Wärme- und Stoffübertragung

H.D. Baehr · K. Stephan Wärme- und Stoffübertragung Hans Dieter Baehr · Karl Stephan Wärme- und Stoffübertragung 6. ...

Author: Hans Dieter Baehr | Karl Stephan

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H.D. Baehr · K. Stephan Wärme- und Stoffübertragung

Hans Dieter Baehr · Karl Stephan

Wärme- und Stoffübertragung 6. neu bearbeitete Auflage Mit 343 Abbildungen

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Professor Dr.-Ing. Dr.-Ing. E.h. Hans Dieter Baehr em. o. Professor für Thermodynamik an der Universität Hannover

Professor Dr.-Ing. Dr.-Ing. E.h. mult. Karl Stephan em. o. Professor für Technische Thermodynamik und Thermische Verfahrenstechnik an der Universität Stuttgart

ISBN 978-3-540-87688-5

e-ISBN 978-3-540-87689-2

DOI 10.1007/978-3-540-87689-2 Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. c 2008, 2006, 2003 Springer-Verlag Berlin Heidelberg Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Satz: Digitale Druckvorlage der Autoren Herstellung: le-tex publishing services oHG Einbandgestaltung: eStudioCalamar S.L., F. Steinen-Broo, Girona, Spain

Gedruckt auf säurefreiem Papier 987654321 springer.de

Vorwort zur sechsten Auﬂage

F¨ ur die sechste Auﬂage unseres Buchs haben wir das Kapitel u ¨ber die numerische L¨ osung von W¨ armeleitproblemen neu gegliedert und erweitert. Hinzugekommen ist ein Kapitel u osung von W¨armeleitproblemen ¨ber die numerische L¨ mit der Finite-Element-Methode. Es soll den Studierenden so weit mit der Methode vertraut machen, dass er imstande ist, einfachere Probleme selbst zu l¨ osen und f¨ ur die L¨ osung schwierigerer Probleme eines der vielen Programme zu nutzen, die kommerziell oder im Internet erh¨altlich sind. Auch das Kapitel u ubergang in ¨ber den konvektiven W¨arme- und Stoﬀ¨ por¨ osen K¨ orpern haben wir gr¨ undlich u ¨berarbeitet und erg¨anzt um ein Kapitel u arme¨ ubertragung in durchstr¨ omten Kan¨alen, die mit einem por¨osen ¨ ber die W¨ Stoﬀ gef¨ ullt sind. ¨ Anderungen haben wir wie in fr¨ uheren Auﬂagen erneut in den Kapiteln vorgenommen, die Berechnungsgleichungen und auf Messungen basierende Korrelationen des W¨ arme¨ ubergangs enthalten. Sie geben den neuesten Stand unserer Kenntnisse wieder. Dank schulden wir vielen Freunden und Kollegen, die uns wertvolle Ratschl¨ age gaben und uns auf Druckfehler aufmerksam machten. Besonderer Dank geb¨ uhrt Herrn Dipl.-Ing. Jens K¨ orber, der uns geholfen hat, dem Verlag eine reproduktionsf¨ ahige Vorlage zu liefern. M¨ oge unser Buch auch weiterhin Wissenschaftlern und Ingenieuren in der Praxis n¨ utzlich sein. Den Studenten m¨ oge es helfen, die Gesetze der W¨armeund Stoﬀ¨ ubertragung zu verstehen und sie bef¨ahigen, diese zur L¨osung der vielf¨ altigen praktischen Probleme erfolgreich anzuwenden.

Bochum und Stuttgart, im Herbst 2008

H.D. Baehr K. Stephan

vi

Vorwort

Vorwort zur ersten Auﬂage Dieses Buch ist aus Vorlesungen u arme- und Stoﬀ¨ ubertragung entstan¨ ber W¨ den, die wir seit vielen Jahren an den Universit¨aten Hannover bzw. Stuttgart gehalten haben. Es wendet sich an Studenten des Maschinenbaus und der Verfahrenstechnik an Universit¨ aten und Fachhochschulen, aber auch an Studierende verwandter Fachrichtungen wie Elektrotechnik, Physik und Chemie. Unser Buch ist einerseits als Lehrbuch zum Gebrauch neben den Vorlesungen konzipiert; es soll den Studenten mit den Grundlagen der W¨armeund Stoﬀ¨ ubertragung vertraut machen und ihn bef¨ahigen, dieses Wissen zur L¨ osung technischer Probleme einzusetzen. Andererseits haben wir das Buch breiter angelegt, die Theorie der W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubertragung systematisch entwickelt und die L¨ osungsmethoden wichtiger W¨arme- und Stoﬀ¨ ubertragungsprobleme ausf¨ uhrlich dargestellt. Daher d¨ urfte es auch Wissenschaftlern und Ingenieuren in der Praxis bei der Weiterbildung und als Nachschlagewerk bei der L¨ osung ihrer Aufgaben gute Dienste leisten. Wir haben den Stoﬀ durch ausf¨ uhrliche Rechenbeispiele erl¨ autert und am Ende eines jeden Kapitels eine ¨ Reihe von Ubungsaufgaben zusammengestellt. Dies soll auch das Selbststudium erleichtern. Viele Vorg¨ ange der W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubertragung und die zugeh¨origen Apparate lassen sich bereits mit Hilfe der Bilanzgleichungen unter Verwendung von W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubertragungskoeﬃzienten quantitativ erfassen, ohne dass ein tieferes Eindringen in die Theorie der W¨arme- und Stoﬀ¨ ubertragung erforderlich ist. Solche Vorg¨ ange haben wir im ersten Kapitel behandelt, das auch die grundlegenden Begriﬀe und die Grundgesetze der W¨arme¨ und Stoﬀ¨ ubertragung enth¨ alt. Der Student erh¨alt einen Uberblick u ¨ ber die verschiedenartigen Vorg¨ ange der W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubertragung und lernt zu einem fr¨ uhen Zeitpunkt, praktische Probleme zu l¨osen und die Apparate zur W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubertragung zu berechnen. Dadurch wird auch die Motivation erh¨ oht, sich eingehender mit der Theorie zu befassen, die Gegenstand der folgenden Kapitel ist. Im zweiten Kapitel behandeln wir die station¨are und instation¨are W¨armeleitung und die Diﬀusion in ruhenden Medien. Es werden die grundlegenden Diﬀerentialgleichungen zur Berechnung von Temperaturfeldern hergeleitet. Wir zeigen, wie man sie in praktischen F¨allen unter Anwendung analytischer und numerischer Methoden l¨ ost. Neben den analytischen Verfahren der Laplace-Transformation und des klassischen Separationsansatzes stellen wir die f¨ ur die Praxis wichtigen Diﬀerenzenverfahren ausf¨ uhrlich dar. Viele der f¨ ur die W¨ armeleitung gewonnenen Ergebnisse lassen sich wegen der hier bestehenden Analogie auf die Diﬀusion u ¨ bertragen, und die mathematischen L¨ osungsans¨ atze sind f¨ ur beide Gebiete gleich. Das dritte Kapitel ist der konvektiven W¨arme- und Stoﬀ¨ ubertragung gewidmet. Hier steht die Herleitung der Bilanzgleichungen f¨ ur Masse, Impuls und Energie str¨ omender reiner Fluide und Mehrstoﬀgemische im Vordergrund,

Vorwort

vii

ehe die Materialgesetze eingef¨ uhrt und die maßgebenden Diﬀerentialgleichungen f¨ ur Geschwindigkeits-, Temperatur- und Konzentrationsfelder hergeleitet werden. Als typische Anwendungen behandeln wir W¨arme- und Stoﬀ¨ ubergang an u omten K¨ orpern und in durchstr¨ omten Kan¨alen, in Haufwerken und ¨berstr¨ ¨ Wirbelschichten, ebenso die freie Konvektion und die Uberlagerung von freier und erzwungener Str¨ omung. Eine Einf¨ uhrung in den W¨arme¨ ubergang bei kompressibler Str¨omung beschließt dieses Kapitel. Im vierten Kapitel wird die W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubertragung beim Kondensieren und beim Sieden in freier und erzwungener Str¨omung behandelt. Die Darstellung lehnt sich an das Buch W¨ arme¨ ubergang beim Kondensieren und ” beim Sieden“ (Berlin: Springer-Verlag 1988) von K. Stephan an. Dabei werden nicht nur reine Stoﬀe betrachtet; auch die Kondensation und das Sieden von Stoﬀgemischen wird in angemessenem Umfang er¨ortert. Die W¨ armestrahlung ist Gegenstand des f¨ unften Kapitels. Es unterscheidet sich von vielen anderen Darstellungen dadurch, dass zuerst die strahlungsphysikalischen Gr¨ oßen zur quantitativen Beschreibung der Richtungsund Wellenl¨ angenabh¨ angigkeit der Strahlung umfassend und eingehend behandelt werden. Erst nach einer strengen Formulierung des Kirchhoﬀschen Gesetzes wird der ideale Strahler, der Schwarze K¨orper, eingef¨ uhrt. Danach werden die Materialgesetze realer Strahler besprochen. Als Anwendungen werden die Solarstrahlung und die W¨ arme¨ ubertragung durch Strahlung eingehend behandelt. Eine Einf¨ uhrung in die Gasstrahlung, technisch wichtig f¨ ur Brennkammern und Feuerungen, schließt das Kapitel ab. Die W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubertragung geh¨ ort an Universit¨aten und Fachhochschulen in der Regel zum Hauptstudium. Wir haben daher Kenntnisse in H¨ oherer Mathematik vorausgesetzt, wie sie bis zur Diplom-Vorpr¨ ufung gelehrt werden. F¨ ur den, der sich nur mit den Grundbegriﬀen und einfacheren technischen Anwendungen der W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubertragung vertraut machen m¨ ochte, d¨ urfte bereits das Studium des ersten Kapitels ausreichen. Von Diplomingenieuren des Maschinenbaus und der Verfahrenstechnik werden weitergehende Kenntnisse erwartet. Der Maschineningenieur sollte mit den Grundlagen der W¨ armeleitung, der konvektiven W¨arme¨ ubertragung und der Strahlung vertraut sein, und er sollte u ¨ ber Grundkenntnisse der Stoﬀu ugen. Der Verfahrensingenieur ben¨otigt neben einem ver¨ bertragung verf¨ tieften Wissen auf diesen Gebieten auch gute Kenntnisse der W¨arme- und Stoﬀ¨ ubertragung in mehrphasigen Str¨ omungen. Die zur Verf¨ ugung stehende Vorlesungszeit wird in der Regel nicht ausreichen, um den gesamten Stoﬀ dieses Buches zu behandeln. Es ist aber wichtig, dass der Student ein breites Wissen der Grundlagen und Methoden erwirbt. Es gen¨ ugt dann, dieses an ausgew¨ ahlten Beispielen zu vertiefen und so die L¨osung von Problemen zu u ¨ ben. Beim Abfassen des Manuskripts haben wir uns die Arbeit geteilt. H.D. Baehr hat die Erstschrift der Abschnitte 1.1 bis 1.3, des Kapitels 2 (außer 2.5) und des Kapitels 5 besorgt, K. Stephan die der Abschnitte 1.4 bis 1.7 und 2.5 sowie der Kapitel 3 und 4. Gleichwohl hat durch gegenseitige Korrektur jedes

viii

Vorwort

¨ Kapitel Anderungen erfahren, so dass jeder von uns in gleicher Weise f¨ ur das ganze Buch verantwortlich ist. Bei der Anfertigung des Manuskripts und der zahlreichen Abbildungen haben uns einige unserer Mitarbeiter, vor allem die Herren Dipl.-Ing. F. Harms-Watzenberg, Hannover, und S. Winkler, Stuttgart, geholfen. Ihnen allen danken wir auch an dieser Stelle. Die hervorragende Beherrschung des elektronischen Textsatzsystems LATEX durch Herrn Harms-Watzenberg hat es uns erm¨ oglicht, dem Verlag eine reproduktionsf¨ahige Druckvorlage zu liefern. Auch dadurch war es m¨ oglich, trotz des erheblichen Umfangs unseres Buches einen f¨ ur ein Lehrbuch noch akzeptablen Preis zu erreichen.

Hannover und Stuttgart, im Herbst 1993

H.D. Baehr K. Stephan

Inhaltsverzeichnis

Formelzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xv 1

Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Die verschiedenen Arten der W¨ arme¨ ubertragung . . . . . . . . . . . . 1.1.1 W¨ armeleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Station¨ are, geometrisch eindimensionale W¨armeleitung . 1.1.3 Konvektiver W¨ arme¨ ubergang, W¨arme¨ ubergangskoefﬁzient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Die Bestimmung von W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten. Dimensionslose Kennzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.5 W¨ armestrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.6 Strahlungsaustausch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 W¨ armedurchgang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Der W¨ armedurchgangskoeﬃzient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Mehrschichtige W¨ ande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 W¨ armedurchgang durch W¨ ande mit vergr¨oßerter Oberﬂ¨ ache . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Abk¨ uhlung und Erw¨ armung d¨ unnwandiger Beh¨alter . . . 1.3 W¨ arme¨ ubertrager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Bauarten und Stromf¨ uhrungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Allgemeine Berechnungsgleichungen. Dimensionslose Kennzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Gegenstrom- und Gleichstrom-W¨arme¨ ubertrager . . . . . . 1.3.4 Kreuzstrom-W¨ arme¨ ubertrager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.5 Betriebscharakteristiken f¨ ur weitere Stromf¨ uhrungen. Diagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Die verschiedenen Arten der Stoﬀ¨ ubertragung . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Diﬀusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Einseitige Diﬀusion, ¨aquimolare Diﬀusion . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Konvektiver Stoﬀ¨ ubergang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Stoﬀ¨ ubergangstheorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 2 5 11 18 28 31 34 35 37 38 43 45 46 51 56 64 71 72 75 82 85 89

x

Inhaltsverzeichnis

1.5.1 1.5.2 1.5.3 1.5.4

Die Filmtheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Die Grenzschichttheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Die Penetrations- und die Oberﬂ¨achenerneuerungstheorie 96 Anwendung der Filmtheorie auf die Verdunstungsk¨ uhlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 1.6 Stoﬀdurchgang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 1.7 Stoﬀ¨ ubertrager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 1.7.1 Die Mengenbilanzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 1.7.2 Konzentrationsverlauf und H¨ohe von Stoﬀaustauschkolonnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 1.8 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 2

W¨ armeleitung und Diﬀusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 2.1 Die W¨armeleitungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 2.1.1 Die Herleitung der Diﬀerentialgleichung f¨ ur das Temperaturfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 2.1.2 Die W¨ armeleitungsgleichung f¨ ur einen K¨orper mit konstanten Stoﬀwerten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 2.1.3 Die Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 2.1.4 Temperaturabh¨ angige Stoﬀwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 ¨ 2.1.5 Ahnliche Temperaturfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 2.2 Station¨ are W¨ armeleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 2.2.1 Geometrisch eindimensionale W¨armeleitung mit W¨ armequellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 2.2.2 W¨ armeleitung in L¨ angsrichtung eines Stabes . . . . . . . . . . 136 2.2.3 Der Temperaturverlauf in Rippen und Nadeln . . . . . . . . . 141 2.2.4 Der Rippenwirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 2.2.5 Geometrisch mehrdimensionaler W¨armeﬂuss . . . . . . . . . . 149 2.3 Instation¨ are W¨ armeleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 2.3.1 L¨ osungsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 2.3.2 Die Laplace-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 2.3.3 Der einseitig unendlich ausgedehnte K¨orper . . . . . . . . . . . 165 2.3.4 Abk¨ uhlung und Erw¨ armung einfacher K¨orper bei eindimensionalem W¨ armeﬂuss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 2.3.5 Abk¨ uhlung und Erw¨ armung bei mehrdimensionalem W¨ armeﬂuss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 2.3.6 Erstarren geometrisch einfacher K¨orper . . . . . . . . . . . . . . 196 2.3.7 W¨ armequellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 2.4 Numerische L¨ osung von W¨ armeleitproblemen mit Diﬀerenzenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 2.4.1 Das einfache explizite Diﬀerenzenverfahren f¨ ur instation¨ are W¨ armeleitprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 2.4.2 Die Diskretisierung der Randbedingungen . . . . . . . . . . . . 217 2.4.3 Das implizite Diﬀerenzenverfahren von J. Crank und P. Nicolson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

Inhaltsverzeichnis

xi

2.4.4 Nichtkartesische Koordinaten. Temperaturabh¨angige Stoﬀwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 2.4.5 Instation¨ are ebene und r¨ aumliche Temperaturfelder . . . . 232 2.4.6 Station¨ are Temperaturfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 2.5 Numerische L¨ osung von W¨ armeleitproblemen mit der Finite-Element-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 2.5.1 Die Finite-Element-Methode f¨ ur station¨are, geometrisch eindimensionale Temperaturfelder . . . . . . . . 246 2.5.2 Die Finite-Element-Methode f¨ ur ebene station¨are Temperaturfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 2.5.3 Die Finite-Element-Methode f¨ ur instation¨are, geometrisch eindimensionale W¨armeleitprobleme . . . . . . 258 2.5.4 Erweiterung auf instation¨ are, geometrisch zweidimensionale W¨ armeleitprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . 263 2.6 Diﬀusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 2.6.1 Bemerkungen u ¨ ber ruhende Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 2.6.2 Die Herleitung der Diﬀerentialgleichung f¨ ur das Konzentrationsfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 2.6.3 Vereinfachungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 2.6.4 Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 2.6.5 Station¨ are Diﬀusion mit katalytischer Oberﬂ¨ achenreaktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 2.6.6 Station¨ are Diﬀusion mit homogener chemischer Reaktion281 2.6.7 Instation¨ are Diﬀusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 2.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 3

Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 3.1 Die l¨ angsangestr¨ omte ebene Platte bei reibungsfreier Str¨omung 300 3.2 Die Bilanzgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 3.2.1 Das Reynoldssche Transporttheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 3.2.2 Die Massenbilanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 3.2.3 Die Impulsbilanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 3.2.4 Die Energiebilanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 3.2.5 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334 3.3 Einﬂuss der Reynolds-Zahl auf die Str¨omung . . . . . . . . . . . . . . . . 337 3.4 Vereinfachungen der Navier-Stokes-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . 339 3.4.1 Schleichende Str¨ omungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 3.4.2 Reibungsfreie Str¨ omungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 3.4.3 Grenzschichtstr¨ omungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 3.5 Die Grenzschichtgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 3.5.1 Die Str¨ omungsgrenzschicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 3.5.2 Die Temperaturgrenzschicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 3.5.3 Die Konzentrationsgrenzschicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350

xii

Inhaltsverzeichnis

3.6 3.7

3.8

3.9

3.10 3.11

3.12 4

3.5.4 Allgemeine Bemerkungen zur L¨osung der Grenzschichtgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350 Einﬂuss der Turbulenz auf den W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang . . . . 354 3.6.1 Turbulente Str¨ omungen an festen W¨anden . . . . . . . . . . . . 359 ¨ Uberstr¨ omte K¨ orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 3.7.1 Die parallel angestr¨ omte ebene Platte . . . . . . . . . . . . . . . . 364 3.7.2 Der quer angestr¨ omte Zylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382 3.7.3 Quer angestr¨ omte Rohrb¨ undel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386 3.7.4 Einige empirische Gleichungen f¨ ur den W¨arme- und Stoﬀ¨ ubergang an u berstr¨ o mten K¨ orpern . . . . . . . . . . . . . . 390 ¨ Durchstr¨ omte Kan¨ ale, Haufwerke, Wirbelschichten . . . . . . . . . . . 393 3.8.1 Die laminare Rohrstr¨ omung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393 3.8.2 Die turbulente Rohrstr¨ omung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409 3.8.3 Haufwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410 3.8.4 Por¨ ose K¨ orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414 3.8.5 Wirbelschichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430 3.8.6 Einige empirische Gleichungen f¨ ur den W¨arme- und Stoﬀ¨ ubergang in durchstr¨ omten Kan¨alen, Haufwerken und Wirbelschichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440 Freie Str¨ omung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443 3.9.1 Die Impulsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446 3.9.2 W¨ arme¨ ubergang an einer senkrechten Wand bei laminarer Str¨ omung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449 3.9.3 Einige empirische Gleichungen f¨ ur den W¨arme¨ ubergang bei freier Str¨ omung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454 3.9.4 Stoﬀ¨ ubergang bei freier Str¨ omung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457 ¨ Uberlagerung von freier und erzwungener Str¨omung . . . . . . . . . . 458 Kompressible Str¨ omungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460 3.11.1 Das Temperaturfeld in einer kompressiblen Str¨omung . . 460 3.11.2 Berechnung des W¨ arme¨ ubergangs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471

Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang mit Phasenumwandlungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477 4.1 W¨ arme¨ ubergang beim Kondensieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478 4.1.1 Die verschiedenen Arten der Kondensation . . . . . . . . . . . 478 4.1.2 Die Nußeltsche Wasserhauttheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480 4.1.3 Abweichungen von der Nußeltschen Wasserhauttheorie . 485 4.1.4 Einﬂuss nicht kondensierbarer Gase . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489 4.1.5 Filmkondensation mit turbulenter Wasserhaut . . . . . . . . 496 4.1.6 Kondensation str¨ omender D¨ampfe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500 4.1.7 Tropfenkondensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506 4.1.8 Kondensation von Dampfgemischen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509 4.1.9 Einige empirische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522 4.2 W¨ arme¨ ubergang beim Sieden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524

Inhaltsverzeichnis

xiii

4.2.1 Die verschiedenen Arten der W¨arme¨ ubertragung . . . . . . 524 4.2.2 Die Entstehung von Dampfblasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529 4.2.3 Mechanismen der W¨ arme¨ ubertragung beim Sieden in freier Str¨ omung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533 4.2.4 Blasenfrequenz und Abreißdurchmesser . . . . . . . . . . . . . . . 537 4.2.5 Die Nukijama-Kurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539 4.2.6 Stabilit¨ at beim Sieden in freier Str¨omung . . . . . . . . . . . . . 541 4.2.7 Berechnung von W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten beim Sieden in freier Str¨ omung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545 4.2.8 Einige empirische Gleichungen zum W¨arme¨ ubergang beim Blasensieden in freier Str¨omung . . . . . . . . . . . . . . . . 548 4.2.9 Zweiphasige Str¨ omungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553 4.2.10 W¨ arme¨ ubergang beim Sieden von Gemischen . . . . . . . . . 579 4.3 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585 5

W¨ armestrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587 5.1 Grundlagen. Strahlungsphysikalische Gr¨oßen . . . . . . . . . . . . . . . . 588 5.1.1 Temperaturstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588 5.1.2 Ausstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590 5.1.3 Bestrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 600 5.1.4 Absorption von Strahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603 5.1.5 Reﬂexion von Strahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 608 5.1.6 Hohlraumstrahlung. Gesetz von Kirchhoﬀ . . . . . . . . . . . . 610 5.2 Die Strahlung des Schwarzen K¨ orpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614 5.2.1 Deﬁnition und Realisierung des Schwarzen K¨orpers . . . . 614 5.2.2 Die spektrale Strahldichte und die spektrale speziﬁsche Ausstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616 5.2.3 Die speziﬁsche Ausstrahlung und die Ausstrahlung in einem Wellenl¨ angenbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622 5.3 Strahlungseigenschaften realer K¨ orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625 5.3.1 Emissionsgrade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625 5.3.2 Die Beziehungen zwischen Emissions-, Absorptionsund Reﬂexionsgraden. Der graue Lambert-Strahler . . . . 628 5.3.3 Emissionsgrade realer K¨ orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633 5.3.4 Strahlungsdurchl¨ assige K¨ orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 640 5.4 Solarstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645 5.4.1 Extraterrestrische Solarstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646 5.4.2 Die Schw¨ achung der Solarstrahlung in der Erdatmosph¨ are . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648 5.4.3 Direkte Solarstrahlung am Erdboden . . . . . . . . . . . . . . . . 655 5.4.4 Diﬀuse Solarstrahlung und Globalstrahlung . . . . . . . . . . . 657 5.4.5 Absorptionsgrade f¨ ur Solarstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . 660 5.5 Strahlungsaustausch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662 5.5.1 Sichtfaktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662 5.5.2 Strahlungsaustausch zwischen Schwarzen K¨orpern . . . . . 668

xiv

Inhaltsverzeichnis

5.5.3 Strahlungsaustausch zwischen grauen Lambert-Strahlern672 5.5.4 Strahlungsschutzschirme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684 5.6 Gasstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 689 5.6.1 Absorptionskoeﬃzient und optische Dicke . . . . . . . . . . . . 690 5.6.2 Absorptions- und Emissionsgrade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692 5.6.3 Ergebnisse f¨ ur den Emissionsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695 5.6.4 Emissionsgrade und gleichwertige Schichtdicken von Gasr¨ aumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 698 5.6.5 Strahlungsaustausch in einem gasgef¨ ullten Hohlraum . . . 704 5.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 708 Anhang A: Erg¨ anzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713 A.1 Einf¨ uhrung in die Tensornotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713 A.2 Zusammenhang zwischen mittlerem und thermodynamischem Druck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715 A.3 Navier-Stokes-Gleichungen eines inkompressiblen Fluids konstanter Viskosit¨ at in kartesischen Koordinaten . . . . . . . . . . . 717 A.4 Navier-Stokes-Gleichungen eines inkompressiblen Fluids konstanter Viskosit¨ at in Zylinderkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . 717 A.5 Entropiebilanz f¨ ur Gemische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718 A.6 Zusammenhang zwischen partieller und speziﬁscher Enthalpie . 720 A.7 Berechnung der Konstanten an des Graetz-Nußelt-Problems (3.243) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 721 Anhang B: Stoﬀwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723 Anhang C: L¨ osungen der Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 739 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 759 Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777

Formelzeichen

Lateinische Buchstaben Zeichen

Bedeutung

SI-Einheit

A Am Aq AR a a aλ aλ at a∗ b b C c c c

Fl¨ ache mittlere Fl¨ ache Querschnittsﬂ¨ ache Rippen-Oberﬂ¨ ache Temperaturleitf¨ ahigkeit hemisph¨ arischer Gesamt-Absorptionsgrad spektraler Absorptionsgrad gerichteter spektraler Absorptionsgrad turbulente Temperaturleitf¨ ahigkeit volumenbezogene Oberﬂ¨ ache √ W¨ armeeindringkoeﬃzient, b = λc W Laplace-Konstante, b = 2σ/g (L − G ) Verh¨ altnis der W¨ armekapazit¨ atsstr¨ ome spez. W¨ armekapazit¨ at Stoﬀmengenkonzentration Fortpﬂanzungsgeschwindigkeit elektromagnetischer Wellen Vakuum-Lichtgeschwindigkeit Reibungsbeiwert spez. isobare W¨ armekapazit¨ at Widerstandsbeiwert

m2 m2 m2 m2 m2 /s — — — m2 /s m2 /m3 s1/2 /(m2 K) m — J/(kg K) mol/m3 m/s

c0 cf cp cW

m/s — J/(kg K) —

xvi

Formelzeichen

D Dt d dA dh E E0 Eλ e F FA FW Fij F (0, λT ) f fj g H H H H˙ h h hg hi Δhv ˜v Δh I I j j∗ uj K K Kλ

bin¨ arer Diﬀusionskoeﬃzient turbulenter Diﬀusionskoeﬃzient Durchmesser Abreißdurchmesser von Dampfblasen hydraulischer Durchmesser Bestrahlungsst¨ arke Solarkonstante spektrale Bestrahlungsst¨ arke Einheitsvektor Kraft Auftriebskraft Widerstandskraft Sichtfaktor zwischen den Fl¨ achen i und j Anteilsfunktion der schwarzen Strahlung Frequenz von Dampfblasen volumenbezogene Kraft Fallbeschleunigung H¨ ohe Helligkeit Enthalpie Enthalpiestrom Planck-Konstante spez. Enthalpie spez. Gesamtenthalpie, hg = h + w2 /2 partielle spez. Enthalpie spez. Verdampfungsenthalpie molare Verdampfungsenthalpie Impuls Strahlst¨ arke Diﬀusionsstromdichte Diﬀusionsstromdichte im Schwerpunktssystem Diﬀusionsstromdichte im Teilchenbezugssystem Bestrahlungsdichte Permeabilit¨ at spektrale Bestrahlungsdichte

m2 /s m2 /s m m m W/m2 W/m2 W/(m2 μm) — N N N — — 1/s N/m3 m/s2 m W/m2 J J/s Js J/kg J/kg J/kg J/kg J/mol kg m/s W/(m2 sr) mol/(m2 s) kg/(m2 s) mol/(m2 s) W/(m2 sr) m2 W/(m2 μm)

Formelzeichen

k k k kG kH kj k1 k1 , k1 kn L L Lλ L0 LS l M M M Mλ M˙ ˜ M m mr m ˙ N Ni N˙ n n n˙ P

W¨ armedurchgangskoeﬃzient Absorptionszahl Boltzmann-Konstante spektraler Absorptionskoeﬃzient Henry-Koeﬃzient massebezogene Kraft Geschwindigkeitskonstante einer homogenen Reaktion erster Ordnung Geschwindigkeitskonstante einer homogenen (heterogenen) Reaktion erster Ordnung Geschwindigkeitskonstante einer heterogenen Reaktion n-ter Ordnung L¨ ange Strahldichte spektrale Strahldichte Bezugsl¨ ange L¨ oslichkeit L¨ ange, Mischungsweg Masse Modul, M = aΔt/Δx2 spez. Ausstrahlung spektrale spez. Ausstrahlung Massenstrom molare Masse, Molmasse optische Masse relative optische Masse Massenstromdichte Stoﬀmenge ¨ dimensionslose Ubertragungsf¨ ahigkeit (number of transfer units) des Stoﬀstroms i Stoﬀmengenstrom Brechzahl Normalenvektor Stoﬀmengenstromdichte Leistung

xvii

W/(m2 K) — J/K 1/m N/m2 N/kg 1/s m/s mol/(m2 s) (mol/m3 )n m W/(m2 sr) W/(m2 μm sr) m mol/(m3 Pa) m kg — W/m2 W/(m2 μm) kg/s kg/mol kg/m2 — kg/(m2 s) mol — mol/s — — mol/(m2 s) W

xviii

Formelzeichen

Pdiss p p+ Q Q˙

dissipierte Leistung Druck dimensionsloser Druck W¨ arme W¨ armestrom W¨ armestromdichte Radius W¨ armeleitwiderstand molare (universelle) Gaskonstante radiale Koordinate hemisph¨ arischer Gesamt-Reﬂexionsgrad spektraler Reﬂexionsgrad gerichteter spektraler Reﬂexionsgrad spez. elektrischer Widerstand dimensionslose radiale Koordinate Reaktionsrate Abschw¨ achungsfaktor beim Str¨ omungssieden Entropie spez. Entropie Parameter der Laplace-Transformation Schichtdicke Schlupf-Faktor, s = wG /wL L¨ angsteilung Querteilung thermodynamische Temperatur Eigentemperatur Staupunktstemperatur Zeit dimensionslose Zeit Abk¨ uhlzeit, K¨ uhldauer Spannungsvektor Relaxationszeit, tR = 1/k1 Relaxationszeit der Diﬀusion, tD = L2 /D Umfang innere Energie

q˙ R RL Rm r r rλ rλ re r+ r˙ S S s s s s sl sq T Te TSt t t+ tk tj tR tD U U

W Pa — J W W/m2 m K/W J/(mol K) m — — — Ωm — mol/(m3 s) — J/K J/(kg K) 1/s m — m m K K K s — s N/m2 s s m J

Formelzeichen

u u u V VA v W ˙ W ˙i W w w0 wS wτ w w+ X ˜ X x x ˜ x+ x∗ x∗th Y˜ y y˜ y+ z z z+ zR

mittlere molare Geschwindigkeit spez. innere Energie Laplace-Transformierte der Temperatur Volumen Abreißvolumen von Dampfblasen spez. Volumen Arbeit Leistungsdichte W¨armekapazit¨ atsstrom des Fluids i Geschwindigkeit Bezugsgeschwindigkeit Schallgeschwindigkeit Schubspannungsgeschwindigkeit, wτ = τ0 / Schwankungsgeschwindigkeit dimensionslose Geschwindigkeit Beladung; Lockhart-Martinelli-Parameter molare Beladung in der Fl¨ ussigphase Koordinate Molanteil in der Fl¨ ussigkeit dimensionslose x-Koordinate ˙L Str¨ omungsdampfgehalt, x∗ = M˙ G /M thermodynamischer Dampfgehalt molare Beladung in der Gasphase Koordinate Molanteil in der Gasphase dimensionslose y-Koordinate Anzahl axiale Koordinate dimensionslose z-Koordinate Rohrreihenzahl

xix

m/s J/kg K m3 m3 m3 /kg J W/m3 W/K m/s m/s m/s m/s m/s — — — m — — — — — m — — — m — —

Griechische Buchstaben Zeichen

Bedeutung

SI-Einheit

α αm

W¨arme¨ ubergangskoeﬃzient mittlerer W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient

W/(m2 K) W/(m2 K)

xx

β β β β0 Γ˙ γ˙ Δ δ δij ε ε ε∗ ε ελ ελ εD εi ε˙ii ε˙ji εp εt ζ ζ η ηR Θ ϑ ϑ+ κ κG Λ λ λ λt

Formelzeichen

Stoﬀ¨ ubergangskoeﬃzient thermischer Ausdehnungskoeﬃzient Polarwinkel, Zenitwinkel Randwinkel Massen-Produktionsrate molare Produktionsrate Diﬀerenz Dicke; Grenzschichtdicke Kronecker-Symbol Hohlraumanteil volumetrischer Dampfgehalt volumetrischer Str¨ omungsdampfgehalt hemisph¨ arischer Gesamt-Emissionsgrad hemisph¨ arischer spektraler Emissionsgrad gerichteter spektraler Emissionsgrad turbulenter Diﬀusionskoeﬃzient dimensionslose Temperatur¨ anderung des Stoﬀstroms i Dilatation Verzerrungstensor L¨ uckengrad turbulente Viskosit¨ at Widerstandsbeiwert Volumenviskosit¨ at dynamische Viskosit¨ at Rippenwirkungsgrad ¨ Ubertemperatur Temperatur dimensionslose Temperatur Isentropenexponent optische Dicke einer Gasschicht Wellenl¨ ange einer Schwingung Wellenl¨ ange W¨ armeleitf¨ ahigkeit turbulente W¨ armeleitf¨ ahigkeit

m/s 1/K rad rad kg/(m3 s) mol/(m3 s) — m — — — — — — — m2 /s — 1/s 1/s — m2 /s — kg/(m s) kg/(m s) — K K — — — m m W/(K m) W/(K m)

Formelzeichen

μ ν ν σ σ ξ τ τλ τ τji Φ Φ ϕ Ψ ω ω ω˙

Diﬀusionswiderstandsfaktor kinematische Viskosit¨ at Frequenz Dichte Stefan-Boltzmann-Konstante Grenzﬂ¨achenspannung Massenanteil Transmissionsgrad spektraler Transmissionsgrad Schubspannung Schubspannungstensor Strahlungsleistung, Strahlungsﬂuss Dissipationsleistung Winkel, Azimutwinkel Stromfunktion Raumwinkel Bezugsgeschwindigkeit Leistungsdichte

Indizes Zeichen

Bedeutung

A a abs B b dgl diss E e eﬀ eq F G g I

Stoﬀ A außen, Austrittquerschnitt absorbiert Stoﬀ B Bestrahlung durchgelassen dissipiert ¨ Exzess, Uberschuss, Erzeugnis, Erstarrung Eintrittquerschnitt eﬀektiv Gleichgewicht Fluid, Feed Gas geod¨ atisch an der Phasengrenze

— m2 /s 1/s kg/m3 W/(m2 K4 ) N/m — — — N/m2 N/m2 W W/m3 rad m2 /s sr m/s W/m2

xxi

xxii

Formelzeichen

i id K L lam m max min n P r ref S s tot turb U u V W α δ λ ω 0 ∞

innen ideal Stoﬀ K, K¨ uhlmittel, Kondensator Fl¨ ussigkeit, Luft laminar mittel, molar (stoﬀmengenbezogen) Maximum Minimum Normalrichtung Partikel Reibung reﬂektiert, Referenzzustand Festk¨ orper, Sumpfprodukt, Sonne Schwarzer K¨ orper, S¨ attigung total turbulent Umgebung im Teilchenbezugssystem Verdampfer Wand, Wasser Anfang an der Stelle y = δ spektral Ende hervorgehobener Zustand; an der Stelle y = 0 in sehr großem Abstand; im Unendlichen

Dimensionslose Kennzahlen Ar = [(S − F )/F ] d3P g/ν 2 Bi = αL/λ BiD = βL/D Bo = q/ ˙ (mΔh ˙ v) Da = k1 L/D Ec = w2 / (cp Δϑ) F o = at/L2

Archimedes-Zahl Biot-Zahl Biot-Zahl f¨ ur die Stoﬀ¨ ubertragung Siedekennzahl (boiling number) Damk¨ ohler-Zahl (f¨ ur heterogene Reaktion 1. Ordnung) Eckert-Zahl Fourier-Zahl

Formelzeichen

F r = w2 / (gx) Ga = gL3 /ν 2 Gr = gβΔϑL3 /ν 2 2 Ha = k1 L2 /D Le = a/D M a = w/wS N u = αL/λ P e = wL/a P h = hE / [c (ϑE − ϑ0 )] P r = ν/a Ra = GrP r Re = wL/ν Sc = ν/D Sh = βL/D St = α/ (wcp ) St = 1/P h

Froude-Zahl Galilei-Zahl Grashof-Zahl Hatta-Zahl Lewis-Zahl Mach-Zahl Nußelt-Zahl P´eclet-Zahl Phasen¨ ubergangszahl Prandtl-Zahl Rayleigh-Zahl Reynolds-Zahl Schmidt-Zahl Sherwood-Zahl Stanton-Zahl Stefan-Zahl

xxiii

1 Einfu ¨ hrung. Technische Anwendungen

In diesem Kapitel werden grundlegende Begriﬀe und physikalische Gr¨oßen zur Beschreibung von W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubertragungsvorg¨angen eingef¨ uhrt sowie Grundgesetze der W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubertragung behandelt. Mit ihrer Hilfe lassen sich bereits technisch wichtige Aufgaben l¨osen wie die Berechnung des W¨ armedurchgangs zwischen zwei Fluiden, die durch eine Wand getrennt sind, oder die Dimensionierung von Apparaten zur W¨arme- und Stoﬀ¨ ubertragung. Wir behandeln daher solche relativ einfachen Berechnungsverfahren in diesem einf¨ uhrenden Kapitel, w¨ ahrend die eingehende Darstellung komplexer W¨armeund Stoﬀ¨ ubertragungsprobleme den folgenden Kapiteln u ¨ berlassen bleibt.

1.1 Die verschiedenen Arten der W¨ armeu ¨bertragung In der Thermodynamik bezeichnet man Energie, welche die Grenze eines Systems u arme, wenn der Energietransport allein durch ¨ berschreitet, dann als W¨ einen Temperaturunterschied zwischen dem System und seiner Umgebung bewirkt wird, vgl. [1.1], [1.2]. Nach dem 2. Hauptsatz der Thermodynamik ﬂießt dabei W¨ arme stets in Richtung fallender thermodynamischer Temperatur u ¨ ber die Systemgrenze. Die Thermodynamik macht keine Aussage dar¨ uber, in welcher Weise der u armestrom vom treibenden Temperaturgef¨alle abh¨angt und wie ¨ bertragene W¨ schnell oder intensiv der irreversible Prozess W¨arme¨ ubertragung abl¨auft. Diese Gesetzm¨ aßigkeiten zu kl¨ aren, ist Aufgabe der Lehre von der W¨arme¨ ubertragung. Dabei unterscheidet man drei Arten des W¨armetransports: W¨armeleitung, konvektiven W¨ arme¨ ubergang und W¨ armestrahlung. In den folgenden Abschnitten werden ihre Grundgesetze einf¨ uhrend behandelt, auf denen die ausf¨ uhrlichen Darstellungen der W¨ armeleitung in Kapitel 2, des W¨arme¨ ubergangs in den Kapiteln 3 und 4 sowie der W¨ armestrahlung in Kapitel 5 aufbauen. Wir beschr¨ anken uns dabei auf eine ph¨anomenologische Erfassung

2

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

der Transportvorg¨ ange und benutzen die aus der Thermodynamik bekannten Gr¨ oßen Temperatur, W¨ arme, W¨ armestrom und W¨armestromdichte. Im Gegensatz zur Thermodynamik, die vorzugsweise mit ausgedehnten homogenen Systemen, den Phasen operiert, ist die W¨ arme¨ ubertragung eine Kontinuumstheorie, in der r¨ aumlich ausgedehnte Felder auftreten, die zudem von der Zeit abh¨ angen k¨ onnen. Dies hat auch Konsequenzen f¨ ur den W¨ armebegriﬀ, mit dem in der Ther¨ modynamik nur Energie beim Ubergang u ¨ber eine Systemgrenze bezeichnet wird. In der W¨ arme¨ ubertragung spricht man dagegen auch von einem W¨ armestrom innerhalb eines K¨ orpers. Dieser Widerspruch zur Terminologie der Thermodynamik l¨ ost sich auf, wenn man beachtet, dass in einer Kontinuumstheorie die Volumen- oder Massenelemente eines K¨orpers als kleine Systeme betrachtet werden, zwischen denen auch Energie als W¨arme u ¨ bergehen kann. Es ist deshalb kein Verstoß gegen die Thermodynamik, wenn man von W¨ armestr¨ omen innerhalb eines festen K¨orpers oder eines Fluids spricht oder vom Vektorfeld der W¨ armestromdichte, das neben dem Temperaturfeld auftritt. Wie in der Thermodynamik verwendet man in der Lehre von der W¨arme¨ ubertragung die thermodynamische Temperatur T . Dabei kommt es mit Ausnahme der W¨ armestrahlung jedoch nicht auf den Nullpunkt der thermodynamischen Temperatur an; meistens spielen nur Temperaturdiﬀerenzen eine Rolle. Man verwendet daher thermodynamische Temperaturen mit verschobenem Nullpunkt, wie es zum Beispiel die (thermodynamische) Celsiustemperatur ist. Derartige besondere Diﬀerenzen thermodynamischer Temperaturen bezeichnen wir mit ϑ, und es gilt ϑ := T − T0

(1.1)

mit T0 als einer frei w¨ ahlbaren, meistens der vorliegenden Problemstellung angepassten (thermodynamischen) Bezugstemperatur. F¨ ur T0 = 273,15 K stimmt ϑ mit der Celsiustemperatur u ¨ berein. In der Regel braucht man die Bezugstemperatur T0 nicht zu speziﬁzieren, weil Temperaturdiﬀerenzen von T0 unabh¨ angig sind.

1.1.1 W¨ armeleitung W¨ armeleitung ist ein Energietransport zwischen benachbarten Molek¨ ulen aufgrund eines im Material vorhandenen Temperaturgradienten. In Metallen u ¨ bertragen auch die freien Elektronen Energie. In strahlungsundurchl¨assigen Festk¨ orpern wird Energie allein durch W¨ armeleitung transportiert, in Gasen und Fl¨ ussigkeiten u armeleitvorgang ein Energietransport ¨ berlagert sich dem W¨ durch die str¨ omende Bewegung (Konvektion) und durch W¨armestrahlung. Der Mechanismus der W¨ armeleitung in Festk¨orpern und Fluiden ist theoretisch schwierig zu erfassen. Wir verzichten darauf, diese Theorien n¨aher zu

1.1 Die verschiedenen Arten der W¨ arme¨ ubertragung

3

behandeln; denn sie haben vornehmlich f¨ ur die Berechnung der Materialeigenschaft W¨ armeleitf¨ahigkeit Bedeutung. Wir beschr¨anken uns auf die ph¨anomenologische Erfassung der W¨ armeleitung durch die aus der Thermodynamik bekannten Gr¨ oßen Temperatur, W¨ armestrom und W¨armestromdichte, was f¨ ur die Behandlung technisch interessanter W¨ armeleitprobleme v¨ollig ausreicht. Man beschreibt den Energietransport in einem w¨armeleitenden Material durch das Vektorfeld der W¨ armestromdichte ˙ q˙ = q(x, t) .

(1.2)

Im Sinne einer Kontinuumstheorie erfasst der Vektor W¨armestromdichte an einem durch den Vektor x gekennzeichneten Ort St¨arke und Richtung des Energiestroms, der auch von der Zeit t abh¨ angen kann. Die W¨armestromdichte q˙ ist so deﬁniert, dass f¨ ur den W¨ armestrom dQ˙ durch ein beliebig orientiertes Fl¨ achenelement dA ˙ ˙ cos β dA . dQ˙ = q(x, t)n dA = |q|

(1.3)

gilt. Hierbei ist n der Einheitsvektor in Richtung der (¨außeren) Fl¨achennormale; er bildet mit q˙ den Winkel β, Abb. 1.1. Steht q˙ senkrecht auf dA (β = 0), so wird der W¨ armestrom dQ˙ am gr¨ oßten. Der W¨armestrom hat die Dimension einer auf die Zeit bezogenen Energie (W¨ armeleistung); seine SI-Einheit ist daher J/s = W. Die W¨ armestromdichte hat die Dimension eines auf die Fl¨ ache bezogenen W¨ armestroms; ihre Einheit ist J/s m2 = W/m2 .

Abb. 1.1: Fl¨ achenelement mit Normalenvektor n und dem Vektor der W¨ arme˙ stromdichte q.

Ursache des Energietransports durch W¨ armeleitung sind Temperaturgradienten im Material. Die Temperatur ϑ a ndert sich von Ort zu Ort und auch ¨ mit der Zeit. Die Gesamtheit der Temperaturen bildet das Temperaturfeld ϑ = ϑ(x, t) . Station¨ are Temperaturfelder h¨ angen von der Zeit t nicht ab; spielt die Zeit eine Rolle, so spricht man von einem instation¨ aren oder nichtstation¨aren Temperaturfeld. Alle Punkte des K¨ orpers, die zu einer bestimmten Zeit dieselbe Temperatur ϑ besitzen, kann man sich durch eine Fl¨ache verbunden denken. Diese isotherme Fl¨ ache oder kurz Isotherme trennt die Teile des K¨orpers mit h¨ oheren Temperaturen als ϑ von denen, deren Temperatur niedriger als ϑ ist.

4

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

Die st¨ arkste Temperatur¨ anderung erfolgt normal zu den Isothermen und ist durch den Temperaturgradienten grad ϑ =

∂ϑ ∂ϑ ∂ϑ ex + ey + ez ∂x ∂y ∂z

(1.4)

gegeben, wobei ex , ey und ez die Einheitsvektoren der drei Koordinatenrichtungen bedeuten. Der Gradienten-Vektor steht senkrecht auf der durch den betrachteten Punkt verlaufenden Isotherme und zeigt in Richtung des st¨arksten Temperaturanstiegs. Sieht man nun Temperaturgradienten als Ursache

Abb. 1.2: Punkt P auf der Isotherme ϑ = const mit dem Temperaturgradienten grad ϑ nach (1.4) und dem Vektor q˙ der W¨ armestromdichte nach (1.5).

der W¨ armestr¨ ome in einem w¨ armeleitenden Material an, so liegt es nahe, eine einfache Proportionalit¨ at zwischen Ursache und Wirkung anzunehmen und f¨ ur die W¨ armestromdichte q˙ = −λ grad ϑ (1.5) zu setzen. Dies ist das 1822 von J. B. Fourier1 angegebene Grundgesetz der W¨ armeleitung. Das in dieser Gleichung auftretende Minuszeichen ber¨ ucksichtigt den 2. Hauptsatz der Thermodynamik: W¨arme str¨omt in Richtung des Temperaturgef¨alles, Abb. 1.2. Die in (1.5) auftretende Proportionalit¨atskonstante ist eine Materialeigenschaft, die W¨ armeleitf¨ahigkeit λ = λ(ϑ, p) . Sie h¨ angt von der Temperatur ϑ und vom Druck p ab. In Gemischen ist sie zus¨ atzlich von deren Zusammensetzung abh¨ angig. Die W¨armeleitf¨ahigkeit λ ist ein Skalar, sofern das Material isotrop ist, sein W¨armeleitverm¨ogen zwar vom Ort, aber an einem festen Ort nicht von der Richtung abh¨angt. Isotrope Materialien werden wir, abgesehen von einigen speziellen Beispielen in 1

´ Jean Baptiste Fourier (1768–1830) war Professor f¨ ur Analysis an der Ecole Polytechnique in Paris und seit 1807 Mitglied der franz¨ osischen Akademie der Wissenschaften. 1822 erschien sein wichtigstes Werk, die Th´eorie analytique de la ” chaleur“. Sie ist die erste umfassende mathematische Theorie der W¨ armeleitung und enth¨ alt auch die Fourier-Reihen“ zur L¨ osung der Randwertaufgaben der ” instation¨ aren W¨ armeleitung.

1.1 Die verschiedenen Arten der W¨ arme¨ ubertragung Tabelle 1.1: W¨ armeleitf¨ ahigkeit ausgew¨ ahlter Stoﬀe bei 20

Stoﬀ λ in W/K m Silber 427 Kupfer 399 Aluminium 99,2 % 209 Eisen 81 Legierte St¨ ahle 13 . . . 48 Mauerwerk 0,5 . . . 1,3 Schaumstoﬀplatten 0,02 . . . 0,09

5

und 100 kPa

Stoﬀ λ in W/K m Wasser 0,598 Kohlenwasserstoﬀe 0,10 . . . 0,15 CO2 0,0162 Luft 0,0257 Wasserstoﬀ 0,179 Krypton 0,0093 R 123 0,0090

Kapitel 3, stets voraussetzen, obwohl einige Stoﬀe eine richtungsabh¨angige W¨ armeleitf¨ ahigkeit haben. So leitet Holz die W¨arme in Faserrichtung wesentlich besser als quer dazu. In solchen nichtisotropen Medien ist λ ein Tensor 2. Stufe, die Vektoren q˙ und grad ϑ bilden dann, anders als in Abb. 1.2, einen Winkel. In einem isotropen Material steht der Vektor der W¨armestromdichte stets senkrecht auf den isothermen Fl¨ achen. F¨ ur den W¨armestrom dQ˙ durch ein beliebig orientiertes Fl¨ achenelement dA erh¨alt man aus (1.3) und (1.5) dQ˙ = −λ ( grad ϑ) n dA = −λ

∂ϑ dA . ∂n

(1.6)

Dabei bedeutet ∂ ϑ/∂n die Ableitung von ϑ in Richtung der (¨außeren) Normale des Fl¨ achenelements. Die W¨ armeleitf¨ ahigkeit, deren SI-Einheit W/K m ist, geh¨ort zu den wichtigsten Materialeigenschaften der W¨ arme¨ ubertragung. Ihre Druckabh¨angigkeit braucht nur bei Gasen und Fl¨ ussigkeiten beachtet zu werden. Die Temperaturabh¨ angigkeit ist h¨ auﬁg nicht stark ausgepr¨agt, so dass sie vernachl¨assigt werden kann. Ausf¨ uhrlichere Tabellen von λ sind in Anhang B, Tabellen B.1 bis B.8, B.10 und B.11, zu ﬁnden. Wie aus der kurzen Tabelle 1.1 hervorgeht, haben Metalle sehr hohe W¨ armeleitf¨ ahigkeiten, feste elektrische Nichtleiter erheblich kleinere, w¨ ahrend Fl¨ ussigkeiten und vor allem Gase besonders kleine Werte von λ aufweisen. Hierauf beruht beispielsweise das geringe W¨armeleitverm¨ ogen schaumartiger Isolierstoﬀe; sie enthalten eine Vielzahl kleiner gasgef¨ ullter Hohlr¨aume, und auch der diese Hohlr¨aume umgebende Feststoﬀ hat eine geringe W¨ armeleitf¨ ahigkeit.

1.1.2 Station¨ are, geometrisch eindimensionale W¨ armeleitung Als einfachen, aber praktisch wichtigen Anwendungsfall behandeln wir die von der Zeit unabh¨ angige (= station¨ are) W¨ armeleitung in einer ebenen Wand, einem Hohlzylinder und einer Hohlkugel. Wir nehmen dabei an, W¨arme str¨ome nur in eine Richtung, n¨ amlich senkrecht zu den beiden Oberﬂ¨achen der ebenen Wand, beim Hohlzylinder und bei der Hohlkugel nur in radialer Richtung,

6

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

Abb. 1.3. Das Temperaturfeld h¨ angt dann nur von einer Ortskoordinate ab; man spricht von geometrisch eindimensionaler W¨armeleitung.

Abb. 1.3: Station¨ are, geometrisch eindimensionale W¨ armeleitung. a Temperaturverlauf in einer ebenen Wand der Dicke δ = r2 − r1 , b Temperaturverlauf in einem Hohlzylinder (Rohrwand) oder einer Hohlkugel mit dem Innenradius r1 und dem Außenradius r2 .

Wir bezeichnen die Ortskoordinate in allen drei F¨allen, auch bei der ebenen Wand, mit r. Die Koordinatenﬂ¨ achen r = const sind isotherme Fl¨achen; es gilt also ϑ = ϑ(r). Insbesondere nehme ϑ f¨ ur r = r1 den konstanten Wert ϑ = ϑW1 , f¨ ur r = r2 den Wert ϑ = ϑW2 an. Diese beiden Oberﬂ¨achentemperaturen seien gegeben. Gesucht ist der Zusammenhang zwischen dem ˙ der durch die ebene oder gekr¨ W¨ armestrom Q, ummte Wand ﬂießt, und der Temperaturdiﬀerenz ϑW1 − ϑW2 . Zur Veranschaulichung nehmen wir ohne Einschr¨ ankung der Allgemeing¨ ultigkeit ϑW1 > ϑW2 an. W¨arme ﬂießt dann in Richtung wachsender Werte von r. Der W¨ armestrom Q˙ hat einen bestimmten Wert, der an der inneren und ¨ außeren Oberﬂ¨ache und auf jeder Isotherme r = const gleich groß ist, weil im zeitlich station¨aren Zustand keine Energie in der Wand gespeichert werden kann. Nach dem Gesetz von Fourier erh¨ alt man f¨ ur den W¨armestrom dϑ Q˙ = q(r)A(r) ˙ = −λ(ϑ) A(r) . dr

(1.7)

F¨ ur die ebene Wand h¨ angt A nicht von r ab: A = A1 = A2 . Ist die W¨armeleitf¨ ahigkeit konstant, so wird auch der Temperaturgradient dϑ/dr konstant: Der station¨ are Temperaturverlauf in einer ebenen Wand mit konstantem λ ist linear. Dies triﬀt aber nicht auf den Hohlzylinder und die Hohlkugel zu und gilt auch f¨ ur die ebene Wand nicht, wenn λ von der Temperatur abh¨angt. In diesen allgemeinen F¨ allen ergibt sich aus (1.7) dr −λ(ϑ) dϑ = Q˙ A(r) und nach Integration u ¨ber die Wanddicke δ = r2 − r1

1.1 Die verschiedenen Arten der W¨ arme¨ ubertragung

r2

ϑW2

λ(ϑ) dϑ = Q˙

− ϑW1

7

dr . A(r)

r1

Nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung kann man hierf¨ ur δ −λm (ϑW2 − ϑW1 ) = Q˙ Am oder

λm Q˙ = Am (ϑW1 − ϑW2 ) (1.8) δ setzen. Der W¨ armestrom ist der Temperaturdiﬀerenz zwischen den beiden Oberﬂ¨ achen direkt proportional. Fasst man die treibende“ Temperaturdiﬀe” renz in Analogie zur elektrischen Leitung als Potentialdiﬀerenz (Spannung) auf, so entspricht λm Am /δ dem W¨ armeleitwert und sein Kehrwert RL :=

δ λm Am

(1.9)

dem W¨ armeleitwiderstand. In Analogie zur Elektrizit¨atsleitung gilt dann Q˙ = (ϑW1 − ϑW2 ) /RL .

(1.10)

Die durch

ϑW2

1 λm := (ϑW2 − ϑW1 )

λ(ϑ) dϑ

(1.11)

ϑW1

eingef¨ uhrte mittlere W¨ armeleitf¨ ahigkeit des Wandmaterials l¨asst sich leicht berechnen. In vielen F¨ allen kann man die Temperaturabh¨angigkeit von λ vernachl¨ assigen; dann ist λm = λ. H¨ angt λ linear von ϑ ab, so ergibt sich λm =

1 [λ (ϑW1 ) + λ (ϑW2 )] . 2

(1.12)

Diese Annahme einer linearen Temperaturabh¨ angigkeit von λ f¨ ur den Bereich ϑW1 ≤ ϑ ≤ ϑW2 ist in der Regel ausreichend, wenn man bedenkt, dass λ selten mit einer kleineren relativen Unsicherheit als 1 bis 2 % gemessen werden kann. Die mittlere Fl¨ ache Am in (1.8) ist durch 1 1 := Am r2 − r1

r2 r1

deﬁniert. Nun gilt

dr A(r)

(1.13)

8

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

⎧ A1 = A2 f¨ ur die ebene Wand ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ f¨ ur den Hohlzylinder der L¨ange L A(r) = 2πLr ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 4πr2 f¨ ur die Hohlkugel . Aus (1.13) erhalten wir damit ⎧ ⎪ A1 = A2 = 1 ⎪ 2 (A1 + A2 ) ebene Wand ⎪ ⎨ Am = (A2 − A1 ) / ln (A2 /A1 ) Hohlzylinder ⎪ ⎪ ⎪√ ⎩ A1 A2 Hohlkugel .

(1.14)

(1.15)

Die mittlere Fl¨ ache Am ergibt sich als ein Mittelwert der beiden Oberﬂ¨achen A1 = A(r1 ) und A2 = A(r2 ). Wir erhalten das arithmetische Mittel bei der ebenen Wand, das logarithmische Mittel beim Hohlzylinder und das geometrische Mittel bei der Hohlkugel. Dabei gilt bekanntlich A2 − A1 1 A1 A2 ≤ ≤ (A1 + A2 ) . ln (A2 /A1 ) 2 F¨ ur den W¨ armeleitwiderstand der drei W¨ande erh¨alt man ⎧ δ ebene Wand ⎪ ⎪ λm A ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ln (d2 /d1 ) Hohlzylinder RL = 2πLλm ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ (d2 /d1 ) − 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 2πd2 λm Hohlkugel .

(1.16)

Beim Hohlzylinder (Rohrwand) und bei der Hohlkugel wurde f¨ ur die Wanddicke 1 δ = r2 − r1 = (d2 − d1 ) 2 gesetzt, so dass sich RL durch die beiden Durchmesser d1 und d2 ausdr¨ ucken l¨ asst. Wir bestimmen nun noch den Temperaturverlauf in den drei W¨anden. Dabei beschr¨ anken wir uns auf den Fall λ = const. Mit A(r) nach (1.14) erh¨ alt man durch Integration von Q˙ dr − dϑ = λ A(r) f¨ ur das dimensionslose Temperaturverh¨ altnis ⎧ r −r 2 ⎪ ebene Wand ⎪ r2 − r1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ln (r /r) ϑ(r) − ϑW2 2 = ln (r /r ) Hohlzylinder 2 1 ⎪ ϑW1 − ϑW2 ⎪ ⎪ ⎪ 1/r − 1/r ⎪ 2 ⎩ Hohlkugel . 1/r1 − 1/r2

(1.17)

1.1 Die verschiedenen Arten der W¨ arme¨ ubertragung

9

Wie schon erw¨ ahnt, ist der station¨ are Temperaturverlauf in der ebenen Wand linear. Im Hohlzylinder besteht eine logarithmische, in der Hohlkugel eine hyperbolische Abh¨ angigkeit der Temperatur von der radialen Koordinate.

Abb. 1.4: Station¨ arer Temperaturverlauf nach (1.17) in einer ebenen, zylinderf¨ ormigen und kugelf¨ ormigen Wand mit gleicher Dicke δ und dem Verh¨ altnis r2 /r1 = 3.

Abb. 1.4 zeigt den Temperaturverlauf nach (1.17) in W¨anden gleicher Dicke. Die gr¨ oßte Abweichung des logarithmischen und hyperbolischen Temperaturverlaufs von der geraden Linie tritt u ¨brigens an der Stelle r = rm auf, an der die Querschnittsﬂ¨ ache A(r) den Wert A (rm ) = Am nach (1.15) annimmt. Beispiel 1.1: Eine ebene Wand mit der Dicke δ = 0,48 m besteht aus feuerfesten Steinen, deren W¨ armeleitf¨ ahigkeit von der Temperatur abh¨ angt. Mit ϑ als Celsiustemperatur gilt zwischen 0 und 800 λ(ϑ) =

λ0 1 − bϑ

(1.18)

mit λ0 = 0,237 W/K m und b = 4,41 · 10−4 K−1 . Die Oberﬂ¨ achentemperaturen sind ϑW1 = 750 und ϑW2 = 150 . Man berechne die W¨ armestromdichte ˙ q˙ = Q/A und den Temperaturverlauf in der Wand. Nach (1.8) erh¨ alt man f¨ ur die W¨ armestromdichte q˙ =

λm (ϑW1 − ϑW2 ) δ

mit der mittleren W¨ armeleitf¨ ahigkeit ϑW2

λm

1 = ϑW2 − ϑW1

Z

λ(ϑ) dϑ = ϑW1

λ0 1 − bϑW2 ln . b (ϑW1 − ϑW2 ) 1 − bϑW1

(1.19)

10

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen Wir setzen zur Abk¨ urzung λ(ϑWi ) = λi (i = 1, 2) und erhalten ln(λ1 /λ2 ) ln(λ1 /λ2 ) = λ1 λ2 . 1 1 λ1 − λ2 − λ2 λ1

λm =

(1.20)

Die mittlere W¨ armeleitf¨ ahigkeit λm l¨ asst sich aus den Werten von λ an den beiden Oberﬂ¨ achen berechnen; sie ist gleich dem Quadrat des geometrischen Mittels, dividiert durch das logarithmische Mittel aus λ1 und λ2 . Aus (1.18) ergibt sich λ1 = λ(ϑW1 ) = 0,354 W/K m ,

λ2 = λ(ϑW2 ) = 0,254 W/K m ,

und damit wird λm = 0,298 W/K m. F¨ ur die W¨ armestromdichte folgt aus (1.19) q˙ = 373 W/m2 . Unter der nicht zutreﬀenden Annahme einer linearen Temperaturabh¨ angigkeit von λ h¨ atte man 1 λm = (λ1 + λ2 ) = 0,304 W/K m 2 erhalten. Dieser um 1,9% zu große Wert ist aber eine noch brauchbare N¨ aherung, denn seine Abweichung vom genauen Wert liegt im Bereich der Unsicherheit, mit der die W¨ armeleitf¨ ahigkeit gemessen werden kann. Zur Berechnung des Temperaturverlaufs gehen wir von (1.7), also von −λ(ϑ) dϑ = q˙ dr aus und erhalten mit x := r − r1 Zϑ

dϑ λ0 1 − bϑ = ln = qx ˙ 1 − bϑ b 1 − bϑW1

−λ0 ϑW1

Mit q˙ nach (1.19) und λm nach (1.20) folgt daraus ln

1 − bϑ x 1 − bϑW2 = ln 1 − bϑW1 δ 1 − bϑW1

oder

„ «x/δ 1 − bϑ 1 − bϑW2 = . 1 − bϑW1 1 − bϑW1 Schließlich erhalten wir mit (1.18) " „ «x/δ # 1 λ0 λ1 ϑ(x) = 1− b λ1 λ2

(1.21)

als Gleichung zur Berechnung des Temperaturverlaufs in der Wand. Abb. 1.5 zeigt ϑ(x) und die Abweichung Δϑ(x) vom linearen Temperaturverlauf zwischen ϑW1 und ϑW2 . Bei hohen Temperaturen, wo die W¨ armeleitf¨ ahigkeit groß ist, verl¨ auft die Temperatur ﬂacher als bei niedrigen Temperaturen, wo λ(ϑ) kleiner ist. An jeder Stelle der Wand muss n¨ amlich das Produkt dϑ dx gleich groß sein. Kleinere W¨ armeleitf¨ ahigkeiten werden durch gr¨ oßere Temperaturgradienten kompensiert“. ” q˙ = −λ(ϑ)

1.1 Die verschiedenen Arten der W¨ arme¨ ubertragung

11

Abb. 1.5: Station¨ arer Temperaturverlauf ϑ = ϑ (x/δ) nach (1.21) in einer ebenen Wand mit temperaturabh¨ angiger W¨ armeleitf¨ ahigkeit nach (1.18). Δϑ ist die Abweichung des Temperaturverlaufs von der Geraden, die sich bei konstantem λ ergibt, rechte Skala.

1.1.3 Konvektiver W¨ armeu ¨ bergang, W¨ armeu ¨ bergangskoefﬁzient In einem str¨ omenden Fluid wird Energie nicht nur durch W¨armeleitung, sondern auch durch die makroskopische Bewegung des Fluids transportiert. Durch eine im Fluid ortsfest aufgespannte (gedachte) Fl¨ache ﬂießt somit W¨arme durch Leitung aufgrund eines Temperaturgradienten und außerdem Energie als Enthalpie und kinetische Energie des Fluids, das diese Fl¨ache durchstr¨omt. ¨ Man spricht von konvektivem W¨ arme¨ ubergang und meint damit die Uberlagerung von W¨ armeleitung und Energietransport durch das str¨omende Fluid. Von besonderem technischem Interesse ist der W¨arme¨ ubergang zwischen einem str¨ omenden Fluid und einer festen Wand, z.B. zwischen einer beheizten Rohrwand und dem im Rohr str¨ omenden kalten Gas. F¨ ur die St¨arke dieses konvektiven W¨ arme¨ ubergangs ist die Fluidschicht in Wandn¨ahe von Bedeutung; man nennt sie die Grenzschicht, und die von L. Prandtl2 1904 begr¨ undete Grenzschichttheorie ist der Zweig der Str¨ omungslehre, der f¨ ur die W¨armeund Stoﬀ¨ ubertragung besonders wichtig ist. In der Grenzschicht ¨andert sich 2

Ludwig Prandtl (1875–1953) war von 1904 bis zu seinem Tode Professor f¨ ur Angewandte Mechanik an der Universit¨ at G¨ ottingen und seit 1925 Direktor des KaiserWilhelm-Instituts f¨ ur Str¨ omungsforschung. Die von ihm entwickelte Grenzschichttheorie sowie seine Arbeiten u omungen, zur Tragﬂ¨ ugeltheorie ¨ ber turbulente Str¨ ¨ und zur Theorie der Uberschallstr¨ omung sind grundlegende Beitr¨ age zur modernen Str¨ omungslehre.

12

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

Abb. 1.6: Verlauf der Str¨ omungsgeschwindigkeit w (linkes Bild) und der Temperatur ϑ (rechtes Bild) eines str¨ omenden Fluids als Funktionen des Wandabstands y. δ und δt kennzeichnen die Dicke der Geschwindigkeits- bzw. Temperaturgrenzschicht.

die parallel zur Wand gerichtete Komponente der Str¨omungsgeschwindigkeit vom Wert null an der Wand u ¨ ber eine kurze Entfernung bis fast zum Maximalwert in der Kernstr¨ omung, Abb. 1.6. Auch die Temperatur des Fluids andert sich vor allem in der Grenzschicht von der Wandtemperatur ϑW zum ¨ Wert ϑF in einigem Abstand von der Wand. Als Folge des Temperaturunterschieds ϑW − ϑF geht W¨ arme von der Wand in das str¨omende Fluid u ¨ ber; ist ϑF > ϑW , so kehrt sich die Richtung des W¨armetransports um, das Fluid wird gek¨ uhlt. Die an der Wand auftretende W¨armestromdichte q˙W h¨angt in komplizierter Weise vom Temperatur- und Geschwindigkeitsfeld im Fluid ab, deren Berechnung auf erhebliche Schwierigkeiten st¨oßt. Man hat daher q˙W = α (ϑW − ϑF )

(1.22)

gesetzt und damit eine neue Gr¨ oße, den ¨ ortlichen W¨arme¨ ubergangskoeﬃzienten q˙W α := (1.23) ϑW − ϑF deﬁniert. Durch diese Deﬁnition f¨ uhrt man die unbekannte W¨armestromdichte q˙W auf den allerdings genauso unbekannten W¨arme¨ ubergangskoefﬁzienten α zur¨ uck. Es hat daher immer wieder Forscher gegeben, die die Einf¨ uhrung von α als u ussig und entbehrlich angesehen haben. Die Benut¨ berﬂ¨ zung von W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten d¨ urfte trotz dieser Bedenken sinnvoll sein, denn bei bekanntem α lassen sich die beiden Grundfragen des konvektivem W¨ arme¨ ubergangs leicht beantworten: Wie groß ist q˙W , wenn die Temperaturdiﬀerenz ϑW − ϑF gegeben ist, und welcher Temperaturunterschied ϑW − ϑF stellt sich ein,wenn eine bestimmte W¨armestromdichte q˙W zwischen Wand und Fluid u ¨ bergeht? Um den W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten mit dem Temperaturfeld im Fluid zu verkn¨ upfen und ihn damit berechenbar zu machen, betrachten wir die unmittelbare Wandn¨ ahe (Wandabstand y → 0). Außer bei extrem verd¨ unnten Gasen haftet das Fluid an der Wand, seine Geschwindigkeit ist hier gleich null, und Energie kann nur durch W¨ armeleitung transportiert werden. Es gilt

1.1 Die verschiedenen Arten der W¨ arme¨ ubertragung

13

daher anstelle von (1.22) die physikalisch begr¨ undete Beziehung (Gesetz von Fourier)

∂ϑ q˙W = −λ . (1.24) ∂y W Hierin ist λ, genauer λ(ϑW ), die W¨ armeleitf¨ ahigkeit des Fluids bei der Wand-

Abb. 1.7: Temperaturverlauf ϑ = ϑ (y) im str¨ omenden Fluid als Funktion des Wandabstands y und Veranschaulichung des Quotienten λ/α als Subtangente.

temperatur. Die W¨ armestromdichte q˙W ergibt sich aus der Steigung des Temperaturproﬁls im Fluid an der Wand, Abb. 1.7. Aus der Deﬁnitionsgleichung (1.23) folgt f¨ ur den W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten

∂ϑ ∂y W α = −λ . (1.25) ϑW − ϑF Danach wird α durch die Steigung des Temperaturproﬁls an der Wand und durch die Diﬀerenz zwischen Wand- und Fluidtemperatur bestimmt. Zur Berechnung des W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten ist somit die Kenntnis des Temperaturfelds im Fluid erforderlich. Dieses wird durch das Geschwindigkeitsfeld beeinﬂusst. Daher liefert neben den Energiebilanzen der Thermodynamik die Str¨ omungslehre die grundlegenden Beziehungen zur theoretischen Erfassung des konvektiven W¨ arme¨ ubergangs. Aus (1.25) folgt eine einfache graphische Veranschaulichung von α. Wie Abb. 1.7 zeigt, bedeutet das Verh¨ altnis λ/α eine Strecke, und zwar die in der H¨ ohe ϑ = ϑF liegende Subtangente des Temperaturproﬁls an der Wand. Die L¨ ange der Strecke λ/α hat die Gr¨ oßenordnung der (thermischen) Grenzschichtdicke, auf deren Berechnung wir in den Abschnitten 3.5 und 3.7.1 eingehen werden und die in der Regel etwas gr¨ oßer als λ/α ist. Eine d¨ unne Grenzschicht bedeutet demnach g¨ unstige W¨ arme¨ ubergangsverh¨altnisse, w¨ahrend umgekehrt eine dicke Grenzschicht kleine Werte von α zur Folge hat. In der Deﬁnition des ¨ ortlichen W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten nach (1.23) tritt die Temperatur ϑF des Fluids in einem gr¨oßeren Abstand von der Wand auf. Umstr¨ omt das Fluid einen K¨ orper (external ﬂow), so versteht man unter

14

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

Abb. 1.8: Temperaturverlauf in einem Kanalquerschnitt. Wandtemperatur ϑW und mittlere Fluidtemperatur ϑF .

ϑF die Temperatur in einem so großen Abstand von der K¨orperoberﬂ¨ache, dass sie durch den W¨arme¨ ubergang kaum beeinﬂusst ist. Man nennt ϑF die Freistromtemperatur und bezeichnet sie oft mit ϑ∞ . Str¨omt dagegen das Fluid in einem Kanal (internal ﬂow), z.B. in einem beheizten Rohr, so wird die Fluidtemperatur an allen Stellen des Kanalquerschnitts durch den W¨arme¨ ubergang an der Kanalwand beeinﬂusst, und es stellt sich ein Temperaturproﬁl ein, wie es Abbildung 1.8 zeigt. Hier deﬁniert man ϑF als einen Querschnittsmittelwert der Temperatur, und zwar so, dass ϑF auch f¨ ur den Energietransport des str¨ omenden Fluids in Richtung der Kanalachse charakteristisch ist. Diese Deﬁnition von ϑF verkn¨ upft den von der Kanalwand u ¨bergehenden und durch α charakterisierten W¨ armestrom mit dem Energietransportstrom durch das str¨ omende Fluid. Zur sinnvollen Deﬁnition von ϑF betrachten wir einen kleinen Abschnitt des Kanals, Abb. 1.9. Der von der Kanalwand mit der Fl¨ ache dA an das Fluid u ¨ bergehende W¨ armestrom ist dQ˙ = α (ϑW − ϑF ) dA . (1.26) Nach dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik gilt unter Vernachl¨ assigung der ¨ Anderung der kinetischen Energie “ ” dQ˙ = H˙ + dH˙ − H˙ = dH˙ . (1.27) ¨ Der u armestrom bewirkt die Anderung des Enthalpiestroms H˙ des ¨bergehende W¨ str¨ omenden Fluids. Der Querschnittsmittelwert ϑF der Fluidtemperatur ist nun so deﬁniert, dass sich der Enthalpiestrom Z H˙ =

w h(ϑ) dAq = M˙ h(ϑF ) (Aq )

als Produkt aus dem Massenstrom Z M˙ =

w dAq (Aq )

und der spez. Enthalpie h(ϑF ) bei der Mitteltemperatur ϑF schreiben l¨ asst.

(1.28)

1.1 Die verschiedenen Arten der W¨ arme¨ ubertragung

15

Abb. 1.9: Energiebilanz f¨ ur einen Kanalabschnitt (linkes Bild); Verlauf der Str¨ omungsgeschwindigkeit w und der Temperatur ϑ im Kanalquerschnitt (rechtes Bild).

Man bezeichnet ϑF auch als adiabate Mischungstemperatur. Darunter versteht man jene Mitteltemperatur, die sich beim adiabaten Vermischen aller Fluidelemente eines Querschnitts in einem Beh¨ alter einstellt, so dass sie diesen mit der konstanten Temperatur ϑF verlassen. Nach dem ersten Hauptsatz muss dann der Enthalpiestrom ˙ mit dem der Stoﬀstrom unvermischt in den adiabaten Beh¨ H, alter eintritt, gleich dem Enthalpiestrom M˙ h (ϑF ) sein, mit dem das Fluid den Mischbeh¨ alter verl¨ asst. Dies entspricht Gl. (1.28), mit der wir ϑF implizit deﬁniert haben. Zur Berechnung der adiabaten Mischungstemperatur ϑF vernachl¨ assigt man die geringe Druckabh¨ angigkeit der spez. Enthalpie und setzt h(ϑ) = h0 + [cp ]ϑ ϑ0 (ϑ − ϑ0 ) und

F h(ϑF ) = h0 + [cp ]ϑ ϑ0 (ϑF − ϑ0 )

mit [cp ]ϑ armekapazit¨ at des Fluids zwischen ϑ und der Beϑ0 als mittlerer spez. W¨ zugstemperatur ϑ0 , bei der h(ϑ0 ) = h0 ist. Damit erh¨ alt man aus (1.28)

ϑF = ϑ0 +

1 F ˙ M [cp ]ϑ ϑ0

Z

w [cp ]ϑ ϑ0 (ϑ − ϑ0 ) dAq .

(1.29)

(Aq )

F¨ ur die praktische Rechnung nimmt man eine konstante spez. W¨ armekapazit¨ at cp an und erh¨ alt Z 1 ϑF = w ϑ dAq (1.30) M˙ (Aq ) sowie dH˙ = M˙ cp dϑF . (1.31) Die nach (1.30) gebildete adiabate Mischungstemperatur stellt somit f¨ ur jeden Kanalquerschnitt eine Verbindung zwischen dem ¨ ortlichen W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten α nach (1.23) und dem Enthalpiestrom her, denn aus (1.26), (1.27) und (1.31) folgt dQ˙ = α (ϑW − ϑF ) dA = M˙ cp dϑF . (1.32) Die adiabate Mischungstemperatur ϑF ist vom integralen Querschnittsmittelwert

16

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

ϑm =

Z 1 ϑ dAq Aq (Aq )

der Temperatur verschieden; sie stimmt mit diesem nur u ¨berein, wenn die Geschwindigkeit an jeder Stelle des Querschnitts gleich ist, also eine Kolbenstr¨ omung mit w = const vorliegt.

Abb. 1.10: Verlauf der mittleren Fluidtemperatur ϑF , der Wandtemperatur ϑW und des ¨ ortlichen W¨ armeu ¨ bergangskoefﬁzienten α als Funktionen der axialen Koordinate z bei Erw¨ armung eines Fluids in einem Rohr der L¨ ange L.

Wir haben bisher den ¨ ortlichen W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten betrachtet, der an jeder Stelle der Wand verschieden sein kann. In der Praxis ben¨otigt man h¨ auﬁg nur einen mittleren W¨arme¨ ubergangskoeﬃzienten αm , um den gesamten von einer Fl¨ ache A an das Fluid u ¨ bergehenden W¨armestrom Q˙ zu berechnen: Q˙ = αm AΔϑ oder

Q˙ . (1.33) AΔϑ In dieser Deﬁnitionsgleichung ist Δϑ eine beliebige Temperaturdiﬀerenz, auf deren sinnvolle Wahl wir noch eingehen werden. Ist der o arme¨ ubergangskoeﬃzient α bekannt, so kann man αm ¨rtliche W¨ durch Integration ﬁnden. F¨ ur den u ¨ bertragenen W¨armestrom erh¨alt man αm :=

Q˙ =

α (ϑW − ϑF ) dA .

q(A) ˙ dA = (A)

(1.34)

(A)

Im Integranden variieren alle drei Gr¨ oßen — α, ϑW und ϑF — u ¨ber der Fl¨ache. Dies zeigt Abb. 1.10 f¨ ur das Beispiel eines Rohres, in dem sich ein Fluid erw¨ armt. Dabei sollen die drei Gr¨ oßen von der axialen Koordinate z, nicht aber vom Umfangswinkel abh¨ angen. F¨ ur den mittleren W¨arme¨ ubergangskoeﬃzienten erh¨ alt man aus (1.33) und (1.34)

1.1 Die verschiedenen Arten der W¨ arme¨ ubertragung

αm =

1 AΔϑ

17

α (ϑW − ϑF ) dA .

(A)

Bei umstr¨omten K¨orpern ist die Freistromtemperatur ϑF = ϑ∞ meistens konstant. Man wird daher Δϑ mit ϑ∞ und einer charakteristischen Wandtemperatur ϑW deﬁnieren: Δϑ = ϑW − ϑ∞ . Ist außerdem die Wandtemperatur des umstr¨ omten K¨ orpers konstant, so erh¨ alt man mit Δϑ = ϑW − ϑ∞ f¨ ur den mittleren W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten 1 αm = A

α dA .

(A)

Liegt eine Kanalstr¨omung vor, so kann man Q˙ entweder durch Integration u arme¨ ubertragende Kanalﬂ¨ ache A oder einfacher nach (1.32) ¨ ber die w¨ berechnen: Q˙ = M˙ cp (ϑFa − ϑFe ) . Daraus folgt mit (1.33) αm =

M˙ cp (ϑFa − ϑFe ) , AΔϑ

wobei ϑFa und ϑFe die mittleren Fluidtemperaturen am Eintritt und am Austritt des Kanals bedeuten. F¨ ur Δϑ benutzt man nun bestimmte Mittelwerte der Temperaturdiﬀerenzen ϑW − ϑF am Eintritt und am Austritt des Kanals, insbesondere das logarithmische Mittel Δϑlog =

(ϑW − ϑF )e − (ϑW − ϑF )a ϑFa − ϑFe = (ϑ − ϑF )e (ϑ − ϑF )e ln W ln W (ϑW − ϑF )a (ϑW − ϑF )a

(1.35)

Bezieht man αm auf das logarithmische Mittel, so erh¨alt man αm =

(ϑW − ϑF )e M˙ cp ln . A (ϑW − ϑF )a

(1.36)

Um αm experimentell zu bestimmen, m¨ ussen neben M˙ nur die Wandtemperaturen und die mittleren Fluidtemperaturen im Eintritts- und Austrittsquerschnitt des Kanals gemessen werden. Der Bezug von αm auf den logarithmischen Mittelwert nach (1.35) wird auch durch folgendes Ergebnis nahegelegt: Sind die Wandtemperatur ϑW und der ¨ ortliche W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient α konstant, so erh¨ alt man nur dann das naheliegende Resultat αm = α, wenn Δϑlog zur Deﬁnition von αm verwendet wird. Aus (1.32) folgt n¨ amlich dϑF α dA = . ϑW − ϑF M˙ cp

18

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

Integration bei konstantem α und konstanter Wandtemperatur ϑW liefert ln

(ϑW − ϑF )e αA = . (ϑW − ϑF )a M˙ cp

Setzt man dies in (1.36) ein, so folgt αm = α.

1.1.4 Die Bestimmung von W¨ armeu ¨ bergangskoeﬃzienten. Dimensionslose Kennzahlen Die Berechnung von W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten nach (1.25) setzt die Kenntnis des Temperaturfelds im str¨ omenden Fluid voraus. Das Temperaturfeld wiederum l¨asst sich erst dann bestimmen, wenn man das Geschwindigkeitsfeld kennt. Nur in relativ einfachen F¨ allen kann man durch L¨osen der grundlegenden partiellen Diﬀerentialgleichungen f¨ ur das Geschwindigkeitsund Temperaturfeld W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten exakt berechnen. Beispiele hierf¨ ur sind der W¨ arme¨ ubergang bei ausgebildeter laminarer Rohrstr¨omung und bei der l¨ angs angestr¨ omten ebenen Platte mit laminarer Grenzschicht. Schon bei turbulenter Str¨ omung muss man auf vereinfachte Modellvorstellungen zur¨ uckgreifen, und noch kompliziertere W¨arme¨ ubergangsprobleme wie die der Blasenverdampfung entziehen sich bisher weitgehend einer theoretischen Behandlung. Eine wichtige Methode zur Gewinnung von W¨arme¨ ubergangskoeﬃzienten war und ist daher das Experiment. Aus gemessenen W¨armestr¨omen oder W¨ armestromdichten und gemessenen Wand- und Fluidtemperaturen wird ein ortlicher oder mittlerer W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient nach (1.25) und (1.33) ¨ bestimmt. Um das W¨ arme¨ ubergangsproblem umfassend zu l¨osen, m¨ ussen bei derartigen Messungen alle Gr¨ oßen variiert werden, die den W¨arme¨ ubergang beeinﬂussen. Zu diesen Einﬂussgr¨ oßen geh¨ oren neben den geometrischen Abmessungen (z.B. Durchmesser und L¨ ange eines durchstr¨omten Rohres) eine charakteristische Str¨ omungsgeschwindigkeit und die Materialeigenschaften des Fluids, n¨ amlich seine Dichte, Viskosit¨ at, W¨armeleitf¨ahigkeit und spez. W¨ armekapazit¨ at. Die Zahl der zu variierenden Einﬂussgr¨ oßen liegt in der Regel zwischen f¨ unf und zehn. Um den Einﬂuss einer bestimmten Gr¨oße zu quantiﬁzieren, wird man Versuche mit mindestens n (z.B. n = 5) verschiedenen Werten dieser Gr¨ oße ausf¨ uhren m¨ ussen, wobei alle anderen Einﬂussgr¨oßen konstant gehalten werden. Will man insgesamt m Einﬂussgr¨oßen auf diese Weise ber¨ ucksichtigen so sind nm Einzelversuche erforderlich. Bei sechs Einﬂussgr¨oßen und n = 5 w¨ aren bereits 56 = 15625 Versuche auszuf¨ uhren. Sie verlangen einen erheblichen Zeit- und Mittelaufwand. Eine wirksame Verringerung des Versuchsaufwands erreicht man durch An¨ wenden der Ahnlichkeitsoder Modelltheorie, vgl. hierzu [1.19], [1.20]. Hierbei

1.1 Die verschiedenen Arten der W¨ arme¨ ubertragung

19

geht man von dem Grundsatz aus, dass sich die Geschwindigkeits- und Temperaturfelder (ebenso wie andere physikalische Zusammenh¨ange) durch dimensionslose Kenngr¨ oßen oder Kennzahlen beschreiben lassen. Dieser Sachverhalt ist Ausdruck des allgemeinen Prinzips, dass die L¨osung eines physikalischen Problems unabh¨ angig von dem zuf¨ allig gew¨ ahlten Maßsystem sein muss und sich daher durch dimensionslose Variable darstellen lassen muss. Um diese zu bilden, werden die Ortskoordinaten durch Division mit einer charakteristischen L¨ ange, die Geschwindigkeitskomponenten mit einer konstanten Bezugsgeschwindigkeit und die Temperatur durch Bezug auf eine charakteristische Temperaturdiﬀerenz dimensionslos gemacht. Temperatur- und Geschwindigkeitsfelder, die in dimensionslosen Koordinaten u ¨ bereinstimmen, bezeichnet man als a hnliche Felder. Sie lassen sich allein durch Maßstabs¨anderung, ¨ ¨ n¨ amlich durch Andern der Bezugsgr¨ oßen ineinander u berf¨ uhren. ¨ Geschwindigkeits- und Temperaturfelder sind jedoch nur dann ¨ahnlich, wenn auch die dimensionslosen Kennzahlen, von denen die Felder abh¨angen, u ¨ bereinstimmen. Diese Kennzahlen enthalten geometrische Gr¨oßen, maßgebende Geschwindigkeiten und Temperaturdiﬀerenzen sowie Materialeigenschaften des w¨ arme¨ ubertragenden Fluids. Die Zahl der dimensionslosen Kenngr¨ oßen ist merklich geringer als die Zahl der insgesamt vorhandenen Einﬂussgr¨ oßen. Der experimentelle Aufwand wird erheblich verringert, denn man braucht nur noch den f¨ ur das W¨ arme¨ ubergangsproblem maßgebenden funktionalen Zusammenhang zwischen den dimensionslosen Kennzahlen durch gezielte Experimente zu ermitteln. Dabei werden prim¨ar die Werte der Kennzahlen variiert und nicht die Werte der weit zahlreicheren Einzelgr¨oßen, aus denen sich die Kennzahlen zusammensetzen. Auch die theoretische L¨ osung eines W¨ arme¨ ubergangsproblems wird klarer strukturiert, wenn man mit dimensionslosen Variablen und Kennzahlen arbeitet. Es empﬁehlt sich daher, zu Beginn der theoretisch-rechnerischen Behandlung eines Problems, dimensionslose Gr¨ oßen einzuf¨ uhren. Auch Auswertung und Darstellung der gefundenen L¨ osung werden vereinfacht, wenn man die Zahl der unabh¨ angig zu variierenden Gr¨ oßen dadurch m¨oglichst klein h¨alt, dass man mit dimensionslosen Ver¨ anderlichen und Kenngr¨oßen arbeitet. Um die f¨ ur den W¨ arme¨ ubergang maßgebenden Kenngr¨oßen zu ﬁnden, geht man von den partiellen Diﬀerentialgleichungen f¨ ur das Geschwindigkeits- und Temperaturfeld aus. Die dort auftretenden Variablen, n¨amlich die Ortskoordinaten, die Geschwindigkeitskomponenten und die Temperatur, werden durch Division mit einer charakteristischen L¨ ange, Geschwindigkeit bzw. Temperatur dimensionslos gemacht. Die das Problem beschreibenden Gleichungen bringt man ebenfalls in dimensionslose Form, wobei dimensionslose Potenzprodukte aus den gew¨ ahlten charakteristischen Gr¨oßen (L¨ange, Geschwindigkeit und Temperatur) und aus den Fluideigenschaften wie Dichte, Viskosit¨at und W¨ armeleitf¨ ahigkeit entstehen: dies sind die gesuchten Kennzahlen. Wir zeigen dieses Vorgehen beispielhaft an der Beziehung (1.25), die den ortliche W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten α mit dem Temperaturfeld verkn¨ upft. ¨ Mit L0 als einer charakteristischen L¨ ange des Problems, z.B. dem Durchmes-

20

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

ser eines vom Fluid durchstr¨ omten Rohres, bildet man den dimensionslosen Wandabstand y + := y/L0 . Die Temperatur ϑ kann durch eine charakteristische Temperaturdiﬀerenz Δϑ0 und, da nur Temperaturdiﬀerenzen und Temperaturableitungen auftreten, durch Subtrahieren einer Bezugstemperatur ϑ0 dimensionslos gemacht werden: ϑ − ϑ0 ϑ+ := . (1.37) Δϑ0 Durch eine dem W¨ arme¨ ubergangsproblem angepasste Wahl von ϑ0 wird der Nullpunkt der dimensionslosen Temperatur ϑ+ festgelegt. Damit erh¨alt man aus (1.25) λ (∂ϑ+ /∂y + )W α=− + L0 ϑ+ W − ϑF oder

(∂ϑ+ /∂y + )W αL0 =− + λ ϑ+ W − ϑF

(1.38)

Da auf der rechten Seite von (1.38) ein dimensionsloser Ausdruck steht, gilt dies auch f¨ ur die linke Seite. Das hier auftretende Potenzprodukt aus dem W¨ arme¨ ubergangskoefﬁzienten α, einer charakteristischen L¨ange L0 des W¨ arme¨ ubergangsproblems und der W¨ armeleitf¨ahigkeit λ des Fluids wird als Nußelt-Zahl N u := αL0 /λ (1.39) bezeichnet. Diese Kennzahl und die im Folgenden hergeleiteten Kennzahlen werden nach bedeutenden Forschern — hier nach W. Nußelt3 — benannt und durch die ersten beiden Buchstaben ihres Namens im Sinne eines Formelzeichens abgek¨ urzt. Die Bestimmung von α ist damit auf die Berechnung der Nußelt-Zahl zur¨ uckgef¨ uhrt. Nach (1.38) h¨ angt N u vom dimensionslosen Temperaturfeld ab, und wir m¨ ussen kl¨ aren, welche Kennzahlen die dimensionslose Temperatur ϑ+ bestimmen. Dazu gehen wir in diesem einf¨ uhrenden Kapitel nicht von den maßgebenden Diﬀerentialgleichungen aus — dies wird in Kapitel 3 geschehen —, sondern stellen eine Liste der physikalischen Einﬂussgr¨oßen auf und ermitteln die aus diesen Gr¨ oßen zu bildenden dimensionslosen Kenngr¨oßen. 3

Wilhelm Nußelt (1882–1957) wurde 1920 als Professor f¨ ur Theoretische Maschinenlehre an die Technische Hochschule Karlsruhe berufen; von 1925 bis 1952 lehrte er an der Technischen Hochschule M¨ unchen. 1915 ver¨ oﬀentlichte er die grundlegende Arbeit Die Grundgesetze des W¨ arme¨ ubergangs“, in der er erstmals die ” dimensionslosen Kenngr¨ oßen einf¨ uhrte. Weitere wichtige Untersuchungen betrafen den W¨ arme¨ ubergang bei der Filmkondensation, die W¨ arme¨ ubertragung bei Kreuzstrom und die Analogie zwischen W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubertragung bei der Verdunstung.

1.1 Die verschiedenen Arten der W¨ arme¨ ubertragung

21

Die dimensionslose Temperatur ϑ+ nach (1.37) h¨angt von den dimensionslosen Ortskoordinaten x+ := x/L0 ,

y + := y/L0 ,

z + := z/L0

und einer Reihe von Kennzahlen Ki ab: ϑ+ = ϑ+ x+ , y + , z + , K1 , K2 , . . . .

(1.40)

Einige dieser Kennzahlen sind rein geometrische Parameter. Beim W¨arme¨ ubergang an der Wand eines durchstr¨ omten Rohres mit dem Durchmesser d und der L¨ ange L ist eine solche Kennzahl das Verh¨altnis L/d (oder sein Kehrwert d/L). Nur Rohre mit gleichen Werten von L/d sind geometrisch a¨hnlich. Diese geometrischen Kennzahlen wollen wir hier nicht explizit betrachten, sondern diejenigen Kennzahlen herleiten, die unabh¨angig von der Geometrie das Str¨ omungs- und Temperaturfeld bestimmen. Neben einer charakteristischen L¨ ange L0 und einer charakteristischen Geschwindigkeit w0 , z.B. die Eintrittsgeschwindigkeit in ein Rohr oder die Anstr¨ omgeschwindigkeit bei einem umstr¨ omten K¨orper, bestimmen zwei Stoﬀwerte, die Dichte und die Viskosit¨ at η des Fluids, das Geschwindigkeitsfeld. W¨ ahrend die Dichte bereits bei reibungsfreier Str¨omung eine Rolle spielt, ist die Viskosit¨ at jene Fluideigenschaft, die f¨ ur Reibungsvorg¨ange und die Ausbildung der Grenzschicht charakteristisch ist. F¨ ur das Temperaturfeld sind neben einer charakteristischen Temperaturdiﬀerenz Δϑ0 zwei weitere Materialeigenschaften von Bedeutung: die W¨ armeleitf¨ahigkeit λ und die spez. W¨armekapazit¨ at cp des Fluids. Diese Gr¨ oße verkn¨ upft die Enthalpie des Fluids mit seiner Temperatur. Wir haben damit insgesamt sieben Einﬂussgr¨oßen, n¨amlich L0 , w0 , , η, Δϑ0 , λ und

cp ,

von denen das Temperaturfeld und damit u ubergangs¨ber (1.38) der W¨arme¨ koeﬃzient und sein dimensionsloses Gegenst¨ uck, die Nußelt-Zahl abh¨angen. Aus den sieben Gr¨ oßen werden nun die dimensionslosen Kennzahlen Ki als Potenzprodukte gebildet. Mit passend gew¨ ahlten Exponenten a bis g gilt dann Ki = La0 · w0b · c · η d · Δϑe0 · λf · cgp ,

i = 1, 2, . . .

(1.41)

Die Dimension einer jeden der sieben Einﬂussgr¨oßen l¨asst sich als Potenzprodukt der vier Grunddimensionen L¨ ange L, Zeit Z, Masse M und Temperatur T schreiben, die ausreichen, um das Gebiet der Thermodynamik und W¨ arme¨ ubertragung zu erfassen. So ist zum Beispiel die Dichte als Quotient aus Masse und Volumen deﬁniert; sie hat damit die Dimension Masse, dividiert durch die Dimension L¨ ange hoch drei: dim = M/L3 .

22

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

Tabelle 1.2: Werte der Exponenten a, e und f in (1.41) und (1.42) und die sich daraus ergebenden Kennzahlen Ki . i 1 2 3

a 1 0 0

e 0 0 −1

f 0 −1 0

Ki w0 L0 η −1 ηcp λ−1 2 −1 w0 cp Δϑ−1 0

Dr¨ uckt man in gleicher Weise die Dimensionen der anderen sechs Einﬂussgr¨ oßen durch L, Z, M und T aus, so erh¨ alt man aus (1.41) f¨ ur die Dimension von Ki dim Ki = La Lb Z−b Mc L−3c Md L−d Z−d Te Mf Lf Z−3f T−f L2g Z−2g T−g . Soll nun Ki eine dimensionslose Kennzahl sein, so muss dim Ki = 1 gelten. Damit diese Bedingung erf¨ ullt ist, m¨ ussen die Exponenten der vier Grunddimensionen L, Z, M und T null sein. Wir erhalten daraus vier homogene Gleichungen f¨ ur die sieben Exponenten, n¨ amlich dim L dim Z dim M dim T

=1: =1: =1: =1:

a + b − 3c − d −b −d c +d

+ f + 2g = 0 − 3f − 2g = 0 + f =0 e− f − g =0 .

(1.42)

Da vier homogene Gleichungen zwischen den Exponenten der sieben Einﬂussgr¨ oßen bestehen, kann man 7 − 4 = 3 unabh¨angige dimensionslose Kennzahlen bilden. Man erh¨ alt sie, indem man drei Exponenten willk¨ urlich vorgibt. Dies ist auf unendlich viele Arten m¨ oglich, so dass man beliebig viele Kennzahlen erh¨ alt; aber nur drei Kennzahlen sind voneinander unabh¨angig, alle weiteren ergeben sich als Potenzprodukte dieser drei Kennzahlen und liefern somit keine inhaltlich neue Beschreibung des dimensionslosen Temperaturfeldes. Wir erhalten die drei am h¨ auﬁgsten benutzten Kennzahlen, indem wir in den vier Gleichungen (1.42) f¨ ur die Exponenten a, e und f die in Tabelle 1.2 angegebenen Werte einsetzen und die Werte f¨ ur b, c, d und g aus (1.42) berechnen. Damit erh¨ alt man aus (1.41) die in Tabelle 1.2 verzeichneten Kennzahlen K1 , K2 , K3 . Die Kennzahl K1 ist in der Str¨ omungslehre bekannt und wird als ReynoldsZahl4 4

Osborne Reynolds (1842–1912) war von 1868 bis 1905 Professor f¨ ur Ingenieurwissenschaften in Manchester, England. Er wurde durch seine grundlegenden Arbei¨ ten zur Str¨ omungsmechanik bekannt. Er untersuchte insbesondere den Ubergang von der laminaren in die turbulente Str¨ omung und entwickelte die mathematischen Grundlagen zur Beschreibung turbulenter Str¨ omungen.

1.1 Die verschiedenen Arten der W¨ arme¨ ubertragung

Re :=

w0 L0 w0 L0 = η ν

23

(1.43)

bezeichnet. Anstelle von η f¨ uhrt man dabei die kinematische Viskosit¨at ν := η/ mit der SI-Einheit m2 /s ein. Die Reynolds-Zahl kennzeichnet den Einﬂuss der Reibungs- und Tr¨ agheitskr¨ afte auf das Str¨ omungsfeld. Die zweite Kennzahl K2 enth¨ alt nur Stoﬀwerte des Fluids. Man nennt sie Prandtl-Zahl P r :=

ηcp ν = , λ a

(1.44)

wobei a := λ/cp die Temperaturleitf¨ ahigkeit des Fluids bedeutet. Die Prandtl-Zahl verkn¨ upft das Temperaturfeld mit dem Geschwindigkeitsfeld. Die dritte Kennzahl K3 wird als Eckert-Zahl5 bezeichnet: Ec :=

w02 . cp Δϑ0

(1.45)

Sie beeinﬂusst allein das Temperaturfeld und muss nur dann beachtet werden, wenn durch Reibung im Fluid eine nennenswerte Erw¨armung hervorgerufen wird. Dies ist nur bei sehr großen Geschwindigkeiten in der Gr¨oßenordnung der Schallgeschwindigkeit der Fall und bei sehr starken Geschwindigkeitsgradienten, wie sie bei der Str¨ omung durch enge Spalten auftreten k¨onnen. Das dimensionslose Temperaturfeld h¨ angt von den dimensionslosen Koordinaten und den drei Kennzahlen Re, P r und Ec ab sowie von den geometrischen Kenngr¨ oßen, die zur Beschreibung der Geometrie des W¨arme¨ ubergangsproblems erforderlich sind. Wir fassen diese geometrischen Kennzahlen abk¨ urzend in der Bezeichnung Kgeom zusammen und erhalten ϑ+ = ϑ+ x+ , y + , z + , Re, P r, Ec, Kgeom . Die ¨ ortliche Nußelt-Zahl ergibt sich aus ϑ+ nach (1.38). Sie h¨angt nicht von + y ab, wenn wir y + als dimensionslosen Wandabstand interpretieren, so dass der Temperaturgradient an der Wand f¨ ur y + = 0 zu berechnen ist. Somit wird N u = f x+ , z + , Re, P r, Ec, Kgeom . (1.46) 5

Ernst Rudolph Georg Eckert (1904–2004) untersuchte zwischen 1935 und 1938 die Strahlungseigenschaften fester K¨ orper und die Gasstrahlung von CO2 und H2 O. 1938 wurde er Dozent an der Technischen Hochschule Braunschweig und arbeitete an der dortigen Luftfahrt-Forschungs-Anstalt u arme¨ ubergang bei ¨ ber W¨ hohen Geschwindigkeiten. Er ging 1945 in die USA, wo er 1951 Professor an der Universit¨ at von Minnesota wurde. Mit seinen Sch¨ ulern behandelte er zahlreiche Probleme der W¨ arme¨ ubertragung.

24

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

Der mittlere W¨arme¨ ubergangskoeﬃzient αm nach (1.33) h¨angt auch von x+ + und z nicht ab. Die mit αm gebildete mittlere Nußelt-Zahl N um ist nur eine Funktion von Kennzahlen: N um :=

αm L0 = F (Re, P r, Ec, Kgeom ) . λ

(1.47)

Wie schon erw¨ ahnt, muss der Einﬂuss der Eckert-Zahl nur in Ausnahmef¨allen ber¨ ucksichtigt werden. Man kann daher in der Regel Ec in (1.46) und (1.47) fortlassen. Bei den folgenden Ausf¨ uhrungen werden wir dies tun. Die Art der Abh¨ angigkeit zwischen der Nußelt-Zahl und den anderen Kennzahlen, also die Gestalt der Funktionen in (1.46) und (1.47), muss durch die Theorie, eine geeignete Modellbildung oder auf der Grundlage von Experimenten bestimmt werden. Die Art dieser Abh¨angigkeit der Kennzahlen ist nat¨ urlich von Problem zu Problem verschieden. F¨ ur den Fall der Rohrstr¨ omung erh¨ alt man mit L0 = d, dem Rohrdurchmesser,

αm d w0 d ν L = FRohr , , λ ν a d oder N um = FRohr (Re, P r, L/d) . F¨ ur den W¨ arme¨ ubergang zwischen einer Kugel und dem Fluid, das sie umstr¨ omt, gilt

αm d w0 d ν = FKugel , λ ν a oder N um = FKugel (Re, P r) . Eine geometrische Kennzahl tritt hier nicht auf, denn eine Kugel ist bereits durch ihren Durchmesser d geometrisch vollst¨andig gekennzeichnet. Die Funktionen FRohr und FKugel haben eine unterschiedliche Gestalt, da unterschiedliche Str¨ omungsfelder und verschiedene W¨ arme¨ ubergangsbedingungen bei der Durchstr¨ omung eines Rohres und bei der Umstr¨omung einer Kugel vorliegen. Nicht nur die geometrischen Verh¨ altnisse und die Str¨omungsbedingungen haben erheblichen Einﬂuss auf den Zusammenhang zwischen der Nußelt-Zahl und den u ¨ brigen Kennzahlen. Auch die thermischen Randbedingungen beeinﬂussen den W¨ arme¨ ubergang. So ergeben sich z.B. bei gleichen Werten von Re und P r verschiedene Nußelt-Zahlen f¨ ur eine l¨angs angestr¨omte Platte, wenn einmal die Platte eine konstante Wandtemperatur ϑW hat und zum anderen eine konstante W¨ armestromdichte q˙W vorgegeben ist, so dass sich die Oberﬂ¨ achentemperatur ϑW von selbst einstellt. Wie schon erw¨ ahnt, kann man statt der bisher eingef¨ uhrten Kennzahlen N u, Re, P r und Ec auch andere benutzen, die sich aus ihnen als Potenzprodukte ergeben.

1.1 Die verschiedenen Arten der W¨ arme¨ ubertragung

25

So verwendet man anstelle der Reynolds-Zahl auch die P´eclet-Zahl6 Pe =

w0 L0 w0 cp L0 = = Re P r , a λ

(1.48)

die als Produkt aus Reynolds- und Prandtl-Zahl geschrieben werden kann. In der amerikanischen Literatur wird die Nußelt-Zahl h¨ auﬁg durch die Stanton-Zahl7 St :=

α Nu = w0 cp Re P r

(1.49)

ersetzt. Die Stanton-Zahl eignet sich zur Beschreibung des W¨ arme¨ ubergangs in Kan¨ alen und l¨ asst sich hierbei anschaulich deuten. Wir zeigen dies f¨ ur die mit einem mittleren W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten αm gebildete Stanton-Zahl Stm := αm /w0 cp , in der w0 = M˙ /Aq die mittlere Str¨ omungsgeschwindigkeit im Kanal mit der konstanten Querschnittsﬂ¨ ache Aq bedeutet. F¨ ur den W¨ armestrom, der zwischen Kanalwand (Fl¨ ache A) und dem Fluid u ¨ bertragen wird, gilt Q˙ = αm AΔϑ = M˙ cp (ϑFa − ϑFe ) , woraus man f¨ ur die Stanton-Zahl Stm =

Aq ϑFa − ϑFe A Δϑ

¨ erh¨ alt. Sie gibt also die mit dem Fl¨ achenverh¨ altnis Aq /A multiplizierte Anderung der Fluidtemperatur zwischen Eintritts- und Austrittsquerschnitt an, bezogen auf die zur Deﬁnition von αm benutzte treibende“ Temperaturdiﬀerenz Δϑ. W¨ ahlt man ” hierf¨ ur die logarithmische Temperaturdiﬀerenz Δϑlog nach (1.35), so wird Stm =

(ϑW − ϑF )e Aq ln . A (ϑW − ϑF )a

Das Fl¨ achenverh¨ altnis ergibt sich f¨ ur ein Rohr mit kreisf¨ ormigem Querschnitt (Durchmesser d) zu Aq /A = d/4L . Man erkennt aus diesen Beziehungen, dass Stm unmittelbar mit den Auslegungsdaten eines W¨ arme¨ ubertragers verkn¨ upft ist. 6

7

Jean Claude Eugene P´eclet (1793–1857) wurde 1816 Professor f¨ ur Physik in Marseille; seit 1827 lehrte er in Paris. Sein ber¨ uhmtes Buch Trait´e de la chaleur et de ” ses applications aux arts et aux manufactures“ (1829) behandelte auch Probleme der W¨ arme¨ ubertragung und wurde in mehrere Sprachen u ¨ bersetzt. Thomas Edward Stanton (1865–1931) war Sch¨ uler von O. Reynolds in Manchester. 1899 wurde er Professor f¨ ur Ingenieurwissenschaften an der Universit¨ at Bristol, England. Stanton forschte auf dem Gebiet des Impuls- und W¨ armetransports von Str¨ omungen mit Reibung. Er besch¨ aftigte sich auch mit Problemen der Aerodynamik und der Flugzeugkonstruktion.

26

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

Bei den bisherigen Betrachtungen wurden die Stoﬀwerte , η, λ und cp als konstant angesehen. Dies triﬀt nur n¨ aherungsweise und nur bei nicht zu großen Temperaturunterschieden im Fluid zu, denn die genannten Stoﬀwerte zeigen in der Regel eine zwar oft zu vernachl¨ assigende Druckabh¨angigkeit, variieren jedoch merklich mit der Temperatur. Um die Temperaturabh¨angigkeit der Stoﬀwerte zu ber¨ ucksichtigen, m¨ usste man weitere Kennzahlen einf¨ uhren, was oft in Gestalt von Stoﬀwertverh¨ altnissen geschieht, z.B. η(ϑF )/η(ϑW ). Man versucht, die Einf¨ uhrung solcher Kennzahlen zu umgehen, indem man die Stoﬀwerte bei geeigneten Mitteltemperaturen einsetzt. Die Temperaturabh¨ angigkeit der Fluiddichte spielt eine besondere Rolle beim W¨ arme¨ ubergang, der durch nat¨ urliche oder freie Konvektion bewirkt wird. Im Gegensatz zu dem bisher behandelten Fall der erzwungenen Konvektion, bei dem der Str¨ omung durch ein Gebl¨ase oder eine Pumpe eine Geschwindigkeit aufgezwungen wird, entsteht die Str¨omung bei freier Konvektion durch den Auftrieb, n¨ amlich durch Dichteunterschiede im Schwerefeld der Erde, die ihrerseits von Temperaturunterschieden herr¨ uhren. So erw¨armt sich beispielsweise ein ruhendes Fluid an einer beheizten Wand. In Wandn¨ahe verringert sich die Dichte des Fluids, wodurch im Schwerefeld eine nach oben gerichtete Auftriebsstr¨ omung zustande kommt. Bei freier Konvektion entf¨ allt die charakteristische (aufgezwungene) Geschwindigkeit w0 als Einﬂussgr¨ oße. Als neue Einﬂussgr¨oße tritt die Fallbeschleunigung g auf. An die Stelle der Reynolds-Zahl Re — sie enth¨alt ja die Bezugsgeschwindigkeit w0 — tritt nun eine neue Kennzahl, die dimensionslos gemachte Fallbeschleunigung Ga :=

gL30 g2 L3 = 02 0 , 2 ν0 η0

(1.50)

die als Galilei-Zahl bezeichnet wird. Da die Dichte von der Temperatur abh¨ angt — die anderen Stoﬀwerte werden als konstant angenommen —, muss ν = η/ mit einer konstanten Dichte 0 = (ϑ0 ) bei einer festen Bezugstemperatur ϑ0 berechnet werden. Um die Temperaturabh¨ angigkeit der Dichte zu beschreiben, ben¨otigt man mindestens eine weitere Kennzahl K , so dass man f¨ ur die mittlere NußeltZahl bei freier Konvektion den Zusammenhang N um = f (Ga, K , P r, Kgeom )

(1.51)

erh¨ alt. Die Dichtekennzahl K bzw. mehrere solcher Kennzahlen K1 , K2 , . . . charakterisieren die dimensionslose Beziehung f¨ ur die Temperaturabh¨angigkeit der Dichte: (ϑ+ )/0 = f ϑ+ , K1 , K2 , . . . . Hierin ist ϑ+ die dimensionslose Temperatur nach (1.37). Bei nicht zu großen Temperaturunterschieden kann man die Taylor-Entwicklung

1 ∂ (ϑ) = 0 1 + (ϑ − ϑ0 ) + . . . (1.52) 0 ∂ϑ ϑ0

1.1 Die verschiedenen Arten der W¨ arme¨ ubertragung

27

benutzen und sich auf das lineare Glied mit dem Ausdehnungskoeﬃzienten

1 ∂ β0 = β(ϑ0 ) := − (1.53) 0 ∂ϑ ϑ0 beschr¨ anken. Man erh¨ alt dann mit ϑ+ nach (1.37) ϑ+ /0 = 1 − β0 Δϑ0 ϑ+ .

(1.54)

Bei nicht zu großen Temperaturdiﬀerenzen wird also die Temperaturabh¨angigkeit der Dichte durch das Produkt aus dem Ausdehnungskoeﬃzienten β0 und einer charakteristischen Temperaturdiﬀerenz Δϑ0 erfasst. Es gen¨ ugt eine Dichtekennzahl, n¨amlich K = β0 Δϑ0 . Bei gr¨ oßeren Temperaturunterschieden m¨ ussten weitere Terme in (1.52) ber¨ ucksichtigt werden. Statt einer Kennzahl K werden dann zwei oder mehrere Kennzahlen ben¨ otigt. Die Temperaturabh¨ angigkeit der Dichte erzeugt im Schwerefeld eine Auftriebskraft; sie hat aber nur einen geringen Einﬂuss auf die anderen Kr¨afte, die an einem Fluidteilchen angreifen, wie die Tr¨agheits- oder die Reibungskr¨ afte. In guter N¨ aherung gen¨ ugt es daher, die Temperaturabh¨angigkeit der Dichte nur beim Auftrieb zu ber¨ ucksichtigen. Man bezeichnet diese Annahme als Boussinesq-Approximation8 . Eine charakteristische (volumenbezogene) Auftriebskraft ist g [ (ϑW ) − (ϑF )] = g (W − F ) . Wir teilen diesen Ausdruck durch F und f¨ uhren ihn anstelle von g in die Galilei-Zahl ein. Dies ergibt die neue Kennzahl Gr :=

gL30 W − F , νF2 F

(1.55)

die Grashof-Zahl9 genannt wird. Sie fasst die Galilei-Zahl und die f¨ ur die Temperaturabh¨ angigkeit der Dichte charakteristische Gr¨oße (W − F ) /F zu 8

9

Joseph Valentin Boussinesq (1842–1929) promovierte 1867 mit einer Untersuchung u arme, obwohl er nicht studiert hatte und ¨ ber die Ausbreitung der W¨ wissenschaftlich Autodidakt war. Boussinesq wurde 1873 Professor in Lille und sp¨ ater in Paris. Er ver¨ oﬀentlichte u ¨ber 100 wissenschaftliche Arbeiten, darunter das zweib¨ andige Werk Th´eorie analytique de la chaleur“, das 1901 und 1903 in ” Paris erschien. Franz Grashof (1826–1893) lehrte von 1863 bis 1891 als Professor f¨ ur Theoretische Maschinenlehre an der Technischen Hochschule Karlsruhe. Seine mit mathematischer Strenge verfassten Arbeiten betrafen vor allem die Festigkeitslehre und die Technische Thermodynamik. Sein Hauptwerk, die aus drei B¨ anden bestehende Theoretische Maschinenlehre“ erschien zwischen 1875 und 1890 und ist eine ” umfassende, wissenschaftlich fundierte Darstellung des Maschinenbaus. Grashof

28

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

einer Kennzahl zusammen. Somit erh¨ alt man bei G¨ ultigkeit der BoussinesqApproximation f¨ ur die Nußelt-Zahl N um = f (Gr, P r, Kgeom ) .

(1.56)

Bei nicht zu großen Temperaturdiﬀerenzen zwischen Wand und Fluid in weiter Entfernung von der Wand kann man (1.54) f¨ ur die Temperaturabh¨angigkeit der Dichte verwenden. Mit ϑ0 = ϑF und Δϑ0 = (ϑW − ϑF ) erh¨alt man W − F = βF (ϑW − ϑF ) . F Die Grashof-Zahl wird dann Gr = Ga βF (ϑW − ϑF ) =

g βF (ϑW − ϑF ) L30 . ν2

(1.57)

Der Ausdehnungskoeﬃzient β ist bei der Fluidtemperatur ϑF zu berechnen; um die Temperaturabh¨ angigkeit von ν zu ber¨ ucksichtigen, bestimmt man ν f¨ ur eine Mitteltemperatur zwischen ϑW und ϑF . Nach (1.56) und (1.57) h¨ angt die Nußelt-Zahl von der Temperaturdiﬀerenz (ϑW − ϑF ) ab. Obwohl der W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient α aus der W¨ armestromdichte q˙W durch Division mit dieser Temperaturdiﬀerenz erhalten wird, vgl. (1.24), ist α bei freier Konvektion nicht unabh¨ angig von (ϑW − ϑF ). Die u ¨bertragene W¨armestromdichte q˙W w¨ achst also nicht proportional zu ϑW − ϑF . Dies ist darauf zur¨ uckzuf¨ uhren, dass ϑW − ϑF nicht nur die treibende Kraft“ f¨ ur den W¨armestrom ” ist, sondern auch f¨ ur den Auftrieb, also f¨ ur das Geschwindigkeitsfeld bei freier Konvektion. Bei erzwungener Konvektion ist dagegen keine Abh¨angigkeit des W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten von der Temperaturdiﬀerenz zu erwarten.

1.1.5 W¨ armestrahlung Jeder K¨ orper gibt Energie durch elektromagnetische Wellen an seine Umgebung ab. Dies geschieht bereits deswegen, weil der K¨orper eine positive thermodynamische Temperatur hat. Man nennt daher diese Art der Energieabgabe Temperaturstrahlung, thermische Strahlung oder W¨armestrahlung. Emission oder Aussendung von Strahlung bedeutet Umwandlung der inneren Energie des K¨ orpers in Energie, die durch elektromagnetische Wellen forttransportiert wird. Treﬀen dagegen elektromagnetische Wellen auf Materie, so absorbiert diese einen Teil der mit ihnen transportierten Energie, w¨ahrend der Rest reﬂektiert oder durchgelassen wird. Die von einem K¨orper absorbierte Strahlungsenergie wird in innere Energie des K¨orpers umgewandelt. gr¨ undete 1856 mit weiteren 22 jungen Ingenieuren den Verein Deutscher Inge” nieure“ (VDI); er war der erste Direktor des VDI und viele Jahre Schriftleiter der technisch-wissenschaftlichen Zeitschrift des Vereins, in der er 42 Aufs¨ atze ver¨ oﬀentlichte.

1.1 Die verschiedenen Arten der W¨ arme¨ ubertragung

29

W¨ armestrahlung bewirkt somit eine besondere Art der W¨arme¨ ubertragung, die als Strahlungsaustausch bezeichnet wird. Zum Strahlungstransport selbst ist keine Materie erforderlich, elektromagnetische Wellen pﬂanzen sich auch im leeren Raum fort. Somit kann W¨ arme auch u ¨ber große Entfernungen zwischen zwei K¨ orpern u bertragen werden. Auf diese Weise erh¨alt z.B. die Erde ¨ einen großen Energiestrom von der Sonne. Gase und Fl¨ ussigkeiten lassen W¨ armestrahlung teilweise hindurch. Daher ﬁnden auch Emission und Absorption von Strahlung im Inneren von Gas- oder Fl¨ ussigkeitsr¨ aumen statt. Emission und Absorption von Strahlung sind hier volumetrische Eﬀekte. Dagegen wird in einem Festk¨orper Strahlung bereits nach Durchlaufen sehr d¨ unner Schichten (wenige Mikrometer) vollst¨andig absorbiert. Strahlung aus dem Inneren eines Festk¨orpers kann somit nicht nach außen dringen, die Emission ist auf eine d¨ unne oberﬂ¨achennahe Schicht begrenzt. Emission und Absorption von W¨ armestrahlung durch feste K¨orper sind daher Oberﬂ¨acheneffekte, und es ist zul¨ assig, von strahlenden und absorbierenden Fl¨ achen statt richtiger von strahlenden Festk¨orpern zu sprechen. F¨ ur die Emission von W¨ armestrahlung gibt es eine obere Grenze, die nur von der thermodynamischen Temperatur T des strahlenden K¨orpers abh¨ angt. Die maximal m¨ ogliche W¨ armestromdichte der von der Oberﬂ¨ache eines K¨ orpers ausgesandte W¨ armestrahlung ist durch q˙s = σT 4

(1.58)

gegeben. Dieses Naturgesetz wurde 1879 von J. Stefan10 aufgrund von Experimenten angegeben und 1884 von L. Boltzmann11 aus der elektromagnetischen Theorie der Strahlung mit Hilfe des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik hergeleitet. Es enth¨ alt eine universelle Konstante, die Stefan-BoltzmannKonstante σ, deren Bestwert σ = (5,67040 ± 0,00004)10−8 W/m2 K4 betr¨ agt. Ein Strahler, dessen spez. Ausstrahlung, n¨ amlich die durch Strahlung abgegebene W¨ armestromdichte, den Maximalwert q˙s nach (1.58) erreicht, heißt 10

11

Josef Stefan (1835–1893) wurde 1863 Professor f¨ ur Physik an der Universit¨ at Wien. Er war ein hervorragender Experimentator und ver¨ oﬀentlichte zahlreiche Arbeiten u armeleitung und Diﬀusion in Fluiden, u ¨ber W¨ ¨ ber Eisbildung und den Zusammenhang zwischen Oberﬂ¨ achenspannung und Verdampfung. Das T 4 Gesetz der W¨ armestrahlung schlug er aufgrund einer sorgf¨ altigen Auswertung alterer Experimente u armeabgabe heißer K¨ orper vor. ¨ ¨ ber die W¨ Ludwig Boltzmann (1844–1906) promovierte 1867 bei J. Stefan in Wien. Er war Professor f¨ ur Physik in Graz, M¨ unchen, Leipzig und Wien. Sein Hauptarbeitsgebiet war die kinetische Gastheorie und ihre Beziehung zum zweiten Hauptsatz der Thermodynamik. Er fand 1877 den grundlegenden Zusammenhang zwischen der Entropie eines Systems und dem Logarithmus der Anzahl der m¨ oglichen molekularen Verteilungen (Mikrozust¨ ande), die zu einem makroskopischen Zustand des Systems geh¨ oren.

30

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

Schwarzer K¨orper. Er ist ein idealer Strahler, dessen spez. Ausstrahlung von keinem anderen K¨ orper gleicher Temperatur u ¨bertroﬀen werden kann. Andererseits absorbiert der Schwarze K¨ orper alle auftreﬀende Strahlung, er ist auch ein idealer Absorber. Die speziﬁsche Ausstrahlung wirklicher Strahler wird mit Hilfe eines verkleinernden Korrekturfaktors in (1.58) beschrieben. Man setzt q˙ = ε(T )σT 4 (1.59) und deﬁniert damit eine Materialeigenschaft, den Emissionsgrad ε(T ) ≤ 1 des Strahlers. Der Emissionsgrad h¨ angt nicht nur vom Material, sondern auch vom Zustand der Oberﬂ¨ ache, z.B. von ihrer Rauhigkeit ab. Einige Werte von ε sind in Tabelle 1.3 zusammengestellt. Tabelle 1.3: Emissionsgrade ε(T ) einiger Materialien

Stoﬀ T in K Beton, rauh 293 Holz, Eiche 293 Ziegelstein, rot 293 Aluminium, walzblank 443

ε 0,94 0,90 0,93 0,049

Stoﬀ T in K ε Nickel, poliert 373 0,053 Eisen, blank ge¨ atzt 423 0,158 Kupfer, oxidiert 403 0,725

Triﬀt Strahlung auf einen K¨ orper, so wird ein Teil reﬂektiert, ein Teil absorbiert, und ein Teil durchgelassen. Man kennzeichnet diese Anteile durch den Reﬂektionsgrad r, den Absorptionsgrad a und den Transmissionsgrad τ . Diese drei Verh¨ altnisgr¨ oßen (Zahlen) sind keine reinen Materialeigenschaften des bestrahlten K¨ orpers, sondern h¨ angen auch von der Art der auftreﬀenden Strahlung ab, insbesondere davon, wie die Strahlungsenergie auf das Wellenl¨ angen-Spektrum der auftreﬀenden elektromagnetischen Wellen verteilt ist. Es gilt jedoch stets r+a+τ =1 . (1.60) Die meisten Festk¨ orper sind f¨ ur Strahlung undurchl¨assig. Dann folgt mit τ = 0 f¨ ur den Absorptionsgrad aus (1.60) a = 1 − r. In Kapitel 5 werden wir die Absorption von W¨armestrahlung ausf¨ uhrlicher behandeln. Dabei werden wir auch auf einen Zusammenhang zwischen Emission und Absorption eingehen, der als Gesetz von G. Kirchhoﬀ bezeichnet wird, vgl. Abschnitt 5.1.6. Danach ist, grob gesprochen, ein guter Sender (Emitter) von Strahlung auch ein guter Absorber. Dies ¨außert sich beim idealen Strahler, dem Schwarzen K¨ orper, darin, dass sowohl sein Absorptionsgrad a als auch sein Emissionsgrad ε den H¨ ochstwert eins haben. Der Schwarze K¨ orper, der alle auftreﬀende Strahlung absorbiert (a = 1), strahlt auch am meisten von allen Strahlern, n¨ amlich nach dem Gesetz (1.58) von Stefan und Boltzmann.

1.1 Die verschiedenen Arten der W¨ arme¨ ubertragung

31

1.1.6 Strahlungsaustausch F¨ ur die W¨ arme¨ ubertragung ist der durch Strahlung zwischen K¨orpern mit verschiedenen Temperaturen u armestrom wichtig. Dabei strahlt ¨ bertragene W¨ nicht nur der K¨ orper mit der h¨ oheren Temperatur und gibt so W¨arme an den k¨ alteren ab. Auch der k¨ altere K¨ orper sendet elektromagnetische Wellen aus, die den w¨ armeren Strahler treﬀen und an ihn Energie u ¨bertragen. Es ist hier also zutreﬀend, von einem Strahlungsaustausch zu sprechen. Letztlich interessiert der W¨ armestrom, der netto vom K¨ orper mit der h¨oheren Temperatur auf den K¨ orper mit der niedrigeren Temperatur u ¨ bergeht. Die Berechnung dieses W¨ armestroms ist schwierig. Im Allgemeinen werden n¨amlich noch weitere K¨ orper am Strahlungsaustausch beteiligt sein. Außerdem absorbiert ein K¨ orper nicht alle auftreﬀende Strahlung; ein Teil wird reﬂektiert und kann auch den urspr¨ unglichen Strahlungssender treﬀen. Dieses verwickelte Wechselspiel zwischen zwei Strahlern kann dadurch weiter kompliziert werden, dass das Medium zwischen den Strahlern einen Teil der durchtretenden Strahlung absorbiert und auch selbst Strahlung emittiert. Dies ist bei der sog. Gasstrahlung der Fall, die z.B. bei der W¨ arme¨ ubertragung in Feuerungen ber¨ ucksichtigt werden muss.

Abb. 1.11: Strahlungsaustausch zwischen einem K¨ orper mit der Temperatur T und einer schwarzen Umgebung mit der Temperatur TU .

Zur Einf¨ uhrung behandeln wir einen einfachen Sonderfall des Strahlungsaustausches. Ein Strahler mit der Fl¨ ache A und der Temperatur T beﬁndet sich in einer Umgebung mit der Temperatur TU , vgl. Abb. 1.11. Der Strahlungsaustausch soll durch das Zwischenmedium nicht beeinﬂusst werden; es sei v¨ ollig durchl¨ assig f¨ ur Strahlung, was z.B. in sehr guter N¨aherung auf die atmosph¨ arische Luft zutriﬀt. Die Umgebung m¨ oge sich wie ein Schwarzer K¨orper verhalten: die auf sie treﬀende Strahlung wird vollst¨andig absorbiert, aU = 1. Der von dem Strahler emittierte W¨ armestrom Q˙ em = A ε σ T 4 triﬀt auf die schwarze Umgebung und wird von ihr vollst¨andig absorbiert. Die von der Umgebung ausgehende schwarze Strahlung wird vom Strahler mit der Temperatur T nur zum Teil absorbiert; der reﬂektierte Teil f¨allt auf die Umgebung zur¨ uck und wird dort absorbiert. Der vom Strahler absorbierte W¨ armestrom ist

32

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

Q˙ ab = A a σ TU4 , wobei a der Absorptionsgrad des Strahlers mit der Temperatur T f¨ ur auftreffende schwarze Strahlung der Temperatur TU ist. Der Absorptionsgrad a ist keine Materialeigenschaft, denn er h¨ angt nicht nur von den Eigenschaften der absorbierenden Oberﬂ¨ ache ab, sondern auch von der Art und der Quelle der auftreﬀenden Strahlung. In unserem Beispiel ist dies die schwarze Strahlung aus der Umgebung, die durch die Temperatur TU vollst¨andig charakterisiert ist. ˙ der netto vom Strahler an die ihn umschließende Der W¨ armestrom Q, Umgebung abgegeben wird, ist Q˙ = Q˙ em − Q˙ ab = Aσ εT 4 − aTU4 . (1.61) In vielen F¨ allen nimmt man f¨ ur den Strahler ein besonders einfaches und daher nur n¨ aherungsweise g¨ ultiges Materialgesetz an: Man behandelt ihn als grauen Strahler. Der Absorptionsgrad eines grauen Strahlers ist unabh¨angig von der Art der auftreﬀenden Strahlung und stimmt mit dem Emissionsgrad u ¨berein: a = ε. F¨ ur einen grauen Strahler in einer schwarzen Umgebung vereinfacht sich damit (1.61) zu Q˙ = Aσε T 4 − TU4 . (1.62) Charakteristisch f¨ ur den Strahlungsaustausch ist hier die Diﬀerenz der vierten Potenzen der thermodynamischen Temperaturen von Strahlungsquelle und Strahlungsempf¨anger. Diese Temperaturabh¨ angigkeit triﬀt man bei zahlreichen Problemen des Strahlungsaustausches an, wenn graue Strahler vorausgesetzt werden. In vielen Anwendungsf¨ allen muss neben dem W¨arme¨ ubergang durch Strahlung auch der W¨ arme¨ ubergang durch Konvektion ber¨ ucksichtigt werden. Dies ist beispielsweise bei einem Heizk¨ orper der Fall, der W¨arme an einen Raum mit niedrigerer Temperatur abgibt. Der Heizk¨orper steht im Strahlungsaustausch mit den W¨ anden des Raumes und gibt zugleich W¨arme an die Luft durch Konvektion ab. Da diese beiden Arten der W¨arme¨ ubertragung parallel verlaufen, sind die durch Konvektion und durch Strahlung abgegebenen W¨ armestr¨ ome zu addieren, um den Gesamtw¨armestrom zu erhalten. F¨ ur die W¨ armestromdichte gilt daher q˙ = q˙Konv + q˙Str oder

q˙ = α(T − TL ) + εσ T 4 − TU4 .

(1.63)

Dabei bedeutet α den W¨ arme¨ ubergangskoefﬁzienten f¨ ur den konvektiven W¨ arme¨ ubergang an die Luft mit der Temperatur TL . F¨ ur die Berechnung von q˙Str haben wir die G¨ ultigkeit von (1.62) angenommen. Da meistens TL ≈ TU ist, fasst man den konvektiven Anteil und den Strahlungsanteil des W¨ arme¨ ubergangs zusammen und setzt

1.1 Die verschiedenen Arten der W¨ arme¨ ubertragung

q˙ = (α + αStr ) (T − TU ) .

33

(1.64)

Der damit deﬁnierte W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient der Strahlung ergibt sich nach (1.63) zu αStr = ε σ

T 4 − TU4 = ε σ T 2 + TU2 T + TU . T − TU

(1.65)

Diese Rechengr¨ oße h¨ angt vom Emissionsgrad ε und von den beiden Temperaturen T und TU ab. Die Einf¨ uhrung von αStr gestattet es, den Einﬂuss der Strahlung im Vergleich zur Konvektion abzusch¨atzen. Da stets ε ≤ 1 ist, l¨asst sich sofort eine Obergrenze f¨ ur den Strahlungsanteil angeben. Beispiel 1.2: Eine mangelhaft isolierte Rohrleitung (Außendurchmesser d = 0,100 m), deren Oberﬂ¨ achentemperatur ϑW = 44 ◦ C ist, verl¨ auft horizontal durch einen gr¨ oßeren Raum mit ruhender Luft der Temperatur ϑL = 18 ◦ C. Man be˙ stimme den auf die L¨ ange L der Rohrleitung bezogenen W¨ armeverluststrom Q/L. Dabei kann angenommen werden, dass sich die Rohrleitung wie ein grauer Strahler mit dem Emissionsgrad ε = 0,87 verh¨ alt und die Umschließungsw¨ ande des Raums eine schwarze Umgebung mit der Temperatur ϑU = ϑL = 18 ◦ C bilden. Die Rohrleitung gibt W¨ arme durch freie Konvektion an die Luft und durch Strahlung an die Umschließungsw¨ ande ab. Daher gilt nach (1.64) mit ϑU = ϑL ˙ Q/L = πd (q˙Konv + q˙Str ) = πd (αm + αStr ) (ϑW − ϑL ) ,

(1.66)

wobei αm der mittlere W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient der freien Konvektion ist. Der W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient der Strahlung ergibt sich nach (1.65) mit den gegebenen Daten zu αStr = ε σ

4 TW − TL4 W 3174 − 2914 3 W = 0,87 · 5,67 · 10−8 2 4 K = 5,55 2 . TW − TL m K 317 − 291 m K

F¨ ur den W¨ arme¨ ubergang durch freie Konvektion am horizontalen Rohr geben S.W. Churchill und H.H.S. Chu [1.3] die dimensionslose Beziehung ( )2 αm d 0,387(GrP r)1/6 N um = = 0,60 + (1.67) 8/27 λ [1 + (0,559/P r)9/16 ] an, welche die Form von Gl. (1.56), n¨ amlich N um = f (Gr, P r) hat. Nach (1.57) ist die Grashof-Zahl gβ (ϑW − ϑL ) d3 Gr = . ν2 Der Ausdehnungskoeﬃzient β ist dabei f¨ ur die Lufttemperatur ϑL zu berechnen. Da Luft als ideales Gas behandelt werden kann, wird β = 1/TL = 0,00344 K−1 . Um die Temperaturabh¨ angigkeit der Stoﬀwerte n¨ aherungsweise zu ber¨ ucksichtigen, sollen ν, λ und P r bei der Mitteltemperatur ϑm = 12 (ϑW + ϑL ) berechnet werden. F¨ ur Luft bei ϑm = 31 ◦ C erh¨ alt man ν = 16,40 · 10−6 m2 /s, λ = 0,0265 W/Km und P r = 0,713. Damit wird ` ´ 9,81 m/s2 0,00344 K−1 (44 − 18) K · 0,1003 m3 Gr = = 3,26 · 106 . 16,402 · 10−12 m4 /s2

34

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen Dies ergibt nach (1.67) die Nußelt-Zahl N um = 18,48, woraus der W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient αm = N um

λ 0,0265 W/Km W = 18,48 = 4,90 2 d 0,100 m m K

˙ folgt. F¨ ur den W¨ armeverluststrom erh¨ alt man aus (1.66) Q/L = 85,4 W/m. Die W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten αm und αStr sind etwa gleich groß; die freie Konvektion der Luft und der Strahlungsaustausch transportieren etwa gleich viel W¨ arme. Dies gilt nicht bei erzwungener Konvektion, wo αm je nach der Gr¨ oße der Str¨ omungsgeschwindigkeit um ein bis zwei Zehnerpotenzen gr¨ oßer ist als der hier berechnete Wert, αStr aber unbeeinﬂusst bleibt und damit gegen¨ uber αm in der Regel vernachl¨ assigt werden kann. Beispiel 1.3: Von der Sonne aus gesehen erscheint die Erde samt ihrer ¨ außeren Atmosph¨ are wie eine normal zur Sonne gerichtete Scheibe vom Radius R = D/2, wobei D der Erddurchmesser ist. Auf diese Scheibe strahlt die Sonne mit einer W¨ armestromdichte E0 = 1367 W/m2 , der so genannten Solarkonstante. Ein Teil des eingestrahlten W¨ armestroms wird von der Erdoberﬂ¨ ache reﬂektiert, der Rest absorbiert. Ein mittlerer Reﬂexionsgrad, Albedo genannt, ist rS = 0, 3, der mittlere Absorptionsgrad somit aS = 1 − rS = 0, 7. Aufgrund ihrer Eigentemperatur T strahlt die Erde u ache W¨ arme in Form langwelliger Strah¨ ber ihre ganze Oberﬂ¨ lung in das Weltall mit einem mittleren Reﬂexionsgrad r = 1 − a, wobei a = 0, 39 der mittlere Absorptionsgrad f¨ ur langwellige Strahlung ist. Man berechne die mittlere Temperatur der Erdoberﬂ¨ ache im station¨ aren Zustand. Welche mittlere Temperatur w¨ urde sich einstellen, wenn keine Erdatmosph¨ are vorhanden w¨ are? Von dem eingestrahlten W¨ armestrom wird der Anteil Q˙ 0 = R2 π E0 aS absorbiert. Er ist im station¨ aren Zustand genau so groß wie der durch Reﬂexion u ache abgegebene W¨ armestrom Q˙ 1 = 4 R2 π σ T 4 r = ¨ber die ganze Erdoberﬂ¨ 2 4 4 R π σ T (1 − a). Gleichsetzen beider W¨ armestr¨ ome ergibt die mittlere Temperatur der Erdoberﬂ¨ ache !1/4 ` ´ „ «1/4 1367 W/m2 · 0, 7 aS E 0 aS ˆ ` ´˜ T = = = 288, 4 K , 4 σ (1 − a) 4 · 5, 67 · 10−8 W/ m2 K4 · (1− 0, 39) also die Celsiustemperatur ϑ = 15, 2 . G¨ abe es keine Erdatmosph¨ are, so w¨ aren a = 0 und die mittlere Temperatur der Erdoberﬂ¨ ache T = 254, 9 K und somit nur ϑ = −18, 3 .

1.2 W¨ armedurchgang Bei vielen Anwendungen der W¨ arme¨ ubertragung sind zwei Fluide mit unterschiedlichen Temperaturen durch eine feste Wand getrennt. W¨arme geht von dem Fluid mit der h¨ oheren Temperatur an die Wand u ¨ ber, wird in der Wand weitergeleitet und geht von der k¨ alteren Wandseite an das Fluid mit der niedrigeren Temperatur u ubergangs¨ ber. Diese Hintereinanderschaltung von W¨arme¨ und W¨ armeleitungsvorg¨ angen bezeichnet man als W¨armedurchgang.

1.2 W¨ armedurchgang

35

W¨ armedurchgang ﬁndet vor allem in den Apparaten zur W¨arme¨ ubertragung, den W¨ arme¨ ubertragern statt, deren Berechnung wir in Abschnitt 1.3 behandeln. Hier str¨ omt das heiße Fluid beispielsweise in einem Rohr und gibt W¨ arme durch die Rohrwand an das kalte Fluid ab, welches um das Rohr str¨ omt. Auch jede Hauswand kann als Beispiel f¨ ur den W¨armedurchgang dienen. Sie trennt die warme Luft im Inneren des Hauses von der kalten Luft der Umgebung und soll dem W¨ armedurchgang einen m¨oglichst großen Widerstand entgegensetzen, damit trotz des Temperaturgef¨alles zwischen Innen und Außen nur ein kleiner W¨ armestrom durch die Wand ﬂießt. Im Gegensatz dazu soll der W¨ armedurchgangswiderstand zwischen den Fluiden eines W¨ arme¨ ubertragers m¨ oglichst klein sein; denn hier m¨ochte man einen m¨oglichst großen W¨ armestrom u ¨ bertragen, wobei die Temperaturdiﬀerenz zwischen den Fluiden aus thermodynamischen Gr¨ unden (geringer Exergieverlust) klein sein soll. Wie diese beiden Beispiele zeigen, kommt der Berechnung des W¨armedurchgangs erhebliche technische Bedeutung zu. Wir behandeln daher diese Aufgabe in den n¨achsten Abschnitten ausf¨ uhrlich.

1.2.1 Der W¨ armedurchgangskoeﬃzient Wir legen den folgenden Betrachtungen die in Abb. 1.12 dargestellte Situation zugrunde: Eine ebene oder gekr¨ ummte Wand trennt das Fluid mit der Temperatur ϑ1 vom Fluid mit der Temperatur ϑ2 < ϑ1 . Im station¨aren Zustand ﬂießt ein W¨ armestrom Q˙ aufgrund des Temperaturunterschieds ϑ1 − ϑ2 vom Fluid 1 durch die Wand zum Fluid 2. Der W¨ armestrom Q˙ geht zun¨achst vom Fluid 1 an die Wand u ache A1 und deren Temperatur ϑW1 ist. ¨ ber, deren Fl¨ Mit α1 als dem W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten nach Abschnitt 1.1.3 gilt Q˙ = α1 A1 (ϑ1 − ϑW1 ) .

(1.68)

F¨ ur die W¨ armeleitung in der Wand erhalten wir nach Abschnitt 1.1.2 λm Q˙ = Am (ϑW1 − ϑW2 ) . δ

(1.69)

Darin bedeuten λm die mittlere W¨ armeleitf¨ ahigkeit der Wand nach (1.11), δ ihre Dicke und Am die mittlere Fl¨ ache, die nach (1.15) zu berechnen ist. Schließlich erhalten wir f¨ ur den W¨ arme¨ ubergang von der Wand an das Fluid 2 die zu (1.68) analoge Beziehung Q˙ = α2 A2 (ϑW2 − ϑ2 ) .

(1.70)

Aus den drei Gleichungen f¨ ur Q˙ lassen sich die unbekannten Wandtemperaturen ϑW1 und ϑW2 eliminieren, so dass man Q˙ allein bei Kenntnis der

36

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

Abb. 1.12: Temperaturverlauf beim W¨ armedurchgang durch eine Rohrwand, an die zwei Fluide mit den Temperaturen ϑ1 und ϑ2 < ϑ1 grenzen.

Fluidtemperaturen ϑ1 und ϑ2 berechnen kann. Das Ergebnis l¨asst sich in der Form Q˙ = kA (ϑ1 − ϑ2 ) (1.71) schreiben, wobei 1 1 δ 1 = + + kA α1 A1 λm Am α2 A2

(1.72)

gilt. Durch (1.71) wird der auf die Fl¨ ache A bezogene W¨armedurchgangskoefﬁzient k deﬁniert. Dabei ist A die Gr¨ oße einer beliebigen Bezugsﬂ¨ache. Gleichung (1.72) erlaubt die Berechnung von kA aus den f¨ ur den W¨arme¨ ubergang und die W¨ armeleitung wichtigen Gr¨ oßen. Wie (1.71) und (1.72) zeigen, kommt es nur auf das Produkt kA an; eine Angabe von k allein ohne eine Aussage u oße der Bezugsﬂ¨ ache ist bedeutungslos; da ¨ ber die Gr¨ A beliebig gew¨ ahlt werden kann, nimmt auch k einen der Wahl von A entsprechenden Wert an. In der Praxis werden h¨ auﬁg Einzelwerte des W¨ armedurchgangskoeﬃzienten k angegeben und benutzt. So ﬁndet man beispielsweise in der Norm DIN 4108 Mindestwerte von k f¨ ur Geb¨ audew¨ ande, die nicht unterschritten werden d¨ urfen, um einen ausreichenden W¨ armeschutz zu gew¨ ahrleisten. Bei derartigen Angaben ist k stillschweigend auf eine bestimmte Fl¨ ache bezogen. Bei ebenen W¨ anden ist dies die Wandﬂ¨ ache A1 = A2 = Am ; bei Rohren meistens die Außenﬂ¨ ache A2 , die sich oft nur wenig von A1 oder Am unterscheidet. Wir werden im Folgenden in der Regel nur das Produkt kA benutzen, wobei dann A nicht speziﬁziert zu werden braucht. In Ausnahmef¨ allen wird ein Wert von k unter Nennung der Bezugsﬂ¨ ache angegeben.

Nach (1.72) l¨asst sich (1/kA) als W¨ armedurchgangswiderstand deuten. Er setzt sich additiv aus den Einzelwiderst¨ anden der hintereinander geschalte¨ ten Ubertragungsvorg¨ ange zusammen: W¨ arme¨ ubergang vom Fluid 1 an die Wand mit dem W¨ arme¨ ubergangswiderstand (1/α1 A1 ), W¨armeleitung in der Wand mit dem W¨ armeleitwiderstand (δ/λm Am ) und W¨arme¨ ubergang von der Wand an das Fluid 2 mit dem W¨ arme¨ ubergangswiderstand (1/α2 A2 ). Der W¨ armedurchgang l¨ asst sich somit in Analogie zum elektrischen Stromdurchgang durch hintereinander geschaltete elektrische Leiter setzen, deren elektrische Widerst¨ ande sich ebenso addieren wie die drei W¨armewiderst¨ande, die

1.2 W¨ armedurchgang

37

¨ der W¨ armestrom Q˙ passieren muss: Ubergangswiderstand der Grenzschicht ¨ des Fluids 1, Leitwiderstand der Wand und Ubergangswiderstand der Grenzschicht des Fluids 2. Der Temperaturabfall u armewiderst¨ande verh¨alt sich ge¨ ber einem der W¨ nauso wie der Spannungsabfall u ber einem elektrischen Widerstand: er ist um ¨ so gr¨ oßer, je gr¨ oßer der Widerstand und je st¨arker der ﬂießende Strom ist. Aus (1.68) bis (1.72) folgt ϑ1 − ϑW1 ϑW1 − ϑW2 ϑW2 − ϑ2 ϑ1 − ϑ2 Q˙ = = = = . 1 1 1 δ α1 A1 α2 A2 kA λm Am

(1.73)

Daraus lassen sich die Temperaturabf¨ alle in der Wand und in den Grenzschichten zu beiden Seiten der Wand bestimmen. Zur Berechnung der Wandtemperaturen folgen daraus die Gleichungen kA Q˙ (ϑ1 − ϑ2 ) = ϑ1 − α1 A1 α1 A1

(1.74)

kA Q˙ (ϑ1 − ϑ2 ) = ϑ2 + . α2 A2 α2 A2

(1.75)

ϑW1 = ϑ1 − und ϑW2 = ϑ2 +

F¨ ur den W¨armedurchgang durch Rohre erh¨alt man aus (1.72) eine auf die Anwendung zugeschnittene Beziehung, wenn man beachtet, dass die Oberﬂ¨ ache eines Rohres mit dem Durchmesser d und der L¨ange L die Gr¨oße A = πdL hat. Aus (1.72) folgt dann mit Am nach (1.15)

1 1 1 ln d2 /d1 1 = + + (1.76) kA πL α1 d1 2λm α2 d2 mit d1 als Innen- und d2 als Außendurchmesser des Rohres.

1.2.2 Mehrschichtige W¨ ande Die Analogie zur elektrischen Leitung benutzt man, um die in Abschnitt 1.2.1 hergeleiteten Beziehungen auf den W¨ armedurchgang durch mehrschichtige W¨ ande zu erweitern. W¨ ande mit zwei oder mehr Schichten aus unterschiedlichem Material treten in der Praxis h¨ auﬁg auf. Es sei z.B. an das Anbringen einer zus¨ atzlichen Isolierschicht aus einem Material mit niedriger W¨armeleitf¨ ahigkeit λis erinnert. Abb. 1.13 zeigt den Temperaturverlauf in einer Wand, die aus mehreren Schichten zusammengesetzt ist. Hier addieren sich die W¨ armeleitwiderst¨ande der einzelnen in Serie geschalteten“ Wandschichten. ” Somit erhalten wir f¨ ur den W¨ armedurchgangswiderstand 1 1 δi 1 = + + . kA α1 A1 λ A α A2 mi mi 2 i

(1.77)

38

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

Abb. 1.13: Temperaturverlauf beim W¨ armedurchgang durch eine ebene Wand aus drei Schichten unterschiedlichen Materials.

Bei gekr¨ ummten W¨ anden ist die mittlere Fl¨ache Ami einer Schicht aus den beiden Begrenzungsﬂ¨ achen dieser Schicht nach (1.15) zu berechnen. Gleichung (1.76) f¨ ur den W¨ armedurchgangswiderstand setzt voraus, dass sich zwei Schichten so eng ber¨ uhren, dass kein nennenswerter Temperaturunterschied zwischen den Schichten auftritt. Sonst muss ein thermischer Kontaktwiderstand (in Analogie zum elektrischen Kontaktwiderstand) ber¨ ucksichtigt werden. Der Temperaturabfall ϑi − ϑi+1 in der i-ten Schicht ist (in Analogie zum Spannungsabfall) proportional zum W¨ armestrom und zum W¨armeleitwiderstand der Schicht. Es gilt ϑi − ϑi+1 = RLi Q˙ =

δi Q˙ . λmi Ami

(1.78)

Mit Q˙ nach (1.71) und (1.77) l¨ asst sich nach dieser Beziehung ϑi − ϑi+1 leicht berechnen. F¨ ur die Oberﬂ¨ achentemperaturen ϑW1 und ϑW2 gelten (1.74) und (1.75) unver¨ andert. F¨ ur Rohre, die aus mehreren Schichten, z.B. aus dem eigentlichen Rohr und einer Isolierung bestehen, l¨ asst sich (1.77) erweitern zu n 1 1 1 1 1 di+1 1 = + ln + . (1.79) kA πL α1 d1 2 i=1 λmi di α2 dn+1 Die i-te Schicht wird von den Durchmessern di und di+1 begrenzt. Dabei k¨ onnen die erste und die letzte Schicht, die an die Fluide grenzen, auch Schmutzschichten sein, die sich bei l¨ angerem Betrieb bilden und zus¨atzliche W¨ armeleitwiderst¨ ande darstellen.

1.2.3 W¨ armedurchgang durch W¨ ande mit vergr¨ oßerter Oberﬂ¨ ache Der W¨ armedurchgangswiderstand (1/kA) setzt sich nach (1.72) additiv aus den Einzelwiderst¨ anden des W¨ arme¨ ubergangs und der W¨armeleitung zusammen. Dabei bestimmt stets der gr¨ oßte Einzelwiderstand den Wert von (1/kA),

1.2 W¨ armedurchgang

39

und dies besonders ausgepr¨ agt, wenn die anderen W¨armewiderst¨ande viel kleiner sind. So kann man die Isolierwirkung einer Wand durch Anbringen einer Schicht mit deutlich h¨ oherem W¨ armeleitwiderstand δ/λm Am , also durch eine dicke Schicht aus einem Material mit kleiner W¨armeleitf¨ahigkeit, erheblich verbessern. Soll dagegen, z.B. in einem W¨ arme¨ ubertrager, der W¨armedurchgang m¨oglichst gut sein, so verhindert dies oft ein großer W¨arme¨ ubergangswiderstand (1/αA). Der große W¨ arme¨ ubergangswiderstand hat seine Ursache in einem kleinen W¨ arme¨ ubergangskoefﬁzienten α, der sich, etwa durch Erh¨ohen der Str¨ omungsgeschwindigkeit, nur schwer oder gar nicht vergr¨oßern l¨asst. Hier liegt es nun nahe, (1/αA) durch Vergr¨ oßern der Fl¨ache A zu verringern und so den W¨ armedurchgang zu verbessern. Eine solche Fl¨achenvergr¨oßerung auf der Seite des schlechten“ W¨ arme¨ ubergangskoefﬁzienten l¨asst sich durch das ” Anbringen von Rippen, Nadeln oder stabartigen Gebilden erreichen. Abb. 1.14 zeigt Beispiele derartig vergr¨ oßerter W¨ arme¨ ubertragungsﬂ¨achen, die im englischen Schriftum unter der Bezeichnung extended surfaces zusammengefasst werden. Man kann so die urspr¨ unglich vorhandene Fl¨ache erheblich, sogar um das 10- bis 100-fache vergr¨ oßern.

Abb. 1.14: Beispiele vergr¨ oßerter Oberﬂ¨ achen, a gerade L¨ angsrippen, b stumpfe und spitze Nadelrippen, c Kreisrippen.

Der W¨ arme¨ ubergangswiderstand verringert sich aber nicht in gleichem Maße. Die vergr¨ oßerte W¨ arme¨ ubergangsﬂ¨ ache wird n¨amlich durch einen zus¨ atzlichen W¨ armeleitwiderstand erkauft. Die W¨arme, die z.B. von der nahe der Spitze einer Rippe gelegenen Fl¨ ache an das Fluid abgegeben werden soll, muss in der Rippe durch W¨ armeleitung in die N¨ahe der Spitze transportiert werden. Hierzu ist ein Temperaturgef¨ alle zwischen Rippenfuß und Rippenspitze erforderlich, so dass die Rippe (oder eine andere Form einer vergr¨oßerten Oberﬂ¨ ache) im Mittel eine niedrigere Temperatur aufweist als das von den Rippen freie Grundmaterial. Die aufgesetzten Rippen sind also nicht voll wirksam, denn sie bieten dem W¨ arme¨ ubergang an das Fluid eine kleinere Temperaturdiﬀerenz als das Grundmaterial. Um die Wirksamkeit berippter Fl¨ achen zu berechnen, betrachten wir die in Abb. 1.15 dargestellten Verh¨ altnisse. Der an das Fluid 2 abgegebene W¨armestrom Q˙ besteht aus zwei Teilen: Q˙ = Q˙ G + Q˙ R .

40

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

Abb. 1.15: Temperaturverlauf in einer berippten Wand auf der Linie AB. ϑR ist die mittlere Temperatur der Rippe.

Der von der Fl¨ache AG des von Rippen freien Grundmaterials abgegebene W¨ armestrom Q˙ G ist Q˙ G = αG AG (ϑW2 − ϑ2 ) , (1.80) wobei αG den hier maßgebenden W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten bedeutet. In der Rippe f¨ allt die Temperatur vom Wert ϑ0 am Rippenfuß (x = 0) bis zum Wert ϑh an der Rippenspitze (x = h) ab. Mit ϑR als dem Mittelwert der Rippentemperatur gilt dann f¨ ur den W¨ armestrom Q˙ R , der von den Rippen mit der Fl¨ ache AR an das Fluid abgegeben wird, Q˙ R = αR AR (ϑR − ϑ2 ) . Dabei ist αR der (mittlere) W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient zwischen Rippe und Fluid. H¨ atte die Rippe u ¨ berall die Temperatur ϑ0 des Rippenfußes, so k¨onnte sie den gr¨ oßeren W¨armestrom Q˙ R0 = αR AR (ϑ0 − ϑ2 ) , abgeben. Man kennzeichnet nun die Wirksamkeit der Rippe durch den Rippenwirkungsgrad Q˙ R ϑR − ϑ2 ηR := = (1.81) ˙ ϑ0 − ϑ2 QR0 und erh¨ alt Q˙ R = αR ηR AR (ϑ0 − ϑ2 ) . (1.82) Der Rippenwirkungsgrad ist stets kleiner als eins. Er h¨angt vom W¨armeleitvorgang in der Rippe und vom W¨ arme¨ ubergang ab; denn beide Transportvorg¨ ange beeinﬂussen sich gegenseitig. Neben der Rippengeometrie spielen daher die W¨ armeleitf¨ ahigkeit λR des Rippenmaterials und der W¨arme¨ ubergangskoeﬃzient αR eine Rolle bei der Berechnung des Rippenwirkungsgrads, auf die wir in 2.2.4 eingehen.

1.2 W¨ armedurchgang

41

Abb. 1.16: Periodische Temperaturverteilung auf der Linie CD. ϑ0 mittlere Temperatur des Rippenfußes, ϑW2 mittlere Temperatur der Oberﬂ¨ ache des Grundmaterials zwischen den Rippen.

Die Temperatur ϑ0 des Rippenfußes hat einen anderen Wert als die Temperatur ϑW2 des von Rippen freien Grundmaterials. Durch den Rippenfuß ﬂießt n¨ amlich eine wesentlich h¨ ohere W¨ armestromdichte in die Rippe als vom Grundmaterial an das Fluid u ¨ bergeht. Es tritt also eine Temperaturabsenkung unter der Rippe auf, so dass sich im Grundmaterial eine periodische Temperaturverteilung einstellt, wie sie Abb. 1.16 schematisch zeigt. Zur Vereinfachung vernachl¨ assigt man diesen komplizierten Temperaturverlauf und setzt ϑ0 = ϑW2 ,

(1.83)

nimmt also eine isotherme Temperaturverteilung unter den Rippen und an der Oberﬂ¨ ache des Grundmaterials zwischen den Rippen an. Diese Vereinfachung ¨ f¨ uhrt zu einer Ubersch¨ atzung des u ¨ bertragenen W¨armestroms. Wie zuerst O. Krischer und W. Kast [1.4], sp¨ ater E.M. Sparrow und D.K. Hennecke [1.5] sowie E.M. Sparrow und L. Lee [1.6] zeigten, kann der W¨armestrom bis zu 25 % zu groß berechnet werden. In vielen F¨ allen, besonders bei dickeren und enger stehenden Rippen, liegt der Fehler unter 5 %. Wir nehmen daher (1.83) als g¨ ultig an und erhalten mit dieser Vereinfachung aus (1.80) und (1.82) Q˙ = Q˙ R + Q˙ G = (αG AG + αR ηR AR ) (ϑ0 − ϑ2 ) .

(1.84)

Die Rippenoberﬂ¨ ache ist nicht mit ihrer vollen Gr¨oße AR , sondern nur mit dem durch den Rippenwirkungsgrad verminderten Anteil ηR AR wirksam. Meistens ist AR AG , und in der ersten Klammer von (1.84) u ¨ berwiegt der zweite Summand trotz ηR < 1. Man kann daher ohne großen Fehler αG ≈ αR setzen und erh¨ alt Q˙ = αR (AG + ηR AR ) (ϑ0 − ϑ2 ) . (1.85) F¨ ur den W¨ armedurchgangswiderstand einer berippten Wand ﬁndet man nun, da außerdem die Beziehungen (1.68), (1.69) und (1.71) gelten, 1 1 δ 1 = + + . kA α1 A1 λm Am αR (AG + ηR AR )

(1.86)

Hierin sind δ die Dicke, λm die mittlere W¨ armeleitf¨ahigkeit und Am die mittlere Fl¨ ache der unberippten Wand. Der W¨ armedurchgang berippter W¨ande

42

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

l¨ asst sich also nach den gleichen Beziehungen berechnen wie bei unberippten W¨ anden; man hat nur statt der Rippenoberﬂ¨ache die mit dem Rippenwirkungsgrad multiplizierte Fl¨ ache einzusetzen. Beispiel 1.4: Ein Rohr aus einer Aluminiumlegierung (λm = 205 W/K m) hat den Innendurchmesser d1 = 22 mm und den Außendurchmesser d2 = 25 mm. Es wird innen von Wasser mit ϑ1 = 60 ◦ C durchstr¨ omt, w¨ ahrend Luft mit ϑ2 = 25 ◦ C senkrecht zu seiner Achse str¨ omt. Typische W¨ arme¨ ubergangskoefﬁzienten sind α1 = 6150 W/m2 K und α2 = 95 W/m2 K. Man berechne den auf ˙ die Rohrl¨ ange L bezogenen W¨ armestrom Q/L. Aus (1.76) erh¨ alt man „ « 1 1 1 1 d2 1 = + ln + kA πL α1 d1 2λm d1 α2 d2 =

1 Km 0,1365 K m (0,0074 + 0,0003 + 0,4211) = πL W L W

und aus (1.71) ˙ Q/L = (kA/L) (ϑ1 − ϑ2 ) = 256 W/m . Der W¨ armedurchgangswiderstand (1/kA) wird durch den großen W¨ arme¨ ubergangswiderstand an der Rohraußenseite bestimmt, der durch das Anbringen von Rippen verkleinert werden soll. Hierzu werden kreisringf¨ ormige Scheiben-Rippen mit dem Außendurchmesser dR = 60 mm, der Dicke δR = 1 mm und der Teilung tR = 6 mm gew¨ ahlt. Die Zahl der Rippen ist dann n = L/tR . F¨ ur die von Rippen freie Außenﬂ¨ ache des Rohres gilt AG = π d2 (L − n δR ) = π d2 L (1 − δR /tR ) und f¨ ur die Rippenoberﬂ¨ ache AR = 2n

´ ´ π` 2 π L ` 2 d − d22 = d − d22 . 4 R 2 tR R

Die schmale Fl¨ ache mit der Breite δR an der Rippenspitze ist hierbei ver¨ nachl¨ assigt worden; denn sie tr¨ agt wegen ihrer niedrigen Ubertemperatur nur wenig zum W¨ arme¨ ubergang an die Luft bei. Gegen¨ uber der Fl¨ ache A0 = πd2 L des unberippten Rohres erh¨ alt man eine Fl¨ achenvergr¨ oßerung um den Faktor (AG + AR )/A0 = 10,75. F¨ ur den W¨ arme¨ ubergang ist die Rippenﬂ¨ ache jedoch nicht voll wirksam. Wir nehmen αR = α2 und einen Rippenwirkungsgrad ηR = 0,55 an und erhalten nach (1.86) „ « 1 1 1 1 d2 πL = + ln + kA πL α1 d1 2λm d1 αR (AG + ηR AR ) 1 Km 0,0238 K m (0,0074 + 0,0003 + 0,0670) = . πL W L W Der W¨ arme¨ ubergangswiderstand auf der Rohraußenseite ist zwar immer noch der gr¨ oßte W¨ armewiderstand, doch der W¨ armedurchgangswiderstand hat sich durch das Anbringen der Rippen erheblich verkleinert. Dementsprechend erh¨ alt ˙ man den gr¨ oßeren W¨ armestrom Q/L = 1472 W/m. Die Fl¨ achenvergr¨ oßerung um den Faktor 10,75 hat zu einer Erh¨ ohung der W¨ armeleistung um den Faktor 5,75 gef¨ uhrt. =

1.2 W¨ armedurchgang

43

1.2.4 Abku armung du ¨hlung und Erw¨ ¨nnwandiger Beh¨ alter Die Beziehungen f¨ ur den station¨ aren W¨ armedurchgang lassen sich auch auf die L¨ osung eines instation¨ aren W¨ arme¨ ubergangsproblems anwenden, n¨amlich zur Berechnung des zeitlichen Temperaturverlaufs beim Aufheizen und Abk¨ uhlen d¨ unnwandiger Beh¨ alter, die mit einer Fl¨ ussigkeit gef¨ ullt sind. Hierzu muss man zwei vereinfachende Annahmen machen: 1. Die Temperatur der Fl¨ ussigkeit im Inneren des Beh¨alters ist r¨aumlich ausgeglichen; sie ¨ andert sich nur mit der Zeit, ϑF = ϑF (t). ¨ 2. Die W¨ armespeicherung der Beh¨ alterwand, genauer die Anderung ihrer inneren Energie, kann vernachl¨ assigt werden. Die erste Annahme wird h¨ auﬁg zutreﬀen, weil freie oder durch ein R¨ uhrwerk erzwungene Konvektionsstr¨ ome einen r¨ aumlichen Temperaturausgleich im Inneren des Beh¨ alters herbeif¨ uhren. Die zweite Annahme ist nur dann berechtigt, wenn die W¨ armekapazit¨ at des Beh¨ alterinhalts die W¨armekapazit¨at der W¨ ande weit u uhlung oder Erw¨armung ¨berwiegt. Dies triﬀt auf die Abk¨ von Fl¨ ussigkeiten in d¨ unnwandigen Beh¨ altern zu, jedoch nicht auf gasgef¨ ullte Beh¨ alter mit dicken oder stark isolierten W¨ anden. Bei G¨ ultigkeit der beiden Annahmen herrscht zu jeder Zeit im Beh¨alterinneren eine r¨ aumlich ausgeglichene Temperatur, und in den W¨anden verl¨auft die Temperatur nach den Gleichungen, die f¨ ur den station¨aren Zustand gelten. In einer ebenen Beh¨ alterwand f¨ allt die Temperatur also linear ab, diese Gerade verlagert sich jedoch im Laufe der Zeit.

Abb. 1.17: Temperaturverlauf bei der Abk¨ uhlung eines d¨ unnwandigen Beh¨ alters.

Wir betrachten zun¨ achst den Abk¨ uhlvorgang, Abb. 1.17. Der W¨armestrom ˙ Q(t), der von der Fl¨ ussigkeit mit der Temperatur ϑF (t) durch die Beh¨alterwand an die Umgebung mit der konstanten Temperatur ϑU u ¨ bertragen wird, ist durch ˙ Q(t) = kA [ϑF (t) − ϑU ] (1.87)

44

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

gegeben. Dabei kann der W¨ armedurchgangskoeﬃzient k nach (1.72) berechnet werden. Nach dem ersten Hauptsatz bewirkt der abﬂießende W¨armestrom Q˙ eine Abnahme der inneren Energie UF der im Beh¨alter beﬁndlichen Fl¨ ussigkeit: dUF dϑF ˙ Q(t) =− = −MF cF . (1.88) dt dt Hierin bedeutet MF die Masse und cF die als konstant angenommene spez. W¨ armekapazit¨ at der Fl¨ ussigkeit. Aus (1.87) und (1.88) folgt die gew¨ ohnliche Diﬀerentialgleichung dϑF kA + (ϑF − ϑU ) = 0 dt M F cF f¨ ur die Fl¨ ussigkeitstemperatur. Ihre L¨ osung unter der Anfangsbedingung ϑF = ϑF0

zur Zeit t = 0

lautet in dimensionsloser Form ϑ+ F :=

ϑF − ϑU kA = exp − t . ϑF0 − ϑU M F cF

(1.89)

Die Fl¨ ussigkeitstemperatur sinkt also exponentiell von ihrem Anfangswert ϑF0 auf die Umgebungstemperatur ϑU . Abb. 1.18 zeigt den Temperaturverlauf f¨ ur verschiedene Werte der Abklingzeit t0 := MF cF /kA .

(1.90)

Sie erscheint in Abb. 1.18 als Subtangente der Abk¨ uhlkurve zu einem beliebigen Zeitpunkt, insbesondere auch zur Zeit t = 0. Die Erw¨armung des Beh¨ alterinhalts m¨ oge zur Zeit t = 0 beginnen, bei der der ganze Beh¨ alter die Umgebungstemperatur hat: ϑF = ϑU

f¨ ur

t=0 .

(1.91)

Der Fl¨ ussigkeit werde f¨ ur t ≥ 0 die Heizleistung Q˙ H = Q˙ H (t) zugef¨ uhrt, die eine beliebige Funktion der Zeit sein kann. Da die Fl¨ ussigkeit den W¨armestrom ˙ Q(t) nach (1.87) durch die d¨ unne Beh¨ alterwand an die Umgebung verliert, liefert der erste Hauptsatz die Bilanzgleichung dUF ˙ = −Q(t) + Q˙ H (t) , dt woraus die Diﬀerentialgleichung dϑF kA Q˙ H (t) + (ϑF − ϑU ) = dt M F cF M F cF folgt. Ihre allgemeine L¨ osung unter Beachtung der Anfangsbedingung (1.91) lautet

1.3 W¨ arme¨ ubertrager

45

¨ Abb. 1.18: Zeitliche Anderung der Fl¨ ussigkeitstemperatur ϑ+ F nach (1.89) mit t0 nach (1.90) bei der Abk¨ uhlung eines Beh¨ alters.

t ˙ QH (t) ϑF = ϑU + exp (−t/t0 ) exp (t/t0 ) dt M F cF

(1.92)

0

mit t0 nach (1.90). Nimmt man eine konstante Heizleistung Q˙ H an, so folgt aus (1.92) ϑF = ϑU +

Q˙ H [1 − exp (−t/t0 )] . kA

Nach sehr langer Zeit (t → ∞) erreicht die Temperatur der Fl¨ ussigkeit den Wert Q˙ H ϑF∞ = ϑU + . kA Die zugef¨ uhrte Heizleistung reicht dann gerade aus, um den Verlustw¨armestrom Q˙ nach (1.87) zu decken; es stellt sich ein station¨arer Zustand ein.

1.3 W¨ armeu ¨ bertrager Soll Energie als W¨ arme von einem Fluidstrom auf einen anderen u ¨ bertragen werden, so f¨ uhrt man die beiden Fluide durch einen Apparat, der W¨ arme¨ ubertrager (fr¨ uher auch W¨ armetauscher oder W¨armeaustauscher) genannt wird. Die Fluidstr¨ ome sind dabei durch eine materielle Wand, meist eine Rohrwand, getrennt, durch die W¨ arme vom Fluid mit der h¨oheren Temperatur auf das k¨ altere Fluid u ur die Berechnung von W¨arme¨ uber¨bertragen wird. F¨ tragern verwendet man daher die in Abschnitt 1.2 hergeleiteten Beziehungen

46

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

f¨ ur den W¨ armedurchgang. Außerdem verkn¨ upfen die Energiebilanzen des ersten Hauptsatzes der Thermodynamik den u ¨bertragenen W¨armestrom mit den Enthalpie¨ anderungen der beiden Fluide und damit mit ihren Temperatur¨ anderungen. W¨ arme¨ ubertrager kommen in verschiedenen Bauarten vor, die sich insbesondere durch die Stromf¨ uhrung der beiden Fluide unterscheiden. Hier¨ uber wird im ersten Abschnitt berichtet. Danach gehen wir auf die Berechnungsgleichungen ein, die vorteilhaft mit dimensionslosen Kenngr¨oßen formuliert werden. In den dann folgenden Abschnitten behandeln wir die Berechnung der Gegenstrom-, Gleichstrom- und Kreuzstromw¨arme¨ ubertrager. Im letzten Abschnitt wird auf weitere praktisch wichtige Stromf¨ uhrungen hingewiesen, die sich aus den drei genannten Grundformen kombinieren lassen. Berechnung, Gestaltung und Anwendung von W¨arme¨ ubertragern werden ausf¨ uhrlich in verschiedenen B¨ uchern behandelt. Es sei insbesondere auf die Ver¨ oﬀentlichungen von H. Hausen [1.7], H. Martin [1.8] sowie W. Roetzel u.a. [1.9] hingewiesen. Die folgenden Abschnitte geben nur eine Einf¨ uhrung in dieses umfangreiche Gebiet unter Betonung der w¨armetechnischen Berechnungsverfahren.

1.3.1 Bauarten und Stromfu ¨ hrungen Zu den einfachen Bauformen eines W¨ arme¨ ubertragers geh¨ort der in Abb. 1.19 schematisch dargestellte Doppelrohr-W¨arme¨ ubertrager. Hier werden zwei Rohre in der Regel konzentrisch angeordnet. Das eine Fluid, Index 1, str¨omt im Innenrohr, das andere, dessen Eigenschaften durch den Index 2 gekennzeichnet werden, str¨ omt im ringf¨ ormigen Raum zwischen dem Innen- und dem Mantelrohr. Oﬀensichtlich sind zwei Stromf¨ uhrungen m¨oglich: der Gegenstrom, bei dem die beiden Fluide in verschiedenen Richtungen str¨omen, Abb. 1.19a, und der Gleichstrom nach Abb. 1.19b. In Abb. 1.19 sind auch die Verl¨ aufe der u ¨ ber den Querschnitt gemittelten Temperaturen ϑ1 und ϑ2 der beiden Fluide dargestellt. Die Eintrittstemperaturen werden mit einem Strich, die Austrittstemperaturen mit zwei Strichen gekennzeichnet. In jedem Querschnitt ist ϑ1 > ϑ2 , wenn wir mit dem Index 1 das heißere Fluid bezeichnen. Bei Gegenstromf¨ uhrung treten die beiden Fluide an verschiedenen Enden des W¨ arme¨ ubertragers aus. Deswegen kann die Austrittstemperatur ϑ1 des warmen Stromes unter der des kalten Stromes liegen (ϑ1 < ϑ2 ); denn es m¨ ussen nur die Bedingungen ϑ1 > ϑ2 und ϑ1 > ϑ2 eingehalten werden. Eine derartige starke Abk¨ uhlung des warmen Fluids 1 bzw. die große Erw¨ armung des kalten Fluids 2 ist mit der Gleichstromf¨ uhrung nicht zu erreichen. Hier treten die Austrittstemperaturen beider Fluide im selben Querschnitt des Doppelrohr-W¨arme¨ ubertragers auf, und es gilt daher ϑ1 > ϑ2 selbst bei beliebiger Verl¨angerung des Apparates. Dies ist ein erstes Anzeichen daf¨ ur, dass die Gegenstromf¨ uhrung der Gleichstromf¨ uhrung u arme¨ ubertragungsaufgaben, die bei ¨ berlegen ist: Nicht alle W¨

1.3 W¨ arme¨ ubertrager

47

Abb. 1.19: Fluidtemperaturen ϑ1 und ϑ2 in einem Doppelrohr-W¨ arme¨ ubertrager. a Gegenstromf¨ uhrung, b Gleichstromf¨ uhrung.

Gegenstrom realisiert werden k¨ onnen, lassen sich mit Gleichstrom verwirklichen. Außerdem werden wir in 1.3.3 herleiten, dass bei gleicher u ¨bertragener W¨ armeleistung ein Gegenstrom-W¨ arme¨ ubertrager stets eine kleinere Fl¨ache hat als ein Gleichstrom-W¨ arme¨ ubertrager, sofern die gestellte Aufgabe u ¨ berhaupt mit beiden Stromf¨ uhrungen l¨ osbar ist. Aus diesen Gr¨ unden wird die Gleichstromf¨ uhrung selten angewendet. Die in der Praxis am h¨ auﬁgsten angewandte Bauform ist der Rohrb¨ undelW¨arme¨ ubertrager nach Abb. 1.20. Das eine der beiden Fluide str¨omt dabei in den parallelen Rohren eines B¨ undels, das sehr viele Rohre enthalten kann. Das B¨ undel ist von einem Mantelrohr umgeben, in dessen Innerem das an-

Abb. 1.20: Rohrb¨ undel-W¨ arme¨ ubertrager (schematisch)

dere Fluid an der Außenseite der Rohre des B¨ undels str¨omt. Auch hier l¨asst sich Gegenstrom verwirklichen, wenn man von den Enden des W¨arme¨ ubertragers absieht, wo das im Außenraum str¨ omende Fluid ein- bzw. austritt.

48

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

H¨ auﬁg erzwingt man jedoch durch Umlenk- oder Schikanebleche nach Abb. 1.21, dass das Fluid im Außenraum im Wesentlichen quer zu den Rohren des B¨ undels str¨omt, was zu einem h¨ oheren W¨arme¨ ubergangskoeﬃzienten als bei L¨ angsstr¨ omung f¨ uhrt. In diesen Abschnitten zwischen den Umlenkblechen liegt nicht Gleich- oder Gegenstrom vor, sondern Kreuzstrom. Reiner Kreuz-

Abb. 1.21: Rohrb¨ undelW¨ arme¨ ubertrager mit Umlenkblechen

Abb. 1.22: Schema eines Plattenw¨ arme¨ ubertragers mit KreuzstromF¨ uhrung

strom wird bei den Plattenw¨arme¨ ubertragern nach Abb. 1.22 verwirklicht. Hier ¨ andern sich die Temperaturen der beiden Fluide auch quer zur jeweiligen Str¨ omungsrichtung. Dies ist in Abb. 1.23 schematisch wiedergegeben. Jedes Fluidteilchen, das einen W¨ arme¨ ubertrager mit Kreuzstrom-F¨ uhrung durchstr¨ omt, erf¨ahrt eine eigene Temperatur¨anderung zwischen der f¨ ur alle Teilchen gleichen Eintrittstemperatur ϑi und dem individuellen Wert seiner Austrittstemperatur. Kreuzstrom wird auch bei Rohrb¨ undel-W¨arme¨ ubertragern angewendet, bei denen eines der Fluide gasf¨ormig ist. Das Gas str¨omt quer zu den Rohrachsen u ¨ ber die Rohre, die in Reihen angeordnet sind und in denen das andere Fluid, oft eine Fl¨ ussigkeit, str¨omt. Durch Berippung der Rohre, vgl. Abschnitt 1.2.3 und 2.2.3, l¨ asst sich die W¨arme¨ ubertragungsﬂ¨ache auf der Gasseite vergr¨ oßern, wodurch der niedrige W¨arme¨ ubergangskoeﬃzient kompensiert wird. Abb. 1.24 zeigt eine besonders einfache Bauart eines W¨arme¨ ubertragers, eine Rohrschlange, die in einem Beh¨ alter (Kessel) untergebracht ist. Das eine Fluid str¨ omt durch das Rohr, das andere beﬁndet sich im Kessel. Es kann diesen station¨ ar durchstr¨ omen oder, im Kessel ruhend, erw¨armt oder abgek¨ uhlt werden. H¨ auﬁg wird das im Kessel beﬁndliche Fluid durch ein R¨ uhrwerk bewegt, um es zu durchmischen und den W¨ arme¨ ubergang an die Rohrschlange zu verbessern.

1.3 W¨ arme¨ ubertrager

49

Abb. 1.23: Fluidtemperaturen ϑ1 = ϑ1 (x, y) und ϑ2 = ϑ2 (x, y) bei Kreuzstrom

Abb. 1.24: W¨ arme¨ ubertrager mit Rohrschlange (schematisch)

Neben den genannten Bauarten gibt es zahlreiche Sonderformen von W¨arme¨ ubertragern, auf die wir nicht eingehen. Dabei ist eine Vielzahl von Kombinationen der grundlegenden Stromf¨ uhrungen Gegenstrom, Gleichstrom und Kreuzstrom m¨ oglich, was zu komplizierten Berechnungsverfahren f¨ uhrt.

50

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

Bei den bisher behandelten W¨ arme¨ ubertragern str¨ omen zwei Fluide station¨ ar und gleichzeitig durch den Apparat. Sie sind stets durch eine Wand getrennt, durch die W¨ arme vom heißen zum kalten Fluid ﬂießt (W¨ armedurchgang). Diese W¨ arme¨ ubertrager werden auch als Rekuperatoren bezeichnet im Gegensatz zu den Regeneratoren. Sie enthalten eine f¨ ur Gase durchl¨ assige F¨ ullmasse, z.B. gitterartige Anordnungen von Formsteinen mit Kan¨ alen f¨ ur das Gas oder eine Sch¨ uttung aus Steinen oder Metallstreifen. Die beiden Gase durchstr¨ omen den Regenerator in zeitlichem Wechsel. Das heiße Gas gibt W¨ arme an die F¨ ullk¨ orper ab, in denen sie als innere Energie gespeichert wird. Das anschließend durch die Speichermasse str¨ omende kalte Gas nimmt Energie als W¨ arme auf und verl¨ asst den Regenerator mit h¨ oherer Temperatur. Ein kontinuierlicher Betrieb erfordert wenigstens zwei Regeneratoren, damit gleichzeitig das eine Gas erw¨ armt und das andere abgek¨ uhlt werden kann, Abb. 1.25. Durch Umschalten der Gasstr¨ ome wird jeder der beiden Regeneratoren im periodischen Wechsel aufgeheizt und gek¨ uhlt. Die Austrittstemperaturen der Gase f¨ uhren dabei zeitliche Schwingungen aus.

Abb. 1.25: Regeneratoren f¨ ur die periodische W¨ arme¨ ubertragung zwischen den Gasen Luft und Stickstoﬀ (schematisch)

Regeneratoren werden als Winderhitzer der Hoch¨ ofen und als W¨ arme¨ ubertrager in Tieftemperaturanlagen zur Gasverﬂ¨ ussigung eingesetzt. Eine besondere Bauart, der Ljungstr¨ om-Vorw¨ armer mit rotierender Speichermasse, dient als Luftvorw¨ armer f¨ ur Feuerungen und in Gasturbinenanlagen; das warme Gas ist dabei das Verbrennungsgas (Abgas), das m¨ oglichst weit abgek¨ uhlt werden soll, um seinen Energieinhalt zu nutzen. Die Theorie der Regeneratoren hat vor allem H. Hausen [1.10] entwickelt. Da es sich um die Berechnung recht komplizierter zeitabh¨ angiger Vorg¨ ange handelt, gehen wir auf die Regenerator-Theorie in den folgenden Abschnitten nicht ein. Es sei auf die zusammenfassenden Darstellungen von H. Hausen [1.7] und im VDI-W¨ armeatlas [1.11] verwiesen.

1.3 W¨ arme¨ ubertrager

51

1.3.2 Allgemeine Berechnungsgleichungen. Dimensionslose Kennzahlen Abb. 1.26 zeigt das Schema eines W¨ arme¨ ubertragers. Die Temperaturen der beiden Fluide werden wie in Abschnitt 1.3.1 mit ϑ1 und ϑ2 bezeichnet, wobei wir ϑ1 > ϑ2 annehmen. W¨ arme soll also vom Fluid 1 auf das Fluid 2 u bertragen werden. Die Eintrittstemperaturen werden durch einen Strich, die ¨ Austrittstemperaturen durch zwei Striche gekennzeichnet.

Abb. 1.26: Schema eines W¨ arme¨ ubertragers mit Massenstr¨ omen M˙ i , Eintrittstemperaturen ϑi , Austrittstemperaturen ϑi , Eintrittsenthalpien hi und Austrittsenthalpien hi der beiden Fluidstr¨ ome (i = 1, 2).

Wir wenden zun¨ achst den ersten Hauptsatz der Thermodynamik auf jedes der beiden Fluide an. Der u armestrom bewirkt eine Enthalpie¨ bertragene W¨ erh¨ ohung des kalten Fluids 2 und eine Enthalpieabnahme des warmen Fluids 1. Es gilt Q˙ = M˙ 1 (h1 − h1 ) = M˙ 2 (h2 − h2 ) , (1.93) wobei M˙ i den Massenstrom des Fluids i bedeutet. Die hier auftretenden spez. Enthalpien sind bei den Eintritts- und Austrittstemperaturen ϑi bzw. ϑi zu berechnen, die als Querschnittsmittelwerte, n¨ amlich als adiabate Mischungstemperaturen im Sinne der Ausf¨ uhrungen von Abschnitt 1.1.3 zu bestimmen sind. Gleichung (1.93) gilt nur f¨ ur einen bez¨ uglich der Umgebung adiabaten W¨ arme¨ ubertrager, was wir im Folgenden stets voraussetzen. Die beiden Fluide sollen den W¨ arme¨ ubertrager ohne Phasen¨anderung durchstr¨ omen, also nicht kondensieren oder verdampfen. Wir vernachl¨assigen die sehr geringe Druckabh¨ angigkeit der spez. Enthalpie. Sie h¨angt dann nur von der Temperatur ab, und wir erhalten mit cpi :=

hi − hi ϑi − ϑi

,

i = 1, 2

als mittlerer spez. W¨ armekapazit¨ at zwischen ϑi und ϑi aus (1.93) Q˙ = M˙ 1 cp1 (ϑ1 − ϑ1 ) = M˙ 2 cp2 (ϑ2 − ϑ2 ) .

(1.94)

52

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

Zur Abk¨ urzung f¨ uhrt man den W¨armekapazit¨atsstrom ˙ i := M˙ i cpi W ein und erh¨ alt

,

i = 1, 2

(1.95)

˙ 1 (ϑ1 − ϑ1 ) = W ˙ 2 (ϑ2 − ϑ2 ) . Q˙ = W

(1.96)

Die Temperatur¨anderungen der beiden Fluidstr¨ome sind durch den ersten Hauptsatz miteinander verkn¨ upft; sie verhalten sich reziprok zum Verh¨altnis ihrer W¨ armekapazit¨ atsstr¨ ome. Der W¨ armestrom Q˙ wird durch die Temperaturdiﬀerenz ϑ1 − ϑ2 im Inneren des W¨ arme¨ ubertragers vom Fluid 1 auf das Fluid 2 u ¨bertragen. Dabei hat Q˙ den W¨ armedurchgangswiderstand 1/kA nach Abschnitt 1.2.1 zu u ¨ ber¨ winden. Die Gr¨oße kA, die wir im Folgenden die Ubertragungsf¨ ahigkeit des W¨ arme¨ ubertragers nennen, ist die f¨ ur den Apparat typische Gr¨oße. Sie l¨asst sich nach (1.72) aus den W¨ arme¨ ubergangswiderst¨anden und dem W¨armeleitwiderstand der Trennwand zwischen den beiden Fluiden berechnen. In der Regel sieht man kA als eine Apparate-Konstante an und nimmt an, der W¨armedurchgangskoefﬁzient k solle an jeder Stelle des W¨arme¨ ubertragers den gleichen Wert haben. Dies muss jedoch nicht zutreﬀen; denn die W¨arme¨ ubergangskoeﬃzienten der Fluide k¨ onnen sich l¨ angs ihrer Str¨omungswege als Folge ¨ der Temperaturabh¨ angigkeit der Stoﬀwerte oder wegen einer Anderung der Str¨ omungsverh¨ altnisse ¨ andern. In solchen F¨ allen kann man k bzw. kA an mehreren Punkten des W¨ arme¨ ubertragers berechnen und einen geeigneten Mittelwert bilden, vgl. W. Roetzel u. B. Spang [1.12], der dann die f¨ ur den ganzen ¨ W¨ arme¨ ubertrager charakteristische Ubertragungsf¨ ahigkeit kA darstellt. Bevor wir die Berechnung eines W¨ arme¨ ubertragers beginnen, verschaﬀen ¨ wir uns einen Uberblick u ¨ber die maßgebenden Einﬂussgr¨oßen, verringern ihre Zahl durch Einf¨ uhren dimensionsloser Kennzahlen und ermitteln schließlich, welche Beziehungen zur Berechnung des W¨ arme¨ ubertragers ben¨otigt werden. In Abb. 1.27 sind die sieben bisher behandelten Einﬂussgr¨oßen eingetragen. ¨ Die Wirksamkeit des W¨ arme¨ ubertragers ist durch seine Ubertragungsf¨ ahigkeit kA gegeben; jeder der beiden Stoﬀstr¨ ome wird durch den W¨armekapazit¨ats˙ i , die Eintrittstemperatur ϑ und die Austritts- oder Ablauftemperastrom W i tur ϑi gekennzeichnet. Da es auf die absolute Gr¨oße der Temperaturen nicht ankommt, spielen nur die drei Diﬀerenzen (ϑ1 − ϑ1 ), (ϑ2 − ϑ2 ) und (ϑ1 − ϑ2 ) eine Rolle, vgl. Abb. 1.28. Somit verringert sich die Zahl der Einﬂussgr¨oßen um eins. Es verbleiben sechs Gr¨ oßen ˙ 1 , (ϑ − ϑ ), W ˙2 kA, (ϑ1 − ϑ1 ), W 2 2

und

(ϑ1 − ϑ2 ) .

Sie geh¨ oren zu nur zwei verschiedenen Gr¨ oßenarten; es sind Temperaturen (Einheit K) oder W¨ armekapazit¨ atsstr¨ ome (Einheit W/K). Nach Abschnitt 1.1.4 lassen sich daher vier (= 6 − 2) Kenngr¨oßen bilden, n¨amlich die dimensionslosen Temperatur¨ anderungen der beiden Fluide, ε1 :=

ϑ1 − ϑ1 ϑ1 − ϑ2

und

ε2 :=

ϑ2 − ϑ2 , ϑ1 − ϑ2

(1.97)

1.3 W¨ arme¨ ubertrager

Abb. 1.27: W¨ arme¨ ubertrager mit den sieben Einﬂussgr¨ oßen

53

Abb. 1.28: Die drei maßgebenden Temperaturdifferenzen (Pfeile) in einem W¨ arme¨ ubertrager

vgl. Abb. 1.29, und die Verh¨ altnisse N1 :=

kA ˙1 W

und

N2 :=

kA . ˙2 W

(1.98)

Sie werden in der amerikanischen Literatur als Number of Transfer-Units ¨ (N T U ) bezeichnet. Im deutschen Schrifttum ﬁndet man die direkte Uberset¨ zung Zahl der Ubertragungseinheiten“; wir schlagen vor, Ni als dimensions” ¨ lose oder bezogene Ubertragungsf¨ ahigkeit zu bezeichnen. Anstelle von N2 wird oft das Verh¨ altnis der W¨ armekapazit¨ atsstr¨ ome C1 :=

˙1 W N2 = ˙ N1 W2

(1.99)

C2 :=

˙2 W 1 = ˙ C W1 1

(1.100)

oder sein Kehrwert

verwendet. Die vier Kenngr¨ oßen nach (1.97) und (1.98) sind nicht unabh¨angig voneinander, denn aus der Bilanzgleichung (1.96) des ersten Hauptsatzes der Thermodynamik erh¨ alt man ε1 ε2 = N1 N2

oder ε2 = C1 ε1 .

Abb. 1.29: Verlauf der dimensionslosen Fluidtemperaturen ϑ+ i = (ϑi −ϑ2 ) / (ϑ1 −ϑ2 ) u ache und Veranschaulichung von ¨ber der Fl¨ ε1 und ε2 nach (1.97)

(1.101)

54

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

Die zwischen den drei verbleibenden Kenngr¨ oßen bestehende Relation F (ε1 , N1 , N2 ) = 0

oder F (ε1 , N1 , C1 ) = 0

(1.102)

ist die Betriebscharakteristik des W¨ arme¨ ubertragers. Sie h¨angt von der Stromf¨ uhrung ab und muss durch eine Berechnung des Temperaturverlaufs der beiden Fluidstr¨ ome gewonnen werden, worauf wir in den folgenden Abschnitten eingehen. Bei der Berechnung von W¨ arme¨ ubertragern treten zwei Gruppen von Aufgaben auf: 1. Nachrechnung eines gegebenen W¨ arme¨ ubertragers, 2. Auslegung des W¨ arme¨ ubertragers f¨ ur eine vorgeschriebene Leistung. ˙ 1 und W ˙2 Im ersten Fall sind neben (ϑ1 − ϑ2 ) die W¨ armekapazit¨atsstr¨ome W sowie kA gegeben. Gesucht sind die Temperatur¨anderungen der beiden Fluidstr¨ ome, aus denen sich nach (1.96) die W¨ armeleistung Q˙ ergibt. Da die Kennzahlen N1 und N2 bzw. das Paar N1 und C1 gegeben sind, l¨asst sich diese Aufgabe sofort l¨osen, wenn die Betriebscharakteristik (1.102) explizit nach ε1 aufgel¨ ost werden kann: ε1 = ε1 (N1 , C1 ) . Die dimensionslose Temperatur¨ anderung ε2 des anderen Fluids folgt aus (1.101). Bei der Auslegungsrechnung wird kA gesucht; die Temperatur¨anderungen beider Str¨ ome sind gegeben, oder es sind beide W¨armekapazit¨atsstr¨ome und die Temperatur¨ anderung eines Stromes bekannt. In diesem Fall ist eine Betriebscharakteristik erw¨ unscht, die explizit nach N1 oder N2 auﬂ¨osbar ist: N1 = N1 (ε1 , C1 ) . ¨ Daraus erh¨ alt man die erforderliche Ubertragungsf¨ ahigkeit ˙ 1 = N2 W ˙2 . kA = N1 W In Abb. 1.30 ist die Betriebscharakteristik eines W¨arme¨ ubertragers mit gegebener Stromf¨ uhrung schematisch dargestellt. Die L¨osung der beiden Aufgaben, Nachrechnung und Auslegung, ist angedeutet. In vielen F¨allen ist die hier vorausgesetzte explizite Auﬂ¨ osung der Betriebscharakteristik nach ε1 und N1 nicht m¨ oglich, selbst wenn man u ur die ¨ ber einen analytischen Ausdruck f¨ Betriebscharakteristik verf¨ ugt. In solchen F¨ allen kann man Diagramme nach Art der Abb. 1.30 benutzen, auf die wir in Abschnitt 1.3.5 eingehen. ˙ i nach (1.95) hatten Bei der Einf¨ uhrung des W¨ armekapazit¨ atsstroms W wir die Kondensation oder Verdampfung eines der Fluide ausgeschlossen. Bei der isobaren Verdampfung oder Kondensation eines reinen Stoﬀes ¨andert sich seine Temperatur nicht, es geht aber cpi → ∞. Daraus folgt εi = 0, w¨ahrend ˙ i → ∞ strebt, was Ni = 0 und Ci → ∞ zur Folge hat. Die Berechnung W

1.3 W¨ arme¨ ubertrager

55

Abb. 1.30: Schematische Darstellung der Betriebscharakteristik eines W¨ arme¨ ubertragers f¨ ur Ci = const. N angenommener Betriebspunkt f¨ ur die Nachrechnung: εi = εi (Ni , Ci ), A angenommener Betriebspunkt f¨ ur die Auslegung: Ni = Ni (εi , Ci ). Außerdem ist die Bestimmung der bezogenen mittleren Temperaturdiﬀerenz Θ f¨ ur den Betriebspunkt A dargestellt.

des W¨ arme¨ ubertragers vereinfacht sich in diesen F¨allen, denn die Betriebscharakteristik ist nur noch der Zusammenhang zwischen zwei (und nicht drei) Kennzahlen, n¨ amlich zwischen ε und N des anderen, nicht kondensierenden bzw. verdampfenden Fluids. Zur Berechnung von W¨ arme¨ ubertragern benutzt man neben den bereits eingef¨ uhrten Gr¨ oßen und Kennzahlen eine weitere Gr¨ oße, die mittlere Temperaturdifferenz Δϑm . Man erh¨ alt sie durch Integration der ¨ ortlichen Diﬀerenz (ϑ1 − ϑ2 ) der ¨ beiden Fluidtemperaturen u ache: ¨ ber die gesamte Ubertragungsﬂ¨

Δϑm :=

1 A

Z (ϑ1 − ϑ2 ) dA .

(1.103)

(A)

Analog zu (1.71) erh¨ alt man dann f¨ ur den u armestrom ¨ bertragenen W¨ Q˙ = kAΔϑm .

(1.104)

Diese Gleichung gilt streng genommen nur, wenn der W¨ armedurchgangskoeﬃzient k an jeder Stelle von A gleich groß ist. Triﬀt dies nicht zu, so kann man (1.104) als Deﬁnitionsgleichung eines Mittelwertes von k ansehen. Durch Einf¨ uhren von Δϑm erh¨ alt man mit (1.104) eine Beziehung, die den u ¨ ber¨ tragenen W¨ armestrom unmittelbar mit der Ubertragungsf¨ ahigkeit kA, also mit der Fl¨ ache des W¨ arme¨ ubertragers verkn¨ upft. Es gelten nun die Gleichungen ˙ 1 (ϑ1 − ϑ1 ) = W ˙ 2 (ϑ2 − ϑ2 ) . Q˙ = kAΔϑm = W Mit der dimensionslosen mittleren Temperaturdiﬀerenz Θ :=

Δϑm ϑ1 − ϑ2

erh¨ alt man daraus die folgenden Beziehungen zwischen Kennzahlen:

(1.105)

56

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen Θ=

ε1 ε2 = . N1 N2

(1.106)

Die mittlere Temperaturdiﬀerenz Δϑm bzw. die mit ihr gebildete Kennzahl Θ l¨ asst sich also aus den vorher behandelten Kennzahlen berechnen. Die aus der Betriebscharakteristik folgenden Zusammenh¨ ange lassen sich auf Θ u atz¨ bertragen. Grunds¨ lich liefert die Einf¨ uhrung der mittleren Temperaturdiﬀerenz keine Erkenntnisse, die sich nicht auch aus der Betriebscharakteristik ablesen ließen. Dies veranschaulicht auch Abb. 1.30, in der Θ als Anstieg der Verbindungsgeraden zwischen dem Betriebspunkt des W¨ arme¨ ubertragers und dem Nullpunkt des Diagramms erscheint.

1.3.3 Gegenstrom- und Gleichstrom-W¨ armeu ¨ bertrager Wir berechnen nun die Betriebscharakteristik F (εi , Ni , Ci ) = 0, f¨ ur einen Gegenstrom-W¨ arme¨ ubertrager durch eine Analyse des Temperaturverlaufs der beiden Fluide. Die so gewonnenen Ergebnisse lassen sich leicht auf den praktisch weniger wichtigen Fall des Gleichstroms u ¨bertragen.

Abb. 1.31: Temperaturverlauf in einem Gegenstrom-W¨ armeu ¨ bertrager

Wir betrachten den in Abb. 1.31 dargestellten Temperaturverlauf in einem Gegenstrom-Apparat. Die Temperaturen ϑ1 und ϑ2 der beiden Fluide h¨angen von der Koordinate z in Str¨ omungsrichtung des Fluids 1 ab. Auf einen Abschnitt mit der L¨ ange dz wenden wir den ersten Hauptsatz an und erhalten ˙ der vom Fluid 1 durch das Fl¨achenelement dA auf f¨ ur den W¨ armestrom dQ, das Fluid 2 u ¨ bertragen wird, ˙ 1 dϑ1 dQ˙ = −M˙ 1 cp1 dϑ1 = −W

(1.107)

˙ 2 dϑ2 . dQ˙ = −M˙ 2 cp2 dϑ2 = −W

(1.108)

und Nun eliminieren wir dQ˙ mit dem f¨ ur den W¨ armedurchgang g¨ ultigen Ansatz

1.3 W¨ arme¨ ubertrager

dQ˙ = k(ϑ1 − ϑ2 ) dA = kA(ϑ1 − ϑ2 )

dz L

57

(1.109)

¨ aus (1.107) und (1.108) und erhalten f¨ ur die Anderung der Fluidtemperaturen kA dz dz = −(ϑ1 − ϑ2 )N1 ˙ L W1 L

(1.110)

kA dz dz = −(ϑ1 − ϑ2 )N2 . ˙2 L L W

(1.111)

dϑ1 = −(ϑ1 − ϑ2 ) und dϑ2 = −(ϑ1 − ϑ2 )

Wir verzichten darauf, die Temperaturverl¨ aufe ϑ1 = ϑ1 (z) und ϑ2 = ϑ2 (z) aus diesen beiden Diﬀerentialgleichungen zu berechnen, sondern bestimmen ¨ die Anderung der Diﬀerenz ϑ1 −ϑ2 . Dazu subtrahieren wir (1.111) von (1.110) und erhalten nach Division mit (ϑ1 − ϑ2 ) d(ϑ1 − ϑ2 ) dz = (N2 − N1 ) . ϑ1 − ϑ2 L

(1.112)

Integration dieser Diﬀerentialgleichung zwischen z = 0 und z = L liefert die Beziehung (ϑ1 − ϑ2 )L ϑ − ϑ2 ln = ln 1 = N2 − N1 . (1.113) (ϑ1 − ϑ2 )0 ϑ1 − ϑ2 Nun gilt

ϑ1 − ϑ2 ϑ − ϑ2 − (ϑ1 − ϑ1 ) 1 − ε1 = 1 = , ϑ1 − ϑ2 ϑ1 − ϑ2 − (ϑ2 − ϑ2 ) 1 − ε2

und wir erhalten ln

1 − ε1 = N2 − N1 1 − ε2

(1.114)

als Betriebscharakteristik des Gegenstrom-W¨arme¨ ubertragers in impliziter Form. Sie ist invariant gegen¨ uber dem Vertauschen der Indizes 1 und 2. Unter Verwendung der Verh¨ altnisse C1 und C2 = 1/C1 nach (1.99) bzw. (1.100) ergeben sich explizite Gleichungen der Form εi = f (Ni , Ci ) und Ni = f (εi , Ci ) ,

i = 1, 2

die f¨ ur jeden der beiden Fluidstr¨ ome dieselbe Gestalt haben. Diese expliziten Formen der Betriebscharakteristik sind in Tabelle 1.4 verzeichnet. Sind die ˙1 =W ˙ 2 , so gilt wegen C1 = C2 = 1 W¨ armekapazit¨ atsstr¨ ome gleich, W ε1 = ε2 = ε

und N1 = N2 = N ,

und man erh¨ alt nach Reihenentwicklung der f¨ ur Ci = 1 geltenden Gleichungen durch den Grenz¨ ubergang Ci → 1 die ebenfalls in Tabelle 1.4 angegebenen einfachen Beziehungen.

58

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

Tabelle 1.4: Gleichungen zur Berechnung der normierten Temperatur¨ anderung εi , ¨ der dimensionslosen Ubertragungsf¨ ahigkeit Ni und der mittleren Temperaturdiﬀerenz Θ bei Gegenstrom- und Gleichstrom-W¨ arme¨ ubertragern Stromf¨ uhrung

εi = εi (Ni , Ci )

Ni = Ni (εi , Ci )

Θ = Θ (ε1 , ε2 )

Gegenstrom 1 − exp [(Ci − 1) Ni ] 1 1 − Ci ε i Ci = 1 εi = Ni = ln i = 1, 2 1 − Ci exp [(Ci − 1) Ni ] 1 − Ci 1 − εi

C=1

Gleichstrom i = 1, 2

ε=

N 1+N

N=

εi = 1 − exp [− (1 + Ci ) Ni ] 1 + Ci

˙i , Ni = kA/W

Θ=

ε1 =

ϑ1 − ϑ1 , ϑ1 − ϑ2

Δϑm εi , = N ϑ1 − ϑ2 i

C1 =

ε2 =

ε1 − ε2 1 − ε2 ln 1 − ε1

Θ =1−ε

Ni = ln [1 − εi (1 + Ci )] − 1 + Ci

Bedeutung der Kennzahlen:

ε 1−ε

Θ=

Θ= − (ε1 + ε2 ) ln [1 − (ε1 + ε2 )]

ϑ2 − ϑ2 ϑ1 − ϑ2

˙1 W ε2 N2 = = , ˙ ε N1 1 W2

C2 =

1 C1

Abb. 1.32 zeigt die Betriebscharakteristik εi = f (Ni , Ci ) als Funktion von Ni mit Ci als Parameter. Erwartungsgem¨ aß nimmt die normierte Tempera¨ tur¨ anderung εi mit wachsendem Ni , also mit wachsender Ubertragungsf¨ ahigkeit kA monoton zu. F¨ ur Ni → ∞ erh¨ alt man den Grenzwert 1 f¨ ur Ci ≤ 1 lim εi = . 1/Ci f¨ ur Ci > 1 Ni →∞ Ist Ci ≤ 1, so hat εi den Charakter eines Wirkungsgrades; die normierte Temperatur¨ anderung des Fluids, das den kleineren W¨armekapazit¨atsstrom hat, bezeichnet man daher auch als Wirkungsgrad oder Eﬀektivit¨at des W¨arme¨ ubertragers. Durch immer weiteres Vergr¨oßern der W¨arme u ¨ bertragenden Fl¨ ache A kann man die Temperaturdiﬀerenz zwischen den beiden Fluiden nur an einem Ende des Gegenstromapparates beliebig klein machen. Allein ˙1 =W ˙ 2 , also f¨ f¨ ur W ur C1 = C2 = 1 ließen sich an beiden Enden (und damit in jedem Querschnitt) des W¨ arme¨ ubertragers beliebig kleine Temperaturdifferenzen durch Fl¨ achenvergr¨ oßerung erreichen. Der in der Thermodynamik

1.3 W¨ arme¨ ubertrager

59

Abb. 1.32: Betriebscharakteristik εi = εi (Ni , Ci ) f¨ ur Gegenstrom nach Tab. 1.4

h¨ auﬁg betrachtete Idealfall der reversiblen W¨ arme¨ ubertragung zwischen zwei ˙1 = W ˙ 2 mit einem W¨arme¨ Fluiden l¨ asst sich also nur bei W ubertrager sehr ¨ großer Ubertragungsf¨ ahigkeit ann¨ ahernd erreichen. Wie schon in Abschnitt 1.3.2 erw¨ ahnt, dient die Funktion εi = f (Ni , Ci ) ¨ zur Berechnung der Ablauftemperaturen und der Ubertragungsleistung, wenn der W¨ arme¨ ubertrager gegeben ist. Zur Dimensionierung des Apparats f¨ ur eine geforderte Temperatur¨ anderung der Fluide benutzt man die andere Form der Betriebscharakteristik, Ni = Ni (εi , Ci ). Sie ist ebenfalls in Tabelle 1.4 verzeichnet. Bei einem Gleichstrom-W¨arme¨ ubertrager kehrt sich die Richtung des Fluidstromes 2 gegen¨ uber Abb. 1.31 um, vgl. auch Abb. 1.20b. An die Stelle von (1.108) tritt die Energiebilanzgleichung ˙ 2 dϑ2 , dQ˙ = M˙ 2 cp2 dϑ2 = W so dass man statt (1.112) die Beziehung d(ϑ1 − ϑ2 ) dz = −(N1 + N2 ) ϑ1 − ϑ2 L

(1.115)

erh¨ alt. Danach nimmt die Temperaturdiﬀerenz zwischen den beiden Fluiden in Str¨ omungsrichtung stets ab. Integration von (1.115) zwischen z = 0 und z = L ergibt ϑ − ϑ2 ln 1 = −(N1 + N2 ) , ϑ1 − ϑ2 woraus ε1 + ε2 ln [1 − (ε1 + ε2 )] = −(N1 + N2 ) = − (1.116) Θ als implizite Form der Betriebscharakteristik folgt. Auch sie l¨asst sich nach εi und nach Ni auﬂ¨osen, wodurch man die in Tabelle 1.4 verzeichneten Funktionen erh¨ alt. F¨ ur Ni → ∞ erreichen die normierten Temperatur¨anderungen den Grenzwert

60

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

lim εi =

Ni →∞

1 1 + Ci

,

i = 1, 2 .

Bei Gleichstromf¨ uhrung l¨ asst sich außer f¨ ur Ci = 0, worauf wir gleich eingehen werden, niemals der Grenzwert εi = 1 erreichen. Die Berechnung der W¨ armeleistung und die Dimensionierung eines W¨ arme¨ ubertragers kann man nach Abschnitt 1.3.2 auch mit der mittleren Temperaturdiﬀerenz Θ nach (1.106) ausf¨ uhren. Ersetzt man bei Gegenstrom in (1.114) die Diﬀerenz N2 −N1 durch Θ, ε1 und ε2 , so erh¨ alt man den in Tabelle 1.4 eingetragenen Ausdruck f¨ ur Θ = Θ(ε1 , ε2 ). F¨ uhrt man dagegen N2 − N1 =

ε2 − ε1 ϑ − ϑ2 − (ϑ1 − ϑ1 ) ϑ − ϑ2 − (ϑ1 − ϑ2 ) = 2 = 1 Θ Δϑm Δϑm

in (1.113) ein, so erh¨ alt man f¨ ur die mittlere Temperaturdiﬀerenz eines GegenstromW¨ arme¨ ubertragers ϑ − ϑ2 − (ϑ1 − ϑ2 ) Δϑm = 1 . (1.117) ϑ − ϑ2 ln 1 ϑ1 − ϑ2 Sie ist der logarithmische Mittelwert der an den beiden Enden des Apparats auftretenden Temperaturdiﬀerenzen zwischen den Fluiden. F¨ ur die normierte mittlere Temperaturdiﬀerenz Θ bei Gleichstrom erh¨ alt man den in Tabelle 1.4 verzeichneten Ausdruck aus (1.116). Setzt man hierin die Deﬁnitionsgleichungen von ε1 und ε2 ein, so ergibt sich Δϑm =

ϑ1 − ϑ2 − (ϑ1 − ϑ2 ) . ϑ − ϑ2 ln 1 ϑ1 − ϑ2

(1.118)

Auch bei Gleichstromf¨ uhrung ist Δϑm das logarithmische Mittel der Temperaturdiﬀerenzen an den beiden Enden des W¨ arme¨ ubertragers.

Wir vergleichen nun die beiden Stromf¨ uhrungen. F¨ ur Ci = 0 erh¨alt man nach Tabelle 1.4 die normierte Temperatur¨ anderung εi = 1 − exp(−Ni ) ¨ bzw. die dimensionslose Ubertragungsf¨ ahigkeit zu Ni = − ln(1 − εi ) unabh¨ angig davon, ob Gegenstrom oder Gleichstrom vorliegt. Wenn also einer der beiden Stoﬀstr¨ ome kondensiert oder verdampft, ist es gleichg¨ ultig, ob Gegenstrom oder Gleichstrom gew¨ ahlt wird. Wird jedoch in einem Kondensator u achst von ϑ1 auf die Kondensationstemperatur ϑ1s ¨ berhitzter Dampf zun¨ abgek¨ uhlt, dann vollst¨ andig kondensiert und das Kondensat von ϑ1s auf ϑ1 abgek¨ uhlt, so liegen kompliziertere Verh¨ altnisse vor, und es ist nicht zul¨assig, den Apparat nach den bisher abgeleiteten Gleichungen als einen W¨arme¨ ubertrager zu berechnen, f¨ ur den nur die Ein- und Austrittstemperaturen ϑi und ϑi (i = 1, 2) maßgebend sind, vgl. Abb. 1.33. Da sich der W¨armekapazit¨ats-

1.3 W¨ arme¨ ubertrager

61

Abb. 1.33: Temperaturverlauf in einem Kondensator mit Abk¨ uhlung des u ¨ berhitzten Dampfes, Kondensation und Unterk¨ uhlung des Kondensats (Fluidstrom 1) durch K¨ uhlwasser (Fluidstrom 2).

˙ 1 erheblich ¨ ˙ 1 ist bei der Abk¨ strom W andert, — W uhlung des Dampfes und des Kondensats endlich, bei der Kondensation jedoch unendlich groß — muss der W¨ arme¨ ubertrager gedanklich geteilt und wie drei hintereinander geschaltete Apparate berechnet werden. Aus Energiebilanzen erh¨alt man zun¨achst die beiden unbekannten Temperaturen ϑ2a zwischen Enthitzer und Kondensationsteil und ϑ2b zwischen Kondensations- und Unterk¨ uhlungsteil. Daraus ergeben sich die dimensionslosen Temperatur¨ anderungen εia , εib und εic f¨ ur die drei Teilapparate Enthitzer a, Kondensator b und K¨ uhler c (i = 1, 2). F¨ ur jeden Teilapparat k¨ onnen dann mit den Beziehungen nach Tabelle 1.4 ¨ die dimensionslosen Ubertragungsf¨ ahigkeitenNia, Nib und Nic berechnet werden. Aus Nij erh¨alt man (kA)j und mit den jeweils g¨ ultigen W¨armedurchgangskoeﬃzienten kj die drei Teilﬂ¨ achen Aj (j = a, b, c), die zusammen die Gesamtﬂ¨ ache des Apparates ergeben. F¨ ur Ci > 0 zeigt sich die Gegenstromf¨ uhrung der Gleichstromf¨ uhrung stets u uhrung besteht darin, dass mit ihr ¨ berlegen. Ein Nachteil der Gleichstromf¨ nicht alle W¨ arme¨ ubertragungsaufgaben gel¨ ost werden k¨onnen. Eine vorgegebene Temperatur¨anderung εi ist n¨ amlich nur dann realisierbar, wenn in NiGl = −

1 ln [1 − εi (1 + Ci )] 1 + Ci

das Argument des Logarithmus positiv ist. Das ist aber nur f¨ ur εi <

1 1 + Ci

(1.119)

der Fall. Gr¨ oßere normierte Temperatur¨ anderungen lassen sich mit einem ¨ Gleichstrom-W¨ arme¨ ubertrager selbst bei beliebig großer Ubertragungsf¨ ahigkeit kA nicht erreichen. F¨ ur die Gegenstromf¨ uhrung besteht eine derartige Beschr¨ ankung nicht; hier sind grunds¨ atzlich alle εi erreichbar und damit al-

62

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

Abb. 1.34: Verh¨ altnis (kA)Gl / (kA)Gg = NiGl /NiGg der bei Gleichstrom und Ge¨ genstrom erforderlichen Ubertragungsf¨ ahigkeiten als Funktion von εi und Ci .

le W¨ armeleistungen zu u ¨bertragen, wenn nur die Fl¨ache des Gegenstr¨omers gen¨ ugend groß bemessen wird. Ein weiterer Nachteil der Gleichstromf¨ uhrung besteht darin, dass bei glei¨ cher Aufgabenstellung (gleiches εi und gleiches Ci ) eine gr¨oßere Ubertragungsf¨ ahigkeit kA als bei Gegenstrom erforderlich ist. Dies zeigt Abb. 1.34, in der das Verh¨ altnis (kA)Gl /(kA)Gg = NiGl /NiGg aufgrund der Gleichungen von Tabelle 1.4 dargestellt ist. Dieses Verh¨altnis w¨ achst stark an, wenn εi sich dem Grenzwert nach (1.119) n¨ahert. Selbst wenn sich die gegebene Aufgabe mit einem Gleichstrom-W¨arme¨ ubertrager l¨ osen ließe, wird man den weniger aufw¨ andigen Gegenstrom w¨ahlen, um einen Apparat kleinerer Abmessungen zu erhalten. Nur bei einer Kombination aus gen¨ ugend kleinen Werten von Ci und εi h¨ alt sich die bei Gleichstrom erforderliche Fl¨ achenvergr¨ oßerung in engen Grenzen. Beispiel 1.5: In einem Gegenstrom-W¨ arme¨ ubertrager soll Ammoniak beim Druck von 1,40 MPa von ϑ1 = 150,0 auf die S¨ attigungstemperatur ϑ1s = 36,3 abgek¨ uhlt und bei dieser Temperatur vollst¨ andig kondensiert werden. Sein Massenstrom ist M˙ 1 = 0,200 kg/s, und einer Dampftafel von Ammoniak [1.13] entnimmt man die speziﬁschen Enthalpien h(ϑ1 ) = 1959,4 kJ/kg, hg (ϑ1s ) = 1637,3 kJ/kg und hﬂ (ϑ1s ) = 427,3 kJ/kg. Es steht K¨ uhlwasser mit ϑ2 = 12,0 zur Verf¨ ugung, das sich auf ϑ2 = 28,5 erw¨ armen soll; seine mittlere speziﬁsche W¨ armekapazit¨ at ist cp2 = 4,184 kJ/kgK. Man berechne die ¨ mindestens erforderlichen Ubertragungsf¨ ahigkeiten (kA)abk f¨ ur den Abk¨ uhlungsteil des W¨ arme¨ ubertragers und (kA)kond f¨ ur den Kondensationsteil. Wir bestimmen zun¨ achst den u armestrom Q˙ und den Massen¨ bertragenen W¨ ˙ 2 des K¨ strom M uhlwassers. F¨ ur den vom Ammoniak abgegebenen W¨ armestrom gilt h i kg kJ Q˙ = M˙ 1 h(ϑ1 ) − hﬂ (ϑ1s ) = 0,200 (1959,4 − 427,3) = 306,4 kW . s kg

1.3 W¨ arme¨ ubertrager

63

Daraus erh¨ alt man den Massenstrom M˙ 2 =

Q˙ 306,4 kW kg = = 4,439 . cp2 (ϑ2 − ϑ1 ) 4,184 (kJ/kgK) (28,5 − 12,0) K s

¨ Zur Berechnung der Ubertragungsf¨ ahigkeiten wird die Temperatur ϑ2a des K¨ uhlwassers ben¨ otigt, die im Querschnitt zwischen dem Abk¨ uhlungs- und Kondensationsteil des W¨ arme¨ ubertragers auftritt, vgl. Abb. 1.35. Aus der Energiebilanz des Kondensationsteils, h i ` ´ M˙ 2 cp2 ϑa − ϑ2 = M˙ 1 hg (ϑ1s ) − hﬂ (ϑ1s ) , erh¨ alt man ϑ2a = ϑ2 +

i M˙ 1 h g h (ϑ1s ) − hﬂ (ϑ1s ) = 25,0 ◦ C . M˙ 2 cp2

¨ Die gesuchte Ubertragungsf¨ ahigkeit des (Ammoniak-)Abk¨ uhlungsteils ergibt sich nach Tabelle 1.4 aus (kA)abk 1 1 − C1 ε 1 = N1 = ln . ˙ 1 − C 1 − ε1 1 W1

(1.120)

˙ 1 /W ˙ 2 der beiden W¨ F¨ ur das Verh¨ altnis C1 = W armekapazit¨ atsstr¨ ome erh¨ alt man mit g ˙ 1 = M˙ 1 cp1 = M˙ 1 h(ϑ1 )−h (ϑs ) = 0,200 kg 1959,4−1637,3 kJ = 0,5666 kW W ϑ1 −ϑs s 150,0−36,3 kgK K

˙ 2 = M˙ 2 cp2 = 18,573 kW/K den Wert C1 = 0,0305. Die dimensionslose und mit W Temperatur¨ anderung ε1 des Ammoniaks ist ε1 =

ϑ1 − ϑ1s 150,0 − 36,3 = = 0,9096. ϑ1 − ϑ2a 150,0 − 25,0

Damit ergibt sich aus (1.120) N1 = 2,450 und schließlich ˙ 1 = 1,388 kW/K . (kA)abk = N1 W ˙ 1 →∞ F¨ ur den Kondensationsteil des W¨ arme¨ ubertragers gilt ε1 = 0, und wegen W

Abb. 1.35: Temperaturverlauf von Ammoniak und K¨ uhlwasser in einem Gegenstrom-W¨ arme¨ ubertrager (schematisch)

64

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen ˙ 2 /W ˙ 1 = 0. Nach Tabelle 1.4 erh¨ wird C2 = W alt man ˙ 2 = N2 = − ln (1 − ε2 ) . (kA)kond /W Mit der normierten Temperatur¨ anderung des K¨ uhlwassers, ε2 =

ϑ2a − ϑ2 25,0 − 12,0 = = 0,5350 , ϑ1s − ϑ2 36,3 − 12,0

ergibt sich dann N2 = 0,7657 und daraus ˙ 2 = 14,22 kW/K . (kA)kond = N2 W ¨ Um aus den Ubertragungsf¨ ahigkeiten (kA)abk und (kA)kond die mindestens erforderliche Fl¨ ache A = Aabk + Akond des Gegenstrom-W¨ arme¨ ubertragers zu erhalten, m¨ ussen die W¨ armedurchgangskoeﬃzienten der beiden Teile berechnet werden. Sie werden verschieden groß sein, denn im Abk¨ uhlungsteil bietet der W¨ arme¨ ubergang auf der Seite des gasf¨ ormigen Ammoniaks den gr¨ oßten W¨ armewiderstand, w¨ ahrend im Kondensationsteil der W¨ arme¨ ubergang an das K¨ uhlwasser den gr¨ oßten W¨ armewiderstand darstellt. Auf die Berechnung der W¨ armedurchgangskoeﬃzienten gehen wir hier nicht ein; zu ihrer Bestimmung m¨ ussen die konstruktive Gestaltung des W¨ arme¨ ubertragers und die Str¨ omungsverh¨ altnisse der beiden Fluide bekannt sein.

1.3.4 Kreuzstrom-W¨ armeu ¨ bertrager Bevor wir den reinen Kreuzstrom nach Abb. 1.23 behandeln, berechnen wir die Betriebscharakteristik f¨ ur einen einfacheren Sonderfall, den einseitig quervermischten Kreuzstrom. Bei dieser Stromf¨ uhrung h¨angt die Temperatur eines der beiden Fluide nur von einer Ortskoordinate, z.B. von x ab, w¨ahrend die Temperatur des anderen Fluids von x und y abh¨angt. In Abb. 1.36 ist das quervermischte Fluid durch den Index 1 gekennzeichnet; seine Temperatur ϑ1 ¨ andert sich nur in Str¨ omungsrichtung, ϑ1 = ϑ1 (x). Quer dazu wird ideale Quervermischung angenommen, so dass ϑ1 nicht von y abh¨angt. Diese Annahme ist in sehr guter N¨ aherung erf¨ ullt, wenn das Fluid 1 eine einzige Reihe von Rohren durchstr¨omt, w¨ ahrend das Fluid 2 quer zu den Rohren str¨omt, Abb. 1.37. Kreuzstrom mit einer Rohrreihe entspricht also dem einseitig quervermischten Kreuzstrom. Das quervermischte Fluid 1 in den Rohren muss dabei nicht wie bisher das Fluid mit der h¨ oheren Temperatur sein. Um die Temperaturen ϑ1 = ϑ1 (x) und ϑ2 = ϑ2 (x, y) der beiden Fluide zu bestimmen, betrachten wir das in Abb. 1.36 hervorgehobene Fl¨ achenelement dA = dx dy. F¨ ur den vom Fluid 1 an das Fluid 2 u armestrom dQ˙ gilt ¨ bertragenen W¨ dQ˙ = [ϑ1 (x) − ϑ2 (x, y)] k dx dy . ¨ Die gesamte Ubertragungsﬂ¨ ache ist A = L1 L2 , vgl. Abb. 1.36. Mit den dimensionslosen Koordinaten x+ := x/L1 und y + := y/L2 (1.121) erh¨ alt man

1.3 W¨ arme¨ ubertrager ˆ ˜ dQ˙ = ϑ1 (x+ ) − ϑ2 (x+ , y + ) kA dx+ dy + .

65 (1.122)

Eine zweite Beziehung f¨ ur dQ˙ ergibt sich durch Anwenden des 1. Hauptsatzes auf das Fluid 2, das das Fl¨ achenelement dA u omt. Sein Massenstrom ist ¨ berstr¨ dM˙ 2 = M˙ 2 dx/L1 = M˙ 2 dx+ , und es gilt „ « „ « ∂ ϑ2 + ˙ 2 cp2 ∂ ϑ2 dy + + . . . dx+ dQ˙ = M˙ 2 dx+ cp2 ϑ2 + dy + . . . − ϑ = M 2 ∂y + ∂y + oder

∂ ϑ2 dx+ dy + . (1.123) ∂y + Aus den Beziehungen (1.122) und (1.123) folgt schließlich die gesuchte Diﬀerentialgleichung ∂ ϑ2 = N2 (ϑ1 − ϑ2 ) . (1.124) ∂y + Ihre L¨ osung ˆ ˜ + ϑ2 (x+ , y + ) = ϑ1 (x+ ) − ϑ1 (x+ ) − ϑ2 e−N2 y (1.125) ˙2 dQ˙ = W

enth¨ alt noch die unbekannte Temperatur ϑ1 (x+ ) des quervermischten Fluids. Um ϑ1 (x+ ) zu berechnen, wenden wir den ersten Hauptsatz auf das Fluid 1 an. Beim Durchstr¨ omen des Streifens der Breite dx, vgl. Abb. 1.38, gibt es den W¨ armestrom dQ˙ ∗ an das Fluid 2 ab, der nicht mit dQ˙ u ur dQ˙ ∗ gilt ¨ bereinstimmt. F¨ » – dϑ1 − dQ˙ ∗ = M˙ 1 cp1 ϑ1 + dx + . . . − ϑ1 . dx Mit x+ nach (1.121) folgt

Abb. 1.37: Kreuzstrom mit einer Rohrreihe als Realisierung des einseitig quervermischten Kreuzstroms

Abb. 1.36: Temperaturverlauf bei einseitig quervermischtem Kreuzstrom. ϑ1 = ϑ1 (x) Temperatur des quervermischten Fluids, ϑ2 = ϑ2 (x, y) Temperatur des anderen Fluids

66

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

Abb. 1.38: Temperaturverlauf in einem Streifen der Gr¨ oße L2 dx bei einseitig quervermischtem Kreuzstrom. ϑm2 (x) ist die in y-Richtung gemittelte Temperatur des Fluids 2. ˙ 1 dϑ1 dx+ . − dQ˙ ∗ = W dx+

(1.126)

Eine zweite Beziehung f¨ ur dQ˙ ∗ ist die Gleichung f¨ ur den W¨ armedurchgang: ˆ ` ´ ` ´˜ ˆ ` ´ ` ´˜ dQ˙ ∗ = ϑ1 x+ − ϑm2 x+ kL2 dx = ϑ1 x+ − ϑm2 x+ kA dx+ . (1.127) Hierin bedeutet Z1 +

ϑ2 (x+ , y + ) dy +

ϑm2 (x ) =

(1.128)

y + =0

die in y-Richtung gemittelte Temperatur des Fluids 2, die f¨ ur den W¨ armedurchgang durch den Fl¨ achenstreifen L2 dx maßgebend ist. Aus (1.127) und (1.128) folgt die gew¨ ohnliche Diﬀerentialgleichung dϑ1 = −N1 (ϑ1 − ϑm2 ) dx+

(1.129)

zur Bestimmung von ϑ1 (x+ ). Aus (1.125) und (1.128) berechnen wir zun¨ achst die Mitteltemperatur des Fluids 2 und erhalten ” ˜“ 1 ˆ ϑm2 (x+ ) = ϑ1 (x+ ) − ϑ1 (x+ ) − ϑ2 1 − e−N2 . (1.130) N2 Damit ergibt sich aus (1.129) die Diﬀerentialgleichung ”` ´ dϑ1 N1 “ −N2 = − 1 − e ϑ1 − ϑ2 . dx+ N2

1.3 W¨ arme¨ ubertrager

67

Ihre Integration zwischen x+ = 0 und x+ = 1 liefert » – » ”– ϑ1 − ϑ2 N1 1 “ −N2 −C1 N1 = exp − (1 − e ) = exp − 1−e . ϑ1 − ϑ2 N2 C1 Das auf der linken Seite stehende Temperaturverh¨ altnis stimmt mit (1−ε1 ) u ¨berein.

Die gesuchte Betriebscharakteristik bei einseitig quervermischtem Kreuzstrom ist damit 1 ε1 = 1 − exp − (1 − e−C1 N1 ) . (1.131) C1 Sie gibt die bezogene Temperatur¨ anderung des quervermischten Fluidstroms als Funktion des Kapazit¨ atsstromverh¨ altnisses C1 nach (1.99) und der dimen¨ sionslosen Ubertragungsf¨ ahigkeit N1 nach (1.98). Die Betriebscharakteristik (1.131) l¨ asst sich auch nach N1 explizit auﬂ¨ osen. Man erh¨alt N1 = −

1 ln [1 + C1 ln(1 − ε1 )] , C1

(1.132)

woraus sich das erforderliche kA sofort berechnen l¨asst. Die bezogene Temperatur¨ anderung des quer zu der Rohrreihe str¨ omenden Fluids ergibt sich aus (1.101) zu ϑ − ϑ2 ε2 = m2 = C1 ε1 . (1.133) ϑ1 − ϑ2 Hierin ist ϑm2 der Mittelwert der Ablauftemperatur, den man auch durch Integration von (1.130) u urde. ¨ber x+ erhalten w¨ Der Kreuzstrom mit einer Rohrreihe wurde schon 1934 von D. M. Smith [1.14] behandelt. Die Erweiterung dieser Aufgabe auf n hintereinander liegende Rohrreihen hat erstmals H. Schedwill [1.15] 1968 gel¨ost. Es ergeben sich dabei wesentlich kompliziertere Berechnungsgleichungen als f¨ ur den hier behandelten Fall n = 1. Die Temperatur¨ anderung ε1 mit einer u ¨ ber alle n Rohrreihen gemittelten Ablauftemperatur ϑ1 w¨achst dabei mit der Zahl der Rohrreihen. Die Berechnungsgleichungen ﬁndet man auch in [1.8] und [1.16]. Mit Steigerung der Anzahl n hintereinander liegender Rohrreihen n¨ahert man sich dem reinen Kreuzstrom, bei dem die Temperaturen beider Fluide von x und y bzw. den dimensionslosen Koordinaten x+ und y + nach (1.121) abh¨ angen, vgl. Abb. 1.23. F¨ ur den W¨ armestrom, der durch ein Fl¨achenelement mit der Gr¨ oße dA = dx dy = A dx+ dy + vom Fluid 1 auf das Fluid 2 u ¨ bertragen wird, erh¨alt man mit der gleichen Argumentation, die zu (1.123) f¨ uhrte, die folgenden Gleichungen: ˙ 1 ∂ ϑ1 dx+ dy + dQ˙ = −W ∂x+ (1. Hauptsatz, angewendet auf Fluid 1),

68

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

˙2 dQ˙ = W

∂ ϑ2 dx+ dy + ∂y +

(1. Hauptsatz, angewendet auf Fluid 2) sowie dQ˙ = kA(ϑ1 − ϑ2 ) dx+ dy + (W¨ armedurchgang). Elimination von dQ˙ ergibt die beiden gekoppelten Differentialgleichungen

und

∂ ϑ1 = −N1 (ϑ1 − ϑ2 ) ∂x+

(1.134a)

∂ ϑ2 = N2 (ϑ1 − ϑ2 ) ∂y +

(1.134b)

f¨ ur die Temperaturen ϑ1 = ϑ1 (x+ , y + ) und ϑ2 = ϑ2 (x+ , y + ). Sie m¨ ussen den Randbedingungen ϑ1 (0, y + ) = ϑ1

und ϑ2 (x+ , 0) = ϑ2

(1.135)

gen¨ ugen. W. Nußelt [1.17] hat dieses Problem durch einen Potenzreihen-Ansatz gel¨ ost. Mit ˙ 1 )(x/L1 ) ξ := N1 x+ = (kA/W (1.136a) und ˙ 2 )(y/L2 ) η := N2 y + = (kA/W

(1.136b)

hat die L¨ osung die Gestalt ⎛

⎞ ∞ m m j η ξ ⎠ e−(ξ+η) , ϑ1 (ξ, η) = ⎝ m! j! m=0 j=0 ⎞ ∞ m m j ξ η ⎠ e−(ξ+η) . ϑ2 (ξ, η) = 1 − ⎝ m! j! m=0 j=0

(1.137a)

⎛

Mit den Mittelwerten ϑm1

1 = N2

N2 ϑ1 (N1 , η) dη η=0

und ϑm2

1 = N1

N1 ϑ2 (ξ, N2 ) dξ ξ=0

(1.137b)

1.3 W¨ arme¨ ubertrager

69

¨ erh¨ alt man f¨ ur die dimensionslosen Anderungen εi der beiden Fluidtemperaturen ⎧⎡ ⎤⎡ ⎤⎫ ∞ ⎨ m m j ⎬ j 1 Ni ⎦ ⎣ (Ci Ni ) ⎦ ⎣1 − e−Ni εi = 1 − e−Ci Ni , (1.138) ⎭ Ci Ni m=0 ⎩ j! j! j=0 j=0 wobei wegen der Symmetrie des Problems f¨ ur i = 1 und i = 2 die formal gleiche Beziehung gilt. Eine explizite Auﬂ¨ osung dieser Gleichung nach Ni ist nicht m¨ oglich. H. Martin [1.8] hat ein u ¨berraschend kurzes Rechenprogramm angegeben, mit dem die mittlere Temperaturdiﬀerenz Θ = εi /Ni und damit εi berechnet werden kann. F¨ ur Ni → ∞ liefert der reine Kreuzstrom die Grenzwerte 1 f¨ ur Ci ≤ 1 lim εi = (1.139) 1/C f¨ Ni →∞ i ur Ci > 1 , die mit denen des Gegenstroms u ur Ci = 0 erh¨alt man den ¨ bereinstimmen. F¨ Grenzwert εi = 1 − e−Ni , (Ci = 0) (1.140) der ebenfalls mit dem in Abschnitt 1.3.3 hergeleiteten Ergebnis u ¨ bereinstimmt. Das bedeutet: Wenn eines der beiden Fluide kondensiert oder verdampft, h¨ angt die Temperatur¨ anderung des anderen Fluids nicht von der Stromf¨ uhrung (Gegenstrom, Gleichstrom oder Kreuzstrom) ab. F¨ ur Ci = 0 und endliche Werte von Ni bleiben die bei Kreuzstrom erreichbaren Temperatur¨ anderungen merklich hinter den mit Gegenstrom erreichbaren Temperatur¨ anderungen zur¨ uck. Sie sind jedoch g¨ unstiger als im Fall der Gleichstromf¨ uhrung. Der Vergleich der bisher behandelten einfachen Stromf¨ uhrungen ist beispielhaft in Abb. 1.39 ausgef¨ uhrt. Dort ist die dimen-

Abb. 1.39: Vergleich verschiedener Stromf¨ uhrungen im ε1 , Θ-Diagramm. a Gegenstrom, b reiner Kreuzstrom, c einseitig quervermischter Kreuzstrom, d Gleichstrom

sionslose Temperatur¨ anderung ε1 u ¨ ber der dimensionslosen mittleren Temperaturdiﬀerenz Θ = ε1 /N1 f¨ ur das konstante Verh¨altnis C1 = 0,5 dargestellt.

70

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

Linien N1 = const erscheinen als ein Geradenb¨ uschel, das durch den Koordinatennullpunkt geht. Eine vorgeschriebene Temperatur¨anderung ε1 , z.B. ¨ ε1 = 0,65, erfordert die folgenden Werte der dimensionslosen Ubertragungsf¨ ahigkeit: Gegenstrom (Kurve a) N1 = 1,30, Kreuzstrom (Kurve b) N1 = 1,50, Gleichstrom (Kurve c) N1 = 2,44. F¨ ur einen W¨arme¨ ubertrager mit N1 = 3,0 erreicht man eine dimensionslose Temperatur¨ anderung ε1 , die bei Gegenstrom den hohen Wert 0,874 hat, bei Kreuzstrom auf 0,816 und bei Gleichstrom auf 0,660 zur¨ uckgeht. Beispiel 1.6: Der K¨ uhler eines Kraftfahrzeugs ist ein Kreuzstrom-W¨ arme¨ ubertrager, in dem das ﬂ¨ ussige Motork¨ uhlmittel durch eine Reihe paralleler Rohre str¨ omt, die an ihrer Außenseite mit Rippen versehen sind. Quer zu den Rohren str¨ omt die Luft. In einem bestimmten Fahrzustand ist der Volumenstrom des K¨ uhlmittels V˙ 1 = 1,25 dm3 /s; seine Dichte ist 1 = 1,015 kg/dm3 und seine mittlere speziﬁsche W¨ armekapazit¨ at cp1 = 3,80 kJ/kgK. Die Luft str¨ omt mit ϑ2 = 20,0 in den K¨ uhler, und es sind V˙ 2 = 1,100 m3 /s, 2 = 1,188 kg/m3 ¨ und cp2 = 1,007 kJ/kgK gegeben. Der K¨ uhler hat die Ubertragungsf¨ ahigkeit kA = 0,550 kW/K; er soll den W¨ armestrom Q˙ = 28,5 kW an die Luft u ¨ bertragen. Welche Temperaturen ϑ1 und ϑ1 des Motork¨ uhlmittels stellen sich ein, und wie groß ist die Temperatur ϑ2 der abstr¨ omenden Luft? Aus der Energiebilanzgleichung (1.96), n¨ amlich aus ` ´ ` ´ ˙ 1 ϑ1 − ϑ1 = W ˙ 2 ϑ2 − ϑ2 Q˙ = W erh¨ alt man f¨ ur die Temperatur der abstr¨ omenden Luft ˙ W ˙2 ϑ2 = ϑ2 + Q/

(1.141)

und f¨ ur die Temperatur¨ anderung des K¨ uhlmittels ˙ W ˙1 . ϑ1 − ϑ1 = Q/ Damit ergibt sich aus der Deﬁnitionsgleichung (1.97) f¨ ur die normierte Temperatur¨ anderung ε1 die gesuchte Eintrittstemperatur des K¨ uhlmittels zu ϑ1 = ϑ2 +

ϑ1 − ϑ1 Q˙ = ϑ2 + , ˙ 1 ε1 ε1 W

(1.142)

woraus f¨ ur die K¨ uhlmittel-Austrittstemperatur ˙ W ˙1 ϑ1 = ϑ1 − Q/

(1.143)

folgt. F¨ ur den hier vorliegenden Kreuzstrom mit einer Rohrreihe (einseitig quervermischter Kreuzstrom) liefert die Betriebscharakteristik (1.131) den in (1.142) ben¨ otigten Wert » ”– 1 “ ε1 = 1 − exp − 1 − e−C1 N1 . (1.144) C1 Um die Gleichungen auszuwerten, berechnen wir aus den gegebenen Daten die W¨ armekapazit¨ atsstr¨ ome des K¨ uhlmittels, 3 ˙ 1 = V˙ 1 1 cp1 = 1,25 dm · 1,015 kg · 3,80 kJ = 4,821 kW , W s dm3 kgK K

1.3 W¨ arme¨ ubertrager

71

und der Luft, 3 ˙ 2 = V˙ 2 2 cp2 = 1,100 m · 1,188 kg · 1,007 kJ = 1,316 kW . W s m3 kgK K

Daraus erh¨ alt man die Kennzahlen ˙ 1 /W ˙ 2 = 3,664 C1 = W und ˙ 2 = 0,418 . C1 N1 = N2 = kA/W Aus der Betriebscharakteristik (1.144) folgt ε1 = 0,0890. Damit ergeben sich die gesuchten K¨ uhlmitteltemperaturen aus (1.142) und (1.143) zu ϑ1 = 86,4

und

ϑ1 = 80,5

.

Es stellt sich das f¨ ur den Betrieb des Motors g¨ unstige, relativ hohe Temperaturniveau des K¨ uhlmittels ein. Die Luftaustrittstemperatur erh¨ alt man aus (1.141) zu ϑ2 = 41,7 .

1.3.5 Betriebscharakteristiken fu ¨ r weitere Stromfu ¨hrungen. Diagramme Außer den bisher behandelten F¨ allen der Gegenstrom-, Gleichstrom- und Kreuzstrom-F¨ uhrung der beiden Fluide sind viele weitere Stromf¨ uhrungen m¨ oglich. Sie werden auch in der Praxis angewendet und sind von verschiedenen Autoren untersucht worden, vgl. die Zusammenstellung von W. Roetzel u. B. Spang [1.16]. F¨ ur die Betriebscharakteristik F (εi , Ni , Ci ) = 0 ergeben sich dabei meistens komplizierte mathematische Ausdr¨ ucke, so dass es naheliegt, die Ergebnisse graphisch darzustellen. W. Roetzel und B. Spang [1.18] haben die bekannten M¨oglichkeiten, die Betriebscharakteristik in Diagrammen darzustellen, diskutiert und ein u ¨ bersichtliches Diagramm vorgeschlagen, das in den VDI-W¨armeatlas [1.16] Eingang gefunden hat. Dieses quadratische Diagramm besteht aus zwei Teilen, die durch die Diagonale des Quadrats getrennt sind, Abb. 1.40. Die Koordinaten des Diagramms sind die beiden dimensionslosen Temperatur¨anderungen ε1 und ε2 nach (1.97). Der Bereich oberhalb der Diagonale enth¨alt Kurven kon˙ 1 = const sowie ¨ stanter dimensionsloser Ubertragungsf¨ ahigkeit N1 = kA/W die durch den Nullpunkt verlaufende Schar der Geraden C1 =

˙1 W ε2 N2 = = = const . ˙ ε1 N1 W2

(1.145)

Um das Diagramm nicht zu u ¨berladen, werden diese Geraden nicht eingezeichnet; nur ihr zweiter Endpunkt ist als Randmaßstab markiert. Jeder Punkt im Dreieck oberhalb der Diagonale entspricht einem Betriebszustand, dessen zusammengeh¨ orige Gr¨ oßen ε1 , N1 und C1 abgelesen werden k¨onnen. Außerdem kann man an der Abszisse den zugeh¨ origen Wert von ε2 ﬁnden.

72

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

Abb. 1.40: Schema des ε1 , ε2 Diagramms nach W. Roetzel und B. Spang [1.16] mit Kurven N1 = const

Im Dreieck unterhalb der Diagonale ist die Betriebscharakteristik in der Form F (ε2 , N2 , C2 ) = 0 wiedergegeben. Wegen (1.145) treﬀen sich die Kurven ¨ gleichgroßer dimensionsloser Ubertragungsf¨ ahigkeit N1 = N2 auf der Diagonale C1 = C2 = 1 mit einem Knick. Nur die Kurve N1 = N2 → ∞ hat hier keinen Knick. Bei symmetrischer Stromf¨ uhrung, z.B. bei Gegenstrom oder reinem Kreuzstrom, stimmen die Betriebscharakteristiken f¨ ur i = 1 und i = 2 u alften sind dann spiegelsymmetrisch bez¨ uglich ¨ berein; die beiden Diagrammh¨ der Diagonalen. Bei asymmetrischer Stromf¨ uhrung, z.B. beim einseitig quervermischten Kreuzstrom, ist dies nicht der Fall, und man muss genau darauf achten, wie die beiden Indizes 1 und 2 den Fluidstr¨omen zugeordnet sind. Eine umfassende Zusammenstellung dieser f¨ ur Auslegung und Nachrechnung von W¨ arme¨ ubertragern gleichermaßen verwendbaren Diagramme ﬁndet man im VDI-W¨ armeatlas [1.16].

1.4 Die verschiedenen Arten der Stoﬀu ¨bertragung Unter Stoﬀ¨ ubertragung versteht man den Transport einer oder mehrerer Komponenten eines Gemisches ﬂuider oder fester Stoﬀe innerhalb einer Phase12 oder u achen hinweg. Die Stoﬀ¨ ubertragung innerhalb einer ¨ ber Phasengrenzﬂ¨ Phase bis an die Phasengrenzﬂ¨ ache bezeichnet man als Stoﬀ¨ ubergang, die u ¨ ber 12

Unter Phase wird hier der Bereich eines Systems verstanden, in dem man jedem Volumenelement eindeutige Werte der thermodynamischen Variablen Druck, Temperatur, Konzentration u.a. zuordnen kann. In einer Phase sind keine sprung¨ haften, sondern nur stetige Anderungen dieser Gr¨ oßen erlaubt. In der Thermodynamik versteht man dagegen unter einer Phase einen homogenen Bereich eines Systems. In einer Phase im thermodynamischen Sinn sind alle intensiven Zustandsgr¨ oßen r¨ aumlich konstant.

1.4 Die verschiedenen Arten der Stoﬀ¨ ubertragung

73

die Phasengrenze hinweg in eine andere Phase als Stoﬀdurchgang. Diese Begriﬀe entsprechen denen der W¨ arme¨ ubertragung. Treibende Kraft f¨ ur den Stoﬀ¨ ubergang sind Konzentrations-, Temperaturund Druckgradienten. Wir befassen uns hier nur mit dem am h¨auﬁgsten vorkommenden Stoﬀ¨ ubergang durch Konzentrationsgradienten. Wie die Erfahrung lehrt, bewegen sich die Komponenten eines Gemisches von Bereichen h¨ oherer zu denen niederer Konzentration. Gleichgewicht hinsichtlich des Stoﬀ¨ ubergangs ist dann erreicht, wenn die treibenden Kr¨afte, in unserem Fall die Konzentrationsunterschiede verschwunden sind. Vorg¨ ange der Stoﬀ¨ ubertragung kommen in Natur und Technik in vielf¨altiger Weise vor. H¨ oher entwickelte Pﬂanzen und Tiere besitzen Leitungssysteme, die der Versorgung mit Nahrung und Energie dienen, wobei Vorg¨ange der Stoﬀ¨ ubertragung entscheidend sind. In der Pﬂanze bel¨adt sich das dem Erdreich entzogene Wasser mit den Produkten der Photosynthese, vor allem der Glucose, und transportiert diese zu den Orten des Verbrauchs und der Speicherung. Die roten Blutk¨ orperchen geben in der menschlichen Lunge Kohlendioxid ab und beladen sich mit Sauerstoﬀ, mit dem die Zellen versorgt werden. Trennprozesse der Verfahrenstechnik wie die Trocknung fester Stoﬀe, die Destillation, Extraktion und Sorption beruhen auf Vorg¨angen der Stoﬀ¨ ubertragung. Diese spielen ebenso eine Rolle bei der Herstellung von Werkstoﬀen, um gew¨ unschte Eigenschaften zu erzielen. Der Ablauf chemischer Reaktionen, wozu auch die Verbrennungsvorg¨ ange geh¨ oren, wird oft entscheidend durch die Stoﬀ¨ ubertragung bestimmt. Als einfaches Beispiel des Stoﬀ¨ ubergangs betrachten wir ein mit Wasser gef¨ ulltes Glas, das sich in einem Raum mit trockener Luft beﬁndet. Unmittelbar u ussigkeitsoberﬂ¨ ache ist viel, in gr¨oßerer Entfernung nur wenig ¨ ber der Fl¨ Wasserdampf vorhanden. Infolge des Konzentrationsgef¨alles reichert sich die Luft mit Wasserdampf an. Dieser str¨ omt in Richtung des Konzentrations- bzw. Partialdruckgef¨ alles. In einem Volumenelement oberhalb der Wasseroberﬂ¨ache ist die senkrecht zur Fl¨ ussigkeitsoberﬂ¨ ache gerichtete Geschwindigkeit der Wassermolek¨ ule gr¨ oßer als die der Luftmolek¨ ule. Es kommt zu einer makroskopisch wahrnehmbaren Relativbewegung zwischen Wasserdampf und Luft. Eine solche makroskopisch wahrnehmbare Relativbewegung einzelner Stoffe in einer Phase bezeichnet man allgemein als Diﬀusion. Sie kann auf zwei Arten zustandekommen. In ruhenden Fluiden oder Festk¨orpern, die aus verschiedenen Komponenten bestehen, kann ein Stoﬀ nur dadurch u ¨ bergehen, dass die mittleren Molek¨ ulgeschwindigkeiten der einzelnen Komponenten voneinander verschieden sind. Man spricht auch von molekularer Diﬀusion. Sie tritt auch in laminaren Str¨ omungen auf, weil sich dort die Volumenelemente eines Fluids auf bestimmten Strombahnen bewegen und ein Stoﬀ¨ ubergang zwischen einzelnen Volumenelementen nur erfolgen kann, wenn die Komponenten verschiedene mittlere Molek¨ ulgeschwindigkeiten aufweisen. Eine turbulente Str¨ omung ist hingegen durch eine stark unregelm¨aßige, zufallsbedingte Schwankungsbewegung der Fluidteilchen gekennzeichnet, die f¨ ur die einzelnen Komponenten verschieden sein kann. Sie u ¨ berlagert sich der Gesamtstr¨omung

74

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

und somit auch dem Stoﬀtransport durch molekulare Diﬀusion und ist h¨auﬁg um ein Vielfaches gr¨ oßer als diese. Man bezeichnet den Stoﬀ¨ ubergang durch die unregelm¨ aßige Schwankungsbewegung als turbulente Diﬀusion. Sie kann in dem geschilderten Beispiel des Stoﬀ¨ ubergangs von einer Wasseroberﬂ¨ache an die trockene Luft dadurch herbeigef¨ uhrt werden, dass man u ¨ ber der Wasseroberﬂ¨ ache eine ausreichend hohe Str¨ omungsgeschwindigkeit durch Anblasen oder R¨ uhren erzeugt. Die in einem Zeitintervall von der Luft aufgenommene Menge an Wasserdampf ist dann viel gr¨ oßer, als wenn die Luft ruhen w¨ urde. Um den Stoﬀ¨ ubergang durch molekulare Diﬀusion zu verstehen, betrachten wir ein Gef¨aß mit einer farbigen L¨ osung, beispielsweise mit Jodl¨osung ¨ gef¨ ullt. Uber die Jodl¨ osung werde Wasser so eingegossen, dass Konvektionsstr¨ omungen m¨ oglichst vermieden werden und die farbige L¨osung anf¨anglich scharf von der Wasserschicht getrennt ist. Nach einiger Zeit f¨arbt sich die obere Schicht mehr und mehr, w¨ ahrend die untere Schicht durchsichtiger wird. Nach hinreichend langer Zeit ist die gesamte L¨ osung gleichm¨aßig gef¨arbt. Oﬀensichtlich werden w¨ ahrend des Vorgangs trotz fehlender Konvektion Jodmolek¨ ule aus dem unteren in den oberen Teil des Gef¨aßes transportiert. Man spricht von einer Diﬀusion der Jodmolek¨ ule in das Wasser. Die einzelnen Jodmolek¨ ule dringen teils in Bereiche h¨oherer, teils in Bereiche geringerer Jodkonzentration vor, ohne dass eine Richtung bevorzugt ist. Trotzdem ﬁndet ein Transport von Jodmolek¨ ulen aus dem Gebiet h¨oherer in das Gebiet geringerer Konzentration statt. Um dies zu verstehen, denke man sich beiderseits eines horizontalen Querschnitts in dem Beh¨alter zwei d¨ unne und gleich große Volumenelemente herausgeschnitten. Obwohl man nicht voraussagen kann, in welcher Richtung sich ein einzelnes Jodmolek¨ ul in einem dieser Volumenelemente w¨ ahrend einer vorgegebenen Zeit bewegen wird, so wird doch w¨ ahrend eines Zeitintervalls im Mittel ein endlicher Anteil von Molek¨ ulen aus dem unteren Volumenelement den gedachten Querschnitt passieren und in das obere Volumenelement eindringen, und umgekehrt wird ein endlicher Anteil von Molek¨ ulen aus dem oberen Volumenelement in das untere eindringen. Da in dem unteren Volumenelement aber mehr Jodmolek¨ ule vorhanden sind, werden allein aufgrund der zuf¨ alligen Molekularbewegung auch mehr Jodmolek¨ ule von der unteren in die obere Schicht eindringen. Es ﬁndet also ein Ausgleich der Konzentrationen statt, bis nach einiger Zeit alle Konzentrationsunterschiede abgebaut sind. Vom makroskopischen Standpunkt aus ist die molekulare Diﬀusion ein Stoﬀ¨ ubergang aufgrund von Konzentrationsunterschieden. Mit anderen Arten der Diﬀusion, n¨ amlich der Diﬀusion durch Druckunterschiede (Druckdiﬀusion) und der Diﬀusion durch Temperaturunterschiede (Thermodiﬀusion) wollen wir uns nicht befassen. Der Mechanismus der molekularen Diﬀusion entspricht dem der W¨ armeleitung, w¨ ahrend der Stoﬀ¨ ubergang in einem str¨omenden Fluid, kurz konvektiver Stoﬀ¨ ubergang genannt, dem konvektiven W¨arme¨ ubergang entspricht. Stoﬀ¨ ubergang durch Diﬀusion und Konvektion sind die einzigen Arten des Stoﬀ¨ ubergangs. Der W¨ arme¨ ubertragung durch Strahlung kann kein entsprechender Vorgang der Stoﬀ¨ ubertragung zugeordnet werden.

1.4 Die verschiedenen Arten der Stoﬀ¨ ubertragung

75

1.4.1 Diﬀusion Zur Berechnung des Stoﬀ¨ ubergangs durch Diﬀusion sind einige Deﬁnitionen und Zusammenh¨ ange erforderlich, die im Folgenden er¨ortert werden. 1.4.1.1 Zusammensetzung von Gemischen Die Zusammensetzung von Gemischen kann in verschiedener Weise charakterisiert werden. Zur quantitativen Beschreibung f¨ uhrt man folgende Gr¨oßen ein, vgl. DIN 1310. Der Massenanteil ξA ist die Masse MA einer Komponente A bezogen auf die gesamte Masse M in einem Volumenelement einer Phase13 : ξA =

MA MA = . M MK

(1.146)

K

Die Summe aller Massenanteile ist

ξK = 1 .

(1.146a)

K

Der Molanteil oder Stoﬀmengenanteil x˜A ist die Stoﬀmenge NA der Komponente A bezogen auf die gesamte Stoﬀmenge N in der betreﬀenden Phase: x ˜A =

NA NA = . N NK

(1.147)

K

Die Summe aller Molanteile ist

x ˜K = 1 .

(1.147a)

K

Die Stoﬀmengenkonzentration oder molare Konzentration des Stoﬀes A ist deﬁniert durch cA = NA /V . (1.148) Die Konzentration des Gemisches ist c = N/V =

cK ,

K

Damit erh¨ alt man f¨ ur den Molanteil der Komponente A x ˜A = cA /c . 13

Der Buchstabe K unter dem Summenzeichen bedeutet, dass u ¨ ber alle Komponenten K zu summieren ist.

76

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

F¨ ur ideale Gase gilt cA = pA /Rm T und c = p/Rm T , wobei pA = x ˜A p der Partialdruck der Komponente A ist und Rm = 8,31451 J/(mol K) die molare Gaskonstante bedeutet. Die einzelnen Maße f¨ ur die Zusammensetzung sind nicht unabh¨angig voneinander. Um einen Zusammenhang zwischen Mol- und Massenanteilen zu ˜ A = MA /NA der Komﬁnden, multiplizieren wir (1.147) mit der Molmasse M ponente A. Man erh¨ alt ˜ A = MA /N . x ˜A M ˜ = M/N : Summation u ¨ ber alle Komponenten ergibt die mittlere Molmasse M

˜K = x˜K M

K

˜ . MK /N = M/N = M

(1.149)

K

Mit ihr ergibt sich folgender Zusammenhang zwischen Mol- und Massenanteilen ˜A MA M A NA N M ξA = = = x˜ . (1.150) ˜ A M NA N M M Im umgekehrten Fall, wenn die Massenanteile bekannt sind, ergeben sich die Molanteile aus ˜ M x˜A = ξ , (1.151) ˜A A M worin man die mittlere Molmasse aus den Molmassen und den Massenanteilen erh¨ alt, da NK M K NK 1 N = = = ˜ M M M MK M K

oder

K

1 1 = ξK ˜ ˜ M MK K

(1.152)

ist. 1.4.1.2 Diﬀusionsstr¨ ome In jedem Volumenelement k¨ onnen die mittleren Teilchengeschwindigkeiten der einzelnen Stoﬀe verschieden sein, so dass sich der Konvektion des Volumenelements noch die Relativbewegung der Teilchenarten u ¨ berlagert. Man bezeichnet diese makroskopisch wahrnehmbare Relativbewegung bekanntlich als Diﬀusion. Die mittlere Geschwindigkeit der Teilchen des Stoﬀes A sei durch den Vektor wA gekennzeichnet. Zur Beschreibung der Diﬀusion f¨ uhren wir die Relativgeschwindigkeit wA −ω ein, worin ω eine noch zu deﬁnierende Bezugsgeschwindigkeit bedeutet. Als Diﬀusionsstromdichte (SI-Einheit mol/m2 s) des Stoﬀes A deﬁniert man die Gr¨ oße j A := cA (w A − ω) .

(1.153)

1.4 Die verschiedenen Arten der Stoﬀ¨ ubertragung

77

Als Bezugsgeschwindigkeit ω kann man die Schwerpunktsgeschwindigkeit w w¨ ahlen. Darunter versteht man die mittlere Geschwindigkeit der Masse eines Volumenelements: w = K w K bzw. w = ξK w K . (1.154) K

K

Die zugeh¨ orige Diﬀusionsstromdichte ist dann j A = cA (w A − w) . ˜ A ergibt mit cA M ˜ A = A Multiplikation mit der Molmasse M ˜ A = j ∗A = A (wA − w) , jAM

(1.155)

worin j ∗A die mit der Masse gebildete Diﬀusionsstromdichte des Stoﬀes A (SIEinheit kg/m2 s) ist. Aus (1.154) und (1.155) ergibt sich

j ∗K = 0 .

(1.156)

K

Das mit der Schwerpunktsgeschwindigkeit w nach (1.154) deﬁnierte Bezugssystem nennt man Schwerpunktssystem. In ihm lassen sich die Impuls- und die Energiebilanz besonders einfach formulieren. Als weitere Bezugsgeschwindigkeit verwenden wir die mittlere molare Geschwindigkeit u. Sie ist deﬁniert durch u :=

x˜K wK .

(1.157)

K

Die zugeh¨ orige Diﬀusionsstromdichte (SI-Einheit mol/m2 s) ist ujA

= cA (w A − u) .

Unter Beachtung von cA = x˜A c und

(1.158)

cK = c folgt aus (1.157) und (1.158)

K

ujK

=0 .

K

Ein mit der mittleren molaren Geschwindigkeit u deﬁniertes Bezugssystem nennt man Teilchenbezugssystem. Wegen anderer Deﬁnitionen der Bezugsgeschwindigkeit sei auf die Literatur verwiesen [1.21]. Die Diﬀusionsstromdichten eines Bezugssystems lassen sich in die eines beliebigen anderen u uhren, ¨berf¨ wie das folgende Beispiel zeigt. Beispiel 1.7: Gegeben sei die Diﬀusionsstromdichte einer Komponente A in einem -Bezugssystem j A = cA (w A − ω ) mit der Bezugsgeschwindigkeit ω = P P ζK w K , wobei f¨ ur die Gewichtsfaktoren“ ζK gilt ζK = 1. ” K K

78

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

Man berechne die Diﬀusionsstromdichte j A = cA (w A − ω ) im -Bezugssystem mit der Bezugsgeschwindigkeit

ω =

X

ζK w K

X

mit

K

ζK = 1 .

K

Man leite daraus den allgemeinen Zusammenhang zwischen den Diﬀusionsstromdichten j A und u j A ab. P Es ist j A − j A = cA (ω − ω ) = cA (ζK − ζK ) w K . Weiter folgt aus j A = K

cA (w A − ω ) die Geschwindigkeit w A = j A /cA + ω . Es ist also „ « P jK j A − j A = cA (ζK − ζK ) + ω cK K X X j X P j K = cA ζK + cA ω ζK − cA ζK K − cA ω ζK , cK cK K K K K P P woraus sich unter Beachtung von ζK = 1 und ζK = 1 und wegen K K P ζK j K /cK = 0 der Zusammenhang K

j A − j A = −cA

X

ζK

K

j K cK

ergibt. F¨ ur die Umrechnung vom Teilchenbezugssystem in das Schwerpunktssys tem folgt, wenn wir j A = j A , ζA = ξA und j A = u j A setzen: j A − u j A = −cA

X

ξK

K

uj K

cK

.

¨ Entsprechend ﬁndet man f¨ ur die Uberf¨ uhrung einer Diﬀusionsstromdichte vom Schwerpunktssystem in die des Teilchenbezugssystems ujA

− j A = −cA

X

x ˜K

K

jK . cK

F¨ ur ein Zweistoﬀgemisch mit den Komponenten A und B gehen diese Beziehungen u ¨ ber in „ « ξA ξB j A − u j A = −cA . uj A + uj B cA cB ˜A − M ˜ B ) folgt Mit u j A = −u j B und ξA /cA − ξB /cB = (V /M )(M j A − u j A = −cA

V ˜ ˜ u j (MA − MB ) M A

˜ und daher mit cA V /M = x ˜A /M » – ˜ ˜A + x ˜B x ˜A ˜ ˜A M ˜A M ˜ B) = uj M − x j A = ujA 1 − (MA − M . A ˜ ˜ M M ˜ =x ˜A + x ˜B Daraus ergibt sich wegen M ˜A M ˜B M

1.4 Die verschiedenen Arten der Stoﬀ¨ ubertragung

79

˜B M . ˜ M

jA = uj A Entsprechend folgt f¨ ur die Komponente B jB = uj B

˜A M . ˜ M

1.4.1.3 Ficksches Gesetz Die Diﬀusionsstromdichte einer Komponente A ist proportional dem Konzentrationsgradienten grad cA· . Wir beschr¨ anken unsere Betrachtungen zun¨achst auf ein Zweistoﬀgemisch aus den Komponenten A und B und nehmen an, Diﬀusion ﬁnde nur in Richtung einer Koordinatenachse, beispielsweise der yAchse statt. Die Diﬀusionsstromdichte l¨ asst sich dann durch einen dem Fourierschen Gesetz entsprechenden empirischen Ansatz beschreiben, = −DAB

u jA

dcA , dy

(1.159)

der in dieser Form von A. Fick14 aufgestellt wurde und nach ihm als erstes Ficksches Gesetz bezeichnet wird. Der Proportionalit¨atsfaktor DAB (SIEinheit m2 /s) ist der Diﬀusionskoeﬃzient in einem Zweistoﬀgemisch aus den Komponenten A und B. Gl. (1.159) gilt unter der Voraussetzung konstanter molarer Konzentration c des Gemisches, was in isobar-isothermen Gemischen idealer Gase wegen c = N/V = p/Rm T erf¨ ullt ist. L¨asst man die Voraussetzung c = const fallen, so gilt allgemein f¨ ur Zweistoﬀgemische u jA

= −cDAB

d˜ xA , dy

(1.160)

wie de Groot [1.22] nachwies. Im Schwerpunktssystem lautet die der Gl. (1.160) ¨ aquivalente Beziehung f¨ ur die Diﬀusionsstromdichte in Richtung der y-Achse dξA ∗ jA = −DAB . (1.161) dy In einem Vielstoﬀgemisch aus N Komponenten ist die Diﬀusionsstromdichte j ∗A der Komponente A gegeben durch [1.23] j ∗A =

N ˜ AM ˜K M DAK grad x ˜K . ˜2 M

(1.162)

K=1 K=A

Die Gl. (1.161) ist hierin als Sonderfall N = 2 enthalten. 14

Adolph Fick (1829–1901), Professor f¨ ur Physiologie in Z¨ urich und W¨ urzburg, hat die Grundgesetze der Diﬀusion entdeckt.

80

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen Beispiel 1.8: Man zeige, dass Gl. (1.161) der Gl. (1.160) ¨ aquivalent ist. ∗ Die Diﬀusionsstromdichten u jA und jA in y-Richtung sind verkn¨ upft durch ∗ ˜ A = ujA jA = jA M

˜B M ˜A M ˜ M

(siehe L¨ osung des Beispiels 1.7). Damit wird ∗ jA = −c DAB

˜B M ˜A ∂x ˜A M . ˜ ∂y M

˜ , und wie durch Diﬀerentiation von x ˜ ξA /M ˜A Hierin ist c = N/V = /M ˜A = M ˜ ˜ ˜ mit M = x ˜A MA + (1 − x ˜A ) MB folgt, ist d˜ xA =

˜2 M dξ . ˜ ˜B A MA M

Damit erh¨ alt man aus der obigen Gleichung ∗ jA = − DAB

∂ξA . ∂y

Durch Vertauschen der Indizes A und B erh¨alt man aus (1.161) die Diffusionsstromdichte der Komponente B im Zweistoﬀgemisch. Da nach (1.156) die Summe der beiden Diﬀusionsstromdichten verschwindet, gilt ∗ jA + jB∗ = −DAB

dξA dξB − DBA =0 . dy dy

Hierin ist dξA /dy = −dξB /dy, denn es gilt ξA + ξB = 1, und daher ist DAB = DBA . Der Diﬀusionskoeﬃzient der Komponente A durch die Komponente B ist genau so groß wie der Diﬀusionskoeﬃzient der Komponente B durch die Komponente A. Wir lassen daher die Indizes weg und schreiben einfach D statt DAB = DBA . Typische Zahlenwerte von Diﬀusionskoeﬃzienten sind 5 · 10−6 bis 10−5 2 m /s bei Gasen, 10−10 bis 10−9 m2 /s bei Fl¨ ussigkeiten und 10−14 bis 10−10 2 m /s bei Festk¨orpern. In Gasen sind die freie Beweglichkeit der Molek¨ ule und daher auch die Diﬀusionskoeﬃzienten gr¨oßer als in Fl¨ ussigkeiten und in diesen gr¨ oßer als in Festk¨ orpern. Die Diﬀusion in Festk¨orpern l¨auft um mehrere Gr¨ oßenordnungen langsamer ab als in Fl¨ ussigkeiten und ist in Gasen am schnellsten. Mit Hilfe des Fickschen Gesetzes lassen sich bei bekannten Konzentrationen die Diﬀusionsstromdichten berechnen. Ist umgekehrt die Diﬀusionsstromdichte bekannt, so erh¨ alt man durch Integration das Konzentrationsfeld. Als einfaches Beispiel hierf¨ ur betrachten wir einen Feststoﬀ, aus dem eine Komponente A durch ein ﬂ¨ ussiges L¨ osungsmittel B entfernt werden soll, Abb. 1.41. An der dem Feststoﬀ zugekehrten Oberﬂ¨ ache des Fl¨ ussigkeitsﬁlms sei cA0 die Konzentration der Komponente A, die in der Kernstr¨omung sei cAδ . Wir setzen c = N/V = const voraus. Da Stoﬀ nur in Richtung der y-Achse

1.4 Die verschiedenen Arten der Stoﬀ¨ ubertragung

81

Abb. 1.41: Diﬀusion durch einen ruhenden Fl¨ ussigkeitsﬁlm

u ussig, die Richtung des Stoﬀtransports durch die ¨ bertragen wird, ist es u ¨berﬂ¨ Vektorschreibweise zu kennzeichnen. Die vom Feststoﬀ in den Film u ¨ bergehende Stoﬀmengenstromdichte ist dann nach (1.158) n˙ A = cA wA = u jA + cA u mit u jA = −D dcA /dy und u = xA wA + xB wB . Die Geschwindigkeit wB des L¨ osungsmittels in Richtung der y-Achse ist null. Ist die Konzentration cA des Stoﬀes A im L¨ osungsmittel sehr klein, so ist bei nicht allzu großer Bezugsgeschwindigkeit u der Term cA u verschwindend gering und somit n˙ A = u jA = −D

dcA . dy

(1.163)

Da im station¨aren Fall die in jede Fl¨ ussigkeitsschicht einstr¨omende Menge des Stoﬀes A wieder ausstr¨ omt, ist n˙ A = const. Unter der Annahme eines konstanten Diﬀusionskoeﬃzienten D folgt daher durch Integration aus obiger Gleichung cA0 − cAδ n˙ A = −D . δ F¨ ur eine Feststoﬀkugel vom Radius r0 , die von einem Fl¨ ussigkeitsﬁlm der Dicke δ umgeben ist, erh¨ alt man aus (1.163) die Diﬀusionsstromdichte in radialer Richtung r zu dcA n˙ A = u jA = −D . (1.164) dr Im station¨ aren Fall ist der durch eine kugelf¨ ormige Fl¨ ussigkeitsschale diﬀundierende Stoﬀmengenstrom konstant, dcA N˙ A = n˙ A 4πr2 = −D 4πr2 , dr und damit wird

dN˙ A d =0= dr dr

(1.165)

dcA 2 −D r . dr

Durch Integration ﬁndet man hieraus unter der Annahme D = const und unter Beachtung der Randbedingungen cA (r = r0 ) = cA0 und cA (r = r0 + δ) = cAδ das Konzentrationsproﬁl

82

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

cA − cA0 1/r − 1/r0 = . cAδ − cA0 1/(r0 + δ) − 1/r0

(1.166)

Es entspricht dem Temperaturproﬁl bei station¨arer W¨armeleitung in einer Hohlkugel nach (1.17). Der Diﬀusionsstrom, Gl. (1.165), ergibt sich durch Diﬀerentiation zu cA0 − cAδ N˙ A = D 4π . (1.167) 1/r0 − 1/(r0 + δ)

1.4.2 Einseitige Diﬀusion, ¨ aquimolare Diﬀusion Im vorigen Beispiel der Diﬀusion einer Komponente A aus einem Feststoﬀ in ein L¨ osungsmittel hatten wir eine nicht allzu große Konvektionsgeschwindigkeit u und eine sehr geringe Konzentration cA des Stoﬀes A im L¨osungsmittel vorausgesetzt. Als Folge ergab sich ein verschwindender Konvektionsstrom cA u. H¨ auﬁg ist diese Voraussetzung nicht erf¨ ullt. Als typisches Beispiel betrachten wir eine Fl¨ ussigkeit A in einem zylindrischen Gef¨aß, die in ein ruhendes Gas B hinein verdunstet, Abb. 1.42. Der Fl¨ ussigkeitsspiegel werde bei

Abb. 1.42: Diﬀusion der Komponente A in ein Gasgemisch aus den Komponenten A und B

y = y1 festgehalten oder ver¨ andere sich so langsam, dass wir ihn als ruhend ansehen k¨ onnen. An der Fl¨ ussigkeitsoberﬂ¨ ache sei cA (y = y1 ) = cA1 . Bei m¨ aßigem Gesamtdruck erhalten wir cA1 aus der thermischen Zustandsgleichung idealer Gase zu cA1 = pA1 /Rm T , worin pA1 der S¨attigungspartialdruck von A bei der Temperatur T der Fl¨ ussigkeit ist. Die L¨oslichkeit des Gases B in der Fl¨ ussigkeit A sei vernachl¨ assigbar, was gut zutriﬀt, wenn beispielsweise ¨ die Fl¨ ussigkeit A aus Wasser, das Gas B aus Luft besteht. Uber das obere Ende y = y2 des Zylinders str¨ ome ein Gasgemisch aus den Stoﬀen A und B mit der Konzentration cA (y = y2 ) = cA2 . Die Stoﬀmengenstromdichte der Komponente A in Richtung der y-Achse ist wie zuvor n˙ A = cA wA = u jA + cA u mit u = x ˜A wA + x ˜B wB . Da das Gas B im Zylinder ruht, ist wB = 0 und daher u = x˜A wA . Man bezeichnet dies als einseitige Diﬀusion. Damit ergibt sich die Beziehung

1.4 Die verschiedenen Arten der Stoﬀ¨ ubertragung

n˙ A = cA wA =

1 1−x ˜A

u jA

,

83

(1.168)

die f¨ ur kleine Molanteile x ˜A des gel¨ osten Stoﬀes in die vorige Gl. (1.163) u aren Fall ist dn˙ A /dy = 0, und mit dem Fickschen Gesetz, ¨ bergeht. Im station¨ Gl. (1.160), folgt

d cD d˜ xA =0 . (1.169) dy 1 − x ˜A dy Hierin ist D = DAB der bin¨ are Diﬀusionskoeﬃzient. F¨ ur Gemische idealer Gase ist bei konstantem Druck und konstanter Temperatur c = N/V = p/Rm T konstant. Der Diﬀusionskoeﬃzient D ¨ andert sich nur wenig mit der Zusammensetzung und kann daher ebenfalls als konstant vorausgesetzt werden. Dann gilt f¨ ur das Konzentrationsproﬁl die Diﬀerentialgleichung

d 1 d˜ xA =0 , dy 1 − x ˜A dy die man wegen x ˜B = 1 − x ˜A auch als

d 1 d˜ xB =0 dy x ˜B dy oder

d dln˜ xB d2 ln˜ xB = =0 dy dy dy 2

(1.170)

schreiben kann. Sie ist unter den Randbedingungen x ˜B (y = y1 ) = x˜B1 = 1 − x˜A1 x ˜B (y = y2 ) = x ˜B2 = 1 − x˜A2 Die L¨ osung lautet x ˜B = x ˜B1

x˜B2 x ˜B1

y − y1 y2 − y1

und zu l¨osen.

.

(1.171)

Man u ¨ berzeugt sich leicht von der Richtigkeit der L¨osung. Logarithmiert man n¨ amlich (1.171), so folgt der Ausdruck ln

x ˜B y − y1 x ˜B2 = ln , x ˜B1 y2 − y1 x ˜B1

der bei zweimaliger Diﬀerentiation nach y verschwindet. Durch Diﬀerentiation von (1.171) erh¨ alt man die Diﬀusionsstromdichte u jA

= −cD

d˜ xA d˜ xB x ˜B x ˜B2 = cD = cD ln . dy dy y2 − y1 x ˜B1

Die u alt man damit aus (1.168), ¨ bergehende Mengenstromdichte erh¨

84

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

n˙ A = zu n˙ A =

1 1 u jA = u jA 1−x ˜A x ˜B

cD x˜B2 cD 1 − x˜A2 ln = ln . y2 − y1 x ˜B1 y2 − y1 1 − x˜A1

(1.172)

Der mittlere Molanteil der Komponente B zwischen y = y1 und y = y2 ist x ˜Bm

1 = y2 − y1

y2 x˜B dy . y1

Nach Einsetzen von x˜B aus (1.171) und Integration ergibt sich x˜Bm =

x˜B2 − x ˜B1 . ln(˜ xB2 /˜ xB1 )

(1.173)

Der mittlere Molanteil ist das logarithmische Mittel aus den Werten x ˜B1 und x ˜B2 . Man kann damit (1.172) auch schreiben: n˙ A =

cD x ˜B2 − x˜B1 cD x ˜A1 − x ˜A2 = . x ˜Bm y2 − y1 (1 − x˜Am ) y2 − y1

(1.174)

F¨ ur ideale Gase lassen sich (1.173) und (1.174) noch mit Partialdr¨ ucken pB und dem Gesamtdruck p schreiben, n˙ A =

pD/Rm T pB2 pD/Rm T ln = (pB2 − pB1 ) , y2 − y1 pB1 (y2 − y1 )pBm

(1.175)

worin pBm der logarithmisch gemittelte Partialdruck pBm =

pB2 − pB1 ln(pB2 /pB1 )

ist.

¨ Aquimolare Gegendiﬀusion tritt in recht guter N¨aherung bei der Destillation von Zweistoﬀgemischen auf. In einer Destillationkolonne rieselt eine Fl¨ ussigkeit herab, ein Dampf str¨ omt in der Kolonne nach oben, Abb. 1.43. Da die herabrieselnde Fl¨ ussigkeit k¨ alter ist als der aufsteigende Dampf, wird vorzugsweise die Komponente mit dem h¨ oheren Siedepunkt, die sogenannte schwerer ﬂ¨ uchtige Komponente kondensieren, w¨ahrend aus der Fl¨ ussigkeit ein Gemisch verdampft, das vorzugsweise niedriger siedende, sogenannte leichter ﬂ¨ uchtige Komponenten enth¨ alt. Die molaren Verdampfungsenthalpien sind nach der Troutonschen Regel in guter N¨ aherung f¨ ur alle Komponenten konstant. Kondensiert eine bestimmte Stoﬀmenge der schwerer ﬂ¨ uchtigen Komponente aus dem Dampf, so wird demnach die gleiche Stoﬀmenge der leichter ﬂ¨ uchtigen aus der Fl¨ ussigkeit verdampft. An der Phasengrenze zwischen Fl¨ ussigkeit und Dampf ist cA wA = −cB wB . Somit ist die Bezugsgeschwindigkeit u wegen cu = cA wA + cB wB gleich null, und es ist nach (1.158) und (1.160) die zur Phasengrenze transportierte Stoﬀmengenstromdichte

1.4 Die verschiedenen Arten der Stoﬀ¨ ubertragung

Abb. 1.43: Zum Stoﬀ¨ ubergang bei der Destillation

85

¨ Abb. 1.44: Aquimolare Diﬀusion zwischen zwei Beh¨ altern

n˙ A = cA wA = u jA = −cD

d˜ xA . dy

(1.176)

Konvektions- und Diﬀusionsstrom stimmen u ¨ berein. Verbindet man zwei Beh¨ alter, von denen jeder ein anderes Gas enth¨alt, durch eine d¨ unne Leitung, Abb. 1.44, so stellt sich in dieser ebenfalls ¨aquimolare Gegendiﬀusion ein, wenn Druck und Temperatur der beiden Gase gleich sind und diese der thermischen Zustandsgleichung idealer Gase gehorchen. Wir betrachten dazu ein Gasvolumen V in der Verbindungsleitung. F¨ ur dieses gilt die thermische Zustandsgleichung p = (NA + NB )Rm T /V . Im station¨ aren Fall bleibt der Gesamtdruck zeitlich unver¨anderlich. Es ist daher dp = (N˙ A + N˙ B )Rm T /V = 0 dt und daher N˙ A = −N˙ B .

1.4.3 Konvektiver Stoﬀu ¨bergang Der Stoﬀ¨ ubergang von einem str¨ omenden Fluid an die Oberﬂ¨ache eines anderen Stoﬀes oder zwischen zwei wenig mischbaren str¨omenden Fluiden h¨angt von Stoﬀeigenschaften der Fluide und der Art der Str¨omung ab. Wie im Fall des konvektiven W¨ arme¨ ubergangs kann die Str¨omung von außen, z.B. durch Pumpen, Verdichter u.a. aufgepr¨ agt werden — man spricht dann von Stoﬀ¨ ubergang bei erzwungener Konvektion —, oder sie kann durch Dichteunterschiede hervorgerufen werden, die ihrerseits eine Folge von Temperaturoder Konzentrationsunterschieden sind. Man hat es dann mit einem Stoﬀ¨ ubergang bei freier Konvektion zu tun. In Anlehnung an die Deﬁnitionsgleichung (1.23) des W¨arme¨ ubergangskoeﬃzienten, beschreibt man den an einer Oberﬂ¨ache (Index 0) u ¨ bertragenen Stoﬀmengenstrom durch

86

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

N˙ A0 = βc AΔcA

(1.177)

und die Stoﬀmengenstromdichte durch n˙ A0 = N˙ A0 /A = βc ΔcA .

(1.178)

Durch diese Gleichung ist der Stoﬀ¨ ubergangskoeﬃzient βc mit der SI-Einheit m/s oder m3 /(s m2 ) deﬁniert. Er ist ein Maß f¨ ur den je Fl¨ache u ¨ bertragenen Volumenstrom. Der Konzentrationsunterschied ΔcA deﬁniert den Stoﬀ¨ ubergangskoefﬁzienten. Hierf¨ ur wird man zweckm¨ aßigerweise den f¨ ur den Stoﬀaustausch maßgebenden Konzentrationsunterschied w¨ahlen, also beispielsweise beim Stoﬀ¨ ubergang durch einen Fl¨ ussigkeitsﬁlm nach Abb. 1.41 den Konzentrationsunterschied cA0 − cAδ zwischen Wand und Filmoberﬂ¨ache. Der Stoﬀ¨ ubergangskoeﬃzient ist im Allgemeinen von der Art der Str¨omung, ob laminar oder turbulent, von Stoﬀeigenschaften, von der geometrischen Form des Systems und oft auch vom Konzentrationsunterschied ΔcA selbst abh¨angig. Str¨ omt ein Fluid u ¨ ber eine ruhende Oberﬂ¨ache, mit der ein Stoﬀ ausgetauscht wird, so bildet sich eine d¨ unne oberﬂ¨achennahe Schicht aus, in der die Str¨ omungsgeschwindigkeit klein ist und auf den Wert null an der ruhenden Oberﬂ¨ ache abf¨ allt. In Oberﬂ¨ achenn¨ ahe ist daher der konvektive Anteil der Stoﬀ¨ ubertragung gering, und der diﬀusive Anteil u ¨berwiegt. Er ist h¨auﬁg f¨ ur den Stoﬀ¨ ubergang entscheidend. Da der diﬀusive Anteil nach dem Fickschen Gesetz (1.159) proportional dem Konzentrationsgradienten an der ruhenden Oberﬂ¨ache und somit n¨aherungsweise proportional einer Konzentrationsdiﬀerenz ΔcA ist, deﬁniert man zweckm¨ aßigerweise den Stoﬀ¨ ubergangskoeﬃzienten durch

d˜ xA j = − cD = βΔcA . (1.179) u A0 dy 0 Die Diﬀusionsstromdichte u jA0 ist die an der Oberﬂ¨ache (Index 0). Es ist also β=

−(cDd˜ xA /dy)0 . ΔcA

(1.180)

Der Zusammenhang zwischen Stoﬀmengenstromdichte nach (1.178) und Diffusionsstromdichte nach (1.179) ist deﬁnitionsgem¨aß durch cA0 wA0 = n˙ A0 =

u jA0

+ cA0 u0 =

u jA0

+x ˜A0 n˙ 0

gegeben. F¨ ur verschwindenden Konvektionsstrom n˙ 0 → 0 ist cA0 wA0 = n˙ A0 = u j A0 ,

(g¨ ultig f¨ ur n˙ 0 → 0)

so dass dann mit Hilfe des Stoﬀ¨ ubergangskoeﬃzienten nach (1.179) auch die Stoﬀmengenstromdichte n˙ A0 = βΔcA

(g¨ ultig f¨ ur n˙ 0 → 0)

(1.181)

1.4 Die verschiedenen Arten der Stoﬀ¨ ubertragung

87

berechnet werden kann. Tats¨ achlich werden Konzentrationsproﬁl und auch Stoﬀmengenstromdichte von den f¨ ur n˙ 0 → 0 berechneten Werten abweichen. Als Beispiel betrachten wir dazu nach Abb. 1.45 einen mit einer Fl¨ ussigkeit A, z.B. Wasser, getr¨ ankten por¨ osen K¨ orper, u ber den ein Gas B, z.B. ein Alkohol, str¨omt. ¨ Die Fl¨ ussigkeit A verdunstet in das Gas B, und umgekehrt bel¨adt sich die Fl¨ ussigkeit A in dem por¨ osen K¨ orper mit dem Gas B. Der Konvektionsstrom cA0 wA0 + cB0 wB0 = c0 u0 = n˙ 0 wird an der Oberﬂ¨ache des por¨osen K¨orpers nicht vollst¨ andig verschwinden, so dass die an der Oberﬂ¨ache u ¨ bergehende Stoﬀmengenstromdichte von A gegeben ist durch die bekannte Gleichung n˙ A0 =

u jA0

+ cA0 u0 =

u jA0

+ x˜A0 n˙ 0 ,

(1.182)

da cA0 u0 = x ˜A0 c0 u0 = x˜A0 n˙ 0 ist.

Abb. 1.45: Stoﬀ¨ ubergang von einem por¨ osen K¨ orper an ein str¨ omendes Gas

Infolge des endlichen Konvektionsstromes ist auch das Konzentrationsproﬁl verschieden von dem bei verschwindendem Konvektionsstrom n˙ 0 → 0. Es weicht von diesem umso mehr ab, je gr¨ oßer der Konvektionsstrom ist. Ist der Konvektionsstrom zur Wand gerichtet, n˙ 0 < 0, wie bei der Kondensation eines Dampfes aus einem Gemisch, so wird das Konzentrationsproﬁl infolge des Konvektionsstroms steiler, Abb. 1.47. Damit wird auch der diffusive Anteil der u ¨ bergehenden Stoﬀmenge durch den Konvektionsstrom im Fall des Stoﬀtransports aus der betrachteten Phase vergr¨oßert, w¨ahrend er im Fall des Stoﬀtransports in die betrachtete Phase, Abb. 1.46, verringert wird. Der durch (1.180) deﬁnierte Stoﬀ¨ ubergangskoeﬃzient ist somit f¨ ur verschwindenden Konvektionsstrom (n˙ 0 → 0) verschieden von dem f¨ ur endlichen Konvektionsstrom, und zwar gilt β(n˙ 0 > 0) < β(n˙ 0 → 0) , wie man aus Abb. 1.46 erkennt, und β(n˙ 0 < 0) > β(n˙ 0 → 0) , was aus Abb. 1.47 hervorgeht. Abk¨ urzend schreibt man β(n˙ 0 = 0) = β •

und β(n˙ 0 = 0) = β .

Der hochgestellte Punkt im Stoﬀ¨ ubergangskoeﬃzienten soll anzeigen, dass der Konvektionsstrom n˙ 0 von null verschieden ist. Damit l¨asst sich die Stoﬀmengenstromdichte nach (1.182) berechnen zu

88

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

Abb. 1.46: Konzentrationsproﬁl cA (y) bei Stoﬀ¨ ubergang f¨ ur verschwindenden Konvektionsstrom (n˙ → 0) und f¨ ur endlichen Konvektionsstrom (n˙ > 0) . Stoﬀ¨ ubergang in die betrachtete Phase

Abb. 1.47: Konzentrationsproﬁl cA (y) f¨ ur verschwindenden Konvektionsstrom (n˙ → 0) und f¨ ur endlichen Konvektionsstrom (n˙ < 0) . Stoﬀ¨ ubergang aus der betrachteten Phase

n˙ A0 = β • ΔcA + x˜A0 n˙ 0 .

(1.183)

Im Grenz¨ ubergang n˙ 0 → 0 des verschwindenden Konvektionsstroms oder bei aquimolarer Diﬀusion wird β • = β = βc wie der Vergleich mit (1.181) und ¨ (1.178) zeigt. Von den verschiedenen Stoﬀ¨ ubergangskoeﬃzienten ist derjenige bei verschwindendem Konvektionsstrom am leichtesten zu ermitteln. Er h¨angt von der Str¨ omungsgeschwindigkeit ab, mit der beispielsweise das Gas B in Abb. 1.45 den por¨ osen K¨ orper u omt, von Stoﬀeigenschaften des Gases und ¨ berstr¨ der geometrischen Gestalt des por¨ osen K¨ orpers. Diese Gr¨oßen lassen sich f¨ ur einen K¨ orper bestimmter geometrischer Gestalt, wie sp¨ater noch gezeigt wird, zu dimensionslosen Kenngr¨ oßen

βL wL ν =f , (1.184) D ν D oder Sh = f (Re, Sc) .

(1.185)

zusammenfassen. Die Gr¨ oße βL/D ist die mit dem Stoﬀ¨ ubergangskoeﬃzienten β, einer charakteristischen L¨ ange L, beispielsweise der u ¨ berstr¨omten Plattenl¨ ange in Abb. 1.45, und dem Diﬀusionskoeﬃzienten D gebildete SherwoodZahl15 Sh; wL/ν ist die mit der mittleren Geschwindigkeit w und der kine15

Thomas Kilgore Sherwood (1903–1976) promovierte 1929 bei Warren K. Lewis, nach dem die Lewis-Zahl benannt wurde, am Massachussetts Institute of Technology (MIT) in Boston, Mass., USA, mit einer Arbeit u ¨ ber The Mechanism of the ” Drying of Solids“. Er war von 1930 bis 1969 Professor am MIT. Seine grundlegenden Arbeiten u omender Fluide und sein 1937 erschienenes ¨ ber Stoﬀtransport str¨ Buch Absorption and Extraction“ haben ihn weltweit bekannt gemacht. ”

1.5 Stoﬀ¨ ubergangstheorien

89

matischen Viskosit¨ at ν des Gases gebildete Reynolds-Zahl Re und ν/D die Schmidt-Zahl16 Sc. Beziehungen nach Art der Gleichung (1.185) erh¨alt man aus Experimenten oder in einfachen F¨ allen durch L¨osen der zugeh¨origen partiellen Diﬀerentialgleichungen. Dies ist im Wesentlichen Gegenstand der noch zu er¨ orternden Theorie der Stoﬀ¨ ubertragung. F¨ ur viele praktisch wichtige geometrische Anordnungen und Str¨ omungsf¨ uhrungen ﬁndet man Beziehungen nach Art von (1.185) in der einschl¨ agigen Literatur [1.23] bis [1.26]. Da der Konvektionsstrom h¨ auﬁg nicht allzu groß ist, berechnet man den Stoﬀ¨ ubergangskoeﬃzienten β • durch Multiplikation von β mit einem Korrekturfaktor ζ = β • /β, der in praktischen F¨ allen oft nur wenig von 1 verschieden ist.

1.5 Stoﬀu ¨bergangstheorien Die Berechnung von Stoﬀ¨ ubergangskoeﬃzienten β kann in verschiedener Weise geschehen, wobei man nach der Art des jeweiligen Problems dar¨ uber entscheiden muss, nach welcher Theorie man die Stoﬀ¨ ubergangskoeﬃzienten am besten bestimmt. Die wichtigsten Theorien sind die Film-, die Grenzschichtund die Penetrationstheorie, die hier in ihren Grundz¨ ugen vorgestellt werden sollen.

1.5.1 Die Filmtheorie Die Filmtheorie geht auf eine Arbeit von Lewis und Whitman [1.27] aus dem Jahre 1924 zur¨ uck. Um sie zu erl¨ autern, nehmen wir an, von einer festen oder ﬂ¨ ussigen ruhenden Oberﬂ¨ ache, in Abb. 1.48 als ebene Platte gezeichnet, werde ein Stoﬀ A an ein str¨ omendes Fluid B u ¨ bertragen. Die Konzentration des Stoﬀes A f¨ allt vom Wert cA0 an der Plattenoberﬂ¨ache auf den Wert cAδ im Innern des Fluids. Die Filmtheorie geht nun von der h¨auﬁg zutreﬀenden Annahme aus, dass der Stoﬀ¨ ubergang in einem d¨ unnen wandnahen Fluidﬁlm der Dicke δ stattﬁndet, daher der Name Filmtheorie. Konzentrationen und Geschwindigkeiten sollen sich nur in Richtung der y-Achse, nicht aber, so wird 16

Ernst Schmidt (1892–1975) studierte an den Technischen Hochschulen in Dresden und M¨ unchen Bauingenieurwesen, wechselte dann aber zur Elektrotechnik. Nach einer T¨ atigkeit als Assistent von O. Knoblauch am Laboratorium f¨ ur Angewandte Physik der Technischen Hochschule M¨ unchen wurde er 1925 Professor an der Technischen Hochschule Danzig, 1937 Leiter des Instituts f¨ ur Motorenforschung der Luftfahrtforschungsanstalt in Braunschweig, dann Professor an der Technischen Hochschule Braunschweig. 1952 u ¨bernahm er als Nachfolger von W. Nußelt den Lehrstuhl f¨ ur Thermodynamik der Technischen Hochschule M¨ unchen. Auf ihn gehen grundlegende Arbeiten u.a. zur L¨ osung der instation¨ aren W¨ armeleitungsgleichung, zur Sichtbarmachung thermischer Grenzschichten und zur Ermittlung der Temperaturfelder bei nat¨ urlicher Konvektion zur¨ uck. In einer Arbeit zur Analogie zwischen W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubertragung verwendete er erstmals die heute nach ihm benannte Schmidt-Zahl.

90

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

weiter angenommen, mit der Zeit oder in Richtung der anderen Koordinatenachsen ¨ andern. Das hat zur Folge, dass bei station¨arer Str¨omung die in Richtung der y-Achse u ¨ bertragene Stoﬀmengenstromdichte n˙ A = cA wA konstant bleibt. W¨ are dies nicht der Fall, w¨ urde also in ein Volumenelement des

Abb. 1.48: Konzentrationsproﬁl an u omter Oberﬂ¨ ache ¨berstr¨

Fluids beispielsweise mehr Stoﬀ A ein- als ausstr¨omen, so w¨ urde sich in dem Volumenelement die Konzentration des Stoﬀes A mit der Zeit ¨andern, oder es m¨ usste in x-Richtung Stoﬀ A abﬂießen, damit sich die Konzentration nicht mit der Zeit ¨ andert. Beides ist aber voraussetzungsgem¨aß nicht zul¨assig. Nach der Filmtheorie ist somit dn˙ A =0 . (1.186) dy Daraus ergibt sich f¨ ur verschwindenden Konvektionsstrom n˙ = n˙ A + n˙ B = 0 in Richtung der y-Achse, wegen n˙ A =

u jA

+x ˜A n˙ =

auch

u jA

= −cD d˜ xA /dy

d2 x ˜A =0 , dy 2

wenn man konstante Werte von cD voraussetzt. Das Konzentrationsproﬁl im Film ist eine Gerade: x ˜A − x ˜A0 y = . (1.187) x ˜Aδ − x ˜A0 δ Andererseits galt f¨ ur verschwindenden Konvektionsstrom an der Wand, n˙ 0 → 0, nach (1.181)

d˜ xA n˙ A0 = β(cA0 − cAδ ) = −cD . (1.188) dy 0 Nach (1.187) ist

−cD

d˜ xA dy

= −c 0

D D (˜ xAδ − x˜A0 ) = (cA0 − cAδ ) δ δ

und daher β=

D . δ

(1.189)

1.5 Stoﬀ¨ ubergangstheorien

91

Da die Filmdicke δ meistens nicht bekannt ist, kann man aus dieser Gleichung zwar keine Stoﬀ¨ ubergangskoeﬃzienten β berechnen. Man kann sich diese jedoch f¨ ur die in der Praxis h¨ auﬁg vorkommenden F¨alle aus der einschl¨ agigen Literatur (z.B. [1.23] bis [1.26]) verschaﬀen und dann mit (1.189) die Filmdicke absch¨ atzen. Der Stoﬀ¨ ubergangskoeﬃzient β f¨ ur verschwindenden Konvektionsstrom n˙ 0 → 0 ist nach der Filmtheorie proportional dem Diﬀusionskoeﬃzienten. Zu einem anderen Ergebnis kommt man, wenn man einen endlichen Konvektionsstrom n˙ zul¨ asst. Dann ist weiterhin dn˙ A =0 . dy Einsetzen der Stoﬀstromdichte n˙ A =

u jA

+ x˜A n˙ = −cDd˜ xA /dy + x˜A n˙

ergibt nun unter der Annahme cD = const die Diﬀerentialgleichung zweiter Ordnung d2 x ˜A d˜ xA −cD + n˙ =0 , 2 dy dy die unter den Randbedingungen x ˜A (y = 0) = x ˜A0 und x ˜A (y = δ) = x ˜Aδ zu l¨ osen ist. Hierzu formen wir die Gleichung um in dln˜ xA n˙ = dy cD mit x˜A = d˜ xA /dy. Die Integration ergibt unter Beachtung der Randbedingungen das Konzentrationsproﬁl x ˜A (y) zu n˙ exp( y) − 1 x ˜A − x ˜A0 cD = . n˙ x ˜Aδ − x ˜A0 exp( δ) − 1 cD

(1.190)

F¨ ur verschwindenden Konvektionsstrom n˙ → 0 folgt daraus das zuvor berechnete Konzentrationsproﬁl nach (1.187). Um dies zu zeigen, hat man lediglich die Taylorreihe der Exponentialfunktion an der Stelle n˙ = 0 zu bilden. Die an der Oberﬂ¨ ache y = 0 (Index 0 = Wand) in Richtung der y-Achse u ¨ bertragene Stoﬀstromdichte ist

d˜ xA n˙ A = − cD +x ˜A0 n˙ . (1.191) dy 0 Sie ist nach der Filmtheorie konstant und gleich dem Wert an der Wand. Dort ist n˙ A = n˙ A0 und n˙ = n˙ 0 . Diﬀerentiation von (1.190) und Einsetzen in (1.191) ergibt

92

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

n˙ +x ˜A0 n˙ . nδ ˙ exp( )−1 cD Wie der Vergleich mit (1.183) zeigt, ist n˙ A = −(˜ xAδ − x ˜A0 )

β• =

n/c ˙ . nδ ˙ exp( )−1 cD

(1.192)

(1.193)

Setzt man noch gem¨ aß (1.189) den Stoﬀ¨ ubergangskoeﬃzienten β = D/δ f¨ ur verschwindenden Konvektionsstrom ein, so ﬁndet man nach der Filmtheorie folgenden Zusammenhang zwischen den Stoﬀ¨ ubergangskoeﬃzienten β • und β, der in Abb. 1.49 dargestellt ist: β• =ζ = β

n/cβ ˙ . n˙ exp( ) − 1 cβ

(1.194)

Den Faktor ζ bezeichnet man als Stefan-Korrektur“ [1.28]. Um die ausge”

Abb. 1.49: Stefan-Korrektur ζ = β • /β nach der Filmtheorie

tauschte Stoﬀmenge nach der Filmtheorie zu berechnen, wird man sich also zuerst den Stoﬀ¨ ubergangskoeﬃzienten β beschaﬀen. F¨ ur verschwindenden Konvektionsstrom ist die u ur endlichen ¨ bertragene Stoﬀmenge durch (1.181), f¨ Konvektionsstrom durch (1.183) gegeben. Als Sonderfall enth¨ alt (1.192) auch den Fall des einseitigen Stoﬀ¨ ubergangs mit n˙ A = n˙ und n˙ B = 0. Aus (1.192) folgt dann

x ˜A0 − x ˜Aδ n˙ A δ = exp −1 1−x ˜A0 cD oder, aufgel¨ ost nach n˙ A ,

1.5 Stoﬀ¨ ubergangstheorien

n˙ A =

cD 1 − x ˜Aδ cD x ˜Bδ x˜Bδ ln = ln = cβln δ 1 − x˜A0 δ x ˜B0 x ˜B0

93

(1.195)

¨ in Ubereinstimmung mit der schon fr¨ uher gefundenen Gl. (1.172). Bei der Trocknung feuchter G¨ uter durch Luft rechnet man nicht mit Molanteilen, sondern mit Beladungen. Wir betrachten als Beispiel ein feuchtes Gut, das Wasser enth¨ alt und durch Luft getrocknet wird. Um die bisherigen Bezeichungen beibehalten zu k¨ onnen, kennzeichnen wir den einen Stoﬀ, das Wasser, durch den Index A und den anderen, die Luft, durch den Index B. Da der Wassergehalt der feuchten Luft gering ist, kann man (1.195) wegen ln(1 − x˜A ) ≈ −˜ xA auch n˙ A = cβ(˜ xA0 − x˜Aδ ) schreiben. Hierin wollen wir die Beladung einf¨ uhren. Sie ist bekanntlich deﬁniert durch XA = MA /MB , wobei MA die Masse des Wassers und MB die der trockenen Luft ist, wof¨ ur ˜ = M/N auch man mit der Molmasse M XA =

˜ A NA ˜A x ˜A x M M ˜A M ˜A = = ˜ ˜ ˜ N x ˜ 1 − x ˜A MB B MB B MB

schreiben kann. Auﬂ¨ osen nach dem Molanteil des Wassers ergibt x˜A =

˜ B /M ˜A XA M . ˜ B /M ˜A 1 + XA M

Wassergehalte sind bei Umgebungsdruck von der Gr¨oßenordnung 20 · 10−3 ˜ B /M ˜ A ≈ 0,03 1. Es gilt daher in kg/kg, und daher ist der Term XA M guter N¨ aherung ˜ B /M ˜A . x ˜ A = XA M Die ausgetauschte Stoﬀmengenstromdichte des Wassers wird damit n˙ A = cβ

˜B M (X − XAδ ) ˜ A A0 M

und die Massenstromdichte ˜ A = cβ M ˜ B (XA0 − XAδ ) . m ˙ A = n˙ A M ˜ B . Damit erh¨alt Es ist c = p/Rm T und die Gaskonstante der Luft RB = Rm /M man f¨ ur die u ¨ bergehende Massenstromdichte des Wassers m ˙A=

p β(XA0 − XAδ ) . RB T

(1.195a)

94

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

1.5.2 Die Grenzschichttheorie Der Grenzschichttheorie liegt ebenso wie der Filmtheorie die Vorstellung zugrunde, dass der Stoﬀ¨ ubergang, wie in Abb. 1.48 skizziert, in einer d¨ unnen wandnahen Schicht erfolgt. Konzentrationen und Geschwindigkeiten d¨ urfen sich nun aber nicht nur in Richtung der y-Achse, sondern im Unterschied zur Filmtheorie auch in Richtung der anderen Koordinatenachsen ¨andern. ¨ Da jedoch die Anderung des Konzentrationsproﬁls in der d¨ unnen wandnahen ¨ Grenzschicht groß im Vergleich zur Anderung in Richtung der u ¨ brigen Koordinatenachsen ist, gen¨ ugt es, nur die Diﬀusion in Richtung der y-Achse zu ber¨ ucksichtigen. Dadurch vereinfachen sich, wie noch gezeigt wird, die Diﬀerentialgleichungen f¨ ur das Konzentrationsfeld erheblich. Als Ergebnis erh¨alt man Konzentrationsproﬁle, aus denen man Stoﬀ¨ ubergangskoeﬃzienten β entsprechend der Deﬁnition (1.179) berechnen kann. In der Technik gen¨ ugt es meistens, mit mittleren Stoﬀ¨ ubergangskoeﬃzienten 1 βm = L

L β dx x=0

zu rechnen. Man erh¨ alt sie f¨ ur erzwungene Str¨omung aus Gleichungen der Form Shm = f (Re, Sc) mit der mittleren Sherwood-Zahl Shm = βm L/D. Die Funktionen f¨ ur die mittlere Sherwood-Zahl sind praktisch identisch mit denen f¨ ur die mittlere Nußelt-Zahl N um = f (Re, P r) und f¨ ur u achen gut bekannt. Man kann sie beispielswei¨ berstr¨omte Oberﬂ¨ se dem VDI-W¨ armeatlas [1.29] entnehmen, indem man dort die Nußelt-Zahl durch die Sherwood-Zahl und die Prandtl-Zahl durch die Schmidt-Zahl ersetzt. Wie man W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten ermittelt und sie mit Hilfe dimensionsloser Kennzahlen darstellt, war bereits in Kapitel 1.1.4 er¨ortert worden. So l¨ asst sich beispielsweise die mittlere Nußelt-Zahl N um = αm L/λ bei erzwungener Str¨ omung durch Ausdr¨ ucke der Form N um = c Ren P rm

(1.196)

darstellen. In (1.196) sind die Gr¨ oßen c, n, m noch von der Art der Str¨omung, laminar oder turbulent, und der Gestalt des umstr¨omten K¨orpers oder durchstr¨ omten Kanals abh¨ angig. Entsprechend gilt f¨ ur die mittlere Sherwood-Zahl Shm = c Ren Scm .

(1.197)

Aus (1.197) kann man den mittleren Stoﬀ¨ ubergangskoeﬃzienten berechnen. Man kann ihn aber auch auf den mittleren W¨arme¨ ubergangskoeﬃzienten

1.5 Stoﬀ¨ ubergangstheorien

95

zur¨ uckf¨ uhren, indem man (1.197) durch (1.196) dividiert. Man erh¨alt dann einen Zusammenhang zwischen dem W¨arme- und dem Stoﬀ¨ ubergangskoefﬁzienten, die sogenannte Lewissche Beziehung

m Shm βm λ Sc a !m = = = = Lem N um D αm Pr D oder βm =

αm = Lem−1 . cp

(1.198)

Hierin ist m ≈ 1/3 und die dimensionslose Gr¨ oße Le = a/D die Lewis-Zahl.17 Sie ist f¨ ur ideale Gase von der Gr¨ oßenordnung 1, so dass f¨ ur diese in grober N¨ aherung βm = αm /cp (1.199) gilt. Einige Werte der Lewis-Zahl sind in Tabelle 1.5 angegeben. Tabelle 1.5: Lewis-Zahlen einiger Gasgemische bei 0 in Luft Wasserdampf Kohlendioxid Methanol Ethanol Benzol

0,87 1,33 1,41 1,79 2,40

in Wasserstoﬀ 1,84 2,34 2,68 3,57 4,24

und 1 bar

in Kohlendioxid 0,627 — 1,03 1,33 1,74

Die Gl. (1.198) und (1.199) werden auch Lewissches Gesetz genannt. Die so bestimmten Stoﬀ¨ ubergangskoeﬃzienten βm gelten deﬁnitionsgem¨aß nur f¨ ur verschwindenden Konvektionsstrom und m¨ ussen im Fall eines endlichen Kon• vektionsstroms korrigiert werden. Korrekturfaktoren ζ = βm /βm , die man mit den Annahmen der Grenzschichttheorie f¨ ur eine laminar l¨angsangestr¨omte ebene Platte berechnet, zeigt Abb. 1.50. Sie sind gr¨oßer als die Korrekturfaktoren nach der Filmtheorie f¨ ur einen Konvektionsstrom aus der Phase und kleiner f¨ ur einen Konvektionsstrom in die Phase. 17

Warren Kendall Lewis (1882–1978) studierte am Massachussetts Institute of Technology (MIT) Chemieingenieurwesen und promovierte 1908 an der Universit¨ at Breslau in Chemie. Von 1910 bis 1948 war er Professor am MIT. Seine Hauptt¨ atigkeitsgebiete waren die Filtration, Destillation und Absorption. In seiner Arbeit The evaporation of a liquid into a gas“, Mech. Engineering 44 (1922) 445–448, ” behandelte er den gleichzeitigen W¨ arme- und Stoﬀaustausch bei der Verdunstung und zeigte, wie sich W¨ arme- und Stoﬀaustausch gegenseitig beeinﬂussen.

96

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

Abb. 1.50: Stefan-Korrektur • ζ = βm /βm nach der Film-, der Grenzschicht- und nach der Penetrationstheorie, nach [1.30]

1.5.3 Die Penetrations- und die Oberﬂ¨ achenerneuerungstheorie Die Film- und die Grenzschichttheorie setzen einen station¨aren Stoﬀtransport voraus, gelten also nicht mehr, wenn sich in einem Volumenelement Material ansammelt, so dass sich die Konzentration mit der Zeit ¨andert. In vielen Stoﬀaustauschapparaten werden jedoch Fluide miteinander oder Fluide mit Feststoﬀen w¨ ahrend so kurzer Zeiten in Kontakt gebracht, dass sich kein station¨ arer Zustand einstellen kann. Steigt beispielsweise eine Luftblase in Wasser auf, so wird nur an den Stellen Wasser in die Luftblase verdunsten, an denen sich die Blase gerade beﬁndet. Die Kontaktzeit mit der Wassermenge, welche die Luftblase umgibt, ist etwa gleich der Zeit, die erforderlich ist, damit sich die Luftblase um einen Durchmesser weiter bewegt. An einem festen Ort wird daher nur kurzzeitig Stoﬀ u ¨ bertragen. Die Penetrationstheorie wurde von Higbie 1935 [1.31] f¨ ur den hier geschilderten kurzzeitigen Stoﬀaustausch zwischen Dampfblasen und Fl¨ ussigkeiten entwickelt. Wie Higbie zeigte, ist der Stoﬀ¨ ubergangskoeﬃzient umgekehrt proportional der Wurzel aus der Kontaktzeit und gegeben durch " 2 D βm = √ . (1.200) π t Hierin ist βm der mittlere Stoﬀ¨ ubergangskoeﬃzient von der Zeit t = 0 bis zur Zeit t. Wie die Erfahrung zeigt, erh¨ alt man brauchbare Werte des Stoﬀ¨ ubergangskoeﬃzienten, wenn man die Kontaktzeit aus der mittleren Steig- oder Sinkgeschwindigkeit w von Blasen oder Tropfen und ihrem Durchmesser d berechnet: t = d/w. Schwieriger ist es, die Kontaktzeit in gasdurchstr¨omten F¨ ullk¨ orpersch¨ uttungen zu bestimmen, in denen eine Fl¨ ussigkeit herabrieselt.

1.5 Stoﬀ¨ ubergangstheorien

97

Abb. 1.51: Zur Oberﬂ¨ achenerneuerungstheorie. M¨ oglicher Verlauf der Stromlinien beim Kontakt zwischen zwei Fl¨ ussigkeiten oder einer Fl¨ ussigkeit und einem Gas

Die von Dankwerts 1951 [1.32] entwickelte Oberﬂ¨achenerneuerungstheorie stellt eine Erweiterung der Penetrationstheorie dar. W¨ahrend Higbie stets an allen Orten eines Apparates gleiche Kontaktzeiten zwischen den Phasen voraussetzte, nahm Dankwerts an, dass Fluidelemente, die miteinander in Kontakt geraten, verschiedene Verweilzeiten haben, die durch ein Verweilzeitspektrum beschrieben werden. Man hat sich dies so vorzustellen, dass der Stoﬀaustausch zwischen zwei ﬂuiden Phasen verschiedener miteinander in Kontakt gebrachter Stoﬀe, in einzelnen Str¨ omungszellen gem¨aß Abb. 1.51 abl¨ auft. Die Kontaktzeit zwischen den einzelnen Fluidelementen gehorcht einer Verteilungsfunktion, und nach einer gewissen Zeit kann ein Fluidelement wieder von der Kontaktﬂ¨ ache verdr¨ angt und durch ein anderes ersetzt werden. Aus diesem Grund spricht man von Oberﬂ¨achenerneuerungstheorie. Sie ist mit Erfolg auf die Absorption von Gasen in ger¨ uhrten Fl¨ ussigkeiten angewandt worden. Meistens sind jedoch die Zeitanteile bis zur Oberﬂ¨achenerneuerung ebenso wenig bekannt wie die Kontaktzeiten der Penetrationstheorie, so dass beide Theorien zwar f¨ ur das Verst¨ andnis von Stoﬀaustauschvorg¨angen n¨ utzlich, zu deren Berechnung oft jedoch nicht anwendbar sind.

1.5.4 Anwendung der Filmtheorie auf die Verdunstungsku ¨hlung Als eine Anwendung der Filmtheorie untersuchen wir die Verdunstungsk¨ uhlung. Eine feste, adiabat isolierte Wand sei nach Abb. 1.52 von einem Wasserﬁlm bedeckt, u attigte feuchte Luft hinwegstr¨omt. ¨ ber den unges¨

Abb. 1.52: Adiabate Verdunstungsk¨ uhlung. Temperaturen ϑ und Partialdr¨ ucke pA des Wassers in der Luft

98

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

Die feuchte Luft nimmt dann Wasserdampf aus dem Wasserﬁlm auf. Dadurch k¨ uhlen sich Wasserﬁlm und Luft ab, bis sich nach einiger Zeit eine zeitlich und ¨ ortlich konstante Beharrungstemperatur im Wasserﬁlm einstellt. Sie ist u ¨ ber den ganzen Wasserﬁlm konstant, weil der Wasserﬁlm an eine adiabate Wand angrenzt und ihm daher keine W¨arme zugef¨ uhrt wird. Die adiabate Beharrungstemperatur nennt man auch K¨ uhlgrenztemperatur. Der Stoﬀaustauschwiderstand liegt allein auf der Gasseite. Nach Einstellen der Beharrungstemperatur verdunstet weiterhin Wasser in die vorbeistr¨omende unges¨ attigte Luft. Da die Temperatur des Wasserﬁlms konstant ist, wird die zur Verdunstung erforderliche Verdampfungsenthalpie von der vorbeistr¨omenden Luft als W¨ arme zugef¨ uhrt. Abb. 1.52 zeigt, wie im Beharrungszustand das Temperaturproﬁl und der Partialdruck des Wasserdampfes in der Luft verlaufen. K¨ uhlgrenztemperaturen liegen unterhalb der Temperatur der vorbeistreichenden feuchten Luft. Man kann somit ein feuchtes Gut durch Verdunstung bis auf die K¨ uhlgrenztemperatur abk¨ uhlen. Wir stellen uns die Frage, wie groß die K¨ uhlgrenztemperatur ist. Sie wird durch die Wassermenge bestimmt, die infolge Stoﬀ¨ ubertragung von der Wasseroberﬂ¨ ache an die feuchte Luft u ¨bergeht. Da einseitige Diﬀusion vorliegt, ist die u ¨bergehende Wassermenge (Stoﬀ A) nach (1.195) an der Phasengrenze I zwischen Wasser und Luft gegeben durch ˜Aδ ˜ A cβ ln 1 − x m ˙A=M , 1−x ˜AI

(1.201)

wenn x˜AI der Molanteil des Wasserdampfes in der Luft an der Wasseroberﬂ¨ache und x ˜Aδ der Molanteil in großer Entfernung von der Wasseroberﬂ¨ache ist. Da sich die Menge der trockenen Luft (Stoﬀ B) nicht a¨ndert, ist es zweckm¨aßig, mit Beladungen XA = MA /MB zu rechnen. Es ist x ˜A =

˜ B /M ˜A NA NA XA M = = . ˜ B /M ˜A N NA + NB 1 + XA M

Damit kann man (1.201) auch schreiben ˜ A cβ ln m ˙A=M

˜ B /M ˜A 1 + XAI M . ˜ B /M ˜A 1 + XAδ M

(1.202)

Hierin sind die Beladung XAI an der Wasseroberﬂ¨ache und die u ¨ bergehende Massenstromdichte m ˙ A noch unbekannt. Da an der Wasseroberﬂ¨ache S¨attigung herrscht, ist die Beladung XAI , wie die Thermodynamik lehrt [1.33], durch ps (ϑI ) XAI = 0,622 (1.203) p − ps (ϑI ) gegeben, wobei ps der S¨ attigungsdruck des Wasserdampfes bei der Temperatur ϑI der Wasseroberﬂ¨ ache ist.

1.5 Stoﬀ¨ ubergangstheorien

99

Als weitere Gleichung steht noch die Energiebilanz zur Verf¨ ugung. Um sie aufzustellen, betrachten wir ein Bilanzgebiet im Gas, das gem¨aß den gestrichelten Linien in Abb. 1.53 vom Gas an der Wasseroberﬂ¨ache bis zu einer beliebigen Stelle y reicht.

Abb. 1.53: Zur Energiebilanz bei Verdunstungsk¨ uhlung

Die Energiebilanz f¨ ur eine station¨ are ebene Str¨omung lautet dann q˙I + m ˙ A hI = q˙ + m ˙ A h = const . Darin sind die W¨armestromdichten q˙I und q˙ entgegen der y-Achse gerichtet und somit negativ. Durch Diﬀerentiation folgt d (q˙ + m ˙ A h) = 0 . dy Daraus erh¨ alt man mit q˙ = −λdϑ/dy und dh = cpA dϑ f¨ ur den Temperaturverlauf ϑ(y) die gew¨ ohnliche Diﬀerentialgleichung −λ

d2 ϑ dϑ +m ˙ A cpA =0 , dy 2 dy

(1.204)

die wir f¨ ur die Randbedingungen

ϑ(y = 0) = ϑI l¨ osen. Man erh¨ alt ϑ − ϑI = −

und

q˙I = −λ

dϑ dy y =0

q˙I m ˙ A cpA exp y −1 . m ˙ A cpA λ

(1.205)

Die Temperatur ϑδ in gr¨ oßerer Entfernung y = δ von der Wasseroberﬂ¨ache ist somit

q˙I m ˙ A cpA ϑδ − ϑI = − exp δ −1 . (1.206) m ˙ A cpA λ Wenn der Verdunstungsstrom sehr klein wird, m ˙ A → 0, wird W¨arme nur durch Leitung quer zur Str¨ omungsrichtung der feuchten Luft u ¨bertragen. Der Wasseroberﬂ¨ ache wird dann eine W¨ armestromdichte

100

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

q˙I = α(ϑI − ϑδ )

(m ˙ A → 0)

(1.207)

zugef¨ uhrt. Durch diese Gleichung ist, wie in Abschnitt 1.1.3 gezeigt wurde, der W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient α deﬁniert. Durch Grenz¨ ubergang m ˙A → 0 erh¨ alt man andererseits aus (1.206): q˙I m ˙ A cpA ϑδ − ϑI = − 1+ δ + ···− 1 (1.208) m ˙ A cpA λ oder

λ (ϑI − ϑδ ) (m ˙ A → 0) . δ Wie der Vergleich mit (1.207) zeigt, ist α = λ/δ. Wir setzen dies in (1.206) ein und beachten weiter, dass die der Wasseroberﬂ¨ache zugef¨ uhrte W¨arme zur Verdunstung dient. Dann gilt q˙I =

q˙I = −m ˙ A Δhv , wenn Δhv die Verdampfungsenthalpie des Wassers bei der Temperatur ϑI ist. Damit l¨ asst sich (1.206) umformen in m ˙ A cpA cpA = ln 1 + (ϑδ − ϑI ) . (1.209) α Δhv In dieser Gleichung sind ebenfalls die Gr¨ oßen m ˙ A und ϑI unbekannt, so dass nun mit der aus der Mengenbilanz folgenden Gl. (1.202) eine zweite Gleichung f¨ ur die beiden Unbekannten zur Verf¨ ugung steht. Mit Hilfe von (1.202) eliminieren wir die Massenstromdichte m ˙ A aus (1.209) und erhalten zur Berechnung der K¨ uhlgrenztemperatur ϑI die Beziehung ⎡ ⎤ ˜ A cβcpA /α) (M ˜ ˜ Δhv ⎢ 1 + XAI MB /MA ⎥ ϑδ − ϑI = − 1⎦ . (1.210) ⎣ ˜ B /M ˜A cpA 1 + XAδ M Diese l¨ asst sich f¨ ur kleine Verdunstungsraten m ˙ A → 0 noch vereinfachen. Dazu schreiben wir (1.202) ˜ B /M ˜A 1 + XAI M m ˙A m ˙A = exp =1+ + ... ˜ ˜ ˜ ˜ 1 + XAδ MB /MA MA cβ MA cβ

.

F¨ ur kleine Verdunstungsraten ist somit ˜ B cβ m ˙A=M

XAI − XAδ . ˜ B /M ˜A 1 + XAδ M

Hieraus folgt mit (1.208) und mit q˙I = −m ˙ A Δhv die f¨ ur kleine Verdunstungsraten m ˙ A → 0 g¨ ultige Beziehung

1.6 Stoﬀdurchgang

˜B ϑδ − ϑI = M

cβ XAI − XAδ Δhv . ˜ B /M ˜A α 1 + XAδ M

101

(1.211)

Aus (1.210) bzw. (1.211) erh¨ alt man die K¨ uhlgrenztemperatur ϑI , da nach (1.203) auch die Beladung XAI durch die Temperatur ϑI festliegt. Man kann umgekehrt aus beiden Gleichungen durch Messen der K¨ uhlgrenztemperatur den Wassergehalt XAδ von feuchter Luft berechnen. Nach diesem Verfahren arbeitet das Assmannsche Aspirationspsychrometer. Es besteht aus zwei Thermometern, von denen das eine, das sogenannte Feuchtthermometer, mit einem in Wasser getr¨ ankten Gewebestrumpf u ¨ berzogen ist, der den F¨ uhler dieses Thermometers st¨ andig feucht h¨alt. Es wird durch einen Ventilator mit Luft u uhlgrenz¨ berblasen und erreicht nach einiger Zeit die K¨ temperatur ϑI , w¨ahrend das zweite Thermometer, das sogenannte Trockenthermometer, die Temperatur ϑδ der vorbeistreichenden Luft anzeigt. Aus diesen Messwerten ergibt sich dann mit Hilfe von (1.210) bzw. (1.211) der Wassergehalt XAδ der feuchten Luft. Beispiel 1.9: Das Trockenthermometer eines Assmannschen Aspirationspsychrometer zeigt eine Temperatur ϑδ von 30 an, w¨ ahrend das Feuchtthermometer die Temperatur ϑI = 15 anzeigt. Der Gesamtdruck sei p = 1000 mbar. Man berechne die Wasserbeladung XAδ und die relative Feuchte der Luft. F¨ ur feuchte ˜ A cβm cpA /αm = Luft ergibt sich aus dem Lewisschen Gesetz (1.198) der Wert M 1,30, die Verdampfungsenthalpie des Wassers bei 15 ist Δhv = 2466,1 kJ/kg, die spez. W¨ armekapazit¨ at cpA = 1,907 kJ/kgK und die Molmasse des Wassers ˜ A = 18,015 kg/kmol, die der trockenen Luft M ˜ B = 28,953 kg/kmol. M Nach (1.203) ist mit pS (15 ) = 17,039 mbar: XAI = 0,622 · 17,039/(1000 − 17,039) = 1,078 · 10−2 . Aus (1.210) folgt dann "„ # «1,3 2466,1 · 103 1 + 1,078 · 10−2 · 28,953/18,015 (30 − 15) = −1 . 1907 1 + XAδ · 28,953/18,015 Man erh¨ alt XAδ = 5,189 · 10−3 . Mit (1.211) ﬁndet man praktisch denselben Wert XAδ = 5,182 · 10−3 . Die relative Feuchte ist ϕ=

pA XAδ p = pAs 0,622+XAδ ps (30

)

=

5,189 · 10−3 1000 = 0,195 = 19,5% . 0,622+5,189 · 10−3 42,41

(Diesen Wert ﬁndet man auch aus dem Mollierschen h1+X , X-Diagramm).

1.6 Stoﬀdurchgang W¨ ahrend W¨ arme h¨ auﬁg von einem Fluid durch eine feste Wand an ein anderes Fluid u ubertragung meistens eine oder ¨ bertragen wird, werden bei der Stoﬀ¨ mehrere Komponenten aus einer Phase in eine andere u uhrt, die sich di¨berf¨ rekt ber¨ uhren und nicht durch eine feste Wand getrennt sind. In str¨omenden Fluiden wird die Phasengrenze durch die zwischen den Fluiden ausge¨ ubten

102

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

¨ Kr¨ aften unregelm¨ aßig verformt. Als Beispiel betrachten wir die Ubertragung einer Komponente A aus einem gasf¨ ormigen Zweistoﬀgemisch der Komponenten A und B an eine Fl¨ ussigkeit C, in der sich nur Stoﬀ A l¨ost. Den Verlauf des Molanteils y˜A in der gasf¨ ormigen und x˜A in der ﬂ¨ ussigen Phase zeigt Abb. 1.54. Mit y˜Am und x ˜Am sind die integralen Mittelwerte des Molanteils in jeder Phase bezeichnet. Die Komponente A hat auf ihrem Weg von der gasf¨ormigen in die ﬂ¨ ussige Phase drei Stoﬀ¨ ubergangswiderst¨ande zu u ¨berwinden: Den der ¨ gasf¨ ormigen Phase, einen Widerstand beim Ubergang von der gasf¨ormigen in die ﬂ¨ ussige Phase und einen Widerstand bei der Wanderung in die ﬂ¨ ussige Phase hinein. Der Stoﬀ¨ ubergang der Komponente A von der gasf¨ormigen in die ﬂ¨ ussige Phase an der Phasengrenze l¨ auft jedoch sehr schnell ab verglichen mit der viel langsameren Wanderung durch die gasf¨ormige und die ﬂ¨ ussige Phase. Man kann daher den Stoﬀ¨ ubergangswiderstand an der Phasengrenze vernachl¨ assigen und annehmen, an der Phasengrenze herrsche Gleichgewicht hinsichtlich des Stoﬀaustausches. Da der Stoﬀ¨ ubergang durch die Diﬀusion an der Grenze zwischen den beiden Phasen bestimmt wird, spricht man von der Zweiﬁlmtheorie des Stoﬀaustausches. Die ihr zugrunde liegende Annahme des Gleichgewichts an der Phasengrenze ist nicht mehr g¨ ultig, wenn dort chemische Reaktionen ablaufen oder wenn sich Spuren von oberﬂ¨achenaktiven Komponenten an der Phasengrenze ansammeln und die Stoﬀ¨ ubertragung behindern; ebensowenig kann man Gleichgewicht an der Phasengrenze voraussetzen, wenn sehr große Stoﬀmengenstr¨ ome u ¨ bertragen werden, der Stoﬀaustausch in den Phasen also sehr rasch abl¨ auft.

Abb. 1.54: Molanteile beim Stoﬀ¨ ubergang von einer Gasin eine Fl¨ ussigphase

Im Fall des Gleichgewichts an der Phasengrenze, den wir hier betrachten wollen, sind bei vorgegebenen Werten von Druck oder Temperatur die Molanteile y˜AI und x ˜AI an der Phasengrenze, wie die Gleichgewichtsthermodynamik lehrt, durch eine Beziehung pAI = y˜AI p = f (˜ xAI )

(1.212)

miteinander verkn¨ upft. Wir wollen im Folgenden voraussetzen, dass der Stoﬀu ahe der Phasengrenze haupts¨achlich durch Diﬀusion be¨ bergang in der N¨ stimmt wird und der Konvektionsstrom zur Phasengrenze gering ist. Dann gilt f¨ ur den Stoﬀ¨ ubergang an der Phasengrenze Gl. (1.181), die wir f¨ ur jede der beiden Phasen anschreiben k¨ onnen. Beachtet man den Zusammenhang

1.6 Stoﬀdurchgang

103

zwischen Molanteil und molarer Volumenkonzentration, (cA /c)G = y˜A und (cA /c)L = x˜A (G = Gas, L = Fl¨ ussigkeit), so gilt f¨ ur die Stoﬀstromdichte in der Gasphase n˙ AI = (βc)G (˜ yAm − y˜AI ) (1.213) und f¨ ur die in der Fl¨ ussigphase n˙ AI = (βc)L (˜ xAI − x˜Am ) .

(1.214)

Daraus folgt y˜Am − y˜AI = und x ˜AI − x˜Am =

n˙ AI (βc)G

(1.215)

n˙ AI . (βc)L

(1.216)

Die Molanteile y˜AI und x ˜AI an der Phasengrenze sind hierin durch eine thermodynamische Beziehung (1.212) voneinander abh¨angig. Da Gase nur schwach in Fl¨ ussigkeiten l¨ oslich sind, ist der Molanteil x ˜AI meistens sehr klein. Gl. (1.212) kann daher durch den als Henrysches Gesetz18 bekannten linearen Ansatz der Form y˜AI = kH x˜AI /p (1.217) angen¨ ahert werden, in dem der Henrysche Koeﬃzient f¨ ur Zweistoﬀgemische nur von der Temperatur abh¨ angt, kH (ϑ). Wir ordnen nun dem Molanteil x˜Am in der Fl¨ ussigkeit mit Hilfe des Henryschen Gesetzes einen Molanteil y˜Aeq in der Gasphase zu, y˜Aeq = kH x ˜Am /p , (1.218) wobei y˜Aeq der Molanteil von A in einem Gas ist, das mit der Fl¨ ussigkeit vom Molanteil x ˜Am im Gleichgewicht (lateinisch equilibrium, daher der Index eq) steht. Mit (1.217) und (1.218) geht (1.216) u ¨ber in y˜AI − y˜Aeq =

n˙ AI kH . (βc)L p

(1.219)

Addition von (1.215) und (1.219) ergibt 1 kH y˜Am − y˜Aeq = n˙ AI + . (βc)G (βc)L p Wir schreiben stattdessen n˙ AI = kG (˜ yAm − y˜Aeq ) ,

(1.220)

mit dem auf den Unterschied der Molanteile in der Gasphase bezogenen Stoﬀdurchgangskoeﬃzienten 18

Benannt nach William Henry (1775–1836), Fabrikbesitzer in Manchester, der dieses Gesetz 1803 aufstellte.

104

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

1 1 kH = + . kG (βc)G (βc)L p

(1.221)

Eliminiert man in (1.215) den Molanteil y˜Am durch y˜Am = kH x˜Aeq und den Molanteil y˜AI durch (1.217), so erh¨ alt man mit (1.216) die der Gl. (1.220) aquivalente Beziehung ¨ n˙ AI = kL (˜ xAeq − x ˜Am ) (1.222) mit dem auf den Unterschied der Molanteile in der Fl¨ ussigphase bezogenen Stoﬀdurchgangskoeﬃzienten 1 p 1 = + . kL kH (βc)G (βc)L

(1.223)

Der Widerstand f¨ ur den Stoﬀdurchgang nach (1.221) und (1.223) setzt sich aus den Stoﬀ¨ ubergangswiderst¨ anden in der Gas- und in der Fl¨ ussigphase zusammen. Aus beiden Gleichungen erkennt man, wie sich der Stoﬀ¨ ubergangswiderstand auf die Phasen verteilt. Damit l¨ asst sich nachpr¨ ufen, ob einer der Stoﬀ¨ ubergangswiderst¨ ande im Vergleich zum anderen vernachl¨assigt werden kann, so dass man nur den Stoﬀ¨ ubergang in einer Phase zu untersuchen hat. Stoﬀdurchgangskoeﬃzienten lassen sich jedoch nur dann in so einfacher Weise, wie hier gezeigt, aus den Stoﬀ¨ ubergangskoeﬃzienten bilden, wenn das Phasengleichgewicht durch einen linearen Ansatz nach Art von Gl. (1.217) beschrieben werden kann. Dieses triﬀt meistens nur auf Vorg¨ange der Absorption von Gasen in Fl¨ ussigkeiten zu, weil die L¨ oslichkeit von Gasen in Fl¨ ussigkeiten gering ist und daher durch das Henrysche Gesetz (1.217) beschrieben werden kann. Sogenannte ideale Fl¨ ussigkeitsgemische lassen sich ebenfalls durch einen linearen Ansatz beschreiben (Raoultsches Gesetz). Sie kommen in der Technik jedoch nur selten vor. Infolgedessen spielt das Rechnen mit Stoﬀdurchgangskoeﬃzienten in der Stoﬀ¨ ubertragung eine geringere Rolle als das Rechnen mit W¨ armedurchgangskoeﬃzienten in der W¨ arme¨ ubertragung.

1.7 Stoﬀu ¨ bertrager In Apparaten der Stoﬀ¨ ubertragung werden Mehrstoﬀgemische in einzelne oder mehrere Komponenten zerlegt oder umgekehrt aus einzelnen oder mehreren Komponenten Gemische hergestellt. Man bringt dazu in den Stoﬀ¨ ubertragern verschiedene Komponenten miteinander in Kontakt und nutzt die unterschiedliche L¨ oslichkeit der einzelnen Komponenten in den Phasen aus. Ein Beispiel, das wir schon behandelten, war die Aufnahme einer Komponente aus einem Fl¨ ussigkeitsgemisch durch Verdunsten in ein Gas hinein. Wir beschr¨anken uns im Folgenden auf solche Stoﬀ¨ ubertrager, in denen physikalische Vorg¨ange ablaufen, lassen also chemische Reaktionen außer acht. Deren Einﬂuss auf den Stoﬀaustausch wird in Abschnitt 2.5 behandelt. Der Stoﬀaustausch soll zwischen Phasen ablaufen, die sich in direktem Kontakt beﬁnden und nicht wie in

1.7 Stoﬀ¨ ubertrager

105

Membranapparaten durch eine nur f¨ ur bestimmte Komponenten durchl¨assige Wand getrennt sind. Die einzelnen Phasen werden wegen des besseren Stoﬀaustausches fast immer im Gegenstrom zueinander gef¨ uhrt. Die am h¨auﬁgsten eingesetzten Stoﬀtrennverfahren sind die Absorption, die Extraktion und die Rektiﬁkation. Bei der Absorption werden aus einem Gasgemisch eine oder mehrere Komponenten von einer Fl¨ ussigkeit oder auch einem Feststoﬀ aufgenommen. Durch Extraktion werden aus Fl¨ ussigkeits- oder Feststoﬀgemischen einzelne Komponenten mit einer Fl¨ ussigkeit herausgel¨ ost. Die Rektiﬁkation dient zur Trennung von ﬂ¨ ussigen Mehrstoﬀgemischen in einzelne Komponenten oder Gemische, sogenannte Fraktionen. Dazu werden in einer Kolonne abw¨arts ﬂießende Fl¨ ussigkeit und aufsteigender Dampf in m¨ oglichst innige Ber¨ uhrung gebracht, so dass einzelne Komponenten zwischen Dampf und Fl¨ ussigkeit ausgetauscht werden k¨ onnen. Stoﬀ¨ ubertrager werden meistens als Kolonnen gebaut, in denen eine Phase, beispielsweise das Gas, am Fuß, die andere Phase, beispielsweise die Fl¨ ussigkeit, am Kopf der Kolonne zugef¨ uhrt wird. Um den Stoﬀaustausch zu intensivieren, sorgt man f¨ ur eine große innere Oberﬂ¨ ache in der Kolonne. Das kann dadurch geschehen, dass man die herabrieselnde Fl¨ ussigkeit in der Kolonne auf B¨ oden aufstaut, durch die das aufsteigenden Gas hindurchperlt. Statt dessen kann die Kolonne auch mit Festk¨ orpern gef¨ ullt werden, die so gestaltet sind, dass die Fl¨ ussigkeit aufgestaut und die beiden Phasen gut durchmischt werden. H¨ auﬁg verwendete F¨ ullk¨ orper sind Kugeln, Ringe mit glatten oder proﬁlierten Oberﬂ¨ achen, Ringe mit Innenstegen, Sattelk¨orper, Drahtnetzringe, Drahtwendel oder Drahtgewebe. Angaben u uber¨ ber die Bauart von Stoﬀ¨ tragern ﬁndet man in der Fachliteratur u.a. in [1.34]. Wir wollen uns hier nicht mit den vielen Arten von Apparaten der Stoﬀ¨ ubertragung und den Kriterien der Auswahl befassen, sondern lediglich untersuchen, wie man die Gr¨oße eines Apparates f¨ ur eine bestimmte Stoﬀtrennung festlegt.

1.7.1 Die Mengenbilanzen Zur Ermittlung der ¨ außeren Abmessungen eines Stoﬀ¨ ubertragers, gleich welcher Bauart, dienen die Mengenbilanzen. So wie die Energiebilanzen die Temperaturen zweier Fluidstr¨ ome eines W¨ arme¨ ubertragers verkn¨ upfen, bestimmen die Mengenbilanzen die Konzentrationen der Fluidstr¨ome. Als typisches Anwendungsbeispiel betrachten wir eine Absorptionskolonne, Abb. 1.55, in der die Komponente A aus einem aufsteigenden Gasgemisch durch eine im Gegenstrom herabrieselnde Fl¨ ussigkeit gel¨ost wird. Wir setzen lediglich Kontakt zwischen zwei unmischbaren Phasen voraus, so dass die folgende Bilanzgleichungen ganz allgemein gelten, unabh¨angig davon, ob es sich um eine F¨ ullk¨ orper-, Rieselﬁlm- oder Bodenkolonne handelt. Das Rohgas besteht aus dem Tr¨ agergas G und der zu absorbierenden Komponente A, die Fl¨ ussigkeit aus dem Waschmittel L und der absorbierten Komponente A. Der Stoﬀmengenstrom an aufsteigendem Gas in einem Querschnitt ist somit

106

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

Abb. 1.55: Gegenstromabsorber

N˙ G + N˙ GA , der an herabrieselnder Fl¨ ussigkeit N˙ L + N˙ LA . Da sich die Stoﬀmengenstr¨ ome N˙ G und N˙ L l¨ angs der Kolonne nicht a¨ndern, kennzeichnet man die Zusammensetzungen zweckm¨ aßigerweise durch Beladungen ˜ = N˙ LA /N˙ L und Y˜ = N˙ GA /N˙ G , X ˜ die mittlere Beladung der Fl¨ wobei mit X ussig- und mit Y˜ die der Gasphase mit der Komponente A bezeichnet ist. Die Mengenbilanz u ¨ ber die gesamte Kolonne zwischen dem Eintrittsquerschnitt e und dem Austrittsquerschnitt a der Fl¨ ussigkeit lautet dann ˜ e − N˙ G Y˜e − N˙ L X ˜ a + N˙ G Y˜a = 0 N˙ L X oder

N˙ L Y˜a − Y˜e = . ˜a − X ˜e N˙ G X

(1.224)

¨ Die Anderungen in der Gas- und Fl¨ ussigkeitszusammensetzung legen das Verh¨ altnis der Stoﬀmengenstr¨ ome von Gas und Fl¨ ussigkeit fest. Entsprechend lautet die Mengenbilanz f¨ ur einen Kontrollraum, der durch den Querschnitt e und einen beliebigen Querschnitt b im Inneren der Kolonne begrenzt ist, ˜ e − N˙ G Y˜e − N˙ L X ˜ + N˙ G Y˜ = 0 N˙ L X oder N˙ L ˜ Y˜ = X+ N˙ G

N˙ L ˜ Y˜e − Xe N˙ G

.

(1.225)

˜ eine mittlere GasbelaDadurch ist jeder mittleren Fl¨ ussigkeitsbeladung X ˜ ˜ dung Y im gleichen Querschnitt zugeordnet. Gl. (1.225) stellt in einem Y˜ , XDiagramm eine Gerade dar.

1.7 Stoﬀ¨ ubertrager

107

In ¨ ahnlicher Weise wie f¨ ur die Absorptionskolonne ﬁndet man einen linearen Zusammenhang zwischen der Zusammensetzung beider Phasen auch bei der Rektiﬁkation und der Extraktion. Wir betrachten hierzu als Beispiel eine Rektiﬁzierkolonne. Der Grundvorgang des Rektiﬁzierens besteht darin, dass der beim Sieden eines Mehrstoﬀgemisches erzeugte Dampf in einer Kolonne im Gegenstrom zu herabrieselndem Kondensat aufsteigt. Da das Kondensat k¨ alter ist als der Dampf, kondensieren vorzugsweise die Komponenten mit dem h¨ oheren Siedepunkt, die schwerer ﬂ¨ uchtigen Komponenten. Sie geben ihre Kondensationsenthalpie an die Fl¨ ussigkeit ab, aus der vorzugsweise Komponenten mit niedrigerem Siedepunkt, die leichter ﬂ¨ uchtigen Komponenten verdampfen. Dadurch reichert sich der Dampf an leichter ﬂ¨ uchtigen, die Fl¨ ussigkeit an schwerer ﬂ¨ uchtigen Komponenten an. Das prinzipielle Schaltbild zeigt Abb. 1.56. Das zu trennende Fl¨ ussigkeitsgemisch mit dem Stoﬀmengenstrom N˙ F , Feed genannt, wird einem Verdampfer V — der Destillierblase — zugef¨ uhrt, und der durch W¨ armezufuhr Q˙ V erzeugte Dampf str¨omt in der Rektiﬁziers¨ aule R nach oben. Nach Verlassen der Rektiﬁziers¨aule gelangt der Dampf in einen K¨ uhler K, in dem er durch W¨ armeentzug Q˙ K vollst¨andig kondensiert. Ein Teil des Kondensates wird der Rektiﬁziers¨aule am oberen Ende als R¨ ucklauf wieder zugeleitet und l¨ auft im Gegenstrom unter W¨arme- und Stoﬀaustausch mit dem aufsteigenden Dampf zur¨ uck in die Destillierblase. Der Rest des Kondensats, Destillat genannt, wird als Erzeugnis- oder Produktstrom N˙ E entnommen. Zur Aufrechterhaltung einer konstanten Zusammensetzung der Destillierblase muss st¨ andig ein weiterer Stoﬀmengenstrom N˙ S aus ihrem Sumpf abgezogen werden. Die Stoﬀmengenstrombilanzen f¨ ur die gesamte Kolonne lauten

Abb. 1.56: Kontinuierliche Rektiﬁkation. Verst¨ arkungss¨ aule R, Kondensator K und Verdampfer V

108

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

N˙ F = N˙ E + N˙ S N˙ F x ˜F = N˙ E x ˜E + N˙ S x ˜S . Daraus folgt N˙ E x ˜F − x ˜S = . (1.226) ˙ x ˜ − x ˜S NF E Die Molanteile von Feed, Sumpfprodukt und Destillat legen das Verh¨altnis von Erzeugnis- und Feedmenge fest. F¨ ur einen Kontrollraum, der den oberen Teil der Kolonne bis zu einem beliebigen Querschnitt b umfasst, wie der rechte Teil von Abb. 1.56 zeigt, lautet die Mengenbilanz, wenn y˜ den Molanteil der ﬂ¨ uchtigen Komponente im Dampf und x˜ den in der Fl¨ ussigkeit bezeichnet, N˙ G = N˙ L + N˙ E und N˙ G y˜ = N˙ L x ˜ + N˙ E x ˜E . Beide Gleichungen zusammen ergeben wie zuvor einen linearen Zusammenhang zwischen y˜ und x˜: y˜ =

N˙ L N˙ E x˜ + x ˜E . N˙ L + N˙ E N˙ L + N˙ E

(1.227)

1.7.2 Konzentrationsverlauf und H¨ ohe von Stoﬀaustauschkolonnen Aufgrund der globalen Mengenbilanzen kann man zwar jeder mittleren Zusammensetzung der einen Phase eine solche der anderen Phase zuordnen, man kennt jedoch nicht den lokalen Verlauf der Zusammensetzung. Dazu muss man ahnlich wie beim W¨ arme¨ ubertrager eine Bilanz in einem diﬀerentiell kleinen ¨ Abschnitt aufstellen, in unserem Fall eine Mengenbilanz. Durch Integration ergibt sich der Konzentrationsverlauf u ubertragers. Aus ¨ ber die L¨ange des Stoﬀ¨ dem bekannten Konzentrationsverlauf als Funktion der L¨ange kann man dann die erforderliche Bauh¨ ohe f¨ ur eine vorgegebene Konzentration bestimmen. Wie man dabei grunds¨ atzlich vorgeht, sei wieder am Beispiel des Absorbers und der als F¨ ullk¨ orperkolonne betriebenen Rektiﬁziers¨aule gezeigt. F¨ ur eine Bodenkolonne ist eine derartige Rechnung nicht erforderlich, da die beiden Phasen auf jedem Boden gut durchmischt werden. Auf den einzelnen B¨ oden kann man daher in guter N¨ aherung Gleichgewicht voraussetzen. Ein Volumenelement eines Apparates ist dann identisch mit einer Gleichgewichtsstufe, und die H¨ ohe eines Apparates ergibt sich aus der Zahl der f¨ ur eine bestimmte Trennaufgabe erforderlichen Gleichgewichtsstufen. Diese zu berechnen ist eine Aufgabe der Thermodynamik, nicht aber der Stoﬀ¨ ubertragung. Dies erkl¨ art, warum man die in der thermischen Trenntechnik eingesetzten Stoﬀ¨ ubertrager oft auch ohne Kenntnis der Gesetze des Stoﬀ¨ ubergangs dimensionieren kann.

1.7 Stoﬀ¨ ubertrager

109

Die F¨ ullk¨ orperkolonne sei mit einer Packung gef¨ ullt. Wegen der komplizierten Gestalt der F¨ ullk¨ orper ist es schwierig, die f¨ ur den Stoﬀaustausch zwischen den beiden Phasen zur Verf¨ ugung stehende Phasengrenzﬂ¨ache anzugeben. Man bestimmt daher nur das Produkt aus dem Stoﬀ¨ ubergangskoefﬁzienten und der Phasengrenzﬂ¨ ache. Die Phasengrenzﬂ¨ache AI wird auf das Volumen VK der leeren Kolonne bezogen, und man deﬁniert eine volumenbezogene Phasengrenzﬂ¨ ache a∗ durch a∗ := AI /VK mit dem Volumen VK = AK Z, wenn AK der Querschnitt der leeren Kolonne und Z ihre H¨ ohe ist. Wir betrachten zuerst einen Kontrollraum zwischen zwei Querschnitten eines Absorbers im Abstand dz, Abb. 1.57. Die an der Phasengrenzﬂ¨ache dAI

Abb. 1.57: Zum Stoﬀ¨ ubergang im Absorber

an die Fl¨ ussigkeit u ¨ bergehende Stoﬀmenge n˙ AI dAI = n˙ AI a∗ AK dz wird vom Gas abgegeben und bewirkt eine Abnahme des Stoﬀes A in der Gasphase um N˙ G dY˜ . Gleichzeitig erh¨ oht sich die Stoﬀmenge A in der Fl¨ ussigkeit ˜ Es gilt somit um −N˙ G dY˜ = N˙ L dX. n˙ AI a∗ AK dz = −N˙ G dY˜ .

(1.228)

Die Stoﬀmengenstromdichte n˙ AI war durch (1.220) gegeben, in der wir unter der Annahme, dass die Beladung klein ist, die Molanteile y˜Am = Y˜ und y˜Aeq = Y˜eq durch Beladungen ersetzen d¨ urfen. Damit folgt aus (1.228) kG (Y˜ − Y˜eq )a∗ AK dz = −N˙ G dY˜ und dz =

−N˙ G dY˜ ∗ (kG a )AK Y˜ − Y˜eq

(1.229)

eine Beziehung, die mit der f¨ ur die W¨ arme¨ ubertragung im Gegenstrom, Gl. (1.112), vergleichbar ist. Zur Integration hat man zu beachten, dass sich die Beladung Y˜eq an der Phasengrenze selbst mit der Lauﬂ¨ange und damit

110

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

auch mit der mittleren Beladung Y˜ ¨ andert. Aus der Bilanzgeraden (1.225) erh¨ alt man ˙ ˜ = NG (Y˜ − Y˜e ) + X ˜e . X N˙ L + ˜ + Daraus folgt mit dem Henryschen Gesetz Y˜eq = kH X mit kH = kH /p

˙ + NG ˜ + ˜ Y˜eq = kH (Y − Y˜e ) + kH Xe . N˙ L

(1.230)

Damit l¨ asst sich Y˜ − Y˜eq als lineare Funktion der Beladung Y˜ ausdr¨ ucken: ˙ N˙ G ˜ + NG + ˜ ˜ ˜ ˜ Y − Yeq = 1 − kH Y − kH Xe − Ye = a0 Y˜ − b0 . (1.231) N˙ L N˙ L Gl. (1.229) l¨ asst sich damit u uhren in ¨berf¨ dz =

−N˙ G dY˜ . ∗ ˜ (kG a )AK a0 Y − b0

(1.232)

Durch Integration erh¨ alt man den Verlauf der Beladung Y˜ (z) u ¨ber die Kolonnenh¨ ohe. Aus (1.225), der Gleichung der Bilanzgeraden, erh¨alt man zu jeder ˜ in der Fl¨ Beladung Y˜ im Gas die Beladung X ussigkeit. Aus (1.232) folgt −N˙ G z= (kG a∗ )AK

Y˜ Y˜a

dY˜ −N˙ G a0 Y˜ − b0 = ln ∗ (kG a )AK a0 a0 Y˜a − b0 a0 Y˜ − b0

oder mit (1.231) z=

N˙ G + ˙ (kG a∗ )AK 1 − kH NG /N˙ L

! ln

(Y˜ − Y˜eq )a . Y˜ − Y˜eq

(1.233)

Die erforderliche Kolonnenh¨ ohe Z ergibt sich hieraus, wenn man bis zum Kopf der Kolonne, dem Eintrittsquerschnitt e f¨ ur die Fl¨ ussigkeit, fortschreitet Z=

N˙ G (Y˜ − Y˜eq )a ln . + ˙ (kG a∗ )AK (1 − kH NG /N˙ L ) (Y˜ − Y˜eq )e

(1.234)

Die Bedeutung der Beladungsunterschiede (Y˜ − Y˜eq )a und (Y˜ − Y˜eq )e geht aus Abb. 1.58 hervor. Um den Konzentrationsverlauf einer F¨ ullk¨orperkolonne zur Rektiﬁkation eines Gemisches zu ermitteln, gehen wir wieder von der Mengenbilanz (1.228) aus, verwenden jedoch Molanteile statt der Beladung. Der von der Gasphase an die Fl¨ ussigkeit u y , worin ¨ bergehende Stoﬀmengenstrom ist dann −N˙ G d˜

1.7 Stoﬀ¨ ubertrager

111

N˙ G jetzt der Mengenstrom des Gasgemisches und nicht wie in (1.228) der Mengenstrom des Tr¨ agergases ist. Gl. (1.228) ist somit zu ersetzen durch n˙ AI a∗ AK dz = −N˙ G d˜ y .

(1.235)

Mit der u ¨bertragenen Stoﬀmengenstromdichte nach (1.220) erhalten wir, indem wir abk¨ urzend y˜Am = y˜ und y˜Aeq = y˜eq setzen, dz =

−N˙ G d˜ y , ∗ (kG a )AK y˜ − y˜eq

(1.236)

was Gl. (1.229) entspricht. Integration ergibt den Konzentrationsverlauf y˜(z) u ohe z zu ¨ ber der H¨ y˜ −N˙ G d˜ y z= . (1.237) (ka∗ )AK y˜ − y˜eq y˜a

Die erforderliche Kolonnenh¨ ohe Z erh¨ alt man durch Integration bis zur Stelle y˜ = y˜e . Die Auswertung des Integrals ist oft nur numerisch m¨oglich, da der Molanteil y˜eq meistens eine komplizierte Funktion des Molanteils x ˜ der Fl¨ ussigkeit ist und damit u ber die Bilanzgleichung (1.227) noch vom Molan¨ teil y˜ abh¨ angt. Wie man die Molanteile f¨ ur das Gleichgewicht ermittelt, ist in der Thermodynamik Gegenstand der Lehre von den Phasengleichgewichten.

Abb. 1.58: Bilanz- und Gleichgewichtsgerade eines Absorbers

Beispiel 1.10: Am Kopf einer F¨ ullk¨ orperkolonne wird eine Waschﬂ¨ ussigkeit, bestehend aus einem Gemisch von hochsiedenden Kohlenwasserstoﬀen, aufgegeben. Die Waschﬂ¨ ussigkeit l¨ ost aus aufsteigender benzolhaltiger Luft das Benzol.

112

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

Die molare Benzolbeladung am Fuß der Kolonne (Querschnitt a) betrage 3 %, und es sollen bis zum Kopf der Kolonne (Querschnitt e) 90 % des Benzols aus der Luft entfernt werden. Das Waschmittel wird am Kopf der Kolonne mit einer molaren Beladung von 0,3 % Benzol zugef¨ uhrt. F¨ ur die L¨ oslichkeit von Benzol (Stoﬀ A) in der Waschﬂ¨ ussigkeit gelte das Raoultsche Gesetz y˜A = (pAs /p)˜ xA , wobei pAs (ϑ) der S¨ attigungsdruck des reinen Benzols ist. Er betr¨ agt bei der herrschenden Temperatur von 30 : pAs = 159,1 mbar. Der Gesamtdruck ist p = 1 bar. Die zugef¨ uhrte benzolfreie Waschmittelmenge ist N˙ L = 5 mol/s, die benzolfreie Luftmenge N˙ G = 7,5 mol/s; der Innendurchmesser der Kolonne ist dK = 0,5 m, die Stoﬀ¨ ubergangskoeﬃzienten sind (βc)G a∗ = 139,3 mol/m3 s und (βc)L a∗ = 3,139 mol/m3 s. Wie hoch muss die Kolonne sein, um die gew¨ unschte Reinheit der benzolhaltigen Luft zu erreichen? Da die Beladung mit Benzol gering ist, darf man im Raoultschen Gesetz die + ˜ + Molanteile durch Beladungen ersetzen und Y˜A = kH XA schreiben mit kH = pAs /p = 0,1591. Nach (1.221) ist „ « + kH 1 1 1 0,1591 m3 s = + = + kG a ∗ (β c)G a∗ (β c)L a∗ 139,3 3,139 mol kG a∗ = 17,28 mol/(m3 s). Die Beladung des abﬂießenden Waschmittels mit Benzol folgt aus (1.224) zu ˙ ˜ a = NG (Y˜a − Y˜e ) + X ˜ e = 7,5 (0,03 − 0,003) + 0,003 = 4,35 · 10−2 . X 5 N˙ L Weiter ist

+ ˜ Y˜eqe = kH Xe = 0,1591 · 0,003 = 4,773 · 10−4 + ˜ Y˜eqa = kH Xa = 0,1591 · 0,0435 = 6,921 · 10−3 .

Die erforderliche Kolonnenh¨ ohe ergibt sich aus (1.234) zu Z=

7,5 3 · 10−2 − 6,921 · 10−3 ln m = 6,44 m . 17,28 · 0,196 (1 − 0,1591 · 1,5) 3 · 10−3 − 4,773 · 10−4

1.8 Aufgaben 1.1: Die Außenwand eines Raumes besteht aus Ziegelmauerwerk mit λ = 0,75 W/K m; sie hat die Dicke δ = 0,36 m und die Oberﬂ¨ ache A = 15,0 m2 . Ihre Oberﬂ¨ achentemperaturen sind ϑ1 = 18,0 und ϑ2 = 2,5 . Man berechne den ˙ Wie ¨ ˙ wenn die Wand aus Gasbeton-Steinen W¨ armeverluststrom Q. andert sich Q, mit λ = 0,29 W/K m besteht und die Dicke δ = 0,25 m hat? 1.2: Die W¨ armeleitf¨ ahigkeit h¨ ange linear von der Temperatur ab: λ = a + b ϑ. Man beweise Gl. (1.12) f¨ ur die mittlere W¨ armeleitf¨ ahigkeit λm . 1.3: Der station¨ are Temperaturverlauf ϑ = ϑ(x) in einer ebenen Wand hat eine zweite Ableitung d2 ϑ/dx2 > 0. Nimmt die W¨ armeleitf¨ ahigkeit λ = λ(ϑ) des Wandmaterials mit steigender Temperatur zu oder ab?

1.8 Aufgaben

113

1.4: Ein Kupferdraht mit d = 1,4 mm Durchmesser und dem speziﬁschen elektrischen Widerstand rel = 0,020 · 10−6 Ω m ist mit einer Kunststoﬃsolierung von δ = 1,0 mm Dicke umgeben, deren W¨ armeleitf¨ ahigkeit λ = 0,15 W/K m betr¨ agt. Die ¨ außere Oberﬂ¨ ache der Isolierung wird auf ϑW2 = 20 gehalten. Wie groß ist die h¨ ochstzul¨ assige Stromst¨ arke, damit die Innentemperatur der Isolierung 30 nicht u ¨ berschreitet? 1.5: Im Inneren einer Hohlkugel mit den Durchmessern d1 = 0,15 m, d2 = 0,25 m und der W¨ armeleitf¨ ahigkeit λ = 0,68 W/K m wird der W¨ armestrom Q˙ = 17,5 W erzeugt. Die a ußere Kugeloberﬂ¨ a che hat die Temperatur ϑW2 = 28 . Welche ¨ Temperatur ϑW1 nimmt die innere Oberﬂ¨ ache an? 1.6: Ein ﬂacher K¨ orper mit der Dicke h und der W¨ armeleitf¨ ahigkeit λ hat die Form eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Katheten die L¨ angeˆl haben. In die-˜ sem K¨ orper ist die ebene Temperaturverteilung ϑ(x, y) = ϑ0 +ϑ1 (y/l)2 − (x/l)2 gegeben; 0 ≤ x ≤ l, 0 ≤ y ≤ x. a) Wo treten die h¨ ochste und die niedrigste Temperatur ϑmax bzw. ϑmin auf? Wie h¨ angen sie mit den gegebenen Temperaturen ϑ0 und ϑ1 zusammen? Es gilt 0 < ϑ1 < ϑ0 . b) Man berechne grad ϑ und den Vektor q˙ der W¨ armestromdichte. An welcher ˙ am gr¨ Stelle ist |q| oßten? c) Man berechne die W¨ armestr¨ ome, die durch die drei Begrenzungsﬂ¨ achen, gekennzeichnet durch y = 0, x = l und y = x, ﬂießen, und zeige, dass in das Dreieck ebensoviel W¨ arme hinein- wie hinausstr¨ omt. 1.7: Ein Kochtopf enth¨ alt Wasser, das bei ϑs = 100,3 siedet. Der Boden des Topfes (Durchmesser d = 18 cm) wird elektrisch beheizt. Seine Temperatur erreicht ϑW = 108,8 bei einer Heizleistung von 1,35 kW. Wie groß ist der mit der Temperaturdiﬀerenz (ϑW − ϑs ) gebildete W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient des siedenden Wassers? 1.8: Das Temperaturproﬁl ϑ = ϑ(y) in der thermischen Grenzschicht (0 ≤ y ≤ δt ) soll durch eine Parabel ϑ(y) = a + by + cy 2 approximiert werden, deren Scheitel bei y = δt liegt. Wie groß ist der ¨ ortliche W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient α, wenn δt = 11 mm und λ = 0,0275 W/K m (Luft) gilt? 1.9: F¨ ur den W¨ arme¨ ubergang bei erzwungener turbulenter Str¨ omung eines Fluids in einem Rohr gilt die N¨ aherungsgleichung N u = C Re4/5 P r 1/3 . Die charakteristische L¨ ange in der N u-Zahl und der Re-Zahl ist dabei der Rohrinnendurchmesser d. Man berechne das Verh¨ altnis αW /αL der W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten von Wasser und Luft bei gleicher Str¨ omungsgeschwindigkeit w, gleichem Rohrdurchmesser d und bei der gleichen mittleren Temperatur ϑ = 40 , bei der die Stoﬀwerte von Wasser nach Tabelle B.2 des Anhangs und von Luft nach Tabelle B.1 einzusetzen sind.

114

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

1.10: Im Inneren eines sehr langen Hohlzylinders wird durch radioaktiven Zer˙ fall der auf die Zylinderl¨ ange L bezogene W¨ armestrom Q/L = 550 W/m erzeugt. Der Hohlzylinder besteht aus legiertem Stahl (λ = 15 W/K m); er hat den Innendurchmesser di = 20 mm und die Wandst¨ arke δ = 10 mm. An seiner ¨ außeren Oberﬂ¨ ache wird W¨ arme nur durch Strahlung in den Weltraum (T = 0 K) abgegeben. Der Emissionsgrad der Zylinderoberﬂ¨ ache ist ε = 0,17. Man berechne die Celsiustemperaturen ϑi der inneren und ϑa der ¨ außeren Oberﬂ¨ ache. Wie groß ist der W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient αStr der Strahlung? 1.11: Eine Hauswand besteht aus drei Schichten mit den folgenden Eigenschaften (von innen nach außen): Innenputz δ1 = 1,5 cm, λ1 = 0,87 W/K m; Mauerwerk aus Lochziegeln δ2 = 17,5 cm, λ2 = 0,68 W/K m; Außenputz δ3 = 2,0 cm, λ3 = 0,87 W/K m. Die W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten sind α1 = 7,7 W/m2 K auf der Innenseite und α2 = 25 W/m2 K außen. Man berechne die W¨ armestromdichte q, ˙ die durch die Hauswand vom Innenraum mit ϑ1 = 22,0 zur Außenluft mit der Temperatur ϑ2 = −12,0 hindurchgeht. Wie groß sind die Temperaturen ϑW1 und ϑW2 der beiden Wandoberﬂ¨ achen? 1.12: Um den W¨ armeverlust durch die Hauswand von Aufgabe 1.11 zu verringern, werden anstelle der Außenputzschicht eine Isoliermatte mit δ3 = 6,5 cm und λ3 = 0,040 W/K m sowie ein Verblendmauerwerk mit δ4 = 11,5 cm und λ4 = 0,79 W/K m angebracht. Man berechne die W¨ armestromdichte q˙ und die Temperatur ϑW1 der inneren Wandoberﬂ¨ ache. 1.13: In einer Rohrleitung mit dem Innendurchmesser d1 = 0,25 m und dem Außendurchmesser d2 = 0,27 m aus legiertem Stahl (λ1 = 16 W/K m) str¨ omt Wasserdampf mit ϑi = 600 . Der W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient ist αi = 425 W/m2 K. Die Rohrleitung wird mit einer Schicht Steinwolle von δ2 = 0,05 m Dicke isoliert, an deren Außenﬂ¨ ache Mineralfaser-Formschalen von δ3 = 0,02 m Dicke angebracht sind. Der W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient zwischen den Formschalen und der Luft mit der Temperatur ϑa = 25 betr¨ agt αa = 30 W/m2 K. Die W¨ armeleitf¨ ahigkeit der Steinwolle h¨ angt von der Temperatur ab: „ «2 λ2 (ϑ) ϑ ϑ = 0,040 − 0,0005 + 0,0025 . W/K m 100 100 F¨ ur die mittlere W¨ armeleitf¨ ahigkeit der Mineralfaser-Formschalen ist λm3 = 0,055 W/K m zu setzen. Man berechne den auf die Rohrl¨ ange L bezoge˙ nen W¨ armeverluststrom Q/L und pr¨ ufe, ob die Temperatur der MineralfaserFormschalen unter dem h¨ ochstzul¨ assigen Wert ϑzul = 250 liegt. 1.14: Eine zylinderf¨ ormige Getr¨ ankedose (d = 64 mm, h = 103 mm) wird mit der Temperatur ϑF0 = 6 einem K¨ uhlschrank entnommen und in einen Raum mit der Lufttemperatur ϑU = 24 gestellt. Man berechne die Temperatur ϑF , die die Dose nach 2 h annimmt, sowie die Zeit t∗ , nach deren Ablauf ϑF = 20 erreicht wird. F¨ ur den W¨ armedurchgang zwischen Luft und Doseninhalt ist nur der durch αa = 7,5 W/m2 K gekennzeichnete W¨ arme¨ ubergangswiderstand an der Außenseite der Dose von Bedeutung. Die Stoﬀwerte des Getr¨ anks sind F = 1,0 · 103 kg/m3 und cF = 4,1 · 103 J/kgK. 1.15: F¨ ur einen Gegenstrom-W¨ arme¨ ubertrager leite man die Gleichungen f¨ ur den Verlauf der Fluidtemperaturen ϑ1 = ϑ1 (z) und ϑ2 = ϑ2 (z) her, vgl. Abschnitt 1.3.3.

1.8 Aufgaben

115

1.16: In einer W¨ armepumpen-Anlage dient Außenluft als W¨ armequelle, die sich von ϑ2 = 10,0 auf ϑ2 = 5,0 abk¨ uhlt und dabei W¨ arme an ein Fluid abgibt, das sich von ϑ1 = −5,0 auf ϑ1 = 3,0 erw¨ armt. Sein Massenstrom ist M˙ 1 = 0,125 kg/s, seine mittlere speziﬁsche W¨ armekapazit¨ at cp1 = 3,56 kJ/kgK. F¨ ur diese W¨ arme¨ ubertragung werden drei Stromf¨ uhrungen verglichen: Gegenstrom, Kreuzstrom mit einer Rohrreihe und Kreuzgegenstrom mit zwei Rohrreihen und zwei Durchg¨ angen (gegensinnig), vgl. Abb. 1.59. F¨ ur die Betriebscharakteristik

Abb. 1.59: Kreuzgegenstrom-W¨ arme¨ ubertrager mit zwei Rohrreihen und zwei Durchg¨ angen dieser Stromf¨ uhrung gilt, vgl. [1.16] „ « 1 f f = + 1− exp(2f /C1 ) 1 − ε1 2 2

mit

f = 1 − exp(−C1 N1 /2) .

¨ Man bestimme die erforderlichen Ubertragungsf¨ ahigkeiten kA der W¨ arme¨ ubertrager mit den drei Stromf¨ uhrungen. 1.17: Aus einem zylinderf¨ ormigem Stab der L¨ ange L und vom Radius r0 wird eine Komponente A herausgel¨ ost. Diese diﬀundiert in einen ruhenden Fl¨ ussigkeitsﬁlm der Dicke δ, der den Stab umgibt. Man zeige, dass der Diﬀusionsstrom gegeben ist durch cA0 − cAδ N˙ A = D 2πL , ln(r0 + δ)/r0 wenn man D = const und geringe Konzentration der im Fl¨ ussigkeitsﬁlm gel¨ osten Komponente annimmt. 1.18: In einem Zylinder beﬁndet sich Ethanol (Komponente A, Molmasse ˜ A = 46,07 kg/kmol). Der Fl¨ M ussigkeitsspiegel beﬁnde sich gem¨ aß Abb. 1.42 um ¨ y2 − y1 = δ1 = 1 cm unterhalb des oberen Zylinderrandes. Uber den Zylinder str¨ omt trockene Luft (Komponente B) vom Druck p = 1 bar und der Temperatur T = 298 K. a) Man berechne die Mengenstromdichte n˙ A zu Beginn des Diﬀusionsvorgangs. b) Nach welcher Zeit hat sich der Fl¨ ussigkeitsspiegel um δ2 = 1 cm abgesenkt? Da die Diﬀusion sehr langsam abl¨ auft, kann man zur L¨ osung dieser Teilaufgabe in guter N¨ aherung voraussetzen, dass sich zum jeweiligen zeitlich ver¨ anderlichen Fl¨ ussigkeitsspiegel der Diﬀusionsstrom einstellt, der sich aus der station¨ aren L¨ osung ergibt. Der Diﬀusionskoeﬃzient Ethanol-Luft ist D = 1,19 · 10−5 m2 /s, die Dichte des ﬂ¨ ussigen Ethanols L = 875 kg/m3 und der S¨ attigungsdruck bei T = 298 K ist pAs = 0,077 bar.

116

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

1.19: Durch eine Rohrleitung str¨ omen V˙ = 10 m3 /h Ammoniak von 25 . Um den Druck auf 1 bar zu halten, ist an die Rohrleitung ein R¨ ohrchen von 3 mm Innendurchmesser angeschweißt, durch das eine Verbindung zur Umgebungsluft hergestellt wird, Abb. 1.60. Dieses R¨ ohrchen ist spiralf¨ ormig gewickelt und 20 m

Abb. 1.60: Konstanthalten des Drucks in einer Rohrleitung lang, damit die Verluste an Ammoniak durch Diﬀusion gering sind. Wie groß sind die Ammoniakverluste in m3 /h und wie groß ist der Molanteil der Luft in der Rohrleitung? Die Dichte des Ammoniaks ist 0,687 kg/m3 , der Diﬀusionskoeﬃzient von Ammoniak in Luft bei 25 ist D = 0,28 · 10−4 m2 /s. 1.20: Feuchtes Holz von 20 wird durch u omende trockene Luft von ¨ berstr¨ 0,1 MPa und der gleichen Temperatur getrocknet. Der Stoﬀ¨ ubergangskoeﬃzient an der u omten Holzoberﬂ¨ ache ist β = 2 · 10−3 m/s, und der Molanteil des ¨berstr¨ Wasserdampfes an der Holzoberﬂ¨ ache ist x ˜A0 = 0, 024. Wie groß ist die von der Luft aufgenommene Massenstromdichte des Wassers m ˙ A in kg/m2 s? 1.21: Trockene Luft von 15 streicht u ache. Man berechne die ¨ ber eine Wasserﬂ¨ K¨ uhlgrenztemperatur. Als Stoﬀwerte verwende man die des Beispiels 1.8. 1.22: Ein heißes trockenes Brenngas von 600 und 1 bar str¨ omt u ¨ ber die Wand einer Brennkammer. Damit die Wandtemperatur nicht zu sehr ansteigt, bl¨ ast man Wasser durch die por¨ ose Wand der Brennkammer, Abb. 1.61, das verdunstet, so dass die Wandtemperatur sinkt. Wie weit kann man die Wandtemperatur

Abb. 1.61: K¨ uhlen einer heißen, por¨ osen Wand durch Einblasen von Wasser absenken und welche Wassermenge m ˙ A in kg/m2 s muss man dazu zuf¨ uhren? ˜ A cβm cpA /αm = 1,3, M ˜ B = 28,953 kg/kmol, M ˜ A = 18,015 kg/kmol Gegeben sei: M und Δhv = 2346 kJ/kg, cpA = 1,907 kJ/kgK. Der W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient zwischen Brenngas und Wasseroberﬂ¨ ache sei αm = 120 W/m2 K. 1.23: Einer Kolonne zur Absorption von Benzol aus Luft werden N˙ G = 250 kmol/h Luft mit einer Molbeladung von Y˜a = 0,05 zugef¨ uhrt. Das benzolfreie Waschmittel, N˙ L = 55 kmol/h soll 95 % des Benzols aufnehmen. Welches sind Stoﬀmengenbeladungen des Waschmittels und der Luft am Austritt aus dem Absorber?

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

In diesem Kapitel behandeln wir die station¨ are und instation¨are W¨armeleitung in ruhenden Medien, die vor allem in festen K¨orpern auftritt. Wir leiten zun¨ achst die grundlegende Diﬀerentialgleichung f¨ ur das Temperaturfeld her, indem wir den Energieerhaltungssatz mit dem Gesetz von Fourier verkn¨ upfen. Die dann folgenden Abschnitte behandeln die station¨aren und instation¨aren Temperaturfelder mit zahlreichen praktischen Anwendungen sowie die numerischen Methoden zur L¨ osung von W¨ armeleitproblemen, deren Anwendung durch elektronische Rechner erleichtert wird und sich zunehmend verbreitet. Im Anschluss an die W¨ armeleitung behandeln wir die Diﬀusion. Aufgrund der Analogien, die zwischen den beiden molekularen Transportvorg¨angen bestehen, k¨ onnen viele Ergebnisse, die auf dem Gebiet der W¨armeleitung gewonnen wurden, auf die Diﬀusion u ¨ bertragen werden. Insbesondere stimmen die mathematischen Methoden zur Berechnung von Konzentrationsfeldern mit den L¨ osungsmethoden von W¨ armeleitproblemen weitgehend u ¨ berein.

2.1 Die W¨ armeleitungsgleichung Grundlage der L¨ osung komplizierter W¨ armeleitprobleme, die u ¨ ber den einfachen Fall der station¨ aren und geometrisch eindimensionalen W¨armeleitung, Abschnitt 1.1.2, hinausgehen, ist die Diﬀerentialgleichung f¨ ur das Temperaturfeld in einem ruhenden Medium. Sie wird W¨armeleitungsgleichung genannt. Wir behandeln im Folgenden Abschnitt zun¨achst ihre Herleitung unter Ber¨ ucksichtigung temperaturabh¨ angiger Stoﬀwerte und von W¨armequellen. Die Annahme konstanter Stoﬀwerte f¨ uhrt zu linearen partiellen Diﬀerentialgleichungen, die in ihren verschiedenen Formen f¨ ur unterschiedliche Geometrien vorgestellt werden. Nach einer ausf¨ uhrlichen Diskussion der Randbedingungen, die bei der L¨ osung der W¨ armeleitungsgleichung gestellt und erf¨ ullt werden m¨ ussen, gehen wir auf die L¨ osungsm¨ oglichkeiten bei temperaturab¨ h¨ angigen Stoﬀwerten ein. Der letzte Abschnitt ist der Ahnlichkeitstheorie ge-

118

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

widmet; hier werden die Kennzahlen hergeleitet, die f¨ ur W¨armeleitvorg¨ange maßgebend sind.

2.1.1 Die Herleitung der Diﬀerentialgleichung fu ¨r das Temperaturfeld Ein W¨ armeleitproblem zu l¨ osen bedeutet, das Temperaturfeld ϑ = ϑ(x, t) in seiner r¨ aumlichen und zeitlichen Abh¨ angigkeit zu bestimmen. Ist es bekannt, so kann man das zugeh¨ orige Feld der W¨armestromdichte q˙ aufgrund des Gesetzes von Fourier, ˙ q(x, t) = −λ grad ϑ(x, t)

(2.1)

berechnen und die durch Leitung transportierten W¨armestr¨ome an beliebigen Stellen des K¨ orpers bestimmen. Man erh¨ alt das gesuchte Temperaturfeld durch L¨osen einer partiellen Differentialgleichung, der sogenannten W¨ armeleitungsgleichung, die wir im Folgenden herleiten. Dazu wenden wir den ersten Hauptsatz der Thermodynamik auf ein geschlossenes System an, n¨ amlich auf einen zusammenh¨angenden Bereich beliebiger Gr¨ oße, den wir uns aus dem w¨armeleitenden K¨orper herausgeschnitten denken, Abb. 2.1. Das Volumen des Bereichs sei V , und seine Oberﬂ¨ ache werde mit A bezeichnet. Der erste Hauptsatz liefert f¨ ur den Bereich die Leistungsbilanz dU ˙ = Q(t) + P (t) . (2.2) dt ¨ Sie f¨ uhrt die zeitliche Anderung seiner inneren Energie U auf zwei Ursachen zur¨ uck: auf den W¨ armestrom Q˙ und die (mechanische oder elektrische) Leistung P , welche die Oberﬂ¨ ache des Bereichs u ¨ berqueren.

Abb. 2.1: Bereich mit dem Volumen V im w¨ armeleitenden K¨ orper. Oberﬂ¨ achenelement dA des Bereichs mit außerer Normale n ¨

Da die W¨ armeleitung in einem Festk¨ orper betrachtet wird, vernachl¨assigt man die geringen Dichte¨ anderungen aufgrund von Temperatur- und Druck¨anderungen. Man verwendet das Stoﬀmodell des inkompressiblen K¨orpers mit = const. Unter dieser Annahme kann

2.1 Die W¨ armeleitungsgleichung

dU d = dt dt

u dV =

(V )

du dV dt

119

(2.3)

(V )

gesetzt werden, wobei sich das Integral u ¨ ber das Volumen des Bereichs erstreckt. Die hiermit eingef¨ uhrte speziﬁsche innere Energie u des inkompressiblen K¨ orpers h¨angt von seiner Temperatur ab. Mit c(ϑ) als speziﬁscher W¨ armekapazit¨ at gilt du = c (ϑ) dϑ . ¨ Damit erhalten wir aus (2.3) f¨ ur die zeitliche Anderung der inneren Energie des betrachteten Bereichs dU = dt

c(ϑ)

∂ϑ dV . ∂t

(2.4)

(V )

Um den W¨ armestrom Q˙ zu berechnen, der u ¨ ber die Oberﬂ¨ache des Bereichs ﬂießt, betrachten wir zun¨ achst ein Element dA der Oberﬂ¨ache, dessen Normale n nach außen gerichtet ist, Abb. 2.1. Der durch dA in den Bereich hineinﬂießende W¨ armestrom ist ˙ dA . dQ˙ = −qn

(2.5)

Das Minuszeichen wurde gesetzt, weil ein W¨ armestrom in (2.2) dann positiv gerechnet wird, wenn er in den Bereich hineinstr¨omt. Der Vektor q˙ der W¨armestromdichte weist dann in das Innere des Bereichs, der Normalenvektor n aber nach außen, so dass ihr Skalarprodukt negativ wird. Durch Integration aller W¨ armestr¨ ome dQ˙ nach (2.5) erh¨ alt man den W¨armestrom Q˙ zu Q˙ = − (A)

˙ dA = − qn

div q˙ dV .

(2.6)

(V )

Dabei wurde das u ache des Bereichs zu erstreckende Integral ¨ ber die Oberﬂ¨ nach dem Gaußschen Integralsatz in das Volumenintegral der Divergenz von q˙ umgewandelt. Die dem Bereich zugef¨ uhrte Leistung P besteht aus zwei Teilen, aus der Leistung PV , die eine Volumen¨ anderung bewirkt, und aus der im Inneren des Bereichs dissipierten Leistung Pdiss . Bei einem inkompressiblen K¨orper ist PV ≡ 0. Zu Pdiss geh¨ ort die elektrisch zugef¨ uhrte Leistung, die im Inneren eines W¨ arme und Elektrizit¨ at leitenden K¨ orpers als Folge seines elektrischen Widerstandes dissipiert wird. Dies ist die sogenannte Joulesche W¨arme. Auch energiereiche Strahlung, z.B. γ-Strahlung, die von außen in einen Festk¨orper

120

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

eindringt, wird dort absorbiert; ihre Energie wird dabei dissipiert und tr¨agt zur Erh¨ ohung der inneren Energie bei. F¨ ur die Leistung dieser im Inneren des Bereichs auftretenden dissipativen und somit irreversiblen Energieumwandlungen setzen wir ˙ (ϑ, x, t) dV , W

P = Pdiss =

(2.7)

(V )

˙ die auf das Volumen bezogene Leistung, die sogenannte Leistungswobei W dichte bedeutet. Bei einem stromdurchﬂossenen K¨orper mit dem speziﬁschen elektrischen Widerstand re = re (ϑ) erh¨ alt man als Leistungsdichte ˙ (ϑ, x, t) = re (ϑ) i2 , W e wobei ie die elektrische Stromdichte bedeutet. Ihre SI-Einheit ist A/m2 , so ˙ die dass sich mit Ω m als SI-Einheit des spez. elektrischen Widerstands f¨ ur W 2 4 3 3 Einheit ΩmA /m =VA/m =W/m ergibt. Die im Inneren eines Festk¨ orpers ablaufenden dissipativen und irreversiblen Energieumwandlungen setzen thermische Energie frei; sie wirken wie innere W¨armequellen. Wie der von außen zugef¨ uhrte W¨armestrom Q˙ nach (2.6) tragen sie zur Erh¨ ohung der inneren Energie bei. Die gleiche Wirkung haben auch chemische oder nukleare Reaktionen, die im Inneren eines Festk¨orpers ablaufen. Diese Reaktionen sind von einer W¨armet¨onung“ begleitet, n¨amlich ” von der irreversiblen Umwandlung chemischer oder nuklearer Bindungsenergie in thermische (innere) Energie. Mit Ausnahme der recht seltenen endothermen chemischen Reaktionen wirken sie wie W¨ armequellen im Festk¨orper. Obwohl sich durch eine Reaktion die chemische Zusammensetzung des K¨orpers ¨andert, vernachl¨ assigt man diesen Eﬀekt bei der Berechnung seiner Stoﬀeigenschaften und erfasst die Wirkung der Reaktion nur als eine innere W¨armequelle, die al˙ liefert. Wir werden daher chemische lein einen Beitrag zur Leistungsdichte W oder nukleare Reaktionen in einem Festk¨ orper nur in (2.7) ber¨ ucksichtigen, ¨ die durch sie bewirkten Anderungen in der Zusammensetzung vernachl¨assigen und daher annehmen, dass die Stoﬀwerte λ und c nur von der Temperatur ϑ und nicht von der chemischen Zusammensetzung des Festk¨orpers abh¨angen. Wir setzen nun die Ergebnisse f¨ ur dU /dt nach (2.4), f¨ ur Q˙ nach (2.6) und f¨ ur P nach (2.7) in die Leistungsbilanzgleichung (2.2) des ersten Hauptsatzes ein, fassen alle Volumenintegrale zusammen und erhalten c (ϑ)

∂ϑ ˙ (ϑ, x, t) dV = 0 . + div q˙ − W ∂t

(V )

Dieses Volumenintegral verschwindet nur dann f¨ ur beliebig gew¨ahlte Bilanzbereiche, wenn der Integrand selbst gleich null ist. Damit wird

2.1 Die W¨ armeleitungsgleichung

c(ϑ)

121

∂ϑ ˙ (ϑ, x, t) . = − div q˙ + W ∂t

Im letzten Schritt unserer Herleitung ziehen wir das Gesetz von Fourier heran und verkn¨ upfen die W¨ armestromdichte q˙ nach (2.1) mit dem Temperaturgradienten. Damit erhalten wir c (ϑ)

∂ϑ ˙ (ϑ, x, t) = div [λ(ϑ) grad ϑ] + W ∂t

(2.8)

als die gesuchte Diﬀerentialgleichung f¨ ur das Temperaturfeld in einem ruhenden, isotropen und inkompressiblen Material mit temperaturabh¨angigen Stoﬀwerten c(ϑ) und λ(ϑ). Dabei wurden W¨ armequellen im Inneren des w¨arme˙ ber¨ leitenden K¨ orpers durch ihre Leistungsdichte W ucksichtigt. Bei der Anwendung der W¨ armeleitungsgleichung in ihrer allgemeinen Form (2.8) macht man eine Reihe vereinfachender Annahmen, wodurch man spezielle, auf bestimmte Problembereiche zugeschnittene Diﬀerentialgleichungen erh¨ alt. Eine wesentliche Vereinfachung erh¨ alt man vor allem durch die Annahme konstanter Stoﬀwerte λ und c. Auf die dadurch entstehende lineare partielle Diﬀerentialgleichung gehen wir im n¨ achsten Abschnitt ein. Weitere einfachere F¨ alle sind – – –

˙ ≡ 0, das Fehlen von W¨ armequellen: W station¨ are Temperaturfelder: ∂ ϑ/∂t ≡ 0, geometrisch eindimensionaler W¨ armeﬂuss, z.B. nur in x-Richtung des kartesischen Koordinatensystems oder nur in radialer Richtung bei Zylinderund Kugelgeometrien.

2.1.2 Die W¨ armeleitungsgleichung fu orper mit ¨r einen K¨ konstanten Stoﬀwerten Bei der Herleitung der W¨ armeleitungsgleichung (2.8) haben wir einen dichtebest¨ andigen K¨ orper, also = const vorausgesetzt. Wir vernachl¨assigen nun auch die Temperaturabh¨ angigkeit der W¨ armeleitf¨ahigkeit λ und der speziﬁschen W¨ armekapazit¨ at c. Diese Annahmen muss man in der Regel machen, wenn man eine L¨ osung der W¨ armeleitungsgleichung in mathematisch geschlossener Form erhalten m¨ ochte, die dann meist als exakte“ L¨osung bezeichnet ” wird. Auf L¨ osungsm¨ oglichkeiten bei temperaturabh¨angigen Stoﬀwerten gehen wir in 2.1.4 ein. Bei konstanter W¨ armeleitf¨ ahigkeit wird der in (2.8) auftretende Diﬀerentialoperator div [λ(ϑ) grad ϑ] zum Laplace-Operator λ div grad ϑ = λ∇2 ϑ , und die W¨ armeleitungsgleichung nimmt die Form ˙ ∂ϑ W = a∇2 ϑ + ∂t c

(2.9)

122

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

an. Die hier auftretende Konstante ist die Temperaturleitf¨ahigkeit a := λ/c

(2.10)

des Materials mit der SI-Einheit m2 /s. F¨ ur die beiden wichtigsten Koordinatensysteme, kartesische Koordinaten x, y, z und Zylinderkoordinaten r, ϕ, z hat die W¨armeleitungsgleichung die Gestalt

2 ˙ ∂ϑ ∂ ϑ ∂2ϑ ∂2ϑ W =a + + + (2.11) ∂t ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 c bzw. ∂ϑ =a ∂t

∂2ϑ 1 ∂ ϑ 1 ∂2ϑ ∂ 2ϑ + + 2 + 2 2 2 ∂r r ∂r r ∂ϕ ∂z

+

˙ W . c

(2.12)

Bei Kugelkoordinaten beschr¨ anken wir uns auf den W¨armeﬂuss in radialer Richtung. Hierf¨ ur folgt aus (2.9)

2 ˙ ∂ϑ ∂ ϑ 2 ∂ϑ W =a + + . (2.13) ∂t ∂r2 r ∂r c Das einfachste Problem der instation¨ aren W¨armeleitung besteht in der Berechnung eines Temperaturfeldes ϑ = ϑ(x, t), das von der Zeit und nur noch von der x-Koordinate abh¨ angt; außerdem sollen keine W¨armequellen ˙ ≡ 0). Man spricht dann von linearem W¨armeﬂuss, und es gilt auftreten (W die partielle Diﬀerentialgleichung ∂ϑ ∂2ϑ =a 2 . ∂t ∂x

(2.14)

Diese Gleichung l¨ asst eine anschauliche Deutung der Temperaturleitf¨ahigkeit a und der W¨ armeleitungsgleichung selbst zu. Nach (2.14) ist die zeitliche Temperatur¨ anderung ∂ ϑ/∂t an jeder Stelle des w¨armeleitenden K¨orpers der Temperaturleitf¨ahigkeit proportional. Diese Materialeigenschaft gibt also an, wie schnell sich Temperaturen ¨ andern. Wie Tabelle 2.1 zeigt, haben Metalle nicht nur hohe W¨ armeleitf¨ ahigkeiten, sondern auch hohe Temperaturleitf¨ahigkeiten; sie geben Temperatur¨ anderungen schnell weiter. Die Diﬀerentialgleichung (2.14) verkn¨ upft die zeitliche Temperatur¨anderung an einer Stelle mit der Kr¨ ummung des Temperaturverlaufs in der Umgebung dieser Stelle. Dabei kann man die drei F¨alle von Abb. 2.2 unterscheiden. Ist ∂ 2 ϑ/∂x2 > 0, so steigt die Temperatur (Erw¨armung); denn von rechts“ ” ﬂießt mehr W¨ arme zu als nach links“ abstr¨omt. Es muss also Energie ge” speichert werden, weswegen die Temperatur mit der Zeit steigt. Bei entgegengesetztem Vorzeichen der Kr¨ ummung, n¨ amlich f¨ ur ∂ 2 ϑ/∂x2 < 0 sinkt die 2 2 Temperatur mit der Zeit, w¨ ahrend f¨ ur ∂ ϑ/∂x = 0 die Temperatur konstant bleibt (station¨ arer Grenzfall). ˙ linear von der H¨ angt die auf das Volumen bezogene W¨armeleistung W Temperatur ab oder ist sie von ϑ unabh¨ angig, so ist die W¨armeleitungsgleichung (2.9) eine lineare partielle Diﬀerentialgleichung 2. Ordnung vom

2.1 Die W¨ armeleitungsgleichung

123

Tabelle 2.1: Materialeigenschaften einiger Festk¨ orper bei 20

Stoﬀ

λ W/K m

Silber Kupfer Aluminium Messing (MS 60) Cr-Ni-Stahl

408 372 238 113 14,7

Granit Kiesbeton Korkplatten Fett

2,9 1,28 0,041 0,17

c kJ/kg K

kg/m3

106 a m2 /s

0,234 0,419 0,945 0,376 0,502

10497 8300 2700 8400 7800

166 107 93,4 35,8 3,75

0,890 0,879 1,880 1,930

2750 2200 190 910

1,2 0,662 0,11 0,097

parabolischen Typ. Die mathematische Theorie dieser Klasse von Diﬀerentialgleichungen wurde im 19. und 20. Jahrhundert eingehend und umfassend erforscht. Daher stehen erprobte L¨ osungsmethoden zur Verf¨ ugung, auf die wir in 2.3.1 eingehen, und eine große Zahl geschlossener L¨osungen ist bekannt. Man ﬁndet sie z.B. in dem mathematisch orientierten Standardwerk von H.S. Carslaw und J.C. Jaeger [2.1].

¨ Abb. 2.2: Bedeutung der Kr¨ ummung f¨ ur die zeitliche Anderung der Temperatur nach (2.14)

Station¨are Temperaturfelder h¨ angen von der Zeit nicht ab. Sie stellen sich als Endzustand eines instation¨ aren Anheiz- oder Abk¨ uhlvorganges ein. Es gilt nun ∂ ϑ/∂t = 0, und man erh¨ alt ˙ /λ) = 0 ∇2 ϑ + (W

(2.15)

als Diﬀerentialgleichung f¨ ur das station¨ are Temperaturfeld mit W¨armequellen. Die W¨ armeleitf¨ ahigkeit λ ist die einzige Materialeigenschaft, die das Temperaturfeld beeinﬂusst. Gl. (2.15) ist als Poissonsche Diﬀerentialgleichung bekannt; ˙ ≡ 0) in die Potentialgleisie geht f¨ ur alle quellenfreien Temperaturfelder (W chung oder Laplacesche Diﬀerentialgleichung

124

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

∇2 ϑ = 0

(2.16)

u ur die verschiedenen Koordinatensyste¨ ber. Der Laplace-Operator ∇2 hat f¨ me die in den Gleichungen (2.11), (2.12) und (2.13) angegebene Gestalt. Die Diﬀerentialgleichungen (2.15) und (2.16) f¨ ur station¨are Temperaturfelder sind, ˙ von ϑ nicht oder nur linear abh¨ sofern W angt, linear und vom elliptischen Typ. Dies f¨ uhrt zu anderen L¨ osungsmethoden als bei den Diﬀerentialgleichungen f¨ ur die instation¨are W¨ armeleitung, die vom parabolischen Typ sind.

2.1.3 Die Randbedingungen Die W¨ armeleitungsgleichung bestimmt die Temperaturen nur im Inneren eines K¨ orpers. Damit ist das Temperaturfeld jedoch nicht vollst¨andig festgelegt; denn es m¨ ussen noch mehrere Grenzbedingungen gestellt und von der L¨osung der Diﬀerentialgleichung erf¨ ullt werden. Diese Grenzbedingungen enthalten eine zeitliche Anfangsbedingung und ¨ ortliche Randbedingungen, die an den R¨ andern (Oberﬂ¨achen) des K¨ orpers vorgeschrieben sind. Erst durch die Differentialgleichung und durch die Randbedingungen ist das Temperaturfeld vollst¨ andig bestimmt. Die Anfangsbedingung schreibt zu einem bestimmten Zeitpunkt an jeder Stelle des K¨ orpers eine Temperatur vor. In der Regel beginnt man die Zeitz¨ ahlung mit diesem Zeitpunkt und hat daher die Bedingung ϑ(x, y, z, t = 0) = ϑ0 (x, y, z)

(2.17)

zu erf¨ ullen. Die durch die Problemstellung gegebene Anfangstemperaturverteilung ϑ0 (x, y, z), etwa die u ¨ berall gleiche Anfangstemperatur in einem sich abk¨ uhlendem K¨orper, ver¨ andert sich im Laufe des nichtstation¨aren W¨armeleitvorganges. Die ¨ ortlichen Randbedingungen lassen sich in drei Gruppen einteilen. Es kann an den K¨ orperoberﬂ¨ achen 1. die Temperatur als Funktion der Zeit und des Ortes auf der Oberﬂ¨ache vorgeschrieben sein, sogenannte Randbedingung 1. Art, 2. die W¨ armestromdichte normal zur Oberﬂ¨ache als Funktion der Zeit und des Ortes vorgeschrieben sein, sogenannte Randbedingung 2. Art, oder 3. Ber¨ uhrung mit einem anderen Medium vorliegen. Gegebene Oberﬂ¨ achentemperaturen sind mathematisch am einfachsten zu ber¨ ucksichtigen, besonders dann, wenn die Oberﬂ¨achentemperaturen konstant sind. Bei vorgeschriebener W¨ armestromdichte q˙ muss an jeder Stelle der Oberﬂ¨ ache die Bedingung ∂ϑ q˙ = −λ (2.18) ∂n erf¨ ullt sein, wobei die Ableitung in Richtung der ¨außeren Fl¨achennormale zu bilden und λ bei der Oberﬂ¨ achentemperatur einzusetzen ist. Besonders h¨auﬁg treten adiabate Oberﬂ¨ achen auf; hier gilt wegen q˙ = 0

2.1 Die W¨ armeleitungsgleichung

∂ ϑ/∂n = 0 .

125

(2.19)

Diese einfache Bedingung muss auch auf den Symmetrieﬂ¨achen im Inneren des K¨ orpers erf¨ ullt sein. Es ist deshalb bei der Formulierung eines W¨armeleitproblems h¨ auﬁg vorteilhaft, nur den Teil eines K¨orpers zu betrachten, der durch eine oder mehrere adiabate Symmetrieﬂ¨achen begrenzt ist. Ber¨ uhrt der betrachtete w¨ armeleitende K¨ orper ein anderes Medium, so sind mehrere unterschiedliche Randbedingungen m¨oglich je nachdem, ob das angrenzende Medium ein anderer fester K¨ orper oder ein Fluid ist und ob diese Medien besondere Materialeigenschaften haben. Grenzt der K¨orper an einen anderen festen K¨orper, so ist die W¨ armestromdichte, die an der Grenzﬂ¨ache vom K¨ orper 1 in den K¨ orper 2 u ur beide K¨orper gleich. Nach (2.18) ¨bergeht, f¨ gilt daher an der Grenzﬂ¨ ache, gekennzeichnet durch den Index I (=interface),

λ(1)

∂ ϑ(1) ∂n

und außerdem

= λ(2)

I

(1)

ϑI

(2)

= ϑI

∂ ϑ(2) ∂n

(2.20) I

.

(2.21)

Abb. 2.3: Temperaturverlauf an der Grenze zweier sich ber¨ uhrender K¨ orper 1 und 2. a kein Kontaktwiderstand, b Kontaktwiderstand nach (2.22)

Der Temperaturverlauf weist also an der Grenzﬂ¨ache einen Knick auf. Dabei ist der Temperaturgradient in dem K¨ orper gr¨oßer, der die kleinere W¨armeleitf¨ ahigkeit hat, Abb. 2.3 a. Gl. (2.21) gilt allerdings nur, wenn die beiden K¨ orper an der Grenzﬂ¨ ache fest miteinander verbunden sind. Anderenfalls tritt ein Kontaktwiderstand auf, der einen geringen Temperatursprung zur Folge hat, Abb. 2.3 b. Man kann diesen Widerstand durch einen Kontaktw¨arme¨ ubergangskoeﬃzienten αKt beschreiben. Anstelle von Gleichung (2.21) gilt dann

−λ

(1)

∂ ϑ(1) ∂n

(1)

(2)

= αKt ϑI − ϑI

! .

(2.22)

I

Bei konstantem αKt w¨ achst der Temperatursprung an der Grenzﬂ¨ache proportional zur W¨ armestromdichte.

126

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

Grenzt der w¨ armeleitende K¨ orper an ein Fluid, so bildet sich im Fluid an der Oberﬂ¨ ache eine Grenzschicht aus. F¨ ur die W¨armestromdichte, die an das Fluid u arme¨ ubergangskoeﬃzienten ¨bergeht, gilt dann mit α als dem W¨ q˙ = α (ϑW − ϑF ) , vgl. Abb. 2.4 und Abschnitt 1.1.3. Da diese W¨armestromdichte im K¨orper durch Leitung an die Oberﬂ¨ ache (Wand) transportiert werden muss, erh¨alt man als Randbedingung

∂ϑ −λ = α (ϑW − ϑF ) . (2.23) ∂n W Hierin bedeutet λ die W¨ armeleitf¨ ahigkeit des Festk¨orpers (und nicht die des

Abb. 2.4: Temperaturverlauf bei Vorliegen der W¨ arme¨ ubergangsbedingung (2.23). Die Tangente des Temperaturverlaufs im Festk¨ orper an der Oberﬂ¨ ache triﬀt den Richtpunkt R auf der H¨ ohe der Fluidtemperatur ϑF im Abstand s = λ/α = L0 /Bi. Die Subtangente des Temperaturverlaufs in der Fluidgrenzschicht ist su¨ = λF /α = L0 /N u.

Fluids!) an der Wand. Gl. (2.23) schreibt einen linearen Zusammenhang zwischen der Temperatur ϑW und der Steigung des Temperaturverlaufs an der Oberﬂ¨ ache vor, sie wird auch als Randbedingung 3. Art bezeichnet. Wie in (2.18) ist ∂ ϑ/∂n die Ableitung in Richtung der ¨außeren Fl¨achennormale. Die Fluidtemperatur ϑF , die von der Zeit abh¨ angen kann, und der W¨arme¨ ubergangskoeﬃzient α m¨ ussen f¨ ur die L¨ osung des W¨armeleitproblems gegeben sein. Ist α sehr groß, so wird der Temperaturunterschied (ϑW − ϑF ) sehr klein, und man kann die Randbedingung (2.23) durch die einfachere Randbedingung vorgeschriebener Temperatur (ϑW = ϑF ) ersetzen. Die Randbedingung (2.23) ist nur so lange linear — und das ist f¨ ur die mathematische L¨osung des W¨ armeleitproblems eine wichtige Voraussetzung —, wie α nicht von ϑW bzw. von (ϑW − ϑF ) abh¨ angt. In einer Reihe von W¨arme¨ ubergangsproblemen, z.B. bei freier Konvektion, h¨ angt α von (ϑW − ϑF ) ab, so dass die Linearit¨at der Randbedingung zerst¨ ort wird. Gleiches gilt, wenn der W¨arme¨ ubergang 4 durch Strahlung ber¨ ucksichtigt werden muss, weil dann q˙ von TW abh¨angt, vgl. Abschnitt 1.1.5. In diesen F¨ allen ist eine L¨osung des W¨armeleitproblems in geschlossener Form meistens nicht m¨ oglich. Man wird dann numerische Methoden anwenden, die wir in 2.4 behandeln. Bei der Abk¨ uhlung oder beim Anheizen von Beh¨ altern, die ein Fluid enthalten, kann man die Fluidtemperatur ϑF oft als r¨ aumlich konstant ansehen, weil sich die

2.1 Die W¨ armeleitungsgleichung

127

Temperaturen im Fluid durch Konvektion oder durch R¨ uhren ausgleichen. Die zeit¨ liche Anderung von ϑF = ϑF (t) h¨ angt jedoch davon ab, in welchem Maße W¨ arme von der Beh¨ alterwand (dem w¨ armeleitenden K¨ orper) an das Fluid u ¨ bergeht. Sie ¨ bewirkt eine Anderung der inneren Energie des Fluids und eine dem entsprechende ¨ Anderung von ϑF . F¨ ur die W¨ armestromdichte gilt dann einmal „ « ∂ϑ q˙ = −λ ∂n W (W¨ armeleitung in der Beh¨ alterwand) und zum anderen q˙ = cF

MF dϑF A dt

(Erw¨ armung des Fluids) mit cF als spez. W¨ armekapazit¨ at des Fluids und mit MF als seiner Masse, die mit der Beh¨ alterwand (Fl¨ ache A) in Ber¨ uhrung steht. Wir haben damit die Randbedingung „ « MF dϑF ∂ϑ cF +λ =0 . (2.24) A dt ∂n W Sie ist durch eine W¨ arme¨ ubergangsbedingung nach (2.23) oder, falls der W¨ armeu ¨ bergangskoefﬁzient sehr groß ist, durch die einfache Randbedingung ϑW = ϑF zu erg¨ anzen.

2.1.4 Temperaturabh¨ angige Stoﬀwerte Ist die Temperaturabh¨ angigkeit der Stoﬀwerte λ = λ(ϑ) und c = c(ϑ) nicht zu vernachl¨ assigen, so muss man von der W¨ armeleitungsgleichung (2.8) ausgehen. Es liegt ein nichtlineares Problem vor, das nur in Ausnahmef¨allen eine geschlossene mathematische L¨ osung zul¨ asst. Mit div [λ(ϑ) grad ϑ] = λ(ϑ) div grad ϑ +

dλ grad2 ϑ dϑ

erh¨ alt man aus (2.8) c(ϑ)

∂ϑ dλ ˙ = λ(ϑ)∇2 ϑ + grad2 ϑ + W ∂t dϑ

(2.25)

als W¨ armeleitungsgleichung. Die Nichtlinearit¨ at ist an den beiden ersten Termen der rechten Seite klar zu erkennen. Die Gl. (2.8) und (2.25) nehmen eine einfachere Form an, wenn man eine neue Variable, die transformierte Temperatur 1 Θ = Θ0 + λ0

ϑ λ(ϑ) dϑ ϑ0

(2.26)

128

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

einf¨ uhrt. Hierin bedeutet λ0 den Wert der W¨ armeleitf¨ahigkeit bei der Bezugstemperatur ϑ0 , der die transformierte Temperatur Θ0 zugeordnet ist. F¨ ur die Ableitungen von Θ erh¨ alt man aus (2.26) ∂Θ λ ∂ϑ = ∂t λ0 ∂t

und

grad Θ =

λ grad ϑ . λ0

Damit folgt aus (2.8) c(ϑ) oder

λ0 ∂ Θ ˙ = λ0 ∇2 Θ + W λ(ϑ) ∂t

˙ 1 ∂Θ W = ∇2 Θ + , a(ϑ) ∂t λ0

(2.27)

eine Gleichung, die formal mit der W¨ armeleitungsgleichung (2.9) f¨ ur konstante Stoﬀwerte u ¨ bereinstimmt. Die Temperaturleitf¨ahigkeit a h¨angt allerdings von ϑ bzw. Θ ab. Erfahrungsgem¨ aß ¨ andert sich a weniger mit der Temperatur als λ, so dass man a(ϑ) in (2.27) n¨ aherungsweise konstant setzen kann. Eine L¨ osung der W¨ armeleitungsgleichung f¨ ur konstante Stoﬀwerte l¨asst sich dann auf den Fall temperaturabh¨ angiger Stoﬀwerte u ¨ bertragen, indem man ϑ durch Θ ersetzt. Dabei besteht jedoch eine wichtige Einschr¨ankung: Nur Randbedingungen mit gegebener Temperatur oder gegebener W¨armestromdichte nach (2.18) d¨ urfen vorgeschrieben sein; denn die W¨arme¨ ubergangsbedingung (2.23) bleibt bei der Transformation (2.26) nicht erhalten. Die Transformation (2.26) ist besonders bei station¨ aren W¨ armeleitproblemen angebracht, weil der Term mit dem temperaturabh¨ angigen a wegen ∂ Θ/∂t = 0 entf¨allt. L¨osungen der ˙ = 0 der Laplace-Gleichung k¨onnen dann unPoisson-Gleichung bzw. bei W mittelbar u ¨ bernommen werden, sofern nur die Randbedingungen vorgeschriebener Temperatur oder vorgeschriebener W¨ armestromdichte vorliegen, nicht jedoch W¨ arme¨ ubergangsbedingungen nach (2.23). In den meisten F¨ allen ist bei temperaturabh¨angigen Stoﬀwerten eine L¨ osung in geschlossener Form nicht m¨ oglich. Man muss dann auf numerische L¨ osungsverfahren zur¨ uckgreifen, auf die wir in 2.4 eingehen werden.

¨ 2.1.5 Ahnliche Temperaturfelder In Abschnitt 1.1.4 wurde bereits auf die Vorteile hingewiesen, die durch das Einf¨ uhren dimensionsloser Variablen entstehen. Die sich dabei ergebenden dimensionslosen Kennzahlen erm¨ oglichen eine besonders klare und knappe Darstellung der physikalischen Zusammenh¨ ange, da die Zahl der Einﬂussgr¨ oßen erheblich vermindert wird. Die f¨ ur die W¨armeleitung maßgebenden Kennzahlen lassen sich leicht ﬁnden, weil die Diﬀerentialgleichungen und ihre Randbedingungen explizit gegeben sind. Um die Kennzahlen der W¨ armeleitung herzuleiten, gehen wir von der Differentialgleichung

2.1 Die W¨ armeleitungsgleichung

129

˙ ∂ϑ ∂2ϑ W =a 2 + ∂t ∂x c ¨ aus, die alle wesentlichen Terme — Zeitabh¨ angigkeit, ¨ortliche Anderung des ˙ von W¨armequellen — enth¨alt. Temperaturfelds sowie die Leistungsdichte W Wir f¨ uhren eine dimensionslose Ortskoordinate und eine dimensionslose Zeit ein: x+ := x/L0 , t+ := t/t0 . Dabei ist L0 eine charakteristische L¨ ange des w¨armeleitenden K¨orpers und t0 eine charakteristische Zeit(spanne), die noch festgelegt wird. Als dimensionslose Temperatur w¨ ahlen wir ϑ+ := (ϑ − ϑ0 ) /Δϑ0 ,

(2.28)

worin ϑ0 eine Bezugstemperatur (Nullpunkt von ϑ+ ) und Δϑ0 eine f¨ ur das Problem charakteristische Temperaturdiﬀerenz bedeuten. Die W¨ armeleitungsgleichung nimmt dann die dimensionslose Form ˙ ∂ ϑ+ at0 ∂ 2 ϑ+ t0 W = + 2 2 ∂t+ L0 ∂x+ Δϑ0 c

(2.29)

an. Hier liegt es nun nahe, als charakteristische Zeit t0 = L20 /a zu w¨ ahlen. Die dimensionslose Zeit nimmt dann die Form t+ = at/L20

(2.30a)

an. Man bezeichnet t+ h¨ auﬁg als Fourier-Zahl F o := at/L20 = t+ .

(2.30b)

Die Fourier-Zahl ist jedoch keine Kennzahl im u ur ein ¨blichen Sinne, die f¨ gegebenes Problem einen festen Wert annimmt, sondern eine dimensionslose Zeit-Variable, die nur f¨ ur bestimmte Zeiten feste Werte hat. Wir f¨ uhren nun die charakteristische Leistungsdichte W˙ 0 = Δϑ0 c/t0 = λΔϑ0 /L20

(2.31a)

als Bezugsgr¨ oße ein und erhalten mit ˙ +=W ˙ /W˙ 0 = W ˙ L2 /λΔϑ0 W 0

(2.31b)

als dimensionsloser W¨ armequellenfunktion aus (2.28) ∂ ϑ+ ∂ 2 ϑ+ ˙ + . = +W ∂t+ ∂x+ 2

(2.32)

130

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

Die W¨ armeleitungsgleichung (2.32) enth¨ alt keine von eins verschiedenen Faktoren; sie zwingt also nicht unmittelbar zur Einf¨ uhrung von Kennzahlen, wenn ˙ + nach (2.31b) verwenden. wir die dimensionslose W¨ armequellenfunktion W Erst die in dieser Funktion auftretenden dimensionslosen Parameter, welche ˙ + beschreiben, u die Orts-, Zeit- oder Temperaturabh¨ angigkeit von W ¨ bernehmen die Rolle von Kennzahlen. Weitere Kennzahlen sind zu erwarten, wenn man die Randbedingungen dimensionslos macht. Die Anfangsbedingung (2.17) und die Randbedingung vorgeschriebener Temperatur sind homogen in ϑ. Sie f¨ uhren daher nicht unmittelbar zu Kennzahlen. Man wird jedoch diese Grenzbedingungen bei der Wahl von ϑ0 und Δϑ0 in (2.28) beachten, um eine m¨ oglichst g¨ unstige dimensionslose Temperatur ϑ+ , z.B. im Intervall 0 ≤ ϑ+ ≤ 1, zu erhalten. Ist die W¨armestromdichte q˙W als Randbedingung vorgeschrieben, so folgt aus (2.18) die dimensionslose Beziehung

+ ∂ϑ + q˙W = − (2.33a) ∂x+ W mit + q˙W := q˙W /q˙W0 = q˙W L0 /λΔϑ0 .

(2.33b)

+ q˙W

Die dimensionslose Funktion enth¨ alt einen oder mehrere Parameter, welche die Orts- und Zeitabh¨ angigkeit der aufgepr¨agten W¨armestromdichte q˙W beschreiben, wenn man vom Sonderfall q˙W = 0 absieht. Diese dimensionslosen ˙ + Parameter gehen ebenso wie die Parameter der W¨armequellenfunktion W nach (2.31b) als Kennzahlen in die L¨ osung des W¨armeleitproblems ein. Macht man schließlich die W¨ arme¨ ubergangsbedingung (2.23) dimensionslos, so erh¨ alt man ∂ ϑ+ αL0 + = ϑW − ϑ+ . (2.34) F + ∂x λ Hier tritt eine Kennzahl auf, die als Biot-Zahl1 Bi := αL0 /λ

(2.35)

bezeichnet wird. Von ihr h¨ angt das Temperaturfeld ab, wenn W¨arme¨ ubergang an ein Fluid stattﬁndet. Die Biot-Zahl ist formal in der gleichen Weise aus physikalischen Einﬂussgr¨ oßen zusammengesetzt wie die Nußelt-Zahl nach (1.36). Es besteht jedoch ein wesentlicher Unterschied: In der Biot-Zahl bedeutet λ die W¨ armeleitf¨ ahigkeit des festen K¨ orpers, w¨ahrend λ in der Nußelt-Zahl die W¨ armeleitf¨ ahigkeit des Fluids ist. Die Nußelt-Zahl dient zur dimensionslosen Darstellung und Berechnung des W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten α; die Biot-Zahl beschreibt eine Randbedingung des W¨armeleitvorgangs in einem 1

Jean Baptiste Biot (1774–1862) wurde 1800 Professor f¨ ur Physik am Coll`ege de France in Paris. Er untersuchte seit 1804 die Abk¨ uhlung erhitzter St¨ abe in Luft und ver¨ oﬀentlichte 1816 die Diﬀerentialgleichung f¨ ur den Temperaturverlauf, ohne jedoch eine klare Herleitung zu geben. 1820 entdeckte er mit F. Savart das BiotSavartsche Gesetz f¨ ur die magnetische Feldst¨ arke stromdurchﬂossener Leiter.

2.1 Die W¨ armeleitungsgleichung

131

festen K¨ orper. Sie ist das Verh¨ altnis von L0 zur Subtangente an den Temperaturverlauf im festen K¨ orper, vgl. Abb. 2.4, w¨ahrend die Nußelt-Zahl das Verh¨ altnis einer (m¨ oglicherweise anders gew¨ ahlten) charakteristischen L¨ange L0 zur Subtangente des Temperaturverlaufs in der Grenzschicht des Fluids ist.

Abb. 2.5: Bedeutung der Biot-Zahl Bi = αL0 /λ f¨ ur den Temperaturverlauf in der N¨ ahe der Oberﬂ¨ ache. a kleine Biot-Zahl, b große Biot-Zahl

Fasst man L0 /λ als speziﬁschen W¨ armeleitwiderstand des w¨ armeleitenden K¨ orpers und 1/α als spez. W¨ arme¨ ubergangswiderstand an seiner Oberﬂ¨ ache auf, so l¨ asst sich die Biot-Zahl auch als Verh¨ altnis dieser beiden Widerst¨ ande deuten: Bi =

L0 /λ . 1/α

Eine kleine Bi-Zahl bedeutet, dass der W¨ armeleitwiderstand im K¨ orper, z.B. wegen seiner hohen W¨ armeleitf¨ ahigkeit, wesentlich kleiner ist als der W¨ arme¨ ubergangswiderstand an seiner Berandung. Bei kleinen Biot-Zahlen sind die Temperaturdiﬀerenzen im K¨ orper klein gegen¨ uber der Diﬀerenz (ϑW − ϑF ) zwischen Wand- und FluidTemperatur; bei großen Biot-Zahlen gilt das Umgekehrte, was in Abb. 2.5 f¨ ur einen Abk¨ uhlvorgang beispielhaft dargestellt ist. Sehr große Biot-Zahlen f¨ u hren zu ` ´ ` ´ sehr + + kleinen Werten von ϑ+ ur Bi → ∞ geht nach (2.34) ϑ+ W − ϑF , und f¨ W − ϑF → 0. Die W¨ arme¨ ubergangsbedingung (2.34) kann durch die einfachere Randbedingung + ϑ+ = ϑ ersetzt werden. W F

Temperaturfelder in ruhenden festen K¨ orpern lassen sich in dimensionsloser Form durch ! ˙ + , q˙+ , Bi, KGeom ϑ+ = ϑ+ x+ , y + , z + , t+ , W (2.36) W darstellen. Dabei wurden die schon behandelten dimensionslosen Variablen und Kenngr¨ oßen durch geometrische Kenngr¨ oßen — hier abgek¨ urzt und als KGeom zusammengefasst — erg¨ anzt. Geometrische Kenngr¨oßen sind zum Beispiel das Verh¨ altnis H/D von H¨ ohe zu Durchmesser eines w¨armeleitenden Zylinders oder die Verh¨ altnisse L2 /L1 und L3 /L1 der Kantenl¨angen L1 bis L3 eines Quaders. Auch die Form der Funktion in (2.36) h¨angt von der Geometrie

132

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

und den sonstigen Bedingungen des W¨ armeleitproblems ab. In der Regel werden nicht alle dimensionslosen Variablen in (2.36) gleichzeitig auftreten. Bei station¨ aren W¨ armeleitvorg¨ angen entf¨ allt t+ ; f¨ ur K¨orper ohne W¨armequellen ˙ + ≡ 0; sind nur Temperaturen als Randbedingungen vorgeschrieben, so ist W + kommen q˙W und Bi in (2.36) nicht vor. Schließlich sei darauf hingewiesen, dass bei W¨armeleitproblemen die dimensionslose Darstellung und das Zusammenfassen der Einﬂussgr¨oßen zu Kennzahlen eine nicht so große Bedeutung haben wie bei der in 1.1.4 behandelten Darstellung und Bestimmung von W¨arme¨ ubergangskoeﬃzienten. Wir werden im Folgenden h¨ auﬁg darauf verzichten, das W¨armeleitproblem dimensionslos zu machen, und werden nur die gefundene L¨osung durch entsprechende Zusammenfassung von Variablen und Einﬂussgr¨oßen dimensionslos darstellen.

2.2 Station¨ are W¨ armeleitung H¨ angt die Temperatur an jeder Stelle des w¨ armeleitenden K¨orpers nicht von der Zeit ab, so spricht man von station¨ arer W¨armeleitung. Einfache, f¨ ur die Praxis wichtige F¨ alle der station¨ aren W¨ armeleitung haben wir bereits im einf¨ uhrenden Kapitel behandelt, n¨ amlich den geometrisch eindimensionalen W¨ armeﬂuss in ebenen und gekr¨ ummten W¨ anden, vgl. Abschnitt 1.1.2. In den ¨ folgenden Abschnitten erweitern wir diese Uberlegungen zun¨achst auf geometrisch eindimensionale Temperaturverteilungen mit inneren W¨armequellen. Es folgt ein Abschnitt u ¨ber Temperaturverlauf und W¨armeabgabe von Rippen, in dem wir auch den in 1.2.3 eingef¨ uhrten Rippenwirkungsgrad bestimmen. Wir behandeln dann ebene und r¨ aumliche Temperaturfelder, deren Berechnung kompliziertere mathematische Methoden erfordert, so dass man h¨auﬁg gezwungen ist, auf numerische L¨ osungsverfahren zur¨ uckzugreifen, die im Abschnitt 2.4.6 dargestellt werden.

2.2.1 Geometrisch eindimensionale W¨ armeleitung mit W¨ armequellen Im Abschnitt 1.2.1 hatten wir den geometrisch eindimensionalen W¨armeﬂuss ohne innere W¨ armequellen behandelt. Die Temperatur h¨angt dabei nur von einer r¨ aumlichen Koordinate ab. Wir erhielten die Gleichungen f¨ ur den station¨ aren W¨ armeﬂuss durch die ebene Wand (Platte), durch den Hohlzylinder (Rohrwand) und die Hohlkugel. Wir wollen nun diese Betrachtungen dahingehend erweitern, dass im w¨ armeleitenden Material auch W¨armequellen vorhanden sind. Beispiele hierf¨ ur sind ein stromdurchﬂossener elektrischer Leiter, in dem elektrische Energie dissipiert wird, und die zylinder- oder kugelf¨ormigen Spaltstoﬀelemente eines Kernreaktors, in denen die bei der Kernspaltung freigesetzte Energie als W¨ arme an die Oberﬂ¨ ache des Spaltstoﬀelements geleitet wird.

2.2 Station¨ are W¨ armeleitung

133

Wie die in 2.1.1 hergeleitete W¨ armeleitungsgleichung zeigt, beeinﬂusst bei station¨ arer W¨ armeleitung wegen ∂ ϑ/∂t ≡ 0 nur die W¨armeleitf¨ahigkeit λ = λ(ϑ) als einzige Materialeigenschaft das Temperaturfeld. Wir setzen zun¨achst konstantes λ voraus; dann ist ˙ /λ) = 0 ∇2 ϑ + (W

(2.37)

˙ den die Diﬀerentialgleichung f¨ ur das station¨ are Temperaturfeld, in der W Quellterm, n¨ amlich die auf das Volumen bezogene, im Material erzeugte“ ” ˙ von der Temperatur ϑ oder W¨ armeleistung bedeutet. Dabei kann W von den Ortskoordinaten abh¨ angen. Wir beschr¨ anken uns nun auf geometrisch eindimensionalen W¨ armeﬂuss. Die Temperatur h¨ angt nur von einer Ortskoordinate ab, die wir (auch im Falle kartesischer Koordinaten) mit r bezeichnen. Der Laplace-Operator nimmt f¨ ur kartesische, Zylinder- und Kugelkoordinaten eine unterschiedliche Gestalt an. Man kann diese drei F¨alle zusammenfassen und erh¨ alt aus (2.37) ˙ (r, ϑ) d2 ϑ n dϑ W + + =0 (2.38) 2 dr r dr λ als maßgebende Diﬀerentialgleichung mit n = 0 f¨ ur den linearen W¨armeﬂuss (Platte), n = 1 f¨ ur den Zylinder und n = 2 f¨ ur die Kugel. Wir l¨ osen die gew¨ ohnliche Diﬀerentialgleichung (2.38) f¨ ur den Fall kon˙ =W ˙ 0 . Die L¨ stanter Leistungsdichte W osung lautet ⎧ ⎫ ⎨ c0 + c1 (r − r0 ) ⎬ ˙ 0 r2 W ϑ(r) = c0 + c1 ln (r/r0 ) − (2.39) ⎩ ⎭ 2 (1 + n) λ c + c (1/r − 1/r ) 0

1

0

f¨ ur die drei F¨ alle Platte (n = 0), Zylinder (n = 1) und Kugel (n = 2). Dabei sind c0 und c1 Konstanten, die den Randbedingungen anzupassen sind. Als Beispiel betrachten wir den einfachen Fall, dass an der Oberﬂ¨ache r = ±R W¨ arme¨ ubergang an ein Fluid mit der Temperatur ϑ = ϑF stattﬁndet. Es gilt dann

dϑ −λ = α [ϑ(R) − ϑF ] (2.40) dr r=R und aus Symmetriegr¨ unden

dϑ dr

=0 .

(2.41)

r=0

Aus der Bedingung (2.41) folgt c1 = 0. Aus (2.40) ergibt sich die Konstante c0 , so dass die L¨ osung des Randwertproblems ˙ 0 R2

W r2 2λ ϑ(r) = ϑF + 1− 2 + 2λ (1 + n) R αR lautet. Mit der dimensionslosen Temperatur

134

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

ϑ+ :=

ϑ − ϑF , ˙ 0 R2 /λ W

(2.42)

dem dimensionslosen Abstand r+ = r/R

(2.43)

von der Mittelebene bzw. vom Mittelpunkt und mit der Biot-Zahl Bi := αR/λ erh¨ alt man daraus ϑ+ =

1 2 2 1 − r+ + . 2(1 + n) Bi

(2.44)

(2.45)

Im w¨ armeleitenden K¨ orper stellt sich eine parabelf¨ormige Temperaturverteilung ein mit der h¨ ochsten Temperatur bei r+ = 0, Abb. 2.6.

Abb. 2.6: Verlauf der dimensionslosen Temperatur ϑ+ nach (2.45) in der Platte (n = 0), im Zylinder (n = 1) und in der Kugel (n = 2) f¨ ur Bi = αR/λ = 4,0

˙ 0 die W¨ Ist statt der Leistungsdichte W armestromdichte q˙W an der Oberﬂ¨ ache (r = R) der drei K¨ orper gegeben, so erh¨alt man aus der Energiebilanzgleichung ˙ 0 V = q˙W A W mit V als dem Volumen und A als der Oberﬂ¨ache den einfachen Zusammenhang ˙ 0V = W ˙0 R . q˙W = W (2.46) A 1+n Gleichung (2.45) f¨ ur den Temperaturverlauf nimmt dann die von der K¨orperform unabh¨ angige Gestalt

q˙W R 2 2 ϑ(r) = ϑF + 1 − r+ + (2.47) 2λ Bi an.

2.2 Station¨ are W¨ armeleitung

135

¨ Die vorstehenden Uberlegungen lassen sich auch auf den Fall temperaturabh¨ an˙ 0 und die Form des K¨ giger W¨ armeleitf¨ ahigkeit λ = λ(ϑ) u orpers ¨ bertragen. Sind W gegeben, so berechnet man zun¨ achst die W¨ armestromdichte q˙W an der Wand (r = R) nach (2.46). Aus ϑW = ϑF + q˙W /α erh¨ alt man die Oberﬂ¨ achentemperatur ϑW . Nach Abschnitt 2.1.4 f¨ uhren wir nun die transformierte Temperatur 1 Θ = ΘW + λ (ϑW )

Zϑ λ (ϑ) dϑ

(2.48)

ϑW

zur Ber¨ ucksichtigung des variablen λ ein. F¨ ur Θ erh¨ alt man aus (2.27) die Diﬀerentialgleichung ˙0 d2 Θ n dΘ W + + =0 , 2 dr r dr λ (ϑW ) die formal mit (2.38) u osen sie unter den Randbedingungen ¨ bereinstimmt. Wir l¨ r = 0 : dΘ/ dr = 0 , r = R: Θ = ΘW

(entsprechend ϑ = ϑW ) .

Die L¨ osung ist die Parabel Θ − ΘW =

˙ 0 R2 ˆ ˜ ˜ W q˙W R ˆ 1 − (r/R)2 = 1 − (r/R)2 . 2(1 + n)λ(ϑW ) 2λ(ϑW )

(2.49)

Zur Berechnung der h¨ ochsten Temperatur ϑmax im Zentrum des K¨ orpers ﬁndet man mit r = 0 ˙ 0 R2 W q˙W R Θmax − ΘW = = 2(1 + n)λ(ϑW ) 2λ(ϑW ) und erh¨ alt mit (2.48) f¨ ur ϑmax die Gleichung ϑmax

Z

λ (ϑ) dϑ = λ (ϑW ) (Θmax − ΘW ) =

˙ 0 R2 W . 2 (1 + n)

(2.50)

ϑW

˙ =W ˙ 0 = const fallengelassen und eine mit M. Jakob [2.2] hat die Voraussetzung W der Temperatur linear ansteigende oder linear fallende W¨ armeentwicklung ber¨ ucksichtigt. Der erste Fall tritt bei der Erw¨ armung metallischer elektrischer Leiter auf, deren elektrischer Widerstand ja mit der Temperatur zunimmt. Beispiel 2.1: Ein zylindrisches Spaltstoﬀelement mit dem Radius r = 0,011 m besteht aus Urandioxid (UO2 ). In einem bestimmten Querschnitt des Elements ˙ 0 = 1,80 · 105 kW/m3 ; die Oberﬂ¨ ist die Leistungsdichte W achentemperatur hat den Wert ϑW = 340 . Man berechne die h¨ ochste Temperatur ϑmax im Zentrum des Elements. Die W¨ armeleitf¨ ahigkeit von UO2 ist nach J. H¨ ochel u.a. [2.3] durch „ «3 λ (T ) 3540 K T = + 0,0747 , W/K m T + 57 K 1000 K

136

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

g¨ ultig im Bereich 300 K < T < 3073 K, gegeben. Man erh¨ alt die maximale (thermodynamische) Temperatur Tmax aus (2.50) mit n = 1 und ϑ = T : Tmax

Z

λ (T ) dT =

˙ 0 R2 W = 5445 W/m . 4

TW

Mit der Oberﬂ¨ achentemperatur TW = ϑW + 273 K = 613 K ergibt sich (

Tmax

Z

λ (T ) dT =

3540 ln

Tmax + 57 K + 18,675 670 K

"„

Tmax 1000 K

#)

«4

− 0,1412

W . m

TW

Damit erh¨ alt man die transzendente Gleichung "„ # «4 Tmax + 57 K Tmax ln = 1,5381 − 0,005275 − 0,1412 670 K 1000 K mit der L¨ osung Tmax = 2491 K, entsprechend ϑmax = 2281 . Diese Temperatur liegt noch merklich unter der Schmelztemperatur von UO2 , die etwa 2800 betr¨ agt.

2.2.2 W¨ armeleitung in L¨ angsrichtung eines Stabes Wird ein stabf¨ ormiges Gebilde, z.B. ein Bolzen oder eine S¨aule, an einem Ende beheizt, so str¨ omt W¨ arme im Stab in axialer Richtung und geht u ¨ ber die Mantelﬂ¨ ache des Stabes an seine Umgebung u ¨ber. Auch die W¨armeabgabe von Rippen ist ein ¨ ahnliches W¨ armeleitproblem, das wir im n¨achsten Abschnitt behandeln. Schließlich gibt es Messverfahren zur Bestimmung der W¨ armeleitf¨ ahigkeit, die auf dem Vergleich des Temperaturabfalls in St¨aben unterschiedlichen Materials beruhen, vgl. [2.2]. Wir betrachten einen Stab der L¨ ange L mit konstanter Querschnittsﬂ¨ache Aq und konstantem Umfang U . Ein Ende des Stabes wird durch W¨armezufuhr auf der konstanten Temperatur ϑ0 gehalten. W¨arme str¨omt dann in Richtung der Stabachse und wird u außere Oberﬂ¨ache an die Umgebung ab¨ ber die ¨ gegeben, Abb. 2.7. Die Querschnittsﬂ¨ ache des Stabes sei so klein, dass die Temperatur u ¨ ber jeden Querschnitt konstant angenommen werden kann; sie h¨ angt dann nur von der axialen Koordinate x ab. Betrachtet man an einer beliebigen Stelle ein Stabelement mit dem Volumen ΔV = Aq Δx, so gibt es u ache den W¨ armestrom ¨ ber die Mantelﬂ¨ ΔQ˙ = α [ϑ (x + εΔx) − ϑU ] U Δx ,

0≤ε≤1 ,

an die Umgebung mit der konstanten Temperatur ϑU ab. Diese W¨armeabgabe wirkt wie eine W¨ armesenke im Stabmaterial mit der Leistungsdichte

2.2 Station¨ are W¨ armeleitung

137

˙ ˙ = − lim ΔQ = − αU [ϑ(x) − ϑU ] . W Δx→0 ΔV Aq Wir setzen dies in die Diﬀerentialgleichung (2.38) f¨ ur den linearen W¨armeﬂuss mit W¨ armequellen (n = 0) ein und erhalten mit x anstelle von r d2 ϑ αU − (ϑ − ϑU ) = 0 dx2 λAq

(2.51)

als Diﬀerentialgleichung, die den Temperaturverlauf l¨angs des Stabes bestimmt.

Abb. 2.7: Temperaturverlauf in einem Stab mit konstanter Querschnittsﬂ¨ ache Aq

Wir nehmen nun einen konstanten W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten α an und setzen zur Abk¨ urzung m2 := αU/λAq . (2.52) Dann lautet die allgemeine L¨ osung von (2.51) ϑ(x) = ϑU + c1 exp(−mx) + c2 exp(mx) = ϑU + C1 cosh(mx) + C2 sinh(mx) . Die Integrationskonstanten c1 und c2 bzw. C1 und C2 sind aus den Randbedingungen zu bestimmen. Am linken Ende (x = 0) soll der Stab stets die Temperatur ϑ = ϑ0 annehmen, w¨ ahrend wir am anderen Stabende (x = L) verschiedene Randbedingungen betrachten. Die Bedingung ϑ = ϑ0

f¨ ur

x=0

legt es nahe, die dimensionslose Temperatur ϑ+ :=

ϑ − ϑU ϑ0 − ϑU

zu benutzen. Es gilt dann stets 0 ≤ ϑ+ ≤ 1 .

(2.53)

138

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

Wir betrachten nun einen Stab, der frei in die Umgebung ragt, Abb. 2.7, und an seiner Stirnﬂ¨ ache (x = L) W¨ arme abgibt. Hier gilt dϑ Q˙ L = −λAq = αL Aq (ϑ − ϑU ) dx

f¨ ur

x=L .

(2.54)

Der W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient αL an der Stirnﬂ¨ache braucht dabei nicht mit dem α an der Mantelﬂ¨ ache des Stabes u ¨ bereinzustimmen. Nach l¨angerer Rechnung erh¨ alt man f¨ ur die Temperaturverteilung im Stab ϑ+ (x) =

cosh [m(L − x)] + (αL /mλ) sinh [m(L − x)] . cosh (mL) + (αL /mλ) sinh (mL)

(2.55)

Der an die Umgebung abgegebene W¨ armestrom Q˙ ist gleich dem W¨armestrom, der durch den Stabquerschnitt bei x = 0 ﬂießt:

dϑ ˙ ˙ Q = Q0 = −λAq . dx x=0 Durch Diﬀerenzieren von (2.55) erh¨ alt man hierf¨ ur Q˙ 0 =

tanh(mL) + (αL /mλ) αλAq U (ϑ0 − ϑU ) . 1 + (αL /mλ) tanh(mL)

(2.56)

Kann man αL = α setzen, so wird αL α = = mλ mλ

"

αAq . λU

Eine merkliche Vereinfachung der Gleichungen erh¨alt man f¨ ur αL = 0. Dies gilt, wenn das Stabende isoliert ist oder wenn man die W¨armeabgabe u ¨ ber die kleine Querschnittsﬂ¨ ache Aq vernachl¨ assigen kann. F¨ ur den Temperaturverlauf ergibt sich nun ϑ+ (x) =

cosh [m(L − x)] . cosh(mL)

(2.57)

Die Temperatur am freien Stabende ist auf ϑ+ (L) =

ϑL − ϑU 1 = ϑ0 − ϑU cosh(mL)

gesunken. Der abgegebene W¨ armestrom ergibt sich aus (2.56) zu Q˙ 0 = αU λAq (ϑ0 − ϑU ) tanh(mL) . −1

(2.58)

(2.59)

Die Funktionen (cosh mL) und tanh mL sind in Abb. 2.8 dargestellt. Will man die einfachen Gleichungen (2.57) bis (2.59) auch f¨ ur αL = 0 benutzen, so kann man sich den Stab der L¨ange L mit W¨armeabgabe bei

2.2 Station¨ are W¨ armeleitung

139

Abb. 2.8: Charakteristische Funk¨ tionen f¨ ur die Ubertemperatur am freien Stabende nach (2.58) und f¨ ur den abgegebenen W¨ armestrom nach (2.59)

x = L durch einen Stab ersetzt denken, der die gr¨oßere L¨ange L + ΔL hat und bei x = L + ΔL isoliert ist. Die zus¨ atzliche L¨ange ΔL wird so bestimmt, dass der nicht ber¨ ucksichtigte W¨ armestrom Q˙ L u ¨ ber die Stirnﬂ¨ache von der vergr¨ oßerten Umfangsﬂ¨ ache U ΔL abgegeben wird. F¨ ur kleine Werte ΔL gilt in guter N¨ aherung Q˙ L = αL Aq (ϑL − ϑU ) = αU ΔL (ϑL − ϑU ) . Daraus erh¨ alt man die korrigierte L¨ ange LC des Ersatzstabes zu LC = L + ΔL = L +

αL Aq . α U

(2.60)

Sie ist in (2.57) bis (2.59) anstelle von L zu benutzen. Wir betrachten nun den Fall, dass am Stabende x = L die Temperatur ϑL vorgegeben ist, Abb. 2.9. Nach einiger Rechnung erh¨ alt man die Temperaturverteilung ϑ+ (x) =

sinh m(L − x) sinh(mx) + ϑ+ (L) . sinh(mL) sinh(mL)

(2.61)

Um die W¨ armeabgabe des Stabes zwischen x = 0 und x = L zu berechnen, bestimmen wir die W¨ armestr¨ ome, die durch die beiden Querschnitte x = 0 und x = L in x-Richtung ﬂießen. F¨ ur einen beliebigen Querschnitt erh¨ alt man ˜ dϑ λAq m (ϑ0 − ϑU ) ˆ ˙ Q(x) = −λAq = cosh [m(L − x)] − ϑ+ (L) cosh(mx) . dx sinh(mL) Daraus ergibt sich mit m nach (2.52) Q˙ 0 = und Q˙ L =

p

αλAq U

˜ (ϑ0 − ϑU ) ˆ cosh(mL) − ϑ+ (L) sinh(mL)

p ˜ (ϑ0 − ϑU ) ˆ αλAq U 1 − ϑ+ (L) cosh(mL) . sinh(mL)

140

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

Abb. 2.9: Temperaturverlauf in einem Stab, dessen Enden auf den vorgegebenen Temperaturen ϑ0 und ϑL gehalten werden. a bei x = L ﬂießt ein W¨ armestrom ab (Q˙ L > 0), b bei x = L ﬂießt ein W¨ armestrom zu (Q˙ L < 0)

Der zwischen den Endquerschnitten u ache abgegebene W¨ armestrom ¨ ber die Mantelﬂ¨ wird dann Q˙ = Q˙ 0 − Q˙ L =

p

ˆ ˜ cosh(mL) − 1 αλAq U (ϑ0 − ϑU ) 1 + ϑ+ (L) . sinh(mL)

(2.62)

Beispiel 2.2: Ein zylinderf¨ ormiger Stahlbolzen (λ = 52,5 W/K m) mit dem Durchmesser d = 0,060 m und der L¨ ange L = 0,200 m ragt aus einer Platte her¨ aus, die die Temperatur ϑ0 = 60,0 hat. Uber seine Mantelﬂ¨ ache und die freie Stirnﬂ¨ ache geht W¨ arme an Luft mit der Temperatur ϑU = 12,5 u ¨ ber, wobei der W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient f¨ ur beide Fl¨ achen den Wert α = 8,0 W/m2 K hat. Man berechne den W¨ armestrom Q˙ 0 , der an die Luft u ¨ bergeht, und die Temperatur ϑL der freien Stirnﬂ¨ ache. F¨ ur den W¨ armestrom erh¨ alt man aus (2.56) mit U = πd und Aq = πd2 /4 π √ tanh (mL) + (α/mλ) Q˙ 0 = d αλd (ϑ0 − ϑU ) . 2 1 + (α/mλ) tanh (mL) Dabei ist nach (2.52)

r α mL = 2 L = 0,6375 λd

und α 1 = mλ 2

r

αd = 0,0478 . λ

Somit wird Q˙ 0 = 13,3 W. Die Temperatur an der Bolzenstirnﬂ¨ ache ergibt sich aus (2.55) mit x = L zu ϑ+ =

1 = 0,8047 cosh(mL) + (α/mL) sinh(mL)

und daraus zu ϑL = ϑU + (ϑ0 − ϑU ) ϑ+ L = 50,7

.

2.2 Station¨ are W¨ armeleitung

141

Vernachl¨ assigt man die W¨ armeabgabe an der Stirnﬂ¨ ache des Bolzens, so erh¨ alt man aus (2.59) den zu geringen W¨ armestrom Q˙ 0 = 12,7 W. Die Temperatur ϑL erh¨ alt den zu großen Wert ϑL = 51,8 . Mit der korrigierten Bolzenl¨ ange LC = L +

d = 0,215 m 4

nach (2.60) ﬁndet man jedoch aus (2.59) und (2.57) f¨ ur Q˙ 0 und ϑL Werte, die mit mindestens drei geltenden Ziﬀern mit den exakten Werten u ¨ bereinstimmen.

2.2.3 Der Temperaturverlauf in Rippen und Nadeln Wie schon in Abschnitt 1.2.3 dargestellt, l¨ asst sich der W¨armedurchgang zwischen zwei Fluiden dadurch verbessern, dass man die Oberﬂ¨ache der Wand auf der Seite mit dem kleineren W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten durch das Anbringen von Rippen oder Nadeln vergr¨ oßert. Allerdings ist diese Fl¨achenvergr¨oßerung nur zu einem Teil wirksam, weil in den Rippen ein Temperaturgradient auftritt, ohne den W¨ arme nicht vom Rippenfuß fortgeleitet w¨ urde. Dadurch ¨ ist die f¨ ur die W¨armeabgabe an das Fluid maßgebende mittlere Ubertem¨ peratur kleiner als die Ubertemperatur am Rippenfuß. Um dies quantitativ zu erfassen, wurde in Abschnitt 1.2.3 der Rippenwirkungsgrad eingef¨ uhrt. Zu seiner Berechnung muss man den Temperaturverlauf in der Rippe kennen, worauf wir im Folgenden eingehen. Ergebnisse f¨ ur den Rippenwirkungsgrad verschiedener Formen von Rippen oder Nadeln werden im n¨achsten Abschnitt angegeben. Um den Temperaturverlauf zu berechnen, werden einige einschr¨ankende Annahmen gemacht: 1. Die Rippe (oder Nadel) ist so d¨ unn, dass die Temperatur nur von der Koordinate in der Richtung vom Rippenfuß zur Rippenspitze abh¨angt. 2. Das Rippenmaterial ist homogen mit konstanter W¨armeleitf¨ahigkeit λR . 3. Der W¨ arme¨ ubergang an der Rippenoberﬂ¨ ache kann durch einen konstanten W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten αR beschrieben werden. 4. Die Temperatur ϑU des die Rippe umgebenden Fluids ist konstant. 5. Der W¨ armestrom an der Rippenspitze wird gegen¨ uber dem W¨armestrom an den Rippenseitenﬂ¨ achen vernachl¨ assigt. Diese Annahmen treﬀen in der Regel zu mit Ausnahme eines u ¨ber die ganze Rippenoberﬂ¨ ache konstanten αR . Der Einﬂuss eines ver¨anderlichen W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten wurde von S.-Y. Chen und G.L. Zyskowski ¨ [2.4], von L.S. Han und S.G. Lefkowitz [2.5] sowie von H.C. Unal [2.6] untersucht. Der Temperaturverlauf in Rippen wird unter den genannten Annahmen durch eine gew¨ ohnliche lineare Diﬀerentialgleichung 2. Ordnung beschrieben, die wir im Folgenden herleiten. Dazu schneiden wir aus der beliebig geformten Rippe oder Nadel nach Abb. 2.10 ein Element der Dicke Δx heraus. Die Energiebilanzgleichung f¨ ur dieses Element lautet

142

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

Abb. 2.10: Energiebilanz f¨ ur das Volumenelement mit der Dicke Δx und der Oberﬂ¨ ache ΔAR einer beliebig geformten Rippe oder Nadel mit der Querschnittsﬂ¨ ache Aq (x) ˙ ˙ + Δx) + ΔQ˙ u¨ , Q(x) = Q(x

(2.63)

denn der W¨ armestrom, der durch Leitung an der Stelle x in das Element hineinﬂießt, muss den bei x + Δx weitergeleiteten W¨ armestrom liefern und den W¨ armestrom ΔQ˙ U ache ΔAR des Elements an das umgebende Fluid mit der ¨ ber die Oberﬂ¨ ¨ , der u ¨ Temperatur ϑU u uhren die Ubertemperatur ¨ bergeht. Wir f¨ Θ(x) := ϑ(x) − ϑU

(2.64)

ein und erhalten mit ΔAR als der w¨ armeabgebenden a ache des Rip¨ußeren Oberﬂ¨ penelements f¨ ur ΔQ˙ U ¨ den Ausdruck ΔQ˙ U ¨ = αR ΔAR Θ(x + εΔx)

,

0≤ε≤1 .

Nach dem Gesetz von Fourier wird durch die Querschnittsﬂ¨ ache Aq (x) der W¨ armestrom dΘ Q˙ = −λR Aq (x) (2.65) dx durch W¨ armeleitung transportiert. Daraus erh¨ alt man (Taylor-Entwicklung an der Stelle x) dQ˙ ˙ + Δx) = Q(x) ˙ Q(x + Δx + O(Δx2 ) dx » – d dΘ ˙ = Q(x) − λR Aq (x) Δx + O(Δx2 ) , dx dx wobei O(Δx2 ) andeutet, dass das Restglied proportional zu Δx2 ist. Wir setzen diese Beziehungen f¨ ur die drei W¨ armestr¨ ome in die Bilanzgleichung (2.63) ein und erhalten » – d dΘ 0 = −λR Aq (x) Δx + O(Δx2 ) + αR ΔAR Θ(x + εΔx) . dx dx Nach Division durch Δx ergibt der Grenz¨ ubergang Δx → 0

2.2 Station¨ are W¨ armeleitung »

143

–

d dΘ αR dAR Aq (x) − Θ=0 dx dx λR dx

(2.66)

¨ als die gesuchte Diﬀerentialgleichung f¨ ur die Ubertemperatur Θ(x).

Abb. 2.11: Gerade Rippe der Breite b (senkrecht zur Zeichenebene) mit beliebiger Proﬁlfunktion y = y(x)

Abb. 2.12: Kreisf¨ ormige Rippe auf einem Kernrohr (Außenradius r0 ) mit beliebiger Proﬁlfunktion y = y(r)

Diese Diﬀerentialgleichung erfasst alle Formen vergr¨ oßerter Oberﬂ¨ achen, sofern nur die eingangs genannten Annahmen zutreﬀen. Die verschiedenen Rippen- oder Nadelformen kommen in den beiden Funktionen Aq = Aq (x) f¨ ur die Querschnittsﬂ¨ ache und AR = AR (x) f¨ ur die w¨ armeabgebende Rippenoberﬂ¨ ache zum Ausdruck. So erh¨ alt man f¨ ur gerade Rippen der Breite b senkrecht zur Zeichenebene der Abb. 2.11 mit der Proﬁlfunktion y = y(x) die Fl¨ achen Aq (x) = 2y(x)b

und

AR (x) = 2bx .

In AR werden dabei die schmalen Seitenﬂ¨ achen nicht ber¨ ucksichtigt; außerdem wird der Unterschied zwischen AR und ihrer Projektion auf die von der Rippenbreite b und der x-Achse aufgespannte Ebene vernachl¨ assigt. Es wird also eine schlanke Rippe vorausgesetzt. Dies f¨ uhrt zur Diﬀerentialgleichung d2 Θ 1 dy dΘ αR + − Θ=0 . dx2 y dx dx λR y

(2.67)

Sie ist f¨ ur ein gegebenes Rippenproﬁl y = y(x) unter Beachtung der Randbedingungen am Rippenfuß, Θ = Θ0 = ϑ0 − ϑU f¨ ur x = 0 , (2.68) und der Bedingung dΘ = 0 f¨ ur x = h (2.69) dx zu l¨ osen. Dies entspricht der f¨ unften Annahme, der Vernachl¨ assigung der W¨ armeabgabe an der Rippenspitze. F¨ ur schlanke kreisf¨ ormige Rippen nach Abb. 2.12 erh¨ alt man mit r als radialer Koordinate Aq (r) = 4πry(r) und AR (r) = 2π(r 2 − r02 ) , wobei y = y(r) das Rippenproﬁl beschreibt. Aus (2.66) ergibt sich die f¨ ur Kreisrippen g¨ ultige Diﬀerentialgleichung

144

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion „ « d2 Θ y dy dΘ αR y 2 + + − Θ=0 . dr r dr dr λR

(2.70)

Die L¨ osung muss die Randbedingungen Θ = Θ0 = ϑ0 − ϑU

f¨ ur

r = r0

am Rippenfuß und dΘ/dr = 0

f¨ ur

r = r0 + h

an der Rippenspitze erf¨ ullen. L¨ osungen der Diﬀerentialgleichungen (2.67) und (2.70) wurden erstmals 1922 von D.R. Harper und W.B. Brown [2.7] sowie 1926 von E. Schmidt [2.8] f¨ ur verschiedene Proﬁlfunktionen y = y(x) bzw. y = y(r) angegeben. In einer umfassenden Untersuchung hat 1945 K.A. Gardner [2.9] alle Proﬁle behandelt, die auf Diﬀerentialgleichungen f¨ uhren, deren L¨ osungen verallgemeinerte Bessel-Funktionen sind. Die aus (2.66) herzuleitende Diﬀerentialgleichung f¨ ur kegelf¨ ormige Nadeln mit unterschiedlichem Proﬁl hat erstmals R. Focke [2.10] 1942 angegeben und gel¨ ost. Eine eingehende zusammenfassende Behandlung des Temperaturverlaufs in den verschiedenen Elementen vergr¨ oßerter W¨ arme¨ ubertragungsﬂ¨ achen ﬁndet man im Buch von D.Q. Kern und A.D. Kraus [2.11].

Im Folgenden behandeln wir beispielhaft die gerade Rippe mit rechteckigem Proﬁl. Ihre Dicke sei mit δR bezeichnet, so dass f¨ ur die Proﬁlfunktion der Abb. 2.11 y(x) = δR /2 gilt. Aus (2.67) folgt dann die einfache Diﬀerentialgleichung d2 Θ 2αR − Θ=0 . 2 dx λR δR Sie stimmt formal mit Gl. (2.51) von Abschnitt 2.2.2 u ur die ¨ berein, die f¨ W¨ armeleitung in L¨ angsrichtung eines Stabes gilt. Mit der Abk¨ urzung " 2αR m= (2.71) λR δR erh¨ alt man die schon aus Abschnitt 2.2.2 bekannte L¨osung Θ = Θ0

cosh [m(h − x)] , cosh(mh)

(2.72)

die den beiden Randbedingungen (2.68) und (2.69) gen¨ ugt. Will man die durch (2.69) vernachl¨ assigte W¨ armeabgabe der Rippenspitze ber¨ ucksichtigen, so kann man entsprechend (2.60) eine korrigierte Rippenh¨ohe einf¨ uhren und h durch hC = h + Δh = h + δR /2 ersetzen. Gl. (2.72) gilt auch f¨ ur eine Nadel mit konstanter Querschnittsﬂ¨ ache Aq . Man hat nur in (2.71) δR = Aq /2U mit U als dem Umfang der Querschnittsﬂ¨ ache zu setzen. Abb. 2.13 zeigt den Temperaturverlauf als Funktion der dimensionslosen Koordinate x/h f¨ ur verschiedene Werte des Parameters mh, in dem die Abmessungen der Rippe, ihre W¨ armeleitf¨ ahigkeit und der W¨arme¨ ubergangskoeﬃzient zusammengefasst sind. F¨ ur praktische Anwendungen sollten Werte

2.2 Station¨ are W¨ armeleitung

145

Abb. 2.13: Temperaturverlauf in geraden Rippen mit Rechteckproﬁl (Rippendicke δR ) als Funktion von x/h mit mh als Parameter nach (2.72)

im Bereich 0,7 < mh < 2 gew¨ ahlt werden. In langen Rippen mit mh > 2 f¨allt die Temperatur sehr rasch ab, und ein erheblicher Teil der Rippe u ¨bertr¨agt ¨ wegen zu geringer Ubertemperatur nur wenig W¨arme. Werte von mh < 0,7 weisen darauf hin, dass bei einer Verl¨ angerung der Rippe erheblich gr¨oßere W¨ armestr¨ ome h¨ atten u onnen. ¨bertragen werden k¨ Einen Optimalwert von mh kann man aus der Bedingung ﬁnden, dass der von der Rippe abgegebene W¨ armestrom Q˙ R m¨oglichst groß sein soll unter der Nebenbedingung, dass der Materialaufwand, also das Rippenvolumen konstant ist. Wir erhalten Q˙ R als den W¨ armestrom, der durch den Rippenfuß (x = 0) geleitet wird:

dΘ ˙ QR = −λR b δR . (2.73) dx x=0 Aus (2.72) ergibt sich hierf¨ ur Q˙ R = 2αR λR δR b Θ0 tanh (mh) .

(2.74)

Mit dem Rippenvolumen VR = δR hb wird dies Q˙ R =

Θ0 2αR λR VR b √ tanh h

"

2αR b 3/2 h λR VR

.

Man kann davon ausgehen, dass die Rippenbreite b durch die Abmessungen des zu k¨ uhlenden Apparates festgelegt ist. Q˙ R h¨angt dann von h ab, und die Bedingung dQ˙ R /dh = 0 f¨ uhrt auf die Gleichung tanh(mh) =

% & 3mh = 3mh 1 − tanh2 (mh) 2 cosh (mh)

146

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

mit der L¨ osung

" mh =

2αR h = 1,4192 . λR δR

Die nach dieser Bedingung gew¨ ahlte Rippenh¨ohe h gibt den maximalen W¨ armestrom bei festgehaltenem Rippenvolumen VR . Eine ¨ahnliche Rechnung f¨ ur kreisf¨ ormige Rippen mit verschiedenen Proﬁlfunktionen haben A. Ullmann und H. Kalman [2.12] ausgef¨ uhrt. E. Schmidt [2.8] hat die Rippenform bestimmt, die bei gegebener W¨armeleistung den geringsten Materialaufwand erfordert. Das Proﬁl dieser Rippen ist eine Parabel, deren Scheitel an der Rippenspitze liegt. Solche sehr spitz zulaufenden Rippen lassen sich nur schwer herstellen, weswegen man in der Praxis Rippen mit rechteckigem, trapezf¨ ormigem oder dreieckigem Querschnitt antriﬀt.

2.2.4 Der Rippenwirkungsgrad In Abschnitt 1.2.3 wurde der Rippenwirkungsgrad ηR :=

Q˙ R ϑR − ϑU ΘR = = ˙ ϑ0 − ϑU Θ0 QR0

(2.75)

eingef¨ uhrt als das Verh¨ altnis des von der Rippe tats¨achlich abgegebenen W¨ armestroms Q˙ R zum W¨ armestrom Q˙ R0 = αR AR (ϑ0 − ϑU ) = αR AR Θ0 , der von der Rippe abgegeben w¨ urde, wenn sie u ¨berall die Temperatur ϑ0 des Rippenfußes h¨ atte und nicht im Mittel die niedrigere Temperatur ϑR . Dabei bedeutet ϑU die Fluidtemperatur, die in Abschnitt 1.2.3 mit ϑ2 bezeichnet wurde. Der von der Rippe abgegebene W¨ armestrom stimmt mit dem W¨arme˙ = 0) u strom Q(x ¨ berein, der am Rippenfuß durch Leitung in die Rippe ﬂießt: ˙ = 0) = −λR Aq0 (dΘ/dx) Q˙ R = Q(x x=0 .

(2.76)

Hierbei bezeichnet Aq0 die Rippenquerschnittsﬂ¨ache am Rippenfuß. F¨ ur die gerade Rippe mit Rechteckproﬁl haben wir Q˙ R bereits im letzten Abschnitt berechnet. Mit (2.74) und Aq0 = b δR folgt aus (2.76) ηR =

tanh(mh) . mh

(2.77)

Der Wirkungsgrad der geraden Rechteckrippe h¨angt nur von der Kenngr¨oße " 2αR mh = h (2.78) λR δR

2.2 Station¨ are W¨ armeleitung

147

Abb. 2.14: Wirkungsgrad ηR der geraden Rippe mit Rechteckproﬁl nach (2.77) und mit Dreieckproﬁl nach (2.79) als Funktion von mh nach (2.78)

ab. Abb. 2.14 zeigt ηR nach (2.77). F¨ ur den in 2.2.3 bestimmten optimalen Wert mh = 1,4192 der Rippe mit der gr¨ oßten W¨armeabgabe bei gegebenem Volumen wird ηR = 0,627. In gleicher Weise l¨ asst sich auch f¨ ur andere Rippenformen der Wirkungsgrad aus dem Temperaturverlauf berechnen. F¨ ur gerade Rippen mit Dreiecksproﬁl zeigt Abb. 2.14 ηR als Funktion von mh, wobei hier δR die Dicke der Rippe an ihrem Fuß bedeutet. Der Verlauf von ηR ist dem Verlauf des Wirkungsgrades der geraden Rippe mit Rechteckproﬁl ¨ahnlich. Es liegt daher nahe, den aus Besselfunktionen zusammengesetzten Ausdruck f¨ ur ηR n¨aherungsweise durch die der Gl. (2.77) ¨ ahnliche Funktion ηR =

tanh (ϕmh) ϕmh

(2.79)

zu ersetzen. F¨ ur den Korrekturfaktor ϕ erh¨ alt man tanh (0,74485mh) , (2.80) mh womit man eine Wiedergabe des exakten Ergebnisses erh¨alt, die f¨ ur mh < 5 genauer als 0,05% ist. F¨ ur die h¨ auﬁg verwendeten Kreisrippen konstanter Dicke δR ist in (2.70) f¨ ur die Proﬁlfunktion y(r) = δR /2 zu setzen. Der Wirkungsgrad ηR h¨angt von zwei Kenngr¨oßen ab: von mh nach (2.78) und vom Radienverh¨altnis (r0 + h)/r0 = 1 + h/r0 , vgl. Abb. 2.12. Hier ergibt sich ein komplizierter Ausdruck, der modiﬁzierte Besselfunktionen enth¨alt. F. Brandt [2.13] hat die recht genaue N¨ aherungsgleichung p 2r0 tanh(mh) tanh(mh) [tanh(mh)] ηR = 1+ −C (2.81) n 2r0 + h mh 2mr0 (mr0 ) ϕ = 0,99101 + 0,31484

148

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

angegeben mit C = 0,071882, p = 3,7482, n = 1,4810. Sie gilt mit einem maximalen Fehler von 0,6% f¨ ur alle Werte von mh und f¨ ur mr0 ≥ 0,2. Eine einfachere N¨ aherungsgleichung hat Th.E. Schmidt [2.14] gefunden: ηR =

tanh (mhϕ) mhϕ

(2.82)

mit ϕ = 1 + 0,35 ln (1 + h/r0 ) .

(2.82a)

F¨ ur ηR > 0,5 weicht sie um nicht mehr als ±1% von den exakten Werten ab.

Abb. 2.15: Scheibenrippen. a rechteckige Scheibenrippe auf einem Rohr, b Rohrregister mit Scheibenrippen (rechteckig und sechseckig)

H¨ auﬁg werden auf Rohren quadratische, rechteckige oder sechseckige Scheibenrippen angebracht, wobei auch mehrere Rohre durch durchgehende Rippenschichten verbunden sind, Abb. 2.15. In diesen Rippen h¨ angt die Temperatur nicht nur von einer Koordinate ab, vielmehr muss mit ebenen Temperaturfeldern gerechnet werden. In erster N¨ aherung bestimmt man den Wirkungsgrad von Scheibenrippen, indem man ηR nach (2.81) oder (2.82) f¨ ur eine kreisf¨ ormige Rippe mit gleicher Oberﬂ¨ ache berechnet. Man hat dann f¨ ur die Rechteckrippe nach Abb. 2.15 p √ h = s1 s2 /π − r0 = 0,564 s1 s2 − r0 (2.83) und f¨ ur die Sechseck-Rippe mit s als Seitenl¨ ange s √ 3 3 h= s − r0 = 1,211s − r0 2π zu setzen. Etwas genauere Werte sind nach Th.E. Schmidt [2.14] mit p h = 0,64 s2 (s1 − 0,2s2 ) − r0

(2.84)

(2.85)

f¨ ur die Rechteckrippe mit s1 als der gr¨ oßeren Rechteckseite zu erwarten. E.M. Sparrow und S.H. Lin [2.15] haben f¨ ur die quadratische Scheibenrippe (s1 = s2 ) und f¨ ur die Sechseckrippe analytische N¨ aherungsl¨ osungen angegeben, die bei vergr¨ oßertem Rechenaufwand beliebig genaue Werte von ηR zu berechnen gestatten. Danach

2.2 Station¨ are W¨ armeleitung

149

sind die einfachen Gleichungen (2.83) mit s1 = s2 = s hinreichend genau, sofern h/r0 ≥ 0,5 ist. H.D. Baehr u. F. Schubert [2.16] haben den Wirkungsgrad quadratischer Scheibenrippen mit einem elektrischen Analogieverfahren experimentell bestimmt und die N¨ aherungsgleichungen (2.82) und (2.85) im Wesentlichen best¨ atigt.

2.2.5 Geometrisch mehrdimensionaler W¨ armeﬂuss Ebene und r¨ aumliche station¨ are Temperaturfelder, wie sie bei geometrisch mehrdimensionalem W¨ armeﬂuss auftreten, sind wesentlich schwieriger zu berechnen als die bisher behandelten F¨ alle, in denen ϑ nur von einer Ortskoordinate abhing. L¨osungen der Laplace-Gleichung f¨ ur ebene Temperaturfelder ohne W¨ armequellen, ∂2ϑ ∂2ϑ ∇2 ϑ = + 2 =0 , (2.86) ∂x2 ∂y kann man durch Anwenden verschiedener mathematischer Methoden erhalten. Es sei der Produkt- oder Separationsansatz ϑ(x, y) = f1 (x) · f2 (y) genannt, durch den sich aus (2.86) zwei gew¨ ohnliche, leicht l¨osbare Diﬀerentialgleichungen ergeben. Die Ber¨ ucksichtigung der Randbedingungen ist nur dann in einfacher Weise m¨ oglich, wenn das Temperaturfeld in einem Rechteck mit parallel zur x- bzw. y-Richtung verlaufenden R¨andern gesucht ist. Beispiele ﬁndet man im Buch von S. Kaka¸c und Y. Yener [2.17]. Ein weiteres L¨ osungsverfahren ist die konforme Abbildung. Ihre Anwendung wird von H.S. Carslaw und J.C. Jaeger [2.1] sowie von U. Grigull und H. Sandner [2.18] beschrieben. Mit dieser Methode lassen sich auch geometrisch komplizierte Bereiche behandeln. Dabei ergeben sich nur dann einfache L¨ osungen, wenn als Randbedingungen konstante oder abschnittsweise konstante Temperaturen und adiabate Berandungen vorgeschrieben sind. Eine W¨ arme¨ ubergangsbedingung l¨ asst sich in der Regel nur n¨aherungsweise ber¨ ucksichtigen. Als Beispiel hierf¨ ur sei die Untersuchung von K. Elgeti [2.19] genannt, der die W¨ armeabgabe eines in einer Wand verlegten Rohres berech¨ net hat. Schließlich sei die Methode der Uberlagerung von W¨armequellen und -senken genannt. Auch mit dieser Methode lassen sich kompliziertere Temperaturfelder zwischen isotherm berandeten K¨ orpern berechnen. Sie entspricht dem Singularit¨ atenverfahren, das in der Str¨ omungslehre zur Berechnung von Potentialstr¨ omungen um beliebig berandete K¨ orper eingesetzt wird, vgl. z.B. [2.20]. Eine Anwendung dieses Verfahrens zeigen wir im n¨achsten Abschnitt. ¨ 2.2.5.1 Uberlagerung von W¨ armequellen und W¨ armesenken In Abschnitt 1.1.2 hatten wir die Temperaturverteilung ϑ = ϑ(r) in einem Hohlzylinder der L¨ ange L berechnet. Der in radialer Richtung ﬂießende W¨ armestrom ist

150

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

Q˙ = 2πLλ (ϑ − ϑ0 ) / ln (r0 /r) , wobei ϑ die Temperatur im Abstand r von der Achse und ϑ0 die Temperatur auf dem Radius r0 bedeuten. Man kann nun Q˙ als die Ergiebigkeit einer linienf¨ ormigen W¨ armequelle bei r = 0 auﬀassen, die parallel zur z-Achse verl¨ auft. Sie bewirkt das nur von r abh¨ angige Temperaturfeld ϑ(r) = ϑ0 +

Q˙ ln (r0 /r) 2πLλ

(2.87)

mit Temperaturen, die f¨ ur r → 0 gegen unendlich gehen. Eine solche linienf¨ ormige oder zylindrische W¨armequelle m¨oge nun auf der x-Achse im Punkt Q mit dem Abstand h vom Koordinatenursprung liegen, ˙ beﬁnde sich im Punkt S im Abb. 2.16. Eine W¨ armesenke mit der St¨ arke (−Q) Abstand (−h) vom Koordinatenursprung. Wir stellen uns die Aufgabe, das ¨ ebene Temperaturfeld zu bestimmen, welches sich durch die Uberlagerung von Quelle und Senke in dem w¨ armeleitenden Medium ergibt.

¨ Abb. 2.16: Zur Uberlagerung der ebenen Temperaturfelder einer linienf¨ ormigen W¨ armequelle im Punkt Q und einer W¨ armesenke im Punkt S

Ein beliebiger Punkt P in Abb. 2.16 hat die Temperatur ϑ = ϑ0Q +

Q˙ r0 Q˙ r0 ln + ϑ0S − ln , 2πLλ rQ 2πLλ rS

woraus man mit ϑ0 = ϑ0Q + ϑ0S ϑ = ϑ0 +

Q˙ rS ln 2πLλ rQ

(2.88)

erh¨ alt. Darin bedeuten rQ und rS die Abst¨ ande des Punktes P von der Quelle bzw. der Senke. Eine Isotherme ϑ = const ist danach eine Linie, auf der das Abstandsverh¨ altnis k := rS /rQ (2.89) einen konstanten Wert hat. F¨ ur alle Punkte auf der y-Achse gilt rS = rQ ; somit ist die y-Achse die Isotherme mit k = 1, auf ihr ist ϑ = ϑ0 . Alle Punkte rechts von der y-Achse (x > 0) haben ein Abstandsverh¨ altnis k > 1 und Temperaturen ϑ > ϑ0 . F¨ ur die Punkte mit x < 0 gilt 0 ≤ k < 1 und ϑ < ϑ0 .

2.2 Station¨ are W¨ armeleitung

151

Wir zeigen nun, dass alle Isothermen ϑ = ϑ0 eine Schar von Kreisen bilden, deren Mittelpunkte auf der x-Achse liegen. Nach Abb. 2.16 gilt k2 = und daraus folgt

rS2 (x + h)2 + y 2 = , 2 rQ (x − h)2 + y 2

„ «2 k2 + 1 4k2 x− 2 h + y2 = 2 h2 . k −1 (k − 1)2

(2.90)

Dies ist die Gleichung eines Kreises mit dem Radius R=

2k h , k2 − 1

(2.91)

dessen Mittelpunkt M auf der x-Achse liegt und den Abstand m=

k2 + 1 h k2 − 1

(2.92)

vom Koordinatenursprung hat. Die Isothermen ϑ > ϑ0 sind wegen k > 1 Kreise, die rechts von der y-Achse liegen. Mit steigender Temperatur (wachsendem k) werden die Kreisradien immer kleiner, und der Kreismittelpunkt r¨ uckt immer n¨ aher an den Quellpunkt Q, Abb. 2.17. Isothermen mit ϑ < ϑ0 sind Kreise, die links von der y-Achse liegen. Mit sinkender Temperatur ziehen sich die Kreise immer enger um die Senke S zusammen.

Abb. 2.17: Isothermennetz nach (2.88) bzw. (2.90) f¨ ur verschiedene Abstandsverh¨ altnisse k nach (2.89); Q W¨ armequelle, S W¨ armesenke

Aus (2.91) und (2.92) erh¨ alt man durch Quadrieren

152

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion h2 = m2 − R2 .

(2.93)

Bildet man das Verh¨ altnis m/R, so ergibt sich eine quadratische Gleichung f¨ ur k mit den L¨ osungen r“ ” m m 2 k= ± −1 . (2.94) R R Das Pluszeichen liefert Abstandsverh¨ altnisse k > 1, ist also f¨ ur die Kreise rechts von der y-Achse anzuwenden, w¨ ahrend die andere L¨ osung Werte k < 1 ergibt, die den Kreisen links von der y-Achse entsprechen. Das durch (2.88), (2.89) und (2.90) gegebene und in Abb. 2.17 dargestellte Isothermennetz erlaubt es, die station¨ are W¨ armeleitung in dem Medium zwischen zwei isothermen Kreisen, z.B. zwischen zwei Rohren mit den konstanten Oberﬂ¨ achentemperaturen ϑ1 und ϑ2 zu berechnen. Hierf¨ ur gilt ϑ1 − ϑ2 =

Q˙ (ln k1 − ln k2 ) 2πLλ

oder

2πLλ ϑ1 − ϑ2 (ϑ1 − ϑ2 ) = . (2.95) ln (k1 /k2 ) RL Dies ist der W¨ armestrom, der zwischen den Isothermen ϑ = ϑ1 und ϑ = ϑ2 ﬂießt. Er ist dem W¨ armeleitwiderstand (vgl. 1.2.2) Q˙ =

RL =

ln (k1 /k2 ) 2πLλ

(2.96)

umgekehrt proportional, der im Wesentlichen von der geometrischen Anordnung der beiden isothermen Kreise (Rohre) abh¨ angt. Dabei sind drei F¨ alle zu unterscheiden: 1. k1 > k2 > 1. Zwei exzentrische Rohre nach Abb. 2.18 a, deren Achsen den Abstand e haben. Das gr¨ oßere Rohr 2 mit der Oberﬂ¨ achentemperatur ϑ2 umschließt das Rohr 1 mit ϑ1 > ϑ2 . 2. k1 > 1; k2 = 1. Ein Rohr mit dem Radius R, das in der Tiefe m unter einer isothermen Ebene, z.B. unter der Erdoberﬂ¨ ache, liegt, Abb. 2.18 b. 3. k1 > 1; k2 < 1. Zwei Rohre mit den Radien R1 und R2 , deren Achsen den Abstand s > R1 +R2 haben. Sie liegen in einem sehr weit ausgedehnten Medium, Abb. 2.18 c.

Abb. 2.18: Drei Anordnungen von Rohren mit isothermen Oberﬂ¨ achen. a zwei exzentrisch ineinanderliegende Rohre, b ein Rohr und eine isotherme Ebene, c zwei Rohre mit dem Mittelpunktsabstand s > R1 + R2

2.2 Station¨ are W¨ armeleitung

153

Am einfachsten ist der W¨ armeleitwiderstand zwischen dem Rohr und der isothermen Ebene nach Abb. 2.18 b zu berechnen. Mit k2 = 1 und k1 nach (2.94) erh¨ alt man aus (2.96) ! r“ ” 1 m m 2 1 RL = ln + −1 = arcosh (m/R) . (2.97) 2πLλ R R 2πLλ Will man an der ebenen Oberﬂ¨ ache W¨ arme¨ ubergang an ein Fluid mit der Temperatur ϑ2 ber¨ ucksichtigen, so kann dies n¨ aherungsweise dadurch geschehen, dass man RL mit dem vergr¨ oßerten Abstand m∗ = m + λ/α berechnet. Die wirkliche Oberﬂ¨ ache in der Tiefe“ λ/α ist dann keine Isotherme, ” sondern zeigt ein schwaches Temperaturmaximum unmittelbar u ¨ ber dem Rohr, wie es physikalisch zu erwarten ist. K. Elgeti [2.21] hat f¨ ur dieses Problem eine exakte L¨ osung gefunden. Danach gilt die N¨ aherung u ¨ berraschend genau. Merkliche Abweichungen von der exakten L¨ osung treten nur f¨ ur αR/λ < 0,5 auf und nur bei Werten von m/R < 2. Bei der Berechnung des W¨ armeleitwiderstandes zwischen den beiden exzentrisch angeordneten Rohren nach Abb. 2.18 a hat man davon auszugehen, dass die beiden Rohrradien R1 und R2 und ihr Mittelpunktsabstand (Exzentrizit¨ at) e = m2 − m1

(2.98)

gegeben sind. Die Abst¨ ande m1 und m2 sind durch diese drei Gr¨ oßen auszudr¨ ucken. Nach (2.93) gilt m22 − m21 = R22 − R12 (2.99) und aus (2.98) folgt (m2 − m1 )2 = e2 . Aus diesen beiden Gleichungen erh¨ alt man m1 =

R22 − R12 − e2 2e

und

m2 =

R22 − R12 + e2 . 2e

Damit ergibt sich der W¨ armeleitwiderstand zu » – 1 1 R2 − R12 − e2 R2 − R12 + e2 RL = (ln k1 − ln k2 ) = arcosh 2 − arcosh 2 2πLλ 2πLλ 2eR1 2eR2 oder unter Benutzung eines Additionstheorems der Areacosinus hyperbolicus-Funktion 1 R2 + R22 − e2 RL = arcosh 1 . (2.100) 2πLλ 2R1 R2 F¨ ur den Sonderfall der konzentrischen Kreise (e = 0) erh¨ alt man nach kurzer Umformung das von 1.1.2 her bekannte Resultat RL =

1 ln (R2 /R1 ) . 2πLλ

F¨ ur den dritten Fall, zwei Rohre in einem ausgedehnten Medium nach Abb. 2.18 c, dr¨ ucken wir m1 und m2 durch die Rohrradien R1 und R2 sowie durch den Abstand

154

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion s = m1 + m2

aus. Hierf¨ ur erh¨ alt man mit (2.99) ` ´ s2 − R22 − R12 m1 = 2s

und

m2 =

s2 + R22 − R12 . 2s

Der W¨ armeleitwiderstand ergibt sich mit 0 1 s„ «2 m m m2 2 2 ln k2 = ln @ − − 1A = −arcosh R2 R2 R2 zu

" # ` ´ s2 − R22 − R12 1 s2 + R22 − R12 RL = arcosh + arcosh 2πLλ 2sR1 2sR2

(2.101)

und schließlich zu

1 s2 − R12 − R22 arcosh . (2.102) 2πLλ 2R1 R2 Haben die beiden Rohre den gleichen Radius R1 = R2 = R, so erh¨ alt man aus (2.101) 1 s RL = arcosh . (2.103) πLλ 2R ¨ Durch die Uberlagerung mehrerer W¨ armequellen und -senken lassen sich kompliziertere Temperaturfelder berechnen. W. Nußelt [2.22] hat die Rohre in der Decke einer Strahlungsheizung durch linienf¨ ormige W¨ armequellen ersetzt und so die Temperaturverteilung in der Decke berechnet. RL =

2.2.5.2 Formkoeﬃzienten ˙ der von einer isothermen Fl¨ache mit der Temperatur ϑ1 Der W¨ armestrom Q, zu einer anderen isothermen Fl¨ ache mit der Temperatur ϑ2 str¨omt, l¨asst sich bei bekanntem W¨ armeleitwiderstand RL nach der einfachen Beziehung Q˙ = (ϑ1 − ϑ2 ) /RL berechnen. Dabei ist RL umgekehrt proportional zur W¨armeleitf¨ahigkeit λ des Materials zwischen den beiden isothermen Fl¨achen. Es liegt nahe, −1

RL = (λS)

(2.104)

oder Q˙ = λS (ϑ1 − ϑ2 )

(2.105)

zu setzen und damit den Formkoeﬃzienten S (englisch: shape factor) zu deﬁnieren. Der Formkoeﬃzient h¨ angt nur von der geometrischen Anordnung der beiden isothermen Fl¨ achen ab, zwischen denen Q˙ durch Leitung u ¨ bertragen wird; er hat die Dimension einer L¨ ange. F¨ ur K¨ orper mit zweidimensionaler (ebener) Temperaturverteilung, die die L¨ ange L senkrecht zur Ebene der Koordinaten haben, von denen ϑ abh¨angt,

2.2 Station¨ are W¨ armeleitung

155

l¨ asst sich ein auf L bezogener und damit dimensionsloser Formkoeﬃzient SL := S/L deﬁnieren, der auch Formfaktor genannt wird. Beispiele solcher ebenen Temperaturfelder haben wir im letzten Abschnitt behandelt. So ergibt sich der Formfaktor f¨ ur ein Rohr mit dem Radius R und der L¨ange L, das nach Abb. 2.18 b in der Tiefe m unter einer isothermen Ebene liegt, nach (2.97) und (2.104) zu SL =

S 2π = . L arcosh (m/R)

(2.106)

In gleicher Weise erh¨ alt man die Formfaktoren f¨ ur die Rohranordnungen nach Abb. 2.18 a und 2.18 c aus den Gl. (2.100) bzw. (2.102). Um den Formkoeﬃzienten S allgemein zu berechnen, bestimmt man den W¨ armestrom Q˙ durch Integration der ¨ ortlichen W¨armestromdichte q˙ = −λ

∂ϑ ∂n

an den isothermen Fl¨ achen A1 und A2 . F¨ ur den W¨armestrom, der von A1 nach A2 ﬂießt, erh¨ alt man Q˙ = −λ

∂ϑ dA1 = λ ∂n1

(A1 )

∂ϑ dA2 . ∂n2

(2.107)

(A2 )

Dabei sind die Fl¨ achennormalen n1 und n2 in das w¨armeleitende Medium hinein gerichtet. Mit (2.105) erh¨ alt man f¨ ur den Formkoeﬃzienten

S=

Q˙ 1 ∂ϑ 1 ∂ϑ =− dA1 = dA2 . (2.108) λ (ϑ1 − ϑ2 ) ϑ1 − ϑ2 ∂n1 ϑ1 − ϑ2 ∂n2 (A1 )

(A2 )

Nach dieser Beziehung kann S aus einem bekannten Temperaturfeld berechnet werden. E. Hahne und U. Grigull [2.23] haben Formkoeﬃzienten und Formfaktoren f¨ ur eine gr¨ oßere Zahl geometrischer Anordnungen zusammengestellt und systematisch eingeteilt. Eine ¨ ahnliche, sehr u ¨ bersichtliche Sammlung von Formfaktoren f¨ ur 45 geometrische Anordnungen ﬁndet man im VDI-W¨armeatlas [2.24]. Bei der Deﬁnition des Formkoeﬃzienten nach (2.105) und seiner Berechnung nach (2.107) und (2.108) wurde eine konstante W¨ armeleitf¨ ahigkeit λ vorausgesetzt. Man ber¨ ucksichtigt die Temperaturabh¨ angigkeit von λ = λ(ϑ) durch die in Abschnitt 2.1.4 eingef¨ uhrte transformierte Temperatur Θ nach (2.26) und ﬁndet, dass ein f¨ ur konstantes λ berechneter Formkoeﬃzient S bei temperaturabh¨ angigem λ = λ(ϑ) unver¨ andert benutzt werden kann, um den W¨ armestrom zwischen isothermen Fl¨ achen zu berechnen. Hierf¨ ur gilt (2.105) mit der Maßgabe, dass λ durch den integralen Mittelwert

156

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

λm

1 = ϑ1 − ϑ2

Zϑ1 λ(ϑ) dϑ

(2.109)

ϑ2

ersetzt wird. Dieses Ergebnis ist eine Verallgemeinerung der in Abschnitt 1.1.2 aufgestellten Gl. (1.8) bis (1.11) f¨ ur die geometrisch eindimensionale W¨ armeleitung zwischen den isothermen Oberﬂ¨ achen ebener und gekr¨ ummter W¨ ande.

2.3 Instation¨ are W¨ armeleitung Zeitabh¨ angige oder instation¨ are Temperaturfelder treten auf, wenn sich die thermischen Bedingungen an der Berandung eines K¨orpers ¨andern. Wird z.B. ein K¨ orper mit anf¨ anglich konstanter Temperatur einer Umgebung mit einer davon abweichenden Temperatur ausgesetzt, so ﬂießt W¨arme u ¨ber die K¨ orperoberﬂ¨ ache, und die Temperatur im K¨orper ¨andert sich mit der Zeit. Am Ende dieses zeitabh¨ angigen Vorgangs stellt sich eine neue station¨are Temperaturverteilung ein. In den folgenden Abschnitten behandeln wir einfache und f¨ ur die Anwendungen wichtige L¨ osungen der instation¨ aren W¨armeleitungsgleichung. Dabei stehen die Probleme im Vordergrund, bei denen das Temperaturfeld von der Zeit und nur einer geometrischen Koordinate abh¨angt. Wir gehen auf die wichtigsten mathematischen L¨ osungsmethoden ein. Die L¨osung instation¨arer W¨ armeleitprobleme durch numerische Verfahren wird Abschnitt 2.4 behandelt.

2.3.1 L¨ osungsmethoden Die L¨ osung eines instation¨ aren W¨ armeleitproblems kann auf drei Wegen gefunden werden: 1. durch eine geschlossene L¨ osung der W¨ armeleitungsgleichung unter Erf¨ ullung der Randbedingungen, 2. durch eine numerische L¨ osung der Diﬀerentialgleichung (mit Randbedingungen) unter Verwendung eines Diﬀerenzenverfahrens oder der Methode der ﬁniten Elemente, 3. durch eine experimentelle L¨ osung unter Benutzung eines Analogieverfahrens. Um eine geschlossene L¨ osung durch mathematische Funktionen zu ﬁnden, muss man temperaturunabh¨ angige Stoﬀwerte annehmen, was nach Abschnitt 2.1.2 auf die partielle Diﬀerentialgleichung ˙ ∂ϑ W = a∇2 ϑ + ∂t c

(2.110)

2.3 Instation¨ are W¨ armeleitung

157

f¨ uhrt. Damit eine lineare Diﬀerentialgleichung entsteht, beschr¨ankt man sich ˙ ≡ 0) oder setzt eientweder auf Probleme ohne innere W¨ armequellen (W ne von ϑ unabh¨ angige oder eine nur linear von ϑ abh¨angige Leistungsdichte ˙ voraus. Außerdem m¨ W ussen die Randbedingungen linear sein, was bei der W¨ arme¨ ubergangsbedingung (2.23) einen konstanten oder zeitabh¨angigen, jedoch nicht temperaturabh¨ angigen W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten α verlangt. Die hiermit umrissenen linearen Anfangs-Randwertaufgaben wurden f¨ ur zahlreiche F¨ alle im 19. und 20. Jahrhundert gel¨ost. Dabei wurden die klas¨ sischen L¨ osungsmethoden des Separationsansatzes, der Uberlagerung von W¨ armequellen und W¨ armesenken sowie der Greenschen Funktion verwendet. In neuerer Zeit hat die Laplace-Transformation als L¨osungsmethode f¨ ur lineare instation¨ are W¨armeleitprobleme an Bedeutung gewonnen. Den klassischen Separationsansatz werden wir in den Abschnitten 2.3.4 bis 2.3.6 anwenden. Da die Laplace-Transformation dem Ingenieur weniger bekannt ist, geben wir im folgenden Abschnitt eine kurze Einf¨ uhrung und zeigen in 2.3.3 ihre Anwendung auf Probleme, die mit dieser Methode besonders einfach l¨osbar sind. Eine umfassende Darstellung der mathematischen L¨osungsmethoden und eine F¨ ulle von Ergebnissen enth¨ alt das Standardwerk von H.S. Carslaw und J.C. Jaeger [2.1]. Die numerische L¨osung instation¨ arer W¨ armeleitprobleme hat besondere Bedeutung, wenn temperaturabh¨ angige Stoﬀwerte, K¨orper mit unregelm¨aßigen Berandungen oder komplizierte Randbedingungen, z.B. ein temperaturabh¨ angiges α vorliegen. In diesen F¨ allen bieten numerische Verfahren in der Regel die einzige L¨ osungsm¨ oglichkeit. Durch den Einsatz elektronischer Rechner haben sich ihre Anwendungsm¨ oglichkeiten stark erweitert. Wir gehen auf diese Verfahren in Abschnitt 2.4 ausf¨ uhrlich ein. Experimentelle Analogieverfahren beruhen darauf, dass verschiedene nichtstation¨ are Transportvorg¨ ange, insbesondere die Elektrizit¨atsleitung, zu partiellen Diﬀerentialgleichungen f¨ uhren, die den gleichen Aufbau wie die W¨armeleitungsgleichung haben. Man spricht von analogen Vorg¨angen und benutzt ein Modell eines solchen zur W¨ armeleitung analogen Vorgangs, um die an diesem Modell gewonnenen Messergebnisse auf den W¨armeleitungsvorgang zu u ¨ bertragen. Eine kurze Beschreibung derartiger Analogiemodelle ﬁndet man bei U. Grigull und H. Sandner [2.18]. Da sie als Folge der Entwicklung der modernen Rechentechnik kaum noch praktische Bedeutung haben, gehen wir auf die Analogieverfahren nicht weiter ein.

2.3.2 Die Laplace-Transformation Zur L¨ osung der linearen W¨ armeleitungsgleichung (2.110) bei linearen Randbedingungen hat sich die Laplace-Transformation bew¨ahrt. Sie zeichnet sich durch einen eindeutig vorgegebenen L¨ osungsweg aus und erm¨oglicht es, spezielle L¨ osungsformen, z.B. L¨ osungen f¨ ur kleine Zeiten oder an einer bestimmten Stelle des w¨ armeleitenden K¨ orpers, zu erhalten, ohne das gesamte Temperaturfeld in seiner r¨ aumlichen und zeitlichen Abh¨angigkeit bestimmen zu

158

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

m¨ ussen. Eine einf¨ uhrende Darstellung der Laplace-Transformation in ihrer Anwendung auf W¨ armeleitprobleme hat H.D. Baehr [2.25] gegeben. Eine ausf¨ uhrliche Darstellung bietet das Buch von H. Tautz [2.26]. Besondere Bedeutung hat die Laplace-Transformation bei geometrisch eindimensionalem W¨ armeﬂuss; hier wird die L¨ osung der partiellen Diﬀerentialgleichung auf die L¨ osung einer linearen gew¨ohnlichen Diﬀerentialgleichung zur¨ uckgef¨ uhrt. Bei der folgenden Einf¨ uhrung beschr¨ anken wir uns auf diesen Fall. Es sei ϑ = ϑ (x, t) die gesuchte Temperaturverteilung. Multipliziert man ϑ mit dem Faktor e−st , in dem s eine (komplexe) Gr¨oße mit der Dimension einer Frequenz ist, und integriert das Produkt von t = 0 bis t → ∞, so erh¨alt man eine neue Funktion ∞ u (x, s) = L {ϑ (x, t)} =

ϑ (x, t) e−st dt .

(2.111)

0

Sie heißt die Laplace-Transformierte der Temperatur ϑ und h¨angt von s und x ab2 . Wir benutzen die Bezeichnung L {ϑ}, wenn wir allgemeine S¨atze formulieren; die Bezeichnung u ist eine Abk¨ urzung f¨ ur L {ϑ} bei der L¨osung konkreter Probleme. Allgemeiner wird ϑ als Oberfunktion oder Objektfunktion und L {ϑ} als Unterfunktion oder Bildfunktion bezeichnet. Da s die Dimension einer Frequenz hat, sagt man auch, durch die Laplace-Transformation werde ϑ vom Zeitbereich in den Frequenzbereich transformiert. Zur Anwendung der Laplace-Transformation ben¨otigt man einige wenige S¨ atze, die ohne Beweis in Tabelle 2.2 zusammengestellt sind, und eine Tafel von Funktionen ϑ mit ihren Laplace-Transformierten u. Man erzeugt diese Tafel der Korrespondenzen durch Auswerten der Deﬁnitionsgleichung (2.111). So erh¨ alt man beispielsweise f¨ ur ϑ (x, t) = f (x) e−ct die Laplace-Transformierte Z∞ u (x, s) =

−ct −st

f (x) e 0

»

e

e−(s+c)t = −f (x) s+c

Z∞ dt = f (x) –∞ 0

e−(s+c)t dt

0

f (x) = . s+c

Wir haben also allgemein die Entsprechung u (x, s) •−◦ ϑ (x, t) und in unserem Beispiel 2

In manchen Darstellungen wird der Laplace-Parameter s mit p bezeichnet, so bei H.S. Carslaw u. J.C. Jaeger [2.1] und bei H. Tautz [2.26].

2.3 Instation¨ are W¨ armeleitung

159

Tabelle 2.2: Einige allgemeine Beziehungen f¨ ur die Laplace-Transformierte L {ϑ} = u 1. L {ϑ1 + ϑ2 } = L {ϑ1 } + L {ϑ2 } j

ﬀ ∂ϑ = sL {ϑ} − ϑ0 = s u − ϑ0 (x) ∂t mit ϑ0 (x) = lim ϑ (x, t) , ( Anfangstemperaturverteilung )

2. L

t→+0

j 3. L

∂nϑ ∂xn

jZ

t

4. L 0

ﬀ =

∂nu ∂xn

` ´ ϑ t dt

ﬀ =

1 L {ϑ} s

5. Ist L {ϑ (t)} = u (s) und k eine positive Konstante, so gilt 1 “s” L {ϑ (kt)} = u k k jZ t ﬀ jZ t ﬀ 6. L f1 (τ ) f2 (t − τ ) dτ = L f2 (τ ) f1 (t − τ ) dτ 0

0

= L {f1 (t)} · L {f2 (t)} , sogenannter Faltungssatz, der insbesondere bei zeitabh¨ angigen Randbedingungen angewendet wird.

f (x) •−◦ f (x) e−ct , s+c wobei als Sonderfall f¨ ur f (x) ≡ 1 und c = 0 1 •−◦ 1 s gilt.

Weitere derartige Korrespondenzen, die f¨ ur die L¨osung der W¨armeleitungsgleichung wichtig sind, enth¨ alt Tafel 2.3. Umfangreichere Verzeichnisse ﬁndet man in der Literatur, z.B. [2.1], [2.26] bis [2.28]. Um das L¨ osungsverfahren zu erl¨ autern, beschr¨anken wir uns auf den linearen W¨ armeﬂuss in x-Richtung und schreiben die W¨armeleitungsgleichung in der Form ∂2ϑ 1 ∂ ϑ − =0 . (2.112) ∂x2 a ∂t Wir wenden die Laplace-Transformation an und erhalten nach Tabelle 2.2 die gew¨ ohnliche Diﬀerentialgleichung

160

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

d2 u s 1 − u = − ϑ0 (x) , dx2 a a

(2.113)

in der ϑ0 (x) = ϑ (x, t = 0) die gegebene Anfangstemperaturverteilung zur Zeit t = 0 bedeutet. Ist ϑ0 (x) = 0, so liegt eine homogene lineare Diﬀerentialgleichung vor, deren allgemeine L¨ osung sofort angegeben werden kann: ' ! ' ! s x + c exp s u (x, s) = c1 exp − a 2 ax (2.114) ' ! ' ! s s = C1 cosh a x + C2 sinh ax . Die beiden Integrationskonstanten c1 , c2 bzw. C1 , C2 ergeben sich durch Anpassung von u an die Randbedingungen, die ebenfalls der Laplace-Transformation unterworfen werden m¨ ussen. Muss eine Anfangsbedingung ϑ0 = 0 ber¨ ucksichtigt werden, so hat man die durch (2.114) gegebene L¨osung der homogenen Diﬀerentialgleichung durch eine partikul¨are L¨osung der inhomogenen Gleichung zu erg¨ anzen. Ist die den Anfangs- und Randbedingungen angepasste Laplace-Transformierte u (x, s) der Temperatur ϑ (x, t) gefunden, so muss noch die R¨ ucktransformation vorgenommen werden. Dies geschieht am einfachsten durch Verwenden einer Tafel von Korrespondenzen, z.B. Tabelle 2.3, aus der die gesuchte Temperaturverteilung einfach abgelesen werden kann. H¨auﬁg ist jedoch u (x, s) nicht in der Tafel der Korrespondenzen zu ﬁnden. F¨ ur diesen Fall stellt die Theorie der Laplace-Transformation eine Umkehrformel zur Verf¨ ugung. Hier erscheint die gesuchte Temperaturverteilung als ein komplexes Integral, das mit dem Cauchyschen Satz der Funktionentheorie ausgewertet werden kann. Die Temperaturverteilung ergibt sich dann als eine unendliche Reihe mit abklingenden Exponentialfunktionen der Zeit. Wir gehen auf die Anwendung der Umkehrformel nicht ein, sondern beschr¨ anken uns auf die F¨alle, bei denen die R¨ ucktransformation durch die Tafel der Korrespondenzen erm¨oglicht wird. Die Anwendung der Umkehrformel ist in [2.1], [2.25] und [2.26] erl¨autert. Außerdem ist es m¨ oglich, die R¨ ucktransformation numerisch vorzunehmen, wozu es verschiedene Algorithmen gibt, [2.29]. Die L¨ osung eines instation¨ aren W¨ armeleitproblems mit Hilfe der LaplaceTransformation geschieht also in drei Schritten: 1. Transformation der Diﬀerentialgleichung mit der Anfangsbedingung und den Randbedingungen in den Frequenzbereich (ϑ → u, t → s). 2. L¨ osung der Diﬀerentialgleichung f¨ ur die Laplace-Transformierte u unter Ber¨ ucksichtigung der (transformierten) Randbedingungen. 3. R¨ ucktransformation in den Bildbereich (u → ϑ, s → t) unter Benutzung einer Tafel der Korrespondenzen (u •−◦ ϑ) oder der allgemeinen Umkehrformel. Auf zwei vorteilhafte Eigenschaften der Laplace-Transformation sei noch besonders hingewiesen. Interessiert man sich nicht f¨ ur die Temperaturverteilung

2.3 Instation¨ are W¨ armeleitung

161

Tabelle 2.3: Tafel einiger Korrespondenzen.pu (s, x) ist die Laplace-Transformierte √ von ϑ (t, x). Es gelten die Abk¨ urzungen p = s/a und ξ = x/2 at .

u (s, x) c s

1. 2.

1 sν+1

ϑ (t, x)

c , ν > −1

tν , Γ ist die Gammafunktion, s.u. Γ (ν + 1)

3.

1 s+c

e−ct

4.

e−px

5.

e−px p

2 ξ √ e−ξ πt r a −ξ2 e πt

6.

e−px s

erfc ξ, Komplement¨ are Fehlerfunktion , s.u.

7.

e−px sp

√ 2 at

8.

e−px s2

t

9.

e−px p+h

10.

e−px p (p + h)

“ √ ” 2 aehx+ah t erfc ξ + h at

11.

e−px s (p + h)

“ √ ”i 2 1h erfc ξ − ehx+ah t erfc ξ + h at h

» `

r

2

e−ξ √ − ξ erfc ξ π

!

√ = 2 at ierfc ξ

´ 2 2 1 + 2ξ 2 erfc ξ − √ ξ e−ξ π

–

“ √ ” 2 a −ξ2 e − haehx+ah t erfc ξ + h at πt

Besondere Werte der Gamma-Funktion: Γ (1) = 1 ; Γ (n) = (n − 1)! = 1 · 2 · 3 · . . . (n − 1) , (n = 2, 3, . . .) √ 1 · 3 · 5 · . . . (2n − 1) √ Γ ( 12 ) = π ; Γ (n + 12 ) = π , (n = 1, 2, 3, . . .) 2n Werte der komplement¨ aren Fehlerfunktionen erfc ξ und ierfc ξ ﬁndet man in Tabelle 2.5 in Abschnitt 2.3.3.1. Der Verlauf dieser Funktionen ist in Abb. 2.22 dargestellt.

162

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

in ihrer r¨ aumlichen Gesamtheit, sondern nur f¨ ur den zeitlichen Temperaturverlauf an einer bestimmten Stelle des w¨ armeleitenden K¨orpers, so braucht man nicht die gesamte Laplace-Transformierte u r¨ uckzutransformieren. Es gen¨ ugt vielmehr, in u die Ortsvariablen konstant zu setzen und nur diese vereinfachte Funktion u (s) in ϑ (t) r¨ uckzutransformieren. Neben dieser Vereinfachung, nur den tats¨ achlich ben¨ otigten Teil der Temperaturverteilung zu berechnen, gibt es die M¨ oglichkeit, L¨ osungen zu erhalten, die f¨ ur kleine Zeiten, also f¨ ur den Anfang eines W¨ armeleitvorganges gelten und hier besonders einfache Formen annehmen. Dazu hat man die Laplace-Transformierte u in eine Reihe zu entwickeln, die f¨ ur große Werte von s konvergiert. Durch gliedweises R¨ ucktransformieren unter Benutzung der Tafel der Korrespondenzen erh¨alt man f¨ ur ϑ eine Reihe, die f¨ ur kleine Werte von t konvergiert. Diese Besonderheiten und eine Veranschaulichung des L¨ osungswegs zeigt das folgende Beispiel. Beispiel 2.3: Eine ebene Wand mit der Dicke δ habe die konstante Temperatur ϑ0 . Zur Zeit t = 0 werde die Temperatur der Oberﬂ¨ ache x = δ sprungartig auf den Wert ϑU erh¨ oht, w¨ ahrend die andere Oberﬂ¨ ache x = 0 adiabat sein soll, Abb. 2.19. Von der rechten Oberﬂ¨ ache her str¨ omt dann W¨ arme in die Wand; die Temperaturen steigen mit der Zeit, wobei sich die Temperatur der linken Wandoberﬂ¨ ache am langsamsten erh¨ oht. Der hier auftretende Temperaturanstieg, also die Temperatur ϑ(x = 0, t) soll berechnet werden.

Abb. 2.19: Einseitige Erw¨ armung einer ebenen Wand durch sprunghafte Erh¨ ohung der Oberﬂ¨ achentemperatur bei x = δ von ϑ0 auf ϑU Dieses instation¨ are W¨ armeleitproblem kann als Modell des folgenden realen Vorgangs angesehen werden. Eine feuerhemmende Wand wird auf ihrer Außenseite (x = δ) aufgrund eines Brandes stark erw¨ armt. Es interessiert der zeitliche Temperaturanstieg auf der anderen Wandseite bei x = 0; die Annahme einer adiabaten Oberﬂ¨ ache bei x = 0 ergibt einen st¨ arkeren Temperaturanstieg, als er in Wirklichkeit zu erwarten ist. Mit dieser Annahme beﬁndet man sich also auf der sicheren Seite“. ” Zur L¨ osung des W¨ armeleitproblems nehmen wir einen W¨ armeﬂuss nur in xRichtung sowie eine konstante Temperaturleitf¨ ahigkeit a der Wand an. Wir ¨ f¨ uhren zun¨ achst nur die Ubertemperatur Θ(x, t) := ϑ(x, t) − ϑ0 ein und verschieben die Benutzung dimensionsloser Gr¨ oßen bis zur Darstellung des Ergebnisses, um eine gr¨ oßere Anschaulichkeit zu erhalten. Die W¨ armeleitungsgleichung (2.112) hat hier die Gestalt

2.3 Instation¨ are W¨ armeleitung

163

∂2Θ 1 ∂Θ − =0 ∂x2 a ∂t mit der Anfangsbedingung Θ0 (x) = Θ(x, 0) = 0 . Die Randbedingungen lauten ∂Θ =0 ∂x

bei

x=0

(adiabate Oberﬂ¨ ache) und Θ(δ, t) = ΘU = ϑU − ϑ0

bei

x=δ .

Anwendung der Laplace-Transformation f¨ uhrt auf die der Gl. (2.113) entsprechende gew¨ ohnliche Diﬀerentialgleichung d2 u s − u=0 dx2 a

(2.115)

¨ f¨ ur die Laplace-Transformierte u = u(x, s) der Ubertemperatur Θ(x, t). Dabei ist die Anfangsbedingung bereits ber¨ ucksichtigt. Laplace-Transformation der beiden Randbedingungen ergibt du =0 dx

f¨ ur

x=0

(2.116)

und

ΘU f¨ ur x = δ . s Die allgemeine L¨ osung der Diﬀerentialgleichung (2.115) ist u(δ, s) =

(2.117)

u(x, s) = C1 cosh px + C2 sinh px , p wobei wir die Abk¨ urzung p = s/a benutzt haben. Aus der Randbedingung (2.116) folgt C2 = 0, und aus (2.117) ergibt sich C1 cosh pδ =

ΘU . s

Somit lautet die gesuchte Unterfunktion u(x, s) =

ΘU cosh px . s cosh pδ

Die R¨ ucktransformation gelingt mit Hilfe der allgemeinen Umkehrformel, worauf wir hier verzichten, denn uns interessiert nur die Temperatur an der Stelle x = 0. Wir ﬁnden hierf¨ ur u(0, s) =

ΘU 2ΘU 2ΘU e−pδ = = . s cosh pδ s (epδ + e−pδ ) s (1 + e−2pδ )

Um die R¨ ucktransformation mit Hilfe der Tafel der Korrespondenzen ausf¨ uhren zu k¨ onnen, entwickeln wir den Nenner in eine binomische Reihe, erhalten

164

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion u(0, s) =

und schließlich

i 2ΘU e−pδ h 1 − e−2pδ + e−4pδ − e−6pδ + · · · s

» −pδ – u(0, s) e e−3pδ e−5pδ =2 − + − ··· . ΘU s s s

p Dies ist eine Reihenentwicklung, die f¨ ur große Werte von s bzw. p = s/a rasch konvergiert. Ihre R¨ ucktransformation mit Hilfe der Tafel der Korrespondenzen (Nr. 6 von Tabelle 2.3 mit x = δ, 3δ, 5δ, . . . ) ergibt eine Reihe, die f¨ ur kleine Zeiten t besonders gut geeignet ist. Man erh¨ alt Θ(0, t) = 2 [erfc ξ − erfc 3ξ + erfc 5ξ − · · · ] , ΘU wobei zur Abk¨ urzung δ ξ= √ 2 at gesetzt wurde. Die hier auftretende Funktion erfc ξ ist das komplement¨ are Fehlerintegral (errorfunction complement), das in Abschnitt 2.3.3.1 erl¨ autert wird und in Tabelle 2.4 vertafelt ist. Diese transzendente Funktion strebt mit gr¨ oßer werdendem Argument sehr rasch gegen null, so dass die Reihe f¨ ur großes ξ, entsprechend kleinen Zeiten t, sehr gut konvergiert. Wir f¨ uhren die dimensionslose Zeit t+ :=

at = (2ξ)−2 δ2

ein und erhalten f¨ ur die dimensionslose Temperatur bei x = 0 die Reihe ` ´ ` ´ ϑ 0, t+ − ϑ0 Θ(0, t) + + ϑ t := = ϑU − ϑ0 ΘU „ « (2.118) 1 3 5 = 2 erfc √ − erfc √ + erfc √ − · · · . 2 t+ 2 t+ 2 t+ Abb. 2.20 zeigt den Verlauf von ϑ+ (t+ ). Nur wenige Terme gen¨ ugen, um die Temperatur auch bei gr¨ oßeren bezogenen Zeiten t+ genau wiederzugeben. Das Verhalten von ϑ+ (t+ ) bei sehr kleinen Zeiten wird durch den ersten Term der √ asymptotischen Entwicklung von erfc(1/2 t+ ) beschrieben. Nach Gl. (2.127) von Abschnitt 2.3.3.1 erh¨ alt man hierf¨ ur ` ´ ` ´ 1 4 √+ ϑ+ t+ ≈ 2 erfc √ √ t exp −1/4t+ . (2.119) + π 2 t Diese Funktion ist als Kurve a in Abb. 2.20 dargestellt. Als Beispiel werde eine Wand aus Beton mit a = 3,75 · 10−6 m2 /s und der Dicke δ = 0,50 m betrachtet. F¨ ur die reale“ Zeit t erh¨ alt man ” ` 2 ´ + t = δ /a t = 18,5 h t+ . Nach dieser Beziehung wurde die zus¨ atzliche Skala in Abb. 2.20 gezeichnet. Danach vergehen z.B. 2,41 h bis ϑ+ (t+ ) = 0,1 wird, die Temperatur bei x = 0 also um 10% des an der anderen Wandoberﬂ¨ ache angenommenen Temperatursprungs (ϑU − ϑ0 ) ansteigt.

2.3 Instation¨ are W¨ armeleitung

165

Abb. 2.20: Zeitlicher Verlauf der dimensionslosen Temperatur ϑ+ (0, t+ ) an der adiabaten Oberﬂ¨ ache (x = 0) der Wand von Abb. 2.19. Kurve 1: erster Term, Kurve 2: Summe der beiden ersten Terme in (2.118), Kurve a: asymptotische Entwicklung nach (2.119) f¨ ur sehr kleine Zeiten

2.3.3 Der einseitig unendlich ausgedehnte K¨ orper Wir betrachten die instation¨ are W¨ armeleitung in einer sehr dicken Platte, deren freie Oberﬂ¨ache x = 0, vgl. Abb. 2.21, an die Umgebung grenzt und die sonst als unendlich ausgedehnt angesehen werden kann. Das an die Erdoberﬂ¨ ache grenzende Erdreich ist ein Beispiel eines solchen einseitig unendlich ausgedehnten K¨ orpers. Auch K¨ orper endlicher Dicke lassen sich bei Beginn eines Abk¨ uhlungs- oder Erw¨ armungsvorgangs, der an der Oberﬂ¨ache x = 0 einsetzt, als in x-Richtung unendlich weit ausgedehnt behandeln, so dass die folgenden relativ einfachen Ergebnisse auch in solchen F¨allen anwendbar sind. 2.3.3.1 Erw¨ armung und Abk¨ uhlung bei verschiedenen Randbedingungen Die gesuchte Temperaturverteilung ϑ = ϑ(x, t) gen¨ ugt der Diﬀerentialgleichung ∂ϑ ∂2ϑ = a 2 , t ≥ 0, x ≥ 0, (2.120) ∂t ∂x und soll die einfache Anfangsbedingung ϑ(x, t = 0) = ϑ0 = const erf¨ ullen. Außerdem muss ϑ f¨ ur x → ∞ beschr¨ ankt bleiben. An der Oberﬂ¨ache x = 0 sollen nun verschiedene Randbedingungen gelten, die in Abb. 2.21 veranschaulicht sind:

166

– – –

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

¨ eine sprunghafte Anderung der Oberﬂ¨ achentemperatur auf den Wert ϑS , der f¨ ur t > 0 konstant bleiben soll, Abb. 2.21a; das Einwirken einer konstanten W¨ armestromdichte q˙0 , Abb. 2.21b; ¨ eine sprunghafte Anderung der Umgebungstemperatur auf den f¨ ur t > 0 konstanten Wert ϑU = ϑ0 , so dass W¨ arme¨ ubergang mit dem W¨arme¨ ubergangskoeﬃzienten α stattﬁndet, Abb. 2.21c.

Abb. 2.21: Erw¨ armung eines halbunendlichen K¨ orpers bei unterschiedlichen Randbedingungen an der Oberﬂ¨ ache (x = 0). a sprungartige Erh¨ ohung der Oberﬂ¨ achentemperatur auf ϑS , b konstante W¨ armestromdichte q˙0 , c W¨ arme¨ ubergang von einem Fluid mit ϑ = ϑU

Zur Berechnung der Temperaturverteilung in allen drei F¨allen f¨ uhren wir ¨ zun¨ achst die Ubertemperatur Θ := ϑ − ϑ0 als neue abh¨ angige Variable ein. Dann gilt statt (2.120) ∂2Θ 1 ∂Θ − =0 ∂x2 a ∂t

(2.121)

Θ(x, t = 0) = 0 .

(2.122)

mit der Anfangsbedingung

Wir wenden auf diese Gleichungen die Laplace-Transformation an und erhalten die schon in Abschnitt 2.3.2 besprochene gew¨ohnliche Diﬀerentialgleichung d2 u s − u=0 dx2 a f¨ ur die Laplace-Transformierte u von Θ mit der L¨osung

" s u(x, s) = C exp − x = C exp (−px) . a

(2.123)

Da Θ und damit u auch f¨ ur x → ∞ beschr¨ ankt sein m¨ ussen, entf¨allt in (2.114) die zweite zu exp(+px) proportionale L¨ osung.

2.3 Instation¨ are W¨ armeleitung

167

Tabelle 2.4: Randbedingungen an der freien Oberﬂ¨ ache x = 0 eines einseitig unendlich ausgedehnten K¨ orpers nach Abb. 2.21 mit ihren Laplace-Transformierten und der sich daraus ergebenden Konstante C von Gl. (2.123)

Fall

Randbedingung bei x = 0

a

Θ = ϑS − ϑ0 = ΘS

b

c −λ

−λ

∂Θ = q˙0 ∂x

Transformierte Randbedingung

u=

−λ

Konstante C in Gl. (2.123)

ΘS s

C=

du q˙0 = dx s

∂Θ du = α(ΘU − Θ) −λ =α ∂x dx

„

C=

ΘS s q˙0 λsp

« ΘU αΘU −u C = s λs (p + α/λ)

Tabelle 2.4 enth¨ alt die Randbedingungen bei x = 0 f¨ ur die drei F¨alle von Abb. 2.21, die Laplace-Transformierte der Randbedingung und den sich daraus ergebenden Ausdruck f¨ ur die Konstante C. Die R¨ ucktransformation der Unterfunktion u nach (2.123) mit C nach Tabelle 2.4 gelingt ohne Komplikation durch Aufsuchen der entsprechenden Korrespondenzen in Tabelle 2.3. Wir diskutieren nun die so gewonnenen Temperaturverteilungen der Reihe nach. ¨ Bei sprunghafter Anderung der Oberﬂ¨achentemperatur von ϑ0 auf ϑS (Fall a) lautet die Temperaturverteilung (Nr. 6 von Tabelle 2.3) Θ ϑ − ϑ0 x = = erfc √ = erfc ξ . ΘS ϑS − ϑ0 2 at

(2.124)

Sie h¨ angt nur von der dimensionslosen Variablenkombination x ξ := √ 2 at

(2.125)

ab. Hierbei bedeutet 2 erfc ξ = 1 − erf ξ = 1 − √ π

ξ

2

e−w dw

(2.126)

0

das komplement¨ are Fehlerintegral (error-function complement), w¨ahrend erf ξ als Fehlerintegral (error-function) bezeichnet wird. Tabelle 2.5 gibt Werte von erfc ξ. Ausf¨ uhrliche Tabellen sind in [2.30] bis [2.32] enthalten. Reihenentwicklungen und Berechnungsgleichungen f¨ ur erf ξ und erfc ξ ﬁndet man bei

168

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

J. Spanier und K.B. Oldham [2.28]. F¨ ur gr¨ oßere Argumente (ξ > 2,6) gilt die asymptotische Entwicklung

exp(−ξ 2 ) 1 3 15 erfc ξ = √ 1 − 2 + 4 − 6 + ··· . (2.127) πξ 2ξ 4ξ 8ξ In Abb. 2.22 sind die Funktionen erf ξ und erfc ξ dargestellt. Der Grenzwert erfc(ξ = 0) = 1 entspricht der Temperatur ϑ = ϑS ; er wird f¨ ur x = 0, entsprechend der vorgeschriebenen Randbedingung, und f¨ ur sehr große Zeiten (t → ∞) auch im Inneren des K¨ orpers erreicht. Der Grenzwert erfc(∞) = 0 entspricht ϑ = ϑ0 , also der Anfangsbedingung f¨ ur t = 0.

Abb. 2.22: Fehlerintegrale erf ξ und erfc ξ nach (2.126) sowie integriertes Fehlerintegral ierfc ξ nach (2.134)

Aus (2.124) erh¨ alt man die W¨ armestromdichte in der Tiefe x zur Zeit t zu q(x, ˙ t) = −λ

∂ϑ λ(ϑS − ϑ0 ) √ = exp −x2 /4at . ∂x πat

Hier ist es u angigen W¨armeeindringkoeﬃzienten ¨ blich, den vom Material abh¨ √ b := λc = λ/ a (2.128) einzuf¨ uhren. Damit wird q(x, ˙ t) =

b (ϑS − ϑ0 ) √ exp −x2 /4at . πt

(2.129)

An der Oberﬂ¨ ache x = 0 ist √ q˙0 = q(0, ˙ t) = b (ϑS − ϑ0 )/ πt .

(2.130)

2.3 Instation¨ are W¨ armeleitung

169

Tabelle 2.5: Werte des komplement¨ aren Fehlerintegrals erfc ξ nach (2.126) und des √ √ 2 integrierten Fehlerintegrals ierfc ξ in der Form π ierfc ξ = e−ξ − π ξ erfc ξ ξ

erfc ξ

0 0,05 0,10 0,15 0,20

1,00000 0,94363 0,88754 0,83200 0,77730

0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70

√

π ierfc ξ

ξ

erfc ξ

1,00000 0,91388 0,83274 0,75655 0,68525

0,75 0,80 0,85 0,90 0,95

0,28884 0,25790 0,22933 0,20309 0,17911

0,72367 0,67137 0,62062 0,57161 0,52452

0,61874 0,55694 0,49970 0,44688 0,39833

1,00 1,05 1,10 1,15 1,20

0,47950 0,43668 0,39614 0,35797 0,32220

0,35386 0,31327 0,27639 0,24299 0,21287

1,25 1,30 1,35 1,40 1,45

√

π ierfc ξ

√

ξ

erfc ξ

π ierfc ξ

0,18581 0,16160 0,14003 0,12088 0,10396

1,5 1,6 1,7 1,8 1,9

0,03389 0,02365 0,01621 0,01091 0,00721

0,01528 0,01023 0,00673 0,00436 0,00277

0,15730 0,13756 0,11980 0,10388 0,08969

0,08907 0,07602 0,06463 0,05474 0,04617

2,0 2,1 2,2 2,3 2,4

0,00468 0,00298 0,00186 0,00114 0,00069

0,00173 0,00107 0,00064 0,00038 0,00022

0,07710 0,06599 0,05624 0,04771 0,04031

0,03879 0,03246 0,02705 0,02246 0,01856

2,5 2,6 2,7 2,8 2,9

0,00041 0,00024 0,00013 0,00008 0,00004

0,00013 0,00007 0,00004 0,00002 0,00001

Die eindringende W¨ armestromdichte ist also der Materialeigenschaft b proportional und klingt wie t−1/2 mit der Zeit ab. W¨ahrend der Zeitspanne von t = 0 bis t = t∗ ﬂießt die W¨ arme ∗

Q(t∗ ) = A

t

√ 2 q(0, ˙ t) dt = A √ b(ϑS − ϑ0 ) t∗ π

(2.131)

0

durch die Oberﬂ¨ ache A. Die hier gewonnenen Gleichungen gelten unver¨andert f¨ ur die Abk¨ uhlung. Es ist dann ϑS < ϑ0 , und in (2.129) bis (2.131) wechselt das Vorzeichen. Die Temperaturverteilung l¨ asst sich durch Umformen von (2.124) als ϑ − ϑS 2 = erf ξ = √ ϑ0 − ϑS π

ξ

2

e−w dw

(2.132)

0

schreiben. Wird die Oberﬂ¨ ache des unendlich ausgedehnten K¨orpers durch die konstante W¨armestromdichte q˙0 erw¨ armt (Fall b), so erh¨alt man nach Nr. 7 von Tabelle 2.3 die Temperaturverteilung q˙0 √ q˙0 √ Θ(x, t) = ϑ(x, t) − ϑ0 = 2 at ierfc ξ = 2 t ierfc ξ . (2.133) λ b

170

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

Die Funktion

2 1 ierfc ξ = √ e−ξ − ξ erfc ξ π

(2.134)

wird auch als integriertes Fehlerintegral bezeichnet. Sie ist in Abb. 2.22 dargestellt und in Tabelle 2.5 vertafelt. Mit ierfc(0) = π −1/2 erh¨alt man die Oberﬂ¨ achentemperatur ϑ(0, t) = ϑ0 +

q˙0 2 √ √ t . b π

(2.135)

Sie w¨ achst zuerst rasch und dann immer langsamer mit der Zeit t. Bei großem W¨ armeeindringkoeﬃzienten b kann das Material große W¨armestr¨ome schlucken“, so dass die Oberﬂ¨ achentemperatur langsamer ansteigt als bei ” einem K¨ orper mit kleinem b. Findet bei x = 0 W¨arme¨ ubergang von einem Fluid mit ϑ = ϑU an die freie Oberﬂ¨ ache statt, Fall c von Tabelle 2.4, so ergibt sich die gesuchte Temperaturverteilung auch hier aus der Tafel der Korrespondenzen (Fall 11 von Tabelle 2.3). Wir schreiben die L¨ osung in dimensionsloser Form mit den Variablen ϑ+ := und x+ :=

x λ/α

,

ϑ − ϑ0 ϑU − ϑ0 t+ :=

(2.136) at (λ/α)2

(2.137)

und erhalten

+ √ + x+ x + ϑ (x , t ) = erfc √ − exp x + t erfc √ + t+ . 2 t+ 2 t+ +

+

+

(2.138)

In Abb. 2.23 ist diese Temperaturverteilung dargestellt. Auch hier lassen sich die W¨ armestromdichten an der Oberﬂ¨ ache und im Inneren des K¨orpers durch Diﬀerenzieren von (2.138) leicht berechnen. Die Temperaturverteilung bei der Abk¨ uhlung, ϑU < ϑ0 , ergibt sich zu ϑ − ϑU = 1 − ϑ+ x+ , t+ , ϑ0 − ϑU wobei ϑ+ (x+ , t+ ) nach (2.138) zu berechnen ist. 2.3.3.2 Zwei sich ber¨ uhrende halbunendliche K¨ orper Wir betrachten die beiden in Abb. 2.24 dargestellten halbunendlichen K¨orper, die verschiedene, aber konstante Anfangstemperaturen ϑ01 und ϑ02 haben. Auch ihre Stoﬀwerte λ1 , a1 und λ2 , a2 seien verschieden. Zur Zeit t = 0 werden die beiden K¨ orper in Ber¨ uhrung (thermischen Kontakt) auf der durch x = 0 gekennzeichneten Ebene gebracht. Schon nach sehr kurzer Zeit stellt

2.3 Instation¨ are W¨ armeleitung

171

sich in dieser Ebene eine gemeinsame Mitteltemperatur ϑm ein, und W¨arme ﬂießt vom K¨ orper 1 mit der h¨ oheren Anfangstemperatur zum K¨orper 2 mit der niedrigeren Temperatur. Der hier beschriebene instation¨are W¨armeleitvorgang kann als einfaches Modell f¨ ur die Beschreibung eines kurzzeitigen Kontakts zweier (endlicher) K¨ orper unterschiedlicher Temperatur dienen. Beispiele sind die Ber¨ uhrung verschiedener Gegenst¨ ande mit der menschlichen Hand oder dem Fuß und die kurzzeitige Wechselwirkung eines erhitzten metallischen K¨ orpers mit einer gek¨ uhlten Form bei Prozessen der Umformtechnik. In jedem der beiden K¨ orper gilt die W¨ armeleitungsgleichung und zwar ∂ ϑ1 ∂ 2 ϑ1 = a1 , ∂t ∂x2

x≥0 ,

sowie

∂ ϑ2 ∂ 2 ϑ2 = a2 , x≤0 . ∂t ∂x2 An der Grenzﬂ¨ ache m¨ ussen nach Abschnitt 2.1.3 die Bedingungen (ϑ1 )+0 = (ϑ2 )−0 = ϑm „

und λ1

∂ ϑ1 ∂x

«

„ = λ2 +0

∂ ϑ2 ∂x

« (2.139) −0

erf¨ ullt sein. Außerdem gelten die schon genannten Anfangsbedingungen. Zur L¨ osung nehmen wir an, die sich bei x = 0 einstellende Kontakttemperatur ϑm sei unabh¨ angig von t. Wie sich noch zeigen wird, triﬀt diese Annahme zu und erlaubt eine einfache L¨ osung des Problems, das in zwei Teilprobleme zerf¨ allt, deren L¨ osung bereits aus Abschnitt 2.3.3.1 bekannt ist: In jedem K¨ orper stellt sich eine Temperaturverteilung ein, die sich aus der konstanten Anfangstemperatur ϑ01 bzw. ϑ02 entwickelt, wenn die Oberﬂ¨ achentemperatur auf den konstanten Wert ϑm springt.

Abb. 2.23: Temperaturfeld ϑ+ (x+ , t+ ) nach (2.138) im halbunendlichen K¨ orper beim W¨ arme¨ ubergang von einem Fluid an die freie Oberﬂ¨ ache x+ = 0. a ϑ+ als Funktion von x+ mit t+ als Parameter, b ϑ+ als Funktion von t+ mit x+ als Parameter

172

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

Abb. 2.24: Temperaturverlauf in zwei halbunendlichen K¨ orpern mit den Anfangstemperaturen ϑ01 und ϑ02 bei Kontakt auf der Ebene x = 0 F¨ ur den K¨ orper 1 erhalten wir aus (2.132) mit der Variablenkombination √ ξ1 = x/ 4a1 t (2.140) die Temperatur ϑ1 = ϑm + (ϑ01 − ϑm ) erf ξ1

x≥0 ,

,

deren Ableitung bei x = +0 den Wert „ « ∂ ϑ1 ϑ01 − ϑm = √ ∂x +0 πa1 t hat. Analog hierzu gilt mit

(2.141)

(2.142)

√ ξ2 = x/ 4a2 t

(2.143)

f¨ ur den K¨ orper 2 nach (2.124) ϑ2 = ϑ02 + (ϑm − ϑ02 ) erfc(−ξ2 ) und an der Grenzﬂ¨ ache

„

∂ ϑ2 ∂x

« = −0

,

x≤0 ,

ϑm − ϑ02 √ . πa2 t

(2.144)

(2.145)

Setzen wir (2.142) und (2.145) in die Grenzbedingung (2.139) ein, so folgt die von t unabh¨ angige Beziehung λ1 λ2 √ (ϑ01 − ϑm ) = √ (ϑm − ϑ02 ) a1 a2 oder b1 (ϑ01 − ϑm ) = b2 (ϑm − ϑ02 ) .

(2.146)

Die Annahme einer von der Zeit unabh¨ angigen Kontakttemperatur ϑm war also zutreﬀend. Ihre Lage h¨ angt von den W¨ armeeindringkoeﬃzienten p p b1 = λ1 c1 1 und b2 = λ2 c2 2 der beiden K¨ orper ab. Aus (2.146) folgt ϑm = ϑ02 +

b1 (ϑ01 − ϑ02 ) . b1 + b2

(2.147)

Die von der Zeit unabh¨ angige Kontakttemperatur liegt n¨ aher an der Anfangstemperatur des K¨ orpers mit dem gr¨ oßeren W¨ armeeindringkoeﬃzienten. Gleichung (2.147) erkl¨ art, warum sich verschiedene K¨ orper gleicher Temperatur bei Ber¨ uhrung mit der Hand oder dem Fuß verschieden warm“ anf¨ uhlen. ”

2.3 Instation¨ are W¨ armeleitung

173

2.3.3.3 Periodische Temperatur¨ anderungen Periodische Temperatur¨ anderungen treten in Natur und Technik h¨auﬁg auf. Es sei an das Eindringen der t¨ aglichen Temperaturschwingungen in Geb¨audemauern oder an das Eindringen der t¨ aglichen oder jahreszeitlichen Schwankungen der Temperatur in den Erdboden erinnert. In den Zylindern der Verbrennungsmotoren treten große und hochfrequente Temperaturschwankungen auf, die in die Zylinderwand eindringen und die Festigkeit des Materials beeinﬂussen k¨ onnen. Im Folgenden behandeln wir ein einfaches Modell, das diese Temperaturschwingungen wenigstens n¨ aherungsweise und in ihren wesentlichen Eigenschaften wiedergibt. Wir betrachten einen einseitig unendlich ausgedehnten K¨orper mit konstanten Stoﬀwerten λ und a. An die freie Oberﬂ¨ache x = 0 grenze ein Fluid, dessen Temperatur ϑF sich nach dem Zeitgesetz

t ϑF (t) = ϑm + Δϑ cos ωt = ϑm + Δϑ cos 2π (2.148) t0 andern m¨ oge. Es wird also eine harmonische Schwingung mit der Amplitude ¨ Δϑ und der Schwingungsdauer t0 um den Mittelwert ϑm angenommen. An der Oberﬂ¨ ache x = 0 sei die W¨ arme¨ ubergangsbedingung

∂ϑ −λ = α [ϑF − ϑ (0, t)] (2.149) ∂x x=0 mit konstantem α vorgeschrieben. Wir suchen das Temperaturfeld ϑ = ϑ (x, t), das sich im K¨ orper nach l¨ angerer Zeit als quasistation¨arer Dauerzustand einstellt, wenn die von der Anfangstemperaturverteilung des K¨orpers herr¨ uhrende Anfangsst¨ orung abgeklungen ist.

Abb. 2.25: Zeitlicher Verlauf der Fluidtemperatur ϑp F nach (2.148) und der Oberﬂ¨ achentemperatur ϑ(0, t) nach (2.153) mit k = (b/α) π/t0 = 1,0

Eine L¨ osung dieses W¨ armeleitproblems ist wieder mit Hilfe der LaplaceTransformation m¨oglich, vgl. z.B. [2.18], [2.26] oder [2.1], S. 317–319, wo auch

174

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

der von einer konstanten Anfangstemperatur herr¨ uhrende Anteil berechnet wurde, der nach Ablauf einer gen¨ ugend großen Zeitspanne auf null abklingt. Da dieser L¨ osungsweg recht kompliziert ist, w¨ahlen wir einen anderen Weg. Es ist zu erwarten, dass die Temperaturen im Inneren des K¨orpers eine harmonische Schwingung ausf¨ uhren, die mit wachsender Tiefe x immer st¨arker ged¨ ampft wird und außerdem eine Phasenverschiebung zeigt. Ein dementsprechender Ansatz ϑ (x, t) = ϑm + Δϑ η e−mx cos (ωt − mx − ε)

(2.150)

erf¨ ullt die W¨ armeleitungsgleichung (2.120), wenn m2 =

ω π = 2a at0

(2.151)

ist. Die Konstanten η und ε ergeben sich aus der Randbedingung (2.149) zu 1 = 1 + 2k + 2k 2 η und ε = arctan mit k=

mλ λ = α α

"

(2.152a)

k 1+k

π b = at0 α

(2.152b) "

π . t0

(2.152c)

Ihre Bedeutung erkennt man, wenn man die Oberﬂ¨achentemperatur berechnet. Aus (2.150) folgt mit x = 0 ϑ (0, t) = ϑm + Δϑ η cos (ωt − ε) .

(2.153)

Die Amplitude dieser Schwingung ist um den Faktor η < 1 gegen¨ uber der Schwingungsamplitude der Fluidtemperatur verkleinert. Außerdem hinkt die Oberﬂ¨ achentemperatur hinter der Fluidtemperatur um den Winkel ε nach, Abb. 2.25. Auch die Temperatur in einer bestimmten Tiefe x verh¨alt sich wie die Oberﬂ¨ achentemperatur. Sie schwingt harmonisch mit derselben Kreisfrequenz ω, einer mit zunehmender Tiefe stark ged¨ ampften Amplitude und einer mit x wachsenden Phasenverschiebung. Zu jedem Zeitpunkt stellt (2.150) eine in das Innere des K¨orpers wandernde, mit zunehmender Tiefe rasch abklingende Temperaturwelle dar, Abb. 2.26. Man erh¨ alt ihre Wellenl¨ange Λ als Abstand zweier Punkte, deren Phasenwinkel sich um 2π unterscheiden. Sind x1 und x2 solche Punkte, so folgt aus ωt − mx1 − ε = ωt − mx2 − ε + 2π die Wellenl¨ ange

2.3 Instation¨ are W¨ armeleitung

175

Abb. 2.26: Temperaturwellen nach (2.155) im halbunendlichen K¨ orper bei einer harmonischen Schwingung der Oberﬂ¨ achentemperatur mit η = 1 und ε = 0

√ 2π = 2 πat0 . m Damit erh¨ alt man f¨ ur die Temperaturverteilung

t x ϑ (x, t) = ϑm + Δϑ η e−2πx/Λ cos 2π − −ε . t0 Λ Λ = x2 − x1 =

(2.154)

(2.155)

Um die Eindringtiefe der Temperaturschwingung zu beurteilen, berechnen wir jene Tiefe xn , in der die Amplitude auf den n-ten Teil ihres Wertes an der Oberﬂ¨ ache x = 0 gesunken ist. Aus e−2πxn /Λ = 1/n " Λ at0 ln n = ln n . (2.156) 2π π Eindringtiefe und Wellenl¨ ange wachsen mit der Temperaturleitf¨ahigkeit des K¨ orpers und der Schwingungsdauer. Hochfrequente Schwingungen, wie sie in schnell laufenden Verbrennungsmotoren vorkommen, werden eine weit geringere Eindringtiefe in die Zylinderwand haben als die t¨aglichen oder gar die ﬁndet man

xn =

176

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

jahreszeitlichen Schwankungen der Lufttemperatur in das Erdreich. Eine Abnahme der Amplitude auf 1% des Wertes an der Oberﬂ¨ache (n = 100) ﬁndet nach (2.156) in einer Tiefe x100 = 0,733Λ statt. Schon in dieser Tiefe d¨ urften die Temperaturschwingungen ohne praktische Bedeutung sein.

2.3.4 Abku armung einfacher K¨ orper bei ¨hlung und Erw¨ eindimensionalem W¨ armeﬂuss Das zeitabh¨ angige Temperaturfeld ϑ = ϑ(r, t) in einem K¨orper wird durch die Diﬀerentialgleichung

2 ∂ϑ ∂ ϑ n ∂ϑ =a + (2.157) ∂t ∂r2 r ∂r mit n = 0, 1 und 2 f¨ ur die Platte, den Zylinder und die Kugel bestimmt, wenn man geometrisch eindimensionalen W¨ armeﬂuss, n¨amlich nur in r-Richtung, annimmt. Beim Zylinder und bei der Kugel bedeutet r die radiale Koordinate. Der Zylinder muss dabei sehr lang gegen¨ uber seinem Durchmesser sein, damit der W¨ armestrom in axialer Richtung vernachl¨assigt werden kann, und die Temperatur ϑ darf, ebenso bei der Kugel, nicht von den Winkelkoordinaten abh¨ angen. Bei der Platte soll, wie schon in Abschnitt 1.1.2, die x-Koordinate mit r bezeichnet werden; sie ist die Koordinate senkrecht zu den beiden sehr großen Begrenzungsebenen, wir z¨ ahlen sie von der Plattenmitte aus. 2.3.4.1 Formulierung des Problems Die drei K¨ orper — Platte, sehr langer Zylinder und Kugel — sollen zur Zeit t = 0 die konstante Anfangstemperatur ϑ0 haben. F¨ ur t > 0 werde die K¨ orperoberﬂ¨ ache mit einem Fluid in Ber¨ uhrung gebracht, dessen Temperatur ϑU = ϑ0 zeitlich konstant ist. Es geht dann W¨arme zwischen dem K¨ orper und dem Fluid u uhlt sich der K¨orper ab, f¨ ur ¨ ber. Ist ϑU < ϑ0 , so k¨ ϑU > ϑ0 erw¨ armt er sich. Diese instation¨ aren W¨armeleitvorg¨ange laufen so lange ab, bis der K¨ orper die Temperatur ϑU des Fluids angenommen hat; dies ist der station¨ are Endzustand. Der W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient α sei an den beiden Seiten der Platte gleich groß, und bei Zylinder und Kugel soll er auf der ganzen vom Fluid ber¨ uhrten Oberﬂ¨ ache konstant sein. In allen drei F¨allen h¨ ange er nicht von der Zeit ab. Betrachtet man die Platte halber Dicke, so entspricht das W¨ armeleitproblem der einseitigen Abk¨ uhlung oder Erw¨armung einer Platte, deren andere Oberﬂ¨ ache isoliert (adiabat) ist. Unter den genannten Annahmen erh¨ alt man die Randbedingungen r=0:

∂ϑ =0 ∂r

aus Symmetriegr¨ unden und r=R:

−λ

∂ϑ = α(ϑ − ϑU ) . ∂r

2.3 Instation¨ are W¨ armeleitung

177

Außerdem gilt die Anfangsbedingung t=0:

0≤r≤R ,

ϑ(r) = ϑ0 ,

vgl. Abb. 2.27. Es empﬁehlt sich, dimensionslose Variablen einzuf¨ uhren. Wir setzen r+ := r/R und t+ := at/R2 (2.158) mit R als halber Plattendicke bzw. Zylinder- oder Kugelradius, sowie ϑ+ :=

ϑ − ϑU . ϑ0 − ϑU

(2.159)

Mit diesen Gr¨ oßen geht die Diﬀerentialgleichung (2.157) in ∂ ϑ+ ∂ 2 ϑ+ n ∂ ϑ+ = + + + 2 + ∂t r ∂r ∂r+

(2.160)

u ¨ ber. Die Randbedingungen lauten ∂ ϑ+ =0 ∂r+ und −

f¨ ur

∂ ϑ+ = Bi ϑ+ ∂r+

r+ = 0

f¨ ur

r+ = 1

(2.161)

(2.162)

mit der Biot-Zahl Bi = αR/λ , vgl. Abschnitt 2.1.5. Die Anfangsbedingung lautet ϑ+ = 1 f¨ ur

t+ = 0 .

(2.163)

Die gesuchte dimensionslose Temperaturverteilung in den drei K¨orpern hat die Gestalt ϑ+ = fn (r+ , t+ , Bi) ,

Abb. 2.27: Zur Erl¨ auterung der Anfangs- und Randbedingungen bei der Abk¨ uhlung einer Platte der Dicke 2R, eines langen Zylinders und einer Kugel, jeweils mit dem Radius R

178

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

Abb. 2.28: Temperaturverh¨ altnis ϑ+ = (ϑ − ϑU )/(ϑ0 − ϑU ). a beim Abk¨ uhlen und b beim Erw¨ armen

wobei sich f¨ ur die Platte (n = 0), den Zylinder (n = 1) und die Kugel (n = 2) unterschiedliche Funktionen fn ergeben werden, weil jedesmal eine andere Differentialgleichung gilt. Die dimensionslose Temperatur kann nur Werte zwischen ϑ+ = 0 (f¨ ur t+ → ∞) und ϑ+ = 1 (f¨ ur t+ = 0) annehmen. Durch ϑ+ wird der Temperaturverlauf beim Erw¨ armen und Abk¨ uhlen in gleicher Weise beschrieben, vgl. Abb. 2.28. Beim Abk¨ uhlen (ϑU < ϑ0 ) gilt nach (2.159) ϑ (x, t) = ϑU + (ϑ0 − ϑU ) ϑ+ r+ , t+ und f¨ ur das Erw¨armen (ϑU > ϑ0 ) folgt daraus % & ϑ (x, t) = ϑ0 + (ϑU − ϑ0 ) 1 − ϑ+ r+ , t+ . F¨ ur Bi → ∞ erh¨ alt man den Sonderfall, dass die Oberﬂ¨ache der K¨orper auf der konstanten Temperatur ϑU des Fluids, entsprechend ϑ+ = 0, gehalten wird. Dies ergibt bei gleicher Temperaturdiﬀerenz ϑ0 − ϑU die raschest m¨ogliche Abk¨ uhlung oder Erw¨ armung (α → ∞). 2.3.4.2 Separationsansatz Um eine L¨ osung der Diﬀerentialgleichung (2.160) unter Beachtung der Anfangs- und Randbedingungen zu ﬁnden, macht man den Produkt- oder Separationsansatz3 ϑ+ (r+ , t+ ) = F (r+ ) · G(t+ ) . Man sucht also Funktionen F und G von jeweils nur einer Variablen, welche die aus (2.160) folgende Diﬀerentialgleichung

2 d F n dF + dG F (r ) + = + + + G(t+ ) dt r dr dr+ 2 3

Die Anwendung der Laplace-Transformation liefert dieselbe L¨ osung. F¨ ur die R¨ ucktransformation vom Frequenz- in den Zeitbereich muss die Umkehrformel, vgl. 2.3.2, angewendet werden. Um dies zu vermeiden, benutzen wir in diesem Falle die einfachere klassische Methode des Produktansatzes.

2.3 Instation¨ are W¨ armeleitung

oder 1 dG 1 = G(t+ ) dt+ F (r+ )

d2 F n dF 2 + r+ dr+ + dr

179

(2.164)

erf¨ ullen. Die linke Seite von (2.164) h¨ angt nur von der (dimensionslosen) Zeit t+ , die rechte nur von der Ortskoordinate r+ ab: die Variablen sind getrennt (separiert). Die durch (2.164) geforderte Gleichheit ist nur m¨oglich, wenn beide Seiten von (2.164) einer Konstanten −μ2 gleich sind. Man bezeichnet μ als Separationsparameter. Aus (2.164) entstehen damit die beiden gew¨ohnlichen Diﬀerentialgleichungen dG + μ2 G = 0 (2.165) dt+ und d2 F n dF 2 (2.166) 2 + r+ dr+ + μ F = 0 . + dr Produkte ihrer L¨osungen mit demselben Wert des Separationsparameters μ ergeben L¨ osungen der W¨ armeleitungsgleichung (2.160). Die L¨ osung der Diﬀerentialgleichung (2.165) f¨ ur die Zeitfunktion G(t+ ) ist die abklingende Exponentialfunktion G(t+ ) = C exp −μ2 t+ . (2.167) Dies gilt f¨ ur alle drei K¨ orper. Die Ortsfunktion F ist jedoch f¨ ur Platte, Zylinder und Kugel verschieden. In allen drei F¨ allen m¨ ussen jedoch die L¨osungsfunktionen F die gleichen Randbedingungen erf¨ ullen. Es folgt aus (2.161) und (2.162) dF = 0 f¨ ur r+ = 0 (2.168) dr+ und dF − + = Bi F f¨ ur r+ = 1 . (2.169) dr Die durch die Diﬀerentialgleichung (2.166) und die beiden Randbedingungen (2.168) und (2.169) gebildete Randwertaufgabe f¨ uhrt zur Klasse der Sturm-Liouvilleschen Eigenwertaufgaben, f¨ ur die eine Reihe allgemeiner Theoreme gilt. Wie wir gleich zeigen werden, erf¨ ullen nur L¨osungsfunktionen F mit bestimmten, diskreten Werten μi des Separationsparameters die beiden Randbedingungen. Diese besonderen Werte μi heißen Eigenwerte der Randwertaufgabe, und die zugeh¨ origen L¨ osungsfunktionen Fi werden Eigenfunktionen genannt. Die wichtigsten S¨ atze aus der Theorie der Sturm-Liouvilleschen Eigenwertaufgaben sind, vgl. z.B. K. J¨ anich [2.33]: 1. Alle Eigenwerte sind reell. 2. Die Eigenwerte bilden eine monoton wachsende unendliche Folge μ1 < μ2 < μ3 . . .

mit

lim μi = +∞ .

i→∞

180

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

3. Die zugeh¨ origen Eigenfunktionen F1 , F2 , . . . sind orthogonal, d.h. es gilt

b +

Fi Fj dr =

0 f¨ ur i = j Ai f¨ ur i = j

a

mit Ai als einer positiven Konstante. Dabei sind a und b die beiden Stellen, an denen die Randbedingungen vorgeschrieben sind. Bei unserer Aufgabe ist a = 0 und b = 1. 4. Die zum Eigenwert μi geh¨ orige Eigenfunktion Fi hat zwischen den R¨andern, also im oﬀenen Intervall (a, b) genau (i − 1) Nullstellen. Wir werden von diesen Eigenschaften bei der nun folgenden L¨osung des Randwertproblems f¨ ur Platte, Zylinder und Kugel Gebrauch machen. 2.3.4.3 Ergebnisse f¨ ur die Platte Die Funktion F (r+ ) gen¨ ugt bei der Platte der Diﬀerentialgleichung (2.166) mit n = 0, die als Schwingungs-Diﬀerentialgleichung bekannt ist. Sie hat die allgemeine L¨ osung F = c1 cos μr+ + c2 sin μr+ . Aus der Randbedingung (2.168) folgt c2 = 0. Die W¨arme¨ ubergangsbedingung (2.169) f¨ uhrt auf eine transzendente Gleichung f¨ ur den Separationsparameter μ, n¨ amlich tan μ = Bi/μ . (2.170) Die L¨ osungen μ = μi dieser Gleichung sind die Eigenwerte des Problems; sie ¨ h¨ angen von der Biot-Zahl ab. Wie Abb. 2.29 zeigt, gibt es in Ubereinstimmung mit der Sturm-Liouvilleschen Theorie eine unendliche Folge von Eigenwerten μ1 < μ2 < μ3 . . . Nur die zu den Eigenwerten μi geh¨orenden Eigenfunktionen Fi = cos μi r+ erf¨ ullen die beiden Randbedingungen (2.168) und (2.169). Damit ist die mit den unendlich vielen Eigenfunktionen und der zeitabh¨angigen Funktion G(t+ ) nach (2.167) gebildete unendliche Reihe ϑ+ (r+ , t+ ) =

∞

Ci cos μi r+ exp(−μ2i t+ )

(2.171)

i=1

die allgemeine L¨osung des W¨ armeleitproblems f¨ ur die Platte. Sie ist nur noch der Anfangsbedingung (2.163) anzupassen. Es muss also gelten: 1=

∞ i=1

Ci cos μi r+

,

0 ≤ r+ ≤ 1 .

2.3 Instation¨ are W¨ armeleitung

181

Abb. 2.29: Graphische Bestimmung der Eigenwerte nach (2.170)

Eine gegebene Funktion, hier die Zahl 1, ist durch die unendliche Summe der Eigenfunktionen im Intervall [0, 1] darzustellen. Um die Koeﬃzienten Ci zu erhalten, multipliziert man mit einer Eigenfunktion cos (μj r+ ) und integriert von r+ = 0 bis r+ = 1. Da die Eigenfunktionen orthogonal sind, werden alle Terme, bei denen j = i ist, zu null. Es bleibt nur der Term mit j = i, so dass 1 0

cos μi r+ dr+ = Ci

1

cos2 μi r+ dr+

0

den Koeﬃzienten Ci liefert mit dem Ergebnis Ci =

2 sin μi 2Bi 1 = . μi + sin μi cos μi Bi2 + Bi + μ2i cos μi

(2.172)

Damit ist die gesuchte Temperaturverteilung beim Erw¨armen oder Abk¨ uhlen der Platte gefunden. Die Eigenwerte μi und die Entwicklungskoeﬃzienten Ci h¨angen von der Biot-Zahl ab. In Tabelle 2.6 ﬁndet man Werte von μ1 und C1 . Werte f¨ ur die ersten sechs Eigenwerte sind in [2.1] angegeben. F¨ ur Bi → ∞ erh¨alt man die Randbedingung ϑ+ (1, t+ ) = 0, entsprechend ϑ(R) = ϑU , und die Eigenwerte sind μ1 = π/2, μ2 = 3π/2, μ3 = 5π/2 . . . F¨ ur Bi = 0, den Grenzfall der isolierten Wand mit endlicher W¨ armeleitf¨ ahigkeit λ, aber mit α = 0, wird μ1 = 0, μ2 = π, μ3 = 2π, . . . ; als Temperaturverteilung ergibt sich ϑ+ = 1 unabh¨ angig von t+ , wie es physikalisch einleuchtend ist.

182

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

Tabelle 2.6: Kleinster Eigenwert μ1 nach (2.170), (2.177) bzw. (2.182), zugeh¨ origer Entwicklungskoeﬃzient C1 in der Reihe f¨ ur die Temperaturverteilung ϑ+ (r + , t+ ) + sowie Koeﬃzient D1 in der Reihe f¨ ur die Mitteltemperatur ϑ+ m (t ) von Platte, sehr langem Zylinder und Kugel, vgl. auch (2.185) und (2.188) in Abschnitt 2.3.4.5

Bi

μ1

Platte C1

D1

μ1

Zylinder C1

D1

μ1

Kugel C1

D1

0,01 0,02 0,03 0,04 0,05

0,09983 0,14095 0,17234 0,19868 0,22176

1,0017 1,0033 1,0049 1,0066 1,0082

1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999

0,14124 0,19950 0,24403 0,28143 0,31426

1,0025 1,0050 1,0075 1,0099 1,0124

1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999

0,17303 0,24446 0,29910 0,34503 0,38537

1,0030 1,0060 1,0090 1,0120 1,0150

1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

0,06 0,07 0,08 0,09 0,10

0,24253 0,26153 0,27913 0,29557 0,31105

1,0098 1,0114 1,0130 1,0145 1,0161

0,9999 0,9999 0,9999 0,9998 0,9998

0,34383 0,37092 0,39603 0,41954 0,44168

1,0148 1,0173 1,0197 1,0222 1,0246

0,9999 0,9999 0,9999 0,9998 0,9998

0,42173 0,45506 0,48600 0,51497 0,54228

1,0179 1,0209 1,0239 1,0268 1,0298

0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9998

0,15 0,20 0,25 0,30 0,40

0,37788 0,43284 0,48009 0,52179 0,59324

1,0237 1,0311 1,0382 1,0450 1,0580

0,9995 0,9992 0,9988 0,9983 0,9971

0,53761 0,61697 0,68559 0,74646 0,85158

1,0365 1,0483 1,0598 1,0712 1,0931

0,9995 0,9992 0,9988 0,9983 0,9970

0,66086 0,75931 0,84473 0,92079 1,05279

1,0445 1,0592 1,0737 1,0880 1,1164

0,9996 0,9993 0,9990 0,9985 0,9974

0,50 0,60 0,70 0,80 0,90

0,65327 0,70507 0,75056 0,79103 0,82740

1,0701 1,0814 1,0918 1,1016 1,1107

0,9956 0,9940 0,9922 0,9903 0,9882

0,94077 1,01844 1,08725 1,14897 1,20484

1,1143 1,1345 1,1539 1,1724 1,1902

0,9954 0,9936 0,9916 0,9893 0,9869

1,16556 1,26440 1,35252 1,43203 1,50442

1,1441 1,1713 1,1978 1,2236 1,2488

0,9960 0,9944 0,9925 0,9904 0,9880

1,00 1,10 1,20 1,30 1,40

0,86033 0,89035 0,91785 0,94316 0,96655

1,1191 1,1270 1,1344 1,1412 1,1477

0,9861 0,9839 0,9817 0,9794 0,9771

1,25578 1,30251 1,34558 1,38543 1,42246

1,2071 1,2232 1,2387 1,2533 1,2673

0,9843 0,9815 0,9787 0,9757 0,9727

1,57080 1,63199 1,68868 1,74140 1,79058

1,2732 1,2970 1,3201 1,3424 1,3640

0,9855 0,9828 0,9800 0,9770 0,9739

1,50 1,60 1,70 1,80 1,90

0,98824 1,00842 1,02725 1,04486 1,06136

1,1537 1,1593 1,1645 1,1695 1,1741

0,9748 0,9726 0,9703 0,9680 0,9658

1,45695 1,48917 1,51936 1,54769 1,57434

1,2807 1,2934 1,3055 1,3170 1,3279

0,9696 0,9665 0,9633 0,9601 0,9569

1,83660 1,87976 1,92035 1,95857 1,99465

1,3850 1,4052 1,4247 1,4436 1,4618

0,9707 0,9674 0,9640 0,9605 0,9570

2,00 2,20 2,40 2,60 2,80

1,07687 1,10524 1,13056 1,15330 1,17383

1,1785 1,1864 1,1934 1,1997 1,2052

0,9635 0,9592 0,9549 0,9509 0,9469

1,59945 1,64557 1,68691 1,72418 1,75794

1,3384 1,3578 1,3754 1,3914 1,4059

0,9537 0,9472 0,9408 0,9345 0,9284

2,02876 2,09166 2,14834 2,19967 2,24633

1,4793 1,5125 1,5433 1,5718 1,5982

0,9534 0,9462 0,9389 0,9316 0,9243

2.3 Instation¨ are W¨ armeleitung

183

Tabelle 2.6: Fortsetzung

μ1

Platte C1

D1

μ1

3,00 3,50 4,00 4,50 5,00

1,19246 1,23227 1,26459 1,29134 1,31384

1,2102 1,2206 1,2287 1,2351 1,2402

0,9431 0,9343 0,9264 0,9193 0,9130

1,78866 1,85449 1,90808 1,95248 1,98981

6,00 7,00 8,00 9,00 10,00

1,34955 1,37662 1,39782 1,41487 1,42887

1,2479 1,2532 1,2570 1,2598 1,2620

0,9021 0,8932 0,8858 0,8796 0,8743

12,00 14,00 16,00 18,00 20,00

1,45050 1,46643 1,47864 1,48830 1,49613

1,2650 1,2669 1,2683 1,2692 1,2699

25,00 30,00 35,00 40,00 50,00

1,51045 1,52017 1,52719 1,53250 1,54001

60,00 80,00 100,00 200,00 ∞

1,54505 1,55141 1,55525 1,56298 1,57080

Bi

Zylinder C1

D1

μ1

Kugel C1

D1

1,4191 1,4473 1,4698 1,4880 1,5029

0,9224 0,9081 0,8950 0,8830 0,8721

2,28893 2,38064 2,45564 2,51795 2,57043

1,6227 1,6761 1,7202 1,7567 1,7870

0,9171 0,8995 0,8830 0,8675 0,8533

2,04901 2,09373 2,12864 2,15661 2,17950

1,5253 1,5411 1,5526 1,5611 1,5677

0,8532 0,8375 0,8244 0,8133 0,8039

2,65366 2,71646 2,76536 2,80443 2,83630

1,8338 1,8673 1,8920 1,9106 1,9249

0,8281 0,8069 0,7889 0,7737 0,7607

0,8658 0,8592 0,8541 0,8499 0,8464

2,21468 2,24044 2,26008 2,27555 2,28805

1,5769 1,5828 1,5869 1,5898 1,5919

0,7887 0,7770 0,7678 0,7603 0,7542

2,88509 2,92060 2,94756 2,96871 2,98572

1,9450 1,9581 1,9670 1,9734 1,9781

0,7397 0,7236 0,7109 0,7007 0,6922

1,2710 1,2717 1,2721 1,2723 1,2727

0,8400 0,8355 0,8322 0,8296 0,8260

2,31080 2,32614 2,33719 2,34552 2,35724

1,5954 1,5973 1,5985 1,5993 1,6002

0,7427 0,7348 0,7290 0,7246 0,7183

3,01656 3,03724 3,05207 3,06321 3,07884

1,9856 1,9898 1,9924 1,9942 1,9962

0,6766 0,6658 0,6579 0,6519 0,6434

1,2728 1,2730 1,2731 1,2732 1,2732

0,8235 0,8204 0,8185 0,8146 0,8106

2,36510 2,37496 2,38090 2,39283 2,40483

1,6007 1,6013 1,6015 1,6019 1,6020

0,7140 0,7085 0,7052 0,6985 0,6917

3,08928 3,10234 3,11019 3,12589 3,14159

1,9974 1,9985 1,9990 1,9998 2,0000

0,6376 0,6303 0,6259 0,6170 0,6079

Neben den nach (2.171) zu berechnenden Temperaturen ist oft auch die Energie von Interesse, welche die Platte w¨ ahrend einer bestimmten Zeitspanne als W¨ arme aufgenommen oder abgegeben hat. K¨ uhlt sich die Platte mit dem Volumen V von der Anfangstemperatur ϑ0 auf die Umgebungstemperatur ϑU ab (f¨ ur t → ∞), so gibt sie die Energie Q0 = V c(ϑ0 − ϑU ) als W¨ arme an die Umgebung ab. Nach Ablauf einer endlichen Zeit t hat sie nur die W¨ arme Q(t) = V c [ϑ0 − ϑm (t)] an die Umgebung abgegeben. Dabei bedeutet 1 ϑm (t) = R

ZR ϑ(r, t) dr 0

die Mitteltemperatur der Platte zur Zeit t. Das Verh¨ altnis

184

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion Q(t) ϑ0 − ϑm (t) + = = 1 − ϑ+ m (t ) Q0 ϑ0 − ϑU

(2.173)

+ ist durch die dimensionslose Mitteltemperatur ϑ+ ur erh¨ alt man m (t ) gegeben. Hierf¨ durch Integration von (2.171) ` ´ ∞ ∞ X X ` 2 +´ exp −μ2i t+ sin μi + + 2 ϑm (t ) = Ci exp −μi t = 2Bi . (2.174) μi μ2 (Bi2 + Bi + μ2i ) i=1 i=1 i

Die Gleichungen (2.171) f¨ ur die Temperaturverteilung in der Platte sowie (2.173) und (2.174) f¨ ur die abgegebene W¨ arme sind wiederholt ausgewertet und in Diagrammen dargestellt worden, vgl. [2.34] und [2.35]. Angesichts der heute verf¨ ugbaren Rechenhilfsmittel ist jedoch die unmittelbare Auswertung der angegebenen Beziehungen vorteilhafter auch im Hinblick auf ihre Verwendung in Simulationsprogrammen, in denen instation¨are W¨armeleitvorg¨ange auftreten. Die rechnerische Anwendung der hier entwickelten Beziehungen wird dadurch erleichtert, dass f¨ ur gr¨ oßere Werte von t+ nur das erste Glied der unendlichen Reihen ben¨ otigt wird, vgl. Abschnitt 2.3.4.5. F¨ ur sehr kleine t+ werden wir in Abschnitt 2.3.4.6 besondere Gleichungen herleiten. Außerdem gibt es N¨ aherungsgleichungen, die numerisch etwas einfacher zu handhaben sind als die hier angegebenen Beziehungen, vgl. z.B. [2.69]. ` ´ Beispiel 2.4: In Beispiel 2.3 von Abschnitt 2.3.2 wurde die Temperatur ϑ 0, t+ der bei x = adiabaten Oberﬂ¨ ache einer ebenen Wand (Platte) be` 0 gelegenen ´ rechnet; ϑ 0, t+ ¨ anderte sich infolge der sprunghaften Erh¨ `ohung´ der Temperatur von ϑ0 auf ϑU an der anderen Wandoberﬂ¨ ache. F¨ ur ϑ 0, t+ ergab sich in Beispiel 2.3 ` ´ „ « „ « „ « ϑ 0, t+ − ϑ0 1 3 5 √ √ √ = 2 erfc − 2 erfc + 2 erfc − ... ϑU − ϑ0 2 t+ 2 t+ 2 t+ (2.175) Dieser Gleichung soll die aus (2.171) folgende Beziehung gegen¨ ubergestellt werden. ¨ Die sprunghafte Anderung der Oberﬂ¨ achentemperatur bei r = R (entsprechend x = δ in Beispiel 2.3) bedeutet α → ∞, also Bi → ∞. Damit erh¨ alt man aus (2.170) die Eigenwerte μ1 =

π 2

,

μ2 =

3π 2

,

μ3 =

5π 2

,

...

und aus (2.172) die Koeﬃzienten C1 =

4 π

,

C2 = −

4 3π

,

C3 =

4 5π

,

...

Aus (2.171) folgt nun ` ´ » – ∞ ϑ 0, t+ − ϑU 4 X (−1)i+1 π2 2 + = exp − (2i − 1) t . ϑ0 − ϑU π i=1 2i − 1 4 Die (2.175) entsprechende Gleichung ergibt sich daraus zu

2.3 Instation¨ are W¨ armeleitung 185 ` +´ „ « „ « ϑ 0, t − ϑ0 4 π2 + 4 9π 2 + = 1 − exp − t + exp − t − ϑU − ϑ0 π 4 3π 4 (2.176) „ « 4 25π 2 + − exp − t +... 5π 4 Die Gleichungen (2.175) und (2.176) beschreiben denselben Temperaturverlauf. W¨ ahrend (2.175) f¨ ur kleine Zeiten t+ rasch konvergiert, ist (2.176) f¨ ur große + Zeiten t besonders gut geeignet. Dies zeigt die folgende Gegen¨ uberstellung f¨ ur zwei Zeiten, t+ = 0,1 und t+ = 1,0. F¨ ur t+ = 0,1 erh¨ alt man allein mit dem ersten Term von (2.175) auf f¨ unf Nachkommastellen genau den Wert 0,05070. In (2.176) ben¨ otigt man jedoch drei Terme der unendlichen Reihe: 1 − 0,99484 + 0,04607 − 0,00053 + . . . = 0,05070 . F¨ ur die Zeit t+ = 1,0 gen¨ ugt bereits das erste Reihenglied in (2.176), um 1 − 0,10798 + . . . = 0,89202 zu erhalten. F¨ ur dieses Resultat ben¨ otigt man dagegen drei Terme in (2.175): 0,95900 − 0,06779 + 0,00081 − . . . = 0,89202 .

2.3.4.4 Ergebnisse f¨ ur Zylinder und Kugel Beim unendlich langen Zylinder bestimmt (2.166) mit n = 1 die Funktion F (r + ). Dies ist die Besselsche Diﬀerentialgleichung nullter Ordnung, und ihre L¨ osungen sind die Bessel-Funktion J0 und die Neumann-Funktion N0 nullter Ordnung: ` ´ ` ´ ` ´ F r + = c1 J0 μr + + c2 N0 μr + . Die Symmetriebedingung (2.168) schließt N0 aus (c2 = 0). Die W¨ arme¨ ubergangsbedingung (2.169) liefert wie bei der Platte eine Bestimmungsgleichung f¨ ur die Eigenwerte μi : ` ´ dJ0 (μr + ) − = Bi J0 μr + f¨ ur r + = 1 + dr oder μJ1 (μ) = Bi J0 (μ) (2.177) mit J1 als Bessel-Funktion 1. Ordnung. Tafeln der Besselfunktionen J0 und J1 ﬁndet man in [2.30] und [2.32]; u ¨ ber ihre Eigenschaften und Berechnungsgleichungen informiert z.B. [2.28]. Man erh¨ alt wieder unendlich viele Eigenwerte μi als L¨ osung von (2.177), zu denen die Eigenfunktionen Fi = J0 (μi r + ) geh¨ oren. Die Summe ∞ ` ´ X ` ´ ` ´ ϑ + r + , t+ = Ci J0 μi r + exp −μ2i t+

(2.178)

i=1

ist damit eine L¨ osung der W¨ armeleitungsgleichung f¨ ur den Zylinder, die` den ´Randbedingungen gen¨ ugt. Aus der Anfangsbedingung (2.163), n¨ amlich ϑ+ r + , 0 = 1, erh¨ alt man die Entwicklungskoeﬃzienten

186

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion Ci =

2J1 (μi ) 2Bi = . μi [J02 (μi ) + J12 (μi )] (Bi2 + μ2i ) J0 (μi )

(2.179)

Tabelle 2.6 gibt den ersten Eigenwert μ1 und das zugeh¨ orige C1 in Abh¨ angigkeit von der Biot-Zahl. Werte der ersten sechs Eigenwerte ﬁndet man in [2.1]. Das Verh¨ altnis der in der Zeit t abgegebenen W¨ arme Q(t) zum Maximalwert Q0 f¨ ur t → ∞ ist durch (2.173) gegeben. Die dimensionslose Mitteltemperatur ϑ+ m ist f¨ ur den Zylinder nach Z1 ϑ+ m

=2

` ´ ϑ+ r + , t+ r + dr +

0

zu berechnen. Integration von (2.178) ergibt ϑ+ m

` ´ ∞ X ` +´ exp −μ2i t+ 2 t = 4Bi . μ2 (Bi2 + μ2i ) i=1 i

(2.180)

F¨ ur die Kugel erh¨ alt man in der gleichen Weise die Temperaturverteilung ` ´ ∞ X ` ´ sin μi r + +` + +´ ϑ r ,t = Ci exp −μ2i t+ . (2.181) + μ ir i=1 Die Eigenwerte sind die L¨ osungen der transzendenten Gleichung μ cot μ = 1 − Bi .

(2.182)

Die Koeﬃzienten Ci ergeben sich zu Ci = 2

sin μi − μi cos μi μ2 + (Bi − 1)2 sin μi = 2 Bi 2 i . μi − sin μi cos μi μi + Bi (Bi − 1) μi

(2.183)

Daraus erh¨ alt man f¨ ur die dimensionslose Mitteltemperatur

ϑ+ m

` +´ t =3

Z1

` ´ ϑ+ r + , t+ r +2 dr +

0

der Kugel die Reihe ∞ X ` +´ ϑ+ = 6 Bi2 m t i=1

` ´ exp −μ2i t+ . μ2i [μ2i + Bi (Bi − 1)]

(2.184)

Damit l¨ asst sich die auf Q0 bezogene W¨ arme Q(t+ ) nach (2.173) berechnen. Tabelle 2.6 enth¨ alt den ersten Eigenwert μ1 als L¨ osung von (2.182) und den zugeh¨ origen Koeﬃzienten C1 nach (2.183) als Funktionen von Bi. Werte der ersten sechs Eigenwerte ﬁndet man in [2.1]. Graphische Darstellungen des Temperaturverlaufs im sehr langen Zylinder und in der Kugel ﬁndet man in den schon erw¨ ahnten Ver¨ oﬀentlichungen [2.34] und [2.35], N¨ aherungsgleichungen in [2.69]. In Abb. 2.30 ist ` ´ der zeitliche Verlauf der dimensionslosen Temperatur ϑ+ 0, t+ im Zentrum r + = 0 der drei K¨ orper Platte (Mittelebene), sehr langer Zylinder (Achse) und Kugel (Mittelpunkt) dargestellt.

2.3 Instation¨ are W¨ armeleitung

187

Abb. 2.30: Zeitlicher Temperaturverlauf ϑ+ (t+ ) im Zentrum (r + = 0) von Platte, sehr langem Zylinder und Kugel f¨ ur Bi = αR/λ = 1,0

2.3.4.5 N¨ aherung f¨ ur große Zeiten: Beschr¨ ankung auf den ersten Term der Reihen F¨ ur gen¨ ugend große Zeiten t+ reicht das erste Glied der Reihen (2.171), (2.178) und (2.181), um die Temperaturverteilung in der Platte, im unendlich langen Zylinder und in der Kugel zu berechnen. Man erh¨alt dann das einfache Resultat ⎧ Platte ⎨ cos (μr+ ) + + + 2 + ϑ1 r , t = C exp −μ t J0 (μr+ ) Zylinder . (2.185) ⎩ sin (μr+ ) / (μr+ ) Kugel Der erste Eigenwert μ = μ1 und der zugeh¨ orige Entwicklungskoeﬃzient C = C1 h¨ angen von der Biot-Zahl Bi = αR/λ ab. Sie haben außerdem verschiedene Werte f¨ ur die Platte, den Zylinder und die Kugel. In Tabelle 2.6 sind diese Werte zusammengestellt. U. Grigull u.a. [2.36] haben den Fehler berechnet, der bei Vernachl¨assigung der h¨ oheren Reihenglieder entsteht. L¨ asst man eine bestimmte Abweichung + + + + Δϑ := ϑ1 r , t − ϑ+ r+ , t+ (2.186) + zu, wobei ϑ+ andige Reihe be1 den ersten Term nach (2.185) und ϑ die vollst¨ + deuten, so kann man eine bezogene Zeit tmin berechnen, f¨ ur die dieser Fehler + gerade auftritt. Dabei h¨ angt t+ ur alle min von r und von der Biot-Zahl ab. F¨ + + Zeiten t > tmin kann man dann mit dem ersten Term ϑ+ 1 nach (2.185) rechnen, ohne dass der Fehler gr¨ oßer als Δϑ+ ist. Abb. 2.31 zeigt das von U. Grigull u.a. [2.36] gefundene Ergebnis f¨ ur r+ = 0 (Mittelebene bzw. Mittelachse oder + Mittelpunkt) und Δϑ = 0,001 als Funktion von Bi. Bei kleinen Bi-Zahlen gen¨ ugt das erste Reihenglied bereits bei recht kleinen Zeiten t+ > t+ min . Gleichung (2.185) erlaubt auch eine explizite Berechnung von Erw¨armungsoder Abk¨ uhlzeiten. Wir deﬁnieren diese Zeit tk so, dass nach ihrem Ablauf

188

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

Abb. 2.31: Mindestzeiten t+ ur das Unterschreiten eines Fehlers Δϑ+ = 0,001 min f¨ nach (2.186) durch die Vernachl¨ assigung h¨ oherer Reihenglieder f¨ ur r + = 0. P Platte, Z sehr langer Zylinder, K Kugel

eine vorgegebene Temperatur ϑk im Zentrum des w¨armeleitenden K¨orpers (r+ = 0) erreicht sein soll. Dieser Temperatur ϑk entspricht ein bestimmter Wert ϑ+ k = (ϑk − ϑU ) / (ϑ0 − ϑU ) . Aus (2.185) erh¨alt man mit r+ = 0 2 + ϑ+ k = C exp −μ tk und daraus t+ k =

atk 1 = 2 ln C − ln ϑ+ . k 2 R μ

(2.187)

+ + Dabei w¨ achst t+ ahlt. Mit k wegen ϑk < 1 umso mehr, je kleiner man ϑk w¨ Hilfe von Tabelle 2.6 l¨ asst sich (2.187) leicht auswerten. Auch die dimensionslose Mitteltemperatur ϑ+ m , die zur Berechnung der zu- oder abgef¨ uhrten W¨ arme nach (2.173) ben¨otigt wird, l¨asst sich bei Beschr¨ ankung auf das erste Reihenglied leicht berechnen. Aus (2.174), (2.180) und (2.184) erh¨alt man 2 + ϑ+ . (2.188) m = D exp −μ t

Der von der Biot-Zahl abh¨ angige Koeﬃzient D = D1 ist in Tabelle 2.6 verzeichnet. 2.3.4.6 Eine L¨ osung f¨ ur kleine Zeiten Zu Beginn des Abk¨ uhlens oder Erw¨ armens (t+ klein) braucht man mehrere Terme der unendlichen Reihen (2.171), (2.178) bzw. (2.181), um die Tempe-

2.3 Instation¨ are W¨ armeleitung

189

raturverteilung in der Platte, dem Zylinder oder der Kugel genau berechnen zu k¨ onnen. Es empﬁehlt sich, eine andere L¨osung des W¨armeleitproblems zu suchen, die besonders gut bei kleinen Zeiten konvergiert. Man ﬁndet sie durch Anwenden der Laplace-Transformation, wobei man die LaplaceTransformierte der Temperatur in eine Reihe entwickelt, die f¨ ur große Werte von s konvergiert, vgl. Abschnitt 2.3.2. Durch gliedweises R¨ ucktransformieren unter Verwendung der Tafel der Korrespondenzen erh¨alt man Ausdr¨ ucke, die bei kleinen Zeiten zur Berechnung des Temperaturfeldes geeignet sind. Diese Methode hat zuerst S. Goldstein [2.37] angewendet, vgl. auch [2.36]. Wir beschr¨ anken uns darauf, das Ergebnis f¨ ur die Platte anzugeben. Die Behandlung von Zylinder und Kugel f¨ uhrt auf kompliziertere Beziehungen, die man in [2.36] und [2.37] ﬁndet. F¨ ur die in Abschnitt 2.3.4.3 behandelte Erw¨armung oder Abk¨ uhlung einer Platte erh¨ alt man mit den dimensionslosen Variablen nach (2.158) und (2.159) ϑ+ r+ , t+ =

√ ( % & 1 + r+ 1 + r+ + 2 + √ 1 − erfc √ − exp Bi 1 + r + Bi t erfc + Bi t+ 2 t+ 2 t+

( √ % & 1 − r+ 1 − r+ + 2 + + √ − erfc √ + exp Bi 1 − r + Bi t erfc + Bi t 2 t+ 2 t+ + ... (2.189) Diese L¨ osung l¨ asst eine anschauliche Deutung zu. Die Terme in den geschweiften Klammern entsprechen jeweils dem Temperaturverlauf in einem einseitig unendlich ausgedehnten K¨ orper. Beim ersten Term liegt seine Oberﬂ¨ache bei r+ = −1, und er erstreckt sich in positiver r+ -Richtung. Der zweite Term geh¨ ort zu einem halbunendlichen K¨ orper, der sich, ausgehend von der Oberﬂ¨ ache bei r+ = +1, in negativer r+ -Richtung erstreckt. Die Subtraktion dieser beiden Temperaturverteilungen von der Anfangstemperatur ϑ+ = 1 ergibt die in Abb. 2.32 dargestellte symmetrische Temperaturverteilung in der Platte, die der Bedingung ∂ϑ+ /∂r+ = 0 bei r+ = 0 gen¨ ugt. Die L¨ osung (2.189) ist nur f¨ ur solche Zeiten g¨ ultig, f¨ ur die der Beitrag der ersten geschweiften Klammer zur Oberﬂ¨ achentemperatur bei r + = +1 vernachl¨ assigbar klein ist. Es muss also „ √ « ` ´ ` ´ 1 1 Δϑ+ r + = 1, t+ = erfc √ − exp 2Bi + Bi2 t+ erfc √ + Bi t+ t+ t+ hinreichend klein sein. Eine asymptotische Entwicklung dieses Ausdrucks f¨ ur t+ → 0 ergibt » – +√ ` ´ ´ 3 ` ´ e−1/t t+ t+ ` √ Δϑ+ 1, t+ = (1 − y) − 1 − y 3 + t+2 1 − y 5 − . . . 2 4 π mit y := (1 + t+ Bi)−1 . Der ung¨ unstigste Fall entspricht Bi → ∞, also y = 0. Dann ergeben sich f¨ ur verschiedene dimensionslose Zeiten die folgenden Werte von Δϑ+ :

190

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

Abb. 2.32: Temperaturverteilung in der Platte nach (2.189) f¨ ur Bi = 2,0 und t+ = 0,25. Die gestrichelt gezeichneten Kurven a und b entsprechen den Termen in den geschweiften Klammern von (2.189) t+ = 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 Δϑ+ = 2,5 · 10−10 7,7 · 10−6 2,6 · 10−4 1,6 · 10−3 4,6 · 10−3 Damit d¨ urfte die durch (2.189) gegebene L¨ osung f¨ ur t+ < 0,2 in der Regel anwendbar sein.

2.3.5 Abku armung bei ¨hlung und Erw¨ mehrdimensionalem W¨ armeﬂuss Bei geometrisch mehrdimensionalem W¨ armeﬂuss hat man Temperaturfelder zu berechnen, die von zwei oder drei r¨ aumlichen Koordinaten abh¨angen und der W¨ armeleitungsgleichung ∂ϑ = a∇2 ϑ ∂t

(2.190)

gen¨ ugen. Dabei hat der Laplace-Operator ∇2 ϑ f¨ ur kartesische und ZylinderKoordinaten die in Abschnitt 2.1.2 angegebene Form. Wir betrachten wieder das in Abschnitt 2.3.4 f¨ ur die Platte, den unendlich langer Zylinder und die Kugel gel¨ oste instation¨ are W¨ armeleitproblem: Ein K¨orper mit der konstanten Anfangstemperatur ϑ0 wird mit einem Fluid der konstanten Temperatur ϑU = ϑ0 in Ber¨ uhrung gebracht, so dass W¨ arme¨ ubergang zwischen dem K¨orper und dem Fluid stattﬁndet, wobei der konstante W¨arme¨ ubergangskoeﬃzient α maßgebend ist. Wir behandeln in den folgenden Abschnitten zwei L¨osungsverfahren: – –

eine analytische L¨ osung f¨ ur spezielle K¨ orperformen, die sich als Produkt der bereits in Abschnitt 2.3.4 berechneten Temperaturverteilungen ergibt, ein N¨ aherungsverfahren f¨ ur beliebige K¨ orperformen, das jedoch nur bei kleinen Biot-Zahlen hinreichend genau ist.

Besonders das zuletzt genannte Verfahren bietet eine praktisch einfach anwendbare L¨ osung des instation¨ aren W¨ armeleitproblems; es sollte bei gen¨ ugend kleinen Biot-Zahlen stets angewendet werden.

2.3 Instation¨ are W¨ armeleitung

191

2.3.5.1 Produktl¨ osungen Ein Zylinder endlicher L¨ ange entsteht durch die rechtwinklige Durchdringung eines unendlich langen Zylinders und einer Platte. In gleicher Weise erh¨alt man ein sehr langes Prisma mit Rechteckquerschnitt bei der Durchdringung zweier Platten und ein Rechtkant (Quader), wenn sich drei Platten orthogonal durchdringen. F¨ ur die Erw¨ armung oder Abk¨ uhlung dieser K¨orper erh¨alt man die r¨ aumliche Temperaturverteilung als Produkt der geometrisch eindimensionalen Temperaturverteilungen in den einfachen K¨orpern, die sich rechtwinklig durchdringen. Somit folgt f¨ ur den Quader mit den Kantenl¨angen 2X, 2Y und 2Z, vgl. Abb. 2.33,

ϑ − ϑU x at αX y at α Y z at α Z + + + + ϑ = = ϑPl , , ·ϑPl , , ·ϑPl , , . ϑ0 − ϑU X X2 λ Y Y2 λ Z Z2 λ (2.191) + Die Platten-L¨ osung ϑ+ ist durch (2.171) gegeben. Dabei ist r durch x/X, Pl y/Y oder z/Z zu ersetzen und ebenso t+ durch at/X 2 , at/Y 2 bzw. at/Z 2 . Die Biot-Zahl αR/λ erh¨ alt jeweils die in (2.191) angegebene Bedeutung. Dabei ist es bemerkenswert, dass der W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient nur auf den einander gegen¨ uberliegenden Oberﬂ¨ achen den gleichen Wert haben muss; er kann jedoch auf den Oberﬂ¨ achenpaaren senkrecht zur x-, y- oder z-Richtung unterschiedliche Werte α, α und α annehmen. F¨ ur das in z-Richtung sehr lange Prisma entf¨allt in (2.191) der letzte Faktor. Die Temperaturverteilung f¨ ur den Zylinder der H¨ohe 2Z ergibt sich als Produkt

Abb. 2.33: Abmessungen eines Quaders und eines Zylinders endlicher L¨ ange sowie Lage des Koordinatensystems f¨ ur die Gleichungen (2.191) und (2.192)

Abb. 2.34: Quader mit adiabater Oberﬂ¨ ache bei y = 0 (schrafﬁert). An der gegen¨ uberliegenden Oberﬂ¨ ache W¨ armeu ¨bergang mit α

192

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

+

ϑ =

ϑ+ Zy

r at αR , , R R2 λ

·

ϑ+ Pl

z at α Z , , Z Z2 λ

,

(2.192)

wobei die Temperatur ϑ+ Zy des unendlich langen Zylinders durch (2.178) gegeben ist. Auch hier k¨ onnen der W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient α auf der Mantelﬂ¨ ache und der W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient α auf den beiden Deckﬂ¨achen verschiedene Werte haben. Ist eine von zwei parallelen ebenen Oberﬂ¨ achen des Quaders, Prismas oder Zylinders adiabat isoliert, w¨ ahrend an der anderen W¨arme u ¨ bergeht, so l¨asst sich auch dieser Fall mit den obigen Gleichungen erfassen. Man hat nur die Abmessung senkrecht zu der adiabaten Fl¨ ache zu halbieren, also den Nullpunkt des Koordinatensystems in die adiabate Oberﬂ¨ache zulegen. Dies ist beispielhaft f¨ ur einen Quader in Abb. 2.34 dargestellt. Den Beweis f¨ ur die Richtigkeit der Beziehungen (2.191) und (2.192) ﬁndet man z.B. im Buch von H.S. Carslaw und J.C. Jaeger [2.1], S. 33–35. Weitere Produktdarstellungen geometrisch mehrdimensionaler Temperaturfelder sind unter Benutzung der L¨ osung f¨ ur den halbunendlichen K¨orper m¨oglich. Wegen weiterer Einzelheiten sei auf [2.1] und [2.18] verwiesen. Auch die bei mehrdimensionaler W¨ armeleitung abgegebene W¨ arme l¨ asst sich mit Hilfe der Produktl¨ osungen bestimmen. Nach Abschnitt 2.3.4 gilt f¨ ur die bis zur Zeit t abgegebene W¨ arme Q(t) ϑ0 − ϑm (t) + = = 1 − ϑ+ m (t ) , Q0 ϑ0 − ϑU

(2.193)

vgl. (2.173). Die dimensionslose Mitteltemperatur ϑ+ m ergibt sich nun als Produkt der in Abschnitt 2.3.4.3 berechneten Mitteltemperaturen f¨ ur die Platte und den unendlich langen Zylinder. F¨ ur den Quader wird „ « „ « „ « at αX at α Y at α Z + + + ϑ+ = ϑ , · ϑ , · ϑ , (2.194) m mPl mPl mPl X2 λ Y2 λ Z2 λ mit ϑ+ alt man f¨ ur den Zylinder endlicher L¨ ange mPl nach (2.174). Ebenso erh¨ „ « „ « at αR at α Z + ϑ+ , · ϑ+ , , (2.195) m = ϑmZy mPl 2 R λ Z2 λ wobei ϑ+ mZy durch (2.180) gegeben ist.

Die hier angegebenen Gleichungen f¨ ur die Temperaturverteilung und die Mitteltemperatur lassen sich besonders einfach auswerten, wenn die bezogene Zeit t+ so groß ist, dass man sich auf das erste Glied der unendlichen Reihen + beschr¨ anken kann, welche die Temperaturverteilung ϑ+ Pl in der Platte und ϑZy im langen Zylinder darstellen. Man kann dann die in Abschnitt 2.3.4.5 angegebenen Gleichungen benutzen und von Tabelle 2.6 Gebrauch machen. Auch Erw¨ armungs- oder Abk¨ uhlzeiten f¨ ur das Erreichen einer vorgegebenen Temperatur ϑk im Zentrum der hier behandelten w¨armeleitenden K¨orper lassen sich bei Beschr¨ ankung auf die ersten Reihenglieder explizit berechnen. Wegen weiterer Einzelheiten sei auf [2.37] verwiesen.

2.3 Instation¨ are W¨ armeleitung

193

Beispiel 2.5: Zylinder aus Chrom-Nickel-Stahl (λ = 15,0 W/K m , c = 510 J/kgK , = 7800 kg/m3 ) mit dem Durchmesser d = 60 mm und der L¨ ange L = 100 mm, deren Anfangstemperatur ϑ0 = 320 betr¨ agt, werden in ein ¨ Olbad mit der Temperatur ϑU = 30 getaucht. Der W¨ arme¨ ubergangskoefﬁ¨ zient sei α = 450 W/m2 K. Wie lange m¨ ussen die Zylinder im Olbad bleiben, damit die Temperatur in ihrem Zentrum den Wert ϑk = 70 erreicht? Wie groß ist zu diesem Zeitpunkt ihre h¨ ochste Oberﬂ¨ achentemperatur? Die Temperaturverteilung in einem Zylinder endlicher L¨ ange ist durch (2.192) gegeben. Um eine explizite Berechnung der Abk¨ uhldauer tk zu erm¨ oglichen, beschr¨ anken wir uns auf den jeweils ersten Term der unendlichen Reihen und u ¨berpr¨ ufen diese Vereinfachung sp¨ ater. Wir setzen also ` ´ ` ´ ϑ+ = CZy J0 (μZy r/R) exp −μ2Zy at/R2 · CPl cos (μPl z/Z) exp −μ2Pl at/Z 2 (2.196) mit R = d/2 = 30 mm und Z = L/2 = 50 mm. Die Eigenwerte μZy , μPl und die Koeﬃzienten CZy , CPl h¨ angen von den Biot-Zahlen ab. F¨ ur den Zylinder gilt BiZy = αR/λ = 0,900 , woraus man aus Tabelle 2.6 (Seite 182) μZy = 1,20484 und CZy = 1,1902 erh¨ alt. F¨ ur die Platte wird BiPl = αZ/λ = 1,500 und damit nach Tabelle 2.6 μPl = 0,98824 und CPl = 1,1537. F¨ ur die Temperatur im Zentrum (r = 0, z = 0) des Zylinders folgt aus (2.196) ˘ ˆ ˜ ¯ 2 2 ϑ+ atk , (2.197) k = CZy CPl exp − (μZy /R) + (μPl /Z) wobei ϑ+ k aus den gegebenen Temperaturen berechenbar ist: ϑ+ k =

ϑk − ϑU 70 = ϑ0 − ϑU 320

− 30 − 30

= 0,1379 .

Die gesuchte Abk¨ uhldauer tk erh¨ alt man aus (2.197) zu tk =

1 ln CZy + ln CPl − ln ϑ+ k . a (μZy /R)2 + (μPl /Z)2

Mit der Temperaturleitf¨ ahigkeit a = λ/c = 3,77 · 10−6 m2 /s ergibt sich tk = 304 s = 5,07 min . Um zu pr¨ ufen, ob es zul¨ assig ist, die Reihen nach den ersten Gliedern abzubrechen, berechnen wir mit tk die Fourier-Zahlen ` +´ tk Zy = atk /R2 = 1,274 und

`

t+ k

´ Pl

= atk /Z 2 = 0,459 .

Nach Abb. 2.31 sind diese dimensionslosen Zeiten so groß, dass die Fehler durch Vernachl¨ assigung der h¨ oheren Reihenglieder bedeutungslos sind.

194

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

Die h¨ ochste Oberﬂ¨ achentemperatur tritt entweder auf dem Zylindermantel (r = R) f¨ ur z = 0 oder in der Mitte der Deckﬂ¨ ache, also bei z = Z und r = 0 auf. F¨ ur die Mitte des Zylindermantels erh¨ alt man aus (2.196) und (2.197) ϑ+ (r = R , z = 0 , t = tk ) = J0 (μZy ) ϑ+ k = 0,6687 · 0,1379 = 0,0922 , also ϑ (r = R , z = 0 , t = tk ) = 56,7

. F¨ ur die Mitte der Deckﬂ¨ ache gilt

ϑ+ (r = 0 , z = Z , t = tk ) = cos (μPl ) ϑ+ k = 0,5502 · 0,1379 = 0,0759 , woraus man ϑ (r = 0 , z = Z , t = tk ) = 52,0 erh¨ alt. Die h¨ ochste Oberﬂ¨ achentemperatur tritt also auf dem Zylindermantel bei z = 0 (Mitte) auf.

2.3.5.2 N¨ aherung f¨ ur kleine Biot-Zahlen Eine einfach anwendbare Berechnung der Erw¨armung oder Abk¨ uhlung beliebig geformter K¨orper ist f¨ ur den Grenzfall sehr kleiner Biot-Zahlen (Bi → 0) m¨ oglich. Diese Bedingung ist erf¨ ullt, wenn der W¨armeleitwiderstand im K¨ orper sehr viel kleiner ist als der W¨ arme¨ ubergangswiderstand an seiner Oberﬂ¨ ache, vgl. Abschnitt 2.1.5. Im w¨ armeleitenden K¨orper treten dann zu einem festen Zeitpunkt nur geringe Temperaturunterschiede auf, w¨ahrend zwischen Oberﬂ¨ achentemperatur und Umgebungstemperatur eine weit gr¨oßere Diﬀerenz besteht, vgl. Abb. 2.5. Wir nehmen nun vereinfachend an, die Temperatur des K¨orpers h¨ange nur von der Zeit, aber nicht von den r¨ aumlichen Koordinaten ab. Diese Annahme entspricht Bi = 0 und zwar deswegen, weil λ → ∞ geht, w¨ahrend der ¨ W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient α = 0 ist. Um die zeitliche Anderung der Temperatur zu bestimmen, wenden wir den ersten Hauptsatz der Thermodynamik ¨ auf den betrachteten K¨ orper an. Die Anderung seiner inneren Energie ist gleich dem W¨ armestrom, der seine Oberﬂ¨ ache u ¨berquert: dU = Q˙ . dt

(2.198)

Der K¨ orper mit dem Volumen V habe konstante Stoﬀwerte und c. Dann gilt dU du dϑ =V = V c . dt dt dt Mit A als Oberﬂ¨ ache des K¨ orpers erh¨ alt man f¨ ur den W¨armestrom Q˙ = αA(ϑ − ϑU ) . Aus (2.198) folgt nun die Diﬀerentialgleichung dϑ αA = (ϑ − ϑU ) , dt cV deren L¨ osung

2.3 Instation¨ are W¨ armeleitung

ϑ+ =

ϑ − ϑU ϑ0 − ϑU

αA = exp − t cV

195

(2.199)

die Anfangsbedingung ϑ(t = 0) = ϑ0 erf¨ ullt. Diese Beziehung f¨ ur den zeitlichen Temperaturverlauf ist erheblich einfacher zu handhaben als die Reihenentwicklungen. Alle Einﬂussgr¨ oßen wie der W¨arme¨ ubergangskoeﬃzient, die Stoﬀwerte und die Geometrie des K¨ orpers sind in einer einzigen Gr¨oße, der Abklingzeit c V t0 := , α A zusammengefasst. Am Beispiel der Platte zeigen wir, dass (2.199) der exakten L¨osung f¨ ur Bi = 0 mit α = 0 entspricht. Wir untersuchen ferner, f¨ ur welche von null verschiedenen Biot-Zahlen die einfache Berechnung des zeitlichen Temperaturverlaufs nach (2.199) mit hinreichender Genauigkeit anwendbar ist. Die Temperaturverteilung in der Platte ist durch (2.171) gegeben. F¨ ur Bi = 0 erh¨ alt man aus (2.170) die Eigenwerte μ1 = 0, μ2 = π, μ3 = 2π, . . . Dabei gilt f¨ ur den ersten Eigenwert μ21 = Bi − Bi2 /3 + . . . , (2.200) was man durch Reihenentwicklung von tan μ leicht best¨ atigt. Nach (2.172) werden alle Entwicklungskoeﬃzienten Ci mit i ≥ 2 gleich null, und es gilt C1 = 1. Wegen cos(μ1 r + ) ≡ 1 erh¨ alt man unter Beachtung von (2.200) f¨ ur das einzige von null verschiedene Glied der unendlichen Reihe (2.171) „ « ` ´ ϑ − ϑU αt ϑ+ = = exp −Bi t+ = exp − . ϑ0 − ϑU cR Dies stimmt mit (2.199) u ur die Platte der Dicke 2R ist V /A = R. In ¨berein, denn f¨ der gleichen Weise l¨ asst sich auch f¨ ur die anderen K¨ orper nachweisen, dass (2.199) mit der geschlossenen L¨ osung f¨ ur Bi = 0, entsprechend λ → ∞, jedoch α = 0, u ¨ bereinstimmt. Wird dagegen bei endlichem λ die Biot-Zahl dadurch zu null, dass man α = 0 setzt, so folgt aus (2.171) ϑ+ = 1. Die isolierte Platte beh¨ alt ihre Anfangstemperatur ϑ0 bei; es ﬁndet kein Temperaturausgleich zwischen ϑ0 und ϑU statt. Die Genauigkeit der N¨ aherungsgleichung (2.199) l¨ asst sich durch Vergleich mit der geschlossenen L¨ osung f¨ ur Quader und Prismen verschiedener Seitenverh¨ altnisse, f¨ ur den Zylinder mit verschiedenen Verh¨ altnissen von Durchmesser und H¨ ohe sowie f¨ ur die Kugel berechnen. Dabei vergleichen wir die wahre Mitteltemperatur ϑ+ m mit der Temperatur ϑ+ nach (2.199). Die Diﬀerenz + Δϑ+ := ϑ+ m −ϑ +

(2.201)

h¨ angt noch von der Zeit t bzw. t ab. Sie ist jedoch stets positiv, denn durch die Annahme einer r¨ aumlich konstanten Temperatur ϑ+ erh¨ alt die f¨ ur den W¨ arme¨ ubergang maßgebende Oberﬂ¨ achentemperatur einen zu hohen Wert. Damit wird der an die Umgebung abgegebene W¨ armestrom zu groß berechnet, und ϑ+ , die Mitteltemperatur der N¨ aherungsl¨ osung (2.199), ist zu jeder Zeit kleiner als die wahre Mitteltemperatur ϑ+ m.

196

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

Die zeitabh¨ angige Diﬀerenz Δϑ+ nach (2.201) nimmt f¨ ur jeden K¨ orper und f¨ ur eine vorgegebene Biot-Zahl einen Maximalwert Δϑ+ max an, der bei einer bestimmten Zeit auftritt. Diese maximalen Abweichungen der N¨ aherungsl¨ osung wurden f¨ ur verschiedene K¨ orperformen berechnet. F¨ ur Bi = 0,1 liegen die maximalen Abweichungen der N¨ aherungsl¨ osung ausnahmslos unter 2% der charakteristischen Temperaturdiﬀerenz ϑ0 − ϑU . Dabei wurde die Biot-Zahl mit dem Kugel- bzw. Zylinder-Radius R als charakteristische L¨ ange gebildet (Bi = αR/λ). Beim Quader und beim Prisma wurde die H¨ alfte X der kleinsten Kantenl¨ ange 2X als charakteristische L¨ ange benutzt. Bei K¨ orpern, deren L¨ angendimensionen X, Y, Z bzw. R und Z sich nicht stark unterscheiden, liegt der maximale Fehler der N¨ aherungsl¨ osung nahe 1% von ϑ0 −ϑU . Der Fehler w¨ achst mit steigender Biot-Zahl rasch an. Die f¨ ur Bi = 0,10 berechneten Fehler unter 2% von ϑ0 − ϑU d¨ urften in der Regel toleriert werden k¨ onnen.

Die N¨ aherungsl¨ osung nach (2.199) bietet somit ein einfaches und empfehlenswertes Verfahren zur Berechnung von Abk¨ uhlungs- und Erw¨armungsvorg¨ angen beliebig geformter K¨ orper. Es ist jedoch nur f¨ ur Biot-Zahlen Bi < 0,1 hinreichend genau. Man pr¨ ufe diese Bedingung, wobei als charakteristische L¨ange bei der Bildung der Biot-Zahl die H¨alfte der kleinsten L¨ angenabmessung des betrachteten K¨ orpers zu w¨ahlen ist.

2.3.6 Erstarren geometrisch einfacher K¨ orper Reine Stoﬀe und eutektische Gemische erstarren und schmelzen bei bestimmten Temperaturen ϑE , die von Stoﬀ zu Stoﬀ verschieden sind und geringf¨ ugig vom Druck abh¨angen. Das bekannte Beispiel ist Wasser, das unter Atmosph¨ arendruck bei ϑE = 0 erstarrt. Dabei wird die Erstarrungsenthalpie hE = 333 kJ/kg frei. Beim Schmelzen eines Festk¨orpers ist die Schmelzenthalpie, die im Betrag mit der Erstarrungsenthalpie u ¨ bereinstimmt, als W¨arme zuzuf¨ uhren. Erstarrungsvorg¨ ange haben Bedeutung in der K¨altetechnik (Eiserzeugung), in der Lebensmittel- und Verfahrenstechnik und in der Metallurgie. Dabei interessiert besonders die Geschwindigkeit, mit der sich die Grenze zwischen fester und ﬂ¨ ussiger Phase bewegt. Daraus lassen sich die Zeiten berechnen, die zum Erstarren von Materialschichten gegebener Dicke erforderlich sind. Die Modellierung dieser Prozesse geh¨ ort in das Gebiet der instation¨aren W¨ armeleitung, da die an der Phasengrenze frei werdende Erstarrungsenthalpie durch den festen K¨ orper geleitet werden muss. Eine allgemeine mathematische L¨ osung dieses W¨armeleitproblems existiert nicht. Spezielle geschlossene L¨ osungen haben F. Neumann4 um 1865 und J. Stefan 1891 [2.39] angegeben. Im ersten Abschnitt behandeln wir das von J. Stefan gel¨ oste Problem und leiten im darauf folgenden Abschnitt die quasistation¨ aren L¨ osungen her, bei denen die W¨armespeicherung im erstarrten 4

F. Neumann hat diese L¨ osung in seinen Vorlesungen an der Universit¨ at K¨ onigsberg vorgetragen. Eine erste Ver¨ oﬀentlichung ﬁndet man in: Die partiellen Diﬀerentialgleichungen der Physik, Hrsg.: B. Riemann und H. Weber, Bd. 2, S. 117– 121, Braunschweig: F. Vieweg 1912.

2.3 Instation¨ are W¨ armeleitung

197

Festk¨ orper vernachl¨ assigt wird. Im letzten Abschnitt gehen wir auf Verbesserungen der quasistation¨ aren L¨ osungen ein, bei denen die W¨armespeicherung im Festk¨ orper n¨ aherungsweise ber¨ ucksichtigt wird. 2.3.6.1 Das Erstarren ebener Schichten (Stefan-Problem) Ein erstarrter Festk¨ orper werde bei x = 0 durch K¨ uhlung auf der konstanten Temperatur ϑ0 gehalten, die kleiner als die Erstarrungstemperatur ϑE ist, Abb. 2.35. Es soll nur eindimensionale W¨ armeleitung in x-Richtung betrachtet werden. An der nach rechts wandernden ebenen Phasengrenze x = s ber¨ uhrt der Festk¨ orper die Fl¨ ussigkeit, die bereits auf die Erstarrungstemperatur abgek¨ uhlt sein soll. Beim Vorr¨ ucken der Phasengrenze, also beim Erstarren einer Schicht der Dicke ds, wird die Erstarrungsenthalpie frei und muss als W¨arme an die gek¨ uhlte Oberﬂ¨ ache des Festk¨ orpers bei x = 0 geleitet werden.

Abb. 2.35: Temperaturverlauf (f¨ ur t = const) beim Erstarren eines ebenen Festk¨ orpers. s Abstand der Phasengrenze von der gek¨ uhlten Fl¨ ache x = 0

Die Temperatur ϑ = ϑ(x, t) im erstarrten Festk¨orper gen¨ ugt der W¨armeleitungsgleichung ∂ϑ ∂ 2ϑ =a 2 (2.202) ∂t ∂x mit den Randbedingungen ϑ = ϑ0

f¨ ur

x=0 , t>0 ,

(2.203)

ϑ = ϑE

f¨ ur

x=s , t>0 ,

(2.204)

und sowie der Anfangsbedingung s = 0 f¨ ur

t=0 .

An der Phasengrenze muss die Energiebilanzgleichung

(2.205)

198

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

λ

∂ϑ dt = hE ds ∂x

erf¨ ullt sein, in der hE die spez. Erstarrungsenthalpie bedeutet. Daraus erh¨alt man f¨ ur das zeitliche Vorr¨ ucken der Phasengrenze (die Erstarrungsgeschwindigkeit)

ds λ ∂ϑ = . (2.206) dt hE ∂x x=s Eine L¨ osung der W¨ armeleitungsgleichung (2.202) ist das Fehlerintegral

x √ ϑ = ϑ0 + C erf , 2 at vgl. 2.3.3.1; es erf¨ ullt die Randbedingung (2.203). Die Bedingung (2.204) verlangt

s √ ϑE = ϑ0 + C erf . 2 at Das Argument des Fehlerintegrals muss danach unabh¨angig von t gleich einer Konstanten γ sein. Die Dicke der erstarrten Schicht w¨achst proportional zu √ t, √ s = γ 2 at , (2.207) womit auch die Anfangsbedingung (2.205) erf¨ ullt ist. Aus ϑE − ϑ0 = C erf γ erhalten wir f¨ ur den Temperaturverlauf in der erstarrten Schicht (x ≤ s) √ erf x/ 4at ϑ − ϑ0 erf (γx/s) + ϑ := = = . (2.208) ϑE − ϑ0 erf γ erf γ Die noch unbekannte Konstante γ ergibt sich aus der Bedingung (2.206) f¨ ur die Erstarrungsgeschwindigkeit. Aus (2.207) folgt " ds a =γ dt t und aus (2.206) und (2.208) 2

ds λ ϑE − ϑ0 e−γ = . √ √ dt hE erf γ π at Daraus erh¨ alt man die von t unabh¨ angige transzendente Gleichung √ 2 c (ϑE − ϑ0 ) 1 πγeγ erf γ = = hE Ph

(2.209)

zur Bestimmung von γ. Diese Konstante h¨ angt nur von der Phasen¨ ubergangszahl

2.3 Instation¨ are W¨ armeleitung

199

hE 1 = (2.210) c (ϑE − ϑ0 ) St ab, die das Verh¨ altnis zweier spez. Energien ist: der spez. Erstarrungsenthalpie hE und der Diﬀerenz der spez. inneren Energien des Festk¨orpers bei den Temperaturen ϑE und ϑ0 . Das Reziproke von P h wird auch als Stefan-Zahl St bezeichnet. Unter Benutzung der Reihenentwicklung des Fehlerintegrals, vgl. z.B. [2.28], [2.30], l¨ asst sich die linke Seite von (2.209) in eine f¨ ur kleine γ rasch konvergierende Reihe entwickeln: 2 n+1 ∞ 2γ 1 = . (2.211) 1 · 3 · 5 · . . . (2n + 1) P h n=0 P h :=

Daraus erh¨ alt man die Reihe 1 1 7 79 γ 2 = P h−1 − P h−2 + P h−3 − P h−4 + . . . , (2.212) 2 6 90 1890 die f¨ ur gr¨ oßere Werte der Phasen¨ ubergangszahl eine direkte Berechnung von γ gestattet. F¨ ur die Zeit t zum Erstarren einer ebenen Schicht der Dicke s ergibt sich schließlich aus (2.207) und (2.212)

s2 hE s2 1 −1 2 16 −2 −3 t= = 1 + Ph − Ph + Ph − ... . 4aγ 2 2λ (ϑE − ϑ0 ) 3 45 945 (2.213) Die Erstarrungsdauer w¨ achst quadratisch mit der Schichtdicke und ist umso gr¨ oßer, je kleiner die Phasen¨ ubergangszahl P h ist.

Abb. 2.36: Relativer Fehler der mit der quasistation¨ aren N¨ aherung nach (2.214) berechneten Erstarrungszeit t∗

Vernachl¨ assigt man die W¨ armespeicherung im erstarrten Festk¨orper, so entspricht dies wegen c = 0 dem Grenzfall P h → ∞. Dies ist die sogenannte

200

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

quasistation¨ are N¨ aherung, f¨ ur die sich aus (2.213) die stets zu kleine Erstarrungsdauer hE s2 t∗ = (2.214) 2λ (ϑE − ϑ0 ) ergibt. Der relative Fehler t − t∗ 1 7 79 = 1 − 2P hγ 2 = P h−1 − P h−2 + P h−3 . . . t 3 45 945

(2.215)

ist in Abb. 2.36 dargestellt. F¨ ur P h > 6,2 ist der Fehler kleiner als 5%; er w¨ achst mit kleiner werdender Phasen¨ ubergangszahl stark an. Das hier behandelte Problem hat zuerst J. Stefan [2.39] 1891 gel¨ost. Die L¨ osung des allgemeineren Problems von F. Neumann haben U. Grigull und H. Sander [2.18] ausf¨ uhrlich dargestellt. Hier wird in der Fl¨ ussigkeit eine Anfangstemperatur ϑ0F > ϑE angenommen, so dass auch f¨ ur die Fl¨ ussigkeitstemperatur ϑF (x, t) die W¨ armeleitungsgleichung gel¨ost werden muss. Dabei wird angenommen, dass keine Konvektion auftritt. Die L¨osung enth¨alt wiederum Fehlerintegrale, wobei auch die Stoﬀwerte λF , cF und F der Fl¨ ussigkeit zu ber¨ ucksichtigen sind. Weitere analytische L¨ osungen von Varianten des StefanNeumann-Problems ﬁndet man bei H.S. Carslaw und J.C. Jaeger [2.1]. Verallgemeinerte mathematische Formulierungen und eine Darstellung weiterer L¨ osungsmethoden enthalten die Beitr¨ age von A.B. Tayler und J.R. Ockendon in [2.40], vgl. auch [2.41]. 2.3.6.2 Die quasistation¨ are N¨ aherung F¨ ur gen¨ ugend große Werte der Phasen¨ ubergangszahl P h nach (2.210), etwa f¨ ur P h > 7, ist es zul¨ assig, die Speicherf¨ ahigkeit der erstarrten Schicht zu vernachl¨ assigen. Man nimmt dann einen Temperaturverlauf an, wie er bei station¨ arer W¨ armeleitung auftreten w¨ urde. Diese quasistation¨are N¨aherung gestattet es, am gek¨ uhlten Ende der erstarrten Schicht andere Randbedingungen als bei den exakten L¨ osungen nach F. Neumann und J. Stefan anzunehmen sowie Erstarrungsvorg¨ ange mit Zylinder- und Kugelgeometrie zu behandeln, f¨ ur die es keine exakten analytischen L¨osungen gibt. Die aus der quasistation¨ aren N¨ aherung folgenden Gleichungen f¨ ur die Erstarrungszeiten haben vor allem R. Plank [2.42] und K. Nesselmann [2.43], [2.44] hergeleitet. Sie gelten wegen der Bedingung großer Phasen¨ ubergangszahlen f¨ ur das Gefrieren von Eis und von wasserhaltigen Stoﬀen, weil hE f¨ ur Wasser besonders groß ist. Wir behandeln zuerst den Erstarrungsvorgang an einer ebenen, gek¨ uhlten Wand nach Abb. 2.37. Die Wand mit der Dicke δW und der W¨armeleitf¨ ahigkeit λW wird durch ein Fluid mit der Temperatur ϑ0 gek¨ uhlt, wobei der W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient α maßgebend ist. An der anderen Seite der Wand bildet sich die erstarrte Schicht aus, die zur Zeit t die Dicke s hat. Die Fl¨ ussigkeit soll bereits die Erstarrungstemperatur ϑE angenommen haben.

2.3 Instation¨ are W¨ armeleitung

201

Abb. 2.37: Temperaturverlauf beim Erstarren einer ebenen Schicht unter Annahme der quasistation¨ aren N¨ aherung

W¨ ahrend der Zeit dt r¨ uckt die Phasengrenze um die Strecke ds vor. Dabei wird die Erstarrungsenthalpie dQ = hE A ds frei und muss als W¨ arme durch die bereits erstarrte Schicht abgef¨ uhrt werden. Im Sinne der quasistation¨ aren N¨ aherung ﬁndet zu jedem Zeitpunkt W¨ armedurchgang zwischen der Phasengrenze (ϑ = ϑE ) und dem K¨ uhlmedium (ϑ = ϑ0 ) statt. Nach Abschnitt 1.2.1 gilt dann (ϑE − ϑ0 )A dQ = Q˙ dt = dt , s δW 1 + + λ λW α wobei λ die W¨ armeleitf¨ ahigkeit des erstarrten Festk¨orpers ist. Aus den beiden Gleichungen f¨ ur dQ folgt

hE λ dt = s+ ds (2.216) λ(ϑE − ϑ0 ) k mit

1 δW 1 = + . k λW α

(2.217)

Durch Integration von (2.216) erh¨ alt man die Erstarrungszeit f¨ ur eine ebene Schicht der Dicke s zu

hE s2 λ t= 1+2 . (2.218) 2λ (ϑE − ϑ0 ) ks F¨ ur k → ∞ hat die Temperatur bei x = 0 den Wert ϑ = ϑ0 . Dies ist die Randbedingung des in 2.3.6.1 behandelten Stefan-Problems. Aus (2.218) erh¨alt man den ersten Term der exakten L¨ osung (2.213), entsprechend P h → ∞, also die Zeit t∗ nach (2.214). Bei endlichem W¨ armedurchgangswiderstand (1/k) vergr¨ oßert sich die Erstarrungszeit gegen¨ uber t∗ ; sie w¨achst nicht mehr proportional zu s2 . In der gleichen Weise kann man die Erstarrungszeiten f¨ ur Schichten an Zylinderﬂ¨ achen (Rohren) und Kugeln berechnen. Wir leiten das Ergebnis f¨ ur eine Schicht

202

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

Abb. 2.38: Erstarrung an der Außenseite eines von innen gek¨ uhlten Rohres mit dem Außenradius R (quasistation¨ are N¨ aherung)

her, die sich an der Außenﬂ¨ ache eines von innen gek¨ uhlten Rohres mit dem Außenradius R bildet, Abb. 2.38. Beim Erstarren einer Schicht der Dicke ds wird die W¨ arme dQ = hE 2π(R + s)Lds frei, wobei L die L¨ ange des Rohres bedeutet. F¨ ur den W¨ armedurchgang gilt ˙ = dQ = Qdt

ϑE − ϑ0 dt 1 R+s 1 ln + 2πLλ R kA

mit

1 1 R 1 = ln + , kA 2πLλW R − ΔR 2πL(R − ΔR)α wobei ΔR die Dicke der Rohrwand bedeutet. Daraus folgt » – hE R+s dt = (R + s) ln + (R + s)β ds λ (ϑE − ϑ0 ) R

(2.219)

mit der Abk¨ urzung β=

λ R λ ln + . λW R − ΔR (R − ΔR)α

(2.220)

Integration von (2.219) unter Beachtung der Anfangsbedingung s = 0 f¨ ur t = 0 ergibt mit s+ := s/R die Erstarrungsdauer hE s2 t= 2λ (ϑE − ϑ0 )

"„

1 1+ + s

«2

„ «„ «# 2 1 ln(1 + s ) − 1 + + −β . s 2 +

(2.221)

In der gleichen Weise erh¨ alt man die in Tabelle 2.7 zusammengestellten Beziehungen. Dabei ist zu beachten, dass R den Radius der Zylinder- oder Kugeloberﬂ¨ ache bedeutet, an der sich die erstarrende Schicht bildet, vgl. Abb. 2.39. Bei β = 0 nehmen die Funktionen f (s+ , β) von Tabelle 2.7 f¨ ur s+ → 0 den Grenzwert eins an. Bei kleinen Schichtdicken und β = 0 w¨ achst also die Erstarrungszeit unabh¨ angig von der geometrischen Form proportional zu s2 , was nach (2.218) auch f¨ ur die ebene Schicht gilt.

Kugel innen

Kugel außen

Zylinder innen

2

1 2 1 λ R + ΔR λ + 1 − + ln(1 − s ) − 1 − + +β ln + s s 2 λW R α(R + ΔR) 2 2 2β s+ λ ΔR λ R 1 + s+ + + 1 + s+ + + 3 s 3 λW R − ΔR α(R − ΔR) R − ΔR 2 2 2β s+ λ ΔR λ R 1 − s+ + + 1 − s+ + + 3 s 3 λW R + ΔR α(R + ΔR) R + ΔR

λ R λ ln + λW R − ΔR α(R − ΔR)

2

1 2 1 + 1 + + ln(1 + s ) − 1 + + −β s s 2

und

Zylinder außen

s+ = s/R β=

mit

f (s+ , β) =

hE s2 f (s+ , β) 2λ(ϑE − ϑ0 )

Erstarrende Schicht

Erstarrungsdauer t =

Tabelle 2.7: Gleichungen f¨ ur die Berechnung der Erstarrungsdauer t von zylinder- und kugelf¨ ormigen Schichten der Dicke s, vgl. Abb. 2.39. Mit R wird stets der Zylinder- oder Kugelradius der Seite bezeichnet, an der sich die erstarrende Schicht bildet; ΔR bedeutet die Dicke der Zylinder- bzw. Hohlkugelwand.

2.3 Instation¨ are W¨ armeleitung 203

Abb. 2.39: Abmessungen beim Erstarren an der Außenseite (linker Bildteil) bzw. Innenseite (rechter Bildteil) eines Rohres oder einer Hohlkugel

204

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

2.3.6.3 Verbesserte N¨ aherungen Wie ein Vergleich mit der exakten L¨ osung des Stefan-Problems zeigt, gilt die im letzten Abschnitt behandelte quasistation¨are N¨aherung nur f¨ ur gen¨ ugend große Phasen¨ ubergangszahlen, etwa f¨ ur P h > 7. F¨ ur Erstarrungsprobleme mit endlichem W¨ armedurchgangswiderstand zur K¨ uhlﬂ¨ ussigkeit und f¨ ur Probleme mit Zylinder- oder Kugelgeometrie gibt es keine exakten L¨osungen, so dass man zun¨ achst auf die quasistation¨ are N¨ aherung angewiesen ist. Eine Verbesserung dieser N¨ aherung, bei der die W¨ armespeicherung in der erstarrten Schicht wenigstens n¨ aherungsweise ber¨ ucksichtigt wird, ist daher erw¨ unscht und in verschiedenen Untersuchungen angegeben worden. In vielen F¨ allen wird dabei der Temperaturverlauf im erstarrten Festk¨ orper durch eine N¨ aherungsfunktion, z.B. ein Polynom zweiten oder h¨ oheren Grades ersetzt. Die von der Zeit abh¨ angigen Koeﬃzientenfunktionen eines solchen Ansatzes werden zun¨ achst den Randbedingungen angepasst. Die W¨ armeleitungsgleichung l¨ asst sich dagegen nicht exakt, sondern nur n¨ aherungsweise erf¨ ullen. Dies kann nach T.R. Goodman [2.45] im Mittel durch einen Integralansatz (heat-balance integral) geschehen, vgl. hierzu auch [2.46] und [2.47]. F. Megerlin [2.48] empﬁehlt dagegen, die W¨ armeleitungsgleichung punktweise und zwar an der Phasengrenze x = s zu erf¨ ullen. Man erh¨ alt recht verwickelte Gleichungen f¨ ur die Erstarrungsgeschwindigkeit ds/dt, deren Integration die Erstarrungsdauer liefert. Oft l¨ asst sich diese Integration nur numerisch ausf¨ uhren, vgl. [2.48] und [2.49]. Beim Verfahren der asymptotischen N¨ aherungen werden keine willk¨ urlichen N¨ aherungsfunktionen verwendet, sondern eine Funktionenreihe ϑ(x, t) = ϑ0 (x, t) + ϑ1 (x, t)P h−1 + ϑ2 (x, t)P h−2 + . . . f¨ ur die Temperatur in der erstarrten Schicht angesetzt. Diese Reihe konvergiert umso besser, je gr¨ oßer die Phasenumwandlungszahl P h ist. Ein gleicher Ansatz wird f¨ ur die Erstarrungsgeschwindigkeit gemacht: ds = s0 (t) + s1 (t)P h−1 + s2 (t)P h−2 + . . . dt Aus der exakten Formulierung des Problems, der W¨ armeleitungsgleichung mit ihren Randbedingungen, lassen sich die Funktionen ϑi (x, t) und si (t) rekursiv bestimmen. Dabei entsprechen ϑ0 (x, t) und s0 (t) der quasistation¨ aren N¨ aherung, P h → ∞. K. Stephan und B. Holzknecht [2.50] haben auf diese Weise die in 2.3.6.2 behandelten Erstarrungsprobleme gel¨ ost. Leider ergeben sich f¨ ur die Terme mit i ≥ 1 verwickelte Ausdr¨ ucke, die eine explizite Berechnung der Erstarrungsdauer erschweren. K. Stephan und B. Holzknecht haben daher einfachere und recht genaue N¨ aherungsgleichungen f¨ ur die Erstarrungsgeschwindigkeit angegeben. Schließlich sei die numerische L¨ osung des Erstarrungsproblems genannt, die wegen der wandernden Phasengrenze zus¨ atzliche Schwierigkeiten enth¨ alt. Da wir in Abschnitt 2.4 hierauf nicht eingehen, sei an dieser Stelle auf die Arbeit von K. Stephan und B. Holzknecht [2.51] sowie auf Beitr¨ age von D.R. Atthey, J. Crank und von L. Fox in [2.40] hingewiesen.

2.3 Instation¨ are W¨ armeleitung

205

2.3.7 W¨ armequellen Im Inneren eines w¨ armeleitenden K¨ orpers treten W¨armequellen als Folge von dissipativen Prozessen und chemischen oder nuklearen Reaktionen auf. Nach 2.1.2 gilt f¨ ur das Temperaturfeld die Diﬀerentialgleichung ˙ (x, t, ϑ) ∂ϑ W = a∇2 ϑ + ∂t c

(2.222)

bei Annahme temperatur- und konzentrationsunabh¨angiger Stoﬀwerte. Die in ˙ (x, t, ϑ) bedeutet die auf das Volumen Abschnitt 2.1.1 eingef¨ uhrte Funktion W bezogene W¨ armeleistung, die aufgrund der genannten Prozesse im K¨orperinneren entsteht. Die L¨ osung der W¨ armeleitungsgleichung (2.222) ist in der ˙ nicht oder linear von der Temperatur ϑ abh¨angt. Regel m¨ oglich, wenn W Die Laplace-Transformation stellt f¨ ur diese linearen Probleme ein bevorzugtes L¨ osungsverfahren dar. Andere Methoden werden in [2.1] angegeben, wo man auch eine gr¨ oßere Zahl von L¨ osungen f¨ ur verschiedene Geometrien und unterschiedliche Randbedingungen ﬁndet. Das Buch von H. Tautz [2.26] enth¨ alt mehrere ausf¨ uhrlich behandelte F¨alle, die durch Anwenden der Laplace-Transformation gel¨ ost wurden. Im folgenden Abschnitt behandeln wir beispielhaft ein Problem mit einer homogenen W¨ armequelle. Die interne W¨ armeentwicklung ist hier kontinuierlich u orper verteilt. Im darauf folgenden Abschnitt gehen ¨ber den ganzen K¨ wir auf lokale W¨ armequellen ein, bei denen die W¨armeentwicklung auf einen Punkt oder eine Linie im w¨ armeleitenden Material konzentriert ist. 2.3.7.1 Homogene W¨ armequellen Wir nehmen geometrisch eindimensionalen W¨armeﬂuss in x-Richtung und ˙ an, die nicht von der Temperatur abh¨angt. Es gilt eine Leistungsdichte W dann die W¨ armeleitungsgleichung ˙ (x, t) ∂ϑ ∂2ϑ W =a 2 + . ∂t ∂x c

(2.223)

Diese lineare inhomogene Diﬀerentialgleichung l¨asst sich vorteilhaft mit der Laplace-Transformation l¨ osen. Wir zeigen den L¨osungsweg an dem folgenden Beispiel. In einem halbunendlichen K¨ orper (x ≥ 0) sei eine r¨ aumlich konstante, aber von der Zeit abh¨ angige Leistungsdichte p ˙ (t) = W ˙ 0 t0 /t , t > 0 , W (2.224) ˙ 0 die Leistungsdichte zur Zeit t0 . Durch (2.224) wird vorhanden. Hierin bedeutet W eine W¨ armeentwicklung modelliert, wie sie z.B. beim Abbinden von Beton vorkommt: eine anf¨ anglich große, mit fortschreitender Zeit rasch abnehmende W¨ arme¨ freisetzung. Der halbunendliche K¨ orper soll anf¨ anglich die konstante (Uber-)Temperatur

206

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion ϑ=0

f¨ ur

t=0

(2.225)

haben, und seine Oberﬂ¨ ache x = 0 soll stets auf dieser Temperatur gehalten werden: ϑ(0, t) = 0

f¨ ur

x=0 .

(2.226)

Aus (2.223) und (2.224) entsteht durch Anwenden der Laplace-Transformation die inhomogene gew¨ ohnliche Diﬀerentialgleichung ˙ 0 √πt0 d2 u W 2 √ − p u = − dx2 λ s mit p2 = s/a unter Beachten der Anfangsbedingung (2.225). Die f¨ ur x → ∞ beschr¨ ankte L¨ osung der homogenen Diﬀerentialgleichung ist uhom = C exp(−px); eine partikul¨ are L¨ osung der inhomogenen Gleichung lautet √ √ ˙ 0 πt0 ˙ 0 πt0 W W √ 2 = uinh = . λ c s3/2 sp Die aus diesen beiden Anteilen zusammengesetzte Unterfunktion ˙ 0 √πt0 W u(x, s) = Ce−px + cs3/2 ist noch an die Randbedingung (2.226) anzupassen. Man erh¨ alt „ « ˙ 0√ W 1 1 e−px u(x, s) = πt0 −√ . 3/2 c s a sp Die R¨ ucktransformation mit Hilfe einer Tafel der Korrespondenzen, Tab. 2.3, ergibt √ „ « ˙ 0 t0 √ √ W x ϑ(x, t) = 2 t 1 − π ierfc √ (2.227) c 2 at mit dem integrierten Fehlerintegral nach Abschnitt 2.3.3.1. Wir f¨ uhren in (2.227) die folgenden dimensionslosen Variablen ein: √ ˙ 0 t0 ) . t+ := t/t0 , x+ := x/ at0 , ϑ+ := ϑc/(W Damit ergibt sich „ « √ ` ´ √ x+ ϑ+ x+ , t+ = 2 t+ 1 − π ierfc √ . 2 t+

(2.228)

Diese √ Temperaturverteilung ist in Abb. 2.40 dargestellt. F¨ ur sehr kleine Werte von x+ /(2 t+ ) gilt h “ √ ”i “ √ ” √ √ π ierfc x+ / 2 t+ = 1 − πx+ / 2 t+ + · · · Man erh¨ alt daher f¨ ur t+ → ∞ die Gerade √ + ϑ+ πx ∞ = als station¨ are Endtemperatur. Diese Gerade ist gleichzeitig Tangente aller Temperaturkurven t+ = const an der freien Oberﬂ¨ ache x+ = 0. Hier muss n¨ amlich die zeitlich konstante W¨ armestromdichte

2.3 Instation¨ are W¨ armeleitung

207

Abb. 2.40: Temperaturfeld ϑ+ (x+ , t+ ) nach (2.228) im unendlichen Halbraum mit zeitabh¨ angiger homogener W¨ armequelle nach (2.224) „ q˙0 = −λ

∂ϑ ∂x

« x=0

√ ˙ 0 at0 = −W

„

∂ ϑ+ ∂x+

« x+ =0

√ ˙ 0 πat0 = −W

abgef¨ uhrt werden, um die Temperatur auf dem Wert ϑ+ = 0 zu halten.

In der gleichen Weise kann man L¨ osungen von (2.223) f¨ ur andere Leistungs˙ (x, t) und andere Randbedingungen ﬁnden. Bei K¨orpern endlicher dichten W Dicke l¨ asst sich allerdings die R¨ ucktransformation von u(x, s) in der Regel nur mit der in Abschnitt 2.3.2 erw¨ ahnten Umkehrformel vornehmen. Man vgl. hierzu [2.1] und die ausf¨ uhrlich behandelten Beispiele in [2.26]. 2.3.7.2 Punkt- und linienf¨ ormige W¨ armequellen Ist die W¨ armeerzeugung in einem K¨ orper auf einen eng begrenzten Raum beschr¨ ankt, so spricht man von lokalen W¨ armequellen, die als punktf¨ormige, linienf¨ ormige oder ﬂ¨achenartige Singularit¨ aten idealisiert werden. Ein elektrisch beheizter, d¨ unner Draht kann beispielsweise als eine linienf¨ormige W¨armequelle behandelt werden. Neben solchen technischen Anwendungen haben diese Singularit¨ aten erhebliche theoretische Bedeutung f¨ ur die Berechnung von Temperaturfeldern, vgl. [2.1]. Um das von einer punktf¨ ormigen W¨ armequelle hervorgerufene Temperaturfeld zu berechnen, betrachten wir einen allseitig unendlich ausgedehnten K¨ orper mit einem inneren kugelf¨ ormigen Hohlraum, dessen Radius R ist, Abb. 2.41. Auf der Kugeloberﬂ¨ ache sei als Randbedingung eine r¨aumlich konstante W¨ armestromdichte q˙0 = q˙0 (t) vorgeschrieben. Dies entspricht einer W¨armequelle im Inneren des Hohlraums, deren Leistung (Ergiebigkeit) Q˙ = 4πR2 q˙0

208

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

ist. Der Grenz¨ ubergang R → 0 unter Konstanthalten von Q˙ zu einer gegebenen Zeit t f¨ uhrt dann zu einer punktf¨ ormigen W¨armequelle der Ergiebigkeit ˙ Q(t), die sich im Kugelmittelpunkt beﬁndet, den wir als Ursprung r = 0 der radialen (Kugel-)Koordinate ansehen.

Abb. 2.41: Allseitig unendlich ausgedehnter K¨ orper mit kugelf¨ ormigem Hohlraum, an dessen Oberﬂ¨ ache die W¨ armestromdichte q˙0 aufgepr¨ agt ist

Das Temperaturfeld außerhalb des kugelf¨ ormigen Hohlraums gen¨ ugt der Diﬀerentialgleichung „ 2 « ∂ϑ ∂ ϑ 2 ∂ϑ =a + ∂t ∂r 2 r ∂r mit den Randbedingungen −λ

˙ ∂ϑ Q(t) = q˙0 = ∂r 4πR2

f¨ ur

r=R

und ϑ=0

f¨ ur

r→∞ ,

wenn wir als Anfangstemperatur ϑ = 0 annehmen. Anwendung der LaplaceTransformation f¨ uhrt auf d2 u 2 du + − p2 u = 0 dr 2 r dr mit p2 = s/a. Die Randbedingungen sind n o du 1 ˙ =− L Q(t) 2 dr 4πR λ

f¨ ur

r=R

(2.229)

und u → 0 f¨ ur r → ∞. Eine der letzten Bedingung gen¨ ugende L¨ osung ist u=

B −pr e . r

Die Konstante B erh¨ alt man aus (2.229), so dass n o ˙ L Q(t) e−p(r−R) u= 4πλr 1 + pR die gesuchte Unterfunktion ist. Wir lassen nun R → 0 gehen und erhalten f¨ ur die punktf¨ ormige W¨ armequelle bei r = 0

2.3 Instation¨ are W¨ armeleitung n o ˙ L Q(t) u= e−pr . 4πλr

209

Nach Nr. 4 von Tabelle 2.3 auf S. 161 ist j ﬀ r −r 2 /4at √ e−pr = L e , 2 aπt3/2 so dass man u als Produkt zweier Laplace-Transformierten erh¨ alt: ( ) 2 n o 1 e−r /4at ˙ √ u= L Q(t) ·L . 4πλ 2 aπt2/3 Nach dem Faltungssatz, Nr. 6 von Tabelle 2.2 ist dies 8 9 > > τ =t ` ´ > > Z 2 < = exp −r /4a(t − τ ) 1 ˙ ) √ u= L Q(τ dτ . 3/2 > 4πλ > 2 aπ(t − τ ) > > : τ =0 ;

Somit ergibt sich die gesuchte Temperaturverteilung um eine punktf¨ormi˙ ge W¨ armequelle bei r = 0, die zur Zeit t = 0 mit der Ergiebigkeit Q(t) eingeschaltet“ wird, zu ” 1 ϑ(r, t) = (4πa)3/2 c

t ˙ ) exp Q(τ

−r2 4a (t − τ )

dτ . (t − τ )3/2

(2.230)

0

˙ Diese allgemeine L¨ osung f¨ ur beliebige Zeitfunktionen Q(t) enth¨alt einfache ˙ Sonderf¨ alle. So ergibt sich f¨ ur die Quelle konstanter Ergiebigkeit Q(t) = Q˙ 0 das Temperaturfeld Q˙ 0 r ϑ(r, t) = erfc √ . (2.231) 4πλr 4at F¨ ur t → ∞ erhalten wir daraus mit erfc(0) = 1 das station¨are Temperaturfeld um eine punktf¨ ormige Quelle zu ϑ(r) =

Q˙ 0 . 4πλr

Eine sehr rasch verlaufende Reaktion oder ein elektrischer Kurzschluss kann zu einer pl¨otzlichen Freisetzung einer Energie Q0 zur Zeit t = 0 auf kleinstem Raum bei r = 0 f¨ uhren. F¨ ur diese W¨armeexplosion“ f¨ uhrt man ” in (2.230) den Grenz¨ ubergang τ → 0 aus und beachtet, dass die freigesetzte W¨ arme durch τ ˙ ) dτ Q0 = lim Q(τ τ →0

0

gegeben ist. Damit erh¨ alt man

210

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

Q0 r2 ϑ(r, t) = exp − 4at (4πat)3/2 c

(2.232)

als Temperaturverteilung. Sie hat den Grenzwert ϑ → ∞ f¨ ur t = 0 und r = 0. An einer festen Stelle r = const, aber r = 0 beginnt die zeitliche Temperatur¨ anderung mit ϑ = 0, durchl¨ auft ein Maximum zur Zeit tmax = r2 /(6a) und klingt wieder auf ϑ = 0 ab. In Abb. 2.42 ist der zeitliche Temperaturverlauf nach (2.232) f¨ ur verschiedene Verh¨ altnisse r/r0 dargestellt.

Abb. 2.42: Temperaturfeld nach (2.232) in einem allseitig unendlich ausgedehnten K¨ orper nach einer W¨ armeexplosion“ bei r = 0. Die Bezugstemperatur ist ϑ0 = ” Q0 /(cr03 ) mit r0 als einem willk¨ urlich w¨ ahlbaren Abstand von r = 0

Um das Temperaturfeld um eine linienf¨ormige W¨armequelle bei r = 0 zu berechnen, gehen wir von der W¨ armeexplosion“ aus: Zur Zeit t = 0 werde ” durch eine linienf¨ ormige W¨ armequelle der L¨ ange L (senkrecht zur r, ϕ–Ebene des Polarkoordinatensystems) die W¨ arme Q0 freigesetzt. Da keine weiteren W¨ armequellen vorhanden sein sollen, muss sich zu jedem sp¨ateren Zeitpunkt die W¨ arme Q0 als innere Energie der Umgebung der W¨armequelle wiederﬁnden. Es muss also die Bilanz ∞ Q0 =

∞ 2πrLc ϑ(r, t) dr = 2πLc

0

rϑ(r, t) dr 0

unabh¨ angig von t gelten. Dieser Gleichung hat die gesuchte Temperaturverteilung ϑ(r, t) zu gen¨ ugen. In Analogie zur punktf¨ ormigen W¨ armeexplosion“ machen wir den (2.232) ” entsprechenden Ansatz

2.3 Instation¨ are W¨ armeleitung

211

r2 ϑ(r, t) = f (t) exp − 4at und erhalten ∞ Q0 = 2πLcf (t) √ Mit ξ = r/ 4at wird daraus

r2 r exp − dr . 4at

0

∞ Q0 = 2πLcf (t)4at

2

ξe−ξ dξ .

0

Das hier auftretende bestimmte Integral hat den Wert 1/2, so dass sich die Zeitfunktion f (t) zu Q0 /L Q0 /L f (t) = = 4πcat 4πλt ergibt. Damit erhalten wir die gesuchte Temperaturverteilung

Q0 /L r2 ϑ(r, t) = exp − . (2.233) 4πλt 4at Man kann leicht nachweisen, dass sie der W¨ armeleitungsgleichung (2.157) mit n = 1 (Zylinderkoordinaten) gen¨ ugt. Wir verallgemeinern nun dieses Ergebnis auf eine bei r = 0 wirkende Li˙ nienquelle mit zeitabh¨ angiger W¨ armeleistung Q(t). W¨ahrend der Zeit von ˙ ) dτ ab und erzeugt ein Temperat = τ bis t = τ + dτ gibt sie die W¨ arme Q(τ ¨ turfeld entsprechend (2.233). Durch zeitliche Uberlagerung derartiger kleiner W¨ armeexplosionen“ erh¨ alt man das folgende zu (2.230) analoge Tempera” turfeld 1 ϑ(r, t) = 4πλL

τ =t

˙ Q(τ ) exp −

r2 4a(t − τ )

dτ . t−τ

(2.234)

τ =0

F¨ ur den Sonderfall konstanter W¨ armeleistung Q˙ 0 wird hieraus

Q˙ 0 r2 ϑ(r, t) = − Ei − . 4πλL 4at Die hier auftretende Funktion ist das Exponentialintegral ∞ Ei(−ξ) = ξ

e−u du u

(2.235)

212

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion Tabelle 2.8: Werte des Exponentialintegrals Ei(−ξ)

ξ −Ei(−ξ) 0 0,01 0,02 0,05 0,10

∞ 4,0379 3,3547 2,4679 1,8229

ξ

−Ei(−ξ)

0,15 0,20 0,25 0,30 0,35

1,4645 1,2227 1,0443 0,9057 0,7942

ξ −Ei(−ξ) 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

ξ −Ei(−ξ)

0,7024 0,5598 0,4544 0,3738 0,3106

0,9 1,0 1,5 2,0 2,5

0,2602 0,2194 0,1000 0,0489 0,0249

ξ −Ei(−ξ) 3,0 3,5 4,0 5,0 6,0

0,01305 0,00697 0,00378 0,00115 0,00036

mit der Reihenentwicklung Ei(−ξ) = 0,577216 + ln ξ +

∞

(−1)n

n=1

ξn n · n!

und der asymptotischen Entwicklung (ξ 1)

e−ξ 1! 2! 3! Ei(−ξ) = 1 − + 2 − 3 + ··· , −ξ ξ ξ ξ vgl. [2.28] und [2.30]. Einige Werte von Ei(−ξ), die stets negativ sind, enth¨alt Tabelle 2.8.

2.4 Numerische Lo armeleit¨sung von W¨ problemen mit Diﬀerenzenverfahren Komplizierte W¨armeleitprobleme, f¨ ur die keine geschlossenen L¨osungen vorhanden oder nur unter großem Aufwand zu erhalten sind, lassen sich vorteilhaft numerisch l¨ osen. Hierzu geh¨ oren Probleme mit temperaturabh¨angigen Stoﬀwerten, mit komplizierter geometrischer Gestalt und mit besonderen Randbedingungen, z.B. temperaturabh¨angige W¨arme¨ ubergangskoefﬁzienten. Trotz Computereinsatz erfordert die numerische L¨osung komplizierter W¨ armeleitprobleme einen nicht zu untersch¨atzenden Programmier-, Speicherplatz- und Rechenzeitaufwand. Man sollte daher vor der Entscheidung, ein numerisches Verfahren einzusetzen, sorgf¨altig u ¨berlegen, ob nicht Vereinfachungen in der Problemstellung akzeptabel sind, die zu einer analytischen (geschlossenen) L¨ osung f¨ uhren. Zur numerischen Behandlung von Anfangsrandwertaufgaben stehen zwei Verfahren zur Verf¨ ugung, das Diﬀerenzenverfahren und die Methode der ﬁniten Elemente. Diﬀerenzenverfahren sind einfach zu handhaben und erfordern einen geringen mathematische Aufwand. Die Methode der ﬁniten Elemente, deren Hauptanwendungsgebiet die Festk¨ orper- und Strukturmechanik ist,

2.4 Numerische L¨ osung von W¨ armeleitproblemen mit Diﬀerenzenverfahren

213

stellt zwar h¨ ohere mathematische Anforderungen, ist jedoch sehr ﬂexibel. Besonders bei komplizierten geometrischen Verh¨ altnissen l¨asst sie sich der Aufgabenstellung gut anpassen und ist hier den Diﬀerenzenverfahren vorzuziehen. An eine einf¨ uhrende Darstellung des Diﬀerenzenverfahrens, das auch dem Anf¨ anger als rasch einzusetzendes Werkzeug empfohlen werden kann, schließt sich daher eine Einf¨ uhrung in die Methode der ﬁniten Elemente an. Sie soll den Anf¨ anger so weit mit der Methode vertraut machen, dass er imstande ist, einfachere Probleme selbst zu l¨ osen. F¨ ur kompliziertere Aufgabenstellungen ist es ratsam, sich eines der vielen kommerziellen oder im Internet vorhandenen Programme zu bedienen. Die in Abschnitt 2.5 u ¨ber ﬁnite Elemente erworbenen Kenntnisse, d¨ urften es dem Anwender leicht machen, sich in diese Programme einzuarbeiten und sie zu nutzen.

2.4.1 Das einfache explizite Diﬀerenzenverfahren fu ¨r instation¨ are W¨ armeleitprobleme Bei den Diﬀerenzenverfahren werden die Ableitungen ∂ ϑ/∂t, ∂ ϑ/∂x und ∂ 2 ϑ/∂x2 , die in der W¨ armeleitungsgleichung und in den Randbedingungen auftreten, durch Diﬀerenzenquotienten ersetzt. Durch diese Diskretisierung geht die Diﬀerentialgleichung in eine Diﬀerenzengleichung u ¨ ber; ihre L¨osung approximiert die L¨ osung der Diﬀerentialgleichung an diskreten Stellen, die ein Gitternetz in Raum und Zeit bilden. Verkleinerung der Maschenweite erh¨oht die Zahl der Gitterpunkte und die G¨ ute der Approximation, allerdings unter Vergr¨ oßerung des Rechenaufwands. Bei der Anwendung eines Diﬀerenzenverfahrens muss man daher einen Kompromiss zwischen Genauigkeit und Rechenaufwand eingehen. 2.4.1.1 Die Diﬀerenzengleichung Zur Einf¨ uhrung und Erl¨ auterung der Methode behandeln wir die instation¨are, geometrisch eindimensionale W¨ armeleitung bei konstanten Stoﬀwerten. Im Bereich x0 ≤ x ≤ xn sei die W¨ armeleitungsgleichung ∂ϑ ∂ 2ϑ =a 2 ∂t ∂x

(2.236)

f¨ ur Zeiten t ≥ t0 zu l¨ osen unter Beachtung von Randbedingungen bei x0 und xn . Die Anfangstemperaturverteilung ϑ0 (x) f¨ ur t = t0 sei gegeben. Wir legen auf dem Streifen x0 ≤ x ≤ xn , t ≥ t0 , ein Gitter mit den Maschenweiten Δx in x-Richtung und Δt in t-Richtung fest, Abb. 2.43. Ein Gitterpunkt (i, k) hat dann die Koordinaten xi = x0 + iΔx mit und

i = 0, 1, 2, . . .

214

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

tk = t0 + kΔt mit k = 0, 1, 2, . . . Der N¨ aherungswert von ϑ am Gitterpunkt (i, k) werde mit ϑki = ϑ (xi , tk )

(2.237)

bezeichnet. Wir verzichten darauf, die N¨ aherungswerte der Temperatur mit einem anderen Formelzeichen zu bezeichnen als die exakten Temperaturen, z.B. Θ statt ϑ, wie es in der mathematischen Literatur u ¨ blich ist. Zur Bezeichnung der Zeitebene tk benutzen wir den hochgestellten Index k ohne Klammern, weil keine Gefahr der Verwechslung mit der k-ten Potenz von ϑ besteht. Die in (2.236) auftretenden Ableitungen ersetzt man durch Diﬀerenzenquotienten, wobei ein Diskretisierungsfehler in Kauf genommen werden muss: Ableitung = Diﬀerenzenquotient + Diskretisierungsfehler . Der Diskretisierungsfehler soll mit Verkleinern der Maschenweite Δx bzw. Δt gegen null gehen. Die zweite Ableitung in x-Richtung an der Stelle xi zur Zeit tk wird durch den zentralen zweiten Diﬀerenzenquotienten

k

ϑki−1 − 2ϑki + ϑki+1 + O Δx2 (2.238) 2 Δx i ersetzt. Die Schreibweise O Δx2 weist darauf hin, dass der Diskretisierungsfehler proportional zu Δx2 ist und damit bei Verkleinern der Maschenweite quadratisch gegen null geht. Die erste Ableitung nach der Zeit wird durch den relativ ungenauen vorderen Diﬀerenzenquotienten ∂ 2ϑ ∂x2

=

∂ϑ ∂t

k = i

ϑk+1 − ϑki i + O (Δt) Δt

(2.239)

ersetzt. Sein Diskretisierungsfehler geht nur proportional Δt gegen null. Man erh¨ alt jedoch mit (2.239) ein numerisch einfach zu handhabendes explizites

Abb. 2.43: Gitternetz zur Diskretisierung der W¨ armeleitungsgleichung (2.236) und zur Veranschaulichung der Diﬀerenzengleichung (2.240)

2.4 Numerische L¨ osung von W¨ armeleitproblemen mit Diﬀerenzenverfahren

215

Diﬀerenzenverfahren. Wir setzen (2.238) und (2.239) in die Diﬀerentialgleichung (2.236) ein und erhalten nach einfacher Umformung die Diﬀerenzengleichung ϑk+1 = M ϑki−1 + (1 − 2M ) ϑki + M ϑki+1 (2.240) i mit M := aΔt/Δx2

(2.241)

als Modul oder Fourier-Zahl des Diﬀerenzenverfahrens. Der Diskretisierungs2 fehler 2der Diﬀerenzengleichung hat wegen Δt = M Δx /a die Ordnung O Δx . Gleichung (2.240) ist eine explizite Diﬀerenzengleichung; sie gestattet es, aus jeweils drei Temperaturen der Zeitebene t = tk explizit die Temperaturen ϑk+1 der n¨ achsten Zeitebene tk+1 = tk + Δt zu berechnen, vgl. Abb. 2.43. i F¨ ur k = 0, also f¨ ur t = t0 , sind alle Temperaturen ϑ0i aus der gegebenen Anfangstemperaturverteilung bekannt. Mit (2.240) lassen sich daraus alle ϑ1i zur Zeit t1 berechnen und aus ihnen die ϑ2i zur Zeit t2 usw. Die Gleichungen (2.238) und (2.239) f¨ ur den Ersatz der Ableitungen durch Diﬀerenzenquotienten k¨ onnen mit Hilfe der Taylor-Entwicklung des Temperaturfeldes um den Punkt (xi , tk ) gewonnen werden, vgl. z.B. [2.72] und [2.52]. Es ist auch m¨ oglich, die Diﬀerenzengleichung (2.240) aus einer Energiebilanz in Verbindung mit dem Gesetz von Fourier herzuleiten, vgl. [2.53]. Dazu f¨ uhrt man W¨ armeleitwiderst¨ ande Δx/λ zwischen den Gitterpunkten ein und ber¨ ucksichtigt die Energiespeicherung eines Blocks“ um die Stelle xi . Eine Weiterentwicklung dieses Verfahrens ist die ” Volumen-Integral-Methode, mit der unterschiedliche Diﬀerenzengleichungen hergeleitet werden k¨ onnen, vgl. hierzu [2.54].

2.4.1.2 Die Stabilit¨ atsbedingung Viele Diﬀerenzengleichungen haben die unerw¨ unschte Eigenschaft, dass sich auch sehr kleine Anfangs- und Rundungsfehler beim Fortschreiten der Rechnung mit wachsendem Betrag fortpﬂanzen und schließlich das Ergebnis v¨ollig verf¨ alschen. Man nennt diese Erscheinung (numerische) Instabilit¨at. Dagegen ist ein Diﬀerenzenverfahren stabil, wenn Fehler im Verlauf der Rechnung kleiner werden und ihr Einﬂuss abklingt. Die meisten expliziten Diﬀerenzenverfahren sind nur bedingt stabil, n¨ amlich nur f¨ ur bestimmte Schritt- oder Maschenweiten. Die explizite Gleichung (2.240) geh¨ort zu dieser Gruppe; sie ist nur dann stabil, wenn der Modul M der Bedingung M = aΔt/Δx2 ≤

1 2

(2.242)

gen¨ ugt. F¨ ur gegebenes Δx darf man die Zeit-Schrittweite Δt nicht beliebig groß w¨ ahlen, weil beim Verletzen von (2.242) das Verfahren nicht nur ungenau, sondern v¨ ollig unbrauchbar wird. Die Stabilit¨ atsbedingung (2.242) l¨ asst sich auf verschiedenen Wegen herleiten; man vgl. die ausf¨ uhrliche Diskussion in [2.52]. Eine allgemeine Bedingung f¨ ur die

216

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

Stabilit¨ at von expliziten Diﬀerenzengleichungen ist die Forderung, dass kein Koefﬁzient einer solchen Gleichung negativ sein darf, vgl. [2.55]. F¨ ur (2.240) bedeutet dies 1 − 2M ≥ 0 , woraus unmittelbar (2.242) folgt. Zur Verdeutlichung des Stabilit¨ atsverhaltens benutzt man das sogenannte ε-Schema. Man setzt f¨ ur t = t0 alle ϑ0i = 0 bis auf einen Wert ε = 0. Mit der Diﬀerenzengleichung verfolgt man die Fortpﬂanzung dieses Fehlers f¨ ur die weiteren Zeitschritte mit k = 1, 2, . . . Das ε-Schema der Diﬀerenzengleichung (2.240) hat f¨ ur M = 1/2 (Stabilit¨ atsgrenze) folgendes Aussehen: ε-Schema f¨ ur M = 1/2 k k k k k

=0: 0 0 0 0 ε 0 0 0 0 =1: 0 0 0 0,5ε 0 0,5ε 0 0 0 =2: 0 0 0,25ε 0 0,5ε 0 0,25ε 0 0 =3: 0 0,125ε 0 0,375ε 0 0,375ε 0 0,125ε 0 = 4 : 0,0625ε 0 0,25ε 0 0,375ε 0 0,25ε 0 0,0625ε

Das Diﬀerenzenverfahren mit M = 1/2 ist gerade noch stabil; der Fehler wird auf die Nachbarpunkte verteilt und klingt dabei langsam ab. Außerdem zerf¨ allt das Gitter in zwei nicht zusammenh¨ angende Teilgitter, weil nach der Diﬀerenzenformel „ « ” 1“ k 1 ϑk+1 = ϑi−1 + ϑki+1 , M= , (2.243) i 2 2 nur zwei Temperaturen zur Zeit tk die neue Temperatur ϑk+1 bestimmen; ϑki hat i keinen Einﬂuss auf ϑk+1 . Eine lose Verkn¨ u pfung der beiden Teilgitter ﬁndet nur i u andern vorgegebenen Temperaturverteilungen statt. Es ist da¨ ber die an den R¨ her nicht zu empfehlen, Gl. (2.240) mit M = 1/2 zu verwenden, obwohl dies den gr¨ oßten Zeitschritt Δt erlaubt. Die Diﬀerenzengleichung (2.243) liegt dem fr¨ uher h¨ auﬁg verwendeten graphischen Verfahren von L. Binder [2.56] und E. Schmidt [2.57] zugrunde. Durch die Fortschritte in der Rechentechnik haben die zwar anschaulichen, aber ungenauen und m¨ uhsam zu handhabenden graphischen Verfahren ihre fr¨ uhere Bedeutung verloren. Wir gehen hierauf nicht mehr ein, vgl. hierzu [2.58], [2.59]. Um die Instabilit¨ at der Diﬀerenzengleichung (2.240) f¨ ur M > 1/2 zu veranschaulichen, zeigen wir das ε-Schema f¨ ur M = 1: ε-Schema f¨ ur M = 1 k k k k k

=0: =1: =2: =3: =4:

0 0 0 0 ε 0 0 0 0 0 0 ε −ε ε 0 0 0 0 ε −2ε 3ε −2ε ε 0 0 ε −3ε 6ε −7ε 6ε −3ε ε ε −4ε 7ε −16ε 19ε −16ε 7ε −4ε

0 0 0 0 ε

2.4 Numerische L¨ osung von W¨ armeleitproblemen mit Diﬀerenzenverfahren

217

Ein Fehler wird mit jedem Zeitschritt immer st¨ arker vergr¨ oßert, so dass die L¨ osung der Diﬀerenzengleichung bei Verletzung der Stabilit¨ atsbedingung nicht der L¨ osung der Diﬀerentialgleichung entspricht.

2.4.1.3 W¨ armequellen Die Diﬀerenzengleichung (2.240) l¨ asst sich leicht f¨ ur den Fall erweitern, dass W¨ armequellen auftreten. Nach 2.1.2 gilt die Diﬀerentialgleichung ˙ (x, t, ϑ) ∂ϑ ∂2ϑ W =a 2 + . ∂t ∂x c

(2.244)

Ihre Diskretisierung mit den Diﬀerenzenquotienten nach (2.238) und (2.239) f¨ uhrt auf die explizite Diﬀerenzengleichung k ˙ . ϑk+1 = M ϑki−1 + (1 − 2M ) ϑki + M ϑki+1 + M Δx2 /λ W (2.245) i i Dabei bezeichnet

˙ k=W ˙ xi , tk , ϑk W i i

(2.246)

den Wert der Leistungsdichte bei xi zur Zeit tk . Gl. (2.245) kann oﬀenbar auch dann benutzt werden, wenn die Leistungsdichte von der Temperatur abh¨ angt. Die in (2.246) auftretende Temperatur ϑki ist ja durch die Berechnung des Temperaturfeldes f¨ ur die Zeit tk bekannt. Ei˙ kann grunds¨atzlich das Stabilit¨atsne starke Temperaturabh¨ angigkeit von W verhalten beeinﬂussen. In [2.52] wurde gezeigt, dass die Stabilit¨atsbedingung ˙ linear von ϑ abh¨angt. (2.242) unver¨ andert gilt, wenn W

2.4.2 Die Diskretisierung der Randbedingungen Bei der Erfassung der Randbedingungen im Diﬀerenzenverfahren unterscheiden wir drei F¨ alle: – – –

vorgeschriebene Randtemperaturen, vorgegebene W¨ armestromdichte auf dem Rand und die W¨ arme¨ ubergangsbedingung, vgl. Abschnitt 2.1.3.

Ist die Temperatur auf dem Rand x = xR gegeben, so w¨ahle man die Gittereinteilung so, dass der Rand mit einer Gitterlinie xi = const zusammenf¨ allt. Am linken Rand setze man also xR = x0 und am rechten Rand xR = xn+1 = x0 + (n + 1) Δx. Die gegebenen Temperaturen ϑ (xR , tk ) werden als Temperaturwerte ϑk0 bzw. ϑkn+1 in der Diﬀerenzengleichung (2.240) verwendet. Bei gegebener W¨armestromdichte q(t) ˙ muss am Rand die Bedingung

∂ϑ −λ = q(t) ˙ (2.247) ∂n x=xR

218

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

erf¨ ullt werden. Die Ableitung ist dabei in Richtung der ¨außeren Fl¨achennormale zu bilden, und die W¨ armestromdichte q˙ ist dann positiv, wenn sie in diese Richtung ﬂießt. Das Gitter wird nun so gelegt, dass der Rand in der Mitte zwischen zwei Gitterlinien liegt. Am linken Rand gilt also xR = x0 + Δx/2, vgl. Abb. 2.44. Man f¨ uhrt damit Gitterpunkte (0, k) außerhalb des w¨armeleitenden K¨ orpers ein. Die hier auftretenden Temperaturen ϑk0 dienen nur als Rechenwerte bei der Erf¨ ullung der Randbedingung (2.247).

Abb. 2.44: Zur Ber¨ ucksichtigung der Randbedingungen (2.247) bei xR = x0 + Δx/2 durch Einf¨ uhren von Temperaturen ϑk0 außerhalb des K¨ orpers

Die in (2.247) auftretende Ortsableitung wird durch den genaueren zentralen Diﬀerenzenquotienten ersetzt. Am linken Rand gilt dann

−

∂ϑ ∂n

=

x0 +Δx/2

∂ϑ ∂x

k = 1 2

ϑk1 − ϑk0 + O Δx2 . Δx

(2.248)

Aus (2.247) erh¨alt man damit ϑk0 = ϑk1 −

Δx q˙ (tk ) . λ

(2.249)

An der Stelle x1 gilt die Diﬀerenzengleichung (2.240) mit i = 1: ϑk+1 = M ϑk0 + (1 − 2M ) ϑk1 + M ϑk2 . 1

(2.250)

Eliminiation von ϑk0 aus diesen beiden Gleichungen ergibt ϑk+1 = (1 − M ) ϑk1 + M ϑk2 − M 1

Δx q˙ (tk ) . λ

(2.251)

Diese Gleichung ersetzt (2.250), wenn die Randbedingung (2.247) am linken Rand zu ber¨ ucksichtigen ist. Ist (2.247) am rechten Rand zu erf¨ ullen, so w¨ahle man das Gitter so, dass xR = xn + Δx/2 gilt. Die Elimination von ϑkn+1 aus der f¨ ur xn geltenden Diﬀerenzengleichung mit Hilfe der Randbedingung ergibt ϑk+1 = M ϑkn−1 + (1 − M ) ϑkn + M n

Δx q˙ (tk ) . λ

(2.252)

Wie in (2.251) ist auch hier q(t ˙ k ) dann positiv, wenn die W¨armestromdichte aus dem K¨ orper heraus ﬂießt.

2.4 Numerische L¨ osung von W¨ armeleitproblemen mit Diﬀerenzenverfahren

219

Die Diﬀerenzengleichungen (2.251) und (2.252) gelten mit q˙ ≡ 0 f¨ ur einen adiabaten Rand. Adiabate R¨ ander sind auch die Symmetrieebenen im K¨ orperinneren. Man w¨ ahle in solch einem Fall das Gitter so, dass die adiabate Symmetrieebene in der Mitte zwischen zwei aufeinander folgenden Gitterlinien liegt, und beschr¨ anke sich auf die Berechnung der Temperaturen in einer der K¨ orperh¨ alften. Geht am Rand W¨ arme an ein Fluid mit der Temperatur ϑU u ¨ ber, wobei der W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient α gegeben ist, so gilt die W¨arme¨ ubergangsbedingung ∂ϑ −λ = α (ϑ − ϑU ) f¨ ur x = xR . (2.253) ∂n Die Ableitung ist in Richtung der ¨ außeren Fl¨ achennormale zu bilden; α und ϑU k¨ onnen von der Zeit abh¨ angen. Zur Diskretisierung von (2.253) ist es am g¨ unstigsten, den Rand mit einer Gitterlinie zusammenfallen zu lassen, Abb. 2.45, weil dann die in (2.253) auftretende Randtemperatur unmittelbar im Diﬀerenzenverfahren benutzt wird. Beim Ersatz der Ableitung ∂ ϑ/∂n durch den zentralen Diﬀerenzenquotienten ben¨ otigt man Gitterpunkte außerhalb des K¨ orpers, n¨ amlich die Temperaturen ϑk0 bzw. ϑkn+1 , die mittels der Randbedingung aus den Diﬀerenzengleichungen eliminiert werden.

Abb. 2.45: Zur Ber¨ ucksichtigung der W¨ arme¨ ubergangsbedingung (2.253), a am linken Rand xR = x1 , b am rechten Rand xR = xn

Am linken Rand (xR = x1 ) zeigt die ¨ außere Fl¨achennormale in die negative x-Richtung; aus (2.253) folgt daher ∂ϑ α = (ϑ − ϑU ) ∂x λ

f¨ ur

x = x1 .

Ersatz durch den zentralen Diﬀerenzenquotienten,

ergibt mit

∂ϑ ∂x

k = 1

ϑk2 − ϑk0 + O Δx2 , 2Δx

ϑk0 = ϑk2 − 2Bi∗ ϑk1 − ϑkU

(2.254)

Bi∗ := αΔx/λ

(2.255)

220

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

als der Biot-Zahl des Diﬀerenzenverfahrens. Die Temperatur ϑk0 wird nun mit (2.254) aus der Diﬀerenzengleichung (2.250) eliminiert, die die Gestalt ϑk+1 = [1 − 2M (1 + Bi∗ )] ϑk1 + 2M ϑk2 + 2M Bi∗ ϑkU 1

(2.256)

annimmt. Am rechten Rand (xR = xn ) folgt aus (2.253) die Randbedingung −

∂ϑ α = (ϑ − ϑU ) . ∂x λ

Ihre Diskretisierung f¨ uhrt auf die zu (2.254) analoge Gleichung ϑkn+1 = ϑkn−1 − 2Bi∗ ϑkn − ϑkU .

(2.257)

Mit ihr eliminiert man ϑkn+1 aus der f¨ ur xn geltenden Diﬀerenzengleichung, die damit die Gestalt ϑk+1 = 2M ϑkn−1 + [1 − 2M (1 + Bi∗ )] ϑkn + 2M Bi∗ ϑkU n

(2.258)

erh¨ alt. Die Ber¨ ucksichtigung der W¨ arme¨ ubergangsbedingung (2.253) verschlechtert das Stabilit¨atsverhalten des expliziten Diﬀerenzenverfahrens. Da die Koefﬁzienten der expliziten Diﬀerenzengleichungen (2.256) und (2.258) positiv sein m¨ ussen, um Stabilit¨ at zu gew¨ ahrleisten, erh¨ alt man die Stabilit¨atsbedingung M≤

1 . 2 (1 + Bi∗ )

(2.259)

Sie versch¨ arft die Bedingung (2.242) und f¨ uhrt zu noch kleineren Zeitschritten Δt. Zur Ber¨ ucksichtigung der W¨ arme¨ ubergangsbedingung (2.253) wird h¨ auﬁg eine von Abb. 2.45 abweichende Wahl des Gitters in Randn¨ ahe getroﬀen. Man legt das Gitter nach Abb. 2.44 und ersetzt die Ableitung ∂ ϑ/∂x bei xR = x0 + Δx/2 durch den zentralen Diﬀerenzenquotienten nach (2.248). F¨ ur die Randtemperatur ϑ (xR , tk ) verwendet man die grobe N¨ aherung ” 1“ k ϑ (xR , tk ) = ϑk1/2 = ϑ0 + ϑk1 . (2.260) 2 Damit erh¨ alt man aus (2.253) die Beziehung ϑk0 =

2 − Bi∗ k 2Bi∗ k ϑ1 + ϑU , ∗ 2 + Bi 2 + Bi∗

die mit (2.250) zur Diﬀerenzengleichung „ « 2 + 3Bi∗ 2M Bi∗ k k+1 k k ϑ1 = 1 − M ϑ + M ϑ + ϑ 1 2 2 + Bi∗ 2 + Bi∗ U

(2.261)

(2.262)

f¨ uhrt. Der Diskretisierungsfehler dieser Gleichung ist O(Δx) und nicht O(Δx2 ) wie f¨ ur (2.256), weil die N¨ aherung (2.260) benutzt wurde. Bei Verwendung von (2.262)

2.4 Numerische L¨ osung von W¨ armeleitproblemen mit Diﬀerenzenverfahren

221

sind daher gr¨ oßere Fehler zu erwarten als bei (2.256). Daf¨ ur ist das Stabilit¨ atsverhalten g¨ unstiger, denn anstelle von (2.259) gilt die Bedingung 2 + Bi∗ , 2 + 3Bi∗

M≤

(2.263)

die f¨ ur große Werte von Bi∗ den Grenzwert M = 1/3 liefert, wogegen aus (2.259) M → 0 folgt. Will man den gr¨ oßeren Diskretisierungsfehler von (2.262) vermeiden, so muss man die Randtemperatur ϑk1/2 durch einen genaueren Ausdruck als das einfache arithmetische Mittel nach (2.260) ersetzen. Eine Parabel durch die drei Temperaturen ϑk0 , ϑk1 und ϑk2 liefert ” 1“ k ϑk1/2 = 3ϑ0 + 6ϑk1 − ϑk2 . 8 Damit erh¨ alt man anstelle von (2.261) ϑk0 =

8 − 6Bi∗ k Bi∗ 8Bi∗ k ϑ + ϑ + ϑk 1 2 8 + 3Bi∗ 8 + 3Bi∗ 8 + 3Bi∗ U

und aus (2.250) die Diﬀerenzengleichung „ « 2 + 3Bi∗ 8 + 4Bi∗ k 8M Bi∗ k ϑk+1 = 1 − 4M ϑk1 + M ϑ2 + ϑU . 1 ∗ ∗ 8 + 3Bi 8 + 3Bi 8 + 3Bi∗

(2.264)

Diese Gleichung f¨ ur die Erfassung der Randbedingung (2.250) ist zwar numerisch komplizierter, aber genauer als (2.262), n¨ amlich mit einem Diskretisierungsfehler O(Δx2 ). Als Stabilit¨ atsbedingung resultiert M≤

1 8 + 3Bi∗ . 4 2 + 3Bi∗

(2.265)

Sie f¨ uhrt nur f¨ ur Bi∗ ≥ 4/3 zur Versch¨ arfung der Stabilit¨ atsbedingung (2.242) und ergibt f¨ ur sehr große Bi∗ den Grenzwert M ≤ 1/4. Bei kleinen Werten von Bi∗ d¨ urfte die einfache Beziehung (2.256) mit einem Gitternetz nach Abb. 2.45 a sehr genaue Resultate liefern. Bei gr¨ oßeren Bi∗ -Werten sollte man (2.264) mit einem Gitter nach Abb. 2.44 verwenden, wobei die Stabilit¨ atsbedingung (2.265) zu beachten ist. Beispiel 2.6: Eine Stahlplatte mit den Stoﬀwerten λ = 15,0 W/K m und a = 3,75 · 10−6 m2 /s hat die Dicke 2δ = 270 mm und eine konstante Anfangstemperatur ϑ0 . Zur Zeit t0 wird die Platte mit einem Fluid in Kontakt gebracht, dessen Temperatur ϑU < ϑ0 zeitlich konstant ist. Der W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient an den beiden Plattenoberﬂ¨ achen betrage α = 75 W/m2 K. Es sollen die Temperaturen bei der Abk¨ uhlung der Platte numerisch bestimmt werden. Die Anfangs- und Randbedingungen wurden absichtlich einfach gew¨ ahlt, um die Genauigkeit des Diﬀerenzenverfahrens durch Vergleich mit der in Abschnitt 2.3.3 behandelten geschlossenen L¨ osung zu u ufen. ¨ berpr¨ Wegen der Symmetrie gen¨ ugt es, nur eine Plattenh¨ alfte der Dicke δ = 135 mm zu betrachten. Ihre linke Oberﬂ¨ ache kann als adiabat angesehen werden, w¨ ahrend an der rechten Oberﬂ¨ ache W¨ arme an das Fluid u ahlen das Gitter ¨ bergeht. Wir w¨ von Abb. 2.46 mit der Maschenweite Δx = 30 mm. Der linke Rand der Platte

222

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

Abb. 2.46: Gittereinteilung f¨ ur die Berechnung der Abk¨ uhlung einer Platte der Dicke 2δ

liegt in der Mitte zwischen den Gitterlinien x0 und x1 = x0 + Δx; der rechte Rand f¨ allt mit x5 zusammen. Die Biot-Zahl des Diﬀerenzenverfahrens ist ` ´ 75 W/m2 K 0,030 m αΔx ∗ Bi = = = 0,15 . λ 15,0 W/K m F¨ ur den Modul w¨ ahlen wir M = aΔt/Δx2 = 1/3 , womit die Stabilit¨ atsbedingung (2.259) erf¨ ullt ist. Der Zeitschritt wird Δt =

Δx2 M = 80 s . a

Wir setzen ϑU = 0 und ϑ0 = 1,0000. Die damit berechneten Temperaturen ϑki stimmen mit den dimensionslosen Temperaturen ϑ+ (xi , tk ) der geschlossenen L¨ osung nach (2.171) u ¨ berein.

Tabelle 2.9: Temperaturen bei der Abk¨ uhlung einer Stahlplatte, berechnet mit dem expliziten Diﬀerenzenverfahren.

k

tk /s

ϑk1

ϑk2

ϑk3

ϑk4

ϑk5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0 80 160 240 320 400 480 560 640 720 800 880 960

1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9988 0,9964 0,9930 0,9887 0,9836 0,9779 0,9717 0,9651

1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9963 0,9917 0,9861 0,9800 0,9734 0,9664 0,9592 0,9518 0,9442

1,0000 1,0000 1,0000 0,9889 0,9789 0,9679 0,9574 0,9471 0,9372 0,9276 0,9182 0,9091 0,9003

1,0000 1,0000 0,9667 0,9478 0,9286 0,9125 0,8977 0,8844 0,8721 0,8607 0,8500 0,8399 0,8303

1,0000 0,9000 0,8767 0,8490 0,8300 0,8127 0,7980 0,7847 0,7727 0,7617 0,7515 0,7420 0,7331

2.4 Numerische L¨ osung von W¨ armeleitproblemen mit Diﬀerenzenverfahren

223

Mit diesen Festsetzungen gelten die folgenden f¨ unf Diﬀerenzengleichungen: ϑk+1 = 1

2 k 1 k ϑ1 + ϑ2 3 3

nach (2.251) mit q(t ˙ k ) = 0, ” 1“ k ϑi−1 + ϑki + ϑki+1 3

ϑk+1 = i f¨ ur i = 2, 3, 4 nach (2.240) sowie

ϑk+1 = 5

2 k ϑ + 0,2333 ϑk5 3 4

nach (2.258). Die Ergebnisse f¨ ur die ersten 12 Zeitschritte zeigt Tabelle 2.9. In Tabelle 2.10 werden die Oberﬂ¨ achentemperaturen ϑk5 und die Temperaturverteilung zur Zeit t12 = 960 s mit der exakten L¨ osung verglichen. Obwohl ein ¨ recht grobes Gitter gew¨ ahlt wurde, ist die Ubereinstimmung mit der geschlossenen L¨ osung nach (2.171) befriedigend. Allerdings erfasst man mit den ersten 12 Zeitschritten nur einen kleinen Teil des Abk¨ uhlvorgangs. Dies liegt an der Begrenzung des Zeitschritts Δt durch die Stabilit¨ atsbedingung. Um sie zu u ¨berwinden, muss man zu einem impliziten Diﬀerenzenverfahren u ¨ bergehen.

Tabelle 2.10: Vergleich der mit dem Diﬀerenzenverfahren berechneten Oberﬂ¨ achentemperaturen ϑk5 und der Temperaturen ϑ12 mit den Werten ϑ+ der i geschlossenen L¨ osung nach (2.171).

k

ϑk5

ϑ+ (x5 , tk )

k

ϑk5

ϑ+ (x5 , tk )

k

ϑk5

ϑ+ (x5 , tk )

1 2 3 4

0,9000 0,8767 0,8490 0,8300

0,9093 0,8755 0,8509 0,8311

5 6 7 8

0,8127 0,7980 0,7847 0,7727

0,8142 0,7994 0,7861 0,7741

9 10 11 12

0,7617 0,7515 0,7420 0,7331

0,7631 0,7529 0,7433 0,7343

1

2

i ϑ12 i ϑ+ (xi , t12 )

3

4

5

0,9651 0,9442 0,9003 0,8303 0,7331 0,9629 0,9427 0,8998 0,8309 0,7343

2.4.3 Das implizite Diﬀerenzenverfahren von J. Crank und P. Nicolson Das in 2.4.1 behandelte einfache explizite Diﬀerenzenverfahren hat den Nachteil, dass der Zeitschritt Δt durch die Stabilit¨atsbedingungen (2.242) und

224

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

(2.259) beschr¨ ankt ist. Um die Temperaturverteilung zu einer vorgegebenen Zeit zu erhalten, sind meistens sehr viele Zeitschritte auszuf¨ uhren. Man umgeht diese Schrittweitenbegrenzung durch Wahl eines impliziten Diﬀerenzenverfahrens. Dabei muss bei jedem Zeitschritt ein lineares Gleichungssystem gel¨ ost werden, das allerdings eine besonders einfache Gestalt hat: Es ist ein Tridiagonalsystem, dessen Koeﬃzientenmatrix nur in der Hauptdiagonale und ihren beiden Nachbarn besetzt ist. Einfache L¨osungsalgorithmen f¨ ur Tridiagonalsysteme ﬁndet man bei D. Marsal [2.72] und in Standardwerken u ¨ ber numerische Mathematik, z.B. [2.61] und [2.62]. Ein besonders genaues implizites Diﬀerenzenverfahren, das stets stabil ist, haben J. Crank und P. Nicolson [2.60] angegeben. Bei diesem Verfahren benutzt man Temperaturen der Zeitebenen tk und tk+1 ; die Diﬀerentialgleichung (2.236) wird jedoch zur dazwischen liegenden Zeit tk + Δt/2 diskretisiert. Dak+1/2 durch ist es m¨ oglich, die Ableitung (∂ ϑ/∂t)i durch den genauen zentralen Diﬀerenzenquotienten

k+ 12 ∂ϑ ϑk+1 − ϑki = i + O Δt2 (2.266) ∂t i Δt zu approximieren. Dies ist deswegen vorteilhaft, weil man bei der Wahl eines impliziten Diﬀerenzenverfahrens gr¨ oßere Zeitschritte Δt verwenden m¨ochte und daher eine genauere Approximation der zeitlichen Ableitung ben¨otigt. k+1/2 Die zweite Ableitung (∂ 2 ϑ/∂x2 )i zur Zeit tk + Δt/2 wird durch das arithmetische Mittel der zweiten zentralen Diﬀerenzenquotienten zu den Zeiten tk und tk+1 ersetzt. Man erh¨ alt so

2 k+ 12 k+1 k+1 k+1 ϑki−1 − 2ϑki + ϑki+1 ∂ ϑ 1 ϑi−1 − 2ϑi + ϑi+1 = + + O Δx2 . ∂x2 i 2 Δx2 Δx2 (2.267) Mit (2.266) und (2.267) ergibt sich die implizite Diﬀerenzengleichung k+1 k k k −M ϑk+1 − M ϑk+1 i−1 + (2 + 2M )ϑi i+1 = M ϑi−1 + (2 − 2M )ϑi + M ϑi+1 (2.268)

mit M = aΔt/Δx2 . Die Temperaturen zur Zeit tk auf der rechten Seite von (2.268) sind bekannt; die drei unbekannten Temperaturen zur Zeit tk+1 auf der linken Seite m¨ ussen berechnet werden. Die Diﬀerenzengleichung (2.268) ergibt mit i = 1, 2, . . . n ein lineares Gleichungssystem. Die Hauptdiagonale der Koeﬃzientenmatrix enth¨ alt die Elemente (2 + 2M ); die Sub- und die Superdiagonale werden von den Elementen (−M ) gebildet; alle anderen Koeﬃzienten sind null. In diesem Tridiagonalsystem darf in der ersten Gleichung (i = 1) der Term −M ϑk+1 und in der letzten Gleichung (i = n) der Term −M ϑk+1 0 n+1 nicht auftreten. Man eliminiert diese Terme durch Ber¨ ucksichtigung der Randbedingungen. Sind die Temperaturen auf den R¨andern vorgegeben, so w¨ahle man das Gitter so, dass x = x0 und x = xn+1 mit den beiden R¨andern zusammenfallen.

2.4 Numerische L¨ osung von W¨ armeleitproblemen mit Diﬀerenzenverfahren

225

Damit sind ϑk0 , ϑk+1 und ϑkn+1 , ϑk+1 0 n+1 stets bekannt, und die erste Gleichung des Tridiagonalsystems lautet (2 + 2M )ϑk+1 − M ϑk+1 = M ϑk0 + ϑk+1 + (2 − 2M )ϑk1 + M ϑk2 , (2.269) 1 2 0 w¨ ahrend die letzte Gleichung k+1 −M ϑk+1 = M ϑkn−1 +(2−2M )ϑkn +M ϑkn+1 + ϑk+1 n−1 +(2+2M )ϑn n+1 (2.270) wird. Ist die W¨armestromdichte q(t) ˙ am linken Rand gegeben, vgl. (2.247), so w¨ ahle man das Gitter wie in Abb. 2.44 so, dass der Rand in der Mitte zwischen x0 und x1 liegt. Mit (2.249) werden ϑk0 und ϑk+1 eliminiert. Die erste 0 Gleichung lautet dann Δx [q˙ (tk ) + q˙ (tk+1 )] . λ (2.271) Die adiabate Wand ist der Sonderfall mit q˙ ≡ 0. In der gleichen Weise eliminiert man ϑkn+1 und ϑk+1 armestromdichte n+1 , wenn am rechten Rand die W¨ gegeben ist. Zur Ber¨ ucksichtigung der W¨arme¨ ubergangsbedingung (2.253) legen wir das Gitter wie in Abb. 2.45, n¨ amlich so, dass der Rand mit x1 bzw. xn zusammenf¨ allt, wenn am linken bzw. rechten Rand (2.253) vorgeschrieben ist. Mit (2.254) werden ϑk0 und ϑk+1 aus der ersten Gleichung des Tridiagonalsystems 0 (2.268) eliminiert. Dies ergibt (2 + M )ϑk+1 − M ϑk+1 = (2 − M )ϑk1 + M ϑk2 + M 1 2

[1 + M (1 + Bi∗ )] ϑk+1 − M ϑk+1 = [1 − M (1 + Bi∗ )] ϑk1 1 2 +M ϑk2 + M Bi∗ ϑkU + ϑk+1 U

(2.272)

f¨ ur die erste Gleichung. Mit (2.257) eliminiert man ϑkn+1 und ϑk+1 alt n+1 und erh¨ als letzte Gleichung ∗ k+1 −M ϑk+1 = M ϑkn−1 + − M (1 + Bi∗ )] ϑkn n−1 + [1 + M (1 + Bi )] ϑn [1 ∗ k +M Bi ϑU + ϑk+1 . U (2.273) Das Diﬀerenzenverfahren von Crank-Nicolson ist stabil f¨ ur alle M . Die Gr¨ oße des Zeitschritts wird daher durch Genauigkeitsforderungen begrenzt. Sehr große Werte von M f¨ uhren zu endlichen Schwingungen in der numerischen L¨ osung, die nur langsam mit fortschreitendem k abklingen, vgl. [2.52].

Beispiel 2.7: Das in Beispiel 2.6 behandelte Abk¨ uhlungsproblem soll mit dem impliziten Diﬀerenzenverfahren nach Crank-Nicolson gel¨ ost werden. Dabei wird die Gittereinteilung nach Abb. 2.46 beibehalten. Das bei jedem Zeitschritt zu l¨ osende Tridiagonalsystem besteht aus f¨ unf Gleichungen und hat die Gestalt A ϑ k+1 = b

226

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

mit der Koeﬃzientenmatrix 2 3 2 + M −M 0 0 0 6 −M 2 + 2 M −M 7 0 0 6 7 6 7 , A=6 0 −M 2 + 2 M −M 0 7 4 0 5 0 −M 2 + 2 M −M 0 0 0 −M 1 + 1,15 M dem L¨ osungsvektor

h iT ϑk+1 = ϑk+1 , ϑk+1 , ϑk+1 , ϑk+1 , ϑk+1 1 2 3 4 5

und den rechten Seiten

2

3

(2 − M )ϑk1 + M ϑk2

6 M ϑk + (2 − 2M )ϑk + M ϑk 7 6 1 2 37 6 7 k k k7 b=6 M ϑ + (2 − 2M )ϑ + M ϑ 2 3 47 . 6 6 7 4 M ϑk3 + (2 − 2M )ϑk4 + M ϑk5 5 M ϑk4 + (1 − 1,15M )ϑk5 F¨ ur den ersten Schritt des Verfahrens (k = 0) sind alle Temperaturen ϑ0i = 1,000 zu setzen, entsprechend der Anfangsbedingung ϑ(xi , t0 ) = 1. Wir w¨ ahlen M = 1, also einen dreimal so großen Zeitschritt wie beim expliziten Verfahren von Beispiel 2.6, n¨ amlich Δt = 240 s = 4,0 min. Die Temperaturen f¨ ur die ersten 10 Zeitebenen enth¨ alt Tabelle 2.11. Wie ein Vergleich der Temperaturen zur Zeit t4 = 960 s mit den Werten von Tabelle 2.10 zeigt, liefert das CrankNicolson-Verfahren trotz des dreimal gr¨ oßeren Zeitschritts bessere Resultate als das explizite Diﬀerenzenverfahren. Tabelle 2.11: Temperaturen bei der Abk¨ uhlung einer Stahlplatte, berechnet nach dem Verfahren von Crank-Nicolson mit M = aΔt/Δx2 = 1.

tk /s

ϑk1

ϑk2

ϑk3

ϑk4

ϑk5

240 480 720 960 1200

0,9990 0,9937 0,9815 0,9636 0,9427

0,9969 0,9851 0,9657 0,9437 0,9208

0,9885 0,9594 0,9282 0,9013 0,8756

0,9573 0,8982 0,8639 0,8322 0,8058

0,8406 0,8044 0,7635 0,7356 0,7105

1440 1680 1920 2160 2400

0,9203 0,8974 0,8744 0,8516 0,8292

0,8975 0,8743 0,8514 0,8289 0,8070

0,8514 0,8282 0,8058 0,7841 0,7630

0,7816 0,7592 0,7381 0,7179 0,6984

0,6887 0,6686 0,6498 0,6318 0,6146

Um den Einﬂuss der Zeitschrittweite auf die Genauigkeit zu untersuchen, haben wir neben M = 1 auch M = 2, 5 und 10 verwendet. In Tabelle 2.12 sind die

2.4 Numerische L¨ osung von W¨ armeleitproblemen mit Diﬀerenzenverfahren

227

Temperaturverteilungen gezeigt, die sich f¨ ur t = 9600 s = 160 min ergeben. Diese Zeit wird mit M = 1 in 40 Schritten, mit M = 2 in 20 Schritten, mit M = 5 in 8 Schritten und in nur 4 Schritten mit M = 10 erreicht. Die Temperaturen f¨ ur M = 1 und M = 2 stimmen untereinander und mit der analytischen L¨ osung sehr gut u oßere Abweichungen, w¨ ahrend das ¨ berein. Mit M = 5 ergeben sich etwas gr¨ Ergebnis mit M = 10 nicht brauchbar ist. Bei dieser großen Schrittweite treten Oszillationen der Temperaturen auf, die physikalisch nicht m¨ oglich sind. In [2.52], S. 122, ﬁndet man f¨ ur ein instation¨ ares W¨ armeleitproblem mit anderen Randbedingungen eine notwendige Bedingung f¨ ur die Begrenzung der Zeitschrittweite, ¨ damit Oszillationen vermieden werden. Die Ubertragung dieser Bedingung auf Tabelle 2.12: Vergleich der Temperaturen f¨ ur t = 9600 s, berechnet mit verschiedenen Modulwerten M . M

ϑ1

ϑ2

ϑ3

ϑ4

ϑ5

1 2 5 10

0,3684 0,3683 0,3677 0,3683

0,3584 0,3584 0,3584 0,3532

0,3388 0,3387 0,3386 0,3259

0,3099 0,3099 0,3051 0,2995

0,2727 0,2727 0,2801 0,3180

Analyt. L¨ osung

0,3684 0,3584 0,3389 0,3101 0,2730

die vorliegende Aufgabe liefert die Grenze 2 δ = 5,7 . π Δx Sie best¨ atigt das Ergebnis unserer numerischen Testrechnungen. M<

2.4.4 Nichtkartesische Koordinaten. Temperaturabh¨ angige Stoﬀwerte Im Folgenden behandeln wir das Diﬀerenzenverfahren unter Ber¨ ucksichtigung temperaturabh¨ angiger Stoﬀwerte sowie f¨ ur Zylinder- und Kugelkoordinaten, wobei wir jedoch geometrisch eindimensionalen W¨armeﬂuss allein in radialer Richtung annehmen. Die f¨ ur das Temperaturfeld maßgebende Diﬀerentialgleichung ist dann

∂ϑ 1 ∂ m ∂ϑ c = m r λ (2.274) ∂t r ∂r ∂r mit den Exponenten ⎧ ur die Platte (r = x), ⎨ 0 f¨ ur den Zylinder, m = 1 f¨ ⎩ 2 f¨ ur die Kugel.

228

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

Die Aufstellung von Diﬀerenzengleichungen basiert auf der Diskretisierung des selbstadjungierten Diﬀerentialoperators

∂ ∂ϑ D := f (2.275) ∂r ∂r mit f := rm λ(ϑ)

,

m = 0, 1, 2 .

(2.276)

Hierauf gehen wir zun¨ achst ein und leiten dann die Diﬀerenzengleichungen f¨ ur die verschiedenen Koordinatensysteme ohne und mit Ber¨ ucksichtigung der Temperaturabh¨angigkeit der Stoﬀwerte her. 2.4.4.1 Die Diskretisierung des selbstadjungierten Diﬀerentialoperators F¨ ur die Diskretisierung des Operator D nach (2.275) ist es h¨auﬁg vorteilhaft, ein in r-Richtung ungleichm¨ aßig eingeteiltes Gitter zu benutzen. Man kann dann beispielsweise eine bei kleinen r-Werten st¨arkere Kr¨ ummung des Temperaturverlaufs durch Verwendung kleinerer Gitterabst¨ande genauer ber¨ ucksichtigen. Wir legen daher der Diskretisierung von D ein sogenanntes zentriertes Gitter mit beliebigen, von i abh¨ angigen Maschenweiten Δri zugrunde, wie es Abb. 2.47 zeigt. Unter Benutzung von zentralen Diﬀerenzenquotienten erh¨alt

Abb. 2.47: Zentriertes Gitter zur Diskretisierung des selbstadjungierten Diﬀerentialoperators D nach (2.275)

man zun¨ achst Dik

1 = Δri

∂ϑ f ∂r

k i+ 12

k ∂ϑ − f . ∂r i− 1 2

Ersetzt man die ersten Ableitungen durch zentrale Diﬀerenzenquotienten, so folgt

k 2 fi+1/2 k 2 fi−1/2 k 1 k k k Di = ϑ − ϑi − ϑ − ϑi−1 . Δri Δri + Δri+1 i+1 Δri + Δri−1 i (2.277) Hierbei gilt nach (2.276)

2.4 Numerische L¨ osung von W¨ armeleitproblemen mit Diﬀerenzenverfahren k fi± 1 2

m ! Δri = ri ± λ ϑi± 12 2

,

m = 0, 1, 2 .

229

(2.278)

Die hier auftretenden W¨ armeleitf¨ ahigkeiten bei den Zwischentemperaturen ϑki+ 1 bzw. ϑki− 1 sind durch geeignete Mittelwertbildung aus den W¨arme2

2

leitf¨ ahigkeiten bei den bekannten Temperaturen ϑki , ϑki+1 , ϑki−1 an den Gitterpunkten zu berechnen. Hierauf kommen wir in 2.4.4.3 zur¨ uck. Zun¨achst behandeln wir den einfacheren Fall konstanter Stoﬀwerte. 2.4.4.2 Konstante Stoﬀwerte. Zylinderkoordinaten F¨ ur konstante W¨armeleitf¨ ahigkeit vereinfacht sich (2.278) zu

m Δri fi± 12 = λ ri ± . 2

(2.279)

Wir leiten unter dieser Annahme die Diﬀerenzengleichung f¨ ur den Zylinder (m = 1) her. Der Fall m = 2 (Kugel) bleibe dem Leser u ur die ¨berlassen; f¨ Platte (m = 0) erh¨ alt man die schon in 2.4.1 und 2.4.3 behandelten einfachen Diﬀerenzengleichungen, wenn man eine konstante Maschenweite Δri = Δx annimmt. F¨ ur den Zylinder mit λ = const ergibt sich aus (2.277) und (2.279) der Ausdruck & ri % Dik = λ 2 gi+ ϑki+1 − ϑki − gi− ϑki − ϑki−1 , (2.280) Δri wobei wir zur Abk¨ urzung gi+ :=

2 + Δri /ri 1 + Δri+1 /Δri

und gi− :=

2 − Δri /ri 1 + Δri−1 /Δri

(2.281)

gesetzt haben. Eine weitere Vereinfachung ergibt sich, wenn man einen konstanten Gitterabstand Δr annimmt. Mit gi+ = 1 +

Δr 2ri

und

gi− = 1 −

Δr 2ri

erh¨ alt man dann aus (2.280)

ri Δr Δr k k k k Di = λ 2 1+ ϑi+1 − 2ϑi + 1 − ϑi−1 . Δr 2ri 2ri

(2.282)

(2.283)

Will man eine explizite Diﬀerenzengleichung erhalten, so hat man die in

∂ϑ ∂t

k = i

a ∂ ri ∂r

k ∂ϑ 1 r = Dk ∂r i cri i

230

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

auftretende Zeitableitung nach (2.239) zu ersetzen. Man erh¨alt die explizite Diﬀerenzengleichung

Δr Δr k k ϑk+1 = M 1 − ϑ + (1 − 2M )ϑ + M 1 + ϑki+1 , (2.284) i−1 i i 2ri 2ri deren Modul M wie in 2.4.1.2 das Stabilit¨ atskriterium M = aΔt/Δr2 ≤

1 2

(2.285)

erf¨ ullen muss. Die Randbedingungen werden in der gleichen Weise wie in Abschnitt 2.4.2 ber¨ ucksichtigt. Um das stets stabile, aber implizite Diﬀerenzenverfahren nach J. Crank und P. Nicolson [2.60] auf Zylinderkoordinaten zu u ¨ bertragen, diskretisiert man die Gleichung

∂ϑ ∂t

k+ 12 i

a ∂ = ri ∂r

k+ 12 ∂ϑ 1 1 k+1 r ≈ Di + Dik . ∂r i cri 2

Mit der Zeitableitung nach (2.266) und Dik bzw. Dik+1 nach (2.283) erh¨alt man die Diﬀerenzengleichung

Δr Δr k+1 k −M 1 − ϑk+1 + (2 + 2M )ϑ − M 1 + ϑk+1 i−1 i i+1 = Ci , (2.286) 2ri 2ri deren rechte Seite

Δr Δr Cik = M 1 − ϑki−1 + (2 − 2M )ϑki + M 1 + ϑki+1 2ri 2ri

(2.287)

die bekannten Temperaturen zur Zeit tk enth¨alt. Diese Gleichung f¨ uhrt auf ein lineares tridiagonales Gleichungssystem, das f¨ ur jeden Zeitschritt zu l¨osen ist, vgl. 2.4.3. Die in der ersten Gleichung auftretenden Temperaturen ϑk0 und ϑk+1 und die Temperaturen ϑkn+1 und ϑk+1 0 n+1 der letzten Gleichung sind mit Hilfe der Randbedingungen zu eliminieren, was in 2.4.3 ausf¨ uhrlich gezeigt wurde. F¨ ur ein nicht ¨ aquidistantes Gitter, vgl. Abb. 2.47, hat man den diskretisierten Diﬀerentialoperator Dik nach (2.280) mit den Funktionen gi+ und gi− nach (2.281) zu benutzen. Die zu (2.284) analoge explizite Diﬀerenzengleichung hat die Gestalt ˆ ` ´˜ ϑk+1 = Mi gi− ϑki−1 + 1 − Mi gi+ + gi− ϑki + Mi gi+ ϑki+1 (2.288) i mit dem von i abh¨ angigen Modul Mi = aΔt/Δri2 .

(2.289)

Das Diﬀerenzenverfahren ist nur dann stabil, wenn kein Koeﬃzient in (2.288) negativ ist. Daraus folgt die Stabilit¨ atsbedingung Mi ≤ (gi+ + gi− )−1 , also

2.4 Numerische L¨ osung von W¨ armeleitproblemen mit Diﬀerenzenverfahren 231 j ﬀ 1 Δri2 Δt ≤ min . (2.290) a gi+ + gi− Ohne diese Einschr¨ ankung kann man das stabile implizite Verfahren nach CrankNicolson benutzen. Als Verallgemeinerung von (2.286) erh¨ alt man das lineare tridiagonale Gleichungssystem ˆ ` + ´˜ k+1 − −Mi gi− ϑk+1 ϑi − Mi gi+ ϑk+1 = Cik (2.291) i−1 + 2 + Mi gi + gi i mit den rechten Seiten ˆ ` ´˜ Cik = Mi gi− ϑki−1 + 2 − Mi gi+ + gi− ϑki + Mi gi+ ϑki+1 ,

(2.292)

das f¨ ur jeden Zeitschritt zu l¨ osen ist. Der Modul Mi ist durch (2.289) gegeben.

2.4.4.3 Temperaturabh¨ angige Stoﬀwerte H¨ angen λ und c von der Temperatur ab, vgl. Abschnitt 2.1.4, so lassen sich geschlossene L¨ osungen der W¨ armeleitungsgleichung in der Regel nicht ﬁnden, und man ist auf ihre numerische L¨ osung angewiesen. Wir zeigen die Ber¨ ucksichtigung temperaturabh¨ angiger Stoﬀwerte am Beispiel der Platte, m = 0 in ¨ Gl. (2.274). Die Ubertragung auf den Zylinder und die Kugel (m = 1 bzw. 2) bleibe dem Leser u berlassen; sie ist mit Hilfe der allgemeinen Diskretisie¨ rungsgleichung (2.277) f¨ ur den Diﬀerentialoperator D nach (2.275) leicht auszuf¨ uhren. Wir benutzen ein ¨ aquidistantes Gitter mit dem Abstand Δx. Mit Δri = Δri+1 = Δri−1 = Δx und m = 0 erh¨ alt man aus (2.277) und (2.278) k * 1 ) k k k k k Dik = λ ϑ − ϑ − λ ϑ − ϑ . (2.293) 1 1 i+1 i i i−1 i− 2 Δx2 i+ 2 Hierin bedeutet λki±1/2 die W¨ armeleitf¨ ahigkeit bei der Temperatur ϑki±1/2 . Hierf¨ ur muss ein geeigneter Mittelwert gew¨ ahlt werden, etwa das arithmetische, geometrische oder harmonische Mittel der W¨armeleitf¨ahigkeiten bei den bekannten Temperaturen ϑki und ϑki+1 bzw. ϑki und ϑki−1 . Die Art der Mittelwertbildung spielt jedoch keine entscheidende Rolle, wenn λ nur schwach von ϑ abh¨ angt oder die Schrittweite Δx sehr klein gew¨ahlt wird. D. Marsal [2.72] empﬁehlt das harmonische Mittel, also λki± 1 = 2

2λki λki±1 , λki + λki±1

(2.294)

wobei λki = λ(ϑki ) = λ[ϑ(xi , tk )] bedeutet. Mit dem harmonischen Mittel wird aus (2.294) ϑki+1 − ϑki ϑki − ϑki−1 2λki k Di = − . (2.295) Δx2 1 + λki /λki+1 1 + λki /λki−1 Um komplizierte Iterationen zu vermeiden, empﬁehlt es sich, bei temperaturabh¨ angigen Stoﬀwerten ein explizites Diﬀerenzenverfahren zu verwenden.

232

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

Wir ersetzen daher die Zeitableitung der Temperatur durch den vorderen Differenzenquotienten nach (2.239) und erhalten aus (2.274) mit (2.295) die Differenzengleichung ϑki+1 − ϑki ϑki − ϑki−1 2aki Δt k+1 k ϑi = ϑi + − . (2.296) Δx2 1 + λki /λki+1 1 + λki /λki−1 Hierin bedeutet aki = a(ϑki ) die Temperaturleitf¨ahigkeit bei der Temperatur ϑki . Um die Stabilit¨ at des Diﬀerenzenverfahrens zu gew¨ahrleisten, muss der Zeitschritt Δt so klein gew¨ ahlt werden, dass der Koeﬃzient von ϑki in (2.296) positiv ist. Es muss also stets 2aki Δt 1 1 1− + >0 (2.297) Δx2 1 + λki /λki+1 1 + λki /λki−1 sein. Da a und λ sich bei jedem Zeitschritt a¨ndern, wird man in den Programmablauf eine Kontrolle dieser Ungleichung einbauen und Δt gegebenenfalls schrittweise verkleinern. Die Temperaturabh¨ angigkeit von λ muss auch bei der W¨arme¨ ubergangsbedingung (2.253) und bei der Randbedingung vorgeschriebener W¨armestromdichte ber¨ ucksichtigt werden. Die Biotzahl Bi∗ wird temperaturabh¨angig, was bei der Elimination der Temperaturen ϑk0 und ϑkn+1 aus (2.254) bzw. (2.257) und (2.297) mit i = 1 bzw. i = n zu beachten ist.

2.4.5 Instation¨ are ebene und r¨ aumliche Temperaturfelder Sind ebene oder r¨ aumliche Temperaturfelder numerisch zu bestimmen, wachsen Rechenzeit und Speicherplatzbedarf gegen¨ uber den geometrisch eindimensionalen Problemen erheblich. Wir beschr¨ anken uns im Folgenden auf Rechteckbereiche (kartesische Koordinaten); Zylinder- und Kugelprobleme lassen sich durch Diskretisieren der entsprechenden Diﬀerentialgleichungen l¨osen. F¨ ur kompliziertere Geometrien ist das Diﬀerenzenverfahren weniger gut geeignet, besonders dann nicht, wenn auf beliebig geformten R¨andern Randbedingungen zweiter oder dritter Art vorgeschrieben sind. In diesen F¨allen ist es g¨ unstiger, Finite-Elemente-Verfahren zu verwenden. Wir nehmen konstante Stoﬀwerte an. Die W¨armeleitungsgleichung f¨ ur ebene instation¨ are Temperaturfelder mit W¨ armequellen hat die Gestalt

2 ˙ (x, y, t, ϑ) ∂ϑ ∂ ϑ ∂2ϑ W =a + + . (2.298) ∂t ∂x2 ∂y 2 c Die Temperatur ϑ = ϑ(x, y, t) soll auf einem zu den x- und y-Achsen parallelen Rechteck bestimmt werden. Wir diskretisieren die Koordinaten durch

2.4 Numerische L¨ osung von W¨ armeleitproblemen mit Diﬀerenzenverfahren

xi = x0 + iΔx ,

yj = y0 + jΔy

233

und tk = t0 + kΔt .

Die Temperatur an einem Schnittpunkt des ebenen Gitters von Abb. 2.48 werde mit ϑki,j = ϑ (xi , yj , tk ) bezeichnet. F¨ ur die Leistungsdichte gilt das Entsprechende: ˙ k =W ˙ (xi , yj , tk ) bzw. W ˙ k =W ˙ ϑk W , i,j i,j i,j ˙ allein von der Temperatur abh¨ falls W angt.

Abb. 2.48: Ebenes Gitter zur Diskretisierung der W¨ armeleitungsgleichung (2.298) auf dem Rechteckbereich x0 ≤ x ≤ xn , y0 ≤ y ≤ yl

Die beiden zweiten Ableitungen in x- bzw. y-Richtung werden durch zentrale Diﬀerenzenquotienten approximiert, so dass

2 k ∂ ϑ 1 k = ϑi−1,j − 2ϑki,j + ϑi+1,j + O Δx2 (2.299) 2 2 ∂x i,j Δx und

∂2ϑ ∂y 2

k = i,j

1 k ϑ − 2ϑi,j + ϑi,j+1 + O Δy 2 Δy 2 i,j−1

(2.300)

gilt. Um eine explizite Diﬀerenzengleichung zu erhalten, verwenden wir f¨ ur die Zeitableitung den vorderen Diﬀerenzenquotienten:

k ∂ϑ 1 k+1 = ϑ − ϑki,j + O (Δt) (2.301) ∂t i,j Δt i,j Mit diesen Diﬀerenzenquotienten erh¨ alt man aus (2.298) die explizite Diﬀerenzengleichung

234

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

k k k ϑk+1 i,j = (1 − 2Mx − 2My ) ϑi,j + Mx ϑi−1,j + ϑi+1,j Δt k ˙ +My ϑki,j−1 + ϑki,j+1 + W . c i,j

(2.302)

Hier treten zwei Module, Mx :=

aΔt Δx2

und

My :=

aΔt , Δy 2

auf. F¨ ur ein quadratisches Gitter (Δx = Δy) erh¨alt man Mx = My = M = aΔt/Δx2 , und (2.302) vereinfacht sich zu k Δt k k k k k ˙ ϑk+1 W . i,j = (1 − 4M ) ϑi,j + M ϑi−1,j + ϑi+1,j + ϑi,j−1 + ϑi,j+1 + c i,j (2.303) Mit (2.302) und (2.303) k¨ onnen aus der gegebenen Anfangstemperaturverteilung ϑ0i,j die Temperaturen ϑ1i,j zur Zeit t1 = t0 + Δt, aus diesen die Temperaturen ϑ2i,j der n¨ achsten Zeitebene usw. explizit berechnet werden. Dieses Diﬀerenzenschema ist leicht zu programmieren. Es eignet sich auch ˙ (ϑ), weil W ˙ k f¨ f¨ ur eine temperaturabh¨ angige Leistungsdichte W i,j ur die bereits k bekannte Temperatur ϑi,j zu berechnen ist. Der Nachteil des expliziten Differenzenverfahrens liegt in seiner eingeschr¨ ankten Stabilit¨at, vgl. 2.4.1.2. Die Stabilit¨atsbedingung, wonach kein Koeﬃzient der rechten Seite von (2.302) negativ sein darf, begrenzt den Zeitschritt: Δt ≤

Δx2 ) * . 2 2a 1 + (Δx/Δy)

(2.304)

Dies f¨ uhrt zu noch kleineren Zeitschritten als die Bedingung (2.242) der geometrisch eindimensionalen W¨ armeleitung. Um die aus Stabilit¨ atsgr¨ unden erforderliche Schrittweitenbegrenzung (2.304) des expliziten Diﬀerenzenverfahrens zu umgehen, benutzt man ein implizites Verfahren. Dabei wird (2.298) zur Zeit tk+1 diskretisiert und f¨ ur die Zeitableitung der hintere Diﬀerenzenquotient benutzt. Mit

k+1 ∂ϑ 1 k+1 = ϑi,j − ϑki,j + O(Δt) ∂t i,j Δt und den f¨ ur tk+1 angeschriebenen Diﬀerenzenquotienten (2.299) und (2.300) ˙ ≡ 0 gesetzt — die erh¨ alt man aus (2.298) — zur Vereinfachung wurde W implizite Diﬀerenzengleichung a k+1 a k+1 k+1 k+1 ϑi−1,j − 2ϑk+1 ϑi,j−1 − 2ϑk+1 i,j + ϑi+1,j + i,j + ϑi,j+1 = 2 2 Δx Δy 1 k+1 ϑi,j − ϑki,j . (2.305) Δt

2.4 Numerische L¨ osung von W¨ armeleitproblemen mit Diﬀerenzenverfahren

235

Diese Gleichung ist f¨ ur jeden Gitterpunkt (i, j) anzusetzen. Man erh¨alt ein lineares Gleichungssystem f¨ ur die unbekannten Temperaturen zur Zeit tk+1 , das f¨ ur jeden Zeitschritt zu l¨ osen ist. Jede Gleichung enth¨alt f¨ unf Unbekannte; nur die Temperatur ϑki,j zum vorangegangenen Zeitpunkt tk ist bekannt. Ein vorteilhaftes L¨ osungsverfahren haben P.W. Peaceman und H.H. Rachford [2.64] angegeben; es ist unter der Bezeichnung alternating-direction implicit ” procedure“ (ADIP) bekannt. Hierbei werden anstelle des Gleichungssystems (2.305) zwei tridiagonale Systeme gel¨ ost, wodurch sich der Rechenaufwand verringert, vgl. auch [2.72]. Die Randbedingungen lassen sich bei geometrisch zweidimensionalen Temperaturfeldern leicht erf¨ ullen, sofern die R¨ ander parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen. Zu den im Inneren des Bereichs liegenden Gitterpunkten f¨ ugt man je eine Reihe Gitterpunkte außerhalb des Bereichs hinzu. Mit diesen zus¨ atzlichen Gitterpunkten lassen sich wie in Abschnitt 2.4.2 die drei Arten von Randbedingungen ohne Schwierigkeiten ber¨ ucksichtigen. Bei R¨ andern, die nicht parallel zu den Koordinatenrichtungen verlaufen, k¨ onnen erhebliche Komplikationen eintreten. Am einfachsten ist die Bedingung vorgegebener Randtemperaturen zu erf¨ ullen. Hier gen¨ ugt es, den krummlinigen Rand durch x- und y- parallele Geradenst¨ ucke zu approximieren, wobei hinreichend kleine Gitterabst¨ ande Δx und Δy zu w¨ ahlen sind. Die Diskretisierung der Ableitung ∂ϑ/∂n in Richtung der Normalen der Berandung f¨ uhrt jedoch auf komplizierte und schwer zu handhabende Ausdr¨ ucke. Die Diskretisierung der W¨ armeleitungsgleichung l¨ asst sich auf r¨ aumliche Temperaturfelder u ¨ bertragen; dies bleibe dem Leser u ¨ berlassen. Bei der expliziten Diﬀerenzengleichung versch¨ arft sich dabei die Stabilit¨ atsbedingung (2.304), so dass noch kleinere Zeitschritte als bei den ebenen Problemen gew¨ ahlt werden m¨ ussen. Zur L¨ osung des Gleichungssystems des impliziten Diﬀerenzenverfahrens kann man das ADIP-Verfahren nicht anwenden, weil es in drei Dimensionen instabil ist. Man verwendet stattdessen ein ¨ ahnliches Verfahren nach J. Douglas und H.H. Rachford [2.66], [2.67], das stabil ist und auch auf Tridiagonalsysteme f¨ uhrt, aber einen etwas gr¨ oßeren Diskretisierungsfehler als ADIP hat, vgl. auch [2.72].

2.4.6 Station¨ are Temperaturfelder Zur Anwendung des Diﬀerenzenverfahrens auf station¨are W¨armeleitprobleme hat man den ebenen oder r¨ aumlichen Bereich, in dem das Temperaturfeld zu bestimmen ist, durch Wahl eines Gitternetzes zu diskretisieren. Die Temperaturen in den Gitterpunkten werden durch Diﬀerenzengleichungen bestimmt, die jede Temperatur mit den Temperaturen an benachbarten Gitterpunkten verkn¨ upfen. Die Diﬀerenzengleichungen bilden ein lineares Gleichungssystem, das die W¨ armeleitungsgleichung mit ihren Randbedingungen ersetzt und dessen L¨ osung N¨ aherungswerte f¨ ur die Temperaturen an den Gitterpunkten liefert. Durch Verkleinern der Gitterabst¨ ande (Maschenweiten) erh¨oht sich die Zahl der Gitterpunkte und der linearen Diﬀerenzengleichungen; die aus ihnen berechneten Temperaturen sind genauere N¨ aherungen an die wahren Werte. Wir beschr¨ anken uns auf ebene Temperaturfelder; r¨aumliche Temperaturfelder lassen sich in ¨ahnlicher Weise berechnen. Hierf¨ ur geeignete Verfahren und

236

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

ausgearbeitete Algorithmen ﬁndet man insbesondere bei D. Marsal [2.72]. Dort werden auch Verfahren besprochen, die u ¨ ber das einfache Diﬀerenzenverfahren hinausgehen, das wir im Folgenden behandeln. 2.4.6.1 Ein einfaches Diﬀerenzenverfahren f¨ ur ebene station¨ are Temperaturfelder Ebene station¨ are Temperaturfelder ϑ = ϑ(x, y) mit W¨armequellen der Leis˙ werden durch die Diﬀerentialgleichung tungsdichte W ˙ (x, y, ϑ) ∂ 2 ϑ ∂ 2ϑ W + 2 + =0 2 ∂x ∂y λ

(2.306)

beschrieben. Zu ihrer Diskretisierung w¨ ahlen wir ein quadratisches Gitter mit der Maschenweite Δx = Δy, so dass xi = x0 + iΔx ,

i = 0, 1, 2, . . .

yj = y0 + jΔx

j = 0, 1, 2, . . .

und ,

gilt. Die Temperatur am Gitterpunkt (xi , yj ) wird mit ϑi,j = ϑ(xi , yj ) be˙ i,j = W ˙ (xi , yj , ϑi,j ). zeichnet und ebenso die Leistungsdichte W Wir leiten nun, anders als in den vorhergehenden Abschnitten, die zu (2.306) geh¨ orende Diﬀerenzengleichung durch eine Energiebilanz in anschaulicher Weise her. Wir fassen dazu jeden Gitterpunkt als den Mittelpunkt eines kleinen Blocks auf, der aus dem w¨ armeleitenden Material herausgeschnitten ist, Abb. 2.49. Der Block hat einen quadratischen Grundriss mit der Kantenl¨ ange Δx und die H¨ ohe b senkrecht zur x,y-Ebene. Die Temperatur ϑi,j im Gitterpunkt (i, j) wird als charakteristische Mitteltemperatur des ganzen Blocks angesehen. Von den vier unmittelbar benachbarten Bl¨ocken mit den Mitteltemperaturen ϑi+1,j , ϑi,j+1 , ϑi−1,j und ϑi,j−1 wird W¨arme zum betrachteten Block (i, j) geleitet. Die Energiebilanz f¨ ur diesen Block enth¨alt daher die vier W¨ armestr¨ ome von Abb. 2.49 und die durch innere W¨armequel˙ i,j ΔV , wobei ΔV = Δx2 b das Volumen des len hervorgerufene Leistung W Blocks bedeutet: ˙ i,j ΔV = 0 . Q˙ i+1 + Q˙ j+1 + Q˙ i−1 + Q˙ j−1 + W

(2.307)

F¨ ur den W¨ armestrom Q˙ i+1 , der vom Block (i + 1, j), zum Block (i, j) ﬂießt, gilt λ Q˙ i+1 = q˙i+1 Δx b = (ϑi+1,j − ϑi,j ) Δx b = λ (ϑi+1,j − ϑi,j ) b . Δx Dementsprechend wird

2.4 Numerische L¨ osung von W¨ armeleitproblemen mit Diﬀerenzenverfahren

237

Q˙ j+1 = λ (ϑi,j+1 − ϑi,j ) b , Q˙ i−1 = λ (ϑi−1,j − ϑi,j ) b und Q˙ j−1 = λ (ϑi,j−1 − ϑi,j ) b . Im Sinne der Vorzeichenvereinbarung der Thermodynamik wurden die vier W¨ armestr¨ ome als positive Gr¨ oßen angesetzt, wenn sie dem Block (i, j) zuﬂießen. Damit erh¨ alt man aus der Energiebilanzgleichung (2.307) die gesuchte Diﬀerenzengleichung ˙ i,j Δx2 /λ . ϑi+1,j + ϑi,j+1 + ϑi−1,j + ϑi,j−1 − 4 ϑi,j = −W

(2.308)

Dies ist eine N¨ aherungsgleichung, weil jedem kleinen, aber endlich großen Block nur eine diskrete Temperatur zugeordnet ist und weil W¨armeleitung nur zwischen unmittelbar benachbarten Bl¨ ocken ber¨ ucksichtigt wird. Wie man unter Verwendung der Diskretisierungsgleichungen (2.299) und (2.300) f¨ ur die zweiten Ableitungen zeigen kann, erh¨ alt man (2.308) auch durch die u ¨ bliche Diskretisierung der Diﬀerentialgleichung (2.306). Der Diskretisierungsfehler ist daher O Δx2 ; er geht mit Verkleinern der Maschenweite (= Blockbreite) quadratisch gegen null. Die Diﬀerenzengleichung (2.308) ist f¨ ur jeden Gitterpunkt im Inneren des ebenen Bereichs anzusetzen. Entsprechende Diﬀerenzengleichungen f¨ ur die Randpunkte leiten wir im n¨ achsten Abschnitt her. Man erh¨alt ein lineares Gleichungssystem mit — bei feiner Gittereinteilung — sehr vielen Gleichungen. Die numerische Mathematik stellt Verfahren zur L¨osung solcher großen Gleichungssysteme zur Verf¨ ugung [2.61], [2.62]. Vor- und Nachteile der L¨ osungsverfahren diskutieren z.B. D. Marsal [2.72] und G.D. Smith [2.52]. In der Regel verwendet man Iterationsverfahren, die ausf¨ uhrlich von D.M. Young [2.68] beschrieben werden, insbesondere das Gauß-Seidel-Verfahren und die Methode der successive over-relaxation (SOR-Verfahren).

Abb. 2.49: Block mit quadratischem Querschnitt um den Gitterpunkt (i, j) zur Herleitung der Energiebilanzgleichung (2.307)

238

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

Beispiel 2.8: Eine Wand mit der Dicke δ umschließt einen Raum mit quadratischem Grundriss; die L¨ ange der inneren Quadratseite ist 2,5 δ. Die Wand hat die konstanten Oberﬂ¨ achentemperaturen ϑi und ϑa < ϑi . Man berechne den W¨ armestrom, der aufgrund der Temperaturdiﬀerenz ϑi − ϑa aus dem Raum abstr¨ omt.

Abb. 2.50: Wand eines Raumes mit quadratischem Grundriss. a Abmessungen, b grobes Gitter (Δx = δ/2) mit vier unbekannten (normierten) Tempe+ raturen ϑ+ 1 bis ϑ4 Aus Symmetriegr¨ unden gen¨ ugt es, ein Achtel des Grundrisses zu betrachten, Abb. 2.50a. Der gesuchte W¨ armestrom liegt zwischen zwei Grenzen: Man kann ihn mit der inneren Wandoberﬂ¨ ache zu λ Q˙ i = 8 · 1,25 · δ · b (ϑi − ϑa ) = 10 bλ (ϑi − ϑa ) δ und mit der ¨ außeren Wandoberﬂ¨ ache zu λ Q˙ a = 8 · 2,25 · δ · b (ϑi − ϑa ) = 18 bλ (ϑi − ϑa ) δ berechnen, wobei b die Abmessung der Wand senkrecht zur Zeichenebene von Abb. 2.50a bedeutet. Man erh¨ alt den richtigen Wert des zwischen 10 und 18 liegenden Formfaktors Q˙ Sb = , λb (ϑi − ϑa ) vgl. Abschnitt 2.2.5.2, durch Berechnen des Temperaturfeldes in der Wand. Wir verwenden die dimensionslose Temperatur ϑ+ := (ϑ − ϑa )/(ϑi − ϑa ), die im Bereich 0 ≤ ϑ+ ≤ 1 liegt. Ein sehr grobes Gitter mit Δx = δ/2 liefert + vier Gitterpunkte mit den unbekannten Temperaturen ϑ+ 1 bis ϑ4 , vgl. Abb. ˙ i,j ≡ 0 aufgestellten 2.50b. Zu ihrer Berechnung dienen die nach (2.308) mit W Diﬀerenzengleichungen + + ϑ+ 2 + 0 + ϑ1 + 1 − 4 ϑ1 = 0 , + + ϑ+ 3 + 0 + ϑ1 + 1 − 4 ϑ2 = 0 , + + ϑ+ 4 + 0 + ϑ2 + 1 − 4 ϑ3 = 0 , + + 0 + 0 + ϑ+ 3 + ϑ3 − 4 ϑ4 = 0 .

2.4 Numerische L¨ osung von W¨ armeleitproblemen mit Diﬀerenzenverfahren

239

Bei der ersten und vierten Gleichung wurde die Symmetrie (Spiegelung) des Temperaturfeldes an den in Abb. 2.50b strichpunktierten Symmetrielinien ber¨ ucksichtigt. Die L¨ osung der vier linearen Gleichungen ergibt die Temperaturen ϑ+ 1 = 0,4930,

ϑ+ 2 = 0,4789,

ϑ+ 3 = 0,4225,

ϑ+ 4 = 0,2113 .

Damit kann man den W¨ armestrom, der zur ¨ außeren Wandoberﬂ¨ ache geleitet wird, zu ` + + +´ Q˙ = 8 bλ (ϑi − ϑa ) ϑ+ = 12,85 bλ (ϑi − ϑa ) 1 + ϑ2 + ϑ3 + ϑ4 bestimmen. Der Formfaktor hat den Wert Sb = 12,85. Die Ecken erh¨ ohen somit den W¨ armestrom um 28,5 % gegen¨ uber Q˙ i , dem mit der inneren Wandﬂ¨ ache berechneten W¨ armestrom. Wegen des groben Gitters sind dies ungenaue N¨ aherungswerte. Gitterverfeinerung liefert genauere Temperaturen, doch steigt dabei die Zahl der Diﬀerenzengleichungen: Eine Halbierung der Maschenweite (Δx = δ/4) f¨ uhrt bereits zu einem System aus 24 linearen Gleichungen.

2.4.6.2 Die Ber¨ ucksichtigung der Randbedingungen Das aus der Diﬀerenzengleichung (2.308) hervorgehende lineare Gleichungssystem muss durch die Diﬀerenzengleichungen f¨ ur die Randpunkte erg¨anzt werden, mit denen die dort maßgebenden Randbedingungen ber¨ ucksichtigt werden. Zur Vereinfachung nehmen wir an, dass die R¨ander parallel zu den x- und y-Richtungen verlaufen. Krummlinige R¨ander kann man durch einen Linienzug aus zur x- bzw. y-Richtung parallelen Geradenst¨ ucken ersetzen. Hinreichende Genauigkeit wird man dabei jedoch nur bei sehr kleiner Maschenweite Δx erreichen. Sind die R¨ ander Koordinatenlinien eines Polarkoordinatensystems (r, ϕ), so empﬁehlt es sich, die Diﬀerentialgleichung mit ihren Randbedingungen in Polarkoordinaten zu formulieren und daraus die entsprechenden Diﬀerenzengleichungen herzuleiten. Am einfachsten l¨ asst sich die Randbedingung erster Art ber¨ ucksichtigen. Man muss hierzu wie in Beispiel 2.8 Gitterlinien mit den R¨andern zusammenfallen lassen und in den auf den R¨ andern liegenden Gitterpunkten die dort vorgeschriebenen Temperaturen in der Diﬀerenzengleichung (2.308) verwenden. Dies ist f¨ ur R¨ ander, die parallel zur x- und y-Richtung verlaufen, durch geeignete Wahl der Maschenweite Δx zu erreichen. Gegebenenfalls muss man das bisher verwendete quadratische Gitter durch ein Rechteckgitter mit unterschiedlichen Abst¨anden Δx und Δy ersetzen. Die Diﬀerenzengleichung (2.308) ist dann abzu¨ andern, was nach den Ausf¨ uhrungen von 2.4.6.1 ohne Schwierigkeiten ausf¨ uhrbar ist. Die Randbedingung vorgegebener Temperaturen l¨asst sich auch bei gekr¨ ummten R¨ andern in guter N¨ aherung erf¨ ullen. Abb. 2.51 zeigt einen randnahen Gitterpunkt (i, j). Die durch ihn laufenden Gittergeraden x = xi und y = yj schneiden die Randkurve R, wobei die Temperaturen ϑR,n und ϑR,n+1 in den Schnittpunkten gegeben sind. F¨ ur Gitterpunkte (i, j) gilt anstelle von (2.308) die Diﬀerenzengleichung

240

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

2 2 2 ϑR,n + ϑR,n+1 + ϑi−1,j εn (1 + εn ) εn+1 (1 + εn+1 ) 1 + εn

2 1 1 Δx2 ˙ + ϑi,j−1 − 2 + ϑi,j = − Wi,j . (2.309) 1 + εn+1 εn εn+1 λ Ihre Herleitung ﬁndet man bei G.D. Smith [2.52].

Abb. 2.51: Gitterpunkt (i, j) in der N¨ ahe der Randkurve R, auf der die Temperatur ϑR vorgegeben ist

Abb. 2.52: Zur Herleitung der Diﬀerenzengleichung f¨ ur den Randpunkt (xi , yj ) bei W¨ arme¨ ubergang an ein Fluid mit der Temperatur ϑU

Die W¨arme¨ ubergangsbedingung l¨ asst sich nur dann einfach erf¨ ullen, wenn der Rand aus Geradenst¨ ucken besteht, die parallel zur x- oder y-Achse verlaufen. Man l¨ asst den Rand mit einer Gitterlinie zusammenfallen, und die Diﬀerenzengleichung f¨ ur einen solchen Randpunkt l¨asst sich wieder durch eine Energiebilanz gewinnen. Wir zeigen dies f¨ ur einen Gitterpunkt auf einem Rand, der mit der Gitterlinie y = yj zusammenf¨allt, Abb. 2.52. In den schrafﬁerten Block werden von den benachbarten Bl¨ocken die W¨armestr¨ome λ Δx λ Q˙ i−1 = (ϑi−1,j − ϑi,j ) b = (ϑi−1,j − ϑi,j ) b , Δx 2 2

2.4 Numerische L¨ osung von W¨ armeleitproblemen mit Diﬀerenzenverfahren

241

λ Q˙ j−1 = (ϑi,j−1 − ϑi,j ) Δxb = λ (ϑi,j−1 − ϑi,j ) b Δx und

λ Δx λ Q˙ i+1 = (ϑi+1,j − ϑi,j ) b = (ϑi+1,j − ϑi,j ) b Δx 2 2 durch Leitung u ¨ bertragen. Vom Fluid mit der Temperatur ϑU geht der W¨ armestrom Q˙ U = αi (ϑU − ϑi,j ) Δx b u ortlichen W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten an der Stelle xi ¨ ber, wobei αi den ¨ bedeutet. Setzt man die vier W¨ armestr¨ ome in die Bilanzgleichung ˙ i,j Δx2 b/2 = 0 Q˙ i−1 + Q˙ j−1 + Q˙ i+1 + Q˙ U + W ein, so erh¨ alt man die Diﬀerenzengleichung ϑi,j−1 +

1 ˙ i,j Δx2 /2λ (2.310) (ϑi−1,j + ϑi+1,j )+ Bi∗i ϑU − (2 + Bi∗i ) ϑi,j = −W 2

mit Bi∗i = αi Δx/λ als der ¨ ortlichen Biot-Zahl. Durch sie l¨asst sich eine Ver-

Abb. 2.53: Zur Erl¨ auterung der Diﬀerenzengleichungen f¨ ur den Randpunkt a in der einspringenden Ecke, b an der ¨ außeren Ecke bei W¨ arme¨ ubergang an ein Fluid mit der Temperatur ϑU

a¨nderung des W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten l¨ angs des Randes leicht ber¨ ucksichtigen. In der gleichen Weise gewinnt man die folgenden Diﬀerenzengleichungen, die f¨ ur den W¨ arme¨ ubergang an einer inneren (einspringenden) Ecke nach Abb. 2.53a und an einer a ur die innere Ecke ¨ußeren Ecke nach Abb. 2.53b gelten. F¨ erh¨ alt man 1 ˙ i,j Δx2 /4λ (ϑi,j−1 + ϑi+1,j ) + Bi∗i ϑU − (3 + Bi∗i ) ϑi,j = −3W 2 (2.311) und f¨ ur die Ecke nach Abb. 2.53b ϑi,j+1 + ϑi−1,j +

1 ˙ i,j Δx2 /4λ . (ϑi−1,j + ϑi,j−1 ) + Bi∗i ϑU − (1 + Bi∗i ) ϑi,j = −W 2

(2.312)

242

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

Treten keine inneren W¨ armequellen auf, so ist in den Beziehungen (2.309) bis ˙ i,j = 0 zu setzen. (2.312) W Setzt man in (2.310) bis (2.312) Bi∗i = 0, also αi = 0, so gelten diese Beziehungen f¨ ur eine adiabate Oberﬂ¨ ache. Dies entspricht dem Sonderfall q˙ = 0 der Randbedingung vorgeschriebener W¨ armestromdichte q. ˙ Nach Abschnitt 2.4.2 wird diese Randbedingung genauer erfasst, wenn man das Gitter so legt, dass der Rand mit vorgeschriebener W¨armestromdichte den Abstand Δx/2 von der Gittergeraden hat, vgl. Abb. 2.54. Die Energiebilanz f¨ ur den in Abb. 2.54 hervorgehobenen Block mit der Temperatur ϑi,j lautet

Abb. 2.54: Zur Herleitung der Diﬀerenzengleichung (2.313) bei vorgeschriebener W¨ armestromdichte q˙i auf dem Rand

˙ i,j Δx2 b = 0 , Q˙ i+1 + Q˙ i−1 + Q˙ j−1 + q˙i Δx b + W wobei q˙i = q(x ˙ i ) die bei x = xi vorgegebene W¨armestromdichte bedeutet. Aus der Energiebilanz folgt die Diﬀerenzengleichung ϑi+1,j + ϑi−1,j + ϑi,j−1 − 3ϑi,j = −q˙i

2 Δx ˙ i,j Δx . −W λ λ

(2.313)

Man erh¨ alt ¨ ahnlich aufgebaute Diﬀerenzengleichungen, wenn die W¨armestromdichte auf einem parallel zur y-Achse verlaufenden Rand vorgeschrieben ist. Beispiel 2.9: Der in Abb. 2.55a dargestellte Formstein einer Ofenwand (λ = 0,80 W/K m) mit trapezf¨ ormigem Querschnitt (δ = 0,30 m) ist an den senkrechten Fl¨ achen isoliert. An der oberen Begrenzungsﬂ¨ ache geht W¨ arme an Luft mit der konstanten Temperatur ϑU u arme¨ ubergangskoeﬃzient ist ¨ ber; der W¨ α = 10 W/m2 K. Die untere Begrenzungsﬂ¨ ache habe die konstante Temperatur ϑR > ϑU . Man berechne den W¨ armestrom, der durch den Formstein an die Luft u arme abgebenden Oberﬂ¨ ache. ¨bertragen wird, und die Temperaturen an der W¨ Um das Temperaturfeld n¨ aherungsweise zu bestimmen, benutzen wir das in Abb. 2.55b eingezeichnete Gitternetz mit der recht groben Maschenweite Δx = Δy = δ/3 = 0,10 m. Wir f¨ uhren wie im letzten Beispiel eine dimensionslose Temperatur ϑ+ =

ϑ − ϑU ϑR − ϑU

,

0 ≤ ϑ+ ≤ 1

2.4 Numerische L¨ osung von W¨ armeleitproblemen mit Diﬀerenzenverfahren

243

ein und stellen die Diﬀerenzengleichungen f¨ ur die acht unbekannten Temperatu+ ˙ i,j ≡ 0 ren ϑ+ ur die drei Oberﬂ¨ achentemperaturen ist (2.310) mit W 1 bis ϑ8 auf. F¨ maßgebend, woraus die drei Gleichungen

Abb. 2.55: W¨ armeleitung in einem Formstein. a Abmessungen und gegebene Temperaturen, b quadratisches Gitternetz mit der Maschenweite Δx = δ/3 + zur Berechnung der Temperaturen ϑ+ 1 bis ϑ8

ϑ+ 4 +

1 2

ϑ+ 5 +

1 2

ϑ+ 6 +

1 2

` + ´ + ∗ ϑ1 + ϑ+ 2 − (2 + Bi ) ϑ1 = 0 , ` + ´ ∗ + ϑ1 + ϑ+ 3 − (2 + Bi ) ϑ2 = 0 , ` + ´ + ∗ ϑ2 + ϑ+ 3 − (2 + Bi ) ϑ3 = 0

resultieren. Dabei ist zu beachten, dass ϑ+ U = 0 ist. Die adiabaten senkrechten W¨ ande wurden als Symmetrieﬂ¨ achen mit einer Spiegelung der Temperaturen ϑ+ 1 bzw. ϑ+ ucksichtigt. 3 in der ersten und letzten Gleichung ber¨ + F¨ ur die beiden innen liegenden Gitterpunkte mit den Temperaturen ϑ+ 4 und ϑ5 kommt die Diﬀerenzengleichung (2.308) zur Anwendung: + + + + ϑ+ 5 + ϑ1 + ϑ4 + ϑ7 − 4 ϑ4 = 0 , + + + + ϑ+ 6 + ϑ2 + ϑ4 + ϑ8 − 4 ϑ5 = 0 . + Die in der N¨ ahe des unteren Randes liegenden Gitterpunkte mit ϑ+ 6 bis ϑ8 haben Arme“, die von der schr¨ ag laufenden Randgeraden geschnitten werden, auf der ”+ ϑR = 1 ist. Hier verwenden wir (2.309) und denken uns dabei Abb. 2.55b um ¨ 90◦ entgegen dem Uhrzeigersinn gedreht, damit Ubereinstimmung mit Abb. 2.51 entsteht. F¨ ur den Punkt 6 mit εn = 0,75 und εn+1 = 1 sowie mit ϑR,n = ϑ+ R und ϑR,n+1 = ϑ+ folgt „ « 6 2 2 1 ϑ+ + ϑ+ ϑ+ + ϑ+ + 1 ϑ+ 6 + 5 −2 6 = 0 . 0,75 (1 + 0,75) R 1 + 0,75 3 0,75 + + F¨ ur den Gitterpunkt mit ϑ+ 7 gilt analog mit ϑR,n = ϑR und ϑR,n+1 = ϑ8 „ « 2 2 1 + + + ϑ+ + ϑ + ϑ + ϑ − 2 + 1 ϑ+ 8 7 7 = 0 . 0,75 (1 + 0,75) R 1 + 0,75 4 0,75

Die Diﬀerenzengleichung f¨ ur den letzten, randn¨ achsten Gitterpunkt 8 mit εn = + 0,25, εn+1 = 0,50, ϑR,n = ϑ+ R und ϑR,n+1 = ϑR lautet

244

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion 2 2 2 ϑ+ + ϑ+ + ϑ+ 0,25 (1 + 0,25) R 0,50 (1 + 0,50) R 1 + 0,25 5 „ « 2 1 1 + ϑ+ − 2 + ϑ+ 8 = 0 . 1 + 0,50 7 0,25 0,50

Mit Bi∗ = αΔx/λ = 10 (W/m2 K) 0,10 m/0,80 (W/Km) = 1,25 und ϑ+ R = 1 erh¨ alt man aus diesen Gleichungen das lineare Gleichungssystem ` + ´ + + + + + ϑ+ ϑ+ , 1 = 0,1818 ϑ2 + 0,3636 ϑ4 , 5 = 0,2500 ϑ2 + ϑ4 + ϑ6 + ϑ8 ` + ´ + + + + + + ϑ2 = 0,1538 ϑ1 + ϑ3 + 0,3077 ϑ5 , ϑ6 = 0,3117 ϑ3 + 0,2727 ϑ5 + 0,4156 , + + + + ϑ+ ϑ+ 3 = 0,1818 ϑ2 + 0,3636 ϑ6 , 7 = 0,3117 ϑ4 + 0,2727 ϑ8 + 0,4156 , ` + ´ + + + + + ϑ+ , ϑ+ 4 = 0,2500 ϑ1 + ϑ4 + ϑ5 + ϑ7 8 = 0,1333 ϑ5 + 0,1111 ϑ7 + 0,7556 .

Seine L¨ osung, etwa nach dem Iterationsverfahren von Gauß-Seidel, liefert die Temperaturen + + + ϑ+ 1 = 0,258 , ϑ2 = 0,274 , ϑ3 = 0,295 , ϑ4 = 0,573 , + + + ϑ+ 5 = 0,613 , ϑ6 = 0,675 , ϑ7 = 0,848 , ϑ8 = 0,932 .

Die Temperatur der an die Luft grenzenden Oberﬂ¨ ache ist nicht konstant; sie nimmt von der linken Ecke, wo der Formstein am dicksten ist, bis zur rechten Ecke zu. Ihr Mittelwert ist 1` + +´ ϑ+ ϑ + ϑ+ = 0,276 . m = 2 + ϑ3 3 1 Damit l¨ asst sich der an die Luft u armestrom ¨bergehende W¨ Q˙ = α δb (ϑm − ϑU ) = αδbϑ+ m (ϑR − ϑU ) berechnen, wobei b die Abmessung des Formsteins senkrecht zur Zeichenebene von Abb. 2.55a bedeutet. Man erh¨ alt ˙ (ϑR − ϑU ) = 0,828 W/K m . Q/b

2.5 Numerische L¨ osung von W¨ armeleitproblemen mit der Finite-Element-Methode Wie wir sahen, ersetzt man bei den Diﬀerenzenverfahren die Diﬀerentialquotienten durch Diﬀerenzenquotienten und wandelt so die Diﬀerentialgleichung einschließlich ihrer Randbedingungen in ein System algebraischer Gleichungen um. Mit der Methode der ﬁniten Elemente, abk¨ urzend oft als FEM bezeichnet, ersetzt man hingegen die Diﬀerentialgleichung mit den zugeh¨origen Randbedingungen durch eine ¨ aquivalente Variationsaufgabe, was im folgenden Abschnitt gezeigt wird. Man zerlegt dazu das L¨ osungsgebiet in Unterbereiche, die

2.5 Numerische L¨ osung von W¨ armeleitproblemen mit der FEM-Methode

245

ﬁniten Elemente, welche das L¨ osungsgebiet m¨oglichst vollst¨andig abdecken. Als Beispiel zeigt Abb. 2.56 die Zerlegung einer innen runden, außen rechteckigen Wand in Dreieckselemente. Manchmal werden anstelle der Dreiecke auch Vierecke verwendet. Ebenso ist es m¨ oglich, innerhalb eines L¨osungsgebiets verschiedene Elementtypen zu verwenden, wenn dadurch die geometrische Gestalt besser angen¨ ahert werden kann. Geometrisch dreidimensionale K¨ orper zerlegt man durch Tetraeder.

Abb. 2.56: Diskretisierung einer Wand mit ﬁniten Elementen

Zur L¨ osung der Variationsaufgabe werden die Temperaturen in jedem Element approximiert, indem man zwischen den zun¨achst noch unbekannten Temperaturen der Knotenpunkte linear oder durch andere Funktionen, z.B. durch Splinefunktionen, so genannte Ansatzfunktionen, interpoliert. Diese N¨ aherungen setzt man in die Formulierung der Variationsrechnung ein. Man erh¨ alt dann wie bei den Diﬀerenzenverfahren ein System algebraischer Gleichungen f¨ ur die noch unbekannten Temperaturen an den Knotenpunkten. Verzichtet man darauf, die zeitlichen Ableitungen in der W¨armeleitungsgleichung durch Ansatzfunktionen zu approximieren, so erh¨alt man ein System von gew¨ ohnlichen Diﬀerentialgleichungen anstelle der partiellen und als deren L¨ osung die zeitlich ver¨ anderlichen Temperaturen an den Knotenpunkten. Anders als mit Diﬀerenzenverfahren kann man durch das Verfahren der ﬁniten Elemente K¨ orper von unregelm¨ aßiger Gestalt leicht nachbilden. Ein grobes Gitter gen¨ ugt in den Bereichen, in denen sich die geometrische Gestalt und die Temperaturen nur wenig ¨ andern; dort wo sie sich stark ¨andern, wird man ein feineres Gitter w¨ ahlen. Die Anwendung der Methode der ﬁniten Elemente auf Probleme der W¨arme¨ ubertragung wird u.a. in den B¨ uchern von R.W. Lewis [2.70], J.N. Reddy und D.K. Gartling [2.71] behandelt. Weitere Informationen ﬁndet man bei D. Marsal [2.72], sowie in Standardwerken u ¨ber ﬁnite Elemente, z.B. [2.73] und [2.74].

246

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

Bekannte kommerzielle Programme, mit denen man auch Probleme der W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubertragung bearbeiten kann, sind: – – – – – – – –

Abaqus von ABAQUS, Inc., jetzt Dassault Syst`emes, Frankreich ANSYS von Swanson Analysis Systems Inc., U.S.A. COSMOS von Structural Research and Analysis Corp., U.S.A. FIDAP, Fluid Dynamic Analysis Package von Fluent, Lebanon, U.S.A. FLUENT von Fluent, Lebanon, U.S.A. MARC von Marc Analysis Research Corp., U.S.A. NASTRAN, ein von der NASA entwickeltes Programm SEPRAN, ein von der Technischen Universit¨at Delft entwickeltes Programm.

2.5.1 Die Finite-Element-Methode fu are, ¨r station¨ geometrisch eindimensionale Temperaturfelder Zur Einf¨ uhrung in die Finite-Element-Methode (FEM) behandeln wir zuerst die station¨ are, geometrisch eindimensionale W¨armeleitung in L¨angsrichtung eines Stabes. An diesem einfachen Beispiel lassen sich die Grundz¨ uge des Verfahrens verst¨andlich machen, und wir k¨ onnen die mit der Finite-ElementMethode gewonnenen Ergebnisse mit denen der analytischen L¨osung vergleichen, die wir aus Abschnitt 2.2.2 bereits kennen. Gesucht ist der Temperaturverlauf in einem Stab konstanten Querschnitts wie in Abb. 2.7 skizziert. Es gilt die W¨ armeleitungsgleichung (2.51) oder d2 ϑ+ − m2 h ϑ+ = 0 , dx+2

(2.314)

in die wir die dimensionslose Temperatur nach (2.53) ϑ+ :=

ϑ − ϑU ϑ0 − ϑU

eingef¨ uhrt und die dimensionslose L¨ ange mit x+ := x/h bezeichnet haben, wobei L = h die L¨ ange des Stabes ist. Der gesuchte Temperaturverlauf im Bereich 0 ≤ x+ ≤ 1 soll die Randbedingungen ϑ+ x+ = 0 = 1 und

∂ϑ+ (x+ = 1) =0 ∂x+

erf¨ ullen. Wie man in der Variationsrechnung zeigt, gen¨ ugt die gesuchte L¨osung ϑ+ (x+ ) der Integralbedingung 1 I= 2

1

x+ =0

∂ϑ+ ∂x+

2

2 2 +2

+m h ϑ

dx+ = Minimum .

(2.315)

2.5 Numerische L¨ osung von W¨ armeleitproblemen mit der FEM-Methode

247

Statt die Diﬀerentialgleichung (2.314) unter den angegebenen Randbedingungen zu l¨ osen, kann man daher auch diejenige Funktion ϑ+ (x+ ) suchen, welche das Integral zum Minimum macht. Um dies zu zeigen, betrachten wir die unbekannte exakte L¨osung ϑ+ (x+ ) als eingebettet in eine Familie von Funktionen ϑˆ+ x+ , ε = ϑ+ x+ + ε η x+ . Die Gr¨ oße ε ≥ 0 hat hierin f¨ ur jede Kurve einen konstanten, aber jeweils anderen Wert. Wie in Abb. 2.57 dargestellt, sollen die Funktionen ϑˆ+ (x+, ε) und ϑ+ (x+ ) an den R¨ andern x+ = 0 und x+ = 1 u ¨ bereinstimmen. Es ist daher + ˆ dort η (0) = η (1) = 0 und somit ϑ (0, ε) = ϑ+ (0) und ϑˆ+ (1, ε) = ϑ+ (1). Voraussetzungsgem¨ aß ist ϑˆ+ (x+, ε = 0) = ϑ+ (x+ ).

Abb. 2.57: Abweichung ` ´des Temperaturverlaufs ϑˆ+ x+`, ε ´von dem Temperaturverlauf ϑ+ x+ der exakten L¨ osung

Da das Integral I (ϑ+ ) ein Minimum annehmen soll, gilt f¨ ur alle Werte ε I ϑˆ+ ≥ I ϑ+ und an jeder Stelle x+ I (ε) ≥ I (ε = 0) . Daraus folgt: I ϑˆ+ nimmt an der Stelle ε = 0 einen Extremwert an. Damit gilt bei ε = 0

dI ϑˆ+ =0 . dε

248

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

Wir wenden dies auf (2.315) an und erhalten: 1 ˆ+ dI ϑˆ+ 1 dϑˆ+ d dϑˆ 2 2 ˆ+ dϑ = 2 + +2m h ϑ dx+ = 0 . dε 2 dx dε dx+ dε x+ =0

Darin ist f¨ ur ε = 0: dϑˆ+ dϑ+ = ; dx+ dx+

d dε

dϑˆ dx+

=

dη ; dx+

ϑˆ+ = ϑ+

und

dϑˆ+ =η dε

und somit f¨ ur ε = 0: 1 + dI ϑˆ+ dϑ dη 2 2 + = + m h ϑ η dx+ = 0 . dε dx+ dx+ x+ =0

Wegen 1 x+ =0

dϑ+ dη = dx+ dx+

1 x+ =0

d dx+

1 dϑ+ d2 ϑ+ + η + dx − η +2 dx+ dx dx x+ =0

kann man daf¨ ur auch schreiben

+1 1 2 + dI ϑˆ+ dϑ+ ++ d ϑ 2 2 + = η + + − η −m h ϑ dx+ = 0 . (2.316) dε dx dx+2 x+ =0 x+ =0

Der erste Term verschwindet, wenn man gem¨aß Abb. 2.57 an den R¨andern η (0) = η (1) = 0 vorgibt. Er w¨ urde auch verschwinden, wenn man nicht u ¨ ber η (x+) an den R¨andern verf¨ ugte und dort dϑ+/dx+ = 0 ist, also keine W¨arme u allen gilt ¨ bertragen wird. In beiden F¨

1 d2 ϑ+ dI ϑˆ+ 2 2 + = η x+ − m h ϑ dx+ = 0 . dε dx+2

(2.317)

x+ =0

Diese Gleichung ist f¨ ur beliebige Funktionen η (x+ ) nur zu erf¨ ullen, wenn das gesuchte Temperaturproﬁl gerade (2.314) gen¨ ugt unter den Randbedingungen konstanter Temperatur an den R¨ andern x+ = 0 und x+ = 1, oder wenn an einem Rand die Temperatur vorgegeben ist und am anderen keine W¨arme u ¨ bertragen wird. Um zu zeigen, wie man den Temperaturverlauf ϑ+ (x+ ) bestimmt, welcher das Integral (2.315) zu einem Minimum macht, behandeln wir beispielhaft die gerade Rippe mit rechteckigem Proﬁl. F¨ ur deren Temperaturverlauf ist uns die analytische L¨ osung (2.72) bereits bekannt ist, so dass wir mit ihr die Genauigkeit der FEM-L¨ osung u ufen k¨ onnen. ¨ berpr¨

2.5 Numerische L¨ osung von W¨ armeleitproblemen mit der FEM-Methode

249

Abb. 2.58: Ann¨ aherung des Temperaturproﬁls in einer Rippe durch Geraden

Den gesuchten Temperaturverlauf n¨ ahern wir nach Abb. 2.58 durch einen Polygonzug an, der aus geraden Teilst¨ ucken besteht. In jedem Intervall + + x+ ≤ x ≤ x gilt dann i−1 i + ϑ+ i −ϑi−1 + ϑ+ x+ = ϑ+(i) x+ ∼ x −x+ . = ϑ+ i−1 + i−1 + Δxi

Der Beitrag des Teilintervalls i zum Integral I betr¨agt daher I (i)

1 = 2

+⎧ xi ⎨

x+ i−1

+ ϑ+ i −ϑi−1

⎩

Δx+ i

2

+ m2 h 2

2 ⎫ + + ⎬ ϑ −ϑ i i−1 + + ϑ+ + x −x dx+ , i−1 i−1 ⎭ Δx+ i (2.318)

der des Teilintervalls i + 1 ist dementsprechend ⎧ x+ i+1

I (i+1)

2 ⎫ ⎨ + + 2 + + ⎬ ϑi+1 −ϑi ϑi+1 −ϑi 1 = + m2 h2 ϑ+ x+ −x+ dx+ . i + i + + ⎩ ⎭ 2 Δxi Δxi+1 x+ i

(2.319) Die Summe aller Teilintegrale ergibt das Integral I=

n

+ + + + I (k) = I ϑ+ . 0 , ϑ1 , . . . , ϑi , ϑi+1 , . . . , ϑn

k=1

Notwendige Bedingung f¨ ur das Minimum sind die n + 1 Gleichungen ∂I = 0; ∂ϑ+ i Ausgeschrieben bedeutet dies:

i = 0, 1, 2, . . . , n .

(2.320)

250

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

∂I ∂I (1) ∂I (2) ∂I (i) ∂I (i+1) ∂I (n) = + +. . .+ + +. . .+ = 0 ; i = 0, 1, 2, . . . , n . ∂ϑ+ ∂ϑ+ ∂ϑ+ ∂ϑ+ ∂ϑ+ ∂ϑ+ i i i i i i Hierin verschwinden alle Terme, in denen ϑ+ i nicht vorkommt. Es verbleiben (i+1) somit nur die beiden Ausdr¨ ucke ∂I (i) / ∂ϑ+ / ∂ϑ+ i und ∂I i , und es gilt daher ∂I ∂I (i) ∂I (i+1) =0 . (2.321) + = + + ∂ϑi ∂ϑi ∂ϑ+ i Die Diﬀerentiation von I (i) und I (i+1) nach ϑ+ i liefert nach wenigen Umformungen, wenn wir ¨ aquidistante Schrittweiten Δx+ w¨ahlen + + ϑ+ i−1 + ϑi d + ϑi+1 = 0 ,

mit der Abk¨ urzung

+ ϑ+ n−1 + ϑn d/2 = 0

(2.322)

2 1 + 2 m2 h2 Δx+2 /6 d= . −1 + m2 h2 Δx+2 /6

Vorgegeben war die Temperatur ϑ+ ur die n unbekannten Temperatu0 = 1. F¨ + + ren ϑ+ , ϑ , . . . , ϑ hat man mit (2.322) n lineare Gleichungen. n 1 2 Als Zahlenbeispiel berechnen wir das Temperaturproﬁl einer rechteckigen Rippe. Die Schrittweite w¨ ahlen wir Δx+ = 0, 25. Zu ermitteln sind + + + somit vier unbekannte Temperaturen ϑ+ 1 (Δx = 0, 25), ϑ2 (2Δx = 0, 5), + + + + ϑ3 (3Δx = 0, 75) und ϑ4 (4Δx = 1). Aus (2.322) erhalten wir folgende Gleichungen: + 1 + ϑ+ 1 d + ϑ2 = 0 , + + ϑ+ 2 + ϑ3 d + ϑ4 = 0 ,

+ + ϑ+ 1 + ϑ2 d + ϑ3 = 0 + ϑ+ 3 + ϑ4 d/2 = 0 .

Auﬂ¨ osung der Gleichungen ergibt die Temperaturen: d 3 − d2 d2 − 2 + ϑ1 = , ϑ+ 2 = 2 4 2−4d +d 2 − 4 d2 + d4 ϑ+ 3 =

−d , 2 − 4 d2 + d4

ϑ+ 4 =

2 . 2 − 4 d2 + d4

In Tabelle 2.13 ﬁndet man Zahlenwerte f¨ ur Rippen mit mh = 1 und mh = 2 verglichen mit den Werten der analytischen L¨osungen nach (2.72).

2.5.2 Die Finite-Element-Methode fu are ¨ r ebene station¨ Temperaturfelder Wie in Abschnitt 2.4.6.1 gezeigt wurde, werden ebene station¨are Tempe˙ (x, y) durch die Diﬀerentialgleiraturfelder ϑ (x, y) mit W¨ armequellen W chung (2.306)

2.5 Numerische L¨ osung von W¨ armeleitproblemen mit der FEM-Methode

251

Tabelle 2.13: Vergleich von Temperaturen in einer geraden rechteckigen Rippe berechnet mit der Finite-Element-Methode (FEM) mit den Werten der analytischen L¨ osung nach (2.72) ϑ+ 0 FEM Analyt. L¨ osung

ϑ+ 2

ϑ+ 3

ϑ+ 4

1

0,8384 0,7297 0,6672 0,6468

1

0,8390 0,7308 0,6684 0,6480

1

0,6215 0,4051 0,2943 0,2604

1

0,6253 0,4102 0,2997 0,2658

mh = 1

FEM Analyt. L¨ osung

ϑ+ 1

mh = 2

˙ ∂2ϑ ∂2ϑ W + 2 + =0 (2.323) 2 ∂x ∂y λ beschrieben. Als Randbedingungen sei endlicher W¨arme¨ ubergang auf dem Rand Γ zugelassen Q˙ = αA (ϑ − ϑU ) , wobei der W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient l¨ angs des Randes Γ ver¨anderlich sein kann. Statt die Diﬀerentialgleichung mit den zugeh¨origen Randbedingungen zu l¨ osen, kann man das Temperaturfeld ϑ (x, y) bestimmen, welches das Integral ⎧ ⎫ 2 2 ⎨ ⎬ ˙ 1 ∂ϑ ∂ϑ W α 2 I= + −2 ϑ dx dy + (ϑ − ϑU ) ds ⎭ 2⎩ ∂x ∂y λ λ Ω

Γ

(2.324) zum Minimum macht. Mit ds ist hierin ein Linienelement auf dem Rand Γ bezeichnet, Ω ist der ebene Bereich, in dem das Temperaturfeld zu bestimmen ist. Der Beweis f¨ ur diese Behauptung ist ¨ ahnlich dem von Abschnitt 2.5.1; wir verzichten darauf, ihn hier darzustellen, und verweisen auf [2.71]. Wird nur auf einem Teilst¨ uck Γ1 des Randes W¨arme durch Konvektion u uck Γ2 die W¨armestromdichte q˙ ¨ bertragen, und ist auf einem anderen Teilst¨ vorgegeben, so treten in (2.324) an Stelle von α 2 (ϑ − ϑU ) ds λ Γ

die beiden Ausdr¨ ucke

Γ1

α (ϑ − ϑU )2 ds + λ

Γ2

q˙ ϑ ds . λ

252

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

Ist das Teilst¨ uck Γ2 des Randes adiabat oder sind dort die Temperaturen vorgegeben, so entf¨ allt der zweite Term. Ebenso entf¨allt der erste Term, wenn statt endlichem W¨ arme¨ ubergang auf dem Teilst¨ uck Γ1 die Temperaturen vorgegeben sind. Beispiel 2.10: Mit Hilfe der Finite-Element-Methode behandeln wir die station¨ are W¨ armeleitung in einer Wand der Dicke δ, die einen Raum mit quadratischem Grundriss nach Abb. 2.50 des Beispiels 2.8 umschließt. Die mit der FiniteElement-Methode berechneten Temperaturen und der W¨ armestrom, der aus der Wand abﬂießt, sollen mit den Ergebnissen des ﬁniten Diﬀerenzenverfahrens des Beispiels 2.8 verglichen werden. Im Unterschied zu Beispiel 2.8 berechnen wir nun auch die Temperatur ϑ+ 0 an der strichpunktierten linken Symmetrielinie, Abb. 2.59.

Abb. 2.59: Wand eines Raumes mit quadratischem Grundriss wie in Abb. 2.50, hier mit FEM-Gitternetz

+ + + Die Temperaturen ϑ+ 1 , ϑ2 , ϑ3 und ϑ4 liegen an den gleichen Stellen wie in Abb. 2.50. Das Rechengebiet zwischen den beiden strichpunktierten Symmetrielinien enth¨ alt die Dreieck-Elemente 1, 2, . . . , 16. Jede der Temperaturen ϑ+ aß der Tabelle 2.14. j , j = 0, 1, . . . , 4 liegt auf der Ecke mehrerer Dreiecke gem¨ Gesucht ist das Minimum des Integrals (2.324). In diesem entf¨ allt nun die ˙ und das Integral u W¨ armequelle W arme durch ¨ ber den Rand Γ , da dort keine W¨ Konvektion u ¨ bertragen wird, sondern die Temperaturen gegeben sind. Mit den dimensionslosen Temperaturen ϑ+ = (ϑ − ϑa ) / (ϑi − ϑa ) und den dimensionslosen L¨ angen x+ = x / δ sowie y + = y / δ geht dann (2.324) u ¨ ber in

I=

1 2

Z »„ Ω+

∂ϑ+ ∂x+

«2

„ +

∂ϑ+ ∂y +

«2 – dx+ dy + .

(2.325)

2.5 Numerische L¨ osung von W¨ armeleitproblemen mit der FEM-Methode

253

Tabelle 2.14: Den Temperaturen ϑ+ j , j = 0, 1, . . . , 4 nach Abb. 2.59 zugeordnete Dreiecke k = 1, 2, . . . , 16 ϑ+ j

ϑ+ j ist Eckpunkt der Dreiecke k

j= 0 1 2 3 4

k = 1, 1, 2, 3, 4,

13, 5, 6, 7, 12,

8 2, 3, 4, 16

14, 15, 16,

9, 10, 11,

13 14 15

Mit Ω + ist hierin das L¨ osungsgebiet in den dimensionslosen L¨ angen x+ und + y bezeichnet. F¨ ur jedes Dreieck-Element der Abb. 2.59 kann man ein solches Integral I (k) bilden, und es ist I=

16 X

I (k) .

(2.326)

k=1

Zur Berechnung der Integrale I (k) eines jeden Dreieck-Elements ben¨ otigt man die Ableitungen ∂ϑ+ / ∂x+ und ∂ϑ+ / ∂y + , die wir n¨ aherungsweise durch ihre Diﬀerenzenquotienten ersetzen. Diese sind in Tabelle 2.15 aufgef¨ uhrt.

Tabelle 2.15: Den Dreiecken k zugeordnete Ableitungen der Temperaturen ` + ´ ∂ϑ / ∂x+ ∼ =

` + ´ ∂ϑ / ∂y + ∼ =

+ ϑ+ k − ϑk−1

ϑ+ k−1 − 1

Δx+ k

Δyk+

5, 6, 7

0

ϑ+ k −1 Δyk+

8, 9, 10, 11, 12

0

Dreiecke k k = 1, 2, 3, 4

13, 14, 15, 16

0 − ϑ+ k−8 Δyk+

+ ϑ+ k−12 − ϑk−13

0 − ϑ+ k−12

Δx+ k

Δyk+

Wie aus Tabelle 2.15 und auch aus Abb. 2.59 hervorgeht, kommt die Temperatur ϑ+ 0 nur als Knotenpunkt der Dreiecke 1, 13 und 8 vor. Daher ist ∂I ∂I (1) ∂I (13) ∂I (8) =0 . + = + + + + ∂ϑ0 ∂ϑ0 ∂ϑ0 ∂ϑ+ 0

254

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

Um die hierin vorkommenden Ableitungen zu bilden, ersetzen wir in (2.325) die Diﬀerentialquotienten durch die Diﬀerenzenquotienten der Tabelle 2.15 und erhalten «2 „ + «2 – Z »„ + ϑ1 − ϑ+ ϑ0 − 1 1 0 I (1) = + dx+ dy + , 2 Δx+ Δy1+ 1 + Ω1

I (13) =

I (8) =

1 2 1 2

Z »„

+ Ω13

Z »„

+ Ω8

+ ϑ+ 1 − ϑ0 + Δx13

ϑ+ 0 Δy8+

«2

„ +

ϑ+ 1 + Δy13

«2 – dx+ dy + ,

«2 – dx+ dy + .

+ + + + + + Nach Abb. 2.59 ist Δx+ 1 = Δx13 = Δx /2 und Δy1 = Δy13 = Δy8 = Δx . Die Dreiecksﬂ¨ achen 1, 13 und 8 sind gleich groß. Wir erhalten daher

∂I ∂I (1) ∂I (13) ∂I (8) + = + + + + ∂ϑ0 ∂ϑ0 ∂ϑ0 ∂ϑ+ 0 » =

+ ϑ+ ϑ+ − 1 ϑ+ − ϑ+ ϑ+ 1 − ϑ0 0 0 (−1) + 0 +2 + 1 + 2 2 + + Δx Δx+2 (Δx /2) (Δx /2)

–

Δx+2 4

=0 .

(2.327)

Daraus folgt + 10 ϑ+ 0 − 8 ϑ1 − 1 = 0

(2.328)

ϑ+ 1

Die Temperatur ist nach Tabelle 2.14 Knotenpunkt der Dreiecke 1, 5, 2, 14, 9 und 13. Es ist somit ∂I ∂I (1) ∂I (5) ∂I (2) ∂I (14) ∂I (9) ∂I (13) = + + + + + =0 . ∂ϑ+ ∂ϑ+ ∂ϑ+ ∂ϑ+ ∂ϑ+ ∂ϑ+ ∂ϑ+ 1 1 1 1 1 1 1 Eine entsprechende Rechnung wie zuvor f¨ uhrt auf + + −2 ϑ+ 0 + 10 ϑ1 − 2 ϑ2 − 3 = 0 .

(2.329)

Die Bildung von ∂I/∂ϑ+ 2 = 0 liefert

∂I/∂3+ = 0 f¨ uhrt auf und

∂I/∂4+

+ + −2 ϑ+ 1 + 8 ϑ2 − 2 ϑ3 − 2 = 0 ,

(2.330)

+ + −2 ϑ+ 2 + 8 ϑ3 − 2 ϑ4 − 2 = 0

(2.331)

+ −2 ϑ+ 3 + ϑ4 = 0 .

(2.332)

= 0 ergibt

Als L¨ osung von (2.328) bis (2.332) ﬁndet man die Temperaturen ϑ+ 0 = 0, 4961

ϑ+ 1 = 0, 4951

ϑ+ 2 = 0, 4795

ϑ+ 3 = 0, 4227

ϑ+ 4 = 0, 2114 .

Sie unterscheiden sich nur wenig von den mit ﬁniten Diﬀerenzen ermittelten Werten des Beispiels 2.8:

2.5 Numerische L¨ osung von W¨ armeleitproblemen mit der FEM-Methode ϑ+ 1 = 0, 4930

ϑ+ 2 = 0, 4789

ϑ+ 3 = 0, 4225

255

ϑ+ 4 = 0, 2113 .

Auch der Formfaktor, in Beispiel 2.8 zu Sb = 12, 85 berechnet, ¨ andert sich nur wenig. Er wird jetzt Sb = 12, 87. Beispiel 2.11: Die Innenwand eines aus Schamottesteinen gemauerten Industrieofens ist st¨ uckweise schlecht verfugt, so dass die 500 heißen Gase in die Spalten zwischen den Steinen eindringen k¨ onnen. Um wie viel erh¨ ohen sich die dadurch entstehenden W¨ armeverluste?

Abb. 2.60: Wand eines Industrieofens mit oﬀener Fuge. Grobes Gitter f¨ ur das FEM-Verfahren Dem Rechenverfahren werde das in Abb. 2.60 dargestellte Gitter zugrunde gelegt. Aus Symmetriegr¨ unden gen¨ ugt es, wie die Abbildung zeigt, nur die eine H¨ alfte der Wand zu betrachten. Deren Seitenl¨ ange ist δ = 1 m. Die W¨ armeleitf¨ ahigkeit der Schamottesteine ist λ = 10 W/Km. Auf der Außenseite des Ofens wird W¨ arme konvektiv an Luft der Umgebungstemperatur ϑU = 20 u ¨ bertragen mit dem W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten α = 10 W/m2 K. Die Spaltbreite kann man als vernachl¨ assigbar gering im Vergleich zur Seitenl¨ ange δ ansehen. Es ist zweckm¨ aßig in (2.324), folgende dimensionslose Gr¨ oßen einzuf¨ uhren: ϑ+ = (ϑ − ϑU ) / (ϑi − ϑU ), ϑU = 20 ist die Umgebungstemperatur der Luft, ϑi = 500 die Temperatur der heißen Gase im Ofen. Weiter ist x+ = x/δ und + + y + = y/δ. Gesucht sind nach Abb. 2.60 die f¨ unf Temperaturen ϑ+ 5 , ϑ6 , . . ., ϑ9 , + + + + w¨ ahrend die Innentemperaturen ϑ1 = ϑ2 = ϑ3 = 1 und die Temperatur ϑ4 = 1 in der Fuge bekannt sind. F¨ ur die Elemente (Dreiecke) k = 1, 2, 3, 4, 6 und 8 gilt: Z »„ + «2 „ + «2 – 1 ∂ϑ ∂ϑ I +(k) = + dx+ dy + . 2 ∂x+ ∂y + + Ωk

256

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

¨ Uber die Elemente 5 und 7 wird W¨ arme an die umgebende Luft abgef¨ uhrt. F¨ ur sie ist Z »„ + «2 „ + «2 – 1 ∂ϑ ∂ϑ I +(k) = + dx+ dy + + Bi ϑ+2 , k = 5, 7 . y + =1 2 ∂x+ ∂y + + Ωk

Den Temperaturen ϑ+ i sind folgende Dreieckselemente zugeordnet: ϑ+ i

i =1

ϑ+ i

ist Eckpunkt der k =1,2 Dreiecke k

2

3

4

5

6

7

8

9

2,3,4

4

5,6,1

6,7,8,3,2,1

8,4,3

5

5,6,7

7,8

Es ist I +(1) =

1 2

I +(2) =

1 2

.. . I

+(5)

1 = 2

„ „

+ ϑ+ 5 −ϑ4 Δx+ + ϑ+ 2 −ϑ5 Δx+

"„

«2 «2

Δx+2 2 Δx+2 2

+ Δx «2 # «2 Z„ + «2 „ + + ϑ+ ϑ8 −ϑ+ ϑ+ Δx+2 + + 4 −ϑ7 7 8 −ϑ7 + + Bi ϑ + x dx+ . 7 Δx+ Δx+ 2 Δx+

x+ =0

Daraus folgt nach Integration ("„ ) «2 # + «2 „ + ϑ+ ϑ8 −ϑ+ 1 Δx+2 Δx+ ` +2 + + +2 ´ +(5) 4 −ϑ7 7 I = + +Bi ϑ7 +ϑ7 ϑ8 +ϑ8 2 Δx+ Δx+ 2 3 .. . I

+(8)

1 = 2

"„

«2 # + «2 „ + ϑ+ ϑ8 −ϑ+ Δx+2 6 −ϑ5 9 + . Δx+ Δx+ 2

Es ist Bi =

αδ 10 W/m2 K · 1m = = 10 λ 1 W/ Km

und Δx+ = 0, 5 . Zur Berechnung der unbekannten Temperatur ϑ+ 5 bildet man nun die Summe aller Integrale I +(k) , in denen ϑ+ 5 vorkommt. Nach der vorigen Tabelle sind dies die Integrale I +(6) , I +(7) , I +(8) , I +(3) , I +(2) , und I +(1) . Es ist ∂I + ∂I +(6) ∂I +(7) ∂I +(8) ∂I +(3) ∂I +(2) ∂I +(1) = + + + + + =0 . ∂ϑ+ ∂ϑ+ ∂ϑ+ ∂ϑ+ ∂ϑ+ ∂ϑ+ ∂ϑ+ 5 5 5 5 5 5 5 Man erh¨ alt ϑ+ 5 −

1 + 1 + 1 ϑ − ϑ8 = . 4 6 4 2

(2.333)

2.5 Numerische L¨ osung von W¨ armeleitproblemen mit der FEM-Methode

257

In entsprechender Weise bildet man: ∂I + ∂I +(8) ∂I +(4) ∂I +(3) = + + =0 . + + + ∂ϑ6 ∂ϑ6 ∂ϑ6 ∂ϑ+ 6 Daraus folgt: 1 + 1 ϑ = . 2 9 2 +(5) Aus ∂I + /∂ϑ+ /∂ϑ+ alt man: 7 = ∂I 7 = 0 erh¨ + ϑ+ 5 − 2 ϑ6 +

ϑ+ 7 −

(2.334)

1 + ϑ = 0, 1875 . 8 8

(2.335)

+(5) +(6) +(7) Aus ∂I + /∂ϑ+ /∂ϑ+ /∂ϑ+ /∂ϑ+ 8 = ∂I 8 + ∂I 8 + ∂I 8 = 0 ergibt sich

ϑ+ 5 −

1 + 16 + 1 + ϑ − ϑ − ϑ9 = 0 . 3 7 3 8 3

(2.336)

+(7) +(8) ∂I + /∂ϑ+ /∂ϑ+ /∂ϑ+ 9 = ∂I 9 + ∂I 9 = 0 liefert:

ϑ+ 6 −

2 + 16 + ϑ − ϑ =0 . 3 8 3 9

(2.337)

Die L¨ osung des linearen Gleichungssystems (2.333) bis (2.337) ergibt die Temperaturen: + + + + ϑ+ 5 = 0, 6817, ϑ6 = 0, 6163, ϑ7 = 0, 1737, ϑ8 = 0, 1106, ϑ9 = 0, 1017 .

Als Celsius-Temperaturen: ϑ5 = 347, 2

, ϑ6 = 315, 8

, ϑ7 = 103, 4

, ϑ8 = 73, 09

, ϑ9 = 68, 82

.

Der an die Luft u armestrom ist ¨ bertragene W¨ » „ « „ «– δ ϑ7 + ϑ8 ϑ8 + ϑ9 Q˙ = α b 2 − ϑU + 2 − ϑU . 2 2 2 Daraus folgt: ` + +´ ˙ = α δ (ϑi − ϑU ) ϑ+ Q/b = 1192 W/m . 7 + 2 ϑ8 + ϑ9 2 Bei vollst¨ andig geschlossener Fuge w¨ are ein W¨ armestrom „ «−1 1 W ˙ = k 2 δ (ϑi − ϑU ) , k = δ + 1 Q/b = , λ δ 1, 1 m2 K

˙ = 872 W/m Q/b

u andiges Verfugen entsteht somit ein W¨ arme¨bertragen worden. Durch unvollst¨ verlust von “ ” ˙ Q/b ≈ (1192 − 872) W/m = 320 W/m V

Anmerkung: Da wir ein grobes Gitter gew¨ ahlt haben, um das Rechenverfahren u atte ¨bersichtlich zu gestalten, ist bei diesem Ergebnis Vorsicht angebracht. H¨ ˙ = 1192 W/m den man ein viel feineres Gitter gew¨ ahlt, so h¨ atte man statt Q/b ˙ = 1062 W/m erhalten. Der tats¨ Wert Q/b achliche W¨ armeverlust betr¨ agt somit ˙ (Q/b) achtlich. V = (1062 − 872) W/m = 190 W/m, ist aber immer noch betr¨

258

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

2.5.3 Die Finite-Element-Methode fu are, ¨r instation¨ geometrisch eindimensionale W¨ armeleitprobleme Wir behandeln die Finite-Element-Methode zur L¨osung instation¨arer W¨armeleitprobleme bei konstanten Stoﬀwerten. Zwar ist der Rechenaufwand meist gr¨ oßer als der mit den in Kapitel 2.4.1.1 er¨ orterten Diﬀerenzenverfahren. Daf¨ ur lassen sich im Unterschied zu diesen geometrisch komplexen Strukturen leichter untersuchen. Es sei wie in Kapitel 2.4.1.1 die W¨armeleitungsgleichung ∂ϑ ∂2ϑ =a 2 ∂t ∂x

(2.338)

im Bereich x0 ≤ x ≤ xn f¨ ur Zeiten t ≥ 0 zu l¨osen. Anfangs- und Randbedingungen seien die f¨ ur die Abk¨ uhlung einer ebenen Platte nach Abb. 2.27: t = 0 : ϑ (t, x) = ϑ0 x = 0 : ∂ϑ/∂x = 0 x = δ : −λ (∂ϑ/∂x) = α (ϑ − ϑU ) ,

(2.339)

wobei wir jetzt die halbe Plattendicke mit δ und die Koordinate r durch x ersetzt haben. Gesucht ist das Temperaturproﬁl ϑ (t, x), das (2.338) und den Randbedingungen (2.339) gen¨ ugt. Wie man mit Hilfe der Variationsrechnung nachweist, macht dieses Temperaturproﬁl das Integral ⎧ δ ⎫ 2 ⎬ 1⎨ ∂ϑ 1 ∂ ϑ2 α 2 I= + dx + (ϑ − ϑU )x=δ (2.340) ⎭ 2⎩ ∂x a ∂t λ x=0

zum Minimum. Statt (2.338) unter Beachtung der Randbedingung (2.339) zu l¨ osen, kann man daher auch das Temperaturproﬁl ϑ (t, x) suchen, welches das Integral (2.340) zum Minimum macht. ¨ Andern sich die Randbedingungen, so gilt wieder – wie in Abschnitt 2.5.2 dargelegt – das Folgende: Wird an einem Rand konstante W¨ armestromdichte vorgegeben, so ist in (2.340) der Term α 2 (ϑ − ϑU )x=δ λ zu ersetzen durch q˙ ϑ . λ Beide Terme entfallen, falls an den R¨ andern konstante Temperatur vorge˙ (x) vorhanden, so kommt in der schrieben ist. Sind noch W¨ armequellen W eckigen Klammer unter dem Integral (2.340) noch der Term

2.5 Numerische L¨ osung von W¨ armeleitproblemen mit der FEM-Methode

259

˙ W ϑ λ hinzu. Beispiel 2.12: Um die Anwendung der Methode auf instation¨ are W¨ armeleitprobleme zu erl¨ autern, behandeln wir die Abk¨ uhlung einer Stahlplatte konstanter Anfangstemperatur ϑ0 , die zur Zeit t0 mit einem Fluid der Temperatur ϑU > ϑ0 in Kontakt gebracht wird. Die Stoﬀwerte und der W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient seien dieselben wie in Beispiel 2.6. Es sollen dann die dort mit dem Diﬀerenzenverfahren gewonnenen Ergebnisse mit denen der Finite-Element-Methode verglichen werden. Anders als beim Diﬀerenzenverfahren brauchen wir aber jetzt den linken Rand nicht in die Mitte zwischen den Gitterlinien x0 und x1 = x0 − Δ x zu legen wie die Abb. 2.46 des Beispiels 2.6 zeigt, sondern k¨ onnen ihn nach Abb. 2.61 mit der gestrichelten Symmetrielinie zusammen fallen lassen, an der die Randbedingung ∂ϑ /∂x = 0 erf¨ ullt ist. Wir w¨ ahlen daher ein Gitter nach Abb. 2.61 mit der Maschenweite Δx/2 = 15 mm im ersten Abschnitt und Δx = 30 mm in den folgenden Abschnitten.

Abb. 2.61: Abk¨ uhlung einer Platte der Dicke 2δ. FEM-Gitternetz

In (2.340) f¨ uhren wir dimensionslose Gr¨ oßen ein: ϑ+ =

ϑ − ϑU ; ϑ0 − ϑU

t+ =

at ; δ2

x+ =

x ; δ

I+ = I

δ und (ϑ0 − ϑU )2

Bi =

αδ . λ

Nach Einf¨ uhrung dieser Gr¨ oßen geht (2.340) u ¨ ber in I+ =

1 2

` ´ «2 Z1 ∂ ϑ+2 ∂ϑ+ 1 1 + dx + dx+ + Bi ϑ+2 . x+ =1 ∂x+ 2 ∂t+ 2 + x =0 {z } | {z } +(α) I I +(β)

Z1 „ x+ =0

|

(2.341)

260

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

In dem Teilintegral I +(β) k¨ onnen wir die Ableitung nach der Zeit vor das Integral ziehen und schreiben I +(β) =

1 2

Z1 x+ =0

` ´ Z1 ∂ ϑ+2 1 d + dx = ϑ+2 dx+ . ∂t+ 2 dt+ x+ =0

¨ Der Ubergang vom partiellen Diﬀerential ∂/∂t+ zum totalen Diﬀerential d/dt+ R1 +2 + ist erlaubt, denn nach Integration h¨ angt das Integral ϑ dx nicht mehr x+ =0

von der Ortskoordinate x+ ab. Man kann daher (2.341) auch schreiben I+ =

1 2

Z1 „ x+ =0

∂ϑ+ ∂x+

«2 dx+ +

1 d 2 dt+

Z1 ϑ+2 dx+ + x+ =0

1 Bi ϑ+2 . x+ =1 2

(2.342)

Wir spalten nun dieses Integral auf in die Beitr¨ age der einzelnen Abschnitte k = 1, 2, . . . , 5 gem¨ aß Abb. 2.61 I+ =

5 X

I +(k) .

k=1

F¨ ur den ersten Abschnitt nach Abb. 2.61 gilt, wenn wir das x-abh¨ angige Temperaturproﬁl linearisieren

I

+(1)

1 = 2

+ Δx Z /2„

x+ =0

+ ϑ+ 1 − ϑ0 + Δx /2

«2

1 d dx + 2 dx+

+ Δx Z /2„

+

ϑ+ 0 + x+ =0

+ ϑ+ 1 − ϑ0 x+ + Δx /2

«2 dx+

und nach Integration ` + ´ + ” 1 ϑ1 − ϑ0 1 Δx+ “ + ˙ + + + ˙+ + ˙+ I +(1) = + 2 ϑ0 ϑ0 + ϑ˙ + . 0 ϑ1 + ϑ0 ϑ1 + 2 ϑ1 ϑ1 + 2 Δx /2 2 6 ¨ Mit dem Uberpunkt sind Ableitungen nach der Zeit bezeichnet. Diﬀerentiation nach der unbekannten Temperatur ϑ+ 0 ergibt ” + ϑ+ ∂I +(1) 1 Δx+ “ ˙ + 0 − ϑ1 ˙+ = + 2 ϑ + ϑ . 0 1 Δx+ /2 2 6 ∂ϑ+ 0 Wie Abb. 2.61 zeigt, kommt ϑ+ 0 nur im ersten Abschnitt vor. Daher ist ∂I + ∂I +(1) =0 . + = ∂ϑ0 ∂ϑ+ 0 Wir erhalten

” Δx+2 “ ˙ + 2 ϑ0 + ϑ˙ + =0 . (2.343) 1 6 F¨ ur die folgenden Abschnitte i = 2, 3 und 4 gilt analog, jetzt mit der Schrittweite Δx+ : + ϑ+ 0 − ϑ1 +

2.5 Numerische L¨ osung von W¨ armeleitproblemen mit der FEM-Methode

I

+(i)

Δx Z +

1 = 2

+ ϑ+ i − ϑi−1 + Δx

!2

1 d dx + 2 dt+

Δx Z +

+

x+ =0

ϑ+ i−1

ϑ+ − ϑ+ i−1 + + i x Δx+

261

! dx+ .

x+ =0

Es ist

∂I + ∂I +(1) ∂I +(2) =0 . + = + + ∂ϑ1 ∂ϑ1 ∂ϑ+ 1 Daraus folgt nach einigen Zwischenrechnungen „ «2 “ ” 3 + 1 + 1 Δx+ ˙+ ˙+ = 0 . −ϑ+ ϑ1 − ϑ2 + ϑ˙ + 0 + 0 + 6 ϑ1 + 2 ϑ2 2 2 6 2 Aus

(2.344)

∂I + ∂I +(2) ∂I +(3) =0 + = + + ∂ϑ2 ∂ϑ2 ∂ϑ+ 2

folgt

“ ” 1 ˙+ ˙+ = 0 . Δx+2 ϑ˙ + 1 + 4 ϑ2 + ϑ3 6 Entsprechend erh¨ alt man wegen + + −ϑ+ 1 + 2 ϑ2 − ϑ3 +

(2.345)

∂I + ∂I +(3) ∂I +(4) = + =0 + + ∂ϑ3 ∂ϑ3 ∂ϑ+ 3 + + −ϑ+ 2 + 2 ϑ3 − ϑ4 +

und aus

“ ” 1 ˙+ ˙+ = 0 Δx+2 ϑ˙ + 2 + 4 ϑ3 + ϑ4 6

(2.346)

∂I + ∂I +(4) ∂I +(5) =0 + = + + ∂ϑ4 ∂ϑ4 ∂ϑ+ 4

“ ” 1 ˙+ ˙+ = 0 . Δx+2 ϑ˙ + (2.347) 3 + 4 ϑ4 + ϑ5 6 + Die Temperatur ϑ5 kommt nur im 5-ten Abschnitt vor. F¨ ur diesen folgt aus (2.342), wenn wir das Temperaturproﬁl linearisieren: + + −ϑ+ 3 + 2 ϑ4 − ϑ5 +

I

+(5)

1 = 2

Δx Z +„

x+ =0

+

+ ϑ+ 5 − ϑ4 Δx+

«2

1 d dx + 2 dt+

Δx Z +„

+

ϑ+ 4 + x+ =0

+ ϑ+ 5 − ϑ4 Δx+ Δx+

«2 dx+ +

´ 1` Bi ϑ+2 x+ =1 . 2

Diﬀerentiation nach ϑ+ 5 liefert wegen ∂I + ∂I +(5) =0 + = ∂ϑ5 ∂ϑ+ 5 die Gleichung “ ” ` ´ + 1 + ˙+ = 0 . −ϑ+ ϑ5 + Δx+2 ϑ˙ + 4 + 1 + Bi Δx 4 + 2 ϑ5 6

(2.348)

262

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

Mit (2.343) bis (2.348) stehen uns sechs gew¨ ohnliche Diﬀerentialgleichungen zur + + Bestimmung der sechs unbekannten Temperaturen ϑ+ 0 , ϑ1 , . . . , ϑ5 als Funktionen der Zeit zur Verf¨ ugung. Mit Hilfe der Laplace-Transformation entsteht aus dem System der gew¨ ohnlichen Diﬀerentialgleichungen ein System linearer algebraischer Gleichungen. `Deren osung liefert nach R¨ ucktransformation der ´ L¨ Laplace-Transformierten L ϑ+ , i = 0, 1, . . . , 5 die gesuchten Temperaturen i + + ϑ+ , ϑ , . . . , ϑ als Funktion der Zeit. 0 1 5 Die nicht schwierige, aber aufw¨ andige Rechnung wird man mit Hilfe eines Rechenprogramms bew¨ altigen, zum Beispiel mit Mathematica oder MathCad. Es sei hier nur das Ergebnis mitgeteilt, das man f¨ ur eine Schrittweite Δx+ = 30 mm/135 mm = 6/27 und die Biot-Zahl αδ 75 W/m2 K · 135 · 10−3 m = = 0, 675 λ 15 W/Km ` + ´ + + + erh¨ alt. An den diskreten Stellen x+ = 0, x+ 1 = Δx /2, xi+1 = Δx /2 +i Δx , i = 1, 2, 3, 4 ergeben sich Ausdr¨ ucke der Form Bi =

5 ` ´ X ` ´ ` ´ ϑ + t+ , x + = aj x+ exp −αj t+ i

(2.349)

j=0

deren Koeﬃzienten in der Tabelle 2.16 angegeben sind.

Tabelle 2.16: Koeﬃzienten von Gleichung (2.349))

α0

α1

α2

α3

α4

α5

0,5733 12,4277 49,3350 120,0466 222,2537 715,6565 aj ` ´ aj x+ 0 ` ´ aj x+ 1 ` ´ aj x+ 2 ` +´ aj x3 ` ´ aj x+ 4 ` ´ aj x+ 5

j=0

j=1

j=2

j=3

j=4

j=5

1,0910

-0,1177

0,0400

-0,0197

0,0070

-0,0005

1,0872

-0,1089

0,0289

-0,0080

0,0004

0,0004

1,0616

-0,0572

-0,0177

0,0206

-0,0073

-0,00015

1,0061

0,0264

-0,0336

-0,0122

0,0132

0,00005

0,9223

0,0953

0,0086

-0,0086

-0,0176

-0,00002

0,8124

0,1111

0,0359

0,0206

0,0199

0,00001

In Tabelle 2.17 sind die mit der Finite-Element-Methode berechneten Temperaturen f¨ ur verschiedene Zeiten mit den Temperaturen nach dem Crank-NicolsonVerfahren (Tabelle 2.11) und mit den Werten der analytischen L¨ osung verglichen.

2.5 Numerische L¨ osung von W¨ armeleitproblemen mit der FEM-Methode

263

Tabelle 2.17: Vergleich von Temperaturen berechnet mit der Finite-Element-Methode (erste Zeile), mit denen des Beispiels 2.7 nach dem Verfahren von Crank-Nicolson (zweite Zeile) und den Werten der analytischen L¨ osung (dritte Zeile).

t/s

ϑ+ 0

ϑ+ 1

ϑ+ 2

ϑ+ 3

ϑ+ 4

ϑ+ 5

240

1,0000 1,0000 0,9995 0,9894 0,9489 0,8531 0,9990 0,9990 0,9969 0,9885 0,9573 0,8406 0,9998 0,9997 0,9976 0,9861 0,9459 0,8510

960

0,9641 0,9614 0,9430 0,9007 0,8317 0,7350 0,9636 0,9636 0,9437 0,9013 0,8322 0,7356 0,9654 0,9629 0,9427 0,8998 0,8309 0,7343

9600

0,3516 0,3503 0,3421 0,3242 0,2972 0,2618 0,3683 0,3683 0,3584 0,3387 0,3099 0,2727 0,3696 0,3684 0,3584 0,3389 0,3101 0,2730

2.5.4 Erweiterung auf instation¨ are, geometrisch zweidimensionale W¨ armeleitprobleme Bei instation¨ arer, geometrisch zweidimensionaler W¨armeleitung tritt in der 2 eckigen Klammer unter dem Integralzeichen in (2.340) noch der Term (∂ϑ/∂y) ˙ (x, y) vorhanden, so ist (2.340) noch um −W ˙ /λ ϑ hinzu. Sind W¨ armequellen W zu erweitern. Zu integrieren ist jetzt u ¨ ber die geometrisch zweidimensionale Fl¨ ache Ω mit dΩ = dx dy. Die Umrandung der Fl¨ache sei Γ , ein Linienelement ¨ des Randes sei ds. Uber den Rand ﬂießt ein W¨armestrom ˙ Q = α (ϑ − ϑU ) b ds . Γ

Gesucht ist nun das Temperaturproﬁl ϑ (t, x, y), welches das Integral 2 2 ˙ 1 ∂ϑ ∂ϑ 1 ∂ ϑ2 W α 2 I= + + − ϑ dx dy + (ϑ − ϑU ) ds 2 ∂x ∂y a δt λ λ Ω

Γ

(2.350) zum Minimum macht. Auf den Beweis k¨ onnen wir verzichten, denn er verl¨auft nach dem gleichen Schema wie im vorigen Kapitel. Wird nur auf einem Teilst¨ uck Γ1 des Randes W¨arme durch Konvektion u uck Γ2 die W¨armestromdichte q˙ ¨ bertragen, und ist auf einem anderen Teilst¨ vorgegeben, so gelten wieder die Ausf¨ uhrungen am Ende von Kapitel 2.5.3. Das L¨ osungsgebiet zerlegt man in Dreiecks- oder Viereckselemente. Das Rechenverfahren gleicht dem des vorigen Kapitels.

264

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

2.6 Diﬀusion Grundlage der L¨ osung von Diﬀusionsproblemen, die u ¨ ber den einfachen Fall der station¨ aren und geometrisch eindimensionalen Diﬀusion, Abschnitte 1.4.1 und 1.4.2, hinausgehen, ist die Diﬀerentialgleichung f¨ ur das Konzentrationsfeld in einem ruhenden Medium. Sie wird Diﬀusionsgleichung genannt. Da Diﬀusion Teilchenbewegung bedeutet, darf ein ruhendes Medium nur in Sonderf¨ allen vorausgesetzt werden, die im Folgenden zuerst besprochen werden ¨ sollen. Ahnlich dem Vorgehen bei der W¨ armeleitung, Abschnitt 2.1, behandeln wir dann die Herleitung der Diﬀusionsgleichung in allgemeiner Weise, wobei wir konzentrationsabh¨ angige Stoﬀwerte und chemische Reaktionen ber¨ ucksichtigen. Dabei zeigt sich, dass eine große Zahl von Diﬀusionsproblemen durch Diﬀerentialgleichungen und Randbedingungen gleicher Art wie die von W¨ armeleitproblemen beschrieben werden. Wir brauchen somit viele Diﬀusionsprobleme nicht neu zu l¨ osen, sondern k¨ onnen L¨osungen aus der W¨armeleitung auf das analoge Diﬀusionsproblem u ¨ bertragen. Dadurch l¨asst sich die L¨ osung von Diﬀusionsproblemen recht kurz darstellen. Etwas ausf¨ uhrlicher behandeln wir abschließend die station¨ are und die instation¨are Diﬀusion mit chemischer Reaktion.

2.6.1 Bemerkungen u ¨ber ruhende Systeme Die folgenden Betrachtungen zeigen, dass man es bei Diﬀusionsvorg¨angen im Gegensatz zur W¨ armeleitung nur selten mit ruhenden Systemen zu tun hat. Die Diﬀusion in ruhenden Systemen ist daher von geringerer Bedeutung f¨ ur die technische Praxis als die W¨ armeleitung. Unter Diﬀusion verstanden wir einen Stoﬀtransport aufgrund der nat¨ urlichen Bewegung der Molek¨ ule von einem Bereich eines Systems in einen anderen. Entsprechend kann man W¨ armeleitung als Energietransport aufgrund der statistischen Bewegung von Elementarteilchen infolge einer ungleichf¨ ormigen Temperaturverteilung beschreiben. Insofern besteht eine enge Verwandtschaft zwischen Diﬀusion und W¨ armeleitung. Im Gegensatz zur W¨ armeleitung k¨ onnen bei der Diﬀusion die mittleren Geschwindigkeiten der Teilchen der einzelnen Stoﬀe eines Volumenelements voneinander verschieden sein, so dass eine Relativbewegung der einzelnen Teilchenarten zueinander makroskopisch wahrnehmbar ist. Dies hat im Allgemeinen auch eine makroskopische Bewegung s¨amtlicher Teilchen eines Volu¨ menelements und somit eine Konvektion zur Folge. Wie diese Uberlegungen zeigen, darf man bei der Diﬀusion, anders als bei der W¨armeleitung, nicht ohne weiteres ruhende Systeme annehmen. Diese wird man nur unter bestimmten Bedingungen antreﬀen, die wir zun¨ achst diskutieren. Wir beschr¨ anken dabei unsere Betrachtungen auf solche Systeme, bei denen die Bezugsgeschwindigkeit zur Bestimmung der Diﬀusionsstromdichte, vgl. (1.153), verschwindet. Als Bezugsgeschwindigkeiten hatten wir die Schwerpunktsgeschwindigkeit nach (1.154),

2.6 Diﬀusion

w =

K w K ,

265

(2.351)

K

und die mittlere molare Geschwindigkeit u nach (1.157) gew¨ahlt, die wir nun in folgender Form schreiben: cu = cK w K . (2.352) K

Verschwindende Schwerpunktsgeschwindigkeit w = 0 an jedem Ort hat K w K = 0 (2.353) K

u ¨ berall im betrachteten System zur Folge. Die einem Volumenelement zugef¨ uhrten Massenstr¨ ome m¨ ussen genau so groß wie die abgef¨ uhrten sein, damit (2.353) erf¨ ullt ist. Die Masse im Volumenelement bleibt daher unver¨andert; die Dichte des an einem festen Ort beﬁndlichen Volumenelements ist konstant. Sie kann jedoch f¨ ur ein Volumenelement an einem anderen Ort x verschieden sein. Es darf also ∂/∂x = 0 sein, aber es ist ∂/∂t = 0. Verschwindende Schwerpunktsgeschwindigkeit w = 0 hat demnach lediglich ∂/∂t = 0, nicht aber ∂/∂x = 0 zur Folge. Das hier betrachtete Modell ist das eines inkompressiblen K¨orpers, denn dieser ist dadurch deﬁniert, dass sich die Dichte eines materiellen Volumenelements im Laufe seiner Bewegung nicht a ur ihn ist = (x, t) = const ¨ndert; f¨ und daher d/dt = 0, was in unserem Fall erf¨ ullt ist, da wegen w = 0 und ∂/∂t = 0 d ∂ ∂ = +w =0 dt ∂t ∂x ist. Als Beispiel betrachten wir einen por¨ osen K¨ orper, in den Wasserstoﬀ hineindiffundiert. Ein Volumenelement des por¨ osen K¨ orpers besitzt eine bestimmte Masse und hat somit eine bestimmte Dichte, z.B. = 7,8 · 103 kg/m3 . Ein Volumenelement von 1 mm3 hat demnach eine Masse von 7,8 · 10−3 g. Wir nehmen an, dieses Volumenelement belade sich bei Umgebungstemperatur 298 K mit Wasserstoﬀ vom Partialdruck p = 1 hPa. Aus der Zustandsgleichung idealer Gase errechnet man dann eine Wasserstoﬀaufnahme in dem Volumenelement von MH2 =

pH2 V 102 Pa · 10−9 m3 = RH2 T 4,1245 (J/gK) · 298 K MH2 = 8,136 · 10−11 g .

Die Masse des Volumenelements wird durch die Zufuhr des Wasserstoﬀs vernachl¨ assigbar wenig ge¨ andert. Der Massenmittelpunkt beh¨ alt seine Lage im Raum bei; es ist in sehr guter N¨ aherung dx/dt = w = 0. Zu ¨ ahnlichen Ergebnissen kommt man auch, wenn man die Diﬀusion in stark verd¨ unnten L¨ osungen betrachtet, also beispielsweise die Aufnahme eines Gases in eine Fl¨ ussigkeit. Die Dichte der Fl¨ ussigkeit ist fernab vom kritischen Gebiet viel

266

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

gr¨ oßer als die des Gases und die aufgenommene Gasmasse außerordentlich gering, so dass sich die Masse eines Volumenelements durch Gasaufnahme praktisch nicht andert. In guter N¨ aherung ist wieder dx/dt = w = 0. ¨

Verschwindende Schwerpunktsgeschwindigkeit und damit ein in Bezug auf die Schwerpunktsgeschwindigkeit ruhendes Medium d¨ urfen wir somit bei der Diﬀusion von Gasen in Festk¨ orpern oder der Diﬀusion in stark verd¨ unnten L¨ osungen voraussetzen. Wir betrachten nun ein System, bei dem die mittlere molare Geschwindigkeit u nach (2.352) verschwindet. Dann wird cK w K = 0 . (2.354) K

Die Summe aller einem Volumenelement zugef¨ uhrten Stoﬀmengenstr¨ome ist genau so groß wie die Summe aller abgef¨ uhrten Stoﬀmengenstr¨ome. Die Diﬀusion ist ¨ aquimolar. Die Stoﬀmenge N im Volumenelement bleibt unver¨andert; es ist also die molare Dichte lim N/V = c an einem festen Ort konstant. Sie V →0

kann sich mit dem Ort x ¨ andern, aber es ist ∂c/∂t = 0.

Abb. 2.62: Zur ¨ aquimolaren Diﬀusion zweier Gase, a Massenmittelpunkt vor, b nach der Mischung ˜ =4 Als Beispiel betrachten wir einen Beh¨ alter, Abb. 2.62, mit 0,5 mol He (M ˜ kg/kmol) in der linken und 0,5 mol Ar (M = 40 kg/kmol) in der rechten H¨ alfte bei p = 0,1 MPa und T = 298 K. Nach Entfernen der Trennwand diﬀundieren die Gase ineinander. Dabei bleiben Druck und Temperatur konstant. F¨ ur jedes Volumenelement gilt die Zustandsgleichung idealer Gase, p N = = c = const . Rm T V Es ist daher

∂c =0 , ∂t was nur m¨ oglich ist, wenn in jedem Volumenelement die zustr¨ omende Stoﬀmenge des einen Stoﬀs genau so groß wie die abstr¨ omende des anderen ist: (cw)He = −(cw)Ar . Die mittlere molare Geschwindigkeit nach (2.352) ist u = 0. Da Druck, Temperatur und Stoﬀmengen beider Gase vor der Mischung gleich waren, nahmen beide Gase auch das gleiche Volumen ein. Der Massenmittelpunkt lag vor der Mischung auf der Seite des schwereren Argons, Punkt a in Abb. 2.62. Nach der Mischung bildet

2.6 Diﬀusion

267

sich eine homogene Verteilung, der Massenmittelpunkt ist in die Mitte des Gef¨ aßes gewandert, Punkt b in Abb. 2.62, und die Schwerpunktsgeschwindigkeit somit von null verschieden. Im betrachteten Beispiel ist die mittlere molare Geschwindigkeit u = 0, hingegen die Schwerpunktsgeschwindigkeit w = 0.

Verschwindende mittlere molare Geschwindigkeit und damit ein in Bezug auf die mittlere molare Geschwindigkeit ruhendes System d¨ urfen wir, wie das Beispiel zeigt, somit bei der Diﬀusion idealer Gase bei konstantem Druck und konstanter Temperatur voraussetzen.

2.6.2 Die Herleitung der Diﬀerentialgleichung fu ¨r das Konzentrationsfeld Ein Diﬀusionsproblem zu l¨ osen bedeutet, die Zusammensetzung eines K¨orpers in ihrer r¨ aumlichen und zeitlichen Abh¨ angigkeit zu bestimmen. Kennzeichnet man die Zusammensetzung durch Massenanteile und will man den Massenanteil ξA = MA /M eines Stoﬀes A ermitteln, so ist ξA = ξA (x, t) gesucht. Daraus kann man mit Hilfe des Fickschen Gesetzes die Diﬀusionsstromdichte ermitteln. Diese ist f¨ ur ein Zweistoﬀgemisch aus den Komponenten A und B, (1.161): j ∗A = − D grad ξA (2.355) und f¨ ur ein Vielstoﬀgemisch, (1.162): j ∗A =

N ˜ AM ˜K M DAK grad x ˜K ˜ M2 K=1

(2.356)

K=A

˜ ξA /M ˜ A nach (1.151) und der mittleren Molmasse mit dem Molanteil x˜A = M ˜ M nach (1.154). Man erh¨ alt den Massenanteil ξA als L¨ osung einer partiellen Diﬀerentialgleichung, die aus einer Massenbilanz hervorgeht. Um diese herzuleiten, betrachten wir einen zusammenh¨ angenden Bereich beliebiger Gr¨oße, den wir aus einem K¨ orper herausgeschnitten denken, in dem Diﬀusion stattﬁndet, Abb. 2.63a. Das Volumen des Bereichs sei V , und seine Oberﬂ¨ache sei A. Einem Oberﬂ¨ achenelement dA, dessen Normale n nach Abb. 2.63a nach außen gerichtet ist, wird ein Massenstrom dM˙ A = −A w A n dA

(2.357)

zugef¨ uhrt. Das Minuszeichen wurde gesetzt, weil ein Stoﬀstrom positiv gerechnet wird, wenn er in den Bereich einstr¨ omt. Der Geschwindigkeitsvektor wA des Stoﬀes A weist dann in das Innere des Bereiches, w¨ahrend der Normalenvektor n nach außen weist, so dass das Skalarprodukt negativ wird. Die Diﬀusionsstromdichte ist nach (1.155) deﬁniert durch:

268

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

Abb. 2.63: Zufuhr von Stoﬀ A durch Diﬀusion und Erzeugung durch chemische Reaktion im Volumen V . a zur Massenbilanz, b zur Stoﬀbilanz

j ∗A = A (wA − w) . Wir behandeln nun ein in Bezug auf die Schwerpunktsgeschwindigkeit ruhendes Medium, w = 0, so dass f¨ ur die Diﬀusionsstromdichte j ∗A = A wA

(2.358)

gilt. Aus (2.357) und (2.358) folgt dM˙ A = −j ∗A n dA . Durch Integration erh¨ alt man den insgesamt zugef¨ uhrten Massenstrom der Komponente A M˙ A = −

j ∗A

n dA = −

(A)

div j ∗A dV .

(2.359)

(V )

Dabei wurde das u ache des Bereiches zu erstreckende Integral ¨ ber die Oberﬂ¨ nach dem Gaußschen Integralsatz in das Volumenintegral der Divergenz j ∗A umgewandelt. Gleichzeitig soll noch im Inneren des Bereiches eine gewisse Menge des Stoﬀes A durch chemische Reaktionen erzeugt oder verbraucht werden. Die Produktionsrate in einem Volumenelement bezeichnen wir mit Γ˙A (SI-Einheit kg/m3 s). Sie sei positiv, wenn Stoﬀ A erzeugt und negativ, wenn er verbraucht wird. Von dem Stoﬀ A wird daher im Inneren des Bereiches der Massenstrom Γ˙A dV

(2.360)

(V )

erzeugt. Der u ache dem Bereich durch Diﬀusion zugef¨ uhrte und ¨ ber die Oberﬂ¨ der im Inneren durch chemische Reaktion erzeugte Massenstrom bewirken eine zeitliche Zunahme der im Inneren des Bereiches gespeicherten Masse um

2.6 Diﬀusion

d dt

A dV =

(V )

∂A dV . ∂t

269

(2.361)

(V )

Die Massenbilanz f¨ ur den Stoﬀ A lautet daher unter Beachtung von (2.359) und (2.360):

∂A dV = − ∂t

(V )

div j ∗A

Γ˙A dV .

dV +

(V )

(V )

Da man den Bilanzbereich beliebig klein w¨ ahlen kann, gilt ∂A = − div j ∗A + Γ˙A . ∂t

(2.362)

Eine solche Massenbilanz gilt f¨ ur jede Komponente des Gemisches. Es gibt daher genau so viele Massenbilanzen wie Stoﬀe. Addition u ¨ ber alle Komponenten f¨ uhrt zu N N N ∂K = − div j ∗K + Γ˙K . ∂t

K=1

Hierin ist

N

K=1

(2.363)

K=1

K = die Dichte der aus N Stoﬀen bestehenden Gemisches.

K=1

F¨ ur die Summe aller Diﬀusionsstromdichten gilt noch (1.156), also

N K=1

j ∗K =

0. Da im Inneren des Bereiches durch chemische Reaktion nur soviel Masse je Zeiteinheit von bestimmten Stoﬀen erzeugt werden kann wie von anderen verschwindet, muss N Γ˙K = 0 K=1

sein. Die Summation u uhrt daher zu ¨ber alle Stoﬀe nach (2.363) f¨ ∂ =0 . ∂t Die Dichte an einem vorgegebenen Ort ¨ andert sich nicht mit der Zeit. Dies ist dadurch bedingt, dass wir ein ruhendes Medium mit w = 0 voraussetzten. Es ist aber die Dichte nur an einem festen Ort konstant. Sie kann sich wegen der unterschiedlichen Zusammensetzung noch ¨ortlich ¨andern, = (x). Da die Dichte nicht von der Zeit abh¨ angt, darf man (2.362) wegen A = ξA auch als ∂ξA = − div j ∗A + Γ˙A (2.364) ∂t

270

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

schreiben. Nach Einsetzen des Fickschen Gesetzes (2.355) erh¨alt man

∂ξA = div( D grad ξA ) + Γ˙A ∂t

(2.365)

als die gesuchte Diﬀerentialgleichung f¨ ur den Massenanteil ξA (x, t) in einem bez¨ uglich der Schwerpunktsgeschwindigkeit ruhenden, isotropen Zweistoﬀgemisch aus den Stoﬀen A und B. Eine entsprechende Gleichung gilt auch f¨ ur den Stoﬀ B. Man braucht sie jedoch nicht zu l¨osen, wenn man den Massenanteil ξA ermittelt hat, denn in einem Zweistoﬀgemisch ist ξB = 1 − ξA . Durch Einsetzen des Fickschen Gesetzes nach (2.356) in (2.364) erh¨alt man die (2.365) entsprechende Gleichung f¨ ur ein Gemisch aus N Komponenten:

N ˜ AM ˜K ∂ξA M = − div( DAK grad x˜K ) + Γ˙A . 2 ˜ ∂t M K=1

(2.366)

K=A

Da wir das Stoﬀmodell eines bez¨ uglich der Schwerpunktsgeschwindigkeit ruhenden K¨ orpers voraussetzten, w = 0 und daher ∂/∂t = 0, h¨angen die Gr¨ oßen D und Γ˙A in (2.365) von der Dichte (x), der Temperatur ϑ und der Zusammensetzung ξA ab. In (2.366) h¨ angen diese Gr¨oßen nicht nur vom Massenanteil ξA der Komponente A, sondern auch von den Massenanteilen der u angt auch grad x ˜A vom Gradienten der Massen¨ brigen Stoﬀe ab. Außerdem h¨ ˜ ξA /M ˜ A mit 1/M ˜ = ξK /M ˜K anteile der u ˜A = M ¨brigen Stoﬀe ab, was aus x K

folgt. Die Diﬀusionsgleichungen (2.365) und (2.366) sind daher im Allgemeinen nicht linear. In der allgemeinen Gleichung (2.366) ist (2.365) als Sonderfall mit N = 2 enthalten, was man leicht nachpr¨ uft. Wir setzen nun ein in Bezug auf die mittlere molare Geschwindigkeit u ruhendes System von konstanter Temperatur und konstantem Druck voraus und leiten hierf¨ ur die Diﬀusionsgleichung ab. Der einem Oberﬂ¨achenelement dA zugef¨ uhrte Stoﬀmengenstrom der Komponente A nach Abb. 2.63b ist dN˙ A = −cA wA n dA .

(2.367)

Das Minuszeichen r¨ uhrt wieder daher, dass der Normalenvektor n der Fl¨ache dA nach außen weist, der zugef¨ uhrte Stoﬀstrom positiv gerechnet wird. Die Diﬀusionsstromdichte ist deﬁniert durch (1.158) uj A

= cA (wA − u)

und gleich der Stoﬀmengenstromdichte ujA

= cA w A ,

(2.368)

da wir verschwindende mittlere molare Geschwindigkeit u voraussetzten. Der u ache zugef¨ uhrte Stoﬀmengenstrom ist somit ¨ ber die gesamte Oberﬂ¨

2.6 Diﬀusion

N˙ A = −

cA wA n dA = −

(A)

271

u j A n dA = −

(A)

div u j A dV .

(2.369)

(V )

Die im Inneren des Bereiches durch chemische Reaktion erzeugte Stoﬀmenge des Stoﬀes A kennzeichnen wir durch die molare Produktionsdichte γ˙ A (SIEinheit mol/m3 s). Sie ist γ˙ A dV .

(2.370)

(V )

Durch Diﬀusion zugef¨ uhrter und im Inneren durch chemische Reaktion erzeugter Stoﬀmengenstrom bewirken eine zeitliche Zunahme der im Inneren des Bereichs gespeicherten Stoﬀmenge um d dt

∂cA dV . ∂t

cA dV =

(V )

(2.371)

(V )

Die Stoﬀmengenbilanz f¨ ur den Stoﬀ A lautet daher

∂cA dV = − ∂t

(V )

div u j A dV +

(V )

γ˙ A dV . (V )

Da man das Bilanzgebiet beliebig klein w¨ ahlen kann, gilt ∂cA = − div u j A + γ˙ A . ∂t

(2.372)

Da eine solche Bilanz f¨ ur alle an der Diﬀusion beteiligten Stoﬀe gilt, kann man u alt ¨ ber alle Stoﬀe addieren. Man erh¨ N N ∂cK = − div ∂t

K=1

Hierin ist

N

ujK +

K=1

N

γ˙ K .

(2.373)

K=1

cK = c die molare Dichte des aus N Stoﬀen bestehenden Gemi-

K=1

sches. Weiter ist

N

uj K

= 0, vgl. Abschnitt 1.4.1, Seite 77, womit (2.373)

K=1

u ur die Summe aller Komponenten g¨ ultige Gleichung ¨ bergeht in die f¨ N ∂c = γ˙ K . ∂t K=1

(2.374)

272

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

Da die Summe der Stoﬀmengen bei einer chemischen Reaktion im Allgemeinen nicht erhalten bleibt, verschwindet die rechte Seite von (2.374) nicht, es sei denn, es w¨ urden genau so viele Mole erzeugt wie verschwinden. Durch Einsetzen des Fickschen Gesetzes (1.160), worin wir DAB durch D ersetzen, erh¨ alt man aus (2.372) ∂cA = div(c D grad x˜A ) + γ˙ A ∂t

(2.375)

als die Diﬀerentialgleichung f¨ ur die molare Konzentration cA (x, t) in einem bez¨ uglich der mittleren molaren Geschwindigkeit u ruhenden Zweistoﬀgemisch aus den Stoﬀen A und B. Eine entsprechende Gleichung gilt auch f¨ ur den Stoﬀ B. Stattdessen kann man auch (2.375) l¨ osen und daraus cB bestimmen, denn es ist cB = c − cA . F¨ ur ein Vielstoﬀgemisch idealer Gase mit konstanter Temperatur und konstantem Druck lautet das Ficksche Gesetz im Teilchenbezugssystem [2.75] ujA

=

N

DAK grad cK .

(2.376)

K=1 K=A

Nach Einsetzen in (2.372) erh¨ alt man die f¨ ur Vielstoﬀgemische idealer Gase bei konstanter Temperatur und konstantem Druck g¨ ultige Diﬀusionsgleichung ∂cA = − div( DAK grad cK ) + γ˙ A . ∂t N

(2.377)

K=1 K=A

In (2.375) gilt f¨ ur den Diﬀusionskoeﬃzienten D = D(p, ϑ, x ˜A ) und f¨ ur die molare Produktionsdichte γ˙ A = γ˙ A (p, ϑ, x ˜A ) mit x ˜A = cA /c. In (2.377) h¨angen diese Gr¨ oßen nicht nur vom Stoﬀmengenanteil x ˜A , sondern auch von den Stoﬀmengenanteilen der anderen Stoﬀe ab.

2.6.3 Vereinfachungen Im Folgenden behandeln wir nur noch Zweistoﬀgemische, da die Diﬀusionskoeﬃzienten DAK von Gemischen mit mehr als zwei Komponenten meistens unbekannt und daher die Diﬀusion in diesen Gemischen nicht zahlenm¨aßig berechnet werden kann. Die f¨ ur Zweistoﬀgemische g¨ ultigen Diﬀusionsgleichungen (2.365) und (2.375) lassen sich oft noch erheblich vereinfachen. Wir hatten bereits festgestellt, dass sich bei der Diﬀusion eines Gases A in einen Feststoﬀ oder eine Fl¨ ussigkeit B die Dichte eines Volumenelements praktisch nicht ¨andert, ∂/∂t = 0, weil die Masse des aufgenommenen Gases gering ist im Vergleich zur Masse des Volumenelements. War der Stoﬀ B anf¨ anglich homogen, = (x) = const, so wird durch den Diﬀusionsvorgang die Dichte auch lokal kaum ge¨ andert; die Dichte ist somit in guter N¨aherung

2.6 Diﬀusion

273

unabh¨ angig von Ort und Zeit konstant. Messungen [2.76] haben weiter gezeigt, dass der Diﬀusionskoeﬃzient in verd¨ unnten ﬂ¨ ussigen L¨osungen bei konstanter Temperatur ann¨ ahernd konstant gesetzt werden darf. Ebenso ist der Diﬀusionskoeﬃzient bei der Diﬀusion eines Gases in einen homogenen, por¨osen Feststoﬀ konstanter Temperatur ann¨ ahernd konstant, da sich die Konzentration nur in engen Grenzen a ndert. In solchen F¨ allen, in denen man = const und ¨ DAB = D = const setzen darf, vereinfacht sich (2.365) zu ∂ξA = D∇2 ξA + Γ˙A / ∂t

(2.378)

mit Γ˙A = Γ˙A (ϑ, ξA ). Auch die f¨ ur verschwindende mittlere molare Geschwindigkeit u = 0 g¨ ultige Gleichung (2.375) l¨ asst sich noch vereinfachen, wenn wir sie auf bin¨are Gemische idealer Gase anwenden. Die Diﬀusionskoeﬃzienten bin¨arer Gasgemische sind bei niedrigen Dr¨ ucken — im Allgemeinen bis zum Druck von 10 bar — in guter N¨aherung unabh¨ angig von der Zusammensetzung. Sie nehmen mit der Temperatur zu und sind umgekehrt proportional dem Druck. F¨ ur isobar-isotherme Gemische sind die Diﬀusionskoeﬃzienten konstant. F¨ ur sie geht (2.375) u ur c = const g¨ ultige Gleichung ¨ ber in die f¨ ∂cA = D∇2 cA + γ˙ A ∂t

(2.379)

mit γ˙ A = γ˙ A (ϑ, x˜A ). Die Gleichungen (2.378) und (2.379) sind einander ¨aquivalent, denn setzt ˜ A , so folgt man in (2.379) cA = A /M ∂A ˜A . = D∇2 A + γ˙ A M ∂t Andererseits kann man (2.378) wegen = const auch schreiben ∂A = D∇2 A + Γ˙A . ∂t ˜ A = Γ˙A , womit gezeigt ist, dass beide Gleichungen Deﬁnitionsgem¨ aß ist γ˙ A M aquivalent sind. Gl. (2.379) ist f¨ ur den Fall, dass keine chemischen Reaktionen ¨ vorkommen, γ˙ A = 0, zuerst von A. Fick 1855 [2.76] gefunden worden, und man bezeichnet daher ∂cA = D∇2 cA (2.380) ∂t als zweites Ficksches Gesetz.

2.6.4 Randbedingungen Die Gleichungen (2.379) bzw. (2.378) sind von gleicher Art wie die W¨armeleitungsgleichung (2.11). Es gelten folgende Entsprechungen:

274

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

cA =ϑ , ,

D=a ,

˙ /c . und γ˙ A = ,W

Aus diesem Grund lassen sich viele L¨ osungen der W¨armeleitungsgleichung auf das analoge Diﬀusionsproblem u ¨ bertragen, vorausgesetzt, dass nicht nur die Diﬀerentialgleichungen, sondern auch die Anfangs- und Randbedingungen u osungen der Diﬀerentialgleichung (2.379) ﬁndet ¨ bereinstimmen. Zahlreiche L¨ man in dem Buch von Crank [2.78]. Analog zur W¨armeleitung schreibt die Anfangsbedingung zu einer bestimmten Zeit an jeder Stelle des K¨orpers eine Konzentration vor, und man beginnt die Zeitz¨ahlung mit dieser Zeit cA (x, y, z, t = 0) = cAα (x, y, z) .

(2.381)

Die o ¨rtlichen Randbedingungen lassen sich ebenso wie bei W¨armeleitvorg¨angen in drei Gruppen einteilen. 1. Es kann die Konzentration als Funktion der Zeit und des Ortes x0 , y0 , z0 auf der Oberﬂ¨ ache eines K¨ orpers vorgeschrieben sein (Randbedingung 1. Art) cA (x0 , y0 , z0 , t) = cA0 (t) . (2.382) Beispiele hierf¨ ur sind die Trocknung por¨ oser Stoﬀe in der ersten Trocknungsphase, wenn die Oberﬂ¨ ache von einem Fl¨ ussigkeitsﬁlm bedeckt ist, oder die Verdunstung von Wasser in trockene Luft. In beiden F¨allen stellt sich an der Phasengrenze zwischen Fl¨ ussigkeit und Gas der zur dort herrschenden Temperatur ϑ geh¨ orende S¨ attigungsdruck pAS (ϑ) ein, und es ist cA0 = pAS (ϑ)/Rm T . Oft interessiert auch die L¨ oslichkeit des Gases A in einer angrenzenden Fl¨ ussigkeit oder einem angrenzenden Feststoﬀ B. Falls das Gas in der Fl¨ ussigkeit nur schwach l¨ oslich ist, erh¨ alt man den Stoﬀmengenanteil x ˜A des gel¨ osten Gases aus dem Henryschen Gesetz (1.217) zu x ˜A0 = pAS (ϑ)/kH , worin kH der Henrysche Koeﬃzient ist. Er ist bei Zweistoﬀgemischen eine Funktion von Temperatur und Druck. Die Druckabh¨angigkeit kann man jedoch vernachl¨ assigen, falls der Gesamtdruck der Gasphase so gering ist, dass man diese als ideal betrachten darf. Zahlenwerte kH (ϑ) f¨ ur diesen Fall ﬁndet man u.a. im Tabellenwerk von Landolt-B¨ornstein [2.79]. 2. Es kann die Diﬀusionsstromdichte normal zur Oberﬂ¨ache als Funktion der Zeit und des Ortes vorgeschrieben sein (Randbedingung 2. Art) u jA

= −c D

∂x ˜A , ∂n

(2.383)

wobei f¨ ur stoﬀundurchl¨ assige Oberﬂ¨ achen ∂x ˜A /∂n = 0 ist.

(2.384)

2.6 Diﬀusion

275

3. Es kann Ber¨ uhrung zwischen zwei ruhenden K¨orpern (1) und (2) an der Grenzﬂ¨ ache vorliegen (Randbedingung 3. Art) ˜A !(1) ˜A !(2) (1) ∂ x (2) ∂ x (c D)0 = (c D)0 . (2.385) ∂n 0 ∂n 0 Grenzt ein ruhender K¨ orper (1) an ein bewegtes Fluid (2), so bildet sich in diesem eine Diﬀusionsgrenzschicht aus. An die Stelle von (2.385) tritt dann die Randbedingung ˜A !(1) (1) ∂ x (2) −(c D)0 = β Δ cA (2.386) ∂n 0 (2)

(2)

(2)

mit dem Konzentrationsunterschied im Fluid ΔcA = cA0 − cAδ zwischen Grenzﬂ¨ ache 0 und dem Rand δ der Grenzschicht des Fluids. Stoﬀmengenanteil x˜A und Konzentration cA sind bekanntlich ineinander u uhrbar ¨berf¨ durch cA = x˜A c. Die Konzentration c = N/V ist f¨ ur ideale Gase gegeben durch c = p/Rm T und ist f¨ ur reale Gase aus der thermischen Zustandsgleichung zu ermitteln. Wird zwischen zwei sich ber¨ uhrenden K¨ orpern (1) und (2) W¨arme durch Leitung u ¨bertragen (Randbedingung 3. Art), so sind bekanntlich nicht nur (1) die u armestromdichten, sondern auch die Temperaturen ϑ0 = ¨ bertragenen W¨ (2) ϑ0 gleich. Im Gegensatz dazu stellt sich bei der Diﬀusion an Phasengrenzﬂ¨ achen fast immer ein Konzentrationssprung ein, der sich aus den Bedingungen f¨ ur das Gleichgewicht hinsichtlich des Stoﬀaustausches (Gleichheit der chemischen Potentiale jeder Komponente in jeder Phase) ergibt. F¨ ur vorgegebene Werte von Druck und Temperatur gilt dann eine Beziehung der Form (1)

(2)

x ˜A0 = f (˜ xA0 ) ,

(2.387)

die durch die Thermodynamik der Phasengleichgewichte bereitgestellt wird. Eine Gleichung dieser Art ist die Deﬁnitionsgleichung f¨ ur den Gleichgewichtswert (1) (2) K := x˜A0 /˜ xA0 . (2.388) F¨ ur die L¨ oslichkeit von Gasen in Fl¨ ussigkeiten ist K = kH (ϑ)/p , wobei kH (ϑ) der Henrysche Koeﬃzient ist. N¨ ahere Angaben u ¨ber den Gleichgewichtswert und den Henryschen Koeﬃzienten ﬁndet man, wie bereits in Kapitel 1 erw¨ ahnt, in Lehrb¨ uchern der Gemischthermodynamik u.a. [1.1]. Die L¨ oslichkeit eines Gases A in einer festen Phase berechnet man aus cA0 = LS pA0

(2.389)

mit der L¨ oslichkeit LS (SI-Einheit mol/m3 bar). Zahlenwerte hierf¨ ur ﬁndet man u.a. im Tabellenwerk von Landolt-B¨ ornstein [2.79].

276

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

Beispiel 2.13: In einem kugelf¨ ormigen Beh¨ alter von 1450 mm Innendurchmesser und 4 mm Wanddicke aus Chrom-Nickel-Stahl ist ein wasserstoﬀhaltiges Gas bei 85 unter hohem Druck gespeichert. Der Wasserstoﬀ hat anf¨ anglich einen Partialdruck von 1 MPa. Infolge Diﬀusion durch die Beh¨ alterwand geht ein Teil des Wasserstoﬀs an die umgebende Luft verloren, so dass der Druck im Beh¨ alter im Lauf der Zeit sinkt. Man berechne, nach welcher Zeit der Druck im Beh¨ alter um 10−3 MPa gesunken ist und wie groß bis dahin der Verlust an Wasserstoﬀ ist. Angaben zur L¨ osung: Da der Druck im Beh¨ alter sehr langsam abnimmt, kann ¨ man die zeitliche Anderung des Wasserstoﬀgehalts in der Wand vernachl¨ assigen, dort also station¨ are Diﬀusion annehmen. F¨ ur die an der Wandoberﬂ¨ ache gel¨ oste Wasserstoﬀmenge gilt (2.389) mit dem aus Messungen ermittelten L¨ oslichkeitskoeﬃzienten LS = 9,01 mol/m3 bar. Der Diﬀusionskoeﬃzient von Wasserstoﬀ in der Beh¨ alterwand ist bei 85 : D = 1,05 · 10−13 m2 /s. Das Gasgemisch im Beh¨ alter erf¨ ullt die thermische Zustandsgleichung idealer Gase. Der Wasserstoﬀgehalt der umgebenden Luft sei vernachl¨ assigbar. Die durch die Beh¨ alterwand diﬀundierende Wasserstoﬀmenge (Stoﬀ A sei der Wasserstoﬀ) ist gleich der Abnahme der gespeicherten Menge: jA A = −

dN dNA =− . dt dt

Weiter ist

D Am (cAi − cAa ) δ √ mit der Wanddicke δ und dem geometrischen Mittel Am = Ai Aa ∼ = Ai von innerer und a ache. Mit cAa = 0 und cAi = LS pA erh¨ alt man ¨ußerer Kugeloberﬂ¨ jA A =

jA A =

D Am LS pA . δ

Andererseits gilt f¨ ur die Wasserstoﬀmenge im Inneren des Beh¨ alters NA = pA V /Rm T . Damit ist −

V dpA D = Am LS pA Rm T dt δ

oder d ln pA = −

D Rm T Am LS dt . δ V

Die Integration ergibt “ D Rm T ” pA (t) = pA (t = 0) exp − Am LS t δ V Man erh¨ alt nach Einsetzen der Gr¨ oßen pA (t1 ) = 1 MPa · exp (−2,915 · 10−11 t1 /s) und daraus t1 =

1 (1 − 10−3 ) MPa ln s = 3,432 · 107 s = 9534 h = 397 Tage . −11 −2,915 · 10 1 MPa

Der Verlust an Wasserstoﬀ folgt aus der Zustandsgleichung idealer Gase

2.6 Diﬀusion

277

MA ΔpA 10−3 MPa = = . MA (t = 0) pA (t = 0) 1 MPa Das sind 0,1 % der anf¨ anglich vorhandenen Wasserstoﬀmenge von ˜ A NA (t = 0) = M ˜ A pA (t = 0) V /Rm T = 1,072 kg . MA (t = 0) = M

2.6.5 Station¨ are Diﬀusion mit katalytischer Oberﬂ¨ achenreaktion In den einf¨ uhrenden Kapiteln 1.4.1 und 1.4.2 hatten wir bereits die eindimensionale station¨ are Diﬀusion behandelt. Chemische Reaktionen waren dabei ausgeschlossen worden. Wir wollen nun chemische Reaktionen zulassen und zuerst solche Reaktionen behandeln, wie sie in einem katalytischen Reaktor vorkommen. Hierbei treten heterogene Reaktionen auf, worunter man Reaktionen an der Kontaktﬂ¨ ache zwischen einem reagierenden Medium und dem Katalysator versteht. Sie laufen an Oberﬂ¨ achen ab, k¨onnen daher als Randbedingung f¨ ur das Stoﬀaustauschproblem formuliert werden. Im Unterschied dazu spielen sich homogene Reaktionen innerhalb des Mediums ab; es werden innerhalb eines jeden Volumenelements je nach der dort herrschenden Temperatur und Zusammensetzung und je nach dem Druck neue chemische Verbindungen aus vorhandenen erzeugt. Man kann also jedem Volumenelement eine Stoﬀquelle f¨ ur die Produktion von Materie zuordnen, entsprechend einer W¨ armequelle bei W¨ armeleitvorg¨ angen. Als Beispiel betrachten wir einen katalytischen Reaktor, Abb. 2.64, in dem durch eine chemische Reaktion aus einem Gas A und seinen Reaktionspartnern R neue Reaktionsprodukte P gebildet werden. Dem Reaktor werden die Reaktionspartner R und das Gas A zugef¨ uhrt, ihn verlassen das u ussige ¨ bersch¨ Gas A und die Reaktionsprodukte P. Der Reaktor sei mit Kugeln gef¨ ullt, deren Oberﬂ¨ ache mit einem katalytisch wirkenden Material u ¨ berzogen ist. Die Reaktion zwischen dem Gas A und den Reaktionspartnern R l¨auft an der Katalysatoroberﬂ¨ ache ab und wird durch den Katalysator beschleunigt. In den meisten F¨ allen kennt man die verwickelten Reaktionsmechanismen an Katalysatoroberﬂ¨ achen nicht in allen Einzelheiten und ist daher zur Beschreibung auf grob vereinfachende Modelle angewiesen. Wir betrachten hierzu einen Abschnitt der Katalysatoroberﬂ¨ ache, Abb. 2.65. Im station¨aren Zustand wird an der Katalysatoroberﬂ¨ ache x = 0 genau soviel Gas A erzeugt, wie durch Diﬀusion abtransportiert wird: Die Reaktionsrate ist gleich der Diﬀusionsstromdichte. Bei katalytischen Reaktionen h¨ angt die Reaktionsrate n˙ A0 im Allgemeinen von den Konzentrationen der Reaktionspartner ab. Im vorliegenden Fall nehmen wir an, die Reaktionsrate werde u ¨berwiegend von der Konzentration cA (x = 0) = cA0 des Gases A an der Oberﬂ¨ache bestimmt. Sie ist f¨ ur eine Reaktion erster Ordnung gegeben durch n˙ A0 = −k1 cA0 .

(2.390)

278

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

Abb. 2.64: Katalytischer Reaktor

Abb. 2.65: Eindimensionale Diﬀusion mit Reaktion an der Katalysatoroberﬂ¨ ache

F¨ ur eine Reaktion n-ter Ordnung ist n˙ A0 = −kn cnA0 .

(2.391)

Hierin ist kn die Geschwindigkeitskonstante mit der SI-Einheit (mol / m2 s) / (mol / m3 )n . Die Geschwindigkeitskonstante k1 einer Reaktion erster Ordnung hat die SI-Einheit m/s. Die hochgestellten Indizes sollen darauf hinweisen, dass die Reaktion an einer Oberﬂ¨ ache abl¨ auft. Durch das Minuszeichen wird n˙ A0 negativ, denn der Stoﬀ A wird durch chemische Reaktion aufgezehrt. W¨ urde Stoﬀ A erzeugt, so m¨ usste in (2.390) ein positives Vorzeichen stehen. An der Katalysatoroberﬂ¨ ache gilt somit, falls wir eine Reaktion erster Ordnung voraussetzen, ∂x ˜A ! n˙ A0 = − c D = −k1 cA0 . (2.392) ∂x x=0 Oberhalb der Katalysatoroberﬂ¨ ache wird der Stoﬀ A durch Diﬀusion haupts¨ achlich in Richtung der x-Achse transportiert. In einer d¨ unnen wandnahen Schicht, der Diﬀusionsgrenzschicht, ist der Stoﬀtransport durch Konvektion vernachl¨ assigbar, und es folgt aus (2.375) die f¨ ur station¨are, eindimensionale Diﬀusion ohne chemische Reaktion g¨ ultige Diﬀusionsgleichung d d˜ xA ! cD =0 . (2.393) dx dx Ihre L¨ osung muss außer der Randbedingung (2.392) noch die Bedingung x˜A (x = L) = x ˜AL

(2.394)

erf¨ ullen, wenn L die Dicke der Diﬀusionsgrenzschicht ist. Als L¨osung erh¨alt man unter der Voraussetzung c D = const:

2.6 Diﬀusion

x ˜A − x ˜AL =

k1 cA0 (x − L) . cD

279

(2.395)

Daraus ergibt sich der Stoﬀmengenanteil an der Wand x = 0 zu: x ˜A0 = −

k1 cA0 k x ˜A0 L L+x ˜AL = − 1 +x ˜AL cD D

oder x˜A0 =

x ˜AL . 1 + k1 L/D

(2.396)

Setzt man weiterhin c = const voraus, so wird hieraus wegen cA = x ˜A c cA0 =

cAL 1 + k1 L/D

(2.397)

und damit die Reaktionsrate mit (2.392) n˙ A0 = −

k1 cAL . 1 + (k1 L/D)

(2.398)

Im Fall eines konvektiven Stoﬀ¨ ubergangs an der Katalysatoroberﬂ¨ache tritt in dieser Gleichung der Stoﬀ¨ ubergangskoeﬃzient β anstelle von D/L auf, β = D/L, wie man leicht nachpr¨ uft, weil (2.392) dann zu ersetzen ist durch n˙ A0 = −k1 cA0 = β(cA0 − cAL ) , woraus nach Elimination von cA0 die Beziehung n˙ A0 = −

k1 cAL 1 + (k1 /β)

(2.399)

folgt. Das negative Vorzeichen in (2.398) bzw. (2.399) besagt, dass der Stoﬀstrom A zur Katalysatoroberﬂ¨ ache hingerichtet ist. Man nennt die dimensionslose Gr¨ oße Da1 := k1 L/D

(2.400)

die Damk¨ohler-Zahl 5 f¨ ur eine heterogene Reaktion erster Ordnung (es gibt noch weitere Damk¨ ohler-Zahlen). Sie l¨ asst sich als Verh¨altnis von Reaktionsgeschwindigkeit k1 zur Diﬀusionsgeschwindigkeit D/L deuten. In (2.398) bzw. (2.399) sind zwei Grenzf¨ alle interessant: 5

¨ Gerhard Damk¨ ohler (1908–1944) hat als erster eine Ahnlichkeitstheorie f¨ ur chemische Prozesse unter Ber¨ ucksichtigung des W¨ arme- und Stoﬀaustausches entwickelt. Er wurde mit seiner Arbeit Einﬂuß von Diﬀusion, Str¨ omung und W¨ arme” transport auf die Ausbeute von chemischen Reaktionen“ (Der Chemie-Ingenieur, Leipzig, 1937, 359–485) zu einem der Wegbereiter der chemischen Reaktionstechnik.

280

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

a) Es sei Da1 = k1 L/D bzw. k1 /β sehr klein, weil k1 D/L bzw. k1 β. Dann wird n˙ A0 = −k1 cAL . (2.401) Der Stoﬀumsatz wird durch die Reaktionsgeschwindigkeit bestimmt. Er ist reaktionskontrolliert“. Nach (2.397) ist die Konzentration des Stoﬀes ” A senkrecht zur Katalysatoroberﬂ¨ ache konstant; es ist cA0 = cAL . b) Es sei Da1 = k1 L/D bzw. k1 /β sehr groß, weil k1 D/L bzw. k1 β. Dann wird D n˙ A0 = − cAL bzw. n˙ A0 = −β cAL . (2.402) L Der Stoﬀumsatz wird durch die Diﬀusion bestimmt. Er ist diﬀusionskon” trolliert“. Nach (2.397) ist cA0 = 0. Der Stoﬀ A wird durch die rasche Reaktion an der Katalysatoroberﬂ¨ ache vollst¨andig umgesetzt. Beispiel 2.14: Im Katalysator eines Personenkraftwagens werden Stickoxide an der Katalysatoroberﬂ¨ ache nach folgender Reaktion reduziert: NO + CO →

1 N2 + CO2 . 2

Die NO-Reduktion (Stoﬀ A) folgt n¨ aherungsweise einer Reaktion 1. Ordnung n˙ A0 = −k1 cA0 . Der Abgasstrom eines 75-kW-Motors betrage M˙ = 350 kg/h, ˜ = 32 kg/kmol und darf in guter N¨ die Molmasse der Abgase sei M aherung als konstant angenommen werden. Die Abgase von 480 und 0,12 MPa enthalten NO mit einem Stoﬀmengenanteil x ˜AL = 10−3 , das zu 80 % entfernt werden soll. Gegeben seien der Stoﬀ¨ ubergangskoeﬃzient β = 0,1 m/s und die Geschwindigkeitskonstante k1 = 0,05 m/s. Welche Katalysatoroberﬂ¨ ache ist erforderlich? Der Stoﬀmengenstrom an Abgas ist ˜ = N˙ = M˙ /M

350 kg/h = 3,038 · 10−3 kmol/s . 3600 s/h · 32 kg/kmol

Abb. 2.66: Zur Mengenbilanz eines Abgaskatalysators Die Mengenbilanz u ¨ ber den gestrichelten Bilanzraum, Abb. 2.66, ergibt (N˙ x ˜AL )z = (N˙ x ˜AL )z+dz + n˙ AL dA oder, da N˙ = const:

2.6 Diﬀusion

281

N˙ d˜ xAL = −n˙ AL dA . Hierin ist n˙ AL = β c (˜ xAL − x ˜A0 ), wenn wir einen geringen wandnormalen Stoﬀstrom voraussetzen und die Stefan-Korrektur f¨ ur den Stoﬀ¨ ubergangskoeﬃzienten vernachl¨ assigen. Mit c = N/V = p/Rm T wird “ −βp x ˜A0 ” N˙ d˜ xAL = x ˜AL 1 − dA . Rm T x ˜AL Einsetzen von (2.396) ergibt unter Beachtung von β = D/L: −p k1 N˙ d˜ xAL = x ˜AL dA Rm T 1 + k1 /β oder

−p k1 dA . x ˜AL N˙ Rm T 1 + k1 /β Integration zwischen Eintrittsquerschnitt e und Austrittsquerschnitt a des Katalysators der Fl¨ ache A ergibt 1

ln

(˜ xAL )a p k1 =− A , (˜ xAL )e N˙ Rm T 1 + k1 /β

also A= Es ist A=

d˜ xAL =

N˙ Rm T (1 + k1 /β) (˜ xAL )e ln . p k1 (˜ xAL )a

‹ 3,038 mol/s · 8,31451 Nm/molK · 753,15 K(1 + 0,05 m/s 0,1 m/s) 0,12 · 106 N/m2 · 0,05 m/s

·

· ln(10−3 /2 · 10−4 ) A = 7,65 m2 .

2.6.6 Station¨ are Diﬀusion mit homogener chemischer Reaktion Wir betrachten einen Stoﬀ A, der, wie in Abb. 2.67 gezeigt, in einen anderen por¨ osen oder pastenartigen Feststoﬀ B oder in ein ruhendes Fluid B diﬀundiert und dort mit anderen Reaktionspartnern chemisch reagiert. Beispielsweise diﬀundiert bei der biologischen Abwasserreinigung Sauerstoﬀ aus dem Inneren von Luft- oder Sauerstoﬀblasen in das umgebende Abwasser und wird dort zusammen mit organischen Schadstoﬀen, z.B. Kohlenwasserstoﬀen, von Mikroorganismen in Kohlendioxid und Wasser umgewandelt. Der Stoﬀ B kann auch ein Katalysator sein. Katalysatoren bestehen h¨auﬁg aus Formk¨ orpern wie Kugeln oder Zylindern, die von feinen Kapillaren durchzogen sind. Die por¨ ose innere Oberﬂ¨ ache wird vor allem durch die feinen Kapillaren bestimmt und betr¨ agt ein Vielfaches der ¨ außeren Oberﬂ¨ache. Chemische Umsetzungen k¨ onnen sowohl an der ¨ außeren als auch an der inneren Oberﬂ¨ache beschleunigt werden.

282

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

Abb. 2.67: Eindimensionale Diﬀusion mit homogener Reaktion

Nach (2.375) gilt f¨ ur die station¨ are, geometrisch eindimensionale Diﬀusion mit chemischer Reaktion d d˜ xA ! cD + γ˙ A = 0 . (2.403) dx dx Wir nehmen nun an, der Stoﬀ A und die durch chemische Reaktion entstandenen Produkte seien nur in kleiner Menge im Stoﬀ B vorhanden. Dann ist in guter N¨ aherung c = N/V = const. Außerdem setzen wir D = const. Ist der Stoﬀ B ein por¨ oser Festk¨ orper, so muss man den molekularen Diﬀusionskoeﬃzienten D durch den eﬀektiven Diﬀusionskoeﬃzienten Deﬀ ersetzen. Dieser ist kleiner als der molekulare Diﬀusionskoeﬃzient, weil die Beweglichkeit der Molek¨ ule durch die engen Poren behindert wird. Es ist u ¨ blich, einen Diﬀusionswiderstandsfaktor zu deﬁnieren: μ :=

D . Deﬀ

Ein por¨ oser Festk¨ orper vom Volumen V besteht aus dem Volumen VS Feststoﬀ und dem von Feststoﬀ freien Volumen VG = V − VS . Man bezeichnet εp = VG /V als L¨ uckengrad. Der Widerstandsfaktor h¨angt vom L¨ uckengrad des por¨ osen K¨ orpers und von einem Umweg- oder Windungsfaktor μp ab, so dass die Relationen μ := μp /εp , und Deﬀ =

1 εp D= D . μ μp

gelten. Die folgende Tabelle enth¨ alt einige Zahlenangaben f¨ ur L¨ uckengrad und Umwegfaktor. Der Stoﬀ A werde nach einer Reaktion erster Ordnung umgesetzt: γ˙ A = −k1 cA .

(2.404)

Hierin ist k1 die Geschwindigkeitskonstante der chemischen Reaktion (SIEinheit s−1 ). Der tiefgestellte Index 1 zeigt an, dass es sich um eine Reaktion erster Ordnung handelt. Die Reaktionsrate γ˙ A ist negativ, weil Stoﬀ A durch die Reaktion verschwindet. W¨ urde Stoﬀ A erzeugt, so st¨ unde in (2.404) ein positives Vorzeichen. In por¨ osen K¨ orpern l¨ auft die Reaktion umso schneller

2.6 Diﬀusion

283

Tabelle 2.18: L¨ uckengrad εp und Umwegfaktor μp einiger trockener Stoﬀe

Stoﬀ

Dichte kg/m3 L¨ uckengrad εp Umwegfaktor μp

Mauerziegel Klinker Kalksandstein Naturbimsbeton Holzwolle Molekularsieb 4 ˚ A Molekularsieb 10 ˚ A

1360 2050 900 840 300 1100 1180

0,49 0,19 0,63 0,62 0,81 0,45 0,57

Silikagel

1090

0,46

3,6

760

0,56

7,0

Aktivkohle

3,3 73,0 5,4 4,3 2,0

bis 3,4 bis 89,0 bis 5,9 bis 5,5 bis 2,6 10,3 8,0

ab, je gr¨ oßer die innere und a ache ist. Man spaltet daher die ¨ußere Oberﬂ¨ Geschwindigkeitskonstante k1 in zwei Faktoren auf: k1 = aP k1 ,

(2.405)

worin aP die speziﬁsche Oberﬂ¨ ache (SI-Einheit m2 /m3 ) ist; das ist die f¨ ur die Reaktion wirksame Oberﬂ¨ ache bezogen auf das Volumen des por¨osen K¨orpers. Die Geschwindigkeitskonstante k1 hat die SI-Einheit m/s. Mit x ˜A = cA /c geht (2.403) mit (2.404) unter den genannten Voraussetzungen u ¨ber in d2 cA k1 − cA = 0 . (2.406) 2 dx D Sie ist unter den in Abb. 2.67 eingezeichneten Randbedingungen cA (x = 0) = cA0

(2.407)

und

d cA ! =0 (2.408) dx x=L zu l¨ osen. F¨ ur por¨ose K¨ orper ist D durch Deﬀ zu ersetzen. Gleichung (2.406) stimmt formal mit (2.51) f¨ ur die W¨ armeleitung in einem Stab u ur ¨berein. F¨ sie war der Temperaturverlauf unter den Randbedingungen konstanter Temperatur am Stabanfang und verschwindender W¨armeabgabe am Stabende bereits berechnet worden, was im vorliegenden Problem den Randbedingungen (2.407) und (2.408) entspricht. Die L¨ osung von (2.406) bis (2.408) entspricht daher der bereits fr¨ uher f¨ ur die W¨ armeleitung in St¨aben gefundenen Beziehung (2.57). Die L¨ osung lautet cA cosh [m(L − x)] = cA0 cosh(mL)

(2.409)

284

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

mit m=

k1 /D .

Der u ¨ bergehende Stoﬀmengenstrom ist dcA ! N˙ A0 = A n˙ A0 = −A D = A D cA0 m tanh(mL) . dx x=0 Die dimensionslose Gr¨ oße mL =

k1 L2 /D := Ha

(2.410)

(2.411)

(2.412)

bezeichnet man hierin auch als Hatta-Zahl 6 Ha. Ihr Quadrat ist gleich dem Verh¨ altnis aus der sogenannten Relaxationszeit der Reaktion tR = 1/k1 und der Relaxationszeit der Diﬀusion tD = L2 /D , denn es ist Ha2 = tD /tR . Ein großer Wert der Hatta-Zahl bedeutet einen im Vergleich zur Diﬀusion raschen Ablauf der chemischen Reaktion. Der Stoﬀ A kann durch Diﬀusion nicht weit in das Innere von Stoﬀ B eindringen, sondern wird durch chemische Reaktion in einer oberﬂ¨ achennahen Schicht umgesetzt. F¨ ur por¨ ose K¨ orper f¨ uhrt man noch einen Porennutzungsgrad ηP ein. Darunter versteht man das Verh¨ altnis aus tats¨ achlich u ¨bergehendem Stoﬀmengenstrom N˙ A0 zum Stoﬀmengenstrom N˙ A , der u ¨ berginge, wenn im por¨osen K¨ orper u urde, d.h. wenn der eﬀektive ¨ berall die Konzentration cA0 herrschen w¨ Diﬀusionskoeﬃzient Deﬀ , der an die Stelle des molekularen Diﬀusionskoeﬃzienten D tritt, sehr groß w¨ are, Deﬀ → ∞ oder Ha → 0. Von Stoﬀ A w¨ urde dann nach (2.404) die Reaktionsrate γ˙ A = −k1 cA0 verschwinden und der insgesamt nachgelieferte Stoﬀmengenstrom w¨are N˙ A = k1 cA0 A L .

(2.413)

Der Porennutzungsgrad wird damit ηP = 6

N˙ A0 Deﬀ = m tanh (mL) ˙ k1 L NA

Shironji Hatta (1895–1973) war Professor an der Tohoku Imperial Universit¨ at, der jetzigen Tohoku Universit¨ at, in Tokio, Japan. Auf ihn gehen grundlegende Arbeiten u ussigkeiten, insbesondere der Absorption ¨ber die Absorption von Gasen in Fl¨ mit gleichzeitiger chemischer Reaktion zur¨ uck.

2.6 Diﬀusion

oder ηP =

tanh (mL) mL

285

(2.414)

mit m = k1 /Deﬀ = k1 ap /Deﬀ . Der Porennutzungsgrad gilt f¨ ur eine Pore von konstantem Querschnitt. Er stimmt formal mit dem Wirkungsgrad der geraden Rechteckrippe, Gl. (2.79), u ¨ berein. Der Porennutzungsgrad von Poren beliebiger Querschnittsform l¨asst sich, wie Aris [2.81] zeigte, in guter N¨ aherung ebenfalls aus (2.414) berechnen, wenn man als L¨ ange L eine charakteristische L¨ange L = V /A

(2.415)

bildet mit dem Volumen V des por¨ osen K¨ orpers und seiner ¨außeren Oberﬂ¨ ache A. F¨ ur ein kugelf¨ ormiges Pellet vom Radius R wird beispielsweise L = (4/3)πR3 / 4πR2 = R/3. F¨ ur kleine Werte mL < 0,3 in (2.414) wird ηp > 0,97, liegt also nahe bei 1; die Zusammensetzung des Reaktionspartners A ¨andert sich kaum u ¨ ber die Porenl¨ ange. Der Diﬀusionswiderstand ist im Vergleich zu den u brigen Wi¨ derst¨ anden vernachl¨ assigbar. Ein kleiner Wert mL = k1 /Deﬀ L bedeutet entweder eine kurze Pore, eine langsame chemische Reaktion oder eine rasche Diﬀusion. Beispiel 2.15: Um den CO-Gehalt im Abgas einer Feuerung zu vermindern, leitet man das Abgas u osen Partikel (sog. Pellets) aus CuO eines ka¨ ber die por¨ talytischen Reaktors in der Abgasleitung. In den Pellets und an ihrer Oberﬂ¨ ache wird CO (Stoﬀ A) mit O2 zu CO2 oxidiert gem¨ aß CO +

1 O2 = CO2 . 2

Es handelt sich in guter N¨ aherung um eine Reaktion erster Ordnung gem¨ aß n˙ A = −k1 aP cA . a) Man berechne den Porennutzungsgrad. b) Wieviel kg CuO ben¨ otigt man, wenn der Molanteil des CO auf 1/10 des Anfangswerts x ˜A = 0,04 abgebaut werden soll? Der Stoﬀmengenstrom N˙ des Abgases kann in guter N¨ aherung konstant gesetzt werden. Gegeben sind: Stoﬀmengenstrom des Abgases N˙ = 3 mol/s, Stoﬀmengenanteil des CO im Abgas x ˜A = 0,04, Abgastemperatur 480 , Druck 0,12 MPa, Durchmesser der kugelf¨ ormigen Pellets 5 mm, volumenbezogene Oberﬂ¨ ache aP = 5·106 m2 /m3 , eﬀektiver Diﬀusionskoeﬃzient Deﬀ = 5 · 10−5 m2 /s, Geschwindigkeitskonstante der Reaktion k1 = 10−3 m/s, Dichte von CuO: CuO = 8,9·103 kg/m3 . a) Es ist mL = (k1 aP /Deﬀ )1/2 L mit L = R/3. Somit wird mL = (10−3 m/s · 5 · 106 m2 /m3 /5 · 10−5 m2 /s)1/2 (2,5 · 10−3 m/3) = 8,33 und damit ηp = tanh(mL)/(mL) = 0,12 .

286

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

b) Das außerhalb der Poren im Gasraum str¨ omende CO wird durch chemische Reaktion abgebaut. L¨ angs eines Wegelements dz ¨ andert sich die CO-Menge um d(N˙ x ˜A0 ). Diese Menge wird durch chemische Reaktion in den Poren umgesetzt dN˙ A0 = γ˙ A dVP = −k1 aP cA0 ηp dVP = −k1 aP c˜ xA0 ηp dVP . VP ist hierin das Volumen der Pellets. Somit ist d(N˙ x ˜A0 ) = −k1 ap c x ˜A0 ηp dVP . Daraus folgt mit N˙ = const und c = p/Rm T d˜ xA0 k ap pηp =− 1 dVP . x ˜A0 N˙ Rm T Nach Integration zwischen den Stoﬀmengenanteilen x ˜Ae bei Eintritt und x ˜Aa bei Austritt aus dem Katalysator erh¨ alt man das Volumen VP der Pellets VP =

N˙ Rm T x ˜Ae ln , k1 aP p ηp x ˜Aa

3 mol/s · 8,31451 Nm/mol K · 753,15 K ln 10 = 6,008 · 10−4 m3 . 10−3 m/s · 5 · 106 m2 /m3 · 1,2 · 105 N/m2 · 0,12 Man ben¨ otigt VP =

M = VP = 8,9 · 103 kg/m3 · 6,008 · 10−4 m3 = 5,35 kg CuO .

2.6.7 Instation¨ are Diﬀusion In Abschnitt 2.6.3 war gezeigt worden, dass die Diﬀerentialgleichung der instation¨ aren Diﬀusion von gleicher Art wie die W¨armeleitungsgleichung ist und dass sich infolgedessen viele Diﬀusionsprobleme auf entsprechende W¨armeleitprobleme zur¨ uckf¨ uhren lassen. Wir wollen dies im Folgenden an der instation¨ aren Diﬀusion in einem einseitig unendlich ausgedehnten K¨orper und in den einfachen K¨ orpern Platte, Zylinder und Kugel er¨ortern. 2.6.7.1 Instation¨ are Diﬀusion in einem einseitig unendlich ausgedehnten K¨ orper Wir behandeln die instation¨ are Diﬀusion eines Stoﬀes in einem einseitig unendlich ausgedehnten K¨ orper B. In diesem sei der Stoﬀ A zur Zeit t = 0 mit der Konzentration cAα gespeichert. Die gesuchte Konzentrationsverteilung cA ≡ cA (x, t) gen¨ ugt unter der Annahme cD = const der Diﬀerentialgleichung ∂cA ∂ 2 cA =D , ∂t ∂x2 und soll die Anfangsbedingung

t ≥ 0,

x≥0

(2.416)

cA (t = 0, x) = cAα = const erf¨ ullen. An der Oberﬂ¨ ache des K¨ orpers kommen analog zum W¨armeleitproblem folgende Bedingungen in Frage:

2.6 Diﬀusion

– – –

287

¨ eine sprunghafte Anderung der Oberﬂ¨ achenkonzentration auf den Wert cA0 , der f¨ ur t > 0 konstant bleiben soll, Zufuhr einer konstanten Stoﬀmengenstromdichte n˙ A0 , ¨ eine sprunghafte Anderung der Umgebungskonzentration auf den Wert cAU = cA0 , so dass Stoﬀ¨ ubergang mit dem Stoﬀ¨ ubergangskoeﬃzienten β stattﬁndet.

Wie man erkennt, kann man wegen der Gleichartigkeit der Diﬀerentialgleichungen, der Anfangs- und der Randbedingungen die L¨osung der W¨armeleitprobleme von Abschnitt 2.3.3 sinngem¨ aß auf die der Diﬀusionsprobleme u ¨ bertragen. Es gelten die Entsprechungen der folgenden Tabelle. Tabelle 2.19: Entsprechungen zwischen Gr¨ oßen der W¨ armeleitung und der Diﬀusion W¨ armeleitung

Diﬀusion

ϑ

cA

a

D

t = at/L

t+ D

Bi = αL/λ √ x/2 at √ b = λc

BiD = βL/D √ x/2 Dt √ bD = D

+

2

= Dt/L2

Mit diesen Entsprechungen lassen sich aus den bereits behandelten L¨osungen von W¨ armeleitproblemen die L¨ osungen der entsprechenden Diﬀusionsprobleme anschreiben. F¨ ur instation¨ are Diﬀusion in einem einseitig unendlich ausgedehnten K¨or¨ per bei sprunghafter Anderung der Oberﬂ¨ achenkonzentration ﬁndet man aus (2.126) cA − cAα x = erfc √ (2.417) cA0 − cAα 2 Dt und mit (2.131) die u ¨bergehende Stoﬀmengenstromdichte √ D x2 ! √ n˙ A (t, x) = (cA0 − cAα )exp − . 4Dt πt

(2.418)

Die an der Oberﬂ¨ache x = 0 u ¨bergehende Stoﬀmengenstromdichte ist √ D √ n˙ A (t, x = 0) = (cA0 − cAα ) . (2.419) πt

288

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

Entsprechende L¨ osungen erh¨ alt man aus (2.135), wenn der Oberﬂ¨ache eine konstante Stoﬀmengenstromdichte n˙ A0 zugef¨ uhrt wird, und aus (2.140), wenn ein Stoﬀ¨ ubergang von der Oberﬂ¨ ache an ein anderes Fluid stattﬁndet. 2.6.7.2 Instation¨ are Diﬀusion in einfachen K¨ orpern bei eindimensionalem Stoﬀﬂuss Das zeitabh¨ angige Konzentrationsfeld cA (x, t) in einem K¨orper wird durch die der W¨ armeleitungsgleichung (2.157) entsprechende, f¨ ur cD = const g¨ ultige Diﬀusionsgleichung ∂cA ∂ 2 cA n ∂cA ! =D + (2.420) ∂t ∂r2 r ∂r mit n = 0 f¨ ur die Platte, n = 1 f¨ ur den Zylinder und n = 2 f¨ ur die Kugel bestimmt, wenn man geometrisch eindimensionale Diﬀusion in r-Richtung annimmt. Wie bei der W¨ armeleitung bedeutet r die radiale Koordinate f¨ ur Zylinder und Kugel. Der Zylinder soll sehr lang im Vergleich zu seinem Durchmesser sein. Die Konzentrationen cA in Zylinder und Kugel d¨ urfen nicht von der Winkelkoordinate abh¨ angen. Bei der Platte soll die x-Koordinate vor¨ ubergehend mit r bezeichnet werden. Sie z¨ ahlt von der Plattenmitte aus. Mit der Anfangsbedingung t=0:

cA (r) = cAα ,

0≤r≤R

und den Randbedingungen r = 0 : ∂cA /∂r = 0 r = R : −D∂cA /∂r = β(cA − cAU ) ergeben sich durch sinngem¨ aße Anwendung der L¨osungen der entsprechenden W¨ armeleitprobleme folgende Ergebnisse. Wir setzen dabei c+ A =

cA − cAU . cAα − cAU

F¨ ur die ebene Platte folgt aus (2.171) und (2.172) sowie mit BiD und t+ D nach Tab. 2.19 und r+ = r/R: + + c+ A (r , tD )

=

∞ i=1

2 BiD 1 cos(μi r+ )exp(−μ2i t+ D) Bi2D + BiD + μ2i cos μi

(2.421)

mit den Eigenwerten μi aus tan μ = BiD /μ .

(2.422)

2.7 Aufgaben

289

Die mittlere Konzentration c+ Am folgt aus (2.174) + 2 c+ Am (tD ) = 2BiD

∞ i=1

exp(−μ2iD t+ D) . μ2i (Bi2D + BiD + μ2i )

(2.423)

Analoge Ergebnisse erh¨ alt man mit den Gleichungen von Kapitel 2.3.4.4 f¨ ur den Zylinder und die Kugel. + Beispiel 2.16: Wie lautet die Gleichung f¨ ur die mittlere Konzentration c+ Am (tD ) einer Kugel, wenn die Konzentration vom Anfangswert cA (r, t = 0) = cAα sprunghaft auf den Wert cA (r = R, t) = cA0 anstieg? ¨ Die sprunghafte Anderung der Oberﬂ¨ achenkonzentration bei r = R ist nur m¨ oglich, wenn der Stoﬀ¨ ubergangswiderstand 1/βA zwischen Oberﬂ¨ ache A und Umgebung vernachl¨ assigbar gering wird. Dann wird β → ∞ und somit BiD = ‹ βR/DAB → ∞ und cA0 = cAU , und es wird c+ ur Am = (cAm − cA0 ) (cAα − cA0 ). F¨ die Kugel erh¨ alt man aus (2.183) und (2.185)

+ + c+ A (r , tD ) =

∞ X

2 BiD

i=1

μ2i + (BiD − 1)2 sin μi sin(μi r + ) exp(−μ2i t+ D ) (2.424) μ2i + BiD (BiD − 1) μi μi r +

mit den Eigenwerten μi aus μ cot μ = 1 − BiD .

(2.425)

Die mittlere Konzentration ist gem¨ aß (2.184) + 2 c+ Am (tD ) = 6 BiD

∞ X i=1

exp(−μ2i t+ D) . μ2i [μ2i + BiD (BiD − 1)]

(2.426)

F¨ ur BiD → ∞ erh¨ alt man aus (2.425) die Eigenwerte μ1 = π, μ2 = 2π, μ3 = 3π . . . und als mittlere Konzentration aus (2.426) + c+ Am (tD ) = 6

∞ X exp(−μ2i t+ ) D

i=1

μ2i

.

Mit den Eigenwerten μi = iπ, i = 1, 2, 3 . . . kann man daf¨ ur auch schreiben + c+ Am (tD ) =

∞ 6 X exp(−i2 π 2 t+ D) . π 2 i=1 i2

(2.427)

2.7 Aufgaben 2.1: Man leite die Diﬀerentialgleichung f¨ ur das Temperaturfeld ϑ = ϑ(r, t) her, das sich in einem Zylinder bei instation¨ arer, geometrisch eindimensionaler W¨ armeleitung in radialer Richtung einstellt. Dazu gehe man von der Energiebilanz f¨ ur einen Hohlzylinder mit dem Innenradius r und der Dicke Δr aus und vollziehe den Grenz¨ ubergang Δr → 0. Die Stoﬀwerte λ und c sollen von ϑ abh¨ angen; innere W¨ armequellen treten nicht auf.

290

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

2.2: Eine Oberﬂ¨ ache (x = 0) einer sich abk¨ uhlenden Platte der Dicke δ ist isoliert, w¨ ahrend u ache W¨ arme an ein Fluid mit der Temperatur ¨ ber die andere Oberﬂ¨ ϑF u ur ¨ bergeht. Man skizziere den Temperaturverlauf ϑ = ϑ(x, t∗ ) in der Platte f¨ eine feste Zeit t∗ . Welchen Bedingungen muss diese Kurve in der N¨ ahe der beiden Oberﬂ¨ achen x = 0 und x = δ gen¨ ugen, wenn die Biot-Zahl Bi = αδ/λ = 1,5 ist? Man skizziere außerdem den Verlauf der Fluidtemperatur in der Grenzschicht an der Plattenoberﬂ¨ ache unter Ber¨ ucksichtigung der Bedingung N u = αδ/λF = 10; λF ist die W¨ armeleitf¨ ahigkeit des Fluids. 2.3: Das Temperaturproﬁl in einer Stahlplatte mit der Dicke δ = 60 mm und der konstanten Temperaturleitf¨ ahigkeit a = 12,6 · 10−6 m2 /s ist zu einer festen Zeit t0 durch „ « ϑ − ϑ1 1 ϑ+ := = x+ − B(t0 ) cos π(x+ − ) , 0 ≤ x+ ≤ 1 , ϑ2 − ϑ1 2 mit B(t0 ) = 0,850 gegeben. Dabei ist x+ := x/δ; ϑ1 = 100 und ϑ2 = 250 sind die konstanten Oberﬂ¨ achentemperaturen der Platte bei x+ = 0 und x+ = 1. a) Man zeichne den Temperaturverlauf ϑ = ϑ(x, t0 ). Erw¨ armt sich die Platte oder k¨ uhlt sie sich ab? b) An welcher Stelle x+ andert sich die Temperatur am schnellsten mit der Zeit? T ¨ Wie groß ist dort ∂ϑ/∂t? + c) Stimmt x+ ¨ berein, an der das Temperaturproﬁl zur Zeit T mit der Stelle xmin u t0 sein Minimum hat? d) Man bestimme die Zeitfunktion B(t) unter Ber¨ ucksichtigung der Anfangsbedingung B(t0 ) = 0,850. Welcher station¨ are Temperaturverlauf ergibt sich f¨ ur t → ∞? 2.4: In einem sehr langen Zylinder mit dem Radius R wird durch eine Reaktion W¨ arme freigesetzt. Die Leistungsdichte nimmt mit dem Abstand r von der Zylinderachse zu: ˙ (r) = W ˙ R (r/R)m W

,

m≥0 .

a) Wie groß ist die vom Zylinder abgegebene W¨ armestromdichte q(R)? ˙ Wie groß ˙ R sein, damit q(R) muss W ˙ mit der W¨ armestromdichte u ¨ bereinstimmt, die ein ˙ 0 abgibt? gleichgroßer Zylinder mit r¨ aumlich konstanter Leistungsdichte W ¨ b) F¨ ur einen Zylinder mit konstantem λ berechne man die Ubertemperatur Θ(r) = ϑ(r) − ϑ(R) unter Benutzung des Ansatzes h i Θ(r) = A 1 − (r/R)k , der den Randbedingungen r = 0 : dΘ/ dr = 0

und

r=R: Θ=0

gen¨ ugt. ¨ ¨ c) Man vergleiche die maximale Ubertemperatur Θmax mit der maximalen Uber0 ˙ 0 . Wie temperatur Θmax eines Zylinders mit der konstanten Leistungsdichte W 0 groß ist das Verh¨ altnis Θmax /Θmax , wenn beide Zylinder gleich viel W¨ arme 0 abgeben? Man berechne Θmax /Θmax f¨ ur m = 0, 1, 2 und 3.

2.7 Aufgaben

291

2.5: Aus einer Isolierschicht ragt ein st¨ ahlerner Bolzen (d = 20 mm, λ = 52,0 W/K m) heraus, vgl. Abb. 2.68. Sein linkes Ende wird auf der konstanten Temperatur ϑ∗ = 75,0 gehalten. Der Bolzen ist u ¨ ber die Strecke Lis = 100 mm vollkommen isoliert; das um L = 200 mm herausragende St¨ uck gibt W¨ arme an die Umgebung mit ϑU = 15,0 ab, wobei der W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient α = 8,85 W/m2 K am Bolzenumfang und an der freien Stirnﬂ¨ ache maßgebend ist.

Abb. 2.68: Stahlbolzen, der aus einer Isolierschicht ragt a) Man berechne die Temperaturen ϑ0 und ϑL . b) Wie groß ist der W¨ armestrom, den der Bolzen an die Umgebung abgibt? Welcher W¨ armestrom Q˙ L ﬂießt durch die freie Stirnﬂ¨ ache? c) Man vergleiche die Ergebnisse, die aus der Temperaturverteilung nach (2.55) folgen, mit den Werten, die sich f¨ ur den an der Stirnﬂ¨ ache adiabaten Ersatzbolzen mit der L¨ ange LC nach (2.60) ergeben. 2.6: Der Wirkungsgrad ηR gerader Rippen mit rechteckigem Querschnitt l¨ asst sich durch Messen von drei Temperaturen bestimmen: der Temperatur ϑ0 am Rippenfuß, der Temperatur ϑh an der Rippenspitze und der Temperatur ϑU des Fluids, das die Rippe umgibt. Man bestimme ηR f¨ ur ϑ0 = 75,0 , ϑh = 40,5 und ϑU = 15,0 . 2.7: Ein Messingrohr mit dem Außendurchmesser d = 25 mm wird von Luft quer zu seiner Achse angestr¨ omt; der W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient sei α = 90 W/m2 K. Das Rohr wird mit Kreisrippen aus Messing (λR = 126 W/K m) versehen, deren Dicke δR = 1,5 mm und deren H¨ ohe h = 20 mm betr¨ agt. Die Oberﬂ¨ achentemperatur des Rohres und die Lufttemperatur seien konstant. a) Wie viele Rippen m¨ ussen je Meter Rohrl¨ ange angebracht werden, damit sich der an die Luft abgegebene W¨ armestrom versechsfacht? Es kann αR = α gesetzt werden. b) Die Rippenh¨ ohe wird auf h = 30 mm vergr¨ oßert. Um welchen Faktor vergr¨ oßert sich der W¨ armestrom gegen¨ uber dem berippten Rohr nach a)? 2.8: Ein Rohr mit dem Durchmesser d = 0,30 m und der Oberﬂ¨ achentemperatur ϑR = 60 ist im Erdboden (λ = 1,20 W/K m) so verlegt, dass seine Achse 0,80 m unter der Oberﬂ¨ ache liegt. Die Lufttemperatur ist ϑL = 10 ; der W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient zwischen Luft und Erdoberﬂ¨ ache sei α = 8,5 W/m2 K. Wie groß ˙ ist der auf die Rohrl¨ ange L bezogene Verlustw¨ armestrom Q/L des Rohres? 2.9: Ein Straßenbelag aus Asphalt (λ = 0,65 W/K m, = 2120 kg/m3 , c = 920 J/kg K) habe durch l¨ angere Sonneneinstrahlung die Temperatur ϑ0 = 55 nicht nur an seiner Oberﬂ¨ ache, sondern auch in den Schichten mehrere Zentimeter unter der Oberﬂ¨ ache erreicht. Pl¨ otzlich einsetzender Regen senkt die Oberﬂ¨ achentemperatur 10 min lang auf ϑS = 22 . Man berechne

292

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

a) die auf die Oberﬂ¨ ache bezogene W¨ arme, die der Asphalt w¨ ahrend des Regens abgibt, und b) die Temperatur, die sich in 3,0 cm Tiefe am Ende des Regenschauers einstellt. 2.10: Eine sehr dicke Betonwand (λ = 0,80 W/K m, = 1950 kg/m3 , c = 880 J/kg K) hat anf¨ anglich die gleichf¨ ormige Temperatur ϑ0 = 20 . Sie wird an ihrer Oberﬂ¨ ache mit der konstanten W¨ armestromdichte q˙0 = 650 W/m2 (Sonneneinstrahlung) aufgeheizt. Welche Temperatur erreicht die Oberﬂ¨ ache nach 2,0 h? Wie hoch ist zu dieser Zeit die Temperatur in 10 cm Tiefe? 2.11: Man l¨ ose Aufgabe 2.10 unter der zus¨ atzlichen Bedingung, dass die Betonwand W¨ arme an Luft mit der Temperatur ϑU = ϑ0 = 20 abgibt, wobei der W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient α = 15,0 W/m2 K maßgebend ist. 2.12: Es soll das Eindringen der t¨ aglichen und jahreszeitlichen Temperaturschwankungen in das Erdreich (a = 0,35 · 10−6 m2 /s) untersucht werden. Dazu wird f¨ ur die Oberﬂ¨ achentemperatur die harmonische Schwingung ϑ0 (t) = 10,0

+ Δϑ cos(2π t/t0 )

mit der Schwingungsdauer t0 angenommen. a) Man zeige, dass die Amplitude der t¨ aglichen Temperaturschwankungen (Δϑ = 10 , t0 = 24 h) bereits in 1 m Tiefe vernachl¨ assigbar klein ist. b) F¨ ur die jahreszeitlichen Temperaturschwankungen (Δϑ = 25 , t0 = 365 d) berechne man den Temperaturverlauf in 2 m Tiefe. Wie groß sind dort die h¨ ochste und die niedrigste Temperatur, und an welchem Tag des Jahres treten sie jeweils auf unter der Annahme, dass das Maximum der Oberﬂ¨ achentemperatur am 1. August erreicht wird. 2.13: Eine ebene Wand aus Schamottesteinen hat die Dicke δ = 0,325 m und die Stoﬀwerte λ = 1,15 W/K m, a = 0,613 · 10−6 m2 /s. Eine ihrer Oberﬂ¨ achen ist isoliert, u arme an die Umgebung (ϑU = 20,0 ) u ¨ ber die andere geht W¨ ¨ ber. Die Wand hatte anf¨ anglich die Temperatur ϑ0 = 180,0 . Zur Zeit t1 ist die Temperatur ihrer nicht isolierten Oberﬂ¨ ache ϑW1 = 50,0 ; zur Zeit t2 = t1 + 8,50 h ist die Oberﬂ¨ achentemperatur auf ϑW2 = 41,9 gesunken. a) Wie groß ist der f¨ ur die Abk¨ uhlung maßgebende W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient α? b) Man berechne die Temperaturen der isolierten Wandoberﬂ¨ ache f¨ ur die Zeiten t1 und t2 . 2.14: Eine Kugel aus Kunststoﬀ (λ = 0,35 W/K m, c = 2300 J/kg K, = 950 kg/m3 ) mit dem Durchmesser d = 20 mm, die auf ϑ0 = 110,0 erhitzt wurde, k¨ uhlt sich in Luft von ϑU = 15,0 ab; der W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient ist α = 8,75 W/m2 K . a) Welche Temperatur erreicht die Kugel nach 20 min? Man verwende die N¨ aherungsgleichung f¨ ur kleine Biot-Zahlen, vgl. Abschnitt 2.3.5.2. b) Man vergleiche das Ergebnis von a) mit der exakten L¨ osung durch Berechnen der Mitteltemperatur ϑm und der Temperaturen an der Oberﬂ¨ ache und im Kugelmittelpunkt.

2.7 Aufgaben

293

2.15: Ein sehr langes Stahlband mit rechteckigem Querschnitt (h = 15 mm, b = 50 mm) und der Temperaturleitf¨ ahigkeit a = 3,8 · 10−6 m2 /s wird durch ein ¨ ¨ Olbad von L = 4,0 m L¨ ange gezogen. Das Olbad hat die konstante Temperatur ¨ die Temperatur ϑ0 = ϑF = 50 ; das Stahlband hat beim Eintritt in das Ol ¨ sei so groß, 375 . Der W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient zwischen Stahlband und Ol dass die Oberﬂ¨ ache des Stahlbands die Temperatur ϑF annimmt. Mit welcher ¨ gezogen werden, damit es Geschwindigkeit w muss das Stahlband durch das Ol ¨ beim Verlassen des Olbads in seiner Mittelachse die Temperatur ϑk = 65 erreicht? Die axiale W¨ armeleitung im Stahlband ist zu vernachl¨ assigen. 2.16: Ein gusseisernes Rohr (λ = 51,0 W/K m) mit dem Innendurchmesser di = 40 mm und der Wandst¨ arke δ = 7,5 mm ist mit Wasser gef¨ ullt, das die Temperatur ϑE = 0,0 hat. Die Außenluft habe die Temperatur ϑ0 = −8,0 ; der W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient zwischen Rohr und Luft sei α = 25 W/m2 K. Nach welcher Zeit hat sich im Rohr eine Eisschicht der Dicke s = 15 mm gebildet, so dass wegen der Volumenvergr¨ oßerung des Eises gegen¨ uber dem Wasser mit dem Platzen des Rohres gerechnet werden muss? Wie lange w¨ urde es dauern, bis der Rohrinhalt vollst¨ andig gefroren ist? Stoﬀwerte von Eis bei 0 : = 917 kg/m3 , λ = 2,25 W/K m, hE = 333 kJ/kg. 2.17: Zur Messung der W¨ armeleitf¨ ahigkeit wird in einer gr¨ oßeren, meist zylinderf¨ ormigen Probe des zu untersuchenden Materials ein sehr d¨ unner Platindraht der L¨ ange L zentrisch so angebracht, dass sehr guter Kontakt zwischen dem Draht und dem ihn umgebenden Material besteht. Bis zur Zeit t = 0 beﬁndet sich diese Anordnung auf einer konstanten Temperatur ϑ0 . Dann wird der Draht elektrisch mit der konstanten Leistung Q˙ 0 beheizt. Zu den Zeiten t1 und t2 werden die Temperaturen ϑ1 und ϑ2 des Platindrahtes (z.B. aus seiner Widerstands¨ anderung) bestimmt. Nach [2.82], S. 442, erh¨ alt man die W¨ armeleitf¨ ahigkeit des Materials, das den Draht umgibt, aus λ=

Q˙ 0 /L t2 ln . 4π(ϑ2 − ϑ1 ) t1

Man leite diese Beziehung aus Gl. (2.235) von Abschnitt 2.3.7.2 her. 2.18: Eine sehr dicke Wand mit konstanter Temperaturleitf¨ ahigkeit a und der konstanten Anfangstemperatur ϑ0 wird von ihrer Oberﬂ¨ ache her aufgeheizt. Dort steigt die Temperatur zwischen t = 0 und t = t∗ linear mit der Zeit t auf den Wert ϑ1 > ϑ0 , der f¨ ur t > t∗ konstant bleibt. Es soll der Temperaturverlauf in der Wand zu den Zeiten t = t∗ und t = 2 t∗ numerisch berechnet werden. Man benutze das einfache explizite Diﬀerenzenverfahren, w¨ ahle Δt = t∗ /6 und + M = 1/3, und rechne mit der normierten Temperatur ϑ = (ϑ − ϑ0 )/(ϑ1 − ϑ0 ). Man vergleiche die numerisch berechneten Werte mit der geschlossenen L¨ osung 8 „ « t x > > f¨ ur 0 ≤ t ≤ t∗ , > < t∗ F 2√at ! + „ « ϑ (x, t) = t x t − t∗ x > > √ p F − F f¨ ur t ≥ t∗ , > : t∗ ∗ t 2 at 2 a(t − t∗ ) wobei

bedeutet.

2 F (ξ) = (1 + 2 ξ 2 ) erfc ξ − √ ξ exp(−ξ 2 ) π

294

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

2.19: Ein langer Hohlzylinder aus Kunststoﬀ (λ = 0,23 W/K m, c = 1045 J/kg K, = 2200 kg/m3 ) mit den Durchmessern di = 60 mm und da = 100 mm hat anf¨ anglich die Temperatur ϑ0 = 20 , die mit der Umgebungs-(Luft-)Temperatur u ¨ bereinstimmt. Zur Zeit t = 0 wird der Hohlzylinder mit einer heißen Fl¨ ussigkeit gef¨ ullt und so beheizt, dass seine Innenwandtemperatur f¨ ur t ≥ 0 den Wert ϑi = 80 annimmt. An der Außenwand des Zylinders geht W¨ arme an die Luft u arme¨ ubergangskoeﬃzienten α = 12,0 W/m2 K. ¨ ber mit dem W¨ a) Man wende das explizite Diﬀerenzenverfahren mit Δr = 4,0 mm an, zeige, dass die Schrittweite Δt = 60 s zul¨ assig ist, und berechne damit den Temperaturverlauf im Hohlzylinder zur Zeit t∗ = 15 min. b) Wie groß ist der Unterschied zwischen der station¨ aren Temperaturverteilung und den f¨ ur die Zeit t∗ berechneten Temperaturen? 2.20: Der Wirkungsgrad einer quadratischen Scheibenrippe, die auf einem Rohr mit dem Radius r0 sitzt, soll mit einem Diﬀerenzenverfahren n¨ aherungsweise bestimmt werden. Die Rippe hat die Seitenl¨ ange s = 4 r0 , die konstante Dicke δR und die W¨ armeleitf¨ ahigkeit λR . Der W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient αR sei auf der Rippenoberﬂ¨ ache konstant. Die Temperatur am Rippenfuß sei ϑ0 , die Umgebungstemperatur ϑU . Dem Diﬀerenzenverfahren zur Berechnung des dimensionslosen Temperaturfelds ϑ+ = (ϑ − ϑU )/(ϑ0 − ϑU ) wird das in Abb. 2.69 dargestellte quadratische Gitter mit Δx = 0,40 r0 zugrundegelegt. Wegen der + Symmetrie gen¨ ugt es, die 12 Temperaturen ϑ+ 1 bis ϑ12 zu bestimmen.

Abb. 2.69: Quadratische Scheibenrippe auf einem Kreisrohr mit quadratischem Gitter der Maschenweite Δx = 0,40 r0 . Die gestrichelten Linien begrenzen die den Temperaturen ϑ+ achen. i zugeordneten Fl¨

2.7 Aufgaben

295

+ a) Man stelle die linearen Gleichungen f¨ ur die Temperaturen ϑ+ 1 bis ϑ12 auf. Dap bei verwende man zur Abk¨ urzung die Gr¨ oße m = 2αR /λR δR nach (2.71). Man beachte, dass den Gitterpunkten 5, 9 und 12 nur die Fl¨ ache Δx2 /2 und den Punkten 10 und 11 ein noch zu berechnender Teil der Fl¨ ache Δx2 f¨ ur den W¨ arme¨ ubergang zugeordnet ist. + b) F¨ ur mΔx = 0,40 berechne man ϑ+ 1 bis ϑ12 und bestimme daraus einen N¨ aherungwert f¨ ur ηR . Man vergleiche diesen Wert mit dem, der sich aus den N¨ aherungsgleichungen (2.82) und (2.83) ergibt.

2.21: Die in Abb. 2.70 dargestellte Wand ist Ecke eines Industrieofens aus Silikasteinen. Auf der Außenseite wird der Ofen von Luft gek¨ uhlt, w¨ ahrend die Temperatur der Innenwand weiterhin konstant ist und 500◦ C betr¨ agt. Der W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient an die Außenluft ist α = 10 W/m2 K, ihre Umgebungstemperatur ϑU = 20◦ C. Die W¨ armeleitf¨ ahigkeit der Silikasteine betr¨ agt λ = 0, 8 W/Km, die Wanddicke ist δ = 0, 25 m. Man berechne mit Hilfe der Finite-Element-Methode die Temperaturen ϑ0 , . . . , ϑ4 sowie die Außentemperaturen ϑ5 , . . . , ϑ10 . Um wieviel verringert sich die an die Luft abgef¨ uhrte W¨ arme verglichen mit der bei konstanter Außentemperatur des Beispiels 2.8?

Abb. 2.70: Wand eines Raumes mit quadratischem Grundriss. W¨ arme¨ ubertragung an die umgebende Luft. FEM-Gitternetz

2.22: Zur K¨ uhlung eines elektrisch beheizten Bauelements dient die in Abb. 2.71 dargestellte Grundplatte mit dem darauf beﬁndlichen Gitter aus 60 Rundst¨ aben. Die St¨ abe werden von Luft der Temperatur ϑU = 20 quer angestr¨ omt mit einem W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient von α = 20 W/m2 K. Sie bestehen aus Aluminium der W¨ armeleitf¨ ahigkeit λ = 200 W/Km, der spez. W¨ armekapazit¨ at c = 900 J/kg K und der Dichte = 2700 kg/m3 . Jeder Stab hat einen Durchmesser von d = 0, 01 m und eine L¨ ange von L = 0, 1 m. Die Anfangstemperatur der St¨ abe ist ϑ0 = ϑU = 20 . Bei Einschalten der Heizung wird den 60 St¨ aben ein W¨ armestrom von 600 W zugef¨ uhrt. Gleichzeitig wird die Luftk¨ uhlung eingeschaltet.

296

2 W¨ armeleitung und Diﬀusion

Abb. 2.71: Querangestr¨ omte Gitterst¨ abe auf einer Grundplatte zur K¨ uhlung elektronischer Bauelemente

Man berechne mit der Finite-Element-Methode den zeitlichen und ¨ ortlichen Temperaturverlauf in den St¨ aben unter der Annahme, dass jedem Stab der gleiche W¨ armestrom zugef¨ uhrt wird, und dass man den W¨ armestrom, der von der freien Fl¨ ache der Grundplatte an die Luft abgef¨ uhrt wird, vernachl¨ assigen kann. Die Lufttemperatur in einigem Abstand von der Staboberﬂ¨ ache ¨ andert sich beim Durchstr¨ omen des Stabb¨ undels nur wenig und betr¨ agt dort unver¨ andert 20 . 2.23: Eine 75 mm dicke Holzplatte enth¨ alt 2,8 Massen-% Wasser bezogen auf das trockene Holz, entsprechend einem Massenanteil von ξAα = 0,218. Im Gleichgewicht mit der Umgebung w¨ urde sich der Massenanteil auf ξAU = 0,065 verringern. Wie lange dauert es, bis der Massenanteil des Wassers in der Plattenmitte auf ξA (x = 0) = 0,08 gesunken ist? Der Diﬀusionskoeﬃzient von Wasser in Holz ist D = 1,2 · 10−9 m2 /s. 2.24: Statt der 75 mm dicken Holzplatte der vorigen Aufgabe soll ein sehr langer Holzstamm mit quadratischem Querschnitt von 75 mm Kantenl¨ ange getrocknet werden. Die Massenanteile des Wassers und der Diﬀusionskoeﬃzient seien dieselben wie in der vorigen Aufgabe: ξAα = 0,218, ξAU = 0,065, D = 1,2 · 10−9 m2 /s. Wie lange dauert es, bis der Wasseranteil im Kern des Stammes auf den Wert ξA (x = 0, y = 0) = 0,08 gesunken ist? 2.25: In einem Spr¨ uhabsorber wird ammoniakhaltiges Abgas durch Wasser gereinigt. Das Abgas und die Wassertropfen werden nach Abb. 2.72 im Gegenstrom gef¨ uhrt. An der Oberﬂ¨ ache der herabfallenden Wassertropfen stellt sich die zur Temperatur von 10 des eingespr¨ uhten Wassers und zum Druck von 0,11 MPa geh¨ orende S¨ attigungskonzentration an Ammoniak (Stoﬀ A) ein. Der Massenanteil Ammoniak bei S¨ attigung betr¨ agt ξA0 = 0,4. Gegeben sind folgende Massenstr¨ ome und Massenanteile: zugef¨ uhrter Wassermengenstrom M˙ W = 2,3 kg/s, zugef¨ uhrter Abgasmengenstrom M˙ Ge = 4,4 kg/s, Massenanteil Ammoniak G G im zugef¨ uhrten Abgas ξAe = 0,12; er soll auf ξAa = 0,006 im abstr¨ omenden AbL gas verringert werden; der Massenanteil Ammoniak im Abwasser darf ξAa = 0,24 betragen. Der Wasseranteil im Abgas sei vernachl¨ assigbar.

2.7 Aufgaben

297

Abb. 2.72: Reinigung von Gasen in einem Spr¨ uhabsorber ˙ Ga von Abgas, M˙ La von Abwasser und a) Wie groß sind die Massenstr¨ ome M welchen Massenstrom M˙ W Wasser muss man dem Absorber zuf¨ uhren? L b) Nach welcher Zeit ist der mittlere Massenanteil NH3 im Abwasser auf ξAa = 0,24 angewachsen? Der Durchmesser der Wassertropfen betrage 3 mm und der Diﬀusionskoeﬃzient von NH3 in H2 O ist D = 1,5 · 10−9 m2 /s. c) Wie hoch wird der Spr¨ uhabsorber, wenn die Wassertropfen in dem nach oben str¨ omenden Abgas mit einer Geschwindigkeit w = 0,1 m/s nach unten fallen? 2.26: Trockene Styroporkugeln von 60 mm Durchmesser werden 1 h lang mit Wasser berieselt. Wieviel Wasser nimmt jede Kugel auf, wenn der Diﬀusionskoeﬃzient von Wasser (Stoﬀ A) in Styropor (Stoﬀ B) D = 1,8 · 10−8 m2 /s betr¨ agt?

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀu omungen ¨ bergang. Einphasige Str¨

Im ersten Kapitel waren der W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient durch q˙ = αΔϑ und der Stoﬀ¨ ubergangskoeﬃzient f¨ ur einen Stoﬀ A durch n˙ A = βΔcA deﬁniert worden. Der so eingef¨ uhrte Stoﬀ¨ ubergangskoeﬃzient galt f¨ ur verschwindenden Konvektionsstrom und musste f¨ ur endlichen Konvektionsstrom noch korrigiert werden. Diese Gleichungen beschreiben zwar den konvektiven W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang, sie sind jedoch weiter nichts als Deﬁnitionsgleichungen f¨ ur den W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten α und den Stoﬀ¨ ubergangskoeﬃzienten β, keinesfalls aber als Gesetze des W¨arme- oder Stoﬀ¨ ubergangs anzusehen. Der naturgesetzliche Ablauf des Vorgangs der W¨arme- und Stoﬀ¨ ubertragung ist vielmehr in dem W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergangskoeﬃzienten verborgen. Beide sind im Allgemeinen nicht konstant, sondern lokal und bei instation¨ aren Vorg¨ angen auch zeitlich ver¨ anderlich. Sie h¨angen außerdem von der Str¨ omung, von Stoﬀeigenschaften des Fluids und der geometrischen Gestalt der W¨ arme oder Stoﬀ u ¨ bertragenden Oberﬂ¨achen ab. Die obigen Deﬁnitionsgleichungen f¨ ur den W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergangskoeﬃzienten sind somit nicht geeignet, den Mechanismus der W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubertragung zu beschreiben. Das ist nur u ¨ ber ein eingehendes Studium der Str¨omung m¨oglich und soll Gegenstand der folgenden Ausf¨ uhrungen sein. Grunds¨ atzlich unterscheidet man zwischen erzwungener und freier Str¨omung. Eine erzwungene Str¨ omung wird durch ¨außere Kr¨afte hervorgerufen, beispielsweise dadurch, dass die Str¨ omung durch eine Pumpe oder ein Gebl¨ase zustande kommt. Eine freie Str¨ omung wird durch Dichteunterschiede angefacht, die ihrerseits auf Temperatur-, Druck- oder Konzentrationsunterschiede zur¨ uckzuf¨ uhren sind. Im Folgenden soll zuerst der W¨arme- und Stoﬀ¨ ubergang bei erzwungener, anschließend der bei freier Str¨omung behandelt werden.

300

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

3.1 Vorbemerkungen: Die l¨ angsangestr¨ omte ebene Platte bei reibungsfreier Str¨ omung Um zu erkennen, wie sich W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergangskoeﬃzienten mit dem Str¨ omungsweg ¨ andern, betrachten wir eine l¨ angsangestr¨omte ebene Platte und nehmen dabei an, die Platte werde mit der konstanten mittleren Geschwindigkeit wm u omt. Gleichbedeutend damit ist die Annahme, die Visko¨berstr¨ sit¨ at des Fluids sei verschwindend gering. Wirkliche Str¨omungen haften an der Wand, so dass die Str¨ omungsgeschwindigkeit vom Wert null an der Wand asymptotisch in die Geschwindigkeit der Außenstr¨omung u ¨ bergeht. Ein Fluid mit verschwindender Viskosit¨ at w¨ urde an der Wand nicht haften. Solche Fluide kommen zwar in der Praxis nicht vor, ihre Einf¨ uhrung erm¨oglicht es uns jedoch, lokale Temperatur- und Konzentrationsfelder und daraus auch lokale W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergangskoeﬃzienten mit den bereits bekannten Methoden wenigstens in grober N¨ aherung zu berechnen. Dadurch wird das Verst¨andnis der sp¨ ater folgenden allgemeinen Betrachtungen mit Hilfe der maßgebenden partiellen Diﬀerentialgleichungen erleichtert. Eine ebene Platte werde von einem Fluid der Temperatur ϑα mit der konstanten mittleren Geschwindigkeit wm angestr¨omt, Abb. 3.1. Die Oberﬂ¨achentemperatur der Platte sei konstant und gleich ϑ0 . Falls die Platte heißer ist als das ankommende Fluid ϑ0 > ϑα bildet sich ein Temperaturproﬁl aus, wie links in Abb. 3.1a eingezeichnet; ist die Platte k¨ alter als das ankommende Fluid, ϑ0 < ϑα , so erh¨alt man das rechts in Abb. 3.1a eingezeichnete Temperaturproﬁl. Die Temperatur¨ anderungen sind auf eine d¨ unne wandnahe Schicht begrenzt, die stromabw¨ arts anw¨ achst, weil sich die Temperatur¨anderung immer weiter in das Fluid fortpﬂanzt. Die wandnahe Schicht mit der Dicke δT (x), in der die Temperatur¨ anderungen auftreten, heißt Temperaturgrenzschicht, Abb. 3.1b. Sie erstreckt sich asymptotisch in den Außenraum; ihre Dicke muss also durch eine Deﬁnition festgelegt werden, beispielsweise dadurch, dass man die Grenze an eine Stelle legt, wo die Temperatur nur noch vernachl¨assigbar wenig — etwa um 1 % — von derjenigen der Außenstr¨omung abweicht. In der Temperaturgrenzschicht wird die einem Fluidelement durch Leitung zugef¨ uhrte W¨ arme in Form von innerer Energie gespeichert und mit dem Fluidelement abgef¨ uhrt. Es ist ϑ = ϑ(x, y). Außerhalb der Temperaturgrenzschicht herrscht mit guter Genauigkeit die konstante Temperatur ϑα der Außenstr¨ omung. Ein im Abstand y von der Wand mit einem Fluidelement mitbewegter Beobachter beﬁndet sich nach der Zeit t am Ort x = wm t. F¨ ur ihn ist die Temperatur ϑ(x, y) = ϑ(wm t, y) nur eine Funktion der Zeit und des Wandabstands y, da die Geschwindigkeit wm konstant sein soll. F¨ ur den mitbewegten Beobachter wird daher die Temperatur ϑ(t, y) durch die bereits bekannte Fouriersche Gleichung (2.14) f¨ ur die instation¨are W¨armeleitung beschrieben, ∂ϑ ∂ 2ϑ =a 2 , (3.1) ∂t ∂y

3.1 Die l¨ angsangestr¨ omte ebene Platte bei reibungsfreier Str¨ omung

301

Abb. 3.1: a Temperaturproﬁle und b Temperaturgrenzschicht an einer l¨ angsangestr¨ omten ebenen Platte

wenn wir eine temperaturunabh¨ angige W¨ armeleitf¨ahigkeit λ voraussetzen. Am Ort x = 0 oder zur Zeit t = 0 herrscht die Anfangstemperatur ϑα ; an der Wand ist die Temperatur ϑ0 vorgegeben. Randbedingungen sind somit ϑ(t = 0, y) = ϑα

(3.2)

ϑ(t, y = 0) = ϑ0 .

(3.3)

Zusammen mit (3.1) beschreiben diese Randbedingungen auch das Temperaturfeld in einem einseitig unendlich ausgedehnten K¨orper mit der Anfangstemperatur ϑα , wenn die Oberﬂ¨ achentemperatur pl¨otzlich den konstanten Wert ϑ0 = ϑα annimmt. Dieses Problem war schon in Abschnitt 2.3.3.1 behandelt worden. Die L¨ osung lautete, vgl. (2.124), y ϑ − ϑα = (ϑ0 − ϑα ) erfc √ . 2 at

(3.4)

Den o arme¨ ubergangskoeﬃzienten α erh¨alt man aus der Energiebi¨rtlichen W¨ lanz an der Wand

∂ϑ q˙ = α(ϑ0 − ϑα ) = −λ . (3.5) ∂y y=0 Die hierin vorkommende Steigung an der Wand ergibt sich durch Diﬀerentiation von (3.4) zu

∂ϑ 1 = −(ϑ0 − ϑα ) √ . ∂y y=0 πat Damit wird der W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient λ α= √ πat oder mit t = x/wm

" 1 wm α= √ λ . ax π

(3.6)

302

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

Der mittlere W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient αm ist der integrale Mittelwert u ¨ ber die Plattenl¨ ange L 1 αm = L

L

" 1 wm α dx = 2 √ λ = 2α(x = L) . aL π

(3.7)

x=0

Er ist zweimal so groß wie der ¨ ortliche W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient an der Stelle L. Wie aus (3.6) folgt, f¨ allt der ¨ ortliche W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient mit der Lauﬂ¨ ange gem¨ aß α ∼ x−1/2 . Am Plattenanfang x → 0 wird der W¨arme¨ ubergangskoeﬃzient extrem groß, α → ∞, und demnach auch die u ¨ bertragene W¨ armestromdichte sehr groß, q˙ → ∞. Nach sehr großen Laufl¨angen, x → ∞, wird der W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient verschwindend klein, α → 0. Eine Absch¨ atzung der Dicke δT der Temperaturgrenzschicht erh¨alt man durch Linearisieren des Temperaturanstiegs

∂ϑ ϑα − ϑ0 ≈ . ∂y y=0 δT Damit folgt aus (3.5) α≈

λ . δT

Der W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient ist umgekehrt proportional zur Dicke der Temperaturgrenzschicht. Der W¨ armewiderstand 1 δT ≈ α λ ist proportional zur Dicke der Temperaturgrenzschicht. Er ist verschwindend klein am Plattenanfang (δT → 0, α → ∞) und w¨achst u ¨ber alle Maßen, wenn die Platte unendlich lang wird (δT → ∞, α → 0). Mit Hilfe von (3.6) ﬁndet man, dass die Temperaturgrenzschicht " λ √ ax δT ≈ = π (3.8) α wm mit der Quadratwurzel aus der Lauﬂ¨ ange x anw¨achst. Um das analoge Problem der Stoﬀ¨ ubertragung zu untersuchen, nehmen wir an, eine ebene Platte sei mit einem Stoﬀ A u ¨ berzogen, beispielsweise Naphthalin, der in das l¨ angs der Platte str¨ omende Fluid, beispielsweise Luft, diﬀundiert. Damit unserer Voraussetzung entsprechend sich die Str¨omungsgeschwindigkeit wm des Fluids l¨ angs des Str¨ omungsweges nicht ¨andert, m¨ ussen wir annehmen, dass die durch Diﬀusion u ¨ bergehende Stoﬀmenge vernachl¨assigbar klein im Vergleich zur vorbeistr¨ omenden Stoﬀmenge ist. Die wandnormale Konvektion soll also keine Rolle spielen. Die Konzentration cA0 des Stoﬀes A an der Plattenoberﬂ¨ ache ist konstant, die Konzentration des ankommenden Fluids sei cAα < cA0 . Im Fall des idealen Gases ist cA = NA /V = pA /Rm T ,

3.1 Die l¨ angsangestr¨ omte ebene Platte bei reibungsfreier Str¨ omung

303

wobei cA0 mit dem S¨ attigungsdruck pA (ϑ0 ) an der Plattenoberﬂ¨ache und cAα mit dem Partialdruck des Stoﬀes A im ankommenden Gas zu bilden ist. Es bildet sich ein Konzentrationsproﬁl aus. Die Konzentrations¨anderungen sind genau wie zuvor die Temperatur¨ anderungen auf eine d¨ unne stromabw¨arts anwachsende Schicht der Dicke δc (x) begrenzt, die man Konzentrationsgrenzschicht nennt. Sie ist f¨ ur den bewegten Beobachter eine Funktion von Zeit und Ort, die durch die bereits bekannte Gleichung (2.380) f¨ ur die instation¨are Diﬀusion beschrieben wird, in der wir einen konzentrationsunabh¨angigen Diffusionskoeﬃzienten voraussetzen: ∂ cA ∂ 2 cA =D . ∂t ∂y 2

(3.9)

cA (t = 0, y) = cAα

(3.10)

cA (t, y = 0) = cA0 .

(3.11)

Randbedingungen sind

Das analoge Problem der instation¨ aren W¨ armeleitung war durch (3.1) bis (3.3) gegeben. Entsprechend erh¨ alt man die der Gl. (3.4) verwandte L¨osung y cA − cAα = (cA0 − cAα ) erfc √ . 2 Dt

(3.12)

Wegen cA = x˜A c darf man hierin auch die Konzentration cA durch den Molanteil x ˜A ersetzen. Den ¨ ortlichen Stoﬀ¨ ubergangskoeﬃzienten erh¨alt man aus der Stoﬀbilanz an der Wand

∂x ˜A n˙ A0 = β(cA0 − cAα ) = −cD . (3.13) ∂y y=0 Die Steigung an der Wand ergibt sich durch Diﬀerentiation von (3.12) zu

∂ cA 1 = −(cA0 − cAα ) √ . ∂y y=0 πDt Damit wird der Stoﬀ¨ ubergangskoeﬃzient D β= √ πDt oder mit t = x/wm 1 β= √ π

"

Dwm . x

Der mittlere Stoﬀ¨ ubergangskoeﬃzient βm u ¨ ber die Plattenl¨ange L 1 βm = L

L β dx = 2β(x = L) x=0

(3.14)

304

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

ist genau wie der mittlere W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient zweimal so groß wie der ortliche Wert an der Stelle L. Eine Absch¨ atzung der Dicke δc der Konzentra¨ tionsgrenzschicht folgt aus (3.13) durch Linearisieren des Konzentrationsproﬁls, ∂x ˜A x ˜Aα − x ˜A0 cAα − cA0 c ≈c = , ∂y δc δc und f¨ uhrt zu dem (3.8) entsprechenden Ausdruck " D √ Dx δc ≈ = π , β wm

(3.15)

wonach die Dicke der Konzentrationsgrenzschicht ebenfalls mit der Wurzel aus der Lauﬂ¨ ange x anw¨ achst. Wie aus (3.8) und (3.15) folgt, ist das Verh¨altnis der Dicken von Temperatur- und Konzentrationsgrenzschicht n¨ aherungsweise durch die schon bekannte Lewis-Zahl Le = a/D, siehe Tabelle 1.5, gegeben: √ δT ≈ Le . δc W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergangskoeﬃzienten sind wegen (3.6) und (3.14) ebenfalls durch die Lewis-Zahl miteinander verkn¨ upft " √ α a = = Le . cp β D Da f¨ ur ideale Gasgemische Lewis-Zahlen von der Gr¨oßenordnung eins sind, gilt die schon fr¨ uher mitgeteilte Beziehung (1.199): β = α/ cp .

3.2 Die Bilanzgleichungen Wirkliche Str¨ omungen sind nicht reibungsfrei. Es bildet sich vielmehr infolge der Reibung ein Str¨ omungsfeld aus mit im Allgemeinen ¨ortlich und zeitlich ver¨ anderlichen Geschwindigkeiten. Das Temperatur- und das Konzentrationsfeld werden nicht nur durch Leitung und Diﬀusion, sondern auch durch die Str¨ omung bestimmt. Gestalt und Verlauf von Str¨omungs-, Temperatur- und Konzentrationsfeld ergeben sich als L¨ osungen der Bilanzgleichungen f¨ ur Masse, Impuls und Energie, die Gegenstand der folgenden Abschnitte sind.

3.2.1 Das Reynoldssche Transporttheorem Die Herleitung der Bilanzgleichungen wird durch das Reynoldssche Transporttheorem vereinfacht. Um es aufzustellen, betrachten wir eine bestimmte inﬁnitesimal kleine Fluidmasse dM und verfolgen deren Bewegung in einem

3.2 Die Bilanzgleichungen

305

Str¨ omungsfeld. Die Fluidmasse soll immer aus denselben Teilen bestehen; sie besitzt ein bestimmtes Volumen und eine bestimmte Oberﬂ¨ache. Da sich im Laufe der Bewegung die Gestalt des Fluidvolumens im Allgemeinen ¨andert, k¨ onnen auch Volumen und Oberﬂ¨ ache mit der Zeit ver¨anderlich sein. Die Masse M des abgegrenzten Fluidvolumens ergibt sich als Summe u ¨ ber alle Massenelemente dM M= dM , (M)

wof¨ ur man mit der Dichte ΔM dM = , ΔV →0 ΔV dV

= lim

die in einem Kontinuum eine stetige Funktion der Zeit und der Ortskoordinaten ist, auch M=

dV V (t)

schreiben kann. Entsprechend l¨ asst sich jede andere extensive Zustandsgr¨oße Z, wie innere Energie, Enthalpie, Entropie u.a. durch Integration aus den zugeh¨origen speziﬁschen Zustandsgr¨ oßen bilden. F¨ ur die speziﬁsche Zustandsgr¨oße z gilt ΔZ dZ = , ΔM dM Z = z dM = z dV z = lim

ΔM→0

woraus

M

V (t)

folgt. Hierin kann die spez. Zustandsgr¨ oße z ein Skalar, ein Vektor oder auch ein Tensor beliebiger Stufe sein. Sie ist wie die Dichte vom Ort und der Zeit abh¨ angig, w¨ ahrend die extensive Zustandsgr¨ oße Z nur zeitabh¨angig ist. Es soll nun die zeitliche Ableitung von Z gebildet werden dZ d = z dV . dt dt V (t)

Wir schreiben zur Abk¨ urzung f¨ ur die auf das Volumen bezogene Zustandsgr¨oße vor¨ ubergehend z = ZV , die ihrerseits von der Zeit und vom Ort abh¨angt. Deﬁnitionsgem¨ aß ist dann dZ Z(t + Δt) − Z(t) = lim Δt→0 dt Δt ⎡ ⎤ 1 ⎢ ⎥ = lim ZV (t + Δt) dV − ZV (t) dV ⎦ , ⎣ Δt→0 Δt V (t+Δt)

V (t)

306

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

¨ worin die Ortsabh¨ angigkeit von ZV der Ubersichtlichkeit wegen nicht mitgeschrieben ist. F¨ ur die Ableitung kann man auch schreiben ⎡ ⎤ dZ 1 ⎢ ⎥ = lim (ZV (t +Δt) − ZV (t)) dV + ZV (t) dV − ZV (t) dV ⎦ ⎣ dt Δt→0 Δt V (t+Δt)

oder dZ = dt

V (t+Δt)

ZV (t + Δt) − ZV (t) 1 lim dV + lim Δt→0 Δt→0 Δt Δt

V (t)

V (t)

ZV (t) dV . (3.16) ΔV (t)

Abb. 3.2: Deformation eines geschlossenen Systems mit dem Volumen V (t) in einer Str¨ omung

Mit ΔV (t) = V (t + Δt) − V (t) ist hierin der Volumenzuwachs w¨ahrend der Zeit Δt bezeichnet. Nach Abb. 3.2 ist das Volumenelement gegeben durch dV = wi dAi Δt.1 Damit geht das zweite Integral in ein Oberﬂ¨achenintegral u ¨ ber, 1 ZV (t)wi dAi Δt = ZV (t)wi dAi , Δt A(t)

A(t)

und die Grenzwertbildung ist u ussig, da das Zeitintervall Δt nicht mehr ¨ berﬂ¨ vorkommt. Der Integrand des ersten Integrals geht nach der Grenzwertbildung gegen ∂ ZV /∂t. Damit erh¨ alt man aus (3.16) das Reynoldssche Transporttheorem f¨ ur Volumina, indem man wieder ZV = z setzt dZ ∂ (z) = dV + zwi dAi . (3.17) dt ∂t V (t)

A(t)

In dieser Gleichung gibt der erste Term auf der rechten Seite an, um wieviel die betrachtete Zustandsgr¨ oße Z im Innern des Volumens V zur Zeit t zunimmt; der zweite Term gibt an, welcher Anteil der Zustandsgr¨oße mit der 1

Wir bedienen uns in diesem und den beiden folgenden Abschnitt 3.3 und 3.4 sowie in den Abschnitt 3.6 und 3.9 der Tensornotation, weil sich mit ihr die ¨ Bilanzgleichungen besonders u u ¨bersichtlich schreiben lassen. Einen Uberblick ¨ ber die Vereinbarungen der Tensornotation ﬁndet man im Anhang A1.

3.2 Die Bilanzgleichungen

307

Materie abﬂießt, denn das Oberﬂ¨ achenelement dAi ist, wie Abb. 3.2 zeigt, deﬁnitionsgem¨ aß nach außen gerichtet, so dass positives wi dAi einen Abﬂuss aus dem Volumen heraus bedeutet. Anschaulich besagt demnach (3.17), ¨ dass die Anderung der extensiven Zustandsgr¨oße Z einer Materiemenge M mit zeitlich ver¨ anderlichem Volumen V (t) gleich der Zunahme der extensiven Zustandsgr¨ oße im Innern des Volumens V zur Zeit t ist und dem Anteil der Zustandsgr¨ oße, der zur gleichen Zeit mit der Materie aus dem Volumen abﬂießt. Mit Hilfe des Gaußschen Satzes kann man das Oberﬂ¨achenintegral noch in ein Volumenintegral umwandeln, und man erh¨alt dZ ∂ (z) ∂ (zwi ) = dV + dV . (3.18) dt ∂t ∂xi V (t)

V (t)

3.2.2 Die Massenbilanz 3.2.2.1 Reine Stoﬀe Wir wenden nun (3.18) auf die Masse als extensive Zustandsgr¨oße an, setzen also Z = M und z = M/M = 1. Gleichung (3.18) lautet damit dM ∂ ∂ wi = dV + dV . (3.19) dt ∂t ∂xi V (t)

V (t)

Da voraussetzungsgem¨ aß die Masse dM der betrachteten inﬁnitesimal kleinen Untersysteme konstant ist, bleibt auch die Masse des Gesamtsystems konstant: Sie beﬁndet sich innerhalb des zeitlich ver¨anderlichen Volumens V (t). Wir betrachten also ein geschlossenes System, und es ist somit dM /dt = 0. Da auch die iniﬁnitesimal kleinen Untersysteme voraussetzungsgem¨aß eine konstante Masse besitzen, gilt (3.19) auch f¨ ur V (t) → 0; es muss also auch die Summe der beiden Integranden verschwinden. Damit erhalten wir ∂ ∂ (wi ) + =0 . ∂t ∂xi

(3.20)

Durch Diﬀerentiation ∂ ∂ ∂ wi + wi + =0 ∂t ∂xi ∂xi ﬁndet man die der Gleichung (3.20) ¨ aquivalente Beziehung d ∂ wi + =0 , dt ∂xi denn es ist

(3.21)

308

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

d ∂ ∂ = + wi . dt ∂t ∂xi Die Gleichung (3.20) bzw. (3.21) besagt, dass die Masse in einem inﬁnitesimal kleinen Volumenelement erhalten bleibt; sie wird Kontinuit¨atsgleichung genannt. In einem inkompressiblen Fluid ist die Dichte konstant, = const. Die Kontinuit¨ atsgleichung vereinfacht sich zu ∂ wi =0 . ∂xi Beispiel 3.1: Man zeige mit Hilfe von (3.18) und (3.20), dass folgende Beziehung gilt: Z Z dZ d dz = z dV = dV . dt dt dt V (t)

V (t)

(3.18) kann man nach Diﬀerentiation der Integranden auf der rechten Seite auch schreiben « « Z Z „ Z „ dZ d ∂ ∂z ∂ ( wi ) ∂z = z dV = z + dV + z + wi dV dt dt ∂t ∂t ∂xi ∂xi V (t)

V (t)

V (t)

„

Z =

z V (t)

∂ ∂ ( wi ) + ∂t ∂xi

«

„

Z dV +

V (t)

∂z ∂z + wi ∂t ∂xi

« dV .

Wegen der Kontinuit¨ atsgleichung (3.20) verschwindet das erste Integral auf der rechten Seite. Der Integrand in der Klammer des zweiten Integrals ist gleich dem totalen Diﬀerential dz ∂z ∂z = + wi . dt ∂t ∂xi Damit ist die Beziehung Z Z dZ d dz = z dV = dV dt dt dt V (t)

V (t)

bewiesen.

3.2.2.2 Mehrstoﬀgemische Es soll nun die Kontinuit¨ atsgleichung f¨ ur eine beliebige Komponente A eines aus N Komponenten bestehenden Gemisches aufgestellt werden. Wir betrachten den Stoﬀ A allein. Er soll zur Zeit t das Volumen V (t) einnehmen und die Oberﬂ¨ ache A(t) besitzen. Durch Abﬂuss des Stoﬀes A vergr¨oßert sich das in Abb. 3.2 dargestellte Volumen um dV = wAi dAi Δt, wenn wAi die ¨ Str¨ omungsgeschwindigkeit des Stoﬀes A ist. Beim Ubergang von (3.16) auf (3.17) und (3.18) ist daher die Schwerpunktsgeschwindigkeit wi durch die Geschwindigkeit wAi des Stoﬀes A zu ersetzen. Weiterhin setzen wir in (3.17)

3.2 Die Bilanzgleichungen

309

f¨ ur die extensive Zustandsgr¨ oße Z die Masse MA , z = MA /M = ξA und z = MA /V = A und erhalten damit dMA ∂ A = dV + A wAi dAi . (3.22) dt ∂t V (t)

A(t)

Nach dieser Gleichung setzt sich die Zunahme einer Stoﬀmenge A aus zwei Anteilen zusammen: aus der Zunahme im Inneren des Systems und aus der Menge des Stoﬀes A, die aus dem System abﬂießt. Bezeichnet man mit Γ˙A die Produktionsrate (SI-Einheit kg/m3 s) der Komponente A in einem Volumenelement, so ist dMA = Γ˙A dV . dt V (t)

Die Produktionsdichte Γ˙A ist im Allgemeinen zeitlich und ¨ortlich ver¨anderlich. Sie wird durch den Ablauf von chemischen Reaktionen im Innern des Systems bestimmt, und es ist Aufgabe der Reaktionskinetik, sie zu ermitteln. Wandelt man in (3.22) das Oberﬂ¨ achenintegral mittels des Gaußschen Satzes noch in ein Volumenintegral um, so erh¨ alt man ∂ A ∂ A wAi Γ˙A dV = dV + dV . ∂t ∂xi V (t)

V (t)

V (t)

Da diese Beziehung auch f¨ ur V (t) → 0 gilt, m¨ ussen die Integranden u ¨ bereinstimmen. Es ist daher ∂ A ∂ (A wAi ) Γ˙A = + . ∂t ∂xi

(3.23)

Eine derartige Massenbilanz wird Komponenten-Kontinuit¨atsgleichung genannt. Sie l¨ asst sich f¨ ur jede Komponente aufstellen. Es gibt daher genau so viele solcher Gleichungen wie Komponenten. Die Summation u ¨ber alle Komponenten f¨ u hrt wieder zur Kontinuit¨ a tsgleichung f¨ u r die Gesamtmas se, weil Γ˙K = 0, K = und K wKi = wi ist. Anstelle der N Komponenten-Kontinuit¨ atsgleichungen f¨ ur ein aus N Komponenten bestehendes System kann man daher auch N − 1 Komponenten-Kontinuit¨atsgleichungen und zus¨ atzlich die Kontinuit¨ atsgleichung f¨ ur die Gesamtmasse verwenden. Die Stoﬀstromdichte A wAi in (3.23) l¨ asst sich auf die Diﬀusionsstrom∗ dichte jAi zur¨ uckf¨ uhren ∗ A wAi = jAi + A wi .

Damit geht (3.23) u ¨ber in ∂ A ∂ Γ˙A = + (j ∗ + A wi ) ∂t ∂xi Ai

(3.24)

310

oder

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

∂ A ∂ ∂ j∗ + (A wi ) = − Ai + Γ˙A . ∂t ∂xi ∂xi

Hierin l¨ asst sich die Partialdichte A durch den Massenanteil ξA und die Dichte A = ξA ausdr¨ ucken, so dass man die linke Seite der Gleichung auch umformen kann in ∂ (ξA ) ∂ ∂ ∂ (wi ) ∂ ξA ∂ ξA + (ξA wi ) = ξA + + + wi . ∂t ∂xi ∂t ∂xi ∂t ∂xi Der Term in der eckigen Klammer verschwindet wegen der Kontinuit¨atsgleichung (3.20) f¨ ur die Gesamtmasse. Die Komponenten-Kontinuit¨atsgleichung lautet damit ∂ ξA ∂ ξA ∂ j∗ + wi = − Ai + Γ˙A ∂t ∂xi ∂xi oder

dξA ∂ j∗ = − Ai + Γ˙A . dt ∂xi

(3.25)

∗ F¨ ur ein Zweistoﬀgemisch geht sie nach Einsetzen des Diﬀusionsstroms jAi nach (1.161) mit DAB = DBA = D u ¨ber in

∂ ξA ∂ ξA ∂ ∂ ξA + wi = D + Γ˙A . (3.26) ∂t ∂xi ∂xi ∂xi

Im Fall des ruhenden Systems, wi = 0, ergibt sich die bereits bekannte Beziehung f¨ ur die instation¨ are Diﬀusion, (2.378). Setzt man konstante Dichte voraus, so folgt aus (3.26):

∂ ξA ∂ ξA ∂ ∂ ξA + wi = D + Γ˙A / (3.27) ∂t ∂xi ∂xi ∂xi ˜ A cA /, worin cA die molare Konzentration cA = NA /V ist, oder mit ξA = M

∂ cA ∂ cA ∂ ∂ cA + wi = D + r˙A (3.28) ∂t ∂xi ∂xi ∂xi ˜ A (SI-Einheit kmol/m3 s) der durch chemimit der Reaktionsrate r˙A = Γ˙A /M sche Reaktion erzeugten Stoﬀmenge A. Beispiel 3.2: Man zeige, dass unter den Voraussetzungen der Filmtheorie — station¨ arer Stoﬀ¨ ubergang nur in Richtung der wandnahen Koordinatenachse, verschwindende Produktionsdichte — die Komponenten-Kontinuit¨ atsgleichung (3.25) in (1.186) der Filmtheorie u ¨bergeht. Bezeichnet man die wandnormale Koordinate mit y so geht (3.25) unter den angegebenen Voraussetzungen u ¨ ber in w

∂ ξA ∂ j∗ =− A , ∂y ∂y

3.2 Die Bilanzgleichungen

311

∗ worin jA der Diﬀusionsstrom und w die Geschwindigkeit in Richtung der y-Achse sind. Andererseits gilt aufgrund der Kontinuit¨ atsgleichung (3.20)

∂ ( w) =0 . ∂y Es ist somit w = const, und man kann (3.25) auch schreiben ∂ ∗ ∂ ∗ (j + w ξA ) = (j + A w) = 0 . ∂y A ∂y A ∗ ∗ Nun ist aber deﬁnitionsgem¨ aß nach (1.155) jA = A (wA − w), somit jA + A w = ˙ ˙A = A wA und daher ∂(A wA )/∂y = 0 oder dMA /dy = 0, woraus aber wegen M ˜ ˙ ˙ MA NA , die Gl. (1.186) dNA /dy = 0 folgt. Dieses Ergebnis ﬁndet man auch direkt aus Gl. (3.23), wenn man Γ˙A = 0, dA /dt = 0 setzt und eindimensionalen Stoﬀstrom voraussetzt.

3.2.3 Die Impulsbilanz Die Massenelemente eines str¨ omenden Fluids u ¨ bertragen einen Impuls. Darunter versteht man das Produkt aus Masse und Geschwindigkeit. Ein Massenelement dM , das mit der Geschwindigkeit wj str¨omt, transportiert den Impuls wj dM = wj dV . Der von einem Fluidvolumen mit dem Volumen V (t) insgesamt transportierte Impuls Ij ist somit Ij = wj dV . (3.29) V (t)

Nach dem zweiten Newtonschen Axiom der Mechanik ist die zeitliche Impuls¨ anderung eines K¨ orpers gleich der Resultierenden aller auf diesen K¨orper wirkenden Kr¨ afte dIj = Fj (3.30) dt und daher d wj dV = Fj . (3.31) dt V (t)

Anwendung des Transporttheorems ergibt, wenn wir in (3.17) z = wj setzen, ∂ (wj ) dV + wj wi dAi = Fj (3.32) ∂t V (t)

A(t)

oder unter Beachtung der Kontinuit¨ atsgleichung (3.20) (vgl. auch Beispiel 3.1) dwj dV = Fj (3.33) dt V (t)

312

mit

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

dwj ∂ wj ∂ wj = + wi . dt ∂t ∂xi

(3.34)

Die an einem K¨orper angreifenden Kr¨ afte Fj lassen sich in zwei Klassen einteilen: in Massen- bzw. Volumenkr¨ afte und in Oberﬂ¨achenkr¨afte. Die Massenkr¨afte wirken auf alle materiellen Teilchen eines K¨orpers. Sie sind Kr¨ afte mit großer Reichweite und haben ihre Ursache in Kraftfeldern. Ein Beispiel ist das Erdschwerefeld. Die Fallbeschleunigung gj wirkt auf jedes Molek¨ ul, so dass auf ein Fluidelement der Masse ΔM die Schwerkraft ΔFj = gj ΔM wirkt. Sie ist proportional der Masse des Fluidelements. Die Massenkraft deﬁniert man durch ΔFj dFj kj = lim = (3.35) ΔM→0 ΔM dM und die Volumenkraft durch fj = lim

ΔV →0

ΔFj dFj = . ΔV dV

(3.36)

Im Fall der Schwerkraft ist somit kj = gj und fj = gj , allgemein gilt fj = kj . Andere Massen- oder Volumenkr¨ afte sind Zentrifugalkr¨afte oder durch elektromagnetische Felder hervorgerufene Kr¨ afte. Im Fall eines Mehrstoﬀgemisches hat man noch zu beachten, dass die Massenoder Volumenkr¨ afte auf die einzelnen Komponenten verschieden einwirken k¨ onnen. Es sei kAj die auf die Komponente A wirkende Massenkraft, deﬁniert durch ΔFAj dFAj = . ΔMA dM A P P Dann ist dFAj = kAj dMA = kAj A dV und dFj = dFKj = dV kKj K , wobei die Summation u ¨ ber alle Stoﬀe K zu bilden ist. Andererseits gilt wegen (3.35) dFj = kj dM = kj dV und somit X kj = kKj K . (3.37) kAj =

lim

ΔMA →0

Greift als Massenkraft nur die Schwerkraft an, so ist gj = kj = kKj und =

P

K .

Die Oberﬂ¨achenkr¨afte sind Nahkr¨ afte und werden von der unmittelbar benachbarten Umgebung auf die Oberﬂ¨ ache des betrachteten Fluids ausge¨ ubt. Ist ΔA das Oberﬂ¨ achenelement eines K¨ orpers und greift an diesem eine Kraft ΔFj an, Abb. 3.3, so bezeichnet man tj = lim

ΔA→0

ΔFj dFj = ΔA dA

(3.38)

als den Spannungsvektor. Er ist nicht nur vom Ort und der Zeit, sondern

3.2 Die Bilanzgleichungen

Abb. 3.3: Oberﬂ¨ achenkraft ΔFj an einem Fl¨ achenelement ΔA

313

Abb. 3.4: Zur Abh¨ angigkeit der Oberﬂ¨ achenkr¨ afte von der Orientierung des Fl¨ achenelements ΔA

auch von der Orientierung des Fl¨ achenelements und somit vom Normalenvektor des Fl¨ achenelements abh¨ angig. Um dies einzusehen, betrachten wir die Str¨ omung entlang einer ebenen Platte, Abb. 3.4. Auf ein Fl¨achenelement ΔA senkrecht zur Platte wirken im Wesentlichen Normalkr¨afte. Denkt man sich das Fl¨ achenelement am gleichen Ort in eine wandparallele Lage gedreht, so wirken an diesem nur noch Schubspannungen. Beide sind im Allgemeinen von verschiedener Gr¨ oße. Die gesamte Kraft, die zur Zeit t an dem betrachteten Fluid vom Volumen V (t) und der Oberﬂ¨ ache A(t) angreift, erhalten wir durch Integration der Volumen- und der Oberﬂ¨ achenkr¨ afte zu Fj = kj dV + tj dA . (3.39) V (t)

A(t)

Damit lautet die Impulsgleichung (3.33) dwj dV = kj dV + tj dA . dt V (t)

V (t)

(3.40)

A(t)

¨ Sie besagt, dass die zeitliche Anderung des Impulses eines Fluidvolumens V zur Zeit t durch Volumen- und durch Oberﬂ¨ achenkr¨afte bewirkt wird. 3.2.3.1 Der Spannungstensor Zur Berechnung des Spannungsvektors tj begrenzen wir ein Fluidelement durch ein inﬁnitesimal kleines Tetraeder, Abb. 3.5, dessen eine Fl¨ache eine beliebige Richtung hat, w¨ ahrend die u ¨ brigen durch die Koordinatenachsen aufgespannt sind. Die schr¨ age Fl¨ ache habe den nach außen gerichteten Normaleneinheitsvektor ni und die Gr¨ oße dA. An der Fl¨ache greife der Spannungsvektor t an. Entsprechend sollen an der Fl¨ache dA1 , senkrecht zur xAchse, der Spannungsvektor t1 wirken und an den beiden u ¨ brigen Fl¨achen

314

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

Abb. 3.5: Zum Gleichgewicht der Oberﬂ¨ achenkr¨ afte

dA2 und dA3 die Spannungsvektoren t2 und t3 . Die an den vier Fl¨achenelementen wirkenden Kr¨ afte m¨ ussen nun unabh¨angig von der augenblicklichen Bewegung des Fluidelements miteinander im Gleichgewicht stehen. Dies folgt unmittelbar aus der Impulsgleichung (3.40), wenn man sie auf ein inﬁnitesimal kleines Volumenelement anwendet. Beim Grenz¨ ubergang V → 0 verschwinden die Volumenintegrale rascher als das Oberﬂ¨achenintegral, so dass also die Oberﬂ¨ achenkr¨ afte lokal im Gleichgewicht sind. Angewandt auf das Tetraeder gilt demnach t dA = t1 dA1 + t2 dA2 + t3 dA3 . Hierin kann man noch die Fl¨ achenelemente eliminieren, denn mit den Beziehungen von Abb. 3.6 ist dA =

1 AD · BC 2

,

dA1 =

1 OD · BC 2

und daher OD = dA cos α . AD Daf¨ ur kann man wegen cos α = n1 /n = n1 auch dA1 = dA n1 schreiben. Entsprechend gilt dA2 = dA n2 , dA3 = dA n3 . Zwischen den Spannungsvektoren besteht daher der Zusammenhang dA1 = dA

t = t1 n1 + t2 n2 + t3 n3 .

(3.41)

Jeden der Spannungsvektoren t1 , t2 und t3 kann man nun durch drei Komponenten der Spannung darstellen, die ebenfalls auf die Fl¨acheneinheit bezogene Kr¨ afte sind. Zur Kennzeichnung der Spannungskomponenten sind zwei Indizes erforderlich. Vereinbarungsgem¨ aß kennzeichnet der erste Index die Fl¨ ache, an der die Spannung angreift, und ist identisch mit dem Index der Koordinatenachse normal zu dieser Fl¨ ache, w¨ahrend der zweite Index angibt, in welcher Richtung die Spannungskomponente wirkt. Als Beispiel zeigt Abb. 3.7 die drei Spannungskomponenten an einer Fl¨ache dA1 senkrecht zur xAchse. Es ist

3.2 Die Bilanzgleichungen

Abb. 3.6: Zum Zusammenhang zwischen den Fl¨ achen

315

Abb. 3.7: Spannungskomponenten an der Fl¨ ache dA1

t1 = τ11 e1 + τ12 e2 + τ13 e3 und entsprechend t2 = τ21 e1 + τ22 e2 + τ23 e3 ,

(3.42)

t3 = τ31 e1 + τ32 e2 + τ33 e3 . Die Spannungskomponenten bilden einen Tensor, der aus neun Komponenten besteht: ⎛ ⎞ τ11 τ12 τ13 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ τij = ⎜ τ21 τ22 τ23 ⎟ . ⎝ ⎠ τ31 τ32 τ33 Die normal zur Oberﬂ¨ ache wirkenden Spannungen τ11 , τ22 , τ33 oder τij mit i = j bezeichnet man als Normalspannungen, die tangential angreifenden Spannungen τij mit i = j heißen Tangential- oder Schubspannungen. Wegen des Satzes von der Gleichheit einander zugeordneter Schubspannungen ist τij = τji : Der Spannungstensor ist symmetrisch. Setzt man die Spannungsvektoren nach (3.42) in (3.41) ein, so erh¨ alt man t = (τ11 e1 + τ12 e2 + τ13 e3 ) n1 + (τ21 e1 + τ22 e2 + τ23 e3 ) n2 + (τ31 e1 + τ32 e2 + τ33 e3 ) n3 . Andererseits kann man den an der schr¨ agen Tetraederﬂ¨ache, Abb. 3.5, angreifenden Spannungsvektor t in seine drei Komponenten t1 , t2 , t3 in Richtung der drei Koordinatenachsen zerlegen t = t 1 e1 + t 2 e2 + t 3 e3 .

316

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

Wie der Vergleich mit der vorigen Beziehung zeigt, gilt f¨ ur die Komponenten des Spannungsvektors t1 = τ11 n1 + τ21 n2 + τ31 n3 t2 = τ12 n1 + τ22 n2 + τ32 n3 t3 = τ13 n1 + τ23 n2 + τ33 n3 oder tj = τji ni

(i, j = 1, 2, 3) .

(3.43)

Formal l¨ asst sich der Spannungstensor τji als Summe zweier Tensoren schreiben ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 1 τ12 τ13 0 ⎟ ⎜ τ11 − 3 τkk ⎟ ⎜ 3 τkk 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ τji = ⎜ ⎟+⎜ 0 τ21 τ22 − τkk τ23 τkk 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3 3 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 1 τ31 τ32 τ33 − τkk 0 0 τkk 3 3 oder

1 δji τkk 3 mit dem Einheitstensor δji , auch Kronecker-δ genannt, ⎛ ⎞ 1 0 0 / 1 fu ¨r i = j ⎜ ⎟ δji = d.h. δji = ⎜ 0 1 0⎟ ⎝ ⎠ . 0 fu ¨r i = j 0 0 1 τji = τˆji +

(3.44)

(3.45)

Aus der Deﬁnition folgt unmittelbar δji = δ11 + δ22 + δ33 = 3. Man nennt τˆji den Deviator des Tensors τji . Er ist dadurch gekennzeichnet, dass die Summe der Diagonalelemente, die sogenannte Spur des Tensors, verschwindet, denn es ist (τ11 −

1 1 1 1 τkk ) + (τ22 − τkk ) + (τ33 − τkk ) = τkk − 3 · τkk = 0 . 3 3 3 3

Allgemein ist ein Deviator ein Tensor mit der Spur null. Da die Diagonalelemente eine Normalspannung charakterisieren und sich gerade aufheben, ist der Deviator f¨ ur die Scherung des Fluidelements maßgebend, w¨ ahrend der Term 1/3 δij τkk allseitig gleiche Normalspannungen, sogenannte hydrostatische Spannungen, enth¨ alt. Man bezeichnet den arithmetischen Mittelwert der drei Normalspannungen τkk als den mittleren Druck −¯ p=

1 τkk . 3

3.2 Die Bilanzgleichungen

317

Das Minuszeichen r¨ uhrt daher, dass Fl¨ ussigkeiten praktisch keine Zugspannungen aufnehmen k¨ onnen und daher τkk im Allgemeinen negativ, der mittlere Druck hingegen positiv ist. (3.44) l¨ asst sich daher auch schreiben τji = τˆji − δji p¯ .

(3.46)

Der mittlere Druck p¯ ist nicht identisch mit dem thermodynamischen Druck, den man aus der f¨ ur ruhende Fluide aufgestellten thermischen Zustandsgleichung p = p(v, T ) erh¨ alt. Man kann jedoch zeigen, s. hierzu Anhang A2, dass f¨ ur nicht allzu rasche Volumen¨ anderungen mittlerer Druck und thermodynamischer Druck miteinander verkn¨ upft sind durch p¯ − p = −ζ

∂ wk , ∂xk

(3.47)

worin der durch diese Gleichung deﬁnierte Faktor ζ > 0 die sogenannte Volumenviskosit¨at ist (SI-Einheit kg/sm; 0,1 kg/sm = 1 Poise). Methoden der statistischen Mechanik haben gezeigt, dass die Volumenviskosit¨at von Gasen geringer Dichte verschwindet, und dass sie in dichten Gasen und Fl¨ ussigkeiten sehr klein ist. In der Str¨ omungsmechanik und in der W¨arme- und Stoﬀ¨ ubertragung setzt man daher ζ = 0 voraus, setzt also den mittleren Druck gleich dem thermodynamischen Druck. Weiterhin ist in einem inkompressiblen Fluid wegen ∂ wk /∂xk = 0 der mittlere Druck stets gleich dem thermodynamischen. 3.2.3.2 Die Cauchysche Bewegungsgleichung Durch Einsetzen des Spannungsvektors tj nach (3.43) in die Impulsgleichung (3.40) erh¨ alt man dwj dV = kj dV + τji ni dA . dt V (t)

V (t)

A(t)

Mit Hilfe des Gaußschen Satzes formen wir das Oberﬂ¨achenintegral um, ∂ τji τji ni dA = dV , ∂xi A(t)

und erhalten

V (t)

dwj dV = dt

V (t)

kj dV +

V (t)

∂ τji dV . ∂xi

V (t)

Diese Gleichung gilt f¨ ur ein beliebiges Volumen V (t) und daher auch im Grenzfall V (t) → 0. Aus ihr folgt die Cauchysche Bewegungsgleichung 2 : 2

Auguste-Louis Cauchy (1789–1857) war als Zeitgenosse von Leonhard Euler und Carl-Friedrich Gauß einer der bedeutendsten Mathematiker der ersten H¨ alfte des

318

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

dwj ∂ τji = kj + dt ∂xi

(i, j = 1, 2, 3) .

(3.48)

Sie gilt f¨ ur jedes Kontinuum unabh¨ angig von den jeweiligen Materialeigenschaften und ist daher eine der grundlegenden Gleichungen der Str¨omungsmechanik und somit auch der W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubertragung. Erst durch Einf¨ uhrung einer Materialgleichung, die den Spannungstensor mit der Bewegung eines Stoﬀes verkn¨ upft, wird die Bewegung eines speziellen Stoﬀes beschrieben. Zur Herleitung solcher Materialgesetze ist der Begriﬀ des Verzerrungstensors n¨ utzlich, der im Folgenden eingef¨ uhrt wird. 3.2.3.3 Der Verzerrungstensor In einem str¨ omenden Fluid werden die einzelnen Fluidelemente nicht nur in ihrer Lage verschoben, sondern unter dem Einﬂuss der Normalspannungen τii und der Schubspannungen τij (i = j) auch verformt. Die Verformungsgeschwindigkeit h¨angt von der Relativbewegung der einzelnen Massenpunkte zueinander ab. Nur falls sich die einzelnen Massenpunkte eines Fluidelements nicht relativ zueinander bewegen, verh¨ alt sich das Fluidelement wie ein starrer Festk¨ orper und wird nicht verformt. Es muss daher ein Zusammenhang zwischen dem Geschwindigkeitsfeld und der Verformung und damit auch zwischen Geschwindigkeitsfeld und Spannungstensor τij existieren. Diesen Zusammenhang ben¨ otigt man, wenn man in der Cauchyschen Bewegungsgleichung den Spannungstensor durch Geschwindigkeiten ausdr¨ ucken will. Normalspannungen a ndern die Gr¨ o ße eines Fluidelements vorgegebener ¨ Masse. Falls sie von verschiedener Gr¨ oße sind, beispielsweise τ11 = τ22 , a¨ndert sich auch die Gestalt des Fluidelements. Wie in Abb. 3.8 angedeutet, w¨ urde ein Rechteck in ein Prisma u bergehen, ein kugelf¨ o rmiges Fluidelement w¨ urde ¨ zu einem Ellipsoid verformt. Abb. 3.9 zeigt die Vorderansicht eines W¨ urfels, der durch eine Normalspannung τ11 gedehnt wird. Man erkennt, dass das Volumen um ∂ w1 ∂ w1 dx1 dt dx2 dx3 = dt dV ∂x1 ∂x1 zunimmt. Entsprechende Ausdr¨ ucke erh¨ alt man f¨ ur die Volumenzunahme durch die Normalspannungen τ22 und τ33 , so dass die gesamte Volumenzunahme gegeben ist durch

∂ w1 ∂ w2 ∂ w3 + + dt dV . ∂x1 ∂x2 ∂x3 19. Jahrhunderts. Seine bekanntesten Werke sind die Trait´e des Fonctions“ und ” die M´echanique Analytique“. Da er sich nach der Revolution von 1830 weigerte, ” ¨ den Eid auf das neue Regime zu leisten, wurde er seiner Amter als Professor an der Ecole Polytechnique und am Coll`ege de France enthoben und aus der Acad´emie Fran¸caise entlassen. Er verbrachte mehrere Jahre im Exil in der Schweiz, in Turin und in Prag, durfte 1838 nach Frankreich zur¨ uckkehren, wo er aber erst nach der Revolution von 1848 wieder seine Professur an der Sorbonne erhielt.

3.2 Die Bilanzgleichungen

Abb. 3.8: Verformung eines Fluidelements durch Normalspannungen

319

Abb. 3.9: Zum Zusammenhang zwischen Verformung und Geschwindigkeit

Die Volumenzunahme je Zeiteinheit bezogen auf das urspr¨ ungliche Volumen bezeichnet man als Dilatation. Sie ist ∂ w1 ∂ w2 ∂ w3 ∂ wi + + = = ε˙ii . ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂xi

(3.49)

In einem inkompressiblen Fluid, = const, gibt es keine Dilatation, wie man aus der Kontinuit¨ atsgleichung (3.20) erkennt. Das Volumen eines Fluidelements vorgegebener Masse bleibt dann konstant. Durch die Schubspannungen τij (i = j) wird ein urspr¨ ungliches w¨ urfelf¨ormiges Volumenelement zu einem Rhomboid verformt, wie die Fl¨achenansicht in Abb. 3.10 zeigt. Der urspr¨ unglich rechte Winkel bei A ¨andert sich um die

Abb. 3.10: Zur Verformung eines w¨ urfelf¨ ormigen Volumenelements zu einem Rhomboid

Winkel dγ12 =

∂ w1 dt ∂x2

und

dγ21 =

∂ w2 dt . ∂x1

Man bezeichnet den arithmetischen Mittelwert der beiden Winkelgeschwindigkeiten als Verzerrungstensor, oft auch als Dehnungs- oder Deformationsgeschwindigkeitstensor

1 ∂ w1 ∂ w2 ε˙12 = + 2 ∂x2 ∂x1

320

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

oder allgemein 1 ε˙ji = 2

∂ wj ∂ wi + ∂xi ∂xj

.

(3.50)

Er ist ein symmetrischer Tensor, da ε˙ji = ε˙ij ist, und geht f¨ ur i = j wieder in die Dilatation u ¨ber. Die Elemente ε˙ii bilden hierbei die Diagonale des Verzerrungstensors. Falls ihre Summe verschwindet, ¨andert sich wie zuvor gezeigt, das Volumen eines Fluidelements vorgegebener Masse nicht. Spaltet man daher den Verzerrungstensor in zwei Anteile auf, von denen die Summe der Diagonalelemente des einen, des Deviators, verschwindet, so beschreibt dieser die Gestalt¨ anderung bei konstantem Volumen. Die Gestalt¨anderung bei konstantem Volumen wird somit durch den Deviator des Verzerrungstensors beschrieben. Um den Deviator abzuspalten, bilden wir formal ε˙ji = εˆ˙ji +

1 δji ε˙kk . 3

Wie mit (3.49) und (3.50) folgt, ist

1 ∂ wj ∂ wi 2 ∂ wk εˆ˙ji = + − δji . 2 ∂xi ∂xj 3 ∂xk

(3.51)

(3.52)

Ausgeschrieben bedeutet (3.51) ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 1 ε ˙ − ε ˙ ε ˙ ε ˙ ε ˙ 0 0 12 13 ⎜ 11 3 kk ⎟ ⎜ 3 kk ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 1 ⎜ ⎟ ⎜ ε˙ji = ⎜ +⎜ 0 ε˙21 ε˙22 − ε˙kk ε˙23 ε˙kk 0 ⎟ ⎟ ⎟ . 3 3 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 1 ε˙31 ε˙32 ε˙33 − ε˙kk 0 0 ε˙kk 3 3 Der erste Term ist bereits der gesuchte Deviator, da seine Spur verschwindet, denn sie ist

1 1 1 1 ε˙11 − ε˙kk + ε˙22 − ε˙kk + ε˙33 − ε˙kk = ε˙kk − 3 ε˙kk = 0 . 3 3 3 3 W¨ ahrend der Deviator die Gestalt¨ anderung bei konstantem Volumen beschreibt, ist der (isotrope) Tensor 1/3 δij ε˙kk = 1/3 δij ∂ wk /∂xk f¨ ur die Volumen¨ anderung bei konstanter Gestalt maßgebend. Dies folgt daraus, dass er nur gleich große Diagonalelemente enth¨ alt, so dass die Verformungen in allen Koordinatenrichtungen gleich sind. 3.2.3.4 Materialgesetze zur L¨ osung der Impulsgleichung Zur L¨ osung der allgemein f¨ ur jeden Stoﬀ g¨ ultigen Cauchyschen Bewegungsgleichung ben¨ otigt man noch einen Zusammenhang zwischen dem Spannungs-

3.2 Die Bilanzgleichungen

321

und dem Verzerrungstensor, bzw. zwischen Spannungstensor und Geschwindigkeitsfeld. Eine solche Gleichung ist stoﬀspeziﬁsch und ¨ahnlich wie die Zustandsgleichungen der Thermodynamik charakteristisch f¨ ur einen bestimmten Stoﬀ. Aufgrund von (3.46) und (3.47) gilt noch allgemein

∂ wk τji = τˆji − δji p − ζ . (3.53) ∂xk Die im Deviator τˆji des Spannungstensors vorkommenden Elemente bewirken nun genau die Dehnungen, die durch die Elemente im Deviator εˆ˙ji des Verzerrungstensors beschrieben werden, wie man aus einem Vergleich der beiden Deviatoren erkennt. Es muss daher ein stoﬀspeziﬁscher Zusammenhang τˆji = f (εˆ˙ji ) existieren. F¨ ur kleine Verzerrungsgeschwindigkeiten ist ein linearer Ansatz naheliegend: τˆji = η 2εˆ˙ji . (3.54) Den Faktor 2 f¨ uhrt man ein, damit man f¨ ur die eindimensionale inkompressible Str¨ omung (j = 1, i = 2; ∂ wk /∂xk = 0) mit εˆ˙ = (1/2) ∂ w1 /∂x2 aus (3.52) gerade den Newtonschen Ansatz τ12 = η∂ w1 /∂x2 erh¨alt. Ein Fluid, in dem die Schubspannungen entsprechend diesem Ansatz proportional der Schergeschwindigkeit sind, heißt ideal viskos oder Newtonsches Fluid. Viele Fl¨ ussigkeiten und Gase folgen dem Ansatz so genau, dass man sie als Newtonsche Fluide bezeichnen kann. Ihnen entspricht in der Elastomechanik der ideal Hookesche K¨ orper, bei dem die Schubspannungen proportional der Scherung sind. Eine Reihe von Stoﬀen k¨ onnen jedoch weder durch Newtonsches noch durch Hookesches Verhalten gen¨ ugend genau beschrieben werden. Der Zusammenhang zwischen Schubspannungen und Dehnungen kann dann nicht mehr durch den obigen einfachen linearen Ansatz beschrieben werden. Mit den Materialgesetzen dieser Stoﬀe besch¨ aftigt sich die Rheologie. Nach Einsetzen von εˆ˙ji nach (3.52) geht (3.54) u ¨ ber in

∂ wj ∂ wi 2 ∂ wk τˆji = η + − δji . (3.55) ∂xi ∂xj 3 ∂xk Der durch (3.54) bzw. (3.55) deﬁnierte Faktor η ist die dynamische Viskosit¨at (SI-Einheit kg/sm = 1 Pa · s; 0,1 kg/sm = 1 Poise). Mit Hilfe von (3.53) erh¨alt man f¨ ur den Spannungstensor

∂ wj ∂ wi 2 ∂ wk ∂ wk τji = η + − δji − δji p − ζ . (3.56) ∂xi ∂xj 3 ∂xk ∂xk

322

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

3.2.3.5 Die Navier-Stokesschen Gleichungen Wir setzen Newtonsche Fluide voraus und vernachl¨assigen die meist sehr kleine Volumenviskosit¨ at. Dann geht der Ansatz (3.56) f¨ ur den Spannungstensor in den Stokesschen Ansatz u ¨ ber:

∂ wj ∂ wi 2 ∂ wk τji = η + − δji − δji p . (3.57) ∂xi ∂xj 3 ∂xk Einsetzen dieses Ausdrucks in die Cauchysche Bewegungsgleichung, (3.48), ergibt die sogenannte Navier-Stokessche Gleichung

dwj ∂p ∂ ∂ wj ∂ wi 2 ∂ wk = kj − + η + − δji . (3.58) dt ∂xj ∂xi ∂xi ∂xj 3 ∂xk F¨ ur ein inkompressibles Fluid ist ∂ wk /∂xk = ∂ wi /∂xi = 0. Setzt man weiter konstante Viskosit¨ at voraus, so vereinfacht sich die Gleichung zu

dwj ∂p ∂ 2 wj = kj − +η . dt ∂xj ∂xi 2

(3.59)

Anschaulich besagt die Gleichung: Die auf ein bewegtes Fluidelement ausge¨ ubte Kraft setzt sich aus den Volumen-, den Druck- und den Viskosit¨atskr¨aften zusammen. F¨ ur jede der drei Koordinatenrichtungen j = 1, 2, 3 gilt eine Impulsbilanz, so dass (3.58) und (3.59) jeweils drei voneinander unabh¨angige Gleichungen repr¨ asentieren. Ausgeschrieben ﬁndet man (3.59) im Anhang A3. Dort ist ebenfalls ihre Schreibweise in Zylinderkoordinaten angegeben.

3.2.4 Die Energiebilanz Reine Stoﬀe Nach dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik ¨andert sich die innere Energie U eines geschlossenen Systems durch Zufuhr von W¨arme Q12 und Arbeit W12 : U2 − U1 = Q12 + W12 oder in diﬀerentieller Form dU = dQ + dW oder

(3.60)

dU dQ dW = + = Q˙ + P . (3.61) dt dt dt Wir wenden diese Gleichung auf ein Fluidelement vorgegebener Masse an. Da dieses als geschlossenes System betrachtet wird, schließen wir einen Stoﬀtransport u ¨ber die Systemgrenze und damit Diﬀusion zun¨achst aus. Mit Hilfe des Transporttheorems (3.17) ergibt sich durch Einsetzen von ¨ z = u f¨ ur die zeitliche Anderung der inneren Energie des str¨omenden Fluids

3.2 Die Bilanzgleichungen

dU d = dt dt

u dV =

V (t)

∂ u dV + ∂t

V (t)

323

uwi dAi .

(3.62)

A(t)

¨ Danach ist die zeitliche Anderung der inneren Energie eines str¨omenden Fluids gleich der im Innern des Fluidvolumens V (t) zur Zeit t gespeicherten inneren Energie und der mit der Materie u ¨ ber die Oberﬂ¨ache A(t) abﬂießenden inneren Energie. W¨ arme wird deﬁnitionsgem¨ aß zwischen einem System und seiner Umgebung u uhrt ¨ bertragen und daher dem System u ¨ ber seine Oberﬂ¨ache zugef¨ Q˙ = q˙ dA , (3.63) A(t)

worin q˙ die W¨ armestromdichte ist. Sie ist ein Skalar. (3.63) kann man auch mit dem Normalvektor n, der die Orientierung eines Oberﬂ¨achenelements im Raum kennzeichnet, als ˙ Q= (q˙ ni )( dA ni ) A(t)

schreiben, da ni ni = 1 ist. Die hierin vorkommenden Produkte dA ni = dAi

(i = 1, 2, 3)

sind, wie in Abschnitt 3.2.3.1 gezeigt wurde, die Projektionen der Fl¨ache dA auf die von den Koordinatenachsen ausgespannten Ebenen. Sie sind bekanntlich die Komponenten des Fl¨ achenvektors n dA. Entsprechend kann man q˙ ni = −q˙i

(3.64)

als die Komponenten eines Vektors q˙ der W¨ armestromdichte deuten; q˙1 ist die W¨ armestromdichte durch die Fl¨ ache dA1 , q˙2 die durch dA2 und q˙3 die durch dA3 . Das Minuszeichen in (3.64) r¨ uhrt daher, dass man eine zugef¨ uhrte W¨ armestromdichte positiv z¨ ahlt, der Normalvektor ni einer geschlossenen Fl¨ ache aber nach außen zeigt. Damit wird Q˙ = − q˙i ni dA . (3.65) A(t)

¨ Die Arbeit zur Anderung der inneren Energie wird zwischen dem System und seiner Umgebung ausgetauscht und ﬂießt“ u ¨ ber die Oberﬂ¨ache in das ” System. Die Massen- oder Volumenkr¨ afte verschieben jedes Fluidelement als ¨ Ganzes, tragen also zur Anderung der kinetischen und potentiellen, nicht aber ¨ zur Anderung der inneren Energie bei, sofern das Fluidelement seine Masse nicht durch Stoﬀaustausch mit seinen Nachbarn ¨andert. Dann bewegen sich

324

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

die einzelnen Teilchenarten mit unterschiedlicher Geschwindigkeit und die an ihnen angreifenden Massenkr¨ afte liefern einen Beitrag zur Gesamtleistung. Dieser Anteil spielt bei Mehrstoﬀgemischen eine Rolle und muss dort ber¨ ucksichtigt werden. ¨ Die Oberﬂ¨ achenkr¨ afte enthalten somit Anteile, die eine Anderung der inneren Energie bewirken und solche, die das Fluidelement als Ganzes verschieben, ohne dessen innere Energie zu a ¨ndern. Da der Anteil der Leistung, der ¨ zur Anderung der inneren Energie beitr¨ agt, dem System u ¨ber die Oberﬂ¨ache zugef¨ uhrt wird, k¨ onnen wir hierf¨ ur auch schreiben P = ω˙ dA . (3.66) A(t)

Durch diese Gleichung wird die Leistungsdichte ω˙ (SI-Einheit W/m2 ) deﬁniert. Wir w¨ ahlen f¨ ur die Leistungsdichte den Buchstaben ω˙ und nicht w, ˙ weil sonst zu leicht eine Verwechslung mit der Geschwindigkeit w m¨oglich w¨are. ¨ In Anlehnung an die Uberlegungen zur W¨ armestromdichte kann man (3.66) auch umformen in P = (ωn ˙ i )( dAni ) A(t)

und darin die Gr¨ oßen ωn ˙ i = −ω˙ i

(3.67)

als die Komponenten des Vektors ω˙ der Leistungsdichte deuten; ω˙ 1 ist die Leistungsdichte durch die Fl¨ ache dA1 , ω˙ 2 die durch dA2 und ω˙ 3 die durch dA3 . Das Minuszeichen kommt wieder dadurch zustande, dass eine zugef¨ uhrte Leistung positiv gez¨ ahlt wird. Es gilt daher P =− ω˙ i ni dA . (3.68) A(t)

Der erste Hauptsatz (3.61) l¨ asst sich mit den Ausdr¨ ucken f¨ ur die innere Energie (3.62), den W¨ armestrom (3.65) und die Leistung (3.68) auch schreiben ∂ (u) dV + uwi dAi = − q˙i ni dA − ω˙ i ni dA . ∂t V (t)

A(t)

A(t)

A(t)

Umwandlung der Oberﬂ¨ achen- in Volumenintegrale mit Hilfe des Gaußschen ¨ Satzes und Ubergang auf ein kleines Volumenelement V (t) → 0 ergibt dann ∂ (u) ∂ (uwi ) ∂ q˙i ∂ ω˙ i + =− − . ∂t ∂xi ∂xi ∂xi Die linke Seite kann man auch schreiben

3.2 Die Bilanzgleichungen

325

∂u ∂ ∂ (wi ) ∂u +u +u + wi . ∂t ∂t ∂xi ∂xi

Sie vereinfacht sich unter Ber¨ ucksichtigung der Kontinuit¨atsgleichung (3.20) zu ∂u ∂u du + wi = . ∂t ∂xi dt Damit lautet die Energiegleichung

du ∂ q˙i ∂ ω˙ i =− − . dt ∂xi ∂xi

(3.69)

Um die Leistungsdichte ω˙ i zu berechnen, betrachten wir zun¨achst die gesamte durch die Oberﬂ¨ achenkr¨ afte zugef¨ uhrte Leistung Ptot und trennen davon den als Schleppleistung bezeichneten Anteil ab, der eine Verschiebung des Fluidelements bewirkt, so dass nur noch die Leistung u ¨ brig bleibt, die zur ¨ Anderung der inneren Energie beitr¨ agt. Mit Hilfe des Spannungstensors ti = τji nj erh¨alt man die gesamte durch die Oberﬂ¨ achenkr¨afte zugef¨ uhrte Leistung zu ∂ (wi τji ) Ptot = wi ti dA = wi τji nj dA = dV . ∂xj A(t)

A(t)

V (t)

Die an dem Fluidvolumen wirkenden Oberﬂ¨ achenkr¨afte ∂ τji Fi = ti dA = τji nj dA = dV ∂xj A(t)

A(t)

V (t)

bewirken andererseits auch eine Verschiebung des Systems. Die an einem Volumenelement dV angreifende Kraft dFi =

∂ τji dV ∂xj

verschiebt dieses w¨ ahrend einer kleinen Zeit dt um den Weg dxi , so dass die Schleppleistung dxi ∂ τji dxi ∂ τji dFi = dV = dV wi dt ∂xj dt ∂xj ist. Die gesamte Schleppleistung ist daher ∂ τji PS = wi dV , ∂xj V (t)

¨ und der zur Anderung der inneren Energie beitragende Anteil der Oberﬂ¨achenkr¨ afte wird

326

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

P = Ptot − PS =

∂ (wi τji ) ∂ τji − wi ∂xj ∂xj

dV ,

V (t)

woraus P =

τji

∂ wi dV ∂xj

V (t)

folgt. Da man (3.68) auch mittels des Gaußschen Satzes in ∂ ω˙ i P =− dV ∂xi V (t)

umformen kann, ist also −

∂ ω˙ i ∂ wi = τji . ∂xi ∂xj

(3.70)

Die Energiebilanz (3.69) lautet damit

du ∂ q˙i ∂ wi =− + τji . dt ∂xi ∂xj

(3.71)

Da wir die Fluidelemente als geschlossene Systeme voraussetzten, ist diese Gleichung nicht f¨ ur Mehrstoﬀgemische und Diﬀusion g¨ ultig. Mehrstoﬀgemische In Mehrstoﬀgemischen tritt im Ungleichgewicht Diﬀusion auf. Einzelne Stoﬀstr¨ ome u ¨ berqueren die Systemgrenzen. Man kann daher kein geschlossenes System voraussetzen. Der erste Hauptsatz lautet nun [3.1] X dU = dQ + dW + hK d(a MK ) K

oder

X dU = Q˙ + P + hKa M˙ K . dt K

(3.72)

Hierin ist f¨ ur einen bestimmten Stoﬀ A die Gr¨ oße hA = (∂H/∂MA )T, p, MK=A die partielle spez. Enthalpie und a M˙ A der dem System von außen zugef¨ uhrte Massenstrom der Komponente A. Die Summe ist u uhrten Stoﬀstr¨ ome zu ¨ ber alle zugef¨ erstrecken. W¨ armestrom Q˙ und Leistung P berechnen sich hierin wie zuvor aus Z Z ∂ q˙i Q˙ = − q˙i ni dA = − dV ∂xi und

A(t)

V (t)

Z

Z

P =− A(t)

ω˙ i ni dA = − V (t)

∂ ω˙ i dV . ∂xi

3.2 Die Bilanzgleichungen

327

Der durch ein Oberﬂ¨ achenelement mit der Geschwindigkeit wAi einstr¨ omende Stoﬀ A ist Tr¨ ager von Energie und erh¨ oht die innere Energie eines mit der Schwerpunktsgeschwindigkeit wi bewegten Fluidelements um ∗ −hA A (wAi − wi )ni dA = −hA jAi ni dA .

Das Minuszeichen erkl¨ art sich wieder dadurch, dass eine zugef¨ uhrte Energie positiv ¨ gez¨ ahlt wird, der Fl¨ achenvektor aber entgegengesetztes Vorzeichen hat. Uber die gesamte Oberﬂ¨ ache wird von allen einstr¨ omenden Stoﬀen die Energie ∗ X X Z X Z ∂ (hK jKi ) ∗ ˙ hKa MK = − hK jKi ni dA = − dV ∂x i K K K A(t)

V (t)

zugef¨ uhrt. Angewandt auf ein Fluidelement lautet daher die Energiegleichung (3.72) eines Mehrstoﬀgemisches

∗ du ∂ q˙i ∂ ω˙ i X ∂ (hK jKi ) =− − − . dt ∂xi ∂xi ∂x i K

(3.73)

Die hierin vorkommende Leistungsdichte ω˙ i besteht nun wieder aus der Leistung der Oberﬂ¨ achenkr¨ afte abz¨ uglich der Schleppleistung, die das Fluidelement als Ganzes verschiebt und daher keinen Beitrag zu dessen innerer Energie leistet. Sie enth¨ alt aber im Unterschied zu den reinen Stoﬀen noch zus¨ atzlich einen Anteil, der dadurch zustande kommt, dass sich die einzelnen Teilchensorten mit unterschiedlicher Geschwindigkeit wAi bewegen, so dass die zugeh¨ origen Massenkr¨ afte kAi am Stoﬀ A in einem Volumenelement dV zur Leistung den Beitrag ∗ A (wAi − wi )kAi dV = jAi kAi dV

liefern. F¨ ur s¨ amtliche Stoﬀe wird am System vom Volumen V (t) der Beitrag X Z ∗ jKi kKi dV K

V (t)

¨ verrichtet. Die gesamte Leistung P zur Anderung der inneren Energie setzt sich nun aus der Leistung der Oberﬂ¨ achenkr¨ afte Z Z Z ∂ (wi τji ) wi ti dA = wi τji nj dA = dV ∂xi A(t)

A(t)

V (t)

X Z

und der Massenkr¨ afte

K

abz¨ uglich der Schleppleistung

V (t)

Z V (t)

zusammen:

Z P = V (t)

∗ jKi kKi dV

∂ τji wi dV ∂xj

∂ wi X ∗ τji + jKi kKi ∂xj K

! dV .

328

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

F¨ ur die Leistungsdichte folgt dann wegen Z Z P =− ω˙ i ni dA = − A(t)

−

V (t)

∂ ω˙ i dV ∂xi

∂ ω˙ i ∂ wi X ∗ = τji + jKi kKi . ∂xi ∂xj K

(3.74)

Sie sich von der Leistungsdichte (3.70) f¨ ur reine Stoﬀe um den Term P unterscheidet ∗ jKi kKi f¨ ur die an den einzelnen Stoﬀen von den Massenkr¨ aften verrichtete LeisK

tung. F¨ ur Mehrstoﬀgemische geht daher die Energiegleichung (3.73) u ¨ ber in

du ∂ q˙ ∂ wi X ∗ = − i + τji + jKi kKi dt ∂xi ∂xj K

mit

q˙i = q˙i +

X

∗ hK jKi ,

(3.75)

(3.76)

K ∗ die f¨ ur verschwindenden Diﬀusionsstrom jKi = 0 in die Energiebilanz (3.71) der reinen Stoﬀe u ¨ bergeht.

3.2.4.1 Dissipierte Energie und Entropie Anschaulich besagt die Energiegleichung (3.71), dass sich die innere Energie eines Fluidelements durch W¨ armezufuhr und Verrichten von Arbeit a ¨ndert. In Mehrstoﬀgemischen kommt, wie (3.75) zeigt, noch ein Term f¨ ur die mit der Materie zugef¨ uhrte Energie hinzu. Die verrichtete Arbeit besteht aus einem reversiblen Anteil und der dissipierten Arbeit. Wir wollen diese Anteile noch einzeln mit Hilfe der Entropiebilanz berechnen und betrachten der Einfachheit halber nur reine Stoﬀe. Nach der Gibbsschen Fundamentalgleichung gilt hierf¨ ur T

ds du dv du p d = +p = − 2 . dt dt dt dt dt

(3.77)

Einsetzen der Energiegleichung (3.71) und der Kontinuit¨ atsgleichung (3.21) ergibt T Nun ist

oder

ds 1 ∂ q˙i 1 ∂ wi p ∂ wi =− + τji + . dt ∂xi ∂xj ∂xi ∂ (q˙i /T ) 1 ∂ q˙i q˙i ∂ T = − 2 ∂xi T ∂xi T ∂xi ∂ q˙i ∂ (q˙i /T ) q˙i ∂ T =T + ∂xi ∂xi T ∂xi

und nach (3.53) τji = τˆji − δji p , wenn man verschwindende Volumenviskosit¨ at voraussetzt. Damit l¨ asst sich die Entropiebilanz (3.77) auch schreiben

3.2 Die Bilanzgleichungen „ « ds ∂ (q˙i /T ) q˙i ∂ T 1 ∂ wi 1 ∂ wi p ∂ wi =− − 2 + τˆji + −δji p + . dt ∂xi T ∂xi T ∂xj T ∂xj T ∂xi

329

Wegen δji ∂ wi /∂xj = ∂ wj /∂xj = ∂ wi /∂xi vereinfacht sich diese Gleichung zu

ds ∂ (q˙i /T ) q˙i ∂ T 1 ∂ wi =− − 2 + τˆji . dt ∂xi T ∂xi T ∂xj

(3.78)

Der erste Term auf der rechten Seite von (3.78) kennzeichnet die mit der W¨ arme zugef¨ uhrte Entropie. Man bezeichnet ihn als Entropiestromdichte. Die beiden u ¨ brigen Terme stellen die Entropieproduktion dar. Der zweite Term r¨ uhrt von den endlichen Temperaturunterschieden bei der W¨ armeleitung, der dritte von der mechanischen Energie her. Man nennt ∂ wi τˆji =φ (3.79) ∂xj auch mechanische Dissipationsleistung. Sie ist die auf die Volumeneinheit bezogene dissipierte mechanische Energie (SI-Einheit W/m3 ). Unter Beachtung von (3.53) τji = τˆji − pδji kann man damit den ersten Hauptsatz (3.71) auch schreiben:

du ∂ q˙i ∂ wi =− −p +φ . dt ∂xi ∂xi

(3.80)

Hierbei ist verschwindende Volumenviskosit¨ at vorausgesetzt. F¨ uhrt man die mechanische Dissipationsleistung in die Energiegleichung (3.75) f¨ ur Mehrstoﬀgemische ein, so lautet diese X ∗ du ∂ q˙ ∂ wi = − i −p +φ+ jKi kKi . (3.81) dt ∂xi ∂xi K Gl. (3.81) setzt ebenfalls verschwindende Volumenviskosit¨ at voraus. Die Ableitung der Entropiebilanz f¨ ur Gemische ﬁndet man im Anhang A 5. Beispiel 3.3: Man berechne die mechanische Dissipationsleistung f¨ ur ein Newtonsches Fluid. Wie groß ist die Dissipationsleistung im Sonderfall einer eindimensionalen Str¨ omung w1 = w1 (x2 )? F¨ ur ein Newtonsches Fluid ist nach (3.55) »„ « – ∂ wj ∂ wi 2 ∂ wk τˆji = η + − δji ∂xi ∂xj 3 ∂xk und daher φ = τˆji

∂ wi ∂ wi =η ∂xj ∂xj

»„

∂ wj ∂ wi + ∂xi ∂xj

« −

2 ∂ wk δji 3 ∂xk

Falls w1 = w1 (x2 ) ist, reduziert sich der Ausdruck auf „ «2 ∂ w1 ∂ w1 ∂ w1 φ=η =η . ∂x2 ∂x2 ∂x2

– .

330

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

3.2.4.2 Materialgesetze zur L¨ osung der Energiegleichung Um die Energiegleichung (3.71) bzw. (3.75) l¨ osen zu k¨onnen, sind noch Materialgesetze erforderlich. Wir betrachten zun¨ achst die Gl. (3.71) f¨ ur reine Stoﬀe. Man ben¨ otigt die kalorische Zustandsgleichung u = u(ϑ, v). Durch Diﬀerentiation erh¨ alt man

∂u ∂u ∂u du = dϑ + dv = cv dϑ + dv ∂ϑ v ∂v ϑ ∂v ϑ Wie man in der Thermodynamik zeigt [3.2], ist

∂u ∂p =T −p . ∂v ϑ ∂ϑ v Weiter ist dv = − d/2 . Damit wird du dϑ ∂p 1 d = cv − T −p . dt dt ∂ϑ v dt

(3.82)

Mit der Kontinuit¨ atsgleichung (3.21) erh¨ alt man hierf¨ ur du dϑ ∂p ∂ wi = cv + T −p . dt dt ∂ϑ v ∂xi F¨ ur ideale Gase verschwindet der Ausdruck in der eckigen Klammer. F¨ ur ein inkompressibles Fluid, = const, ist d/dt = 0 und ∂ wi /∂xi = 0. Der Ausdruck vereinfacht sich in beiden F¨ allen zu

du dϑ = cv . dt dt

Bei inkompressiblen Fluiden braucht man nicht mehr zwischen cp und cv zu unterscheiden. Es ist cp = cv = c. W¨ ahrend in einem isotropen K¨orper die W¨ armestromdichte durch das Fouriersche Gesetz q˙i = −λ

∂ϑ ∂xi

gegeben ist, gibt es in anisotropen Materialien, beispielsweise in Kristallen, bevorzugte Richtungen f¨ ur den W¨ armestrom. Die W¨armestromdichte q˙i h¨angt nicht mehr allein vom Gradienten ∂ ϑ/∂xi , sondern im allgemeinsten Fall von allen drei Komponenten des Temperaturgradienten ab. So gilt beispielsweise f¨ ur die W¨ armestromdichte q˙1 in Richtung der x1 -Achse −q˙1 = λ11

∂ϑ ∂ϑ ∂ϑ ∂ϑ + λ21 + λ31 = λi1 . ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂xi

Entsprechendes gilt auch f¨ ur die beiden anderen W¨armestromdichten, so dass man allgemein schreiben kann

3.2 Die Bilanzgleichungen

q˙i = −λji

∂ϑ ∂xi

331

(i, j = 1, 2, 3)

Die W¨ armestromdichte in Richtung einer Koordinatenachse h¨angt von den Temperaturgradienten in Richtung aller Koordinatenachsen ab. Die W¨armeleitf¨ ahigkeit λji im Fourierschen Gesetz ist ein Tensor. Wie man mit den Methoden der Thermodynamik irreversibler Prozesse nachweist [3.3], ist der W¨ armeleitf¨ ahigkeitstensor symmetrisch λij = λji . Er besteht somit aus sechs Komponenten. Davon k¨ onnen bei bestimmten Kristallen einige oder mehrere Komponenten u ¨ bereinstimmen oder auch verschwinden. Beispiel 3.4: Quarzkristall besitzt in Richtung der einzelnen Koordinatenachsen unterschiedliche W¨ armeleitf¨ ahigkeiten. Der W¨ armeleitf¨ ahigkeitstensor ist gegeben durch 0 1 λ11 0 0 λji = @ 0 λ22 0 A . 0 0 λ33 Wie lautet die Diﬀerentialgleichung der station¨ aren W¨ armeleitung, wenn man temperaturunabh¨ angige Werte λii voraussetzt? In welchem Verh¨ altnis stehen die W¨ armestr¨ ome durch Leitung in einem W¨ urfel der Kantenl¨ ange a in Richtung der drei Koordinaten? Zur n¨ aherungsweisen L¨ osung dieser Teilaufgabe setze man voraus, dass die W¨ armestr¨ ome in Richtung der drei Koordinatenachsen unabh¨ angig voneinander sind. Da keine Str¨ omung vorliegt, verschwindet der Term τji ∂ wi /∂xj in der Energiegleichung, (3.71). Es wird station¨ are W¨ armeleitung vorausgesetzt, du/dt = 0, so dass sich die Energiegleichung vereinfacht zu ∂ q˙i ∂ q˙1 ∂ q˙2 ∂ q˙3 =0= + + . ∂xi ∂x1 ∂x2 ∂x3 F¨ ur den Quarzkristall ist q˙1 = −λ11 ∂ ϑ/∂x1 , q˙2 = −λ22 ∂ ϑ/∂x2 , q˙3 = −λ33 ∂ ϑ/∂x3 . Die Energiegleichung geht damit u ¨ ber in 0 = λ11

∂2ϑ ∂2ϑ ∂2ϑ + λ + λ . 22 33 ∂x1 2 ∂x2 2 ∂x3 2

Unter der Annahme, dass die W¨ armestr¨ ome in Richtung der drei Koordinaten unabh¨ angig voneinander sind, ist 0 = λ11

∂ 2 ϑ1 ∂ 2 ϑ2 ∂ 2 ϑ3 = λ22 = λ33 . 2 2 ∂x1 ∂x2 ∂x3 2

Der Temperaturverlauf einander gegen¨ uberliegender W¨ urfeloberﬂ¨ achen ist linear. Die W¨ armestromdichten sind dann q˙1 = λ11 Δϑ1 /a, q˙2 = λ22 Δϑ2 /a, q˙3 = λ33 Δϑ3 /a, und es ist q˙1 : q˙2 : q˙3 = λ11 Δϑ1 : λ22 Δϑ2 : λ33 Δϑ3 . Falls die Temperaturdiﬀerenzen gleich sind, ist q˙1 : q˙2 : q˙3 = λ11 : λ22 : λ33 .

332

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

3.2.4.3 Einige andere Formulierungen der Energiegleichung F¨ ur praktische Rechnungen ist es oft vorteilhaft, statt der inneren Energie andere abh¨ angige Variablen in der Energiegleichung zu verwenden. Besonders n¨ utzlich sind die Enthalpie-“ und die Temperaturform“ der Energie” ” gleichung. Die Enthalpieform erh¨ alt man wegen h = u + pv durch Addition von d(pv)/dt auf beiden Seiten der Energiegleichung (3.80) zu

dh ∂ q˙i ∂ wi d(pv) =− −p + +φ . dt ∂xi ∂xi dt

F¨ ur den dritten Term auf der rechten Seite ist

d(pv) dp dv dp 1 d = v + p = − p , dt dt dt dt dt

woraus man mit Hilfe der Kontinuit¨ atsgleichung (3.21)

d(pv) dp ∂ wi = +p dt dt ∂xi

erh¨ alt. Damit ergibt sich die f¨ ur kompressible und inkompressible Str¨omungen g¨ ultige Form der Energiegleichung

dh ∂ q˙i dp =− + +φ . dt ∂xi dt

(3.83)

Entsprechend ﬁndet man aus (3.81) f¨ ur Mehrstoﬀgemische

dh ∂ q˙ dp ∗ =− i + + jKi kKi + φ dt ∂xi dt

(3.84)

K

mit q˙i = q˙i +

K

∗ hK jKi .

Besonders wichtig ist die Temperaturform der Energiegleichung, deren L¨ osung das Temperaturfeld in seinem zeitlichen und r¨aumlichen Verlauf beschreibt. F¨ ur reine Stoﬀe erhalten wir diese Gleichung, wenn wir von dem aus der Thermodynamik bekannten Zusammenhang [3.2]

∂v dh = cp dϑ − T − v dp ∂ϑ p Gebrauch machen und damit das Enthalpiediﬀerential in (3.83) eliminieren. Außerdem ist q˙i = −λ∂ ϑ/∂xi . Daraus ergibt sich

dϑ ∂ ∂ϑ T ∂v dp cp = λ + +φ . (3.85) dt ∂xi ∂xi v ∂ϑ p dt

3.2 Die Bilanzgleichungen

333

F¨ ur ideale Gase wird wegen pv = RT der Ausdruck

T ∂v T ∂v = =1 . v ∂ϑ p v ∂T p Die Enthalpie von Gemischen ist von Temperatur, Druck und Zusammensetzung abh¨ angig. Ihr Diﬀerential ist gegeben durch " „ # « X ∂v dh = cp dϑ − T − v dp + hK dξK , (3.86) ∂ϑ p K wenn hA die partielle speziﬁsche Enthalpie des Stoﬀes A ist, deﬁniert durch „ « ∂H hA = . ∂MA T,p,MK=A Es ist daher unter Beachtung der Kontinuit¨ atsgleichung (3.25) " „ « # X dh dϑ T ∂v dp X ∂ j∗ = cp + 1− − hK Ki + hK Γ˙K . dt dt v ∂ϑ p dt ∂xi K K Nach Einsetzen dieses Ausdrucks in die Energiegleichung (3.84) ergibt sich nach wenigen Umformungen „ « „ « dϑ ∂ ∂ϑ T ∂v dp cp = λ + +φ dt ∂xi ∂xi v ∂T p dt „ « P ∗ P ∂ hK + jKi kKi − − hK Γ˙K ∂x i K K Wie im Anhang A5 gezeigt wird, kann man die partielle speziﬁsche Enthalpie hK in der vorletzten Summe eliminieren und durch die spez. Enthalpie h des Gemisches ersetzen, da N−1 N X X ∗ ∂ „ ∂h « ∗ ∂ hK jKi = jKi ∂xi ∂xi ∂ξK K=1 K=1 gilt, wobei die Ableitung ∂ h/∂ξK bei festen Werten von Temperaturen, Druck und allen Massenanteilen außer ξK zu bilden ist. Die Temperaturform der Energiegleichung f¨ ur Gemische lautet damit „ « „ « dϑ ∂ ∂ϑ T ∂v dp cp = λ + +φ dt ∂xi ∂xi v ∂ϑ p dt „ «– X N−1 X ∗ » ∂ ∂h + jKi kKi − − hK Γ˙K . (3.87) ∂xi ∂ξK K=1 K Die Gl. (3.85) und (3.87) gelten unabh¨ angig davon, ob das Fluid kompressibel oder inkompressibel ist.

Inkompressible Fluide stellen in der Str¨ omungslehre und der W¨arme- und Stoﬀ¨ ubertragung bekanntlich ein brauchbares Modell f¨ ur die wirklichen Fluide dar. Ihre thermische Zustandsgleichung lautet v = v0 = const. F¨ ur reine Stoﬀe

334

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

und auch f¨ ur Gemische stimmen isobare und isochore spez. W¨armekapazit¨aten u ¨ berein, cp = cv = c. Die Temperaturform der Energiegleichung f¨ ur inkompressible reine Stoﬀe ergibt sich aus (3.85) unter der Annahme einer konstanten W¨armeleitf¨ahigkeit c

dϑ ∂2ϑ =λ +φ . dt ∂xi 2

(3.88)

Ist die Str¨ omung isobar, so verschwindet der zweite Term auf der rechten Seite von (3.85). F¨ ur ideale Gase ist in (3.85) (T /v)(∂ v/∂ϑ)p = 1 zu setzen. F¨ ur inkompressible Gemische ﬁndet man aus (3.87), wenn man konstante W¨ armeleitf¨ ahigkeit voraussetzt „ «– X X ∗ » dϑ ∂2ϑ ∂ ∂h c =λ + φ + j k − − hK Γ˙K . (3.89) Ki Ki dt ∂xi 2 ∂xi ∂ξK K K Die Energiebilanz f¨ ur Gemische unterscheidet sich von der f¨ ur reine Stoﬀe um zwei zus¨ atzliche Ausdr¨ ucke, den f¨ ur den Energietransport durch Diﬀusion und den f¨ ur die durch chemische Reaktion hervorgerufene Enthalpie- bzw. Temperatur¨ anderung.

3.2.5 Zusammenfassung Die wichtigsten der in diesem Kapitel hergeleiteten Bilanzgleichungen sollen noch einmal zusammenfassend dargestellt werden. Wir ben¨ utzen dabei die Abk¨ urzung d ∂ ∂ = + wi . dt ∂t ∂xi Es gelten folgende Bilanzgleichungen f¨ ur reine Stoﬀe: d ∂ wi = − , dt ∂xi

(3.90)

dwj ∂ τji = kj + , dt ∂xi

(3.91)

du ∂ q˙i ∂ wi =− + τji . dt ∂xi ∂xj

(3.92)

Gl. (3.90) ist die Massenbilanz oder Kontinuit¨atsgleichung, (3.91) die Impulsbilanz oder Cauchysche Bewegungsgleichung und (3.92) die Energiebilanz. Da f¨ ur jede der drei Koordinatenrichtungen eine Impulsbilanz gilt, j = 1, 2, 3 hat man insgesamt f¨ unf Bilanzgleichungen. Gleichwertig mit der Energiegleichung ist deren Enthalpieform (3.83). In Mehrstoﬀgemischen muss man zur Kontinuit¨atsgleichung noch N − 1 Massenbilanzen f¨ ur die Komponenten hinzuf¨ ugen, (3.25), w¨ahrend die Energiebilanz durch (3.81) bzw. (3.87) zu ersetzen ist.

3.2 Die Bilanzgleichungen

335

Das Gleichungssystem ist noch durch die sogenannten konstitutiven Gleichungen oder Materialgesetze zu erg¨ anzen, welche die Eigenschaften der zu untersuchenden Stoﬀe beschreiben. Setzt man den h¨ auﬁg vorkommenden Fall eines inkompressiblen Newtonschen Fluids, = const, d/dt = 0, konstanter Viskosit¨at voraus, so gehen die Kontinuit¨ atsgleichung, die Impuls- und die Energiebilanz u ¨ber in

∂ wi =0 , ∂xi

(3.93)

dwj ∂p ∂ 2 wj = kj − +η , dt ∂xj ∂xi 2

(3.94)

dϑ ∂2ϑ =λ +φ dt ∂xi 2

(3.95)

c mit

∂ wi φ=η ∂xj

∂ wj ∂ wi + ∂xi ∂xj

Die Gl. (3.94) ist die Navier-Stokes-Gleichung f¨ ur ein inkompressibles Fluid. F¨ ur Mehrstoﬀgemische aus N Komponenten hat man neben der Kontinuit¨ atsgleichungen f¨ ur die Gesamtmasse, (3.93), noch die Kontinuit¨atsgleichungen f¨ ur N − 1 Komponenten dA ∂ j∗ = − Ai Γ˙A . dt ∂xi

(3.96)

Die Impulsbilanz (3.94) bleibt unver¨ andert, w¨ ahrend man als Energiegleichung die Gl. (3.89) erh¨alt:

N −1 dϑ ∂2ϑ ∂ ∂h ∗ c =λ +φ+ jKi kKi − − hK Γ˙K . dt ∂xi 2 ∂xi ∂ξK K=1

(3.97)

K

Beispiel 3.5: Eine sogenannte Couette-Str¨ omung entsteht in einem Fluid zwischen zwei planparallelen unendlich ausgedehnten Platten, wenn man die eine Platte — in Abb. 3.11 die obere — mit konstanter Geschwindigkeit wL bewegt, w¨ ahrend die andere Platte festgehalten wird. ¨ eines Gleitlagers zustande. Man Solche Str¨ omungen kommen beispielsweise im Ol bezeichnet sie auch als Schichten- oder Parallelstr¨ omung. Wir betrachten hier die inkompressible station¨ are Str¨ omung, deren Geschwindigkeitsproﬁl durch w1 (x2 ) gekennzeichnet ist. Ferner ist ∂ /∂t = 0, w2 = w3 = 0. Man berechne das Geschwindigkeitsproﬁl w1 (x2 ). Die Temperatur der oberen Platte sei ϑL , die der unteren ϑ0 < ϑL . Man berechne und diskutiere den Verlauf des Temperaturproﬁls ϑ(x2 ) unter der Annahme, dass die mechanische Dissipationsleistung nicht vernachl¨ assigbar ist. Es kommen nur Geschwindigkeiten in Richtung der x1 -Achse vor. Man braucht somit nur die Impulsgleichung (3.94), f¨ ur j = 1 zu betrachten. In dieser verschwindet die linke Seite, denn es ist ∂ /∂t = 0, ∂ w/∂x1 = 0, w2 = w3 = 0.

336

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

Abb. 3.11: Zur Couette-Str¨ omung Ferner ist die Massenkraft k1 = 0, und es ist ∂ p/∂x1 = 0, da die Str¨ omung durch die Bewegung der oberen Platte, nicht aber durch Druckunterschiede zustande kommt. Die Impulsgleichung verk¨ urzt sich auf 0=η

∂ 2 w1 , ∂x2 2

und es ist daher

w1 =

x2 wL . L

In der Energiegleichung (3.95) verschwinden ebenfalls alle Glieder auf der linken Seite, denn es ist ∂ /∂t = 0, ∂ ϑ/∂x1 = 0, w2 = 0. Sie verk¨ urzt sich auf „ « 2 “ w ”2 ∂2ϑ ∂ w1 L λ + φ = mit φ = η =η . 2 ∂x2 ∂x2 L Integration der Energiegleichung ergibt das in x2 parabolische Temperaturproﬁl η “ wL ”2 2 ϑ(x2 ) = − x2 + a1 x2 + a0 . 2λ L Die Konstanten a0 und a1 folgen aus den Randbedingungen ϑ(x2 = 0) = ϑ0

und

ϑ(x2 = L) = ϑL .

Als Temperaturproﬁl erh¨ alt man damit » – η wL2 x2 “ x2 ”2 x2 ϑ = ϑ0 + − + (ϑL − ϑ0 ) . 2λ L L L Den Verlauf des Temperaturproﬁls u ¨ber x2 zeigt die Abb. 3.11 rechts. Falls die obere Platte ruht, wL = 0, hat man das lineare Temperaturproﬁl der reinen W¨ armeleitung zwischen zwei ebenen Platten. F¨ ur hinreichend große Werte wL hat das Temperaturproﬁl ein Maximum, dessen Lage man aus dϑ/dx2 = 0 berechnet zu » – λ 1 (x2 )max = (ϑL − ϑ0 ) + L . η wL2 2 Es muss (x2 )max ≤ L sein. Das triﬀt dann zu, wenn » –1/2 2λ wL ≥ (ϑL − ϑ0 ) = wL∗ η ist: Bei kleineren Geschwindigkeiten als wL∗ wird nur wenig Energie dissipiert; das Maximum der Temperatur f¨ allt mit der Temperatur der oberen Platte zusammen. Bei gr¨ oßeren Geschwindigkeiten als wL∗ wird soviel Energie dissipiert, dass sich das Fluid in einem gewissen Bereich zwischen den Platten u ¨ ber die Temperatur der oberen Platte aufheizt.

3.3 Einﬂuss der Reynolds-Zahl auf die Str¨ omung

337

3.3 Einﬂuss der Reynolds-Zahl auf die Str¨ omung Eine allgemeine L¨osung der Navier-Stokes-Gleichungen ist bisher nicht gelungen. Hauptursache f¨ ur die Schwierigkeiten ist der nichtlineare Charakter der Diﬀerentialgleichungen durch die Produkte in den Tr¨agheitsgliedern

dwj ∂ wj ∂ wj = + wi dt ∂t ∂xi

auf der linken Seite der Navier-Stokes-Gleichung. Es sind nur f¨ ur bestimmte Grenzf¨ alle L¨ osungen bekannt. Sie ergeben sich dadurch, dass man feststellt, unter welchen Bedingungen man einzelne Terme der Gleichung gegen¨ uber anderen vernachl¨ assigen und so die Gleichung vereinfachen kann. Zur Absch¨ atzung der Gr¨ oßenordnung der einzelnen Terme formt man die Diﬀerentialgleichung zweckm¨ aßigerweise so um, dass sie nur dimensionslose Gr¨oßen enth¨ alt. Dadurch wird die Gr¨ oßenordnung der Terme unabh¨angig von dem zuf¨ allig gew¨ ahlten Maßsystem. Eine solche Darstellung der Gleichung durch dimensionslose Gr¨ oßen ist stets m¨ oglich und Ausdruck des allgemeinen Prinzips, dass die Beschreibung und L¨ osung eines physikalischen Problems unabh¨ angig von Maßsystemen sein muss. Gleichbedeutend mit der Einf¨ uhrung dimensionsloser Gr¨ oßen ist die Verwendung problemorientierter Maßeinheiten. Wir betrachten die Navier-Stokes-Gleichung der inkompressiblen Str¨omung (3.94) ohne Massenkr¨ afte

dwj ∂ wj ∂ wj ∂p ∂ 2 wj = + wi =− +η . dt ∂t ∂xi ∂xj ∂xi 2

(3.98)

Man bezieht nun alle Geschwindigkeiten auf eine durch das Problem gegebene charakteristische Geschwindigkeit wα , beispielsweise die Anstr¨omgeschwindigkeit bei einem querangestr¨ omten K¨ orper. Ebenso bezieht man alle L¨ angen auf eine durch das Problem gegebene charakteristische L¨ange L, beispielsweise die u omte L¨ ange eines quer angestr¨omten K¨orpers. Damit ¨ berstr¨ bilden wir die dimensionslosen Gr¨ oßen wi+ = wi /wα

,

x+ i = xi /L ,

p+ = p/wα2 t+ = t wα /L

und f¨ uhren diese in die Navier-Stokes-Gleichung (3.98) ein. Dabei ersetzen wir noch die Viskosit¨at η durch die kinematische Viskosit¨at ν gem¨aß η = ν. Man erh¨ alt dann + ∂ wj+ ∂ wj+ ∂ p+ 1 ∂ 2 wj + + w = − + (3.99) i ∂t+ Re ∂x+ 2 ∂x+ ∂x+ i j i

mit der bereits bekannten Reynolds-Zahl

338

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

Re =

wα L . ν

Zusammen mit der dimensionslosen Form der Kontinuit¨atsgleichung f¨ ur die inkompressible Str¨ omung ∂ wi+ =0 , (3.100) ∂x+ i die nach Einf¨ uhren der dimensionslosen Gr¨ oßen aus (3.93) hervorgeht, und den Randbedingungen beschreiben (3.99) und (3.100) die Str¨omung vollst¨andig. Als L¨ osung erh¨ alt man das Geschwindigkeitsfeld wj+ (t+ , x+ i ) und das + + + Druckfeld p (t , xi ). Die L¨ osung h¨ angt oﬀenbar noch von der Reynolds-Zahl ab. Diese l¨asst sich als Verh¨ altnis von einer f¨ ur das Problem charakteristischen Tr¨agheits- zur Reibungskraft deuten. Die Tr¨ agheitskraft dw1 /dt ist von der Gr¨oßenordnung wα /t, worin die Zeit t von der Gr¨ oßenordnung L/wα und die Tr¨agheitskraft somit von der Gr¨ oßenordnung wα2 /L ist. Die Reibungskraft η∂ 2 w1 /∂x21 ist von der Gr¨oßenordnung ηwα /L2 . Das Verh¨ altnis beider Terme ist von der Gr¨ oßenordnung wα2 /L wα L wα L = = = Re ηwα /L2 η ν und wird gerade durch die Reynolds-Zahl Re beschrieben. Wie man erkennt, wachsen die Tr¨ agheitskr¨afte quadratisch mit der Geschwindigkeit, nehmen also viel rascher mit der Geschwindigkeit zu als die linear mit dieser anwachsenden Reibungskr¨ afte. Bei großen Reynolds-Zahlen k¨ onnen daher die stets vorhandenen St¨ orungen der Geschwindigkeit nicht mehr durch die vergleichsweise kleinen Reibungskr¨afte ged¨ampft werden. Dies außert sich darin, dass Str¨ omungen von einer gewissen Gr¨oße der Reynolds¨ Zahl an, der sogenannten kritischen Reynolds-Zahl, ihre Form ¨andern. W¨ ahrend sich unterhalb der kritischen Reynolds-Zahl die Fluidteilchen auf vorgegebenen Strombahnen bewegen und Geschwindigkeitsst¨orungen rasch wieder abklingen, werden oberhalb der kritischen Reynolds-Zahl Schwankungsbewegungen nicht mehr ged¨ ampft sondern weiter verst¨arkt. Man bezeichnet eine solche Str¨ omung als turbulent. Die Str¨omung auf vorgegebenen Teilchenbahnen nennt man laminar. Die turbulente Str¨omung ist immer dreidimensional, instation¨ ar und rotationsbehaftet. Die Geschwindigkeit an einem festen Ort schwankt unregelm¨ aßig um einen Mittelwert. Die momentanen Werte von Geschwindigkeit, Druck, Temperatur und Konzentration sind Zufallsgr¨ oßen. L¨ osungen der Navier-Stokes-Gleichungen f¨ ur laminare Str¨omungen beschreiben bei großen Reynolds-Zahlen daher nur dann wirkliche Str¨omungen,

3.4 Vereinfachungen der Navier-Stokes-Gleichungen

339

wenn die L¨ osungen gegen kleine St¨ orungen stabil sind: Eine vor¨ ubergehende kleine St¨ orung muss wieder abklingen. Oberhalb der kritischen Reynolds-Zahl ist dies nicht mehr der Fall. Eine vor¨ ubergehende kleine St¨orung klingt nicht mehr ab, sondern wird verst¨ arkt. Die Str¨ omungsform schl¨agt von der laminaren in die turbulente Str¨ omung um. Diese Erscheinungen hat Osborne Reynolds (1842–1912) erstmalig beobachtet, indem er der Str¨ omung durch ein Glasrohr in der Rohrachse einen Farbstoﬀ zusetzte. In laminarer Str¨ omung bildete sich in der Rohrachse ein d¨ unner Farbfaden, der sich durch die geringe molekulare Diﬀusion stromabw¨ arts nur wenig verbreiterte. Erh¨ ohte man die Geschwindigkeit, so dass die kritische Reynolds-Zahl gen¨ ugend weit u ¨berschritten wurde, so schwankte der Faden, l¨ oste sich stromabw¨ arts rasch auf und vermischte sich mit der Str¨ omung. Bei der Rohrstr¨ omung zeigt sich, dass sie bei Reynolds-Zahlen Rekrit = wm d/ν ≤ 2300 , gebildet mit der u ¨ber den Querschnitt gemittelten Geschwindigkeit wm und dem Rohrdurchmesser d, auch bei stark gest¨ ortem Zulauf stets laminar bleibt. F¨ ur besonders st¨ orungsfreie Zustr¨ omungen hat man zwar kritische ReynoldsZahlen bis 40 000 gemessen, bei den in den technischen Anwendungen nie v¨ ollig st¨ orungsfreien Zul¨ aufen ist die Str¨ omung jedoch nur unterhalb Rekrit = 2 300 laminar. Bei Reynolds-Zahlen bis etwa 2 600 hat die Str¨omung zun¨achst intermittierenden Charakter. Sie ist zeitweise laminar, zeitweise turbulent und wird oberhalb von Re = 2 600 voll turbulent. ¨ An einer l¨ angsangestr¨ omten ebenen Platte liegt der Ubergang von der laminaren zur turbulenten Str¨ omung bei Reynolds-Zahlen wα L/ν zwischen 3 · 105 und 5 · 105 ; wα ist die Anstr¨ omgeschwindigkeit, L die u ¨berstr¨omte Plattenl¨ ange. Der W¨ arme- und Stoﬀaustausch in turbulenten Str¨omungen ist viel intensiver als in laminaren. Gleichzeitig steigt allerdings im Allgemeinen auch der Druckabfall.

3.4 Vereinfachungen der Navier-StokesGleichungen Vereinfachungen der Navier-Stokes-Gleichungen ergeben sich, wenn die Reynolds-Zahlen sehr klein oder sehr groß sind, Re → 0 oder Re → ∞. Diese Grenzf¨ alle werden zwar in Wirklichkeit nicht erreicht werden, sie stellen aber asymptotische L¨ osungen dar und sind umso bessere N¨aherungen, je gr¨oßer bzw. kleiner die Reynolds-Zahl ist. Wir wollen diese Grenzf¨alle im Folgenden untersuchen.

3.4.1 Schleichende Str¨ omungen Den Grenzfall Re → 0 bezeichnet man als schleichende Str¨omungen. Er kann dadurch verwirklicht werden, dass die Geschwindigkeit wα sehr klein, die

340

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

Dichte sehr gering, zum Beispiel in stark verd¨ unnten Gasen, und die Viskosit¨ at η sehr groß ist, also bei Str¨ omungen hochviskoser Fluide, oder dass typische K¨ orperabmessungen L sehr klein sind wie bei der Umstr¨omung von Staubk¨ ornern oder Nebeltr¨ opfchen. Die Reibungskr¨afte u uber ¨ berwiegen gegen¨ den Tr¨ agheitskr¨aften, so dass die linke Seite von (3.99) im Vergleich zum Term (1/Re)(∂ 2 wj+ /∂x+2 assigt werden kann. Der Druckgradient i ) vernachl¨ + + ∂p /∂xj kann hingegen nicht ohne weiteres vernachl¨assigt werden, denn er ist von der Gr¨ oßenordnung Δp Δp/L = , wα2 wα2 /L enth¨ alt also die Tr¨ agheitskr¨ afte als kleine Gr¨oße im Nenner. Nur wenn der Druckabfall deutlich kleiner als die Tr¨ agheitskr¨afte ist, kann man auch den Druckterm weglassen. Ob dies zutriﬀt, kann man erst anhand der L¨osung der Impuls- und der Kontinuit¨ atsgleichung entscheiden. Durch Vernachl¨assigung der Tr¨ agheitskr¨ afte in (3.99) entfallen die nichtlinearen Terme, und es ¨ verbleibt nach Ubergang zu dimensionsbehafteten Gr¨oßen die lineare Diﬀerentialgleichung ∂p ∂ 2 wj =η . (3.101) ∂xj ∂xi 2 Nochmalige Diﬀerentiation ergibt ∂2p ∂ ∂ 2 wj ∂2 = η = η ∂xj 2 ∂xj ∂xi 2 ∂xi 2

∂ wj ∂xj

=0 .

(3.102)

Da die Str¨ omung als inkompressibel vorausgesetzt wurde, ist aufgrund der Kontinuit¨ atsgleichung ∂ wj /∂xj = 0. Der Druck erf¨ ullt die Potentialgleichung. Die Gl. (3.101) und (3.102) sind Grundlage der hydrodynamischen Schmie¨ rungstheorie, die sich unter anderem mit der Olstr¨ omung in Gleitlagern befasst.

3.4.2 Reibungsfreie Str¨ omungen Setzt man eine Str¨ omung als v¨ ollig reibungsfrei voraus, η = 0, so wird 1/Re = 0. Der Reibungsterm auf der rechten Seite von (3.99) verschwindet, und man ¨ erh¨ alt nach Ubergang zu dimensionsbehafteten Gr¨oßen

∂ wj ∂ wj ∂p + wi =− . ∂t ∂xi ∂xj

(3.103)

Dies ist die Eulersche Gleichung. Sie enth¨ alt im Sonderfall der eindimensionalen station¨ aren Str¨ omung die Beziehung w1

dw1 dp =− dx1 dx1

3.4 Vereinfachungen der Navier-Stokes-Gleichungen

341

oder integriert w12 + p = const 2 die als Bernoullische Gleichung bekannt ist. Der Einﬂuss der Schwerkraft ist hierin vernachl¨ assigt. W¨ ahrend die Navier-Stokes-Gleichung (3.98) von zweiter Ordnung ist, enth¨ alt die Eulersche Gleichung (3.103) nur noch Terme erster Ordnung. Da ihre Ordnung um eins niedriger ist als die der Navier-Stokes-Gleichung, kann man nach der Integration eine Randbedingung weniger erf¨ ullen. Als Folge davon kann man die Haftbedingung an der Wand nicht erf¨ ullen. Man erh¨alt vielmehr an der Wand endliche Geschwindigkeiten, da im ganzen Str¨omungsraum und somit auch an der Wand Reibungsfreiheit vorausgesetzt wurde, w¨ahrend wirkliche Str¨ omungen an festen W¨ anden haften.

3.4.3 Grenzschichtstr¨ omungen ¨ Wie die vorstehenden Uberlegungen zeigen, darf man bei großen ReynoldsZahlen Re → ∞ den Reibungsterm in der Navier-Stokes-Gleichung (3.98) nicht vernachl¨ assigen, wenn man Str¨ omungen in der N¨ahe fester W¨ande richtig beschreiben und die Haftbedingung erf¨ ullen will. Der Bereich, in dem man die Reibungskr¨ afte gegen¨ uber den Tr¨ agheitskr¨ aften nicht vernachl¨assigen darf, ist im Allgemeinen auf eine d¨ unne wandnahe Zone begrenzt, da der Geschwin-

Abb. 3.12: Geschwindigkeiten in einer Grenzschicht

digkeitsanstieg in Wandn¨ ahe und somit auch die Schubspannung groß ist, wie es in Abb. 3.12 anschaulich dargestellt ist. In Wandn¨ahe ist die Schubspannung ∂ w1 τ21 = η ∂x2 besonders groß, in gr¨ oßerer Entfernung von der Wand hingegen vernachl¨assigbar. Die wandnahe Schicht, in der Reibungs- und Tr¨agheitskr¨afte von gleicher Gr¨ oßenordnung sind, nennt man Str¨omungsgrenzschicht oder einfach Grenzschicht. Die Berechnung des Impuls-, W¨ arme- und Stoﬀaustausches in solchen Str¨ omungen ist Gegenstand der Grenzschichttheorie und wird im folgenden Abschnitt behandelt. Es soll hier lediglich noch die Grenzschichtdicke δ(x1 ) abgesch¨ atzt werden. Wir betrachten dazu nur die in Richtung der x1 -Achse wirkenden Tr¨ agheits- und Reibungskr¨ afte. Das charakteristische Tr¨agheitsglied war von der Gr¨ oßenordnung

342

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

wα2 /x1 , wenn wir die charakteristische L¨ ange durch den jeweiligen Abstand von der Vorderkante ersetzen. In x1 -Richtung treten in (3.98) f¨ ur die hier betrachtete Str¨ omung mit der Geschwindigkeit w1 (x1 , x2 ) folgende Reibungsterme auf: η

∂ 2 w1 ∂ 2 w1 ∂ 2 w1 = η + η . ∂xi 2 ∂x1 2 ∂x2 2

W¨ ahrend der erste Term auf der rechten Seite von der Gr¨oßenordnung ηwα /x21 ist, ergibt sich als Gr¨ oßenordnung f¨ ur den zweiten Term ηwα /δ 2 . Da die Grenzschicht in einem ausreichend großen Abstand von der Plattenvorderkante sehr viel d¨ unner als die Plattenl¨ange ist, δ x1 , ist der zweite Term f¨ ur die Reibung innerhalb der Grenzschicht entscheidend. Gleichsetzen der Gr¨ oßenordnungen von Tr¨agheits- und Reibungskr¨aften ergibt wα2 ηwα ≈ 2 x1 δ oder δ ≈ x1 /

Rex1

(3.104) √ mit Rex1 = wα x1 /ν. Die Grenzschicht w¨ achst mit x1 . Sie ist umso d¨ unner, je gr¨ oßer die Reynolds-Zahl ist. Innerhalb des schmalen Bereiches der Grenzschicht kann man oﬀenbar die Reibungskr¨ afte nicht vernachl¨assigen, w¨ahrend diese außerhalb der Grenzschicht praktisch keine Rolle spielen, so dass f¨ ur die Str¨ omung im Außenbereich die einfachere Eulersche Gleichung gilt.

3.5 Die Grenzschichtgleichungen 3.5.1 Die Str¨ omungsgrenzschicht F¨ ur große Reynolds-Zahlen l¨ asst sich, wie zuvor er¨ortert, der Str¨omungsraum in zwei Bereiche unterteilen, die ¨ außere reibungsfreie Str¨omung, die durch die Eulersche Gleichung beschrieben wird, und die Str¨omung innerhalb der Grenzschicht, die dadurch gekennzeichnet ist, dass man die Reibungskr¨afte nicht mehr gegen¨ uber den Tr¨ agheitskr¨ aften vernachl¨assigen kann. Aus der Eulerschen Gleichung erh¨ alt man f¨ ur ein bekanntes Druckfeld die Geschwindigkeitsverteilung im Außenraum. Man ist aber nicht in der Lage, den Str¨omungswiderstand zu ermitteln. Dazu muss die Geschwindigkeitsverteilung in der Grenzschicht bekannt sein. In ihr geht das Geschwindigkeitsproﬁl vom Wert null an der Wand asymptotisch in das der reibungsfreien Außenstr¨omung u ¨ ber. In gleicher Weise n¨ ahern sich auch Temperaturen und Konzentrationen von den Werten an der Wand asymptotisch denen der Außenstr¨omung.

3.5 Die Grenzschichtgleichungen

343

Wir nehmen im Folgenden an, dass Geschwindigkeiten, Temperaturen und Konzentrationen der Außenstr¨ omung bekannt sind, und betrachten eine station¨ are, ebene Str¨ omung. Die Massenkr¨ afte seien vernachl¨assigbar. Die Str¨ omung l¨ angs einer gekr¨ ummten Wand kann man ebenfalls als eben ansehen, solange der Kr¨ ummungsradius der Wand groß ist im Vergleich zur Grenzschichtdicke. Dann spielt die Kr¨ ummung keine Rolle f¨ ur die d¨ unne Grenzschicht, und sie entwickelt sich so wie an einer ebenen Wand. Die Wandkr¨ ummung ist lediglich von Einﬂuss auf die Außenstr¨omung und deren Druckverteilung. Wir f¨ uhren sogenannte Grenzschichtkoordinaten ein, Abb. 3.13, indem die Koordinate x1 = x entlang der K¨ orperoberﬂ¨ ache und x2 = y senkrecht dazu gew¨ ahlt wird. Wir setzen eine Anfangsgeschwindigkeit wα (y) voraus; ihr integraler Mittelwert sei wm .

Abb. 3.13: Grenzschicht an einem l¨ angsangestr¨ omten K¨ orper

Dichte¨ anderungen in str¨ omenden Fl¨ ussigkeiten sind sehr gering, wenn man von Extremf¨ allen absieht, beispielsweise Dichte¨anderungen, die durch sehr ¨ schnelles Schließen oder Oﬀnen der Absperrorgane von Rohrleitungen hervorgerufen werden. Im Allgemeinen ist somit in str¨omenden Fl¨ ussigkeiten d/dt → 0, und wir d¨ urfen die Kontinuit¨ ats- und die Impulsgleichung f¨ ur inkompressible Str¨ omung anschreiben. Aber auch in Gasen sind Dichte¨anderungen gering, wenn die Geschwindigkeiten so klein sind, dass die mit der Schallgeschwindigkeit gebildete Mach-Zahl Ma = wm /wS 1 ist. Wir zeigen dies am Beispiel einer reversibel adiabaten Str¨omung. Aus der Zustandsgleichung p = p(, s) folgt

∂p dp = d . ∂ s Hierin bezeichnet man die Ableitung

∂p := wS2 ∂ s und nennt wS die Schallgeschwindigkeit. Es gilt somit f¨ ur eine reversibel adiabate Str¨ omung dp = wS2 d . Da keine technische Arbeit verrichtet werden soll, ist

344

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

dwt = 0 = v dp + d

w2 2

,

¨ wenn wir Anderungen der potentiellen Energie vernachl¨assigen. Damit folgt v dp = vwS2 d = wS2 d/ und d 1 1 = 2 v dp = − 2 d wS wS oder

w2 2

=−

w dw wS2

d dw = −Ma2 . w

F¨ ur die relative Geschwindigkeits¨ anderung gilt dw/w ≤ 1. Die relative Dichte¨ anderung d/ ist somit klein f¨ ur Ma < 1, z.B. erh¨alt man f¨ ur Ma = 0,3, was einer Geschwindigkeit von 100 m/s der Luft im Umgebungszustand entspricht, d ≤ 0,09 . Man darf daher Gase m¨ aßiger Geschwindigkeit bei nicht allzu großen Temperatur¨ anderungen n¨ aherungsweise als inkompressibel ansehen, d/dt → 0, und ihre Str¨ omung n¨ aherungsweise durch die Kontinuit¨ats- und die Impulsgleichung einer inkompressiblen Str¨ omung beschreiben. Die Kontinuit¨ ats- und die Navier-Stokes-Gleichung (3.93) und (3.94) lauten unter den angegebenen Voraussetzungen, wenn wir w1 = wx und w2 = wy setzen, also die Tensorschreibweise wieder verlassen: ∂ wx ∂ wy + =0 ∂x ∂y

2 ∂ wx ∂ wx ∂p ∂ wx ∂ 2 wx wx + wy =− +η + ∂x ∂y ∂x ∂x2 ∂y 2

2 ∂ wy ∂ wy ∂p ∂ wy ∂ 2 wy wx + wy =− +η + . ∂y ∂y ∂y ∂x2 ∂y 2

(3.105)

(3.106) (3.107)

Um die Gr¨ oßenordnung der einzelnen Terme in diesen Gleichungen abzusch¨atzen, f¨ uhren wir dimensionslose Gr¨ oßen ein. Es bietet sich an, den Wandabstand y auf eine mittlere Grenzschichtdicke“ ” δm ∼ L/Re1/2 zu beziehen mit Re = wm L/ν, w¨ ahrend man die L¨ange L zweckm¨aßigerweise als L¨ angenmaßstab f¨ ur die Str¨ omungsrichtung x w¨ahlt und die Geschwindigkeit wx auf die mittlere Anstr¨ omgeschwindigkeit wm bezieht. Aus der Kontinuit¨ atsgleichung folgt

3.5 Die Grenzschichtgleichungen

wy ∼

345

wm δm L

und daher wy ∼ wm /Re1/2 . Als Maßstab f¨ ur die Geschwindigkeit wy f¨ uhrt man daher zweckm¨aßigerweise wm /Re1/2 ein. Auf diese Weise ergeben sich die folgenden dimensionslosen Gr¨ oßen: wx + =

wx wy x y y p , wy + = Re1/2 , x+ = , y + = = Re1/2 , p+ = . 2 wm wm L δm L wm

Mit diesen Gr¨ oßen nehmen (3.105) bis (3.107) die folgende Form an: ∂ wy+ ∂ wx+ + =0 , ∂x+ ∂y + + ∂ wx+ ∂ p+ 1 ∂ 2 wx+ ∂ 2 wx+ + ∂ wx + w = − + + , y ∂x+ ∂y + ∂x+ Re ∂x+ 2 ∂y + 2

∂ wy+ ∂ wy+ 1 ∂ p+ 1 ∂ 2 wy+ 1 ∂ 2 wy+ + + wx + w = − + + . y Re ∂x+ ∂y + ∂y + Re2 ∂x+ 2 Re ∂y + 2

wx+

F¨ ur große Reynolds-Zahlen Re → ∞ werden alle Glieder mit dem Faktor 1/Re und erst recht die mit 1/Re2 verschwindend klein. Kehrt man nach Vernachl¨ assigung dieser Glieder wieder zu dimensionsbehafteten Gleichungen zur¨ uck, so erh¨ alt man die Grenzschichtgleichungen, die in dieser Form im Jahre 1904 erstmalig von L. Prandtl (1875–1953) [3.4] angegeben wurden: ∂ wx ∂ wy + =0 , ∂x ∂y wx

∂ wx ∂ wx ∂p ∂ 2 wx + wy =− +η , ∂x ∂y ∂x ∂y 2 ∂p =0 . ∂y

(3.108)

(3.109) (3.110)

Aus (3.108) und (3.109) erh¨ alt man die beiden unbekannten Geschwindigkeiten wx und wy . Der Druck ist keine Unbekannte mehr, denn nach (3.110) ist der Druck p = p(x) keine Funktion der wandnormalen Koordinate y. Er wird durch die Außenstr¨ omung, also letztlich durch die Gestalt des umstr¨omten K¨ orpers oder durchstr¨ omten Kanals bestimmt. Der Druck hat in der Grenzschicht an jeder Stelle x den gleichen Wert wie außerhalb und kann mittels der Eulerschen Gleichung (3.103) durch die Geschwindigkeit wδ (x) der Außenstr¨ omung ersetzt werden: wδ

∂ wδ dp =− . ∂x dx

(3.111)

346

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

Folgende Randbedingungen stehen zur L¨ osung des Gleichungssystems zur Verf¨ ugung: Die Haftbedingung an der Wand y=0:

wx = wy = 0 ,

(3.112)

die Bedingung am Außenrand der Grenzschicht, wonach die Geschwindigkeit wy asymptotisch in die Geschwindigkeit der Außenstr¨omung u ¨bergehen soll, y→∞:

wx = wδ

(3.113)

und die Anfangsbedingung x=0:

wx = wα (y) .

(3.114)

Die Grenzschichtgleichungen sind nichtlinear und abgesehen von einigen Spezialf¨ allen nicht streng analytisch l¨ osbar.

3.5.2 Die Temperaturgrenzschicht ¨ Ahnlich wie man zur Berechnung der Geschwindigkeiten in einer Str¨omungsgrenzschicht die Navier-Stokes-Gleichungen erheblich vereinfachen konnte, l¨ asst sich auch die Energiegleichung zur Berechnung der Temperaturen in einer Temperaturgrenzschicht vereinfachen. Wir betrachten dazu wieder einen K¨ orper gem¨ aß Abb. 3.12, dessen Oberﬂ¨ ache eine bestimmte Wandtemperatur ϑ0 hat, die von der Temperatur ϑα der Anstr¨omung verschieden ist. Wir setzen wie zuvor eine station¨ are, ebene Str¨ omung voraus. Große Temperaturund Druck¨ anderungen wollen wir ausschließen, so dass man konstante W¨armeleitf¨ ahigkeit annehmen darf. Fl¨ ussigkeiten sind, wie schon zuvor er¨ortert, weitgehend inkompressibel, d/dt = 0, w¨ ahrend f¨ ur Gase der Beitrag der, wenn auch geringen, Dichte¨ anderung zur Energiebilanz noch abzusch¨atzen ist. Wir verwenden daher die f¨ ur kompressible und inkompressible Str¨omung g¨ ultige Temperaturform (3.85) der Energiegleichung

2

∂ϑ ∂ϑ ∂ ϑ ∂ 2ϑ T ∂v dp cp wx + wy =λ + + +φ (3.115) ∂x ∂y ∂x2 ∂y 2 v ∂ϑ p dt und sch¨ atzen wie zuvor die Gr¨ oßenordnung der einzelnen Terme ab, indem wir einige der zuvor bereits deﬁnierten dimensionslosen Gr¨oßen weiter verwenden: wx+ =

wx ; wm

wy+ =

wy Re1/2 ; wm

x+ =

x ; L

p+ =

p . 2 wm

Als Maßstab f¨ ur die Koordinate y f¨ uhrt man zweckm¨aßigerweise eine mittlere Dicke der Temperaturgrenzschicht ein. Eine Absch¨atzung der Temperaturgrenzschicht hatte bereits (3.8) ergeben,

3.5 Die Grenzschichtgleichungen

δT ∼ x

a

347

1/2 ,

wm x

wobei wm die als konstant vorausgesetzte Geschwindigkeit war. Hierin ist jetzt die Temperaturleitf¨ ahigkeit deﬁniert durch a = λ/cp . Wir bilden eine mittlere Dicke δT m der Temperaturgrenzschicht

1/2 a δT m ∼ L , wm L die durch diese Gleichung bis auf einen noch unbekannten Proportionalit¨atsfaktor bestimmt ist. Die hierin vorkommende Gr¨oße wm L a ist die bereits bekannte P´eclet-Zahl P e. Sie ist mit der Reynolds-Zahl verkn¨ upft durch wm L wm L ν Pe = = = Re P r . a ν a P r = ν/a ist die Prandtl-Zahl. Mit δT m bilden wir die dimensionslose Koordinate y y y+ = = P e1/2 . δT m L Außerdem f¨ uhren wir noch eine dimensionslose Zeit t+ =

t wm L

und als dimensionslose Temperatur ϑ+ =

ϑ − ϑ0 ϑα − ϑ0

ein. Durch diese Normierung verl¨ auft die Temperatur in der Grenzschicht zwischen den Werten 0 ≤ ϑ+ ≤ 1. Mit den so deﬁnierten dimensionslosen Gr¨ oßen l¨ asst sich die Energiegleichung (3.115) umformen in wx+

+ ∂ ϑ+ 1 ∂ 2 ϑ+ ∂ 2 ϑ+ 1/2 + ∂ ϑ + P r w = + y 2 ∂x+ ∂y + P e ∂x+ ∂y + 2

+

2 wm T cp Δϑ v

∂v ∂ϑ

p

dp+ φL + dt+ wm cp Δϑ

(3.116)

mit Δϑ = ϑα − ϑ0 . Die hierin vorkommende Dissipationsleistung φ ist von der Gr¨ oßenordnung (s. hierzu auch das Beispiel 3.3)

2 ∂ wx w2 φ∼η ∼ η 2m oder mit δm ∼ L/Re1/2 ∂y δm

348

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

φ∼η

2 2 3 wm wm wm L wm Re = η = . L2 L2 η L

Damit ist die Gr¨ oßenordnung des letzten Terms in (3.116) 2 φL wm ∼ . wm cp Δϑ cp Δϑ

Die Gr¨ oße

2 wm = Ec cp Δϑ

ist die bereits bekannte Eckert-Zahl. Sie ist das Verh¨altnis der (doppelten) mittleren kinetischen Energie und der mittleren inneren Energie der Grenzschicht. Bei W¨ arme- und Stoﬀaustauschproblemen ist sie sehr klein, abgesehen von Str¨ omungen mit hohen Geschwindigkeiten nahe oder u ¨ ber der Schallgeschwindigkeit. Derartige Str¨ omungen waren jedoch ausgeschlossen. Man kann somit den Beitrag der mechanischen Dissipationsleistung in der Energiegleichung vernachl¨ assigen. In dem vorletzten Ausdruck von (3.116)

2 wm T ∂v dp+ T ∂v dp+ = Ec cp Δϑ v ∂ϑ p dt+ v ∂ϑ p dt+ ist f¨ ur ideale Gase: T v

∂v ∂ϑ

=1 , p

w¨ ahrend f¨ ur Fl¨ ussigkeiten wegen v = v0 =const der Ausdruck sogar verschwindet. Da die Eckert-Zahl Ec sehr klein ist, kann man den vorletzten Ausdruck auch f¨ ur Gase vernachl¨ assigen. Da wir große Reynolds-Zahlen Re → ∞ voraussetzten, die Prandtl-Zahl aber von der Gr¨oßenordnung 1 ist, kann man auch das erste Glied auf der rechten Seite von (3.116) vernachl¨assigen: Die W¨ armeleitung in Str¨ omungsrichtung x ist vernachl¨assigbar im Vergleich zu derjenigen durch die d¨ unne Grenzschicht. Nach R¨ ucktransformation in dimensionsbehaftete Koordinaten erh¨ alt man als Gleichung der Temperaturgrenzschicht ∂ϑ ∂ϑ ∂2ϑ cp wx + cp wy =λ 2 . (3.117) ∂x ∂y ∂y ¨ Entsprechende Uberlegungen gelten auch f¨ ur die Temperaturgrenzschicht von Mehrstoﬀgemischen. Der Energietransport durch Leitung und durch Diﬀusion in Richtung der L¨ angskoordinate x ist vernachl¨ assigbar im Vergleich zu dem durch die Grenzschicht. Die Energiegleichung der Grenzschicht folgt aus (3.97), in der wir verschwindende Massenkr¨ afte kKi voraussetzen: N−1 X ∗ ∂ „ ∂h « X ∂ϑ ∂ϑ ∂2ϑ cp wx + cp wy =λ 2 − jKy − hK Γ˙K . (3.118) ∂x ∂y ∂y ∂y ∂ξK K=1 K Die Gl. (3.118) gilt in dieser Form auch f¨ ur Vielstoﬀgemische mit mehr als zwei Komponenten.

3.5 Die Grenzschichtgleichungen

349

F¨ ur ein Zweistoﬀgemisch aus den Komponenten A und B ist die Enthalpie des Gemisches h = h0A ξA + h0B (1 − ξA ) + Δh , wenn Δh die Mischungsenthalpie ist und h0A , h0B die Enthalpien der reinen Stoﬀe A und B sind. Die Mischungsenthalpie kann f¨ ur Gase in einiger Entfernung vom kritischen Zustand vernachl¨ assigt werden und verschwindet deﬁnitionsgem¨ aß f¨ ur ideale Fl¨ ussigkeitsgemische. Dann ist ∂h = h0A − h0B . ∂ξA Weiter ist f¨ ur ein inkompressibles reines Fluid wegen v = v0 =const dh = cp dϑ + v0 dp und

∂h ∂ϑ = cp ∂y ∂y da ∂ p/∂y = 0 in der Grenzschicht ist. Somit ist ∂ ∂h ∂ϑ = (cpA − cpB ) ∂y ∂ξA ∂y worin cpA und cpB die spez. W¨ armekapazit¨ aten der reinen Stoﬀe A und B sind. Die Energiegleichung der Grenzschicht eines inkompressiblen Zweistoﬀgemisches lautet damit cp wx

∂ϑ ∂ϑ ∂2ϑ ∂ϑ ∗ + cp wy = λ 2 − jAy (cpA − cpB ) − (hA − hB )Γ˙A ∂x ∂y ∂y ∂y

(3.119)

mit

∂ ξA . ∂y Falls die beiden Stoﬀe gleiche spez. W¨ armekapazit¨ aten besitzen, entf¨ allt der Term f¨ ur den Stoﬀaustausch. In allen anderen F¨ allen kann er jedoch nicht mehr vernachl¨ assigbare Werte annehmen. Selbst f¨ ur Stoﬀe wie Wasserdampf und Luft unterscheiden sich die spez. W¨ armekapazit¨ aten schon so deutlich, dass man den Term f¨ ur den Stoﬀaustausch nicht mehr weglassen kann. Man erkennt außerdem, dass die Energiegleichung mit der f¨ ur reine Stoﬀe u armekapazit¨ aten ¨ bereinstimmt, wenn die spez. W¨ der beiden Komponenten gleich sind und wenn keine chemischen Reaktionen vorkommen. ∗ jAy = −D

Beispiel 3.6: In der Energiegleichung f¨ ur ein Zweistoﬀgemisch (3.119) bestehend aus Wasserdampf und Luft von 100 sch¨ atze man die Gr¨ oßenordnung der einzelnen Terme ab. Chemische Reaktionen seien ausgeschlossen. Es ist die spez. W¨ armekapazit¨ at des Wasserdampfes cpA = 1,8477 kJ/kgK, die der Luft cpB = 1,00258 kJ/kgK. Ferner sei die Lewis-Zahl Le = a/D = 1. Man f¨ uhrt die gleichen dimensionslosen Gr¨ oßen ein, die zur Herleitung der Energiegleichung f¨ ur die Grenzschicht reiner Stoﬀe verwendet wurden, wx+ =

wx ; wm

wy+ =

wy Re1/2 ; wm

x+ =

x ; L

y+ =

y P e1/2 ; L

350

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

ϑ − ϑ0 ϑα − ϑ0 Damit geht (3.119) u ¨ ber in ϑ+ =

wx+

und zus¨ atzlich

+ ξA =

ξA − ξA0 . ξAα − ξA0

+ ∂ ξA ∂ϑ ∂2ϑ (ξAα −ξA0 ) D (cpA −cpB ) L ∂ ϑ+ 1/2 + ∂ ϑ +P r w = + P e . y ∂x+ ∂y + wm cp L2 ∂y + ∂y + ∂y + 2

Wegen P e = wm L/a kann man hierf¨ ur schreiben: wx+

+ + ∂ ϑ+ ∂ 2 ϑ+ (ξAα −ξA0 ) (cpA −cpB ) D ∂ ξA ∂ ϑ+ 1/2 + ∂ ϑ + P r w = + . y 2 + ∂y + + ∂x+ ∂y + c a ∂y ∂y p

Die Gr¨ oßenordnung des letzten Terms wird durch dessen Vorfaktor bestimmt. Dieser ergibt sich, wenn wir f¨ ur cp einen Mittelwert (cpA + cpB )/2 = 1,42514 kJ/kgK setzen und ξAα − ξA0 = 1 setzen, d.h. annehmen, in der Kernstr¨ omung sei der Massenanteil des Wasserdampfes gering ξAα = 0, an der Wand sei er groß ξA0 = 1, weil dort Wasserdampf kondensiert. Mit a/D = 1 ergibt sich dann die Gr¨ oßenordnung des Vorfaktors zu 0,593. Da alle u ucke ¨ brigen Ausdr¨ von der Gr¨ oßenordnung eins sind, kann man den Term f¨ ur den Stoﬀtransport nicht vernachl¨ assigen. Dies w¨ are nur dann zul¨ assig, wenn ξAα − ξA0 sehr klein und etwa von der Gr¨ oßenordnung 10−2 w¨ are.

3.5.3 Die Konzentrationsgrenzschicht Die gleiche Begr¨ undung wie zuvor, wonach Stoﬀstr¨ome in Str¨omungsrichtung im Vergleich zu denen durch die Konzentrationsgrenzschicht quer zur Str¨ omung vernachl¨ assigbar sind, f¨ uhrt zu den Gleichungen f¨ ur die Konzentrationsgrenzschicht. Wir erhalten sie aus den Komponenten-Kontinuit¨atsgleichungen (3.25) durch Vernachl¨ assigung der entsprechenden Ausdr¨ ucke zu wx

∗ ∂ jAy ∂ ξA ∂ ξA + wy =− + Γ˙A , ∂x ∂y ∂y

(3.120)

∗ mit jAy = −D∂ ξA /∂y f¨ ur ein Zweistoﬀgemisch.

3.5.4 Allgemeine Bemerkungen zur L¨ osung der Grenzschichtgleichungen Die Gleichungen (3.109), (3.117) bzw. (3.118) und (3.120) f¨ ur die Str¨omungs-, Temperatur- und Konzentrationsgrenzschicht weisen einige bemerkenswerte ¨ Ahnlichkeiten auf. Sie enthalten auf der linken Seite konvektive Terme“, ” die den Impuls-, W¨ arme- oder Stoﬀaustausch durch Konvektion beschreiben, w¨ ahrend auf der rechten Seite jeweils ein diﬀusiver Term“ f¨ ur den Impuls-, ” W¨ arme- oder Stoﬀaustausch vorkommt. Zus¨atzlich enthalten die Energiegleichung f¨ ur Mehrstoﬀgemische (3.118) und die Komponenten-Kontinuit¨atsgleichung (3.25) noch Glieder f¨ ur den Einﬂuss chemischer Reaktionen. Die dar¨ uber hinaus noch auftretenden Ausdr¨ ucke f¨ ur Druckabfall in der Impulsgleichung und Stoﬀtransport in der Energiegleichung f¨ ur Mehrstoﬀgemische

3.5 Die Grenzschichtgleichungen

351

lassen sich nicht ohne weiteres miteinander vergleichen, da sie verschiedene physikalische Ph¨ anomene beschreiben. Die Gleichungen sind Grundlage f¨ ur viele Anwendungen in der Technik. Bevor wir jedoch spezielle L¨ osungen untersuchen, scheint es angebracht, zun¨ achst einige allgemeine Bemerkungen zur L¨osung der Gleichungen voranzuschicken. Zu diesem Zweck sollen die Gleichungen erneut in eine dimensionslose Form gebracht werden. Da es nur auf Aussagen zur L¨osung des Gleichungssystems ankommt und nicht wie bei der Herleitung der Grenzschichtgleichungen auf eine Absch¨ atzung der Gr¨ oßenordnung der einzelnen Terme in einer bestimmten Gleichung, werden alle Gr¨ oßen in allen Gleichungen in gleicher Weise dimensionslos gemacht. Wir f¨ uhren jetzt folgende dimensionslose Gr¨oßen ein x+ =

x ; L

ϑ+ =

ϑ − ϑ0 ; ϑα − ϑ0

y+ =

y ; L + ξA =

wx+ =

wx ; wm

ξA − ξA0 ; ξAα − ξA0

wy+ = p+ =

wy ; wm

p . 2 wm

Chemische Reaktionen sollen keine Rolle spielen. Wir beschr¨anken die Betrachtung auf reine Stoﬀe oder auf Zweistoﬀgemische, deren Komponenten ann¨ ahernd gleiche speziﬁsche W¨ armekapazit¨ aten haben. Die Energiegleichung (3.119) stimmt dann mit der f¨ ur reine Stoﬀe (3.117) u uhren ¨berein. Nach Einf¨ der dimensionslosen Gr¨ oßen lautet die Kontinuit¨atsgleichung ∂ wy+ ∂ wx+ + =0 , + ∂x ∂y +

(3.121)

die Impulsgleichung wx+

+ ∂ wx+ ∂ p+ 1 ∂ 2 wx+ + ∂ wx + w = − + , y ∂x+ ∂y + ∂x+ Re ∂y + 2

(3.122)

die Energiegleichung wx+

+ ∂ ϑ+ 1 ∂ 2 ϑ+ + ∂ϑ + w = y ∂x+ ∂y + ReP r ∂y + 2

(3.123)

und die Kontinuit¨atsgleichung f¨ ur die Komponente A wx+

+ + + ∂ ξA 1 ∂ 2 ξA + ∂ ξA + w = y ∂x+ ∂y + ReSc ∂y + 2

(3.124)

mit der Reynolds-Zahl Re = wm L/ν, der Prandtl-Zahl P r = ν/a und der Schmidt-Zahl Sc = ν/D. Als L¨ osung der Kontinuit¨ ats- und der Impulsgleichung erh¨alt man f¨ ur eine vorgegebene Außenstr¨ omung und damit vorgegebenen Druckabfall ∂p+ /∂x+ :

352

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

wx+ = f (x+ , y + , Re) und

wy+ = f (x+ , y + , Re) .

Daraus folgt die Schubspannung an der Wand

+ ∂ wx ∂ wx wm τ0 = η =η ∂y y=0 ∂y + y+ =0 L und der Reibungsbeiwert cf =

τ0 2 = 2 wm /2 Re

∂ wx+ ∂y +

= y + =0

2 f (x+ , Re) . Re

(3.125)

F¨ ur eine vorgegebene Kontur des umstr¨ omten K¨orpers h¨angt der Reibungsbeiwert nur von der Koordinate x+ und der Reynolds-Zahl ab, nicht aber von der Art des Fluids. Die L¨ osung der Energiegleichung ist von der Form ϑ+ = f (x+ , y + , Re, P r) . Damit ergibt sich die u armestromdichte zu ¨bertragene W¨

+ ∂ϑ ∂ϑ ϑα − ϑ0 q˙ = −λ = −λ . ∂y y=0 ∂y + y+ =0 L Andererseits ist der W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient deﬁniert durch q˙ = α(ϑ0 − ϑα ) . Nach Gleichsetzen beider Ausdr¨ ucke erh¨ alt man

+ αL ∂ϑ = Nu = = f (x+ , Re, P r) . λ ∂y + y+ =0

(3.126)

Die Nußelt-Zahl ist gleich der dimensionslosen Steigung des Temperaturproﬁls an der Wand. Sie ist f¨ ur einen K¨ orper von vorgegebener Gestalt f¨ ur jedes Fluid eine universelle Funktion von x+ , Re und P r. Die mittlere Nußelt-Zahl ist als integraler Mittelwert u armeaustauschende Oberﬂ¨ache unabh¨angig ¨ber die w¨ von x+ : αm L N um = = f (Re, P r) . (3.127) λ Aus der Komponenten-Kontinuit¨ atsgleichung (3.124) erh¨alt man unter Beachtung des Geschwindigkeitsfelds wx+ (x+ , Re) und wy+ (y + , Re) als allgemeine L¨ osung + ξA = f (x+ , y + , Re, Sc) . Die u ¨ bertragene Stoﬀstromdichte ist

+ ∂ ξA ∂ ξA ξAα − ξA0 ∗ jA = −D = −D . + ∂y y=0 ∂y L y + =0

3.5 Die Grenzschichtgleichungen

353

Bei verschwindendem Konvektionsstrom ist der Stoﬀaustauschkoeﬃzient durch ∗ jA = β(ξA0 − ξAα ) deﬁniert. Aus beiden Gleichungen folgt

+ βL ∂ ξA = Sh = = f (x+ , Re, Sc) . D ∂y + y+ =0

(3.128)

Die Sherwood-Zahl ist gleich der dimensionslosen Steigung des Konzentrationsproﬁls an der Wand. Sie ist f¨ ur einen K¨ orper von vorgegebener Gestalt unabh¨ angig von der Art des Fluids eine universelle Funktion von x+ , Re und Sc. Die mittlere Sherwood-Zahl als integraler Mittelwert u ¨ber die Stoﬀ austauschende Oberﬂ¨ ache ist unabh¨ angig von x+ : Shm =

βm L = f (Re, Sc) . D

(3.129)

Sobald man den funktionellen Zusammenhang zwischen Nußelt-, Reynoldsund Prandtl-Zahl oder Sherwood-, Reynolds- und Schmidt-Zahl gefunden hat, sei es durch Messungen oder durch Rechnung, gilt das so gefundene W¨armeoder Stoﬀ¨ ubergangsgesetz f¨ ur alle Fluide, Geschwindigkeiten und auch alle L¨ angenmaßst¨ abe. Es gilt also auch f¨ ur alle geometrisch ¨ahnliche K¨orper. Voraussetzung ist dabei, dass die Annahmen zutreﬀen, die zu den Grenzschichtgleichungen f¨ uhrten, n¨ amlich vernachl¨ assigbare Dissipations- und Massenkr¨ afte und keine chemischen Reaktionen. Da die Diﬀerentialgleichungen (3.123) und (3.124) formal u ¨ bereinstimmen, stimmen auch die L¨osungen u ¨berein, vorausgesetzt, dass die Randbedingungen ebenfalls formal gleich sind. Die Funktionen (3.126) und (3.128) sowie (3.127) und (3.129) sind daher von gleicher Art. Es gilt somit Shm f (Re, Sc) = . N um f (Re, P r) Wie schon er¨ ortert, Abschnitt 1.5, kann man derartige Funktionen h¨auﬁg u ¨ ber weite Zustandsbereiche durch Potenzprodukte ann¨ahern N um = c Ren P rm

und Shm = c Ren Scm .

Daraus folgt die schon bekannte Beziehung (1.198)

m Shm βm λ Sc a !m = = = = Lem N um D αm Pr D oder βm =

αm Lem−1 cp

die schon bekannte Lewissche Beziehung mit der Lewis-Zahl Le = a/D, aus der man den Stoﬀ¨ ubergangskoeﬃzienten βm berechnen kann, wenn der W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient bekannt ist. In guter N¨aherung ist m = 1/3.

354

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

Die Gleichungen (3.123) und (3.124) stimmen f¨ ur P r = Sc = 1 außerdem mit der Impulsgleichung (3.122) u ¨berein, wenn man verschwindenden Druckabfall voraussetzt. Unter der Annahme gleicher Randbedingungen stimmt dann auch das Geschwindigkeitsproﬁl mit dem Temperatur- und dem Konzentrationsproﬁl u ¨ berein. Es ist daher

+

+

+ ∂ ξA ∂ wx τ0 ∂ϑ = = = N u = = Sh ∂y + y+ =0 ηwm ∂y + y+ =0 ∂y + y+ =0 2 oder nach Einf¨ uhren des Reibungsbeiwertes cf = τ0 /(wm /2) und der Reynolds-Zahl Re = wm L/ν:

Nu Sh cf = = Re Re 2

f¨ ur

P r = Sc = 1 .

(3.130)

Hierin sind die Nußelt-Zahl N u = αL/λ und die Sherwood-Zahl Sh = βL/D mit den ¨ortlichen W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergangskoeﬃzienten gebildet. Das Verh¨ altnis N u/Re und Sh/Re ist unabh¨angig von der charakteristischen L¨ ange, da diese auch in der Reynolds-Zahl Re = wm L/ν enthalten ist. Die Gleichung (3.130) ist als Reynolds-Analogie bekannt. Man kann mit ihr W¨ arme- oder Stoﬀ¨ ubergangskoeﬃzienten berechnen, wenn der Reibungsbeiwert bekannt ist.

3.6 Einﬂuss der Turbulenz auf den W¨ armeund Stoﬀu ¨bergang Die turbulente Str¨ omung ist durch Schwankungsbewegungen gekennzeichnet, die sich der Hauptstr¨ omung u ¨ berlagern. Sie ist grunds¨atzlich dreidimensional und instation¨ ar. Auch die Str¨ omung in Grenzschichten ist bei hinreichend großer Reynolds-Zahl nicht mehr laminar, sondern turbulent, so dass Geschwindigkeiten, Temperaturen und Konzentrationen an einem festen Ort lokal schwanken, wie dies Abb. 3.14 f¨ ur eine Geschwindigkeitskomponente wi an einem festen Ort zeigt. Sie kann an jedem Ort als Summe aus einem Mittelwert (T ist hier Integrationszeit) 1 w ¯i = lim T →∞ T

T wi (xj , t) dt = w ¯i (xj )

(3.131)

0

und einem Schwankungswert wi gebildet werden: wi = w ¯i + wi . Die Abb. 3.14 zeigt eine im statistischen Mittel station¨are Str¨omung, denn die Geschwindigkeit an einem festen Ort ist u ¨ber eine hinreichend lange Zeit im

3.6 Einﬂuss der Turbulenz auf den W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang

355

Abb. 3.14: Geschwindigkeitsschwankungen an einem festen Ort bei im Mittel station¨ arer Str¨ omung

Mittel konstant. Man erh¨ alt sie durch eine Mittelwertbildung gem¨aß (3.131). Eine Str¨ omung kann im statistischen Mittel auch instation¨ar sein, beispielsweise wenn eine im Querschnitt pulsierende Kunststoﬄeitung von einem Fluid durchstr¨ omt wird. Es ist dann w ¯i (xj , t), und die Mittelkurve in Abb. 3.14 w¨ urde sich noch mit der Zeit ¨ andern. Es sollen hier nur im Mittel station¨ are Str¨ omungen betrachtet werden. F¨ ur sie ist deﬁnitionsgem¨ aß der zeitliche Mittelwert der Schwankungsgeschwindigkeiten gleich null, w ¯i = 0. Entsprechend kann man auch Druck, Temperatur und Konzentration in Mittelwert und Schwankungsgr¨oße aufspalten p = p¯ + p ,

ϑ = ϑ¯ + ϑ ,

ξA = ξ¯A + ξA .

Es werde eine inkompressible Str¨ omung vorausgesetzt, so dass eine Aufspaltung der Dichte nicht erforderlich ist. Messungen haben gezeigt, dass Fluidteilchen verschiedener Gr¨oße turbulente Schwankungen ausf¨ uhren und sich dabei gleichzeitig noch um ihre Achse drehen. Man hat demnach ein Spektrum von Wirbeln verschiedener Gr¨oße und Frequenz. Die kleinsten Wirbel sind von der Gr¨oßenordnung 0,1 bis 1 mm, also immer noch viel gr¨ oßer als die bei 10−14 mm liegende mittlere freie Wegl¨ange der Molek¨ ule. Die Wirbel bestehen somit aus hinreichend vielen Molek¨ ulen, so dass die Bilanzgleichungen weiterhin gelten. Geschwindigkeit, Druck, Temperatur und Konzentration sind Momentanwerte an jedem Ort und k¨onnen grunds¨ atzlich mit numerischen Verfahren aus den Gleichungen f¨ ur die dreidimensionale instation¨ are Str¨ omung berechnet werden. Dazu m¨ usste man aber die Zeitschritte wegen der hohen Frequenz der turbulenten Schwankungen von 104 s−1 bis 1 s−1 außerordentlich klein w¨ ahlen, was zu einem derzeit selbst mit Großrechnern nicht bew¨ altigbarem Aufwand f¨ uhrt. In der W¨arme- und Stoﬀ¨ ubertragung ist man auch nicht an den zeitlich ver¨anderlichen Schwankungswerten, sondern nur an den Mittelwerten interessiert. Allerdings sind auch diese nicht einfach zu bestimmen, denn als Folge der Nichtlinearit¨at der konvektiven Glieder in den Bilanzgleichungen haben Geschwindigkeits-, Temperatur- und Konzentrationsschwankungen auch einen Einﬂuss auf die Mittelwerte. Die mit diesen gebildeten Bilanzgleichungen enthalten zus¨atzliche Ausdr¨ ucke, die sich nicht aus den Gleichungen selbst ergeben. F¨ ur sie muss man ph¨ anomenologische Ans¨ atze oder statistische Turbulenzmodelle entwickeln. Um dies zu zeigen, betrachten wir eine Grenzschichtstr¨omung. Chemische Reaktionen sollen keine Rolle spielen. Außerdem setzen wir reine Stoﬀe oder ein Zweistoﬀgemisch mit ann¨ ahernd gleichen spez. W¨armekapazit¨aten der beiden

356

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

Komponenten voraus, so dass die Energiegleichung mit der f¨ ur reine Stoﬀe u ¨ bereinstimmt. Aufspalten der Geschwindigkeit in Mittelwert und Schwankungsgeschwindigkeit, wi = w ¯i + wi , in der Kontinuit¨ atsgleichung (3.93) f¨ uhrt zu ∂ ∂w ¯i ∂ wi (w¯i + wi ) = + =0 . ∂xi ∂xi ∂xi Nach zeitlicher Mittelung verbleibt ∂w ¯i =0 . ∂xi

(3.132)

F¨ ur die konvektiven Terme in der Impulsgleichung (3.94) kann man unter der Beachtung der Kontinuit¨ atsgleichung ∂ wi /∂xi = 0 auch schreiben wi

∂ wj ∂ = (wi wj ) . ∂xi ∂xi

Daraus wird & ∂ ∂ % [(w ¯i + wi )(w ¯j wj )] = w ¯i w ¯j + w ¯i wj + w ¯i w ¯j + wi wj . ∂xi ∂xi Nach zeitlicher Mittelung verschwinden alle in wj und wi linearen Glieder, und es bleibt ∂ wj ∂w ¯j ∂ wi =w ¯i + (w w ) . ∂xi ∂xi ∂xi i j Entsprechend erh¨ alt man f¨ ur den konvektiven Term in der Energiegleichung (3.95) ∂ϑ ∂ ϑ¯ ∂ wi =w ¯i + (w ϑ ) ∂xi ∂xi ∂xi i und f¨ ur den konvektiven Term in der Komponenten-Kontinuit¨atsgleichung wi

∂ ξA ∂ ξ¯A ∂ =w ¯i + (w ϑ ) . ∂xi ∂xi ∂xi i

Die Grenzschichtgleichungen (3.108), (3.109), (3.117) und (3.120) haben daher f¨ ur die turbulente Str¨ omung unter den genannten Voraussetzungen folgende Form, wenn wir die Tensorschreibweise verlassen und f¨ ur w1 = wx , w2 = wy , x1 = y und x2 = y setzen: ∂w ¯x ∂w ¯y + =0 ∂x ∂y

∂w ¯x ∂w ¯x ∂ p¯ ∂ ∂w ¯x w ¯x +w ¯y =− + η − wx wy ∂x ∂y ∂x ∂y ∂y

(3.133)

(3.134)

3.6 Einﬂuss der Turbulenz auf den W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang

∂ ϑ¯ ∂ ϑ¯ cp w ¯x +w ¯y = ∂x ∂y

∂ ξ¯A ∂ ξ¯A w ¯x +w ¯y = ∂x ∂y

¯ ∂ ∂ϑ λ − cp wy ϑ ∂y ∂y

∂ ∂ ξ¯A D − wy ξA . ∂y ∂y

357

(3.135) (3.136)

Die Gleichungen stimmen mit denen f¨ ur die laminare Str¨omung bis auf die Glieder der Form a b u ¨ berein. Diese beschreiben den Einﬂuss der turbulenten Schwankungsbewegung auf den Impuls-, W¨ arme- und Stoﬀaustausch. Der Ausdruck −wx wy (SI-Einheit N/m2 ) ist ein gemittelter Impulsﬂuss je Fl¨ acheneinheit, also vergleichbar mit einer Schubspannung: An einer Fl¨ache senkrecht zur Achse x wird eine Kraft in Richtung der Achse y hervorgerufen. Man nennt allgemein Terme der Form −wi wj Reynoldssche Spannungen oder turbulente Scheinspannungen. Sie sind symmetrische Tensoren. Entsprechend tritt in der Energiegleichung (3.135) eine turbulente W¨armestromdichte“ von ” der Form q˙i = −cp wi ϑ und in der Komponenten-Kontinuit¨ atsgleichung eine turbulente Diﬀusions” stromdichte“ der Form ∗ jAi = −wi ξA auf. Aufgrund dieser Gleichungen kann man auch eine Gesamtschubspannung deﬁnieren ∂ wx (τxy )tot = η − wx wy (3.137) ∂y und entsprechend eine Gesamtw¨ armestromdichte

∂ϑ ∂ϑ (q˙y )tot = − λ − cp wy ϑ = −cp a − wy ϑ ∂y ∂y und eine Gesamtdiﬀusionsstromdichte

∂ ξA ∗ (jAy )tot = − D − wy ξA . ∂y

(3.138)

(3.139)

Sie bestehen jeweils aus einem molekularen und einem turbulenten Beitrag. Impuls-, W¨ arme- und Stoﬀaustausch werden durch die turbulenten Anteile erh¨ oht. Die Gleichungen sagen nichts dar¨ uber aus, wie die turbulenten Beitr¨age zu berechnen sind. Hierf¨ ur sind zus¨ atzliche Annahmen erforderlich. Besonders einfach ist der Ansatz, den J.V. Boussinesq (1842–1929) f¨ ur die Reynoldssche Spannung vorschlug: ∂w ¯x − wx wy = εt . (3.140) ∂y Darin ist εt die turbulente Viskosit¨at“ (SI-Einheit m2 /s). Damit l¨asst sich ” die Gesamtschubspannung ausdr¨ ucken durch

358

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

(τxy )tot = (ν + εt )

∂w ¯x . ∂y

(3.141)

Da die Reynoldssche Spannung bei Ann¨ aherung an die Wand verschwinden muss, kann die turbulente Viskosit¨ at nicht konstant sein. Mit dem BoussinesqAnsatz kann man daher wandnahe Str¨ omungen nicht beschreiben, wenn man εt = const voraussetzt. F¨ ur Str¨ omungen, wie sie in turbulenten Freistrahlen auftreten, ist jedoch die Annahme einer konstanten turbulenten Viskosit¨at recht gut zutreﬀend. Entsprechend dem Boussinesq-Ansatz f¨ uhrt man auch eine turbulente Temperaturleitf¨ahigkeit“ at ein (SI-Einheit m2 /s) durch ” ∂ ϑ¯ at = −wy ϑ . (3.142) ∂y Es ist at = λt /cp mit der turbulenten W¨armeleitf¨ahigkeit“ λt (SI-Einheit ” W/K m). Die Gesamtw¨ armestromdichte wird (q˙y )tot = −cp (a + at )

∂ ϑ¯ . ∂y

(3.143)

Außerdem deﬁniert man einen turbulenten Diﬀusionskoeﬃzienten“ Dt (SI” Einheit m2 /s) durch ∂ ξ¯A . Dt = wy ξA (3.144) ∂y Damit wird die Gesamtdiﬀusionsstromdichte ∗ (jAy )tot = −(D + Dt )

∂ ξ¯A . ∂y

(3.145)

Ebenso wie die turbulente Viskosit¨ at m¨ ussen die turbulenten Anteile von Temperaturleitf¨ahigkeit, W¨ armeleitf¨ ahigkeit und Diﬀusionskoeﬃzient an festen W¨ anden verschwinden. In einiger Entfernung von einer festen Wand ist hingegen der turbulente Austausch viel intensiver als der durch Molekularbewegung. Es kommt zu einer guten Durchmischung der Fluidteilchen. Das hat zur Folge, dass Geschwindigkeits-, Temperatur- und Konzentrationsproﬁle in turbulenter Str¨ omung ausgeglichener sind als in laminarer Str¨omung, wie Abb. 3.15 f¨ ur das Geschwindigkeitsproﬁl eines u ¨berstr¨omten K¨orpers zeigt.

Abb. 3.15: Laminares und turbulentes Geschwindigkeitsproﬁl an einem u omten K¨ orper ¨berstr¨

Die Geschwindigkeit an der Wand steigt in einer turbulenten Str¨omung steiler an als in einer laminaren. Die Wandschubspannungen und damit der

3.6 Einﬂuss der Turbulenz auf den W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang

359

Str¨ omungswiderstand sind in turbulenter Str¨ omung gr¨oßer als in laminarer. Die Temperatur- und das Konzentrationsproﬁle sind ebenfalls v¨olliger, so dass die je Fl¨ acheneinheit u arme- und Stoﬀstr¨ome in turbulenter ¨bertragenen W¨ Str¨ omung gr¨ oßer als in laminarer Str¨ omung sind. Turbulente Str¨omungen sind daher in der W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubertragung erstrebenswert und kommen in der Technik auch meistens vor. Der bessere W¨arme- und Stoﬀaustausch muss allerdings mit einem h¨ oheren Str¨ omungswiderstand und damit gr¨oßerer Pumpen- oder Gebl¨ aseleistung erkauft werden.

3.6.1 Turbulente Str¨ omungen an festen W¨ anden In vielen technischen Anwendungen, beispielsweise der Str¨omung in Kan¨alen, ist das wandnahe Geschwindigkeitsproﬁl nur vom Wandabstand abh¨angig. Bezeichnet man mit wx die zur Wand parallele Geschwindigkeit und mit y die wandnormale Koordinate, so ist wx (y), w¨ahrend die u ¨ brigen Geschwindigkeitskomponenten verschwinden, wy = wz = 0. Man bezeichnet eine solche Str¨ omung als Schichtenstr¨omung. In station¨ aren, laminaren Str¨omungen mit verschwindendem Druckgradienten vereinfacht sich die Impulsgleichung (3.98) zu

∂ ∂ wx ∂ τxy η = 0 oder =0 , ∂y ∂y ∂y woraus sich ein lineares Geschwindigkeitsproﬁl wx (y) und eine konstante Schubspannung τxy ergeben. Es ist also τxy = τ0 = const. Im Fall der station¨ aren turbulenten Schichtenstr¨omungen mit verschwindendem Druckgradienten ist nach (3.134)

∂ ∂w ¯x η − wx wy = 0 , ∂y ∂y woraus durch Integration η

∂w ¯x − wx wy = const = τ0 ∂xy

(3.146)

folgt. Die Integrationskonstante ist gleich der Wandschubspannung, denn an der Wand y = 0 verschwinden die Reynoldsschen Spannungen, wx wy = 0. Im Gegensatz zur laminaren Str¨ omung ist nun die Geschwindigkeit w ¯x (y) keine lineare Funktion von y. Gleichung (3.146) kann man umformen in τ0 ∂w ¯x =ν − wx wy . ∂y

(3.147)

Wie man daraus erkennt, hat die Gr¨ oße τ0 / die Dimension eines Quadrats einer Geschwindigkeit. Man bezeichnet daher wτ = τ0 / (3.148)

360

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

als Schubspannungsgeschwindigkeit. Mir ihr l¨asst sich (3.147) auch als Diﬀerentialgleichung d(w ¯x /wτ ) wx wy 1= − (3.149) d(wτ y/ν) wτ2 schreiben. Oﬀenbar gehorcht das Geschwindigkeitsproﬁl einer Funktion der Form w ¯x wτ y ! =w ¯x+ = f = f (y + ) , (3.150) wτ ν und es ist

wx wy wτ y ! =g = g(y + ) . 2 wτ ν

(3.151)

Gl. (3.150) stellt das von Prandtl (1925) erstmalig formulierte Wandgesetz der turbulenten Str¨omung dar. Die Funktionen f (y + ) und g(y + ) sind universeller Natur, da sie unabh¨ angig von ¨ außeren Abmessungen wie der H¨ohe eines Kanals sind und auch unabh¨ angig von der Grenzschichtdicke f¨ ur alle Schichtenstr¨ omungen gelten. Um w ¯x /wτ durch L¨ osen der Diﬀerentialgleichung (3.149) zu berechnen, muss man die Reynoldsschen Spannungen wx wy kennen. Der von Boussinesq eingef¨ uhrte Ansatz (3.140) ist hierf¨ ur ungeeignet, da nach ihm die Reynoldsschen Spannungen an der Wand nicht verschwinden. Die Bedingung wx wy = 0 an der Wand wird aber durch die im Folgenden zu er¨orternde Prandtlsche Mischungsweghypothese erf¨ ullt. Um sie zu erkl¨aren, betrachten wir ein Fluidelement in einer turbulenten Grenzschicht im Abstand y von der Wand, Abb. 3.16. Dieses besitze im Abstand y die mittlere Geschwindigkeit w ¯x (y)

Abb. 3.16: Zur Prandtlschen Mischungsweghypothese

und m¨ oge sich mit der Geschwindigkeit wy < 0 der Wand um eine kleine Strecke l n¨ ahern. Falls das Fluidelement dabei seine urspr¨ ungliche mittlere Geschwindigkeit beibeh¨ alt, besitzt es am neuen Ort eine um Δw ¯x gr¨oßere Geschwindigkeit als seine Umgebung. Der Geschwindigkeitsunterschied Δw ¯x = w ¯x (y) − w ¯x (y − l ) = l

∂w ¯x ∂y

3.6 Einﬂuss der Turbulenz auf den W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang

361

ist ein Maß f¨ ur die Schwankungsgeschwindigkeit wx . Das Fluidelement verdr¨ angt am neuen Ort andere und erzeugt so eine Quergeschwindigkeit wy , die unter der Annahme kleiner Schwankungsgeschwindigkeiten proportional zur Schwankungsgeschwindigkeit ist. Es sind daher wx und wy proportional zu l ∂ w ¯x /∂y und somit + + + ¯x + ∂ w 2 + ∂ w + ¯x τt = −wx wy = kl + ∂y + ∂y oder mit kl2 = l2

+ + +∂w ¯x ++ ∂ w ¯x τt = −wx wy = l2 ++ . ∂y + ∂y

(3.152)

Durch die Schreibweise mit den Betragsstrichen wird sichergestellt, dass entsprechend dem Newtonschen Ansatz f¨ ur die laminare Str¨omung τxy = η

∂ wx ∂y

auch die turbulente Schubspannung τt das gleiche Vorzeichen wie der Geschwindigkeitsgradient ∂ w ¯x /∂y hat. Nach (3.152) ist die turbulente Viskosit¨at + + +∂w ¯x ++ εt = l2 ++ . (3.153) ∂y + Man bezeichnet die Gr¨ oße l als Mischungsweg. Da die Reynoldsschen Spannungen an der Wand verschwinden, hat Prandtl hierf¨ ur den einfachen Ansatz l = κy gew¨ ahlt. Damit wird τt =

−wx wy

(3.154)

+ + + + = κ y + ∂y + ∂y

¯x + ∂ wx 2 2+ ∂ w

.

Gl. (3.149) f¨ ur die Schichtenstr¨ omung geht u ¨ ber in

2 d(w¯x /wτ ) dw ¯x 1 1= + κ2 y 2 . d(wτ y/ν) dy wτ2

(3.155)

(3.156)

Da (dw ¯x /dy) > 0 sein soll, haben wir hierin |dw ¯x /dy|(dw ¯x /dy) zu (dwx /dy)2 vereinfacht. Mit den Abk¨ urzungen w ¯x+ =

w ¯x wτ

und y + =

erhalten wir dw ¯x+ 1= + κ2 y +2 dy +

dw ¯x+ dy +

wτ y ν 2

Durch Integration ergeben sich folgende L¨ osungen:

.

(3.157)

362

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

a) In der laminaren Unterschicht, y → 0 und damit y + → 0, ist der zweite Term vernachl¨ assigbar und damit w ¯x+ = y +

(3.158)

oder unter Beachtung der Deﬁnitionen f¨ ur w ¯x+ , y + τ0 = η

und wτ τ0 /:

w¯x . y

Das Geschwindigkeitsproﬁl wird in der laminaren Unterschicht durch eine Gerade ersetzt. b) Im vollturbulenten Bereich in großer Entfernung von der Wand, y → ∞ und damit y + → ∞, u ¨ berwiegt der zweite Term, und es gilt

1 = κ2 y +2 oder dw ¯x+ =

dw ¯x+ dy +

2

1 dy + . κ y+

Die Integration ergibt ein logarithmisches Geschwindigkeitsproﬁl w ¯x+ =

w ¯x 1 = ln y + + c . wτ κ

(3.159)

Die Konstanten κ und c m¨ ussen aus Experimenten ermittelt werden. Man ﬁndet κ ≈ 0,4 und c ≈ 5. Tats¨ achlich geht die laminare Unterschicht kontinuierlich in den volltur¨ bulenten Bereich u so dass ¨ ber. Zwischen beiden liegt ein Ubergangsbereich, man das Wandgesetz der Geschwindigkeit in drei Bereiche unterteilen kann, deren Grenzen aufgrund von Experimenten festgelegt wurden. Die laminare Unterschicht erstreckt sich u ¨ ber den Bereich 0 < y+ < 5 , ¨ der Ubergangsbereich u ¨ ber 5 < y + < 60 und der vollturbulente Bereich u ¨ ber y + > 60 . Abb. 3.17 zeigt den vollst¨ andigen Verlauf des Geschwindigkeitsproﬁls w ¯x+ als Funktion von y + .

¨ 3.7 Uberstr¨ omte K¨ orper

363

Abb. 3.17: Universelles Geschwindigkeitsverteilungsgesetz der turbulenten Grenzschicht a: Gl. (3.158) b: Gl. (3.159). Die Abszisse ist logarithmisch geteilt

¨ 3.7 Uberstr omte K¨ orper ¨ Es soll der W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang von der Oberﬂ¨ache eines K¨orpers an die Außenstr¨ omung untersucht werden. Benachbarte K¨orper sollen entweder nicht vorhanden oder soweit entfernt sein, dass sich Grenzschichten um den u omten K¨ orper frei entwickeln k¨ onnen. Geschwindigkeiten, Tempera¨ berstr¨ turen und Konzentrationen sollen sich nur in der Grenzschicht ¨andern, und in der Str¨ omung außerhalb der Grenzschicht konstant sein. Eine erzwungene Str¨ omung, die wir hier betrachten wollen, wird durch ein Gebl¨ase oder eine ¨ Pumpe aufrecht erhalten. Ortliche W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergangskoeﬃzienten ergeben sich dann aus Gleichungen der Form N u = f (x+ , Re, P r) ,

Sh = f (x+ , Re, Sc) ,

w¨ ahrend ihre Mittelwerte durch N um = f (Re, P r) ,

Shm = f (Re, Sc)

gegeben sind. In vielen F¨ allen sind die Gestalt des u ¨berstr¨omten K¨orpers und damit auch der Str¨ omungsverlauf so verwickelt, dass man den funktionellen Zusammenhang zwischen diesen Gr¨ oßen nur experimentell ermitteln kann. Man misst dazu die an dem u omten K¨ orper oder an einem ihm geo¨ berstr¨ metrisch ¨ ahnlichen Modell u arme- und Stoﬀstr¨ome sowie die ¨ bertragenen W¨ zugeh¨ origen Temperatur- und Konzentrationsunterschiede. Daraus berechnet man W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergangskoeﬃzienten gem¨aß α=

Q˙ AΔϑ

und β =

M˙ AΔξ

bildet damit die Nußelt- und Sherwood-Zahl und stellt diese als Funktionen der u oßen Re, P r bzw. Re, Sc dar. Zu ihrer Darstellung als ¨ brigen Kenngr¨ Gleichung eignen sich die schon besprochenen Potenzproduktans¨atze. F¨ ur einige einfache K¨ orper kann man W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergangskoeﬃzienten durch

364

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

L¨ osen der Grenzschichtgleichungen berechnen. Dies soll in den folgenden Abschnitten an einigen charakteristischen Beispielen er¨ortert werden.

3.7.1 Die parallel angestr¨ omte ebene Platte Parallel angestr¨omte ebene Platten kommen beispielsweise in Plattenw¨armetauschern vor. Die Rippen eines Rippenrohres sind oft parallel angestr¨omt. Auch gekr¨ ummte Oberﬂ¨ achen wie Tragﬂ¨ ugel oder Turbinenschaufeln verhalten sich im Hinblick auf die Grenzschicht h¨auﬁg wie ebene Platten, da ihre Grenzschichtdicken fast immer klein im Vergleich zum Kr¨ ummungsradius sind. Von der Plattenvorderkante an bildet sich zun¨achst eine laminare Grenzschicht, Abb. 3.18. Sie wird von einer bestimmten Lauﬂ¨ange, ge-

Abb. 3.18: Parallel angestr¨ omte ebene Platte

nauer von einer bestimmten, mit der Lauﬂ¨ ange xl gebildeten Reynolds-Zahl > Re = wm xl /ν ∼ 6 · 104 instabil. W¨ ahrend unterhalb dieser Reynolds-Zahl — man spricht vom Indiﬀerenzpunkt der Str¨ omung — die Str¨omung immer laminar ist, klingen oberhalb der genannten Reynolds-Zahl kleine St¨orungen nicht mehr ab. St¨ orungen von sehr großer und auch solche von sehr kleiner Wellenl¨ ange werden jedoch, wie Tollmien [3.5] erstmalig nachwies, nach wie vor ged¨ ampft. Die Str¨ omung wird also noch nicht vollst¨andig turbulent, sondern ¨ auf den laminaren Bereich folgt vom Indiﬀerenzpunkt an ein Ubergangsbereich mit teils laminarer, teils turbulenter Str¨ omung, und erst von einer hinreichend großen Reynolds-Zahl Recr = wm xcr /ν von Recr = 3 · 105

bis

5 · 105

wird die Str¨ omung voll turbulent. Der Umschlag h¨angt stark von der Rauhigkeit der Platte und dem Zulauf an ihrer Vorderkante ab. Unter extrem st¨ orungsfreien Bedingungen hat man die Str¨ omung noch bei Reynolds-Zahlen bis 106 laminar halten k¨ onnen; ihr Zustand ist dann in hohem Maße metastabil, und die kleinste St¨ orung gen¨ ugt bereits, um den Umschlag in die turbulente Str¨ omungsform auszul¨ osen. In unmittelbar N¨ ahe einer festen Wand werden auch in einer vollturbulenten Str¨ omung die turbulenten Schwankungsbewegungen ged¨ampft. In einer

¨ 3.7 Uberstr¨ omte K¨ orper

365

d¨ unnen wandnahen Schicht, auch viskose Unterschicht genannt, u ¨ berwiegt daher die Wirkung der Viskosit¨ at gegen¨ uber der scheinbaren turbulenten Viskosit¨ at. 3.7.1.1 Laminare Grenzschicht Wir behandeln zun¨ achst den W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang der parallel angestr¨ omten ebenen Platte in der laminaren Grenzschicht. Die Str¨omung sei station¨ ar, Dissipation sei vernachl¨ assigbar, und es werden konstante Stoﬀwerte vorausgesetzt. Chemische Reaktionen sollen nicht vorkommen. Die Grenzschichtgleichungen bestehen dann aus der Kontinuit¨atsgleichung ∂ wx ∂ wy + =0 , ∂x ∂y

(3.160)

der Impulsgleichung wx

∂ wx ∂ wx ∂ 2 wx + wy =ν ∂x ∂y ∂y 2

(3.161)

∂ϑ ∂ϑ ∂2ϑ + wy =a 2 . ∂x ∂y ∂y

(3.162)

und der Energiegleichung wx

Hinsichtlich des Stoﬀaustausches beschr¨ anken wir uns auf ein Zweistoﬀgemisch, dessen Komponenten ann¨ ahernd gleiche speziﬁsche W¨armekapazit¨aten haben sollen, so dass die Energiegleichung in der angeschriebenen Form weiterhin g¨ ultig bleibt. Es gilt dann zus¨ atzlich noch die Kontinuit¨atsgleichung f¨ ur eine Komponente wx

∂ ξA ∂ ξA ∂ 2 ξA + wy =D . ∂x ∂y ∂y 2

(3.163)

Da die Stoﬀwerte als unabh¨ angig von der Temperatur und der Zusammensetzung vorausgesetzt wurden, ist das Geschwindigkeitsfeld unabh¨angig vom Temperatur- und vom Konzentrationsfeld, und man kann die Kontinuit¨atsund die Impulsgleichung unabh¨ angig von der Energie- und der KomponentenKontinuit¨ atsgleichung l¨ osen. Integralmethoden Wir behandeln zuerst eine L¨ osung des Gleichungssystems mit Hilfe einer Integralmethode, die zu einer einfachen und geschlossenen N¨aherungsl¨osung f¨ uhrt. Integralmethoden sind auf viele andere Grenzschichtprobleme, insbesondere solche bei kompressibler Str¨ omung angewandt worden. Sie haben jedoch mit dem Aufkommen der elektronischen Rechner an Bedeutung verloren. Der Grundgedanke der Integralmethoden besteht darin, dass man auf eine vollst¨ andige L¨ osung der Grenzschichtgleichung verzichtet und diese statt dessen nur im integralen Mittel u ullt. ¨ ber die Grenzschichtdicke erf¨

366

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

Durch Integration der Kontinuit¨ atsgleichung (3.160) u ¨ ber die Grenzschichtdicke δ erh¨ alt man δ

∂ wx dy + ∂x

0

δ

∂ wy dy = 0 ∂y

0

oder mit wy (y = 0) = 0: δ wy (δ) = −

∂ wx dy . ∂x

(3.164)

0

Die Impulsgleichung (3.161) l¨ asst sich unter Beachtung der Kontinuit¨atsgleichung (3.160) auch in folgender Form schreiben ∂ wx2 ∂ (wx wy ) ∂ 2 wx + =ν . ∂x ∂y ∂y 2 Integration zwischen den Grenzen y = 0 und y = δ ergibt unter Beachtung von δ δ ∂ (wx wy ) ∂ wx dy = wx (δ)wy (δ) = −wδ dy ∂y ∂x 0

0

die Integralbedingung f¨ ur den Impuls: d dx

δ wx (wδ − wx ) dy = ν

∂ wx ∂y

.

(3.165)

y=0

0

Die Energiegleichung (3.162) l¨ asst sich mit Hilfe der Kontinuit¨atsgleichung (3.160) auf folgende Form bringen: ∂ (wx ϑ) ∂ (wy ϑ) ∂2ϑ + =a 2 . ∂x ∂y ∂y Die Integration zwischen den Grenzen y = 0 und y = δT ergibt unter Beachtung von δT

δT

∂ (wy ϑ) dy = wy (δT )ϑ(δT ) = −ϑ(δT ) ∂y

∂ wx dy ∂x

0

δ

die Integralbedingung f¨ ur die Energie d dx

δT wx (ϑ(δT ) − ϑ) dy = a 0

∂ϑ ∂y

. y=0

(3.166)

¨ 3.7 Uberstr¨ omte K¨ orper

367

Nach einer entsprechenden Integration zwischen den Grenzen y = 0 und y = δc geht die Kontinuit¨ atsgleichung (3.162) f¨ ur eine Komponente A u ¨ ber in die Integralbedingung f¨ ur den Stoﬀaustausch d dx

δc wx (ξAδc − ξA ) dy = D

∂ ξA ∂y

0

.

(3.167)

y=0

In der Integralbedingung (3.165) f¨ ur den Impuls n¨ahert man nach dem Vorschlag von Pohlhausen [3.6] das Geschwindigkeitsproﬁl durch ein Polynom an: wx y! y !2 y !3 = a0 + a1 + a2 + a3 , (3.168) wδ δ δ δ indem man die freien Koeﬃzienten so bestimmt, dass die Randbedingungen

∂ wx wx (y = 0) = 0 , wx (y = δ) = wδ , =0 ∂y y=δ und die aus der Impulsgleichung (3.161) folgende sogenannte Wandbindung

2 ∂ wx =0 ∂y 2 y=0 erf¨ ullt werden. Man ﬁndet a0 = a2 = 0, a1 = 3/2 und a2 = −1/2 und somit wx 3y 1 = − wδ 2δ 2

y !3 . δ

(3.169)

Mit diesem Geschwindigkeitsproﬁl geht die Integralbedingung (3.165) f¨ ur den Impuls in eine gew¨ ohnliche Diﬀerentialgleichung f¨ ur die noch unbekannte Grenzschichtdicke δ u ¨ber:

d 39 2 3 wδ wδ δ = ν dx 280 2 δ oder

d(δ 2 /2) 140 ν = . dx 13 wδ

Durch Integration folgt mit δ(x = 0) = 0

δ = 4,64

νx wδ

1/2 = 4,64

x 1/2

(3.170)

Rex

mit Rex = wδ x/ν. Die Grenzschicht w¨ achst mit der Wurzel aus der Lauﬂ¨ange x. Der Anstieg des Geschwindigkeitsproﬁls an der Wand ist nach (3.169)

368

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

∂ wx ∂y

= y=0

3 wδ . 2 δ

Daraus ergibt sich nach Einsetzen der Grenzschichtdicke die Wandschubspannung zu

∂ wx 0,323 τ0 = η = wδ2 . 1/2 ∂y y=0 (wδ x/ν) Der Widerstandsbeiwert ist τ0 0,646 = . 1/2 wδ2 /2 Rex

(3.171)

F¨ ur das Temperaturproﬁl f¨ uhrt man ebenfalls einen Polynomansatz ein: ϑ+ =

ϑ − ϑ0 y = b0 + b1 + b2 ϑδT − ϑ0 δT

y δT

2

+ b3

y δT

3 ,

der den Randbedingungen +

ϑ (y = 0) = 0

;

+

ϑ (y = δT ) = 1 ;

∂ ϑ+ ∂y

=0 y=δT

und der aus der Energiegleichung (3.162) folgenden Wandbindung

2 + ∂ ϑ =0 ∂y 2 y=0 gen¨ ugen soll. Man erh¨ alt damit die gleichen Werte der Konstanten wie f¨ ur Geschwindigkeitsproﬁl (3.169). Es wird ϑ+ =

2 y 1 − 3 δT 2

y δT

3 .

(3.172)

Nach Einsetzen des Temperaturproﬁls und des Geschwindigkeitsproﬁls (3.169) in die Integralbedingung f¨ ur die Energie (3.166) und Integration ergibt sich eine Diﬀerentialgleichung f¨ ur die Grenzschichtdicke δT

d 1 δT2 1 δT4 a 1 δ − = . 2 4 dx 10 δ 140 δ wδ δT Wir betrachten nun nur solche Str¨ omungen, bei denen δT /δ < 1 ist. Dann kann man den zweiten Term in der eckigen Klammer gegen¨ uber dem ersten vernachl¨ assigen, so dass sich die Gleichung vereinfacht zu

d δT2 10a 1 = . dx δ wδ δT

¨ 3.7 Uberstr¨ omte K¨ orper

369

Wir setzen abk¨ urzend k = δT /δ und schreiben (3.170) als δ = c0 x1/2 mit 1/2 1/2 c0 = (280/13) (ν/wδ ) . Damit geht die obige Diﬀerentialgleichung u ¨ ber in d 10a 13 kx1/2 (k 2 x1/2 ) = = . dx wδ c20 28 P r Durch die Substitution von z = k 3 u uhrt man diese Gleichung in die ¨ berf¨ gew¨ ohnliche Diﬀerentialgleichung z 1/3 x1/2

d 2/3 1/2 13 (z x ) = dx 28 P r

oder ausdiﬀerenziert

4 dz 13 x +z = . 3 dx 14 P r Eine Partikul¨ arl¨ osung lautet z=

(3.173)

13 , 14 P r

und als L¨ osung der homogenen Gleichung ﬁndet man mit dem Ansatz z = xm den Wert m = −3/4. Damit lautet die vollst¨ andige L¨osung z=

13 + cx−3/4 . 14 P r

Die noch freie Konstante c ergibt sich aus der Bedingung, dass die Platte erst von einer Stelle x0 an beheizt wird; dann ist z(x0 ) = 0 und c=−

13 x0 3/4 . 14 P r

Daraus folgt k=

√ 3

z=

δT = δ

13 14 P r

1/3 1−

x0 !3/4 x

1/3 .

(3.174)

Ist die Platte u ange beheizt, so ist x0 = 0 und das Verh¨altnis ¨ ber ihre ganze L¨ von Temperatur- zur Str¨ omungsgrenzschicht nur eine Funktion der PrandtlZahl:

1/3 δT 13 0,976 = = . (3.175) δ 14 P r P r1/3 Die Prandtl-Zahlen idealer Gase liegen zwischen etwa 0,6 und 0,9, so dass ihre Temperaturgrenzschicht nur wenig dicker als die Str¨omungsgrenz¨ sogar schicht ist. Fl¨ ussigkeiten haben Prandtl-Zahlen u ¨ ber eins, z¨ahe Ole Prandtl-Zahlen u ber 1000. Ihre Temperaturgrenzschicht ist daher d¨ unner als ¨ die Str¨ omungsgrenzschicht. Voraussetzungsgem¨aß gilt die L¨osung nur, wenn δT /δ < 1 ist; sie ist also gut auf Fl¨ ussigkeiten, n¨aherungsweise auf Gase, aber

370

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

nicht mehr auf Fluide mit Prandtl-Zahlen P r 1 anwendbar, wie sie bei ﬂ¨ ussigen Metallen vorkommen. Den W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten berechnet man aus der u ¨ bertragenen W¨ armestromdichte zu

∂ϑ q˙ = −λ = α(ϑ0 − ϑ(δT )) . ∂y y=0 Hierin ist nach (3.172)

∂ϑ ∂y

= y=0

und somit α=

3 (ϑ(δT ) − ϑ0 ) 2δT 3 λ . 2 δT

Der W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient ist umgekehrt proportional der Dicke der Temperaturgrenzschicht. Da diese mit x1/2 anw¨achst, ist α ∼ x−1/2 . Einsetzen der Dicke der Temperaturgrenzschicht nach (3.175) ergibt mit der Str¨omungsgrenzschicht (3.170) nach wenigen Umformungen die Nußelt-Zahl N ux =

αx 1/3 = 0,331 Re1/2 . x Pr λ

(3.176)

Ersetzt man 0,331 durch 0,332, so stimmt diese Gleichung mit der genaueren L¨ osung der Grenzschichtgleichungen f¨ ur 0,6 < P r < 10 u ¨berein. Die Konzentrationsgrenzschicht und den Stoﬀ¨ ubergangskoeﬃzienten kann man unmittelbar aus den vorigen Gleichungen ermitteln, da die Integralbedingung (3.167) f¨ ur den Stoﬀaustausch der f¨ ur den W¨armeaustausch entspricht. Man hat nur die Temperatur ϑ durch den Massenanteil ξA , die Temperaturleitf¨ ahigkeit a durch den Diﬀusionskoeﬃzienten D zu ersetzen, und anstelle der Temperaturgrenzschicht δT tritt die Konzentrationsgrenzschicht δc . Damit erh¨ alt man f¨ ur das Konzentrationsproﬁl entsprechend (3.172): ξA − ξA0 3 y 1 = − ξAδ − ξA0 2 δc 2

y δc

3 .

(3.177)

Die Dicke der Konzentrationsgrenzschicht wird entsprechend (3.175) unter der Voraussetzung, dass Str¨ omungs- und Konzentrationsgrenzschicht an der gleichen Stelle beginnen, δc 0,976 = 1/3 , (3.178) δ Sc g¨ ultig f¨ ur Sc ≥ 0,6, und anstelle von (3.176) tritt die Gleichung f¨ ur das Stoﬀ¨ ubergangsgesetz Shx =

βx 1/3 = 0,331 Re1/2 . x Sc D

(3.179)

¨ 3.7 Uberstr¨ omte K¨ orper

371

Beispiel 3.7: Aufgrund der L¨ osung (3.174) berechne man die Nußelt-Zahl einer parallel angestr¨ omten ebenen Platte, wenn Temperatur- und Str¨ omungsgrenzschicht um x0 , s. Abb. 3.19, voneinander entfernt sind. Man ermittle auch die Sherwood-Zahl f¨ ur den Fall x0 = 0. Es ist α = (3/2) λ/δT . Einsetzen von δT nach (3.174) ergibt unter Beachtung des Ausdrucks (3.170) f¨ ur die Str¨ omungsgrenzschicht » “ x ”3/4 –−1/3 αx 0 1/3 N ux = = 0,331 Re1/2 P r 1 − , x λ x woraus f¨ ur x0 = 0 wieder die bekannte Gl. (3.176) folgt. Entsprechend erh¨ alt man f¨ ur die Sherwood-Zahl » “ x ”3/4 –−1/3 βx 0 1/2 1/3 Sh = = 0,331 Rex Sc 1− . D x

Abb. 3.19: Str¨ omungs- und Temperaturgrenzschicht an einer laminar angestr¨ omten ebenen Platte

Exakte L¨ osung der Grenzschichtgleichungen Als Außenstr¨ omung setzen wir eine ungest¨ orte Parallelstr¨ omung der Geschwindigkeit w∞ voraus. Zur Berechnung der Geschwindigkeiten wx und wy sind dann die Kontinuit¨ atsgleichung (3.160) und die Impulsgleichung (3.161) zu l¨ osen unter den Randbedingungen y = 0 , x > 0 : wx = wy = 0 y → ∞ : wx = w∞ und der Anfangsbedingung x = 0,

y>0:

wx = w∞ .

Zur L¨ osung f¨ uhrte Blasius [3.6] in seiner G¨ ottinger Dissertation 1908 eine Stromfunktion ψ(x, y) ein, welche die Eigenschaft besitzen soll, dass wx =

∂ψ ∂y

und

wy = −

∂ψ ∂x

(3.180)

ist. Durch sie wird die Kontinuit¨ atsgleichung identisch erf¨ ullt. Die Impulsgleichung geht in eine partielle Diﬀerentialgleichung u ¨ ber ∂ ψ ∂2ψ ∂ ψ ∂2ψ ∂3ψ − =ν 3 . 2 ∂y ∂y∂x ∂x ∂y ∂y

(3.181)

Da f¨ ur die Grenzschichttheorie nach (3.170) δ ∼ (νx/w∞ )1/2 gilt, bezieht man zweckm¨ aßigerweise den Wandabstand y auf die jeweilige Grenzschichtdicke δ und f¨ uhrt die dimensionslose Variable

372

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen η+ = y

“w

∞

νx

”1/2 = g(x, y)

ein. Die vorigen Betrachtungen hatten bereits gezeigt, dass man das Geschwindigkeitsproﬁl durch Ans¨ atze der Form “y ” wx =ϕ wδ δ n¨ aherungsweise darstellen kann. Es ist daher naheliegend zu vermuten, dass sich das Geschwindigkeitsproﬁl allein durch die Variable η + darstellen l¨ asst. Wir w¨ ahlen daher den Ansatz “ w ”1/2 wx ∞ = ϕ(η + ) mit η + = y . w∞ νx Er ist dann eine L¨ osung, wenn sich mit ihm die Diﬀerentialgleichung (3.181) und die zugeh¨ origen Randbedingungen erf¨ ullen lassen. Um zu zeigen, dass dies zutriﬀt, bilden wir zun¨ achst die Stromfunktion Zy ψ=

Zy wx dy = w∞ δ

0

+

„ «1/2 Zη “y ” νx ϕ(η ) d = w∞ ϕ(η + ) dη + δ w∞ +

0

0

oder ψ = (w∞ νx)1/2 f (η + ) . Die Normierung der Stromfunktion und der wandnormalen Koordinate y folgt streng genommen daraus, dass (3.181) invariant ist bei einer Transformation ˜ x, y˜) = cψ(x, y) ψ(˜ mit x ˜ = c2 x und y˜ = cy, was man durch Einsetzen in (3.181) u ufen kann. ¨ berpr¨ In der L¨ osung k¨ onnen die Variablen ψ, x, y daher nur in solchen Kombinationen vorkommen, die den Faktor c nicht enthalten. Solche Kombinationen sind „ « „ « ψ x ψ˜ x ˜ =f , denn daraus folgt =f y y2 y˜ y˜2 oder

„ « ψ˜ y˜ √ =f √ . x ˜ x ˜ √ √ Die oben angegebene Stromfunktion ist gerade von der Form ψ/ x = f (y/ x). Man erh¨ alt mit der Stromfunktion die in (3.181) vorkommenden Ableitungen r ∂ψ ∂ψ 1 w∞ ν = wx = w∞ f ; = −wy = (f − η + f ) ; ∂y ∂x 2 x r ∂2ψ w∞ ∂3ψ w2 ∂2ψ 1 w∞ + = w f ; = ∞ f und =− η f . ∞ 2 3 ∂y νx ∂y νx ∂y∂x 2 x (3.182) Setzt man diese Ableitungen in (3.181) ein, so bleibt die gew¨ ohnliche nichtlineare Diﬀerentialgleichung 1 f + f f = 0 (3.183) 2 ψ √ =f x

„

y √ x

«

,

denn daraus folgt

¨ 3.7 Uberstr¨ omte K¨ orper

373

f¨ ur die Funktion f (η + ). Die Randbedingungen lauten y=0

bzw.

η+ = 0 :

y→∞

bzw.

η+ → ∞ :

f = f = 0 f = 1 .

(3.184)

Die Anfangsbedingung x = 0, y > 0 : wx = w∞ ist bereits in der Randbedingung f (η + → ∞) = 1 enthalten. Gl. (3.183) wurde zuerst von Blasius [3.6] durch Potenzreihenans¨ atze und sp¨ ater von vielen anderen Autoren (z.B. [3.7], [3.8]) numerisch gel¨ ost. Zur numerischen Integration k¨ onnte man statt der Randbedingung f (η + → ∞) = 1 als weitere Anfangsbedingung f (η + = 0) = const = c0 einf¨ uhren. Dies w¨ urde jedoch mehrfach Absch¨ atzungen von c0 erfordern, bis die Bedingung f (η + → ∞) = 1 erf¨ ullt ist. Die mehrfache numerische L¨ osung wird vermieden, wenn man das Randwert- auf ein Anfangswertproblem zur¨ uckf¨ uhrt. Dies ist in einfacher Weise m¨ oglich, da (3.183) durch die Transformation f˜(˜ η + ) = cf (η + ) mit η˜+ = η + /c invariant bleibt, d.h. in die von der Konstanten c unabh¨ angige Gleichung 1 f˜ + f˜f˜ = 0 2 u ¨ bergeht. Auch die Randbedingungen f (η + = 0) = f (η + = 0) = 0 bleiben unabh¨ angig von der Wahl von c f˜(˜ η + = 0) = f˜ (˜ η + = 0) = 0 . Man l¨ ost daher die obige Gleichung mit den Anfangsbedingungen f˜(˜ η + = 0) = + + ˜ ˜ f (˜ η = 0) = 0 und f (˜ η = 0) = 1 und bestimmt dann die Konstante c aus f˜ (˜ η + → ∞) = c2 f (η + → ∞) = c2 . Abb. 3.20 zeigt das Geschwindigkeitsproﬁl wx /w∞ = f (η + ). In Wandn¨ ahe gilt + f (η ) = 0,332 057η +2 /2 + O(η +5 ). Durch die Koordinatentransformation fallen alle Geschwindigkeitsproﬁle zusammen. Die Grenzschicht geht asymptotisch in die Außenstr¨ omung u atzlich bis ins Unendliche. Tats¨ achlich ist die ¨ ber und reicht grunds¨ Abweichung der Geschwindigkeit wx von derjenigen der Außenstr¨ omung schon bei endlichem Wandabstand vernachl¨ assigbar gering. Man kann daher auch als Grenzschichtdicke denjenigen Wandabstand deﬁnieren, bei dem wx /w∞ sich nur noch wenig vom Wert eins unterscheidet. W¨ ahlt man f¨ ur wx /w∞ den Wert 0,99, so ergibt die numerische Rechnung, dass dieser Wert an der Stelle η + ≈ 4,910 erreicht wird. Die damit deﬁnierte Grenzschichtdicke ist δ = 4,910

x 1/2

(3.185)

Rex

¨ in recht guter Ubereinstimmung mit der N¨ aherung (3.170). Die Wandschubspannung ist „ « „ « „ +« ∂ wx ∂ wx ∂η τ0 = η =η ∂xy y=0 ∂η + η+ =0 ∂y y=0 “ w ”1/2 ∞ = ηw∞ f (η + = 0) . νx

374

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

Die numerische L¨ osung liefert f (η + = 0) = 0,3321. Damit ﬁndet man den Widerstandsbeiwert τ0 0,664 = , (3.186) 2 /2 1/2 w∞ Rex der sich ebenfalls nur wenig von dem N¨ aherungswert (3.171) unterscheidet.

Abb. 3.20: Geschwindigkeitsproﬁl an der ebenen Platte

Zur Berechnung des Temperatur- und Konzentrationsfeldes ersetzt man in der Energiegleichung (3.162) und der Komponenten-Kontinuit¨atsgleichung (3.163) die Geschwindigkeiten durch die Stromfunktion und f¨ uhrt als dimensionslose Temperatur ϑ − ϑ0 ϑ+ = ϑ∞ − ϑ0 und als dimensionslosen Massenbruch + ξA =

ξA − ξA0 ξA∞ − ξA0

ein. Die Temperatur sei durch ϑ(η + ) und das Konzentrationsproﬁl durch ϕ(η + ) darstellbar. Damit geht die Energiegleichung (3.162) unter Beachtung von (3.180) u ¨ber in ∂ ψ ∂ ϑ+ ∂ η + ∂ ψ ∂ ϑ+ ∂ η + ∂ 2 ϑ+ − = a ∂y ∂η + ∂x ∂x ∂η + ∂y ∂η + 2

∂ η+ ∂y

2 (3.187)

und die Kontinuit¨ atsgleichung (3.163) in + + + ∂ 2 ξA ∂ ψ ∂ ξA ∂ η+ ∂ ψ ∂ ξA ∂ η+ − = D ∂y ∂η + ∂x ∂x ∂η + ∂y ∂η + 2

∂ η+ ∂y

2 .

(3.188)

Mit Hilfe der Ableitungen (3.182) der Stromfunktion lassen sich diese Gleichungen umformen in die gew¨ ohnlichen Diﬀerentialgleichungen ϑ+ +

1 P r f ϑ+ = 0 2

(3.189)

¨ 3.7 Uberstr¨ omte K¨ orper + ξA +

1 + Sc f ξA =0 . 2

375 (3.190)

Die Randbedingungen lauten + η + = 0 : ϑ + = ξA =0 + η + → ∞ : ϑ + = ξA =1 .

Einmalige Integration von (3.189) ergibt + Zη „

ϑ+ = ϑ+ (η + = 0) exp

1 − Pr f 2

« dη + .

(3.191)

0

Nun kann man andererseits (3.183) auch schreiben d ln f 1 =− f , dη + 2 woraus

+ Zη „

+

f = f (η = 0) exp

1 − f dη + 2

«

0

folgt. Damit kann man die Exponentialfunktion in (3.191) eliminieren und erh¨ alt » ϑ+ = ϑ+ (η + = 0)

f f (η + = 0)

–P r .

Nach Integration folgt das Temperaturproﬁl unter Beachtung der Randbedingungen ϑ+ (η + = 0) = 0 und ϑ+ (η + → ∞) = 1 zu 1 0∞ η0 ϑ − ϑ0 = (f )P r dη + (f )P r dη + . ϑ∞ − ϑ0 0 0 +

ϑ+ =

(3.192)

Entsprechend ergibt sich das Konzentrationsproﬁl zu 1 0∞ η0 ξA − ξA0 = (f )Sc dη + (f )Sc dη + . ξA∞ − ξA0 0 0 +

+ ξA =

(3.193)

Die u armestromdichte ist ¨ bertragene W¨

+ ∂ϑ ∂ϑ ∂ η+ q˙ = −λ = −λ (ϑ∞ − ϑ0 ) ∂y y=0 ∂η + η+ =0 ∂y mit

∂ η+ w∞ !1/2 = . ∂y νx

Andererseits ist der W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient α deﬁniert durch q˙ = α(ϑ0 − ϑ∞ ) und somit

376

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

1 0∞ αx w∞ x !1/2 + = [f (η = 0)]P r (f )P r dη + λ ν 0 mit f (η + = 0) = 0,332. Daf¨ ur kann man auch schreiben N ux =

αx = Re1/2 x F (P r) . λ

(3.194)

Entsprechend ergibt sich f¨ ur den Stoﬀ¨ ubergang Shx =

βx = Re1/2 x F (Sc) . D

(3.195)

Die Funktionen F (P r) bzw. F (Sc) sind identisch und ergeben sich aus einer numerischen L¨ osung. In guter N¨ aherung gilt f¨ ur alle Prandtl-Zahlen 0 ≤ P r ≤ ∞ die Beziehung 1 N ux = √ Re1/2 ϕ1 (P r) (3.196a) π x mit ϕ1 (P r) =

P r1/2 . (1 + 1,973 P r0,272 + 21,29 P r)1/6

Im Bereich 0,3 ≤ P r ≤ ∞ ist der Fehler in N ux kleiner als 0,15 % und im Bereich 0 ≤ P r < 0,3 kleiner als 1,5 %. Eine ¨ ahnliche Gleichung gilt f¨ ur konstante W¨armestromdichte q˙ = const an der Wand: √ π 1/2 N ux = Rex ϕ2 (P r) (3.196b) 2 mit P r1/2 ϕ2 (P r) = . (1 + 2,55 P r1/4 + 48,66 P r)1/6 Im Bereich 0,2 ≤ P r ≤ ∞ ist der Fehler in N ux kleiner als 0,13 % und im Bereich 0 ≤ P r < 0,2 kleiner als 2,4 %. Entsprechende Gleichungen gelten auch f¨ ur den Stoﬀ¨ ubergang. An die Stelle der Nußelt-Zahl N ux tritt dann die Sherwood-Zahl Shx und an die Stelle der Prandtl-Zahl P r die Schmidt-Zahl Sc. Im Bereich 0,6 < P r < 10 ist die ¨ Ubereinstimmung mit der N¨ aherungsgleichung (3.176) vorz¨ uglich. Beispiel 3.8: Man leite aus den ¨ ortlichen Nußelt-Zahlen (3.196) Gleichungen f¨ ur die mittleren Nußelt-Zahlen N um = αm L/λ ab. Der mittlere W¨ arme¨ ubergangskoefﬁzient ist αm

1 = L

ZL 0

1 α(x) dx = c L

ZL

x−1/2 dx = 2 c L−1/2 = 2 α(x = L) ,

0

weil f¨ ur eine vorgegebene Prandtl-Zahl nach (3.196) α = c x−1/2 ist. Somit gilt auch

¨ 3.7 Uberstr¨ omte K¨ orper

377

αm L = 2 N u(x = L) . λ Damit folgt mit Re = (w∞ L)/ν aus Gl. (3.196a) N um =

2 N um = √ Re1/2 ϕ1 (P r) π f¨ ur konstante Wandtemperatur und aus Gl. (3.196b) N um =

√

πRe1/2 ϕ2 (P r)

f¨ ur den Fall konstanter W¨ armestromdichte q˙ an der Wand.

3.7.1.2 Turbulente Str¨ omung Die Reynoldssche Analogie, wonach W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergangskoeﬃzienten mit dem Reibungsbeiwert verkn¨ upft sind gem¨ aß N ux Shx cf = = Rex Rex 2

f¨ ur

P r = Sc = 1 ,

liefert bereits eine einfache Beziehung f¨ ur den W¨arme- und den Stoﬀ¨ ubergangskoeﬃzienten, da der Reibungsbeiwert aus Messungen bekannt ist [3.9]: cf = 0,0592 Re−1/5 x

f¨ ur

5 · 105 < Re < 107

mit Rex = wm x/ν. Damit wird N ux Shx = = 0,0296 Re−1/5 x Rex Rex

f¨ ur

P r = Sc = 1

in dem genannten Bereich der Reynolds-Zahl. Nach Chilton und Colburn [3.10], [3.11] kann man den Einﬂuss der Prandtl-Zahl auf den W¨ arme¨ ubergang durch den empirischen Ansatz 1/3 N ux = 0,0296 Re4/5 x Pr

(3.197)

beschreiben, g¨ ultig f¨ ur 0,6 < P r < 60 und 5 · 105 < Rex < 107 . Entsprechend gilt f¨ ur den Stoﬀ¨ ubergangskoeﬃzienten 1/3 Shx = 0,0296 Re4/5 , x Sc

(3.198)

g¨ ultig f¨ ur 0,6 < Sc < 3 000 und 5 · 105 < Rex < 107 . Statt der Nußelt-Zahl hatte Colburn in (3.197) die Stanton-Zahl St =

N ux cf = 0,0296 Re−1/5 P r−2/3 = P r−2/3 x Rex P r 2

eingef¨ uhrt, vgl. Abschnitt 1.1.4.

(3.199)

378

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

Eine analytisch besser begr¨ undete und in einem gr¨oßeren Bereich der Prandtl- bzw. Schmidt-Zahl g¨ ultige Gleichung erh¨alt man, wenn man eine turbulente Schichtenstr¨ omung voraussetzt, also eine station¨are turbulente Str¨omung annimmt mit verschwindendem Druckgradient und einem Geschwindigkeits-, Temperatur- und Konzentrationsproﬁl, das nur von der wandnormalen Koordinate y abh¨ angt. Dann ist, wie aus (3.134) bis (3.139) folgt, ∗ ∂ (jAy )tot ∂ (τxy )tot ∂ (q˙y )tot = = =0 . ∂y ∂y ∂y

Die Gesamtwerte von Schubspannung, W¨ arme- und Diﬀusionsstromdichte sind unabh¨ angig von der wandnormalen Koordinate und somit gleich den Werten an der Wand. In der laminaren Unterschicht ist τxy = ν

∂ wx = τ0 ∂y

q˙y = −cp a

,

und ∗ jAy = −D

∂ϑ = q˙0 ∂y

∂ ξA ∗ = jA0 . ∂y

Daraus folgt τ0 1 ∂ wx = − Pr q˙0 cp ∂ϑ und nach Integration von der Wand bis zum Rand (Index r) der laminaren Unterschicht, Abb. 3.21

Abb. 3.21: Zum Zweischichtenmodell der Prandtl-Analogie

q˙0 P r wr . τ0 cp

(3.200)

∗ jA0 Sc wr . τ0

(3.201)

ϑr − ϑ0 = − Entsprechend gilt ξr − ξ0 = −

Wir nehmen nun an, die vollturbulente Kernstr¨omung schließe sich gem¨aß Abb. 3.21 direkt an die laminare Unterschicht an, und es gelten die BoussinesqAns¨ atze (3.141), (3.143) und (3.145), wonach

¨ 3.7 Uberstr¨ omte K¨ orper

379

∂w ¯x , ∂y ∂ ϑ¯ = −cp (a + at ) und ∂y ∂ ξ¯A = − (D + Dt ) ∂y

(τxy )tot = (ν + εt ) (q˙y )tot ∗ (jAy )tot

ist. In der turbulenten Kernstr¨ omung ist ν εt , a at und D Dt . Es ist daher (τxy )tot τ0 1 ∂w ¯x = = P rt ¯ (q˙y )tot q˙0 cp ∂ϑ mit der turbulenten Prandtl-Zahl“ P rt = εt /at . Die Integration vom Rand ” r der laminaren Unterschicht bis in die turbulente Kernstr¨omung (Index ∞) ergibt unter der Annahme einer konstanten turbulenten Prandtl-Zahl P rt q˙0 ϑ¯∞ − ϑr = − P rt (w ¯∞ − wr ) . τ0 cp

(3.202)

Entsprechend gilt ∗

j ξ¯A∞ − ξAr = − A0 Sct (w ¯∞ − wr ) . τ0

(3.203)

Durch Addition von (3.200) mit (3.202) erh¨ alt man mit der Annahme P rt = 1: q˙0 ϑ¯∞ − ϑ0 = − [w ¯∞ + (P r − 1)wr ] . τ0 cp Hieraus ergibt sich wegen q˙0 = α(ϑ0 − ϑ∞ ) f¨ ur den W¨arme¨ ubergangskoefﬁzienten α die Beziehung α=

τ0 cp 1 . w ¯∞ 1 + (P r − 1)wr /w ¯∞

2 Daf¨ ur kann man mit dem Widerstandsbeiwert cf = τ0 /(w ¯∞ /2) auch schreiben α cf 1 = Stx = . (3.204) cp w ¯∞ 2 1 + (P r − 1)wr /w ¯∞

Der Ausdruck α/(cp w ¯∞ ) ist gleich der Stanton-Zahl, denn es ist St =

N ux αx/λ α = w . ¯∞ νcp = cp w Rex P r ¯∞ ν λ

In (3.204) kann man noch das Geschwindigkeitsverh¨altnis wr /w ¯∞ eliminieren, denn in der laminaren Unterschicht gilt

380

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

τ0 =

η δr , wr

wenn δr ihre Dicke ist. Wie in 3.6.1 dargelegt, erstreckt sich diese bis zur Stelle y + = wτ δr /ν ≈ 5. Wegen wτ = τ0 / ist daher τ0 / δr ≈5 . ν Eliminiert man damit δr aus der vorigen Gleichung, so erh¨alt man unter Beachtung von η = ν τ0 w2 = x . 25 Daraus folgt τ0 wr2 2 = c = f 2 /2 2 25 w ¯∞ w ¯∞ oder wr =5 w ¯∞

"

cf . 2

Die Beziehung (3.204) geht damit u ¨ber in St =

cf 1 . 2 1 + (P r − 1)5 cf /2

(3.205)

Eine entsprechende Rechnung f¨ ur den Stoﬀaustausch f¨ uhrt unter der Annahme einer turbulenten Schmidt-Zahl“ Sct = εt /Dt = 1 auf den analogen ” Ausdruck cf 1 StSt = (3.206) 2 1 + (Sc − 1)5 cf /2 mit der Stanton-Zahl StSt f¨ ur den Stoﬀaustausch StSt = Shx /RexSc. Die Gln. (3.205) und (3.206) f¨ ur den ¨ ortlichen W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergangskoeﬃzienten stellen die Prandtl-Analogie dar. Im Grenzfall P r = Sc = 1 gehen sie in die Reynolds-Analogie (3.130) u ¨ ber. F¨ ur praktische Rechnungen interessiert vor allem die mittlere StantonZahl. Man erh¨ alt sie nach Einsetzen des Reibungsbeiwertes cf (Rex ) durch ¨ Integration von (3.205) bzw. (3.206). Die Ubereinstimmung mit Messwerten ist dann immer noch unbefriedigend, weil die der Prandtl-Analogie zugrunde liegende Unterteilung der Grenzschicht in eine laminare Unterschicht und eine daran angrenzende voll turbulente Schicht zu grob und auch die Festlegung der Dicke der laminaren Unterschicht durch y + = 5 nur eine N¨aherung ist. Die Prandtl-Analogie war jedoch Grundlage f¨ ur die Aufstellung von empirischen Gleichungen, die Messwerte genauer wiedergeben. Als Beispiel hierf¨ ur sei die aus einer Beziehung von Petukhov und Popov [3.12] hergeleitete Gleichung von Gnielinski [3.13] f¨ ur die mittlere Nußelt-Zahl mitgeteilt

¨ 3.7 Uberstr¨ omte K¨ orper

N um =

0,037 Re0,8 P r 1 + 2, 443 Re−0,1 (P r2/3 − 1)

381

(3.207)

mit N um = αm L/λ, Re = w ¯∞ L/ν. Sie gilt f¨ ur 5 · 105 < Re < 107 und 0,6 < P r < 2 000. Die Stoﬀwerte sind bei der Temperatur ϑm = (ϑe + ϑa )/2, dem arithmetischen Mittel zwischen Ein- und Austrittstemperatur, zu berechnen. ¨ Im Ubergangsbereich zwischen laminarer und turbulenter Str¨omung erh¨alt ¨ ¨ man gute Ubereinstimmung durch eine quadratische Uberlagerung ' N um = N u2m, lam + N u2m, turb , (3.208) worin N um, lam die mittlere Nußelt-Zahl der laminaren Str¨omung N um, lam = 2N ux mit N ux nach (3.196) und N um, turb die der turbulenten Str¨omung nach (3.207) ist. In (3.208) wird bei kleinen Reynolds-Zahlen der turbulente und bei großen Reynolds-Zahlen der laminare Anteil klein. Sie kann daher im gesamten Bereich der Reynolds-Zahlen 10 < Re < 107 verwendet werden. Eine entsprechende Beziehung gilt auch f¨ ur den Stoﬀ¨ ubergang im gleichen Bereich der Reynolds-Zahlen und f¨ ur 0,7 < Sc < 70 000. Man hat dazu nur die Nußelt- durch die Sherwood-Zahl und die Prandtl- durch die Schmidt-Zahl zu ersetzen. Beispiel 3.9: Man leite aus den Gleichungen (3.176) f¨ ur 0,6 < P r < 10 und (3.197) f¨ ur den o arme¨ ubergangskoeﬃzienten eine Beziehung f¨ ur den ¨rtlichen W¨ mittleren W¨ arme¨ ubergangskoefﬁzienten der ebenen l¨ angsangestr¨ omten Platte ab; man beachte dabei, dass die Grenzschicht zun¨ achst laminar und ab einer kritischen Reynolds-Zahl (Rex )cr = 5 · 105 turbulent wird. Es ist 2x 3 Z cr ZL 1 4 αm = αlam dx + αturb dx5 . L x=0

x=xcr

Mit (3.176) und (3.197) wird 2 “ w ”1/2 Zxcr dx “ w ”4/5 λ 4 ∞ ∞ αm = 0,332 + 0,0296 L ν ν x1/2 x=0

ZL x=xcr

3 dx 5 P r 1/3 x1/5

h “ ” “ “ ” ”i αm L = 0,664 Rex 1/2 + 0,037 Re4/5 − Rex 4/5 P r1/3 . λ cr cr Daraus folgt mit (Rex )cr = 5 · 105 N um =

N um = (0,037 Re4/5 − 871) P r1/3 , g¨ ultig f¨ ur Re = w0 L/ν ≥ 5 · 105 .

382

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

3.7.2 Der quer angestr¨ omte Zylinder Die Grenzschicht eines quer angestr¨ omten Zylinders hat am vorderen Staupunkt, x = 0 in Abb. 3.22, bereits eine endliche Dicke, w¨ahrend sie an der l¨ angsangestr¨ omten ebenen Platte mit der Dicke null beginnt. Am vorderen Staupunkt wird die kinetische Energie bei adiabater Str¨omung des Fluids vollst¨ andig in Enthalpie umgesetzt. Es ist h + w2 /2 = h0 . Ein Fluidelement besitzt im Staupunkt eine h¨ ohere Enthalpie als vor Erreichen des Staupunkts. Betrachtet man die Str¨ omung als reversibel, so f¨ uhrt dies wegen h = h(s, p) mit s = const zu einem Druckanstieg am Staupunkt. Auf einer Stromlinie nahe der K¨ orperoberﬂ¨ ache wird das Fluidelement wieder beschleunigt und bewegt sich daher in ein Gebiet abnehmenden Drucks. Hinter der dicksten Stelle des K¨ orpers wird das Fluidelement anschließend verz¨ogert, und der Druck steigt wieder an. Die wirkliche Str¨ omung ist nicht reversibel, sondern es wird infolge der Reibung in der Grenzschicht kinetische Energie dissipiert und in innere Energie umgewandelt. Die w¨ ahrend der Beschleunigungsphase gewonnene kinetische Energie ist daher geringer als in einer reversiblen Str¨omung. Das Fluidelement hat infolgedessen bereits seine gesamte kinetische Energie in Enthalpie umgesetzt, wenn es sich noch im Bereich des Druckanstiegs beﬁndet. Unter dem Einﬂuss des Druckanstiegs beginnt es weiter stromab in Gegenrichtung zu str¨ omen. Es entsteht ein R¨ uckstr¨ omgebiet, durch welches die Außenstr¨omung von der Oberﬂ¨ ache abgedr¨ angt wird. Hinter dem Abl¨osepunkt ist der Druck praktisch konstant. Dort herrscht keine geordnete Str¨omung mehr. W¨armeund Stoﬀ¨ ubergang kommen in diesem als Totwasser bezeichneten Gebiet praktisch zum Erliegen. In Grenzschichten mit Druckanstieg in Str¨omungsrichtung kann somit die Str¨ omung abl¨ osen. Man erkennt dies auch aus der Impulsgleichung (3.109), die an der Wand wegen wx = wy = 0 in die sogenannte Wandbindungsgleichung

2 ∂ wx dp η = (3.209) 2 ∂y dx y=0 u um¨ bergeht. Danach bestimmt der Druckabfall der Außenstr¨omung die Kr¨ mung des Geschwindigkeitsproﬁls an der Wand. F¨ ur konstanten Druck in der

Abb. 3.22: Str¨ omungsgrenzschicht um einen zylindrischen K¨ orper. S Staupunkt, A Abl¨ osepunkt der Grenzschicht

¨ 3.7 Uberstr¨ omte K¨ orper

Abb. 3.23: Str¨ omung um einen quer angestr¨ omten Kreiszylinder bei verschiedenen Reynolds-Zahlen

383

¨ Abb. 3.24: Ortliche W¨ arme¨ ubergangskoefﬁzienten um einen quer angestr¨ omten Kreiszylinder, nach Giedt [3.14]

Außenstr¨ omung ist die Kr¨ ummung null, das Geschwindigkeitsproﬁl in Wandn¨ ahe kann in guter N¨ aherung durch eine Gerade ersetzt werden. In einem Gebiet mit Druckanstieg ist dp/dx > 0 und η(∂ 2 wx /∂y 2 )y=0 > 0. Dem entspricht ein Geschwindigkeitsproﬁl, wie es rechts in Abb. 3.22 gezeichnet ist. Nach der Bernoulli-Gleichung wδ

dwδ dp =− dx dx

ist hier die Außenstr¨ omung verz¨ ogert. Eine Grenzschichtabl¨osung ist daher nur bei verz¨ ogerter Außenstr¨ omung m¨ oglich. In einer turbulenten Str¨ omung wird der wandnahen Schicht durch den Impulsaustausch zwischen Schichten verschiedener Geschwindigkeit st¨andig Impuls zugef¨ uhrt. Die kinetische Energie der wandnahen Fluidelemente nimmt nicht so rasch ab wie bei laminarer Str¨ omung. Turbulente Grenzschichten l¨ osen daher sp¨ ater ab als laminare. Der W¨arme- und Stoﬀaustausch in Wandn¨ ahe wird nicht nur durch die Turbulenz gef¨ordert, es wird auch eine gr¨ oßere Fl¨ ache ohne Abl¨ osung u omt. Gleichzeitig wird der Druckwider¨ berstr¨ stand geringer, wenn die Str¨ omung l¨ anger anliegt. Das Str¨ omungsbild um einen quer angestr¨omten Zylinder h¨angt stark von der Reynolds-Zahl ab, wie es Abb. 3.23 f¨ ur den Kreiszylinder zeigt. Bei kleinen Reynolds-Zahlen Re = w∞ d/ν < 5, Abb. 3.23a, umschließt die Str¨omung den Zylinder; zwischen 5 bis 15 ≤ Re ≤ 40, Abb. 3.23b, reißt sie bereits ab, und es

384

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

bilden sich stehende Abl¨ osewirbel. Bei h¨ oheren Reynolds-Zahlen 40 ≤ Re ≤ 150, Abb. 3.23c, werden die Wirbel periodisch mitgerissen und bilden eine Wirbelstraße, in der die Str¨ omung noch laminar ist. Sie geht bei ReynoldsZahlen 150 ≤ Re ≤ 300 in Turbulenz u ¨ ber und wird im Bereich 300 < Re < 3 · 105 , Abb. 3.23d, voll turbulent. Oberhalb von Re = 3 · 105 ist auch die Grenzschicht stromabw¨ arts um den Zylinder turbulent. Die Nachlaufstr¨omung konzentriert sich auf einen schmalen Bereich und ist voll turbulent, Abb. 3.23e, und enth¨ alt keine gr¨ oßeren Wirbel. Erst oberhalb Re ≈ 3,5 · 106 bildet sich wieder eine schmale voll turbulente Wirbelstraße, Abb. 3.23 f. Die Str¨ omung beeinﬂusst den W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang in verwickelter Weise, wie man aus Abb. 3.24 erkennt, in der o¨rtliche Nußelt-Zahlen u ¨ ber den vom vorderen Staupunkt an gez¨ ahlten Umfangswinkel aufgetragen sind. Die Nußelt-Zahl nimmt vom Staupunkt an in dem Maß ab, wie sich die Grenzschicht entwickelt. Sie erreicht ein Minimum bei einem Umfangswinkel von rund 80◦ . Dort beginnt sich die Str¨ omung abzul¨osen, und der W¨arme¨ ubergang nimmt dann wieder l¨ angs des Umfangs zu, weil das Fluid durch die Abl¨ osewirbel durchmischt wird. Bei großen Reynolds-Zahlen u ¨ ber 105 treten sogar zwei Minima der lokalen Nußelt-Zahl auf. Ihr starker Anstieg zwischen 80◦ und 100◦ Umfangswinkel kommt durch den Umschlag der anf¨anglich laminaren in eine turbulente Grenzschicht zustande. Diese w¨achst stromabw¨arts an, so dass der W¨ arme¨ ubergang gehemmt wird, bis etwa ab einem Umfangswinkel von 140◦ der W¨ arme¨ ubergang infolge der besseren Durchmischung des Fluids im Nachlauf wieder zunimmt. In der Praxis interessiert vor allem der mittlere W¨arme¨ ubergangskoefﬁzient. Er l¨ asst sich durch empirische Ans¨ atze der Form

p Pr m n N um = c Re P r (3.210) P r0 beschreiben, in dem die mittlere Nußelt- und die Reynolds-Zahl mit dem Rohrdurchmesser gebildet sind. Alle Stoﬀwerte sollen bei der mittleren Fluidtemperatur ϑ = (ϑ0 + ϑ∞ )/2 gebildet werden außer der Prandtl-Zahl P r0 , die bei Wandtemperatur ϑ0 einzusetzen ist. Die Koeﬃzienten c, m, n, und p sind ˇ einer Arbeit von Zukauskas [3.15] entnommen und in Tabelle 3.1 aufgef¨ uhrt. Eine einheitliche empirische Gleichung f¨ ur alle Reynolds-Zahlen 1 ≤ Re ≤ 106 und f¨ ur Prandtl-Zahlen 0,7 < P r < 600 hat Gnielinski [3.13] mitgeteilt. Sie lautet ' N um = 0,3 + N u2m, lam + N u2m, turb (3.211) mit N um, lam = 2 N ux (x = L) nach (3.196a) und N um, turb nach (3.207). Als L¨ ange L ist in diese Gleichungen der u ¨ berstr¨omte Umfang L = dπ/2 einzusetzen. Im Fall des Stoﬀaustausches hat man die Nußelt- durch die SherwoodZahl und die Prandtl- durch die Schmidt-Zahl zu ersetzen. Die Gleichung gilt dann f¨ ur 1 ≤ Re ≤ 106 und f¨ ur 0,7 < Sc < 7 · 104 . Eine vor allem f¨ ur Gase mit Prandtl-Zahlen von der Gr¨oßenordnung 1 und f¨ ur Reynolds-Zahlen 1 ≤ Re ≤ 105 g¨ ultige empirische Gleichung haben

¨ 3.7 Uberstr¨ omte K¨ orper

385

Tabelle 3.1: Konstante und Exponenten der Gl. (3.210)

Re

c

m

n

0,76

0,4

0,37

0,52

0,5

0,37

10 bis 2 · 10 0,26

0,6

0,37

0,8

0,4

1 bis 40 3

40 bis 10 3

5

2 · 10 bis 10 5

7

0,023

Heizung des Fluids: K¨ uhlung des Fluids:

p=0,25 p=0,20

Sparrow et al. [3.16] mitgeteilt. Sie lautet ! 1/4 N um = 0,25 + 0, 4 Re1/2 + 0, 06 Re2/3 P r0,37 (η/ηw )

(3.211a)

Darin sind die mittlere Nußelt-Zahl und die Reynolds-Zahl mit dem Rohrdurchmesser gebildet. Alle Stoﬀeigenschaften ausgenommen ηw sind mit der Freistromtemperatur ϑ∞ gebildet; ηw ist bei Wandtemperatur einzusetzen. In der Arbeit von Sparrow et al. [3.16] ﬁndet man auch Korrelationen f¨ ur die W¨ arme¨ ubertragung von Luft an quer angestr¨ omte nicht-kreisf¨ormige Zylinder und Kugeln. Beispiel 3.10: Ein Kupferzylinder von 10 mm Durchmesser und 1 m L¨ ange hat anf¨ anglich eine Temperatur von ϑα = 423,15 K = 150 . Der Zylinder wird dann von Luft von ϑL = 298,15 K = 25 mit w∞ = 10 m/s quer angestr¨ omt. Nach welcher Zeit ist der Zylinder auf ϑω = 308,15 K = 35 abgek¨ uhlt? Gegebene Stoﬀwerte: W¨ armeleitf¨ ahigkeit des Zylinders λz = 399 W/Km, Dichte = 8933 kg/m3 , spez. W¨ armekapazit¨ at cL = 0,387 kJ/kgK, W¨ armeleitf¨ ahigkeit der Luft λL = 26,02 · 10−3 W/Km, Prandtl-Zahl P rL (25 ) = 0,714, P rL (35 ) = 0,713, P rL (92,5 ) = 0,707, kinematische Viskosit¨ at νL (25 ) = 158,2 · 10−7 m2 /s, νL (35 ) = 167,8 · 10−7 m2 /s. Zur L¨ osung der Aufgabe zeige man zun¨ achst, dass der W¨ armewiderstand des Zylinders gegen¨ uber dem der Luft vernachl¨ assigbar und daher die Temperatur des Zylinders nur eine Funktion der Zeit ist. Der W¨ armewiderstand der Luft ergibt sich aus dem W¨ arme¨ ubergangskoefﬁzienten. Wir berechnen diesen aus (3.210). Die Reynolds-Zahl der anstr¨ omenden Luft ist w∞ d 10 m/s · 10 · 10−3 m Re = = = 6321 . ν 158,2 · 10−7 m2 /s Damit wird mit den Werten von Tabelle 3.1 „ «0,25 Pr N um = 0,26 Re0,6 P r0,37 P r0

386

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen „

mit P r0 = P r

150 + 35 2

« = P r(92,5

Es wird

„ N um = 0,26 · 63210,6 · 0,7410,37

0,741 0,707

) = 0,707 . «0,25 = 44,91

λ 26,02 · 10−3 W/Km = 44,91 = 116,9 W/m2 K d 10 · 10−3 m F¨ ur das Verh¨ altnis der W¨ armewiderst¨ ande von Zylinder und Luft ist die BiotZahl maßgebend: αm = N um

Bi =

αm d 116,9 W/m2 K · 10 · 10−3 m = = 2,92 · 10−3 . λz 399 W/Km

Sie liegt weit unter der in Abschnitt 2.3.5.2 angegebenen Grenze Bi = 0,1. Der W¨ armewiderstand des Zylinders ist somit vernachl¨ assigbar gegen¨ uber dem der Luft, so dass man dem Zylinder eine einheitliche, nur mit der Zeit ver¨ anderliche Temperatur zuordnen kann. Die Zeit zur Abk¨ uhlung des Zylinders ergibt sich aus (2.199) zu t= t=

cV ϑα − ϑL ln αm A ϑω − ϑL

mit

V d2 π 1 d = L = A 4 dπ L 4

8933 kg/m3 · 387 J/kgK · 10 · 10−3 m 150 − 25 ln = 186,7 s = 3,1 min . 116,9 W/m2 K · 4 35 − 25

Mit (3.211) ﬁndet man αm = 128 W/m2 K und t = 2,84 min; (3.211a) ergibt αm = 126,5 W/m2 K und t = 2,87 min..

3.7.3 Quer angestr¨ omte Rohrbu ¨ndel Im Folgenden sollen der W¨ arme¨ ubergang und der Druckabfall in einem quer angestr¨ omten Rohrb¨ undel untersucht werden, dessen Einzelrohre nach Abb. 3.25 ﬂuchtend oder versetzt zueinander angeordnet sind.

Abb. 3.25: Quer angestr¨ omte Rohrb¨ undel. a ﬂuchtende Rohranordnung; b versetzte Rohranordnung mit engstem Querschnitt quer zur Anstr¨ omrichtung; c versetzte Rohranordnung mit engstem Querschnitt in den Diagonalen

¨ 3.7 Uberstr¨ omte K¨ orper

387

Bei versetzter Anordnung ist der W¨ arme¨ ubergang bei gleicher ReynoldsZahl gr¨ oßer. Dies wird jedoch durch einen h¨ oheren Druckabfall erkauft. Entsprechend Abb. 3.25a bis c bezeichnet man den senkrecht zur Str¨omungsrichtung gemessenen Rohrabstand als Querteilung sq , den Rohrabstand in Str¨ omungsrichtung als L¨angsteilung sl und den Rohrabstand in Richtung der Diagonalen als Versetzung sv . Den Quotienten sq /d nennt man Querteilungsverh¨ altnis, sl /d L¨angsteilungsverh¨ altnis und sv /d Versetzungsverh¨altnis. Die Umstr¨ omung und damit auch der W¨ arme¨ ubergang am Einzelrohr innerhalb des B¨ undels wird durch die Grenzschichtabl¨osung und die Verwirbelungen beeinﬂusst, wie sie sich bereits an den vorangehenden Rohren entwickelt hat. Der W¨ arme¨ ubergang an einem Rohr der ersten Reihe ist etwa gleich dem des einzelnen quer angestr¨ omten Zylinders, wenn man keine allzu enge Querteilung voraussetzt. Weiter stromab nimmt der W¨arme¨ ubergangskoeﬃzient jedoch zu, weil die vorangehenden Rohrreihen als Turbulenzerzeuger f¨ ur die folgenden wirken. Von der vierten bis f¨ unften Rohrreihe an ¨andert sich der Str¨ omungsverlauf praktisch nicht mehr, und der mittlere W¨arme¨ ubergangskoeﬃzient der Rohre erreicht einen konstanten Endwert. Als Folge davon strebt auch der mittlere W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient u ¨ ber alle Rohre einem von der Reihenzahl unabh¨ angigen Endwert zu. Er ist etwa von der zehnten Reihe an konstant, wie dies Abb. 3.26 zeigt, in welcher das Verh¨altnis F von mittlerem W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten αm (zR ) bis zur Reihe zR mit dem Endwert αm (zR → ∞) = αm∞ u ¨ ber der Reihenzahl zR aufgetragen ist.

Abb. 3.26: Einﬂuss der Rohrreihenzahl zR auf den W¨ arme¨ ubergang in Glattrohrb¨ undeln nach [3.16]. a) ﬂuchtende, b) versetzte Rohranordnung. Gestrichelte Kurven f¨ ur Re > 103 , voll ausgezogene f¨ ur 102 < Re < 103

Bisher ver¨ oﬀentlichte Messergebnisse des mittleren W¨arme¨ ubergangskoefﬁzienten sind von verschiedenen Autoren [3.17] bis [3.21] durch Korrelationen beschrieben worden. Eine Gleichung, die bisherige Messungen f¨ ur eine einzelne Rohrreihe und f¨ ur B¨ undel mit mehreren Rohrebenen gut wiedergibt, stammt von Gnielinski [3.18]. Hiernach berechnet man zur Ermittlung des W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten eines Rohrb¨ undels zun¨achst den W¨arme¨ ubergangskoeﬃzienten am quer angestr¨ omten Einzelrohr nach (3.211) und den zugeh¨ origen Gln. (3.196a) und (3.207). In diesen ist die Reynolds-Zahl mit der mittleren Geschwindigkeit wm = w/ε, Re = wm l/ν, l = dπ/2 zu bilden ist. w ist die auf den ganzen Querschnitt bezogene Anstr¨omgeschwindigkeit. Die Gr¨ oße ε ist der Hohlraumanteil. Er h¨ angt vom Querteilungsverh¨altnis a = sq /d und vom L¨ angsteilungsverh¨ altnis b = sl /d ab gem¨aß

388

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

ε = 1 − π/(4a) f¨ ur b ≥ 1 und ε = 1 − π/(4ab) f¨ ur b < 1 . Die so nach (3.211) berechnete Nußelt-Zahl N um hat man noch mit einem Anordnungsfaktor fA zu multiplizieren. Man erh¨alt dann die Nußelt-Zahl N uB = αB l/λ = fA N um

mit l = dπ/2

(3.212)

Die Gleichung gilt im Bereich 10 < Re < 106 und 0,6 < P r < 103 . Bei ﬂuchtender Anordnung ist ! fA = 1 + 0,7(b/a − 0,3)/ ε3/2 (b/a + 0,7)2 (3.212a) und bei versetzter Anordnung fA = 1 + 2/3 b

(3.212b)

Der Gleichung (3.212a) lagen Experimente mit b ≥ 1,2 zugrunde; f¨ ur b < 1,2 war in den Experimenten b/a ≥ 1. Enth¨ alt das B¨ undel weniger als zehn Rohrreihen, so ist die mittlere NußeltZahl N uB noch mit einem Faktor 1 + (zR − 1)fA zR zu multiplizieren, durch den in etwa der Anstieg der W¨arme¨ ubergangskoeﬃzienten mit der Reihenzahl zR der Rohre nach Abbildung 3.26 ber¨ ucksichtigt wird. Der W¨ arme¨ ubergang am Rippenrohrb¨ undel wird durch ¨ahnliche Gleichungen berechnet. Es sei hierzu auf die Literatur verwiesen [3.22]. Zur Berechnung des in einem Rohrb¨ undel u ¨ bertragenen W¨armestromes hat man zu beachten, dass sich die Fluidtemperatur zwischen Ein- und Austrittsquerschnitt erheblich ¨ andern kann. Der von einer Rohroberﬂ¨ache dA an das Fluid u armestrom betr¨ agt ¨bertragene W¨ dQ˙ = α dA(ϑ0 − ϑF ) = M˙ cp dϑF , wenn ϑF die mittlere Fluidtemperatur in einem Kanalquerschnitt ist. Es ist daher α dϑF dA = . ˙ ϑ M cp 0 − ϑF Durch Integration zwischen Eintrittsquerschnitt e, in dem die mittlere Fluidtemperatur ϑe herrscht, und Austrittsquerschnitt a mit der mittleren Fluidtemperatur ϑa erh¨ alt man 1 ˙ M cp

a α dA = e

αB A0 ϑ0 − ϑe = ln . c˙p ϑ0 − ϑa

¨ 3.7 Uberstr¨ omte K¨ orper

389

Hierin sind αB der mittlere W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient des Rohrb¨ undels und A0 die gesamte Rohroberﬂ¨ ache. Damit betr¨ agt der u ¨ bertragene W¨armestrom ϑ0 − ϑe Q˙ = M˙ cp (ϑa − ϑe ) = αB A0 (ϑa − ϑe )/ ln ϑ0 − ϑa oder Q˙ = αB A0 Δϑlog

(3.213)

mit der mittleren logarithmischen Temperaturdiﬀerenz Δϑlog = (ϑa − ϑe )/ ln

ϑ0 − ϑe . ϑ0 − ϑa

(3.214)

Beispiel 3.11: Atmosph¨ arische Luft (p = 0,1 MPa) soll in einen Rohrb¨ undelW¨ arme¨ ubertrager von 10 auf 30 erw¨ armt werden. Der Apparat besteht aus 4 nebeneinander und zR in Str¨ omungsrichtung hintereinander liegenden ﬂuchtenden Rohrreihen. Der Außendurchmesser der Rohre betr¨ agt 25 mm, ihre L¨ ange 1,5 m, das L¨ angsteilungsverh¨ altnis sei gleich dem Querteilungsverh¨ altnis: sl /d = sq /d = 2. Die Wandtemperatur der Rohre betrage 80 die Anstr¨ omgeschwindigkeit der Luft 4 m/s. Man berechne die erforderliche Zahl zR der Rohrreihen. Gegeben seien folgende Stoﬀwerte f¨ ur Luft bei ϑm = 20 : Viskosit¨ at ν = 15,11 · 10−6 m2 /s, W¨ armeleitf¨ ahigkeit λ = 0,0257 W/Km, Dichte = 1,293 kg/m3 , spez. W¨ armekapazit¨ at cp = 1,007 kJ/kgK, Prandtl-Zahl P r = 0,715. Den Hohlraumanteil ε berechnet man wegen a = b = 2 zu ε = 1−π/(4·2) = 0,607 und die mittlere Geschwindigkeit zu wm = w/ε = 4(m/s)/0,607 = 6,587m/s . Damit erh¨ alt man die Reynolds/Zahl zu Re = wm (dπ/2)/ν = 6,587(m/s)·(25·10−3 m·π/2)/15,11·10−6 m2 /s = 1,71·104 . Die mittlere Nußelt-Zahl N um,lam folgt aus (3.196a) zu N um,lam = 77,18 , die der turbulenten Str¨ omung aus (3.207) zu N um,turb = 80,42 . Nach (3.211) ist daher die mittlere Nußelt-Zahl N u = 111,76. Den Anordnungsfaktor ermittelt man nach (3.212a) zu fA = 1 +

0, 7 · (1 − 0, 3) = 1, 359 . 0, 6073/2 (1 + 0, 7)2

Die Nußelt-Zahl des Rohrb¨ undels folgt damit aus (3.212) zu N uB = 1,359 · 111, 76 = 151, 8 , und der mittlere W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient des Rohrb¨ undels ist

390

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

αB = N uB λ/(dπ/2) = 151,8 · 0,0257 W/Km/(25 · 10−3 m · π/2) = 99,4 W/(m2 K) Der zu u armestrom ist ¨ bertragende W¨ Q˙ = M˙ cp (ϑe − ϑa ) = w∞ 4 sq d L cp (ϑe − ϑa ) = 1,293 kg/m3 · 4 m/s · 4 · 2 · 25 · 10−3 m · 1,5 m · 1,007 kJ/kg · 20 K = 31,25 kW . Andererseits ist nach (3.213) Q˙ = αB 4 zR d π L Δϑm . Mit Δϑm nach (3.214), also Δϑm = (ϑa − ϑe )/ ln

ϑ0 − ϑe 80 − 10 = (30 K − 10 K)/ ln = 59,44 K ϑ0 − ϑa 80 − 30

wird Q˙ = 31,25 · 103 W = 99,4 W/(m2 K) · 4 · zR · 25 · 10−3 m · π · 1,5 m · 59,44 K . Daraus ergibt sich zR = 11,2. Die gew¨ ahlte Zahl der Rohrreihen ist zR = 12.

3.7.4 Einige empirische Gleichungen fu arme¨r den W¨ und Stoﬀu omten K¨ orpern ¨bergang an u ¨ berstr¨ Wie die bisherige Darstellung zeigte, lassen sich W¨arme- und Stoﬀ¨ ubergangskoeﬃzienten u omter K¨ orper f¨ ur einfache Str¨omungen, wie sie beispiels¨ berstr¨ weise an der ebenen oder leicht gew¨ olbten Platte auftreten, mit Hilfe der Grenzschichtgleichungen exakt berechnen. Die Str¨omung mit Abl¨osung wie sie sich bei umstr¨ omten Zylindern, Kugeln und anderen K¨orpern einstellt, ist jedoch nur schwer oder gar nicht berechenbar, so dass man W¨arme- und Stoﬀ¨ ubergangskoeﬃzienten durch Versuche bestimmen muss. F¨ ur die praktische Anwendung hat man die Rechen- oder Versuchsergebnisse in empirischen Korrelationen der Form N u = f (Re, P r) zusammengefasst, von denen einige schon er¨ ortert wurden. Sie sind im Folgenden zusammenfassend mit einigen weiteren h¨ auﬁger ben¨ otigten Korrelationen dargestellt. Alle Korrelationen gelten in gleicher Weise auch f¨ ur den Stoﬀaustausch. Man hat dazu lediglich die Nußelt- durch die Sherwood- und die Prandtl- durch die Schmidt-Zahl zu ersetzen. 1. L¨ angsangestr¨ omte ebene Platte, von der Vorderkante an beheizt oder gek¨ uhlt Korrelation G¨ ultigkeitsbereich N ux = √1 (Rex P r)1/2 π 1/2 N ux = 0,332 Rex P r1/3 1/2 N ux = 0,339 Rex P r1/3

Pr → ∞

lam. Str¨omung

0,5 ≤ P r ≤ 1000 Rex ≤ 5 · 105 Pr → ∞

N um = 0,664 Re1/2P r1/3 0,5 ≤ P r ≤ 1000 0,037 Re0,8 P r N um = 0,6 ≤ P r ≤ 2000 turb. Str¨omung: 1+2,443 Re−0,1 (P r2/3 −1) 5 · 105 < Re < 107

¨ 3.7 Uberstr¨ omte K¨ orper

391

Abb. 3.27: L¨ angsangestr¨ omte ebene Platte, von der Vorderkante an beheizt

2. L¨ angsangestr¨ omte ebene Platte, ab der Stelle x0 beheizt oder gek¨ uhlt 1/2

0,332 Rex P r1/3 N ux = ) *1/3 , 3/4 1 − (x0 /x)

0,5 ≤ P r ≤ 1000 ,

Rex ≤ 5 · 105

Abb. 3.28: L¨ angsangestr¨ omte ebene Platte, ab der Stelle x0 beheizt oder gek¨ uhlt

3. Querangestr¨ omter Zylinder N um = 0,3 + (N um, lam 2 + N um, turb 2 )1/2 mit N um, lam = 0,664 Re1/2P r1/3 und N um, turb =

0,037 Re0,8 P r 1 + 2,443 Re−0,1 (P r2/3 − 1)

10 < Re < 107 ,

0,6 < P r < 1 000 .

Die Nußelt- und die Reynolds-Zahl werden mit der u ¨berstr¨omten L¨ange L = dπ/2 gebildet.

Abb. 3.29: Querangestr¨ omter Zylinder

392

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

4. Beliebige querangestr¨ omte Proﬁlzylinder Gleichung wie f¨ ur querangestr¨ omte Zylinder, die Nußelt- und ReynoldsZahl werden mit der u omten L¨ ange gebildet, im Beispiel der Abb. ¨ berstr¨ 3.30 ist L = a + b.

Abb. 3.30: Querangestr¨ omter Proﬁlzylinder

¨ 5. Uberstr¨ omte Kugel Bezeichnungen wie beim quer angestr¨ omten Zylinder 2 1/2 N um = 2 + N um, lam + N u2m, turb N um, lam = 0,664 Re1/2P r1/3 N um, turb =

0,037Re0,8 P r 1 + 2,443Re−0,1 (P r2/3 − 1)

αm d ; λ 0,7 < P r < 600 N um =

w∞ d ν 1 ≤ Re ≤ 106 Re =

Im Fall des Stoﬀaustausches ist N um durch Shm und P r durch Sc zu ersetzen, g¨ ultig im Bereich 0,7 < Sc < 70000. 6. Frei fallender Fl¨ ussigkeitstropfen x !−0,7 1/2 1/3 N um = 2 + 0,6 Re P r 25 . d Die Nußelt- und die Reynolds-Zahl werden mit dem Tropfendurchmesser d gebildet; x ist die Fallh¨ ohe. Es ist 10 ≤ x/d ≤ 600 und 3 mm ≤ d ≤ 6 mm. 7. Rohrb¨ undel aus Glattrohren Man berechne zun¨ achst aus (3.211) unter Beachtung von (3.196a) f¨ ur N um,lam und (3.207) f¨ ur N um,turb die mittlere Nußelt-Zahl N um des quer angestr¨omten Einzelrohres, in dem man die Reynolds-Zahl Re = wm l/ν, l = dπ/2 mit der mittleren Geschwindigkeit wm = w/ε bildet. Darin sind w die Anfangsgeschwindigkeit und ε der Hohlraumanteil. ε = 1 − π/4 a f¨ ur b ≥ 1 und ε = 1 − π/4 ab f¨ ur b < 1 . Hierin sind a = sq /d das Querteilungsverh¨altnis und b = sl /d das L¨angsteilungsverh¨altnis.

3.8 Durchstr¨ omte Kan¨ ale, Haufwerke, Wirbelschichten

393

Die mittlere Nußelt-Zahl des Rohrb¨ undels ist N uB =

αB l = fA N u m λ

mit dem Anordnungsfaktor bei ﬂuchtender Anordnung fA = 1 + 0,7(b/a − 0,3)/ ε3/2 (b/a + 0,7)2

!

und fA = 1 + 2/3 b bei versetzter Anordnung. Die Gleichung f¨ ur N uB ist g¨ ultig im Bereich 10 < Re < 106 und 0, 6 < P r < 103 . F¨ ur B¨ undel mit weniger als zehn Rohrreihen ist die mittlere Nußelt-Zahl N uB noch mit einem Faktor (1 + (zR − 1)fA )/zR zu multiplizieren. Hierin ist zR die Zahl der hintereinander liegenden Rohrreihen.

3.8 Durchstro ale, Haufwerke, ¨mte Kan¨ Wirbelschichten W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubertragungsapparate bestehen meistens aus durchstr¨omten Kan¨ alen, h¨ auﬁg aus Rohren, in denen ein Fluid erw¨armt, gek¨ uhlt oder in seiner stoﬄichen Zusammensetzung ge¨ andert wird. W¨ahrend sich die Grenzschichten um einen u omten K¨ orper, beispielsweise die an einer l¨angsan¨berstr¨ gestr¨ omten ebenen Platte, unbeeinﬂusst von benachbarten Begrenzungen entwickeln k¨ onnen, sind sie in durchstr¨ omten Kan¨alen vollst¨andig eingeschlossen und k¨ onnen sich daher nicht frei entwickeln. Im Folgenden werden zun¨achst die Str¨ omung, dann der W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang in Rohren behandelt, ehe dann andere durchstr¨ omte Kan¨ ale wie por¨ose K¨orper, Haufwerke und Sch¨ uttungen betrachtet werden.

3.8.1 Die laminare Rohrstro ¨mung Wir betrachten die laminare Str¨ omung eines Fluids, das mit konstanter Geschwindigkeit in ein Kreisrohr eintritt, Abb. 3.31. Infolge Wandreibung wird die wandnahe Fl¨ ussigkeit verz¨ ogert. Es bildet sich eine stromabw¨arts anwachsende Grenzschicht aus. Damit durch jeden Querschnitt der gleiche Mengenstrom ﬂießt, muss die Kernstr¨ omung auf Kosten des Druckabfalls in Str¨ omungsrichtung beschleunigt werden. W¨ ahrend die Grenzschicht asymptotisch bis zur Rohrachse anw¨ achst, n¨ ahert sich das Geschwindigkeitsproﬁl asymptotisch einem parabelf¨ ormigen Endproﬁl, der sogenannten PoiseuilleParabel. Die Abweichung von dieser ist schon nach endlicher Lauﬂ¨ange vernachl¨ assigbar gering. Man bezeichnet eine solche Str¨omung, deren Geschwindigkeitsproﬁl sich nicht mehr ¨ andert, als hydrodynamisch ausgebildet und

394

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

Abb. 3.31: Geschwindigkeitsproﬁle und Grenzschicht der laminaren Rohrstr¨ omung

nennt die vom Eintrittsquerschnitt an gerechnete Strecke, bis sich das Endproﬁl bis auf eine vernachl¨ assigbare Abweichung vom asymptotischen Endwert eingestellt hat, die hydrodynamische Einlaufl¨ange. Sie l¨asst sich f¨ ur die in Abb. 3.31 skizzierte laminare Rohrstr¨ omung exakt berechnen [3.23] und betr¨agt xe ≈ 0,056 Re d ,

(3.215)

wenn sich die Geschwindigkeit in der Rohrachse bis auf eine Abweichung von 1 % dem Wert der Poiseuille-Str¨ omung gen¨ ahert hat. Ob die Str¨ omung laminar oder turbulent ist, h¨angt ebenso wie bei der ebenen Platte von der Reynolds-Zahl ab. Wie bereits dargelegt ist eine Str¨omung unterhalb von Re = wm d/ν = 2300 stets laminar und oberhalb von Re = 4000 turbulent. Eine turbulente Str¨ omung ist schon nach kurzer Strecke hydrodynamisch ausgebildet. Die Einlauﬂ¨ ange liegt im Bereich [3.24] <

10 ∼

xe < ∼ 60 . d

(3.216)

F¨ ur Berechnungen des W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergangs gen¨ ugt es, die turbulente Str¨ omung schon nach einer Einlauﬂ¨ ange von xe /d ≈ 10 als hydrodynamisch ausgebildet anzusehen, da dann noch vorhandene Abweichungen von den Endwerten des Geschwindigkeitsproﬁls den W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergangskoeﬃzienten kaum noch beeinﬂussen. 3.8.1.1 Die hydrodynamisch ausgebildete Laminarstr¨ omung Zur Berechnung des Geschwindigkeitsproﬁls einer hydrodynamisch ausgebildeten Laminarstr¨ omung setzen wir ein inkompressibles Fluid voraus, alle Stoﬀwerte seien konstant. Das Geschwindigkeitsproﬁl einer ausgebildeten Rohrstr¨ omung ist nur vom Radius r abh¨ angig, wx = wx (r) und wy = 0. In der Navier-Stokes-Gl. (3.59) verschwindet daher der Beschleunigungsterm dwj /dt; Massenkr¨ afte sollen nicht vorhanden sein, kj = 0. Es herrscht daher Gleichgewicht zwischen Druck- und Reibungskr¨aften. Das Kr¨aftegleichgewicht an einem ringf¨ ormigen Fluidelement, Abb. 3.32, lautet

3.8 Durchstr¨ omte Kan¨ ale, Haufwerke, Wirbelschichten

395

Abb. 3.32: Zur Kr¨ aftebilanz an einem Ringelement bei hydrodynamisch ausgebildeter Laminarstr¨ omung

dp −τr 2rπ dx + τr+ dr 2(r + dr)π dx + p 2rπ dr − p + 2rπ dr = 0 . dx Sie vereinfacht sich mit τr+dr = τr + ( dτr / dr) dr zu τr + r

dτr dp −r =0 dr dx

oder

1 d dp (rτr ) = . r dr dx Mit dem Newtonschen Ansatz τr = η

dwx dr

erh¨ alt man hieraus unter der Annahme konstanter Viskosit¨at

η d dwx dp r = . r dr dr dx

(3.217)

Der axiale Druckabfall dp/dx ist unabh¨ angig von der radialen Koordinate r; er kann auch keine Funktion der Lauﬂ¨ ange x sein, da die linke Seite von (3.217) nur von der Koordinate r abh¨ angt. Damit beide Seiten u ¨ bereinstimmen, muss jede f¨ ur sich konstant sein. Der Druck kann sich somit nur proportional zur Lauﬂ¨ ange x ¨ andern. Die Integration ergibt unter Beachtung von (dwx /dr)r=0 = 0: dwx 1 dp r2 r = , dr η dx 2 woraus man nach weiterer Integration unter Ber¨ ucksichtigung von wx (r = R) = 0 das Geschwindigkeitsproﬁl erh¨ alt: 1 dp 2 r !2 wx (r) = − R 1− . (3.218) 4η dx R Die mittlere Geschwindigkeit u ¨ber einen Querschnitt ergibt sich hieraus zu

396

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

1 wm = 2 R π

R wx (r)2rπ dr = −

R2 dp . 8η dx

(3.219)

0

Das Geschwindigkeitsproﬁl der ausgebildeten Str¨omung ist daher wx (r) r !2 =2 1− . wm R

(3.220)

Hydrodynamisch ausgebildete Rohrstr¨ omungen sind zuerst von Hagen und Poiseuille erforscht worden. Die Str¨ omung wird daher auch Hagen-PoiseuilleStr¨ omung genannt. Man erkennt aus (3.220), dass die Geschwindigkeit in der Rohrachse gleich der doppelten mittleren Geschwindigkeit ist, wx (r = 0) = 2wm . Aus (3.219) folgt f¨ ur den Druckabfall −

dp 8ηwm = , dx R2

woraus man nach Einf¨ uhren der Reynolds-Zahl Re = wm d/ν und mit −dp/dx = const = Δp/L den Widerstandsbeiwert ζ=

Δp 64 = 2 /2 (L/d)wm Re

(3.221)

erh¨ alt. 3.8.1.2 Die thermisch ausgebildete Laminarstr¨ omung Tritt ein Fluid mit konstanter Temperatur ϑα beispielsweise in ein Kreisrohr ein, dessen Innenwandtemperatur ϑ0 = ϑα ist, so wird das Fluid erw¨armt oder abgek¨ uhlt. Es bildet sich eine Temperaturgrenzschicht, die stromabw¨arts anw¨ achst und h¨ochstens bis zur Rohrachse vordringen kann. Die Dicke der Temperaturgrenzschicht w¨ achst dann auf d/2 an. Der W¨arme¨ ubergangskoeﬃzient erreicht somit seinen kleinsten Wert α ∼ λ/(d/2), oder es wird N u = αd/λ ∼ 2: Die Nußelt-Zahl n¨ ahert sich stromabw¨arts einem Endwert, der nach unserer groben Absch¨ atzung von der Gr¨oßenordnung 2 ist. Entsprechendes gilt auch f¨ ur die Sherwood-Zahl beim Stoﬀ¨ ubergang. Die folgenden Ausf¨ uhrungen f¨ ur den W¨ arme¨ ubergang sind daher in entsprechender Weise auf den Stoﬀ¨ ubergang u ¨ bertragbar. Man bezeichnet eine Str¨omung dann als thermisch ausgebildet, wenn der Endwert der Nußelt-Zahl bis auf eine kleine Abweichung, z.B. 1 % des Endwerts, erreicht ist. Den ¨ ortlichen W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten deﬁniert man durch α :=

q˙0 , ϑ0 − ϑF

(3.222)

worin ϑF die adiabate Mischtemperatur nach (1.30) ist, im vorliegenden Fall

3.8 Durchstr¨ omte Kan¨ ale, Haufwerke, Wirbelschichten

ϑF =

1 M˙

397

wx ϑ dAq . Aq

F¨ ur eine Rohrstr¨omung ist M˙ = wm R2 π, dAq = 2rπ dr und daher die adiabate Mischtemperatur unter der Annahme = const: 2 ϑF = wm R2

R wx ϑ dr .

(3.223)

0

F¨ ur das Temperaturproﬁl der thermisch ausgebildeten Rohrstr¨omung folgt aus αd q˙0 d −λ(∂ ϑ/∂r)R d N u = const = = = λ ϑ0 − ϑF λ ϑ0 − ϑF λ die Beziehung (∂ ϑ/∂r)R = const . (3.224) ϑ0 − ϑF Sie besagt, dass sich in einer thermisch ausgebildeten Str¨omung der Temperaturanstieg an der Wand in gleicher Weise mit der Lauﬂ¨ange x ¨andert wie der Unterschied zwischen Wand- und adiabater Mischtemperatur. Das Temperaturproﬁl, das diese Bedingung erf¨ ullt, ist von der allgemeinen Form ϑ(x, r/R) = (ϑ0 − ϑF )f1 (r/R) + f2 (x) , wie man durch Einsetzen in (3.224) feststellt. An der Wand ist ϑ(x, 1) = ϑ0 = (ϑ0 − ϑF )f1 (1) + f2 (x) . Subtraktion beider Gleichungen ergibt mit der Abk¨ urzung r+ = r/R: ϑ0 − ϑ(x, r+ ) = (ϑ0 − ϑF )[f1 (1) − f1 (r+ )] oder ϑ0 − ϑ(x, r+ ) = (ϑ0 − ϑF )f (r+ ) .

(3.225)

Diese Beziehung dient im Schrifttum meistens zur Deﬁnition der thermisch ausgebildeten Str¨omung. Sie ist, wie zuvor gezeigt wurde, eine Folge davon, dass der W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient stromabw¨arts asymptotisch einen konstanten Endwert erreicht. Wir betrachten nun als Beispiel zwei besonders ausgezeichnete thermisch ausgebildete Str¨ omungen, n¨ amlich die bei konstanter W¨armestromdichte q˙0 = const an der Wand und anschließend die bei konstanter Wandtemperatur ϑ0 = const. a) Im Fall konstanter W¨armestromdichte folgt mit ϑ0 − ϑF =

q˙0 α

398

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

aus (3.225): q˙0 f (r+ ) . α Hierin ist die rechte Seite unabh¨ angig von der Lauﬂ¨ange x, und daher gilt ϑ0 − ϑ(x, r+ ) =

dϑ0 ∂ ϑ(x, r+ ) = . dx ∂x Die Temperatur an einer beliebigen Stelle r+ ¨andert sich in gleicher Weise mit der Lauﬂ¨ ange x wie die Wandtemperatur. Weiter ist in (3.224) wegen q˙0 = const auch (∂ ϑ/∂r)R = const und daher ϑ0 −ϑF = const. Daraus folgt, dass sich auch die adiabate Mischtemperatur in gleicher Weise mit der Lauﬂ¨ ange ¨ andert wie die Wandtemperatur dϑ0 dϑF = . dx dx Es ist daher ∂ ϑ(x, r+ ) dϑ0 dϑF q˙0 2Rπ = = = = const . ∂x dx dx M˙ cp

(3.226)

Hinreichend weit stromabw¨ arts ¨ andern sich alle Temperaturen linear mit der Lauﬂ¨ ange, Abb. 3.33a.

Abb. 3.33: Wandtemperatur T0 (x1 ) und adiabate Mischtemperatur TF (x1 ) in Abh¨ angigkeit der Lauﬂ¨ ange x bei laminarer Rohrstr¨ omung, a q˙0 = const; b ϑ0 = const

b) Im Fall konstanter Wandtemperatur kann man die aus der Energiebilanz α2Rπ dx[ϑ0 − ϑF (x)] = M˙ cp dϑF folgende Beziehung dϑF αdπ = dx ϑ0 − ϑF (x) M˙ cp integrieren, da die Wandtemperatur ϑ0 konstant ist. Man erh¨ alt mit ϑF (x = 0) = ϑα ϑ0 − ϑF (x) αm dπ = exp − x , ϑ0 − ϑα M˙ cp

(3.227)

3.8 Durchstr¨ omte Kan¨ ale, Haufwerke, Wirbelschichten

399

wenn αm der mittlere W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient u ¨ ber die L¨ange x ist. Der Unterschied zwischen Wandtemperatur und adiabater Mischtemperatur nimmt exponentiell mit der Lauﬂ¨ ange x ab, Abb. 3.33b. Nach (3.225) ist ∂ ϑ(x, r+ ) dϑF = f (r+ ) ∂x dx

(3.228)

mit

ϑ0 − ϑ . ϑ0 − ϑF Die Temperatur¨ anderung in Str¨ omungsrichtung h¨angt nun auch von der radialen Koordinate ab. f (r+ ) =

3.8.1.3 W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten bei thermisch ausgebildeter Laminarstr¨ omung Im Folgenden wird gezeigt, wie man W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten bei thermisch ausgebildeter Str¨ omung berechnet. In entsprechender Weise erh¨alt man die Stoﬀ¨ ubergangskoefﬁzienten der hinsichtlich des Konzentrationsproﬁls ausgebildeten Str¨ omungen. Um das Grunds¨ atzliche zu zeigen, betrachten wir eine ¨ Rohrstr¨ omung. Die Uberlegungen lassen sich dann leicht auf andere Kan¨ale u ¨ bertragen. Unter Vernachl¨ assigung der Dissipation und der W¨armeleitung in Str¨omungsrichtung x und unter der Annahme temperaturunabh¨angiger Stoﬀwerte lautet die Energiegleichung in Zylinderkoordinaten x, r:

∂ϑ ∂ϑ 1 ∂ ∂ϑ wx + wr =a r . (3.229) ∂x ∂r r ∂r ∂r In einer ausgebildeten Str¨ omung ist wr = 0, so dass der zweite Term auf der linken Seite entf¨ allt. Das Geschwindigkeitsproﬁl wx (r) ist durch die HagenPoiseuille-Parabel (3.220) gegeben. a) Wir betrachten zuerst den Fall konstanter W¨armestromdichte an der Wand. Dann ist nach (3.226) ∂ϑ ∂ ϑF = = const , ∂x ∂x und die Energiegleichung geht u ¨ber in

r !2 dϑF 1 d dϑ 2wm 1 − =a r . R dx r dr dr Durch Trennen der Ver¨ anderlichen erh¨ alt man nach Integration als allgemeine L¨ osung der Diﬀerentalgleichung

2wm dϑF r2 r4 ϑ(x, r) = − + c1 ln r + c2 . a dx 4 16 R2

400

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

Diese muss noch der Randbedingung ϑ(x, r = R) = ϑ0 (x) gen¨ ugen. Außerdem muss die Temperatur in der Rohrachse ϑ(x, r = 0) endlich sein, was nur m¨ oglich ist, wenn c1 = 0 wird. Damit erh¨alt man als Temperaturproﬁl 2wm R2 dϑF 3 1 r !4 1 r !2 ϑ(x, r) = ϑ0 (x) − + − . (3.230) a dx 16 16 R 4 R Die adiabate Mischtemperatur (3.223) ﬁndet man nach Einsetzen des Temperaturproﬁls in 2 ϑF (x) = wm R2

R 2wm

r !2 1− ϑ(x, r)r dr R

r=0

zu ϑF (x) = ϑ0 (x) −

11 wm R2 dϑF . 48 a dx

Mit (3.226) ist daher ϑ0 (x) − ϑF (x) =

11 q˙0 d . 48 λ

Andererseits ist der W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient deﬁniert durch q˙0 = α(ϑ0 (x) −ϑF (x)) und daher αd 48 = Nu = = 4,3636 . λ 11

(3.231)

b) Im Fall konstanter Wandtemperatur gilt ebenfalls die Energiebilanz (3.229), in der f¨ ur voll ausgebildete Str¨ omung wr = 0 zu setzen ist. Mit dem Geschwindigkeitsproﬁl (3.220) der Hagen-Poiseuille-Str¨omung erh¨alt man unter Beachtung von (3.228)

r !2 dϑF ϑ0 − ϑ 1 ∂ ∂ϑ 2wm 1 − =a r . (3.232) R dx ϑ0 − ϑF r ∂r ∂r Die Gleichung l¨ asst sich noch vereinfachen mit der dimensionslosen Temperatur ϑ0 − ϑ dϑ+ 1 ∂ϑ ϑ+ = , =− ϑ0 − ϑF dr ϑ0 − ϑF ∂r und mit dem aus der Energiebilanz αdπ dx(ϑ0 − ϑF ) = M˙ cp dϑF folgenden Zusammenhang

3.8 Durchstr¨ omte Kan¨ ale, Haufwerke, Wirbelschichten

401

αdπ 4α 1 dϑF = = . wm dcp ϑ0 − ϑF dx M˙ cp Damit geht (3.232) u ¨ber in −2N u(1 − r+2 )ϑ+ =

1 d r+ dr+

dϑ+ r+ + dr

(3.233)

mit der Nußelt-Zahl N u = αd/λ und r+ = r/R. Die L¨osung muss den Randbedingungen ϑ+ (r+ = 1) = 0 gen¨ ugen. Die Gleichung (3.233) l¨asst sich nicht analytisch l¨ osen. Zur L¨ osung macht man einen Reihenansatz ϑ+ =

∞

C2n r+2n .

n=0

Durch Einsetzen in (3.233) und Vergleich gleich hoher Potenzen in r+ ﬁndet man, dass die Koeﬃzienten gegeben sind durch

C2 Nu C2n N u C2n−4 C2n−2 =− und = − n≥2 . C0 2 C0 2n2 C0 C0 Es lassen sich somit alle Koeﬃzienten durch die Nußelt-Zahl ausdr¨ ucken. Um die Randbedingung ϑ+ (r+ = 1) = 0 zu erf¨ ullen, muss ∞ C2n =0 C0 n=0

(3.234)

sein, was nur f¨ ur einen bestimmten Wert der Nußelt-Zahl m¨oglich ist. Um diesen zu ﬁnden, sch¨ atzt man zweckm¨ aßigerweise die Nußelt-Zahl ab, berechnet dann die Koeﬃzienten mit obiger Rekursionsformel und pr¨ uft, ob die Bedingung (3.234) erf¨ ullt ist. Man ﬁndet auf diese Weise N u = 3,6568 . Eine entsprechende Rechnung f¨ ur Kan¨ ale von anderem Querschnitt f¨ uhrt auf die in Tabelle 3.2 angegebenen Werte. Diese stellen untere Grenzwerte der Nußelt-Zahl dar und k¨ onnen auch von einer thermisch nicht ausgebildeten Str¨ omung nicht unterschritten werden. In Tabelle 3.2 sind auch die jeweiligen Widerstandszahlen

2 L wm ζ = Δp/ (3.235) dh 2 aufgef¨ uhrt, die mit dem hydraulischen Durchmesser dh = 4A/U

(3.236)

gebildet sind, wenn A der durchstr¨ omte Kanalquerschnitt und U dessen Umfang ist. Weitere Endwerte der Nußelt-Zahl ﬁndet man u.a. bei Kakaˇc [3.25].

402

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

Tabelle 3.2: Nußelt-Zahlen N u = αdh /λ bei thermisch ausgebildeter Laminar2 str¨ omung und Widerstandszahlen ζ = Δp/(L/dh /2 wm ) in Kan¨ alen verschiedenen Querschnitts. N uT ist die Nußelt-Zahl bei konstanter Wandtemperatur, N uq die bei konstanter W¨ armestromdichte an der Wand und Re = wm dh /ν die Reynolds-Zahl.

Kanal

dh

N uT

N uq

ζRe

Kreisrohr Durchmesser d

d

3,657

4,364

64

Ebener Spalt Plattenabstand 2b

4b

7,541

8,235

96

Quadrat Kantenl¨ ange a

a

2,976

3,09

56,91

Rechteck Seitenverh¨ altnis b/a = 1/2

4b/3

3,391

3,017

62,19

Gleichseitiges Dreieck Seitenl¨ ange a

√ a/ 3

2,49

1,892

53,33

Ellipse große Halbachse a kleine Halbachse b b/a = 1/2

πb/1,2111

3,742

3,804

84,11

3.8.1.4 Die thermische Einlaufstr¨ omung mit ausgebildetem Geschwindigkeitsproﬁl In einer laminaren Rohrstr¨ omung sei das Geschwindigkeitsproﬁl voll ausgebildet und somit durch das Hagen-Poiseuillesche Gesetz (3.220) beschrieben. Das Temperaturproﬁl sei hingegen noch nicht ausgebildet. Man denke sich hierzu einem beheizten Rohr eine hinreichend lange unbeheizte Strecke vorgeschaltet, in der sich das Geschwindigkeitsproﬁl ausbilden kann, ehe das Fluid in die beheizte Rohrstrecke eintritt. Das Geschwindigkeitsproﬁl bildet sich auch dann viel schneller aus als das Temperaturproﬁl, wenn die Prandtl-Zahl des ¨ Fluids sehr groß ist, P r → ∞, wie das beispielsweise bei hochviskosen Olen der Fall ist: Wegen der großen Viskosit¨ at pﬂanzt sich die Reibung im Fluid schnell fort, w¨ ahrend die geringe Temperaturleitf¨ahigkeit nur eine langsame Temperatur¨ anderung zul¨ asst, so dass das Geschwindigkeitsproﬁl seinen Endwert rasch erreicht im Gegensatz zum Temperaturproﬁl, das sich mit dem Str¨ omungsweg nur langsam a ¨ndert. Wir setzen vernachl¨ assigbare axiale W¨ armeleitung, konstante Wandtemperatur ϑ0 und konstante Temperatur ϑα des Fluids im Eintrittsquerschnitt des Rohres voraus. Alle Stoﬀwerte seien temperaturunabh¨angig.

3.8 Durchstr¨ omte Kan¨ ale, Haufwerke, Wirbelschichten

403

Dieses Problem wurde zuerst von Graetz (1850–1891) im Jahre 1883 [3.26], sp¨ ater im Jahre 1910 von Nußelt (1882–1957) [3.27] und vielen anderen Autoren behandelt. Man bezeichnet es auch als Graetz- oder als Graetz-NußeltProblem. Es wird durch die Energiegleichung (3.229) beschrieben, in der voraussetzungsgem¨ aß die radiale Geschwindigkeitskomponente verschwindet, wr = 0, und die axiale Geschwindigkeit die einer Hagen-Poiseuille-Str¨omung (3.220) ist. Die Energiegleichung lautet damit

r !2 ∂ ϑ 1 ∂ ∂ϑ 2wm 1 − =a r (3.237) R ∂x r ∂r ∂r oder nach Einf¨ uhren dimensionsloser Gr¨ oßen r+ =

r R

,

x+ =

x dPe

und ϑ+ =

mit

ϑ − ϑ0 ϑα − ϑ0

∂ ϑ+ 1 1 ∂ 1 − r+2 = + + 2 ∂x+ r ∂r

P e = ReP r =

wm d a

:

+ + ∂ϑ r . ∂r+

(3.238)

Das Temperaturproﬁl soll den folgenden Randbedingungen gen¨ ugen ϑ+ (x+ , r+ = 1) = 0

(3.239)

ϑ+ (x+ = 0, r+ ) = 1 .

(3.240)

und Zur L¨ osung wird das Temperaturproﬁl ϑ+ (x+ , r+ ) als Produkt aus zwei Funktionen angesetzt, ϑ+ (x+ , r+ ) = ϕ(x+ )ψ(r+ ) , von denen die eine nur von der Lauﬂ¨ ange x+ und die andere nur von der + radialen Koordinate r abh¨ angt. Mit diesem Ansatz kann man die partielle Diﬀerentialgleichung (3.238) in zwei gew¨ ohnliche u uhren: ¨berf¨ ϕ + 2β 2 ϕ = 0

(3.241)

und

1 2 ψ + β 2 (1 − r+ )ψ = 0 . r+ Die allgemeine L¨ osung von (3.241) lautet ψ +

(3.242)

ϕ = c exp{−2β 2 x+ } , worin c und β 2 noch willk¨ urliche Konstanten sind. Die Gleichung (3.242) ist nicht geschlossen l¨ osbar. Eine Partikul¨ arl¨ osung ﬁndet man mit dem Reihenansatz

404

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

ψ=

∞

C2n r+

2n

.

n=0

Einsetzen in (3.242) und Vergleich der Koeﬃzienten gleich hoher Potenzen in r+ ergibt C2 β2 =− 2 C0 2 und f¨ ur n ≥ 2 die Rekursionsformel f¨ ur die Koeﬃzienten

C2n β2 C2n−4 C2n−2 = − . C0 (2n)2 C0 C0 Die Koeﬃzienten C2n /C0 sind demnach noch von der Gr¨oße β abh¨angig. Diese muss so bestimmt werden, dass die Randbedingungung ψ(r+ = 1) = 0 oder 1+

∞ C2n =0 C0 n=1

erf¨ ullt ist. Man erh¨ alt auf diese Weise eine Potenzreihe f¨ ur β deren L¨osung unendlich viele Werte, die sogenannten Eigenwerte βi , i = 1, 2, . . . ∞ liefert. Es gibt daher auch unendlich viele Partikul¨ arl¨osungen ψi (r+ ) = f (βi , r+ ) =

∞

C2n (βi )r+

2n

,

n=0

und die allgemeine L¨ osung ist von der Form ϑ+ =

∞

an exp{−2βn2 x+ }ψn (r+ ) .

(3.243)

n=0

Sie muss noch der Randbedingung ϑ+ (x+ = 0, r+ ) = 1 gen¨ ugen 1=

∞

an ψn (r+ ) .

(3.244)

n=0

Daraus erh¨ alt man die Konstanten an , siehe hierzu Anhang A 7, zu 1

2

ψn (r+ )(1 − r+ )r+ dr+ an =

0

.

1 ψn2 (r+ )(1 − r 0

+2

)r+ dr+

(3.245)

3.8 Durchstr¨ omte Kan¨ ale, Haufwerke, Wirbelschichten

405

Die adiabate Mischtemperatur folgt aus ϑF − ϑ0 = ϑ+ F = 2 ϑα − ϑ0

1

wx + + + ϑ r dr = 4 wm

0

1

2

(1 − r+ )ϑ+ r+ dr+ , 0

woraus man nach Einsetzen des Temperaturproﬁls (3.243) und Integration ϑ+ F =

∞

Bn exp{−2βn2 x+ }

(3.246)

n=0

erh¨ alt. Die Konstanten Bn und die Eigenwerte βn der ersten f¨ unf Reihenglieder nach Rechnungen von Brown [3.28] sind in der folgenden Tabelle 3.3 aufgef¨ uhrt. Tabelle 3.3: Eigenwerte βn und Konstanten Bn nach Brown [3.28]

n

βn

Bn

0

2,70436

0,81905

1

6,67903

0,09753

2

10,67338

0,03250

3

14,67108

0,01544

4

18,66987

0,00879

Die o alt man aus der adiabaten Mischtemperatur ¨rtliche Nußelt-Zahl erh¨ mit Hilfe der Energiebilanz α2Rπ dx(ϑ0 − ϑF ) = M˙ cp dϑF = wm R2 πcp dϑF zu α=

wm dcp 1 dϑF 4 ϑ0 − ϑF dx

oder

αd 1 d ln ϑ+ F =− . (3.247) λ 4 dx+ Die mittlere Nußelt-Zahl folgt aus dem mittleren W¨arme¨ ubergangskoeﬃzienten L 1 αm = α dx L Nu =

0

406

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

zu αm d 1 N um = = + λ X

X + N u dx+ 0

und mit X

+

= L/(d P e) N um = −

1 + ln ϑ+ F (X ) . 4X +

(3.248)

Der Verlauf der mittleren Nußelt-Zahl ist in Abb. 3.35 gezeigt; er ist dort identisch mit der Kurve f¨ ur P r → ∞ F¨ ur hinreichend große Werte der Lauﬂ¨ ange x+ → ∞ gen¨ ugt es, mit dem ersten Reihenglied der adiabaten Mischtemperatur (3.246) zu rechnen. Die mittlere Nußelt-Zahl nach (3.248) geht dann u ¨ ber in N um = − =

1 ln B0 exp{−2β02 X + } + 4X

2β02 1 − ln B0 . 4 4X +

Mit den Werten der Tabelle 3.3 erh¨ alt man N um = 3,6568 +

0,0499 X+

,

g¨ ultig f¨ ur

X + ≥ 0,05 .

(3.249)

F¨ ur X + → ∞ ergibt sich der schon bekannte Endwert 3,6568 der NußeltZahl der thermisch ausgebildeten Str¨ omung. Zur Berechnung der Nußelt-Zahl f¨ ur kleine Werte der Lauﬂ¨ ange X + = L/(d P e) ben¨otigt man sehr viele Reihenglieder der adiabaten Mischtemperatur (3.246). Man hat daher die exakte L¨ osung durch empirische Gleichungen approximiert. Nach Stephan [3.29] werden durch N um =

3,657 tanh(2,264 X +1/3

+

1,7 X + 2/3 )

+

0,0499 tanh X + X+

(3.250)

die exakten Werte im gesamten Bereich 0 ≤ X + ≤ ∞ mit einem gr¨oßten Fehler von 1 % wiedergegeben. F¨ ur große Werte X + ≥ 0,05 geht die Gleichung in die asymptotische L¨ osung (3.249) u ur kleine Werte ¨ ber, w¨ahrend man f¨ X + ≤ 5 · 10−6 die f¨ ur kurze Lauﬂ¨ angen g¨ ultige sogenannte L´evˆeque-L¨osung [3.30] erh¨ alt: N um = 1,615 (X + )−1/3 . (3.251) Wie schon fr¨ uher ausgef¨ uhrt, hat man zur Berechnung des u ¨ bertragenen W¨ armestroms zu beachten, dass sich die Fluidtemperaturen zwischen Einund Austrittsquerschnitt ¨ andern. Gem¨ aß den fr¨ uheren Ausf¨ uhrungen, Gleichung (3.213) ist der u armestrom ¨bertragene W¨ Q˙ = αm A0 Δϑlog ,

(3.252)

3.8 Durchstr¨ omte Kan¨ ale, Haufwerke, Wirbelschichten

407

wenn A0 die w¨ armeabgebende Rohroberﬂ¨ ache und Δϑlog die mittlere logarithmische Temperaturdiﬀerenz, vgl. hierzu (3.214), Δϑlog = (ϑF − ϑα )/ ln

ϑ0 − ϑα ϑ0 − ϑF

(3.253)

ist. 3.8.1.5 Die hydrodynamisch und thermisch nicht ausgebildete Str¨ omung In einer hydrodynamisch und thermisch nicht ausgebildeten Str¨omung a¨ndern sich das Geschwindigkeits- und das Temperaturproﬁl mit dem Str¨omungsweg. Abb. 3.34 zeigt qualitativ einige Geschwindigkeits- und Temperaturproﬁle unter der Annahme, dass das Fluid mit u ¨ber den Querschnitt konstanter Geschwindigkeit und Temperatur in ein Rohr einstr¨omt, dessen Wandtemperatur geringer ist als die Eintrittstemperatur des Fluids.

Abb. 3.34: Geschwindigkeits- und Temperaturproﬁle einer hydrodynamisch und thermisch nicht ausgebildeten Rohrstr¨ omung

Zur Berechnung der Geschwindigkeiten und Temperaturen muss man die Kontinuit¨ ats- , die Impuls- und die Energiegleichung l¨osen. Eine geschlossene L¨ osung des Gleichungssystems ist dann nicht mehr m¨oglich. Eine numerische L¨ osung haben Stephan [3.23] und sp¨ ater einige andere Autoren, siehe hierzu [3.25] mitgeteilt. Als Ergebnis erh¨ alt man aus den berechneten Geschwindigkeitsproﬁlen den Druckabfall Δp = pe − p zwischen dem Druck pe im Eintrittsquerschnitt und dem Druck p in einem beliebigen Rohrquerschnitt. Er l¨ asst sich durch eine empirische Korrelation ann¨ahern: Δp = (1,25 + 64X) tanh(11,016X 1/2) 2 /2 wm

(3.254)

mit X = L/(d Re) und Re = wm d/ν. Hieraus berechnete Druckabf¨alle weichen im gesamten Bereich 0 ≤ X ≤ ∞ um weniger als 1,65 % von den Werten der numerischen L¨ osung ab.

408

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

Aus den numerisch berechneten Temperaturproﬁlen ﬁndet man in gleicher Weise, wie es im vorigen Abschnitt gezeigt wurde, die W¨arme¨ ubergangskoefﬁzienten und daraus die mittlere Nußelt-Zahl N um = αm d/λ. Sie l¨asst sich durch eine empirische Gleichung der Form N um 1 = N uma tanh(2,432 P r1/6 X + 1/6 )

(3.255)

berechnen, wobei hier N uma die mittlere Nußelt-Zahl nach (3.250) der hydrodynamisch ausgebildeten Str¨ omung sei. Die Gleichung (3.255) gilt f¨ ur 0,1 ≤ P r ≤ ∞ und 0 ≤ X + ≤ ∞. Die Abweichung von den numerisch berechneten mittleren Nußelt-Zahlen betr¨ agt f¨ ur 1 ≤ P r ≤ ∞ weniger als 5 % und w¨ achst f¨ ur kleine Prandtl-Zahlen 0,1 ≤ P r < 1 bis zu 10 % an.

Abb. 3.35: Mittlere Nußelt-Zahlen bei laminarer Rohrstr¨ omung

Abb. 3.35 zeigt den Verlauf der mittleren Nußelt-Zahl u ¨ ber der dimensionslosen Lauﬂ¨ange X + = L/(d P e). Alle Kurven lassen sich zwischen die f¨ ur P r = 0 und die f¨ ur P r → ∞ einordnen. P r = 0 bedeutet in diesem Fall, dass die Viskosit¨ at verschwindet, die W¨ armeleitf¨ahigkeit aber endlich ist. Da in dem Fluid keine Reibungskr¨ afte wirken, bleibt die im Eintrittsquerschnitt konstante Geschwindigkeit erhalten. Man bezeichnet eine solche Str¨omung als Kolbenstr¨ omung. Im Grenzfall P r → ∞ ist wegen der im Vergleich zur Temperaturleitf¨ ahigkeit großen Viskosit¨ at die Str¨ omung hydrodynamisch, aber noch nicht thermisch ausgebildet. Im Grenz¨ ubergang P r → ∞ ergibt sich dementsprechend aus (3.255) N um /N uma = 1. Verschwindende Prandtl-Zahl P r = 0 kann auch bedeuten, dass die Temperaturleitf¨ahigkeit gegen unendlich geht, w¨ahrend die Viskosit¨at end-

3.8 Durchstr¨ omte Kan¨ ale, Haufwerke, Wirbelschichten

409

lich bleibt. Dann ist die Str¨ omung bereits im Eintrittsquerschnitt thermisch, aber noch nicht hydrodynamisch ausgebildet. Da die P´eclet-Zahl verschwindet, P e = wm d/a = 0, ist X + = L/(d P e) = ∞. Die Nußelt-Zahl ist gleich derjenigen der thermisch ausgebildeten Str¨ omung N um = 3,6568.

3.8.2 Die turbulente Rohrstr¨ omung Eine ausschließlich analytische Behandlung des W¨arme- und Stoﬀ¨ ubergangs einer turbulenten Rohrstr¨ omung scheiterte bisher daran, dass man die turbulenten Schubspannungen τij = −wi wj die turbulente W¨armestromdichte ∗ q˙i = −cp wi T und auch auch die turbulente Diﬀusionsstromdichte jAi = −wi ξA nicht auf rein theoretischem Weg ermitteln kann. Man ist vielmehr auf Experimente angewiesen. Im Gegensatz zur laminaren ist jedoch die turbulente Rohrstr¨ omung wegen des intensiveren Impulsaustauschs schon nach kurzer Lauﬂ¨ ange x/d ≥ 10 bis 60 hydrodynamisch und thermisch voll ausgebildet. Dies vereinfacht die Darstellung der W¨arme- und Stoﬀ¨ ubergangskoeﬃzienten durch Gleichungen. Zu einfachen, aber f¨ ur die voll ausgebildete turbulente Str¨ omung ausreichend genauen Korrelationen kommt man bereits, wenn man von der Analogie zwischen Impuls- und W¨arme- bzw. Stoﬀaustausch, Gl. (3.199), Gebrauch macht: StP r2/3 =

cf 2

(3.256)

mit St = α/(cp wm ). Der Reibungsbeiwert cf ist mit dem Widerstandsbeiwert verkn¨ upft wegen τ0 dπL = Δp (d2 π/4) , woraus τ0 = Δp (d/4L) folgt und cf =

τ0 Δp 1 ζ = = . 2 2 (wm /2) (L/d) (wm /2) 4 4

Es ist daher StP r2/3 =

ζ . 8

(3.257)

(3.258)

Mit dem Widerstandsbeiwert [3.32] ζ = 0,184 Re−1/5

g¨ ultig f¨ ur

Re ≥ 104

der turbulenten Rohrstr¨ omung erh¨ alt man hieraus die Nußelt-Zahl N u = 0,023 Re4/5P r1/3 .

(3.259)

Eine mit Gleichung (3.259) n¨ aherungsweise u ¨ bereinstimmende Beziehung hatte Kraussold [3.33] bereits 1933 aufgrund von eigenen und den Experimenten anderer empfohlen. Die Gleichung wurde in dieser Form jedoch zuerst

410

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

von McAdams [3.34] 1942 mitgeteilt. Sie setzt kleine Temperaturunterschiede zwischen Wand und Fluid voraus und gilt in dem Bereich 0,7 ≤ P r ≤ 160 ,

Re = wm d/ν ≥ 104

und L/d ≥ 100 .

Alle Stoﬀwerte sind bei der adiabaten Mischtemperatur einzusetzen. Bei gr¨ oßeren Unterschieden zwischen Wand- und Fluidtemperatur hat man vor allem den Einﬂuss der meistens stark mit der Temperatur ver¨anderlichen Viskosit¨ at zu ber¨ ucksichtigen. Wie Hufschmidt und Burck [3.35] aufgrund der Experimente von Sieder und Tate [3.36] fanden, gen¨ ugt es, die rechte Seite von (3.259) mit dem Faktor (P r/P r0 )0,11 zu multiplizieren, worin die Prandtl-Zahl P r bei der Mitteltemperatur ϑm = (ϑe + ϑa )/2 und P r0 bei der Wandtemperatur ϑ0 zu bilden sind. Eine Gleichung, die auch f¨ ur gr¨ oßere Reynolds-Zahlen gilt, haben Petukhov und Kirilov [3.37] entwickelt. Sie ist von Gnielinski [3.38] so abgewandelt worden, dass zus¨atzlich der Bereich der Reynolds-Zahlen unter Re = 104 richtig beschrieben wird. Sie lautet

2/3 (ζ/8) Re P r d Nu = 1+ (3.260) 2/3 L 1 + 12,7 ζ/8(P r − 1) mit dem Widerstandsbeiwert ζ=

Δp 1 = . 2 /2) (L/d) (wm (0,78 ln Re − 1,5)2

(3.261)

Sie gilt im Bereich 104 ≤ Re ≤ 106

,

0,6 ≤ P r ≤ 1000 und L/d > 1 .

Alle Stoﬀwerte sind bei der Mitteltemperatur ϑm = (ϑe + ϑa )/2 zu bilden. Den Einﬂuss einer stark mit der Temperatur ver¨anderlichen Viskosit¨at erfasst man wieder durch den Faktor (P r/P r0 )0,11 auf der rechten Seite von (3.260), wobei P r bei der Mitteltemperatur ϑm , und P r0 bei Wandtemperatur zu bilden sind. Die vorstehenden Gleichungen (3.259) und (3.260) k¨onnen auch zur Berechnung von Stoﬀ¨ ubergangskoeﬃzienten verwendet werden. Man hat dazu, wie schon er¨ ortert, lediglich die Nußelt- durch die Sherwood-Zahl und die Prandtl- durch die Schmidt-Zahl zu ersetzen.

3.8.3 Haufwerke Unter einem Haufwerk versteht man die geordnete oder regellose Anordnung von Einzelk¨ orpern verschiedener Form. Als Beispiel zeigt Abb. 3.36 ein Haufwerk aus Partikeln verschiedener Gr¨ oße. Auch ein Rohrregister ist im Sinne

3.8 Durchstr¨ omte Kan¨ ale, Haufwerke, Wirbelschichten

411

dieser Deﬁnition ein Haufwerk. Technisch bedeutsam sind Haufwerke in Form von Fließ- oder von Festbetten. In Fließbetten werden die Partikel durch ein str¨omendes Fluid aufgewirbelt und in der Schwebe gehalten. Sie haben dann ihrerseits ﬂuid¨ahnliche Eigenschaften. Man spricht von Wirbelschichten oder Fluidatbetten (engl. ﬂuidised beds). In ihnen laufen chemische Reaktionen, Trocknung oder andere Stoﬀaustauschvorg¨ ange infolge der lebhaften Bewegung der Partikel rasch ab. Festbetten dienen mit ihren F¨ ull- und Speichermassen zur W¨arme¨ ubertragung in Regeneratoren. Als sogenannte F¨ ullk¨ orperkolonnen werden sie h¨auﬁg als Stoﬀaustauschapparate eingesetzt. Dabei wird, wie Abb. 3.37 zeigt, im Allgemeinen am Kopf der Kolonne ein Fl¨ ussigkeitsgemisch aufgegeben, dem ein Gas anderer Zusammensetzung entgegenstr¨ omt. Durch Stoﬀaustausch gehen eine oder mehrere Komponenten von der Gas- in die Fl¨ ussigphase u ¨ ber und umgekehrt. Auf diese Weise k¨ onnen beispielsweise Schadstoﬀe aus einem Gas durch eine herabrieselnde Waschﬂ¨ ussigkeit aufgenommen werden. Die Bemessung derartiger Apparate ist Gegenstand der thermischen Verfahrenstechnik. Dazu ben¨ otigt man jedoch Grundlagen des W¨ arme- und Stoﬀaustausches, die im Folgenden er¨ ortert werden sollen. Zur Charakterisierung des Str¨ omungsraumes innerhalb einer Sch¨ uttung betrachten wir zun¨ achst eine Packung aus gleich großen Kugeln vom Durchmesser dP . Ein zweckm¨ aßiger Parameter zur Beschreibung der Packung ist der Hohlraumvolumenanteil oder L¨ uckengrad ε = VG /V ,

(3.262)

gebildet mit dem von Gas gef¨ ullten Hohlraumvolumen VG und dem Gesamtvolumen V = VG + VS . Darin berechnet sich das Festk¨ orpervolumen VS aus dem Volumen VP der Einzelpartikel und deren Anzahl n, VS = nVP . Es ist daher auch

Abb. 3.36: Haufwerk aus Partikeln verschiedener Gr¨ oße

Abb. 3.37: F¨ ullk¨ orperkolonne im Gegenstrombetrieb

412

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

VS nVP = =1−ε V V oder die Zahl der Partikel je Volumeneinheit nV =

n 1−ε = . V VP

(3.263)

Sie liegt demnach fest, wenn man den L¨ uckengrad und das Volumen eines Partikels kennt. Die beiden Gr¨ oßen L¨ uckengrad ε und Partikeldurchmesser dP reichen jedoch nicht aus, um die Str¨ omung und damit auch den W¨arme- und Stoﬀ¨ ubergang eindeutig zu beschreiben; denn stellt man sich beispielsweise gem¨aß Abb. 3.38a eine kubische Packung aus hintereinander liegenden gleich großen Kugeln vor, so kann das Fluid durch die Gassen zwischen den Kugeln str¨omen. In einer ungeordneten Sch¨ uttung gleichen L¨ uckengrades und aus Kugeln glei-

Abb. 3.38: Sch¨ uttungen aus Kugeln gleicher Gr¨ oße und von gleichem L¨ uckengrad a kubische Packung b ungeordnete Packung

chen Durchmessers k¨ onnen die Gassen, wie Abb. 3.38b zeigt, jedoch teilweise blockiert und die Durchstr¨ omung an einigen Stellen st¨arker behindert sein als an anderen. Trotz gleicher Werte von L¨ uckengrad und Partikeldurchmesser ergeben sich also verschiedene Str¨ omungsbilder. Wenn man dennoch Str¨omung, W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang durch die beiden Parameter ε und dP recht gut beschreiben kann, so wohl nur deshalb, weil sich in hinreichend großen Sch¨ uttungen im statistischen Mittel ein Ausgleich einstellt. Die speziﬁsche Oberﬂ¨ ache aP von Partikeln beliebiger Gestalt ist deﬁniert durch aP = nAP /V (3.264) (SI-Einheit m2 /m3 ), worin AP die Oberﬂ¨ ache eines einzelnen Partikels ist. Die speziﬁsche Oberﬂ¨ ache aP ist eine charakteristische Eigenschaft des Sch¨ uttguts. F¨ ur F¨ ullk¨ orper verschiedener Form und Gestalt ist f¨ ur nAP die Summe der einzelnen Partikeloberﬂ¨ achen im Volumen V einzusetzen. Weiter ist mit (3.263) nAP AP aP = = (1 − ε) , (3.265) V VP worin AP /VP die speziﬁsche Oberﬂ¨ ache eines Einzelpartikels ist. Sie ist f¨ ur kugelf¨ ormige Partikel gleich 6/d, so dass hierf¨ ur aP =

6 (1 − ε) d

(3.266)

3.8 Durchstr¨ omte Kan¨ ale, Haufwerke, Wirbelschichten

413

gilt. Hierzu ein Beispiel: Eine kubische Kugelpackung, Abb. 3.38a, mit z Kugeln je Reihe und r Reihen hinter- und u ¨ bereinander besitzt das Volumen V = (zd)(rd)(rd) = zr 2 d3 . Das Volumen aller Kugeln ist VS = nd3 π/6 = zr 2 d3 π/6, und der L¨ uckengrad ε=1−

VS π = 1 − = 0,476 . V 6

Eine regellose Kugelsch¨ uttung hat einen L¨ uckengrad ε ≈ 0,4. Ihre speziﬁsche Oberﬂ¨ ache ist nach (3.266) daher aP ≈ 3,6/d. Kugeln von 1 cm Durchmesser in unregelm¨ aßiger Anordnung haben somit bereits eine speziﬁsche Oberﬂ¨ ache aP ≈ 360m2 /m3 . Nach (3.263) ergibt sich hierf¨ ur die Zahl der Partikeln je Volumeneinheit zu nV ≈ 1,15 · 106 /m3 . Ein Pulver aus kugelf¨ ormigen Partikeln von 100 μm ergibt bereits aP ≈ 3,6 · 104 m2 /m3 und nV ≈ 1,15 · 1012 /m3 . Diese Zahlen belegen eindrucksvoll, dass die f¨ ur den W¨ arme- und Stoﬀaustausch zur Verf¨ ugung stehende Oberﬂ¨ ache in Sch¨ uttungen ungew¨ ohnlich groß sein kann.

In einer durchstr¨ omenden Sch¨ uttung wachsen W¨arme¨ ubergangskoefﬁzienten in den ersten Reihen der Packung rasch an und erreichen dann feste Endwerte wie Gillespie et al. [3.39] am Beispiel des W¨arme¨ ubergangs an eine ungeordnete Kugelsch¨ uttung zeigten. Die Endwerte der Nußelt-Zahl sind infolge der h¨ auﬁgen Umlenkungen und Verwirbelungen der Str¨omung in einer Sch¨ uttung deutlich gr¨ oßer als die einer umstr¨ omten Einzelkugel. Entsprechendes w¨ urde man auch f¨ ur den Stoﬀ¨ ubergang ﬁnden. Der Endwert der mittleren Nußelt-Zahl N um in einer Kugelsch¨ uttung und die mittlere Nußelt-Zahl N umK der umstr¨ omten Einzelkugel stehen jedoch, wie die Versuche zeigten, in einem bestimmten nur vom L¨ uckengrad abh¨ angigen Verh¨altnis zueinander. Es ist N um = fε N umK ,

(3.267)

worin fε ein nur vom L¨ uckengrad abh¨ angiger Anordnungsfaktor ist. Die mittlere Nußelt-Zahl f¨ ur eine u omte Kugel ist in 3.7.4, Nr.5, mitgeteilt. In ¨ berstr¨ ihr ist nun die Reynolds-Zahl mit der eﬀektiven mittleren Geschwindigkeit weﬀ = wm /ε zu bilden. Sie ergibt sich aus der Mengenbilanz wm A0 = weﬀ AG zu weﬀ = wm A0 /AG = wm /ε, worin A0 der Querschnitt der leeren Kolonne und AG der vom Gas durchstr¨ omte Querschnitt ist. Der Faktor fε l¨ asst sich im Bereich 0,26 < ε < 1 nach Schl¨ under [3.40] aus dem einfachen Ansatz fε = 1 + 1,5(1 − ε) (3.268) mit ausreichender Genauigkeit berechnen. Gl. (3.267) gilt auch f¨ ur Sch¨ uttungen aus nichtkugelf¨ ormigen Partikeln. Einige Anhaltswerte f¨ ur den Anordnungsfaktor fε enth¨ alt Tabelle 3.4. Die Werte gelten im Bereich 102 < Re < 104 , wenn man die Reynolds-Zahl mit der eﬀektiven mittleren Geschwindigkeit weﬀ = wm /ε und einem a ¨quivalenten Kugeldurchmesser dP bildet. Dieser berechnet sich aus der mittleren Partikeloberﬂ¨ache AmP = aP /nV

(3.269)

414

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

mit der speziﬁschen Oberﬂ¨ ache aP nach (3.264) und der Zahl nV der Partikel je Volumeneinheit nach (3.263) durch Vergleich mit einer Kugel gleicher Oberﬂ¨ ache zu dP = AmP /π . (3.270) Den W¨ armestrom berechnet man in bekannter Weise aus Q˙ = αm nAP Δϑlog und der mittleren logarithmischen Temperaturdiﬀerenz (3.214) Δϑlog = (ϑa − ϑe )/ ln

ϑ0 − ϑe , ϑ0 − ϑa

wenn ϑe die Eintritts-, ϑa die Austrittstemperatur des Fluids und ϑ0 die Oberﬂ¨ achentemperatur der Partikel ist. Tabelle 3.4: Anordnungsfaktor fε f¨ ur Sch¨ uttungen mit nichtkugelf¨ ormigen Partikeln Partikel

fε

u uft f¨ ur ¨ berpr¨

Zylinder, L¨ ange L, Durchmesser d

1,6

0,24 < L/d < 1,2

W¨ urfel

1,6

0,6 ≤ P r, Sc ≤ 1300

Raschigringe

2,1

P r = 0,7, Sc = 0,6

Berls¨ attel

2,3

Sc = 2,5

Die Gleichungen gelten in entsprechender Weise auch f¨ ur den Stoﬀaustausch. Man hat dann lediglich die Nußelt- durch die Sherwood-Zahl und die Prandtl- durch die Schmidt-Zahl zu ersetzen. Voraussetzung f¨ ur die G¨ ultigkeit der Gleichungen sind jedoch hinreichend große Werte der P´eclet-Zahl > P e = ReP r ∼ 500 bis 1000, weil sonst die Str¨omung und damit auch der W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang ungleichm¨ aßig u ¨ber den Querschnitt verteilt sind; es kann sogar R¨ uckstr¨ omung einsetzen, so dass mittlere W¨arme- und Stoﬀ¨ ubergangskoeﬃzienten kleiner sein k¨ onnen als die am u ¨ berstr¨omten Einzelk¨ orper.

3.8.4 Poro ¨se Ko ¨rper Im Unterschied zum Haufwerk, das aus einer geordneten oder regellosen Anordnung von Einzelk¨ orpern verschiedener Form besteht, besitzen por¨ose

3.8 Durchstr¨ omte Kan¨ ale, Haufwerke, Wirbelschichten

415

K¨ orper einen festen Grundk¨ orper, der von Hohlr¨aumen, den sogenannten Poren durchsetzt ist. In nat¨ urlichen por¨ osen K¨ orpern sind die Poren von unterschiedlicher Gr¨oße und Gestalt und ungleichm¨aßig verteilt. Beispiele sind die menschliche Lunge, Holz, Kalkstein und anderes por¨oses Gestein. Wie im Haufwerk ist die Str¨ omung durch die Hohlr¨ aume sehr ungleichf¨ormig. Dennoch kann man wie beim Haufwerk die einzelnen Volumenelemente, die zwar klein im Vergleich zum gesamten Volumen des betrachteten K¨orpers sind, aber dennoch eine große Zahl von Poren enthalten, als Kontinuum behandeln. Jedes Volumenelement besteht dann aus hinreichend vielen Poren und einem Teilvolumen des festen Grundk¨ orpers. Jedem von beiden kann man dann einheitliche Mittelwerte der Zustandsgr¨ oßen zuordnen. Dadurch lassen sich Str¨ omung und W¨ arme¨ ubertragung, wie das schon bei der Behandlung des Haufwerks geschah, und ebenso auch die Stoﬀ¨ ubertragung mit den bekannten Gleichungen der Impuls- W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubertragung eines Kontinuums behandeln. Haufwerke und por¨ ose K¨ orper lassen sich somit hinsichtlich der W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubertragung auf dieselben Grundgleichungen der Kontinuumstheorie zur¨ uckf¨ uhren. Eine genauere Betrachtung von Str¨omung, W¨armeund Stoﬀ¨ ubertragung in den einzelnen Poren w¨are nur mit statistischen Methoden m¨ oglich und wird durch die Annahme eines Kontinuums vermieden. 3.8.4.1 Str¨ omung und Impulsbilanz Die Impuls- oder Kr¨ aftebilanz durchstr¨ omter por¨oser K¨orper kann man durch das experimentell gut abgesicherte Gesetz von Darcy [3.41] ersetzen, das dieser bereits 1856 bei seinen Untersuchungen u ¨ ber die Wasserversorgung der Stadt Dijon durch Experimente ermittelte. Danach ist die mittlere Str¨omungsgeschwindigkeit u ¨ ber den Austrittsquerschnitt eines por¨osen K¨orpers proportional dem Druckabfall, den man dem K¨ orper aufpr¨agt. Sp¨atere Versuche zeigten, dass die mittlere Str¨ omungsgeschwindigkeit außerdem umgekehrt proportional zur dynamischen Viskosit¨ at η des Fluids ist. Nach Darcy gilt

K ∂p wi = − , (3.271) η ∂xi wobei wi die mittlere Geschwindigkeit in Richtung der Achse i (x-, y- oder z-Achse) u omungsquerschnitt Ai des por¨osen K¨orpers ist. Sie ist ¨ ber einen Str¨ deﬁniert durch 1 wi := wpi dApi , (3.272) Ai Api

wpi ist hierin die ¨ortlich ver¨ anderliche Geschwindigkeit in den einzelnen Poren und Api deren Querschnitt in Richtung der Achse i. Bei geometrisch eindimensionaler Str¨ omung in Richtung der x-Achse gilt somit

416

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

wx =

dp 1 − = wpx dApx . dx Ax

K η

(3.273)

Apx

Die Gr¨ oße K in (3.271) ist eine empirische Konstante und wird Permeabilit¨at genannt. Ihre SI-Einheit ist m2 . Einige Zahlenwerte ﬁndet man in der folgenden Tabelle 3.5. F¨ ur Kolonnen, gepackt mit Kugeln vom Durchmesser d und dem L¨ uckengrad ε ist nach Ergun [3.46] K=

d2 ε3 2

150 (1 − ε)

.

(3.274)

Wie Versuche zeigten [3.47], gilt das Darcysche Gesetz solange die mit K 1/2 gebildete Reynolds-Zahl ReK = wi K 1/2 /ν kleiner als etwa 1 ist. Eine Erweiterung des Darcyschen Gesetzes, die u ¨ ber einen weiten Bereich der Reynolds-Zahlen, n¨ amlich 0,1 ≤ ReK ≤ 100, experimentell u uft wurde [3.47], ist das Gesetz von Forchheimer [3.48] ¨ berpr¨ −

dp η c∗F = wi + 1/2 F wi |wi | dxi K K

(3.275)

mit c∗F = 0,55. In Sch¨ uttungen wird der Wert c∗F auch von den ¨außeren Abmessungen der Sch¨ uttung beeinﬂusst. Nach Versuchen von Beavers et al. [3.48] wird dies ber¨ ucksichtigt durch c∗F = 0,55 (l − 5,5 d/deq ), worin d der Durchmesser der Kugeln in einer Sch¨ uttung und deq der ¨aquivalente Durchmesser des Sch¨ uttbetts ist: Tabelle 3.5: Permeabilit¨ at, L¨ uckengrad und Korngr¨ oße por¨ oser Stoﬀe nach [3.42– 3.45]

Stoﬀ

Permeabilit¨ at K m2

L¨ uckengrad ε

Kalkstein

2 · 10−15 − 4,5 · 10−14

0,04 − 0,1

Sand

2 · 10−11 − 1,8 · 10−10

0,37 − 0,5

¨ Sandstein (Olsand) Ton Schwemmsand (Schlick) Leder

−16

5 · 10

−18

10

−16

10

−12

− 3 · 10

− 10

−12

− 10

9,5 · 10

0,05 − 2

0,08 − 0,38

−15

−14

Korngr¨ oße mm

−13

− 1,2 · 10

0,4 − 0,7

< 0,002

0,35 − 0,5

0,002 − 0,05

0,56 − 0,59

3.8 Durchstr¨ omte Kan¨ ale, Haufwerke, Wirbelschichten

deq =

417

2 dB H . dB + H

Hierin sind dB der Durchmesser und H die H¨ ohe des Sch¨ uttbetts. Das Gesetz von Forchheimer (3.273) l¨ asst sich f¨ ur eine Str¨omung in Richtung der x-Achse auch darstellen durch den Widerstandsbeiwert

K 1/2 dp 1 ζK := − = + 0,55 (3.276) 2 F wx dx ReK mit der Reynolds-Zahl ReK = wx K 1/2 /ν, w¨ ahrend sich das Darcysche Gesetz (3.271) auf die Form

K 1/2 dp 1 ζK := − = (3.277) F wx2 dx ReK bringen l¨ asst.

Abb. 3.39: Widerstandsbeiwert bei eindimensionaler Str¨ omung durch einen isothermen, ges¨ attigten por¨ osen K¨ orper nach Ward [3.47]

Abb. 3.39 zeigt den Verlauf des Widerstandsbeiwerts ζK u ¨ ber der ReynoldsZahl ReK bei eindimensionaler Str¨ omung durch einen isothermen ges¨attigten por¨ osen K¨ orper. Eingetragen sind die Messwerte aus einer Arbeit von Ward [3.47]. Man erkennt, dass das Darcysche Gesetz nur bei kleinen ReynoldsZahlen gilt und dass bei großen Reynolds-Zahlen der quadratische Term in

418

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

der Forchheimer-Gleichung u ¨ berwiegt. Die Str¨omung ist bei großen ReynoldsZahlen in den Poren zwar immer noch laminar. Es u ¨berwiegt jedoch der Formwiderstand, den die Str¨ omung auf ihrem Weg durch die verwinkelten Poren u ¨ berwinden muss. Beispiel 3.12: Einem Sandbeh¨ alter von d = 0,35 m Durchmesser wird von oben st¨ andig Wasser von 10 zugef¨ uhrt. Wieviel Wasser verl¨ asst den nach unten oﬀenen Beh¨ alter? Die Permeabilit¨ at der Sandschicht sei K = 10−10 m2 , die dynamische Viskosit¨ at des Wassers ist ηF = 1, 3 · 10−3 Pa · s, die Dichte 3 3 F = 10 kg/m . Da das Druckgef¨ alle nur durch die Schwerkraft zustande kommt, ist dp = −F g . dx Mit (3.271) erh¨ alt man „ « K dp K 10−10 0,352 π m3 ˙ V = wx A = − A= F g A = · 103 · 9,81 · , −3 ηF dx ηF 1,3 · 10 4 s also

V˙ = 7,26 · 10−5 m3 /s = 4,36 dm3 /min .

Anmerkung: Mit der Forchheimer-Gleichung (3.273) erh¨ alt man fast denselben Volumenstrom V˙ = 7,23 · 10−5 m3 /s = 4,34 dm3 /min.

3.8.4.2 Energiebilanz Wir betrachten einen por¨ osen K¨ orper, durch dessen Poren ein Fluid in Richtung der x-Achse str¨ omt, w¨ ahrend W¨ armeleitung nur in y-Richtung stattﬁnden soll. Das Fluid sei inkompressibel und habe die konstante W¨armeleitf¨ahigkeit λF . Aus der Energiegleichung (3.95) folgt dann F cF

dϑF ∂ 2 ϑF = λF +φ dt ∂y 2

mit

dϑF ∂ ϑF ∂ ϑF = + wpx . dt ∂t ∂x

Integration u ¨ ber einen Porenquerschnitt Apx ergibt unter der Annahme, dass die Temperatur sich u ¨ ber den Querschnitt so wenig ¨andert, dass wir sie als konstant ansehen k¨ onnen,

F cF

∂ ϑF ∂ ϑF Apx + F cF ∂t ∂x

Apx

wpx dApx = λF

∂ 2 ϑF Apx + ∂y 2

φ dApx . (3.278)

Apx

An dem Volumenelement ΔV greife eine Volumenkraft fx , SI-Einheit N/m3 , an. W¨ urde nur die Schwerkraft angreifen, so w¨are fx = gx = 0, wenn die yAchse senkrecht nach oben zeigt. Da keine technische Arbeit verrichtet wird, ist 2 dwpx /2 dx ˙ t = 0 = ΔV dp + W ˙ diss + F ΔV W − F ΔV fx . dt dt dt

3.8 Durchstr¨ omte Kan¨ ale, Haufwerke, Wirbelschichten

419

In den engen Poren-Kan¨ alen ist die Str¨ omung hydrodynamisch ausgebildet, 2 d wpx /2 /dt = 0. Man erh¨ alt daher die dissipierte Leistung je Volumeneinheit zu ˙ diss W dp φ= =− + F fx wx . ΔV dt Einsetzen in (3.278) ergibt unter Beachtung von (3.272) und mit dp/dt = wx ∂ p/∂x F cF

∂ ϑF ∂ ϑF ∂ 2 ϑF dp Apx + F cF wx Ax = λF Apx − wx Ax + F fx wx Ax . ∂t ∂x ∂y 2 dx

F¨ ur einen por¨ osen K¨ orper ist der L¨ uckengrad deﬁniert durch ε=

VP Apx Δx Apx = = , V Ax Δx Ax

wobei VP das Porenvolumen bedeutet. Damit lautet die Energiebilanz des durch die Poren str¨ omenden Fluids εF cF

∂ ϑF ∂ ϑF ∂ 2 ϑF dp + F cF wx = ελF − wx + F fx wx . ∂t ∂x ∂y 2 dx

(3.279)

Entsprechend erh¨alt man f¨ ur die geometrisch dreidimensionale Str¨omung εF cF

∂ ϑF ∂ ϑF ∂ 2 ϑF dp + F cF wi = ελF − wi + F fi wi . ∂t ∂xi ∂xi 2 dxi

(3.280)

Wirkt als Volumenkraft nur die Schwerkraft, so ist fi = gi mit den Komponenten (0, -g, 0), wenn die y-Achse senkrecht nach oben zeigt. Der por¨ ose Feststoﬀ nimmt den Volumenanteil 1 − ε ein. F¨ ur ihn gilt bei geometrisch eindimensionaler W¨ armeleitung in y-Richtung (1 − ε)S cS

∂ ϑS ∂ 2 ϑS = (1 − ε)λS + (1 − ε)φS . ∂t ∂y 2

(3.281)

φS ist hierin die Leistungsdichte von W¨ armequellen im por¨osen Feststoﬀ. Addition von (3.279) und (3.281) unter der Annahme, dass in einem Volumenelement des por¨ osen K¨ orpers die Temperaturen in Feststoﬀ und Fluid gleich sind, ϑS = ϑF = ϑ, ergibt ∂ϑ ∂ϑ + F cF wx = ∂t ∂x

∂2ϑ dp [ελF + (1 − ε)λS ] 2 + (1 − ε)φS + wx − + F f x . ∂y dx

[εF cF + (1 − ε)S cS ]

Mit den Abk¨ urzungen σ ∗ :=

εF cF + (1 − ε)S cS εF cF

420

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

und λeﬀ := ελF + (1 − ε)λS sowie φ∗S := (1 − ε)φS erh¨alt man als Energiebilanz

∂ϑ ∂2ϑ dp ∗ ∂ϑ ∗ F cF σ + wx = λeﬀ 2 + φS + wx − + F f x . (3.282) ∂t ∂x ∂y dx F¨ ur ein Fluid, auf das außer dem aufgepr¨agten Druckgef¨alle zus¨atzlich noch eine Volumenkraft fx wirkt, gilt anstelle von (3.271)

K dp wx = − + F f x . (3.283) η dx F¨ ur dieses Fluid lautet daher (3.282)

∂ϑ ∂ϑ ∂2ϑ w2 η F cF σ ∗ + wx = λeﬀ 2 + φ∗S + x . ∂t ∂x ∂y K

(3.284)

Eine entsprechende Ableitung f¨ ur die geometrisch dreidimensionale Str¨omung ergibt

∂ϑ ∂ϑ ∂2ϑ w2 η F cF σ ∗ + wi = λeﬀ + φ∗S + i . (3.285) 2 ∂t ∂xi ∂xi K Im station¨ aren Fall, ∂ ϑ/∂t = 0 und bei geometrisch eindimensionaler Str¨omung konstanter Geschwindigkeit wx vereinfacht sich (3.284), wenn wir darin τ := x/wx setzen, zu F cF

∂ϑ ∂2ϑ w2 η = λeﬀ 2 + φ∗S + x . ∂τ ∂y K

(3.284a)

Diese parabolische Diﬀerentialgleichung hat die Form der bekannten W¨armeleitungsgleichung mit W¨ armequellen f¨ ur geometrisch eindimensionalen W¨armeﬂuss in y-Richtung, vgl. (2.11). Dabei entspricht die transformierte x-Koordinate τ := x/wx der Zeit t in (2.11). Zahlreiche L¨osungen dieser Gleichung, besonders f¨ ur φ∗S = 0 und wx2 η/K = 0, ﬁndet man bei Nield und Bejan [3.49, 3.50]. Beispiel 3.13: Wir behandeln den station¨ aren W¨ arme¨ ubergang von einer beheizten ebenen Platte an einen por¨ osen K¨ orper, der sich von y=0 bis y → ∞ erstreckt und der von einem Fluid mit konstanter Geschwindigkeit wx = w∞ durchstr¨ omt wird, Abb. 3.40. Am Plattenanfang habe das Fluid die Temperatur ϑ∞ < ϑ0 , wenn ϑ0 die konstante Temperatur der an den por¨ osen K¨ orper grenzenden Plattenoberﬂ¨ ache ist. Da es sich um eine station¨ ares Problem handelt, ∂ ϑ/∂t = 0, und keine W¨ armequellen im Festk¨ orper vorhanden sein sollen, φ∗S = 0, vereinfacht sich (3.284) zu ∂ϑ ∂2ϑ w2 η F cF w∞ = λeﬀ 2 + ∞ ∂x ∂y K

3.8 Durchstr¨ omte Kan¨ ale, Haufwerke, Wirbelschichten

421

Abb. 3.40: W¨ arme¨ ubertragung von einer ebenen Wand an einen parallel zur Wand durchstr¨ omten por¨ osen K¨ orper mit den Randbedingungen ϑ(x = 0, y) = ϑ∞ ,

ϑ(x, y = 0) = ϑ0

und

∂ ϑ(x, y → ∞) =0 ∂y

Die Randbedingung ∂ ϑ(x, y → ∞)/∂y = 0 besagt, dass sich in hinreichend großem Wandabstand die W¨ armezufuhr von der Wand nicht mehr bemerkbar macht. Dennoch steigt die Temperatur infolge der Reibung mit dem Str¨ omungsweg noch weiter an. Wir f¨ uhren dimensionslose Gr¨ oßen ein: ϑ+ :=

ϑ − ϑ∞ , ϑ0 − ϑ∞

y + :=

y , L

x+ :=

aF x F cF

worin aF = λeﬀ /F cF die Temperaturleitf¨ ahigkeit und L eine charakteristische L¨ ange ist. W¨ ahlt man „ «1/2 λeﬀ (ϑ0 − ϑ∞ ) K L := , 2 η w∞ so erh¨ alt man die einfache partielle Diﬀerentialgleichung ∂ ϑ+ ∂ 2 ϑ+ = +1 . + ∂x ∂y + 2

(3.286)

Die Randbedingungen sind ` ´ ϑ+ x+ = 0, y + = 0,

` ´ ϑ+ x+ , y + = 0 = 1

und

` ´ ∂ ϑ+ x+ , y + → ∞ =0 . ∂y +

Die L¨ osung von (3.286), welche den Randbedingungen gen¨ ugt, lautet: ! r „ « 2 y+ y+ x+ −y + + + + + ϑ = x + 1−x − erfc √ +y exp . 2 π 4x+ 2 x+

(3.287)

422

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

Aus der Deﬁnition des W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten ergibt sich die ¨ ortliche Nußelt-Zahl zu „ +« αx x ∂ϑ N ux = =− . λeﬀ L ∂y + y + =0 ` ´ Den Temperaturanstieg ∂ϑ+ /∂y + y + =0 an der Wand ﬁndet man aus (3.287) und damit die o ¨rtliche Nußelt-Zahl zu „ « √ αx 1 x 1 √ N ux = = √ − 2 x+ . λeﬀ πL x+ Hierin ist x x √ = L L x+ und

x√ + x x = L L

„

„

w∞ L2 aF x

aF x w∞ L2

«1/2

„ =

«1/2 =

x2 L2

„

w∞ x aF

aF w∞ x

«1/2 = P e1/2 x

«1/2 =

x2 P e−1/2 . x L2

Nach Einsetzen der charakteristischen L¨ ange L erh¨ alt man hieraus mit νF = η/F √ x νF a F x+ = P e3/2 . x L cF (ϑ0 − ϑ∞ ) K Somit wird die ¨ ortliche Nußelt-Zahl „ « αx 1 νF a F 3/2 N ux = = √ P e1/2 − 2 P e . (3.288) x x λeﬀ cF (ϑ0 − ϑ∞ ) K π √ 1/2 Der erste Term (1/ π) P ex = (N ux )konv ist gleich der ¨ ortlichen Nußelt-Zahl einer reibungsfrei l¨ angs angestr¨ omten ebenen Platte, siehe auch (3.196a) f¨ ur P r → 0. Der zweite Term gibt den Einﬂuss der Reibung auf die Nußelt-Zahl wieder. Er verschwindet bei reibungsfreier Str¨ omung, denn dann geht K → ∞, siehe hierzu auch (3.284). Wie man aus (3.288) ﬁndet, ist der Reibungs- gegen¨ uber den Konvektionsanteil vernachl¨ assigbar, wenn P ex

1 cF |ϑ0 − ϑ∞ | K 2 νF a F

ist. Dass dies nur bei sehr kleinen Geschwindigkeiten w∞ der Fall sein kann, zeigt das folgende Beispiel. Eine Tonschicht werde von Wasser von 20 durchstr¨ omt. Ihr L¨ uckengrad sei ε = 0,3, die Permeabilit¨ at K = 6,6 · 10−12 m2 . Die Stoﬀwerte des Wassers sind F = 998 kg/m3 , cF = 4, 181 · 103 J/kg K, λF = 0,598 W/K m und νF = 1,004 · 10−6 m2 /s. Mit λS = 1,3 W/K m erh¨ alt man λeﬀ = 1,089 W/K m und aF = λeﬀ /F cF = 2,61 · 10−7 m2 /s. Somit kann man den Reibungsanteil gegen¨ uber dem Konvektionsanteil vernachl¨ assigen, wenn P ex 5,265 · 104 |ϑ0 − ϑ∞ | ist. Wie man hieraus erkennt, spielt die Reibung nur bei kleinen Temperaturdifferenzen ϑ0 − ϑ∞ eine Rolle. Bei verschwindender Temperaturdiﬀerenz ϑ0 − ϑ∞ sorgt allein der Reibungsanteil f¨ ur eine W¨ arme¨ ubertragung. Die Aufheizung ist jedoch gering wegen der kleinen Geschwindigkeiten in por¨ osen K¨ orpern.

3.8 Durchstr¨ omte Kan¨ ale, Haufwerke, Wirbelschichten Die ¨ ubertragene W¨ armestromdichte erh¨ alt man aus (3.288) zu „ « λeﬀ νF aF 3/2 q˙ = α (ϑ0 − ϑ∞ ) = √ P e1/2 P ex . x (ϑ0 − ϑ∞ ) − 2 cF K x π

423

(3.289)

Man kann drei F¨ alle unterscheiden: a) Ist ϑ0 = ϑ∞ , so wird die u armestromdichte ¨ bertragene W¨ q˙ = −

λeﬀ 2 νF aF 3/2 √ P ex . x π cF K

Sie ist zur Wand hin gerichtet, daher das negative Vorzeichen. b) Ist ϑ0 > ϑ∞ , so wird W¨ arme durch Konvektion und Leitung von der Wand an den por¨ osen K¨ orper u armt sich dieser durch Dis¨ bertragen, gleichzeitig w¨ sipation im Fluid auf, was einen W¨ armeﬂuss vom por¨ osen K¨ orper zur Wand zur Folge hat. Bei kleinen P´eclet-Zahlen u armestrom von der ¨berwiegt der W¨ Wand an den por¨ osen K¨ orper, bei großen P´eclet-Zahlen dagegen der vom por¨ osen K¨ orper zur Wand. Bei der P´eclet-Zahl P ex =

cF (ϑ0 − ϑ∞ ) K 2 νF a F

heben sich die beiden W¨ armestr¨ ome gerade auf. Es wird keine W¨ arme u ¨bertragen. c) Ist ϑ0 < ϑ∞ , so wird W¨ arme durch Konvektion und Leitung an die Wand u armestrom ﬂießt zur ¨ bertragen. Auch der durch Dissipation erzeugte W¨ Wand hin.

3.8.4.3 W¨ arme¨ ubertragung in durchstr¨ omten Kan¨ alen Wir behandeln die W¨ arme¨ ubertragung bei erzwungener Str¨omung in Kan¨alen, die mit einem por¨osen Stoﬀ gef¨ ullt sind. Als einfachsten Fall untersuchen wir zuerst die W¨ arme¨ ubertragung in einem Kanal, der von zwei planparallelen unendlich ausgedehnten Platten begrenzt wird. Anschließend untersuchen wir die W¨ arme¨ ubertragung in einem zylindrischen Kanal. In beiden F¨allen gelte das Darcysche Gesetz, wonach die Geschwindigkeit wx u ¨ber den Kanalquerschnitt konstant ist. Wie in Abb. 3.41 dargestellt, habe das Fluid im Eintrittsquerschnitt des Kanals die Temperatur ϑα . An die Umgebung der Temperatur werde W¨ arme durch Konvektion mit dem W¨arme¨ ubergangskoeﬃzienten α u ar, ∂ϑ/∂t = 0. Durch Reibung in den en¨ bertragen. Das Problem ist station¨ gen Poren wird Energie dissipiert, die wir als Quellterm in der Energiebilanz ber¨ ucksichtigen. In diesem Fall geht (3.285) u ¨ ber in

2 ∂ϑ ∂ ϑ n ∂ϑ w2 η F cF wx = λeﬀ + + x (3.290) 2 ∂x ∂r V ∂r K mit n = 0 f¨ ur den durchstr¨ omten Kanal und n = 1 f¨ ur das durchstr¨omte Rohr.

424

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

Abb. 3.41: W¨ arme¨ ubertragung an einen por¨ osen K¨ orper in einem zylindrischen Kanal

Die Randbedingungen lauten x = 0 : ϑ (r) = ϑα r = 0 : ∂ϑ/∂r = 0 r = R : −λ

∂ϑ = α (ϑ − ϑU ) . ∂r

(3.291)

Man kann sich hier die Frage stellen, ob man angesichts der geringen Str¨omungsgeschwindigkeiten in den engen Poren u ¨ berhaupt die dissipierte Energie ber¨ ucksichtigen muss. Dass sie besonders dann nicht vernachl¨assigbar ist, wenn Gase durch den por¨ osen K¨ orper str¨ omen, sieht man ein, wenn man absch¨ atzt, wie groß der Temperaturanstieg ∂ϑD /∂x mit der Lauﬂ¨ange infolge Dissipation ist. Nach (3.290) ist F cF wx

∂ϑD w2 η ≈ x ∂x K

oder umgeformt mit (3.273) ∂ϑD ∂p 1 ≈− . ∂x ∂x F cF ¨ Presst man beispielsweise Luft mit einem Uberdruck von 0, 02 MPa durch eine 1 m dicke por¨ ose Schicht, so erh¨ alt man ∂ϑD N 1 ≈ 0, 02 · 106 2 = 16, 26 K/m . ∂x m 1 m · 1, 23 kg/m3 · 103 J/kg K Einen solchen Temperaturanstieg wird man nicht vernachl¨assigen. W¨ urde man hingegen Wasser unter gleichen Bedingungen durch die por¨ose Schicht pressen, so erhielte man wegen dessen sehr viel gr¨oßerer Dichte und W¨ armekapazit¨ at nur einen vernachl¨ assigbar geringen Temperaturanstieg durch Dissipation ∂ϑD N 1 ≈ 0, 02 · 106 2 = 5 · 10−3 K/m . ∂x m 1 m · 103 kg/m3 · 4 · 103 J/kg K

3.8 Durchstr¨ omte Kan¨ ale, Haufwerke, Wirbelschichten

425

¨ Wie diese Uberlegungen jedoch zeigen, kann Dissipation durchaus von Bedeutung sein. Wir wollen sie daher im Folgenden nicht vernachl¨assigen. In die W¨ armeleitungsgleichung (3.290) f¨ uhren wir dimensionslose Gr¨oßen ein: ϑ+ :=

ϑ − ϑU ; ϑα − ϑU

x+ :=

P reﬀ :=

ν ; aeﬀ

x aeﬀ λeﬀ mit aeﬀ = ; wx R2 F cF Φ+ =

r+ :=

r ; R

wx2 R2 P reﬀ . cF K (ϑα − ϑU )

Damit geht (3.290) u ¨ ber in ∂ϑ+ ∂ 2 ϑ+ n ∂ϑ+ = + + Φ+ . ∂x+ ∂r+2 r+ ∂r+

(3.292)

Die Randbedingungen lauten x+ = 0 : ϑ+ r+ = 1 r+ = 0 : ∂ϑ+ /∂r+ = 0 r+ = 1 : −

∂ϑ+ = Bi ϑ+ . ∂r+

(3.293)

Wir behandeln zuerst den ebenen Kanal, n = 0. Zur L¨ osung von (3.292) w¨ ahlen wir wie schon in Kapitel 3.2.4.2 einen Produktansatz, hier in der Form

1−r+2 ϑ+ r+, x+ = F r+ G x+ + Φ+ + const , (3.294) 2 worin const eine noch oﬀene Konstante ist, die sich durch Anpassen an die Randbedingungen noch ergeben wird. Mit Hilfe des Produktansatzes wird (3.292) u uhrt in ¨ berf¨ dG d2 F F r+ = G x+ + +2 dx dr oder

1 dG 1 d2 F = . G (x+ ) dx+ F (r+ ) dr+2

Die Gleichheit beider Seiten ist nur m¨ oglich, wenn jede der Seiten gleich einer Konstanten μ2 ist. Dadurch entstehen in bekannter Weise, s. Kap. 3.2.4.2, zwei gew¨ ohnliche Diﬀerentialgleichungen 1 dG 1 d2 F 2 = −μ und = −μ2 . G (x+ ) dx+ F (r+ ) dr+2

426

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

Die L¨ osung der ersten Gleichung lautet G x+ = C0 exp −μ2 x+ , die der zweiten

F r+ = C1 cos μ r+ .

Man erh¨ alt damit einen Temperaturverlauf +

ϑ

+

+

r ,x

= C cos μ r+ exp −μ2 x+ + Φ+

1−r+2 + const . (3.295) 2

Dieser erf¨ ullt bereits die Randbedingung f¨ ur r+ = 0: ∂ϑ+ /∂r+ = 0. Anpassen + + an die Randbedingung −∂ϑ /∂r = Bi ϑ+ an der Stelle r+ = 1 ergibt % & C μ sin (μ) exp −μ2 x+ + Φ+ = Bi C cos (μ) exp −μ2 x+ + Φ const . Da wir u ugen k¨onnen, setzen wir const = ¨ ber die Konstante const noch frei verf¨ 1/Bi. Die Eigenwerte μ m¨ ussen dann noch der Bestimmungsgleichung tan μ = Bi/μ

(3.296)

gen¨ ugen, die identisch mit der schon in Kapitel 2.3.4.3 gefundenen Gl. (2.170) ist. Als L¨ osung von (3.296) erh¨ alt man unendlich viele Eigenwerte. Die Summe ∞ ϑ+ r+, x+ = Ci cos μi r+ exp −μ2i x+ + Φ+ i=1

1−r+2 1 + 2 Bi

(3.297)

ist somit allgemeine L¨ osung der W¨ armeleitungsgleichung (3.292). Sie gen¨ ugt allen Randbedingungen, außer der Anfangsbedingung ϑ+ (r+, x+ = 0) = 1. Um diese zu erf¨ ullen, muss gelten 1=

∞ i=1

Ci cos μi r+ + Φ+

1−r+2 1 + 2 Bi

.

Multiplikation dieser Gleichung mit cos (μj r+ ) und Integration zwischen den Grenzen r+ = 0 und r+ = 1 ergibt dann unter Beachtung der Orthogonalit¨ atsbedingung 1

cos μi r+ cos μj r+ dr+ f¨ ur alle i = j ,

0

die in Kapitel 3.2.4.2 erl¨ autert wurde, die noch unbekannten Konstanten Ci zu 2 sin μi 2 sin μi Ci = − Φ+ 2 . μi + sin μi cos μi μi (μi + sin μi cos μi )

3.8 Durchstr¨ omte Kan¨ ale, Haufwerke, Wirbelschichten

427

Mit (3.296) l¨ asst sich dies noch vereinfachen zu Ci = ci − Φ+

ci = ci + Φ+ di . μ2i

(3.298)

Es bedeutet ci =

2 sin μi 2 Bi 1 = ; μi + sin μi cos μi Bi2 + Bi + μi cos μi

di = −

ci . μ2i

(3.299)

Damit l¨ asst sich die Temperaturverteilung ϑ+ (r+, x+ ) nach (3.297) in zwei Terme aufspalten ∞ + + ϑ r ,x = ci cos μi r+ exp −μ2i x+ + +

i=1

2

+

+Φ 2

34 + + ϑ+ (r ,x ) I

5

∞ 2 + 1−r+2 1 + + + di cos μi r exp −μi x . (3.300) 2 Bi i=1 34 5 + + + ϑII (r , x )

+ + Der erste Term ϑ+ I (r , x ) beschreibt den Temperaturverlauf bei verschwindender Dissipation, und ist identisch mit (2.171), wenn man dort die dimensionslose Zeit t+ = a t/R2 durch die dimensionslose Ortskoordinate + + x+ = x aeﬀ / wx R2 ersetzt. Der zweite Term ϑ+ II (r , x ) gibt den Einﬂuss der Dissipation auf den Temperaturverlauf wieder. Die dimensionslose Mitteltemperatur

1 ϑ+ m =

ϑ+ dr+ 0

erh¨ alt man durch die Integration von (3.300) zu ϑ+ m =

∞

ci

i=1

sin μi exp −μ2i x+ + μi

+

+Φ

∞ 2 + 1 1 sin μi + + di exp −μ x . 4 Bi i=1 μi

(3.301)

F¨ ur gen¨ ugend große Werte x+ gen¨ ugt das erste Glied der Reihen von (3.300) und (3.294) zur Berechnung des Temperaturverlaufs. Man erh¨alt aus (3.300) + + ϑ+ = c cos μ r+ exp −μ2 x+ + 1 r ,x 1−r+2 1 + Φ+ + + d cos μ r+ exp −μ2 x+ . (3.302) 2 Bi

428

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

Der erste Eigenwert μ = μ1 h¨ angt ebenso wie die Gr¨oßen c = c1 und d = d1 von der Biot-Zahl Bi = α R/λ ab. Tabelle 2.6 enth¨alt bereits μ1 als L¨osung von (3.296) und c1 als L¨ osung von (3.299). Werte f¨ ur d1 = d ﬁndet man, indem man nach (3.299) die Werte c1 der Tabelle 2.6 mit −2/μ2 multipliziert. F¨ ur das durchstr¨omte Rohr gilt Gl. (3.292) mit n = 1. Der Produktansatz (3.294) f¨ uhrt nun auf einen Temperaturverlauf

2 + 1−r+2 + + + + + ϑ r , x = C J0 μi r exp −μi x + Φ + const , (3.303) 2 mit der Besselfunktion J0 . Der Ansatz erf¨ ullt bereits die Randbedingung (∂ϑ+ /∂r+ ) = 0 an der Stelle r+ = 0. Anpassen an die Randbedingung − (∂ϑ+ /∂r+ ) = Bi ϑ+ an der Stelle r+ = 1 ergibt % & C μ J1 (μ) exp −μ2 x+ + Φ+ = Bi C J0 (μ) exp −μ2 x+ + Φ+ const . Setzt man const = 1/Bi, so erh¨ alt man die Bestimmungsgleichung f¨ ur die Eigenwerte μ Ji (μ) = Bi J0 (μ) , (3.304) die mit (2.177) u osung von (3.303) erh¨alt man wieder ¨bereinstimmt. Als L¨ unendlich viele Eigenwerte. Die Summe ∞ ϑ r+, x+ = Ci J0 μi r+ exp −μ2i x+ + Φ+ +

i=1

1−r+2 1 + 2 Bi

(3.305)

ist daher allgemeine L¨ osung der W¨ armeleitungsgleichung (3.292) f¨ ur n = 1. Die Konstanten Ci ﬁndet man durch Anpassen an die Anfangsbedingung ϑ+ (r+, x+ = 0) = 1 zu Ci = ci + Φ+ di . (3.306) Es bedeuten 2 Ji (μi ) 2 Bi 2 und di = −ci 2 . % 2 2& = μi Bi2 + μ2i J0 (μi ) μi J0 (μi ) + J1 (μi ) (3.307) Wir spalten damit die Temperaturverteilung nach (3.305) in zwei Terme auf ci =

∞ ϑ+ r+, x+ = ci J0 μi r+ exp −μ2i x+ + i=1

2

+

+Φ 2

34 + + ϑ+ (r ,x ) I

5

∞ 2 + 1−r+2 1 + + + di J0 μi r exp −μi x . (3.308) 2 Bi i=1 34 5 + + + ϑII (r , x )

3.8 Durchstr¨ omte Kan¨ ale, Haufwerke, Wirbelschichten

429

+ + Der erste Term ϑ+ I (r , x ) beschreibt wie in (3.300) den Temperaturverlauf ohne Dissipation und ist identisch mit (2.178), wenn man dort die dimensionslose Zeit t+ = a t/R2 durch die dimensionslose Ortskoordinate + + x+ = x aeﬀ / wx R2 ersetzt. Der zweite Term ϑ+ II (r , x ) beschreibt den Einﬂuss der Dissipation. Die dimensionslose Mitteltemperatur folgt aus

1 ϑ+ m

=2

ϑ+ r+, x+ r+ dr+

0

zu ϑ+ m

∞ exp −μ2i x+ = 4 Bi + μ2 (Bi2 + μ2i ) i=1 i 2

+ Φ+

2 + ∞ exp −μi x 1 1 + − 8 Bi2 . 4 (Bi2 + μ2 ) 4 Bi μ i i=1 i

(3.309)

F¨ ur große Werte x+ gen¨ ugt das erste Glied der Reihen aus (3.308) + + ϑ+ = c exp −μ2 x+ J0 μ r+ 1 r ,x 1−r+2 1 + Φ+ + + d exp −μ2 x+ J0 μ r+ (3.310) . 2 Bi Den ersten Eigenwert μ1 = μ sowie die Gr¨ oßen c1 = c als Funktion der BiotZahl Bi = α R/λ ﬁndet man in Tabelle 2.6, die Gr¨oßen d1 = d nach (3.307). Der zeitliche Temperaturverlauf l¨ angs der Achse r+ = 0 l¨asst sich nach + + (3.308) wiederum in zwei Anteile aufspalten, von denen der erste ϑ+ I (r = 0, x ) identisch ist mit dem Temperaturverlauf f¨ ur den Zylinder in Abb. 2.30, wenn + 2 man dort die dimensionslose Zeit t = a t/r durch die dimensionslose Orts + 2 koordinate x = x aeﬀ / wx r ersetzt. + + + In Abb. 3.42 ist ϑ+ u ¨ ber x+ dargestellt. Wie das Bild II (r = 0, x ) /Φ zeigt, ist im vorderen Teil des por¨ osen K¨ orpers der Reibungsanteil gering. Er nimmt mit der Lauﬂ¨ ange zu und n¨ ahert sich f¨ ur das durchstr¨omte Rohr ebenso wie f¨ ur den durchstr¨ omten ebenen Kanal asymptotisch dem Wert + + ϑ+ 1 1 II (r = 0, x → ∞) = + + Φ 2 Bi

f¨ ur Bi = 1 somit dem Wert 1,5, wie auch Abb. 3.42 zeigt.

430

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

+ + Abb. 3.42: Zeitlicher Temperaturanstieg ϑ+ infolge Dissipation entlang II (x )/Φ + der Achse r = 0 eines sehr langen Zylinders f¨ ur Bi = αR/λ = 1, 0

3.8.5 Wirbelschichten Wirbelschichten bestehen aus Feststoﬀpartikeln, die durch ein aufw¨arts str¨omendes Fluid im zeitlichen Mittel im Schwebezustand gehalten werden. Sie sind erstmalig im Winkler-Verfahren (DRP 437 970 vom 28. Sept. 1922) zur Kohlevergasung eingesetzt worden. Heute werden Wirbelschichtverfahren in vielf¨ altiger Weise genutzt: F¨ ur chemische Reaktionen, u.a. zum Mischen, Agglomerieren oder Trocknen von Feststoﬀen. Abb. 3.43 zeigt schematisch eine Gas-Feststoﬀ-Wirbelschicht.

Abb. 3.43: Wirbelschicht

Um eine Wirbelschicht zu erzeugen, muss die Geschwindigkeit des aufw¨arts str¨ omenden Fluids gerade so groß sein, dass Kr¨aftegleichgewicht zwischen den

3.8 Durchstr¨ omte Kan¨ ale, Haufwerke, Wirbelschichten

431

von der Str¨ omung ausge¨ ubten Kr¨ aften und dem Gewicht der Feststoﬀpartikel herrscht. Dann ist Δp = gH = [S (1 − ε) + F ε]gH ,

(3.311)

wenn H die H¨ ohe ist, welche die Feststoﬀpartikel in der S¨aule ausf¨ ullen, S die Dichte des Feststoﬀs und F die des Fluids. Da die Masse des Feststoﬀs konstant bleibt, unabh¨angig davon, wie hoch die Feststoﬀpartikel aufgewirbelt werden, gilt MS = S (1 − ε)A0 H = const und in einer S¨ aule konstanten Querschnitts S (1 − ε)H = const . Der L¨ uckengrad nimmt mit der H¨ ohe der Wirbelschicht zu. Andererseits ist in Gas-Feststoﬀ-Wirbelschichten fast immer F S und daher auch Δp ∼ = S (1 − ε)gH = const . Der Druckabfall einer Wirbelschicht ist unabh¨angig von ihrer H¨ohe in guter N¨ aherung konstant. Um die Feststoﬀpartikel zum Schweben zu bringen, muss das Fluid eine bestimmte Mindestgeschwindigkeit, die sogenannte Lockerungsgeschwindigkeit wL , u ¨ berschreiten, wG ≥ wL . Diese ergibt sich mit Hilfe der im VDIW¨ armeatlas [3.51] mitgeteilten N¨ aherungsgleichung aus wL dP ∼ (1 − εL ) ϕ3S ε3L 1/2 ReL = (1 + 3,11 · 10−4 Ar) − 1 (3.312) = 42,9 ν ϕS (1 − εL )2 mit der Archimedes-Zahl Ar als Verh¨ altnis von Auftriebs- zu Reibungskr¨aften Ar =

S − F d3P g F ν2

und der Sph¨arizit¨at deﬁniert als ϕS =

Oberﬂ¨ ache einer Kugel gleichen Volumens wie die Partikel . Partikeloberﬂ¨ ache

Zahlenwerte f¨ ur die Sph¨ arizit¨ at enth¨ alt der VDI-W¨armeatlas [3.51]; f¨ ur abgerundeten Sand beispielsweise ist ϕS = 0,86. εL in (3.312) ist der L¨ uckengrad am Lockerungspunkt. Bei Geschwindigkeiten oberhalb der Lockerungsgeschwindigkeit dehnt sich die Wirbelschicht aus. Ihre H¨ ohe und ihr L¨ uckengrad nehmen zu. FeststoﬀFl¨ ussigkeitssysteme dehnen sich mit zunehmender Fl¨ ussigkeitsgeschwindigkeit kontinuierlich aus, und die Feststoﬀpartikel sind homogen verteilt. In Feststoﬀ-

432

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

Gassystemen bilden sich innerhalb der Wirbelschicht Gasblasen, so dass ein heterogenes System entsteht. Die Fluidgeschwindigkeit bzw. die Reynolds-Zahl des Fluids und der L¨ uckengrad sind daher in Wirbelschichten im Gegensatz zu Festbetten nicht unabh¨ angig voneinander. Vielmehr nimmt der L¨ uckengrad vom Wert ε ∼ = 0,4 des Festbetts mit der Reynolds-Zahl bis zu einem Wert ε → 1 zu, der dann n¨ aherungsweise erreicht wird, wenn sich nur noch ein Einzelpartikel in einem großen Volumen beﬁndet. W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergangskoefﬁzienten in einer Wirbelschicht liegen somit zwischen den Werten f¨ ur das Festbett und denen f¨ ur die Einzelpartikel. Den grunds¨ atzlichen Verlauf der Nußelt- bzw. der Sherwood-Zahl als Funktion der Reynolds-Zahl zeigt Abb. 3.44. Dort sind die Nußelt-Zahl N u = αdP /λ bzw. die Sherwood-Zahl Sh = βdP /D sowie die Reynolds-Zahl Re = wm dP /ν mit dem Partikeldurchmesser gebildet, der f¨ ur nichtkugelf¨ormige Partikel gleich dem ¨ aquivalenten Kugeldurchmesser nach (3.270) ist. In der ReynoldsZahl ist wm die mittlere Geschwindigkeit in der leer gedachten Sch¨ uttung. Erh¨ oht man in einem Festbett die Reynolds-Zahl, so nehmen Nußelt- und Sherwood-Zahl entsprechend dem linken Ast der Kurve in Abb. 3.44 zu. Erreicht das aufw¨ arts str¨ omende Fluid die Lockerungsgeschwindigkeit wL und somit die Reynolds-Zahl den Wert ReL = wL dP /ν, Punkt a in Abb. 3.44, so bildet sich eine Wirbelschicht. Mit zunehmender Fluidgeschwindigkeit andern sich W¨ arme und Stoﬀ¨ ubergangskoeﬃzienten nur wenig: Die Nußelt¨ und die Sherwood-Zahl sind nur schwach von der Reynolds-Zahl abh¨angig, entsprechend der leicht nach oben gew¨ olbten Kurve a b in Abb. 3.44. Nach Erreichen einer bestimmten Fluidgeschwindigkeit, gekennzeichnet durch Punkt b in Abb. 3.44, werden die Partikel nach oben ausgetragen. In Punkt b sind W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergangkoeﬃzienten etwa gleich denen der umstr¨omten Einzelkugel vom Durchmesser dP . In einer homogenen (blasenfreien) Wirbelschicht ist die Geschwindigkeit, mit der die Partikel in Punkt b gerade ausgetragen werden, gleich der Fluidgeschwindigkeit. Punkte auf dem ansteigenden Ast der Kurve f¨ ur die umstr¨omte Einzelkugel rechts von Punkt b sind solche, bei denen die Fluidgeschwindigkeit gr¨ oßer als die Partikelgeschwindigkeit ist. Sie liegen im Bereich der pneumatischen F¨ orderung. Ein mit dem Fluid mitbewegter Beobachter hat bei Erreichen von Punkt b den Eindruck, als w¨ urden die Partikel zu sinken beginnen. Die Austragsgeschwindigkeit im Punkt b ist daher bei einer homogenen Wirbelschicht gleich der Sinkgeschwindigkeit wS eines Partikels in einem ruhenden Fluid. Diese berechnet sich aus der Gleichheit von Auftriebskraft FA und Widerstandskraft FW . Es ist d3 π d2 π w2 FA = (S − F ) P g = FW = cw P F S . (3.313) 6 4 2 Hieraus folgt der Widerstandsbeiwert zu

3.8 Durchstr¨ omte Kan¨ ale, Haufwerke, Wirbelschichten

433

Abb. 3.44: W¨ armeund Stoﬀ¨ ubertragung ¨ beim Ubergang vom Festbett zur Wirbelschicht

cw =

4 (S − F )dP g . 3 F wS2

(3.314)

Mit der Reynolds-Zahl ReS = wS dP /ν und der zuvor deﬁnierten ArchimedesZahl kann man f¨ ur den Widerstandsbeiwert auch schreiben cw =

4 Ar . 3 Re2S

(3.315)

Da der Widerstandsbeiwert cw einer umstr¨ omten Kugel von der ReynoldsZahl abh¨ angt, l¨ asst sich nach (3.315) ein Zusammenhang zwischen der mit der Sinkgeschwindigkeit wS gebildeten Reynolds-Zahl und der ArchimedesZahl herleiten, ReS = f (Ar). F¨ ur die meisten Belange der Verfahrenstechnik interessiert der Bereich ReS ≤ 104 . Das Gebiet oberhalb ReS = 105 , in dem die laminare in die turbulente Grenzschicht umschl¨ agt, kann f¨ ur Aufgaben der Verfahrenstechnik meistens außer acht bleiben. Durch L¨ osen der Navier-Stokes-Gleichung bis Re = 80 und Vergleich mit Experimenten haben Brauer und Mitarbeiter [3.52] das bis Re = 104 sehr genaue empirische Gesetz f¨ ur den Widerstandsbeiwert gefunden 24 5,48 cw = + + 0,36 . (3.316) Re Re0,573 In dieses ist in unserem Fall Re = wS dP /ν = ReS einzusetzen. Es enth¨alt das f¨ ur kleine Reynolds-Zahlen 0 ≤ Re ≤ 1 g¨ ultige Stokessche Gesetz cw = 24/Re und erreicht an der Grenze des G¨ ultigkeitsbereichs Re = 104 den Wert cw = 0,39. Setzt man nun (3.316) in (3.315) ein, so erh¨alt man eine transzendente Gleichung der Form Ar (ReS ), aus der man bei vorgegebener ArchimedesZahl Ar die Reynolds-Zahl ReS durch Iteration entwickeln kann. Um den Rechenaufwand ohne nennenswerten Verlust an Genauigkeit zu vermindern, ersetzt man (3.316) durch die im Bereich 0 ≤ Re ≤ 104 g¨ ultige N¨aherung cw ∼ = 0,36 1 +

24 0,36Re

1/1,8 1,8 .

(3.317)

434

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

Setzt man dies unter Beachtung von Re = ReS in (3.315) ein, so erh¨alt man einen expliziten Ausdruck f¨ ur die Reynolds-Zahl,

1,8 1/1,8 1/2 Ar ReS ∼ −1 , = 19,14 1 + 12,84

(3.318)

g¨ ultig f¨ ur homogene Wirbelschichten im Bereich 0 ≤ ReS ≤ 104 oder 0 ≤ Ar ≤ 2,9 · 107 . F¨ ur heterogene Wirbelschichten, wie sie bei Durchstr¨omung mit Gasen auftreten, gilt ebenfalls (3.318) f¨ ur 0 ≤ ReS ≤ 1,2 · 102 oder 0 ≤ Ar ≤ 104 . Im dar¨ uber hinausgehenden Bereich ReS ≥ 1,2 · 102 oder Ar ≥ 104 gilt nach Reh [3.54] f¨ ur heterogene Wirbelschichten ReS ∼ =

4 Ar 3

1/2 .

(3.319)

Die nach (3.318) berechneten Reynolds-Zahlen weichen geringf¨ ugig von denen einer anderen, von Martin [3.53] mitgeteilten Gleichung ab, geben aber den Zusammenhang ReS (Ar), den man nach Einsetzen des genaueren Widerstandsgesetzes (3.316) von Brauer in die Gleichung (3.315) erh¨alt, etwas besser wieder. Der maximale Fehler in der Reynolds-Zahl nach der N¨aherungsgleichung (3.318) betr¨ agt rund 3,5 %. Mit Hilfe von (3.318) bzw. (3.319) kann man f¨ ur vorgegebene Archimedes-Zahlen die Reynolds-Zahl ReS im Austragspunkt b berechnen. Abb. 3.45 zeigt den Verlauf der W¨arme- und Stoﬀ¨ ubergangskoeﬃzienten in Wirbelschichten f¨ ur verschiedene Archimedes-Zahlen. Nach dem Vorschlag von Martin [3.53] ersetzt man nun die schwach gekr¨ ummte Kurve f¨ ur den W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang in einer Wirbelschicht durch die gestrichelte Waagerechte, Abb. 3.44 und 3.45. W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergangskoefﬁzienten sind dort gleich denen der umstr¨ omten Einzelkugel, Punkt b in Abb. 3.44. Die hierf¨ ur g¨ ultige Gleichung entnimmt man nach Kapitel 3.7.4, Nr.5, worin als Reynolds-Zahl ReS nach (3.278) bzw. (3.279) einzusetzen ist. Abschließend noch einige Bemerkungen zur Energiebilanz f¨ ur einen Wirbelschichtreaktor. Der Temperaturverlauf in den Feststoﬀpartikeln wird, wie im Abschnitt u are W¨ armeleitung in Festk¨orpern dargelegt, maß¨ber instation¨ geblich durch die Biot-Zahl Bi = αdP /λs bestimmt. Sie ist das Verh¨altnis von W¨ armewiderstand im Feststoﬀ zum W¨ armewiderstand im Gas. Wegen der kleinen Partikelabmessungen und der im Vergleich zum Gas guten W¨armeleitf¨ ahigkeit des Feststoﬀs kann man den W¨ armewiderstand der Partikel gegen¨ uber dem des Gases meistens vernachl¨ assigen, denn die Biot-Zahlen in ¨ Wirbelschichten sind sehr klein. Ortliche Temperaturver¨anderungen in den Partikeln sind daher vernachl¨ assigbar. Andererseits werden die Partikel in einer Wirbelschicht gut durchmischt, etwaige anf¨anglich vorhandene Temperaturunterschiede werden rasch abgebaut. Man kann daher den Partikeln einer Wirbelschicht eine einheitliche Temperatur zuordnen, wodurch sich die Energiebilanz erheblich vereinfacht.

3.8 Durchstr¨ omte Kan¨ ale, Haufwerke, Wirbelschichten

435

Abb. 3.45: W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang Fluid/Partikel in der Wirbelschicht, nach Martin [3.53]

Betrachtet man ein Volumenelement dV = A0 dx, der H¨ohe dx, wenn A0 der freie Querschnitt einer Wirbelschicht ist, siehe hierzu Abb. 3.43, so ¨andert sich die Fluidtemperatur in dem Volumenelement durch die vom Fluid an den Feststoﬀ u arme ¨ bergehende W¨ −M˙ F cpF dϑF = α n dAp (ϑF − ϑS )

(3.320)

mit n dAP = aP A0 dx. Wegen M˙ F = wm A0 F ist − dϑF αap = dx . ϑF − ϑS F wm cpF Integration zwischen dem Eintrittsquerschnitt e und dem Austrittsquerschnitt a einer Wirbelschicht der H¨ ohe H ergibt ln

ϑFe − ϑS αm ap = H ϑFa − ϑS F wm cpF

oder mit (3.266), wenn man dort den ¨ aquivalenten Kugeldurchmesser dP nach (3.270) verwendet, und der mittleren Nußelt-Zahl N um = αm dP /λ, der Reynolds-Zahl Re = wm dP /λ und der Prandtl-Zahl P r = ν/a des Fluids ln

ϑFe − ϑS N um 6(1 − ε)H = . ϑFa − ϑS ReP r dP

(3.321)

¨ Entsprechende Uberlegungen gelten auch f¨ ur den Stoﬀaustausch: Der Diffusionswiderstand der Partikel kann gegen¨ uber dem im Gas vernachl¨assigt werden, und man kann den Partikeln stets eine einheitliche Zusammensetzung zuordnen. Wenn nur eine Komponente A zwischen einem aus den Komponenten A und B bestehenden Fluid und dem Feststoﬀ ausgetauscht wird, rechnet man zweckm¨ aßigerweise mit Beladungen des Fluids XF = (M˙ A /M˙ B )F . Die

436

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

Mengenbilanz lautet dann unter der Annahme nicht allzu großer Beladungen des Feststoﬀs mit der Komponente A, siehe Gleichung (1.195a) ˙ B dXF = β p dAp (XF − XS ) = βB aP A0 dx(XF − XS ) . −M RB T Hierin bezeichnet XS = (M˙ A /M˙ B )S die Beladung des Fluids an der Feststoﬀoberﬂ¨ ache. Nach Integration zwischen Eintrittsquerschnitt e und Austrittsquerschnitt a einer Wirbelschicht der H¨ohe H erh¨alt man mit M˙ B = wm A0 B , unter Beachtung von (3.266) und der Deﬁnitionen Shm = βm dP /D, Re = wm dP /ν, Sc = ν/D: ln

XFe − XS Shm 6(1 − ε)H = . XFa − XS ReSc dP

(3.322)

Beispiel 3.14: In einer Wirbelschicht wird nasser Sand durch Luft geringer Feuchte aber gleicher Temperatur wie der Sand getrocknet. Dabei bel¨ adt sich die Luft mit Wasserdampf von der anf¨ anglichen Beladung XFe bis auf den Wert XFa . An der Sandoberﬂ¨ ache sei die Luft mit Wasserdampf ges¨ attigt. Ihre Beladung dort sei XS , so dass der treibende Beladungsunterschied XS − XFe auf den Endwert XS − XFa sinkt. Wie hoch muss die Wirbelschicht mindestens sein, damit das treibende Gef¨ alle XS − XFa im Austrittsquerschnitt nur noch 5 % des treibenden Gef¨ alles XS − XFe im Eintrittsquerschnitt betr¨ agt? Die Geschwindigkeit wm im freien Querschnitt betrage das 10-fache der Lockerungsgeschwindigkeit wL . Gegeben sind: Partikeldurchmesser dP = 0,5 mm, Dichte des Sandes S = 1500 kg/m3 , Dichte der Luft F = 0,8 kg/m3 , kinematische Viskosit¨ at der Luft ν = 3 · 10−5 m2 /s, Schmidt-Zahl Sc = 0,7, Sph¨ arizit¨ at des Sandes ϕS = 0,86, L¨ uckengrad εS = 0,73, L¨ uckengrad am Lockerungspunkt εL = 0,4. Es ist XS − XFa = 0,05 (XS − XFe ) und daher in (3.322) ln

XFe − XS Shm 6 (1 − ε) H = ln 20 = 2,996 = . XFa − XS Re Sc dP

F¨ ur alle Werte

H Re Sc ≈ 0,5 dP Shm (1 − ε)

ist das treibende Gef¨ alle im Austrittsquerschnitt auf weniger als 5 % des Wertes im Eintrittsquerschnitt abgebaut. Zur Berechnung der Sherwood-Zahl ist zuerst die Archimedes-Zahl zu ermitteln Ar =

(S − F ) d3P g (1500 − 0,8) kg/m3 · (0,5 · 10−3 )3 m · 9,81 m/s2 = = 2 553 . 2 F ν 0,8 kg/m3 (3 · 10−5 )2 m4 /s2

Nach (3.318) ist "„ ReS ≈ 19,14

1+Ar 1/1,8 12,84

"„ «1/2 #1,8 «1/2 #1,8 1+25531/1,8 − 1 = 19,14 − 1 = 47,75 . 12,84

Nach Abschnitt 3.7.4, Nr. 5 wird

3.8 Durchstr¨ omte Kan¨ ale, Haufwerke, Wirbelschichten 1/2

Shm, lam = 0,664 ReS

437

Sc1/3 = 0,664 · 47,751/2 · 0,71/3 = 4,07

0,037 Re0,8 0,037 · 47,750,8 · 0,7 S Sc = = 0,88 −0,1 2/3 1+2,443·47,75−0,1 ·(0,72/3 −1) 1+2,443 ReS (Sc −1) ` ´1/2 = 2 + Sh2m, lam + Sh2m, turb = 2 + (4,072 + 0,882 )1/2 = 6,16 .

Shm, turb = Shm

Die Lockerungsgeschwindigkeit folgt nach (3.312) aus "„ # «1/2 wL dP 1 − εL ϕ3s ε3L ReL = = 42,9 1 + 3,11 · 10−4 Ar − 1 ν ϕS (1 − εL )2 "„ # «1/2 3 3 1 − 0,4 −4 0,86 · 0,4 ReL = 42,9 1 + 3,11 · 10 2553 − 1 = 1,31 . 0,86 (1 − 0,4)2 Wegen Re = 10 ReL = 13,1 wird wm = Re

ν 3 · 10−5 m2 /s = 13,1 = 0,786 m/s . dP 0,5 · 10−3 m

Damit wird H 13,1 · 0,7 ≈ 0,5 = 2,73 dP 6,16 (1 − 0,73)

und

H ≈ 1,38 · 10−3 m .

Man erkennt, dass das treibende Beladungsgef¨ alle sehr stark abgebaut wird. Die erforderliche Mindesth¨ ohe der Wirbelschicht ist demnach sehr klein. Beispiel 3.15: Man berechne die tats¨ achliche H¨ ohe der Wirbelschicht nach Beispiel 3.14, wenn die F¨ ullh¨ ohe 1 m betr¨ agt und gebe an, wie weit das treibende Beladungsgef¨ alle zwischen Ein- und Austrittsquerschnitt wirklich abgebaut wird. Die Feststoﬀmasse ist am Lockerungspunkt dieselbe wie am Betriebspunkt. Daraus folgt A0 HL S (1 − εL ) = A0 H S (1 − εS ) oder

H 1 − εL 1 − 0,4 = = = 2,22 . HL 1 − εS 1 − 0,73 Die F¨ ullh¨ ohe ist gleich der H¨ ohe am Lockerungspunkt HL = 1 m, daraus H = 2,22 m. Mit (3.322) wird dann ln

XFe − XS 6,16 6 (1 − 0,73) · 2,22 m = = 4 831 XFa − XS 13,1 · 0,7 0,5 · 10−3 m XFa − XS ≈ 0

oder

XFa ≈ XS .

Bis zum Austrittsquerschnitt sind die Beladungsunterschiede v¨ ollig abgebaut. Beispiel 3.16: Durch R¨ osten auf 300 erhitzte Kaﬀeebohnen sollen in einer Wirbelschicht durch atmosph¨ arische Luft der Temperatur 20 auf eine Temperatur von 30 abgek¨ uhlt werden. Man berechne die hierf¨ ur erforderliche Zeit. Gegeben seien folgende Werte: F¨ ur die Kaﬀeebohnen: Dichte S = 630 kg/m3 , spez. W¨ armekapazit¨ at cS = 1,70 kJ/kgK, ¨ aquivalenter Partikeldurchmesser dP =

438

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

6 mm, W¨ armeleitf¨ ahigkeit λS = 0,6 W/Km, Masse der Bohnen MS = 100 kg, L¨ uckengrad der Wirbelschicht ε = 0,7. F¨ ur die Luft sei gegeben: Massen˙ G = 5 kg/s, Dichte G = 1,188 kg/m3 , spez. W¨ strom M armekapazit¨ at cpG = 1,007 kJ/kgK, W¨ armeleitf¨ ahigkeit λG = 0,0257 W/Km, kinematische Viskosit¨ at νG = 15,3 · 10−6 m2 /s, Prandtl-Zahl P r = 0,715, Querschnitt der S¨ aule 1,4 m2 . Anmerkung zur L¨ osung: Man beachte, dass die Temperaturen ϑFa = ϑGa des Gases und ϑS der Partikeloberﬂ¨ ache in (3.321) nun Funktionen der Zeit sind, und dass als weitere Gleichung f¨ ur diese beiden Temperaturen noch die Energiebilanz MS cS

dϑmS = M˙ G cpG (ϑGe − ϑG ) dt

zur Verf¨ ugung steht. Wegen der Durchwirbelung des Feststoﬀs ist dessen mittlere Temperatur ϑmS nur eine Zeit-, aber keine Ortsfunktion, damit sind linke und auch rechte Seite unabh¨ angig vom Ort, so dass man rechts f¨ ur die Gastemperatur ϑG auch deren Wert ϑGa im Austrittsquerschnitt setzen darf. MS ist die gesamte Menge des Feststoﬀs. Zur Berechnung der Nußelt-Zahl N um nach (3.321) ist zuerst die ArchimedesZahl zu ermitteln: S − F d3P g Ar = . F ν2 Hierin ist F = G und ν = νG . Damit wird Ar =

(630 − 1,188) kg/m3 (6 · 10−3 )3 m3 · 9,81 m/s2 = 4,79 · 106 . 1,188 kg/m3 (15,3 · 10−6 )2 m4 /s2

Aus (3.319) folgt damit 4 4 ReS = ( Ar)1/2 = ( · 4,79 · 106 )1/2 = 2,527 · 103 . 3 3 Nach Abschnitt 3.7.4, Nr. 5 wird 1/2

N um, lam = 0,664 ReS

N um, turb =

=

P r 1/3 = 0,664 (2,527 · 103 )1/2 (0, 715)1/3 = 29,85

0,037 Re0,8 S Pr 1 + 2,443 Re−0,1 (P r 2/3 − 1) S 0,037 · (2,527 · 103 )0,8 · 0,715 = 17,97 1 + 2,443 · (2,527 · 103 )−0,1 · (0,7152/3 − 1)

` ´1/2 ` ´1/2 N um = 2 + N u2m, lam + N u2m, turb = 2 + 29,852 + 17,972 = 36,84 . Die Geschwindigkeit in der leeren S¨ aule folgt aus wm = Damit ist Re =

M˙ G 5 kg/s = = 3 m/s . G A0 1,188 kg/m3 · 1,4 m2

wm dP 3 m/s · 6 · 10−3 m = = 1,176 · 103 . νG 15,3 · 10−6 m/s2

In (3.321) wird mit ϑF = ϑG

3.8 Durchstr¨ omte Kan¨ ale, Haufwerke, Wirbelschichten ln

439

ϑGe − ϑS 36,84 6(1 − 0,7)H = . ϑGa − ϑS 1,176 · 103 · 0,715 6 · 10−3 m

Die H¨ ohe H der Wirbelschicht ergibt sich aus der Masse der Kaﬀeebohnen MS = (1 − ε) A0 S H zu H=

MS 100 kg = = 0,378 m . (1 − ε) A0 S (1 − 0,7) · 1,4 m2 · 630 kg/m3

Es ist somit

ϑGe − ϑS = 143,8 = c0 (3.323) ϑGa − ϑS mit ϑGe = 293,15 K. Die Gleichung enth¨ alt als Unbekannte noch die Temperatur ϑGa (t) im Austrittsquerschnitt und die Temperatur ϑS (t) des Feststoﬀs. Als weitere Bilanzgleichung steht noch MS cS

dϑmS = M˙ G cpG (ϑGe − ϑGa ) dt

(3.324)

zur Verf¨ ugung. ϑmS (t) ist hierin die mittlere Temperatur des Feststoﬀs. Sie h¨ angt mit seiner Oberﬂ¨ achentemperatur ϑS (t) zusammen, gem¨ aß αmS (ϑmS − ϑS ) = αmG (ϑS − ϑGa ) ϑmS =

αmG (ϑS − ϑGa ) + ϑS . αmS

Mit αmS ≈ λS /(dP /2) und Bi = αmG dP /λS wird ϑmS ≈

Bi (ϑS − ϑGa ) + ϑS . 2

(3.325)

Aus (3.323) und (3.325) erh¨ alt man durch Elimination von ϑS ϑGe − ϑGa =

(ϑGe − ϑmS ) (c0 − 1) . c0 + Bi/2

Gl. (3.325) geht damit u ¨ ber in 1 dϑmS M˙ G cpG c0 − 1 = . ϑGe − ϑmS dt MS cS c0 + Bi/2 Integration zwischen t = 0 und t = t1 ergibt ln

˙ G cpG c0 − 1 ϑGe − ϑmS (t = 0) M = t1 . ϑGa − ϑmS (t = t1 ) MS cS c0 + Bi/2

Hierin ist Bi =

αmG dP αmG dP λG λG 0,0257 W/Km = = N um = 36,84 = 1,58 . λS λG λS λS 0,6 W/Km

Damit wird ln

293,15 − 673,15 5 kg/s · 1,007 kJ/kgK · (143,8 − 1) = t1 , 293,15 − 303,15 100 kg · 1,70 kJ/kgK · (143,8 + 1,58/2)

also t1 = 124,4 s ≈ 2,1 min .

440

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

3.8.6 Einige empirische Gleichungen fu arme¨r den W¨ und Stoﬀu omten Kan¨ alen, ¨ bergang in durchstr¨ Haufwerken und Wirbelschichten Im Folgenden werden die bisherigen Gleichungen zusammenfassend dargestellt und um einige weitere erg¨ anzt. 1. Durchstr¨ omtes Rohr a) Turbulente Str¨omung: N um = 0,023Re0,8 P r0,4 (η/η0 )0,14 , g¨ ultig f¨ ur 0,5 < P r < 120, 104 < Re < 105 , L/d ∼ 60. ) * 2/3 0,14 N um = 0,037(Re0,75 − 180)P r0,42 1 + (d/L) (η/η0 ) , g¨ ultig f¨ ur 2300 < Re < 105 , 0,5 < P r < 500, L/d ∼ 10. In einem weiten Bereich der Kennzahlen gilt

2/3 (ζ/8) Re P r d N um = 1+ 2/3 L 1 + 12,7 ζ/8(P r − 1) mit dem Widerstandsbeiwert Δp 1 ζ= = , 2 (L/d)(wm /2) (0,78 ln Re − 1,5)2 g¨ ultig f¨ ur 104 ≤ Re ≤ 106 , 0,6 ≤ P r ≤ 1000, L/d > 1. Alle Stoﬀwerte sind auf das arithmetische Mittel (ϑe + ϑa )/2 aus mittlerer Eintrittstemperatur ϑe und mittlerer Austrittstemperatur ϑa zu beziehen, nur η0 ist auf die Wandtemperatur bezogen. Die Nußelt- und die Reynolds-Zahl werden mit dem Rohrdurchmesser gebildet. b) Laminare Str¨omung: Hydrodynamisch ausgebildete Laminarstr¨omung, konstante Wandtemperatur: N um =

3,657 0,0499 + tanh X + , X+ tanh(2,264X +1/3 + 1,7 X +2/3 )

g¨ ultig f¨ ur 0 ≤ X + = L/(dP e) ≤ ∞, Re ≤ 2300. Hydrodynamisch und thermisch nicht ausgebildete Laminarstr¨omung, konstante Wandtemperatur: N um 1 = , N uma tanh(2,432P r1/6 )X +1/6 g¨ ultig f¨ ur 0 < X + ≤ ∞, 0 < P r ≤ ∞, Re ≤ 2300. N um ist die Nußelt-Zahl bei hydrodynamisch und thermisch nicht ausgebildeter, N uma die bei hydrodynamisch ausgebildeter Laminarstr¨ omung.

3.8 Durchstr¨ omte Kan¨ ale, Haufwerke, Wirbelschichten

441

2. Nichtkreisf¨ ormige Rohre Es gelten die vorigen Gleichungen; man hat lediglich den Rohrdurchmesser d in der Nußelt- und der Reynolds-Zahl durch den hydraulischen Durchmesser dh = 4A/U mit dem durchstr¨ omten Querschnitt A und dem vom Fluid benetzten Umfang U zu ersetzen. 3. Konzentrische Ringspalte Unter einem konzentrischen Ringspalt versteht man den Raum zwischen zwei konzentrisch angeordneten Rohren. Man hat drei F¨alle der W¨armeu ¨ bertragung zu unterscheiden: 3.1: W¨ arme wird am Innenrohr u ¨ bertragen. Das Außenrohr ist isoliert. 3.2: W¨ arme wird am Außenrohr u ¨bertragen. Das Innenrohr ist isoliert. 3.3: W¨ arme wird am Innen- und Außenrohr u ¨ bertragen. Das Fluid str¨ome in axialer Richtung durch den Ringspalt. Der Außendurchmesser des Innenrohres sei di , der Innendurchmesser des Außenrohres da . Der hydraulische Durchmesser ist dh = da − di . a) Turbulente Str¨omung Man bezieht die mittlere Nußelt-Zahl N um auf (N um )Rohr des turbulent durchstr¨ omten Rohres nach Nr. 1a. Beide Nußelt-Zahlen werden mit dem hydraulischen Durchmesser gebildet, N um = αm dh /λ. Die Reynolds-Zahl ist Re = wm dh /ν. Es gilt in den oben genannten F¨allen 3.1 : 3.2 : 3.3 :

−0,16 N um di = 0,86 (N um )Rohr da

0,6 N um di = 1 − 0,14 (N um )Rohr da % & 0,86(di /da ) + 1 − 0,14(di /da )0,6 N um = . (N um )Rohr 1 + (di /da )

Die Gleichungen gelten im gleichen Bereich wie die f¨ ur (N um )Rohr nach Nr. 1a und f¨ ur 0 ≤ di /da ≤ 1. b) Laminare, hydrodynamisch ausgebildete Str¨omung Es ist

N um − N u∞ di =f . (N um )Rohr − 3,657 da In der Gleichung f¨ ur die laminare Rohrstr¨omung nach Nr. 1b ist die Gr¨ oße X + nun mit dem hydraulischen Durchmesser zu bilden, X + = L/(dh P e) mit P e = wm dh /a. Es gilt in den oben genannten F¨ allen

442

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

3.1 :

N u∞ = 3,657 + 1,2(di /da )−0,8 , f (di /da ) = 1 + 0,14(di /da )−1/2 .

3.2 :

N u∞ = 3,657 + 1,2(di /da )1/2 ,

3.3 :

f (di /da ) = 1 + 0,14(di /da )1/3 .

0,04 0,102 di N u∞ = 3,657 + 4 − , 0,02 + (di /da ) da f (di /da ) = 1 + 0,14(di /da )0,1 .

Die Gleichungen gelten f¨ ur 0 ≤ X + ≤ ∞, Re ≤ 2300 und 0 ≤ di /da ≤ 1. 4. Durchstr¨ omte Kugel- und andere Sch¨ uttungen N um = fε N umK . Die mittlere Nußelt-Zahl N um wird auf die Nußelt-Zahl N umK der umstr¨ omten Einzelkugel (siehe 3.7.4, Nr. 5) zur¨ uckgef¨ uhrt. Der Faktor fε ist vom L¨ uckengrad ε = VG /V abh¨ angig, und zwar ist fε = 1 + 1,5(1 − ε) im Bereich 0,26 < ε < 1 . F¨ ur Haufwerke aus Kugeln verschiedenen Durchmessers oder aus nichtkugelf¨ ormigen Partikeln, bildet man einen ¨ aquivalenten Kugeldurchmesser dP = AmP /π mit der mittleren Partikeloberﬂ¨ ache AmP = aP /nV ,

mit

aP = 6(1 − ε)/dP ,

worin aP die speziﬁsche Oberﬂ¨ ache der Partikel (SI-Einheit m2 /m3 ) und nV die Zahl der Partikel je Volumeneinheit (SI-Einheit 1/m3 ) wird. Damit berechnet man die Nußelt-Zahl N umK . Angaben u ¨ ber den Faktor fε ﬁndet man in Tabelle 3.4. 5. Wirbelschichten Die Nußelt-Zahl ist gleich derjenigen der umstr¨omten Einzelkugel N umK , Kapitel 3.7.4, Nr. 5. Die darin ben¨ otigte Reynolds-Zahl Re = ReS ergibt sich aus (3.318) ReS ∼ = 19,14

1,8 1/2 Ar1/1,8 1+ −1 12,84

mit der Archimedes-Zahl Ar =

S − F d3P g , F ν2

3.9 Freie Str¨ omung

443

g¨ ultig f¨ ur homogene Wirbelschichten f¨ ur 0 ≤ ReS ≤ 104

oder 0 ≤ Ar ≤ 2,9 · 107 .

F¨ ur heterogene Wirbelschichten gilt die Gleichung im Bereich <

0 ≤ ReS ∼ 1,2 · 102

<

oder 0 ≤ Ar ∼ 104 .

Im Bereich ReS > 1,2 · 102 oder Ar ≥ 104 ist ReS ∼ = (4 Ar/3)1/2 .

3.9 Freie Stro ¨mung W¨ ahrend eine erzwungene Str¨ omung durch ¨ außere Kr¨afte, beispielsweise die durch eine Pumpe oder ein Gebl¨ ase aufgepr¨ agten Dr¨ ucke hervorgerufen wird, entsteht die freie Str¨ omung durch Massenkr¨ afte in einem Fluid, in welchem Dichtegradienten vorhanden sind. Als Beispiel betrachten wir hierzu eine senkrechte Wand mit einer h¨ oheren Temperatur als die des angrenzenden Fluids. Das an der Wand erw¨ armte Fluid wird speziﬁsch leichter und erf¨ahrt gegen¨ uber dem umgebenden Fluid einen Auftrieb im Schwerefeld. Es entsteht eine freie Str¨ omung. Dichtegradient und durch das Schwerefeld hervorgerufene Massenkraft stehen in diesem Fall senkrecht aufeinander. Als anderes Beispiel f¨ ur eine freie Str¨ omung zeigt Abb. 3.46 die Str¨ omung von heißer Luft, die aus einem Rohr in eine k¨ altere, unendlich ausgedehnte Umgebung eintritt und durch Auftriebskr¨afte nach oben gelenkt wird. Notwendige Voraussetzung f¨ ur das Entstehen einer freien Str¨omung sind Massenkr¨ afte und Dichtegradienten, die nicht parallel zueinander gerichtet sind, wie dies beispielsweise in einem Fluid u ¨ ber einer waagrechten beheizten Platte der Fall ist.

Abb. 3.46: Ablenkung eines Heißluftstroms durch Auftriebskr¨ afte

Um einzusehen, dass eine freie Str¨ omung nur entstehen kann, wenn Dichtegradient und Massenkr¨ afte nicht parallel verlaufen, betrachten wir ein anf¨ anglich in Ruhe beﬁndliches Fluid, wj = 0. F¨ ur dieses gilt nach der Impulsgleichung (3.48)

444

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen 0 = kj +

∂ τji , ∂xi

worin wegen wj = 0 nach (3.46) und (3.47) τji = −p δji ist. F¨ ur ein ruhendes Fluid folgt daraus die Gleichung f¨ ur hydrostatisches Gleichgewicht ∂p = kj . ∂xj

(3.326)

Die Massenkr¨ afte kj erzeugen einen Druckgradienten. Durch Diﬀerenzieren folgt ∂p ∂ ∂ kj = kj + . ∂xi ∂xj ∂xi ∂xi Da der Druck in einem ruhenden Fluid eine Zustandsgr¨ oße ist, kann man diesen Ausdruck gleichsetzen mit ∂p ∂ ∂ ki = ki + . ∂xj ∂xi ∂xj ∂xj „

Es ist daher

∂ kj ∂ ki − ∂xi ∂xj

« +

∂ ∂ kj − ki = 0 . ∂xi ∂xj

Diese Gleichung ist erf¨ ullt, wenn die Massenkraft ein Potential φ besitzt, kj = −∂ φ/∂xj , da dann der Ausdruck in der runden Klammer verschwindet, und wenn außerdem gilt ∂ ∂ kj − ki = ∇ × k = 0 . (3.327) ∂xi ∂xj Notwendige und hinreichende Bedingung hierf¨ ur ist, dass entweder die Dichte r¨ aumlich konstant ist oder die Massenkraft verschwindet oder Dichtegradient und Massenkraft parallel zueinander gerichtet sind. Ist dies nicht der Fall, so sind Dichtegradient und Massenkraft nach (3.326) nicht im Gleichgewicht. Es gilt dann ∂p = kj . ∂xj Aus der Navier-Stokes-Gleichung (3.59)

dwj ∂p ∂ 2 wj =− +η + kj , dt ∂xj ∂xi 2

aber auch aus der Cauchyschen Bewegungsgleichung (3.48) zusammen mit (3.46) folgt dann, dass mindestens einer der Ausdr¨ ucke, welche die Geschwindigkeit enthalten, nicht verschwindet. Es setzt also zwangsl¨ auﬁg eine Str¨ omung ein, weil die Bedingung (3.326) des hydrostatischen Gleichgewichtes verletzt ist. Man erkennt aus den Betrachtungen gleichzeitig, dass eine freie Str¨ omung in einem inkompressiblen Fluid nicht m¨ oglich ist, weil dort keine Dichtegradienten vorhanden sind.

Dichtegradienten kommen meistens durch Temperaturgradienten zustande, seltener durch Konzentrations- oder Druckgradienten. In Mehrstoﬀgemischen k¨ onnen Konzentrationsunterschiede jedoch auch merkliche Dichtegradienten hervorrufen, so dass sich unter den zuvor genannten Voraussetzungen

3.9 Freie Str¨ omung

445

auch eine freie Str¨ omung ausbilden kann. Massenkraft ist h¨auﬁg die Schwerkraft, seltener eine Zentrifugal- oder elektromagnetische Kraft. Das hydrostatische Gleichgewicht in einem Fluid muss nicht unbedingt stabil sein. Als Beispiel betrachten wir hierzu kalte Luft u ¨ ber einer waagrechten beheizten Platte. Die Bedingung f¨ ur hydrostatisches Gleichgewicht ist zwar erf¨ ullt, denn der Dichtegradient ist parallel zur Schwerkraft gerichtet. Steigt nun infolge einer St¨ orung ein warmer Luftballen von der Platte auf, so nimmt er sehr rasch den Druck der jeweiligen Umgebung an. Die Dichte des Luftballens verringert sich n¨ aherungsweise reversibel adiabat gem¨aß p/κ = p0 /κ0 .

Abb. 3.47: Reversible adiabate Entspannung heißer Luft vom Druck p1 und der Anfangstemperatur Tα1 bzw. Tα1 auf Umgebungsdruck pU . a Temperaturdiﬀerenz Tα1 −TU groß; 2 < U , ein Luftballen steigt weiter auf. b Temperaturdiﬀerenz Tα1 − TU klein; 2 > U , ein Luftballen sinkt wieder

Wenn nun die Dichte des Luftballens kleiner als die seiner Umgebung oder, was gleichbedeutend damit ist, der Ballen heißer als seine Umgebung ist, so steigt er weiter auf, siehe hierzu den Zustandsverlauf mit T2 > TU in Abb. 3.47. Die Schichtung ist instabil, denn eine kleine St¨orung, eingeleitet durch das Aufsteigen des Luftballens, klingt nicht von selbst wieder ab. Ist hingegen die Dichte des Luftballens nach der Expansion gr¨oßer als die seiner Umgebung entsprechend dem Zustandsverlauf mit T2 < TU in Abb. 3.47, so sinkt er wieder. Die Schichtung ist stabil. Eine solche stabile Schichtung tritt auch auf, wenn sich warme und damit leichte Luftmassen u ¨ ber kalte Bodenluft schieben. Die bodennahe schwere und oft durch Abgase verunreinigte Luft kann sich nicht mehr mit der dar¨ uber liegenden leichteren Luft austauschen. Man bezeichnet eine solche Schichtung als Inversion. Es besteht Smoggefahr.

446

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

3.9.1 Die Impulsgleichung Die Impulsgleichung eines Newtonschen Fluids ergibt sich aus der NavierStokes-Gleichung (3.59)

dwj ∂p ∂ 2 wj = kj − +η . dt ∂xj ∂xi 2

(3.328)

Da die freie Str¨ omung Dichtegradienten voraussetzt, nehmen wir an, die Dichte sei ver¨ anderlich, w¨ ahrend alle anderen Stoﬀwerte als konstant vorausgesetzt werden sollen. Als Massenkraft wirke die Schwerkraft kj = gj . In Bereichen, in denen die Dichte konstant ist, beispielsweise fernab von einer beheizten Wand, herrsche hydrostatisches Gleichgewicht. Dort gilt ∂ p∞ = ∞ g j , ∂xj

(3.329)

wenn p∞ der hydrostatische Druck und ∞ die zugeh¨orige Dichte sind. Durch Beheizung oder Stoﬀaustausch stellen sich Temperatur- oder Konzentrationsund damit auch Dichtegradienten ein, so dass die lokalen Werte von Druck und Dichte von den Werten des hydrostatischen Gleichgewichts abweichen p = p∞ + Δp

,

= ∞ + Δ .

(3.330)

Wir nehmen an, die Abweichungen Δp und Δ seien klein im Vergleich zu den Werten des hydrostatischen Gleichgewichts p∞ und ∞ . Als Beispiel betrachten wir in Abb. 3.48 eine beheizte, senkrechte Wand der Temperatur ϑ0 , vor der sich ein Fluid beﬁnde, das vor Beginn der Beheizung im hydrostatischen Gleichgewicht war und u ¨ berall die Temperatur ϑ∞ hatte. Nach kurzer Anlaufzeit bilden sich station¨ are Temperatur- und Geschwindigkeitsproﬁle aus, wie sie in Abb. 3.48 skizziert sind. Mit den Ans¨atzen (3.330) geht die Impulsgleichung (3.328) u ¨ ber in (∞ + Δ)

dwj ∂ (p∞ + Δp) ∂ 2 wj = (∞ + Δ) gj − +η . dt ∂xj ∂xi 2

(3.331)

Beachtet man dass auf der linken Seite Δ ∞ und auf der rechten Seite nach (3.329) ∂ p∞ /∂xj = ∞ gj gilt, so erh¨ alt man ∞

dwj ∂ Δp ∂ 2 wj = Δ gj − +η . dt ∂xj ∂xi 2

(3.332)

Bei station¨ arer Str¨ omung, die wir voraussetzen wollen, ist hierin dwj ∂ wj = wi . dt ∂xi In (3.332) sch¨ atzen wir nun die Gr¨ oßenordnung der einzelnen Terme ab. Wir betrachten dazu die Auftriebsstr¨ omung an einer ebenen Platte, die um

3.9 Freie Str¨ omung

447

Abb. 3.48: Temperatur- und Geschwindigkeitsproﬁl an einer beheizten senkrechten Wand bei freier Str¨ omung

den Winkel ϕ gegen die Senkrechte geneigt ist. Die Tr¨agheitskr¨afte sind von der Gr¨ oßenordnung w2 FT ∼ ∞ ref , (3.333) L worin wref eine charakteristische Geschwindigkeit, beispielsweise die maximale Geschwindigkeit in Abb. 3.48 ist. Sie stellt sich von selbst durch den Auftrieb ein und ist nicht wie etwa bei einer l¨ angsangestr¨omten Platte durch die Aufgabenstellung vorgegeben. Ihre Gr¨ oßenordnung ist noch abzusch¨atzen. Mit Hilfe der Referenzgeschwindigkeit ergibt sich als Gr¨oßenordnung f¨ ur die Reibungskr¨ afte wref FR ∼ η 2 . (3.334) δ Die Auftriebskr¨ afte FA sind von der Gr¨ oßenordnung FA ∼ −(0 − ∞ ) g cos ϕ .

(3.335)

Im Fall der beheizten senkrechten Platte nach Abb. 3.48 stehen Dichtegradient und Schwerkraft senkrecht zueinander, es ist cos ϕ = cos 0 = 1; im Fall der waagrechten Platte sind beide Gradienten parallel gerichtet, es ist cos ϕ = cos π/2 = 0. Das negative Vorzeichen in (3.335) r¨ uhrt daher, dass bei Beheizung 0 − ∞ negativ, die Auftriebskraft in Abb. 3.48 aber in Richtung der x-Koordinate zeigt. In der wandnahen Schicht sind die Tr¨ agheitskr¨afte von gleicher Gr¨oßenordnung wie die Reibungskr¨ afte und daher

1/2 2 wref wref δ ν ∼ν 2 oder ∼ . (3.336) L δ L wref L

448

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

Außerdem sind die Auftriebskr¨ afte auch von gleicher Gr¨oßenordnung wie die Tr¨ agheitskr¨ afte w2 −(0 − ∞ ) g cos ϕ ∼ ∞ ref . L Daraus folgt

1/2 −(0 − ∞ ) g cos ϕ L wref ∼ . (3.337) ∞ Damit kann man die Bezugsgeschwindigkeit in (3.336) eliminieren, und man erh¨ alt

1/4 δ ν2 ∼ . (3.338) L (1 − 0 /∞ ) g cos ϕL3 Kommen die Dichteunterschiede nur durch Temperaturunterschiede zustande, so gilt unter der Annahme hinreichend kleiner Temperaturunterschiede

∂ 0 = ∞ + (ϑ0 − ϑ∞ ) . (3.339) ∂ϑ p Die Gr¨ oße 1 v

∂v ∂ϑ

p

1 =−

∂ ∂ϑ

=β p

ist der thermische Ausdehnungskoeﬃzient (SI-Einheit 1/K). Er ist in (3.339) bei der Temperatur ϑ∞ einzusetzen. Man erh¨alt 0 − ∞ = −∞ β∞ (ϑ0 − ϑ∞ ) .

(3.340)

F¨ ur ideale Gase ist wegen v = R T /p der thermische Ausdehnungskoeﬃzient β=

1 R 1 = v p T

und β∞ = 1/T∞ . Mit (3.340) erh¨ alt man aus (3.338) δ ∼ L

ν2 β∞ (ϑ0 − ϑ∞ ) g L3

1/4

1 . (cos ϕ)1/4

(3.341)

Hierin ist die dimensionslose Gr¨ oße β∞ (ϑ0 − ϑ∞ ) g L3 = Gr ν2

(3.342)

die Grashof-Zahl Gr. F¨ ur die senkrechte Platte, ϕ = 0, ist somit δ ∼ Gr−1/4 . L

(3.343)

F¨ ur große Grashof-Zahlen Gr 1, wird δ/L 1: Es liegt eine Grenzschichtstr¨ omung vor. Die Grenzschichtdicke w¨ achst gem¨aß

3.9 Freie Str¨ omung

449

δ ∼ L1/4 . F¨ ur die geneigte Platte f¨ uhrt man eine modiﬁzierte Grashof-Zahl ein Grϕ =

β∞ (ϑ0 − ϑ∞ ) g L3 cos ϕ . ν2

Es ist dann

δ −1/4 ∼ Grϕ . (3.344) L Falls die Platte gegen die Senkrechte um den Winkel ϕ geneigt ist, bildet sich wieder eine Grenzschicht, wenn Grϕ 1 ist, w¨ahrend an einer waagrechten Platte, ϕ = π/2, keine Grenzschicht entstehen kann. Wie man aus (3.333) und (3.335) erkennt, sind Tr¨agheits- und Auftriebskr¨ afte von gleicher Gr¨ oßenordnung, wenn −(0 − ∞ ) g cos ϕ ∼1 2 /L ∞ wref gilt. Mit (3.340) und der Reynolds-Zahl wref L/ν kann man hierf¨ ur auch β∞ (ϑ0 − ϑ∞ ) g L3 cos ϕ 2

(wref L/ν)

ν2

=

Grϕ ∼1 Re2

(3.345)

schreiben. Es gilt daher folgende Absch¨ atzung: Ist Grϕ /Re2 1, so wird die Auftriebskraft viel kleiner als die Tr¨ agheitskraft. Die Str¨omung wird durch Tr¨ agheits- und Reibungskr¨ afte bestimmt. Ist hingegen Grϕ /Re2 1, so sind die Auftriebskr¨ afte viel gr¨ oßer als die Tr¨ agheitskr¨afte. Die Str¨omung wird durch Auftriebs- und Reibungskr¨ afte bestimmt.

3.9.2 W¨ armeu ¨bergang an einer senkrechten Wand bei laminarer Str¨ omung Wir behandeln nun die freie Str¨ omung an einer senkrechten ebenen Wand, deren Temperatur ϑ0 konstant und gr¨ oßer als die Temperatur im unendlichen Halbraum ist. Der Koordinatenursprung liege gem¨aß Abb. 3.48 an der unteren Kante, die Koordinate x verlaufe entlang der Wand, die Koordinate y normal zu ihr. Es werde station¨ are Str¨ omung vorausgesetzt. Alle Stoﬀwerte seien konstant. Lediglich die Dichte wird in dem f¨ ur die freie Str¨omung verantwortlichen Auftriebsterm in der Impulsgleichung als temperaturabh¨angig, in allen u ¨ brigen Termen aber als konstant angenommen. Diese auf Oberbeck (1879) und Boussinesq (1903) zur¨ uckgehende Annahmen [3.55], [3.56] bezeichnet man auch als Boussinesq-Approximation; korrekter w¨are es, von Oberbeck-Boussinesq-Approximation zu sprechen. Sie ber¨ ucksichtigt, dass die ortlich ver¨ anderliche Dichte eine der Voraussetzungen f¨ ur eine freie Str¨omung ¨ ist. Die Impulsgleichung (3.331) lautet dann in Richtung der x-Achse, wenn

450

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

man ber¨ ucksichtigt, dass auf der linken Seite Δ ∞ , auf der rechten Seite p∞ + Δp = p, ∞ + Δ = und gj = −g ist ∞ wx

∂ wx ∂ wx ∂p ∂ 2 wx + ∞ wy = − g − +η . ∂x ∂y ∂x ∂y 2

(3.346)

Die Impulsgleichung in Richtung der y-Achse reduziert sich zu ∂p =0 , ∂y

(3.347)

wie bereits die Grenzschichtvereinfachungen in Abschnitt 3.5 zeigten, denn der Druck an einer Stelle x ist senkrecht zur Wand konstant. Da die Außenstr¨ omung ruht, gilt dort die Bedingung (3.326) f¨ ur hydrostatisches Gleichgewicht ∂p − = ∞ g , (3.348) ∂x womit sich die Impulsgleichung (3.346) vereinfacht zu wx

∂ wx ∂ wx ∞ − ∂ 2 wx + wy = g+ν . ∂x ∂y ∞ ∂y 2

(3.349)

Da wir kleine Dichte¨ anderungen voraussetzen, ist

∂ = ∞ + (ϑ − ϑ∞ ) = ∞ − ∞ β∞ (ϑ − ϑ∞ ) ∂ϑ p mit dem thermischen Ausdehnungskoeﬃzienten

1 ∂v 1 ∂ =− =β , v ∂ϑ p ∂ϑ p der bei der Temperatur ϑ∞ einzusetzen ist. Damit wird in der Impulsgleichung (3.349) ∞ − = β∞ (ϑ − ϑ∞ ) . ∞ Man hat somit folgendes Gleichungssystem zu l¨osen: Die Kontinuit¨ atsgleichung ∂ wx ∂ wy + =0 , ∂x ∂y

(3.350)

die Impulsgleichung wx

∂ wx ∂ wx ∂ 2 wx + wy = g β∞ (ϑ − ϑ∞ ) + ν ∂x ∂y ∂y 2

und die Energiegleichung

(3.351)

3.9 Freie Str¨ omung

wx

∂ϑ ∂ϑ ∂2ϑ + wy =a 2 . ∂x ∂y ∂y

451

(3.352)

Die dissipierte Energie ist hierbei vernachl¨ assigt. Die Randbedingungen sind: y=0

:

wx = wy = 0 ;

y→∞

:

wx = 0 ;

ϑ = ϑ0

ϑ = ϑ∞ .

(3.353)

Zur L¨ osung f¨ uhrt man eine Stromfunktion ψ(x, y) ein, vgl. (3.180): wx =

∂ψ ∂y

und

wy = −

∂ψ , ∂x

durch welche die Kontinuit¨ atsgleichung (3.350) identisch erf¨ ullt wird, w¨ ahrend die Impulsgleichung (3.351) u ¨ bergeht in ∂ ψ ∂2ψ ∂ ψ ∂2ψ ∂3ψ − = g β (ϑ − ϑ ) + ν . ∞ ∞ ∂y ∂y ∂x ∂x ∂y 2 ∂y 3

(3.354)

Da die Grenzschichtdicke nach (3.343) an einer Stelle x gegeben ist durch δ ∼ x/Grx1/4

mit

Grx =

β∞ (ϑ0 − ϑ∞ ) g x3 , ν2

normiert man wie bei der l¨ angsangestr¨ omten ebenen Platte die wandnormale Koordinate y mit der jeweiligen Grenzschichtdicke und f¨ uhrt als dimensionslose wandnormale Koordinate die Gr¨ oße „ «1/4 y y Grx η+ = = = g(x, y) (3.355) δ x 4 ¨ ¨ ein. Der Faktor 4 ist in Ubereinstimmung mit der Ahnlichkeitsl¨ osung von Ostrach [3.57] eingef¨ uhrt, weil dadurch in den noch abzuleitenden Gleichungen keine gebrochenen Zahlen als Faktoren auftreten. Eine charakteristische Geschwindigkeit wref gewinnt man aus (3.337) und (3.340) f¨ ur die senkrechte Wand (ϕ = π/2) zu ˆ ˜1/2 wref = 2 β∞ (ϑ0 − ϑ∞ ) g x =2

„ Grx

ν2 x2

«1/2 .

(3.356)

¨ Der Faktor 2 ist wieder in Ubereinstimmung mit Ostrach gew¨ ahlt. Damit erh¨ alt man als Ansatz f¨ ur die Stromfunktion Zy ψ= 0

oder

Zy wx dy = wref δ

wx “ y ” d wref δ

(3.357)

0

+ „ «1/2 Zη ν2 x ψ = 2 Grx 2 wx+ dη + . x (Grx /4)1/4

0

(3.358)

452

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

Es ist daher „ ψ = 4ν

Grx 4

«1/4 Zη+ „ «1/4 Grx wx+ dη + = 4 ν f (η + ) . 4

(3.359)

0

Hierin steckt die Annahme, dass das Geschwindigkeitsproﬁl wx+ = wx /wref als eine Funktion der Grenzschichtkoordinate η + darstellbar ist. Die Geschwindigkeiten ergeben sich hieraus zu ∂ψ 2ν = Grx1/2 f (η + ) ∂y x

wx = und

„ «1/4 ˆ + + ˜ ∂ψ ν Grx = η f (η ) − 3 f (η + ) . ∂x x 4 In entsprechender Weise f¨ uhrt man ein normierte Temperatur ein wy = −

ϑ+ =

ϑ − ϑ∞ = ϑ+ (η + ) . ϑ0 − ϑ∞

(3.360)

(3.361)

Mit diesen Ans¨ atzen kann man die Impulsgleichung (3.354) u uhren in ¨berf¨ f + 3 f f − 2 (f )2 + ϑ+ = 0

(3.362)

und die Energiegleichung (3.352) in

ϑ+ + 3 P r f ϑ+ = 0 .

(3.363)

An die Stelle der partiellen Diﬀerentialgleichungen (3.350) bis (3.352) treten somit zwei gew¨ ohnliche nichtlineare Diﬀerentialgleichungen. Die Kontinuit¨ atsgleichung tritt nicht mehr auf, weil sie durch die Stromfunktion identisch erf¨ ullt ist. Die L¨ osung muss folgenden Randbedingungen gen¨ ugen: η+ = 0 : f = f = 0 ; η+ → ∞ : f = 0 ;

ϑ+ = 1

ϑ+ → 0 .

Diese Gleichungen hat zuerst Pohlhausen [3.58] durch Reihenentwicklung f¨ ur die Prandtl-Zahl P r = 0,733 von Luft und sp¨ater Ostrach [3.57] numerisch f¨ ur einen weiten Bereich der Prandtl-Zahlen 0,008 35 ≤ P r ≤ 1 000 gel¨ost. Abb. 3.49 zeigt normierte Geschwindigkeiten in der Form wx x 1 = f (η + ) ν 2 Grx1/2 und Abb. 3.50 normierte Temperaturen ϑ+ (η + ) aufgrund der Rechnungen von Ostrach [3.57]. Aus den Temperaturproﬁlen ergeben sich die W¨arme¨ ubergangskoeﬃzienten in bekannter Weise

∂ϑ α (ϑ0 − ϑ∞ ) = q˙ = −λ . ∂y y=0

3.9 Freie Str¨ omung

Darin ist

∂ϑ ∂y

y=0

dϑ+ ∂ η + = (ϑ0 − ϑ∞ ) dη + ∂y y=0

1/4 + 1 Grx dϑ = (ϑ0 − ϑ∞ ) x 4 dη + η+ =0

453

(3.364)

und daher αx N ux = =− λ

Grx 4

1/4

dϑ+ dη +

=

η + =0

Grx 4

1/4 ϕ(P r) .

(3.365)

Der Temperaturanstieg (dϑ+ /dη + )η+ =0 ist, wie auch Abb. 3.50 zeigt, eine Funktion ϕ der Prandtl-Zahl P r. Die numerischen Ergebnisse von Ostrach hat Le F`evre [3.59] durch eine Interpolationsgleichung der folgenden Form wiedergegeben, die von der genauen numerischen L¨osung um h¨ochstens 0,5 % abweicht: 0,849 P r1/2 ϕ(P r) = (3.366) 1/4 . 1 + 2,006 P r1/2 + 2,034 P r Die L¨ osung enth¨ alt folgende Sonderf¨ alle: Im Grenzfall P r → 0 wird ϕ(P r) = 0,849 P r1/2 und damit 1/4 N ux = 0,600 Grx P r2 . In diesem Fall sind die Reibungskr¨ afte gegen¨ uber den Tr¨agheits- und Auftriebskr¨ aften vernachl¨ assigbar, so dass der W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient unabh¨ angig von der Viskosit¨ at des Fluids wird. Im Grenzfall P r → ∞ wird ϕ(P r) = 0,7109 P r1/4 und damit N ux = 0,5027 (Grx P r)

Abb. 3.49: Geschwindigkeiten bei freier Str¨ omung an einer senkrechten Wand, nach [3.57]

1/4

.

Abb. 3.50: Temperaturen bei freier Str¨ omung an einer senkrechten Wand, nach [3.57]

454

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

Die Tr¨ agheitskr¨afte sind nun gegen¨ uber den Reibungs- und den Auftriebskr¨aften vernachl¨ assigbar. Der mittlere W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient αm ergibt sich aus (3.365) durch Integration zu 1 αm = L

L

1/4 L λ β∞ (ϑ0 − ϑ∞ ) g dx α dx = ϕ(P r) . 2 L 4ν x1/4

0

0

Die mittlere Nußelt-Zahl wird

1/4 αm L 4 Gr 4 N um = = ϕ(P r) = N ux (x = L) . λ 3 4 3

(3.367)

Hierin ist die Grashof-Zahl mit der L¨ ange L der senkrechten Wand zu bilden. Die Gleichung gilt ebenso wie (3.365) nur f¨ ur die laminare Str¨omung. Diese bildet sich, wie Experimente zeigten, dann aus, wenn die Rayleigh-Zahl Gr P r ≤ 109 ist. Eine Gleichung, die Mess- und Rechenwerte bei laminarer und turbulenter Str¨omung an senkrechten Platten und senkrechten Zylindern f¨ ur alle RayleighZahlen und Prandtl-Zahlen wiedergibt, haben Churchill und Chu [3.60] mitgeteilt. Sie ist im Bereich der laminaren Str¨ omung Gr P r ≤ 109 allerdings etwas ungenauer als die zuvor besprochene Gleichung von Le F`evre und lautet / N um =

0,825 + %

0,387 Ra1/6 1 + (0,492/P r)9/16

62 &8/27

.

(3.368)

Hierin sind die mittlere Nußelt- und die Rayleigh-Zahl mit der Plattenh¨ohe L gebildet: N um =

αm L , λ

Ra = Gr P r =

β∞ (ϑ0 − ϑ∞ ) g L3 Pr . ν2

Die Gleichung gilt auch f¨ ur senkrechte Zylinder, wenn d/L ≥ 35 Gr−1/4 ist. Sie gilt auch f¨ ur konstante W¨ armestromdichte; man hat dazu lediglich den Faktor 0,492 im Nenner von (3.368) durch 0,437 zu ersetzen.

3.9.3 Einige empirische Gleichungen fu ¨r den W¨ armeu omung ¨ bergang bei freier Str¨ Im Folgenden werden außer den bereits besprochenen Beziehungen (3.365) und (3.368) f¨ ur die senkrechte Platte noch einige weitere empirische Korrelationen f¨ ur den W¨ arme¨ ubergang bei freier Str¨omung mitgeteilt. 1. Waagerechte Platte Charakteristische L¨ ange in der mittleren Nußelt- und der Rayleigh-Zahl

3.9 Freie Str¨ omung

455

ist eine ¨ aquivalente L¨ ange L = A/U gebildet aus w¨arme¨ ubertragender Oberﬂ¨ ache A und Umfang U der ¨ außeren Umrandung der Platte. Man unterscheidet folgende F¨ alle: Oberseite der Platte beheizt oder Unterseite gek¨ uhlt gem¨ aß Abb. 3.51 und 3.52: N um = 0,766 Ra1/5 [ϕ1 (P r)]

1/5

% &−20/11 mit ϕ1 (P r) = 1 + (0,322/P r)11/20 g¨ ultig f¨ ur Ra ϕ1 (P r) ≤ 7 · 104 und 0 < P r < ∞ sowie 1/3

N um = 0,15 Ra1/3 [ϕ1 (P r)] g¨ ultig f¨ ur Ra ϕ1 (P r) ≥ 7 · 104 .

Abb. 3.51: Ebene Platte. Oberseite beheizt

Abb. 3.52: Ebene Platte. Unterseite gek¨ uhlt

Oberseite der Platte gek¨ uhlt oder Unterseite beheizt nach Abb. 3.53 und 3.54: 1/5 N um = 0,6 Ra1/5 [ϕ2 (P r)] % &−16/9 mit ϕ2 (P r) = 1 + (0,492/P r)9/16 g¨ ultig f¨ ur 103 < Ra ϕ1 (P r) < 10 10 und 0,001 < P r < ∞.

Abb. 3.53: Ebene Platte. Oberseite gek¨ uhlt

Abb. 3.54: Ebene Platte. Unterseite beheizt

2. Geneigte Platte Es gilt (3.368) f¨ ur laminare und turbulente Str¨omung. Man hat die Fallbeschleunigung g zu ersetzen durch ihre wandparallele Komponente g cos ϕ, worin ϕ der Neigungswinkel gegen die Senkrechte ist. Die Gleichung gilt dann f¨ ur geneigte Platten, solange ϕ ≤ π/3 = 60◦ ist.

456

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

3. Waagrechter Zylinder vom Durchmesser d und der L¨ ange L d: / 62 0,387 Ra1/6 N um = 0,60 + % , &8/27 1 + (0,559/P r)9/16 g¨ ultig f¨ ur 10−6 ≤ Ra ≤ ∞ und 0 ≤ P r ≤ ∞. Es bedeuten: N um =

αm d ; λ

Ra = Gr P r =

β∞ (ϑ0 − ϑ∞ ) g d3 Pr . ν2

4. Kugel vom Durchmesser d: 0,589 Ra1/4 N um = 2 + % &4/9 , 1 + (0,469/P r)9/16 g¨ ultig f¨ ur P r ≥ 0,7 und Ra ≥ 1011 . Es bedeuten: N um =

αm d ; λ

Ra = Gr P r =

β∞ (ϑ0 − ϑ∞ ) g d3 Pr . ν2

5. Senkrechte Platte Beheizung mit konstanter W¨ armestromdichte:

N ux = 0,616 Ra1/5 x

Pr 0,8 + P r

1/5 ,

g¨ ultig f¨ ur 0,1 ≤ P r ≤ ∞; Rax ≤ 109 . Es bedeuten: N ux =

αx ; λ

Rax = Grx P r =

β∞ q˙ g x4 Pr . ν2 λ

6. Por¨ ose, halbunendliche senkrechte Wand Konstante Wassertemperatur ϑ0 : N ux = 0,444 Ra1/2 x gesch¨ atzter G¨ ultigkeitsbereich: Grx ≤ 2,5 · 10−3 x2 /K. Es bedeuten: N ux = α x/λeﬀ mit der eﬀektiven W¨ armeleitf¨ ahigkeit λeﬀ , die zu bilden ist mit der W¨armeleitf¨ ahigkeit des Fluids λF und derjenigen der por¨osen Matrix λS gem¨aß λeﬀ = ελF + (1 − ε)λS , ε ist der L¨ uckengrad, K ist die Permeabilit¨at, siehe Kapitel 3.8.4. Die mittlere Nußelt-Zahl u ¨ ber die Wandl¨ange L ist N um = αm L/λeﬀ = 2N ux=L.

3.9 Freie Str¨ omung

457

3.9.4 Stoﬀu omung ¨ bergang bei freier Str¨ In Mehrstoﬀgemischen k¨ onnen Dichtegradienten nicht nur durch Temperaturund Druckgradienten, sondern auch durch Gradienten der Zusammensetzung entstehen. Sofern Dichtegradient und Massenkraft nicht parallel sind, bildet sich ebenfalls eine freie Str¨ omung aus, die einen Stoﬀ¨ ubergang bewirkt. Die Stoﬀ¨ ubergangskoeﬃzienten lassen sich dann aus den vorigen Gleichungen berechnen. Man hat lediglich die Nußelt- durch die Sherwood-Zahl zu ersetzen. Die Grashof-Zahl ist mit dem Dichteunterschied zu bilden Gr =

(∞ − 0 ) g L3 . ∞ ν 2

(3.369)

In einem bin¨ aren Gemisch, in dem Dichtegradienten allein durch Konzentrationsgradienten hervorgerufen werden, folgt aus = (p, T, ξ):

∂ 0 = ∞ + (ξ0 − ξ∞ ) . (3.370) ∂ξ p,T Man bezeichnet

1 v

∂v ∂ξ

=− T,p

1

∂ ∂ξ

=γ T,p

als Stoﬀausdehnungskoeﬃzient. Damit wird 0 = ∞ − ∞ γ∞ (ξ0 − ξ∞ ) . Die Grashof-Zahl (3.369) geht u ¨ber in Gr =

γ∞ (ξ0 − ξ∞ ) g L3 . ν2

(3.371)

F¨ ur ideale Gasgemische erh¨ alt man den Stoﬀausdehnungskoeﬃzienten aus der thermischen Zustandsgleichung pv = RT mit der mittleren Gaskonstanten R = R1 ξ + R2 (1 − ξ) zu γ = (R1 − R2 )/R , ˜ i Ri die einfacheren Beworaus mit der universellen Gaskonstanten Rm = M ziehungen ˜2 − M ˜1 M γ= ˜ 2ξ + M ˜ 1 (1 − ξ) M und

458

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

γ∞ =

˜2 − M ˜1 M ˜ ˜ M2 ξ∞ + M1 (1 − ξ∞ )

(3.372)

folgen. Bei gleichzeitiger W¨arme- und Stoﬀ¨ ubertragung in bin¨aren Gemischen erh¨ alt man mittlere Stoﬀ¨ ubergangskoeﬃzienten ebenfalls aus den vorstehenden Gleichungen, wenn man die mittlere Nußelt-Zahl N um durch die mittlere Sherwood-Zahl Shm ersetzt und statt der Grashof-Zahl eine modiﬁzierte Grashof-Zahl einf¨ uhrt, indem man die Dichte (p, T, ξ) in eine Taylorreihe entwickelt,

∂ ∂ 0 = ∞ + (ϑ0 − ϑ∞ ) + (ξ0 − ξ∞ ) , ∂T p,ξ ∂ξ p,T also 0 = ∞ − ∞ β∞ (ϑ0 − ϑ∞ ) − ∞ γ∞ (ξ0 − ξ∞ ) in die Grashof-Zahl (3.369) einsetzt. Man erh¨ alt als modiﬁzierte Grashof-Zahl Gr =

β∞ (ϑ0 − ϑ∞ ) g L3 γ∞ (ξ0 − ξ∞ ) g L3 + . ν2 ν2

(3.373)

Wie Saville und Churchill [3.61] zeigten, erh¨ alt man jedoch nach diesem Verfahren nur dann ausreichend genaue Ergebnisse, wenn Schmidt- und PrandtlZahl des Gemisches u ¨ bereinstimmen. Andernfalls wird oﬀenbar die gegenseitige Beeinﬂussung von Stoﬀaustausch und Str¨omungsfeld nicht ausreichend ber¨ ucksichtigt.

¨ 3.10 Uberlagerung von freier und erzwungener Str¨ omung Bei der Behandlung der erzwungenen Str¨ omung hatten wir den Einﬂuss der freien Str¨ omung vernachl¨ assigt und umgekehrt bei der Betrachtung der freien Str¨ omung den der erzwungenen Str¨ omung vernachl¨assigt. H¨auﬁg u ¨ berlagert sich aber einer erzwungenen Str¨ omung infolge von Dichtegradienten noch eine freie Str¨ omung. Maßgebend hierf¨ ur ist, wie in 3.9.1, Gl. (3.345), gezeigt wurde, die Kenngr¨ oße Gr/Re2 . Ist sie von der Gr¨ oßenordnung 1, so sind Auftriebsund Tr¨ agheitskr¨afte etwa gleich groß, w¨ ahrend f¨ ur Gr/Re2 1 die erzwun2 gene und f¨ ur Gr/Re 1 die freie Str¨ omung u ¨berwiegt. Erzwungene und freie Str¨ omung k¨ onnen sich je nach Richtung von Tr¨agheits- und Auftriebskr¨ aften gegenseitig anfachen oder auch d¨ampfen. Der W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang kann daher in einer erzwungenen Str¨omung, der sich eine freie Str¨ omung u arkt oder gehemmt werden. Als Bei¨ berlagert, verst¨ spiel betrachten wir einen Plattenheizk¨ orper, Abb. 3.55. Es bildet sich eine

¨ 3.10 Uberlagerung von freier und erzwungener Str¨ omung

459

nach oben gerichtete freie Str¨ omung aus, durch welche die von einem Gebl¨ ase erzeugte Str¨omung verst¨ arkt, Abb. 3.55a, oder geschw¨acht werden kann, Abb. 3.55b. Wie Experimente zeigten, kann man W¨arme¨ ubergangskoeﬃzienten gut durch Gleichungen der Form N un = | N unE ± N unF |

(3.374)

berechnen, worin N uE die Nußelt-Zahl der erzwungenen und N uF die der freien Str¨ omung ist. Das positive Vorzeichen gilt, wenn beide Str¨omungen gleich-, das negative wenn sie einander entgegengesetzt sind. Der Exponent n ist im Allgemeinen n = 3. F¨ ur l¨ angsangestr¨ omte waagrechte Platten, Zylinder und Kugeln ist n = 4 zu setzen. Eine (3.374) entsprechende Beziehung gilt auch f¨ ur den Stoﬀ¨ ubergang; es ist lediglich die Nußelt- durch die SherwoodZahl zu ersetzen.

¨ Abb. 3.55: Uberlagerung von freier und erzwungener Str¨ omung. a Verst¨ arkung b Schw¨ achung der freien durch die erzwungene Str¨ omung

Beispiel 3.17: Eine senkrecht stehende Metallplatte von 0,5 m H¨ ohe und 1 m Tiefe hat eine Temperatur von 170 . Man berechne den W¨ armestrom durch freie Str¨ omung an die umgebende Luft, deren Temperatur 90 betr¨ agt. Zur L¨ osung beziehe man die Stoﬀwerte auf die mittlere Grenzschichttemperatur von (170 + 90 )/2 = 130 . Hierf¨ ur sind folgende Stoﬀwerte gegeben: W¨ armeleitf¨ ahigkeit λ = 0,0336 W/Km, kinematische Viskosit¨ at ν = 2,639 · 10−5 m2 /s, Prandtl-Zahl P r = 0,697. Weiter ist β∞ = 1/T∞ = 2,754 · 10−3 K−1 . Es ist Gr =

β∞ (ϑ0 −ϑ∞ ) g L3 2,754 · 10−3 1/K · (170−90) K · 9,81 m/s2 · 0,53 m3 = , ν2 (2,639 · 10−5 )2 m4 /s2

also Gr = 3,879 · 108

und

GrP r = 2,704 · 108 .

Die Str¨ omung ist laminar, es gilt (3.367) mit ϕ(P r) nach (3.366)

460

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen N um =

=

4 4 N u(x = L) = 3 3 4 3

„

3,879 · 108 4

αm = N um

„

«1/4

Gr 4

«1/4 ϕ(P r)

0,849 · 0,6791/2 = 65,08 (1 + 2,006 · 0,6971/2 + 2,034 · 0,697)1/4

λ 0,0336 W/Km = 65,08 = 4,37 W/m2 K L 0,5

Q˙ = αm A (ϑ0 − ϑ∞ ) = 4,37 W/m2 K · 0,5 m · 1 m · (170 − 90) K = 175 W .

3.11 Kompressible Str¨ omungen In einer freien Str¨ omung kam der Auftrieb durch Dichteunterschiede zusammen mit einer Massenkraft zustande, w¨ ahrend die erzwungene laminare und turbulente Str¨ omung bisher unter der Annahme konstanter Dichte behandelt wurde. In Fl¨ ussigkeiten ist die Annahme konstanter Dichte nur dann in guter N¨ aherung erf¨ ullt, wenn diese sich nicht in der N¨ahe ihres kritischen Zustands beﬁnden. In Gasen muss man zus¨ atzlich m¨aßige Geschwindigkeiten mit Machzahlen M a = w/wS 1 voraussetzen. Sind die Geschwindigkeiten von Gasstr¨ omungen groß, so dass nicht mehr die Bedingung kleiner Machzahlen erf¨ ullt ist, oder beﬁnden sich Fluide in der N¨ahe ihres kritischen Zustands, so ¨ andert sich die Dichte eines materiellen Volumenelements im Laufe seiner Bewegung. Es ist d/dt = 0. In einer station¨aren Str¨omung ist die Dichte daher lokal ver¨ anderlich. Infolge Aufheizung durch Dissipation kinetischer Energie k¨onnen auch in adiabaten Str¨ omungen hoher Geschwindigkeit lokale Temperatur- und damit lokale Dichteunterschiede entstehen. Eine Str¨omung, in der sich die Dichte eines materiellen Volumenelements im Laufe der Bewegung ¨andert, bezeichnen wir als kompressibel. Im Folgenden soll der W¨arme¨ ubergang in solchen kompressiblen Str¨ omungen behandelt werden. Wir beschr¨anken uns dabei auf station¨ are Str¨ omungen. Da in diesem Kapitel die von der thermodynamischen Temperatur T abh¨ angige Schallgeschwindigkeit wS eine Rolle spielt, ist es zweckm¨aßig, im Folgenden nicht mit der Temperatur ϑ, sondern mit thermodynamischen Temperaturen T zu rechnen.

3.11.1 Das Temperaturfeld in einer kompressiblen Str¨ omung Um die grunds¨ atzlichen Eigenschaften kompressibler Str¨omung zu er¨ortern, behandeln wir die ebene, station¨ are Grenzschichtstr¨omung eines reinen Fluids. Neben der Dichte sollen im Unterschied zu den bisherigen Betrachtungen auch

3.11 Kompressible Str¨ omungen

461

die Viskosit¨ at und W¨ armeleitf¨ ahigkeit ¨ ortlich ver¨anderlich sein. Die Kontinuit¨ atsgleichung lautet ∂ ( wx ) ∂ ( wy ) + =0 . ∂x ∂y

(3.375)

Die Impulsgleichung (3.58) geht mit den in Abschnitt 3.5 er¨orterten Grenzschichtvereinfachungen u ¨ ber in

mit

dwx ∂ p ∂ τxy =− + , dt ∂x ∂y ∂p =0 ∂y

dwx ∂ wx ∂ wx = wx + wy dt ∂x ∂y

und τxy = η

(3.376) ∂ wx . ∂y

Die Energiegleichung in der Enthalpieform (3.83) lautet mit den Grenzschichtvereinfachungen von Abschnitt 3.5:

dh ∂ q˙ dp =− + +φ dt ∂y dt

(3.377)

mit dp/dt = wx ∂ p/∂x, q˙ = q˙y und der Dissipationsfunktion φ = η (∂ wx /∂y)2 = τxy ∂ wx /∂y. Multiplikation der Impulsgleichung (3.376) mit wx und Addition zur Energiegleichung (3.377) ergibt nach Einf¨ uhren der sogenannten Gesamtenthalpie w2 hg = h + x (3.378) 2 die Beziehung dhg ∂ = (wx τxy − q) ˙ . (3.379) dt ∂y Hierin kann man die W¨ armestromdichte noch durch die Enthalpie h = h(p, T ) ersetzen, denn unter Beachtung von ∂ p/∂y = 0 und von q˙ = −λ ∂ T /∂y gilt ∂h ∂T q˙ = cp = −cp . ∂y ∂y λ

(3.380)

Zusammen mit (3.378) und mit λ/cp = η/P r folgt daher q˙ = −

λ ∂h η ∂ hg η ∂ wx =− + wx cp ∂y P r ∂y Pr ∂y

oder q˙ = −

η ∂ hg 1 + wx τxy . P r ∂y Pr

Damit lautet die Energiebilanz (3.379)

(3.381)

462

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

dhg P r − 1 ∂ (wx τxy ) 1 ∂ = + dt Pr ∂y P r ∂y

∂ hg η , ∂y

(3.382)

wenn man konstante laminare oder turbulente Prandtl-Zahlen voraussetzt. Die Gleichung (3.382) legt nahe, der Einfachheit halber die laminare oder turbulente Str¨ omung von Luft oder anderen Gasen zu untersuchen, weil deren Prandtl-Zahlen P r ≈ 1 ist, so dass der erste Term auf der rechten Seite, der den Einﬂuss der Schubspannungsarbeit beschreibt, verschwindet. Die Gleichung (3.382) vereinfacht sich dann zu

dhg ∂ ∂ hg = η . (3.383) dt ∂y ∂y Diese Gleichung hat zwei wichtige Partikul¨ arl¨osungen: a) Die adiabate Str¨ omung an einer festen Wand F¨ ur sie ist q(y ˙ = 0) = 0, und wie aus (3.380) und (3.378) folgt auch

∂ hg =0 . ∂y y=0

(3.384)

Weiter ist am Rand der Grenzschicht hg = hgδ = const .

(3.385)

An der Plattenvorderkante sei hg (x = 0, y) = const .

(3.386)

Eine L¨ osung von (3.383), die diesen Randbedingungen gen¨ ugt, lautet hg (x, y) = const .

(3.387)

Es ist daher

wx2 w2 = hδ + δ . 2 2 Daraus ergibt sich mit h − hδ = cp (T − Tδ )

2 T 1 wδ2 wx =1+ 1− . Tδ cp T δ 2 wδ hg = h +

(3.388)

(3.389)

Das Temperaturproﬁl in der Grenzschicht ist bei adiabater Str¨omung unter der Annahme P r = 1 mit dem Geschwindigkeitsproﬁl gekoppelt. Die Beziehung gilt unabh¨angig vom Druckabfall ∂ p/∂x. Sie l¨asst sich f¨ ur ideale Gase noch umformen, denn f¨ ur sie ist die zur Temperatur Tδ geh¨orende Schallgeschwindigkeit ' wSδ = κ R Tδ = cp (κ − 1) Tδ

3.11 Kompressible Str¨ omungen

und daher cp T δ =

2 wSδ . κ−1

Damit geht (3.389) f¨ ur ideale Gase u ¨ ber in

2 T κ−1 wx =1+ M a2δ 1 − Tδ 2 wδ

463

(3.390)

(3.391)

mit der Machzahl M aδ = wδ /wSδ . Abb. 3.56 zeigt den Verlauf des Temperaturproﬁls T /Tδ in Abh¨ angigkeit von den Geschwindigkeiten wx /wδ nach (3.391). Setzt man f¨ ur das Geschwindigkeitsproﬁl wx /wδ der inkompressiblen Str¨ omung in (3.391) als N¨ aherung die Blasiussche L¨osung der Plattengrenzschicht ein, Abschnitt 3.7.1.1, so erh¨ alt man einen Temperaturverlauf, wie ihn Abb. 3.57 zeigt. Die Abbildung gibt aber nur den ungef¨ahren Temperaturverlauf wieder. Wie man aus (3.391) erkennt, stellt sich an der Wand y = 0 wegen wx = 0 die Temperatur T0 = Te ein, die man auch als Ruhetemperatur oder Eigentemperatur Te bezeichnet: Te κ−1 =1+ M a2δ . Tδ 2

(3.392)

Sie ist diejenige Temperatur, die sich an der Oberﬂ¨ache eines adiabat isolierten K¨ orpers in einer Str¨ omung von selbst einstellt. Durch die Beziehung (3.392) wird die starke Aufheizung der Grenzschicht bei großen Mach-Zahlen deutlich. Einige Eigentemperaturen Te gibt die Tabelle 3.6 wieder. Die Eigentemperatur ist identisch mit der Temperatur im Staupunkt eines mit der Geschwindigkeit wδ angestr¨ omten K¨ orpers. Hierf¨ ur gilt

Abb. 3.56: Temperatur- und Geschwindigkeitsproﬁl in einer kompressiblen Str¨ omung idealer Gase, nach (3.391)

Abb. 3.57: Temperaturproﬁle in einer kompressiblen Str¨ omung idealer Gase. Adiabate Wand

464

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

Tabelle 3.6: Eigentemperaturen einer Luftstr¨ omung von Tδ = 300 K, κ = 1,4 M aδ

0

1

2

3

5

Te /K

300

360

540

840

1800

hSt = hδ +

wδ2 , 2

woraus mit hSt − hδ = cp (TSt − Tδ ) die mit (3.392) u ¨bereinstimmende Beziehung TSt wδ2 κ−1 = 1+ =1+ M a2δ Tδ 2 cp T δ 2

(3.393)

folgt. Das Ergebnis (3.392) galt nur unter der Voraussetzung, dass die PrandtlZahl des als ideal vorausgesetzten Gases P r = 1 ist. Im allgemeinen Fall der Str¨ omung eines idealen Gases mit der Prandtl-Zahl P r = 1 stellt sich eine andere Eigentemperatur ein, die noch von der Prandtl-Zahl abh¨angig ist. Um sie einfach berechnen zu k¨ onnen, f¨ uhrt man den sogenannten Recovery” Faktor“ r ein, deﬁniert durch Te − Tδ Te − Tδ = 2 =r , TSt − Tδ wδ /2 cp

(3.394)

der noch von der Prandtl-Zahl abh¨ angt. Deﬁnitionsgem¨aß ist r = 1 f¨ ur P r = 1. Eine L¨ osung der Grenzschichtgleichungen durch Eckert und Drake [3.62] ergab f¨ ur die l¨ angsangestr¨ omte ebene Platte, dass man f¨ ur die laminare Str¨omung im Bereich 0,6 < P r < 15 den Recovery-Faktor gut ann¨ ahern kann durch √ r∼ = Pr ,

(3.395)

und f¨ ur die turbulente Str¨ omung im Bereich 0,25 < P r < 10 durch

r∼ =

√ 3 Pr .

(3.396)

3.11 Kompressible Str¨ omungen

465

b) Die Str¨ omung mit verschwindendem Druckabfall ∂ p/∂x = 0 F¨ ur eine Str¨ omung mit verschwindendem Druckabfall ∂ p/∂x vereinfacht sich die Impulsgleichung (3.376) zu

dwx ∂ τxy ∂ ∂ wx = = η . (3.397) dy ∂y ∂y ∂y Sie stimmt in ihrer Form mit der Energiegleichung (3.382) f¨ ur ein Fluid mit Pr = 1 u berein ¨

dhg ∂ ∂ hg = η . dt ∂y ∂y Es existiert daher eine Partikul¨ arl¨ osung hg = a0 wx + a1 ,

(3.398)

denn ist wx (x, y) eine L¨ osung der Impulsgleichung, so ist hg (x, y) eine L¨osung der Energiegleichung. Die Konstanten a0 und a1 m¨ ussen aus den folgenden Randbedingungen bestimmt werden: hg (y = 0) = h0 hg (y = δ) = hgδ .

(3.399)

Damit lautet die L¨ osung von (3.398) hg − h0 =

wx (hgδ − h0 ) wδ

(3.400)

oder mit hg = h + wx2 /2: w2 wx cp (T − T0 ) + x = 2 wδ

w2 cp (Tδ − T0 ) + δ 2

,

worin T0 die Wandtemperatur ist. Zusammen mit (3.390) und der Mach-Zahl M aδ = wδ /wSδ ergibt sich hieraus die f¨ ur ideale Gase mit der Prandtl-Zahl P r = 1 g¨ ultige Beziehung

T T0 Tδ − T0 wx κ−1 wx 2 wx = + + M aδ 1− . (3.401) Tδ Tδ Tδ wδ 2 wδ wδ Auch in diesem Fall ist das Temperaturproﬁl eindeutig mit dem Geschwindigkeitsproﬁl gekoppelt. Im Fall sehr kleiner Mach-Zahlen M a → 0, also der inkompressiblen Str¨ omung eines idealen Gases, ergibt sich hieraus T = T0 + (Tδ − T0 )

wx . wδ

Daraus folgt die u armestromdichte ¨ bertragene W¨

(3.402)

466

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

q˙ = α (T0 − Tδ ) = −λ Es ist somit

λ α= wδ

∂ wx ∂y

= y=0

∂T ∂y

. y=0

λ τ0 . η wδ

Beachtet man noch die Deﬁnition des Reibungsbeiwertes cf = τ0 /( wδ2 /2) und f¨ uhrt man die Reynolds-Zahl Re = wδ x/ν ein, so erh¨alt man die bereits bekannte Analogie zwischen W¨ arme- und Impulsaustausch αx cf = N ux = Re , λ 2

g¨ ultig f¨ ur

Pr = 1 .

(3.403)

Als Sonderfall ist in (3.401) auch die L¨ osung f¨ ur eine adiabat isolierte ebene Wand enthalten. F¨ ur sie ist

∂T ∂T ∂ wx = =0 . ∂y y=0 ∂wx y=0 ∂y y=0 Da der Geschwindigkeitsanstieg (∂ wx /∂y)y=0 an der Wand von null verschieden ist, muss (∂ T /∂wx )y=0 verschwinden. Durch Ableiten von (3.401) ﬁndet man

∂T Tδ − T0 1 κ−1 1 =0= + M a2δ . (3.404) ∂wx y=0 Tδ wδ 2 wδ Daraus erh¨ alt man die Wandtemperatur T0 κ−1 =1+ M a2δ . Tδ 2 Sie ist, wie der Vergleich mit (3.392) zeigt, gleich der Eigentemperatur Te . Abb. 3.58 zeigt die Temperaturen T /Tδ nach (3.401) in Abh¨angigkeit von den Geschwindigkeiten wx /wδ . Der Verlauf des Temperaturproﬁls q˙ = 0, T0 = Te ist als dick durchgezogene Kurve in Abb. 3.58 eingezeichnet. Bei W¨armezufuhr von der Wand an

Abb. 3.58: Temperatur- und Geschwindigkeitsproﬁle in einer kompressiblen Str¨ omung idealer Gase; ∂ p/∂x 1 = 0; nach (3.401)

3.11 Kompressible Str¨ omungen

467

das Fluid muss die Wandtemperatur T0 u ¨ ber der Eigentemperatur Te liegen, also T0 κ−1 >1+ M a2δ (Heizung des Fluids) Tδ 2 sein, w¨ ahrend bei K¨ uhlung die Wandtemperatur T0 unter der Eigentemperatur Te liegt und somit gilt T0 κ−1 <1+ M a2δ Tδ 2

(K¨ uhlung des Fluids) .

Die Kurve T0 = Te f¨ ur die adiabate Str¨ omung trennt die Kurven T0 > Te bei Heizung des Fluids von denen T0 < Te f¨ ur K¨ uhlung. Im Grenzfall M aδ = 0 geht (3.401) in die gestrichelt eingezeichnete Gerade u ¨ ber. Um die verschiedenen F¨ alle — Heizung, K¨ uhlung oder adiabate Wand — zu unterscheiden, f¨ uhrt man in (3.401) einen W¨arme¨ ubergangsparameter ϑ+ =

Te − T0 Te − Tδ

(3.405)

ein. Sein Vorzeichen gibt an, ob eine Wand adiabat isoliert, das Fluid beheizt oder gek¨ uhlt wird. Bei Heizung ist T0 > Te und ϑ+ < 0, f¨ ur die adiabat isolierte Wand ist T0 = Te und ϑ+ = 0 und bei K¨ uhlung ist T0 < Te und ϑ+ > 0. Zwischen der Wandtemperatur T0 und dem W¨arme¨ ubergangsparameter besteht ein einfacher Zusammenhang, denn es folgt aus (3.405)

T0 Te Te Te = − ϑ+ + ϑ+ = 1 + − 1 (1 − ϑ+ ) . Tδ Tδ Tδ Tδ Mit der Eigentemperatur nach (3.392) kann man hierf¨ ur schreiben T0 κ−1 =1+ M a2δ (1 − ϑ+ ) . Tδ 2

(3.406)

Einsetzen von (3.406) in (3.401) ergibt eine andere Form von (3.401), die nun den W¨ arme¨ ubergangsparameter enth¨ alt:

T κ−1 wx wx =1+ M a2δ 1 − 1 − ϑ+ + . (3.407) Tδ 2 wδ wδ Nach dieser f¨ ur P r = 1 und ideale Gase g¨ ultigen Gleichung kann man das Temperaturproﬁl durch das Geschwindigkeitsproﬁl und den Parameter ϑ+ beschreiben. Setzt man als N¨ aherung das Geschwindigkeitsproﬁl der Blasiusschen L¨ osung aus Abschnitt 3.7.1.1 ein, so erh¨alt man die in Abb. 3.59 beispielhaft f¨ ur M aδ = 2 dargestellten Temperaturproﬁle als Funktion des Wandabstands η + . Sie geben wegen der Vereinfachung nur den ungef¨ahren Temperaturverlauf wieder.

468

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

Abb. 3.59: Temperaturproﬁle in einer kompressiblen Str¨ omung idealer Gase. Kurvenparameter ϑ+ = (Te − T0 )/(Te − Tδ ). Bei Heizung ist T0 > Te und ϑ+ < 0, bei K¨ uhlung T0 < Te und ϑ+ > 0.

3.11.2 Berechnung des W¨ armeu ¨ bergangs Die von einer Oberﬂ¨ ache vorgegebener Temperatur ϑ0 = ϑe u ¨ bertragene W¨ armestromdichte erh¨ alt man durch L¨ osung der Impuls- und Energiegleichung unter Ber¨ ucksichtigung der Dissipation. Dazu f¨ uhrt man, wie schon in Abschnitt 3.1.1 u osung der Grenzschichtgleichungen er¨ortert, Grenz¨ ber die L¨ schichtkoordinaten ein und u uhrt die partiellen Diﬀerentialgleichungen in ¨ berf¨ gew¨ ohnliche, die sich jedoch nur numerisch l¨osen lassen. Eine solche L¨osung haben Eckert und Drake [3.62] f¨ ur die inkompressible Str¨omung eines Fluids entlang einer ebenen Platte konstanter Wandtemperatur angegeben. Danach l¨ asst sich die von der Platte u ortliche W¨armestromdichte in guter ¨ bertragene ¨ N¨ aherung durch 1/3 q(x) ˙ = 0,332 Re1/2 x Pr

λ (T0 − Te ) g¨ ultig f¨ ur x

0,6 ≤ P r ≤ 10

(3.408)

beschreiben. Dieses Ergebnis legt es nahe, einen W¨arme¨ ubergangskoeﬃzienten α zu deﬁnieren durch q˙ = α (T0 − Te ) . (3.409) Die mit diesem W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten gebildete ¨ortliche Nußelt-Zahl N ux =

αx 1/3 = 0,332 Re1/2 x Pr λ

(3.410)

stimmt dann mit der f¨ ur die inkompressible Str¨omung gefundenen Beziehung (3.176) f¨ ur 0,6 < P r < 10 u ¨ berein. Zur Berechnung des u armestroms berechnet man daher ¨bertragenen W¨ nach dem Vorschlag von Eckert und Drake [3.62] die W¨arme¨ ubergangskoeﬃzienten aus den bekannten Nußelt-Beziehungen und multipliziert dann mit der Diﬀerenz zwischen Wand- und Eigentemperatur, um die u ¨ bertragene W¨armestromdichte zu ermitteln. Da die Nußelt-Beziehungen unter der Annahme

3.11 Kompressible Str¨ omungen

469

konstanter Stoﬀwerte abgeleitet wurden, tats¨ achlich jedoch Dichte, Viskosit¨at und W¨ armeleitf¨ ahigkeit in einer kompressiblen Str¨omung wegen der großen Temperaturunterschiede stark ver¨ anderlich sind, bezieht man die Stoﬀwerte auf eine Referenztemperatur Tref , f¨ ur die Eckert [3.63] aufgrund numerischer Rechnungen die empirische Gleichung Tref = T∞ + 0,5 (T0 − T∞ ) + 0,22 (Te − T∞ )

(3.411)

vorschlug, worin T∞ die Temperatur in großem Abstand von der Wand ist. Sie ist in einer Grenzschichtstr¨ omung gleich der Temperatur Tδ am Rand der Grenzschicht. Die Eigentemperatur erh¨ alt man aus (3.394) mit dem RecoveryFaktor nach (3.395) oder (3.396). Auf diese Weise kann man den W¨arme¨ ubergang an laminar und an turbulent str¨ omende Fluide berechnen. Beispiel 3.18: Luft vom Druck 0,1 MPa und der Temperatur 20 str¨ omt mit einer Geschwindigkeit von 600 m/s u ¨ber eine 1 m lange und 1 m breite ebene Platte, deren Temperatur auf 60 gehalten wird. Man berechne den u ¨ bertragenen W¨ armestrom. Folgende Stoﬀwerte der Luft sind gegeben: Kinematische Viskosit¨ at ν(40 ) = 17,26 · 10−6 m2 /s, ν(73 ) = 20,6 · 10−6 m2 /s, ν(74,9 ) = 20,82 · 10−6 m2 /s, Gaskonstante R = 0,2872 kJ/kgK, W¨ armeleitf¨ ahigkeit λ(73 ) = 0,0295 W/Km, λ(74,9 ) = 0,0297 W/Km, Adiabatenexponent κ = 1,4, Prandtl-Zahl P r(74,9 ) = 0,709. Wir berechnen zuerst die Reynolds-Zahl am Plattenende, um festzustellen, ob die Str¨ omung dort laminar oder turbulent ist. Bezugstemperatur f¨ ur die Stoﬀwerte, (ϑ0 + ϑδ )/2 = (60 + 20) /2 = 40 . Damit wird Re =

wm L 600 m/s · 1 m = = 3,476 · 107 . ν 17,26 · 10−6 m2 /s

Die Str¨ omung am Plattenende ist turbulent, am Plattenanfang ist sie laminar. Weiter ist p √ wSδ = κ RTδ = 1,4 · 0,2872 · 103 Nm/kgK · 293,15 K = 343,3 m/s und M aδ =

wδ 600 m/s = = 1,748 . wSδ 343,3 m/s

Die Staupunktstemperatur ist nach (3.393) » – » – κ−1 1,4 − 1 TSt = Tδ 1 + M a2δ = 293,15 K 1 + 1,7482 = 472,2 K . 2 2 Die Eigentemperatur folgt aus (3.394) mit dem Recovery-Faktor nach (3.395) im Bereich der laminaren Str¨ omung und mit dem Sch¨ atzwert P r ≈ 0,7: √ p Te = P r (TSt − Tδ ) + Tδ = 0,7 · (472,2 − 293,15) K + 293,15 K = 443 K . Hierf¨ ur ist die Prandtl-Zahl P r = 0,705; die Annahme P r ≈ 0,7 muss also nicht korrigiert werden. Die Referenztemperatur Tref f¨ ur die Stoﬀwerte ist nach (3.411) Tref = 293,15 K+0,5·(333,15−293,15) K+0,22·(443−293,15) K = 346,12 K = 73

.

470

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

Die kritische Reynolds-Zahl f¨ ur den Umschlag laminar-turbulent ist Recr =

wδ xcr = 5 · 105 , ν

daraus

5 · 105 · 20,6 · 10−6 m2 /s = 0,0172 m . 600 m/s Die mittlere Nußelt-Zahl, der mittlere W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient und der mittlere W¨ armestrom sind nach Abschnitt 3.7.4, Nr. 1 im laminaren Bereich xcr =

1/2

N um, lam = 0,664 · Recr P r 1/3 = 0,664 · (5 · 105 )1/2 · 0,7091/3 = 418,7 αm, lam = N um, lam

λ 0,0295 W/Km = 418,7 · = 718 W/m2 K . xcr 0,0172 m

Q˙ lam = αm, lam A (ϑ0 − ϑe ) = 718 W/m2 K · 0,0172 m · 1 m · (333,15 − 443) K = −1,357 kW . Im turbulenten atzen wir wieder P r ≈ 0,7. Dann ist der Recovery-Faktor √ √ Teil sch¨ r = 3 P r = 3 0,7 = 0,8879. Die Eigentemperatur folgt aus (3.394) mit (3.396) zu √ 3 Te = P r (TSt − Tδ ) + Tδ = 0,8879 · (472,2 − 293,15) K + 293,15 K = 452 K = 179 . Hierf¨ ur ist die Prandtl-Zahl P r = 0,705; die urspr¨ ungliche Sch¨ atzung muss nicht korrigiert werden. Die Referenztemperatur f¨ ur die Stoﬀwerte ist nach (3.411) Tref = 293,15 K+0,5·(333,15−293,15) K+0,22·(452−293,15) K = 348,1 K = 74,9

.

Die Reynolds-Zahl im turbulenten Bereich ist Re =

600 m/s · (1 − 0,0172) m = 2,833 · 107 . 20,82 · 10−6 m2 /s

Die gesuchten Gr¨ oßen im turbulenten Bereich sind nach Abschnitt 3.7.4, Nr. 1 0,037 Re0,8 P r 1 + 2,443 Re−0,1 (P r2/3 − 1) ` ´0,8 0,037 · 2,883 · 107 · 0,709 = = 2,68 · 104 1 + 2,443 · (2,833 · 107 )−0,1 · (0,7092/3 − 1)

N um, turb =

αm, turb = N um, turb λ/L = 2,68 · 104 ·

0,0297 W/Km = 810 W/m2 K . (1 − 0,0172) m

Q˙ turb = αm, turb A (T0 − Te ) = 810 W/m2 K · (1 − 0,0172) m · 1 m · (333,15 − 452) K = −94,6 kW . Insgesamt wird der Platte ein W¨ armestrom Q˙ = Q˙ lam + Q˙ turb = −95,96 kW zugef¨ uhrt. Um die Plattentemperatur konstant zu halten, muss man diesen W¨ armestrom abf¨ uhren.

3.12 Aufgaben

471

3.12 Aufgaben 3.1: Gips- und Zuckerkristalle leiten W¨ arme in Richtung der Koordinatenachsen unterschiedlich. Ihre W¨ armeleitf¨ ahigkeit ist durch folgenden Tensor gegeben 0 1 λ11 λ12 0 λii = @ λ21 λ22 0 A . 0 0 λ33 Wie groß sind die W¨ armestromdichten in Richtung der einzelnen Koordinatenachsen, und wie lautet die Diﬀerentialgleichung der station¨ aren W¨ armeleitung durch eine in x2 -Richtung d¨ unne, planparallele ebene Platte? 3.2: Es soll der mittlere W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient an eine mit Chloroform u omte kleine Kugel vom Durchmesser d0 bestimmt werden. Zu diesem ¨berstr¨ Zweck werden Versuche mit Wasser an einer Kugel von zehnfachem Durchmesser ausgef¨ uhrt. a) Bei welcher Temperatur muss man die Versuche ausf¨ uhren, wenn die mittlere Temperatur des Chloroforms T0 = 293 K betr¨ agt? b) Es interessieren die W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten an das Chloroform bei Anstr¨ omgeschwindigkeiten im Bereich 0,2 m/s ≤ wα ≤ 2 m/s. In welchem Geschwindigkeitsbereich sind die Versuche mit Wasser auszuf¨ uhren? c) In den Modellversuchen ﬁndet man f¨ ur einen bestimmten Zustand den mittleren W¨ arme¨ ubergangskoefﬁzienten αM = 250 W/m2 K. Wie groß ist der mittlere W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient an der mit Chloroform u omten Kugel ¨ berstr¨ bei gleicher Reynolds- und Prandtl-Zahl? Folgende Stoﬀwerte von Chloroform sind bei T0 = 293 K bekannt: ν = 0,383 · 10−6 m2 /s, λ = 0,121 W/Km, P r = 4,5. Die Stoﬀwerte von Wasser kann man aus beigef¨ ugtem Diagramm, Abb. 3.60, ablesen.

Abb. 3.60: Stoﬀwerte von Wasser

472

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

3.3: Die W¨ armeverluste eines Ventils durch laminare freie Str¨ omung an Helium sollen an einem im Maßstab 1:2 verkleinerten Modell bestimmt werden. Am Modell misst man bei einer Temperaturdiﬀerenz ΔϑM = 20 K zwischen der Modelloberﬂ¨ ache und der Helium-Umgebung einen W¨ armeverluststrom Q˙ M = 200 W. Wie groß ist der W¨ armeverluststrom Q˙ O des Originals, wenn die Temperaturdiﬀerenz zwischen dessen Oberﬂ¨ ache und der Helium-Umgebung ΔϑO = 15 K betr¨ agt? Die Stoﬀwerte von Helium seien f¨ ur Original und Modell gleich groß. 3.4: Aus Messungen des W¨ arme¨ ubergangs an einem u omten K¨ orper ist ¨berstr¨ bekannt, dass der mittlere W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient αm von folgenden Gr¨ oßen abh¨ angt αm = f (L, wm , , λ, ν, c) . ¨ Man zeige mit Hilfe der Ahnlichkeitstheorie, dass sich der mittlere W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient als Funktion von drei Variablen darstellen l¨ asst N u = f (Re, P r) mit N u = αm L/λ, Re = wm L/ν und P r = ν/a. 3.5: Die Untersuchung aufsteigender Gasblasen in mit Fl¨ ussigkeit gef¨ ullten vertikalen zylindrischen Rohren ist von technischem Interesse, z.B. f¨ ur die Auslegung von Mammutpumpen, Umlaufverdampfern u.a.m. Die Berechnung dieses Vorgangs ist aber schwierig, auch wenn er stark idealisiert wird. Mit Hilfe der Dimensionsanalyse lassen sich in diesem Fall weitgehende Aussagen u osung machen. Das Problem werde wie folgt idealisiert: ¨ber die Form der L¨ – Es soll sich um eine fast den ganzen Rohrquerschnitt ausf¨ ullende sehr große Luftblase in Wasser handeln, s. Abb. 3.61.

Abb. 3.61: Luftblase in Wasser – Luft und Wasser werden als reibungsfrei und inkompressibel angesehen. – Kapillarkr¨ afte werden vernachl¨ assigt. – Die Blase bewege sich mit der station¨ aren Geschwindigkeit w nach oben. Unter diesen Voraussetzungen wird der physikalische Vorgang des Aufsteigens durch folgende Einﬂussgr¨ oßen beschrieben: w, g, d, W , L . g bedeutet die Fallbeschleunigung, d den Rohrdurchmesser, L die Dichte der Luft, W die Dichte des Wassers.

3.12 Aufgaben

473

a) Man bestimme die den Vorgang beschreibenden dimensionslosen Kenngr¨ oßen π1 , π2 , . . . , πn . b) Welche Aussagen lassen sich aus der Beziehung π1 = f (π2 , π3 , . . . , πn ) zwischen den Kenngr¨ oßen u ¨ ber die Form der Gleichung w = f (g, d, W , L ) machen? 3.6: Das Geschwindigkeitsproﬁl in der Grenzschicht l¨ asst sich n¨ aherungsweise durch den Ansatz “ ” wx πy = sin wδ 2δ beschreiben, der ebenfalls den Randbedingungen wx (y = 0) = 0; wx (y = δ) = wδ ; (∂ wx /∂y)y=0 = 0 und (∂ 2 wx /∂y 2 )y=0 = 0 gen¨ ugt. Man berechne die Grenzschichtdicke δ(x). 3.7: Heiße Luft von 300 und einem Druck von 0,01 MPa str¨ omt mit einer Geschwindigkeit von 10 m/s u armestrom ¨ ber eine 1 m lange ebene Platte. Welchen W¨ muss man je m2 Plattenoberﬂ¨ ache abf¨ uhren, wenn man die Plattentemperatur auf 25 halten will? Gegeben sind die kinematische Viskosit¨ at ν1 (p1 = 0,1 MPa, ϑm = 162,5 ) = 30,84 · 10−6 m2 /s, die Prandtl-Zahl P r(ϑm = 162,5 ) = 0,687 und die W¨ armeleitf¨ ahigkeit von Luft λ(ϑ = 162,5 ) = 3,64 · 10−2 W/Km. 3.8: Feuchte Luft von 20 und einer relativen Feuchte ϕ = 0,5 str¨ omt u ¨ ber einen See von ebenfalls 20 . Der See ist 200 m · 50 m groß und die Luft str¨ omt u ¨ ber die L¨ angsﬂ¨ ache mit einer Geschwindigkeit von 2 m/s. Wieviel Wasser verdunstet st¨ undlich? Gegeben sind die Viskosit¨ at der Luft ν(20 ) = 1,535 · 10−5 m2 /s, die SchmidtZahl f¨ ur Wasserdampf-Luft Sc = ν/D = 0,6, der S¨ attigungsdruck von Wasser pWS (20 ) = 2,337 · 10−3 MPa und die S¨ attigungsdichte (20 ) = 0,01729 kg/m3 . 3.9: Ein d¨ unnwandiges Stahlrohr von 60 m L¨ ange und 50 mm Innendurchmesser wird von außen durch kondensierenden Wasserdampf beheizt, der eine Innenwandtemperatur von 100 aufrecht erh¨ alt. Das Rohr wird von innen von V˙ = 2,5 · 10−4 m3 /s Wasser durchstr¨ omt, das sich dabei von 20 auf 60 erw¨ armt. Wie groß ist der mittlere W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient u ¨ ber die Rohrl¨ ange? Stoﬀwerte des Wassers bei 20 : Dichte = 998,3 kg/m3 , speziﬁsche W¨ armekapazit¨ at cp = 4,178 kJ/kgK. 3.10: Ein Solarkollektor, siehe Abb. 3.62, besteht aus einem parabolischen Reﬂektor und einem Absorberrohr, dessen Achse sich im Brennpunkt des Reﬂektors beﬁndet. Der Reﬂektor konzentriert die empfangene Sonnenstrahlung auf das Absorberrohr, durch welches Wasser mit einer mittleren Geschwindigkeit von 0,03 m/s str¨ omt und dabei erw¨ armt wird. Wie lang m¨ ussen Reﬂektor und Rohr sein, wenn Wasser von ϑe = 20 auf ϑa = 80 aufgew¨ armt werden soll und die Sonneneinstrahlung q˙S = 800 W/m2 betr¨ agt? Wie hoch ist die Innentemperatur der Rohrwand im Austrittsquerschnitt? Der Reﬂektor hat eine Seitenl¨ ange von s = 2 m, der Innendurchmesser des Rohres ist di = 60 mm, der Außendurchmesser da = 65 mm.

474

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

Abb. 3.62: Solarkollektor mit Reﬂektor und Absorber Weiter seien gegeben die Stoﬀwerte des Wassers: Speziﬁsche W¨ armekapazit¨ at cp = 4,181 kJ/kgK, Dichte bei 20 : = 998,3 kg/m3 . Der o arme¨ uber¨rtliche W¨ gangskoefﬁzient im Austrittsquerschnitt sei α = 264 W/m2 K. 3.11: 0,2 kg/s u omen durch ein ¨ berhitzter Wasserdampf vom Druck 0,1 MPa str¨ nicht isoliertes Stahlrohr von 25 mm Innendurchmesser und 5 m L¨ ange. Der Wasserdampf tritt mit einer Temperatur von ϑe = 150 in die Rohrleitung ein und k¨ uhlt sich bis zum Austrittsquerschnitt auf ϑa = 120 ab. Das Rohr ist von kalter Luft von ϑ0 = 0 umgeben; der mittlere W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient von der Rohroberﬂ¨ ache an die Luft ist αa = 15 W/m2 K. Man berechne den W¨ armeverlust an die Umgebungsluft und die Oberﬂ¨ achentemperatur des Rohres im Austrittsquerschnitt. Der W¨ armewiderstand der Rohrwand sei vernachl¨ assigbar. Folgende Stoﬀwerte des Wasserdampfs sind gegeben: Speziﬁsche W¨ armekapazit¨ at cp (135 ) = 1,995 kJ/kgK, W¨ armeleitf¨ ahigkeit λ(135 ) = 0,0276 W/Km, dynamische Viskosit¨ at η(135 ) = 13,62 · 10−6 kg/sm, Prandtl-Zahl P r(135 ) = 0,986. ¨ 3.12: Uber eine ungeordnete Kugelsch¨ uttung, deren Oberﬂ¨ achentemperatur durch verdunstendes Wasser konstant auf der K¨ uhlgrenztemperatur von 21,5 gehalten wird, str¨ omt Luft von ϑL = 40 und der relativen Feuchte ϕ = 0,2. Die Luft bel¨ adt sich dabei mit Wasserdampf. Man berechne a) den u armestrom und ¨ bertragenen W¨ b) den u ¨ bertragenen Mengenstrom des Wassers. Folgende Werte sind gegeben: Kugeldurchmesser d = 0,02 m, Kanalquerschnitt ohne Kugeln A0 = 1 m2 , Luftgeschwindigkeit bezogen auf A0 : wm = 2 m/s, L¨ uckengrad ε = 0,4, Sch¨ utth¨ ohe H = 0,65 m, S¨ attigungsdruck des Wasserdampfes pWS (40 ) = 73,75 mbar, W¨ armeleitf¨ ahigkeit der Luft bei (ϑL + ϑ0 )/2 = 30,75 : λ = 0,0262 W/Km, Prandtl-Zahl P r = 0,72, kinematische Viskosit¨ at ν = 1,64 · 10−5 m2 /s, Verdampfungsenthalpie des Wassers bei 21,5 : Δhv = 2450,8 kJ/kg. 3.13: In einer Wirbelschicht dient heißer Sand von 850 zur Erw¨ armung atmosph¨ arischer Luft vom Druck 0,1 MPa und der Temperatur 20 auf praktisch ebenfalls 850 . Die heiße Luft wird anschließend einer Brennkammer zugef¨ uhrt. Man berechne die Gebl¨ aseleistung und die der Luft zuzuf¨ uhrende W¨ arme. Gegeben: Innendurchmesser der Wirbelkammer 3 m, kinematische Viskosit¨ at der Luft ν(850 ) = 1,513 · 10−4 m2 /s, Gaskonstante der Luft 0,2872 kJ/kgK, mittlere spez. W¨ armekapazit¨ at zwischen 30 und 850 : cp = 1,163 kJ/kgK, spez. W¨ armekapazit¨ at cp (20 ) = 1,007 kJ/kgK, Dichte des Sandes S = 2500 kg/m3 , Partikeldurchmesser dP = 0,5 mm, Sph¨ arizit¨ at ϕS = 0,86, H¨ ohe H0 der ruhenden Sandschicht H0 = 0,5 m, L¨ uckengrad der ruhenden Sandschicht εS = 0,36,

3.12 Aufgaben

475

L¨ uckengrad am Lockerungspunkt εL = 0,44, L¨ uckengrad bei 10-facher Lockerungsgeschwindigkeit ε = 0,55, Gebl¨ asewirkungsgrad ηv = 0,7. 3.14: Die Temperatur einer bodennahen Luftschicht sei bis zu 100 m H¨ ohe konstant 15 . Aus einem Kamin werden stark CO2 -haltige Abgase von anf¨ anglich 170 ausgestoßen. Man pr¨ ufe, ob die Abgase noch h¨ oher als 100 m aufsteigen k¨ onnen. Gegeben sind: Gaskonstante der Luft RL = 0,2872 kJ/kgK, Gaskonstante der Abgase RG = 0,1889 kJ/kgK, Adiabatenexponent der Abgase κ = 1,3, Luftdruck am Erdboden p1 = 0,1 MPa. 3.15: Eine 60 heiße, senkrecht stehende quadratische Platte der Abmessungen L = b = 1 m wird von oben nach unten von Luft vom Druck 0,1 MPa und der Temperatur 20 mit einer Geschwindigkeit von 1 m/s angestr¨ omt. Welchen W¨ armestrom gibt die Platte ab? Folgende Stoﬀwerte der Luft bei der mittleren Grenzschichttemperatur von 40 sind gegeben: W¨ armeleitf¨ ahigkeit λ = 0,02716 W/Km, kinematische Viskosit¨ at ν = 17,26 · 10−6 m2 /s, Prandtl-Zahl P r = 0,7122. Ferner ist der thermische Ausdehnungskoeﬃzient bei 20 β∞ = 1/T∞ = 3,411 · 10−3 K−1 . 3.16: Eine 0,4 m hohe senkrechte Platte eines mit q˙ = 15 W/m2 elektrisch beheizten Heizk¨ orpers wird von atmosph¨ arischer Luft vom Druck 0,1 MPa mit der Temperatur 10 u omt. ¨ berstr¨ Man berechne den Verlauf der Plattentemperatur u ohe. ¨ ber der Plattenh¨ Da die mittlere Grenzschichttemperatur unbekannt ist, rechne man n¨ aherungsweise mit den Stoﬀwerten der Luft von 10 . Diese sind: W¨ armeleitf¨ ahigkeit λ = 0,02494 W/Km, kinematische Viskosit¨ at ν = 14,42 · 10−6 m2 /s, Prandtl-Zahl P r = 0,716, thermischer Ausdehnungskoeﬃzient β∞ = 1/T∞ = 3,532·10−3 K−1 . 3.17: Bier in zylindrischen Dosen von 150 mm H¨ ohe und 60 mm Durchmesser hat eine Temperatur von 27 und soll in einem K¨ uhlschrank, dessen Lufttemperatur 4 betr¨ agt, gek¨ uhlt werden. Wann k¨ uhlt das Bier schneller ab: Wenn man die Dosen in den K¨ uhlschrank legt oder wenn man sie stellt? Man rechne n¨ aherungsweise mit den Stoﬀwerten von Luft f¨ ur die anf¨ angliche Mitteltemperatur von (27 + 4) /2 = 15,5 . Hierf¨ ur ist die W¨ armeleitf¨ ahigkeit λ = 0,0235 W/Km, die kinematische Viskosit¨ at ν = 14,93 · 10−6 m2 /s, die Prandtl-Zahl P r = 0,715, weiter ist der thermische Ausdehnungskoeﬃzient β∞ = 1/T∞ = 3,608 · 10−3 K−1 . 3.18: Man berechne die Temperatur der Außenhaut einer Flugzeugoberﬂ¨ ache. Das Flugzeug ﬂiegt in einer H¨ ohe von 10 000 m mit einer Geschwindigkeit von 700 km/h. Die Lufttemperatur in 10 000 m H¨ ohe betrage −50 . Welcher W¨ armestrom je m2 Flugzeugoberﬂ¨ ache ist von der Klimaanlage zuzuf¨ uhren, um die Innentemperatur Ti auf 20 zu halten? Gegeben sind folgende Stoﬀwerte der Luft: Adiabatenexponent κ = 1,4, Gaskonstante R = 0,2872 kJ/kgK. Weiter ist der W¨ armewiderstand der Flugzeughaut λ/δ = 5 m2 K/W und der W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient auf der Innenseite αi = 10 W/m2 K. ¨ 3.19: Eine Tragﬂ¨ ache wird von Luft mit Uberschallgeschwindigkeit u omt. ¨ berstr¨ Die Mach-Zahl M aδ sei 2, die Temperatur der Außenhaut der Tragﬂ¨ ache soll nicht u ansteigen. ¨ber 300 Von welcher Lufttemperatur an muss man die Tragﬂ¨ ache k¨ uhlen?

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀu omungen mit ¨ bergang. Str¨ Phasenumwandlungen

Einige der im Folgenden zu behandelnden Vorg¨ange des konvektiven W¨armeund Stoﬀ¨ ubergangs mit Phasenumwandlung sind schon in den bisherigen Kapiteln er¨ ortert worden, dazu geh¨ oren die Verdunstung einer Fl¨ ussigkeit an der Grenzﬂ¨ ache zwischen einem Gas und einer Fl¨ ussigkeit oder die Sublimation an einer Gas-Feststoﬀ-Grenzﬂ¨ ache. Sie ließen sich mit den Methoden des konvektiven W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergangs beschreiben. In vielen Prozessen des W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergangs in Fluiden spielen jedoch Vorg¨ ange des Kondensierens oder Siedens an festen Oberﬂ¨achen eine entscheidende Rolle. In W¨ armekraftanlagen wird Wasser von hohem Druck im Kessel verdampft und der Dampf, nachdem er in der Turbine entspannt wurde, wieder in einem Kondensator verﬂ¨ ussigt. In Kompressions- und Absorptionsk¨ alteanlagen und in W¨ armepumpen sind Verdampfer und Kondensatoren wichtige Bestandteile der Anlage. Zur Stoﬀtrennung von Gemischen macht man sich die unterschiedliche Zusammensetzung von D¨ampfen im Gleichgewicht mit ihren Fl¨ ussigkeiten zunutze. Verdampfung und Kondensation sind daher charakteristisch f¨ ur viele Stoﬀtrennprozesse in der Verfahrenstechnik. Als Beispiele seien das Eindampfen, das Kondensieren, die Destillation, die Rektiﬁkation und die Absorption von Fluiden genannt. Um eine Fl¨ ussigkeit zu verdampfen oder einen Dampf zu kondensieren, ist die Verdampfungsenthalpie zu- bzw. abzuf¨ uhren. Die Phasenumwandlung erfordert unter der Voraussetzung thermodynamischen Gleichgewichts keine Temperaturdiﬀerenz zwischen den Phasen. In Wirklichkeit muss jedoch, da zumindest ein kleines Ungleichgewicht f¨ ur den Ablauf der Phasenumwandlung erforderlich ist, eine, wenn auch kleine, Temperaturdiﬀerenz vorhanden sein. W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten beim Kondensieren und Verdampfen sind im Allgemeinen viel gr¨ oßer als die f¨ ur konvektiven W¨arme¨ ubergang ohne Phasenwandel. Hinzu kommt, dass die Dichtediﬀerenz zwischen Dampf und Fl¨ ussigkeit groß ist, sofern die Phasenumwandlung hinreichend weit vom kritischen Gebiet entfernt abl¨ auft. Es treten daher starke Auftriebskr¨afte (L − G )g auf, so dass W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang durch freie Str¨omung

478

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

unterst¨ utzt werden. Im Folgenden wollen wir uns mit diesen Vorg¨angen auseinandersetzen.

4.1 W¨ armeu ¨bergang beim Kondensieren Kommt ein Dampf mit einer Wand in Ber¨ uhrung, deren Temperatur niedriger als die S¨ attigungstemperatur des Dampfes ist, so wird Dampf an der Wandoberﬂ¨ ache verﬂ¨ ussigt. Hierbei entsteht Kondensat, das infolge seines Kontakts mit der Wandoberﬂ¨ ache unterk¨ uhlt wird, so dass sich weiterer Dampf auf dem zuvor gebildeten Kondensat niederschlagen kann. Die Kondensation von D¨ ampfen ist daher stets mit einem Stoﬀtransport verbunden, bei dem der Dampf zur Phasengrenze str¨ omt und in die ﬂ¨ ussige Phase u ¨ bergeht. Den Ablauf dieses Vorgangs kann man in mehrere Schritte unterteilen, bei denen mehrere hintereinander geschaltete Teilwiderst¨ande zu u ¨ berwinden sind. Die Anteile der einzelnen Teilwiderst¨ande am gesamten Widerstand k¨ onnen sehr verschieden sein. Zun¨ achst gelangt Dampf infolge Str¨omung (konvektiver Transport) und Molekularbewegung (diﬀuser Transport) zur Phasengrenze. Im n¨achsten Schritt kondensiert der Dampf an der Phasengrenze, und anschließend wird die an der Phasengrenze frei werdende Kondensationsenthalpie durch Leitung und Konvektion an die gek¨ uhlte Wand transportiert. Dementsprechend sind drei hintereinandergeschaltete Teilwiderst¨ande zu u armewiderstand in der Dampfphase, der W¨armewider¨berwinden: Der W¨ ¨ stand beim Ubertritt des Dampfes in die ﬂ¨ ussige Phase und der W¨armewiderstand in der ﬂ¨ ussigen Phase. Von diesen Teilwiderst¨ anden ist meistens der in der ﬂ¨ ussigen Phase entscheidend. Der W¨ armewiderstand im Dampf ist wegen der guten Durchmi¨ schung oft gering, kann aber bei großer Uberhitzung eines Dampfes betr¨achtlich sein, ebenso auch bei der Kondensation von Dampfgemischen oder von Gemischen aus D¨ ampfen mit Inertgasen wegen der hemmenden Wirkung der ¨ Diﬀusion. Zum Ubergang des Dampfes in die ﬂ¨ ussige Phase ist unmittelbar an der Phasengrenze zwischen Dampf und Fl¨ ussigkeit ein Temperaturgef¨alle erforderlich. Dieses ist jedoch sehr klein und betr¨agt meistens nur wenige hundertstel Kelvin, wenn man von sehr niedrigen Dr¨ ucken absieht, die bei Wasser unter 0,01 bar liegen [4.1]. Entsprechend ist der zugeh¨orige molekularkineti” sche“ Widerstand an der Phasengrenze vom Dampf zur Fl¨ ussigkeit fast immer vernachl¨ assigbar.

4.1.1 Die verschiedenen Arten der Kondensation Die eigentliche Kondensation kann nun in sehr unterschiedlicher Weise erfolgen. Bildet das Kondensat einen zusammenh¨angenden Film, Abb. 4.1, so spricht man von Filmkondensation. Der Kondensatﬁlm kann ruhen, laminar

4.1 W¨ arme¨ ubergang beim Kondensieren

479

oder turbulent str¨omen. Sein W¨ armewiderstand ist, wenn man den molekularkinetischen Widerstand vernachl¨ assigen kann, entscheidend f¨ ur die Kondensationsgeschwindigkeit. Zur Berechnung gen¨ ugt es dann, diesen Widerstand zu ermitteln, wie es Nußelt [4.2] erstmalig f¨ ur den laminar abﬂießenden Film getan hat.

Abb. 4.1: Filmkondensation

Abb. 4.2: Tropfenkondensation

Statt in Form eines Films kann Kondensat, wie Abb. 4.2 zeigt, auch in Form von Tropfen entstehen. Man nennt diese Art der Kondensation die Tropfenkondensation. Ob Film- oder Tropfenkondensation vorherrscht, h¨angt davon ab, ob die Wand vollst¨ andig oder unvollst¨andig benetzbar ist. Maßgebend daf¨ ur sind die an einen Fl¨ ussigkeitstropfen angreifenden Kr¨afte, wie sie in Abb. 4.3 dargestellt sind. Bedeutet σLG die Grenzﬂ¨achenspannung (SIEinheit N/m) der Fl¨ ussigkeit (Index L) gegen ihren eigenen Dampf (Index G), σSL die der festen Wand (Index S) gegen die Fl¨ ussigkeit und σSG die der

Abb. 4.3: Grenzﬂ¨ achenspannungen am Tropfenrand bei unvollst¨ andiger Benetzung. Die Indizes S, L, G bedeuten die feste, die ﬂ¨ ussige und die gasf¨ ormige Phase, β0 den Randwinkel

festen Wand gegen den Dampf, so muss sich im Gleichgewicht ein Randwinkel β0 einstellen nach der Gleichung σSG − σSL = σLG cos β0 .

(4.1)

Endliche Werte des Randwinkels bedeuten unvollst¨andige Benetzung und Tropfenbildung. Ist hingegen β0 = 0, so breitet sich der Tropfen u ¨ber die ganze

480

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

Wand aus. Falls die sogenannte Benetzungsspannung σSG − σSL > σLG ist, so kann sich kein Gleichgewicht nach (4.1) mehr einstellen. Es tritt vollst¨andige Benetzung und damit Filmbildung ein. In der Technik hat man oft Dampfgemische zu kondensieren, deren ﬂ¨ ussige Phasen unmischbar sind. Dabei bildet sich, wie Abb. 4.4 zeigt, eine Mischform von Tropfen- und Filmkondensation. In einem ausgedehnten Fl¨ ussigkeitsﬁlm der einen Phase entstehen mehr oder weniger große Tropfen der anderen Phase, von denen einige bis zur Wand reichen, w¨ahrend andere in dem Fl¨ ussigkeitsﬁlm eingeschlossen sind oder auf ihm schwimmen. Schließlich kann sich bei ausreichender Unterk¨ uhlung eines Dampfes und bei Anwesenheit von Kondensationskeimen“, das sind winzige Partikel, an ” denen sich Kondensat anlagern kann, ein Nebel bilden, wie es Abb. 4.5 schematisch zeigt.

Abb. 4.4: Kondensation von D¨ ampfen unmischbarer Fl¨ ussigkeiten

Abb. 4.5: Kondensatbildung in Form von Nebeltropfen

4.1.2 Die Nußeltsche Wasserhauttheorie Kondensiert ein Dampf an einer senkrechten oder an einer geneigten Oberﬂ¨ ache, so bildet sich ein Fl¨ ussigkeitsﬁlm, der unter dem Einﬂuss der Schwerkraft abﬂießt. Wenn die Dampfgeschwindigkeit gering und der Fl¨ ussigkeitsﬁlm d¨ unn sind, herrscht im Kondensat laminare Str¨omung, und die W¨arme wird haupts¨ achlich durch Leitung von der Kondensatoberﬂ¨ache zur Wand u ussigkeitsﬁlm u ¨ bertragen. Die durch Konvektion im Fl¨ ¨bertragene W¨arme ist vernachl¨ assigbar gering. Bereits im Jahre 1916 hat Nußelt [4.2] eine einfache Theorie zur Berechnung des W¨arme¨ ubergangs bei der laminaren Filmkondensation an Rohren und senkrechten oder geneigten W¨ anden angegeben. Diese Theorie wird

4.1 W¨ arme¨ ubergang beim Kondensieren

481

im technischen Schrifttum als Nußeltsche Wasserhauttheorie bezeichnet. Sie soll im Folgenden am Beispiel der Kondensation an einer senkrechten Wand er¨ ortert werden. Wie Abb. 4.6 zeigt, soll ges¨ attigter Dampf der Temperatur ϑs an einer senkrechten Wand kondensieren, deren Temperatur ϑ0 konstant und niedriger als die S¨ attigungstemperatur ist. Es bildet sich ein zusammenh¨angender Kondensatﬁlm, der unter dem Einﬂuss der Schwerkraft nach unten ﬂießt und dessen Dicke δ(x) dabei stetig zunimmt. Das Geschwindigkeitsproﬁl w(y), wenn w f¨ ur wx geschrieben wird, erh¨ alt man aus einer Kr¨aftebilanz. Unter der Annahme einer station¨ aren Str¨ omung sind die von den Schubspannungen ausge¨ ubten Kr¨ afte im Gleichgewicht mit der Schwerkraft, und man erh¨alt entsprechend der Skizze rechts in Abb. 4.6 L g dV +τ (y+ dy) dy dz+p(x) dy dz = τ (y) dx dz+p(x+ dx) dy dz . (4.2) Mit τ (y + dy) − τ (y) = (∂ τ /∂y) dy , p(x) dy dz − p(x + dx) dy dz = −(dp/dx) dx dy dz und dV = dx dy dz erh¨ alt man hieraus

∂τ dp = −L g + . ∂y dx

Abb. 4.6: Laminarer Kondensatﬁlm an einer senkrechten Wand. Geschwindigkeitsund Temperaturproﬁl. Kr¨ aftebilanz

Betrachtet man nun den Dampfraum, so gilt dort dp = G g . dx Somit lautet die Kr¨ aftebilanz ∂τ = −(L − G )g . ∂y

(4.3)

482

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

Ist das Kondensat eine Newtonsche Fl¨ ussigkeit, so gilt τ = ηL

∂w . ∂y

(4.4)

Unter der Annahme temperaturunabh¨ angiger dynamischer Viskosit¨at geht (4.3) somit u ¨ ber in ∂2w ηL 2 = −(L − G )g , (4.5) ∂y woraus man nach Integration unter der Voraussetzung konstanter Dichte das in der Koordinate y parabolische Geschwindigkeitsproﬁl w=−

(L − G )g 2 y + c1 y + c0 2ηL

(4.6)

erh¨ alt. Die Koeﬃzienten c1 und c0 k¨ onnen noch von der Koordinate x abh¨ angen. Zu ihrer Bestimmung stehen zwei Randbedingungen zur Verf¨ ugung: An der Wand, y = 0, ist die Geschwindigkeit w = 0, und wenn man weiter voraussetzt, dass die Dampfgeschwindigkeit nicht sehr groß und infolgedessen die vom Dampf auf den Kondensatﬁlm ausge¨ ubte Schubspannung gering ist, so ist an der Kondensatoberﬂ¨ ache y = δ ∂ w/∂y = 0 . Mit diesen beiden Randbedingungen werden c0 = 0

und c1 = (L − G )gδ/ηL ,

so dass man als Geschwindigkeitsproﬁl (L − G )g 2 w= δ ηL

y y2 − 2 δ 2δ

(4.7)

erh¨ alt. Die mittlere Geschwindigkeit wm (x) u ¨ber die Filmdicke δ(x) ﬁndet man hieraus durch Integration zu 1 wm = δ

δ w dy =

(L − G )g 2 δ . 3ηL

(4.8)

0

Der abﬂießende Kondensatmassenstrom folgt zu L (L − G )gb 3 M˙ = wm L b δ = δ , 3ηL

(4.9)

¨ und die Anderung dieses Massenstroms mit der Filmdicke ist dM˙ L (L − G )gb 2 = δ . dδ ηL

(4.10)

4.1 W¨ arme¨ ubergang beim Kondensieren

483

Zur Bildung des Kondensatmassenstroms dM˙ ist ein W¨armestrom dQ˙ = Δhv dM˙ abzuf¨ uhren, wenn Δhv die Verdampfungsenthalpie ist. Dieser W¨armestrom wird voraussetzungsgem¨ aß durch reine W¨armeleitung durch den Kondensatﬁlm u ¨bertragen. Die durch die Konvektion im Kondensatﬁlm u ¨ bertragene W¨ arme sei vernachl¨ assigbar. Setzt man außerdem konstante W¨armeleitf¨ ahigkeit des Kondensats und damit, wie in Abb. 4.6 eingezeichnet, einen linearen Temperaturverlauf voraus, so ist der l¨ angs eines Fl¨achenstreifens b dx abgef¨ uhrte W¨ armestrom ϑs − ϑ0 dQ˙ = λL b dx . δ Andererseits war aber dQ˙ = Δhv dM˙ , wobei der Kondensatmassenstrom dM˙ durch (4.10) gegeben ist. Damit geht die letzte Gleichung u ¨ ber in λL

ϑs − ϑ0 L (L − G )gb 2 b dx = Δhv dM˙ = Δhv δ dδ , δ ηL

oder es ist δ3

dδ λL ηL = (ϑs − ϑ0 ) , dx L (L − G )gΔhv

woraus man durch Integration unter Beachtung von δ(x = 0) = 0 die Filmdicke zu 1/4 4λL ηL (ϑs − ϑ0 ) δ= x (4.11) L (L − G )gΔhv erh¨ alt. Die Filmdicke w¨ achst mit der vierten Wurzel aus der Lauﬂ¨ange x an. Wegen des als linear vorausgesetzten Temperaturproﬁls ist der ¨ortliche W¨ arme¨ ubergangskoefﬁzient α gegeben durch 1/4 λL L (L − G )gΔhv λ3L 1 α= = , δ 4ηL (ϑs − ϑ0 ) x

(4.12)

und der mittlere W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient f¨ ur eine Wand der H¨ohe H ist 1 αm = H

H α dx = 0

1/4 4 L (L − G )gΔhv λ3L 1 α(x = H) = 0,943 . 3 ηL (ϑs − ϑ0 ) H

(4.13) S¨ amtliche Stoﬀgr¨oßen beziehen sich gem¨ aß der Ableitung auf das Kondensat und sind am besten bei der Mitteltemperatur ϑm = (ϑ0 + ϑs )/2 einzusetzen. Mit Hilfe der Energiebilanz f¨ ur den l¨ angs der H¨ohe H gebildeten Kondensatmassenstrom, M˙ Δhv = αm (ϑs − ϑ0 )bH , kann man noch die Temperaturdiﬀerenz ϑs − ϑ0 eliminieren. Man erh¨alt dann die der Gl. (4.13) ¨ aquivalente Beziehung

484

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

αm λL

ηL2 L (L − G )g

1/3 = 0,925

M˙ /b ηL

−1/3 .

(4.13a)

Wie aus den obigen Gleichungen hervorgeht, erzielt man große W¨arme¨ ubergangskoeﬃzienten, wenn die Temperaturdiﬀerenz ϑs − ϑ0 und die Wandh¨ohe klein sind. In beiden F¨ allen ist der Kondensatﬁlm d¨ unn und somit der W¨armewiderstand gering. Die obigen Ergebnisse gelten auch f¨ ur die Kondensation von D¨ ampfen an der Innen- oder an der Außenseite von senkrechten Rohren, wenn der Rohrdurchmesser groß im Vergleich zur Filmdicke ist. In (4.13a) ist dann die Breite b = πd zu setzen. Die bisherige Ableitung bezog sich auf die senkrechte Wand oder auf das senkrechte Rohr nicht zu kleinen Durchmessers. Ist die Wand um den Winkel γ gegen die Senkrechte geneigt, so hat man in den vorigen Gleichungen die Fallbeschleunigung g durch ihre wandparallele Komponente g cos γ zu ersetzen. Der W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient αγ h¨ angt dann mit dem f¨ ur die senkrechte Wand nach (4.12) durch folgende Beziehung zusammen αγ = α(cos γ)1/4

und entsprechend αmγ = αm (cos γ)1/4 .

(4.14)

Diese Ergebnisse lassen sich aber nicht auf geneigte Rohre anwenden, weil dann der Fl¨ ussigkeitsﬁlm nicht gleichm¨ aßig u ¨ ber den Umfang abﬂießt. Nußelt hat auch den W¨ arme¨ ubergang bei der laminaren Filmkondensation an waagrechten Rohren berechnet. Man erh¨ alt eine Diﬀerentialgleichung f¨ ur die Filmdicke, die man numerisch integrieren kann. Bezeichnet man mit d den ¨ außeren Rohrdurchmesser, so lassen sich die Ergebnisse f¨ ur den u ¨ber den Umfang gemittelten W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten αm,waag am waagrechten Rohr darstellen durch 1/4 L (L − G )gΔhv λ3L 1 αm,waag = 0,728 = 0,864 αm (H = πd/2) , ηL (ϑs − ϑ0 ) d (4.15) wobei αm der mittlere W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient an der senkrechten Wand nach (4.13) ist.1 Mit Hilfe der Energiebilanz f¨ ur das gebildete Kondensat M˙ Δhv = αm,waag (ϑs − ϑ0 )π d L kann man aus der vorigen Gleichung noch die Temperaturdiﬀerenz eliminieren und sie durch den Kondensatmassenstrom ersetzen. Man erh¨alt dann die der Gl. (4.15) ¨ aquivalente Beziehung αm,waag λL 1

ηL2 L (L − G )g

1/3 = 0,959

M˙ /L ηL

−1/3 .

(4.15a)

Nußelt hat durch graphische Integration in Gl. (4.15) statt des Werts 0,728 den etwas ungenaueren Wert 0,725 ermittelt, der von allen sp¨ ateren Autoren u ¨ bernommen wurde.

4.1 W¨ arme¨ ubergang beim Kondensieren

485

Aus dem Vergleich von (4.15) und (4.13) ergibt sich, dass der mittlere W¨arme¨ ubergangskoefﬁzient an einem Rohr bei waagrechter Lage sich zu dem des senkrechten Rohres verh¨ alt wie αm,waag /αm = 0,772 (L/d)1/4 .

(4.16)

W¨ ahlt man also beispielsweise eine Rohrl¨ ange von 3 m und einen Durchmesser von 0,029 m, so wird αm,waag = 2,46 αm: An dem Rohr in waagrechter Lage kondensiert rund 2,5 mal so viel Dampf wie an dem in senkrechter Lage. Liegen bei einem waagrechten Rohrregister n Rohre untereinander, so wird der Kondensatﬁlm der unteren Rohre durch auftreﬀendes Kondensat verdickt und dadurch der W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient verringert. Andererseits wird durch das von oben auftreﬀende Kondensat die Konvektion im Fl¨ ussigkeitsﬁlm verst¨ arkt und so die Wirkung des h¨ oheren W¨armewiderstands teilweise aufgehoben. Als Mittelwert des W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten αmn f¨ ur n u ¨ bereinanderliegende Rohre erh¨ alt man nach Nußelt αmn /αm1 = n−1/4 , wenn αm1 der mittlere W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient f¨ ur das oberste Rohr nach (4.15) ist. Dabei ist jedoch nicht die Verbesserung des W¨arme¨ ubergangs durch die von auftreﬀendem Kondensat hervorgerufene st¨ arkere Konvektion ber¨ ucksichtigt. Der so berechnete W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient αmn ist also etwas zu klein. Genauere Werte erh¨ alt man nach Chen [4.3], wenn man außerdem ber¨ ucksichtigt, dass der Fl¨ ussigkeitsﬁlm sich mit dem von oben herabrieselnden Kondensat mischt und dadurch unterk¨ uhlt wird, so dass neuer Dampf kondensieren kann. Auf diese Weise ergibt sich cpL (ϑs − ϑ0 ) αmn = 1 + 0,2 (n − 1) n−1/4 αm1 , (4.17) Δhv wobei αm1 wiederum der mittlere W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient f¨ ur das oberste Rohr nach (4.15) ist. Diese Beziehung gibt Messwerte an senkrecht untereinander angeordneten Rohren im Bereich cpL (ϑs − ϑ0 )(n − 1)/Δhv < 2 gut wieder.

4.1.3 Abweichungen von der Nußeltschen Wasserhauttheorie Experimente zur Filmkondensation ges¨ attigter D¨ampfe an senkrechten W¨anden ergaben Abweichungen bis zu +25% von den W¨arme¨ ubergangskoeﬃzienten nach der Nußeltschen Wasserhauttheorie. Hierf¨ ur sind verschiedene Ursachen maßgebend.

486

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

a) Wellenbildung auf der Filmoberﬂ¨ ache Die Nußeltsche Wasserhauttheorie setzte eine gleichm¨ aßige, durch die weitere Kondensation anwachsende Filmdicke voraus. Experimente, u.a. [4.4] bis [4.6], zeigten jedoch, dass auch bei eindeutig laminarer Filmstr¨ omung die Filmoberﬂ¨ ache wellig sein kann. Derartige Wellen wurden nicht nur an rauhen, sondern auch an polierten W¨ anden beobachtet. Oﬀenbar werden die in einer Str¨ omung stets vorhandenen kleinen St¨ orungen der Geschwindigkeit unter bestimmten Bedingungen nicht ged¨ ampft, und es bilden sich Wellen. Sie f¨ uhren zu einer Verbesserung des W¨ arme¨ ubergangs um 10 bis 25 % gegen¨ uber der Nußeltschen Wasserhauttheorie. Nach Grimley [4.7] erscheinen Wellen und Riﬀeln ab einer kritischen Reynolds-Zahl "„ «1/2 „ «1/3 #3/4 wm δ M˙ /b σ g Re = = = 0,392 , (4.18) νL ηL L g νL2 worin σ die Oberﬂ¨ achenspannung und νL = ηL /L die kinematische Viskosit¨ at der Fl¨ ussigkeit sind. Aufgrund einer St¨ orungsrechnung haben van der Walt und Kr¨ oger [4.8] nachgewiesen, dass die Beziehung f¨ ur Wasser und einige andere Fl¨ ussigkeiten, wie das K¨ altemittel R12, eine recht gute N¨ ahrung f¨ ur das Einsetzen von Wellen darstellt. In ﬂ¨ ussigem Natrium setzt jedoch Wellenbildung erst bei kritischen Reynolds-Zahlen ein, die rund f¨ unfmal gr¨ oßer sind als die nach (4.18) berechneten. Vernachl¨ assigt man die Wellenbildung und rechnet man nach der Nußeltschen Wasserhauttheorie, so erh¨ alt man zu kleine W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten, bemisst also den Kondensator zu groß. Leider gibt es derzeit noch keine verl¨ assliche Theorie zur Berechnung des Einﬂusses der Wellenbildung auf den W¨ arme¨ ubergang. F¨ ur den praktischen Gebrauch multipliziert man die W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten α nach der Nußeltschen Wasserhauttheorie mit einem Korrekturfaktor f , αWellen = f α ,

(4.19)

der den Einﬂuss der Wellenbildung ber¨ ucksichtigt. Da die Wellen zu einer im statistischen Mittel geringeren Filmdicke f¨ uhren, wird der W¨ arme¨ ubergang durch die Wellenbildung verbessert. Der obige Korrekturfaktor ist daher gr¨ oßer als eins und nach Experimenten von van der Walt und Kr¨ oger [4.8] weitgehend unabh¨ angig von der Kondensatmenge. Ein guter Mittelwert ist f = 1,15.

b) Temperaturabh¨ angige Stoﬀwerte In (4.12) und (4.13) der Nußeltschen Wasserhauttheorie sind die Stoﬀwerte des Kondensatﬁlms als temperaturunabh¨ angig vorausgesetzt. Diese Annahme ist gut erf¨ ullt, wenn der Temperaturabfall ϑs − ϑ0 im Kondensatﬁlm hinreichend klein ist. Andernfalls hat man zu ber¨ ucksichtigen, dass die dynamische Viskosit¨ at, die W¨ armeleitf¨ ahigkeit und in geringerem Maße auch die Dichte des Kondensatﬁlms mit der Temperatur ver¨ anderlich sind. Anstelle von (4.5) tritt dann die Impulsbilanz » – ∂ ∂w ηL (ϑ) = − [L (ϑ) − G ] g , (4.20) ∂y ∂y und das Temperaturproﬁl im Kondensatﬁlm ergibt sich unter der Annahme, dass W¨ arme im Kondensatﬁlm nur durch Leitung u ¨ bertragen wird, aus der Energiebilanz » – ∂ ∂ϑ λL (ϑ) =0 . (4.21) ∂y ∂y

4.1 W¨ arme¨ ubergang beim Kondensieren

487

Diese Gleichungen sind unter den Randbedingungen w(y = 0) = 0 ϑ(y = 0) = ϑ0

∂ w(y = δ) =0 , ∂y

, und

ϑ(y = δ) = ϑs

zu l¨ osen. Der W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient folgt deﬁnitionsgem¨ aß aus „ « ∂ϑ dQ˙ = αb dx (ϑs − ϑ0 ) = −λ0 b dx = Δhv dM˙ . ∂y y=0

(4.22)

Auf die Wiedergabe der L¨ osung von (4.20) und (4.21) unter den angegebenen Randbedingungen sei hier verzichtet. Man ﬁndet Einzelheiten hierzu in einer Arbeit von Voskresenskij [4.9]. Mit der zus¨ atzlichen Annahme, dass die Dichte im Fl¨ ussigkeitsﬁlm nur wenig von der Temperatur abh¨ angt und sehr viel gr¨ oßer als die des Dampfes ist, L G , erh¨ alt man das Ergebnis, dass das Verh¨ altnis des W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten α zum W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten αNu nach der Nußeltschen Wasserhauttheorie sich durch „ « α λs ηs =f ; (4.23) αNu λ0 η0 darstellen l¨ asst. Der Index s zeigt an, dass die Stoﬀwerte des Kondensatﬁlms bei S¨ attigungstemperatur, der Index 0, dass sie bei Wandtemperatur zu bilden sind. Der W¨ arme¨ ubergangskoefﬁzient αNu nach der Nußeltschen Wasserhauttheorie, Gl. (4.12), ist mit den gemittelten Stoﬀwerten ηL =

1 (ηs + η0 ) 2

1 (λs + λ0 ) 2

und

λL =

und

λ∗ = λs /λ0

zu berechnen. Mit den Abk¨ urzungen η ∗ = ηs /η0 lautet (4.23) vollst¨ andig α = αNu

j

» –ﬀ1/4 1 + η∗ λ∗ ∗ ∗ ∗ ∗2 5 + λ (14 + 11λ ) + (1 + 4λ + 5λ ) . 10(1 + λ∗ )3 η∗

(4.24)

Im Grenzfall λ∗ = η ∗ = 1 erh¨ alt man α = αNu . In Abb. 4.7 ist (4.24) dargestellt. Wie man aus dem Diagramm erkennt, kann die Temperaturabh¨ angigkeit der dynamischen Viskosit¨ at und der W¨ armeleitf¨ ahigkeit von merklichem Einﬂuss auf den W¨ arme¨ ubergang sein, sofern sich diese Stoﬀwerte stark mit der Temperatur a ur kondensierenden Wasserdampf a ¨ndern. F¨ ¨ndern sich bei einem Temperaturunterschied zwischen S¨ attigungs- und Wandtemperatur ϑs − ϑ0 ≤ 50 K die Stoﬀwerte λs /λ0 zwischen 0,6 und 1,2 und ηs /η0 zwischen 1 und 1,3. Dieser Bereich ist in Abb. 4.7 schraﬃert eingezeichnet. Wie man sieht, sind innerhalb dieses Bereichs die Abweichungen von der Nußeltschen Wasserhauttheorie kleiner als 3%.

488

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

Abb. 4.7: Einﬂuss temperaturabh¨ angiger Stoﬀwerte auf den W¨ arme¨ ubergang bei Filmkondensation [4.9]

¨ c) Unterk¨ uhlung des Kondensats und Uberhitzung des Dampfes Da die Wandtemperatur geringer als die S¨ attigungstemperatur ist, wird an der Wand nicht nur die Kondensationsenthalpie, sondern auch noch ein W¨ armestrom zur Unterk¨ uhlung des Kondensats abgef¨ uhrt. In einem Querschnitt an der Stelle x ist der Enthalpiestrom des abﬂießenden Kondensats M˙ (h − hL ) = M˙ Δhv +

Zδ L w b cpL (ϑs − ϑ) dy ,

(4.25)

0

wenn hL die mittlere speziﬁsche Enthalpie der Fl¨ ussigkeit ist. H¨ atte die Fl¨ ussigkeit u attigungstemperatur ϑ = ϑs , so w¨ are h − hL = h − h . ¨ ber einen Querschnitt die S¨ Setzt man wieder ein lineares Temperaturproﬁl “ y” ϑs − ϑ = (ϑs − ϑ0 ) 1 − (4.26) δ voraus, und nimmt man weiter temperaturunabh¨ angige Stoﬀwerte im Kondensat an, so erh¨ alt man nach Einsetzen der Temperatur aus (4.26) und der Geschwindigkeit aus (4.7) in (4.25) als Ergebnis der Integration

4.1 W¨ arme¨ ubergang beim Kondensieren (h − hL ) = Δhv +

3 cpL (ϑs − ϑ0 ) = Δh∗v . 8

489 (4.27)

Wie hieraus folgt, ist unter den getroﬀenen Voraussetzungen die speziﬁsche Enthalpie hL des abﬂießenden Kondensats unabh¨ angig von der Filmdicke. Die Gleichung zeigt weiter, dass man die Verdampfungsenthalpie Δhv in den Gleichungen der Nußeltschen Wasserhauttheorie durch die Enthalpiediﬀerenz Δh∗v zu ersetzen hat. Ber¨ ucksichtigt man außerdem, dass das Temperaturproﬁl im Kondensatﬁlm schwach gekr¨ ummt ist, so erh¨ alt man nach Rohsenow [4.10] anstelle von (4.27) f¨ ur Δh∗v den genaueren Wert Δh∗v = Δhv + 0,68 cpL (ϑs − ϑ0 ) .

(4.28)

Diese Beziehung gilt f¨ ur Prandtl-Zahlen P r > 0,5 und cpL (ϑs − ϑ0 )/Δhv ≤ 1. Die ¨ beste Ubereinstimmung mit Experimenten ergab sich, wenn man die Stoﬀwerte, insbesondere die dynamische Viskosit¨ at ηL , bei einer Temperatur ϑL = ϑ0 +1/4(ϑs − ϑ0 ) einsetzte. Eine weitere, meistens ebenfalls geringe Abweichung von der Nußeltschen Wasserhauttheorie ergibt sich, wenn der Dampf ¨ uberhitzt ist. Außer der Verdampfungs¨ enthalpie hat man dann noch die Uberhitzungsenthalpie cpG (ϑG − ϑs ) abzuf¨ uhren, um den u attigungstemperatur ϑs ¨ berhitzten Dampf von der Temperatur ϑG auf die S¨ an der Phasengrenze abzuk¨ uhlen. Anstelle der Enthalpiediﬀerenz Δhv nach (4.28) hat man dann in (4.13) die Enthalpiediﬀerenz Δh∗v¨u = cpG (ϑG − ϑs ) + Δhv + 0,68 cpL (ϑs − ϑ0 )

(4.29)

einzusetzen. Da die Temperaturdiﬀerenz durch den Kondensatﬁlm weiterhin ϑs − ϑ0 ist, ergibt sich auch die u armestromdichte wie zuvor aus q˙ = α(ϑs −ϑ0 ) ¨ bertragene W¨ ∗ und die Massenstromdichte des Kondensats aus M˙ /A = q/Δh ˙ v¨ u. In technischen F¨ allen erreichen die Unterk¨ uhlung des Kondensats, die Auftriebs¨ kr¨ afte und die Uberhitzung des Dampfes jedoch selten solche Werte, dass man nach den verbesserten Gln. (4.28) bzw. (4.29) rechnen muss.

4.1.4 Einﬂuss nicht kondensierbarer Gase Kondensiert ein Dampf in Anwesenheit eines nicht kondensierbaren Gases, so muss er durch das Gas hindurch zur Phasengrenze diﬀundieren. Dazu ist ein Partialdruckgef¨ alle zur Phasengrenze erforderlich. Wie Abb. 4.8 zeigt, f¨allt der Partialdruck p1 des Dampfes von einem konstanten Wert p1G in gr¨oßerer Entfernung von der Phasengrenze auf einen geringeren Wert p1I an der Phasengrenze. Entsprechend sinkt auch die zugeh¨orige S¨attigungstemperatur ϑs (p1 ) bis zum Wert ϑI an der Phasengrenze. Der Druck p0 des Inertgases steigt zur Phasengrenze hin so an, dass die Summe p1 + p0 stets den konstanten Gesamtdruck p ergibt. Die S¨ attigungstemperatur ϑI an der Phasengrenze kann je nach Gasgehalt betr¨ achtlich unter der zum Druck p geh¨ orenden S¨attigungstemperatur ϑs (p) liegen, die sich erg¨ abe, wenn kein Inertgas vorhanden w¨are. Durch das Inertgas wird somit die Temperaturdiﬀerenz zwischen Phasengrenze und Wand

490

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

herabgesetzt und damit auch der W¨ arme¨ ubergang verringert. Um dies zu vermeiden, sorgt man daf¨ ur, dass das Inertgas u ¨ ber Ventile abgeblasen werden kann. Große Kondensatoren sind mit einem Dampfstrahlapparat verbunden, der das Gas absaugt. In anderen F¨ allen, beispielsweise bei der Kondensation von Wasser aus Gemischen von Wasserdampf und Luft oder bei der Kondensation von Ammoniak aus seinen Gemischen mit Luft, ist zwangsl¨auﬁg stets Inertgas anwesend; sein Einﬂuss auf den W¨arme¨ ubergang muss daher ber¨ ucksichtigt werden. Den Einﬂuss des Inertgases auf den W¨ arme¨ ubergang bestimmt man mit Hilfe der Energiebilanz Q˙ = αL A(ϑI − ϑ0 ) = M˙ Δhv + α•G A(ϑG − ϑI ) .

(4.30)

Der W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient α•G kennzeichnet hierin den vom Dampf-GasGemisch an die Phasengrenze u ¨ bertragenen W¨armestrom. Der hochgestellte Punkt soll darauf hinweisen, dass W¨ arme nicht nur durch Leitung, sondern auch durch einen wandnormalen Stoﬀstrom u ¨bertragen wird. In einem str¨ omenden Gas wird die Gr¨ oße von α•G von den Stoﬀwerten des Gases und der Str¨ omungsgeschwindigkeit bestimmt.

Abb. 4.8: Einﬂuss von Inertgas auf den Partialdruck- und den Temperaturverlauf. ϑG Dampftemperatur, ϑs S¨ attigungstemperatur, p1 Partialdruck des kondensierenden Dampfes, p0 Partialdruck des Inertgases, p = p1 + p0 Gesamtdruck

Der Massenstrom M˙ des an die Kondensatoberﬂ¨ache transportierten Dampfes w¨ achst mit dem Unterschied der Partialdr¨ ucke p1G = y1G p im Dampfraum und p1I an der Phasengrenze. Nach den Gesetzen der Stoﬀ¨ ubertragung, siehe hierzu (1.195), ist p − p1I M˙ = G βG A ln , p − p1G

(4.31)

wenn G die Dichte des Gas-Dampfgemisches beim Druck p und der Temperatur ϑG ist. Diese Beziehung gilt streng genommen nur, wenn die Temperatur bis zur Phasengrenze konstant ist. Abgesehen von tiefen Temperaturen, wirkt sich die Annahme einer konstanten Temperatur jedoch auf die Gr¨oße M˙ kaum

4.1 W¨ arme¨ ubergang beim Kondensieren

491

fehlerhaft aus. Weiter sind p1I der Partialdruck des kondensierenden Dampfes an der Phasengrenze und p1G derjenige im Kern der Gas-Dampfstr¨omung. Den Stoﬀ¨ ubergangskoeﬃzienten βG kann man nach der bekannten Lewisschen Beziehung (1.198) n¨ aherungsweise auf den W¨arme¨ ubergangskoeﬃzienten zur¨ uckf¨ uhren αG βG = Le−2/3 . cpG G Die Werte βG und αG sind, wie schon er¨ ortert, Stoﬀ- und W¨arme¨ ubergangskoeﬃzienten einer Dampfstr¨ omung bei der die Kondensatoberﬂ¨ache als eine ruhende feste Wand angesehen wird. Wir setzen in (4.30) α•G = αG ζ ,

(4.32)

worin der Korrekturfaktor ζ, die sog. Ackermann-Korrektur“ [4.11] ber¨ uck” sichtigt, dass der Dampf in Wirklichkeit nicht entlang einer festen Wand str¨ omt, sondern ein Teilstrom an der Phasengrenze verschwindet. Man erh¨alt die Ackermann-Korrektur in ¨ ahnlicher Weise wie die Stefan-Korrektur (1.194) f¨ ur den Stoﬀ¨ ubergang, indem man die Filmtheorie nach Abschn. 1.5.1 auf Vorg¨ ange des W¨ arme¨ ubergangs der hier betrachteten Kondensation oder Absaugung anwendet, zu ζ=

−φ exp(−φ) − 1

mit

φ=

|M˙ |cpG . AαG

Mit Hilfe von (4.31) erh¨ alt man aus der Energiebilanz (4.30) αG Δhv −2/3 p − p1I ϑI − ϑ0 = Le ln + ζ(ϑG − ϑI ) αL cpG p − p1G

(4.33)

(4.34)

als Bestimmungsgleichung f¨ ur die unbekannte Temperatur ϑI an der Phasengrenze. Diese Gleichung kann nur iterativ gel¨ ost werden. F¨ ur kleine Inertgasgehalte p0 p bzw. p1 → p, wird der Quotient (p − p1I )/(p − p1G ) und damit auch der erste Summand in der Klammer groß. Gl. (4.34) vereinfacht sich dann zu αG Δhv −2/3 p − p1I ϑI − ϑ0 = Le ln . (4.35) αL cpG p − p1G Um den Einﬂuss des Inertgases auf den W¨ arme¨ ubergang abzusch¨atzen, betrachten wir einen Kondensatﬁlm der Dicke δ. Vor diesem beﬁnde sich ein Dampf mit Inertgas. Falls kein Inertgas vorhanden w¨are, w¨ urde an der Oberﬂ¨ ache des Films S¨ attigungstemperatur ϑs (p) herrschen und die abgef¨ uhrte W¨ armestromdichte w¨ are λL q˙ = (ϑs − ϑ0 ) . δ Durch das Vorhandensein von Inertgas wird bei gleicher Filmdicke eine geringere W¨ armestromdichte λL q˙G = (ϑI − ϑ0 ) δ

492

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

u altnis ¨ bertragen. Das Verh¨ q˙G ϑI − ϑ0 = ≤1 q˙ ϑs − ϑ0

(4.36)

gibt an, um wieviel sich die W¨ armestromdichte durch das Inertgas verringert. Mit (4.35) ergibt sich die N¨ aherungsbeziehung q˙G αG Δhv Le−2/3 p − p1I = ln . q˙ (ϑs − ϑ0 )αL cpG p − p1G

(4.37)

Wie man daraus erkennt, sollte besonders bei großen Temperaturdiﬀerenzen ϑs − ϑ0 die Str¨ omungsgeschwindigkeit im Dampfraum hinreichend groß gew¨ ahlt werden, damit der W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient αG des Dampfes groß und somit die W¨ armestromdichte q˙G nicht zu klein wird. Als Ergebnis einer genaueren Rechnung zeigen die Abb. 4.9 und 4.10 das Verh¨ altnis der beiden W¨ armestromdichten q˙G /q, ˙ aufgetragen u ¨ ber der Temperaturdiﬀerenz ϑs − ϑ0 mit dem Inertgasanteil als Parameter. Beide Bilder

Abb. 4.9: Einﬂuss von Inertgas auf den W¨ arme¨ ubergang bei Kondensation in einer erzwungenen Str¨ omung von Wasserdampf mit Luft; q˙G W¨ armestromdichte mit, q˙ ohne Inertgas

gelten f¨ ur die Kondensation von Wasserdampf aus einem Gemisch mit Luft. Abb. 4.9 gilt f¨ ur die Kondensation bei erzwungener Str¨omung, wenn der Einﬂuss der Schwerkraft gegen¨ uber dem der Tr¨agheitskraft vernachl¨assigt werden kann, wie dies bei der Str¨ omung u ¨ ber eine waagrechte Platte der Fall ist. Abb. 4.10 zeigt den umgekehrten Fall, bei dem die Tr¨agheitskr¨afte von vernachl¨ assigbarem Einﬂuss gegen¨ uber der Schwerkraft sind. Dies entspricht der freien Str¨ omung an einer senkrechten Platte. Aus beiden Bildern ist deutlich ersichtlich, dass der W¨ arme¨ ubergang sich mit zunehmendem Inertgasanteil verringert, und dass er bei freier Str¨ omung durch das Inertgas viel st¨arker herabgesetzt wird als bei erzwungener Str¨ omung.

4.1 W¨ arme¨ ubergang beim Kondensieren

493

Abb. 4.10: Einﬂuss von Inertgas auf den W¨ arme¨ ubergang bei Kondensation in einer freien Str¨ omung von Wasserdampf mit Luft [4.12]; q˙G W¨ armestromdichte mit, q˙ ohne Inertgas

Beispiel 4.1: An einer senkrechten Wand kondensiert ges¨ attigter Wasserdampf vom Druck 9,58 · 10−3 MPa. Die Wandtemperatur liegt 5 K unter der S¨ attigungstemperatur. Man berechne folgende Gr¨ oßen in einer Entfernung von H = 0,08 m von der Wandoberkante: Die Filmdicke δ(H), die mittlere Geschwindigkeit wm des abﬂießenden Kondensats, dessen Massenstrom M˙ /b je m Plattenbreite, den ortlichen und den mittleren W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten. ¨ An welcher Stelle H1 ist der Massenstrom M˙ /b doppelt so groß wie an der Stelle H? Warum ist der W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient auf der Strecke H < x ≤ H1 kleiner als α(x ≤ H)? Gegeben sind: S¨ attigungstemperatur bei 9,8 · 10−3 MPa: ϑs = 45,4 , Verdampfungsenthalpie Δhv = 2392 kJ/kg, Dichte der Fl¨ ussigkeit L = 991 kg/m3 , W¨ armeleitf¨ ahigkeit λL = 0,634 W/Km, dynamische Viskosit¨ at ηL = 6,54 · 10−4 kg/sm, Dichte des Dampfes G L . Nach (4.11) ist die Filmdicke » δ(H) =

4 · 0,634 W/K m · 6,54 · 10−4 kg/s m · 5 K · 0,08 m 9912 kg2 /m6 · 9,81 m/s2 · 2392 · 103 J/kg

–1/4

δ(H) = 7,325 · 10−5 m ≈ 0,073 mm . Die mittlere Geschwindigkeit ist nach (4.8) wm =

991 kg/m3 · 9,81 m/s2 · (7,325 · 10−5 )2 m2 = 0,0266 m/s . 3 · 6,54 · 10−4 kg/s m

Nach (4.9) ist M˙ /b = wm L δ 0,0266 m/s · 991 kg/m3 · 7,325 · 10−5 m = 1,93 · 10−3 kg/s m . Der ¨ ortliche W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient an der Stelle H ist α(H) =

λL 0,634 W/K m = = 8655 W/m2 K . δ 7,325 · 10−5 m

Aus (4.13) folgt der mittlere W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient αm (H) =

4 α(H) = 11540 W/m2 K . 3

494

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

Weiter soll sein M˙ (H1 ) M˙ (H) =2 = 3,86 · 10−3 kg/sm . b b Dazu geh¨ ort nach (4.9) eine Filmdicke „ δ(H1 ) =

M˙ (H1 ) · 3ηL 2L g b

«1/3

„ =

3,86 · 10−3 kg/sm · 3 · 6,54 · 10−4 kg/sm 9912 kg2 /m6 · 9,81 m/s2

«1/3

δ(H1 ) = 9,23 · 10−5 m . Aus (4.11) folgt mit x = H1 H1 = δ 4

2L g Δ hv 4 λL ηL (ϑs − ϑ0 )

und damit H1 = (9,23 · 10−5 )4 m4 ·

9912 kg2 /m6 · 9,81 m/s2 · 2392 · 103 J/kg = 0,202 m . 4 · 0,634 W/K m · 6,54 · 10−4 kg/s m · 5 K

Auf der Strecke H < x ≤ H1 ist der Film dicker als auf der Strecke x ≤ H, daher ist der W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient kleiner. Beispiel 4.2: Im Rohrb¨ undelkondensator einer K¨ alteanlage, wie er in Abb. 4.11 skizziert ist, sollen 103 kg/h Sattdampf Ammoniak (NH3 ), vom Druck 2,034 MPa kondensiert werden. Zur Verf¨ ugung steht K¨ uhlwasser von 18 , das sich um 10 K erw¨ armen darf. Zum Bau des Kondensators werden Stahlrohre von 2 m L¨ ange, 16 mm Außendurchmesser und 1,5 mm Wanddicke verwendet.

Abb. 4.11: Rohrb¨ undelkondensator Wieviele Rohre sind erforderlich? Wie groß ist der Mengenstrom des K¨ uhlwassers? Gegeben sind folgende Stoﬀdaten von Ammoniak beim S¨ attigungsdruck 2,034 MPa: S¨ attigungstemperatur ϑs = 50 , Dichte der Fl¨ ussigkeit L = 562,86

4.1 W¨ arme¨ ubergang beim Kondensieren

495

kg/m3 , Verdampfungsenthalpie Δhv = 1050,5 kJ/kg, spez. W¨ armekapazit¨ at der Fl¨ ussigkeit cpL = 5,0635 kJ/kg K, dynamische Viskosit¨ at ηL = 103,79 · 10−6 kg/s m, W¨ armeleitf¨ ahigkeit λL = 416,32 · 10−3 W/K m. Der W¨ arme¨ ubergangskoefﬁzient auf der Wasserseite betr¨ agt αmi = 2000 W/m2 K, die spez. W¨ armekapazit¨ at des Wassers cpW = 4,1805 kJ/kg K. Die W¨ armeleitf¨ ahigkeit der Stahlrohre ist λS = 20 W/K m. Den W¨ armewiderstand der Kupferwand kann man vernachl¨ assigen. Die erforderliche Leistung betr¨ agt 3 ˙ Δhv = 10 kg/h · 1050,5 kJ/kg = 291,8 kW . Q˙ = M 3600 s/h

Die K¨ uhlwassermenge folgt aus M˙ W =

Q˙ 291,8 kW = = 6,98 kg/s . cpW ΔϑW 4,1805 kJ/kg K · 10 K

Die erforderliche Fl¨ ache folgt aus Q˙ = km A Δϑm mit Δϑm =

(ϑs − ϑWe ) − (ϑs − ϑWa ) (50 − 18) K − (50 − 28) K = = 26,69 K , ln[(ϑs − ϑWe )/(ϑs − ϑWa )] ln[(50 − 18) K/(50 − 28) K]

damit wird km A = Andererseits ist

Q˙ 291,8 kW = = 10,93 · 103 W/K . Δϑm 26,69 K

1 1 δS 1 = + + km A αmi Ai λS A m αma Aa

und daher mit A = Aa 1 1 δS 1 = + + km αmi (di /da ) λS (dm /da ) αma

mit

dm =

da − di = 14,45 mm . ln(da /di )

Der W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient αm auf der Kondensatseite berechnet sich aus (4.15a) und (4.17). Er enth¨ alt in (4.15a) noch den Kondensatmassenstrom M˙ /L am obersten Rohr, den man bestimmen k¨ onnte, wenn die Zahl der Rohre bzw. deren Oberﬂ¨ ache A bekannt w¨ are. Wir sch¨ atzen daher zun¨ achst αma ab, berechnen damit die Oberﬂ¨ ache A und pr¨ ufen anschließend die Sch¨ atzung. Sch¨ atzwert αma = 3 000 W/m2 K. Damit wird 1 1 10−3 m = + + 2 km 2000 W/m K · (14 mm/16 mm) 20 W/Km · (14,45 mm/16 mm) 1 + 3000 W/m2 K = 9,6013 · 10−4

m2 K W

km = 1041,5 W/m2 K . Damit wird die Fl¨ ache A = km A/km =

10,93 · 103 W/K = 10,49 m2 . 1041,5 W/m2 K

496

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

Die Zahl der Rohre ist A 10,49 m2 = = 104 . da π L 16 · 10−3 m · π · 2 m √ Wir w¨ ahlen 110 Rohre. Es liegen rund 110 ≈ 10 Rohre u ¨ bereinander. Die mittlere Wandtemperatur ϑ0 folgt aus: Q˙ = αma A(ϑs − ϑ0 ) zu z=

ϑ0 = ϑs −

Q˙ αma A

= 50

−

291,8 · 103 W = 40,7 3000 W/m2 K · 10,49 m2

.

¨ Uberpr¨ ufung von αma : Nach (4.15a) ist „ αm, waag = αm1 = λL

ηL2 2L g

«−1/3 0,959

„ ˙ «−1/3 M /L ηL

» –−1/3 (103,79 · 10−6 )2 kg2 /s2 m2 = 416,32 · 10−3 W/Km · (562,86)2 kg2 /m6 · 9,81 m/s2 „ «−1/3 0,278 kg/s · 0,959 · 10 · 2 m · 103,79 · 10−6 kg/s m αm, waag = 5156 W/m2 K . Aus (4.17) erh¨ alt man damit αmn = αma » – 506,35 kJ/kg K · (50−40,7) K = 1 + 0,2 · · (10−1) · 10−1/4 · 5156 W/m2 K 1050,5 kJ/kg αma = 3133 W/m2 K . Eine Korrektur des Sch¨ atzwertes f¨ ur αma er¨ ubrigt sich. Anmerkung: Bei der Berechnung von αma nach (4.15a) und (4.17) begeht man einen Fehler, weil beide Gleichungen konstante Wandtemperaturen voraussetzen. Diese ist im vorliegenden Fall ver¨ anderlich, da die K¨ uhlwassertemperatur und damit auch die Wandtemperatur mit dem Str¨ omungsweg des K¨ uhlwassers ansteigt. Da sich jedoch αm, waag nach (4.15a) nur mit ∼ (ϑs − ϑ0 )−1/4 ¨ andert, wirkt sich in unserem Beispiel dieser Fehler praktisch nicht auf das Ergebnis aus.

4.1.5 Filmkondensation mit turbulenter Wasserhaut Die Nußeltsche Wasserhauttheorie setzte eine laminare Filmstr¨omung voraus. Da die abﬂießende Kondensatmenge stromabw¨arts zunimmt, w¨achst auch die mit der Filmdicke gebildete Reynolds-Zahl st¨andig an. Der anf¨anglich glatte Film wird wellig und geht schließlich in einen turbulenten Film u ¨ ber; der W¨ arme¨ ubergang ist deutlich besser als bei laminarem Film. Den W¨arme¨ ubergang bei turbulenter Filmkondensation hat zuerst Grigull [4.14] n¨aherungsweise berechnet, indem er die Prandtl-Analogie f¨ ur die Rohrstr¨omung auf die turbulente Kondensathaut u ¨ bertrug. Als neuer Parameter tritt dabei neben den Gr¨ oßen f¨ ur die laminare Filmkondensation die Prandtl-Zahl auf. Die Ergebnisse lassen sich nicht geschlossen darstellen. Um zu einer u ¨bersichtlichen

4.1 W¨ arme¨ ubergang beim Kondensieren

497

Darstellung zu kommen, deﬁnieren wir zun¨ achst die Reynolds-Zahl des Kondensatﬁlms wm δ wm δ L b M˙ Re = = = . (4.38) νL νL L b ηL b Diese l¨ asst sich im Bereich der Nußeltschen Wasserhauttheorie mit Hilfe des Massenstroms f¨ ur das abﬂießende Kondensat, Gl. (4.9), L (L − G ) g b 3 M˙ = wm L b δ = δ 3 ηL2 unter Beachtung von L G auch umformen in M˙ /b 2 g Re = = L 2 δ3 ηL 3 ηL

1/3

oder (3 Re)

=

g νL2

1/3 δ .

Eliminiert man hierin noch die Filmdicke δ mit Hilfe von α = λL /δ, so erh¨alt man als andere Schreibweise f¨ ur die W¨ arme¨ ubergangsgleichung der Nußeltschen Wasserhauttheorie Nu =

α (νL2 /g)1/3 = (3 Re)−1/3 , λL

(4.39)

wobei die Reynolds-Zahl durch (4.38) gegeben ist. Bei turbulenter Kondensathaut ist nun, wie Grigull zeigte, N u = f (Re, P r) . Ergebnisse einer analytischen L¨ osung der Diﬀerentialgleichungen f¨ ur den turbulenten Kondensatﬁlm an einem senkrechten Rohr gibt Abb. 4.12 wieder [4.15]. Kurve A stellt die Nußeltsche Wasserhauttheorie nach (4.39) dar. Die Reynolds-Zahl Re = wm δ/νL kann man f¨ ur den Kondensatﬁlm an einem senkrechten Rohr wegen der Massenbilanz M˙ = wm d π δ L und mit ηL = νL L auch Re = M˙ /(d π ηL ) schreiben. Da der Rohrdurchmesser d, der den Berechnungen von Abb. 4.12 zugrunde liegt, viel gr¨oßer als die Filmdicke vorausgesetzt wurde, hat die Kr¨ ummung des Kondensatﬁlms keinen Einﬂuss auf den W¨ arme¨ ubergang. Die Ergebnisse gelten daher auch f¨ ur die Kondensation an einer senkrechten ebenen Platte mit der nach (4.38) deﬁnierten Reynolds-Zahl. ¨ In einem Ubergangsbereich zwischen laminarer und turbulenter Konden¨ sation ist der Kondensatﬁlm wellig. In Abb. 4.12 ist dieser Ubergangsbereich nach Ergebnissen von Henstock und Hanratty [4.16] gestrichelt eingezeichnet. ¨ Uber die Gr¨ oße der Reynolds-Zahl f¨ ur den Umschlag von der laminaren in die turbulente Str¨ omung ﬁndet man in der Literatur unterschiedliche Angaben. Wie Abb. 4.12 zeigt, kann man eine solche kritische Reynolds-Zahl nicht eindeutig festlegen, wie das gelegentlich versucht wurde. Vielmehr schließt sich ¨ an den laminaren Bereich zun¨ achst ein Ubergangsbereich mit welligem Film

498

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

an, in dem die Nußelt-Zahl von den Werten der Wasserhauttheorie abweicht. ¨ Dieser Ubergangsbereich beginnt bei sehr kleinen Reynolds-Zahlen Reu¨ , wenn die Prandtl-Zahl hinreichend groß ist, w¨ ahrend bei kleinen Prandtl-Zahlen ¨ die laminare Str¨ omung nach einem kurzen Ubergangsbereich in die turbulente Str¨ omung u bergeht. Die kritische Reynolds-Zahl h¨ a ngt daher von der ¨ Prandtl-Zahl ab und kann weit unterhalb einer kritischen Reynolds-Zahl von ¨ 400 liegen, bei welcher der Ubergangsbereich etwa endet. L¨ asst man eine Abweichung von 1 % von den Werten der Nußeltschen Wasserhauttheorie zu, so gilt diese bis zu einer Reynolds-Zahl Reu¨ = 256 P r−0,47 ,

(4.40)

g¨ ultig f¨ ur 1 ≤ P r ≤ 10. Außerdem muss zur Anwendung der Wasserhauttheorie die vom Dampf ausge¨ ubte Schubspannung hinreichend klein sein. Im turbulenten Bereich, bei Reynolds-Zahlen u ¨ber Re = 400, erreichen die NußeltZahlen Werte, die insbesondere bei gr¨ oßeren Prandtl-Zahlen um ein Vielfaches u ¨ ber denen der Wasserhauttheorie liegen. ¨ Im Ubergangsbereich nimmt die Nußelt-Zahl zun¨achst mit der ReynoldsZahl ab und dann nach Durchlaufen eines Minimums wieder zu. Die mit der Reynolds-Zahl wachsende Filmdicke bewirkt zuerst eine Abnahme des W¨arme¨ ubergangs, dann u ¨berwiegt aber der mit der Reynolds-Zahl ansteigende Einﬂuss der Turbulenz und f¨ uhrt zu einer Verbesserung des W¨arme¨ ubergangs. Man hat zu beachten, dass in Abb. 4.12 ¨ ortliche Nußelt-Zahlen aufgetragen sind. In einem Kondensator ¨ andert sich die mit der Filmdicke gebildete Reynolds-Zahl vom Wert null bei Beginn der Kondensation bis zu einem

¨ Abb. 4.12: Ortliche Nußelt-Zahl in Abh¨ angigkeit von der Reynolds-Zahl, nach [4.15], bei Kondensation an einem senkrechten Rohr oder an einer senkrechten ebenen Wand

4.1 W¨ arme¨ ubergang beim Kondensieren

499

¨ Endwert. Dazwischen k¨ onnen im Ubergangsbereich Zust¨ande mit schlechtem W¨ arme¨ ubergang liegen, so dass der mittlere W¨arme¨ ubergangskoeﬃzient kleiner sein kann als der ¨ ortliche im Austrittsquerschnitt. Abb. 4.13 gibt die zu Abb. 4.12 geh¨ orenden mittleren W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten gem¨aß αm (ϑs − ϑ0 ) = Δhv M˙ /A wieder, wobei A die Rohroberﬂ¨ ache und M˙ der am unteren Rohrende ablaufende Kondensatmassenstrom ist.

Abb. 4.13: Mittlere Nußelt-Zahl in Abh¨ angigkeit von der Reynolds-Zahl, nach [4.15], bei Kondensation an einem senkrechten Rohr oder an einer senkrechten ebenen Wand

Wie man daraus erkennt, sollte man bei kleinen Prandtl-Zahlen zur Erzielung eines guten W¨ arme¨ ubergangs einen Kondensator m¨oglichst im Bereich der Nußeltschen Wasserhauttheorie, also bei kleinen Reynolds-Zahlen betreiben. Dies kann durch Verwendung kurzer Rohre erreicht werden. Ist dagegen die Prandtl-Zahl groß, so ist ein guter W¨ arme¨ ubergang vorwiegend im turbulenten Bereich, also bei Verwendung hinreichend langer Rohre, zu erreichen. F¨ ur den Bereich des turbulenten Films bei Reynolds-Zahlen Re ≥ 400 hat Isashenko [4.17] ausgehend von einer L¨ osung der Impuls- und Energiegleichung der turbulenten Str¨ omung einfache Gebrauchsformeln entwickelt, die aus der Literatur bekannte Messwerte gut wiedergeben. Danach ist die ortliche Nußelt-Zahl gegeben durch ¨ Nu =

α (νL2 /g)1/3 = 0,0325 Re1/4 P r 1/2 λL

(4.41)

mit der Reynolds-Zahl Re = (M˙ /b)/ηL = Γ/ηL und der Prandtl-Zahl P r des Kondensats. Die Gleichung gilt im Bereich 1 ≤ P r ≤ 25 und 400 ≤ Re ≤ 7 · 105 . Die Reynolds-Zahl des Kondensats erh¨alt man aus

500

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

Re = 89 + 0,024 P r mit Z=

1/2

Pr P r0

4/3

1/4

(Z − 2300)

cpL (ϑs − ϑ0 ) 1 x . 2 Δhv P r (νL /g)1/3

(4.42)

(4.42a)

In diesen Gleichungen sind alle Stoﬀwerte bei S¨attigungstemperatur einzusetzen außer der Prandtl-Zahl P r 0 , die bei Wandtemperatur zu bilden ist. Nach Untersuchungen von Labunzov [4.18] weichen gemessene W¨arme¨ ubergangskoeﬃzienten um h¨ochstens ±12 % von den berechneten ab. ¨ Zur Berechnung des W¨ arme¨ ubergangs im Ubergangsbereich zwischen laminarer und turbulenter Filmkondensation haben sich empirische Interpolationsformeln bew¨ ahrt. Eine solche ist ' 4 4 α = (f αlam ) + α4turb . (4.43) Der Faktor f ber¨ ucksichtigt hierin die Welligkeit des laminaren Kondensatﬁlms, f ≈ 1,15; αlam ist der W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient bei laminarer Filmkondensation aus der Nußeltschen Wasserhauttheorie und αturb der bei turbulenter Kondensathaut, wie er sich beispielsweise aus (4.41) zusammen mit (4.42) ergibt.

4.1.6 Kondensation str¨ omender D¨ ampfe Schon Nußelt hat die Wasserhauttheorie erweitert und ber¨ ucksichtigt, dass der am Kondensatﬁlm entlang str¨ omende Dampf die Geschwindigkeit im Kondensat beeinﬂusst. Die Randbedingung zu (4.6) lautet dann nicht mehr ∂ w/∂y = 0 f¨ ur y = δ, sondern das Geschwindigkeitsproﬁl endet mit endlicher Neigung auf der freien Filmoberﬂ¨ ache entsprechend der vom str¨omenden Dampf ausge¨ ubten Schubspannung. In (4.6) f¨ ur das Geschwindigkeitsproﬁl w=−

(L − G ) g 2 y + c1 y + c0 2 ηL

sind demnach die Koeﬃzienten c1 und c0 so zu bestimmen, dass die Randbedingungen w(y = 0) = 0 und ηL (∂ w/∂y)y=δ = ±τδ (4.44) erf¨ ullt werden, wobei das positive Vorzeichen f¨ ur abw¨arts str¨omenden Dampf gilt, das negative, wenn der Dampf aufw¨ arts str¨omt. Damit erh¨alt man f¨ ur die Geschwindigkeit

(L − G ) g 2 y y2 τδ y w= δ − 2 ± . (4.45) ηL δ 2δ ηL Zur Berechnung der an der Phasengrenze herrschenden Schubspannung nimmt man Gleichheit von Druck- und Reibungskr¨aften im Dampfraum an. Der

4.1 W¨ arme¨ ubergang beim Kondensieren

501

Druckabfall l¨ angs des Str¨ omungswegs dx sei dp. F¨ ur eine Rohrstr¨omung ist dann d2 π dp τδ d π = . (4.46) 4 dx Andererseits gilt f¨ ur den Druckabfall 2 dp G wG =ζ . dx d

(4.47)

Damit wird

2 G wG . 4 Die mittlere Geschwindigkeit erh¨ alt man zu

τδ = ζ

1 wm = δ

δ w dy =

(L − G ) g 2 τδ δ δ ± 3 ηL 2 ηL

(4.48)

(4.49)

0

und daraus den Massenstrom an Kondensat, der durch eine Ebene senkrecht zur Wand abﬂießt L (L − G ) g b 3 L τδ δ 2 b M˙ = wm L b δ = δ ± . 3 ηL 2 ηL

(4.50)

Die Filmdicke ﬁndet man, wie bereits in Abschnitt 4.1.2 gezeigt, mit Hilfe der Energiebilanz ϑs − ϑ0 λL b dx = Δhv dM˙ δ zu 4 τδ δ 3 4 λ ηL (ϑs − ϑ0 ) δ4 ± = x , (4.51) 3 g(L − G ) L (L − G ) g Δhv woraus sich nach Berechnung der Filmdicke δ die u ¨bertragene W¨armestromdichte q˙ = λL (ϑs − ϑ0 )/δ ergibt. Die Schubspannung τδ ist durch (4.48) gegeben. Ber¨ ucksichtigt man noch die Unterk¨ uhlung des Kondensatﬁlms und die ¨ Uberhitzung des Dampfes, so ist anstelle der Verdampfungsenthalpie Δhv die Enthalpiediﬀerenz Δh∗v¨u nach (4.29) einzusetzen. Ist die Kondensatﬂ¨ache um den Winkel γ gegen die Senkrechte geneigt, so hat man die Fallbeschleunigung g durch ihre wandparallele Komponente g cos γ zu ersetzen. Gleichung (4.51) haben Rohsenow et al. [4.19] durch Einf¨ uhren dimensionsloser Gr¨ oßen umgeformt und dann aus den berechneten Filmdicken die W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten α = λL /δ und auch mittlere W¨arme¨ ubergangskoeﬃzienten αm bestimmt. Als Ergebnis zeigt Abb. 4.14 die mittlere NußeltZahl αm L N um = λ mit der charakteristischen L¨ ange

502

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

L=

L νL2 (L − G ) g

1/3

aufgetragen u ¨ ber der Reynolds-Zahl Re =

wm δ M˙ = , νL b ηL

wenn b die Breite des abﬂießenden Kondensatﬁlms ist, die bei der Kondensation am senkrechten Rohr b = π d betr¨ agt. Als Kurvenparameter ist die dimensionslose Schubspannung τδ∗ =

τδ L (L − G ) g

eingetragen. Die Ergebnisse gelten f¨ ur abw¨ arts str¨omenden Dampf. Die gestrichelten Linien zeigen die ungef¨ ahre Grenze zur turbulenten Filmkondensation.

Abb. 4.14: Einﬂuss der Schubspannung des Dampfes auf die laminare Filmkondensation, nach [4.19]

F¨ ur turbulente Filmkondensation str¨ omender D¨ampfe gelten zwar ebenso wie f¨ ur die laminare die Erhaltungss¨ atze von Masse, Impuls und Energie, man ben¨ otigt jedoch zus¨ atzliche Informationen u ¨ ber die Mechanismen des turbulenten Austausches von Materie, Impuls und Energie. Als Ergebnis einer solchen Rechnung erh¨ alt man wiederum Temperaturproﬁle und daraus die W¨arme¨ ubergangskoefﬁzienten. Als Beispiel zeigt Abb. 4.15 Ergebnisse von Dukler [4.19] u ortlichen Nußelt-Zahl als Funktion der Reynolds¨ ber den Verlauf der ¨ Zahl f¨ ur eine Prandtl-Zahl P r = 5 und abw¨ arts gerichtete Dampfstr¨omung. Die Kenngr¨ oßen sind genau so deﬁniert wie in der f¨ ur die laminare Str¨omung g¨ ultigen Abb. 4.14, so dass man anhand beider Bilder den W¨arme¨ ubergang bei

4.1 W¨ arme¨ ubergang beim Kondensieren

503

laminarer und bei turbulenter Str¨ omung vergleichen kann. Auch f¨ ur die turbulente Str¨ omung erh¨ alt man keinen analytischen Ausdruck, sondern nur numerische Ergebnisse f¨ ur die berechneten W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten. Diese lassen sich durch empirische Gleichungen darstellen. Als Beispiel sei die f¨ ur die praktische Handhabung besonders einfache Gleichung von Shah [4.21] mitgeteilt. Sie enth¨ alt die Beziehung (3.259) f¨ ur den konvektiven W¨arme¨ ubergang der turbulenten einphasigen Str¨ omung, in der lediglich der Exponent der Prandtl-Zahl von 1/3 auf 0,4 erh¨ oht wurde, und einen zus¨atzlichen Term, der die Phasenumwandlungen und den Einﬂuss der Dampfstr¨omung ber¨ ucksichtigt. F¨ ur den o rtlichen W¨ a rme¨ u bergang gilt ¨ ( 3,8 (1 − x∗ )0,04 x∗0,76 0,8 0,4 ∗ 0,8 N u = 0,023 Re P r (1 − x ) + (4.52) p+0,38 mit

αd wm d π d2 νL p ˙ Nu = , Re = , wm = M / L , Pr = , p+ = . λL νL 4 aL pcr

Die Gr¨ oße x∗ = M˙G /M˙ ist der Str¨ omungsdampfgehalt in einem Querschnitt des Rohrs. Diese Gleichung gibt Messungen mit Wasser, mit den K¨altemit-

Abb. 4.15: Filmkondensation von abw¨ arts str¨ omendem Sattdampf, nach [4.20], Prandtl-Zahl P r = 5,0

teln R11, R12, R113 und mit Methanol, Ethanol Benzol, Toluol und Trichlorethylen bei der Kondensation in senkrechten, waagrechten und geneigten Rohren von 7 bis 40 mm Innendurchmesser wieder bei normierten Dr¨ ucken 0,002 ≤ p+ ≤ 0,44, S¨ attigungstemperaturen 21 ≤ ϑs ≤ 310 , Dampfgeschwindigkeiten 3 m/s ≤ wG ≤ 300 m/s, Massenstromdichten 10,8 kg/m2 s ≤

504

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

m ˙ ≤ 210,6 kg/m2 s, W¨ armestromdichten 158 W/m2 ≤ q˙ ≤ 1,893 · 106 W/m2 , Reynolds-Zahlen 100 ≤ Re ≤ 63 000, und Prandtl-Zahlen 1 ≤ P r ≤ 13. Die mittlere Abweichung von den Versuchswerten wird zu ±15,4 % angegeben. Zur praktischen Berechnung empﬁehlt es sich, ein Kondensatorrohr in Ab¨ schnitte mit gleicher Anderung Δx∗ des Str¨ omungsdampfgehaltes zu unterteilen. Wenn man diese Abschnitte nicht allzu groß w¨ahlt, kann man in jedem Abschnitt einen linearen Abfall des Str¨ omungsdampfgehaltes annehmen und dann den o rtlichen W¨ a rme¨ u bergangskoeﬃzienten nach (4.52) in der Mitte ¨ des Abschnitts Δx∗ berechnen. Nach Shah [4.21] gen¨ ugt eine Unterteilung in Abschnitte Δx∗ < 0,4. Der W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient in der Mitte eines Abschnitts ist n¨aherungsweise gleich dem mittleren W¨arme¨ ubergangskoeﬃzienten α = αm des Abschnitts. Man erh¨ alt die Fl¨ache A des betreﬀenden Abschnitts aus Q˙ = km A Δϑm (4.53) mit

1 1 δ 1 = + + , km A αm AK λ Am αma Aa

oder, falls man den W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten auf die Kondensatoberﬂ¨ ache AK = A bezieht, mit 1 1 δd 1 d 1 1 = + + = + km αm λ dm αma da αm km und Δϑm =

ϑa − ϑe , ln[(ϑG − ϑe )/(ϑG − ϑa )]

(4.54)

(4.55)

worin ϑe die Eintrittstemperatur des K¨ uhlmittels in den betreﬀenden Abschnitt, ϑa die Austritts- und ϑG die mittlere Dampftemperatur sind. Beispiel 4.3: In einem Rohrb¨ undelkondensator aus 200 senkrechten Rohren von je 25 mm Innendurchmesser, sollen M˙ G = 8 kg/s ges¨ attigter Toluoldampf vom Druck 0,1 MPa kondensiert werden. Die Rohre werden von außen durch M˙ W = 60 kg/s Wasser im Gegenstrom gek¨ uhlt, das dem Kondensator mit einer Temperatur von 45 zugef¨ uhrt wird. Der W¨ armedurchgangskoeﬃzient vom K¨ uhlwasser bis zur Rohrwand betr¨ agt km = 2500 W/m2 K. Man berechne die erforderliche Rohrl¨ ange. Folgende Stoﬀwerte sind gegeben: Fl¨ ussiges Toluol: Dichte L = 782 kg/m3 , spez. W¨ armekapazit¨ at cpL = 2,015 kJ/kg K, W¨ armeleitf¨ ahigkeit λL = 0,126 W/K m, dynamische Viskosit¨ at ηL = 2,52 · 10−4 kg/sm, Prandtl-Zahl P r = 4,03. Weiter ist f¨ ur das Toluol G L , und die Verdampfungsenthalpie Δhv = 356 kJ/kg, S¨ attigungstemperatur bei 0,1 MPa: ϑs = 383,75 K = 110,6 , kritischer Druck pcr = 4,11 MPa. Die spez. W¨ armekapazit¨ at des K¨ uhlwassers ist cpW = 4,10 kJ/kg K. Die Kondensatorleistung ist Q˙ = M˙ G Δhv = 8 kg/s · 356 kJ/kg = 2848 kW, die ˙ Leistung je Rohr Q/200 = 14,24 kW. Die K¨ uhlwasseraustrittstemperatur folgt ˙ ˙ aus Q = MW cpW (ϑWa − ϑWe ) zu

4.1 W¨ arme¨ ubergang beim Kondensieren ϑWa = ϑWe +

Q˙ = 45,0 M˙ W cpW

+

2 848 kW = 56,58 60 kg/s · 4,10 kJ/kg K

505 .

Zur Berechnung der erforderlichen Rohrl¨ ange unterteilen wir in vier Abschnitte mit Δx∗ = 0,25. Der W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient auf der Kondensatseite folgt aus (4.52). Darin ist mit der Kondensatmenge M˙ = 8(kg/s)/200 = 0,04 kg/s je Rohr die Reynolds-Zahl Re =

M˙ 0,04 kg/s · 25 · 10−3 m = = 8 084 . ηL d π/4 2,52 · 10−4 kg/s m · (25 · 10−3 )2 · π/4

Nach (4.52) wird

ﬀ 3,8 (1 − x∗ )0,04 x∗0,76 (1 − x ) + p+0,38 j ﬀ 0,126 W/Km 3,8 ·(1−x∗ )0,04 ·x∗0,76 0,8 0,4 ∗ 0,8 = · 0,023 · 8 084 · 4,03 · (1−x ) + , 25 · 10−3 m (2,433 · 10−2 )0,38 ˘ ¯ α = 270,63 (W/m2 K) (1 − x∗ )0,8 + 15,579 (1 − x∗ )0,04 x∗0,76 . λL α= 0,023 Re0,8 P r 0,4 d

j

∗ 0,8

Im ersten Abschnitt 1,0 ≥ x∗ ≥ 0,75 ist der mittlere Str¨ omungsdampfgehalt (1,0 + 0,75)/2 = 0,875. Damit ergibt sich aus der vorigen Gleichung ein mittlerer W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient ˘ ¯ α = αm = 270,63 W/m2 K (1 − 0,875)0,8 + 15,597 · (1 − 0,875)0,04 · 0,8750,76 = 3 557 W/m2 K . Nach (4.54) ist der W¨ armedurchgangskoeﬃzient dieses Abschnitts 1 1 1 1 1 = + = + km αm km 3 557 W/m2 K 2 500 W/m2 K km = km1 = 1 468 W/m2 K . Der in dem ersten Abschnitt u armestrom ist 14,24 kW/4 = 3,56 kW = ¨ bertragene W¨ Q˙ 1 . Das K¨ uhlwasser tritt in den ersten Abschnitt mit der Temperatur ϑWe1 = ϑWa −

Q˙ 1 = 56,58 ˙ MW1 cpW

−

3,56 kW = 53,69 0,3 kg/s · 4,10 kJ/kg K

ein. Die mittlere logarithmische Temperaturdiﬀerenz nach (4.55) ist Δϑm1 =

56,58 − 53,69 K = 55,4 K . ln[(110,6 − 53,69)/(110,6 − 56,58)]

Damit folgt aus (4.53) die Fl¨ ache des ersten Abschnitts A1 =

Q˙ 1 3,56 · 103 W = = 4,377 · 10−2 m2 . km1 Δϑm1 1 468 W/m2 K · 55,4 K

Die zugeh¨ orige Rohrl¨ ange ist A1 4,377 · 10−2 m2 = = 0,56 m . dπ 25 · 10−3 m · π Eine entsprechende Rechnung f¨ ur alle Abschnitte ergibt die in der Tabelle P auf der folgenden Seite aufgelisteten Werte. Die Gesamtl¨ ange der Rohre ist L= Lges = 2,69 m ≈ 2,7 m. L1 =

506

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

x∗

x∗m

αm 2

km

ϑW

Δϑm

2

W/m K

W/m K

3557

1468

1,0

m 56,58

0,875 0,75

2960

1355

0,5 0,375

2149

1156

1106

768

0,0

m 0,56

58,3

4,507 · 10−2

0,57

61,0

5,05 · 10−2

0,64

63,9

7,25 · 10−2

0,92

47,90 0,125

L

4,377 · 10−2

50,80

0,25

2

55,4 53,69

0,625

A

45

4.1.7 Tropfenkondensation Benetzt das Kondensat die Wand nur unvollst¨andig, so bildet sich, wie in Abschnitt 4.1.1 erl¨autert wurde, kein zusammenh¨angender Kondensatﬁlm, sondern es entstehen einzelne Fl¨ ussigkeitstropfen. W¨arme¨ ubergangskoeﬃzienten bei Tropfenkondensation sind deutlich gr¨ oßer als bei Filmkondensation. Man hat bei der Kondensation von Wasserdampf um den Faktor vier bis acht gr¨oßere W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten gemessen. Allerdings hat sich gezeigt, dass alle untersuchten Stoﬀe, insbesondere Wasser, die an den u ¨ blicherweise verwendeten Heizﬂ¨achen kondensieren, vollst¨ andig benetzen, sofern der Werkstoﬀ der Heizﬂ¨ ache und die Fl¨ ussigkeit nicht verunreinigt waren. Das entspricht auch der Erfahrung, wonach ein Wasserﬁlm als Kennzeichen gut gereinigten Laborger¨ ats angesehen wird. Die Kondensationsform wird haupts¨ achlich durch an der festen Oberﬂ¨ache adsorbierte Fremdstoﬀe beeinﬂusst. Sie k¨ onnen lokal zu endlichen Werten des Randwinkels f¨ uhren und damit eine unvollst¨ andige Benetzung bewirken. Als Fremdstoﬀe kommen organische Stoﬀe in Frage, denen man Wasser als Antinetzmittel zusetzt (Impfstoﬀe, Promotoren). Gelegentlich sind solche Impfstoﬀe unbeabsichtigt im Dampf, beispielsweise das Schmier¨ol einer Kesselspeisepumpe, wobei zur Erzeugung von Tropfenkondensation die geringen im Kondensat noch l¨ osbaren Mengen ausreichen. Auch die Zugabe wachsartiger Stoﬀe ist vorgeschlagen worden [4.22]. Man kann die Oberﬂ¨ache mit Werkstoﬀen geringer Oberﬂ¨ achenenergie wie Polymere oder amorphe Kohlenwasserstoﬀe beschichten oder die Oberﬂ¨ ache durch Ionenbestrahlung ver¨andern und dadurch die Oberﬂ¨ achenenergie verringern. Bei Impfstoﬀzugabe ist zur Aufrechterhaltung einer stabilen Tropfenkondensation eine st¨andige oder periodische Zugabe des Impfstoﬀes erforderlich, da dieser im Laufe der Zeit durch Abwaschen oder L¨ osen im Kondensat von der Oberﬂ¨ache entfernt wird. Die Tropfenbildung wird zus¨ atzlich durch Wandrauhigkeit, Wandh¨ohe, W¨armestromdichte und Temperaturdiﬀerenz beeinﬂusst.

4.1 W¨ arme¨ ubergang beim Kondensieren

507

Als Promotor haben sich auch d¨ unne, durch Elektrolyse aufgetragene Goldschichten und Edelmetallplattierungen aus Gold, Rhodium, Palladium oder Platin bew¨ ahrt. Allerdings m¨ ussen diese, wie Versuche zeigten [4.23], eine bestimmte Mindestdicke haben, die bei Goldschichten rund 0,2 μm betr¨ agt, um eine dauernde Tropfenkondensation aufrechtzuerhalten. Obwohl diese Schichtdicke nur etwa halb so groß ist wie die Wellenl¨ange des sichtbaren Lichts, ist die ben¨otigte Goldmenge doch keineswegs gering. Sie betr¨agt 3,8 g je m2 Heizﬂ¨ ache. Das bedeutet bei Goldpreisen von rund 10 000 ¤ je kg allein f¨ ur das Material zur Plattierung Kosten von rund 38 ¤ je m2 Heizﬂ¨ache. Dem steht ein f¨ unf- bis siebenmal gr¨ oßerer W¨ arme¨ ubergang bei der Kondensation von Wasserdampf [4.23] gegen¨ uber. Dennoch wird man angesichts des hohen Aufwands nur in Sonderf¨ allen von einer Goldplattierung Gebrauch machen, sonst aber die Filmkondensation w¨ ahlen. Auch wenn die Art der Kondensation nicht genau bekannt ist, wird man zur Berechnung von Kondensatoren Filmkondensation annehmen, da man dann die Kondensatorﬂ¨ ache ausreichend dimensioniert. Versuche zur Tropfenkondensation sind schwierig, weil man zur Bestimmung von W¨ arme¨ ubergangskoefﬁzienten Temperaturunterschiede von 1 K und weniger messen muss, wobei die Wandtemperatur zeitlich und ¨ ortlich schwankt. Der messtechnische Aufwand zur Erzielung genauer Ergebnisse ist daher betr¨ achtlich. Als Beispiel f¨ ur die Tropfenkondensation zeigt Abb. 4.16 Aufnahmen an einer senkrechten Fl¨ ache. Die kleinen Tr¨ opfchen wachsen durch Nachkondensation aus dem Dampfraum und durch Zusammenﬂießen. Sobald eine bestimmte Tropfengr¨ oße erreicht ist, rollt der Tropfen ab und nimmt dabei die auf seiner Bahn liegenden Tropfen mit. Hinter dem abrollenden Tropfen entstehen sofort neue. Sie bilden sich vorzugsweise an den zur¨ uckgebliebenen Wasserr¨ andern und an Kratzern in der Kondensationsﬂ¨ ache. Die Keimdichte h¨ angt nach Versuchen von Krischer und Grigull [4.24] haupts¨ achlich von der Unterk¨ uhlung der Heizﬂ¨ ache ab. Versuche mit kondensierendem Wasserdampf an Kupfer- und Messingﬂ¨ achen ergaben bei Unterk¨ uhlungen von 0,1 K Keimdichten von etwa 3·103 Keimen je mm2 Heizﬂ¨ ache, w¨ ahrend bei einer Unterk¨ uhlung von 0,4 K die Keimdichte bei 15 · 103 Keimen je mm2 lag. Abb. 4.17 zeigt Ergebnisse zum W¨ arme¨ ubergang bei Tropfenkondensation, die aus Arbeiten der letzten 20 Jahre zusammengestellt wurden. Die meisten der Kondensationsﬂ¨ achen bestanden aus Kupfer. Als Promotoren, mit denen die K¨ uhlﬂ¨ ache bestrichen wurde, dienten verschiedene Fl¨ ussigkeiten. Je nach Promotoren und Werkstoﬀ der Kondensationsﬂ¨ ache ergaben sich meist sehr unterschiedliche Ergebnisse. Wie man erkennt, weichen einzelne Versuchsergebnisse bis zum Faktor 30 in der W¨ armestromdichte voneinander ab. Eine schwach zunehmende Steigung und nur geringe Abweichungen untereinander weisen die Kurven 2, 5 und 6 von Wenzel [4.26], Le F`evre und Rose [4.29] und Tanner et al. [4.30] auf. In Abb. 4.18 sind Ergebnisse aus [4.30] und [4.32] zusammen mit denen von Krischer und Grigull [4.24] gesondert gezeichnet. Zur Berechnung des W¨ arme¨ ubergangs sind mehrere Theorien ¨ uber die Tropfenkondensation aufgestellt worden. Eine der ¨ altesten, von Eucken [4.33] entwickelte Theorie geht von der Vorstellung aus, dass aus einer adsorbierten monomolekularen Kondensatschicht, deren Bildung durch Keime beg¨ unstigt wird, die ersten Kondensattr¨ opfchen entstehen, denen durch Oberﬂ¨ achendiﬀusion vorwiegend am Tropfen-

508

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

a

b

c

Abb. 4.16: Tropfenkondensation an einer senkrechten Kondensationsﬂ¨ ache, nach Krischer und Grigull [4.24]. a Beginn der Kondensation; b Kondensationsform nach 16 s; c Kondensationsform nach 32 s. Die Spuren der abrollenden Tropfen sind deutlich zu erkennen. Oben in Bild b ein sich gerade abl¨ osender Tropfen. q˙ = 0,12 W/cm2 , Δϑ = 0,05 K. Durchmesser der Kondensationsﬂ¨ ache: 18 mm

rand st¨ andig neues Kondensat zuﬂießt. Diese Theorie ist sp¨ ater von anderen Autoren [4.34], [4.35] aufgegriﬀen und weiter ausgearbeitet worden. Andere Theorien setzten voraus, dass zwischen den Tropfen ein d¨ unner, instabiler Wasserﬁlm existiert, der nach Erreichen einer kritischen Dicke von wenigen μm aufplatzt und in den Tropfen verschwindet [4.36]. Diese Vorstellung wurde jedoch inzwischen durch Versuche widerlegt [4.37], [4.38].

4.1 W¨ arme¨ ubergang beim Kondensieren

Abb. 4.17: Versuchsergebnisse u ¨ ber Tropfenkondensation von Wasser bei etwa 1 bar Kondensationsdruck, nach ¨ [4.24]. 1 Hampson und Ozisik 1952, Kurven f¨ ur zwei verschiedene Promotoren [4.25]; 2 Wenzel 1957 [4.26]; 3 Welch und Westwater 1961 [4.27]; 4 Kast 1965, verchromte (obere Kurve) und unverchromte Kupferoberﬂ¨ ache [4.28]; 5 Le F`evre und Rose 1965, verschiedene Promotoren [4.29]; 6 Tanner et al. 1968, verschiedene Promotoren [4.30]; 7 Grifﬁth und Lee 1967, vergoldete Kondensationsoberﬂ¨ achen: obere Kurve Kupfer, mittlere Kurve Zink und untere Kurve Stahl [4.31]

509

Abb. 4.18: Versuchsergebnisse bei etwa 0,03 bar Kondensationsdruck, nach [4.24]. Gestrichelte Kurven: Interpolierte Werte 8 aus Messungen von Tanner et al. [4.30] a) Promotor Montan ” wax“und b) Promotor Dioctadecyldi” sulﬁde“; 9 Messungen von Brown und Thomas [4.32]

Am besten mit Experimenten in Einklang zu bringen ist die Vorstellung, dass zun¨ achst winzige Tr¨ opfchen an Keimstellen, an Vertiefungen der Kondensationsﬂ¨ ache oder an Fl¨ ussigkeitsresten entstehen. Ihre Wachstumsgeschwindigkeit wird durch den W¨ armeleitwiderstand in den Tropfen und teilweise auch durch den W¨ armewiderstand an der Phasengrenze zum Dampf bestimmt. Die Wachstumsgeschwindigkeit ist damit nur von dem jeweiligen Tropfenradius und der treibenden Temperaturdiﬀerenz abh¨ angig, was auch experimentell best¨ atigt wurde [4.24]. Wenn es bisher dennoch nicht gelungen ist, eine geschlossene Theorie zu entwickeln, so liegt dies vor allem daran, dass die Keimdichte unbekannt ist und dass man auch den Radius der abrollenden Tropfen nur schwer vorhersagen kann, da er von der Reinheit und Gl¨ atte der Kondensationsﬂ¨ ache und den Grenzﬂ¨ achenspannungen abh¨ angt.

4.1.8 Kondensation von Dampfgemischen In technischen Apparaten werden h¨ auﬁg Dampfgemische verﬂ¨ ussigt, deren Komponenten sich alle in der ﬂ¨ ussigen Phase wiederﬁnden, oder die Dampf-

510

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

gemische enthalten Beimengungen von Inertgasen, die nicht kondensieren. Deren Einﬂuss auf den W¨ arme¨ ubergang bei der Kondensation wurde schon in Abschnitt 4.1.4 behandelt. Hier soll daher noch untersucht werden, wie sich der W¨ arme¨ ubergang a ¨ndert, wenn das Kondensat alle Komponenten in mehr oder weniger starkem Maße enth¨ alt. Je nach Anwendungszweck kann der Dampf vollst¨andig oder nur teilweise kondensiert werden, so dass ein Restdampf von im Allgemeinen anderer Zusammensetzung als der anf¨ angliche Dampf den Kondensator verl¨asst. Man bezeichnet solche Apparate als Teil- oder Partialkondensatoren und in Rektiﬁzierkolonnen auch als Dephlegmatoren. Ihr Zweck besteht darin, aus einem Dampf die h¨ oher siedenden Komponenten durch Kondensation abzutrennen. Sie arbeiten mit geringerer Temperaturdiﬀerenz zwischen Dampf und K¨ uhlmittel als ein Kondensator, in dem der Dampf m¨oglichst vollst¨andig kondensiert werden soll. Da bei der Kondensation von Dampfgemischen die Komponenten mit dem h¨ oheren Siedepunkt in der Regel zuerst kondensieren und der Restdampf an diesen Komponenten verarmt, baut sich ein mit dem Str¨omungsweg ver¨anderliches Konzentrationsproﬁl auf, das den W¨ arme¨ ubergang maßgeblich beeinﬂusst. Dies f¨ uhrt dazu, dass man zur Berechnung des W¨arme- und Stoﬀ¨ ubergangs den Str¨ omungsweg in einzelne Abschnitte unterteilt, und f¨ ur jeden Abschnitt die Mengenbilanzen der Komponenten und die Energiebilanzen unter Beachtung der Gesetze des W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergangs l¨osen muss. Eine derartige Berechnung ist selbst f¨ ur die Kondensation von Zweistoﬀgemischen nur mit Hilfe einer Rechenanlage m¨ oglich. Wir wollen uns hier darauf beschr¨anken, die grundlegenden physikalischen Vorg¨ ange zu er¨ortern und die maßgebenden Bilanzgleichungen bereit zu stellen. Da die Vorg¨ange bei der Kondensation von Vielstoﬀgemischen mit mehr als zwei Komponenten ¨ahnlich ablaufen wie bei Zweistoﬀgemischen, beschr¨ anken wir die Betrachtungen auf Zweistoﬀgemische. Kondensiert ein Zweistoﬀgemisch, dessen Siede- und Taulinie in Abb. 4.19a dargestellt sind, an einer gek¨ uhlten Wand der Temperatur ϑ0 , so bildet sich ein Kondensat, Abb. 4.19b, an das der Dampf grenzt. An der Phasengrenze stellt sich eine Temperatur ϑI ein, die zwischen der Temperatur ϑG des Dampfes weitab von der Wand und der Wandtemperatur ϑ0 liegt. Ist der Dampf ges¨ attigt, so betr¨ agt seine Temperatur ϑG = ϑs entsprechend Abb. 4.19a. Den Temperaturverlauf im Dampf und Kondensat zeigt Abb. 4.19c. Die Komponente mit dem h¨ oheren Siedepunkt geht an der Phasengrenze in der Regel bevorzugt vom Dampf in das Kondensat u ¨ ber. Infolgedessen enth¨ alt das Dampfgemisch an der Phasengrenze im Allgemeinen mehr von der leichter ﬂ¨ uchtigen Komponente als in gr¨oßerer Entfernung davon. Es baut sich, wie in Abb. 4.19d dargestellt, ein Konzentrationsproﬁl auf. Die Konzentration der leichter ﬂ¨ uchtigen Komponente nimmt zur Phasengrenze hin zu. Im station¨ aren Zustand werden so die an der Kondensatoberﬂ¨ache nicht kondensierten Molek¨ ule der leichter ﬂ¨ uchtigen Komponente durch Dif-

4.1 W¨ arme¨ ubergang beim Kondensieren

511

Abb. 4.19: Temperatur-Konzentrationsdiagramm f¨ ur ein bin¨ ares Gemisch sowie Temperatur- und Konzentrationsverlauf in Dampf und Kondensat. Indizes: 0 K¨ uhlwand, I Phasengrenze, G Kernstr¨ omung im Dampf (G Gas). a Verlauf der Siedeund Taulinie; b Kondensat und Dampfgrenzschicht; c Temperaturverlauf; d Konzentrationsverlauf

fusion wieder in den Dampf zur¨ ucktransportiert. Im Kondensat kann man meistens wegen der im Vergleich zum Dampf kleinen Str¨omungsgeschwindigkeit den Impuls-, W¨ arme- und Stoﬀaustausch durch Konvektion im Vergleich zu dem durch Leitung und Diﬀusion vernachl¨ assigen, falls nicht die Prandtloder Schmidt-Zahl sehr klein ist. Daher gelten im Kondensatﬁlm weiterhin die Nußeltschen Annahmen, wonach die Str¨ omung nur durch Reibungs- und Feldkr¨ afte (Schwerkraft), das Temperaturproﬁl hingegen haupts¨achlich durch W¨ armeleitung bestimmt wird. Die Konzentration ist u ¨ ber einen Querschnitt des Kondensatﬁlms konstant, da die Wand f¨ ur Materie undurchl¨assig und konvektiver Stoﬀtransport im Fl¨ ussigkeitsﬁlm vernachl¨assigbar ist. Dies sieht man leicht ein, denn unter den genannten Voraussetzungen lautet die Gleichung f¨ ur die Diﬀusion, das sogenannte zweite Ficksche Gesetz,

∂ ∂c D =0 , ∂y ∂y wenn y die Koordinate senkrecht zur Wand, D der Diﬀusionskoeﬃzient und c = N/V die Konzentration einer der beiden Komponenten des Zweistoﬀgemischs ist. Integriert man diese Gleichung unter Beachtung der Randbedingungen

∂c = 0 und c(y = δ) = cI , ∂y y=0

512

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

so folgt unmittelbar c = c0 = cI = const. Es ist daher auch, wie in Abb. 4.19d eingezeichnet, x ˜ = x˜0 = x ˜I = const. Der Konzentrationsverlauf wird maßgeblich durch die Str¨omung und die Art der Str¨ omungsf¨ uhrung beeinﬂusst. Bei der in Abb. 4.20a gezeichneten, u blichen Gleichstromf¨ uhrung von Dampf und Kondensat geht die schwerer ¨ siedende Komponente bevorzugt aus dem Dampf in das Kondensat u ¨ ber. Der Anteil der leichter siedenden Komponente nimmt daher stromab im Dampf zu von der anf¨ anglichen Zusammensetzung y˜α zur Endzusammensetzung y˜ω . Die im Eintrittsquerschnitt anfallende Kondensatmenge ist groß, und infolgedessen wird dem Dampf auch viel von der schwerer siedenden Komponente entzogen. Anders sind die Verh¨ altnisse bei Gegenstrom, Abb. 4.20b, wie sie in Rieselﬁlmkolonnen oder in den R¨ ucklaufkondensatoren von Rektiﬁzieranlagen vorkommen. Dort triﬀt der Dampf von der anf¨anglichen Zusammensetzung y˜α auf eine dickere Kondensathaut. Die kondensierende Menge ist geringer, und es wird dem Dampf weniger von der schwerer siedenden Komponente entzogen als im Fall des Gleichstroms. Der aufsteigende Dampf kommt nun in Kontakt

Abb. 4.20: Kondensation bei a Gleich- und b Gegenstrom. Im Fall a enth¨ alt die nach unten rieselnde Fl¨ ussigkeit mehr an leichter ﬂ¨ uchtigen Bestandteile (LS) als im Fall b. Im Fall b treten LS-Molek¨ ule in den Dampf u ¨ ber, weil aufsteigende schwerer ﬂ¨ uchtige Bestandteile kondensieren und dabei LS-Molek¨ ule austreiben

mit einem d¨ unner werdenden Kondensatﬁlm der herabrieselnden Fl¨ ussigkeit. Die anfallende Kondensatmenge nimmt zu, und es kondensieren vorzugsweise die schwerer siedenden Komponenten des Dampfes. Die frei werdende Kondensationsenthalpie bewirkt gleichzeitig eine Verdampfung der leichter siedenden Komponenten, was durch die waagerechten Pfeile in Abb. 4.20b angedeutet ist: Zwischen Fl¨ ussigkeit und Dampf ﬁndet ein Stoﬀaustausch durch Rekti” ﬁkation“ statt, wodurch der austretende Dampf mehr, das unten austretende Kondensat entsprechend weniger an leichter ﬂ¨ uchtigen Bestandteilen enth¨alt als im Fall des Gleichstroms nach Abb. 4.20b. Will man daher ein an schwer

4.1 W¨ arme¨ ubergang beim Kondensieren

513

ﬂ¨ uchtigen Stoﬀen st¨ arker angereichertes Kondensat erhalten, so ist die Gegenstromf¨ uhrung vorzuziehen, ein Eﬀekt, auf den Claude [4.39] schon vor mehr als 70 Jahren hinwies. Der abstr¨ omende Dampf enth¨alt bei Gegenstrom mehr leichter ﬂ¨ uchtige Stoﬀe als bei Gleichstrom. Allerdings wird infolge der vom Dampf ausge¨ ubten Schubspannung das Kondensat bei Gegenstrom aufgestaut und der W¨ arme¨ ubergang verschlechtert. Oﬀenbar ist die Str¨ omungsf¨ uhrung f¨ ur den Stoﬀaustausch und damit auch f¨ ur den W¨ arme¨ ubergang maßgebend. Ganz allgemein gilt, dass sich infolge des Konzentrationsfelds an der Phasengrenze ein Stoﬀaustauschwiderstand aufbaut, der den Stoﬀstrom zur Phasengrenze hin behindert. Als Folge ist der W¨ arme¨ ubergang kondensierender Gemischd¨ampfe bei gleichem treibenden Temperaturgef¨ alle geringer als der kondensierender reiner D¨ampfe. Diese Verringerung kann betr¨ achtliche Werte annehmen. Als Beispiel daf¨ ur zeigt Abb. 4.21a die bezogene W¨ armestromdichte q/ ˙ q˙0 u ¨ ber der Temperatur ϑ∞ aufgetragen, die in diesem Fall gleich der S¨ attigungstemperatur entlang der Taulinie sein soll. Wie man erkennt, ist die u ¨ bertragene W¨armestromdichte q˙

Abb. 4.21: Verminderung des W¨ armestroms bei der Kondensation von Methanol/Wasser. a bezogene W¨ armestromdichte q/ ˙ q˙0 in Abh¨ angigkeit von der Temperatur ϑ∞ ; b Siedediagramm

deutlich kleiner als die W¨ armestromdichte q˙0 , die u urde, wenn kein ¨bertragen w¨ Widerstand f¨ ur den Stoﬀaustausch im Dampf zu u berwinden w¨are und da¨ her an der Kondensatoberﬂ¨ ache die S¨ attigungstemperatur ϑ∞ herrschte. Die ausgezogenen Kurven gelten f¨ ur die Kondensation eines Dampfgemischs aus Methanol (CH3 OH) und Wasser (H2 O) bei vernachl¨assigbarem Einﬂuss der Schwerkraft, also an einer waagrechten Platte oder dann, wenn die Dampf2 geschwindigkeit hinreichend groß und somit die Froude-Zahl F r = w∞ /g x sehr groß wird. Die gestrichelten Kurven gelten f¨ ur die Kondensation bei klei-

514

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

nen Froude-Zahlen, also beispielsweise an einer senkrechten Wand mit freier Konvektion des Dampfes. ¨ Ahnlich wie nach der Nußeltschen Wasserhauttheorie nimmt auch bei der Kondensation von Gemischd¨ ampfen die u ¨ bertragene W¨armestromdichte mit der treibenden Temperaturdiﬀerenz ϑ∞ − ϑ0 zu. Nach der Nußeltschen Wasserhauttheorie nahm der W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient mit der treibenden Temperaturdiﬀerenz entsprechend α ∼ (ϑ∞ − ϑ0 )−1/4 ab, Gl. (4.12). Die W¨armestromdichte nahm gem¨ aß q˙ ∼ (ϑ∞ − ϑ0 )3/4 zu. Dar¨ uber hinaus erkennt man in Abb. 4.21a ein Minimum der u bertragenen W¨ a rmestromdichte bei einer be¨ stimmten Temperatur ϑ∞ . Dieses kommt dadurch zustande, dass die f¨ ur den W¨ arme¨ ubergang maßgebende Temperaturdiﬀerenz ϑI − ϑ0 zwischen Kondensatoberﬂ¨ ache und Wand bei einer bestimmten S¨attigungstemperatur ϑ∞ ebenfalls ein Minimum annimmt, was sich anhand des Siedediagramms, Abb. 4.21, erkl¨ aren l¨ asst. Wir setzen dazu eine hinreichend große Temperaturdiﬀerenz ϑ∞ − ϑ0 voraus, so dass der Dampf vom Anfangszustand A vollst¨andig kondensiert und ein Kondensat anf¨ allt, das durch Punkt B in Abb. 4.21b gekennzeichnet ist. Die Temperatur ϑI an der Phasengrenze ist dann gleich der Siedetemperatur des Fl¨ ussigkeitsgemischs und die Zusammensetzung des anfallenden Kondensats identisch mit der des Dampfes. Man bezeichnet dies als ¨ortliche Totalkondensation. Die als konstant angenommene Wandtemperatur sei durch Punkt C charakterisiert. Die Strecke BC entspricht dann der Temperaturdiﬀerenz ϑI − ϑ0 , die f¨ ur die u ¨bertragene W¨armestromdichte q˙ entscheidend ist. W¨ urde die Nußeltsche Wasserhauttheorie auch f¨ ur die Kondensation von Gemischd¨ ampfen gelten, so w¨ are q˙ ∼ (ϑI − ϑ0 )3/4 . H¨alt man ϑ∞ − ϑ0 konstant und erh¨ oht man die Temperatur ϑ∞ , verfolgt also in Abb. 4.21a den Verlauf einer Kurve ϑ∞ − ϑ0 = const in Richtung wachsender Temperatur ϑ∞ , so kann man in Abb. 4.21b wieder die Strecke BC abgreifen, wenn man durch Punkt C eine Parallele zur Taulinie legt. Die Strecke AC =ϑ , ∞ − ϑ0 bleibt damit voraussetzungsgem¨ aß unver¨ andert, w¨ahrend BC zun¨achst kleiner, dann wieder gr¨ oßer wird. Im gleichen Verh¨altnis ¨andert sich auch die bezogene W¨ armestromdichte q/ ˙ q˙0 . H¨ alt man andererseits die Dampftemperatur ϑ∞ konstant und verringert man die Temperaturdiﬀerenz ϑ∞ − ϑ0 , indem man die Wandtemperatur erh¨ oht, so muss man in Abb. 4.21b die durch Punkt C gehende ϑ0 -Kurve nach oben verschieben. Damit erh¨alt man auch kleinere Werte der W¨ armestromdichte q˙ und der bezogenen W¨armestromdichte q/ ˙ q˙0 . 4.1.8.1 Die Temperatur an der Phasengrenze ¨ Wie die vorherigen Uberlegungen zeigten, muss man zur Berechnung des W¨arme¨ ubergangs bei Filmkondensation von Gemischen die Temperatur ϑI an der Phasengrenze kennen. An der Phasengrenze eines Kondensationsﬁlms herrscht thermodynamisches Gleichgewicht zwischen Fl¨ ussigkeit und Dampf. Die Temperatur ϑI ist leicht zu berechnen, wenn die anfallende Kondensatmenge an jeder Stelle die gleiche Zusammensetzung wie der Dampf hat. Sie stimmt dann mit der jeweiligen Temperatur auf der Siedelinie u ¨ berein und ist beispielsweise

4.1 W¨ arme¨ ubergang beim Kondensieren

515

durch Punkt B in Abb. 4.21b bestimmt. Um diese Temperatur zu erreichen, muss die Wandtemperatur ϑ0 = ϑC nach Abb. 4.21b hinreichend weit unter der Siedetemperatur ϑB der leichter ﬂ¨ uchtigen Komponente liegen. Als Regel gilt, dass ϑB −ϑ0 > 2 (ϑA −ϑB ) sein soll. Die Kondensationsrate muss demnach hinreichend groß sein, weswegen man von o ¨rtlicher Totalkondensation spricht. In technischen Kondensatoren ist diese Bedingung zwar erf¨ ullt, allerdings gibt es auch F¨ alle, wie bei der Partialkondensation, wo man die Wandtemperatur bewusst h¨ oher w¨ ahlt, damit die leichter ﬂ¨ uchtige Komponente im Kondensat nur in geringer Menge oder gar nicht vorkommt. Um zu zeigen, wie man dann die Temperatur an der Phasengrenze ermittelt, betrachten wir ein Zweistoﬀgemisch und stellen f¨ ur dieses eine Massenbilanz an der Kondensatoberﬂ¨ache auf. Der senkrecht zur Phasengrenze ﬂießende Massenstrom M˙ G des Dampfes wird dort kondensiert und als Kondensat M˙ L abgef¨ uhrt. Es ist M˙ G = M˙ L = M˙ 1 . Wir setzen nun der Einfachheit halber die G¨ ultigkeit der Filmtheorie voraus, wonach Geschwindigkeits- und Konzentrationsproﬁl nur von der wandnormalen Koordinate y abh¨ angen. Mit dieser Annahme lautet die Kontinuit¨ atsgleichung f¨ ur die betrachtete Komponente ∂ M˙ 1 =0 , ∂y wobei y die wandnormale Koordinate bezeichnet. F¨ ur diese Gleichung kann ˜ 1 N˙ 1 mit der Molmasse M ˜ 1 und dem Stoﬀmengenstrom man wegen M˙ 1 = M N˙ 1 (SI-Einheit mol/s) auch schreiben ∂ N˙ 1 =0 . ∂y

(4.56)

Der Stoﬀstrom im Gas setzt sich aus dem Diﬀusionsstrom u j1 A (SI-Einheit von u j1 : mol/m2 s) und dem Konvektionsstrom y˜1 N˙ zusammen, wenn N˙ der gesamte Stoﬀmengenstrom und y˜ = y˜1 ist: N˙ 1 = u j1 A + y˜ N˙ .

(4.57)

Hierin ist nach dem Fickschen Gesetz (1.160) u j1

= −c D

∂ y˜ ∂y

(4.58)

mit c = N/V . Die Koordinate y l¨ auft senkrecht zur Kondensatoberﬂ¨ache und zeigt von der Kondensatoberﬂ¨ ache in den Dampfraum. Mit (4.58) kann man (4.57) nach Division durch N˙ auch schreiben N˙ ∂ y˜/∂y u j1 = = −c D . A N˙ 1 /N˙ − y˜ N˙ 1 /N˙ − y˜

(4.59)

516

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

Da die Stoﬀmengenstromdichte jeder der beiden Komponenten unabh¨angig von der Ortskoordinate y sein soll, sind die gesamte Stoﬀmengenstromdichte N˙ /A und ebenso auch der Quotient N˙ 1 /N˙ unabh¨angig von y. Man kann daher (4.59) leicht integrieren. Die Integration soll sich von der Kondensatoberﬂ¨ache (Index I) bis in den Dampfraum (Index G) erstrecken. Die Dicke der Dampfgrenzschicht sei δ. Wir setzen dabei konstante Werte von Druck und Temperatur voraus. Unter der Annahme, dass sich die Gasphase ideal verh¨alt, sind dann der Diﬀusionskoeﬃzient und die molare Konzentration c = N/V = p/(Rm T ) ebenfalls unabh¨ angig von der Ortskoordinate y. Die Integration ergibt N˙ N˙ 1 /N˙ − y˜G δ = c D ln A N˙ 1 /N˙ − y˜I und nach Einf¨ uhren eines Stoﬀaustauschkoeﬃzienten βG = D/δ N˙ N˙ 1 /N˙ − y˜G = n˙ = βG c ln . A N˙ 1 /N˙ − y˜I

(4.60)

Dieses Ergebnis erh¨ alt man auch aus der fr¨ uher abgeleiteten Gleichung (1.192) der Filmtheorie, wenn man diese auf die Dampfphase anwendet und nach n˙ auﬂ¨ ost. Nun ist in (4.60) der Stoﬀmengenstrom an der Phasengrenze I gegeben durch N˙ 1 /A = (c1 w1 )G = (c1 w1 )L und N˙ /A = (c u)G = (c u)L , worin u die mittlere molare Geschwindigkeit nach (1.157) ist. Damit ist das Verh¨ altnis N˙ 1 /N˙ = (c1 w1 )L /(c u)L . Da in der Fl¨ ussigphase aber keine Diffusion stattﬁndet, ist dort nach (1.158) w1 = u, und infolgedessen gilt auch N˙ 1 /N˙ = c1 /c = n1 /n = x ˜1 . Dieser Wert ist an der Phasengrenze zu nehmen, so dass wir schreiben k¨ onnen N˙ 1 = x˜1I = x ˜I . N˙ Kondensiert ein Dampf aus einem Gemisch mit einem Inertgas, so ist x˜I = 1 und man erh¨ alt aus (4.60) die bereits bekannte Gleichung (4.31). Da der Quotient (˜ xI − y˜G )/(˜ xI − y˜I ) in (4.60) kleiner als eins ist, wird die Stoﬀmengenstromdichte negativ: Der Stoﬀstrom des kondensierenden Dampfes ist der von uns gew¨ ahlten Oberﬂ¨ achenkoordinate y entgegen gerichtet. Da es uns nur auf den Betrag der Mengenstromdichte ankommt, schreiben wir |n| ˙ = βG c ln

y˜I − x ˜I . y˜G − x ˜I

(4.61)

In (4.61) sind nun zwei Grenzf¨ alle enthalten: a) Bei ¨ ortlicher Totalkondensation ist die Zusammensetzung der Fl¨ ussigkeit identisch mit der des Dampfes x ˜I = y˜G . Man erh¨alt dann |n| ˙ → ∞ f¨ ur

4.1 W¨ arme¨ ubergang beim Kondensieren

517

die Mengenstromdichte des zur Kondensatoberﬂ¨ache str¨omenden Dampfes. Um ¨ ortliche Totalkondensation zu erreichen, muss die Wandtemperatur hinreichend weit unter der Siedetemperatur aller Komponenten liegen, damit diese alle kondensieren und das Kondensat dieselbe Zusammensetzung wie der Dampf aufweist. b) F¨ ur verschwindend kleine Mengenstromdichten des entstehenden Kondensats |n| ˙ → 0 ist nach (4.61) die Dampfzusammensetzung y˜G = y˜I . Es wird praktisch kein Kondensat gebildet und infolgedessen bildet sich im Dampfraum auch kein Konzentrationsproﬁl aus.

Abb. 4.22: Grenzf¨ alle der Kondensation

Abb. 4.23: Molanteile und Temperatur an der Kondensatoberﬂ¨ ache

Beide Grenzf¨ alle sind in Abb. 4.22 eingezeichnet. Tats¨achliche Kondensationsraten liegen zwischen beiden Extremf¨ allen. Die Temperatur ϑI an der Phasengrenze liegt, wie in Abb. 4.22 zu sehen, zwischen der Temperatur der Taulinie (Fall b) und der Temperatur der Siedelinie (Fall a). Die zugeh¨orige Dampfund Fl¨ ussigkeitszusammensetzung liest man auf der Abszisse, Punkte A und B in Abb. 4.22 ab. Zur Berechnung der Temperatur ϑI an der Phasengrenze ben¨otigt man noch als weitere Bilanzgleichung die Energiegleichung an der Kondensatoberﬂ¨ ache ˜v , q˙L = q˙G + |n| ˙ Δh (4.62) worin q˙L dem Betrage nach die durch Konvektion vom Kondensat abgef¨ uhrte, q˙G die durch Konvektion vom Dampf der Kondensatoberﬂ¨ache zugef¨ uhrte ˜ v die molare Verdampfungsenthalpie des GemiW¨ armestromdichte und Δh sches sind. Es ist q˙L = αL (ϑI − ϑ0 ) . (4.63) Andererseits wird diese W¨ armestromdichte auch durch die Wand an das K¨ uhlmittel u ¨bertragen, dessen Temperatur ϑK sei. Der W¨armedurchgangskoefﬁzient zwischen Wand und K¨ uhlmittel sei k . Dann ist

518

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

q˙L = k (ϑ0 − ϑK ) .

(4.64)

Mit Hilfe von (4.63) kann man hieraus ϑ0 eliminieren und erh¨alt q˙L =

αL (ϑI − ϑK ) . (αL /k ) + 1

(4.65)

Im Fall eines sehr großen W¨ armedurchgangskoeﬃzienten k → ∞ ist die Wandtemperatur ϑ0 konstant und gleich der K¨ uhlmitteltemperatur ϑK . Die vom Dampf an die Kondensatoberﬂ¨ ache u ¨ bergehende W¨armestromdichte ist q˙G = α•G (ϑG − ϑI ) . (4.66) Sie enth¨ alt den Anteil f¨ ur den W¨ arme¨ ubergang an die Phasengrenze infolge des Temperaturgef¨ alles ϑG − ϑI und den Anteil f¨ ur die Energie, die durch den Dampf zur Kondensatoberﬂ¨ ache transportiert wird. Setzt man die W¨ armestromdichte q˙G nach (4.66) zusammen mit der W¨armestromdichte q˙L nach (4.65) in die Energiebilanz (4.62) ein und beachtet, dass die Mengenstromdichte des Kondensats durch (4.61) gegeben ist, so erh¨ alt man f¨ ur die Energiebilanz αL y˜I − x ˜I ˜ (ϑI − ϑK ) = α•G (ϑG − ϑI ) + βG c ln Δhv . (αL /k ) + 1 y˜G − x ˜I

(4.67)

Aus dieser Gleichung kann man die unbekannte Temperatur ϑI berechnen. Dabei ist jedoch zu beachten, dass die Molanteile x ˜I , y˜I von der Temperatur ϑI abh¨ angen, wie Abb. 4.23 f¨ ur ein Zweistoﬀgemisch zeigt. Außerdem ist der W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient αL von der Temperatur ϑI abh¨ angig. Da sich im Dampf zumindest freie Konvektion einstellt, ist der Term α•G (ϑG −ϑI ) oft nicht vernachl¨ assigbar, sondern kann von gleicher Gr¨oßenordnung wie die u ucke in (4.67) sein, insbesondere wenn die Tem¨ brigen Ausdr¨ peratur der Phasengrenzﬂ¨ ache ϑI nahe bei der Wandtemperatur liegt, so dass das treibende Temperaturgef¨ alle ϑI − ϑ0 im Kondensat klein, dasjenige im Dampf ϑG − ϑI dagegen groß wird. Die praktische Berechnung der Temperatur ϑI an der Kondensatoberﬂ¨ ache ist recht aufw¨andig und selbst im Fall des hier besprochenen Zweistoﬀgemischs kaum ohne Rechenanlage zu bew¨altigen. 4.1.8.2 Die Mengen- und die Energiebilanz des Dampfes Zur Berechnung der Temperatur ϑI an der Phasengrenze unterteilt man die Fl¨ ache des Kondensators in Abschnitte ΔA. Jedem Abschnitt ordnet man einheitliche (mittlere) Werte der Temperatur ϑI , ϑG und der Zusammensetzung y˜G zu. Mit Hilfe von (4.67) erh¨ alt man die Temperatur ϑI f¨ ur vorgegebene Werte ϑG , y˜G . Um die Werte ϑG , y˜G eines jeden Abschnitts aus den Werten des vorhergehenden Abschnitts zu berechnen sind die Mengen- und Energiebilanzen zu l¨ osen.

4.1 W¨ arme¨ ubergang beim Kondensieren

519

Zur Aufstellung der Mengenbilanzen betrachten wir nach Abb. 4.24 rechts einen Fl¨ achenabschnitt dA. Die Mengenbilanz f¨ ur die leichter ﬂ¨ uchtige Komponente lautet N˙ G y˜G = (N˙ G + dN˙ G ) (˜ yG + d˜ yG ) + dN˙ x ˜I . Der Molanteil y˜G der leichter ﬂ¨ uchtigen Komponente ist hierbei, wie in (4.67), ein integraler Mittelwert u ¨ber einen Querschnitt des Dampfraums. Man erh¨ alt aus der letzten Beziehung mit dN˙ = − dN˙ G die sogenannte RayleighGleichung dN˙ G − d˜ yG = . (4.68) ˙ y˜G − x ˜I NG Diese liefert nach Integration zwischen den Querschnitten 1 und 2, Abb. 4.24 links, den Ausdruck y˜G2 N˙ G1 d˜ yG ln = , ˙ y ˜ − x ˜I NG2 G y˜G1

woraus sich der im Fl¨ achenabschnitt ΔA anfallende Kondensatmengenstrom berechnet ⎛ ⎛ y˜ ⎞⎞ G2 d˜ yG ⎠⎠ |n| ˙ ΔA = N˙ G1 − N˙ G2 = N˙ G1 ⎝1 − exp ⎝− . (4.69) y˜G − x ˜I y˜G1

Hat man die Temperatur ϑI an der Phasengrenze mit Hilfe von (4.67) ermittelt, so kennt man nach (4.61) den Kondensatmengenstrom. Aus (4.69) kann man dann den Molanteil y˜G2 des Dampfes im n¨achsten Abschnitt ΔA berechnen. Die Energiebilanz ergibt sich aus dem in Abb. 4.25 gezeigten Fl¨achenabschnitt zu ˜ G + dh ˜ G ) + dN˙ h ˜ G + q˙G dA . N˙ G ˜ hG = (N˙ G + dN˙ G ) (h I Mit dN˙ = − dN˙ G folgt ˜G − h ˜ GI ) + N˙ G dh ˜ G + q˙G dA . 0 = − dN˙ (h Nun ist d|N˙ | = |n| ˙ dA mit |n| ˙ nach (4.61). Damit wird

Abb. 4.24: Zur Mengenbilanz in einem Abschnitt des Kondensators

520

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

Abb. 4.25: Zur Energiebilanz in einem Abschnitt des Kondensators

˜ G = |n| ˜G − ˜ −N˙ G dh ˙ (h hGI ) dA + q˙G dA

(4.70)

˜ G = c˜pG dϑG , h ˜G − h ˜ GI = c˜pG (ϑG − ϑI ) und q˙G = α• (ϑG − ϑI ). Diese mit dh G ˜ G und Gleichung l¨ asst sich nicht geschlossen integrieren, da die Enthalpien h ˜ hGI ihrerseits von der l¨ angs des Str¨ omungswegs ver¨anderlichen Temperatur und dem Molanteil abh¨ angen. Falls der Fl¨ achenabschnitt ΔA nicht zu groß gew¨ ahlt wird, kann man in guter N¨ aherung mit Vorw¨artsdiﬀerenzen arbeiten. Dann ist ˜ G2 − h ˜ G1 ) = |n| ˜ G1 − h ˜ GI ) ΔA + q˙G ΔA . −N˙ G1 (h ˙ (h

(4.71)

˜ G2 des folgenden Fl¨achenabAus dieser Beziehung erh¨ alt man die Enthalpie h schnitts und damit auch dessen Temperatur, denn es ist ˜G = h ˜ 01 (ϑG ) y˜G + h ˜ 02 (ϑG ) (1 − y˜G ) und h ˜ GI = h ˜ 01 (ϑI ) y˜I + h ˜ 02 (ϑI ) (1 − y˜I ) , h

(4.72)

˜ 01 und h ˜ 02 die von der Temperatur abh¨angigen molaren Enthalpien wenn h der reinen Stoﬀe 1 und 2 sind. Da wir die Gasphase als ideal voraussetzten, entf¨ allt die Druckabh¨ angigkeit der Enthalpien. In (4.71) ist in der von der Gasphase abgegeben W¨ armestromdichte q˙G = α•G (ϑG − ϑI ) der W¨arme¨ uber• gangskoeﬃzient αG vom Gas an die Phasengrenze verschieden von dem einer Dampfstr¨ omung ohne Kondensation, αG . Es ist nach (4.32) α•G = αG ζG , worin der Korrekturfaktor ζ durch die Ackermann-Korrektur“ (4.33) gegeben ” ist. 4.1.8.3 Die Berechnung der Fl¨ ache eines Kondensators Die praktische Berechnung f¨ ur Zweistoﬀgemische aufgrund der vorstehenden Gleichungen ist nun in verschiedener Weise m¨oglich. Empfehlenswert ist das folgende Vorgehen.

Man gibt einen Fl¨ achenabschnitt ΔA vor und sch¨atzt die Temperatur ϑI an der Kondensatoberﬂ¨ ache dieses Abschnitts. Es ist ϑG < ϑI < ϑK , wenn ϑG die Temperatur des Dampfes und ϑK die des K¨ uhlmittels ist. Mit dieser Vorgabe von ϑI liegen aufgrund des Phasengleichgewichts die Molanteile x ˜I und y˜I an der Kondensatoberﬂ¨ ache fest.

4.1 W¨ arme¨ ubergang beim Kondensieren

521

¨ Man sch¨ atzt weiter die Anderung Δ˜ yG der Dampfzusammensetzung in dem betreﬀenden Abschnitt und setzt n¨ aherungsweise y˜G = (˜ yG1 + y˜G2 )/2 mit y˜G2 = y˜G1 + Δ˜ yG ,

worin y˜G1 die Dampfzusammensetzung im Eintrittsquerschnitt 1 und y˜G2 die im Austrittsquerschnitt 2 des betrachteten Abschnitts sind. Mit diesen Sch¨ atzwerten kann man den dampfseitigen W¨arme¨ ubergangskoeﬃzient α•G und den Stoﬀ¨ ubergangskoeﬃzienten βG berechnen. Ebenso kennt man den W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten αL des Kondensatﬁlms, der sich bei laminarer Filmkondensation aus der Nußeltschen Wasserhauttheorie (4.39) und bei turbulenter Filmkondensation aus (4.41) ergibt. Aus (4.67) berechnet man damit eine Temperatur ϑI an der Kondensatoberﬂ¨ ache. Stimmt diese mit dem Sch¨ atzwert nicht u ¨berein, so muss man die Temperatur ϑI erneut sch¨ atzen, bis Sch¨ atz- und Rechenwert gen¨ ugend genau genug u ¨ bereinstimmen. Im n¨ achsten Schritt berechnet man nun mit Hilfe von (4.69) den anfallenden Mengenstrom |n| ˙ des Kondensats. Stimmt dieser mit dem aus (4.61) ermittelten u angliche Sch¨atzung hinsichtlich ¨berein, so war die anf¨ ¨ der Anderung y˜G der Dampfzusammensetzung richtig. Andernfalls muss man die Rechnung solange wiederholen, bis Sch¨atz- und Rechenwert genau u ¨ bereinstimmen. Erst dann k¨ onnen Temperaturen und Zusammensetzung des folgenden Abschnitts ermittelt werden. Solange der Dampf u ¨ berhitzt ist, ϑG > ϑT (ϑT ist die Tautemperatur), wie dies Abb. 4.26 zeigt, berechnet man zweckm¨aßigerweise zuerst mit Hilfe von (4.71) die Dampftemperaturen des folgenden Fl¨achenabschnitts und dann wie zuvor er¨ ortert alle u oßen. Ist der Dampf auf Tautem¨ brigen Gr¨ peratur ϑT abgek¨ uhlt, so braucht man die Energiegleichung (4.71) nicht mehr zu l¨ osen, da dann die Dampftemperatur ϑG = ϑT , wie aus Abb. 4.26 hervorgeht, nur vom Molanteil y˜G abh¨ angt.

Wie sich Dampftemperatur ϑG und Molanteile y˜G , y˜I , und die Temperatur ϑI l¨ angs eines Kondensators ¨ andern k¨ onnen, zeigt schematisch Abb. 4.26.

Abb. 4.26: Temperaturen ϑG , ϑI und Zusammensetzung y˜G , y˜I , x ˜I l¨ angs eines Kondensators. e = Eintrittszustand, a = Austrittszustand des Dampfes

522

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

4.1.9 Einige empirische Gleichungen Im Folgenden werden die bisherigen Gleichungen zusammengefasst und um einige weitere erg¨ anzt. 1. Laminare Filmkondensation an senkrechten oder geneigten Platten und an der Innen- oder Außenseite senkrechter Rohre Nach der Nußeltschen Wasserhauttheorie folgt f¨ ur die W¨arme¨ ubergangskoeﬃzienten aus (4.13a) unter der Voraussetzung G L : −1/3

1/3 αm νL2 M˙ /b N um = = 0,925 = 0,925 Re−1/3 . λL g ηL Der ¨ ortliche W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient ist α = 3 αm /4. Ist die Wand um den Winkel γ gegen die Senkrechte geneigt, so hat man die Fallbeschleunigung g durch die wandparallele Komponente g cos γ mit 0 ≤ γ ≤ π/2 zu ersetzen. Die Gleichung gilt auch f¨ ur die Kondensation ruhender D¨ ampfe an der Innen- oder Außenseite senkrechter Rohre, wenn der Rohrdurchmesser groß im Vergleich zur Filmdicke ist. Man hat dann die Breite b durch b = π d zu ersetzen. L¨asst man eine Abweichung von 1 % von den Werten der Nußeltschen Wasserhauttheorie zu, so gilt die Gleichung bis zu einer Reynolds-Zahl Reu¨ = 256 P r−0,47

mit

1 ≤ P r ≤ 10 .

2. Laminare Filmkondensation am Einzelrohr Es gilt f¨ ur den mittleren W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten nach (4.15a), wenn man G L setzt −1/3 αm, waag (νL2 /g)1/3 M˙ /L N um = = 0,959 = 0,959 Re−1/3 . λL ηL L ist die Rohrl¨ ange. 3. Laminare Filmkondensation am Rohrb¨ undel in ﬂuchtender Anordnung Man berechne zun¨ achst nach 2. den mittleren W¨arme¨ ubergangskoeﬃzienten f¨ ur laminare Filmkondensation am waagrechten Einzelrohr. Den mittleren W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten f¨ ur n ﬂuchtend u ¨ bereinander liegende Rohre erh¨ alt man nach (4.17) zu cpL (ϑs − ϑ0 ) αm = 1 + 0,2 (n − 1) n−1/4 αml . Δhv ϑs ist die S¨ attigungstemperatur, ϑ0 die Wandtemperatur, Δhv die Verdampfungsenthalpie und cpL die spez. W¨armekapazit¨at der Fl¨ ussigkeit. Die Gleichung gilt f¨ ur cpL (ϑs − ϑ0 ) (n − 1)/Δhv < 2 .

4.1 W¨ arme¨ ubergang beim Kondensieren

523

4. Turbulente Filmkondensation an senkrechten oder geneigten Platten und an der Innen- oder Außenseite senkrechter Rohre Der o arme¨ ubergangskoeﬃzient berechnet sich f¨ ur Re ≥ 400 aus ¨rtliche W¨ (4.41) α (νL2 /g)1/3 Nu = = 0,0325 Re1/4 P r1/2 λL mit

4/3

1/4 M˙ /b Pr 1/2 Re = = 89 + 0,024 P r (Z − 2300) ηL P r0 und Z=

cpL (ϑs − ϑ0 ) 1 x . 2 Δhv P r (ν /g)1/3 L

¨ 5. Ubergangsbereich zwischen laminarer und turbulenter Filmkondensation ¨ Im Ubergangsbereich 256 P r−0,44 ≤ Reu¨ ≤ 400 zwischen laminarer und turbulenter Filmkondensation erh¨ alt man W¨arme¨ ubergangskoeﬃzienten nach (4.43) aus ' α=

4

(f αlam )4 + α4turb .

Der Faktor f ≈ 1,15 ber¨ ucksichtigt die Welligkeit des laminaren Kondensatﬁlms. 6. Turbulente Filmkondensation str¨ omender D¨ ampfe in Rohren F¨ ur den o rtlichen W¨ a rme¨ u bergang gilt nach Shah, Gl. (4.52) ¨ ( 3,8 (1 − x∗ )0,04 x∗0,76 0,8 0,4 ∗ 0,8 N u = 0,023 Re P r (1 − x ) + p+0,38 mit

αd wm d π d2 νL p ˙ Nu = , Re = , wm = M / L , Pr = und p+ = . λL νL 4 aL pcr Haupts¨ achlicher G¨ ultigkeitsbereich 100 ≤ Re ≤ 63 000,

1 ≤ P r ≤ 13,

0,002 ≤ p+ ≤ 0,44 .

Weitere Hinweise zum G¨ ultigkeitsbereich ﬁndet man auf S. 503 7. Schichtenstr¨ omung in waagrechten Rohren Bei kleinen Str¨omungsgeschwindigkeiten bildet sich in waagrechten Rohren kein ringf¨ ormiger Fl¨ ussigkeitsﬁlm, sondern eine Schichtenstr¨omung aus. Im unteren Teil des Rohres sammelt sich Kondensat an, die oberen W¨ande

524

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

sind von Fl¨ ussigkeit benetzt. Schichtenstr¨ omung tritt auf, wenn die dimensionslose Dampfgeschwindigkeit ∗ wG =

x∗ M˙ A [g d G (L − G )]

1/2

≤1

ist und wenn f¨ ur den Fl¨ ussigkeitsanteil AL 1−ε = AG ε

mit

ε=

AG A

und A = AG + AL

gilt

1−ε ≤ 0,5 . ε F¨ ur den mittleren W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten gilt 1/4 1 2 3 αm = 0,728 ε L g Δ hv λL ηL (ϑs − ϑ0 ) . d

4.2 W¨ armeu ¨bergang beim Sieden W¨ ahrend sich der W¨ arme¨ ubergang bei der Konvektion durch physikalische Gr¨ oßen wie Viskosit¨ at, Dichte, W¨ armeleitf¨ ahigkeit, thermischer Ausdehnungskoeﬃzient und durch geometrische Gr¨ oßen beschreiben l¨asst, sind bei Siedevorg¨ angen dar¨ uber hinaus diejenigen Variablen von Bedeutung, die mit der Phasenumwandlung verkn¨ upft sind. Dazu geh¨oren Verdampfungsenthalpie, Siedetemperatur, Dichte des Dampfes und Grenzﬂ¨achenspannung. Außerdem spielen Mikrostruktur und Werkstoﬀ der Heizﬂ¨ache eine Rolle. Wegen dieser Vielzahl von Variablen ist es schwieriger als bei anderen Problemen der W¨ arme¨ ubertragung, Gleichungen zur Berechnung von W¨arme¨ ubergangskoefﬁzienten anzugeben. Auch von der Erarbeitung einer geschlossenen Theorie ist man weit entfernt, weil die physikalischen Ph¨anomene zu verwickelt und keinesfalls ausreichend erforscht sind. Ursache daf¨ ur sind nicht nur die vielen Einﬂussgr¨oßen, die bei Siedevorg¨ angen eine Rolle spielen, sondern auch die vielen Arten des W¨arme¨ uber¨ gangs, die sich je nach Str¨ omungsf¨ uhrung und Gr¨oße der Uberhitzung ergeben. Mit ihnen wollen wir uns im Folgenden zuerst befassen, anschließend die physikalischen Grundlagen der Siedeph¨ anomene er¨ortern und uns dann der Berechnung des W¨ arme¨ ubergangs zuwenden.

4.2.1 Die verschiedenen Arten der W¨ armeu ¨bertragung Je nach Art des Siedevorgangs unterscheidet man zwischen stillem Sieden, Blasensieden und Str¨ omungssieden. Wir behandeln zuerst das stille Sieden.

4.2 W¨ arme¨ ubergang beim Sieden

525

Ist die Fl¨ ussigkeit an einer beheizten Wand nur wenig u ¨ber die S¨attigungstemperatur u ¨ berhitzt, so bilden sich wenige oder gar keine Dampfblasen. In einem von unten beheizten, mit Fl¨ ussigkeit gef¨ ullten Gef¨aß stellt sich ein Tem¨ peraturverlauf ein, wie er schematisch in Abb. 4.27 dargestellt ist. Uber dem beheizten Boden mit der Temperatur ϑ0 bildet sich eine Grenzschicht von der Gr¨ oßenordnung 1 mm mit einem starken Temperaturabfall, w¨ahrend im Kern die Fl¨ ussigkeitstemperatur fast konstant u ¨ ber die H¨ohe z ist (Mittelwert ϑL ). An der freien Oberﬂ¨ ache f¨ allt die Temperatur in einer d¨ unnen Schicht auf den Wert ϑI , der wenig u ber der S¨ a ttigungstemperatur ϑ liegt. Die Diﬀerenz ¨ s ϑI − ϑs wurde erstmalig von Pr¨ uger [4.42] f¨ ur Wasser bei 1,01 bar zu etwa 0,03 K gemessen, w¨ ahrend dieser Wert bei nicht polaren Fl¨ ussigkeiten wie Tetrachlorkohlenstoﬀ etwa 0,001 K betr¨ agt. So wichtig diese Fl¨ ussigkeits¨ uberhitzung an der Oberﬂ¨ ache f¨ ur die kinetische Betrachtung der Verdampfung ist, kann sie bei technischen Berechnungen doch außer acht bleiben. Im Folgenden wird daher einer dampfbildenden Oberﬂ¨ ache stets die S¨attigungstemperatur ϑI = ϑs zugeschrieben.

Abb. 4.27: Temperaturverlauf in der Fl¨ ussigkeit bei Oberﬂ¨ achenverdampfung

In der d¨ unnen, wandnahen Schicht f¨ allt die Temperatur, wie Abb. 4.27 zeigt, steil ab. Die W¨ arme wird in dieser Schicht vom Boden her durch Leitung nachgeliefert. In der Fl¨ ussigkeit besorgen auf- und absteigende Konvektionsstr¨ ome den W¨ armetransport. Sie erzeugen das ausgeglichene Temperaturfeld im Kern der Fl¨ ussigkeit. Die beiden Grenzschichten oben und unten unterscheiden sich dadurch voneinander, dass die freie Oberﬂ¨ache wegen der Dampfbildung verschiebbar ist und dass dort im Gegensatz zur Fl¨ ussigkeit an der Wand auch endliche Geschwindigkeiten parallel zur Oberﬂ¨ache auftreten k¨ onnen. Die Verdampfung selbst wirkt an der Oberﬂ¨ache als W¨armesenke, die man sich durch einen anderen Vorgang, etwa durch Abstrahlung, ersetzt denken k¨ onnte. Da die Verdampfung oder auch Verdunstung an der freien Oberﬂ¨ ache erfolgt, spricht man von stillem Sieden“. Dieser Vorgang geh¨ort ” seinem Wesen nach zu den Erscheinungen der Konvektion in geschlossenen R¨ aumen. W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten von der Heizﬂ¨ache an die Fl¨ ussigkeit lassen sich mit der treibenden Temperaturdiﬀerenz ϑ0 − ϑL bilden, wobei ϑ0 die Wandtemperatur der Heizﬂ¨ ache und ϑL die Fl¨ ussigkeitstemperatur

526

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

ist. Da die Fl¨ ussigkeitstemperatur ϑL im voraus nicht bekannt ist und, wie oben dargelegt, nur sehr wenig von der S¨ attigungstemperatur abweicht, ist es zweckm¨ aßig, die W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten mit der Temperaturdiﬀerenz Δϑ = ϑ0 −ϑs zu bilden. Bei stillem Sieden gelten die Gesetze des W¨arme¨ ubergangs in freier Str¨ omung. So ist α = c1 Δϑ1/4 bei laminarer und α = c2 Δϑ1/3 bei turbulenter Str¨ omung u ¨ ber einer waagrechten Platte. Da die W¨armestromdichte durch q˙ = αΔϑ gegeben ist, gilt also bei laminarer Str¨omung α = c1 Δϑ1/4

oder

α = c1 q˙1/5

(4.73)

bzw. bei turbulenter Str¨ omung α = c2 Δϑ1/3

oder α = c2 q˙1/4 .

(4.74)

Erh¨ oht man die Wandtemperatur, indem man den zugef¨ uhrten W¨armestrom steigert, so bilden sich von einer bestimmten Wandtemperatur an Dampfblasen. Wie die Beobachtung zeigt, entstehen diese nur an bestimmten Stellen der Heizﬂ¨ ache. Die Zahl der gebildeten Dampfblasen w¨achst mit dem zugef¨ uhrten W¨ armestrom. Man bezeichnet diese Art der W¨arme¨ ubertragung als Blasensieden. Einen typischen Temperaturverlauf u ¨ ber einer waagrechten

Abb. 4.28: Temperaturverlauf u ¨ ber einer waagrechten Heizﬂ¨ ache, nach Jakob und Linke [4.46]. Heizﬂ¨ achenbelastung q˙ = 22 440 W/m2 , Temperatur der Heizﬂ¨ ache ϑ0 = 109,1

Abb. 4.29: W¨ arme¨ ubergang an siedendes Wasser von 100 bei waagrechter Heizﬂ¨ ache, nach Jakob u. Mitarbeitern [4.43], [4.45]. Kurve a Bereich des stillen Siedens, Kurve b Bereich des Blasensiedens

Platte zeigt Abb. 4.28 nach Messungen von Jakob und Mitarbeitern [4.43] bis [4.49], denen wir die ersten grundlegenden Untersuchungen u ¨ber den Vorgang verdanken. Gegen¨ uber Abb. 4.27 f¨ allt auf, dass der Temperaturunterschied ϑ0 − ϑL nun gr¨ oßer und dass ϑL − ϑs kleiner ist. Die Blasenbewegung an der Oberﬂ¨ ache erlaubt keine genaue Abmessung der Grenzschicht. Man bildet den W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten wie bei stillem Sieden wieder mit der Temperaturdiﬀerenz Δϑ = ϑ0 − ϑs . Der W¨ arme¨ ubergang ist sehr viel besser als bei

4.2 W¨ arme¨ ubergang beim Sieden

527

stillem Sieden und n¨ aherungsweise proportional der dritten Potenz der Temperaturdiﬀerenz Δϑ. Beachtet man, dass die u ¨ bertragene W¨armestromdichte durch q˙ = αΔϑ gegeben ist, so gilt im Bereich des Blasensiedens n¨aherungsweise α = c3 Δϑ3 oder α = c3 q˙3/4 . (4.75) Stellt man α(q) ˙ aus (4.73) bzw. (4.74) und (4.75) graphisch dar, so ergeben sich zwei Geraden, wenn man f¨ ur Ordinate und Abszisse logarithmische Maßst¨abe w¨ ahlt. Man erh¨ alt zwei deutlich getrennte Bereiche, einen f¨ ur stilles Sieden und einen f¨ ur Blasensieden, wie Abb. 4.29 zeigt, die Messergebnisse von Jakob und Mitarbeitern [4.44], [4.45] wiedergibt. In technischen Apparaten wird meistens unter Zwangskonvektion verdampft. Die Str¨ omungsverh¨ altnisse werden dabei weitgehend durch die Druckdiﬀerenz l¨ angs der Heizﬂ¨ ache bestimmt. Der Dampfgehalt nimmt auf dem Str¨ omungsweg bis zur vollst¨ andigen Verdampfung stetig zu. Entsprechend dem abnehmenden Fl¨ ussigkeitsangebot ergeben sich unterschiedliche Siedeph¨ anomene, von deren W¨ arme¨ ubertragungseigenschaften wiederum die ¨ortliche Siedetemperatur abh¨ angt. Im Allgemeinen tritt eine Fl¨ ussigkeit unterk¨ uhlt in einen Heizkanal ein. An der Wand gebildete Dampfblasen kondensieren wieder im k¨alteren Kern der Fl¨ ussigkeit. Ist die Fl¨ ussigkeit im Kern auf S¨ attigungstemperatur aufgeheizt, so herrscht Blasensieden vor. Dabei wird der W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient haupts¨ achlich durch die W¨armestromdichte bestimmt. Er h¨ angt in einer erzwungenen Str¨omung noch schwach von der Massenstromdichte, bei freier Str¨ omung jedoch praktisch gar nicht von der Massenstromdichte ab. Die einzelnen Dampfblasen wachsen zu gr¨oßeren Blasenkolben zusammen, gehen also, wie in Abb. 4.30 gezeigt, in eine Pfropfenstr¨omung u ¨ ber. Mit zunehmendem Dampfgehalt wachsen auch die Blasenkolben zusammen, so dass sich zun¨ achst eine Schaum-Ringstr¨omung und anschließend an der Rohrwand ein Fl¨ ussigkeitsﬁlm und im Kern Dampf mit Fl¨ ussigkeitstropfen beﬁnden. Man spricht von Ringstr¨omung. Bei weiterer W¨armezufuhr verschwindet stromabw¨ arts der Fl¨ ussigkeitsﬁlm, und es str¨omt ein Dampf mit Fl¨ ussigkeitstropfen, eine sogenannte Spr¨ uhstr¨omung, durch das Rohr. Abb. 4.30 zeigt diese in einem senkrechten Rohr aufeinanderfolgenden Str¨omungsformen. Noch kompliziertere Str¨ omungsformen ergeben sich in waagrechten oder geneigten Rohren. Blasen-, Pfropfen-, Schaum-Ring- und Ringstr¨omungen stellen verschiedene Formen des Str¨omungssiedens oder Konvektionssiedens dar. In der Technik kommt h¨ auﬁg Ringstr¨ omung oder, bei sehr kleinen Str¨omungsgeschwindigkeiten, Pfropfenstr¨ omung vor. Blasenstr¨omung tritt nur bei sehr kleinem Dampfanteil und hohen Str¨ omungsgeschwindigkeiten auf. Steigender Druck und damit ein abnehmender Dichteunterschied zwischen dem Dampf und der Fl¨ ussigkeit erweitert das Gebiet der Blasenstr¨omung. W¨ ahrend im Bereich des Blasensiedens der W¨arme¨ ubergangskoeﬃzient haupts¨ achlich von der Heizﬂ¨ achenbelastung q˙ und praktisch nicht von der

528

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

Abb. 4.30: Str¨ omungsformen im senkrechten beheizten Rohr

Abb. 4.32: Verlauf des W¨ arme¨ ubergangskoefﬁzienten α l¨ angs eines waagrecht durchstr¨ omten Verdampferrohrs

Abb. 4.31: W¨ arme¨ ubergangskoefﬁzient bei Blasen- und Str¨ omungssieden

Str¨ omungsgeschwindigkeit abh¨ angt, Kurve b in Abb. 4.29, wird im Bereich des Str¨ omungssiedens der W¨ arme¨ ubergang entscheidend von der Str¨omungsgeschwindigkeit oder der Massenstromdichte m, ˙ dagegen kaum von der Heizﬂ¨ achenbelastung beeinﬂusst. Dies zeigt Abb. 4.31, in der die Bereiche des Blasensiedens und des Str¨ omungssiedens deutlich voneinander getrennt sind. Eine weitere unabh¨ angige Variable ist der Str¨omungsdampfgehalt x∗ = M˙ G /M˙ . Mit zunehmendem Str¨ omungsdampfgehalt verschieben sich die Kur-

4.2 W¨ arme¨ ubergang beim Sieden

529

ven f¨ ur das Str¨ omungssieden in Abb. 4.31 zu gr¨oßeren W¨arme¨ ubergangskoefﬁzienten α. Der grunds¨ atzliche Verlauf des W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten in Abh¨angigkeit vom Str¨ omungsdampfgehalt ist in Abb. 4.32 dargestellt. Im Bereich kleiner Str¨ omungsdampfgehalte x∗ herrscht Blasensieden, und der W¨arme¨ ubergangskoefﬁzient h¨ angt haupts¨ achlich von der W¨armestromdichte ab. Stromabw¨ arts nimmt der Str¨ omungsdampfgehalt zu. Damit w¨achst auch die Str¨ omungsgeschwindigkeit. Die zugef¨ uhrte W¨arme wird im Wesentlichen durch Konvektion von der Rohrwand an die Dampf-Fl¨ ussigkeitsstr¨omung u bertragen. Das Blasensieden geht in Str¨ o mungssieden u ber, wie es in Abb. ¨ ¨ 4.32 durch die Pfeile an den Kurven q˙1 und m ˙ 1 angedeutet ist. Im Bereich des Str¨ omungssiedens ist der o arme¨ ubergangskoeﬃzient praktisch ¨rtliche W¨ unabh¨ angig von der Heizﬂ¨ achenbelastung q˙ und h¨angt stark vom Massenstrom und dem Str¨ omungsdampfgehalt ab. Bei großen Str¨omungsdampfgehalten nimmt der W¨arme¨ ubergangskoeﬃzient wieder ab wegen der im Vergleich zur Fl¨ ussigkeit geringeren W¨ armeleitf¨ ahigkeit des Dampfes. Zur Berechnung des W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten dienen Gleichungen der Form α = c q˙n m ˙ s f (x∗ ) , wobei c von den Stoﬀeigenschaften abh¨ angt. Im Bereich des Str¨omungssiedens ist n ≈ 0, w¨ ahrend s zwischen 0,6 und 0,8 liegt. Im Bereich des Blasensiedens ist n ungef¨ ahr 3/4 und s etwa 0,1 bis 0,3.

4.2.2 Die Entstehung von Dampfblasen Der W¨ arme¨ ubergang bei Verdampfung wird leichter verst¨andlich, wenn man weiß, wie Dampfblasen an Heizﬂ¨ achen entstehen. Wir wollen daher im Folgenden zun¨ achst die Bildung und das Anwachsen von Dampfblasen er¨ortern, ehe wir die verschiedenen Arten des W¨ arme¨ ubergangs im Einzelnen behandeln. F¨ ur das Gleichgewicht einer als kugelf¨ ormig angenommenen Dampfblase, Abb. 4.33, mit der sie umgebenden Fl¨ ussigkeit gelten folgende Betrachtungen. Zwischen der gasf¨ ormigen Blase (Gas = Index G) und der umgebenden Fl¨ ussigkeit (Fl¨ ussigkeit = Index L) herrscht thermisches Gleichgewicht ϑG = ϑL = ϑ .

(4.76)

Schneidet man aus der Oberﬂ¨ ache der Dampfblase, wie im rechten Teil von Abb. 4.33 gezeichnet, ein Fl¨ achenelement der Kugelschale aus, dessen Kantenl¨ angen r dϕ sind, so greifen an den Kanten die von den Oberﬂ¨achenspannungen σ (σ ist eine Kraft je L¨ angeneinheit) ausge¨ ubten Kr¨afte σr dϕ an. Man u ¨ berzeugt sich leicht davon, dass die Resultierende FR dieser Kr¨afte gegeben ist durch d2 FR = 2σr dϕ2 . Außerdem wirken noch die vom Gas- und Fl¨ ussigkeitsdruck ausge¨ ubten Kr¨afte

530

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

Abb. 4.33: Zum Gleichgewicht zwischen kugelf¨ ormiger Dampfblase mit umgebender Fl¨ ussigkeit

pL (r dϕ)2 + d2 FR = pG (r dϕ)2 . Daraus folgt die Bedingung f¨ ur das mechanische Gleichgewicht pG = pL + 2σ/r .

(4.77)

Schließlich gilt noch die Bedingung f¨ ur das Gleichgewicht hinsichtlich des Stoﬀaustauschs zwischen gasf¨ ormiger und ﬂ¨ ussiger Phase. Sie f¨ uhrt, wie beispielsweise in [4.50] gezeigt wurde, auf pL = p0 −

2σ − r

oder mit (4.77) auf pG = p0 −

2σ . − r

(4.78)

(4.79)

Die Gl. (4.78) bzw. (4.79) bezeichnet man als Thomsonsche Gleichung. Sie stellt einen Zusammenhang zwischen dem Dampfdruck p0 (ϑ) an einer ebenen Phasengrenzﬂ¨ ache, dem Fl¨ ussigkeitsdruck pL (ϑ, r) und dem Dampfdruck pG (ϑ, r) an der Oberﬂ¨ ache einer Dampfblase vom Radius r her. In Abb. 4.34 sind die Zusammenh¨ ange anschaulich dargestellt. Bei vorgegebener Temperatur ϑ ist der Dampfdruck pG entsprechend (4.79) um p0 − pG = ΔpG =

2σ 2σ = Δ r − r

kleiner als der Dampfdruck p0 an der ebenen Phasengrenze. Da die Oberﬂ¨achenspannung σ temperaturabh¨ angig ist, verlaufen die Kurven f¨ ur den Dampfdruck pG und den Fl¨ ussigkeitsdruck pL nicht genau, aber doch ungef¨ahr parallel zur Dampfdruckkurve p0 bei ebener Phasengrenze.

4.2 W¨ arme¨ ubergang beim Sieden

531

Gibt man nicht die Siedetemperatur ϑ des Systems Fl¨ ussigkeit-Dampfblase, sondern dessen Druck p0 vor, so muss die Fl¨ ussigkeit um Δϑ = ϑ − ϑS gegen¨ uber dem System mit ebener Phasengrenze u ¨ berhitzt sein, wie Abb. 4.34 zeigt, damit eine Dampfblase vom Radius r mit der Fl¨ ussigkeit im Gleichge¨ wicht ist. Man erkennt außerdem, dass die erforderliche Uberhitzung Δϑ umso

Abb. 4.34: Dampf- und Fl¨ ussigkeitsdruck zwischen Fl¨ ussigkeit und einer kugelf¨ ormigen Dampfblase

gr¨ oßer wird, je kleiner der Radius r der Dampfblase ist, denn f¨ ur kleinere Radien r∗ < r ist die Kurve des Fl¨ ussigkeitsdrucks pL (ϑ, r∗ ) in Abb. 4.34 weiter nach rechts verschoben, ebenso auch die nicht eingezeichnete Kurve pG (ϑ, r∗ ) des Dampfdrucks. Umgekehrt geh¨ ort zu einer Fl¨ ussigkeits¨ uberhitzung Δϑ ein ganz bestimmter Radius r derjenigen Dampfblase, die mit der u ¨ berhitzten Fl¨ ussigkeit im Gleichgewicht steht. Zur n¨ aherungsweisen Berechnung der er¨ forderlichen Uberhitzung nehmen wir an, die Kurven p0 (ϑ) und pL (ϑ, r) in Abb. 4.34 verliefen parallel. Dann ist dpL dp0 = . dϑ dϑ Die Ableitung dp0 /dϑ ist die Steigung der Dampfdruckkurve p0 (ϑ). Sie l¨asst sich aus der Gleichung von Clausius-Clapeyron berechnen: dp0 Δhv = . dϑ Ts ( − )

(4.80)

dpL ∼ p0 − pL ∼ 1 2σ . = = dϑ Δϑ Δϑ − r

(4.81)

Andererseits ist mit (4.78)

532

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

Aus diesen Gleichungen errechnet man den Blasenradius r als Funktion der ¨ Uberhitzung Δϑ n¨ aherungsweise zu r∼ =

2σTS . Δhv Δϑ

(4.82)

Danach geh¨ ort zu einer bestimmten Fl¨ ussigkeits¨ uberhitzung Δϑ ein ganz bestimmter Blasenradius r, bei dem die Blase mit der Fl¨ ussigkeit im Gleichgewicht steht. Blasen, deren Radius r∗ < r ist, sind mit der Fl¨ ussigkeit nur im ¨ Gleichgewicht, wenn die Uberhitzung Δϑ∗ > Δϑ w¨are, wie Abb. 4.34 zeigt. Eine nur um Δϑ u ussigkeit ist zu kalt. Zu kleine Blasen konden¨berhitzte Fl¨ sieren daher wieder. Blasen mit dem Radius r∗ > r beﬁnden sich hingegen in einer f¨ ur ihre Lebensbedingungen u ussigkeit und k¨onnen wei¨berhitzten Fl¨ ter anwachsen. Tats¨ achlich ist jedoch die Verweilzeit der Blasen insbesondere in Wandn¨ ahe so kurz, dass sich kein Gleichgewicht einstellen kann, und die wirkliche Fl¨ ussigkeits¨ uberhitzung um ein Vielfaches gr¨oßer ist als Δϑ. Auch ¨ zu dieser wirklichen Uberhitzung geh¨ ort ein bestimmter kritischer Blasenradius. Bei siedendem Wasser von 1 bar ist nach (4.82) der Blasendurchmesser ¨ 2r ∼ im Kern der Fl¨ ussigkeit von 0,4 K = 0,155 mm, wenn man eine Uberhitzung zugrunde legt. Erst eine Blase von dieser Gr¨oße ist lebensf¨ahig“ und kann ” weiter anwachsen. Eine solche Blase enth¨ alt rund 3 · 1020 Wassermolek¨ ule. Soviele Molek¨ ule mit der u ¨ berdurchschnittlich hohen Energie von Dampfmolek¨ ulen k¨ onnen sich aber schwerlich zuf¨ allig an einem bestimmten Ort im Inneren der Fl¨ ussigkeit ansammeln, dort eine Dampfblase bilden und dann weiter anwachsen. Es erhebt sich somit die Frage, wie Dampfblasen u ¨berhaupt entstehen. Wie die Beobachtung lehrt, k¨ onnen im Inneren von ganz reinen, sorgf¨altig entgasten Fl¨ ussigkeiten keine Blasen entstehen, es sei denn, man w¨ urde die Fl¨ ussigkeit extrem u ¨ berhitzen oder zum Beispiel ionisierende Strahlen hindurchschicken. Die Beobachtung zeigt weiter, dass die Blasen u ¨ber l¨angere Zeit mit einer zeitlich ver¨ anderlichen Frequenz, die n¨aherungsweise nach einer Fehlerfunktion verteilt ist, immer wieder an denselben Stellen der Oberﬂ¨ache des Heizk¨ orpers entstehen. Oﬀensichtlich hat man es dort mit hochaktiven ¨ Zentren zu tun, die den Ubergang der instabilen u ussigkeit in den ¨berhitzten Fl¨ stabilen Dampf katalysieren. Solche Zentren sind Gas- oder Dampfreste in den Vertiefungen der Oberﬂ¨ ache, die von der Fl¨ ussigkeit nicht restlos verdr¨angt werden, da diese auch bei guter Benetzungsf¨ahigkeit die feinen Vertiefungen des Oberﬂ¨ achengebirges nicht vollst¨ andig ausf¨ ullen kann. Bei W¨armezufuhr dehnen sich die Gas- oder Dampfreste aus, bis eine bestimmte kritische Gr¨oße erreicht ist, die der Gr¨ oße einer lebensf¨ ahigen Blase entspricht. Dann kann eine Dampfblase aufgrund der herrschenden Fl¨ ussigkeits¨ uberhitzung weiter wachsen, bis schließlich die Haftkr¨ afte kleiner geworden sind als die Auftriebsund dynamischen Kr¨ afte, so dass sich die Blase von der Heizﬂ¨ache l¨ost. Nach dem Abreißen der Blase bleibt weiterhin ein Gas- oder Dampfrest in der Vertiefung eingeschlossen, der nun durch die kalte, aus dem Fl¨ ussigkeitsinneren zur Wand str¨ omenden Fl¨ ussigkeit gek¨ uhlt und anschließend durch W¨arme-

4.2 W¨ arme¨ ubergang beim Sieden

533

zufuhr von der Wand wieder erw¨ armt wird und zu einem neuen Keim“ f¨ ur ” eine Dampfblase anw¨ achst. Mit diesen Betrachtungen wird auch verst¨andlich, warum die Gestalt des Oberﬂ¨ achengebirges eine wichtige Einﬂussgr¨oße f¨ ur den W¨ arme¨ ubergang ist. Dampfblasen bilden sich fast immer an besonders beg¨ unstigten Stellen fester Oberﬂ¨ achen oder an suspendierten Teilchen. Man hat es somit fast immer mit heterogener Keimbildung zu tun. Die homogene Keimbildung, durch die Blasen von selbst“ aufgrund der nat¨ urlichen Schwankungsbewegungen der ” Molek¨ ule entstehen, spielt eine untergeordnete Rolle.

4.2.3 Mechanismen der W¨ armeu ¨bertragung beim Sieden in freier Str¨ omung Bisher bekannte Modellvorstellungen zum W¨ arme¨ ubergang beim Sieden beschreiben zwar einzelne Teilvorg¨ ange zutreﬀend, verm¨ogen jedoch nicht alle Erscheinungen zu erkl¨ aren und f¨ uhren daher auch zu keiner vollst¨andigen Theorie. Oﬀensichtlich ist der W¨ arme¨ ubergang bei der Blasenverdampfung so verwickelt, weil mehrere Austauschmechanismen zusammen wirksam sind. Je nach den vorliegenden Bedingungen, wie Gr¨oße der W¨armestromdichte, Druck, Benetzbarkeit, Zwangskonvektion, Unterk¨ uhlung usw., wird der eine oder andere Mechanismus u ¨ berwiegen. Vermutlich ist so auch zu erkl¨aren, dass die bisherigen Theorien in bestimmten Bereichen und f¨ ur bestimmte Stoﬀe gut mit Messwerten u ahrend sie f¨ ur andere Bereiche und Stoﬀe ¨ bereinstimmen, w¨ versagen. Wie neuere Untersuchungen zeigen [4.51] bis [4.56], wird ein Großteil der W¨ arme in einer winzigen ringf¨ ormigen Zone zwischen Dampfblase und Heizwand u ¨ bertragen. Dieser als Mikrozone bezeichnete Bereich, Abb. 4.35, verschiebt sich mit dem Blasenradius r als Funktion der Zeit t, ist aber nur Bruchteile vom einem μm breit. Abb. 4.36 zeigt die Mikrozone stark vergr¨ oßert. Im Außenbereich, hier als Makrozone bezeichnet, ist die Blase ann¨ahernd kugelf¨ ormig. Die Kr¨ ummung K ihrer Oberﬂ¨ ache ist fast konstant, und entsprechend dem jeweiligen Blasenradius r(t) ist K = 2/r(t). In der Mikrozone andert sich die Kr¨ ummung scharf, bis die Fl¨ ussigkeitsﬂ¨ache zur Blasenachse ¨ hin in einen d¨ unnen nicht verdampfenden Film u ¨ bergeht, der bei benetzenden Fl¨ ussigkeiten an der Wand adsorbiert ist. Seine Kr¨ ummung ist verschwindend klein, K ≈ 0. In diesem adsorbierten Film verhindern die Anziehungskr¨afte zwischen der festen Wand und der Fl¨ ussigkeit eine Verdampfung. In der zwischen dem adsorbierten Film und der Makrozone liegenden Mikrozone durchl¨ auft die Kr¨ ummung K der Fl¨ ussigkeits-Dampf-Phasengrenze ein ausgepr¨ agtes Maximum. Dieses betr¨ agt beispielsweise f¨ ur das K¨altemittel R114 beim Sieden an einer Kupferwand, die um 5 K gegen¨ uber der S¨attigungstemperatur 302,63 K u ¨berhitzt ist, Kmax ≈ 107 m−1 , wie von P. Stephan und Hammer [4.51] gezeigt wurde. Die Kr¨ ummung ¨andert sich in diesem Fall u ¨ ber

534

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

Abb. 4.35: Einzelblase mit Heizwand und umgebender Fl¨ ussigkeit

Abb. 4.36: Mikrozone einer haftenden Dampfblase

die kleine radiale Strecke von etwa 0,1 μm zwischen dem Wert K = 0 des adsorbierten Films u ¨ber den Maximalwert Kmax ≈ 107 m−1 in der Mikrozone und f¨ allt dann im weiteren Verlauf der etwa 7 μm breiten Mikrozone auf einen ann¨ ahernd konstanten Wert K ≈ 103 m−1 in der Makrozone, in der die Dampfblase ann¨ahernd kugelf¨ ormig ist.

4.2 W¨ arme¨ ubergang beim Sieden

535

¨ Die starke Kr¨ ummungs¨ anderung hat extreme Anderungen des Kapillardrucks σK zur Folge. Mit σ ist hier die Oberﬂ¨achenspannung (SI-Einheit N/m) bezeichnet. Das starke Kapillardruckgef¨alle wiederum f¨ uhrt zu einer heftigen Fl¨ ussigkeitsstr¨ omung zur Phasengrenze mit anschließender Verdampfung. Es werden somit in einem schmalen, nur etwa 0,1 μm breiten Bereich der Mikrozone extrem hohe W¨ armestromdichten u ¨ bertragen. Sie erreichen im Fall des R114 Werte um 1,6 · 107 W/m2 wie Abb. 4.37 zeigt. Von a¨hnlicher Gr¨ oßenordnung sind auch die maximalen W¨armestromdichten bei der Verdampfung anderer Fl¨ ussigkeiten [4.52]. Die Kreisringﬂ¨ache der Mikrozone betr¨ agt zwar nur einen Bruchteil der Heizﬂ¨ache, die einer einzelnen Blase zuzuordnen ist, trotzdem werden auf dieser kleinen Fl¨ache fast 60% des insgesamt im Einﬂussbereich der Blase abgef¨ uhrten W¨armestroms u ¨ bertragen. Der u brige W¨ a rmestrom wird im Wesentlichen durch Leitung und Konvektion in ¨ der Makrozone u ¨ bertragen.

Abb. 4.37: W¨ armestromdichte in der Mikrozone nach [4.51]

W¨ ahrend die Blase anw¨ achst, wird sie zun¨ achst durch die Adh¨asionskr¨afte an der Wand festgehalten. Mit zunehmendem Durchmesser verschiebt sich die Mikrozone radial nach außen. Da die Blase gleichzeitig anw¨achst, nehmen auch die Auftriebskr¨ afte zu. Sobald diese gr¨ oßer als die Haftkr¨afte werden, beginnt sich die Blase von der Wand abzuheben. Es bildet sich ein Blasenhals“ zwischen der Heizﬂ¨ache und dem weiter ” entfernten Blasenteil, Abb. 4.38a. Wie Mitrovi´c [4.57] nachwies, reißt die Blase ab, wenn der Blasenhals v¨ ollig eingeschn¨ urt wird, Abb. 4.38 b. Die gesamte

536

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

Dampfmasse zerf¨ allt dann in zwei unterschiedlich große Teilmengen. Ein kleiner Dampfrest bleibt an der Heizﬂ¨ ache haften. Die gr¨oßere Dampfmenge beﬁndet sich in der abgerissenen Blase. An ihrer unteren Spitze herrscht infolge der kleinen Kr¨ ummungsradien ein hoher Kapillardruck, der sich auszugleichen sucht und die abgerissene Blase, falls sie nicht extrem klein ist, zu Schwingungen anregt. Ebenso wirkt auch ein Kapillardruck auf den Dampfrest an der Heizﬂ¨ ache. Er kann, wie Mitrovi´c [4.57] an einem Beispiel nachwies, von ¨ der Gr¨ oße 4 bar sein. Als Folge dieses Uberdrucks wird der Dampfrest teil¨ weise oder sogar vollst¨ andig verﬂ¨ ussigt. Besonders bei geringer Uberhitzung der Heizwand wird der Dampfrest weitgehend kondensieren. Es dauert daher ¨ lange, bis sich die n¨ achste Blase bildet, w¨ ahrend bei hinreichend großer Uberhitzung die n¨ achste Blase ohne Wartezeit aus dem Dampfrest entsteht. Durch Abbau der Kapillarkr¨ afte verschwinden die Spitzen in Abb. 4.38 b, und es entsteht die in Abb. 4.38 c gezeigte Blasenform mit den divergierenden Stromlinien unterhalb der Blase. In der Fl¨ ussigkeit bildet sich unterhalb der Blase kurzfristig ein Unterdruck aus, der die abreißenden Blasen vor¨ ubergehend in Wandn¨ ahe festh¨alt. Infolge des Unterdrucks beﬁndet sich die Fl¨ ussigkeit in ei¨ nem metastabilen Zustand mit hoher Uberhitzung. Die u ussigkeit ¨berhitzte Fl¨ kann selbst als Keim f¨ ur neue Blasen dienen, so dass außer der heterogenen Keimbildung in den Vertiefungen der Wand auch eine homogene Keimbildung in Wandn¨ ahe m¨oglich ist. Dadurch und durch die nachstr¨omende Fl¨ ussigkeit wird der Unterdruck rasch abgebaut.

Abb. 4.38: Abreißvorgang, nach Mitrovi´c [4.57]. a Form der haftenden Blase; b Einschn¨ uren und Abreißen der Blase; c Kondensation des Dampfrests und Fl¨ ussigkeitsstr¨ omung

¨ Wie diese Uberlegungen zeigen, ist auch die Konvektion von Einﬂuss auf das Wachstum und Abreißen der Blasen. Die bisher gewonnenen Ergebnisse

4.2 W¨ arme¨ ubergang beim Sieden

537

u uchlich, wie aus ¨ ber den Einﬂuss der Konvektion sind allerdings noch widerspr¨ zusammenfassenden Darstellungen, u.a. [4.58], hervorgeht. In einer theoretischen Arbeit hat Tokuda [4.59] nachgewiesen, dass nur unmittelbar nach der Blasenbildung das weitere Anwachsen durch W¨armeleitung bestimmt wird, danach wird mit zunehmender Blasengr¨ oße die radiale Konvektion entscheidend. Nach dem Abreißen der Blase beeinﬂussen W¨armeleitung, radiale und axiale Konvektion das Blasenwachstum.

4.2.4 Blasenfrequenz und Abreißdurchmesser Bei langsamem Wachstum wird das Grenzvolumen, welches die Blase beim Abreißen erreicht, durch das Gleichgewicht von Auftriebs- und Oberﬂ¨achenkr¨ aften und durch die Haftbedingungen an der Wand bestimmt. Die hierf¨ ur maßgebende Diﬀerentialgleichung ist zuerst von Bashfort und Adams [4.60] numerisch gel¨ ost worden. Fritz [4.61] hat sp¨ ater ausgehend von dieser L¨osung gezeigt, dass es ein gr¨ oßtes Volumen VA einer Dampfblase gibt und dass man dieses in der Form

1/3 VA = f (β0 ) (4.83) b3 darstellen kann, wenn β0 der Randwinkel zwischen Blase und Heizwand ist. Als Parameter dient die sogenannte Laplace-Konstante 7 2σ b= . (4.84) g(L − G ) Bildet man diese mit den S¨ attigungswerten und der Dichten, so erh¨alt man z.B. f¨ ur Wasser von 100 den Wert b = 3,538 mm, f¨ ur das K¨altemittel R11 von 25 b = 1,57 mm. Einige Werte f¨ ur Luftblasen in einer Fl¨ ussigkeit enth¨ alt Tabelle 4.1. Gl. (4.83) wurde von Fritz und Ende [4.62] und von KaTabelle 4.1: Laplace-Konstante b f¨ ur Luftblasen in Fl¨ ussigkeiten bei 20

Wasser Ethanol Quecksilber b in mm

3,82

2,26

2,69

banow und Frumkin [4.63] durch Ausmessung von Filmaufnahmen best¨atigt, Abb. 4.39. Aus (4.83) ergibt sich f¨ ur den Abreißdurchmesser der als kugelf¨ormig angesehenen Blase 7

1/3 6VA 2σ dA = = 0,851β0 (4.85) π g(L − G )

538

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

Abb. 4.39: Abreißvolumen VA von Dampf- und Gasblasen u ¨ ber einer waagrechten Heizﬂ¨ ache, nach Fritz und Ende [4.62]. b Laplace-Konstante

mit dem Randwinkel β0 im Bogenmaß. Nach Fritz [4.61] liegen Randwinkel von Dampfblasen in Wasser bei Atmosph¨ arendruck zwischen 40◦ und 45◦ , und bei den als K¨ altemitteln eingesetzten halogenierten Kohlenwasserstoﬀen bei etwa 35◦ . Tats¨ achliche Abreißdurchmesser weichen von denen nach (4.85) etwas ab und sind außerdem noch von der Gestalt der Vertiefung [4.64] und der Wand¨ uberhitzung [4.65] abh¨ angig. Gleichungen zur Berechnung der Frequenzen f von Dampfblasen gingen urspr¨ unglich davon aus, dass man n¨ aherungsweise f dA = const setzen k¨onne, wobei die Konstante f¨ ur Wasser und Tetrachlorkohlenstoﬀ zu 100 mm/s gefunden wurde [4.66]. Die Konstante wurde sp¨ater durch physikalische Eigenschaften der siedenden Fl¨ ussigkeit ausgedr¨ uckt,

f dA = 0,59

gσ( − ) 2

1/4 ,

w¨ ahrend andere Autoren [4.67] bis [4.69] Gleichungen der Form f dnA = const mit n = 1/2 vorschlugen. Genauere Untersuchungen [4.70] haben jedoch gezeigt, dass der Exponent n nicht konstant ist, sondern Werte zwischen 0,5 und 2 annimmt. Unter der Annahme, dass die Blasen im Augenblick des Abreißens nicht beschleunigt sind und ihre Geschwindigkeit gleich der Aufstiegsgeschwindigkeit in der Fl¨ ussigkeit ist, fand Malenkov [4.71] f¨ ur die Frequenz den Ausdruck

dA g( − ) 2σ f= + dA π 2( + ) dA ( + ) 1

1/2 ,

(4.86)

der sich f¨ ur den Bereich weit unterkritischer Dr¨ ucke mit noch vereinfachen l¨ asst zu

4.2 W¨ arme¨ ubergang beim Sieden

f=

g 1/2 1/2 √ dA π 2

1+

4σ d2A g

539

1/2 .

(4.87)

Diese Gleichungen gelten nur, wenn die W¨ armestromdichte so gering ist, dass sich die Blasen gegenseitig nicht merklich beeinﬂussen. Andernfalls erh¨oht sich die Frequenz um den von der W¨ armestromdichte abh¨angigen Faktor 1+ worin

q˙ , Δhv w

dA g( − ) 2σ w= + 2( + ) dA ( + )

1/2

eine Geschwindigkeit ist. Damit erh¨ alt man die Frequenz zu

1 q˙ f= 1 + w , dA π Δhv w

(4.88)

eine Gleichung, in der man die Geschwindigkeit w vereinfachen kann, wenn ist. Im Grenzfall hinreichend kleiner W¨armestromdichten geht diese Beziehung in die obige, f¨ ur Einzelblasen gefundene u ¨ ber. Diese Gleichungen sind von Malenkov an zahlreichen Messungen verschiedener Autoren u uft ¨ berpr¨ ¨ worden und haben gute Ubereinstimmung ergeben. Wie man aus (4.86) erkennt, ist f¨ ur große Abreißdurchmesser der zwei1/2 te Summand in der eckigen Klammer klein. Es ist dann f dA = const. Ist umgekehrt der Abreißdurchmesser hinreichend klein, so wird der zweite Sum3/2 mand in der eckigen Klammer groß. Es ist f dA = const. In einem mittleren Bereich des Abreißdurchmessers wird der Ausdruck in der eckigen Klammer unabh¨ angig vom Abreißdurchmesser und damit f dA = const. Die Gleichungen enthalten somit die von verschiedenen Autoren festgestellten Zusammenh¨ange zwischen Frequenz und Abreißdurchmesser. Nach (4.88) nimmt die Blasenfrequenz mit der W¨armestromdichte zu. Von Einﬂuss ist allerdings auch die Gr¨ oße der Keimstelle. Keimstellen von ¨ kleinerem Oﬀnungsdurchmesser senden Blasen mit h¨oherer Frequenz aus als ¨ Keimstellen gr¨ oßeren Oﬀnungsdurchmessers. Die obigen Gleichungen ber¨ ucksichtigen diese Einﬂ¨ usse nicht und geben nur Mittelwerte u ¨ber Keimstellen unterschiedlicher Gr¨ oße wieder. Ebenso ist der Einﬂuss einer Unterk¨ uhlung nicht ber¨ ucksichtigt. Bei zunehmender Unterk¨ uhlung nimmt die Frequenz ab, weil das Blasenwachstum durch Kondensation behindert wird.

4.2.5 Die Nukijama-Kurve Wir wollen uns hier mit dem Sieden in freier Str¨omung befassen und annehmen, die Abmessungen des Gef¨ aßes, in dem Dampf entsteht, seien groß im Vergleich zu den Dampfblasen. Eine Str¨ omung soll nur durch den Auftrieb

540

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

der erzeugten Dampfblasen und durch Dichteunterschiede zustande kommen. Man spricht vereinfachend auch von Beh¨altersieden (englisch: pool boiling). Die zweiphasige Str¨ omung in einem engen Verdampferrohr, auch wenn sie in einem senkrechten Rohr nur durch Auftrieb der Dampfblasen entsteht, soll also nicht untersucht werden. Wie bereits eingangs in Abschnitt 4.2.1 ¨ erl¨ autert, herrscht im Bereich kleiner Ubertemperaturen der Heizwand stil” les Sieden“. W¨ arme wird nur durch freie Konvektion u bertragen, Kurve a in ¨ ¨ Abb. 4.29. Erst ab einer bestimmten Uberhitzung der Wand gegen¨ uber der Siedetemperatur setzt Blasenverdampfung ein. Wir wollen hier den h¨auﬁg vorkommenden Fall betrachten, dass die Fl¨ ussigkeit S¨attigungstemperatur hat. Treibende Temperaturdiﬀerenz f¨ ur den W¨ arme¨ ubergang ist dann der Unterschied ϑ0 − ϑs = Δϑ zwischen Wand- und S¨ attigungstemperatur. Wie Jakob und Linke [4.72] erstmalig fanden, kann man die u ¨ bertragene W¨armestromdichte im Bereich der voll ausgebildeten Blasenverdampfung, Kurve b in Abb. 4.29, durch einfache empirische Gleichungen der Form q˙ = c Δϑm

(4.89)

beschreiben. Deﬁniert man einen W¨ arme¨ ubertragungskoeﬃzienten durch α = q/Δϑ ˙ ,

(4.90)

so kann man (4.89) auch schreiben α = cq˙n ,

(4.91)

mit c = (c )1/m und n = (m − 1)/m. In dieser Gleichung h¨angen, wie viele Messungen zeigen, die Gr¨ oße n und damit auch m haupts¨achlich von der Art der siedenden Fl¨ ussigkeit, aber auch von dem Material und der Gestalt der Heizﬂ¨ ache und vom herrschenden Druck ab. Im Allgemeinen ist 0,6 < n < 0,8 . Lediglich f¨ ur tiefsiedende Stoﬀe wie Helium hat man kleinere Werte n ≈ 0,5 gefunden. Die Gr¨ oße c h¨ angt stark von den Stoﬀeigenschaften der siedenden Fl¨ ussigkeit und der Oberﬂ¨ achenstruktur der Heizﬂ¨ache ab. Kennt man zum Beispiel c f¨ ur eine bestimmte Fl¨ ussigkeit, die bei vorgegebenem Druck an glatt polierten Stahlrohren siedet, so darf man mit dieser Gr¨oße berechnete W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten nicht mehr verwenden, wenn die gleiche Fl¨ ussigkeit an rauhen Stahlrohren oder an Kupferrohren siedet. Gl. (4.89) bzw. (4.91) gilt nur im Bereich der intensiven Blasenverdampfung. Nach Nukijama [4.73] gibt es jedoch noch weitere Bereiche der Verdampfung. In Abb. 4.40 sind die einzelnen Bereiche dargestellt, die beim Sieden von Wasser unter Atmosph¨ arendruck und bei freier Str¨omung auftreten. Es ist die W¨ armestromdichte q˙ u ¨ber der Temperaturdiﬀerenz Δϑ = ϑ0 − ϑs aufgetragen. Der linke aufsteigende Kurvenast kennzeichnet den Bereich der ausgebildeten Blasenverdampfung. Die W¨ armestromdichte nimmt mit steigender

4.2 W¨ arme¨ ubergang beim Sieden

541

Abb. 4.40: (q, ˙ Δϑ)Diagramm von siedendem Wasser

Wandtemperatur zu. Nach Erreichen eines Maximums nimmt die u ¨bertragene W¨ armestromdichte trotz steigender Wandtemperatur wieder ab. Diesen fallenden Bereich der Siedekennlinie“ bezeichnen wir als partielle Filmver” ¨ dampfung, weil die Heizﬂ¨ ache st¨ uckweise von Dampf bedeckt ist. Nach Uberschreiten einer minimalen W¨ armestromdichte nimmt die W¨armestromdichte wieder mit der Wandtemperatur zu. Wir bezeichnen den rechten ansteigenden Bereich der Siedekennlinie als Bereich der Filmverdampfung, weil dort die Heizﬂ¨ ache vollst¨ andig von einem Dampﬃlm bedeckt ist. Diese zun¨ achst merkw¨ urdig anmutende N -f¨ormige Kurve, auch NukijamaKurve genannt, ist physikalisch plausibel: Mit zunehmender Wandtemperatur entstehen an der Heizwand immer mehr Dampfblasen, welche die Fl¨ ussigkeit in Wandn¨ ahe in starke Bewegung versetzen. Infolgedessen f¨ordert die Blasenbildung den W¨ arme¨ ubergang von der Wand an die Fl¨ ussigkeit. Da der Dampf die Heizﬂ¨ ache mehr und mehr von der Fl¨ ussigkeit isoliert, wird andererseits der W¨ arme¨ ubergang umso st¨ arker behindert, je mehr Dampf entsteht. Man kann sich nun leicht vorstellen, dass mit zunehmender Wandtemperatur schließlich die isolierende Wirkung des Dampfes u ¨ berwiegt und die W¨ armestromdichte trotz steigender Wandtemperatur wieder abnimmt. Erst von hinreichend hohen Wandtemperaturen an wird der W¨armestrom wieder zunehmen, da die Dicke des Dampﬃlms nur noch wenig mit der Wandtemperatur zunimmt. Das Maximum der Siedekennlinie bezeichnet man vielfach als kritische oder maximale W¨armestromdichte. Gebr¨auchliche, aber weniger gl¨ ucklich gew¨ ahlte Bezeichnungen sind Durchbrennpunkt (burnout) oder DNB (= departure from nucleate boiling).

4.2.6 Stabilit¨ at beim Sieden in freier Str¨ omung Erh¨ oht man die Wandtemperatur einer Heizﬂ¨ ache u ¨ber den Wert, der zur maximalen W¨ armestromdichte geh¨ ort, so beobachtet man h¨auﬁg, dass sich die Heizwand schlagartig mit einem Dampﬃlm u ¨ berzieht. Die Temperatur der Heizwand steigt innerhalb von Bruchteilen von Sekunden stark an und kann sogar die Schmelztemperatur metallischer Heizw¨ande erreichen. Ein Beispiel

542

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

ist in den Abb. 4.41 und 4.42 dargestellt. Die Abb. 4.41 zeigt Blasensieden des K¨ altemittels R11 an einem waagrechten Rohr, das mit einer W¨armestromdichte von rund 2 · 105 W/m2 elektrisch beheizt wurde. Diese W¨armestromdichte ist nur wenig kleiner als die maximale. Nach geringf¨ ugiger Erh¨ohung der

Abb. 4.41: Elektrisch beheiztes Rohr unmittelbar vor Erreichen der maximalen W¨ armestromdichte. q˙max = 2,2·105 W/m2 . Siedendes R11, p=0,1 MPa

Abb. 4.42: Elektrisch beheiztes Rohr von Abb. 4.41 im Augenblick des Durchschmelzens (burnout)

4.2 W¨ arme¨ ubergang beim Sieden

543

W¨ armestromdichte steigt die Temperatur so weit an, dass das Rohr durchschmilzt. In Abb. 4.42 erkennt man deutlich, wie dies bereits mit einem Teil des Rohrs geschehen ist. Um diese besonders in der Reaktortechnik gef¨ urchtete Erscheinung zu vermeiden, muss man einen gen¨ ugenden Sicherheitsabstand“ von der maximalen ” W¨ armestromdichte einhalten. Oﬀensichtlich sind also nicht alle Zust¨ande der in Abb. 4.40 dargestellten Siedekennlinie stabil, es k¨onnen vielmehr unter bestimmten Bedingungen Instabilit¨ aten auftreten. Im Folgenden soll diese Erscheinung verst¨ andlich gemacht werden. Auf einer Siedekennlinie, wie sie Abb. 4.40 zeigt, liegen alle Wertepaare (q, ˙ Δϑ), die bei station¨ arem Betrieb des Verdampfers m¨ oglich sind. Als Arbeitspunkte des Verdampfers kommen von diesen Wertepaaren nur ganz bestimmte in Fra¨ ge. Ahnlich wie der Arbeitspunkt eines Verdichters erst durch die Verdichterund die Rohrleitungskennlinie festliegt, wird auch der Arbeitspunkt eines Verdampfers durch die Siedekennlinie und die Kennlinie des Verdampfers festgelegt. Diese ist, wenn man temperaturunabh¨ angige Stoﬀwerte der Heizﬂ¨ache voraussetzt, eine Gerade im (q, ˙ Δϑ)-Diagramm, was man sich am einfachsten am Beispiel der ebenen Wand klarmachen kann, Abb. 4.43.

Abb. 4.43: W¨ arme¨ ubergang an die siedende Fl¨ ussigkeit

Mit den Bezeichnungen von Abb. 4.43 ist die von der Wand u ¨ bertragene W¨ armestromdichte 1 q˙ = (ϑL − ϑ0 ) (4.92) RW mit dem W¨ armewiderstand 1 s RW = + , (4.93) αi λ wobei αi der W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient zwischen Heizmittel und Wand, s die Wanddicke und λ die W¨ armeleitf¨ ahigkeit der Wand sind. F¨ ur (4.92) kann man auch −1 1 q˙ = (ϑ0 − ϑs ) + (ϑL − ϑs ) (4.94) RW RW schreiben. Entsteht nun in der Heizwand zus¨atzlich innere Energie, etwa durch Kernspaltung oder elektrische Dissipation, so erh¨oht sich die abgegebene W¨ armestromdichte um einen Anteil q˙0 , und es ist q˙ =

−1 1 (ϑ0 − ϑs ) + (ϑL − ϑs ) + q˙0 . RW RW

(4.95)

544

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

Hierdurch liegt die gesuchte Kennlinie des Verdampfers fest. Sie ist eine Gerade im (q, ˙ Δϑ)-Diagramm. Auf ihr m¨ ussen alle Wertepaare (q, ˙ Δϑ) liegen, die bei station¨ arem Betrieb des Verdampfers m¨oglich sind. Da (4.95) in ihrem Aufbau dem Ohmschen Gesetz entspricht, nennen wir die Kennlinie Wider” standsgerade“. Wegen ihrer negativen Steigung −1/RW nimmt die von der Heizﬂ¨ ache abgegebene W¨ armestromdichte mit zunehmender Wandtemperatur ϑ0 ab. Dieses zun¨ achst u ¨ berraschende Ergebnis wird verst¨andlich, wenn man beachtet, dass sich mit zunehmender Wandtemperatur ϑ0 die Diﬀerenz zwischen Wandtemperatur ϑ0 und Fluidtemperatur ϑL verringert, wodurch die u armestromdichte abnimmt. ¨ bertragene W¨

Abb. 4.44: Arbeitspunkte des Verdampfers

Arbeitspunkte des Verdampfers sind nun die Schnittpunkte von Siedekennlinie und Widerstandsgerade. Wie Abb. 4.44 zeigt, k¨onnen beide Kurven einen Schnittpunkt und einen Ber¨ uhrpunkt oder drei Schnittpunkte gemeinsam haben. Diese sind die grunds¨ atzlich m¨ oglichen station¨aren Betriebspunkte des Verdampfers. Die Stabilit¨ atsbetrachtung [4.74], auf die hier nicht eingegangen werden soll, zeigt nun, dass ein Arbeitspunkt nur dann stabil ist, wenn die Steigung der Siedekennlinie in dem Arbeitspunkt gr¨oßer ist als die Steigung der Widerstandsgeraden. Gleichbedeutend hiermit ist bei N -f¨ormigem Kurvenverlauf auch folgende Aussage: Bei Vorhandensein von drei Schnittpunkten sind nur die beiden ¨ außeren stabil, w¨ ahrend der mittlere einen labilen Zustand charakterisiert. Ist nur ein Schnittpunkt vorhanden, so ist dieser stets stabil. Mit diesen Darlegungen wird das sogenannte burn-out Ph¨anomen“ leicht ” verst¨ andlich. Zeichnet man n¨ amlich im (q, ˙ ϑ)-Diagramm die Widerstandsgerade f¨ ur den Fall der nuklearen Energieerzeugung oder f¨ ur elektrische Widerstandsheizung ein, so haben Siedekennlinie und Widerstandsgerade in der N¨ ahe des Maximums drei Schnittpunkte gemeinsam, Abb. 4.45, von denen die Punkte 1 und 2 eng benachbart sind. Eine kleine St¨orung gen¨ ugt daher, das System aus dem stabilen Zustand 1 in den instabilen Zustand 2 zu u uhren. ¨berf¨ Von diesem wird es sich wegen der Tr¨ agheit des Systems weiter entfernen, bis im Punkt 3 ein neuer stabiler Zustand erreicht ist. Diesem neuen station¨aren Zustand ist bei den meisten Systemen eine Wandtemperatur zugeordnet, die gr¨ oßer ist als die Schmelztemperatur der Heizﬂ¨ache, so dass diese vor Erreichen des station¨aren Zustands schmilzt. Um diese unerw¨ unschte Erscheinung zu vermeiden, muss man daher, wie die Kurve a in Abb. 4.45 zeigt, die Wi-

4.2 W¨ arme¨ ubergang beim Sieden

545

Abb. 4.45: Stabilit¨ at bei maximaler W¨ armestromdichte

derstandsgerade so steil w¨ ahlen, dass sie die Siedekennlinie in der N¨ahe des Maximums kein zweites Mal schneidet. Eine steile Widerstandsgerade ergibt sich gem¨ aß (4.93) mit (4.94) dann, wenn man αi groß und den W¨armewiderstand der Wand klein w¨ ahlt. Dann kann man auch im Maximum stabile Arbeitspunkte verwirklichen.

4.2.7 Berechnung von W¨ armeu ¨ bergangskoeﬃzienten beim Sieden in freier Str¨ omung Grunds¨ atzlich l¨ asst sich feststellen, dass bisherige Modellvorstellungen einen oder mehrere der folgenden Mechanismen der W¨arme¨ ubertragung enthalten: 1. Mikrokonvektion in der wandnahen Grenzschicht als Folge des raschen Anwachsens der Dampfblasen und ihres Zerfalls in der unterk¨ uhlten Fl¨ ussigkeit. 2. Verdr¨ angen von heißer Fl¨ ussigkeit von der Wand durch die wachsenden und abreißenden Dampfblasen und R¨ uckstr¨omung k¨alterer Fl¨ ussigkeit aus dem Fl¨ ussigkeitsinneren zur Wand. 3. Instation¨ are W¨ armeleitung an die im Nachlauf einer Blase mitgerissene Fl¨ ussigkeit. 4. Instation¨ are W¨ armeleitung in der wandnahen Fl¨ ussigkeit beim Anwachsen einer Blase in ihrer Nachbarschaft. 5. Dampfbildung aus der d¨ unnen, u ussigkeitsschicht unter der ¨ berhitzten Fl¨ anwachsenden Blase. Ist die Kernﬂ¨ ussigkeit unterk¨ uhlt, so kondensiert gleichzeitig Dampf am Blasenkopf. Abweichungen der nach verschiedenen Gleichungen berechneten W¨armeu uber experimentell ermit¨ bergangskoefﬁzienten bis um den Faktor 2 gegen¨ telten Werten sind nicht selten. Sie sind allerdings nicht nur auf M¨angel in der Theorie zur¨ uckzuf¨ uhren, sondern teilweise auch durch Messfehler und nicht gen¨ ugend genau bekannte Stoﬀeigenschaften zu erkl¨aren. Dar¨ uber hinaus sind der Abreißdurchmesser der Blasen, der Randwinkel und die Blasenfrequenz bei festliegenden ¨ außeren Bedingungen nicht, wie oft angenommen, konstant, sondern starken statistischen Schwankungen unterworfen, und es ist noch nicht gekl¨ art, wie man diese Schwankungen in der Theorie zu ber¨ ucksichtigen hat. Von Nachteil ist, dass in den angegebenen Gleichungen, bis auf

546

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

wenige Ausnahmen, die Heizﬂ¨ achenbeschaﬀenheit unber¨ ucksichtigt blieb, obwohl seit langem bekannt ist, dass der W¨ arme¨ ubergang beim Blasensieden an rauhen Oberﬂ¨ achen merklich gr¨ oßer ist als an glatten Oberﬂ¨achen. Um eine Gleichung mit m¨ oglichst weitem Anwendungsbereich zu ﬁnden, ist es zweckm¨ aßig, die f¨ ur den W¨ arme¨ ubergang maßgeblichen Eigenschaften zu dimensionslosen Gr¨ oßen zusammenzufassen. F¨ ur das allgemeine W¨ arme¨ ubergangsgesetz wird man zweckm¨aßigerweise einen Potenzansatz in diesen Gr¨ oßen w¨ ahlen, da sich derartige Ans¨atze zur Darstellung des W¨ arme¨ ubergangs allgemein bew¨ ahrt haben. Ein wirksames Werkzeug zur Aufstellung eines Zusammenhangs zwischen der Nußelt-Zahl und den u ¨brigen dimensionslosen Variablen stellt die Regressionsanalyse dar. Mit ihrer Hilfe l¨ asst sich entscheiden, welche Kenngr¨oßen f¨ ur den W¨ arme¨ ubergang wichtig und welche von untergeordneter Bedeutung sind. Stephan und Abdelsalam [4.75] haben 1980 mit Hilfe dieser Methode die etwa 5000 bis dahin bekannten Messwerte u ubergang bei Blasenver¨ ber den W¨arme¨ dampfung kritisch gesichtet und empirische Korrelationen ermittelt. Wie die Regressionsanalyse ergab, erwiesen sich dimensionslose Gr¨oßen, die f¨ ur einige Stoﬀe wichtig sind, als unbedeutend f¨ ur andere Stoﬀe. Die Messwerte konnten daher am besten wiedergegeben werden, wenn man die vermessenen Stoﬀe in vier Gruppen (Kohlenwasserstoﬀe, tiefsiedende Fluide, K¨altemittel und Wasser) einteilte und f¨ ur jede dieser Gruppen einen anderen Satz von Kenngr¨oßen benutzte. Dar¨ uber hinaus ließ sich eine f¨ ur alle Stoﬀe g¨ ultige Gleichung angeben, deren Genauigkeit allerdings etwas geringer ist als die Gleichung f¨ ur die genannten Stoﬀgruppen. Da die meisten Messungen in der N¨ ahe des Atmosph¨arendrucks ausgef¨ uhrt wurden, was f¨ ur organische Fl¨ ussigkeiten ungef¨ahr einem normierten Siededruck von p+ = p/pcr = 0,03 entspricht, kann man die Genauigkeit solcher Korrelationen erh¨ ohen, wenn man ihre G¨ ultigkeit auf Dr¨ ucke in der N¨ahe des Umgebungsdrucks beschr¨ ankt. Eine solche Beziehung ist von Stephan und Preußer [4.76] ermittelt worden. Sie lautet:

0,674 0,156

0,371 2 0,350 q˙ dA Δhv d2A a −0,162 N u = 0,0871 (P r ) . λ Ts a2 σdA (4.96) Mit bezeichnete Gr¨ oßen beziehen sich auf die siedende Fl¨ ussigkeit, mit bezeichnete auf den ges¨ attigten Dampf. Die Nußelt-Zahl ist deﬁniert durch N u = αdA /λ . Der Abreißdurchmesser dA ist durch (4.85) gegeben, in der L = und G = zu setzen ist. F¨ ur den Randwinkel β0 ist bei Wasser π/4 rad (= 45◦ ), bei tiefsiedenden Fl¨ ussigkeiten 0,01745 rad (= 1◦ ) und bei anderen Fl¨ ussigkeiten 0,611 rad (= 35◦ ) einzusetzen. Messungen an Wasser im Bereich der voll ausgebildeten Blasenverdampfung bei W¨ armestromdichten zwischen 2

2

104 W/m < q˙ < 106 W/m und Siededr¨ ucken zwischen

4.2 W¨ arme¨ ubergang beim Sieden

547

0,5 bar < p < 20 bar kann man nach Untersuchungen von Fritz [4.77] gut durch die einfache empirische Zahlenwertgleichung α = 1,95 q˙ 0,72 p0,24

(4.97)

wiedergeben, wobei α in W/m2 K, q˙ in W/m2 und p in bar einzusetzen sind. Aus (4.96) erh¨ alt man f¨ ur eine vorgegebene W¨armestromdichte q˙0 den W¨ arme¨ ubergangskoefﬁzienten α0 entsprechend der G¨ ultigkeit der Gleichung nur f¨ ur Dr¨ ucke in der N¨ ahe des Atmosph¨ arendrucks. Gorenﬂo [4.79] empﬁehlt hierf¨ ur den normierten Druck p+ = 0,03, denn er entspricht f¨ ur viele organische Fl¨ ussigkeiten einem Siededruck von 0,1 bis 0,2 MPa. Hat man ein Wertepaar α0 , q˙0 f¨ ur einen m¨ aßigen Druck p0 ermittelt, so kann man einem Vorschlag von Danilowa [4.78] folgend nach Gorenﬂo [4.79] aus

n α q˙ + = Cw F (p ) , (4.98) α0 q˙0 worin F (p+ = p/pcr) eine Druckfunktion ist, auch den W¨arme¨ ubergangskoefﬁzienten bei anderen Dr¨ ucken berechnen. Hierin ist

0,133 1/2 Ra b Cw = Ra0 b0 mit dem Mittenrauhwert Ra der Heizﬂ¨ ache nach DIN 4762/01.89. Bei technischen Oberﬂ¨ a chen ist 0, 1 μm ≤ R ≤ 0, 5 μm. Ra0 = 0, 4 μm ist ein√Bezugsa √ wert. b = λc ist der W¨ armeeindringkoeﬃzient der Heizwand, b0 = λ0 0 c0 der von Kupfer, Gl. (2.128). Die Druckfunktion ist so beschaﬀen, dass F (p+ 0 = p0 /pcr = 0,1) = 1 wird. Sie lautet nach Gorenﬂo [4.79]

1 + +0,27 F (p ) = 1,2 p + 2,5 + p+ (4.99) 1 − p+ und f¨ ur Wasser davon etwas abweichend

F (p+ ) = 1,73 p+0,27 + 6,1 +

0,68 1 − p+2

p+2 .

(4.100)

Die Gleichung (4.98) wurde f¨ ur eine W¨ armestromdichte q˙0 = 20 000 W/m2 aufgestellt. Da der Bezugsdruck p0 so gew¨ ahlt ist, dass f¨ ur den normier+ ten Druck p+ = 0,1 die Funktion F (p ) = 1 wird, sind α0 , q˙0 in (4.98) 0 0 ein zueinander geh¨ orendes Wertepaar von W¨arme¨ ubergangskoeﬃzient und W¨ armestromdichte beim normierten Druck p+ alt α0 (q˙0 = 0 = 0,1. Man erh¨ 2 + 2 + 20000 W/m , p0 = 0,1) indem man zun¨ achst α(q˙0 = 20000 W/m , p = 0,03) aus (4.96) ermittelt. Aus (4.98) folgt dann bei q˙ = q˙0 wegen α/α0 =

548

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

Cw F (p+ = 0,03) der Wert α0 . Dieser ist f¨ ur zahlreiche Stoﬀe auch im VDIW¨ armeatlas [4.79] vertafelt. Zahlreiche Messungen haben ergeben, dass der Exponent n der W¨armestromdichte in (4.98) nicht konstant ist, sondern mit wachsendem Siededruck abnimmt. Nach Gorenﬂo [4.79] ist n = 0,9 − 0,3 p+0,3 .

(4.101)

Danach ist n = 0,8 f¨ ur p+ ur p+ 0 = 0,03 und n = 0,62 f¨ 1 = 0,8. Die Druckabh¨ angigkeit f¨ ur Wasser und Helium ist etwas schw¨acher n = 0,9 − 0,3 p+0,15 .

(4.102)

F¨ ur Wasser beim Siededruck von 1 bar entsprechend p+ 1 = 0,004532 folgt + hieraus n = 0,77, f¨ ur p+ = 0,03 ist n = 0,72, und f¨ u r p = 0,8 ist n = 0,61. 0 2 Somit kann man Messungen an Wasser durch die aus (4.98) mit dem 2 2 Wertepaar α0 = 5 580 W/m K, q˙0 = 20 000 W/m bei p+ 0 = 0,1 folgende empirische Gleichung α = Cw F (p+ ) 5 580 W/m2 K

q˙ 20 000 W/m2

0,9−0,3 p+0,15 (4.103)

wiedergeben, wobei F (p+ ) durch (4.100) gegeben ist. Diese Gleichung gilt im Bereich der voll ausgebildeten Blasenverdampfung und bei normierten Siededr¨ ucken von 10−4 ≤ p+ ≤ 0,9 , was Siededr¨ ucken von 0,0221 bar ≤ p ≤ 199 bar entspricht. Sie umfasst damit einen gr¨ oßeren Druckbereich als die einfachere Gl. (4.97) von Fritz und stimmt mit dieser innerhalb von deren G¨ ultigkeitsbereich gut u ¨ berein.

4.2.8 Einige empirische Gleichungen zum W¨ armeu ¨ bergang beim Blasensieden in freier Stro mung ¨ Im Folgenden werden die bisherigen Gleichungen u ubergang ¨ ber den W¨arme¨ beim Blasensieden in freier Str¨ omung zusammenfassend dargestellt und um weitere Gleichungen erg¨ anzt. 1. Blasensieden von Wasser in nat¨ urlicher Str¨ omung Nach (4.97) gilt f¨ ur 0,5 bar < p < 20 bar α = 1,95 q˙ 0,72 p0,24

4.2 W¨ arme¨ ubergang beim Sieden

549

mit α in W/m2 K, q˙ in W/m2 und p in bar, und es gilt nach (4.103) f¨ ur 0, 0221 bar ≤ p ≤ 199 bar α = Cw F (p+ ) 5 580 W/m2 mit

Cw =

Ra Ra0

q˙ 20 000 W/m2

0,133

b b0

0,9−0,3 p+0,15

1/2 .

Ra ist der Mittenrauhwert der ache nach DIN 4762/01.89, Ra0 = √ Heizﬂ¨ 0,4 μm ein Bezugswert. b = λc ist der W¨armeeindringkoeﬃzient der Heizwand, b0 der von Kupfer. Weiter ist

p 0,68 F p+ = = 1,73 p+0,27 + 6,1 + p+2 . pcr 1 − p+2 2. Blasensieden, allgemeine Gleichung Nach (4.96) gilt f¨ ur Dr¨ ucke nahe dem Atmosph¨arendruck αdA λ

0,674 0,156

0,371 2 0,350 q˙ dA Δhv d2A a −0,162 = 0,0871 (P r ) λ Ts a2 σdA Nu =

mit dem Abreißdurchmesser nach (4.85): 7 dA = 0,851β0

2σ . g(L − G )

Der Randwinkel β0 , der im Bogenmaß einzusetzen ist, liegt f¨ ur Wasser zwischen 40◦ und 45◦ , f¨ ur die als K¨ altemittel eingesetzten halogenierten Kohlenwasserstoﬀe bei etwa 35◦ . F¨ ur andere Dr¨ ucke berechnet man zun¨achst α0 f¨ ur die Bezugsw¨ armestromdichte q˙0 = 20 000 W/m2 bei einem Druck p0 nahe dem Umgebungsdruck aus der obigen Gleichung. Den gesuchten W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten α beim Druck p und der W¨armestromdichte q˙ erh¨ alt man aus (4.98):

n α q˙ = Cw F (p+ ) α0 q˙0 mit Cw wie bei 1. Es ist +

F (p ) = 1,2 p und

+0,27

+ 2,5 +

1 1 − p+

p+

550

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

n = 0,9 − 0,3 p+0,3 . F¨ ur Wasser und Helium ist

F (p+ ) = 1,73 p+0,27 + 6,1 +

0,68 1 − p+2

p+2

und n = 0,9 − 0,3 p+0,15 . 3. Blasensieden an waagrechten Kupferrohren Es ist nach Gorenﬂo [4.80]

√ F (p+ / ϕ) 0,1H/t1 q˙ nR α = · 5 . √ α0 q˙0 F (p+ 0 / ϕ) Darin sind: α0 der W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient beim Druck p0 und der Bezugsw¨ armestromdichte q˙0 = 20 000 W/m2 zu berechnen aus der unter √ 2. aufgef¨ uhrten Gleichung f¨ ur das Glattrohr. F (p+ / ϕ) erh¨alt man aus + der unter 2. aufgef¨ uhrten Funktion F (p ), wenn man dort anstelle von √ p+ = p/pcr die Gr¨ oße p+ / ϕ einsetzt mit dem Fl¨achenverh¨altnis ϕ = AR /A. AR ist die Oberﬂ¨ ache des Rippenrohres, A die eines Glattrohres vom Kerndurchmesser des Rippenrohres. Es ist nR = n − 0,1 H/t1 . n ist der unter 2. aufgef¨ uhrte Exponent der W¨armestromdichte, H ist die Rippenh¨ ohe, t1 der lichte Rippenabstand, s. Abb. 4.46.

Abb. 4.46: Abmessungen am Rippenrohr

4. Blasensieden an waagrechten Glatt- oder Rippenrohrb¨ undeln W¨ arme¨ ubergangskoefﬁzienten beim Sieden an der Außenseite von Glattoder Rippenrohren in einem B¨ undel sind gr¨oßer als am einzelnen Rohr. An der untersten Rohrreihe wird durch die verst¨arkte Anstr¨omung des B¨ undels der W¨ arme¨ ubergang verbessert, im B¨ undel selbst sorgen die aufsteigenden Dampfblasen f¨ ur eine bessere Konvektion. Der Einﬂuss der Konvektion auf den gesamten W¨ arme¨ ubergang macht sich besonders bei nicht allzu hohen W¨ armestromdichten deutlich bemerkbar. Infolgedessen ist dort der mittlere W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient αm des B¨ undels merklich gr¨ oßer als der am Einzelrohr. Nach [4.79] gilt

4.2 W¨ arme¨ ubergang beim Sieden

551

αm 1 =1+ , α1 2 + qϕ/(1 ˙ 000 W/m2 ) worin α1 der W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient der untersten Rohrreihe ist. Die Gleichung gilt sowohl f¨ ur Glatt- als auch f¨ ur Rippenrohrb¨ undel im Bereich 2

2

1 000W/m ≤ qϕ ˙ ≤ 20 000W/m

und f¨ ur Dr¨ ucke in der N¨ ahe des Umgebungsdrucks. Die W¨armestromdichte q˙ ist auf die gesamte ¨ außere Rohroberﬂ¨ ache bezogen. Die Gr¨oße ϕ ist das Fl¨ achenverh¨ altnis des Rippenrohrs, f¨ ur Glattrohre ist ϕ = 1. Den W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten α1 an der untersten Rohrzeile erh¨alt man nach einem Vorschlag von Slipˇcevi´c [4.81] aus dem W¨arme¨ ubergangskoeﬃzienten αB f¨ ur Blasensieden am Einzelrohr s. unter Nr. 2, und dem W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten αK f¨ ur freie Str¨omung ohne Blasenbildung, s. unter 3.9.3 Nr. 3, ebenfalls am Einzelrohr, gem¨aß α1 = αB + f αK , worin f ein Faktor ist, der von der Gr¨ oße der Anstr¨omgeschwindigkeit abh¨ angt. F¨ ur kleine B¨ undel liegt f bei 0,5 f¨ ur große ist f = 1. 5. Maximale W¨ armestromdichte Nach Kutateladze [4.82] und Zuber [4.83] gilt q˙max = KΔhv [σ( − )g]1/4 , worin K eine aus Versuchen zu ermittelnde Konstante ist, die zwischen 0,13 und 0,16 liegt. Ein Mittelwert ist K = 0,145. Die Gleichung gilt f¨ ur ges¨ attigte und leicht unterk¨ uhlte Fl¨ ussigkeiten beim Sieden an ebenen Heizﬂ¨ achen oder waagrechten Glattrohren. Im Druckbereich 10−3 ≤ p+ = p/pcr ≤ 0, 6 gibt sie viele Versuchswerte mit guter Genauigkeit wieder. Druckkorrekturen sind q˙max = 2,8p+ 1 − p+ q˙max,0 sowie

q˙max = 1,056 p+0,2 + p+0,5 q˙max,0

f¨ ur

f¨ ur

p+ ≥ 0, 1

p+ ≤ 0, 1 ,

wobei q˙max,0 die maximale W¨ armestromdichte beim normierten Druck p+ = 0,1 ist. Es empﬁehlt sich, außerhalb des Druckbereiches 10−3 ≤ p+ ≤ 0, 6 zuerst q˙max,0 (p+ = 0,1) aus der Gleichung von Kutateladze und Zuber zu berechnen und dann entsprechend dem herrschenden Druck p+ die maximale W¨ armestromdichte q˙max aus einer der Gleichungen f¨ ur die Druckkorrektur zu ermitteln.

552

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

6. Filmsieden Beim Filmsieden ist wegen der hohen Wandtemperatur der Einﬂuss der Strahlung auf den W¨ arme¨ ubergang nicht vernachl¨assigbar. Nach [4.84] ist der mittlere W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient αm bei Filmverdampfung gegeben durch

αm 1 αS 1 =1+ 4+ αmG 5 αmG 1 + 3αmG /αS mit αmG

2 = 3

und αS =

G (L − G )gΔhv λ3G 1 ηG Δϑ H

1/4

σS T04 − Ts4 . 1 1 ϑ − ϑs + −1 0 ε0 εL

Es sind H die Plattenh¨ ohe bzw. H = dπ/2 f¨ ur waagrechte Rohre, σS = 2 5,67 · 10−8 W/m K4 die Stefan-Boltzmann-Konstante, vgl. Abschnitt 1.1.5 und 5.2.3, ε0 der Emissionsgrad der Wand, εL der der Fl¨ ussigkeitsoberﬂ¨ache. Beispiel 4.4: In einem Kochtopf wird 1 l Wasser bei Atmosph¨ arendruck 0,1013 MPa auf einem Elektroherd zum Kochen gebracht. Die Leistung der Kochplatte des Elektroherds betr¨ agt Q˙ = 3 kW, ihr Durchmesser ist ebenso groß wie der des Kochtopfs, n¨ amlich 0,3 m. a) Nach welcher Zeit beginnt das Wasser zu kochen, wenn die Anfangstemperatur 20 betr¨ agt? Die W¨ armeverluste zur Umgebung betragen 30 % der zugef¨ uhrten W¨ arme. b) Wie groß ist die Temperatur am Boden des Gef¨ aßes, wenn das Wasser siedet? c) Wie lange w¨ urde es dauern, bis alles Wasser vollst¨ andig verdampft ist? d) Man berechne die maximale W¨ armestromdichte. Folgende Stoﬀwerte sind gegeben: S¨ attigungstemperatur ϑs = 100 beim Druck 0,1013 MPa, Dichte der Fl¨ ussigkeit L = 958,1 kg/m3 , spez. W¨ armekapazit¨ at der Fl¨ ussigkeit cpL = 4,216 kJ/kgK, Dichte des Dampfes = 0,5974 kg/m3 , Verdampfungsenthalpie Δhv =2257,3 kJ/kg, Oberﬂ¨ achenspannung σ = 58,92 · 10−3 N/m. a) Bis zum Erreichen der Siedetemperatur ist die W¨ arme Q = M cpL Δϑ = L V cpL Δϑ = 958,1 kg/m3 · 10−3 m3 · 4,216 kJ/kgK · 80 K = 323 kJ zuzuf¨ uhren. Es ist Q˙ Δt0 = Q, also die Zeit, bis die Siedetemperatur erreicht ist, Q 323 kJ Δt0 = = = 154 s = 2,56 min . 3 kW · 0,7 Q˙ b) Nach (4.97) erh¨ alt man den W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient beim Sieden zu α = 1,95 q˙0,72 p0,24

mit

q˙ =

Q˙ 0,7 · 3 kW = = 2,971 · 104 W/m2 . A 0,32 m2 · π/4

4.2 W¨ arme¨ ubergang beim Sieden

553

Somit wird α = 1,95 · (2,971 · 104 )0,72 · (1,013)0,24 W/m2 K = 3250 W/m2 K und

q˙ 2,971 · 104 W/m2 = = 9,1 K . α 3250 W/m2 K Die Temperatur am Boden des Gef¨ aßes ist ϑ0 = ϑs + Δϑ = 100 + 9,1 = 109,1 . c) 70 % des abgegebenen W¨ armestroms werden dem Wasser zugef¨ uhrt. Um die Masse M = L V vollst¨ andig zu verdampfen, muss die W¨ arme Δϑ =

Q = L V Δhv = 958,1kg/m3 · 10−3 m3 2257,3kJ/kg = 2163 kJ zugef¨ uhrt werden. Die dazu ben¨ otigte Zeit wird Δt = Q/Q˙ =

2163 kJ = 1 030 s = 17,2 min . 2,1 kW

d) Die maximale W¨ armestromdichte ergibt sich aus 4.2.8, Nr. 5 zu √

[σ ( − ) g] p = 0,145 · 2,2573 · 106 J/kg · 0,5974 kg/m3 ·

q˙max = 0,145 Δhv

1/4

ˆ ˜1/4 · 58,92 · 10−3 N/m · (958,1 − 0,5974) kg/m3 · 9,81 m/s2 q˙max = 1,23 · 106 W/m2 .

4.2.9 Zweiphasige Stro ¨mungen W¨ ahrend die Str¨omungsform und der W¨ arme¨ ubergang beim Sieden einer Fl¨ ussigkeit in freier Str¨ omung im Wesentlichen durch die Diﬀerenz zwischen Heizﬂ¨ achen- und Siedetemperatur, die Eigenschaften der Fl¨ ussigkeit und die der Heizﬂ¨ache bestimmt werden, spielen beim Sieden in erzwungener Str¨ omung noch zus¨ atzlich die Str¨ omungsgeschwindigkeiten von dampﬀ¨ormiger und ﬂ¨ ussiger Phase und die Art der Phasenverteilung eine Rolle. Wie bereits in Abschnitt 4.2.1 dargelegt, ist der W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient nicht mehr durch einfache empirische Korrelation der Form α = c q˙n darstellbar, sondern es kommen als weitere Einﬂussgr¨ oßen die Massenstromdichte m ˙ und der Str¨ omungsdampfgehalt x∗ hinzu, so dass empirische W¨arme¨ ubergangsbeziehungen die Form α = c q˙n m ˙ s f (x∗ ) haben. Die Art solcher Beziehungen wird wesentlich durch die Str¨ omungsform bestimmt, u ¨ ber die im folgenden Abschnitt berichtet wird.

554

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

4.2.9.1 Die verschiedenen Str¨ omungsformen Die vielf¨ altigen Formen zweiphasiger Str¨ omungen lassen sich in bestimmte ¨ Grundtypen einteilen, zwischen denen aber noch Ubergangsoder Mischzust¨ ande m¨ oglich sind. Die Grundtypen der Str¨omungsformen einer aufw¨arts gerichteten Zweiphasenstr¨omung im senkrechten, unbeheizten Rohr zeigt Abb. 4.47. In einer Blasenstr¨omung, Abb. 4.47 a, ist die Gas- oder Dampfphase gleichm¨ aßig in der kontinuierlichen Fl¨ ussigphase dispergiert. Nur sehr kleine Blasen sind kugelf¨ ormig, große Blasen dagegen abgeplattet. Eine solche Str¨omungsform kommt vor, wenn die Gasanteile klein sind. In einer Pfropfenstr¨omung, Abb. 4.47 b, f¨ ullen große Blasen (Pfropfen) nahezu den gesamten Rohrquerschnitt aus. Zwischen den Pfropfen str¨ omt von kleineren Bl¨aschen durchsetzte Fl¨ ussigkeit. Bei gr¨ oßeren Massenstromdichten l¨ ost sich die Blasenstruktur zunehmend auf. Es entsteht eine Schaumstr¨omung, Abb. 4.47 c. Sie besteht aus unregelm¨ aßigen, mehr oder weniger großen Gas- oder Dampﬀetzen und hat einen stark instabilen Charakter. Diese Str¨ omungsform bildet sich besonders in Rohren großen Durchmessers und bei h¨ oheren Dr¨ ucken aus. Die Str¨ahnen-Ring-Str¨omung, Abb. 4.47 d, besteht aus einem verh¨altnism¨ aßig dicken Fl¨ ussigkeitsﬁlm an der Wand, aber auch der Fl¨ ussigkeitsanteil im Dampf- oder Gaskern der Str¨ omung ist noch groß. Der Film ist von kleinen Blasen durchsetzt, und die ﬂ¨ ussige Phase im Str¨omungskern besteht aus großen Tropfen, die teilweise zu gr¨ oßeren Fl¨ ussigkeitsstr¨ahnen zusammengewachsen sind. Diese Str¨ omungsform beobachtet man vor allem, wenn die Massenstromdichten groß sind.

Abb. 4.47: Str¨ omungsformen im senkrechten, unbeheizten Rohr bei Aufw¨ artsstr¨ omung. a Blasenstr¨ omung (bubble ﬂow); b Pfropfenstr¨ omung (plug ﬂow); c Schaumstr¨ omung (churn ﬂow); d Str¨ ahnen-Ring-Str¨ omung (wispy-annular ﬂow); e Ringstr¨ omung (annular ﬂow); f Spr¨ uhstr¨ omung (spray or drop ﬂow)

4.2 W¨ arme¨ ubergang beim Sieden

555

Eine h¨ auﬁg auftretende Str¨ omungsform ist die Ringstr¨omung, Abb. 4.47 e. Sie ist dadurch charakterisiert, dass die Hauptmasse der Fl¨ ussigkeit an der Wand und die mit Tropfen durchsetzte Gas- oder Dampfphase mit erheblich h¨ oherer Geschwindigkeit im Kern des Rohrs str¨omt. Infolge der Verdampfung und besonders bei hoher Geschwindigkeit von Gas oder Dampf l¨ost sich der Fl¨ ussigkeitsﬁlm an der Wand auf, und es entsteht eine Spr¨ uhstr¨omung, Abb. 4.47 f, die insbesondere bei der Verdampfung unter hohen Dr¨ ucken anzutreﬀen ist. Alle diese Erscheinungsformen der Zweiphasenstr¨omung beobachtet man nicht nur im kreisrunden Rohr, sondern auch in Kan¨alen anderen Querschnitts, sofern diese nicht v¨ ollig von der kreisrunden Form abweichen, also beispielsweise einen sehr ﬂachen, abgeplatteten Querschnitt besitzen. W¨ ahrend der Verdampfung einer Fl¨ ussigkeit in einem senkrechten Rohr treten die genannten Str¨ omungsformen mehr oder weniger ausgepr¨agt nacheinander auf, wie dies Abb. 4.30 bereits zeigte. Die Struktur einer solchen nichtadiabaten Dampf-Fl¨ ussigkeits-Str¨ omung unterscheidet sich in der Regel von der einer adiabaten Zweiphasenstr¨ omung, auch wenn die ¨ortlichen Str¨ omungsparameter, wie Massenstromdichte, Dampfgehalt etc., u ¨ bereinstimmen. Ursachen daf¨ ur sind die Abweichung vom thermodynamischen Gleichgewicht, hervorgerufen durch die radialen Temperaturunterschiede, und auch die Abweichung vom hydrodynamischen Gleichgewicht. Vorg¨ange, die zu einer ¨ Anderung der Str¨omungsform f¨ uhren, wie Blasenkoaleszenz, Mitriss von Tropfen aus dem Fl¨ ussigkeitsﬁlm durch schnell str¨ omenden Dampf, Tropfenzerfall und dgl., ben¨ otigen Zeit. Je schneller daher eine Verdampfung stattﬁndet, desto weiter ist man vom hydrodynamischen Gleichgewicht entfernt. Gewisse Str¨ omungsformen k¨ onnen daher im beheizten Rohr ausgepr¨agter sein, als im unbeheizten, andere dagegen treten m¨ oglicherweise gar nicht auf. In einem waagrechten, unbeheizten Rohr oder Kanal str¨omt die Fl¨ ussigkeit aufgrund der Schwerkraft vorwiegend im unteren und Gas oder Dampf im oberen Teil des Querschnitts. Je kleiner die Tr¨agheitskr¨afte im Vergleich zur Schwerkraft sind, desto mehr unterscheidet sich die Str¨omung im waagrechten von der im senkrechten Rohr. Bei kleinen Geschwindigkeiten bilden sich daher im waagrechten Rohr Str¨ omungsformen aus, die man im senkrechten Rohr nicht beobachtet. Abb. 4.48 zeigt charakteristische Erscheinungsformen einer waagrechten Zweiphasenstr¨ omung. Die Dampfblasen sammeln sich wegen der Auftriebskr¨afte im oberen Teil des Rohrs an, man spricht von Blasenstr¨omung, Abb. 4.48 a. Sie k¨onnen dann zu Pfropfen zusammenwachsen und in die Pfropfenstr¨omung, Abb. 4.48 b, u ¨ bergehen. Bei kleinen Geschwindigkeiten sind beide Phasen vollst¨andig getrennt. Man spricht von einer Schichtenstr¨omung, Abb. 4.48 c. Nimmt die Gas- oder Dampfgeschwindigkeit zu, so bilden sich zun¨achst Wellen auf der Fl¨ ussigkeitsoberﬂ¨ ache, Wellenstr¨omung, Abb. 4.48 d. Die Wellenberge werden h¨oher und benetzen schließlich in unregelm¨ aßiger Folge auch die obere Kanalwand, Schwallstr¨omung, Abb. 4.48 e. Bei noch h¨ oherer Geschwindigkeit entwickelt

556

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

Abb. 4.48: Str¨ omungsformen im waagerechten, unbeheizten Rohr a Blasenstr¨ omung (bubble ﬂow); b Pfropfenstr¨ omung (plug ﬂow); c Schichtenstr¨ omung (stratiﬁed ﬂow); d Wellenstr¨ omung (wavy ﬂow); e Schwallstr¨ omung (slug ﬂow); f Ringstr¨ omung (annular ﬂow); g Spr¨ uhstr¨ omung (spray or drop ﬂow)

sich eine Ringstr¨omung, Abb. 4.48 f, deren Filmdicke in der oberen Rohrh¨alfte zumeist kleiner ist als im unteren Bereich des Rohres. Sie geht mit weiterer Zunahme der Dampfgeschwindigkeit in eine Spr¨ uhstr¨omung, Abb. 4.48 g u ¨ ber. In einem waagrechten, beheizten Rohr treten die zuvor besprochenen Str¨omungsformen nacheinander auf. Genau wie beim senkrechten Verdampferrohr wird sich infolge des radialen Temperaturproﬁls kein thermisches Gleichgewicht einstellen. Abb. 4.49 zeigt die verschiedenen Str¨omungsformen im waagrechten Verdampferrohr unter der Annahme, dass die Fl¨ ussigkeit mit einer hinreichend kleinen Geschwindigkeit unter 1 m/s in das Rohr eintritt.

Abb. 4.49: Str¨ omungsformen im waagerechten Verdampferrohr nach Collier [4.85]

4.2 W¨ arme¨ ubergang beim Sieden

557

Wie man erkennt, ist die obere Rohrwand im Bereich der Schwallstr¨omung abwechselnd trocken und benetzt. Im Bereich der Ringstr¨omung trocknet die obere Kanalwand stromabw¨ arts immer mehr aus. Je h¨oher die Massenstromdichten sind, desto symmetrischer wird die Phasenverteilung und n¨ahert sich dann der im senkrechten Verdampferrohr an. 4.2.9.2 Str¨ omungskarten Da die verschiedenen Str¨ omungsformen durch die Kr¨afte zwischen den Phasen bestimmt werden, vor allem durch die Tr¨agheits- und die Schwerkraft, ist es naheliegend, die Grenzen zwischen den verschiedenen Str¨omungsformen in Abh¨ angigkeit von diesen Kr¨ aften in Diagrammen, sogenannten Str¨omungskarten, zu erfassen. Eine solche Str¨ omungskarte ist zuerst von Baker [4.86] aufgestellt worden. Man spricht daher auch von Baker-Diagrammen. Diese dienen aber nur zur groben Orientierung, da man die maßgebenden Kr¨afte in den verschiedenen Str¨ omungsbereichen nicht mit ausreichender Sicherheit kennt. Insbesondere in Zweiphasenstr¨ omungen mit W¨armezufuhr muss man mit gr¨ oßeren Unsicherheiten rechnen, da die meisten Str¨omungskarten f¨ ur ¨ adiabate Str¨ omungen entwickelt wurden. Außerdem sind die Uberg¨ ange zwischen den verschiedenen Str¨ omungsformen ﬂießend, eine strenge Grenze mit ¨ sprunghaftem Ubergang existiert nicht. Abb. 4.50 zeigt als Beispiel eine solche Str¨omungskarte, die von Hewitt und Roberts [4.87] durch Beobachtung der Str¨omungen von Luft-WasserGemischen bei Umgebungsdruck und von Wasser-Wasserdampfgemischen bei h¨ oheren Dr¨ ucken in senkrechten Rohren von 10 bis 30 mm Durchmesser ent2 wickelt wurde. Auf den Ordinaten sind die Impulsstromdichten G wG des

Abb. 4.50: Str¨ omungsformDiagramm f¨ ur senkrechte Zweiphasenstr¨ omung nach Hewitt und Roberts [4.87]

558

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

Dampfes und L wL2 der Fl¨ ussigkeit aufgetragen. Diese haben die Dimension eines Drucks und werden mit den scheinbaren Gas- und Fl¨ ussigkeitsgeschwindigkeiten gebildet, die dann auftr¨ aten, wenn jede der beiden Phasen den gesamten Querschnitt ausf¨ ullte. Es ist wG = x∗ m/ ˙ G

und wL = (1 − x∗ )m/ ˙ L .

Eine entsprechende Str¨ omungskarte f¨ ur waagrechte und geneigte Rohre haben Taitel und Dukler [4.88] entwickelt. 4.2.9.3 Einige Grundbegriﬀe und Deﬁnitionen Zur Beschreibung des W¨ arme¨ ubergangs beim Sieden ben¨otigt man einige Grundbegriﬀe und Deﬁnitionen aus der Theorie der Zweiphasenstr¨omungen. Wir betrachten dazu in Abb. 4.51 den Abschnitt eines Kanals, in dem Gas und Fl¨ ussigkeit str¨ omen. Der Einfachheit halber ist in dem Bild eine Ringstr¨omung

Abb. 4.51: Zweiphasenstr¨ omung in einem beheizten Kanal

gezeigt, die folgenden Begriﬀe gelten jedoch ebenso f¨ ur die anderen Str¨omungsformen. In irgendeinem Querschnitt A f¨ ullt die gasf¨ormige Phase den Anteil ε = AG /A ,

(4.104)

die ﬂ¨ ussige entsprechend den Anteil 1 − ε = AL /A

(4.105)

aus, denn es ist AG + AL = A. In einem hinreichend kleinen Rohrabschnitt Δz ¨ andern sich diese Anteile nicht. Daher ist ε = AG Δz/AΔz .

4.2 W¨ arme¨ ubergang beim Sieden

559

Der Volumenanteil des Dampfes in dem betrachteten Rohrabschnitt ist somit ε = VG /V

(4.106)

und der Volumenanteil der Fl¨ ussigkeit 1 − ε = VL /V .

(4.107)

Man nennt die Gr¨ oße ε den volumetrischen Dampfgehalt. Davon zu unterscheiden ist der volumetrische Str¨omungsdampfgehalt ε∗ = V˙ G /V˙ ,

(4.108)

der den Volumenstrom des Dampfes auf den gesamten Volumenstrom von Dampf und Fl¨ ussigkeit bezieht. Ein weiterer Begriﬀ ist der Str¨omungsdampfgehalt, der das Verh¨ altnis von Massenstrom M˙ G des Dampfes zum gesamten ˙ Massenstrom M = M˙ G + M˙ L darstellt:

Es ist

x∗ = M˙ G /M˙ .

(4.109)

˙ . 1 − x∗ = M˙ L /M

(4.110)

Der Str¨ omungsdampfgehalt unterscheidet sich vom speziﬁschen Dampfgehalt der Thermodynamik, der bekanntlich durch x = MG /M deﬁniert ist. Mit den Massenstr¨ omen M˙ G des Gases und M˙ L der Fl¨ ussigkeit erh¨alt man die mittleren Geschwindigkeiten beider Phasen in einem beliebigen Querschnitt: M˙ G x∗ M˙ x∗ m ˙ = = , G AG G εA G ε

(4.111)

M˙ L (1 − x∗ )M˙ (1 − x∗ )m ˙ = = . L AL L (1 − ε)A L (1 − ε)

(4.112)

wG = wL =

Das Verh¨ altnis beider Geschwindigkeiten nennt man Schlupf oder Schlupﬀaktor wG x∗ 1 − ε L s= = . (4.113) wL 1 − x∗ ε G Auch der Str¨ omungsdampfgehalt x∗ und der volumetrische Str¨omungsdampf∗ gehalt ε sind miteinander verkn¨ upft durch x∗ =

M˙ G V˙ G G ε∗ V˙ G = = M˙ G + M˙ L V˙ G G + V˙ L L ε∗ V˙ G + (1 − ε∗ )V˙ L

oder x∗ =

ε∗ . ε∗ + (1 − ε∗ )L /G

(4.114)

Volumetrischer Str¨ omungsdampfgehalt ε∗ und Dampfgehalt ε stimmen u ¨berein, wenn der Schlupﬀaktor eins wird, also wG = wL gilt, da dann

560

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

V˙ G wG AG AG = = =ε ˙ wG AG + wL AL A V ist. Der Str¨ omungsdampfgehalt x∗ ist meistens bekannt oder leicht zu ermitteln. Im unbeheizten Kanal sind die Massenstr¨ ome der einzelnen Phasen im Allgemeinen vorgegeben. In einem beheizten Kanal ergibt sich der Str¨omungsdampfgehalt aus einer Energiebilanz, Abb. 4.51. Wir nehmen dazu an, die Fl¨ ussigkeit trete unterk¨ uhlt in das Verdampferrohr ein. Ihre speziﬁsche Enthalpie im Eintrittsquerschnitt sei h1 . Durch den W¨armestrom Q˙ wird sie auf S¨ attigungstemperatur erw¨ armt und dann verdampft. Die Energiebilanz zwischen Eintrittsquerschnitt und einem anderen Querschnitt an der Stelle z ergibt dann unter Vernachl¨ assigung von kinetischer und potentieller Energie ε∗ =

M˙ h1 + Q˙ = M˙ [x∗ hG + (1 − x∗ )hL ] . Nimmt man weiter an, Dampf und Fl¨ ussigkeit st¨ unden im Querschnitt an der Stelle z im thermodynamischen Gleichgewicht, so sind ihre speziﬁschen Enthalpien im S¨ attigungszustand beim Druck p(z) zu berechnen. Es sind dann hG = h und hL = h sowie h − h = Δhv die Verdampfungsenthalpie beim Druck p im betrachteten Querschnitt. Wegen der Annahme des thermodynamischen Gleichgewichts bezeichnen wir nun den Str¨omungsdampfgehalt mit x∗th und nennen ihn den thermodynamischen Dampfgehalt. Damit wird M˙ h1 + Q˙ = M˙ (x∗th Δhv + h ) und x∗th

1 = Δhv

Q˙ + h1 − h M˙

.

(4.115)

Diese Gleichung gilt voraussetzungsgem¨ aß nur dann, wenn Dampf und Fl¨ ussigkeit in einem Querschnitt gleiche Temperatur haben. Sie versagt in der N¨ahe des Eintrittsquerschnitts, wo der Str¨ omungsdampfgehalt x∗ noch klein ist und auch bei großen Dampfgehalten. In der N¨ ahe des Eintrittsquerschnitts k¨onnen sich an der heißen Wand bereits Dampfblasen bilden, w¨ahrend der Kern der Str¨ omung noch unterk¨ uhlt ist. Dampf und Fl¨ ussigkeit haben also verschiedene Temperaturen. Der Str¨ omungsdampfgehalt ist somit positiv, w¨ahrend man nach (4.115), da die Fl¨ ussigkeit noch unterk¨ uhlt, also Q˙ + M˙ h1 < M˙ h ist, einen negativen Wert f¨ ur den thermodynamischen Dampfgehalt erh¨alt. Bei hohen Dampfgehalten hat man eine Spr¨ uhstr¨ omung. W¨arme wird haupts¨achlich an den Dampf u ¨ bertragen, der sich u ¨ berhitzt, obwohl im Str¨omungskern weiterhin Fl¨ ussigkeitstropfen mitgerissen werden, die erst allm¨ahlich verdampfen. Der Str¨ omungsdampfgehalt ist also noch kleiner als eins, obwohl der thermodynamische Dampfgehalt nach (4.115) schon den Wert eins erreicht hat. Im Bereich mittlerer Str¨ omungsdampfgehalte, wo weder unterk¨ uhltes Sieden noch Spr¨ uhstr¨ omung vorliegt, liefert jedoch (4.115) genaue Werte. Abb. 4.52 zeigt qualitativ den Verlauf des wahren Dampfgehalts x∗real u ¨ber dem thermodynamischen Dampfgehalt x∗th aufgrund von (4.115).

4.2 W¨ arme¨ ubergang beim Sieden

561

Abb. 4.52: Qualitativer Verlauf des wahren Dampfgehalts x∗real in Abh¨ angigkeit vom thermodynamischen Dampfgehalt x∗th

4.2.9.4 Druckabfall zweiphasiger Str¨ omungen In zweiphasigen Str¨ omungen sinkt als Folge des Druckabfalls die Siedetemperatur in Str¨ omungsrichtung. Infolgedessen ¨andert sich auch das f¨ ur den W¨ arme¨ ubergang maßgebende treibende Temperaturgef¨alle l¨angs des Str¨omungswegs. Eine Berechnung des W¨ arme¨ ubergangs ist daher ohne gleichzeitige Ermittlung des Druckabfalls nicht m¨ oglich, und es sollen im Folgenden die Grundlagen hierf¨ ur er¨ ortert werden. Zur Berechnung des Druckabfalls betrachten wir einen um den Winkel γ gegen die Waagrechte geneigten Kanal, der von einem zweiphasigen Fluid durchstr¨ omt wird, Abb. 4.53.

Abb. 4.53: Kr¨ aftebilanz an einem zweiphasigen Fluidelement

Auf ein Volumenelement der L¨ ange dz wirken, wie in dem Bild eingezeichnet, die vom Druck ausge¨ ubten Kr¨ afte, die Reibungskraft an der Kanalwand und die Schwerkraft. Wir setzen station¨ are, eindimensionale Str¨omung und konstanten Kanalquerschnitt voraus. Druck, Dichte und Impulsstrom u ¨ ber einen Querschnitt h¨ angen nur vom Str¨ omungsweg z ab. Die Impulsbilanz besagt, dass die Summe aus Druck-, Reibungs- und Schwerkraft gleich der ¨ Anderung des Impulsstroms ist:

562

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

dp d ˙ p− p+ dz A − τ0 U dz − gA sin γ dz = (M w) dz dz dz

oder

dp U 1 d ˙ = τ0 + (M w) + g sin γ , (4.116) dz A A dz worin τ0 die Schubspannung an der Kanalwand und U den Kanalumfang bedeuten. Die Dichte des zweiphasigen Gemisches berechnet sich aus −

= εG + (1 − ε)L .

(4.117)

Der Impulsstrom setzt sich aus dem des Gases und dem der Fl¨ ussigkeit zusammen gem¨ aß M˙ w = M˙ G wG + M˙ L wL . (4.118) Zusammen mit (4.111) und (4.112) kann man hierf¨ ur auch schreiben M˙ 2 x∗2 (1 − x∗ )2 M˙ w = + . (4.119) A εG (1 − ε)L Einsetzen von (4.117) und (4.119) in (4.116) ergibt ∗2 dp U x (1 − x∗ )2 2 d − = τ0 + m ˙ + + [εG + (1 − ε)L ] g sin γ . (4.120) dz A dz εG (1 − ε)L Der Gesamtdruckabfall setzt sich oﬀenbar aus drei Anteilen zusammen, dem Reibungsdruckabfall

dp U − = τ0 , (4.121) dz r A dem Beschleunigungsdruckabfall

∗2 dp x (1 − x∗ )2 2 d − =m ˙ + dz b dz εG (1 − ε)L

(4.122)

und dem Druckabfall aufgrund der Schwerkraft, den man auch den geod¨atischen Druckabfall nennt

dp − = [εG + (1 − ε)L ] g sin γ . (4.123) dz g In Str¨ omungskan¨ alen mit Umlenkungen und Einschn¨ urungen treten zus¨atzliche Druckabf¨ alle auf, die wir hier nicht behandeln wollen. Es sei hierzu auf die einschl¨ agige Literatur verwiesen [4.89]. Der Reibungsdruckabfall entsteht durch die Schubspannung zwischen dem str¨ omenden Fluid und der Kanalwand. Der Beschleunigungsdruckabfall ergibt sich aus der Impuls¨ anderung beider Phasen, denn in Dampf-Fl¨ ussigkeitsstr¨ omungen tritt eine Entspannungsverdampfung aufgrund des Druckabfalls auf und im beheizten Kanal eine Verdampfung aufgrund der W¨armezufuhr.

4.2 W¨ arme¨ ubergang beim Sieden

563

Dadurch ver¨ andern sich Masse und Geschwindigkeit und folglich auch der Impulsstrom beider Phasen. Der geod¨ atische Druckabfall entsteht durch die vom Fluid ausge¨ ubte Schwerkraft. Er verschwindet in waagrechten Str¨omungen. Geod¨ atischer Druckabfall und Beschleunigungsdruckabfall sind oft vernachl¨ assigbar im Vergleich zum Reibungsdruckabfall. In beheizten Kan¨ alen mit großen W¨ arme- und Massenstromdichten kann der Beschleunigungsdruckabfall jedoch betr¨ achtliche und nicht mehr vernachl¨ assigbare Werte annehmen, w¨ ahrend er in adiabaten Zweiphasenstr¨omungen, wo der Beschleunigungsdruckabfall nur als Folge der Nachverdampfung bzw. der Expansion der Dampf- oder Gasphase entsteht, gering ist. Eine einfache Regel f¨ ur adiabate Zweiphasenstr¨ omungen in K¨alteanlagen besagt z.B., dass der Beschleunigungsdruckabfall keine Rolle spielt, solange f¨ ur den Reibungsdruckabfall Δpr /ps < 0,2 gilt. Ist dies nicht der Fall, so ermittelt man den Beschleunigungsdruckabfall nach (4.122) u ¨ber die Kanall¨ange zwischen Eintrittsquerschnitt 1 und Austrittsquerschnitt 2: ∗2 x2 x∗2 (1 − x∗2 )2 (1 − x∗1 )2 (p1 − p2 )b = m ˙2 − 1 + − . (4.124) ε2 G2 ε1 G1 (1 − ε2 )L2 (1 − ε1 )L1 Genaue Berechnungen sind auch hier nur m¨ oglich, wenn eine zuverl¨assige Beziehung f¨ ur den volumetrischen Dampfgehalt zur Verf¨ ugung steht. Falls der Schlupﬀaktor s = 1 gesetzt werden darf (homogene Str¨omung), wird nach (4.113) der volumetrische Dampfgehalt

−1 G 1 − x∗ ε= +1 . (4.125) L x∗ ¨ Bei vollst¨ andiger Verdampfung mit einer Anderung des Str¨omungsdampfge∗ ∗ halts zwischen x1 = 0 und x2 = 1, werden ε1 = 0 und ε2 = 1 und der Beschleunigungsdruckabfall 1 1 2 (p1 − p2 )b = m ˙ − . G2 L1 Der Reibungsdruckabfall hat im Allgemeinen den gr¨oßten Anteil am Gesamtdruckabfall; zu seiner Berechnung ist man jedoch weitgehend auf empirische Methoden angewiesen. Er enth¨ alt nicht nur die Impuls¨ ubertragung zwischen Fluid und Wand, sondern auch die Impuls¨ ubertragung zwischen den einzelnen Phasen. Beide Anteile k¨ onnen nicht getrennt gemessen und nur f¨ ur einfache Str¨ omungen abgesch¨ atzt werden. Daher bestehen nur ungenaue Vorstellungen u ubertragung zwischen beiden Phasen. ¨ber den Einﬂuss der Impuls¨ Der Reibungsdruckabfall zeigt bei konstanter Massenstromdichte nicht etwa eine lineare Abh¨ angigkeit vom Str¨ omungsdampfgehalt zwischen den Grenzwerten x∗ = 0 und x∗ = 1, sondern steigt mit wachsendem x∗ bis zu einem Maximum zwischen x∗ = 0,7 und x∗ = 0,9 an und sinkt danach wieder auf den Druckabfall der reinen Dampfstr¨omung, Abb. 4.54. Das Maximum ist umso st¨ arker ausgepr¨ agt, je gr¨ oßer der Dichteunterschied zwischen den Phasen ist.

564

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

Abb. 4.54: Verlauf des Reibungsdruckabfalls

Verfahren zur Bestimmung des Reibungsdruckabfalls gehen meist von einfachen Modellvorstellungen aus. Dabei wird vorwiegend homogene Str¨omung (homogene Verteilung der Phasen, s → 1) oder heterogene Str¨omung (heterogene Verteilung der Phasen, s > 1) vorausgesetzt. Seltener sind Methoden, die bestimmte Str¨ omungsformen zugrundelegen und daher auch nur auf diese anwendbar sind. Zur Berechnung des Reibungsdruckabfalls ist es vorteilhaft, einige Parameter zu deﬁnieren, die sich zur Darstellung des Zweiphasen-Reibungsdruckabfalls und des volumetrischen Dampfgehalts eignen. Der Reibungsdruckabfall wird oft auf den Druckabfall der einphasigen Str¨omung durch folgende von Lockhart und Martinelli [4.90] stammende Deﬁnition zur¨ uckgef¨ uhrt:

dp dp := Φ2L (4.126) dz r dz L oder

dp dz

:=

r

Φ2G

dp dz

.

(4.127)

G

Hierin ist (dp/dz)L der Reibungsdruckabfall der Fl¨ ussigkeit, (dp/dz)G der des Dampfes, unter der Voraussetzung, dass jede der beiden Phasen den Kanal allein durchstr¨ omt. Die Faktoren Φ2L und Φ2G sind durch die obigen Gleichungen deﬁniert. Kennt man diese Faktoren, so m¨ ussen lediglich noch die Druckabf¨ alle der Einzelphasen bestimmt werden, um den Reibungsdruckabfall der Zweiphasenstr¨ omung berechnen zu k¨ onnen. Die Druckabf¨ alle der beiden Phasen werden nach bekannten Methoden ermittelt. So gilt f¨ ur den Reibungsdruckabfall einer Fl¨ ussigkeitsstr¨omung

dp 1 L wL2 1m ˙ 2L = −ζL = −ζL (4.128) dz L d 2 d 2L mit m ˙ L = m(1 ˙ − x∗ ), worin d der Durchmesser des Str¨omungskanals und ζ der von der Reynolds-Zahl abh¨ angige Widerstandsbeiwert sind. Nach Blasius gilt beispielsweise ζL = c1 /RenL , (4.129)

4.2 W¨ arme¨ ubergang beim Sieden

565

worin c1 und n Funktionen des Str¨ omungszustands und der Rohrrauhigkeit sind. Die Reynolds-Zahl ist unter der Voraussetzung zu berechnen, dass die Fl¨ ussigkeit allein im Rohr str¨ omt ReL =

wL L d m ˙ Ld m(1 ˙ − x∗ )d = = . ηL ηL ηL

(4.130)

Eine andere M¨ oglichkeit zur Ermittlung des Druckabfalls zweiphasiger Str¨omungen besteht darin, dass man zun¨ achst den Reibungsdruckabfall des Gases und der Fl¨ ussigkeit unter der Annahme bestimmt, die Gesamtmasse des Fluids str¨ ome als Fl¨ ussigkeit oder als Gas durch den Kanal. In diesem Fall deﬁniert man Faktoren ΦL0 und ΦG0 durch

dp dp 2 := ΦL0 (4.131) dz r dz L0 und

Es ist jetzt

dp dz

dp dz

:= Φ2G0

r

dp dz

= −ζL0 L0

.

(4.132)

1m ˙2 , d 2L

(4.133)

G0

und der Widerstandsbeiwert ζL0 ist mit der Reynolds-Zahl ReL0 =

md ˙ ηL

(4.134)

zu ermitteln. Das homogene Modell In Str¨ omungen mit einem hohen Anteil kleiner Blasen, x∗ → 0, in Spritzeroder Tropfenstr¨ omungen, x∗ → 1, oder in Str¨omungen mit geringen Dichteunterschieden, wie sie bei Ann¨ aherung an den kritischen Zustand auftreten, wird der Reibungsdruckabfall durch das homogene Modell in guter N¨ahrung wiedergegeben. Mit dem heterogenen Modell erh¨alt man in diesen F¨allen ungenauere Ergebnisse. Berechnungen nach dem homogenen Modell laufen ¨ahnlich ab wie bei Einphasenstr¨ omungen, jedoch unter Verwendung geeignet deﬁnierter mittlerer Stoﬀwerte. F¨ ur den Reibungsdruckabfall einer homogenen Zweiphasenstr¨ omung gilt

dp 1 w2 1m ˙2 := −ζ = −ζ . (4.135) dz r d 2 d 2 Mit der Annahme gleicher Geschwindigkeit von Fl¨ ussigkeit und Dampf erh¨alt man den volumetrischen Dampfgehalt nach (4.125) und damit die Dichte der homogenen Str¨ omung zu

566

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

= εG + (1 − ε)L =

x∗ 1 − x∗ + G L

−1 .

(4.136)

Der Widerstandsbeiwert ist wie bei der einphasigen Str¨omung zu berechnen, beispielsweise nach Blasius ζ = c1 /Ren . (4.137) In der Reynolds-Zahl Re = md/η ˙ ist nun die dynamische Viskosit¨at der homogenen Zweiphasenstr¨ omung einzusetzen. Meistens sind hierf¨ ur in der Literatur [4.91] bis [4.93] empirische Ans¨ atze vorgeschlagen worden, die als Grenzf¨alle η(x∗ = 0) = ηL und η(x∗ = 1) = ηG enthalten. Nach McAdams et al. [4.91] gilt 1 x∗ 1 − x∗ = + , (4.138) η ηG ηL nach Cicchitti et al. [4.92] η = x∗ ηG + (1 − x∗ )ηL

(4.139)

und nach Dukler et al. [4.93] ηG ηL η = x∗ + (1 − x∗ ) . G L

(4.140)

Mit (4.136) erh¨alt man aus (4.135) den Reibungsdruckabfall der homogenen Zweiphasenstr¨ omung zu

dp 1m ˙ 2 x∗ 1 − x∗ = −ζ + . (4.141) dz r d 2 G L Andererseits ist der Druckabfall unter der Voraussetzung, dass nur Fl¨ ussigkeit im Rohr str¨ omt

dp 1m ˙ 2 (1 − x∗ )2 = −ζL . (4.142) dz L d 2L Der Widerstandsbeiwert ζL der Fl¨ ussigkeitsstr¨omung ist nach dem Blasiusschen Widerstandsgesetz ζL = c/RenL

mit

ReL = m(1 ˙ − x∗ )d/ηL .

(4.143)

Mit (4.142), (4.135) und (4.126) ﬁndet man den Faktor Φ2L f¨ ur die homogene Zweiphasenstr¨ omung zu

ζ L 2 ∗ ΦL = 1+x − 1 (1 + x∗ )−2 . (4.144) ζL G Die Widerstandsbeiwerte kann man hierin noch unter Verwendung des Blasiusschen Widerstandsgesetzes (4.137) und (4.143) eliminieren, und man erh¨ alt dann

4.2 W¨ arme¨ ubergang beim Sieden

Φ2L = (1 + x∗ )n−2 1 + x∗

L −1 G

1

1 + x∗

ηL −1 ηG

567

n ,

(4.145)

worin n der Exponent des Blasiusschen Widerstandsgesetzes (4.137) ist. Das heterogene Modell Im Unterschied zum homogenen Modell sollen beide Phasen getrennt voneinander str¨ omen und unterschiedliche Geschwindigkeiten besitzen, so dass zwischen den Phasen ein Schlupf besteht. Ein besonders einfaches und h¨ auﬁg benutztes Verfahren stammt von Lock¨ hart und Martinelli [4.90]. Ihm liegen Messungen mit Wasser-Luft- und OlLuft-Gemischen in waagrechten Rohren bei niedrigen Dr¨ ucken zugrunde. Das Rechenverfahren hat sich jedoch auch bei senkrechten Aufw¨artsstr¨omungen zweiphasiger Ein- und Mehrkomponentengemische bew¨ahrt. Grundgedanke des Lockhart-Martinelli-Verfahrens ist, dass sich der Reibungsdruckabfall einer zweiphasigen Str¨ omung, wie zuvor besprochen, unter Verwendung eines Korrekturfaktors aus dem Reibungsdruckabfall der Einzelphasen ermitteln l¨ asst. Daraus wurden die Zweiphasenmultiplikatoren Φ2L und Φ2G gem¨aß (4.126) und (4.127) deﬁniert. Man setzt Φ2 (dp/dz)L X 2 := G = (4.146) Φ2L (dp/dz)G mit (dp/dz)L nach (4.142) und

dp 1m ˙ 2 x∗2 = −ζG . dz G d 2G

(4.147)

Aus (4.142) und (4.147) folgt (dp/dz)L ζL X = = (dp/dz)G ζG 2

1 − x∗ x∗

2

G . L

(4.148)

Allgemein bezeichnet man die durch (4.146) deﬁnierte Gr¨oße X als LockhartMartinelli-Parameter. Er nimmt je nach Art der Str¨omung in den beiden Phasen, ob laminar oder turbulent, verschiedene Werte an. Folgende Kombinationen, die durch Indizes an der Gr¨ oße X gekennzeichnet werden, sind m¨ oglich: Str¨ omungszustand der Phasen Gas Fl¨ ussigkeit

Indizes von X

laminar

laminar

ll

laminar

turbulent

lt

turbulent

laminar

tl

turbulent

turbulent

tt

568

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

Als Beispiel berechnen wir die Gr¨ oße Xtt f¨ ur den h¨auﬁg vorkommenden Fall, dass beide Phasen turbulent str¨ omen. Setzt man f¨ ur den Widerstandsbeiwert die G¨ ultigkeit des Blasiusschen Gesetzes n m(1 ˙ − x∗ )d ζL = c/RenL = c/ (4.149) ηL

und ζG =

c/RenG

= c/

mx ˙ ∗d ηG

n (4.150)

voraus, so wird nach (4.148)

2 Xtt =

1 − x∗ x∗

2−n

ηL ηG

n

G . L

(4.151)

F¨ ur die turbulente Str¨ omung in technisch glatten Rohren liegt der Exponent n zwischen 0,2 und 0,25. Mit n = 0,2 wird

0,9 0,1 0,5 1 − x∗ ηL G Xtt = . (4.152) ∗ x ηG L Lockhart und Martinelli nahmen nun an, dass jeder der beiden Faktoren ΦG und ΦL als eine Funktion des Parameters X darstellbar ist. In Abb. 4.55 sind die von Lockhart und Martinelli ermittelten Gr¨oßen ΦL und ΦG f¨ ur die verschiedenen Arten der Str¨ omung u ¨ ber dem Parameter X dargestellt.

Abb. 4.55: Ermittlung des Reibungsdruckabfalls nach Lockhart und Martinelli [4.90]

Die Kurven werden durch folgende Gleichungen gut wiedergegeben Φ2L = 1 +

C 1 + 2 , X X

(4.153)

4.2 W¨ arme¨ ubergang beim Sieden

569

und Φ2G = 1 + CX + X 2 .

(4.154)

F¨ ur die Konstante C sind die Werte der folgenden Tabelle 4.2 einzusetzen. Tabelle 4.2: Konstante C der Gleichungen (4.153) und (4.154)

Gas/Dampf

Fl¨ ussigkeit

Index

C

laminar

laminar

ll

5

laminar

turbulent

lt

10

turbulent

laminar

tl

12

turbulent

turbulent

tt

20

Als Kriterium f¨ ur den Str¨ omungsumschlag kann angenommen werden, dass eine Phase laminar str¨ omt, wenn Re < 1000 ist und dass Turbulenz vorliegt, ¨ wenn Re > 2000 ist. F¨ ur den Ubergangsbereich 1000 < Re < 2000 l¨asst sich keine eindeutige Vorhersage machen. Zur Sicherheit sollte man dort mit turbulenter Str¨ omung rechnen. Das Verfahren von Lockhart-Martinelli ist besonders einfach und u ¨ bersichtlich. Es wird zwar in bestimmten Parameterbereichen von anderen Verfahren an Genauigkeit u ¨bertroﬀen, liefert jedoch unabh¨angig vom Anwendungsfall befriedigende Werte des Druckabfalls innerhalb eines Unsicherheitsbereichs von etwa ±50%. Gr¨ oßere Abweichungen sind bei Rohrdurchmessern d > 0,1 m zu erwarten. Ferner ist zu ber¨ ucksichtigen, dass die Zweiphasenmultiplikatoren ΦL und ΦG aus Messungen bei niedrigen Dr¨ ucken ermittelt wurden. F¨ ur h¨ ohere Dr¨ ucke und auch gr¨ oßere Genauigkeitsanspr¨ uche sind andere Gleichungen entwickelt worden. Sie gelten aber meistens nur f¨ ur bestimmte Stoﬀe in einem engen Parameterbereich. Es sei hierzu auf die umfangreiche Literatur u omung verwiesen, u.a. auf die Zusammenfassung ¨ ber Zweiphasenstr¨ in [4.89]. 4.2.9.5 Die verschiedenen Bereiche des W¨ arme¨ ubergangs in zweiphasigen Str¨ omungen Einem senkrechten Verdampferrohr, das gleichm¨aßig u ¨ber die gesamte L¨ange beheizt ist, werde unterk¨ uhlte Fl¨ ussigkeit von unten zugef¨ uhrt. Die W¨armestromdichte q˙ sei niedrig und das Rohr lang genug, so dass die zugef¨ uhrte Fl¨ ussigkeit vollst¨ andig verdampfen kann. Abb. 4.56 zeigt links neben den bereits er¨ orterten Bereichen des W¨ arme¨ ubergangs den Verlauf von Fl¨ ussigkeitsund Wandtemperatur.

570

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

Abb. 4.56: Wand- und Fluidtemperaturen, Str¨ omungsformen und zugeh¨ orige W¨ arme¨ ubergangsbereiche, beheiztes Rohr

Solange die Wandtemperatur noch unterhalb der f¨ ur die Bildung von Dampfblasen notwendigen Temperatur bleibt, wird W¨arme durch einphasige, erzwungene Str¨ omung u ¨ bertragen. Ist die Wand hinreichend u ¨ berhitzt, so k¨ onnen sich dort Dampfblasen bilden, obwohl die Kernﬂ¨ ussigkeit noch unterk¨ uhlt ist. Man spricht vom Bereich des unterk¨ uhlten Siedens. Die Wandtemperatur ist in diesem Bereich nahezu konstant und liegt wenige Kelvin ¨ u attigungstemperatur. Den Ubergang zum Blasensieden legt man ¨ ber der S¨ deﬁnitionsgem¨ aß an die Stelle, an der die Fl¨ ussigkeit im Mittel S¨attigungstemperatur erreicht und somit der thermodynamische Dampfgehalt x∗th = 0 wird. Tats¨ achlich ist an dieser Stelle, wie in Abb. 4.56 angedeutet, wegen des radialen Temperaturproﬁls die Fl¨ ussigkeit im Kern noch unterk¨ uhlt, gleichzeitig aber schon Dampf an der Wand anwesend, so dass die mittlere Enthalpie gleich derjenigen der ges¨ attigten Fl¨ ussigkeit ist. Wie schon im vorigen Abschnitt dargelegt, stellt sich die S¨ attigungstemperatur im Kern erst weiter stromab von der Stelle x∗th = 0 ein. Im Bereich des Blasensiedens wird der W¨arme¨ ubergang haupts¨achlich durch die Bildung der Dampfblasen und nur in geringerem Maße durch die

4.2 W¨ arme¨ ubergang beim Sieden

571

Konvektion bestimmt. Dieser Bereich umfasst die eigentliche Blasen-, die Pfropfen-, die Schaum-Ring- und Teile der Ringstr¨omung. Der Str¨omungsdampfgehalt nimmt stromabw¨ arts st¨ andig zu, und bei hinreichend hohem Dampfgehalt geht die Schaum-Ring-Str¨ omung in eine Ringstr¨omung u ¨ ber mit einem Fl¨ ussigkeitsﬁlm an der Wand und Dampf im Kern, der Fl¨ ussigkeitstropfen mitreißt. Charakteristisch ist, dass im gesamten Bereich des Blasensiedens an der Wand Dampfblasen gebildet werden. Im Bereich der Ringstr¨omung wird jedoch stromabw¨arts der Fl¨ ussigkeitsﬁlm so d¨ unn und sein W¨armewiderstand so klein, dass die wandnahe Fl¨ ussigkeit nicht mehr ausreichend u ¨ berhitzt und die Blasenbildung an der Wand weitgehend unterdr¨ uckt wird. Die W¨arme wird haupts¨ achlich durch den Fl¨ ussigkeitsﬁlm geleitet, der an seiner Oberﬂ¨ ache verdampft. W¨ arme wird durch Str¨omungssieden“ u ¨ bertragen. ” Sobald der Fl¨ ussigkeitsﬁlm an der Wand vollst¨andig verdampft ist, nimmt die Temperatur einer mit konstanter W¨ armestromdichte beheizten Wand zu. ¨ Den Ubergang bezeichnet man als Austrocknen (Dryout). Man kommt in den Bereich der Spr¨ uhstr¨ omung, an die sich nach vollst¨andiger Verdampfung aller mitgerissenen Fl¨ ussigkeitstropfen ein Bereich anschließt, in dem W¨arme ¨ konvektiv an den Dampf u ¨ bertragen wird. Die in Abb. 4.56 gezeigten Ubergangsbereiche k¨ onnen je nach Gr¨ oße der W¨ arme- und der Massenstromdichte von sehr unterschiedlicher Ausdehnung sein. 4.2.9.6 W¨ arme¨ ubergang beim Blasensieden und beim Str¨ omungssieden Blasensieden in ges¨ attigter Fl¨ ussigkeit, das sogenannte S¨attigungssieden, und das Str¨ omungssieden kommen am h¨ auﬁgsten in Verdampfern vor und sollen daher ausf¨ uhrlicher behandelt werden. Wegen der u ¨brigen Arten des W¨ arme¨ ubergangs in zweiphasiger Str¨ omung sei auf das weiterf¨ uhrende Schrifttum verwiesen, u.a. [4.50]. Deﬁnitionsgem¨ aß beginnt das S¨attigungssieden, wenn der unter der Annahme des thermodynamischen Gleichgewichts aus (4.115) berechnete Str¨ omungsdampfgehalt x∗th = 0 wird. Die mittlere Fl¨ ussigkeitstemperatur ist dann gleich der S¨ attigungstemperatur. Tats¨achlich ist jedoch bei Beginn des S¨ attigungssiedens der Fl¨ ussigkeitskern noch unterk¨ uhlt und die wandnahe Fl¨ ussigkeitsschicht u ¨berhitzt. Auch wenn sich im Bereich des unterk¨ uhlten Siedens bereits Blasen gebildet haben, so kann die Blasenbildung wieder unterdr¨ uckt werden, selbst wenn sich die mittlere Temperatur der S¨ attigungstemperatur n¨ ahert. Das ist dann der Fall, wenn infolge des besseren W¨ arme¨ ubergangs die von der zweiphasigen Str¨omung abgef¨ uhrte W¨arme gleich der von der Wand zugef¨ uhrten ist. S¨ attigungssieden setzt somit ein, wenn die von der Wand zugef¨ uhrte W¨ arme gr¨ oßer ist als die W¨arme, welche die vorhandene zweiphasige Str¨ omung ohne zus¨ atzliche Blasenbildung abf¨ uhren kann. Notwendig daf¨ ur ist eine ausreichend große W¨armestromdichte. Wie sie berechnet wird, ist in [4.50, S. 192] er¨ ortert. Zur Berechnung des W¨ arme¨ ubergangs beim S¨attigungssieden setzt man voraus, dass der W¨ arme¨ ubergang u ¨ berwiegend durch die Blasenbildung be-

572

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

stimmt wird. Zus¨ atzlich ist die Konvektion von, wenn auch geringem, Einﬂuss auf den W¨ arme¨ ubergang. Modellvorstellungen und empirische Gleichungen gehen daher vom W¨ arme¨ ubergang beim Sieden in freier Str¨omung aus und ber¨ ucksichtigen den Einﬂuss der erzwungenen Str¨omung durch ein Zusatzglied. Dem liegt die Vorstellung zugrunde, dass das Blasenwachstum nur wenig durch die Str¨ omung beeinﬂusst wird, solange die Blasen kleiner als die u ¨ berhitzte Grenzschicht sind. Man setzt daher den W¨arme¨ ubergangskoeﬃzienten aus zwei Anteilen zusammen α2Ph = αB + αK ,

(4.155)

wobei αB der W¨arme¨ ubergangskoeﬃzient beim Sieden in freier Str¨omung, Abschnitt 4.2.7, und αK der W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient bei erzwungener Str¨omung ist, wenn nur die Fl¨ ussigkeit durch das Rohr str¨omen w¨ urde. Diesen berechnet man aus der Colburn-Beziehung f¨ ur den W¨arme¨ ubergang einer einphasigen erzwungenen Str¨ omung Nu =

αK d = 0,023 Re0,7 P r1/3 λL

(4.156)

mit der Reynolds-Zahl Re = m ˙ L d/ηL = m(1 ˙ − x∗ )d/ηL und der Prandtl-Zahl P r = νL /aL der Fl¨ ussigkeit. In (4.155) betr¨ agt der Anteil αK des W¨arme¨ ubergangs durch erzwungene Str¨ omung meist nur wenige Prozent des gesamten W¨ arme¨ ubergangs. Diese Rechenmethode ber¨ ucksichtigt zwar nicht den geringen Einﬂuss des Str¨ omungsdampfgehalts auf den W¨arme¨ ubergang im Bereich des S¨ attigungssiedens, gibt aber dennoch bisherige Messungen mit ausreichender Genauigkeit wieder. Genauere Gleichungen, die diesen Einﬂuss ber¨ ucksichtigen, haben Chawla [4.94] sowie Stephan und Auracher [4.95] mitgeteilt. Str¨ omen Dampf und Fl¨ ussigkeit im senkrechten Rohr abw¨arts, so verringert sich infolge des Auftriebs der Schlupf zwischen Dampf und Fl¨ ussigkeit. Dies f¨ uhrt zu einer Verringerung des W¨ arme¨ ubergangs, und zwar ist nach Messungen von Pujol [4.96] mit dem K¨ altemittel R113 der W¨arme¨ ubergangskoeﬃzient αab der Abw¨ artsstr¨ omung um den Faktor 0,75 kleiner als derjenige der Aufw¨ artsstr¨omung αauf αab = 0,75 αauf .

(4.157)

Den Wert αauf kann man beispielsweise aus (4.155) berechnen. Obwohl bei Aufstellung von (4.155) nicht zwischen Messungen an senkrechten und waagrechten Rohren unterschieden wurde, haben neuere Messungen von Steiner und Mitarbeitern u.a. [4.97] die Erwartung best¨atigt, dass im waagrechten Rohr Dampf und Fl¨ ussigkeit stets unsymmetrisch verteilt sind, wenn man von sehr hohen Str¨ omungsgeschwindigkeiten absieht. Man kann daher den W¨ arme¨ ubergang beim S¨ attigungssieden in senkrechten und in waagrechten Rohren nicht nach einheitlichen Gleichungen berechnen. Die Oberseite des waagrechten Rohrs ist schlechter mit Fl¨ ussigkeit benetzt als die

4.2 W¨ arme¨ ubergang beim Sieden

573

Unterseite. Dieser Eﬀekt macht sich besonders bemerkbar, wenn die Rohrwand d¨ unn und schlecht w¨ armeleitend ist, weil sich dann die Temperaturen u ¨ ber den Umfang weniger als im dickwandigen, gut w¨armeleitenden Rohr ausgleichen k¨ onnen. W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten sind daher in Str¨omungsrichtung und u ber den Umfang ver¨ anderlich. Lokale W¨arme¨ ubergangsmessungen ¨ sind bisher noch nicht ausgef¨ uhrt worden. Lediglich u ber den Umfang ge¨ mittelte W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten sind von mehreren Autoren gemessen worden. Steiner [4.97] hat diese und seine eigenen Messungen ausgewertet und Gleichungen zur Berechnung des W¨ arme¨ ubergangs f¨ ur waagrechte Rohre mit gutem und f¨ ur solche mit schlechtem W¨ armeleitverm¨ogen entwickelt. Es sei hierzu auf die zusammenfassende Darstellung [4.97] im VDI-W¨armeatlas verwiesen. Dort ﬁndet man auch Angaben u ubergang beim ¨ ber den W¨arme¨ S¨ attigungssieden in geneigten Rohren und Rohrwendeln. An den Bereich des S¨ attigungssiedens schließt sich der des Str¨omungssiedens an. Mit dem dort zunehmenden Dampfgehalt verbessert sich der W¨arme¨ ubergang von der Wand an das Fluid. Der W¨armewiderstand der Grenzschicht nimmt im Vergleich zum W¨ armewiderstand des Blasensiedens ab. Die Wandtemperatur nimmt ebenfalls ab, vgl. Abb. 4.56, so dass an der Wand weniger oder gar keine Blasen mehr gebildet werden. Der W¨arme¨ ubergang wird u ¨ berwiegend oder sogar ausschließlich durch Verdampfung an der Phasengrenze zwischen der an der Wand beﬁndlichen Fl¨ ussigkeit und dem Dampf der Kernstr¨ omung bestimmt. Von den vielen zur Berechnung des W¨ arme¨ ubergangs bekannten Verfahren sei hier dasjenige von Chen [4.98] besprochen, weil es auf physikalisch plausiblen Modellvorstellungen aufbaut. Es hat außerdem den Vorteil, dass es ¨ nicht nur f¨ ur Str¨ omungs-, sondern auch f¨ ur S¨ attigungssieden gilt. Ahnlich wie beim S¨ attigungssieden nimmt man an, dass sich der W¨arme¨ ubergangskoefﬁzient aus zwei voneinander unabh¨ angigen Anteilen, dem f¨ ur die Blasenbildung αB und dem f¨ ur die Konvektion αK zusammensetzt: α2Ph = αB + αK .

(4.158)

Den von der Blasenbildung herr¨ uhrenden Anteil αB f¨ uhrt man auf den W¨arme¨ ubergangskoefﬁzienten αB bei Blasenverdampfung in freier Str¨omung zur¨ uck. Da in einer erzwungenen Str¨ omung jedoch der Temperaturanstieg in der Grenzschicht steiler als bei Blasenverdampfung in freier Str¨omung ist, wird mehr W¨ arme von der Wand durch Leitung abgef¨ uhrt und die Blasenbildung gegen¨ uber der in freier Str¨ omung teilweise unterdr¨ uckt. Diesen Einﬂuss ber¨ ucksichtigt Chen durch einen Abschw¨ achungsfaktor S ≤ 1 (suppression factor), mit dem der W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient αB beim Blasensieden in freier Str¨ omung zu multiplizieren ist, αB = SαB . Der Faktor S geht f¨ ur verschwindend kleine Massenstromdichte gegen eins, der W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient αB stimmt dann mit dem beim Sieden in freier Str¨ omung u ¨ berein, und er geht gegen null bei sehr großer Massenstromdichte, weil dann der W¨arme¨ ubergang ausschließlich durch den konvektiven Anteil αK in (4.158) bestimmt wird.

574

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

Der konvektive Anteil αK des W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten enth¨alt einen Beitrag f¨ ur den W¨ arme¨ ubergang an die einphasige Fl¨ ussigkeit. Durch den rascher str¨ omenden Dampf im Str¨ omungskern und auch durch die noch vorhandenen Dampfblasen wird der W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient αK der einphasigen erzwungenen Fl¨ ussigkeitsstr¨ omung gr¨ oßer und muss um einen Verst¨arkungs” faktor“ F ≥ 1 (enhancement factor) verbessert werden: αK = F αK . Der Faktor F wird haupts¨ achlich durch die vom Dampf auf die Fl¨ ussigkeit ausge¨ ubte Schubspannung bestimmt und l¨ asst sich, wie Chen zeigte, durch den Lockhart-Martinelli-Parameter (4.152) ausdr¨ ucken. Gleichung (4.158) lautet somit α2Ph = SαB + F αK . (4.159) Im Grenzfall S = F = 1 geht diese Gleichung in die f¨ ur das S¨attigungssieden, Gl. (4.155), u arme¨ ubergangskoeﬃzienten αB beim Blasensieden in ¨ ber. Den W¨ freier Str¨ omung ermittelte Chen aus einer Gleichung von Forster und Zuber [4.99]. Sp¨ atere Untersuchungen [4.100] u.a. zeigten jedoch, dass man dadurch zu ungenaue Ergebnisse erh¨ alt. Es scheint daher zweckm¨aßiger, αB mit Hilfe einer der Gebrauchsformeln nach Abschnitt 4.2.7 zu berechnen. Der Faktor S in (4.159) h¨ angt von der Massenstromdichte der Fl¨ ussigkeit ab und l¨ asst sich durch deren Reynolds-Zahl Re = m(1 ˙ − x∗ )d/ηL ¨ ausdr¨ ucken. Recht gute Ubereinstimmung mit bisher bekannten Messwerten an senkrechten Rohren ergibt sich [4.101], wenn man die Faktoren S und F in (4.159) nach folgenden Korrelationen berechnet −1 S = 1 + 1,15 · 10−6 F 2 Re1,17 , (4.160) −0,86 F = 1 + 2,4 · 104 Bo1,16 + 1,37 Xtt

(4.161)

∗

mit Bo = q/ ˙ mΔh ˙ ˙ − x )d/ηL und dem Martinelli-Parameter v , Re = m(1 Xtt . Die mittlere Abweichung im W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten α2Ph von den rund 4300 Messwerten, die zur Aufstellung von (4.160) und (4.161) verwendet wurden, betr¨ agt ±21,4%. F¨ ur Str¨omungssieden in einseitig beheizten Ringspalten hat man einen aquivalenten Durchmesser de einzuf¨ uhren, der gegeben ist durch ¨ de = 4A/Ub f¨ ur Spaltenweiten u ¨ ber 4 mm und de = 4A/Uh f¨ ur Spaltenweiten unter 4 mm. A ist der Str¨omungsquerschnitt, Ub der benetzte und Uh der beheizte Umfang.

4.2 W¨ arme¨ ubergang beim Sieden

575

Vorgehen bei der Rechnung Zur Berechnung von W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten nach (4.159) von Chen geht man zweckm¨aßigerweise in folgenden Schritten vor:

Man berechnet zuerst den Martinelli-Parameter

0,9 0,1 0,5 1 − x∗ ηL G Xtt = . x∗ ηG L Man ermittelt den W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten αB beim Blasensieden f¨ ur die vorgegebene W¨ armestromdichte q˙ aus den in Abschnitt 4.2.7 mitgeteilten Gebrauchsformeln. Ebenso berechnet man aus (4.160) und (4.161) die Faktoren S und F . Mit diesen Werten liegt der W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient α2Ph nach (4.159) fest und man kann die Wandtemperatur ϑ0 = ϑs + q/α ˙ 2Ph bestimmen.

4.2.9.7 Kritische Siedezust¨ ande Wie schon in Zusammenhang mit dem Sieden bei freier Str¨omung darge¨ legt wurde, nimmt der W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient nach Uberschreiten einer maximalen W¨ armestromdichte stark ab. Die Fl¨ ussigkeit an der Wand wird durch Dampf verdr¨ angt. Wird der Heizﬂ¨ ache beispielsweise durch elektrische oder nukleare Beheizung oder durch Strahlung W¨arme zugef¨ uhrt, so steigt die Wandtemperatur nach Erreichen der maximalen W¨armestromdichte sprunghaft an. Wird hingegen wie in einem W¨ armeaustauscher oder Kondensator die Wandtemperatur durch ein anderes Fluid aufgepr¨agt, so f¨ uhrt eine geringe Erh¨ ohung der Wandtemperatur zu einem drastischen Abfall der W¨armestromdichte. Man fasst diese Erscheinung unter dem Begriﬀ kritische Siedezust¨ande zusammen. Darunter wird also das Absinken des W¨arme¨ ubergangskoeﬃzien¨ ten nach Uberschreiten einer kritischen W¨ armestromdichte verstanden. Diese ist im Fall des Siedens unter Zwangskonvektion im Allgemeinen nicht identisch mit der maximalen W¨ armestromdichte bei freier Str¨omung und kann, wie im Folgenden dargelegt, durch verschiedene Mechanismen bewirkt werden. Wir sprechen daher von kritischer W¨ armestromdichte im Unterschied zur maximalen W¨armestromdichte beim Sieden in freier Str¨omung. Die Erscheinungen, die man bei freier Str¨ omung beobachtet, treten auch in einer erzwungenen Str¨ omung auf, sind dort aber verwickelter. Grunds¨atzlich lassen sich zwei verschiedene Arten der Siedekrise unterscheiden: a) Bei kleinen Volumenanteilen des Dampfes tritt Filmsieden auf. Die Fl¨ ussigkeit ist die kontinuierliche Phase, und nach Erreichen der kritischen W¨armestromdichte bildet sich an der Wand ein Dampﬃlm, der die Fl¨ ussigkeit von der Heizwand trennt. Der hohe W¨ armewiderstand des Dampﬃlms f¨ uhrt zu einem Abfall der W¨ armestromdichte, falls die Wandtemperatur aufgepr¨ agt wird, oder zu einem Anstieg der Wandtemperatur, wenn man die W¨ armestromdichte vorgibt. Die kritische W¨armestromdichte ist umso gr¨ oßer, je kleiner der Volumenanteil des Dampfes ist.

576

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

b) Bei großem Volumenanteil des Dampfes entsteht eine Ringstr¨omung. An der Wand beﬁndet sich haupts¨ achlich Fl¨ ussigkeit, und im Kern bildet der Dampf die kontinuierliche Phase. Nach Erreichen der kritischen W¨armestromdichte l¨ost sich der Fl¨ ussigkeitsﬁlm an der Wand auf, und diese wird von Dampf bedeckt. Man spricht von Austrocknen der Heizﬂ¨ache (englisch: dryout). Ist der Dampfgehalt hinreichend groß, so trocknet die Heizﬂ¨ache schon bei sehr kleinen W¨ armestromdichten aus. Aus dem Kern der Str¨omung k¨onnen stromabw¨ arts kleine Fl¨ ussigkeitstropfen wieder an die Heizﬂ¨ache gelangen, die wegen der geringen W¨ armestromdichte nur teilweise verdampfen. In der angels¨ achsischen Literatur bezeichnet man diese Art des Austrocknens mit anschließender Spr¨ uhk¨ uhlung der Wand durch Fl¨ ussigkeitstropfen als Depo” sition Controlled Burnout“. Abb. 4.57 veranschaulicht die beiden Arten der Siedekrise, n¨amlich Filmsieden und Austrocknen der Heizﬂ¨ ache. Wie sich die kritische W¨armestromdichte qualitativ mit dem Str¨ omungsdampfgehalt ¨andert, zeigt Abb. 4.58.

Abb. 4.57: Arten der Siedekrise. a Filmsieden; b Austrocknen der Heizﬂ¨ ache

Abb. 4.58: Kritische W¨ armestromdichte in Abh¨ angigkeit vom Str¨ omungsdampfgehalt

Im Bereich des Filmsiedens nimmt die kritische W¨armestromdichte ann¨ahernd linear mit dem Str¨ omungsdampfgehalt ab, im Bereich des Austrocknens sinkt sie stark mit dem Str¨ omungsdampfgehalt und f¨allt erst bei großen Str¨ omungsdampfgehalten im Bereich des Austrocknens mit anschließender Spr¨ uhk¨ uhlung wieder schw¨ acher mit dem Str¨omungsdampfgehalt. Einen unteren Grenzwert f¨ ur die kritische W¨ armestromdichte ﬁndet man aus der Energiebilanz qdπz ˙ = M˙ cpL [ϑL (z) − ϑ1 ] = αdπz [ϑ0 − ϑL (z)] ,

4.2 W¨ arme¨ ubergang beim Sieden

577

worin ϑ1 die Temperatur im Eintrittsquerschnitt ist. Daraus folgt ϑ0 = ϑL (z) +

q˙ qdπz ˙ q˙ = ϑ1 + + ˙ cpL α α M

oder

ϑ0 − ϑ1 . dπz 1 + α M˙ cpL Da nach Erreichen der kritischen W¨ armestromdichte die Wandtemperatur deutlich u attigungstemperatur liegt, erh¨ alt man als unteren Grenzwert f¨ ur die kri¨ ber der S¨ tische W¨ armestromdichte q˙ =

q˙cr >

ϑs − ϑ1 Δϑu = , dπz 1 dπz 1 + + α α M˙ cpL M˙ cpL

(4.162)

worin Δϑu die Unterk¨ uhlung der Fl¨ ussigkeit im Eintrittsquerschnitt ist. Hieraus ﬁndet man beispielsweise f¨ ur Wasser mit einer Anfangsunterk¨ uhlung Δϑu = 50 K, einer Massenstromdichte m ˙ = 1000 kg/m2 s und einer speziﬁschen W¨ armekapazit¨ at cpL = 4,186 kJ/kgK, das in einem 1 m langen Rohr von d = 25 mm Innendurchmesser siedet, unter der Annahme eines W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten α = 10 000 W/m2 K, dass die kritische W¨ armestromdichte q˙cr > 3,62 · 105 W/m2 sein muss. Erreicht man die kritische W¨ armestromdichte, so ist andererseits noch nicht alle Fl¨ ussigkeit verdampft. Man erh¨ alt daher als obere Grenze die kritische W¨ armestromdichte, die man ben¨ otigt, um alle Fl¨ ussigkeit zu verdampfen. Diese ergibt sich wieder aus einer Energiebilanz qdπz ˙ = M˙ (h − h1 ) = M˙ (Δhv + h − h1 ) . Setzt man hierin

M˙ (h − h1 ) = M˙ cpL Δϑu ,

worin cpL die mittlere speziﬁsche W¨ armekapazit¨ at zwischen der Temperatur ϑ1 im Eintrittsquerschnitt und der Siedetemperatur ϑs ist, so ergibt sich wegen q˙cr < q: ˙ „ « M˙ Δhv cpL Δϑu q˙cr < 1+ . (4.163) dπz Δhv Mit den Angaben des obigen Beispiels und einer Verdampfungsenthalpie von 2100 kJ/kg berechnet man q˙ < 1,4 · 107 W/m2 , so dass f¨ ur das Beispiel die kritische W¨ armestromdichte zwischen 3,62 · 105 und 1,4 · 107 W/m2 liegen muss. Angesichts der großen Zahl empirischer Methoden zur Berechnung der kritischen W¨ armestromdichte und der vielen Einﬂussgr¨ oßen, von denen sie abh¨ angt, empﬁehlt sich stets zur Rechenkontrolle das Intervall abzusch¨ atzen, in dem die kritische W¨ armestromdichte liegen muss. Gebrauchsformeln zur Berechnung der kritischen W¨ armestromdichte ﬁndet man in der einschl¨ agigen Fachliteratur u.a. [4.50, S. 215].

578

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

4.2.9.8 Einige empirische Gleichungen zum W¨ arme¨ ubergang an zweiphasige Str¨ omungen Im Folgenden werden die bisherigen Gleichungen f¨ ur den W¨arme¨ ubergang an zweiphasige Str¨omungen zusammenfassend dargestellt und um weitere Gleichungen erg¨ anzt. 1. Unterk¨ uhltes Sieden Nach [4.102] setzt Blasenwachstum in einer unterk¨ uhlten Fl¨ ussigkeit ein, wenn die Wand um einen bestimmten kritischen Wert gegen¨ uber der Siedetemperatur u berhitzt ist: ¨

(ϑ0 − ϑs )cr = 2

2qσT ˙ s λL Δhv

1/2 .

F¨ ur Wasser folgt daraus die Zahlenwertgleichung [4.103] 5 (ϑ0 − ϑs )cr = 9

q˙ 1120 W/m2

p0,0234

0,436 p0,535

g¨ ultig f¨ ur 1,03 bar ≤ p ≤ 138 bar, mit q˙ in W/m2 , p in bar und (ϑ0 − ϑs )cr in K. Beide Gleichungen setzen eine Mindestrauhigkeit der Heizﬂ¨ache voraus. Der M¨ undungsradius der kleinsten zur Blasenbildung erforderlichen Poren soll

1/2 2σTs λL (r0 )cr = Δhv q˙ betragen. Die u armestromdichte im Bereich des unterk¨ uhlten ¨bertragene W¨ Siedens folgt aus q˙ = q˙B + q˙K = αB (ϑ0 − ϑs ) + αK (ϑ0 − ϑL ) . Hierin sind αB der W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient beim Blasensieden nach Abschnitt 4.2.7, αK der bei erzwungener einphasiger Str¨omung, Abschnitte 3.7.4 und 3.9, ϑL ist die adiabate Mischtemperatur der Fl¨ ussigkeit. 2. S¨ attigungssieden Das unterk¨ uhlte Sieden geht in S¨ attigungssieden u ¨ber, wenn der Str¨omungsdampfgehalt nach (4.115) x∗th = 0 wird. Der W¨arme¨ ubergang h¨angt stark von der W¨ armestromdichte, aber nur schwach von der Massenstromdichte und vom Str¨ omungsdampfgehalt ab; es gilt α2Ph = αB + αK . Hierin ist αB der W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient beim Blasensieden nach Abschnitt 4.2.7 und αK der bei erzwungener einphasiger Str¨omung, Abschnitte 3.7.4 und 3.9.

4.2 W¨ arme¨ ubergang beim Sieden

579

3. Str¨ omungssieden in senkrechten Rohren Der W¨ arme¨ ubergang h¨ angt stark von der Massenstromdichte und vom Str¨ omungsdampfgehalt, aber nur schwach von der W¨armestromdichte ab. Es gilt α = SαB + F αK . Hierin sind αB der W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient beim Blasensieden nach Abschnitt 4.2.7 und αK der bei erzwungener einphasiger Str¨omung, Abschnitte 3.7.4 und 3.9. In der obigen Gleichung ist als Sonderfall S = F = 1 der W¨ arme¨ ubergang beim S¨ attigungssieden enthalten. Die Faktoren S (Abschw¨ achungsfaktor) und F (Verst¨ arkungsfaktor) ergeben sich aus S = (1 + 1,15 · 10−6 F 2 Re1,17 )−1 −0,86 F = 1 + 2,4 · 104 Bo1,16 + 1,37Xtt

mit Bo = q/ ˙ mΔh ˙ v und

Xtt =

1 − x∗ x∗

Re = m(1 ˙ − x∗ )d/ηL

,

0,9

ηL ηG

0,1

G L

0,5 .

4. Str¨ omungssieden in waagrechten Rohren Unter dem Einﬂuss der Schwerkraft sammelt sich die Fl¨ ussigkeit bei nicht allzu großer Axialgeschwindigkeit vorwiegend am Rohr unten, w¨ahrend die Oberseite schlecht oder gar nicht benetzt ist. Es entsteht eine Schichtenstr¨ omung, wenn die Froude-Zahl Fr = m ˙ 2 /(2L gd) < 0,04 ist; bei gr¨ oßeren Froude-Zahlen ist der Einﬂuss der Schwerkraft vernachl¨ assigbar. Es entsteht eine Ringstr¨ omung, und es gilt wieder die unter 3. aufgef¨ uhrte Gleichung f¨ ur das senkrechte Rohr. Bei Schichtenstr¨omung gilt [4.104], [4.105]:

α2Ph αK = 3,9 F r0,24 mit αK =

λL 0,023 d

x∗ 1 − x∗

0,64

m ˙ (1 − x∗ ) ηL

L G

0,4

0,8 P r0,4 .

4.2.10 W¨ armeu ¨ bergang beim Sieden von Gemischen In verfahrenstechnischen Prozessen hat man h¨auﬁg Fl¨ ussigkeitsgemische aus zwei oder mehreren Komponenten einzudampfen, um diese voneinander zu trennen. Beispiele sind das Aufkonzentrieren von L¨osungen, das Eindicken

580

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

von Laugen, die R¨ uckgewinnung von L¨ osungsmitteln, die Destillation von Meerwasser zur Gewinnung von Trinkwasser oder die Stoﬀtrennung durch Verdampfung bei der Destillation. W¨ arme- und Stoﬀaustausch sind bei der Verdampfung von Mehrstoﬀgemischen eng miteinander gekoppelt, und die erzeugte Dampfmenge wird im Unterschied zur Verdampfung reiner Stoﬀe auch durch den Stoﬀaustausch bestimmt. Aus bisherigen Versuchen ist bekannt, dass W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten beim Verdampfen von Gemischen erheblich kleiner sein k¨ onnen als die der reinen Komponenten des Gemischs. Andererseits hat man auch merkliche Verbesserungen des W¨arme¨ ubergangs festgestellt, wenn eine der Komponenten des Gemischs stark oberﬂ¨achenaktiv war. Dies f¨ uhrt zu einer Verringerung der Oberﬂ¨ achenspannung und damit, wie in Abschnitt 4.2.2 dargelegt wurde, zu einer gr¨ oßeren Blasendichte. Gleichzeitig nehmen die Blasenfrequenz und damit auch der W¨arme¨ ubergang zu. Gemische organischer oder anorganischer Fl¨ ussigkeiten enthalten jedoch nur in bestimmten F¨ allen (Seifen, Zusatz von Netzmitteln) oberﬂ¨achenaktive Komponenten, so dass man im Allgemeinen mit einer Abnahme des W¨arme¨ ubergangskoefﬁzienten im Vergleich zu dem der reinen Komponenten rechnen muss. Um die grunds¨ atzlichen Erscheinungen zu er¨ ortern, behandeln wir hier nur den W¨ arme¨ ubergang beim Sieden von Zweistoﬀgemischen in freier Str¨omung. Eine gr¨ oßere Zahl von Zweistoﬀgemischen aus organischen Fl¨ ussigkeiten und aus Wasser mit organischen Fl¨ ussigkeiten haben erstmals Bonilla und Perry [4.106] untersucht. In Abb. 4.59 sind als Beispiel die aus ihren Messungen am Gemisch Ethanol-Wasser ermittelten W¨arme¨ ubergangskoeﬃzienten zusammen mit Ergebnissen von Preußer [4.107] eingezeichnet. W¨armestromdichte und Druck sind in dem Diagramm angegeben. Wie man erkennt, sind die W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten α des Gemischs deutlich kleiner als die Werte αid , die man erhielte, wenn man linear zwischen den W¨arme¨ ubergangskoeﬃzienten der reinen Komponenten interpolierte. Man erkennt auch eine deutliche Abnahme des W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten in dem Bereich, in dem sich Dampf- und Fl¨ ussigkeitszusammensetzung y˜− x ˜ stark unterscheiden, wie man aus dem Vergleich mit der oberen Kurve in Abb. 4.59 sieht. Eine solche Abnahme des W¨ arme¨ ubergangs im Bereich großer Unterschiede von Dampf- und Fl¨ ussigkeitszusammensetzung beobachtet man bei vielen Gemischen. Sie erkl¨ art sich dadurch, dass bei der Dampfblasenbildung die einzelnen Komponenten zu unterschiedlichen Anteilen aus der Fl¨ ussigkeit in den Dampf u uchtige Komponente im ¨bergehen. Je mehr sich die leichter ﬂ¨ Dampf anreichert, umso mehr verarmt die Fl¨ ussigkeit in der Nachbarschaft der Dampfblase an dieser Komponente. Man hat dabei zwischen den Vorg¨angen in Wandn¨ ahe und denen im Kern der Fl¨ ussigkeit zu unterscheiden. An der Heizﬂ¨ ache werden die Dampfblasen an bevorzugten Stellen gebildet, welche die Keimbildung beg¨ unstigen. Die Blasen wachsen durch W¨armezufuhr an, bis die Auftriebskr¨ afte groß genug sind, so dass die Blasen abreißen. Da der Abreißdurchmesser verh¨ altnism¨ aßig klein ist, dient nur ein Teil des zugef¨ uhrten W¨ armestroms zur Blasenbildung an der Wand. Ein anderer Teil des W¨armestroms wird zun¨ achst von der Heizﬂ¨ ache an die Fl¨ ussigkeit abgegeben und

4.2 W¨ arme¨ ubergang beim Sieden

581

Abb. 4.59: W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten an siedendes EthanolWasser. y˜ Molanteil des Ethanols im Dampf; x ˜ Molanteil des Ethanols in der Fl¨ ussigkeit

dient an der Oberﬂ¨ ache von Blasen im Innern der Fl¨ ussigkeit zur weiteren Dampfbildung, so dass der aufsteigenden Blase W¨arme zugef¨ uhrt und neuer Dampf erzeugt wird. Die Heizwand liefert also einmal die f¨ ur die Blasenverdampfung erforderlichen Blasenkeime, zum anderen gibt sie einen W¨armestrom an die Fl¨ ussigkeitsgrenzschicht ab, der durch Konvektion oder Leitung u ussigkeitss¨ aule an die aufsteigenden Blasen weiterbef¨ordert wird. ¨ ber die Fl¨ Dieser Vorgang ist f¨ ur Gemische nicht anders als f¨ ur reine Stoﬀe. Es ergeben sich jedoch grunds¨ atzliche Unterschiede hinsichtlich des W¨armetransports an die aufsteigende Blase, weil der W¨ armetransport dieser beiden Vorg¨ange auch durch den Stoﬀaustausch bestimmt wird. Wie stark sich die Gemischzusammensetzung auf den W¨arme¨ ubergang auswirkt, zeigen die folgenden einer Arbeit von Stephan und K¨orner [4.108] entnommenen Bilder. In einem Gemisch, das in gewissen Bereichen gr¨oßere Unterschiede zwischen Dampf- und Fl¨ ussigkeitszusammensetzung aufweist, wie das Siedediagramm Abb. 4.60 des Gemischs Aceton/n-Butanol ((CH3 )2 CO/C4 H9 OH) zeigt, verringert sich in diesem Bereich der W¨arme¨ ubergang in st¨ arkerem Maße. Dies erkennt man aus Abb. 4.61, in welcher der

582

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient u ¨ber der Zusammensetzung aufgetragen ist. Dort, wo der Unterschied y˜ − x ˜ am gr¨ oßten ist, nimmt der W¨arme¨ ubergangskoeﬃzient am meisten ab.

Abb. 4.60: Siedediagramm Aceton/nButanol. Durchgezogene Kurve: Molanteil x ˜ des Leichtersiedenden in der Fl¨ ussigkeit; gestrichelte Kurve: Molanteil y˜ des Leichtersiedenden im Dampf

Abb. 4.61: W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient α f¨ ur das Gemisch Aceton/n-Butanol. W¨ armestromdichte q˙ = 105 W/m2

Besonders auﬀ¨ allig ist diese Erscheinung beim Sieden von Gemischen, die einen azeotropen Punkt aufweisen. Wir betrachten hierzu das Gemisch Methanol/Benzol (CH3 OH/C6 H6 ). Abb. 4.62 und Abb. 4.63. Das Gemisch zeigt eine starke Verminderung des W¨ arme¨ ubergangs im Bereich großer Unterschiede y˜ − x ˜. Zum azeotropen Punkt hin nimmt der W¨arme¨ ubergang wieder zu. Damit best¨ atigt sich , dass in der Nachbarschaft eines azeotropen Punkts der W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient abnimmt, weil oﬀenbar nicht das Vorzeichen der Diﬀerenz y˜ − x ˜, sondern nur deren Betrag entscheidend ist. Zur Wiedergabe von W¨ arme¨ ubergangsmessungen haben sich haupts¨achlich zwei Methoden bew¨ ahrt. Die eine geht von empirischen Korrelationen f¨ ur reine Stoﬀe aus. Solche Korrelationen enthalten meistens dimensionslose Gr¨oßen, die nun mit den Stoﬀeigenschaften des Zweistoﬀgemischs zu bilden sind. Die Abnahme des W¨ arme¨ ubergangs ber¨ ucksichtigt man durch einen Zusatzterm. Von dieser Art ist die von Preußer [4.107] angegebene Gleichung

4.2 W¨ arme¨ ubergang beim Sieden

Abb. 4.62: Siedediagramm Methanol/ Benzol. Durchgezogene Kurve: Molanteil x ˜ des Leichtersiedenden in der Fl¨ ussigkeit; gestrichelte Kurve: Molanteil y˜ des Leichtersiedenden im Dampf

Abb. 4.63: W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient α f¨ ur das Gemisch Methanol/Benzol. W¨ armestromdichte q˙ = 105 W/m2

α = α0

583

+

+ ∂ y˜ + 1 + +(˜ y − x˜) ∂x ˜

p

+ −0,0733 + + , +

(4.164)

in welcher der W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient α0 aus der f¨ ur reine Stoﬀe aufgestellten Gl. (4.96) zu berechnen ist. Dort sind jedoch die Stoﬀwerte des Gemischs einzusetzen. Der Gl. (4.164) liegen nur Messungen bei Umgebungsdruck zugrunde, so dass sie auch nur f¨ ur diesen g¨ ultig ist. Wie Preußer zeigte, ist ein beachtlicher Anteil der Verminderung des W¨ar¨ me¨ ubergangs gegen¨ uber dem der reinen Stoﬀe durch die Anderung der thermischen Stoﬀgr¨ oßen bedingt, w¨ ahrend der Zusatzterm in der eckigen Klammer einen vergleichsweise kleinen Beitrag leistet. Er liegt bei den meisten Kohlenwasserstoﬀgemischen und den Mischungen von Kohlenwasserstoﬀen mit Wasser zwischen 0,8 und ann¨ ahernd 1. Alle anderen im Folgenden beschriebenen Rechenmethoden und Modelle dienen letztlich dazu, die aufw¨andige Berechnung der Stoﬀwerte des Gemischs zu umgehen. Eine solche Korrelation, welche die schwierige und zeitaufw¨andige Berechnung der Stoﬀwerte des Gemischs vermeidet, haben Stephan und K¨orner ¨ [4.108] vorgeschlagen. Sie beruht darauf, dass zur Ubertragung einer bestimmten W¨ armestromdichte an Gemische eine gr¨oßere Wand¨ uberhitzung

584

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

Δϑ = ϑ0 − ϑs als bei der Verdampfung der reinen Stoﬀe erforderlich ist. Die S¨ attigungstemperatur ϑs ist hierbei die Siedetemperatur des Gemischs ¨ bei der mittleren Zusammensetzung x ˜ der Fl¨ ussigkeit. Um diese Uberhitzung zu berechnen, wird eine ideale“ Wand¨ uberhitzung Δϑid deﬁniert durch ” Δϑid := x ˜1 Δϑ1 + x ˜2 Δϑ2 ,

(4.165)

worin die Temperaturdiﬀerenzen Δϑ1 und Δϑ2 zwischen Wand- und S¨attigungstemperatur sich aus den W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten α1 und α2 der reinen Stoﬀe 1 und 2 bei der W¨ armestromdichte q˙ des Gemischs ergeben gem¨ aß Δϑ1 = q/α ˙ 1 und Δϑ2 = q/α ˙ 2 und beispielsweise mit Hilfe von (4.96) berechnet werden k¨onnen. Nach (4.165) addiert man also die treibenden Temperaturdiﬀerenzen, die sich bei der Verdampfung der reinen Stoﬀe ergeben w¨ urden, entsprechend den Molanteilen der beiden Komponenten. Die tats¨ achliche treibende Temperaturdiﬀerenz Δϑ ist von der idealen verschieden. Man setzt Δϑ = Δϑid + ΔϑE

oder Δϑ = Δϑid (1 + θ)

(4.166)

mit θ = ΔϑE /Δϑid . Der Zusatzterm θ h¨ angt haupts¨ achlich von dem Unterschied zwischen Dampfund Fl¨ ussigkeitszusammensetzung ab und ist stets positiv wegen der Verminderung des W¨ arme¨ ubergangs im Gemisch. Versuche an vielen Gemischen ergaben den einfachen linearen Zusammenhang θ = K12 |˜ y−x ˜| ,

(4.167)

worin K12 eine von der Zusammensetzung in guter N¨aherung unabh¨angige, positive Zahl ist. Man kann K12 als einen bin¨ aren Wechselwirkungsparameter deuten, der f¨ ur ein gegebenes Gemisch und jeden Druck ermittelt werden muss. Im Druckbereich zwischen 1 und 10 bar ließ sich die Druckabh¨angigkeit von K12 n¨ aherungsweise wiedergeben durch die empirische Gleichung 0 K12 = K12 (0,88 + 0,12 p/p0)

(4.168)

0 mit p0 = 1 bar. Der Wert K12 ist f¨ ur jedes Gemisch ein anderer, aber unabh¨ angig vom Druck. Ein guter Mittelwert f¨ ur Zweistoﬀgemische aus organischen Fl¨ ussigkeiten und aus Wasser mit organischen Fl¨ ussigkeiten ist 0 K12 = 1,4.

4.3 Aufgaben

585

4.3 Aufgaben 4.1: Ges¨ attigter Wasserdampf vom Druck 0,101325 MPa kondensiert an einem waagrechten Rohr von 25 mm Außendurchmesser und einer Wandtemperatur von 60 . Man sch¨ atze ab, um welchen Faktor die anfallende Kondensatmenge abnimmt, wenn dem Wasserdampf 10 Gew.-% = 6,47 Mol % Luft bei gleichem Gesamtdruck von 0,101325 MPa beigemischt wird. Gegeben sind folgende Stoﬀwerte des Wassers bei der S¨ attigungstemperatur von 100 : Dichte der Fl¨ ussigkeit L = 958,1 kg/m3 , Dichte des Dampfes G = 0,5974 kg/m3 , Verdampfungsenthalpie Δhv = 2257,3 kJ/kg, W¨ armeleitf¨ ahigkeit der Fl¨ ussigkeit λL = 0,677 W/K m, dynamische Viskosit¨ at der Fl¨ ussigkeit ηL = 0,2822 · 10−3 kg/s m, spez. W¨ armekapazit¨ at des WasserdampfLuft-Gemischs cpG = 1,93 kJ/kgK. Weiter sei der W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient zwischen Wasserdampf-Luft-Gemisch und Kondensatﬁlm αG = 30 W/m2 K. 4.2: Ein waagrecht liegender elektrisch leitender zylindrischer Metallstab von 5 mm Durchmesser, 0,5 m L¨ ange und einer Oberﬂ¨ achentemperatur von 300 beﬁndet sich in einem siedenden Wasserbad von 100 . Man berechne die Heizleistung des Stabes. Gegeben sind folgende Stoﬀwerte: Dichte des siedenden Wassers von 100 : L = 958,1 kg/m3 , Verdampfungsenthalpie Δhv = 2257,3 kJ/kg, Dichte des Wasserdampfes bei 300 : G = 46,255 kg/m3 , spez. W¨ armekapazit¨ at cpG = 6,144 kJ/kgK, W¨ armeleitf¨ ahigkeit λG = 0,0718 W/K m, kinematische Viskosit¨ at νG = 0,427 · 10−6 m2 /s, Emissionsgrade ε0 = εL = 1. 4.3: In einer chemischen Fabrik soll innerhalb eines Prozesses in einem Dampferzeuger Wasserdampf von 0,25 MPa erzeugt werden. Als Dampferzeuger wird ein waagrecht liegender Rohrb¨ undelapparat eingesetzt, durch dessen Rohre 25 kg/s eines W¨ armetr¨ ager¨ ols str¨ omen, das sich von 200 auf 150 abk¨ uhlt. Das Wasser wird außen an den Rohren verdampft. Der W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient zwischen W¨ armetr¨ ager¨ ol und Rohrwand betr¨ agt αi =700 W/m2 K. Der W¨ armewiderstand der Rohrwand sei vernachl¨ assigbar. Das Wasser wird dem Dampferzeuger ann¨ ahernd bei Siedetemperatur zugef¨ uhrt. Wieviel Dampf kann st¨ undlich erzeugt werden? Wie groß ist die Fl¨ ache des Dampferzeugers? Folgende Werte sind gegeben: Spez. W¨ armekapazit¨ at des W¨ armetr¨ ager¨ ols cpWT =2,4 kJ/kgK, Siedetemperatur des Wassers bei 0,25 MPa: ϑs =127,4 , Verdampfungsenthalpie Δhv =2160 kJ/kg. 4.4: Ein senkrechtes 3,5 m langes Verdampferrohr von 12 mm Innendurchmesser wird von unten nach oben von Wasser durchstr¨ omt. Das Wasser tritt mit einem Druck von 5,5 MPa unterk¨ uhlt mit der Temperatur ϑe = 210 in das Rohr ein. Es wird zun¨ achst auf S¨ attigungstemperatur erw¨ armt und anschließend teilweise verdampft. Das Rohr wird mit konstanter W¨ armestromdichte q˙ = 7,58·105 W/m2 beheizt. Man berechne: a) die Rohrl¨ ange, bis das Wasser im Mittel S¨ attigungstemperatur erreicht und b) den Dampfgehalt im Austrittsquerschnitt. Gegeben sind folgende Werte: S¨ attigungstemperatur ϑs (5,5 MPa) = 269,9 ≈ 270 , Enthalpien: h1 (210 ; 5,5 MPa) = 940 kJ/kg, h (270 ) = 1184,5 kJ/kg, Verdampfungsenthalpie Δhv = 1605 kJ/kg; Dichte der ges¨ attigten Fl¨ ussigkeit

586

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

(270 ) = 768,0 kg/m3 , Dichte des ges¨ attigten Dampfes (270 ) = 28,07 kg/m3 . Es darf mit konstanten Werten der Dichte gerechnet werden. Massenstromdichte des Wassers m ˙ = 103 kg/m2 s. 4.5: Man berechne den Reibungsdruckabfall in der Verdampferzone des Verdampferrohrs nach Aufgabe 4.4. Der Widerstandsbeiwert sei ζL = 0,038, die dynamischen Viskosit¨ aten sind ηL = 97,4 · 10−6 kg/sm und ηG = 18,38 · 10−6 kg/sm. Beide Phasen str¨ omen turbulent. S¨ attigungstemperatur ist im Mittel nach einer L¨ ange Δz = 0,97 m erreicht. 4.6: In ein senkrechtes Stahlrohr vom Innendurchmesser 20 mm str¨ omt Wasser der Temperatur ϑ1 = 250 und vom Druck 6 MPa (zugeh¨ orige S¨ attigungstemperatur ϑs = 275,56 ) ein. Die Massenstromdichte ist m ˙ = 1000 kg/m2 s. Die durch kondensierenden Heizdampf von der Außenseite zugef¨ uhrte W¨ armestromdichte ist ungef¨ ahr konstant und betr¨ agt q˙ = 8 · 105 W/m2 . a) Wie lang muss das Rohr sein, wenn der Str¨ omungsdampfgehalt im Austrittsquerschnitt x∗ = 0,25 sein soll? Man vernachl¨ assige dazu den Druckabfall. b) Wie groß ist die Wandtemperatur im Austrittsquerschnitt, unter der Annahme eines Druckabfalls von 500 hPa? Folgende Stoﬀwerte sind gegeben: Dichte der Fl¨ ussigkeit L = 758,3 kg/m3 , 3 Dichte des Dampfes G = 30,85 kg/m , dynamische Viskosit¨ at der Fl¨ ussigkeit ηL = 97,7 · 10−6 kg/s m, dynamische Viskosit¨ at des Dampfes ηG = 18,45 · 10−6 kg/sm, Prandtl-Zahl der Fl¨ ussigkeit P rL = 0,875, W¨ armeleitf¨ ahigkeit der Fl¨ ussigkeit λL = 0,581 W/K m, spez. Enthalpie im Eintrittsquerschnitt h1 = 1085,8 kJ/kg, der ges¨ attigten Fl¨ ussigkeit h (6 MPa) = 1213,7 kJ/kg des Sattdampfes h (6 MPa) = 2785,0 kJ/kg, pcr = 22,064 MPa, Cw = (bStahl /bCu )1/2 = 0,616.

5 W¨ armestrahlung

W¨ armestrahlung unterscheidet sich von der W¨armeleitung und vom konvektiven W¨ arme¨ ubergang durch andere Grundgesetze. So ist W¨arme¨ ubertragung durch Strahlung nicht an Materie gebunden; elektromagnetische Wellen u ¨ bertragen Energie auch durch den leeren Raum. Nicht Temperaturgradienten oder Temperaturdiﬀerenzen sind maßgebend f¨ ur den u ¨bergehenden W¨armestrom, sondern Unterschiede der vierten Potenzen der thermodynamischen (absoluten) Temperaturen der K¨ orper, zwischen denen W¨arme durch Strahlung u orper ausgestrahlte Energie ist au¨ bertragen wird. Die von einem K¨ ßerdem unterschiedlich auf die einzelnen Bereiche des Spektrums der elektromagnetischen Wellen verteilt. Diese Wellenl¨ angenabh¨angigkeit der Strahlung muss ebenso ber¨ ucksichtigt werden wie ihre Verteilung auf die verschiedenen Richtungen des Raumes. Im ersten Abschnitt f¨ uhren wir die physikalischen Gr¨oßen ein, die ben¨otigt werden, um die Gesetze der W¨ armestrahlung zu formulieren, wobei die Richtungs- und Wellenl¨ angenabh¨ angigkeit der Strahlungsenergie zu erfassen ist. Der zweite Abschnitt ist dem idealen Strahler, dem Schwarzen K¨orper, gewidmet. Das Auﬃnden der f¨ ur seine Ausstrahlung g¨ ultigen Gesetze durch M. Planck (1900) stand am Ursprung der modernen Physik, n¨amlich der Quantentheorie. Im dritten Abschnitt gehen wir auf die Eigenschaften und Materialgesetze realer Strahler ein. Im Abschnitt 5.4 behandeln wir die Solarstrahlung und ihre Schw¨ achung beim Durchgang durch die Erdatmosph¨are. Im n¨ achsten Abschnitt wird die W¨ arme¨ ubertragung zwischen strahlenden K¨ orpern, der sogenannte Strahlungsaustausch, dargestellt. Der letzte Abschnitt f¨ uhrt in die Gasstrahlung ein. Sie spielt bei der W¨arme¨ ubertragung in Feuerungen und Brennkammern eine wichtige Rolle.

588

5 W¨ armestrahlung

5.1 Grundlagen. Strahlungsphysikalische Gr¨ oßen Da f¨ ur W¨ armestrahlung andere Gesetze gelten als f¨ ur W¨armeleitung und konvektiven W¨ arme¨ ubergang, f¨ uhren wir in den folgenden Abschnitten die Begriﬀe und physikalischen Gr¨ oßen ein, mit denen sich die Gesetze der W¨armestrahlung quantitativ formulieren lassen.

5.1.1 Temperaturstrahlung Alle folgenden Betrachtungen gelten nur f¨ ur Strahlung, die thermisch angeregt ist. Sie wird von jedem K¨ orper ausgesandt und h¨angt von seinen Materialeigenschaften und von seiner Temperatur ab. Man nennt sie Temperaturstrahlung, W¨armestrahlung oder thermische Strahlung. Zur theoretischen ¨ Beschreibung der Aussendung, Ubertragung und Absorption von Strahlungsenergie stehen zwei Ans¨ atze zur Verf¨ ugung: die klassische Theorie der elektromagnetischen Wellen und die Quantentheorie der Photonen. Diese Theorien schließen einander nicht aus, sondern erg¨ anzen sich dadurch, dass eine jede einzelne Aspekte der W¨ armestrahlung besonders gut zu beschreiben gestattet. Nach der Quantentheorie besteht Strahlung aus Photonen (= Lichtteilchen), die sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegen und keine Ruhemasse haben. Sie u ¨ bertragen Energie, wobei jedes Photon das Energiequantum ePh = h ν transportiert. Hierbei bedeutet h = (6,626 068 76 ± 0,000 000 52) · 10−34 J s die Planck-Konstante, auch Plancksches Wirkungsquantum genannt; ν ist die Frequenz des Photons. Die Quantentheorie wird ben¨otigt, um die spektrale Verteilung der von einem K¨ orper ausgestrahlten Energie zu berechnen. Andere Aspekte der W¨ arme¨ ubertragung durch Strahlung lassen sich dagegen mit der klassischen Theorie erfassen, wonach Strahlung als Aussendung und Fortpﬂanzung elektromagnetischer Wellen beschrieben wird. Elektromagnetische Wellen sind transversale Wellen, die senkrecht zur Fortpﬂanzungsrichtung schwingen. Sie breiten sich geradlinig und im Vakuum mit der Lichtgeschwindigkeit c0 = 299 792 458 m/s aus. Ihre Geschwindigkeit c in einem Medium ist kleiner als c0 , w¨ ahrend ihre Frequenz ν unver¨andert bleibt; das Verh¨altnis n := c0 /c > 1 ist die Brechzahl des Mediums. Die Wellenl¨ ange λ ist mit der Frequenz ν durch λ·ν =c verkn¨ upft. Die von elektromagnetischen Wellen transportierte Energie h¨angt von λ ab, was auch bei der W¨ arme¨ ubertragung zu beachten ist. Abb. 5.1 zeigt das Spektrum elektromagnetischer Wellen. Thermische Strahlung bei kleinen Wellenl¨ angen (λ < 0,01 μm) ist sehr energiereich und

5.1 Grundlagen. Strahlungsphysikalische Gr¨ oßen

589

wird nur von K¨ orpern mit sehr hohen Temperaturen ausgesendet, etwa von sehr heißen Sternen, die R¨ ontgenstrahlung aussenden. In der Technik ist dieser Wellenl¨ angen-Bereich f¨ ur die W¨ arme¨ ubertragung ohne Bedeutung. Gleiches gilt f¨ ur den Bereich sehr großer Wellenl¨ angen (λ > 103 μm), der von den Schwingungen elektronischer Schaltkreise (Radar, Fernseh- und RadioWellen) bestimmt wird. Als Temperatur- oder W¨armestrahlung wird der mittlere Bereich mit Wellenl¨ angen zwischen etwa 0,1 μm und 1000 μm bezeichnet. In diesem Bereich strahlen die K¨ orper, deren Temperaturen zwischen wenigen Kelvin und etwa 2 · 104 K liegen. Er umfasst auch das sichtbare Licht zwischen 0,38 μm (Violett) und 0,78 μm (Rot). Dass man die hier auftretende Strahlung als Licht bezeichnet, hat keinen physikalischen Grund, sondern beruht auf der Eigenart des menschlichen Auges, in diesem Wellenl¨angenbereich sehen“ zu k¨ onnen. Das Wellenl¨ angenintervall 0,01 μm ≤ λ ≤ 0,38 μm ist ” der Bereich der Ultraviolett-(UV-)Strahlung. Zwischen 0,78 μm und 1000 μm liegt die Infrarot-(IR-)Strahlung. Dies ist der Wellenl¨angenbereich, in dem die meisten irdischen K¨ orper strahlen.

Abb. 5.1: Spektrum der elektromagnetischen Wellen

Die Begrenzung der W¨ armestrahlung durch λ = 0,1 μm und λ = 1000 μm ist eine etwas willk¨ urliche Festlegung. Sehr heiße K¨ orper, z.B. Sterne, strahlen auch im Bereich λ < 0,1 μm. Sie geben jedoch nur dann mehr als einige Prozent ihrer abgestrahlten Energie in diesem Wellenl¨ angenbereich ab, wenn ihre Temperatur u ¨ ber etwa 15000 K liegt. Temperaturstrahlung wird auch im Bereich λ > 1000 μm ausgesandt. Soll sie mehr als einige Prozent der Gesamtstrahlung ausmachen, muss der Strahler k¨ alter als etwa 12 K sein. Ein idealer Strahler, der sogenannte Schwarze K¨ orper, vgl. Abschnitt 5.2, mit der Temperatur siedenden Heliums (4,22 K) hat seine maximale Ausstrahlung bei λ = 686 μm, und im Wellenl¨ angenbereich λ > 1000 μm werden mehr als 30% der Gesamtstrahlung emittiert.

Temperaturstrahlung h¨ angt nicht nur von der Wellenl¨ange ab; bei zahlreichen Problemen, besonders beim Strahlungsaustausch zwischen verschiedenen K¨ orpern, ist auch ihre Verteilung auf die Richtungen im Raum zu beachten. Dies gilt f¨ ur die Emission von Strahlungsenergie in gleicher Weise wie f¨ ur Reﬂexion und Absorption von Strahlung, die auf einen K¨orper triﬀt. Diese doppelte Abh¨ angigkeit — von der Wellenl¨ ange und den Richtungen im Raum

590

5 W¨ armestrahlung

— macht die quantitative Beschreibung der W¨armestrahlung recht kompliziert. Man ben¨ otigt hierzu vier Arten strahlungsphysikalischer Gr¨oßen: –

–

–

–

Gerichtete spektrale Gr¨oßen. Mit ihnen beschreibt man die Richtungsund Wellenl¨angenverteilung von Strahlungsenergie in detaillierter Weise. Sie sind zwar von grundlegender Bedeutung, aber experimentell und theoretisch schwierig zu bestimmen. Deswegen benutzt man h¨auﬁg Strahlungsgr¨ oßen, die nur einen Eﬀekt erfassen, entweder die Abh¨angigkeit von der Wellenl¨ ange oder die Richtungsabh¨ angigkeit. Man verwendet Hemisph¨arische spektrale Gr¨oßen, die die Strahlung aller Richtungen des Halbraums u achenelement zusammenfassen und nur von der ¨ ber einem Fl¨ Wellenl¨ ange abh¨ angen, oder Gerichtete Gesamtgr¨oßen. Sie fassen die Strahlungsenergie aller Wellenl¨angen zusammen und beschreiben nur die Abh¨angigkeit von den Richtungen des Halbraums. Hemisph¨arische Gesamtgr¨oßen fassen die Strahlung aller Wellenl¨angen und Richtungen zusammen. Sie vermitteln damit keine Informationen u ¨ ber die spektrale Verteilung und die Richtungsabh¨angigkeit der Strahlung; sie gen¨ ugen aber h¨ auﬁg zur L¨ osung von Problemen der W¨arme¨ ubertragung durch Strahlung.

Diese Vielfalt von strahlungsphysikalischen Gr¨oßen mit ihren unterschiedlichen Bezeichnungen bereitet dem Anf¨ anger gewisse Schwierigkeiten, obwohl zwischen den vier Gruppen exakte Beziehungen bestehen. Diese erm¨oglichen es, aus den fundamentalen gerichteten spektralen Gr¨oßen die drei anderen durch Integration u angen oder u ¨ ber alle Wellenl¨ ¨ ber alle Raumwinkel des Halbraums oder schließlich u angigen Variablen zu berechnen. In ¨ ber beide unabh¨ den folgenden Abschnitten werden diese vier Gruppen von Gr¨oßen und ihre Verkn¨ upfungen f¨ ur die konkreten F¨ alle der Emission von Strahlung, der Bestrahlung einer Fl¨ ache sowie der Absorption und Reﬂexion der eingestrahlten Energie behandelt. Allen F¨ allen liegt der gleiche Gedankengang zugrunde; nur die Bezeichnungen und die Formelzeichen unterscheiden sich. Es gen¨ ugt daher, die Emission von Strahlung ausf¨ uhrlicher zu behandeln, w¨ahrend wir uns in den anderen F¨ allen auf die exakte Deﬁnition der Gr¨oßen und auf die Bereitstellung der sie verkn¨ upfenden Gleichungen beschr¨anken.

5.1.2 Ausstrahlung Beim Aussenden von W¨ armestrahlung verwandelt sich innere Energie des emittierenden K¨orpers in die Energie elektromagnetischer Wellen oder — in der Sprache der Quantentheorie — in die Energie von Photonen, welche die Oberﬂ¨ ache des strahlenden K¨ orpers verlassen. Bei diesem Emissionsvorgang gehen Atome oder Molek¨ ule des K¨ orpers aus einem Zustand h¨oherer Energie in einen Zustand mit niedriger Energie u ur die W¨arme¨ ubertra¨ ber. Um die f¨ gung wichtigen ph¨ anomenologischen Gesetze der Ausstrahlung zu formulieren, brauchen wir auf diese intramolekularen Vorg¨ange jedoch nicht einzugehen.

5.1 Grundlagen. Strahlungsphysikalische Gr¨ oßen

591

Materie sendet Strahlung in allen ihren Aggregatzust¨anden aus. Bei Gasen oder strahlungsdurchl¨ assigen Festk¨ orpern (z.B. Glas) ist die von einem endlich großen Volumen ausgehende Strahlung die Zusammenfassung der ¨ortlichen Emissionen innerhalb des betrachteten Volumens. Auf die Behandlung dieser volumetrischen Emission kommen wir in Abschnitt 5.6 zur¨ uck. In den meisten Festk¨ orpern und Fl¨ ussigkeiten wird die Strahlung, welche die im Inneren gelegenen Molek¨ ule aussenden, von ihren Nachbarn stark absorbiert, so dass sie nicht an die Oberﬂ¨ ache des K¨ orpers gelangen kann. Daher stammt die Strahlung, die Festk¨ orper oder Fl¨ ussigkeiten aussenden, in der Regel nur von den Molek¨ ulen in einer d¨ unnen Schicht unmittelbar unter der Oberﬂ¨ache. Da die Dicke dieser Schicht nur etwa 1 μm betr¨ agt, kann die Emission der Oberﬂ¨ ache zugeordnet werden, und man spricht von strahlenden Fl¨achen statt von strahlenden K¨ orpern. 5.1.2.1 Die speziﬁsche Ausstrahlung Wir betrachten ein Element der Oberﬂ¨ ache eines strahlenden K¨orpers, das die Gr¨ oße dA hat. Der Energiestrom (W¨ armestrom) dΦ, der in den Halbraum u ¨ ber dem Oberﬂ¨achenelement emittiert wird, heißt Strahlungsleistung oder Strahlungsﬂuss, Abb. 5.2. Seine SI-Einheit ist das Watt. Der auf die Gr¨oße des Fl¨ achenelements bezogene Strahlungsﬂuss M := dΦ/ dA

(5.1)

heißt speziﬁsche Ausstrahlung. Sie ist die durch Strahlung abgegebene W¨armestromdichte; die SI-Einheit von M ist ebenso wie die SI-Einheit von q˙ das W/m2 .

Abb. 5.2: Strahlungsﬂuss dΦ, der von einem Fl¨ achenelement emittiert wird

Die speziﬁsche Ausstrahlung M geh¨ ort zur Gruppe der hemisph¨arischen Gesamtgr¨ oßen, denn sie fasst die in allen Wellenl¨angenbereichen und in alle Richtungen des Halbraums emittierte Strahlungsenergie zusammen. M ist eine Eigenschaft des Strahlers; sie a ¨ndert sich vor allem mit seiner thermodynamischen Temperatur, M = M (T ), und h¨ angt von der Beschaﬀenheit seiner Oberﬂ¨ ache ab. 5.1.2.2 Die spektrale Strahldichte Wir untersuchen nun, wie sich der emittierte Strahlungsﬂuss dΦ auf das Spektrum der Wellenl¨ angen und auf die Richtungen des Halbraums verteilt. Hierzu

592

5 W¨ armestrahlung

f¨ uhrt man eine besondere Verteilungsfunktion ein, die spektrale Strahldichte Lλ . Sie ist die gerichtete spektrale Gr¨ oße, mit der die Wellenl¨angen- und Richtungsverteilung der ausgestrahlten Energie detailliert beschrieben wird.

Abb. 5.3: Sph¨ arische Koordinaten des Punkts P: Nullpunktsabstand r, Polarwinkel (Zenitwinkel) β, Azimutwinkel ϕ

Abb. 5.4: Strahlungsﬂuss d2 Φ in ein Raumwinkelelement dω in Richtung des Polarwinkels β und des Azimutwinkels ϕ

Eine bestimmte Richtung im Raum wird durch zwei Winkelkoordinaten β und ϕ festgelegt, Abb. 5.3. Dabei ist β der von der Fl¨achennormale (β = 0) aus gemessene Zenitwinkel oder Polarwinkel und ϕ der Azimutwinkel mit willk¨ urlich angenommener Lage von ϕ = 0. Die Gr¨oße des Strahlungsﬂusses, der auf eine kleine Fl¨ ache dAn f¨ allt, die im Abstand r vom Fl¨achenelement dA senkrecht zur Strahlrichtung liegt, Abb. 5.4, ist dem Raumwinkelelement dω = dAn /r2

(5.2)

proportional. Die kleine Fl¨ ache dAn in Abb. 5.4 und damit das Raumwinkelelement dω entstehen dadurch, dass sich der Polarwinkel β um dβ und der Azimutwinkel ϕ um dϕ ¨ andern. Damit wird dAn = r dβ · r sin β dϕ = r2 sin β dβ dϕ, und wir erhalten f¨ ur das Raumwinkelelement dω = sin β dβ dϕ .

(5.3)

Der r¨ aumliche Winkel, kurz Raumwinkel, kennzeichnet den Inhalt eines kegelf¨ ormigen Raumausschnitts, wobei die Kegelspitze mit dem Scheitel des Raumwinkels zusammenf¨ allt. Legt man um den Scheitel eine Kugel mit einem beliebigen Radius R, so schneidet der Kegelmantel ein Fl¨ achenst¨ uck der Gr¨ oße AK aus der Kugeloberﬂ¨ ache aus. Die Gr¨ oße des Raumwinkels ist durch ω := AK /R2 deﬁniert, vgl. z.B. DIN 1315 [5.1]. Die Raumwinkeleinheit ist m2 /m2 und wird Steradiant (Einheitenzeichen sr) genannt. Sie darf auch durch die Zahl 1 ersetzt werden.

5.1 Grundlagen. Strahlungsphysikalische Gr¨ oßen

593

Mit d3 Φ wird nun der Strahlungsﬂuss bezeichnet, den das Fl¨achenelement dA in ein Raumwinkelelement dω aussendet, das in der durch β und ϕ gekennzeichneten Richtung liegt; außerdem enth¨ alt d3 Φ nur den Teil dieses Strahlungsﬂusses, der in einem inﬁnitesimalen Wellenl¨angenintervall dλ bei einer bestimmten Wellenl¨ ange λ emittiert wird. Diese Begrenzung des Strahlungsﬂusses auf ein Raumwinkelelement und ein Wellenl¨angenintervall dient dazu, die Richtungsabh¨angigkeit und die Wellenl¨ angenabh¨angigkeit der ausgestrahlten Energie zu erfassen. F¨ ur d3 Φ macht man den Ansatz d3 Φ = Lλ (λ, β, ϕ, T ) cos β dA dω dλ .

(5.4)

Dies ist die Deﬁnitionsgleichung f¨ ur die grundlegende Materialfunktion Lλ , die spektrale Strahldichte; sie beschreibt die Richtungs- und Wellenl¨angenabh¨angigkeit der ausgestrahlten Energie eines K¨ orpers und hat den Charakter einer Verteilungsfunktion. Die (thermodynamische) Temperatur T im Argument von Lλ weist darauf hin, dass die spektrale Strahldichte von der Temperatur des strahlenden K¨ orpers und von seinen Materialeigenschaften, insbesondere von seiner Oberﬂ¨achenbeschaffenheit abh¨ angt. Das Adjektiv spektral und der Index λ zeigen an, dass die spektrale Strahldichte von der Wellenl¨ange λ abh¨ angt und eine auf ein Wellenl¨ angenintervall bezogene Gr¨oße ist. Die SIEinheit von Lλ ist W/(m2 μm sr). Die Einheiten μm und sr weisen auf den Bezug auf dλ und dω hin.

Abb. 5.5: Projektion dAp des Fl¨ achenelements dA senkrecht zur Strahlrichtung

Der in (5.4) auftretende Faktor cos β ist eine Besonderheit der Deﬁnition von Lλ : die spektrale Strahldichte ist nicht wie M (T ) auf die Gr¨oße dA des Fl¨ achenelements, sondern auf seine Projektion dAp = cos β dA senkrecht zur Strahlrichtung bezogen, Abb. 5.5. Damit wird dem Umstand Rechnung getragen, dass die Ausstrahlung f¨ ur β = π/2 null wird und in der Regel am gr¨ oßten in Richtung der Fl¨ achennormale β = 0 ist. Eine von allen Richtungen gleich hell“ erscheinende Fl¨ ache ist dann durch die einfache Bedingung ” gekennzeichnet, dass Lλ nicht von β und ϕ abh¨angt. Eine solche Fl¨ache mit Lλ = Lλ (λ, T ) wird als diﬀus strahlende Fl¨ache bezeichnet, vgl. 5.1.2.4. 5.1.2.3 Die spektrale speziﬁsche Ausstrahlung und die Strahldichte Die spektrale Strahldichte Lλ (λ, β, ϕ, T ) kennzeichnet die Abh¨angigkeit der ausgestrahlten Energie von der Wellenl¨ ange und von der Richtung in detaillier-

594

5 W¨ armestrahlung

ter Weise. Eine wichtige Aufgabe der theoretischen und experimentellen Untersuchungen der Temperaturstrahlung besteht darin, diese Verteilungsfunktion f¨ ur m¨ oglichst viele Materialien zu ermitteln. Diese Aufgabe ist schwierig zu l¨ osen, und man begn¨ ugt sich oft mit der Bestimmung von Strahlungsgr¨oßen, die entweder die Ausstrahlung in alle Richtungen des Halbraums zusammenfassen oder die Strahlung aller Wellenl¨ angen. Diese Gr¨oßen, die spektrale speziﬁsche Ausstrahlung Mλ und die Strahldichte L charakterisieren die Verteilung des Strahlungsﬂusses auf die Wellenl¨ angen bzw. auf die Richtungen im Halbraum. Man erh¨ alt die spektrale speziﬁsche Ausstrahlung Mλ (λ, T ) durch Integration von (5.4) u ¨ ber alle Raumwinkel des Halbraums. Dies ergibt d2 Φ = Mλ (λ, T ) dλ dA

(5.5)

mit Mλ (λ, T ) =

Lλ (λ, β, ϕ, T ) cos β dω .

(5.6)

Dabei ist d2 Φ der Strahlungsﬂuss, den das Fl¨achenelement dA im Wellenl¨ angenintervall dλ in den gesamten Halbraum aussendet. Das Zeichen in (5.6) bedeutet, dass die Integration u ¨ber alle Raumwinkel des Halbraums auszuf¨ uhren ist. Die spektrale speziﬁsche Ausstrahlung Mλ (λ, T ) mit der SIEinheit W/m2 μm geh¨ ort zu den hemisph¨ arischen spektralen Gr¨oßen; sie kennzeichnet die Wellenl¨ angen-Verteilung der speziﬁschen Ausstrahlung, Abb. 5.6. Die Fl¨ ache unter der Isotherme von Mλ (λ, T ) in Abb. 5.6 entspricht der speziﬁschen Ausstrahlung; denn die Integration von (5.5) u ¨ber alle Wellenl¨angen f¨ uhrt zu ∞ dΦ = Mλ (λ, T ) dλ dA , (5.7) 0

woraus wegen (5.1)

∞ M (T ) =

Mλ (λ, T ) dλ

(5.8)

0

folgt. Die in (5.6) auszuf¨ uhrende Integration u ¨ ber alle Raumwinkel des Halbraums entspricht einer zweifachen Integration u ¨ber die Winkelkoordinaten β und ϕ. Mit dω nach (5.3) erh¨ alt man 2π π/2 Mλ (λ, T ) =

Lλ (λ, β, ϕ, T ) cos β sin β dβ dϕ .

(5.9)

ϕ=0 β=0

Meistens h¨ angt die spektrale Strahldichte Lλ nicht vom Azimutwinkel ϕ und nur vom Polarwinkel β ab. Dann folgt aus (5.9) die einfachere Beziehung

5.1 Grundlagen. Strahlungsphysikalische Gr¨ oßen

595

Abb. 5.6: Spektrale speziﬁsche Ausstrahlung Mλ (λ, T ) als Funktion der Wellenl¨ ange λ bei konstanter Temperatur T (schematisch). Die schraﬃerte Fl¨ ache unter der Kurve stellt die speziﬁsche Ausstrahlung M (T ) dar

π/2 Mλ (λ, T ) = 2π Lλ (λ, β, T ) cos β sin β dβ .

(5.10)

0

Die Richtungsverteilung der u ¨ber alle Wellenl¨angen integrierten Ausstrahlung wird durch die Strahldichte L(β, ϕ, T ) beschrieben. Man erh¨alt sie bei der Integration von (5.4) u ¨ ber λ. Dies ergibt d2 Φ = L(β, ϕ, T ) cos β dω dA

(5.11)

mit der Strahldichte ∞ L(β, ϕ, T ) =

Lλ (λ, β, ϕ, T ) dλ .

(5.12)

0

Hierbei bedeutet d2 Φ den Strahlungsﬂuss, den das Fl¨achenelement insgesamt in das Raumwinkelelement dω in Richtung der Winkel β und ϕ aussendet. Die Strahldichte L hat die Einheit W/m2 sr; sie geh¨ort zu den gerichteten Gesamtgr¨ oßen und kennzeichnet den Teil der speziﬁschen Ausstrahlung, der in ein bestimmtes Raumwinkelelement f¨ allt. Integriert man (5.11) u ¨ ber alle Raumwinkel des Halbraums, so erh¨alt man den Strahlungsﬂuss dΦ, den das Fl¨ achenelement in den ganzen Halbraum emittiert: dΦ = L(β, ϕ, T ) cos β dω dA . (5.13) Vergleich mit (5.1) zeigt, dass sich die speziﬁsche Ausstrahlung M (T ) nach M (T ) =

L(β, ϕ, T ) cos β dω

(5.14)

596

5 W¨ armestrahlung

aus der Strahldichte L(β, ϕ, T ) berechnen l¨ asst. Zur Kennzeichnung der Ausstrahlung einer Fl¨ache haben wir insgesamt vier Strahlungsgr¨ oßen kennen gelernt: 1. Die spektrale Strahldichte Lλ (λ, β, ϕ, T ) beschreibt die Verteilung des ausgesandten Strahlungsﬂusses auf das Spektrum der Wellenl¨angen und die Raumwinkel des Halbraums (gerichtete spektrale Gr¨oße). 2. Die spektrale speziﬁsche Ausstrahlung Mλ (λ, T ) erfasst die Wellenl¨angenabh¨ angigkeit der in den ganzen Halbraum ausgestrahlten Energie (hemisph¨ arische spektrale Gr¨ oße). 3. Die Strahldichte L(β, ϕ, T ) beschreibt die Richtungsabh¨angigkeit (Verteilung auf die Raumwinkel des Halbraums) der bei allen Wellenl¨angen ausgestrahlten Energie (gerichtete Gesamtgr¨oße). 4. Die speziﬁsche Ausstrahlung M (T ) fasst den bei allen Wellenl¨angen und in den ganzen Halbraum ausgesandten Strahlungsﬂuss zusammen (hemisph¨ arische Gesamtgr¨ oße). Die Zusammenh¨ ange zwischen den vier Gr¨oßen sind in Abb. 5.7 schematisch dargestellt und veranschaulicht. Die spektrale Strahldichte Lλ (λ, β, ϕ, T ) Lλ (λ, β, ϕ, T ) Spektrale Strahldichte

Z Mλ (λ, T ) =

Z∞ Lλ (λ, β, ϕ, T ) cos β dω

L(β, ϕ, T ) =

Strahldichte

Spektrale speziﬁsche Ausstrahlung

Z∞ M (T ) =

Lλ (λ, β, ϕ, T ) dλ 0

Z Mλ (λ, T ) dλ

0

Speziﬁsche Ausstrahlung

M (T ) =

L(β, ϕ, T ) cos β dω

Speziﬁsche Ausstrahlung

Abb. 5.7: Zusammenh¨ ange zwischen den vier Strahlungsgr¨ oßen der Ausstrahlung. Jeder Pfeil entspricht einer Integration

enth¨ alt alle Informationen, um die drei anderen Strahlungsgr¨oßen zu bestimmen. Jeder Pfeil in Abb. 5.7 entspricht einer Integration; links zuerst u ¨ ber die Raumwinkel des Halbraums und dann u ¨ber alle Wellenl¨angen, rechts zu-

5.1 Grundlagen. Strahlungsphysikalische Gr¨ oßen

597

erst u angen und dann u ¨ ber alle Wellenl¨ ¨ ber die Raumwinkel. Das Ergebnis der zweifachen Integration ist jedesmal die speziﬁsche Ausstrahlung M (T ). Beispiel 5.1: Die spektrale Strahldichte Lλ der von einem K¨ orper ausgesandten Strahlung h¨ ange nicht vom Azimutwinkel ϕ ab und kann durch die Funktion Lλ (λ, β, T ) = Lλ,0 (λ, T ) cos β

(5.15)

angen¨ ahert werden, wobei Lλ,0 (λ, T ) f¨ ur eine bestimmte Temperatur den in Abb. 5.8 gezeigten Verlauf hat. Man berechne die Strahldichte L(β, T ), die spektrale speziﬁsche Ausstrahlung Mλ (λ, T ) und die speziﬁsche Ausstrahlung M (T ). F¨ ur die Strahldichte erh¨ alt man aus (5.12) und (5.15) durch Integration u ¨ ber alle Wellenl¨ angen R∞ Lλ (λ, β, T ) dλ = cos β Lλ,0 (λ, T ) dλ 0 0 h i 1 = cos β Lmax (8,0 − 4,0) μm λ,0 (4,0 − 3,0) μm + 2 ` ´ max max = cos β Lλ,0 3,0 μm = L · cos β = 1650 W/m2 sr cos β ,

L(β, T ) =

R∞

vgl. Abb. 5.8. F¨ ur die spektrale speziﬁsche Ausstrahlung folgt aus (5.10) π/2 Zπ/2 Z Mλ (λ, T ) = 2π Lλ (λ, β, T ) cos β sin β dβ = 2πLλ,0 (λ, T ) cos2 β sin β dβ . 0

0

Das hier auftretende Integral hat wegen »

Zβ cos2 β sin β dβ = −

cos3 β 3

0

–β = 0

´ 1` 1 − cos3 β 3

(5.16)

den Wert 1/3. Damit wird

Abb. 5.8: Abh¨ angigkeit der spektralen Strahldichte Lλ,0 (λ, T ) in Richtung der Fl¨ achennormale (β = 0) von der Wellenl¨ ange λ f¨ ur eine konstante Temperatur

Abb. 5.9: Strahlung eines Fl¨ achenelements durch eine kreisf¨ or¨ mige Oﬀnung in einer Scheibe (s = 50 mm, d = 25 mm)

598

5 W¨ armestrahlung Mλ (λ, T ) =

2π Lλ,0 (λ, T ) = 2,094 sr Lλ,0 (λ, T ) . 3

Die spektrale speziﬁsche Ausstrahlung stimmt bis auf den Faktor 2,094 sr mit der Funktion Lλ,0 (λ, T ) von Abb. 5.8 u ¨ berein. Die speziﬁsche Ausstrahlung M (T ) berechnen wir nach (5.14) durch Integration der Strahldichte L(β, T ) u ¨ber die Raumwinkel des Halbraums. Dies ergibt 2π R π/2 R

M (T ) =

L(β, T ) cos β sin β dβ dϕ = 2πLmax

π/2 R

ϕ=0 β=0

cos2 β sin β dβ

0

= (2π/3)Lmax = 2,094 sr · 1650 W/m2 sr = 3456 W/m2 . Die von einem kleinen Fl¨ achenelement dA des hier behandelten K¨ orpers ausge¨ hende Strahlung wird von einer großen Scheibe mit einer kreisf¨ ormigen Oﬀnung abgefangen, vgl. Abb. 5.9. Welcher Teil des von dA ausgehenden Strahlungsﬂus¨ ses gelangt durch die Oﬀnung? Wir bezeichnen den Strahlungsﬂuss, der vom Fl¨ achenelement dA in Abb. 5.9 ausgeht und durch das dar¨ uberliegende kreisf¨ ormige Loch f¨ allt, mit dΦ . Hierf¨ ur gilt dΦ =

Z2π Zβ

∗

Zβ L(β, T ) cos β sin β dβ dϕ dA = 2πLmax

ϕ=0 β=0

∗

cos2 β sin β dβ dA 0

und mit (5.16)

´ 2π max ` L 1 − cos3 β ∗ dA . 3 Der gesamte von dA ausgehende Strahlungsﬂuss ist dΦ = M (T ) dA. F¨ ur das gesuchte Verh¨ altnis dΦ / dΦ erhalten wir dΦ =

dΦ / dΦ = 1 − cos3 β ∗ . Nach Abb. 5.9 gilt f¨ ur den Winkel β ∗ cos β ∗ = p

s s2

+

(d/2)2

50 = p = 0,9701 . 2 50 + 12,52

Somit wird dΦ / dΦ = 0,0869; nur ein kleiner Teil der Strahlung gelangt durch ¨ die Oﬀnung, obwohl diese senkrecht u achenelement liegt. ¨ber dem strahlenden Fl¨

5.1.2.4 Diﬀuse Strahler. Lambertsches Cosinusgesetz Es gibt keinen Strahler, dessen spektrale Strahldichte Lλ von der Wellenl¨ange unabh¨ angig ist. Dagegen triﬀt die Annahme, Lλ hinge von β und ϕ nicht ab, in vielen F¨ allen als brauchbare N¨ aherung zu. K¨orper, deren spektrale Strahldichte richtungsunabh¨ angig ist, Lλ = Lλ (λ, T ), bezeichnet man als diﬀuse Strahler oder als K¨ orper mit diﬀus strahlender Oberﬂ¨ache. Nach (5.9) folgt f¨ ur ihre spektrale speziﬁsche Ausstrahlung

5.1 Grundlagen. Strahlungsphysikalische Gr¨ oßen

599

Abb. 5.10: Strahldichte L = In (T ) und Strahlst¨ arke I = In (T ) cos β einer diﬀus strahlenden Fl¨ ache

2π π/2 Mλ (λ, T ) = Lλ (λ, T )

cos β sin β dβ dϕ .

(5.17)

ϕ=0 β=0

Das hier auftretende Doppelintegral hat den Wert π, so dass sich f¨ ur diﬀus strahlende Fl¨ achen Mλ (λ, T ) = π Lλ (λ, T ) (5.18) als einfacher Zusammenhang zwischen spektraler speziﬁscher Ausstrahlung und spektraler Strahldichte ergibt. Da auch die Strahldichte L nicht von β und ϕ abh¨angt, erh¨alt man aus (5.11) d2 Φ = L(T ) cos β dω dA (5.19) f¨ ur die Strahlungsleistung eines diﬀus strahlenden Fl¨achenelements in das Raumwinkelelement dω. Die auf die Fl¨ ache dA und den Raumwinkel dω bezogene Strahlungsleistung wird als Strahlst¨arke I :=

d2 Φ dA dω

(5.20)

bezeichnet. F¨ ur eine diﬀus strahlende Fl¨ ache folgt aus (5.19) I(β, T ) = L(T ) cos β = In (T ) cos β ,

(5.21)

wobei In (T ) die Strahlst¨ arke in Richtung der Fl¨achennormale (β = 0) bedeutet, Abb. 5.10. Diese Beziehung wird als Lambertsches Cosinusgesetz 1 bezeichnet [5.2]; diﬀuse Strahler werden auch Lambert-Strahler genannt. Die 1

Johann Heinrich Lambert (1728–1777), Mathematiker, Physiker und Philosoph, war von 1748–59 Hauslehrer beim Grafen P. v. Salis in Chur, wo er sein ber¨ uhmtes Werk u ¨ ber Photometrie [5.2] verfasste. 1759 wurde er Mitglied der Bayerischen Akademie der Wissenschaften und 1765 auf Vorschlag von L. Euler auch Mitglied der Berliner Akademie. Lambert verfasste mehrere philosophische Werke und behandelte in zahlreichen Ver¨ oﬀentlichungen Themen aus allen Gebieten der Physik und der Astronomie. Er gab als Grenze f¨ ur die Ausdehnung von Gasen den absoluten Nullpunkt an und konstruierte mehrere Luftthermometer. 1761 bewies er, dass π und e keine rationalen Zahlen sind. Seine Arbeiten zur Trigonometrie waren bedeutsam f¨ ur die Theorie der Landkartenkonstruktion.

600

5 W¨ armestrahlung

speziﬁsche Ausstrahlung eines Lambert-Strahlers ergibt sich aus (5.14) zu M (T ) = L(T )

cos β dω = π L(T )

(5.22)

in Analogie zu (5.18) f¨ ur die entsprechenden spektralen Gr¨oßen.

5.1.3 Bestrahlung Triﬀt Strahlung mit dem Strahlungsﬂuss dΦb auf ein Element der Oberﬂ¨ache eines K¨ orpers, Abb. 5.11, so bezeichnet man den Quotienten E := dΦb / dA

(5.23)

als Bestrahlungsst¨arke des Fl¨ achenelements der Gr¨oße dA. Die Bestrahlungsst¨ arke E erfasst die gesamte durch Strahlung zugef¨ uhrte W¨armestromdichte als Integralwert u angen und alle Raumwinkel des Halb¨ber alle Wellenl¨ raums. Sie geh¨ ort zu den hemisph¨ arischen Gesamtgr¨oßen; ihre SI-Einheit ist W/m2 .

Abb. 5.11: Strahlungsﬂuss dΦb der auf ein Fl¨ achenelement auftreﬀenden Strahlung

Zur Beschreibung der Richtungs- und Wellenl¨angenverteilung des einfallenden Strahlungsﬂusses benutzt man Strahlungsgr¨oßen, die analog zu den Gr¨ oßen f¨ ur die Ausstrahlung deﬁniert sind. F¨ ur den Strahlungsﬂuss d3 Φb , der aus einem Raumwinkelelement dω in Richtung der Winkel β und ϕ auf das Fl¨ achenelement dA triﬀt und nur die Strahlung in einem Wellenl¨angenintervall dλ enth¨ alt, macht man den zu (5.4) analogen Ansatz d3 Φb = Kλ (λ, β, ϕ) cos β dA dω dλ .

(5.24)

Hierdurch wird die Verteilungsfunktion Kλ (λ, β, ϕ), die spektrale Bestrahlungsdichte, deﬁniert. Sie beschreibt die Verteilung des einfallenden Strahlungsﬂusses auf die Wellenl¨ angen und die Richtungen des Halbraums u ¨ber dem bestrahlten Fl¨ achenelement. Wie die entsprechende Gr¨oße Lλ der Ausstrahlung ist Kλ auf die Projektion dAp = cos β dA des bestrahlten Fl¨achenelements senkrecht zur Richtung der einfallenden Strahlung bezogen, Abb. 5.12. Die SI-Einheit von Kλ ist W/(m2 μm sr); auch hieraus ist der Bezug auf das Wellenl¨ angenintervall dλ und das Raumwinkelelement dω ersichtlich.

5.1 Grundlagen. Strahlungsphysikalische Gr¨ oßen

601

Abb. 5.12: Projektion dAp des Fl¨ achenelements dA senkrecht zur Richtung der unter dem Polarwinkel β einfallenden Strahlung

Im Gegensatz zu Lλ ist Kλ keine Materialeigenschaft des bestrahlten K¨ orpers, sondern eine f¨ ur die auftreﬀende Strahlungsenergie charakteristische Funktion von λ, β und ϕ: Sie ist die spektrale Strahldichte der auftreﬀenden Strahlung. Die spektrale Strahldichte bleibt n¨amlich auf dem Weg der Strahlung von der Strahlungsquelle zum Empf¨anger konstant , sofern das dazwischen liegende Medium Strahlung weder absorbiert noch streut und auch selbst keine Strahlung aussendet2 . Triﬀt dies zu und kommt die Strahlung aus eine Quelle mit der Temperatur T ∗ , so gilt Kλ (λ, β, ϕ) = Lλ (λ, β ∗ , ϕ∗ , T ∗ ) .

(5.25)

Dabei ist Lλ (λ, β ∗ , ϕ∗ , T ∗ ) die spektrale Strahldichte eines Fl¨achenelements dA∗ der Strahlungsquelle, das den von dA ausgehenden Raumwinkel dω in Richtung (β, ϕ) aufspannt, Abb. 5.13. Die Winkel β ∗ und ϕ∗ kennzeichnen die

Abb. 5.13: Bestrahlte Fl¨ ache mit Fl¨ achenelement dA, das Strahlung vom Fl¨ achenelement dA∗ einer Strahlungsquelle mit der Temperatur T ∗ erh¨ alt

Richtung, unter der das bestrahlte Fl¨ achenelement dA von der Strahlungsquelle aus erscheint. Die spektrale Bestahlungdichte Kλ von dA h¨angt damit indirekt von der Temperatur T ∗ und den anderen Eigenschaften der Strahlungsquelle ab. Die Richtungs- und Wellenl¨ angenverteilung der auf das bestrahlte Fl¨ achenelement dA auftreﬀenden Strahlungsenergie wird jedoch vollst¨andig durch die Funktion Kλ (λ, β, ϕ) beschrieben, ohne dass es dazu der Kenntnis der Eigenschaften der Strahlungsquelle bedarf. Die Angabe ihrer Temperatur T ∗ in Kλ ist daher nicht erforderlich. Bei bekannten Eigenschaften der Strahlungsquelle l¨ asst sich zwar Kλ (λ, β, ϕ) aus der spektralen Strahldichte 2

Den Beweis f¨ ur die Konstanz der spektralen Strahldichte beim Weg durch ein die Strahlung nicht beeinﬂussendes Medium ﬁndet man z.B. bei R. Siegel u. J.R. Howell [5.37], S. 518–520.

602

5 W¨ armestrahlung

der Strahlungsquelle berechnen, aber in vielen F¨allen ist dies sehr schwierig oder nicht m¨ oglich, etwa dann nicht, wenn die auf dA treﬀende Strahlung aus mehreren Quellen stammt oder wenn die Strahlungsquelle unbekannt ist. Die spektrale Bestrahlungsdichte Kλ (λ, β, ϕ) muss dann vor Ort“, d.h. am ” Fl¨ achenelement dA, gemessen werden. Durch Integration von (5.24) u ¨ ber alle Raumwinkel des Halbraums fasst man f¨ ur das Wellenl¨ angenintervall dλ die Strahlungsﬂ¨ usse zusammen, die aus allen Richtungen kommen, und erh¨ alt d2 Φb = Eλ (λ) dλ dA mit der spektralen Bestrahlungsst¨arke Eλ (λ) = Kλ (λ, β, ϕ) cos β dω .

(5.26)

(5.27)

Sie geh¨ ort zu den hemisph¨ arischen spektralen Gr¨oßen. Eine Integration von (5.26) u angen f¨ uhrt zu ¨ ber alle Wellenl¨ dΦb = E dA ,

(5.28)

also zur schon durch (5.23) eingef¨ uhrten Bestrahlungsst¨arke ∞ E=

Eλ (λ) dλ .

(5.29)

0

Die spektrale Bestrahlungsst¨ arke Eλ beschreibt die Verteilung der eingestrahlten Energie auf das Spektrum, wobei die Strahlung aus allen Richtungen des Halbraums zusammengefasst ist. Will man dagegen die Richtungsverteilung der einfallenden Strahlung beschreiben, ohne ihre Wellenl¨angenabh¨angigkeit zu ber¨ ucksichtigen, so integriert man (5.24) u ur ¨ber alle λ. Man erh¨alt f¨ den Strahlungsﬂuss, der aus einem bestimmten Raumwinkelelement dω auf das Fl¨ achenelement dA f¨ allt, d2 Φb = K(β, ϕ) cos β dω dA

(5.30)

mit der Bestrahlungsdichte ∞ K(β, ϕ) =

Kλ (λ, β, ϕ) dλ .

(5.31)

0

Durch Integration der Bestrahlungsdichte u ¨ber alle Raumwinkel erh¨alt man schließlich die Bestrahlungsst¨ arke E = K(β, ϕ) cos β dω . (5.32)

5.1 Grundlagen. Strahlungsphysikalische Gr¨ oßen

603

Wie bei der Ausstrahlung, vgl. 5.1.2, werden zur quantitativen Charakterisierung des auf eine Fl¨ ache auftreﬀenden Strahlungsﬂusses vier Strahlungsgr¨ oßen verwendet: –

–

– –

Die spektrale Bestrahlungsdichte Kλ (λ, β, ϕ) beschreibt die Verteilung des auftreﬀenden Strahlungsﬂusses auf die Raumwinkel des Halbraums und das Spektrum (gerichtete spektrale Gr¨ oße). Die spektrale Bestrahlungsst¨ arke Eλ (λ) beschreibt die Wellenl¨angenverteilung des aus dem ganzen Halbraum eingestrahlten Strahlungsﬂusses (hemisph¨ arische spektrale Gr¨ oße). Die Bestrahlungsdichte K(β, ϕ) beschreibt die Richtungsverteilung des auftreﬀenden Strahlungsﬂusses (gerichtete Gesamtgr¨oße). Die Bestrahlungsst¨ arke E fasst die auftreﬀende Stahlungsleistung aller Richtungen und Wellenl¨ angen zusammen (hemisph¨arische Gesamtgr¨oße).

Abb. 5.14 zeigt die Zusammenh¨ ange zwischen den vier Gr¨oßen. Sie ist analog zu Abb. 5.7 aufgebaut, welche die vier Gr¨ oßen der Ausstrahlung enth¨alt. Kλ (λ, β, ϕ) Spektrale Bestrahlungsdichte

Z∞

Z Eλ (λ) =

Kλ (λ, β, ϕ) cos β dω

K(β, ϕ) =

Spektrale Bestrahlungsst¨ arke

Bestrahlungsdichte

Z∞ E=

Kλ (λ, β, ϕ) dλ 0

Z Eλ (λ) dλ

0

Bestrahlungsst¨ arke

E=

K(β, ϕ) cos β dω

Bestrahlungsst¨ arke

Abb. 5.14: Zusammenh¨ ange zwischen den vier Strahlungsgr¨ oßen der Bestrahlung

5.1.4 Absorption von Strahlung Die auf einen K¨ orper fallende Strahlung kann an seiner Oberﬂ¨ache teilweise reﬂektiert (zur¨ uckgeworfen) werden, w¨ ahrend der nicht reﬂektierte Teil in den K¨ orper eindringt. Hier wird die eingestrahlte Energie absorbiert und in innere Energie umgewandelt oder zum Teil durchgelassen. F¨ ur die W¨arme¨ ubertragung ist der absorbierte Teil von besonderer Bedeutung; er wird durch die

604

5 W¨ armestrahlung

vier im Folgenden beschriebenen Absorptionsgrade erfasst, die zu den in 5.1.1 genannten vier Gruppen strahlungsphysikalischer Gr¨oßen geh¨oren. Wir betrachten wie in 5.1.3 den Strahlungsﬂuss d3 Φb nach (5.24), der aus einem Raumwinkelelement dω auf das Fl¨ achenelement dA triﬀt und nur die in einem Wellenl¨angenintervall dλ einfallende Strahlungsleistung enth¨alt. F¨ ur den absorbierten Teil dieses Strahlungsﬂusses setzt man d3 Φb,abs = aλ (λ, β, ϕ, T )d3 Φb

(5.33)

und deﬁniert damit den gerichteten spektralen Absorptionsgrad aλ . Diese dimensionslose Verh¨ altnisgr¨ oße ist kleiner als eins und eine Materialeigenschaft des absorbierenden K¨ orpers; sie h¨ angt von den in (5.33) angegebenen Variablen Wellenl¨ ange λ, Polarwinkel β, Azimutwinkel ϕ und Temperatur T des absorbierenden Fl¨ achenelements ab. Außerdem wird der gerichtete spektrale Absorptionsgrad in hohem Maße von den Oberﬂ¨acheneigenschaften, z.B. von der Rauhigkeit der Oberﬂ¨ ache, beeinﬂusst. Mittels aλ lassen sich die absorbierten Anteile der in 5.1.3 eingef¨ uhrten integrierten Strahlungsﬂ¨ usse berechnen. Integriert man (5.33) u ¨ ber alle Raumwinkel des Halbraums, so erh¨ alt man den absorbierten Anteil der hemisph¨arischen Bestrahlung des Fl¨ achenelementes dA im Wellenl¨angenintervall dλ:

d2 Φb,abs =

aλ (λ, β, ϕ, T )Kλ (λ, β, ϕ) cos β dω

dλ dA .

(5.34)

Integriert man dagegen (5.33) u ¨ ber alle Wellenl¨angen, so erh¨alt man den absorbierten Teil der insgesamt aus einem Raumwinkelelement dω einfallenden Strahlungsleistung. Dies ergibt 2

d

Φb,abs

∞ =

aλ (λ, β, ϕ, T )Kλ (λ, β, ϕ) dλ

cos β dω dA .

(5.35)

0

Schließlich kann man (5.34) u ¨ ber alle Wellenl¨angen integrieren oder (5.35) u ¨ ber alle Raumwinkel des Halbraums. Man erh¨alt dann den absorbierten Teil des gesamten Strahlungsﬂusses, der auf das Fl¨achenelement dA triﬀt: ∞) dΦb,abs = 0

* aλ (λ, β, ϕ, T )Kλ (λ, β, ϕ) cos β dω dλ dA .

(5.36)

Setzt man nun diese absorbierten Energiestr¨ome ins Verh¨altnis zu den jeweils zugeh¨ origen auftreﬀenden Strahlungsﬂ¨ ussen d2 Φb nach (5.26), d2 Φb nach (5.30) und dΦb nach (5.28), so erh¨ alt man die in Tabelle 5.1 aufgef¨ uhrten Absorptionsgrade, die entweder die Absorption der aus allen Richtungen des

5.1 Grundlagen. Strahlungsphysikalische Gr¨ oßen

605

Tabelle 5.1: Deﬁnitionen der Absorptionsgrade und die zwischen ihnen bestehenden Zusammenh¨ ange Gerichteter spektraler Absorptionsgrad aλ (λ, β, ϕ, T ) :=

d3 Φb,abs d3 Φb

aλ ist eine Materialeigenschaft des absorbierenden K¨ orpers und gibt f¨ ur jede Wellenl¨ ange λ und f¨ ur jede Richtung (β, ϕ) den absorbierten Teil des auftreffenden Strahlungsﬂusses d3 Φb an, der in einem Wellenl¨ angenintervall dλ aus einem Raumwinkelelement dω kommt. Hemisph¨ arischer spektraler Absorptionsgrad Z d2 Φb,abs 1 aλ (λ, T ) := = a (λ, β, ϕ, T ) · Kλ (λ, β, ϕ) cos β dω d2 Φb Eλ (λ) λ aλ erfasst den Strahlungsﬂuss d2 Φb , der in einem bestimmten Wellenl¨ angenintervall aus dem ganzen Halbraum kommt, und gibt f¨ ur jede Wellenl¨ ange λ den absorbierten Teil der spektralen Bestrahlungsst¨ arke Eλ (λ) an. Gerichteter Gesamt–Absorptionsgrad d2 Φb,abs 1 a (β, ϕ, T ) := = d2 Φb K(β, ϕ)

Z∞

aλ (λ, β, ϕ, T )Kλ (λ, β, ϕ) dλ

0

a erfasst den Strahlungsﬂuss d2 Φb aller Wellenl¨ angen, der aus einem bestimmten Raumwinkelelement kommt, und gibt f¨ ur jede Richtung (β, ϕ) den absorbierten Teil der Bestrahlungsdichte K(β, ϕ) an. Hemisph¨ arischer Gesamt–Absorptionsgrad Z∞ dΦb,abs 1 a(T ) := = aλ (λ, T )Eλ (λ) dλ dΦb E 0 Z∞ Z i 1 h = aλ (λ, β, ϕ, T )Kλ (λ, β, ϕ) cos β dω dλ E 0

a erfasst den Strahlungsﬂuss dΦb aller Wellenl¨ angen, der aus dem ganzen Halbraum kommt, und gibt den absorbierten Teil der Bestrahlungsst¨ arke E an.

Halbraums kommenden oder der u ¨ber alle Wellenl¨angen integrierten Strahlung oder schließlich die Absorption der das Fl¨ achenelement insgesamt treﬀenden Strahlung beschreiben. Alle Absorptionsgrade sind kleiner als eins, aber im Gegensatz zum gerichteten spektralen Absorptionsgrad aλ sind aλ (λ, T ), a (β, ϕ, T ) und a(T ) keine Materialeigenschaften des absorbierenden K¨orpers; sie h¨ angen auch von der Richtungs- und Wellenl¨angenverteilung der einfallenden Strahlung ab, die durch ihre spektrale Bestrahlungsdichte Kλ (λ, β, ϕ) gegeben ist. Die vier Absorptionsgrade von Tabelle 5.1 entsprechen den vier Strahlungsgr¨ oßen von 5.1.3, mit denen wir die Bestrahlung eines Fl¨achenele-

606

5 W¨ armestrahlung

ments quantitativ beschrieben haben. Diese Vielzahl von Absorptionsgraden wird in den Anwendungen dann ben¨ otigt, wenn die Selektivit¨at der absorbierenden Fl¨ ache hinsichtlich der Richtung und der Wellenl¨angenbereiche sowie die Richtungs- und Wellenl¨ angenabh¨ angigkeit der auftreﬀenden Strahlung ber¨ ucksichtigt werden m¨ ussen. Beispiel 5.2: Der hemisph¨ arische spektrale Absorptionsgrad einer dem Auge hell erscheinenden Fl¨ ache ist stark vereinfacht durch 8 u r 0 ≤ λ ≤ λ1 < αλ1 = 0,10 f¨ aλ (λ, T ) = : αλ2 = 0,80 f¨ u r λ1 < λ < ∞ mit λ1 = 1,50 μm gegeben; Abb. 5.15. Es wird also bei kleinen Wellenl¨ angen wenig, bei großen Wellenl¨ angen erheblich mehr Strahlungsenergie absorbiert. Auf die Fl¨ ache triﬀt Strahlung aus einer Strahlungsquelle der Temperatur T ∗ mit der spektralen Bestrahlungsst¨ arke Eλ (λ, T ∗ ) =

c1 exp(−c2 /λT ∗ ) . λ5

(5.37)

Dabei ist c2 = 14,5 · 103 μm K und c1 eine Proportionalit¨ atskonstante. F¨ ur T ∗ = ∗ 1000 K und T = 5777 K (Temperatur der Sonnenoberﬂ¨ ache) berechne man den hemisph¨ arischen Gesamt-Absorptionsgrad a(T ). Die durch (5.37) gegebene Wellenl¨ angen- und Temperaturabh¨ angigkeit entspricht einer 1896 von W. Wien [5.3] gefundenen, aber nur n¨ aherungsweise g¨ ultigen Beziehung f¨ ur die spektrale speziﬁsche Ausstrahlung Mλs (λ, T ∗ ) eines idealen

Abb. 5.15: Approximation des hemisph¨ arischen spektralen Absorptionsgrades aλ einer Fl¨ ache Strahlers, des Schwarzen K¨ orpers, mit der Temperatur T ∗ . Auf die Eigenschaften des Schwarzen K¨ orpers kommen wir in Abschnitt 5.1.6 und ausf¨ uhrlich in 5.2.2 zur¨ uck. In unserem Beispiel wird eine spektrale Bestrahlungsst¨ arke Eλ ∼ Mλs angenommen, so dass ihre indirekte Abh¨ angigkeit von T ∗ explizit in (5.37) erscheint. In Abb. 5.16 ist die spektrale Bestrahlungsst¨ arke Eλ nach (5.37) f¨ ur T ∗ = 1000 K ∗ und T = 5777 K dargestellt. Dabei wurde die Proportionalit¨ atskonstante c1 jeweils so gew¨ ahlt, dass f¨ ur beide Temperaturen das Maximum von Eλ , das bei λmax = c2 /5T ∗ auftritt, gleich groß wird. Die in Abb. 5.16 schraﬃerten Fl¨ achen sind dem absorbierten Anteil des auftreﬀenden Strahlungsﬂusses proportional, w¨ ahrend die Fl¨ achen unter den Eλ -Kurven der Bestrahlungsst¨ arke E entsprechen. Der gesuchte hemisph¨ arische Gesamt-Absorptionsgrad a(T ) ist dann nach

5.1 Grundlagen. Strahlungsphysikalische Gr¨ oßen

607

(5.28) und (5.36) das Verh¨ altnis dieser Fl¨ achen. F¨ ur T ∗ = 1000 K ist ein Absorptionsgrad nahe bei aλ2 zu erwarten. Dagegen f¨ allt der gr¨ oßte Teil der Sonnenstrahlung (T ∗ = 5777 K) in den Bereich kleiner Wellenl¨ angen (λ < λ1 ); daher ist f¨ ur Solarstrahlung ein Gesamt-Absorptionsgrad zu erwarten, der nur etwas gr¨ oßer als aλ1 ist.

Abb. 5.16: Spektrale Bestrahlungsst¨ arke Eλ (λ, T ∗ ) nach (5.37) f¨ ur T ∗ = 1000 K ∗ und T = 5777 K. Die Ordinaten der Maxima wurden willk¨ urlich gleich groß angenommen. Die schraﬃerten Fl¨ achen stellen den absorbierten Teil der Bestrahlungsst¨ arke E(T ∗ ) dar. Diese aus Abb. 5.16 abzulesenden Ergebnisse werden durch die folgende Rechnung best¨ atigt. Nach Tabelle 5.1 erh¨ alt man f¨ ur den hemisph¨ arischen GesamtAbsorptionsgrad R∞ a(T ) =

aλ1

aλ (λ, T )Eλ (λ) dλ

0

=

E

λ1 R

Eλ (λ) dλ + aλ2

0

R∞

R∞ λ1

Eλ (λ) dλ .

Eλ (λ) dλ

0

Zur Auswertung der Integrale f¨ uhren wir die dimensionslose Variable ζ := c2 /λT ∗ ein und erhalten mit

` ´ Eλ (ζ, T ∗ ) = c1 /c52 T ∗5 ζ 5 e−ζ

und dλ = −

c2 dζ T ∗ ζ2

f¨ ur den Absorptionsgrad aλ1 a (ζ1 ) =

R∞ ζ1

ζ 3 e−ζ dζ + aλ2

Rζ1 0

R∞ 0

ζ 3 e−ζ dζ

ζ 3 e−ζ dζ .

(5.38)

608

5 W¨ armestrahlung

Er h¨ angt von ζ1 = c2 /λ1 T ∗ und damit indirekt von der Temperatur T ∗ der Strahlungsquelle ab. Die hier auftretenden Integrale lassen sich aus Z ` ´ ζ 3 e−ζ dζ = C − e−ζ ζ 3 + 3ζ 2 + 6ζ + 6 = C − F (ζ) berechnen. Man erh¨ alt dann a (ζ1 ) =

1 {aλ1 F (ζ1 ) + aλ2 [6 − F (ζ1 )]} . 6

(5.39)

F¨ ur die Strahlung aus der Quelle mit T ∗ = 1000 K ist ζ1 = 9,667, woraus sich mit F (ζ1 ) = 0,0791 der Gesamt-Absorptionsgrad a = 0,791 ergibt. Das nach Abb. 5.16 zu erwartende Ergebnis a ≈ aλ2 = 0,80 wird also best¨ atigt. F¨ ur die auftreﬀende Solarstrahlung erh¨ alt man mit T ∗ = 5777 K den Wert ζ1 = 1,6733 und daraus F (ζ1 ) = 5,4646. Nun ergibt sich aus (5.39) der viel kleinere Absorptionsgrad a = 0,162. Der hemisph¨ arische Gesamt-Absorptionsgrad ist keine Eigenschaft der absorbierenden Fl¨ ache allein. Er h¨ angt vielmehr von der spektralen Verteilung der auftreffenden Strahlungsenergie ab. Dies zeigen die unterschiedlichen Werte von a f¨ ur die u ¨ berwiegend kurzwellige Solarstrahlung, bei der die Absorptionseigenschaften bei kleinen Wellenl¨ angen maßgebend sind, und f¨ ur die auftreﬀende Strahlung aus einer irdischen Strahlungsquelle, f¨ ur die der langwellige Teil des Absorptionsspektrums aλ (λ, T ) von Bedeutung ist.

5.1.5 Reﬂexion von Strahlung Der von der Oberﬂ¨ ache eines K¨ orpers reﬂektierte Strahlungsﬂuss l¨asst sich durch dimensionslose Reﬂexionsgrade in der gleichen Weise beschreiben wie die absorbierte Leistung durch die im letzten Abschnitt behandelten Absorptionsgrade. Hierbei tritt jedoch eine weitere Komplikation auf, wenn man nicht nur angeben will, welcher Teil der aus einer bestimmten Richtung einfallenden Strahlung reﬂektiert wird, sondern weiter danach fragt, in welche Richtung die reﬂektierte Energie zur¨ uckgeworfen wird. Das hierbei m¨ogliche Reﬂexionsverhalten einer Oberﬂ¨ ache kann durch zwei Grenzf¨alle idealisiert werden: die spiegelnde Reﬂexion und die diﬀuse Reﬂexion. Bei spiegelnder Reﬂexion wird der unter den Winkeln β und ϕ einfallende Strahl unter einem gleich großen Polarwinkel βr = β, aber unter dem Azimutwinkel ϕr = ϕ + π reﬂektiert, Abb. 5.17. Bei einer diﬀus reﬂektierenden Oberﬂ¨ ache erzeugt die aus einer Richtung (β, ϕ) einfallende Strahlung eine reﬂektierte Strahlung, deren Strahldichte u ¨ ber alle Abstrahlungsrichtungen (βr , ϕr ) gleich groß ist, vgl. Abb. 5.18. Das Reﬂexionsverhalten realer Oberﬂ¨ achen liegt zwischen diesen beiden Grenzf¨allen. Blanke, polierte Metallﬂ¨ achen reﬂektieren nahezu spiegelnd. Rauhe und matte Oberﬂ¨achen reﬂektieren in guter N¨ aherung diﬀus. Dabei muss man die Gr¨oße der Rauhigkeiten auch in Relation zur Wellenl¨ ange der Strahlung sehen. Eine Fl¨ache kann somit rauh f¨ ur kurzwellige Strahlung sein, w¨ahrend sie f¨ ur langwellige Strahlung als glatt anzusehen ist. Die verwickelten Zusammenh¨ange bei der

5.1 Grundlagen. Strahlungsphysikalische Gr¨ oßen

Abb. 5.17: Spiegelnde Reﬂexion der unter dem Polarwinkel β einfallenden Strahlung

609

Abb. 5.18: Diﬀuse Reﬂexion der unter dem Polarwinkel β einfallenden Strahlung

Ber¨ ucksichtigung der Richtungsverteilung der reﬂektierten Strahlung m¨ ussen durch gerichtet-gerichtete Reﬂexionsgrade beschrieben werden, die von zwei Paaren von Winkeln (β, ϕ) und (βr , ϕr ) abh¨ angen. Wir gehen hierauf nicht ein, sondern verweisen auf die ausf¨ uhrliche Darstellung von R. Siegel u.a. [5.4]. Im Folgenden beschr¨anken wir uns darauf, Reﬂexionsgrade einzuf¨ uhren, die nur angeben, welcher Teil des einfallenden Strahlungsﬂusses reﬂektiert wird, ohne zu speziﬁzieren, welche Teile der reﬂektierten Energie in welche Richtungen zur¨ uckgeworfen werden. In den beiden Grenzf¨ allen der spiegelnden und diﬀusen Reﬂexion ist diese Frage jedoch beantwortet, vgl. Abb. 5.17 und 5.18. Da die Reﬂexionsgrade v¨ ollig analog zu den in 5.1.4 besprochenen Absorptionsgraden deﬁniert sind, gen¨ ugt es, die zu Tabelle 5.1 analoge Zusammenstellung von Tabelle 5.2 ohne weitere Erkl¨ arungen zu betrachten. Handelt es sich außerdem um einen f¨ ur Strahlung undurchl¨ assigen K¨orper, so gilt die Bilanz d3 Φb,ref + d3 Φb,abs = d3 Φb ,

(5.40)

wonach die auftreﬀende Strahlungsleistung entweder reﬂektiert oder absorbiert wird. Dividiert man (5.40) durch d3 Φb , so erh¨alt man die Beziehung rλ (λ, β, ϕ, T ) + aλ (λ, β, ϕ, T ) = 1 .

(5.41)

Die beiden Materialfunktionen rλ und aλ des strahlungsundurchl¨assigen K¨orpers sind also nicht unabh¨ angig von einander. Der gerichtete spektrale Reﬂexionsgrad rλ wird durch den gerichteten spektralen Absorptionsgrad aλ bestimmt. Wegen der gleichartigen Beziehungen zwischen den verschiedenen Reﬂexions- und Absorptionsgraden nach Tabelle 5.1 bzw. 5.2 gelten zu (5.41) analoge Gleichungen, mit denen die drei anderen Reﬂexionsgrade auf die entsprechenden Absorptionsgrade zur¨ uckgef¨ uhrt werden k¨onnen.

610

5 W¨ armestrahlung

Tabelle 5.2: Deﬁnitionen der Reﬂexionsgrade und die zwischen ihnen bestehenden Zusammenh¨ ange Gerichteter spektraler Reﬂexionsgrad rλ (λ, β, ϕ, T ) :=

d3 Φb,ref d3 Φb

rλ ist eine Materialeigenschaft des reﬂektierenden K¨ orpers und gibt f¨ ur jede Wellenl¨ ange λ und f¨ ur jede Richtung (β, ϕ) den reﬂektierten Teil des auftreffenden Strahlungsﬂusses d3 Φb an, der im Wellenl¨ angenintervall dλ aus einem Raumwinkelelement dω kommt. Hemisph¨ arischer spektraler Reﬂexionsgrad Z d2 Φb,ref 1 rλ (λ, T ) := = r (λ, β, ϕ, T )Kλ (λ, β, ϕ) cos β dω d2 Φb Eλ (λ) λ rλ erfasst den Strahlungsﬂuss d2 Φb , der in einem bestimmten Wellenl¨ angenintervall aus dem ganzen Halbraum kommt, und gibt f¨ ur jede Wellenl¨ ange λ den reﬂektierten Teil der spektralen Bestrahlungsst¨ arke Eλ (λ) an. Gerichteter Gesamt-Reﬂexionsgrad d2 Φb,ref 1 r (β, ϕ, T ) := = d2 Φb K(β, ϕ)

Z∞

rλ (λ, β, ϕ, T )Kλ (λ, β, ϕ) dλ

0

r erfasst den Strahlungsﬂuss d2 Φb aller Wellenl¨ angen, der aus einem bestimmten Raumwinkelelement kommt, und gibt f¨ ur jede Richtung (β, ϕ) den reﬂektierten Teil der Bestrahlungsdichte K(β, ϕ) an. Hemisph¨ arischer Gesamt-Reﬂexionsgrad r(T ) :=

=

1 E

Z∞hZ 0

dΦb,ref 1 = dΦb E

Z∞ rλ (λ, T )Eλ (λ) dλ 0

i rλ (λ, β, ϕ, T )Kλ (λ, β, ϕ) cos β dω dλ

r erfasst den Strahlungsﬂuss dΦb aller Wellenl¨ angen, der aus dem ganzen Halbraum kommt, und gibt den reﬂektierten Teil der Bestrahlungsst¨ arke an.

5.1.6 Hohlraumstrahlung. Gesetz von Kirchhoﬀ Zwischen dem Emissionsverm¨ ogen und dem Absorptionsverm¨ogen eines K¨orpers bestehen thermodynamische Zusammenh¨ange, die schon 1860 G.R.

5.1 Grundlagen. Strahlungsphysikalische Gr¨ oßen

611

Kirchhoﬀ3 [5.5] entdeckt hat. Aus ihnen folgt auch die Existenz einer Obergrenze f¨ ur den emittierten Strahlungsﬂuss. Um dies herzuleiten, betrachten wir einen adiabaten und evakuierten Hohlraum nach Abb. 5.19 mit W¨ anden aus beliebigem Material. In diesem Hohlraum stellt sich ein thermodynamischer Gleichgewichtszustand ein: Die

Abb. 5.19: Hohlraum mit adiabaten W¨ anden

Abb. 5.20: Schwarzer K¨ orper (aλ ≡ 1) in einem adiabaten und isothermen Hohlraum

W¨ ande nehmen eine u ¨ berall gleiche Temperatur T an, und der Hohlraum ist von Strahlung erf¨ ullt, die als Hohlraumstrahlung bezeichnet wird. Sie kann im Sinne der Quantenmechanik auch als ein im Gleichgewicht beﬁndliches Photonengas aufgefasst werden. Diese Gleichgewichtsstrahlung ist v¨ollig homogen, isotrop und nicht polarisiert. Sie ist an jeder Stelle des Hohlraums gleich stark und h¨ angt nicht von der Richtung ab; sie wird allein durch die Temperatur T der W¨ ande bestimmt. Die spektrale Strahldichte L∗λ der Hohlraumstrahlung h¨ angt wegen der Isotropie nicht von β und ϕ ab, sondern ist, wie Kirchhoﬀ zuerst erkannte, eine universelle Funktion der Wellenl¨ange und der Temperatur: L∗λ = L∗λ (λ, T ); sie wird auch Kirchhoﬀsche Funktion genannt. Da der Hohlraum u ullt ist, stimmt die ¨ berall von der gleichen diﬀusen Strahlung erf¨ spektrale Bestrahlungsdichte Kλ f¨ ur jedes Element einer beliebig platzierten und beliebig orientierten Fl¨ ache nach (5.25) mit der spektralen Strahldichte der Hohlraumstrahlung u ¨berein: Kλ = L∗λ (λ, T ) . 3

(5.42)

Gustav Robert Kirchhoﬀ (1824–1887) formulierte und ver¨ oﬀentlichte schon w¨ ahrend seiner Studienzeit in K¨ onigsberg die nach ihm benannten Gesetze der Stromverzweigung. Er wurde 1850 Professor in Breslau und 1854 Professor in Heidelberg, wo er zehn Jahre mit R. Bunsen zusammenarbeitete und seine Untersuchungen u uhrte. Ihre Ergeb¨ ber die Emission und Absorption von Strahlung ausf¨ nisse wurden als Kirchhoﬀsche Strahlungsgesetze und als Bunsen-Kirchhoﬀsche Spektralanalyse bekannt. 1875 folgte Kirchhoﬀ einem Ruf an die Universit¨ at Berlin als Professor f¨ ur theoretische Physik. Kirchhoﬀ ist neben seinem Lehrer F. Neumann Begr¨ under der mathematischen (theoretischen) Physik in Deutschland.

612

5 W¨ armestrahlung

Im Hohlraum beﬁnde sich ein kleiner K¨ orper, der nach Einstellung des thermischen Gleichgewichts die Temperatur T der W¨ande annimmt, Abb. 5.20. Dieser K¨ orper soll nun die besondere Eigenschaft haben, die aus jeder Richtung auftreﬀende Strahlung bei jeder Wellenl¨ange vollst¨andig zu absorbieren. Sein gerichteter spektraler Absorptionsgrad ist (unabh¨angig von λ, β, ϕ und T ) stets eins: aλ (λ, β, ϕ, T ) ≡ 1 . (5.43) Nach 5.1.4 sind auch seine drei anderen Absorptionsgrade aλ , a und a gleich eins. Dieser ideale Absorber wird nach G.R. Kirchhoﬀ Schwarzer K¨orper genannt. Nach dem 2. Hauptsatz kann sich der Zustand des Gleichgewichtssystems, bestehend aus der Hohlraumstrahlung und dem Schwarzen K¨orper, trotz der Absorption von Hohlraumstrahlung nicht ¨ andern. Der Schwarze K¨orper muss daher die von ihm absorbierte Hohlraumstrahlung durch eigene Emission ersetzen. Dies gilt f¨ ur jedes Wellenl¨ angenintervall und jedes Raumwinkelelement; anderenfalls w¨ urde sich die durch L∗λ (λ, T ) gegebene Energieverteilung der Hohlraumstrahlung ¨ andern, und das thermodynamische Gleichgewicht im Hohlraum w¨ are gest¨ ort. Somit muss der Strahlungsﬂuss d3 Φs , den der Schwarze K¨ orper in ein bestimmtes Raumwinkelelement dω und in einem bestimmten Wellenl¨ angenintervall dλ emittiert, mit dem Strahlungsﬂuss d3 Φ∗b der Hohlraumstrahlung u ¨ bereinstimmen, der auf den Schwarzen K¨orper triﬀt. F¨ ur den vom Schwarzen K¨ orper emittierten Strahlungsﬂuss gilt nach (5.4) d3 Φs = Lλs (λ, β, ϕ, T ) cos β dω dλ dA , wobei Lλs seine spektrale Strahldichte bezeichnet. Der auftreﬀende Strahlungsstrom der Hohlraumstrahlung ist nach (5.24) und (5.42) d3 Φ∗b = L∗λ (λ, T ) cos β dω dλ dA .

(5.44)

Aus der Bedingung des thermodynamischen Gleichgewichts, d3 Φs = d3 Φ∗b , folgt dann Lλs (λ, β, ϕ, T ) = L∗λ (λ, T ) . Die spektrale Strahldichte des Schwarzen K¨ orpers ist danach von der Richtung unabh¨ angig und stimmt mit der spektralen Strahldichte der Hohlraumstrahlung gleicher Temperatur u ¨ berein: Lλs (λ, T ) = L∗λ (λ, T ) .

(5.45)

Hohlraumstrahlung und die Strahlung eines Schwarzen K¨orpers (aλ ≡ 1) haben identische Eigenschaften. Der Schwarze K¨orper strahlt diﬀus; nach (5.18) gilt f¨ ur seine spektrale speziﬁsche Ausstrahlung Mλs (λ, T ) = πLλs (λ, T ) .

(5.46)

5.1 Grundlagen. Strahlungsphysikalische Gr¨ oßen

613

Wir betrachten nun einen Hohlraum mit einem K¨orper, der beliebige Strahlungseigenschaften hat, Abb. 5.21. Auch dieser K¨orper muss im thermodynamischen Gleichgewicht in jedes Raumwinkelelement und in jedem Wellenl¨ angenintervall genausoviel Energie ausstrahlen, wie er dort von der Hohlraumstrahlung absorbiert. F¨ ur seine emittierte Strahlungsleistung gilt daher d3 Φ = aλ (λ, β, ϕ, T )d3 Φ∗b

(5.47)

mit aλ als seinem gerichteten spektralen Absorptionsgrad. F¨ ur d3 Φ setzen wir

Abb. 5.21: K¨ orper mit beliebigem gerichteten spektralen Absorptionsgrad aλ im adiabaten Hohlraum

den Ausdruck nach (5.4) ein; der Strahlungsﬂuss d3 Φ∗b der Hohlraumstrahlung ist durch (5.44) gegeben. Mit (5.45) folgt daraus f¨ ur die spektrale Strahldichte des beliebigen Strahlers Lλ (λ, β, ϕ, T ) = aλ (λ, β, ϕ, T )Lλs (λ, T ) .

(5.48)

Dies ist das Gesetz von G.R. Kirchhoﬀ [5.5]: Ein beliebiger K¨orper mit gegebener Temperatur T emittiert in jedes Raumwinkelelement und in jedem Wellenl¨angenintervall soviel Strahlungsleistung, wie er dort von der Strahlung eines Schwarzen K¨orpers (=Hohlraumstrahlung) der gleichen Temperatur absorbiert. Zwischen Emissions- und Absorptionsverm¨ogen besteht somit ein enger Zusammenhang, der sich vereinfacht durch den Satz ausdr¨ ucken l¨asst: Ein guter Absorber von W¨ armestrahlung ist auch ein guter Emitter. Da der Schwarze K¨ orper der beste Absorber ist, aλ ≡ 1, emittiert er auch am meisten. Aus (5.48) folgt mit aλ ≤ 1 die Ungleichung Lλ (λ, β, ϕ, T ) ≤ Lλs (λ, T ) . Bei gegebener Temperatur emittiert der Schwarze K¨orper bei jeder Wellenl¨ ange und in jede Richtung das Maximum der Strahlungsleistung. In keinem Wellenl¨ angenintervall und in keinen Raumwinkel kann bei gleicher Temperatur ein K¨ orper mehr Strahlungsleistung aussenden als der Schwarze K¨orper. Er ist der ideale Emitter. Die Bestimmung der spektralen Strahldichte Lλs (λ, T ) des Schwarzen K¨ orpers als der thermodynamischen Obergrenze der Ausstrahlung ist daher eine wichtige Aufgabe der Theorie der W¨armestrahlung; wir behandeln sie in den folgenden Abschnitten.

614

5 W¨ armestrahlung

5.2 Die Strahlung des Schwarzen K¨ orpers Wie in 5.1.6 gezeigt wurde, gibt es nach den Haupts¨atzen der Thermodynamik eine obere Grenze f¨ ur die spektrale Strahldichte Lλ (λ, β, ϕ, T ) aller K¨orper. Diese maximale Ausstrahlung l¨ asst sich einem idealen Strahler zuordnen, dem Schwarzen K¨ orper. Seine Strahlungseigenschaften sollen im Folgenden behandelt werden.

5.2.1 Deﬁnition und Realisierung des Schwarzen K¨ orpers Ein Schwarzer K¨ orper ist dadurch deﬁniert, dass alle auftreﬀende Strahlung in ihn eindringt und in seinem Inneren vollst¨andig absorbiert wird. Es wird keine Strahlung reﬂektiert oder hindurchgelassen. Dies gilt f¨ ur Strahlung aller Wellenl¨ angen und Einfallswinkel. Der Schwarze K¨orper ist außerdem ein diffuser Strahler. Seine spektrale Strahldichte Lλs h¨angt nicht von der Richtung ab, sondern ist eine universelle Funktion Lλs (λ, T ) der Wellenl¨ange und der thermodynamischen Temperatur. Mit der spektralen speziﬁschen Ausstrahlung Mλs (λ, T ) h¨ angt die Kirchhoﬀsche Funktion Lλs (λ, T ) daher durch die einfache Beziehung Mλs (λ, T ) = πLλs (λ, T ) (5.49) zusammen, vgl. (5.46). Die Bestimmung der universellen Funktionen Lλs (λ, T ) bzw. Mλs (λ, T ) ist eine grundlegende Aufgabe der Physik. Sie wurde gegen Ende des 19. Jahrhunderts experimentell weitgehend gel¨ ost, aber eine theoretische Begr¨ undung der gemessenen Daten gelang erst 1900 M. Planck4 . Durch Annahmen, welche eine der Grundlagen der sp¨ ateren Quantentheorie bildeten, konnte er das nach ihm benannte, experimentell best¨ atigte und bis heute als richtig angesehene Gesetz f¨ ur die spektrale Strahldichte des Schwarzen K¨orpers gewinnen. 4

Max Karl Ernst Ludwig Planck (1858–1947) wurde 1885 Professor f¨ ur theoretische Physik in Kiel; von 1888 bis 1920 lehrte er als Nachfolger von G.R. Kirchhoﬀ an der Universit¨ at Berlin. Seit 1894 war er Mitglied der Preußischen Adademie der Wissenschaften. Planck behandelte seit seiner Promotion (1879) Probleme der Thermodynamik, insbesondere den zweiten Hauptsatz und den Entropiebegriﬀ. Auch sein ber¨ uhmtes Strahlungsgesetz fand er 1900 durch die Verkn¨ upfung thermodynamischer Ans¨ atze f¨ ur Energie und Entropie der Hohlraumstrahlung mit der elektromagnetischen Strahlungstheorie, statistischen Methoden und der Annahme, dass sich die Energie aus einer großen Zahl diskreter, kleiner Energieelemente (Quanten) zusammensetzt. Planck befasste sich außerdem mit der Relativit¨ atstheorie und mit den philosophischen Grundlagen der Naturwissenschaften. 1918 erhielt er den Nobel-Preis f¨ ur Physik.

5.2 Die Strahlung des Schwarzen K¨ orpers

615

Der Schwarze K¨ orper erhielt seinen Namen wegen der Eigenschaft guter Absorber, bei einfallendem sichtbarem Licht dem Auge schwarz zu erscheinen. Das Auge ist jedoch nur im kleinen Wellenl¨ angenbereich des sichtbaren Lichts, vgl. Abb. 5.1, ein Indikator f¨ ur das Absorptionsverm¨ ogen eines K¨ orpers. Deshalb erreichen schwarz erscheinende Oberﬂ¨ achen wie Ruß oder Platinschwarz nur ann¨ ahernd die beim Schwarzen K¨ orper vorausgesetzte vollst¨ andige Absorption von Strahlung aller Wellenl¨ angen.

Abb. 5.22: Isothermer Hohlraum zur Realisierung des Schwarzen K¨ orpers. 1 Isolierung; 2 Heizung; 3 Kupferzylinder; 4 reﬂektierte Strahlung; 5 polierte Fl¨ ache; 6 schwarze Fl¨ ache; 7 einfallender Strahl; 8 stark absorbierende Fl¨ ache

Um den Schwarzen K¨ orper als Bezugsnormal f¨ ur Strahlungsmessungen zu ¨ verwirklichen, verwendet man einen Hohlraum mit einer kleinen Oﬀnung nach Abb. 5.22. Ein durch diese einfallender Strahl triﬀt auf die Hohlraumwand, wird dort gr¨ oßtenteils absorbiert, und der reﬂektierte Teil triﬀt eine andere Stelle der Wand, wo er wieder absorbiert und zu einem kleinen Teil reﬂektiert wird, usw. Bei gen¨ ugend kleiner Hohlraum¨ oﬀnung kann nur ein verschwindend kleiner Teil der einfallenden Strahlung den Hohlraum wieder verlassen. Die Bedingung vollst¨ andiger ¨ Absorption der einfallenden Strahlung ist damit in hohem Maße erf¨ ullt. Die Oﬀnung des Hohlraums absorbiert also (fast) wie ein Schwarzer K¨ orper. Nach dem Gesetz von Kirchhoﬀ strahlt sie dann Schwarzk¨ orper-Strahlung aus.

616

5 W¨ armestrahlung

5.2.2 Die spektrale Strahldichte und die spektrale speziﬁsche Ausstrahlung Wir verzichten auf die Herleitung der von M. Planck [5.6] gefundenen Gleichungen f¨ ur die spektrale Strahldichte und die spektrale speziﬁsche Ausstrahlung des Schwarzen K¨ orpers, vgl. hierzu z.B. [5.7]. Sie lauten Mλs (λ, T ) = πLλs (λ, T ) =

c1 . λ5 [exp (c2 /λT ) − 1]

(5.50)

Die beiden Strahlungskonstanten c1 und c2 setzen sich aus fundamentalen Naturkonstanten zusammen, aus der Lichtgeschwindigkeit c0 im Vakuum, der Planck-Konstante h und der Boltzmann-Konstante k. Mit den Bestwerten dieser Gr¨ oßen erh¨ alt man nach [5.8] die Werte c1 = 2πhc20 = (3,741 771 07 ± 0,000 000 29) · 10−16 Wm2

(5.51a)

und c2 = hc0 /k = (14 387,752 ± 0,024) μm K .

(5.51b)

Abb. 5.23: Spektrale speziﬁsche Ausstrahlung Mλs (λ, T ) des Schwarzen K¨ orpers nach dem Planckschen Strahlungsgesetz (5.50)

Das Plancksche Gesetz (5.50) ist in Abb. 5.23 f¨ ur einige Isothermen dargestellt. Diese haben bei λ = 0 eine waagerechte Tangente. Die Ausstrahlung bei kleinen Wellenl¨ angen ist daher zuerst sehr gering, steigt aber mit wachsendem λ steil an, durchl¨ auft ein Maximum und f¨allt wieder ab. F¨ ur λ → ∞ ergibt sich der Grenzwert Mλs = 0. Charakteristisch ist die Verschiebung des Maximums zu kleinen Wellenl¨ angen bei steigender Temperatur. Dabei nimmt

5.2 Die Strahlung des Schwarzen K¨ orpers

617

der Maximalwert Mλs (λmax , T ) sehr rasch mit T zu. Die verschiedenen Isothermen schneiden sich (außer bei λ = 0) nicht; bei jeder Wellenl¨ange w¨achst die Ausstrahlung mit steigender Temperatur. In Abb. 5.24 ist Mλs in logarithmischer Auftragung wiedergegeben. Hier ist auch der Bereich des sichtbaren Lichts eingezeichnet. Nur bei gen¨ ugend hohen Temperaturen wird ein merklicher Teil der speziﬁschen Ausstrahlung in diesem Wellenl¨ angenbereich emittiert. Erst beim sogenannten Draper-Punkt bei 798 K (525 ◦ C) [5.9] wird ein erw¨ armter K¨orper in dunkler Umgebung dem menschlichen Auge als dunkelrotes Objekt sichtbar. Die Sonne emittiert Strahlung mit einer spektralen speziﬁschen Ausstrahlung, die der eines Schwarzen K¨ orpers von 5777 K ann¨ ahernd entspricht. Wie Abb. 5.24 zeigt, liegt bei dieser Temperatur das Maximum von Mλs im sichtbaren Spektralbereich. Das menschliche Auge hat sich dem angepasst und besitzt bei diesen Wellenl¨ angen seine gr¨ oßte Empﬁndlichkeit.

Abb. 5.24: Spektrale speziﬁsche Ausstrahlung Mλs (λ, T ) des Schwarzen K¨ orpers nach (5.50) in logarithmischer Auftragung. Der schraﬃerte Wellenl¨ angenbereich entspricht dem Bereich des sichtbaren Lichts.

Die Lage des Maximums von Mλs auf einer Isotherme ﬁndet man aus der Bedingung ∂ Mλs = 0 , T = const . ∂λ Dies f¨ uhrt auf die transzendente Gleichung c2 ! 1− exp (c2 /λT ) = 1 5λT

618

5 W¨ armestrahlung

mit der L¨ osung (c2 /λmax T ) = 4,965 114 23 oder λmax T = (2897,7686 ± 0,0048)μm K .

(5.52)

Dies ist eine Form des nach W. Wien5 [5.10] benannten Verschiebungsgesetzes. Man benutzt es h¨ auﬁg, um aus der gemessenen Wellenl¨ange λmax eines Strahlers auf seine Temperatur zu schließen unter der Annahme, er verhielte sich ann¨ ahernd wie ein Schwarzer K¨ orper. Die Isothermen des Planckschen Strahlungsgesetzes (5.50) lassen sich durch eine einzige Kurve wiedergeben, wenn man nicht Mλs , sondern Mλs /T 5 u ¨ ber dem Produkt λT oder der dimensionslosen Gr¨oße x := λT /c2

(5.53)

Mλs (λT ) c1 = 5 5 T (λT ) [exp (c2 /λT ) − 1]

(5.54)

Mλs (x) c1 /c52 = T5 x5 e1/x − 1

(5.55)

auftr¨ agt. Man erh¨ alt

bzw.

mit c1 /c52 = (0,606 893 5 ± 0,000 052) · 10−12 W/(μm m2 K5 ). Das Maximum dieser Funktion tritt bei xmax =

λmax T = 0,201 405 235 c2

(5.56)

auf und hat den Wert Mλs (xmax ) c1 W = 21,201 435 7 5 = (0,128 670 1 ± 0,000 001 1) · 10−10 . T5 c2 μm m2 K5 (5.57) Die Maximalwerte von Mλs wachsen also mit der f¨ unften Potenz von T . Abb. 5.25 zeigt das Verh¨ altnis Mλs (x)/Mλs (xmax ). In Tabelle 5.3 sind die nach (5.54) berechneten Werte von Mλs (λT )/T 5 als Funktion von λT angegeben. 5

Wilhelm Carl Werner Otto Fritz Franz Wien (1864–1928) wurde 1890 Assistent von Hermann v. Helmholtz an der Physikalisch-Technischen Reichsanstalt in Berlin. Dort entdeckte er 1893 das Verschiebungsgesetz und ver¨ oﬀentlichte 1896 eine Gleichung f¨ ur Mλs , die sich nur wenig vom Planckschen Gesetz unterscheidet. Wien wurde 1896 Professor f¨ ur Physik an der TH Aachen, 1899 Professor in W¨ urzburg und wechselte 1920 an die Universit¨ at M¨ unchen. 1911 erhielt er den Nobel-Preis f¨ ur Physik als W¨ urdigung seiner Arbeiten u armestrahlung. ¨ ber W¨

5.2 Die Strahlung des Schwarzen K¨ orpers

619

Abb. 5.25: Dimensionslose Darstellung des Planckschen Strahlungsgesetzes nach (5.55) und (5.57)

Die bisher f¨ ur Mλs (λ, T ) mitgeteilten Beziehungen gelten exakt f¨ ur die Strahlung des Schwarzen K¨ orpers ins Vakuum. Bei Strahlung in ein Medium mit der Brechzahl n > 1 sind die Fortpﬂanzungsgeschwindigkeit c und die Wellenl¨ ange λM kleiner als im Vakuum; dagegen bleibt die Frequenz ν unver¨ andert. Im Planckschen Gesetz ist in den Konstanten c1 und c2 die Vakuumlichtgeschwindigkeit c0 durch c und in (5.50) λ durch λM zu ersetzen. Unter Ber¨ ucksichtigung des Zusammenhangs c = c0 /n erh¨ alt man anstelle von (5.54) MλM ,s (λM T ) c1 = , n3 T 5 (nλM T )5 [exp (c2 /nλM T ) − 1] worin c1 und c2 ihre urspr¨ ungliche Bedeutung nach (5.50) haben. Man kann also die Werte von Tabelle 5.3 benutzen, wenn man λT als nλM T und Mλs /T 5 als MλM ,s /n3 T 5 interpretiert. Die speziﬁsche Ausstrahlung des Schwarzen K¨ orpers in ein Medium mit der Brechzahl n wird Z∞ MλM ,s (λM , T ) dλM = n2 Ms (T ) ,

Ms,n (T ) = 0

wobei Ms (T ) die speziﬁsche Ausstrahlung ins Vakuum bedeutet. Sie wird im n¨ achsten Abschnitt berechnet. Da die Brechzahl n von Luft und anderen Gasen sehr nahe bei eins liegt, spielt die Vergr¨ oßerung der Ausstrahlung gegen¨ uber der Emission ins Vakuum (n = 1) praktisch keine Rolle. Eine Ausnahme machen Strahlungseﬀekte in geschmolzenem Glas mit n ≈ 1,5 und in ¨ ahnlichen semitransparenten Stoﬀen, vgl. [5.11].

620

5 W¨ armestrahlung

Tabelle 5.3: Spektrale speziﬁsche Ausstrahlung des Schwarzen K¨ orpers dividiert durch die f¨ unfte Potenz der Temperatur nach (5.54) und Anteilsfunktion F (0, λT ) nach (5.60) in Abh¨ angigkeit vom Produkt λT Mλs /T 5 F (0, λT ) λT Mλs /T 5 F (0, λT ) λT Mλs /T 5 F (0, λT ) −10 −10 −10 W μm K 102 μm K 102 W5 μm K 102 W5 m μmK5 m μmK m μmK λT

1000 1050 1100 1150 1200

0,00211 0,00328 0,00485 0,00686 0,00933

0,00032 0,00056 0,00091 0,00142 0,00213

2750 2800 2850 2900 2950

0,12781 0,12830 0,12859 0,12867 0,12857

0,21660 0,22789 0,23922 0,25056 0,26191

4500 4550 4600 4650 4700

0,08641 0,08482 0,08325 0,08169 0,08016

0,56431 0,57186 0,57927 0,58654 0,59367

1250 1300 1350 1400 1450

0,01230 0,01573 0,01963 0,02395 0,02864

0,00308 0,00432 0,00587 0,00779 0,01011

3000 3050 3100 3150 3200

0,12831 0,12788 0,12730 0,12659 0,12576

0,27323 0,28453 0,29578 0,30697 0,31810

4750 4800 4850 4900 4950

0,07864 0,07715 0,07568 0,07423 0,07280

0,60067 0,60754 0,61428 0,62089 0,62737

1500 1550 1600 1650 1700

0,03365 0,03892 0,04438 0,04998 0,05563

0,01285 0,01605 0,01972 0,02388 0,02854

3250 3300 3350 3400 3450

0,12482 0,12377 0,12263 0,12141 0,12011

0,32915 0,34011 0,35097 0,36173 0,37238

5000 5050 5100 5150 5200

0,07140 0,07002 0,06866 0,06732 0,06601

0,63373 0,63996 0,64608 0,65207 0,65795

1750 1800 1850 1900 1950

0,06130 0,06691 0,07242 0,07778 0,08295

0,03369 0,03934 0,04549 0,05211 0,05920

3500 3550 3600 3650 3700

0,11875 0,11733 0,11586 0,11434 0,11279

0,38291 0,39332 0,40360 0,41375 0,42377

5250 5300 5350 5400 5450

0,06472 0,06346 0,06222 0,06100 0,05981

0,66371 0,66937 0,67491 0,68034 0,68566

2000 2050 2100 2150 2200

0,08790 0,09261 0,09704 0,10119 0,10504

0,06673 0,07469 0,08306 0,09180 0,10089

3750 3800 3850 3900 3950

0,11120 0,10959 0,10796 0,10631 0,10465

0,43364 0,44338 0,45297 0,46241 0,47172

5500 5550 5600 5650 5700

0,05863 0,05748 0,05636 0,05525 0,05417

0,69089 0,69600 0,70102 0,70594 0,71077

2250 2300 2350 2400 2450

0,10859 0,11182 0,11475 0,11737 0,11969

0,11031 0,12003 0,13002 0,14026 0,15071

4000 4050 4100 4150 4200

0,10297 0,10130 0,09962 0,09794 0,09626

0,48087 0,48987 0,49873 0,50744 0,51600

5750 5800 5850 5900 5950

0,05311 0,05207 0,05105 0,05005 0,04907

0,71550 0,72013 0,72468 0,72914 0,73351

2500 2550 2600 2650 2700

0,12172 0,12346 0,12493 0,12613 0,12709

0,16136 0,17217 0,18312 0,19419 0,20536

4250 4300 4350 4400 4450

0,09459 0,09293 0,09128 0,08965 0,08802

0,52442 0,53269 0,54081 0,54878 0,55662

6000 6050 6100 6150 6200

0,04812 0,04718 0,04626 0,04536 0,04448

0,73779 0,74199 0,74611 0,75015 0,75411

5.2 Die Strahlung des Schwarzen K¨ orpers

621

Tabelle 5.3: (Fortsetzung) Mλs /T 5 F (0, λT ) λT Mλs /T 5 F (0, λT ) λT Mλs /T 5 F (0, λT ) −10 −10 −10 W μm K 102 μm K 102 W5 μm K 102 W5 m μmK5 m μmK m μmK λT

6250 6300 6350 6400 6450

0,04362 0,04278 0,04195 0,04115 0,04035

0,75800 0,76181 0,76554 0,76921 0,77280

10000 10100 10200 10300 10400

0,01164 0,01128 0,01094 0,01061 0,01029

0,91416 0,91618 0,91814 0,92004 0,92188

17000 17200 17400 17600 17800

0,00198 0,00190 0,00182 0,00175 0,00168

0,97765 0,97834 0,97899 0,97962 0,98023

6500 6600 6700 6800 6900

0,03958 0,03808 0,03665 0,03527 0,03395

0,77632 0,78317 0,78976 0,79610 0,80220

10500 10600 10700 10800 10900

0,00998 0,00969 0,00940 0,00913 0,00886

0,92367 0,92540 0,92709 0,92872 0,93031

18000 18200 18400 18600 18800

0,00162 0,00156 0,00150 0,00144 0,00139

0,98081 0,98137 0,98191 0,98243 0,98293

7000 7100 7200 7300 7400

0,03269 0,03148 0,03033 0,02922 0,02816

0,80808 0,81374 0,81918 0,82443 0,82949

11000 11200 11400 11600 11800

0,00861 0,00812 0,00767 0,00725 0,00686

0,93185 0,93480 0,93758 0,94021 0,94270

19000 19200 19400 19600 19800

0,00133 0,00129 0,00124 0,00119 0,00115

0,98341 0,98387 0,98431 0,98474 0,98516

7500 7600 7700 7800 7900

0,02714 0,02617 0,02523 0,02434 0,02348

0,83437 0,83907 0,84360 0,84797 0,85219

12000 12200 12400 12600 12800

0,00649 0,00615 0,00583 0,00552 0,00524

0,94505 0,94728 0,94939 0,95139 0,95329

20000 20500 21000 21500 22000

0,00111 0,00102 0,00093 0,00085 0,00079

0,98555 0,98649 0,98735 0,98814 0,98886

8000 8100 8200 8300 8400

0,02266 0,02187 0,02111 0,02038 0,01969

0,85625 0,86018 0,86397 0,86763 0,87116

13000 13200 13400 13600 13800

0,00498 0,00473 0,00450 0,00428 0,00407

0,95509 0,95681 0,95843 0,95998 0,96145

22500 23000 23500 24000 24500

0,00072 0,00067 0,00062 0,00057 0,00053

0,98952 0,99014 0,99070 0,99123 0,99172

8500 8600 8700 8800 8900

0,01902 0,01838 0,01776 0,01717 0,01660

0,87457 0,87787 0,88105 0,88413 0,88711

14000 14200 14400 14600 14800

0,00388 0,00369 0,00352 0,00336 0,00321

0,96285 0,96419 0,96546 0,96667 0,96783

25000 26000 27000 28000 29000

0,00049 0,00043 0,00037 0,00032 0,00028

0,99217 0,99297 0,99368 0,99429 0,99482

9000 9100 9200 9300 9400

0,01606 0,01553 0,01503 0,01455 0,01408

0,88999 0,89278 0,89547 0,89808 0,90060

15000 15200 15400 15600 15800

0,00306 0,00292 0,00280 0,00267 0,00256

0,96893 0,96999 0,97100 0,97196 0,97289

30000 32000 34000 36000 38000

0,00025 0,00020 0,00016 0,00013 0,00010

0,99529 0,99607 0,99669 0,99719 0,99759

9500 9600 9700 9800 9900

0,01363 0,01320 0,01279 0,01239 0,01201

0,90305 0,90541 0,90770 0,90992 0,91207

16000 16200 16400 16600 16800

0,00245 0,00234 0,00225 0,00215 0,00206

0,97377 0,97461 0,97542 0,97620 0,97694

40000 45000 50000 55000 60000

0,00008 0,00005 0,00004 0,00002 0,00002

0,99792 0,99851 0,99890 0,99917 0,99935

622

5 W¨ armestrahlung

5.2.3 Die speziﬁsche Ausstrahlung und die Ausstrahlung in einem Wellenl¨ angenbereich Nach (5.8) erh¨ alt man die speziﬁsche Ausstrahlung Ms (T ) des Schwarzen K¨ orpers durch Integration von Mλs (λ, T ) u ¨ber alle Wellenl¨angen. Aus der recht komplizierten Gleichung (5.50) folgt ein erstaunlich einfaches Ergebnis. Mit c2 dλ = dx T nach (5.53) ergibt sich aus (5.55) ∞ Ms (T ) =

∞ Mλs (λ, T ) dλ = c2 T

0

4 0

Mλs (x) c1 dx = 4 T 4 T5 c2

∞ x5 0

dx . 1/x e −1

Das bestimmte Integral hat den Wert π 4 /15, so dass man Ms (T ) = σT 4

(5.58)

mit σ=

c1 π 4 2 π5 k4 W = = (5,670 400 ± 0,000 040) · 10−8 2 4 4 c2 15 15 c20 h3 m K

(5.59)

erh¨ alt, [5.8]. Der beste direkt gemessene, aber ungenauere Wert ist σ = (5,669 59 ± 0,000 76) · 10−8 W/m2 K4 nach [5.12]. Gl. (5.58) ist das ber¨ uhmte Gesetz von Stefan und Boltzmann, vgl. auch Abschnitt 1.1.5. J. Stefan [5.13] hat es 1879 aufgrund experimenteller Ergebnisse aufgestellt, w¨ ahrend L. Boltzmann [5.14] diesen Zusammenhang zwischen speziﬁscher Ausstrahlung und Temperatur 1884 durch thermodynami¨ sche Uberlegungen aus Ergebnissen der klassischen elektromagnetischen Theorie der Strahlung herleitete. Beide Forscher konnten nat¨ urlich nicht die Konstante σ, die auch Stefan-Boltzmann-Konstante genannt wird, auf fundamentale Naturkonstanten zur¨ uckf¨ uhren, denn das Auftreten der Planck-Konstante h in (5.59) zeigt, dass dies nur unter Anwendung der Quantentheorie m¨oglich ist. Die speziﬁsche Ausstrahlung Ms (T ) des Schwarzen K¨orpers nach (5.34) wird in Abb. 5.26 durch die gesamte Fl¨ ache unter der Isotherme von Mλs (λ, T ) dargestellt. Bei vielen Berechnungen des Strahlungsaustausches m¨ochte man den Teil der speziﬁschen Ausstrahlung bestimmen, der in einem bestimmten Wellenl¨ angenintervall (λ1 , λ2 ) emittiert wird. Dieser Teil entspricht der in Abb. 5.26 schraﬃerten Fl¨ ache. Zu seiner Berechnung deﬁniert man die Anteils- oder Verh¨ altnisfunktion 0λ2 F (λ1 , λ2 ) :=

λ1 0∞ 0

Mλs (λ, T ) dλ Mλs (λ, T ) dλ

1 = σT 4

λ2 Mλs (λ, T ) dλ . λ1

5.2 Die Strahlung des Schwarzen K¨ orpers

Abb. 5.26: Isotherme von Mλs (λ, T ). Die speziﬁsche Ausstrahlung im Wellenl¨ angenintervall (λ1 , λ2 ) entspricht der schraﬃerten Fl¨ ache.

623

Abb. 5.27: Funktion F (0, λ) nach (5.60), dargestellt als Verh¨ altnis der schraﬃerten Fl¨ ache zur gesamten Fl¨ ache unter der Isotherme von Mλs (λ, T ).

Mit Hilfe der Funktion 1 F (0, λ) := σT 4

λ Mλs (λ, T ) dλ ,

(5.60)

0

die in Abb. 5.27 veranschaulicht ist, kann man F (λ1 , λ2 ) durch F (λ1 , λ2 ) = F (0, λ2 ) − F (0, λ1 )

(5.61)

ausdr¨ ucken. F¨ uhrt man statt λ die dimensionslose Variable x nach (5.53) ein, so l¨asst sich F (0, λ) als Funktion allein von x darstellen: λT 15 F (0, x) = F (0, )= 4 c2 π

x 0

dx , x5 e1/x − 1

(5.62)

Abb. 5.28. Da sich x und λT nur durch die Strahlungskonstante c2 unterscheiden, benutzt man f¨ ur die Anwendungen die Funktion F (0, λT ). Sie ist in Tabelle 5.3 vertafelt. F¨ ur λmax T nach (5.52) erh¨ alt man F (0, λmax T ) = 0,250 05. Somit f¨ allt sehr genau, aber nicht exakt, ein Viertel der speziﬁschen Ausstrahlung des Schwarzen K¨ orpers bei allen Temperaturen in den Wellenl¨angenbereich λ ≤ λmax . Die analytische Darstellung des Integrals (5.62) ist durch Integration einer Reihenentwicklung des Integranden m¨ oglich. Mit y := 1/x = c2 /λT erh¨ alt man die f¨ ur alle y konvergente Reihe F (0, y) =

∞ 15 X e−my {[(my + 3)my + 6] my + 6} . π 4 m=1 m4

F¨ ur y < 2 ist es g¨ unstiger, die Reihe „ « 15 3 1 y y2 y4 y6 y8 F (0, y) = 1 − 4 y − + − + − +··· π 3 8 60 5040 272160 13305600 zu benutzen, vgl. [5.15], [5.16].

624

5 W¨ armestrahlung

Abb. 5.28: Funktion F (0, λT /c2 ) nach (5.62) in Abh¨ angigkeit von x = λT /c2

Beispiel 5.3: Die Sonne kann durch eine strahlende Kugel mit dem Radius RS = 6,96 · 108 m angen¨ ahert werden. Der Abstand zwischen Erde und Sonne betr¨ agt im Mittel DES = 1,496 · 1011 m. In diesem Abstand hat die Bestrahlungsst¨ arke einer normal zur Sonne gerichteten und am ¨ außeren Rand der Erdatmosph¨ are beﬁndlichen Fl¨ ache den Wert E0 = 1367 W/m2 , der als Solarkonstante bezeichnet wird. Die extraterrestrische Sonnenstrahlung soll als Strahlung eines Schwarzen K¨ orpers betrachtet werden. Unter dieser Annahme bestimme man die speziﬁsche Ausstrahlung MS der Sonne und ihre Oberﬂ¨ achentemperatur TS . Welcher Teil der von der Sonne ausgehenden Strahlung f¨ allt in den Bereich des sichtbaren Lichts (0,38 μm ≤ λ ≤ 0,78 μm)? Abb. 5.29: Geometrie des Systems Sonne-Erde (nicht maßst¨ ablich) und schematische Darstellung der Bestrahlung eines Fl¨ achenelements dA im Abstand DES vom Sonnenmittelpunkt, RS Sonnenradius Die von der Sonne ausgehende Strahlungsleistung ist ΦS = 4πRS2 MS (TS ) . Diese Strahlungsleistung durchdringt auch eine (gedachte) Kugelﬂ¨ ache, die im Abstand DES konzentrisch um die Sonne liegt, Abb. 5.29. Somit gilt 2 ΦS = 4πDES E0

mit E0 als der Solarkonstante. Wir erhalten daraus f¨ ur die speziﬁsche Ausstrahlung der Sonne „ «2 DES MW MS (TS ) = E0 = 63,16 . RS m2 Ein Schwarzer K¨ orper mit dieser speziﬁschen Ausstrahlung hat nach dem Gesetz von Stefan-Boltzmann die Temperatur

5.3 Strahlungseigenschaften realer K¨ orper „ TS =

MS σ

«1/4

„ =

DES RS

«1/2 „

E0 σ

625

«1/4 = 5777 K .

In erster N¨ aherung kann extraterrestrische Solarstrahlung als Strahlung eines Schwarzen K¨ orpers dieser Temperatur angesehen werden, vgl. auch Abschnitt 5.3.5. Der Anteil der Strahlung, den dieser Schwarze K¨ orper im Wellenl¨ angenintervall zwischen λ1 = 0,38 μm und λ2 = 0,78 μm ausstrahlt, ist nach (5.61) und (5.62) F (λ1 , λ2 ) = F (0, λ2 TS ) − F (0, λ1 TS ) . F¨ ur λ2 TS = 4506 μm K und λ1 TS = 2195 μm K ﬁndet man aus Tabelle 5.3 F (λ1 , λ2 ) = 0,5652 − 0,1000 = 0,4652 als N¨ aherungswert f¨ ur den Anteil der Solarstrahlung im sichtbaren Wellenl¨ angenbereich.

5.3 Strahlungseigenschaften realer K¨ orper In den folgenden Abschnitten gehen wir auf die Strahlungseigenschaften realer K¨ orper ein, die sich hinsichtlich der Richtungsabh¨angigkeit und der spektralen Verteilung der ausgestrahlten Energie erheblich vom Schwarzen K¨orper unterscheiden. Um diese Abweichungen zu erfassen, deﬁniert man die Emissionsgrade realer Strahler. Das Gesetz von Kirchhoﬀ verkn¨ upft Emissionsgrade und Absorptionsgrade und legt die Einf¨ uhrung eines halbidealen“ Strah” lers, des diﬀus strahlenden grauen K¨ orpers nahe, der h¨auﬁg als N¨aherung bei Strahlungsaustauschrechnungen benutzt wird. Bei der Behandlung der Emissionsgrade realer Strahler benutzen wir die Ergebnisse der klassischen elektromagnetischen Theorie der Strahlung. Im letzten Abschnitt werden die Eigenschaften strahlungsdurchl¨ assiger K¨ orper (z.B. Glas) behandelt.

5.3.1 Emissionsgrade Nach dem Gesetz von Kirchhoﬀ emittiert der Schwarze K¨orper bei jeder Wellenl¨ ange und in jede Richtung des Halbraums das Maximum der Strahlungsenergie. Es liegt daher nahe, die vier Strahlungsgr¨oßen, welche nach 5.1.2 die Ausstrahlung eines beliebigen Strahlers charakterisieren, auf ihre Maximalwerte, n¨ amlich die entsprechenden Gr¨ oßen eines Schwarzen K¨orpers mit der gleichen Temperatur zu beziehen. Dies f¨ uhrt zur Deﬁnition von vier dimensionslosen Verh¨ altnisgr¨ oßen, die kleiner als eins sind und Emissionsgrade genannt werden. Diese vier Emissionsgrade sind Materialeigenschaften des Strahlung aussendenden K¨ orpers. Die Deﬁnitionen der vier Emissionsgrade sind in Tabelle 5.4 zusammengestellt. Sie enth¨alt außerdem die Beziehungen, mit denen die drei anderen Emissionsgrade aus dem gerichteten spektralen Emissionsgrad ελ (λ, β, ϕ, T )

626

5 W¨ armestrahlung

Tabelle 5.4: Deﬁnitionen der Emissionsgrade und die zwischen ihnen bestehenden Zusammenh¨ ange Gerichteter spektraler Emissionsgrad ελ (λ, β, ϕ, T ) :=

Lλ (λ, β, ϕ, T ) Lλs (λ, T )

ελ beschreibt die Richtungs- und Wellenl¨ angenverteilung des emittierten Strahlungsﬂusses durch Vergleich der spektralen Strahldichte Lλ mit der des Schwarzen K¨ orpers. Hemisph¨ arischer spektraler Emissionsgrad Mλ (λ, T ) ελ (λ, T ) := M λs (λ, T ) Z 1 ελ (λ, T ) = ε (λ, β, ϕ, T ) cos β dω π λ ελ beschreibt die Wellenl¨ angenverteilung der in den Halbraum emittierten Strahlungsleistung durch Vergleich der spektralen speziﬁschen Ausstrahlung Mλ mit der des Schwarzen K¨ orpers. Gerichteter Gesamt-Emissionsgrad L(β, ϕ, T ) π ε (β, ϕ, T ) := = L(β, ϕ, T ) Ls (T ) σT 4 ∞ Z 1 ε (β, ϕ, T ) = ελ (λ, β, ϕ, T )Lλs (λ, T ) dλ Ls (T ) 0

ε beschreibt die Richtungsverteilung des emittierten Strahlungsﬂusses aller Wellenl¨ angen durch Vergleich der Strahldichte L mit der des Schwarzen K¨ orpers. Hemisph¨ arischer Gesamt-Emissionsgrad M (T ) M (T ) ε(T ) := = Ms (T ) σT 4 Z∞ Z 1 1 ε(T ) = ελ (λ, T )Mλs (λ, T ) dλ = ε (β, ϕ, T ) cos β dω Ms (T ) π 0

ε vergleicht die speziﬁsche Ausstrahlung M mit der des Schwarzen K¨ orpers.

berechnet werden k¨ onnen. Dieser Emissionsgrad beschreibt die Richtungsund die Wellenl¨angenverteilung des emittierten Strahlungsﬂusses, w¨ahrend der hemisph¨ arische spektrale Emissionsgrad ελ (λ, T ) nur die spektrale Energieverteilung angibt und der gerichtete Gesamt-Emissionsgrad ε (β, ϕ, T ) nur die Verteilung auf die Raumwinkel des Halbraums beschreibt. Der hemisph¨arische Gesamt-Emissionsgrad ε(T ) — er wird oft nur Emissionsgrad genannt — hat dagegen nicht den Charakter einer Verteilungsfunktion; er gibt nur an, um welchen, von der Temperatur abh¨ angigen Faktor die speziﬁsche Ausstrahlung

5.3 Strahlungseigenschaften realer K¨ orper

627

M (T ) eines realen K¨ orpers kleiner ist als die speziﬁsche Ausstrahlung Ms (T ) des Schwarzen K¨orpers mit derselben Temperatur. Aus den Deﬁnitionsgleichungen der Emissionsgrade erh¨alt man die folgenden Beziehungen f¨ ur die vier Strahlungsgr¨ oßen der Ausstrahlung eines realen K¨ orpers. Seine spektrale Strahldichte Lλ wird Lλ (λ, β, ϕ, T ) = ελ (λ, β, ϕ, T )Lλs (λ, T ) ,

(5.63)

wobei die spektrale Strahldichte Lλs des Schwarzen K¨orpers durch die Plancksche Funktion nach (5.50) gegeben ist. Da der Schwarze K¨orper ein LambertStrahler ist, erfasst allein ελ die Abweichungen der realen Ausstrahlung vom Lambertschen Cosinusgesetz. Dies triﬀt auch auf den gerichteten GesamtEmissionsgrad ε (β, ϕ, T ) zu, mit dem die Strahldichte L des realen K¨orpers durch σ L(β, ϕ, T ) = ε (β, ϕ, T )Ls (T ) = ε (β, ϕ, T ) T 4 (5.64) π ausgedr¨ uckt wird. In der Regel h¨ angen die gerichteten Emissionsgrade ελ (λ, β, ϕ, T ) und ε (β, ϕ, T ) nicht vom Azimutwinkel ϕ ab. Die Integration u ¨ ber alle Raumwinkel des Halbraums, die nach Tabelle 5.4 von ελ zu ελ und von ε zu ε f¨ uhrt, vereinfacht sich dann. Man erh¨ alt 1 ελ (λ, T ) = π

π/2 Z2π Z

ελ (λ, β, T ) cos β

ϕ=0 β=0

Zπ/2 sin β dβ dϕ = 2

ελ (λ, β, T ) cos β sin β dβ .

β=0

(5.65) und ebenso

π/2 Z

ε(T ) = 2

ε (β, T ) cos β sin β dβ .

(5.66)

β=0

F¨ ur die spektrale speziﬁsche Ausstrahlung des realen K¨orpers gilt Mλ (λ, T ) = ελ (λ, T )Mλs (λ, T ) ,

(5.67)

wobei die spektrale speziﬁsche Ausstrahlung Mλs des Schwarzen K¨orpers durch (5.50) gegeben ist. Abb. 5.30 veranschaulicht (5.67) f¨ ur eine gegebene Temperatur. Jede Ordinate von Mλs (λ, T ) ist um den Faktor ελ (λ, T ) verkleinert. Die schraﬃerte Fl¨ ache entspricht der speziﬁschen Ausstrahlung des realen K¨ orpers, denn es gilt ∞ M (T ) =

∞ Mλ (λ, T ) dλ =

0

= ε(T )σT 4 .

ελ (λ, T )Mλs (λ, T ) dλ = ε(T )Ms (T ) 0

(5.68)

628

5 W¨ armestrahlung Abb. 5.30: Spektrale speziﬁsche Ausstrahlung Mλ (λ, T ) eines realen K¨ orpers im Vergleich zur spektralen speziﬁschen Ausstrahlung Mλs (λ, T ) des Schwarzen K¨ orpers bei derselben Temperatur. Die schraﬃerte Fl¨ ache stellt die speziﬁsche Ausstrahlung M (T ) des realen K¨ orpers dar.

5.3.2 Die Beziehungen zwischen Emissions-, Absorptions- und Reﬂexionsgraden. Der graue Lambert-Strahler 5.3.2.1 Folgerungen aus dem Gesetz von Kirchhoﬀ Zwischen Emissions- und Absorptionsverm¨ ogen eines K¨orpers besteht nach dem Gesetz von Kirchhoﬀ ein enger Zusammenhang, vgl. 5.1.6. Nach (5.48) erhielten wir f¨ ur die spektrale Strahldichte eines beliebigen K¨orpers die Gleichung Lλ (λ, β, ϕ, T ) = aλ (λ, β, ϕ, T )Lλs (λ, T ) als quantitativen Ausdruck des Kirchhoﬀschen Gesetzes. Hierin ist der gerichtete spektrale Absorptionsgrad aλ die Materialeigenschaft, die das Absorptionsverm¨ ogen des K¨ orpers kennzeichnet. Der Vergleich dieser Beziehung mit (5.63) ergibt aλ (λ, β, ϕ, T ) = ελ (λ, β, ϕ, T ) . (5.69) Der gerichtete spektrale Absorptionsgrad eines realen Strahlers stimmt mit seinem gerichteten spektralen Emissionsgrad ¨ uberein. Auch der gerichtete spektrale Reﬂexionsgrad rλ eines strahlungsundurchl¨ assigen K¨ orpers l¨ asst sich auf seinen gerichteten spektralen Emissionsgrad ελ zur¨ uckf¨ uhren. Nach (5.41) und (5.69) gilt n¨ amlich rλ (λ, β, ϕ, T ) = 1 − aλ (λ, β, ϕ, T ) = 1 − ελ (λ, β, ϕ, T ) .

(5.70)

Danach gen¨ ugt eine einzige Materialfunktion, um das Emissions-, Absorptions- und Reﬂexionsverm¨ ogen eines strahlungsundurchl¨assigen K¨orpers zu beschreiben. Nach Tabelle 5.4 lassen sich die Emissionsgrade ελ , ε und ε aus ελ berechnen. Entsprechendes gilt bei bekannter spektraler Bestrahlungsdichte Kλ der auftreﬀenden Strahlung f¨ ur die Berechnung von aλ , a und a aus aλ sowie von rλ , r und r aus rλ , vgl. Tabelle 5.1 und 5.2. Somit wird tats¨achlich nur eine einzige Materialfunktion, z.B. ελ = ελ (λ, β, ϕ, T ), ben¨otigt, um alle Strahlungseigenschaften eines realen K¨ orpers zu erfassen6 . Dies ist ein Bei6

Dies gilt jedoch mit der Einschr¨ ankung, dass nicht die gerichtet-gerichteten Reﬂexionsgrade erfasst werden, welche die Richtungsverteilung der reﬂektierten Strahlung beschreiben; vgl. hierzu die Bemerkungen in 5.1.5 sowie [5.4], S. 71 ﬀ.

5.3 Strahlungseigenschaften realer K¨ orper

629

spiel daf¨ ur, wie die Haupts¨ atze der Thermodynamik die F¨ ulle der m¨oglichen Materialfunktionen (Zustandsgleichungen) eines Systems einschr¨anken. 5.3.2.2 Die Berechnung von Absorptionsgraden aus Emissionsgraden Die aus dem Kirchhoﬀschen Gesetz folgende Gleichheit der gerichteten spektralen Absorptions- und Emissionsgrade, aλ = ελ , legt es nahe zu untersuchen, ob auch die drei anderen (integrierten) Absorptionsgrade aλ , a und a aus den entsprechenden Emissionsgraden ελ , ε und ε berechnet werden k¨ onnen. Dies wird ohne zus¨ atzliche Annahmen nicht m¨oglich sein, denn die Absorptionsgrade aλ , a und a sind keine Materialeigenschaften des absorbierenden K¨ orpers, weil sie auch von der spektralen Bestrahlungsdichte Kλ der auftreﬀenden Strahlung abh¨ angen, vgl. Tabelle 5.1. Die Emissionsgrade ελ , ε und ε sind dagegen reine Materialeigenschaften. Es bedarf daher einer genauen Pr¨ ufung, ob und unter welchen Bedingungen die zu (5.69) analogen Gleichungen aλ = ελ , a = ε und a = ε gelten. Sollen die hemisph¨ arischen spektralen Absorptions- und Emissionsgrade u ¨ bereinstimmen, soll also aλ (λ, T ) = ελ (λ, T ) gelten, so muss nach Tabelle 5.1 und 5.4 die Gleichung

1 Eλ (λ)

Z

ελ (λ, β, ϕ, T )Kλ (λ, β, ϕ) cos β dω =

1 π

Z

ελ (λ, β, ϕ, T ) cos β dω

(5.71)

erf¨ ullt sein. Dabei wurde auf der linken Seite nach dem Kirchhoﬀschen Gesetz aλ durch ελ ersetzt. Gleichung (5.71) ist nur in zwei F¨ allen erf¨ ullt: 1. Der K¨ orper hat eine diﬀus strahlende Oberﬂ¨ ache (Lambert-Strahler); dann gilt ελ = ελ (λ, T ). 2. Es liegt diﬀuse Bestrahlung mit Kλ = Kλ (λ) vor, vgl. Abschnitt 5.1.3. Soll der gerichtete Gesamt-Absorptionsgrad a mit dem gerichteten GesamtEmissionsgrad ε u ¨ bereinstimmen, a (β, ϕ, T ) = ε (β, ϕ, T ), so muss nach Tabelle 5.1 und 5.4 1 K(β, ϕ)

Z∞

ελ (λ, β, ϕ, T )Kλ (λ, β, ϕ) dλ =

0

1 Ls (T )

Z∞ 0

gelten. Dies ist wieder in zwei F¨ allen m¨ oglich:

ελ (λ, β, ϕ, T )Lλs (λ, T ) dλ

(5.72)

630

5 W¨ armestrahlung

1. Der gerichtete spektrale Emissionsgrad h¨ angt nicht von der Wellenl¨ ange λ ab: ελ = ελ (β, ϕ, T ). Ein K¨ orper mit dieser Eigenschaft wird grauer K¨ orper oder grauer Strahler genannt. 2. Die auftreﬀende Strahlung gen¨ ugt der Bedingung Kλ (λ, β, ϕ) = C(β, ϕ) · Lλs (λ, T ), wobei der Faktor C nicht von λ abh¨ angt. Schließlich bleibt zu untersuchen, unter welchen Bedingungen die hemisph¨ arischen Gesamtgr¨ oßen a und ε u ¨ bereinstimmen, so dass a(T ) = ε(T ) gesetzt werden kann. Nach Tabelle 5.1 und 5.4 muss nun die Gleichung Z »∞ R

ελ (λ, β, ϕ, T )Kλ (λ, β, ϕ) dλ

– cos β dω

0

Z »∞ R

=

– Kλ (λ, β, ϕ) dλ cos β dω

0

1 Ms (T )

Z

2∞ 3 Z 4 ελ (λ, β, ϕ, T )Lλs (λ, T ) dλ5 cos β dω

(5.73)

0

erf¨ ullt sein. Dies ist in vier F¨ allen m¨ oglich: 1. Der K¨ orper ist zugleich ein diﬀuser und ein grauer Strahler: ελ = ελ (T ). 2. Der K¨ orper ist ein diﬀuser Strahler, ελ = ελ (λ, T ), und die spektrale Bestrahlungsst¨ arke Kλ der einfallenden Strahlung hat eine Wellenl¨ angenabh¨ angigkeit wie Schwarzk¨ orperstrahlung mit der Temperatur des absorbierenden K¨ orpers: Kλ (λ, β, ϕ) = C(β, ϕ) · Lλs (λ, T ). 3. Der K¨ orper ist ein grauer Strahler, ελ = ελ (β, ϕ, T ), und Kλ ist von der Richtung unabh¨ angig (diﬀuse Bestrahlung), Kλ = Kλ (λ). 4. Der K¨ orper hat beliebige Strahlungseigenschaften. Die spektrale Bestrahlungsst¨ arke Kλ ist von der Richtung unabh¨ angig und der spektralen Strahldichte eines Schwarzen K¨ orpers mit der Temperatur der absorbierenden Oberﬂ¨ ache proportional: Kλ = C · Lλs (λ, T ). Der Nachweis f¨ ur die Richtigkeit der genannten Bedingungen, unter denen die Gln. (5.71) bis (5.73) gelten, bleibe dem Leser u ¨ berlassen.

Die Gleichheit der drei Paare von Absorptions- und Emissionsgraden, n¨ amlich aλ (λ, T ) = ελ (λ, T ), a (β, ϕ, T ) = ε (β, ϕ, T ) und a(T ) = ε(T ), ist nur dann gegeben, wenn die absorbierende und emittierende Oberﬂ¨ache besondere Eigenschaften hat oder wenn die spektrale Bestrahlungsdichte Kλ der einfallenden Strahlung bestimmten Bedingungen hinsichtlich ihrer Richtungsund Wellenl¨ angenabh¨ angigkeit gen¨ ugt. Diese Bedingungen erf¨ ullt insbesondere einfallende Schwarzk¨ orperstrahlung, wenn der Schwarze K¨orper die gleiche Temperatur wie der absorbierende K¨ orper hat, was ja f¨ ur die W¨arme¨ ubertragung nicht zutriﬀt. In der Praxis haben daher die F¨alle gr¨oßere Bedeutung, bei denen der gerichtete spektrale Emissionsgrad ελ des absorbierenden

5.3 Strahlungseigenschaften realer K¨ orper

631

K¨ orpers besondere Bedingungen wenigstens n¨ aherungsweise erf¨ ullt. Wir fassen sie nochmals zusammen: 1. Wenn ελ = ελ (λ, T ) ist (diﬀus strahlende Oberﬂ¨ache), gilt aλ (λ, T ) = ελ (λ, T ) = ελ (λ, T ) .

(5.74)

2. Wenn ελ = ελ (β, ϕ, T ) ist (grau strahlende Oberﬂ¨ache), gilt a (β, ϕ, T ) = ε (β, ϕ, T ) = ελ (β, ϕ, T ) .

(5.75)

3. Wenn ελ = ελ (T ) ist (diﬀus und grau strahlende Oberﬂ¨ache), gilt a(T ) = ε(T ) = ελ (T ) .

(5.76)

Sind die genannten Bedingungen f¨ ur ελ erf¨ ullt, so gelten (5.74) bis (5.76) f¨ ur einfallende Strahlung mit beliebiger spektraler Bestrahlungsdichte Kλ . 5.3.2.3 Der graue Lambert-Strahler Zur Berechnung des Strahlungsaustausches benutzt man vorzugsweise das im letzten Abschnitt genannte Modell des diﬀus und grau strahlenden K¨orpers als einfache N¨ aherung f¨ ur das Strahlungsverhalten realer K¨orper. Da f¨ ur dieses Modell das Lambertsche Cosinusgesetz gilt, bezeichnen wir diesen K¨orper als grauen Lambert-Strahler. Die von ihm ausgestrahlte Energie ist wie bei

Abb. 5.31: Spektrale speziﬁsche Ausstrahlung Mλ (λ, T ) = ε(T ) Mλs (λ, T ) eines grauen Lambert-Strahlers bei einer bestimmten Temperatur

einem Schwarzen K¨ orper auf die Richtungen des Halbraums und das Spektrum verteilt; jedoch sind die speziﬁsche Ausstrahlung Mλ (λ, T ) und die spektrale Strahldichte Lλ (λ, T ) um den allein von der Temperatur abh¨angigen Emissionsgrad ε(T ) gegen¨ uber den entsprechenden Funktionen des Schwarzen K¨ orpers verringert, Abb. 5.31: Mλ (λ, T ) = πLλ (λ, T ) = ε(T )Mλs (λ, T ) .

(5.77)

Dabei bedeutet Mλs (λ, T ) die Planck-Funktion nach (5.50). Der Emissionsgrad ε(T ) ist die einzige Materialfunktion des grauen Lambert-Strahlers; denn

632

5 W¨ armestrahlung

alle vier Emissionsgrade sind gleich und stimmen mit den vier Absorptionsgraden u ¨berein: ε(T ) = ε (T ) = ελ (T ) = ελ (T ) = aλ (T ) = aλ (T ) = a (T ) = a(T ) .

(5.78)

Reale K¨ orper sind oft in guter N¨ aherung Lambert-Strahler. Dagegen h¨ angen ελ und ελ in der Regel merklich von der Wellenl¨ange ab. Die Annahme der grau strahlenden Fl¨ ache triﬀt dann nicht zu. Sie ist aber eine gute N¨ aherung, wenn die Wellenl¨ angenbereiche mit merklicher spektraler speziﬁscher Ausstrahlung Mλ und merklicher spektraler Bestrahlungsst¨arke Eλ in einem Wellenl¨ angenintervall liegen, in dem ελ nahezu konstant ist. Dies ist in Abb. 5.32 veranschaulicht, wo angenommen ist, dass bei kleinen Wellenl¨angen Strahlung weder emittiert wird noch auftriﬀt und absorbiert wird. Dies triﬀt auf Strahlungsquellen nicht zu hoher Temperatur zu. F¨allt jedoch Sonnenstrahlung, deren Maximum bei kleinen Wellenl¨angen λ < λ1 liegt, auf den in Abb. 5.32 betrachteten K¨ orper, so wird a = ε; die Annahme eines grauen K¨ orpers ist nun nicht gerechtfertigt, so dass besondere Absorptionsgrade aS f¨ ur Solarstrahlung verwendet werden m¨ ussen, vgl. Abschnitt 5.4.5.

Abb. 5.32: Ann¨ ahernd konstanter spektraler Emissionsgrad ελ f¨ ur λ > λ1 sowie Verlauf der spektralen speziﬁschen Ausstrahlung Mλ und der spektralen Bestrahlungsst¨ arke Eλ , so dass ein grauer Strahler angenommen werden kann

Beispiel 5.4: Ein Material habe einen gerichteten spektralen Emissionsgrad, der nur vom Polarwinkel β abh¨ angt: ελ (λ, β, ϕ, T ) = ε (β). Diese Richtungsabh¨ angigkeit sei durch j ε1 = 0,20 f¨ ur 0 ≤ β < π/4 ε (β) = ε2 = 0,50 f¨ ur π/4 ≤ β ≤ π/2 gegeben. Die Außenhaut eines Satelliten besteht aus diesem Material und ist Solarstrahlung mit der Flussdichte q˙sol = 1500 W/m2 ausgesetzt. Welche Temperatur nimmt die Oberﬂ¨ ache des Satelliten an, wenn sie senkrecht von Solarstrahlung getroﬀen wird? Welche Temperatur stellt sich ein, wenn die Oberﬂ¨ ache mit der Richtung der Solarstrahlung den Winkel π/6 = 30◦ bildet? Ein W¨ armestrom zwischen der Oberﬂ¨ ache und dem Inneren des Satelliten ist zu vernachl¨ assigen; die Temperatur des Weltraums kann zu TW = 0 K angenommen werden.

5.3 Strahlungseigenschaften realer K¨ orper

633

Unter den gegebenen Annahmen muss die speziﬁsche Ausstrahlung M (T ) = εσT 4 der Satellitenoberﬂ¨ ache gleich der Energiestromdichte q˙abs sein, die sie von der auftreﬀenden Solarstrahlung absorbiert: εσT 4 = q˙abs = a (β)E = ε (β)q˙sol cos β . Hierbei wurde (5.75) benutzt, weil ein grauer Strahler (ελ unabh¨ angig von λ) vorliegt. Die gesuchte Temperatur T der Satellitenoberﬂ¨ ache wird dann r 4 ε (β)q˙sol cos β T = . (5.79) εσ In dieser Gleichung bedeutet ε den hemisph¨ arischen Gesamt-Emissionsgrad, der nach (5.66) zu berechnen ist. Hierf¨ ur erh¨ alt man ε = 2 ε1

π/4 π/2 Z Z cos β sin β dβ + 2 ε2 cos β sin β dβ . 0

π/4

Die beiden Integrale haben jeweils den Wert 1/4, so dass sich ε = 12 (ε1 + ε2 ) = 0,35 ergibt. F¨ ur senkrechten Strahlungseinfall ist β = 0, und man erh¨ alt aus (5.79) T = 351 K. Wenn die Oberﬂ¨ ache und die Richtung der Solarstrahlung den Winkel π/6 bilden, betr¨ agt der Polarwinkel β = π/2 − π/6 = π/3. Der f¨ ur die Absorption maßgebende gerichtete Emissionsgrad ε (β) nimmt jetzt den gr¨ oßeren Wert ε2 an, w¨ ahrend die Bestrahlungsst¨ arke um den Faktor cos β = cos(π/3) = 0,5 zur¨ uckgeht. Beide Einﬂ¨ usse kompensieren sich teilweise, so dass (5.79) die nur wenig h¨ ohere Oberﬂ¨ achentemperatur T = 371 K liefert.

5.3.3 Emissionsgrade realer K¨ orper Die Strahlungseigenschaften eines strahlungsundurchl¨assigen K¨orpers werden nach 5.3.2.1 durch seinen gerichteten spektralen Emissionsgrad ελ = ελ (λ, β, ϕ, T ) erfasst. Um diese Materialfunktion experimentell zu bestimmen, sind umfangreiche Messungen erforderlich, denn es muss die Abh¨angigkeit von der Wellenl¨ ange, von der Richtung und von der Temperatur ermittelt werden. Derart umfassende Messungen sind bisher f¨ ur keinen Stoﬀ ausgef¨ uhrt worden. Man beschr¨ ankt sich h¨ auﬁg auf die Bestimmung des Emissionsgrads ελ,n in Richtung der Fl¨ achennormale (β = 0), des Emissionsgrads f¨ ur wenige ausgew¨ ahlte Wellenl¨ angen, oder man misst nur den hemisph¨arischen GesamtEmissionsgrad ε. Zur Unvollst¨ andigkeit der Strahlungsmessungen kommt als weitere Schwierigkeit die starke Abh¨ angigkeit der Ergebnisse von der Oberﬂ¨achenbeschaﬀenheit hinzu. Neben Rauhigkeiten spielen Verunreinigungen eine Rolle. Schon ein sehr d¨ unner Wasserﬁlm oder eine Oxidschicht kann das Strahlungsverhalten gegen¨ uber dem des Grundmaterials v¨ ollig ver¨andern. So u ¨ berrascht es nicht, dass sich die von verschiedenen Forschern gemessenen Emissionsgrade oft merklich unterscheiden. Leider werden bei der Beschreibung der Versuche

634

5 W¨ armestrahlung

die Oberﬂ¨ acheneigenschaften nur ungenau oder unvollst¨andig charakterisiert, was h¨ auﬁg auch objektiv nicht besser geschehen kann; denn quantitative Maße f¨ ur die Eigenschaften von Oberﬂ¨ achen fehlen weitgehend. Die in den Tabellen B.12 und B.13 des Anhangs aufgef¨ uhrten Emissionsgrade m¨ ussen daher als relativ unsicher angesehen werden. Angesichts der experimentellen Schwierigkeiten ist eine Theorie der Strahlungseigenschaften erw¨ unscht. Die auf J.C. Maxwell (1864) zur¨ uckgehende klassische Theorie der elektromagnetischen Wellen verkn¨ upft den Emissionsgrad ελ mit den sogenannten optischen Konstanten der Materie, der Brechzahl n und der Absorptionszahl k, die zu einer komplexen Brechzahl n ¯ = n − ik zusammengefasst werden. Die optischen Konstanten“ h¨angen von der Tempe” ratur, der Wellenl¨ ange und von elektrischen Eigenschaften, insbesondere vom speziﬁschen elektrischen Widerstand re des Materials ab. Außerdem liefert die Theorie in Form der Fresnelschen Gleichungen explizit die Abh¨angigkeit des gerichteten Emissionsgrads vom Polarwinkel β, w¨ahrend keine Abh¨angigkeit vom Azimutwinkel ϕ auftritt, weil Isotropie angenommen wird. Leider gilt die elektromagnetische Theorie nur unter einer Reihe einschr¨ ankender Voraussetzungen, so dass die aus ihr berechneten Emissionsgrade h¨ auﬁg nicht mit der Realit¨ at u ¨bereinstimmen. Trotzdem liefert sie wichtige, qualitativ g¨ ultige Aussagen, die zur Extrapolation von Messwerten oder zu Absch¨ atzungen bei fehlenden Daten benutzt werden k¨onnen. Wir verzichten auf eine eingehende Darstellung der elektromagnetischen Theorie, vgl. hierzu z.B. [5.4], sondern verwenden nur einige ihrer Ergebnisse bei der Diskussion des Emissionsgrades von elektrischen Nichtleitern und elektrischen Leitern (Metallen). Diese beiden Stoﬀgruppen unterscheiden sich auch in ihrem Strahlungsverhalten erheblich. 5.3.3.1 Elektrische Nichtleiter Zu den elektrischen Nichtleitern geh¨ oren nichtmetallische Werk- und Baustoffe, Anstriche, Oxidschichten auf Metallen und die meisten Fl¨ ussigkeiten. F¨ ur die Anwendung der elektromagnetischen Theorie idealisiert man sie dadurch, dass ihr speziﬁscher elektrischer Widerstand zu re → ∞ angenommen wird. Solche Stoﬀe werden Dielektrika genannt. Ihre Absorptionszahl k ist null; ihre Brechzahl ergibt sich nach √ n = μr γr (5.80) aus ihrer Permeabilit¨ atszahl μr und ihrer Permittivit¨atszahl γr . F¨ ur das Vakuum sind beide Gr¨ oßen gleich eins, so dass n = 1 wird. Die Brechzahlen der meisten Dielektrika liegen zwischen n = 1 und n = 3. Der spektrale Emissionsgrad ελ,n in Richtung der Fl¨achennormale h¨angt nach der Theorie in einfacher Weise von der Brechzahl ab: ελ,n =

4n 2

(n + 1)

.

(5.81)

5.3 Strahlungseigenschaften realer K¨ orper

635

Die komplizierte Abh¨ angigkeit ελ = ελ (β, n) vom Polarwinkel β ist in Abb. 5.33, einem Polardiagramm, dargestellt. Danach und nach (5.81) sind f¨ ur Nichtleiter hohe Emissionsgrade u ¨ ber 0,8 zu erwarten, was durch die Angaben in Tabelle B.12 best¨ atigt wird. In Abb. 5.33 verlaufen die Kurven n = const bis zu recht großen Polarwinkeln β fast kreisf¨ ormig. Somit gilt das Lambertsche Cosinusgesetz in guter N¨ aherung; Dielektrika k¨onnen als diﬀuse Strahler behandelt werden. Messungen von E. Schmidt [5.17] sowie von E. Schmidt und E. Eckert [5.18] best¨ atigen im Wesentlichen die in Abb. 5.33 dargestellte Abh¨ angigkeit des Emissionsgrads vom Polarwinkel β. Die elektromagnetische Theorie macht keine explizite Aussage u ¨ber die Wellenl¨angenabh¨angigkeit von n. Die nach (5.81) und Abb. 5.33 zu erwartenden hohen Emissionsgrade wurden bei Strahlungsmessungen nur f¨ ur gr¨ oßere Wellenl¨angen, etwa λ > 2 μm,

Abb. 5.33: Gerichteter spektraler Emissionsgrad ελ (β, n) von elektrischen Nichtleitern nach (5.82) im Polardiagramm

beobachtet. Dies zeigt Abb. 5.34, in der ελ (λ, β ≈ 0) nach Messungen von W. Sieber [5.19] dargestellt ist. Im technisch wichtigen Bereich gr¨oßerer Wellenl¨ angen h¨ angt ελ in erster N¨ aherung nicht von λ ab; man kann ε ≈ ελ und ε ≈ ελ setzen, wenn die Temperaturen so niedrig sind, dass die Emission bei Wellenl¨ angen unter etwa 2 μm keinen nennenswerten Beitrag liefert. Dielektrika sind n¨aherungsweise graue Strahler. Da bei Strahlungsmessungen h¨ auﬁg nur der Emissionsgrad εn oder ελ,n in Richtung der Fl¨ achennormale bestimmt wird, f¨ ur Strahlungsaustauschrechnungen aber der hemisph¨ arische Gesamt-Emissionsgrad ε ben¨otigt wird, ist das Verh¨ altnis ε/εn von Interesse. F¨ ur Dielektrika kann man ε/εn ≈ ελ (n) /ελ,n (n) setzen; damit l¨ asst sich dieses Verh¨ altnis aus den Gleichungen der elektromagnetischen Theorie berechnen. Es ist in Tab. 5.5 verzeichnet und in Abb. 5.35 dargestellt. Da das Lambertsche Cosinusgesetz ann¨ahernd erf¨ ullt ist, weicht ε/εn nur wenig von eins ab.

636

5 W¨ armestrahlung

Abb. 5.34: Gerichteter spektraler Emissionsgrad ελ (λ, β ≈ 0) als Funktion der Wellenl¨ ange f¨ ur verschiedene Nichtleiter nach Messungen von W. Sieber [5.19]. a Weißlack auf Holz, b Eichenholz (geschliﬀen), c weiße Kacheln (glasiert), d Beton

Abb. 5.35: Verh¨ altnis ε/εn des hemisph¨ arischen Gesamt-Emissionsgrads ε zum Emissionsgrad εn in Richtung der Fl¨ achennormale als Funktion von εn . Rechte Kurve: Dielektrika nach Tabelle 5.5, linke Kurve: Metalle nach Tabelle 5.6. Kreise: Messwerte nach [5.18]

tet

Die Abb. 5.33 zugrundeliegende Gleichung der elektromagnetischen Theorie lau" # 2a cos β n2 ελ (β, n) = 1+ ` (5.82) ´2 (a + cos β)2 a cos β + sin2 β

mit a = (n2 − sin2 β)1/2 , vgl. z.B. [5.20]. Durch Integration von ελ nach (5.66) erh¨ alt man den hemisph¨ arischen Emissionsgrad ελ , der nach der Theorie nur von der Brechzahl n nach (5.80) abh¨ angt. R.V. Dunkle [5.21] hat diese Integration ausgef¨ uhrt mit dem Ergebnis

5.3 Strahlungseigenschaften realer K¨ orper ελ (n) =

637

` ´2 n2 n2 − 1

1 (3n + 1) (n − 1) n+1 − + ln 2 6 (n + 1)2 ´ (n2 + 1)3 ´ n − 1 ` ` 2n3 n2 + 2n − 1 8n4 n4 + 1 + 2 − ln n . (n + 1) (n4 − 1) (n2 + 1) (n4 − 1)2

(5.83)

Durch Division mit ελ,n nach (5.81) erh¨ alt man daraus die Werte von Tab. 5.5 und Abb. 5.33, die als ε/εn interpretiert werden k¨ onnen.

Tabelle 5.5: Hemisph¨ arischer (spektraler) Emissionsgrad ελ , Verh¨ altnis ελ /ελ,n und Brechzahl n als Funktionen des gerichteten (spektralen) Emissionsgrads ελ,n in Richtung der Fl¨ achennormale f¨ ur elektrische Nichtleiter nach der elektromagnetischen Theorie. Das Verh¨ altnis ελ /ελ,n kann gleich ε/εn gesetzt werden. ελ,n

ελ

ελ /ελ,n

n

ελ,n

ελ

ελ /ελ,n

n

0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,82 0,84

0,5142 0,5575 0,5999 0,6417 0,6829 0,7238 0,7647 0,7812 0,7978

1,0284 1,0136 0,9999 0,9872 0,9756 0,9651 0,9559 0,9526 0,9497

5,8284 5,0757 4,4415 3,8973 3,4221 3,0000 2,6180 2,4738 2,3333

0,86 0,88 0,90 0,92 0,94 0,96 0,98 0,99 1,00

0,8146 0,8317 0,8492 0,8675 0,8868 0,9082 0,9342 0,9518 1,0000

0,9472 0,9451 0,9436 0,9429 0,9434 0,9461 0,9532 0,9615 1,0000

2,1957 2,0600 1,9249 1,7888 1,6488 1,5000 1,3294 1,2222 1,0000

5.3.3.2 Elektrische Leiter (Metalle) Anders als bei den Dielektrika werden die in Metalle eindringenden elektromagnetischen Wellen ged¨ ampft; die Absorptionszahl k in der komplexen Brechzahl n ¯ = n − ik ist nicht gleich null, sondern meist gr¨oßer als n. F¨ ur den spektralen Emissionsgrad ελ,n in Richtung der Fl¨achennormale liefert die elektromagnetische Theorie die Beziehung ελ,n (n, k) =

4n 2

(n + 1) + k 2

.

(5.84)

Danach sind bei Metallen erheblich kleinere Emissionsgrade als bei elektrischen Nichtleitern zu erwarten. Bei gr¨ oßeren Wellenl¨ angen, etwa λ > 5 μm, und kleinem speziﬁschen elektrischen Widerstand re lassen sich die Strahlungseigenschaften der Metalle durch eine vereinfachte Version der elektromagnetischen Wellentheorie beschreiben, die auf P. Drude [5.22] zur¨ uckgeht. Sie ist auch mit den Namen E. Hagen und H. Rubens verkn¨ upft, die ihre Anwendbarkeit experimentell

638

5 W¨ armestrahlung

u uften [5.23]. Nach dieser Theorie nehmen n und k große Werte an, und ¨ berpr¨ es gilt " " c0 μ0 λ R0 λ n=k= = . (5.85) 4π re re Dabei bedeuten c0 die Vakuum-Lichtgeschwindigkeit und μ0 = 4π · 10−7 N/A die magnetische Feldkonstante. Diese universellen Konstanten ergeben einen elektrischen Widerstand R0 = c0 μ0 /4π = 29,979 Ω. Nach der Drudeschen Theorie h¨ angt ελ nur vom Polarwinkel β und von n nach (5.85) ab, vgl. Abb. 5.36. Bei Polarwinkeln u ¨ ber 80◦ nimmt ελ ein ausgepr¨ agtes Maximum an; das Lambertsche Cosinusgesetz ist nicht erf¨ ullt; Metalle k¨ onnen nicht als diﬀuse Strahler behandelt werden. Das in Abb. 5.35 2

Abb. 5.36: Gerichteter spektraler Emissionsgrad ελ (β, n) von Metallen nach der vereinfachten elektromagnetischen Theorie, Gl. (5.87)

dargestellte Verh¨ altnis ε/εn ist daher auch merklich gr¨oßer als eins. Messungen von E. Schmidt und E. Eckert [5.18] best¨ atigen die in Abb. 5.36 dargestellte Winkelabh¨ angigkeit von ελ qualitativ. Da die Brechzahl n nach (5.85) von der Wellenl¨ange λ abh¨angt, triﬀt dies auch auf ελ zu. Die spektralen Emissionsgrade der Metalle nehmen bei gr¨ oßeren Wellenl¨angen mit wachsendem λ ab. Metalle k¨onnen daher nicht als graue Strahler angesehen werden, und man kann nicht a(T ) = ε(T ) setzen. Nach E. Eckert [5.24] gilt f¨ ur den Absorptionsgrad a einer Metalloberﬂ¨ache mit der Temperatur T f¨ ur auftreﬀende schwarze oder graue Strahlung aus einer Strahlungsquelle mit der Temperatur T ∗ √ a = ε( T · T ∗ ) . (5.86) Diese Beziehung ist jedoch nur dann richtig, wenn T ∗ so niedrig ist, dass der in den Bereich λ < 5 μm fallende Teil der auftreﬀenden Strahlung vernachl¨assigt werden kann.

5.3 Strahlungseigenschaften realer K¨ orper

639

Nach der Drudeschen Theorie erh¨ alt man f¨ ur den gerichteten spektralen Emissionsgrad ελ von Metallen, vgl. z.B. [5.4], » – 1 1 ελ (β, n) = 2n cos β + . (5.87) (n cos β)2 + (1 + n cos β)2 n2 + (n + cos β)2 Diese Gleichung liegt Abb. 5.36 zugrunde. Integriert man (5.87) entsprechend Gl. (5.66), so erh¨ alt man den nur von n abh¨ angigen spektralen Emissionsgrad „ « „ « 2 1 1 1 2 ελ (n) = 4n + − 4n2 + 2 ln 1 + + 2 − 2 ln (2n) . (5.88) n n n 2n n Da die Drudesche Theorie nur f¨ ur große n zutriﬀt, entwickelt man ελ (n) in eine Potenzreihe von (1/n). Mit (5.85) folgt daraus die f¨ ur re in Ωcm und λ in μm g¨ ultige Zahlenwertgleichung r j r h re re i re re ελ = 48,70 1 + 31,62 + 6,849 ln − 166,78 λ λ λ λ ﬀ (5.89) “ r ”2 “ r ”5/2 e e + 3973,8 − 47628 + ··· , λ λ g¨ ultig f¨ ur re /λ < 5 · 10−4 Ωcm/μm. Danach nimmt ελ bei großen Wellenl¨ angen proportional zu λ−1/2 ab. Der speziﬁsche elektrische Widerstand re w¨ achst mit steigender Temperatur, so dass ελ mit T zunimmt. Dies gilt jedoch nur bei gr¨ oßeren Wellenl¨ angen; bei kleinen Wellenl¨ angen versagt die Drudesche Theorie, und man beobachtet eine Abnahme von ελ bei steigender Temperatur. Um aus ελ den hemisph¨ arischen Gesamtemissionsgrad ε(T ) zu erhalten, hat man nach Tabelle 5.4 ελ mit Mλs zu multiplizieren und u angen zu ¨ ber alle Wellenl¨ integrieren. Dies ergibt die Zahlenwertgleichung (f¨ ur re in Ωcm und T in K) √ ε (T ) = 0,7671 re T − (0,3091 − 0,08884 ln re T ) (re T ) − 0,02334 (re T )3/2 (5.90) +3,50 · 10−4 (re T )5/2 − 8,7 · 10−5 (re T )3 + · · · , g¨ ultig f¨ ur re T < 1,2 ΩcmK. Da die Drudesche Theorie bei kleinen Wellenl¨ angen nicht gilt, die Integration von ελ · Mλs aber bei λ = 0 beginnt, ist (5.90) nur bei so niedrigen Temperaturen anwendbar, dass der Beitrag der kleinen Wellenl¨ angen zu ε vernachl¨ assigbar ist. Dies ist in der Regel f¨ ur T < 550 K der Fall. Schließlich kann man ελ,n nach (5.84) mit k = n in eine Potenzreihe von (1/n) entwickeln und durch Integration u angen den Gesamt-Emissionsgrad ¨ ber alle Wellenl¨ εn in Richtung der Fl¨ achennormale zu √ εn (T ) = 0,5753 re T − 0,1777 (re T ) + 0,0292 (re T )3/2 (5.91) −0,00184 (re T )5/2 + 0,000712 (re T )3 − · · · berechnen. Aus (5.90) und (5.91) erh¨ alt man die in Tabelle 5.6 angegebenen Werte von ε/εn , die auch in Abb. 5.35 dargestellt sind.

640

5 W¨ armestrahlung

Tabelle 5.6: Hemisph¨ arischer Gesamt-Emissionsgrad ε, Verh¨ altnis ε/εn und Produkt re T als Funktion des (gerichteten) Gesamt-Emissionsgrads εn in Richtung der Fl¨ achennormale f¨ ur Metalle, berechnet nach der vereinfachten elektromagnetischen Theorie (n = k) εn

ε

ε/εn

re T

0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14

0,0000 0,0258 0,0506 0,0745 0,0977 0,1203 0,1424 0,1640

1,333 1,292 1,264 1,242 1,221 1,203 1,187 1,172

0,00000 0,00123 0,00505 0,01163 0,02114 0,03384 0,04992 0,06967

εn

ε

ε/εn

re T

0,16 0,18 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45

0,1852 0,2059 0,2263 0,2757 0,3231 0,3688 0,4129 0,4555

1,157 1,144 1,131 1,103 1,077 1,054 1,032 1,012

0,0934 0,1213 0,1537 0,2577 0,3999 0,5904 0,8417 1,1722

ΩcmK

ΩcmK

5.3.4 Strahlungsdurchl¨ assige K¨ orper Metalle und die meisten elektrischen Nichtleiter absorbieren auftreﬀende Strahlung in einer oberﬂ¨ achennahen Schicht von wenigen Mikrometer Dicke vollst¨ andig, so dass sie strahlungsundurchl¨assig sind. Ausnahmen bilden Fl¨ ussigkeiten und feste Stoﬀe wie Glas und einige Mineralien (Steinsalz, Sylvin und Flussspat); sie lassen auch bei gr¨ oßeren Dicken Strahlung selektiv hindurch, n¨ amlich in einem begrenzten Wellenl¨ angenbereich, meistens bei kurzen Wellenl¨ angen im sichtbaren Teil des Spektrums. Um die von einem K¨ orper durchgelassene Strahlung zu beschreiben, deﬁnieren wir den spektralen Transmissionsgrad τλ (λ, T ) := d2 Φb,dgl /d2 Φb .

(5.92)

Hierin bedeutet wie in Abschnitt 5.1.3 d2 Φb = Eλ (λ) dλ dA den Strahlungsﬂuss, der im Wellenl¨ angenintervall dλ auf eine Element dA der Oberﬂ¨ ache des K¨ orpers auftriﬀt; d2 Φb,dgl ist der vom K¨orper durchgelassene Strahlungsﬂuss. Der spektrale Transmissionsgrad τλ gibt f¨ ur jede Wellenl¨ange an, welcher Teil der spektralen Bestrahlungsst¨arke Eλ durchgelassen wird. Mit dem spektralen Absorptionsgrad aλ (λ, T ) nach Tabelle 5.1 und dem spektralen Reﬂexionsgrad rλ (λ, T ) nach Tabelle 5.2 erh¨alt man die Bilanz rλ (λ, T ) + aλ (λ, T ) + τλ (λ, T ) = 1 .

(5.93)

In Abb. 5.37 ist der Transmissionsgrad τλ von Jenaer Glas dargestellt. Glas besitzt eine hohe Durchl¨ assigkeit in einem recht scharf begrenzten Intervall bei kleinen Wellenl¨ angen. Diese selektive Durchl¨assigkeit bietet die

5.3 Strahlungseigenschaften realer K¨ orper

641

M¨ oglichkeit, Solarenergie durch Glasfenster einzufangen. Ein erheblicher Anteil des u ¨ berwiegend kurzwelligen Sonnenlichts wird durchgelassen. Die hinter dem Glasfenster beﬁndlichen K¨ orper, die etwa die Umgebungstemperatur haben, emittieren Strahlung bei großen Wellenl¨ angen, wo τλ sehr kleine Werte annimmt. Diese langwellige Strahlung wird von Glas nicht durchgelassen, sondern gr¨ oßtenteils absorbiert. Hierauf beruht der sogenannte Treibhauseﬀekt. Er wird nicht nur bei Gew¨ achsh¨ ausern genutzt, sondern auch bei Flachkollektoren zur thermischen Nutzung der Solarenergie, vgl. z.B. [5.25]. Eine Glasabdeckung u ache des Kollektors l¨asst die Sonnenstrahlung fast ¨ ber der Absorberﬂ¨ ungehindert hindurch und vermindert zugleich die unerw¨ unschte W¨armeabgabe des Kollektors an die Umgebung.

Abb. 5.37: Transmissionsgrad τλ einer Scheibe aus Jenaer Glas (farblos) von s = 1 mm Dicke unter Ber¨ ucksichtigung der Mehrfachreﬂexionen an den beiden Oberﬂ¨ achen bei T ≈ 300 K

Absorptionsgrad aλ und Transmissionsgrad τλ eines strahlungsdurchl¨assigen K¨ orpers h¨ angen nicht nur von seinem Absorptionsverm¨ogen f¨ ur eindringende Strahlung ab, sondern auch von seiner Dicke s. Um diese Zusammenh¨ ange zu kl¨ aren, benutzt man weitere Stoﬀkennzahlen auf die wir im Folgenden eingehen, vgl. auch DIN 1349 [5.26]. Auf den K¨ orper mit der Dicke s treﬀe Strahlung mit der spektralen Bestrahlungsst¨ arke Eλ (λ). Davon dringt in den K¨ orper der spektrale Strahlungsﬂuss Φλ (0) = (1 − rλ ) Eλ

(5.94)

ein. Durch die Absorption im Inneren des K¨ orpers vermindert sich der eingedrungene Strahlungsﬂuss und erreicht an der anderen Oberﬂ¨ ache den kleineren Wert Φλ (s). Diese Abschw¨ achung erfasst der spektrale Reintransmissionsgrad, deﬁniert durch τi (λ, s) := Φλ (s) /Φλ (0) .

(5.95)

Der Index i weist auf die im Inneren des K¨ orpers stattﬁndende Abschw¨ achung hin. Der im K¨ orper absorbierte Teil des eingedrungenen Strahlungsﬂusses wird durch den spektralen Reinabsorptionsgrad ai (λ, s) :=

Φλ (0) − Φλ (s) = 1 − τi (λ, s) Φλ (0)

(5.96)

642

5 W¨ armestrahlung Tabelle 5.7: Spektraler Absorptionskoeﬃzient κλ von Wasser nach [5.27] λ μm

κλ cm−1

λ μm

κλ cm−1

λ μm

κλ cm−1

λ κλ μm cm−1

0,20 0,25 0,30 0,35 0,40

0,0691 0,0168 0,0067 0,0023 0,00058

0,70 0,75 0,80 0,85 0,90

0,0060 0,0261 0,0196 0,0433 0,0679

1,8 2,0 2,2 2,4 2,6

8,03 69,1 16,5 50,1 153,0

3,8 4,0 4,2 4,4 4,6

0,45 0,50 0,55 0,60 0,65

0,00029 0,00025 0,000045 0,0023 0,0032

0,95 0,388 1,0 0,363 1,2 1,04 1,4 12,4 1,6 6,72

2,8 5160,0 3,0 11400,0 3,2 3630,0 3,4 721,0 3,6 180,0

112,0 145,0 206,0 294,0 402,0

4,8 393,0 5,0 312,0 5,5 265,0 6,0 2240,0 6,5 758,0

λ κλ μm cm−1 7,0 7,5 8,0 8,5 9,0

574,0 546,0 539,0 543,0 557,0

9,5 587,0 10,0 638,0

beschrieben. Um den Einﬂuss der K¨ orperdicke s von dem des speziﬁschen Absorptionsverm¨ ogens zu trennen, deﬁniert man den spektralen Absorptionskoeﬃzienten κ (λ, s) :=

1 1 ln . s τi (λ, s)

(5.97)

F¨ ur die meisten Stoﬀe h¨ angt κ nicht von der Schichtdicke s ab, sondern ist eine von der Wellenl¨ ange abh¨ angige Materialeigenschaft: κ = κ(λ). Wir setzen dies voraus und erhalten τi (λ, s) = exp [−κ (λ) s] = 1 − ai (λ, s) . (5.98) Der spektrale Reintransmissionsgrad nimmt exponentiell mit der Dicke des K¨ orpers ab. Ein strahlungsundurchl¨ assiger K¨ orper der Dicke s hat einen so großen spektralen Absorptionskoeﬃzienten, dass das Produkt κ(λ)s Werte u ¨ ber etwa 7 erreicht; dann werden τi ≈ 0 und ai ≈ 1. In Tabelle 5.7 ist der spektrale Absorptionskoeﬃzient von Wasser verzeichnet. Bei Wellenl¨ angen im sichtbaren Teil des Spektrums ist κ(λ) sehr klein. So erh¨ alt man f¨ ur λ = 0,5 μm und s = 1,0 m ` ´ τi = exp −0,00025 cm−1 · 1,0 m = 0,975 . Die Wasserschicht l¨ asst kurzwellige Strahlung fast ungeschw¨ acht hindurch. Dies gilt nicht f¨ ur Wellenl¨ angen λ ≥ 0,95 μm. Hier wird τi f¨ ur s = 1,0 m unmessbar klein. Da die Sonne nach Beispiel 5.3 u angen strahlt, ¨ berwiegend im Bereich kleiner Wellenl¨ werden noch 36% der insgesamt eindringenden Sonnenstrahlung bis in eine Tiefe von 1,0 m durchgelassen. Dagegen wird die u ¨ berwiegend langwellige Strahlung irdischer Strahlungsquellen bereits in einer etwa 2 mm dicken Wasserschicht vollst¨ andig absorbiert [5.17]. Die von einem festen K¨ orper, z.B. von Glas, durchgelassene Strahlung wird nicht nur durch die Absorption in seinem Inneren bestimmt; auch die Mehrfach-Reﬂexion an den beiden Oberﬂ¨ achen spielt eine Rolle. Die bei Mehrfachreﬂexion auftretenden Strahlungsﬂ¨ usse sind in Abb. 5.38 schematisch dargestellt. An jeder der beiden Grenzﬂ¨ achen ﬁndet durch Reﬂexion eine Teilung des Strahlungsﬂusses in den reﬂektierten und den weiterﬂießenden Anteil statt. Der daf¨ ur maßgebende Reﬂexionsgrad

5.3 Strahlungseigenschaften realer K¨ orper

643

wird nach [5.26] als spektraler Fresnelscher Reﬂexionsgrad r¯(λ) bezeichnet. Er ist nach r¯(λ) = 1 − ελ aus dem gerichteten spektralen Emissionsgrad ελ nach (5.82) zu berechnen, wenn der K¨ orper an ein Medium mit der Brechzahl n = 1, also an das Vakuum oder an Luft grenzt. Bei jedem Durchgang von einer Grenzﬂ¨ ache zur anderen wird der Strahlungsﬂuss um den Faktor τi geschw¨ acht. Dies ergibt die in Abb. 5.38 eingezeichneten durchgelassenen und reﬂektierten Anteile des auftreﬀenden und zu eins normierten Strahlungsﬂusses. Durch Addition aller durchgelassenen Strahlungsﬂ¨ usse erh¨ alt man ˆ ˜ 2 2 2 4 4 τλ = (1 − r¯) τi 1 + r¯ τi + r¯ τi + · · · oder τλ =

(1 − r¯)2 τi . 1 − r¯2 τi2

(5.99)

Addition der reﬂektierten Stahlungsﬂ¨ usse ergibt den spektralen Reﬂexionsgrad

Abb. 5.38: Schema der Strahlungsﬂ¨ usse bei mehrfacher Reﬂexion an den Grenzﬂ¨ achen einer f¨ ur Strahlung durchl¨ assigen Platte ˆ ˜ rλ = r¯ + r¯ (1 − r¯)2 τi2 1 + r¯2 τi2 + r¯4 τi4 + · · · oder

» – (1 − r¯)2 τi2 rλ = r¯ 1 + . 1 − r¯2 τi2

(5.100)

Die Mehrfachreﬂexionen erh¨ ohen rλ gegen¨ uber r¯ und verringern τλ gegen¨ uber τi . Der im K¨ orper absorbierte Strahlungsanteil l¨ asst sich aus (5.93) berechnen. Man erh¨ alt den spektralen Absorptionsgrad » – (1 − r¯) τi aλ = (1 − r¯) 1 − ; (5.101) 1 − r¯τi er ist kleiner als der Reinabsorptionsgrad ai = 1−τi . F¨ ur viele elektrische Nichtleiter, insbesondere f¨ ur Glas mit n = 1,5 ist f¨ ur Polarwinkel β < 60◦ der Fresnelsche Reﬂexionsgrad r¯ < 0,1. Dann darf mit einem Fehler, der kleiner als 1% ist, 1−¯ r 2 τi2 = 1 − r¯2 gesetzt werden, und man erh¨ alt aus (5.99) τλ ≈

1 − r¯ τi . 1 + r¯

(5.102)

644

5 W¨ armestrahlung

Der in Abb. 5.37 dargestellte Transmissionsgrad τλ von Glas erreicht Maximalwerte von 0,88. Mit einer Brechzahl n = 1,55 erh¨ alt man f¨ ur senkrecht auftreﬀende Strahlung aus (5.81) r¯ = (n − 1)2 /(n + 1)2 = 0,0465. Damit ergibt sich aus (5.101) der Reintransmissionsgrad τi = 0,97. Im Bereich des Maximums von τλ ist Glas fast v¨ ollig durchl¨ assig; die Verringerung von τλ gegen¨ uber dem H¨ ochstwert τλ = 1 ist u achen der Glasscheibe zur¨ uckzuf¨ uhren. ¨ berwiegend auf die Reﬂexion an den Grenzﬂ¨ Beispiel 5.5: Der spektrale Transmissionsgrad einer 2,0 mm dicken Glasscheibe wird durch 8 u r λ < λ1 < 0 f¨ τλ = 0,86 f¨ u r λ1 ≤ λ ≤ λ2 : 0,03 f¨ u r λ > λ2 mit λ1 = 0,35 μm und λ2 = 1,5 μm angen¨ ahert. Man berechne den GesamtTransmissionsgrad f¨ ur senkrecht einfallende Solarstrahlung. Die spektrale Bestrahlungsst¨ arke Eλ (λ) soll proportional zur spektralen speziﬁschen Ausstrahlung Mλs eines Schwarzen K¨ orpers mit T = TS = 5777 K angenommen werden, vgl. Beispiel 5.3. Wie groß wird τ f¨ ur eine Glasscheibe mit s = 4,0 mm und der Brechzahl n = 1,52 ? Der Gesamt-Transmissionsgrad ist in Analogie zum Gesamt-Absorptionsgrad a nach Tabelle 5.1 durch R∞ τ=

0

R∞

τλ (λ, T ) Eλ (λ) dλ R∞

= Eλ (λ) dλ

τλ (λ) Mλs (λ, TS ) dλ

0

σTS4

0

gegeben. Mit der Funktion F (0, λT ) nach (5.62) und nach Tabelle 5.3 erh¨ alt man τ = 0,86 [F (0, λ2 TS ) − F (0, λ1 TS )] + 0,03 [1 − F (0, λ2 TS )] . F¨ ur λ1 TS = 2022 μmK und λ2 TS = 8665,5 μmK ﬁndet man aus Tabelle 5.3 F (0, λ1 TS ) = 0,0702 und F (0, λ2 TS ) = 0,8800. Damit wird τ = 0,700. Die Glasscheibe l¨ asst 70% der auftreﬀenden Solarstrahlung durch. Bei Verdopplung der Scheibendicke auf s = 4,0 mm a ¨ndert sich der spektrale Transmissionsgrad τλ . Wir berechnen zun¨ achst den Reintransmissionsgrad τi f¨ ur die Glasscheibe mit 2,0 mm Dicke. Mit n = 1,52 erh¨ alt man aus (5.81) und r¯ = 1 − ελ,n den Fresnelschen Reﬂexionsgrad r¯ = (n − 1)2 /(n + 1)2 = 0,0426. Da r¯ < 0,1 ist kann τi aus (5.102) berechnet werden: τi = Dies ergibt

1 + r¯ τλ = 1,089 τλ . 1 − r¯

8 < τi =

0 f¨ u r λ < λ1 0,937 f¨ u r λ1 ≤ λ ≤ λ2 : 0,033 f¨ u r λ > λ2 .

Mit τi = exp[−κ(λ)s] erhalten wir daraus f¨ ur s = 2,0 mm den spektralen Absorptionskoeﬃzienten 8 ∞ f¨ u r λ < λ1 < 0,328 cm−1 f¨ u r λ1 ≤ λ ≤ λ2 κ= : 17,1 cm−1 f¨ u r λ > λ2 .

5.4 Solarstrahlung

645

Daraus ergibt sich der Reintransmissionsgrad f¨ ur die gr¨ oßere Glasdicke s = 4,0 mm zu 8 u r λ < λ1 < 0 f¨ τi = 0,877 f¨ u r λ1 ≤ λ ≤ λ2 : 0,001 f¨ u r λ > λ2 und schließlich der gesuchte spektrale Transmissionsgrad zu 8 u r λ < λ1 < 0 f¨ u r λ1 ≤ λ ≤ λ2 τλ = 0,805 f¨ : 0,001 f¨ u r λ > λ2 . Der Gesamt-Transmissionsgrad wird dann τ = 0,805 [F (0, λ2 TS ) − F (0, λ1 TS )] + 0,001 [1 − F (0, λ2 TS )] = 0,652 . Die Glasscheibe mit der doppelten Dicke absorbiert einen etwas gr¨ oßeren Teil der Solarstrahlung, l¨ asst aber noch 65% der auftreﬀenden Strahlung gegen¨ uber 70% bei der d¨ unnen Scheibe hindurch. Der spektrale Reﬂexionsgrad rλ der dicken Scheibe wird nach (5.100) 8 u r λ < λ1 < 0,0426 f¨ u r λ1 ≤ λ ≤ λ2 rλ = 0,0727 f¨ : 0,0426 f¨ u r λ > λ2 . Er ist zwischen λ1 und λ2 durch die Mehrfachreﬂexion an den Grenzﬂ¨ achen erh¨ oht, so dass insgesamt 6,7% anstatt 4,26% der Solarenergie reﬂektiert werden.

5.4 Solarstrahlung Ohne die Strahlung der Sonne w¨ are kein irdisches Leben m¨oglich; deshalb geh¨ ort die Sonne zu den wichtigsten Strahlungsquellen. Die energetische Nutzung der Solarstrahlung ist zur Zeit noch gering; sie wird jedoch in der Zukunft gr¨ oßere Bedeutung erlangen, um W¨ arme f¨ ur Heizzwecke und f¨ ur endotherme Reaktionen zu gewinnen und um elektrische Energie in photovoltaischen und solar-thermischen Kraftwerken zu erzeugen. Auf die Solarenergietechnik gehen wir im Folgenden nicht ein, vgl. hierzu [5.25] und [5.28] bis [5.30]. Wir behandeln aber Gr¨ oße und spektrale Verteilung der von der Sonne dargebotenen Strahlungsenergie und ihre Schw¨ achung beim Durchgang durch die Erdatmosph¨ are. Damit ist die Berechnung der solaren Bestrahlungsst¨arke am Erdboden m¨ oglich. Schließlich gehen wir auf die Absorptionsgrade f¨ ur Solarstrahlung ein. Sie unterscheiden sich von den Absorptionsgraden f¨ ur Strahlung irdischer Quellen, weil Solarstrahlung nur bei kleinen Wellenl¨angen, n¨amlich unter 4 μm und haupts¨ achlich im Bereich des sichtbaren Lichts auftritt.

646

5 W¨ armestrahlung

5.4.1 Extraterrestrische Solarstrahlung Die Sonne ist eine nahezu kugelf¨ ormige Strahlungsquelle mit einem Durchmesser von 1,392 · 106 km. Sie steht in einem der Brennpunkte der elliptischen Bahn, welche die Erde durchl¨ auft. Der solare Strahlungsﬂuss, der die Erde erreicht, ist umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstands r zwischen Sonne und Erde. Der mittlere Abstand betr¨agt r0 = 149,6 · 106 km; diese Entfernung wird als astronomische Einheit (AE) bezeichnet7 . Der kleinste Abstand liegt bei 0,983 AE und tritt am 3. Januar auf, die gr¨oßte Entfernung zwischen Sonne und Erde ist 1,017 AE; sie wird am 4. Juli erreicht. Das f¨ ur Strahlungsrechnungen ben¨ otigte Verh¨altnis (r0 /r)2 wird als Exzentrizit¨ atsfaktor bezeichnet und kann nach J.A. Duﬃe und W.A. Beckmann [5.29] n¨ aherungsweise aus 2

fex := (r0 /r) = 1 + 0,033 cos (2πdn /365)

(5.103)

berechnet werden, wobei dn die Tageszahl ist, beginnend mit dn = 1 am 1. Januar und endend mit dn = 365 am 31. Dezember. Eine genauere Beziehung nach J.W. Spencer [5.31] ﬁndet man bei M. Iqbal [5.34]. Wegen der großen Entfernung zwischen Sonne und Erde bildet die Solarstrahlung ein quasiparalleles Strahlenb¨ undel. Die von der Erdatmosph¨are noch nicht durch Streuung und Absorption geschw¨ achte Strahlung wird extraterrestrische Solarstrahlung genannt. Sie soll nun senkrecht auf eine Fl¨ache treﬀen, die sich gerade außerhalb der Erdatmosph¨ are beﬁndet. Hat die Fl¨ache den Abstand r0 = 1 AE vom Sonnenmittelpunkt, so wird die Bestrahlungsst¨arke der extraterrestrischen Solarstrahlung als Solarkonstante E0 bezeichnet. Durch Auswertung neuerer Messungen bestimmten C. Fr¨ohlich und R.W. Brusa [5.33] den Wert 2 E0 = (1367 ± 1,6)W/m , der auch von der World Meteorological Union (WMO) 1981 als Bestwert angenommen wurde. Mit diesem Wert von E0 wurde in Beispiel 5.3 die Temperatur TS = 5777 K berechnet. Diese Temperatur h¨ atte die Sonnenoberﬂ¨ache, wenn sie wie ein Schwarzer K¨ orper strahlte. Die Bestrahlungsst¨ arke der extraterrestrischen Solarstrahlung, die senkrecht auf eine Fl¨ache f¨ allt, die den Abstand r der Erde von der Sonne hat, ist durch Ensol = E0 (r0 /r)2 = E0 fex (5.104) mit fex nach (5.103) gegeben. Bildet die Richtung der Sonnenstrahlen gegen¨ uber der Fl¨ achennormale den Polarwinkel βS , Abb. 5.39, so wird die Bestrahlungsst¨ arke E sol = E0 fex cos βS . (5.105) 7

Der genaue Wert ist 1AE = 149,597 870 · 106 km. Wegen der strengen Deﬁnition der AE vgl. man z.B. [5.32].

5.4 Solarstrahlung

647

Abb. 5.39: Extraterrestrische Solarstrahlung auf eine Fl¨ ache, deren Normale mit der Richtung der Sonnenstrahlen den Polarwinkel βS bildet

Der Sonnen-Polarwinkel βS h¨ angt von der Lage und der Orientierung der bestrahlten Fl¨ ache ab. Diese Abh¨ angigkeit wird durch trigonometrische Gleichungen wiedergegeben, die man in B¨ uchern u ¨ber Solarstrahlung und ihre Nutzung ﬁndet, z.B. in [5.30] und [5.34]. sol Die spektrale Bestrahlungsst¨arke Eλ,n der extraterrestrischen Solarstrahlung, die senkrecht auf eine Fl¨ ache im Abstand r0 = 1 AE von der Sonne f¨allt, wurde in mehreren Messreihen mit Stratosph¨ aren-Flugzeugen bestimmt. Ihre Auswertung durch C. Fr¨ ohlich und C. Werli am World Radiation Center in Davos, Schweiz, ergab das in Abb. 5.40 wiedergegebene Spektrum. Die dieser Abbildung zugrunde liegenden Zahlenwerte ﬁndet man bei M. Iqbal [5.34]. Das sol Maximum von Eλ,n liegt im Bereich des sichtbaren Lichts bei λ ≈ 0,45 μm. In den Wellenl¨ angenbereich λ ≤ 3,8 μm fallen 99 % der Bestrahlungsst¨arke. In Abb. 5.40 ist auch die spektrale Bestrahlungsst¨arke Eλ,s der von einer schwarzen“ Sonne mit TS = 5777 K ausgesandten Strahlung eingezeichnet. ” Die Fl¨ achen unter den beiden Kurven (bis λ → ∞) sind gleich — sie ergeben jeweils die Solarkonstante E0 —, doch weicht das Spektrum der extraterrestrischen Solarstrahlung an einigen Stellen, besonders bei λ < 0,6 μm, merklich vom Spektrum der Strahlung eines Schwarzen K¨orpers ab.

sol Abb. 5.40: Spektrale Bestrahlungsst¨ arke Eλ,n der extraterrestrischen Solarstrahlung, die senkrecht auf eine Fl¨ ache im Abstand r0 = 1 AE von der Sonne f¨ allt

648

5 W¨ armestrahlung

Beispiel 5.6: Man bestimme die Bestrahlungsst¨ arke der extraterrestrischen Solarstrahlung auf eine horizontale Fl¨ ache in Berlin (geographische Breite ψ = 52,52◦ Nord, geographische L¨ ange ϕ = 13,35◦ Ost) am 1. September, 12.00 Uhr mitteleurop¨ aischer Sommerzeit. Die Bestrahlungsst¨ arke E sol ist durch (5.105) gegeben, worin der SonnenPolarwinkel βS noch unbekannt ist. F¨ ur eine horizontale Fl¨ ache gilt, vgl. z.B. [5.34], cos βS = sin δ sin ψ + cos δ cos ψ cos ω . (5.106) Die hier auftretende Deklination δ der Sonne l¨ asst sich f¨ ur den 1. September einer bei M. Iqbal [5.34] angegebenen Tabelle entnehmen: δ = 8,51◦ . Der Stundenwinkel ω errechnet sich aus der ¨ ortlichen Sonnenzeit tS nach ω = 15◦ (tS /h) . Im Geltungsbereich der mitteleurop¨ aischen Zeit tMEZ gilt

8

tS = tMEZ − 12h + (ϕ/15◦ − 1) h . 12.00 Uhr mitteleurop¨ aische Sommerzeit entsprechen tMEZ = 11,0 h. Somit wird mit ϕ = 13,35◦ als L¨ angengrad von Berlin tS = −1,11 h und ω = −16,65◦ . Mit diesen Werten folgt aus (5.106) cos βS = 0,6940, also βS = 46,05◦ . F¨ ur den 1. September gilt dn = 244. Damit erhalten wir aus (5.103) den Exzentrizit¨ atsfaktor fex = 0,9838. Die Bestrahlungsst¨ arke der extraterrestrischen Strahlung ergibt sich dann zu E sol = E0 fex cos βS = 1367

W W 0,9838 · 0,6940 = 933 2 . m2 m

5.4.2 Die Schw¨ achung der Solarstrahlung in der Erdatmosph¨ are Die am ¨ außeren Rand der Erdatmosph¨ are auftreﬀende extraterrestrische Solarstrahlung wird beim Durchgang durch die Atmosph¨are geschw¨acht, so dass die solare Bestrahlungsst¨ arke der Erdoberﬂ¨ ache merklich niedriger als der extraterrestrische Wert nach (5.105) ist. Ein Teil der eingestrahlten Solarenergie wird durch Streuung an den Luftmolek¨ ulen und an Aerosolen aus dem Strahlenb¨ undel entfernt; ein weiterer Teil wird von den Luftbestandteilen absorbiert. Die gestreute Strahlung gelangt etwa zur H¨alfte als sogenannte diﬀuse Strahlung zum Erdboden, w¨ ahrend die andere H¨alfte in den Weltraum zur¨ uckgestrahlt wird, vgl. Abb. 5.41. Die von den Molek¨ ulen der Atmosph¨are absorbierte Strahlung erh¨ oht die Energie der Atmosph¨are, die ihrerseits Strahlung emittiert. Ein Teil dieser u ¨ berwiegend langwelligen Strahlung triﬀt auf die Erdoberﬂ¨ ache, er wird als atmosph¨ arische Gegenstrahlung bezeichnet. 8

Diese Gleichung ergibt die mittlere ¨ ortliche Sonnenzeit. Um die wahre (vom Datum abh¨ angige) ¨ ortliche Sonnenzeit zu erhalten, ist noch eine kleine Korrektur, die sogenannte Zeitgleichung, anzubringen. Diese Korrektur betr¨ agt nur wenige Minuten.

5.4 Solarstrahlung

649

Abb. 5.41: Direkte und diffuse Solarstrahlung, die nach dem Durchgang durch die Atmosph¨ are auf den Erdboden gelangt (schematisch)

5.4.2.1 Spektrale Transmissionsgrade Wir berechnen nun die Schw¨ achung der direkten (gerichteten) Solarstrahlung durch Streuung und Absorption in der Atmosph¨are. Dabei nehmen wir eine wolkenlose Atmosph¨ are an; wegen des schwieriger zu erfassenden Bew¨olkungseinﬂusses sei auf [5.34] verwiesen. Wir betrachten ein Strahlenb¨ undel, das durch ein optisch tr¨ ubes, n¨ amlich absorbierendes und streuendes Medium geht, Abb. 5.42. Die Abnahme dLλ seiner spektralen Strahldichte Lλ ist nach dem Gesetz von P. Bouguer9 der durchstrahlten Strecke dl und der Dichte der streuenden und absorbierenden Teilchen proportional: dLλ = −μ(λ, l)(l) dl . Lλ

(5.107)

Abb. 5.42: Verringerung der spektralen Strahldichte Lλ beim Durchgang durch ein tr¨ ubes (streuendes und absorbierendes) Medium 9

Pierre Bouguer (1698–1758) erhielt mit 15 Jahren die Professur seines verstorbenen Vaters, eines Professors f¨ ur Gew¨ asserkunde. 1735 wurde Bouguer Mitglied der Pariser Acad´emie Royale des Sciences. Er verfasste mehrere B¨ ucher u ¨ber Schiﬀbau und Navigation. Im 1729 ver¨ oﬀentlichten Essai d’optique sur la gradation ” de la lumi`ere“ entwickelte er erstmals Verfahren zur Photometrie und stellte das nach ihm benannte Gesetz auf, wonach sich in einem homogenen Medium die St¨ arke eines Lichtstrahls nach einem Exponentialgesetz mit dem durchlaufenen Weg vermindert.

650

5 W¨ armestrahlung

Man nimmt nun nach dem sogenannten Beerschen Gesetz10 an, der Schw¨achungskoefﬁzient μ hinge nicht vom Weg ab. Durch Integration zwischen l und l0 erh¨ alt man 0l Lλ (l) = Lλ (l0 )exp[−μ(λ) (l) dl] .

(5.108)

l0

Wir wenden nun (5.108) auf die Solarstrahlung an, Abb. 5.43. Der Weg s des Strahlenb¨ undels ist wegen der Brechung in der Atmosph¨are leicht gekr¨ ummt. Er beginnt in sehr weiter Entfernung mit Lλ (l0 ) = Lλ (s → ∞) = Lsol λ , der spektralen Strahldichte der extraterrestrischen Solarstrahlung, und endet an der Erdoberﬂ¨ ache (s = 0) mit der Strahldichte Lλ (s = 0). Damit folgt aus (5.108) unter Beachtung von dl = − ds

Abb. 5.43: Durchgang von gerichteter Solarstrahlung durch die Erdatmosph¨ are

Abb. 5.44: Durchgang von gerichteter Solarstrahlung durch eine homogene, nicht brechende Atmosph¨ are

0∞ Lλ (s = 0) = Lsol λ exp[−μ(λ) (s) ds] .

(5.109)

0

Das Verh¨ altnis τλ :=

0∞ Lλ (s = 0) = exp[−μ(λ) (s) ds] Lsol 0 λ

(5.110)

ist der spektrale Transmissionsgrad der Atmosph¨are (τλ ≤ 1). Er gibt an, um welchen Faktor die am Erdboden ankommende direkte Solarstrahlung gegen¨ uber der extraterrestrischen Strahlung vermindert ist. Das in (5.109) und (5.110) auftretende Integral m :=

0∞ (s) ds

(5.111)

0 10

August Beer (1825–1863) wurde 1855 Professor f¨ ur Physik in Bonn. In seiner Einleitung in die h¨ ohere Optik“ (1854) stellte er die bis dahin bekannte Theorie ” des Lichts zusammenfassend dar.

5.4 Solarstrahlung

651

wird als optische Masse der Atmosph¨ are bezeichnet. Ihre Einheit ist kg/m2 , und sie ist proportional zur Masse und damit zur Zahl der atmosph¨arischen Teilchen auf dem vom solaren Strahlenb¨ undel durchlaufenen Weg. Steht die Sonne im Zenit, so ist der Weg durch die Atmosph¨are am k¨ urzesten, und die optische Masse erreicht ihren kleinsten Wert mn =

0∞ (z) dz , 0

vgl. Abb. 5.43. Das Verh¨ altnis 8 ∞

∞ mr := m/mn =

(s) ds 0

(z) dz

(5.112)

0

wird als relative optische Masse bezeichnet, wobei mr ≥ 1 gilt. F¨ ur eine homogene und nicht brechende Atmosph¨ are erh¨ alt man nach Abb. 5.44 das einfache Ergebnis 1 mr = . (5.113) cos βS Wegen der Refraktion und der von der H¨ ohe abh¨angigen Dichte weist diese Gleichung Fehler auf, die aber erst bei großen Polarwinkeln βS > 70◦ erheblich sind. F¨ ur eine Atmosph¨ are aus trockener Luft erh¨alt man nach F. Kasten und A.T. Young [5.35] mr,L =

1 cos βS + 0,5057 (96,080 − βS )−1,6364

(5.114)

mit dem Sonnen-Polarwinkel βS in Grad. Mit der relativen optischen Masse mr folgt f¨ ur das Argument der Exponentialfunktion in (5.110) ∞ μ(λ)

(s) ds = μ(λ)mn mr . 0

Fasst man das Produkt aus μ(λ) und mn zum dimensionslosen Schw¨achungskoeﬃzienten κ(λ) := μ(λ)mn (5.115) zusammen, so erh¨ alt man f¨ ur den spektralen Transmissionsgrad der Atmosph¨ are τλ = exp [−κ(λ)mr (βS )] . (5.116) Zur Berechnung von τλ hat man zu beachten, dass mehrere, von einander unabh¨ angige Streu- und Absorptionsprozesse die Schw¨achung der direkten Solarstrahlung bewirken. Es gilt daher

652

5 W¨ armestrahlung

κ(λ)mr =

j

κi (λ)mr,i ,

(5.117)

i=1

wobei j die Zahl der Schw¨ achungsprozesse ist. In der Regel ber¨ ucksichtigt man f¨ unf derartige Prozesse: die Rayleigh-Streuung an den Molek¨ ulen der Atmosph¨ are, Streuung und Absorption an Aerosolen, die Absorption durch Ozon, durch Wasserdampf und durch die u ¨ brigen Gase der Atmosph¨are. Aus (5.116) und (5.117) folgt f¨ ur den spektralen Transmissionsgrad τλ = τλ,R τλ,A τλ,O3 τλ,W τλ,G ,

(5.118)

wobei die Indizes R f¨ ur Rayleigh-Streuung, A f¨ ur Aerosole, O3 f¨ ur Ozon, W f¨ ur Wasserdampf und G f¨ ur die u ¨ brigen Gase der Atmosph¨are stehen. 5.4.2.2 Molekulare und Aerosol-Streuung Da der Molek¨ uldurchmesser (∼ 10−4 μm) wesentlich kleiner als die Wellenl¨ ange der Strahlung ist, wird die Streuung an den Molek¨ ulen der Atmosph¨ are durch eine zuerst von Lord Rayleigh11 [5.36] angegebenen Theorie der Lichtstreuung an kleinen Partikeln beschrieben, vgl. auch [5.37]. Danach ist der Schw¨ achungskoeﬃzient κR (λ) ∼ λ−4 . Dies erkl¨ art auch die blaue Farbe des wolkenlosen Himmels. Der blaue Anteil des Sonnenlichts liegt bei den kleinen Wellenl¨ angen des sichtbaren Spektrums und erf¨ ahrt daher eine starke Rayleigh-Streuung in alle Richtungen. Ohne diese molekulare Streuung erschiene der Himmel schwarz mit Ausnahme der hellen Sonnenscheibe. Der Streukoeﬃzient κR (λ) der Rayleigh-Streuung trockener Luft l¨ asst sich gut durch eine bei R.E. Bird und C. Riordan [5.38] angegebene Gleichung wiedergeben. Damit erh¨ alt man f¨ ur den spektralen Transmissionsgrad mit λ in μm h ` ´−1 i τλ,R = exp −mr,L λ−4 115,6406 − 1,335/λ2 . (5.119) Die relative optische Masse mr,L ist durch (5.114) gegeben. Wie man aus Abb. 5.45 erkennt, schw¨ acht die Rayleigh-Streuung die direkte Sonnenstrahlung stark bei kleinen Wellenl¨ angen. F¨ ur λ > 1,2 μm tritt dagegen keine merkliche Abschw¨ achung auf. Bei großen Sonnen-Polarwinkeln βS , also bei großen optischen Massen mr,L > 5 ist die Atmosph¨ are f¨ ur Licht kurzer Wellenl¨ angen fast undurchl¨ assig. Dies erkl¨ art die gelblich-rote Farbe der Sonnenscheibe bei Sonnenaufgang und Untergang. Staub und kleine schwebende Wassertr¨ opfchen bilden Aerosole. Sie streuen und absorbieren solare Strahlungsenergie, wobei der gestreute Anteil u ¨ berwiegt. Die 11

John William Strutt, Third Baron of Rayleigh (1842–1919) war Privatgelehrter, der sich auf seinem Familiensitz Terling Place in Essex, England, ein physikalisches Laboratorium eingerichtet hatte. In 430 wissenschaftlichen Ver¨ oﬀentlichungen behandelte er Probleme aus allen Gebieten der klassischen Physik, insbesondere der Akustik, wo er ein ber¨ uhmtes Werk, The Theory of Sound“ (1877/78), ” verfasste. Zusammen mit W. Ramsay entdeckte er das Element Argon (1892–95), wof¨ ur er den Nobel-Preis f¨ ur Physik des Jahres 1904 erhielt. Der Chemiker W. Ramsay erhielt im gleichen Jahr den Nobel-Preis f¨ ur Chemie.

5.4 Solarstrahlung

653

Abb. 5.45: Spektraler Transmissionsgrad τλ,R der Atmosph¨ are infolge Rayleigh–Streuung nach (5.119) f¨ ur verschiedene relative optische Massen mr,L

Streuung und Absorption durch Aerosole ist nur schwierig und ungenau zu modellieren. H¨ auﬁg verwendet man die Tr¨ ubungsformel von A. ˚ Angstr¨ om [5.39]: “ ” ∗ τλ,A = exp −β ∗ λ−α mr,A . (5.120) F¨ ur den Exponenten α∗ werden Werte zwischen 0,8 und 1,8 benutzt; β ∗ variiert von β ∗ = 0 (reine Atmosph¨ are) u ube) bis 0,3 (sehr tr¨ ube ¨ ber 0,1 (klare) und 0,2 (tr¨ Atmosph¨ are), vgl. hierzu [5.34]. Die relative optische Aerosolmasse mr,A ist wegen der großen Schwankungsbreite von Gr¨ oße, Verteilung und Zusammensetzung der Aerosolpartikel in der Regel nicht bekannt. Man verwendet daher mr,L nach (5.114) anstelle von mr,A .

5.4.2.3 Absorption Im Gegensatz zur Streuung ﬁndet die Absorption von Strahlung nur in bestimmten schmalen Wellenl¨ angenbereichen, den sogenannten Absorptionsbanden statt. Die Hauptbestandteile der Atmosph¨ are sind N2 und O2 , die in H¨ ohen u ¨ ber 100 km zu atomarem N und O dissoziieren. Diese vier Gase absorbieren nur bei sehr kleinen Wellenl¨ angen und dort sehr stark. N und O absorbieren s¨ amtliche Strahlung unter 0,085 μm; O2 und N2 absorbieren Solarstrahlung in mehreren u ¨berlappenden Banden bis λ = 0,20 μm, so dass keine Strahlung mit Wellenl¨ angen unter 0,20 μm auf die Erdoberﬂ¨ ache gelangt. O2 hat außerdem drei schwach ausgepr¨ agte Banden bei 0,63, 0,69 und 0,76 μm. Ozon (O3 ) absorbiert stark zwischen 0,2 μm und 0,35 μm, wodurch die energiereiche UV-B-Strahlung von der Erde ferngehalten wird. Weitere Absorptionsbanden liegen im sichtbaren Bereich zwischen 0,47 und 0,76 μm. Ozon wird in der Stratosph¨ are haupts¨ achlich durch die solare UV-Strahlung erzeugt; in Bodenn¨ ahe entsteht es durch photochemische Zersetzung von Stickoxid. Chlor, das vor allem durch langlebige Fluor-Chlor-Kohlenwasserstoﬀe (FCKW) in die Stratosph¨ are gelangt, zerst¨ ort die sch¨ utzende stratosph¨ arische Ozonschicht. Deswegen sollen Herstellung und Verwendung der FCKW, z.B. als K¨ altemittel oder als Treibgas in Isoliersch¨ aumen, in den n¨ achsten Jahren eingestellt werde, vgl. [5.40]. Die in der Atmosph¨ are enthaltene Ozonmenge wird h¨ auﬁg durch die H¨ ohe hO3 einer vertikalen gasf¨ ormigen Ozons¨ aule unter Normbedingungen (tn = 0 ,

654

5 W¨ armestrahlung

pn = 1,01325 bar) angegeben. Diese Gr¨ oße variiert jahreszeitlich und mit der geo¨ graphischen Breite; sie betr¨ agt durchschnittlich etwa 2,5 mm am Aquator, 3,5 mm in mittleren Breiten und bis zu 4,5 mm an den Polen. Seit mehreren Jahren hat die Ozonmenge als Folge des FCKW-Ausstoßes abgenommen; zu Beginn des Fr¨ uhjahrs treten u ¨ber Nordeuropa Minderungen bis zu 20 % der Durchschnittswerte auf. Das Ozonloch“ u udpol, das im Oktober auftritt, f¨ uhrt sogar zu einem zeit¨ ber dem S¨ ” weisen R¨ uckgang von etwa 75 %. Abb. 5.46 zeigt den spektralen Transmissionsgrad τλ,O3 = exp [−kO3 (λ) hO3 mr,O3 ] .

(5.121)

Tabellierte Werte des Absorptionskoeﬃzienten kO3 (λ) ﬁndet man in [5.34] und [5.38]. Mit mr,O3 ist die relative optische Ozon-Masse bezeichnet. Sie weicht nur f¨ ur βS > 70◦ merklich von mr,L ab und kann mit einer von N. Robinson [5.41] angegebenen Beziehung berechnet werden.

Abb. 5.46: Spektraler Transmissionsgrad τλ,O3 der Absorption durch Ozon nach (5.121). Der Bereich der energiereichen UV-B-Strahlung ist hervorgehoben.

Die wichtigsten Absorber im Infrarotbereich des Spektrums sind Wasserdampf und CO2 . Dabei ist der Wasserdampfgehalt der Atmosph¨ are großen Schwankungen unterworfen. Die Wasserdampfmenge wird oft durch die Dicke w einer Wasserschicht beschrieben, die durch Kondensation des in senkrechter Richtung beﬁndlichen Wasserdampfes am Erdboden entsteht. Ein typischer Wert ist w = 20 mm. F¨ ur Wasserdampf und CO2 gilt das Gesetz von Bouguer, Gl. (5.107), nicht genau. Man verwendet daher f¨ ur die Transmissionskoeﬃzienten τλ,W und τλ,G Beziehungen, die etwas anders aufgebaut sind als (5.116). Man ﬁndet diese Gleichungen bei M. Iqbal [5.34], wo auch die zugeh¨ origen Absorptionskoeﬃzienten als Funktionen der Wellenl¨ ange angegeben sind. Abb. 5.47 zeigt den Verlauf von τλ,W und τλ,G . Diese spektralen Transmissionsgrade haben Werte nahe eins bei Wellenl¨ angen um 1,2 und 1,6 μm sowie bei 2,2 und 3,9 μm. Diese schmalen Wellenl¨ angenbereiche werden atmosph¨ arische Fenster genannt, denn hier l¨ asst die Atmosph¨ are Solarstrahlung und auch Strahlung von der Erdoberﬂ¨ ache in den Weltraum fast ungeschw¨ acht hindurch.

5.4 Solarstrahlung

655

Abb. 5.47: Spektrale Transmissionsgrade τλ,W und τλ,G infolge der Absorption durch Wasserdampf bzw. durch O2 und CO2 f¨ ur mr,L = 1

5.4.3 Direkte Solarstrahlung am Erdboden Der spektrale Transmissionsgrad τλ nach (5.110) gibt auch das Verh¨altnis der spektralen Bestrahlungsst¨ arke Eλ,n einer am Erdboden beﬁndlichen und senkrecht zur Strahlrichtung orientierten Fl¨ ache zur spektralen Bestrahlungsst¨arke sol Eλ,n durch extraterrestrische Solarstrahlung an. Somit gilt sol sol Eλ,n = τλ Eλ,n = τλ,R τλ,A τλ,O3 τλ,W τλ,G Eλ,n ,

(5.122)

und f¨ ur eine Fl¨ ache, deren Normale mit der Richtung der Sonnenstrahlen den Winkel βS bildet, folgt sol Eλ = τλ cos βS Eλ,n . (5.123) sol Abb. 5.48 zeigt das extraterrestrische Spektrum Eλ,n und den zugeh¨origen Verlauf von Eλ,n . Der obere Rand dieses Kurvenzugs stellt die allein durch Rayleigh-Streuung verminderte Bestrahlungsst¨arke dar. Die schwarz markierten Absenkungen kommen durch die Absorption an den Gasen O3 , O2 , H2 O und CO2 zustande. Weitere derartige Darstellungen, welche die Variation verschiedener Einﬂussgr¨ oßen (Wasserdampf- und Ozon-Gehalt, Tr¨ ubung durch Aerosole, verschiedene optische Massen) zeigen, ﬁndet man bei M. Iqbal [5.34]. F¨ ur viele technische Anwendungen gen¨ ugt es, die Bestrahlungsst¨arke E einer Fl¨ ache am Erdboden zu kennen. Man erh¨alt E am genauesten, indem man die spektrale Bestrahlungsst¨ arke Eλ u ¨ ber alle Wellenl¨angen, praktisch von λ = 0,3 μm bis λ = 4,0 μm, integriert. Um diese umst¨andliche numerische Integration zu vermeiden, benutzt man N¨aherungsformeln verschiedener Autoren, die M. Iqbal [5.34] zusammengestellt und verglichen hat.

656

5 W¨ armestrahlung

sol Abb. 5.48: Spektrale Bestrahlungsst¨ arken Eλ,n der extraterrestrischen Solarstrahlung und Eλ,n der direkten Solarstrahlung am Erdboden f¨ ur eine reine, wolkensol lose Atmosph¨ are mit mr,L = 1,5. Die mit τλ,R Eλ,n bezeichnete Kurve zeigt die allein durch Rayleigh-Streuung hervorgerufene Abschw¨ achung. Die dunkel markierten Fl¨ achen kennzeichnen die Absorption durch die jeweils angeschriebenen Gase (hO3 = 0,30 cm, w = 2,0 cm).

Eine recht genaue Berechnung von E gestatten die Beziehungen, die R.E. Bird und R.L. Hulstrom [5.42] f¨ ur die Bestrahlungsst¨ arke der direkten (gerichteten) Solarstrahlung angegeben haben. Die Bestrahlungsst¨ arke einer Fl¨ ache, deren Normale mit den Sonnenstrahlen den Winkel βS bildet, ist E = En cos βS .

(5.124)

Die Bestrahlungsst¨ arke En einer normal zu den Sonnenstrahlen gerichteten Fl¨ ache wird nach [5.42] und [5.34] En = 0,975 E0 τR τA τO3 τW τG ,

(5.125)

wobei die Transmissionsgrade nach den folgenden Gleichungen zu berechnen sind. Hierin wird einheitlich die relative optische Masse mr,L nach (5.114) verwendet, wof¨ ur wir vereinfachend mr schreiben. Rayleigh-Streuung: ˆ ` ´˜ τR = exp −0,0903 m0,84 1 + mr − m1,01 . r r Aerosol-Streuung: τA = 0,1245 α∗ − 0,0162 + (1,003 − 0,125 α∗ ) exp [−β ∗ mr (1,089 α∗ + 0,5123)] , wobei α∗ und β ∗ die Parameter des Ansatzes (5.120) bedeuten. Man kann τA auch als Funktion der (horizontalen) Sichtweite sh in km angeben:

5.4 Solarstrahlung "

657

!#

τA = exp m0,9 r ln 0,97 −

1,265 s0,66 h

,

5 km < sh < 180 km .

Die Benutzung von sh ersetzt die Absch¨ atzung der Parameter α∗ und β ∗ . 12 Absorption durch Ozon : τO 3 = 1 −

0,153 hO3 mr , (1 + 139,5 hO3 mr )0,3035

wobei hO3 in cm einzusetzen ist, vgl. Abschnitt 5.4.2.3. Absorption durch Wasserdampf: τW = 1 −

2,496 w mr 6,385 w mr + (1 + 79,03 w mR )0,6828

mit w in cm, vgl. Abschnitt 5.4.2.3. Absorption durch CO2 und andere Gase: ` ´ τG = exp −0,0127 m0,26 . r Beispiel 5.7: Man bestimme die Bestrahlungsst¨ arke der direkten Solarstrahlung auf eine horizontale Fl¨ ache in Berlin am 1. September, 12.00 Uhr mitteleurop¨ aischer Sommerzeit, vgl. Beispiel 5.6. Es werde wolkenloser Himmel, hO3 = 0,30 cm, w = 2,6 cm und eine horizontale Sichtweite sh = 40 km angenommen. Nach Beispiel 5.6 ist der Sonnen-Polarwinkel βS = 46,05◦ . Damit erh¨ alt man aus (5.114) die relative optische Masse mr,L = mr = 1,439. F¨ ur die in (5.125) auftretenden Transmissionsgrade ergeben sich die folgenden Werte: τR = 0,8852,

τO3 = 0,9811,

τW = 0,8715,

τG = 0,9861,

τA = 0,8100 .

Aus (5.125) folgt nun En = 805,8 W/m2 ; mit cos βS = 0,694 wird dann nach (5.124) E = 559 W/m2 . Dieser Wert erreicht nur 59,9 % der in Beispiel 5.6 berechneten Bestrahlungsst¨ arke E sol der extraterrestrischen Solarstrahlung. Großen Einﬂuss haben dabei Streuung und Absorption durch Aerosole. Nimmt man eine weniger tr¨ ube Atmosph¨ are mit sh = 100 km an, so steigt τA auf τA = 0,8766, und die Bestrahlungsst¨ arke erreicht E = 605 W/m2 .

5.4.4 Diﬀuse Solarstrahlung und Globalstrahlung Außer der im letzten Abschnitt behandelten direkten Solarstrahlung erreicht auch ein Teil der von der Atmosph¨ are gestreuten Strahlung den Erdboden. Diese Strahlung wird als diﬀuse Solarstrahlung bezeichnet. Diﬀuse und direkte Solarstrahlung werden vom Erdboden teilweise reﬂektiert; die reﬂektierte Strahlung wird ihrerseits zu einem geringen Teil von der Atmosph¨are auf den Erdboden zur¨ uckgeworfen. Die Reﬂexionen zwischen Erdoberﬂ¨ache und Atmosph¨ are setzen sich mit immer kleiner werdenden Strahlungsanteilen 12

Die Gleichung f¨ ur τO3 wurde gegen¨ uber [5.42] ohne Einbuße an Genauigkeit vereinfacht.

658

5 W¨ armestrahlung

fort und f¨ uhren insgesamt zu einem zus¨ atzlichen Strahlungsﬂuss, der auf den Erdboden gerichtet ist. Diese Strahlung und die diﬀuse Solarstrahlung werden zusammenfassend als Himmelsstrahlung bezeichnet. Sie darf nicht mit der in Abschnitt 5.4.2 erw¨ ahnten atmosph¨ arischen Gegenstrahlung verwechselt werden; diese langwellige Strahlung wird von Molek¨ ulen der Atmosph¨are, haupts¨ achlich von Wasserdampf und CO2 emittiert. Die Himmelsstrahlung tritt dagegen wegen ihrer Entstehung aus der Streuung der gerichteten Solarstrahlung bei kurzen Wellenl¨ angen auf. Dies zeigt Abb. 5.49, in der beispielhaft die drei Anteile der spektralen Bestrahlungsst¨arke Eλ,d der diﬀusen HimmelsR Ae strahlung, n¨ amlich Eλ,d der Rayleigh-Streuung, Eλ,d der Aerosolstreuung und MR Eλ,d als Folge der mehrfachen Reﬂexionen dargestellt sind.

Abb. 5.49: Spektrale Bestrahlungsst¨ arke der drei Anteile der diﬀusen Himmelsstrahlung, berechnet f¨ ur mr,L = 1,5, hO3 = 0,3 cm, w = 2,0 cm sowie α∗ = 1,3 und Ra Ae β ∗ = 0,10 in (5.120): Eλ,d Anteil der Rayleigh-Streuung, Eλ,d Anteil der Streuung MR an Aerosolen, Eλ,d Anteil der Mehrfachreﬂexionen.

Man fasst die direkte Solarstrahlung und die diﬀuse Himmelsstrahlung unter der Bezeichnung Globalstrahlung zusammen. Die globale Bestrahlungsst¨ arke EG einer horizontalen Fl¨ ache am Erdboden setzt sich somit aus den folgenden Anteilen zusammen: EG = En cos βS + EdRa + EdAe + EdMR .

(5.126)

Dabei bedeutet der erste Term der rechten Seite die Bestrahlungsst¨arke durch direkte Solarstrahlung nach (5.124) und (5.125); mit EdRa ist die Bestrahlungsst¨ arke der diﬀusen Strahlung durch Rayleigh-Streuung an den LuftMolek¨ ulen, mit EdAe die durch Aerosol-Streuung verursachte diﬀuse Strahlung und mit EdMR die Bestrahlungsst¨ arke durch Mehrfach-Reﬂexionen bezeichnet. F¨ ur Fl¨ achen, die gegen¨ uber der Horizontalen geneigt sind, ergeben sich kompliziertere Beziehungen, weil auch der Strahlungsaustausch mit der Umgebung

5.4 Solarstrahlung

659

der betrachteten Fl¨ ache ber¨ ucksichtigt werden muss. Es sei auf die ausf¨ uhrliche Darstellung von M. Iqbal [5.34] verwiesen. Zur Berechnung der diﬀusen Strahlungsanteile in (5.126) nennen wir wieder das Modell von R.E. Bird und R.L. Hulstrom [5.42], vgl. auch [5.34]. Die Quelle der gestreuten Strahlung ist die nichtabsorbierte direkte Solarstrahlung mit der Bestrahlungsst¨ arke Enna = 0,786 E0 cos βS τO3 τW τG τAabs . Hierin ist τAabs der Transmissionsgrad allein aufgrund der Absorption durch Aerosole: ` ´ τAabs = 1 − (1 − ω0 ) (1 − τA ) 1 − mr + m1,06 . r Die Gr¨ oße ω0 bedeutet das Verh¨ altnis der von den Aerosolen gestreuten Energie zur Energie, die von ihnen gestreut und absorbiert wird. Dieser Anteil kann nur gesch¨ atzt werden; meistens benutzt man Werte um 0,9. Unter der Annahme, dass die H¨ alfte der an den Molek¨ ulen der Atmosph¨ are gestreuten Energie den Erdboden erreicht, erh¨ alt man nach [5.42] EdRa =

1 na 1 − τR E 2 n 1 − mr + m1,02 r

f¨ ur die Bestrahlungsst¨ arke infolge Rayleigh-Streuung. F¨ ur die Bestrahlungsst¨ arke infolge Aerosol-Streuung gilt EdAe = FA Enna

1 − τA /τAabs . 1 − mr + m1,02 r

Der Faktor FA gibt an, welcher Teil der an Aerosolen gestreuten Energie nach ” vorne“ gestreut wird, also den Erdboden erreicht. Auch FA muss gesch¨ atzt werden. R.E. Bird und R.L. Hulstrom empfehlen FA = 0,84. G.D. Robinson [5.43] bestimmte FA f¨ ur Aerosole u ¨ ber den britischen Inseln; diese Werte lassen sich durch j 0,91 f¨ ur 0 ≤ βS ≤ 45◦ FA = 0,45 + 0,65 cos βS f¨ ur 45◦ < βS ≤ 85◦ gut wiedergeben. ¨ Durch Uberlegungen, die zu den Ausf¨ uhrungen u ¨ ber Mehrfach-Reﬂexionen in Abschnitt 5.3.4 analog sind, erh¨ alt man “ ” r r E At EdMR = En cos βS + EdRa + EdAe . (5.127) 1 − rE rAt Hierin bedeutet rE den Reﬂexionsgrad der Erdoberﬂ¨ ache f¨ ur kurzwellige Strahlung solaren Ursprungs; er wird in der Meteorologie auch als Albedo bezeichnet. rE kann aus den Angaben u ¨ ber den Absortionsgrad von Solarstrahlung im folgenden Abschnitt 5.4.5 berechnet werden. Mit rAt ist der Reﬂexionsgrad der Atmosph¨ are bezeichnet; er ist klein und nach [5.42] aus “ ” rAt = 0,0685 + (1 − FA ) 1 − τA /τAabs zu berechnen. Mit EdMR nach (5.127) erh¨ alt man f¨ ur die Bestrahlungsst¨ arke der Globalstrahlung auf eine horizontale Fl¨ ache aus (5.126)

660

5 W¨ armestrahlung “ ” EG = En cos βS + EdRa + EdAe

1 . 1 − rE rAt

Diese Gleichung ist auch f¨ ur Modelle g¨ ultig, in denen En , EdRa , EdAe und rAt nach anderen Beziehungen als in [5.42] bestimmt werden. Beispiel 5.8: Man berechne die Bestrahlungsst¨ arken der diﬀusen Solarstrahlung und der Globalstrahlung f¨ ur den in Beispiel 5.7 behandelten Fall. Zus¨ atzlich werde angenommen: ω0 = 0,90, FA nach G.D. Robinson [5.43] sowie rE = 0,25. Mit mr = 1,439 und τA = 0,810 aus Beispiel 5.7 erhalten wir τAabs = 0,980. Damit und mit den u ¨ brigen in Beispiel 5.7 berechneten Transmissionsgraden ergibt sich die Bestrahlungsst¨ arke der nichtabsorbierten direkten Solarstrahlung zu Enna = 0,786 · 1367

W W 0,694 · 0,9811 · 0,8715 · 0,9861 · 0,980 = 616 2 . m2 m

F¨ ur den Rayleigh-Anteil der Bestrahlungsst¨ arke folgt dann EdRa = 35,0 Wm2 . Mit FA = 0,45 + 0,65 cos 46,05◦ = 0,90 erh¨ alt man f¨ ur den Aerosol-Anteil EdAe = 95,3 W/m2 . Der Reﬂexionsgrad der Atmosph¨ are wird rAt = 0,086, und damit l¨ asst sich der Anteil durch Mehrfachreﬂexion zu EdMR = (559 + 35,0 + 95,3)

W 0,25 · 0,086 W = 15,1 2 m2 1 − 0,25 · 0,086 m

berechnen. Damit erh¨ alt man f¨ ur die Bestrahlungsst¨ arke der diﬀusen Himmelsstrahlung EdRa + EdAe + EdMR = 145 W/m2 , die 26 % der Bestrahlungsst¨ arke durch direkte Solarstrahlung erreicht. Die globale Bestrahlungsst¨ arke wird EG = 704 W/m2 . Nimmt man wie in Beispiel 5.7 eine weniger tr¨ ube Atmosph¨ are mit τA = 0,8766 an, so erh¨ alt man τAabs = 0,987 und rAt = 0,080. Damit ergeben sich EdRa = 35,2 W/m2 , EdAe = 61,8 W/m2 und EdMR = 14,3 W/m2 . Die Bestrahlungsst¨ arke der diﬀusen Strahlung ist mit 111 W/m2 kleiner geworden, w¨ ahrend die Bestrahlungsst¨ arke der Direktstrahlung, wie in Beispiel 5.7 berechnet, auf 605 W/m2 zugenommen hat. Die Globalstrahlung ist mit EG = 716 W/m2 nur um 1,7 % gr¨ oßer als bei der tr¨ uberen Atmosph¨ are.

5.4.5 Absorptionsgrade fu ¨r Solarstrahlung Die spektralen Emissionsgrade ελ (λ, T ) fast aller Stoﬀe nehmen bei kleinen Wellenl¨ angen unter 2 μm merklich andere Werte an als bei gr¨oßeren Wellenl¨ angen. Dabei ist der spektrale Emissionsgrad elektrischer Nichtleiter in der Regel erheblich kleiner, der spektrale Emissionsgrad von Metallen dagegen etwas gr¨ oßer als bei gr¨ oßeren Wellenl¨angen. Nimmt man diﬀus strahlende Oberﬂ¨ achen an (Lambert-Strahler), so gilt dieses Verhalten wegen aλ (λ, T ) = ελ (λ, T ) auch f¨ ur den spektralen Absorptionsgrad aλ (λ, T ). Somit ist zu erwarten, dass die meisten Stoﬀe sich bei der Absorption von Solarstrahlung anders verhalten als bei der Absorption von u ¨ berwiegend langwelliger Strahlung aus irdischen Strahlungsquellen.

5.4 Solarstrahlung

661

Das Modell des grauen Lambert-Strahlers mit der Aussage a(T ) = ε(T ) darf daher nicht auf die Absorption von Solarstrahlung angewendet werden. Es sind vielmehr Absorptionsgrade zu erwarten, die von den tabellierten Emissionsgraden erheblich abweichen. Diese Absorptionsgrade aS f¨ ur die Absorption der u berwiegend kurzwelligen Solarstrahlung m¨ u ssen in der Regel durch be¨ sondere Messungen bestimmt werden. Einige Ergebnisse solcher Messungen sind in Tabelle 5.8 zusammengestellt. Weitere Daten f¨ ur nat¨ urliche“ Ober” ﬂ¨ achen wie Kornfelder, verschiedene Bodenarten, W¨alder, Schnee und Eis ﬁndet man bei K.Y. Kondratyev [5.44] in Form von Reﬂexionsgraden rS = 1−aS , die in der Meteorologie als Albedo bezeichnet werden, vgl. auch [5.34]. Tabelle 5.8: Absorptionsgrad aS f¨ ur Solarstrahlung und (Gesamt-) Emissionsgrad ε = ε(300 K) verschiedener Materialien Material Aluminium, poliert Asphalt, Straßenbelag Bl¨ atter, gr¨ un Chrom, poliert Dachpappe, schwarz Eisen, verzinkt rauh Erde, gepﬂ¨ ugt Farben Zinkweiß ¨ Schwarze Olfarbe Gold, poliert Kupfer, poliert oxidiert Marmor, weiß Magnesium, poliert Nickel, poliert Platin, blank Schiefer Schnee, sauber Silber, poliert Ziegel, rot

aS

ε

aS /ε

0,20 0,93 0,71...0,79 0,40 0,82 0,38 0,75 0,75

0,08

2,5

0,86 0,07 0,91

0,83...0,92 5,7 0,90

0,82

0,91

0,22 0,90 0,29 0,18 0,70 0,46 0,19 0,36 0,31 0,88 0,20...0,35 0,13 0,75

0,92 0,92 0,026 0,03 0,45 0,90 0,12 0,09 0,07 0,91 0,95 0,018 0,93

0,24 0,98 11,1 6,0 1,56 0,51 1,6 4,0 4,4 0,97 0,21...0,37 7,2 0,81

F¨ ur solartechnische Anwendungen ist das Verh¨altnis aS /ε einer Oberﬂ¨ache wichtig. Es soll z.B. bei Solarkollektoren groß sein, damit die zu ε proportionale Abstrahlung in die Umgebung klein gegen¨ uber der absorbierten Solarstrahlung ist. Soll dagegen die Oberﬂ¨ ache unter Solarstrahlung eine niedrige Temperatur annehmen, so muss aS /ε m¨ oglichst klein sein, was z.B. bereits bei einem weißen Farbanstrich (aS = 0,22; ε = 0,92) mit aS /ε = 0,24 recht gut erf¨ ullt ist.

662

5 W¨ armestrahlung

5.5 Strahlungsaustausch Beim W¨ arme¨ ubergang durch Strahlung wird Energie nicht nur vom w¨armeren K¨ orper zum k¨ alteren u ¨bertragen; auch der k¨altere K¨orper sendet Strahlung aus, die auf den w¨ armeren K¨ orper triﬀt und dort absorbiert werden kann. Somit ﬁndet — anders als bei der W¨ armeleitung und beim konvektiven W¨ arme¨ ubergang — ein Energieaustausch statt. Dieser Strahlungsaustausch h¨ angt von der gegenseitigen Lage und der Orientierung der strahlenden Oberﬂ¨ achen ab, von ihren Temperaturen und ihren Strahlungseigenschaften. Wir nehmen in den folgenden Abschnitten an, dass die strahlenden Fl¨achen durch ein Medium getrennt sind, das den Strahlungsaustausch nicht beeinﬂusst, also Strahlung weder absorbiert, emittiert oder streut. Diese Bedingung erf¨ ullt exakt nur das Vakuum; die meisten Gase beeinﬂussen jedoch den Strahlungsaustausch nur unwesentlich. Auf die Gasstrahlung gehen wir in Abschnitt 5.6 ein. Auch wenn das Zwischenmedium den Strahlungsaustausch zwischen den K¨ orpern nicht beeinﬂusst, ist die Berechnung schwierig, will man die Abh¨ angigkeit der emittierten, absorbierten und reﬂektierten Strahlung von der Richtung und der Wellenl¨ ange exakt ber¨ ucksichtigen. Wir verwenden daher in den folgenden Abschnitten das Modell des grauen Lambert-Strahlers nach 5.3.2.3 und nehmen (mit einer Ausnahme in 5.5.4) diﬀuse Reﬂexion an. Die komplizierte Berechnung des Strahlungsaustausches zwischen nicht diﬀus und nicht grau strahlenden Fl¨ achen wird ausf¨ uhrlich von R. Siegel u.a. [5.37], [5.45] dargestellt. F¨ ur graue Lambert-Strahler erfasst man die geometrischen Verh¨altnisse beim Strahlungsaustausch durch den Sichtfaktor, den wir in Abschnitt 5.5.1 behandeln. Im darauf folgenden Abschnitt berechnen wir den Strahlungsaustausch zwischen Schwarzen K¨ orpern — ein einfacher Fall, weil keine Reﬂexionen auftreten. Der Strahlungsaustausch zwischen beliebig vielen isothermen Fl¨ achen, die sich wie graue Lambert-Strahler verhalten, wird in 5.5.3 ausf¨ uhrlich dargestellt. Im letzten Abschnitt gehen wir auf die isolierende Wirkung von Strahlungsschutzschirmen ein, wobei wir auch spiegelnd reﬂektierende Fl¨ achen ber¨ ucksichtigen.

5.5.1 Sichtfaktoren Zur Berechnung des Strahlungsaustausches zwischen zwei Fl¨achen ben¨otigt man eine Gr¨ oße, welche den Einﬂuss ihrer Lage und Orientierung erfasst. Dies ist der Sichtfaktor, f¨ ur den auch die Bezeichnungen Einstrahlzahl, Formfaktor oder Winkelverh¨ altnis u ahrend im englischen Schrifttum die ¨ blich sind, w¨ Ausdr¨ ucke view factor, conﬁguration factor oder shape factor benutzt werden. Der Sichtfaktor gibt an, in welchem Ausmaß eine Fl¨ache von einer anderen aus gesehen“ werden kann, genauer, welcher Teil des von einer Fl¨ache 1 insgesamt ” ausgehenden Strahlungsﬂusses auf eine andere Fl¨ache 2 f¨allt.

5.5 Strahlungsaustausch

663

Zur Berechnung des Sichtfaktors bestimmen wir zun¨achst den Strahlungsﬂuss d2 Φ12 , der vom Fl¨ achenelement dA1 ausgeht und das Fl¨achenelement dA2 triﬀt, Abb. 5.50. Mit L1 als Strahldichte der von dA1 ausgehenden Strahlung erh¨ alt man hierf¨ ur nach (5.11)

Abb. 5.50: Geometrische Gr¨ oßen zur Berechnung des Sichtfaktors

d2 Φ12 = L1 cos β1 dA1 dω2 . Dabei bedeutet dω2 den Raumwinkel, unter dem das Fl¨achenelement dA2 von dA1 aus erscheint: dω2 =

dA2n cos β2 dA2 = . 2 r r2

Somit erh¨ alt man d2 Φ12 = L1

cos β1 cos β2 dA1 dA2 . r2

(5.128)

Diese Beziehung wird auch als photometrisches Grundgesetz bezeichnet. Der Strahlungsﬂuss, der das Fl¨ achenelement dA2 erreicht, nimmt danach mit dem Quadrat des Abstands r zwischen Strahlungsquelle und Strahlungsempf¨anger ab. Außerdem spielt die Orientierung der Fl¨ achenelemente zu ihrer Verbindungsgeraden eine Rolle, die in den Cosinusfunktionen der beiden Polarwinkel β1 und β2 zum Ausdruck kommt. Wir berechnen nun den Strahlungsﬂuss, der von der endlich großen Fl¨ache 1 ausgeht und die Fl¨ ache 2 triﬀt, Abb. 5.50. Dabei nehmen wir an, dass die Strahldichte L1 auf der ganzen Fl¨ ache 1 konstant ist. Dann ergibt die Integration von (5.128) u ber beide Fl¨ a chen ¨ cos β1 cos β2 Φ12 = L1 dA1 dA2 . (5.129) r2 A1 A2

Dies ist der Strahlungsﬂuss, der von 1 ausgeht und auf 2 f¨allt. Mit Φ1 = πL1 A1

664

5 W¨ armestrahlung

als dem Strahlungsﬂuss, den die Fl¨ ache 1 in den Halbraum emittiert, erh¨alt man den Sichtfaktor Φ12 1 cos β1 cos β2 F12 := = dA1 dA2 . (5.130) Φ1 πA1 r2 A1 A2

Diese Gr¨ oße gibt an, welcher Teil der von der Fl¨ache 1 ausgehenden Strahlung auf die Fl¨ ache 2 f¨ allt. Der Sichtfaktor h¨ angt dabei nur von geometrischen Gr¨ oßen ab. Dies folgt aus der einschr¨ ankenden Annahme konstanter Strahldichte L1 : Gleichung (5.130) gilt nur, wenn die Fl¨ache 1 diﬀus strahlt, eine konstante Temperatur und u ¨ berall gleiche Strahlungseigenschaften hat. Vertauscht man in (5.130) die Indizes 1 und 2, so erh¨alt man Φ21 1 cos β1 cos β2 F21 = = dA1 dA2 (5.131) Φ2 πA2 r2 A2 A1

als den Teil des von der Fl¨ ache 2 (mit konstanter Strahldichte L2 !) ausgehenden Strahlungsﬂusses, der auf die Fl¨ ache 1 triﬀt. Aus (5.130) und (5.131) folgt die wichtige Reziprozit¨atsbeziehung der Sichtfaktoren, A1 F12 = A2 F21 .

(5.132)

Man braucht also nur einen der beiden Sichtfaktoren durch die in der Regel recht komplizierte Integration nach (5.130) oder (5.131) zu bestimmen. Eine weitere Beziehung zwischen Sichtfaktoren erh¨alt man, wenn n Fl¨achen, f¨ ur deren jede Li = const gilt, einen geschlossenen Hohlraum bilden, was in Abb. 5.51 schematisch dargestellt ist. Aus der Strahlungsbilanz f¨ ur die Fl¨ ache i, Φi1 + Φi2 + · · · + Φin = Φi , folgt nach Division durch Φi die Summationsregel n

Fij = 1 ,

i = 1, 2, . . . n .

(5.133)

j=1

Zu den Sichtfaktoren dieser Summe geh¨ ort auch Fii . Er gibt an, welcher Teil der von i ausgehenden Strahlung auf i triﬀt. Fii = 0 ist nur bei einer konkaven Fl¨ ache m¨ oglich; sie sieht sich selbst“. F¨ ur ebene und konvexe Fl¨achen gilt ” dagegen Fii = 0. Ein einfaches Beispiel f¨ ur die Anwendung der Beziehungen (5.132) und (5.133) liefert die Strahlung in dem Hohlraum, der von zwei Kugelﬂ¨ achen 1 und 2 gebildet wird, Abb. 5.52. Hier gibt es die vier Sichtfaktoren F11 , F12 , F21 und F22 . Zu ihrer Berechnung wenden wir die Summationsregel auf die innere Kugel an: F11 + F12 = 1 . Da die Fl¨ ache 1 konvex ist, gilt F11 = 0, und es folgt F12 = 1: Die gesamte von 1

5.5 Strahlungsaustausch

Abb. 5.51: Geschlossener Hohlraum und Strahlungsﬂ¨ usse Φij , die von der Fl¨ ache Ai ausgehen

665

Abb. 5.52: Hohlraum, der von den konzentrischen Kugelﬂ¨ achen 1 und 2 gebildet wird

ausgehende Strahlung f¨ allt auf die ¨ außere Kugelﬂ¨ ache 2. Nun erhalten wir F21 aus der Reziprozit¨ atsbeziehung (5.132) mit A1 und A2 als den Oberﬂ¨ achen der beiden Kugeln: „ «2 A1 A1 r1 F21 = F12 = = <1 . A2 A2 r2 Aus der Summationsregel F21 + F22 = 1 f¨ ur die ¨ außere Kugel ergibt sich schließlich der vierte Sichtfaktor F22 = 1 − F21 = 1 − (A1 /A2 ) = 1 − (r1 /r2 )2 . Er ist nicht gleich null, denn ein Teil der von der ¨ außeren Kugelﬂ¨ ache ausgehenden Strahlung triﬀt wieder auf diese Fl¨ ache.

Nicht immer lassen sich Sichtfaktoren so leicht berechnen wie f¨ ur die einfache Geometrie des eben behandelten Beispiels. Dann muss das Mehrfachintegral in (5.130) ausgewertet werden. Auf diese Weise m¨ ussen jedoch nicht alle Sichtfaktoren berechnet werden. In einem Hohlraum, der von n Fl¨achen begrenzt wird, gibt es insgesamt n2 Sichtfaktoren. Davon k¨onnen n Sichtfaktoren durch Anwenden der Summationsregel (5.133) auf jede der n Fl¨achen bestimmt werden. Außerdem erh¨ alt man n(n − 1)/2 Sichtfaktoren mit Hilfe der Reziprozit¨ atsbeziehung (5.132). Somit ist die Anzahl der nach (5.130) zu berechnenden Sichtfaktoren nur noch n2 − n − n(n − 1)/2 = n(n − 1)/2 . Diese Zahl verringert sich weiter um die Anzahl der konvexen oder ebenen Fl¨ achen, f¨ ur die Fii = 0 gilt. Das Mehrfachintegral von (5.130) wurde f¨ ur eine gr¨oßere Zahl geometrischer Anordnungen berechnet, wobei sich meistens umst¨andlich auszuwerten¨ de Gleichungen ergaben. Uber die hierbei anzuwendenden Methoden berichten R. Siegel u.a. [5.45]. Einige Beispiele berechneter Sichtfaktoren sind in Tabelle 5.9 aufgef¨ uhrt. Gr¨ oßere Zusammenstellungen von Sichtfaktoren ﬁndet man bei R. Siegel u.a. [5.45] mit zahlreichen Quellenhinweisen, im VDI-W¨armeatlas [5.46] und bei J.R. Howell [5.47].

666

5 W¨ armestrahlung

Tabelle 5.9: Sichtfaktoren F12 f¨ ur ausgew¨ ahlte geometrische Anordnungen

Zwei unendlich lange, parallele Streifen mit senkrecht u ¨ bereinander liegenden Mittellinien x = b1 /h ; y = b2 /h »q – q 1 F12 = (x + y)2 + 4 − (y − x)2 + 4 2x Zwei unendlich lange, zueinander senkrechte Streifen mit gemeinsamer Seite » – q 1 b2 F12 = 1+ − 1 + (b2 /b1 )2 2 b1

Zwei identische parallele, gegen¨ uberliegende Rechtecke x = a/h ; y = b/h " ` ´` ´ 1 + x2 1 + y 2 2 1 F12 = ln πxy 2 1 + x2 + y 2 p x +x 1 + y 2 arctan p 1 + y2 p y +y 1 + x2 arctan √ 1 + x2 i −x arctan x − y arctan y Zwei zueinander senkrechte Rechtecke mit einer gemeinsamen Seite x = b1 /a ; y = b2 /a » 1 1 1 F12 = x arctan + y arctan πx x y p 1 − x2 + y 2 arctan p x2 + y 2 ` ´` ´ 1 + x2 1 + y 2 1 + ln 4 1 + x2 + y 2 ` ´ ` ´ # x2 1 + x2 + y 2 y 2 1 + x2 + y 2 x2 y2 + ln + ln 4 (1 + x2 ) (x2 + y 2 ) 4 (1 + x2 ) (x2 + y 2 )

5.5 Strahlungsaustausch

667

Tabelle 5.9: (Fortsetzung)

Zwei parallele Kreisscheiben mit gemeinsamer Mittelsenkrechten x = r1 /h ; y = r2 /h ` ´ z = 1 + 1 + y 2 /x2 » – q 1 F12 = z − z 2 − 4 (y/x)2 2 Ein unendlich langer Streifen und ein dazu paralleler, unendlich langer Zylinder

F12 =

r b−a

„ arctan

b a − arctan h h

«

Zwei unendlich lange, parallele Zylinder mit gleichem Durchmesser

x = h/2r F12 = F21 =

1 π

„p

x2 − 1 + arcsin

1 −x x

«

Eine Kugel und eine Kreisscheibe, deren Mittelsenkrechte durch den Kugelmittelpunkt geht

F12

0 1@ = 1− q 2

1 1

A

1 + (r2 /h)2

Zwei Fl¨ achen der Innenseite einer Hohlkugel

F12 =

A2 4πr 2

668

5 W¨ armestrahlung

Beispiel 5.9: Man berechne die Sichtfaktoren f¨ ur das Innere eines Zylinders nach Abb. 5.53 mit r = 0,10 m und h = 0,25 m.

Abb. 5.53: Hohlzylinder mit Deckﬂ¨ achen 1 und 2 und der Mantelﬂ¨ ache 3 In dem von 3 Fl¨ achen begrenzten Hohlraum gibt es 9 Sichtfaktoren. Davon m¨ ussen nur 3 nach (5.130) berechnet werden. Da die Deckﬂ¨ achen 1 und 2 eben sind, gilt F11 = 0 und F22 = 0, so dass nur ein Sichtfaktor durch Auswerten des Doppelintegrals von (5.130) zu bestimmen ist. Dies ist der Sichtfaktor F12 ; er ergibt sich aus Tabelle 5.9 (zwei gleich große, parallele, konzentrische Kreisscheiben) mit z = 2 + (h/r)2 = 8,25 zu ” p 1“ F12 = z − z 2 − 4 = 0,123 . 2 Damit wird F13 = 1 − F12 = 0,877. Aus Symmetriegr¨ unden (oder durch Anwenden der Reziprozit¨ atsbeziehung) ﬁndet man F21 = F12 = 0,123 und F23 = 1 − F21 = 0,877 = F13 . Aus der Reziprozit¨ atsbeziehung A3 F31 = A1 F13 folgt A1 πr 2 F13 = F13 = 0,1754 . A3 2πrh (Symmetrie!) ergibt sich aus F31 =

Mit F32 = F31

F31 + F32 + F33 = 1 schließlich F33 = 1 − 2F31 = 0,649 .

5.5.2 Strahlungsaustausch zwischen Schwarzen K¨ orpern Die Berechnung des Strahlungsaustausches vereinfacht sich, wenn man Schwarze K¨ orper betrachtet, weil dann keine Reﬂexionen auftreten und der gesamte auftreﬀende Strahlungsﬂuss absorbiert wird. Außerdem h¨angt die Strahldichte Ls eines Schwarzen K¨ orpers nur von seiner Temperatur ab. Auf der isothermen Oberﬂ¨ ache eines Schwarzen K¨ orpers ist daher die Strahldichte konstant, was bei der Berechnung der Sichtfaktoren im letzten Abschnitt vorausgesetzt wurde.

5.5 Strahlungsaustausch

669

Abb. 5.54: Strahlungsﬂ¨ usse Φ12 und Φ21 beim direkten Strahlungsaustausch zwischen den Schwarzen K¨ orpern 1 und 2

Wir berechnen zuerst den direkten Strahlungsaustausch zwischen zwei Schwarzen K¨ orpern beliebiger Gestalt mit den Oberﬂ¨achen A1 und A2 und den gleichf¨ ormigen Temperaturen T1 und T2 , Abb. 5.54. Dabei sollen alle Strahlungsﬂ¨ usse, die von einem der beiden K¨ orper ausgehen und den anderen nicht treﬀen, unber¨ ucksichtigt bleiben. Der Teil des Strahlungsﬂusses, der von 1 ausgeht und auf 2 f¨ allt, ist durch Φ12 = A1 F12 σT14 gegeben. Dieser Energiestrom wird vom Schwarzen K¨orper 2 absorbiert. Von der Strahlung dieses K¨ orpers empf¨ angt und absorbiert der Schwarze K¨orper 1 den Strahlungsﬂuss Φ21 = A2 F21 σT24 . Der Netto-Strahlungsﬂuss, der durch den direkten Strahlungsaustausch von 1 nach 2 u ¨bertragen wird, ist somit Φ∗12 = Φ12 − Φ21 = A1 F12 σT14 − A2 F21 σT24 . Haben beide Schwarze K¨ orper die gleiche Temperatur T1 = T2 , so wird zwischen ihnen kein (Netto–)Energiestrom u ¨ bertragen: Φ∗12 = 0. Es ergibt sich dann A1 F12 = A2 F21 , also die bereits auf anderem Wege hergeleitete Reziprozit¨atsbeziehung (5.132) der Sichtfaktoren. Damit erhalten wir Φ∗12 = A1 F12 σ T14 − T24 = A2 F21 σ T14 − T24 . (5.134) Der Netto-Strahlungsﬂuss, der durch direkten Strahlungsaustausch zwischen zwei Schwarzen K¨orpern u ¨ bertragen wird, ist der Diﬀerenz der vierten Potenzen ihrer thermodynamischen Temperaturen proportional. Wir betrachten nun einen Hohlraum, der von W¨anden umgeben ist, die aus mehreren Teilen mit jeweils isothermen Oberﬂ¨achen bestehen, Abb. 5.55. Nach H.C. Hottel und A.F. Saroﬁm [5.48] nennen wir diese isothermen Teile der Umh¨ ullung Zonen. Nichtisotherme W¨ ande mit kontinuierlich ver¨anderlicher Temperatur k¨ onnen durch eine Folge gen¨ ugend kleiner Zonen mit jeweils verschiedener Temperatur angen¨ ahert werden. Im Folgenden sollen alle Zo¨ nen als schwarze Fl¨ achen angenommen werden. Eine Oﬀnung des Hohlraums wird als Zone mit einer solchen Temperatur angesehen, dass ihre Strahlung der als schwarz angenommenen Strahlung entspricht, die von außen durch die ¨ Oﬀnung in den Hohlraum eindringt.

670

5 W¨ armestrahlung

Um einen station¨ aren Zustand aufrecht zu erhalten, muss jeder Zone von außen ein W¨ armestrom zugef¨ uhrt (oder entzogen) werden, um die Diﬀerenz zwischen dem emittierten Strahlungsﬂuss und der Summe aller auftreﬀenden (und absorbierten) Strahlungsﬂ¨ usse zu decken. F¨ ur die Zone i mit der Oberﬂ¨ ache Ai und der Temperatur Ti gilt dann die Energiebilanz Q˙ i = Ai σTi4 −

n

Aj Fji σTj4 .

(5.135)

j=1

Durch Anwenden der Reziprozit¨ atsbeziehung (5.132) erh¨alt man daraus Q˙ i = Ai σTi4 −

n

Ai Fij σTj4 .

j=1

Da nach (5.133)

n

Fij = 1 ist, gilt auch

j=1

Q˙ i = Ai σ

n

Fij Ti4 − Tj4

;

i = 1, 2, . . . n .

(5.136)

j=1

Der einer Zone i von außen zuzuf¨ uhrende (oder bei Q˙ i < 0 nach außen abzuf¨ uhrende) W¨ armestrom ist die Summe der Netto-Strahlungsﬂ¨ usse Φ∗ij nach (5.134) zwischen der Zone i und den anderen Zonen, die den Hohlraum begrenzen. Eine Zone mit Q˙ i > 0 bezeichnet man als (Netto-)Strahlungsquelle, weil sie mehr Strahlung emittiert als absorbiert. Eine Zone mit Q˙ i < 0 ist ein (Netto-) Strahlungsempf¨anger, der mehr Strahlung absorbiert als emittiert. Nach außen adiabate Zonen (Q˙ i = 0) bezeichnen wir als r¨ uckstrahlende W¨ande. Ihre Temperaturen stellen sich so ein, dass sie so viel Strahlung emittieren, wie sie von der auftreﬀenden Strahlung absorbieren (Strahlungsgleichgewicht). F¨ ur gegebene Temperaturen erh¨ alt man aus (5.136) die W¨armestr¨ome aller Zonen. Ist dagegen ein Teil der W¨ armestr¨ ome bekannt, so stellen die n Bilanzgleichungen (5.136) ein lineares Gleichungssystem dar, aus dem die unbekannten Temperaturen und die unbekannten W¨armestr¨ome berechnet werden k¨ onnen.

Abb. 5.55: a Geschlossener Hohlraum mit schwarz strahlenden Begrenzungsﬂ¨ achen. b Veranschaulichung der Energiebilanz f¨ ur die Zone i

5.5 Strahlungsaustausch

671

Ein Hohlraum mit nur drei Zonen ist eine oft gute N¨ aherung f¨ ur den Fall, dass eine Strahlungsquelle mit der Fl¨ ache A1 und der Temperatur T1 im Strahlungsaustausch mit einem Strahlungsempf¨ anger steht, der die Fl¨ ache A2 und die Temperatur T2 < T1 hat, vgl. Abb. 5.56. Am Strahlungsaustausch sind außerdem nach außen adiabate W¨ ande beteiligt, denen in grober N¨ aherung eine einheitliche Temperatur TR zugeordnet wird. Die r¨ uckstrahlenden W¨ ande, die den Hohlraum abschließen, werden hier also zu einer einzigen Zone mit TR und Q˙ R = 0 zusammengefasst.

Abb. 5.56: Hohlraum, gebildet von Strahlungsquelle 1, Strahlungsempf¨ anger 2 und r¨ uckstrahlenden W¨ anden mit Q˙ R = 0

F¨ ur diesen Hohlraum mit drei schwarz strahlenden Zonen gelten die folgenden Bilanzgleichungen: ˆ ` ´ ` ´˜ Q˙ 1 = A1 σ F12 T14 − T24 + F1R T14 − TR4 , (5.137a) ˆ ` ´ ` ´˜ Q˙ 2 = A2 σ F21 T24 − T14 + F2R T24 − TR4 , ˆ ` 4 ´ ` 4 ´˜ 4 4 0 = AR σ FR1 TR − T1 + FR2 TR − T2 .

(5.137b) (5.137c)

Mit der Reziprozit¨ atsrelation (5.132) folgt hieraus Q˙ 2 = −Q˙ 1 , was sich auch aus der Bilanz f¨ ur den ganzen Hohlraum ergibt. Aus (5.137c) erh¨ alt man f¨ ur die Temperatur der r¨ uckstrahlenden Zone TR4 =

A1 F1R T14 + A2 F2R T24 A1 F1R + A2 F2R

(5.138)

und durch Elimination von TR4 aus (5.137a) ` ´ Q˙ 1 = −Q˙ 2 = A1 F 12 σ T14 − T24

(5.139)

mit dem modiﬁzierten Sichtfaktor F 12 = F12 +

F1R F2R . (A1 /A2 )F1R + F2R

(5.140)

Wie der Vergleich mit (5.134) zeigt, vergr¨ oßert sich der von 1 nach 2 u ¨ bertragene W¨ armestrom Q˙ 1 durch die r¨ uckstrahlenden W¨ ande gegen¨ uber dem NettoStrahlungsﬂuss Φ∗12 , denn es ist F 12 > F12 . Haben Strahlungsquelle und Strahlungsempf¨ anger ebene oder konvexe Oberﬂ¨ achen (F11 = 0, F22 = 0), so lassen sich die Sichtfaktoren F1R und F2R auf F12 zur¨ uckf¨ uhren, und man erh¨ alt statt (5.140) F 12 =

2 1 − (A1 /A2 )F12 . 1 + (A1 /A2 )(1 − 2F12 )

(5.141)

Zur Berechnung von Q˙ 1 wird nur noch ein Sichtfaktor, n¨ amlich F12 ben¨ otigt.

672

5 W¨ armestrahlung

Beispiel 5.10: Der Hohlzylinder von Beispiel 5.9 habe schwarz strahlende W¨ ande. Die beiden Deckﬂ¨ achen werden auf den Temperaturen T1 = 550 K und T2 = 300 K gehalten. Die Mantelﬂ¨ ache 3 sei adiabat, Q˙ 3 = Q˙ R = 0. Man be˙ rechne den W¨ armestrom Q1 und die Temperatur T3 = TR der r¨ uckstrahlenden Mantelﬂ¨ ache, wenn diese in grober N¨ aherung als isotherme Fl¨ ache (Zone) angenommen wird. Um den W¨ armestrom Q˙ 1 nach (5.139) zu bestimmen, ben¨ otigt man den modiﬁzierten Sichtfaktor F 12 , der nach (5.141) zu berechnen ist, weil beide Deckﬂ¨ achen eben sind. Mit F12 = 0,123 aus Beispiel 5.9 und A1 /A2 = 1 erh¨ alt man F 12 = 0,5615. Aus (5.139) ergibt sich ´ W ` Q˙ 1 = −Q˙ 2 = π 0,102 m2 · 0,5615 · 5,67 · 10−8 2 4 5504 − 3004 K4 = 83,4 W . m K Die Temperatur der r¨ uckstrahlenden Mantelﬂ¨ ache l¨ asst sich nach (5.138) berechnen. Mit F1R = F13 = F23 = F2R (Symmetrie!) und A1 = A2 erh¨ alt man TR4 =

´ 1` 4 T1 + T24 2

und daraus TR = 472 K. Dies ist die Temperatur, bei der die isotherm angenommene Mantelﬂ¨ ache soviel Energie emittiert, wie sie absorbiert. In Wirklichkeit ¨ andert sich die Temperatur der Mantelﬂ¨ ache kontinuierlich zwischen T1 und T2 , denn auf jeden ringf¨ ormigen Streifen inﬁnitesimaler Breite triﬀt Strahlung mit unterschiedlicher Bestrahlungsst¨ arke. Somit hat auch jeder Streifen eine unterschiedliche speziﬁsche Ausstrahlung und nimmt eine dem entsprechende Temperatur an. Die korrekte Behandlung derartiger Strahlungsaustauschvorg¨ ange mit kontinuierlich ver¨ anderlicher Temperatur (entsprechend unendlich vielen inﬁnitesimalen Zonen) ist mathematisch sehr aufw¨ andig; man vergleiche hierzu [5.45], S. 107–132.

5.5.3 Strahlungsaustausch zwischen grauen Lambert-Strahlern K¨ onnen die am Strahlungsaustausch beteiligten K¨orper nicht als Schwarze K¨ orper angenommen werden, so sind auch die reﬂektierten Strahlungsﬂ¨ usse zu ber¨ ucksichtigen. In einem Hohlraum ﬁnden dann an allen Umh¨ ullungsw¨anden mehrfache Reﬂexionen, verbunden mit Teil-Absorption der auftreﬀenden Strahlung statt. Eine allgemeine L¨ osung des Strahlungsaustauschproblems ohne vereinfachende Annahmen ist nur in Ausnahmef¨allen m¨oglich. Werden die Begrenzungsw¨ ande des Hohlraums wie in 5.5.2 in isotherme Zonen eingeteilt, so erh¨ alt man eine relativ einfache L¨ osung, wenn sich diese Zonen wie graue Lambert-Strahler verhalten. Jede Zone ist dann allein durch ihren hemisph¨ arischen Gesamt-Emissionsgrad εi = εi (Ti ) gekennzeichnet, und es gilt f¨ ur ihren Absorptionsgrad ai = εi sowie f¨ ur den Reﬂexionsgrad ri = 1 − εi . F¨ ur jede Zone ist außerdem die Strahldichte konstant, und auch die reﬂektierte Strahlung hat eine konstante Strahldichte, wenn man diﬀuse Reﬂexion annimmt, vgl. Abschnitt 5.1.5. Die Summe der von einer Zone emittierten und reﬂektierten Strahlung gehorcht damit dem Cosinusgesetz, so dass wie

5.5 Strahlungsaustausch

673

f¨ ur Schwarze K¨ orper die Sichtfaktoren verwendet werden k¨onnen, um den Strahlungsaustausch zwischen den Zonen zu beschreiben. Wir untersuchen nun den Strahlungsaustausch zwischen den isothermen W¨ anden (Zonen) des in Abb. 5.57 dargestellten Hohlraums. F¨ ur einige Zonen seien die Temperaturen bekannt, f¨ ur die anderen Zonen seien die von außen zuoder abzuf¨ uhrenden W¨ armestr¨ ome gegeben. Gesucht sind die W¨armestr¨ome der Zonen mit bekannten Temperaturen und die Temperaturen jener Zonen, deren W¨ armestr¨ ome gegeben sind. Unbekannt sind damit so viele Gr¨oßen (Temperaturen bzw. W¨ armestr¨ ome), wie Zonen vorhanden sind.

Abb. 5.57: Hohlraum, begrenzt von jeweils isothermen Fl¨ achen (Zonen), die graue Lambert-Strahler sind

Zur L¨ osung des Strahlungsaustauschproblems stellen wir f¨ ur alle Zonen Energiebilanzgleichungen auf, wobei wir die von G. Poljak [5.49] eingef¨ uhrte Netto-Strahlungsmethode verwenden. Dies ergibt ein lineares Gleichungssystem, dessen L¨ osung die unbekannten W¨ armestr¨ome und Temperaturen liefert. Bei einfachen Problemen mit nur zwei oder drei Zonen f¨ uhrt eine von A.K. Oppenheim [5.50] angegebene elektrische Analogie in einfacher Weise auf den Zusammenhang zwischen den Temperaturen und den W¨armestr¨omen der Zonen. 5.5.3.1 Die Bilanzgleichungen nach der Netto-Strahlungsmethode Zur Aufstellung der Energiebilanzgleichung einer Zone f¨ uhrt man nach G. Poljak eine neue Gr¨oße ein, welche die von einer isothermen Fl¨ache i emittierte und reﬂektierte Strahlung zusammenfasst. Sie setzt sich additiv aus der speziﬁschen Ausstrahlung Mi der Fl¨ ache i und dem reﬂektierten Teil ihrer Bestrahlungsst¨ arke Ei zusammen: Hi := Mi + ri Ei = Mi + (1 − εi )Ei .

(5.142)

Wir bezeichnen die Gr¨ oße Hi nach E.R.G. Eckert [5.51] als Helligkeit der Fl¨ ache i. Dies geschieht in Anlehnung an die Optik; denn f¨ ur das Auge ist die Summe aus dem emittierten und dem reﬂektierten Lichtstrom ein Maß f¨ ur die Helligkeit eines sichtbaren Objekts. Im Englischen ist die Bezeichnung radiosity f¨ ur Hi u ¨ blich.

674

5 W¨ armestrahlung

Abb. 5.58: Veranschaulichung der Energiebilanz der Zone i mit der Fl¨ ache Ai

Wir stellen nun f¨ ur eine Zone i die in Abb. 5.58 veranschaulichte Energiebilanz auf. Der von außen zugef¨ uhrte W¨ armestrom Q˙ i muss den Unterschied zwischen dem emittierten und reﬂektierten Strahlungsﬂuss und dem auftreffenden Strahlungsﬂuss decken. Es gilt also Q˙ i = Ai (Hi − Ei ) ;

(5.143)

der W¨ armestrom stimmt mit dem Netto-Strahlungsﬂuss u ¨ berein. Wir berechnen nun die Bestrahlungsst¨ arke Ei aus (5.142) und setzen sie in (5.143) ein mit dem Ergebnis Q˙ i =

Ai Ai εi 4 (Mi − εi Hi ) = σTi − Hi . 1 − εi 1 − εi

(5.144)

Der hier auftretende Emissionsgrad εi h¨ angt in der Regel von der Temperatur ab; er ist f¨ ur die Temperatur Ti der Zone i zu berechnen: εi = εi (Ti ). Man erh¨ alt eine zweite Beziehung zwischen Q˙ i und Hi , wenn man den auf die Zone i auftreﬀenden Strahlungsﬂuss Ai Ei mit den von den anderen Zonen ausgesandten Strahlungsﬂ¨ ussen verkn¨ upft. Von der Zone j geht der Strahlungsﬂuss Aj Hj aus, aber nur der mit dem Sichtfaktor Fji multiplizierte Strahlungsﬂuss Aj Fji Hj triﬀt auf die Zone i. Wir erhalten daher f¨ ur den die Zone i insgesamt treﬀenden Strahlungsﬂuss Ai Ei =

n

Aj Fji Hj = Ai

j=1

n

Fij Hj ,

j=1

wobei wir die Reziprozit¨ atsrelation (5.132) f¨ ur die Sichtfaktoren angewendet haben. Setzt man diesen Ausdruck in (5.143) ein, so folgt unter Beachtung von (5.133) Q˙ i = Ai Hi −

n j=1

n ! Fij Hj = Ai Fij (Hi − Hj ) .

(5.145)

j=1

Die beiden Bilanzgleichungen (5.144) und (5.145) lassen sich f¨ ur jede Zone aufstellen (i = 1, 2, . . . n). Damit stehen 2n Gleichungen f¨ ur die n unbekannten Helligkeiten Hi und die n gesuchten Werte von Q˙ i bzw. Ti zur Verf¨ ugung. Bevor wir in Abschnitt 5.5.3.4 auf dieses Gleichungssystem eingehen, zeigen wir im n¨ achsten Abschnitt eine einfache L¨ osung f¨ ur Hohlr¨aume, die von zwei oder drei Zonen begrenzt werden.

5.5 Strahlungsaustausch

675

5.5.3.2 Strahlungsaustausch zwischen Strahlungsquelle, Strahlungsempf¨ anger und einer r¨ uckstrahlenden Wand Ein von drei isothermen Fl¨ achen (Zonen) umschlossener Hohlraum, wie ihn Abb. 5.59 schematisch zeigt, dient h¨ auﬁg als N¨aherung f¨ ur kompliziertere F¨ alle des Strahlungsaustausches. Die Zone 1 mit der Temperatur T1 und dem Emissionsgrad ε1 sei die (Netto-)Strahlungsquelle, ihr wird von außen der W¨ armestrom Q˙ 1 zugef¨ uhrt. Zone 2 mit der Temperatur T2 < T1 und dem Emissionsgrad ε2 ist der Strahlungsempf¨ anger, w¨ahrend die dritte Zone mit der als r¨ aumlich konstant angenommenen Temperatur TR eine r¨ uckstrahlende Wand ist (Q˙ R = 0). Gesucht ist der durch Strahlungsaustausch durch den Hohlraum u armestrom Q˙ 1 = −Q˙ 2 . ¨ bertragene W¨

Abb. 5.59: Hohlraum, gebildet von Strahlungsquelle 1, Strahlungsempf¨ anger 2 und (adiabaten) r¨ uckstrahlenden W¨ anden R

Zur L¨ osung dieses Problems schreiben wir die beiden grundlegenden Bilanzgleichungen (5.144) und (5.145) in der Form σTi4 − Hi Q˙ i = 1 − εi Ai εi und Q˙ i =

n Hi − Hj . 1 j=1 Ai Fij

(5.146)

(5.147)

Wir setzen diese Beziehungen in Analogie zur Elektrizit¨atsleitung. Nach (5.146) ﬂießt, verursacht durch das Potentialgef¨alle“ zwischen σTi4 und Hi , ” der Strom“ Q˙ i , durch einen Leiter“ mit dem Widerstand“ (1 − εi )/Ai εi . ” ” ” Dies ist im Ersatzschaltbild von Abb. 5.60 veranschaulicht. Gl. (5.146) l¨asst sich als Stromverzweigung am Knoten mit dem Potential“ Hi u ¨ ber Leitun” gen mit den geometrischen Widerst¨ anden“ (1/Ai Fij ) zu den Potentialen“ ” ” Hj interpretieren, vgl. Abb. 5.61. Die bei Fii = 0 m¨ogliche Leitung entf¨allt, weil wegen Hj = Hi kein Strom“ ﬂießt. ” Der Strahlungsaustausch im Hohlraum von Abb. 5.59 kann nun durch das Schaltbild von Abb. 5.62 ersetzt werden. Da die r¨ uckstrahlende Wand stromlos ist (Q˙ R = 0), ﬂießt der Strom Q˙ 1 vom Potential σT14 zum Knoten H1 , wo er sich verzweigt, direkt und u ¨ ber HR zum Knoten H2 ﬂießt und schließlich zum Potential σT24 gelangt. Zwischen den Endpunkten mit den Potentialen σT14

676

5 W¨ armestrahlung

Abb. 5.60: Elektrisches Ersatzschaltbild f¨ ur Gl. (5.146) mit Re” ﬂexions-Widerstand“ (1 − εi )/Ai εi

Abb. 5.61: Elektrisches Ersatzschaltbild f¨ ur Gl. (5.147): Stromverzweigung mit den geometrischen Widerst¨ anden“ (Ai Fij )−1 ”

und σT24 liegen drei hintereinander geschaltete Widerst¨ande, wobei sich der mittlere Widerstand (A1 F 12 )−1 zwischen H1 und H2 wegen der Stromverzweigung aus den drei Einzelwiderst¨ anden (A1 F12 )−1 , (A1 F1R )−1 und (A2 F2R )−1 zusammensetzt. Da sich hintereinander geschaltete Widerst¨ande addieren, gilt 4 4 σ T − T 1 2 Q˙ 1 = . (5.148) 1 − ε1 1 1 − ε2 + + ε1 A1 ε2 A2 A1 F 12 Bei parallel geschalteten Widerst¨ anden addieren sich die Leitwerte; somit folgt A1 F 12 = A1 F12 +

1 −1

(A1 F1R )

−1

+ (A2 F2R )

.

(5.149)

Diese Beziehung f¨ ur F 12 stimmt mit (5.140) u ¨berein, die wir auf andere Weise hergeleitet haben. Sind die beiden Fl¨ achen 1 und 2 eben oder konvex (F11 = 0

Abb. 5.62: Elektrisches Ersatzschaltbild f¨ ur den Strahlungsaustausch in einem Hohlraum nach Abb. 5.59

5.5 Strahlungsaustausch

677

und F22 = 0), so kann A1 F 12 nach (5.141) allein aus F12 , A1 und A2 berechnet werden. Man schreibt (5.148) h¨ auﬁg in der Form Q˙ 1 = ε12 A1 σ T14 − T24 , (5.150) wodurch die Strahlungsaustauschzahl ε12 deﬁniert ist. F¨ ur sie gilt dann nach (5.148) 1 1 − ε1 1 1 − ε2 = + + . (5.151) ε12 A1 ε1 A1 ε2 A2 A1 F 12 Falls die Emissionsgrade ε1 und ε2 von der Temperatur abh¨angen, ist ε1 = ε1 (T1 ) und ε2 = ε2 (T2 ) zu setzen. Zwischen den Knoten mit den Potentialen σTR4 und HR , vgl. Abb. 5.62, ﬂießt kein Strom, Q˙ R = 0. Der Widerstand (1 − εR )/εR AR hat daher keinen Einﬂuss, und es gilt σTR4 = HR . Die Temperatur TR einer r¨ uckstrahlenden Wand stellt sich unabh¨ angig von ihrem Emissionsgrad εR ein. Die zu ihrer Bestimmung ben¨otigte Helligkeit HR ergibt sich aus der Bilanz A1 F1R (H1 − HR ) = A2 F2R (HR − H2 ) , die aus Abb. 5.62 abzulesen ist, zu HR = σTR4 =

A1 F1R H1 + A2 F2R H2 . A1 F1R + A2 F2R

(5.152)

Die Helligkeiten H1 und H2 erh¨ alt man aus (5.146) f¨ ur i = 1 und i = 2 mit Q˙ 1 nach (5.150) und Q˙ 2 = −Q˙ 1 . Beispiel 5.11: Der elektrisch beheizte Ofen nach Abb. 5.63a dient zur Oberﬂ¨ achenbehandlung d¨ unner quadratischer Metallplatten, die auf beiden Oberﬂ¨ achen beschichtet sind. Der Ofen hat einen quadratischen Grundriss mit der Seitenl¨ ange a = 1,50 m. Die Strahlung abgebende Oberﬂ¨ ache der Heizelemente hat den Emissionsgrad ε = 0,85; ihr Abstand von der Metallplatte ist b = 0,25 m. Jeder der beiden Reihen von Heizelementen, die nach außen sehr gut isoliert sind, wird eine Leistung von 12,5 kW zugef¨ uhrt. Die nicht isolierten Seitenw¨ ande des Ofens haben den Emissionsgrad ε = 0,70. Im station¨ aren Zustand erreicht die

Abb. 5.63: a Elektrisch beheizter Ofen zur Oberﬂ¨ achenbehandlung von Metallplatten, b Hohlraum zur Berechnung des Strahlungsaustausches der oberen Ofenh¨ alfte

678

5 W¨ armestrahlung

Oberﬂ¨ achentemperatur der Heizelemente 750 K. Man bestimme die Temperatur der Seitenw¨ ande und die Temperatur der beschichteten Metallplatte. Wegen des symmetrischen Aufbaus gen¨ ugt es, die obere H¨ alfte des Ofens zu betrachten. Sie bildet den in Abb. 5.63b schematisch dargestellten Hohlraum. Er wird oben von dem beheizten Quadrat 1 mit ε1 = 0,85 begrenzt, seitlich von vier rechteckigen Fl¨ achen 2 mit ε2 = 0,70, die W¨ arme nach außen abgeben, sowie unten von der Metallplatte R. Da sie aus Symmetriegr¨ unden adiabat ist, stellt sie eine r¨ uckstrahlende Wand dar. Wir ordnen diesen Fl¨ achen n¨ aherungsweise die gleichf¨ ormigen Temperaturen T1 , T2 und TR zu, so dass der Strahlungsaustausch in einem von drei Zonen begrenzten Hohlraum nach (5.148) bzw. (5.151) zu berechnen ist. Wir bestimmen zun¨ achst die nach (5.149) ben¨ otigten Sichtfaktoren F12 , F1R und F2R . Am einfachsten ist der Sichtfaktor F1R zwischen den beiden parallelen, u ¨bereinander liegenden Quadraten (Kantenl¨ ange a) nach Tabelle 5.9 zu berechnen. Mit x = y = a/b = 6,0 erh¨ alt man aus " # ` ´2 p 1 + x2 2 1 x 2 F1R = ln + 2x 1 + x arctan √ − 2x arctan x πx2 2 1 + 2x2 1 + x2 den Wert F1R = 0,7326. Da F11 = 0 ist, wird F12 = 1 − F1R = 0,2674. Um F2R zu bestimmen, beachten wir, dass wegen der Symmetrie FR2 = F12 gilt. Aus der Reziprozit¨ atsbeziehung (5.132) folgt dann mit AR = A1 = a2 und A2 = 4ab F2R =

AR A1 a FR2 = F12 = F12 = 0,4011 . A2 A2 4b

Damit ergibt sich aus (5.149) der modiﬁzierte Sichtfaktor F 12 = 0,4633. Wir berechnen nun die Strahlungsaustauschzahl ε12 nach (5.151) und erhalten 1 = 1,3234 m−2 ε12 A1

und

ε12 = 0,3358 .

Die gesuchte Temperatur T2 der vier Seitenw¨ ande l¨ asst sich nun aus (5.150) mit Q˙ 1 = 12,5 kW berechnen: T24 = T14 −

Q˙ 1 . ε12 A1 σ

Dies ergibt T2 = 396,3 K. Die Temperatur TR der beschichteten Metallplatte erh¨ alt man aus ihrer Helligkeit HR zu TR = (HR /σ)1/4 .

(5.153)

Zur Berechnung von HR nach (5.152) ben¨ otigt man die Helligkeiten H1 und H2 . Man erh¨ alt sie aus (5.146) zu H1 = σT14 −

1 − ε1 ˙ kW Q1 = 16,96 2 ε1 A1 m

und wegen Q˙ 2 = −Q˙ 1 H2 = σT24 +

1 − ε2 ˙ kW Q1 = 4,970 2 . ε2 A2 m

Aus (5.152) folgt dann HR = 13,75 kW/m2 und aus (5.153) schließlich TR = 702 K.

5.5 Strahlungsaustausch

679

5.5.3.3 Strahlungsaustausch in einem Hohlraum mit zwei Zonen Die im letzten Abschnitt hergeleiteten Beziehungen f¨ ur den W¨armestrom Q˙ 1 , der vom Strahlungssender 1 auf den Empf¨ anger 2 u ¨bertragen wird, gelten auch f¨ ur einen Hohlraum, der nur von diesen beiden Zonen begrenzt wird. Da nun keine r¨ uckstrahlende Zone vorhanden ist, erh¨alt man mit F1R = 0 und F2R = 0 aus (5.149) F 12 = F12 . F¨ ur den von 1 nach 2 u ¨ bertragenen W¨ armestrom gilt Q˙ 1 = ε12 A1 σ T14 − T24 . (5.154) Die Strahlungsaustauschzahl ε12 ergibt sich nun aus (5.151) zu

1 1 1 A1 1 = + −1+ −1 . ε12 F12 ε1 A2 ε2

(5.155)

Diese Gleichungen gelten f¨ ur mehrere praktisch wichtige Sonderf¨alle: 1. Die Fl¨ ache 1 wird von der Fl¨ ache 2 v¨ ollig umschlossen, so dass F12 = 1 ist. Man erh¨ alt nun f¨ ur die Strahlungsaustauschzahl

1 1 A1 1 = + −1 . (5.156) ε12 ε1 A2 ε2 Dieses Ergebnis gilt insbesondere f¨ ur konzentrische Kugeln und sehr lange konzentrische Zylinder, weil hier die Annahme isothermer Fl¨achen am ehesten zutriﬀt. Liegt der K¨ orper 1 dagegen exzentrisch in dem vom K¨ orper 2 umschlossenen Hohlraum, Abb. 5.64, so werden die beiden Oberﬂ¨ achen in der Regel nicht isotherm sein, denn der Strahlungsﬂuss ist in den Bereichen, wo die beiden Fl¨ achen eng beieinander liegen, viel h¨oher als in den Bereichen, wo sie einen großen Abstand voneinander haben.

Abb. 5.64: Hohlraum, vom K¨ orper 2 umschlossen, mit exzentrisch angeordnetem K¨ orper 1

2. Die Fl¨ ache 2 umschließt die Fl¨ ache 1 v¨ ollig (F12 = 1) und ist schwarz: ε2 = 1. Nun folgt aus (5.156) ε12 = ε1 , also die einfache Gleichung Q˙ 1 = ε1 A1 σ T14 − T24 (5.157) f¨ ur den u armestrom. Da die Umh¨ ullung keine Strahlung ¨ bertragenen W¨ reﬂektiert, beeinﬂusst die Gr¨ oße A2 ihrer Oberﬂ¨achen den Strahlungsaustausch nicht.

680

5 W¨ armestrahlung

3. Die Fl¨ ache 2 umschließt die Fl¨ ache 1 v¨ ollig (F12 = 1), und ihre Oberﬂ¨ache ist sehr viel gr¨ oßer als die der Fl¨ ache 1: A2 A1 . Mit A1 /A2 → 0 folgt aus (5.156) ε12 = ε1 , also Gl. (5.157) f¨ ur den W¨armestrom. Die Strahlungseigenschaften einer sehr großen Umh¨ ullung spielen keine Rolle. F¨ ur den kleinen K¨ orper 1 erscheint die Umh¨ ullung 2 wie ein Schwarzer K¨ orper. 4. F¨ ur zwei sehr große parallele Ebenen (Platten) gilt ebenfalls F12 = 1, und außerdem ist A1 = A2 . Aus (5.156) erh¨alt man f¨ ur die Strahlungsaustauschzahl 1 1 1 = + −1 . (5.158) ε12 ε1 ε2 Der an zweiter Stelle behandelte Sonderfall eines K¨ orpers 1, der von einer schwarz strahlenden Umh¨ ullung 2 v¨ ollig umschlossen wird, l¨ asst sich auf einen eingeschlossenen K¨ orper mit beliebigen Strahlungseigenschaften verallgemeinern. Der von ihm emittierte Strahlungsﬂuss ist Φ1 = A1 ε1 (T1 ) σT14 . Die schwarze Umh¨ ullung absorbiert diesen Strahlungsﬂuss vollst¨ andig. Sie emittiert ihrerseits den Strahlungsﬂuss A2 σT24 , von dem der Anteil F21 auf den K¨ orper 2 triﬀt. Der K¨ orper 1 absorbiert von der ihn treﬀenden schwarzen Strahlung den Strahlungsﬂuss Φ21 = a1 (T1 , T2 ) A2 F21 σT24 . Dabei bedeutet a1 (T1 , T2 ) den hemisph¨ arischen Gesamt-Absorptionsgrad des K¨ orpers 1 f¨ ur schwarze Strahlung der Temperatur T2 . Somit wird der W¨ armestrom Q˙ 1 = Φ1 − Φ21 = ε1 (T1 ) A1 σT14 − a1 (T1 , T2 ) A2 F21 σT24

(5.159)

vom K¨ orper 1 an die schwarze Umh¨ ullung 2 u ¨ bertragen. Wir betrachten nun den Grenzfall T2 = T1 , f¨ ur den Q˙ 1 = 0 ist. Aus (5.159) ergibt sich a1 (T1 , T2 ) A2 F21 = ε1 (T1 ) A1 . (5.160) Nach Abschnitt 5.3.2.2 stimmt der hemisph¨ arische Gesamt-Absorptionsgrad eines K¨ orpers mit beliebigen Strahlungseigenschaften dann mit seinem hemisph¨ arischen Gesamt-Emissionsgrad u orper Strahlung von einem Schwar¨ berein, wenn auf den K¨ zen K¨ orper gleicher Temperatur triﬀt. Das ist hier der Fall. Somit folgt aus (5.160) A2 F21 = A1 . Dies entspricht der Reziprozit¨ atsbeziehung (5.132) mit F12 = 1. Ihre Anwendung war jedoch nicht von vornherein gesichert, weil die Strahldichte des K¨ orpers 1 nicht konstant ist. Wir erhalten damit als Verallgemeinerung von (5.157) das Ergebnis ˆ ˜ Q˙ 1 = A1 σ ε1 (T1 ) T14 − a1 (T1 , T2 ) T24 . (5.161) F¨ ur einen grauen Lambert-Strahler stimmt der Absorptionsgrad a1 f¨ ur jede auftreffende Strahlung mit dem Emissionsgrad ε1 (T1 ) u ¨ berein, so dass sich wieder (5.157) ergibt.

5.5 Strahlungsaustausch

681

5.5.3.4 Das Gleichungssystem f¨ ur den Strahlungsaustausch zwischen beliebig vielen Zonen Bei komplizierten geometrischen Verh¨ altnissen muss man die Begrenzungsw¨ ande eines Hohlraums in mehrere Zonen einteilen. Auch nichtisotherme W¨ ande m¨ ussen zur Erzielung einer h¨ oheren Genauigkeit in eine gr¨oßere Zahl von abschnittsweise isothermen Fl¨ achen (=Zonen) unterteilt werden13 . Damit wird das in 5.5.3.2 eingef¨ uhrte elektrische Analogiemodell un¨ ubersichtlich. Es ist vorteilhafter, ein lineares Gleichungssystem f¨ ur die n Helligkeiten der n Zonen aufzustellen und zu l¨ osen. Die Schwierigkeit besteht hierbei nicht darin, ein gr¨ oßeres Gleichungssystem zu l¨ osen, sondern die darin auftretenden n2 Sichtfaktoren zu bestimmen. F¨ ur n Zonen gelten die 2n Gleichungen (5.144) und (5.145) mit i = 1, 2, . . . n. Wir formen sie so um, dass sich ein System von n Gleichungen f¨ ur die n Helligkeiten Hi ergibt. Nach dessen Auﬂ¨ osung erh¨ alt man aus (5.144) den W¨ armestrom Q˙ i f¨ ur jede Zone, deren Temperatur Ti gegeben ist. Die Temperatur einer Zone mit vorgeschriebenem W¨ armestrom Q˙ i ergibt sich durch Auﬂ¨ osen von (5.144) nach Ti4 : » – 1 1 − εi (Ti ) Q˙ i 4 Ti = Hi + . (5.162) σ εi (Ti ) Ai H¨ angt der Emissionsgrad εi , wie in dieser Gleichung angedeutet, von der Temperatur ab, so ist eine Iteration erforderlich. Um das Gleichungssystem f¨ ur die Helligkeiten zu erhalten, formen wir (5.145) um: n X Hi − Fij Hj = Q˙ i /Ai . (5.163) j=1

Mit dem Kronecker-Symbol j δij =

0 f¨ ur i = j 1 f¨ ur i = j

(5.164)

folgt daraus die lineare Gleichung n X

(δij − Fij ) Hj = Q˙ i /Ai .

(5.165)

j=1

Sie wird f¨ ur die Zonen des Hohlraums verwendet, deren W¨ armestrom Q˙ i gegeben und deren Temperatur Ti gesucht ist. F¨ ur die Zonen, deren Temperatur Ti gegeben ist, eliminieren wir das unbekannte Q˙ i durch Gleichsetzen von (5.144) und (5.145). Dies ergibt nach K¨ urzen von Ai 13

Bei hohen Genauigkeitsanspr¨ uchen wird man sogar davon absehen, eine Fl¨ ache mit kontinuierlich ver¨ anderlicher Temperatur in eine endliche Zahl von Zonen zu teilen. Die korrekte Erfassung nicht-isothermer Fl¨ achen f¨ uhrt dann jedoch zu mathematisch aufw¨ andigen Beziehungen (Integralgleichungen), worauf wir nicht eingehen; es sei auf [5.45], S. 107–132 verwiesen.

682

5 W¨ armestrahlung Hi −

n X

Fij Hj =

j=1

daraus folgt Hi − (1 − εi )

´ εi ` 4 σTi − Hi ; 1 − εi

n X

Fij Hj = εi σTi4

j=1

oder mit dem Kronecker-Symbol nach (5.164) n X

[δij − (1 − εi ) Fij ] Hj = εi σTi4 .

(5.166)

j=1

Diese in den Helligkeiten lineare Gleichung wird f¨ ur die Zonen verwendet, deren Temperatur Ti gegeben ist, womit auch die εi (Ti ), also alle Koeﬃzienten und die rechten Seiten bekannt sind. F¨ ur die Zonen 1, 2, . . . m seien die Temperaturen und f¨ ur die Zonen m + 1, m + 2, . . . n seien die W¨ armestr¨ ome gegeben. Dann lautet das lineare Gleichungssystem f¨ ur die gesuchten Helligkeiten n X

[δij − (1 − εi ) Fij ] Hj = εi σTi4

,

i = 1, 2, . . . m

(5.167)

j=1

und

n X

(δij − Fij ) Hj = Q˙ i /Ai

,

i = m + 1, m + 2, . . . n .

(5.168)

j=1

Es kann nach einer der bekannten Methoden der linearen Algebra gel¨ ost werden. Aus den Helligkeiten Hi erh¨ alt man nach (5.144) die W¨ armestr¨ ome Q˙ i f¨ ur i = 1, 2, . . . m und aus (5.162) die Temperaturen Ti f¨ ur i = m + 1, m + 2, . . . n. Beﬁnden sich unter den m Fl¨ achen mit gegebenen Temperaturen einige, die schwarz sind, so reduzieren sich die zugeh¨ origen Gleichungen (5.167) mit εi = 1 auf Hi = σTi4 . Diese Helligkeiten sind also von vornherein bekannt, so dass sich die Zahl der unbekannten Helligkeiten entsprechend vermindert. F¨ ur schwarze Fl¨ achen ist (5.144) zur Berechnung des W¨ armestroms Q˙ i nicht geeignet; man erh¨ alt Q˙ i aus der etwas unbequemeren Beziehung (5.163). Beispiel 5.12: Es ist der Strahlungsaustausch in dem Hohlzylinder (r = 0,10 m; h = 0,25 m) zu untersuchen, der schon in den Beispielen 5.9 und 5.10 behandelt wurde. Die Deckﬂ¨ ache 1 sei (wie in Beispiel 5.10) schwarz (ε1 = 1) und habe die Temperatur T1 = 550 K. Die andere Deckﬂ¨ ache habe den Emissionsgrad ε2 = 0,75 und die Temperatur T2 = 300 K. Die Mantelﬂ¨ ache ist adiabat. Um eine h¨ ohere Genauigkeit zu erhalten, wird die r¨ uckstrahlende Mantelﬂ¨ ache in zwei gleich große Zonen 3 und 4 geteilt, deren Lage in Abb. 5.65 angedeutet ist. Es sollen die W¨ armestr¨ ome Q˙ 1 und Q˙ 2 sowie die Temperaturen T3 und T4 der beiden r¨ uckstrahlenden Zonen bestimmt werden. Bevor wir das Gleichungssystem f¨ ur die Helligkeiten der vier Zonen aufstellen, berechnen wir die 16 Sichtfaktoren Fij . Oﬀensichtlich ist F11 = F22 = 0; der Sichtfaktor F12 = 0,1230 wird aus Beispiel 5.9 u ¨ bernommen. Um die weiteren Sichtfaktoren zu bestimmen, f¨ uhren wir die in Abb. 5.65 gestrichelt eingezeichnete Hilfsﬂ¨ ache 5 ein. Mit z = 2 + (h/2r)2 = 3,5625 l¨ asst sich F15 nach der

5.5 Strahlungsaustausch

683

in Beispiel 5.9 angegebenen Gleichung zu F15 = 0,3072 berechnen. Nun erh¨ alt man f¨ ur den von 1, 3 und 5 gebildeten Hohlraum F13 + F15 = 1, woraus sich F13 = 0,6928 ergibt. F¨ ur den gesamten Hohlzylinder gilt die Summenbeziehung F11 + F12 + F13 + F14 = 1 , woraus man F14 = 0,1841 erh¨ alt. Wegen der Symmetrie bez¨ uglich der Hilfsﬂ¨ ache 5 ergeben sich f¨ ur die Fl¨ ache 2 aus den f¨ ur 1 berechneten Sichtfaktoren die Werte F21 = F12 ; F22 = F11 = 0; F23 = F14 ; F24 = F13 .

Abb. 5.65: Hohlzylinder mit Deckﬂ¨ achen 1 und 2. Die r¨ uckstrahlende Mantelﬂ¨ ache ist in zwei gleichgroße Zonen 3 und 4 eingeteilt. 5 gedachte Hilfsﬂ¨ ache zur Berechnung der Sichtfaktoren

Zur Bestimmung der Sichtfaktoren der Fl¨ ache 3 benutzen wir die Reziprozit¨ atsbeziehung. Man erh¨ alt F31 = (A1 /A3 )F13 = (r/h)F13 = 0,2771 sowie F32 = (A2 /A3 )F23 = (r/h)F14 = 0,0736. Wir betrachten nun wieder den von 1, 3 und 5 gebildeten Hohlraum. Aus der Summationsregel F31 + F33 + F35 = 1 erhalten wir wegen F35 = F31 (Symmetrie!) den Sichtfaktor F33 = 1 − 2F31 = 0,4458. Die entsprechende Summation f¨ ur den ganzen Hohlzylinder ergibt F34 = 1 − F31 − F32 − F33 = 0,2035 . Wegen der Symmetrie gilt f¨ ur die Sichtfaktoren der Fl¨ ache 4: F41 = F32 ; F42 = F31 ; F43 = F34 und F44 = F33 . Wir stellen die Ergebnisse u ¨ bersichtlich in Form einer Matrix der Sichtfaktoren zusammen: 2 3 0 0,1230 0,6928 0,1841 6 0,1230 0 0,1841 0,6928 7 7 (Fij ) = 6 4 0,2771 0,0736 0,4458 0,2035 5 . 0,0736 0,2771 0,2035 0,4458 Da die Fl¨ ache 1 schwarz ist, reduziert sich die erste der beiden Gln. (5.167) auf H1 = σT14 = 5188,9 W/m2 . Die zweite Gleichung nach (5.167) mit i = m = 2 und die beiden Gleichungen (5.168) erhalten dann mit Q˙ 3 = Q˙ 4 = 0 die Gestalt H2 − (1 − ε2 ) F23 H3 − (1 − ε2 ) F24 H4 = ε2 σT24 + (1 − ε2 ) F21 H1 −F32 H2 + (1 − F33 ) H3 − F34 H4 = F31 H1 −F42 H2 − F43 H3 + (1 − F44 ) H4 = F41 H1 . Mit den gegebenen und bereits berechneten Werten folgt daraus

684

5 W¨ armestrahlung H2 − 0,0460 H3 − 0,1732 H4 = 504,0 W/m2 −0,0736 H2 + 0,5542 H3 − 0,2035 H4 = 1437,8 W/m2 −0,2771 H2 − 0,2035 H3 + 0,5542 H4 = 381,9 W/m2 .

mit der L¨ osung H2 = 1126,8 W/m2 , H3 = 3703,3 W/m2 und H4 = 2612,3 W/m2 . Aus (5.163) erh¨ alt man nun den W¨ armestrom der (schwarzen) Fl¨ ache 1 zu Q˙ 1 = A1 (H1 − F12 H2 − F13 H3 − F14 H4 ) = 62,9 W . Der W¨ armestrom der anderen Deckﬂ¨ ache ergibt sich nach (5.144) zu ´ A2 ε2 ` 4 Q˙ 2 = σT2 − H2 = −62,9 W . 1 − ε2 Er stimmt, wie es sein muss, mit −Q˙ 1 u uckstrah¨ berein. Die Temperaturen der r¨ lenden W¨ ande 3 und 4 ergeben sich aus Hi = σTi4 zu T3 = 506 K und T4 = 463 K. Wie zu erwarten, hat die Fl¨ ache 3, die n¨ aher an der heißen Deckﬂ¨ ache 1 liegt, eine h¨ ohere Temperatur als die Fl¨ ache 4. Wir vergleichen nun diese Resultate mit der noch gr¨ oberen N¨ aherung, bei der die Mantelﬂ¨ ache als eine einzige r¨ uckstrahlende Zone mit der Temperatur TR behandelt wird. Aus (5.150) und (5.151) erh¨ alt man Q˙ 1 = −Q˙ 2 = 70,3 W, also einen um fast 12 % h¨ oheren Wert. Die Temperatur der Mantelﬂ¨ ache liegt mit TR = 474 K zwischen T3 und T4 .

5.5.4 Strahlungsschutzschirme Um den Strahlungsaustausch zwischen W¨ anden unterschiedlicher Temperatur zu verringern, verwendet man Strahlungsschutzschirme: d¨ unne, parallel liegende Folien oder Bleche aus gut reﬂektierendem Material, die zwischen den W¨ anden angeordnet sind, Abb. 5.66. Die Zwischenr¨aume zwischen den Schutzschirmen sind meistens evakuiert, so dass der W¨arme¨ ubergang durch Konvektion unterbunden ist. Man wendet diese Mehrschichtenisolierungen vorzugsweise in der Tieftemperaturtechnik an, etwa zur Isolierung von Beh¨altern f¨ ur sehr kalte verﬂ¨ ussigte Gase. Die durch Strahlung zwischen zwei sehr großen, parallelen, ebenen W¨anden u armestromdichte ist nach (5.154) und (5.158) durch ¨ bertragene W¨ σ T14 − T24 Q˙ q˙ = = (5.169) 1 1 A + −1 ε1 ε2 gegeben. Wir betrachten nun den Fall, dass N Strahlungsschutzschirme zwischen den beiden W¨ anden 1 und 2 vorhanden sind. Der Emissionsgrad εS der Schirme habe auf beiden Seiten eines Schirms und f¨ ur alle Schirme den gleichen Wert. Da die Schirme sehr d¨ unn sind, kann jedem Schirm eine einheitliche Temperatur zugeordnet werden. Mit TSi als Temperatur des i-ten Schirms erh¨ alt man die folgenden Gleichungen:

5.5 Strahlungsaustausch

685

Abb. 5.66: a Ebene Strahlungsschutzschirme zwischen zwei ebenen parallelen W¨ anden 1 und 2. b Konzentrische Strahlungsschutzschirme zwischen konzentrischen Kugeln oder sehr langen Zylindern 1 und 2

1 1 4 + − 1 = σ T14 − TS1 ε1 εS

4 1 1 4 q˙ + − 1 = σ TS1 − TS2 εS εS .......................

4 1 1 q˙ + − 1 = σ TSN − T24 εS ε2 q˙

, , , .

Durch Addition aller Gleichungen entfallen auf der rechten Seite die Temperaturen der Schirme, und man erh¨ alt

1 1 2 q˙ + −1+N −1 = σ T14 − T24 ε1 ε2 εS oder

σ T14 − T24

. q˙ (N ) = 1 1 2 + −1+N −1 ε1 ε2 εS

(5.170)

Wie man sofort erkennt, wird die W¨ armestromdichte gegen¨ uber dem Fall ohne Strahlungsschutzschirme (N = 0) stark reduziert. Tabelle 5.10 zeigt beispielhaft f¨ ur εS = 0,05, wie sich das Verh¨ altnis q(N ˙ )/q(N ˙ = 0) bei verschiedenen Emissionsgraden ε1 = ε2 der ¨ außeren W¨ ande mit N verringert. Danach ist die Wirkung der Abschirmung umso gr¨ oßer, je h¨oher der Emissionsgrad ε1 = ε2 ist. Wir betrachten nun den Strahlungsaustausch zwischen konzentrischen Zylindern oder Kugeln. Der u armestrom ist nach (5.154) und ¨ bertragene W¨ (5.156) A1 σ T14 − T24 ˙

. Q= (5.171) 1 A1 1 + −1 ε1 A2 ε2

686

5 W¨ armestrahlung

Tabelle 5.10: Verh¨ altnis der W¨ armestromdichte q(N ˙ ) bei N Strahlungsschutzschirmen mit εS = 0,05 zur W¨ armestromdichte q(N ˙ = 0) ohne Strahlungsschutzschirme zwischen ebenen W¨ anden mit ε1 = ε2 = ε

ε

N =1

2

5

10

20

50

0,1 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

0,3276 0,1875 0,0930 0,0565 0,0370 0,0250

0,1959 0,1034 0,0488 0,0290 0,0189 0,0127

0,0888 0,0441 0,0201 0,0118 0,0076 0,0051

0,04645 0,02256 0,01015 0,00595 0,00383 0,00256

0,02378 0,01141 0,00510 0,00298 0,00192 0,00128

0,00965 0,00459 0,00205 0,00120 0,00077 0,00052

Es sollen nun zwischen den beiden Zylindern oder Kugeln N sehr d¨ unne konzentrisch angebrachte Strahlungsschutzschirme mit dem gleichen Emissionsgrad εS vorhanden sein. Durch eine Betrachtung wie bei den ebenen Strahlungsschutzschirmen erh¨ alt man den verminderten W¨armestrom A1 σ T14 − T24 ˙ Q= . (5.172)

N 1 A1 1 2 A1 + −1 + −1 ε1 A2 ε2 εS ASi i=1 Hierbei ist A1 die Oberﬂ¨ ache der inneren Wand, und der Index i der Schirme steigt von innen nach außen. Oberﬂ¨ achen mit kleinem Emissionsgrad zeigen h¨auﬁg keine diﬀuse, sondern ann¨ ahernd spiegelnde Reﬂexion. Wir untersuchen, wie sich die Annahme spiegelnder Reﬂexion auf den W¨ arme¨ ubergang auswirkt. F¨ ur die Ausstrahlung setzen wir jedoch unver¨ andert diﬀuses und graues Strahlungsverhalten voraus. Wir nehmen also graue Lambert-Strahler mit spiegelnder Reﬂexion an.

Abb. 5.67: Strahlengang bei spiegelnder Reﬂexion zwischen zwei sehr großen, ebenen, parallelen W¨ anden 1 und 2

Wie der in Abb. 5.67 schematisch dargestellte Strahlengang zwischen zwei sehr großen, ebenen Platten zeigt, triﬀt die von der Platte 1 emittierte Strahlung stets auf die Platte 2 und wird so lange spiegelnd zwischen den Platten reﬂektiert, bis sie vollst¨ andig absorbiert ist. Gleiches gilt f¨ ur die von der Platte 2 ausgehende Strahlung. F¨ ur den W¨ arme¨ ubergang ¨andert sich somit nichts gegen¨ uber der diﬀusen Reﬂexion, und Gl. (5.169) f¨ ur die W¨armestromdichte gilt unabh¨ angig davon, ob eine oder beide W¨ ande diﬀus oder spiegelnd reﬂektieren. Auch die dementsprechende Beziehung (5.170) f¨ ur die W¨armestromdichte

5.5 Strahlungsaustausch

687

bei N Strahlungsschutzschirmen ist bei spiegelnder Reﬂexion unver¨andert anzuwenden. Sie gilt auch, wenn etwa nur die Schirme spiegelnd und die Platten 1 und 2 diﬀus reﬂektieren. Abb. 5.68 zeigt den Strahlengang zwischen zwei konzentrischen Zylindern oder Kugeln, die spiegelnd reﬂektieren. Die von der inneren Fl¨ache 1 ausgehende Strahlung (Strahlengang a) f¨ allt stets auf die a¨ußere Fl¨ache 2 und wird dort spiegelnd so reﬂektiert, dass sie wieder auf die Fl¨ache 1 f¨allt. Es ist F12 = 1. Wie bei diﬀuser Reﬂexion wird die von der inneren Fl¨ache ausgehende Strahlung so lange zwischen den beiden Fl¨achen reﬂektiert, bis sie vollst¨ andig absorbiert ist.

Abb. 5.68: Strahlengang bei spiegelnder Reﬂexion zwischen konzentrischen Kugeln oder sehr langen Zylindern 1 und 2

Anders ist es bei der von der ¨ außeren Fl¨ ache 2 ausgehenden Strahlung; sie triﬀt entweder die innere Fl¨ ache oder geht an ihr vorbei und f¨allt wieder auf die ¨ außere Fl¨ ache 2. Dieser Teil, Strahlengang b in Abb. 5.68, wird spiegelnd stets so reﬂektiert, dass er die Fl¨ ache 2 niemals verl¨asst. Er nimmt am Strahlungsaustausch zwischen den Fl¨ achen nicht teil. Der andere, durch den Sichtfaktor F21 = A1 F12 /A2 = A1 /A2 gegebene Teil (Strahlengang c) triﬀt dagegen die Fl¨ ache 1 und wird so lange spiegelnd zwischen den Fl¨achen reﬂektiert, bis er vollst¨ andig absorbiert ist. Die ¨außere Fl¨ache tr¨agt damit bei spiegelnder Reﬂexion nur in dem Maße zum Strahlungsaustausch bei, als w¨ are ihre Oberﬂ¨ ache A2 um den Faktor F21 vermindert: sie hat die wirksame Oberﬂ¨ ache A2 F21 = A1 . Wenn also die ¨ außere Fl¨ ache 2 spiegelnd reﬂektiert, ist in der aus (5.148) mit F¯12 = F12 = 1 folgenden Gleichung f¨ ur den W¨armestrom, 4 σ T1 − T24 ˙ Q= , 1 − ε1 1 1 − ε2 + + ε1 A1 A1 ε2 A2 im dritten Widerstand“ des Nenners die Fl¨ ache A2 durch die wirksame Fl¨ache ” A1 zu ersetzen. Dies ergibt

688

5 W¨ armestrahlung

A1 σ T14 − T24 ˙ Q= . 1 1 + −1 ε1 ε2

(5.173)

Die Gr¨ oße der ¨ außeren Fl¨ ache 2 ist f¨ ur den Strahlungsaustausch ohne Bedeutung. Gl. (5.173) gilt auch dann, wenn die innere Fl¨ache 1 diﬀus reﬂektiert. Zwischen die (diﬀus oder spiegelnd reﬂektierende) Innenﬂ¨ ache 1 und die diﬀus reﬂektierende ¨ außere Fl¨ ache 2 werden nun N konzentrische, d¨ unne Strahlungsschutzschirme mit gleichem Emissionsgrad εS eingesetzt, die spiegelnd reﬂektieren. Nach (5.173) gelten nun die Bilanzgleichungen „ « ` ´ Q˙ 1 1 4 + −1 = σ T14 − TS1 , A1 „ε1 εS« ` 4 ´ Q˙ 2 4 −1 = σ TS1 − TS2 , AS1 εS ................................ „ « ` 4 ´ Q˙ 2 4 −1 = σ TSN−1 − TSN , ASN−1 ε S » „ «– ` 4 ´ Q˙ 1 ASN 1 + − 1 = σ TSN − T24 . ASN εS A2 ε2 Durch Addition dieser Gleichungen entfallen die Temperaturen der Schirme, und man erh¨ alt ` ´ A1 σ T14 − T24 ˙ Q(N ) = . „ « „ « N−1 „ « X A1 1 A1 1 2 1 A1 + −1 + −1 + 1+ −1 ε1 A2 ε2 εS ASi εS ASN i=1 (5.174) Reﬂektiert auch die ¨ außere Fl¨ ache 2 spiegelnd so hat man im zweiten Term des Nenners A2 durch ASN zu ersetzen, weil dies die Gr¨ oße der bei spiegelnder Reﬂexion wirksamen Oberﬂ¨ ache von 2 ist. Beispiel 5.13: Ein Rohr, das von ﬂ¨ ussigem Stickstoﬀ durchstr¨ omt wird, hat den Außendurchmesser d1 = 30 mm. Sein Emissionsgrad ist ε1 = 0,075 und seine Temperatur T1 = 80 K. Das Rohr ist von einem zweiten konzentrischen Rohr mit dem Innendurchmesser d2 = 60 mm mit ε2 = 0,12 und T2 = 295 K umgeben. Der Zwischenraum sei evakuiert. Man bestimme den auf die Rohrl¨ ange L bezogenen W¨ armestrom, der durch Strahlung u ¨ bertragen wird. Dabei sollen f¨ ur das ¨ außere Rohr die Grenzf¨ alle der diﬀusen und der spiegelnden Reﬂexion untersucht werden. Bei diﬀuser Reﬂexion erh¨ alt man aus (5.171) f¨ ur den gesuchten W¨ armestrom ` 4 ´ πd1 σ T1 − T24 Q˙ W „ « = −2,368 = . L m 1 d1 1 + −1 ε1 d2 ε 2 Das Minuszeichen weist darauf hin,dass die W¨ arme von außen nach innen u ¨bertragen wird. Das innere Rohr wird durch den ﬂ¨ ussigen Stickstoﬀ gek¨ uhlt. Bei spiegelnder Reﬂexion erh¨ alt man aus (5.173) den im Betrag kleineren Wert

5.6 Gasstrahlung

689

˙ Q/L = −1,948 W/m. Da nur ein Teil der ¨ außeren Fl¨ ache zum Strahlungsaustausch beitr¨ agt, ist die Isolierwirkung etwas gr¨ oßer. Um die Isolierung der Stickstoﬄeitung zu verbessern, wird ein d¨ unner Strahlungsschutzschirm mit dem Durchmesser dS = 45 mm zwischen den Rohren angebracht. Dieser Schirm reﬂektiert spiegelnd; sein Emissionsgrad ist εS = 0,025. Man berechne die Verminderung des einfallenden W¨ armestroms. Es ist nun Gl. (5.174) mit N = 1 anzuwenden, so dass im Nenner die Summe entf¨ allt: ` ´ πd1 σ T14 − T24 Q˙ (N = 1) W „ « „ « = = −0,487 . L m 1 d1 1 1 d1 + −1 + 1+ −1 ε1 d2 ε 2 εS ds Dies gilt f¨ ur den diﬀus reﬂektierenden Außenzylinder. Der W¨ armestrom hat ˙ ˙ sich merklich verringert. Das Verh¨ altnis Q(N = 1)/Q(N = 0) hat den Wert 0,487/2,368 = 0,206. Bei spiegelnd reﬂektierendem Außenzylinder ist d2 durch ˙ ˙ dS zu ersetzen. Man erh¨ alt dann Q(N = 1)/L = −0,480 W/m und Q(N = ˙ 1)/Q(N = 0) = 0,480/1,948 = 0,246. Bei spiegelnder Reﬂexion des Außenrohres ist die relative Verringerung des W¨ armestroms durch den Schutzschirm etwas geringer als bei diﬀus reﬂektierendem Außenzylinder. Der kleinste Absolutwert von ˙ Q/L ergibt sich jedoch, wenn Schirm und Außenzylinder spiegelnd reﬂektieren.

5.6 Gasstrahlung A. Schack [5.52] hat 1924 als erster die technische Bedeutung der Strahlung von Gasen erkannt. Er vermutete, dass die Strahlung des in den Verbrennungsgasen enthaltenen CO2 und H2 O zum W¨ arme¨ ubergang in Industrie¨ofen und in den Feuerungen der Dampferzeuger wesentlich beitr¨agt. Dies wurde experimentell best¨ atigt, und zwischen 1932 und 1942 wurde die Strahlung dieser Gase systematisch untersucht. Dabei waren die Arbeiten von E. Schmidt [5.53] und E. Eckert [5.54], [5.55] in Deutschland sowie von H.C. Hottel und seinen Mitarbeitern, [5.56] bis [5.58], in den USA besonders wichtig. F¨ ur die technischen Anwendungen ist nur die Gasstrahlung im Infraroten, also bei Wellenl¨ angen u ¨ ber 1 μm von Bedeutung. In diesem Bereich strahlen vor allem CO2 und H2 O, aber auch andere Gase wie CO, SO2 , NH3 , CH4 und weitere Kohlenwasserstoﬀe. Dagegen lassen N2 und O2 , die Hauptbestandteile der Luft, Strahlung im Infraroten ungeschw¨acht hindurch; sie absorbieren nicht und senden daher nach dem Gesetz von Kirchhoﬀ auch keine Strahlung aus. Gase absorbieren und emittieren Strahlung nur in engen Wellenl¨angenbereichen, den sogenannten Banden. Ihr spektraler Emissionsgrad h¨angt daher — anders als bei festen K¨ orpern — in sehr komplizierter Weise von der Wellenl¨ ange ab. Somit k¨ onnen Gase nicht ohne Genauigkeitsverlust als graue Strahler idealisiert werden. Im Folgenden behandeln wir die Absorption von Strahlung durch Gase und gehen dann auf die Deﬁnition von Absorptions- und Emissionsgraden strahlender Gasr¨ aume ein. Diese Gr¨ oßen h¨ angen von Gr¨oße und Gestalt des Gasraums

690

5 W¨ armestrahlung

ab; zu ihrer Berechnung sind komplizierte Integrationen erforderlich. Um dies zu umgehen, f¨ uhrt man die gleichwertige Schichtdicke des Gasraums ein, auf deren Berechnung wir eingehen. Damit l¨ asst sich der Strahlungsaustausch zwischen einem isothermen Gasvolumen und seinen Begrenzungsw¨anden berechnen. Schließlich geben wir Hinweise, wie der Strahlungsaustausch in komplizierten F¨ allen, z.B. in Brennkammern und Feuerungen, berechnet werden kann.

5.6.1 Absorptionskoeﬃzient und optische Dicke Geht Strahlung durch ein optisch tr¨ ubes Gas oder Gasgemisch, so verringert sich ihre Energie durch Absorption und Streuung an den Gasmolek¨ ulen. Wir nehmen nun an, dass Strahlung nur absorbiert, aber nicht gestreut wird. Dies triﬀt im infraroten Wellenl¨ angenbereich zu, weil die Rayleigh-Streuung an den Molek¨ ulen nur bei sehr kleinen Wellenl¨angen stattﬁndet und f¨ ur λ > 1 μm praktisch bedeutungslos ist, vgl. Abschnitt 5.4.2.2. In dem betrachteten Gasgemisch m¨ oge nur eine Komponente Strahlungsenergie absorbieren, zum Beispiel CO2 in den nicht absorbierenden Komponenten N2 und O2 .

Abb. 5.69: Abnahme der spektralen Strahldichte Lλ mit wachsender Schichtdicke s infolge der Absorption durch ein Gas

Durch die Absorption nimmt die spektrale Strahldichte Lλ mit wachsender Schichtdicke s des Gases ab, Abb. 5.69. Die Verringerung der spektralen Strahldichte beim Durchlaufen der Strecke ds beschreibt man durch −

dLλ = kG (λ, T, p, pG ) ds , Lλ

(5.175)

wodurch der spektrale Absorptionskoeﬃzient kG des absorbierenden Gases deﬁniert wird. Er h¨ angt von der Wellenl¨ ange λ und vom Zustand des Gases ab, n¨ amlich von seiner Temperatur T , dem Druck p und dem Partialdruck pG , der ein Maß f¨ ur die Konzentration des absorbierenden Gases im Gasgemisch ist. Um die Schreibweise zu vereinfachen, verzichten wir in der Regel darauf, diese Abh¨ angigkeit explizit anzuschreiben. Wir schreiben einfach kG statt kG (λ, T, p, pG ). In einem inhomogenen Gasgemisch ¨ andern sich die Zustandsgr¨oßen l¨angs des Weges, den die Strahlung durchl¨ auft. Der Absorptionskoeﬃzient h¨angt damit indirekt von s ab. Integration von (5.175) zwischen s = 0 und s ergibt

5.6 Gasstrahlung

Lλ (s) ln =− Lλ (s = 0)

691

s kG ds 0

oder

0s Lλ (s) = Lλ (s = 0) exp(− kG ds) .

(5.176)

0

Das Integral

s κG :=

kG (λ, T, p, pG ) ds

(5.177)

0

wird als optische Dicke der Gasschicht mit der (geometrischen) Dicke s bezeichnet. Im Gegensatz zu s ist κG eine dimensionslose Gr¨oße; sie ist ein Maß f¨ ur die St¨ arke der Absorption einer Gasschicht bestimmter Dicke s. Ein Gas mit κG → 0 wird als optisch d¨ unn bezeichnet. Bei κG = 7 ist Lλ (s) auf unter 1 Promille des Ausgangswerts Lλ (s = 0) gesunken; das Gas absorbiert die eindringende Strahlung fast vollst¨ andig. Ein homogenes Gasgemisch hat im ganzen Volumen konstante intensive Zustandsgr¨ oßen T , p und pG . Sein spektraler Absorptionskoeﬃzient kG h¨angt daher nicht von s ab. Somit erh¨ alt man aus (5.177) f¨ ur die optische Dicke κG = kG (λ, T, p, pG )s = kG s ,

(5.178)

und die Abnahme der spektralen Strahldichte ergibt sich zu Lλ (s) = Lλ (s = 0) exp (−kG s) .

(5.179)

Diese Gleichung entspricht dem Gesetz von P. Bouguer (1729), wonach die spektrale Strahldichte nach einem Exponentialgesetz mit der durchlaufenen Strecke abnimmt. Da die Absorption von Strahlung an den einzelnen Molek¨ ulen des Gases stattﬁndet, liegt die Annahme nahe, dass der spektrale Absorptionskoeﬃzient κG der Stoﬀmengenkonzentration cG = NG /V der absorbierenden Molek¨ ule oder dem Partialdruck pG = Rm T cG proportional ist. F¨ ur die optische Dicke eines homogenen Gases erh¨ alt man dann ∗ κG = kG s = kG (λ, T, p)(pG s) ,

(5.180)

also eine Proportionalit¨ at zum Produkt (pG s). Dies ist als Gesetz von A. Beer (1854) bekannt. Es triﬀt f¨ ur einige Gase, z.B. CO2 , recht gut zu, wird aber von anderen Gasen, insbesondere von H2 O, nicht erf¨ ullt. Der spektrale Absorptionsgrad kG ist auch f¨ ur die von einem Volumenelement des Gases emittierte Strahlungsenergie maßgebend. Wir bezeichnen mit dΦλ,V den Strahlungsﬂuss, den ein Volumenelement dV eines homogenen Gases im Wellenl¨ angenintervall dλ in alle Richtungen emittiert. Hierf¨ ur gilt d2 Φλ,V = 4 π kG Lλs (λ, T ) dV dλ = 4 kG Mλs (λ, T ) dV dλ .

(5.181)

Die spektrale Strahldichte Lλs und die speziﬁsche spektrale Ausstrahlung Mλs des Schwarzen K¨ orpers sind dabei durch (5.50) gegeben. Eine Herleitung von (5.181) ﬁndet man bei R. Siegel und J.R. Howell [5.37], S. 531.

692

5 W¨ armestrahlung

5.6.2 Absorptions- und Emissionsgrade Der in Abb. 5.70 schematisch dargestellte Hohlraum enthalte ein homogenes Gasgemisch mit einer absorbierenden Komponente. Zur Deﬁnition und Berechnung ihres gerichteten spektralen Absorptionsgrads aλ,G betrachten wir das in Abb. 5.70 hervorgehobene Element dA der Oberﬂ¨ache des Gasvolumens. Die von dA ausgehende Strahlung mit der spektralen Strahldichte Lλ wird durch Absorption geschw¨ acht. Der Strahlrichtung entsprechend, ist der im Gas durchlaufene Weg unterschiedlich lang, was nach (5.179) zu einer unterschiedlich starken Verringerung von Lλ f¨ uhrt.

Abb. 5.70: Zur Berechnung des spektralen Absorptionsgrades in einem Gasraum

Der zu einer bestimmten Richtung geh¨ orende spektrale Absorptionsgrad aλ,G ist das Verh¨ altnis der auf der Strecke s absorbierten Energie zur eingestrahlten Energie: aλ,G :=

Lλ (s = 0) − Lλ (s) Lλ (s) =1− = 1 − τλ,G . Lλ (s = 0) Lλ (s = 0)

(5.182)

Das Verh¨ altnis Lλ (s)/Lλ (s = 0) ist der gerichtete spektrale Transmissionsgrad τλ,G . F¨ ur ein homogenes Gas oder Gasgemisch erh¨alt man aus (5.179) aλ,G (λ, s, T, p, pG ) = aλ,G (kG s) = 1 − exp (−kG s) .

(5.183)

Der gerichtete spektrale Absorptionsgrad ist eine Eigenschaft (Zustandsgr¨oße) des absorbierenden Gases. Seine Richtungsabh¨angigkeit a¨ußert sich in der Abh¨ angigkeit von der Schichtdicke s, die die Strahlung im Gas durchl¨auft. Der gerichtete spektrale Emissionsgrad ελ,G eines Gases stimmt nach dem Gesetz von Kirchhoﬀ, vgl. Abschnitt 5.3.2.1, mit dem gerichteten spektralen Absorptionsgrad u ¨berein: ελ,G (λ, T, p, pG , s) = ελ,G (kG s) = aλ,G (kG s) = 1 − exp (−kG s) . (5.184) ελ,G ist eine Eigenschaft des Gases, die zus¨ atzlich von der (richtungsabh¨angigen) Schichtdicke s abh¨ angt. Als Beispiel zeigt Abb. 5.71 den gerichteten Emissionsgrad von CO2 bei T = 294 K und p = 10,13 bar. Die Emissionsbanden sind deutlich zu erkennen. Mit ελ,G l¨ asst sich der Strahlungsﬂuss d3 Φλ,G berechnen, den ein Element dA der Oberﬂ¨ ache des Gasvolumens aus dem in Abb. 5.72 hervorgehobenen

5.6 Gasstrahlung

693

Raumwinkelelement dω im Wellenl¨ angenintervall dλ erh¨alt. Nach (5.4), der Deﬁnitionsgleichung der spektralen Strahldichte, gilt hierf¨ ur d3 Φλ,G = ελ,G (kG s) Lλs (λ, T ) dλ dω cos β dA ,

(5.185)

wobei Lλs die spektrale Strahldichte des Schwarzen K¨orpers bedeutet. Um den Strahlungsﬂuss d2 Φλ,G zu erhalten, der auf dA aus dem gesamten Gasraum triﬀt, muss d3 Φλ,G u ¨ ber alle von dA ausgehenden Raumwinkel mit den zugeh¨ origen Schichtdicken s, also u ¨ ber das ganze Gasvolumen integriert werden:

d2 Φλ,G =

ελ,G (kG s) cos β dω Lλs (λ, T ) dλ dA .

(5.186)

Analog zum hemisph¨ arischen spektralen Emissionsgrad eines festen K¨orpers, vgl. Tabelle 5.4, deﬁnieren wir durch

εV λ,G (kG L0 )

1 := π

ελ,G (kG s) cos β dω

(5.187)

den spektralen Emissionsgrad des Gasvolumens f¨ ur die Strahlung auf das Element dA seiner Oberﬂ¨ ache. Er h¨ angt von der Gestalt des Gasraums, von der Lage des Oberﬂ¨ achenelements dA und von der optischen Dicke κG = kG L0 ab. Dabei ist L0 eine f¨ ur den Gasraum charakteristische L¨ange. Die spektrale Bestrahlungsst¨arke des Oberﬂ¨ achenelements infolge der Gasstrahlung wird dann mit Mλs = πLλs Eλ,G =

d2 Φλ,G = εV λ,G (kG L0 )Mλs (λ, T ) . dA dλ

(5.188)

Abb. 5.71: Gerichteter spektraler Emissionsgrad ελ,CO2 von Kohlendioxid bei T = 294 K und p = 10,13 bar f¨ ur eine Schichtdicke s = 0,38 m nach D.K. Edwards [5.65]

694

5 W¨ armestrahlung

Abb. 5.72: Gasraum mit Oberﬂ¨ achenelement dA und zugeh¨ origem Raumwinkelelement dω

Integration von Eλ,G u angen ergibt unter Beachtung von ¨ ber alle Wellenl¨ kG = kG (λ, T, p, pG ) die (Gesamt-)Bestrahlungsst¨arke von dA: EG =

dΦG V 4 = εV . G (T, p, pG , L0 ) Ms (T ) = εG (T, p, pG , L0 ) σT dA

(5.189)

Dabei bedeutet εV G (T, p, pG , L0 )

1 := Ms (T )

∞ εV λ,G (kG L0 ) Mλs (λ, T ) dλ

(5.190)

0

den Gesamt-Emissionsgrad des Gasvolumens f¨ ur seine Strahlung auf ein Element dA seiner Oberﬂ¨ ache. Auch εV angt von der Gestalt des Gasraums G h¨ ab, was formal in der Abh¨ angigkeit von der charakteristischen L¨ange L0 zum Ausdruck kommt. Da die Emissionsgrade der Gasstrahlung von der Gestalt des Gasraums abh¨ angen, sind sie keine reinen Materialeigenschaften wie die Emissionsgrade fester Oberﬂ¨ achen. Die Abh¨ angigkeit von der Gestalt des Gasraums ist f¨ ur die Strahlung einer Gas-Halbkugel auf das Oberﬂ¨achenelement im Kugelmittelpunkt, vgl. Abb. 5.73, besonders einfach zu ber¨ ucksichtigen. Der gerichtete spektrale Emissionsgrad ελ,G h¨ angt hier nicht von der Richtung ab; denn die

Abb. 5.73: Strahlung einer Gas-Halbkugel mit dem Radius R auf das Oberﬂ¨ achenelement dA im Kugelmittelpunkt

Schichtdicke s ist f¨ ur alle Richtungen gleich dem Radius R. Damit folgt aus V (5.187) einfach εV λ,G = ελ,G (kG R). Man bezeichnet in diesem Fall ελ,G als den spektralen Emissionsgrad ελ,G des Gases, f¨ ur den nach (5.184) ελ,G (kG R) = 1 − exp (−kG R)

(5.191)

gilt, und sieht ελ,G als eine Gaseigenschaft an, obwohl ελ,G der spektrale Emissionsgrad einer Gas-Halbkugel ist, die auf das Oberﬂ¨achenelement in ihrem Mittelpunkt strahlt.

5.6 Gasstrahlung

695

Der Gesamt-Emissionsgrad der strahlenden Gas-Halbkugel ergibt sich nun aus (5.190) mit εV λ,G = ελ,G (kG R) nach (5.191) zu 1 εG (T, p, pG , R) = σT 4

∞ [1 − exp (−kG R)] Mλs (λ, T ) dλ .

(5.192)

0

Auch dieser Emissionsgrad wird als Materialeigenschaft betrachtet. Im n¨achsten Abschnitt ﬁndet man Diagramme, denen εG f¨ ur CO2 und H2 O entnommen werden kann. Bei G¨ ultigkeit des Beerschen Gesetzes h¨angt εG vom Produkt pG R ab, so dass εG = εG (T, p, pG R) gilt. Wie wir in Abschnitt 5.6.4 zeigen werden, l¨asst sich die komplizierte BeV stimmung der Emissionsgrade εV aume auf λ,G und εG beliebig geformter Gasr¨ den eben behandelten Standardfall“ der Gas-Halbkugel zur¨ uckf¨ uhren. Man ” bestimmt f¨ ur den betrachteten Gasraum eine gleichwertige Schichtdicke sgl aus der folgenden Bedingung: Eine Gas-Halbkugel mit dem Radius R = sgl soll auf dem Oberﬂ¨ achenelement in ihrem Mittelpunkt die gleiche spektrale Bestrahlungsst¨ arke hervorrufen wie die Strahlung aus dem beliebig geformten Gasvolumen auf einem bestimmten Element seiner Oberﬂ¨ache. Wie aus (5.188) und (5.191) folgt, kann man dann εV λ,G (kG L0 ) = ελ,G (kG sgl ) = 1 − exp (−kG sgl )

(5.193)

setzen, und aus (5.189) und (5.192) folgt εV G (T, p, pG , L0 ) = εG (T, p, pG , sgl ) .

(5.194)

Damit umgeht man die in (5.187) und (5.190) erforderlichen Integrationen u angen. Da f¨ ur εG die im n¨achsten ¨ ber alle Raumwinkel bzw. alle Wellenl¨ Abschnitt gezeigten Diagramme benutzt werden k¨onnen, l¨asst sich die Bestrahlungsst¨ arke EG nach (5.189) und (5.194) einfach bestimmen, nachdem man die gleichwertige Schichtdicke sgl des Problems berechnet hat.

5.6.3 Ergebnisse fu ¨r den Emissionsgrad H.C. Hottel und R.B. Egbert [5.57], [5.58] haben die f¨ ur CO2 und H2 O vorliegenden Ergebnisse von Strahlungsmessungen kritisch verglichen und Bestwerte des Gesamt-Emissionsgrads in Diagrammen dargestellt, in denen εCO2 und ε H2 O u ¨ ber der Gastemperatur T mit dem Produkt (pCO2 sgl ) bzw. (pH2 O sgl ) als Kurvenparameter aufgetragen sind. Diese Diagramme bilden seit 50 Jahren die Basis der Berechnung der Gasstrahlung von CO2 und H2 O. Bei ihrer Anwendung muss mit Unsicherheiten von mindestens 5 % gerechnet werden. Angaben u ¨ ber Korrekturen aufgrund neuer Messwerte ﬁndet man in [5.37], S. 636. Die Emissionsgrade εCO2 und εH2 O gelten zun¨achst nur f¨ ur die Berechnung der Strahlung einer Gashalbkugel mit dem Radius R = sgl auf das Fl¨ achenelement im Kugelmittelpunkt, vgl. Abb. 5.73. Wie diese Ergebnisse

696

5 W¨ armestrahlung

Abb. 5.74: Hemisph¨ arischer Gesamt-Emissionsgrad εCO2 von Kohlendioxid bei p = 1 bar als Funktion der Temperatur T mit dem Produkt aus Partialdruck pCO2 und gleichwertiger Schichtdicke sgl als Parameter

auf andersgestaltete Gasr¨ aume durch Verwenden der gleichwertigen Schichtdicke sgl u onnen, zeigen wir im n¨achsten Abschnitt. ¨ bertragen werden k¨ Der hemisph¨arische Gesamt-Emissionsgrad εCO2 (T, pCO2 sgl ) von CO2 bei p = 1 bar ist in Abb. 5.74 dargestellt. Mit steigendem Druck w¨achst εCO2 etwas an. D. Vortmeyer [5.59] gibt einen recht komplizierten Druckkorrekturfaktor an, der bei Dr¨ ucken unter etwa 2 bar vernachl¨assigt werden kann. Da das Beersche Gesetz von H2 O nicht befolgt wird, muss εH2 O aus εH2 O (T, p, pH2 O , sgl ) = CH2 O (p + pH2 O , pH2 O sgl ) ε∗H2 O (T, pH2 O sgl )

(5.195)

mit Hilfe zweier Diagramme bestimmt werden. Abb. 5.75 zeigt den Emissionsgrad ε∗H2 O f¨ ur p = 1 bar und extrapoliert auf pH2 O → 0. Die Partialdruckkorrektur CH2 O ist Abb. 5.76 zu entnehmen. F¨ ur Dr¨ ucke p u ¨ ber 1 bar ist ε∗H2 O mit einer Druckkorrektur zu multiplizieren, f¨ ur die in [5.59] eine Gleichung angegeben ist.

5.6 Gasstrahlung

697

Abb. 5.75: Gesamt-Emissionsgrad ε∗H2 O f¨ ur Wasserdampf bei p = 1 bar, extrapoliert auf pH2 O → 0, als Funktion der Temperatur T mit dem Produkt aus Partialdruck pH2 O und gleichwertiger Schichtdicke sgl als Parameter

Abb. 5.76: PartialdruckKorrekturfaktor CH2 O f¨ ur Wasserdampf zur Verwendung in (5.195)

698

5 W¨ armestrahlung

Treten wie in Verbrennungsgasen CO2 und H2 O gleichzeitig auf, so ist der Emissionsgrad eines solchen Gemisches etwas kleiner als die Summe εCO2 + εH2 O , berechnet bei den jeweiligen Partialdr¨ ucken. Dies ist darauf zur¨ uckzuf¨ uhren, dass sich einige Absorptions- bzw. Emissionsbanden von CO2 und H2 O u ¨ berlappen. H.C. Hottel und R.B. Egbert [5.58] haben die in εG = εCO2 + εH2 O − Δε

(5.196)

anzubringende Korrektur Δε bestimmt und in Diagrammen dargestellt, die auch in [5.59] zu ﬁnden sind. F¨ ur Modellrechnungen und Prozess-Simulationen werden Gleichungen f¨ ur die Abh¨ angigkeit der Emissionsgrade εCO2 und εH2 O von T , p und (pG sgl ) ben¨ otigt. Verschiedene Autoren haben solche Gleichungen entwickelt, vgl. [5.60] bis [5.63] sowie [5.37], S. 639–641. Obwohl sie viele Terme enthalten, k¨ onnen sie meist nur Teilbereiche mit hinreichender Genauigkeit wiedergeben, weswegen keine dieser Gleichungen ohne Einschr¨ ankung empfohlen werden kann. Die Emissionsgrade weiterer Gase, n¨ amlich von SO2 , NH3 und CH4 , sind in ¨ [5.59] graphisch dargestellt. Ahnliche Diagramme f¨ ur CO, HCl und NO2 ﬁndet man in [5.48].

5.6.4 Emissionsgrade und gleichwertige Schichtdicken von Gasr¨ aumen Die Emission von Gasstrahlung h¨ angt von der Gr¨oße und der Gestalt des Gasraums ab; sie wird quantitativ durch die Bestrahlungsst¨arke beschrieben, welche die Gasstrahlung auf der Oberﬂ¨ ache des Gasraums erzeugt. Die hierf¨ ur maßgebenden Gln. (5.188) und (5.189) enthalten den spektralen Emissionsgrad εV angen integrierten Emissionsgrad εV ¨ ber alle Wellenl¨ G , die λ,G und den u man nach (5.193) und (5.194) durch die Emissionsgrade einer Gas-Halbkugel ersetzen kann, deren Radius mit der gleichwertigen Schichtdicke sgl des beliebig geformten Gasraums u ¨bereinstimmt. Um die Bestimmung der gleichwertigen Schichtdicke zu erl¨autern, m¨ ussen wir zuerst auf die Berechnung des spektralen Emissionsgrads εV λ,G eines Gasvolumens eingehen. Wir zeigen dann, wie sgl zu bestimmen ist und stellen in Tabelle 5.11 Werte von sgl zusammen, die f¨ ur verschiedene Geometrien berechnet wurden. Außerdem leiten wir eine einfache N¨aherungsformel her, mit der sgl f¨ ur Gasr¨aume bestimmt werden kann, die in dieser Zusammenstellung nicht enthalten sind. Der spektrale Emissionsgrad εV λ,G nach (5.187) erfasst die aus dem ganzen Gasraum kommende Strahlung, die auf ein Oberﬂ¨ achenelement dA = dA2 in Abb. 5.77 triﬀt. Das in Z 1 εV = ελ,G (kG s) cos β2 dω1 (5.197) λ,G π auftretende Raumwinkelelement dω1 , zu dem die Schichtdicke s geh¨ ort, wird durch das Oberﬂ¨ achenelement dA1 begrenzt, so dass dω1 = cos β1 dA1 /s2

5.6 Gasstrahlung

699

Abb. 5.77: Gasraum mit Oberﬂ¨ achenelement dA2 , welches Strahlung aus dem Raumwinkelelement dω1 empf¨ angt, das vom Oberﬂ¨ achenelement dA1 begrenzt wird. gilt. Damit erh¨ alt man aus (5.197) Z 1 dA1 εV = ελ,G (kG s) cos β1 cos β2 2 . λ,G π s

(5.198)

A1

Die Integration u ¨ ber alle Raumwinkel ist damit durch eine Integration u ¨ ber alle von dA2 aus sichtbaren Oberﬂ¨ achenelemente dA1 ersetzt. In der Regel ist in (5.198) u ¨ ber die gesamte Oberﬂ¨ ache A1 des Gasraums zu integrieren. Wir zeigen die Ausf¨ uhrung der Integration am Beispiel einer Gas-Kugel mit dem Durchmesser D = 2R, die auf ein Element dA2 ihrer Oberﬂ¨ ache strahlt. Nach Abb. 5.78 ist in (5.198) β1 = β2 = β zu setzen. Wir w¨ ahlen das kreisringf¨ ormige Fl¨ achenelement dA1 = 2πs sin β

s dβ sin β = 2πs2 dβ . cos β cos β

Nach Abb. 5.78 gilt cos β = s/2R = s/D, woraus sin β dβ = − ds/D folgt. Damit wird dA1 = −2πs ds. Mit ελ,G (kG s) nach (5.184) erh¨ alt man aus (5.198) εV λ,G

2 = 2 D

ZD [1 − exp (−kG s)] s ds . 0

Abb. 5.78: Gaskugel mit dem Radius R = D/2 und den Oberﬂ¨ achenelementen dA1 und dA2

700

5 W¨ armestrahlung

Ausf¨ uhren der Integration ergibt εV λ,G (kG D) = 1 −

2 [1 − (1 + kG D) exp (−kG D)] . (kG D)2

(5.199)

Der spektrale Emissionsgrad der Gaskugel h¨ angt von ihrer optischen Dicke κG = kG D ab. Die in (5.187) eingef¨ uhrte charakteristische L¨ ange L0 des Gasraums ist bei der Kugel, wie zu erwarten, ihr Durchmesser D. Wegen der Kugelsymmetrie h¨ angt εV λ,G nicht von der Lage des bestrahlten Oberﬂ¨ achenelements dA2 ab. Die spektrale Bestrahlungsst¨ arke Eλ,G nach (5.188) ist auf der ganzen Kugeloberﬂ¨ ache konstant. Deswegen kann man mit εV λ,G (kG D) auch die mittlere Bestrahlungsst¨ arke E λ,G eines beliebig großen St¨ ucks A2 der Kugeloberﬂ¨ ache berechnen. Im Allgemeinen erh¨ alt man die mittlere spektrale Bestrahlungsst¨ arke E λ,G einer endlich großen Oberﬂ¨ ache durch Integration von Eλ,G u achen¨ ber alle Fl¨ elemente dA2 aus denen sich A2 zusammensetzt. Ein dem entsprechender Emissionsgrad εV atzliche Integration von (5.198) u ¨ ber die λ,G ergibt sich durch eine zus¨ Fl¨ achenelemente dA2 und anschließende Division durch A2 . Die gleichwertige Schichtdicke sgl eines Gasraums beliebiger Gestalt, der auf ein Element dA = dA2 seiner Oberﬂ¨ ache strahlt, ist dadurch deﬁniert, dass die spektrale Bestrahlungsst¨ arke Eλ,G von dA2 genauso groß ist wie die spektrale Bestrahlungsst¨ arke des Fl¨ achenelements im Mittelpunkt einer Gas-Halbkugel mit dem Radius R = sgl . Nach Abschnitt 5.6.2 gilt f¨ ur die spektrale Bestrahlungsst¨ arke dieses Fl¨ achenelements Eλ,G = ελ,G (kG sgl )Mλs (λ, T ) = [1 − exp (−kG sgl )] Mλs (λ, T ) .

(5.200)

Durch Gleichsetzen dieses Ausdrucks mit Eλ,G nach (5.188) erh¨ alt man die Beziehung (5.193) von Abschnitt 5.6.2, aus der h i sgl (kG L0 ) 1 =− ln 1 − εV . λ,G (kG L0 ) L0 kG L0

(5.201)

folgt. Danach ist die gleichwertige Schichtdicke eines bestimmten Gasraums nicht konstant, sondern h¨ angt von seiner optischen Dicke kG L0 ab. F¨ ur eine Gaskugel kann sgl /D = f (kG D) exakt nach (5.199) berechnet werden. Die Abh¨ angigkeit der gleichwertigen Schichtdicke sgl von der optischen Dicke des Gasraums erschwert die praktische Verwendung dieser Gr¨ oße. Man benutzt daher eine konstante gleichwertige Schichtdicke. Sie ist so zu bestimmen, dass (5.193) in m¨ oglichst guter N¨ aherung f¨ ur alle praktisch interessierenden optischen Dicken erf¨ ullt ist. F¨ ur eine konstante gleichwertige Schichtdicke sgl l¨ asst sich die in (5.190) auszuf¨ uhrende Integration u angen durch die Integration nach (5.192) ¨ ber alle Wellenl¨ mit R = sgl ersetzen, so dass auch (5.192) in guter N¨ aherung erf¨ ullt ist und die Bestrahlungsst¨ arke EG nach (5.190) mit εG statt εV G berechnet werden kann.

5.6 Gasstrahlung

701

Zur Bestimmung eines konstanten sgl betrachten wir zun¨ achst den Grenzfall des optisch d¨ unnen Gases mit κG = kG L0 → 0. Der von einem Volumenelement des Gases in alle Richtungen emittierte spektrale Strahlungsﬂuss ist nach (5.181) d2 Φλ,V = 4kG Mλs (λ, T ) dV dλ . Er wird beim Durchlaufen des optisch d¨ unnen Gases nicht geschw¨ acht. Daher ist der vom ganzen Gasvolumen ausgehende Strahlungsﬂuss dΦλ = 4kG V Mλs (λ, T ) dλ . Auf der ganzen Oberﬂ¨ ache A des Gasraums erzeugt er die mittlere spektrale Bestrahlungsst¨ arke 1 dΦλ V E λ,G = = 4kG Mλs (λ, T ) . A dλ A Eine optisch d¨ unne Gas-Halbkugel mit dem Radius R = sgl ruft nach (5.200) auf dem Fl¨ achenelement im Kugelmittelpunkt die spektrale Bestrahlungsst¨ arke lim

kG sgl →0

Eλ (kG sgl ) =

lim

kG sgl →0

[1−exp (1−kG sgl )] Mλs (λ, T ) = (kG sgl + · · · ) Mλs (λ, T )

hervor. Gleichsetzen dieser Bestrahlungsst¨ arke mit E λ,G liefert das einfache Resultat s∗gl = 4V /A ,

kG L0 → 0 ,

(5.202)

wobei mit s∗gl der Grenzwert von sgl f¨ ur ein optisch d¨ unnes Gas bezeichnet ist. Werte von s∗gl lassen sich f¨ ur verschiedene Gasr¨ aume leicht angeben. Man erh¨ alt z.B. f¨ ur die Kugel πD3 /6 2 s∗gl = 4 = D πD2 3 und f¨ ur die Gasschicht zwischen unendlich großen ebenen Platten im Abstand d s∗gl = 4

d = 2d . 2

F¨ ur endliche optische Dicken korrigiert man s∗gl mit einem konstanten Faktor C, so dass sgl = C s∗gl = C 4V /A (5.203) gilt. Der Korrekturfaktor C l¨ asst sich so bestimmen, dass der spektrale Emissionsgrad ελ,G (kG sgl ) der Gas-Halbkugel in weiten Bereichen der optischen Dicke mit εV ullt ¨ bereinstimmt und Gl. (5.193) im Mittel erf¨ λ,G (kG L0 ) bis auf wenige Prozent u ist. Dies zeigt Abb. 5.79 f¨ ur das Beispiel der Gaskugel mit dem Durchmesser D. ∗ Hier ist das Verh¨ altnis εV ¨ ber der optischen Dicke kG D aufλ,G (kG D)/ελ,G (kG Csgl ) u getragen. F¨ ur C = 1 treten nur negative Abweichungen vom Idealwert eins auf. Korrekturfaktoren C < 1 f¨ uhren zu geringeren Abweichungen, und eine optimale Anpassung erh¨ alt man etwa f¨ ur C = 0,96, also f¨ ur sgl = 0,64 D anstelle von s∗gl = (2/3)D.

702

5 W¨ armestrahlung

Abb. 5.79: Verh¨ altnis des spektralen Emissionsgrades εV ur λ,G (kG D) nach (5.199) f¨ eine Gaskugel mit dem Durchmesser D zum spektralen Emissionsgrad ελ,G (kG Cs∗gl ) nach (5.200) mit s∗gl = (2/3)D als Funktion der optischen Dicke kG D Wie man aus Abb. 5.79 erkennt, ist die Wahl des Korrekturfaktors C in gewissen Grenzen willk¨ urlich. Sie h¨ angt auch davon ab, in welchem Bereich der optischen ¨ Dicke eine besonders gute Ubereinstimmung zwischen εV λ,G (kG L0 ) und ελ,G (kG sgl ) erzielt werden soll. Man ﬁndet daher in der Literatur Werte von sgl , die sich in manchen F¨ allen geringf¨ ugig unterscheiden.

F¨ ur eine Reihe von Gasr¨ aumen wurde εV λ,G exakt berechnet und die zugeh¨ orige gleichwertige Schichtdicke sgl bestimmt. Diese Werte von sgl sind in Tabelle 5.11 zusammengestellt. Wie man ferner erkennt, weichen die Korrekturfaktoren C in (5.203) nur wenig von 0,9 ab. Man kann daher f¨ ur die nicht in Tabelle 5.11 enthaltenen Gasraum-Geometrien sgl ≈ 0,9 s∗gl = 3,6 V /A

(5.204)

setzen. Mit dieser gleichwertigen Schichtdicke erh¨alt man die mittlere Bestrahlungsst¨ arke E G der gesamten Oberﬂ¨ ache A des strahlenden Gasraums mit dem Volumen V zu E G = εG (T, p, pG , sgl ) σT 4 .

(5.205)

F¨ ur CO2 und H2 O sind die Emissionsgrade εG den Abb. 5.74 bis 5.76 in Abschnitt 5.6.3 zu entnehmen. Beispiel 5.14: Eine Halbkugel mit dem Radius R = 0,50 m enth¨ alt CO2 bei p = 1 bar und T = 1200 K. Man bestimme die mittlere Bestrahlungsst¨ arke E CO2 ihrer Oberﬂ¨ ache und vergleiche diesen Wert mit der Bestrahlungsst¨ arke ECO2 des Oberﬂ¨ achenelements im Kugelmittelpunkt. Wir erhalten E CO2 nach (5.205), wobei εCO2 Abb. 5.74 zu entnehmen ist. Da f¨ ur die Halbkugel in Tabelle 5.11 kein Wert von sgl enthalten ist, berechnen wir sgl n¨ aherungsweise nach (5.204). Mit V = (2π/3)R3 und A = 2πR2 + πR2 = 3πR2 erh¨ alt man s∗gl = (8/9)R und sgl = 0,80R = 0,40 m. Damit wird pCO2 sgl = psgl =

5.6 Gasstrahlung

703

Tabelle 5.11: Gleichwertige Schichtdicken s∗gl f¨ ur verschwindend kleine optische Dicke und sgl f¨ ur endliche optische Dicke. Weitere Angaben in [5.37], [5.48] und [5.59] Charakteristische L¨ ange L0

s∗gl L0

Kugel

Durchmesser

Unendlich langer Zylinder

Durchmesser

Zylinder, L¨ ange L = D, Strahlung auf die ganze Oberﬂ¨ ache Strahlung auf den Mittelpunkt der Grundﬂ¨ ache

Durchmesser

Zylinder, L¨ ange L = D/2 Strahlung auf die ganze Oberﬂ¨ ache Strahlung auf den Mantel Strahlung auf eine Endﬂ¨ ache

Durchmesser

Zylinder, L¨ ange L = 2D Strahlung auf die ganze Oberﬂ¨ ache Strahlung auf den Mantel Strahlung auf beide Endﬂ¨ achen

Durchmesser

Zylinder, L¨ ange L → ∞ Strahlung auf die Grundﬂ¨ ache

Durchmesser

Gasraum

W¨ urfel

Kantenl¨ ange

Rechtkant, Kantenl¨ ange 1:1:4 Strahlung auf die Gesamtﬂ¨ ache Strahlung auf 1×4 Fl¨ ache Strahlung auf 1×1 Fl¨ ache Ebene Schicht zwischen zwei unendlich ausgedehnten parallelen W¨ anden

sgl L0

sgl s∗gl

2/3

0,64

0,96

1

0,94

0,94

2/3

0,60

0,90

0,764

0,71

0,93

1/2 0,525 0,475

0,45 0,46 0,43

0,90 0,88 0,91

4/5 0,817 0,730

0,73 0,76 0,60

0,91 0,93 0,82

0,814

0,65

0,80

2/3

0,60

0,90

0,89 0,90 0,86

0,81 0,82 0,71

0,91 0,91 0,83

2

1,76

0,88

k¨ urzeste Kante

Abstand

0,40 bar·m. Aus Abb. 5.74 liest man εCO2 = 0,16 ab. Dies ergibt nach (5.205) den N¨ aherungswert E CO2 = 0,16 · 5,67 · 10−8

W kW 12004 K4 = 18,8 2 . m2 K 4 m

F¨ ur die Strahlung der Gas-Halbkugel auf das Oberﬂ¨ achenelement im Mittelpunkt ist exakt sgl = R = 0,50 m. Nun ergeben sich aus Abb. 5.74 der etwas gr¨ oßere Emissionsgrad εCO2 = 0,18 und die entsprechend gr¨ oßere Bestrahlungsst¨ arke ECO2 = 21,2 kW/m2 . Da die Bestrahlungsst¨ arke auf der Halbkugel-Oberﬂ¨ ache nicht konstant ist, war ein solches Ergebnis mit ECO2 > E CO2 zu erwarten.

704

5 W¨ armestrahlung

5.6.5 Strahlungsaustausch in einem gasgefu ¨ llten Hohlraum Der Strahlungsaustausch im gasgef¨ ullten Hohlraum ist schwieriger zu berechnen als der in Abschnitt 5.5.3 behandelte Strahlungsaustausch ohne ein absorbierendes und damit selbst strahlendes Gas. Wir behandeln im Folgenden zwei einfache F¨ alle, in denen ein isothermes Gas im Strahlungsaustausch mit seinen Begrenzungsw¨ anden steht, die ebenfalls eine einheitliche Temperatur haben sollen. Am Ende des Abschnitts weisen wir auf weiterf¨ uhrende, aber aufw¨ andige Verfahren hin, mit denen kompliziertere Probleme des Strahlungsaustausches gel¨ ost werden k¨ onnen. 5.6.5.1 Schwarze isotherme Begrenzungsw¨ ande Das isotherme Gas mit der Temperatur TG sei von isothermen W¨anden mit einer Temperatur TW < TG eingeschlossen. Zur Vereinfachung werden die W¨ ande als Schwarze K¨ orper idealisiert; Reﬂexionen brauchen dann nicht ber¨ ucksichtigt zu werden. Durch den Strahlungsaustausch wird ein W¨armestrom Q˙ GW vom Gas an die k¨ alteren W¨ ande u ¨ bertragen. Soll das Gas seine Temperatur TG beibehalten, so muss dieser Energiestrom dem Gas auf andere Weise zugef¨ uhrt werden, z.B. durch einen im Gasraum ablaufenden Verbrennungsprozess. Der vom Gas emittierte Strahlungsﬂuss erzeugt auf den W¨anden die mittlere Bestrahlungsst¨ arke EG = εG (TG , p, pG , sgl )σTG4 , vgl. (5.205). Die schwarzen W¨ ande mit der Fl¨ache AW absorbieren den Strahlungsﬂuss AW EG vollst¨ andig. Der von ihnen emittierte Strahlungsﬂuss 4 AW Ms (TW ) = AW σTW

wird beim Durchgang durch das Gas teilweise absorbiert. Der nicht absorbierte Teil triﬀt wieder auf die Umschließungsw¨ ande und wird dort absorbiert. Da die W¨ ande u ¨ berall dieselbe Temperatur TW haben, tr¨agt dieser Teil des Strahlungsﬂusses zum W¨ armestrom Q˙ GW nichts bei. Wir erhalten damit 4 Q˙ GW = AW [EG (TG ) − aG Ms (TW )] = AW σ εG TG4 − aG TW . (5.206) Hierin bedeutet aG den Absorptionsgrad des Gases f¨ ur Strahlung, die von einem Schwarzen K¨ orper mit der Temperatur TW ausgesandt wird. Da Gase keine grauen Strahler sind, stimmt aG — außer im Grenzfall TW = TG — nicht mit εG u ¨berein. H.C. Hottel und R.B. Egbert [5.58], vgl. auch [5.48], haben aG f¨ ur CO2 und H2 O aus Absorptionsmessungen bestimmt und durch die folgenden Gleichungen mit den Emissionsgraden von Abschnitt 5.6.3 verkn¨ upft:

5.6 Gasstrahlung

705

TW εCO2 TW , pCO2 sgl , (5.207) TG

0,45

TG TW p H2 O + p TW a H2 O = ε∗H2 O TW , pH2 O sgl · CH2 O , p H2 O sgl . TW TG 2 TG (5.208) Die Emissionsgrade werden hier also bei der Wandtemperatur TW und einem um den Faktor (TW /TG ) verkleinerten Produkt (pG sgl ) den Abb. 5.74 bis 5.76 entnommen. F¨ ur Dr¨ ucke p u ¨ ber 1 bar sind die in Abschnitt 5.6.3 erw¨ahnten Druckkorrekturen bei εCO2 und ε∗H2 O anzubringen. aCO2 =

TG TW

0,65

5.6.5.2 Graue isotherme Begrenzungsw¨ ande Wird der gasgef¨ ullte Hohlraum von grauen W¨anden mit dem Emissionsgrad εW = εW (TW ) begrenzt, so muss auch die von den W¨anden reﬂektierte Energie ber¨ ucksichtigt werden. Rauhe, oxidierte und verschmutzte W¨ande haben Emissionsgrade, die nur wenig kleiner als eins sind. In diesem Fall, der auf Feuerungen oft zutriﬀt, ist der reﬂektierte Strahlungsanteil von untergeordneter Bedeutung. Der vom Gas an die W¨ ande u ¨bertragende W¨armestrom Q˙ GW ist um einen Faktor, der zwischen εW und 1 liegt, kleiner als der f¨ ur schwarze W¨ ande nach (5.206) berechnete W¨ armestrom. Bei gen¨ ugend großem εW , etwa εW > 0,8, d¨ urfte die von H.C. Hottel und A.F. Saroﬁm [5.48] empfohlene N¨ aherung εW + 1 4 Q˙ GW = AW σ εG TG4 − aG TW (5.209) 2 hinreichend genau sein. Zur Ber¨ ucksichtigung der von den W¨ anden reﬂektierten Strahlung kann man den Strahlungsaustausch wie in Abschnitt 5.5.3 berechnen. Nach (5.143) ist der von den Begrenzungsw¨ anden nach außen abzuf¨ uhrende W¨armestrom Q˙ GW = AW (EW − HW )

(5.210)

gleich dem Netto-Strahlungsstrom. Dieser ist hier die Diﬀerenz zwischen der mittleren Bestrahlungsst¨ arke EW und der mittleren Helligkeit HW der Fl¨ache AW . Die Bestrahlungsst¨ arke EW setzt sich aus dem von der Gasstrahlung erzeugten Anteil EG = εG σTG4 und aus dem von den W¨anden ausgehenden, im Gas nicht absorbierten Anteil (1 − aG )HW zusammen: EW = εG σTG4 + (1 − aG ) HW .

(5.211)

Die Helligkeit HW umfasst nach (5.142) die speziﬁsche Ausstrahlung MW = 4 εW σTW der Wandﬂ¨ ache und den von ihr reﬂektierten Teil der Bestrahlungsst¨ arke EW : 4 HW = εW σTW + (1 − εW ) EW . (5.212) L¨ ost man die beiden linearen Gleichungen (5.211) und (5.212) nach EW und HW auf, so erh¨ alt man nach Einsetzen in (5.210)

706

5 W¨ armestrahlung

Q˙ GW =

εW AW σ 4 εG TG4 − aG TW . 1 − (1 − aG ) (1 − εW )

(5.213)

Auch diese Gleichung ist nicht exakt, denn es wurden einschr¨ ankende Voraussetzungen gemacht. Nur bei symmetrisch gestalteten Gasr¨ aumen (Kugel, sehr langer Zylinder) werden EW und HW auf der ganzen Begrenzungsﬂ¨ ache nahezu konstant sein, was hier vorausgesetzt wurde. Bei der Erfassung der im Gas nicht absorbierten Strahlung durch den Term (1 − aG )HW in (5.211) wurde nicht ber¨ ucksichtigt, dass die durch das Gas gehende und in HW zusammengefasste Strahlung sich aus Anteilen mit unterschiedlicher spektraler Verteilung zusammensetzt: aus der von den W¨ anden emittierten grauen Strahlung und aus der Strahlung, die nach ein-, zweioder mehrmaligem Durchgang durch den absorbierenden Gasraum von den W¨ anden reﬂektiert wird. Die Anwendung eines einheitlichen Absorptionsgrads aG ist daher nicht richtig. Solange die reﬂektierten Anteile klein sind (großes εW ), d¨ urfte die Verwendung der nach (5.207) und (5.208) berechneten Absorptionsgrade eine gute N¨ aherung sein. Sie ist sicher besser als die Annahme eines grauen Gases, f¨ ur das aG = εG gesetzt wird. Eine genauere Berechnung des Strahlungsaustausches, bei der die Absorption der reﬂektierten Strahlung im Gasraum aufw¨ andiger modelliert wird, hat K. Elgeti [5.64] angegeben. Eine andere Methode zur Ber¨ ucksichtigung der spektralen Absorptionsbanden ﬁndet man in [5.37], Abschnitt 17-7. Beispiel 5.15: Eine zylinderf¨ ormige Brennkammer mit dem Durchmesser D = 0,40 m und der L¨ ange L = 0,95 m enth¨ alt ein Verbrennungsgas mit der Temperatur TG = 2000 K und dem Druck p = 1,1 bar. Die Partialdr¨ ucke von CO2 und H2 O sind pCO2 = 0,10 bar und pH2 O = 0,20 bar. Die W¨ ande der Brennkammer haben die Temperatur TW = 900 K und den Emissionsgrad εW = 0,75. — Man bestimme den W¨ armestrom, der vom Gas an die Mantelﬂ¨ ache der Brennkammer u ¨bertragen wird. Die in diesem Abschnitt hergeleiteten Beziehungen f¨ ur den Strahlungsaustausch gestatten es nur, die mittlere W¨ armestromdichte der gesamten Oberﬂ¨ ache des Gasraums zu berechnen. Hierf¨ ur folgt aus (5.213) q˙GW =

` ´ Q˙ GW εW σ = εG TG4 − aG TG4 . AW 1 − (1 − aG )(1 − εW )

(5.214)

Damit erh¨ alt man f¨ ur den W¨ armestrom, der vom Gas auf die Mantelﬂ¨ ache u ¨bertragen wird, den N¨ aherungswert Q˙ GW = q˙GW AM = πDL q˙GW .

(5.215)

Zur Berechnung von εG und aG bestimmen wir die gleichwertige Schichtdicke. Ihr Grenzwert f¨ ur das optisch d¨ unne Gas ist s∗gl = 4

V D = = 0,330 m . AW 1 + D/2L

Nach Tabelle 5.11 hat das Verh¨ altnis C = sgl /s∗gl f¨ ur einen Zylinder mit L/D = 2 den Wert 0,91. F¨ ur die Brennkammer mit L/D = 2,375 d¨ urfte dieser Wert in guter N¨ aherung zutreﬀen. Wir setzen daher sgl = 0,91 · 0,330 m = 0,30 m. F¨ ur pCO2 sgl = 0,030 bar m liest man aus Abb. 5.74 den Emissionsgrad εCO2 = 0,0362 ab. mit pH2 O sgl = 0,060 bar m erh¨ alt man aus Abb. 5.75 und 5.76

5.6 Gasstrahlung

707

εH2 O = ε∗H2 O CH2 O = 0,0360 · 1,20 = 0,0432 . Da der Gasdruck p = 1,1 bar nur wenig u ¨ ber 1 bar liegt, ist eine Druckkorrektur von εCO2 und εH2 O nicht erforderlich. Um εG nach (5.196) zu erhalten, ben¨ otigt man die Korrektur Δε, f¨ ur die man mit Hilfe der in [5.59] wiedergegebenen Diagramme Δε = 0,0025 ﬁndet. Damit wird εG = 0,0769. Zur Bestimmung des Absorptionsgrades aG ben¨ otigt man die Emissionsgrade bei den verkleinerten Partialdr¨ ucken, also bei pCO2

TW sgl = 0,0135 bar m TG

und

pH2 O

TW sgl = 0,027 bar m . TG

F¨ ur T = TW = 900 K erh¨ alt man aus Abb. 5.74 εCO2 = 0,060, womit aus (5.207) aCO2 = 0,101 folgt. F¨ ur H2 O ermittelt man ε∗H2 O = 0,226 und CH2 O = 1,20, so dass sich aus (5.208) aH2 O = 0,388 ergibt. Mit Δε = 0,003 aus [5.59] wird aG = aCO2 + aH2 O − Δε = 0,486 . Das Gasgemisch absorbiert die von den W¨ anden kommende Strahlung erheblich st¨ arker, als es selbst im Vergleich zu einem schwarzen“ Gas Strahlung emittiert. ” Mit den Werten von εG und aG erh¨ alt man aus (5.214) f¨ ur die mittlere, durch Strahlung u armestromdichte auf den W¨ anden der Brennkammer ¨ bertragene W¨ q˙GW =

˜ 0,75 · 5,67 · 10−8 W/(m2 K4 ) ˆ kW 0,0769 (2000 K)4 −0,468 (900 K)4 = 45,1 2 . 1 − (1 − 0,486)(1 − 0,75) m

Aus (5.215) folgt damit der gesuchte W¨ armestrom Q˙ GM = π(0,40 m)(0,95 m) 45,1 (kW/m2 ) = 53,8 kW . Die W¨ armestromdichte q˙GW entspricht nach (1.64) auf S. 30 in Abschnitt 1.1.6 einem W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten der Strahlung von αStr =

q˙GW W = 41,0 2 . TG − TW m K

Er liegt in der gleichen Gr¨ oßenordnung wie der hier zu erwartende W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient der Konvektion. Die Gasstrahlung darf bei der Berechnung des W¨ arme¨ ubergangs in Brennkammern und Feuerungen nicht vernachl¨ assigt werden.

5.6.5.3 Berechnung des Strahlungsaustausches in komplizierteren F¨ allen Ist der gasgef¨ ullte Hohlraum von nichtisothermen W¨anden umgeben, so teilt man diese in mehrere isotherme Fl¨ achen, die sogenannten Zonen. Wie in Abschnitt 5.5.3 hat man nun den Strahlungsaustausch zwischen mehreren Zonen zu berechnen, wobei jedoch die Absorption beim Durchgang der Strahlung durch das Gas zu ber¨ ucksichtigen ist und außerdem der Strahlungsaustausch zwischen dem Gas und den Zonen. F¨ ur diese Berechnung ben¨otigt man die in Abschnitt 5.5.1 eingef¨ uhrten Sichtfaktoren sowie die Transmissionsgrade

708

5 W¨ armestrahlung

der Gasvolumina, die am Strahlungsaustausch zwischen den Zonen beteiligt sind. Wie in Abschnitt 5.5.3.1 erh¨ alt man ein Gleichungssystem, aus dem die Helligkeiten der Zonen, ihre Temperaturen und die von außen zu- oder abzuf¨ uhrenden W¨ armestr¨ ome berechnet werden k¨onnen. R. Siegel und J.R. Howell [5.37], Kap. 13, zeigen, wie dieses Gleichungssystem aufzustellen ist und wie die Transmissionsgrade der durchstrahlten Gasvolumina zu berechnen sind. Eine etwas andere Formulierung der Strahlungsaustauschgleichungen ﬁndet man bei H.C. Hottel und A.F. Saroﬁm [5.48]. Ein weiteres Problem bei der Berechnung des Strahlungsaustausches ist die Ber¨ ucksichtigung der Tatsache, dass Gase nur in bestimmten Wellenl¨angenbereichen (Banden) absorbieren und emittieren. Hier macht man manchmal die stark vereinfachende Annahme, das Gas verhielte sich wie ein grauer Strahler. Eine bessere Modellierung des wirklichen Strahlungsverhaltens ist die BandenApproximation, die in [5.37], S. 549–567 und 607–609, ausf¨ uhrlich dargestellt ist. Bei der realit¨atsnahen Berechnung des Strahlungsaustausches in Feuerungen und Brennkammern muss ein nichtisothermer Gasraum ber¨ ucksichtigt werden. Hierf¨ ur haben H.C. Hottel und A.F. Saroﬁm [5.48] die sogenannte Zonen-Methode entwickelt, vgl. auch [5.37], S. 647–652. Andere Verfahren zur Ber¨ ucksichtigung des Temperaturfelds im Gasraum werden von R. Siegel und J.R. Howell [5.37], Kapitel 15, ausf¨ uhrlich behandelt. Insbesondere sei auf die Anwendung der Monte-Carlo-Methode hingewiesen, vgl. [5.37] und [5.66], die zwar mathematisch aufw¨ andig ist, aber ohne stark vereinfachende Annahmen auskommt. In technischen Feuerungen ist neben der Gasstrahlung auch die Strahlung von Ruß, Kohle- und Ascheteilchen zu ber¨ ucksichtigen. Dabei spielt neben Absorption und Emission auch die Streuung von Strahlung an den schwebenden Teilchen eine Rolle. Hierf¨ ur haben P. Biermann und D. Vortmeyer [5.67] sowie H.-G. Brummel und E. Kakaras [5.68] Modelle entwickelt. Eine zusammenfassende Darstellung ﬁndet man in [5.69] und in [5.37], S. 652–673. Die Berechnung des W¨ armetransports in Feuerungen behandeln W. Richter und K. G¨ orner [5.70] sowie H.C. Hottel und A.F. Saroﬁm [5.48].

5.7 Aufgaben 5.1: Strahlung mit der Vakuum-Wellenl¨ ange λ = 3,0 μm geht durch Glas (Brechzahl n = 1,52). Wie groß sind die Fortpﬂanzungsgeschwindigkeit c und die Wellenl¨ ange λM im Glas? Man berechne die Energie eines Photons im Vakuum und im Glas.

5.7 Aufgaben

709

5.2: Ein Lambert-Strahler sendet bei einer bestimmten Temperatur Strahlung nur im Wellenl¨ angenintervall (λ1 , λ2 ) aus, wo seine spektrale Strahldichte Lλ (λ) = Lλ (λm ) − a (λ − λm )2 mit Lλ (λm ) = 72 W/(m2 μm sr), a = 50 W/(m2 μm2 sr) und λm = 3,5 μm positive Werte hat. F¨ ur λ ≤ λ1 und λ ≥ λ2 ist Lλ ≡ 0. Wie groß sind λ1 und λ2 ? Man berechne die Strahldichte L und die speziﬁsche Ausstrahlung M . Welcher Teil der speziﬁschen Ausstrahlung f¨ allt in den Raumwinkel, der durch (π/3) ≤ β ≤ (π/2) und 0 ≤ ϕ ≤ (π/4) begrenzt wird? 5.3: Welcher Teil ΔM der speziﬁschen Ausstrahlung M eines Lambert-Strahlers f¨ allt in den Teil des Halbraums, f¨ ur den der Polarwinkel β ≤ 30◦ ist? 5.4: Ein strahlungsundurchl¨ assiger K¨ orper mit dem hemisph¨ arischen GesamtReﬂexionsgrad r = 0,15 reﬂektiert diﬀus. F¨ ur eine Bestrahlungsst¨ arke E = 800 W/m2 bestimme man die Strahldichte Lref der reﬂektierten Strahlung und die auf die Fl¨ ache bezogene absorbierte Strahlungsleistung. 5.5: Ein Hohlraum wird auf einer konstanten Temperatur gehalten. Durch eine ¨ kleine kreisf¨ ormige Oﬀnung von d = 5,60 mm Durchmesser dringt Strahlung nach außen; der Strahlungsﬂuss ist Φ = 2,35 W. Wie groß ist die Temperatur der Hohlraumw¨ ande? 5.6: Ein Strahler sendet das Maximum seiner spektralen speziﬁschen Ausstrahlung bei λmax = 2,07 μm aus. Man sch¨ atze seine Temperatur T und seine speziﬁsche Ausstrahlung M (T ) unter der Annahme ab, er strahle wie ein Schwarzer K¨ orper. 5.7: Welche Temperatur muss ein Schwarzer K¨ orper haben, damit ein Drittel seiner speziﬁschen Ausstrahlung im Bereich des sichtbaren Lichts liegt (0,38 μm ≤ λ ≤ 0,78 μm)? 5.8: Eine diﬀus strahlende Ofenwand hat die Temperatur T = 500 K und einen spektralen Emissionsgrad, der durch folgende Funktion angen¨ ahert wird: 8 < 0,12 , 0 < λ ≤ 1,6 μm , ελ = 0,48 , 1,6 μm < λ ≤ 8 μm , : 0,86 , λ > 8 μm . Die Ofenwand ist der Strahlung gl¨ uhender Kohlen ausgesetzt; die spektrale Bestrahlungsst¨ arke Eλ kann proportional zur spektralen speziﬁschen Ausstrahlung Mλs (TK ) eines Schwarzen K¨ orpers mit TK = 2000 K angenommen werden. a) Man berechne den Gesamt-Emissionsgrad ε der Ofenwand. b) Man berechne den Gesamt-Absorptionsgrad a der Ofenwand f¨ ur die Strahlung, die von den Kohlen ausgeht. 5.9: Ein sehr langer Zylinder wird von Strahlung getroﬀen, die senkrecht zu seiner Achse aus einer einzigen Richtung kommt (parallel gerichtete Strahlung). Die Oberﬂ¨ ache des Zylinders verh¨ alt sich wie ein grauer Strahler mit dem gerichteten Gesamtemissionsgrad ε (β) = 0,85 cos β. Man berechne den reﬂektierten Anteil der auftreﬀenden Strahlungsleistung.

710

5 W¨ armestrahlung

5.10: Eine strahlungsdurchl¨ assige Platte mit dem hemisph¨ arischen Gesamt-Absorptionsgrad a = 0,36 wird von beiden Seiten gleichm¨ aßig bestrahlt, w¨ ahrend Luft mit ϑL = 30 u achen str¨ omt, die im station¨ aren Zu¨ ber beide Oberﬂ¨ stand die Temperatur ϑW = 75 annehmen. Der W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient zwischen der Platte und der Luft ist α = 35 W/m2 K. Mit Hilfe eines Strahlungsdetektors wird festgestellt, dass die Platte nach jeder Seite die W¨ armestromdichte q˙Str = 4800 W/m2 abgibt. Man berechne die Bestrahlungsst¨ arke E und den hemisph¨ arischen Gesamt-Emissionsgrad ε der Platte. 5.11: Eine glatte polierte Platin-Oberﬂ¨ ache sendet Strahlung mit der speziﬁschen Ausstrahlung M = 1,64 kW/m2 aus. Mit Hilfe der vereinfachten elektromagnetischen Theorie bestimme man ihre Temperatur T , den hemisph¨ arischen GesamtEmissionsgrad ε und den Gesamt-Emissionsgrad εn in Richtung der Fl¨ achennormale. Der speziﬁsche elektrische Widerstand von Platin kann nach re = (0,384 6 (T/K) − 6,94) 10−7 Ωcm berechnet werden. 5.12: Ein langer Kanal hat einen halbkreisf¨ ormigen Querschnitt (Kreisdurchmesser d = 0,40 m). Man bestimme die Sichtfaktoren F11 , F12 , F21 und F22 , wobei der Index 1 die ebene Fl¨ ache, der Index 2 die gekr¨ ummte Fl¨ ache kennzeichnet. 5.13: Eine Kugel 1 liegt auf einer unendlich großen Ebene 2. Wie groß ist der Sichtfaktor F12 ? 5.14: Ein Hohlraum wird durch drei ebene Fl¨ achen endlicher Breite und unendlicher L¨ ange gebildet. Die drei Breiten seien b1 = 1,0 m, b2 = 2,5 m und b3 = 1,8 m. Man berechne die neun Sichtfaktoren Fij (i, j = 1, 2, 3). 5.15: Ein sehr langes zylinderf¨ ormiges Heizelement mit dem Durchmesser d = 25 mm ist h = 50 mm von einer r¨ uckstrahlenden (adiabaten) Wand entfernt, Abb. 5.80. Das Heizelement hat die Temperatur T = 700 K, die Umgebung die Temperatur TU = 300 K. Heizelement, Wand und Umgebung sollen als Schwarze K¨ orper angenommen werden. Es wird nur der W¨ arme¨ ubergang durch Strahlung ber¨ ucksichtigt. — Man bestimme die Temperatur der Wandoberﬂ¨ ache als Funktion der Koordinate x und berechne T (x) f¨ ur x = 0, x = h, x = 2h, x = 10h und x → ∞. Hinweis: Der Sichtfaktor zwischen einem Fl¨ achenstreifen dA1 inﬁnitesi-

Abb. 5.80: Zylinderf¨ ormiges Heizelement u uckstrahlenden Wand ¨ ber einer r¨ maler Breite und beliebiger L¨ ange (senkrecht zur Zeichenebene von Abb. 5.81) und einer Regel- oder Zylinderﬂ¨ ache 2 ist durch

5.7 Aufgaben

711

1 (sin β2 − sin β1 ) 2 gegeben. Dabei wird die Regelﬂ¨ ache 2 durch parallele Geraden unendlicher L¨ ange erzeugt, die senkrecht zur Zeichenebene von Abb. 5.81 stehen. Zur Herleitung dieser Gleichung vgl. man [5.37], S. 197–199. F12 =

Abb. 5.81: Fl¨ achenstreifen dA1 inﬁnitesimaler Breite und Regelﬂ¨ ache 2 mit parallelen, unendlich langen Erzeugenden senkrecht zur Zeichenebene

5.16: Ein langer zylinderf¨ ormiger Nickel-Stab (d1 = 10 mm) wird elektrisch beheizt und gibt den auf seine L¨ ange L bezogenen W¨ armestrom Q˙ 1 /L = 210 W/m ab. Der Emissionsgrad von Nickel kann nach ε(T ) = 0,050 + 0,000 10 (T /K) berechnet werden. Der Stab ist von einem konzentrisch angebrachten Hohlzylinder umgeben, d2 = 25 mm, ε2 = 0,88. Der Hohlzylinder wird von außen so gek¨ uhlt, dass er die Temperatur T2 = 290 K hat. Welche Oberﬂ¨ achentemperatur erreicht der Nickel-Stab, wenn W¨ arme nur durch Strahlung u ¨ bertragen wird? 5.17: Ein Wohnraum hat eine rechteckige Grundﬂ¨ ache (Breite 3,5 m, Tiefe 4,8 m) und eine H¨ ohe von 2,8 m. Eine Fußbodenheizung h¨ alt die Grundﬂ¨ ache 1 auf der konstanten Temperatur ϑ1 = 29 . Eine der schmalen Seitenw¨ ande (3,5 m mal 2,8 m) ist die Außenwand und als Fensterfront ausgebildet, deren Temperatur ϑ2 = 17 betr¨ agt. Die Decke und die u ande werden als (adiabate) ¨ brigen W¨ r¨ uckstrahlende W¨ ande angesehen. Alle Fl¨ achen seien graue Lambert-Strahler mit ε = 0,92. — Man berechne den von der Grundﬂ¨ ache zur Außenwand durch Strahlung u armestrom. ¨ bertragenen W¨ 5.18: Um den Strahlungsaustausch zwischen zwei sehr großen parallelen Platten zu verringern, soll ein sehr d¨ unner ebener Strahlungsschutzschirm zwischen den Platten angebracht werden. Die Emissionsgrade der beiden Oberﬂ¨ achen des Schutzschirms sind jedoch verschieden; eine Oberﬂ¨ ache hat den Emissionsgrad εS < 0,4, die andere den Emissionsgrad 2,5 εS . a) Der Strahlungschutzschirm ist so zu orientieren, dass der u arme¨ bertragene W¨ strom m¨ oglichst klein wird. Soll die Seite mit dem Emissionsgrad εS auf die Platte mit der Temperatur T1 > T2 gerichtet sein, oder ist die umgekehrte Anordnung g¨ unstiger? b) Welche der beiden Orientierungen f¨ uhrt zur h¨ oheren Temperatur TS des Strahlungsschutzschirms? 5.19: Zwischen zwei sehr großen parallelen Platten mit den Temperaturen T1 = 750 K und T2 = 290 K beﬁnden sich zwei sehr d¨ unne, parallel zu den Platten angebrachte Strahlungsschutzschirme A und B. Alle Oberﬂ¨ achen seien graue Lambert-Strahler mit dem gleichen Emissionsgrad ε = 0,82.

712

5 W¨ armestrahlung

a) Man berechne die Temperaturen TA und TB der Strahlungsschutzschirme. b) Man berechne die W¨ armestromdichte q, ˙ die zwischen den beiden Platten durch Strahlung u ¨ bertragen wird. c) Die beiden Strahlungsschutzschirme werden entfernt, Die Platte 1 wird mit der W¨ armestromdichte q˙ von b) beheizt, und die Platte 2 wird auf der Temperatur T2 = 290 K gehalten. Welche Temperatur T1 stellt sich ein? 5.20: Die W¨ ande ¨ alterer Wohnh¨ auser wurden oft in zweischaliger Bauweise ausgef¨ uhrt, vgl. Abb. 5.82. Zwischen zwei W¨ anden aus Mauerwerk (λ = 0,95 W/K m, ε = 0,88) mit den St¨ arken δ1 = 0,24 m und δ2 = 0,115 m beﬁndet sich ein Luftspalt der Breite δ = 0,060 m. Die W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten haben die Werte αi = 7,5 W/m2 K und αa = 18,0 W/m2 K. Die Temperaturen sind ϑi = 22,0 und ϑa = −5,0 . Die W¨ armeleitf¨ ahigkeit der Luft ist λL = 0,024 5 W/K m.

Abb. 5.82: Zweischaliges Mauerwerk mit Luftspalt der Breite δ a) Man f¨ uhre eine eﬀektive W¨ armeleitf¨ ahigkeit λeﬀ des Luftspalts ein, die auch den Einﬂuss der Strahlung ber¨ ucksichtigt. Die freie Konvektion im Luftspalt soll vernachl¨ assigt werden. Man berechne λeﬀ und die W¨ armestromdichte q, ˙ die durch die Wand u ¨ bertragen wird. b) Der Luftspalt wird mit einem Isolierschaum (λis = 0,040 W/K m) ausgef¨ ullt. Wie ¨ andert sich hierdurch q? ˙ 5.21: CO2 str¨ omt bei p = 1 bar durch ein langes gek¨ uhltes Rohr mit dem Innendurchmesser d = 0,10 m. Seine Geschwindigkeit ist w = 20 m/s, und seine mittlere Temperatur betr¨ agt ϑG = 1000 . Die Rohrwandtemperatur ist ϑW = 500 , der Emissionsgrad der Rohrwand ist εW = 0,86. Um den Beitrag der Gasstrahlung zum W¨ arme¨ ubergang zu bestimmen, berechne man die W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten α der Konvektion und αStr der Strahlung. — Stoﬀwerte von CO2 bei 1000 : λ = 0,0855 W/K m, ν = 117 · 10−6 m2 /s, P r = 0,736.

Anhang A: Erg¨ anzungen

A.1 Einfu ¨hrung in die Tensornotation Zur Herleitung der Bilanzgleichungen verwenden wir die Tensornotation, weil sich dadurch die Gleichungen einfacher und u ¨ bersichtlicher schreiben lassen. Wir beschr¨ anken uns dabei auf kartesische Tensoren. Im Folgenden werden die Grundz¨ uge der kartesischen Tensornotation nur in dem Umfang dargestellt, wie sie f¨ ur die Herleitung der Bilanzgleichungen ben¨otigt werden; ansonsten sei auf das weiterf¨ uhrende Schriftum verwiesen. Wir beginnen mit einem Beispiel. Die Geschwindigkeit w eines Massenpunktes ist bekanntlich ein Vektor, der durch seine Komponenten wx , wy , wz in einem kartesischen Koordinatensystem festliegt: w(wx , wy , wz ) . Bezeichnet man die Einheitsvektoren in einem kartesischen Koordinatensystem mit ex , ey , ez , so gilt w = wx ex + wy ey + wz ez . In der Tensorschreibweise ersetzt man die Indizes x, y, z durch die Indizes 1, 2, 3 und schreibt statt dessen w = w1 e1 + w2 e2 + w3 e3 =

3

wi ei .

i=1

Der Geschwindigkeitsvektor w ist vollst¨ andig durch seine Komponenten wi , i = 1, 2, 3, charakterisiert. In Tensorschreibweise kennzeichnet man nun den Geschwindigkeitsvektor abk¨ urzend durch wi mit i = 1, 2, 3. Entsprechend legt man den Ortsvektor x(x, y, z) durch seine Komponenten x1 = x, x2 = y, x3 = z fest und schreibt in Tensorschreibweise abk¨ urzend xi mit i = 1, 2, 3. Ein Vektor ist demnach durch einen einzigen Index gekennzeichnet.

714

Anhang A: Erg¨ anzungen

Man unterscheidet Tensoren verschiedener Stufen. Tensoren nullter Stufe ¨ sind Skalare. Sie ¨ andern sich nicht beim Ubergang auf ein anderes Koordinatensystem. Skalare sind beispielsweise die Temperatur ϑ, der Druck p und die Dichte . Zu ihrer Kennzeichnung ist kein Index erforderlich. Tensoren erster Stufe sind Vektoren. Sie werden wie oben erl¨autert durch einen Index gekennzeichnet. Tensoren zweiter Stufe sind durch zwei Indizes gekennzeichnet. Eine solche Gr¨ oße ist der Spannungstensor. Er hat neun Komponenten τ11 , τ12 , τ13 , τ21 . . . τ33 . Man schreibt abk¨ urzend τji , wobei j und i je f¨ ur sich die Werte 1, 2, 3 annehmen. F¨ ur das Rechnen mit Tensoren machen wir von folgenden Regeln Gebrauch. Wenn ein Index in einem Glied einer Gleichung nur einmal vorkommt, nennt man ihn einen freien Index. Er kann durch einen beliebigen anderen Index ersetzt werden. Alle Glieder einer Gleichung m¨ ussen in ihren freien Indizes u ¨ bereinstimmen. Die Relation ai = c · b i ,

(A.1)

wobei c eine Konstante (Skalar) ist, bedeutet, dass die Vektoren ai und bi sich nur im Betrag unterscheiden, sie haben die gleiche Richtung. Somit ist a1 = c b 1 ;

a2 = c b 2 ;

a3 = c b 3 .

Das Innenprodukt (Skalarprodukt) zweier Vektoren a · b = a1 b 1 + a2 b 2 + a3 b 3 lautet in der indizierten Schreibweise a·b=

3

ai b i .

i=1

Da innere Produkte sehr h¨ auﬁg vorkommen, wird folgende Summations-Kon” vention“ getroﬀen: Wenn ein Index in einem Term zweimal erscheint, so soll uber diesen Index summiert werden. Man nennt diesen Index einen gebundenen ¨ Index. Man kann einen von ihnen nicht durch einen beliebigen anderen Index ersetzen. Das Summationssymbol wird weggelassen. Somit ist ai b i = a1 b 1 + a2 b 2 + a3 b 3 .

(A.2)

Diﬀerentiation f¨ uhrt zu einem Tensor, der um eine Ordnung h¨oher ist. So ist der Gradient eines Skalars p grad p = ∇ p = e1

∂p ∂p ∂p + e2 + e3 ∂x1 ∂x2 ∂x3

(A.3)

ein Vektor mit den drei Komponenten ∂ p/∂xi , i = 1, 2, 3, wof¨ ur wir in Tensorschreibweise abk¨ urzend nur ∂ p/∂xi schreiben. Diﬀerenziert man einen Vektor wj , so kann man jede der drei Komponenten w1 , w2 , w3 nach jeder Ortskoordinate x1 , x2 , x3 diﬀerenzieren. Man erh¨alt den Tensor zweiter Stufe

Anhang A: Erg¨ anzungen

∂ wj ∂xi

(i = 1, 2, 3 ; j = 1, 2, 3) ,

715

(A.4)

der aus 9 Komponenten besteht. Auf der anderen Seite ist die Divergenz eines Vektors ein Skalar, div w = ∇ · w =

∂ wi ∂ w1 ∂ w2 ∂ w3 = + + . ∂xi ∂x1 ∂x2 ∂x3

(A.5)

Durch Divergenzbildung erh¨ alt man somit einen Tensor, der um eine Stufe niedriger ist als der Ausgangstensor. Ein sinnvoller Operator“ ist das ” Kronecker-Delta δij , deﬁniert durch δij = 1 f¨ ur i = j ,

δij = 0 f¨ ur i = j .

(A.6)

Man nennt δij auch den Einheitstensor. Weiter gilt δij bj = bi ,

(A.7)

was man durch ausschreiben best¨ atigt ﬁndet, denn es ist δij bj = δi1 b1 + δi2 b2 + δi3 b3 also f¨ ur i = 1 : δ1j bj = δ11 b1 = b1 , f¨ ur i = 2 : δ2j bj = δ22 b2 = b2 und f¨ ur i = 3 : δ3j bj = δ33 b3 = b3 , und somit δij bj = bi .

A.2 Zusammenhang zwischen mittlerem und thermodynamischem Druck Deﬁnitionsgem¨ aß enth¨ alt der mittlere Druck p¯ = −1/3 δji τkk nur Normalspannungen. Um einen Zusammenhang zwischen mittlerem und thermodynamischem Druck herzustellen, betrachten wir ein w¨ urfelf¨ormiges Fluidelement von der Temperatur T und dem speziﬁschen Volumen v, Abb. A1. Wir nehmen nun an, zur Zeit t = 0 sei der W¨ urfel im Zustand der Ruhe, so dass im Inneren der thermodynamische Druck p herrscht. Anschließend wird von außen der mittlere Druck p¯ aufgepr¨ agt. Falls p¯ > p ist, wird der W¨ urfel gestaucht, falls p¯ < p ist, wird er sich ausdehnen. Von dem ¨außeren Druck p¯ wird dabei die Arbeit −¯ p dV verrichtet. Diese ist gleich der an das Gas u ¨ bergehenden Volumen¨ anderungsarbeit −p dV und der dissipierten Arbeit. Somit gilt dW = −¯ p dV = −p dV + dWdiss und die dissipierte Arbeit wird dWdiss = −(¯ p − p) dV . Dies ist nach dem zweiten Hauptsatz stets positiv, denn f¨ ur p¯ > p ist dV < 0 und f¨ ur p¯ < p ist dV > 0. Die Volumenzunahme dV ergibt sich andererseits

716

Anhang A: Erg¨ anzungen

Abb. A.1: Zum Zusammenhang zwischen mittlerem und thermodynamischem Druck

Abb. A.2: Dehnung als Funk¨ tion des Uberdrucks

aus dem Transporttheorem (3.18) wenn man Z = V und z = Z/M = V /M = 1/ setzt zu dV ∂ wi = dV . dt ∂xi V (t)

Damit kann man f¨ ur die dissipierte Arbeit auch schreiben ⎛ ⎞ ∂ wi ⎜ ⎟ dWdiss = −(¯ p − p) ⎝ dV ⎠ dt . ∂xi V (t)

Es ist nun anschaulich einleuchtend, dass die Geschwindigkeit dV /dt der Volumen¨ anderung bzw. ∂ wi /∂xi eine mit p¯ − p monoton fallende Funktion ist, ¨ Abb. A2, denn je gr¨ oßer der ¨ außere Uberdruck p¯− p ist, desto schneller nimmt das Volumen des W¨ urfels ab. Es ist daher naheliegend, f¨ ur nicht allzu rasche Volumen¨ anderungsgeschwindigkeiten die Kurve in Abb. A2 durch eine Gerade zu ersetzen: ∂ wi p¯ − p = −ζ . ∂xi Der hierdurch deﬁnierte Faktor ζ > 0 ist die Volumenviskosit¨at (SI-Einheit kg/s m). Sie muss experimentell oder mit Hilfe der Methoden der statistischen Thermodynamik bestimmt werden, was nur f¨ ur Stoﬀe mit einfachen Molek¨ ulen m¨ oglich ist. Man erkennt, dass mittlerer und thermodynamischer Druck streng genommen nur u ¨bereinstimmen, wenn ζ = 0 oder das Fluid inkompressibel ist, ∂ wi /∂xi = 0.

Anhang A: Erg¨ anzungen

717

A.3 Navier-Stokes-Gleichungen eines inkompressiblen Fluids konstanter Viskosit¨ at in kartesischen Koordinaten Massenkraft ist die Fallbeschleunigung kj = gj . x1 = x-Richtung: ∂ w1 ∂ w1 ∂ w1 ∂ w1 + w1 + w2 + w3 = ∂t ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂p ∂ 2 w1 ∂ 2 w1 ∂ 2 w1 g1 − +η + + . ∂x1 ∂x1 2 ∂x2 2 ∂x3 2 x2 = y-Richtung: ∂ w2 ∂ w2 ∂ w2 ∂ w2 + w1 + w2 + w3 = ∂t ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂p ∂ 2 w2 ∂ 2 w2 ∂ 2 w3 g2 − +η + + . ∂x2 ∂x1 2 ∂x2 2 ∂x3 2 x3 = z-Richtung: ∂ w3 ∂ w3 ∂ w3 ∂ w3 + w1 + w2 + w3 = ∂t ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂p ∂ 2 w3 ∂ 2 w3 ∂ 2 w3 g3 − +η + + . ∂x3 ∂x1 2 ∂x2 2 ∂x3 2

(A.8)

(A.9)

(A.10)

A.4 Navier-Stokes-Gleichungen eines inkompressiblen Fluids konstanter Viskosit¨ at in Zylinderkoordinaten Massenkraft ist die Fallbeschleunigung kj = gj . r-Richtung:

∂ wr ∂ wr wθ ∂ wr wθ2 ∂ wr + wr + − + wz = ∂t ∂r r ∂θ r ∂z

! ∂p ∂ 1 ∂ 1 ∂ 2 wr 2 ∂ wθ ∂ 2 wr gr − +η (r wr ) + 2 − 2 + . ∂r ∂r r ∂r r ∂θ2 r ∂θ ∂z 2

(A.11)

718

Anhang A: Erg¨ anzungen

θ-Richtung: ∂ wθ ∂ wθ + wr + ∂t ∂r 1 ∂p ∂ gθ − +η r ∂θ ∂r

wθ ∂ wθ wr wθ ∂ wθ + + wz r ∂θ r ∂z

=

! 1 ∂ 1 ∂ 2 wθ 2 ∂ wr ∂ 2 wθ (r wθ ) + 2 + + r ∂r r ∂θ2 r2 ∂θ ∂z 2

. (A.12)

z-Richtung:

∂ wz ∂ wz wθ ∂ wz ∂ wz + wr + + wz = ∂t ∂r r ∂θ ∂z

∂p 1 ∂ ∂ wz ! 1 ∂ 2 wz ∂ 2 wz gz − +η r + 2 + . ∂z r ∂r ∂r r ∂θ2 ∂z 2

(A.13)

A.5 Entropiebilanz fu ¨r Gemische Die Gibbssche Fundamentalgleichung f¨ ur Gemische, μK du = T ds − p dv + dξK ˜K M K

oder

μK dξK du ds dv = T − p + , ˜ K dt dt dt dt M K

(A.14)

l¨ asst sich unter Beachtung von dv 1 d 1 ∂ wi =− 2 = dt dt ∂xi und von (3.25)

∗ ∂ jK,i dξK =− + Γ˙K dt ∂xi

(A.15)

umformen in

∗ μK du ds ∂ wi μK ∂ jK,i = T −p − + Γ˙ . ˜ K ∂xi ˜K K dt dt ∂xi M M K

K

˜ K = hK − T sK liefert dies Wegen μK /M

∗ ∗ μK ∂ jK,i ∂ jK,i du ds ∂ wi = T −p − hK +T sK + Γ˙ . ˜K K dt dt ∂xi ∂xi ∂xi M K

K

K

Anhang A: Erg¨ anzungen

719

Einsetzen der Energiegleichung (3.81) ergibt unter Beachtung von ∗ q˙ = q˙i + hK jK,i K

−

∗ ∂ q˙i + φ + K jK,i kK,i = ∂xi ∗ μK ∂ jK,i ds ∂ hK ∗ T + jK,i +T sK + Γ˙ . ˜K K dt ∂xi ∂xi M K

K

(A.16)

K

Hierin schreiben wir f¨ ur T

sK

K

∗ ∗ ∂ (jK,i ∂ jK,i sK ) ∂ sK ∗ =T −T jK,i ∂xi ∂xi ∂xi K

K

und fassen zusammen:

∂ hK ∂ sK ∂ μK 1 ∗ ∗ jK,i −T = jK,i . ˜K ∂xi ∂xi ∂xi T M K K Damit lautet (A.16) −

∗ ∂ (jK,i sK ) ∂ q˙i ds ∗ +φ+ jK,i kK,i = T +T ∂xi dt ∂xi K K

μK ∗ ∂ μK 1 + K jK,i + Γ˙ . ˜K ˜K K ∂xi T M M K

Es ist somit

∗ sK ) ds ∂ (q˙i /T ) ∂ (jK,i q˙i ∂ T =− − − 2 dt ∂xi ∂xi T ∂xi K

1 1 ∂ μK φ 1 μK ˙ ∗ + jK,i kK,i − + + Γ . ˜K ˜K K T ∂xi T T T M M K K

Durch Vergleich mit

ds ∂ =− (Js,i − wi s) + σ˙ dt ∂xi

(A.17)

folgt hieraus die Entropiestr¨ omung Js,i (SI-Einheit W/m2 K) Js,i =

q˙i ∗ + jK,i sK + wi s T K

und der Entropieerzeugung σ˙ (SI-Einheit W/m3 K)

(A.18)

720

Anhang A: Erg¨ anzungen

q˙i ∂ T 1 ∗ 1 ∂ μK Φ 1 μK ˙ σ˙ = − 2 + jK,i kK,i − + + Γ . ˜K ˜K K T ∂xi T ∂xi T T T M M K K (A.19) Die Entropiestr¨ omung beruht auf einem W¨ arme- und einem Materiestrom, die Entropieerzeugung auf W¨ armestr¨ omung in einem Temperaturfeld, Diﬀusion durch Massenkr¨afte und Unterschiede im chemischen Potential, mechanische Dissipation und chemischen Reaktionen.

A.6 Zusammenhang zwischen partieller und speziﬁscher Enthalpie Ausgeschrieben lautet die Summe mit der Abk¨ urzung δ = ∂ /∂xi N

∗ jK,i

K=1

Nun ist

N K=1

∂ hK ∗ ∗ ∗ = j1,i δh1 + j2,i δh2 + . . . jN,i δhN . ∂xi

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ jK,i = 0, also jN,i = −j1,i − j2,i − . . . − jN −1,i . Die Summe kann

also auch ∗ ∗ ∗ j1,i δ(h1 − hN ) + j2,i δ(h2 − hN ) + . . . jN −1,i δ(hN −1 − hN )

geschrieben werden. Nun zeigt man in der Thermodynamik der Gemische [3.1], Seite 114, dass f¨ ur die speziﬁschen partiellen Zustandsgr¨oßen folgender Zusammenhang gilt

∂h hA − hN = , A = 1, 2, . . . N − 1 . ∂ξA T,p,K=A Es gilt damit N K=1

∗ jK,i

N −1 N −1 ∂ hK ∂h ∂ ∂h ∗ ∗ = jK,i δ = jK,i . ∂xi ∂ξK T,p,A=K ∂xi ∂ξK T,p,A=K K=1

K=1

Nun ist andererseits die Enthalpie eines Gemisches gegeben durch h = h(T, p, ξ1 , ξ2 , . . . ξN −1 ) und daher

∂h ∂ξN

=0 . T,p,ξK

Man kann daher die Summe statt von K = 1 bis K = N − 1 auch von K = 1 bis K = N laufen lassen, da das letzte Glied mit K = N null wird.

Anhang A: Erg¨ anzungen

721

A.7 Berechnung der Konstanten an des Graetz-Nußelt-Problems (3.243) Multiplikation von (3.244) mit ψm (r+ ) (1 − r+2 ) r+ und Integration zwischen den Grenzen r+ = 0 und r+ = 1 ergibt 1 ψm (1 − r+2 ) r+ dr+ =

∞ n=0

0

1 ψm ψn (1 − r+2 ) r+ dr+ .

an 0

Auf der rechten Seite verschwinden alle Integrale, wenn m = n ist, so dass sich (3.245) ergibt. Um zu zeigen, dass dies zutriﬀt, schreiben wir (3.242) f¨ ur die Eigenwerte βm und βn an: d 2 (r+ ψm ) = −βm (1 − r+2 ) r+ ψm dr+ d (r+ ψn ) = −βn2 (1 − r+2 ) r+ ψn . dr+ Multiplikation der ersten Gleichung mit ψn und der zweiten Gleichung mit ψm ergibt d 2 ψn + (r+ ψm ) = −βm (1 − r+2 ) r+ ψm ψn dr d (r+ ψn ) = −βn2 (1 − r+2 ) r+ ψn ψm , dr+ wof¨ ur man auch schreiben kann ψm

d 2 (r+ ψn ψm ) − r+ ψn ψm = −βm (1 − r+2 ) r+ ψm ψn dr+ d (r+ ψn ψm ) − r+ ψn ψm = −βn2 (1 − r+2 ) r+ ψn ψm . dr+ Subtraktion beider Gleichungen und Integration zwischen den Grenzen r+ = 0 und r+ = 1 ergibt

r

+

(ψn ψm

−

ψn

1 +1 + 2 2 ψm )+ = (βn − βm ) ψm ψn (1 − r+2 ) r+ dr+ . 0

0 Wegen ψm (r+ = 1) = ψn (r+ = 1) = 0 und ψm (r+ = 0) = ψn (r+ = 0) = 0 verschwindet die linke Seite. Daher muss das Integral auf der rechten Seite ebenfalls verschwinden, wenn n = m ist.

Anhang B: Stoﬀwerte

Tabelle B.1: Stoﬀwerte von Luft beim Druck p = 1 bar ϑ

cp β λ ν a kg/m3 kJ/kg K 10−3 /K 10−3 W/K m 10−7 m2 /s 10−7 m2 /s

−200 −180 −160 −140 −120

5,106 3,851 3,126 2,639 2,287

1,186 17,24 1,071 11,83 1,036 9,293 1,010 7,726 1,014 6,657

6,886 8,775 10,64 12,47 14,26

−100 −80 −60 −40 −20

2,019 1,807 1,636 1,495 1,377

1,011 1,009 1,007 1,007 1,007

5,852 5,227 4,725 4,313 3,968

16,02 17,74 19,41 21,04 22,63

0 20 40 80 100

1,275 1,188 1,112 0,9859 0,9329

1,006 1,007 1,007 1,010 1,012

3,674 3,421 3,200 2,836 2,683

120 140 160 180 200

0,8854 0,8425 0,8036 0,7681 0,7356

1,014 1,016 1,019 1,022 1,026

300 400 500 600 700

0,6072 0,5170 0,4502 0,3986 0,3576

1,046 1,069 1,093 1,116 1,137

800 0,3243 1,155 900 0,2967 1,171 1000 0,2734 1,185

9,786 17,20 25,58 35,22 46,14

Pr —

11,37 21,27 32,86 46,77 61,50

0,8606 0,8086 0,7784 0,7530 0,7502

58,29 71,59 85,98 101,4 117,8

78,51 97,30 117,8 139,7 163,3

0,7423 0,7357 0,7301 0,7258 0,7215

24,18 25,69 27,16 30,01 31,39

135,2 153,5 172,6 213,5 235,1

188,3 214,7 242,4 301,4 332,6

0,7179 0,7148 0,7122 0,7083 0,7070

2,546 2,422 2,310 2,208 2,115

32,75 34,08 35,39 36,68 37,95

257,5 280,7 304,6 329,3 354,7

364,8 398,0 432,1 467,1 503,0

0,7060 0,7054 0,7050 0,7049 0,7051

1,745 1,486 1,293 1,145 1,027

44,09 49,96 55,64 61,14 66,46

491,8 645,1 813,5 996,3 1193

694,3 903,8 1131 1375 1635

0,7083 0,7137 0,7194 0,7247 0,7295

0,9317 0,8523 0,7853

71,54 76,33 80,77

1402 1624 1859

1910 2197 2492

0,7342 0,7395 0,7458

724

Anhang B: Stoﬀwerte Tabelle B.2: Stoﬀwerte von Wasser beim Druck p = 1 bar Wasser ﬂ¨ ussig ϑ

cp β λ ν a kg/m3 kJ/kg K 10−3 /K 10−3 W/K m 10−6 m2 /s 10−6 m2 /s

Pr —

0 5 10 15 20

999,84 999,97 999,70 999,10 998,21

4,218 −0,0672 4,203 0,0162 4,192 0,0879 4,185 0,1507 4,181 0,2067

561,0 570,5 580,0 589,3 598,4

1,793 1,519 1,307 1,139 1,004

0,1330 0,1358 0,1384 0,1409 0,1434

13,48 11,19 9,443 8,082 7,001

25 30 35 40 45

997,05 995,65 994,03 992,22 990,21

4,179 4,177 4,177 4,177 4,178

0,2572 0,3034 0,3459 0,3855 0,4226

607,2 615,5 623,3 630,6 637,3

0,893 0,801 0,724 0,658 0,602

0,1457 0,1480 0,1501 0,1521 0,1540

6,128 5,414 4,823 4,328 3,909

50 55 60 65 70

988,04 985,69 983,20 980,55 977,77

4,180 4,182 4,184 4,187 4,190

0,4578 0,4912 0,5232 0,5541 0,5840

643,6 649,2 654,4 659,0 663,1

0,554 0,512 0,475 0,442 0,413

0,1558 0,1575 0,1591 0,1605 0,1619

3,553 3,248 2,983 2,754 2,553

75 80 85 90 95

974,84 971,79 968,61 965,31 961,89

4,193 4,197 4,201 4,206 4,211

0,6130 0,6414 0,6693 0,6967 0,7238

666,8 670,0 672,8 675,2 677,3

0,388 0,365 0,344 0,326 0,309

0,1631 0,1643 0,1653 0,1663 0,1672

2,376 2,221 2,082 1,959 1,849

99,63a 958,61 4,216

0,7487

678,9

0,295

0,1680

1,757

a

S¨ attigungszustand Wasser gasf¨ ormig (Wasserdampf) ϑ

cp β λ ν a kg/m3 kJ/kg K 10−3 /K 10−3 W/K m 10−6 m2 /s 10−6 m2 /s

Pr —

100 150 200 250 300

0,5896 0,5164 0,4604 0,4156 0,3790

2,042 1,980 1,975 1,990 2,013

2,881 2,452 2,160 1,938 1,761

25,08 28,85 33,28 38,17 43,42

20,81 27,46 35,14 43,83 53,54

20,83 28,22 36,60 46,15 56,92

0,9990 0,9733 0,9600 0,9497 0,9406

350 400 450 500 600

0,3483 0,3223 0,2999 0,2805 0,2483

2,040 2,070 2,102 2,135 2,203

1,616 1,493 1,388 1,297 1,147

48,96 54,76 60,77 66,97 79,89

64,22 75,86 88,42 101,9 131,4

68,90 82,07 96,40 111,9 146,1

0,9321 0,9243 0,9172 0,9107 0,8993

700 800 900 1000

0,2227 0,2019 0,1847 0,1702

2,273 2,343 2,412 2,478

1,029 0,9327 0,8530 0,7859

93,37 107,3 121,7 163,3

164,1 199,9 238,6 280,0

184,2 226,8 273,0 323,2

0,8899 0,8816 0,8739 0,8665

Anhang B: Stoﬀwerte

725

Tabelle B.3: Stoﬀwerte von Wasser im S¨ attigungszustand vom Tripelpunkt bis zum kritischen Punkt ϑ

p bar

kg/m3

cp cp kJ/kg K

β β 10−3 /K

Δhv kJ/kg

0,01 10 20 30 40

0,006117 0,012281 0,023388 0,042455 0,073814

999,78 999,69 998,19 995,61 992,17

0,004855 0,009404 0,01731 0,03040 0,05121

4,229 4,188 4,183 4,183 4,182

1,868 −0,08044 3,672 2500,5 1,882 0,08720 3,548 2476,9 1,882 0,2089 3,435 2453,3 1,892 0,3050 3,332 2429,7 1,904 0,3859 3,240 2405,9

50 60 70 80 90

0,12344 0,19932 0,31176 0,47373 0,70117

987,99 983,16 977,75 971,79 965,33

0,08308 0,13030 0,19823 0,29336 0,42343

4,182 4,183 4,187 4,194 4,204

1,919 1,937 1,958 1,983 2,011

0,4572 0,5222 0,5827 0,6403 0,6958

3,156 3,083 3,018 2,964 2,919

2381,9 2357,6 2333,1 2308,1 2282,7

100 110 120 130 140

1,0132 1,4324 1,9848 2,7002 3,6119

958,39 951,00 943,16 934,88 926,18

0,59750 0,82601 1,1208 1,4954 1,9647

4,217 4,232 4,249 4,267 4,288

2,044 2,082 2,126 2,176 2,233

0,7501 0,8038 0,8576 0,9123 0,9683

2,884 2,860 2,846 2,844 2,855

2256,7 2229,9 2202,4 2174,0 2144,6

150 160 170 180 190

4,7572 6,1766 7,9147 10,019 12,542

917,06 907,50 897,51 887,06 876,15

2,5454 3,2564 4,1181 5,1539 6,3896

4,312 4,339 4,369 4,403 4,443

2,299 2,374 2,460 2,558 2,670

1,026 1,087 1,152 1,221 1,296

2,878 2,916 2,969 3,039 3,128

2114,1 2082,3 2049,2 2014,5 1978,2

4,489 2,797 1,377 4,857 3,772 1,955 5,746 5,981 3,273 10,13 16,11 10,37

3,238 4,245 7,010 22,12

1940,1 1715,4 1404,7 893,03

∞

0

200 250 300 350

15,536 39,736 85,838 165,21

373,946 220,64

864,74 7,8542 799,07 19,956 712,41 46,154 574,69 113,48 322,00 322,00

∞

∞

∞

726

Anhang B: Stoﬀwerte Tabelle B.3: (Fortsetzung) ϑ

λ λ 10−3 W/K m

ν ν 10−6 m2 /s

a a 10−6 m2 /s

P r

P r

σ 10−3 N/m

13,51 9,434 7,005 5,422 4,333

1,008 1,006 1,004 1,003 1,002

75,65 74,22 72,74 71,20 69,60

3,555 2,983 2,551 2,219 1,958

1,001 1,000 0,9992 0,9989 0,9989

67,95 66,24 64,49 62,68 60,82

—

0,01 10 20 30 40

561,0 580,0 598,4 615,4 630,5

17,07 17,62 18,23 18,89 19,60

1,792 1898,0 1,307 1006,0 1,004 562,0 0,8012 329,3 0,6584 201,3

0,1327 1883,0 0,1385 999,8 0,1433 559,6 0,1478 328,3 0,1519 200,9

50 60 70 80 90

643,5 654,3 663,1 670,0 675,3

20,36 21,18 22,07 23,01 24,02

0,5537 127,8 0,4746 83,91 0,4132 56,80 0,3648 39,51 0,3258 28,17

0,1558 0,1591 0,1620 0,1644 0,1664

100 110 120 130 140

679,1 681,7 683,2 683,7 683,3

25,09 26,24 27,46 28,76 30,14

0,2941 0,2680 0,2462 0,2278 0,2123

20,53 15,27 11,56 8,894 6,946

0,1680 0,1694 0,1705 0,1714 0,1720

20,55 15,26 11,53 8,840 6,869

1,750 1,582 1,444 1,329 1,234

0,9994 1,001 1,003 1,006 1,011

58,92 56,97 54,97 52,94 50,86

150 160 170 180 190

682,1 680,0 677,1 673,4 668,8

31,59 33,12 34,74 36,44 38,23

0,1991 0,1877 0,1779 0,1693 0,1619

5,496 4,402 3,565 2,915 2,405

0,1725 0,1727 0,1727 0,1724 0,1718

5,399 4,285 3,430 2,764 2,241

1,154 1,087 1,030 0,9822 0,9423

1,018 1,027 1,039 1,055 1,073

48,75 46,60 44,41 42,20 39,95

200 250 300 350

663,4 621,4 547,7 447,6

40,10 51,23 69,49 134,6

0,1554 0,1329 0,1207 0,1146

2,001 0,8766 0,4257 0,2098

0,1709 0,1601 0,1338 0,07692

0,825 0,6804 0,2517 0,07365

0,9093 0,8299 0,9018 1,490

1,096 1,288 1,691 2,849

37,68 26,05 14,37 3,675

0,1341

0,1341

0

∞

∞

0

373,946 141,9 141,9

127,7 83,92 56,85 39,56 28,20

0

Anhang B: Stoﬀwerte Tabelle B.4: Stoﬀwerte von Ammoniak beim Druck p = 1 bar

ϑ

cp β λ ν a kg/m3 kJ/kg K 10−3 /K 10−3 W/K m 10−7 m2 /s 10−7 m2 /s

−50 702,1 −40 690,1

4,434 4,441

1,685 1,763

0,8645 2,309 0,8266 2,242 0,7925 2,202

4,638 4,342 4,100

17,84 18,94 20,06

93,35 101,9 110,8

89,37 102,2 115,0

1,045 0,9973 0,9637

0 10 20 30 40

0,7615 0,7330 0,7068 0,6826 0,6600

2,178 2,165 2,160 2,161 2,166

3,896 3,719 3,563 3,423 3,297

21,22 22,39 23,59 24,80 26,04

120,1 129,8 139,9 150,4 161,3

127,9 141,1 154,4 168,1 182,1

0,9390 0,9203 0,9060 0,8947 0,8858

50 60 70 80 90

0,6390 0,6193 0,6009 0,5835 0,5672

2,174 2,185 2,197 2,210 2,225

3,181 3,075 2,977 2,886 2,801

27,29 28,56 29,84 31,13 32,44

172,6 184,2 196,3 208,7 221,5

196,4 211,1 226,0 241,4 257,1

0,8786 0,8729 0,8683 0,8647 0,8618

100 110 120 130 140

0,5517 0,5371 0,5233 0,5101 0,4976

2,241 2,257 2,274 2,291 2,309

2,721 2,646 2,576 2,509 2,446

33,76 35,09 36,43 37,79 39,15

234,7 248,3 262,2 276,6 291,3

273,1 289,5 306,2 323,3 340,7

0,8595 0,8578 0,8565 0,8555 0,8549

150 200 250 300

0,4858 0,4340 0,3923 0,3580

2,328 2,422 2,518 2,612

2,386 2,127 1,921 1,751

40,53 47,59 54,93 62,54

306,3 387,1 477,0 576,0

358,4 452,6 556,0 668,9

0,8546 0,8553 0,8579 0,8611

−30 −20 −10

— 601,9

— 4,093

Pr —

— — 1,964 2,084

727

728

Anhang B: Stoﬀwerte Tabelle B.5: Stoﬀwerte von Kohlendioxid beim Druck p = 1 bar

ϑ

cp β λ ν a kg/m3 kJ/kg K 10−3 /K 10−3 W/K m 10−7 m2 /s 10−7 m2 /s

Pr —

−50 −40 −30 −20 −10

2,403 2,296 2,198 2,109 2,027

0,7825 0,7903 0,7988 0,8078 0,8172

4,682 4,453 4,248 4,063 3,896

11,10 11,77 12,45 13,17 13,90

46,69 51,05 55,60 60,32 65,21

59,05 64,85 70,92 77,28 83,94

0,7907 0,7873 0,7839 0,7805 0,7769

0 10 20 30 40

1,951 1,880 1,815 1,754 1,697

0,8267 0,8363 0,8459 0,8555 0,8650

3,742 3,601 3,471 3,351 3,239

14,66 15,43 16,22 17,03 17,84

70,28 75,51 80,92 86,49 92,22

90,89 98,13 105,7 113,5 121,5

0,7732 0,7695 0,7659 0,7623 0,7589

50 60 70 80 90

1,644 1,594 1,547 1,503 1,461

0,8744 0,8837 0,8929 0,9018 0,9107

3,134 3,037 2,945 2,859 2,778

18,67 19,50 20,34 21,18 22,03

98,12 104,2 110,4 116,8 123,3

129,8 138,4 147,2 156,3 165,5

0,7557 0,7526 0,7498 0,7471 0,7447

100 120 140 160 180

1,422 1,349 1,283 1,224 1,169

0,9193 0,9361 0,9523 0,9678 0,9827

2,702 2,561 2,435 2,321 2,217

22,87 24,57 26,27 27,96 29,64

129,9 143,7 158,1 173,0 188,4

175,0 194,6 215,0 236,1 257,9

0,7425 0,7386 0,7353 0,7327 0,7306

200 300 400 500

1,120 0,9238 0,7864 0,6846

0,9971 1,061 1,114 1,159

2,122 1,749 1,488 1,294

31,31 39,47 47,26 54,70

204,4 291,8 390,6 499,5

280,5 402,6 539,4 689,7

0,7289 0,7248 0,7242 0,7242

600 700 800 900

0,6061 0,5438 0,4931 0,4511

1,196 1,227 1,253 1,275

1,146 1,028 0,9320 0,8525

61,84 68,69 75,30 81,69

617,7 744,3 878,9 1021

853,2 1030 1219 1420

0,7239 0,7229 0,7212 0,7189

Anhang B: Stoﬀwerte Tabelle B.6: Stoﬀwerte von Stickstoﬀ beim Druck p = 1 bar

ϑ

kg/m3

cp β λ ν a kJ/kg K 10−3 /K 10−3 W/K m 10−7 m2 /s 10−7 m2 /s

Pr —

−210 867,9 −200 827,4

1,951 2,053

−190 −180 −160 −120

4,195 3,707 3,019 2,212

1,102 13,31 1,081 11,53 1,061 9,199 1,048 6,643

8,061 9,108 11,13 14,86

13,04 16,73 25,19 46,06

17,44 22,74 34,75 64,11

0,7477 0,7357 0,7248 0,7184

−100 −90 −80 −70 −60

1,953 1,845 1,749 1,662 1,583

1,045 1,044 1,044 1,043 1,043

5,847 5,518 5,224 4,961 4,724

16,59 17,43 18,24 19,04 19,83

58,30 64,83 71,63 78,69 86,01

81,27 90,42 99,95 109,8 120,1

0,7173 0,7170 0,7167 0,7165 0,7163

−50 −40 −30 −20 −10

1,512 1,447 1,387 1,332 1,281

1,042 1,042 1,042 1,042 1,041

4,508 4,312 4,132 3,967 3,814

20,59 21,35 22,09 22,81 23,53

93,58 101,4 109,4 117,7 126,2

130,7 141,6 152,8 164,4 176,3

0,7162 0,7160 0,7159 0,7159 0,7158

0 10 20 30 40

1,234 1,190 1,150 1,112 1,076

1,041 1,041 1,041 1,041 1,041

3,673 3,542 3,420 3,307 3,200

24,23 24,92 25,60 26,27 26,93

134,9 143,9 153,1 162,4 172,0

188,5 201,0 213,8 227,0 240,3

0,7158 0,7157 0,7157 0,7157 0,7157

50 60 70 80 90

1,043 1,011 0,9818 0,9539 0,9276

1,042 1,042 1,042 1,042 1,043

3,101 3,007 2,918 2,836 2,757

27,59 28,23 28,87 29,50 30,13

181,8 191,8 202,0 212,4 223,0

254,0 268,0 282,2 296,7 311,5

0,7157 0,7158 0,7158 0,7159 0,7159

100 120 140 160 180

0,9027 0,8568 0,8153 0,7776 0,7433

1,043 1,044 1,046 1,048 1,050

2,683 2,546 2,422 2,310 2,208

30,75 31,97 33,18 34,37 35,55

233,8 255,9 278,8 302,4 326,8

326,5 357,3 389,1 421,9 455,6

0,7160 0,7162 0,7165 0,7168 0,7172

200 300 400 500 600

0,7118 0,5876 0,5003 0,4356 0,3857

1,053 1,070 1,092 1,116 1,140

2,114 1,745 1,485 1,293 1,145

36,72 42,47 48,12 53,68 59,13

351,8 487,1 638,4 804,8 985,6

490,2 675,8 880,9 1104 1345

0,7177 0,7208 0,7247 0,7288 0,7327

700 800

0,3461 0,3139

1,162 1,182

1,027 0,9316

64,45 69,63

1603 1887

0,7363 0,7394

4,287 5,270

176,4 156,9

2,497 1,957

1180 1388

1,04 2,386 0,9238 2,118

729

730

Anhang B: Stoﬀwerte Tabelle B.7: Stoﬀwerte von Sauerstoﬀ beim Druck p = 1 bar

ϑ

cp β λ ν a Pr kg/m3 kJ/kg K 10−3 /K W/K m 10−7 m2 /s 10−7 m2 /s —

−210 1268 −200 1223 −190 1176

1,676 1,678 1,685

3,58 3,84 4,06

0,192 0,177 0,162

−180 −160 −140 −120

4,254 3,458 2,921 2,930

0,9474 0,9304 0,9237 0,9192

11,7 9,24 7,77 6,67

0,0860 0,0106 0,0126 0,0144

16,0 24,4 34,3 39,3

21,3 32,9 46,7 53,5

0,75 0,74 0,73 0,73

−100 −90 −80 −70 −60

2,233 2,110 1,999 1,900 1,810

0,9164 0,9154 0,9149 0,9146 0,9143

5,86 5,53 5,23 4,97 4,73

0,0162 0,0171 0,0179 0,0188 0,0196

57,9 64,5 71,5 78,8 86,2

79,2 88,5 97,9 107 118

0,73 0,73 0,73 0,73 0,73

−50 −40 −30 −20 −10

1,728 1,653 1,585 1,522 1,464

0,9141 0,9143 0,9147 0,9152 0,9159

4,50 4,31 4,13 3,98 3,82

0,0204 0,0211 0,0219 0,0227 0,0234

94,0 102 110 119 127

129 140 151 163 175

0,73 0,73 0,73 0,73 0,73

0 10 20 25

1,410 1,360 1,314 1,292

0,9167 0,9177 0,9189 0,9195

3,67 3,54 3,43 3,38

0,0242 0,0249 0,0257 0,0260

136 146 155 160

187 200 213 219

0,73 0,73 0,73 0,73

3,34 2,57 1,90

0,903 3,70 0,862 2,98 0,818 2,32

Anhang B: Stoﬀwerte Tabelle B.8: Stoﬀwerte von Helium beim Druck p = 1,01325 bar = 1 atm

T K 4,222 5 6 8 10

cp β λ ν a kg/m3 kJ/kg K 10−3 /K 10−3 W/K m 10−7 m2 /s 10−7 m2 /s 16,84 11,98 9,164 6,433 5,016

9,144 6,770 6,025 5,581 5,429

628,8 329,2 223,2 143,9 108,5

9,038 9,537 11,17 13,97 16,38

0,7375 1,022 1,564 2,779 4,181

0,5869 1,179 2,023 3,891 6,015

Pr — 1,26 0,867 0,773 0,714 0,695

20 40 60 80 100

2,440 1,216 0,8112 0,5952 0,4871

5,251 5,206 5,198 5,196 5,196

50,65 25,00 16,64 12,20 9,986

26,15 41,07 53,43 64,45 74,53

13,70 43,19 84,22 135,2 195,6

20,41 64,88 126,7 203,7 294,5

0,671 0,666 0,665 0,665 0,665

120 140 160 180 200

0,4060 0,3481 0,3046 0,2708 0,2437

5,194 5,194 5,193 5,193 5,193

8,323 7,135 6,244 5,506 4,996

84,09 93,47 101,8 110,7 118,2

265,0 342,4 428,1 521,0 621,3

398,8 517,0 643,6 783,6 934,0

0,665 0,665 0,665 0,665 0,665

220 240 260 280 300

0,2216 0,2031 0,1875 0,1741 0,1625

5,193 5,193 5,193 5,193 5,193

4,543 4,164 3,844 3,569 3,332

126,1 133,8 141,2 148,5 155,7

728,3 842,9 964,3 1092 1226

1096 1269 1450 1643 1845

0,665 0,665 0,665 0,665 0,655

350 400 500 600 700

0,1393 0,1219 0,09753 0,08128 0,06967

5,193 5,193 5,193 5,193 5,193

2,856 2,499 1,999 1,666 1,428

173,0 189,6 221,3 251,3 280,1

1589 1991 2904 3958 5147

2392 2995 4365 5954 7742

0,655 0,655 0,655 0,655 0,655

800 900 1000 1100 1200

0,06096 0,05419 0,04877 0,04434 0,04065

5,193 5,193 5,193 5,193 5,193

1,250 1,111 1,000 0,9090 0,8333

307,9 334,9 361,1 386,7 411,9

6467 7911 9479 11170 12910

9726 11900 14260 16790 19510

0,665 0,665 0,665 0,665 0,665

1300 0,03752 5,193 1400 0,03484 5,193 1500 0,03252 5,193

0,7692 0,7142 0,6666

436,5 460,8 484,7

14890 16940 19090

22400 25470 28700

0,665 0,665 0,665

731

732

Anhang B: Stoﬀwerte Tabelle B.9: Diﬀusionskoeﬃzienten beim Druck p = 1,01325 bar = 1 atm a) Gase

Die Druck- und Temperaturabh¨ angigkeit im idealen Gaszustand kann man absch¨ atzen aus D ∼ T 1,75 /p. Stoﬀe

N2 – CO2

N2 – CH4

N2 – C2 H6

N2 – SF6

ϑ

D 10−4 m2 /s

D 10−4 m2 /s

D 10−4 m2 /s

D 10−4 m2 /s

0 20 40 60 80

0,1391 0,1583 0,1785 0,1997 0,2217

0,1955 0,2219 0,2495 0,2784 0,3084

0,1302 0,1481 0,1669 0,1865 0,2069

0,0869 0,0987 0,1110 0,1239 0,1373

100 200 300 400 500

0,2446 0,3714 0,5175 0,6814 0,8621

0,3396 0,5122 0,7106 0,9331 1,1785

0,2281 0,3455 0,4806 0,6322 0,7993

0,1512 0,2281 0,3166 0,4159 0,5254

Stoﬀe Luft – CO2 Luft – C2 H5 OH Luft – He Luft – H2 O CO2 – H2 O He – H2 O H2 – H2 O CH4 – H2 O

T K

D 10−4 m2 /s

276 317 313 276 313 307 352 307 352

0,144 0,179 0,147 0,632 0,292 0,201 1,136 0,927 0,361

T K

D 10−9 m2 /s

275 333 298 288 288 298 298 298

0,85 3,55 2,00 1,26 1,0 2,4 2,6 6,3

b) verd¨ unnte w¨ assrige L¨ osungen Stoﬀe CH4 – H2 O CO2 – H2 O CH3 OH – H2 O C2 H5 OH – H2 O O2 – H2 O N2 – H2 O H2 – H2 O

Anhang B: Stoﬀwerte Tabelle B.10: bei 20 Stoﬀ

733

Thermophysikalische Eigenschaften nichtmetallischer Festk¨ orper

c 103 kg/m3 kJ/kg K

Acrylglas (Plexiglas) 1,18 Asphalt 2,12 Bakelit 1,27 Beton 2,1 Eis (0 ) 0,917 Erdreich, grobkiesig 2,04 Sandboden, trocken 1,65 Sandboden, feucht 1,75 Tonboden 1,45 Fett 0,91 Glas, Fenster2,48 Spiegel2,70 Quarz2,21 Thermometer2,58 Gips 1,00 Granit 2,75 Korkplatten 0,19 Marmor 2,6 M¨ ortel 1,9 Papier 0,7 Polyethylen 0,92 Polyamide 1,13 Polytetraﬂuorethylen (Teﬂon) 2,20 PVC 1,38 Porzellan (95 ) 2,40 Steinkohle 1,35 Tannenholz (radial) 0,415 Verputz 1,69 Zelluloid 1,38 Ziegelstein 1,6 . . . 1,8

1,44 0,92 1,59 0,88 2,04 1,84 0,80 1,00 0,88 1,93 0,70 0,80 0,73 0,78 1,09 0,89 1,88 0,80 0,80 1,20 2,30 2,30 1,04 0,96 1,08 1,26 2,72 0,80 1,67 0,84

λ W/K m

a 10−6 m2 /s

0,184 0,70 0,233 1,0 2,25 0,52 0,27 0,58 1,28 0,16 0,87 0,76 1,40 0,97 0,51 2,9 0,041 2,8 0,93 0,12 0,35 0,29

0,108 0,36 0,115 0,54 1,203 0,14 0,20 0,33 1,00 0,091 0,50 0,35 0,87 0,48 0,47 1,18 0,115 1,35 0,61 0,14 0,17 0,11

0,23 0,10 0,15 0,11 1,03 0,40 0,26 0,15 0,14 0,12 0,79 0,58 0,23 0,10 0,38 . . . 0,52 0,28 . . . 0,34

734

Anhang B: Stoﬀwerte

Tabelle B.11: Thermophysikalische Eigenschaften von Metallen und Legierungen bei 20 Stoﬀ

c

λ

a

103 kg/m3 kJ/kg K W/K m 10−6 m2 /s Metalle Aluminium Blei Chrom Eisen Gold Iridium Kupfer Magnesium Mangan Molybd¨ an Natrium Nickel Platin Rhodium Silber Titan Uran Wolfram Zink Zinn, weiß Zirkon Legierungen Bronze (84 Cu, 9 Zn, 6 Sn, 1 Pb) Duraluminium Gusseisen Kohlenstoﬀstahl (< 0,4 % C) Cr-Ni-Stahl (X12 CrNi 18,8) Cr-Stahl (X8 Cr17)

2,70 1,34 6,92 7,86 19,26 22,42 8,93 1,74 7,42 10,2 9,71 8,85 21,37 12,44 10,5 4,5 18,7 19,0 7,10 7,29 6,45

8,8 2,7 7,8 7,85 7,8 7,7

0,888 0,129 0,440 0,452 0,129 0,130 0,382 1,020 0,473 0,251 1,220 0,448 0,133 0,248 0,235 0,522 0,175 0,134 0,387 0,225 0,290

237 35 91 81 316 147 399 156 21 138 133 91 71 150 427 22 28 173 121 67 23

98,8 23,9 29,9 22,8 127,2 50,4 117,0 87,9 6,0 53,9 11,2 23,0 25,0 48,6 173,0 9,4 8,6 67,9 44,0 40,8 12,3

0,377 62 18,7 0,912 165 67,0 0,54 42 . . . 50 10 . . . 12 0,465 45 . . . 55 12 . . . 15 0,50 15 3,8 0,46 25 7,1

Anhang B: Stoﬀwerte

735

Tabelle B.12: Emissionsgrade nichtmetallischer Oberﬂ¨ achen. εn Gesamtemissionsgrad in Richtung der Fl¨ achennormale, ε hemisph¨ arischer Gesamtemissionsgrad

Stoﬀ

ϑ/

εn

Acrylglas (Plexiglas) 20 . . . 60 0,97 Beton, rauh 0 . . . 93 Buchenholz 70 0,94 Dachpappe 20 0,91 Eichenholz, gehobelt 0 . . . 93 Eis, glatt, Dicke > 4 mm −9,6 0,965 Emaillelack, weiß 20 0,91 Fliesen, hellgrau 25 0,92 Fußbodenbelag (Fa. Pegulan) 20 . . . 60 0,94 Gummi 20 0,92 Kachel, weiß 25 0,93 Kohle 150 0,81 Kork 25 0,80 Lack, schwarz, gl¨ anzend 25 0,88 Marmor, poliert 0 . . . 93 ¨ Olfarbe, 16 Sorten unterschiedlicher Farben 100 0,92 . . . 0,96 ¨ dicke Schicht Ol, 21 0,82 Papier, weiß, matt 95 0,92 Putz 0 . . . 200 Polytetraﬂuorethylen (Teﬂon) 20 . . . 100 0,97 Pyrex-Glas −170 . . . 430 0,85 Reifbelag, rauh 0 0,985 Sand 20 0,76 Schamotte 1000 0,75 Schmirgel (Korund), rauh 84 0,855 Tafelglas, 6 mm dick −60 . . . 0 0,910 60 0,913 120 0,919 Wasser, Dicke > 0,1 mm 10 . . . 50 0,965 Ziegel, rot 0 . . . 93

ε 0,94 0,91 0,90 0,918

0,90

0,89 0,91

0,842

0,91 0,93

736

Anhang B: Stoﬀwerte

Tabelle B.13: Emissionsgrade von Metall-Oberﬂ¨ achen. εn Gesamtemissionsgrad in Richtung der Fl¨ achennormale, ε hemisph¨ arischer Gesamtemissionsgrad. Bei Angaben f¨ ur ein Temperaturintervall darf zwischen den angegebenen Werten der Emissionsgrade linear interpoliert werden.

Stoﬀ Aluminium, poliert rauh walzblank handels¨ ubliche Folie oxidiert bei 600 stark oxidiert Blei, nicht oxidiert grau oxidiert Chrom, poliert bei Rotglut oxidiert Eisen, poliert oxidiert blank geschmirgelt blank ge¨ atzt Gusshaut angerostet stark verrostet Gold, poliert oxidiert Kupfer, poliert oxidiert stark oxidiert

ϑ/

20 75 170 100 200 . . . 600 100 . . . 500 127 . . . 227 20 150 400 . . . 800 −73 . . . 727 −73 . . . 727 25 150 100 25 20 227 . . . 627 −173 . . . 827 327 . . . 727 130 25 327 427 527 . . . 727 Magnesium, walzblank 118 Messing, poliert 25 matt 50 . . . 350 oxidiert 200 . . . 600 Nickel, poliert 100 127 . . . 1127 127 . . . 727 oxidiert 227 . . . 627 Platin, poliert 127 . . . 1127 127 . . . 1527 Platindraht 227 . . . 1377 Quecksilber, nicht oxidiert 25 . . . 100

εn

ε

0,045 0,055 . . . 0,07 0,039 0,049 0,09 0,11 . . . 0,19 0,32 . . . 0,31 0,06 . . . 0,08 0,28 0,058 0,11 . . . 0,32 0,04 . . . 0,19 0,06 . . . 0,25 0,32 . . . 0,60 0,24 0,128 0,158 0,80 0,61 0,85 0,020 . . . 0,035 0,013 . . . 0,070 0,012 . . . 0,019 0,76 0,725 0,78 0,83 0,89 0,91 . . . 0,92 0,048 0,053 0,038 . . . 0,043 0,22 0,60 0,045 0,053 0,07 . . . 0,19 0,09 . . . 0,15 0,37 . . . 0,47 0,05 . . . 0,16 0,07 . . . 0,21 0,07 . . . 0,18 0,10 . . . 0,12

Anhang B: Stoﬀwerte Tabelle B.13: (Fortsetzung)

Stoﬀ Silber, poliert

ϑ/

εn

ε

127 . . . 527 0,020 . . . 0,030 127 . . . 927 0,020 . . . 0,047

Stahl, Werkstoﬀ-Nr. DIN 1.4301=AISI 304 poliert 50 . . . 200 gesandstrahlt, Ra = 2,1 μm −50 . . . 200 Wismut, blank 80 Wolfram, gealtert 1327 . . . 2427 Zink, poliert 227 . . . 327 grau oxidiert 25 Zinn, gl¨ anzend 25

0,111 . . . 0,132 0,446 . . . 0,488 0,340 0,04 . . . 0,05 0,23 . . . 0,25 0,064

0,366 0,20 . . . 0,31

737

Anhang C: Lo ¨sungen der Aufgaben

Kapitel 1: Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen 1.1: Q˙ = 484 W; f¨ ur die Gasbetonsteine Q˙ = 270 W 1.3: Durch Diﬀerenzieren von q˙ = −λ(ϑ) dϑ/ dx folgt dλ d2 ϑ/ dx2 = −λ <0 . dϑ ( dϑ/ dx)2 λ nimmt mit steigender Temperatur ab. 1.4: Imax = 28,6 A 1.5: ϑW1 = 38,9 1.6: a) ϑmax = ϑ0 auf der Hypothenuse y = x; ϑmin = ϑ0 − ϑ1 bei x = l, y = 0. ϑ1 = ϑmax “− ϑmin . ” “ ” b) grad ϑ = 2ϑ1 − x ex + y ey , q˙ = 2λϑ1 x ex − y ey , l l l l l l r“ ” “ ” x 2 + y 2 ist am gr¨ ˙ = 2λϑ1 |q| oßten bei x = y = l. l l l c) y = 0 : Q˙ 1 = 0; x = l : Q˙ 2 = −2λhϑ1 ; y = x : Q˙ 3 = 2λhϑ1 = −Q˙ 2 . 1.7: α = 6241 W/m2 K 1.8: α = 5,0 W/m2 K 1.9: αW /αL = 578 1.10: ϑi = 552 , ϑa = 548 , αStr = 5,33 W/m2 K 1.11: q˙ = 72,7 W/m2 , ϑW1 = 12,6 , ϑW2 = −9,1 1.12: q˙ = 15,35 W/m2 , ϑW1 = 20,0 ˙ 1.13: Q/L = 618,2 W/m; ϑ3 = 224,6 liegt unter dem zul¨ assigen Wert von 250 . 1.14: ϑF = 17,0 ; t∗ = 3,16 h = 3 h 10 min. Diese Werte gelten unter der Annahme, dass eine der kreisf¨ ormigen Deckﬂ¨ achen (=Stellﬂ¨ ache) adiabat ist. + 1.15: ϑ+ 1 (z) := [ϑ1 (z) − ϑ2 ] / (ϑ1 − ϑ2 ); ϑ2 (z) := [ϑ2 (z) − ϑ2 ] / (ϑ1 − ϑ2 ); N z z =1−ε 1+N L L “ N “ z” z” ϑ+ 1− =ε 1− 2 (z) = 1+N L L h 1 − C1 ε 1 n z io + C = 1 : ϑ1 (z) = 1 − 1 − exp N1 (C1 − 1) L ˆ 1+ − C1 ˜ ϑ+ 2 (z) = C1 ϑ1 (z) + ε1 − 1 C = 1 : ϑ+ 1 (z) = 1 −

ε1 = ε1 (N1 , C1 ) ist nach Tabelle 1.4 zu berechnen.

740

Anhang C: L¨ osungen der Aufgaben

1.16: Gegenstrom: kA = 423 W/K; Kreuzstrom mit einer Rohrreihe: kA = 461 W/K, Kreuzgegenstrom mit zwei Rohrreihen nach Abb. 1.59: kA = 433 W/K. 1.17: Unter den genannten Voraussetzungen ist N˙ A = u jA 2πrL = −D∂cA /∂r2πrL = const und damit „ « dN˙ A ∂ ∂cA =0= Dr . dr ∂r ∂r Integration zwischen den Grenzen cA (r0 ) = cAW und cA (r0 + δ) = cAδ ergibt das Konzentrationsproﬁl cA − cAW ln r/r0 = . cAδ − cAW ln [(r0 + δ)/r0 ] Daraus ergibt sich durch Diﬀerentiation und Einsetzen in die Gl. f¨ ur N˙ A der angegebene Ausdruck. ˜ A = 1,773 · 10−4 kg/(m2 s). 1.18: a) n˙ A = 3,848 · 10−6 kmol/m2 s; m ˙ A = n˙ A M ˜ A A dt. b) W¨ ahrend der Zeit dt verdunstet eine Ethanolmenge m ˙ A A dt = n˙ A M Laut Aufgabenstellung l¨ asst sich der Diﬀusionsstrom aus dem der station¨ aren L¨ osung (1.174) berechnen, in der jetzt y1 = y(t) ist. Somit ist dt = −

L y2 − y(t) 1 dy = B [y2 − y(t)] dy . ˜ A pD/Rm T ln(pB2 /pB1 ) M

Integration und Einsetzen der Zahlenwerte ergibt t = 20,57 h. 1.19: In dem R¨ ohrchen herrscht ¨ aquimolare Gegendiﬀusion. Es folgt daher aus (1.176): N˙ A = −cDA∂ x ˜A /∂y. Da N˙ A konstant ist, stellt sich ein lineares Konzentrationsgef¨ alle u ange L der R¨ ohrchens ein. Somit gilt ¨ ber die L¨ x ˜Aa − x ˜Ae N˙ A = −cDA . L x ˜Aa = 1 ist der Molanteil des Ammoniaks in der Rohrleitung, x ˜Ae = 0 derjenige des Ammoniaks in der Luft. Daraus erh¨ alt man den Ammoniakverlust ˜ A N˙ A = 6,78 · 10−12 kg/s. Die durch N˙ A = 3,99 · 10−13 kmol/s, M˙ A = M die Rohrleitung str¨ omende Ammoniakmenge ist M˙ = 1,91 · 10−3 kg/s, und ˙ es ist N = 1,123 · 10−4 kmol/s. Die Luftmenge, die in das Ammoniak ge˜ B N˙ B = 1,16 · 10−11 langt ist N˙ B = −N˙ A = −3,99 · 10−13 kmol/s, M˙ B = M kg/s. Der Molanteil der Luft in der Rohrleitung ist extrem klein, n¨ amlich x ˜B = |N˙ B |/N˙ = 3,55 · 10−9 . 1.20: Es herrscht einseitiger Stoﬀ¨ ubergang. Nach (1.195) wird ˜ A n˙ A = M ˜A m ˙A=M

p 1−x ˜Aδ kg β ln = 3,59 · 10−5 2 . Rm T 1−x ˜A0 m s

Um mit (1.195a) zu rechnen, braucht man die Beladung XA = 1,530 · 10−2 ,

m ˙ A = 3,635 · 10−5 kg/m2 s .

1.21: Aus (1.210) und (1.203) ﬁndet man die L¨ osung durch Probieren mit Hilfe einer Wasserdampftafel zu ϑI = 2,56 . Es ist ps (2,56 ) = 7,346 mbar. 1.22: Wir setzen zun¨ achst kleine Einblaseraten voraus. Als tiefste Temperatur stellt sich die K¨ uhlgrenztemperatur ϑI ein. In (1.211) ist der Faktor

Anhang C: L¨ osungen der Aufgaben

741

˜ B cβm ˜ A cβm cpA M ˜B M M = = 1,097 · 10−3 mol K/J ˜ A cpA αm αm M Damit kann man (1.211), da XAδ = 0 ist, schreiben, (600 − ϑI )

= 1,097 · 10−3 · 2346 · 103 · XAI

.

Mit (1.203) ﬁndet man durch Probieren unter Benutzung einer Wasserdampftafel die K¨ uhlgrenztemperatur zu ϑI = 65,1 . Dieser Wert gen¨ ugt auch recht gut (1.206). Die zuzuf¨ uhrende Wassermenge folgt aus (1.209) zu m ˙ A = 2,27 · 10−2 kg/m2 s. 1.23: Die u ¨bergehende Benzolmenge ist ΔN˙ B = 11,88 kmol/h. Die Beladung des ˜ a = 0,216. Gases im Querschnitt e ist Y˜e = 2,5 · 10−3 . Nach (1.224) ist X

Kapitel 2: W¨ armeleitung und Diﬀusion 2.2: Bei x = 0 hat ϑ(x) eine horizontale Tangente. Die Tangente bei x = δ schneidet Waagerechte ϑ = ϑF im Punkt R mit der Abszisse xR = δ + λ/α = ` die −1 ´ 1 + Bi δ = 1,667 δ. Die Tangente an den Verlauf der bei ` Fluidtemperatur ´ x = δ schneidet die Linie ϑ = ϑF bei xF = δ +λF /α = 1 + N u−1 δ = 1,100 δ. 2 2.3: a) Die Platte erw¨ armt sich, weil ∂ 2 ϑ+ /∂x+ > 0 ist. + + b) xT = 1/2; (∂ ϑ/∂t) ˆ max = 4,40 K/s. c) x˜ min = 0,3778. d) B(t) = 0,850 exp −0,03454 s−1 (t − t0 ) . F¨ ur t → ∞ wird ϑ+ = x+ . ˙ R R/(m + 2); W ˙R=W ˙ 0 (1 + m/2). 2.4: a) q(R) ˙ =W 2 ˙ ˆ ˜ R W m+2 0 R b) Θ(r) = . c) Θmax /Θmax = 2/(m + 2). 2 1 − (r/R) λ (m + 2) 2.5: a) ϑ0 = 55,39 , ϑL = 37,39 . b) Q˙ 0 = 3,204 W, Q˙ L = 0,0622 W. c) Die Ergebnisse unterscheiden sich innerhalb der angegebenen Ziﬀern nicht. Die einfachere Rechnung mit dem Ersatzbolzen der L¨ ange LC ist sehr genau. 2.6: ηR = 0,603 2.7: a) 87 Rippen/m. Damit w¨ achst der W¨ armestrom um den Faktor 6,019. b) 1,40. ˙ 2.8: Q/L = 149 W/m 2.9: a) Q/A = 1027 kJ/m2 . b) ϑ = 50,6 2.10: Oberﬂ¨ achentemperatur: 73,1 ; in 10 cm Tiefe: 27,2 . 2.11: Oberﬂ¨ achentemperatur: 45,8 ; in 10 cm Tiefe: 24,3 . 2.12: a) Die Amplitude in 1 m Tiefe ist nur 3,7·10−4 K. b) H¨ ochste Temperatur 18,6 am 2. Oktober, niedrigste Temperatur 1,4 am 2. April. 2.13: a) α = 19,3 W/m2 K. b) Die Temperaturen der isolierten Oberﬂ¨ ache sind ϑ(t1 ) = 146,4 und ϑ(t2 ) = 112,3 . 2.14: a) ϑ = 37,5 . b) ϑm = 39,1 ; ϑOberﬂ. = 37,9 ; ϑMittelp. = 40,9 2.15: w = 0,206 m/s 2.16: t(s = 15mm) = 3,26 h; t(s = 20mm) = 3,57 h. 2.18: i = x/Δx 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (ϑ+ )6i ϑ+ (x, t∗ ) (ϑ+ )12 i ϑ+ (x, 2t∗ )

1,000 1,000 1,000 1,000

0,412 0,419 0,681 0,679

0,140 0,151 0,414 0,409

0,037 0,046 0,216 0,217

0,007 0,012 0,098 0,102

0,001 0,002 0,038 0,042

0,000 0,000 0,012 0,003 0,001 0,000 0,016 0,005 0,001 0,000

742

Anhang C: L¨ osungen der Aufgaben

2.19: a) M = 0,375; Bi∗ = 0,2087. Das Stabilit¨ atskriterium M≤

1 = 0,4137 2 (1 + Bi∗ )

ist erf¨ ullt. Temperaturverteilung zur Zeit t∗ = 15 min: ϑ15 ; ϑ15 1 = 80,0 2 = 15 15 15 63,9 ; ϑ15 = 50,7 ; ϑ = 40,8 ; ϑ = 34,9 ; ϑ = 30,8 . 3 4 5 6 b) Station¨ are Temperaturverteilung (t → ∞): ϑ∞ ; ϑ∞ ; 1 = 80,0 2 = 71,6 ∞ ∞ ∞ ∞ ϑ3 =`64,1 ; ϑ4 ´= 57,4 ; ϑ5 = 51,3 ; ϑ6 = 45,7 . + + 2.20: a) − 2 +` m2 Δx2 ϑ+ 1´ + ϑ2 + ϑ6 = 0, + + + 2 2 ϑ1 − `3 + m Δx ´ ϑ2 + ϑ3 + ϑ+ 7 = 0, + + + 2 2 ϑ+ 2 − `3 + m Δx ´ ϑ3 + ϑ4 + ϑ8 = 0, + + + 2 2 ϑ3 − `3 + m Δx ϑ4´ + ϑ5 + ϑ+ 9 = 0, 2 2 ϑ+ ϑ+ 4 − `1 + 0,5m Δx 5 = 0, ´ 2 2 + + + ϑ+ = 0, 1 − 3+m ` Δx 2 ϑ6 2+´ ϑ7+ + ϑ10 + + + ϑ2 + ϑ6 − `4 + m Δx ´ ϑ7 + ϑ+ 8 + ϑ11 = 0, + + + + 2 2 ϑ3 + ϑ7 − `4 + m Δx ϑ8´ + ϑ9 + ϑ+ 12 = 0, + ϑ+ + 0,5m2 Δx2 ϑ+ 4 + ϑ8 − 2 ` 9 = 0, ´ + 2 1,90384 ϑ+ + 0,56837m2 Δx ϑ10 + (4/3)ϑ+ 6 − 43,5992 11 = −40,35875, ` ´ + + + + 2 2 (4/3)ϑ7 + ϑ`10 − 6 + 0,92069m Δx ϑ + ϑ = −8/3 11 12 ´ + + 2 2 ϑ+ ϑ12 = 0. 8 + ϑ11 − 2 + 0,5m Δx + + + b) ϑ+ 1 = 0,54791; ϑ2 = 0,50806; ϑ3 = 0,44968; ϑ4 = 0,39775; + + + ϑ5 = 0,36828; ϑ6 = 0,67543; ϑ7 = 0,60786; ϑ+ 8 = 0,51519; + + + ϑ+ 9 = 0,43891; ϑ10 = 0,97859; ϑ11 = 0,83003; ϑ12 = 0,64674. ηR = 0,5756. N¨ aherung nach (2.81): ηR = 0,5758, nach (2.82):ηR = 0,5721. 2.21: Wir w¨ ahlen die ﬁniten Elemente wie in Abb. 2.59 mit dem Unterschied, dass die dimensionslosen Außentemperaturen ϑ+ = (ϑ − ϑU ) / (ϑi − ϑU ) nicht mehr null sind, sondern gem¨ aß Abb. 2.70 die Werte ϑ5 , . . . , ϑ10 annehmen. Die Tabelle 2.14 ist daher zu erg¨ anzen um die Tabelle C.1.

Tabelle C.1: Den Temperaturen ϑ+ j , j = 5, 6, . . . , 10 zugeordnete Dreiecke k = 8, 9, . . . , 16 ϑ+ j j=

ϑ+ j ist Eckpunkt der Dreiecke k 5 6 7 8 9 10

k= 8 8, 9, 10, 11, 12

13, 14, 15, 16,

9 10 11 12

Die Ableitungen nach den Temperaturen sind die gleichen wie in Tabelle 2.15. Auch die Integrale I (1) , I (2) , . . . , I (7) bleiben unver¨ andert. Da an der Außenwand nur W¨ arme an die Luft u ¨ bertragen wird, lauten die Integrale I (8) , I (9) , . . . , I (12)

Anhang C: L¨ osungen der Aufgaben

I (k) =

8 > < Z »„

1 2> :

Ω +(k)

743 9 > «2 „ + «2 – ` + ´= ∂ϑ+ ∂ϑ + + +2 + dx dy + Bi ϑ x = 1 . > ∂x+ ∂y + ;

Im n¨ achsten Schritt bildet man die Ableitungen ∂I/∂ϑ+ i in gleicher Weise wie es bereits im Beispiel 2.10 gezeigt wurde. Es sei hier nur das Ergebnis der einfachen, aber aufw¨ andigen Rechnung mitgeteilt. Man erh¨ alt 11 lineare + + Gleichungen f¨ ur die unbekannten Temperaturen ϑ+ , ϑ , . . . , ϑ 0 1 10 : + + 10 ϑ+ 0 − 8 ϑ1 − 5 ϑ5 = 1 + + + 8 ϑ+ 0 − 18 ϑ1 + 4 ϑ2 + 3 ϑ6 = −3 + + + ϑ+ 1 − 4 ϑ2 + ϑ3 + ϑ7 = −1 + + + ϑ+ 2 − 4 ϑ3 + ϑ4 + ϑ8 = −1 + + ϑ+ 3 − 2 ϑ4 + ϑ9 ` ´ + + + + 3 ϑ+ 0 − 15 + 2Δx Bi ϑ5 + 12 − Δx Bi ϑ6 ` ´ ` ´ ` ´ + + + + + + 9 ϑ+ 1 + 12 − Δx Bi ϑ5 − 3 9 + 2Δx Bi ϑ6 + 2 3 − Δx Bi ϑ7 ` ´ ` ´ ` ´ + + + + + + 6 ϑ+ 2 + 3 − Δx Bi ϑ6 − 4 3 + Δx Bi ϑ7 + 3 − Δx Bi ϑ8 ` ´ + ` ´ + ` ´ + + + + 6 ϑ+ 3 + 3 − Δx Bi ϑ7 − 4 3 + Δx Bi ϑ8 + 3 − Δx Bi ϑ9 ` ´ + ` ´ + ` ´ + + + + 6 ϑ+ 4 + 3 − Δx Bi ϑ8 − 4 3 + Δx Bi ϑ9 + 3 − Δx Bi ϑ10 ` ´ ` ´ + + 3 − Δx+ Bi ϑ+ 9 − 3 + 2Δx Bi ϑ10

`

´

=0 =0 =0 =0 =0 =0 =0 .

Einsetzen der Werte Bi = α δ/λ = (10 W/m2 K · 0, 25 m)/0, 8 W/Km = 3, 125 und Δx+ = x/δ = 0, 5 bzw. Δx+ /2 = 0, 25 ergibt die folgenden Temperaturen: ϑ+ 0 = 0, 6115 ϑ+ 4 = 0, 3286 ϑ+ 8 = 0, 2026

ϑ+ 1 = 0, 6096 ϑ+ 5 = 0, 2378 ϑ+ 9 = 0, 1263

ϑ+ ϑ+ 2 = 0, 5925 3 = 0, 5309 + ϑ6 = 0, 2372 ϑ+ 7 = 0, 2294 ϑ+ = 0, 0297 . 10

Der von der Außenwand an die Luft u armestrom ist ¨ bertragene W¨ „ + « δ ϑ5 ϑ+ + 10 Q˙ = 8 α (ϑi − ϑU ) b + ϑ+ + . . . + ϑ + . 6 9 2 4 4 Daraus folgt mit α = 10 W/m2 K und δ = 0, 25 m: Q˙ = 8, 62 b (ϑi − ϑU ) . Ist statt der Umgebungstemperatur ϑU der Außenluft ϑa die Temperatur der Außenwand nach Beispiel 2.8 vorgegeben, so erhalten wir Q˙ = 12, 85 b λ (ϑi − ϑa ) und daraus mit λ = 0, 8 W/Km: Q˙ = 10, 28 b (ϑi − ϑa ) . Durch den zus¨ atzlichen W¨ armewiderstand an die Luft auf der Außenseite verringert sich der u armestrom um 16, 1%. ¨bertragene W¨

744

Anhang C: L¨ osungen der Aufgaben

2.22: Gesucht wird das Minimum von 1 I= 2

ZL »„ x=0

∂Θ ∂x

«2

˛L – ˛ 1 ∂Θ2 1 2 2 + + m Θ dx + (q˙ Θ)˛˛ . a ∂t λ x=0

Hierin ist Θ = ϑ − ϑU und nach (2.52): m2 = α U/λ Aq = 4 α/λ d. Der Beweis ist nach dem gleichen Schema zu f¨ uhren wie der zu (2.340) in Kapitel 2.5.3: Man denkt sich die unbekannte Funktion Θ (t, x) in eine Familie ˆ (t, x, ε) = Θ (t, x) + ε η (x) und bildet dann, wie von Funktionen eingebettet Θ schon in Kapitel 2.5.3 gezeigt, die Ableitung (∂I) / (∂ε). An der Stelle ε = 0 ist (∂I) / (∂ε) = 0 f¨ ur beliebige Werte η (x) nur zu erf¨ ullen, wenn gilt 1 ∂Θ ∂2Θ = − m2 Θ a ∂t ∂x2 mit den Randbedingungen: Θ (t = 0) = 0 ; λ

∂Θ (x = 0) ∂Θ (x = L) + q˙ (x = 0) = 0 ; λ + q˙ (x = L) = 0 . ∂x ∂x

Das ist aber gerade die Diﬀerentialgleichung, deren L¨ osung unter den angegebenen Randbedingungen das obige Integral zu einem Minimum macht. Wir setzen im Folgenden vernachl¨ assigbaren W¨ armestrom am oberen Ende der St¨ abe voraus, q˙ (x = L) = 0. Mit q˙ = q˙ L/λ (SI-Einheit K) und den dimensionslosen Gr¨ oßen x+ = x/L, + 2 t = a t/L geht das Integral I u ¨ ber in 1 I =IL= 2

Z1 »„ x+ =0

∂Θ ∂x+

«2

– ∂Θ2 2 2 + + + m L Θ dx+ − (q˙ Θ)x+ =0 . ∂t

Einen einzelnen Stab teilen wir u ange in f¨ unf ¨ aquidistante Ab¨ ber seine L¨ schnitte Δx+ = 0, 2 auf wie in Abb. C.1 gezeigt. Zum gesamten Integral I tr¨ agt jeder Abschnitt den Anteil I (k) , k = 1, 2, . . . , 5 bei. Es ist

I

(k)

1 = 2

Δx Z +»„

x+ =0

Θk − Θk−1 Δx+

«2 +

∂ ∂t+

„ Θk−1 +

Θk − Θk−1 + x Δx+

«2

„ «2 – ` ´ Θk − Θk−1 + + m2 L2 Θk−1 + x dx+ − q˙ Θ x+ =0 . Δx+

Nach Integration erh¨ alt man I (k) =

´ Θk − Θk−1 1 d ` 2 + Δx+ + Θk−1 + Θk−1 Θk + Θk2 + Δx 6 dt + m2 L2

` 2 ´ ` ´ 1 Δx+ Θk−1 + Θk−1 Θk + Θk2 − q˙ Θ x+ =0 . 6

Die Temperatur Θ0 kommt nur im ersten Abschnitt vor. Daher ist ∂I /∂Θ0 = ∂I (1) /∂Θ0 = 0. Jede der Temperaturen Θ1 , . . . , Θ4 kommt einmal in dem u ur sie gilt ¨ber ihr und einmal in dem unter ihr liegenden Abschnitt vor. F¨ daher:

Anhang C: L¨ osungen der Aufgaben

745

∂I ∂I (k) ∂I (k+1) = + =0 . ∂Θk ∂Θk ∂Θk Die Temperatur Θ5 kommt nur im f¨ unften Abschnitt vor, so dass f¨ ur sie gilt: ∂I ∂I (5) = =0 . ∂Θ5 ∂Θ5 Nach Bildung von ∂I /∂Θk = 0 erh¨ alt man folgendes System von sechs gew¨ ohnlichen Diﬀerentialgleichungen, in dem die Temperaturen Θi , i = 0, 1, . . . , 5 noch Funktionen der Zeit sind: ” Δx+2 “ ˙ Δx+2 Θ0 − Θ1 + 2 Θ0 + Θ˙ 1 + m2 L2 (2 Θ0 + Θ1 ) − q˙ Δx+ = 0 . 6 6 F¨ ur i = 1, 2, . . . , 4 gilt: Θi−1 + 2 Θi − Θi+1 +

” Δx+2 “ ˙ Θi−1 + 4 Θ˙ i + Θ˙ i−1 6 + m2 L2

Δx+2 (Θi−1 + 4 Θi + Θi+1 ) = 0 , 6

und es ist Θ5 − Θ4 +

” Δx+2 “ ˙ Δx+2 Θ4 + 2 Θ˙ 5 + m2 L2 (Θ4 + 2 Θ5 ) = 0 . 6 6

¨ Der Uberpunkt bezeichnet eine Ableitung nach der Zeit t+ . Eine analytische L¨ o sung des Gleichungssystems unter Beachtung der Anfangsbedingung ` ´ Θi t+ = 0 = 0, i = 0, 1, . . . , 5 mit Hilfe der Laplace-Transformation f¨ uhrt auf ein System algebraischer Gleichungen, die man leicht l¨ osen kann. Die R¨ ucktransformation ergibt jedoch f¨ ur jede der Temperaturen eine schlecht konvergierende unendliche Reihe. Der numerische Aufwand, den ihre Auswertung

Abb. C.1: FEM-Gitter des Stabes

746

Anhang C: L¨ osungen der Aufgaben erfordert, ist recht groß. Es ist daher zweckm¨ aßiger, das Gleichungssystem ohne den Umweg u ¨ ber die Laplace-Transformation von vorneherein numerisch zu l¨ osen, beispielsweise mit Hilfe von Mathematica oder MathLab. Einige auf diese Weise ermittelte Temperaturen Θ = ϑ − ϑU , ϑU = 20 , gibt die Tabelle C.1 wieder. Die analytische L¨ osung der f¨ ur station¨ are W¨ armeleitung g¨ ultigen Gleichung (2.51) mit den Randbedingungen x = 0 : −λ ∂Θ/∂x = q˙

und

x = L : ∂Θ/∂x = 0

ˆ ` ´˜ + q˙ cosh m L 1 − x Θ= . λm sinh (m L) Mit den Werten des Beispiels q/λ ˙ m = 100, 66 und m L = 0, 6325 erh¨ alt man die Temperaturen in der letzten Zeile der Tabelle C.1. Man erkennt, dass station¨ are W¨ armeleitung nach etwa einer halben Stunde erreicht ist. lautet:

Tabelle C.2: L¨ osungen zur Aufgabe 2.22 Θ (t) /

x+ = 0 x+ = 0, 2 x+ = 0, 4 x+ = 0, 6 x+ = 0, 8 x+ = 1, 0

t = 10 s 100 s 1000 s 1800 s = ˆ 1/2 h 3600 s = ˆ1h

20,17 65,11 173,70

9,93 53,78 162,38

4,08 45,16 153,75

1,33 39,09 147,69

0,31 35,49 144,09

1,0 34,30 142,89

179,19

167,87

159,24

153,18

149,58

148,38

179,62

168,29

159,67

153,60

150,00

148,81

179,82

168,50

159,87

153,81

150,20

149,02

Analyt. L¨ osung, station¨ ar

2.23: Es ist

„ « „ « ξA (x = 0, t) − ξAU 4 π2 4 9π 2 + = exp − t+ − exp − tD D ξAα − ξAU π 4 3π 4 „ « 2 4 25π + + exp − t −... + ... . 5π 4 D

Unter Verwendung des ersten Reihengliedes erh¨ alt man t+ D = 1,039 und t = 14,1 Tage. Die u assigbar klein, wie man ¨brigen Reihenglieder sind vernachl¨ leicht nachpr¨ ufen kann, so dass es tats¨ achlich gen¨ ugt, nur das erste Reihenglied zu ber¨ ucksichtigen. 2.24: Die Diﬀusion erfolgt jetzt in Richtung der x- und der y-Koordinate. Bei der Behandlung des entsprechenden W¨ armeleitproblems, Abschn. 2.3.5, war gezeigt worden, dass f¨ ur einen Quader mit den Kantenl¨ angen 2X, 2Y die Temperaturverteilung durch (2.191) gegeben ist

ϑ+ =

ϑ − ϑU = ϑ+ Pl ϑ0 − ϑU

„

Anhang C: L¨ osungen der Aufgaben « „ « x at αX y at α Y , 2, · ϑ+ , , . Pl X X λ Y Y2 λ

747

F¨ ur das Diﬀusionsproblem gilt in Stabmitte x = y = 0 und f¨ ur βX/D = β Y /D → ∞ entsprechend „ « „ « ξA (x = y = 0) − ξAU Dt Dt + + ξA = = c+ · c . Pl Pl ξAα − ξAU X2 Y2 Unter der noch nachzupr¨ ufenden Annahme, dass das erste Reihenglied aus der L¨ osung der vorigen Aufgabe gen¨ ugt, folgt » „ «–2 4 π2 + ξA = exp − t+ . D π 4 Es sind t+ uft leicht nach, dass die folgenden D = 0,569 und t = 7,7 Tage. Man pr¨ Reihenglieder gegen¨ uber dem ersten tats¨ achlich vernachl¨ assigbar sind. ˙ W = 0,532 kg/s. 2.25: a) Es sind M˙ La = 0,7 kg/s, M˙ Ga = 6,0 kg/s und M b) Die erforderliche Zeit erh¨ alt man aus (2.426). Hierin ist cAα = 0 und somit L cAm /cAU = ξAa /ξA0 = 0,6 .

Damit folgt aus (2.427): 0,65797 =

∞ X ` ´ 1 exp −i2 π 2 t+ . D 2 i i=1

Durch Probieren ﬁndet man als L¨ osung t+ ugen die drei D = 0,0485. Es gen¨ ersten Glieder der Reihe. Es ist t = 72,7 s. c) L = tw = 7,27 m. 2.26: In guter N¨ aherung gilt BiD → ∞. Außerdem ist die Oberﬂ¨ ache der Kugeln sofort vollst¨ andig mit Wasser getr¨ ankt, ξA0 = 1. Daher ist ˜ A = 55,5 kmol/m3 . cA0 = ξA0 /M Weiter ist t+ D = 0,072. Aus (2.427) + c+ Am (tD ) =

∞ ` ´ cAm − cA0 6 X 1 = 2 exp −i2 π 2 t+ D cAα − cA0 π i=1 i2

folgt mit cAα = 0: cAm /cA0 = 0,6927 und cAm = 38,42 kmol/m3 . Jede Kugel nimmt 0,241 g Wasser auf.

Kapitel 3: Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen 3.1: Aus −q˙j = λji ∂ϑ/∂xi folgt unter Beachtung von λ12 = λ21

748

Anhang C: L¨ osungen der Aufgaben ∂ϑ ∂ϑ + λ12 ∂x1 ∂x2 ∂ϑ ∂ϑ −q˙2 = λ12 + λ22 ∂x1 ∂x2 ∂ϑ −q˙3 = λ33 . ∂x3 −q˙1 = λ11

Bei station¨ arer W¨ armeleitung ist allgemein ∂ q˙j /∂xj = 0 da die Platte in x2 -Richtung d¨ unn ist, wird ∂ϑ/∂x2 = 0 und die Diﬀerentialgleichung der station¨ aren W¨ armeleitung lautet ∂ q˙1 ∂ q˙2 ∂ q˙3 ∂2ϑ ∂2ϑ + + = λ11 2 + λ33 2 = 0 . ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂x1 ∂x3 3.2: F¨ ur Modell (Index M) und Original (Index O) muss gelten N u = f (Re, P r) . a) Es muss sein P rM = P rO . Mit P r O = 4,5 betr¨ agt die zugeh¨ orige Temperatur T = 311 K. b) Es ist (wM )1 = 0,0355 m/s und (wM )2 = 0,355 m/s. c) Wegen N uM = N uO oder (αM dM ) /λM = (αO dO ) /λO ist αO = 484 W/m2 K. 3.3: F¨ ur Modell (Index M) und Original (Index O) gilt nach (3.367)) N um ∼ Gr 1/4 mit N um = αm L/λ und Gr = β∞ ΔϑgL3 /ν 2 . Daraus folgt „ «1/4 „ «1/4 αmO LM ΔϑO = αmM LO ΔϑM und

«7/4 „ «5/4 LO ΔϑO LM ΔϑM 2 2 wegen AO /AM = LO /LM . Wir erhalten Q˙ O = 469,5 W. 3.4: Man stellt zuerst eine Dimensionsmatrix auf. Es bezeichne L die Dimension einer L¨ ange: Q˙ O αmO AO ΔϑO = = αmM AM ΔϑM Q˙ M

„

L= dim L ; entsprechend sei t= dim t, T= dim ϑ, M= dim M . Die Dimensionsmatrix lautet L w0 λ ν c αm L t M T

1 1 −3 1 2 2 0 0 −1 0 −3 −1 −2 −3 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 −1 0 −1 −1

¨ Man bestimmt nun den Rang r der Matrix mit Hilfe von Aquivalenztransformationen; das sind Linearkombinationen von Zeilen (oder Spalten). Wir bilden dazu Linearkombinationen von Zeilen, bis die Diagonale einer Untermatrix nur Einsen, die Nebendiagonale nur Nullen enthalten. Wir bezeichnen die erste Zeile mit Z1 , die zweite mit Z2 u.s.w. und bilden zun¨ achst eine neue Matrix, deren Zeilen wir mit einem Strich kennzeichnen. Es sei Z4 = −Z4 , Z3 = Z3 + Z4 , Z2 = −Z2 + 3Z4 . Die neue Matrix lautet

Anhang C: L¨ osungen der Aufgaben L w0

λ

1 −3 1 0 0 1 0 0

1 0 0 0

ν

1 0 0 1

749

c αm

2 2 1 −1 0 −1 0 1

0 0 0 1

Sie enth¨ alt bereits in der vorderen Hauptdiagonalen nur Einsen. Durch eine weitere Transformation Z1 = Z1 − Z2 + 3Z3 − Z4 ergibt sich L w0 1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

λ 0 0 0 1

ν

c αm

1 −1 −1 1 −1 0 0 −1 0 0 1 1

Die linke Untermatrix enth¨ alt nun, wie gefordert, in der Hauptdiagonalen nur Einsen, in den Nebendiagonalen nur Nullen. Der Rang der Matrix ist ¨ r = 4, denn es sind 4 Zeilen linear unabh¨ angig voneinander: Durch Aquivalenztransformationen kann man keine Zeile mehr in eine andere u uhren. ¨ berf¨ Nach Buckingham [1.20] ist die Zahl m der π-Gr¨ oßen m = n − r, wenn n die Zahl der urspr¨ unglichen Variablen ist, in unserem Fall ist n = 7. Es gibt also m=7−4=3 π-Gr¨ oßen. Diese ergeben sich aus der obigen Matrix zu ν −1 −0 −0 π1 = νL−1 wm λ = = 1/Re wm L c wm L 1 1 −1 π2 = cL1 wm λ = wm L = = ReP r λ a αm L 1 0 0 −1 π3 = αm L wm λ = = Nu λ Es ist f (π1 , π2 , π3 ) = 0 oder f (N u, Re, P r) = 0. 3.5: a) Die Dimensionsmatrix lautet d w L W g L t M

1 1 −3 −3 1 0 −1 0 0 −2 0 0 1 1 0

¨ Durch Aquivalenztransformationen erh¨ alt man neue Zeilen Zi aus den vor¨ hergehenden Zi (i = 1, 2, 3). Wir bilden folgende Aquivalenztransformationen der Zeilen Z1 = Z1 + Z2 + 3Z3 , Z2 = −Z2 , Z3 = Z3 und erhalten d 1 0 0

w L W g 0 1 0

0 0 1

0 −1 0 2 1 0

Der Rang der Matrix ist r = 3. Es gilt somit m = n − r = 5 − 3 = 2. Die dimensionslosen Gr¨ oßen sind

750

Anhang C: L¨ osungen der Aufgaben W L gd 1 −2 0 π2 = gd w L = 2 . w π1 = W d0 w0 −1 L =

b) Es ist π2 = f (π1 ) oder gd/w2 = f (W /L ). 3.6: Einsetzen des Geschwindigkeitsproﬁls in die aus (3.165) folgende Integralbedingung f¨ ur den Impuls 2 3 „ « “ ” „ « Z1 d 4 2 wx wx y 5 νwδ ∂wx /∂wδ wδ δ 1− d = dx wδ wδ δ δ ∂y/δ y=0 0

ergibt, wenn man abk¨ urzend z = π/2(y/δ) setzt: 2 3 Zπ/2 2 2 d 6 νwδ π 7 w sin z(1 − sin z) dz 5 = . 4δ π δ dx δ 2 0

Das Integral hat den Wert 1 − π/4. Damit ist nach Integration „ «1/2 „ «1/2 2 νx δ=π = 4,795 x Re−1/2 . x 4−π wδ Dies Ergebnis unterscheidet sich von (3.170) dadurch, dass anstelle des Faktors 4,64 in (3.170) nun der Faktor 4,795 tritt. 3.7: Um festzustellen, ob die Str¨ omung turbulent wird, berechnet man die Reynolds-Zahl am Plattenende Re = w∞ L/ν. Da man die Viskosit¨ at nur beim Druck 0,1 MPa ﬁndet, macht man Gebrauch von η = ν = const f¨ ur ϑ = const. Daraus folgt p1 /(RT1 )ν1 = p2 /(RT2 )ν2 oder ν2 = ν1 p1 /p2 bei ϑ = const. Es ist ν1 (p1 , ϑm ) = 30,84·10−6 m2 /s mit p1 = 0,1 MPa, und der Mitteltemperatur ϑm = (ϑ∞ + ϑ0 )/2 = (300 + 25)/2 = 162,5 . Damit wird ν2 = 30,84 · 10−5 2 m /s und die zugeh¨ orige Reynolds-Zahl Re = 3,243 · 104 . Die Str¨ omung ist bis zum Plattenende laminar. Die mittlere Nußelt-Zahl ist, s. auch Beispiel 3.8, N um = 105,5. Daraus ergibt sich αm = 3,84 W/m2 K und q˙ = 1056 W/m2 . 3.8: Die Reynolds-Zahl am Ende des Sees ist Re = 2,606 · 106 . Die Str¨ omung ist daher anf¨ anglich laminar und geht nach einer Lauﬂ¨ ange von xcr = 3,84 m in turbulente Str¨ omung u ¨ ber. Wir berechnen die Sherwood-Zahl aus (3.208), indem wir dort die Nußelt-Zahl durch die Sherwood-Zahl ersetzen. Es ist Shm,lam = 904,1 und Shm,turb = 3592. Damit ist q Shm = Sh2m,lam + Sh2m,turb = 3704, βm = 4,741 · 10−4 m/s

m ˙ A = βm (ξA0 − ξA∞ ) = βm

1 1 (pA0 − pA∞ ) = βm (pA0 − ϕpA0 ) . RT RT

Es ist pA0 = pWs und daher pWs (1 − ϕ) = βm (1 − ϕ) , RT m ˙ A = 4,099 · 10−6 kg/m2 s M˙ A = 147,5 kg/h . m ˙ A = βm

Anhang C: L¨ osungen der Aufgaben

751

˙ = V˙ = 0,25 kg/s. Weiter gilt die Energiebilanz 3.9: Es ist M ˙ cp (ϑa − ϑe ) = αm dπLΔϑm Q˙ = M mit Δϑm =

(ϑ0 − ϑe ) − (ϑ0 − ϑa ) = 57,71 ln [(ϑ0 − ϑe ) / (ϑ0 − ϑa )]

.

Damit ergibt sich αm =

M˙ cp (ϑa − ϑe ) = 766,9 W/m2 K . dπLΔϑm

3.10: Die vom Reﬂektor aufgefangene Sonnenenergie wird an das Absorberrohr u ¨bertragen q˙S sL/2 = qd ˙ a πL . Die vom Absorberrohr aufgenommene W¨ armestromdichte ist daher q˙ = 1,567· 104 W/m2 . Sie dient zur Erw¨ armung des Wassers: qd ˙ a πL/2 = M˙ cp (ϑa − ϑe ) mit M˙ = wm d2i π/4 = 0,141 kg/s. Es ist L=

2M˙ cp (ϑa − ϑe ) = 13,3 m . qd ˙ aπ

Die Wandtemperatur im Austrittsquerschnitt folgt aus q˙ = α (ϑ0 − ϑF ) = α (ϑ0 − ϑa ) zu ϑ0 = q/α ˙ + ϑa = 139,4 . ˙ p (ϑe − ϑa ) = 3.11: Die W¨ armeverluste ergeben sich aus der Energiebilanz zu Q˙ = Mc 11,97 kW. Die am Rohrende u armestromdichte ist ¨ bertragene W¨ q˙ = k(ϑa − ϑ0 )

mit

1 1 1 = + . k α αa

Hierin ist α der W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient vom u ¨ berhitzten Dampf an die innere Rohrwand. Wir haben hierbei di ≈ da gesetzt. Zur Berechnung von α ermitteln wir zuerst die Reynolds-Zahl Re =

wm d 4M˙ = = 7,48 · 105 . ν πdη

Die Str¨ omung ist turbulent. Außerdem ist L/d > 100. Aus (3.259) erh¨ alt man N um = 1145, αm = 1267 W/m2 K und q˙ = 1779 W/m2 . Weiter gilt q˙ = αm (ϑa − ϑ0 ) und daher ϑ0 = ϑa − q/α ˙ m = 118,6 . 3.12: Die spez. Oberﬂ¨ ache der Partikel ist nach (3.266) aP = 6(1 − ε)/d = 180 m2 /m3 . Der Anordnungsfaktor nach (3.268) ist fε = 1,9, die Reynolds-Zahl Re =

wm d = 6,098 · 103 . εν

Die Nußelt-Zahl berechnet sich nach Abschnitt 3.7.4, Seite 370, Nr. 5, aus q N um = 2 + N u2m,lam + N u2m,turb

752

Anhang C: L¨ osungen der Aufgaben mit N um,lam = 46,47 und N um,turb = 35,57 zu N um = 60,52. Daraus ergibt sich αm = 79,28 W/m2 K. Die gesamte Partikeloberﬂ¨ ache ist nach (3.264) nAP = aP V = aP A0 H = 117 m2 . a) Damit wird Q˙ = αm nAP (ϑL − ϑ0 ) = 171601 W ≈ 172 kW. b) Die aufgrund der zugef¨ uhrten W¨ arme verdunstende Wassermenge ist −2 ˙ M˙ W = Q/Δh kg/s v = 7 · 10

Die aufgrund des Partialdruckgef¨ alles verdunstende Wassermenge p M˙ W = βm (XWS − X) RL T ist um rund zwei Gr¨ oßenordnungen kleiner und vernachl¨ assigbar, wie man mit Hilfe des aus Abschnitt 3.7.4, Nr. 5 folgenden Stoﬀaustauschkoeﬃzienten und dem spez. Wassergehalt X = 0,622 pWS /(p/ϕ − pWS ) nachpr¨ ufen kann. 3.13: Die H¨ ohe HL der Wirbelschicht am Lockerungspunkt folgt aus der Bedingung konstanter Sandmasse A0 HL (1 − εL )S = A0 HS (1 − εS )S . Es ist

1 − εS HS = 0,57m . 1 − εL Der gesamte Druckabfall ist nach (3.311) Δp = [S (1 − εL ) + L εL ]gH ∼ = S (1 − εL )gH. Da (1 − εL )H = const gilt, ist der Druckabfall in der Wirbelschicht praktisch konstant, was auch durch Messungen best¨ atigt wird. Man darf f¨ ur (1 − εL )H am Lockerungspunkt auch (1 − εS )H0 der ruhenden Sandschicht setzen. Damit ist Δp ∼ ase = 7848 Pa. Diesen Druckabfall muss das Gebl¨ aufbringen. Der Druck p2 am Ausgang des Gebl¨ ases ist gleich dem Druck am Eingang der Wirbelschicht p2 = p1 + Δp = 107848 Pa. Die mittlere Dichte der Luft in der Wirbelschicht ist mF = pm /RT = 0,322 kg/m3 . Die Lockerungsgeschwindigkeit folgt aus (3.312). Darin ist die Archimedes-Zahl gebildet mit der mittleren Dichte mF HL =

Ar =

S − mF d3P g = 415,8 . mF ν2

Es ist nach (3.312) ReL = 0,310; und wL = 0,094 m/s. Die tats¨ achliche Geschwindigkeit ist wm = 10wL = 0,94 m/s. Der Massenstrom der Luft im Eintrittsquerschnitt ist p2 M˙ L = L wm A0 = wm A0 = 2,22 kg/s . RT Die erforderliche Gebl¨ aseleistung ist "„ « κ−1 # κ κ RT p 1 2 P = M˙ L − 1 = 20,4 kW . κ − 1 ηV p1 Es ist

Prev M˙ cp (ϑ1 − ϑ1 ) = , P P wenn ϑ1 die Endtemperatur der Verdichtung ist. Daraus folgt ϑ1 = 299,5K = 26,4 . Der zugef¨ uhrte W¨ armestrom betr¨ agt Q˙ = M˙ L cpmL (ϑ2 − ϑ1 ) = 2126 kW. ηV =

Anhang C: L¨ osungen der Aufgaben

753

3.14: Die Dichte der Luft u ¨ ber dem Erdboden ist p1 L1 = = 1,2084 kg/m3 , RL TL1 die der Abgase ist G1 =

p1 = 1,1946 kg/m3 . RG TG1

Es ist G1 < L1 ; die Abgase k¨ onnen aufsteigen. Sie w¨ urden nicht mehr aufsteigen, wenn G1 ≥ L1 w¨ are oder TG1 ≤

RL = 438,1K = 164,9 RG TL1

,

die Abgastemperatur also unter rund 165 l¨ age. F¨ ur die Luft gilt dp = −g dx und somit v dp = −g dx. Mit v = RL TL /p folgt dp g =− dx . p RL TL Durch Integration erh¨ alt man die barometrische H¨ ohenformel „ « gΔx p2 = p1 exp − . RL TL Der Luftdruck in 100 m H¨ ohe betr¨ agt p2 = 0,09882 MPa. Die Dichte der Luft in 100 m H¨ ohe ist p2 L2 = = 1,194 kg/m3 . RL TL Die Dichte der Abgase in 100 m H¨ ohe folgt aus „ G2 =

p2 p1

«1/κ G1 = 1,184 kg/m3 .

Die Abgase sind in 100 m H¨ ohe leichter als die Luft. Sie k¨ onnen noch weiter aufsteigen. 3.15: Es ist β∞ (ϑ0 − ϑ∞ )gL3 Gr = = 4,49 · 109 ν2 und Ra = GrP r = 3,20 · 109 . Damit erh¨ alt man nach (3.368) die mittlere Nußelt-Zahl bei freier Str¨ omung N umF = 168,8. Weiter ist Re =

w0 L = 5,794 · 104 . ν

Damit wird N um,lam = 142,7 und N um,turb = 203,99. Man erh¨ alt die mittlere Nußelt-Zahl der erzwungenen Str¨ omung zu q N umE = N u2m,lam + N u2m,turb = 248,9 . Da freie und erzwungene Str¨ omung entgegen gerichtet sind, gilt in (3.374) das Minuszeichen, N um = 219,7 und αm = 5,97 W/m2 K. Die beiden Seiten der Platte geben den W¨ armestrom Q˙ = αm A(ϑ0 − ϑ∞ ) = 477 W ab.

754

Anhang C: L¨ osungen der Aufgaben

3.16: Es ist nach Abschnitt 3.9.3, Nr. 5 zu rechnen. Es ist Ra = GrP r =

“ x ”4 β∞ qgx ˙ 4 10 P r = 7,176 · 10 . ν2λ m

Am Plattenende x1 = 0,4 m ist Ra = 1,84 · 109 . Die Str¨ omung ist am Plattenende gerade noch laminar. Es ist N ux = 78,63

“ x ”4/5 m

und

α = N ux

λ W = 1,961 x−1/5 9/5 . x m K

Weiter folgt aus q˙ = α(ϑ0 − ϑ∞ ) : ϑ0 =

q˙ W + ϑ∞ = 7,649 1/5 x1/5 + 283,15 K . α m

Die Wandtemperatur nimmt mit x1/5 zu und betr¨ agt am Plattenende, x1 = 0,4 m: ϑ0 = 289,5 K = 16,4 . 3.17: Die K¨ uhlung wird durch den W¨ arme¨ ubergang bei freier Str¨ omung bestimmt. F¨ ur den senkrechten Zylinder gilt (3.368), f¨ ur den waagrechten die Gleichung Nr. 3 in Abschnitt 3.9.3. Die Raleigh-Zahl RaS f¨ ur den senkrechten Zylinder ist mit der Zylinderh¨ ohe, die f¨ ur den waagrechten RaW mit dem Zylinderdurchmesser zu bilden. Es ist RaS =

β∞ (ϑo − ϑ∞ )gL3 P r = 8,81 · 106 ν2

und

RaW = 5,64 · 105 .

Nach (3.368) wird N umS = 30,14 und αmS = N umS λ/L = 4,72 W/m2 K. Nach Nr. 3 in Abschnitt 3.9.3, wird N umW = 12,40 und αmW = N umW λ/d = 4,86 W/m2 K. Es ist αmW > αmS . Außerdem wird bei waagrechter Lage noch W¨ arme u uhrt. Die Dosen k¨ uhlen daher rascher ab, wenn ¨ ber die Enden abgef¨ man sie legt. 3.18: Die Temperatur der Außenhaut T0 ist praktisch gleich der Eigentemperatur, denn die von der Außenhaut abgegebene W¨ armestromdichte ist nach (3.409) q˙ = α(T0 − Te ) = k (Ti − T0 ) mit 1/k = 1/αi + δ/λ. Daraus folgt T0 −Te = k /α(Ti −T0 ). Darin ist Ti −T0 einige K, und der ¨ außere W¨ arme¨ uber∼ gangskoeﬃzient α k . Daher ist T T . Die Eigentemperatur berechnet = 0 e √ sich nach (3.392) mit wSδ = κRTδ = 299,5 m/s und M aδ = wδ /wSδ = 0,649 zu » – κ−1 Te = T0 = Tδ 1 + M a2δ = 241,95 K = −31,2 . 2 √ Zum ann¨ ahernd gleichen Ergebnis kommt man nach (3.394) mit r = 3 P r P r(−50 ) = 0,727, cp = 1,007 kJ/kgK. Man erh¨ alt T0 = 240 K = −33, 1 . Die W¨ armestromdichte ist q˙ = k(Ti − T0 ) = 170,7 W/m2 mit 1 1 δ = + k αi λ

und

k = 3,33 W/m2 K .

3.19: Sobald die Temperatur T0 der Außenhaut u ¨ ber eine Eigentemperatur Te von 300 ansteigt, muss man k¨ uhlen. Es muss daher T0 ≤ Te sein, damit man nicht k¨ uhlen muss. Nach (3.392) ist

Anhang C: L¨ osungen der Aufgaben

755

Te = 1,8 . Tδ Es soll T0 ≤ Te = 1,8Tδ sein, also Tδ ≥ T0 /1,8 = 45,3 peratur u ansteigt, muss man k¨ uhlen. ¨ ber 45,3

. Sobald die Lufttem-

Kapitel 4: Konvektiver W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubergang. Str¨ omungen mit Phasenumwandlungen 4.1: Nach (4.15) ist αm,waag = 5028,8 W/m2 K. Die Temperatur an der Kondensatoberﬂ¨ ache ergibt sich n¨ aherungsweise aus (4.35) ϑI − 333,15 =

30W/m2 K · 2257,3kJ/kgK 0,101325 − pI 0,101325 − 0,0948 ln 5028,8W/m2 K · 1,93kJ/kgK .

Hierin ist (p1G − y˜1G )p = (1 − 0,0647)0,101325 = 0,0948 MPa gesetzt. Zur Bestimmung von ϑI aus obiger Gleichung sch¨ atzt man zun¨ achst ϑI , und pr¨ uft mit dem Wert pI (ϑI ) aus der Wasserdampftafel nach, ob der Sch¨ atzwert richtig war. Man ﬁndet ϑI ∼ ur ist pI = 0,0397 MPa und obige = 348,8 K = 75,7 , hierf¨ Gleichung recht gut erf¨ ullt. Aus (4.37) folgt damit q˙G /q˙ = 0,39. Die abgef¨ uhrte W¨ armestromdichte sinkt auf 39 % der W¨ armestromdichte, die abzuf¨ uhren w¨ are, wenn reiner Sattdampf vorhanden w¨ are. Die Fl¨ ache muss also rund um den Faktor 1/0,39 = 2,56 vergr¨ oßert werden, wenn die Kondensatorleistung gleich groß bleiben soll. 4.2: Es ist Δϑ = ϑ0 − ϑs = 200 , nach Abb. 4.40 beﬁndet man sich im Bereich der Filmverdampfung. Der W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient ergibt sich aus Abschnitt 4.2.8, Nr. 6 zu αS = 25,1 W/m2 K und αmG = 688,8 W/m2 K. Damit ist αmG /αS = 27,4 und αm /αmG = 1,029, αm = 708,8 W/m2 K. Die Heizleistung ist Q˙ = αm AΔϑ = 1113,4 W. ˙ WT cpWT Δϑ = 3 MW. Der erzeugte Dampf4.3: Die Heizleistung betr¨ agt Q˙ = M ˙ ˙ mengenstrom MW folgt aus Q = M˙ W Δhv zu M˙ W = 1,39 kg/s = 5 · 103 kg/h. Der u armestrom ist andererseits ¨ bertragene W¨ Q˙ = kAΔϑm

mit

Δϑm =

(ϑWTe − ϑs ) − (ϑWTa − ϑs ) . ln[(ϑWTe − ϑs )/(ϑWTa − ϑs )]

Es ist Δϑm = 42,84 K und aus 1/(kA) = 1/(αi Ai )+1/(αa Aa ) mit A = Aa ∼ = Ai folgt 1/k = 1/αi + 1/αa . Nach (4.97) ist αa = 2,43q˙0,72 W/m2 K und somit 1 1 1 = + m2 K/W . k 700 2,43 q˙0,72 Damit wird Q˙ = q˙ = kΔϑm = A

„

1 1 + 700 2,43q˙0,72

«−1

W/m2 K · 42,84 K .

Dies f¨ uhrt zu einer transzendenten Gleichung f¨ ur q: ˙ 3,3347 · 10−5 q˙ + 9,606 · 10−3 q˙0,28 − 1 = 0 . Die L¨ osung lautet q˙ = 25080 W/m2 . Die Fl¨ ache folgt aus Q˙ = qA ˙ zu A ∼ = 120 m2 .

756

Anhang C: L¨ osungen der Aufgaben

4.4: a) Die L¨ ange folgt aus der Energiebilanz qdπΔz ˙ =m ˙

d2 π (h − h1 ) 4

zu

Δz =

md(h ˙ − h1 ) = 0,97 m . 4q˙

b) Der Dampfgehalt im Austrittsquerschnitt ergibt sich aus (4.115) zu x∗ = 0,399. 4.5: Nach (4.152) ist „ «0,9 1 − x∗ Xtt = 0,2259 . x∗ Nach (4.126) ist mit (4.128) „ « „ « dp dp 1m ˙2 2 2 = −ΦL = Φ2L ζL (1 − x∗ ) dz dz d 2 L L „ «r dp 2 = −2061,6 N/m3 Φ2L (1 − x∗ ) . dz r Aus (4.153) folgt mit obigem Wert f¨ ur Xtt „ «0,9 „ «1,8 20 1 x∗ x∗ 2 ΦL = 1 + + 2 = 1 + 88,53 + 19,596 Xtt Xtt 1 − x∗ 1 − x∗ und damit „ « h dp 0,9 dx∗ = −2061 N/m3 (1 − x∗ )2 + 88,53x∗ (1 − x∗ )1,1 dz r i 1,8 0,2 +19,596x∗ (1 − x∗ ) dx∗ . Da mit konstanter W¨ armestromdichte beheizt wird, ¨ andert sich der Str¨ omungsdampfgehalt x∗ linear mit der Lauﬂ¨ ange z. Dies folgt aus der Energiebilanz x∗ =

1 qdπ ˙ (z − Δz) q˙ · 4 = (z − Δz) . Δhv md ˙ 2 π/4 Δhv md ˙

Mit Δz = 0,97 m wird x∗ = 0,1574(z/m − 0,97). Somit ist dx∗ / dz = 0,1574 1/m und in der vorigen Gleichung f¨ ur den Druckabfall „ « dp dx∗ = ( dp)r 0,15741/m . dz r Es gilt daher h 2 1,1 ( dp)r = −13094 N/m2 (1 − x∗ ) + 88,53 x∗0,9 (1 − x∗ ) i 0,2 +19,596 x∗1,8 (1 − x∗ ) dx∗ . Integration zwischen x∗ = 0 und x∗ = 0,399 ergibt (Δp)r = −863 hPa = −0,863 MPa. 4.6: a) Die L¨ ange ergibt sich aus einer Energiebilanz ˙ G h + M ˙ L h qdπL ˙ + M˙ h1 = M qdπL ˙ = x∗ h + (1 − x∗ ) h − h1 md ˙ 2 π/4

Anhang C: L¨ osungen der Aufgaben

757

˜ md ˙ ˆ ∗ x h + (1 − x∗ ) h − h1 = 3,25 m . 4q˙ b) Die Wandtemperatur ergibt sich aus ϑ0 = ϑs + q/α ˙ 2Ph . Es ist ϑs (5,95 MPa) = 275 . Der W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient α2Ph folgt aus (4.159) mit (4.160) und (4.161). Es ist m ˙ (1 − x∗ ) d Re = = 1,534 · 105 ηL q˙ Bo = = 5,09 · 10−4 , mΔh ˙ v Xtt = 0,64 . L=

Damit wird nach (4.161) F = 6,64 und nach (4.160) ist S = 1,66 · 10−2 . Weiter folgt aus (4.100) und (4.103) F (p+ ) = 1,723 und mit Cw = 0,616 folgt α = αB = 1/3 6,59 · 104 W/m2 K. Es ist αK = λL /d · 0,023 · Re0,7 P r L = 2726,6 W/m2 K. Damit wird α2Ph = 1,92 · 104 W/m2 K und ϑ0 = 316,7 .

758

Anhang C: L¨ osungen der Aufgaben

Kapitel 5: W¨ armestrahlung 5.1: c = 197,2 · 106 m/s; λM = 1,97 μm; ePh = 6,622 · 10−20 J. 5.2: λ1 = 2,3 μm, λ2 = 4,7 μm; L = 115,2 W/(m2 sr); M = 361,9 W/m2 ; ΔM/M = 1/32. 5.3: ΔM/M = 1/4 5.4: Lref = 38,2 W/(m2 sr); Φb,abs /A = 680 W/m2 5.5: T = 1139 K 5.6: T = 1400 K; M = 218 kW/m2 5.7: T = 4330 K und T = 11810 K. Es gibt zwei Temperaturen! 5.8: a) ε = 0,677; b) a = 0,375 5.9: 0,332 5.10: E = 6375 W/m2 ; ε = 0,864 5.11: T = 740 K; ε = 0,0964; εn = 0,0789 5.12: F11 = 0; F12 = 1; F21 = 0,6366; F22 = 0,3634 5.13: F12 = 0,5 5.14: F11 = 0; F12 = 0,8500; F13 = 0,1500; F21 = 0,3400; F22 = 0; F23 = 0,6600; F31 = 0,0833; F32 = 0,9167; F33 = 0. 5.15: T (0) = 507 K; T (h) = 439 K; T (2h) = 375 K; T (10h) = 305 K; T (∞) = 300 K. 5.16: T = 953 K 5.17: Q˙ = 436 W 5.18: a) Der W¨ armestrom ist unabh¨ angig von der Orientierung des Strahlungsschutzschirms. b) Wenn die Seite mit dem gr¨ oßeren Emissionsgrad (2,5εS ) auf die Platte mit T1 gerichtet ist, ergibt sich die h¨ ohere Temperatur TS . 5.19: a) TA = 679,6 K; TB = 576,1 K. b) q˙ = 4063 W/m2 . c) T1 = 576,1 K = TB von Frage a). 5.20: a) λeﬀ = 0,2545 W/K m; q˙ = 33,82 W/m2 . b) q˙ = 13,1 W/m2 5.21: α = 39,9 W/(m2 K); αStr = 23,8 W/(m2 K). Die Gasstrahlung ist zu etwa 37 % am W¨ arme¨ ubergang beteiligt.

Literatur

Kapitel 1: Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen [1.1] [1.2]

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Sachverzeichnis

775

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Sachverzeichnis

Abbildung, konforme 149 Abbinden von Beton 205 Abk¨ uhlung 176 – d¨ unnwandiger Beh¨ alter 43, 44 – einer Platte 176 – einer Stahlplatte 221, 225 – eines Rechtkants 191 – eines Zylinders 191 – einfacher K¨ orper 176 – von Beh¨ altern 126 Abk¨ uhlzeit 187, 193 Ablauftemperatur 52 Abnahme der spektralen Strahldichte 690 Abreißdurchmesser 537, 538 Abreißvolumen 537 Absorber 109 – , idealer 612 Absorption 105 – durch Ozon 651, 653, 657 – in der Atmosph¨ are 649, 653 – von Solarstrahlung 660 – von Strahlung 29, 603 Absorptionsbande 653 Absorptionsgrad 30, 604, 605 – , Berechnung von -en 629 – des grauen Lambert-Strahlers 632 – eines grauen Strahlers 32 – f¨ ur Solarstrahlung 660, 661 – , gerichteter spektraler 604, 605, 628 –, –, von Gasen 692

– , hemisph¨ arischer spektraler 605, 629 – von Gasen 704 – von Metallen 638 Absorptionskoeﬃzient –, –, spektraler 642, 690 –, –, von Gasen 690 –, –, von Wasser 642 Absorptionskolonne 105 Absorptionszahl 633, 637 Ackermann-Korrektur 491 ADIP-Verfahren 235 ¨ Ahnlichkeitsl¨ osung 450 ¨ Ahnlichkeitstheorie 19 Aerosole 652 Albedo 34, 661 Analogieverfahren 157 Analogie zwischen Impuls-, W¨ armebzw. Stoﬀaustausch 408, 466 Anfangsbedingung 124, 177 Anfangs-Randwertaufgabe 157 Anheizen von Beh¨ altern 126 Anordnungsfaktor 414 Anteilsfunktion 620, 623 Antinetzmittel 506 Archimedes-Zahl 431 arithmetisches Mittel 8 Assmannsches Aspirationspsychrometer 101 Auftrieb 27 Auftriebskr¨ afte 447 Auftriebsstr¨ omung 26 Ausdehnungskoeﬃzient 27, 448

778

Sachverzeichnis

Auslegung eines W¨ arme¨ ubertragers 54 Aussenden von W¨ armestrahlung 590 Ausstrahlung 590 –, spektrale speziﬁsche 594, 595, 596, 616, 628 –, –, des grauen Lambert-Strahlers 631 –, –, des Schwarzen K¨ orpers 617, 619 – , speziﬁsche 591, 595, 596 –, –, des Schwarzen K¨ orpers 622 Austrittstemperatur 52 Austrocknen der Heizﬂ¨ ache 576 Azimutwinkel 592 Baker-Diagramme 557 Banden-Approximation 708 Beersches Gesetz 650, 651 Beh¨ altersieden 540 Beladung 93 Benetzung 479 Berechnung der Wandtemperaturen 37 – von Absorptionsgraden 629 Bernoullische Gleichung 341 Beschleunigungsdruckabfall 562, 563 Bestrahlung 600 –, Strahlungsgr¨ oßen der 600 Bestrahlungsdichte 600, 603 –, spektrale 600, 601, 603 Bestrahlungsst¨ arke 600, 602, 603 – der diﬀusen Solarstrahlung 660 – der extraterrestrischen Solarstrahlung 645 – der Globalstrahlung 659 – der Solarstrahlung am Erdboden 655 –, spektrale 602, 606 –, –, der direkten Solarstrahlung 656 –, –, der extraterrestrischen Solarstrahlung 647, 655 –, –, infolge Gasstrahlung 693 Betriebscharakteristik 54, 55, 71 – bei einseitig quervermischtem Kreuzstrom 67 – des Gegenstrom-W¨ arme¨ ubertragers 57, 58, 59 – des Gleichstrom-W¨ arme¨ ubertragers 58, 59

Bilanzgleichungen 304 Bildfunktion 158 Biot-Zahl 131, 177 – des Diﬀerenzenverfahrens 220 –, kleine 194 Blasenfrequenz 538, 539 Blasenradius 537 Blasensieden 526, 570, 571 –, allgemein 549 – an waagerechten Kupferrohren 550 – von Wasser 548 Blasenstr¨ omung 554, 555, 556 Blasiussches Gesetz 567 Boltzmann-Konstante 616 Boussinesq-Ansatz 358, 378 Boussinesq-Approximation 27, 450 Brechzahl 588, 634 – elektrischer Nichtleiter 636 –, komplexe 633 – von Metallen 637 burn-out 541 – -Ph¨ anomen 544 Cauchysche Bewegungsgleichung 317, 318 Celsiustemperatur 2 Chen, Verfahren von 573 Cosinusgesetz 598 Couette-Str¨ omung 335 Damk¨ ohler-Zahl 279 Dampfblasen, Frequenz von 538, 539 Dampfblasenentstehung 529 Dampfgehalt, thermodynamischer 560 –, volumetrischer 559 –, wahrer 560 Darcysches Gesetz 415, 417 Deﬁnition der Absorptionsgrade 605 – der Reﬂexionsgrade 610 – des Schwarzen K¨ orpers 614 Deklination der Sonne 647 Dephlegmator 510 Deposition controlled burnout 576 Destillat 107 Deviator 316, 320 Dichte 21 Dichtekennzahl 27 Dicke, optische 691, 700

Sachverzeichnis Dielektrika 634 Diﬀerentialgleichung f¨ ur das Konzentrationsfeld 267 – f¨ ur das Temperaturfeld 117, 121 – f¨ ur die Laplace-Transformierte 159, 160, 165 – f¨ ur gerade Rippen 143 – f¨ ur Kreisrippen 143 Diﬀerentialoperator, selbstadjungierter 228 Diﬀerenzengleichung 213, 215, 237 – , explizite 215, 234 – f¨ ur adiabaten Rand 219, 241 – f¨ ur den Zylinder 229, 230 – f¨ ur ebene Temperaturfelder 232, 235 – f¨ ur Gitterpunkt in Randn¨ ahe 239 – f¨ ur Randpunkt 240, 241 –, implizite 223, 234 Diﬀerenzenquotient 214 –, vorderer 214 –, zentraler 214 –, –, zweiter 214 Diﬀerenzenverfahren 213 –, explizites bei temperaturabh¨ angigen Stoﬀwerten 231 – f¨ ur ebene station¨ are Temperaturfelder 235 – f¨ ur Zylinderkoordinaten 227 –, graphisches 216 –, implizites 223, 224 – nach Crank-Nicolson 223, 230 Diﬀusion 74, 75, 264 –, ¨ aquimolare 82, 266 –, einseitige 82 –, station¨ are 277, 281 Diﬀusionsgleichung 264 Diﬀusionskoeﬃzient 79 –, turbulenter 358 Diﬀusionsstrom 76 Diﬀusionsstromdichte 76 –, turbulente 357 Diﬀusionswiderstandsfaktor 282 Dilatation 319 Diskretisierung – der W¨ arme¨ ubergangsbedingung 220 – einer Diﬀerentialgleichung 213 – mit ﬁniten Elementen 245

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– von Randbedingungen 217 Diskretisierungsfehler 214, 237 Dissipationsleistung 329 Doppelrohr-W¨ arme¨ ubertrager 46 Draper-Punkt 617 Druck, mittlerer 316, 317 –, thermodynamischer 317 Druckabfall, geod¨ atischer 562 – zweiphasiger Str¨ omungen 561 Druckdiﬀusion 74 Dryout 576 Eckert-Zahl 23, 348 Eﬀektivit¨ at eines W¨ arme¨ ubertragers 58 Eigenfunktion 179 Eigentemperatur 463, 464, 466 Eigenwert 179, 185, 186, 405 –, kleinster 182 Eigenwertaufgabe, Sturm-Liouvillesche 179 Eindringtiefe der Temperaturschwingung 175 Einheit, astronomische 646 Einheitstensor 316 Einlauﬂ¨ ange, hydrodynamische 394 Einlaufstr¨ omung, thermische 402 Einstrahlzahl 662 Eintrittstemperatur 52 Emission 28, 591 Emissionsbande 692 Emissionsgrad 30, 625, 695 – des grauen Lambert-Strahlers 631 –, gerichteter spektraler 626, 628 –, –, elektrischer Nichtleiter 635,636 –, –, von Gasen 692 –, –, von Metallen 637 –, hemisph¨ arischer spektraler 626, 629 –, –, elektrischer Nichtleiter 635 – in Richtung der Fl¨ achennormale 634, 636 – realer K¨ orper 633 –, spektraler einer Gaskugel 700 –, –, eines Gases 694 –, –, eines Gasvolumens 693 Energie, dissipierte 328 Energiebilanz 322 – einer Zone 674

780

Sachverzeichnis

– eines Kondensators 520 – f¨ ur einen Wirbelschichtreaktor 434 – por¨ ose K¨ orper 417, 419 Energiegleichung 332 –, Enthalpieform der 332, 461 – f¨ ur Kondensatoberﬂ¨ ache 517 –, Temperaturform der 332, 333 Energiequantum 588 Enhancement factor 574 Entropie 328 Entropieproduktion 329 Entropiestromdichte 329 Entwicklung, asymptotische des Fehlerintegrals 167 Ergun 416 –, Gleichung von 415 Error-function 167 Ersatzschaltbild f¨ ur den Strahlungsaustausch 676 Erstarren ebener Schichten 197 – einfacher K¨ orper 196 Erstarrungsdauer 199 – ebener Schichten 201 – zylinder- und kugelf¨ ormiger Schichten 203 Erstarrungsenthalpie 196, 197 Erstarrungsgeschwindigkeit 197, 204 Erw¨ armung d¨ unnwandiger Beh¨ alter 43, 44 – einer Platte 177 – eines halbunendlichen K¨ orpers 165 – eines Rechtkants 191 – eines Zylinders 191 – einfacher K¨ orper 176 Erw¨ armungszeit 187, 188, 192 Eulersche Gleichung 340 Exponentialintegral 211, 212 Extraktion 105 Exzentrizit¨ atsfaktor 645 Faltungssatz 159, 209 Feed 107 Fehlerintegral 167, 198 –, integriertes 168, 169, 206 –, komplement¨ ares 161, 164, 167, 169 FEM 244 Fenster, atmosph¨ arisches 654 Festbett 410 Ficksches Gesetz 79, 270, 273

Filmdicke 483, 501 Filmkondensation 478 – an waagerechten Rohren 484, 522 –, laminare 521, 522 – mit turbulenter Wasserhaut 496 –, turbulente str¨ omender D¨ ampfe 523 Filmsieden 552, 575 Filmtheorie 89 Filmverdampfung 541 Finite-Element-Methode 244 – f¨ ur ebene station¨ are Temperaturfelder 250 – f¨ ur instation¨ are, geometrisch armeleiteindimensionale W¨ probleme 258 – f¨ ur station¨ are, geometrisch eindimensionale Temperaturfelder 246 Finite Elemente 212, 232 Flachkollektor 640 Fl¨ ache, diﬀus strahlende 593, 599 –, mittlere 7 Fl¨ achenvergr¨ oßerung 39 Fließbett 411 Fl¨ ussigkeitstropfen 392 Fl¨ ussigkeits¨ uberhitzung 525 Fluidatbett 411 Fluidtemperatur, mittlere 17 Formfaktor 155, 662 Formkoeﬃzient 154, 155 Fourier, Gesetz von 4 Fourier-Zahl 129 – des Diﬀerenzenverfahrens 215 Freistromtemperatur 14 Frequenz 588 Froude-Zahl 513, 579 F¨ ullk¨ orper 105 F¨ ullk¨ orperkolonne 105, 108, 411 Galilei-Zahl 26 Gamma-Funktion 161 Gas, graues 706 Gashalbkugel 694 Gaskugel 699 Gasstrahlung 689 Gaußscher Integralsatz 119 Gegendiﬀusion, ¨ aquimolare 84 Gegenstrahlung, atmosph¨ arische 658 Gegenstrom 46, 61, 62

648,

Sachverzeichnis Gegenstromabsorber 106 Gegenstrom-W¨ arme¨ ubertrager 46, 56 geometrisches Mittel 8 Gesamt-Absorptionsgrad, gerichteter 605, 629 –, hemisph¨ arischer 605, 607, 630 Gesamt-Emissionsgrad eines Gases 694 – eines Gasvolumens 694 –, gerichteter 626, 629 –, hemisph¨ arischer 626, 629, 636 –, –, von CO2 696 –, –, von Gasen 698 –, –, von H2 O 697 –, –, von Metallen 639 – in Richtung der Fl¨ achennormale 640 Gesamtgr¨ oße, gerichtete 590 –, hemisph¨ arische 590 Gesamt-Reﬂexionsgrad, gerichteter 610 –, hemisph¨ arischer 610 Geschwindigkeitskonstante 278 Geschwindigkeitsproﬁl an der ebenen Platte 374 – der kompressiblen Str¨ omung 463 Geschwindigkeitsschwankung 355 Gesetz von Bouguer 648, 691 – von Darcy 415, 417 – von Forchheimer 416 – von Fourier 4, 118 – von Kirchhoﬀ 30, 610, 613, 628 – von Stefan-Boltzmann 622 Gitternetz 214, 221 –, quadratisches 236 –, zentriertes 228 Glattrohrb¨ undel 386 Gleichgewicht, hydrostatisches 444 Gleichgewichtsstrahlung 611 Gleichgewichtswert 275 Gleichstrom 46, 61, 62 – -W¨ arme¨ ubertrager 46, 56, 58 Gleichungen, Fresnelsche 633 – f¨ ur den Emissionsgrad von Gasen 698 Gleichungssystem f¨ ur den Strahlungsaustausch 681 – f¨ ur die Helligkeiten 681 Globalstrahlung 658

781

Graetz-Nußelt-Problem 402 Grashof-Zahl 28, 449 –, modiﬁzierte 449, 458 Grenzﬂ¨ ache 125 –, Temperatursprung an der 125 Grenzﬂ¨ achenspannung 479 Grenzschicht 11 –, laminare 365 Grenzschichtabl¨ osung 382 Grenzschichtdicke 13, 373 Grenzschichtgleichungen 342, 344 –, L¨ osungen der 371 Grenzschichttheorie 93 Gr¨ oße, gerichtete spektrale 590, 592 –, hemisph¨ arische spektrale 590 Grundgesetz der W¨ armeleitung 4 –, photometrisches 663 Hagen-Poiseuille-Str¨ omung 396 Halbraum 165, 594, 595 Hatta-Zahl 284 Haufwerk 393, 410, 411, 440 Helligkeit einer Fl¨ ache 673, 677, 682, 705 Henrysches Gesetz 103 Himmelsstrahlung 658 Hohlkugel 8 Hohlraum 611, 612, 613 –, isothermer 615 – mit drei Zonen 671 Hohlraumstrahlung 610, 611, 612 –, spektrale Strahldichte der 611 Hohlraumvolumenanteil 411 Hohlzylinder 8 Hookescher K¨ orper 321 Impfstoﬀe 506 Impulsbilanz 311 Impulsgleichung 446 Indiﬀerenzpunkt der Str¨ omung 364 Inertgas 489 Infrarot-Strahlung 589 Instabilit¨ at expliziter Differenzenverfahren 215, 216 Integralbedingung f¨ ur Energie 366 – f¨ ur Impuls 366 – f¨ ur Stoﬀaustausch 367 Integralmethoden 365 Inversion 445

782

Sachverzeichnis

IR-Strahlung 589 Isotherme 3 isotropes Material 4 Joulesche W¨ arme

119

Kapillarkr¨ afte 536 Katalysatoroberﬂ¨ ache 277, 278 Keimbildung 533, 536 Kenngr¨ oße 20 Kennlinie des Verdampfers 544 Kennzahl, dimensionslose 18, 19 –, –, der W¨ armeleitung 128 Kirchhoﬀsche Funktion 611, 614 K¨ orper, einseitig unendlich ausgedehnter 165 –, grauer 32, 630 –, por¨ ose 414 –, Schwarzer 29, 612, 614 Kolbenstr¨ omung 408 Komponenten-Kontinuit¨ atsgleichung 309 Kondensatﬁlm 485 Kondensathaut, turbulente 496 Kondensation bei Gleich- und Gegenstrom 512 –, Grenzf¨ alle der 516, 517 – str¨ omender D¨ ampfe 500 – von Dampfgemischen 509 Kondensationskeime 480 Kondensator 60, 107 –, Berechnung der Fl¨ ache eines -s 520 Konstanten, optische 633 Kontakt zweier K¨ orper 171 Kontakttemperatur 171, 172 Kontaktw¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient 125 Kontaktwiderstand 125 Kontaktzeit 96 Kontinuit¨ atsgleichung 308, 309 Kontinuumstheorie 2, 3 Konvektion, erzwungene 26 –, freie 26 –, nat¨ urliche 26 Konvektionssieden 527 Konzentrationsgrenzschicht 303, 350 Konzentrationsverlauf 108 Koordinaten, sph¨ arische 592 Korngr¨ oße, por¨ oser Stoﬀe 416

Korrespondenzen, Tafel der 159, 161 Kreisrippe 147 Kreuzstrom 48, 49, 64 –, einseitig quervermischt 64 – mit einer Rohrreihe 64 Kreuzstrom-W¨ arme¨ ubertrager 64 Kronecker-δ 316 K¨ uhlgrenztemperatur 98, 100, 101 Kugel 455 –, u omte 392 ¨ berstr¨ Kugelpackung 412 Kugelsch¨ uttung 412, 442 L¨ angsteilung 387 Lambertsches Cosinusgesetz 598, 599, 630, 634 Lambert-Strahler 599, 629 –, grauer 628, 631, 661 Laminarstr¨ omung, hydrodynamisch ausgebildete 393 –, thermisch ausgebildete 396, 399 Laplace-Konstante 537 Laplace-Operator 121 Laplace-Parameter 158 Laplacesche Diﬀerentialgleichung 123, 149 Laplace-Transformation 157 Laplace-Transformierte 157, 158, 159, 189 Leistung, dissipierte 119 Leistungsdichte 120, 133, 205, 324, 328 –, temperaturabh¨ angige 217 –, zeitabh¨ angige 205 Leiter, elektrischer 637 L´evˆeque-L¨ osung 406 Lewissches Beziehung 95, 353, 491 Lewissches Gesetz 95 Lewis-Zahl 95, 304 Licht 588 Lichtgeschwindigkeit 588, 616 Lichtstreuung 651 Lockerungsgeschwindigkeit 431 Lockerungspunkt 431 Lockhart-Martinelli-Parameter 567, 568 – Verfahren 566 L¨ oslichkeit 275 logarithmisches Mittel 8

Sachverzeichnis L¨ uckengrad

283, 412, 413, 416

Mach-Zahl 343 Maschenweite 214 Masse, optische 651 –, –, relative 651 Massenanteil 75 Massenbilanz 267, 269, 307 Material, isotrop 4 Materialgesetz 320, 330 Medium, nichtisotropes 5 Mehrfach-Reﬂexion 642, 643, 658 Mehrstoﬀgemisch 308, 326 Mengenbilanz 105 Mikrokonvektion 545 Mikrozone 535 Mischungstemperatur, adiabate 15, 397 Mischungsweg 361 Mischungsweghypothese 360 Mitteltemperatur 188 – der Platte 188 Modul des Diﬀerenzenverfahrens 215, 226, 230 Molanteil 75 Molmasse, mittlere 76 Nachrechnung eines W¨ arme¨ ubertragers 54 Nadel 39, 141 N¨ aherung f¨ ur große Zeiten 187 – f¨ ur kleine Biot-Zahlen 194 – f¨ ur kleine Zeiten 188 –, quasistation¨ are 200 Navier-Stokes-Gleichungen 322 Netto-Strahlungsﬂuss 669, 671, 674 Netto-Strahlungsmethode 673 Netzmittel 580 Newtonsches Fluid 321 nichtisotropes Medium 5 nichtkreisf¨ ormiges Rohr 441 Nichtleiter, elektrische 634 Normalspannungen 315 Nukijama-Kurve 539 Number of transfer-units 53 numerische L¨ osung von W¨ armeleitproblemen 212 Nußeltsche Wasserhauttheorie 480, 497

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–, Abweichungen von der 485 –, temperaturabh¨ angige Stoﬀwerte und 486 Nußelt-Zahl 20, 130, 384 – bei thermisch ausgebildeter Laminarstr¨ omung 402, 405 –, Endwert der 406 –, mittlere 24 Oberbeck-Boussinesq-Approximation 449 Oberﬂ¨ ache, adiabate 124 –, speziﬁsche 283, 412 –, vergr¨ oßerte 38 Oberﬂ¨ achenerneuerungstheorie 96 Oberﬂ¨ achenkr¨ afte 312, 313 Oberﬂ¨ achenreaktion, katalytische 277 Oberﬂ¨ achentemperatur 124 – der Sonne 623, 624, 645 Oberﬂ¨ achenverdampfung 525 Objektfunktion 158 Ozon 653 Ozonloch 653 Partialkondensator 510 P´eclet-Zahl 25, 347 Penetrationstheorie 96 Permeabilit¨ at 416 Pfropfenstr¨ omung 527, 528, 554, 556, 557, 570 Phase 2 Phasengrenzﬂ¨ ache 109 Phasen¨ ubergangszahl 198 Photon 588, 590 Photonengas 611 Planck-Konstante 588, 616 Plancksches Strahlungsgesetz 616 Platte, ebene 321, 364, 390 –, ebene l¨ angsangestr¨ omte 321, 364, 390, 391 –, geneigte 455 –, waagerechte 454 Plattenw¨ arme¨ ubertrager 48 Poiseuille-Parabel 393, 395 Polarwinkel 592 Pool boiling 540 Porennutzungsgrad 284 Potenzprodukt 21

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Sachverzeichnis

Prandtl-Analogie 378, 380 Prandtl-Zahl 23, 347 Produktansatz 178 Produktdarstellung mehrdimensionaler Temperaturfelder 191 Produktionsrate 268, 309 Proﬁlzylinder, querangestr¨ omter 392 Promotoren 506 Quantentheorie 588, 614 Querschnittsmittelwert der Temperatur 14 Querteilung 387 Randbedingung 177, 273 – dritter Art 126 – erster Art 124 – im Diﬀerenzenverfahren 217, 224, 238 – zweiter Art 124 Randwinkel 479, 537, 538 Raumwinkel 592 Raumwinkeleinheit 592 Raumwinkelelement 592 Rayleigh-Gleichung 519 Rayleigh-Streuung 651, 652, 656 Reaktion 120 –, chemische 120, 205 –, erster Ordnung 278 –, heterogene 277 –, homogene 277 –, n-ter Ordnung 278 –, nukleare 120, 205 Reaktionsrate 282, 310 Reaktor, katalytischer 277 Recovery-Faktor 464 Referenztemperatur 469 Reﬂexion 608 –, diﬀuse 608, 609, 672 –, spiegelnde 608, 609, 686 Reﬂexionsgrad 30, 610 –, gerichteter spektraler 610, 628 –, hemisph¨ arischer spektraler 610 Regenerator 50 Regressionsanalyse 546 Reibungsbeiwert 377, 408 Reibungsdruckabfall 562, 563 – der homogenen Zweiphasenstr¨ omung 565

Reibungskr¨ afte 448 Reintransmissionsgrad 641 –, spektraler 641 Rektiﬁkation 105 Rektiﬁzierkolonne 107 Rekuperator 50 Reynolds-Analogie 354, 380 Reynoldssches Transporttheorem 304, 306 Reynolds-Zahl 22 Reziprozit¨ atsbeziehung der Sichtfaktoren 664, 669 Richtungsverteilung reﬂektierter Strahlung 610 – von Strahlungsenergie 589, 590, 593 Rieselﬁlmkolonne 512 Ringspalt, konzentrischer 441 Ringstr¨ omung 527, 554, 555, 556, 557, 570 Rippe 39, 142 –, gerade 143 –, kreisf¨ ormige 143 – mit geringstem Materialaufwand 146 – mit Rechteckproﬁl 144 Rippenh¨ ohe, optimale 145 Rippenrohrb¨ undel 386 Rippenwirkungsgrad 40, 141, 146, 147 Rohr, durchstr¨ omtes 428 Rohranordnung 386 Rohrb¨ undel aus Glattrohren 392 –, quer angestr¨ omtes 386 Rohrb¨ undelkondensator 494, 504 Rohrb¨ undel-W¨ arme¨ ubertrager 47 Rohrregister, waagerechtes 485 Rohrschlange 48 Rohrstr¨ omung, laminare 393 –, turbulente 409 R¨ ucklaufkondensator 512 R¨ ucktransformation 160, 162, 163, 166 –, gliedweise 160, 163 Ruhetemperatur 463 S¨ attigungssieden 571, 578 Schallgeschwindigkeit 463 Schaum-Ringstr¨ omung 527, 528 Schaumstr¨ omung 554, 557, 570

Sachverzeichnis Scheibenrippen 148 Scheinspannungen, turbulente 357 Schichtdicke eines Gases 690 –, gleichwertige 695, 698, 700, 703 Schichtenstr¨ omung 359, 523, 555, 556, 579 Schichtung 445 Schleppleistung 325 Schlupf 559 Schlupﬀaktor 559, 563 Schmelzen eines Festk¨ orpers 196 Schmidt-Zahl 89 –, turbulente 380 Schubspannungen 315 – an der Phasengrenze 500 Schubspannungsgeschwindigkeit 360 Sch¨ uttung 442 Schw¨ achung der Solarstrahlung 647 Schw¨ achungskoeﬃzient 649 Schwallstr¨ omung 555, 556 Schwankungen, turbulente 355 Schwarzer K¨ orper 29, 612, 613 –, Deﬁnition des 614 –, Realisierung des 614 –, spektrale speziﬁsche Ausstrahlung des 614, 616, 617, 618 – speziﬁsche Ausstrahlung des 622 Schwerpunktsgeschwindigkeit 77 Separationsansatz 157, 178 Separationsparameter 179, 180 Shah, Gleichung von 503 Sherwood-Zahl 88 –, mittlere 94 Sichtfaktor 662, 664 –, Berechnung des -s 663 –, modiﬁzierter 671 –, Zusammenstellung von -en 666, 667 Siedekennlinie 544 Siedekrise 575 Sieden, stilles 525 –, unterk¨ uhltes 578 – von Gemischen 579 Siedezust¨ ande, kritische 575, 576 Singularit¨ atenverfahren 149 Smoggefahr 445 Solarenergienutzung 640 Solarenergietechnik 644 Solarkonstante 624, 646

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Solarstrahlung 607, 645 – am Erdboden 655 –, diﬀuse 649, 657 –, direkte 649, 657 –, extraterrestrische 646 –, Schw¨ achung der 648 Sommerzeit 648 Sonnen-Polarwinkel 647, 650 Sonnenzeit 648 Spannungen, Reynoldssche 357, 359 Spannungskomponenten 314 Spannungstensor 313, 315 Spannungsvektor 312 Spektrum elektromagnetischer Wellen 588, 589 Sph¨ arizit¨ at 431 Spritzerstr¨ omung 565 Spr¨ uhk¨ uhlung 576 Spr¨ uhstr¨ omung 527, 528, 554, 555, 556, 570 Stabilit¨ at beim Sieden 541 Stabilit¨ atsbedingung 215, 220, 230, 234 Stanton-Zahl 25, 377 Stefan-Boltzmann-Konstante 29, 622 Stefan-Korrektur 92 Stefan-Problem 197, 204 Stefan-Zahl 199 Steradiant 592 Stoﬀausdehnungskoeﬃzient 456 Stoﬀaustausch durch Rektiﬁkation 512 Stoﬀaustauschkolonne 108 Stoﬀdurchgang 72, 101 Stoﬀdurchgangskoeﬃzient 103 Stoﬀ¨ ubergang 73 – an der Katalysatoroberﬂ¨ ache 279 –, einseitiger 92 –, konvektiver 85 Stoﬀ¨ ubergangskoeﬃzient 86 Stoﬀ¨ ubergangstheorien 89 Stoﬀ¨ ubergangswiderst¨ ande 102, 104 Stoﬀ¨ ubertrager 104 Stoﬀ¨ ubertragung 72 Stoﬀwerte, temperaturabh¨ angige 26, 127, 227, 231 Stokesscher Ansatz 322 Stokessches Gesetz 433 Str¨ ahnen-Ring-Str¨ omung 554

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Sachverzeichnis

Strahldichte 593, 594, 595, 627 –, spektrale 591, 593, 596, 597, 601, 614, 627 –, – der extraterrestrischen Solarstrahlung 650 –, – der Hohlraumstrahlung 611 –, – des Schwarzen K¨ orpers 612, 614, 616 Strahlengang bei spiegelnder Reﬂexion 686, 687 Strahler, diﬀuser 598, 630 –, grauer 32, 630 Strahlst¨ arke 599 Strahlung des Schwarzen K¨ orpers 613 –, diﬀuse 649 –, durchgelassene 641 –, gestreute 649 –, thermische 28 – von Gasen 689 – von Ruß 708 Strahlungsaustausch 28, 30, 662 –, Ersatzschaltbild f¨ ur den 676 –, Gleichungssystem f¨ ur den 681 – im gasgef¨ ullten Hohlraum 704 – im Hohlraum 673, 675, 679 – im Hohlzylinder 682 – in Feuerungen 708 – zwischen grauen Lambert-Strahlern 672 – zwischen Schwarzen K¨ orpern 668 Strahlungsaustauschzahl 676, 679 Strahlungseigenschaften realer K¨ orper 625 – von Metallen 637 Strahlungsempf¨ anger 670, 675 Strahlungsﬂuss 591, 592, 593 –, absorbierter Teil des 604 Strahlungsgleichgewicht 670 Strahlungsgr¨ oßen der Ausstrahlung 596 – der Bestrahlung 603 Strahlungskonstanten 616 Strahlungsleistung 591 Strahlungsquelle 601, 670 Strahlungsschutzschirm 684 Streuung 648 – an Aerosolen 648, 652 – in der Atmosph¨ are 649 Str¨ omung, adiabate 461

–, einphasige 299 –, freie 443 –, reibungsfreie 300, 340 –, schleichende 339 –, turbulente 359, 377 –, zweiphasige 553 Str¨ omungsdampfgehalt 503, 559 –, volumetrischer 559 Str¨ omungsform-Diagramm 557 Str¨ omungsformen 554, 557 Str¨ omungsgrenzschicht 341, 342 Str¨ omungskarte 557 Str¨ omungssieden 527, 570, 571, 573 – im Ringspalt 574 – im senkrechten Rohr 579 – im waagrechten Rohr 579 Stromf¨ uhrung 46 – -en, Vergleich verschiedener 69 Stundenwinkel 648 Sturm-Liouvillesche Eigenwertaufgabe 179 Summationsregel der Sichtfaktoren 664 Sumpfprodukt 107 Suppression factor 573 Systeme, ruhende 264, 266 Tafel der Korrespondenzen 159, 160, 161 Tageszahl 645 Teilchenbezugssystem 77 Temperatur 2 – an der Phasengrenze 514 – des Rippenfußes 40 –, mittlere –, – der Erdoberﬂ¨ ache 34 –, transformierte 127 Temperaturabfall 37 Temperaturabh¨ angigkeit der Dichte 27 – der Stoﬀwerte 27 Temperaturanstieg durch Dissipation 424, 430 Temperatur¨ anderungen im W¨ armeu ¨ bertrager 52, 53 –, periodische 173 Temperaturdiﬀerenz 2 –, charakteristische 20 –, logarithmische 60

Sachverzeichnis –, mittlere 55 –, – eines Gegenstrom-W¨ arme¨ ubertragers 60 Temperaturfeld 3, 118 –, Diﬀerentialgleichung f¨ ur das 117, 121 – nach einer W¨ armeexplosion 210 –, station¨ ares 123, 190 – um eine linienf¨ ormige W¨ armequelle 210, 211 Temperaturfelder, ¨ ahnliche 128 –, ebene und r¨ aumliche 149 Temperaturgradient 4 Temperaturgrenzschicht 301, 302, 346 – von Mehrstoﬀgemischen 348 Temperatur-Konzentrationsdiagramm eines bin¨ aren Gemisches 511 Temperaturleitf¨ ahigkeit 23, 122, 123 –, turbulente 358 Temperaturproﬁl an der Wand 13 – in kompressibler Str¨ omung 467 Temperaturschwingung 173 –, Eindringtiefe der 175 – in Verbrennungsmotoren 173 –, jahreszeitliche 173 –, t¨ agliche 173 Temperaturstrahlung 28, 588 Temperaturverlauf 6 – an der Grenze zweier K¨ orper 125 –, Einﬂuss der Dissipation auf 427 – im str¨ omenden Fluid 13 – in einem Stab 137, 140 – in geraden Rippen 143 – in Rippen und Nadeln 141, 142 – in W¨ anden 8, 10 Temperaturverteilung beim Erw¨ armen oder Abk¨ uhlen einer Platte 180, 190 – im Stab 138 – im unendlich langen Zylinder 185 – in der Kugel 186 – um eine linienf¨ ormige W¨ armequelle 210, 211 – um eine punktf¨ ormige W¨ armequelle 209 Temperaturwellen im halbunendlichen K¨ orper 175 Tensor, Spur des 316

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Theorie der elektromagnetischen Wellen 633, 634 Thermodiﬀusion 74 Thomsonsche Gleichung 530 Totalkondensation, o ¨rtliche 514, 516 Tr¨ agheitskr¨ afte 447 Transmissionsgrad 30 – der Atmosph¨ are 655 –, gerichteter spektraler 692 –, spektraler 640 –, – der Atmosph¨ are 650, 652 –, – infolge Rayleigh-Streuung 652 –, – von Glas 641 Transport, diﬀuser 478 –, konvektiver 478 Treibhauseﬀekt 641 Tridiagonalsystem 224 Trocknung 93 Tropfenkondensation 479, 506 –, Theorien der 507 Tropfenstr¨ omung 565 Tr¨ ubungsformel 652 Turbulenzmodelle 355 ¨ Ubergang zwischen laminarer und turbulenter Kondensation 500 – Str¨ omung 380 ¨ Uberhitzung des Dampfes 488 ¨ Uberlagerung von freier und erzwungener Str¨ omung 458 – von W¨ armequellen und -senken 149 ¨ Ubertragungsf¨ ahigkeit eines W¨ armeu ¨ bertragers 52, 53 – bei Gegenstrom und Gleichstrom 62 –, dimensionslose 53 Ultraviolett-Strahlung 589 Umkehrformel 160 Umlenkbleche 48 Umwegfaktor 282, 283 Unterk¨ uhlung des Kondensats 488 Unterschicht, laminare 378 UV-Strahlung 589 Verdampfer 107 –, Arbeitspunkte eines 544 –, Kennlinie eines 544 Verdunstungsk¨ uhlung 97 Verschiebungsgesetz 616, 618 Versetzung 387

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Verst¨ arkungsfaktor 574 Verst¨ arkungss¨ aule 107 Verzerrungstensor 318, 319 Viskosit¨ at 21 –, dynamische 321 –, kinematische 23 –, turbulente 357 Volumenkr¨ afte 312 W¨ armeaustauscher s. W¨ arme¨ ubertrager W¨ armebegriﬀ 2 W¨ armedurchgang 34 – durch mehrschichtige W¨ ande 37 – durch Rohre 36 – durch W¨ ande mit vergr¨ oßerter Oberﬂ¨ ache 38 W¨ armedurchgangskoeﬃzient 35 W¨ armedurchgangswiderstand 36, 37, 38, 41, 42 – einer berippten Wand 40 W¨ armeeindringkoeﬃzient 168, 172 W¨ armeexplosion 209, 210 W¨ armeﬂuss, linearer 122 –, mehrdimensionaler 190 W¨ armekapazit¨ at, speziﬁsche 21 W¨ armekapazit¨ atsstrom 52 W¨ armeleistung 3 W¨ armeleitf¨ ahigkeit 4, 5, 21 –, mittlere 7, 9 –, temperaturabh¨ angige 135 –, turbulente 358 W¨ armeleitung 2, 5 – in L¨ angsrichtung eines Stabes 136 –, instation¨ are 156 – mit W¨ armequellen 132 –, station¨ are 132 –, –, geometrisch eindimensionale 6 – zwischen konzentrischen Kreisen 152 – zwischen zwei Rohren 152 W¨ armeleitungsgleichung 117, 121, 128 – bei temperaturabh¨ angigen Stoﬀwerten 127 – in Kugelkoordinaten 122 – in Zylinderkoordinaten 122 W¨ armeleitwert 7

W¨ armeleitwiderstand 7, 8, 37, 153, 154 W¨ armequellen 120, 132, 205, 217 –, homogene 205 –, linienf¨ ormige 207 –, punktf¨ ormige 207, 208 W¨ armestrahlung 28, 29, 587 –, Aussenden von 590 W¨ armestrom 2, 6 – durch ein Fl¨ achenelement 5 W¨ armestromdichte 3, 330, 331 –, Grenzwert f¨ ur die kritische 576 –, maximale 551 –, turbulente 357 W¨ armetauscher s. W¨ arme¨ ubertrager W¨ arme¨ ubergang 11 – an senkrechte Wand bei laminarer Str¨ omung 450 – an u omten K¨ orpern 389 ¨ berstr¨ – bei freier Str¨ omung 455 – beim Blasensieden 548, 571 – beim Kondensieren 478 – beim Sieden 524 – in durchstr¨ omten Kan¨ alen 440 – in zweiphasigen Str¨ omungen 569, 578 –, konvektiver 299 W¨ arme¨ ubergangsbedingung 127, 130, 219 – beim Diﬀerenzenverfahren 219, 220, 225 W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient 12, 126 – beim Sieden 545 – der Strahlung 33 –, mittlerer 17 –, o ¨rtlicher 12 arme¨ ubergangswiderstand 36, 42 W¨ W¨ arme¨ ubertrager 45, 51 –, Bauformen der 46 W¨ arme¨ ubertragung 1 – an por¨ osen K¨ orpern in zylindrischem Kanal 424 – in durchstr¨ omten Kan¨ alen 423 W¨ arme- und Stoﬀ¨ ubertragung in bin¨ aren Gemischen 457 Wand, ebene 6, 8 –, r¨ uckstrahlende 670, 675 Wandbindung 367 Wandbindungsgleichung 382

Sachverzeichnis Wandgesetz der turbulenten Str¨ omung 360 Wandtemperatur, Berechnung der 36 Wand¨ uberhitzung, ideale 584 Welle, elektromagnetische 588 Wellenbildung 485 Wellenl¨ ange 174, 588 Wellenl¨ angenverteilung der Strahlungsenergie 588, 592 Wellenstr¨ omung 555, 556 Widerstand, speziﬁscher elektrischer 120, 633, 637 Widerstandsbeiwert 368, 374, 410, 418, 433 Widerstandsgerade 544 Wiensches Verschiebungsgesetz 618 Windungsfaktor 282 Winkelkoordinaten 592 Winkelverh¨ altnis 662 Wirbel 355 Wirbelschicht 411, 430, 442, 443 –, heterogene 434 –, homogene 434

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Wirkungsgrad eines W¨ arme¨ ubertragers 58 – von Kreisrippen 147, 148 – von Rippen 146 – von Scheibenrippen 147 Wirkungsquantum 588 ¨ Zahl der Ubertragungseinheiten 53 Zeit, dimensionslose 129 –, mitteleurop¨ aische 647 Zenitwinkel 592 Zone 669 Zonen-Methode 708 Zwangskonvektion 527 Zweiﬁlmtheorie 102 Zweiphasenstr¨ omung 554 Zweischichtenmodell 378 Zylinder, quer angestr¨ omter 382, 383, 391 –, waagerechter 456