Finite-Elemente-Methode: Rechnergestützte Einführung (German Edition)

Finite-Elemente-Methode Peter Steinke Finite-Elemente-Methode Rechnergestützte Einführung 3., neu bearbeitete Auflag...

Author: Peter Steinke

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Finite-Elemente-Methode

Peter Steinke

Finite-Elemente-Methode Rechnergestützte Einführung 3., neu bearbeitete Auflage

1C

Professor Dr.-Ing. Peter Steinke Fachhochschule Münster Fachbereich Maschinenbau Stegerwaldstraße 39 48565 Steinfurt [email protected]

Die dritte Auflage ist um neue und überarbeitete Kapitel, eine Vielzahl weiterer Beispiele sowie eine neu gestaltete Lernsoftware CALL_for_FEM erweitert. Über die Internetadresse: http://extras.springer.com/2010/978-3-642-11204-1 kann dieses Softwarepaket heruntergeladen werden.

ISBN 978-3-642-11204-1 e-ISBN 978-3-642-11205-8 DOI 10.1007/978-3-642-11205-8 Springer Heidelberg Dordrecht London New York Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2004, 2007, 2010 Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Einbandentwurf: eStudio Calamar S.L., Figueres / Berlin Gedruckt auf säurefreiem Papier Springer ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media (www.springer.com)

Vorwort zur dritten Auﬂage Die dritte Auﬂage enth¨ alt zahlreiche Neuigkeiten und Verbesserungen. Neu ist z.B. das Kapitel zur Analogie zwischen W¨ arme¨ ubertragung und Schichten¨ str¨ omung. Uberarbeitet wurde unter anderem das Kapitel zum Timoshenko¨ Balken. Zum besseren Verst¨ andnis des Buchinhaltes sind weitere Ubungsbeispiele eingef¨ ugt worden. Deren L¨ osungen sind unter der neuen Benutzeroberﬂ¨ ache “ CALL for FEM“ (kurz: “ CfF“) zu ﬁnden. “ CfF“ kann aus dem Internet heruntergeladen werden (s. Kap 12.1.1 auf der S. 356). Die Benutoglicht den Zugriﬀ auf alle weiteren Ressourcen zeroberﬂ¨ ache von “ CfF“ erm¨ ¨ des Buches. Dies sind die L¨ osungen zu den Ubungsbeispielen, Beispiele zur FEM, symbolische und numerische FE-Programme, ein erweiterter und verbesserter Preprozessor “ FEM GEN“ auf symbolischer Basis, ein neuer Postprozessor “ FEM VIEW“, die Methode von Ritz, Lernsoftware zum Verst¨andnis und zur Vertiefung des Buchinhaltes und erkl¨ arende Video-Tutorials. Zudem kann neuerdings die FE-Rechnung mit Symbolen von “ FEM CAS“ auf dem uhrt werden. Zu den Anwendungen steht je“ CALL for FEM-Server“ durchgef¨ weils eine Hilfe zur Verf¨ ugung. Bei der Erstellung der dritten Auﬂage waren folgende Personen unterst¨ utzend t¨ atig: Herr Dipl.-Ing. Averkamp sowie Dipl.-Ing. Ad¨ammer, Dipl.-Ing. Hasselmann und als cand.-ing.’s: Ewering, Gehring, Hemker, Huning und Sebald. Dank gilt auch dem Springer-Verlag, insbesondere Frau Hestermann-Beyerle. Steinfurt, im Februar 2010

Peter Steinke

Hinweise zum Gebrauch dieses Buches Viele Erweiterungen, Erg¨ anzungen und weiterf¨ uhrende Hilfsmittel des Buches sind ausgelagert und u ur den K¨aufer des Buches herunter¨ber das Internet f¨ ladbar (s. Kap. 12.1.1 auf der S. 356). Die Hinweise auf diese zus¨atzlichen Lernmittel werden u ¨ber drei verschiedene Icons gesteuert, die am Außenrand des Buches auftreten: ¨ Nebenstehendes Icon tritt bei der Formulierung von Ubungsbeispielen im Buch auf, deren L¨ osungen unter dieser Iconform in “ CALL for FEM“ zu ﬁnden sind (s. Kap. 12.1.3 auf der S. 356). Dieses Icon zeigt an, daß zur Erl¨ auterung und Erg¨anzung des Buchinhaltes ein Video-Tutorial zur Verf¨ ugung steht (s. Kap. 12.1.5 auf der S. 358). Rechtes Icon gibt einen Hinweis auf die Lernsoftware, die den Buchinhalt unterst¨ utzt, erweitert und vertieft (s. Kap. 12.1.4 auf der S. 357).

x.y

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VI

Vorwort

Vorwort zur ersten Auﬂage Das vorliegende Buch samt der beigef¨ ugten CD-ROM ist aus Vorlesungen, ¨ Ubungen und Praktika hervorgegangen, die der Autor an verschiedenen Hochschulen f¨ ur Maschinenbauer und Maschinenbauinformatiker gehalten hat. Es wendet sich dar¨ uber hinaus an Studenten der Natur- und Ingenieurwissenschaften. Weiterhin ist es f¨ ur Physiker und Ingenieure geeignet, die sich im Selbststudium in die Methode einarbeiten wollen oder an Weiterbildungsveranstaltungen teilnehmen. In einem Anfangskapitel werden die mathematischen Hilfsmittel wiederholt, die f¨ ur die weitere Behandlung des Stoﬀes notwendig sind. Daran schließt sich die Beschreibung elastostatischer Probleme an. Zum Einstieg in die FEM wird das Verfahren von Ritz behandelt. Das Verfahren wird so beschrieben, daß es einer Programmierung mit einem Computeralgebra-System (CAS) zug¨anglich ist. Diese Vorgehensweise wird auch bei der Herleitung des weiteren Stoﬀes beibehalten. Neben der Elastostatik wird das Gebiet der Feldprobleme behandelt. Daran schließt sich die Betrachtung nichtlinearer Probleme f¨ ur Stab und Balken an. Abschließend wird auf die entwickelten Computeralgebraprogramme eingegangen. Die beigef¨ ugte CD-ROM stellt eine wesentliche Erg¨anzung des Buches dar. Sie enth¨ alt neben der Software, die aus insgesamt ca. 27000 Zeilen besteht, Handrechenbeispiele zu den einzelnen Kapiteln des Buches. Die Software soll rechnerunterst¨ utztes Lernen erm¨ oglichen. Sie ist in zwei Anwendungsfelder unterteilbar. Zum einen handelt es sich um Computeralgebraprogramme in “ MAPLE“, die die Ableitungen des Buches zum Inhalt haben. So ist zum Beispiel das eindimensionale Stabelement im Programm so verallgemeinert, daß man damit ein Stabelement mit n Knoten und verschiedenen Geometrieformen entwickeln kann. Zum anderen enth¨ alt die CD-ROM ein FE-Paket. Dieses liegt sowohl als Computeralgebraprogramm als auch in einer Hochsprache vor. Hiermit lassen sich FE-Probleme in symbolischer und numerischer Form l¨ osen. Erg¨ anzt wird das Paket um einen Postprozessor zur graﬁschen Auswertung der Eingabe- und Ausgabedaten. Das Arbeiten mit der umfangreichen Software wird mit einem separaten Hilfeprogramm unterst¨ utzt. Es werden Eingabebeschreibungen, die durch Beispiele erg¨anzt sind, leicht verst¨andlich. Weitere Beispiele zu den Programmen zeigen die Anwendungsbreite der Programme auf. Die Verkn¨ upfung von Buch und CD-ROM ist durch zahlreiche Verweise und Beispiele gegeben und machen so ein rechnergest¨ utztes Selbststudium m¨ oglich. Die Erstellung des Buches und der CD-ROM w¨are in der vorliegenden Form ohne die engagierte Mitarbeit verschiedener Personen nicht m¨oglich gewesen. Besonders bedanken m¨ ochte ich mich bei Herrn Dipl.-Ing. Averkamp, der

Vorwort

VII

f¨ ur die Erstellung der CD sowie f¨ ur die Erstellung der Bilder zust¨andig war. Weiterhin k¨ ummerte er sich um die Realisierung des Skriptes mit LATEX. Mein Dank gilt auch Frau cand.-ing. Fresmann und Frau cand.-ing. Kreuch, die einen Großteil des Skriptes mit LATEX realisierten und die Oberﬂ¨ache von “ MAPLE“ mittels maplets programmierten. Dank auch an Frau Dipl.-Ing. Terlinde f¨ ur die sorgf¨ altige Durchsicht des Skriptes. Danken m¨ochte ich auch dem Springer-Verlag f¨ ur die gute Zusammenarbeit, speziell Frau HestermannBeyerle. Steinfurt, im Juli 2003

Peter Steinke

Inhaltsverzeichnis 1 1.1 1.2 1.3 1.3.1 1.3.2

Einleitung Vorgehensweise bei der FEM .................................. Verschiedene Elementtypen ................................... Beispiele zur Finite-Elemente-Methode ..................... Beispiel zu nichtlinearen Problemen ......................... Beispiele zur Optimierung ......................................

3 5 10 10 11

2 2.1 2.2 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5 2.2.6 2.2.7 2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4 2.4 2.4.1 2.4.2 2.5 2.5.1 2.5.2 2.5.3 2.6 2.6.1 2.6.2 2.6.3 2.7 2.7.1 2.8 2.8.1 2.8.2 2.9 2.9.1

Mathematische Grundlagen Schreibweisen ..................................................... Vektoren ........................................................... Deﬁnition eines n dimensionalen Vektors ................... Skalarprodukt ..................................................... Kreuzprodukt ..................................................... Ableitung von Vektoren ........................................ Der Nabla-Vektor ................................................ Der Gradientenvektor ........................................... Divergenz und Laplace-Operator.............................. Matrizen ........................................................... Deﬁnition einer Matrix.......................................... Rechenregeln...................................................... Transponierte Matrix............................................ Orthogonale Matrix ............................................. Die Dyade (Tensor zweiter Stufe) ............................ Diﬀerentialoperator ............................................. Tensor h¨oherer Stufe ........................................... Felder .............................................................. Skalarfelder ....................................................... Das Vektorfeld als Gradient des Skalarfeldes .............. Das dyadische Feld .............................................. Lineare Transformation ......................................... Transformation eines Vektors.................................. Transformation einer Dyade (Tensor zweiter Stufe)....... Beispiele zur Transformation .................................. Funktionale........................................................ Diskretisierung des Funktionals ............................... Dreieckskoordinaten ............................................ Ableitungen in Dreieckskoordinaten (Jakobi-Matrix) ..... Integration in Dreieckskoordinaten ........................... Numerische Integration (Quadratur) ......................... Numerische Integration f¨ ur eindimensionale Probleme ...

19 20 20 20 20 21 22 22 23 23 23 24 26 27 27 28 28 28 28 29 29 32 32 34 34 36 38 39 41 44 45 45

X

Inhaltsverzeichnis

2.9.2 2.10 2.10.1 2.10.2 2.10.3 2.10.4 2.10.5 2.10.6 2.11 2.12

Numerische Integration in Dreieckskoordinaten ............ Lineare Gleichungssysteme bei der FEM .................... Deﬁnition der Bandbreite ...................................... Rechenzeiten zur L¨osung linearer Gleichungssysteme ..... Positiv deﬁnite Matrix ......................................... Das Verfahren von Cholesky .................................. Kondition linearer Gleichungssysteme ....................... Zwangsbedingungen bei linearen Gleichungssystemen .... N¨aherungsfehler bei der FEM ................................ Das Tonti-Diagramm............................................

47 48 49 49 50 51 53 56 57 58

3 3.1 3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.5 3.1.6 3.2 3.2.1

Beschreibung elastostatischer Probleme Die Grundgleichungen der Elastizit¨atstheorie............... Verkn¨ upfung der Verschiebungen mit den Dehnungen ... Das Stoﬀgesetz................................................... Gleichgewichtsbedingungen .................................... Randbedingungen ................................................ Das Tonti-Diagramm des elastostatischen Problems...... Verkn¨ upfung der Grundgleichungen der Elastostatik...... Das Prinzip virtueller Verr¨ uckungen.......................... Das Prinzip vom Gesamtpotential ............................

61 61 62 62 62 63 64 65 65

4 4.1 4.1.1 4.2 4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.3 4.3.1 4.3.2 4.3.3 4.4 4.4.1 4.4.2 4.4.3 4.4.4 4.4.5 4.4.6 4.4.7

Das Verfahren von Ritz Aufpr¨agen der wesentlichen Randbedingungen ............. Beispiel zu den wesentlichen Randbedingungen............ Eindimensionale Stabprobleme ................................ Diskretisierung der Form¨anderungsarbeit.................... Diskretisierung des Potentials der ¨außeren Lasten......... Beispiel zum eindimensionalen Stab ......................... Eindimensionale Balkenprobleme ............................. Diskretisierung der Form¨anderungsarbeit.................... Diskretisierung des Potentials der ¨außeren Lasten......... Variation des Gesamtpotentials .............................. Scheibenproblem ................................................. Verschiebungsans¨atze ........................................... Wesentliche Randbedingungen ................................ Dehnungen und Spannungen der Scheibe ................... Diskretisierung der Form¨anderungsarbeit.................... Diskretisierung des Potentials der ¨außeren Lasten......... Variation des Gesamtpotentials ............................... Kragbalken als Scheibenproblem ..............................

72 73 75 75 76 77 79 79 79 80 84 85 85 86 87 88 89 89

Inhaltsverzeichnis

5 5.1 5.1.1 5.1.2 5.1.3 5.1.4 5.1.5 5.1.6 5.1.7 5.1.8 5.1.9 5.1.10 5.1.11 5.1.12 5.2 5.2.1 5.2.2 5.2.3 5.2.4 5.2.5

Stabelemente Das eindimensionale Stabelement ............................ Problemdeﬁnition ................................................ Das Tonti-Diagramm des Stabes ............................. Das Funktional des Stabproblemes ........................... Diskretisierung des Funktionals des Stabes ................. Variation des Funktionals ...................................... Beispiel zum eindimensionalen Stab.......................... Direkte Erstellung der Gesamtsteiﬁgkeitsmatrix .......... Erstellung der Gesamtsteiﬁgkeitsmatrix (allgemein) ...... ¨ Ubungsbeispiele zum eindimensionalen Stab ............... Variable Querschnittsﬂ¨ache des Stabelementes ............ Eindimensionales Stabelement mit n Knoten .............. Eindimensionaler Stab mit drei bzw. vier Knoten ........ Das zwei- und dreidimensionale Stabelement ............. Das zweidimensionale Stabelement .......................... Beispiel zum zweidimensionalen Stabproblem ............. Optimierung eines Stabtragwerkes............................ ¨ Ubungsbeispiele zum zweidimensionalen Stab.............. Das dreidimensionale Stabelement ..........................

6 6.1 6.1.1 6.1.2 6.1.3 6.1.4 6.1.5 6.1.6 6.1.7 6.1.8 6.1.9 6.1.10 6.2 6.2.1 6.2.2 6.2.3 6.3 6.4

Balkenelemente Das eindimensionale Balkenelement .......................... Problemdeﬁnition ................................................ Dehnungen und Spannungen im Balken .................... Das Tonti-Diagramm des Bernoulli-Balkens ............... Funktional des Balkenproblems .............................. Formfunktionen des eindimensionalen Balkens ............ Diskretisierung des Funktionals ............................... Variation des diskretisierten Funktionals ................... Bilden der Steiﬁgkeitsmatrix .................................. Diskretisierung der Streckenlast............................... Schnittgr¨oßen des Balkenelementes .......................... Beispiel zum eindimensionalen Balken ....................... Zweiseitig gelagerter Balken mit Streckenlast .............. Konvergenztest beim zweiknotigen Balkenelement ........ Realisierung des Gelenkes u ¨ber eine Zwangsbedingung... ¨ Ubungsbeispiele zum Bernoulli-Balken....................... Balkenelement mit n Knoten und p Freiheitsgraden pro Knoten ............................................................. Das eindimensionale Balkenelement mit drei Knoten .....

6.4.1

XI

95 95 95 98 98 101 103 109 111 113 115 116 119 120 120 123 128 131 134

139 139 140 141 142 143 145 147 148 149 151 153 153 157 159 161 164 167

XII

Inhaltsverzeichnis

6.9.1 6.9.2

Das eindimensionale Balkenelement mit drei Freiheitsgraden pro Knoten .................................................. Balken mit unstetiger Kr¨ ummungsverteilung ............... Der Timoshenko-Balken ........................................ Schnittgr¨oßen beim Timoshenko-Balken .................... Locking-Eﬀect“ ................................................. ” ¨ Ubungsbeispiele zum Timoshenko-Balken................... Der elastisch gelagerte Balken ............................... Beispiel zum elastisch gelagerten Balken .................... Zweidimensionales Balkenelement ............................ Freiheitsgrade des zweidimensionalen Balkens ............. ¨ Uberlagerung der Dehnungen von Stab und Balken ...... Steiﬁgkeitsmatrix ............................................... Transformation der Steiﬁgkeitsmatrix........................ ¨ Beispiel und Ubungsbeispiele zum zweidimensionalen Balken ................................................................. Winkelproblem.................................................... ¨ Ubungsbeispiele zum zweidimensionalen Balken ...........

7 7.1 7.2 7.2.1 7.3 7.4 7.4.1 7.4.2 7.4.3 7.4.4 7.4.5 7.5 7.6

Scheibenproblem Problemdeﬁnition ................................................ Die Grundgleichungen des Scheibenproblems ............. Die Feldgleichungen der Scheibe ............................. Das Funktional des Scheibenproblems ....................... Diskretisierung des Funktionals ............................... Formfunktionen des Dreieckselementes ..................... Variation des diskretisierten Funktionals .................... Diskretisierung der Volumenkr¨afte............................ Diskretisierung der Streckenlasten ............................ Spannungen in der Scheibe .................................... Beispiele zum Scheibenproblem ............................... ¨ Ubungsbeispiele zur Scheibe ...................................

209 210 211 212 213 213 217 219 222 225 225 232

8 8.1 8.2 8.2.1 8.2.2 8.2.3 8.2.4 8.2.5 8.3

Platten- und Schalenelemente Problemdeﬁnition ................................................ Grundbeziehungen der Platte.................................. Voraussetzungen bei der Kirchhoﬀ-Platte .................. Kinematische Gr¨oßen der Platte .............................. Kr¨ ummungs-Momenten-Beziehung (Stoﬀgleichung) ...... Gleichgewichtsbeziehungen der Platte ....................... Randbedingungen der Platte .................................. Das Funktional der Platte .....................................

237 237 237 239 240 242 242 243

6.5 6.5.1 6.6 6.6.1 6.6.2 6.6.3 6.7 6.7.1 6.8 6.8.1 6.8.2 6.8.3 6.8.4 6.9

171 174 175 181 182 184 185 187 192 192 192 193 195 198 198 204

Inhaltsverzeichnis

XIII

8.4 8.4.1 8.4.2 8.4.3 8.4.4 8.5 8.5.1 8.5.2 8.5.3 8.5.4 8.5.5 8.5.6 8.5.7 8.6 8.7

Anforderungen an das Plattenelement ....................... Kompatibilit¨at (konforme Elemente) ......................... Starrk¨orperbewegung............................................ Konstanter Dehnungszustand (Verzerrungszustand) ...... Einige Dreiecksplattenelemente ............................... Diskretisierung des Funktionals ............................... Ansatzfunktion f¨ ur die Durchbiegung ........................ Interpolationsbedingungen ..................................... Formfunktionen .................................................. Kr¨ ummungs-Verschiebungs-Beziehung....................... Steiﬁgkeitsmatrix ................................................ Fl¨achenlast ........................................................ Streckenlast entlang einer Elementkante .................... Konvergenztest des Plattenelementes........................ Schalenelement ...................................................

9 9.1 9.1.1 9.1.2 9.1.3 9.2 9.2.1 9.2.2

Feldprobleme W¨arme¨ ubertragung .............................................. 269 Die Poisson’sche Gleichung .................................... 269 Randbedingungen ................................................ 269 Das Funktional der W¨arme¨ ubertragung ..................... 270 Eindimensionale W¨arme¨ ubertragung ......................... 271 Problemdeﬁnition ................................................ 271 Funktional des eindimensionalen W¨arme¨ ubertragungsproblems ............................................................... 271 Diskretisierung des Funktionals ............................... 272 Variation des Funktionals ...................................... 276 Beispiel zur eindimensionalen W¨arme¨ ubertragung......... 277 ¨ Ubungsbeispiele: Eindimensionale W¨arme¨ ubertragung ... 282 Zweidimensionale W¨arme¨ ubertragung ...................... 284 Problemdeﬁnition ................................................ 284 Randbedingungen bei der zweidimensionalen W¨arme¨ ubertragung ............................................................ 284 Diskretisierung des Funktionals .............................. 285 Variation des Funktionals ...................................... 292 Beispiel zur zweidimensionalen W¨arme¨ ubertragung ....... 294 ¨ Ubungsbeispiele zur zweidimensionalen W¨arme¨ ubertragung 299 Torsion von prismatischen K¨orpern .......................... 302 Funktional des Torsionsproblems.............................. 305 Analogie - W¨arme¨ ubertragung zu Schichtenstr¨ omung.... 308 Problembeschreibung ........................................... 308

9.2.3 9.2.4 9.2.5 9.2.6 9.3 9.3.1 9.3.2 9.3.3 9.3.4 9.3.5 9.3.6 9.4 9.4.1 9.5 9.5.1

245 245 246 247 247 249 249 250 253 253 254 255 256 257 258

XIV

Inhaltsverzeichnis

9.5.2 9.5.3 9.5.4

Grundgleichungen ................................................ 308 Analogie der Randbedingungen ............................... 310 Analoges Funktional des Str¨ omungsproblems .............. 311

10 10.1 10.1.1 10.1.2 10.2 10.2.1 10.2.2 10.3 10.3.1 10.4 10.4.1 10.4.2 10.4.3

Eigenfrequenzen und Schwingungsformen von St¨ aben und Balken Der eindimensionale Stab ...................................... 315 Massenmatrix des eindimensionalen Stabes................. 316 Eigenfrequenzen und Schwingungsformen................... 316 Beispiele zum eindimensionalen Stab ........................ 318 Einmassenschwinger ............................................. 318 Zweimassenschwinger ........................................... 319 Der eindimensionale Balken.................................... 322 Massenmatrix des eindimensionalen Balkens ............... 322 Beispiele zum eindimensionalen Balken...................... 323 Beidseitig gelenkig gelagerte Balken ......................... 324 Kragbalken ........................................................ 326 ¨ Ubungsbeispiel zur Balkenschwingung ....................... 328

11 11.1 11.1.1 11.1.2 11.1.3 11.1.4 11.2 11.2.1 11.2.2 11.2.3 11.2.4 11.2.5 11.2.6

Nichtlineare Probleme Große Verformungen ............................................ Dehnungs-Verschiebungs-Beziehung ......................... Dehnungen f¨ ur Stab und Balken .............................. Stab mit großen Verformungen ............................... Balken mit großen Verformungen ............................. Knicken von St¨aben und Balken .............................. Beispiel zum Stabknicken ...................................... Knickbeispiel I (Stab) ........................................... Beispiel zum Knicken von Balken............................. Die vier Eulerf¨alle ................................................ Knickbeispiel II (Balken) ....................................... Knickbeispiel III (Dreiknotiges Balkenelement) ............

333 333 334 334 337 341 343 346 346 349 350 350

12 12.1 12.1.1 12.1.2 12.1.3 12.1.4 12.1.5 12.1.6 12.1.7

CALL for FEM ¨ Ubersicht u ¨ber CALL for FEM ................................ Installation von CALL for FEM auf dem Rechner ......... Updates zu CALL for FEM .................................... ¨ L¨osungen zu den Ubungsbeispielen ........................... Hinweise auf die Lernsoftware durch Icons.................. Video-Tutorials als Lernmittel ................................. FE-Programme ohne MAPLE nutzbar ....................... FEM CAS u ¨ber den CALL for FEM-Server nutzbar.......

355 356 356 356 357 358 358 360

Inhaltsverzeichnis

12.1.8 12.2 12.2.1 12.2.2 12.2.3 12.2.4 12.2.5 12.2.6 12.2.7 12.2.8 12.2.9 12.2.10 12.2.11 12.2.12 12.2.13 13 13.1 13.2 13.3

Weitere Lernsoftware zur Unterst¨ utzung des Buches ..... Weitere Programmbeschreibungen ........................... Das Programm InterFEM ...................................... Das Verfahren von Ritz f¨ ur den eindimensionalen Stab (Ritz Stab) ........................................................ Das Verfahren von Ritz f¨ ur den Balken (Ritz Balken) .... Das Verfahren von Ritz f¨ ur die Scheibe (Ritz Scheibe) .. Eindimensionales Stabelement (Stab 1D)................... Eindimensionales Balkenelement (Balken 1D) ............. Timoshenko-Balken.............................................. Dreiecksscheibenelement (Scheibe Dreieck) ................ Plattenelement (Platte) ........................................ Knicken eines eindimensionalen Balkens (Knicken Balken) Eigenfrequenzen und Schwingungsform des Balkens (Dynamik Balken) .................................................... Eindimensionale Feldprobleme (Feldprobleme 1D) ........ Zweidimensionale Feldprobleme (Feldprobleme 2D) ......

XV

361 363 363 363 365 367 369 371 372 373 374 374 376 377 377

Beispiele zu den Programmen Rahmen durch Federn gest¨ utzt ............................... 381 Scheibe gest¨ utzt durch eine Feder ............................ 382 W¨arme¨ ubertragung (Torsion) eines gleichseitigen Dreiecks (Quadrates)................................................. 384 Verwendete Formelzeichen und Symbole . . . . . . . . . . . .

389

Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

399

Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

403

Programme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

411

Kapitel 1 Einleitung

1

1

1 1.1 1.2 1.3 1.3.1 1.3.2

Einleitung Vorgehensweise bei der FEM .................................. Verschiedene Elementtypen ................................... Beispiele zur Finite-Elemente-Methode ..................... Beispiel zu nichtlinearen Problemen ......................... Beispiele zur Optimierung ......................................

3 5 10 10 11

1 Einleitung Das Aufkommen und die rasante Weiterentwicklung der elektronischen Datenverarbeitung (EDV) in den letzten Jahrzehnten, er¨oﬀneten in vielen Ingenieurdisziplinen vollkommen neue M¨ oglichkeiten. So lassen sich viele physikalische Vorg¨ ange, die fr¨ uher ausschließlich in einem Versuch nachgebildet werden konnten, heute auf dem Rechner simulieren. W¨ahrend der Versuch in der Regel ein Modell oder eine Istausf¨ uhrung ben¨otigt, kann die Simulation schon in einem Vorstadium der Entwicklung eingesetzt werden. Ein wichtiges Einsatzgebiet der Simulation ist das der Strukturmechanik. Sie erm¨oglicht in diesem Rahmen die Berechnung von Verformungen, Spannungen, Temperaturen und anderen Gr¨ oßen von beliebig komplizierten Bauteilen. Ein Verfahren innerhalb der Simulation, das in den letzten Jahrzehnten immer mehr an Bedeutung gewonnen hat, ist die Finite-Elemente-Methode (FEM). Die allgemeing¨ ultige Formulierung, die der FEM zugrunde liegt, f¨ uhrt zu einem Einsatz auf vielen Gebieten des Ingenieurwesens. Im Abschnitt 1.2 werden einige Beispiele zu den Anwendungsm¨ oglichkeiten der Methode in verschiedenen Bereichen aufgezeigt. Die FEM ist von Hause aus ein numerisches Verfahren. Die Ein- und Ausgabedaten bestehen aus Zahlen. Mit dem Aufkommen von Computeralgebraoﬀnen sich neue M¨ oglichkeiten. Statt mit Zahlen wird mit Systemen (CAS) er¨ Symbolen gearbeitet. Diese Vorgehensweise wird in diesem Buch genutzt. Es werden die abgeleiteten Algorithmen in Computeralgebraprogrammen umgesetzt (s. Kap. 12, 13). Die Software kann u ¨ber das Internet heruntergeladen werden (s. Kap. 12.1.1 auf der S. 356). Die Programme k¨onnen u ¨ ber eine Benutzeroberﬂ¨ ache interaktiv genutzt werden und dienen als Basis zur rechnergest¨ utzten Einarbeitung in die FEM.

1.1

1.1 Vorgehensweise bei der FEM In Bild 1.1 sind die einzelnen Schritte bei der Anwendung der FEM dargestellt. Der erste Schritt beschreibt die Modellierung des Problems. Die Geometrie des realen Bauteils, hier die eines Kragbalkens, wird idealisiert. Im vorliegenden Fall wird das dreidimensionale Problem auf ein ebenes zur¨ uckgef¨ uhrt, indem die Mittelebene des Kragbalkens betrachtet wird. Damit kann das Problem als Scheibenproblem beschrieben werden. Bei der Diskretisierung wird die Mittelebene gedanklich in ﬁnite Elemente eingeteilt, hier in Viereckselemente. Dies f¨ uhrt auf das sogenannte FE-Netz. Den Elementen des Netzes wird die Dicke des Kragbalkens zugeordnet. Damit wird die dritte Dimension der Geometrie ber¨ ucksichtigt. Als n¨ achstes werden die Randbedingungen dem Modell aufgepr¨ agt. Im angef¨ uhrten Beispiel sind es die La-

A

4

1. Einleitung

Bild 1.1. Schritte bei der Anwendung der FEM

gerungsbedingungen1 sowie die Belastung2 . Die Modellierung wird auch als Preprozessing bezeichnet. Ausgehend von einem CAD-Modul [50] wird die Generierung der Elemente und Randbedingungen graﬁsch interaktiv durchgef¨ uhrt. In der Mitte von Bild 1.1 sind die Algorithmen angef¨ uhrt, die den Kern der FEM ausmachen. Als erstes werden die Steiﬁgkeitsmatrizen der einzelnen Elemente aufgestellt. Sie werden sodann additiv zu einer Gesamtsteiﬁgkeitsmatrix u ¨ berlagert. Diese Matrix stellt gleichzeitig die Koeﬃzientenmatrix eines Gleichungssystems dar, dessen L¨ osung auf die gesuchten Unbekannten f¨ uhrt. Im vorliegenden Fall sind es die Verformungen des Kragbalkens. Zur L¨osung des Gleichungssystems m¨ ussen die Lagerungsbedingungen ber¨ ucksichtigt werden. Aus den Verformungen k¨ onnen die Spannungen und Reaktionsgr¨oßen berechnet werden. 1

Diese Bedingungen werden im folgenden wesentliche oder auch geometrische Randbedingungen genannt. 2 Die Kraftrandbedingung wird allgemein als nat¨ urliche Randbedingung bezeichnet.

1.2

Verschiedene Elementtypen

5

Der hohe numerische Aufwand dieser Algorithmen stand einem praktischen Einsatz der FEM urspr¨ unglich im Wege. Insbesondere das L¨osen des Gleichungssystems erfordert eine hohe Rechenleistung. Die rasante Weiterentwicklung der Rechner erm¨ oglicht aber heute selbst den Einsatz dieser Methode auf kleineren Rechenanlagen. In der letzten Zeile von Bild 1.1 sind die m¨ oglichen Ergebnisse angef¨ uhrt. Die große Anzahl von Ergebnisdaten in Zahlenform macht auch bei der Ergebnisdarstellung, dem sogenannten Postprozessing, den Rechnereinsatz notwendig. Die graﬁsche Interpretation der Ergebnisdaten verschaﬀt einen schnellen ¨ Uberblick u ¨ ber das Verformungsverhalten des Bauteils. Ebenso lassen sich die Spannungsverteilung im Bauteil sowie die auftretenden Reaktionskr¨afte graﬁsch auswerten.

1.2 Verschiedene Elementtypen In den Tab. 1.1 bis 1.4 sind verschiedene Elementtypen dargestellt. Die Tabellen weisen jeweils zwei Spalten auf. In der linken Spalte ist die Elementform aufgef¨ uhrt. Die Knoten des Elementes sind mit Punkten und mit Knotennummern in Form von Buchstaben1 i, j, k, . . . gekennzeichnet. In einem Knoten sind exemplarisch die Knotenfreiheitsgrade angef¨ uhrt, f¨ ur einen weiteren Knoten die zugeordneten Kr¨ afte und Momente. Die Knoten, die als kleine Kreise dargestellt sind, sind m¨ ogliche zus¨ atzliche Knoten. So kann das Stabelement in Tab. 1.1 sowohl zwei Knoten i, j, drei Knoten i, j, k oder eine noch h¨ ohere Knotenanzahl aufweisen (s. Kap. 5.1.11). Das gilt auch f¨ ur das Balkenelement (s. Kap. 6.4). Das Scheibenelement hat die Form eines Dreiecks oder Vierecks. Jeder Knoten weist zwei Verschiebungen u, v als Freiheitsgrade auf. Diesen zugeordnet sind atzliche Knoten k¨ onnen auf der Seitenhalbierenden die Kr¨ afte Fx und Fy . Zus¨ des Elementes auftreten. Die rechte Spalte zeigt jeweils ein Anwendungsbeispiel zu den einzelnen Elementtypen. F¨ ur das Stabelement ist es ein ebenes Fachwerk, das durch mehrere Kr¨ afte belastet wird. F¨ ur das Balkenelement ist ein ebener Rahmen als Beispiel angef¨ uhrt. Der Rahmen wird durch eine Kraft, eine Streckenlast und ein Moment belastet und ist zweifach gelagert. Als Anwendungsgebiet der Scheibenelemente ist ein Zylinderauge mit Bolzen angef¨ uhrt. Dieses Beispiel wird durch Dreiecks- und Viereckselemente beschrieben. Der Bolzen wird durch eine Kraft F belastet. Das eine Ende des Zylinderauges ist fest eingespannt. Die Besonderheit des Problemes liegt darin, daß das Beispiel aus 1

¨ Bei einigen Elementen sind aus Gr¨ unden der Ubersichtlichkeit nicht alle Knoten gekennzeichnet.

1.2

6

1. Einleitung

Tabelle 1.1. Stab-, Balken- und Scheibenelemente

Anwendung

Stabelement

Elementtyp

Fachwerk

3 Freiheitsgrade pro Knoten

Rahmen

Vierecksscheibenelement

Dreiecksscheibenelement

Balkenelement

2 Freiheitsgrade pro Knoten

2 Freiheitsgrade pro Knoten

Zuglasche mit Bolzen als Kontaktproblem

2 Freiheitsgrade pro Knoten

1.2

Verschiedene Elementtypen

7

Tabelle 1.2. Plattenelemente

Vierecksplattenelement

Dreiecksplattenelement

Elementtyp

Anwendung

3 (2) Freiheitsgrade pro Knoten

Dreiseitig gelagerte Platte

3 Freiheitsgrade pro Knoten

zwei K¨ orpern besteht. Die Kraft F wird vom Bolzen u ¨ber die Kontaktzone auf das Zylinderauge u ¨bertragen. Das Kontaktproblem bedarf innerhalb der FEM einer speziellen Behandlung. ¨ Die Tab. 1.2 f¨ uhrt Plattenelemente an. Einen detaillierten Uberblick u ¨ ber Plattenelemente ﬁndet man in [5]. Das einfachste Dreiecksplattenelement [8] hat drei Freiheitsgrade pro Knoten, n¨ amlich die Durchbiegung w der Platte sowie die beiden Verdrehungen θx , θy um die x- bzw. um die y-Achse. Eine Erh¨ ohung der Knotenanzahl weist das Element auf, das auf den Seitenhalbierenden zus¨ atzliche Knoten l, m, n hat [10]. Diese zus¨atzlichen Knoten haben je zwei Freiheitsgrade pro Knoten, n¨ amlich die Durchbiegung w sowie die Ableitung der Durchbiegung nach der Randnormalen ∂w/∂n. Das einfachste Vierecksplattenelement in Tab. 1.2 hat die Form eines Rechteckes oder in erweiterter Form die eines Parallelogrammes [2, 5]. Es weist je Knoten drei Freiheitsgrade auf. Eine Erh¨ ohung der Knotenanzahl beim Vierecksplattenelement f¨ uhrt auf das achtknotige Element mit je drei Freiheitsgraden (Durchbiegung und zwei Verdrehungen) pro Knoten. Grundlage

8

1. Einleitung

Tabelle 1.3. Schalenelemente

Vierecksschalenelement

Dreiecksschalenelement

Elementtyp

Anwendung

6 (5) Freiheitsgrade pro Knoten

K¨ uhlturm

6 (5) Freiheitsgrade pro Knoten

dieses Elementes ist die Theorie schubelastischer Platten [30], w¨ahrend die vorherigen Plattenelemente auf der Theorie schubstarrer Platten basieren. Das Anwendungsbeispiel zu den Plattenelementen zeigt eine dreiseitig gelagerte Platte. Sie wird durch neun vierknotige Elemente beschrieben und durch Einzelkr¨ afte belastet. ¨ Die Uberlagerung von Scheiben- und Plattenelement ist ein Weg, Schalenelemente zu erstellen (s. Tab. 1.3). Das einfachste so erstellte Schalenelement ist das dreiknotige Schalenelement [4]. Jeder Knoten hat sechs Freiheitsgraur einen Knoten de u, v, w, θx , θy , θz . Der sechste Freiheitsgrad θz wird f¨ eingef¨ uhrt, wenn alle an den Knoten angrenzenden Elemente nicht in einer Ebene liegen. Liegen sie in einer Ebene, braucht er nicht deﬁniert zu werden [46]. Das sechsknotige Schalenelement kann zweifach gekr¨ ummt sein [3]. Beim Vierecksschalenelement tritt sowohl das vierknotige, achtknotige als auch das

1.2

Verschiedene Elementtypen

9

Tabelle 1.4. Tetraeder-, Pentaeder- und Hexaederelemente

Anwendung

Tetraederelement

Elementtyp

Pentaederelement

3 Freiheitsgrade pro Knoten

Hexaederelement

3 Freiheitsgrade pro Knoten

S¨aulenf¨ uhrung

3 Freiheitsgrade pro Knoten

neunknotige Element auf. Beim neunknotigen Element liegt der neunte Knoten in der Schalenmitte. Das Anwendungsbeispiel zeigt das Netz eines K¨ uhlturms. Es besteht aus 900 Viereckselementen. Mit Hilfe des Netzes k¨ onnen unter anderem Verformungen, Schnittgr¨ oßen und Spannungen in diesem Bauteil berechnet werden.

10

1. Einleitung

Ebenso kann das Beulverhalten, das bei einer solchen Konstruktion von Bedeutung sein kann, untersucht werden. Die in Tab. 1.4 dargestellten r¨ aumlichen Elemente sind das Tetraeder-, Pentaeder- und Hexaederelement. Jeder Knoten hat drei Freiheitsgrade, die Verschiebungen u, v, w. Die einfachsten Elemente haben vier (Tetraederelement), sechs (Pentaederelement) oder acht Knoten (Hexaederelement). Beim Hexaederelement existiert zu den aufgef¨ uhrten Elementen noch ein Element mit 27 Knoten. Es ist f¨ ur die Praxis ebenfalls von Bedeutung. Das Anwendungsbeispiel zeigt das FE-Netz einer F¨ uhrungseinheit einer Arbeitsb¨ uhne. Es besteht aus 9858 Tetraederelementen und 19564 Knoten.

1.3

B

1.3 Beispiele zur Finite-Elemente-Methode 1.3.1 Beispiel zu nichtlinearen Problemen

Im unteren Teil der Tab. 1.1 auf der S. 6 ist das FE-Netz einer BolzenZuglaschenverbindung angef¨ uhrt. Diese Verbindung kann als Scheibenproblem betrachtet werden, da ein ebener Spannungszustand vorliegt. Das Problem enth¨ alt folgende Nichtlinearit¨ aten:

Bild 1.2. Verformungen und Spannun-

gen einer Bolzen-Zuglaschenverbindung

Nichtlineares Materialverhalten Große Verformungen Kontaktproblem Die Belastung des Bolzens wird u ¨ ber die Kontaktzone auf die Zuglasche u bertragen. Dabei bildet sich bei zunehmender Belastung ein immer gr¨oßerer ¨ Kontaktbereich zwischen Bolzen und Lasche aus. Gleichzeitig wird das FENetz nach einem bestimmten Kriterium verfeinert [35, 1]. In Bild 1.2 sind die Verformungen und Vergleichsspannungen f¨ ur den maximalen Belastungszustand dargestellt. Die gestrichelten Linien geben den unverformten Zustand wieder. Es ist deutlich zu erkennen, daß große Verformungen auftreten, denn auf der R¨ uckseite des Bolzens tritt ein großes Loch

1.3

Beispiele zur Finite-Elemente-Methode

11

zwischen Bolzen und Lasche auf. Der Bolzen legt sich u ¨ ber einen Winkelbe◦ reich von nahezu 180 an die Lasche an. Die Spannungen sind in Form von Isolinien dargestellt. Es treten Spannungen auf, die im plastischen Bereich liegen. 1.3.2 Beispiele zur Optimierung Formoptimierung

Bild 1.3 zeigt in seiner linken H¨ alfte einen Ausschnitt aus einem Doppel-TTr¨ ager. Der Tr¨ ager weist in seiner Ausgangsl¨ osung einen Durchbruch in Form einer Raute mit ausgerundeten Ecken auf. Die obere H¨alfte dieser Raute ist in Bild 1.3 dargestellt. Unter einer biegeartigen Belastung stellt sich auf dem Durchbruchsrand eine Vergleichsspannung ein, wie sie in Bild 1.3 normal zum Rand aufgetragen ist. Die Ecken der Raute weisen infolge von Kerbwirkungen Spannungs¨ uberh¨ ohungen auf. Diese werden durch eine Optimierung der Form des Durchbruches vermieden.

Bild 1.3. Doppel-T-Tr¨ ager mit einem Durchbruch in der Ausgangs- und optimierten Form

Der untere Bereich des Durchbruches stellt eine H¨alfte dieser Form [47] dar. Sie wurde mit einem speziellen Algorithmus [46] iterativ gefunden. Es stellt sich ein nahezu konstanter Spannungsverlauf1 auf dem Durchbruchsrand ein. In der rechten H¨ alfte von Bild 1.3 sind die Formen der Ausgangsl¨osung und der optimierten L¨osung angef¨ uhrt. Die optimierte Form weist eine um 30 % h¨ ohere Querschnittsﬂ¨ ache auf, was zu der gew¨ unschten Gewichtsreduzierung f¨ uhrt. Gleichzeitig ist die Maximalspannung mehr als halbiert. Parameteroptimierung

Bild 1.4 zeigt in seiner linken H¨ alfte einen Tr¨ ager. Der Tr¨ager ist auf zwei Pylone aufgest¨ andert und durch Seile abgespannt. Die Belastung besteht aus 1

Bei lastfreien Durchbr¨ uchen stellt eine konstante Vergleichsspannung auf dem Bohrungsrand die optimale L¨ osung dar.

C

12

1. Einleitung

Einzelkr¨ aften, die gleichm¨ aßig verteilt am Untergurt in vertikaler Richtung wirken. Das Ziel der Optimierung ist eine Minimierung der Masse des Tr¨agers, wobei eine zul¨ assige Spannung nicht u ¨berschritten werden darf. Als Optimierungsparameter dienen die H¨ ohe der Vertikalpfosten sowie die Lage der seitlichen Knotenpunkte der Seile. Der Untergurt des Tr¨agers soll in seiner geraden, horizontalen Lage verbleiben. In der rechten Bildh¨ alfte 1.4 ist die optimale Form des Tr¨agers [47] angef¨ uhrt. Die H¨ ohe des Tr¨ agers ist in seiner Mitte nahezu verdoppelt. An den Polynomen f¨ allt die H¨ ohe auf ein F¨ unftel ab. Die Lage der seitlichen Umlenkpunkte der Seile ver¨ andert sich nur unwesentlich. Die Maximalspannung in der Ausgangsl¨ osung ist etwa doppelt so hoch wie die zul¨ assige Spannung. Daher weist die optimierte Form eine geringf¨ ugig h¨ ohere Masse als die Ausgangsl¨ osung auf. Eine nachgeschaltete Querschnittsoptimierung aller Tr¨ agerteile f¨ uhrt zu einer Reduzierung der Masse um mehr als 20 %.

Bild 1.4. Ausgangsform und optimierte Form eines Tr¨ agers

Topologieoptimierung

Die Topologieoptimierung [11] ist eine relativ junge Disziplin innerhalb der Optimierungsverfahren. Die Zielfunktion bei der Topologieoptimierung ist die Steiﬁgkeit des Bauteiles. Sie wird maximiert, indem die f¨ ur den Bauraum zur Verf¨ ugung stehende Masse optimal angeordnet wird. Dazu wird der Bauraum in ﬁnite Elemente eingeteilt. W¨ ahrend tragende Elemente die volle, materialabh¨ angige Steiﬁgkeit und Dichte besitzen, wird diese bei gering belasteten Elementen verkleinert und strebt im Grenzfall gegen Null. Dar¨ uber kann die vorgegebene und gew¨ unschte Massenreduktion erreicht werden. In Bild 1.5 ist die L¨ osung [48, 23] einer solchen Optimierung angef¨ uhrt. Die gestrichelte Kontur beschreibt einen Quader, der die Ausgangsl¨osung eines Werkzeugmaschinenst¨ anders darstellt. Dieser ist in 42000 achtknotige Hexaederelemente eingeteilt worden. Am unteren Ende ist der Quader fest eingespannt. Am oberen Ende wirken Streckenlasten, die das Bauteil in zwei Lastf¨ allen biege- und torsionsartig belasten. Das urspr¨ ungliche Volumen bzw. die urspr¨ ungliche Masse des Quaders soll um 85% reduziert werden. Nach 20 Iterationen wurde die schattiert in Bild 1.5 dargestellte L¨osung gefunden.

1.3

Beispiele zur Finite-Elemente-Methode

13

Der Verlauf der Iterationen ist in einer Animation dargestellt, die unter nebenstehendem Icon zu ﬁnden ist.

Bild 1.5. Topologieoptimierung eines Werkzeugmaschinenst¨ an-

ders

D

Kapitel 2 Mathematische Grundlagen

2

2

2 2.1 2.2 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5 2.2.6 2.2.7 2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4 2.4 2.4.1 2.4.2 2.5 2.5.1 2.5.2 2.5.3 2.6 2.6.1 2.6.2 2.6.3 2.7 2.7.1 2.8 2.8.1 2.8.2 2.9 2.9.1 2.9.2 2.10 2.10.1 2.10.2 2.10.3 2.10.4

Mathematische Grundlagen Schreibweisen ..................................................... Vektoren ........................................................... Deﬁnition eines n dimensionalen Vektors ................... Skalarprodukt ..................................................... Kreuzprodukt ..................................................... Ableitung von Vektoren ........................................ Der Nabla-Vektor ................................................ Der Gradientenvektor ........................................... Divergenz und Laplace-Operator.............................. Matrizen ........................................................... Deﬁnition einer Matrix.......................................... Rechenregeln...................................................... Transponierte Matrix............................................ Orthogonale Matrix ............................................. Die Dyade (Tensor zweiter Stufe) ............................ Diﬀerentialoperator ............................................. Tensor h¨oherer Stufe ........................................... Felder .............................................................. Skalarfelder ....................................................... Das Vektorfeld als Gradient des Skalarfeldes .............. Das dyadische Feld .............................................. Lineare Transformation ......................................... Transformation eines Vektors.................................. Transformation einer Dyade (Tensor zweiter Stufe)....... Beispiele zur Transformation .................................. Funktionale........................................................ Diskretisierung des Funktionals ............................... Dreieckskoordinaten ............................................ Ableitungen in Dreieckskoordinaten (Jakobi-Matrix) ..... Integration in Dreieckskoordinaten ........................... Numerische Integration (Quadratur) ......................... Numerische Integration f¨ ur eindimensionale Probleme ... Numerische Integration in Dreieckskoordinaten ............ Lineare Gleichungssysteme bei der FEM .................... Deﬁnition der Bandbreite ...................................... Rechenzeiten zur L¨osung linearer Gleichungssysteme ..... Positiv deﬁnite Matrix ......................................... Das Verfahren von Cholesky ..................................

19 20 20 20 20 21 22 22 23 23 23 24 26 27 27 28 28 28 28 29 29 32 32 34 34 36 38 39 41 44 45 45 47 48 49 49 50 51

2.10.5 2.10.6 2.11 2.12

Kondition linearer Gleichungssysteme ....................... Zwangsbedingungen bei linearen Gleichungssystemen .... N¨aherungsfehler bei der FEM ................................ Das Tonti-Diagramm............................................

53 56 57 58

2

2 Mathematische Grundlagen In diesem Kapitel wird eine Zusammenfassung der mathematischen Hilfsmittel gegeben, die in den nachfolgenden Kapiteln ben¨otigt werden. Vertiefende Literatur wird jeweils an den entsprechenden Stellen angef¨ uhrt.

2.1

2.1 Schreibweisen Skalare Gr¨ oßen werden durch einen Klein- oder Großbuchstaben dargestellt. Vektoren (Tensoren erster Stufe) werden in der symbolischen Schreibweise durch einen Buchstaben mit einem Pfeil versehen (v ). In der analytischen Form wird der Buchstabe mit einem lateinischen Kleinbuchstaben als Index versehen (vi ). Dyaden (Tensoren zweiter Stufe) werden als Großbuchstaben mit einem Unterstrich (K) bzw. mit einem Doppelindex (Kij ) geschrieben, Matrizen wie eine Dyade in symbolischer Form (A). Tensoren vierter Stufe weisen einen doppelten Unterstrich (D) oder alternativ vier Indizes (Dijkl ) auf. Ableitungen werden in der analytischen Form dadurch gekennzeichnet, daß der Index, nach dem abgeleitet werden soll, durch ein Komma von den ur die analytische Schreibanderen Indizes abgetrennt wird (ui,j ). Ferner gilt f¨ weise die Summationsvereinbarung [21] (ai bi ≡ i ai bi ). In expliziter Schreibweise wird ein Vektor als Spaltenvektor ausgef¨ uhrt: ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ v = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ v1 .. . vi .. .

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(1)

vn Eine Matrix wird in expliziter Form folgendermaßen dargestellt: ⎡

⎤ k11 .. .

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ K =⎢ ⎢ ki1 ⎢ . ⎢ . ⎢ . ⎣ km1

... .. .

k1i .. .

...

k1n .. .

...

kii .. .

... .. .

kin .. .

...

kmi

...

kmn

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(2)

20

2.2

2. Mathematische Grundlagen

2.2 Vektoren 2.2.1 Deﬁnition eines n dimensionalen Vektors

Eine Folge von n geordneten reellen Zahlen v1 , v2 , . . . , vn stellt einen n dimensionalen Vektor dar [14, 19]. Die Gesamtheit aller solcher n Vektoren, f¨ ur die eine Addition und eine Multiplikation mit einem Skalar, d.h. einer Zahl erkl¨art ist, bildet den n dimensionalen Vektorraum. 2.2.2 Skalarprodukt

Mit Hilfe der Basisvektoren ex , ey , ez l¨ aßt sich ein Vektor a in einem kartesischen System schreiben als:

a = ax ex + ay ey + az ez

(3)

F¨ ur die Basisvektoren gilt beim Skalarprodukt: ei · ej = δij =

1 f¨ ur i = j

(4)

0 f¨ ur i = j

Es sind ax ex , ay ey und az ez die Komponentenvektoren von a. ax , ay , az bezeichnet man als rechtwinklige Komponenten von a. Das Skalarprodukt kann man formal wie nachfolgend schreiben. Unter Beachtung von (4) erh¨ alt man: a · b =(ax ex + ay ey + az ez ) · (bx ex + by ey + bz ez ) =ax bx ex · ex + ax by ex · ey + ax bz ex · ez + ay bx ey · ex + ay by ey · ey + ay bzey · ez + az bx ez · ex + az by ez · ey + az bz ez · ez =ax bx + ay by + az bz =| a | | b | cos ϕ

mit

ϕ = (a, b)

(5)

2.2.3 Kreuzprodukt

F¨ ur die Basisvektoren beim Kreuzprodukt gilt: ⎧ ⎪ ⎪ ⎨0 ei × ej = ek ⎪ ⎪ ⎩−e

f¨ ur i = j f¨ ur eine gerade Permutation1 von i, j, k k

f¨ ur eine ungerade Permutation von i, j, k

(6)

2.2

Vektoren

21

Das Kreuzprodukt kann man formal wie nachfolgend schreiben. Unter Beachtung von (6) erh¨ alt man: a × b =(ax ex + ay ey + az ez ) × (bx ex + by ey + bz ez ) =ax bx ex × ex + ax by ex × ey + ax bz ex × ez + ay bx ey × ex + ay by ey × ey + ay bz ey × ez + az bx ez × ex + az by ez × ey + az bz ez × ez =(ay bz − az by )ex + (az bx − ax bz )ey + (ax by − ay bx )ez | a × b |= | a | | b | sin ϕ mit ϕ = (a, b)

(7)

Das Ergebnis von (7) kann formal als Determinante geschrieben werden: x a × b = ax bx

y ay by

⎡ a b − az b y z ⎢ y z ⎢ a z = ⎢ a z b x − ax b z ⎣ bz a x b y − ay b x

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(8)

In Tab. 2.1 sind einige Rechenregeln f¨ ur Vektoren angef¨ uhrt. Tabelle 2.1. Addition und Subtraktion von Vektoren

Vorschrift a + b = b + a

Gesetz kommutativ

(a + b) + c = a + (b + c)

assoziativ

k(a ± b) = ka ± kb

distributiv

2.2.4 Ableitung von Vektoren Ableitung eines Vektors nach einem Skalar

Es sei u ein Vektor mit den Komponenten ux (x), uy (x), uz (x). Dieser soll nach einem Skalar x abgeleitet werden: 1

Unter einer Permutation versteht man s¨ amtliche Anordnungen, die n Elemente unter der Ber¨ ucksichtigung der Reihenfolge annehmen k¨ onnen.

22

2. Mathematische Grundlagen

a = ax ex + ay ey + az ez dax day daz da = ex + ey + ez dx dx dx dx

(9)

In Vektorform: ⎡

dax dx day dx daz dx

⎢ ⎢ da ⎢ ⎢ =⎢ dx ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(10)

2.2.5 Der Nabla-Vektor

Der Nabla-Vektor, auch Nabla-Operator genannt, l¨aßt sich schreiben als: ∇=

∂ ∂ ∂ ex + ey + ez = ∂i ei ∂x ∂y ∂z

(11)

Er hat die Eigenschaften eines Vektors, da er Transformationseigenschaften besitzt [12]: ⎡

∂ ∂x ∂ ∂y

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ∇=⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ∂ ∂z

⎤

⎡ ⎤ ⎥ ⎥ ∂x ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ = ⎢ ∂y ⎥ ⎥ ⎣ ⎦ ⎥ ⎦ ∂z

(12)

2.2.6 Der Gradientenvektor

Der Gradient ∇φ ist wie folgt deﬁniert: ∇φ =

∂ ∂ ∂ ex + ey + ez ∂x ∂y ∂z

In Vektorform:

φ=

∂φ ∂φ ∂φ ex + ey + ez ∂x ∂y ∂z

(13)

2.3

Matrizen

⎡

∂φ ∂x ∂φ ∂y

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ∇φ = ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ∂φ ∂z

23

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(14)

2.2.7 Divergenz und Laplace-Operator

Die Divergenz kann mit Hilfe des Nabla-Vektors und (4) geschrieben werden als: ∂ ∂ ∂ ex + ey + ez · (vx ex + vy ey + vz ez ) ∇ · v = ∂x ∂y ∂z ∂vy ∂vz ∂vx + + = ∂x ∂y ∂z

(15)

Die Divergenz zweier Nabla-Operatoren f¨ uhrt auf den sogenannten LaplaceOperator: Δ = ∇· ∇ = =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ex + ey + ez · ex + ey + ez ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z

∂2 ∂2 ∂2 + + ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

(16)

¨ Uber die Divergenz des Gradienten einer skalaren Funktion φ l¨aßt sich die Laplace-Gleichung beschreiben als: Δφ = ∇ · (∇φ) =

∂2φ ∂2 φ ∂2φ + + 2 ∂x2 ∂y 2 ∂z

(17)

2.3 Matrizen 2.3.1 Deﬁnition einer Matrix

Eine Matrix ist ein System von (m, n) Elementen aik (i = 1, 2, . . . , m ; k = 1, 2, . . . , n), die in einem rechteckigen Schema von m Zeilen und n Spalten angeordnet sind [14, 19]:

2.3

24

2. Mathematische Grundlagen

⎤

⎡ a11

⎢ ⎢ ⎢ a21 ⎢ ⎢ . ⎢ .. ⎢ A=⎢ ⎢ a ⎢ i1 ⎢ . ⎢ . ⎢ . ⎣ am1

a12

...

a1n

a22 .. .

...

a2n .. .

ai2 .. .

...

ain .. .

am2

...

amn

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(18)

Sonderf¨ alle:

Eine quadratische Matrix weist gleich viele Zeilen und Spalten auf (m = n). F¨ ur eine symmetrische Matrix gilt: aik = aki . Eine Einheitsmatrix E ist wie folgt deﬁniert: ⎡ eik =

1

f¨ ur i = k

0

f¨ ur i = k

;

⎢ ⎢ ⎢ E=⎢ ⎢ ⎢ ⎣

1

0

...

0 .. .

1 .. .

... .. .

0

0

...

0

⎤

⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎦ 1

(19)

2.3.2 Rechenregeln Addition und Subtraktion

Zwei Matrizen A und B vom Typ (m,n) werden addiert (subtrahiert), indem man elementweise addiert (subtrahiert). Es gilt: cik = aik ± bik

∀

i = 1, 2, . . . , m ; k =1, 2, . . . , n

Tabelle 2.2. Addition und Subtraktion von Matrizen

Vorschrift A+B = B+A A + (B + C) = (A + B) + C

Gesetz kommutativ assoziativ

Die Tab. 2.2 enth¨ alt zwei Rechenregeln f¨ ur Matrizen.

(20)

2.3

Matrizen

25

In (21) ist ein Beispiel zur Addition zweier Matrizen angef¨ uhrt. ⎡

⎡

⎤ a11

a12

a13

⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ A + B = ⎢ a21 a22 a23 ⎥ + ⎢ ⎣ ⎦ ⎣ a31 a32 a33 ⎡ a + b11 a12 + b12 ⎢ 11 ⎢ = ⎢ a21 + b21 a22 + b22 ⎣ a31 + b31 a32 + b32

⎤ b11

b12

b13

b21

b22

b23

b31

b32

b33 ⎤

⎥ ⎥ ⎥ ⎦

a13 + b13

⎥ ⎥ a23 + b23 ⎥ = C ⎦ a33 + b33

(21)

Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar

Eine Matrix wird mit einem Skalar multipliziert, indem man jedes Element der Matrix mit dem Skalar multipliziert. In Tab. 2.3 ist dieser Zusammenhang beschrieben. Tabelle 2.3. Multiplikation einer Matrix mit ei-

nem Skalar

Vorschrift

Gesetz

kA=Ak

kommutativ

k(A ± B) = k A ± k B

distributiv

In (22) ist ein Beispiel zur Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar angef¨ uhrt: ⎡

⎤ k a11

⎢ ⎢ k A = ⎢ k a21 ⎣ k a31

k a12 k a22 k a32

k a13

⎥ ⎥ k a23 ⎥ ⎦ k a33

(22)

Multiplikation zweier Matrizen

Unter dem Produkt A B einer (m, n)-Matrix A und einer (n, p)-Matrix B in der angegebenen Reihenfolge versteht man die (m, p)-Matrix C, deren Elemente cik sich aus dem Skalarprodukt der i-ten Zeile von A mit der k-ten Spalte von B zusammensetzen [19].

26

2. Mathematische Grundlagen

C=AB cik =

n

air brk = ai1 b1k + ai2 b2k + . . . + ain bnk

r=1

⎧ ⎨ i = 1, 2, . . . , m ; ∀ ⎩ k = 1, 2, . . . , n (23)

uhrt: Das Produkt der Matrizen A B ist in (24) als Beispiel angef¨ ⎡

⎤ 1

2

⎢ ⎢ AB = ⎢ 4 ⎣ −1

⎡

⎥ 1 ⎥ 3 ⎥⎣ ⎦ −2 5

−2 1

⎡

⎤

−3

⎢ ⎦=⎢ ⎢ −2 ⎣ 4 −11 3

⎤ 0 −5 7

11

⎥ ⎥ 24 ⎥ = C ⎦ 17

(24)

Tabelle 2.4. Transponierte Matrix

Gesetz

Bedeutung

(AT )T = A

Die Transponierte einer transponierten Matrix ist die Matrix selber

(λ A)T = λ AT (A ± B)T = AT ± B T (A B)T = B T AT

A und B werden vertauscht

2.3.3 Transponierte Matrix

Die aus einer Matrix A durch Vertauschen der Zeilen und Spalten entstehende Matrix AT heißt die transponierte Matrix (gespiegelte) zu der gegebenen Matrix A [19]. In (25) ist als Beispiel die transponierte Matrix AT von A ausgef¨ uhrt: ⎤

⎡ ⎡ A=⎣

⎤ 4

2

1

8

0

1

1

5

⎦;

4

⎢ ⎢ ⎢ 2 T A =⎢ ⎢ ⎢ 1 ⎣ 8

0

⎥ ⎥ 1 ⎥ ⎥ ⎥ 1 ⎥ ⎦ 5

(25)

2.4

Die Dyade (Tensor zweiter Stufe)

27

In Tab. 2.4 sind einige Rechenregeln zur transponierten Matrix zusammengefaßt. 2.3.4 Orthogonale Matrix

Orthogonale Matrizen sind Matrizen, deren Zeilen zueinander orthogonale Einheitsvektoren besitzen [19]. Dies triﬀt ebenfalls f¨ ur die Spalten zu. Die Tab. 2.5 erfaßt zwei Rechenregeln zur orthogonalen Matrix. Tabelle 2.5. Orthogonale Matrix

Gesetz

Bedeutung

A−1 = AT

Die Inverse einer Orthogonalmatrix ist gleich der Transponierten der Orthogonalmatrix

A AT = AT A = E

2.4

2.4 Die Dyade (Tensor zweiter Stufe) Das dyadische Produkt : a b = (ax ex + ay ey + az ez ) (bx ex + by ey + bz ez )

(26)

l¨ aßt sich durch Ausmultiplizieren der beiden Klammerausdr¨ ucke gewinnen. K = a b =ax bx ex ex + ax by ex ey + ax bz ex ez + ay bx ey ex + ay by ey ey + ay bz ey ez + az bx ez ex + az by ez ey + az bz ez ez = ai aj ei ej = Kij

(27)

Die Koeﬃzienten der voranstehenden Gleichung lassen sich formal in einer (3 × 3)-Matrix schreiben: ⎡

⎤ ax b x

⎢ ⎢ a b T = ⎢ ay bx ⎣ az b x

ax b y ay b y az b y

ax b z

⎡

⎤ kxx

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ay bz ⎥ = ⎢ kyx ⎦ ⎣ az b z kzx

kxy kyy kzy

kxz

⎥ ⎥ kyz ⎥ = K ⎦ kzz

(28)

Die Dyade besitzt Transformationseigenschaften und ist ein Tensor zweiter Stufe.

28

2. Mathematische Grundlagen

2.4.1 Diﬀerentialoperator

Ein spezielles dyadisches Produkt ist: Δ = ∇∇ =

∂ ∂ ∂ ex + ey + ez ∂x ∂y ∂z

∂ ∂ ∂ ex + ey + ez ∂x ∂y ∂z

(29)

In Matrizenform ergibt sich der Operator der Hessematrix: ⎡

∂2 ∂x2

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 2 ⎢ ∂ T Δ = ∇∇ = ⎢ ⎢ ∂y ∂x ⎢ ⎢ 2 ⎣ ∂ ∂z ∂x

∂2 ∂x ∂y ∂2 ∂y 2 ∂2 ∂z ∂y

⎤ ∂2 ⎥ ∂x ∂z ⎥ ⎥ ⎥ ∂2 ⎥ ⎥ ∂ y ∂z ⎥ ⎥ ⎥ ∂2 ⎦ 2 ∂z

(30)

2.4.2 Tensor h¨ oherer Stufe

Das verallgemeinerte Hooke’sche Gesetz f¨ uhrt in der linearen Elastizit¨atstheorie [13] auf einen Elastizit¨ atstensor der Form Dijkl (symbolisch: D), also einen Tensor vierter Stufe. Er verkn¨ upft die Dehnung mit den Spannungen.

2.5

2.5 Felder 2.5.1 Skalarfelder

Es werden im folgenden Skalar- und Vektorfelder betrachtet. Bei einem Skalarfeld (Vektorfeld) wird jedem Punkt im R3 ein Skalar φ(x, y, z) (Vektor u(x, y, z)) zugeordnet. Man nennt φ eine skalare Funktion (u Vektorfunktion). Damit ist im R3 ein Skalarfeld (Vektorfeld) deﬁniert. Beispiel zum Skalarfeld

In einem ebenen, quadratischen Gebiet −1 ≤ x, y ≤ 1 wird jedem Punkt P (x, y) eine Temperatur T zugeordnet, also T = T (x, y). T (x, y) = −100

x2 + y 2 +

1 + 200 2

(31)

In der linken H¨ alfte von Bild 2.1 ist diese Temperaturverteilung dargestellt. Normal zur (x,y)-Ebene ist in jedem Punkt ein Temperaturwert nach (31) aufgetragen.

2.5

Felder

29

Bild 2.1. Das Temperaturfeld und dessen Gradient als Vektorfeld

2.5.2 Das Vektorfeld als Gradient des Skalarfeldes

Das Vektorfeld erh¨ alt man aus dem Skalarfeld durch die Bildung des Gradienten nach (14). Diese Beziehung wird auf das Skalarfeld nach (31) angewendet: ⎡ ⎢ ⎢ q = −λ ∇ T = −λ ⎢ ⎣

∂T ∂x ∂T ∂y

⎤

⎡ ⎤ ⎥ x 100 ⎥ ⎣ ⎦ ⎥=λ ⎦ 1 y x2 + y 2 + 2

(32)

Diese Beziehung nennt man die Fourier’sche Gleichung. Sie beschreibt u ¨ ber ein Vektorfeld q die W¨ armestromdichte. In der rechten H¨alfte von Bild 2.1 ist dieses Vektorfeld dargestellt. 2.5.3 Das dyadische Feld

In der Elastostatik sind Verschiebungsfelder u = u(x, y, z) von großer Bedeutung. F¨ ur die Berechnung der Dehnungen ist ein Ausdruck der Form ∇u notwendig: ∂ ∂ ∂ ex + ey + ez u ex + v ey + w ez ∇u = ∂x ∂y ∂z ∂u ∂v ∂w ex ex + ex ey + ex ez + = ∂x ∂x ∂x ∂u ∂v ∂w ey ex + ey ey + ey ez + ∂y ∂y ∂y ∂u ∂v ∂w ez ex + ez ey + ez ez = ∇i uj = uj,i ∂z ∂z ∂z

(33)

30

2. Mathematische Grundlagen

∇u stellt ein dyadisches Produkt dar. Aus dem Verschiebungsfeld wird ein dyadisches Feld. In Matrizenform: ⎡

∂u ∂x ∂u ∂y

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ∇uT = ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ∂u ∂z

∂v ∂x ∂v ∂y ∂v ∂z

⎤

∂w ∂x ∂w ∂y

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ∂w ⎦ ∂z

(34)

Beispiel zum dyadischen Feld

Gegeben ist ein Verschiebungsfeld als Vektorfeld: u = x3 + y ex + y 2 + x ey

(35)

F¨ ur dieses Verschiebungsfeld soll u ¨ ber die Beziehung ε = 1/2 (∇ u + u ∇) bzw. εij = 1/2 (uj,i + ui,j ) das Dehnungsfeld berechnet werden, das sich als dyadisches Feld darstellt. Dieses soll graﬁsch ausgewertet werden. ⎡ 1⎢ ⎢ ε= ⎢ 2⎣

∂u ∂x ∂u ∂y

∂v ∂x ∂v ∂y

⎤

⎡

⎤ ∂u ⎡ 2 ∂y ⎥ ⎥ ⎣ 3x ⎥= ∂v ⎦ 1 ∂y

∂u ⎥ 1 ⎢ ∂x ⎢ ⎥ ⎥+ ⎢ ⎦ 2 ⎣ ∂v ∂x

⎤ 1

⎦

(36)

2y

Das dyadische Feld ε = 3 x2 ex ex + 1 ex ey + 1 ey ex + 2 y ey ey ist in dieser Form nicht ohne weiteres einer graﬁschen Darstellung zug¨anglich. Daher wird es in folgende Form u uhrt: ¨berf¨ ε x = λ x ⇒ ( ε − λ E) x = 0

(37)

In (37) wird die Dyade ε auf einen Vektor x abgebildet, der mit der Gr¨oße λ skaliert wird. Das so formulierte Problem stellt sich als Eigenwertproblem dar und bildet ein homogenes Gleichungssystem. Es existiert nur dann eine L¨ osung, wenn die Determinante des Klammerausdruckes verschwindet: 3 x2 − λ | ε − λ E | = 0 ⇒ 1

=0 2y −λ 1

(38)

2.6

Lineare Transformation

31

Die voranstehende Beziehung f¨ uhrt auf die sogenannte charakteristische Gleichung: λ2 − 3 x2 + 2 y λ + 6 x2 y − 1 = 0

(39)

Diese quadratische Gleichung hat folgende L¨ osungen:

λI,II =

3 2 1 4 x +y± 9 x + 4 [(y − 3 x2 ) y + 1] 2 2

(40)

Bild 2.2. Die normierten Eigenvektoren des dyadischen Feldes sowie die Hauptdehnungen

in Vektorform

Durch Einsetzen der Eigenwerte λI,II in (37) gewinnt man die zugeh¨origen Eiur xI ,xII genvektoren xI und xII . Zur Erreichung einer eindeutigen L¨osung f¨ werden diese normiert1 : eI = xI /|xI | und eII = xII /|xII |. Diese Vektoren sind in der linken H¨ alfte von Bild 2.2 dargestellt. Sie stellen die Hauptdehnungsrichtungen dar. Die Eigenwerte λI und λII sind die Hauptdehnungen εI und εII . Mit der Beziehung ε = λI eI + λII eII lassen sich Hauptdehnungen zu einem Vektor zusammenfassen. In der rechten Bildh¨ alfte von Bild 2.2 sind diese angef¨ uhrt.

1

Das homogene Gleichungssystem enth¨ alt einmal unendlich viele L¨ osungen.

32

2.6

2. Mathematische Grundlagen

2.6 Lineare Transformation 2.6.1 Transformation eines Vektors

Das Bild 2.3 zeigt f¨ ur den ebenen Fall zwei Koordinatensysteme. Ein globales (x, y)-System und ein lokales (¯ x, y¯)-System. Das lokale ist gegen¨ uber dem globalen um einen Winkel ϕ gedreht. F¨ ur den Vektor v sind in beiden Systemen die entsprechenden Komponenten eingezeichnet. Sie sind von der Lage des Koordinatensystems abh¨ angig. Die Umrechnung der Komponenten vom globalen in das lokale System (Hintransformation) und umgekehrt (R¨ ucktransformation) soll im folgenden f¨ ur den dreidimensionalen Fall f¨ ur orthogonale Systeme beschrieben werden.

Bild 2.3. Vektor v und seine Komponenten im lokalen und globalen System

Der Vektor v im globalen und lokalen System:

v = vx ex + vy ey + vz ez = vx¯ ex¯ + vy¯ ey¯ + vz¯ ez¯

(41)

F¨ ur die Einheitsdyade E gilt:

E = ex ex + ey ey + ez ez = ex¯ ex¯ + ey¯ ey¯ + ez¯ ez¯

(42)

Mit der Identit¨ at v = v · E l¨ aßt sich schreiben: v = (vx ex + vy ey + vz ez ) · (ex¯ ex¯ + ey¯ ey¯ + ez¯ ez¯) = vx ex · ex¯ ex¯ + vx ex · ey¯ ey¯ + vx ex · ez¯ ez¯+ vy ey · ex¯ ex¯ + vy ey · ey¯ ey¯ + vy ey · ez¯ ez¯+ vz ez · ex¯ ex¯ + vz ez · ey¯ ey¯ + vz ez · ez¯ ez¯

(43)

Ein Vergleich der Koeﬃzienten von ex¯ , ey¯, ez¯ von (43) und (41) f¨ uhrt auf:

2.6

Lineare Transformation

33

vx¯ = vx ex¯ · ex + vy ex¯ · ey + vz ex¯ · ez vy¯ = vx ey¯ · ex + vy ey¯ · ey + vz ey¯ · ez vz¯ = vx ez¯ · ex + vy ez¯ · ey + vz ez¯ · ez

(44)

In Matrizenform gilt f¨ ur die Hintransformation: ⎡

⎤

⎡

vx¯

ex¯ · ex

⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ vy¯ ⎥ = ⎢ ey¯ · ex ⎣ ⎦ ⎣ vz¯ ez¯ · ex v ¯

ex¯ · ey ey¯ · ey ez¯ · ey T

⎡ e ⎢ x¯x ⎢ = ⎢ ey¯x ⎣ ez¯x

ex¯ · ez

⎥ ⎥ ey¯ · ez ⎥ ⎦ ez¯ · ez

⎤⎡

ex¯y

ex¯z

ey¯y

ey¯z

ez¯y

ez¯z

⎤⎡

⎤

v ⎥⎢ x ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎥ ⎢ vy ⎥ ⎦⎣ ⎦ vz

⎤ vx

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ vy ⎥ ⎣ ⎦ vz v

(45)

Die Matrix T ist die Transformationsmatrix. Die Zeilen der Matrix werden von den Einheitsvektoren ex¯ , ey¯ und ez¯ gebildet, die im globalen System beschrieben sind. F¨ ur den zweidimensionalen Fall kann man die Gr¨oßen in T (s. Bild 2.3) als Funktion des Winkels ϕ ausdr¨ ucken: ⎡ T =⎣

⎤ cos ϕ

sin ϕ

− sin ϕ

cos ϕ

⎦

(46)

Es gilt n¨ amlich: cos ϕ = ex¯ · ex ; sin ϕ = ex¯ · ey ; − sin ϕ = ey¯ · ex und cos ϕ = ey¯ · ey . F¨ ur den Sonderfall der Drehung um die z-Achse lautet die Transformationsmatrix: ⎡

⎤ cos ϕ

⎢ ⎢ T = ⎢ − sin ϕ ⎣ 0

sin ϕ cos ϕ 0

0

⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎦ 1

(47)

Die R¨ ucktransformation, also die Transformation vom lokalen in das globale System ergibt sich zu:

34

2. Mathematische Grundlagen

v = T T v¯

(48)

2.6.2 Transformation einer Dyade (Tensor zweiter Stufe)

In analoger Weise zum Vektor l¨ aßt sich auch bei der Dyade u v u ¨ber die Identit¨ at: u v = E · u v · E

(49)

das Transformationsgesetz: ¯ = T K T T Hintransformation K ¯ T R¨ ucktransformation K = TT K

(50)

herleiten. Die Transformationsmatrix T entspricht der aus (45). 2.6.3 Beispiele zur Transformation Graﬁsche und rechnerische Transformation eines Vektors

Bild 2.4. Geometrische Ermittlung der Komponenten des Vektors im lokalen System

Gegeben ist der Vektor uT = 3 4 im globalen (x,y)-Koordinatensystem (s. Bild 2.4). Dieser soll im lokalen System (¯ x, y¯) beschrieben werden, wobei dieses gegen¨ uber dem globalen (x,y)-System um ϕ = 26, 565◦ gedreht ist. Es sind die Koordinaten von u ¯ gesucht. Nach (45) gilt: ⎡ u ¯=⎣

⎤⎡ 0, 894

0, 447

−0, 447 0, 894

⎦⎣

⎤ 3 4

⎡

⎦=⎣

⎤ 4, 472 2, 236

Die graﬁsche L¨ osung ist in Bild 2.4 angef¨ uhrt.

⎦

(51)

2.6

Lineare Transformation

35

Addition von Federsteiﬁgkeiten

Bild 2.5. Anordnung zweier parallel geschalteter

Federn

Das Bild 2.5 zeigt zwei parallel angeordnete Federn. F¨ ur dieses System soll aus den Steiﬁgkeiten k1 , k2 der Federn die Gesamtsteiﬁgkeit des Systems berechnet werden. Die skalare Beziehung F = k u beschreibt f¨ ur den eindimensionalen Fall den Zusammenhang zwischen Kraft F und der Verformung u. Multipliziert man mit dem Richtungsvektor ex¯ die Gleichung durch, so erh¨ alt man: F ex¯ = F¯ = k u ex¯ = u ex¯ · k ex¯ ex¯ = u¯ · k ex¯ ex¯

(52)

¯ K

ex¯ bildet mit ey¯ die Basisvektoren des lokalen Koordinatensystems. In die Matrixform u ¨ bertragen: ⎡

⎤ Fx¯

⎡

⎤⎡ 0

k

⎤ ux¯

⎦ ⎦=⎣ ⎦⎣ 0 0 0 uy¯

⎣

¯ K

¯ F

(53)

¯ u

¯ = T u. In voranstehender Beziehung eingesetzt Nach (45) gilt: F¯ = T F und u T und von links mit T durchmultipliziert ergibt sich: ¯ T u = F T T T F = T T K

(54)

K

¯ die sich als Dyade ¯ T wird die lokale Steiﬁgkeitsmatrix K, Mit K = T T K darstellt, in das globale (x, y)-Koordinatensystem transformiert:

36

2. Mathematische Grundlagen

⎡ 1√ ⎣ 1 K1 = 2 2 1

−1

⎡ √ 1 1 ⎦ 2⎣ 2 0 −1

⎤⎡ ⎦⎣

1

⎤

0

k1 0

⎡ k 1 ⎦= ⎣ 1 2 1 k1

⎤

⎤

1

k1

⎦

k1 (55)

¯ 2 , da T 2 = E. F¨ ur die zweite Feder gilt: K 2 = K Aus dem Gleichgewicht der Federkr¨ afte und der ¨außeren Last F = F1 + F2 folgt: (K 1 + K 2 ) u = F . ⎤

⎡ K = K1 + K2 =

k1

1⎣ 2 k1

k1 k1

⎡

⎦+⎣

⎤ k2 0

0

⎤

⎡

⎦= 1⎣ 2 0

1 + 2 k2

k1

k1

k1

⎦ (56)

uhrt auf die Nachgiebigkeitsmatrix: Die Inversion von K f¨ ⎡ K −1 =

1

1 ⎢ ⎣ k2 −1

−1 1+2

⎤ ⎥ k2 ⎦ k1

(57)

Damit lassen sich die Verformungen nach u = K −1 F berechnen.

2.7

2.7 Funktionale Viele physikalische Probleme lassen sich in Integralform formulieren. Der Integrand ist dabei ein Ausdruck, der die gesuchte Funktion y (x) enth¨alt [16, 28]. Dies sei an einem Beispiel erl¨ autert: Zwei Punkte A und B sollen in der Ebene durch eine Kurve y (x) verbunden werden (s. Bild 2.6). Gesucht ist unter allen zul¨assigen Kurven diejenige, die die k¨ urzeste Verbindung zwischen A und B darstellt [15, 27].

Bild 2.6. Vergleichsfunktionen

2.7

Funktionale

37

Das Integral:

b

I [y (x)] =

2 1 + y dx =

a

b

F (y ) dx

(58)

a

beschreibt die Bogenl¨ ange der Kurve y(x) zwischen den Punkten A und B. Die gesuchte Funktion y(x) tritt in Form ihrer ersten Ableitung im Integranden auf. Den Integralausdruck bezeichnet man als Funktional. Die Bogenl¨ ange nimmt f¨ ur die gesuchte L¨ osung ein Extremum an. Diese Bedingung l¨ aßt sich mit Hilfe der Variationsrechnung formulieren und f¨ uhrt zu ur den Fall, daß der Forderung, daß die erste Variation1 δI verschwindet. F¨ ur die erste Variation der Integrand die Form F = F (x, y, y ) hat, ergibt sich f¨ des Funktionals:

b

δI [y(x)] = a

∂F ∂F δy + δy ∂y ∂y

dx = 0

(59)

Gleichung (59) kann durch partielle Integration in die Euler-Lagrange’sche Diﬀerentialgleichung u uhrt werden [15, 28]: ¨berf¨ ∂F d − ∂y dx

∂F ∂y

=0

(60)

Voranstehende Gleichung auf das angef¨ uhrte Beispiel aus (58) angewendet: ∂F =0 ∂y ∂F y = ∂y 1 + y 2 d ∂F y = 3 dx ∂y 1 + y 2 2

(61)

Damit gilt: ∂F d − ∂y dx

1

ist.

∂F ∂y

y

=

1 + y 2

32 = 0

(62)

F¨ ur das gew¨ ahlte Beispiel ist es oﬀensichtlich, daß das Extremum ein Minimum

38

2. Mathematische Grundlagen

Dieser Ausdruck besagt, daß die Kr¨ ummung der gesuchten Funktion y(x) im Intervall [a,b] verschwinden muß. Durch zweifache Integration erh¨alt man die gesuchte Geradengleichung:

y(x) = C1 + C2 x

(63)

Die Konstanten C1 und C2 bestimmt man durch die Randbedingungen y(a) = ya und y(b) = yb . Daraus ergibt sich die L¨osung als Geradengleichung. F¨ ur den allgemeinen Fall F = F (x, y, y , . . . , y (n) ) gilt:

b

δI[y(x)] = a

∂F ∂F ∂F (n) δy + δy + . . . + (n) δy dx = 0 ∂y ∂y ∂y

(64)

Die zugeh¨ orige Euler-Lagrange’sche Diﬀerentialgleichung lautet [15, 28]: d ∂F − ∂y dx

∂F ∂y

+

d2 dx2

∂F ∂y

− . . . (−1)n

dn dxn

∂F ∂y (n)

=0

(65)

2.7.1 Diskretisierung des Funktionals

Die Euler-Lagrange’sche Diﬀerentialgleichung l¨aßt sich nur in Ausnahmef¨allen l¨ osen. Daher diskretisiert man das Funktional, indem man die gesuchte Funktion y(x) durch eine N¨ aherungsl¨ osung yˆ(x) ersetzt [22]:

yˆ = a1 ϕ1 (x) + a2 ϕ2 (x) + . . . + an ϕn (x)

(66)

W¨ ahrend man das Funktional I[y(x)] als eine Funktion mit unendlich vielen Variablen ansehen kann, treten bei I[ˆ y(x)] endlich viele Variable a1 , a2 , . . . , an auf. Es ergibt sich damit folgendes Ersatzfunktional:

b

F (x, a1 , a2 , . . . , an ) dx

I [ˆ y(x)] =

(67)

a

Die erste Variation δI f¨ uhrt zu: δI [ˆ y(x)] = a

b

∂F ∂F ∂F δa1 + δa2 + . . . + δan dx ∂a1 ∂a2 ∂an

(68)

Die Reihenfolge von Variation und Integration ist vertauschbar. Nach erfolgter Integration ergibt sich damit die erste Variation zu:

2.8

Dreieckskoordinaten

39

∂I ∂I ∂I δa1 + δa2 + . . . + δan ∂a1 ∂a2 ∂an

δI =

(69)

Die Forderung der Stationarit¨ at δI = 0 wird erf¨ ullt, wenn gilt: ∂I ∂I ∂I = = ... = =0 ∂a1 ∂a2 ∂an

(70)

Deﬁniert man einen Vektor uT = [a1 | . . . |an ] , so l¨aßt sich schreiben: δI =

∂I δu ∂u

(71)

Transponiert man beide Seiten, so erh¨ alt man: δI =

∂I δu ∂u

T = δuT

∂I ∂uT

(72)

In sp¨ ateren Ableitungen treten quadratische Ausdr¨ ucke der Form:

Π=

1 T u K v 2

(73)

auf. Auf der linken Seite steht eine skalare Gr¨oße. Transponiert man auch hier beide Seiten, so erh¨ alt man:

Π=

T 1 T 1 1 u K v = v T K T u = v T Ku 2 2 2

(74)

Es ist vorausgesetzt worden, daß K eine symmetrische Matrix ist (K T = K).

2.8

2.8 Dreieckskoordinaten In Bild 2.7 ist ein Dreieck dargestellt, das in drei Unterdreiecke mit den Fl¨ achen A1 , A2 und A3 eingeteilt ist. uber. Der Punkt Das Unterdreieck Ai liegt dem Eckpunkt i des Dreiecks gegen¨ P hat die kartesischen Koordinaten xp , yp . Alternativ kann die Lage des Punktes P u achen A1 , A2 , A3 bestimmt werden. Dazu werden diese ¨ ber die Fl¨ Fl¨ achen auf die Gesamtﬂ¨ ache AΔ des Dreieckes bezogen:

L1 =

A1 A2 A3 ; L2 = ; L3 = AΔ AΔ AΔ

(75)

40

2. Mathematische Grundlagen

Bild 2.7. Deﬁnition von Dreieckskoordi-

naten

Die Gr¨ oßen L1 , L2 und L3 nennt man Dreieckskoordinaten. Zwei von ihnen bestimmen eindeutig die Lage des Punktes P im Dreieck. Die dritte Dreieckskoordinate l¨ aßt sich aus folgender Beziehung ermitteln:

L 1 + L2 + L3 =

A1 A2 A3 + + =1 AΔ AΔ AΔ

(76)

Diese Beziehung und die Umrechnung der Dreieckskoordinaten in kartesische Koordinaten kann man wie folgt beschreiben: ⎡

⎤

⎡

1

⎤⎡ 1

⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ x ⎥ = ⎢ x1 ⎣ ⎦ ⎣ y y1 x

1 x2 y2 C

1

⎤ L1

⎥⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ x3 ⎥ ⎢ L2 ⎥ ⎦⎣ ⎦ y3 L3

(77)

L

Oder in Kurzform: x = C L

(78)

Multipliziert man (78) von links mit C −1 durch, so ergibt sich: = C −1 x L In ausf¨ uhrlicher Form:

(79)

2.8

Dreieckskoordinaten

⎡

⎤

⎡

L1

⎢ ⎥ 1 ⎢ ⎥ ⎢ L2 ⎥ = ⎣ ⎦ 2 AΔ L3

41

x2 y3 − x3 y2

⎢ ⎢ ⎢ x3 y1 − x1 y3 ⎣ x1 y2 − x2 y1

⎤⎡ y23

x32

⎤ 1

⎥⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ x13 ⎥ ⎢ x ⎥ ⎦⎣ ⎦ x21 y

y31 y12

(80)

Die Gr¨ oßen xij bzw. yij sind deﬁniert als: xij = xi − xj bzw. yij = yi − yj mit i, j = 1, . . . , 3. Die Dreiecksﬂ¨ ache l¨ aßt mit Hilfe von xij und yij schreiben 1 als: AΔ = 2 (x21 y31 − y21 x31 ). 2.8.1 Ableitungen in Dreieckskoordinaten (Jakobi-Matrix) Jakobi-Matrix

Die partiellen Ableitungen ∂/∂L1 und ∂/∂L2 k¨ onnen mit Hilfe der Kettenregel geschrieben werden als: ∂y ∂ ∂ ∂x ∂ + = ∂L1 ∂L1 ∂x ∂L1 ∂y ∂ ∂y ∂ ∂x ∂ + = ∂L2 ∂L2 ∂x ∂L2 ∂y

(81)

In Matrizenform ergibt sich daraus: ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

∂ ∂L1 ∂ ∂L2 ∇Δ

⎤

⎡

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎦ ⎣

∂x ∂L1 ∂x ∂L2

J

∇Δ = J ∇

∂y ∂L1 ∂y ∂L2

⎤⎡ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎦⎣

∂ ∂x ∂ ∂y ∇

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ (82)

Die Matrix J in der voranstehenden Beziehung nennt man die Jakobi-Matrix. ∇ und ∇Δ sind die Nabla-Vektoren in kartesischen- bzw. Dreieckskoordinaten. Multipliziert man (82) von links mit J −1 durch, so erh¨alt man: ∇ = J −1 ∇Δ

(83)

42

2. Mathematische Grundlagen

mit ⎡ J −1 =

1 |J |

⎢ ⎢ ⎢ ⎣

∂y ∂L2 ∂x − ∂L2

∂y − ∂L1 ∂x ∂L1

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(84)

Mit Hilfe der Beziehungen aus (77) lassen sich die Ableitungen in (82) unter Beachtung von (76) ausf¨ uhren als: ∂x = x1 − x3 = x13 ; ∂L1 ∂y = y1 − y3 = y13 ; ∂L1

∂x = x2 − x3 = x23 ∂L2 ∂y = y2 − y3 = y23 ∂L2

(85) (86)

Damit erh¨ alt man die Jakobi-Matrix J zu: ⎡ J =⎣

⎤ x13

y13

x23

y23

⎦

(87)

Die Determinante |J| bildet die doppelte Fl¨ache des Dreieckes. Damit ergibt ucksichtigung von xij = −xji und yij = −yji : sich f¨ ur J −1 unter Ber¨ ⎡ J −1 =

⎤ y23

1 ⎣ 2 AΔ x32

y31

⎦

(88)

x13

Erste Ableitungen

Der Diﬀerentialoperator ⎡

∂ ⎢ ∂x ⎢ ⎢ ⎢ 0 L=⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ∂ ⎣ ∂y

⎤ 0 ⎥ ⎥ ⎥ ∂ ⎥ ⎥ ∂y ⎥ ⎥ ∂ ⎥ ⎦ ∂x

(89)

enth¨ alt erste Ableitungen in kartesischen Koordinaten. Er kann mit Hilfe des Nabla-Vektors und (83) geschrieben werden als:

2.8

Dreieckskoordinaten

43

L = T ∇ = T J −1 ∇Δ = LΔ

(90)

Multipliziert man unter Beachtung von (88) die voranstehende Gleichung aus, so erh¨ alt man: ⎡

∂ ∂ ⎢ y23 ∂L + y31 ∂L ⎢ 1 2 ⎢ 1 ⎢ ⎢ 0 LΔ = 2 AΔ ⎢ ⎢ ⎢ ∂ ∂ ⎣ x32 + x13 ∂L1 ∂L2

⎤ 0 ∂ ∂ + x13 ∂L1 ∂L2 ∂ ∂ y23 + y31 ∂L1 ∂L2

x32

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(91)

Zweite Ableitungen

Die zweiten Ableitungen in kartesischen Koordinaten in (30) ergeben sich mit Hilfe von (83) f¨ ur den ebenen Fall in Dreieckskoordinaten zu: T T T Δ = ∇ ∇T = J −1 ∇Δ J −1 ∇Δ = J −1 ∇Δ ∇ΔT J −1 = J −1 ΔΔ J −1 (92) Der Ausdruck ∇Δ ∇ΔT bildet eine Dyade und f¨ uhrt auf eine Hessematrix der folgenden Form: ⎡ ΔΔ =

∇Δ ∇ΔT

⎢ ⎢ =⎢ ⎣

∂ ∂L1 ∂ ∂L2

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡

∂ ∂L1

∂ ∂L2

∂2 ∂L21

⎢ ⎢ =⎢ ⎢ 2 ⎣ ∂ ∂L2 ∂L1

⎤ ∂2 ⎥ ∂L1 ∂L2 ⎥ ⎥ ⎥ ∂2 ⎦ ∂L22 (93)

und Δ Δ , so ergibt Schreibt man die Dyaden Δ und ΔΔ formal als Vektoren Δ sich aus (92):

44

2. Mathematische Grundlagen

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

∂2 ∂x2 ∂2 ∂y 2 ∂2 ∂x ∂y

2

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥= 1 ⎥ 4 A2Δ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

2 y32

2 y31

y23 y31

x232

x231

x13 x32

2 x32 y23

2 x13 y31

x32 y31 + x31 y32

⎡ ⎤⎢ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎦⎢ ⎢ ⎢ ⎣

=Y Δ Δ Δ

⎤

∂2 ∂L21

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

∂2 ∂L22 2

∂2 ∂L1 ∂L2 (94)

(95)

2.8.2 Integration in Dreieckskoordinaten Integration ¨ uber die Fl¨ ache eines Dreiecks

Das Fl¨ achenelement dA = dx dy l¨ aßt sich mit Hilfe der Jakobi-Determinante ucken: | J | (Funktionaldeterminante) in Dreieckskoordinaten ausdr¨ dA = dx dy = |J| dL1 dL2

(96)

F¨ ur das geradlinig berandete Dreieck gilt: |J| = 2 AΔ . Damit erh¨alt man:

1

f (L1 , L2 ) dL2 dL1

f (L1 , L2 ) dA = 2 AΔ A

1−L1

0

(97)

0

Nimmt der Integrand die Form f (L1 , L2 , L3 ) = La1 Lb2 Lc3 an, so gilt (a, b, c ∈ N): La1 Lb2 Lc3 dA = A

a! b! c! 2 AΔ (a + b + c + 2)!

(98)

Integration entlang einer Dreieckskante

Die Kante eines Dreiecks ist dadurch gekennzeichnet, daß eine Dreieckskoordinate verschwindet. Damit h¨ angt die zu integrierende Funktion nur noch von einer Dreieckskoordinate ab: f (Li ) dγ

;

i= 1∧2∧3

Γ

Mit Hilfe der Beziehungen:

(99)

2.9

Numerische Integration (Quadratur)

dx =

45

∂x ∂x ∂y ∂y dL1 + dL2 ; dy = dL1 + dL2 ; dΓ = dx2 + dy 2 ∂L1 ∂L2 ∂L1 ∂L2 (100)

und (77) ergeben sich die Terme in Tab. 2.6. ! Tabelle 2.6. Gr¨ oßen bei der Integration entlang einer Dreieckskante. Sij =

2 x2ij + yij

ist die Kantenl¨ ange zwischen den Eckpunkten i und j des Dreiecks

Kante

x

y

dx

dy

dΓ

L1 = 0 x = x3 + x23 L2

y = y3 + y23 L2

x23 dL2

y23 dL2

S23 dL2

L2 = 0 x = x3 + x13 L1

y = y3 + y13 L1

x13 dL1

y13 dL1

S13 dL1

L3 = 0 x = x2 + x12 L1

y = y2 + y12 L1

x12 dL1

y12 dL1

S12 dL1

Allgemein kann die Integration entlang einer Kante Γ zwischen den Eckpunkuckt werden: ten Γi und Γj folgendermaßen ausgedr¨ Lai Lbj dγ = Γij

2.9

a! b! Sij (a + b + 1)!

(101)

2.9

Numerische Integration (Quadratur)

2.9.1

Numerische Integration f¨ ur eindimensionale Probleme Polynome (2M − 1)-ten Grades k¨ onnen mit Hilfe des Verfahrens von Gauß exakt numerisch integriert werden. Die Anordnung der St¨ utzstellen xi im utzstellen lassen Intervall [a, b] und die Gewichtungsfaktoren wi an den St¨ sich nach Gauß [25] berechnen als: M−1

wi xm i =

i=0

1 m+1 b − am+1 , ∀ m = 0 . . . 2M −1 m+1

(102)

F¨ ur ein Polynom ersten Grades erh¨ alt man mit M = 1:

m=0:

w0 = b − a

(103)

46

2. Mathematische Grundlagen

m=1:

w0 x0 =

1 2 1 (b − a2 ) ⇒ x0 = (a + b) 2 2

(104)

Damit ergibt sich f¨ ur ein Polynom p (x) ersten Grades:

b

p (x) dx = w0 p (x0 ) = (b − a) p a

1

2 (a

+ b)

(105)

Analog f¨ ur ein Polynom dritten Grades (M = 2):

m=0: m=1: m=2: m=3:

w0 + w1 = b − a 1 2 (b − a2 ) 2 1 w0 x20 + w1 x21 = (b3 − a3 ) 3 1 4 3 3 w0 x0 + w1 x1 = (b − a4 ) 4 w0 x0 + w1 x1 =

(106)

Daraus ergibt sich:

x0,1 =

1√ 1√ 1 1 (1 ± 3)a + (1 ∓ 3)b ; 2 3 2 3

w0 = w1 =

1 (b − a) 2

(107)

F¨ ur ein Polynom dritten Grades erh¨ alt man damit:

b

p (x) dx = a

√ √ # b − a "1 p 2 (1 + 13 3)a + 12 (1 − 13 3)b 2 " √ √ # + p 12 (1 − 13 3)a + 12 (1 + 13 3)b

(108)

Tabelle 2.7. St¨ utzstellen xi und Gewichtungsfaktoren wi f¨ ur Polynome vom

Grad 2M −1 im Interval [a, b]

M

Grad

i

1

1

I

2

3

I II I

3

5

II III

xi √ 1

1 2 (a

wi

+ b)

√ 1 1 1 2 (1 + 3 3)a + 2 (1 − 3 3)b √ √ 1 1 1 1 2 (1 − 3 3)a + 2 (1 + 3 3)b √ √ 1 1 15)a + 12 (1 − 15 15)b 2 (1 + 5 1 2 (a + b) √ 1 1 15)a + 12 (1 + 2 (1 − 5

√ 1 15)b 5

(b − a) 1 2 (b

− a)

1 2 (b

− a)

5 18 (b

− a)

4 9 (b

− a)

5 18 (b

− a)

2.9

Numerische Integration (Quadratur)

47

In der Tab. 2.7 sind die Anordnungen f¨ ur die St¨ utzstellen xi und die Gewichur verschiedene Polynome zusammengefaßt. tungsfaktoren wi f¨ 2.9.2

Numerische Integration in Dreieckskoordinaten F¨ ur den ebenen Fall stellt sich die Integration u ¨ ber eine Dreiecksﬂ¨ache dar als:

1

1−L1

f (L1 , L2 ) dA = A

0

f (L1 , L2 ) |J| dL2 dL1

(109)

0

Dieses Integral l¨ aßt sich mittels der Gauß-Quadratur l¨osen als: Tabelle 2.8. Die Lage der St¨ utzstellen (Gaußpunkte) und Wichtung f¨ ur unterschiedliche Polynomgrade p

Element

p

n

i

L1i

L2i

wi

1

1

I

1 3

1 3

1 2

I

1 6

1 6

1 6

II

2 3

1 6

1 6

III

1 6

2 3

1 6

I

1 3

1 3

9 − 32

II

11 15

2 15

25 96

III

2 15

2 15

25 96

IV

2 15

11 15

25 96

2

3

0

1

0

1−L1

f (L1 , L2 ) |J| dL2 dL1 =

3

4

n i=1

wi f (L1i , L2i ) |J(L1i , L2i )| (110)

48

2. Mathematische Grundlagen

n ist die Anzahl der St¨ utzstellen (Gaußpunkte). Ihre Lage L1i , L2i und die Gewichtung wi sind in Tab. 2.8 zusammengestellt. Die Funktion f wird durch geeignete Polynome von Grad p approximiert. Ist die Jakobi-Determinante |J| wie in (87) unabh¨angig von dL1 dL2 , so vereinfacht sich (110) zu: 0

2.10

1

0

1−L1

f (L1 , L2 ) |J| dL2 dL1 = 2 AΔ

n

wi f (L1i , L2i )

(111)

i=1

2.10 Lineare Gleichungssysteme bei der FEM Die L¨ osung eines physikalischen Problems mittels eines Diﬀerentialgleichungssystems weist unendlich viele Freiheitsgrade auf. Approximationsverfahren wie die FEM f¨ uhren u ¨ ber den Diskretisierungsprozeß auf eine endliche Anzahl von Freiheitsgraden, die in algebraischen Gleichungen auftreten. Diese haben in den hier betrachteten F¨ allen die Form: K u = F und stellen sich als lineare Gleichungssysteme dar. Die Koeﬃzientenmatrix K weist dabei folgende Eigenschaften auf: Symmetrisch: K = K T bzw. kij = kji Bandstruktur: kij = 0 ∀ j > i + b − 1 Sparse Matrix: Innerhalb des Bandes der Matrix treten Nullen auf Positiv deﬁnit Die in Bild 2.8 angef¨ uhrte Matrix [32] besitzt die zuvor angef¨ uhrten Eigenschaften.

Bild 2.8. Eine symmetrische, sparse und positiv deﬁnite

Matrix mit Bandstruktur und der halben Bandbreite b

Die Gr¨ oße b stellt die halbe Bandbreite der Matrix dar. Gilt b = n, so ist die Matrix vollst¨ andig besetzt. Bedingt durch die zuvor angef¨ uhrten Eigenschaften ergibt sich f¨ ur die Determinante |K| > 0. Es existiert damit insbesondere eine eindeutige L¨ osung des zugeh¨ origen Gleichungssystems. Als L¨ osungsverfahren unterscheidet man explizite und implizite Verfahren. Explizite Verfahren erreichen die L¨ osungen in einer deﬁnierten Anzahl von Schritten. Implizite dagegen arbeiten iterativ und nicht sequentiell. Hierbei er¨ oﬀnet sich die M¨ oglichkeit einer parallelen Verarbeitung.

2.10 Lineare Gleichungssysteme bei der FEM

49

2.10.1 Deﬁnition der Bandbreite

Die Bandbreite der Koeﬃzientenmatrix K wird ausschließlich durch die Durchnumerierung der Knoten eines FE-Netzes bestimmt. Es sei m die Anzahl Knoten eines Elementes e und n1 , n2 , ..., nm die Knotennummern dieses Eleoßte bzw. kleinste Knotennummer des Elementes mentes. Mit nj und ni als gr¨ e ergibt sich die maximale Knotennummerndiﬀerenz zu: Δn = nj − ni

e

;

1 ≤ i, j ≤ m

(112)

Damit l¨ aßt sich die halbe Bandbreite b berechnen zu: " # b = max(eΔn) + 1 f

(113)

e

Der Ausdruck max(eΔn) = Δ nmax beschreibt die maximale Knotennume merndiﬀerenz, die u ¨ ber alle Elemente hinweg auftritt. f ist die Anzahl Freiheitsgrade pro Knoten.

Bild 2.9. Zwei Formen

der Durchnumerierung der Knoten

Das Bild 2.9 zeigt f¨ ur ein Netz, das aus zweidimensionalen Balkenelementen besteht, zwei unterschiedliche Formen der Knotendurchnumerierung. In der linken Bildh¨ alfte (Fall: b1 ) sind die Knoten in Umfangsrichtung durchnumeriert. In der rechten Bildh¨ alfte (Fall: b2 ) sind die Knoten alternierend mit Nummern versehen. In der linken Variante tritt im Element 12 die maximale Diﬀerenz Δmax1 = 11 auf. Im anderen Fall Δmax2 = 2. Damit ergeben sich die halben Bandbreiten zu (f = 3):

b1 = (11 + 1) 3 = 36;

b2 = (2 + 1) 3 = 9

(114)

2.10.2 Rechenzeiten zur L¨ osung linearer Gleichungssysteme

Die Rechenzeit T zur L¨ osung des linearen Gleichungssystems K u = F (Verfahren von Cholesky) h¨ angt wie folgt von der Anzahl der Unbekannten n und von der halben Bandbreite b ab:

50

2. Mathematische Grundlagen

T ∼

1 2 nb 2

2b 1− 3n

(115)

Die entscheidende Gr¨ oße f¨ ur die Rechenzeit ist die halbe Bandbreite b, da sie quadratisch in die Rechenzeit eingeht, w¨ ahrend die Anzahl der Unbekannten nur linear auftritt. Bei einer voll besetzten Matrix (b = n) ergibt sich: 1 T ∼ n n2 2

1 2 = n3 1− 3 6

(116)

Setzt man die Rechenzeiten T f¨ ur die Beispiele nach Bild 2.9 in Relation zueinander, so ergibt sich: 2 b1 2 362 1 − b21 1 − T1 3 n 3 = = 6, 4 = b 2 1 T2 2 2 2 1− b2 1 − 9 3 n 6

(117)

¨ Es wird also mehr als die sechsfache Rechenzeit ben¨otigt. Uber eine Reduzierung der Bandbreite kann die Rechenzeit somit erheblich vermindert werden. Eine minimale Bandbreite l¨ aßt sich durch Vertauschen der Knotennummern erreichen. Dazu gibt es Algorithmen [17, 18], die entsprechende Strategien zur gezielten Knotennummernvertauschung beinhalten. 2.10.3 Positiv deﬁnite Matrix

Die notwendige und hinreichende Bedingung f¨ ur die positive Deﬁnitheit einer symmetrischen Matrix lautet: Eine symmetrische Matrix ist positiv deﬁnit, wenn die Bedingung xT K x > 0 f¨ ur alle x = 0, x ∈ R erf¨ ullt ist. ⎡

xT K x =

x1

x2

···

xn

k ⎢ 11 ⎢ ⎢ k21 ⎢ ⎢ . ⎢ . ⎢ . ⎣ kn1

⎤⎡

k12

···

k1n

k22 .. .

··· .. .

k2n .. .

kn2

···

knn

⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎦⎣

⎤ x1 x2 .. .

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = kij xi xj ⎥ ⎥ ⎦

xn (118)

2.10 Lineare Gleichungssysteme bei der FEM

51

Eine notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung daf¨ ur, daß die Matrix K positiv deﬁnit ist, ist daß alle Hauptdiagonalelemente positiv sind (kii > 0). Es wird folgende Steiﬁgkeitsmatrix K betrachtet: ⎡ 3

⎢ ⎢ K = ⎢ −1 ⎣ 0

−1 3 −1

⎤ 0

⎥ ⎥ −1 ⎥ ⎦ 3

(119)

Es soll u uft werden, ob die Matrix positiv deﬁnit ist. Dazu wird nach ¨ berpr¨ (118) die Ungleichung xT K x > 0 gebildet: 3 x21 − 2 x1 x2 + 3 x22 − 2 x2 x3 + 3 x23 > 0

(120)

Diese Gleichung l¨ aßt sich umformen zu: x21 − 2 x1 x2 + x22 + x22 − 2 x2 x3 + x23 + 2 x21 + x22 + 2 x23 > 0 (x1 − x2 )2 + (x2 − x3 )2 + 2 x21 + x22 + 2 x23 > 0

(121)

Die Ungleichung ist f¨ ur alle reellen Zahlen erf¨ ullt, sofern nicht gleichzeitig x1 , x2 , x3 verschwinden. Damit ist K positiv deﬁnit. 2.10.4 Das Verfahren von Cholesky

F¨ ur symmetrische, positive deﬁnite Koeﬃzientenmatrizen l¨aßt sich das Verfahren von Cholesky anwenden. Das Verfahren ben¨otigt im Grenzfall nur halb so viele Rechenoperationen wie der Gauß’sche Algorithmus [25] und kann als Sonderfall der LU-Dekomposition angesehen werden [19]. Die Koeﬃzientenmatrix K des linearen Gleichungssystems K u = F wird wie folgt zerlegt: K = CT C

(122)

C ist eine obere Dreiecksmatrix (cii > 0 ; cij = 0 ∀ i > j). Es wird das uraquivalentes System C u = g u uhrt. spr¨ ungliche System K u = F in ein ¨ ¨berf¨ Zur L¨ osung sind die Schritte aus Bild 2.10 notwendig: Faktorisierung: K = C T C In der ¨ außeren Schleife (s. Bild 2.10) werden die Hauptdiagonalelemente unstig bzgl. des RechenC berechnet. Das Auftreten der Wurzel ist ung¨ aufwandes. Eine Faktorisierung der Form: K = C T D C umgeht diesen

52

2. Mathematische Grundlagen

Nachteil [25], wobei D eine Diagonalmatrix ist. In der inneren Schleife werden zeilenweise die Elemente von C berechnet. Vorw¨ artselimination : C T g = F R¨ uckw¨ artselimination : C u = g

Bild 2.10. Faktorisierung (linke Bildh¨ alfte), Vorw¨ artselimination (rechts oben) und R¨ uck-

w¨ artselimination (rechts unten) des Gleichungssystems

Beispiel zum Verfahren von Cholesky

Zur L¨ osung des linearen Gleichungssystems K u = F wird die Koeﬃzientenmatrix nach (119) u Sie istsymmetrisch und positiv deﬁnit. Die ¨ bernommen. rechte Seite lautet: F T = 1 2 −1 . ⎡

−1

3

⎢ ⎢ ⎢ −1 3 ⎣ 0 −1

⎤ 0

⎥ ⎥ 2 ⎥= ⎦ 3 −1

−1

K

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

√

3 1√ − 3 3 0

1

F

0 2√ 6 3 1√ − 6 4 CT

⎤⎡ √ 3 ⎥⎢ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ 0 ⎥⎢ 0 ⎥⎢ 1√ ⎦ ⎣ 42 0 4 0

1√ 3 3 2√ 6 3

−

0 C

1√ 3 3 7√ 1√ − 6 6 4 12 1√ 1√ 42 − 42 4 84 0

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

g

(123)

2.10 Lineare Gleichungssysteme bei der FEM

53

In (123) ist ein Rechenschema angef¨ uhrt, das auf eine Handrechnung zugeschnitten ist. Es werden nicht explizit die zuvor angef¨ uhrten Formeln verwendet. In (123) sind die Schritte Faktorisierung und Vorw¨artselimination zusammengefaßt worden. Dabei ist K um F als weitere Spalte erg¨anzt worden. Ebenso C um den Vektor g. Die Elemente von C werden berechnet, indem das Matrizenprodukt C T C explizit ausgef¨ uhrt wird. Beginnend mit Zeile 1 von C T wird diese mit allen uckt: die i-te Zeile von C T Spalten von C multipliziert. Allgemein ausgedr¨ wird mit den Spalten j = i, · · · , n multipliziert, wobei C eine (n × n)-Matrix sei. Die Elemente von g werden aus dem Produkt C T g = F gewonnen, indem alle Zeilen von C T , beginnend mit Zeile 1, mit g multipliziert werden. ⎡ √ ⎢ 3 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎣ 0

1√ 3 3 2√ 6 3

−

0

⎤ 0

⎡

⎤

⎡

⎥ u1 ⎢ ⎥⎢ ⎢ ⎥ ⎥ 1√ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ − 6 ⎥ ⎢ u2 ⎥ = ⎢ ⎦ ⎢ 4 ⎥⎣ ⎢ ⎦ ⎣ 1√ u3 42 4 u

1√ 3 3 7√ 6 12 1√ − 42 84

C

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(124)

g

Die R¨ uckw¨ artselimination ist in (124) dargestellt. Beginnend mit der letzten Unbekannten u3 wird das Gleichungssystem von hinten aufgerollt. (125) enth¨ alt die L¨ osung des Gleichungssystems. ⎤

⎡ u1

⎡

⎤ 13

⎥ ⎢ 1 ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ u = ⎢ u2 ⎥ = ⎢ 18 ⎦ 21 ⎣ ⎣ u3 −1

⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(125)

2.10.5 Kondition linearer Gleichungssysteme

Die Darstellung von Gleitkommazahlen in einem Rechner geschieht mit einer endlichen Anzahl von Nachkommastellen [20]. Das f¨ uhrt dazu, daß die Zahlen der Koeﬃzientenmatrix im allgemeinen nicht exakt erfaßt werden. Zudem treten w¨ ahrend der Rechenoperationen Rundungsfehler und andere Eﬀekte auf, die von der sogenannten Kondition der Koeﬃzientenmatrix K abh¨angen. ¨ Man spricht von einer schlecht konditionierten Matrix K, wenn kleine Ande¨ rungen in der Koeﬃzientenmatrix große Anderungen in der L¨osung hervorrufen [25, 24, 19].

54

2. Mathematische Grundlagen

Diese Eigenschaft von K l¨ aßt sich u ¨ ber die Konditionszahl κ = λmax /λmin beschreiben. λmax und λmin sind die maximalen und minimalen Eigenwerte von K. Diese Konditionszahl l¨ aßt nun aber noch keine Aussage zu, ob z.B. zur L¨osung eines Systems p Nachkommastellen ausreichen. Dazu dient die nachfolgende Gleichung, die einen halbempirischen Charakter besitzt [41]: s = p − log (κ) = p − log

λmax λmin

(126)

Die Gleichung beruht sowohl auf theoretischen Betrachtungen als auch auf den Analysen einer Vielzahl von Rechnungen. s ist die korrekte Anzahl Nachkommastellen. Bei k¨ unstlich schlecht konditionierten Systemen kann (126) versagen [40]. Dies kann durch eine Vorkonditionierung von K umgangen werden: ˆ = DKD K

(127)

ˆ ist das Ergebnis dieser Vorkonditionierung1. D ist eine Diagonalmatrix, K √ deren Elemente sich berechnen als: dii = 1/ kii . Als Beispiel [36] hierzu dient das mechanische System, das in Bild 2.11 abgebildet ist.

Bild 2.11. Zwei in Reihe geschaltete Federn

Es besteht aus zwei Federn, die in Reihe geschaltet sind und die Steiﬁgkeiten k1 und k2 haben. Die Verformungen lassen sich beschreiben u ¨ ber: ⎡ ⎣

k1 + k2

−k2

−k2

k2

⎤⎡

⎡

⎤

⎤

u2

0

u

F

⎦ ⎦=⎣ u3 F

⎦⎣

K

(128)

Die Eigenwerte von K in (128) lauten: λ1,2 = 1

k1 + k2 2

$

±

k1 2

2 + k22

(129)

ˆ eingesetzt und die wird die Transformation In der Beziehung K u=F u = Du se Beziehung von links mit D durchmultipliziert. Daraus ergibt sich die Beziehung: = Fˆ . DKD u ˆ = DF

2.10 Lineare Gleichungssysteme bei der FEM

55

Eine Vorkonditionierung von (128) nach (127) f¨ uhrt auf: ˆ = DKD K ⎡ 1 ⎢ √k1 + k2 ⎢ =⎢ ⎣ 0 ⎡ ⎢ ⎢ =⎢ ⎢ ⎣

⎤ 0 1 √ k2

⎡

⎥ k1 + k2 ⎥⎣ ⎥ ⎦ −k2

⎤ k2 −√ ⎥ k1 + k2 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 1

⎤

⎤

⎡

1 √ −k2 ⎢ k1 + k2 ⎦⎢ ⎢ ⎣ k2 0

0 1 √ k2

⎥ ⎥ ⎥ ⎦

√

1 √ k2 −√ k1 + k2

(130)

Mit den Eigenwerten: ˆ 1,2 = 1 ± λ

k2 k1 + k2

(131)

Die Tab. 2.9 enth¨ alt f¨ ur drei unterschiedliche Verh¨altnisse von k1 /k2 die korrekte Anzahl Nachkommastellen s (ohne Vorkonditionierung) bzw. sˆ (mit Vorkonditionierung), wobei mit p = 5 Nachkommastellen gerechnet wurde. Tabelle 2.9. Vergleich der korrekten Nachkommastellen s bzw. s ˆ in Abh¨ angigkeit von dem Verh¨ altnis der Federsteiﬁgkeiten k1 /k2 k1 k2

Fall 1 2 3

√

3 2·10−6 √ √3 2 √ √ 3 2·106

√

# " # " ˆ sˆ log λλmax log λλˆmax min min # " 1,73 5 log 10 = 6, 238 log 1,001 −6 0,999 = 0, 001 # " # " 1,67 3,94 4 log 0,62 = 0, 803 log 0,33 = 0, 704 # " # " 2,83·106 2,0 = 6, 512 0 log 6,12·10 = 6, 514 log −7 0,87

s 0 4 0

In den drei F¨ allen wird sukzessiv die Steiﬁgkeit der zweiten Feder k2 von ahrend die der ersten Feder k1 konstant bleibt. 10−6 auf 106 gesteigert, w¨ Dies f¨ uhrt dazu, daß die Anzahl der korrekten Nachkommastellen sich auf Null reduzieren, also im Fall 3 keine L¨ osung mit f¨ unf gerechneten Nachkommastellen erreicht werden kann. Im Fall 1 versagt das Verfahren, wenn keine Vorkonditionierung durchgef¨ uhrt wird ( s = 0 , aber sˆ = 5 ). Es liegt also ein Fall von k¨ unstlicher, schlechter Kondition vor.

56

2. Mathematische Grundlagen

2.10.6 Zwangsbedingungen bei linearen Gleichungssystemen

Betrachtet wird ein lineares Gleichungssystem K u = F mit n Unbekannten. Diesem System sollen r Zwangsbedingungen aufgepr¨agt werden. Sie lassen sich in folgender Form beschreiben:

C u = r

(132)

C ist eine (r × n)-Matrix mit r < n. Die Unbekannten im Vektor u werden folgendermaßen angeordnet: ⎤

⎡ u = ⎣

uu

⎦

(133)

ua angigen und ua die abh¨ angigen Variablen. Damit wird auch uu sind die unabh¨ C wie folgt aufgeteilt: r =

Cu

Ca

⎤

⎡ ⎣

uu

⎦ = C u uu +C a ua ⇒ ua = C −1 r −C −1 uu (134) a a Cu

ua

C u ist eine (r × (n − r))-Matrix. C a eine (r × r)-Matrix. Mit (133) und (134) erh¨ alt man folgende Transformationsbeziehung: ⎡ u = ⎣

⎤ uu ua

⎡

⎡

⎤

⎤

E

0

T

0 F

⎦ uu + ⎣ ⎦ = T uu + F0 −1 −C −1 C C r u a a

⎦=⎣

(135)

E ist eine ((n − r) × (n − r))-Einheitsmatrix und T eine (n × (n − r))-Matrix. Voraussetzung f¨ ur die Existenz von T ist, daß die Matrix C a nicht singul¨ar ist. Es m¨ ussen daher die in (132) formulierten Zwangsbedingungen linear unabh¨ angig sein. Einsetzen von (135) in die Beziehung K u = F : K (T uu + F0 ) = F ⇒ K T uu = F − K F0

(136)

Es wird (136) von links mit T T durchmultipliziert: T T K T u = T T (F − K F0 ) = T T F − T T K F0 = Fˆ − Fˆ0 u ˆ K

Fˆ

Fˆ0

(137)

2.11 N¨ aherungsfehler bei der FEM

57

ˆ ist jetzt eine ((n − r) × (n − r))-Matrix. Der Vektor Fˆ0 tritt nur Die Matrix K dann auf, wenn der Vektor r in (132) kein Nullvektor ist, also die Zwangsbedingungen einen inhomogenen Charakter haben. Auf der S. 159 ist hierzu ein Anwendungsbeispiel zu ﬁnden.

2.11

2.11 N¨ aherungsfehler bei der FEM Der N¨ aherungsfehler bei der FEM ist eine Funktion e, die wie folgt deﬁniert werden kann: e(x, y) = uex (x, y) − uFEM (x, y)

(138)

uex ist die exakte und uFEM die FE-L¨ osung. Der Fehler e ist bei der FEM abh¨ angig von der Netzfeinheit. Dieser wird u ¨ ber eine charakteristische Elementkantenl¨ ange l beschrieben. Damit l¨ aßt sich folgende Fehlerabsch¨atzung [9] deﬁnieren:

e ∞ = max |e(x, y)| ≤ C lp x,y ∈ Ω

(139)

Es ist C eine problemabh¨ angige Konstante. Der Exponent p beschreibt die Konvergenzordnung des vorliegenden Elementes. e ∞ ist die Maximumnorm des Fehlers e. Die charakteristische Elementkantenl¨ange l kann u ¨ ber eine geometrische Gr¨ oße B des betrachteten Bauteiles beschrieben werden:

l=

B n

(140)

In (140) beschreibt n die Anzahl der Elemente entlang der Gr¨oße B. Der urspr¨ ungliche Fehler e wird durch einen relativen Fehler E und die Ungleichung in (139) wird durch eine Gleichung ersetzt: uex − uFEM 100 = C lp E= uex

(141)

Einsetzen von (140) in (141) f¨ uhrt auf: E = C ∗ n−p

mit

C ∗ = C Bp

Logarithmieren dieser Gleichung:

(142)

58

2. Mathematische Grundlagen

log E = log(C ∗ ) − p log(n)

(143)

Diese Beziehung stellt im doppelt logarithmischen System eine Gerade dar, die mit steigender Elementanzahl n abf¨ allt. F¨ ur eine Fehlerbeschreibung und die Analyse des Konvergenzverhaltens der FEM ist (143) sehr n¨ utzlich und wird im folgenden bei verschiedenen Beispielen eingesetzt. Eine wesentliche Einschr¨ ankung ist allerdings die Tatsache, daß die exakte L¨ osung uex bekannt sein muß.

2.12

2.12 Das Tonti-Diagramm

Bild 2.12. Die allgemeine Form des Tonti-Diagrammes

Das Tonti-Diagramm1 ist eine geeignete graﬁsche Darstellungsform der Zuordnung von Feldgleichungen. In Bild 2.12 ist der prinzipielle Aufbau eines solchen Diagrammes aufgezeigt. Die K¨astchen enthalten Variablen und Gr¨ oßen des Problems. Schattierte K¨ astchen geben Gr¨oßen wieder, die gegeben sind. Die Verbindungslinien verk¨ orpern die Feldgleichungen oder Randbedingungen. Durchgezogene Linien stellen eine strenge Erf¨ ullung der Beziehung dar. Eine gestrichelte Linie repr¨ asentiert eine schwache Beziehung, also eine nur im Mittel erf¨ ullte Beziehung.

1

Das Diagramm ist nach dem italienischen Mathematiker Tonti benannt.

Kapitel 3 Beschreibung elastostatischer Probleme

3

3

3 3.1 3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.5 3.1.6 3.2 3.2.1

Beschreibung elastostatischer Probleme Die Grundgleichungen der Elastizit¨atstheorie............... Verkn¨ upfung der Verschiebungen mit den Dehnungen ... Das Stoﬀgesetz................................................... Gleichgewichtsbedingungen .................................... Randbedingungen ................................................ Das Tonti-Diagramm des elastostatischen Problems...... Verkn¨ upfung der Grundgleichungen der Elastostatik...... Das Prinzip virtueller Verr¨ uckungen.......................... Das Prinzip vom Gesamtpotential ............................

61 61 62 62 62 63 64 65 65

3 Beschreibung elastostatischer Probleme 3.1

3.1 Die Grundgleichungen der Elastizit¨ atstheorie Im folgenden werden die Grundgleichungen der linearen Elastostatik betrachtet. Es werden dabei zwei Schreibweisen verwendet, zum einen die symbolische Schreibweise. Zum anderen die Matritzenschreibweise, da sie im Rahmen der FEM fast ausschließlich zum Einsatz kommt. Es werden folgende Gr¨oßen verwendet1 : uT = bT = T = p

u

v

Verschiebungsvektor

w

bx

by

bz

px

py

pz

Vektor der Volumenkr¨afte Vektor der Randspannungen

(144)

Die Vektoren beschreiben die Felder der o.g. Gr¨oßen. Die Tensoren der Dehnungen e und Spannungen s werden im Rahmen der FEM als Vektoren ε und σ geschrieben: ⎡

⎤ εxx

εxy

εxz

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ T ε = εxx εyy εzz 2 εxy e = ⎢ εyx εyy εyz ⎥ ; ⎣ ⎦ εzx εzy εzz ⎡ ⎤ σxx σxy σxz ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ s = ⎢ σyx σyy σyz ⎥ ; σ T = σxx σyy σzz σxy ⎣ ⎦ σzx σzy σzz

2 εxz

2 εyz

σxz

σyz

(145) 3.1.1 Verkn¨ upfung der Verschiebungen mit den Dehnungen

e=

1 (∇u + u ∇ ) 2

;

ε = L u

(146)

Die Dehnungs-Verschiebungs-Beziehungen, die auch kinematische Beziehungen genannt werden, verkn¨ upfen das vektorielle Verschiebungsfeld u mit dem 1

Die nachfolgenden Betrachtungen beziehen sich auf den r¨ aumlichen Fall.

62

3. Beschreibung elastostatischer Probleme

Dehnungsfeld ε bzw. e . Der Diﬀerentialoperator L ist f¨ ur den ebenen Fall in (89) auf der S. 42 deﬁniert. 3.1.2 Das Stoﬀgesetz

F¨ ur linear-elastische K¨ orper lassen sich Dehnungen und Spannungen wie folgt miteinander verkn¨ upfen:

s = D:e

;

σ = D ε

(147)

Hierbei ist D eine (6 × 6)-Matrix. F¨ ur den einfachsten Fall, dem linearelastischen, isotropen K¨ orper, enth¨ alt D nur zwei Stoﬀgr¨oßen, n¨amlich den Elastizit¨ atsmodul E und die Querkontraktion ν. 3.1.3 Gleichgewichtsbedingungen

∇ · s + b = 0

;

L σ + b = 0

(148)

Der Vektor b beschreibt die Volumenkr¨ afte. Der Vektor auf der rechten Seite ist ein Nullvektor. 3.1.4 Randbedingungen

Bei den Randbedingungen wird zwischen den wesentlichen (geometrischen) und den nat¨ urlichen (Kraftrandbedingungen) unterschieden. Wesentliche Randbedingungen

Es wird auf einem Teil der Oberﬂ¨ ache des K¨orpers Ωu die Verschiebung 0u aufgepr¨ agt: u = 0u auf Ωu

(149)

Nat¨ urliche Randbedingungen

Die nat¨ urlichen Randbedingungen stellen sich dar als: s · n = 0p ;

n σ = 0p auf Ωp

(150)

n enth¨ alt die Komponenten des Normalenvektors des Randes. σ beschreibt die sechs Spannungen:

3.1

Die Grundgleichungen der Elastizit¨ atstheorie

63

⎡ ⎤

⎡ nx ⎢ ⎢ n=⎢ 0 ⎣ 0

0

0

0

nz

ny

0

nz

0

0

nz

ny

nx

ny

⎥ ⎥ nx ⎥ ; ⎦ 0

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ σ = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ σxx

⎥ ⎥ σyy ⎥ ⎥ ⎥ σzz ⎥ ⎥ ⎥ σyz ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ σzx ⎥ ⎦ σxy

(151)

p ist der Vektor der Randspannungen. 3.1.5 Das Tonti-Diagramm des elastostatischen Problems

Die Gleichungen aus dem Kapitel zuvor lassen sich in geeigneter Form in einem Tonti-Diagramm zusammenfassen.

Bild 3.1. Das Tonti-Diagramm der Grundgleichungen der Elastostatik in strenger Form

Das Tonti-Diagramm erlaubt eine graﬁsche Zuordnung der Feldgleichungen und der Randbedingungen zueinander. Das Bild 3.1 zeigt diesen Zusammenhang f¨ ur elastostatische Probleme. Die K¨ astchen enthalten die Variablen. Die Verbindungslinien zwischen den K¨ astchen stellen die strengen Verbindungen der Variablen zu den Feldgleichungen und Randbedingungen dar. Die erste Feldgleichung ist die kinematische Gleichung (Dehnungs-VerschiebungsBeziehung) 1/2 ( ∇ u + u ∇ ). Die zweite ist die konstitutive Gleichung (Stoﬀgleichung) s = D : e. Die dritte ist die Gleichgewichtsbedingung ∇ · s+b = 0. Das Verschiebungsfeld u wird als Prim¨ arvariable bezeichnet. Die Felder der Dehnungen und Spannungen heißen erste bzw. zweite Zwischenvariable oder Sekund¨ arvariable. Die schattierten K¨ astchen enthalten gegebene Gr¨oßen, die nichtschattierten die unbekannten Gr¨ oßen. Als gegeben werden die wesenturlichen s · n = p Randbedinlichen Randbedingungen u = 0u und die nat¨

64

3. Beschreibung elastostatischer Probleme

gungen angesehen. Weiterhin wird das Feld der Volumenkr¨afte b als bekannt vorausgesetzt. Die Verkn¨ upfung der Beziehungen aus dem Tonti-Diagramm f¨ uhrt auf eine strenge L¨ osung des Problems in Form von gew¨ohnlichen oder partiellen Diﬀerentialgleichungen. Nachfolgend wird hierzu die sogenannte Navier’sche Gleichung abgeleitet. Die Prim¨ arvariable ist dabei u. 3.1.6 Verkn¨ upfung der Grundgleichungen der Elastostatik Verallgemeinerte Navier’sche Gleichung

Setzt man das Stoﬀgesetz nach (147) in die Gleichgewichtsbedingung (148) ein, so erh¨ alt man: ∇ · D : e + b = 0

(152)

In diese Beziehung wird die kinematische Gl. (146) eingesetzt: % ∇· D :

1 (∇u + u ∇) 2

& + b = 0

(153)

Dies sind drei partielle Diﬀerentialgleichungen f¨ ur die drei Verschiebungen u, v, w. Sie m¨ ussen noch den wesentlichen Randbedingungen gen¨ ugen. Dieses Diﬀerentialgleichungssystem ist nur f¨ ur Sonderf¨alle in geschlossener Form l¨ osbar. F¨ ur praktische Problemstellungen scheidet sie aber zur Bestimmung des Verschiebungsfeldes u aus. Vielmehr soll im n¨achsten Kapitel ein alternativer Weg beschritten werden, der das elastostatische Problem als Variationsproblem beschreibt. Beispiel zur Navier’schen Gleichung

F¨ ur einen eindimensionalen Stab soll die Verschiebung u = u(x) ermittelt werden. Der Stab hat die L¨ ange l und ist bei x = 0 fest eingespannt. Bei x = l, also am rechten Ende, greift eine Kraft F an. Es werden die drei Grundgleichungen f¨ ur den eindimensionalen Fall vereinfacht: dσxx =0 Die Gleichgewichtsbedingung: ∇ · s = 0 ⇒ dx Das Stoﬀgesetz: s = D : e ⇒ σxx = E εxx Die kinematische Beziehung: e =

1 du ( ∇ u + u ∇ ) ⇒ εxx = 2 dx

3.2

Das Prinzip virtueller Verr¨ uckungen

65

Einsetzen des Stoﬀgesetzes in die Gleichgewichtsbedingung sowie Einbringen der kinematischen Beziehung f¨ uhrt auf folgende Beziehung f¨ ur den eindimensionalen Fall: d dx

%

du E dx

& =0

(154)

Die rechte Seite ist Null, da keine Volumenkr¨ afte ber¨ ucksichtigt werden. Bei konstantem E-Modul ( E = E(x) ) erh¨ alt man: d2 u = u = 0 dx2

(155)

Durch zweimalige Integration von (155) ergibt sich:

u = C1 x + C2

(156)

Die Konstanten C1 und C2 werden u urliche Rand¨ber die wesentliche und nat¨ bedingung bestimmt: u(x = 0) = 0 ⇒ C2 = 0 p ⇒ nx σxx n · s = 0

F F = u E ⇒ u = = C1 =p= A AE

(157) (158)

Die Gleichungen (157) und (158) in (156) eingesetzt f¨ uhrt auf die Beziehung f¨ ur die Verschiebung:

u=

F x AE

(159)

3.2 Das Prinzip virtueller Verr¨ uckungen F¨ ur den Fall elastischer K¨ orper kann man zeigen, daß das Prinzip virtueller Verr¨ uckungen identisch ist mit dem Gesamtpotential, auch Π-Potential genannt [34]. Im folgenden soll das Prinzip vom Gesamtpotential betrachtet werden. 3.2.1 Das Prinzip vom Gesamtpotential

Das Tonti-Diagramm in Bild 3.2 ist der Ausgangspunkt f¨ ur die Ableitung des Prinzipes vom Gesamtpotential. Das Diagramm stellt eine Modiﬁkation des Diagrammes 3.1 dar.

3.2

66

3. Beschreibung elastostatischer Probleme

Bild 3.2. Das Tonti-Diagramm der Grundgleichungen der Elastostatik in schwacher Form

Das unbekannte Verschiebungsfeld u ist die Gr¨oße, die variiert und als Prim¨arvariable bezeichnet wird. Das Dehnungsfeld eu wird in strenger Weise u ¨ber die kinematische Beziehung durch u ausgedr¨ uckt. Dies bringt der Superskript u zum Ausdruck, ebenso beim Spannungsfeld su . Sekund¨arfelder werden durch gestrichelte K¨ astchen beschrieben. Die strenge Verbindung, hier durch die Vollinien angedeutet, erzwingen eine Erf¨ ullung der Verbindung in jedem Punkt des L¨ osungsraumes V . Dies gilt auch f¨ ur die wesentlichen Randbedingungen u = 0u . Die schwachen Verbindungen, im Diagramm durch gestrichelte Linien angedeutet, erzwingen nur eine gemittelte“ Erf¨ ullung der ” Verbindungen. So wird das Gleichgewicht im K¨orper V sowie die nat¨ urlichen Randbedingungen nur in einem gemittelten Sinne erf¨ ullt. Man spricht von einer schwachen L¨ osung. Ausgangspunkt der mathematischen Beschreibung ist nun die Formulierung der schwachen Beziehung der Gleichgewichtsbedingungen: "

# ∇ · s + b · λ = 0

(160)

V

¨ Uber die Einf¨ uhrung des Vektorfeldes der Lagrange Multiplikatoren λ wird eine Gewichtung vorgenommen. Die Lagrange Multiplikatoren stellen sich im Laufe der Ableitung als Variation δu = λ dar. Die Ableitung soll hier nicht im Detail ausgef¨ uhrt werden. Das Ergebnis f¨ uhrt auf einen Ausdruck des Gesamtpotentials Π in der folgenden Form: 1 0 b · u dV − s : e dV − p0 · u dΩp 2 V V Ωp 1 0 T = σ T ε dV − b T u dV − p u dΩp = ΠF − Πa 2 V V Ωp

Π=

ΠF

Πa

(161)

3.2

Das Prinzip virtueller Verr¨ uckungen

67

Der Term ΠF beschreibt die elastische Form¨ anderungsarbeit, w¨ahrend Πa sich als Potential der ¨ außeren Kr¨ afte darstellt. Beispiel zum Prinzip des Gesamtpotentials

In Bild 3.3 ist eine Masse m dargestellt, die an einer Feder mit der Steiﬁgkeitsmatrix k h¨ angt. Die Masse u ¨ bt infolge der Gravitation eine Kraft Fˆ = m g auf die Feder aus.

Bild 3.3. Beispiel zum Prinzip des Gesamtpotentials

Im Ausgangszustand bei x = 0 ist die Feder unbelastet. Die Kraft Fˆ tritt u ur eine Ab¨ ber den ganzen Auslenkungsweg der Feder in voller Gr¨oße auf. F¨ senkung der Feder mit einer beliebig kleinen Geschwindigkeit soll die Masse m seitlich gef¨ uhrt werden und sich Reibung zwischen der Masse und der ¨ die Reibkraft FR steht die ¨außere F¨ uhrung ausbilden (Fˆ = FR + Ff ). Uber Kraft Fˆ mit der Federkraft Ff im Gleichgewicht. Wird nun auf diese Weise die Feder um ein Maß u abgesenkt, so wird in der Feder eine innere Energie anderungsarbeit bezeichnet: ΠF gespeichert, die man als Form¨ ΠF =

u

Ff dx = 0

u

k x dx = 0

1 k u2 2

(162)

W¨ ahrend dieser Bewegung ¨ andert sich die potentielle Energie der Masse m. In der Ausgangslage bei x = 0 habe die Masse die potentielle Energie C. In einer verformten Lage bei x = u ergibt sich: C − m g u. Damit ergibt sich eine Potentialdiﬀerenz von: Πa = Πx=u − Πx=0 = ( C − m g u) − C = −m g u

(163)

Das Gesamtpotential stellt sich dar als:

Π = ΠF + Πa =

1 k u2 − m g u 2

(164)

68

3. Beschreibung elastostatischer Probleme

Aus der Forderung nach Stationarit¨ at von Π erh¨alt man die gesuchte Verschiebung u ˆ:

δΠ =

dΠ mg dΠ δu = 0 ⇒ = 0 = ku ˆ − mg ⇒ u ˆ= du du k

(165)

In dieser Gleichgewichtslage gilt f¨ ur Π: (Fˆ = k u ˆ) 1 1 1 ˆ = min(Π) = 1 k u Π ˆ2 − Fˆ u ˆ2 − k u ˆ2 = − Fˆ u ˆ = ku ˆ2 = − k u ˆ 2 2 2 2

(166)

In Bild 3.4 ist das Gesamtpotential Π als Funktion von u dargestellt. Das Gesamtpotential nimmt an der Stelle u = u ˆ nicht nur einen station¨aren Wert ˆ Fˆ . an, sondern auch ein Minimum mit einem Wert min(Π) = A∗ = −1/2 u

Bild 3.4. Das Π-Potential einer Feder

Dies ist der Anteil an Energie, der w¨ ahrend der Verformung der Feder unter der vollen, konstanten Last Fˆ freigesetzt wird. Er entspricht der Arbeit der are, ¨außere Arbeit genannt. Diese ist Reibkraft FR und wird auch komplement¨ in der rechten H¨ alfte von Bild 3.4 als A∗ dargestellt. In diesem Diagramm ist die ¨ außere Kraft F u ¨ ber die Verformung u aufgetragen. Die Gerade Ff = k u stellt die Federkennlinie dar. Die gesamte schattierte Fl¨ache beschreibt das Potential m g u der Kraft Fˆ . Die zuvor angesprochene Arbeit A∗ liegt oberhalb der Federkennlinie, w¨ ahrend die ¨ außere Arbeit A unterhalb liegt. Diese Arbeit entspricht der ¨ außeren Arbeit F (u), die im Gegensatz zu Fˆ nicht in voller Gr¨ oße aufgebracht wird, sondern beginnend bei Null (x = 0) auf den Endwert ˆ F bei x = u ˆ anw¨ achst. Die Arbeit A = 1/2 u ˆ Fˆ wird vollst¨andig in die Form¨ anderungsarbeit ΠF umgesetzt.

Kapitel 4 Das Verfahren von Ritz

4

4

4 4.1 4.1.1 4.2 4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.3 4.3.1 4.3.2 4.3.3 4.4 4.4.1 4.4.2 4.4.3 4.4.4 4.4.5 4.4.6 4.4.7

Das Verfahren von Ritz Aufpr¨agen der wesentlichen Randbedingungen ............. Beispiel zu den wesentlichen Randbedingungen............ Eindimensionale Stabprobleme ................................ Diskretisierung der Form¨anderungsarbeit.................... Diskretisierung des Potentials der ¨außeren Lasten......... Beispiel zum eindimensionalen Stab ......................... Eindimensionale Balkenprobleme ............................. Diskretisierung der Form¨anderungsarbeit.................... Diskretisierung des Potentials der ¨außeren Lasten......... Variation des Gesamtpotentials .............................. Scheibenproblem ................................................. Verschiebungsans¨atze ........................................... Wesentliche Randbedingungen ................................ Dehnungen und Spannungen der Scheibe ................... Diskretisierung der Form¨anderungsarbeit.................... Diskretisierung des Potentials der ¨außeren Lasten......... Variation des Gesamtpotentials ............................... Kragbalken als Scheibenproblem ..............................

72 73 75 75 76 77 79 79 79 80 84 85 85 86 87 88 89 89

4 Das Verfahren von Ritz Das Verfahren von Ritz kann als Vorstufe der FEM betrachtet werden. Ausgangspunkt ist dabei ein Funktional Π = Π(g(x, y, z)), das das physikalische Problem beschreibt. F¨ ur die gesuchte Funktion g(x, y, z) wird eine N¨aherungsfunktion formuliert: φ˜ = a0 + a1 f˜1 (x, y, z) + . . . + ai f˜i (x, y, z) + . . . + an f˜n (x, y, z) ⎤ ⎡ 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ f˜1 ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ . ⎥ ⎢ ⎢ .. ⎥ ⎥ ⎥ = aT x = xT a = a 0 a1 . . . ai . . . an ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ f˜i ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ . ⎥ ⎢ .. ⎥ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ f˜n

(167)

Hierin sind f˜i (x, y, z) linear unabh¨ angige Funktionen und ai unbekannte Koeﬃzienten, die es zu bestimmen gilt. Die entscheidende Eigenschaft dieses Verfahrens von Ritz ist nun die, daß die N¨ aherungsl¨ osung nach (167) mit steigendem n gegen die exakte L¨osung strebt [49]. F¨ ur eine eindeutige L¨ osung m¨ ussen der Ansatzfunktion (167) die wesentlichen Randbedingungen aufgepr¨ agt werden. Damit erh¨alt man eine modiﬁzierte Ansatzfunktion φ, die nur noch (n − m) unabh¨angige Koeﬃzienten aufweist, wobei m die Anzahl der Randbedingungen ist. Dieses Aufpr¨agen der wesentlichen Randbedingungen bereitet bei K¨orpern, die krummlinig beultigen Einsatz randet sind, Probleme1 . Diese Tatsache steht einem allgemeing¨ der Methode im Wege. Trotzdem hat sie als Vorstufe der FEM eine zentrale Bedeutung. Das zuvor angesprochene Funktional Π besitzt einen station¨aren Wert2 . Damit verschwindet an dieser Stelle die erste Variation δΠ: 1

¨ An dieser Stelle ﬁndet der Ubergang zur FEM statt. Es wird bei der FEM nicht mehr eine Ansatzfunktion f¨ ur den ganzen K¨ orper formuliert, sondern der K¨ orper wird gedanklich in endliche (ﬁnite) Teilgebiete (Elemente) unterteilt. F¨ ur ein solches Teilgebiet wird die Ansatzfunktion angesetzt. Damit muß diese Ansatzfunktion nicht den wesentlichen Randbedingungen gen¨ ugen. Die unbekannten Koeﬃzienten werden durch die sogenannten Knotengr¨ oßen ersetzt. Daraus resultiert die allgemeing¨ ultigere Einsetzbarkeit der FEM gegen¨ uber dem Verfahren von Ritz. 2 Hat das Funktional eine quadratische Form, so ist der station¨ are Wert gleichzeitig ein Minimum.

72

4. Das Verfahren von Ritz

δΠ =

∂Π δai = 0 ∂ai

∀ i = 1, . . . , n − m

(168)

(n − m) ist die Anzahl der Koeﬃzienten, die nach der Ber¨ ucksichtigung der wesentlichen Randbedingungen noch unbekannt sind. Aus der voranstehenden Gleichung gewinnt man ein lineares, inhomogenes Gleichungssystem zur ur die partiellen Ableitungen gilt: Bestimmung der Koeﬃzienten ai , da f¨ ∂Π =0 ∂ai

∀ i = 1, . . . , n − m

(169)

Die Funktionsweise des Verfahrens von Ritz wird auf der S. 77 an einem eindimensionalen Stab aufgezeigt.

4.1

4.1 Aufpr¨ agen der wesentlichen Randbedingungen Die Ansatzfunktion φ˜ nach (167) muß noch so ver¨andert werden, daß sie die m wesentlichen Randbedingungen beschreiben kann. Dabei k¨onnen p-te ˜ als φ˜(p) auftreten: Ableitungen von φ, φ˜(p) (xi , yi , zi ) = 0uj

∀

j = 1, . . . , m und p = 0 ∧ 1 ∧ 2 . . .

(170)

F¨ uhrt man die m Randbedingungen in (167) ein, so kann man schreiben: ⎤⎡

⎡ (x ˆT )(p) (x1 , y1 , z1 ) .. .

⎤

⎢ a0 ⎢ . ⎢ . ⎢ . ⎢ ⎢ ⎢ ai−1 (x ˆT )(p) (xj , yj , zj ) ⎢ ⎢ . .. ⎢ .. . ⎢ ⎣ T (p) (x ˆ ) (xm , ym , zm ) an ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

X

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡

⎤ 0

⎥ ⎢ u1 ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ = ⎢ uj ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ .. ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ 0 um

a

X a = 0u

0 u

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ (171)

Die Matrix X ist eine (m × n)-Matrix. Sie wird in eine (m × m)-Matrix A und eine (m × (n − m))-Matrix B aufgeteilt:

4.1

Aufpr¨ agen der wesentlichen Randbedingungen

X a =

B

A

73

⎤

⎡ aa

⎣

⎦ = Aaa + B ab = 0u

ab −1 0

aa = A

( u − B ab )

(172)

Die Aufteilung von X in A und B ist so zu gestalten, daß f¨ ur den Rang von ullt ist. Diese Aufteilung von X f¨ uhrt A die Bedingung Rang (A) = m erf¨ ebenfalls zur Aufteilung von x und a: xT =

xTa

xTb

;

aT =

aTa

(173)

aTb

Damit l¨ aßt sich mit Hilfe von (172) die Beziehung (167) schreiben als:

φ = xT a =

xTa

xTb

⎤

⎡ ⎣

aa ab

⎦=

xTa

xTb

⎡ ⎣

A−1 0u − A−1 B ab

⎤ ⎦

ab (174)

Diese Beziehung erf¨ ullt die wesentlichen Randbedingungen. Die gesuchten unabh¨ angigen Gr¨ oßen sind die Koeﬃzienten, die im Vektor ab auftreten. Eine Umformung von (174) f¨ uhrt zu: T ab φ = xTa A−1 0u + (xTb − xTa A−1 B) ab = f0 + N f0

(175)

T N

enth¨ Der Vektor N alt die modiﬁzierten Funktionen fi . Der Term f0 tritt nur dann auf, wenn inhomogene, wesentliche Randbedingungen vorliegen. 4.1.1 Beispiel zu den wesentlichen Randbedingungen

In Bild 4.1 ist ein eindimensionaler Stab abgebildet. Er ist bei x = 0 fest eingespannt und bei x = l wird ihm eine Verschiebung u ¯ aufgepr¨agt. Es liegen damit m = 2 Randbedingungen vor. Der Verschiebungsansatz lautet:

Bild 4.1. Die wesentlichen Randbedingungen des ein-

dimensionalen Stabes: u ˜ (ξ = 0) = 0 ; u ˜(ξ = 1) = u ¯

74

4. Das Verfahren von Ritz

⎤ a 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ a1 ⎥ ⎥ ⎢ 3 ⎥ = xT a ⎢ ξ ⎢ a ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎦ ⎣ a3 ⎡

u ˜ = a 0 + a 1 ξ + a2 ξ 2 + a 3 ξ 3 =

1

ξ

ξ2

(176)

Er muß so modiﬁziert werden, daß die wesentlichen Randbedingungen erf¨ ullt werden. Danach weist er noch n − m, also zwei unabh¨angige Koeﬃzienten auf. Die wesentlichen Randbedingungen (˜ u(ξ = 0) = 0; u ˜(ξ = 1) = u¯) werden in die Beziehung (176) eingesetzt und lassen sich wie folgt schreiben: ⎡

⎤

⎢ a0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ a1 ⎥ ⎢ ⎥ u ˜ (ξ = 0) = 0 ⇒ 1 0 0 0 ⎢ ⎥=0 ⎢ a ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎣ ⎦ xT 1 a3 ⎡ ⎤ a 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ a1 ⎥ ⎢ ⎥ ¯ u ˜ (ξ = 1) = u ¯ ⇒ 1 1 1 1 ⎢ ⎥=u ⎢ ⎢ a2 ⎥ ⎥ ⎣ ⎦ xT 2 a3

(177)

(178)

Die beiden Vektoren xT1 und xT2 bilden die beiden Zeilen der Matrix X: ⎡ X=⎣

xT1 xT2

⎤

⎤

⎡

⎦=⎣

1

0

0

0

1

1

1

1

⎦

(179)

Die (m × m)-Matrix A mit m = 2, wird aus den ersten beiden Zeilen und Spalten von X gebildet, die (m × (n − m))-Matrix B mit n = 4 entsprechend aus den letzten beiden Zeilen und Spalten von X. Der Vektor xa wird aus den ersten beiden Elementen von x gewonnen und xb aus den letzten beiden Elementen von x. Damit erh¨ alt man nach (175):

4.2

Eindimensionale Stabprobleme

u=

1

ξ

xa

⎤⎡

⎡

0

⎦⎣ ⎦ −1 1 u ¯ ⎣

ξ2

ξ3

−

u0

= u¯ ξ +

ξ(ξ − 1)

xb

⎤

0

1

A−1

+

75

1

xa

ξ

⎤⎡

⎡ ⎣

⎦⎣

0

0

⎤ ⎡

⎤ a2

⎦ ⎣

⎦

−1 1 1 1 a3

ξ(ξ 2 − 1)

0

1

A−1

⎡ ⎣

a2

⎤

B

⎦=u ¯ξ +

a3

ab

N1

N2

= u¯ ξ + N1 a2 + N2 a3

⎤

⎡ ⎣

a2

⎦

a3 (180)

4.2

4.2 Eindimensionale Stabprobleme Das Gesamtpotential des eindimensionalen Stabes lautet in Abwandlung von (161):

Π=

1 2

σε dV − u ˆT F = ΠF − Πa

(181)

V

Setzt man in die kinematische Beziehung ε = du/dx die Beziehung nach (175) ein, so erh¨ alt man: ε = f0 + aTb N

(182)

4.2.1 Diskretisierung der Form¨ anderungsarbeit

Die Form¨ anderungsenergie ΠF lautet damit: 2 1 dV ΠF = E f0 + aTb N 2 V % " #T & 1 2 ab dV + aTb N N E (f0 ) + 2 f0 aTb N = 2 V 1 1 T 2 T (N )T dV ab = E (f0 ) dV + ab E f0 N dV + ab EN 2 V 2 V V F0

R

K

d

76

4. Das Verfahren von Ritz

+ 1 aTb K ab = F0 + aTb R 2

(183)

Infolge inhomogener Randbedingungen tritt in (183) die skalare Gr¨oße F0 auf. Der Vektor R gibt die Kr¨afte wieder, die infolge insowie der Vektor R homogener Randbedingungen entstehen. Bei konstanten, homogenen Rand ein Nullvektor, da von f0 die erste Ableitung in (183) bedingungen ist R auftritt. 4.2.2 Diskretisierung des Potentials der ¨ außeren Lasten

k In das Potential der ¨ außeren Kr¨ afte Πa = u ˆT F = i=1 Fi ui wird mit Hilfe von (175) die Verschiebung ui am Angriﬀsort der Kraft Fi eingesetzt: k

Fi ui = F1 u1 + . . . + Fi ui + . . . + Fk uk

" # " # " # 1 + . . . + Fi f0i + aTb N i + . . . + Fk f0 + aTb N k = F1 f01 + aTb N k i=1

= f0T F + aTb Q F = Πa

(184)

Der Vektor F erfaßt die Kr¨ afte Fi , i = 1 . . . k. f0i = f0 (xi ), i = 1 . . . k bilden die Komponenten des Vektors f0 . Die i-te Spalte der Matrix Q enth¨alt den i = N (xi ), wobei xi die Koordinate des Angriﬀspunktes der Kraft Vektor N Fi ist. f0T = Q=

f01

...

f0i

...

f0k

1 N

...

i N

...

k N

(185)

Mit der Form¨ anderungsarbeit ΠF aus (183) und dem Potential der ¨außeren alt man das Gesamtpotential Π = ΠF − Πa zu: Kr¨ afte Πa aus (184) erh¨ + 1 aTb K ab − f0T F − aTb Q F Π = F0 + aTb R 2

(186)

Die erste Variation hiervon f¨ uhrt auf: ∂ 1 T ∂Π T T T F0 + ab R + ab K ab − f0 F − ab Q F δab δab = δΠ = ∂ab ∂ab 2 ! + K ab − Q F = = δaTb R 0 (187)

4.2

Eindimensionale Stabprobleme

77

Bei der Variation verschwinden die Terme, die unabh¨angig von ab sind. Der Klammerausdruck in (187) muß zu Null werden, so daß man daraus folgendes lineares Gleichungssystem zur Bestimmung der unbekannten Koeﬃzienten ab erh¨ alt: K ab = Q F − R

(188)

4.2.3 Beispiel zum eindimensionalen Stab

In dem Beispiel 4.1.1 (s. Bild 4.1) auf der S. 73 sind dem Stab zwei wesentliche Randbedingungen aufgepr¨ agt worden, die zu der Ansatzfunktion (180) f¨ uhren. Diese ist jetzt Ausgangspunkt zur Bestimmung der unbekannten Ko eﬃzienten aTb = a2 a3 . Es wird der Stab bei l/2 durch eine Kraft F belastet. Matrix K

auf. Das Produkt In K treten nach (183) die ersten Ableitungen von N T ) stellt ein dyadisches Produkt dar und f¨ (N uhrt zu: N

1

K = AE l 0

⎡ =

AE ⎣ l

1 3 1 2

⎡ (2 ξ − 1)2 1 ⎣ l2 1 − 2 ξ − 3 ξ 2 + 6 ξ 3 ⎤ 1 2

⎦

1 − 2 ξ − 3 ξ2 + 6 ξ3 (3 ξ − 1) 2

⎤ ⎦ dξ

2

(189)

4 5

Matrix Q

Die Matrix Q wird nach (185) gebildet. Sie besteht aus einer Spalte, da nur eine Kraft F auftritt, die an der Stelle ξ = 1/2 angreift. Mit (180) erh¨alt man: ⎡

1 ⎤ ⎡ 1 ⎤ − 2 ⎦ ⎣ 4 ⎦ Q=⎣ 1 = N2 2 − 83 N1

(190)

Vektor R

ist in (183) deﬁniert. Er enth¨ Der Vektor R alt die Ableitung f0 . F¨ ur f0 ergibt sich nach (175) bzw. (180):

78

4. Das Verfahren von Ritz

f0 = u¯ ξ ⇒ f0 =

u ¯ l

(191)

Die Integration nach (183) f¨ uhrt auf einen Nullvektor. L¨ osen des Gleichungssystems

Zur Bestimmung der unbekannten Koeﬃzienten aTb = folgendes Gleichungssystem: ⎡ AE ⎣ l

1 3

1 2

1 2

4 5

⎤⎡

⎤ a2

a2

a3

erh¨alt man

⎤

⎡ 2

⎦ ⎦ = −F ⎣ 8 a3 3 ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ Fl a2 − 43 AE ⎦ ⎣ ⎦=⎣ a3 0

⎦⎣

(192)

Einf¨ uhrung dieser Koeﬃzienten in (180) f¨ uhrt auf die gesuchte L¨osung:

u=u ¯ξ +

3Fl ξ(1 − ξ) 4 AE

(193)

Bild 4.2. Gegen¨ uberstellung der exak-

ten Verschiebung und der nach Ritz (F l/(¯ uAE) = 1)

In Bild 4.2 ist die L¨ osung nach (193) und die exakte Verschiebung dargestellt.

4.3

Eindimensionale Balkenprobleme

79

4.3

4.3 Eindimensionale Balkenprobleme Das Gesamtpotential Π des eindimensionalen Balkens lautet: 1 Π= 2

l

2

E I (v ) dx − 0

k

Fi vi +

i=1

p

Mi ϕi +

i=1

l

q(x) v dx 0

= ΠF − Πa

(194)

Als Belastungsgr¨ oßen werden die Kr¨ afte Fi , i = 1, . . . , k und die Momente ucksichtigt. Das Produkt EI Mi , i = 1, . . . , p sowie die Streckenlast q ber¨ gibt die Balkensteiﬁgkeit wieder. Die Durchbiegung v tritt in Form der ersten Ableitung (ϕ = v ) und der zweiten Ableitung v auf. Sie l¨aßt sich nach (175) schreiben als: v = f0 + aTb N v = f0 + aTb N

v =

f0

+ aTb

(195) (196)

(197)

N

4.3.1 Diskretisierung der Form¨ anderungsarbeit

Das Einsetzen der voranstehenden Gleichungen in die Form¨anderungsarbeit nach (194) f¨ uhrt zu (ξ = x/l): 1 1 #2 " 1 1 2 dξ EI (v ) dξ = l EI f0 + aTb N ΠF = l 2 0 2 0 1 1 1 " #T 1 2 dξ ab N dξ + 1 aT l EI N = l EI (f0 ) dξ + aTb l EI f0 N b 2 0 2 0 0 F0

R

+ 1 aTb K ab = F0 + aTb R 2

K

(198)

4.3.2 Diskretisierung des Potentials der ¨ außeren Lasten

Πa =

k i=1

Fi vi +

p i=1

Mi ϕi +

l

q(x)v dx

(199)

0

k F¨ ur den Ausdruck i=1 Fi vi kann (184) benutzt werden, indem u durch v p aßt sich mit Hilfe von (196) schreiben ersetzt wird. Der Ausdruck i=1 ϕi Mi l¨ als:

e

80

4. Das Verfahren von Ritz

p

1 )M1 + · · · + (f0 + aTb N i )Mi + · · · ϕi Mi =(f0 1 + aTb N i

i=1

)Mp = (f )T M + aT Q M + (f0 p + aTb N p 0 b

(200)

enth¨ Der Vektor M alt die p Momente, die als Belastung auftreten. Die Matrix Q wird aus (185) gewonnen, indem die Spaltenvektoren nach x abgeleitet werden: Q =

1 N

N i

...

...

p N

(201)

F¨ ur die Streckenlast q(x) ergibt sich mit (195):

l

q(x)v dx = 0

0

l

l l " # dx dx = q(x) f0 + aTb N q(x)f0 dx + aTb q(x)N 0 0 G0

=

G0 + aTb Q

Q

(202)

4.3.3 Variation des Gesamtpotentials

Das Gesamtpotential ergibt sich mit Hilfe von (184), (198), (200) und (202) zu: " # " # + 1 aTb K ab − f0T F + aTb Q F − (f0 )T M + aTb Q M Π = F0 + aTb R 2# " T (203) − G0 + ab Q Die Terme in voranstehender Gleichung, die unabh¨angig von ab sind, verschwinden bei der Variation von Π: ∂Π δab ∂ab ∂ + 1 aT K ab − f T F − aT Q F − (f )T M F0 + aTb R = 0 b 0 ∂ab 2 b − G0 − aTb Q δab − aTb Q M " # ! + K ab − Q F − Q M −Q = = δaTb R 0

δΠ =

(204)

4.3

Eindimensionale Balkenprobleme

81

Bei der Einnahme eines station¨ aren Wertes muß der Klammerausdruck in (204) verschwinden. Damit erh¨ alt man: +Q −R K ab = Q F + Q M

(205)

Aus (205) lassen sich die unabh¨ angigen Koeﬃzienten ab berechnen. Mit (175) erh¨ alt man den gesuchten Verschiebungsansatz. Beispiel zum eindimensionalen Balken

In Bild 4.3 ist ein Balken dargestellt, der an seinem linken Ende fest eingespannt ist und dessen rechtes Auﬂager um den Wert v¯ angehoben wird. Er wird durch eine Streckenlast q, eine Kraft F und ein Moment M belastet. Im folgenden wird die Durchbiegung des Balkens n¨aherungsweise mit einem Polynom vierten Grades beschrieben.

Bild 4.3. L¨ osung eines Balkenproblems mit der Methode von Ritz

Ansatzfunktion

⎡

⎤ a0

v˜ = a0 + a1 ξ + a2 ξ 2 + a3 ξ 3 + a4 ξ 4 =

1

ξ

ξ2

ξ3

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ a1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ξ 4 ⎢ a2 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ a3 ⎥ ⎣ ⎦ a4

= x aT (206) Wesentliche Randbedingungen

Die drei wesentlichen Randbedingungen des Beispiels v˜(ξ = 0) = 0, uhrt v˜(ξ = 1) = v¯ und v˜ (ξ = 0) = 0 auf die Ansatzfunktion angewendet, f¨ auf:

82

4. Das Verfahren von Ritz

x1 =

x3 =

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

; x2 =

1

1

1

1

1 (207)

Die Vektoren x1 , x2 , x3 bilden die Zeilen der Matrix X. Die ersten drei Spalten von X formen die Matrix A, die letzten beiden die Matrix B. Daraus ergibt sich weiter: ⎤

⎡ 1

0

⎢ ⎢ A=⎢ 1 ⎣ 0

1 1

⎡

⎤

⎡ 0

0

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 1 ⎥ ; B=⎢ 1 ⎦ ⎣ 0 0

⎤

⎡

a0

0

⎥ ⎥ 1 ⎥ ⎦ 0

(208)

⎡

⎤

⎤

⎡ ⎤ 3 ⎥ ξ ⎥ ⎦ ⎥ ; xb = ⎣ ⎦ 4 ξ

1

⎢ ⎢ ⎥ a3 ⎢ ⎥ ⎦ ; xa = ⎢ aa = ⎢ a1 ⎥ ; ab = ⎣ ⎢ ξ ⎣ ⎣ ⎦ a4 a2 ξ2

(209)

Einsetzen der voranstehenden Ausdr¨ ucke in (175) f¨ uhrt zu: ⎤⎡

⎡ 1

v=

1

ξ

⎛

ξ2

⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎣ −1

0 0 1

0

⎤ 0

⎥⎢ ⎥⎢ 1 ⎥ ⎢ v¯ ⎦⎣ −1 0 ⎡

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤⎡

⎤⎞

⎡ ⎤ ⎥⎢ ⎥⎟ a3 ⎢ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎟ ⎦ ξ 4 − 1 ξ ξ 2 ⎢ 0 0 1 ⎥ ⎢ 1 1 ⎥⎟ ⎣ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎠ a4 −1 1 −1 0 0 ⎡ ⎤ a3 T ab ⎦ = f0 + N (210) = ξ 2 v¯ + ξ 2 (ξ − 1) ξ 2 (ξ 2 − 1) ⎣ a4 ⎜ ⎜ + ⎜ ξ3 ⎝

1

0

0

0

0

Matrix K

Die Matrix K, die in (198) deﬁniert ist, enth¨alt das dyadische Produkt )T. N ist in (210) angef¨ (N uhrt. N

4.3

Eindimensionale Balkenprobleme

⎡

EI K= 3 l

1

⎣

4(3 ξ − 1)2

83

4(3 ξ − 1)(6 ξ 2 − 1)

4(3 ξ − 1)(6 ξ 2 − 1) ⎡ ⎤ 4 EI ⎣ 1 2 ⎦ = 3 l 2 21 5 0

⎤ ⎦ dξ

4(6 ξ 2 − 1)2 (211)

Rechte Seite des Gleichungssystems nach (205)

auf der rechten Seite treten infolge von Kr¨aften und Die Ausdr¨ ucke QF , Q M Momenten auf. Die Matrizen Q und Q lauten nach (185) bzw. (201) sowie (210): ⎤ ⎤ ⎡ ⎡ 1 1 ⎣ −2 ⎦ 1 ⎦ Q= ; Q = ⎣ 16 −3 l 2

(212)

hervor: Aus der Streckenlast q geht nach (202) der Vektor Q =l Q

1

dξ = ql q(ξ)N 0

⎤ ⎤ ⎡ ξ 2 (ξ − 1) −1 ql ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 2 dξ = 12 8 2 ξ ξ −1 −5 ⎡

1

0

(213)

in (205) tritt nur dann auf, wenn inhomogene Randbedingungen Der Vektor R treten f = (ξ 2 v¯) (s. (210)) sowie vorliegen. R ist in (198) deﬁniert. In R 0 die zweiten Ableitungen von N auf. Das f¨ uhrt zu folgendem Ergebnis: = EI l R 0

1

⎡ ⎤ 1 2 EI dξ = ⎦ f0 N v¯ ⎣ l3 2

(214)

Damit ist die rechte Seite vollst¨ andig bestimmt und es ergibt sich: ⎡

⎤ M q EI F + − l − 2 v ¯ ⎢ ⎥ 8 l 12 l3 +Q −R =⎢ ⎥ QF + Q M ⎣ M 2 EI ⎦ 3 − lq − 4 3 v¯ − F +2 16 l 15 l −

(215)

84

4. Das Verfahren von Ritz

Bestimmung der Koeﬃzienten

Mit der Matrix aus (211) und der rechten Seite (215) lassen sich die Koeﬃzienten ab berechnen: ⎡

⎤

⎤ ⎡ −5 q l4 − 9 F l3 + 12 M l2 − 24 EI v¯ 1 ⎦= ⎦ ⎣ ab = ⎣ 48 EI 1 3 a4 4 (15 F + 8 lq) l a3

(216)

Biegelinie

Einsetzen der Koeﬃzienten aus (216) in (210) f¨ uhrt auf die Biegelinie des Balkens (s. Bild 4.4): q l4 F l3 3 1 − ξ v¯ + 3 − 5 ξ + 2 ξ 2 + 7 − 12 ξ + 5 ξ 2 2 2 48 EI 64 EI & M l2 2 ξ (217) + (ξ − 1) 4 EI

% v=

Bild 4.4. Durchbiegung des Balkens f¨ ur Ansatzfunktionen dritten und vierten Grades

4.4

4.4 Scheibenproblem Das Gesamtpotential des Scheibenproblems lautet:

Π=

1 2

V

ˆT qˆ dγ − uT F dγ = ΠF − Πa ε T σ dV − u Γ ΠF

f

E

(218)

Πa

Die Form¨ anderungsarbeit ΠF enth¨ alt den Dehnungsvektor εund den Span nungsvektor σ . Als Belastung werden die Streckenlast qˆ T = qx qy und ber¨ ucksichtigt. Das Potential der a¨ußeren Einzelkr¨ afte F T = Fx Fy Kr¨ afte Πa setzt sich aus diesen beiden Anteilen zusammen.

4.4

Scheibenproblem

85

4.4.1 Verschiebungsans¨ atze

Das Pascal’sche Dreieck, wie es in Bild 4.5 dargestellt ist, dient zur Formulierung vollst¨ andiger Polynomans¨ atze f¨ ur die Verformungen u˜ und v˜ des Scheibenproblems: ⎡

⎤ 1

u ˜ = a0 + a1 x + a2 y + a3 x2 + · · · =

a0

a1

a2

a3

= aT x

v˜ = b0 + b1 x + b2 y + b3 x2 + · · · =

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ x ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ··· ⎢ y ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ x2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ .. . ⎡

b0

b1

b2

b3

(219) ⎤

1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ x ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ y ··· ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ x2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ .. .

= b T y

(220)

Bild 4.5. Das Pascal’sche Drei-

eck f¨ ur ebene Probleme

Zur Unterscheidung der beiden Ans¨ atze werden die Gr¨oßen der Polynome u y beschrieben. ¨ ber die Vektoren a und b bzw. x und 4.4.2 Wesentliche Randbedingungen

Die Ansatzfunktionen aus (219) und (220) m¨ ussen noch die Randbedingungen ur v˜ werden mv Randbedingungen erf¨ ullen. F¨ ur den Ansatz u˜ werden mu und f¨ deﬁniert:

86

4. Das Verfahren von Ritz

u ˜ (xi , yi ) = 0ui ; i = 1, · · · , mu v˜ (xi , yi ) = 0vi ; i = 1, · · · , mv

(221)

Die Elemente der Vektoren u0 und v0 erfassen die zuvor beschriebenen Randbedingungen:

0 T

u =

0

0 T

v =

u1

0

v1

0

u2

0

v2

···

0

ui

···

···

0

vi

···

(222)

0

umu

(223)

0

v mv

Das Einbringen dieser Randbedingungen f¨ uhrt analog zu (175) auf folgende modiﬁzierte Ansatzfunktionen: u ab = f0 + aTb N u0 + xTb − xTa A−1 u = xTa A−1 u u Bu −1 −1 T T T T v v = ya Av v0 + yb − ya Av B v bb = g0 + bb N

(224) (225)

Die Verschiebungen u und v des Scheibenproblems lassen sich nach (175) ausdr¨ ucken als: u u = f0 + aTb N v v = g0 + b T N

(226) (227)

b

Zur Unterscheidung der beiden Ans¨ atze werden die Anteile, die aus den inhomogenen Randbedingungen hervorgehen, mit f0 bzw. g0 beschrieben. Ent u und N v. sprechend die unabh¨ angigen Koeﬃzienten mit ab und bb sowie N Die beiden Verschiebungen u und v werden in dem Vektor u ˆ zusammengefaßt: ⎡ ⎤ ⎤⎡ ⎤ T T ab 0 N + N f f u 0 0 u u ⎦=⎣ ⎦= ⎦ ⎣ ab ⎦ = h+P c (228) ˆ=⎣ +⎣ T bb g 0 g0 + Nv bb vT v 0 N ⎤

⎡

⎡

u

h

P

c

4.4.3 Dehnungen und Spannungen der Scheibe

Die Dehnungen der Scheibe ε lassen sich u ¨ ber den Diﬀerentialoperator L als ˆ ausdr¨ ucken. Mit (228) ergibt sich: ε = L u

4.4

Scheibenproblem

87

⎤

⎡

∂ ⎢ ∂x ⎢ " # ⎢ ⎢ 0 ε = L h + P c = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ∂ ⎣ ∂y ⎤ ⎡ ⎡ ∂f0 ⎥ ⎢ ⎢ ∂x ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ∂g0 ⎥ ⎢ ⎢ ⎥+⎢ =⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ∂y ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ∂f ∂g0 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ 0 ⎣ + ∂y ∂x F0

0 ⎥ ⎥ ⎛ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎞ ⎥ T ∂ ⎥ N 0 f u 0 ⎥⎝ ⎦ ⎣ ab ⎦⎠ +⎣ ∂y ⎥ bb g 0 vT ⎥ 0 N ⎥ ∂ ⎦ ∂x ⎤ uT ∂N 0 ⎥ ⎥⎡ ⎤ ∂x ⎥ T ⎥ ∂ Nv ⎥ ⎣ ab ⎦ 0 (229) = F0 + G c ⎥ ∂y ⎥ bb ⎥ uT ∂ N vT ⎥ ⎦ ∂N ∂y ∂x G

Die Spannungen σ = D ε ergeben sich zu: " # σ = D F0 + G c = D F0 + D G c

(230)

Mit Hilfe von (228), (229) und (230) werden nachfolgend die Gr¨oßen des Gesamtpotentials Π diskretisiert. 4.4.4 Diskretisierung der Form¨ anderungsarbeit

Es werden die diskretisierten Beziehungen f¨ ur die Dehnung nach (229) und f¨ ur die Spannung nach (230) in die Form¨ anderungsarbeit ΠF eingesetzt: " #" # 1 1 T ΠF = F0T + c T GT D F0 + D G c dV ε σ dV = 2 V 2 V 1 1 GT D F0 dV + c T GT D G dV c F0T D F0 dV + c T = 2 V 2 V V F0

+ 1 c T K c = F0 + c T R 2

R

K

(231)

88

4. Das Verfahren von Ritz

4.4.5 Diskretisierung des Potentials der ¨ außeren Lasten Einzelkr¨ afte

Den Verschiebungen u und v sind die Kr¨afte Fx und Fy zugeordnet. An p Stellen (xi , yi ); i = 1 . . . p der Scheibe m¨ogen Kr¨afte Fˆ angreifen. Das afte l¨ aßt sich schreiben als: Potential ΠaF dieser Kr¨ ΠaF = u1 Fx1 + v1 Fy1 + . . . + ui Fxi + vi Fyi + . . . + up Fxp + vp Fyp p p uˆT Fi = (ui Fxi + vi Fyi ) = (232) i i=1

i=1

Mit (228) erh¨ alt man:

ΠaF

p " p p #T T T hi + P i c Fi = = P Ti Fi hi Fi + c i=1

i=1

(233)

i=1

Faßt man die einzelnen Vektoren Fi zu einem Vektor F zusammen, so kann man schreiben: " #T T ˆ F + c T Pˆ F ΠaF = h

(234)

" #T T ˆ Dabei haben h und Pˆ folgendes Aussehen: " #T ˆ h = f01 g01 . . . f0i g0i . . . f0p g0p ⎡ ⎤ ui up u1 0 ... N 0 ... N 0 N T ⎦ Pˆ = ⎣ 0 0 0 Nv1 . . . Nvi . . . Nvp

(235)

Der Index i sagt aus, daß die entsprechende Gr¨oße an der Stelle (xi , yi ) zu bilden ist. Streckenlasten

Die Streckenlast qˆ T = (228) multipliziert:

qx

qy

wird mit den Verschiebungen u und v aus

4.4

Scheibenproblem

u ˆT qˆ dγ =

Πaq = Γ

89

" #T h + P c qˆ dγ = hT qˆ dγ + c T P T qˆ dγ Γ Γ Γ f0q

= f0q

q F

+ c Fq T

(236)

4.4.6 Variation des Gesamtpotentials

Einsetzen von (231), (234) und (236) in das Gesamtpotential f¨ uhrt zu: T + 1 c T K c − ˆ hT F − c T Pˆ F − f0q − c T Fq Π = F0 + c T R 2

(237)

ˆ T Bei der Variation von Π verschwinden die Terme F0 , h F , f0q , da sie unabh¨ angig von c sind. Die Variation ergibt:

δΠ =

" # ∂Π + K c − Pˆ T F − Fq = 0 δc = δc T R ∂c

(238)

Damit erh¨ alt man, da der Klammerausdruck verschwindet, folgende Beziehung zur Ermittlung des unabh¨ angigen Koeﬃzienten c: T K c = Pˆ F + Fq − R

(239)

tritt nur auf, wenn inhomogene Randbedingungen existieren. Der Vektor R 4.4.7 Kragbalken als Scheibenproblem

Bild 4.6. Die Lagerung und Belastung des

Kragbalkens

In Bild 4.6 ist ein Kragbalken dargestellt. Auf der linken Seite weist er die nat¨ urlichen Randbedingungen (u(x = 0, y = ±h/2) = u(x = 0, y = 0) = 0; v(x = 0, y = 0) = 0) auf. Am rechten Ende wird er durch die quadratische Streckenlast:

90

4. Das Verfahren von Ritz

q = 1−

2

2y h

3 q0 2

(240)

belastet. Das Problem wird als Scheibenproblem gel¨ost. Ansatzfunktionen

Es werden folgende quadratische Ansatzfunktionen f¨ ur u˜ und v˜ verwendet: u ˜ = a0 + a1 x + a2 y + a3 x2 + a4 xy + a5 y 2 2

v˜ = b0 + b1 x + b2 y + b3 x + b4 xy + b5 y

(241)

2

(242)

Randbedingungen

Die Ber¨ ucksichtigung der zuvor angef¨ uhrten Randbedingungen f¨ uhrt nach (224) und (225) auf folgende Ansatzfunktionen: u = a1 x + a3 x2 + a4 xy

(243)

2

v = b1 x + b2 y + b3 x + b4 xy + b5 y

2

(244)

Steiﬁgkeitsmatrix K

Aus (231) ergibt sich die Matrix zu: Ethl K= 1 − ν2 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

1

l

0

0

ν

0

1 lν 2

l

4 2 l 3

0

0

lν

0

2 2 l ν 3

0

0

h2 12

+ 16 l2 ·

(1 − ν) 0

0

1 l(1 4

− ν)

ν

lν

0

0

0

1 2 l (1 3

1 lν 2

2 2 l ν 3

0

0

0

1 νh2 6

1 l(1 4

− ν)

0

1 2 l (1 3

1 (1 2

− ν)

0

1 l(1 2

0 − ν)

1 l(1 2

− ν)

0 0

− ν)

0

− ν)

1

0

0

2 2 l (1 3

1 l 2

0

0

0

0 1 l 2

− ν)

0 1 2 l 3

+

1 2 h · 24

(1 − ν) 0

⎤ 0

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 2 ⎥ 1 νh ⎥ 6 ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 0

1 2 h 3

(245)

4.4

Scheibenproblem

91

Die Matrix K ist symmetrisch und weist keine Bandstruktur auf. Dies ist ein Nachteil gegen¨ uber der FEM, da die dort auftretende Steiﬁgkeitsmatrix sich durch eine ausgepr¨ agte Bandstruktur auszeichnet. Dies bringt deutliche Vorteile bez¨ uglich der Rechenzeit. Streckenlast

Die Streckenlast nach (236) f¨ uhrt mit Hilfe von (240) zu folgendem Ausdruck: qh FqT = 0 20

0

0

20 l

0

20 l2

0

(246)

h2

Das Verschiebungsfeld des Kragbalkens und Verformungen des Randes der Scheibe

Bild 4.7.

Bestimmung der unabh¨ angigen Koeﬃzienten

Die unabh¨ angigen Koeﬃzienten im Vektor c lassen sich jetzt nach (239) durch das lineare Gleichungssystem Kc = Fq bestimmen. Es ergibt sich: a1 a 3 a 4 b 1 b 2 b 3 b 4 b 5 q = 40 lh2 (1 + ν) 0 0 −6 νh2 + 20 l2 20 Etlh2 3 νh2 + 20 l2 0 3 20 νl2 + h2

cT =

0 (247)

Verformungen

Das Einsetzen von (247) in (243) und (244) f¨ uhrt auf die gesuchten Verformungen: νh2 + 20 l2 xy 10 Etlh2 2 2 3q 2 ν+1 2 2 2 x+ νh x y + 20 l + 20 νl + h v = 2q Et 20 Etlh2

u = −3 q

(248) (249)

92

4. Das Verfahren von Ritz

Darstellung der Verformungen

Das vektorielle Verschiebungsfeld u ˆT = u v ist in Bild (4.7) dargestellt. Weiterhin sind die Berandungslinien des Kragbalkens im unverformten und verformten Zustand eingezeichnet.

Kapitel 5 Stabelemente

5

5

5 5.1 5.1.1 5.1.2 5.1.3 5.1.4 5.1.5 5.1.6 5.1.7 5.1.8 5.1.9 5.1.10 5.1.11 5.1.12 5.2 5.2.1 5.2.2 5.2.3 5.2.4 5.2.5

Stabelemente Das eindimensionale Stabelement ............................ Problemdeﬁnition ................................................ Das Tonti-Diagramm des Stabes ............................. Das Funktional des Stabproblemes ........................... Diskretisierung des Funktionals des Stabes ................. Variation des Funktionals ...................................... Beispiel zum eindimensionalen Stab.......................... Direkte Erstellung der Gesamtsteiﬁgkeitsmatrix .......... Erstellung der Gesamtsteiﬁgkeitsmatrix (allgemein) ...... ¨ Ubungsbeispiele zum eindimensionalen Stab ............... Variable Querschnittsﬂ¨ache des Stabelementes ............ Eindimensionales Stabelement mit n Knoten .............. Eindimensionaler Stab mit drei bzw. vier Knoten ........ Das zwei- und dreidimensionale Stabelement ............. Das zweidimensionale Stabelement .......................... Beispiel zum zweidimensionalen Stabproblem ............. Optimierung eines Stabtragwerkes............................ ¨ Ubungsbeispiele zum zweidimensionalen Stab.............. Das dreidimensionale Stabelement ..........................

95 95 95 98 98 101 103 109 111 113 115 116 119 120 120 123 128 131 134

5 Stabelemente 5.1

5.1 Das eindimensionale Stabelement 5.1.1 Problemdeﬁnition

h

Der Stab, wie er in Bild 5.1 abgebildet ist, ist ein Bauteil, das u ¨ ber folgende Eigenschaften zu charakterisieren ist: Die Hauptausdehnung in seiner L¨ angsachse, die als x-Achse bezeichnet werden soll, ist sehr viel gr¨ oßer als die Abmessungen in y- und z-Richtung. Daher kann der Stab auf einen eindimensionalen Fall zur¨ uckgef¨ uhrt werden, da die Ausdehnung in y- und z-Richtung u ¨ ber die Querschnittsﬂ¨ache A(x) beschrieben wird. Der Stab kann nur Kr¨ afte F oder Streckenlasten q(x) in Richtung seiner L¨ angsachse aufnehmen. y

A(x) E

z q(x) u(x) L

F

x

Bild 5.1. Die Geometrie sowie die Belastung des Stabes

Im folgenden werden nur ungekr¨ ummte St¨ abe betrachtet. Im ersten Ansatz wird eine konstante Querschnittsﬂ¨ ache A vorausgesetzt. Diese Einschr¨ankung wird sp¨ ater fallengelassen, so daß eine Querschnittsausbildung ber¨ ucksichtigt werden kann, wie sie in Bild 5.1 dargestellt ist. 5.1.2 Das Tonti-Diagramm des Stabes

Bei der nachfolgend zugrunde gelegten linearen Theorie m¨ ussen die Verschiebungen u(x) sehr viel kleiner sein als die Abmessungen des Stabes. Das Hooke’sche Gesetz dient als Stoﬀgesetz, so daß der Elastizit¨atsmodul E als Materialgr¨ oße Ber¨ ucksichtigung ﬁndet. Die Dehnungen im Stab sind inﬁnitesimal klein.

96

5. Stabelemente

Bild 5.2. Das Tonti-Diagramm des Stabes

Bild 5.2 zeigt das Tonti-Diagramm (Deﬁnition s. S. 58) des eindimensionalen Stabes. Die nicht schattierten K¨ astchen beschreiben die Variablen des Stabproblemes. Die schattierten K¨ astchen erfassen gegebene Gr¨oßen des Stabproblemes, wie die Randbedingungen und die Streckenlast q. Letztere bezeichnet man in diesem Zusammenhang als Quellfunktion. Die Verbindungslinien der K¨ astchen repr¨ asentieren entweder die Feldgleichungen des Stabproblemes oder die Randbedingungen. Kinematische Beziehung

Die Prim¨ arvariable u(x), auch Variationsgr¨oße genannt, ist die L¨angsverschiebung des Stabes. Daraus leitet sich u ¨ ber die kinematische Beziehung ε = du/dx = u die Dehnung als Zwischenvariable ab, die auch Sekund¨arvariable genannt wird. Stoﬀgleichung

Die Stoﬀgleichung P = AE ε verkn¨ upft u ¨ ber den Elastizit¨atsmodul E die Dehnung ε mit der inneren Kraft P (x). Gleichgewichtsbeziehung

Die Gleichgewichtsbedingung dP/dx + q = 0 setzt die innere Kraft P im Stab in Beziehung zu der Streckenlast q. Die Kraft P ist konstant, falls keine Streckenlast q im Stab auftritt. Randbedingungen

Die nat¨ urliche Randbedingung AE u = 0F , auch Kraftrandbedingung genannt, beschreibt das Gleichgewicht zwischen der inneren Kraft P und der außeren Kraft 0F . Die wesentliche Randbedingung u = 0u, die man auch als ¨ geometrische Randbedingung bezeichnet, beschreibt die Lagerungsbedingungen des Stabes.

5.1

Das eindimensionale Stabelement

97

Die Grundgleichung des Stabes

Die Beschreibung der Verformungen des Stabes f¨ uhrt auf eine Diﬀerentialgleichung. Diese gewinnt man, indem man die kinematische Beziehung ε = du/dx = u in die Stoﬀgleichung P = AE ε einsetzt und erh¨alt: P = AE u . Dieses Zwischenergebnis wird in die Gleichgewichtsbedingung eingebracht und f¨ uhrt auf: d (AE u ) + q = 0 dx

(250)

Unter der Voraussetzung, daß zum einen A und E konstant sind und zum anderen keine Streckenlast q auftritt, verschwindet die zweite Ableitung der Verschiebung u. Analytische L¨ osung eines eindimensionalen Stabbeispieles

Bild 5.3. Eindimensionaler Stab mit einer Streckenlast q und einer

Einzelkraft 0F belastet

Das Bild 5.3 zeigt einen Stab, der eine L¨ ange l, einen konstanten Querschnitt A und einen konstanten Elastizit¨ atsmodul E aufweist. Dieser Stab wird in seiner L¨ angsrichtung durch eine Kraft 0F und eine Streckenlast q belastet, wobei u ¨ ber q das Eigengewicht des Stabes beschrieben wird. Mit Hilfe von (250) sollen die Verformungen und die Spannungen im Stab ermittelt werden. Zweifaches Integrieren von (250) f¨ uhrt auf (q = A ρ g): AE u = −A ρ g x + C1 x2 AE u = −A ρ g + C1 x + C2 2

(251)

Die wesentliche Randbedingung (Einspannung bei x = 0) und die nat¨ urliche Randbedingung (Kraft an der Stelle x = l) f¨ uhren auf folgende Beziehungen:

98

5. Stabelemente

⇒ C2 = 0

u(x = 0) = 0

A E u (x = l) = F = −A ρ g l + C1 0

⇒ C1 = A ρ g l + 0F

(252)

Durch Einbringen der Randbedingungen von (252) in (251) erh¨alt man die L¨ osung f¨ ur die Verformungen: F ρg x x+ l− x AE E 2 0

u=

(253)

¨ Uber die Stoﬀgleichung P = AE ε erh¨ alt man mit σ = P/A die Spannungen: 0

σ=

F + ρ g(l − x) A

(254)

Alternativ zur L¨ osung u ¨ber eine Diﬀerentialgleichung wird im folgenden ein Weg beschritten, der eine allgemeine numerische L¨osung in Form der FEM zur Basis hat, wobei von einem Funktional ausgegangen wird. 5.1.3 Das Funktional des Stabproblemes

In (161) wird das Funktional f¨ ur den dreidimensionalen, elastostatischen Fall beschrieben. Ber¨ ucksichtigt man, daß beim Stab die Dehnung ε, die Spannung σ und die Verschiebung u als skalare Gr¨ oßen auftreten und die Belastung sich als Einzelkraft darstellt, so kann man schreiben1 :

Π=

1 2

σε dV − u F

(255)

V

5.1.4 Diskretisierung des Funktionals des Stabes

In Bild 5.4 ist ein eindimensionaler Stab dargestellt. Er setzt sich aus einem konischen Teil sowie einem prismatischen Teil zusammen. Der prismatische Teil weist einen Absatz auf. Der Grundgedanke der FEM ist es, den ganzen K¨orper in endliche Teilgebiete (ﬁnite Elemente) zu zerlegen. Von dem gesamten Stab wird nur der mittlere, prismatische Teil betrachtet. Das zun¨ achst dreidimensionale Problem wird in ein eindimensionales Problem umgewandelt. Dazu wird von der Geometrie nur die Verbindungslinie der Fl¨ achenschwerpunkte (Schwereachse) ber¨ ucksichtigt. Die anderen beiden Dimensionen werden u ¨ ber die Querschnittsﬂ¨ache A erfaßt. 1

Der Term f¨ ur die Streckenlast

-l 0

qu dx ﬁndet hier keine Ber¨ ucksichtigung.

5.1

Das eindimensionale Stabelement

99

Bild 5.4. Die Gr¨ oßen des

eindimensionalen Stabelementes

In die Schwereachse wird auch das ﬁnite Element gelegt, wie es in Bild 5.4 dargestellt ist. Diesem Element wird die Querschnittsﬂ¨ache A und der Elastizit¨ atsmodul E zugewiesen. Das Element hat die L¨ange l. An seinen beiden Enden weist es jeweils einen Knoten auf. Am Anfang des Elementes den Knoten i und am Ende den Knoten j. Die x-Koordinate hat ihren Ursprung im Anfangsknoten und zeigt in Richtung des Endknotens. Im Funktional nach (255) treten erste Ableitungen der Verschiebung u = du/dx = ε auf. Damit nennt man das Problem ein C 0 -Problem1 . Die Vertr¨ aglichkeitsbedingung2 fordert die Stetigkeit der Verschiebung u im Element und an den Elementgrenzen. Das wird erreicht, indem die Verschiebung als Knotengr¨ oße deﬁniert wird. Im Knoten i wird die Verschiebung ui einur den Endknoten j. Diesen Knotenverschiegef¨ uhrt und entsprechend uj f¨ bungen sind die Kr¨ afte Fi und Fj zugeordnet. Verschiebungsansatz

Analog zu dem Verfahren von Ritz wird eine Ansatzfunktion f¨ ur die Verschiebungen gemacht. Im Unterschied zum Ritzverfahren bezieht sich dieser Ansatz nicht auf den gesamten Stab, sondern nur auf den Teil, den man sich aus dem Stab herausgeschnitten denkt, n¨amlich auf das Element. Die Ansatzfunktion lautet:

u = a 0 + a1 x 1

(256)

Ist m die h¨ ochste Ableitung der Prim¨ arvariablen (hier u) oder auch Variationsgr¨ oße genannt, so nennt man das Problem ein C m−1 -Problem. m wird auch als Variationsindex bezeichnet. 2 Die Vertr¨ aglichkeitsbedingung, die auch Kompatibilit¨ atsbedingung genannt wird, besagt anschaulich gesprochen, daß beim Stab im verformten Zustand kei¨ ne L¨ ucken oder Uberlappungen entstehen. Mathematisch l¨ aßt sich diese Forderung f¨ ur den allgemeinen Fall ausdr¨ ucken als: ∇ × e × ∇ = 0. Die Kreuzprodukte aus den Nabla-Operatoren und dem Dehnungstensor e m¨ ussen einen Nulltensor ergeben.

100

5. Stabelemente

Die unbekannten Koeﬃzienten a0 und a1 werden durch die Knotenverschieuckt. Die Ansatzfunktion braucht hier jetzt nicht bungen ui und uj ausgedr¨ mehr wie beim Verfahren von Ritz den wesentlichen Randbedingungen, auch geometrische Randbedingungen genannt, der Struktur gen¨ ugen. Man erh¨ alt zwei Bedingungsgleichungen f¨ ur die Knotenverschiebungen, indem man folgende Interpolationsbedingungen formuliert:

u(x = 0) = ui = a0 + a1 0

⇒

u(x = l) = uj = a0 + a1 l

⇒

a0 = u i uj − ui a1 = l

(257)

Setzt man nun die letzten beiden Gleichungen in die Ansatzfunktion (256) ein, so erh¨ alt man folgende Beziehung: % " x# uj − ui x x x= 1− ui + uj = 1 − u(x) = ui + l l l l ⎡ ⎤ u ⎣ i ⎦ = N 1 N2 uj

x l

&

⎤

⎡ ⎣

ui

⎦

uj (258)

Formfunktionen

Die Verteilung der Verformung wird somit u ¨ber die sogenann im Element T = N N beschrieben. Diese sind in Bild 5.5 ten Formfunktionen N 1 2 dargestellt.

Bild 5.5. Die Formfunktionen des eindimen-

sionalen Stabelementes

Setzt man in (258) ui = 1 und uj = 0 ein, so erh¨alt man die Formfunktion N1 . Analog gewinnt man N2 , wenn man ui = 0 und uj = 1 w¨ahlt. Daher nennt man sie auch Einheitsverschiebungszust¨ande des Elementes. Dehnungs-Verschiebungs-Beziehung

Die Dehnung wird aus (258) durch Ableitung nach x gewonnen:

5.1

Das eindimensionale Stabelement

uj − ui du = = ε= dx l

%

101

&

−

⎡

⎤ ui

1 1 ⎣ T u ⎦=B l l uj T B

(259)

u

Stoﬀgesetz (Hooke’sches Gesetz)

Durch Einf¨ uhrung des Hooke’schen Gesetzes in (259) werden die Dehnungen mit den Spannungen verkn¨ upft:

uj − ui =E σ =Eε=E l

%

1 − l

1 l

&

⎤

⎡ ⎣

ui

T u ⎦=EB

(260)

uj

Bedingt durch die lineare Formfunktion aus (258) sind die Dehnungen und damit die Spannungen im Element konstant. Das hat zur Folge, daß im allgemeinen Fall die Spannungen beim zweiknotigen Stabelement von Element zu Element unstetig sein k¨ onnen. 5.1.5 Variation des Funktionals

In das Funktional nach (255) werden die Dehnungen aus (259) und die Spannungen aus (260) eingesetzt. F¨ ur das Potential der Kr¨afte u F ergibt sich f¨ ur das Element: u F = ui Fi + uj Fj . Somit kann man das Funktional1 schreiben als: 1 Π= 2

l

E 0

uj − ui l

2 A dx − Fi ui − Fj uj

(261)

In (261) ist unter der Voraussetzung einer konstanten Querschnittsﬂ¨ache dV als A dx geschrieben worden. Die Integration von (261) f¨ uhrt auf: 1 Π = AE 2

uj − ui l

2 l − Fi ui − Fj uj

(262)

Die Variation des voranstehenden Funktionals Π = Π(ui , uj ) kann geschrieben werden als (s. (69)): geschrieB T dV Allgemein wird Π = 12 uT V E B u− uT F als 12 uT K u− uT F ben. Dabei stellt sich der Vektor B als Dehnungs-Verschiebungsvektor dar. Das B T ist ein dyadisches Produkt, das also tensorielle Eigenschaften beProdukt B sitzt. Damit l¨ aßt sich dieses Produkt durch Transformation in verschiedenen Koordinatensystemen beschreiben. 1

102

5. Stabelemente

δΠ =

∂Π ∂Π ∂Π δu δui + δuj = ∂ui ∂uj ∂u

(263)

Die Bedingung f¨ ur die Stationarit¨ at2 δΠ = 0 auf (262) angewendet, f¨ uhrt zu folgenden Gleichungen: ∂Π uj − ui − Fi = 0 = −AE ∂ui l uj − ui ∂Π = AE − Fj = 0 ∂uj l

(264)

Umformungen von (264) f¨ uhren zu: 1 AE (ui − uj ) = Fi l 1 AE (−ui + uj ) = Fj l

(265) (266)

Gleichung (265) und (266) lassen sich in Matrizenform schreiben: ⎡

AE AE − ⎢ l l ⎢ ⎣ AE AE − l l Elementsteiﬁgkeitsmatrix K

⎤ ⎥ ⎥ ⎦

⎤ u ⎢ i ⎥ ⎣ ⎦ uj

⎡

⎡

Verformungsvektor u

=

⎤ F ⎢ i ⎥ ⎣ ⎦ Fj

(267)

Belastungs vektor F

In Kurzform ergibt sich: K u = F

(268)

Gleichung (268) stellt die Grundbeziehung der FEM dar. Sie verkn¨ upft die Knotenverformungen u mit den Knotenkr¨ aften F und beschreibt das Gleichgewicht im Element. Die Elemente der Matrix K haben die Dimension einer Steiﬁgkeit. Daher bezeichnet man sie als Steiﬁgkeitsmatrix. Das eindimensionale, zweiknotige Stabelement l¨aßt sich auch als Feder interpretieren, wie es in Bild 5.6 dargestellt ist. Es wird die rechte Seite der Feder festgehalten. Das entspricht dem Fall, daß die Verschiebung uj des Knotens j 2

Der station¨ are Wert ist gleichzeitig ein Minimum, da ein quadratisches Funktional vorliegt.

5.1

Das eindimensionale Stabelement

103

Bild 5.6. Interpretation des eindimensionalen Stabelementes als Feder

zu Null gesetzt wird. Bringt man auf den Knoten i eine Einheitsverschiebung alt man aus (265), (266): ui = 1 auf, so erh¨ AE 1 = Fi l AE 1 = Fj − l

(269) (270)

Addiert man beide Gleichungen, so folgt daraus die Gleichgewichtsbedingung des Elementes:

Fi + Fj = 0

(271)

Fi ist die Kraft, die aufgebracht werden muß, um die Einheitsverschiebung uhren zu k¨ onnen. Fj ist die Reaktionskraft, die durch das Auﬂager ui = 1 ausf¨ hervorgerufen wird. 5.1.6 Beispiel zum eindimensionalen Stab

Bild 5.7.

Beispiel zum eindimensionalen

Stab

In der oberen H¨ alfte von Bild 5.7 ist ein Stab dargestellt. Er weist bei der halben L¨ ange einen Absatz auf. Die Querschnitte des Stabes sind kreisf¨ormig und haben die Werte A1 und A2 . Dem ersten Abschnitt ist ein E-Modul E1 und dem zweiten ein E-Modul E2 zugeordnet. Am linken Ende ist der Stab fest eingespannt. Die Belastung besteht aus zwei Kr¨aften. Die Kraft F2 greift ur diesen Stab sollen unter der am Absatz und F3 am rechten Ende an. F¨ gegebenen Belastung die Verformungen, Schnittgr¨oßen und die Auﬂagerkraft berechnet werden.

104

5. Stabelemente

Einteilung in Elemente

Es wird der Stab, wie in der unteren H¨ alfte von Bild 5.7 zu erkennen ist, in zwei ﬁnite Elemente eingeteilt. Es m¨ ussen mindestens zwei Elemente sein, da zum einen die Querschnittsﬂ¨ ache im Element konstant sein muß (s. Integration von (261)) und zum anderen die Kraft F2 in einem Knoten angreifen muß. Die Knotennummern sind durch einen Kasten und die Elementnummern durch einen Kreis umrandet. Elementknotenzuordnung

Aus der Einteilung des Stabes in zwei Elemente ergibt sich die Elementknotenzuordnung, wie sie in der nachfolgenden Tabelle zusammengefaßt ist. Tabelle 5.1. Elementknotenzuordnung, Geometriedaten und E-Module der Ele-

mente

Elementnr.

Anfangsknoten

Endknoten

Fl¨ ache

E-Modul

L¨ ange

1

1

2

A1

E1

l1

2

2

3

A2

E2

l2

Elementsteiﬁgkeitsmatrizen

F¨ ur die beiden Elemente werden die Steiﬁgkeitsbeziehungen nach (267) aufgestellt. Steiﬁgkeitsbeziehung f¨ ur Element 1 (k1 = A1 E1 /l1 ): ⎡ ⎣

k1 −k1

−k1

⎤⎡ ⎦⎣

k1

⎤ u1

⎡

⎦=⎣

1

F1

⎤ ⎦

(272)

1

u2

F2

Ausmultiplizieren von (272) f¨ uhrt auf: k1 u1 − k1 u2 = 1F1

(273)

−k1 u1 + k1 u2 = F2

(274)

1

Steiﬁgkeitsbeziehung f¨ ur Element 2 (k2 = A2 E2 /l2 ): ⎡ ⎣

k2 −k2

−k2 k2

⎤⎡ ⎦⎣

⎤ u2 u3

k2 u2 − k2 u3 = 2F2

⎡

⎦=⎣

2

F2

⎤ ⎦

(275)

2

F3

(276)

5.1

Das eindimensionale Stabelement

105

−k2 u2 + k2 u3 = 2F3

(277)

Die Indizes und Superskripte haben folgende Bedeutung: i

Fj - Schnittkraft am Knoten j angreifend und zum Element i geh¨orend Fj - Auﬂagerreaktion am Knoten j F2 , F3 - ¨ außere Kr¨ afte an den Knoten 2 und 3 angreifend R

Die Beziehungen (273) bis (277) beinhalten vier Gleichungen mit drei unbekannten Verformungen (u1 , u2 , u3 ) und vier unbekannten Kr¨aften (1F1 , 1F2 , 2 F2 , 2F3 ). Letztere sind in Bild 5.8 dargestellt.

Bild 5.8. Schnittkr¨ afte und ¨ außere Kr¨ afte der St¨ abe

Zur eindeutigen Bestimmung der sieben Unbekannten fehlen also noch drei Beziehungen. Diese werden aus den Randbedingungen gewonnen: Nat¨ urliche Randbedingung, auch Kraftrandbedingung genannt. Sie fordert an jedem Knoten k das Gleichgewicht zwischen den ¨außeren und j afte sind dabei ¨außere inneren Kr¨ aften (Fk = j Fk ). Die Auﬂagerkr¨ Kr¨ afte. F¨ ur Knoten 1 gilt:

R

F1 = 1F1 1

(278) 2

F¨ ur Knoten 2 gilt: F2 = F2 + F2 2

F¨ ur Knoten 3 gilt: F3 = F3

(279) (280)

Die Auﬂagerkraft RF1 ist eine weitere, neue Unbekannte, so daß jetzt insgesamt acht Unbekannte existieren. Wesentliche Randbedingung, auch geometrische Randbedingung genannt: Auﬂager am Knoten 1: u1 = 0

(281)

Damit stehen jetzt den acht Unbekannten acht Gleichungen gegen¨ uber, so daß das Problem eindeutig zu l¨ osen ist. Die Addition von (274) und (276) f¨ uhrt zu: −k1 u1 + (k1 + k2 ) u2 − k2 u3 = 1F2 + 2F2

(282)

106

5. Stabelemente

Die wesentliche Randbedingung f¨ ur Knoten 1 (s. (281)) und die nat¨ urliche Randbedingung f¨ ur Knoten 2 (s. (279)) in voranstehende Gleichung eingesetzt: (k1 + k2 ) u2 − k2 u3 = F2

(283)

Die nat¨ urliche Randbedingung f¨ ur Knoten 3 (s. (280)) in (277) eingesetzt: −k2 u2 + k2 u3 = F3

(284)

Gesamtsteiﬁgkeitsmatrix

Die Gleichungen (283) und (284) lassen sich in folgende Matrixform u uh¨berf¨ ren: ⎡ ⎣

k1 + k2

−k2

−k2

k2

⎤ ⎦

Gesamtsteiﬁgkeitsmatrix K g

⎡ ⎣

⎡

⎤ u2

⎦ u3

Verformungsvektor u

=

⎣

⎤ F2

⎦ F3

(285)

Belastungs vektor F

Oder in Kurzform: K g u = F

(286)

Die Gesamtsteiﬁgkeitsmatrix K g setzt sich aus Anteilen der beiden Elementsteiﬁgkeitsmatrizen zusammen. Sie ist wie bei allen linearen Problemen innerhalb der FEM symmetrisch und positiv deﬁnit [26, 6]. Die unbekannten Knotenverformungen stehen im Vektor u. Auf der rechten Seite treten die außeren Knotenkr¨ afte F auf. ¨ Knotenverformungen

F¨ ur die Verformungsberechnung werden folgende Werte angenommen:

k1 =

A1 E1 A2 E2 = 2 ; k2 = = 1 ; F2 = 2 ; F3 = 1 l1 l2

Daraus ergibt sich nach (285) folgendes, lineares Gleichungssystem:

(287)

5.1

Das eindimensionale Stabelement

⎡ ⎣

3

−1

−1

1

⎤⎡ ⎦⎣

⎤ u2

⎤

⎡

⎦=⎣

u3

107

2

⎦

(288)

1

Daraus lassen sich die Knotenverformungen berechnen zu:

u2 =

3 5 ; u3 = 2 2

(289)

Graﬁsche L¨ osung des Problems

Ausgehend von (261) l¨ aßt sich die Form¨ anderungsarbeit ΠF f¨ ur Element 1 (ΠF1 ) und Element 2 (ΠF2 ) schreiben als:

ΠF1 =

1 A1 E1 2 l1

ΠF2 =

1 A2 E2 2 l2

u2 − u1 l1 u3 − u2 l2

2 l12 =

1 k1 u22 2

l22 =

1 k2 (u3 − u2 )2 2

2

(290)

Das Potential Πa der a afte F2 , F3 stellt sich wie folgt dar: ¨ußeren Kr¨ Πa = −u2 F2 − u3 F3

(291)

Damit erh¨ alt man das Gesamtpotential Π = ΠF1 + ΠF2 + Πa mit den Daten aus (287) zu: 1 1 k1 u22 + k2 (u3 − u2 )2 − u2 F2 − u3 F3 2 2 1 3 1 = u22 + (u3 − u2 )2 − 2 u2 − u3 = u22 − 2u2 − u2 u3 + u23 − u3 2 2 2

Π=

(292) Dieses quadratische Gesamtpotential stellt sich, wie in der linken H¨alfte von Bild 5.9 dargestellt, als Paraboloid dar. In der rechten Bildh¨alfte sind hierzu ¨ die Aquipotentiallinien angef¨ uhrt, also Linien gleichen Potentials. Der Punkt M markiert den station¨ aren1 Wert und damit das Minimum des Potentials. uhrt auf die Das Lot von diesem Punkt auf die u2 -Achse bzw. u3 -Achse f¨ gesuchten Verformungen mit u2 = 1, 5 und u3 = 2, 5. 1

Aus der quadratischen Natur des Potentials folgt, daß der station¨ are Wert des Potentials auch gleichzeitig das Minimum des Potentials darstellt.

108

5. Stabelemente

Bild 5.9. Das Gesamtpotential der St¨ abe als Fl¨ ache und Linien gleichen Potentials darge-

stellt

Schnittgr¨ oßen

Die Schnittgr¨ oßen ergeben sich nach (272) aus dem Produkt Einzelsteiﬁgkeitsmatrix × Elementverformungsvektor. Element 1: ⎡ K 1u = ⎣

1

2

−2

−2

2

⎤⎡ ⎦⎣

⎤ u1

⎡ 2

−2

−2

2

⎦=⎣

u2

⎤⎡ ⎦⎣

⎤ 0

⎡

⎦=⎣

3 2

−3

⎤

⎡

⎦=⎣

⎤

1

F1

⎦

1

3

F2

(293) Nach (278) (RF1 = 1F1 ), stellt die Schnittkraft 1F1 auch die Reaktionskraft am Auﬂager dar. Element 2: ⎡ K 2 u = ⎣

2

1

−1

−1

1

⎤⎡ ⎦⎣

⎤ u2

⎡

⎦=⎣

u3

1

−1

−1

1

⎤⎡ ⎦⎣

3 2 5 2

⎤

⎡

⎦=⎣

−1 1

⎤

⎡

⎦=⎣

2

F2

⎤ ⎦

2

F3

(294) Die Kontrolle des Gleichgewichtes am Knoten 2 (¨außere Kr¨afte = innere Kr¨ afte) f¨ uhrt zu: F2 − (1F2 + 2F2 ) = 2 − (3 − 1) = 0

(295)

Das Gleichgewicht ist damit erf¨ ullt. Auﬂagerreaktionen

Bei der Erarbeitung der Gesamtsteiﬁgkeitsmatrix K g nach (285) ist kein Gebrauch von (273) gemacht worden. Sie ist nicht u ussig, sondern dient zur ¨ berﬂ¨

5.1

Das eindimensionale Stabelement

109

Berechnung der Auﬂagerreaktion RF1 . Einsetzen der geometrischen Randbedingung und der Gleichgewichtsbeziehung f¨ ur Knoten 1 in (273) f¨ uhrt zu: −k1 u2 = −2 ·

3 = −3 = RF1 2

(296)

Dieses Ergebnis kann man auch unmittelbar aus den Schnittgr¨oßen herleiten, wie schon bei der Behandlung der Schnittgr¨ oßen nach (293) dargelegt wurde. 5.1.7 Direkte Erstellung der Gesamtsteiﬁgkeitsmatrix

Die Gesamtsteiﬁgkeitsmatrix des behandelten Beispiels kann noch in anderer Form hergeleitet werden. Dazu wird zun¨ achst ein Vektor u gebildet, der alle Freiheitsgrade des Beispiels erfaßt: ⎤

⎡ u1

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ u = ⎢ u2 ⎥ ⎦ ⎣ u3

(297)

Die Anzahl Freiheitsgrade ergibt sich aus der Anzahl Knoten × Anzahl Freiheitsgrade pro Knoten. Das eindimensionale Stabelement hat einen Freiheitsgrad pro Knoten. Die Knotenkr¨ afte der beiden Elemente werden ebenfalls als Vektoren geschrieben. Ihre Dimension entspricht der Anzahl Freiheitsgrade der Struktur. Die nat¨ urliche Randbedingung (Kraftrandbedingung) l¨aßt sich jetzt schreiben als: ⎡

1

F1

⎤

⎡

⎤ 0

⎡

R

F1

⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ 1 ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎢ F2 ⎥ + ⎢ F2 ⎥ = ⎢ F2 ⎦ ⎣ ⎣ ⎦ ⎣ 2 0 F3 F3 1F

2F

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(298)

F

Daraus ergibt sich der Gesamtbelastungsvektor F . Er enth¨alt nur noch ¨außere Lasten. F¨ uhrt man die Addition elementweise durch, so erh¨alt man die Bedingungen, wie sie von (278) bis (280) auf der S. 105 formuliert wurden. Die Einzelsteiﬁgkeitsmatrizen werden in quadratische Matrizen der Gr¨oße 3 × 3 geschrieben. F¨ uhrt man die Vektoren aus (298) in die Beziehung (272) und (275) ein, so erh¨ alt man:

110

5. Stabelemente

⎡

1

⎤

⎡

⎤ 0

F1

⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ F2 ⎥ + ⎢ F2 ⎥ = ⎦ ⎣ ⎣ ⎦ 2 0 F3 ⎛ ⎜⎡ ⎜ k1 ⎜ ⎜⎢ ⎜⎢ ⎜⎢ −k1 ⎜⎣ ⎜ ⎜ 0 ⎝

−k1 k1 0

⎤

(299) ⎞ ⎡ 0

0

0

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥+⎢ 0 ⎦ ⎣ 0 0

k2 −k2

⎤⎟ ⎡ ⎟ ⎟ ⎥⎟ ⎢ ⎥⎟ ⎢ −k2 ⎥⎟ ⎢ ⎦⎟ ⎣ ⎟ ⎟ k2 ⎠ 0

⎤ u1

⎡

R

F1

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ u2 ⎥ = ⎢ F2 ⎦ ⎣ u3 F3

Gesamtsteiﬁgkeitsmatrix K g

u

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ (300) ⎦

F

¨ Die Gesamtsteiﬁgkeitsmatrix K g ergibt sich also aus der additiven Uberlagerung der Steiﬁgkeitsmatrizen der Elemente: ⎡

k1

⎢ ⎢ ⎢ −k1 ⎣ 0

⎤⎡

−k1 k1 + k2 −k2

⎤ u1

0

⎡

R

F1

⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ −k2 ⎥ ⎢ u2 ⎥ = ⎢ F2 ⎦⎣ ⎦ ⎣ k2 u3 F3

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(301)

Die Anteile der einzelnen Elemente sind gekennzeichnet. Die Beitr¨age von Element 1 . . . und Element 2 . . . sind jeweils durch Klammern eingefaßt. Die Abk¨ urzungen in der voranstehenden Matrix haben folgende Bedeutung: ki = Ai Ei /li ; i = 1, 2. Gleichung (301) weist die drei Unbekannten u2 , u3 und RF1 auf. Zur Bestimugt die Untermatrix von K, die man durch Streichen1 mung von u2 , u3 gen¨ der ersten Zeile und Spalte von K g gewinnt: ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

1

A1 E1 A2 E2 + l1 l2 A2 E2 − l2

A2 E2 l2 A2 E2 l2

−

⎤

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎥ u2 F ⎥⎢ ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎥⎣ ⎦=⎣ ⎦ ⎦ u3 F3

(302)

Das Streichen der entsprechenden Zeilen und Spalten l¨ aßt sich in dieser Form nur bei homogenen Randbedingungen, also Randbedingungen bei denen der Wert der Randbedingung Null ist, durchf¨ uhren.

5.1

Das eindimensionale Stabelement

111

Auﬂagerreaktionen aus der Gesamtsteiﬁgkeitsmatrix

Die Auﬂagerreaktionen lassen sich, wenn die Verformungen bekannt sind, aus der Gesamtsteiﬁgkeitsmatrix berechnen. Im vorliegenden Fall tritt die gesuchte Gr¨ oße RF1 in (301) auf der rechten Seite als erstes Element auf. Sie kann berechnet werden, indem die erste Zeile der Matrix mit dem bekannten Verformungsvektor multipliziert wird. Das f¨ uhrt zu: ⎡

⎤ 0

2

−2

⎢ ⎥ ⎢ 3 ⎥ ⎢ ⎥ R 0 ⎢ 2 ⎥ = F1 = −3 ⎢ ⎥ ⎣ 5 ⎦ 2

(303)

Dieses Ergebnis ist schon bei den Schnittgr¨ oßen in (293) erzielt worden. 5.1.8 Erstellung der Gesamtsteiﬁgkeitsmatrix (allgemein)

Losgel¨ ost von dem Stabbeispiel l¨ aßt sich die Bildung der Gesamtsteiﬁgkeitsultiger Form an folgendem, konstruierten Beispiel matrix K g in allgemeing¨ studieren. Die Struktur soll aus n Knoten bestehen und das Element m Knoten besitzen. Jeder Knoten hat p Freiheitsgrade. Ohne Einschr¨ankung der Allgemeing¨ ultigkeit habe im folgenden Beispiel ein Element m = 3 Knoten. Aus der Gesamtstruktur werden drei Elemente a, b, c herausgegriﬀen. F¨ ur diese Elemente wird die Elementknotenzuordnung von Tab. 5.2 angenommen. Tabelle 5.2. Elementknotenzuordnung

Element Knoten 1 ··· a b c ···

··· i h k ···

Knoten 2

Knoten 3

··· j j h ···

··· k k j ···

Die Elementsteiﬁgkeitsmatrizen werden in Untermatrizen (Bl¨ocke) unterteilt. Das Element b besitzt dann z.B. folgende Aufteilung:

112

5. Stabelemente

⎡

h

j

b

k

⎤ khk h ⎥ ⎥ b kjk ⎥j ⎦ b kkk k

b

khh

b

khj

⎢ K =⎢b ⎢ kjh ⎣ b kkh

b

b

kjj

b

kkj

(304)

Die Zeilen und Spalten der Matrix bK sind mit den Knotennummern des Elementes durchnumeriert. Die Untermatrizen bkαβ haben (p × p)-Elemente, entsprechend der Anzahl Freiheitsgrade pro Knoten. Der Zwischenschritt, die Matrix bK als eine (n × n)-Matrix zu schreiben, wird u ¨bergangen. Die Gesamtsteiﬁgkeitsmatrix K g besteht aus (n × n)-Bl¨ocken bzw. ((n × p)×(n × p))-Zeilen und Spalten. Die nachfolgende Durchnumerierung der Zeilen und Spalten bezieht sich also auf die Bl¨ ocke. 1 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

···

h

i

j

k

b

b

b

b

b

b

b

b

b

khh

kjh

kkh

khj

kjj

kkj

khk

kjk

kkk

···

n ⎤

1 ⎥. ⎥. ⎥. ⎥ ⎥ ⎥h ⎥ ⎥ ⎥i ⎥ ⎥ ⎥j ⎥ ⎥ ⎥k ⎥ ⎥ ⎥. ⎥ .. ⎦

(305)

n

Die Bl¨ ocke bkαβ des Elementes b werden in die Gesamtsteiﬁgkeitsmatrix K g eingebracht, indem entsprechend der Indizes α, β der Block auf die Zeile α und die Spalte β aufaddiert wird, wobei K anf¨anglich mit Nullen vorbesetzt ist. So wird der Block bkjk auf die Zeile j und die Spalte k aufaddiert. Das Ergebnis der Aufaddition aller Bl¨ ocke der Elemente a, b, c ist in der folgenden Matrix K g wiedergegeben.

5.1

Das eindimensionale Stabelement

1 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

···

h

i

j

b

khh + ckhh

k

b

khj + ckhj

a

b

khk + ckhk

a

kii

kjh + ckjh

113

a

kij

kik

b

a

a

kjj + bkjj + ckjj

a

b

a

a

kkj + bkkj + ckkj

a

kkh + ckkh

kji

kki

kjk + bkjk + ckjk

kkk + bkkk + ckkk

···

n ⎤

1 ⎥. ⎥. ⎥. ⎥ ⎥ ⎥h ⎥ ⎥ ⎥i ⎥ ⎥ ⎥j ⎥ ⎥ ⎥k ⎥ ⎥ ⎥. ⎥ .. ⎦ n

(306) 5.1.9

¨ Ubungsbeispiele zum eindimensionalen Stab

Stabbeispiel I

5.1

Bild 5.10. Eindimensionaler Stab mit ver-

schiebbarem Auﬂager

Die beiden St¨ abe in Bild 5.10 weisen die Steiﬁgkeiten k1 und k2 auf und werden durch eine Kraft F belastet. Das linke Auﬂager wird um u ¯ verschoben. F¨ ur dieses System sind die Verschiebungen und die Auﬂagerkr¨afte zu berechnen. Die Steiﬁgkeit k2 ist so auszulegen, daß die Auﬂagerkraft im linken Lager zu Null wird. Stabbeispiel II

5.2

Bild 5.11. Eindimensionaler Stab unter Eigengewicht

In Bild 5.11 ist ein Stab dargestellt, der eine L¨ ange l, eine Querschnittsﬂ¨ache A, einen E-Modul E und eine Dichte ρ aufweist. Dieser wird durch eine konstante Beschleunigung g belastet. Die aus der Beschleunigung g entstehende

114

5. Stabelemente

Volumenkraft ist f¨ ur das zweiknotige Element in Knotenkr¨afte1 umzurechnen. Der Stab soll in ein bzw. zwei zweiknotige Elemente eingeteilt werden. Daf¨ ur sind die Verformungen und Spannungen zu berechnen. Der Verlauf der Verschiebungen bzw. Spannungen in den Elementen ist u ¨ber die Formfunktionen zu beschreiben. F¨ ur vier und acht zweiknotige Elemente sind die Maximalspannungen mittels “ FEM CAS“ (s. S. 360) zu ermitteln. In einem doppelt logarithmischen System ist der Fehler in den Spannungen f¨ ur das zweiknotige Element darzustellen.

5.3

5.4

Stabbeispiel III

Das Stabproblem aus Bild 5.11 soll mit Hilfe eines dreiknotigen Stabelementes gel¨ ost werden (s. (325) auf der S. 120). Dazu sind zun¨achst die Knotenkr¨afte1 infolge der Volumenkraft herzuleiten. Danach sind die Verschiebungen und die Spannungen zu ermitteln. Es ist zu zeigen, daß die FE-L¨osung mit der exakten L¨ osung nach (253) bzw. (254) auf der S. 98 u ¨ bereinstimmt. Stabbeispiel IV

Bild 5.12. Ein auf Druck belasteter Hydraulikzylinder

Gegeben ist in Bild 5.12 ein Hydraulikzylinder, der durch eine Druckkraft F ¨ aule und die Kolbenstange werden jeweils durch ein belastet wird. Die Ols¨ eindimensionales Stabelement abgebildet, wobei der Kompressionsmodul K ¨ des Oles dem E-Modul Eo entspricht und die Kolbenstange den E-Modul E besitzt. Dieser Zylinder soll alternativ durch ein eindimensionales Stabelement beschrieben werden. Dabei besitzt dieses Element die L¨ange l = lo + lk und den E-Modul E. Es ist f¨ ur diesen Fall eine mittlere Querschnittsﬂ¨ache A¯ zu bestimmen, so daß beide L¨ osungen dieselbe Steiﬁgkeit besitzen.

5.5

Stabbeispiel V

In Bild 5.13 ist ein Stab gegeben, der zwischen zwei starren W¨anden eingespannt ist. Er besitzt eine Querschnittsﬂ¨ache A, einen E-Modul E und einen W¨ armeausdehnungskoeﬃzienten α. F¨ ur die Temperatur im Stab gilt: Das Funktional nach (255) auf der S. 98 wird um den Term − V ρ g u dV erweitert. Dieser Term dient zur Berechnung der Knotenkr¨ afte infolge der Volumenkraft. 1

5.1

Das eindimensionale Stabelement

115

Bild 5.13. Stab zwischen zwei starren W¨ anden gelagert

T (x = 0) = T1 , T (x = l/2) = T2 , T (x = l) = T3 . Bei x = l/2 greift eine Kraft F an. In das Funktional nach (255) auf der S. 98 ist die Anfangsdehnung ε0 einur die Beschreibung der Temperaturkr¨afte zubringen1 und eine Beziehung f¨ abzuleiten. Mit dem Ergebnis sind die Verschiebungen und die Auﬂagerkr¨afte zu berechnen, wobei der Stab in zwei Elemente einzuteilen ist. 5.1.10 Variable Querschnittsﬂ¨ ache des Stabelementes

Es wird die Annahme, daß die Querschnittsﬂ¨ ache im Element konstant ist, fallengelassen. Mit dV = A(x) dx ergibt sich nach (261) f¨ ur die Steiﬁgkeitsmatrix K:

l

B T B T A(x) dx = E B B

K =E 0

l

A(x) dx

(307)

0

¯ wobei A¯ eine gemittelte QuerDas Integral f¨ uhrt auf einen Ausdruck l A, schnittsﬂ¨ ache darstellt, die statt A in (267) auftritt. Im folgenden werden ¨ zwei F¨ alle unterschieden, n¨ amlich eine lineare Anderung der QuerschnittsT T ist die und eine quadratische A(x) = t T N N T h. N A ﬂ¨ ache A(x) = N N T hat die Form: lineare Formfunktion nach (258). Die Dyade N ⎡ N T =⎣ N

2

(1 − ξ)

ξ (1 − ξ)

ξ (1 − ξ)

(1 − ξ)

⎤ ⎦

(308)

2

Die lineare Fl¨ achen¨ anderung f¨ uhrt auf:

l

=l T dξ A N

A(x) dx = l 0

%

1

0

1 2

1 2

&

⎤

⎡ ⎣

Ai

⎦ = l 1 (Ai + Aj ) = l A¯ 2 Aj (309)

Bei der quadratischen Fl¨ achen¨ anderung ergibt sich: 1

Die Dehnung stellt sich hierbei dar als: ε = εσ + ε0 . εσ ist die Dehnung aus der außeren Belastung. ¨

116

5. Stabelemente

¯ f¨ Tabelle 5.3. Querschnittswerte A ur Stabelemente, die einen variablen Querschnittsverlauf u ange aufweisen ¨ber die Elementl¨

Form Geometrie

A¯

Beschreibung A(x)

linear

⎡ T ⎣ N

⎤ Ai

1 (Ai + Aj ) 2

⎦

Aj

Kreis

Rechteck

π

ri

rj

ti

l

A(x) dx = t T l 0

0

=

tj

⎡

⎤

⎦ 1 Ai 1 + Aj + Aj 3 Ai Ai rj ri

N T ⎣ N

⎡ N T ⎣ N

⎤ hi

tj hj Aj 1 Ai 2+ + +2 6 ti h i Ai

⎦

hj

⎤

⎡ 1

2

N T dξ h = l t T 1 ⎣ N 6 1

1

⎦ h

2

l (2 ti hi + tj hi + ti hj + 2 tj hj ) 6

(310)

In Tab. 5.3 sind basierend auf (309) und (310) drei F¨alle angef¨ uhrt. 5.1.11 Eindimensionales Stabelement mit n Knoten

Im folgenden soll ein eindimensionales Stabelement betrachtet werden, das eine beliebige Anzahl Knoten (n ≥ 2) aufweist. Dazu werden die zuvor f¨ ur 1 das zweiknotige Element hergeleiteten Gleichungen verallgemeinert . Ansatzfunktion

Als Verschiebungsansatz nach (256) dient f¨ ur ein n knotiges Element ein vollst¨ andiges Polynom (n − 1)-ten Grades (ξ = x/l): 1

Die einzelnen Ableitungsschritte sind “Stab 1D“ realisiert (s. Bild 12.1 und S. 369).

im

Computeralgebraprogramm

5.1

Das eindimensionale Stabelement

117

u = a0 + a1 ξ + . . . + an−1 ξ n−1

(311)

Durch Einf¨ uhren der Vektoren: / . xT = 1 , ξ , . . . , ξ n−1 ; aT = [a0 , a1 , . . . , an−1 ]

(312)

l¨ aßt sich die Ansatzfunktion schreiben als: u = xT a = aT x

(313)

Interpolationsbedingungen

Analog zu (257) werden die unbekannten Koeﬃzienten ai in (311) durch die uckt. F¨ ur einen beliebigen Knotenverschiebungen ui ; i = 1 , . . . , n ausgedr¨ Knoten i lautet die Bedingung: i−1 = ui u ξ= n−1

; i = 1, ... , n

(314)

Einsetzen von (311) in (314): i−1 a 0 + a1 + . . . + an−1 n−1

i−1 n−1

n−1 = ui

(315)

Oder mit Hilfe des Vektors a aus (312): ⎡ 1

i−1 n−1

...

i−1 n−1

n−1

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ a0 a1 .. .

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = ui ⎥ ⎥ ⎦

(316)

an−1 F¨ ur alle Knoten n angesetzt, f¨ uhrt dies zu n Gleichungen, die wie folgt aussehen:

118

5. Stabelemente

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

1

...

.. .

0 1 n−1 .. . i−1 n−1 .. .

1

1

...

1 .. . 1

... .. . ... .. .

⎤ ⎡ 0 ⎥ " #n−1 ⎥ ⎢ a0 ⎥⎢ 1 ⎥⎢ a n−1 1 ⎥⎢ ⎥⎢ . .. ⎥⎢ . ⎥⎢ . . " #n−1 ⎥ ⎥⎢ ⎥⎢ i−1 ai−1 ⎥⎢ n−1 ⎥⎢ .. ⎥⎢ . .. ⎥⎢ ⎥⎣ . ⎦ an−1 1 a

⎤

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣

⎤

⎡ u1 u2 .. . ui .. .

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(317)

un u

A

Aus dieser Beziehung A a = u lassen sich die Koeﬃzienten a bestimmen. Formfunktionen

des n-knotigen Stabelementes aus (313) und (317) Die Formfunktionen N lassen sich nach (258) verallgemeinern: T u u = xT a = xT A−1 u = N

(318)

ergeben sich also aus dem Produkt der inversen KoDie Formfunktionen N −1 eﬃzientenmatrix A und dem Vektor x. Dehnungs-Verschiebungs-Beziehung

Analog zu (259) lassen sich mit Hilfe von (318) die Dehnungen des Stabes beschreiben als: T

)T u = (x )T A−1 u u = (N ε=B

(319)

Die Ableitungen des Vektors x stellen sich dar als: (x ) = T

/ 1. / d . 1 , ξ , . . . , ξ n−1 = 0 , 1 , . . . , (n − 1) ξ n−2 dx l

(320)

Steiﬁgkeitsmatrix

Die Steiﬁgkeitsmatrix des n-knotigen Stabelementes l¨aßt sich (s. (261)) schreiben als:

5.1

Das eindimensionale Stabelement

119

V

(A−1 )T x (x )T A−1 dV (321)

)T dV = E (N N

B T dV = E B

K=E

V

V

5.1.12 Eindimensionaler Stab mit drei bzw. vier Knoten

h

In (322) bzw. (323) sind f¨ ur das drei- bzw. vierknotige Stabelement die Formfunktionen dargestellt: x 1 − 3 ξ + 2 ξ 2 4 ξ − 4 ξ 2 −ξ + 2 ξ 2 ; ξ = l 1 2 3 2 3 = 18 ξ − 45 ξ + 27 ξ 2 − 11 ξ + 18 ξ − 9 ξ 2

3T = N T N 4

Formfunktionen N1 , N2 , N3

−9 ξ + 36 ξ 2 − 27 ξ 3

1

2 ξ − 9 ξ2 + 9 ξ3

(322)

(323)

N3

0, 8 0, 6 0, 4

N2

N1

0, 2 0 −0, 1 0

1 4

1 2

3 4

1

ξ = x/l Bild 5.14. Die Formfunktionen des drei- und vierknotigen Stabelementes

In Bild 5.14 sind diese Formfunktionen graﬁsch ausgewertet. Die Sinnf¨alligkeit der alternativen Bezeichnungen der Formfunktionen als Einheitsverschiebungszust¨ ande tritt deutlich zu Tage. Denn am Knoten i hat die Formfunktion Ni den Wert 1, an allen anderen Knoten verschwindet sie. Allgemein formuliert lautet diese Bedingung: ⎧ i−1 ⎪ ⎨1 an der Stelle: ξ = (Knoten i) n−1 Ni = ⎪ ⎩0 an der Stelle: ξ = j − 1 ; j = 1, . . . , n mit j = i n−1

(324)

In (325) sind die Steiﬁgkeitsmatrizen f¨ ur das drei- bzw. vierknotige Element angef¨ uhrt. Es tritt wie beim zweiknotigen Element der Faktor AE/l vor der Matrix auf. Dieses ¨ andert sich, wenn der Querschnitt im Element nicht mehr konstant ist.

120

5. Stabelemente

⎡ AE K= 3l

7 ⎢ ⎢ ⎢ −8 ⎣ 1

−8 16 −8

⎤

⎡

⎢ 148 1 ⎢ ⎥ AE ⎢ ⎢ −189 ⎥ ⎢ −8 ⎥ ; K = ⎦ 40 l ⎢ 54 ⎢ ⎣ 7 −13

−189

54

432

−297

−297

432

54

−189

⎤ −13 ⎥ ⎥ 54 ⎥ ⎥ ⎥ −189 ⎥ ⎥ ⎦ 148 (325)

5.2

H

5.2 Das zwei- und dreidimensionale Stabelement 5.2.1 Das zweidimensionale Stabelement

In Bild 5.15 ist eine allgemeine Lage des Stabes in der (x, y)-Ebene dargestellt. Es sind zwei Koordinatensysteme deﬁniert. Ein lokales Elementkoordinatensystem x ¯, y¯, z¯, dessen Ursprung mit dem Anfangsknoten i zusammenf¨ allt. Die x ¯-Achse zeigt vom Anfangsknoten i zum Endknoten j. Die z¯-Achse hat dieselbe Richtung wie die z-Achse, die aus der Zeichenebene heraus kommt. Damit liegt auch die y¯-Achse fest.

Koordinatensysteme ((x, y, z)-globales System; (¯ x, y¯, z¯)-lokales System) und Freiheitsgrade des zweidimensionalen Stabes

Bild 5.15.

Die Orientierung des Stabelementes in der (x, y)-Ebene wird u ¨ ber den Winkel ϕ bestimmt. Es ist der Winkel, der von der x- und x¯-Achse eingeschlossen wird. Er ist positiv, wenn er um die positive z-Achse dreht. Das Element weist eine Querschnittsﬂ¨ ache A sowie einen Elastizit¨atsmodul E auf und hat eine L¨ ange l. An seinen beiden Enden liegen die Knoten i und j. Jeder Knoten hat zwei Freiheitsgrade, n¨ amlich die Verschiebungen u in x-Richtung und v in y T Richtung. Der Vektor ui = ui vi zeigt in L¨angsrichtung des Elementes.

5.2

Das zwei- und dreidimensionale Stabelement

121

Der Betrag von |ui | entspricht der Verschiebung u ¯i . Sie ist die Verschiebung des eindimensionalen Stabelementes, beschrieben im lokalen System (¯ x, y¯). Die Beziehung (267) des eindimensionalen Stabelementes wird in lokalen Koordinaten betrachtet: ¯ u K ¯ = F¯

(326)

Durch eine Transformation in das globale System (s. Bild 5.15) l¨aßt sich die Steiﬁgkeitsmatrix K des zweidimensionalen Stabes gewinnen. Dazu wird der T Verformungsvektor u ¯i = u ¯i 0 des Anfangsknotens i des eindimensionalen Stabes u ¨ ber eine Hintransformation nach (45) mit den Verschiebungen ui und vi des zweidimensionalen Stabes verkn¨ upft: ⎤

⎡ ⎣

u ¯i

⎤⎡

⎡

⎦=⎣

0

cos ϕ

sin ϕ

− sin ϕ

cos ϕ

⎦⎣

⎤ ui

⎦ = T ui

(327)

vi

Aus (327) erh¨ alt man f¨ ur u ¯i : u ¯i = ui cos ϕ + vi sin ϕ

(328)

F¨ ur den Endknoten j ergibt sich in analoger Form:

u ¯j = uj cos ϕ + vj sin ϕ

(329)

Diese beiden Gleichungen lassen sich in Matrixform zusammenfassen: ⎡ ⎡ ⎣

⎤ u ¯i

⎡

⎦=⎣

u ¯j u ¯

cos ϕ

sin ϕ

0

0

0

cos ϕ

Tˆ

⎤

ui ⎥ ⎤⎢ ⎢ ⎥ ⎢ vi ⎥ 0 ⎢ ⎥ ⎦⎢ ⎥ = Tˆ u ⎢ sin ϕ ⎢ uj ⎥ ⎥ ⎦ ⎣ vj

(330)

u

In gleicher Weise lassen sich die Kr¨ afte transformieren: F¯ = Tˆ F

(331)

122

5. Stabelemente

Die Transformationsvorschriften nach (330) und (331) auf (326) angewendet, f¨ uhrt zu: ¯ Tˆ u = Tˆ F K

(332)

T Gleichung (332) wird von links mit Tˆ durchmultipliziert:

T ¯ Tˆ u = TˆT Tˆ F = F Tˆ K

(333)

K T Tˆ ist eine orthogonale Matrix (s. Abschnitt 2.3.4), so daß Tˆ Tˆ = E gilt. T ¯ Tˆ aus (333) wird in zwei Schritten Die globale Steiﬁgkeitsmatrix K = Tˆ K gebildet:

⎤⎡ ⎤ ⎡ 0 0 cos ϕ sin ϕ 1 −1 AE ¯ Tˆ = ⎦⎣ ⎦ ⎣ K l −1 1 0 0 cos ϕ sin ϕ ⎤ ⎡ sin ϕ − cos ϕ − sin ϕ cos ϕ AE ⎣ ⎦ = l − cos ϕ − sin ϕ cos ϕ sin ϕ

T ¯ Tˆ K = Tˆ K ⎡ ⎢ cos ϕ ⎢ AE ⎢ ⎢ sin ϕ = ⎢ l ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0

(334)

⎤ 0

⎥⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎣ cos ϕ ⎥ cos ϕ ⎥ ⎥ − cos ϕ ⎦ sin ϕ 0

sin ϕ

− cos ϕ

− sin ϕ

− sin ϕ

cos ϕ

sin ϕ

⎤ ⎦

(335) Das Ergebnis des Matrizenproduktes aus (335) stellt die Steiﬁgkeitsmatrix des zweiknotigen, zweidimensionalen Stabelementes im globalen Koordinatensystem dar:

5.2

Das zwei- und dreidimensionale Stabelement

⎡ cos2 ϕ

⎢ ⎢ AE ⎢ ⎢ sin ϕ · cos ϕ K= ⎢ l ⎢ − cos2 ϕ ⎢ ⎣ − sin ϕ · cos ϕ

123

sin ϕ · cos ϕ

− cos2 ϕ

sin2 ϕ

− sin ϕ · cos ϕ

− sin ϕ · cos ϕ

cos2 ϕ

− sin2 ϕ

sin ϕ · cos ϕ

⎤ − sin ϕ · cos ϕ ⎥ ⎥ ⎥ − sin2 ϕ ⎥ ⎥ sin ϕ · cos ϕ ⎥ ⎥ ⎦ 2 sin ϕ (336)

Der Winkel ϕ in (336) l¨ aßt sich wie folgt ausdr¨ ucken:

sin ϕ =

! y j − yi 1 1 xj − xi 2 = yji ; cos ϕ = = xji ; l = x2ji + yji (337) l l l l

Damit stellt sich die Steiﬁgkeitsmatrix alternativ dar als: ⎡ x2ij

⎢ ⎢ AE ⎢ ⎢ xij yij K= 3 ⎢ l ⎢ −x2 ⎢ ij ⎣ −xij yij

xij yij

−x2ij

2 yij

−xij yij

−xij yij

x2ij

2 −yij

xij yij

⎤ −xij yij ⎥ ⎥ 2 ⎥ −yij ⎥ ⎥ xij yij ⎥ ⎥ ⎦ 2 yij

(338)

5.2.2 Beispiel zum zweidimensionalen Stabproblem

Das Bild 5.16 zeigt ein Stabwerk, das aus f¨ unf St¨ aben besteht. Die Geometrie sowie die Randbedingungen sind zweifach symmetrisch, die Belastung hingegen ist nur einfach symmetrisch. F¨ ur dieses Problem sind unter Ausnutzung der Symmetrie die Verformungen an allen Knoten, die Schnittkr¨afte in den St¨aben und die Auﬂagerreaktionen gesucht.

Bild 5.16. Beispiel zum zweidimensionalen Stab

(Fa = 1, Fb = 2, E = 1, A = 2)

124

5. Stabelemente

Elementeinteilung

Das Problem ist bez¨ uglich Geometrie, Belastung und geometrischer Randbedingungen symmetrisch zur x-Achse. Daher wird in der Rechnung, wie in Bild 5.17 ausgef¨ uhrt, nur der obere Teil der Stabstruktur betrachtet.

Bild 5.17. Ausnutzung der Symmetrie und Elementeinteilung

Dieser Teil wird in drei Stabelemente eingeteilt. Die Ausnutzung der Symmetrie hat zur Folge, daß dem Element 2 nur die halbe Querschnittsﬂ¨ache zugeordnet wird und in den Knoten 2 und 3 Fa /2 bzw. Fb /2 im FE-Modell angesetzt wird. Damit die Verformungen symmetrisch sind, werden zwei weitere Randbedingungen an den Knoten 2 und 3 eingef¨ uhrt. Tabelle 5.4. Elementknotenzuordnung

Element

Knoten i

Knoten j

ϕ

1

1

2

−45◦

2 3

2 3

3 4

◦

sin ϕ √ - 12 2

0

◦

45

1 2

0 √

2

cos ϕ √ 1 2 2

A

1 √

1

1 2

2

2 2

Die Tab. 5.4 enth¨ alt die Elementknotenzuordnung, die Orientierungswinkel ϕ der St¨ abe sowie die Querschnittsﬂ¨ achen A der Elemente. Den Winkel ϕ gewinnt man, indem man die x-Achse durch Drehung um den Winkel ϕ in die Richtung der lokalen x¯-Achse des Elementes zeigen l¨aßt. Die Richtung der lokalen x¯-Achse ist in Bild 5.17 jeweils durch einen Pfeil angedeutet. Der Winkel ϕ ist positiv bei Drehung um die positive z-Achse, die aus der Zeichenebene herauszeigt. Steiﬁgkeitsmatrizen

Die Steiﬁgkeitsmatrizen werden nach (336) auf der S. 123 aufgestellt:

5.2

Das zwei- und dreidimensionale Stabelement

⎡

u1

v1

u2

1

−1

−1

1

1

1

1

1

−1

−1

1

u3

v3

u4

v4

1

1

−1

⎢ ⎢ −1 K1 = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ −1 ⎣

⎡

⎢ ⎢ 1 K3 = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ −1 ⎣

1

−1

−1

1

−1

−1

1

125

v2

u2 ⎤ ⎡ 1 1 u1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ −1 ⎥v1 ; K = ⎢ 0 ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ −1 −1 ⎦u2 ⎣ v2

0

v2

u3

v3

0

−1

0

0

0

0

1

0

0

⎤ u2 ⎥ ⎥ 0 ⎥v2 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎦u3 0

v3

⎤ −1 u3 ⎥ ⎥ −1 ⎥v3 ⎥ ⎥ 1 ⎥ ⎦u4 1

(339)

v4

Die Zeilen und Spalten sind mit den Freiheitsgraden der Knoten der Elemente durchnumeriert. Gesamtsteiﬁgkeitsmatrix

¨ Bei der additiven Uberlagerung der drei Elementsteiﬁgkeitsmatrizen zur Gesamtsteiﬁgkeitsmatrix werden die Anteile der einzelnen Elemente durch Klammersymbole gekennzeichnet: Element 1: · · ·; Element 2: · · ·; Element 3: · · ·. Die Gesamtsteiﬁgkeitsmatrix wird direkt erstellt, so wie es auf der S. 109 und folgende beschrieben ist: ⎡

1

⎢ ⎢ −1

⎢ ⎢ ⎢ −1

⎢ ⎢ ⎢ 1

⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎣ 0

−1

−1

1

0

0

0

1

1

−1

0

0

0 0

1

1 + 1

−1 + 0

−1

0

−1

−1 + 0

1 + 0

0

0

0

0

−1

0

1 + 1

0 + 1

−1

0

0

0

0 + 1

0 + 1

−1

0

0

0

−1

−1

1

0

0

0

−1

−1

1

0

⎤⎡

⎥⎢ ⎥⎢ 0 ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ 0 ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ 0 ⎥⎢ ⎥⎢

−1 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢

−1 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢

1 ⎦ ⎣

1

u1

⎤

⎥ v1 ⎥ ⎥ ⎥ u2 ⎥ ⎥ ⎥ v2 ⎥ ⎥ ⎥ u3 ⎥ ⎥ ⎥ v3 ⎥ ⎥ ⎥ u4 ⎦ v4

126

5. Stabelemente

=

⎡

R

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎥ Fy1 ⎥ ⎥ ⎥ Fa ⎥ 2 ⎥ ⎥ R Fy2 ⎥ ⎥ ⎥ Fb ⎥ 2 ⎥ ⎥ R Fy3 ⎥ ⎥ ⎥ R Fx4 ⎦

Fx1

⎤

R

(340)

R

Fy4

Geometrische (wesentliche) Randbedingungen und Verformungen

In (340) treten acht Unbekannte auf, n¨ amlich die beiden Verschiebungen u2 und u3 sowie die sechs Auﬂagerreaktionen RFxi , RFyi auf der rechten Seite des Gleichungssystems. An den Knoten 1 und 4 sind die Auﬂager zu unden k¨onnen die ﬁnden, so daß gilt: u1 = v1 = u4 = v4 = 0. Aus Symmetriegr¨ Knoten 2 und 3 keine vertikalen Verschiebungen ausf¨ uhren. Somit kann man schreiben: v2 = v3 = 0. Als zu bestimmende Gr¨oßen bleiben damit u2 und u3 u ¨ brig. Das zur Ermittlung dieser Verschiebungen geh¨orige Gleichungssystem erh¨ alt man, indem in dem voranstehenden Gleichungssystem die Zeilen und Spalten 1, 2, 4, 6, 7 und 8 gestrichen werden: ⎡ ⎣

2

−1

−1

2

⎤⎡ ⎦⎣

⎤ u2

⎡

⎦=⎣

u3

1 2

1

⎤

⎡

⎦⇒⎣

⎤ u2 u3

⎡

⎦=⎣

2 3

⎤

⎤

⎡

⎦=⎣

5 6

0, 667

⎦ (341)

0, 833

Schnittgr¨ oßen

Die Schnittgr¨ oßen ergeben sich aus dem Produkt der Elementsteiﬁgkeitsmatrix × Verformungsvektor des Elementes (K i i u = iF ): ⎡ ⎢ 1 ⎢ ⎢ −1 ⎢ 1 K 1 u = ⎢ ⎢ −1 ⎢ ⎣ 1

−1

−1

1

1

1

1

−1

−1

⎤⎡ ⎤ ⎡ 1 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ − 23 ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ 2 −1 ⎥ ⎥⎢ 0 ⎥ ⎢ 3 ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎢ 2 ⎥ ⎢ 2 −1 ⎥ ⎥⎢ 3 ⎥ ⎢ 3 ⎦⎣ ⎦ ⎣ 1 0 − 23

⎤

⎡

⎤ F ⎥ ⎢ x1 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ 1Fy ⎥ 1 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ = 1F ⎥ ⎢ 1F ⎥ ⎥ ⎢ x2 ⎥ ⎦ ⎣ ⎦ 1 Fy2 1

5.2

Das zwei- und dreidimensionale Stabelement

⎡

⎤⎡

127

⎡

⎤

⎡

⎤

⎤

0 ⎥ ⎢ 23 ⎥ ⎢ − 16 ⎥ ⎢ 2Fx2 ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 2 ⎥ 0 0 0 ⎥ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ Fy2 ⎥ 2 ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥=⎢ ⎥= F ⎢ 5 ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢ ⎥ 0 1 0 ⎥ ⎥ ⎢ 6 ⎥ ⎢ 6 ⎥ ⎢ 2Fx3 ⎥ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 2 0 0 0 0 0 Fy3 ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1 −1 −1 ⎥ ⎢ 56 ⎥ ⎢ 56 ⎥ ⎢ 3Fx3 ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 5 ⎥ ⎢ 3 ⎥ 1 −1 −1 ⎥ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ 6 ⎥ ⎢ Fy3 ⎥ 3 ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥=⎢ ⎥= F ⎢ ⎥ ⎢ 5 ⎥ ⎢ ⎥ −1 1 1 ⎥ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ − 6 ⎥ ⎢ 3Fx4 ⎥ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 3 −1 1 1 0 − 56 Fy4

⎢ 1 ⎢ ⎢ 0 ⎢ K 2 2 u = ⎢ ⎢ −1 ⎢ ⎣ 0 ⎡ ⎢ 1 ⎢ ⎢ 1 ⎢ 3 K 3 u = ⎢ ⎢ −1 ⎢ ⎣ −1

0

−1

(342) Auﬂagerreaktionen

Die Auﬂagerreaktionen lassen sich auf zweierlei Weise berechnen. Zum einen lassen sie sich mit Hilfe der Schnittgr¨ oßen aus der Kraftrandbedingung (nat¨ urliche Randbedingung) ermitteln. Diese besagt, daß die ¨außeren Kr¨afte mit den inneren Kr¨ aften (Schnittgr¨ oßen) im Gleichgewicht stehen (s. (278) bis (280)). Aus den Schnittgr¨ oßen f¨ ur Element 1 und Element 3 erh¨alt man die Auﬂagerreaktionen f¨ ur Knoten 1 und 4: ⎡ ⎣

1

Fx1

⎤

⎡

⎦=⎣

− 23

⎤

⎡

⎦=⎣

2 3

1

Fy1

⎤ ⎡

R

Fx1

⎦; ⎣

R

⎤

3

Fx4

⎡

⎦=⎣

3

Fy1

Fy4

− 56 − 56

⎤

⎡

⎦=⎣

R

Fx4

⎤ ⎦

R

Fy4 (343)

Aus den Schnittgr¨ oßen f¨ ur Element 1 und 2 erh¨ alt man die Auﬂagerreaktionen f¨ ur Knoten 2 und aus den Schnittgr¨ oßen f¨ ur Element 2 und 3 erh¨alt man die Auﬂagerreaktionen f¨ ur Knoten 3: ⎡ ⎣

1

Fy2 + 2Fy2

2

3

Fy3 + Fy3

⎤

⎡

⎦=⎣

− 32 + 0 0+

5 6

⎤

⎡

⎦=⎣

− 32 5 6

⎤

⎡

⎦=⎣

R

Fy2

⎤ ⎦

(344)

R

Fy3

Zum anderen lassen sich die Auﬂagerreaktionen aus der Beziehung: K g u = F berechnen:

128

5. Stabelemente

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤⎡

⎤

1

−1

−1

1

0

0

0

0

−1

1

1

−1

0

0

0

0 ⎥⎢ 0 ⎥

−1

1

2

−1

−1

0

0

0

1

−1

−1

1

0

0

0

0

0

0

−1

0

2

1

−1

−1

0

0

0

0

1

1

−1

−1

0

0

0

0

−1

−1

1

1

0

0

0

0

−1

−1

1

1

0

⎡

− 23

⎤

⎡

⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎢ 3 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ 2 ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢ ⎥⎢ 3 ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ − 23 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ 5 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ 6 ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ 56 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ − 56 ⎥ ⎢ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 0

− 56

⎤ R

Fx1

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Fy1 ⎥

R

Fa 2 R

Fy2 Fb 2

R

Fy3

R

Fx4

R

Fy4

(345) Das Ergebnis f¨ ur Fa /2 und Fb /2 hat Kontrollcharakter. In Bild 5.18 sind die Auﬂagerreaktionen vorzeichenrichtig dargestellt.

Bild 5.18. Reaktionskr¨ afte des Problems

I

5.2.3 Optimierung eines Stabtragwerkes

In Bild 5.19 ist eine H¨ alfte eines Tr¨ agers dargestellt, der sich aus St¨aben zusammensetzt. Der Gesamttr¨ ager besteht aus 2n-Feldern der L¨ange l und wird in der Mitte durch eine Kraft F belastet. Ober- und Untergurt weisen eine Querschnittsﬂ¨ ache A auf. Die Vertikalst¨abe haben eine Fl¨ache gA und die Diagonalst¨ abe kA. Die H¨ ohe des Tr¨agers wird u ¨ ber f l beschrieben (f, g, k ∈ R+ ). Die vertikale Verschiebung des Tr¨agers an der Kraftangriﬀsstelle soll minimiert werden, wobei sein Ausgangsvolumen beibehalten wird. Als Optimierungsparameter dienen f, g und k.

Bild 5.19. Eine H¨ alfte eines Stabwerkes, das

aus 2n-Feldern besteht

5.2

Das zwei- und dreidimensionale Stabelement

129

Vertikale Verschiebung am Kraftangriﬀspunkt und das Volumen

Die normierte Verschiebung v¯ = v A E/(F l) f¨ ur ein Stabwerk mit 2n-Feldern nach Bild 5.19 f¨ uhrt f¨ ur n ≥ 2 auf: ⎛ v¯ = −

"

f ⎜ 1 +⎝ 2 + 2g 6f

1 + f2

⎞

#3 +

2kf 2

f ⎟ n3 ⎠n + 2 2g 3f

(346)

Das normierte Volumen V¯ = V /(A l) und das normierte Ausgangsvolumen V¯0 mit f = g = k = 1 stellen sich dar als: V¯ =

1 2 − + fg + k 1 + f2 n ; n

V¯0 =

√ 1 n 3+ 2− n

(347)

Zielfunktion und deren Ableitungen

In der Zielfunktion Z = v¯ + λ V¯ − V¯0 wird u ¨ ber den Lagrange’schenParameter λ die normierte Verschiebung v¯ mit dem Volumen V¯ und dem upft: Ausgangsvolumen V¯0 verkn¨ ⎛ Z =−

f ⎜ 1 +⎝ 2 + 2g 6f

"

1+

f2

2kf 2

⎞

#3 +

f ⎟ n3 ⎠n+ 2 2g 3f

# " √ + λ −1 − 2 + f g + k 1 + f 2 n

(348)

Die Ableitungen der Zielfunktion Z nach f, g, k, λ f¨ uhren auf: ∂Z 1 1 1 f4 − f2 − 2 fk =− + − n− + +λ g + ∂f 2g 2g 3f 3 2kf 3 1 + f 2 1 + f2 1 + 2 λ g2 − 1 n ∂Z = ∂g 2g 2 ∂Z 1 + f2 = λ− 1 + f2 n ∂k 2f 2 k 2 " # √ ∂Z = −1 − 2 + f g + k 1 + f 2 n ∂λ

3 2 n 3 f

(349)

L¨ osung f¨ ur die Optimierungsparameter

Die Nullstellen von (349) f¨ uhren auf das Minimum von (348). Die sich daraus ergebenden optimalen Parameter f, g und k sind in Bild 5.20 in Abh¨angigkeit

130

5. Stabelemente

Bild 5.20. Die Parameter f , g und k in Abh. von der Anzahl Felder n

von der Anzahl Felder n dargestellt. W¨ ahrend f und k monoton steigen bzw. fallen, weist g bei n = 3 ein Maximum auf. Die Ausdr¨ ucke f¨ ur f, g, k sind zu umfangreich, um hier dargestellt werden zu k¨ onnen. F¨ ur 2 ≤ n ≤ 20 lassen sich diese durch die Funktionen in (350) mit einem Fehler kleiner 1% approximieren. f = 0, 875 + 0, 226 n − 6, 915 · 10−3 n2 + 1, 209 · 10−4 n3 3, 848 14, 664 27, 849 21, 265 − g = 0, 162 + + − n n2 n3 n4 0, 305 4, 359 + k = 0, 156 + 3, 521 + n n2

(350)

Die Maximalspannung im Tr¨ ager

Ein positiver Nebeneﬀekt der Minimierung der Verschiebung ist, daß gleichzeitig die Maximalspannung im Tr¨ ager reduziert wird. Die Maximalspannung σmax tritt im Stab des Untergurtes des Feldes 1 auf. In der normierten Form lautet sie:

σ ¯max = σmax

A n = F 2f

(351)

Formuliert man eine Reduktion R der Maximalspannung mit σ ¯max = n/2 f¨ ur die Ausgangsl¨ osung, so erh¨ alt man:

5.2

Das zwei- und dreidimensionale Stabelement

n n − 1 2 2f R= = −1 n f 2

131

(352)

In Bild 5.21 sind die Reduktionen der Verschiebung an der Kraftangriﬀsstelle und der Maximalspannung in Abh¨ angigkeit von der Anzahl Felder n angef¨ uhrt. Es zeigt sich, daß bis n = 6 die Maximalspannung sogar st¨arker f¨ allt als die Verschiebung.

Bild 5.21. Verringerung der Durchbiegung

in der Mitte des Tr¨ agers und der Maximalspannung in Abh. von der Anzahl Felder n

¨ 5.2.4 Ubungsbeispiele zum zweidimensionalen Stab Stabbeispiel VI

In der linken H¨ alfte von Bild 5.22 sind zwei St¨abe dargestellt, die an einer Decke befestigt sind und in ihrem Verbindungspunkt in vertikaler Richtung durch eine Kraft F belastet werden. F¨ ur dieses System sollen die Verformungen, Schnittgr¨ oßen und Auﬂagerreaktionen berechnet werden. F¨ ur die Zahlenrechnung wird angenommen: A1 = 2, A2 = E1 = E2 = l = 1.

Bild 5.22. Beispiele mit zwei bzw. drei St¨ aben

5.6

132

5.7

5.8

5. Stabelemente

Stabbeispiel VII

F¨ ur die dargestellte Stabstruktur (s. rechte H¨alfte Bild 5.22) sind die Verformungen, Schnittgr¨ oßen und die Auﬂagerreaktionen zu berechnen. Dabei ist die Symmetrie des Problemes auszunutzen. Alle St¨abe haben einen E-Modul von E = 1 und eine Querschnittsﬂ¨ ache A = 2. Stabbeispiel VIII

Gegeben ist in der linken H¨ alfte von Bild 5.23 eine Stabstruktur. Alle St¨abe haben einen E-Modul von E. Die St¨ abe auf der x-Achse haben eine Querschnittsﬂ¨ ache 2A, alle anderen A. Die Belastung betr¨agt 2F . Einem Auﬂager wird eine Verschiebung u ¯ aufgepr¨ agt. Gesucht sind unter Ausnutzung der Symmetrie des Systems die Verformungen sowie die Auﬂagerkraft im Lager bei x = l und y = 0.

Bild 5.23. Symmetrische und

antimetrische Stabstrukturen

5.9

5.10

5.11

Stabbeispiel IX

In der rechten H¨ alfte von Bild 5.23 ist eine Stabstruktur dargestellt. F¨ ur diese Struktur sind unter Ausnutzung der Antimetrie die Verformungen, Schnittgr¨ oßen und Auﬂagerkr¨ afte zu berechnen. Alle St¨abe haben die L¨ange l, die Querschnittsﬂ¨ ache A und einen E-Modul E. Die Belastung betr¨agt F . Stabbeispiel X

In Bild 5.24 ist eine 2D-Stabstruktur dargestellt. Die St¨abe haben die Querschnittsﬂ¨ ache A und einen E-Modul E. Die Belastung betr¨agt F . Gesucht sind neben den Verformungen des Systems die Spannungen im Vertikalstab sowie die Auﬂagerkr¨ afte im linken Lager. Dabei ist die Symmetrie auszunutzen. Stabbeispiel XI

In Bild 5.25 ist eine zweidimensionale Stabstruktur gegeben, die durch zwei Kr¨ afte belastet wird. Das Lager A wird um den Wert v¯ in y-Richtung verschoben. Alle St¨ abe weisen eine Querschnittsﬂ¨ ache A und einen E-Modul E auf.

5.2

Das zwei- und dreidimensionale Stabelement

133

Bild 5.24. Symmetrische 2D-Stabstruktur und die Eintei-

lung einer H¨ alfte in Elemente

Unter Ausnutzung der Symmetrie sind die Verformungen und die vertikale Auﬂagerkraft in Lager A zu berechnen.

Bild 5.25. Zweidimensionale Stabstruktur mit ver-

schobenem Lager

Stabbeispiel XII (Optimierung einer Stabstruktur)

In Bild 5.26 sind zwei ebene St¨ abe mit ihren Abmessungen dargestellt. In x-Richtung weisen sie eine L¨ ange L und in y-Richtung eine H¨ohe f L auf. Stab 1 hat eine Querschnittsﬂ¨ ache A, Stab 2 eine Querschnittsﬂ¨ache g A. Beide St¨ abe haben einen E-Modul E. Ziel der ersten Optimierung ist es, das dimensionslose Volumen V¯ = V /(A L) der beiden St¨ abe zu minimieren, wobei u ¨ber die dimensionslose Nebenbedingung v¯1 = v1 A E/(F L) = vˆ die vertikale Verschiebung am Knoten 1 vorgegeben wird. In einer zweiten Optimierung soll der Betrag der dimensionslosen Spannung |¯ σ | = |σ| A/F in beiden St¨ aben den Wert σ ˆ annehmen. Dazu ist wiederum eine Zielfunktion zu bilden, wobei u ¨ber Lagrange’sche Parameter λi die Nebenbedingungen f¨ ur die Spannungen zu erfassen sind. Stabbeispiel XIII (FEM GEN und FEM CAS)

In Bild 5.27 ist ein zweidimensionales Stabwerk dargestellt, dessen St¨abe als masselos angenommen werden. An drei Stellen sind Massen m angelenkt, die

5.12

5.13

134

5. Stabelemente

Bild 5.26. Das Stabsystem mit seinen Abmessungen und Belastungen

mit einer Winkelgeschwindigkeit ω bzw 2ω umlaufen. Die dargestellte Position der Massen entspricht dem Zeitpunkt t = 0. Die Lage der Knoten wird als Funktion der L¨ ange l ausgedr¨ uckt. Die St¨ abe weisen eine Querschnittsﬂ¨ache A und einen E-Modul E auf. Die Massen m f¨ uhren auf Kr¨afte der Form: ur dieses Problem soll unter Zuhilfenahme der oben genannF = m r ω 2 . F¨ ten Programme die vertikale Auﬂagerkraft im rechten Auﬂager betrachtet werden. Gesucht sind die Winkel αi (α = ω t) im Intervall 0 ≤ α ≤ 2π bei denen die vertikale Auﬂagerkraft verschwindet bzw. einen Extremwert aufweist. Zudem ist die betragsgr¨ oßte Auﬂagerkraft gesucht.

Bild 5.27. Zweidimensionales Stab-

werk belastet durch umlaufende Massen. Darstellung zum Zeitpunkt t=0

5.2.5 Das dreidimensionale Stabelement

Das zweiknotige, dreidimensionale Stabelement stellt eine Erweiterung des zweidimensionalen Stabelementes um eine dritte Achse dar. Ausgangspunkt zur Beschreibung der Steiﬁgkeitsmatrix K des genannten Elementes ist die Beziehung f¨ ur das eindimensionale Stabelement (268). Diese Gleichung ¯ u K ¯ = F¯ wird in einem lokalen System beschrieben (s. Bild 5.15). Durch eine Transformation nach (333) wird aus (268) die Steiﬁgkeitsmatrix K des r¨ aumlichen Stabelementes gewonnen. Dazu muß die Transformationsmatrix ur den r¨ aumlichen Fall beschrieben werden. Tˆ f¨ Gl. (45) erm¨ oglicht eine Verkn¨ upfung des Freiheitsgrades u ¯ mit den drei Freiheitsgraden u, v, w eines Knotens des r¨ aumlichen Stabelementes. u ¯ ist die Verschiebung eines Knotens des eindimensionalen Stabelementes. u, v, w werden

5.2

Das zwei- und dreidimensionale Stabelement

135

im globalen Koordinatensystem beschrieben. Aus der ersten Zeile der Matrix T nach (45) erh¨alt man: ⎡ u ¯=

⎤ u

ex¯x

ex¯y

ex¯z

⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ v ⎥ ⎣ ⎦ w

(353)

Die Gr¨ oßen ex¯x , ex¯y , ex¯z aus (353) lassen sich ausdr¨ ucken als: 1 1 1 xj − xi yj − yi zj − zi = xji ; ex¯y = = yji ; ex¯z = = zji l l l l l l ! 2 + z2 l = x2ji + yji (354) ji

ex¯x =

l stellt die Elementl¨ ange dar und xi , xj , yi , yj , zi , zj sind die Koordinaten des Anfangsknotens i sowie des Endknotens j. Setzt man (353) f¨ ur diese beiden Knoten an, so erh¨ alt man: ⎡

⎡

⎤

⎡ x 1 ⎣ ⎦ = ⎣ ji l u ¯j 0 u ¯i

yji

zji

0

0

0

0

xji

yji

Tˆ

⎢ ⎢ ⎢ ⎤⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎦⎢ ⎢ zji ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ui

⎥ ⎥ vi ⎥ ⎥ ⎥ wi ⎥ ⎥ ⎥ uj ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ vj ⎥ ⎦ wj

(355)

Gleichung (355) in (333) eingesetzt f¨ uhrt auf die Steiﬁgkeitsmatrix K des zweiknotigen, dreidimensionalen Stabelementes: ⎡

x2ij

⎢ ⎢ ⎢ xij yij ⎢ ⎢ ⎢ xij zij AE ⎢ K= 3 ⎢ l ⎢ ⎢ −x2ij ⎢ ⎢ ⎢ −x y ij ij ⎢ ⎣ −xij zij

xij yij

xij zij

−x2ij

−xij yij

2 yij

yij zij

−xij yij

2 −yij

yij zij

2 zij

−xij zij

−yij zij

−xij yij

−xij zij

x2ij

xij yij

2 −yij

−yij zij

xij yij

2 yij

−yij zij

2 −zij

xij zij

yij zij

⎤ −xij zij ⎥ ⎥ −yij zij ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 2 −zij ⎥ ⎥ (356) ⎥ xij zij ⎥ ⎥ ⎥ yij zij ⎥ ⎥ ⎦ 2 zij

Kapitel 6 Balkenelemente

6

6

6 6.1 6.1.1 6.1.2 6.1.3 6.1.4 6.1.5 6.1.6 6.1.7 6.1.8 6.1.9 6.1.10 6.2 6.2.1 6.2.2 6.2.3 6.3 6.4 6.4.1 6.5 6.5.1 6.6 6.6.1 6.6.2 6.6.3 6.7 6.7.1 6.8 6.8.1 6.8.2 6.8.3 6.8.4 6.9 6.9.1 6.9.2

Balkenelemente Das eindimensionale Balkenelement .......................... Problemdeﬁnition ................................................ Dehnungen und Spannungen im Balken .................... Das Tonti-Diagramm des Bernoulli-Balkens ............... Funktional des Balkenproblems .............................. Formfunktionen des eindimensionalen Balkens ............ Diskretisierung des Funktionals ............................... Variation des diskretisierten Funktionals ................... Bilden der Steiﬁgkeitsmatrix .................................. Diskretisierung der Streckenlast............................... Schnittgr¨oßen des Balkenelementes .......................... Beispiel zum eindimensionalen Balken ....................... Zweiseitig gelagerter Balken mit Streckenlast .............. Konvergenztest beim zweiknotigen Balkenelement ........ Realisierung des Gelenkes ¨uber eine Zwangsbedingung... ¨ Ubungsbeispiele zum Bernoulli-Balken....................... Balkenelement mit n Knoten und p Freiheitsgraden pro Knoten ............................................................. Das eindimensionale Balkenelement mit drei Knoten ..... Das eindimensionale Balkenelement mit drei Freiheitsgraden pro Knoten .................................................. Balken mit unstetiger Kr¨ ummungsverteilung ............... Der Timoshenko-Balken ........................................ Schnittgr¨oßen beim Timoshenko-Balken .................... Locking-Eﬀect“ ................................................. ” ¨ Ubungsbeispiele zum Timoshenko-Balken................... Der elastisch gelagerte Balken ............................... Beispiel zum elastisch gelagerten Balken .................... Zweidimensionales Balkenelement ............................ Freiheitsgrade des zweidimensionalen Balkens ............. ¨ Uberlagerung der Dehnungen von Stab und Balken ...... Steiﬁgkeitsmatrix ............................................... Transformation der Steiﬁgkeitsmatrix........................ ¨ Beispiel und Ubungsbeispiele zum zweidimensionalen Balken ................................................................. Winkelproblem.................................................... ¨ Ubungsbeispiele zum zweidimensionalen Balken ...........

139 139 140 141 142 143 145 147 148 149 151 153 153 157 159 161 164 167 171 174 175 181 182 184 185 187 192 192 192 193 195 198 198 204

6 Balkenelemente 6.1

6.1 Das eindimensionale Balkenelement 6.1.1 Problemdeﬁnition

i

Ein Balken ist ein dreidimensionaler K¨ orper. Durch die Deﬁniton der Balkenachse, die die ungekr¨ ummte Verbindungslinie der Schwerpunkte der Querschnitte des Balkens darstellt, wird er auf ein eindimensionales Gebilde reduziert. Das Bild 6.1 zeigt einen solchen Balken. Die x-Achse des Koordinatensystems f¨ allt mit der Balkenachse zusammen. Die z-Achse steht senkrecht zur Zeichenebene und kommt aus der Zeichenebene heraus. Die (x, y)-Ebene ist gleichzeitig die Symmetrieebene des Balkens. In dieser liegen die Kr¨afte und Streckenlasten des Balkens. Das Moment dreht um die z-Achse.

Bild 6.1. Geometrie und Randbedingungen eines Balkens

Voraussetzungen und Einschr¨ ankungen der Balkentheorie:

Neben den einf¨ uhrend gemachten Bemerkungen gelten noch folgende Bedingungen: Bernoulli-Hypothese: Querschnitte des Balkens, die vor der Verformung senkrecht zur Balkenachse standen, stehen auch im verformten Zustand senkrecht zur Biegelinie und weisen keine Verw¨olbung auf. Daraus folgt, daß keine Schubverformungen ber¨ ucksichtigt werden. Das Gleichgewicht des Balkens wird im unverformten Zustand beschrieben. Die Deformationen des Balkens werden durch die Biegelinie beschrieben. Die Durchbiegungen des Balkens sind kleiner als die H¨ohe des Balkens. Die L¨ ange l des Balkens ist sehr viel gr¨ oßer als die H¨ohe H und Tiefe des Balkens.

140

6. Balkenelemente

6.1.2 Dehnungen und Spannungen im Balken

In Bild 6.2 ist ein Ausschnitt eines Balkens im unverformten und verformten Zustand dargestellt1 . Zur Beschreibung der Durchbiegung in y-Richtung (Biegelinie v = v(x)) wird ein Querschnitt des Balkens im unverformten und verformten Zustand betrachtet. Nach der Bernoulli-Hypothese bleibt dieser Querschnitt auch im verformten Zustand eben und steht senkrecht zur Biegelinie.

Bild 6.2. Ausschnitt eines Balkens in unverformter und verformter Lage

Der Querschnitt ist im verformten Zustand um einen Winkel ϕ gegen¨ uber dem Ausgangszustand verdreht. Dieser Winkel l¨aßt sich als Tangente an der Biegelinie v = v(x) ausdr¨ ucken:

ϕ=

dv dx

(357)

Die Verdrehung ϕ des betrachteten Querschnittes bedingt eine Verschiebung u der Punkte dieses Querschnittes. Die Verschiebung l¨aßt sich f¨ ur kleine Durchbiegungen ausdr¨ ucken als: u = −y ϕ = −y

dv dx

(358)

Mit der Beziehung ε = du/dx erh¨ alt man die Dehnung ε im Balken:

ε=

d dx

dv d2 v −y = −y 2 = −y v dx dx

(359)

¨ Uber das Hooke’sche Gesetz werden die Dehnungen mit den Spannungen verkn¨ upft: 1

Die Verformungen sind aus Darstellungsgr¨ unden vergr¨ oßert dargestellt.

6.1

Das eindimensionale Balkenelement

σ = E ε = −E y

d2 v = −E y v dx2

141

(360)

6.1.3 Das Tonti-Diagramm des Bernoulli-Balkens

Das Tonti-Diagramm des Bernoulli-Balkens ist in Bild 6.3 dargestellt. Die Prim¨ arvariable ist die Durchbiegung v(x). Die in (359) auftretenden zweiten ur kleine Durchbiegungen1 die Kr¨ ummung κ Ableitungen v beschreiben f¨ des Balkens. Die Beziehung κ = v stellt sich im Tonti-Diagramm als kinematische Gleichung dar. Das Moment M des Balkens wird u ¨ ber das Integral M =−

σy dA

(361)

A

beschrieben. Durch Einsetzen von (360) und der Kr¨ ummung κ = v in (361) erh¨ alt man: M = EI κ

(362)

Diese Gleichung stellt im Tonti-Diagramm die Stoﬀgleichung dar.

Bild 6.3. Das Tonti-Diagramm des Bernoulli-Balkens

In der Gleichgewichtsbeziehung M = q tritt die Streckenlast q auf. Die wesentliche Randbedingung sieht die Vorgabe der Durchbiegung 0v und der Verurlichen Randbedingungen erlauben das Aufpr¨agen drehung 0ϕ vor. Die nat¨ einer Querkraft 0F und eines Momentes 0M . Die Streckenlast tritt als sogenannte Quellfunktion auf. Das Einbringen der kinematischen Gleichung in die Stoﬀgleichung sowie das Einsetzen dieser Gleichung in die Gleichgewichtsbedingung f¨ uhrt auf die Gleichung des Bernoulli-Balkens: 1

(3/2) Die Kr¨ ummung ist allgemein deﬁniert als: κ = v / 1 + (v )2 .

142

6. Balkenelemente

d (EI v ) = q dx2

(363)

Beispiel zum eindimensionalen Balken

Bild 6.4. Kragbalken mit einer Streckenlast q

Bei konstanter Balkensteiﬁgkeit EI und konstanter Streckenlast (s. Bild 6.4) erh¨ alt man aus (363) durch vierfaches Integrieren:

v=

x3 x2 q x4 + C1 + C2 + C3 x + C4 EI 24 6 2

(364)

Es existieren f¨ ur das Beispiel zwei wesentliche und zwei nat¨ urliche Randbedingungen, so daß die vier Konstanten C1 , C2 , C3 , C4 bestimmt werden k¨ onnen. Die wesentlichen Randbedingungen lauten: v(x = 0) = 0 ⇒ C4 = 0 v (x = 0) = 0 ⇒ C3 = 0

(365)

Die nat¨ urlichen Randbedingungen beschreiben bei x = l das Moment M = 0 (v = 0) und bei x = l die Querkraft Q = 0 (v = 0): q l2 + C1 l + C2 EI 2 q l + C1 v (x = l) = 0 ⇒ 0 = EI v (x = l) = 0 ⇒ 0 =

(366)

Mit Hilfe der beiden Gleichungen f¨ ur die Randbedingungen (365) und (366) erh¨ alt man: & % x q l4 " x #2 " x #2 −4 +6 v= 24 EI l l l

(367)

6.1.4 Funktional des Balkenproblems

Das Funktional (161) auf der S. 66 muß auf den eindimensionalen Balken zugeschnitten werden. Die elastische Form¨ anderungsarbeit wird u ¨ber die Dehnungen und Spannungen im Balken ausgedr¨ uckt. Das Potential der ¨außeren

6.1

Das eindimensionale Balkenelement

143

Lasten beinhaltet neben den Einzelkr¨ aften F zus¨atzliche Streckenlasten q sowie Momente M . Das Potential des Momentes ergibt sich aus dem Produkt - x2 M ϕ = M dv/dx. Das Potential der Streckenlast l¨aßt sich darstellen als: x1 q v dx. Π=

1 2

σε dV −

V

x2

q v dx − F v − M

x1

dv dx

(368)

Einsetzen der Dehnungen aus (359) und der Spannungen aus (360) in das Funktional (368): x2 1 Π= (−E y v ) (−y v ) dV − q v dx − F v − M v 2 V x1 x2 1 2 = E (v ) y 2 dV − q v dx − F v − M v 2 V x1

(369)

Das Dreifachintegral aus der voranstehenden Gleichung l¨aßt sich mit dV = dA dx in ein Zweifachintegral u uhren: ¨berf¨

Π=

=

1 2 1 2

l

0

0

l

x2 2 E (v ) (x) y 2 dA dx − q v dx − F v − M v x1 A EI (v ) dx − 2

I x2

q v dx − F v − M v

(370)

x1

6.1.5 Formfunktionen des eindimensionalen Balkens

Im Funktional (370) treten erste und zweite Ableitungen der Durchbiegung aglichkeitsbedingung fordert, daß Querschnitte des Balkens v auf1 . Die Vertr¨ im verformten Zustand nicht ineinander eindringen oder auseinanderklaﬀen. Diese Bedingung wird erf¨ ullt, wenn die Biegelinie des Balkens v = v(x) und ihre erste Ableitung v = v (x) stetig sind, w¨ahrend die zweite Ableitung v = v (x) unstetig sein darf. Bedingt durch die Stetigkeitsanforderung an v wird diese wie auch die Durchbiegung v selber als Knotengr¨ oße deﬁniert. Das f¨ uhrt zu einem ﬁniten Element, wie es in Bild 6.5 angef¨ uhrt ist. F¨ ur die Knoten i, j sind jeweils eine 1

Man spricht, wenn in einem Funktional Ableitungen m-ter Ordnung auftreten, von einem C m−1 -Variationsproblem [6]. Als wesentliche Randbedingungen ergeben sich aus der ersten Variation des Funktionals geometrische Randbedingungen (m − 1)-ter Ordnung. Beim Balkenproblem ist m = 2. Es handelt sich also um ein C 1 Problem mit geometrischen Randbedingungen f¨ ur die Durchbiegung v und die Verdrehung v = ϕ.

144

6. Balkenelemente

Bild 6.5. Freiheitsgrade, Knotenkr¨ afte und

Knotenmomente des zweiknotigen Balkenelementes

Verschiebung vi , vj und eine Verdrehung ϕi , ϕj deﬁniert. Diesen Gr¨oßen zugeordnet sind die Kr¨ afte Fi , Fj sowie die Momente Mi , Mj . Das Element besitzt eine L¨ ange l und ein Fl¨ achentr¨ agheitsmoment I. Als Materialgr¨oße tritt der Elastizit¨ atsmodul E auf. Als Ansatzfunktion zur Beschreibung der Verformungen muß ein Polynom dritten Grades gew¨ ahlt werden, um die vier Koeﬃzienten des Polynoms durch ucken zu k¨onnen: die vier Knotengr¨ oßen vi , ϕi , vj , ϕj ausdr¨ v = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 v = ϕ = a1 + 2 a2 x + 3 a3 x2

(371)

Interpolationsbedingungen

Die vier Koeﬃzienten a1 , a2 , a3 , a4 werden durch die vier Knotengr¨oßen vi , ϕi , uckt, indem man f¨ ur (371) folgende Interpolationsbedingungen vj , ϕj ausgedr¨ formuliert: v(x = 0) = vi ⇒ vi = a0 ϕ(x = 0) = ϕi ⇒ ϕi = a1

(372)

v(x = l) = vj ⇒ vj = vi + ϕi l + a2 l + a3 l 2

ϕ(x = l) = ϕj ⇒ ϕj = ϕi + 2 a2 l + 3 a3 l2

3

(373)

Aus (373) folgt: 1 (− 3 vi + 3 vj − 2 ϕi l − ϕj l) l2 1 a3 = 3 (2 vi − 2 vj + ϕi l + ϕj l) l

a2 =

(374)

Einsetzen von (372) und (374) in (371) und Ordnen der Ausdr¨ ucke f¨ uhrt zu:

6.1

Das eindimensionale Balkenelement

145

& % % " " x #2 " x #3 & x #2 v= 1−3 +2 vi + x 1 − ϕi l l l N N & % " # 1 " # & % "" #2 x 2 x 3 x 2 x# + 3 −2 vj + x − ϕj l l l l N3

(375)

N4

Die Funktionen N1 , N2 , N3 , N4 nennt man Formfunktionen. Sie sind in Bild 6.6 graﬁsch ausgewertet.

Bild 6.6. Die Formfunktionen des zweiknotigen Balkenelementes mit zwei Freiheitsgraden pro Knoten

auf, so kann man Faßt man die Formfunktionen als Elemente eines Vektors N schreiben: ⎡

v=

N1

N2

T N

N3

⎤ v ⎢ i ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ϕi ⎥ ⎢ ⎥ T v ⎥=N N4 ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ vj ⎥ ⎣ ⎦ ϕj

(376)

v

6.1.6 Diskretisierung des Funktionals

Im Funktional (369) treten erste und zweite Ableitungen von v auf. Hierzu m¨ ussen die Formfunktionen aus (375) abgeleitet werden. F¨ ur die Ableitungen gelten folgende Regeln:

146

6. Balkenelemente

v =

d "T # dv d T T dv = (N )T v = N v = N v + N dx dx dx dx

(377)

0

d v d "T # d " T # )T v (N ) v = (N v = 2 = 2 N v = dx dx dx 2

2

(378)

)T gewinnt man, indem man die zweiten Ableitungen Die Ableitung von (N bildet. Es wird eine neue Variable ξ = x/l eines jeden Elementes von N eingef¨ uhrt. F¨ ur die Ableitungen gelten folgende Regeln: d dξ 1 d d = = ; dx dξ dx l dξ

d2 1 d2 = dx2 l2 dξ 2

(379)

Es wird elementweise abgeleitet: dN1 6ξ = [−1 + ξ] dx l

d2 N1 6 = 2 [−1 + 2 ξ] dx2 l

dN2 = 1 − 4 ξ + 3 ξ2 dx

d2 N2 2 = [−2 + 3 ξ] dx2 l

dN3 6ξ = [1 − ξ] dx l

d2 N3 6 = 2 [1 − 2 ξ] 2 dx l

dN4 = 3 ξ2 − 2 ξ dx

d2 N4 2 = [3 ξ − 1] 2 dx l

(380)

)T v ergibt sich: Nach der Beziehung v = (N ⎡

v =

1 6(2ξ − 1) 2 l

2l(3ξ − 2) 6(1 − 2ξ) T B

⎤ v i ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ϕi ⎥ ⎢ ⎥ T ⎥ = B v 2l(3ξ − 1) ⎢ ⎢ ⎢ vj ⎥ ⎥ ⎣ ⎦ ϕj (381)

T v = v T B aßt sich mit voranstehender Beziehung sowie B Das Quadrat (v )2 l¨ schreiben als: 2 T v B T v = v T B B T v (v ) = B

(382)

6.1

Das eindimensionale Balkenelement

147

B T hat die Form einer Matrix und die Eigenschaften einer Dyade B (s. Kap. 2.6.2 auf der S. 34). F¨ ur die Diskretisierung des Funktionals stehen folgende Ausdr¨ ucke zur Verf¨ ugung: T v = v T N nach (376) v=N 2 T T (v ) = v B B v nach (382) v T F = vi Fi + ϕi Mi + vj Fj + ϕj Mj , Potential der Einzelkr¨afte und Momente Der Vektor F T hat folgende Form: F T =

Fi

Mi

Fj

(383)

Mj

Diese Ausdr¨ ucke werden in das Funktional nach (370) eingesetzt. Damit ergibt sich das diskretisierte Funktional zu (dx = l dξ): l 1 l T T q dx − v T F EI v B B v dx − v T N Π= 2 0 0 1 1 1 B T dξ v − v T l q dξ −v T F = v T l EI B N 2 0 0 K

Q

1 − v T F = v T K v − v T Q 2

(384)

6.1.7 Variation des diskretisierten Funktionals

Das Gesamtpotential Π ist quadratisch in v . Damit f¨ uhrt die erste Variation von Π nicht nur auf einen station¨ aren Wert, sondern auf ein Minimum. Bei den Ableitungen wird von der Beziehung: (∂/∂u) δu = δuT (∂/∂uT ) nach (72) auf der S. 39 Gebrauch gemacht: ∂Π δv ∂v 1 ∂v T ∂v ∂v T ∂v T 1 = δv T T Kv + v T K δv − δv T T Q − δv T T F 2 ∂v 2 ∂v ∂v ∂v

δΠ =

(385)

Mit Hilfe der Beziehungen: ∂uT/∂uT = ∂u/∂u = E und uT K δu = δuT K T u = aßt sich schreiben: δuT K u l¨ − F = 0 δΠ = δv T Kv − Q

(386)

148

6. Balkenelemente

Die Variation nimmt einen station¨ aren Wert an, wenn der Klammerausdruck verschwindet. Daraus erh¨ alt man die Gleichgewichtsbeziehung f¨ ur den Balken: + F K v = Q

(387)

6.1.8 Bilden der Steiﬁgkeitsmatrix

Das zweiknotige Balkenelement soll ein konstantes Fl¨achentr¨agheitsmoment I und einen konstanten E-Modul E besitzen. Es kann damit die Biegesteiﬁgkeit des Balkens EI vor das Integral gezogen werden:

1

B T dξ B

K = EI l

(388)

0

B T wird in folgender Gleichung gebildet (B s. (381)): Die Dyade B B T = B ⎡ ⎢ 6(2ξ − 1) ⎢ 1 ⎢ ⎢ 2 l(3ξ − 2) ⎢ 2 l ⎢ 6(1 − 2ξ) ⎢ ⎣ 2 l(3ξ − 1) ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 1 ⎢ ⎢ l4 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ 1 ⎥ ⎥ 2 6(2ξ − 1) ⎥l ⎥ ⎦

36(2ξ − 1)2 12 l(2ξ − 1)· (3ξ − 2)

2 l(3ξ − 2)

6(1 − 2ξ)

2 l(3ξ − 1) =

⎤ 12 l(2ξ − 1)·

36(2ξ − 1)·

12 l(2ξ − 1)·

(3ξ − 2)

(1 − 2ξ)

(3ξ − 1)

12 l(3ξ − 2)·

4 l2 (3ξ − 2)·

(1 − 2ξ)

(3ξ − 1)

4 l2 (3ξ − 2)2

36(2ξ − 1)·

12 l(3ξ − 2)·

(1 − 2ξ)

(1 − 2ξ)

12 l(2ξ − 1)·

4 l2 (3ξ − 2)·

12 l(1 − 2ξ)·

(3ξ − 1)

(3ξ − 1)

(3ξ − 1)

36(1 − 2ξ)2

12 l(1 − 2ξ)· (3ξ − 1) 4 l2 (3ξ − 1)2

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ (389)

-1 B T dξ ist elementweise durchzuf¨ Die Integration 0 B uhren. Sie f¨ uhrt zu folgender Steiﬁgkeitsmatrix K des Balkenelementes:

6.1

Das eindimensionale Balkenelement

⎡ ⎢ 12 ⎢ EI ⎢ ⎢ 6l K= 3 ⎢ l ⎢ −12 ⎢ ⎣ 6l

6l

−12

4 l2

−6 l

−6 l

12

2 l2

−6 l

149

⎤ 6l ⎥ ⎥ 2 l2 ⎥ ⎥ ⎥ −6 l ⎥ ⎥ ⎦ 4 l2

(390)

6.1.9

Diskretisierung der Streckenlast In (384) ber¨ ucksichtigt der nachfolgende Term die Streckenlast:

1

q(ξ) dξ N

=l Q

(391)

0

Einschr¨ ankend wird angenommen, daß die Streckenlast q im Element linear verteilt ist. Somit kann die Verteilung der Streckenlast u ¨ ber eine lineare Formfunktion beschrieben werden (s. (258) auf der S. 100). Eine solche Linearverteilung ist in Bild 6.7 dargestellt.

Bild 6.7. Berechnung der Kr¨ afte und

Momente aus der Streckenlast des Balkenelementes

Die Verteilung von q ist eindeutig u ¨ ber die Knotenwerte qi und qj beschrieben. Sie l¨ aßt sich damit ausdr¨ ucken als:

q = (1 − ξ) qi + ξ qj =

1−ξ

ξ

⎤

⎡ ⎣

qi

ˆ T ⎦ = (N ) q

(392)

qj

Einsetzen der Beschreibung von q nach voranstehender Gleichung in den q f¨ Ausdruck N uhrt zu: ˆ T q=N (N N ) q ˆ T (N Das Produkt N ) stellt sich mit Hilfe von (375) dar als:

(393)

150

6. Balkenelemente

⎤ 2 3 1 − 3 ξ + 2 ξ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ξ l (1 − ξ)2 ⎥ ⎥ ˆ T ⎢ N (N ) = ⎢ ⎥ 1−ξ ⎢ 3 ξ2 − 2 ξ3 ⎥ ⎥ ⎢ ⎣ 2 ⎦ ξl ξ −ξ ⎡ 2 3 4 ⎢ 1−ξ −3ξ +5ξ −2ξ ⎢ ⎢ l ξ − 3 ξ2 + 3 ξ3 − ξ4 ⎢ =⎢ ⎢ 3 ξ2 − 5 ξ3 + 2 ξ4 ⎢ ⎣ l −ξ 2 + 2 ξ 3 − ξ 4 ⎡

ξ

⎤ ξ − 3 ξ3 + 2 ξ4 l ξ2 − 2 ξ3 + ξ4 3 ξ3 − 2 ξ4 l ξ4 − ξ3

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(394)

ˆ T (N Die Integration ist u ) elementweise vorzunehmen: ¨ ber N

1

=l Q

ˆ T (N N ) q dξ = l

0

1

ˆ T (N q N ) dξ

(395)

0

und f¨ uhrt zu folgendem Ausdruck: ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ l ⎢ = Q ⎢ 20 ⎢ ⎢ ⎣

7 l 3 − 23 l

⎡ ⎤ 3 ⎥ ⎢ 7 qi + 3 qj ⎤ ⎢ ⎥⎡ 2 ⎢ l qi + 2 l qj ⎥ q l i l ⎢ ⎥ 3 3 ⎦= ⎢ ⎥⎣ ⎢ ⎥ 20 7 ⎥ qj ⎢ 3 qi + 7 qj ⎣ ⎦ −l − 32 l qi − l qj

⎤

⎡

⎤ Q i ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ mi ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥=⎢ ⎥ (396) ⎥ ⎢ Q ⎥ ⎥ ⎢ j ⎥ ⎦ ⎣ ⎦ mj

In Bild 6.7 sind die Kr¨ afte und Momente dargestellt, die durch die Streckenlast hervorgerufen werden. Neben den beiden Kr¨aften Qi , Qj entstehen aus der Umrechnung noch die Momente mi , mj . Diese sind vorzeichenorientiert in Bild 6.7 dargestellt. Eine positive Streckenlast ruft am Anfangsknoten i ein positives Moment mi und am Endknoten j ein negatives Moment mj hervor. Damit sind alle Integralausdr¨ ucke aus (384) auf der S. 147 bekannt. Die + F sind in folgenden Gleichungen zu Gr¨ oßen aus der Beziehung K v = Q ﬁnden: K aus (390) auf der S. 149 v aus (376) auf der S. 145 F aus (383) auf der S. 147 aus (396) auf der S. 150 Q

6.1

Das eindimensionale Balkenelement

151

In expliziter Schreibweise ergibt sich damit: ⎡ ⎢ 12 ⎢ EI ⎢ ⎢ 6l ⎢ 3 l ⎢ −12 ⎢ ⎣ 6l

6l

−12

4 l2

−6 l

−6 l

12

2 l2

−6 l

⎤⎡ 6l ⎥⎢ ⎥⎢ ⎢ 2 l2 ⎥ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎢ −6 l ⎥ ⎥⎢ ⎦⎣ 4 l2

⎤ ⎡ vi ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ϕi ⎥ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎢ vj ⎥ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ ϕj

⎤ ⎡ Fi ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ Mi ⎥ ⎥ ⎢ ⎥+⎢ ⎢ Fj ⎥ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ Mj

⎤ Qi ⎥ ⎥ mi ⎥ ⎥ ⎥ Qj ⎥ ⎥ ⎦ mj

(397)

6.1.10 Schnittgr¨ oßen des Balkenelementes

Die Schnittgr¨ oßen ergeben sich aus dem Produkt Einzelsteiﬁgkeitsmatrix × Verformungsvektor des entsprechenden Elementes. Allgemein f¨ ur Element i ausgedr¨ uckt: K i iv = iF

(398)

K i - Steiﬁgkeitsmatrix des Elementes i nach (390) i v - Verformungsvektor des Elementes i i F - Schnittgr¨ oßenvektor des Elementes i Momentenverlauf im Element

Mit Hilfe von (362) und (381) l¨ aßt sich der Momentenverlauf im Element schreiben als:

T v = EI M = EI B

1 −6 + 12 ξ l2

−4 l + 6 lξ

6 − 12 ξ

6 lξ − 2 l

v

(399) sind linear in ξ = x/l. Damit ist auch der Die Funktionen in dem Vektor B Momentenverlauf im Element ein linearer. Bei der Elementformulierung ist zugelassen worden, daß die zweite Ableitung der Verformungen v an den Elementgrenzen unstetig sein darf. Aus (362) folgt, daß die Schnittmomente an den Elementgrenzen unstetig sein k¨ onnen. F¨ ur ξ = 0 und ξ = 1 ergeben sich die Momente f¨ ur den Anfangs- und Endknoten. ˆ i = M (ξ = 0) = EI M −6 −4 l 6 −2 l v 2 l EI ˆ j = M (ξ = 1) = M 6 2 l −6 4 l v 2 l

(400) (401)

152

6. Balkenelemente

Querkraftverlauf im Element

Die Querkraft Q erh¨ alt man aus dem Moment M :

Q=

dM dξ 1 dM dM = = dx dξ dx l dξ

(402)

Diese Beziehung auf (399) angewendet:

Q=

EI 12 l3

6l

−12

6l

v

(403)

Die Funktionen in voranstehender Gleichung sind unabh¨angig von ξ, d.h. die Querkraft ist im Element konstant. Damit k¨onnen die Querkr¨afte an den Elementgrenzen unstetig sein. ˆ j = EI ˆi = Q Q 12 3 l

6l

−12

6l

v

(404)

Vorzeichen der Schnittgr¨ oßen

Faßt man (400), (401) und (404) in Matrixform zusammen, so ergibt sich: ⎡ ⎢ 12 ⎢ EI ⎢ ⎢ −6 l ⎢ l3 ⎢ 12 ⎢ ⎣ 6l

6l

−12

−4 l2

6l

6l

−12

2 l2

−6 l

⎤⎡

⎤

⎡

⎤ ˆ 6 l ⎥ ⎢ vi ⎥ ⎢ Qi ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ˆ ⎥ −2 l2 ⎥ ⎥ ⎢ ϕi ⎥ ⎢ Mi ⎥ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ˆ ⎥ 6l ⎥ ⎥ ⎢ vj ⎥ ⎢ Q j ⎥ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ˆj 4 l2 ϕj M

(405)

Bild 6.8. Vorzeichen der Schnittgr¨ oßen

Im Knoten i ist die Querkraft positiv (s. Bild 6.8), wenn sie in positive yRichtung zeigt. Das Moment ist am Knoten i positiv, wenn es um die negative z-Koordinate dreht. Im Endknoten j ist es genau umgekehrt.

6.2

Beispiel zum eindimensionalen Balken

153

6.2

6.2 Beispiel zum eindimensionalen Balken 6.2.1 Zweiseitig gelagerter Balken mit Streckenlast Problemstellung

In Bild 6.9 ist in der oberen H¨ alfte ein Balken auf zwei St¨ utzen dargestellt. Er ist durch eine Streckenlast q (Lastfall 1) bzw. durch eine Einzelkraft F in der Mitte (Lastfall 2) belastet. Er weist ein Fl¨achentr¨agheitsmoment I und einen E-Modul E auf.

Bild 6.9. Beispiel zum eindimensionalen Balkenelement

Gesucht sind f¨ ur dieses Problem die Durchbiegung des Balkens sowie die Schnittgr¨ oßen im Balken. Einteilung in Elemente

Das Problem ist bez¨ uglich Geometrie, Belastung, Material und Randbedingungen symmetrisch. Deshalb wird in der FE-Rechnung nur eine H¨alfte des Balkens ber¨ ucksichtigt. Sie wird in ein ﬁnites Element eingeteilt. In der unteren H¨ alfte von Bild 6.9 ist diese Einteilung aufgef¨ uhrt. Elementsteiﬁgkeitsmatrix

Es wird die Steiﬁgkeitsmatrix nach (390) benutzt. Dabei ist zu beachten, daß l in (390) durch die halbe L¨ ange des Balkens zu ersetzen ist.

⎡

v1

ϕ1

v2

24

6l

−24

2 l2

−6 l

−6 l

24

l2

−6 l

⎢ EI ⎢ 6l K1 = 4 3 ⎢ l ⎢ ⎢ ⎢ −24 ⎣ 6l

ϕ2

⎤ v1 ⎥ ⎥ l2 ⎥ϕ1 ⎥ ⎥ −6 l ⎥ ⎦v2 6l

2 l2

ϕ2

(406)

154

6. Balkenelemente

Gesamtsteiﬁgkeitsmatrix

Da das Problem nur ein Element aufweist, ist die Gesamtsteiﬁgkeitsmatrix identisch mit der Elementsteiﬁgkeitsmatrix. Wesentliche (geometrische) Randbedingungen

Auﬂager: Das Auﬂager am Knoten 2 wird durch die Randbedingung v2 = 0 wiedergegeben. Symmetrie: Die Verformungen m¨ ussen symmetrisch sein. Die Biegelinie weist bei x = 0 eine horizontale Tangente auf. Daraus ergibt sich die Verdrehung im Knoten 1 zu ϕ1 = 0. Nat¨ urliche Randbedingungen (Belastungen)

Es werden zwei Lastf¨ alle ber¨ ucksichtigt. Lastfall 1 (LF1 ) besteht aus einer konstanten Streckenlast q und Lastfall 2 (LF2 ) aus einer Einzelkraft F in der Mitte des Balkens. Die Streckenlast muß in Knotenlasten nach (396) umgerechnet werden. Die Streckenlast ist konstant, so daß q1 = q2 = q gilt. ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ l ⎢ = Q ⎢ 20 ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤

⎡

⎤ 7 q1 + 3 q2

1

⎢ ⎥ ⎢ l ⎥ l ⎢ ⎥ (3 q1 + 2 q2 ) ⎥ l ⎢ ⎢ 12 ⎥ 3 ⎥=q ⎢ ⎢ 1 ⎥ 4 3 q1 + 7 q2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ l l − (2 q1 + 3 q2 ) − 3 12

⎡ ⎤ ⎥ ⎥ ⎢ Q1 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ m1 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥=⎢ ⎥ ⎥ ⎢ Q ⎥ ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎥ ⎣ ⎦ ⎦ m2

(407)

Verformungen ⎡ 24 ⎢ ⎢ ⎢ EI ⎢ 6 l 4 3 ⎢ l ⎢ −24 ⎢ ⎣ 6l

6l

−24

2 l2

−6 l

−6 l

24

l2

−6 l

⎤⎡ 6l

(1) v1

⎥⎢ ⎥⎢ (1) ⎢ l2 ⎥ ⎥⎢ ϕ1 ⎥⎢ ⎥⎢ (1) −6 l ⎥⎢ v2 ⎦⎣ (1) 2 l2 ϕ2

(2) v1 (2)

ϕ1

(2)

v2

(2)

ϕ2

⎤

⎡ q

l 4

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ l2 ⎥ ⎢ q + RM1(1) ⎥ ⎢ 48 ⎥=⎢ ⎥ ⎢ q l + RF (1) ⎥ ⎢ 2 4 ⎦ ⎢ ⎣ l2 −q 48

⎤

F 2 (2)

R

M1

R

(2)

F2 0

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(408)

Die rechte Seite besteht aus einer Matrix mit zwei Spalten. Diese geben die beiden Lastf¨ alle wieder. Es liegen je Lastfall vier Unbekannte vor, n¨amlich die (i) (i) (i) (i) beiden Verformungen v1 , ϕ2 und die beiden Reaktionsgr¨oßen RM1 , RF2 (i = 1 ∧ 2). Zur Bestimmung der Verformungen werden die Zeilen und Spal-

6.2

Beispiel zum eindimensionalen Balken

155 (i)

ten gestrichen, die die bekannten Verformungen v2 Daraus ergibt sich das nachstehende Untersystem: ⎡ EI ⎣ 12 8 3 l 3l

⎤⎡ 3l l2

⎦⎣

(1)

v1

(1)

ϕ2

ϕ2

⎤

(2)

v1

(2)

⎡

q 4l

⎦=⎣

F 2 2

l −q 48

(i)

= ϕ1 = 0 aufweisen. ⎤ ⎦

(409)

0

alt man die Verformungen: Durch Inversion1 der Koeﬃzientenmatrix erh¨ ⎡ ⎣

(1)

⎤⎡ ⎡ q 4l l2 −3l l ⎦⎣ ⎦= ⎣ 24 EI −3l 12 l2 −q 48 ⎤ ⎡ 5 F 2 2 ql l l 2 ⎦ ⎣ 16 = 24 EI −ql − 3 F ⎤

(2)

v1

v1

(1) ϕ2

(2) ϕ2

F 2

⎤ ⎦

0 (410)

2

Die Verformungen der FEM-L¨ osung entsprechen denen der exakten L¨osung. Schnittgr¨ oßen

Die Beziehung (398) auf das vorliegende Problem angewendet, f¨ uhrt auf:

Lastfall 1:

⎡ 1 ⎤ ⎤⎡ 5 ⎢ 4q l ⎢ l 6l ⎥⎢ 16 ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ 7 2 ⎥⎢ ⎢ ⎥ ql ⎢ ⎢ ⎥ l2 ⎥ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ 48 = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ −1q l −6 l ⎥ ⎥⎢ 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎦⎣ 4 ⎦ ⎢ 2 ⎣ 2l 1 2 −1 − ql 48

⎡ ⎢ 24 ⎢ q⎢ ⎢ 6l ⎢ 6 ⎢ −24 ⎢ ⎣ 6l

6l

−24

2

−6 l

2l

−6 l

24

l2

−6 l

⎤

⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎥ ⎦

⎤

1 (1) F1 (1) M1

1

1 (1) F2 1

(1)

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

M2

(411)

1

Die Inverse einer symmetrischen 2×2-Matrix lautet:

⎡ ⎣

a

b

b

c

⎤ −1 ⎦

⎡ 2

= 1/(ac − b ) ⎣

c

−b

−b

a

⎤ ⎦

156

6. Balkenelemente

Lastfall 2: ⎤⎡ 6l ⎥⎢ ⎥⎢ ⎢ l2 ⎥ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎢ −6 l ⎥ ⎥⎢ ⎦⎢ ⎣ 2 2l

⎡ ⎢ 24 ⎢ F ⎢ ⎢ 6l ⎢ 4 l ⎢ −24 ⎢ ⎣ 6l

6l

−24

2

−6 l

2l

−6 l

24

l2

−6 l

⎡ ⎤ 1 l ⎢ 2F ⎢ 3 ⎥ ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢ ⎢ Fl 0 ⎥ ⎥=⎢ 4 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ −1F ⎦ ⎢ 2 ⎣ −1 0

⎤

⎡ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎥ ⎦

1 (2) F1 (2) M1

1

1 (2) F2 1

(2)

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

M2

(412)

Fehlerbetrachtung bei den Schnittgr¨ oßen

In Tab. 6.1 sind die bezogenen Schnittgr¨ oßen aus der Rechnung denen der ¯ (1) = M (1) /(q l2 ); ¯ (1) = Q(1) /(q l); M exakten L¨ osung gegen¨ ubergestellt: Q (2) (2) (2) (2) ¯ = M /(F l). ¯ = Q /F ; M Q Tabelle 6.1. Vergleich der Schnittgr¨ oßen

Lastfall 11 ¯ (1)

Q FEM exakt Fehler

(x = 1 4 1 2

50 %

l ) 2

Lastfall 2

¯ (1)

M

(x = 0)

7 − 48

¯ (2)

Q

(x = 2l )

¯ (2) (x = 0) M

− 18

1 2 1 2

− 14

16, 7 %

0%

0%

− 14

W¨ ahrend die Schnittgr¨ oßen aus Lastfall 2 keinen Fehler aufweisen, treten bei Lastfall 1 Abweichungen zu der exakten L¨ osung auf, die folgender Art sind: Momente ¯ (1) = −1/8 tritt in der Mitte des Balkens Das maximale Moment von M auf. Die FE-Rechnung weist an dieser Stelle ein Moment von 1 ¯ (1) M1 = −7/48 auf, also einen Fehler von ca. 16,7 %. Am Auﬂager muß ¯ (1) = −1/48 auf. das Moment Null sein. Hier tritt ein FE-Ergebnis von 1M 2 Bei der exakten L¨ osung hat der Momentenverlauf die Form einer Parabel. Die Momente im Inneren eines Elementes haben nach (399) einen linearen Verlauf. Querkr¨ afte Die exakte Querkraftverteilung stellt sich als Linearverteilung dar, die 1

¯ (1) = x/l ; M ¯ (1) = 1/2[(x/l)2 − 1/4] Q exakt exakt

6.2

Beispiel zum eindimensionalen Balken

157

einen Nulldurchgang in der Mitte des Balkens aufweist und einen Maxi¯ (1) = 1/2 hat. Aus der FE-Rechnung ergibt sich ein Wert malwert von Q 1 (1) von F1 = 1/4. Daraus resultiert eine Abweichung von 50 %. Das Ergebnis kann durch eine Erh¨ ohung der Elementanzahl verbessert werden. 6.2.2 Konvergenztest beim zweiknotigen Balkenelement

F¨ ur das in Bild 6.10 angef¨ uhrte Beispiel wird bez¨ uglich der Querkraft Q und des Momentes M ein Konvergenztest durchgef¨ uhrt. Es dienen dazu drei Rechnungen mit 3, 6 und 12 ¨ aquidistanten Elementen. Die Querkraft Q1 und das Moment M 2 werden an der Stelle des rechten Auﬂagers ausgewertet.

Bild 6.10. Balken mit Streckenlast

Fehler in den Schnittgr¨ oßen

Die exakten L¨ osungen des Momenten- und Querkraftverlaufes werden durch folgende Beziehungen beschrieben (ξ = x/l): ¯ = M = M q l2 ¯= Q = Q ql

1 2 1 2

ξ2 −

1 4

f¨ ur 0 ≤ ξ ≤

ξ

2 3

ξ 2 − ξ + 12 f¨ ur 23 ≤ ξ ≤ 1 ur 0 ≤ ξ ≤ 23 ξ − 14 f¨ ξ−1

f¨ ur

2 3

≤ξ≤1

(413)

W¨ ahrend der exakte Momentenverlauf quadratischer Natur ist, verl¨auft er im Element linear (399). Der exakte Querkraftverlauf ist linear mit einer Unstetigkeit bei ξ = 2/3. Im Element ist die Querkraft konstant (404). Daraus ergibt sich, daß im vorliegenden Fall die FE-Methode nur n¨aherungsweise die exakten Schnittgr¨ oßen beschreiben kann. Die Tab. 6.2 enth¨alt die Schnittgr¨ oßen und ihre Fehler. Das Moment und die Querkraft werden an der Stelle ξ = 2/3 ausgewertet, wobei f¨ ur die Querkraft der rechtsseitige Wert betrachtet wird. In der linken H¨ alfte von Bild 6.11 ist der exakte Momentenverlauf und der ¯ bei drei Elementen dargestellt. Die FE-L¨ osung n¨ahert die Parabeln f¨ ur M nach (413) durch einen Polygonzug an. Deutlich ist der Fehler an den beiden Enden des Balkens zu erkennen. In der rechten Bildh¨alfte ist der Querkraft1

Die Querkraft ist am Elementanfang vorzeichenrichtig. Das Moment ist am Elementende vorzeichenrichtig. 3 ¯ FEM − Q ¯ exakt )/Q ¯ exakt · 100 ; EM = (M ¯ FEM − M ¯ exakt )/M ¯ exakt · 100 E Q = (Q 2

158

6. Balkenelemente

Tabelle 6.2. Ergebnisse des Konvergenztestes Anz. Elem.

3

6

12

24

48

96

exakt

¯ Q ¯ M

− 16

− 14

7 − 24

5 − 16

− 31 96

− 21 64

− 13

50 %

25 % 4, 1¯ 6%

EQ ¯

3

3 EM ¯

5 108

16, 67 %

23 432

95 1728

383 6912

1535 27648

6143 110592

1 18

12, 5 %

6, 25 %

3, 13 %

1, 56 %

−

1, 04 %

0, 26 %

0, 07 %

0, 02 %

−

¯ angef¨ ¯ aus (413) durch einen verlauf Q uhrt. Die FE-L¨ osung approximiert Q treppenf¨ ormigen Verlauf an, da die Querkraft im Element konstant ist. Mit steigender Elementanzahl beschreibt diese Treppenform immer besser die Geraden der exakten L¨ osung.

Bild 6.11. Vergleich der exakten Momente und Querkr¨ afte mit der FE-L¨ osung

Fehlerbetrachtung bei den Schnittgr¨ oßen

Die Schnittgr¨ oßen aus der FE-Rechnung nach Tab. 6.2 lassen sich wie folgt u ucken: ¨ ber die Elementanzahl n ausdr¨ ¯ = 1 − 1 M 18 12 n2 ¯ = −1 + 1 Q 3 2n

(414) (415)

¯ und Q ¯ die exakten L¨osungen. Eine FehlerbeF¨ ur n → ∞ erh¨ alt man f¨ ur M ¯ ¯ trachtung f¨ ur M und Q f¨ uhrt auf: ¯ F EM ¯ ex − M M 100 = 150 n−2 % ¯ Mex ¯ F EM ¯ ex − Q Q 100 = 150 n−1 % EQ¯ = ¯ Qex

EM¯ =

(416)

6.2

Beispiel zum eindimensionalen Balken

159

Betrachtet man den Fehler mit Hilfe der Beziehung nach (142) C ∗ n−p und legt durch die Punkte nach Tab. 6.2 in einem doppelt logarithmischen System eine Ausgleichsgerade, so erh¨ alt man die L¨osungen aus (416). Es tritt ¯ mit p = 1 eine lineare und mit p = 2 f¨ ¯ eine quadratische damit f¨ ur Q ur M Konvergenz auf.

Bild 6.12. Querkraft- und Momen-

tenfehler an der Stelle x = 2/3 l. Es wird die Querkraft rechtsseitig von x = 2/3 l betrachtet

In Bild 6.12 sind die Beziehungen aus (416) dargestellt. Bedingt durch die ¯ eine schnellere Abnahme des Fehlers als h¨ohere Konvergenzordnung, zeigt M ¯ ¯ Q. Soll der Fehler bei Q z.B. einen Wert von 1 % annehmen, so ergibt sich aus (416), daß dazu die Anzahl Elemente auf n = 150 erh¨oht werden muß. 6.2.3 Realisierung des Gelenkes u ¨ber eine Zwangsbedingung

In Bild 6.13 sind zwei Balken an ihren Enden fest eingespannt und in der Mitte gelenkig miteinander verbunden. An dieser Stelle kann kein Moment u ¨ bertragen werden. Das Problem soll mit Hilfe einer Zwangsbedingung gel¨ost werden.

Bild 6.13. Ein zweiseitig eingespannter Balken mit Gelenk und sein Ersatzmodell

Dazu wird die Balkenstruktur in der rechten Bildh¨alfte in zwei getrennte Strukturen aufgeteilt, die aus den Elementen 1 und 2 besteht. Die Knoten 2 und 3 werden nun durch eine Zwangsbedingung der Form v3 − v2 = 0 miteinander verbunden. Diese Zwangsbedingung l¨aßt sich mit Hilfe von (134) auf der S. 56 schreiben als:

160

6. Balkenelemente

⎡

0

1

0

⎤ ϕ 2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ v3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ =0 = Cu −1 ⎢ ⎢ ϕ ⎥ ⎢ 3 ⎥ ⎣ ⎦ v2

Ca

⎤

⎡ ⎣

uu

⎦

(417)

ua

Die Reihenfolge der Unbekannten in (417) ist so ge¨andert worden, daß die abh¨ angige Gr¨ oße v2 am Ende des Vektors auftritt. Die Gesamtsteiﬁgkeitsmatrix lautet nach dem Einbringen der Randbedingungen und der genannten ¨ Anderung der Reihenfolge der Unbekannten:

⎡ Kg =

ϕ2

v3

ϕ3

4 l2

0

0

4

2l

2l

4 2 3 l

0

0

⎢ EI ⎢ ⎢ 0 l3 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎣

−6 l

v2

⎤ −6 l ϕ2 ⎥ ⎥ 0 ⎥v3 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎦ϕ3 12

(418)

v2

Die Transformationsmatrix T nach (135) auf der S. 56 ergibt sich mit n − r = 4 − 1 = 3 zu: ⎡

−1 −C −1 a C u = −(−1)

0

1

0

=

0

1

⎢ 1 ⎢ ⎢ 0 ⎢ 0 ⇒T =⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0

0 1 0 1

⎤ 0 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ 1 ⎥ ⎥ ⎦ 0 (419)

ˆ und Fˆ : Nach (136) erh¨ alt man f¨ ur K

6.3

¨ Ubungsbeispiele zum Bernoulli-Balken

⎡

⎤

⎡ 1 ⎢ ˆ =⎢ K ⎢ 0 ⎣ 0

0

0

1

0

0

1

⎡

4 l2 ⎢ EI ⎢ = 3 ⎢ −6 l l ⎣ 0 ⎡ 1

⎢ ⎢ Fˆ = T T F = ⎢ 0 ⎣ 0

2 0 0 ⎢ 4l 0 ⎢ ⎥ EI ⎢ 0 4 2l ⎢ ⎥ 1 ⎥ 3 ⎢ ⎦ l ⎢ 0 2 l 43 l2 ⎢ ⎣ 0 −6 l 0 0 ⎤ −6 l 0 ⎥ ⎥ 16 2l ⎥ ⎦ 4 2 2l l 3 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 0 ⎢ ⎥ 0 0 0 0 ⎢ ⎥ ⎥⎢ F ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ F 1 0 1 ⎥⎢ ⎦⎢ 0 ⎥ ⎣ ⎢ ⎥ ⎦ 0 1 0 ⎣ 0 0

161

⎤⎡ −6 l ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎢ 0 ⎥ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎢ 0 ⎥ ⎥⎢ ⎦⎣ 12

1

0

0

1

0

0

0

1

⎤ 0 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ 1 ⎥ ⎥ ⎦ 0

(420)

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(421)

ˆ uu = Fˆ erh¨ Mit K alt man die Verformung: ⎡

⎤ ϕ2

⎢ ⎢ uu = ⎢ v3 ⎣ ϕ3

⎥ 1 F l2 ⎥ ⎥= ⎦ 8 EI

⎡

⎤ 3

⎢ ⎢ ⎢ 2l ⎣ −3

⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(422)

¨ 6.3 Ubungsbeispiele zum Bernoulli-Balken Balkenbeispiel I

Das Beispiel in Bild 6.9 auf der S. 153 weist f¨ ur den Lastfall 1, in dem die Belastung aus einer konstanten Streckenlast besteht, Fehler in den Schnittgr¨ oßen auf. Es soll durch eine Erh¨ ohung der Elementanzahl auf zwei bzw. drei Elemente die Genauigkeit der Schnittgr¨ oßen verbessert werden. Hierf¨ ur sind die Steiﬁgkeitsmatrizen, die Gesamtsteiﬁgkeitsmatrizen und daraus die Verformungen zu berechnen. Dabei m¨ ussen die Streckenlasten in Kr¨afte und Momente umgerechnet werden. Aus den Verformungen sind die Schnittgr¨ oßen zu berechnen. Diese sind graﬁsch auszuwerten und mit den exakten Verl¨ aufen zu vergleichen. F¨ ur die Mitte des Balkens bzw. das rechte

6.3

6.1

162

6. Balkenelemente

Ende sind die Momente bzw. Querkr¨ afte der FE-L¨osung mit den exakten L¨ osungen zu vergleichen.

6.2

Balkenbeispiel II

Gegeben ist der in Bild 6.14 dargestellte Balken. F¨ ur diesen Balken sind die Verformungen und die Auﬂagerreaktionen zu berechnen, wobei die in Bild 6.14 angef¨ uhrte Elementknotenzuordnung zu verwenden ist. Die L¨ange des Balkens, sein Fl¨ achentr¨ agheitsmoment und der E-Modul werden jeweils zu 1 angenommen. Er ist auf der linken Seite fest eingespannt und hat auf der rechten Seite ein Auﬂager. Die Belastung besteht aus einem Moment, das am Ende des Balkens angreift.

Bild 6.14. Geometrie und Belastung des

Balkens

6.3

Balkenbeispiel III

Die Nachbildung eines Gelenkes ist mit dem bisherigen Balkenelement nicht m¨ oglich. An der Stelle des Gelenkes kann kein Moment u ¨bertragen werden, und es muß an dieser Stelle die zweite Ableitung v der Durchbiegung verschwinden. Es soll die Steiﬁgkeitsmatrix eines Balkenelementes hergeleitet werden, die am Anfangsknoten i des Elementes ein Gelenk realisieren kann. Als Ansatzfunktion dient folgendes Polynom: v = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3

(423)

Zur L¨ osung sind folgende Arbeitsschritte notwendig: unter Beachtung von v (x = 0) = 0 Erstellen der Formfunktionen N Bilden des Dehnungs-Verformungs-Vektors - l B =T N Erstellen der Steiﬁgkeitsmatrix K = EI 0 B B dx Mit der hergeleiteten Steiﬁgkeitsmatrix soll das Beispiel in Bild 6.15 gel¨ost werden. Es zeigt einen zweiseitig fest eingespannten Balken, der in der Mitte ein Gelenk aufweist, das durch eine Kraft F = −1 belastet wird. Der Balken 1 hat eine Biegesteiﬁgkeit EI = 1 und der Balken 2 von EI = 1/3. Gesucht ist die Durchbiegung des Balkens. Diese ist graﬁsch auszuwerten.

6.3

¨ Ubungsbeispiele zum Bernoulli-Balken

163

Bild 6.15. Zweiseitig eingespannter Balken mit einem Gelenk

Balkenbeispiel IV

In Bild 6.16 ist eine Balkenstruktur dargestellt. Alle Balken haben die L¨ange l, das Fl¨ achentr¨ agheitsmoment I und einen E-Modul E. Die Belastung betr¨agt F . Gesucht ist die Durchbiegung sowie die Verdrehung an der Stelle x = l/2.

6.4

Bild 6.16. Eindimensionaler Balken

Balkenbeispiel V

Das Gelenk des Problemes in Bild 6.13 auf der S. 159 soll durch ein starres Stabelement abgebildet werden, das die Knoten 2 und 3 verbindet. Die Balkensteiﬁgkeit von Element 1 betr¨ agt EI und von Element 2 EI/3. F¨ ur die unterschiedlichen Steiﬁgkeiten des Stabelementes ist nach (126) auf der S. 54 die erforderliche Rechengenauigkeit zu ermitteln. Balkenbeispiel VI

In Bild 6.17 ist ein eindimensionaler Balken dargestellt, der durch eine Feder gest¨ utzt wird. Das Lager der Feder wird um v¯ in y-Richtung verschoben. Die Feder ist u ¨ ber ein eindimensionales Stabelement abzubilden. Zur Vereinfachung des Problemes wird angenommen, daß die Steiﬁgkeit der Feder kf der des Balkens E I/l3 entspricht, d.h. es gilt: kf = E I/l3 . Zu ermitteln sind die Verformungen des Systems sowie die vertikale Auﬂagerkraft im Lager A.

6.5

6.6

Bild 6.17. Eindimensionale Balkenstruktur, die durch eine Feder gest¨ utzt wird

Beispiel mit FEM GEN, FEM CAS und InterFEM

In Bild 6.18 ist ein eindimensionaler Balken dargestellt. Die Verformungen,

L

164

6. Balkenelemente

Schnittgr¨ oßen und Auﬂagerreaktionen sollen mit Hilfe von “ FEM CAS“ und “ InterFEM“ berechnet werden. Dazu ist das Problem mit “ FEM GEN“ aufzubereiten. Die Struktur ist in drei dreiknotige Balkenelemente einzuteilen. F¨ ur die numerische Rechnung ist mit L = 1000, I = 105 , F = 105 , M = 107 , qi = 500, qk = 1200 und E = 210000 zu arbeiten.

Bild 6.18. Eindimensionaler Balken mit ver-

schiedenen Belastungsformen

6.4

i

6.4 Balkenelement mit n Knoten und p Freiheitsgraden pro Knoten Mit Hilfe der Computeralgebra1 soll ein eindimensionales Balkenelement betrachtet werden, das n Knoten und p Freiheitsgrade pro Knoten aufweist. Es werden die dazu zuvor hergeleiteten Beziehungen f¨ ur das zweiknotige Balkenelement verallgemeinert, so daß sie programmtechnisch verarbeitet werden k¨ onnen. Die einzelnen Ableitungsschritte laufen analog zum Stabproblem ab. Ansatzfunktion

Als Ansatzfunktion f¨ ur die Durchbiegung v wird in Erweiterung von (371) ein vollst¨ andiges Polynom (m − 1)-ten Grades (m = p × n) gew¨ahlt (ξ = x/l): v = a0 + a1 ξ + a2 ξ 2 + . . . + am−1 ξ m−1

(424)

m ist die Anzahl der Freiheitsgrade des Elementes. Mit Hilfe der Vektoren: xT =

1

ξ

ξ2

...

ξ m−1

; aT =

a0

a1

a2

...

am−1

(425)

l¨ aßt sich die Ansatzfunktion schreiben als: v = xT a = aT x

1

Die einzelnen Ableitungsschritte sind im “Balken 1D“ realisiert (s. Kap. 12.2.6 auf S. 371).

(426)

Computeralgebraprogramm

6.4

Balkenelement mit n Knoten und p Freiheitsgraden pro Knoten

165

Interpolationsbedingungen

Analog zu (372) und (373) werden die Ansatzkoeﬃzienten mittels Interpolationsbedingungen durch die Knotengr¨ oßen ausgedr¨ uckt: i−1 = vi v= ξ= n−1 i−1 = ϕi v = ξ = n−1 i−1 = κi v = ξ = n−1 .. . i−1 (m) (m) = vi = ξ= v n−1

(427)

Die Interpolationsbedingungen (427) und damit die Anzahl der Freiheitsgrade pro Knoten machen nur f¨ ur p ≤ 3 Sinn. Daher werden nachfolgend h¨ohere ummung am Ableitungen weggelassen. Der Freiheitsgrad κi stellt sich als Kr¨ Knoten i dar1 . Einsetzen von (427) in (424):

a 0 + a1

i−1 + a2 n−1

i−1 n−1

2

+ . . . + am−1

i−1 a1 + 2 a2 + . . . + (m − 1)am−1 n−1 2 a2 + . . . + (m − 1)(m − 2)am−1

i−1 n−1 i−1 n−1 i−1 n−1

m−1 = vi m−2 = ϕi m−3 = κi

(428)

Mit Hilfe des Vektors a kann man schreiben:

1

Die Kr¨ ummung lautet: κ = v /(1 + (v )2 )3/2 . Unter der Voraussetzung v = ϕ << 1 kann die Kr¨ ummung vereinfacht als κ = v geschrieben werden.

166

6. Balkenelemente

⎡ ⎡ ⎢ 1 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0

i−1 n−1

"

i−1 n−1

#2

"

···

i−1 n−1

#m−1

"

1

i−1 2 n−1

···

(m − 1)

0

2

···

(m − 1)(m − 2)

i−1 n−1

"

#m−2 i−1 n−1

#m−3

⎤⎢ ⎢ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎦⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ a0 a1 a2 .. .

⎥ ⎡ ⎤ ⎥ ⎥ v i ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ϕ ⎥ ⎥ ⎣ i ⎥ ⎦ ⎥ ⎥ κi ⎥ ⎦

am−1 (429) Gleichung (429) f¨ ur alle Knoten des Elementes i = 1, . . . , n angesetzt: ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ 1

0

0

...

0

0

1

0

···

0

0

0

1

1 n−1

0

1

1 2 n−1

···

(m − 1)

0 .. .

0 .. .

2 .. .

··· .. .

(m − 1)(m − 2) .. .

1

1

1

···

1

0

1

2

···

(m − 1)

0

0

2

···

"

2 1 n−1

#2

···

"

···

0 #m−1

1 n−1

"

1 n−1

"

#m−2 1 n−1

(m − 1)(m − 2)

#m−3

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ a0 ⎥⎢ ⎥⎢ a 1 ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ a2 ⎥⎢ ⎥⎢ .. ⎥⎢ . ⎥⎣ ⎥ ⎥ a ⎥ m−1 ⎥ ⎥ ⎥ a ⎥ ⎥ ⎦

⎡

⎤ v 1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ϕ1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎤ ⎢ κ1 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ v ⎥ ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ϕ2 ⎥ ⎥ ⎥=⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ κ2 ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ . ⎥ ⎦ ⎢ .. ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ vn ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ϕ ⎥ ⎢ n ⎥ ⎣ ⎦ κn

A

v

(430) Durch Inversion von A gewinnt man aus (430) die Koeﬃzienten a: a = A−1v

(431)

Formfunktionen

Die Formfunktionen lassen sich durch Einsetzen von (431) in (426) bestimmen:

6.4

Balkenelement mit n Knoten und p Freiheitsgraden pro Knoten

T v v = xT a = xT A−1v = N

167

(432)

Dehnungs-Verschiebungs-Beziehung

Analog zu (381) m¨ ussen die zweiten Ableitungen gebildet werden. Aus (432) ergibt sich: )T v = B T v v = (x ) A−1v = (N T

(433)

Steiﬁgkeitsmatrix

Aus (384) ergibt sich die Vorschrift zur Bildung der Steiﬁgkeitsmatrix:

1

B T dξ EI B

K =l

(434)

0

Streckenlast

Die Streckenlast wird nach (395) in Knotengr¨ oßen umgerechnet: =l Q

1

ˆ T N q N( ) dξ

(435)

0

ˆ Der Vektor N beschreibt die Verteilung der Streckenlast im Element. F¨ ur ein n-knotiges Element wird die Formfunktion (318) des eindimensionalen, n-knotigen Stabelementes verwendet. Schnittgr¨ oßen

Die Schnittgr¨ oßen lassen sich nach (399) berechnen: T v M = EI B

(436)

T dM dξ 1 dM EI dB dM = = = v Q= dx dξ dx l dξ l dξ

(437)

6.4.1 Das eindimensionale Balkenelement mit drei Knoten Ansatzfunktion

Die Ansatzfunktion hierf¨ ur lautet nach (424): v = a0 + a1 ξ + a2 ξ 2 + a3 ξ 3 + a4 ξ 4 + a5 ξ 5 = xT a

(438)

168

6. Balkenelemente

Bild 6.19. Das dreiknotige Balkenele-

ment mit zwei Freiheitsgraden pro Knoten und einer m¨ oglichen Streckenlast

Formfunktionen

Mit Hilfe der Interpolationsbedingungen (430) werden die Formfunktionen gewonnen: ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ =⎢ N ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

1 − 23 ξ 2 + 66 ξ 3 − 68 ξ 4 + 24 ξ 5 ξ l 1 − 6 ξ + 13 ξ 2 − 12 ξ 3 + 4 ξ 4 ξ 2 16 − 32 ξ + 16 ξ 2 ξ 2 l −8 + 32 ξ − 40 ξ 2 + 16 ξ 3 ξ 2 7 − 34 ξ + 52 ξ 2 − 24 ξ 3 ξ 2 l −1 + 5 ξ − 8 ξ 2 + 4 ξ 3

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = x T A−1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(439)

Bild 6.20. Formfunktionen des dreiknotigen Balkenelementes mit zwei Freiheitsgraden pro

Knoten

Das Bild 6.20 zeigt in der linken Bildh¨ alfte die Formfunktionen N1 , N3 und N5 des dreiknotigen Balkenelementes. Sie sind den Freiheitsgraden v1 , v2 und v3 zugeordnet. Diese Formfunktionen Ni nehmen den Wert 1 am Knoten i an und verschwinden an allen anderen Knoten. In der rechten Bildh¨alfte sind die

6.4

Balkenelement mit n Knoten und p Freiheitsgraden pro Knoten

169

Formfunktionen N2 , N4 und N6 der Freiheitsgrade ϕ1 , ϕ2 und ϕ3 dargestellt. Sie zeichnen sich dadurch aus, daß die Tangente an die Formfunktion Ni im auft, w¨ ahrend sie in den anderen Knoten Null ist. Knoten i unter 45◦ verl¨ Steiﬁgkeitsmatrix

Die Steiﬁgkeitsmatrix hat folgendes Aussehen:

⎡

v1

ϕ1

v2

ϕ2

v3

2546

569 l

−1792

960 l

−754

166 l2

−448 l

160 l2

−121 l

−448 l

3584

0

−1792

⎢ ⎢ ⎢ 569 l ⎢ ⎢ 2 EI ⎢ −1792 ⎢ K= 35 l3 ⎢ ⎢ 960 l ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ −754 ⎣ 121 l

160 l

2

2

ϕ3

−960 l

0

640 l

−121 l

−1792

−960 l

2546

19 l2

448 l

160 l2

−569 l

⎤ v1 ⎥ ⎥ 19 l2 ⎥ ⎥ϕ1 ⎥ 448 l ⎥ ⎥v2 ⎥ 160 l2 ⎥ ⎥ϕ2 ⎥ ⎥ −569 l ⎥v3 ⎦ 2 166 l ϕ3 121 l

(440)

Streckenlast

Die Streckenlast (s. Bild 6.19) wird mit Hilfe der Formfunktion des dreiknotigen Stabelementes (322) erfaßt: ⎡ q=

⎤ qi

1−3ξ +2ξ

2

4 ξ(1 − ξ)

⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ q ⎥ ξ(−1 + 2 ξ) ⎣ j ⎦ qk

(441)

Es kann damit eine quadratische Verteilung der Streckenlast beschrieben werden. Nach (435) ergeben sich daraus folgende Kr¨afte und Momente ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ Qi

⎡ 57

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 3l ⎥ Mi ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ Qj ⎥ l ⎢ ⎢ 16 ⎢ ⎥= ⎢ −8 l ⎥ 420 Mj ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ −3 Qk ⎥ ⎣ ⎦ Mk 0

44 4l 192 0 44 −4 l

−3

⎤

⎥ ⎥ ⎡ ⎤ 0 ⎥ ⎥ ⎥ qi ⎢ ⎥ 16 ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎥ ⎢ qj ⎥ ⎥ ⎣ ⎦ 8l ⎥ ⎥ qk ⎥ 57 ⎥ ⎦ −3 l

(442)

170

6. Balkenelemente

Die Kr¨ afte Qi , Qj , Qk sind den Verschiebungen vi , vj , vk zugeordnet. Die Momente Mi , Mj , Mk den Verdrehungen ϕi , ϕj , ϕk . Schnittgr¨ oßen

Nach (436) erh¨ alt man die Momentenverteilung im Element:

M (ξ)

l2 = vi 2EI

ϕi

vj

ϕj

vk

⎡ −23 + 198 ξ − 408 ξ 2 + 240 ξ 3 ⎢ ⎢ ⎢ l −6 + 39 ξ − 72 ξ 2 + 40 ξ 3 ⎢ ⎢ ⎢ 16 − 96 ξ + 96 ξ 2 ϕk ⎢ ⎢ ⎢ l −8 + 96 ξ − 240 ξ 2 + 160 ξ 3 ⎢ ⎢ ⎢ 7 − 102 ξ + 312 ξ 2 − 240 ξ 3 ⎣ l −1 + 15 ξ − 48 ξ 2 + 40ξ 3

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(443) Aus (437) gewinnt man die Querkraftverteilung im Element:

Q(ξ)

l3 = vi 6EI

ϕi

vj

ϕj

vk

⎡ 66 − 272 ξ + 240 ξ 2 ⎢ ⎢ ⎢ l 13 − 48 ξ + 40 ξ 2 ⎢ ⎢ ⎢ (−32 + 64 ξ) ϕk ⎢ ⎢ ⎢ l 32 − 160 ξ + 160 ξ 2 ⎢ ⎢ ⎢ −34 + 208 ξ − 240 ξ 2 ⎣ l 5 − 32 ξ + 40 ξ 2

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ (444) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Setzt man (443) und (444) f¨ ur ξ = 0, ξ = 1/2 und ξ = 1 an und faßt diese Beziehungen in Matrixform zusammen, so erh¨alt man die Schnittgr¨oßen an den Knoten i, j und k:

6.5

Das eindimensionale Balkenelement mit drei Freiheitsgraden pro Knoten

⎡ 396

⎢ ⎢ ⎢ −46 l ⎢ ⎢ EI ⎢ ⎢ −60 ⎢ l3 ⎢ 8 l ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 204 ⎣ 14 l

−192

192 l

23 l

−16 l

−6 l

0

−48 l

60

l2

−16 l

0

8l

30 l

192

192 l

−396

2 l2

32 l

16 l2

−46 l

78 l −12 l

2

2

−204 14 l

⎤⎡ 30 l

⎥⎢ ⎥⎢ ⎢ −2 l ⎥ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎢ −6 l ⎥ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎢ −l2 ⎥ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ 78 l ⎥ ⎢ ⎦⎣ 12 l2 2

⎤ vi

171

⎡

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ϕi ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ vj ⎥ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎢ ϕj ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ vk ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ ϕk

⎤ Qi

⎥ ⎥ Mi ⎥ ⎥ ⎥ Qj ⎥ ⎥ ⎥ Mj ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ Qk ⎥ ⎦ Mk (445)

6.5

6.5 Das eindimensionale Balkenelement mit drei Freiheitsgraden pro Knoten Das Bild 6.21 zeigt das zweiknotige Balkenelement mit den Freiheitsgraden v, ϕ und κ je Knoten sowie eine linear verteilte Streckenlast. Es werden nachfolgend die Steiﬁgkeitsmatrix und andere Gr¨ oßen dieses Elementes betrachtet.

Bild 6.21. Das zweiknotige Balkenelement mit drei Freiheitsgraden pro Knoten und einer m¨ oglichen Streckenlast

Ansatzfunktion

Ausgehend von (424) wird die Ansatzfunktion formuliert: v = a0 + a1 ξ + a2 ξ 2 + a3 ξ 3 + a4 ξ 4 + a5 ξ 5 = xT a

(446)

Formfunktion

¨ Uber die Interpolationsbedingungen nach (430) gewinnt man die Formfunktion des Elementes:

172

6. Balkenelemente

⎡

v=

vi

κi

ϕi

vj

ϕj

1 − 10 ξ 3 + 15 ξ 4 − 6 ξ 5 ξ l 1 − 6 ξ2 + 8 ξ3 − 3 ξ4

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ (l ξ)2 1 − 3 ξ + 3 ξ2 − ξ3 ⎢ ⎢ 2 κj ⎢ ⎢ ⎢ ξ 3 10 − 15 ξ + 6 ξ 2 ⎢ ⎢ ⎢ ξ 3 l −4 + 7 ξ − 3 ξ 2 ⎢ ⎢ ⎣ l2ξ 3 1 − 2 ξ + ξ2 2

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ (447) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Die Formfunktionen sind in Bild 6.22 abgebildet. Die Funktionen N1 und N4 sind den Durchbiegungen vi und vj zugeordnet. Die Funktionen N2 und N5 den Verdrehungen ϕi und ϕj . In der rechten Bildh¨alfte sind die Formfunkummungen κi und κj angef¨ uhrt. tionen N3 und N6 der beiden Kr¨ Steiﬁgkeitsmatrix

Die Steiﬁgkeitsmatrix ist eine (6 × 6)-Matrix:

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ EI ⎢ ⎢ ⎢ K= 35 l3 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

v1

κ1

ϕ1

2

v2

ϕ2

κ2

−600

300 l

−15 l2

600

300 l

15 l

300 l

192 l2

11 l3

−300 l

108 l2

15 l2

11 l3

3 l4

−15 l2

4 l3

600

−300 l

2

−600

−300 l

−15 l

300 l

108 l2

4 l3

−300 l

192 l2

−15 l2

−4 l3

1 4 l 2

15 l2

−11 l3

⎤

v1 ⎥ ⎥ −4 l3 ⎥ϕ1 ⎥ ⎥ 1 4 ⎥ l 2 ⎥ κ1 ⎥ 15 l2 ⎥ ⎥v2 ⎥ ⎥ −11 l3 ⎥ϕ2 ⎦ 3 l4

(448)

κ2

Streckenlast

Die Streckenlast wird im Element als linear verteilt angenommen und kann damit wie folgt beschrieben werden: q(ξ) =

1−ξ

ξ

⎤

⎡ ⎣

qi

⎦

qj

Nach (435) erh¨ alt man damit folgendes Ergebnis:

(449)

6.5

Das eindimensionale Balkenelement mit drei Freiheitsgraden pro Knoten

173

Bild 6.22. Die Formfunktionen des zweiknotigen Balkenelementes mit drei Freiheitsgraden

pro Knoten

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ l ⎢ = Q ⎢ 840 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ 300 52 l 4 l2 120 −32 l 3 l2

120

⎥ ⎥ 32 l ⎥ ⎥⎡ ⎤ ⎥ 2 ⎥ 3 l ⎥ qi ⎦ ⎥⎣ ⎥ 300 ⎥ qj ⎥ ⎥ −52 l ⎥ ⎦ 4 l2

(450)

Schnittgr¨ oßen

Mit (436) und (437) lassen sich die Schnittgr¨ oßen im Element berechnen. Aus den Bedingungen: Mi = M (ξ = 0); Mj = M (ξ = 1) sowie Qi = Q(ξ = 0); Qj = Q(ξ = 1) gewinnt man vier Gleichungen, die sich in Matrizenform schreiben lassen: ⎡ ⎤ vi ⎥ ⎡ ⎡ ⎤⎢ ⎤ ⎢ ⎥ 2 2 ⎢ ϕi ⎥ Q −60 −36 l −9 l 60 −24 l 3 l i ⎥ ⎢ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥⎢ ⎥ 3 ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 l 0 0 0 ⎥ ⎢ κi ⎥ ⎢ Mi ⎥ EI ⎢ 0 ⎥ ⎥=⎢ ⎢ ⎥⎢ ⎥ (451) l3 ⎢ −60 −24 l −3 l2 60 −36 l 9 l2 ⎥ ⎢ v ⎥ ⎢ Q ⎥ ⎢ ⎥⎢ j ⎥ ⎢ j ⎥ ⎥ ⎣ ⎣ ⎦⎢ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ϕj ⎥ 0 0 0 0 0 l3 Mj ⎣ ⎦ κj

174

6. Balkenelemente

Qi , Mi , Qj und Mj sind die vorzeichenrichtigen Schnittgr¨oßen am Elementanfang und Elementende. 6.5.1 Balken mit unstetiger Kr¨ ummungsverteilung

Durch die Einf¨ uhrung der Kr¨ ummung κ als dritten Freiheitsgrad des Knotens, wird eine stetige Kr¨ ummungsverteilung im Balken beschrieben. Dies kann aber bei praktischen Balkenproblemen zu Problemen f¨ uhren. Tritt z. B. in einem eindimensionalen Balken ein Absatz auf, so zeigt die Balkensteiﬁgkeit EI an dieser Stelle eine Unstetigkeit.

Bild 6.23. Der Fehler beim zweiknotigen Element mit drei Freiheitsgraden pro Knoten bei

einem Balken mit Absatz

In dem Bild 6.23 ist ein solches Beispiel angef¨ uhrt. Der Absatz tritt bei x = l auf. Am rechten Ende wird der zweifach gelagerte Balken durch eine Einzelkraft F belastet. Er wird in zwei Elemente aufgeteilt. Die Berechnung uhrt bei dem Element mit der Durchbiegung v3 an der Kraftangriﬀsstelle f¨ zwei bzw. drei Freiheitsgraden pro Knoten zu folgenden Beziehungen: 1 2 31 + f g I1 Ff l ; g= 3 g EI2 I2 . / g 3 + 2 f + 5 f 2 + 4 f f + g2 1 2 3 Ff l v3 = 15 gEI2

v3 =

(452) (453)

W¨ ahrend (452) die exakte L¨ osung liefert, ist die L¨osung (453) des Elementes mit drei Freiheitsgraden pro Knoten mit einem Fehler versehen. Der daraus formulierte relative Fehler Ev lautet: 1 f 1 − 2 g + g 2 Ev = 5 (f + g) (1 + f g)

(454)

6.6

Der Timoshenko-Balken

175

Eine Extremwertbetrachtung von (454) zeigt, daß f¨ ur f = 1, d.h. der Lagerabstand ist so groß wie das auskragende Ende des Balkens, der gr¨oßte Fehler auftritt. Eine Grenzwertbetrachtung f¨ ur g → ∞ und g → 0 ergibt, daß der Fehler f¨ ur diese Grenzwerte von g einen Wert von 20 % annimmt. Dieser Zusammenhang ist auch in der rechten H¨ alfte von Bild 6.23 dargestellt. Das Beispiel verdeutlicht, daß das Einsatzgebiet des angesprochenen Elementes mit dem dritten Freiheitsgrad κ eingeschr¨ ankt ist. Zudem ist die Handhabung der geometrischen Randbedingungen des Elementes schwieriger. Es hat sich daher in der Praxis nicht durchsetzen k¨onnen. Balkenbeispiel VII

Das Balkenproblem in Bild 6.9 auf der S. 153 soll mit dem zweiknotigen Element mit drei Freiheitsgraden pro Knoten gel¨ost werden. Gesucht sind die Verformungen und Schnittgr¨ oßen.

6.7

6.6

6.6 Der Timoshenko-Balken Bei gedrungenen Balken lassen sich die Schubverformungen nicht mehr wie beim Bernoulli-Balken vernachl¨ assigen. Im folgenden soll daher die Schubverformung nach der Theorie von Timoshenko ber¨ ucksichtigt werden.

Bild 6.24. Ausschnitt eines Balkens in unverformter und verformter Lage

Infolge der Schubber¨ ucksichtigung treten gegen¨ uber der Bernoulli-Theorie folgende Unterschiede auf. Es bleibt der verformte Querschnitt nicht mehr eben, sondern verformt sich S-f¨ ormig. Dieser wird durch einen ebenen Querschnitt angen¨ ahert, der aber nicht mehr senkrecht zur Biegelinie steht. Diese Vereinfachung f¨ uhrt dazu, daß f¨ ur die Schubdehnung γ gilt: γ = γ (y). Die u ohe konstante Schubdehnung γ¯ hat zur Folge, daß die Schubspan¨ ber die H¨

F

176

6. Balkenelemente

nung τ ebenfalls u ohe des Balkens konstant ist. Der Querschnitt ¨ber die H¨ f¨ uhrt damit unter Ber¨ ucksichtigung der Schubverformung eine Gesamtverdrehung θ aus, die sich wie folgt zusammensetzt1 : θ = ϕ − γ¯ =

dv − γ¯ dx

(455)

Das Funktional des Balkens

Die Schubverformungen bewirken, daß neben den Normalspannungen σxx noch Schubspannungen σxy auftreten. Sie lassen sich im Vektor als σ T = [σ|¯ τ] T zusammenfassen. Diesen zugeordnet sind die Dehnungen ε = [εxx |γxy ] = [ε|¯ γ ]. Damit kann man die Form¨ anderungsarbeit ΠF des Balkens schreiben als: ⎤ ⎡ σ 1 ⎦ dV ε T σ dV = ε γ¯ ⎣ 2 V V τ¯ 1 1 ε σ dV + γ¯ τ¯ dV = ΠFb + ΠFs = 2 V 2 V

1 ΠF = 2

(456)

Stoﬀgleichungen

Die Normalspannung σ und die Schubspannung τ¯ werden u ¨ ber den E-Modul E und den Schubmodul G = E/(2(1 + ν)) mit der Normaldehnung ε und der mittleren Schubdehnung γ¯ in Beziehung gesetzt: dθ du = −E y dx dx τ¯ = G γ¯ = G(ϕ − θ)

σ =Eε=E

(457)

Damit lassen sich die Form¨ anderungsarbeiten ΠFb und ΠFs formulieren als: 2 1 dθ ε σ dV = E y 2 dV 2 V dx V 2 2 1 l 1 l dθ dθ E y 2 dA dx = EI dx = 2 0 dx 2 dx A 0

ΠFb =

1 2

(458)

I

1

Die Schubdehnung lautet: γ = ∂u/∂y + ∂v/∂x. Mit u = −θy und ϕ = ∂v/∂x erh¨ alt man: γ = −θ + ϕ.

6.6

Der Timoshenko-Balken

ΠFs =

1 2

γ¯ τ¯ dV = V

1 2

177

l

γ¯ 0

1 l τ¯ dA dx = γ¯ Q dx 2 0 Aκ

(459)

Q

Die Einf¨ uhrung der mittleren Schubspannung τ¯ f¨ uhrt dazu, daß diese an den freien R¨ andern des Balkens nicht verschwinden und somit das Gleichgewicht verletzen. Es wird daher eine Schubﬂ¨ ache Aκ = A/κ eingef¨ uhrt. Mit Hilfe von (457) l¨ aßt sich somit die Querkraft Q u ¨ ber die mittlere Schubdehnung γ¯ ausdr¨ ucken als:

τ¯ =

Q A Q = A ⇒ Q = G γ¯ Aκ κ κ

(460)

Den Korrekturfaktor κ nennt man Schubfaktor. Er ist von der Querschnittsform des Balkens abh¨ angig. Einsetzen von (460) in (459):

ΠFs =

1 2

l

γ¯ 0

1 A G γ¯ dx = κ 2

l 0

A G γ¯ 2 dx κ

(461)

Elementdeﬁnition und Formfunktionen

Bild 6.25. Freiheitsgrade des Timoshenko-Bal-

kens

In den Form¨ anderungsarbeiten ΠFb und ΠFs treten mit ε = dθ/dx und γ¯ = dv/dx − θ nur erste Ableitungen der gesuchten Gr¨oßen v und θ auf. ur v und θ getrennte, Es handelt sich damit um ein C 0 -Problem. Es werden f¨ lineare Ansatz- und damit Formfunktionen nach (258) auf der S. 100 verwendet:

v = Ni vi + Nj vj θ = N i θi + N j θj

(462)

Damit lassen sich die Dehnungen schreiben als: ⎡ ⎣

dθ dx

⎤

⎦ =⎣

−θ

dv dx

ε

⎡

Ni θi + Nj θj Ni vi

− N i θi +

Nj

vj − Nj θj

⎤ ⎦=

178

6. Balkenelemente

⎡ ⎡ ⎣

0

Ni

Ni

−Ni

0 Nj B

⎤

vi ⎥ ⎤⎢ ⎤ ⎢ ⎥ ⎡ ⎢ θi ⎥ εT Nj B ⎢ ⎥ ⎦⎢ ⎦ v ⎥=⎣ ⎥ T −Nj ⎢ v B ⎢ j ⎥ γ ¯ ⎦ ⎣ θj

(463)

v

In Kurzform kann man schreiben: dθ T v ; =B ε dx

ε = B v ;

T v γ¯ = B γ ¯

(464)

Biegesteiﬁgkeitsmatrix

In die Form¨ anderungsarbeit ΠFb nach (458) wird die Ableitung dθ/dx nach (463) eingesetzt. Unter der Voraussetzung, daß das Fl¨achentr¨agheitsmoment I sowie E konstant sind, erh¨ alt man die Biegesteiﬁgkeitsmatrix K b :

ΠFb =

1 EI 2

0

l

T v dx = 1 v T EI T v B B ε ε 2

0

l

ε B T dx v B ε

(465)

Kb

ε treten die Ableitungen der Formfunktionen auf: In dem Vektor B Ni = 1 −

1 1 x dNi x dNj ; Ni = = − ; Nj = ; Nj = = l dx l l dx l

(466)

Damit ergibt sich die Biegesteiﬁgkeitsmatrix zu: ⎤ 0 ⎥ ⎢ ⎥ l⎢ ⎥ ⎢ 1 ⎢ −1 ⎥ K b = EI 2 ⎥ 0 ⎢ l 0 ⎢ 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ 1

⎡

⎡

−1

0

⎢ 0 ⎢ EI ⎢ ⎢ 0 ⎢ 1 dx = l ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0

0

0

1

0

0

0

−1

0

⎤ 0 ⎥ ⎥ −1 ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎦ 1 (467)

Schubsteiﬁgkeitsmatrix

γ¯T v In die Form¨ anderungsarbeit ΠFs nach (461) wird die Schubdehnung γ¯ = B eingesetzt. Unter der Voraussetzung einer konstanten Fl¨ache A sowie eines konstanten Schubmoduls G ergibt sich die Schubsteiﬁgkeitsmatrix K s zu:

6.6

Der Timoshenko-Balken

ΠFs

1 = 2

0

l

179

A T T 1 A GBγ¯ v Bγ¯ v dx = v T G κ 2 κ

l

γ¯ B γ¯T dx v B

0

(468)

Ks

γ¯ B T f¨ Einsetzen der Formfunktion in das dyadische Produkt B γ ¯ uhrt auf: ⎡

1 − l

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ −1 + x ⎢ l γ¯ B T = ⎢ B γ¯ = B γ ¯ ⎢ 1 ⎢ ⎢ l ⎢ ⎣ x − l ⎡ ⎢ 1 ⎢ 1 ⎢ ⎢ l−x = 2⎢ l ⎢ −1 ⎢ ⎣ x

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥% ⎥ ⎥ −1 ⎥ l ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

x −1 + l

1 l

x − l

&

⎤ l−x

−1

(l − x)2

x−l

x−l

1

x(l − x)

−x

x

⎥ ⎥ x(l − x) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ −x ⎥ ⎦ 2 x

(469)

Die exakte Integration von (469) f¨ uhrt auf eine Schubsteiﬁgkeitsmatrix, die bei sehr schlanken Balken versagt. Nimmt der Schlankheitsgrad β =AGl2/(EI) sehr große Werte an (β → ∞), so tritt ein sogenannter Locking-Eﬀect“ auf. ” Dieser Eﬀekt kann vermieden werden, indem man eine reduzierte, numerische Integration der Gr¨ oßen in (469) vornimmt. In (469) treten Polynome zweiter Ordnung auf. Eine Reduzierung bedeutet nun, daß eine exakte, numerische Integration f¨ ur ein Polynom erster Ordnung angesetzt wird. Hierzu bedient man sich der Quadraturformeln nach Gauß [25]. Damit l¨aßt sich die Integration ausdr¨ ucken als:

l

f (x) dx = 0

n

wi f (xi )

(470)

i=1

utzstellen. Nach der Tab. wi sind Gewichtungsfaktoren und xi die Gaußst¨ (2.7) auf der S. 46 erh¨ alt man mit a = 0, b = l und M = 1 f¨ ur ein Element bij aus (469):

180

6. Balkenelemente

kij =

1

wk bij (xk ) = l bij ( 2l )

(471)

k=1

F¨ ur das Element k22 ergibt sich z.B.:

k22

2 1 l l = 2 l 1− = l 2 4

(472)

¨ Uber alle Elemente ausgef¨ uhrt, erh¨ alt man die Schubsteiﬁgkeitsmatrix K s : ⎡ ⎢ 4 ⎢ AG ⎢ ⎢ 2l Ks = ⎢ 4 κ l ⎢ −4 ⎢ ⎣ 2l

2l

−4

l2

−2 l

−2 l

4

l2

−2 l

⎤ 2l ⎥ ⎥ l2 ⎥ ⎥ ⎥ −2 l ⎥ ⎥ ⎦ l2

(473)

¨ Uberlagerung der Matrizen

Die Addition von K b nach (467) und K s nach (473) f¨ uhrt somit auf die Steiﬁgkeitsmatrix des zweiknotigen Timoshenko-Balkens. Als Abk¨ urzung wird uhrt: der Schlankheitsgrad β = AGl2 / (EI) eingef¨ ⎡ 4

⎢ ⎢ AG ⎢ ⎢ 2l K = Kb + Ks = ⎢ 4 κ l ⎢ −4 ⎢ ⎣ 2l

2l

−4

⎤ 2l

" # 2 1 + 4κ β l

−2 l

" # 2 1 − 4κ β l

−2 l

4

−2 l

" # 2 1 − 4κ β l

−2 l

" # 2 1 + 4κ β l

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(474)

Streckenlasten

F¨ ur die- Umrechnung der Streckenlast q(x) in Knotengr¨oßen wird der Ausl druck 0 v q dx herangezogen. Dabei wird wie in (392) auf der S. 149 eine T q ausgelinear verteilte Streckenlast u ¨ber eine lineare Formfunktion q = N T v0 beschrieben: dr¨ uckt. Die Verschiebungen v werden nach (462) als v = N v0T =

vi

0

vj

0

(475)

6.6

Der Timoshenko-Balken

l

l

v q dx = 0

181

T T T v0 N q dx = v0 N

0

⎡

N T N

⎤ x % ⎢ 1− l ⎥ x ⎥ =⎢ ⎣ x ⎦ 1− l l

l 0

N T dx q N

(476)

q F

⎡ 2 & 1 − xl x ⎣ = l x x l 1− l

x l

1 − xl x 2

⎤ ⎦

(477)

l

Die Integration u ¨ber voranstehendem Ausdruck und die Multiplikation mit q f¨ uhrt auf die Knotenkr¨ afte: ⎡ 2 l Fq = ⎣ 6 1

⎤⎡

⎤

⎤ ⎡ ⎤ ⎡ Fi 2 qi + qj l ⎦⎣ ⎦= ⎣ ⎦=⎣ ⎦ 6 q +2q 2 qj Fj i j 1

qi

(478)

qi und qj sind die Streckenlasten am Anfangs- bzw. Endknoten. 6.6.1 Schnittgr¨ oßen beim Timoshenko-Balken Momentenverlauf im Element

Aus der Stoﬀgleichung f¨ ur σ nach (457) auf der S. 176 gewinnt man mit dM = −y dF = −y σ dA das Moment M zu:

−y σ dA =

M=

(−y) (−Ey)

A

A

dθ dθ dA = E dx dx

dθ y 2 dA = EI dx A I

(479) Die Ableitung dθ/dx wird aus (463) bzw. (466) in (479) eingesetzt: ⎡ % εT v = EI M = EI B

0

−

1 l

0

⎤

⎢ vi ⎥ ⎥ &⎢ ⎥ ⎢ 1 ⎢ θi ⎥ EI (θj − θi ) ⎥= ⎢ l l ⎢ v ⎥ ⎢ j ⎥ ⎦ ⎣ θj

(480)

Das Moment ist damit beim zweiknotigen Element konstant im Element. Es ist vorzeichenrichtig, d.h. positiv, wenn es um die positive z-Achse dreht. Querkraftverlauf im Element

In die Querkraft Q aus (460) wird nach (463) γ¯ eingesetzt:

182

6. Balkenelemente

⎤ v i ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ θi ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ −Nj ⎢ ⎢ v ⎥ ⎢ j ⎥ ⎦ ⎣ θj ⎡

Q=

AG T AG AG γ¯ = Bγ¯ v = Ni κ κ κ

AG = κ

%

−Ni

Nj

vj − vi x + (θi − θj ) − θi l l

&

(481)

Die Querkraft wird an dem Integrationspunkt (Gaußpunkt) der numerischen Integration der Schubsteiﬁgkeitsmatrix berechnet. Damit ergibt sich: % AG vj − vi l = QI = Q x = − 2 κ l

& 1 2

(θi + θj )

(482)

QI wird auf die Knoten extrapoliert. Da beim zweiknotigen Element nur ein Gaußpunkt existiert, f¨ uhrt die Extrapolation dazu, daß gilt: Qi = Qj = QI . Die Querkraft ist damit im Element konstant. Sie ist positiv, wenn sie in die negative y-Richtung zeigt.

Bild 6.26. Kragbalken mit einer Querschnittsﬂ¨ ache A, Fl¨ achentr¨ agheitsmoment I, E-Modul E, Schubmodul G und Schubfaktor κ. Er wird in n Elemente eingeteilt

6.6.2

Locking-Eﬀect“ ” In Bild 6.26 ist ein Kragbalken dargestellt. An diesem Beispiel wird das Verhalten des zweiknotigen Timoshenko-Balkens f¨ ur schlanke Balken untersucht. DieVerschiebung ur n Elemente schreiben ander Kraftangriﬀsstelle l¨aßt sich f¨ als v¯ = vEI/ F l3 :

⎧ 4n2 − 1 κ ⎪ ⎪ + ⎪ ⎨ β 12 n2 v¯ (x = l) =

⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 4κ

1 + 3κ β β + 12 κ n2

reduziert integriert (483) n

2

exakt integriert

F¨ ur n → ∞ nimmt die L¨ osung der reduzierten Integration die Form der analytischen L¨ osung an: 1/3 + κ/β (s. gestrichelte Gerade in Bild 6.27). Die

6.6

Der Timoshenko-Balken

183

exakte Integration der Schubsteiﬁgkeitsmatrix f¨ ur 2 bzw. 5 Elemente f¨ uhrt auf Kurvenverl¨ aufe wie sie in Bild 6.27 angef¨ uhrt sind. F¨ ur sehr schlanke Balken treten folgende Grenzwerte auf: ⎧ ⎪ ⎨ 1 3 lim v¯ (x = l) = ⎪ β→∞ ⎩ 0

reduziert integriert

(484)

exakt integriert

W¨ ahrend die reduzierte Form der Integration der Schubsteiﬁgkeitsmatrix auf den Biegeanteil 1/3 der Verformung l¨ auft, versagt die exakt integrierte Version. Dieses Ph¨ anomen beschreibt man mit dem Begriﬀ Locking-Eﬀect“. ”

Bild 6.27. Timoshenko-

Balken Eﬀekt“

mit

Locking”

Schnittgr¨ oßen bei der reduziert integrierten Schubsteiﬁgkeitsmatrix

Der Momenten- bzw. Querkraftverlauf ist nach (480) bzw. (482) im Element konstant. In dem betrachteten Beispiel ist der Querkraftverlauf konstant und der Momentenverlauf linear verteilt. Diese Verteilung des Momentes wird beim zweiknotigen Timoshenko-Element durch folgende Treppenfunktion beschrieben: ¯ = M = 2 (n − i) + 1 M Fl 2n

mit

1 ≤ i ≤ n;

i, n ∈ N

(485)

Dabei ist n die Anzahl Elemente und i das betrachtete Element. An der ¯ als 1/ (2n). Einspannstelle ergibt sich mit i = 1 ein Fehler f¨ ur M

184

6. Balkenelemente

¨ 6.6.3 Ubungsbeispiele zum Timoshenko-Balken

6.8

j

6.9

Balkenbeispiel VIII

Es sind ausgehend von (465) und (468) die Biege- und Schubsteiﬁgkeitsmatrizen des dreiknotigen Timoshenko-Balkens herzuleiten. Es soll eine im Element quadratisch verteilte Streckenlast in Knotenkr¨afte umgerechnet werden. Dabei wird die Streckenlast u ¨ber die Werte qi , qj und qk an den drei Knoten des Elementes beschrieben. Balkenbeispiel IX

In Bild 6.28 ist ein Kragbalken dargestellt, der einen Rechteckquerschnitt besitzt und durch eine linear verteilte Streckenlast der Form qˆ = q x/l belastet wird. Es ist die bezogene Durchbiegung v¯ = v EI/(ql4 ) am Kragende x = l gesucht, wobei Schubverformungen zu ber¨ ucksichtigen sind. Dazu ist der Kragbalken in ein zweiknotiges Element einzuteilen und die Steiﬁgkeitsmatrix nach (474) auf der S. 180 zu verwenden. Die Streckenlast muß nach (478) auf der S. 181 in Einzelkr¨ afte umgerechnet werden. Weiterhin ist das Verh¨altnis h/l bei einer Querkontraktionszahl ν = 1/4 gesucht, bei dem Biege- und Schubanteil in v¯ gleich groß sind.

Bild 6.28. Gedrungener Kragbalken mit linear verteil-

ter Streckenlast. Gegeben: Querschnittsﬂ¨ ache A, Fl¨ achentr¨ agheitsmoment I, Schubfaktor κ, E-Modul E, Schubmodul G

6.10

c

6.11

Balkenbeispiel X

F¨ ur den Kragbalken in Bild 6.28 soll ein Konvergenztest durchgef¨ uhrt werden. Dabei ist sowohl das zweiknotige als auch das dreiknotige TimoshenkoElement zu verwenden. Der Balken ist in 1, 2, 4 und 8 Elemente einzuteilen. Zu betrachten ist die normierte Durchbiegung v¯(x = l). Der Fehler in der Durchbiegung und in den Schnittgr¨ oßen ist in Abh¨angigkeit von der Elementanzahl in einem doppelt logarithmischen System aufzutragen. Die Netze sind mit “ FEM GEN“ zu generieren. Die Rechnung mit “ FEM CAS“ durchzuf¨ uhren. Balkenbeispiel XI

F¨ ur den Balken nach Bild 6.26 auf der S. 182 ist der Schubfaktor κ zu berechur die exakte Schubspannungsnen. Dazu ist die Form¨ anderungsarbeit Π∗F f¨ verteilung τ = τ (y) in einem Rechteckquerschnitt und f¨ ur die angen¨aherte

6.7

Der elastisch gelagerte Balken

185

Version τ¯ = τ¯ (y) zu berechnen. Durch Gleichsetzen der Form¨anderungsarbeiten ist der Schubfaktor κ zu ermitteln. Balkenbeispiel XII

In Bild (6.29) ist ein Balken auf zwei St¨ utzen gegeben, der durch zwei gegenl¨ auﬁge Momente M belastet wird. Der Balken ist zum einen querkraftfrei und zum anderen f¨ uhren die beiden Endbereiche unter der gegebenen Belastung eine Starrk¨ orperbewegung aus. Es soll f¨ ur das zweiknotige TimoshenkoElement gezeigt werden, daß dieses diese Zust¨ ande wiedergeben kann. Dazu ist unter Ausnutzung der Symmetrie die linke H¨ alfte des Balkens in zwei Elemente einzuteilen. Es sind die Verformungen und Schnittgr¨oßen zu berechnen. Diese sind mit den exakten L¨ osungen zu vergleichen.

6.12

Bild 6.29. Balken der L¨ ange L mit einer Quer-

schnittsﬂ¨ ache A, einem Fl¨ achentr¨ agheitsmoment I, einem E-Modul E, einem Schubmodul G und einem Schubfaktor κ

6.7

6.7 Der elastisch gelagerte Balken Das Bild 6.30 zeigt ein Fundament, das auf Erdreich gelagert ist und durch eine Kraft sowie eine Streckenlast belastet wird. Das Fundament wird im folgenden als eindimensionaler Balken betrachtet. Die Lagerung des Balkens wird u ¨ber ein modiﬁziertes Steifezahlverfahren erfaßt. Dazu werden zun¨achst die unbekannten Kr¨ afte zwischen Erdreich und Balken in Ansatz gebracht:

Bild 6.30. Der elastisch gelagerte Balken

K F u = F − P K F - Steiﬁgkeitsmatrix des eindimensionalen Balkens

(486)

186

6. Balkenelemente

u - Vektor der Verformungen F - Vektor der ¨ außeren Lasten P - Vektor der Kr¨ afte des Bodens, die auf das Fundament wirken Die Kr¨ afte P , die vom Boden auf das Fundament wirken, lassen sich u ¨ ber die ucken: Steiﬁgkeitsmatrix des Bodens K B [38] wie folgt ausdr¨ K B u = P

(487)

Der Verformungsvektor u ist der des eindimensionalen Balkenelementes (s. (376) auf der S. 145). Gleichung (487) in (486) eingesetzt, f¨ uhrt zu: (K F + K B ) u = F

(488)

Die Steiﬁgkeitsmatrix K F ist die des eindimensionalen Balkens und in (390) auf der S. 149 zu ﬁnden. Die Steiﬁgkeitsmatrix K B des Bodens lautet: ⎡

KB

k¯ ⎢ t + k¯d ⎢ 2 ⎢ ⎢ ⎢ 0 = EB l ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ −k¯d ⎢ ⎣ 0

⎤ 0

−k¯d

0

0

0

k¯t ¯ + kd 2

0

0

0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎦ 0

(489)

Die Gr¨ oßen in (489) haben folgende Bedeutung: EB - Elastizit¨ atsmodul des Bodens l - Elementl¨ ange k¯t - Bezogene, translatorische Steiﬁgkeit des Bodens k¯d - Bezogene, rotatorische Steiﬁgkeit des Bodens Die Steiﬁgkeitswerte des Bodens k¯t und k¯d sind dem Bild 6.31 zu entnehmen. Sie basieren auf der Annahme, daß der Boden sich in erster N¨aherung linearelastisch verh¨ alt und sind u ¨ ber eine Halbraumtheorie berechnet worden [45]. In der linken H¨ alfte von Bild 6.31 ist die unabh¨angige Gr¨oße Y = yu /B der Quotient aus Erdschichtdicke (yu ) und Fundamentbreite (B). Als Parameter ist das Verh¨ altnis L = l/B als Elementl¨ ange (l) zu Fundamentbreite (B) aufgetragen. Die L¨ ange des Balkenelementes l hat damit einen Einﬂuß auf die bezogene translatorische Steiﬁgkeit k¯t des Bodens. k¯t ist ebenso wie k¯d

6.7

Der elastisch gelagerte Balken

187

Bild 6.31. Bezogene, translatorische und rotatorische Steiﬁgkeitswerte des Bodens

dimensionslos. Die bezogene, rotatorische Steiﬁgkeit k¯d ist in der rechten H¨ alfte von Bild 6.31 zu entnehmen. Bei dem linken Randelement ist kB11 und bei dem rechten Randelement ist kB33 zu ersetzen durch: ⎞ ⎛ $ k¯t ⎝ k¯d ⎠ k¯d 1+2¯ + 1+4¯ 2 kt kt

(490)

Die u ¨ berlagerte Steiﬁgkeitsmatrix K = K F + K B nach (488) ergibt sich zu: EB l4 k¯t ¯ + kd ⎢ 12 + ⎢ EI 2 ⎢ ⎢ 6l EI ⎢ K= 3 ⎢ l ⎢ ⎢ EB l4 ¯ ⎢ −12 − kd ⎢ EI ⎣ ⎡

6l

EB l4 ¯ kd −12 − EI

6l 4 l2 −6 l

−6 l EB l4 k¯t ¯ 12 + 2 + kd EI

2 l2

−6 l

⎤ 6l ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 2 ⎥ 2l ⎥ ⎥ ⎥ −6 l ⎥ ⎥ ⎦ 4 l2 (491)

6.7.1 Beispiel zum elastisch gelagerten Balken

In diesem Beispiel wird ein Fundament (elastisch gelagerter Balken) betrachtet, wie es in Bild 6.32 dargestellt ist. Die in der Rechnung verwendeten

188

6. Balkenelemente

Elastisch gelagertes Fundament der Breite B = 5 m (Balken). Die Erdschichtdicke betr¨ agt: yu = 50 m.

Bild 6.32.

Daten sind diesem Bild zu entnehmen. Es werden zwei Lastf¨alle betrachtet. Lastfall 1 beschreibt das Eigengewicht des Fundamentes u ¨ber die Streckenucksichtigt die Einzelkraft F . Die Einheiten werden in last qF . Lastfall 2 ber¨ der Rechnung nicht mitgef¨ uhrt. Elementknotenzuordnung

Da sowohl die Geometrie als auch die Belastung symmetrisch sind, braucht nur eine H¨ alfte in der Rechnung ber¨ ucksichtigt zu werden. Diese wird in zwei Elemente eingeteilt, wie in Bild 6.32 zu sehen ist. Elementsteiﬁgkeitsmatrizen

Die Steiﬁgkeitsmatrizen der beiden Balkenelemente sind identisch. Sie werden nach (390) auf der S. 149 berechnet. Mit αF = EF IF /l3 = 3125/3 · 103 ergibt sich : ⎡

K F1 = K F2

⎢ 12 ⎢ ⎢ 60 ⎢ = αF ⎢ ⎢ −12 ⎢ ⎣ 60

60

−12

400

−60

−60

12

200

−60

⎤ 60 ⎥ ⎥ 200 ⎥ ⎥ ⎥ −60 ⎥ ⎥ ⎦ 400

(492)

Die Steiﬁgkeitswerte des Bodens werden dem Bild 6.31 entnommen. Mit den Eingangswerten Y = yu /B = 10 und L = l/B = 2 erh¨alt man die Werte: k¯t = 0, 62 und k¯d = 0, 17. Diese Werte in die Steiﬁgkeitsmatrix (489) des Bodens eingesetzt (αB = EB l = 4 · 105 ):

6.7

Der elastisch gelagerte Balken

189

⎡

K B1 = K B2

⎢ 0, 48 ⎢ ⎢ 0 ⎢ = αB ⎢ ⎢ −0, 17 ⎢ ⎣ 0

0 0 0 0

⎤ −0, 17 0 ⎥ ⎥ 0 0 ⎥ ⎥ ⎥ kB33 0 ⎥ ⎥ ⎦ 0 0

(493)

Die Steiﬁgkeitsmatrizen des Bodens der beiden Elemente unterscheiden sich dadurch, daß der Wert kB33 bei dem Element 2 (rechtes Randelement) als Korrekturwert f¨ ur den Knoten 3 nach (490) eingef¨ uhrt wird. Die Gr¨ oße kB33 nimmt damit folgende Werte an:

kB33

⎧ ¯ ⎪ ⎨ kt + k¯d = 0, 48 2 " = # ! ⎪ ⎩ 0,62 1 + 2 0,17 + 1 + 4 0,17 = 0, 93 2 0,62 0,62

: f¨ ur Element 1 : f¨ ur Element 2 (494)

Die Elementsteiﬁgkeitsmatrix aus Fundament und Boden erh¨alt man aus ¨ deren additiven Uberlagerung:

K = KF + KB ⎡ ⎢ 12 αF + 0, 48 αB ⎢ ⎢ 60 αF ⎢ =⎢ ⎢ −(12 α + 0, 17 α ) ⎢ F B ⎣ 60 αF

⎤

60 αF

−(12 αF + 0, 17 αB )

60 αF

400 αF

−60 αF

200 αF

−60 αF

k33

−60 αF

200 αF

−60 αF

400 αF

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(495) Die Gr¨ oße k33 bestimmt sich zu:

k33

⎧ ⎨ 12 αF + 0, 48 αB = ⎩ 12 α + 0, 93 α F B

: f¨ ur Element 1

(496)

: f¨ ur Element 2

Gesamtsteiﬁgkeitsmatrix

ˆ , die sich nach dem Streichen der zweiten Die Gesamtsteiﬁgkeitsmatrix K g Zeile und Spalte ergibt (ϕ2 = 0), lautet (f = αB /αF ):

190

6. Balkenelemente

⎡ 12 + 0, 48f

−(12 + 0, 17f )

⎤ 60

0

0

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢−(12 + 0, 17f ) 24 + 0, 96f 0 −(12 + 0, 17f ) 60 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ˆ g = αF ⎢ K 60 0 800 −60 200 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 −(12 + 0, 17f ) −60 12 + 0, 93f −60 ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ 0 60 200 −60 400 (497) Belastung

Die Umrechnung der Streckenlast in Knotenkr¨afte und -momente geschieht elementweise nach (396): ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ l ⎢ 1 2 Q = Q = qF ⎢ ⎢ 2 ⎢ ⎣

⎡

⎤ −105 ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ 5 ⎢ ⎥ − 30 l ⎥ 102 ⎢ −175 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥= ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ 3 −1 ⎥ ⎢ −105 ⎥ ⎣ ⎦ ⎦ 5 l 175 30 −1

⎤

(498)

Die elementorientierten Lasten aus der Streckenlast werden additiv zur Gesamtlast u ¨ berlagert und bilden Lastfall 1. Lastfall 2 gibt die Einzelkraft G in der Mitte des Fundamentes wieder. ⎡

F (1)

−105

⎤

⎡

⎤ 0

⎡

−105

⎤

⎡

⎢ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ −175 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ −175 ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ 2 ⎢ −105 ⎥ 2 ⎢ −105 ⎥ 2 ⎢ −210 ⎥ 10 ⎢ ⎥ 10 ⎢ ⎥ 10 ⎢ ⎥ ⎢ (2) = =⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎥+ ⎥= ⎥; F ⎢ 3 ⎢ 175 ⎥ 3 ⎢ −175 ⎥ 3 ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ 0 ⎥ ⎢ −105 ⎥ ⎢ −105 ⎥ ⎢ ⎣ ⎣ ⎣ ⎦ ⎦ ⎦ ⎣ 0 175 175 Element 1

−5000 0 0 0 0 0

Element 2

(499)

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

6.7

Der elastisch gelagerte Balken

191

Verformungen

Bedingt durch die Symmetrie des Problems weist die Biegelinie in der Mitte eine horizontale Tangente auf. Daraus resultiert, daß die Verdrehung ϕ1 des Knotens 1 Null ist. Daher wird in (499) die zweite Komponente gestrichen. ˆ g u(2) = G (2) f¨ ˆ g u(1) = F (1) und K uhrt f¨ ur Die L¨ osung der Gleichungssysteme K die beiden Lastf¨ alle zu folgenden Verformungen (Einheit [mm]): ⎤

⎡

v (1)

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ =⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎡

v1

−23, 4

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ϕ1 ⎥ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ v2 ⎥ ⎥ ⎢ −22, 1 ⎥=⎢ ⎢ ϕ2 ⎥ ⎥ ⎢ 2, 6 · 10−4 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ v3 ⎥ ⎢ −18, 5 ⎦ ⎣ ϕ3 4, 1 · 10−4

⎤

⎡

−10, 4

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ −8, 6 ⎥ ⎢ ⎥ ; v (2) = ⎢ ⎥ ⎢ 3, 0 · 10−4 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ −5, 2 ⎦ ⎣ 3, 7 · 10−4

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(500)

Die Verformungen aus den beiden Lastf¨ allen lassen sich, da es sich um ein lineares System handelt, u berlagern. Wird n¨ amlich zu dem Eigengewicht des ¨ Fundamentes noch die Kraft F aufgebracht, so ergeben sich die Gesamtverformungen aus der Addition der Verformungen der beiden Lastf¨alle 1 und 2: ⎡

v = v (1) + v (2)

−33, 8

⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ −30, 7 ⎢ =⎢ ⎢ 5, 6 · 10−4 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ −23, 7 ⎣ 7, 7 · 10−4

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(501)

Bild 6.33. Die Verformungen des

Fundamentes

In Bild 6.33 sind die Verformungen des Fundamentes dargestellt. Es sinkt um 23, 7mm in das Erdreich ein. Die Durchbiegung des Fundamentes betr¨agt 10, 1mm.

192

6.8

6. Balkenelemente

6.8 Zweidimensionales Balkenelement 6.8.1 Freiheitsgrade des zweidimensionalen Balkens

Das Bild 6.34 zeigt die Freiheitsgrade des zweidimensionalen Balkenelementes in einem lokalen Koordinatensystem. Sie setzen sich aus denen des eindimensionalen Stabes (u) und des eindimensionalen Balkens (v, ϕ) zusammen. In dem Vektor w werden diese Verschiebungen und Verdrehungen f¨ ur die beiden Knoten i und j zusammengefaßt.

Bild 6.34. Freiheitsgrade des zweidimensionalen Balkens

Die Verschiebungen und Verdrehungen im Element lassen sich u ¨ ber die bekannten Formfunktionen des eindimensionalen Stabes (s. (258) auf der S. 100) und des eindimensionalen Balkens (s. (375) auf der S. 145) beschreiben: ⎡ ⎡ ⎢ ⎢ ⎣

⎤

⎡

⎢ ⎥ ⎢ ⎢ v ¯ ⎥ ⎦=⎢ ⎣ ϕ u ¯

1−ξ

0

0

ξ

0

0

1 − 3 ξ2 + 2 ξ3

ξl(1 − ξ)2

0

ξ 2 (3 − 2 ξ)

0

ξ 6 (ξ − 1) l

1 − 4 ξ + 3 ξ2

0

ξ 6 (1 − ξ) l

¯ w ˆ

⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ 2 ⎥ ξ l(ξ − 1) ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎦ ⎢ ⎢ ξ(3 ξ − 2) ⎢ ⎢ ⎣ 0

u ¯i

⎤

⎥ v ¯i ⎥ ⎥ ⎥ ϕi ⎥ ⎥ ⎥ u ¯j ⎥ ⎥ ⎥ v ¯j ⎥ ⎦ ϕj w ¯

(502) Die Formfunktionen in voranstehender Gleichung sind im lokalen Koordinatensystem beschrieben, so daß die Gr¨ oße ξ sich darstellt als: ξ = x ¯/l. ¨ 6.8.2 Uberlagerung der Dehnungen von Stab und Balken

¨ Die Dehnungen beim zweidimensionalen Balken werden durch Uberlagerung der Dehnungen des eindimensionalen Stabes εs und des eindimensionalen Balkens εb gewonnen. Dieser Zusammenhang ist in Bild 6.35 dargestellt. ε = εs + εb Die Dehnungen des Stabes lauten nach (259) auf der S. 101:

(503)

6.8

Zweidimensionales Balkenelement

193

¨ Bild 6.35. Uberlagerung der Dehnungen von Stab und Balken

¯i u ¯j − u = εs = l

%

1 − l

1 l

&

⎤

⎡ ⎣

u ¯i

T u ⎦=B s ¯

(504)

u ¯j

Die Dehnungen des eindimensionalen Balkens ergeben sich nach (359) und (381) zu: T v¯ = B bT v¯ y v¯ = −¯ yB εb = −¯

(505)

Die Gleichungen (504) und (505) werden in (503) eingesetzt: T ¯ = B Tw T u ¯ ε=B s ¯ + Bb v

(506)

lautet damit (ξ = x Der Dehnungs-Verschiebungs-Vektor B ¯/l): ⎡

− 1l

⎤

⎡

⎤ 0

⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ 6 y¯(1 − 2 ξ) ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ 0 ⎥ 1 ⎢ 2 y¯(2 − 3 ξ) l ⎢ ⎥ ⎢ B=⎢ ⎥+ ⎢ ⎢ 1 ⎥ l2 ⎢ 0 ⎢ ⎢ l ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ 6 y¯(2 ξ − 1) ⎢ 0 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ 0 2 y¯(1 − 3 ξ) l

⎡

−l

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 6 y¯(1 − 2 ξ) ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ 1 ⎢ ⎢ 2 y¯(2 − 3 ξ) l ⎥ ⎥= 2⎢ ⎥ l ⎢ l ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 6 y¯(2 ξ − 1) ⎥ ⎣ ⎦ 2 y¯(1 − 3 ξ) l

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(507)

Mit Hilfe des Hooke’schen Gesetzes σ = E ε und (506) ergibt sich: Tw ¯ σ = E ε = EB

(508)

6.8.3 Steiﬁgkeitsmatrix

Die Gleichungen (506) und (508) in die elastische Form¨anderungsarbeit eingesetzt:

194

6. Balkenelemente

1 2

ε(w) σ(w) dV = V

1 T w E 2

V

B T dV w B

(509)

¯ K

B T stellt ein dyadisches Produkt dar und f¨ uhrt zu folgendem Die Gr¨ oße B Ergebnis: B T = B ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 1 ⎢ ⎢ l4 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

−6 y¯l·

−2 y¯l2 ·

(1 − 2 ξ)

(2 − 3 ξ)

−6 y¯l·

36 y¯2 ·

12 y¯2 l·

(1 − 2 ξ)

(1 − 2 ξ)2

−2 y¯l2 ·

12 y¯2 l·

l

2

6 y¯l·

(2 − 7 ξ + 6 ξ2 ) (1 − 2 ξ) 4 y¯2 l2 ·

(2 − 3 ξ) (2 − 7 ξ + 6 ξ2 ) −l2

2 y¯l2 ·

(2 − 3 ξ)2

6 y¯l·

2 y¯l2 ·

(1 − 2 ξ)

(2 − 3 ξ)

6y ¯l·

−36 y¯2 ·

(1 − 2 ξ)

(1 − 2 ξ)2

−2 y¯l2 ·

12 y¯2 l·

−l

2

⎤

6 y¯l·

−2 y¯l2 ·

(1 − 2 ξ)

(1 − 3 ξ)

−36 y¯2 ·

12 y¯2 l·

(1 − 2 ξ)2

(1 − 5 ξ + 6 ξ2 )

−12 y¯2 l·

4 y¯2 l2 ·

(2 − 3 ξ) (2 − 7 ξ + 6 ξ 2 ) (2 − 9 ξ + 9 ξ 2 ) l2

−12 y¯2 l·

6 y¯l·

(2 − 7 ξ + 6 ξ2 ) (2ξ − 1) 4 y¯2 l2 ·

2 y¯l2 ·

6 y¯l·

2 y¯l2 ·

(2 ξ − 1)

(1 − 3 ξ)

36 y¯2 ·

−12 y¯2 l·

(1 − 2 ξ)2

(1 − 5 ξ + 6 ξ2 )

−12 y¯2 l·

(1 − 3 ξ) (1 − 5 ξ + 6 ξ2 ) (2 − 9 ξ + 9 ξ 2 ) (1 − 3 ξ) (1 − 5 ξ + 6 ξ 2 )

4 y¯2 l2 ·

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(1 − 3 ξ)2

(510) B T in (509) wird elementweise durchgef¨ Die Integration u uhrt und mit ¨ ber- B - 2 ¯ alt man die Steiﬁgkeitsmatrix K: I = A y¯ dA sowie A y¯ dA = 0 erh¨ ⎡

A l2 I

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 0 ¯ = EI ⎢ K ⎢ l3 ⎢ A l2 ⎢ − ⎢ I ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0

⎤

0

0

A l2 − I

12

6l

0

−12

6l

4 l2

0

−6 l

0

0

A l2 I

0

−12

−6 l

0

12

6l

2 l2

0

−6 l

0

⎥ ⎥ ⎥ 6l ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 2 l2 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ −6 l ⎥ ⎦ 4 l2 0

(511)

Die voranstehende Steiﬁgkeitsmatrix ist im lokalen (¯ x, y¯, z¯)-Koordinatensystem des Elementes beschrieben. Soll nun eine Balkenstruktur mit mehreren Elementen betrachtet werden, so m¨ ussen die Steiﬁgkeitsmatrizen in einem globalen Koordinatensystem beschrieben sein. Daher wird im n¨achsten Ab-

6.8

Zweidimensionales Balkenelement

195

schnitt die Steiﬁgkeitsmatrix u ucktransformation auf ein globales ¨ ber eine R¨ Koordinatensystem bezogen. 6.8.4 Transformation der Steiﬁgkeitsmatrix

¯ in (511) ist in dem lokalen Koordinatensystem des Die Steiﬁgkeitsmatrix K Elementes beschrieben. Zur Transformation in das globale System wird sie ¯ (F¯ ) in vier Untermatrizen unterteilt. Analog wird der Verformungsvektor w ¯i (F¯i ) und w ¯j (F¯j ) aufgeteilt: in zwei Vektoren w ⎡ ⎣

¯ K ii

¯ K ij

¯ ji K

¯ jj K

⎤⎡

⎤

¯i w

⎦⎣

⎡

⎦=⎣

¯j w

F¯i F¯j

⎤ ⎦

(512)

Ausmultipliziert ergibt sich: ¯ ij w ¯ ii w ¯i + K ¯j = F¯i K ¯ w ¯ w ¯ + K ¯ = F¯ K ji

i

jj

j

(513)

j

Nach (45) auf der S. 33 ergibt sich: ¯i = T w i ; F¯i = T Fi w ¯ = T w ; F¯ = T F w j

j

j

(514)

j

Die Transformation stellt eine Drehung um die z-Achse dar. Die entsprechende Transformationsmatrix ist in (47) zu ﬁnden. Einsetzen der Beziehungen aus (514) in (513) f¨ uhrt auf: ¯ T w ¯ T w i + K j = T Fi K ii ij ¯ T w ¯ T w i + K j = T Fj K ji jj

(515)

Die beiden voranstehenden Gleichungen werden von links mit T T durchmultipliziert: ¯ T w i + T T TT K ii ¯ T w TT K i + T T ji

¯ T w j = T T T K ij ¯ T w j = T T T K jj

Fi = Fi Fj = Fj

(516)

Da die Transformationsmatrix T eine orthogonale Matrix ist, gilt: T T T = E. Damit verschwindet die Transformationsmatrix bei den Ausdr¨ ucken auf der rechten Seite:

196

6. Balkenelemente

⎡

⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ¯ T w F TT K ij ⎥⎢ i ⎥ ⎢ i ⎥ ⎦⎣ ⎦=⎣ ⎦ ¯ T j TT K w F j jj

T ¯ ⎢ T K ii T ⎣ ¯ T TT K ji

(517)

Oder in Kurzform: = F K w

(518)

¯ rs haben alle die Form: Die vier Untermatrizen K ⎤

⎡ α

0

⎢ ¯ rs = ⎢ K ⎢ 0 ⎣ 0

0

⎥ ⎥ γ ⎥ ⎦ ε

β δ

(519)

¯ T: Bilden des Produktes T T K rs ⎤⎡

⎡ α

⎢ ¯ T =⎢ K ⎢ 0 rs ⎣ 0

0 β δ

⎡ c

⎤ c

0

⎥⎢ ⎥⎢ γ ⎥ ⎢ −s ⎦⎣ ε 0

−s

s c 0

⎡

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ = ⎢ −βs ⎦ ⎣ 1 −δs

⎤⎡ 0

⎢ ¯ T =⎢ TTK ⎢ s c 0 rs ⎣ 0 0 1 ⎡ αc2 + βs2 ⎢ ⎢ = ⎢ sc(α − β) ⎣ −δs

⎤ αc

0

αs βc δc

0

⎥ ⎥ γ ⎥ ⎦ ε

(520)

⎤ αc

⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ −βs ⎦⎣ −δs

αs

0

⎥ ⎥ γ ⎥ ⎦ δc ε ⎤ sc(α − β) −γs ⎥ ⎥ αs2 + βc2 γc ⎥ ⎦ δc ε βc

(521)

Die Anwendung von (521) auf alle Bl¨ ocke der Steiﬁgkeitsmatrix nach (511) f¨ uhrt zu der Steiﬁgkeitsmatrix des zweidimensionalen Balkenelementes im globalen Koordinatensystem:

6.8

Zweidimensionales Balkenelement

EI K= 3 l ⎡

ac2 + 12 s2

(a − 12) sc

⎢ ⎢ ⎢ (a − 12) sc as2 + 12 c2 ⎢ ⎢ ⎢ −6 ls 6 lc ⎢ ⎢ 2 ⎢ − ac + 12 s2 − (a + 12 ) sc ⎢ ⎢ ⎢ − (a − 12) sc − as2 + 12 c2 ⎣ −6 ls

6 lc

197

−6 ls − ac2 + 12 s2 6 lc

− (a + 12) sc

2

⎤

− (a − 12) sc −6 ls ⎥ ⎥ − as2 + 12 c2 6 lc ⎥

6 ls

−6 lc

6 ls

ac2 + 12 s2

(a − 12) sc

−6 lc

(a − 12) sc

as2 + 12 c2

2 l2

6 ls

−6 lc

4l

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 6 ls ⎥ ⎥ ⎥ −6 lc ⎥ ⎦ 2 l2 ⎥

4 l2

(522) In der voranstehenden Gleichung wurden folgende Abk¨ urzungen verwendet: 2 s = sin ϕ ; c = cos ϕ ; a = A l /I. Streckenlast

In Bild 6.36 ist die Streckenlast des Balkens in allgemeiner Lage dargestellt. ¯j ¯ i, Q Nach (396) auf der S. 150 kann sie im lokalen System in die Kr¨afte Q und die Momente m ¯ i, m ¯ j umgerechnet werden. W¨ahrend die Momente bedingt durch das Zusammenfallen der z¯- und z-Achse im lokalen und globalen Koordinatensystem identisch sind, m¨ ussen die Kr¨afte knotenweise in das globale System transformiert werden. F¨ ur den Knoten i ergibt sich die Belastung aus der Streckenlast im lokalen System: ⎤

⎡ F¯ = ⎣

0

⎦

(523)

¯i Q

Bild 6.36. Streckenlast des zweidimensionalen

Balkens

R¨ ucktransformation in das globale System:

198

6. Balkenelemente

⎡ ⎣

⎤ Qxi

⎡

⎦=⎣

Qyi

cos ϕ

− sin ϕ

sin ϕ

cos ϕ

⎤⎡ ⎦⎣

⎤ 0 ¯i Q

⎡

⎦=⎣

¯ i sin ϕ −Q ¯ i cos ϕ Q

⎤ ⎦

(524)

Analog ergeben sich die Kr¨ afte f¨ ur den Knoten j. Einsetzen in (396) ergibt die Streckenlast f¨ ur den eindimensionalen Balken: ⎤

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

6.9

⎡

Qx i

−(7 qi + 3 qj ) sin ϕ

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ (7 qi + 3 qj ) cos ϕ Qyi ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ mi ⎥ lqi + 23 lqj l ⎢ ⎢ ⎢ ⎥= 20 ⎢ −(3 q + 7 q ) sin ϕ Qxj ⎥ ⎢ ⎥ i j ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ (3 qi + 7 qj ) cos ϕ Qyj ⎥ ⎣ ⎦ mj − 23 lqi − lqj

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(525)

6.9

¨ Beispiel und Ubungsbeispiele zum zweidimensionalen Balken

6.9.1

Winkelproblem

Problembeschreibung

In der linken H¨ alfte von Bild 6.37 ist ein zweidimensionaler Rahmen aufgef¨ uhrt, der an seinen beiden Enden fest eingespannt ist. Er wird durch eine Einzelkraft F belastet. F¨ ur diese Struktur sollen die Verformungen und Schnittgr¨ oßen berechnet werden.

Bild 6.37. Winkel als zweidimensionaler Balken

6.9

¨ Beispiel und Ubungsbeispiele zum zweidimensionalen Balken

199

Einteilung in Elemente

Die Elementaufteilung ist in der rechten H¨ alfte von Bild 6.37 dargestellt. Die Struktur ist in zwei Elemente eingeteilt. Die Vergabe der Element- und Knotennummern ist beliebig, wobei die Knotennummern die Bandbreite der Gesamtsteiﬁgkeitsmatrix bestimmen (s. S. 49). Es ist jeweils das lokale Koordinatensystem eines jeden Elementes eingezeichnet. Elementknotenzuordnung Tabelle 6.3. Elementknotenzuordnung und Geometriedaten

Element

Knoten i

Knoten j

ϕ

sin(ϕ)

cos(ϕ)

A

I

l

1

1

2

0◦

2

2

3

0

1

1

1

1

270◦

-1

0

1

1

1

Elementsteiﬁgkeitsmatrizen

Die Steiﬁgkeitsmatrizen werden nach (522) auf der S. 197 aufgestellt. Sie beziehen sich auf das gew¨ ahlte, globale (x, y, z)-Koordinatensystem.

⎡

u1

v1

ϕ1

u2

v2

ϕ2

1

0

0

−1

0

0

12

6

0

−12

6

6

4

0

−6

2

0

0

1

0

0

−12

−6

0

12

−6

6

2

0

−6

4

⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 K1 = ⎢ ⎢ ⎢ −1 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎣ 0

⎤

u1 ⎥ ⎥ ⎥v1 ⎥ ⎥ ⎥ϕ1 ⎥ ⎥ ⎥u ⎥ 2 ⎥ ⎥ ⎥v2 ⎦ ϕ2

(526)

200

6. Balkenelemente

⎡

u2

v2

ϕ2

u3

v3

12

0

6

−12

0

1

0

0

−1

0

4

−6

0

0

−6

12

0

−1

0

0

1

0

2

−6

0

⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ K2 = ⎢ 6 ⎢ ⎢ −12 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎣ 6

ϕ3

⎤ u2 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥v2 ⎥ 2 ⎥ ⎥ϕ2 ⎥ −6 ⎥ ⎥u3 ⎥ ⎥ 0 ⎥v3 ⎦ 4 ϕ3 6

(527)

Gesamtsteiﬁgkeitsmatrix

¨ Die Gesamtsteiﬁgkeitsmatrix entsteht aus der Uberlagerung von K 1 und K 2 . Dazu sind bei der Einzelsteiﬁgkeitsmatrix und der Gesamtsteiﬁgkeitsmatrix die Zeilen und Spalten durch die Freiheitsgrade (u1 , v1 , u2 , . . .) durchnumeriert worden, so daß eine Zuordnung der Elemente aus den Elementsteiﬁgkeitsmatrizen zu den Elementen der Gesamtsteiﬁgkeitsmatrix m¨oglich wird.

Kg = u1 ⎡ 1 ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ −1 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎣ 0

v1

ϕ1

u2

v2

ϕ2

u3

v3

0

0

−1

0

0

0

0

12

6

0

−12

6

0

0

6

4

0

−6

2

0

0

0

0

1 + 12

0 + 0

0 + 6

−12

0

−12

−6

0 + 0

12 + 1

−6 + 0

0

−1

6

2

0 + 6

−6 + 0

4 + 4

−6

0

0

0

−12

0

−6

12

0

0

0

0

−1

0

0

1

0

0

6

0

2

−6

0

ϕ3

⎤ u 1 ⎥ ⎥ v1 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ϕ1 ⎥ ⎥ 6 ⎥ u2 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ v2 ⎥ 2 ⎥ ⎥ ϕ2 ⎥ ⎥ u −6 ⎥ 3 ⎥ 0 ⎥ ⎦ v3 0 0

4

ϕ3

(528) Die Anteile von Element 1 sind durch · · · gekennzeichnet. Die Anteile von Element 2 durch · · ·. Verformungen

Die festen Einspannungen f¨ uhren zu folgenden Randbedingungen: Knoten 1: u1 = v1 = ϕ1 = 0 Knoten 3: u3 = v3 = ϕ3 = 0

¨ Beispiel und Ubungsbeispiele zum zweidimensionalen Balken

6.9

201

Daher werden im Gleichungssystem (528) die Zeilen und Spalten 1 bis 3 und 7 bis 9 gestrichen. Daraus resultiert folgendes Untersystem zur Bestimmung der drei unbekannten Verformungen: ⎤⎡

⎡ 13

⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎣ 6 ⎡ u2 ⎢ ⎢ ⎢ v2 ⎣ ϕ2

0

6

⎤ u2

⎡

⎤ 0

⎥⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎥ ⎢ = ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ 13 −6 v 1 ⎥ ⎦⎣ 2 ⎦ ⎣ ⎦ −6 8 ϕ2 0 ⎤ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ 9 − 104 −0, 087 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ 17 ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ 104 ⎥ = ⎢ 0, 164 ⎥ ⎦ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 3 0, 188 16

(529)

Biegelinie des Balkens

Das Bild 6.38 zeigt eine allgemeine Biegelinie eines zweidimensionalen Balkens, von der ein beliebiger Punkt P bestimmt werden soll. Der Verformungs¯ vektor w ˆ an der Stelle ξ ergibt sich nach (502): ˆ ¯=N ¯w ¯ w

(530)

Bild 6.38. Allgemeine Form der Bie-

gelinie eines zweidimensionalen Balkens

Der Querstrich deutet an, daß es Gr¨ oßen im lokalen Koordinatensystem (¯ x, y¯) ¯ ¯ sind. Der Verformungsvektor w ˆ transˆ wird mit Hilfe der Beziehung w ˆ=Tw ¯ mit w ¯ = R w. Einsetzen in (530) f¨ uhrt zu: formiert, ebenso w ⎡ ⎤ 0 T ˆ = T T N ¯ Rw ⎦ w =Nw ; R=⎣ (531) 0 T

202

6. Balkenelemente

Die Transformationsmatrix T ist in (47) beschrieben. Unter Beachtung der Strecke ξ l, lautet damit die Beziehung f¨ ur P :

+ξl⎣ P = X

⎡

⎤

⎡ cos ϕ

ˆu = X +ξ⎣ ⎦+w

sin ϕ

xj − xi yj − yi

⎤ ˆu ⎦+w

(532)

ˆu enth¨ ˆ aus Der Vektor w alt die ersten beiden Komponenten des Vektors w (531). Die Matrix N hat folgendes Aussehen: N= ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

1 (N1s − N1b )· 2 sin 2ϕ

−N2b ·

N2s cos2 ϕ +

sin ϕ

N3b sin2 ϕ

1 (N1s − N1b )· 2 sin 2ϕ

N1s sin2 ϕ +

N2b ·

1 dN1b − sin ϕ l dξ

1 dN1b cos ϕ l dξ

N1s cos2 ϕ+ N1b sin2 ϕ

N1b

2

cos ϕ

1 (N2s − N3b )· 2 sin 2ϕ

−N4b ·

N2s sin2 ϕ +

N4b ·

cos ϕ

1 (N2s − N3b )· 2 sin 2ϕ

1 dN2b l dξ

1 dN3b − sin ϕ l dξ

1 dN3b cos ϕ l dξ

N3b

2

cos ϕ

sin ϕ

cos ϕ 1 dN4b l dξ

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(533) Nis sind die Formfunktionen des eindimensionalen Stabes (s. (258)). Nib die Formfunktionen des eindimensionalen Balkens (s. (375)).

Bild 6.39. Verformungen der zweidimensionalen Balkenstruktur

Das Bild 6.39 zeigt den verformten Winkel. Die Biegelinie ist nach (532) berechnet.

¨ Beispiel und Ubungsbeispiele zum zweidimensionalen Balken

6.9

203

Schnittgr¨ oßen

Die Einzelsteiﬁgkeitsmatrizen sind im globalen Koordinatensystem beschrieben. Folglich ergeben sich die nachfolgend berechneten Schnittgr¨oßen auch in diesem System. ⎡ ⎢ 1 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ −1 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0

0

0

−1

0

12

6

0

−12

6

4

0

−6

0

0

1

0

−12

−6

0

12

6

2

0

−6

⎤⎡ 0 ⎥⎢ 0 ⎥⎢ ⎢ 6 ⎥ ⎥⎢ 0 ⎥⎢ ⎥⎢ 2 ⎥⎢ 0 ⎥⎢ ⎥⎢ 9 ⎢ 0 ⎥ ⎥ ⎢ − 104 ⎥⎢ ⎢ 17 −6 ⎥ ⎥ ⎢ 104 ⎦⎣ 3 4 16 1 u

K1

⎡ ⎢ 12 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 6 ⎢ ⎢ ⎢ −12 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣ 6

0

6

−12

0

1

0

0

−1

0

4

−6

0

0

−6

12

0

−1

0

0

1

0

2

−6

0

⎡

9 104

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ − 87 ⎥ ⎢ 104 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 63 ⎥ ⎢ − 104 ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ − 9 104 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 87 ⎥ ⎢ 104 ⎦ ⎣ 3 − 13

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(534)

1F

⎤⎡ 9 6 ⎥ ⎢ − 104 ⎥⎢ ⎢ 17 0 ⎥ ⎥ ⎢ 104 ⎥⎢ ⎥⎢ 3 2 ⎥ ⎢ 16 ⎥⎢ ⎥⎢ ⎢ −6 ⎥ ⎥⎢ 0 ⎥⎢ ⎢ 0 ⎥ ⎥⎢ 0 ⎦⎣ 4 0 2 u

K2

⎤

⎤

⎡

9 104

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 17 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 104 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 3 ⎥ ⎢ 13 ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ − 9 104 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ − 17 ⎥ ⎢ 104 ⎦ ⎣ 15 − 104

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(535)

2F

Die Schnittgr¨ oßen an den Knoten sind in Bild 6.40 f¨ ur die beiden Elemente aufgetragen. Die Schnittgr¨ oßen an den Knoten 1 und 3 entsprechen aufgrund der nat¨ urlichen Randbedingung (Kraftrandbedingung) den Auﬂagerreaktionen. Die Kraftrandbedingung f¨ ur den Knoten 2 lautet: ⎡

1

Fx2

⎢ ⎢ 1 ⎢ Fy2 ⎣ 1 M2

⎤

⎡

2

Fx2

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 2 ⎥ + ⎢ Fy2 ⎦ ⎣ 2 M2

⎤

⎡

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎦ ⎣

9 − 104 87 104 3 − 13

⎤

⎡

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎢ ⎦ ⎣

9 104 17 104 3 13

⎤

⎡

⎤ 0

⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ 1 ⎥ ⎦ ⎦ ⎣ 0

(536)

Der Vektor auf der rechten Seite beschreibt die ¨ außere Last am Knoten 2. Das Gleichgewicht ist also erf¨ ullt. Die Kontrolle des Gleichgewichtes der Elemente f¨ uhrt auf die Bedingung, daß die Summe der Kr¨afte in x- und y-Richtung

204

6. Balkenelemente

Bild 6.40. Schnittgr¨ oßen des zweidimen-

sionalen Balkenproblems

verschwindet, was bei beiden Elementen der Fall ist. Zudem muß das Momentengleichgewicht erf¨ ullt sein. Es ergibt sich z.B. f¨ ur Element 1 am Knoten 1: Fy2 · 1 − 1M1 − 1M2 = 0

1

87 3 63 ·1− − =0 104 13 104

(537)

Damit ist auch diese Bedingung erf¨ ullt. 6.9.2

6.13

¨ Ubungsbeispiele zum zweidimensionalen Balken

Balkenbeispiel XIII

In Bild 6.41 ist eine zweidimensionale Struktur dargestellt, die sich aus drei Balken zusammensetzt. Die Lagerung besteht aus drei Festlagern und einem Loslager. Am Knoten 2 tritt eine Kraft von F =−1 und ein Moment von M =1 auf. Alle Balken haben einen Querschnitt von A=1, ein Fl¨achentr¨agheitsmoment von I=1 und einen E-Modul von E=1.

Bild 6.41. Geometrie, Belastung und Elementknotenzuordnung des Balkensystems

Gesucht sind f¨ ur dieses Beispiel die Verformungen der Knoten und die Biegelinien der Balken. Dazu ist die Beziehung (532) auf der S. 202 zu benutzen.

6.9

¨ Beispiel und Ubungsbeispiele zum zweidimensionalen Balken

205

Balkenbeispiel XIV

In Bild 6.42 ist ein Kragbalken dargestellt, der an seinem freien Ende durch eine Feder gest¨ utzt und durch eine Kraft F belastet wird. Die Feder hat eine Steiﬁgkeit k. Der Kragbalken hat eine L¨ ange l, ein Fl¨achentr¨agheitsmoment I und einen E-Modul E.

6.14

Bild 6.42. Kopplung von Balken und Stab

F¨ ur dieses Beispiel sind die Verformungen und Auﬂagerreaktionen zu berechnen. Dabei ist die Feder durch ein Stabelement darzustellen. Alternativ ist die Wirkung der Feder durch eine entsprechende Kraft zu ber¨ ucksichtigen. F¨ ur die L¨ osung ist die Elementknotenzuordnung aus der rechten H¨alfte von Bild 6.42 zu verwenden.

Bild 6.43. Winkel als Balkenproblem. In der Rechnung ist f¨ ur l, M , A, E und I jeweils der Wert 1 anzunehmen

Balkenbeispiel XV

In Bild 6.43 ist ein Winkel dargestellt. Hierf¨ ur sollen unter Beachtung der gegebenen Element- und Knotennumerierung die Verformungen berechnet werden. Aus den Knotenverformungen sind die Biegelinien der Balken darzustellen. Zudem sind die Schnittgr¨ oßen zu berechnen. Aus diesen sollen die Auﬂagerreaktionen ermittelt werden. Balkenbeispiel XVI

In Bild 6.44 ist eine zweidimensionale Balkenstruktur dargestellt. Alle Balken haben eine Querschnittsﬂ¨ ache A, ein Fl¨ achentr¨agheitsmoment I und einen E-Modul E. Die Belastung betr¨ agt F . Es ist die mehrfache Symmetrie des

6.15

6.16

206

6. Balkenelemente

Problems auszunutzen. Gesucht sind die Verformungen des Systems sowie die horizontale Auﬂagerkraft im linken Auﬂager und die Biegelinien.

Bild 6.44. Symmetrische, zweidimensionale Balkenstruktur

M

Beispiel mit FEM GEN und FEM CAS

In Bild 6.45 ist eine H¨ alfte eines elastisch gelagerten Balkens dargestellt. Die elastische Lagerung wird durch Federn der Steiﬁgkeit k realisiert. Der Balken hat eine Biegesteiﬁgkeit EI. Gesucht ist die Durchbiegung v2 = v2 (L, I, k, E) am Kraftangriﬀsort. F¨ ur die numerische Rechnung sind die gegebenen Zahlenwerte zu verwenden.

Bild 6.45. Elastisch gelagerter Balken. L = 10, l = 2, I = 1/2, A = 1, F = 104 , E = 2 · 107 , k = 105

Kapitel 7 Scheibenproblem

7

7

7 7.1 7.2 7.2.1 7.3 7.4 7.4.1 7.4.2 7.4.3 7.4.4 7.4.5 7.5 7.6

Scheibenproblem Problemdeﬁnition ................................................ Die Grundgleichungen des Scheibenproblems ............. Die Feldgleichungen der Scheibe ............................. Das Funktional des Scheibenproblems ....................... Diskretisierung des Funktionals ............................... Formfunktionen des Dreieckselementes ..................... Variation des diskretisierten Funktionals .................... Diskretisierung der Volumenkr¨afte............................ Diskretisierung der Streckenlasten ............................ Spannungen in der Scheibe .................................... Beispiele zum Scheibenproblem ............................... ¨ Ubungsbeispiele zur Scheibe ...................................

209 210 211 212 213 213 217 219 222 225 225 232

7 Scheibenproblem 7.1

7.1 Problemdeﬁnition Das Bild 7.1 zeigt einen K¨ orper mit zwei Hauptausdehnungsrichtungen in xund y-Richtung. Er wird im folgenden Scheibe genannt. Die dritte Ausdehnungsrichtung entlang der z-Achse wird u ¨ ber die Dicke t beschrieben. Die Mittelﬂ¨ ache, die mittig zwischen den Deckﬂ¨ achen liegt, besitzt den Normalenvektor ez und die Koordinate z = 0. Damit liegen die x- und y-Achse in der Mittelﬂ¨ ache.

Bild 7.1. Deﬁnition des Scheibenproblems

Eine solche Scheibe weist einen ebenen Spannungszustand1 auf, wenn folgende Bedingungen erf¨ ullt sind: Die Dicke t ¨ andert sich nur moderat und es gilt: t/l 1. Die Belastung liegt in der Mittelﬂ¨ ache der Scheibe. Die Verschiebungen, Dehnungen und Spannungen sind konstant u ¨ ber die Dicke der Scheibe. Damit reduziert sich der allgemeine, r¨aumliche Spannungszustand: ⎡ ⎤ σxx σxy σxz ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ (538) σ = ⎢ σyx σyy σyz ⎥ ⎣ ⎦ σzx σzy σzz 1

Daneben existiert noch ein ebener Dehnungszustand, der aber im weiteren nicht behandelt wird.

k

210

7. Scheibenproblem

auf den ebenen Spannungszustand, da die Spannungskomponenten normal zu den Deckﬂ¨ achen z ± t/2 verschwinden. Es sind damit die Spannungskomponenten σxz , σyz , σzz an diesen Stellen Null. Weiterhin sind f¨ ur | z |< t/2 diese Spannungskomponenten vernachl¨assigbar klein, so daß als Spannungen nur noch die Normalspannungen σxx und σyy sowie die Schubspannung σxy u ¨ brig bleiben.

7.2

7.2 Die Grundgleichungen des Scheibenproblems Das Bild 7.2 zeigt in der Form des Tonti-Diagrammes die drei Felder des Scheibenproblems. Diese sind das Verschiebungsfeld u, das Dehnungsfeld ε und das Spannungsfeld σ . Sie werden u ¨ber die drei Feldgleichungen miteinander verkn¨ upft. Weiterhin sind im Tonti-Diagramm die Randbedingungen angef¨ uhrt.

Bild 7.2. Die Beschreibung des Scheibenproblems in Form des Tonti-Diagrammes

Verschiebungen

Das vektorielle Verschiebungsfeld (s. S. 29) u ˆ(x, y) enth¨alt die beiden Komponenten u(x, y) und v(x, y). u ist die Verschiebung in x-Richtung und v die in y-Richtung: u ˆT =

u(x, y)

(539)

v(x, y)

Dehnungen

Das Dehnungsfeld ist ein dyadisches Feld (s. S. 29) mit den drei unabh¨angigen Komponenten εxx , εyy und γxy = 2 εxy . Die Dehnungen werden wie auch die Spannungen im Rahmen der FEM als Vektor geschrieben: ε T =

εxx

εyy

γxy

(540)

7.2

Die Grundgleichungen des Scheibenproblems

211

Spannungen

Wie zuvor schon ausgef¨ uhrt, wird hier im Rahmen des Scheibenproblems nur der ebene Spannungszustand betrachtet. Damit stellt sich das Spannungsfeld als dyadisches Feld mit den drei unabh¨ angigen Komponenten σxx , σyy und σxy dar. Sie werden analog zu den Dehnungen in Vektorform geschrieben: σ T =

σyy

σxx

(541)

σxy

7.2.1 Die Feldgleichungen der Scheibe

Die beschriebenen drei Felder der Scheibe werden u ¨ber die drei Feldgleichungen: Kinematik-, Stoﬀ- und Gleichgewichtsgleichung miteinander verkn¨ upft. Kinematische Beziehung

Die kinematische Beziehung ε = L u ˆ (s. Bild 7.2) lautet in ausf¨ uhrlicher Schreibweise: ⎡ ⎤

⎡ εxx

⎢ ⎢ ε = ⎢ εyy ⎣ γxy

⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤

⎡

∂ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ∂x ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ∂ ⎥=⎢ 0 ⎥ ⎢ ∂y ⎥ ⎢ ⎢ ∂ ∂u ∂v ⎥ ∂ ⎦ ⎣ + ∂y ∂x ∂y ∂x ∂u ∂x ∂v ∂y

⎤ ⎥ ⎥⎡ ⎤ ⎥ ⎥ u ⎥⎣ ⎦ = L u ˆ ⎥ ⎥ v ⎥ ⎦

(542)

L

¨ ˆ mit den DehUber den Diﬀerentialoperator L werden die Verschiebungen u nungen ε verkn¨ upft. Stoﬀgleichungen

Mit Hilfe der Stoﬀmatrix D und der Beziehung σ = D ε lassen sich aus den Dehnungen ε die Spannungen σ berechnen. In ausf¨ uhrlicher Form: ⎡

⎤

⎡ σxx

⎢ ⎢ σ = ⎢ σyy ⎣ σxy

⎥ E ⎥ ⎥= ⎦ 1 − ν2

1

⎢ ⎢ ⎢ ν ⎢ ⎣ 0

ν 1 0 D

0

⎤⎡

⎤ εxx

⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ε 0 ⎥ ⎣ yy 1−ν ⎦ γxy 2

⎥ ⎥ ⎥ = D ε ⎦

(543)

212

7. Scheibenproblem

In der Stoﬀmatrix D tritt f¨ ur den isotropen Fall neben dem Elastizit¨atsmodul E noch die Querkontraktion ν auf. Gleichgewichtsbeziehung

Die Gleichgewichtsbeziehung LT σ +b = 0 (s. Bild 7.2) schreibt sich in ausf¨ uhrlicher Form: ⎤⎡ ∂ σ ⎢ xx ∂y ⎥ ⎥⎢ ⎥⎢ σ ∂ ⎦ ⎣ yy σxy ∂x

⎡

∂ ⎢ ∂x ⎢ ⎢ ⎣ 0

0 ∂ ∂y

⎤

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎥ b 0 x ⎥ ⎣ ⎦=⎣ ⎦ ⎥+ ⎦ by 0

(544)

Der Vektor b beschreibt sogenannte Volumenkr¨afte. Dies sind innere Kr¨afte, die an das Volumen gekoppelt sind. Mit Hilfe des Beschleunigungsvektors g T und der Dichte ρ lassen sie sich schreiben als: b = ρ gx gy . Randbedingungen

Die wesentlichen Randbedingungen u = 0u ˆ werden dem Rand Γu aufgepr¨agt (s. Bild 7.1), wobei auch punktf¨ ormige Lagerungen m¨oglich sind. Die nat¨ urlichen Randbedingungen der Form t n σ = 0 q werden dem Rand Γq zugeordnet. Dabei stellt sich 0 q als aufgepr¨ agte Streckenlast dar. Punktf¨ormige, nat¨ urliche Randbedingungen haben die Form einer Einzelkraft F T = Fx Fy . Die Matrix n hat folgendes Aussehen: ⎡ n=⎣

7.3

⎤ nx

0

ny

0

ny

nx

⎦

(545)

7.3 Das Funktional des Scheibenproblems Das Gesamtpotential des enth¨alt neben der elastischen - Scheibenproblems 1 T Form¨ anderungsarbeit 2 V ε σ dV drei Terme, die das Potential der ¨außeren - T Kr¨ afte erfassen. Der Term V u ˆ ˆb dV beschreibt das Potential der Volumen- T kr¨ afte. Der Term Γ uˆ qˆ dγ erfaßt die Streckenlast, die sich entlang einer Kante Γq erstreckt. Der letzte Ausdruck in (546) enth¨alt die Einzelkr¨afte.

Π=

1 2

ε T σ dV −

V

V

uˆT ˆb dV −

uˆT qˆ dγ − uT F Γ

(546)

7.4

Diskretisierung des Funktionals

213

7.4 Diskretisierung des Funktionals 7.4.1 Formfunktionen des Dreieckselementes

Bild 7.3. Einteilung eines K¨ orpers in Dreieckselemente

In Bild 7.3 ist ein allgemeiner, ebener K¨ orper, der in der (x, y)-Ebene liegt, dargestellt. Dieser krummlinig berandete K¨ orper wird in Dreieckselemente aufgeteilt. Durch eine immer feiner werdende Aufteilung kann die Kontur und damit die Fl¨ ache beliebig genau approximiert werden. Ein einzelnes Dreieck stellt ein ﬁnites Element, n¨ amlich ein Dreieckselement dar. Ein solches Dreieckselement1 ist in Bild 7.4 dargestellt. Es weist an seinen Ecken jeweils einen Knoten auf. Die Geometrie des Elementes wird u ¨ ber die Koordinaten der drei Knoten beschrieben. F¨ ur jeden Knoten ist eine Verschiebung in x-Richtung (u) und y-Richtung (v) deﬁniert. Den Verschiebungen sind entsprechende Kr¨afte Fx und Fy zugeordnet.

Bild 7.4. Koordinaten, Freiheitsgrade und Kno-

tenkr¨ afte des dreiknotigen Dreieckselementes

Ansatzfunktion

Die lineare Ansatzfunktion f¨ ur eine beliebige, skalare Gr¨oße2 φ in Dreieckskoordinaten lautet: 1

Das sechsknotige Element wird zus¨ atzlich im Computeralgebraprogramm “Scheibe Dreieck“ behandelt (s. Kap. 12.2.8 auf S. 373). 2 Die skalaren Gr¨ oßen sind beim Scheibenproblem die Verschiebungen u und v.

7.4

214

7. Scheibenproblem

⎡

⎤ a0

φ(x, y) = a0 + a1 L1 + a2 L2 =

L1

1

L2

⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ a1 ⎥ = xT a = aT x (547) ⎣ ⎦ a2

Interpolationsbedingungen

Die unbekannten Koeﬃzienten a0 , a1 , a2 werden durch folgende Interpolationsbedingungen durch die Knotengr¨ oßen ersetzt (s. Bild 2.7 auf der S. 40): φ(L1 = 1 ; L2 = 0) = φ1 ⇒

φ1 = a0 + a1

φ(L1 = 0 ; L2 = 1) = φ2 ⇒

φ2 = a0 + a2

φ(L1 = 0 ; L2 = 0) = φ3 ⇒

φ3 = a0

(548)

Die voranstehenden Gleichungen lassen sich wie folgt zusammenfassen: ⎤⎡

⎡ 1

1

⎡

⎤

⎤ φ1

a0

0

⎥⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 1 0 1 ⎥ ⎢ a1 ⎥ = ⎢ φ2 ⎥ ⎦⎣ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 1 0 0 a2 φ3 A

a

(549)

φ

alt man: Durch Inversion von A erh¨ ⎤⎡

⎡ 0

⎢ =⎢ a = A−1 φ ⎢ 1 ⎣ 0

0 0 1

⎤ φ1

1

⎥⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ −1 ⎥ ⎢ φ2 ⎥ ⎦⎣ ⎦ −1 φ3

(550)

Einsetzen in (547) f¨ uhrt auf die Formfunktionen des dreiknotigen Dreieckselementes: =N Tφ φ = xT A−1 φ ⎡ T = N

⎤ 0

1

L1

L2

⎢ ⎢ ⎢ 1 ⎣ 0

0 0 1

1

⎥ ⎥ −1 ⎥ = L1 ⎦ −1

L2

1 − L1 − L2

7.4

Diskretisierung des Funktionals

=

215

N1

N2

(551)

N3

Die Formfunktionen aus (551) sind in Bild 7.5 dargestellt. Es sind die Funktionen N1 , N2 und N3 normal zum Element aufgetragen. Charakteristisch f¨ ur die Formfunktion Ni (i = 1, 2, 3) ist, daß sie am Knoten i den Wert 1 annimmt. An den beiden anderen Knoten verschwindet die Formfunktion. Im Element selbst ist sie linear abh¨ angig von L1 und L2 .

Bild 7.5. Formfunktionen des dreiknotigen Dreieckselementes

Dehnungs-Verschiebungs-Beziehung

Die Beziehung (551) gilt f¨ ur eine skalare Gr¨ oße φ. Es werden jetzt f¨ ur φ die beiden unabh¨ angigen Verschiebungen u und v eingesetzt:

u = N1 u 1 + N2 u 2 + N3 u 3 v = N1 v1 + N2 v2 + N3 v3

(552)

Die Gr¨ oßen u1 , u2 , u3 und v1 , v2 , v3 sind die Verschiebungen an den Knoten. Die voranstehenden Gleichungen lassen sich in Matrixform schreiben als: ⎡

⎤

⎡ ⎣

u

⎦=⎣

v ˆ u

⎡

N1

0

N2

0

N3

0

N1

0

N2

0

N

⎢ ⎢ ⎢ ⎤⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎦⎢ ⎢ N3 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ u1

⎥ ⎥ v1 ⎥ ⎥ ⎥ u2 ⎥ ⎥ ⎥ = N u v2 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ u3 ⎥ ⎦ v3 u

(553)

216

7. Scheibenproblem

Der Vektor u ˆ beschreibt die Verschiebungen im Element. Die Matrix N enth¨ alt die Formfunktionen. Der Vektor u erfaßt die Knotenverschiebungen des Dreieckselementes. Die Beziehung (553) in (542) eingesetzt, ergibt: ˆ = L N u = LΔ N u = B u ε = L u

(554)

alt die partiellen Ableitungen in DreieckskoDer Diﬀerentialoperator LΔ enth¨ ordinaten und ist in (91) auf der S. 43 deﬁniert. Einsetzen dieses Operators in (554) bzw. (553) f¨ uhrt auf die Dehnungs-Verschiebungs-Matrix B und kann wie folgt berechnet werden (xij = xi − xj ; yij = yi − yj ): ⎡

∂ ∂ 0 ⎢ y23 ∂L + y31 ∂L ⎢ 1 2 ⎢ ∂ ∂ 1 ⎢ ⎢ 0 x32 + x13 B = LΔ N = ∂L ∂L 2 AΔ ⎢ 1 2 ⎢ ⎢ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎣ x32 + x13 y23 + y31 ∂L1 ∂L2 ∂L1 ∂L2 ⎡ L 0 L2 0 1 − L1 − L2 0 ⎣ 1 0 L1 0 L2 0 1 − L1 − L2 ⎡ − y32 0 y31 0 −y21 0 1 ⎢ ⎢ = ⎢ 0 x32 0 −x31 0 x21 2 AΔ ⎣ x32 −y32 −x31 y31 x21 −y21

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎦ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(555)

Spannungs-Verschiebungs-Beziehung

Durch Einsetzen von (554) in (543) erh¨ alt man die Spannungs-DehnungsBeziehung:

σ = D B u

(556)

F¨ ur die Diskretisierung stehen jetzt folgende Ausdr¨ ucke zur Verf¨ ugung: (u ˆ)T = (N u)T = uT N T nach (553) ε T = (B u)T = uT B T nach (554) σ = D B u nach (556) Die Gleichungen werden in das Funktional nach (546) eingesetzt:

7.4

Diskretisierung des Funktionals

217

H

1 Π = uT 2

T T T T ˆ N b dV − u N T qˆ dγ − uT F B D B dV u − u V V Γ K

G

Q

1 − uT Q − uT F = uT Ku − uT G 2

(557)

Die Gr¨ oßen in der voranstehenden Gleichung haben folgende Bedeutung: K - Steiﬁgkeitsmatrix des dreiknotigen Dreiecksscheibenelementes - Vektor der Knotenkr¨ G afte aus den Volumenkr¨aften - Vektor der Knotenkr¨ Q afte aus den Streckenlasten F - Vektor der Knotenkr¨ afte aus den Einzelkr¨aften 7.4.2 Variation des diskretisierten Funktionals

Die Variation f¨ ur das voranstehende Funktional lautet:

δΠ =

∂Π δu = 0 ∂u

(558)

∂ Bei Anwendung dieses Ausdruckes auf (557) wird die Rechenregel δu = ∂u ∂ angewendet (s. (72) auf der S. 39): δuT ∂u T δΠ =

∂u uT uT uT 1 T 1 T ∂uT T ∂ T ∂ T ∂ δu u δ u − δ u K u + K G − δ u Q − δ u F 2 ∂uT 2 ∂u ∂uT ∂uT ∂uT (559)

In die voranstehende Gleichung werden folgende Beziehungen eingef¨ uhrt: ∂uT ∂u =E = ∂uT ∂u uT Kδu = δuT K T u = δuT Ku nach (74) Die Addition der beiden ersten Terme in (559) ausgef¨ uhrt und den Ausdruck uhrt auf: δuT ausgeklammert, f¨ −Q − F = 0 δΠ = δuT K u − G

(560)

218

7. Scheibenproblem

Die Variation verschwindet nur dann, wenn der Klammerausdruck zu Null wird, da δuT beliebige Werte annehmen kann. Somit erh¨alt man die Gleichgewichtsbeziehung der FEM f¨ ur das dreiknotige Dreiecksscheibenelement zu: +Q + F K u = G

(561)

Zur Bestimmung der Steiﬁgkeitsmatrix K muß die Dyade H = B T D B gebildet werden: ⎡

⎡

⎤

⎢ 1 ν 0 E ⎢ ⎢ ν 1 0 DB= 1 − ν2 ⎢ ⎣ 0 0 β ⎡ E ⎢ −y32 2 ⎢ = 1−ν ⎢ −νy32 2 AΔ ⎢ ⎣ βx32

⎤

⎢ −y32 ⎥ ⎥ 1 ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ 2 AΔ ⎢ 0 ⎣ ⎦ x32 νx32

y31

−νx31

−y21

x32

νy31

−x31

−νy21

−βy32

−βx31

βy31

βx21

0

y31

0

−y21

0

x32

0

−x31

0

x21

−y32

−x31

y31

x21 ⎤

−y21

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

νx21 ⎥ ⎥ x21 ⎥ ⎥ ⎦ −βy21 (562)

E H = BT D B = (1 − ν 2 ) 4 A2Δ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

2 y32

−νy32 x32

−y31 y32

νx31 y32

y21 y32

+βx232

−βx32 y32

−βx32 x31

+βx32 y31

+βx21 x32

−νy32 x32

x232

νy31 x32

−x31 x32

−νx32 y21

−βx32 y32

2 +βy32

+βx31 y32

−βy31 y32

−βx21 y32

−y31 y32

νy31 x32

2 y31

−νx31 y31

−y21 y31

−βx32 x31

+βx31 y32

+βx231

−βx31 y31

−βx21 x31

νx31 y32

−x31 x32

−νx31 y31

x231

νx31 y21 +βx21 y31

+βx32 y31

−βy31 y32

−βx31 y31

2 +βy31

y21 y32

−νx32 y21

−y21 y31

νx31 y21

2 y21

+βx21 x32

−βx21 y32

−βx21 x31

+βx21 y31

+βx221

−νx21 y32

x21 x32

νx21 y31

−x21 x31

−νx21 y21

−βx32 y21

+βy21 y32

+βx31 y21

−βy21 y31

−βx21 y21

⎤ −νx21 y32 ⎥ ⎥ −βx32 y21 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ x21 x32 ⎥ ⎥ ⎥ +βy21 y32 ⎥ ⎥ ⎥ νx21 y31 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ +βx31 y21 ⎥ ⎥ ⎥ −x21 x31 ⎥ ⎥ ⎥ −βy21 y31 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ −νx21 y21 ⎥ ⎥ ⎥ −βx21 y21 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 2 x21 ⎥ ⎦ 2 +βy21

ˆ H

(563)

7.4

Diskretisierung des Funktionals

219

Die Abk¨ urzungen in den voranstehenden Gleichungen haben folgende Bedeutung: 1−ν ; xij = xi − xj = −xji ; yij = yi − yj = −yji 2

β=

AΔ - Fl¨ ache des Dreieckselementes Damit erh¨ alt man die Steiﬁgkeitsmatrix des Scheibendreieckselementes. Die uhrt unter Beachtung von dV = t dA zu folgendem AusIntegration von H f¨ druck: K =t

E ˆ H (1 − ν 2 ) 4 A2Δ

H dA = t A

dA = A

Et ˆ H (1 − ν 2 ) 4 A

(564)

7.4.3 Diskretisierung der Volumenkr¨ afte

Die Volumenkr¨ afte werden u ¨ ber die Dichte ρ und den Beschleunigungsvektor g (x, y) beschrieben. Zur Umrechnung dieser Volumenkr¨afte in Knotenkr¨afte des Dreieckselementes wird im Element eine Linearverteilung von ˆb = ρ g(x, y) angenommen. Diese l¨ aßt sich mit Hilfe der Formfunktionen beschreiben, die auch zur Beschreibung der Verschiebungen u, v im Element dienen (s. (551)). ⎤

⎡ ˆ b = ρ⎣

gx

⎡

⎦=⎣

gy

⎤ bx

⎦

by

⎡

⎡ =⎣

L1

0

L2

0

0

L1

0

L2

(1 − L1 − L2 )

0

N

⎢ ⎢ ⎢ ⎤⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎦⎢ ⎢ 1 − L1 − L2 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ bx1

⎥ ⎥ by1 ⎥ ⎥ ⎥ bx2 ⎥ ⎥ ⎥ (565) by2 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ bx3 ⎥ ⎦ by3 b

(s. (557)): Damit ergibt sich f¨ ur G = G

N ˆb dV =

N T N dV b

T

V

V

(566)

220

7. Scheibenproblem

Die Ausf¨ uhrung des Produktes N T N f¨ uhrt mit L3 = 1 − L1 − L2 auf: ⎤

⎡ L1

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

0 L2 0 L3 0

⎡

L21

0

⎥ ⎥ L1 ⎥ ⎥⎡ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎣ L1 ⎥ L2 ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎦ L3

⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ L1 L2 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ L1 L3 ⎣ 0

⎤ 0

L2

0

L3

0

L1

0

L2

0

L3

0

⎦=

⎤

0

L1 L2

0

L1 L3

L21

0

L1 L2

0

0

L22

0

L2 L3

L1 L2

0

L22

0

0

L2 L3

0

L23

L1 L3

0

L2 L3

0

⎥ ⎥ L1 L3 ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ L2 L3 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎦ 2 L3

(567)

Die Integration u ¨ ber die einzelnen Elemente der voranstehenden Matrix weist folgende allgemeine Form auf (s. (98)): Lai Lbj Lck dA = A

a! b! c! 2 A (a + b + c + 2)!

(568)

Die quadratischen Terme (a = 2; b = c = 0) f¨ uhren zu (dV = t dA): L2i dA =

t A

2! 0! 0! 1 2 tA = tA (2 + 0 + 0 + 2)! 6

(569)

F¨ ur die gemischten Terme (a = b = 1; c = 0) ergibt sich: t

Li Lj dA = A

1! 1! 0! 1 2 tA = tA (1 + 1 + 0 + 2)! 12

(570)

Damit lassen sich alle Elemente des Matrizenproduktes N T N integrieren. Unter der Voraussetzung einer konstanten Elementdicke t ergibt die Integration:

7.4

Diskretisierung des Funktionals

221

⎡

NT

t A

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ tA ⎢ ⎢ N dA = ⎢ 12 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ 2

0

1

0

1

0

2

0

1

0

1

0

2

0

1

0

1

0

2

0

1

0

1

0

2

0

1

0

1

0

0

⎥ ⎥ 1 ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎦ 2

(571)

Die Multiplikation der voranstehenden Gleichung mit b f¨ uhrt auf die endg¨ ultige Beziehung f¨ ur die Knotenkr¨ afte: ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ tA ⎢ = G ⎢ 12 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ 2 bx1 + bx2 + bx3

⎥ ⎥ 2 by1 + by2 + by3 ⎥ ⎥ ⎥ bx1 + 2 bx2 + bx3 ⎥ ⎥ ⎥ by1 + 2 by2 + by3 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ bx1 + bx2 + 2 bx3 ⎥ ⎦ by1 + by2 + 2 by3

(572)

Beispiel zur Volumenkraft

Liegt eine konstante Beschleunigung in x-Richtung vor (bx1 = bx2 = bx3 = b) und ist sie in y-Richtung Null, so ergibt sich: ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ tA ⎢ = G ⎢ 12 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ 4b

⎤

⎡

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 4b ⎥ 1 ⎢ ⎥ = tA b ⎢ ⎥ ⎢ 3 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ 4b ⎥ ⎦ ⎣ 0

1

⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ 1 ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 1 ⎥ ⎦ 0

(573)

Die gesamte Kraft aus der Beschleunigung tA b, die auf das Element wirkt, wird gleichm¨ aßig zu je einem Drittel auf die Knoten des Elementes verteilt.

222

7. Scheibenproblem

7.4.4 Diskretisierung der Streckenlasten

In Bild 7.6 ist eine Kante des Dreieckselementes mit einer Streckenlast belastet. Sie weist eine lineare Verteilung auf, die u ¨ ber die Werte q3 und q1 an den Knoten 3 und 1 beschrieben wird. Zur Beschreibung der Streckenlast auf uhrt: allen drei Kanten Γ12 , Γ23 , Γ31 wird ein Vektor q eingef¨

Bild 7.6. Streckenlast beim Dreiecksele-

ment

⎤

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ q=⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

qx1

⎥ ⎥ qy1 ⎥ ⎥ ⎥ qx2 ⎥ ⎥ ⎥ qy2 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ qx3 ⎥ ⎦ qy3

(574)

Die Streckenlasten an den Knoten sind hierbei in ihre Komponenten des globalen (x, y)-Koordinatensystems zerlegt worden (s. Knoten 2 in Bild 7.6). ¨ Uber die Formfunktionen nach (553) lassen sich damit die Streckenlasten aller drei Kanten des Elementes durch folgende Beziehung ausdr¨ ucken: qˆ = N q

(575)

Dieser Ansatz wird in (557) eingesetzt: = Q

N T qˆ dγ =

N T N q dγ Γ Γ T T N N dγ q + N N dγ q + N T N dγ q = Γ12 Γ23 Γ31 12 Q

23 Q

31 Q

(576)

7.4

Diskretisierung des Funktionals

223

Die Integration u ander des Elementes wird kantenweise vorgenom¨ ber die R¨ men. Die Ausf¨ uhrung des Produktes N T N ist in (567) zu ﬁnden. Exemplarisch uhrt: wird f¨ ur die Kante Γ31 die Integration ausgef¨ 31 = Q

N T N dγ q Γ31

⎡

L21

⎤

⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ L1 L2 ⎢ = ⎢ Γ31 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ L1 L3 ⎣ 0

0

L1 L2

0

L1 L3

L21

0

L1 L2

0

0

L22

0

L2 L3

L1 L2

0

L22

0

0

L2 L3

0

L23

L1 L3

0

L2 L3

0

0

⎥ ⎥ L1 L3 ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ dγ q L2 L3 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎦ L23

(577)

Die Kante Γ31 weist Dreieckskoordinaten L2 = 0, 0 ≤ L1 , L3 ≤ 1 (s. Bild 7.6) auf. Bei dem Produkt N T N verschwindet damit die Koordinate L2 . Die allgemeine L¨ osung f¨ ur die elementweise Integration u ¨ ber eine Kante lautet (s. (101) auf der S. 45): Lak Lbi dγ = Γki

a! b! Ski (a + b + 1)!

(578)

F¨ ur die quadratischen Terme (a = 2; b = 0) ergibt sich: L2k dγ = Γki

2! 0! 1 Ski = Ski (2 + 0 + 1)! 3

(579)

Die gemischten Terme (a = 1; b = 1) f¨ uhren zu: L1k L1i dγ = Γki

1! 1! 1 Ski = Ski (1 + 1 + 1)! 6

Die Kr¨ afte auf der Kante Γ31 ergeben sich damit zu:

(580)

224

7. Scheibenproblem

⎡

31 Q

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 1 ⎢ = S31 ⎢ ⎢ 6 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ 2

0

0

0

1

0

2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

2

0

1

0

0

0

0

⎥ ⎥ 1 ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ q ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎦ 2

(581)

Die Gr¨ oße S31 ist die Kantenl¨ ange zwischen Knoten 3 und 1. Analog ergeben sich die Kr¨ afte f¨ ur Kante Γ12 und Γ23 : ⎡

12 Q

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 1 ⎢ = S12 ⎢ ⎢ 6 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ 2

0

1

0

0

0

0

2

0

1

0

0

1

0

2

0

0

0

0

1

0

2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

2

0

1

0

0

0

2

0

0

0

1

0

2

0

0

0

1

0

⎡

23 Q

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 1 ⎢ = S23 ⎢ ⎢ 6 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ q ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(582)

⎤ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ q ⎥ 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎦ 2

=Q 12 + Q 23 + Q 31 f¨ Eine Addition Q uhrt auf:

(583)

7.5

Beispiele zum Scheibenproblem

225

= 1 Q ⎡ 3 1 1 0 S 0 S 0 2 12 2 31 ⎢ S12 + S31 ⎢ 1 1 ⎢ 0 S12 + S31 0 S 0 S ⎢ 2 12 2 31 ⎢ ⎢ 1 1 ⎢ 2 S12 0 S12 + S23 0 S 0 2 23 ⎢ ⎢ 1 1 ⎢ 0 S 0 S12 + S23 0 S 2 12 2 23 ⎢ ⎢ ⎢ 1S 1 0 S 0 S23 + S31 0 ⎢ 2 31 2 23 ⎣ 1 1 0 S 0 S 0 S23 + S31 2 31 2 23

⎤⎡

⎤ q x1 ⎥⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎥⎢ qy ⎥ ⎥⎢ 1 ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎥⎢ qx2 ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎥⎢ qy2 ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎥⎢ q ⎥ ⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎦⎣ ⎦ qy3 (584)

Die Kantenl¨ angen Sij haben folgende Bedeutung:

Sij =

(xj − xi )2 + (yj − yi )2 0

falls die Kante Γij belastet ist falls die Kante Γij unbelastet ist

(585)

7.4.5 Spannungen in der Scheibe

In (556) sind die Spannungen σ u ¨ber die Beziehung:

σ = D B u

(586)

mit den Knotenverschiebungen u verkn¨ upft. Der Verschiebungsvektor u ist in (553) deﬁniert, der Spannungsvektor σ in (541). Nachdem die Knotenverschiebungen bekannt sind, lassen sich die Spannungen nach dieser Gleichung berechnen. Die Terme des Produktes D B (s. (562)) sind konstant. Damit sind die Spannungen im dreiknotigen Dreieckselement konstant. Dies hat zur Folge, daß die Spannungen an den Elementgrenzen im allgemeinen unstetig sind.

7.5 Beispiele zum Scheibenproblem Problemdeﬁnition

In Bild 7.7 ist in der linken H¨ alfte ein Zugblech dargestellt, dessen linke Seite fest eingespannt ist und am rechten Ende durch eine Streckenlast q belastet

7.5

226

7. Scheibenproblem

wird. Der Werkstoﬀ hat einen E-Modul E und die Querkontraktion wird zu 0 angenommen. Die Blechst¨ arke betr¨ agt t.

Bild 7.7. Einteilung eines Zug-

bleches in Dreieckselemente

Einteilung in Elemente

Das Problem ist von der Geometrie, der Belastung und den wesentlichen Randbedingungen her symmetrisch. Daher wird in der Rechnung nur die obere H¨ alfte ber¨ ucksichtigt. Diese wird in drei Dreieckselemente eingeteilt, wie in der rechten Bildh¨ alfte zu sehen ist. Die Elementnummern sind durch einen Kreis und die Knotennummern durch ein Rechteck umrandet. Die nicht eingefaßten Nummern 1, 2, 3 in den Elementen geben die Reihenfolge der Knotennummern in der Elementknotenzuordnung wieder, wie sie in Tab. 7.1 angef¨ uhrt ist. Tabelle 7.1. Elementknotenzuordnung und Geometriedaten des Beispieles nach Bild

7.7 Element

Knoten 1

Knoten 2

Knoten 3

x21

x31

x32

y21

y31

y32

AΔ

1 2 3

1 3 3

2 2 4

3 4 5

l l l

0 l 0

−l 0 −l

0 −l/2 0

l/2 0 l/2

l/2 l/2 l/2

l2 /4 l2 /4 l2 /4

Elementsteiﬁgkeitsmatrizen

Die Steiﬁgkeitsmatrizen von Element 1 und von 3 sind identisch, da diese beiden Elemente gleiche Gr¨ oße und Lage aufweisen. Bei der Zeilen- und Spaltendurchnumerierung bezieht sich der erste Index auf das Element 1 und der zweite Index auf das Element 3.

7.5

Beispiele zum Scheibenproblem

⎡

K 1 = K 3

u1 /u3

v1 /v3

u2 /u4

v2 /v4

u3 /u5

v3 /v5

6

2

−2

−2

−4

0

9

0

−1

−2

0

2

0

0

−1

0

1

2

−2

0

2

4

−8

0

0

0

⎢ ⎢ ⎢ 2 ⎢ ⎢ E t ⎢ −2 ⎢ = 8 ⎢ ⎢ ⎢ −2 ⎢ ⎢ ⎢ −4 ⎣ 0

⎡

K 2

227

u3

v3

u2

v2

u4

v4

2

0

0

0

−2

0

1

2

0

−2

−1

2

4

0

−4

−2

0

0

8

0

−8

−2

−4

0

6

2

−1

−2

−8

2

9

⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ E t⎢ 0 ⎢ = 8 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ −2 ⎣ 0

⎤

u1 /u3 ⎥ ⎥ −8 ⎥v1 /v3 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥u2 /u4 ⎥ ⎥ 0 ⎥v2 /v4 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎦u3 /u5 8

v3 /v5

⎤

u3 ⎥ ⎥ ⎥v3 ⎥ ⎥ ⎥u2 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥v2 ⎥ ⎥ ⎥u4 ⎦

(587)

v4

Umrechnung der Streckenlast in Knotenkr¨ afte

Das Element 2 weist auf der Kante Γ23 eine Streckenlast auf. Nach (584) ergibt sich (qx2 = qx3 = q): ⎤

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

Fx3 Fy3 Fx2 Fy2 Fx4 Fy4

⎤⎡

⎡ 0

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ 1 ⎢ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥= ⎥ 12 ⎢ 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎣ ⎦ 0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

2l

0

l

0

0

0

2l

0

l

0

l

0

2l

0

0

0

l

0

2l

⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎦⎣

⎤ 0 0 q 0 q 0

⎡

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ l ⎢ ⎢ ⎥ ⎥=q ⎢ ⎥ 4⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

⎤ 0 0 1 0 1

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(588)

0

Geometrische Randbedingungen

Die feste Einspannung f¨ uhrt dazu, daß die Knoten auf der Kante der Einspannung keine Verschiebung aufweisen. Es gilt also: u1 = v1 = u3 = v3 =

228

7. Scheibenproblem

u5 = v5 = 0. Der Knoten 2 kann aus Symmetriegr¨ unden nur eine Verschiebung in x-Richtung ausf¨ uhren, d.h. v2 = 0. Damit bleiben als unbekannte Freiheitsgrade u ¨ brig: u2 , u4 , v4 . Verformungen

Die Erstellung der Gesamtsteiﬁgkeitsmatrix wird umgangen, indem direkt die nach der Streichung der Zeilen und Spalten entstehende Untermatrix gebildet wird. Gestrichen werden aufgrund der angef¨ uhrten Randbedingungen die Zeilen und Spalten 1, 2, 4, 5, 6, 9, 10. In die Untermatrix gehen Anteile aller drei Einzelsteiﬁgkeitsmatrizen ein und zwar entsprechend der Elementknotenzuordnung. Besser kann man sich die Anteile mit Hilfe des Bildes 7.7 verdeutlichen. Betrachtet man den Knoten 2, so sieht man, daß an ihm die Elemente 1 und 2 angrenzen, d.h. auf die Spalte bzw. Zeile u2 kommen Anteile der Steiﬁgkeitsmatrix 1 und 2. Das Element (2, 2) der Untermatrix erh¨alt einen Anteil 3/8 Et von Element 2 und einen Anteil 1/8 Et von Element 3. ⎡ Et⎢ ⎢ ⎢ 8 ⎣

2 + 4

−4

−4

6 + 2

−2

2

−2

⎤⎡

⎤ u2

⎡

⎤ 1

⎥⎢ ⎥ ⎥ l⎢ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ u4 ⎥ = q ⎢ 1 ⎥ ⎦⎣ ⎦ ⎦ 4⎣ 9 + 1 v4 0 2

(589)

Multipliziert man beide Seiten mit 8 durch, so erh¨alt man folgendes Gleichungssystem: ⎡ 6

⎢ ⎢ E t ⎢ −4 ⎣ −2

−4 8 2

−2

⎤⎡

⎤ u2

⎡

⎤ 2

⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎥ = q l ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ 2 u 2 ⎥ ⎣ ⎦⎣ 4 ⎦ ⎦ 10 v4 0

(590)

Das L¨ osen des Gleichungssystems f¨ uhrt auf folgende Verformungen: ⎡

⎤ u2

⎡

⎤ 28

⎢ ⎥ ⎥ 1 ql ⎢ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ u4 ⎥ = ⎢ 23 ⎥ ⎣ ⎦ ⎦ 37 E t ⎣ v4 1

(591)

7.5

Beispiele zum Scheibenproblem

229

Spannungen

Die Spannungen werden nach (556) bzw. (562) elementweise berechnet. Die Elemente 1 und 3 weisen dieselbe Orientierung und Gr¨oße auf, so daß das ur beide gleich ist. Es gilt also: Produkt D B f¨ ⎡ 1

(D B) = 3 (D B) =

E 2l

⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎣ −2 ⎡

2

(D B) =

E 2l

⎤

−2

0

2

0

0

−4

0

0

0

−1

0

1

2

0

⎥ ⎥ 4 ⎥ ⎦ 0 ⎤

−2

⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎣ 0

0

0

0

2

0

0

−4

0

−1

−2

0

2

0

⎥ ⎥ 4 ⎥ ⎦ 1

(592)

Die berechneten Verformungen u werden jetzt in die Beziehung σ = D B u eingesetzt. So ergeben sich f¨ ur die einzelnen Elemente die Spannungsvektoren 1 σ , 2σ , 3σ : ⎡ ⎡

1

σxx

⎢ ⎢ σ =⎢ 1σyy ⎣ 1 σxy

1

⎤

⎡

−2

⎥ E⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ 0 ⎦ 2l⎣ −2

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎥ 1 ql ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ 4 ⎥ ⎦ 37 E t ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎣ ⎤

0

2

0

0

−4

0

0

0

−1

0

1

2

⎤ 0 0 28 0 0

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 1 q ⎥ ⎥= ⎥ 37 t ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎤

⎡ 28

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ 0 ⎥ ⎦ ⎣ 0

0 ⎡ ⎡

2 σxx ⎢ ⎢ 2 2 σ =⎢ σyy ⎣ 2 σxy

⎤

⎡

−2 0 0 0 ⎥ E⎢ ⎢ ⎥ ⎥= ⎢ 0 0 0 −4 ⎦ 2 l⎣ 0 −1 −2 0

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎥1 ql ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ 4 ⎥ ⎦37 E t ⎢ ⎢ ⎢ 1 ⎢ ⎢ ⎣ ⎤

2 0 2

⎤ 0

⎥ ⎥ ⎡ ⎤ 0 ⎥ ⎥ 46 ⎥ ⎢ ⎥ 28 ⎥ ⎥ 1 q⎢ ⎥ ⎥= ⎢ 4 ⎥ ⎥ ⎣ ⎦ 74 t 0 ⎥ ⎥ −9 ⎥ 23 ⎥ ⎦ 1

230

7. Scheibenproblem

⎡ ⎡

3

σxx

⎢ ⎢ σ = ⎢ 3σyy ⎣ 3 σxy

3

⎤

⎡

−2

⎥ E⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ 0 ⎦ 2l⎣ −2

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎥ 1 ql ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ 4 ⎥ ⎦ 37 E t ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎣ ⎤

0

2

0

0

−4

0

0

0

−1

0

1

2

⎤ 0 0 23 1 0

⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎡ ⎥ 46 ⎥ ⎥ 1 q⎢ ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ 0 ⎥ ⎥ 74 t ⎣ ⎦ ⎥ ⎥ 1 ⎥ ⎥ ⎦

0 (593) Die Gr¨ oßen in der Matrix aus dem Produkt D B sind unabh¨angig von den Koordinaten (x, y) des Elementes. Daraus folgt, daß die Spannungen im Element konstant sind und damit von Element zu Element unstetig.

Bild 7.8. Zugspannungsverteilung σ ¯xx

im Zugblech

Dies zeigt sich auch im Bild 7.8, in dem die normierte Zugspannung σ ¯xx = t/q σxx normal zu den Elementen aufgetragen ist. Es ist ein Zufall, daß die Zugspannungen σ ¯xx von Element 2 und Element 3 gleich groß sind. Typisch ist dagegen der Sprung in den Spannungen zwischen Element 1 und Element 2. f

Vergleich mit der L¨ osung nach Ritz

F¨ ur das Verfahren von Ritz werden unter Ausnutzung der Symmetrie die Verschiebungen u˜ und v˜ mit einem Polynom dritten Grades beschrieben. Mit Hilfe des Programmes “ Ritz Scheibe“ (s. Kap. 12.2.4 auf der S. 367) ergeben sich daraus folgende L¨ osungen (ξ = x/l; η = y/l):

u ¯=

Et u = (0, 743 + 0, 114η − 0, 877η 2)ξ + (0, 032 − 0, 168η)ξ 2 + 0, 102ξ 3 ql (594)

7.5

Beispiele zum Scheibenproblem

v¯ =

231

Et v = (−0, 297 + 0, 027η)η ξ + 0, 620 η ξ 2 ql

(595)

In der linken H¨ alfte von Bild 7.9 ist dieses Verschiebungsfeld [¯ u, v¯] dargestellt. In der rechten Bildh¨ alfte sind die Verschiebungen auf dem Rand nach Ritz und der FEM gegen¨ ubergestellt. F¨ ur die Stelle x = l, y = 0 ergibt sich nach ¯ = 0, 877. der FEM-Rechnung nach (591) u¯2 = 0, 757 und nach Ritz u

Bild 7.9. Das Verschiebungsfeld [¯ u, v¯] nach Ritz und die Gegen¨ uberstellung der Verschie-

bungen auf dem Rand nach Ritz und der FEM

Die normierte Spannung σ ¯xx ergibt sich aus der Ritz-Rechnung zu: σ ¯xx =

t σxx = 0, 743 + (0, 063 − 0, 336 η)ξ + 0, 114η + 0, 307ξ 2 − 0, 877η 2 q (596)

In Bild 7.10 sind die Spannungsverl¨ aufe entlang der x-Achse nach (596) und aus der FE-Rechnung f¨ ur ein bzw. vier Elemente gegen¨ ubergestellt. W¨ahrend die Ritz-L¨ osung einen stetigen Verlauf zeigt, ergibt sich f¨ ur die FE-L¨osung ein konstanter bzw. treppenf¨ ormiger Verlauf, da die Spannung im Element konstant ist.

Bild 7.10. Vergleich der

Spannung σ ¯xx zwischen Ritz und FEM. Die FEL¨ osung weist 1 bzw. 4 Elemente in x-Richtung auf

232

7.6

7.1

7. Scheibenproblem

¨ 7.6 Ubungsbeispiele zur Scheibe Scheibenproblem I

Gegeben ist in Bild 7.11 ein dreiecksf¨ ormiger Kragbalken. Er soll durch ein Dreiecksscheibenelement approximiert werden. Der Balken weist eine L¨ange l, eine H¨ ohe h, einen E-Modul E und eine Querkontraktion ν auf. Der Kragbalken wird am rechten Ende mit einer Einzelkraft F belastet.

Bild 7.11. Kragbalken als Scheibenproblem

Es ist die Verformung des Kragbalkens zu berechnen. Die Verformungen der Kanten des Elementes sind u ¨ber die Formfunktion des Elementes zu beschreiben.

7.2

Scheibenproblem II

In Bild 7.12 ist ein dreiecksf¨ ormiger Kragbalken dargestellt, der am rechten Ende durch eine Feder mit der Steiﬁgkeit k gest¨ utzt wird. Der Kragbalken weist eine Dicke t und einen E-Modul E auf. Die Querkontraktion ν wird zu Null angenommen. Die Wirkung der Feder ist u ¨ber eine Beziehung zwischen ucksichtigen. An der der Steiﬁgkeit k der Feder und der Verformung v2 zu ber¨ Anlenkstelle der Feder greift eine Kraft F an. Gesucht sind die Verformungen und die Auﬂagerreaktionen des Kragbalkens.

Bild 7.12. Kragbalken gest¨ utzt durch eine Feder

7.6

¨ Ubungsbeispiele zur Scheibe

233

Scheibenproblem III

F¨ ur den Kragbalken nach Bild 7.13 soll die FE-L¨osung, die als Scheibenproblem formuliert wird, mit der analytischen L¨ osung verglichen werden. Das Problem ist antimetrisch. Es wird daher nur die obere oder untere H¨alfte des Kragbalkens in 8, 32 und 128 Elemente eingeteilt. Das Problem ist mit “ FEM GEN“ aufzubereiten und mit “ FEM CAS“ zu rechnen. Der Fehler E(n) = |¯ vF EM − v¯ex |/¯ vex an der Stelle x = L, y = 0 ist in einem doppelt logarithmischen System f¨ ur f = 1/2 aufzutragen, wobei n die Anzahl Elemente u ohe des Balkens ist und v¯ = v Et/F . Alternativ ¨ ber der halben H¨ ist die Durchbiegung an der Kraftangriﬀsstelle mit dem Verfahren von Ritz ur u und v Polynome zweiter (“ Ritz Scheibe“ ) zu bestimmen. Dabei sind f¨ und dritter Ordnung anzusetzen.

Bild 7.13. Kragbalken mit folgenden Daten: Dicke t, EModul E, L¨ ange L, Faktor f , Querkontraktion ν = 0

7.3

c

f

Kapitel 8 Platten- und Schalenelemente

8

8

8 8.1 8.2 8.2.1 8.2.2 8.2.3 8.2.4 8.2.5 8.3 8.4 8.4.1 8.4.2 8.4.3 8.4.4 8.5 8.5.1 8.5.2 8.5.3 8.5.4 8.5.5 8.5.6 8.5.7 8.6 8.7

Platten- und Schalenelemente Problemdeﬁnition ................................................ Grundbeziehungen der Platte.................................. Voraussetzungen bei der Kirchhoﬀ-Platte .................. Kinematische Gr¨oßen der Platte .............................. Kr¨ ummungs-Momenten-Beziehung (Stoﬀgleichung) ...... Gleichgewichtsbeziehungen der Platte ....................... Randbedingungen der Platte .................................. Das Funktional der Platte ..................................... Anforderungen an das Plattenelement ....................... Kompatibilit¨at (konforme Elemente) ......................... Starrk¨orperbewegung............................................ Konstanter Dehnungszustand (Verzerrungszustand) ...... Einige Dreiecksplattenelemente ............................... Diskretisierung des Funktionals ............................... Ansatzfunktion f¨ ur die Durchbiegung ........................ Interpolationsbedingungen ..................................... Formfunktionen .................................................. Kr¨ ummungs-Verschiebungs-Beziehung....................... Steiﬁgkeitsmatrix ................................................ Fl¨achenlast ........................................................ Streckenlast entlang einer Elementkante .................... Konvergenztest des Plattenelementes........................ Schalenelement ...................................................

237 237 237 239 240 242 242 243 245 245 246 247 247 249 249 250 253 253 254 255 256 257 258

8 Platten- und Schalenelemente 8.1

8.1 Problemdeﬁnition Viele Tragwerke wie etwa Decken in Geb¨ auden, Br¨ ucken oder Schiﬀsdecks stellen ein Plattenproblem dar. Die Platte und die Scheibe haben ¨ahnliche Geometrievoraussetzungen. W¨ ahrend aber die Belastung bei der Scheibe in der Scheibenebene liegt, steht diese bei der Platte normal zur Mittelﬂ¨ache der Platte.

g

Bild 8.1. Die Kirchhoﬀ-Platte mit ihren Abmessungen und Belastungen

In Bild 8.1 ist eine Platte dargestellt. Sie weist eine Hauptabmessung l und eine Dicke t auf. Unter der Voraussetzung t/l 1 kann das dreidimensionale Problem auf ein zweidimensionales zur¨ uckgef¨ uhrt werden. Dazu betrachtet man die Mittelﬂ¨ ache des K¨ orpers, die gleichzeitig die (x, y)-Ebene aufspannt. Normal dazu, also in z-Richtung, wird zu jeder Seite t/2 aufgetragen. Die Deckﬂ¨ achen liegen damit bei z = ± t/2. Die Belastung p in Form einer Fl¨achenlast steht normal zur Mittelebene.

8.2 Grundbeziehungen der Platte 8.2.1 Voraussetzungen bei der Kirchhoﬀ-Platte

Die im folgenden betrachtete Platte ist nach dem deutschen Forscher Kirchhoﬀ [33] benannt. Sie weist in weiten Teilen eine Analogie zum BernoulliBalken auf, wobei man die Platte als eine Erweiterung des Balkens auf den zweidimensionalen Fall ansehen kann.

8.2

238

8. Platten- und Schalenelemente

Der Kirchhoﬀ-Platte liegen folgende Voraussetzungen zugrunde: Die Dicke t ist sehr viel kleiner als die Hauptausdehnung l (t/l 1). Linien, die im unverformten Zustand normal zur Mittelebene stehen, stehen im verformten Zustand normal zur verformten Mittelﬂ¨ache (Biegeﬂ¨ ache) und bleiben eben. Daraus folgt, daß keine Schubverformungen ber¨ ucksichtigt werden. Die Durchbiegung w ist kleiner als die Dicke t und es gilt: (w = w(z)). Die Platte ist symmetrisch zur Mittelebene. Dicken¨anderungen m¨ ussen moderat sein, so daß keine dreidimensionalen Spannungseﬀekte auftreten. Normalspannungen in Dickenrichtung σzz werden vernachl¨assigt. In Bild 8.2 sind die Feldgleichungen der Platte mit den wesentlichen und nat¨ urlichen Randbedingungen in Form eines Tonti-Diagrammes (Deﬁnition s. S. 58) zusammengefaßt.

Bild 8.2. Die Beschreibung der strengen Formulierung der Kirchhoﬀ-Platte in Form eines

Tonti-Diagrammes

Die nicht schattierten K¨ astchen beschreiben die Variablen des Plattenproblems. Die Durchbiegung w(x, y), die f¨ ur die Mittelﬂ¨ache der Platte deﬁniert ist, ist die Prim¨ arvariable des Problems. Die Kr¨ ummungen κ und die Momen sind Sekund¨ te M arvariable, auch Zwischenvariable genannt. Die schattierten K¨ astchen enthalten gegebene Gr¨ oßen wie die wesentlichen Randbedingungen 0 w, 0θs , die nat¨ urlichen Randbedingungen 0 Vn , 0Mnn und die Fl¨achenlast p. Die wesentliche Randbedingung 0w (0θs ) wird dem Teilrand Γw (Γθ ) zugeordnet. Die nat¨ urliche Randbedingung 0 Vn (0Mnn ) geh¨ort zum Teilrand ΓV (ΓM ). Die Verbindungslinien der K¨ astchen repr¨asentieren entweder die Feldgleichungen des Plattenproblems oder die Randbedingungsgleichungen. w, der Die Feldgleichungen bestehen aus der kinematischen Gleichung κ =Δ T und der Gleichgewichtsbeziehung Δ M = p. Die Stoﬀgleichung M = Dp κ Gr¨ oße Ω beschreibt jeweils die Mittelﬂ¨ ache der Platte. Diese Beziehungen werden nachfolgend hergeleitet.

8.2

Grundbeziehungen der Platte

239

8.2.2 Kinematische Gr¨ oßen der Platte

Das Bild 8.3 zeigt die Durchbiegung w = w(Ω) der Platte. In der linken Bildh¨ alfte ist f¨ ur die (x,z)-Ebene neben der angesprochenen Durchbiegung die Verdrehung ∂w/∂x sowie die sich daraus ergebende Verschiebung u in x-Richtung eingezeichnet.

Bild 8.3. Durchbiegungen, Verdrehungen, Normalspannungen und die sich daraus ergeben-

den Momente der Platte

Analog dazu ist in der rechten Bildh¨ alfte ∂w/∂y und v angef¨ uhrt. Aus den Verdrehungen ∂w/∂x und ∂w/∂y lassen sich wie folgt die Verschiebungen u und v berechnen: u = −z

∂w ∂w ; v = −z ∂x ∂y

(597)

Faßt man u und v in einem Vektor u ˆ zusammen, so kann man schreiben: ⎡ u ˆ=⎣

⎡

⎤

⎢ ⎦ = −z ⎢ ⎢ ⎣ v

u

∂w ∂x ∂w ∂y

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ = −z ∇w ⎦

(598)

Die Verdrehungen θx und θy um die x- bzw. y-Achse lassen sich wie folgt ausdr¨ ucken: ⎡ θ=⎣

⎤

⎡

∂w ∂y

⎢ ⎦=⎢ ⎢ ⎣ ∂w θy − ∂x

θx

⎤

⎡

⎥ ⎥ ⎣ 0 ⎥= ⎦ −1

⎤

⎡

⎢ ⎦⎢ ⎢ 0 ⎣ 1

∂w ∂x ∂w ∂y

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ = T θ ∇w ⎦

(599)

Dehnungs-Verschiebungs-Beziehung

Die Kirchhoﬀ-Platte weist f¨ ur jede Fl¨ ache, die parallel zur Mittelﬂ¨ache verl¨auft, einen ebenen Dehnungs- und Spannungszustand auf. Damit kann die Bezie-

240

8. Platten- und Schalenelemente

hung ε = L u ˆ der Scheibe nach (542) verwendet werden. Einsetzen von (598) in (542) f¨ uhrt auf: " # w = −z κ ˆ = −z L ∇ w = −z Δ ε = L u Δ

(600)

κ

in (600) hat folgendes Aussehen: Der Ausdruck L ∇ = Δ ∂ ⎢ ⎢ ∂x ⎢ ⎢ = L∇ = ⎢ 0 Δ ⎢ ⎢ ⎢ ∂ ⎣ ∂y

⎡

⎤

⎡

0 ⎥⎡ ⎥ ⎥ ∂ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎢ ∂y ⎥ ⎥⎣ ∂ ⎥ ⎦ ∂x

∂ ∂x ∂ ∂y

∂2 ∂x2 ∂2 ∂y 2

⎤

⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

2

∂2 ∂x ∂y

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(601)

w: Damit ergibt sich f¨ ur den Ausdruck κ =Δ κ = T

∂2w ∂x2

∂2w ∂y 2

2

∂2w ∂x ∂y

(602)

Es werden die Dehnungen ε in der Platte u ummungsvektor κ ¨ber den Kr¨ der Platte beschrieben. Die Dehnungen sind u ¨ ber die Dicke der Platte linear verteilt. 8.2.3 Kr¨ ummungs-Momenten-Beziehung (Stoﬀgleichung)

In Bild 8.4 sind die Spannungen, Momente und Querkr¨afte der Platte angef¨ uhrt. Aus den Normalspannungen ergeben sich die Biegemomente. Die uhrt auf das Torsionsmoment Mxy . Die SchubspannunSchubspannung σxy f¨ afte Qx und Qy . Diese werden f¨ ur die gen σxz und σyz bilden die Querkr¨ Gleichgewichtsbetrachtung ben¨ otigt. In der weiteren Er¨orterung des Problems u ¨ber das Funktional treten sie nicht mehr auf. Hierbei wird vorausgesetzt, daß diese Schubspannungen sehr viel kleiner sind als die anderen Spannungskomponenten. Damit liegt f¨ ur jede Ebene der Platte, die parallel zur Mittelebene verl¨ auft, ein ebener Spannungszustand vor. Es wird daher f¨ ur die Platte die Spannungsdehnungsbeziehung σ = D ε der Scheibe nach (543) in (600) eingesetzt: ) = −z D κ σ = D (−z κ

(603)

8.2

Grundbeziehungen der Platte

241 Qy

σyz

Myy Qx σyy z

y Mxx

x

t

σxz

σxx Mxy

Bild 8.4. Die Schnittgr¨ oßen der Kirchhoﬀ-Platte

σxy

Die Integration der Spannungen σ T =

σxx

σyy

σxy

T = M t der Platte f¨ uhrt auf den Momentenvektor M xx Unter Ber¨ ucksichtigung von (603) l¨ aßt sich schreiben:

t/2

= M −t/2

z σ dz = −

t/2

−t/2

z2 D κ dz = −D κ

u ¨ber die Dicke Myy Mxy .

t/2

−t/2

z 2 dz = −

t3 Dκ 12 Dp

= −Dp κ

(604)

Das Moment Mxx dreht um die negative y-Achse, die Momente Mxy und Myy um die positive x-Achse. In (604) verkn¨ upft die Stoﬀmatrix Dp die Momente mit den Kr¨ ummungen der Platte. uhren auf folgende Die Integrale u ¨ ber die Schubspannungen σxz und σyz f¨ Querkr¨ afte: Qx =

t/2

−t/2

σxz dz =

t/2

−t/2

% " z #2 & 2 max max 1−4 dz = σxz σxz t t 3

2 = σxz (z = 0) t 3 Qy =

t/2

−t/2

(605)

σyz dz =

2 = σyz (z = 0) t 3

t/2

−t/2

% " z #2 & 2 max max 1−4 dz = σyz σyz t t 3 (606)

242

8. Platten- und Schalenelemente

Die Schubspannungsverteilung u ¨ber die Dicke t ist quadratischer Natur, d.h. bei |z| = t/2 verschwinden sie und in der Plattenmitte bei z = 0 haben sie max . ihr Maximum σij 8.2.4 Gleichgewichtsbeziehungen der Platte

Die Forderung des Gleichgewichtes der Kr¨ afte in z-Richtung f¨ uhrt zu folgendem Ausdruck [51]: ∂Qx ∂Qy + +p=0 ∂x ∂y

(607)

Die Gleichgewichtsbetrachtung der Momente um die x- und y-Achse ergibt: ∂Mxx ∂Mxy ∂Myx ∂Myy + + Qx = 0 ; + + Qy = 0 ∂x ∂y ∂x ∂y

(608)

Aus der Symmetrie des Spannungstensors folgt: Mxy = Myx . Einsetzen von (608) in (607) f¨ uhrt auf: ∂ 2 Mxx ∂ 2 Myy ∂ 2 Mxy TM =p =Δ + + 2 ∂x2 ∂y 2 ∂x ∂y

(609)

TM = p ﬁndet sich in Bild 8.2 Die Kurzform der Gleichgewichtsbeziehung Δ wieder. Verkn¨ upft man die dort angef¨ uhrten drei Feldgleichungen, so erh¨alt man die sogenannte Plattengleichung. Dazu wird die kinematische Gleichung w. Diese Zwischenl¨osung w =D Δ κ =Δ in die Stoﬀgleichung eingesetzt: M p T wird in die Gleichgewichtsbeziehung Δ M = p eingebracht: TD Δ Δ p w =p

(610)

Durch Ausmultiplizieren dieses Ausdruckes erh¨alt man eine skalare Beziehung, n¨ amlich die Plattengleichung: ∂4w ∂4w E t3 ∂4w p ; k= + + 2 = ∂x4 ∂y 2 ∂x2 ∂y 2 k 12(1 − ν 2 )

(611)

Die Gr¨ oße k nennt man die Plattensteiﬁgkeit. 8.2.5 Randbedingungen der Platte

In Bild 8.5 ist ein Ausschnitt eines gekr¨ ummten Randes einer Platte dargestellt. Entlang des Außenrandes ist die Randkoordinate Γ deﬁniert. Der Außenrand wird als stetig vorausgesetzt, d.h. es tritt keine Ecke auf. Im

8.3

Das Funktional der Platte

243

Punkt P ist ein lokales, kartesisches Koordinatensystem deﬁniert. Die Koordinate n steht normal zur Außenﬂ¨ ache und s liegt tangential am Außenrand. Die dritte Achse f¨ allt mit der globalen z-Achse zusammen.

Bild 8.5. Randbereich mit den wesentlichen und nat¨ urlichen Randbedingungen

F¨ ur dieses Koordinatensystem sind die Verschiebung w, die Verdrehungen oßen Qn , Mns und Mnn deﬁniert. θn = ∂w/∂s, θs = −∂w/∂n sowie die Gr¨ Der Punkt P weist drei wesentliche und drei nat¨ urliche Randbedingungen auf. Dadurch entsteht eine Inkonsistenz zu der Diﬀerentialgleichung nach (611), da sie von vierter Ordnung ist. Daher f¨ uhrte Kirchhoﬀ sogenannte Ersatzkr¨ afte [33] ein: Vn = Qn −

∂Mns ∂s

(612)

Diese haben zur Folge, daß nur die Randbedingungen f¨ ur w und θs sowie aßt man zu, daß der Rand Γ Ecken aufweist, so Vn und Mnn auftreten. L¨ entstehen infolge der Ersatzkr¨ afte aus den Torsionsmomenten an diesen Ecken Kr¨afte FR . In Tab. 8.1 sind vier verschiedene Lagerungsbeispiele der Platte angef¨ uhrt.

8.3 Das Funktional der Platte Das Bild 8.6 zeigt die schwache L¨ osung der Platte als Ausgangspunkt f¨ ur das Gesamtpotential. Die Prim¨ arvariablen sind die Verschiebung w und die davon abgeleiteten Verdrehungen θx und θy . Diese werden variiert. Die Sekund¨arvariablen sind die . Sie werden in strenger Form aus Kr¨ ummungen κ sowie die Momente M

8.3

244

8. Platten- und Schalenelemente

Tabelle 8.1. Wesentliche und nat¨ urliche Randbedingungen bei einigen

Lagerungsarten der Platte

festeingespannt

w=0

einfach gest¨ utzt

w=0 Mnn = 0

freier Rand

Vn = 0 Mnn = 0

θs = −

θs = −

Symmetriekante

∂w =0 ∂n

∂w =0 ∂n

Vn = 0

dem Verschiebungsfeld w abgeleitet. In schwacher Form werden die Fl¨achenlast p und die nat¨ urlichen Randbedingungen ber¨ ucksichtigt, was durch die gestrichelten Linien angedeutet ist. Setzt man in die Form¨ anderungsarbeit V ε T σ dV (600) und (603) ein, so erh¨ alt man: 1 2

1 ε σ dV = 2

T

V

1 κ Dκ z dV = 2 T

V

κ Dκ Ω

t/2

T

2

2

z dz

dΩ

−t/2

Bild 8.6. Die Beschreibung der schwachen Formulierung der Kirchhoﬀ-Platte in Form eines

Tonti-Diagrammes

8.4

Anforderungen an das Plattenelement

=

1 2

κ T Ω

245

t3 Dκ dΩ 12

(613)

Dp

Mit dem Potential der ¨ außeren Lasten ergibt sich das Gesamtpotential der Kirchhoﬀ-Platte zu:

Π=

1 2

κ T Dp κ dΩ −

Ω

p w dΩ − Πa

(614)

Ω

Der Term f¨ ur das Potential der ¨ außeren Kr¨ afte Πa beschreibt folgendes: Πa = ΓV

0

Vn w − Mnn θs dΓ + 0

n

FRi wi

(615)

i=1

Die Summe von (615) tritt nur dann auf, wenn die Platte Ecken aufweist, f¨ ur die w nicht vorgegeben wird.

8.4 Anforderungen an das Plattenelement Das Funktional (614) der schubstarren Platte weist bei der Form¨anderungsarbeit analog zum Balken zweite Ableitungen (m = 2) der Durchbiegung w auf. Diese Art von Problemen nennt man C m−1 , also hier C 1 -Problem. Die Konvergenz des Elementes f¨ uhrt zu drei Bedingungen, die die Ansatzfunktion f¨ ur die Durchbiegung w erf¨ ullen m¨ ussen: Kompatibilit¨ at der Verschiebungsgr¨ oßen an den Elementr¨andern, auch Konformit¨ atsbedingung genannt. Starrk¨ orperbewegungen des Elementes d¨ urfen keine Dehnungen und damit Spannungen im Element hervorrufen. Konstante Dehnungs- und Spannungszust¨ ande m¨ ussen durch die Ansatzfunktion darstellbar sein. 8.4.1 Kompatibilit¨ at (konforme Elemente)

Das zuvor angef¨ uhrte C 1 -Problem erfordert die Stetigkeit der Durchbiegung w und deren ersten Ableitungen zur Erf¨ ullung der Kompatibilit¨at der Verformungen. Elemente, die diese Eigenschaft besitzen, nennt man konforme Elemente. Das Bild 8.7 zeigt zwei Dreieckselemente, die in der (x, y)-Ebene liegen. In z-Richtung ist die Durchbiegung w aufgetragen. Sie beschreiben die Mittelﬂ¨ ache der Platte im verformten Zustand (Biegeﬂ¨ ache). Die Verdrehungen und damit die Ableitungen θn = ∂w/∂s und θs = −∂w/∂n bilden die Tangenten

8.4

246

8. Platten- und Schalenelemente

Bild 8.7. Nicht konformes Verhalten eines Plattenelementes

an dieser Fl¨ ache. Im Punkt P , der auf der gemeinsamen Kante der beiden Elemente liegt, ist die Ableitung ∂w/∂n = −θs dargestellt. Es zeigt sich, daß die Ableitung von Element 1 kommend ∂w1 /∂n = −θs1 eine andere ist als von Element 2 kommend ∂w2 /∂n = −θs2 . Die Verdrehung ist auf dieser Kante unstetig. Geometrisch gesprochen weist die Biegeﬂ¨ache einen Knick auf. Dies verdeutlicht nochmals die rechte Bildh¨alfte. Die Unstetigkeit f¨ uhrt dazu, daß sich Gebiete der Platte u ¨ berlappen oder auseinanderklaﬀen. Zeigen Plattenelemente ein solches Verhalten, so nennt man sie nicht konform. 8.4.2 Starrk¨ orperbewegung

In Bild 8.8 ist eine Kragplatte dargestellt, bei der sich unter der eingezeichneten Belastung die dargestellte Verformung einstellt. Die schraﬃerten Elemente weisen im verformten Zustand keine Kr¨ ummung auf. Die Dehnungen und Spannungen in diesen Elementen sind daher Null.

Bild 8.8. Starrk¨ orperbewegung zweier Platten-

elemente

Sie f¨ uhren eine Starrk¨ orperbewegung aus, die sich aus einer Translation und Rotation zusammensetzt. Die translatorische Starrk¨orperbewegung setzt einen konstanten Term in der Ansatzfunktion voraus, die Rotation lineare Terme, so daß die Ansatzfunktion in Form eines Polynoms lauten muß:

w = a 0 + a1 x + a2 y + . . .

(616)

8.4

Anforderungen an das Plattenelement

247

8.4.3 Konstanter Dehnungszustand (Verzerrungszustand)

Ausgangspunkt dieser Forderung ist die Vorstellung, daß zur Erreichung der Konvergenz die Elemente immer kleiner werden und im Grenzfall zu einem Punkt schrumpfen. In diesem Zustand muß im Element ein konstanter Kr¨ ummungszustand beschrieben werden k¨ onnen. Die Kr¨ ummungen stellen sich nach (602) als zweite Ableitung von w dar. Damit m¨ ussen in der Ansatzfunktion quadratische Terme auftreten: w = a0 + a1 x + a2 y + a3 x2 + a4 xy + a5 y 2 + . . .

(617)

Die Ansatzfunktion (617) nennt man eine vollst¨ andige Ansatzfunktion, da sie die Starrk¨ orperbewegung und den konstanten Verzerrungszustand beschreiben kann. Dieser Begriﬀ der Vollst¨ andigkeit ist nicht mit einem vollst¨andigen Polynom zu verwechseln. Dieses ist Voraussetzung f¨ ur die invarianten Eigenschaften eines Elementes. 8.4.4 Einige Dreiecksplattenelemente

In Tab. 8.2 sind einige drei- bzw. vierknotige Dreieckselemente angef¨ uhrt. In der zweiten Spalte sind die Freiheitsgrade der Knoten dargestellt. Die dritte Spalte enth¨ alt das Pascal’sche“Dreieck der jeweiligen Ansatzfunktionen des ” Elementes. In den letzten drei Spalten sind summarisch die Eigenschaften der Elemente aufgelistet. Das Element 1 weist pro Knoten die Freiheitsgrade w, θx und θy auf. Eine vollst¨ andige, kubische Ansatzfunktion in Form eines Polynomes besitzt einen Koeﬃzienten mehr als das Element Freiheitsgrade hat. Daher existieren zwei unterschiedliche Ansatzfunktionen f¨ ur w. Tocher [53] w¨ahlte eine Ansatzfunktion, in der der Term x y fehlt. Alternativ faßte er die beiden Terme (x2 y + xy 2 ) zusammen. Beide Elementtypen sind nicht konform. Durch das Weglassen des Termes xy kann kein konstanter Kr¨ ummungszustand beschrieben werden, das Element ist nicht invariant und zeigt bei Konvergenz eine falsche L¨ osung. Diese beiden Elementtypen sind f¨ ur den praktischen Einsatz nicht geeignet. Das Element 2 weist einen zus¨ atzlichen Knoten in seinem Schwerpunkt auf. Diesem Knoten ist der Freiheitsgrad w zugeordnet. Damit kann ein vollst¨andiges, kubisches Polynom f¨ ur die Ansatzfunktion verwendet werden. Die Verdrehungen entlang der Elementkanten des Elementes, die durch einmaliges Ableiten des kubischen Polynoms gewonnen werden, sind quadratischer Natur. Sie k¨ onnen aber durch die beiden Knotenverdrehungen nicht eindeutig beschrieben werden. Dazu ben¨ otigt man auf der Elementkante einen weiteren Knoten. Damit ist das Element nicht konform.

248

8. Platten- und Schalenelemente

invariant

Pascal’sches Dreieck

vollst¨ andig

Nr. Freiheitsgrade

konform

Tabelle 8.2. Eigenschaften einiger Dreiecksplattenelemente

nein nein nein

1 nein ja

nein

2

nein ja

ja

3

ja

ja

ja

Die Elimination des Freiheitsgrades w des Mittenknotens [53] durch eine statische Kondensation f¨ uhrt zum Verlust der F¨ahigkeit, konstante Kr¨ ummungen im Element darzustellen. Wird der Freiheitsgrad u ¨ber eine kinematische Bedingung [29] eliminiert, so bleibt dieser Verlust aus. Die Konvergenzbedingungen sind nicht erf¨ ullt, da ein nicht konformes Element vorliegt. Dieses Element nach Bazeley et al. [29] versagt auch im Patch“-Test1. ” Das Element 3 ist ein konformes Element. Dazu wird als Ansatzfunktion ein vollst¨ andiges Polynom f¨ unften Grades verwendet. Dieses hat 21 Koeﬃzienten, die es durch ebenso viele Freiheitsgrade des Elementes zu ersetzen gilt. Dazu werden an jedem Eckknoten des Elementes die sechs Freiheitsgrade 1

Der Patch“-Test erlaubt eine notwendige Aussage dar¨ uber, ob ein nicht kon” formes Plattenelement f¨ ur jede Netzanordnung Konvergenz zeigt.

8.5

Diskretisierung des Funktionals

249

w T = w ∂w/∂x ∂w/∂y ∂ 2 w/∂x2 ∂ 2 w/∂y 2 ∂ 2 w/∂x ∂y deﬁniert. Zus¨ atzlich wird f¨ ur den Mittenknoten einer jeden Kante der Freiheitsgrad ∂w/∂n eingef¨ uhrt. Damit sind die Verdrehungen auf den Elementkanten stetig. Das Element ist weiterhin invariant und zeigt stets Konvergenz. Trotz dieser idealen Eigenschaften hat es sich nicht in der Praxis durchsetzen k¨onnen, da: es eine hohe Anzahl Freiheitsgrade pro Element besitzt. Randbedingungen f¨ ur zweite Ableitungen erforderlich sind. ein stetiger Verlauf der Kr¨ ummungen Voraussetzung ist. Damit k¨onnen keine Dickenspr¨ unge und Materialwechsel in der Platte beschrieben werden.

8.5

8.5 Diskretisierung des Funktionals 8.5.1 Ansatzfunktion f¨ ur die Durchbiegung

Die zuvor diskutierten nicht konformen Plattenelemente versagen im Patch“” Test. Damit ist nicht in jedem Fall Konvergenz gegeben. Nachfolgend wird daher ein Plattenelement nach Specht [42] betrachtet, das diese Unzul¨anglichkeit nicht aufweist. Es besitzt analog zu Element 1 aus Tab. 8.2 drei Freiheitsgrade pro Knoten, n¨ amlich die Durchbiegung w sowie die beiden Verdrehungen um die x- und y-Achse θx und θy . Der Durchbiegung w ist eine Kraft zugeordnet, den Verdrehungen jeweils ein Moment. Die Ansatzfunktion f¨ ur die Durchbiegung w der Platte lautet:

w = a0 L 1 + a 1 L 2 + a 2 L 3 + a 3 L 1 L 2 + a 4 L 2 L 3 + a 5 L 3 L 1 % & 1 + a6 L2 L21 + L1 L2 L3 [3(1 − μ3 )L1 − (1 + 3μ3 )L2 + (1 + 3μ3 )L3 ] 2 % & 1 + a7 L3 L22 + L1 L2 L3 [3(1 − μ1 )L2 − (1 + 3μ1 )L3 + (1 + 3μ1 )L1 ] 2 % & 1 2 + a8 L1 L3 + L1 L2 L3 [3(1 − μ2 )L3 − (1 + 3μ2 )L1 + (1 + 3μ2 )L2 ] 2 (618) Die Abk¨ urzungen μi haben folgende Bedeutung: 2 2 2 ; S31 = x231 + y31 ; S21 = x221 + y21 S32 = x232 + y32 S21 − S31 S32 − S21 S31 − S32 μ1 = ; μ2 = ; μ3 = S32 S31 S21

(619)

250

8. Platten- und Schalenelemente

Die Gr¨ oße Sij stellt sich als Quadrat der Kantenl¨ange der Kante dar, die zwischen den Knoten i und j liegt. In der Form w = xT a geschrieben, ergeben sich folgende Vektoren: ⎡

⎤ L1

⎢ ⎢ ⎢ L2 ⎢ ⎢ ⎢ L3 ⎢ ⎢ ⎢ L1 L2 ⎢ ⎢ ⎢ x = ⎢ L2 L3 ⎢ ⎢ ⎢ L3 L1 ⎢ ⎢ ⎢ L L2 + 1 L L L [3(1 − μ ) L − (1 + 3 μ )L + (1 + 3 μ ) L ] 3 1 3 2 3 3 ⎢ 2 1 2 1 2 3 ⎢ ⎢ ⎢ L3 L22 + 12 L1 L2 L3 [3(1 − μ1 ) L2 − (1 + 3 μ1 )L3 + (1 + 3 μ1 ) L1 ] ⎣ L1 L23 + 12 L1 L2 L3 [3(1 − μ2 ) L3 − (1 + 3 μ2 )L1 + (1 + 3 μ2 ) L2 ] aT = a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(620) 8.5.2 Interpolationsbedingungen

Die Interpolationsbedingungen werden f¨ ur die Prim¨arvariablen w, θx und θy formuliert. Die Knotenverdrehungen θx , θy sind in (599) in kartesischen Koordinaten beschrieben. Diese Beziehung wird mit Hilfe von (83) uckt: (∇ = J −1 ∇Δ ) und w = xT a in Dreieckskoordinaten ausgedr¨ ⎡ θ=⎣

⎤

∇θ

⎦ = T θ ∇w = T θ J −1 ∇Δ xT a = G a θy G

θx

(621)

In die Gr¨ oße G gehen die inverse Jakobi-Matrix J −1 , der Nabla-Operator in Dreieckskoordinaten ∇Δ sowie der Vektor x zur Beschreibung der Ansatzuhrt mit T θ aus funktion f¨ ur die Durchbiegung w ein. Der Ausdruck T θ J −1 f¨ (599) und J −1 aus (88) zu:

T θ J −1

⎡ 1 ⎣ x32 = 2 AΔ y32

⎤ x13 y13

⎦

(622)

8.5

Diskretisierung des Funktionals

251

Die Bildung der Dyade ∇Δ xT ergibt: ⎡ ⎢ ⎢ ∇Δ xT = ⎢ ⎣

∂ ∂L1 ∂ ∂L2

⎡

⎤ ⎥% ⎥ ⎥ x1 ⎦

& x2

...

x9

⎢ ⎢ =⎢ ⎣

∂x1 ∂L1 ∂x1 ∂L2

∂x2 ∂L1 ∂x2 ∂L2

... ...

∂x9 ∂L1 ∂x9 ∂L2

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ (623) ⎦

In Bild 8.9 ist die Lage der Knoten des Elementes mit Blick auf die Dreieckskoordinaten dargestellt. Knoten 1 hat die Dreieckskoordinaten L1 = 1; L2 = 0. Knoten 2 entsprechend L1 = 0; L2 = 1 und Knoten 3 L1 = 0; L2 = 0.

Bild 8.9. Darstellung der Dreieckskoordinaten

und die Lage der Knoten

Somit k¨ onnen jetzt die Interpolationsbedingungen f¨ ur die Durchbiegung ur die Knoten 1 bis w = xT a und die Verdrehungen θx , θy abwechselnd f¨ 3 angesetzt werden. Dies f¨ uhrt auf folgende Beziehung: ⎡ xT (L1 = 1, L2 ⎢ ⎢ ⎢ G (L1 = 1, L2 ⎢ 1 ⎢ ⎢ ⎢ G2 (L1 = 1, L2 ⎢ ⎢ T ⎢ ⎢ x (L1 = 0, L2 ⎢ ⎢ G (L = 0, L 2 ⎢ 1 1 ⎢ ⎢ ⎢ G2 (L1 = 0, L2 ⎢ ⎢ T ⎢ ⎢ x (L1 = 0, L2 ⎢ ⎢ G (L = 0, L 2 ⎢ 1 1 ⎣ G2 (L1 = 0, L2 A

⎤⎡ = 0) ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎢ = 0) ⎥ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ = 0) ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎢ = 1) ⎥ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎢ = 1) ⎥ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ = 1) ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎢ = 0) ⎥ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎢ = 0) ⎥ ⎥⎢ ⎦⎣ = 0)

⎤ ⎡ a0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ a1 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ a2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ a3 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ a4 ⎥ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ a5 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ a6 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ a7 ⎥ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ a8 a

⎤ w1

⎥ ⎥ θx 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ θy 1 ⎥ ⎥ ⎥ w2 ⎥ ⎥ ⎥ θx 2 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ θy 2 ⎥ ⎥ ⎥ w3 ⎥ ⎥ ⎥ θx 3 ⎥ ⎥ ⎦ θy 3

(624)

w

Der Ausdruck Gj ist jeweils die j-te Zeile aus der Matrix G nach (621). Die Matrix A hat folgendes Aussehen:

252

8. Platten- und Schalenelemente

⎤

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ A=⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

1

0

0

0

0

0

0

0

0

x32

x13

x21

x13

0

x21

x13

0

0

−y23

−y31

y21

−y31

0

y21

−y31

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

x32

x13

x21

x32

x21

0

0

x21

0

−y23

−y31

y21

−y23

y21

0

0

y21

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

x32

x13

x21

0

x13

x32

0

0

x32

−y23

−y31

y21

0

−y31

−y23

0

0

−y23

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ (625) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Die unbekannten Koeﬃzienten a aus (624) kann man durch Inversion der Matrix A gewinnen: a = A−1 w

(626)

Mit: ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ −1 T ⎢ ⎢ A =⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

1

0

0

−1

0

1

2

0

−2

0

0

0

0

0

y31

y21

0

−y31

0

0

0

0

0

−x31

−x21

0

x31

0

1

0

1

−1

0

−2

2

0

0

0

0

−y21

0

0

y21

y32

0

0

0

0

x21

0

0

−x21

−x32

0

0

0

1

0

1

−1

0

−2

2

0

0

0

0

−y32

0

0

y32

−y31

0

0

0

0

x32

0

0

−x32

x31

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ (627) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Die Elemente der Matrix A−1 werden ausschließlich von den Diﬀerenzen xij = xi − xj und yij = yi − yj der Knotenkoordinaten beschrieben. Setzt man in alt man: die Beziehung w = x T a (626) ein, so erh¨

8.5

Diskretisierung des Funktionals

253

T T Tw (628) w = x T a = x T A−1 w =N = A−1 w x = w T A−1 x = w T N 8.5.3 Formfunktionen

als das Produkt A−1 T x bilNach (628) lassen sich die Formfunktionen N den. Die regelm¨ aßige Anordnung der Elemente in Matrix (627) l¨aßt eine kompakte Beschreibung der Formfunktionen f¨ ur den Knoten i in folgender Form zu: ⎧ ⎪ xi − xi+3 − xk+3 − 2(xi+6 − xk+6 ) ⎪ ⎪ ⎨ Ni = −yki (xk+6 − xk+3 ) + yji xi+6 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ xki (xk+6 − xk+3 ) − xji xi+6

f¨ ur den Freiheitsgrad w f¨ ur den Freiheitsgrad θx f¨ ur den Freiheitsgrad θy (629)

Die Gr¨ oße xi ist das i-te Element des Vektors x nach (620). Die Indizes i, j, k ergeben sich aus der zyklischen Permutation von 1, 2, 3. Die Gr¨oßen xij = xi − xj bzw. yij = yi − yj stellen wie zuvor die Diﬀerenzen der Knotenkoordinaten dar. Die Durchbiegung w l¨ aßt sich mit Hilfe der Formfunktion nach (629) schreiben als:

w=

3

(N3i−2 wi + N3i−1 θxi + N3i θyi )

(630)

i=1

Es wird u ¨ber alle Knoten i des Elementes summiert. Setzt man in (630) alle Freiheitsgrade, bis auf den Freiheitsgrad w2 = 1, zu Null, so erh¨ alt man die Formfunktion N4 . Diese ist in der linken H¨alfte von Bild 8.10 dargestellt. Die Formfunktion N4 verschwindet an allen Knoten, nur f¨ ur den Freiheitsgrad w2 nimmt sie den Wert 1 an. Setzt man alternativ θx2 = 1 und alle anderen Freiheitsgrade Null, so ergibt sich N5 . Die Formfunktion N5 ist in der rechten H¨alfte von Bild 8.10 wiedergegeben. θx = ∂w/∂y = 1 heißt also, daß die Tangente an die von N5 gebildete Fl¨ ache unter einem Winkel von 45◦ verl¨auft. Die restlichen zwei Verdrehungen wie auch die Durchbiegungen wi verschwinden. 8.5.4 Kr¨ ummungs-Verschiebungs-Beziehung

In (614) tritt die Kr¨ ummung κ auf. Da sie nur eine Sekund¨arvariable ist, muß sie durch die Prim¨ arvariable w ersetzt werden. In der Dehnungs-Verschiebungs-

254

8. Platten- und Schalenelemente

Bild 8.10. Die Formfunktionen N4 und N5 des Plattenelementes

ersetzt durch Δ =Y Δ Δ (s. (94) Beziehung nach (600) wird der Operator Δ auf der S. 44). Damit erh¨ alt man: Δ w = −z κ ε = −z Y Δ

(631)

Mit Hilfe von (628) ergibt sich: N T w ˆw =Y B =Bw κ =Y Δ Δ

(632)

ˆ B

⎡

Δ N ˆ=Δ T B

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ =⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

2

∂ 2 N1 ∂L21

∂ 2 N2 ∂L21

...

∂ 2 N9 ∂L21

∂ 2 N1 ∂L22

∂ 2 N2 ∂L22

...

∂ 2 N9 ∂L22

∂ 2 N2 ∂L1 ∂L2

...

∂ 2 N1 ∂L1 ∂L2

2

2

∂ 2 N9 ∂L1 ∂L2

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(633)

8.5.5 Steiﬁgkeitsmatrix

Die Form¨ anderungsenergie ΠF im Funktional nach (614) l¨aßt sich mit Hilfe von (632) schreiben als: 1 1 T T ΠF = κ Dp κ dΩ = w B T Dp B dΩ w 2 Ω 2 Ω 1 T ˆ TD YB ˆ dΩ w (Y B) = w p 2 Ω K

(634)

8.5

Diskretisierung des Funktionals

255

ˆ nach (633) enth¨ Die Matrix B alt die zweiten Ableitungen der Durchbiegung w nach den Dreieckskoordinaten L1 , L2 . Die Matrix Y ist in (94) und Dp in (604) beschrieben. Die Integration in Dreieckskoordinaten f¨ uhrt nach (109) auf der S. 47 auf die Steiﬁgkeitsmatrix K der Platte:

1

1−L1

K = 2 AΔ

T T ˆ ˆ B Y Dp Y B dL2 dL1

(635)

0

0

Diese Integration wird numerisch mittels der Gauß-Quadratur [25] ausgef¨ uhrt. Nach Tab. 2.8 w¨ are f¨ ur eine exakte Integration eine Summation u ber vier ¨ St¨ utzstellen n¨ otig. Dies f¨ uhrt auf ein zu steifes Plattenelement. Ein weicheres Element erh¨ alt man, wenn man reduziert integriert. Es wird statt u ¨ ber vier u utzstellen summiert, was der exakten Integration einer quadrati¨ ber drei St¨ schen Ansatzfunktion entspricht.

1

1−L1

K = 2 AΔ = 2 AΔ

0 n

T T ˆ ˆ B Y Dp Y B dL2 dL1

0

ˆ T(L1i , L2i ) Y T D Y B(L ˆ 1i , L2i ) wi B p

(636)

i=1

utzstellen L1i und Die Gewichtungsfaktoren wi sowie die Koordinaten der St¨ ur unterschiedliche Grade p der Ansatzfunktion f¨ ur das L2i sind in Tab. 2.8 f¨ Dreieckselement angef¨ uhrt. 8.5.6 Fl¨ achenlast

Im Funktional (614) tritt die Fl¨ achenlast p auf. Setzt man f¨ ur die Durchbiegung w die Formfunktionen nach (628) ein, so erh¨alt man unter Voraussetzung einer konstanten Fl¨ achenlast p (s. (97) auf der S. 44):

Ω

p w dΩ = w T p

dΩ = 2 w T AΔ p N

Ω

0

1

1−L1

dL2 N

dL1

(637)

0

p F

F¨ ur den Sonderfall eines gleichseitigen Dreiecks ergeben sich aus der Fl¨achenlast p folgende Kr¨ afte Fi und Momente mxi , myi an den Knoten i = 1, 2, 3: FpT =

F1

mx 1

my 1

F2

mx 2

my 2

F3

mx 3

my 3

256

8. Platten- und Schalenelemente

p = AΔ 24 8

% y21 + y31

8

−(y32 + y31 )

−(x31 + x21 ) &

y32 − y21

8

x21 − x32 (638)

x31 + x32

Die Knotenkraft Fi = 1/3 p AΔ besteht also aus einem Drittel der Gesamtkraft. Neben den Kr¨ aften gehen aus der Fl¨ achenlast noch Momente hervor. Diese Momente drehen wie die Verdrehungen θx und θy um die positive xbzw. y-Achse. 8.5.7 Streckenlast entlang einer Elementkante

Der Ausdruck Πa im Funktional (615) beschreibt Linienlasten des Elementes. Exemplarisch soll hier eine Streckenlast 0 Vn betrachtet werden, wie sie in Bild - 08.11 dargestellt ist. Sie ist auf der Kante L2 = 0 angeordnet. Der Term Vn w dΓ beschreibt die Streckenlast. Zu seiner Diskretisierung wird die ΓV Durchbiegung w nach (628) u ¨ber die Formfunktionen der Platte beschrieben:

Bild 8.11. Streckenlast auf einer Kante des

Elementes

0

0

Vn w dΓ =

ΓV

(L2 = 0) dΓ Vn w T N

(639)

ΓV

Nach Tab. 2.6 ergibt sich f¨ ur die Kante L2 = 0: dΓ = S13 dL1 . Unter der Voraussetzung einer konstanten Streckenlast 0 Vn erh¨alt man folgende L¨osung: 0 ΓV

1 (L2 = 0) dΓ = w dL1 Vn w T N T S31 0 Vn N 0

(640)

Fv

Der Vektor Fv hat folgendes Aussehen: % FvT = S31 0 Vn

1 2

1 − y13 12

1 x13 12

0

0

0

1 2

1 y13 12

1 − x13 12

&

8.6

Konvergenztest des Plattenelementes

257

=

F1

M x1

M y1

F2

M x2

M y2

F3

M x3

M y3

(641)

Die Streckenlast f¨ uhrt zu Kr¨ aften und Momenten f¨ ur die Knoten, die an die Elementkante angrenzen. Die Kr¨ afte F1 = F3 = 1/2 S31 0 Vn ergeben in Summe die Gesamtkraft der Streckenlast. Zus¨ atzlich treten Momente um die x-Achse (Mx1 , Mx3 ) und die y-Achse (My1 , My3 ) auf. Beschreibt man die Gr¨ oßen aus (641) im lokalen n, s-System, so ergibt sich mit y13 = S31 : % Fv = S31 0 Vn

1 2

−

1 S31 12

0

0

0

0

1 2

1 S31 12

& 0

(642)

S31 ist die Kantenl¨ ange des Dreieckes zwischen den Knoten 1 und 3. Diese L¨ osung ist in Analogie zum Balkenelement mit Streckenlast zu sehen (s. (396) auf der S. 150), wenn man von einer konstanten Streckenlast ausgeht ˆ i =q ˆ j ). (0 Vn =q

8.6 Konvergenztest des Plattenelementes Das Konvergenzverhalten des zuvor betrachteten Plattenelementes soll an dem Beispiel, wie es in Bild 8.12 dargestellt ist, aufgezeigt werden. Es ist eine quadratische Platte mit mittiger Einzellast und einer einfachen Lagerung (w = 0 auf dem Rande). Die Beziehung log E = log(C ∗ ) − p log(n), die in (143) auf der S. 58 abgeleitet ist, beschreibt den N¨ aherungsfehler E in Abh¨angigkeit von der Elementanzahl n. n ist die Anzahl der Elemente auf der halben Kantenl¨ange der Platte. p ist die sogenannte Konvergenzordnung des betrachteten Eleangige Konstante. In dem relativen Fehler mentes. C ∗ ist eine problemabh¨ E = |(wex − wFEM )/wex | 100 nach (141) wird hier die Durchbiegung w in der Plattenmitte betrachtet. Die Beziehung (143) stellt sich in einem doppelt logarithmischen System als Gerade dar. Die Konvergenzordnung ist eine positive Zahl, so daß die Gerade eine negative Steigung aufweist, d.h. mit steigender Elementanzahl n nimmt der N¨ aherungsfehler E ab. In Bild 8.12 ist das Ergebnis des Konvergenztestes festgehalten. In der doppelt logarithmischen Darstellung ist auf der Abszisse die Anzahl n entlang der halben Breite der Platte aufgetragen. Die Ordinate beschreibt den relativen Fehler E f¨ ur die Durchbiegung wFEM in der Plattenmitte. Die Gerade in Bild 8.12 stellt sich als Ausgleichsgerade dar. Die K¨astchen kennzeichnen die Rechenergebnisse. Sie hat die Form:

8.6

258

8. Platten- und Schalenelemente

Bild 8.12. Konvergenz der Verformung in Plattenmitte f¨ ur die Navier’sche Platte

E = 31, 450 · n−1,735

(643)

Bei einem Element tritt ein Fehler von 31, 45 % auf. Dieser f¨allt f¨ ur n = 10 Elemente auf 0, 6 % ab.

8.7

8.7 Schalenelement ¨ Das im folgenden betrachtete Schalenelement1 wird durch eine Uberlagerung von Scheibe und Platte gewonnen. Es wird diese Vorgehensweise an einem dreiknotigen Dreieckselement aufgezeigt. In dem Bild 8.13 sind die Freiheitsgrade von Scheibe und Platte angef¨ uhrt. Diese Freiheitsgrade beziehen sich auf das lokale (¯ x,¯ y ,¯ z )-Koordinatensystem des Elementes. Dabei zeigt die x ¯-Achse vom Knoten 1 zum Knoten 2. Die z¯-Achse steht normal zum Element. Aus dem Kreuzprodukt y¯ = z¯ × x ¯ wird die lokale y¯-Achse gebildet. Die z¯-Achse kann u ¨ ber die Beziehung: zˆ = x2 − x1 × x3 − x1 ; z¯ = zˆ | x2 − x1 | | x3 − x1 | | zˆ | 1

(644)

Das Schalenelement ist im Programm “InterFEM“ realisiert (s. Kap. 12.2.1 auf S. 363)

8.7

Schalenelement

259

¨ Bild 8.13. Uberlagerung von Scheibe und Platte zur Schale

gewonnen werden. Die Scheibe weist die Verschiebungen u ¯ und v¯ auf. Diesen zugeordnet sind ¯ sowie die Verdredie Kr¨ afte Fx¯ und Fy¯. Die Platte hat die Durchbiegung w hungen θx¯ und θy¯. Diesen sind die Normalkraft Fz¯ und die Momente Mx¯ und My¯ zugeordnet. Als weitere Verdrehung wird die um die lokale z¯-Achse θz¯ eingef¨ uhrt. Damit ergibt sich der Verformungsvektor u ¯i des Knotens i des Schalenelementes: ⎤

⎡ u ¯

⎥ ⎥ v¯ ⎥ ⎥ ⎥ w ¯ ⎥ ⎥ ⎥= θx¯ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ θy¯ ⎥ ⎦ θz¯

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ u ¯i = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

Schale

⎤

⎡ u ¯

⎤

⎡ 0

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ v¯ ⎥ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎢ ¯ 0 ⎥ ⎥ ⎢ w ⎥ +⎢ ⎢ 0 ⎥ ⎥ ⎢ θx¯ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ θy¯ ⎦ ⎣ 0 0

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

Scheibe

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣

⎤

⎡ 0

⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎦ θz¯

(645)

Platte

F¨ ur das dreiknotige Schalenelement ergibt sich damit folgende Steiﬁgkeitsmatrix im lokalen x ¯, y¯, z¯-System:

260

8. Platten- und Schalenelemente

⎡

¯ K 11

⎢ ⎢ ¯ ⎢ K 21 ⎣ ¯ K 31

¯ K 12

¯ K 13

⎤⎡

⎥⎢ ⎢ ¯ ⎥ ⎢ K 23 ⎥ ⎦⎣ ¯ K 33

¯ K 22 ¯ K 32 ¯ K

u ¯1

⎤

⎡

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ u ¯2 ⎥ = ⎢ ⎦ ⎣ u ¯3

⎤

F¯1

⎥ ⎥ F¯2 ⎥ ⎦ ¯ F3

(646)

¯ F

¯ u

Die Vektoren u ¯1 , u ¯2 , u ¯3 entsprechen dem Vektor u¯i in (645). Eine beliebige ¯ , im folgenden auch Block genannt. Er wird durch ¯ ist K Untermatrix von K ij ¨ additive Uberlagerung von Scheibe und Platte gebildet: ˆ ˆ ¯ )S + (K ¯ )P ¯ = (K K ij ij ij

⎡

u ¯

v¯

w ¯

θx¯

θy¯

θz¯

♦

♦

0

0

0

0

♦

0

0

0

0

0 ×

×

×

0

0 ×

×

×

0

0 ×

×

×

0

0

0

0

0

0

0

u ¯

v¯

w ¯

θx¯

θy¯

θz¯

♦

♦

0

0

0

0

♦

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

⎢ ⎢ ⎢♦ ⎢ ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢ ⎢0 ⎣

⎡

⎢ ⎢ ⎢♦ ⎢ ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢ ⎢0 ⎣ 0

(647)

⎤

u ¯ ⎥ ⎥ ⎥v¯ ⎥ ⎥ ⎥w ⎥¯ = ⎥ ⎥ ⎥θx¯ ⎥ ⎥ ⎥θy¯ ⎦ θz¯

⎤

u ¯

⎡

u ¯

v¯

w ¯

θx¯

θy¯

θz¯

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0 ×

×

×

0

0 ×

×

×

0

0 ×

×

×

0

0

0

0

0

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥v¯ ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥w ⎢0 ¯ ⎥ ⎢ + ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥θx¯ ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥θy¯ ⎢0 ⎦ ⎣ θz¯

0

0

⎤

u ¯ ⎥ ⎥ ⎥v¯ ⎥ ⎥ ⎥w ⎥¯ ⎥ ⎥ ⎥θx¯ ⎥ ⎥ ⎥θy¯ ⎦

(648)

θz¯

Das Zeichen ♦“ symbolisiert den Anteil der Scheibe und das Zeichen ×“ den ” ” der Platte.

8.7

Schalenelement

261

¯ weist in der Spalte θz¯ und der Zeile θz¯ (k¯ij )66 eine Null Die Matrix K ij auf. Diese Null ist dadurch bedingt, daß der Freiheitsgrad θz¯ weder bei der Scheibe noch bei der Platte deﬁniert ist. Zur Umgehung dieser Schwierigkeit f¨ uhren [54, 4] einen ﬁktiven Wert f¨ ur (k¯ij )66 ein. Dies kann zu ungenauen Ergebnissen und einer schlechten Kondition der Gesamtsteiﬁgkeitsmatrix f¨ uhren. Daher soll hier dieser Weg nicht beschritten, sondern folgende Tatsache ausgenutzt werden: Die Singularit¨ at tritt in der Gesamtsteiﬁgkeit nur dann auf, wenn einer der folgenden F¨ alle auftritt: i) alle an einem Knoten k angrenzenden Elemente liegen in einer Ebene ii) der Knoten k geh¨ ort nur zu einem Element In diesen beiden F¨ allen nennt man den Knoten k komplanar. Durch Streichen des Freiheitsgrades θz¯ wird die Singularit¨at beseitigt. Ist der Knoten k nicht komplanar, d.h. es liegen nicht alle an dem Knoten angrenzenden Elemente in einer Ebene, so ist die Gesamtsteiﬁgkeitsmatrix nicht singul¨ ar. Der Freiheitsgrad wird als globaler Freiheitsgrad θz deﬁniert. Der Knoten k, an den m Elemente angrenzen, ist komplanar, wenn gilt: |ni × nj |= 0 ∀ i, j = 1, 2, . . . , m mit i = j

(649)

ni und nj sind die Einheitsnormalenvektoren der Elemente, die an den Knoten k angrenzen. ¯ in (646) werden in Abh¨angigkeit von der Kom¯ der Matrix K Die Bl¨ ocke K ij planarit¨ at des entsprechenden Knotens transformiert. Ausgehend von der Beziehung: ¯ ij u K ¯j = F¯i

(650)

werden folgende Transformationen angesetzt: u ¯j = Tˆj uj ; F¯i = Tˆi Fi

(651)

T Einsetzen in (650) und von links mit Tˆi durchmultipliziert:

T ¯ ij Tˆj uj = TˆTi Tˆi Fi = Fi Tˆi K

(652)

262

8. Platten- und Schalenelemente

Die Transformationsmatritzen Tˆ i und Tˆj werden von den Elementen gebildet, bei denen der Knoten i bzw. j in der Elementknotenzuordnung erstmalig auftritt. ⎡ Tˆ = ⎣

⎡

⎤ T

0

0

T

⎤ ex¯

⎦ mit

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ T = ⎢ ey¯ ⎥ ⎣ ⎦ ez¯

(653)

Die Einheitsvektoren ex¯ , ey¯, ez¯ der Koordinatenachsen (¯ x,¯ y ,¯ z ) des jeweiligen Elementes bilden die Zeilen der Transformationsmatrix. Bei der Transformation nach (652) m¨ ussen folgende F¨ alle unterschieden werden: Tabelle 8.3. Fallunterscheidungen bei der Komplanarit¨ at

Knoten i

Knoten j komplanar

nicht komplanar

komplanar

Ti = Tj = E

Ti = E ; Tj

nicht komplanar

Ti ; Tj = E

Ti ; Tj

Die Tab. 8.3 beschreibt f¨ ur die Knoten i und j die zugeh¨origen Transformationsmatritzen, wobei die F¨ alle komplanar und nicht komplanar unterschieden werden. E ist die Einheitsmatrix. Sind beide Knoten komplanar, so ﬁndet keine Transformation statt ( T i = T j = E ). Sind beide Knoten nicht komplanar, so ﬁndet eine vollst¨ andige R¨ ucktransformation statt. In den anderen beiden F¨ allen ﬁndet eine teilweise Transformation statt.

Bild 8.14. Symmetrisches Schalenproblem als Beispiel zur Betrachtung der Kondition der Gesamtsteiﬁgkeitsmatrix

8.7

Schalenelement

263

Betrachtung der Kondition der Gesamtsteiﬁgkeitsmatrix

Bei komplanaren Knoten tritt nach (648) auf der Hauptdiagonalen (θz¯, θz¯) eine Null auf. Eliminiert man diesen Freiheitsgrad nicht, sondern ersetzt diese Null durch einen ﬁktiven Wert α (α ∈ R∗+ ), so kann dieses zu einer schlechten Kondition der Gesamtsteiﬁgkeitsmatrix f¨ uhren. Dazu wird ein Beispiel betrachtet wie es in Bild 8.14 angef¨ uhrt ist. Es wird die Symmetrie ausgenutzt, so daß nur die Elemente 1 und 2 auftreten. Hierf¨ ur ergibt sich unter Ber¨ ucksichtigung der wesentlichen Randbedingungen folgende Gesamtsteiﬁgˆ . keitsmatrix K g

⎡ ⎢ ⎢ ˆ Kg = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

u2

w2

θy 2

θz 2

155769, 23437500

0

0

0

0

530, 04809570

2698, 31738281

0

2698, 31738281

40144, 23046875

0

0

0

⎤ u2 ⎥ ⎥ 0 ⎥w2 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎦θy2

α

θz2 (654)

Der Knoten 2 ist ein komplanarer Knoten. Daher kann der Freiheitsgrad θz eliminiert werden, d.h. die Zeile und Spalte von θz wird gestrichen. Diese ˇ hat folgende Eigenwerte: Matrix K g ⎤

⎡ 347, 09731204

⎢ =⎢ Λ ⎢ 40327, 18125241 ⎣ 155769, 2343750

⎡

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎦ ⎣

⎤ λmin −

⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(655)

λmax

Damit erh¨ alt man nach (126) auf der S. 54 einen Verlust von s = 3 signiﬁkante Nachkommastellen. Ber¨ ucksichtigt man nicht die Komplanarit¨at des Knotens 2 und vermeidet die Singularit¨ at von (654), indem auf die Haupt∗ diagonale ein Wert α (α ∈ R+ , α ≤ λmin ) gesetzt wird, so erh¨alt man die Eigenwerte λmin = α und λmax wie in (655). Damit ergibt sich ein Verlust Δs an signiﬁkanten Nachkommastellen von: Δs = 5, 192 − 0, 434 ln α In der Tab. 8.7 sind f¨ ur α einige Werte Δs angef¨ uhrt.

(656)

264

8. Platten- und Schalenelemente

Tabelle 8.4. Verlust an signiﬁkan-

ten Nachkommastellen

α Δs

0,1 1 7

6

2 100 300 5

4

3

Will man den Verlust von signiﬁkanten Nachkommastellen vermeiden, so sind große Werte f¨ ur α zu w¨ ahlen. Das kann dazu f¨ uhren, daß dieses die berechneten Verformungen beeinﬂußt. Daher ist die Elimination des Freiheitsgrades θz bei komplanaren Knoten sinnvoll.

Kapitel 9 Feldprobleme

9

9

9 9.1 9.1.1 9.1.2 9.1.3 9.2 9.2.1 9.2.2 9.2.3 9.2.4 9.2.5 9.2.6 9.3 9.3.1 9.3.2 9.3.3 9.3.4 9.3.5 9.3.6 9.4 9.4.1 9.5 9.5.1 9.5.2 9.5.3 9.5.4

Feldprobleme W¨arme¨ ubertragung .............................................. 269 Die Poisson’sche Gleichung .................................... 269 Randbedingungen ................................................ 269 Das Funktional der W¨arme¨ ubertragung ..................... 270 Eindimensionale W¨arme¨ ubertragung ......................... 271 Problemdeﬁnition ................................................ 271 Funktional des eindimensionalen W¨arme¨ ubertragungsproblems ............................................................... 271 Diskretisierung des Funktionals ............................... 272 Variation des Funktionals ...................................... 276 Beispiel zur eindimensionalen W¨arme¨ ubertragung......... 277 ¨ Ubungsbeispiele: Eindimensionale W¨arme¨ ubertragung ... 282 Zweidimensionale W¨arme¨ ubertragung ...................... 284 Problemdeﬁnition ................................................ 284 Randbedingungen bei der zweidimensionalen W¨arme¨ ubertragung ............................................................ 284 Diskretisierung des Funktionals .............................. 285 Variation des Funktionals ...................................... 292 Beispiel zur zweidimensionalen W¨arme¨ ubertragung ....... 294 ¨ Ubungsbeispiele zur zweidimensionalen W¨arme¨ ubertragung 299 Torsion von prismatischen K¨ orpern .......................... 302 Funktional des Torsionsproblems.............................. 305 Analogie - W¨arme¨ ubertragung zu Schichtenstr¨ omung.... 308 Problembeschreibung ........................................... 308 Grundgleichungen ................................................ 308 Analogie der Randbedingungen ............................... 310 Analoges Funktional des Str¨ omungsproblems .............. 311

9 Feldprobleme Das Bild 9.1 zeigt einen dreidimensionalen K¨ orper, in dem die Feldgr¨oße φ = φ(x, y, z) als gesuchte Gr¨ oße auftritt. Als bekannte Gr¨oße tritt im Inneren des K¨ orpers die Quellgr¨ oße Φ auf. Auf der Oberﬂ¨ache Ωφ wird die Gr¨oße 0φ als bekannt vorausgesetzt. Die Flußgr¨ oße 0q tritt auf der Oberﬂ¨ache Ωq auf.

Bild 9.1. Ein dreidimensionaler

K¨ orper mit den Gr¨ oßen der betrachteten Feldprobleme

Die Zuordnung dieser Gr¨ oßen ist im Tonti-Diagramm in Bild 9.2 gegeben. Die kinematische Beziehung1 stellt sich als Gradient g = ∇φ dar. Die Stoﬀˆ die Flußgr¨oße q mit dem Gradigleichung verkn¨ upft u ¨ber die Stoﬀmatrix D enten g. In der Gleichgewichtsbedingung ∇ · q = Φ tritt die Quellgr¨oße Φ auf. Die wesentliche Randbedingung 0φ wird der Oberﬂ¨ache Ωφ zugeordnet. Die q = eTn q beschreibt auf Ωq die Flußgr¨oße. nat¨ urliche Randbedingung 0q = en · Die Gr¨ oßen in den schattierten K¨ astchen werden als bekannt vorausgesetzt. Setzt man den Gradienten g in die Stoﬀgleichung ein, so erh¨alt man: ˆ ∇φ q=D

(657)

Einsetzen in die Gleichgewichtsbeziehung f¨ uhrt auf: ˆ ∇φ) = ∇ · gˆ = Φ ∇ · (D

(658)

In ausf¨ uhrlicher Schreibweise erh¨ alt man: ∂ ∂x

1

∂φ ∂φ ∂φ ∂ ∂ λx + λy + λz =Φ ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z

(659)

Die Begriﬀe im Tonti-Diagramm sind in Bild 2.12 auf der S. 58 eingef¨ uhrt.

268

9. Feldprobleme

Bild 9.2. Das Tonti-Diagramm der betrachteten Feldprobleme

Diese Gleichung nennt man die allgemeine Poisson’sche Gleichung. Verschwindet der Term Φ und sind die Gr¨ oßen λi = konstant, so erh¨alt man die Laplace Gleichung. Viele physikalische Probleme stellen sich als Feldprobleme bzw. Potentialprobleme dar. Hierunter fallen z.B. das W¨armeleitungsproblem, die Potentialstr¨ omung und die Torsion eines prismatischen Stabes, um nur einige zu nennen. All diese Probleme sind dadurch gekennzeichnet, daß sie sich durch (659) beschreiben lassen. Die wichtigsten physikalischen Probleme dazu sind in Tab. 9.1 zusammengefaßt. Tabelle 9.1. Zusammenstellung analoger Feldprobleme

Problem

Variable φ

Stoﬀgr¨ oße

Φ

W¨ arme¨ ubertragung

Temperatur

W¨ armeleitf¨ ahigkeit

Torsion

Spannungsfunktion Druck Druck

1

W¨ armequellendichte 2 · Drillwinkel · Schubmodul 0 Wirksamer Fluß

Spritzgießen Schmier¨ olﬁlm Sickerstr¨ omung Reibungsfreie, inkompressible, wirbelfreie Str¨ omung Elektrostatik

Druckh¨ ohe Potentialfunktion

Fluidit¨ at Funktionen der Filmdicke und Viskosit¨ at Durchl¨ assigkeit 1

Feldpotential Dielektrizit¨ atskonstante

Str¨ omungsquelle Quelle oder Senke

Ladungsdichte

9.1

W¨ arme¨ ubertragung

9.1

269

9.1

W¨ arme¨ ubertragung

9.1.1

Die Poisson’sche Gleichung Das W¨ arme¨ ubertragungsproblem l¨ aßt sich mit Hilfe der Poisson’schen Gleichung (659) beschreiben. Dabei ist die unbekannte Gr¨oße φ die Temperatur T . Φ ist die W¨ armequellendichte und die Hauptdiagonalelemente der Stoﬀarmeleitf¨ ahigkeiten λi eines orthotropen K¨orpers matrix D stellen sich als W¨ dar:

⎡

⎤ λx

⎢ ⎢ D=⎢ 0 ⎣ 0

0

0

⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎦ λz

λy 0

(660)

ˆ DaF¨ ur die Stoﬀmatrix D gilt beim W¨ arme¨ ubertragungsproblem: D = −D. mit lautet die Stoﬀgleichung in Abwandlung von (657): q = −D ∇T

(661)

Diese Beziehung nennt man Fourier’sche Gleichung. Einsetzen in die Gleichgewichtsbeziehung f¨ uhrt auf: ∂ ∂x

∂T ∂T ∂T ∂ ∂ λx + λy + λz +Φ=0 ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z

(662)

9.1.2

Randbedingungen Die wesentlichen Randbedingungen beschreiben auf der Oberﬂ¨ache ΩT die urlichen Randbedingungen erfassen auf der Temperaturen T = 0 T . Die nat¨ armestromdichten: Oberﬂ¨ ache Ωq die W¨

q = enT q= q T en

0

(663)

Der Einheitsnormalenvektor en steht normal zur Oberﬂ¨ache Ωq (s. Bild 9.1). Einsetzen von (661) in (663) f¨ uhrt zu: T

T

q = − (D ∇ T ) en = − (∇ T ) D en

0

(664)

270

9. Feldprobleme

Der W¨ arme¨ ubergang auf Ωq kann durch Leitung q oder Konvektion alt man mit (664): α(T − Tu ) stattﬁnden1 . Damit erh¨ (∇ T )T D en + q + α(T − Tu ) = 0

(665)

In skalarer Form ergibt sich f¨ ur ein lokales Koordinatensystem, in dem die n-Achse in Richtung von en zeigt:

λn

∂T 0 + q + α(T − Tu ) = 0 ∂n

(666)

Die Gleichung (666) beschreibt die nat¨ urlichen Randbedingungen des W¨armeu arme¨ ubergangskoeﬃzient und Tu ¨ bertragungsproblems. Dabei ist α der W¨ die Umgebungstemperatur. 9.1.3

Das Funktional der W¨ arme¨ ubertragung

Das zuvor dargestellte W¨ arme¨ ubertragungsproblem l¨aßt sich alternativ u ¨ber ein Funktional2 der folgenden Form beschreiben: 1 Π= 2

T

V

(∇ T ) D ∇ T dV −

Φ T dV + V

W¨ armeleitung (Πw )

T i Qi

i

Innere W¨ armeerzeugung (ΠQ )

& % 1 α Tu − T + q T dΩ − 2 Ω R

(667)

W¨ arme¨ ubergang auf den Oberﬂ¨ achen des K¨ orpers (Πq )

Hierbei wird die Gleichgewichtsbeziehung ∇ · q = Φ sowie die nat¨ urliche T 0 q = q in schwacher, d.h. in gemittelter Form, ber¨ uckRandbedingung en sichtigt. Das Problem stellt ein C 0 -Problem dar, da im Funktional nur erste Ableitungen von T auftreten. Das Funktional beschreibt den dreidimensionalen Fall. F¨ ur die sp¨ater betrachteten ein- und zweidimensionalen F¨ alle ¨andert sich nur die Dimension des Nabla-Vektors. Zudem treten dann Integrale u ¨ ber die R¨ander des entsprechenden K¨ orpers auf. Die Gr¨ oßen in (667) haben folgende Bedeutung: T - Temperatur Φ - W¨ armequellendichte (pro Volumeneinheit erzeugte W¨armemenge) 1 2

W¨ armestrahlung kann in ¨ ahnlicher Form ber¨ ucksichtigt werden. Die Euler-Lagrange’schen Gleichungen hiervon f¨ uhren auf (662) und (664).

9.2

Eindimensionale W¨ arme¨ ubertragung

271

α - W¨ arme¨ ubergangszahl Tu - Umgebungstemperatur Qi - Punktf¨ ormige W¨ armequellen D - Stoﬀmatrix mit den W¨ armeleitf¨ ahigkeiten

9.2 9.2.1

Problemdeﬁnition In Bild 9.3 ist ein eindimensionaler K¨ orper mit m¨oglichen Randbedingungen dargestellt. Die Hauptausdehnungsrichtung verl¨auft in x-Richtung und ist sehr viel gr¨ oßer als die Ausdehnung quer zur x-Achse. Diese wird durch die Querschnittsﬂ¨ ache A erfasst. Die unbekannte Gr¨oße ist die Temperatur T . Sie ¨ andert sich nur in Richtung der x-Achse (T = T (x)). Es liegt also ein eindimensionales Problem vor. Es sind vier Formen von Randbedingungen angef¨ uhrt. Einer Stirnﬂ¨ache des agt. Die weiteren Randbedingungen K¨orpers ist eine Temperatur 0 T aufgepr¨ lassen sich mit Hilfe von (666) erl¨ autern:

Bild 9.3. Die Randbedingungen

beim eindimensionalen W¨ armeu ¨bertragungsproblem

W¨ armeisolation auf der Mantelﬂ¨ ache ΩI (0q = α = 0). W¨ arme¨ ubertragung durch Leitung auf der Stirnﬂ¨ache Ωq (0q = 0, α = 0). W¨ arme¨ ubertragung durch Konvektion auf der Mantelﬂ¨ache Ωα (α = 0, 0 q = 0). 9.2.2

9.2

Eindimensionale W¨ arme¨ ubertragung

Funktional des eindimensionalen W¨ arme¨ ubertragungsproblems Das Funktional des eindimensionalen W¨ arme¨ ubertragungsproblems lautet:

l

272

9. Feldprobleme

1 Π= 2

V

dT λ dx

2

dV −

W¨ armeleitung (Πw )

V

T Φ dV + Σi Ti Qi

Innere W¨ armeerzeugung (ΠQ )

& % 1 α Tu − T + q T dΩ 2 Ωq

−

(668)

W¨ arme¨ ubergang auf den Oberﬂ¨ achen des K¨ orpers (Πq )

In dem Ausdruck der W¨ armeleitung reduziert sich die Stoﬀmatrix D auf die skalare W¨ armeleitf¨ ahigkeit λ. Der Gradient ∇T vereinfacht sich zu dT /dx. Die innere W¨ armeerzeugung wird um die punktuellen W¨armequellen der anzt. Der W¨ arme¨ ubergang auf der Oberﬂ¨ache des K¨orpers Form i Ti Qi erg¨ entspricht dem dreidimensionalen Fall. 9.2.3

Diskretisierung des Funktionals

Bild 9.4. W¨ arme¨ ubertragung durch ein

eindimensionales Element

In Bild 9.4 ist ein K¨ orper dargestellt, der eine Hauptausdehnungsrichtung aufweist. Er besteht aus einem konischen und einem prismatischen Abschnitt. Der prismatische Abschnitt wird in ein ﬁnites Element eingeteilt, das in der Schwereachse des K¨ orpers liegt, die mit der x-Achse zusammenf¨allt. Das Element hat eine L¨ ange l, eine Querschnittsﬂ¨ ache A sowie eine W¨armeleitf¨ahigkeit λ. Es weist an seinen beiden Enden jeweils einen Knoten i bzw. j auf. F¨ ur diese beiden Knoten werden als Unbekannte die Knotentemperaturen Ti und uhrt. Diesen zugeordnet sind die punktf¨ormigen W¨armequellen Qi Tj eingef¨ und Qj . Sie beschreiben die W¨ armemengen, die am Knoten i (Qi ) bzw. j (Qj ) in das Element hinein- oder herausﬂießen. Die W¨arme¨ ubergangskoeﬃzienten αi , αj , αM , sowie die Umgebungstemperatur Tu dienen zur Beschreibung der Konvektion, die sich auf den Stirnﬂ¨ achen oder der Mantelﬂ¨ache ausbildet. Die lineare Temperaturverteilung in diesem eindimensionalen Element wird wie folgt beschrieben:

9.2

Eindimensionale W¨ arme¨ ubertragung

% 1−

T (x) =

x l

x l

&

⎤

⎡ ⎣

Ti

⎦=

273

N1

N2

⎤

⎡ ⎣

Tj

Ti

T T ⎦=N

(669)

Tj

Die Formfunktionen N1 , N2 entsprechen denen, die beim Stabelement Verwendung ﬁnden (s. (258)). Die Ableitung der Temperatur nach x lautet:

dT = dx

dT dx

%

&

−

⎡

⎤ Ti

1 1 ⎣ T T ⎦=B l l Tj

(670)

T B

2

T T B T T = T T B B T T =B

(671)

W¨ armeleitung

Damit erh¨ alt man f¨ ur Πw : 1 1 T T T B T dV T λ T B B T dV = T λB Πw = 2 V 2 V

(672)

Kw

B T f¨ uhrt zu: Das dyadische Produkt B ⎡

⎤ −1 % ⎢ ⎥ B T = ⎢ l ⎥ −1 B ⎣ 1 ⎦ l l

1 l

&

⎡ 1 ⎣ 1 = 2 l −1

−1

⎤ ⎦

(673)

1

Bei konstantem Querschnitt des betrachteten Elementes kann man schreiben (dV = A dx):

1 Πw = 2 2l

⎡ l

λ T T ⎣

0

1 −1

⎤ ⎡ −1 1 Aλ 1 ⎦ T A dx = T T ⎦ T ⎣ 2 l 1 −1 1

−1

⎤

Kw

=

1 T T K w T 2

(674)

274

9. Feldprobleme

Innere W¨ armeerzeugung

ΠQ =

T Φ dV + Σi Ti Qi

(675)

V

Die Temperatur T in (675) wird u ¨ber die Formfunktion nach (669) beschrieben (Φ = konstant): ⎡

⎤ x l l⎢ 1− l ⎥ dx + Σi Ti Qi = T T A Φ ⎢ ⎥ ΠQ = Φ T T NA ⎣ x ⎦ dx + Σi Ti Qi 0 0 l ⎡ ⎤ " # 1 1 ⎦ +T T F = T T FQ + F = T T V Φ ⎣ (676) 2 1

Q F

W¨ arme¨ ubergang auf den Oberﬂ¨ achen β & % 1 1 α Tu − T + q T dΩ = − Πq = α T 2 dΩ + (αTu + q) T dΩ 2 2 Ω Ω Ω Πq1

Πq2

(677) Konvektionsmatrix

Der erste Summand aus (677) f¨ uhrt auf die Konvektionsmatrix K k : T T ; T =N ⎡ x 1− ⎢ l N T =⎢ N ⎣ x l

T T N T T = T T N N T T T2 = N 2 ⎡ ⎤ x & ⎢ 1− % ⎥ l ⎥ 1− x x =⎢ ⎢ ⎦ l l ⎣ x x 2 − l l

2 x x − l l 2 x l

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ (678) ⎦

Die Integration dΩ erstreckt sich u ¨ber die Oberﬂ¨ache des eindimensionalen Elementes. Dies sind zum einen die Mantelﬂ¨ache und zum anderen die beiden Stirnﬂ¨ achen.

9.2

Eindimensionale W¨ arme¨ ubertragung

Πq1 =

1 2

α T 2 dΩ = Ω

1 2

0

l

275

& & % % 1 1 αT2 αT2 α T 2 U dx + Ai + Aj 2 2 x=0 x=l

Mantelﬂ¨ ache

Stirnﬂ¨ achen

(679) Es wird in (679) vorausgesetzt, daß der Querschnitt im Element konstant ist. Damit gilt: dΩ = U dx, wobei U der Umfang des Querschnittes ist.

Πq1

2 ⎤ ⎡ x x x 1 − 1 − l⎢ l l l ⎥ 1 ⎢ ⎥ = T T αM ⎢ ⎥ dx T 2 2 ⎦ 0 ⎣ x x x 1− l l l ⎤ ⎡ ⎡ ⎤ 1 T ⎣ Ai 0 ⎦ 1 T ⎣ 0 0 ⎦ + T αi T + T αj T 2 2 0 0 0 Aj ⎤ ⎤ ⎛ ⎡ ⎡ ⎤⎞ ⎡ 1 0 0 A 0 2 M⎣ 1 ⎦ + αi ⎣ i ⎦ + αj ⎣ ⎦⎠ T = T T ⎝αM 2 6 1 2 0 0 0 Aj ⎡ ⎤ M M + α α A α i i M ⎢ M 3 ⎥ 1 6 ⎥ T = 1 T T K T (680) = T T ⎢ k ⎣ ⎦ 2 2 M M + αj Aj αM αM 6 3 Kk

ubergangsM = U l ist die Mantelﬂ¨ ache des Elementes. αM ist der W¨arme¨ ubergangskoeﬃkoeﬃzient auf der Mantelﬂ¨ ache. αi und αj sind die W¨arme¨ zienten f¨ ur die Stirnﬂ¨ achen am Anfangs- und Endknoten des Elementes. W¨ arme¨ ubergangsvektor

Die Integration u oße β in (677) erstreckt sich u ¨ber die Gr¨ ¨ ber die Mantelﬂ¨ache und die Stirnﬂ¨ achen (Ai , Aj ) des Elementes:

βM T U dx + βi T Ai + βj T Aj x=0 x=l Ω ⎡0 ⎤ ⎤ ⎡ ⎡ ⎤ x l 1− ⎢ A 0 ⎥ i l T ⎣ ⎥ ⎦ + βj T T ⎣ ⎦ = βM U T T ⎢ ⎣ x ⎦ dx + βi T 0 0 Aj l

Πq2 =

β T dΩ =

l

276

9. Feldprobleme

⎤ ⎤ ⎡ ⎡ ⎤⎞ ⎡ A 0 1 i l ⎦ + βi ⎣ ⎦ + βj ⎣ ⎦⎠ = T T ⎝βM U ⎣ 2 1 0 Aj ⎡ ⎤ 1 βM M + βi Ai ⎥ ⎢ 2 ⎥ = T T Fq = T T ⎢ ⎣ 1 ⎦ βM M + βj Aj 2 ⎛

(681)

q F

ache) und βi , βj (Stirnﬂ¨achen) zu Bei β = αTu + q ist zwischen βM (Mantelﬂ¨ unterscheiden. M = U l ist wiederum die Mantelﬂ¨ache des Elementes. 9.2.4

Variation des Funktionals Damit ergibt sich f¨ ur das Funktional:

Π = Πw − ΠQ − Πq1 − Πq2 =

# " # 1 T" T K w + K k T − T T FQ + F + Fq 2 (682)

Die Variation f¨ uhrt auf folgenden Ausdruck: " # K w + K k T = Fq + FQ + F ⎛

⎞

⎜ ⎤ ⎤⎟⎡ ⎤ ⎡ ⎡ ⎟ ⎜ ⎟ Ti αM M ⎜ Aλ 1 −1 2 αM M + 6 αi Ai 1 ⎜ ⎦+ ⎣ ⎦⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎟ ⎜ l 6 ⎟ ⎜ −1 1 α M 2 α M + 6 α A T M M j j j ⎠ ⎝ W¨ armeleitung (K w )

⎡

=

βM M + 2 βi Ai

⎤

⎡

Konvektion (K k )

⎤

1

1⎣ ⎦+ ΦV ⎣ ⎦ + 2 β M +2β A 2 1 M j j W¨ arme¨ ubergang (Fq )

W¨ armeerzeugung (FQ )

⎡ ⎣

⎤

Qi

⎦ Qj

Punktw¨ arme) quellen (F

(683) Der Wert β = αTu + q wird f¨ ur die Mantelﬂ¨ache βM sowie die Stirnﬂ¨achen achen keine Konvektion statt, so βi , βj unterschieden. Findet auf diesen Fl¨ ist α Null. Ebenso ist q Null, wenn diesen Fl¨achen keine W¨armestromdichte aufgepr¨ agt wird.

9.2

Eindimensionale W¨ arme¨ ubertragung

9.2.5

277

Beispiel zur eindimensionalen W¨ arme¨ ubertragung

In Bild 9.5 ist ein K¨ uhlstab mit der W¨ armeleitf¨ ahigkeit λ dargestellt, der von einer Fl¨ ussigkeit mit der Temperatur Tu umgeben ist und per Konvektion u ache W¨ arme abf¨ uhren soll. Am Fußpunkt des Stabes ist ¨ ber seine Mantelﬂ¨ ohe h und einen Durchmesser d. die Temperatur Tf bekannt. Er hat eine H¨ Gesucht ist die Temperaturverteilung T = T (x) im Stab und die W¨armeabgabe, wobei die W¨ armeabgabe u ¨ ber die Stirnﬂ¨ache vernachl¨assigt wird. Weiterhin ist der Fehler bei der FEM zu betrachten (Analytische L¨osung s. Kap. 9.2.6).

Bild 9.5. Einteilung des Stabes in zwei Elemente. Bei

der Zahlenrechnung werden folgende Werte angenommen: h = 100, d = 10, Tf = 100, Tu = 20, α = 1/2000, λ = 3/50

L¨ osung mit zwei zweiknotigen Elementen

Der Stab nach Bild 9.5 wird in zwei Elemente der L¨ange h/2 eingeteilt. Den beiden Elementen wird eine W¨ armeleitf¨ ahigkeit λ zugeordnet. Auf der Mantelﬂ¨ ache der Elemente wirkt eine W¨ arme¨ ubergangszahl1 α=m2 A λ/U , die die Konvektion ber¨ ucksichtigt. Im Knoten 1 ist die Temperatur mit Tf bekannt. W¨ armeleitungs- und Konvektionsmatrizen

Die W¨ arme- und Konvektionsmatrizen lauten nach (683):

K w1

K k1

⎡ ⎤ ⎤ ⎡ 1 −1 A λ ⎣ 24 −24 ⎦ 3 ⎦ π⎣ = K w2 = = 12 h −24 24 100 −1 1 ⎡ ⎡ ⎤ ⎤ ⎡ 2 1 1 2 2 1 ⎦ = Aλ m ⎦= π ⎣ ¯⎣ = K k2 = αM M ⎣ 6 12 h 24 1 1 2 1 2

⎤ 1

⎦

2 (684)

Mit m ¯ = m2 h2 und K i = K wi + K ki ergibt sich: 1

Die Abk¨ urzung m2 = αU/(Aλ) entstammt der analytischen L¨ osung.

278

9. Feldprobleme

⎡ ¯ A λ ⎣ 2(12 + m) K1 = K2 = 12 h m ¯ − 24

⎤

⎡ 68 π ⎦= ⎣ 600 2(12 + m) ¯ 7 m ¯ − 24

⎤ 7

⎦

(685)

68

Gesamtsteiﬁgkeitsmatrix

¨ Die Gesamtsteiﬁgkeitsmatrix K g ergibt sich aus der Uberlagerung der beiden Einzelsteiﬁgkeitsmatrizen K 1 und K 2 :

⎡ Kg =

T2

T3

2(12 + m) ¯

m ¯ − 24

0

Aλ⎢ ⎢ ¯ − 24 12 h⎢ m ⎣ 0

⎡ =

T1

4(12 + m) ¯ m ¯ − 24

T1

T2

T3

68

7

0

π ⎢ ⎢ 600⎢ 7 ⎣ 0

136 7

⎤

T1 ⎥ ⎥ m ¯ − 24 ⎥ T2 ⎦ 2(12 + m) ¯ T3

⎤

T1 ⎥ ⎥ 7 ⎥ T2 ⎦ 68 T3

(686)

Rechte Seite des Problems

Der Vektor der Temperaturen wird in zwei Anteile zerlegt.0 T erfaßt die be kannten Temperaturen: 0 T T = [ Tf | 0 | 0 ]. In Tˆ stehen die unbekannten Tem peraturen (Tˆ )T = [ 0 | T2 | T3 ]: K g (0 T + Tˆ ) = F

K g Tˆ = F − K g 0 T

⇒

(687)

Nach (683) enth¨ alt die rechte Seite zwei Anteile. Der erste Anteil geht auf die Konvektion zur¨ uck. F¨ ur Element 1 und 2 erh¨alt man mit βM = α Tu und α=m ¯ A λ/(U h2 ): ⎤

⎡ βM M

⎤

⎡ 1

⎡

⎤ 1

Aλ ⎣ 1 ⎦ = 3m ⎦ = 5π ⎣ ⎦ F1 = F2 = ⎣ ¯ Tu 2 β M 12 h 1 2 1 M

(688)

9.2

Eindimensionale W¨ arme¨ ubertragung

279

Der zweite Anteil K g 0 T tritt infolge der gegebenen Fußtemperatur Tf auf. Das Produkt K g 0 T stellt sich wie folgt dar: ⎡ K g 0 T =

Aλ ⎢ ⎢ ⎢ 12 h ⎣

⎤⎡

2(12 + m) ¯

m ¯ − 24

m ¯ − 24

4(12 + m) ¯ m ¯ − 24 ⎤ ⎡

0 ⎡ Aλ ⎢ ⎢ = Tf ⎢ 12 h ⎣

2(12 + m) ¯ m ¯ − 24

⎥ π⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ 6⎣ ⎦

0

⎤ Tf

0

⎥⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎥⎢ 0 ⎥ ⎦⎣ ⎦ 2(12 + m) ¯ 0 ⎤ 68 ⎥ ⎥ 7 ⎥ ⎦ 0 m ¯ − 24

(689)

Aus (688) und (689) ergibt sich damit die rechte Seite zu: ⎤

⎡

⎡

⎤

⎡

1

2(12 + m) ¯

⎥ Aλ ⎢ Aλ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ F − K g 0T = 3 m ¯ Tu ⎢ 2 ⎥ − Tf ⎢ ⎦ 12 h ⎣ 12 h ⎣ 1 ⎡ ⎤ ⎡ R 3m ¯ Tu − 2(12 + m)T ¯ f Q1 ⎢ ⎢ ⎥ Aλ ⎢ ⎥ ⎢ = ⎢ 6m ¯ Tu + (24 − m)T ¯ f ⎥+⎢ 0 ⎦ ⎣ 12 h ⎣ 3m ¯ Tu 0

m ¯ − 24

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎢ ⎦ ⎣

0

⎤ Q1 0

⎥ ⎥ ⎥ ⎦

0 ⎡

⎤

R

−53

⎤

⎡

⎥ π⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ 23 ⎥ + ⎢ ⎦ ⎦ ⎣ 6⎣ 15

R

⎤ Q1 0

⎥ ⎥ ⎥ ⎦

0 (690)

Aus dem Gleichungssystem mit der Koeﬃzientenmatrix nach (686) und der rechten Seite nach (690) kann die erste Zeile und Spalte gestrichen werden: ⎡ Aλ ⎣ 12 h

4(12 + m) ¯

m ¯ − 24

⎤⎡

⎤ T2

⎡

¯ f 6m ¯ Tu + (24 − m)T

⎦ = Aλ ⎣ 12h m ¯ − 24 2(12 + m) ¯ T3 ⎤⎡ ⎤ ⎤ ⎡ ⎡ π ⎣ 136 7 ⎦ ⎣ T2 ⎦ π ⎣ 23 ⎦ = 600 6 7 68 T3 15 ⎦⎣

⎤ ⎦

3m ¯ Tu

(691) Daraus ergeben sich die Temperaturen zu:

280

9. Feldprobleme

⎤ (9m ¯ + 216)m ¯ Tu + [(12 − m)2 ¯ m ¯ + 576]Tf ⎥ ⎢ ⎥ T ⎢ 576 + 240 m ¯ +7m ¯2 ⎥ ⎣ 2 ⎦=⎢ ⎥ ⎢ ⎣ (m ¯ + 48)6 m ¯ Tu + [(m ¯ − 48)m ¯ + 576]Tf ⎦ T3 576 + 240 m ¯ +7m ¯2 ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ 100 ⎣ 1459 ⎦ ⎣ 15, 860 ⎦ = = 9199 1879 20, 426 ⎡

⎤

⎡

(692)

Analytische L¨ osung des W¨ armestromes am Fußpunkt

¨ Uber die Fourier’sche Gleichung Q = −A λ dT /dx erh¨alt man aus der analytischen L¨ osung T = Tu + (Tf − Tu ) cosh [m (h − x)] / cosh (mh) den W¨armestrom:

Q(x) = A λ

m sinh [m(h − x)] (Tf − Tu ) cosh(m h)

(693)

F¨ ur den Fußpunkt ergibt sich mit x = 0: Q(x = 0) = A λ m tanh(m h)(Tf − Tu ) = 21, 765

(694)

W¨ armestrom bei zwei Elementen

Aus der Beziehung K g T = F l¨ aßt sich der W¨armestrom am Knoten 1 berechnen. Dazu wird die erste Zeile aus K g (686) mit den Temperaturen Tf und T2 multipliziert und man erh¨ alt den W¨armestrom am Knoten 1: Aλ Aλ [2(12 + m)T ¯ f + (m 3m ¯ Tu + RQ1 ¯ − 24)T2 ] = 12 h 12 h

(695)

uhrt zu: Einsetzen der Temperatur T2 aus (692) f¨

R

Q1 =

¯ + m) ¯ A λ (48 + m)(12 m ¯ (Tf − Tu ) = 28, 332 h 576 + 240m ¯ + 7m ¯2

(696)

Die Temperaturverl¨ aufe T (ξ) sind im Bild 9.6 f¨ ur ein bis f¨ unf Elemente der exakten L¨ osung gegen¨ ubergestellt. Beim zweiknotigen Element ist nach (669) die Temperatur im Element linear verteilt. Bei Steigerung der Elementanzahl schmiegt sich der Temperaturverlauf in Form eines Polygonzuges immer mehr an die exakte L¨ osung an. Bei f¨ unf Elementen ist oberhalb von ξ=1/5 kaum

9.2

Eindimensionale W¨ arme¨ ubertragung

281

Bild 9.6. Vergleich der exakten

L¨ osung mit der FE-L¨ osung f¨ ur unterschiedliche Elementanzahlen

noch ein Unterschied zwischen der FE-L¨ osung und der exakten L¨osung zu erkennen. Fehlerbetrachtung beim zweiknotigen Element

In Bild 9.7 ist der Fehler f¨ ur Temperatur und W¨armeﬂuß in Abh¨angigkeit von der Anzahl der Elemente in einem doppelt logarithmischen System dargestellt.

Bild 9.7. Fehlerdarstellung der Temperatur und des W¨ armeﬂusses in Abh¨ angigkeit von der Elementanzahl

Bei einem Element betr¨ agt der Fehler 30% und f¨allt bei 10 Elementen unterhalb von 1%. Der Fehler des W¨ armeﬂusses bei x=0 ist gr¨oßer als der der Temperatur, da der W¨ armeﬂuß sich als Gradient der Temperatur darstellt. Bei einem Element betr¨ agt er fast 100% und f¨ allt auf ca. 2% ab.

282

9. Feldprobleme

¨ Ubungsbeispiele: Eindimensionale W¨ arme¨ ubertragung

9.2.6

9.1

W¨ arme¨ ubertragungsbeispiel I

Bild 9.8. Rundstab bzw. Rippe umgeben von ei-

ner Fl¨ ussigkeit. Die Gr¨ oße b ist beim Rundstab der Durchmesser d. Die Hauptausdehnung der Rippe der L¨ ange L erstreckt sich normal zur Zeichenebene. Bei einer Dicke t gilt unter der Voraussetzung t/L << 1: t=b/2

F¨ ur das Beispiel aus Kap. 9.2.5 auf der S. 277 ist die analytische L¨osung herzuleiten. Dazu ist das Gleichgewicht der W¨armeﬂ¨ usse an einem Volumenelement, wie es in Bild 9.8 dargestellt ist, anzusetzen. Mit Hilfe der Fouur die Konvektion2 ist die Difrier’schen Gleichung1 und der Beziehung f¨ ¨ ferentialgleichung des Problems zu formulieren. Uber die Randbedingungen (T (x = 0) = Tf und dT /dx(x = h) = 0) ist die Diﬀerentialgleichung zu l¨osen. 9.2

9.3

W¨ arme¨ ubertragungsbeispiel II

Gegeben ist in Bild 9.9 ein Schnitt durch eine Wand, die in zwei Richtungen unendlich ausgedehnt ist und in x-Richtung eine endliche Dicke von 3 l besitzt. Die beiden a ande weisen eine W¨armeleitf¨ahigkeit λ auf, die ¨ußeren W¨ mittlere Isolierschicht eine W¨ armeleitf¨ ahigkeit f λ, mit f ≤ 1. Die Temperaturen Tw und Ta sind bekannt. Es sollen die Temperaturen an den Stellen x=l und x=2 l sowie der W¨ armestrom und die W¨armestromdichte in der Wand berechnet werden.

W¨ arme¨ ubertragungsbeispiel III

Eine in zwei Richtungen unendlich ausgedehnte Wand (s. Bild 9.10) weist auf ihrer Innenseite eine Temperatur von Tw auf. Die Wand ist u ¨ ber ihre Dicke (x-Richtung) in drei Teilw¨ ande aufgeteilt. Die innere Wand weist eine armeleitf¨ ahigkeit λ auf. Die Außenwand hat eine St¨arke Dicke l1 und eine W¨ 1 dQ

dx

2 dQα

dx

2

= −Aλ ddxT2 . A ist die Querschnittsﬂ¨ ache. = αU (T − Tu ). U ist der Umfang.

9.2

Eindimensionale W¨ arme¨ ubertragung

283

Bild 9.9. W¨ armeleitung durch eine in zwei Richtun-

gen unendlich ausgedehnte Wand mit einer Isolierungsschicht

l3 und eine W¨ armeleitf¨ ahigkeit λ. Dazwischen ist eine Isolierschicht der Dicke ur die W¨ armeleitf¨ ahigkeit gilt das Verh¨altnis f = λb /λ. Die l2 angeordnet. F¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient α. Umgebungstemperatur ist Tu und der W¨

Bild 9.10. W¨ armeleitung durch eine isolierte Wand mit unterschiedlichen Wandst¨ arken und Konvektion auf der Außenseite

Gesucht sind der Temperaturverlauf u ¨ber die Wanddicke sowie der W¨armeﬂuß durch die Wand in Abh¨ angigkeit von f = λb /λ. W¨ arme¨ ubertragungsbeispiel IV

Bild 9.11. Rundstab mit Konvektion auf der Stirnﬂ¨ ache A

In Bild 9.11 ist ein Rundstab mit der Querschnittsﬂ¨ache A, der H¨ohe h sowie der W¨ armeleitf¨ ahigkeit λ dargestellt. Auf der Stirnﬂ¨ache A des Stabes tritt Konvektion mit einer W¨ arme¨ ubergangszahl α auf. Die Umgebungstemperaache des Stabes ist isoliert. Am Fußpunkt des tur betr¨ agt Tu . Die Mantelﬂ¨ Stabes ist die Temperatur mit Tf bekannt.

9.4

284

9. Feldprobleme

Der Stab soll in zwei Elemente eingeteilt werden. Gesucht sind die Temperaturverteilung T = T (x) sowie die W¨ armemenge, die vom Stab abgegeben wird.

9.5

l

N

9.3

m

J

W¨ arme¨ ubertragungsbeispiel V

Alternativ soll das Problem aus Bild 9.5 auf der S. 277 mit einem dreiknotigen Element gel¨ ost werden. Dazu sind mit dem Programm “ Feldprobleme 1D“ (s. Kap. 12.2.12 auf S. 377) die ben¨ otigten Matrizen und die rechte Seite f¨ ur das dreiknotige Element zu ermitteln. Damit sind die Temperaturverl¨aufe im Stab zu berechnen. Erg¨ anzend sind die L¨ osungen von zwei-, drei-, vier- und f¨ unfknotigen Elementen gegen¨ ubergestellt. Aufgabe mit FEM GEN und FEM CAS

Das Beispiel in Bild 9.5 auf der S. 277 soll mit “ FEM CAS“ mit vier zweiknotigen Elementen gerechnet werden. Gesucht ist der W¨armeﬂuß Q = Q(h, A, U, α, λ, Tf , Tu ).

9.3

Zweidimensionale W¨ arme¨ ubertragung

9.3.1

Problemdeﬁnition Im folgenden wird als Feldproblem das ebene W¨arme¨ ubertragungsproblem betrachtet. In Bild 9.12 ist ein ebener K¨ orper mit einer Dicke t dargestellt. Die Dicke soll sehr viel kleiner sein als die ¨außeren Abmaße dieses K¨orpers. Gesucht ist die Temperaturverteilung T (Ω) in diesem K¨orper, wobei diese als konstant u ubergang ﬁndet ¨ ber die Dicke angenommen wird. Der W¨arme¨ u achen und u achen des K¨orpers statt. F¨ ur diese ¨ ber die Stirnﬂ¨ ¨ ber die Deckﬂ¨ R¨ ander k¨ onnen verschiedene Randbedingungen formuliert werden. 9.3.2

Randbedingungen bei der zweidimensionalen W¨ arme¨ ubertragung

Zur eindeutigen Beschreibung des Problemes m¨ ussen neben (662) entsprechende Randbedingungen ber¨ ucksichtigt werden. Die verschiedenen Randbedingungen sind in Bild 9.12 dargestellt. Sie werden in zwei F¨alle unterteilt: Die Temperaturverteilung ist auf dem Teilrand ΓT bekannt. Diese Randbedingung entspricht den bisherigen in der Elastostatik1 . Die zweite Form der Randbedingung beim ebenen W¨arme¨ ubertragungsproblem wird durch (666 auf der S. 270) beschrieben2 . Hierin beschreibt die armeleitung auf dem Rand Ωq . Die Konvektion W¨ armestromdichte 0q die W¨ 1 2

Diese Randbedingung wird auch Dirichlet sche Randbedingung genannt. Diese Randbedingung ist nach Cauchy benannt.

9.3

Zweidimensionale W¨ arme¨ ubertragung

285

Bild 9.12. Die Rand-

bedingungen bei der W¨ arme¨ ubertragung

auf Ωα wird u arme¨ ubergangszahl α und die Umgebungstemperatur ¨ber die W¨ Tu erfaßt. Der Gradient der Temperatur T wird in Richtung der Randnormalen n gebildet. In Richtung von n ist die W¨ armeleitf¨ahigkeit λn deﬁniert. Die Diskussion von (666) f¨ uhrt zu folgenden Fallunterscheidungen: W¨ armeisolation auf dem Teilrand ΓI : 0q = α = 0 ∂T =0 ∂n

(697)

Es ﬁndet kein W¨ arme¨ ubergang auf dem betrachteten Teilrand ΓI statt. W¨ arme¨ ubertragung durch Leitung auf dem Teilrand Ωq : α = 0 q = −λn

0

∂T ∂n

(698)

Es wird die W¨ armestromdichte 0q auf dem Teilrand Ωq vorgeschrieben. Konvektion auf dem Teilrand Ωα : 0q = 0 ; α = 0 λn

9.3.3

∂T = −α (T − Tu ) ∂n

(699)

Diskretisierung des Funktionals Es wird das Funktional nach (667 auf der S. 270) betrachtet. Zur Diskretisierung dieses Funktionals wird analog zum Scheibenproblem wiederum ein Dreieckselement verwendet. In Bild 9.13 ist ein solches Dreieckselement dargestellt. Es weist drei Knoten auf und wird in der (x, y)-Ebene beschrieben. In den drei Knoten ist jeweils eine Temperatur Ti (i = 1, 2, 3) als unbekannte

286

9. Feldprobleme

Gr¨ oße deﬁniert. Auf den drei Kanten Γ12 , Γ23 und Γ31 des Elementes sind drei m¨ ogliche Randbedingungen eingezeichnet, wobei der Fall der Isolation fehlt.

Bild 9.13. Dreieckselement mit m¨ oglichen Randbedin-

gungen

F¨ ur die Kante Γ12 und die Fl¨ ache des Dreieckselementes ist der Fall der Konvektion angef¨ uhrt. Der W¨ arme¨ ubergang u ¨ ber die Deckﬂ¨ache ΩA wird nicht in (666) beschrieben. Kante Γ23 weist eine vorgeschriebene Temperaturverteilung auf. Diese Forderung ist dadurch zu realisieren, daß die Knotentemur Kante Γ31 ist der Fall einer peraturen T2 und T3 vorgegeben werden. F¨ uhrt. vorgegebenen W¨ armestromdichte 0q angef¨ F¨ ur die Beschreibung der Temperaturverteilung im Element wird die Formfunktion (551 auf der S. 215) benutzt, die schon beim Scheibenproblem zur Beschreibung der Verschiebungen im Element diente: ⎡ T =

⎡

⎤ T1

L1

L2

L3

⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ T 2 ⎥ = N1 ⎣ ⎦ T3

⎤ T1

N2

N3

⎥ ⎢ ⎢ ⎥ T T (700) ⎢ T2 ⎥ = N ⎣ ⎦ T3

Im folgenden werden die Ausdr¨ ucke des Funktionals diskretisiert. W¨ armeleitung

Der Temperaturgradient ∇T in (667) wird mit Hilfe der Formfunktionen nach (700) geschrieben als: # " T T = B T T T = ∇N ∇T = ∇ N

(701)

Damit kann der Term f¨ ur die W¨ armeleitung Πw wie folgt ausgedr¨ uckt werden:

Πw =

1 2

" #T 1 B T D B T dV = T T B TD B dV T 2 V V Kw

(702)

9.3

Zweidimensionale W¨ arme¨ ubertragung

287

Die Matrix K w ist die W¨ armeleitungsmatrix. T Zur Berechnung des Ausdruckes B TD B muß das dyadische Produkt ∇N gebildet werden. Die Formfunktionen nach (700) sind in Dreieckskoordinaten beschrieben. Mit (83) und (88) auf der S. 42 erh¨alt man f¨ ur das dyadische T: Produkt ∇N ⎡ ⎢ T = J −1 ∇Δ N T = J −1 ⎢ B = ∇N ⎢ ⎣ ⎡

∂L1 ⎢ ∂L 1 ⎢ = J −1 ⎢ ⎣ ∂L1 ∂L2 ⎡ 1 ⎣ −y32 = 2 AΔ x32

∂L2 ∂L1 ∂L2 ∂L2 y31 −x31

∂ ∂L1 ∂ ∂L2

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ L1 ⎦

1 − L1 − L2

L2

⎤ ∂(1 − L1 − L2 ) ⎥ ∂L1 ⎥ ⎥ ∂(1 − L1 − L2 ) ⎦ ∂L2 ⎤ ⎤⎡ ⎡ ⎤ 1 0 −1 −y32 y31 −y21 1 ⎦= ⎦⎣ ⎣ ⎦ 2 A Δ 0 1 −1 x32 −x31 x21 (703)

Das Produkt D B wird mit Hilfe der Deﬁnition von D in (660)1 und B nach (703) gebildet: ⎡

⎤

DB = ⎣

λx

0

0

λy

⎦

⎡

−y32

1 ⎣ 2 AΔ x32

⎡ 1 ⎣ −λx y32 = 2 AΔ λy x32

y31

−y21

−x31

x21 ⎤

λx y31

−λx y21

−λy x31

λy x21

⎤ ⎦

⎦

(704)

Zur Berechnung der Dyade B TD B muß (704) noch von links mit B T durchmultipliziert werden. Das Ergebnis ist nicht von L1 und L2 abh¨angig. Die Integration kann damit mit dV = t dA wie folgt ausgef¨ uhrt werden: 1 Πw = 2 1

V

1 T T B TD B T dV = t T T B TD B T 2

dA A

Im ebenen Fall treten nur die W¨ armeleitf¨ ahigkeiten in x- (λx ) und y-Richtung (λy ) auf.

288

9. Feldprobleme

=

1 T 1 T t AΔ B TD B T = T T K w T 2 2

(705)

Kw

Damit erh¨ alt man f¨ ur die W¨ armeleitungsmatrix folgenden Ausdruck: ⎡

2 λx y32 +

⎢ ⎢ ⎢ λy x232 ⎢ ⎢ t ⎢ ⎢ λx y13 y32 + Kw = ⎢ 4 AΔ ⎢ λ x x ⎢ y 13 32 ⎢ ⎢ ⎢ λx y21 y32 + ⎣ λy x21 x32

⎤ λx y13 y32 +

λx y21 y32 +

⎥ ⎥ λy x21 x32 ⎥ ⎥ ⎥ λx y12 y31 + ⎥ ⎥ ⎥ λy x12 x31 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 2 ⎥ λx y21 + ⎦ λy x221

λy x13 x32 2 λx y31 +

λy x231 λx y12 y31 + λy x12 x31

(706)

Die Gr¨ oßen xij = xi − xj und yij = yi − yj stellen Diﬀerenzen der Knotenarmeleitf¨ahigkeiten in x- und y-Richtung. koordinaten dar. λx , λy sind die W¨ ache des Dreieckselementes. AΔ ist die Fl¨ Innere W¨ armequellen

Der zweite Ausdruck ΠQ im Funktional nach -(667) beschreibt die innere W¨ armeerzeugung im Element. Der erste Term V Φ T dV wird diskretisiert, indem die Temperatur T mit Hilfe der Formfunktionen u ¨ ber die Knotentemperaturen ausgedr¨ uckt wird. Bei der Integration wird vorausgesetzt, daß die W¨ armequellendichte Φ ebenso wie die Dicke t im Element konstant sind. Die Formfunktionen in Dreieckskoordinaten nach (700) erm¨oglichen eine leichte Integration u ache bzw. R¨ ander des Elementes. Dabei ﬁndet die ¨ ber die Fl¨ ucksichtigung: Beziehung L3 = 1 − L1 − L2 Ber¨ ⎡

Φ T dV = Φ t T T V

⎤ L1

dA = Φ t T T N A

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ L2 ⎥ dA ⎣ ⎦ A L3

(707)

Die Integration des Vektors wird elementweise ausgef¨ uhrt. Aus der allgemeinen L¨ osung (98) auf der S. 44 ergibt sich mit b = c = 0: Li = a

1! 0! 0! 1 2 AΔ = AΔ (1 + 2)! 3

Damit f¨ uhrt die Integration von (707) zu:

(708)

9.3

Zweidimensionale W¨ arme¨ ubertragung

289

⎤

⎡ 1

V

⎥ AΔ ⎢ ⎢ ⎥ Φ T dV = T T Φ t ⎢ 1 ⎥ = T T FQ ⎦ 3 ⎣ 1

(709)

Der zweite Term im Ausdruck ΠQ von (667), n¨ amlich der Ausdruck i Ti Qi erfaßt punktf¨ ormige W¨ armequellen. Bei der Behandlung des Problemes mit der FEM ist es notwendig, daß diese punktf¨ ormigen W¨armequellen mit Knoten der Elemente zusammenfallen. Die Summation u orpers wird ersetzt durch die element¨ ber alle Quellen des K¨ weise Ber¨ ucksichtigung der punktf¨ ormigen W¨ armequellen: ⎡ 3

T i Qi =

⎤ Q1

T1

i

T2

T3

⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ Q2 ⎥ = T T F ⎣ ⎦ Q3

(710)

Auf der linken Seite der Gleichung stehen unter dem Summenzeichen drei m¨ ogliche W¨ armequellen, die den drei Knoten eines Elementes zugeordnet werden k¨ onnen. W¨ arme¨ ubergang auf der Oberﬂ¨ ache

Der W¨ arme¨ ubergang auf der Oberﬂ¨ ache wird im Funktional (667) u ¨ ber den Ausdruck Πq erfaßt: 1 α Tu − T + q T dΩ Πq = 2 ΩR " # 1 =− α Tu + q T dΩ α T 2 dΩ + 2 ΩR ΩR

(711)

β

Die beiden Integrale aus (711) werden einzeln ausgef¨ uhrt. Das erste Integral f¨ uhrt auf die Konvektionsmatrix K k . Der zweite Ausdruck ergibt den W¨ arme¨ ubergangsvektor FR . Konvektionsmatrix

Die Temperatur im Element wird u ¨ ber die Formfunktion nach (700) ausgedr¨ uckt. Das Quadrat der Temperatur T l¨ aßt sich schreiben als:

290

9. Feldprobleme

T T N T T = T T N N T T T2 = T T = N

(712)

Einsetzen in das Integral aus (711): 1 2

α T 2 dΩ = ΩR

1 T T 2

N T dΩ T αN ΩR

Kk

⎡ = T T

1 2

⎤

L21

L1 L2

⎢ ⎢ α ⎢ L1 L2 ΩR ⎣ L1 L3

L22 L2 L3

L1 L3

⎥ ⎥ L2 L3 ⎥ dΩ T ⎦ 2 L3

(713)

Die Integration u ache ΩR wird aufgeteilt in eine Integration ¨ ber die Oberﬂ¨ u ander (dΩ = t dΓ) und Fl¨ ache AΔ des Elementes: ¨ ber die R¨ Kk =

N T dΩ = t αN ΩR

N T dΓ + N T dA = K + K αN αN kR kA (714) Ωα AΔ Kk

Kk

R

A

Die Integration u ander des Elementes wird in (714) kantenweise ¨ ber die R¨ vorgenommen, dabei wird α als konstant vorausgesetzt: K kR = α t

N T dΓ N

Γα

N T dΓ + α23 t = α12 t N Γ12 L3 =0

N T dΓ + α31 t N Γ23 L1 =0

N T dΓ N

Γ31

L2 =0

(715) N T wird elementweise durchgef¨ Die Integration u N uhrt. Dabei ¨ ber die Dyade - 2 treten Integrale der Form Γ Li dΓ und Γ Li Lj dΓ auf. Diese Integralformen sind schon bei der Behandlung des Scheibenproblems aufgetreten. Die L¨osungen nach (579) und (580) auf der S. 223 waren: Γij

Γij

L2i dγ =

2! 0! 1 Sij = Sij (2 + 0 + 1)! 3

Li Lj dγ =

1! 1! 1 Ski = Sij (1 + 1 + 1)! 6

9.3

Zweidimensionale W¨ arme¨ ubertragung

291

Die Ausf¨ uhrung der Integration aus (715) f¨ uhrt zu folgenden Ausdr¨ ucken: ⎡ K kR =

t⎢ ⎢ ⎢ 6⎣

⎤ 2(α12 S12 + α31 S31 )

α12 S12

α31 S31

α12 S12

2(α12 S12 + α23 S23 )

α23 S23

α31 S31

α23 S23

2(α23 S23 + α31 S31 )

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ (716)

Die Integration u ache in (714) f¨ uhrt zu (s. (98) auf der ¨ber die Dreiecksﬂ¨ S. 44): ⎤

⎡ 2

K kA = αA

⎢ ⎢ ⎢ 1 ⎣ 1

AΔ 12

1 2 1

1

⎥ ⎥ 1 ⎥ ⎦ 2

(717)

Es setzt sich damit die Konvektionsmatrix K k aus den beiden Anteilen K kR (716) und K kA (717) additiv zusammen. Sij ist die Kantenl¨ange zwischen dem i-ten und j-ten Knoten des Elementes, αij die entsprechende W¨ arme¨ ubergangszahl dieser Kante. t ist die Dicke des Elementes. αA ist die W¨ arme¨ ubergangszahl auf der Deckﬂ¨ ache und AΔ die Dreiecksﬂ¨ache. W¨ arme¨ ubergangsvektor

Es muß noch der zweite Summand aus (711) behandelt werden. Die Integration erstreckt sich wiederum u ander und die Fl¨ache des Elementes: ¨ ber die R¨

"

#

α Tu + q T dΩ = T T t ΩR β

⎡

dΩ βN ΩR

⎤ L1

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ β ⎢ L2 ⎥ dΓ +T T β ⎣ ⎦ Γβ AΔ L3

= T Tt

R F R

⎡

⎤ L1

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ L2 ⎥ dA = T T (FRR + FRA ) = T T FR ⎣ ⎦ L3 R F A

(718) Die Integration wird kantenweise durchgef¨ uhrt (β = konstant):

292

9. Feldprobleme

⎛

⎤

⎡

⎡

L1

⎤

⎡

0

⎤

⎞

L1

⎢ ⎢ ⎢ ⎥ ⎜ ⎥ ⎥ ⎟ ⎥ ⎜ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎟ FRR = t ⎜β12 ⎢ L2 ⎥ dΓ + β23 ⎢ L2 ⎥ dΓ + β31 ⎢ 0 ⎥ dΓ⎟ ⎦ ⎝ ⎣ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎠ Γ12 Γ23 Γ31 0 L3 L3 (719) Auf den Kanten verschwindet jeweils eine Dreieckskoordinate. Die Integration u uhrt. Es ergeben sich Integrale der ¨ ber die Vektoren wird elementweise ausgef¨ Form (s. (101) auf der S. 45):

Γj

Li dΓ = Γi

1! 0! 1 Sij = Sij (1 + 0 + 1)! 2

(720)

Damit erh¨ alt man einen Vektor der folgenden Art: ⎛

1

⎥ ⎢ S23 ⎥ ⎢ ⎢ 1 ⎥ + β23 ⎦ ⎣ 2 0 ⎤ β12 S12 + β31 S31 ⎥ ⎥ β12 S12 + β23 S23 ⎥ ⎦ β23 S23 + β31 S31

⎜ S12 ⎜ FRR = t ⎜β12 ⎝ 2 ⎡ =

⎤

⎡

1 ⎢ ⎢ t⎢ 2 ⎣

⎤

⎡

⎤⎞

⎡

0

⎥ ⎢ S31 ⎥ ⎢ ⎢ 1 ⎥ + β31 ⎦ ⎣ 2 1

1

⎥⎟ ⎢ ⎥⎟ ⎢ ⎢ 0 ⎥⎟ ⎦⎠ ⎣ 1

(721)

Der Vektor FRA enth¨ alt den Anteil, der aus der Integration u ¨ ber die Fl¨ache des Elementes hervorgeht: ⎡ FRA = βA

⎤ L1

⎤

⎡ 1

⎢ ⎥ ⎢ 1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ L2 ⎥ dA = AΔ βA ⎢ 1 ⎣ ⎦ ⎣ 3 AΔ L3 1

⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(722)

Die Vektoren FRR und FRA treten nur dann auf, wenn die Gr¨oßen βij bzw. βA ungleich Null sind. 9.3.4

Variation des Funktionals Einsetzen der Beziehungen aus (705), (714), (718), (709) und (710) in (667):

9.3

Zweidimensionale W¨ arme¨ ubertragung

Π = Πw − ΠQ − Πq =

293

# " # 1 T " K w + K k T − T T FR + FQ + F (723) T 2

Im Gleichgewicht der inneren W¨ armestr¨ ome nimmt das Funktional Π einen station¨ aren Wert an, so daß die erste Variation von Π: δΠ = (∂Π/∂T )δT verschwinden muß:

δΠ =

# " # ∂ T 1 T ∂ T T " 1 δT K w + K k T + T T K w + K k δ T 2 2 ∂ T T ∂ T # ∂ T T " FR + FQ + F −δ T T ∂ T T

(724)

Mit den Beziehungen nach (70), (72) und (74) l¨aßt sich die voranstehende Gleichung schreiben als: δΠ = δ T T

"

# K w + K k T − FR − FQ − F = 0

(725)

Die erste Variation verschwindet dann und nur dann, wenn der Klammerausdruck verschwindet, da δ T T beliebige Werte annehmen kann: # " K T = K w + K k T = FR + FQ + F

(726)

Die Gleichung beschreibt das Gleichgewicht des W¨armeﬂusses. Die Steiﬁgkeitsmatrix1 K setzt sich aus zwei Anteilen zusammen. Die Matrix K w ist aus der W¨ armeleitung im Innern des K¨ orpers hervorgegangen. Die Matrix K k tritt nur dann auf, wenn auf dem Rande des Elementes Konvektion auftritt. Ansonsten verschwindet dieser Anteil. Die rechte Seite setzt sich aus drei Vekubergang toren zusammen. Zum einen aus dem Vektor FR , der auf den W¨arme¨ auf den R¨ andern des K¨ orpers zur¨ uckzuf¨ uhren ist. Zum anderen verursachen die inneren, verteilten und punktf¨ ormigen W¨ armequellen die Vektoren FQ und F . Die W¨ armeleitungsmatrix K w ist eine (3 × 3)-Matrix und in (706) beschrieben. Die Dimensionsanalyse im technischen Maßsystem [39, 31] f¨ uhrt f¨ ur den armeleitungsmatrix zu folgenersten Summanden des Elementes kw1,1 der W¨ dem Ausdruck: 1

Die Bezeichnung als Steiﬁgkeitsmatrix ist historisch begr¨ undet. Die Dimensionen der Elemente der W¨ armeleitungs- und Konvektionsmatrix sind nicht die einer Steiﬁgkeit.

294

9. Feldprobleme

%

& FL L F L2 t 2 = = 2 λx y32 4 A L T grd T grd

(727)

Die Elemente der W¨ armeleitungsmatrix haben die Dimension einer Leistung bezogen auf Grad. Rechte Seite

Die rechte Seite ergibt sich aus (721), (722), (709) und (710): F R + FQ + F = ⎡ β12 S12 + β31 S31 t⎢ ⎢ ⎢ β S + β23 S23 2 ⎣ 12 12 β23 S23 + β31 S31 W¨ arme¨ ubergang auf den R¨ andern des Elementes

⎤

⎤

⎡

⎤

⎡

1

1

⎡

⎥ ⎥ ⎥ 1 ⎢ t AΔ ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥+ AΔ βA ⎢ 1 ⎥ +Φ ⎢ 1 ⎥+ ⎦ ⎦ ⎦ 3 ⎣ 3 ⎣ 1 1 W¨ arme¨ ubergang u ache AΔ ¨ ber die Fl¨

Verteilte, innere W¨ armequelle

⎤ Q1

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ Q2 ⎥ ⎣ ⎦ Q3

Punktf¨ ormige, innere W¨ armequelle

(728) βij = αij Tu + qij ; βA = αA Tu + qA αij - W¨ arme¨ ubergangszahl auf der Elementkante zwischen den Knoten i arme¨ ubergangszahl auf der Fl¨ache AΔ des Elementes und j; αA - W¨ qij - W¨ armestromdichte auf der Elementkante zwischen den Knoten armestromdichte auf der Fl¨ache AΔ des Elementes i und j; qA - W¨ Tu - Umgebungstemperatur Φ - W¨ armequellendichte Qi - Punktf¨ ormige W¨ armequelle am Knoten i Die Dimensionsanalyse der rechten Seite anhand des Vektors FQ : % Φ

& t F L L L2 FL AΔ = = 3 T L3 T

(729)

Die rechte Seite hat die Dimension einer Leistung. 9.3.5

Beispiel zur zweidimensionalen W¨ arme¨ ubertragung

Problembeschreibung

In der linken H¨ alfte von Bild 9.14 ist eine quadratische Scheibe dargestellt, in der im Innern eine W¨ armequellendichte Φ auftritt. Die daraus resultierende W¨ arme wird u achen abgef¨ uhrt, w¨ahrend die Deckﬂ¨achen isoliert ¨ber die Stirnﬂ¨

9.3

Zweidimensionale W¨ arme¨ ubertragung

295

sind. Es braucht f¨ ur die weiteren Ausf¨ uhrungen nur die Mittelﬂ¨ache, wie sie in der rechten H¨ alfte von Bild 9.14 dargestellt ist, betrachtet zu werden. Das Problem ist mehrfach symmetrisch, so daß nur ein Achtel, das in der rechten Bildh¨ alfte schraﬃert ist, in der Rechnung ber¨ ucksichtigt wird. Aus Symmetriegr¨ unden ist der Temperaturgradient normal zur x-Kante und zur Diagonalen Null (∂T /∂n = 0). Auf dem Außenrand ist die Temperatur mit T0 vorgegeben.

Bild 9.14. W¨ armeleitung in einer Scheibe

F¨ ur die Rechnung werden folgende Gr¨ oßen betrachtet: Dicke der Scheibe: t W¨ armeleitf¨ ahigkeit: λ = λx = λy W¨ armequellendichte: Φ Randtemperatur: T0 = 0 Aufgabe ist es, die Temperaturverteilung in der Scheibe und den W¨armeﬂuß zu berechnen.

Bild 9.15. Einteilung in Dreieckselemente

Einteilung in Dreieckselemente

Das Achtel wird in vier Dreieckselemente eingeteilt, wie es Bild 9.15 zeigt. Die Elementnummern sind durch Kreise und die Knotennummern durch Quadra-

296

9. Feldprobleme

te eingefaßt. Die Zahlen im Innern der Elemente geben die Reihenfolge der Knotennummern in der Elementknotenzuordnung wieder. In Tab. 9.2 sind die Elementknotenzuordnung sowie die wichtigsten Daten der Steiﬁgkeitsmatrizen festgehalten. Tabelle 9.2. Elementknotenzuordnung (¯ xij = xij /l; y¯ij = yij /l) Elemente

Knoten 1

Knoten 2

Knoten 3

x ¯32

y¯32

x ¯13

y¯13

x ¯21

y¯21

1

1

2

3

0

1/4

-1/4

-1/4

1/4

0

2

2

4

5

0

1/4

-1/4

-1/4

1/4

0

3

2

5

3

-1/4

0

0

-1/4

1/4

1/4

4

3

5

6

0

1/4

-1/4

-1/4

1/4

0

W¨ armeleitungsmatrizen

Die Elemente 1, 2, 4 weisen gleiche Gr¨ oße und Orientierung auf, so daß sie gleiche Matrizen besitzen. Es ergibt sich nach (706):

⎡

1/2/3

2/4/5

3/5/6

1

−1

0

−1

2

−1

0

−1

1

t ⎢ K w1 = K w2 = K w4 = λ⎢ 2 ⎢ ⎣

⎤

1/2/3 ⎥ ⎥ ⎥2/4/5 ⎦ 3/5/6

(730) Die Spalten und Zeilen sind mit den Knotennummern der Elemente durchnumeriert. Da die Elemente 1, 2, 4 identische Matrizen aufweisen, sind die Spalten und Zeilen dieser Matrix mit jeweils drei Nummern versehen. Dabei gilt folgende Zuordnung: i-Element 1; i-Element 2; i-Element 4. Die W¨ armeleitungsmatrix f¨ ur Element 3 ergibt sich analog:

⎡ K w3 =

2

5

1

0

t ⎢ λ⎢ 2 ⎢ 0 ⎣ −1

1 −1

3

⎤ −1 2 ⎥ ⎥ −1 ⎥5 ⎦ 2 3

(731)

9.3

Zweidimensionale W¨ arme¨ ubertragung

297

Konvektionsmatrix

Der W¨ arme¨ ubergang von der Scheibe an die Umgebung muß nicht betrachtet werden, da die Temperaturen an der Außenkante der Scheibe bekannt sind. Daraus folgt, daß die Konvektionsmatrix verschwindet: K k = 0. Gesamtsteiﬁgkeitsmatrix

¨ Die additive Uberlagerung der vier W¨ armeleitungsmatrizen zur Gesamtsteiﬁgkeitsmatrix geschieht entsprechend der Elementknotenzuordnung:

⎡

T1

T2

T3

T4

T5

T6

1

−1

0

0

0

0

4

−2

−1

0

0

−2

4

0

−2

0

−1

0

2

−1

0

0

−2

−1

4

−1

0

0

0

−1

1

⎢ ⎢ ⎢ −1 ⎢ ⎢ t⎢ 0 Kg = λ ⎢ 2⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎣ 0

⎤

T1 ⎥ ⎥ ⎥ T2 ⎥ ⎥ ⎥ T3 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ T4 ⎥ ⎥ ⎥ T5 ⎦

(732)

T6

Rechte Seite

Die rechte Seite (s. (728)) besteht in allgemeiner Form aus vier Vektoren. Im vorliegenden Fall tritt auf dem Rand des K¨orpers weder Konvektion auf noch wird die W¨ armestromdichte 0q vorgegeben. Daraus folgt, daß der Vektor FR verschwindet. Weiterhin liegen keine punktf¨ormigen W¨armequellen vor, so daß der Vektor F ein Nullvektor ist. Bleibt noch der Vektor FQ u ¨brig. Dieser tritt infolge der inneren W¨ armeerzeugung im K¨orper, die durch die W¨ armequellendichte Φ beschrieben wird, auf und wird nach (728) wie folgt f¨ ur Element i berechnet: ⎡

⎤ 1

i FQ

= Φt

AΔ 3

⎢ ⎥ t l2 ⎢ ⎥ ⎢ 1 ⎥=Φ ⎣ ⎦ 96 1

⎡

⎤ 1

⎡

i

⎤ Q1

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ i ⎥ ⎢ 1 ⎥ = ⎢ Q2 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ i 1 Q3

(733)

Diese Beziehung ist f¨ ur alle Elemente gleich, da sie nur von Φ und der Dreiecksﬂ¨ ache AΔ abh¨ angt. Es gilt:

298

9. Feldprobleme

1 FQ

= 2FQ = 3FQ = 4FQ

(734)

¨ F¨ ur die einzelnen Knoten ergeben sich die W¨armeﬂ¨ usse durch additive Uberlagerung. So erh¨ alt man f¨ ur Knoten 5: Q 5 = 2 Q5 + 3 Q5 + 4 Q5 =

1 Φ t l2 32

(735)

Der Knoten 5 erh¨ alt also jeweils einen Anteil von den angrenzenden Elementen, n¨ amlich 2, 3 und 4. An die Knoten 1, 4 und 6 grenzt jeweils nur ein Element, so daß gilt:

Q1 = Q4 = Q6 =

1 Φ t l2 96

(736)

Temperaturen

Die Temperatur auf dem Außenrand der Scheibe ist mit T0 vorgegeben, so daß sie f¨ ur die Knoten 4, 5 und 6 bekannt ist (T4 = T5 = T6 = 0). Durch Streichen der Zeilen und Spalten 4, 5 und 6 in der Matrix nach (732) erh¨alt ˆ . Es bleibt folgendes Untersystem zur Berechnung der unbekannten man K g Temperaturen u ¨ brig: ⎡ 1

t⎢ ⎢ λ ⎢ −1 2⎣ 0

⎤⎡

−1

⎡

⎤ T1

0

⎥⎢ ⎥ Φ t l2 ⎥⎢ ⎥ −2 ⎥ ⎢ T2 ⎥ = ⎦⎣ ⎦ 96 4 T3

4 −2

⎤ 1

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 3 ⎥ ⎣ ⎦ 3

(737)

ˆ in (737) erh¨alt man die unbekannten TemDurch Inversion der Matrix K g peraturen: ⎡

⎤ T1

⎤

⎡ 12

⎢ ⎥ 1 ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ T2 ⎥ = ⎢ 4 ⎣ ⎦ 4λ ⎣ T3 2

4 4 2

2

⎥ Φ l2 ⎥ 2 ⎥ ⎦ 96 3

⎤

⎡ 1

⎤

⎡ 30

⎥ ⎥ ⎢ Φ l2 ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ 3 ⎥= ⎢ 22 ⎥ ⎦ 384 λ ⎣ ⎦ ⎣ 3 17

(738)

Die Knotentemperaturen sind proportional zu der W¨armequellendichte Φ und dem Quadrat der Kantenl¨ ange l. Sie sind umgekehrt proportional zur W¨ armeleitf¨ ahigkeit λ.

9.3

Zweidimensionale W¨ arme¨ ubertragung

299

W¨ armeﬂuß (Reaktionskr¨ afte)

Analog zu den Problemen der Elastostatik kann an den Knoten, an denen eine Temperatur vorgeschrieben ist, ein W¨ armeﬂuß (Reaktionskraft) berechnet ist die rechte Seite in die werden. In dem Gleichungssystem K g T = FQ + R Q R Vektoren FQ und Q aufgeteilt worden. FQ enth¨alt die aus der W¨armequel die Reaktionsgr¨oßen an den lendichte Φ hervorgehenden W¨ armeﬂ¨ usse, R Q Knoten 4, 5 und 6. Dies sind W¨ armemengen, die u ¨ ber die ¨außere Kante vom K¨ orper aufgenommen oder abgegeben werden. ⎡

1 ⎢ ⎢ −1 ⎢ ⎢ t ⎢ ⎢ 0 λ⎢ 2 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎣ 0

−1

0

0

0

4

−2

−1

0

−2

4

0

−2

−1

0

2

−1

0

−2

−1

4

0

0

0

−1

0

⎤

⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ 2 0 ⎥ ⎥ Φl ⎥ ⎥ 384 λ 0 ⎥ ⎥ ⎥ −1 ⎦ 1

⎡

⎤ 30 ⎢ ⎥ ⎢ 22 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 17 ⎥ Φ t l2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎢ 0 ⎥ 96 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎣ ⎦ 0

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

1 3 3 1 3

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ Φ t l2 ⎥ ⎥ =− ⎥ 384 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

1

⎡

⎤ 0 ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 15 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 29 ⎥ ⎣ ⎦ 4

(739) In den Knoten, die eine vorgegebene Temperatur aufweisen, tritt ein W¨armestrom auf. Das negative Vorzeichen dr¨ uckt aus, daß die W¨arme abgef¨ uhrt wird. Gleichgewichtsbetrachtung

Im station¨ aren Fall muß die W¨ arme, die im Innern des K¨orpers erzeugt wird, u ander des K¨ orpers abgef¨ uhrt werden. Die im Innern erzeugte ¨ ber die R¨ W¨ arme ergibt sich als:

ΦV =

1 Φ t l2 8

(740)

Die W¨ armeabfuhr u ¨ ber die Außenkante mit den Knoten 4, 5 und 6:

R

Q4 + R Q5 + R Q6 = −

1 Φ t l2 (15 + 29 + 4) = − Φ t l2 384 8

(741)

Damit ist das Gleichgewicht erf¨ ullt. 9.3.6

¨ Ubungsbeispiele zur zweidimensionalen W¨ arme¨ ubertragung

W¨ arme¨ ubertragungsbeispiel VI

Das Bild 9.16 zeigt eine Wand, die in y-Richtung unendlich ausgedehnt ist. Normal zur Zeichenebene hat sie eine Ausdehnung t, mit t → ∞. Damit ﬂießt weder in y-Richtung noch normal zur Zeichenebene W¨arme, so daß nach

9.6

300

9. Feldprobleme

q=−λ ∂T /∂n der Temperaturgradient in diesen Richtungen verschwindet. Damit liegt ein eindimensionales Problem vor. Die Oberﬂ¨achen der W¨ande weisen eine Temperatur von 0 grd auf.

Bild 9.16. W¨ armeleitung durch eine un-

endlich ausgedehnte Wand (λx = λy = 1, Φ = 100)

Im Innern der Wand wird W¨ arme erzeugt, die u ¨ ber die W¨armequellendichte Φ beschrieben wird. F¨ ur das skizzierte Problem ist die Temperaturverteilung in der Wand zu berechnen. Dabei ist die Elementeinteilung und Knotennumerierung nach Bild 9.16 zu verwenden.

9.7

W¨ arme¨ ubertragungsbeispiel VII

In Bild 9.17 ist eine Scheibe mit der Dicke t dargestellt, die u ¨ ber eine ihrer Stirnﬂ¨ achen mittels Konvektion W¨ arme abf¨ uhren kann. Das Problem ist einfach symmetrisch. Daher wird nur eine H¨alfte in der FE-Rechnung betrachtet. Diese wird in zwei Dreieckselemente eingeteilt. An den vier Knoten ¯ = Q/t auf. tritt jeweils eine punktf¨ ormige W¨ armequelle Q

Bild 9.17. Temperaturberechnung in einer iso-

lierten Scheibe mit der W¨ armeleitf¨ ahigkeit λx =λy =λ

Aufgabe ist es, die Temperaturverteilung in der Scheibe zu berechnen.

9.8

W¨ arme¨ ubertragungsbeispiel VIII

Gegeben ist in Bild 9.18 ein Dreiecksblech der St¨arke t=1. Das Blech weist eine W¨ armeleitf¨ ahigkeit von λx =λy =20 auf. Es ist auf der Kante y=0 sowie

9.3

Zweidimensionale W¨ arme¨ ubertragung

301

auf den Deckﬂ¨ achen isoliert. In den Punkten (x=0, y=0) bzw. (|x|=25, y=25) ist die Temperatur mit 100 grd bzw. 20 grd bekannt. Gesucht ist die Temperaturverteilung unter Ausnutzung der Symmetrie sowie die Temperatur im Schwerpunkt von Element 2 und auf der x-Achse bei x = 25/2.

Bild 9.18. Berechnung der Temperaturvertei-

lung in einem Dreiecksblech

W¨ arme¨ ubertragungsbeispiel IX (FEM GEN, FEM CAS)

In Bild 9.19 ist der Querschnitt eines dickwandigen Rohres der L¨ange t dargestellt. Auf der Innenseite weist es eine Temperatur Ti auf. Auf der Außenseite armeleitf¨ahigkeit λ. Es wird eine Temperatur Ta . Die Wandung hat eine W¨ angenommen, daß sich das Temperaturfeld u ¨ ber die L¨ange des Rohres nicht ¨andert. Damit liegt ein achsensymmetrisches Problem vor. Von der Querschnitts¨ ﬂ¨ache des Rohres wird ein Segment mit dem Oﬀnungswinkel von 2 ϕ betrachtet. Dieses wird in 12 Dreieckselemente eingeteilt. Gesucht ist der Temperaturverlauf entlang der x-Achse. Dieser ist mit der exakten L¨osung1 zu vergleichen. Weiterhin ist der W¨ armeﬂuß durch das Rohr sowie die W¨armestromdichte entlang der x-Achse zu bestimmen. Beide sind jeweils mit den exakten L¨ osungen zu vergleichen.

Bild 9.19. Dickwandiges Rohr und die Einteilung eines Segmentes in Dreieckselemente 1

Die exakte L¨ osung lautet: T (r) = Ti + (Ta − Ti ) ln(r/ri )/ ln(ra /ri ).

9.9

c

302

9.10

c

9. Feldprobleme

W¨ arme¨ ubertragungsbeispiel X (FEM GEN, FEM CAS)

Gegeben ist in der linken H¨ alfte von Bild 9.20 ein dickwandiges Rohr mit einer W¨ armeleitf¨ ahigkeit λ. Es hat eine Innenbohrung sowie acht K¨ uhlbohrungen, die auf dem Umfang verteilt sind. Die Innenwand weist eine Temperatur Ti auf, die Außenwand eine Temperatur Ta . Den R¨andern der K¨ uhlbohrungen wird eine W¨ armestromdichte (−q) aufgepr¨ agt.

Bild 9.20. Querschnitt eines Rohres der L¨ ange t mit K¨ uhlbohrungen und die Einteilung

eines Segmentes in Dreieckselemente. ϕ = π/3

In der rechten Bildh¨ alfte ist unter Ausnutzung der zyklischen Symmetrie ein Segment in acht Dreieckselemente eingeteilt. Gesucht ist Temperatur am Knoten 3 und im Punkt P in Abh¨ angigkeit von Ta , Ti sowie √ R. Der/ . q, λ und T Punkt P liegt im Element 1 und hat die Koordinaten x = 13/20R| 3/40R . Mit Hilfe des Programmes “ FEM CAS“ sind die gesuchten Temperaturen zu berechnen. Weiterhin ist die erforderliche W¨armestromdichte auf den K¨ uhlbohrungen gesucht, so daß sich im Knoten 3 die Temperatur T = 1/2 (Ti +Ta ) einstellt. Wie groß muß die W¨ armestromdichte qˆ sein, damit die H¨alfte der W¨ arme, die in das Rohr ﬂießt, von den K¨ uhlbohrungen aufgenommen wird?

9.4

9.4

Torsion von prismatischen K¨ orpern

In Bild 9.21 ist ein prismatischer K¨ orper dargestellt, der eine Hauptausdehnung in z-Richtung aufweist und dem an seinen beiden Enden je ein gegenl¨ auﬁges Moment M aufgepr¨ agt wird. Infolge dieser Belastung treten in dem K¨ orper Schubspannungen σzx und σzy auf. Alle anderen Spannungen verschwinden. Das Problem der Spannungsermittlung in diesem K¨orper f¨ uhrt auf folgende Gleichung:

9.4

Torsion von prismatischen K¨ orpern

303

Bild 9.21. Torsion eines prismatischen

Stabes

∂2φ ∂2φ + 2 + 2GΘ = 0 ∂x2 ∂y

(742)

Die Gr¨ oße φ ist die sogenannte Spannungsfunktion nach Prandtl. Der Gleitmodul ist als G = E/(2 (1 + ν)) deﬁniert und Θ ist der Drillwinkel. Die Beziehung (742) beschreibt f¨ ur einen Torsionsquerschnitt, der in der (x, y)-Ebene liegt, eine u ber diesen Querschnitt aufgespannte Seifenhaut. Das ¨ Bild 9.22 zeigt eine solche Seifenhaut f¨ ur den dort dargestellten Querschnitt.

Bild 9.22. Seifenhautanalogie beim Torsionsproblem

Aus Gleichgewichtsgr¨ unden muß die Schubspannung normal zum Rand des Querschnittes verschwinden, es gilt: ∂φ/∂n = 0. Das bedeutet, daß die Gr¨oße φ auf dem Rand konstant ist. Eine einfache L¨ osung daf¨ ur ist φ = 0. Dies ist die Randbedingung des Problems. Die Spannungen erh¨ alt man wie folgt aus der Spannungsfunktion: ⎤

⎡ τ = ⎣

σzx σzy

⎤⎡

⎡

⎦=⎣

0 −1

1 0

⎦⎣

∂φ ∂x ∂φ ∂y

⎤ ⎦ = T φ ∇φ

(743)

304

9. Feldprobleme

beschrieben: Die Verteilung von φ im Element wird u ¨ber die Formfunktion N Tφ φ=N

(744)

Der Gradient ∇φ ergibt sich aus (744) wie folgt: = Bφ Tφ ∇φ = ∇N

(745)

Damit erh¨ alt man die Schubspannungen zu: τ = T φ B φ

(746)

Nach (703) erh¨ alt man f¨ ur B: ⎡ B=

−y32

1 ⎣ 2 AΔ x32

y31

−y21

−x31

x21

⎤ ⎦

(747)

Damit lassen sich die Spannungen berechnen als: 1 ∂φ = (y32 φ1 − y31 φ2 + y21 φ3 ) ∂x 2AΔ 1 ∂φ = = (x32 φ1 − x31 φ2 + x21 φ3 ) ∂y 2AΔ

σzy = − σzx

(748)

Die Schubspannungen sind im dreiknotigen Dreieckselement konstant. Ein Vergleich von (742) mit (659) f¨ uhrt zu folgenden Parallelen zwischen dem W¨ arme¨ ubertragungsproblem und der Torsion:

Tabelle 9.3. Gegen¨ uberstellung der Gr¨ oßen der W¨ arme¨ ubertragung und der Torsion

Problem

Unbekannte

Stoﬀgr¨ oße

Φ

W¨ arme¨ ubertragung Torsion

Temperatur T

W¨ armeleitf¨ ahigkeit λ 1

W¨ armequellendichte 2GΘ

Spannungsfunktion φ

9.4

Torsion von prismatischen K¨ orpern

305

Die Temperatur T entspricht der Spannungsfunktion φ. An die Stelle der W¨ armequellendichte tritt das Produkt 2 G Θ auf. F¨ ur die W¨armeleitf¨ahigkeit gilt bei der Torsion: λx = λy = 1. Das Torsionsmoment l¨ aßt sich wie folgt berechnen: M =2

φ dA

(749)

A

9.4.1

Funktional des Torsionsproblems Das Funktional des Torsionsproblems lautet:

1 Π= 2

V

∂φ ∂x

2

+

∂φ ∂y

2

dV −

V

2 GΘ φ dV

Π1

(750)

Π2

Aus dem ersten Term Π1 erh¨ alt man analog zum W¨arme¨ ubertragungsproblem eine Matrix, die mit λx = λy = 1 der W¨armeleitungsmatrix K w entalt man statt des Vektors FQ (s.(728)) die spricht. Aus dem Term Π2 erh¨ rechte Seite, wie sie in (751) dargestellt ist. ⎡ 1 4 A

2 y32 + x232

⎢ ⎢ ⎢ y13 y32 + x13 x32 ⎣ y21 y32 + x21 x32 ⎡ ⎤ 1 ⎥ AΔ ⎢ ⎢ ⎥ = 2 GΘ ⎢ 1 ⎥ ⎦ 3 ⎣ 1

⎤⎡ y13 y32 + x13 x32 2 y31 + x231

y12 y31 + x12 x31

y21 y32 + x21 x32

⎤ φ1

⎥⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ y12 y31 + x12 x31 ⎥ ⎢ φ2 ⎥ ⎦⎣ ⎦ 2 2 y21 + x21 φ3

(751)

Torsion eines Stabes mit quadratischem Querschnitt

Es wird ein prismatischer Stab betrachtet, der eine L¨ange L und einen quadratischen Querschnitt mit einer Kantenl¨ ange von l aufweist. Dieser Querschnitt entspricht der Mittelﬂ¨ ache des W¨ armeleitungsproblemes in Bild 9.14 auf der S. 295. Das Problem ist ebenso wie das W¨arme¨ ubertragungsproblem mehrfach symmetrisch, so daß nur ein Achtel betrachtet werden muß. Es wird daher das Netz nach Bild 9.15 verwendet. Der Stab weist als Werkstoﬀdaten den Elastizit¨ atsmodul E und die Querkontraktion ν auf. Der Schubmodul ist mit G = E/ [2 (1 + ν)] gegeben.

306

9. Feldprobleme

Der Drillwinkel Θ steht in (751) auf der rechten Seite, d.h. er wird als bekannt vorausgesetzt. Er hat die Dimensionen [Θ]=rad/L, also Radiant pro L¨ ange. Es wird angenommen, daß das doppelte Produkt aus Schubmodul G und Drillwinkel Θ dem Wert der W¨ armequellendichte Φ in (733) entspricht. Damit weisen beide Beispiele identische Beziehungen nach (751) auf. Es entsprechen die Temperaturen aus dem besagten W¨arme¨ ubertragungsbeispiel den Spannungsfunktionswerten φi ; i = 1, . . . , 6 in dem Torsionsbeispiel. Es ergeben sich damit folgende Werte:

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ =⎢ φ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎡

⎤

⎡ φ1

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 2 G Θ l2 ⎥ ⎥= ⎥ 384 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

φ2 φ3 φ4 φ5 φ6

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎡

⎤ 30 22 17 0 0 0

5 64

⎤

⎢ ⎥ ⎥ ⎢ 11 ⎥ ⎥ ⎢ 192 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ 17 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ 384 ⎥ ⎥ = 2 G Θ l2 ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎥ ⎣ ⎦ ⎦ 0

(752)

Das Moment eM eines Elementes e wird nach (749) berechnet. Die Verteilung von φ im Element wird u ¨ber (744) beschrieben und man erh¨alt: T T dA N φ dA = 2 φ N

e

M =2 A

= 2φ

A

T L1 A

L2

1 − L1 − L2

⎡ dA =

2 AΔ 1 3

⎤ φ1

1

1

⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ φ2 ⎥ ⎣ ⎦ φ3 (753)

Die Tab. 9.4 enth¨ alt dimensionslose Gr¨ oßen, wie die Schubspannungen, die sich aus (748) wie folgt darstellen: σzy = 16 y¯32 φ¯1 − y¯31 φ¯2 + y¯21 φ¯3 2G Θ l σzx = 16 x ¯32 φ¯1 − x (754) ¯31 φ¯2 + x ¯21 φ¯3 σ ¯zx = 2G Θ l ¯ eines Elementes e ergibt sich aus (753) als: Das bezogene Moment eM σ ¯zy =

9.4

Torsion von prismatischen K¨ orpern

307

Tabelle 9.4. Schubspannungen und Momente der Elemente (¯ xij = xij /l; y¯ij = yij /l; ¯ = eM/ 2G Θl2 A ) ¯ij = σij / (2G Θl) ;eM φ¯i = φi / 2G Θl2 ; σ

1

0

-1/4 1/4 1/4 -1/4

0

5/64

2

0

-1/4 1/4 1/4 -1/4

0

11/192

0

3

-1/4

-1/4 1/4 11/192

0

4

0

¯ = M

M 2 ¯ φ1 + φ¯2 + φ¯3 = 2 2G Θ l A 3

0

x ¯21

1/4

y¯32

0

y¯13

-1/4 1/4 1/4 -1/4

y¯21

φ¯2

x¯32

e

x ¯13

φ¯1

Element

0

17/384

φ¯3

11/192 17/384

0

0

σ ¯zx

1/12

-5/96

23/6144

11/48

0

11/9216

17/384 17/96 -5/96 0

¯ M

e

σ ¯zy

17/96

0

13/6144 17/18432

e

(755)

Diese sind in der letzten Spalte von Tab. 9.4 aufgef¨ uhrt. Das Gesamtmoment, das vom prismatischen Stab aufgenommen wird, ergibt sich als Summe u ¨ ber alle Elemente: ¯ =f M

¯ M

e

(756)

e

Der Faktor f hat im vorliegenden Fall den Wert 8. Er ber¨ ucksichtigt das Ausnutzen der Mehrfachsymmetrie.

Fehler der maximalen Schubspannung und des Momentes in Abh¨ angigkeit von der Netzfeinheit

Bild 9.23.

308

9. Feldprobleme

In Bild 9.23 ist der Fehler des Momentes1 und der maximalen Schubspannung im betrachteten Querschnitt f¨ ur f¨ unf unterschiedlich feine Netze darge¯ exakt = stellt. Die exakten L¨ osungen basieren auf Reihenentwicklungen [51] (M ! 2 +σ 2 = 0, 33766). 7, 02885 · 10−2 ; φ¯exakt = 7, 36714 · 10−2 ; |τ¯|exakt = σ ¯zy ¯zx Die Schubspannungen an den Knoten sind durch arithmetische Mittelung der Spannungen der an den Knoten angrenzenden Elemente gewonnen worden.

9.5

9.5

Analogie - W¨ arme¨ ubertragung zu Schichtenstr¨ omung

Bild 9.24. Die Randbedin-

gungen bei der laminaren Schichtenstr¨ omung (t l)

9.5.1

Problembeschreibung In Bild 9.24 ist ein K¨ orper dargestellt, der eine Hauptabmessung l und Dicke t aufweist (t/l 1). Er wird in z-Richtung durch zwei starre Fl¨achen begrenzt. Dieser K¨ orper wird von einer inkompressiblen Fl¨ ussigkeit in x- und y-Richtung mit den Geschwindigkeiten u˙ und v˙ durchstr¨omt. Gesucht ist der Druck p = p(x, y). Als Randbedingungen tritt auf dem Rand Γp der Druck 0 ¯˙ aufgep auf. Dem Rand Ωq wird die mittlere Str¨ omungsgeschwindigkeit |0u| pr¨ agt. Die mittlere Str¨ omungsgeschwindigkeit ist deﬁniert als:

⎡ ⎤ % & ¯ u ˙ u˙ u u˙ dz = 1 ¯˙ = 1 ⎦ dz = ⎣ t −t/2 t −t/2 v˙ v¯˙

t/2

t/2

(757)

9.5.2

Grundgleichungen Zur Beschreibung der Str¨ omung werden zwei Gleichungen [43, 44] herangezogen: 1

Die Rechnung mit 256 Elementen ist auf “CfF“ unter “Hilfe → Beispiele FEM → Feldproblem → feld 2d bsp8“ zu ﬁnden

9.5

Analogie - W¨ arme¨ ubertragung zu Schichtenstr¨ omung

Die Kontinuit¨ atsgleichung " # ∇ · ρ u˙ = 0

309

(758)

/ . u˙ ist der Geschwindigkeitsvektor mit u˙ T = ∂u , ∂v , ∂w . F¨ ur eine kom∂t ∂t ∂t pressible Str¨ omung ist die Dichte ρ konstant, so daß gilt: ∇ · u˙ = 0

(759)

Die Divergenz von u˙ stellt sich in skalarer Schreibweise dar als: ∂ u˙ ∂ v˙ ∂ w˙ + + =0 ∂x ∂y ∂z

(760)

Der Impulserhaltungssatz lautet f¨ ur den station¨aren Fall unter Vernachl¨assigung von Dissipation: −∇p + η Δu˙ = 0

(761)

Der Gradient des Druckes p beschreibt die Druckkr¨afte. Der zweite Summand mit der dynamischen Viskosit¨ at η erfaßt die Z¨ ahigkeitskr¨afte. Mit Hilfe des Nabla-Vektors ∇ und des Laplace-Operators Δ l¨aßt sich (761) ausf¨ uhrlich schreiben als: ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ −⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤

⎡

∂ 2 u˙ ∂ 2 u˙ ∂ 2 u˙ + + ⎢ ⎢ ∂x2 ⎥ ∂y 2 ∂z 2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ∂ 2 v˙ ∂ 2 v˙ ⎢ ∂ 2 v˙ ⎥ + 2+ 2 ⎥+η⎢ 2 ⎢ ∂x ⎥ ∂y ∂z ⎢ ⎥ ⎢ ⎦ 2 2 ∂p ∂ w˙ ∂ 2 w˙ ⎣ ∂ w˙ + + ∂z ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

∂p ∂x ∂p ∂y

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥=0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(762)

Unter der Voraussetzung, daß die zweiten Ableitungen von u˙ und v˙ nach x bzw. y sehr viel kleiner sind als deren Ableitungen nach z sowie wegen der Annahme w˙ = 0 erh¨ alt man: ∂p ∂ 2 u˙ =η 2; ∂x ∂z

∂p ∂ 2 v˙ =η 2; ∂y ∂z

∂p =0 ∂z

Durch zweimaliges Integrieren in z-Richtung ergibt sich: u˙ =

1 ∂p 2 z + C1 z + C2 2 η ∂x

(763)

310

9. Feldprobleme

v˙ =

1 ∂p 2 z + C3 z + C4 2 η ∂y

(764)

Die starren Fl¨ achen bei z = −t/2 und z = t/2 f¨ uhren keine Bewegung (s. Bild 9.24) aus, so daß folgende Randbedingungen eingef¨ uhrt werden k¨onnen: u(z ˙ = −t/2) = 0 ;

v(z ˙ = −t/2) = 0

u(z ˙ = t/2) = 0 ;

v(z ˙ = t/2) = 0

(765)

Damit lassen sich die konstanten C1 bis C4 in (764) bestimmen und es ergibt sich: 2 ∂p z 2 t 1− (766) u˙ = ∂x 2 η 2z 2 ∂p z 2 t v˙ = 1− (767) ∂y 2 η 2z Es werden (766) und (767) in (760) eingesetzt, wobei gilt: ∂ w/∂z ˙ = 0. Nach Integration in z-Richtung erh¨ alt man die vereinfachte Reynold’sche Gleichung: 3 3 ∂ t ∂p t ∂p ∂ + =0 (768) ∂x 12 η ∂x ∂y 12 η ∂y Ein Vergleich von (768) mit (662) auf der S. 269 zeigt, daß folgende Entsprechungen1 gelten: λ= ˆ

t2 ; T =p ˆ ; Φ=0 12 η

(769)

9.5.3

Analogie der Randbedingungen Zwischen der W¨ arme¨ ubertragung und der hier betrachteten Str¨omung gibt es zwei sich entsprechende Randbedingungen: Auf dem Rand Γp (ΓT ) ist der Druck 0p (0T ) gegeben. Der auf dem Rand Ωq aufgepr¨ agten W¨ armestromdichte |q| = −λ ∂T /∂n bei der W¨ arme¨ ubertragung entspricht die Beziehung: 2 ¯˙ = − t ∂p |u| 12 η ∂n

1

(770)

Der Term t3 /(12 η) ist durch t geteilt worden, da der Ausdruck (768) u ¨ ber die Dicke t integriert wurde.

9.5

Analogie - W¨ arme¨ ubertragung zu Schichtenstr¨ omung

311

Damit lautet die analoge Beziehung zur Fourier’schen Gleichung q = −λ∇T : ⎤ ⎡ ¯˙ 2 u u ¯˙ = ⎣ ⎦ = − t ∇p (771) 12 η v¯˙ 9.5.4

Analoges Funktional des Str¨ omungsproblems

Das zu der Gleichung (768) und den nat¨ urlichen Randbedingungen a¨quivalente Variationsproblem lautet damit: 1 T ˙ ¯ |u| Vi pi Π = t (∇p) D ∇p dΩ − ˙ p dΩ + 2 Ω Ωq i ⎤ ⎡ 2 0 1 t ⎣ ⎦ (772) mit D = 12 η 0 1 Der erste Summand f¨ uhrt auf die zur W¨ armeleitungsmatrix K w analoge Matrix. Sie unterscheidet sich in dem Vorfaktor, der sich bei λ = λx = λy als uhrt t3 /(48 η AΔ ) darstellt. Der Integralausdruck im zweiten Summanden f¨ ¯˙ auf die entsprechende Beziehung zu (721). Damit analog zu (711) mit β = |u| ergibt sich folgender Ausdruck zur Beschreibung der Druckverteilung: ⎡ t3 48 η AΔ ⎡

⎤⎡

2 y32 + x232

⎢ ⎢ ⎢ y13 y32 + x13 x32 ⎣ y21 y32 + x21 x32

¯˙ 31 S31 ¯˙ 12 S12 + |u| |u| t⎢ ⎢ ¯ ¯˙ 23 S23 = ⎢ |u| ˙ 12 S12 + |u| 2⎣ ¯˙ 23 S23 + |u| ¯˙ 31 S31 |u|

y13 y32 + x13 x32 2 y31 + x231

y12 y31 + x12 x31 ⎤ ⎡ ⎤ V˙ 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ˙ ⎥ ⎥ + ⎢ V2 ⎥ ⎦ ⎣ ⎦ V˙ 3

y21 y32 + x21 x32

⎤ p1

⎥⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ y12 y31 + x12 x31 ⎥ ⎢ p2 ⎥ ⎦⎣ ⎦ 2 2 y21 + x21 p3

(773)

¯˙ ij sind die normal zur Kante Sij des Elementes auftretenden mittleren |u| Str¨ omungsgeschwindigkeiten. Die Kante Sij erstreckt sich zwischen den Knoten i und j. Tabelle 9.5. Analoge Gr¨ oßen zwischen W¨ arme¨ ubertragung und einer laminaren zweidimensionalen Schichtenstr¨ omung

Unbekannte Stoﬀgr¨ oße Quellgr¨oße W¨arme¨ ubertragung Str¨ omung

T

λ

Φ

p

t2 12 η

-

Gradient q = −λ ∇ T u¯˙ = − t2 ∇p 12 η

312

9. Feldprobleme

Die Tab. 9.5 faßt noch einmal die analogen Gr¨oßen der W¨arme¨ ubertragung und laminaren Schichtenstr¨ omung zusammen.

9.11

Hydrostatisches Lager als Beispiel zur Str¨ omungsanalogie

In Bild 9.25 ist ein hydrostatisches Axiallager dargestellt. Es besteht aus einer Tasche mit der Tiefe tT und einer Abstr¨omkante der L¨ange ri (f − 1), ur die eine Spalth¨ ohe t aufweist. Der Faktor f ist deﬁniert als: f = ra /ri . F¨ die geometrischen Abmaße wird vorausgesetzt: t/tT 1. Das Lager soll im ruhenden Zustand eine Kraft F aufnehmen. Dazu wird es mit einem Fluid mit einem Eingangsdruck pi und der Viskosit¨at η durchstr¨omt. Dieses Beispiel soll in Analogie zum W¨ arme¨ ubertragungsbeispiel IX auf der S. 301 gel¨ ost werden. Infolge der Achsensymmetrie wird nur das in Bild 9.25 schraﬃerte Segment betrachtet. Dieses wird wie das Segment in Bild 9.19 auf der S. 301 in 12 Dreieckselemente eingeteilt. Bedingt durch die Voraussetzung t/tT 1 liegt der Eingangsdruck pi auch an den Knoten 1, 2 und 3 an. F¨ ur dieses Beispiel sind folgende Gr¨ oßen zu berechnen: Druckverlauf p = p(x) im Lager Volumenstrom durch das Lager ¯˙ am Außenrand des Lagers Mittlere Str¨ omungsgeschwindigkeit |u| Aufnehmbare Traglast F des Lagers

Bild 9.25. Gr¨ oßen des Lagers so-

wie das schraﬃerte Segment, das in der Rechnung betrachtet wird

Kapitel 10 Eigenfrequenzen und Schwingungsformen von St¨ aben und Balken

10

10

10

10.1 10.1.1 10.1.2 10.2 10.2.1 10.2.2 10.3 10.3.1 10.4 10.4.1 10.4.2 10.4.3

Eigenfrequenzen und Schwingungsformen von St¨ aben und Balken Der eindimensionale Stab ...................................... 315 Massenmatrix des eindimensionalen Stabes................. 316 Eigenfrequenzen und Schwingungsformen................... 316 Beispiele zum eindimensionalen Stab ........................ 318 Einmassenschwinger ............................................. 318 Zweimassenschwinger ........................................... 319 Der eindimensionale Balken.................................... 322 Massenmatrix des eindimensionalen Balkens ............... 322 Beispiele zum eindimensionalen Balken...................... 323 Beidseitig gelenkig gelagerte Balken ......................... 324 Kragbalken ........................................................ 326 ¨ Ubungsbeispiel zur Balkenschwingung ....................... 328

10 Eigenfrequenzen und Schwingungsformen von St¨ aben und Balken 10.1

10.1 Der eindimensionale Stab Das Funktional des eindimensionalen Stabes nach (255) wird um den Term b u dV erweitert. Dieser beschreibt die Volumenkr¨afte und man erh¨alt: V 1 Π= 2

σ ε dV − F u −

V

b u dV

(774)

V

Die Volumenkr¨ afte b setzen sich wie folgt zusammen: b = −ρ u ¨ − μ u˙

(775)

Der Term ρ u ¨ erfasst Beschleunigungen u ¨ des betrachteten Stabes, die in seiner L¨ angsachse wirken. u ¨ = d2 u/dt2 ist die zweite Ableitung der Verschiebung u des Stabes nach der Zeit t. Der Ausdruck μ u˙ beschreibt eine geschwindigkeitsproportionale, innere D¨ ampfung, die ein lineares, viskoses Widerstandsverhalten zur Basis hat. Die ersten beiden Summanden in (774) f¨ uhren nach (267) auf die Steiﬁgkeits matrix K des eindimensionalen Stabes und den - Vektor der Kr¨afte F an den uhrt zu: Knoten des Stabelementes. Der dritte Term V b u dV f¨

(−ρ u ¨ − μ u) ˙ u dV

b u dV = V

(776)

V

Die Verschiebung u und deren zeitliche Ableitungen lassen sich u ¨ ber die Formfunktion nach (258) auf der S. 100 ausdr¨ ucken als: T u ; u=N

T u˙ ; u˙ = N

T u¨ u¨ = N

(777)

Einsetzen in (776): V

N T dV u N T dV u˙ b u dV = −uT ρN ¨ − uT μN V V M

C

(778)

316

10. Eigenfrequenzen und Schwingungsformen von St¨aben und Balken

Die Gr¨ oße M heißt Massenmatrix und C ist die D¨ampfungsmatrix. Einsetzen von (778) in (774) f¨ uhrt zu:

Π=

1 u K u − uT F + uT M u¨ + uT C u˙ 2

(779)

Die Variation δΠ der voranstehenden Beziehungen ergibt: ¨ = F (t) Ku + C u˙ + M u

(780)

Die ¨ außere Kraft F ist eine Funktion der Zeit t. 10.1.1 Massenmatrix des eindimensionalen Stabes

Zur Beschreibung der Massenmatrix1 M werden die Formfunktionen des zweiknotigen Stabes nach (258) auf der S. 100 herangezogen. Es wird ein Stab mit konstanter Dichte ρ und konstantem Querschnitt A betrachtet: ⎡

l

M =ρ

⎣

1−ξ

⎡ 1

ρA l 0

⎣

2

(1 − ξ)

⎦

ξ

0

⎤

ξ (1 − ξ)

ξ (1 − ξ)

ξ

2

⎤

1−ξ

ξ

A dx = ⎤

⎡ 2

⎦ dξ = m ⎣ 6 1

1

⎦

(781)

2

Die Masse des Stabelementes m = ρA l wird zu einem Drittel den beiden Knoten zugeordnet. Je ein Sechstel steht auf den Nebendiagonalen, die man als Koppelung der beiden Knoten auﬀassen kann. Tritt in einem Knoten eine punktf¨ ormige Masse mi oder mj auf, so wird diese auf der Hauptdiagonalen angeordnet und die Massenmatrix M hat dann folgendes Aussehen: ⎡

m ⎢ mi + 3 M =⎢ ⎣ m 6 o

m 6

⎤

⎥ ⎥ m ⎦ mj + 3

(782)

10.1.2 Eigenfrequenzen und Schwingungsformen

Zur Bestimmung der Eigenfrequenzen und Schwingungsformen wird von einer unged¨ ampften, freien Schwingung ausgegangen. Diese Einschr¨ankung hat zur Folge, daß in (780) die Matrix C verschwindet, d.h. C = 0. Die freie Schwin1

Die so abgeleitete Matrix nennt man eine konsistente Massenmatrix.

10.1 Der eindimensionale Stab

317

gung setzt ein unbelastetes System voraus, also F (t) = 0. Damit h¨angen die Eigenfrequenzen und Schwingungsformen nur von der Steiﬁgkeit und Massenanordnung des Bauteils ab. Es reduziert sich (780) auf: ¨(t) = 0 Ku(t) + M u

(783)

Diese Beziehung beschreibt das Gleichgewicht zwischen den inneren, elasti¨. Zur L¨osung von schen Kr¨ aften Ku und den negativen Massenkr¨aften M u (783) dient folgende Ansatzfunktion: cos(ωt) = −ω 2u cos(ωt) ; u˙ = −ω A sin(ωt) ; u u = A ¨ = −ω 2 A

(784)

Die Gr¨ oße ω = 2πf ist die Kreisfrequenz. Einsetzen in (783) ergibt: K − ω 2 M u = 0

(785)

Dies ist ein lineares, homogenes Gleichungssystem. Es existiert nur dann eine nichttriviale L¨ osung, wenn der Klammerausdruck verschwindet, d.h. die Determinante von ( M ω 2 − K ) muß Null werden: |K − ω 2 M | = 0

(786)

Dieses Problem stellt sich als Eigenwertproblem dar. Das Ergebnis der Determinante von (786) bezeichnet man als charakteristische Gleichung. Die Nullstellen hiervon sind die Eigenwerte des Problems. Die Nullstellen haben positive und reelle Werte, da K und M symmetrisch und positiv deﬁnit sind (s. (118) auf der S. 50). Die i-te Schwingungsform erh¨ alt man durch Einsetzen des Eigenwertes ωi in (785). Dies f¨ uhrt auf ein lineares, homogenes Gleichungssystem zur Bestimmung von u. Es besitzt einmal unendlich viele L¨ osungen. Zur Festlegung einer eindeutigen L¨ osung muß eine Nebenbedingung eingef¨ uhrt werden. Es bietet sich an, den L¨ osungsvektor u zu normieren. Damit hat die Schwingungsform einen relativen Charakter.

318

10.2

10. Eigenfrequenzen und Schwingungsformen von St¨aben und Balken

10.2 Beispiele zum eindimensionalen Stab 10.2.1 Einmassenschwinger

In Bild 10.1 ist ein Stab dargestellt, der neben einer kontinuierlichen Massenur diesen Stab verteilung eine Punktmasse m2 an der Stelle x = l besitzt. F¨ soll mit Hilfe eines Elementes die Eigenfrequenz und die Schwingungsform berechnet werden. Dem Knoten 2 wird die Masse m2 zugeschlagen.

Bild 10.1. Ein Stab mit einer kontinuierlichen Massenverteilung

und einer Punktmasse. Der Stab wird u ¨ber ein Element beschrieben

Eigenwert und Eigenfrequenz

Die Beziehung nach (786) mit λ = ω 2 , k = AE/l und m = ρA l lautet: ⎡ ⎡ ⎤ m m ⎢ 3 1 −1 6 ⎦ − λ⎢ | K − λM | = k ⎣ ⎣ m m + m2 −1 1 6 3 ⎡ " m m# k − λ − k + λ ⎢ 3 6 = ⎢ # "m ⎣ m − k+λ + m k − λ 2 6 3

⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

(787)

Das Einbringen der geometrischen Randbedingung u1 = 0 f¨ uhrt dazu, daß die erste Zeile und Spalte in (787) gestrichen werden. Damit erh¨alt man folgende charakteristische Gleichung: k−λ

"m 3

# + m2 = 0 ⇒ λ1 =

Die Eigenfrequenz f1 = 1 f1 = 2π

$ m 3

k + m2

m 3

k + m2

(788)

√ λ1 / (2 π) lautet damit:

(789)

10.2 Beispiele zum eindimensionalen Stab

319

F¨ ur den Sonderfall, daß der Stab keine Masse besitzt (ρ = 0) ergibt sich die L¨ osung f¨ ur den Einmassenschwinger. Eigenvektor und Schwingungsform

Der Eigenwert λ1 aus (788) wird in die Matrix von (787) eingesetzt. Unter Ber¨ ucksichtigung der Randbedingung und der Beziehung (K − λM ) u = 0 erh¨ alt man: % k−

m 3

"m #& k + m2 u 2 = 0 + m2 3

(790)

Der Klammerausdruck verschwindet, so daß sich u2 nach der Normierung zu 1 ergibt. Mit Hilfe der Formfunktionen des eindimensionalen Stabes erh¨alt man die Schwingungsform damit zu: u=

1−ξ

ξ

⎤

⎡ ⎣

0

⎦=ξ

(791)

1

10.2.2 Zweimassenschwinger

In Bild 10.2 sind zwei Massen m durch zwei Federn mit der Steiﬁgkeit k miteinander verbunden und im Punkt A aufgehangen. Gesucht sind die Eigenfrequenzen und Eigenschwingungsformen dieses Systems.

Bild 10.2. Ein Zweimassensystem. Die Federn sind masselos. Die beiden

Federn werden je in ein Stabelement eingeteilt. Die Knoten 2 und 3 weisen jeweils eine Masse m auf

Eigenwerte und Eigenfrequenzen

¨ Die Uberlagerung der beiden Steiﬁgkeits- und Massenmatrizen der beiden uhrt Federn zur Gesamtsteiﬁgkeitsmatrix K g und Gesamtmassenmatrix M g f¨ mit Hilfe der Beziehung K g − λM g zu:

320

10. Eigenfrequenzen und Schwingungsformen von St¨aben und Balken

⎡ ⎢ ⎢ k ⎢ −1 ⎣ 0

⎡

⎤

−1

1

⎤ 0

0

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ −1 ⎥ − λ m ⎢ 0 ⎣ ⎦ 1 0

2 −1

0

0

⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎦ 1

1 0

(792)

Unter der Ber¨ ucksichtigung der Randbedingung u1 = 0 k¨onnen aus (792) die erste Zeile und Spalte gestrichen werden. Die Bildung der Determinante f¨ uhrt auf die charakteristische Gleichung: ⎡ 2 k ⎣ −1

⎤ ⎡ 2k − λm ⎦ − λm⎣ ⎦ = ⎣ 1 0 1 −k 2 k k λ2 − 3 λ + =0 m m

−1

⎤

⎡

0

1

⎤ ⎦ = k − λm −k

(793)

Die Nullstellen von (793) f¨ uhren auf die Eigenwerte und Eigenfrequenzen des Systems:

λ1,2

√ " √ √ # 2 k k 3± 5 ⇒ f1,2 = 3± 5 = m 2 4π m

(794)

Eigenvektor und Schwingungsform

Zur Berechnung der Schwingungsformen werden die gefundenen Eigenwerte λ1,2 aus (794) in (K − λM ) u = 0 eingesetzt. Mit Hilfe von (792) und dem Einbringen der Randbedingungen erh¨ alt man: ⎛ ⎡ ⎝k ⎣ ⎛ ⎡ ⎝k ⎣

2

−1

−1

1

2

−1

−1

⎤

⎡

⎦ − λ1,2 m ⎣ ⎤

⎤⎞ ⎡ 0

1 0

⎡

⎤ u2

⎦⎠ ⎣

1

√ m ⎦− k 3± 5⎣ m 2 1 0

⎦=

u3 ⎤⎞ ⎡ 0

⎦⎠ ⎣

m

⎤ u2 u3

⎤

⎡

⎦=⎣

0

⎦

(795)

0

Mit u3 = t ergibt sich aus der ersten Zeile von (795): % & √ # 1" 2− 3 ± 5 u2 − t = 0 ⇒ u2 = 2 2−

√ # 1 " t √ =− t 1± 5 2 3± 5

1 2

10.3 Der eindimensionale Balken

321

⎡

⎤ √ 1 − t 1 ± 5 ⎢ ⎥ 1,2 u = ⎣ 2 ⎦ t

(796)

Den Vektor 1,2 u bezeichnet man als Eigenvektor. Der Parameter t wird u ¨ ber die Nebenbedingung |1,2 u| = 1 bestimmt: |

1,2

√ √ #2 1 2" 2 2 u| = t 1 ± 5 + t = 1 ⇒ t1,2 = √ 4 5± 5

(797)

Bild 10.3. Darstellung einer Endlage der beiden Schwingungsformen

Durch Einsetzen von (797) in (796) erh¨ alt man die normierten Eigenvektoren: ⎡ 1,2

⎢ ⎢ ⎢ eu = ⎢ ⎢ ⎣

√ 1± 5 −√ √ 2 5± 5 √ 2 √ 5± 5

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(798)

Die kleinste Eigenfrequenz ergibt sich aus (794), wenn man bei ± das Minuszeichen w¨ ahlt, entsprechend beim Pluszeichen die gr¨oßere Eigenfrequenz. Nach (798) ergibt sich in dieser Reihenfolge: ⎡ 1

eu = ⎣

⎡

⎤ 0, 526 0, 851

⎦;

2

eu = ⎣

−0, 851

⎤ ⎦

(799)

0, 526

Die Eigenvektoren nach (799) beschreiben eine der Endlagen der Knoten in der Schwingungsform. In Bild (10.3) ist jeweils die Endlage der beiden Schwingungsformen angef¨ uhrt.

322

10.3

10. Eigenfrequenzen und Schwingungsformen von St¨aben und Balken

10.3 Der eindimensionale Balken ur den eindimensionalen Balken l¨aßt sich der Term -Inx1dem Funktional (370) f¨ q v dx auf beliebige Volumenkr¨ afte der Form: x2 b v dV

(800)

V

erweitern. Hierbei beschreibt die Gr¨ oße b im dynamischen Fall die speziﬁschen Massen- und Reibungskr¨ afte: b = −ρ v¨ − μ v˙

(801)

Die Verschiebungen v des Balkens und deren Ableitungen nach der Zeit werden nun mit Hilfe der Formfunktionen des eindimensionalen Balkens nach (375) auf der S. 145 diskretisiert: T v˙ ; v¨ = N T v¨ T v ; v˙ = N v=N

(802)

Einsetzen von (801) und (802) in (800):

T N T dV v˙ = b v dV = − ρ v N N dV v¨ − μ v T N V V N T dV v¨ − v T μN N T dV v˙ −v T ρN V V T

V

M

(803)

D

M und D sind die Massen- und D¨ ampfungsmatrix des eindimensionalen Balkens.

10.3.1 Massenmatrix des eindimensionalen Balkens

N T dV werden die Formfunktionen nach (375) eingeIn dem Ausdruck V ρN setzt. Es wird die Dichte ρ und die Querschnittsﬂ¨ache A im Element als konN T wird elementweise stant angenommen. Die Integration u ¨ ber die Dyade N vorgenommen. Damit ergibt sich die Massenmatrix bei einer Elementl¨ange l zu:

10.4 Beispiele zum eindimensionalen Balken

⎡ ⎢ 156 ⎢ ρAl ⎢ ⎢ 22 l M= ⎢ 420 ⎢ 54 ⎢ ⎣ −13 l

22 l

54

4 l2

13 l

13 l

156

−3 l2

−22 l

323

⎤ −13 l ⎥ ⎥ −3 l2 ⎥ ⎥ ⎥ −22 l ⎥ ⎥ ⎦ 4 l2

(804)

10.4

10.4 Beispiele zum eindimensionalen Balken

Bild 10.4. Eindimensionaler Balken als Kragbalken, beid-

seitig gelenkig gelagert und die Einteilung in ein Balkenelement

In Bild 10.4 ist ein eindimensionaler Balken mit zwei Lagerungsarten dargestellt. Der Balken besitzt eine L¨ ange l und eine Querschnittsﬂ¨ache A. Als Werkstoﬀgr¨ oßen treten der E-Modul E und die Dichte ρ auf. F¨ ur diesen Balken und die zwei Lagerungsf¨ alle sollen die Eigenfrequenzen und Schwingungsformen berechnet werden, indem der Balken in ein Element eingeteilt wird. Die elastische Steiﬁgkeitsmatrix K wird mit Hilfe von (390) auf der S. 149 und die Massenmatrix M nach (804) beschrieben. Daraus ergibt sich die Diﬀerenz K − λ M zu (J = EI/l3 ; m = ρAl/420): K − λM = ⎡ 12 J − 156 λ m ⎢ ⎢ ⎢ 6 Jl − 22 λ m l ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ −12 J − 54 λ m ⎣ 6 Jl + 13 λ m l

6 Jl − 22 λ m l

−12 J − 54 λ m

4 Jl2 − 4 λ m l2

−6 Jl − 13 λ m

−6 Jl − 13 λ m l

12 J − 156 λ m

2

2 Jl + 3 λ m l

2

−6 Jl + 22 λ m l

⎤ 6 Jl + 13 λ m l

⎥ ⎥ 2 Jl2 + 3 λ m l2 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ −6 Jl + 22 λ m l ⎥ ⎦ 4 Jl2 − 4 λ m l2 (805)

Zur Berechnung der Eigenwerte λi des Problems muß die charakteristische Gleichung aus |K − λM | gebildet werden.

o

324

10. Eigenfrequenzen und Schwingungsformen von St¨aben und Balken

10.4.1 Beidseitig gelenkig gelagerte Balken Eigenwerte und Eigenfrequenzen

Das Einbringen der Randbedingungen v1 = v2 = 0 f¨ uhrt dazu, daß aus (805) die erste und dritte Zeile und Spalte gestrichen werden. Damit erh¨alt man: ⎡ ˆ − λM ˆ =⎣ K

4 Jl2 − 4 λ m l2

2 Jl2 + 3 λ m l2

2 Jl2 + 3 λ m l2

4 Jl2 − 4 λ m l2

⎤ ⎦

(806)

Die Determinante von (806) f¨ uhrt auf die charakteristische Gleichung: 12 44 J λ+ λ − 7 m 7

2

J m

2 =0

(807)

Die Nullstellen dieser quadratischen Gleichung stellen sich als Eigenwerte des Problems dar:

λ1 =

2J J ; λ2 = 6 7m m

(808) 2

Die beiden Eigenfrequenzen ergeben sich mit λ=ω 2 =(2 πf ) und m=ρA l/420 zu: $

√ f1 =

30 1 π l2

EI ; ρA

$ √ 70 1 EI f2 = 3 π l2 ρA

(809)

Die exakten Eigenfrequenzen fˆi lauten: $ π 1 fˆ1 = 2 l2

$ EI ; ρA

1 fˆ2 = 2π 2 l

EI ρA

(810)

Damit ergibt sich f¨ ur die FE-L¨ osung ein Fehler von 11,0 % bzw. 27,2 %. Eigenvektoren

ˆ − λM ˆ werden nacheinander In die Beziehung f¨ ur das Eigenwertproblem K die Eigenwerte λ1 und λ2 nach (808) eingesetzt: ⎡ 1 20 ˆ − λ1 M ˆ = Jl2 ⎣ K 7 1

⎤ 1 1

⎦;

⎡ ˆ = 20 Jl2 ⎣ ˆ − λ2 M K

⎤

−1

1

1

−1

⎦ (811)

10.4 Beispiele zum eindimensionalen Balken

325

# " ˆ − λM ˆ v = 0 f¨ uhrt auf: Die L¨ osung von K ⎡ 1

v = ⎣

−t

⎡

⎤ ⎦;

t

2

v = ⎣

⎤ t

⎦

(812)

t

t ist eine beliebige reelle Zahl. Voranstehende Gleichungen werden nach der ! Euklidischen Norm ev = ||v ||2 = 1 normiert, so daß v zu einem Einheitsvektor wird: √ ! 1√ 2; |1v | = t 2 = 1 ⇒ 1 t = 2

√ ! 1√ |2v | = t 2 = 1 ⇒ 2 t = 2 2

(813)

Einsetzen in die urspr¨ unglichen Vektoren (812): ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ √ 1 ϕ ˆ −1 1 2⎣ 1 ⎦=⎣ ⎦; ev = 2 1 1 ϕˆ2

⎤ ⎡ ⎤ ⎡ √ 2 ϕ ˆ 1 1 2⎣ 2 ⎦=⎣ ⎦ ev = 2 2 1 ϕˆ2

(814)

Schwingungsformen

Gegen¨ uberstellung der exakten und FE-Schwingungsformen f¨ ur den beidseitig gelenkig gelagerten Balken. Der Balken wird durch ein Element beschrieben

Bild 10.5.

Die Schwingungsform wird mit Hilfe der Formfunktionen des Balkens nach (375) und den Eigenvektoren (814) beschrieben als: i

v = 1 − 3 ξ 2 + 2 ξ 3 i vˆ1 + l ξ − 2 ξ 2 + ξ 3 i ϕˆ1 + 2 3 ξ − 2 ξ 3 i vˆ2 + l −ξ 2 + ξ 3 i ϕˆ2

(815)

326

10. Eigenfrequenzen und Schwingungsformen von St¨aben und Balken

Bedingt durch die Lagerung verschwinden i vˆ1 und i vˆ2 . Die normierten Knotenverdrehungen i ϕˆ1 , i ϕˆ2 werden aus den Eigenvektoren (814) gewonnen. Damit lassen sich die Schwingungsformen schreiben als: √ √ 2 2 2 1√ 3 + l −ξ + ξ = v = −l ξ − 2 ξ + ξ 2 l ξ (−1 + ξ) 2 √2 √2 2 2 1√ 2 + l −ξ 2 + ξ 3 = v = l ξ − 2 ξ2 + ξ3 2 l ξ 1 − 3 ξ + 2 ξ2 2 2 2 (816) 1

2

3

In Bild 10.5 sind die Schwingungsformen der ersten und zweiten Eigenfrequenz dargestellt. Es sind die FE-L¨ osungen1 der exakten L¨osung2 gegen¨ uber gestellt. W¨ ahrend die Schwingungsformen der untersten Eigenfrequenz relativ gut u ¨ bereinstimmen, weichen die der zweiten Eigenfrequenz weiter voneinander ab. Dieser Trend setzt sich auch zu h¨oheren Eigenfrequenzen hin fort. 10.4.2 Kragbalken

Das Einbringen der Randbedingungen v1 = ϕ1 = 0 in (805) und das Bilden der Determinanten f¨ uhrt auf folgende charakteristische Gleichung:

ˆ − λM ˆ | = λ2 − |K

3 102 J λ+ 35 m 35

J m

2 =0

(817)

Die Nullstellen dieser quadratischen Funktion stellen sich als Eigenwerte des Problems dar:

λ1,2

√ J 51 ± 8 39 J =ψ = 35 m m

(818)

Die beiden Eigenfrequenzen ergeben sich mit λ = ω 2 = (2 πf )2 , m = ρAl/420 , J = EI/l3 zu: $

$ √ 51 39 J EI 0, 562 EI −8 = = 0, 562 3 2 35 35 m l ρA l m $ $ √ 5, 540 EI 1 51 39 J EI +8 = = 5, 540 3 f2 = 2 2 π 35 35 m l ρA l m

1 f1 = 2π

(819)

1 Die FE-L¨ osungen sind analog zu der exakten L¨ osung nach der Vorschrift √ √ - 1 .i i /2 1 a v d ξ = 1 skaliert worden. Es ergibt sich: a = 2 15 ; 2a = 2 105. 0 √ 2 Die exakte L¨ osung lautet: v = 2 sin (i π ξ) ; i = 1, 2, . . ..

10.4 Beispiele zum eindimensionalen Balken

327

Der Fehler in den Eigenfrequenzen1 ist bei f1 kleiner 1 % und bei f2 58 %. Eigenvektoren des Kragbalkens

In die Beziehung (K − λM ) u = 0 werden die Eigenwerte λ1 und λ2 nach (818) eingesetzt: ⎡ ˆ − λ1,2 M ˆ =J⎣ K

12 − 156 ψ

−6 l + 22 ψ l

−6 l + 22 ψ l

4 l2 − 4 ψ l2

⎤ ⎦

(820)

# " ˆ u = 0 ˆ −λ1,2 M Die L¨ osung des linearen, homogenen Gleichungssystems K f¨ uhrt auf: ⎡ ⎣

⎤⎡

12 − 156 ψ

l(−6 + 22) ψ

l(−6 + 22) ψ

4l (1 − ψ)

Mit 1,2 ϕ2 = chung:

1,2

⎦⎣

2

1,2

Die Normierung von

1,2

⎤ v2

⎦=⎣

ϕ2

⎤

⎡ 0

⎦

(821)

0

t erh¨ alt man aus der ersten Zeile der voranstehenden Glei-

(12 − 156 ψ) 1,2 v2 + (−6 l + 22 l ψ)

l2

1,2

(3 − 11 ψ)2 1,2 2

(6 − 78 ψ)

1,2 T

v =

t2 +

.1,2

1,2

t = 0 ⇒ 1,2 v2 = l

3 − 11 ψ 6 − 78 ψ

/ v2 |1,2 ϕ2 zum Einheitsvektor

1,2

1,2

t (822)

ev ergibt:

1,2 2

t =1

6 (13 ψ − 1) 6 (13 ψ − 1) t= = 2 2 2 a 36 (1 − 26 ψ + 169 ψ ) + (9 − 66 ψ + 121 ψ ) l (823)

Damit erh¨ alt man den normierten Eigenvektor: ⎤ ⎡ ⎡ (11 ψ − 3) l 1 1,2 ⎦=⎣ ev = ⎣ a 6 (13 ψ − 1) 1

1,2 1,2

⎤ vˆ2

⎦

ϕˆ2

Die exakte L¨ osungf¨ ur die beiden Eigenfrequenzen lautet: ¯ 1,2 /l)2 E I/(ρ A) mit λ ¯ 1 = 1, 875 und λ ¯ 2 = 4, 694. f1,2 = 1/(2 π)(λ

(824)

328

10. Eigenfrequenzen und Schwingungsformen von St¨aben und Balken

Schwingungsformen des Kragbalkens

Die Schwingungsformen werden mit Hilfe der Formfunktionen des eindimensionalen Balkens nach (375) beschrieben: vˆ = 1−3 ξ 2 +2 ξ 3 ivˆ1 +l ξ−2 ξ 2 + ξ 3 iϕˆ1 + 3 ξ 2 −2 ξ 3 ivˆ2 + l −ξ 2 + ξ 3 iϕˆ2 (825)

i

Die normierten Knotenverformungen i vˆ2 ,i ϕˆ2 werden aus dem Eigenvektor (824) gewonnen. Damit l¨ aßt sich mit (824) und (825) die Schwingungsform beschreiben als:

1,2

vˆ = ξ 2 (3 − 2 ξ)

(11 ψ − 3) l 6 (13 ψ − 1) + l ξ 2 (−1 + ξ) a a

(826)

Gegen¨ uberstellung der exakten und FE-Schwingungsformen f¨ ur den Kragbalken

Bild 10.6.

Das Bild 10.6 zeigt die Schwingungsformen der exakten und der FEM-L¨osung f¨ ur den Kragbalken. Die Schwingungsform der untersten Eigenfrequenz ¨ahnelt der Biegelinie des Balkens. Die Schwingungsform der zweiten Eigenfrequenz weist einen Schwingungsknoten auf. W¨ ahrend die exakte L¨ osung und die FEM-L¨osung der untersten Eigenfrequenz sehr gut u ¨bereinstimmen, treten bei den Schwingungsformen der zweiten Eigenfrequenz schon gr¨ oßere Unterschiede auf. Diese Tendenz setzt sich bei noch h¨ oheren Eigenfrequenzen fort.

10.1

¨ 10.4.3 Ubungsbeispiel zur Balkenschwingung

In Bild (10.7) ist ein masseloser Kragbalken dargestellt, der am freien Ende durch eine masselose Feder gest¨ utzt wird und an dieser Stelle einen Massepunkt aufweist. Gesucht sind hierf¨ ur Eigenfrequenz und Schwingungsform des Systems, wobei zu zeigen ist, daß die Schwingungsform nicht von k = f J ur diskrete abh¨ angt. F¨ ur dieses Beispiel ist zun¨ achst die Massenmatrix M f¨

10.4 Beispiele zum eindimensionalen Balken

329

Massen an den Knoten abzuleiten. Ausgangspunkt hierf¨ ur ist die Beziehung (803) auf der S. 322.

Bild 10.7. Masseloser Kragbalken mit einer Punktmasse an der Stelle x = l

Kapitel 11 Nichtlineare Probleme

11

11

11 11.1 11.1.1 11.1.2 11.1.3 11.1.4 11.2 11.2.1 11.2.2 11.2.3 11.2.4 11.2.5 11.2.6

Nichtlineare Probleme Große Verformungen ............................................ Dehnungs-Verschiebungs-Beziehung ......................... Dehnungen f¨ ur Stab und Balken .............................. Stab mit großen Verformungen ............................... Balken mit großen Verformungen ............................. Knicken von St¨aben und Balken .............................. Beispiel zum Stabknicken ...................................... Knickbeispiel I (Stab) ........................................... Beispiel zum Knicken von Balken............................. Die vier Eulerf¨alle ................................................ Knickbeispiel II (Balken) ....................................... Knickbeispiel III (Dreiknotiges Balkenelement) ............

333 333 334 334 337 341 343 346 346 349 350 350

11 Nichtlineare Probleme Bei Strukturanalysen k¨ onnen zwei nichtlineare Eﬀekte auftreten. Zum einen ist es die Materialnichtlinearit¨ at, die sich als nicht elastisches, plastisches oder viskoelastisches Materialverhalten zeigt. Zum anderen ist es die geometrische Nichtlinearit¨ at. Diese tritt z.B. in Form von großen Verformungen auf.

11.1

11.1 Große Verformungen Im folgenden soll letztere Nichtliniarit¨ at betrachtet werden. Dabei wird als Nebenprodukt dieser Vorgehensweise das Knicken von St¨aben und Balken im Mittelpunkt stehen. Bei der Einf¨ uhrung großer Verformungen ¨andert sich gegen¨ uber der linearen Analyse die Dehnungs-Verschiebungs-Beziehung. Sie enth¨ alt nichtlineare Terme. 11.1.1 Dehnungs-Verschiebungs-Beziehung

Die lineare Beziehung nach (146) wird um einen nichtlinearen Term erweitert und lautet in Matrizenschreibweise1:

e=

1 1 T ∇u + u ∇T + ∇uT u ∇T 2 2

(827)

Der zweite Summand gibt den nichtlinearen Anteil wieder. (827) f¨ ur den ebenen Fall angesetzt: ⎡

∂u ∂x

1 2

∂v ∂u + ∂x ∂y

⎢ ⎢ e =⎢ ⎢ ∂v ∂u ⎣ 1 ∂v + 2 ∂x ∂y ∂y 1 ∇ uT + u ∇T ) 2(

2 2 ∂u 1 ∂u ∂v + + ⎢ ⎢ ∂x 2 ∂x ∂x ⎢ ⎢ 1 ∂u ∂u ∂u ∂v ∂v ⎣ 1 ∂v + + + 2 ∂x ∂y 2 ∂x ∂y ∂x ∂y ⎡

⎤

⎡

⎥ ⎥ 1 ⎥+ ⎥ 2 ⎦

⎢ ⎢ ⎢ ⎣

∂v ∂x ∂v ∂y

1 2

⎤⎡

∂u ⎥ ⎢ ∂x ⎥⎢ ⎥⎢ ⎦ ⎣ ∂v ∂x 1 ∇ uT u ∇T ) 2(

∂u ∂x ∂u ∂y

1 ∂u ∂u ∂v ∂v + + 2 ∂x ∂y ∂x ∂y 2 2 1 ∂u ∂v ∂v + + ∂y 2 ∂y ∂y

∂u ∂v + ∂x ∂y

⎤ ∂u ∂y ⎥ ⎥ ⎥= ∂v ⎦ ∂y

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(828)

1

Die Dyade wird in der Matrizenschreibweise als ∇ uT geschrieben. In der symbolischen Schreibweise als ∇ u.

334

11. Nichtlineare Probleme

Die Komponente (1, 1) des Dehnungstensors1 e ist die Dehnung εxx . Sie ist die einzige Dehnungskomponente bei Stab und Balken:

εxx

du 1 + = dx 2

du dx

2

+

dv dx

2 (829)

Unter der Voraussetzung2 du/dx 1 sowie (du/dx)2 (dv/dx)2 erh¨alt man:

εxx =

du 1 + dx 2

dv dx

2 (830)

11.1.2 Dehnungen f¨ ur Stab und Balken

W¨ ahrend (830) unmittelbar f¨ ur das Stabproblem Verwendung ﬁndet, muß sie f¨ ur das Balkenproblem umgewandelt werden. Dazu wird die Verschiebung u ausgedr¨ uckt als:

u = us + ub

(831)

Die Verschiebung us ist die Verschiebung auf der neutralen Achse des Balkens. Die Verschiebung ub wird mit Hilfe von (358) des Balkens geschrieben als: ub = −y

dv dx

(832)

Einsetzen von (831) und (832) in (830) f¨ uhrt auf die Dehnungen des Balkens:

εxx =

d 2v dus 1 −y 2 + dx dx 2

dv dx

2 (833)

11.1.3 Stab mit großen Verformungen

Das Bild 11.1 zeigt das verwendete, zweiknotige Stabelement in der unverformten und in einer verformten Lage. Jeder Knoten weist zwei Freiheitsgrade, n¨ amlich ui , vi bzw. uj , vj auf. Der Stab hat eine L¨ ange l, eine Querschnittsﬂ¨ache A und als Werkstoﬀgr¨oße den Elastizit¨ atsmodul E. 1

Dies ist der Green‘sche Dehnungstensor f¨ ur den ebenen Fall. Dies nennt man auch die von K´ arm´ an‘sche nicht lineare Dehnungs-Verschiebungs-Beziehung. 2

11.1 Große Verformungen

335

Bild 11.1. Das zweiknotige Stabelement in

der unverformten und verformten Lage

Verschiebungsansatz und Formfunktionen

F¨ ur die beiden Verschiebungen u und v werden folgende Verschiebungsans¨atze gemacht:

u = a 0 + a1 x

(834)

v = b0 + b1 x

(835)

Hierzu werden analog zu (257) die Interpolationsbedingungen angesetzt. Daraus erh¨ alt man mit der Abk¨ urzung ξ = x/l die folgenden Formfunktionen: ⎡ ⎡ u ˆ=⎣

⎤ u v

⎡

⎦=⎣

⎤ ui

1−ξ

0

ξ

0

1−ξ

0

N

⎥ ⎡ ⎤ ⎤⎢ ⎢ ⎥ uT ⎢ 0 vi ⎥ N ⎥=⎣ ⎦ u ⎦⎢ ⎢ ⎥ vT ξ ⎢ uj ⎥ N ⎦ ⎣ vj

(836)

u

Dehnungen f¨ ur große Verschiebungen

Aus (836) erh¨ alt man die beiden Verschiebungen u und v: T u u=N u T u v=N v

(837) (838)

F¨ ur die Berechnung der Dehnungen werden die Ableitungen du/dx und dv/dx ben¨otigt:

336

11. Nichtlineare Probleme

⎡

du 1 d T u )T u = 1 −1 = (Nu u) = (N dx l dξ l

dv 1 d T )T u = 1 0 = (Nv u) = (N v dx l dξ l

0

1

−1

0

⎤ u i ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ vi ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ 0 ⎢ ⎢ u ⎥ ⎢ j ⎥ ⎣ ⎦ vj ⎡ ⎤ u ⎢ i ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ vi ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ 1 ⎢ ⎢ u ⎥ ⎢ j ⎥ ⎦ ⎣ vj

(839)

(840)

Form¨ anderungsarbeit und das Gesamtpotential des Stabes

Die Form¨ anderungsarbeit ΠF des Stabes ergibt sich nach (161) bzw. (255) mit (830) zu: 2 2 1 du 1 dv 2 + E εxx dV = E dV 2 V dx 2 dx V 2 4 2 du 1 l du dv 1 dv dx = AE + + 2 0 dx dx dx 4 dx

1 ΠF = 2

(841)

Der Term (dv/dx)4 ist von h¨ oherer Ordnung und damit gegen¨ uber den beiden anderen Termen vernachl¨ assigbar klein. Der Ausdruck (du/dx)(dv/dx)2 stellt die Kopplung zwischen den Verformungen u und v dar. Die Form¨andeaßt sich in zwei Anteile aufteilen und mit dem Potential der rungsarbeit ΠF l¨ außeren Kr¨ afte Πa = −(uFx + vFy ) schreiben als: ¨ 1 Π= 2

l

AE 0

du dx

2

1 dx + 2

0

l

du AE dx

dv dx

2 dx − (uFx + vFy )

(842)

P

Aus dem Bild 5.2 erkennt man, daß der Ausdruck AE du/dx sich als Schnittkraft P des Stabes darstellt. Diskretisierung des Gesamtpotentials

Die Ableitungen im Funktional (842) werden durch (839) und (840) diskretisiert. Das ¨ außere Potential uFx + vFy wird durch uT F ersetzt. Damit erh¨alt man unter der Voraussetzung, daß A und E nicht von x abh¨angen:

11.1 Große Verformungen

1 Π = uT AE 2

l

0

337

u )T dx u + 1 uT P u (N N 2 KE

0

l

v )T dx u − uT F v (N N KG

1 1 = uT K E u + uT K G u − uT F 2 2

(843)

uhrt auf die K E ist die elastische Steiﬁgkeitsmatrix. Der nichtlineare Anteil f¨ sogenannte geometrische Steiﬁgkeitsmatrix K G . In ihr tritt die L¨angskraft P des Elementes auf. In beiden Integranden wird das dyadische Produkt Nu (Nu )T bzw. Nv (Nv )T gebildet. Mit Hilfe von (839) und (840) ergibt sich: ⎡

KE

⎢ 1 ⎢ AE l ⎢ ⎢ 0 = 2 ⎢ l 0 ⎢ ⎢ −1 ⎣ 0

0

−1

0

0

0

1

0

0

⎡

KG =

P l2

0

l

⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0

0

0

1

0

0

0

−1

0

⎡ ⎤ 0 ⎥ ⎢ 1 ⎢ ⎥ 0 ⎥ AE ⎢ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ dx = l ⎢ −1 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 0 0 ⎤ ⎡ 0 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ −1 ⎥ P ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ dx = ⎢ l ⎢ 0 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ 1 0

0

−1

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

−1

0

⎤ 0 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ (844) 0 ⎥ ⎥ ⎦ 0

⎤ 0 ⎥ ⎥ −1 ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎦ 1

(845)

Die Steiﬁgkeitsmatrix K = K E + K G steht nun in Abh¨angigkeit von der L¨ angskraft P . Eine Zugkraft erh¨ oht die Steiﬁgkeit, w¨ahrend eine Druckkraft die Steiﬁgkeit reduziert. 11.1.4 Balken mit großen Verformungen

Das Bild 11.2 zeigt das verwendete zweiknotige Balkenelement mit seinen Freiheitsgraden.

Bild 11.2. Das zweiknotige Balkenelement mit seinen Freiheitsgraden

338

11. Nichtlineare Probleme

Der Balken weist die Freiheitsgrade ui , vi , ϕi f¨ ur den Anfangsknoten i und ur den Endknoten j auf. Er hat eine L¨ange l, eine konstante Queruj , vj , ϕj f¨ schnittsﬂ¨ ache A sowie den Elastizit¨ atsmodul E als Werkstoﬀgr¨oße. Formfunktionen

Die Durchbiegung des Balkens v wird mit Hilfe der Formfunktion nach (375) beschrieben. v = bN1 vi + bN2 ϕi + bN3 vj + bN4 ϕj

(846)

Die Verschiebung us , die sich aus der L¨ angskraft P ergibt, wird u ¨ber die Formfunktionen des Stabes beschrieben (258): u = sN 1 ui + sN 2 uj

(847)

Faßt man die Freiheitsgrade des Balkens in dem Vektor u zusammen, so ergeben sich folgende Zusammenh¨ ange: ⎡

u=

s

N1

0

0

s

N2

0

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ui

⎥ ⎥ vi ⎥ ⎥ ⎥ ϕi ⎥ T ⎥ ⎥ = Nu u uj ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ vj ⎥ ⎦ ϕj ⎡

v=

0

b

N1

b

N2

0

b

N3

b

N4

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

(848)

⎤ ui

⎥ ⎥ vi ⎥ ⎥ ⎥ ϕi ⎥ T ⎥ ⎥ = Nv u ⎥ uj ⎥ ⎥ ⎥ vj ⎥ ⎦ ϕj

(849)

11.1 Große Verformungen

339

Dehnungen f¨ ur große Verformungen

In den Dehnungen nach (833) treten die Ableitungen du/dx, dv/dx und d2 v/dx2 auf. du s = N1 0 dx u )T u = (N

0

N2

s

0

0

u =

1 −1 l

0

0

1

0

0

u (850)

Die ersten und zweiten Ableitungen von v sind in (380) zu ﬁnden. Damit erh¨alt man: % dv 1 = 0 6 ξ(−1 + ξ) l(1 − 4 ξ + 3 ξ 2 ) dx l v )T u = (N % 2 d v 1 = 2 0 6(−1 + 2 ξ) 2l(−2 + 3 ξ) dx2 l v )T = (N u

& 0

0

2

6 ξ(1 − ξ)

l(−2 ξ + 3 ξ )

6(1 − 2 ξ)

(851) & u 2l(−1 + 3 ξ)

u

(852)

Form¨ anderungsarbeit des Balkens

Die Dehnungen treten in der Form¨ anderungsarbeit ΠF quadratisch auf: 2 2 d 2v 1 du 1 dv −y 2 + E = E dV 2 V dx dx 2 dx V 4 2 2 1 % 2 du d v 1 l 1 dv du d 2 v = E + y2 + −2y 2 2 0 dx dx 4 dx dx dx 2 A & 2 2 2 d 2 v dv du dv dA dx −y 2 + dx dx dx dx

1 ΠF = 2

2 εxx dV

(853)

Der Term (dv/dx)4 ist gegen¨ uber den anderen Gr¨oßen vernachl¨assigbar klein. Die Integrale u ber die Terme, in denen die y-Koordinate linear eingeht, ver¨ schwinden. Der Ausdruck du/dx tritt in der Stoﬀgleichung des Stabes (s. Bild 5.2) in der Form P = AE du/dx auf. Damit kann du/dx als P/(AE) ausgedr¨ uckt werden. Beachtet man weiterhin, daß das Integral A y 2 dA das Fl¨ achentr¨ agheitsmoment I ergibt und E sowie I unabh¨angig von x sein sollen, so kann man schreiben:

ΠF =

1 AE 2

l 0

du dx

2

1 dx + EI 2

l 0

d 2v dx 2

2

1 dx + P 2

l 0

dv dx

2 dx (854)

340

11. Nichtlineare Probleme

Ein Vergleich mit dem linearen Stab bzw. Balken zeigt, daß der erste Summand in voranstehender Gleichung auf die elastische Steiﬁgkeitsmatrix des Stabes f¨ uhrt. Der zweite Summand f¨ uhrt auf die elastische Steiﬁgkeitsmatrix des Balkens. Der letzte Term trat bisher nicht auf. Er enth¨alt die L¨angskraft P des Balkens. Diskretisierung des Gesamtpotentials Π

Durch Einsetzen von (850), (851) und (852) in die Form¨anderungsarbeit (854) wird diese diskretisiert. Gleichzeitig wird die diskretisierte Form der ¨außeren Lasten hinzugef¨ ugt:

Π=

1 T u AE 2 1 + uT P 2

l

0

)T dx u + 1 uT EI (N N u u 2 sK

l 0

0

l

)T dx u (N N v v bK

E

E

v )T dx u − uT F v (N N KG

1 1 1 = uT sK E u + uT bK E u + uT K G u − uT F 2 2 2 1 T 1 T = u K E u + u K G u − uT F 2 2 T mit F = F F M F F M xi

yi

i

xj

yj

(855)

j

Die elastische Steiﬁgkeitsmatrix K E , die sich aus den Anteilen sK E und bK E zusammensetzt, ergibt sich mit Hilfe von (850) und (852). Die Steiﬁgkeitsmatrix K E wurde schon beim zweidimensionalen Balken hergeleitet und ist in (522) zu ﬁnden. Die geometrische Steiﬁgkeitsmatrix K G aus (855) ergibt sich mit (851) zu: ⎡

⎤ 0

KG

⎢ ⎢ ⎢ 6 ξ(−1 + ξ) ⎢ 1⎢ ⎢ l(1 − 4 ξ + 3 ξ 2 ) P ⎢ = ⎢ l 0 ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 6 ξ(1 − ξ) ⎣ lξ(−2 + 3 ξ) 0

6 ξ(−1 + ξ)

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

l(1 − 4 ξ + 3 ξ 2 )

0

6 ξ(1 − ξ)

lξ(−2 + 3 ξ)

dξ

11.2 Knicken von St¨ aben und Balken

341

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ P ⎢ ⎢ = ⎢ 30 l ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ 0

0

0

0

0

0

36

3l

0

−36

0

3l

4 l2

0

−3 l

0

0

0

0

0

0

−36

−3 l

0

36

0

3l

−l2

0

−3 l

0

⎥ ⎥ 3l ⎥ ⎥ ⎥ −l2 ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ −3 l ⎥ ⎦ 4 l2

(856)

11.2

11.2 Knicken von St¨ aben und Balken Das Gesamtpotential Π l¨ aßt sich allgemein1 schreiben als:

Π=

1 T u Ku − uT F 2

(857) n

F¨ ur einen station¨ aren Wert muß die erste Variation δΠ verschwinden:

δΠ =

∂Π δu = 0 ⇒ δuT K u − δuT F = 0 ∂u

(858)

Bei den bisherigen Ausf¨ uhrungen wurde die zweite Variation nicht weiter betrachtet, da bedingt durch den quadratischen Charakter von (857) der station¨ are Punkt auch gleichzeitig ein Minimum darstellt. Untersucht man aber die zweite Ableitung, so sind (s. Bild 11.3) drei F¨alle zu unterscheiden.

Bild 11.3. Verschiedene Gleichgewichtszust¨ ande

F¨ ur den Fall δΠ > 0 ergibt sich ein stabiles Gleichgewicht. Verschwindet die zweite Variation, so spricht man von einem indiﬀerenten oder neutralen Gleichgewicht. Im dritten Fall, in dem f¨ ur die zweite Variation gilt: ur das nachfolgend beδ 2 Π < 0, liegt ein instabiles Gleichgewicht vor. F¨ 1

Das Computeralgebraprogramm “Knicken Balken“ dient zur Eigenwertberechnung bei Balken (s. Kap. 12.2.10 auf S. 374).

342

11. Nichtlineare Probleme

trachtete Knicken von St¨ aben und Balken geht man von einem indiﬀerenten Gleichgewicht aus. Bildet man die zweite Variation von (858), so erh¨alt man:

δ2Π =

∂2Π 2 ! δ u = δuT K δu = 0 ∂u2

(859)

Die Forderung, daß die zweite Variation von Π verschwindet, kann nur erf¨ ullt werden, wenn die Determinante von |K| zu Null wird. Bei der Matrix K wird jetzt auf das Ergebnis der großen Verformungen zur¨ uckgegriﬀen:

K = KE + KG

(860)

In der geometrischen Steiﬁgkeitsmatrix tritt als Faktor die L¨angskraft P auf (s. (845)). Diese Kraft wird mit einem Faktor λ multipliziert (λ ∈ R). Damit erh¨ alt man:

K = KE + λ

P ˆ K l G

(861)

Die Forderung, daß die Determinante von K verschwindet, f¨ uhrt auf: |K| = |K E + λ

P ˆ K |=0 l G

(862)

Diese Beziehung nennt man ein Eigenwertproblem, wobei λ der gesuchte Eigenwert ist. Das Bilden der Determinante f¨ uhrt auf eine skalare Funktion in λ, die man als charakteristische Gleichung bezeichnet. Es ist oﬀensichtlich, daß die Beziehung nicht nur einen Eigenwert besitzt. Vielmehr besitzt das System so viele Eigenwerte wie es Freiheitsgrade aufweist. Die Nullstellen der charakteristischen Gleichung entsprechen den Eigenwerten des Problems. Das Produkt λ F stellt die Knicklast dar, wobei F die Belastung der Struktur ist. Mit Hilfe der bekannten Eigenwerte λi , i = 1, ..., n lassen sich die Eigenformen berechnen: P ˆ K + λi K ui = 0 l

(863)

Gl. (863) stellt ein lineares, homogenes Gleichungssystem dar. Dieses besitzt ˆ singul¨ar ist, was ja hier nur dann eine L¨ osung, wenn K = K E + λi P/l K G der Fall ist. Das System besitzt keine eindeutige L¨osung, sondern einmal

11.2 Knicken von St¨ aben und Balken

343

unendlich viele L¨ osungen1 . Daher stellt die Eigenform keine quantitative, sondern eine qualitative L¨ osung dar. 11.2.1 Beispiel zum Stabknicken

Das Bild 11.4 zeigt in seiner linken H¨ alfte einen Vertikalstab. Unter einem Winkel β ist eine Feder an den Vertikalstab angelenkt.

Bild 11.4. Beispiel zum Stabknicken

Der Vertikalstab wird durch eine lotrechte Kraft belastet. Die Feder hat eine Steiﬁgkeit k und wird im folgenden als Stab betrachtet. Die Steiﬁgkeit des Vertikalstabes wird mit f k (f ∈ R∗+ ) in Beziehung zur Feder gesetzt. Gesucht ist die kritische Kraft Fk , die auch als Verzweigungslast bezeichnet wird, bei der das System instabil wird. Steiﬁgkeitsmatrizen

In der rechten H¨ alfte von Bild 11.4 ist die Struktur in zwei Elemente eingeteilt. Jedes Element weist sein eigenes, lokales Koordinatensystem auf. In diesem sind auch die Steiﬁgkeitsmatrizen beschrieben. Sie m¨ ussen daher in das globale (x, y)-System transformiert werden. Die R¨ ucktransformation der elastischen Steiﬁgkeitsmatrix K E ist in (336) zu ﬁnden. Die Transformationsmatrix T wird mit Hilfe der Beziehung (46) gebildet und lautet: ⎤

⎡ ⎢ cosϕ ⎢ ⎢ −sinϕ ⎢ T =⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0 1

sinϕ

0

cos ϕ

0

0

cos ϕ

0

−sinϕ

0

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ sinϕ ⎥ ⎥ ⎦ cos ϕ 0

(864)

Es kann n¨ amlich ein Element des L¨ osungsvektors u beliebig gew¨ ahlt werden. Alle anderen Elemente des L¨ osungsvektors lassen sich dann eindeutig berechnen. Anschließend wird der L¨ osungsvektor u normiert.

344

11. Nichtlineare Probleme

Die R¨ ucktransformation lautet nach (50): ¯ T KG = T T K G

(865)

¯ G die globale geometrische SteiDamit erh¨ alt man aus der lokalen Matrix K ﬁgkeitsmatrix K G ⎡ sin2 ϕ

KG

⎢ ⎢ P ⎢ ⎢ − sin ϕ cos ϕ = ⎢ l ⎢ − sin2 ϕ ⎢ ⎣ sin ϕ cos ϕ

− sin ϕ cos ϕ

− sin2 ϕ

cos2 ϕ

sin ϕ cos ϕ

sin ϕ cos ϕ

sin2 ϕ

− cos2 ϕ

− sin ϕ cos ϕ

⎤ sin ϕ cos ϕ ⎥ ⎥ ⎥ − cos2 ϕ ⎥ ⎥ − sin ϕ cos ϕ ⎥ ⎥ ⎦ cos2 ϕ (866)

Gesamtsteiﬁgkeitsmatrix

Es werden f¨ ur die elastische und geometrische Steiﬁgkeitsmatrix jeweils die Gesamtsteiﬁgkeitsmatrizen K Eg und K Gg gebildet: K Eg = ⎡

cos2 β

⎢ ⎢ ⎢ sin β cos β sin2 β ⎢ ⎢ ⎢ − cos2 β − sin β cos β ⎢ k⎢ ⎢ − sin β cos β − sin2 β ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 0 0 ⎣ 0 0 ⎡ 0 0 0 0 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 0 0 0 0 ⎢ ⎢ F ⎢ ⎢ 0 0 −1 0 1 K Gg = ⎢ l ⎢ 0 0 0 0 0 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 0 0 1 0 −1 ⎣ 0 0 0 0 0

⎤

− cos2 β

− sin β cos β

0

0

− sin β cos β

− sin β

0

0

cos2 β

sin β cos β

0

0

sin β cos β

sin β cos β

sin β + f

0

−f

0

0

0

0

0

−f

0

f

⎤ 0 0 0 0 0 0

2

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

2

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(867)

11.2 Knicken von St¨ aben und Balken

345

Bei der geometrischen Matrix K Gg ist zu beachten, daß Element 1 keine L¨ angskraft aufweist, w¨ ahrend Element 2 die gesamte vertikale Last F aufnimmt. Die Matrizen aus (867) werden nun u ¨ berlagert: K g = K Eg + λK Gg = ⎡

u1

v1

2

2

v2

u3

v3

0

0

⎤

sin β cos β

− cos β

− sin β cos β

sin2 β

− sin β cos β

− sin2 β

0

0

− sin β cos β

λF cos2 β − kl

sin β cos β

λF kl

0

− sin2 β

sin β cos β

sin2 β + f

0

−f

0

λF kl

0

0

0

−f

cos β

⎢ ⎢ ⎢ sin β cos β ⎢ ⎢ ⎢ − cos2 β ⎢ k⎢ ⎢ ⎢ − sin β cos β ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣

u2

0

−

λF kl

0

0

f

u1 ⎥ ⎥ ⎥v1 ⎥ ⎥ ⎥u ⎥ 2 ⎥ ⎥ ⎥v ⎥ 2 ⎥ ⎥ ⎥u3 ⎥ ⎦ v3

Geometrische Randbedingungen

Die Knoten 1 und 3 weisen ein Festlager auf, so daß nur die Freiheitsgrade u2 und v2 als Variable auftreten. Daher werden die ersten und letzten beiden Zeilen und Spalten aus K g gestrichen. Es bleibt folgende Untermatrix u ¨brig: ⎡

λF cos β − ⎢ ˆ = k⎣ kl K g sin β cos β 2

⎤ sin β cos β ⎥ ⎦ 2 sin β + f

(869)

Eigenwerte des Systems

ˆ | f¨ Die Determinante |K g uhrt auf die folgende charakteristische Gleichung: g(λ) = (1 + f − cos2 β) F λ + f k cos2 β

(870)

Ein System mit n Freiheitsgraden besitzt im Normalfall ebenso viele Eigenwerte, so daß zwei Eigenwerte zu erwarten w¨ aren. Bedingt dadurch, daß in der Feder (Element 1) keine L¨ angskraft vorhanden ist, tritt in der Untermatrix nach (869) λ nur im Element (1, 1) auf. Damit ist hier die charakteristische Gleichung eine lineare Beziehung. Die Nullstelle f¨ uhrt zu folgendem Eigenwert λ1 :

346

11. Nichtlineare Probleme

λ1 =

k l f cos2 β F f + sin2 β

(871)

Das Produkt λ1 F stellt sich als kritische Knicklast dar. In der analytischen L¨ osung dieses Problems [52] wird ein starrer Vertikalstab (f → ∞) vorausgesetzt. Eine Grenzwertbetrachtung ergibt:

lim k l

f →∞

f cos2 β cos2 β = lim k l = k l cos2 β 2 f →∞ f + sin2 β 1 + sinf β

(872)

Dieses Ergebnis λ F = k l cos2 β entspricht der analytischen L¨osung f¨ ur β = 0.

11.1

11.2.2 Knickbeispiel I (Stab)

Im Bild 11.5 sind zwei St¨ abe dargestellt, die durch zwei Federn gest¨ utzt werden. Die Steiﬁgkeit der Federn betr¨ agt k, die der St¨abe f k. Die beiden St¨ abe werden in die Elemente 1 und 2 eingeteilt. Die Federn werden durch die St¨ abe 3 und 4 abgebildet. Gesucht ist f¨ ur dieses Beispiel die kleinste orige Knickform. Knickkraft Fkmin sowie die zugeh¨

Bild 11.5. St¨ abe mit Federn gelagert

11.2.3 Beispiel zum Knicken von Balken

Im folgenden werden beispielhaft die vier Eulerf¨alle betrachtet. Exemplarisch wird der Eulerfall I mit einem Element gel¨ost. Dazu sind folgende Schritte notwendig: Steiﬁgkeitsmatrizen

F¨ ur einen beliebigen Querschnittswert A, Fl¨achentr¨agheitsmoment I, Elastizit¨ atsmodul E sowie L¨ ange l, erh¨ alt man nach (511) und (856) mit P = −F , 3 k = AE/l, J = EI/l :

11.2 Knicken von St¨ aben und Balken

347

Kg = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

k

0

0

12 J −

0

6 Jl −

−k

6 λF 5 l

6 Jl −

1 λF 10

4 Jl2 −

0 −12 J +

0

6 Jl −

6 λF 5 l

0

0

−12 J +

2 λF l 15

0

−6 Jl +

k

0

−6 Jl +

1 λF 10

0

12 J −

2 Jl2 +

1 λF l 30

0

−6 Jl +

1 λF 10

0

1 λF 10

0

0

⎤

−k

0

6 λF 5 l 1 λF 10

6 λF 5 l 1 λF 10

⎥ ⎥ ⎥ 6 Jl − ⎥ ⎥ ⎥ 1 2 Jl2 + 30 λF l ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ 1 −6 Jl + 10 λF ⎥ ⎥ ⎦ 2 2 4 Jl − 15 λF l 1 λF 10

(873) Geometrische Randbedingungen

Der Knoten 1 liegt am Einspannende. Damit verschwinden die Freiheitsgrade u1 , v1 und ϕ1 . Es werden aus der Matrix K g in (873) die ersten drei Zeilen ˆ u und Spalten gestrichen. Als Untermatrix bleibt K g ¨ brig: ⎤

⎡ k

⎢ ˆ =⎢ K ⎢ 0 g ⎣ 0

0 12 J − 1 10 λF

0

6F 5l

λ

− 6 Jl

⎥ ⎥ − 6 Jl ⎥ ⎦ 2 2 4 l J − λ 15 lF 1 10 λF

(874)

Bestimmung der Eigenwerte

Zur Bestimmung der Eigenwerte wird die Determinante von (874) gebildet. Diese f¨ uhrt auf folgende charakteristische Gleichung des Problems: 2 3 Jl 104 J 2 k F λ2 − l λ + 80 =0 20 3 F F

(875)

Aus dieser quadratischen Gleichung erh¨ alt man folgende Eigenwerte:

λ1,2 =

√ #Jl 4" 13 ± 2 31 3 F

(876)

Technisch gesehen ist nur der kleinste Eigenwert von Bedeutung. Die kleinste Knicklast Fk erh¨ alt man als: Fk = λmin F =

√ # 4" 13 − 2 31 J l = 2, 486J l 3

(877)

348

11. Nichtlineare Probleme

Gegen¨ uber der exakten L¨ osung Fk∗ = π 2 /4 J l tritt ein Fehler von 0, 8 % auf. Bestimmung der Eigenform

Die Eigenform, in diesem Zusammenhang auch Knickform genannt, l¨aßt sich ˆ g λmin einsetzt und das homogene mit (874) berechnen, indem man in K ˆ ˆ = 0 l¨ ost: System K g u # ⎡ " √ 4 31 − 19 ⎢ 19 + 4 31 ⎢ J⎢ 0 ⎣ 135 0 √

k J

"

0

#

√ 12 47 − 8 31 " √ # 12 1 − 31 l

⎤⎡ ⎥ ⎢ u2 √ ⎥ 12 1 − 31 l ⎥ ⎢ v ⎦⎣ 2 ϕ2 12l2 "

0

#

⎤

⎡ ⎤ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ =⎢ 0 ⎥ ⎦ ⎣ ⎦ 0

(878) Aus der ersten Zeile ergibt sich u2 = 0. Das homogene Gleichungssystem besitzt einmal unendlich viele L¨ osungen. Daher kann v2 oder ϕ2 beliebig gew¨ ahlt werden. Es wird ϕ2 = 1 gesetzt und daraus ergibt sich v2 zu: v2 =

√ 1 (4 + 31) l = 0, 6379 l 15

(879)

Zur Darstellung der Eigenform werden die Formfunktionen nach (375) herangezogen (ξ = x/l): ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 1 T ⎢ v=N ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ u1

⎥ ⎥ v1 ⎥ ⎥ ⎥ ϕ1 ⎥ ⎥ T ⎥=N ⎥ u2 ⎥ ⎥ ⎥ v2 ⎥ ⎦ ϕ2

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ 0

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ √ ⎥ 1 ⎥ (4 + 31) l 15 ⎦ 1 √ √ 1 1 = ( 31 − 1) l ξ 2 + (7 − 2 31) l ξ 3 = 0, 9136 l ξ 2 − 0, 2757 l ξ 3 5 15 0

(880) Die exakte L¨ osung der Eigenform lautet: vex = 1 − cos

"π # ξ 2

(881)

Eine Normierung der Eigenform (880) nach der Maximumnorm (||1 v||∞ = 1) f¨ uhrt zu:

11.2 Knicken von St¨ aben und Balken

1

v¯ = (7 −

√

349

√ 31)ξ 2 + ( 31 − 6) ξ 3 = 1, 4322 ξ 2 − 0, 4322 ξ 3

(882)

F¨ ur eine Fehlerbetrachtung wird eine relative Fehlerfunktion deﬁniert: " # vex − 1 v¯ = 1 − cos π ξ − 1, 4322 ξ 2 + 0, 4322 ξ 3 π vm 2 π−2 1 π−2 vex dξ = mit vm = π 0

(883)

In Bild 11.6 ist die Eigenform nach (882) dargestellt. Die strichpunktierte Linie beschreibt den Fehler nach (883). Der relative Fehler weist einen Maximalwert von ca. 3 % auf.

Die berechnete Knickform des Eulerfalls I und deren relativer Fehler

Bild 11.6.

Der Eulerfall I l¨ aßt sich also bzgl. Knicklast und Eigenform mit einem Balkenelement hinreichend genau beschreiben. Dies triﬀt nicht f¨ ur alle Eulerf¨alle zu, wie nachfolgend aufgezeigt wird. 11.2.4 Die vier Eulerf¨ alle Das zweiknotige Element

In Bild 11.7 ist das Konvergenzverhalten des zweiknotigen Balkenelementes f¨ ur die vier Eulerf¨ alle dargestellt. Es ist in einem doppelt logarithmischen System der relative Fehler (Fk∗FEM − Fk∗ex )/Fk∗ex · 100 u ¨ ber die Elementanzahl aufgetragen. Die Tabelle innerhalb des Bildes 11.7 enth¨ alt f¨ ur verschiedene Elementanur die Euzahlen den Fehler Fk∗ = Fk l2 /(EI) der bezogenen Knicklast. F¨ ∗ 2 2 lerf¨ alle I bis IV existieren die exakten L¨ osungen Fk mit π /4; π ; 20, 190733 und 4 π 2 . W¨ ahrend der Eulerfall I bei einem zweiknotigen Element einen Fehler kleiner 1 % aufweist, ist dieser bei den anderen Eulerf¨ allen erheblich gr¨oßer. Eulerfall IV nimmt eine Sonderstellung ein. Es existiert f¨ ur ein zweiknotiges Element keine L¨ osung. Die Ursache liegt darin, daß nach dem Einbringen der Rand-

n

350

11. Nichtlineare Probleme

Das Konvergenzverhalten der vier Eulerf¨ alle f¨ ur das zweiknotige Element. Die L¨ osungen mit einem dreiknotigen Element sind wie folgt gekennzeichnet: Fall I: ; Fall II: ; Fall III: ⊗; Fall IV :

Bild 11.7.

bedingungen in (873) nur das Element (4,4) u ¨ brig bleibt. Damit tritt in der charakteristischen Gleichung kein λ auf. Es existiert also kein Eigenwert. Eine weitere Eigenart von Eulerfall IV ist die, daß beginnend mit dem Element 2 kein monotoner Zusammenhang zwischen Fehler und Elementanzahl besteht. Die L¨ osung mit zwei Elementen weist einen kleineren Fehler auf als die mit drei Elementen. Daher beginnt die Ausgleichsgerade in Bild 11.7 erst bei drei Elementen.

11.2

11.2.5 Knickbeispiel II (Balken)

Das Bild 11.8 zeigt einen Kragbalken, der am freien Ende eine Druckkraft F aufweist und durch eine Feder gest¨ utzt wird. Ausgehend von (873) auf der S. 347 soll dieser Kragbalken mit Feder die Eulerf¨alle I und III beschreiben. Eulerfall I (s. Bild 11.7) erh¨ alt man f¨ ur f = 0 und Eulerfall III f¨ ur f → ∞. Zuvor sind f¨ ur ein beliebiges f, f ∈ R∗+ die kritische Knicklast und die Knickform zu bestimmen.

Bild 11.8. Knickfall eines Kragbalkens, der durch ei-

ne Feder gest¨ utzt wird

11.3

11.2.6 Knickbeispiel III (Dreiknotiges Balkenelement)

Ausgehend von den Formfunktionen f¨ ur das dreiknotige Element, die u ¨ber das Programm “ Balken 1D“ gewonnen werden k¨onnen, sind nach (855) auf

11.2 Knicken von St¨ aben und Balken

351

der S. 340 die elastische und geometrische Steiﬁgkeitsmatrix zu bilden. Mit Hilfe dieser Matrizen sind die Eulerf¨ alle II und IV zu l¨osen. Die Ergebnisse f¨ ur ein dreiknotiges Element sind in Bild 11.7 eingetragen. Der ung¨ unstigste Eulerfall ist hierbei wie beim zweiknotigen Element Fall IV mit einem Fehler von 6, 4 % . Fall III weist einen Fehler von 0, 47 % auf, w¨ahrend die restlichen F¨ alle nahezu mit der exakten L¨ osung u ¨bereinstimmen.

i

Kapitel 12 CALL for FEM

12

12

12 12.1 12.1.1 12.1.2 12.1.3 12.1.4 12.1.5 12.1.6 12.1.7 12.1.8 12.2 12.2.1 12.2.2 12.2.3 12.2.4 12.2.5 12.2.6 12.2.7 12.2.8 12.2.9 12.2.10 12.2.11 12.2.12 12.2.13

CALL for FEM ¨ Ubersicht u ¨ber CALL for FEM ................................ Installation von CALL for FEM auf dem Rechner ......... Updates zu CALL for FEM .................................... ¨ L¨osungen zu den Ubungsbeispielen ........................... Hinweise auf die Lernsoftware durch Icons.................. Video-Tutorials als Lernmittel ................................. FE-Programme ohne MAPLE nutzbar ....................... FEM CAS u ¨ber den CALL for FEM-Server nutzbar....... Weitere Lernsoftware zur Unterst¨ utzung des Buches ..... Weitere Programmbeschreibungen ........................... Das Programm InterFEM ...................................... Das Verfahren von Ritz f¨ ur den eindimensionalen Stab (Ritz Stab) ........................................................ Das Verfahren von Ritz f¨ ur den Balken (Ritz Balken) .... Das Verfahren von Ritz f¨ ur die Scheibe (Ritz Scheibe) .. Eindimensionales Stabelement (Stab 1D)................... Eindimensionales Balkenelement (Balken 1D) ............. Timoshenko-Balken.............................................. Dreiecksscheibenelement (Scheibe Dreieck) ................ Plattenelement (Platte) ........................................ Knicken eines eindimensionalen Balkens (Knicken Balken) Eigenfrequenzen und Schwingungsform des Balkens (Dynamik Balken) .................................................... Eindimensionale Feldprobleme (Feldprobleme 1D) ........ Zweidimensionale Feldprobleme (Feldprobleme 2D) ......

355 356 356 356 357 358 358 360 361 363 363 363 365 367 369 371 372 373 374 374 376 377 377

12 CALL for FEM ¨ 12.1 Ubersicht u ¨ber CALL for FEM “ CALL for FEM“ steht als Abk¨ urzung f¨ ur Computer Aided Learning and Lessons for the Finite Element Method (kurz: “ CfF“). Der Begriﬀ beschreibt die M¨oglichkeit, u ¨ ber die in Bild 12.1 dargestellte Benutzeroberﬂ¨ache, von den Ressourcen Gebrauch zu machen, die das Buch erg¨anzen.

Bild 12.1. Benutzeroberﬂ¨ ache “CALL for FEM“

Eine wichtige Ressource ist die Lernsoftware, in der die Computeralgebra zur Anwendung kommt. Computeralgebra-Systeme (CAS) wie das hier verwenoﬀnen neue M¨ oglichkeiten in der Simulationstechnik. dete “ MAPLE“ [37] er¨ Statt mit Zahlen wird mit Symbolen gearbeitet. Es werden mathematische Operationen f¨ ur symbolische Ausdr¨ ucke durchgef¨ uhrt. Damit lassen sich die Ableitungen eines Elementes in verallgemeinerter Form programmieren. uhrt. In der Tab. 12.1 sind in der ersten Spalte die Inhalte von “ CfF“ aufgef¨ Danach wird auf sp¨ atere Kapitel verwiesen, die eine ausf¨ uhrlichere Beschreibung beinhalten. Die dritte Spalte gibt an, unter welchem Men¨ upunkt von “ CfF“ die entsprechenden Inhalte zu ﬁnden sind.

12.1 G

356

12. CALL for FEM

12.1.1 Installation von CALL for FEM auf dem Rechner Zur Installation von “ CALL for FEM“ auf dem Rechner sind zwei Schritte

notwendig: Herunterladen des Installationsprogrammes “ CALL for FEM installer.exe“ unter der Internetadresse: http://extras.springer.com/2010/978-3-642-11204-1 Ausf¨ uhren von “ CALL for FEM installer.exe“ per Doppelklick. Es wird das gesamte Softwarepaket “ CALL for FEM“ automatisch auf dem Rechner installiert. Auf dem Desktop wird nebenstehendes Icon eingerichtet. Durch Anklicken dieses Icons wird “ CfF“ gestartet. Hinweis: Eine Deinstallation von “ CfF“ ist u ¨ ber das mitgelieferte Programm oglich. “ uninstaller.exe“ m¨ Tabelle 12.1. Erg¨ anzende und erweiternde Hilfsmittel zum Buch

Inhalt

Kapitel “CfF“-Men¨ upunkt

¨ L¨ osungen zu den Ubungsbeispielen.

12.1.3

¨ Beispiele → Ubungsbeispiele

Lernsoftware zum Verst¨ andnis und zur Vertiefung des Buchinhaltes.

12.1.8, 12.2

Mapleprogramme → . . .

Das FE-Programm “FEM CAS“ arbeitet mit Symbolen. Es kann u ¨ ber den “CALL for FEM-Server“ genutzt werden.

12.1.7

Mapleprogramme → FEM CAS

Pre- und Postprozessoren1 .

12.1.6

Programme → . . .

Das FE-Programm “InterFEM“ arbeitet mit Zahlen1 .

12.1.6, 12.2.1

Programme → InterFEM

Video-Tutorials zeigen FE-Beispiele, Probleml¨ osungen und erkl¨ aren die Software.

12.1.5

Beispiele → Videos

Hilfefunktionen.

-

Hilfe → Hilfe

12.1.2 Updates zu CALL for FEM Der Inhalt von “ CfF“ wird weiterentwickelt. Dies betriﬀt zum einen die Be-

hebung m¨ oglicher Fehler. Zum anderen die Pﬂege, Verbesserung und Erweiterung der Programme. Der Downloadvorgang entspricht dem unter Kap. 12.1.1. ¨ 12.1.3 L¨ osungen zu den Ubungsbeispielen

¨ Im Buch wird die Verst¨ andlichkeit des Inhaltes durch viele Ubungsbeispiele gef¨ ordert. Bei den Beispielen tritt am Außenrand jeweils ein Icon auf, wie es 1

Diese Programme sind ohne “MAPLE“ nutzbar.

¨ 12.1 Ubersicht u ¨ber CALL for FEM

357

nebenstehend angef¨ uhrt ist. Das Icon weist das K¨ urzel “ x.y“ auf. “ x“ steht f¨ ur die Nummer des Kapitels, in dem die Aufgabe auftritt. “ y“ ist die fort¨ laufende Nummer der Aufgaben. In “ CfF“ sind unter “ Beispiele → Ubungsbei¨ spiele“ die L¨ osungen zu den Ubungsbeispielen zu ﬁnden. Nach Auswahl des ¨ “ wird eine Seite ge¨oﬀnet, die alle Icons Untermen¨ upunktes “ Ubungsbeispiele ¨ aller Ubungsbeispiele enth¨ alt (s. Bild 12.2). Nach Anklicken eines Icons wird oﬀnet und auf die Anfangsseite der L¨osung gesprungen. Dort eine pdf -Datei ge¨ enth¨ alt nebenstehendes Icon die Seitenzahl “ ijk“, unter der die Aufgabenstellung im Buch zu ﬁnden ist.

x.y

ijk

Bild 12.2. Ausschnitt aus den Icons, die zu den ¨ L¨ osungen der Ubungsbeispiele f¨ uhren

12.1.4 Hinweise auf die Lernsoftware durch Icons

An vielen Stellen des Buches wird u ¨ ber nebenstehendes Icon auf Programme verwiesen, die den Lernstoﬀ erg¨ anzen, vertiefen und erweitern. In Bild 12.3 sind diese Programme angef¨ uhrt. Die Programme sind mit “ a“ bis “ o“ bezeichnet. An den entsprechenden Stellen tritt dann statt des Fragezeichens der Kleinbuchstabe auf, der dem entsprechendem Programm zugeordnet ist.

Bild 12.3. “MAPLE-Programme“. Sie sind mit “a“ bis

“o“ durchnumeriert

?

358

12. CALL for FEM

12.1.5 Video-Tutorials als Lernmittel

Inhalt

InterFEM

FEM VIEW

FE-Anw.

A B C D E F G H I J K L M N O P

3 10 11 13 84, 368 175, 372 355 120 128 284 360 163 206 284 359 359

Vorgehensweise bei der FEM Nichtlineares FE-Beispiel Formoptimierung Topologieoptimierung Ritz-Scheibe Timoshenko-Balken ¨ Ubersicht “CALL for FEM“ Zweidim. Stabproblem Zweidim. Stabproblem Zweidim. Feldproblem ¨ Ubersicht “FEM VIEW“ Eindim. Balkenbeispiel Zweidim. Balkenbeispiel Eindim. W¨ arme¨ ubertragung Netzgenerator in “FEM GEN“ Kurze Einf. in “FEM GEN“

× × × × × × × ×

× × × × × -

× × × × -

× × × × × -

× - × - × - × - - × - - × - - × - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Sonstiges

Seite

Ritz

Video

FEM CAS

Tabelle 12.2. Video-Tutorials als Erg¨ anzung des Buches

FEM GEN

?

Die Video-Tutorials stellen eine Erg¨ anzung und Erweiterung des Buches dar. Zum einen werden damit Anwendungsbeispiele aus dem FE-Bereich beschrieben. Zum anderen wird damit die beigef¨ ugte Software dokumentiert und an ¨ Beispielen erl¨ autert. Weiterhin sind im Buch Ubungsbeispiele formuliert, die mit den Programmen zu l¨ osen sind. Die L¨ osungsschritte sind dann in einem ¨ Video dokumentiert. Die Ubungsbeispiele und FE-Beispiele, die ein Video als L¨ osung haben, sind durch nebenstehendes Icon gekennzeichnet. Die Videos sind in “ CfF“ unter “ Beispiele → Videos“ zu ﬁnden. Durch Anklicken des entsprechenden Icons wird u uhrt. Das ¨ ber das Internet das Video ausgef¨ Fragezeichen steht hier stellvertretend f¨ ur einen Großbuchstaben. In der Tab. 12.2 sind die einzelnen Videos aufgef¨ uhrt.

12.1.6 FE-Programme ohne MAPLE nutzbar FEM GEN

Der Preprozessor “ FEM GEN“ dient zur interaktiven Beschreibung eines FEProblems. Ausgehend von Knoten, die auf Rasterpunkte gesetzt werden, lassen sich Elemente deﬁnieren. Weiterhin lassen sich Knoten automatisch

¨ 12.1 Ubersicht u ¨ber CALL for FEM

359

generieren. Alternativ k¨ onnen u ¨ber einen Netzgenerator fertige Netze erstellt werden. Je nach Problemart lassen sich die entsprechenden wesentlichen und nat¨ urlichen Randbedingungen formulieren. Alle problemrelevanten Gr¨ oßen werden u ¨ ber Symbole beschrieben. Den Symbolen werden in einer Tabelle Zahlenwerte zugeordnet. Dadurch k¨ onnen zwei Formen von Datens¨ atzen erstellt werden. F¨ ur “ FEM CAS“ ein Datensatz “ *.sym“, der das Problem in Symbolen beschreibt, f¨ ur “ InterFEM“ ein Datensatz “ *.fem“, der nur Zahlen enth¨ alt. Nebenstehende Video-Tutorials erl¨autern das Arbeiten mit “ FEM GEN“. In der Tab. 12.2 sind weitere Video-Tutorials aufgef¨ uhrt, die sich zum Teil auf “ FEM GEN“ beziehen. Tabelle 12.3. Realisierte Elemente in “InterFEM“ bzw. “FEM CAS“

Nr. Problemart

Elementform

Freiheitsgrade/Knoten

1

1D-Stab

u

2

1D-Feldproblem

T ∧p v, ϕ

3 4

1D-Balken

v, ϕ, κ v, ϕ

5

(1)

(1)

6

2D-Stab

u, v

7

2D-Balken

u, v, ϕ

8

Scheibe

u, v

9

2D-Feldproblem

T ∧φ∧p

3

(2)

10

Platte

w, θx , θy

11

Schale4

u, v, w, θx , θy , θz

12

3D-Stab5

u, v, w

InterFEM

Im Programm “ InterFEM“ sind die Elemente 1 bis 12 aus der Tab. 12.3 auf der S. 359 realisiert. Es verarbeitet im Unterschied zu “ FEM CAS“ nur Zahlen und entspricht damit konventionellen FE-Programmen. Weitere Details unter Kap. 12.2.1. 1

Bernoulli- und Timoshenko-Balken Platte nach der Discrete-Kirchhoﬀ-Theory (DKT) [7] und nach Specht [42] 3 In “FEM CAS“ nicht realisiert 4 Nur in “Inter FEM“, “FEM VIEW“ und “FEM Graﬁk“ abgebildet 5 Nur in “Inter FEM“ realisiert 2

O

P

360

K

12. CALL for FEM

FEM VIEW

Der Postprozessor “ FEM VIEW“ dient zur Visualisierung von FE-Netzen und FE-Ergebnissen, die von “ FEM GEN“ erstellt und von “ InterFEM“ berechnet wurden. Die FE-Ergebnisse lassen sich in verschiedenen Formen darstellen. Die Verformungen werden unter Zuhilfenahme der Formfunktionen der entsprechenden Elemente als verformtes FE-Netz gezeichnet. Die Gr¨oßen wie Spannungen, Temperaturen, Spannungsfunktionen, W¨ armestromdichten und W¨armeﬂ¨ usse lassen sich elementweise, in Form von Isolinen oder als Vektoren auswerten. ¨ Uber eine Zoomfunktion k¨ onnen Details besser erkannt werden.

Bild 12.4. Verbindung zum “CALL for FEMServer“

12.1.7 FEM CAS ¨ uber den CALL for FEM-Server nutzbar “ FEM CAS“ (Finite-Elemente-Methode Computeralgebra System) ist ein FE-Computeralgebraprogramm, das die Elemente 1 bis 9 aus Tab. 12.3 auf der S. 359 verwirklicht. Die Eingabedatei “ *.sym“ wird interaktiv mit Hilfe des Programmes “ FEM GEN“ erstellt. Sie besteht aus Symbolen und Zahlen. Damit werden auch die Ergebnisse wie Verformungen oder Spannungen als algebraische Ausdr¨ ucke ausgegeben. Beim Start von “ FEM CAS“ auf dem uft, ob auf dem Rechner “ MAPLE“ vorhanden Rechner wird von “ CfF“ u ¨ berpr¨ ist. Falls dies nicht der Fall ist, wird eine Verbindung zu dem “ CALL for FEMServer“ aufgebaut. Danach wird die Datei “ *.sym“ auf den Server u ¨ bertrauhrt und die Ergebnisdatei gen, die Rechnung dort mit “ MapleNet“ [37] ausgef¨ uck¨ ubertragen. Der Benutzer von “ FEM CAS“ ist “ *.out“ auf den Rechner zur¨ alle zu unterscheiden (s. Bild 12.4). der “ CALL for FEM-Client“. Es sind zwei F¨ Der Client hat entweder die M¨ oglichkeit, direkt eine https-Verbindung ins Internet aufzubauen oder es ist ein Proxy-Server zwischengeschaltet. Im letzupunkt “ Mapleprogramme → Proxyteren Fall muss in “ CfF“ unter dem Men¨ Einstellungen“ die IP-Adresse oder der Hostname unter “ SSL-Proxy“ sowie der Port eingetragen werden.

¨ 12.1 Ubersicht u ¨ber CALL for FEM

361

12.1.8 Weitere Lernsoftware zur Unterst¨ utzung des Buches FEM Graﬁk “ FEM Graﬁk“ dient alternativ zu “ FEM VIEW“ zur Visualisierung der Eingabe- und Ausgabedaten von “ FEM GEN“ und “ InterFEM“. Zur Realisierung der graﬁschen Darstellungen, wie Verformungen oder Temperaturverteilungen, sind nur Zahlen und keine Symbole einsetzbar. Daten Konvertieren “ Daten Konvertieren“ wandelt Dateien mit Symbolen (“ *.sym“) in Dateien, die nur Zahlen enthalten (“ *.fem“), um. Dazu wird am Ende einer “ *.sym“-

Datei den Symbolen ein Zahlenwert zugeordnet. Knicken Balken “ Knicken Balken“ berechnet mittels der Computeralgebra f¨ ur eindimensionale Balkenprobleme die Eigenwerte (Knicklasten) und Eigenformen (Knickformen). Es wird unter Vorgabe der Elementanzahl und Randbedingungen ein Netz erzeugt und das Eigenwertproblem gel¨ ost. Dynamik Balken

Dieses Programm berechnet auf der Basis von Symbolen f¨ ur eindimensionale Balken die Eigenwerte (Eigenfrequenzen) und Eigenformen (Schwingungsformen). Aus der Vorgabe der Elementanzahl sowie den Lagerungsbedingungen wird ein FE-Netz erstellt und die o. g. Gr¨ oßen werden berechnet. Zudem werden die animierten Schwingungsformen dargestellt. Stab 1D “ Stab 1D“ berechnet f¨ ur eine beliebige Knotenanzahl die Formfunktionen und Steiﬁgkeitsmatrizen eines eindimensionalen Stabelementes. Dabei stehen vier unterschiedliche Querschnittsformen zur Verf¨ ugung. Drei davon sind u ¨ ber die L¨ ange ver¨ anderlich. Balken 1D “ Balken 1D“ berechnet in analoger Weise die Gr¨oßen des Balkenelementes. Es kann zwischen einem Balken mit zwei oder drei Freiheitsgraden pro Knoten unterschieden werden. Die Formfunktionen werden wie zuvor graﬁsch ausgewertet.

362

12. CALL for FEM

Timoshenko 1D “ Timoshenko 1D“ behandelt einen eindimensionalen Balken unter Einschluß

von Schubverformungen. Das Element kann zwei, drei oder vier Knoten aufweisen. Scheibe Dreieck “ Scheibe Dreieck“ berechnet f¨ ur drei- oder sechsknotige Dreieckselemente die Ansatz- und Formfunktionen sowie die Steiﬁgkeitsmatrizen. Die Formfunktionen werden graﬁsch ausgewertet. Platte “ Platte“ dient zur graﬁschen Auswertung der Formfunktionen der Platte nach Specht [42]. Feldprobleme 1D

F¨ ur n-knotige, eindimensionale Elemente werden neben Ansatz- und Formfunktionen die W¨ arme- und Konvektionsmatrizen sowie die zugeh¨orige rechte Seite berechnet. Die Formfunktionen werden graﬁsch ausgewertet. Feldprobleme 2D “ Feldprobleme 2D“ behandelt das Dreieckselement im Rahmen der zweidimensionalen W¨ arme¨ ubertragung, Torsion und analoger Feldprobleme. Es werden alternativ f¨ ur das dreiknotige oder sechsknotige Element Ansatz- und Formfunktionen berechnet. Weiterhin werden die zugeh¨origen Matrizen berechnet und die Formfunktionen graﬁsch ausgewertet. Verfahren von Ritz

Die drei Programme “ Ritz Stab“, “ Ritz Balken“ und “ Ritz Scheibe“ verwirklichen die Ritz-Methode f¨ ur Stab, Balken und Scheibe. Es werden die wesentlichen Randbedingungen in die Ansatzfunktion eingearbeitet. Neben der Ausgabe der algebraischen L¨ osungen f¨ ur Verformungen, Spannungen etc., werden diese auch graﬁsch dargestellt.

12.2 Weitere Programmbeschreibungen

363

12.2 Weitere Programmbeschreibungen

12.2

12.2.1 Das Programm InterFEM Problemdeﬁnition

Der Programmaufruf erfolgt u ¨ ber “ CALL for FEM“. Die Eingabedaten werden mit “ FEM GEN“ generiert1 . Es sind in “ InterFEM“ zwei Plattenelemente enthalten. Zum einen ist es eine Platte nach der Diskrete Kirchhoﬀ Theorie (DKT) [7], zum anderen eine Platte nach Specht [42], die in Kapitel 8 abgeleitet wurde. Der theoretische Hintergrund f¨ ur die eingebundene Schale ist im Kap. 8.7 auf der S. 258 dargelegt. Die Ergebnisse werden in eine Datei mit der Extension “ *.aus“ geschrieben. “ FEM VIEW“ oder “ FEM Graﬁk“ greifen auf diese Datei zu und erm¨oglichen damit eine graﬁsche Auswertung der Ein- und Ausgabedaten. Beispiel zum Programm InterFEM

Bild 12.5 zeigt in seiner linken H¨ alfte das FE-Netz eines Viertels eines elliptischen Querschnittes mit einer Kreisbohrung. Dies ist der Querschnitt eines prismatischen Stabes, der durch zwei gegenl¨ auﬁge Torsionsmomente belastet wird. Die daraus resultierenden Schubspannungen |τ | sind in der rechten Bildh¨ alfte dargestellt. Die maximalen Schubspannungen treten auf dem Innenrand auf. Die Verteilung der Spannungsfunktion sowie die L¨osung f¨ ur einen dickwandigen Winkel sind unter den nebenstehenden Icons zu ﬁnden.

Bild 12.5. Das Netz und die Schubspannungen | τ | eines Torsionsstabes mit elliptischem

Außenquerschnitt und einer Kreisbohrung

12.2.2 Das Verfahren von Ritz f¨ ur den eindimensionalen Stab (Ritz Stab) Die Berechnungsschritte des Computeralgebraprogrammes “ Ritz Stab“ sind

in Tab. 12.4 festgehalten. 1

Ausgenommen sind das Schalenelement und das dreidimensionale Stabelement.

12.1

12.2

364

12. CALL for FEM

Tabelle 12.4. Inhalte und Berechnungsschritte des Programmes “Ritz Stab“

Inhalt Ansatzfunktion Modiﬁzierte Ansatzfunktion Steiﬁgkeitsmatrix Kraftvektor aus inhomogenen Randbedingungen Belastungsvektor Bestimmung der Koeﬃzienten

Beziehung T

Gl.

u ˜= x a T ab u = f0 + N (N )T dV K = V EN dV R = V Ef0 N

167 175 183 183

QF K ab = Q F − R

184 188

Ausgangspunkt ist eine Ansatzfunktion u˜ mit n unbekannten Koefﬁzienten. Die Ber¨ ucksichtigung der wesentlichen Randbedingungen f¨ uhrt auf eine modiﬁzierte Ansatzfunktion u. Als Belastung treten Einzelkr¨afte auf, die in (188) entsteht, wenn inhomogene, geoucksichtigt werden. Der Vektor R als QF ber¨ metrische Randbedingungen vorhanden sind. Die unbekannten Koeﬃzienten ab werden nach (188) berechnet. Programmdaten

Die problembeschreibenden Daten werden in einer Datei1 “ *.riz“ abgelegt. Als Eingabegr¨ oßen treten folgende Daten auf: L¨ ange L des Stabes Grad des Polynomes der Ansatzfunktion Anzahl geometrischer Randbedingungen und Kr¨afte Ort und Wert der Randbedingungen Geometrische Form des Stabes Zahlenwerte der verwendeten Symbole f¨ ur die graﬁsche Auswertung d

Beispiel zum eindimensionalen Stab

Es wird ein eindimensionaler Stab betrachtet, wie er in Bild 12.6 angef¨ uhrt ist. Der Stab besitzt einen u ange ver¨anderlichen Kreisquerschnitt. Er ¨ber die L¨ weist am linken Ende eine Verschiebung u = 0 und am rechten Ende eine Verschiebung u¯ auf. Bei L/2 greift in positiver ξ-Richtung eine Kraft F an. Exemplarisch wird folgende Ansatzfunktion gew¨ahlt: u ˜ = a0 + a 1 ξ + a2 ξ 2 + a 3 ξ 3 1

(884)

Das Format der Eingabedaten f¨ ur “Ritz Stab“ , “Ritz Balken“ und “Ritz Scheibe“ ist in “CALL for FEM“ unter “Hilfe → Hilfe → Mapleprogramme“ zu ﬁnden.

12.2 Weitere Programmbeschreibungen

365

Bild 12.6. Eindimensionaler Stab mit dem Kreisquerschnitt

A(ξ) = π[R − (R − r) ξ]2

Das Einbringen der Randbedingungen f¨ uhrt auf die modiﬁzierte Ansatzfunktion: u = u¯ξ + ξ(ξ − 1) a2 + ξ(ξ 2 − 1) a3

(885)

Zur Berechnung der Koeﬃzienten a2 , a3 wird folgendes lineare Gleichungssystem gel¨ ost: ⎤⎡ ⎤ ⎡ 2 2 7(5 R2 + 3 rR + 7 r2 ) a2 Eπ ⎣ 14(2 R + rR + 2 r ) ⎦⎣ ⎦= 7 2 2 2 2 7(5 R + 3 rR + 7 r ) 2(23 R + 17 rR + 44 r ) a3 ⎤ ⎡ 20 Eπ¯ u(R2 − r2 ) − 30 F L 1⎣ ⎦ (886) 4 4 Eπ¯ u(7 R2 + rR − 8 r2 ) − 45 F L Einsetzen dieser L¨ osung f¨ ur a2 , a3 in (885) f¨ uhrt mit den Werten u ¯ = 5, L = 1000, E = 210000, R = 30, r = 10 und F = 1000 auf folgende L¨osung: u = 2, 151 ξ − 1, 742 ξ 2 + 4, 590 ξ 3

(887)

Mit Hilfe des Programmes “ Ritz Stab“ k¨ onnen verschiedene Parameter wie “Grad der Ansatzfunktion“ variiert werden. 12.2.3 Das Verfahren von Ritz f¨ ur den Balken (Ritz Balken) In dem Computeralgebraprogramm “ Ritz Balken“ sind die Beziehungen aus

Tab. 12.5 verwirklicht. Als erstes wird die Ansatzfunktion v˜ mit n unbekannten Koeﬃzienten formuliert. Dieser werden die wesentlichen Randbedingungen aufgepr¨ agt. Damit erh¨ alt man die modiﬁzierte Ansatzfunktion v. Als Belastungen treten Einzelkr¨ afte, Momente und Streckenlasten auf. Der in (205) tritt nur dann auf, wenn inhomogene, wesentliche RandbeVektor R dingungen vorliegen. Die gesuchten Koeﬃzienten ab werden aus dem linearen Gleichungssystem nach (205) auf der S. 81 bestimmt.

366

12. CALL for FEM

Tabelle 12.5. Inhalte und Berechnungsschritte des Programmes “Ritz Balken“

Inhalt

Beziehung

Ansatzfunktion Modiﬁzierte Ansatzfunktion Steiﬁgkeitsmatrix Kraftvektor aus inhomogenen Randbedingungen Vektor aus Streckenlast Bestimmung der Koeﬃzienten

Gl.

T

v˜ = x a v = f0 + aTb N -1 (N )T dξ K = l 0 EI N -1 R = l 0 EIf0 N dξ

167 195 198 198

= l 1 q(ξ)N dξ Q 0 +Q −R K ab = Q F + Q M

202 205

Programmdaten

Die Daten zur Problembeschreibung werden in einer Datei “ *.riz“ hinterlegt. Folgende Eingabegr¨ oßen werden ben¨ otigt: L¨ ange L des Balkens Grad des Polynomes der Ansatzfunktion Anzahl geometrischer Randbedingungen, Kr¨afte, Momente und Streckenlasten Ort und Wert der Randbedingungen Geometrische Form des Balkens Zahlenwerte der verwendeten Symbole f¨ ur die graﬁsche Auswertung e

Beispiel zum eindimensionalen Balken

Es wird ein Balken nach Bild 12.7 betrachtet, der in ¨ahnlicher Form schon in Kapitel 4.3.3 analysiert wurde. Ein Unterschied liegt darin, daß jetzt ein variabler Querschnitt A(ξ) = [H − (H − h) ξ] t betrachtet wird, wobei H bzw. h = f H die H¨ohen am Anfang und Ende des Balkens beschreiben. t ist die Dicke des Balkens und ξ = x/L. Ausgehend von der Ansatzfunktion f¨ ur v˜ nach (167) auf der S. 71 bzw. der modiﬁzierten Ansatzfunktion, die die geometrischen Randbedingungen des Problems ber¨ ucksichtigt, wird die Steiﬁgkeitsmatrix K nach (198) und die zugeh¨ orige rechte Seite nach (199) erstellt: ⎡ Et 420

⎢ 3 ⎢ ⎢ H ⎢ ⎢ L ⎢ ⎢ ⎣

⎤ 14 + 14 f +

18 + 23 f +

35 f 2 + 77 f 3

68 f 2 + 171 f 3

18 + 23 f +

25 + 41 f +

68 f 2 + 171 f 3

137 f 2 + 385 f 3

⎥⎡ ⎤ ⎥ ⎥ a3 ⎥ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦= ⎥ ⎥ a4 ⎦

12.2 Weitere Programmbeschreibungen

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

M 1 Et¯ v − Lq + L 12 60 M 2 Et¯ v 2 − Lq + L 15 60

H L H L

3 3

. .

367

2 − f − 4 f2 − 7 f3 2

3 − f − 7 f − 15 f

/

⎤

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ / ⎦ 3

(888)

Bild 12.7. L¨ osung eines trapezf¨ ormigen Balkens mit der Dicke t. F¨ ur die H¨ ohe h des Balkens bei x = L gilt: h = f H

Einsetzen der aus (888) gefundenen Koeﬃzienten a3 , a4 in die modiﬁzierte Ansatzfunktion f¨ uhrt mit L = 1000, v¯ = 5, M = 106 , q = 1, E = 210000, t = 5, H = 60 und h = 20 zu: v = 5, 401 ξ 2 − 123, 487 ξ 3 + 123, 085 ξ 4

(889)

12.2.4 Das Verfahren von Ritz f¨ ur die Scheibe (Ritz Scheibe) Das Computeralgebraprogramm “ Ritz Scheibe“ beinhaltet die in Tab. 12.6

zusammengestellten Beziehungen. Es werden die Ansatzfunktionen u˜, v˜ f¨ ur die Verschiebungen aufgestellt. Durch Aufpr¨ agen der wesentlichen Randbedingungen erh¨ alt man die modiﬁzierten Ansatzfunktionen u, v. Es werden als Belastungen Kr¨ afte und Streckenlasten erfaßt. Mit Hilfe von (239) auf der S. 89 werden die unbekannten Koeﬃzienten der modiﬁzierten Ansatzfunktion bestimmt. Damit erh¨ alt man die gesuchten Verschiebungen u, v der Scheibe. Aus diesen werden nach (230) die Spannungen in der Scheibe berechnet. Programmdaten

Die Daten des entsprechenden Programmes sind in einer Datei “ *.riz“ abzulegen. Als Eingabegr¨ oßen treten auf: Grad der Polynome der Ansatzfunktionen Anzahl Kr¨ afte, Streckenlasten, Randbedingungen f¨ ur u und v Geometriedaten der Scheibe Einzelkr¨ afte und Streckenlasten Geometrische Randbedingungen Werkstoﬀdaten Zahlenwerte f¨ ur die Symbole f¨ ur die graﬁsche Auswertung

368

12. CALL for FEM

Tabelle 12.6. Inhalte und Berechnungsschritte des Programmes “Ritz Scheibe“

Inhalt

Beziehung

Gl.

Ansatzfunktionen f¨ ur die Verschiebungen

u ˜= xT a v˜ = y T b

220

0 T

Wesentliche Randbedingungen Modiﬁzierte Ansatzfunktionen

Steiﬁgkeitsmatrix Kraftvektor aus Streckenlast Kraftvektor aus den inhomogenen Randbedingungen Bestimmung der Koeﬃzienten

223

vT bb v = g0 + N

227

uT = xTa A−1 0; N xTb − xTa A−1 f0 = u u u Bu T −1 T T T −1 g0 = ya Av v0 ; Nv = yb − ya A v B v K = V GT D G dV T Fq = Γ Pˆ qˆ dγ T = 0 dV R F G D V

224 231

T q − R K c = Pˆ F + F

239

v

Spannungen in der Scheibe

222

v = [0v1 |0v2 | · · · |0vi | · · · |0vmv ] uT ab u = f0 + N

u

Verschiebungen

E

u = [0u1 |0u2 | · · · |0ui | · · · |0umu ]

0 T

219

= aTb = bbT

226

225 236 231

xb

yb σ = D F0 + D G c

230

Beispiel zur Scheibe

Die linke H¨ alfte von Bild 12.8 zeigt eine Scheibe der L¨ange L, mit der H¨ohe H und einer Dicke t. Sie ist an den Stellen (x=0; y=0) und (x=L; y=0) gelagert und wird an diesen Stellen durch zwei gegenl¨auﬁge Momente belastet. Diese Momente werden durch Streckenlasten der Form1 : Mt y q(y) = s I

mit

s=1

f¨ ur x = 0

s = −1 f¨ ur x = L

(890)

der Scheibe aufgepr¨ agt. Das Programm “ Ritz Scheibe“ liefert bei quadratischen Ansatzfunktionen f¨ ur u ˜, v˜ folgende Verschiebungen:

u= 1

M y (L − 2 x) 2 EI

Das Fl¨ achentr¨ agheitsmoment I wird in “*.sym“ mit dem Symbol J belegt, da in “MAPLE“ das Symbol I als komplexe Zahl deﬁniert ist.

12.2 Weitere Programmbeschreibungen

369

Bild 12.8. Belastung und Verformungen einer Rechteckscheibe

v=

M 2 x − Lx + ν y 2 2 EI

(891)

Die rechte H¨ alfte von Bild 12.8 stellt die Verformungen der Scheibe in zweierlei Weise dar. Zum einen ist das Verschiebungsfeld u ˆT = [u, v] u ¨ber Vektoren abgebildet. Zum anderen sind die verformten Berandungslinien der Scheibe dargestellt. Die Spannungen in der Scheibe lauten: σxx = −

M y ; σyy = σxy = 0 I

(892)

12.2.5 Eindimensionales Stabelement (Stab 1D) Problemdeﬁnition

Die Berechnungsschritte und Inhalte von “ Stab 1D“ sind in Tab. 12.7 zusammengefaßt. Ausgehend von der Ansatzfunktion eines eindimensionalen Stabelementes mit n Knoten werden die Formfunktionen und in Folge die Steiﬁgkeitsmatrix des Elementes beschrieben. Dabei werden verschiedene Querschnittsverl¨ aufe des Stabes ber¨ ucksichtigt. Neben einem konstanten Querschnitt, beschrieben u ache A, werden Formen ber¨ uck¨ ber die Querschnittsﬂ¨ sichtigt, wie sie in Tab. 5.3 auf der S. 116 beschrieben sind. Tabelle 12.7. Inhalte und Berechnungsschritte des Programmes “Stab 1D“

Inhalt

Beziehung T

Gl.

Ansatzfunktion f¨ ur die Verschiebung

u= x a

313

Interpolationsbedingungen

⇒A T = N xT A−1

317

)T u ε = (N (N )T dV K=E V N

319

Formfunktionen Dehnungs-Verschiebungs-Beziehung Steiﬁgkeitsmatrix

318 321

370

12. CALL for FEM

Programmdaten

Das Programm “ Stab 1D“ ben¨ otigt zwei Eingaben (s. Bild 12.9). Zum einen ist die Anzahl Knoten (n ≥ 2) des Elementes vorzugeben, zum anderen muß eine Querschnittsform ausgew¨ ahlt werden. Die einzelnen Querschnittsformen sind in Tab. 5.3 beschrieben.

Bild 12.9. Eingabemasken des Programmes “Stab 1D“

Die Ausgabe erstreckt sich u ¨ber Formeln und Graﬁken: Ansatzfunktion Formfunktionen Steiﬁgkeitsmatrix Querschnittsform (graﬁsch) Formfunktionen (graﬁsch)

Bild 12.10. Eindimensionaler Stab mit drei Knoten und Kreisquerschnitt A(ξ) = π[ri − (ri − rj ) ξ]2

h

Beispiel zum eindimensionalen Stab

Es wird ein Stab mit drei Knoten und einem Kreisquerschnitt betrachtet (s. Bild 12.10). Die Ausgaben auf dem Bildschirm sind in “ Berechnete Gr¨oßen“ und “ Graﬁsche Ausgabe“ unterteilt. Die berechneten Gr¨oßen sind nachfolgend zum Teil angef¨ uhrt.

12.2 Weitere Programmbeschreibungen

371

Ansatzfunktion: u = a 0 + a 1 ξ + a2 ξ 2

(893)

Formfunktionen: T = N

1 − 3 ξ + 2 ξ2

4 ξ(1 − ξ)

ξ(−1 + 2 ξ)

(894)

Steiﬁgkeitsmatrix (rj = f ri ): ⎡ K=

1 Ai E 15 l

23 + 9 f + 3 f 2

⎢ ⎢ ⎢ −26 − 8 f − 6 f 2 ⎣ 3 − f + 3 f2

−26 − 8 f − 6 f 2 32 + 16 f + 32 f 2 −26 − 8 f − 6 f 2

3 − f + 3 f2

⎤

⎥ ⎥ −26 − 8 f − 6 f 2 ⎥ ⎦ 23 + 9 f + 3 f 2 (895)

Die Gr¨ oßen Ai (ri ), Aj (rj ) stellen die Querschnittsﬂ¨achen (Radien) am Anfang und Ende des Elementes dar.

Bild 12.11. Eindimensionales Balkenelement mit n Knoten und m Freiheitsgraden pro Knoten (2 ≤ m ≤ 3)

12.2.6 Eindimensionales Balkenelement (Balken 1D) Problemdeﬁnition

Bild 12.11 zeigt ein Balkenelement mit n Knoten (n ≥ 2). Jeder Knoten besitzt m Freiheitsgrade, wobei nur die F¨ alle m=2 oder m=3 in Betracht kommen. Bei m=2 treten die Durchbiegung v und die Verdrehung ϕ als Freiheitsgrade pro Knoten auf. Bei m=3 kommt die Kr¨ ummung κ hinzu. Der Balken weist ein Fl¨ achentr¨ agheitsmoment I und einen E-Modul E sowie eine L¨ ange l auf. In Tab. 12.8 sind die Beziehungen angef¨ uhrt, die in “ Balken 1D“ verwirklicht sind. Programmdaten

Das Programm “ Balken 1D“ ben¨ otigt zwei Eingaben (s. Bild 12.12). Zum einen ist die Anzahl der Knoten (n ≥ 2) des Elementes einzugeben. Zum

i

372

12. CALL for FEM

Tabelle 12.8. Berechnungsschritte und Inhalte des Programmes “ Balken 1D“

Inhalt

Beziehung

Gl.

Ansatzfunktion f¨ ur die Durchbiegung Interpolationsbedingungen

v= xT a

426

⇒A T = N xT A−1

430

)T v x )T A−1v = (N v = ( -1 T K = l 0 EI B B dξ ˆ T (N = l 1N ) dξ q Q 0 T v M = EI B T EI dB Q= v l dξ

433

Formfunktionen Dehnungs-Verschiebungs-Beziehung Steiﬁgkeitsmatrix Streckenlast Schnittgr¨ oßen

432 434 435 436 437

anderen muß die Anzahl der Freiheitsgrade ausgew¨ahlt werden. Die Ausgabe des Programmes “ Balken 1D“ besteht aus folgenden Gr¨oßen: Ansatzfunktion Formfunktionen Steiﬁgkeitsmatrix Umrechnung der Streckenlast in Kr¨ afte und Momente Die Formfunktionen werden alternativ graﬁsch ausgegeben. 12.2.7 Timoshenko-Balken Problemdeﬁnition F

Das Bild 12.13 zeigt ein Timoshenko-Balkenelement mit zwei, drei oder vier Knoten. Jeder Knoten besitzt als Freiheitsgrade die Durchbiegung v und die Verdrehung θ. Das Element weist eine Querschnittsﬂ¨ache A, ein Fl¨achen-

Bild 12.12. Eingabemasken des Programmes “Balken 1D“

12.2 Weitere Programmbeschreibungen

373

Bild 12.13. Timoshenko-Balkenelement mit zwei, drei

oder vier Knoten

tr¨ agheitsmoment I, einen E-Modul E, einen Gleitmodul G und einen Schubfaktor κ auf. Programmdaten

Das Programm “ Timoshenko 1D“ ben¨ otigt als Eingabe die Anzahl Knoten n des Elementes (2 ≤ n ≤ 4). Das Programm gibt folgende Gr¨oßen aus: Ansatzfunktion Formfunktionen (Funktion und graﬁsch) Biegesteiﬁgkeitsmatrix Schubsteiﬁgkeitsmatrix (exakt integriert) Schubsteiﬁgkeitsmatrix (reduziert integriert) Knotenkr¨ afte aus der Streckenlast Querkraftverlauf im Element Momentenverlauf im Element 12.2.8 Dreiecksscheibenelement (Scheibe Dreieck) Problemdeﬁnition

Im folgenden wird ein Dreiecksscheibenelement betrachtet, wie es in Bild 12.14 dargestellt ist. Es weist alternativ drei bzw. sechs Knoten auf. Beim sechsknotigen Element sind die letzten drei Knoten auf den Seitenhalbierenden angeordnet. Die Form des Dreiecks wird u ¨ber die Lage der drei Eckknoten bestimmt. Die Werkstoﬀdaten des Elementes setzen sich aus dem E-Modul E und der Querkontraktion ν zusammen.

Bild 12.14. Das Dreiecksscheibenelement mit 3 bzw. 6

Knoten

In Tab. 12.9 sind die Beziehungen zusammengefaßt, die Basis des Programmes “ Scheibe Dreieck“ sind.

k

374

12. CALL for FEM

Programmdaten

Das Programm “ Scheibe Dreieck“ ben¨ otigt als Eingabe die Anzahl Knoten pro Element. Die Ausgabe des Programmes besteht aus folgenden Gr¨oßen: Ansatzfunktion f¨ ur u, v Formfunktionen Steiﬁgkeitsmatrix

Tabelle 12.9. Inhalte und Berechnungsschritte des Programmes “Scheibe Dreieck“

Inhalt

Beziehung

Ansatzfunktion f¨ ur die Verschiebungen u, v

φ= x a

547

Interpolationsbedingungen

⇒A T = N x T A−1

549

Formfunktionen Steiﬁgkeitsmatrix

12.2.9

551

u = B u ε = LΔ N K = V B T D B dV

Dehnungs-Verschiebungs-Beziehung

g

Gl.

T

554 557

Plattenelement (Platte)

Problemdeﬁnition

In Tab. 12.10 sind die Grundbeziehungen zur Bestimmung der Formfunktionen der betrachteten Platte [42] zusammengefaßt. Das Programm “ Platte“ ben¨ otigt keine Eingabe. Es werden die Formfunktionen graﬁsch ausgegeben. Tabelle 12.10. Inhalte und Berechnungsschritte des Programmes “Platte“

Inhalt Ansatzfunktion f¨ ur die Durchbiegung Interpolationsbedingungen Formfunktionen

Beziehung

Gl.

T

w= x a

618

⇒A T = N x T A−1

624 628

12.2.10 Knicken eines eindimensionalen Balkens (Knicken Balken) Problemdeﬁnition

In Bild 12.15 ist ein eindimensionaler Balken der L¨ange L dargestellt. Er ist an seinem linken Ende in L¨ angsrichtung gelagert und ist am rechten En-

12.2 Weitere Programmbeschreibungen

375

Tabelle 12.11. Berechnungsschritte und Inhalte des Programmes “ Knicken Balken“

Inhalt

Beziehung

Gl.

Elastische Steiﬁgkeitsmatrix

KE

390

Geometrische Steiﬁgkeitsmatrix

KG

856

Gesamtsteiﬁgkeitsmatrix

-

Geometrische Randbedingungen

K g = K Eg + λK Gg ˆ K g

-

Charakteristisches Polynom

ˆ | |K g

-

Eigenwerte

ˆ λi ; i = 1, . . . , n

-

de durch eine Kraft F auf Druck belastet. Der Balken weist ein konstantes Fl¨achentr¨ agheitsmoment I auf und besitzt einen E-Modul E. Das Computeralgebraprogramm “ Knicken Balken“ dient zur Berechnung der Eigenwerte (Knickkr¨ afte) und Knickformen des zuvor geschilderten Balkens. Der Inhalt dieses Programmes ist in Tab. 12.11 zusammengefaßt. Der Balken wird in n ¨ aquidistante Balkenelemente eingeteilt (s. untere H¨alfte von Bild 12.15). Neben der Eingabe der Anzahl Elemente ist die Eingabe der wesentlichen Randbedingungen (s. Bild 12.17) notwendig, die die Lagerung des Balkens beschreiben. An jedem Knoten k¨ onnen die Freiheitsgrade v, ϕ gefesselt werden.

Bild 12.15. Einteilung des Balkens in n Elemente und (n + 1) Knoten

Beispiel zum Knicken eines eindimensionalen Balkens

In Bild 12.16 ist ein Balken samt Belastung und Lagerung dargestellt. F¨ ur dieses Beispiel sollen die Eigenwerte (Knicklasten) mit zwei zweiknotigen und alternativ mit einem dreiknotigen Element berechnet werden. ¨ Uber die linken Masken der Bilder 12.17 und 12.12 werden die Elementanzahl und die Anzahl Knoten pro Element eingegeben. Die rechte Maske nach Bild 12.17 dient zur Eingabe der geometrischen Randbedingungen. Die Eigenwerte 3 : dreiknotig): 2 : zweiknotig; Λ des Problems lauten (Λ

n

376

12. CALL for FEM

⎤ ⎡ 65, 920 EI 2 = ⎦; ⎣ Λ F L2 197, 305

⎤ ⎡ 55, 883 EI 3 = ⎦ ⎣ Λ F L2 263, 252

(896)

Die Knicklasten Fk1,2 = λ1,2 F sind proportional zu der Balkensteiﬁgkeit EI und umgekehrt proportional zum Quadrat der L¨ange des Balkens. Die Knicklast im Fall des zweiknotigen Elementes weist einen Fehler von fast 30 % auf. Beim dreiknotigen Element ist er kleiner als 10 %.

Bild 12.16. Das Knickverhalten eines mehrfach gelagerten eindimensionalen Balkens

Bild 12.17. Eingabemasken zur Beschreibung des Knickproblems

12.2.11 Eigenfrequenzen und Schwingungsform des Balkens (Dynamik Balken) Problemdeﬁnition o

Analog zum Knickproblem wird die Elementeinteilung nach Bild 12.15 vorgenommen, wobei der Balken unbelastet bleibt. Statt der geometrischen Steiﬁgkeitsmatrix wird die Massenmatrix verwendet. Es wird analog zum Knickproblem ein Eigenwertproblem |K − λM | gel¨ost. Als Ergebnis werden die Eigenfrequenzen, das FE-Netz sowie per Animation die Schwingungsform ausgegeben. Programmdaten

Die notwendigen Eingabedaten entsprechen denen des eindimensionalen Stabes. Ausgegeben werden: Gesamtsteiﬁgkeitsmatrix Eigenfrequenzen

12.2 Weitere Programmbeschreibungen

377

Schwingungsform FE-Netz Beispiel zu Eigenfrequenzen und Schwingungsformen

F¨ ur den Balken nach Bild 12.16 werden die Eigenfrequenzen und Schwingungsformen berechnet und zwar mit zwei zweiknotigen Elementen und al 2: ternativ mit einem dreiknotigen Element. Die Eigenfrequenzen lauten (Λ zweiknotig; Λ3 : dreiknotig): $ 2 = 1 Λ L2

⎤ ⎡ EI ⎣ 8, 480 ⎦ ; Aρ 22, 149

$ 3 = 1 Λ L2

⎤ ⎡ EI ⎣ 7, 650 ⎦ Aρ 25, 102

(897)

Die kleinste Eigenfrequenz weist beim zweiknotigen Element einen Fehler von u ¨ ber 15 % auf. Beim dreiknotigen Element sind es etwas mehr als 4 %. 12.2.12 Eindimensionale Feldprobleme (Feldprobleme 1D) Problemdeﬁnition

l

Analog zum eindimensionalen Stab werden aus der Ansatzfunktion f¨ ur ein n-knotiges Element die Formfunktionen gewonnen. Daraus werden f¨ ur unterschiedliche Querschnittsformen (s. Tab. 12.12 auf der S. 378) die W¨armeleitungs- und Konvektionsmatrizen ermittelt. F¨ ur die rechte Seite wird der W¨arme¨ ubergangsvektor Fq berechnet. Programmdaten

Die notwendigen Eingabedaten entsprechen denen des eindimensionalen Stabes. Ausgegeben werden folgende Gr¨ oßen: Ansatzfunktion und Formfunktion W¨ armeleitungs- und Konvektionsmatrix Rechte Seite Fq Formfunktion (graﬁsch)

12.2.13 Zweidimensionale Feldprobleme (Feldprobleme 2D) Problemdeﬁnition

F¨ ur verschiedene zweidimensionale Feldprobleme wie die W¨arme¨ ubertragung oder die Torsion wird das Dreieckselement nach Bild 12.14 verwendet. Mit Hilfe des Programmes “ Feldprobleme 2D“ werden auf der Basis der Com-

m

378

12. CALL for FEM

Tabelle 12.12. Berechnungsschritte und Inhalte des Programmes “ Feldprobleme 1D“

Inhalt

Beziehung T

Gl.

Ansatzfunktion f¨ ur T

T = x a

-

Interpolationsbedingungen

⇒A T = N x T A−1 B T dV Kw = λ V B N T dΩ Kk = α Ω N

-

Formfunktionen W¨ armeleitungsmatrix Konvektionsmatrix Rechte Seite

672 680 683

puteralgebra die wesentlichen Gr¨ oßen des Dreieckselementes berechnet (s. Tab. 12.13). Programmdaten

Das Programm “ Feldprobleme 2D“ ben¨ otigt als Eingabe die Knotenanzahl (n = 3 oder n = 6) des Elementes. Vom Programm werden folgende Gr¨oßen ausgegeben: Ansatzfunktion des Elementes Formfunktionen des Elementes als Gleichung und graﬁsch W¨ armeleitungsmatrix K w Konvektionsmatrix K k

Tabelle 12.13. Berechnungsschritte und Inhalte des Programmes “ Feldprobleme 2D“

Inhalt

Beziehung

Gl.

Ansatzfunktion f¨ ur φ

T

φ= x a

547

Interpolationsbedingungen

⇒A T = N x T A−1

549

Formfunktionen Jakobi-Matrix J B-Matrix W¨ armeleitungsmatrix Konvektionsmatrix

∇=J

−1

∇Δ T T B = ∇N = J −1 ∇Δ N T K w = t A B D B dA N T dΩ N K =α k

ΩR

551 83 703 705 714

Kapitel 13 Beispiele zu den Programmen

13

13

13 13.1 13.2 13.3

Beispiele zu den Programmen Rahmen durch Federn gest¨ utzt ............................... 381 Scheibe gest¨ utzt durch eine Feder ............................ 382 W¨arme¨ ubertragung (Torsion) eines gleichseitigen Dreiecks (Quadrates)................................................. 384

13 Beispiele zu den Programmen Nachfolgend werden einige Beispiele betrachtet, die mit “ FEM GEN“ aufbeost werden. Die Computeralgebra liefert statt reitet und mit “ FEM CAS“ gel¨ Zahlen algebraische Ausdr¨ ucke als L¨ osung. Damit ergeben sich neue M¨oglichkeiten der Interpretation und Auswertung der Ergebnisse. Davon wird bei den Beispielen Gebrauch gemacht.

13.1

13.1 Rahmen durch Federn gest¨ utzt

Bild 13.1. Balken auf Federn ge-

lagert

In Bild 13.1 ist ein Balken dargestellt, der mittels Federn gebettet ist. Mittig wird er durch eine Kraft F belastet. F¨ ur diese Struktur soll das Verh¨altnis der uhrt, Durchbiegungen vm /ve betrachtet werden. Es wird eine Gr¨oße f eingef¨ die die Biegesteiﬁgkeit des Balkens auf die Summe der Federsteiﬁgkeiten 4kf bezieht: EI 3 f= L 4kf

(898)

Gesucht ist nun ein fˆ, so daß die Durchbiegung vm doppelt so groß ist wie ve . Zur Rechnung des Problems mit “ FEM CAS“ wird die Symmetrie ausgenutzt und das System in zwei Balken und drei St¨ abe eingeteilt. Daraus ergibt sich: 7 + 30720f + 4718592f 2 ! vm = =2 ve 9216(512f − 1)f

c

(899)

Die Kurve in Bild 13.1 gibt den Zusammenhang aus (899) wieder. Aus (899) erh¨ alt man ein Verh¨ altnis fˆ = 0, 0106, d.h. es muß also die Summe der Fe-

382

13. Beispiele zu den Programmen

dersteiﬁgkeiten etwa 10 mal gr¨ oßer sein als die Biegesteiﬁgkeit. Diese L¨osung tritt auch dann auf, wenn man eine andere Anzahl Federn w¨ahlt. Folgende Grenzf¨ alle von f sind noch von Interesse: Starrer Balken: F 7 + 30720f + 4718592f 2 F = 2 f →∞ kf 7 + 55296f + 18874368f 4kf

v = lim vm = lim f →∞

(900)

Alle Federn werden gleichm¨ aßig um den Wert v zusammengedr¨ uckt. Biegeweicher Balken v = lim vm = f →0

F kf

(901)

Es wird nur die mittlere Feder belastet.

13.2

13.2 Scheibe gest¨ utzt durch eine Feder Bild 13.2 zeigt eine Scheibe mit der Breite und H¨ohe L sowie einer Dicke t. Sie wird von einem Stab mit der Steiﬁgkeit k gest¨ utzt. Am Knoten 2 greift eine Kraft unter einem Winkel ϕ an. Die Scheibe weist einen E-Modul E und eine Querkontraktion ν = 0 auf. Sie wird in zwei Dreieckselemente eingeteilt. Es werden folgende Abk¨ urzungen eingef¨ uhrt: g = Et/k, u¯3 = u3 k/F . Gesucht ist der Anlenkwinkel β f¨ ur beliebige Kraftangriﬀswinkel ϕ und verschiedene Verh¨ altnisse g, so daß die Horizontalverschiebung u ¯3 am Anlenkpunkt des Stabes verschwindet.

Bild 13.2. Fest eingespannte Scheibe mit einer Dicke

t, die durch einen Stab mit der Steiﬁgkeit k gest¨ utzt wird

Elementeinteilung und Datensatz

Die Koordinaten des Knotens 5 werden u ¨ber β und l beschrieben. l hat den Charakter einer Hilfsgr¨ oße. Sie tritt, da das Verhalten des Stabes u ¨ber die Steiﬁgkeit k und β eindeutig beschrieben ist, nicht in den Ergebnissen auf. In

13.2 Scheibe gest¨ utzt durch eine Feder

383

der Elementknotenzuordnung wird die Dicke t u urzung g = Et/k ¨ber die Abk¨ beschrieben, die Querschnittsﬂ¨ ache des Stabes als k=AE/l. In der Knotenbelastung wird die allgemeine Winkelrichtung der Kraft u ¨ ber den Winkel ϕ beschrieben. Verformungen

Bild 13.3. Die Verschiebung angigu ¯3 = u3 k/F in Abh¨ keit vom Kraftangriﬀswinkel ϕ und dem Anlenkwinkel der Feder β f¨ ur g = 1

Die Verschiebungen u1 =v1 =u4 =v4 =u5 =v5 verschwinden bedingt durch die geometrischen Randbedingungen, so daß sich nachfolgendes Gleichungssystem zur Bestimmung der unbekannten Verformungen ergibt: ⎤⎡

⎡ ⎢ 3g ⎢ 1 ⎢ ⎢ −g k⎢ 4 ⎢ −g ⎢ ⎣ 0

−g

−g

3g

g

g

3 g + 4 cos2 β

−2 g

2 sin 2β

⎤ u 2 ⎥⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ −2 g ⎥ ⎢ v2 ⎥ ⎥⎢ ⎥=F ⎥⎢ u ⎥ 2 sin 2β ⎥⎢ 3 ⎥ ⎦⎣ ⎦ 3 g + 4 sin2 β v3 0

⎡

⎤ cos α ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ sin α ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 0 (902)

Daraus erh¨ alt man die Verschiebungen u ¯3 = u3 k/F : . / . / 6 sin(2β) + 4 sin2 β + 3 g sin α + 2 sin(2β) − 4 sin2 β − g cos α . / u ¯3 = 2 g 4 sin(2β) − 7 g − 12 − 8 sin2 β (903) Bild 13.3 zeigt die Verschiebung u ¯3 in Abh¨ angigkeit von dem Kraftangriﬀswinkel ϕ und dem Winkel β, unter dem der Stab angelenkt ist. Es bilden sich zwei Minima und zwei Maxima f¨ ur diese Verschiebung aus.

384

13. Beispiele zu den Programmen

Es wird die Beziehung f¨ ur u ¯3 nach (903) Null gesetzt und nach β aufgel¨ost. Dies f¨ uhrt auf einen Zusammenhang, der in Bild 13.4 dargestellt ist. Es ist der gesuchte Winkel β in Abh¨ angigkeit von ϕ f¨ ur g=0, 1, g=0, 5, g=1 und g=2 angef¨ uhrt. Der Wertebereich f¨ ur ϕ wird mit steigendem g kleiner. Steigendes g bedeutet bei konstantem E t, daß die Federsteiﬁgkeit k kleiner wird.

Bild 13.4. Die Abh¨ an-

gigkeit des Anlenkwinkels β vom Kraftangriﬀswinkel ϕ f¨ ur unterschiedliche Verh¨ altnisse g = Et/k, so daß u ¯3 verschwindet

13.3

13.3 W¨ arme¨ ubertragung (Torsion) eines gleichseitigen Dreiecks (Quadrates) In Bild 13.5 sind ein gleichseitiges Dreieck und ein Quadrat dargestellt. Sie weisen den gleichen Fl¨ acheninhalt auf. Sie dienen als Querschnitte f¨ ur ein ebenes W¨ arme¨ ubertragungsproblem und ein analoges Torsionsproblem. Es wird die sechs- bzw. achtfache Symmetrie der Probleme ausgenutzt. Ein Sechstel bzw. Achtel ist in Bild 13.5 jeweils in vier Dreieckselemente eingeteilt. Den ¨außeren Kanten wird eine Temperatur (Spannungsfunktion) vom Werte Null aufgepr¨ agt. Im Inneren ist eine W¨ armequellendichte Φ (2GΘ) vorgegeben.

Bild 13.5. Ein gleichseitiges

Dreieck und ein Quadrat. Sie weisen gleiche Fl¨ achen auf

13.3 W¨ arme¨ ubertragung (Torsion) eines gleichseitigen Dreiecks (Quadrates)

385

Elementeinteilung und Datensatz

Die y-Koordinate √ der Knoten wird mit dem Faktor f skaliert. Er steht beim ur f =1. Bei der ElementknotenzuDreieck f¨ ur f = 3/3 und beim Quadrat f¨ ordnung wird die W¨ armeleitf¨ ahigkeit λ, die W¨armequellendichte Φ und die Dicke t allgemein deﬁniert. F¨ ur die Torsion gilt: λ = 1. Bei den Randbedingungen wird den drei Knoten auf dem Außenrand des betrachteten Segmentes eine Temperatur (Spannungsfunktionswert) von Null zugeordnet. Bei den Zahlenwerten wird Φ (2GΘ) ein Wert zugewiesen (G = 80769; ange1 ist mit l=1000 gegeben. ϕ = 2, 5◦ ⇒ Θ = (ϕ/l)π/180). Die L¨ Die Temperaturen (Spannungsfunktion) nach “ FEM CAS“ haben folgende Werte: ⎡

⎤

⎡

φ3

3 + 14f 2

⎢ ⎥ ΦL2 f2 ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ φ5 ⎥ = ⎢ 8 + 14f 2 96λ 3f 2 + 1 ⎣ ⎣ ⎦ φ6 10 + 20f 2

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(904)

Maximale W¨ armestromdichten oder Schubspannungen

Die analogen Gr¨ oßen sind die W¨ armestromdichte q (s. (661)) und ! der Vektor 2 + σ2 . τ der Schubspannungen (s. (746)). Es gilt: | q | = |τ | mit |τ | = σzx zy Der maximale Betrag dieser beiden Gr¨ oßen tritt jeweils in den Seitenmitten des Außenrandes des Dreiecks bzw. Quadrates auf. “ FEM CAS“ liefert f¨ ur das Netz nach Bild 13.5 folgende L¨ osung:

| q | = |τ | = ΦL

1 4 + 7f 2 f = ΦL Ψ(f ) 12 1 + 3f 2

(905)

Ψ(f )

Torsionsmoment

Das Torsionsmoment MT (s. (749)) weist beim W¨arme¨ ubertragungsproblem keine analoge Gr¨ oße auf. Die L¨ osung von “ FEM CAS“ lautet: 43 + 104f 2 = n ΦL4 Υ(f ) MT = n ΦL4 f 3 4608(1 + 3f 2 )

(906)

Υ(f ) 1

Die L¨ ange l spielt bei diesem W¨ arme¨ ubertragungsproblem keine Rolle. Bei der Torsion geht die L¨ ange l bei der Berechnung von Θ ein.

386

13. Beispiele zu den Programmen

n ist die Anzahl Segmente (Quadrat: n = 8; Dreieck: n = 6). Beim Torsionsproblem h¨ angen die Schubspannungen τ und das Torsionsmoucke, die die ment MT von Φ = 2GΘ ab. Dank der algebraischen Ausdr¨ Computeralgebra liefert, kann (906) nach Θ umgestellt werden:

Θ=

1 MT 4 2n G L Υ(f )

(907)

Diese Beziehung in (905) eingesetzt: |τ | =

MT Ψ(f ) n L3 Υ(f )

(908)

Damit sind die Verdrillung Θ und die Schubspannung τ u ¨ ber das Torsionsmoment MT ausgedr¨ uckt worden. Verh¨ altnis der maximalen Schubspannung von Dreieck und Quadrat

Das Quadrat und das Dreieck nach Bild 13.5 sollen die gleiche Querschnitts√ 3. ﬂ¨ ache aufweisen. Daraus ergibt sich das L¨ angenverh¨altnis l/L = 1/2 Setzt man die maximalen Schubspannungen der beiden Querschnitte nach (908) ins Verh¨ altnis (Index d = ˆ Dreieck, q = ˆ Quadrat), so ergibt sich: √ nq l3 Ψ f = 13 3 Υ (f = 1) |τ |d √ = = 1, 242 |τ |q nd L3 Υ f = 13 3 Ψ (f = 1)

(909)

nd = 6 ist die Anzahl Segmente des Dreiecks (s. Bild 13.5) und nq = 8 beim Quadrat. Gl. (909) sagt aus, daß das Dreieck bei gleicher Querschnittsﬂ¨ache und gleichem Torsionsmoment gegen¨ uber dem Quadrat eine nahezu 25 % h¨ ohere maximale Schubspannung aufweist. Verh¨ altnis der Verdrillung von Dreieck und Quadrat

Es wird (907) f¨ ur das Dreieck und das Quadrat ins Verh¨altnis gesetzt: Θd nq l4 Υ (f = 1) √ = 1, 229 = Θq nd L4 Υ f = 13 3

(910)

Hierbei sind f¨ ur nq , nd , l und L die Werte eingesetzt worden, die auch bei (909) verwendet wurden. Die Verdrillung ist damit beim Dreieck um etwa 23 % gr¨ oßer als beim Quadrat.

13.3 W¨ arme¨ ubertragung (Torsion) eines gleichseitigen Dreiecks (Quadrates)

387

Bild 13.6. Die Spannungsfunktion (φmax = 1960 N/mm) und die Schubspannungen darge-

stellt | τ |max = 150, 2 N/mm2 als Isolinien f¨ ur: G=80769 N/mm2 ; ϕ = 2, 5◦ ; L = 100 mm;

L¨ ange des Torsionsstabes l=1000 mm

Feineres Netz

Das Netz des Segmentes (s. Bild 13.5) mit vier Elementen f¨ uhrt bedingt durch den N¨ aherungscharakter des Verfahrens zu einer L¨osung, die noch einen zu großen Fehler aufweisen kann. Eine Erh¨ ohung der Elementanzahl auf neun Elemente f¨ uhrt auf die Ergebnisse nach (907) und (908), wobei die Funktionen Υ(f ) und Ψ(f ) folgende Formen annehmen: f 7 + 62f 2 + 118f 4 + 57f 6 18 1 + 11f 2 + 25f 4 + 15f 6 f 3 231 + 2380f 2 + 4871f 4 + 2686f 6 Υ9 (f ) = 23328 1 + 11f 2 + 25f 4 + 15f 6

Ψ9 (f ) =

(911) (912)

Es ergibt sich gegen¨ uber dem Netz mit vier Elementen eine Erh¨ohung der maximalen Schubspannung um ca. 13 % beim Dreieck und ca. 14 % beim Quadrat. Eine weitere Erh¨ ohung der Elementanzahl auf z.B. 36 Elemente f¨ uhrt beim Arbeiten mit Symbolen auf hohe Rechenzeiten und nicht mehr handhabbare algebraische Ausdr¨ ucke. Daher ist diese L¨osung, die in Bild 13.6 dargestellt ist, mit “ InterFEM“ erzielt worden. In der linken Bildh¨alfte ist die Verteilung der Spannungsfunktion dargestellt. Es tritt das Maximum im Schwerpunkt des Dreiecks auf. In der rechten Bildh¨alfte ist der Betrag der Schubspannungen |τ | in Form von Isolinien angef¨ uhrt. Die maximale Schubspannung tritt jeweils auf der Seitenhalbierenden der Außenkante auf.

Verwendete Formelzeichen und Symbole Den Formelzeichen und Symbolen ist jeweils eine Dimension im technischen Maßsystem zugeordnet. Es treten dabei die Grundgr¨oßen L¨ange [L], Zeit [T ] und Kraft [F ] auf. Bei den Formelzeichen, deren Dimension problemabh¨angig ist, ist ein Stern aufgef¨ uhrt. Haben die Elemente eines Vektors oder einer Matrix unterschiedliche Dimensionen, so werden diese getrennt durch ein Semikolon aufgef¨ uhrt. Allgemein verwendete Symbole

Symbol

Dimension

Beschreibung

Vektor

Matrix

(n, m)

−

Gr¨ oße einer Matrix mit n Zeilen und m Spalten

(ui , vj )

−

Element einer Steiﬁgkeitsmatrix aus der Zeile ui und Spalte vj

im

−

Elementnummer i

j

−

Knotennummer j

Cm

−

C m -Variationsproblem

·

−

Skalarprodukt

∀

−

f¨ ur alle

:

−

doppelt skalares Produkt

×

−

Kreuzprodukt

∇

1 L

Nabla-Operator in kartesischen Koordinaten

390

Verwendete Formelzeichen und Symbole

Symbol

Dimension

Beschreibung

∇T

Vektorfeld

∇u

dyadisches Feld

∇Δ

−

Nabla-Operator in Dreieckskoordinaten

Δ

1 L2

Laplace-Operator

Δ

1 L2

Vektor mit zweiten Ableitungen in kartesischen Koordinaten

ΔΔ

−

Hessematrix in Dreieckskoordinaten

Δ Δ

1 L2

Vektor mit zweiten Ableitungen in Dreieckskoordinaten

δ ∂ ∂x d dx L

−

Variationssymbol

1 L

partielle Ableitung

1 L

totale Ableitung

1 L

Diﬀerentialoperator in kartesischen Koordinaten

LΔ

1 L

Diﬀerentialoperator in Dreieckskoordinaten

∞

−

Maximumnorm

||

−

Betrag; Determinante

Superskripte

Symbol

Dimension

Beschreibung

i

−

Elementnummer

(j)

−

Lastfall j

R

−

Reaktionsgr¨ oße

Verwendete Formelzeichen und Symbole

Indizes

Symbol

Dimension

Beschreibung

g

−

globales Koordinatensystem

i

−

Nummer eines Elementes oder Knotens

x

L

x-Achse

y

L

y-Achse

z

L

z-Achse

Griechische Buchstaben

Symbol

Dimension

Beschreibung

α

F T L grd

α

−

Winkel

β

−

Schlankheitsgrad

γ¯

−

Mittlere Schubdehnung

Γ

L

Integrationsgrenze

ε

−

Dehnung

η

FT L2

θ

−

Verdrehung

Θ

−

Verdrillung

κ

−

Konditionszahl, Schubfaktor

κ

1 L

Kr¨ ummung

λ

F T grd

λ

Lagrange’sche Parameter, Eigenwert

ν

−

Querkontraktion

ξ

−

nat¨ urliche Koordinate

W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzient

Dynamische Viskosit¨ at

W¨ armeleitf¨ ahigkeit

391

392

Verwendete Formelzeichen und Symbole

Symbol

Dimension

Beschreibung

ψ

−

Hilfsgr¨ oße (Abk¨ urzung)

Π

Gesamtpotential

ΠF

FL

Form¨ anderungsarbeit

Πa

FL

Potential der ¨ außeren Kr¨afte

ρ

FT L4

2

Materialdichte

σii

F L2

Normalspannung

σij

F L2

Schubspannung

τ

F L2

Schubspannung

τ¯

F L2

mittlere Schubspannung

ϕ

−

Verdrehung oder Richtungswinkel

φ

skalare Potentialgr¨ oße

φ˜

N¨ aherungsfunktion

Φ

F T L2

ω

1 T

Ω

L2

W¨ armequellendichte Kreisfrequenz Fl¨ ache

Lateinische Buchstaben

Symbol

Dimension

Beschreibung

ai

−

Ansatzkoeﬃzienten

A

L2

Fl¨ ache

A

L2

Fl¨ ache eines Dreieckselementes

A¯

−

mittlere Fl¨ ache

b

−

halbe Bandbreite

e, E

Fehler

Verwendete Formelzeichen und Symbole

Symbol E EI

Dimension F L2

F L2

393

Beschreibung E-Modul Biegesteiﬁgkeit des Balkens

f

−

skalarer Faktor; Eigenfrequenz

g

−

skalarer Faktor

f˜

−

linear unabh¨ angige Funktion

Ff

F

Federkraft

i

Fxj

F

Schnittkraft in x-Richtung des Elementes i am Knoten j

R

F

Auﬂagerreaktion in x-Richtung am Knoten j

g

L T2

Beschleunigung

H, h

L

H¨ ohe

Fxj

4

I

L

k

F L

L, l

L

Fl¨ achentr¨ agheitsmoment Federsteiﬁgkeit; Stabsteiﬁgkeit L¨ angen

2

m

FT L

mi

FL

Moment am Knoten i aus einer Streckenlast

M

FL

Moment

MT

FL

Torsionsmoment

i

Mj

FL

Schnittmoment des Elementes i am Knoten j um die z-Achse drehend

R

FL

Auﬂagerreaktion in Form eines Momentes am Knoten j

Mj

Masse

Ni

i-te Formfunktion von N

N

−

Menge der nat¨ urlichen Zahlen

p

−

Konvergenzordnung; Anzahl Nachkommastellen

394

Verwendete Formelzeichen und Symbole

Symbol

Dimension

Beschreibung

p

F L2

Druck, Fl¨ achenlast

P

F

L¨ angskraft, Schnittkraft

q

F L

Streckenlast

q

F TL

W¨ armestromdichte

Q

FL T

punktf¨ ormiger W¨ armestrom

¯j Q

F T

bezogener, punktf¨ ormiger W¨armestrom am Knoten j vom Element i kommend

¯ Q

F T

auf die Dicke bezogener, punktf¨ormiger W¨armestrom

Qi

F L

Kraft am Knoten i aus einer Streckenlast

R

−

Menge der reellen Zahlen

R+

−

Menge der nicht negativen reellen Zahlen

R∗+

−

Menge der positiven reellen Zahlen

Ski

L

Kantenl¨ ange eines Dreieckselementes zwischen den Knoten k und i

t

L

Scheibendicke; Plattendicke

T

grd

Temperatur

Tu

grd

Umgebungstemperatur

i

u, v, w

L

Verschiebungen

u˙

L T

Geschwindigkeit in x-Richtung

¯˙ u

L T

Mittlere Geschwindigkeit in x-Richtung

u ¨

L T2

Beschleunigung

V

L3

Volumen

V˙

3

L T

Volumenstrom

v˙

L T

Geschwindigkeit in y-Richtung

v¯˙

L T

Mittlere Geschwindigkeit in y-Richtung

Verwendete Formelzeichen und Symbole

Symbol

Dimension

Beschreibung

w

L

Durchbiegung

w˙

L T

Geschwindigkeit in z-Richtung

¯˙ w

L T

Mittlere Geschwindigkeit in z-Richtung

wi

−

Gewichtungsfaktoren

x, y, z

L

globales Koordinatensystem

x ¯, y¯, z¯

L

lokales Koordinatensystem

Z

Zielfunktion

Dimension

Beschreibung

395

Vektoren

Symbol 0

−

Nullvektor

a

−

Vektor der Koeﬃzienten der Ansatzfunktion

aa

durch Randbedingungen bestimmte Koeﬃzienten

ab

unbekannte Koeﬃzienten

b

F L3

Vektor der Volumenkr¨ afte

B

1 L

Dehnungs-Verschiebungs-Vektor

ex,y,z

−

Basisvektor; Einheitsvektor

F

F; FL

F

FL T

Vektor der punktf¨ ormigen W¨armequellen

FQ

FL T

Vektor infolge der W¨ armequellendichte Φ

Fq

FL T

Vektor infolge des W¨ arme¨ uberganges

FR

FL T

Vektor infolge des W¨arme¨ uberganges auf den R¨ andern

j

F; FL

F

Vektor der ¨ außeren Belastungen

Schnittgr¨ oßen des Elementes j

396

Verwendete Formelzeichen und Symbole

Symbol

Dimension

Beschreibung

g

L T2

Beschleunigungsvektor

L

−

Vektor mit Dreieckskoordinaten

M

F

Momentenvektor der Platte

n

−

Normalenvektor

N

Vektor der Formfunktionen

p

F L2

Vektor der Randspannungen

P

F

Vektor der Bodenkr¨ afte

P

L

Punkt der Biegelinie des Balkens

q

F L

Vektor der Streckenlasten

q

FT L

W¨ armestromdichte

R

F

Vektor infolge inhomogener Randbedingungen

u

L

Verschiebungsvektor

L

Eigenvektoren

u˙

L T

Geschwindigkeitsvektor

u ¯˙

L T

Vektor der mittleren Geschwindigkeiten

¯˙ |u|

L T

Betrag des mittleren Geschwindigkeitsvektors

u ¨

L T2

Beschleunigungsvektor

u ˆ

L

Verformungsvektor des Scheibenelementes

j

Verformungsvektor des Elementes j

1,2

u

u

ˆ w

L; −

Vektor der Knotenverformungen des zweidimensionalen Balkenelementes in globalen Koordinaten

¯ ˆ w

L; −

Verformungsvektor des zweidimensionalen Balkenelementes in lokalen Koordinaten

x

L; −

Vektor der Koordinaten der Ansatzfunktionen

X

L

Aufpunktvektor

Verwendete Formelzeichen und Symbole

Symbol

Dimension

397

Beschreibung

ε

−

Dehnungsvektor

λ

Vektor der Lagrange Multiplikatoren

Λ

Vektor der Eigenwerte

σ

F L2

Spannungsvektor

τ

F L2

Schubspannungsvektor

φ

Vektor der skalaren Knotengr¨oßen

Matrizen/Tensoren

Symbol

Dimension

Beschreibung

0

−

Nullmatrix

AT

transponierte Matrix

A−1

inverse Matrix

A

Koeﬃzientenmatrix

B

1 L

Dehnungs-Verschiebungs-Matrix

B

Koeﬃzientenmatrix

C

Matrix zur Verkn¨ upfung von kartesischen und Dreieckskoordinaten

C

obere Dreiecksmatrix

C

Koeﬃzientenmatrix

C

FT L

C

D

F L2

D

Diagonalmatrix

D

F L2

Werkstoﬀmatrix

D¨ ampfungsmatrix Matrix mit Zwangsbedingungen Werkstoﬀtensor vierter Stufe

398

Verwendete Formelzeichen und Symbole

Symbol

Dimension

Beschreibung

D

F T grd

e

−

Dehnungstensor

E

−

Einheitsmatrix

G

Matrix mit Ableitungen von Formfunktionen

J

−

Jakobi-Matrix

K

F L

Steiﬁgkeitsmatrix

KE

F L2

elastische Steiﬁgkeitsmatrix

KG

F L2

geometrische Steiﬁgkeitsmatrix

Kg

Kw

FL T grd

W¨ armeleitungsmatrix

Kk

FL T grd

Konvektionsmatrix

KB

F L

¯ K

F L

M

FT L

Matrix der W¨ armeleitf¨ahigkeiten

Gesamtsteiﬁgkeitsmatrix

Steiﬁgkeitsmatrix des Bodens Steiﬁgkeitsmatrix in einem lokalen KOS 2

Massenmatrix

n

−

N

L; −

Matrix der Formfunktionen

P

Matrix mit Formfunktionen

Q

Matrix mit Formfunktionen

Q

Matrix mit den Ableitungen von Formfunktionen

s

−

Spannungstensor

T

−

Transformationsmatrix

X

−

Koeﬃzientenmatrix

Y

1 L2

und Δ Δ Matrix zur Verkn¨ upfung von Δ

Matrix mit den Komponenten des Normalenvektors

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Sachverzeichnis C 0 -Problem 99, 270 Computeralgebra-Systeme (CAS) 355 Ansatzfunktion 49, 99 dreiknotiges Scheibenelement 213 zweiknotiger Balken 144 Ansatzkoeﬃzienten 100 Auﬂager 126 Auﬂagerreaktionen 48, 111, 127 Balken Biegelinie 201 Dehnungen 140 eindimensional 366 Beispiel 366 elastisch gelagert 185 Funktional 142 mit Gelenk 162 Rahmen 381 Spannungen 140 Tonti-Diagramm 141 zweidimensional 192 Balkenelement 139 n Knoten 164 p Freiheitsgrade 164 Ansatzfunktion 164, 171 Dehnungs-VerschiebungsBeziehung 167 Diskretisierung 145 drei Freiheitsgrade pro Knoten 171 eindimensional 139, 371 Formfunktion 143, 168, 171 Funktional 145 Interpolationsbedingung 144, 165 Momentenverlauf 151 Querkraftverlauf 152 Schnittgr¨ oßen 151, 167, 170, 173 Steiﬁgkeitsmatrix 148, 167, 169, 172 Streckenlast 149, 167, 169, 172 zweidimensional 192 Balkentheorie Bernoulli 139 Einschr¨ ankungen 139

Timoshenko 175 Voraussetzungen 139 Bandbreite 49 halbe 48 minimale 50 Bandstruktur 48 Beispiel Balkenelement mit Gelenk 162 Balkensystem 204 eindimensionaler Balken 153, 162 eindimensionaler Stab 103 elastisch gelagerter Balken 187 Erh¨ ohung der Anzahl Balkenelemente 161 Fachwerk 5 lineares Problem 10 nichtlineares Problem 10 Scheibe 225 Scheibenproblem I 232 Scheibenproblem II 232 Stab-Balkenproblem 205 W¨ armeleitungsproblem I 299 W¨ armeleitungsproblem II 300 Winkel als Balkenproblem 205 zur Volumenkraft 221 zur W¨ armeleitung 294 zweidimensionaler Balken 198 zweidimensionales Stabproblem 123 Zylinderauge 5 Belastungsvektor 106 Bernoulli-Balken 237 Bernoulli-Hypothese 139 Biegelinie 48, 85, 139 des Balkens 201 Cholesky

51

Dehnung 335 Balken 140 zweidimensionaler Balken Dehnungs-VerschiebungsBeziehung 61, 333 Matrix 216

192

404

Sachverzeichnis

Dehnungsfeld 62 Dehnungstensor Green‘sche 334 Dehnungszustand ebener 210 Determinante 21, 342, 345 Diagonalmatrix 54 Diﬀerentialgleichung Euler-Lagrange’sche 37, 38 Fourier’sche 122 gew¨ ohnliche 64 partielle 64 Diﬀerentialoperator 28, 62 Diskretisierung Funktional 38, 285 Dissipation 309 Divergenz 23 DKT 363 Dreieck gleichseitiges 384 Pascal’sche Dreieck 85 Dreieckselement 295, 300 Dreieckskoordinaten 39, 123, 223 Dreiecksplattenelement 247 Dreiecksscheibenelement 96 Drillwinkel 303 Druck 310 Druckverteilung 311 Durchbiegung 98 Dyade 34, 43, 147 bei der W¨ armeleitung 287 beim Scheibenelement 218 dyadische Produkt 179 dyadisches Produkt 194 EDV 3 Eigenform 342, 348 Eigenfrequenz Balken 322 Stab 315 Eigenvektoren Balken gelenkig gelagert 324 Einmassenschwinger 319 Kragbalken 327 Zweimassenschwinger 320

Eigenwerte 263, 347 Eigenwertproblem 30, 342 Eingabegr¨ oßen 364 Einheitsdyade 32 Einheitsverschiebung 100 Einmassenschwinger 318 Einzelkraft beim Scheibenelement 217 Einzelsteiﬁgkeitsmatrix 109, 203 Elastizit¨ atsmodul 62, 99 Elastostatik 29 Elektrische Leitung 268 Element Auﬂistung 6–9 Balkenelement eindimensional 139 zweidimensional 192 Plattenelement 7 Schalenelement 8 Scheibenelement 209 Stabelement 5 dreidimensional 120, 134 eindimensional 99 zweidimensional 120 Viereckselement 5 Vierecksplattenelement 7 Elementknotenzuordnung 104 Elementkoordinatensystem 120 Eulerfall I 346 I, II, III, IV 349 Faktorisierung 51 Feder 99, 103 Federsteiﬁgkeit 85 Fehlerabsch¨ atzung 57 Feld dyadisches Feld 29 Skalarfeld 28 Vektorfeld 29 Feldgleichungen 63 Feldproblem 267, 377, 384 Fl¨ achenlast Platte 255 Fl¨ achentr¨ agheitsmoment 46

Sachverzeichnis

Form¨ anderungsarbeit 142, 336 Balken 339 Diskretisierung 75, 79 Formelzeichen 389 Formfunktion 49, 50, 335 Ableitung 145 Balken eindimensional 143 zweidimensional 192 Dreieckselement 213 Platte 253 Stab eindimensional 100, 118, 119 Fourier’sche Gleichung 311 Freiheitsgrade Balkenelement zweidimensional 192 Dreieckselement W¨ arme¨ ubertragung 286 Scheibenelement 213 Stabelement eindimensional 98 Fundament 185 Funktional 36 Balken 142 Platte 243 Scheibe 212 Stab 98 station¨ arer Wert 71 Funktionaldeterminante 44 Gesamtbelastungsvektor 109 Gesamtpotential 336 Balken 79 Scheibenproblem 84 Gesamtsteiﬁgkeitsmatrix 106 Direkterstellung 109 Gleichgewicht 49 am Knoten 108 im Stabelement 102 indiﬀerent 341 instabiles 341 stabiles 341 Gleichgewichtsbedingung 64 Gleichgewichtsbeziehung 238

405

Gleichung charakteristische 31, 317, 345 homogene 317 Gleichungssystem homogenes 30, 342 Kondition 53 lineares 48, 106 Gleitkommazahlen 53 Gleitmodul 303 Gradient 22 Hauptdehnungen 31 Hintransformation 32 Hooke’sches Gesetz 101, 140 Hydrostatisches Lager 312 Achsensymmetrie 312 Druckverlauf 312 Eingangsdruck 312 Traglast 312 Volumenstrom 312 Impulserhaltungssatz 309 Integration in Dreieckskoordinaten 45 Interpolationsbedingung 49 Inversion 36 kinematische Beziehung 64 Knicken Balken 341, 374, 375 Stab 341 Knoten 99 Knotenkr¨ afte aus Streckenlasten 150, 198 aus Volumenkr¨ aften 219 Knotenmomente aus Streckenlasten 150, 198 Knotennummerndiﬀerenz 49 Knotentemperatur 126 Knotentemperaturen 272 Knotenverformungen 106 Knotenverschiebungen 215 Scheibe 225 Koeﬃzientenmatrix 53, 91 Kompatibilit¨ at 245 Kondition 263

406

Sachverzeichnis

Konditionszahl 54 Konformit¨ atsbedingung 245 Kontinuit¨ atsgleichung 309 Konvektion 285 Konvektionsmatrix 274, 289, 297 Konvergenztest Plattenelement 257 Koordinaten kartesische 40 Kraftrandbedingung 127, 203 L¨ osung Eindimensionaler Balken Laplace-Operator 23

46

Mantelﬂ¨ ache 272 Massenmatrix Balken 322 Stab 316 Matrix Addition 24 Einheitsmatrix 24 Jakobi 41 Multiplikation mit einem Skalar 25 zweier Matrizen 25 orthogonale 27, 122, 195 positiv deﬁnite 50 quadratische 24 symmetrische 24 transponierte 26 Maximumnorm 57 Maßsystem 389 Momentenvergleich 156 Momentenverlauf Balken 151 N¨ aherungsfehler 57 N¨ aherungsfunktion 71 Nachkommastellen 263 Navier’sche Gleichung 64 Nichtlinearit¨ at geometrische 333 Material 333 Oberﬂ¨ achentemperatur 121, 122, 300 Optimierung

Beispiele 11 Orientierungswinkel

124

Platte Ansatzfunktion 249 Biegemoment 240 Dehnungs-VerschiebungsBeziehung 239 Durchbiegung 238 Funktional 243 Gesamtpotential 245 Gleichgewichtsbeziehung 242 Grundbeziehungen 237 Interpolationsbedingungen 250 Kinematische Gr¨ oßen 239 Kirchhoﬀ 237 Kr¨ ummungs-MomentenBeziehung 240 Kr¨ ummungs-VerschiebungsBeziehung 253 Lagerungsarten 244 Momentenvektor 241 Randbedingungen 242 Schubspannung 240 schubstarr 245 Schubverformung 238 Stoﬀgleichung 240 Verdrehungen 239 Plattenelement 374 Anforderungen 245 Kompatibilit¨ at 245 Plattengleichung 242 Plattensteiﬁgkeit 242 Potential der ¨ außeren Lasten 142 der Streckenlast 143 des Momentes 143 Potentialstr¨ omung 268 Produkt dyadisches 27, 30, 77 Programmdaten 364, 366, 367, 370, 374, 378 Querkontraktion 62 Querkraftvergleich 156 Querkraftverlauf

Sachverzeichnis

Balken

152

R¨ ucktransformation 32, 344 R¨ uckw¨ artselimination 52 Randbedingung Auﬂager 154 inhomogene 76 nach Cauchy 284 nach Dirichlet 284 nat¨ urliche 62, 105, 311 W¨ armeleitung 284 wesentliche 72, 81, 143 Randspannungen 63 Reaktionskraft 23 Rechenzeit 50 Reynold’sche Gleichung 310 Richtungswinkel 82 Ritz Ansatzfunktion 72 Balken eindimensional 365 Balkenproblem 79 Randbedingungen 72, 85 Scheibe 367 Beispiel 89, 368 Form¨ anderungsarbeit 87 Streckenlast 88 Scheibenproblem 84 Verschiebungsans¨ atze 85 Stab eindimensional 363 Stabproblem 75 Verfahren 71 Rundungsfehler 53 Schale ¨ Uberlagerung 258 Freiheitsgrade 258 komplanarer Knoten 261 Scheibe und Platte 258 Transformationen 261 Schalenelement 258 dreiknotig 259 Scheibe Dehnungen 86 Spannungen 86

407

Scheibenelement 98, 209 Scheibenproblem 382 Ansatzfunktion 213 Dehnungs-VerschiebungsBeziehung 215 Dehnungsfeld 210 Feldgleichungen 211 Funktional 212 Gleichgewichtsbeziehung 212 Grundgleichungen 210 Interpolationsbedingungen 214 Kinematische Beziehungen 211 Randbedingungen 212 Spannungs-VerschiebungsBeziehung 216 Spannungsfeld 211 Stoﬀgleichungen 211 Verschiebungsfeld 210 Schichtenstr¨ omung 308 laminare 312 Schmier¨ olﬁlm 268 Schnittgr¨ oßen 22 Balken 203 Fehler 155 Stabproblem 126 Vorzeichen 152 Schreibweisen 19, 61 Schubspannung 385 Schubverformungen 139 Schwingungsform Balken 322 Balken gelenkig gelagert 325 Einmassenschwinger 319 Kragbalken 328 Stab 315 Zweimassenschwinger 320 Seifenhautanalogie 303 Sickerstr¨ omung 268 Simulation 3 Spannung Balken 140 Scheibe 225 Spannungsfunktion 303 Spannungsvektor

408

Sachverzeichnis

Scheibe 225 Spannungszustand ebener 210 Stab Beispiel 103 eindimensional 73 Beispiel 364, 370 Funktional 98 Diskretisierung 98 Gleichgewichtsbeziehung 96 Grundbeziehungen 95 Kinematische Beziehungen 96 Randbedingungen 96 Stoﬀgleichung 96 Tonti-Diagramm 96 zweidimensional 120 Stabelement n Knoten 116 Ansatzfunktion 99, 116 Auﬂagerreaktionen 22, 108 Dehnungs-VerschiebungsBeziehung 100, 118 dreidimensional 120, 134 dreiknotig 119 Eigenschaften 95 eindimensional 95, 369 Formfunktionen 100, 118 Gesamtsteiﬁgkeitsmatrix 20 Interpolationsbedingung 117 Schnittgr¨ oßen 108 Steiﬁgkeitsmatrix 118 Stoﬀgesetz 101 Variable Querschnittsﬂ¨ ache 115 Variation des Funktionals 101 Verschiebungsansatz 99 vierknotig 119 zweidimensional 120 Stabknicken 343 Starrk¨ orperbewegung 245, 246 Steifezahlverfahren 185 Steiﬁgkeitsmatrix Balkenelement mit Gelenk 51 Boden 186 Dreiecksscheibenelement 217, 219

eindimensionaler Balken 148 eindimensionaler Stab 102 elastische 337 geometrische 337, 340, 344 globale 122 Platte 254, 255 Transformation 195 zweidimensionaler Balken 193 zweidimensionaler Stab 122 Stoﬀgesetz 64 Stoﬀmatrix 271, 272 Streckenlast Balken 42 eindimensionaler Balken 139, 149 Platte 256 Scheibenelement 217 Umrechnung in Knotenkr¨ afte 227 zweidimensionaler Balken 197 Temperaturgradient 295 Temperaturverteilung 123, 300 Tensor Dehnungen 61 h¨ oherer Stufe 28 Timoshenko-Balken C 0 -Problem 177 Biegesteiﬁgkeitsmatrix 178 dreiknotig 184 Formfunktion 166, 177 Gaußst¨ utzstellen 179 Gewichtungsfaktoren 179 Locking-Eﬀect 179, 182, 183 Momentenverlauf 181 Normalspannung 176 Querkraft 177 Querkraftverlauf 181 reduzierte Integration 179 Schlankheitsgrad 179 Schubfaktor 184 Schubmodul 176 Schubspannung 176 mittlere 177 Schubsteiﬁgkeitsmatrix 178–180 Schubverformungen 175 Stoﬀgleichung 181

Sachverzeichnis

Streckenlast 180 zweiknotig 175 Tonti-Diagramm allgemeine Form 58 Bernoulli-Balken 141 Elastostatik schwache Form 65 strenge Form 63 Feldproblem 267 Kirchhoﬀ-Platte schwache Form 243 strenge Form 238 Scheibenproblem 210 Stab 95 Torsion 268 Funktional 305 gleichseitiges Dreieck 384 prismatische K¨ orper 302 Torsionsmoment 385 Transformation lineare 32 Transformationsmatrix 343 Umgebungstemperatur 271, 272 Untermatrix der Gesamtsteiﬁgkeitsmatrix 228 Variation 37 des diskretisierten Funktionals 147 erste 37 Funktional der W¨ armeleitung 292 des Scheibenproblems 217 station¨ arer Wert 147 Variationsproblem 311 Vektor Ableitung 21 Basisvektoren 20 Kreuzprodukt 20 Nabla-Vektor 22 Randspannungen 61 Skalarprodukt 20 Volumenkr¨ afte 61 Verdrillung 386 Verformungsvektor 106 Verschiebung 99

409

Verschiebungsansatz 73, 335 Verschiebungsfeld 29, 61 Verschiebungsvektor 61 Scheibe 225 Volumenkraft 62, 217 Vorkonditionierung 55 Vorw¨ artselimination 52 W¨ arme¨ ubergang gleichseitiges Dreieck 384 W¨ arme¨ ubergangskoeﬃzienten 272 W¨ arme¨ ubergangsvektor 291 W¨ arme¨ ubergangszahl 271 W¨ arme¨ ubertragung eindimensional 271 zweidimensional 284 W¨ arme¨ ubertragungsproblem Funktional 271 W¨ armeﬂuß 112, 299 W¨ armeisolation 285 W¨ armeleitf¨ ahigkeit 272 W¨ armeleitung 286 W¨ armeleitungsmatrix 293, 296, 297, 311 W¨ armequelle 121, 272, 300 punktf¨ ormig 126, 271, 289 W¨ armequellendichte 121, 294, 297, 300 W¨ armestromdichte 286, 297, 385 Zugblech 225 Zugspannungen 230 zweidimensionales Balkenelement Zweimassenschwinger 319

196

Programme Fortran90 InterFEM

258, 359, 363

MAPLE Balken 1D 164 Balken 1D 361, 371 Dynamik Balken 361, 376 Feldprobleme 1D 362, 377 Feldprobleme 2D 362, 378 FEM CAS 360, 381 FEM Graﬁk 361 Knicken Balken 341 Knicken Balken 361, 375 Konvert 361 Platte 362, 374 Ritz Balken 362, 365 Ritz Scheibe 362, 367 Ritz Stab 362, 363 Scheibe Dreieck 213 Scheibe Dreieck 362, 373 Stab 1D 116 Stab 1D 361, 369 Timoshenko 1D 362 Python CALL for FEM

355

VB.net FEM GEN 358 FEM VIEW 360