Теория физических полей. Теория электромагнитного поля: Методические указания к заданию N1

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ

ТЕОРИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

Методические указания к заданию № 1

Санкт-Петербург 2005

Составители: В. Я. Лавров, Л. Б. Свинолобова Под редакцией В. Я. Лаврова

Приводятся методические указания к теоретическим основам расчета электромагнитных полей в интегральной форме. Даются примеры решения задач. Методические указания предназначены для студентов специальности 190200 – «Приборы и методы контроля качества и диагностики». Подготовлены кафедрой электротехники и рекомендованы к изданию редакционно-издательским советом государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения».

© ГОУ ВПО «СПбГУАП», 2005

Подписано к печати 28.04.05. Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,22. Уч. -изд. л. 0,88. Тираж 100 экз. Заказ № Отпечатано с оригинал-макета, подготовленного автором Отдел оперативной полиграфии СПбГУАП 190000, Санкт-Петербург, ул. Б. Морская, 67

Задание № 1 Расчет потенциальных полей на основе интегральных уравнений Электромагнитное поле в каждой точке пространства характеризуется векторными величинами:


 - вектором напряженности электрического поля E , В/м;

 - вектором напряженности магнитного поля H , А/м.

С учетом влияния свойств среды при макроскопическом подходе электромагнитное поле определяется следующими векторными величинами: - вектором электрического смещения в электрическом поле

 D = ε E , К/м2;

(1.1)

- вектором магнитной индукции в магнитном поле



B = µH [Тл], Вб/м2,

(1.2)

где ε , Ф/м – диэлектрическая проницаемость среды; µ Гн/м – магнитная проницаемость среды. Для вакуума ε = ε0 =

107 4 πc

2

= 8.85 ⋅ 10−12 , Ф/м,

(1.3) где c = 3 ⋅ 108 м/c – скорость света в вакууме; µ = µ0 = 4π ⋅ 10−7 Гн/м.

(1.4)

Свойства среды обычно задаются относительными величинами: - диэлектрические свойства – относительной диэлектрической проницаемостью ε εr = ; (1.5) ε0

1

- магнитные свойства – относительной магнитной проницаемостью µr =

µ . µ0

(1.6)

В безвихревом электромагнитном поле, когда в дифференциальной форме поле описывается уравнениями





rotE = 0 , rotH = 0 или в интегральной форме, соответственно, описывается уравнениями



Ed
∫ l = 0 , l



Hd
∫ l = 0 , l

электрическое и магнитное поля могут рассматриваться раздельно, так как характеризуются математически независимыми уравнениями. Кроме того, для упрощения их расчета в каждой точке пространства вводятся в рассмотрение вспомогательные скалярные характеристики полей: - электрический потенциал U для электрического поля, являющийся скалярной интегральной функцией от напряженности электрического поля ∞



U = ∫ Edr ;

(1.7)

r

- магнитный потенциал Uм для магнитного поля, являющийся скалярной интегральной функцией от напряженности магнитного поля



Uм = ∫ Hdl , P

(1.8)

A

где в (1.7), (1.8) точка A является текущей точкой в рассматриваемой области поля; точка P – в общем случае произвольно выбираемая точка нулевого потенциала.

2

Изменение положения точки нулевого потенциала P приводит к изменению величины потенциала на некоторую постоянную величину, поэтому потенциалы являются функциями многозначными. Соотношения (1.7), (1.8) имеют лишь теоретическое значение. Практически при расчете полей представляют интерес методы непосредственного определения потенциалов, через которые на основе определения градиента определяются векторные характеристики полей



E = −gradU ;

(1.9)

 H = −gradU м .

(1.10)

Таким образом, безвихревые электромагнитные поля могут быть рассчитаны через соответствующий потенциал (электрический или магнитный) и поэтому называются потенциальными. Однако для задач, обладающих симметрией, решение может быть получено непосредственно для векторных характеристик полей на основе интегральных соотношений. Для электрического поля при наличии симметрии:
- вектор напряженности E может быть определен на основе теоремы Гаусса в интегральной форме

  q Eds
∫ = ε ;

(1.11)

S


- вектор электрического смещения D – на основе постулата Максвелла

(обобщенной теоремы Гаусса)

Dds
∫ = q ,

(1.12)

S


где ds – вектор элемента поверхности интегрирования, направленный по

внешней нормали к элементу поверхности.

3

Во всех точках поверхности интегрирования, совпадающей с поверхностью

симметрии, векторы E , D имеют одинаковые значения и могут быть вынесены

из-под интеграла. Кроме того, векторы E , D совпадают по направлению с век
тором ds , и косинус угла между ними равен единице. В результате для электрического поля имеем:



EdS
∫ =
∫ E cos αdS = E
∫ dS = ES ,

(1.13)



DdS =
∫ D cos αdS = D
∫ dS = DS ,
∫

(1.14)

S

S

S

S

S

S

где S-площадь поверхности интегрирования. Поле совокупности зарядов в однородных изотропных средах может быть рассчитано по принципу наложения. При этом равномерно распределенный заряд по объему, поверхности и линии с объемной ρ , поверхностной σ и линейной τ плотностью зарядов соответственно представляются в виде совокупности точечных зарядов с величинами соответственно ρdl , σdl , τdl . Принцип наложения удобно применять для скалярной функции поля – электрическому потенциалу U. Интегральные выражения для электрического потенциала можно получить с помощью следующих соображений. Вектор напряженности уединенного электрического точечного заряда q, поле которого имеет сферическую симметрию, по теореме Гаусса равен
E=

q

4πε r


, e 2 r

(1.15)


где er – единичный вектор радиального направления от точки размещения заряда q к точке наблюдения (расчета); r – расстояние между точками. Выражение для электрического потенциала при размещении точки нулевого потенциала на бесконечности, согласно (1.7) с учетом (1.15), равно

4

∞

∞

q 1

q . U = ∫ Edr = e dr ( ) = r 4πε ∫ r 2 4πε r r r

(1.16)

Потенциал, определяемый совокупностью точечных электрических зарядов, можно найти по принципу наложения из выражения

1 n qk U= ∑ . 4πε k =1 rk

(1.17)

Потенциал поля, создаваемого равномерно заряженным телом с объемной плотностью ρ , поверхностной плотностью σ , линейной плотностью τ определяется соответственно выражением U=

1 ρdV ; 4πε ∫ r V

U=

1 σdS ; 4πε ∫ r

U=

S

1 τdl , 4 πε ∫ r

(1.18)

l

где V, s, l – объем, поверхность, линия равномерно заряженного тела соответственно. Расчет потенциального магнитного поля в интегральной форме при наличии симметрии может быть осуществлен двумя путями.

1. На основе закона полного тока, когда контур интегрирования совпадает с силовой линией:



Hdl
∫ = I ,

(1.19)

l

где I – электрический ток проводимости, проходящий через поверхность, огра
ниченную контуром интегрирования l; dl – вектор элемента контура интегрирования, направленный по касательной к нему.

2. На основе закона Био-Савара-Лапласа, когда направление силовых линий зарание неизвестно или контур интегрирования не совпадает с силовой линией:


I dl × er , (1.20) H= 4π ∫ R 2 l

5


где dl – вектор элемента линейного проводника, направленный по касательной
к проводнику в направлении тока I; er – единичный вектор радиального на-

правления от элемента линейного проводника с током к точке наблюдения

(расчета); R – расстояние от элемента проводника с током до расчетной точки. В (1.20) предполагается, что линейный проводник имеет поперечные размеры достаточно малые по сравнению с его длиной и расстоянием до точки наблюдения (расчета). В противном случае следует обратиться к закону Ампера. На основе закона Ампера вектор напряженности магнитного поля в рассматриваемой точке можно определить из выражения

 H

  1 δ × er = dV , ∫ 2 4π R V

(1.21)

где dV – элемент объема проводника с вектором плотности тока проводимости

δ ; er – единичный вектор радиального направления от элемента объема про
водника с вектором плотности тока проводимости δ к точке расчета.

Задача 1.1 Заряд q0 = 3 ⋅10−10 кулон равномерно

Y

распределен по объему уединенного шара радиуса r0 с диэлектрической проницаемостью

ε1 (среда “1” на рис. 1.1). Потенциал на по-

r

 E

0 е “1” 1

Z

“2” Рис. 1.1

6

X е0

верхности шара задан величиной U 0 . Окружающая среда “2” – воздух с диэлектрической проницаемостью ε0 . Для варианта, заданного в табл. 1.1, выполнить следующее: найти выражения для

  E , D , U в указанной среде; построить

кривые зависимостей E, D, U от расстояния r; найти радиусы эквипотенциальных поверхностей, потенциалы которых отличаются на заданную величину ∆ U ; начертить эти эквивалентные поверхности; найти E, D, U в точке с за-

данными координатами (x; y; z). Методические указания Для нахождения выражений E, D в зависимости от расстояния r применить соотношения (1.11) – (1.14), где S – сферическая поверхность. При расчете векторов поля в среде “1” величина заряда q в правой части выражения (1.11), (1.12) зависит от радиуса r поверхности интегрирования

( r < r0 )

и определяется через объемную плотность заряда ρ =

q , где V0 – V0

объем заряженного шара радиуса r0 . При расчете векторов поля в среде “2” величина заряда q в правой части выражений (1.11), (1.12) неизменна и равна q0 . Потенциал U k на сфере радиуса rk , являющейся эквипотенциальной поверхностью, определяется соотношением (1.16). Приращение потенциала равно ∆ U = U k +1 − U k , где U k +1 – потенциал на сфере радиуса rr +1 .

Таблица. 1.1 Номер варианта 1 2 3 4 5 6 7 8

r0

εr

U0

∆U

Номер среды

см 2 2 2 2 4 4 4 4

Ф/м 2 3 4 5 3 4 5 6

B 100 80 50 40 100 80 50 40

B 20 16 5 8 20 16 5 8

– 1 2 1 2 2 1 2 1

Координаты точки наблюдения (x; y; z) Cм (1; 0; 0) (–1; 4; 8) (0,6; –0,8; 0) (–3; 0; 4) (0; 8; –6) (–3; 0; 0) (0; –16; 12) (0; 3; 0)

7

Продолжение табл. 1.1 Номер варианта 9 10 11 12 13 14 15 16

r0

εr

U0

∆ U

Номер среды

см 5 5 5 5 10 10 10 10

Ф/м 4 5 6 7 3 6 7 2

B 100 80 50 40 100 80 50 40

B 20 16 5 8 20 16 5 8

1 2 1 2 2 1 2 1

Координаты точки наблюдения (x; y; z) Cм (0; –4; 0) (–8; 0; 6) (0; 0; 4) (16; –12; 0) (5, –12; 0) (–4; 0; 3) (16; –12; 0) (4; –1; 8)

Задача 1.2 Заряд равномерно распределён с плотностью ρ =10–4 Кл/м3 по объёму бесконечно длинного цилиндра радиуса r0 , где l  r0 . Диэлектрическая проницаемость внутренней среды “1” равна ε1, окружающая среда “2” – воздух с диэлектрической проницаемостью ε0 (рис.

1.2). На оси цилиндра потенциал приr0

ε1 l

нимается равным нулю: U|r=0 = 0.

h r

“1” “2”

ε0 Рис. 1.2

Для варианта, заданного в табл.

1.2, выполнить следующее: найти вы
ражения для Е , D , U в указанной среде; построить кривые зависимостей E,

D, U от расстояния r; вычислить разность потенциалов между точками, ле-

жащими на оси цилиндра и на его поверхности; вычислить разность потенциалов между точками, лежащими на поверхности цилиндра, и на расстоянии h от его поверхности, взятого по нормали.

8

Методические указания Для нахождения выражений E, D в зависимости от расстояния r применить соотношения (1.11) – (1.14), где S – цилиндрическая поверхность. При расчёте векторов поля в среде “1” величина заряда q в правой части выражений (1.11), (1.12) зависит от радиуса r поверхности интегрирования, где r < r0 , и определяется через объёмную плотность заряда с, находящегося внутри

цилиндрической поверхности S радиуса r0 . При расчёте векторов поля в среде “2” величина заряда q неизменна и определяется полным зарядом, распределённым по объёму заданного цилиндра радиуса r0 . Для вычисления разности потенциалов между указанными в задании точками использовать соотношение (1.7). Таблица 1.2 Номер варианта

εr1,

R0 ,

-

мм

h, мм

Номер среды

1

2

5

10

1

2

3

5

20

2

3

4

5

25

1

4

5

5

30

2

5

3

10

10

1

6

4

10

15

2

7

5

10

20

1

8

6

10

25

2

9

4

15

10

1

10

5

15

15

2

11

6

15

20

1

12

7

15

25

2

14

6

20

15

13

3

20

10

2 1

9

Продолжение табл. 1.2 Номер варианта

εr1,

R0 ,

-

мм

h, мм

Номер среды

15

7

20

20

1

16

2

20

25

2

Задача 1.3 Заряд с объёмной плотностью

ρ =10–6 Кл/м3 равномерно распредеr1

лён между двумя концентрическими

0

ε0

r0 “1”

Рис. 1.3

ε2 ε1

сферическими поверхностями. Радиус внутренней поверхности равен r0, внешней поверхности – r1. Диэлек-

“2”

трическая проницаемость внутренней среды ε0, между сферическими поверхностями в среде “1” диэлектри-

ческая проницаемость равна ε1, для окружающей среды “2” диэлектрическая проницаемость ε2. Точка нулевого потенциала принимается на бесконечности. Для заданного варианта из табл. 1.3 выполнить следующее: найти выраже

ния Е , D , U для заданной среды; построить кривые зависимостей от расстояния; вычислить E, D, U в заданной точке на расстоянии R.

10

Методические указания Во внутренней среде ( 0 < r < r0 ) нет зарядов и поле отсутствует: Е = 0,

D = 0. Для нахождения выражений Е, D в зависимости от расстояния r применить соотношения (1.11) – (1.14), где S – сферическая поверхность. При расчёте векторов поля в среде “1” величина заряда q в правой части выражений (1.11), (1.12) зависит от радиуса r поверхности интегрирования

( r0 < r < r1 )

и определяется объёмной плотностью заряда с, находящегося внут-

ри сферической поверхности S радиуса r. При расчёте векторов поля в любой точке среды “2” величина заряда q остаётся неизменной. Таблица 1.3 Номер варианта 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

r0, см 10 5 15 20 25 15 10 20 10 5 15 20 25 15 10 20

r1 ,

см 20 10 20 30 30 25 15 25 20 10 20 30 30 25 15 25

εr1 ,

εr 2 ,

2 3 2 3 4 2 4 3 3 4 3 4 2 3 2 4

1 2 1 1 2 3 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2

Номер среды

R, см

1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2

15 20 25 28 26 30 20 22 25 8 18 32 35 20 12 30

11

Задача 1.4

Z Задача Α. Положительный заряд рав
dE


dE ' '

номерно распределен по кольцевой линии радиуса r0 (рис. 1.4а) с линейной


dE '

плотностью τ. Диэлектрическая прони-

M

цаемость среды ε0 . Z

Y

в

полнить следующее: найти потенциал

r0

Y

Для заданного варианта из табл.1.4 вы-

R

dϕ

τdl ′

U и напряженность E в точках, лежафdl

щих на оси кольца; построить графики зависимости

X

Рис. 1.4а

U = f1 ( z ) , E = f 2 ( z ) .

Методические указания Разбить кольцо на элементарные участки с зарядом τdl, который можно принять за точечный заряд. Потенциал в точке A на оси кольца, создаваемый совокупностью элементарных зарядов определяется как

UM =

1 τdl τ ⋅ r0 = , U , z ( ) 2 2 4πε0 ∫ R 2ε0 r0 + Z l

где R = const для любой точки кольца; Z – координата точки M. Напряженность поля точки M с координатой Z от элементарного заряда τdl ′ и τdl ′′ будет соответственно dE ′ и dE ′′

12

dE ′ = dE ′′ =

τdl

,

4πε0 R 2




dE = dE ′ + dE ′′ = 2

τdl

4 πε0 R

2

cos β,

где

cos β =

Z , dl = r 0 d ϕ. R

Напряженность поля точки Μ, создаваемого распределенным по кольцу зарядом, будет находиться по принципу наложения π

E=∫

2τZ

0 4 πε0 R

r dϕ = 3 0

2 ε0

(

τZr0 r02 + Z 2

)

3

.

Задача Б. Положительный за-

Z

ряд равномерно распределен на плоском круглом диске радиуса r0 с поверхностной плоскостью σ.


dE

V

Диэлектрическая


' dE

0

проницаемость

окружающей среды ε1 (рис. 1.4б). Для заданного варианта из

M

табл. 1.4 выполнить следующее: найти U, E для точек, лежащих на

dr r

оси Z, перпендикулярной к диску

Y

0

σ dl’

σdl′′

и проходящей через его центр; построить кривые зависимостей:

r0 X

Рис 1.4б

U = f1 ( z ) , E = f 2 ( z ) .

13

Методические указания Диск представить в виде суммы элементарных колец, расчет поля которых проводить, используя задачу А.

Задача В. Положительный за-

Z

ряд равномерно распределен на


dE

бесконечной плоскости с поверх-


dE ′′ M


dE ′

ностной плотностью σ. Диэлектрическая проницаемость окружающей среды ε 1.

dr r

σdl ′

Для заданного варианта из табл.

σdl ′′

Y

1.4 выполнить следующее: найти U и E точек на оси Z, перпендикулярной плоскости; построить кри-

X

Рис. 1.4в

вые зависимостей U = f1 ( z ) , E = f 2 ( z ) .

Методические указания На плоскости выделить элементарные кольца, расчет поля которых проводить, используя задачу Б. Затем применить принцип наложения, суммируя потенциал от всех элементарных колец, радиусы которых изменяются от нуля до бесконечности.

14

Таблица 1.4. Номер варианта 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Задача А А А А Б Б Б Б Б Б В В В В В В

R, см 10 20 25 40 5 10 15 20 25 30 -

τ, Кл/м 10–7 10–6

σ, Кл / м ⋅ м

2 ·10–6 2 ·10–6

-

-

0.5 ·10–5 10–5 2 ·10–5 4 ·10–5 2 ·10–5 10–5 10–7 2 ·10–7 5 ·10–7 10–6 2 ·10–6 5 ·10–6

ε r1 2 3 1 4 2 4 1 5 2 3 1 2 3 4 2 1

Задача 1.5 Задача А. По бесконечно длинному проводу

Z

круглого сечения радиуса r0 (рис. 1.5а) протекает

r0

постоянный ток I 0 = 1 A . Магнитная проницаемость

I0 r

провода (среда “1”) равна µ1 = µ0 ⋅µ r1 , окружающая


H

среда “2” - воздух с магнитной проницаемостью µ0 .

“1”

Рис. 1.5а

“2”

Поперечные размеры провода гораздо меньше его длины, r0  L . Для заданного варианта из табл. 1.5 выполнить

следующее: найти выражения H , B для указанной среды; построить кривые зависимостей H, B от рас-

15

стояния; вычислить H, B в заданной точке на расстоянии r = h от оси провода.

Методические указания Из соображений симметрии вытекает, что магнитные силовые линии являются концентрическими окружностями с центрами на оси провода, лежащими в плоскости, перпендикулярной к этой оси. Для нахождения H следует использовать закон полного тока (1.19), вычис
ляя интеграл по контуру, совпадающему с линией вектора H , где r – радиус окружности, определяющий расстояние от точки расчёта до оси провода (рис.

1.5 а). Для среды “1” полный ток I, сцепленной с контуром интегрирования, равен только части тока проводника I 0 и определяется через плотность тока δ =

I0 , S0

где S0 – поперечное сечение заданного провода. Для среды “2” полный ток I правой части выражения (1.19) не зависит от радиуса контура интегрирования и равен I 0 . Задача Б. По прямолинейному проводу круглого сечения радиуса r0 длиной

L

протекает

постоянный

ток

I 0 = 10 A . Окружающая среда “2” –

воздух, магнитная проницаемость µ0

(рис. 1.5б). Для заданного варианта из табл. 1.5 выполнить следующее: найти выраже
ния H для окружающего пространства с Рис. 1.5б

16

помощью закона Био-Савара-Лапласа;

построить кривые распределения H, вдоль оси Z на расстоянии r = h от оси провода; построить кривые распределения H, вдоль нормали к проводнику, проходящей через его конец.

Методические указания Контур интегрирования не совпадает с силовой линией. Для нахождения
напряжённости магнитного поля H использовать закон Био-Савара-Лапласа

(1.20), где вектор элемента проводника dl = dz (рис. 1.5б). Векторное произве


дение dz × er равно вектору eϕ , величина которого вычисляется по формуле dz ⋅ er ⋅ sin ϑ , а направление перпендикулярно плоскости, в которой лежат век


торы dz и er , значит eϕ направлен по касательной к окружности радиуса r и

связан с векторами dz ⋅ er правилом правого винта. При вычислении интеграла

(1.20) следует воспользоваться соотношением

r2 ( r 2 + z 2 )3 2

=

d z ( ). dz r 2 + z 2

Таблица 1.5 Номер варианта 1 2 5 6 9 10 11 12 13 14 15 16

Задача А А А А Б Б Б Б Б Б Б Б

r0 мм 3 2 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2

L мм σ

∞ ∞ ∞

100 80 50 40 100 80 50 40

Номер среды 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2

µ r1 150 150 500 500 -

h мм 1 3 2 4 20 40 20 50 80 100 40 20

17

Задача 1.6 Задача А. Круговой виток радиуса r0 , по которому протекает

Z


err →

постоянный ток I , находится в среде с магнитной проницаемо-

M

стью µ0 (воздух) (рис. 1.6а). Для варианта, заданного в

R

табл. 1.6, выполнить следующее: найти величины векторов магнит-

I ∞
∞


q1

q

rU==0∫Edr4πε∫r()edr=4πεr 2r

r r

O

dϕ

Y

ϕ X

ного поля Н, В на оси, перпендикулярной плоскости витка; построить зависимости Н, В от расстояния между расчётной точкой

Рис. 1.6а

М и плоскостью витка.

Методические указания Для нахождения Н в расчётной точке М использовать закон Био-СавараЛапласа (1.20). Учитывая, что магнитное поле определяется на оси 0Z, расстояние до всех элементов проводника dl будет одинаковое и равное R. Задача Б. Постоянный ток I протекает по рамке, выпол-

l r0

ненной в виде правильного многоугольника, вписанного в окружность радиуса r0 . Число сторон многоугольника

О

равно n. Среда – воздух с магнитной проницаемостью ε 0

(рис. 1.6б). Рис. 1.6б

18

Для варианта, заданного в табл. 1.6, выполнить следующее: найти векторы

магнитного поля B, H в центре многоугольника; найти соотношения между напряжённостями магнитного поля Н при увеличении числа сторон рамки в два раза; найти выражение, к которому стремится Н при n → ∞ ; построить зависимость величины Н от изменения r0 .

Методические указания Применить закон Био-Савара-Лапласа (1.20) для нахождения напряжённости магнитного поля, созданного отрезком проводника, который представляет собой одну из сторон правильного многоугольника. Для нахождения результирующего поля от действия всей рамки применить принцип наложения.

Таблица 1.6 Номер варианта 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

n 4 6 3 4 6 3 4 6 3

I, A 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

Задача А А А А А А А Б Б Б Б Б Б Б Б Б

r0 ,

см 2 4 5 2 4 5 10 2 4 5 10 2 4 5 10 20

19

Задача 1.7 В прямолинейном цилиндрическом бесконечно длинном проводнике радиуса R0 имеется цилиндрическое отверстие круглого сечения радиуса r0 . Расстояние между осями ци-

Y




линдров d. Вдоль проводни-

δ

R0

ка протекает постоянный ток

O
r0 r2
M

плотностью δ = 5 ⋅ 105 А/м2. Для варианта, заданного

r1

d

B

X

A

в табл. 1.7, выполнить сле
дующее: найти H внутри
отверстия; найти H в точках А и В.

Z Рис. 1.7

Методические указания Магнитное поле внутри и вне цилиндрического провода может быть рассчитано путём наложения двух полей: поля тока плотностью δ , протекающего вдоль монолитного цилиндрического провода радиуса R0 , создающего напря
жённость E1 , и поля тока той же плотности, протекающего в противоположном
направлении вдоль цилиндра радиуса r0 , создающего напряжённость E2 . Напряжённость магнитного поля в произвольной точке М, расположенной внутри цилиндрической полости, находится как


Hм = H1м + H 2 м .

20


Напряжённости H1м , q 0 определяются по закону полного тока (1.19),

где l – окружности радиуса r1м ,

ϑ , равные расстоянию от точки М до оси

первого и второго цилиндров. По правилу сложения векторов





r1м − r2 м = d = d ⋅ e y ,
где e y – орт оси ОY.

При расчёте поля в точке А ток, проходящий через поверхность, ограни
ченную контуром интегрирования l , определяется плотностью тока δ , протекающего через поперечное сечение круга радиуса rA < R0 .

Таблица. 1.7 Номер варианта 1 2 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

r0

R0

d

мм 5 10 25 30 35 40 5 10 15 20 25 30 35 40

мм 20 50 80 120 140 120 40 80 100 90 120 80 140 160

мм 10 20 20 40 60 10 20 50 40 30 50 10 30 60

Ордината А

yA мм -10 -20 -50 -60 -70 -80 -10 -30 -40 -50 -60 -70 -90 -100

Абсцисса

 В

D=εE

мм 40 60 110 140 150 160 50 100 110 120 130 120 160 180

21