6sungen der Aufgaben

411

A23.7 Erzeugen phasenverschobener Wechselfliisse Die F o r d e r u n g n a c h m 6 g l i c h s t kleinen Verlusten legt die B e s c h a l t u n g mit K o n d e n s a t o r e n nahe. Ein A n s a t z n a c h Abb. A23.7a liefert zun~ichst mit _Z1 = R + j ( X L + Xcl), Z 2 ~-- R + j ( X L -k- X c 2 ) ,

u n d der B e d i n g u n g

_Z 2 - - j

R = 250 f~, X L = o~L= 377 ~ ,

_Zx fiir die beiden K o n d e n s a t o r e n

R + j ( X L + Xc2 ) = j R - X L - Xc~,

--XcI=XL+R=627~ -- XC2

~

- - X L - - R --- 1 2 7 ff~ ~

C1=5,08gF, C 2 --

25, 08gF.

D a m i t ist _Z1 = ( 2 5 0 - - j 2 5 0 ) f l = 3 5 4 ~ - e -j45~ Z 2 --

(250 + j 2 5 0 ) f l = 3 5 4 ~ " e j45~

was auf den zu groBen Z w e i g s t r o m

I~ =

u/IZ_~l -

2 2 0 v / 3 5 4 ~ = o, 62A > 0, 5A

Abb. A23.7a

Abb. A23.7b

Abb. A23.7c

412

L 6 s u n g e n der A u f g a b e n

fiihrt. Es ist (Abb. A23.7b): ll

deshalb

ein

zus~itzlicher

Ul - - U2 - - Z I

- - 12 - - 0 , 5 A ,

-- 0 , 5 A . e j45~

!l - - U I / Z I

[ = [1 4- /2 =

Vorschaltkondensator

Ii - - Z 2 1 2 - -

1_2 - - U 1 / Z 2

erforderlich

354 f2 90,5 A -- 177 V,

= 0,5 A . e -j45~

0,707 A.

Wegen (Abb. A23.7c) --Xc3

U2/I

= v/U 2 -

=

184,8

f2 = 1 / ( c o C 3 )

ergibt sich schlieglich C 3 -~ 17,23 gF.

A23.8 Nachrichteniibertragung auf Hochspannungsleitung (i) I

--

(ii) X c = (iii)

(.O 1 C U

100rr. 4,4- 10 - 9

--

1 (,02 C

9

63,5 9 103 A -- 87,8 mA.

lf2

=

2rr. 105 94 , 4 . 1 0 -9

XLI -- coiLs - 2rr. 50- 2 X L 2 - - (-o2Ls - - 2 r r .

1 0 - 3 ~'~ - -

105 9 2 . 1 0

= - 3 6 2 f2. 0,628 f2

- 3 ~~ - - 1 2 5 7 f 2 .

A23.9 Wechselspannungsgenerator Aus den Beziehungen _Uq -- _U 4-_Zi [,

Q - P tan(99),

_S = P 4 - j Q - (1,5 - j l , 5 3 0 ) k V A

= UI*,

folgt mit _U=U=230V,

Uq - - U 4- _Zi S _ * / U -

[=S_*/U,

[230 4-

(0,5 4- j2)(1,5 4- j 1,530) ]

,Y3-6

v

- (220 + j 16)V

der Effektivwert der Quellenspannung zu Uq -- 221 V. Er ist kleiner als der Effektivwert U -- 230 V der AnschluBspannung. Das zugeh6rige Z e i g e r d i a g r a m m ist in Abb. A23.9b angegeben.

413

LiSsungen der Aufgaben

Abb. A23.9b A23.10 Spannungsiinderung

(i) Die Spannungsteilerregel liefert direkt U =1

1/-Y- I 1 1 =0,932. [jX s + 1/_Y[ = l1 + jXs_YI = l1 + j0, l'e-J45~ I

(ii) Anstelle von _Yist als Last nun _Y+ jcoC wirksam. Die Forderung U

= l1 +jXs(_Y-k-jcoC)[ = 1, d.h. l1 + j X s ( Y e -j4s~ +jcoC)l = l1 + j X s [ Y ( 1 - j)/x/~ +jcoC]l

= l1 + X s ( Y / N / ~ - o~C)+ jXs Y/x/21

!, I

[1 -4- X s ( Y / % / 2 -- o C ) ] 2 + (X s y/~/~)2 9 1 liefert

coC=--~

,/2

1+

XsY

Unter Ausnutzung von (X s Y/N/~) 2 ( (

coC ~ ~

1-

1

-

erhalten wir

1 + 2 x / ~ / = 7, 32mS,

C ~ 23, 3 gF.

414

L6sungen der Aufgaben

A23.11 Leuchtstofltampe (i) Die L a m p e allein wird d u r c h den E r s a t z - W i r k w i d e r s t a n d R E dargestellt: UL = P L / I L

= 40W/0, 42A = 95, 2V.

(ii) Die Scheinleistung der R e i h e n s c h a l t u n g betr/igt S R

~-

UI L

= 220V- 0, 42A = 92, 4VA,

d a h e r ist der Leistungsfaktor COS(qgR ) ~

P/S R = 49W/92, 4VA = 0, 53.

(iii) Die Reihenschaltung von L a m p e u n d Drossel n i m m t die Blindleistung QR = SR sin(qgR) = 92, 4VA'0, 848 = 78,4VA auf. Diese muB bei vollstfindiger B l i n d l e i s t u n g s k o m p e n s a t i o n v o m K o n d e n s a tor geliefert werden: QR 78, 4 As C = U----5 . . . . co 2rc-50-2202 V

5, 151aF.

A23.12 Industrieofen N a c h T r a n s f o r m a t i o n der Kapazitfit (Abb. A23.12b) folgt aus tan(qg) = (QL "at- Q c ) / P der Z u s a m m e n h a n g Qc = P tan(qg) - QL = (5.0, 203 -- 8) M V A = - 6,985 M V A -- X c, 12

__

__

C' = - I2/(coQc)

i2/(coC,), = 1, 14F.

Abb. A23.12b

LiSsungen der Aufgaben

415

(i) C = (Uz/U~)2C '= (140/10500) 2.1,14F = 203 gV, auszulegen fiir 10, 5 kV. (ii) C' = 1, 14 F, auszulegen fiir 140 V. A23.13 Kapazitiver Wegaufnehmer

Mit der Abkiirzung C O= % A / I ergibt die Spannungsteilerregel

-Ua = [ 1 + jo)Co(1 +- 6/l)1-1

1=

6

den gesuchten Zusammenhang Ua

6

U~

dargestellt in Abb. A23.13c.

Abb. A23.13b

Abb. A23.13c

A23.14 MeBschaltung

Anwenden der Stromteilerregel (Abb. A23.14b), I

/1 =jo)C[_Z + 2/(jo)C)]

=

I 2 +jo)C_Z '

zusammen mit der Forderung

I /1 + R s / ' 0 D 1 _UA=jcoC + Rs / = coC(2 + jcoC_Z) fiihrt auf 2 + jcoCZ_ =

1 2j (coC) 2R s ~ coC'

1

jooCRs ,

Z- = R + j o g L

also R

(o9C)2 Rs

= 302f~,

L= ~

2

= 127mH.

416

L6sungen der Aufgaben

Abb. A23.14b

A23.15 Weehselstrombriieke

Die aus der Spannungsteilerregel folgende Abgleichbedingung (Abb. A23.15b) C_xlU_~ = V_,,lU~ = r_Jr_x = Y_JY_4 ~

Y_x = Y_~ Y_41Y_~,

wobei Y_x = 1/Rx +jogCx,

_Y2= l/R2,

Y_3 = l / R 3 +Jo)C3,

Y_4 =jcoC4,

liefert 1 R-- + jogCx =

jo)C 4 R 2 ( 1 / R s +jogCs)

R3

jo)C4

= R__23.J~ -jogR3 C3) 1 +(ogR 3 Cs) 2 R 2 1 -k- jcoRsC s R 2

und damit

CX ~"

R3 C4 R 2 1 + (oaR3 C3) 2'

R2

Rx = R3"

Abb. A23.15b

1 + (ogR s C3) 2

o)2R3C3C4

LiSsungen der Aufgaben

417

A23.16 Kapazitiitsmeflbriicke Aus der Spannungsteilerregel folgt sofort die Bedingung (Abb. A23.16b) Z_x = _Z,d.h.

1 1 =R+. jcoC x + 1/R x jogC' jogCx + 1/R x =

jo9C(1 -- jog R C ) 1 + (r 2 "

jcoC 1 + jogRC

Dies liefert

c

Cx = 1 + (r

[

2'

R, = R 1 + (co

Abb. A23.16b A23.17 Schering-Briicke Die aus der Spannungsteilerregel folgende Abgleichbedingung _ZaZ_4 = deutet hier

1 ) R4/(j09C4)

1

R1 + j09C~ R 4 + 1/(jogC4)=j09C----~R3 und fiihrt auf C1 R3 1 +jogR1 C1 =(1 -+-jcoR4C4)-~---w- , C,2 ~4 gleichbedeutend mit R1C1 = R 4 C 4 ,

R3Cx---R4C 2.

Die beiden Gleichungen zur Bestimmung von Ca und R1, C~ = C 2 R 4 / R 3,

sind demnach frequenzunabh~ingig.

R~ = R 4 C 4 / C ~ ( = R3C4/C2),

2223

be-

418

L6sungen der Aufgaben

A23.18 Wien-Briicke Mit den Bezeichnungen aus Abb. A23.18b gilt zunfichst (Spannungsteilerregel!) Ub

Zb

1

U1

g a -~- -Zb

1 7I- g a / g b

3 + j (o9/o9o - O~o/O9) '

1 + J R + 1/(j~oC)](1/R +j~oC) o~o = 1/(RC),

U J U ~ - 1/3.

D a m i t ist

U~ U_---~= U-7~

I

1 O~o/O~)/3 1

_U~ = 3 1 + j(o9/o9 o -

- 1 .

U 2 verschwindet d e m n a c h ffir 09 = coo, d.h. die Br/icke ist bei der F r e q u e n z

1 f = 2rcRC

abgeglichen.

Abb. A23.18b A23.19 M a x i m a l e Stromaufnahme Bezeichnungen nach Abb. A23.19b mit RI=10fL

_Z2 = R 2 + j ~ o L = ( 3 + j 4 ) f t ,

Z 2=5f~.

Aus P~ = R112 = U2/R~,

P2 = R2 I2 = R2 U2/Z2

und der F o r d e r u n g n=nl

I + Re = ( l / R 1 + R 2 / Z 2 ) U2 = 0 , 2 2 0 S - U e " l l 0 0 W

ergibt sich U = 70, 7V.

419

LSsungen der Aufgaben

Abb. A23.19b

(i) Die Wirkleistungen P~ des Parallelwiderstandes und P 2 des Magnetsystems sind daher P1 = UZ/R1 -- 5 0 0 W ,

P2 = P - - P 1 -- 600W.

(ii) Den aufgenommenen Strom erhalten wir aus

v

I=~,

1

lI

~=

+Z_~ =

1 I

+3+j4S=0'272S'

I = 19, 2A. A23.20 Induktivitiit einer Drossel

Aus der Beziehung S = P/cos(tp)= U 2 / Z ffir die Scheinleistung S ergibt sich der Blindwiderstand Z :

U 2

cos(go)/P = 61, 9

und damit R = Z cos(q)) = 6, 81 f~,

L = Z sin(q~)/co = 1 9 6 m H .

A23.21 Drossel mit Luftspalt

Ohne Berticksichtigung des Spulenwiderstandes und yon Streuungen (Abb. A23.21b) liefert das Induktionsgesetz u = N 9 den Z u s a m m e n h a n g

fi_ = x//2 U_ - Njoo~_ = jo~NB_A. Daraus folgt fiir die Windungszahl Ux/~ co/~A

1200"x/~ = 900 2re" 300" 1, 0" 10- 3

und aus X = ooL, L = #o N2 A/I

420

LSsungen der Aufgaben

Abb. A23.21b

fiir die Luftspaltl~inge l =/to N2 Aco/X = 1, 92mm. A23.22 Drossel fiir Siebkreis

Unter Vernachl/issigung von Streuungen und der magnetischen Spannung im Eisen sowie mit der Annahme eines homogenen Luftspaltfeldes gilt

L = poN2A/l,

X e = ogL= OgpoN2A/l = 8, 88kf~.

A23.23 Transformator

(i) Mit dem Scheitelwert t~=/~A des magnetischen Flusses und mit x/~ U = og~N ergeben sich die Windungszahlen N

1 -

x/~U1/(ooBA)= 165,

N2 = NI Uz/U ~ = 52.

(ii) Die erforderlichen Drahtquerschnitte folgen aus den Stromstfirken:

1I = S N / U 1 = 1 3 , 2 A ,

A l = I 1 / J = 1 8 , 8 m m 2,

12 - -

A 2 -- I2/J -- 59, 5ram 2.

SN/U 2

=

41, 7A,

(iii) Schaltung nach Abb. A23.23. Die Scheinleistung

S -- U3I 2 = 500V-41, 7A = 20, 9kVA

Abb. A23.23

L6sungen der Aufgaben

421

wird in solch einer Spartransformatorschaltung ,,Durchgangsleistung" genannt. A23.24 Auslastung eines Transformators

(i) Nenn-Scheinleistung S N = 25kVA, Scheinleistung S = P/cos(o) = 12kW/0, 6 = 20kVA, Auslastung: S/S N = 80%. (ii) Ohne zus/itzliche Belastung ist S - - %//p2 _+. Q2,

Q .._ P.tan(r

Mit zus/itzlicher Wirklast AP: T

S ' = N//(P + AP) 2 + Q2 9 SN =~ AP = x / S 2 -(P-tan(q~)) 2 - - P = x / S 2 - S 2 + p 2 _ p = 7, 21kW. A23.25 Kurzschluflstrom

I m KurzschluBfall ist der S t r o m im Querzweig vernachl/issigbar (X h ~ oe, entspricht Durchflutungsausgleich). D a r a u s folgt fiir den Betrag der ,,KurzschluBimpedanz"

ZK = I~ZKI=

IR~ + R 2 + j ( X ~ + X2~)]

= 150f~ + j l 2 0 f ~ l = 130f~. W i r erhalten d a m i t die DauerkurzschluBstr6me prim~ir I1KD =

U1/ZK=

5770V/130 f~ = 44, 4A

u n d sekundiir /2KD =/1KD

UIN/U2N= 4 4 ,

4A" 5770V/220V = 1, 16kA.

A23.26 KurzsehluBversueh

M i t Bezug auf Abb. A23.26b gilt ZT = U/IN = 19, 8 0 ~ ,

COS(q~) = P/S = P / ( U IN) = 0, 262(ind.), _ZT = Zx [cos(~o) + j s i n ( r

= ( 5 , 18 + j 1 9 , ll)f~ = 19, 80f~-e j74'8~

422

L6sungen der Aufgaben

Abb. A23.26b A23.27 Kleintransformator

Ohne Berficksichtigung der Streuung haben wir (Abb. A23.27b) u = N ~ =~ fi_ --- x ~ U_ = jo)N ~_ = jcoNB_A, U = ~2NBA. Daraus ergeben sich die erforderlichen Windungszahlen zu 230" x/~ -6900, N 1= 1U- - x/~ L---o~/~A - 100~z" 1, 5" 10 -4 U2 6,3V N2 - - ~ 1 N1 =230V 96900 = 189.

Abb. A23.27b A23.28 Zweitorparameter

Mit den Bezugsginnen aug Abb. A23.28b (komplexe Effektivwerte!) liefert der Durchflutungssatz VL= N1/1

= N2/2

und das Induktionsgesetz _U1 =Jc~

-~1,

U_z =Jc-~

L~Ssungen der Aufgaben

423

Abb. A23.28b

Weiters gilt a m Spalt der Z u s a m m e n h a n g _VL-- Rm(-~x + _~2)D a r a u s folgt L1 =

N2/N 1/2,

_U2 = j c o N 2

-VL

_q)~ = j c o N 2 ~--mm/2 jo--~x

-- --~--~ _U~

~ +J Rm-,

d u r c h Koeffizientenvergleich mit den a n g e g e b e n e n F o r m e n also P l l -- O,

P12 = N2/N1,

P21 = --N2/N1,

P22 = J~

9

A23.29 Streutransformator

Bezeichnungen n a c h Abb. A23.29. (i) Sekund/irer Leerlauf, i 2 -- 0. D e r D u r c h f l u t u n g s s a t z fiir (~2 liefert VL = 0, fiir qr d a h e r i~ = 0. W e g e n ~ r = VL/Rm -- 0 ist d a n n ~2 - - ~1- Aus d e m I n d u k t i o n s gesetz folgt weiters x / ~ _U2 = JcoN2 _~2 = - JcoN2 _~ = -- x/~ _U1N2/N~,

Abb. A23.29

424

L6sungen der Aufgaben also U2o - -

U1N2/NI

200/800 - -

240V.

--

60V.

(ii) Bei sekund~irem KurzschluB, b/2 - - 0 , liefert das Induktionsgesetz ( ~ 2 - 0, also q~c -- ~ l . N u n ist ~/~U1

jcoN, cP_, -- jcoNlCV'_L/Rm

--

und, wegen des Durchflutungssatzes fiir (~2, -VL • U2~/Z/zK" Daraus folgt Rm I2K =

NIN2

U1 ~

co

9,5.106 --- ~

'

16.104

240

~

100n"

A -- 4 5 , 4 A .

A23.30 Gl/itten einer Mischspannung Gleichanteil von uE" fie-

1

5(170 § 1 3 0 ) V -

150V.

A m p l i t u d e des Wechselanteils von uE: 1 fiE--- = 5(170 - 130)V -- 20V.

Gleichanteil von UA" ~l A - - -

RL ~ / ~ E

UE

R + RL

1 + R/RE

--- 136,4V.

A m p l i t u d e des Wechselanteils von UA" -~A~-=

/~A-- =

Z -

R+Z_

-fiE--~-~=

I1 + R/Z_[

1/_Z-- 1 / R L + j c o C ,

1 +R/Z_

f--

100Hz,

= 6,0V.

Der Gleichanteil der S p a n n u n g wird um 9,1%, der Wechselanteil dagegen um 70% reduziert.

A23.31 Leistungsanpassung B e z e i c h n u n g e n nach Abb. A23.31 b. Die iibertragene Leistung

p_

R,ai2

R'a

2

-- (R, + R'a)2 Uq

ist m a x i m a l fiir Ri -- R'a -- n 2Ra. Daraus folgt

n2

--

Ri/Ra,

n

--

4 R i / R a

--

25.

L6sungen der Aufgaben

425

Abb. A23.31b A23.32 Tastkopf Schaltung n a c h Abb. A23.32b mit Z_x = ga/(1 +j~ozl),

zx = g 1C1,

_Z2 = R2/(1 +j~oz2),

z2 = RE C,

U _Z1 d-_Z 2 - = - = ~ = UM

21

R E 1 +jog-c 1 1+ - - . ~ . R 1 1 +jogz 2

D a s Spannungsverh~iltnis _U/_UMist d e m n a c h unabh~ingig v o n 09 fiir z ~ = z2, d.h. ffir C = C1R

I/RE =

2, 22pF.

D a m i t wird

U/UM-- 1 +

R 2 / R 1 : 10.

Abb. A23.32b A23.33 Kreuzglied N a c h Abb. A23.33b ist

U1 -U2 = 2

G=U: --

U1

R

_U1 1 -jogRC

g + 1/(jooC) -U1 = 2 "1 + j o ) R C '

1 1-jv 2 l+jv

426

L6sungen der Aufgaben

mit der bezogenen Frequenz v = coRC, also

IGI = 1/2, unabhiingig von v.

Abb. A23.33b

A23.34 Filter

Mit den Bezeichnungen aus Abb. A23.34b gilt

/3 = jo93C_U2, _U3 =jcoL/3 + _U2 = [(jco)z3LC + 1]_U2,

/ c = jcoC_U3, /~ = / 3 + / c = jcoC(3_U2 + _U3) = j o o C [ ( j c o ) Z 3 L C + 4]_U2, U_~ = R I 1 + U_3 = j c o R C [ ( j c o ) Z 3 L C +4]_U 2 + [(jco)Z3LC + 1]U 2.

Abb. A23.34b

LSsungen der Aufgaben

427

Somit ist l/G= UI/U 2

=joox//LC3/8[(je))23LC+ 4 ]

+ (j~o)23LC + 1

--jv[(jv) 2 + 2 ] +2(jv) 2 + 1 = --jv3-- 2v 2 + j 2 v + 1, also G m

___

1 1 +j2v--2v 2-jv 3

1 1 -- 2v 2 -+-jv(2- v2)

1 (1 +jr)(1 +jr--v2)"

A23.35 lmpedanzparameter Aus _V1 =jcoL/1 --jcoM/1 -- (--jcoL/1 + jo)M/1)+jcoL/1 + jo)M/2 =jco(3L-- 2M)/1 + jcoM/2, _U2 = jcoM/1 + jcoL/2 ergibt sich durch Koeffizientenvergleich _ZI~ =jco(3L-- 2M),

Z22 =jcoL,

Z12 = Z_2a --jcoM.

A23.36 HochpaBfilter Der komplexe Ubertragungsfaktor ist _UA G

~

~

v~

R U + 1/(j~oC)

jo)z

1 +j~or

(i) Seine Frequenzgangortskurve zeigt Abb. A23.36b. (ii) In Abb. A23.36c ist sein Betragsfrequenzgang G = [GI =

o~z/x/1 + (o~z)2

dargestellt. (iii) Auf Grundlage von lg(G) = lg(o~z) _ l l g [ 1 + (~z) 2] zeigt Abb. A23.36d diesen Betragsfrequenzgang in logarithmischen Magst~iben (Bode-Diagramm).

428

L6sungen der Aufgaben

Abb. A23.36b

Abb. A23.36c

Abb. A23.36d A23.37 TiefpaBfilter Der komplexe f0bertragungsfaktor ist UA

1/(jcoC)

G~__.~~

-

UE

1 ~

R + 1/(jr

~

1 + jo~z"

(i) Frequenzgangortskurve von _Gin Abb. A23.37 b.

LiSsungen der Aufgaben

429

Abb. A23.37b

Abb. A23.37c

Abb. A23.37d

(ii) Betragsfrequenzgang G = I_GI = l/n/1 + (o9~)2 mit linearen MaBst~iben in Abb, A23.37c, (iii) mit logarithmischen Magst~iben in Abb. A23.37d.

430

L 6 s u n g e n der A u f g a b e n

A23.38 Stromortskurve

(i) Wird die Spannung _Uo.B.d.A, reell angenommen, so liefert I = U_/(R + jcoL) fiir die Stromortskurve den Kreisbogen _/(R) =

100V R+jlfl

mit den speziellen Werten /(0)=-jl00A,

/(~)=0,

_/(l~)=(50-j50)A,

dargestellt in Abb. A23.38 b. (ii) Aufgenommene Wirkleistung P = R I 2 .._

R U2

~dP = U 2

R 2 + (coL)2'

R 2 -k- ( c o L ) 2 - - 2 R 2 T -~ O.

dR

[R 2 + (coL)2] 2

P ist maximal fiir R = ogL= l f~. Dieses Ergebnis ist auch direkt aus der Ortskurve ablesbar.

Abb. A23.38b A23.39 P I N - D i o d e

Mit _ZB -- R B +jo~L R =(1 + j 0 , 628) Y~ erhalten wir die Gesamtimpedanz Z(Ri) = _ZB +

R i

1+

jogC iR i '

1

~ = jogC i

--j 15, 92kf~.

Lbsungen der Aufgaben

431

Die O r t s k u r v e _Z(Ri) ist ein K r e i s b o g e n mit den speziellen P u n k t e n Z_(0) = Z_B = (1 + j 0 , 6 2 8 ) f ~ ,

Z_(~)=_Z B+ 1/(j~oCi)=(1-jl5,9-103)f~,

Z_(15, 9kf~ ) -- (1 - j)7, 96 kf~, dargestellt in Abb. A23.39b.

Abb. A23.39b A23.40 Zweitor mit Operationsverstiirker Fiir die S c h a l t u n g Abb. A23.40b mit

Z_a = R~/(1 +jooR~C1) ,

_Z2 = R2/(1 +jogR2C2)

gilt U2

U_1 + Zl

= 0

im v o r l i e g e n d e n Fall (R 1 =

G=

-

-

+jooR1C1

Z2 -

R 2 1

Z1

R 1 1 +jfoRzC

-

2

R2)

1 + joor _G =

1 +j:o97:2

7:1 = 3 ms,

7:2

1 ms.

Die F r e q u e n z g a n g o r t s k u r v e ist der K r e i s b o g e n aus Abb. A23.40c mit den speziellen Punkten O.) - -

0:

G

--

--

1;

o9= 1/7:1" _G-- - ( 2 + j ) - 3 / 5 ;

o) +

(30"

09 = 1/7:2:

q

--

--

7:1/7:2

=

_G= - (2 + j).

--

3;

432

L6sungen der Aufgaben

Abb. A23.40b

Abb. A23.40c A23.41 Drehglied

Aus der zur angegebenen Schaltung ~iquivalenten Darstellung Abb. A23.41b ist U-2 "~" 2

U-1 - -

U2 ~

R + jogL U_~

1 jv-- 1 .

~

G_ = U~_~ - 2 jv + l '

v = ogL/R,

1 +j~oL/R

U_~,

I_GI=I/2.

Die Frequenzgangortskurve entspricht dem Kreisbogen aus Abb. A23.41c. Demnach erscheint die Ausgangsspannung gegenfiber der Eingangssspannung frequenzabh~ingig phasenverschoben, in der Amplitude aber frequenzunabh~ingig.

Abb. A23.41b

Abb. A23.41c

LiSsungen der Aufgaben

433

A23.42 Ortskurve der Impedanz jXL(R1 +

_Z=(jXL) (Rx + R 2 ) = X L = coL = 2, 51 kf~,

R2)

R1 + R 2 + j X L R1 = 0, 8 kf~.

Die O r t s k u r v e _Z(R2)ist ein Kreisbogen, dargestellt in Abb.23.42b. Dieser wird dutch drei P u n k t e festgelegt, z.B. R2=0"

_Z = (726 + j231) f~,

R 2 = 350f~"

_Z = (951 + j 435) f~,

R 2 = 700 f~"

_Z = (1106 + j 660) f~.

Abb. A23.42b

A23.43 Frequenzgang des Scheinwiderstandes Bezeichnungen nach Abb. A23.43b.

Z =

R(R+jcoL) l+jf/fo 2R +jcoL = R 2 + j ~ '

Z k/~4++ (f/f~ ( f /fo)2,

-~ =

fo = 995 Hz.

Den gesuchten F r e q u e n z g a n g zeigt Abb. A23.43c.

fo = R 2zcL'

434

LSsungen der Aufgaben

Abb. A23.43c

Abb. A23.43b A23.44 Transistor-Ersatzschaltung Mit den Bezeichnungen aus Abb. A23.44 b und /~ = U / Z ~ ,

/~ = U / Z :

folgt aus

/ = / ~ + / ~ = (1/z, + 1/_z~) u, /~ = g u -/:

= ( ~ - 1/z~) u

die gesuchte komplexe Stromverst~irkung h = / K = g - - l/Z-2 = g--j~ = gR 1 -jogC2/g / l/Z_, + 1/_Z2 1/R + jto(C 1 + C2) 1 + jooR(C~ + C2) Ihr Betrag besitzt die speziellen Werte

f = 100kHz:

1 - j 1,07" 10 -6 h = 55 1 + j 4 , 50" 1 0 - 2 '

f=IMHz:

h=55

1 --j 1,07" 10 -5 1+j0,450 ,

h=50,2;

f=100MHz:

h=55

1 - j 1,07-10 -3 1+j45,0 ,

h=1,22;

h = 54, 9;

ist also fiir niedrige Frequenzen nahezu konstant und wird ab etwa 1 M H z merkbar kleiner.

L6sungen der Aufgaben

435

Abb. A23.44b A23.45 Frequenzgangortskurve der Scheinleistung

Mit der Maschengleichung der Sekundiirseite, jo)M/~ + (R 2 +jcoL2)/2 = 0, 1/igt sich aus der Maschengleichung der Primiirseite die Stromst/irke/2 eliminieren: (c~ _U = (R1 +jcoL1)/1 +jcoM/2 = JR1 +jcoL1 +

R2 nt- jogL 2 -/1

R1 R2 -+-jco(R 1L2 -+-R2L1) I1. R 2 +jcoL2 Daraus folgt U_ 1 -F jog'c2 /1 = R--ll" 1 + jco('cl + z2)'

zl=L1/R1,

"62 = L 2 / R 2 ,

g2 1 --jcoz 2 S_= g I ~ = R~ "1 --joo(z x +z2)" Die Ortskurve _S(co) ist der Kreisbogen aus Abb. A23.45b.

Abb. A23.45b

]

436

L6sungen der Aufgaben

A24.1 Scheinwiderstand

(a) Reihenschaltung: Z_ = R + jcoL + 1 / ( j o ) C ) = R + j [coL-- 1/(coC)], Z = [_Z[ = x//R 2 + [ c o L - 1/(o~C)] 2,

co o = 1 / x / - s

Q = w/L/C/R,

ZlR = ,/1 + Q~(~ol~o- O~o1~O)~, R = 40f~;

Q = 35, 4;

coo = 35, 4" 103/s;

fo = COo/(2~z) = 5, 63 kHz.

Verlfiufe in Abb. A24.1 c,d.

Abb. A24.1c

Abb. A24.1d

Abb. A24.1e

Abb. A24.1f

437

LiSsungen der Aufgaben

(b) Parallelschaltung:

R + jogL _Z -- 1 + (R + jcoL)jooC'

Z=R

09~

= 1/x/LC '

Q

=

x/~/C/R,

1 + jQ o~/COo 1 -- (09/090)2 + j 09/(090 Q)' ~/E

Z/R =

1 --t-Q2 (r162 2 1 -- (o9/O9o)23~ + ~ - ~ o ) 2 / Q 2

mit R, Q und o9o bzw. fo wie unter (a). Verl~iufe in Abb. A24.1e,f. Z / R besitzt das Maximum (Z/R)max __ Q2 + 1 / 2 - 1/(8Q 2) + - - .

bei der bezogenen F r e q u e n z

f /fo = 1 - 1/(2Q2) 2 + ...

A24.2 Reihensehwingkreis (i) Aus der Kennfrequenz folgt die erforderliche Kapazit~it,

1 fo = 2 n x / L C

1 =:~ C

(2nfo)ZL

101,3 pF.

(ii) Mit den Abkfirzungen

090 = 1 / x / L C ,

v = 09/090 =fifo,

d = R x / ~ / L = 0, 637

gilt dann _Uc U

1 jcoC (R + jooL + 1/(jooC))

1

1 --

0.) 2

1

L C + jo~RC

1 --

Die F u n k t i o n a ( v ) = I ~Uc/~UI = E(1 - v2) 2 + v 2 d 2 ] - ~/2

besitzt bei der bezogenen F r e q u e n z

Vl = ~ 1 -- d2/2 = 0, 893 ~ fl = v~fo = 893 k H z den Maximalwert G(vl) = IUc/Ulmax :

dx/1 - d 2 / 4

= 1,657.

p2

-4-

jvd"

438

L6sungen der Aufgaben

A24.3 Briickenschaltung Aus d e m Z u s a m m e n h a n g

R 1 _UA- ~ _ U z - 2R + j X -UE'

X = coL

coC

folgt der U b e r t r a g u n g s f a k t o r G UA 1 -- = _UE 2

R jx = , 2R + j X 2(2 + jx)

X x . . . . R

Die Brticke ist fiir _UA- 0, d.h. fiir_G = 0 ::, x co -- coo -- 1 / ~ / L C abgeglichen. Wegen

1( coL R\

1 ~ . co C I

0, also bei der K r e i s f f e q u e n z

d_G

d_G

dx

j

dx

dco

dx

dco

(2 + j x ) 2

dm

gilt dann dG dco O~o

j 4

dx _ J dco 4R

(l)

L + ~ co2C

--j~ 2R

Diese Gr6Be ist ein MaB f/Jr die F r e q u e n z e m p f i n d l i c h k e i t der Br/icke.

A24.4 Spannungsteiler Die Spannungsteilerregel liefert zun~ichst U! m

U2

-

-

Ul

jcoC[R + jcoL + 1/(jcoC)]

uz = I_Vzl -- U , / v / F ( C ) ,

1

-

-

w2LC + jcoRC'

F(C) = (1 - co2LC) 2 -+- (coRC) 2.

Die F u n k t i o n F (C) besitzt einen stationiiren Wert (d.h. F ' ( C ) -- 0) fiir

C-

L / [ R 2 -+-(coL) 2] -- 775 nF.

Es ist dann

U2 -- v/1 + (COL/R)zU1 -- 4 , 0 1 V > UI. A 2 4 . 5 Reelle E i n g a n g s i m p e d a n z A u s g e h e n d v o n d e r Schaltung Abb. A 2 4 . 5 b mit R1 -- 1092"

L--

1,5mH;

R2 -- 52. 2,5 g2 = 62,5 ~ -- llG2,

C-

20 ~ / 5 ~ - 0 , 8

LSsungen der Aufgaben

439

h a b e n wir

_Z(w) = R 1 + j w L +

G2 +jwC

= R1 + jwL +

= R x + G2 + (o9_1 C ) 2 -~-jw L -

G2 -jwC

622 + (~oc) ~

G22 _+.((_DC)2 .

D a m i t gilt

Im[_Z(w,)] = 0 ~ G

Z(og:) = R : +

2 +(wxC)Z=C/L,

G2

022 +

(~,c) ~ =

fx =~-~

-

= 3,313kHz,

R 1 + G 2 L / C = 40f~.

Abb. A24.5b A24.6 Kapazitiv belasteter Transformator N a c h den E r s a t z s c h a l t u n g e n Abb. A24.6b reduziert sich die E i n g a n g s i m p e d a n z auf

Z_ = R + j [ w L - 1/(wC') ]. I h r B e t r a g Z = IZ_[ besitzt d e n M i n i m a l w e r t Zmi n ~ - R = 0, 45 f~ bei der Kreisfreq u e n z 09 = 1/x//LC ', d.h. bei der F r e q u e n z

f =

1

--

= 225 Hz.

2rc~

Abb. A24.6b

440

L6sungen der Aufgaben

A24.7 Ausschalten eines Steuerschiitzes E r s a t z s c h a l t u n g nach Abb. A24.7b. Fiir D geschlossen gilt Z = U2/S

= (220V)Z/8VA = 6050 f~,

R = Z cos(q)) = Z . P / S = 2269 f~, X L = N / Z 2 - - R 2 - - 5 6 0 9 f~.

(i) N a c h d e m Offnen von D mul3 Z auf m i n d e s t e n s Z 1 = Z/40%

= 6050f~/0, 4 = 15 125 f~ = w/R2 + (X L + X c ) 2

steigen, d.h. X c = - X L -

x//Z 2 -

R 2

= - 20,56 kf~.

S o m i t d a r f die Leitungskapazit~it h 6 c h s t e n s den W e r t C = - 1/(co Xc) = 0, 155 ~tF besitzen. (ii) Bei f = 50 H z tritt R e i h e n r e s o n a n z d a n n auf, w e n n

C .

.

1

.

coaL

.

1 .

0, 567 pFI

coX L

In d i e s e m Fall ist X L + X c -- 0 u n d d a m i t Z = R. Es flieBt ein S t r o m der St~irke = 9 7 m A (verglichen mit I = 8VA/220V = 36, 4 m A bei g e s c h l o s s e n e m Schalter) u n d an der Schiitzspule liegt die S p a n n u n g

I = U/R

Usp = I- Z = 97 m A - 6 , 05 kf~ = 587V. Die Spule w/ire in diesem Fall v e r m u t l i c h t h e r m i s c h tiberlastet.

Abb. A24.7b

441

LiSsungen d e r A u f g a b e n

A24.8 Parallelschwingkreis Fiir die G e s a m t a d m i t t a n z

gilt

_Y= jogC + R + jcoL = jcoC + R 2 -k- (6oL) 2 = R 2 -k- ((-oL)2 -k-jco C - - R 2 _~ ((_oL) 2 .

Die G e s a m t i m p e d a n z _Z ist offensichtlich reell f i i r f = 0: Z_ = R u n d f i i r f ~ ~ " _Z = 0. Die G e s a m t a d m i t t a n z Y u n d d a m i t Z sind a b e r a u c h reell fiir

C -

R 2

L = 0 =.. coL = . / L / C - R 2 + (coL) 2

entsprechend

f=./

/,r 2rc L

R 2

=459Hz"

Z=R

+--

--R 2 =

-

RC

= 133 f~.

A24.9 Frequenzgangortskurve der Impedanz Aus 1 + jo~L/R R+jo~L ( n + jooL) = 1 + jRCco -- LCo9 z = R 1 + jRCco - L C o )

1 ]1

_Z = j - ~

d = R x/~/L

= 0,5;

v = co ~

= f / 1 5 9 , 16Hz

folgt

Z(v) = R

1

1 + jv/d 1 + j2v = 5n v 2 -11-jdv 1 - - V 2 -1t- j O, 5v

--

mit den speziellen W e r t e n z(o) = 5 n,

Z ( o o ) = o,

Z_(1) = 5 f~.(4 - j 2 ) = (20 - j 10) f~,

V1

= x/1 - d 2

=

0,866

u n d der O r t s k u r v e aus Abb.A24.9b.

,

Z_ (v 1) = 5 f2.4 = 20 f~

2'

442

L6sungen der Aufgaben

Abb. A24.9b A24.10 Frequenzunabh~ingiger Schwingkreis Die Admittanz der Schaltung ist jooC -Y=R + jco---------L+ R + 1/(jogC)=R + jogL + 1 + jogRC 1

1

1

~

1 1 + jogRC + jogRC R 1 + jogRC + jogL/R - -

o92LC

o

r

1 1 -- r + joo2RC R 1 -- o92LC+ j ~ ( R C + L/R) o

Der letzte Bruch ergibt sich zu 1 identisch in 09, d.h. _Yund damit _Z = 1/_Ywird unabh/ingig von 09, wenn 2RC - RC + L/R. Daraus folgt R = Z_ = , / L / C .

A24.11 AnpaBglied Die Eingangsimpedanz _Z =jogL +

R 1 + jooRC

=j360f~ +

R 1 + j R / l k f~

wird als Funktion _Z(R) des Abschlul3widerstandes R durch die Ortskurve Abb.A24.1 l b dargestellt. Es ist dies ein Kreisbogen mit den speziellen Punkten _Z(0)=j 360 f~,

_Z(~) = --j 640 f~,

_Z(lkf~) =j360f~ + lkfU(1 +j) = (500-j140)f~.

LiSsungen der Aufgaben

443

Die Bedingung f/Jr das Verschwinden des Imagin/irteils, Im (Z) = 360 f~ -

R2/lkQ 1 + ( R / l k ~) 2

=0,

fiihrt mit x = R / l k f~ auf die Gleichung 0,36(1

+ x 2) -

x 2 = 0

=:~ x - - 0 , 7 5 0 .

Z ist demnach reell ffir R = 750 f~.

Abb. A24.11b

A24.12 Reaktanzkette

Die unendliche Kette ist/iquivalent der Schaltung Abb.A24.12b. Aus Z = jcoL +

jcoL + Z 1 + j2ooC(jooL + Z_)

folgt dann _Z + j2coC(jcoL + _Z)_Z = jcoL + jcoL.j2coC(jcoL + Z_) + jcoL + Z_, j2ogC_Z 2

=

j2ooL(1

-

-

o)2LC),

also _Z = x / ~

" x / / 1 - co2LC.

444

L6sungen der Aufgaben

Abbildung A24.12c zeigt den Frequenzgang des Scheinwiderstandes. Fiir co < coo = 1 / x / / L C ist _Z(co) reell. Fiir co > coo ist dagegen Z_ ( o~) = j x / ~

"~ / ~ 2 L C -- 1,

also imaginiir.

Abb. A24.12b

Abb. A24.12c

A24.13 Teilerschaltung

Gemiil3 Abb.A24.13b liefert die Spannungsteilerregel _u = 1 + U2

Z 1 _Z2 (Z3-Ji- ZB) '

_Z3 _ZB

U2 g B

_ U U . U _ 2 _ = [ 1 + Z1 (Z2 --~-Z3 L ZB)~ Z3 't- Z B UB

z~(z3+_z.)

U"2 U B Z1

= I + z _~

J

z.

1 -~- --~-(Z 1 + Z 3 + Z 1 _Z3/_Z2).

z,_B

_U/_UB wird unabh/ingig von _ZB, wenn _Z1 -3I- Z 3 + Z 1 Z 3 / Z 2 -~- O.

D a r a u s folgt _Z3 =jogL = --

zl 1 + z~/z~

j coC1(1 -+- C2/C1) '

d.h. L~

o)2(C1 + C2)

= 43,1 m H .

L6sungen der Aufgaben

445

Abb. A24.13b

Der Effektivwert der Ausgangsspannung ist dann U B ---

U

230V

1 + C2/C1

1 + 220/15

= 14,7V.

A24.14 Lastunabh~ingiger Strom

Mit den Bezeichnungen aus Abb. A24.14b gilt

z2 IIZ~ U, z, + _z211z~

IB - ~-uB

-

~B' Z 2 --"jr

I . = (z~ + zB)[z. + z~ z . / ( z ~ + z,~)] !B ist dann unabh/ingig von _ZB, wenn _Zl +

Z 2 -- 0,

2, z2 + (z, + z : ) z . d.h. wenn

jcoL + 1/(jcoC) -- 0. Daraus folgt die Bedingung ~2LC=

1.

Der zugeh6rige Belastungsstrom ist I B -- U_/Z_, -- - j x / ~ / L .

Abb. A24.14b

U.

446

LSsungen der Aufgaben

A 2 4 . 1 5 Spulengiite

Die beiden Maschengleichungen zu Abb. A24.15b, _U1 - ( R 1 -+-jogL1)/1 + jcoM/2, 0 = jo)M/1 + (Rz + jooL2)/2, ergeben (6oM) 2

_Z = _U2//2 = R 1 + J~

+

R 2 -+-jcoL 2

R1

1

+Q~[I? +Q2 +jQI(1 +QZ)+kZQ1Qz(I_jQ2)].

Daraus ist die gesuchte Gr613e 1 + (1 - k 2) Q2 Im(Z_) Q I ( I + Q Z ) - k Z Q a Q 2 z Q=Re(_Z-----)= I + QZ + kZQ1Qz = Ql l + QZ + kaQIQ2

zu bestimmen.

Abb. A24.15b

A25.1 L e i t u n g s b e m e s s u n g

Wirkleistung P = %//3 U12I 1 cos(q9),

cos(qg) --/~.

Die Leitung ist fiir den AuBenleiterstrom

I1 auszulegen.

=

P = 22,5 A ~//3 Ux2J~

447

LiSsungen der A u f g a b e n

A25.2 Strangparameter Strangstrom Ia2

= I1/x/~=

4,85A,

Strangscheinwiderstand Z

--

U12/112

--

P

P

82,48 ~,

Leistungsfaktor =0,777.

D a r a u s ergeben sich die Strangparameter R = Zcos(q~) = 64, 06 f~, X = Zsin(qg) = 51, 92 f~ ~ L = 165 mH.

A25.3 Blindleistungsbelag Der symmetrischen, kapazitiven Belastung nach Abb.A25.3b ist der Blindleistungsbelag -Q'=

3coc;2 u22 + 3coCio U~o = co(Cio + 3C12) U22 = 9,61 k V A / k m

zugeordnet. C~ C ' 12

jeC;~T T T Abb. A25.3b A25.4 Einphasige Ersatzschaltung Die Maschengleichung der urspriinglichen Schaltung, _U12= _Uq1+ R/~ +jcoL/1 + j ~ M a 2_ I ~

+ j ~ o M a I ~_ _

- jo~M/1 -- jooMa/1 = (1 -- ___2)[_UqI + R/~ + jco(L -3 - 1 _ a U1 -U12_ =(1

-- a2)U1,

M)t~],

- - a_ 2 U _q ~

-- Ra2I_l

- - j c o L a 2 1 _1

_

448

L6sungen der Aufgaben

muB der Maschengleichung der Ersatzschaltung, 01 "~ Uq + Re/1 + jogLe/1,

/iquivalent sein. Ein Koeffizientenvergleich liefert die P a r a m e t e r _Uq - -

Uql,

R e = R,

L e = L -- M.

A25.5 Einphasige Belastung (i)

Die Sternspannung des starren Netzes ist U = 230V und die S t r a n g s p a n n u n g am Verbraucher betr~igt

UL= RI,

I = U / x / R z + X 2.

Aus U-

UL

V

.

1.

.

R

1

.

~/R 2 + X2~

1

w/1 + (Xw/R) 2

v -5,13%

ergibt sich

X~r/R = 1/3. Der Verbraucher nimmt die Leistung

P = 3U2/R= 3[(1 - 5,13%).230V]2/6 f~ = 23,81 k W auf. (ii)

Bei Parallelschaltung der drei Striinge flieBt insgesamt ein Strom der Stfirke

I ' = UIx/(R/3) z + X~. Die vom Verbraucher aufgenommene Leistung ist nun 3

p, __RI2 =--.R U 2 3 3 (R/3) +

U2

A25.6 Blindleistungskompensation (i)

U 2

1 + (3Xx/R) 2 R = 1,5---~-

Aus der Wirkleistung

P = x/~ U12Il cos(cpl)

13,23 kW.

LiSsungen der Aufgaben

449

ergibt sich der Aul3enleiterstrom ohne Kompensation 11=

P

1, 5MW

N/f3 U12 cos ((p 1)

x//3.6kV.0, 7

= 206A.

Durch Kompensation wird die urspriingliche Blindleistung Q = Ptan(qgx)= 1, 53 MVA auf Q ' = Q - Qc = (1, 53 - 0 , 8 ) M V A = 730 kVA gesenkt. Dazu geh6rt die Scheinleistung S ' = x / P 2 + Q,2 = 1, 67 MVA und damit der AuBenleiterstrom I~ =

S' 1,67 MVA ~ = = 161A. N/~ U12 x/~" 6kV

(ii) Aus

Qc = 3 u~ o)c = U220,)C folgt

C=

Qc 0.)U22 -- 70, 7 #F.

A25.7 Leitungsbeschaltung Die AuBenleiterspannung betr~igt U~2 = 6 k V , die Sternspannung U: = U~2/, ~ und die Strangreaktanz x

= o~L -

1/(~oc).

Beifl = 50 Hz soll die Blindleistung Q--- 3 U2/X1-~- U 2 2 / X 1 - - -- 1 M V A

aufgenommen werden, d.h.

X1

U]z/Q= - 36~,

450

L6sungen der Aufgaben

w~ihrend die Strangreaktanz fiir die Frequenz 5fl verschwinden soll. Wir haben daher die beiden Gleichungen 091L - -

36 f2,

1/(o91 C ) = -

5 o 9 1 L - - 1/(5o91 C ) -- 0

mit der L6sung L = 4, 775 mH,

C = 84, 88 #F.

A25.8 Unsymmetrische Sternschaltung Das speisende Netz liefert die symmetrischen Spannungen

_U~,

_U~ - .a2 .U 1. 2 .

U 31

=aU~ __ ~-

Ein Verbraucherbezugssystem vorausgesetzt, lassen sich die Str6me deshalb in der Form /a--

/2--

E_Uo +~(11 -a)_U~2 1/Z_I --(_U 0 + UlO)/_Z1,

E_Vo+~(a12 - 1)U~2 ]/Z_2 =(_V0 + aZ_Vxo)/_Z2, 1

/3= E

_U0 -[--~(a--_a2)U12

j /Z_~=(_Uo + a U~o)/_Z~

darstellen, wobei

1 _Ulo---~(1- a)U12--- _U12e-J'~/6/x/~. Die Nullspannung _Uo lfiBt sich aus der Bedingung ffir den nicht angeschlossenen Sternpunkt bestimmen:

/1 + / 2 + / 3 . -

U 0 --

_U0-~(z__~ll'~-Z21 "+"z~)(z_~ll

1/z~ + a~/z ~ + a/Z 3 -

-

1/z_~ + 1/_z2 + ~

a~2 -t- _~33)_ U l o = O ,

+ _

-U~~

451

LSsungen der Aufgaben

Mit den angegebenen Impedanzen und _U~o = 230V (o.B.d.A reell angenommen) ist U o = 17, 8 V. Wir erhalten schliel31ich _U1 = _Uo + _Ulo = 247, 8V, _U2 = _Oo -4- a2 _Ulo -_U3 = _U0 -11-_a_Ulo =

/1 = -U1/_Z1 = 19, 8 A,

221, 6V'e-j116~

221, 6V'e j116~

Z2 --- U2/_Z2

=9, 9A'e-j179~

/ 3 --- -U3/Z- 3 = 9, 9 A . e j179~

Zeigerdiagramme in Abb.A25.8b.

Abb. A25.8b A25.9 Unsymmetrische Dreieckschaltung Das speisende Netz liefert die symmetrischen Spannungen U12'

_U23 = a2 _U12 ,

_U31 = a _U'12-

Wird _U12 = 400 V o.B.d.A, reell angenommen, so ergeben sich die StrangstrSme und die AuBenleiterstrSme zu L12 ---- _U12/-Z12 = 4A'eJ9~176

L1 -- L12 - L31 -" 2, 31A-e jx2~176

L23 = a2 _U12/Z_23 -- 4 A ' e - j 1 2 ~ 1 7 6

I2=I23--112=7, 73A'e-jl~176

/ 3 1 "-- a -U12/-Z31 = 2 ,

/3 =/31 ---/23 = 6, 31A'ej6~176

31A'ej6~176

Zeigerdiagramme in Abb. A25.9b.

L6sungen der Aufgaben

452

Abb. A25.9b

A25.10 Unsymmetrisches Netz

Die Strangspannungen h/ingen mit den AuBenleiterspannungen tiber 1

u~ = Uo + ~ ( U l ~ - _U~x), 1 U 2 = Uo-~--~(U23-- U12),

1 U3 = Uo-~--~(U31-- U23 )

zusammen, wobei 1 1 U 0 = ~(U 1 -~- U 2 ~- U 3 ) = ~R(/~ + / 2 -+- /3)~-0.

Nehmen wir o.B.d.A. U12 ~- U12 reell an, so folgen mit Bezug aufAbb. A25.10b aus dem Kosinussatz die Winkel fl = 36,34 ~ =~ _U23 = 1 5 0 V . e j216,34~ = 26,38 ~ ~

_U31= 2 0 0 V . e j153,62~

453

LSsungen der Aufgaben

Abb. A25.10b

D a m i t gilt O 1 --" 3 ( U 1 2 -- O31 ) -- 162, 45 V.e -jl~176

1

~2 = 3(-U23-

-U12) = 143, 3 7 V ' e - j 1 6 s ' 1 ~

_U3 = "~( _U31 -- _U23 ) = 62, 36V-e j1~176

also U1 = 162V,

U 2 = 143V,

U 3 = 62V.

A25.11 Neutralleiterstrom /1-_U1/R,

/2=_a2_U1/R,

/3--jogC_a_Ul;

/N =/--1 -~/2 + /3 = [(1 + a2)/R + jcoCa] _U1,

1 + a +- a 2 = 0,

I N = ( - - 1 + j c o R C ) a U 1 / R = 3,598"e-ji34~

/N = 16, 5A.e-j134~ = ( - 11, 5 - j l l , 9 ) A . A25.12 Symmetrierschaltung

Unter Verwendung des Zeigerdiagramms Abb. A25.12b folgen aus 11 = 12 = 13 = 123 -- 131 = I 1 2 / N / ~ -- 5, 77A, X L -- U 1 2 / 1 3 1 = 50 ~ ' ~ ' ~ = 86, 6 ~

die Werte L = XL/CO = 276mH,

C = 1/(COXL)= 36,8 pF.

454

L6sungen

der Aufgaben

Abb. A25.12b A25.13 Symmetrierung Die Symmetrieforderung T

_Ui = _Z1/i,

_U2 =

T

_Z2_~ 2 " _ Z 2 _ a 2 / i ,

_U 3 = _ Z 3 / 3

" _Z3a/_ i

fiihrt auf _U12 = _g 1 - - _U 2 - - ( Z _U23 - - _U 2 -

1 -- a2Z_2)I1,

_U 3 - - (_a 2 _Z 2 - - a _Z3)_~l,

was wegen _U23 -- _a2 _U12 die Bedingung a Z 2 - Z _ 3 ~-a_Z_l --Z_2

impliziert. Somit ist Z_3 =

(1 +

_Z 3 - -

17,04~2.e-JSV,3~

_a)Z_2 - - a _ Z 1 =

--

aZ~

- - _a 2 Z_ 2 =

(25.e-iS5~ + 8.e jl~176176 fl

A25.14 Generatorkurzschlufl Wird von den Maschengleichungen _U12 - - _Z_~12 -~- _Uq,

0 = Z ! 2 3 -F a 2 U_q, -

_U12 - - _Z_~31 + _a_Uq

455

L/Ssungen der Aufgaben

die dritte v o n der ersten s u b t r a h i e r t , so folgt w e g e n / 1 2 - / 3 1 Spannung 1-a U12 = - T

---0 fiir die gesuchte

_Uq.

S u b t r a k t i o n der d r i t t e n v o n d e r zweiten G l e i c h u n g liefert U12 -~ _Z(/23 - - / 3 1 ) "['" ( a2 -- a) _Vq,

wegen/23 - - / 3 1 ~-- -- / K also 1

1

Z I K = (a2 -- a) Oq -- ~(1 -- a) _Uq = ~( -- 2 - 2a -- 2a -- 1 + a) _Uq, 3 /K = - - ~ ( 1

3 a2 Uq/g + a) V_qlZ_=-~_ _

_ .

A25.15 Einpoliger ErdschluB Ausgehend von U --- (_ZL "+- Z_B)/1 + _Uo,

a ~ _v = (z,~ + z . ) / ~ + _Uo, a U = ZL/3 e r h a l t e n wir d u r c h A d d i t i o n der b e i d e n ersten G l e i c h u n g e n u n t e r V e r w e n d u n g von

_Vo =

_z~(/~

+/~) (1 + a 2) _U = (_ZL + Z_B)(/1 + / 2 ) + 2 _Uo = (3 + _ZL/_ZB) _Uo,

also

1 -+-a2 _go = 3 + _ZL/Z_B_g =

aU ~

o

3 + _ZL/_ZB

A25.16 Leitungsfehler D e m s y m m e t r i s c h e n s t a r r e n N e t z sind die S t e r n s p a n n u n g e n _O1,

0 2 = a2U1,

_0 3 = _a_U1,

U 1 -- 1 0 k V / x / ~

z u g e o r d n e t . W e r d e n n u n die S p a n n u n g s g l e i c h u n g e n

_V~ = z_/~ + _Us, a 2 U ' l ~_ Z_/2 -+ Us, 5 a U1 =-4Z_[ 3 -11-U_s

456

LOsungen der Aufgaben

nach M u l t i p l i k a t i o n der dritten G l e i c h u n g m i t 4/5 [~ + [2 + / 3 -- 0 u n d 1 + a + a 2 - 0 der Z u s a m m e n h a n g a

so

folgt

wegen

10kV

__Us - - T ~ U , , _

A25.17

addiert,

Us --

14-~/-3

=

--

= 412V.

Leitungsunterbrechung

Mit den Augenleiterspannungen -U12 -- (1 - a 2)_U,

-U2 3

(a2

a) U ,

U3,

=

(a - 1)_U

gilt bei g e 6 f f n e t e m Schalter (Abb. A 2 5 . 1 7 b ) -UI2 = jXL(-/I -- /2),

~U23 --jXL/2 + j(XL + Xc)([ 1 - ~ - L ) -

jXL(--2/,-/2).

D a r a u s folgt j3XL/1

--

UI 2 -

U23

-

(1

- a 2 -- a 2 + a)_U -- - 3 a 2 U,

j3XL/2 -- --2_U, 2 -- U23 -- ( - 2

+ 2a 2

-

a

2

+ a__)U - -

--3U,

und damit U!i - - j X L I _ ,

--

--a 2 U,

!

_U2 -- j X L L = --_U, -U ' 3 - - - - j X L ( _ / ,

+ /2) -- --a

U.

Es e n t s t e h t also w i e d e r ein s y m m e t r i s c h e s D r e i p h a s e n s y s t e m von S i n u s s p a n n u n g e n , aber m i t u m g e k e h r t e r P h a s e n f o l g e .

/, 1c

y-

"jXL ~,~,

/2

jXL

2G -(I~+A)

I jXr Abb. A25.17b

457

LiSsungen der Aufgaben

A25.18 Unsymmetrischer Kurzschlufl

Mit den Bezeichnungen aus Abb. A25.18b haben wir a 2 _U = _ZL(/~ - - / 1 / 2 +/_K + / 1 / 2 ) = 2 _ZL/__K, fiir die Betr/ige also U IK = 2 Z L"

I

I

I

I

I T

I

i-

/112

JK- :IJ2

!K~1/2

I

~

I

~

I

A J1/2

Abb. A25.18b A25.19 Wirkleistung

(i)

U12 -- U ,

U23 = a _2 U ,

---/12 ~----U12/Z- 1,

/1 +/2

11=45,57A, (ii)

/23 = -U23/-Z2,

/31 - -U31/-Z3 ;

U = 45,57A.e-J56, 5~

/1=I12-Z31

=

/2 = / 2 3 - - / 1 2

=

~

=(zza3

a2) =~2 U = 15, 55 A ' e j9~176

Z3 = / 3 1 - - / 2 3 Kontrolle:

U - 3 1 = a-U 9

1

1)

U = 33, 53A-e j138'~176

-~- !3 = 0.

I 2=33,53A,

13=15,55A.

e = Re(_U13/* + _U23/* ) = R e ( - a / *

+ _aZI*)U_

= Re(-- 45, 57.e jx 76'5~ + 33, 53-eJl~176176 P = 15, 41 kW.

= Re(19, 53.eJ37'9~

458

L6sungen der Aufgaben

A25.20 Energieflufl Aus der komplexen Scheinleistung des Systems ohne Sternpunktleiter, s = _u~3/~ + _V~a/* = u ( - a / ~ '

= 400V,(-eJ2~/a.e-J~

+ a~/~)

+ eJ4~/3.e-J2'4-50A)= ( - 10, 87 - j 3 , 56) kVA,

ergibt sich die fibertragene Wirkleistung (der Durchschnittswert des Energieflusses) P = Re(_S) = - 10, 87 kW.

A26.1 Kugelkondensator Bezeichnen Q und I die Augenblickswerte der Ladung bzw. der gesamten radialen Stromstiirke, so erfolgt die Entladung wegen I = - 0 = Q / z nach einer Exponentialfunktion mit der Zeitkonstanten z = R C (Abb. A26.1b), wobei C = 4 n e / ( 1 / r 1 - l/r2),

1 / R = 4 ~ 7 / ( 1 / r ~ -- l/r2),

= e/7, also Q ( t ) = Q o . e -t/~,

I ( t ) = I o . e -'/~,

I 0 = Qo/~.

Im Bereich r 1 < r < r 2 gilt dann fiir die elektrische Feldst/irke und fiir die elektrische Stromdichte

-. Q ( t ) 0~ E (r, t) = 4rce, r 2 r ,

J ( r , t) = 7E(r, t) = I ( t ) _~

4~zr 2 e r"

(i)

Das einer kugelsymmetrischen elektrischen Stromverteilung zugeordnete magnetische Feld verschwindet identisch. (ii) Sei d die obere Halbkugel in Abb. A26.1c. D a n n ist I ( d ) = I / 2 , ~.P(d) = 2 n r 2 e . E r = Q / 2 , ~ ( s J ) = Q / 2 = - I / 2 , also (d) + #(~)

= o ~

v(~)

= o.

Gleiches gilt ffir jedes beliebige F1/ichenstiick. Lokal gesehen haben wir J = - - D , d.h. die Leitungsstromdichte wird iiberall durch die Verschiebungsstromdichte kompensiert.

L6sungen der Aufgaben

459

Abb. A26.1b

Abb. A26.1c

A26.2 Verschiebungsstrom

Ein homogenes elektrisches Feld vorausgesetzt (Abb. A26.2b) gilt E = R e ( ~ e j~

~ = x/~ U/d,

U --

I_Vl

und damit fiir die komplexen Amplituden der Leitungsstromdichte und der Verschiebungsstromdichte _J~ = ~,_E, _Jr =j~e_E. Deren Betdige sind gleich fiir 7 = me, d.h. bei der Frequenz

f = 7~(2he)= 644kHz. Die Effektivwerte betragen d a n n IJ--LI= IJ_vl = 7 U/d = 51, 6 A/m 2 = 5,16 m A / c m 2, und die Zuleitungen fiihren einen Strom der Stfirke /_ = (J_L + _Jv)A = ( 1 +J)yAU/d, 1 = I/I

= ~ / ~ A U/d = x/~" 5, 16 mA = 7,30 mA.

Abb. A26.2b A26.3 Verschiebungsstrombelag

Kabelquerschnitt und Bezugssinne in Abb. A26.3. Aus den Beziehungen

Q ' = C ' U = ~',

Iv !

=

~'=C'(]

460

L6sungen der Aufgaben

erhalten wir fiir den Effektivwert des 1/ingenbezogenen V e r s c h i e b u n g s s t r o m e s Ilvl - ~oC'lUI = 1, 26 m A / m .

Abb. A26.3

A26.4 Transformation elektromagnetischer Griiflen Im L a b o r s y s t e m h a b e n wir E ' = lOOV/m~'x, ff=0,1Vs/m2gy, (i)

D a m i t liefern v=0,1c o

die

/-t=

ff/#o =

7, 958"104 A / m ~'y,

ff=eoE'=8,854.10-1~

nichtrelativistischen

Transformationsgleichungen

E " = E" + b~ x f f = --2, 997.10 6 V / m Y x, i f ' = f f = 1 , 0 0 0 - 1 0 - 1 V s / m 2 ~-~y, /-I' = / - I - b* x / ) = 7,958.104 A/m~'y, D-" = / f f = 8, 8 5 4 - 1 0 - l~ und fiir v = 0, 9 c o E" = f + b~ x f f = -- 2, 698" 107 V/m~' x, i f ' = B-" = 1 , 0 0 0 - 1 0 - 1 V s / m 2 ~'~y, /-I' = / - I -

x.

F x / ) = 7, 958-104 A / m g y .

/ ) ' = D-" = 8,854" 10 - 1 ~ As/m2~'x .

fiir

LiSsungen der Aufgaben (ii)

Die

461

relativistischen

Transformationsgleichungen

liefern

dagegen

mit

7 = l / x / 1 - (V/Co) 2 wegen ~'-E" = 0 und ~'-ff = 0 ffir v = 0,1 c o

E " = 7(E" + b* x if) = - 3,012.106 V/m~'x,

if' - 7 ( B -- V x f /c g) = 1,005" 10 - 1 V s / m a e'y, / - I ' = 7 ( / - I - b~ x i f ) = 7, 998.104 A/m~'y,

i f ' = 7 ( f f + b* x Iq/c g) = -- 2, 668-10 - s A s / m 2 gx,

und ffir v = 0, 9 c o

E" = 7(E" + g x if) = -- 6, 190.10 v V/m~'x, i f ' = 7(ff - b" x Y / c g) = 2, 294-10 - 1 V s / m 2 e'y, / - t ' = ?,(/-T-- b~ x D-') = 1,826-105 A/m~'y,

i f ' = ? ( f f + ~' x I q / c 2 ) = -- 5 , 4 8 1 . 1 0 - 4 A s / m 2 g x.

Abgesehen v o n d e r elektrischen Flul3dichte, die wegen der D o m i n a n z der m a g n e t i schen K o m p o n e n t e . d e s g e g e b e n e n Feldes eine Sonderstellung einnimmt, stellen die nichtrelativistischen T r a n s f o r m a t i o n s g l e i c h u n g e n selbst ffir v = 0,1c o n o c h eine sehr gute N~iherung d a r .

A26.5 Stromdurchflossener Block D e r G l e i c h s t r o m verteilt sich gleichf6rmig fiber den Block,

-J = J z ~ ,

Jz = I/(b.1).

U n t e r den g e n a n n t e n V o t a u s s e t z u n g e n ergibt sich d a n n aus d e m D u r c h f l u t u n g s s a t z (Abb. A26.5b)

0 <__x < l" Hyb = J , bx ~ x > l'Hyb = I Abb. A26.5c zeigt d e n Verlauf.

=~

/ t = Hye*y,

By -- Ix/(bl);

/~---Hye*y,

H y = I/b.

462

L6sungen der Aufgaben

Abb. A26.5b

Abb. A26.5c A26.6 Stromdurchflossenes Rohr

Die Fl~ichenstromdichte I

und die zugeh6rige magnetische Flul3dichte

i f - = 0",

#o I --. #o I _~ f f + = ~ 2 n a Y ' t =,, ( B ) = -4-~nae t

ergeben zusammen die Fl~ichenkraftdichte fs=

_ #oI 2 -, I .#o I~, x e t = /zZa2~'

2ha 4ha

z

8

""

Sie wirkt wie ein/iul3erer Uberdruck.

A 2 6 . 7 V e r l u s t e i m Kurzschluflbiigel

Nach Abb. A26.7b ist der Widerstand der Kurzschlul3windung 4a1 lcu R . . . . . Acu 7b5

0, 205 mf~.

L6sungen der Aufgaben

463

Abb. A26.7b

Der magnetische Flul3 qs(t) -- ~ cos(cot) -- Re(~eJ~~

a = 40 mm,

q~ - - / ? a 2,

liefert mit dem Induktionsgesetz in der Form 0 = R v / 2 / + jcoq~ die Verlustleistung P-

RII*=

--

((b~~'co~"'2 = 221,8W. 2R

A26.8 Spaltpol Mit Bezug auf Abb. A26.8b liefert der Durchflutungssatz H l ( ~ - - I =* @j = B 1 A i -= # o A l l / ( ~ .

Aus dem Induktionsgesetz U ( O d )

-- R I = (P2 ergibt sich damit der Zusammenhang

qS, = #OA,R3~2,

d.h. q~,_ = #~

-

zwischen den beiden Teilfltissen. Wir haben damit

-- -~, + ~ z - -

R6 l+j#0coa,

) q3l -

also

~b ~-' -- 1 -- j R 6 / ( l Z o c o A , )

Im Grenzfall R ~ 0 oder o9--+ cxz gilt ~ dagegen q~l = 0.

-- q~. Im Grenzfall R --+ oo oder co--+ 0 ist

464

L6sungen der Aufgaben

Abb. A26.8b

A26.9 Wirbelstriime

(i)

Wegen der Drehsymmetrie des Problems l~iBt sich aus dem Induktionsgesetz (Abb. A26.9b)direkt auf die elektrische Feldst~irke schlieBen: -U(O~/)= 2nQE, ~(~r

U(c3d) = - &(d),

=/~Q2ncos(cot),

^

E = ~o9 B Q sin (090. z

J=?E zusammen mit ? = 34.106S/m ffir Aluminium bei 20~ Stromdichte J = Y~/2 sin (090, (ii)

^

1

J = -z~o?/3D = 53, 4 A/mm 2. t4

Die Dichte der Joule-Verluste p = ?E 2 = 47(co/~)2 QZsinZ(ogt) betr~igt im zeitlichen Mittel 1 ^2 p = ~?(oJB) ~22.

Dies liefert insgesamt den Mittelwert der Joule-Verluste P=

/~dV= Jo

7~

256 ?

8?(~

(_O2~2h D 4

6,6W.

=

ergibt die

465

LSsungen der Aufgaben

Abb. A26.9b A26.10 Stromverdriingung (i)

Mit Abb.A26.10b und den Zusammenh/ingen 1 1 + I 2 = I =/"cos(cot),

R(I 1 -I2)=

L=-~-~-ln

cI) = L I 1,

-- ~,

,

d.h. 11 +

12 =

I"cos(o)t),

I 1 --

12 =

-- 77il,

77= L / R

erhalten wir eine Gleichung fiir I 1 , 77]1 + 211 =/"cos(cot).

Bei kleinen Frequenzen dominiert 2 I1 gegeniiber 77f 1, 1 1 = 1 2 = 1/2.

Bei grogen Frequenzen dominiert 77i1 gegeniiber 21 1, sodal3 I: ~ L sin(cot),

(ii)

L = i/(cor).

Fiir o9:/2 >> 1 stellt sich d e m n a c h [: <> 1. Bezeichnet R' den liingenbezogenen Widerstand, so folgt daraus 2

2R'

f>> m

2rc77

#oln(D/d) '

beispielsweise fiir R ' = 0,3 mf~/m und D / d = 2 die Bedingungf>> 688 Hz.

466

L6sungen der Aufgaben

Abb. A26.10b A27.1 Zirkulare Polarisation

Abb.A27.1 zeigt die Zerlegung, wobei coz = cot - k x . Daraus folgt ~p~ (z)= cos(coz + ~O)~y+ sin (coz + ~O)~z, e*p2 ('17) -- cos (o,)z 71- (p)e*y- sin(coz + cp)~z.

Wir haben somit die linkszirkular polarisierte Welle (positive Helizit/it) -. 1.. E 1 =~Eepl(~),

-. 1^ B 1 =~Bg

x ffp~(Z),

^

E=cB,

..

und die rechtszirkular polarisierte Welle (negative Helizit~it) E2 = ~Ee p2(Z), B E = ~ B g

X

ep2(Z),

E=cB.

A27.2 Reflexion und Transmission

Die drei Wellenpaare ~

A

E l = Exg(t~

x/co)~'y,

B 1 = E1/cog(t-

X/Co)~ ,

A

E 2 = E2g2(t + x/co)ey,

E3=E3g3(t--x/c)ey,

B 2 = -- E 2 / c o g 2 ( t + X/co)ez, B3 = E3/r

Abb. A27.1

x/r

LiSsungen der Aufgaben

467

h a b e n z u s a m m e n bei x = 0 d e n S p r u n g b e d i n g u n g e n ~-E--'t-~= 0 u n d ~-/4t]] = 0-" zu geniigen. D a r a u s folgen die G l e i c h u n g e n

Elg(t) +/~2g2 ( t ) = / ~ 3 g 3 ( t ) ,

die sich d u r c h g2(t) = g3(t) =

^ -E2-Z

g(t) Z-Z

El g(t ) --/~2g2(t)

=

lt~176ff~3g3(t), #c

z u s a m m e n mit

0/~1, + Z0

2Z

/~3=~E1 Z + Z0

^

befriedigen lassen, falls Z o = #oCo u n d Z = #c die W e l l e n i m p e d a n z e n b e d e u t e n .

A27.3 Dispersionsdiagramm

D i e B e z i e h u n g 09 -- x / ~ 2 " + C2/~2 ist in Abb. A27.3 graphisch dargestellt. Es h a n d e l t sich hier speziell u m einen H y p e r b e l a s t mit der A s y m p t o t e co = c ft. D i e P h a s e n g e s c h w i n d i g k e i t Cph = CO/flist gleich d e m Anstieg der G e r a d e n 1. Sie w g c h s t fiir fl ~ 0, 09 ~ 090 fiber alle G r e n z e n u n d n~ihert sich fiir fl ~ ~ , 09 ~ oo d e m W e r t c des Anstiegs der A s y m p t o t e . D i e G r u p p e n g e s c h w i n d i g k e i t Cgr = dco/dfl ist gleich d e m Anstieg d e r T a n g e n t e 2 a n die D i s p e r s i o n s k u r v e . Sie v e r s c h w i n d e t ffir fl ~ 0 , a~ ~ 09o u n d n~ihert sich fiir fl ~ oo, co ~ oo ebenfalls d e m W e r t c.

Abb. A27.3

468

L6sungen der Aufgaben

A27.4 Wellenimpedanz

Allgemein ist Zw = x//L'/C ' = cL' = 1/(cC'). (a)

2 ~ze C ' = ~ ln(D/d) '

(b)

C ' = eb/a,

(c)

C'=

A27.5

Zw

=

k/~ln~D~ d)

=

Z ln(lO) o ~ =138n-

Z w = x/#/e.a/b = Zo/lO = 38f~.

~ze ~ ln(2D/d------~)' Zw =

ln(2D/d) ln(20) " ~ n = Z~ = 359Q.

Stromverlauf im Abschluflwiderstand

W.ird der Nullpunkt der x-Skala an den Leitungsausgang gelegt, so l~il3t sich das Profil des hinlaufenden Spannungspulses U g ( t - x/c) durch

g(t) =

f!

nOzt/T)

fiir t < 0, fiir O < t < T, fiir t > T

darstellen. Nach f0berlagerung der rficklaufenden Welle rUg(t + x/c),

r = (R-Zw)/(R

folgt aus Ug(t) + r O g(t) = Ri(t) der gesuchte Stromverlauf 20 i(t) = ~ g ( t ) , R+Zw dargestellt in Abb. A27.5b.

Abb. A27.5b

+ Z~),

469

L6sungen der Aufgaben

A27.6 Sprungwellen Das Profil {~ g(t)

=

ftir t < 0, fiirt > 0

der im ersten Zeitabschnitt hinlaufenden Welle, 0 < t < 1/c:

U ( x , t) = O g ( t - x / c ) ,

bestimmt zusammen mit den Reflexionsfaktoren r A = 1 (R n - - - ~ ) und rE------1 (ideale Spannungsquelle am Eingang entspricht R E-- 0) die nachfolgende Spannungsverteilung U ( x , t) = O [ g ( t - x / c ) + g ( t + x / c - 2l/c) - g ( t - x / c - 2l/c) -- g ( t + x / c -- 4 l / c ) + g ( t -- x / c -- 41/c) + g ( t + x / c -- 61/c) -- g ( t -- x / c -- 6 1 / c ) -

g ( t + x / c -- 81/c) + . . . ] ,

skizziert in Abb.A27.6b-f. Das letzte Teilbild entspricht dem ersten; periodische Fortsetzung.

Abb. A27.6e

Abb. A27.6f

A27.7 Spannung am Leitungsausgang Die der Frequenz f = 5 M H z ftir c = c o entsprechende Wellenl~inge betr~igt 60m. Aus _U(/) = U ( O ) / c o s ( 2 n l / 2 ) fiir die offene Leitung folgt dann

2 = Co/f=

U(/)=

v(0) Icos(2n//2)l

=

2v cos(2n/6)

also der doppelte Wert der Eingangsspannung.

=4V,

L6sungen der Aufgaben

470

A27.8 Eingangsimpedanz einer s Aus

ZACOS(fll) + gin = ZW--~7"7-_S"7-0-~ )/_,w~O ~1")t folgt mit

jZwsin(fll)

fll = 2 rcl/2 = re~2 gin--- Z 2 / g A "

Die Leitung k a n n als Impedanzwandler ffir grol3e Frequenzen verwendet werden. Beispielsweise erscheint ein kapazitiver Abschlul3 als Induktivitiit am Eingang.

A27.9 Leitungsstiick als Resonanzelement Reihenresonanz bedeutet Nullstelle der Eingangsimpedanz _Zin.

Z_A ~ 00: gin =

--jZwc~

erste Nullstelle bei l = 2/4.

Z_in=JZwtan(2xl/2),

Z_A = 0 "

erste Nullstelle bei l = 2/2. Das Leitungsstiick ist d e m n a c h offenzulassen. Mit f = 1 G H z folgt aus 2= c-=~c~ --0,183m

die erforderliche Leitungsliinge zu 1 - 2/4 = 45, 6 mm. A27.10 2/4-Resonator (i)

Die erforderliche Lfinge ergibt sich zu l = 20 = --C-C=

4 (ii)

c------9~~ = 10, 66 mm.

Vo

Die Wellenimpedanz ist

Zw .

.

L~ .

.

1 cc

ln(D/d)

Z o~

=

5, 80 f~.

471

LiSsungen der A u f g a b e n

Abb. A27.10b

Damit haben wir ffir den Betrag der Eingangsimpedanz IN_in] = Z w

f

]tan(col/c)] -- Z w t a n ( 2 fo )

den in Abb. A27.10b gezeichneten Verlauf. A28.1 Lichtblitzgeriit

(i) Der Ausdruck fiir den Energieinhalt des Kondensators, W = C U2/2, liefert den erforderlichen Kapazit~itswert 2W 2-100 VAs C - U---~ - 16.106V2 - 12,5 #F. (ii) Die im Mittel abgegebene Leistung betriigt p=

W ~_ 100 Ws =4MW! At 25-10-6s

A28.2 Abklingen der Energie

Die Anfangswerte I(0--)-- I ( 0 + ) = I o,

Wo = L I 2 / 2

472

L6sungen der Aufgaben

und der nachfolgende Abklingvorgang

I(t) = Io e-t/~,

z = L/R = 4H/2f2 = 2s,

W(t) = LIZ(t)/2 = Wo e - 2 t # , fiihren auf

t=~ln

Der Energieinhalt des Magnetsystems ist daher nach

=

2s

/

1 \

z

\ u , u3,/

= ln(:0)s

= 3, 00s

auf 5 % seines Anfangswertes abgesunken.

A28.3 Energieverlust beim Umladen (i)

Fiir den Anfangszustand nach Abb. A28.3b gilt Q I = C1 U x und ffir den Endzustand nach Abb. A28.3c U !1 = U t2 = U, wobei die Ladungserhaltung Q'I + Q2 = Q1, also (c1 + c 2 ) u = c~ u1 erfordert. Daraus folgt C1

2,2 = ~,27-=540V = 371, 3V

U = ~ UCI+C 1

(ii)

fiir die Spannung an den Kondensatoren. Die im Widerstand umgesetzte Energie ergibt sich als Differenz der Energieinhalte: 1

1

w~ = ~c1 v~ -~(c1 +

c~)v

C2

C1U~

C 1 -~-C 2

2

~ =

= 0, 100J.

Sie ist unabh~ingig vom Widerstandswert.

0 I

C1

"[-r

C2

Abb. A28.3b

C1

I

"~-r

C2

w~ Abb. A28.3c

L6sungen der Aufgaben

473

A28.4 Schaltverluste

Bei jedem Ausschaltvorgang (Abb. A28.4b) geht der Energiebetrag

Wm = LIgJ2 = 1 mH-16A2/2 = 8mWs verloren. Die mittlere Schaltverlustleistung (ein Ausschaltvorgang je T = 20ms) betr/igt daher

Ps=Wm/T=O,4W.

Abb. A28.4b

A28.5 Funkenliischen

Bezeichnungen nach Abb. A28.5b mit dem Anfangsstrom I o = Uo/R. Nach dem Offnen des Schalters wird in der einsetzenden Schwingung die Energie abwechselnd von Spule und Kondensator/ibernommen. Ohne Beriicksichtigung der D/impfung ist daher 1

1

2

1

-~C 0 2 = -~LIo = -~L U2/R 2, und daraus folgt (Uo~ 2 L [ 10 ~20,32 C = \~ccJ ~-5 = \ 5 - ~ J 4 - ~ V = 5, 556" 10-

6F"

Die Kapazit/it des L6schkondensators muB somit mehr als etwa 5, 6 #F betragen.

Abb. A28.5b

474

L6sungen der Aufgaben

A28.6 Energie im Reihenschwingkreis

Mit den Bezugssinnen aus Abb. A28.6a ist I =

U R + jwL + 1/(jcoC)

I U-c=jwC

U~/C/L d +j(v-

l/v)'

U jv[d + j ( v - 1 / v ) ] '

und daraus folgt _

1 1

..

1

1CU2=I

We = -5 "-i C V ~ = -5

-5 C V ~ v 2 d 2 at-(v 2 - - 1) 2 '

Abb. A28.6a

Abb. A28.6b

Abb. A28.6c

LSsungen der Aufgaben

475

_

1 1

1

W m = -~'-~L[ 2 = -~LI

2

1 2 y2 = -~CU y 2 d 2 + (y2 __ 1)2 '

m

m

W=Wo+Wm. Graphische Darstellungen fiir d = 1 in Abb. A28.6b und f/Jr d = 0, 01 in Abb. A28.6c. A28.7 Laden eines Zweileitersystems Ersatzschaltung und Bezugssinne nach Abb. A28.7b. (i) Aus dem Stromverlauf i = ( U / R ) e -'/~,

z = RC,

ergibt sich der Z u s a m m e n h a n g mit dem im Widerstand umgesetzten Energiebetrag W=

R i 2 dt = --~

e - 2t/r,dt =

U2T

CU 2

2R

2

Dieser ist somit gleich der im Kondensator im Endzustand gespeicherten Energie. Daraus folgt 2W 2.1, 5VAs C = U---2 = 4.106 V 2 (ii)

-- 0,

75/~F.

1, 5 J.

We = CU2/2 = W=

Abb. A28.7b A28.8 Energieinhalt eines Dreileitersystems Ersatzschaltung Abb. A28.8b. 1

1

1

1

1

1

w=-~clo U~o +sC~o U~o +-~c~(U~o - U~o)~ = ~ C ~ o V 2 0 + ~C20U20 +5C~2(U20 + U 2 0 - 2 U ~ o V 2 0 ) , 1

1

w= 5(C~o + c~)V~o +-~(C~o + c~)V~o - c ~ U~oU~o.

476

L6sungen der Aufgaben

Abb. A28.8b A28.9 lnnerer lnduktivifiitsbelag

Bezeichnungen nach Abb. A28.9. Der magnetischen FluBdichte

B~

=

#I

0

2rC~01 O 1

,

0<0<0,,

entspricht die Energiedichte

w=Bq, =~_ I 2In 2 2nOx

0

und damit der l~ingenbezogene Energieinhalt 1

W'=

wdA=

w2n0do=2n0 2

wed

= ~ 2 n e 2 2n0x

16n 0

Der Vergleich mit W' = L'ii2/2 liefert dann ,_# Li-

87~"

Die Voraussetzung der Stromverdr~ingungsfreiheit ist wesentlich, da bei ungleichf6rmiger Stromverteilung eine andere Flul3verteilung auftritt.

Abb. A28.9

L6sungender Aufgaben

477

A28.10 Koaxialleitung

Der Durchflutungssatz (Abb. A28.10b) liefert

01 < 0 < 03" He = I/(2rcO). Damit ist O1 < 0 < 02"

B,~ = #o#,.I/(2rcO),

02 < 0 < 03"

B~o= #oI/(2rcO),

und ffir den 1/ingenbezogenen Energieinhalt gilt 03

02

2roOd002 f2rcodol=#oI2

W'=-~(~)2[#,f

+

L ' 1 2 / 2 -- W '

(i)

02

-~[#,ln(~)+

ln(~2) 1.

02

0~

:=~ g '

/201n~(~O2~t~r~O3]"

L,,,Z/

Induktivitiitsbelag ohne Ferritmantel: L' = 0, 32 gH/m, Induktivitiitsbelag mit Ferritmantel: L ' = 7, 11 gH/m. (ii) (iii)

W' = L'12/2 = 3, 56 g J/re. WE ~ = W'

#rln(02/01)

= 97%.

~rln(o2/ox) + ln(o3/o2 )

Abb. A28.10b

A28.11 Stromschiene

Unter der Voraussetzung gleichf6rmiger Stromverteilung erhalten wir aus dem Durchflutungssatz (Abb. A28.1 lb) I H,, = -5~ab X,

--a<x
L6sungender Aufgaben

478 und damit die lfingenbezogene Energiedichte

~toll 2bdx

W--

~

y

--/to

b I 2 2dx ._. ./t. o 2a 12" ~

24 b

--a

0

Der Vergleich mit W' - L ' 1 2 / 2 ergibt dann die 1/ingenbezogene Induktivitiit L' = #_2o.__a2= 0, 631aH/m. 12 b

Abb. A28.11b

A28.12 Spulenseite

Die aus dem Durchflutungssatz unter der Annahme/T ~ Hx(Y)fx folgende magnetische Feldstfirke (Abb. A28.12b) NI y O<_y<_a"

Hx= b a o ~

NI a<_y
Hx= b

ergibt im Nutraum die 1/ingenbezogene Energie a

IV'=

f wdA d

2~ (]~I) 2b I f(-Ya)2d y ~ 0

=w

+ c

1 = p~ 2 b

also die 1/ingenbezogene Induktivit~it L'= /toNza/3 + c b

( 3 + c ) [z'I2 2

'

LiSsungen der Aufgaben

479

Abb. A28.12b

A28.13 Nutenleiter

Der D u r c h f l u t u n g s s a t z ffihrt bei gleichf6rmigen Stromverteilungen innerhalb der Leiter auf den in Abb. A28.13b skizzierten Verlauf der magnetischen Feldst~irke u n d damit auf die l~ingenbezogene magnetische Energie

(,)2 ~Jd~+7 1ff-12 b

#0 W = -~(~)2b ;L (~LL)2dX -JI- -2b ~LhL (fb q 12b X--hL'~ 2

=/t~ 2b

#0

-4- h L A- c)I 2 + (hL/3 -t- c)I 2 + (h L -+- 2c)I 1123.

D u r c h Vergleich mit

W' = L'a12/2 + L212/2 + M'I~ I 2 folgt daraus

LI = --b-

+ hE + c

=

h N - ~hL = 3, 14 laH/m,

L2,o(~~ + c) = ~(hN ~hL)= 26,--Jm5 1 -- -b---

nt- c --

h N -- -~hL -- 1, 57 g H / m .

b(hN__2hL)

480

L6sungen der Aufgaben

Abb. A28.13b

A28.14 Induktivit/it einer Scheibenspule Aus dem Durchflutungssatz folgt die magnetische Feldst~irke (Abb. A28.14b)

NI 0--01

H= 1 02-01

01 <0<02

D a m i t ist die Energiedichte im F e l d r a u m

(02--01) 2 und der Energieinhalt Q2

W=

Q2

f' wdV= f w l 2 n o d o = - ~12 /(02_01) 2~0N2 2 f (0--01 )2 0 d 0 ' LI2/2. "V"

O~

01

Dies liefert ffir die Induktivit~it

L = #~

n 02(302 - 8 0201 -~- 6 02) -- O~ 61

(02--01) 2

oder, mit 6 = d l/d2, nd 2 3 - 86 + 662 -L = po N2 41 " 6(1 - - 6 ) 2

~4 l~oN2nd 2 (3 + 41

6)(1 --6) 6

Lbsungen der Aufgaben

481

Abb. A28.14b A28.15 Streuinduktivitfit eines Transformators

(i) Die Parameter n = N1/N 2,

R = R l + n2R2

lassen sich sofort angeben. Das magnetische Feld im Wickelraum ergibt sich aus dem Durchflutungssatz mit jeweils gleichf6rmig verteilten Durchflutungen (Abb. A28.15c), wobei 01 = N I I 1 =

0 2 =-

N2I 2

(Durchflutungsausgleich entsprechend der Annahme ideal magnetisierbaren Eisens). Uber die magnetische Energie des Streufeldes, a~

,0(_~)~ [f(~)2

W = -~

1Drc

a2

dx + b +

0

(al

#o N~ 12 D rc +b+ -2--[-~ T

Abb. A28.15c

f(~22)2 1 dx

0

L. 12/2,

482

L6sungen der Aufgaben

erhalten wir die Streuinduktivitiit =/~~

Drc(

+ a2 ) al 3 +b "

(ii) Die angegebenen Werte ffihren auf n=0,183;

R=0,42f~;

L~ = 0 , 3 3 6 m H .

A28.16 Linear polarisierte Welle Mit H = ~x x E / Z o gilt Y = K x f f = K x (ex x K ) / Z o = ( e ~ / Z o ) e x = (E~/Zo)cOs~(co~)~x,

im Mittel also

/~ 2 (Y)

=

~ex, 2Zo

Zo

=

~o/~o.

A28.17 Zirkular polarisierte WeUe Fiir eine zirkular polarisierte Welle gilt = Ee,(~).

f f = (F./Zo)e x ~ ( ~ )

mit einem rotierenden Einsvektor gp(r) senkrecht zur Ausbreitungsrichtung ~. Daraus folgt g = E x f f = (E=/Zo)O'~ x (~ x ~ ) =

(E=/Zo)e.

d.h. die Energieflul3dichte ist rfiumlich und zeitlich konstant!

A28.18 Feldstiirken der Sonnenstrahlung Aus

~" =

K x ff = (e~/Zo)~

folgt (i)

fiir lineare Polarisation

g = (E:/Z0)cos 2(o~:) g,

/~ 2 (s) =~~,

2Zo

/~ = ~ 2 Z o l ( S ) I = x/2" 377 f~" 1 k W / m 2 = 868 V/m,

I4 = E,/Z o = 2, 30 A/m,

483

Lbsungen der Aufgaben

(ii) und ffir die zirkulare Polarisation

E-- ~ Z o I g l - x/377 a" l kW/m 2 = 614 V/m, n = E / Z o = 1, 63 a/m.

A28.19 Poynting-Flufl gekreuzter Wellen Wir setzen abk/irzend c o t - k x = ooz~ und o ~ t - ky = o,)T2. Dann sind die magnetischen Komponenten durch

ff~ = (~/Z)cos(co~x)O'~,

ff~ = (~/Z)cos(o~:)O'x

darstellbar und der Poynting-Vektor des resultierenden Wellenfeldes ist S = (E 1 + E 2)

X

(H~ + H 2)

= (/~:/Z)Ecos(o~)o'~ + cos(o~:)0"~] x l-cos(co~,)o'~ + cos(co~)O'x] = ( / ~ 2 / Z ) [ c o s 2 (o)T1)e~x -~- cos2(o,),~2)e+y -- COS((_DT1)COS(O,)T2)e-~z] .

Wegen

2c~176

c~176

= c~

[(D('Cl + "~2)] .qt_COS [(_0(,Cl _ .C2)]

folgt daraus fiir den zeitlichen Mittelwert --.

/~2

. e x -Jr- e-~y

(S ) = Z x / ~ ~

s

- 2zCOSEk(x - y)-I ~'z.

Den urspriinglichen Teilwellen kommen die Mittelwerte ($1)=/~2/(2Z)e'x und ( S - ' 2 ) = E2/(2Z)e'y zu. Der erste Term im Ausdruck fiir ( S ' ) ist deren Summe und repr~isentiert einen mittleren EnergiefluB in Richtung (~'x + g y ) / x ~ - Interessant ist der zweite Term, der sich aus der Wechselwirkung der beiden Teilwellen ergibt und einen mittleren Energieflul3 senkrecht zu den urspriinglichen Ausbreitungsrichtungen darstellt. Seine Existenz wird im Zusammenhang mit der Impulserhaltung verst~indlich.

A28.20 Stehende Wellen (i)

Fiir die Momentanwerte der Energiedichten ergibt sich W e = gE2/2--(es

W m =

+ qo),

B2/(2#) - ( e E 2 / 2 ) s i n 2 ( k x ) s i n 2 ( 0 9 t + r

W -- W e + W m

484

L6sungen der Aufgaben

und fiir deren zeitliche Mittelwerte

(We) =(eE,2/4)cos2(kx),

(Wm) = (eF,2/4)sin2(kx),

( w ) = e/~2/4.

Entsprechend der rfiumlichen Verschiebung der elektrischen und magnetischen Schwingungsb~iuche sind auch die Maxima der Energiedichten gegeneinander verschoben. (ii) Die Energieflul3dichte ergibt sich zu

ff = f f x I 4 = c(eff~2/4) sin(2kx) sin(2oot)~' x

mit verschwindendem zeitlichem Mittelwert, ( i f ) = 0". ff beschreibt den wechselnden Energieflul3 zwischen den elektrischen und den magnetischen Schwingungsb~iuchen. In einer stehenden Welle findet kein resultierender Energietransport statt.

Literatur Physikalische Grundlagen (Auswahl) Bergmann/Schaefer, 1992: Lehrbuch der Experimentalphysik. Bd.II: Elektrizitiit und Magnetismus, 7.Aufl. de Gruyter, Berlin. DIN-Taschenbuch, 1984: Bd.22: Einheiten und Begriffe fiir physikalische Gr6gen. Normen. 6. Aufl. Beuth, Berlin. Feynman/Leighton/Sands, 1991: Feynman Vorlesungen fiber Physik, 2.Aufl. Bd.I: Mechanik, Strahlung, W~irme. Bd.II: Elektromagnetismus und Struktur der Materie. Oldenbourg, Miinchen. Physikalische Technische Bundesanstalt, 1989: Die SI-Basiseinheiten. PTB, Braunschweig.

Grundlagen der Elektrotechnik (Auswahl bew~ihrter deutschsprachiger Lehr- und Ubungsbiicher) 0.

Bosse, G.: Grundlagen der Elektrotechnik. Bd.II: Das magnetische Feld und die elektromagnetische Induktion, 3.Aufl. 1989. Bd.III: Wechselstromlehre, Vierpol- und Leitungstheorie, 2.Aufl. Nachdr. 1985. Bibliographisches Institut, Mannheim. Clausert/Wiesemann: Grundgebiete der Elektrotechnik. Bd.l: Gleichstromnetze, Operationsverst~irkerschaltungen, elektrische und magnetische Felder, 5.Aufl. 1992. Bd.2: Wechselstr6me, Drehstrom, Leitungen, 5.Aufl. 1992. Oldenbourg, Miinchen. Frohne, H.: Einfiihrung in die Elektrotechnik. Bd.l: Grundlagen und Netzwerke, 5.Aufl. 1987. Bd.2: Elektrische und magnetische Felder, 5.Aufl. 1989. Bd.3: Wechselstrom, 4. Aufl. 1985. Teubner, Stuttgart. Glaab/Hagenauer, 1993: Ubungen in Grundlagen der Elektrotechnik III u. IV (Erg.d.Bde.III u. IV d.Lehrbuchs v.G.Bosse), 2.Aufl. Bibliographisches Institut, Mannheim. Hofmann,H., 1986: Das elektromagnetische Feld, 3.Aufl. Springer, Wien. Kiipfmiiller, K., 1990: Einfiihrung in die theoretische Elektrotechnik, 13.Aufl. Springer, Berlin. Lunze, K., 1991: Einfiihrung in die Elektrotechnik. Lehrbuch, 13.Aufl. Verlag Technik, Berlin. Lunze/Wagner, 1991: Einfiihrung in die Elektrotechnik. Arbeitsbuch, 7.Aufl. Verlag Technik, Berlin. Moeller, H.u.a., 1986: Grundlagen der Elektrotechnik. 17.Aufl. Teubner, Stuttgart. Paul, R.: Elektrotechnik. Bd.l: Felder und einfache Stromkreise, 3.Aufl. 1993. Bd.2: Netzwerke, 3.Aufl. 1994. Springer, Berlin. Philipow, E., 1993: Grundlagen der Elektrotechnik, 9.Aufl. Verlag Technik, Berlin. Unbehauen, R., 1994: Grundlagen der Elektrotechnik. Bd.l: Allgemeine Grundlagen, Lineare Netzwerke, Station~ires Verhalten. 4.Aufl.

486

Literatur

Bd.2: Einschwingvorg~nge, Nichtlineare Netwerke, Theoretische Erweiterungen. 4.Aufl. Springer, Berlin. Wiesemann, G., 1984: fSbungen in Grundlagen der Elektrotechnik II (Erg.z.Bd.II d.Lehrbuchs v.G.Bosse), 1.Aufl. Nachdr. Bibliographisches Institut, Mannheim.

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Geschichte der Elektrotechnik und des Elektromagnetismus Eckert/Schubert, 1986: Kristalle, Elektronen, Transistoren. Rowohlt Taschenbuch, Hamburg. Lindner, H., 1985: Strom. Rowohlt Taschenbuch, Hamburg. Meya/Sibum, 1987: Das fiinfte Element. Rowohlt Taschenbuch, Hamburg. Simonyi, K., 1990: Kulturgeschichte der Physik. Deutsch, Thun. Whittaker, E., 1973: A History of the Theories of Aether and Electricity, vols. 1, 2. Humanities Press, New York.

Sachverzeichnis Abbildung, konforme 185 Abgleichbedingung 199f, 416ff Abschirmung, magnetostatische 75, 85, 345 Abschlul3impedanz, Leitung 288, 291,468 Admittanz 167 AllpaB 191,204, 207 Aluminium 32 Amp6re-Kraftregeln 3 Amp6re-Maxwell-Satz 246, 255f Amp6rescher Satz 19 Amplitude 156, 269 -, komplexe 158, 270 anisotrop 34f Anpal3glied 220, 442 Anpassung, refle• 287 AnschluBgr~SBen, Spule 112 AnschluBspannung 112, 163 AnschluBstrom 163 Anschnittsteuerung 175f, 403f antiferromagnetisch 32 ArbeitsvermiSgen 294 Asynchronmaschine 187 )~ther, elektromagnetischer 252 Augenblicksleistung 163, 229 Augenblickswert 156 -, komplexer 158 Ausbreitungsbedingung 266 Ausbreitungsgeschwindigkeit 266, 279f, 284 Ausbreitungsrichtung 266, 269 Aul3enleiter 224 - spannung 225 - strom 225 Aul3enpunkt 224 ~iul3ere Induktivitfit 51 Bandleitung 57, 285 Bel 190 Berechnen, magnetische Felder 43 -, Schaltungen 131, 179 Betragsfrequenzgang 185 bewegte K6rper 7, 116 bewegte Kurve, Spannung 116 bewegte Sprungfl~iche 254f Bewegungs-EMK 119 Bewegungsinduktion 116, 126ff, 371ff

Bezugspunkte, gekoppelte Spulen 135 Bezugssinn 163 -, magnetischer Flul3 13 -, magnetische Spannung 19 Biot-Savart-Formel 44, 48 Blechpaket 115 Blindfaktor 165 Blindleistung 164f, 229, 234, 236 Blindleistungsbelag 238, 447 Blindleistungserzeuger 169f, 234 Blindleistungskompensation 176, 212, 240 Blindleistungsverbraucher 170, 234 Blindleitwert 167 Blindwiderstand 167 Bode-Diagramm 185, 188 Brechung 267 Brechungsindex 267 Brechzahl 267 Briicke, Abgleichbedingung 199f, 416ff -, Gleichrichter 172, 399 cgs-System 16 Curie-Temperatur

35

D~impfuggsgrad 210, 214 Darstellung, SinusgriSgen 156 Datentechnik 263 Dauermagnet 3, 33, 83 Dauermagnetkreis 83 Dauermagnetplatte 106f, 363f Definition 294 Dezibel 190 diamagnetisch 1, 32 Differentiation durch RL-Glied 150, 385 Diodenbriicke 172, 399 Dipol, magnetischer 46 Dipolfeld, magnetisches 47, 69f, 338ff dispergierend 268, 280 Dispersion 268, 279 Dispersionsbeziehung 280 Dispersionsdiagramm 291,467 dominant elektrisches Feld 257 dominant magnetisches Feld 257 Doppelleitung 50 -, Induktivit~it 52

48 8 Drehfeld 223 Drehglied 207, 432 D r e h m o m e n t 10, 316 Drehstromnetz, Angabe 230 Drehstromsystem 222 -, symmetrisches 230 -, unsymmetrisches 234 Drehzahl 120 Drehzahlgeber 123, 368 Dreieckschaltung 224 -, symmetrische 232 -, unsymmetrische 235, 240, 451 Dreieckspannung 225 Dreiphasensystem 222 -, symmetrisches 230 -, unsymmetrisches 234 Drei-Voltmeter-Methode 195, 410 Drossel 87, 200 Durchflutung 19, 54, 58 Durchflutungsausgleich 82, 142 Durchflutungssatz 19, 101 Durchlaufsinn 19 Durchschnittswert 161 Durchtrittssinn 13 dynamisches System 303

Sachverzeichnis elektromagnetische Wellen 263 -, Existenz 247 Elektromagnetismus 1 elektromotorische Kraft 119 Elektron 9, 314 Elementarmagnet 2, 33 Elementarstrom 2, 31 elliptisch polarisiert 272 E M K 119 Energie 294 -, kinetische 299 -, potentielle 299 - art 295 - austausch 303f - dichte 299f - erhaltung 294, 304 - flul3, elektromagnetischer 302 flu6dichte, elektromagnetische 301 - form 294 - inhalt, elektromagnetisches Feld 299 Kondensator 295 - inhalt, Spule 296f - speicherung 294, 299 strom 294 - technik, elektrische 9, 263 transport 301 Erdfeld, magnetisches 1, 64, 70 Erdschlul3 242, 455 Erhaltung, Energie 294, 304 -, Ladung 245, 255 Erregung, magnetische 24 Ersatzadmittanz 180f Ersatzimpedanz 180f Ersatzschaltung, einphasige 238, 247 -, lineare 178 -, Transformator 143, 153f, 183 Ersatzstromdichte 58 Erzeugerbezugssystem 113, 163 Euler-Beziehung 157 Exprodukt 4 -

- i n h a l t ,

-

-

ebenes Feld 50 ebene Sinuswelle 268 ebene Wellen 264, 267 -, homogene 267 -, inhomogene 267 Effektivwert 161 -, komplexer 162 Eichtransformation 26, 99 Eichung 99 Eigenfrequenz 213, 298 Eigenschwingung 297 Eindringtiefe 114, 273 Eingangsimpedanz, Leitung 289 eingeschwungener Zustand 178 -, Leitung 288 einphasige Ersatzschaltung 238, 447 Einsnormalenvektor 4 Einsvektor 4 Eisen 1, 32 Eisenf'tillfaktor 77 Eisenkern 76 E-Kern 88 elektrisches Feld 12 Elektroblech 34 elektromagnetische Induktion 7, 108 elektromagnetisches Feld 245 -, formale Eigenschaften 253 -, im engeren Sinn 253 elektromagnetische Wechselwirkung 6

Faraday-Scheibe 119 Feld, ebenes 50 -, elektrisches 12, 257 -, elektromagnetisches 245 -, magnetisches 2, 12, 101,257 -, quasi-elektrostatisches 257 -, quasi-station~ires 20, 101, 157 -, translationsinvariantes 50 Feldkonstante, magnetische 4f, 26 Feldlinien, magnetische 36 Feldst~irke, elektrische 7, 116, 252f -,magnetische 23, 252f Feldsdirkelinien, magnetische 36 Feldvorstellung 7

489

Sachverzeichnis Fernwirkungstheorie 7 Ferranti-Effekt 289 ferrimagnetisch 32 Ferrit 115 ferromagnetisch 1, 32 Filter 204f, 426ff Fl~ichenstrom 52, 56, 101, 104 Fl~ichenstromdichte 53, 101 FluB, elektrischer 12, 245f, 255 -, magnetischer 7, 12, 98, 109, 253 - dichte, elektrische 12, 246, 255 - dichte, magnetische 4, 15, 98, 254 dichtelinien, magnetische 36 - dichtewelle 124, 368 - konzentration 95, 356 messung, magnetische 124, 369 quant, magnetisches 13 - r6hre, magnetische 13, 36 - verdr/ingung 114 verkettung 14 Fluxoid 13 Freilaufdiode 147, 379 Freileitung, Magnetfeld 62, 324 Frequenz 156, 268 Frequenzgang 184 Frequenzgangortskurve 184 -, einfache 188 -, vollst/indige 188 -

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Gaul3 16 Gedankenexperiment 6 Gegeninduktivit~it 30, 45, 80 Gegenkopplung 137 gegenseitige Induktivitiit 30, 45, 80 -, zweier Doppelleitungen 50 -, zweier Leiterschleifen 45, 70, 338 gekoppelte Spulen 80, 134 gekreuzte Linienleiter 9, 315 Generator 118, 120 gerader Linienleiter 4, 21, 25 abschnitt 48 Geschwindigkeit 6 -, Welle 266, 279f, 284 Gipfelfrequenz 214 G1Mtung 203, 424 Gleichanteil 161 GleichgriSBe 161 Gleichrichter 172, 399 Gleichstrommotor 96, 357 Gleichstromsteller 147, 380 globale Eigenschaften 98, 253 GrauguB 34, 91,351 Grenzfl/iche 37, 103f, 291 Grenzkreisfrequenz 276 Grenzschleife 33

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Gr6Benverh/iltnis 189 Grundkreis, magnetischer 75 Gruppengeschwindigkeit 280f Giitefaktor 210, 215 Halbwertsbreite 215 Haltemagnet 91,351 Hartferrit 84 hartmagnetisch 33, 83 Hauptflul3 81 Hauptinduktivit~it 143 Hauptleitwert, magnetischer 80 Hauptpermeanz 80, 141 Hauptreaktanz 183 Helizit/it 271 Helmholtz-Spulen 65, 331 Henry 26, 29 Heringsches Paradoxon 121, 366 Hochfrequenztechnik 263 HochpaB 191,205, 427 Hochspannungskabel 238, 447 Hohlleiter 277 homogene ebene Welle 267 homogenes Magnetfeld 19 -, Material 35 Hiillenflug, elektrischer 255 -, magnetischer 13, 98, 254 Hummel-Schaltung 195, 409 Hysterese, magnetische 32 Hystereseschleife 33 Hystereseverlust 306 ideal gekoppelt 136, 142 magnetisch s/ittigbar 35 magnetisierbar 34, 36 - metallische Randbedingungen 273 idealer Spiegel 273 - Transformator 142, 183 Immittanz 168 Impedanz 166 Impedanzparameter 205, 427 Impulsdrahtsensor 123, 368 Induktion, elektromagnetische 7, 108 -, bewegte Leiter 116 -, magnetische 16 -, ruhende Leiter 111 -, Spulen 112 Induktionserscheinungen 108 Induktionsgesetz 109, 253 Induktionsheizung 114 Induktionskonstante 26 Induktionsofen 177, 406 Induktionsspule 27 induktive Kopplung 30, 80 Induktivit~it 28, 131 -,/iuBere 51 -

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490

Sachverzeichnis

-, gegenseitige 30, 45 -, innere 51, 310 -, magnetischer Grundkreis 79 Induktivitiitsbelag 282 -, Bandleitung 58 -, Doppelleitung 52 -, Koaxialleitung 55 Industrieofen 197, 414 induzierte Spannung 8 Inertialsystem 6, 116, 252 inhomogene ebene Welle 267 inhomogenes Material 35 innere Induktivit~it 51, 310 Orientierung 4 Inprodukt 5 Integration durch RL-Glied 150, 387 isotrop 31, 35

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Joch, magnetisches 76 Josephson-Konstante 13 Joule-Verlust 114 Kanalwellen 272 Kapazit~itsbelag 282 KapazitS.tsmel3briicke 199, 417 Kennfrequenz 213 Kennkreisfrequenz 210, 213 Kern, Spule 76 Kettenschaltung 188, 220, 443 kinetische Energie 299 Kirchhoff-Regel, zweite 110 -, komplexe 178 Knickfrequenz 189 Knotenfliiche 273 Koaxialleitung 54, 284 Kobalt 1 Koerzitivfeldst~irke 33 Kompal3 1 Kompagnadel 2 komplexe Amplitude 158, 270 Darstellung, Sinusgr6gen 158 - Gr613e, Kennzeichnung 157 Kirchhoff-Regeln 178 - Scheinleistung 165, 229, 233, 236 Standardform, Sinusschwingung 158, 162 - Standardform, Sinuswelle 269 - Teilerregeln 182 Wechselleistung 166 - Wechselstromrechnung 178 komplexer Augenblickswert 158 - Effektivwert 162 Scheinleitwert 167 Scheinwiderstand 166 Widerstand 179 158 -

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Kondensator, idealer 169 -, realer 193, 406 -, Energieinhalt 295 Konduktanz 167 konforme Abbildung 185 Kontinuitiitsgleichung 256 Kontinuumsmodell 31 konzentriertes Stromkreiselement 110, 178 Kopplung, induktive 30, 80 Kopplungsgrad 135 Kraft, magnetische 3 -, Lorentzsche 6 Kraftregeln, Amp6resche 3 Kreisfrequenz 156, 269 Kreisrepetenz 269 Kreisschleife 46 Kreisverwandtschaft 186 Kreiswellenzahl 269 Kreiszylinderspule, dickwandige 59, 72, 343 -, d/innwandige 53 Kreiszylinderwelle 267 Kreuzglied 191,204, 425 Kreuzprodukt 4 Kristalloptik 269 Kugelwelle 267 Kupfer 32 Kupferfiillfaktor 73 KurzschluBstrom, Transformator 201,421 -, Zweipol 166 KurzschluBversuch 202, 421 Kurzschlul3windung 125, 260, 371,462 Laborsystem 6, 116, 252 Ladung, magnetische 13, 15 Ladungsbelag 283 ladungsbezogene Kraft 6 Ladungserhaltung 245, 255, 283 Ladungsneutralitiit 6 Ladungstriiger 5 Lamellierung 77, 115 Landau-Symbol 47 lange Leitung 281 Lasertechnik 263 Lautsprecher 95, 357 Leerlaufspannung, Zweipol 166 Leistungsanpassung 203, 424 Leistungsfaktor 165, 229, 234, 236 Leistungsgr6gen 163, 228, 233f, 236 Leiterelement, Kraft 5 Leiterschleifen, Gegeninduktivitiit 45 Leitung, verlustfreie lange 281 -, eingeschwungener Zustand 288 -, Leitungsgleichungen 283 -, allgemeine LiSsung 284 Leitungswellen 281

Sachverzeichnis Leitwert, magnetischer 76 LeitwertgriSgen 166 Lenzsche Regel 111 Leuchtstottlampe 197, 414 Lichtblitzgeriit 307, 471 linear 35 magnetisierbar 32 - polarisiert, Welle 270 lineare (Ersatz-) Schaltung 178 Stromkreiselemente 162 Linienleiter, gerader 4, 21, 25, 48 -, gekreuzte 9, 315 -, kreisf6rmiger 46 Linienspektrum 270 Linienstrom 43 Litze 115 logarithmisches Mal3 189ff lokale Eigenschaften 98, 253 lokales Ohmsches Gesetz 117 Lorentz-Kraft 6 Lorentz-Transformation 253 Luft 32 Luftdrossel 69, 337 Luftspalt 76 Luftspaltgerade 84 -

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Magnet 1 -, permanenter 3, 33, 83 eisenstein 1 - feld 2 magnetischer Kreis 74 magnetisches Feld 2, 4, 12 magnetisierbar 31 -, ideal 34 Magnetisierung, starre 83 Magnetisierungsbedarf 79, 142 Magnetisierungskurve 33f, 81 Magnetisierungsstrom 144, 184 Magnetisierungszyklus 33 Magnetismus 1 -, remanenter 3 Magnetit 1 magnetostatische Abschirmung 75, 85, 345 Magnetpol 1 Materialdispersion, Wellen 280 Materialeigenschaft 31 Materialgleichung 31, 102 Maxwell-Beziehung 249, 266 Mehrphasensystem 222 Mel3wandler 80 metallische Randbedingungen 273 MHD-Generator 129, 375 MischgriSBe 161 Mischspannung 173, 400 Mischstrom 172, 400 -

491 Mitkopplung 137 Mittelwert, linearer 161 -, quadratischer 161 Modus, Wellen 276ff Moment, magnetisches 47, 59 momentanes Ruhsystem 6, 116 Momentanleistung 163, 229 Momentanwert 156 -, komplexer 158 Monopol, magnetischer 15 Multipolentwicklung 60 Neper 190 Neukurve 32 Neutralleiter 224 nichtlinear 35, 130 Nickel 1 Nordpol, magnetischer 12 Normalkomponente 16 Normalprojektion 5, 16 Nulleiter 224 Nullphasenwinkel 156, 268 Nullspannung 235 Nullstrom 235 Nutenleiter 104, 311,360, 479 Nutzflul3 77 Nyquist-Diagramm 184 Ohmsches Gesetz, lokales 117 Operationsverstiirker, idealer 194,408 Orientierung 4 Ortskurve 184f parallele Linienleiter, Kraft 5 - Stromschichten 57 Parallelschaltung, Impedanzen 180 138ff Parallelschwingkreis 212, 219, 441 paramagnetisch 1, 32 pegelmal3 189f Periodendauer 157, 268 Periodenfrequenz 157 Periodenl~inge 268 periodisch zeitabh/ingig 160 periodische Welle 268 permanenter Magnet 3, 33, 83 Permeabilitiit, absolute 31 -, leerer Raum 31 -, relative 31f Permeabilitiitszahl 3 If Permeanz 76 Phase 156, 267 Phasenanschnitt 175f, 403f Phasenfliiche 267 Phasenfolge 224 - S p u l e n

492 Phasengeschwindigkeit 279 Phasenkoeffizient 276 Phasenspannung 225 Phasenstrom 225 Phasenverschiebungswinkel 163 Phasenwinkel 156 Photon 263 PIN-Diode 206, 430 Platin 32 Pol, magnetischer 1 Polarisation, Wellen 270 -, elliptische 272 -, lineare 270 -, zirkulare 271,290, 466 Polarisationsrichtung, Wellen 269 Polst~irke, magnetische 126 Polygonschaltung 224 potentielle Energie 299 Poynting-Satz 304 Poynting-Vektor 301 Prim~irseite, Transformator 141 Probespule 12 Produkt, skalares 5 -, vektorielles 4 ProzeB 294 Punktdipol, magnetischer 47 Punktprodukt 5 Quadrupolfeld, magnetisches 62, 325 Quasi-Elektrostatik 257 quasistation~ire Stromverteilung 20, 101 quasistation~ires Feld 20, 101,257 Quellenfreiheit 12, 98, 254 Rahmenspule 49 Randbedingungen, Leitung 286 -, metallische 273 r~iumliche Stromverteilung 58 Reaktanz 167 - kette 220, 443 - zweipol 169f Rechtsschraube 4 reelle Darstellung, Sinusgr6Ben 156 Standardform, Sinusschwingung 156, 162 - Standardform, Sinuswelle 269 Reflexion 267, 275, 285, 291 Reflexionsfaktor 286f Reihenschaltung, Impedanzen 180 -, Spulen 136ff Reihenschwingkreis 209, 217, 309 relative Permeabilit~it 3 If Relativgeschwindigkeit 7 relativistische Physik 252 - Transformation 253 Reluktanz 76 -

Sachverzeichnis remanenter Magnetismus 3 RemanenzfluBdichte 33, 84 Repetenz 268 Resistanz 167 Resonanz 209, 214 - b r e i t e 215 - erscheinung 209 - frequenz 214 funktion 214 kreis 213 - kurve 214 - sch/irfe 210 Resonator, elektromagnetischer 273 Restmagnetismus 3, 32 Ringschaltung 224 Ringspule 23, 25, 31, 41 RL-Schaltung 13 lff Rotierende Spule 117 Rowland-Experiment 251 Ruhinduktion 111 Ruhsystem, momentanes 6, 116 -

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Sammelschiene 9 S/ittigung, magnetische 32f Schaltung, induktive 130 -, komplexe Behandlung 178 Schaltverlust 308, 473 Scheibenspule 71, 311,341,480 Scheinleistung 164, 229, 233 -, komplexe 165, 229, 233, 236 Scheinleitwert 167 -, komplexer 167 Scheinwiderstand 167 -, komplexer 166 Scheitelwert 156 Schering-Briicke 199, 417 Schlankheit, Spule 54 Schraubenwicklung 71,341 Schwingkreis 209ff, 298 Schwingung 156, 209, 298 Sekund~irseite, Transformator 141 Selbstinduktivit~it 30 Serienschaltung, Impedanzen 180 -, Spulen 136ff Serienschwingkreis 209 Siebdrossel 201 Siliziumeisen 33 SinusgriSBen 156 -, komplexe Darstellung 158 -, reelle Darstellung 156 -, Zweipole 162 Sinusschwingung 156 Sinusspannung 156 Sinusstrom 156 Sinuswelle, ebene 268

493

Sachverzeichnis skalares Produkt 5 Skineffekt 115 Solenoid 2 Sonnenstrahlung 312, 482 Spaltpol 260, 463 Spannung, elektrische 12, 116 -, induzierte 8 -, magnetische 18 Spannungsfl~iche, magnetische 22, 36 Spannungsresonanz 210 SpannungsstoB 7, 12, 121,366 Spannungsteilerregel, komplexe 182 Spannungsiibersetzung 142 Spartransformator 201,420 Spektralanalyse 270 Spektrum 270 Spiegel, idealer 273 Spiegelungsmethode 105if, 361ff Sprungbedingung 98ff, 254f Sprungfl~iche 98, 254f Sprungunstetigkeit 98, 254f Sprungwelle 292, 469 Spule 2, 112, 130f -, Energieinhalt 296f -, ideale 131, 169 -, rotierende 117 Spulen, gekoppelte 134 Stahl 1, 33 Standardform, komplexe 158, 162, 269 -, reelle 156, 162, 269 Stapelfaktor 77 starr magnetisiert 83 station~ire Stromverteilung 20 stehende Welle 272f Sternpunkt 224 - leiter 224 - leiterstrom 225 Sternschaltung 224 -, symmetrische 232 -, unsymmetrische 235, 240, 450 Sternspannung 225 Stoffgleichung 31 Strahlvektor 303 Strang 223 - spannung 225 - strom 225 Streifenleitung 57, 285 Streufeld 81, 312, 481 Streuflul3 40, 76, 81 Streugrad 77, 79 Streuinduktivit~it 79f, 312, 481 -, Transformator 141ff Streureaktanz 183 Streuspalt 86, 346 Streutransformator 154, 203, 396, 423

Streuung, magnetische 77, 81 Streuziffer 187 Strom, elektrischer 5 Stromband 56 Strombelag 25, 104, 360 Stromdichte 58 Stromkreiselement, lineares 162 -, konzentriertes 110, 178 Strom-Ladungs-Feld 26, 255 Strommoment 60 Stromresonanz 212 Stromrichter 172ff, 399ff StromstoB 7 Stromteilerregel, komplexe 182 StrSmungsfeld, elektrisches 20 Stromverdr~ingung 113, 115, 261,465 Stromverteilung, fl~ichenhafte 52 -, linienhafte 43 -, r~iumliche 58 Stromwandler 82 Stiitzisolator 9, 314 Superpositionsprinzip 43, 270 Suszeptanz 167 Symmetrierschaltung 241,453 Symmetrische Komponenten 237 symmetrisches Drehstromsystem 230 - m-Phasensystem 223 Talfrequenz 214 Tangentialfeldspule 125, 370 Tastkopf 204, 425 Teilerregeln, komplexe 182 TEM-Welle 278f, 281 T-Ersatzschaltung 143, 153, 183 Tesla 16 TE-Welle 274f TiefpaB 189, 191,205, 428 TM-Welle 277f Topfspule 126, 371 Tr~igerfl~iche 52 Transformationsgleichungen 251,259, 460 -, nichtrelativistisch 252 -, relativistisch 253 Transformator 80, 130, 134, 141,201 -, Auslastung 201,421 -, Ersatzschaltung 143, 153f, 183 -, idealer 142, 183 -, KurzschluBstrom 201,421 Transistor-Ersatzschaltung 208, 434 translationsinvariantes Feld 50 Transmission, Wellen 291,466 Trennttansformator 141 Oberlagerungsprinzip Obersetzung 142

43, 270

494 Obertrager 80, 130 Obertragungsfaktor 188 Umbruchkraft 9, 314 Umdrehungsfrequenz 120 Umlaufspannung, elektrische 109 -, magnetische 20, 246 Umschlingungssinn 19 Unipolarmaschine 120, 127, 372 unsymmetrisches Drehstromsystem

Sachverzeichnis

234

Vektorfeld 4, 36 vektorielles Produkt 4 Vektorlinie 4, 36 Vektorpotential, magnetisches 17, 99 Verbraucherbezugssystem 113, 163 verkettete Spannung 225 VerkettungsfluB 14, 28ff Verkettungsgleichungen 30, 80 Verkniipfung 25, 256 Verkniipfungsbeziehung 26 Verlustfaktor 210, 215 Verlustleistung, Spule 73,344 Verschiebungsstrom 246f, 259, 459 - dichte 246 Verstimmung 214 verzweigter magnetischer Kreis 80 Vibrationsmagnetometer 123, 368 Vollweggleichrichter 172, 399 Volt-Ampere 165 Volt-Ampere-reaktiv 165 Voltsekunde 12 Wandlersystem, induktives 90, 349 Wasser 32 Watt 165 Weber 12 Wechselanteil 161 WechselgriSBe 161 Wechselleistung, komplexe 166 Wechselspannungsgenerator 118, 196, 412 Wechselstrombriicke 199f, 416ff Wechselstromkreis, komplexe Behandlung 178 Wechselstromrechnung, komplexe 178 Wechselstromtechnik 156 Wechselwirkung, elektromagnetische 6 -, Energieformen 305 Wegaufnehmer, induktiver 91,350 -, kapazitiver 198, 415 Wegabhiingigkeit, elektrische Spannung 110 -, magnetische Spannung 21 weichmagnetisch 33

Welle, ebene 264 -, elektromagnetische 263 -, EnergiefluB 303, 312, 482 -, Leitung 281 -, periodische 268 -, stehende 272f Wellenfront 248 Wellengleichung 268 Wellenimpedanz 267 -, freier Raum 267 -, Leitungen 284, 291,468 Wellenl~inge 268 Wellenpaket 281 Wellenprofil 265 Wellenzahl 268f Werkstoffgleichung 31 Wicklung 76, 112 Widerstand, idealer 168 -, komplexer 179 -, magnetischer 76 -, realer 193,407 WiderstandsgriSBen 166 Wien-Briicke 200, 418 Windung 8, 18 Windungszahl 25 Winkelfrequenz 156 gang 185 Wirbelstrom 114, 261,464 -, fl/ichenhafter 106, 363 Wirkfaktor 165, 229 Wirkleistung 164, 229, 234, 236 Wirkleitwert 167 Wirkwiderstand 167 Wismut 1,32 -

Zeiger, komplexer 158 Zeigerdiagramm 158ff Zeitkonstante, RL-Schaltung 132 Zeitmittelwert 160 zirkular polarisiert 271,290, 466 Zustand, eingeschwungener 178, 288 Zustandsiinderung 294, 305 ZustandsgriSBe 295f Zweidrahtleitung 285, 291,468 Zweipol 136, 162 -, elementarer 168 Zweitorparameter 203,422 Zweiwattmetermethode 237 Zyklotronfrequenz 314 Zylinderspule 22, 25, 27, 53 -, Induktivit/it 28