4-dimensionale Translationsebenen mit kommutativer Standgruppe

Math. Z. 154, 125-141 (19;/7)

Mathematische Zeitschrift

9 by Springer-Verlag 1977

4-dimensionale Translationsebenen mit kommutativer Standgruppe Dieter Betten MathematischesSeminarder Universit~it,Olshausenstral3e40-60, D-2300 Kiel, BundesrepublikDeutschland Herrn Giinter Pickert zum 60. Geburtstag

Einleitung Nachdem in [23] gezeigt worden war, dab jede 4-dimensionale projektive Ebene mit mindestens 9-dimensionaler Kollineationsgruppe desarguessch ist, und in [24, 25, 8], dab jede 4-dimensionale projektive Ebene mit 8-dimensionaler Kollineationsgruppe (bis auf Dualit~it) eine Translationsebene ist, wurden in [ 3 - 7] die 4-dimensionalen Translationsebenen mit 8- und 7-dimensionaler Kollineationsgruppe weitgehend bestimmt. Nut bei den Translationsebenen mit genau einer Fixrichtung ['7] blieben einige Situationen ungekl/irt. Diese verbleibenden F~ille werden in der vorliegenden Arbeit behandelt. Dabei ergibt sich noch genau eine Schar nicht-desarguesscher Ebenen. Die Standgruppe der Kollineationsgruppe auf einem eigentlichen Punkt ist dabei kommutativ und wirkt transitiv auf dem Komplement des Fixelementes auf der Translationsachse. Damit ist die Klassifikation aller 4-dimensionalen Translations.ebenen mit mindestens 7-dimensionaler Kollineationsgruppe abgeschlossen. Da jede 4-dimensionale Translationsebene eine mindestens 5-dimensionale Kollineationsgruppe besitzt und die Ebenen mit 5- und 6-dimensionaler Kollineationsgruppe sich nicht dutch endlich viele Parameter beschreiben lassen, ist das erzielte Ergebnis in gewissem Sinne bestm6glich. Wir w/ihlen die Bezeichnungen wie in den Arbeiten [ 3 - 7]. Insbesondere sei ~3 die Partition des 11t4 in 2-dimensionale Teilr~iume, welche die Translationsebene erzeugt, F sei die volle Kollineationsgruppe der Ebene und A =(Fo)1 die Einskomponente der Standgruppe auf dem eigentlichen Punkt 0E1R4. Im IR4 m6ge ein (x, y, u, v)-Koordinatensystem so gegeben sein, dab der durch x = y = 0 definierte Teilraum S zu ~3 geh6rt. Jede andere Gerade durch 0 wird dann beschrieben durch eine lineare Abbildung u=ax+fiy, v=fx+gy, und wir bezeichnen sie kurz dutch ihre Koeffizientenmatrix -(a fi].- Es sei K=ALsI={b~A,

\fg ] p~=p fiir alle p~S} der auf S induzierte Kern. Mit Ps bezeichnen wit den Raum der eindimensionalen Teilr~iume des 2-dimensionalen Vektorraumes S. Dann gilt folgendes

126

D. Betten

Lemma. Aufier den in [6, 7] hergeleiteten Ebenen k6nnen weitere nicht-desar-

guessche 4-dimensionale Translationsebenen mit 7-dimensionaler Kollineationsgruppe h6chstens in folgender Situation vorkommen: dim K = l , d transitiv auf ~3 - {S} und A transitiv auf Ps. Beweis. Nach [7, Lemma 3] gilt dim K __<1, und alle Ebenen mit dim K = 0 wurden in [7, Satz 5] hergeleitet. Ftir dim K = 1 und A nicht transitiv auf ~3 - {S} wurden alle Ebenen in den S~itzen 1, 2 und 3 yon [7] bestimmt. Diese drei S~itze entsprechen den Fallen, dab A genau zwei eindimensionale Teilriiume yon S oder genau einen eindimensionalen Teilraum yon S festh~ilt oder transitiv auf Ps operiert. Weitere Ebenen gibt es also h6chstens noch fiir dim K = 1 und A transitiv auf ~B-{S}. W~ire dann A nicht transitiv auf Ps, dann hielte A mindestens einen eindimensionalen Teilraum yon S fest, und nach [7, Lemma 2, lies n = d statt n = b] bliebe auch ein eindimensionaler Teilraum des Faktorraumes IR4/S fest. Nach [7, Lemma 1] gilt A ~ ~ x L 2 oder A---IR 3, wobei mit L 2 die nicht-kommutative 2-dimensionale zusammenh~ingende Lie-Gruppe bezeichnet ist. a) Sei zun~ichst A ~ ]R3, dann sind wir in der Situation yon [4, Satz 2]. Im Beweis wurde dort zus~itzlich angenommen, dab ein eindimensionaler Teilraum yon S und ein eindimensionaler Teilraum yon IR4/S festbleibt und daraus eine 2-parametrige Schar yon Ebenen Pc, g hergeleitet. Deren Kollineationsgruppe ist 7-dimensional fiir (f, g) # (0, 0) und 8-dimensional for (f, g) = (0, 0). b) Sei jetzt d ~ IR x L2, dann kann man annehmen, dab der Teilraum S zu ~3 geh/Srt und nach [7, Lemma 2] die Gruppe L 2 schreiben als Produkt der Scherungsgruppe

A=

/(: 1 lt / 1

'

t

1

und der Einparametergruppe B = {est, se IR} mit

y=

(i f

fi g

a+l c

b d+l

)

Da wir annehmen, dab A einen eindimensionalen Teilraum yon S festhiilt, k6nnen wir das Koordinatensystem zus~itzlich so legen, dab b = 0 gilt. Angenommen, es ware d # a + 1, dann ergiibe die Integration des Endomorphismus Y:

B(s) =

e d s - - e (a+l)s

"'

e(a+l) s

fl d - (.a +. l ). . . .

da+l)s /

4-dimensionale Translationsebenen

127

Anwendung der Gruppe L2 ~ AB anf die Gerade W~ (~ ~) lieferte f o l g e n d e 2-dimensionale Teilr~iume des IR4:

ea~--e(a+*)s) (:57 fl d-(a+ 1)

t

...

=

d-(a+l) +t

......

-~+(t ee,)

t)

,

s, telR.

/

Hier werden rechts oben nicht alle reellen Zahlen angenommen, das heigt, es entsteht keine Partition des IR~. Somit folgt d = a + l und in S und in IR*/S bleiben jeweils genau zwei eindimensionale Teilr~iume fest. Durch Konjugation mit (D " -] ( D eine geeignete \ D/ 2 x 2-Matrix) k6nnen wir c = 0 erreichen, die Scherungsgruppe A geht dabei in sich fiber. Indem wir ein geeignetes Vielfaches der infinitesimalen Scherung X=•A addieren, k6nnen wit aul3erdem e = 0 annehmen und erhalten den Endomorphismus

a+l fl g

y=

a+l 0

a+2

Integration ergibt

B(s)= t

f

eas (d"+2)~-e"~)

anwendu.gd r O .ppe (e2~_l)

e(a+l)ss flse(a+l)

e(a+l)s

g(d~+2)~-e (o+t)')

0

au die Oerade

1. e ~"+2)~

(; 00)ergibt

g(e~--l)+ t ,s, telR .

Dieses System 2-dimensionaler TeiMiume ist zwar komplement~ir, es tiberdeckt abet nicht den IR4, da links unten nicht alle reellen Zahlen vorkommen. Damit ist gezeigt, dab bei einer Fixrichtung neue Ebenen h6chstens ffir dim K = 1, A transitiv auf ~3-{S} und A transitiv auf Ps vorkommen k6nnen. Die Ebenen, deren Kollineationsgruppe genau zwei Achsenpunkte festh~ilt, wurden in [-6] vollst~indig bestimmt. (Durch ]-13, Hauptsatz 4.2] wurde ich aber

128

D. Betten

darauf aufmerksam, dab die Ebenen in [-6, Satz l u n d 2] nur fiir p = 0 topologisch sind.) Da nach [-7, Lemma 1] die 7-dimensionale Kollineationsgruppe entweder genau einen oder genau zwei Punkte der Translationsachse festh~ilt, ist damit das Lemma bewiesen. Satz. Die zusammenhiingende Standgruppe A =(Fo) t auf einem eigentlichen Punkt OelR 4 einer nicht-desarguesschen 4-dimensionalen Translationsebene sei 3-dimensional, halte eine Gerade S30 fest und wirke transitiv auf ~ - { S } . Ferner sei der Kern K=ALs I eindimensional, und A wirke transitiv auf dem Raum Ps der eindimensionalen Teilriiume yon S. Dann gilt A ~IR 3, und A wird yon der positiven Streckungsgruppe

I( r) I I I (cos an

und folgenden Einparametergruppen erzeugt :

=

t wt

-

B=

1

'

t~lR

w>O,

'

-

1

sin s

cos s

CSCOSS

cssins

-cssins

cscoss

coss

-sins

wn

'

c>O.

coss/

Die Ebene wird yon folgender Partition des zeugt :

~ 3O ~ ""- { S" } = (

, stir

sirls

IN 4

in 2-dimensionale Teilriiume er-

On)~

{(wnsinscoss+nsin2s+cs+wt = wncos2s+nsinscoss_t

nsinscoss--wnsin2s+t ncos2s-wnsinscoss+cs+wt]" s, t~IR}.

Dabei gilt fiir die Parameter c, w, n die Bedingung n2(w2 + l)20. Umgekehrt liefert jedes Parametertupel c, w, n mit dieser Bedingung eine 4-dimensionale topologische Translationsebene Pc..... . Zwei Ebenen P~. . . . und Pc,,w', ,,(n, n'>0) sind genau dann isomorph, wenn (c', w', n')=(c, w, n) gilt. Sei

~=

und

--1

-I

fl=

n

--

-1

,

4-dimensionale Translationsebenen

129

dann ist F 0 = ( A , ~ ) f i i r w > 0 und Fo=(A,o~,fl) fiir w=0. (Fiir n = 0 erh~It man Darstellungen der desarguesschen Ebene.)

Beweis

(a) Herleitung der Gruppe Bisher hatten wir in ~ihnlicher Situation das Koordinatensystem so gelegt, dab der Teilraum W = ( ~

~)zur

Partition geh6rt, ferner hatten wir immer die

Scherungsgruppe A =Ats J auf die Form

1 t

, ten 1

gebracht und erst dann eine komplement~ire Einparametergruppe B bestimmt. In der jetzigen Situation wird bei diesem Vorgehen das Aufintegrieren des zu B geh6rigen Endomorphismus Y zu kompliziert. Wir normieren daher jetzt zun~chst B, indem wir Y auf Jordannormalform bringen, was eine mtihelose Integration erlaubt. Dann bestimmen wir hierzu A und setzen die erzeugende Gerade von ~3-{S} an als ( 2

u). Nach [3] k6nnen wir die zu ~ - { S } geh6rigen

2-dimensionalen Teilr~iume yon IR4 durch Matrizen der Form

f(ct, fl)

g(g, fl) '

mit geeigneten Funktionen f u n d g beschreiben. Hierbei treten in der ersten Zeile alle Paare (e, fl) reeller Zahlen auf, und zu verschiedenen Paaren geh6ren verschiedene Geraden durch 0elR 4. Wenn eine Untergruppe yon F0 transitiv auf ~3- {S} wirkt, dann induziert sie folglich auch eine transitive Wirkung auf der (e, fl)-gbene. Da A transitiv auf Ps operiert, wirkt A nach [7, Lemma 2] auch transitiv auf 1R4/S, und wir k6nnen den Endomorphismus Y auf eine der folgenden Jordannormalformen bringen:

(a bl )

Y

-

b~

aI

a2

b2

-b2

a2

-

oder

Y=

a

a 1 -b

D. Betten

130

;))

mit bl, b2, b ~ O. Im ersten Fall erh~ilt man durch Integration

eOlS( cosb1 sinbls B(s)=expsY=

- s i n b l s cosbls]

~ ea2 s

und Anwendung auf die erzeugende Gerade (O \m sionale Teilr~iume des IR4: (~

~)BtS)=ea2s( cosb2 s sinb2 \-sinb2s cosb22)( O

= (e (a2-"l'~M(s) \e (a2-al)s f(s)

,

cosb2 s sinb2 \ - sin b2 s cos b2 0] ergibt folgende 2-dimenn/

{ cosbas s i n b l S t ] ~)[ealS\-sinbls cosbls/]

e (. . . . '~N(s)] (c~(s) fl(s)] e (a~-al)s G(s) ] = \f(s) g(s)]'

-1

seN,

wobei M, N, F und G rationale Funktionen in sin b i s, cos b~s, m u n d n sind. Wenn al=a2 gilt, dann ist {(a(s), fl(s)), s~IR} beschr~inkt in der (c~,fl)-Ebene. Falls a 2 - a l + O ist, etwa a 2 - a l > 0 , dann konvergiert (e(s),fl(s)) gegen einen Punkt der (e, fl)-Ebene ftir s ~ - oo. In beiden F~illen erh~ilt man einen Widerspruch, wenn man die von AB auf der (e, fl)-Ebene induzierte transitive Wirkung betrachtet. Es gilt n~imlich folgender Hilfssatz. Die Gruppe G = I R 2 oder L 2 wirke transitiv auf der reellen Ebene und B sei eine Einparameteruntergruppe yon G. Dann zerlegt jede B-Bahn die Ebene in zwei z u ]R E hom6omorphe Komponenten. Beweis. Die B-Bahnen sind entweder gew/Shnliche Geraden oder Exponentiallinien und zerlegen daher die Ebene in der gewiinschten Art. Es bleibt also

y=

-b

a 1

a

'

1 -b wobei wir durch Kombination mit der Streckungsgruppe des IR4 annehmen k6nnen, dab a = 0 gilt. Durch eventuelle Konjugation mit

I t

1 1

/

vl/

4-dimensionaleTranslationsebenen

131

k6nnen wit auBerdem auf b > 0 normieren. Integration und Parameterwechsel s~--~s/b = cs ergibt die Gruppe

/tc~ Sins. ccossc - sin s

B=

~

cos s sins

\-cssins

cscoss

coss -sins

sins

t ] , stiR ,

c>0.

coss/

Die Scherungsgruppe A wird von dem Endomorphismus

X=

0

(i ~

B o

g

0

erzeugt. Die Kommutatorbedingung [X, Y] = k X ergibt folgendes Gleichungssystem: - f l - f =kc~

-g+~=kf f +fl=kg.

W~ire die Gruppe A B nicht kommutativ, also k=t=0, dann folgte g = - c ~ und f = f l . Einsetzen in das Gleichungssystem erg~ibe - k c ~ - 2 f l = 0 , 2 a - k f l = 0 mit der einzigen L6sung ~ = fl = 0. Dann wtirde die Gruppe

A=

J(

die Gerade

1

0

0

ft

gt

(om

1

,

1/

t~lR

/

~) tiberfiihren in die,oTeilr~iumem (o m+ft

diese liegen nicht komplement~ir zu (m

o) ' t~lR,

n+gt

und

~ ) ' ein Widerspruch. Es folgt k = 0

und g = a , f = - f t . Da sich f/fir fl=O keine Partition ergibt (s.u.), ist fl40, und wir k6nnen auf fl= 1, a = w s l R normieren. Dies liefert die Gruppe

A=

wt

1 t

--t

wt

1

, tE1R ,

w~lR.

l

Insbesondere ist A B = IR2 kommutativ, also auch die zusammenh~ingende Standgruppe IR2 x IR.

132

D. Betten

(b) Herleitung der Partition

AnwendungderGruppeABaufdieGerade(Om

0n) ergibt das Btischel

m

={[(

9

cscoss - c s sin s

(coss -sins

cssinst ( c o s s + c s cos s / x - s i n s

sins/-1 coss]

(w: +

sins t (0m coss/

t)

0n)]

} s, t ~ I R

wt ' ={(msinscoss+nsin2s+cs+wt nsinscoss-msin2s+t ] nsinscoss+mcosZs-t -msinscoss+ncos2s+cs+wt] ' s, t~lR}. Damit die Geradenbahn ( O

0n)~taus zueinander komplement~iren Teilr~iumen

besteht, ist notwendig -t-mWt

wttn_ = ( w 2 + l ) t 2 + ( m - n w ) t + O ffir alle t =l=0,

und dies liefert die Bedingung m--n w. Damit ~3. . . . . eine Partition des IR4 ist, muB die yon den zugeh/Srigen Matrizen definierte Abbildung v: (e,/~) ~-~(f(e,/?), g(e,/~)) der (e,/~)-Ebene transversal sein [3], das heiBt z mul3 jede gew/Shnliche Gerade L der (e, fl)-Ebene in eine Linie /2 abbilden, die jede Parallele yon L genau einmal trifft. Insbesondere muB die Gerade /3=0 transversal abgebildet werden: /?=n sin s cos s - m sin 2 s + t = 0 liefert t als Funktion yon s. Einsetzen in g = - m sins cos s + n

COS 2

S-~-CS-~-wt

gibt g = - 2 w n sin s cos s + n cos 2 s + w2 n sin 2 s + c s. Da die ersten drei Summanden beschr~inkt sind, folgt g(s)--, _+oo fiir s ~ _+oo. Die Funktion gist monoton in s, wenn die Ableitung definit in s ist:

g' = ( - 2 w n + c ) cos 2 s+2(w 2 - 1) n sins coss+(2wn+c) sin 2 s. Die Diskriminante dieser quadratischen Form in sins und cos s muB < 0 sein, also (W 2 - - 1) 2 n 2 - ( c - 2 w n ) ( c + 2 w n ) = ( w 2 + 1)2 n 2 --C 2 ~0. Somit erh~ilt man die notwendige Bedingung (W 2 -t'- 1)2 n 2 ~ c 2.

(c) Existenz Wir wollen nun zeigen, dab obige Bedingung auch hinreichend ist fiir die Existenz einer topologischen Translationsebene Pc. . . . -

4-dimensionale Translationsebenen

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1. ~c, ,~,, ist komplement~ir.

Beweis. Wegen der Transitivit~it von AB auf ~B- {S} geniigt es zu zeigen, dab ftir jedes Element

(s,t)eAB, (s, t):# (0, 0), das Bild -( 0

\ w/'l

^"U) 's'', komplement~ir zu /q/

=(w2+l)t2+2wcst+c2s2-(wZ+l)n2sin2s4:0

gir alle (s, t)4=(0,0).

Die Diskriminante dieser quadratischen Form in t mug < 0 sein far alle selR, und dies ist der Fall wegen (w2+ 1)2 n 2 sin 2 s - c 2 s2__<(w2+ 1)2 n2 sZ-c 2 s2_<0. Wir ktirzen im Folgenden ab:

~[~(s,t) fl(s,t)) } ~3..... - { S } = [ \f(s,t) g(s,t) ' s ' t e l R ~(A(s)+cs+wt =(\ F(s)-t

B(s)+t ~ te]R) G(s)+cs+wt]' s, ..I

mit A (s) = w n sin s cos s + n sin z s, B(s) = n sin s cos s-- w n sin 2 s,

F(s)=wn cos2 s + n sins coss, G(s)=n cos2s-wn sins coss. 2. Die Abbildungen (~, fl): (s, t)~---~(o~(s, t), fl(s, t)), (f, g): (s, und ~" (c~,fl)~-~(f g) sind Hom6omorphismen yon IR2 auf IR2.

t)~-+(f(s, t),

g(s, t))

Beweis. Aus der Bedingung ( w 2 - b l ) 2 n 2 = ~ c 2 folgt, dab die Funktion s~--~A(s) +cs-wB(s) streng monoton von - o o bis +oo w/ichst, wenn s yon - o o bis +oo variiert. Hieraus folgt, dab die Linie {(A(s)+cs, B(s)), seN} jede Parallele der Geraden {(wt, t), teN} genau einmal trifft. Somit ist die erste der drei genannten Abbildungen surjektiv und nach 1. injektiv. Da die Abbildung oftensichtlich stetig ist, ist sie nach [3, Hilfssatz 1] ein Hom6omorphismus. Entsprechend folgt aus der Bedingung, dab die Funktion s~--~G(s)+ c s + wF(s) streng monoton yon - c e nach + oe w~ichst, wenn s von - o o bis + oe variiert, und daraus ergibt sich, dab die zweite Abbildung ein HomiSomorphismus ist. Durch Zusammensetzen folgt, dab ~: (~, fl)~-,(f g): IR2---~~,2 topologisch ist. 3. ~3. . . . . iiberdeckt den 1R'~. Hierzu mtissen wir nachweisen, dab f'tir jede Gerade L der (c~,fl)-Ebene das r-Bild E jede Parallele von L mindestens einmal schneidet [3]. (Dal3 E jede Parallele von L h6chstens einmal trifft, folgt aus 1.) Sei die Gerade L gegeben dutch die Gleichung ae+bfi+d=O, etwa a 2 + b 2 = 1, und sei zun~ichst a w + b # 0 . Die Geradengleichung liefert t als Funktion von s und Einsetzen i n f und g liefert das Bild E = {(f(s), g(s)), seN}. Sei L o die Parallele zu L durch den Nullpunkt, dann ergibt sich der Abstand D des Punktes (f(s),

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D. Betten

g(s)) von Lo als

D = af(s) + b g(s) = a(F(s) - t) + b(G(s) + c s + w t) =a (F(s)-~ acs+aA(s)+bB(s)+d] +b ( G ( s ) + c s - w acs+aA(s)+bB(s)+d] aw+b ]" Der Faktor bei s ist (a2+b2)c

aw+b

c 4:0 wegen c > 0 , und daraus folgt die aw+b

Behauptung. Bemerkung: Das Verhalten ftir s ~ + ~

guesschen Bfaschel { ( cs+ t 7 \F(s)

c s +t w t ) ' s ' t e l R }

ist also wie beim desar-

gas beschr~inkte St6rglied

G(s)! macht nichts aus.

Fiir a w + b = O ist a + 0 , und man hat fiir L die Gleichung A(s)+es-wB(s) =d/a. Aus der Bedingung n2(w2+ 1)2__
(d) Isomorphietypen und voile Kollineationsgruppe Die Ebene Pc. . . . ist genau ftir n = 0 desarguessch.

Beweis. Im desarguesschen Fall ist die zur Partition geh~Srige Abbildung z linear [3, Satz 1], und es folgt

f = w n cos 2 s + n sins c o s s - t =H(wn sins c o s s + n sin 2 s + c s + w 0 +K(n sins c o s s - w n sin 2 s + t ) + w n ftir alle s, t e n

mit Konstanten H und K. Koeffizientenvergleich bei t gibt Koeffizientenvergleich bei sins coss liefert n = H w n + K n , und daraus folgt n = 0. Sei umgekehrt n = 0, dann ist g = c~ und f = - / ~ , also z linear und die Ebene desarguessch. Im Folgenden werden wir nur noch den nichtdesarguesschen Fall (n + 0) betrachten. Wir wollen nun die volle Standgruppe Fo der Ebene Pc. . . . berechnen. Diese h~ilt die Gerade S lest, sonst w~ire 1O transitiv auf ~ und die Ebene nach [3, Satz 3] desarguessch. Sei A =(Fo)1 die Einskomponente, dann gilt dim A <4, siehe [23].

-1--Hw+K,

Behauptung. Es gilt AB-~ 1o .

4-dimensionaleTranslationsebenen

135

Beweis. Sei zun~,chst dim Fo = 3, dann geht bei Konjugation mit einem Element geFo die Einskomponente A in sich tiber, ferner deren Untergruppe AB aller Elemente mit Determinante 1. Ftir dim Fo = 4 ben6tigen wir folgenden Hilfssatz. Die 3-dimensionale zusammenhiingende Lie-Gruppe G wirke als topolo-

gische Transformationsgruppe auf der reellen Ebene E und enthalte eine transitive zu 1R2 isomorphe Untergruppe Z. Dann gilt entweder a) die Standgruppe Gx auf einem Punkt x e E hgtlt weitere Punkte y4=x yon E fest, oder .~ b) die Wirkung (E, G) ist affin und Z ist charakteristischer Normalteiler yon G. Beweis. Da die Gruppe G eine 2-dimensionale kommutative Untergruppe besitzt, ist ihre Lie-Algebra nicht einfach, und G i s t das semidirekte Produkt yon IR2 mit einer Einparameteruntergruppe yon GL2(IR). Wenn Gxc IR2 gilt, dann ist der Normalisator von Gx in G echt grSBer als G~, und wir sind im Fall a). Fiir GxmlR2= {0} haben wir eine affine Wirkung. Seien K und Z die Kommutatorgruppe bzw. das Zentrum yon G. Ftir d i m K - - 2 gilt ]R2=K, und fiir d i m K = l , K ~ Z ist I R g = K x Z . In beiden F~illen ist der Normalteiler 11t2 charakteristisch in G. Die Scherungsgruppe (dim K = l , K = Z ) hat nur eine Wirkung vom Typ a), und auch der nichteffektive Fall G = IR3 f~illt unter a). Da die kommutative Gruppe X regul~ir auf E wirkt und der Normalteiler 1R2 aus genau denjenigen Elementen yon G besteht, die fixpunktfrei oder trivial auf E operieren, folgt 22= 1R2, und 22 ist charakteristisch in G. (Bemerkungen: Der Hilfssatz ist eine Art Frobeniussatz f'tir topologische Transformationsgruppen. Die Wirkungen a) finden sich in der Mostow-Liste [16] unter II 3.) Sei A[~] der Ineffektivit~itskern auf ~3 und (A[~])1 die Einskomponente. Im nicht-desarguesschen Fall besteht nach [3, Lemma 3] die letzte Gruppe genau aus den positiven Streckungen des IR4, und wir ktirzen sie mit IR ab. Unter der Annahme dim A = 4 ist nun G=A/IR eine 3-dimensionale zusammenh~ingende Lie-Gruppe, welche transitiv auf dem zur reellen Ebene hom6omorphen Raum ~3- {S} operiert. Die Gruppe G enth~ilt die zu 11t2 isomorphe transitive UntergrUppe AB~-(ABx IR)/IR. Angenommen, die Standgruppe von G auf einem Element W e N - { S } hielte eine weitere Gerade W'e~3-{S} lest, dann enthielte Fo eine 2-dimensionale Untergruppe, welche drei verschiedene Geraden W, W' und S durch 0 festl~iBt, und die Ebene w~ire nach [3, Lemma 6] desarguessch. Somit ist die Wirkung von G = A/IR auf ~3 - {S} nicht vom Typ a) des Hilfssatzes, sondern affin, und (AB x IR)/IR ist charakteristischer Normalteiler yon A/IR. Wegen A/IR<1Fo/IR folgt (AB x IR)/IR~ Fo/IR, also AB x IR-~ Fo, und die spezielle Gruppe AB geht bei Konjugation mit jedem Element g e Fo in sich tiber, also

A B ~ Fo. Sei nun geGL4(IR ) eine lineare Abbildung, welche ~3. . . . . auf sich oder auf . . . . . , abbildet, dann normalisiert g nach der letzten Behauptung die Gruppe

AB, ferner h~ilt g die Gerade S fest. Wir setzen g=(~4.~.. G). mit 2x2-Matrizen F, G u n d M , FundGregulfir, fernerseiT=(W;_

wtt) u n c l E = ( 1

1)'anwen-

dung der Bedingung g_l A B g = A B auf die 2 x 2-Matrix rechts unten (Wirkung

136

D. Betten

auf S) zeigt, dab G eine Drehstreckung oder eine Klappstreckung ist, das heigt, die Form ( p q) bzw. (p q ) hat. Entsprechend zeigt die induzierte Wir-q p q -p kung auf IR4/S, dab auch F eine Drehstreckung oder eine Klappstreckung ist. Da die Scherungsgruppe charakteristisch ist, folgt

also die Bedingung 1

G=~ TF T -t,

k:#O.

Insbesondere sind F u n d G beides Drehstreckungen oder beides Klappstreckungen. Sei D(s)='( \

cos s sins/- dann geht die Einparametergruppe B tiber in coss/'

-sins

(D(s) _( F -1 D(s)F -\G-I[D(s) M+csD(s)F-MF-~D(s)F]

G t D(s) G]"

Hier soll die 2 x 2-Matrix links unten die Form einer Drehstreckung haben, und daraus folgt, dab M die Form einer Drehstreckung bzw. Klappstreckung hat, wenn F u n d G Drehstreckungen bzw. Klappstreckungen sind. Aul3erdem folgt

D(s) M - M F -1 D(s) F = 0 . Links unten steht also der Ausdruck TF -1 T 1 kcs D(s)F, und dies mug fiir alle seIR eine Drehstreckung sein. 1. Sei zun~ichst F eine Drehstreckung, also die Wirkung yon g auf IR4/S orientierungstreu, dann vereinfacht sich der Ausdruck zu kcsD(s). Der Endomorphismus der zugeh6rigen Einparametergruppe hat links unten die Form

(kc kc) UndKtgtsichalsSumme (c c)+y(W_l

lw) nurfiiry=0schreiben.

Somit gilt B g= B und k = 1. Die Matrix yon g hat daher die Form

g=

( q ~o #o - # o ~o

P -q

i

4-dimensionale Translationsebenen

2. Sei jetzt F = [P ! \q

137

q}\ eine Klappstreckung, dann folgt -p !

TF -1 Tkcs D(s) F= TF -1 Tkcs FF -1D(s) F= TF -1 T -t Fkcs D(-s)

=

W2q-1

W2q-1

-2w

w2-1

w2+l

w2q-1

(-k)c(-s)D(-s).

Da gZ orientierungstreu auf IR4/S wirkt, fiihrt g2 und folglich auch g die Einparametergruppe B in sick und zwar wird in Bder Automorphismus s ~ - s induziert. Daraus erhalten folgt daherw= 0, ferner ist ( - 1

G=TFT l = ( - t

t)(~

- 1) ( - k) die Einheitsmatrix, also k = 1. Wir

_~) ( - t

t) - 1 = ( - 1

-1)(qP

-~)'

und somit die Matrix

g=

(ioq \/~o

-c%

-1

:i)

(w=0).

)r

q

-

Damit haben wir den Normalisator Ns(AB) von AB in GL4(1R) berechnet, und zwar ist der Normalisator 4-dimensional. Wegen AB
flo ~ : ) + ( - ~

(

0

Wn

g=

; ) ( won ~)] ( - q

o)

W/'ff

/'1t

gilt:

p)=(w

O'

no' )

gibt das Gleichungssystem

c%+qwn=O, flo + qn =0, -flo +pwn=wn' p-n' q, c~o+ pn =wn' q+n' p, also eo = - q w n, rio = - q n, und in die beiden letzten Gleichungen eingesetzt:

w(n-n')p+ (n+n')q=O, (n-n')p-w(n+n')q=O.

138

D. Betten

Wegen p 2 + q 2 > 0

verschwindet die Determinante der Koeffizientenmatrix:

-(w2+l)(n2-n'2)=O, also n'= i n . Ein Automorphismus ergibt sich nur ftir n'= n (=t=0), und das ist genau der Fall ftir q = 0, c~0 = ro = 0 und

(r) r

g=

r

,

rmu,

r

ist, hat man p=O und bis auf Normierung q = - 1 und

diagonal. Wenn n ' = - n erh~ilt die Matrix

g=

(< ' -1

n

-1

)

"

wn 1

Man priift nach, dab diese Matrix die Partition ~3..... in ~3. . . . . . tiberfiihrt. Diesen Isomorphismus haben wir aber durch die Normierung n > 0 ausgeschlossen. 2. (w=0): [(~

-c%!r~

-1

-1)(~

-qp)(~

On)] (~

qq)-l=(;

2,)

liefert das Gleichungssystem RO = O~

ro --qn=O, -rio = -qn', c%-pn=pn', also Cr ro=qn, q(n-n')=O, p(n+n')=O, was wiederum n'= i n ergibt. Fiir n ' = n ( + 0 ) erh~ilt man p = 0 und (etwa) q = 1 und bekommt die Matrix

n

--1 --1

Diese Matrix fiihrt die Partition

{(

nsinZs+cs nsinscoss-r

nsinscoss+t I s, t6iR t ncos2s+cs /' 9

4-dimensionale Translationsebenen

139

fiber in

{( -

si ,cos § t sms

cos s-

t

~/cos 2 s-

c s

'

und ist in der Tat ein Automorphismus von ~3. . . . . (setze s~--,-s). Ffir n ' = - n bekommt man die Matrix

11 ) -1

1

welche f13. . . . . isomorph auf ~3. . . . . . abbildet. Diesen Isomorphismus brauchen wir wegen der Normierung n > 0 nicht zu beachten. Insbesondere hat sich ergeben, dab die Standgruppe von F0 auf der Geraden (0wn 2) eindimensionat und folglich Fo selbst 3-dimensional ist. Von den drei Parametern c, w und n h~ingen die ersten beiden nur yon der Gruppe ab (Gruppenparameter) w~ihrend der letzte Parameter n v o n d e r Geometrie herkommt (geometrischer Parameter). Um festzustellen, ob die beiden Gruppenparameter sich noch welter reduzieren lassen, machen wir einen Ansatz wie bei der Bestimmung des Normalisators von AB indem wir setzen g-l(AB)c, w g =(AB)c, w'- Dann ergeben sich ftir die linearen Abbildungen g die gleichen Matrizen der Form 1. und 2. wie dort. Unter Matrizen der Form 1. geht (AB)~. w in (AB)~. ~ tiber, fiir Matrizen der Form 2. - etwa

g=

-1 -I 1

- gilt (c, w)~-,(c, - w ) . Wit k6nnen daher noch auf w > 0 normieren.

Bemerkung. Im Beweis von [4, Satz 2] batten wit die zus~itzliche Annahme gemacht, dab ein eindimensionaler Teilraum von S und ein eindimensionaler Teilraum von IR4/S festbleibt. Falls dies nicht der Fall ist, sondern die Standgruppe transitiv auf dem Raum der eindimensionalen Teilr~iume yon S und von IR4/S operiert, dann enth~ilt sie eine Untergruppe A wie in obigem Satz, und folglich ist die volle Kollineationsgruppe nut 7-dimensional. Durch die zus~itzliche Annahme ist daher keine Liicke bei den Ebenen mit 8-dimensionaler Kollineationsgruppe entstanden. 4-dimensionale Translationsebene mit 6- und 5-dimensionaler Kollineationsgruppe. Jede 4-dimensionale Translationsebene besitzt eine mindestens 5-dimensionale Kollineationsgruppe bestehend aus der Translationsgruppe des IR4 und den Streckungen des IR4. Ftir dim F = 6 ist die effektive Wirkung von A =(Fo) 1 auf

140

D. Betten

der Achse eindimensional und daher entweder ~iquivalent zur Rotationsgruppe, oder es ist eine lR-Wirkung. Beispiel 1. Fiir den ersten Fall wurden Ebenen in [2] angegeben. Diese Ebenen wurden beschrieben durch eine reelle F u n k t i o n r F--,F(r), r > 0 . Die Kollineations-

gruppe hat auf der Achse zwei Fixelemente und sonst lauter Kreisbahnen. Wir wollen ein ~ihnliches Beispiel angeben, wenn eine IR-Wirkung auf der Achse vorliegt, etwa

A=

/(: 1

1

t

'

"

1/

Beispiel 2. Sei s ~ - , f ( s ) eine stetige reelle Funktion, die streng m o n o t o n yon + oo

bis - oo Nllt, wenn s yon - oo bis + oo variiert, ferner sei f(0) = 0. D a n n erzeugt t

s

eine 4-dimensionale topologische Translationsebene. Diese Ebene ist genau d a n n desarguessch, wenn f linear ist. Z u m Beweis zeigt man, dab die zum Biischel geh6rige Abbildung z ein transversaler H o m 6 o m o r p h i s m u s ist. Ferner ist z genau d a n n linear, wenn f linear ist. W e n n die F u n k t i o n f allgemein gew~ihlt wird, dann ist die Kollineationsgruppe genau 6-dimensional und besitzt auf der Achse genau ein Fixelement und sonst tauter lR-Bahnen. Die Beispiele zeigen, dab m a n zur Beschreibung der Ebenen mit dim F - - 6 (mindestens) eine Parameterfunktion angeben m u g und nicht mehr mit endlich vielen Parametern wie bei dim F > 7 auskommt. D a h e r k a n n m a n ftir dim F__<6 keine ,,glatten" Resultate mehr erwarten. Im Fall dim F = 5 w~ire es interessant, explizit ein Beispiel einer ,,starren" Ebene anzugeben, das ist eine Ebene, die auBer den Translationen und den Streckungen des IR4 keine weiteren Kollineationen besitzt.

Literatur 1. Andre, J.: Uber nicht-desarguessche Ebenen mit transitiver Translationsgruppe. Math. Z. 60, 156-186 (1954) 2. Betten, D.: Nicht-desarguessche 4-dimensionale Ebenen. Arch. der Math. 21, 100-102 (1970) 3. Betten, D.: 4-dimensionale Translationsebenen. Math. Z. 128, 129-151 (1972) 4. Betten, D.: 4-dimensionale Translationsebenen mit 8-dimensionaler Kollineationsgruppe. Geometriae dedicata 2, 327 - 339 (1973) 5. Betten, D.: 4-dimensionale Translationsebenen mit irreduzibler Kollineationsgruppe. Arch. der Math. 24, 552-560 (1973) 6. Betten, D.: 4-dimensionale Translationsebenen mit 7-dimensionaler Kollineationsgruppe. J. reine angew. Math. 285, 126-148 (1976) 7. Betten, D.: 4-dimensionale Translationsebenen mit genau einer Fixrichtung. Geometriae dedicata 3, 405-440 (1975)

4-dimensionale Translationsebenen

141

8. Betten, D.: Die komplex-hyperbolische Ebene. Math. Z. 132, 249-259 (1973) 9. Breitsprecher, S.: Projektive Ebenen, die Mannigfaltigkeiten sind. Math. Z. 121, 157-174 (1971) 10. Brouwer, L.E.J.: Die Theorie der endlichen kontinuierlichen Gruppen, unabh~ingig von den Axiomen von Lie. Math. Ann. 67, 246-267 (1909) 11. Dugundji, J.: Topology. Boston: Allyn and Bacon 1966 12. Freudenthal, H., Vries, H. de: Linear Lie groups. New York-London: Academic Press 1969 13. H~ihl, H.: Automorphismengruppen von lokalkompakten zusammenh~ingenden Quasik~rpern und Translationsebenen. Geometriae dedicata 4, 3 0 5 - 321 (1975) 14. Helgason, S.: Differential Geometry and Symmetric Spaces. New York-London: Academic Press 1962 15. Montgomery, D., Zippin, L.: Topological transformation groups. New York: Interscience 1955 16. Mostow, G.D.: The extensibility of local Lie groups of transformations and groups on surfaces. Ann. of Math. II. Ser. 52, 6 0 6 - 636 (1950) 17. Pickert, G.: Projektive Ebenen. 2. Auflage 1975. Berlin-G6ttingen-Heidelberg: Springer 1955 18. Plaumann, P., Strambach, K.: Zweidimensionale Quasik6rper mit Zentrum. Arch. der Math. 21, 455-465 (1970) 19. Salzmann, H.: Topological Planes. Advances Math. 2, 1 - 6 0 (1967) 20. Salzmann, H.: Kompakte vier-dimensionale Ebenen. Arch. der Math. 20, 551-555 (1969) 21. Salzmann, H.: Homomorphismen komplexer Tern~irk/Srper. Math. Z. 112, 2 3 - 2 5 (1969) 22. Salzmann, H.: Kollineationsgruppen kompakter vier-dimensionaler Ebenen. Math. Z. 117, 112-124 (1970) 23. Salzmann, H.: Kollineationsgruppen kompakter 4-dimensionaler Ebenen II. Math. Z. 121, 104-110 (1971) 24. Salzmann, H.: Kompakte, vier-dimensionale projektive Ebenen mit 8-dimensionaler Kollineationsgruppe. Math. Z. 130, 235-247 (1973) 25. Salzmann, H.: Reelle Kollineationen der komplexen projektiven Ebene. Geometriae dedicata 1, 344-348 (1973) 26. Strambach, K.: 4-dimensionale affine Ebenen. Arch. der Math. 23, 342-345 (1972) 27. Tits, J.: Liesche Gruppen und Algebren. Vorlesung Bonn 1963/64

Eingegangen am 28. Oktober 1976