DIETER BETTEN
4-DIMENSIONALE TRANSLATIONSEBENEN
MIT
GENAU EINER FIXRICHTUNG
EINLEITUNG Nachdem in [-3] gezeigt worden war, dab jede 4-dimensionale Translationsebene mit mindestens 9-dimensionaler Kollineationsgruppe desarguessch ist, wurden in [3, 4, 5] alle nicht desarguesschen 4-dimensionalen Translationsebenen mit 8-dimensionaler Kollineationsgruppe bestimmt. In [6] wurde bewiesen, dab bei 7-dimensionaler Kollineationsgruppe F die Zusammenhangskomponente/'~ entweder genau zwei oder genau einen Achsenpunkt festMlt, ferner wurden alle Ebenen mit genau zwei Achsenfixpunkten klassifiziert. In der vorliegenden Arbeit wird vorausgesetzt, dab die Standgruppe A = (Fo) 1 auf einem eigentlichen Punkt 0~R 4 genau eine Gerade S durch 0 festh/ilt. Dann ist A entweder isomorph zu R x L2 oder isomorph zu R3, ferner ist der Kern Ats I entweder 1- oder 0-dimensional, und schlieBlich h/fit A entweder genau zwei oder genau einen oder keinen eindimensionalen Teilraum yon S fest. Durch Kombination dieser F~ille ergeben sich die Situationen, in denen Ebenen existieren k6nnen. Insgesamt leiten wir 5 Scharen nicht-desarguesscher 4-dimensionaler Translationsebenen her und bestimmen jeweils die Isomorphietypen und die volle Kollineationsgruppe. Diese Scharen Mngen zum Teil yon 4 reellen Parametern ab. HILFSMITTEL Sei ~3 eine Partition des R4 in 2-dimensionale Teilr~iume, dann entsteht durch Verschieben yon ~ und projektives Abschliel3en eine Translationsebene P (~). Wenn diese Translationsebene eine topologische projektive Ebene - kurz: 4-dimensionale Translationsebene - ist, nennen wir die Partition ~ topologisch. In [3] wurde folgendes Konstruktionsprinzip ftir topologische Partitionen des ~4 angegeben: Sei R4= {(x, y, u, v); x, y, u, vER}, dann bezeichnen wir den durch die Gleichungen u = , x + f l y , v = f x + g y definierten 2-dimensionalen Teilraum mit ( f
~). Ferner sei S der durch
x = y = 0 gegebene Teilraum. Sei ~: R2--* ~z ein 'transversaler' Hom~50morphismus der reellen Ebene, das ist eine topologische Abbildung mit der Eigenschaft: Ftir je zwei gewtihnliche parallele Geraden H # K gilt ]Hr~ K*I = = 1. Wenn • in Koordinaten gegeben ist als • = ((~, fl)~-*( f (~, fl), g (cq fl))), Geometriae Dedicata 3 (1975) 405-440. All Rights Reserved Copyright © 1975 by D. Reidel Publishing Company, Dordrecht-Holland
406
DIETER BETTEN
dann ist ~,={S}w
f(cz, fl) 9(a, fl) '
eine topologische Partition des ~*, und umgekehrt l~igt sich jede topologische Partition des ~4 in 2-dimensionale Teilr/iume auf diese Weise konstruieren. Die Ebene P (~,) ist genau dann desarguessch, wenn r linear ist. Zwei nicht-desarguessche 4-dimensionale Translationsebenen P ( ~ t ) und P (~2) sind genau dann isomorph, wenn die erzeugenden Partitionen ~1 und ~32 linear isomorph sind [3, Kor. zu Satz 2]. Die volle Kollineationsgruppe F einer nicht-desarguesschen 4-dimensionalen Translationsebene P (~3) l~iI3t die Translationsachse fest und ist das semidirekte Produkt der linearen Gruppe der Partition ~3 mit der Translationsgruppe ~4. Um die Linearitgt der Standgruppe auf einem eigentlichen Punkt benutzen zu kSnnen, setzen wir die Ebene immer als nicht-desarguessch voraus. Lemma 6 aus [3] besagt folgendes: Sei G eine mindestens 2-dimensionale Kollineationsgruppe einer 4-dimensionalen Translationsebene, und G hare drei Geraden durch einen eigentlichen Punkt fest, dann ist die Ebene desarguessch. In 4-dimensionalen topologischen projektiven Ebenen gilt folgendes 'Viereckslemma': L/i•t eine Kollineation ? aus der Zusammenhangskomponente F 1 die Ecken eines Vierecks fest, so ist ?= 1 [20, 4.1]. Ferner werden wir den Satz von Brouwer [8; 17, 3.18] benutzen, der alle transitiven und effektiven Wirkungen yon zusammenh~ngenden lokalkompakten Gruppen auf der Zahlengeraden und der Kreislinie bestimmt. Ftir weitere Begriffe und Hilfsmittel sei auf die Arbeiten [3; 17; 20; 21] verwiesen. Im folgenden sei P = (P, 9,) immer eine nicht-desarguessche 4-dimensionale Translationsebene mit 7-dimensionaler Kollineationsgruppe F. Weiter sei 0e R¢ ein eigentlicher Punkt und A = (Fo) 1 die Zusammenhangskomponente der Standgruppe yon F auf 0. AuBerdem setzen wir voraus, dab A genau eine Gerade S durch 0 festh~ilt. LEMMA 1. Die Gruppe A ist das direkte Produkt der positiven Streckungsgruppe des g~4 und der speziellen Gruppe SA. Es gilt entweder SA ~- ~2 und A wirkt transitiv auf ~ - { S } , oder es ist SA ~-L2, und A wirkt entweder transitiv auf ~ - {S} oder hat dort genau eine zu R und zwei zu R z hom6omorphe Bahnen. Beweis. Die Gruppen SA = {6~A, det6= 1} und
N=
/( ) r
r
r
,
r>O
4-DIMENSIONALE TRANSLATIONSEBENEN
407
sind Normalteiler von A. Da A als zusammenh~ingende Gruppe nut Matrizen mit Determinante > 0 enth~It, und da ferner eine positive Streckung des R4 mit Determinante 1 die Einheitsmatrix ist, folgt die Produktzerlegung A = R × SA. Insbesondere ist SA eine 2-dimensionale zusammenh~ingende Lie-Gruppe, also SA ~ ~2, L2, S02 x R oder (SO2) 2. In den letzten beiden F~llen wiJlde ein Faktor SO2 entweder auf ~3-{S} trivial wirken oder genau eine Gerade We~3- {S) festhalten. Die triviale Wirkung scheidet aus, sonst erg~ibe sich zusammen mit der positiven Streckungsgruppe ein Widerspruch zu [3, Lemma 6]. Daher l~iBt S02 und folglich ganz A eine Gerade We ~3 - {S} fest im Widerspruch zur Voraussetzung. Die Gruppe A hat auf ~ - {S} keine nulldimensionale Bahn, sonst bliebe wegen des Zusammenhangs von A eine Gerade W ~ - ( S ) unter A fest im Widerspruch zur Voraussetzung. Daraus folgt, dab A entweder transitiv auf ~ - IS} wirkt oder auf ~3 - i S} mindestens eine eindimensionale Bahn besitzt. G~ibe es im Fall A-~ R 3 eine eindimensionale Bahn auf ~3-{S}, dann erhielte man durch Fixieren einer Geraden dieser Bahn eine 2-dimensionale Gruppe, die wegen der Kommutativit~t von A jede Gerade dieser Bahn festh~ilt im Widerspruch zu [3, Lemma 6]. Daraus folgt, dab die Gruppe A ~ R 3 transitiv auf ~3 - {S) wirkt. Nun sei A -~ R x L2, und A wirke nicht transitiv auf ~3 - iS}. Dann hat A auf ~ - i S} mindestens eine eindimensionale Bahn R, und fiir die effektive Wirkung yon Lz auf dieser Bahn gilt nach dem Satz yon Brouwer: (R, L2/L2Ea~)~-(g~, R), (S ~, S 0 2 ) oder (R, L2). In den ersten beiden F~illen w~ire der Kern L z ~a~ eindimensional und erg~be zusammen mit der positiven Streckungsgruppe des g~* einen Widerspruch zu [3, Lemma 6]. Da L2 keine nichttrivialen nulldimensionalen Normalteiler besitzt, folgt L2rm=l, und L2 wirkt auf R g R effektiv als affine Gruppe { x ~ ax + b, a > 0, b e R). G~ibe es eine zweite eindimensionale Bahn R', dann w~ire die Standgruppe yon L2 auf einer Geraden X e R komplement~r zum Translationsnormalteiler {x~--~x + b, be R) yon L2 und hielte eine Gerade X' ~R' fest im Widerspruch zu [3, Lemma 6]. Es gibt folglich genau eine eindimensionale Bahn R ~ R von A auf ~3- {S}. Nach Home [12] besitzt A auf ~ - iS} eine abgeschlossene Bahn. W~re R nicht abgesehlossen, so g~be es eine 2-dimensionale abgeschlossene Bahn, die auch often ist. Wegen des Zusammenhangs von ~3 - (S} w~ire A transitiv auf ~3-{S}, ein Widerspruch. Somit ist die eindimensionale Bahn R ~ abgeszhlossen und zerlegt ~ 3 - i S } in genau zwei weitere Bahnen, die homSomorph zu ~2 sin& LEMMA 2. Die zusammenhiingende Standgruppe A = (Fo ) 1 auf einem eigentlichen Punkt 0~R 4 einer nicht-desarguessehen 4-dimensionalen Translations-
408
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ebene sei 3-dimensional und halte genau eine Gerade S~O fest. Falls der K e r n K = Ats ~ mindestens eindimensional ist, dann gilt A = R × A B mit
R--
l(r ) r
r
r>0/'
r
1 t
1
)
tee
und B = {e sY, seE} mit
y =
(i bd fl g
m c
wobei m = a + 1, n = b + 1 gilt, falls A nicht kommutativ ist und m = a, n = b, wenn A kommutativ ist. Beweis. Wit zeigen zun~chst, dab der Kern K = A tsl = (6 EA, p~ = p ffir alle p e S} einen zu R isomorphen Normalteiler A v o n A enth~ilt: Da K komplemenffir zur positiven Streckungsgruppe des R 4 liegt, gilt dimK~<2. Nach Lemma 1 ist A - E 3 oder A - R x L2 und enthSlt keine zu S 0 2 isomorphe Untergruppen. Daraus folgt fiir die Zusammenhangskomponente des Einselementes yon K : K s~- R, R 2 oder L2. Im ersten Fall setzen wit A = K s, und da K s charakteristisch in K und K normal in A ist, folgt, dab A ~ R Normalteiler yon A ist. Ftir K 1 ~ R 2 befinden wit uns im Fall A ~ E3, denn A ~ R x L2 enth~ilt keine zu E2 isomorphe Untergruppe, die komplement~ir zum ersten Faktor liegt. Eine beliebige zu R isomorphe Untergruppe A yon R 2 ist daher normal in A. Sei schliel31ich K s =~L2, dann w~hlen wir als A den zu E isomorphen Normalteiler yon L2. Wir sind im Falle A ~ R × L2, und A stimmt mit dem zu ~ isomorphen Normalteiler des zweiten Faktors iiberein. Daher ist A Normalteiler von A. Jedes Element a E A ist axial zur Achse S, also auch zentral, und da A-~ R eine dichte lokal zyklische Untergruppe enth~lt, haben alle Elemente a e A das gleiche Zentrum z. Wegen A ~ A folgt z a = z, und z stimmt mit dem uneigentlichen Punkt der Geraden S tiberein. Daraus folgt, dab A als Scherungsgruppe zur Achse S wirkt und insbesondere jede Parallele von S in sich tiberftihrt. Wir w~ihlen nun ein (x, y, u, v)-Koordinatensystem des R ¢ so, dab S mit
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409
dem Teilraum (u, v) iibereinstimmt und dab der 2-dimensionale Teilraum
w-_(OoOo) eine Gerade durch 0 e R 4 ist. Dann hat A als Scherungsgruppe die Form
A
=
~t
1 fit
ft
gt
1
'
ten
"
1/
Anwendung yon A auf den Teilraum Wergibt die 2-dimensionalen Teilr~ume t
gt
'
und da diese Teilr/iume als Geraden durch 0 komplement/~r liegen, folgt
dot(; ~)~o Durch Konjugation mit der linearen Abbildung
(1
kSnnen wir daher annehmen, dab A die Form
1
(oo t
,
ten
1/
hat. Insbesondere gilt A c SA. Die Gruppe A wird von dem Endomorphismus X=
0 0 0 0 1 0
erzeugt. Sei B eine Einparameteruntergruppe yon A mit A B = L z bzw. A B = N2, dann wird B von einem Endomorphismus
o Y=
/~ m 9
l
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erzeugt, und die Kommutatorrelation Y X - X Y = X bzw. Y X - X Y = 0 ergibt das Gleichungssystem (7
hn)=(~
bd)+(1
1)bzw.
(7
hn)=(:
~)"
Im folgenden werden wir B nocla so w/ihlen, dab B=SA gilt. LEMMA 3. Die zusammenhiingende Standgruppe A = (1"o)1 auf einem eigentlichen Punkt OeR 4 einer nicht-desarguesschen 4-dimensionalen Translationsebene sei 3-dimensional und halte genau eine Gerade S~O fest. Sei K=Ats ~ der lneffektivitgitskern yon A auf S, dann gilt dimK~< 1. Beweis. Da Kkeine echte positive Streckung des ~4 enth/ilt, gilt dimK~<2. Angenommen dimK=2, also K I ~ E 2 oder KI~-L2, dann wirkt K 1 nicht transitiv auf~3 - {S}; sonst w//re der QuasikSrper der Ebene nach [15, 3.5.40] distributiv und die Ebene nach [11; 17, 7.25] desarguessch. Nach Lemma 1 folgt daher K 1 - L a , und K 1 hat auf ~ - { S } genau eine eindimensionale Bahn R und zwei zu R 2 homSomorphe Bahnen. Wenn wir das Koordinatensystem des ~4 geeignet w/ihlen, dann hat der eindimensionale Normalteiler A yon La die in Lemma 2 angegebene Form. Wenn wit das Koordinatensystem aul3erdem so legen, dab der Teilraum
=(00 00) eine Gerade der eindimensionalen Bahn R ist, dann k/Snnen wir eine zu A komplement/ire Einparametergruppe B yon L2 finden, die Ig festh/ilt und daher nach Lemma 2 yon einem Endomorphismus y=
d a+l c
b d+lj
erzeugt wird. Wegen B c K gilt a + 1 = b = c = d + 1 = 0, also a = d = - 1, und durch Integration erhalten wir B=
l(
e-S
1
, 1
sen
/ .
Anwendung der Gruppe Lz = AB auf die Teilr/iume IV,
4-DIMENSIONALE
411
TRANSLATIONSEBENEN
der drei Bahnen ergibt folgendes System 2-dimensionaler Teilr~iume des R4:
B={S}u u
{( ) t
t {(e~p
t '
t~
- es e~q+ t ) ;
}{(, e) w
e~w e ~ z + t
"
'
}
s, tER u
S, tE[R}.
Dieses System 2-dimensionaler Teilr~iume erzeugt h/Schstens eine Ebene aus [3, Satz 5], und diese Ebenen haben eine 8-dimensionale Kollineationsgruppe. Aus der Annahme dimK= 2 hat sich also ein Widerspruch ergeben, und es folgt dimK~< 1. Bemerkung. Aus Lemma 2 folgt, dab A nicht jeden eindimensionalen Teilraum von S festh/ilt, sonst w/ire der KernK 2-dimensional. Daher 1/il3t A entweder genau zwei eindimensionale TeilrSume oder genau einen oder keinen eindimensionalen Teilraum von S fest. SATZ 1. Die zusammenh6ngende Standgruppe A = (Fo) 1 auf einem eigentlichen Punkt OE ~4 einer nicht-desarguesschen 4-dimensionalen Translationsebene sei 3-dimensional und halte genau eine Gerade S~O fest. Ferner sei der K e r n K = A t s I eindimensional, und A halte genau zwei eindimensionale Teilr6ume yon S fest. Schliefllich wirke A nicht transitiv auf ~ - {S). Dann ist A das direkte Produkt der positiven Streckungsgruppe
I(rr A:j(I ) ;
r
r>O
y
und der Gruppe L z = A B mit
1
t
tee
1
und
B=
/(
eds
) j [
e(a+l) s
, sE~
e(d+ 1) s
, a+d+
l =O,
und A hat auf ~ - {S} genau eine zu R und zwei zu R 2 hom6omorphe Bahnen.
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412
Die Ebene wird yon folgender Partition des R 4 in 2-dimensionale Teilriiume erzeugt : ......
,,.
= {s}
k.)
u
t
'
t (we(l_r)s e(i +r)s ), ze s + t
t.) (pe(l_r)s t
- qe e s(l+r) + t s/,
S, t e R} U S, teN},
wobei r = a - d und w, z, p, q reelle Parameter mit 0 < r < 1, z 2 + 4w (1 - r 2) ~<0 und q Z - 4 p ( 1 - r 2 ) < . O sind. Umgekehrt definiert jedes Parametertupel r, w, z, p, q mit diesen Bedingungen eine nieht-desarguessehe 4-dimensionale Translationsebene P, . . . . . p, q. Wir setzen
(1 ) ( 1 ) (1 ) -1
or=
2=
-1
'
-1
-1
1
'
-1
-1
#=
-1 1
und geben die voile Standgruppe Fo yon F auf dem Punkt OeN* an: (1) Falls p = - w und q = z # O ist, gilt F o = ( A , a, 2). Dabei fiihrt 2 die eindimensionale Bahn 1~ orientierungstreu in sich fiber und vertauscht die beiden Halbbiischel. (2) Falls q = - z und p # - w ist, gilt Fo = ( A, a, p). Die Abbildung I1 kehrt die Orientierung yon ~ um und bildet jedes der beiden Halbbiischel in sich ab. (3) Fiir p = - w und q= - z # O gilt F o = ( A , a, 2#), wobei die Abbildung 2# die Orientierung yon $t umkehrt und die beiden Halbbiischel vertauscht. (4) Falls p = - w und q = z = 0 ist, gilt F o = ( A , a, 2, #), und die Orientierungsiinderung yon ~ und die Vertauschung der beiden Halbbiischel k6nnen unabhiingig voneinander vorgenommen werden. (5) Wenn keiner der Fiille (1) .... , (4) gilt, dann ist F o = ( A , a). Zwei Ebenen Pr,w,z,p,q und P,,,w',z',p',~" sind bis auf Anwendung der Spiegelungen I, #, t # genau dann isomorph, wenn r' =r ist und eine Zahl k > 0 existiert mit w'=kZw, z ' = k z , p ' = k 2 p zmd q'=kq. Die Ebenenschar hiingt yon vier reellen Parametern ab. Beweis. (a) Herleitung der Gruppe A und der Partition ~3. Nach Lemma 1 gilt A = ~ x L2, und A hat auf ~3- {S} genau eine zu
4-DIMENSIONALE TRANSLATIONSEBENEN
413
und zwei zu N2 homSomorphe Bahnen. Wenn wir das Koordinatensystem des N4 geeignet w~ihlen, dann hat der eindimensionale Normalteiler A yon L 2 nach Lemma 2 die Form
A=
t
1
1
t
'
ten
"
1
Wenn wir das Koordinatensystem auBerdem so legen, dab der 2-dimensionale Teilraum
zur eindimensionalen Geradenbahn R gehSrt, dann wird eine zu A komplement~re Einparametergruppe B yon L~ yon einem Endomorphismus y=
d a+l c
b d+l
erzeugt (Lemma 2). Da in S genau zwei eindimensionale Teilr~ume festbleiben, k6nnen wir durch Konjugation mit einer geeigneten 4 x 4-Matrix
annehmen, dab b = c= 0 gilt. Durch Integration yon Y erhalten wir die im Satz angegebene Gruppe B. Diese ist genau dann Untergruppe yon SA, wenn eaSedSe("+l)~e(e+l)s= 1 ffir alle s e n gilt, das heiBt, wenn a+d+ 1 = 0 ist. Wenn wir den Parameter r = a - d einftihren, dann ergeben sich a und d umgekehrt als a = ( r - 1)/2 und d = ( - r - 1)/2. Sei L die 2 x 2-Matrix, die einer zu S komplement/ffen Geraden entspricht. Dann geht die Gerade L unter einer linearen Abbildung
des R 4 tiber in die Gerade (C+DL) A -1. Anwendung der Gruppe A auf die Gerade
ergibt die eindimensionale Geradenbahn
414
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Die beiden zu R 2 hom6omorphen Bahnen k6nnen wir konstruieren als
(0w lz)L2
und
C
q l ) L2
wobei die reellen Parameter w, z, p, q zun~chst beliebig gew/ihlt seien. Die Gerade
(0 :)
geht unter einem Element der Gruppe B fiber in ( e("+~)~
e(d+~)~)(0w
lZ)( e-"~
e-dS) = 0 : (we(l+d-a)s e(l+a-d)s~ zes ]
und anschliegendes Anwenden der Gruppe A ergibt das Halbbtischel (0w :)L~ wobei
r=a-d (;
{( t e(~+O~'~ ----- we(l_r) s zeS+t],
}
s,t~R ,
gesetzt ist. Entsprechend ergibt sich das andere Halbbiischel t ql)L2={(pe(~-')~
- qe~+t e(1+')"~]'
s, t e R } .
(b) Existenz. Zun~ichst haben wir die notwendigen Bedingungen 1 + r ~ 0 und 1 - r ~ 0, sonst wtirden in den Matrizen von B in der ersten Zeile nicht alle Paare ( ~ , / 3 ) ~ 2 bzw in der zweiten Zeile nicht alle Paare (f, #)~R 2 angenommen, und ~3 wiirde den R4 nicht tiberdecken. Ferner ist notwendig r ~ 0, sonst wtirde A jeden eindimensionalen Teilraum von S festhalten, und es wiire dim Ats]= 2 im Widersprueh zu Lemma 3. Das Btischel ~3,, ,~,~,p, ~ ist genau dann eine topologische Partition des R 4, wenn die zugeh6rige Abbildung r = ( ( ~ , / 3 ) ~ ( f , g)) der (~,/3)-Ebene ein transversaler Hom6omorphismus ist. Zun/ichst sieht man, dab die Geraden der Form/3 = const, transversal abgebildet werden: Wenn n/imlich e (1 + o s = c bzw. - e (1+ r)= c ist, dann ist auch ze ~ bzw. qes konstant, und zeS+ t bzw. qe~+ t liiuft mit c¢= t monoton von - oo bis + Go. Wegen (t, 0) ~= (0, t) wird auch die ~-Achse transversal abgebildet. Da die Gruppe A transitiv auf der ~-Achse wirkt, gentigt es, nur noch die Geraden ~ = kfl, k ~ R, zu betrachten. Sei (~,/3) ein Punkt aufeiner solchen Geraden Lk, dann schneidet die Parallele zu L~ durch (~,/3)~ die ~-Achse im Wert x=f-kg. Im Halbbtischel, das die
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415
Gerade
(0w enth~lt, kurz: im oberen Halbbiischel, ergibt sich x = e (~ - ") S w - k z e ~ - k t = we°-')~-kze~-k2e(l+r)~. Wegen l + r ¢ 0 ist e a+')s monoton in s, und wir erhalten die notwendige Bedingung ftir die Existenz einer Ebene, dab x monoton in s ist. Es gilt dx d--s = w(1 - r) e (1-')s - k z e ~ - k2(1 + r) e(l+')s, und wenn wir dies als quadratische Funktion in k auffassen, erhalten wir als Bedingung, dab fiir die Diskriminante D = e 2~(z 2 + 4w (1 - r2)) gelten muB D ~<0. (Den Wert D = 0 kSnnen wir zulassen, da dann ftirjedes k die Ableitung d x / d s den Wert 0 hSchstens in einem Punkt annimmt, was die Monotonie nicht st6rt.) Wir erhalten so die notwendige Bedingung z 2 + 4w(1 - r 2) ~< 0.
(1)
Im unteren Halbbiischel (welches
(0
enth/ilt), ergibt sich x = pe °-')s
- kqe ~ + k2e (l+')s
dx
ds
p(1
r) e (~ - ' )
8
kqe'+k
mit der Diskriminante D = e 2 " ( q 2 - 4 p ( 1 - r 2 ) ) , dingung q2 _ 4p(1 - r 2) ~< 0.
2 ( l + r ) e (1+')'
und wir erhalten die Be(2)
Da z und insbesondere die Beschr~inkung v o n • auf die fl-Achse topologisch sein soil, folgt, dab ffir fl 4 0 auch f ~ 0 streben muB. Wegen w e 0 folgt (1-r)(l+r)>0, also wegen r e 0 notwendig 0 < r 2 < l . Da wir durch Konjugation mit
(') 1
1
1
die Zahlen a und d vertauschen k6nnen, also ohne Beschr~inkung der All-
416
DIETER BETTEN
gemeinheit r > 0 ansetzen k6nnen, erhalten wir die notwendige Bedingung
0
1.
(3)
Nun wollen wir zeigen, dab die Bedingungen (1), (2) und (3) hinreichend zur Existenz sind: Aus den Bedingungen (1) und (2) folgt wegen (w, z ) # (0, 0) und (p, q)va (0, 0), dab w < 0 und p > 0 gilt. Im oberen Halbbtischel ist x = w e (1 - r) s + e s ( _ k z - k 2 e r~), und wegen w < 0 und r > 0 strebt x gegen - co ftir s gegen co. Im unteren Halbbtischel gilt x = p e (1 - ' ) ~+ e ~ ( - k q + k Z e "s) -+ -+ co ftir s -+ co. Ferner gilt in beiden Halbbtischeln x ~ 0 fiir s ~ - co, und damit ist nachgewiesen, dab jede Gerade durch den Nullpunkt unter v transversal abgebildet wird. Da die Beschr/[nkung von z auf die fl-Achse ein Hom6omorphismus ist, folgt dutch Anwendung der Gruppe A, dab z ein Hom{5omorphismus ist. (c) Isomorphietypen und voile Standgruppe. Wir zeigen zun/ichst: Die volle Standgruppe/'o der Ebenen P,, ~,,z, p, q ist jeweils 3-dimensional und h/ilt die Gerade S fest. Beweis: Far jede der Partitionen ~3,,w,~,p,q ist der zugeh6rige transversale Hom/5omorphismus -¢ nicht linear und die erzeugte Ebene folglich nicht desarguessch. Daraus folgt dimFo~<4 [3, Satz 4], und Fo wirkt nicht transitiv auf $ 3 - {S} [3, Satz 3]. Angenommen d i m F o = 4 , dann folgt s r ° ¢ {S}, sonst wfirde Fo nach dem Satz von Brouwer auf R mit einem 2-dimensionalen Kern wirken im Widerspruch zu [3, Lemma 6]. Da Fo nicht transitiv auf ~3 operiert, hat Fo folglich auf ~3 genau eine Kreisbahn R w {S} und zwei zu R2 hom/5omorphe Bahnen und ist isomorph zu einer der Ebenen aus [3, Satz 5] oder isomorph zu der Ebene aus [5]. Der erste Fall scheidet aus, da z in den beiden Halbbfischeln nicht linear ist, im zweiten Fall w//re der KernFots~ nulldimensional im Widerspruch zur Existenz der Scherungsgruppe A. Der Fall dimFo = 4 hat auf einen Widerspruch geffihrt, und es folgt dimFo = 3. Insbesondere ist die Gruppe A die Zusammenhangskomponente des Einselementes von F o u n d Normalteiler yon Fo. Angenommen, Fo wiirde S bewegen, dann hfitte Fo auf ~3 eine Kreisbahn R u {S}, auf der (Fo) 1 = A nach dem Satz von Brouwer wie die projektive Gruppe P S L 2 (~) operiert. Zusammen mit der Streckungsgruppe des N 4 erg~ibe sich dimF o = 4, im Widerspruch zu oben. Sei ~o:N4~R 4 eine lineare Abbildung mit ( ~ , , w , z , p , q ) * = ~ r , , w , , ~ , , p , , q , , dann induziert q~ einen Isomorphismus (q~, 6 ~ c ¢ - 1 6 ~ ) : (R 4, A , ) ~ (R 4, A,,) yon linearen Transformationsgruppen. Da S jeweils v o n d e r vollen Standgruppe festgehalten wird, gilt S * = S, ferner ist R e = R. Da A~, transitiv auf wirkt, k6nnen wir auI3erdem W ~°= W annehmen, und rp ist eine 4 x 4Matrix der Form C
D)"
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417
Wegen W e = W induziert q) einen Isomorphismus zwischen den komplement/iren Einparametergruppen Br und Br,, und wegen 0 < r , r ' < 1 folgt r'=r. Da die Gruppe A, yon ~o normalisiert wird, fiihrt q) das Paar der ausgezeichneten eindimensionalen Teilr/iume von S in sich tiber, und wegen 0 < r < 1 h/ilt q~ diese beiden Teilr~ume sogar einzeln fest. Somit k6nnen wit annehmen, dab ~o Diagonalgestalt hat:
(#=
(a) d
m
n und wegen R~'=.R folgt m = ac, n = dc mit c ¢ 0, Es ist a ce(l+r) s /
we(1-r)s
ze s + t
=
d
a cwe(1 -r) s
cze s + ct
und
(
t
pe (~-')s
-e(l+*)s'~°
/ ~k[
qe ~ + t ] =
ct cpe(t_o~
-- d C e ( l + r ) s ~
.
cqe ~ + ct /
Zun/ichst betrachten wir Spiegelungen: Ffir c = 1 und a/d= - 1 geht (r, w, z, p, q) fiber in (r, - p , q, - w, z), ffir c = - 1, a/d= - 1 fiber in (r, w, - z, p, - q), und schliel31ich geht (r, w, z, p, q) unter c = - 1 , a/d= 1 tiber in (r, - p , - c , - w , - z ) . Dutch Hintenanfiigen solcher Spiegelungen k6nnen wit erreichen, dab die lineare Abbildung ~o die Form c > 0 und a/d> 0 hat. Dann schreiben wir a
fl = ~ ce(1+')~ als fl = e(l +r) (s+so)
mit a +r) so -- C -: e (1 ~
d
_ =[_~__l/(l+r)[c/\ e so
\af]
und erhalten
f : wc2r/(1 +r)
e(1 -r) (S+So)
418
DIETER
BETTEN
und
g = Cr/(l+r)
e(s+s°)+ ct,
und daran liest man ab: w'--wk 2, z' =zk mit k > 0. Entsprechend ist 1)' =Pk 2 und q' = qk. Von den 5 Parametern fgllt also einer heraus und die Ebenenschar ist 4-parametrig. Die Faktorgruppe Fo/A kann h~Schstens isomorph zu Z2 x Z2 x Z2 sein, wobei die erste Gruppe Z2 der Orientierungs/inderung yon .R und der zweite Faktor dem Vertauschen der beiden Halbbtischel entspricht. Die dritte Gruppe Z2 wird erzeugt yon der Kollineation
(1
)
-1
t~=
--1
'
-1 welche jede Gerade durch 0 in sich iiberftihrt. Unter Benutzung der oben angegebenen Spiegelungen im Fall w'= w, z ' = z, p' =p und q'=q erhalten wir die im Satz angegebenen Standgruppen. SATZ 2. Die zusammenMingende Standgruppe A = (Fo) 1 auf einem eigentlichen Punkt 0~g~4 einer nicht-desarguesschen 4-dimensionalen Translationsebene sei 3-dimensional und halte genau eine Gerade S~O fest. Ferner sei der KernK= A rsl eindimensional, und A halte genau einen eindimensionalen Teilraum yon S fest. Schliefllich wirke A nicht transitiv auf f23- {S}. Dann ist A das direkte Produkt der Streckungsgruppe
r
;
r>
r
o]
r
und der Gruppe L 2 = AB mit
t und
1 1I ;
t~
I f e-S/2
e- s/2 eS/2 I seS/2 eS/2
; S~R},
4-DIMENSIONALE
419
TRANSLATIONSEBENEN
und A hat auf ~3- (S) genau eine zu ~ und zwei zu ~2 hom60morphe Bahnen. Die Ebene wird von folgender Partition des ~4 erzeugt: 3w,
= {s}
t
U
wes~
{( U
'
S2e s -
gse s
seS+t pe s - qse s+
s e s - k Ze s - k t
" '
-e s ) qe s - se~ + t "'
sZeS
S, t ~
U
} S, t ~ R
.
Dabei sind w, z, p, q reelle Parameter mit (z/2) 2 ~< - w - 1 und (q/2) z ~
--1
(1 )
-1
und
1
0=
-1
'
-1 dann gilt Fo = (A, a) fiir (p, q ) ~ ( - w, - z ) und Fo = (A, a, O) fiir (p, q)= ( - w , - z), wobei die Kollineation 0 die Orientierung der eindimensionalen Bahn umkehrt und die beiden Halbbiischel vertauscht. Die Ebenenschar ist 4-parametrig. Beweis. (a) Herleitung der Gruppe A und der Partition ~3.
Nach Lemma 1 gilt A = R x L2, nnd A hat auf ~3- {S} eine zu • hom6omorphe Bahn ~R und zwei zu ~2 hom6omorphe Bahnen. Wenn wir das Koordinatensystem des ~4 geeignet w/ihlen, insbesondere
dann hat der eindimensionale Normalteiler A von L2 die Form
1
t
~
1
~
DIETER BETTEN
420
ferner wird eine zu A komplement/ire Einparameteruntergruppe B yon L 2 yon einem Endomorphismus y=
d a+l c
b d+l
erzeugt (Lemma 2). Da in S genau ein eindimensionaler Teilraum festbleibt, kann man durch Konjugation mit einer geeigneten 4 x 4-Matrix (D
D)
erreichen, dab a + 1 = d + 1, b = 0 und c = 1 ist. Integration von Y ergibt die Gruppe N =
seaS
eaS
e(a+l) s se(a+i)s
,
sE[t~
.
e(a+1)s
Die Bedingung B = S A ergibt ea~eaSe("+1)Se(a+ t) s = l ffir alle s, also a = --½. Wie in Satz 1 erMlt man die Partition ~3, indem man die Gruppe L z = A B auf die drei Repr/isentanten W,
(0w lZ)ulad
(;
ql)
der drei Bahnen anwendet. (b) Existenz. Sei z = ((a, fi),--+( f ( a , fl), g (a, fi)) die zum Btischel geh~Srige abbildung der (c~, fl)-Ebene. Die c~-Achse geht in die fi-Achse fiber, sie wird also transversal abgebildet. Sei jetzt a = k f l , k e ~ , eine Gerade dutch (0, 0) und (e, fl) ein Punkt auf ihr. Dann schneidet die Parallele zu dieser Geraden dutch den Punkt (a, fi)* die c~-Achse in x = f - k g . Im 'oberen' Halbbiischel gilt x = = w e ~ - s 2 e ~ - z s e ~ - k (se ~ + z e ~ + t ) , und Einsetzen yon t = s e ~ + k e ~ liefert x = e ~[ ( w - k 2 - z k ) + s ( - z - 2k) - s2]. Als notwendige Bedingung ffir die Transversalit/it haben wir, dab x monoton in s ist, dab also d x / d s = e s [ w - k 2 - z k - z - 2 k + s ( - z - 2 k - 2) - s 2] definit ist. Ftir die Diskriminante D der quadratischen Gleichung in s muB also D ~<0 gelten, und dies liefert die notwendige Bedingung D = [ ' - (z + 2k + 2)] 2 + = z 2 + 4 + 4w ~< 0. Insbesondere gilt w < 0.
4(w-
k 2-
zk-
z-
2k) = (1)
4-DIMENSIONALE TRANSLATIONSEBENEN
421
Eine entsprechende Rechnung im unteren Halbbtischel ergibt die notwendige Bedingung q2 + 4 - 4p ~< 0,
(2)
und daraus folgt p > 0. Nun wollen wir zeigen, dab die Bedingungen (1) und (2) zusammen zur Existenz der Ebene P~,,z,p,~ hinreichen. Die Geraden der Form fl = const. werden offenbar transversal abgebildet. Auf einer Geraden durch Null gilt im oberen Halbbiischel x ~ - oo bzw. x -~ 0 ffir s -~ oo bzw. s ~ - oo und im unteren Halbbiischel x ~ oo bzw. x ~ 0 ftir s ~ oo bzw. s ~ - o% das heil3t, die Geraden dmch Null werden transversal abgebildet. Wegen w < 0 und p > 0 folgt, dab die Beschr/inkung yon z auf die fl-Achse topologisch ist und durch Anwendung der Gruppe A folgt hieraus, dab ~ e i n transversaler HomiSomorphismus der (e, fl)-Ebene ist. (c) Isomorphietypen und voUe Kollineationsgruppe. Sei q~:R4~ E4 eine lineare Abbildung, welche die Partition ~3. . . . r,q in die Partition ~ w , , ~ , , p , , q , iiberftihrt. Dann folgt wie in Satz 1, dab S * = S gilt. Wegen der Transitivit/it von A auf der Bahn R k~Snnen wir auch W ~ = W annehmen, und (p hat die Form
(0 o) Da q~ die v-Achse festl/iBt und transitiv auf der Menge der iibrigen eindimensionalen Teilr~iume von S operiert, k~Snnen wir ferner
o_(m ansetzen. Wegen ~ =
R folgt D = c C , also
(a / (1 / d
~o =
ac
'
dc/
und da bei Konjugation mit ~o die Gruppe B in sich iibergeht, ist a = d . Bis auf eine Streckung des R 4 k/Snnen wir also
(P=
1
¢
c/ annehmen.
422
DIETER BETTEN
Sei zun~chst c > 0, dann geht die durch (e, fl) = ( - se ~, e ~) indizierte Gerade des oberen Halbbiischels unter 9 fiber in ( - c s e ~, ce ~) ffir jedes s t R. Es mug also gelten - cse ~= ( - S + S o ) e (*+s°) mit e~°= c, und daraus folgt s o = 0 und c = 1. Fiir ~o ist auger der Einheitsmatrix nur noch die Matrix
Q=
(1 ) 1
-1 -1
m~Sglich, und diese Abbildung ftihrt die Partition ~3. . . . p,~ fiber in ~ 3 - p , - q , - w , - z . Daraus folgt, dab zwei Ebenen Pw,~,p,q und Pw,,~,,p,,~, genau dann isomorph sind, wenn (w', z', p', q ' ) = ( w , z, p, q) oder (w', z', p', q ' ) = ( - p , - q , - w , - z ) gilt. Durch Anwendung dieser Uberlegungen auf den Fall (w', z', p', q') = (w, z, p, q) ergeben sich die Aussagen tiber die Standgruppe F o. SATZ 3. Die zusammenhtingende Standgruppe A = ( F o ) 1 auf einem eigentlichen Punkt 0 ~ R 4 einer nicht-desarguesschen 4-dimensionalen Translationsebene sei 3-dimensional und halte genau eine Gerade S~O fest. Ferner sei der KernAts ~ eindimensional, und A wirke transitiv auf dem Raum Ps der eindimensionalen Teilraume yon S. Schlie]3lich operiere A nicht transitiv auf ~ - { S } . Dann ist A das direkte Produkt der positiven Streckungsgruppe des R 4 und der Gruppe L2 = AB mit
A/(I ) 1
t
,
t~R
1
und
[/e -s/2toss B = I ( e-~/z sins
[\
-
e-s/2sins e -~/2 coss
toss e ~/2 e s/2
/ - e '/2 sins
sins
e s12
] '
s~R
,
coss]
und A hat auf ~3 - {S} genau eine zu ~ und zwei zu ~2 hom6omorphe Bahnen. Die Ebene wird yon folgender Partition des R4 in 2-dimensionale Teilrdiume erzeugt:
423
4-DIMENSIONALE TRANSLATIONSEBENEN
f,{e'( - (w + 1)sins c o s s + z sin Es) + t to ( \ e *(w cos 2 s - z sin s cos s - sin 2 s) e~(cos 2 s - z sin s cos s - w sin Es) ~ e*(ZcosEs + (W + 1) COSssins) + t / '
s, t e N} ./
J'/e* ((1 - p) sins coss + q sin2 s) + t to "[k,e*(p cos Es + sin 2 s - q sins coss) e~( - cosEs q s i n s c o s s - p sinEs)~ e*((p-1) sinscoss+qcosEs)+t]' -
}
-
s, t e R
,
wobei w, z, p, q reelle Parameter sind mit 4(zE+(w+l)2)+z2+4w<~O, 4(qZ+(p-1)Z)+qE-4p<~O und (w, z, p, q ) ¢ ( - 1 , O, 1, 0). Umgekehrt existiert zu jedem Parametertupel w, z, p, q mit diesen Bedingungen eine nicht-desarguessehe 4-dimensionale Ebene Pw, z, p, q, und zwei Ebenen Pw. z, p, q und Pw,,z,,p,,q, sind genau dann isomorph, wenn (w', z', p', q')=(w, z, p, q) oder (w', z', p', q ' ) = ( - p , - q , - w , - z ) gilt. Sei (-1
/
(1
-1
/ 1
a =
- 1
und Q = -1}
- 1 -1/
dann gilt F o = ( A , a) fiir (p, q)v~(-w, - z ) und Fo=(A, a, Q) fi~r (p, q)= = ( - w , - z ) , wobei die Kollineation ~ die Orientierung der eindimensionalen Bahn ~ umkehrt und die beiden Halbbiischel vertauscht. Die Ebenenschar ist 4-parametrig. Beweis. (a) Herleitung der Gruppe A und der Partition ~ . Wie in den Siitzen 1 und 2 folgt A = R x LE, und der eindimensionale NormaltelleI A v o n Lz wirkt trivial auf S und hat die Form
1 t
,
teR .
1
Sei B die zu A in LE komplement/ire Einparametergruppe, die der Standgruppe yon L 2 auf W=
o)
0 ~t
entspricht. Nach Voraussetzung wirkt B transitiv auf dem Raum der eindimensionalen Teilr/iume von S, das heiBt, bis auf Konjugation wirkt B
424
DIETER
BETTEN
auf S als Spiralgruppe
keks sin s
e ks c o s s ] '
se ~
1 ,
k e ~.
Diese Spiralgruppe wird yon dem Endomorphismus
(~ :1)
(~_1 /
erzeugt, und daher wird nach Lemma 2 die Gruppe B yon dem Endomorphismus y=
k
k+ 1
L 11
erzeugt. Integration liefert die Gruppe
[k[/ek~coss --ekssins COSS ~ B = 1 { ekssins ek~cOss e(k+l)~ - e(k+l)~sins ; e(k+l)s sins
e(k+l)s
] sen
.
COSS/
Wegen B c SA ergibt sich e2k~e2(k+1)~= 1 fiir alle s e R, und wir erhalten fiir k den Wert k = -½. Anwendung der Gruppe L 2 = AB auf die Repr/isentamen W, (O : ) u n d
(;-ql)
der drei Bahnen ergibt das im Satz angegebene Biischel ~3.... v, q" (b) Existenz. Das durch/~ > 0 gegebene obere Halbbtischel ist genau dann komplement/ir, wenn ftir jedes ;~=(s,t) eL 2 aus folgt
(0w :), - (0w zJ]~,~= 0
(o ~),(o 1)
Dabei ist die letzte Gleichung wegen [3, Lemma 6] gleichwertig zu
(a) a
a
a
425
4-DIMENSIONALE TRANSLATIONSEBENEN
das heiBt s = t = 0. Es ist
(ow 1;,, (ow z)l= -
= t 2 + z(e s - 1) t -
we 2~ + e~( - z z +
+ (w + 1) 2 sin/s + 2w) - w, und da h(0, t ) = t 2 genau die Nullstelle t = 0 hat, haben wir als Komplementarit/itsbedingung, dab die quadratische Funktion in t fiir jedes s ~ 0 eine negative Diskriminante hat: (z 2 + 4w) (e s - 1) z + 4eS(z 2 + (w + 1) 2) sin2s < 0
fiir alle s#0.
Wenn wir durch e s teilen und A = z 2 + 4w, B = 4 (z2+ (w + 1)z) abkiirzen, ist die letzte Aussage gleichwertig zu k(s)=A(e ~-2
+e-')+
Bsin2s
ffiralle
s¢0.
Es ist k" (s) = A (e ~+ e- ~) + 2B (2 cos 2 s - 1), und wegen k (0) = 0 erhalten wir die notwendige Bedingung k" (0) ~<0, also A + B = z z + 4w + 4(z 2 + (w + 1) 2) ~< 0.
(1)
Wenn umgekehrt diese Bedingung erffillt ist, dann folgt k" (s) ~ - 2B (cosh s - (2 cosZs - 1))~<0 ftir alle s ~ , denn es ist B~>0 und coshs~> 1 >12 cos2s - 1 ffir alle s~R. Aus k"(s)<~O fiir alle s folgt aber nun k ( s ) < 0 ftir alle s # 0 , alas heiBt das obere Halbbtischel ist komplementiir. Die analoge Oberlegung im unteren Halbbiischel ergibt die Bedingung 4((p -. 1) z + qZ) + qZ _ 4p <~ O.
(2)
Aus der ersten Bedingung folgt z z + 4w <<.z z + 4w + 4 (z 2 + (w + 1)2) ~ O. W~re z Z + 4 w = 0 , dann folgte z = 0 und w = - 1 und z Z + 4 w = - 4 # 0 , ein Widerspruch. Somit ist z 2 + 4 w < 0 , und aus der zweiten Bedingung folgt entsprechend q2 _ 4p < 0. Nun wollen wir nachweisen, dab die beiden Bedingungen (1) und (2) hinreichend zur Existenz der Ebene Pw,~,p,q sin& Wegen z 2 + 4w < 0 ist (0w
lz)-(t
das heiBt, die Gerade
(o
t) = t 2 - z t - w < O ,
426
DIETER BETTEN
liegt komplement/ir zu jeder Geraden der eindimensionalen Bahn .R. Wegen der Transitivit/it yon L2 auf dem oberen Halbbtischel folgt, daB dieses komplement/ir zu £t liegt. Entsprechend impliziert die Ungleichung q2_ 4p < < 0, daB das untere Halbbiischel komplement/ir zu !;t ist. Wegen (1) durchl/iuft fl (s) = e ~( - w sin z s + cos z s - z sins coss) monoton das Intervall (0, + m) und f(s)=eS(w cos2s-sinZs-z sinscoss) monoton das Interval1 ( - 0% 0), wenn s yon - oo b i s + oo bzw. yon + oo his - oo variiert. Daraus folgt, dab L2 auf {(e, fl), eeR,/3>0} und auf {(f, g), f < 0, g ~ R} jeweils scharf transitiv operiert, und daB die Beschr/inkung von = ( ( e , / 3 ) ~ (f, g)) auf die obere Halbebene (fl > 0) ein Hom/5omorphismus ist. Entsprechend folgt aus (2), daB die Beschr~inkung yon • auf die untere Halbebene (/3<0) topologisch ist. Es streben (e(s, t),/3(s, t)) und (f(s, t), g (s, t)) gegen (0, 0) genau wenn (s, t) gegen ( - oo, 0) konvergiert, und daher ist • bei (0, 0) stetig. Wegen der Existenz der Gruppe A folgt, daft z ein Hom~5omorphismus yon der (c~,/3)-Ebene auf die (f, g)-Ebene ist. U m die Transversalit/it yon • nachzuweisen, gentigt es wegen der Gruppe A, nut die Geraden durch den Nullpunkt za betrachten. Sei L t die Gerade durch die Punkte (0, 0), (t, 1) und ( - t, - 1) und L +, L~- die entsprechenden von Null ausgehenden Halbgeraden (ohne den Nullpunkt). Aus der Komplementarit/it des oberen Halbbtischels folgt, daB ftir je zwei verschiedene Punkte x, y s L + die Verbindungsgerade von x' undy" nicht parallel zu Lt ist. Es ist (t, 1)'=(w, z+t), ( - t , - 1 ) ' = ( p , q - t ) , und aus den Bedingungen z Z + 4 w < 0 und q 2 - 4 p < 0 folgt (z+t) t - w > O und ( q - t ) t - p < O fiir alle t. Daraus folgt, dab ftir jedes t die zusammenh/ingenden Mengen (L +)' und (Lf-)' auf verschiedenen Seiten von L~ liegen, und daher ist das Biischel ~3~,,z, p, q komplement/ir. Schliel31ieh miissen wir nachweisen, dab fiir jedes ts R die Linie (Lt) ~jede Parallele von L t schneidet. Sei (c~,~3)eL+, und die Parallele zur Geraden L t dutch (e,/3)" m6ge die ~-Achse im Wert cr schneiden. Dann ergibt eine Rechnung wie in den S/itzen 1 und 2: a=eSQ(sins, coss). Dabei ist Q eine quadratische Form in sins und toss, welche wegen der Komplementarit/it des oberen Halbbiischels definit ist. Es folgt, daB cr dem Betrage nach gegen strebt fiir s ~ oo. Zusammen mit der entsprechenden Dberlegung ftir L7 im unteren Halbbtischel ergibt sich die Transversalit/it yon v. Der Ansatz g (s, t)= Ae (s, t)+ Bfl (s, t) ftir alle s und t mit Konstanten A und B ergibt im oberen Halbbiischel w = - 1, z = 0 im und unteren Halbbiischel p = 1, q=0. Somit erzeugt ~3,~,~,p,q genau dann eine desarguessche Ebene, wenn (w, z, p, q) = ( - 1, 0, 1, 0) gilt. (c) Isomorphietypen und volle Kollineationsgruppe. Fiir (w, z, p, q)v a ( - 1 , 0, 1, 0) erzeugt fB.... p, q eine nicht-desarguessche Ebene, und wie in Satz 1 folgt, daB die voile Standgruppe Fo der Partition
4-DIMENSIONALE
TRANSLATIONSEBENEN
427
7-dimensional ist und die Gruppe A als Zusammenhangskomponente der Eins besitzt: A=(Fo) ~. Sei ~ o : R 4 ~ 4 eine lineare Abbildung mit (~,z,p,~)~'=~3~,,~,,p, q,, dann induziert ~o einen Isomorphismus (cp, ~5~-~ ~-~o-~fi~o): (R 4, A) -~ (~4, A) von linearen Transformationsgruppen. Wegen der Transitivit~t yon A auf der eindimensionaien Bahn g k6nnen wir annehmen, dab W unter ~pin W iJbergeht, das heil3t, die Gruppe B wird von ~o normalisiert. Da der Normalisator der Spiralgruppe \e ks sin s
eks cos s ] '
se
ftir k # 0 genau die Drehstreckungsgruppe ist, hat die Beschr/inkung yon q) auf S die Form
1) und wegen der Transitivit/it von A auf dem Raum der eindimensionalen Teilr/iume yon S k6nnen wir hierbei noch d = 0 annehmen. Da 3t in sich iibergeht, hat q~ die Form a c c
(1) (1 )
und durch Hintenanffigen einer Streckung des R4 k6nnen wir schliel31ich 1
(P=
C
C
annehmen. Ffir
~o=
1
-1
gilt
(~w,z,p,q) ~ = N-v, -q,-w,-z,
-1 und die Aussagen fiber die Isomorphietypen und die voile Standgruppe ergeben sich wie in Satz 2. SATZ 4. Die zusammenhiingende Standgruppe A = (Fo) 1 auf einem eigentlichen Punkt 0eR 4 einer nicht-desarguesschen 4-dimensionalen Translationsebene sei 3-dimensional und halte genau eine Gerade S~O fest. Ferner sei A
428
DIETER
BETTEN
isomorph z u R 3 und fixiere mindestens einen eindimensionalen Teilraum yon S. Dann ist der KernAEs3 eindimensional, A wirkt transitiv auf ~ 3 - { S } , und A wird yon folgenden Einparametergruppen erzeugt:
i( r
r>0],
r Y
1
,
t
te~
1
und
B ---
I(
s
1
s2/2
s
1
sa/6 + gs2/2 + fs
s2/2 + gs
s
Die Ebene wird erzeugt yon der Partition ~:,g=
"
_s3/2_gs2/2+ f s s2/2+gs+t
I,
)] ;
I
s, t e R
s E [~
.
} u{S},
wobei f und g reelle Parameter mit g2+4f~
r o/ A ~- Z2 x z2. Auch fi~r (f, g)=(0, 0) ist ~3:,g eine topologische Partition des erzeugt aber eine Ebene mit 8-dimensionaler kollineationsgruppe. Beweis. Lemma 1 und E4, Satz 2].
SATZ 5.
R4, sie
Sei P=(P, .~) eine nicht-desarguessche 4-dimensionale Translationsebene mit 7-dimensionaler Kollineationsgruppe F. Die Gruppe A =(Fo) 1 halte genau eine Gerade S dutch 0~R 4 fest, und der K e r n K = A t s ~ sei Odimensional. Dann hat A auf ~ - {S} genau eine zu R und zwei zu ~2 hom6omorphe Bahnen, und A ist das direkte Produkt der positiven Streckungsgruppe des R 4 und L 2 = AB mit
A =
i(
tz/2
[\?/6
1) t
1
t2/2
t
1
;
t~R
4-DIMENSIONALE TRANSLATIONSEBENEN
B
=
l(e-3sj
)
e-S~2 esl2
,
429
s~
e3S/2 Die Ebene wird yon folgender Partition des ~4 erzeugt:
~.~.,., u
?/3
= {s} u
t~/2 '
{(
t~R}u ,
we a~ - (z + 1) te z~ - ta/3
f[
-- t2/2 + e 2~
+ ( 1 - q) te2'- t3/3
). ).
t2/2 + ze z~ , ,
t2/2 + qe 2~ ,
s, t~ ~} s, t~R},
wobei w, z, p, q reelle Parameter mit (3w) 2 ~< - 16z(z+ 1), (3p) z ~<16q(q- 1), q>0, z < 0 und (w, z, p, q)#(O, -½, 0, 3) sind. Umgekehrt gibt es zu jedem Parametertupel w, z, p, q mit diesen Eigenschaften eine nicht-desarguessche 4-dimensionale Translationsebene Pw, 2, v, q mit 7-dimensionaler Kollineationsgruppe, und zwei Ebenen P . . . . v, q und Pw,, z,, p,, q, sind genau dann isomorph, wenn (w', z', p', q') = ( - w, z, - p , q) oder = (w, z, p, q) gilt. Fiir (w, p) # (0, O) gilt 1"o/A ~ Z 2, wobei die Nebenklasse yon
(1
)
-1 -1 -1
repriisentiert wird. Fiir (w, p ) = (0, O) ist Fo/A ~ Z z x Z2, und es kommt noch die yon der Spiegelung -1 1
-1 repriisentierte Nebenklasse hinzu. Diese Spiegelung kehrt die Orientierung der eindimensionalen Bahn um und fiihrt die beiden Halbbiisehel jeweils in sieh i~ber. Aueh fi~r (w, z, p, q)=(0, -½, 0, 3) existiert eine 4-dimensionale Translationsebene. Diese ist aber isomorph zur Ebene mit irreduzibler Kollineationsgruppe [5], und 1" ist dann 8-dimensional. Beweis. (a) Herleitung der Gruppe A.
Da A mit 0-dimensionalem Kern auf S wirkt, folgt A -~L 2 × ~. Seien A und B der eindimensionale Normalteiler bzw eine komplement~re eindimensionale
430
DIETER BETTEN
Untergruppe von Lz, und A und B m~Sgen yon den Vektorfeldern X bzw. Y erzeugt werden. Dann k~Snnen wir ansetzen
X = x ey + 0*ix ~u +/3iY ~u + f i x ~v + giY ~v + u Ov O
O
~
O
O
O
r = a2x U~ + c2~ ~y + d2y ~ + ~2~ ~ +/3~Y g + L x £ + O O 0 0 + gzY g + m2u ~u + r2u ~v + nzv g" Die Kommutatorbedingung IX, Y] = X liefert das Gleichungssystem d2 - a2 = 1
(1)
/32 + oqm2 - a20*l - c2/31 = oq
(2)
92 + air2 + f , n2 - czg, -- 0*2 -- a2f, = f ,
(3)
fl,m2 - 4/3i = 13,
(4)
gin2 - d2gx -/32 + farz = g,
(5)
n2 - m2 = 1
(6)
Integration yon X liefert die Gruppe
A =
1 t
1
0*~t +/31tz/2 f~t + (0*2 + gl) t2/2 + fl~t3/6
flit g~t + /3,t2/2
1 t 1
) r ;
teR
.
Wit nehmen wieder an, dab der 2-dimensionale Teilraum
;) zum Btischel geh6rt, dann gilt
At +
elt2/2 -/31t3/3
91t + flltz/2] '
ten
,
und aus der Komplementaritgt des Bfischels folgt, dab die letzten Matrizen ftir t # 0 eine nicht verschwindende Determinante haben:
t2((0*lgl-/3~fl)-/31git/2+[J~tz/12)#O
ffir
t#0.
(7)
(a) Falls /31=0 ,st, folgt 0*igl#0, und dmch Konjugation mit einer ge-
4-DIMENSIONALE TRANSLATIONSEBENEN
431
eigneten Matrix
( a a m r
) m
ktinnen wir annehmen, dab
(" fl
gl
o)
gl
'
g l # O,
gilt. (b) Ftir ]/1 # 0 kt~nnen wir durch Konjugation erreichen, daB
ist, auBerdem ktinnen wir durch Addition eines geeigneten Vielfachen von X zu Y annehmen, dab fie = 0 ist. Im Fall (a) sei zun/ichst A transitiv auf ~ 3 - { S } = W a. Fiir ]/2#0 ist d2 - m2 = ]/2 # O, und Integration von Y ergibt
. . .
edz s
B=
em2S 2 d2 _ m e
wobei wir die mit '...' bezeichneten Elemente nicht explizit benStigen. Anwendung von L2 ~ AB auf
• (00 00) gibt das System 2-dimensionaler TeiMiume
und bier werden rechts oben nicht alle reellen Zahlen angenommen, das heil3t, es entsteht keine Partition. Wenn f12=0 ist, dann haben alle 2 x 2Matrizen von W L2 rechts oben eine Null, bilden also auch keine Partition. Jetzt nekmen wir im Fall (a) an, dab A auf ~ - {S} eine eindimensionale Bahn hat. Das Koordinatensystem sei so gelegt, dab die Gerade Wzu dieser Bahn geh6rt. Die Gruppe B halte W fest, also e2=fla=f2=g2=O. Aus
432
DIETER BETTEN
(a
dem Gleichungssystem (1), ..., (6) folgt, dab B vom Endomorphismus c2 a 2 + 1 a2+l c2g 1
a2 + 2/
erzeugt wird. Die eindimensionale Bahn R = W A besteht aus Geraden der Form
°)
Sei
eine Gerade, die nicht zu .~ geN3rt, dann gilt (0w lz)B= (e("i].l)~ .0..)(0
lz)(:::
e_(a2+1))= (:::
1..)
das heiBt, an der fl-Stelle steht immer die Eins. Da nach Anwendung yon A die Eins dort bleibt, w/fie die Bahn yon
(o :)
unter A eindimensional, ein Widerspruch. Jetzt betrachten wir den Fall (b) und nehmen zun~ichst ~3 - {S} = W a an. Aus dem Gleichungssystem IX, g] = X folgt m2 =a2 +2, und wegen fiE =0 ist auch c2 = 0. Integration yon Y liefert die Gruppe
... B =
e(a2+1)s
( e m 2 ~ - ea2S)
0
e ("2+2)~
; se~
.
2 m2 _ a2 . . . . . . . . .
e(a2 d- 3) s
Anwendung yon B auf W gibt (c~2 (em2".~. e':*)/2 .0..)(e -'2" e_(,2+1,,) = (e2(e2:. 7 1)/2 0..), und anschlieBende Anwendung der Gruppe A gibt das Biischel
{( -t2/2 +~2(e2s. . . . l)/2 .
:);
S,t~R}.
Damit dies eine Partition des R 4 ist, m~ssen in der ersten Zeile alle Paare
4-DIMENSIONALE
433
TRANSLATIONSEBENEN
(e, fl) reeller Zahlen angenommen werden. Insbesondere miil3te fiir t= 0 die Funktion e2(e2~-1)/2 alle reellen Zahlen annehmen, ein Widerspruch. Ira Fall (b) mug also A eine eindimensionale Bahn R auf ~3 - {S} haben. Sei W~R und B die Standgruppe von L2 auf W (e2 =/32 =f2 =g2 =0). Aus dem Gleichungssystem folgt dann m2 =a2 +2, c2=0 und fl =0. Aus der Bedingung (7) ergibt sich g~/4 + fllf~/3 <~O, und wegenfl = 0 folgt auch 91 = 0. Aus (3) folgt dann r2 =0, und wir haben die Gruppen
A=
/(
t2/2
t
[\?/6
1
t2/2 t
) j ;
1
t~N
und e(a2 + 1) s
B=
e(a~+2)s
;
se~ .
e(a2 + 3) s
Wenn wir noch ausnutzen, dab die Gruppe L2 = AB aus Matrizen der Determinante 1 besteht, folgt a 2 = - a , und B hat die Form
B =
/(
e-S/2
e s/2
;
s~ R
e 3s/2 /
(b) Herleitung tier Partition. Anwendung yon A auf die Gerade W liefert die eindimensionale Bahn R = Wa: R=
ta/3
t2/2 ,
t~.
Anwendung yon L 2 auf die beiden Geraden (-w 1 ~ ) u n d
(lp 2)
gibt (-w 1 :)z~={(we3 ~ - t z / 2 - e 2s (z + 1) te 2s -- t3/3 -
(;
2)L2
{( =
-
_tz/2+eZS pe 3 s + ( 1 - q ) te zS-t3/3
t I; t2/2 + ze2S/ t ) tz/2+qe z~ ;
s, t s R } , } s,t~R
.
Diese beiden zu R 2 hom6omorphen Bahnen bezeichnen wir kurz als linkes bzw rechtes Halbbiischel.
434
DIETER
BETTEN
(c) Existenz der Ebene. Die eindimensionale Geradenbahn R entspricht in der (e, 3)-Ebene der Parabel {(-t2/2, t); teR}, das linke und rechte Halbbtischel entsprechen dem Inneien und ~uBeren dieser Parabel. Sei z = ((e, 3 ) ~ ( f (cq fl), 0 (e,/3))) die durch das Biischel gegebene Abbildung und betrachten wir zun~ichst die Beschriinkung yon z auf die Geraden der Form/3 = t = const. Dann gelten ftir ~ >>.- t 2/2 bzw. e = - t 2/2 bzw. ~ <<.- t 2/2 die Gleichungen e = - t 2/2 + e2s bzw. ~ = - t 2 / 2 bzw. e = - t 2 / 2 - e 2s, und man erh/ilt 9 = q e 2 ~ + t 2 / 2 = =q~+(q+l)t2/2 bzw. 9 = t 2 / 2 bzw. 9 = z e Z S + t 2 / 2 = - z o ~ + ( 1 - z ) t 2 / 2 . Hieran liest man ab, dab die Geraden /3=const. genau dann transversal abgebildet werden, wenn gilt qz < O. Sei nun ~ = k/3 + a, k, a t ~, eine Gerade, die nicht zur ~-Achse parallel ist. Dann liefert Schnitt mit der Parabel { ( - t 2 / 2 , t); t ~ } die Gleichung t 2/2 + k t + a = 0 mit der Diskriminante D = k 2 - 2a. Ffir k z - 2a ~<0 verliiuft die Gerade ~ = k/3 + a i m rechten Halbbiischel, fiir k z - 2a > 0 schneidet sie die Parabel echt und verliiuft innerhalb de1 Parabel im linken Halbbfischel. Um die Transversalitiit nachzuprtifen, sei wieder x der Schnittpunkt der Parallelen z u L k , a durch (a,/3)" mit der ~-Achse. Die Inzidenz (a,/3)~Lk, a liefert im linken Halbbiischel die Gleichung e2*= - t 2 / 2 - k t - a , und daraus folgt x = f - k g - a = w e 3 " - ( z + l ) t e 2 ~ - t a / 3 - k t 2 / 2 - k z e 2 ~ - a . Indem wir e 2s als Funktion yon t einsetzen, erhalten wir x = w ( - t 2 / 2 - k t - a) 3/2 + (3z + 1) t3/6 + + k (3z + 1) t2/2 + (a (z + 1) + k2z) t + a k z - a
fiir k 2 - 2 a > 0
und
_k_v/--~_2a<~t<<_k
+
]
/
+ (8)
Entsprechend ergibt sich im rechten Halbbiischel e Z S = t 2 / 2 + k t + a und x = f - ko - a = p e as + (1 - q) te is -- t 3/3 - k (qe 2s q- t 2 / 2 ) - - a, und Elimination yon s liefert x = p ( t 2 / 2 + k t + a) 3/2 -1- (1 -- 3q) t3/6 -Jr + k(1 - 3q) t2/2 + (a(1 - q) - kZq) t - akq - a
fiir k 2 - 2 a ~ < 0 t <<.- k -
4f~-
oderfiir 2a
oder
k2-2a>0 t >~- k + 4~
und
(9)
- 2a
Fiir die Ableitungen nach t erh~ilt man d x / d t = - ~ w ( t + k) ( - tz/2 - k t - a) llz - (3z + 1) x x (-t2/2-kt-a)+z(k z-2a), dx/dt = ~}p(t + k) (t2/2 + k t + a)ll 2 + (1 - 3q) x x (t2/2 + k t + a) + q(2a - k2).
Sei nun zuniichst k Z - 2 a > 0 , dann schneidet die Gerade ot=k/3+a die
435
4"DIMENSIONALE TRANSLATIONSEBENEN
Parabel in den beiden t-Werten mit t 2 / 2 + k t + a = O . Der Punkt, welcher t = - k entspricht, liegt im Inneren der Parabel, und dort gilt z+l
d x / d t = - (3z + 1) ( - k2/2 + k 2 - a) + z ( k 2 - 2a) = - - ~ -
(k z - 2a).
In den beiden Schnittpunkten mit der Parabel gilt dx/dt = z (k 2 - 2a). Damit d x / d t definit ist, mul3 notwendig (z + 1) (k2 _ 2a) z ( k 2 - 2a) t> 0 2 sein. Dies liefert - 1 ~
0. Insbesondere folgt d x / d t ~ O auf der ganzen Geraden c~= kfl + a. Sei jetzt a < 0, dann liegt der Punkt m i t t = 0 innerhalb der Parabel und wir erhalten die Bedingung dx/dtlt=o = - ~ w k ( - a) */2 - (3z + 1) ( - a) + z ( k 2 - 2a) = = - 3 w k ( - a) 1/2 + za + a + z k a <<.0 ftir
alle
k~N.
Die Diskriminante dieser quadratischen Gleichung in k mug ~<0 sein, und dies liefert die notwendige Bedingung (3w) 2 ~<- 16z(z + 1). Jetzt betrachten wir die Geraden ~ = kfl + 1, k~ ~. Dann liegt der Punkt mit t = 0 im rechten Halbbiischel, und dort gilt d x / d t = } p k + (1 - 3q) + q(2 - k 2) = } p k + (1 - q) - qk 2 .
Die Funktion d x / d t n/ihert sich fiir It]--+ oo asymptotisch der Funktion pt~+
( 1 - 3q) t2/2.
Damit d x / d t definit ist, muB also gelten entweder p = 0 und 3q= 1 oder _3p
245
< II - 3q1/2
Im ersten Fall w~ire auf den Geraden ~ = kfl + 1 mit k 2 = 2 identisch d x / d t = 0, und diese beiden Geraden wiirden nicht transversal abgebildet. Daher gilt der zweite Fall, und ffir Itl --+ oo hat dx/dt das Vorzeichen yon 1 - 3 q . Damit erhalten wir die Bedingung ( } p k + (1 - q) - qk 2) (1 - 3q)/> 0
Ftir k = 0 gibt dies ( 1 - q ) ( 1 - 3 q ) ~ > 0 ,
ftir alle k ~ U .
also 0l. W~ire
436 O < q ..<1 .~,
D I E T E R BETTEN
also 1-3q~>O, dann folgte ~pk+(1-q)-qk
2>/0
fiiralle
ke~
im Widerspruch zu q>0. Es folgt q~> 1 und 1 - 3 q < 0 und damit ~pk + ( 1 - q) - qk z <<.O fiiralle
keN.
Die Diskriminante dieser quadratischen Gleichung in k muB ~<0 sein, und dies ergibt die notwendige Bedingung (3p) 2 .N<16q(q - 1),
(II)
auBerdem haben wir die Bedingungen q>0
und
z<0
(III)
Nun wollen wir zeigen, dab die Bedingungen (I), (II) und (III) zusammen hinreichend zur Existenz einer topologischen Ebene Pw, z, ;, q sind. Wenn wir A = t + k und B = (t 2/2 + kt + a) 112 abkiJrzen, dann ist A z - 2B z = k 2 - 2a, und im rechten Halbbtischel gilt d x / d t = 3 p A B + (1 - 3q)B z + q(2B 2 - A z) = = (1 - q)B z + - } p A B - qA z <. O,
denn nach Bedingung II ist die Diskriminante dieser quadratischen Form in A und B ~<0. Im rechten Halbbiischel gilt also immer dx/dt <. O. Jetzt betrachten wir denjenigen Tell einer Geraden e = kfl + a, k 2 - 2a > 0, der innerhalb der Parabel verl~iuft. Wenn wir A = t + k und B = - t a / 2 - k t - a abkiirzen, dann ist A 2 - 2B-- k 2 - 2a und dx/dt = - ~ w A B - (3z + 1) B z + z ( A 2 + 2B 2) = = - (z + 1)B z - -~wAB + z A 2 <<.O,
da die Diskriminante dieser quadratischen Form in A und B nach (I) nicht positivist. Damit ist gezeigt, dab jede gewtihnliche Gerade der (c~, fl)-Ebene schlicht abgebildet wird. Zur Transversalittit von z miissen wit noch nachweisen, dab fiir jede Gerade Lk, a der Punkt p~ dem Betrage nach gegen oo strebt, wenn der Punkt p auf L k , , gegen ___oo 1/iuft. Aus der Gestalt der Funktion x, (9), folgt, dab hierzu I1 - 3ql/6 > Ipl/2 3/2 hinreicht, oder gleichwertig damit 2 ( 1 - 3q)2> (3p) z. Nach Bedingung (II)ist (3p)2 ~<16q ( q - 1 ) , es gentigt also 2 (1 - 3 q ) z > 16q ( q - 1) zu beweisen. Die letzte Ungleichung ist gleichwertig mit (q+ 1)2>0, und dies ist richtig, da q>0, also q # - 1 ist. Zurn Beweis der Stetigkeit von -c bemerken wir zun~ichst, dab die Beschr/inkung yon z auf das Innere und auf das AuBere der Parabel stetig ist. Die Stetigkeit von z bei den Punkten (c~,fl)e!~ ergibt sich sodann durch Grenztibergang s ~ - oo. Die Surjektivit~it v o n • folgt wie in [5 (d)]. An-
4 - D I M E N S I O N A L E TRA N S L A T I O N S E B E N E N
437
genommen, z w/ire linear, dann lieferte der A n s a t z f = A ~ + Bfl, 9 = Ca + Dfl mit Konstanten A, B, C und D, dab w = 0, z = 1, p = 0, q = - 1 ist. Dies w~ire ein Widerspruch zu den Existenzbedingungen. (d) Isomorphietypen und volle Kollineationsgruppe. F A L L 1. Die Gerade S bleibe unter der linearen Gruppe F o des Bfischels fest. Dann folgt wie in Satz 1 (c), dab Fo 3-dimensional ist. Sei (p eine lineare Abbildung des ~ auf sich, welche die Partition 23. . . . p,q in die Partition 23w,,~,,p,,q, fiberffihrt. Dann k6nnen wit wegen der Transitivit/it von A' auf R' annehmen, dab
=(00 00) ist, dab also q~ die F o r m
o)
hat mit 2 x 2-reihigen Matrizen C und D. Bei Konjugation mit (p geht die Gruppe A in sich, und daraus folgt D = cC mit c # 0. Da die u- und v-Achse unter q~ in sich tibergehen oder vertauscht werden, folgt
und da bei Konjugation mit (p die ausgezeichnete Gruppe B in sich fibergeht, kann der zweite Fall nicht auftreten. Aus der Bedingung R ~°= R' erh/ilt man hieraus
( m3/s2 )
q~ =
m2/s
m
s~ und durch Hintenanfiigen einer Streckung k6nnen wir noch s = 1 annehmen: m2
~o=
m
,
me0.
1 Damit (23. . . . p, q)~oeine Partition der F o r m 23w,~,, p, ~, ist, ist notwendig m = 1 oder m = - l . In diesen F/illen geht 23,~,~,p,q unter q~ in 23. . . . p,q bzw. in 23, . . . . _p,q fiber. Anwendung dieser Oberlegung auf den Fall (w', z',p', q')= = (w, z, p, q) ergibt die im Satz formulierten Aussagen fiber Fo/A.
DIETERBETTEN
438
FALL 2. Die Gerade S werde unter Fo bewegt. Dann kann sie in keines der beiden Halbbtischel hinein bewegt werden, sonst enthielte die Fo-Bahn yon Seine offene Umgebung yon S, Fo w/ire transitiv auf ~3, und die Ebene w/ire nach [3, Satz 3] desarguessch. Es fotgt s r ° = F t u {S}, und wir k6nnen ein ze(Fo) ~ finden mit S ' = Wund W'=S. Die Kollineation tr hat die Form
o) mit 2x2-Matrizen B und C, und wegen ( R u { S ) ) ' = R w (S) erh/ilt man dutch Rechnung
c 1) 3c2/4
tr = 13ca~4 Es gilt
3c2/4) (--Zw
Oz)'~=-l-[(3c3/4z
=
?1)(1
I/c)]=
(3c~4z
3cw/4z "~ _ 3c2/4} '
und da diese Bildgerade wieder im linken Halbbiischel liegt, erhalten wir die Bedingungen
3c z_
l(3_Cw'~Z_eZ s
4 z
2\4z
/
(3c2)
und - ~c 2 = ½
-zw
+z
- ~ ~ (~w ~ + z )
Umformung der letzten Gleichung ergibt
C2W2(~--12)=0. Angenommen, die Klammer w/ire Null, dann folgte z = 1 im Widerspruch zur Bedingung z<0. Daher ist C2W2--~-~0, und wegen c ~ 0 erhalten wir w=0. Nun wenden wir die Abbildung o- mit c = - 1 auf den durch s = 0 und t = 1 gegebenen Teilraum des linken Halbbiischels an:
-
1
1(~ ~_~ =5
~z+~ )
4-DIMENSIONALE TRANSLATIONSEBENEN
439
mit D = - z / 2 + z / 1 2 . Da der Bildteilraum wieder im linken Halbbfischel liegen soll, ergeben sich mit 1 die Gleichungen t 12
81
e 2s'
9D
und
a
1
(¼z + ~) ~ = tn/2 + ze 2s" ,
also 1
11
91
(3z+-~)~)-2D2(-¼z-1)2+Z8D
zl 2D2 ( - ¼ z - 1)2"
Wenn wir die letzte Gleichung mit D 2 multiplizieren und urnformen, ergibt sich ~ ( 1 - z ) D = ½(1 - z ) ( - ¼ z -
1) 2 .
Da z < 0 ist, also 1 - z # 0 , erhalten wir die Gleichung z2+ ~gz+ 1 =0 mit den beiden LSsungen z = - ½ und z = - 3 . Wegen - 1 ~
q0=
(1 0) 2
geht f~o,-1/a,o, 3 tiber in die topologische Partition aus [5], das heigt, die Ebene ist isomorph zur Ebene mit irreduzibler Kollineationsgruppe, und es gilt dimF = 8. Wegen der Voraussetzung dimF = 7 tritt der Fall 2 also nicht auf. BIBLIOGRAPHIE 1. Andr6, J. : f0ber nicht-Desarguessche Ebenen mit transitiver Translationsgruppe', Math. Z. 60 (1954), 156-186. 2. Betten, D.: Nicht-desarguessche 4-dimensionale Ebenen', Arch. Math. 21 (1970), 100102. 3. Betten, D.: '4-dimensionale Translationsebenen', Math. Z. 128 (1972), 129-151. 4. Betten, D. : '4-dimensionale Translationsebenen mit 8-dimensionaler Kollineationsgruppe', Geometriae Dedicata 2 (1973), 327-339. 5. Betten, D. : '4-dimensionale Translationsebenen mit irreduzibler Kollineationsgruppe', Arch. Math. 24 (1973), 552-560. 6. Betten, D.: '4-dimensionale Translationsebenen mit 7-dimensionaler Kollineationsgruppe' (erscheint im J. Reine u. Angew. Math.
440
DIETER BETTEN
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Ansehrift des Verfassers: Dieter Betten, Math. Inst. der Universit~t, D-74 Tiibingen, A u f der Morgenstelle 10 Bundesrepublik Deutschland (Eingegangen am 31.3. 1974)
