Управление в биологических и медицинских системах: Методические указания к выполнению лабораторных работ N1-4

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ

УПРАВЛЕНИЕ В БИОЛОГИЧЕСКИХ И МЕДИЦИНСКИХ СИСТЕМАХ Методические указания к выполнению лабораторных работ № 1–4

Ñàíêò-Ïåòåðáóðã 2004

Составители: Л. К. Крюкова, Ю. П. Покровский Рецензент канд. техн. наук, доц. О. И. Красильникова

Методические указания предназначены для выполнения лабораторных работ по курсу «Управление в биологических и медицинских системах» с использованием вычислительной техники студентами, обучающимися по специальности 201600 специализации 201601. Подготовлены кафедрой конверсионных компьютеризированных систем и рекомендованы к изданию редакционно-издательским советом Санкт-Петербургского государственного университета аэрокосмического приборостроения.

Редактор А. В. Подчепаева Компьютерная верстка О. В. Васильевой

Подписано к печати 10.11.04. Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 2,33. Уч. -изд. л. 2,28. Тираж 50 экз. Заказ № Редакционно-издательский отдел Отдел электронных публикаций и библиографии библиотеки Отдел оперативной полиграфии СПбГУАП 190000, Санкт-Петербург, ул. Б. Морская, 67

© ГОУ ВПО "СПбГУАП", 2004

Лабораторная работа № 1 ПОСТРОЕНИЕ ВЕКТОРНО-МАТРИЧНОЙ МОДЕЛИ МНОГОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ПРОЦЕССОМ В ОРГАНИЗМЕ Цель работы: Знакомство с методом описания подсистемы дыхательного хемостата на базе концепции пространства состояний. Векторно-матричное описание систем управления применяется для синтеза и исследования многомерных связанных систем управления в медицинских электронных комплексах. Например, в барокамере давление и температура связаны друг с другом уравнением Менделеева – Клапейрона. Поэтому системы стабилизации этих параметров связаны и должны рассматриваться как многомерная система. Для полного описания дыхательного хемостата (модель Гродинза) необходимо учесть до 20 переменных. Размерность матрицы состояния при векторно-матричном описании определяется порядком исходной системы дифференциальных уравнений. Размерность векторов управления и наблюдения равна, соответственно, числу управляющих и наблюдаемых (измеряемых) параметров. 1. Описание модели подсистемы транспорта углекислого газа В модели [1] рассматриваются легочный и тканевый резервуары неизменного объема (Ка и КТ, соответственно). Основными регулируемыми параметрами являются концентрации углекислого газа ϑа и ϑT (г/дм3) в легочном и тканевом резервуарах. Углекислый газ поступает в легкие с венозной кровью со скоростью q (г/мин) и с вдыхаемым воздухом со скоростью V
a ⋅F (г/мин), где V
– 3

a

скорость вентиляции (дм3/мин) и F – концентрация СО2, (г/дм3). Удаление СО2 из легких идет со скоростью q1 с выдыхаемым воздухом и со скоростью q2 с артериальной кровью. В тканевом резервуаре СО2 образуется со скоростью МТ, и поступает с артериальной кровью со скоростью q2. Удаление СО2 из тканевого резервуара проходит со скоростью q3. Скорость изменения концентрации СО2 при сделанных предположениях описывается системой уравнений следующего вида:  d ϑa 1
 dt = K (V0 F + q3 − q1 − q2 ) , 0  dϑ 1 T  = ( M T + q2 − q3 ). KT  dt

(1.1) 1

Из условия равновесия потоков СО2 можно найти выражения для q1 , q2 , q3 [1]: q = ϑ V
; q2 = Сн RТϑа + Cн SТ ; q3 = Cн ⋅ ϑТ , 1

а а

где Сн – минутный объем сердца, дм3/мин; RТ и SТ – постоянные, связанные с процессом поглощения СО2, г/дм3. После подстановки в (1.1) получим  K a K T  d 2ϑa  K a + K T RT K T  d ϑa + + + ϑa =  
 2  V
a Cн  dt   CнVa  dt  K  dF d ϑT  M T − , = F + T ⋅  + Cн  dt dt  V
a  (1.2)  2  K a K T  d ϑa  K a + ( K T + 1) RT K T  d ϑT + + ϑT =   C V
 dt 2 +  V
a Cн  dt н a      RT M T M T  = RT ( F − ϑa ) + V
+ C + ST . a н 

Это модель подсистемы циркуляции углекислого газа в дыхательном хемостате организма. Изменять состояние данной подсистемы можно путем изменения параметров V
и F (скорость вентиляции и концентрация a

СО2 во вдыхаемом воздухе) и МТ (скорость образования СО2 в тканях). Опишем модель в терминах пространства состояний по следующему dF = 0. алгоритму [2], полагая V
a и MT = Const и dt 1. Введем векторы состояния, управления и наблюдения  x1   ϑa +  x   dϑ x =  2 =  a x ϑ +  3  T x  4   d ϑT

f0  dt  , fT   dt 

где fа и fТ – постоянные, равные: R M  МТ M ; f T = −  T T + T + ST  .

Vа Cн  Va  2. Матрица состояния А будет иметь размерность 4 × 4. fа = −

2

А = [aij], где а12 = 1;

a21 = − a23 =

i = 1, …, 4,

CнV
a ; Ka KT

KT ; Cн

a43 = −

CнV
a ; Ka KT

j = 1, …, 4,

a22 = −

Cн Ka + Cн RT KT + V
a KT ; Ka KT

а34 = 1;

a41 = RT ;

a44 = −

Cн Ka + Cн RT KT + KTV
a . Ka KT

Остальные коэффициенты равны нулю. Так как определитель матрицы А ≠ 0, то ее ранг равен четырем. 3. Матрица управления В в данном случае является вектором-столбцом b:  0  b  b =  21  ; 0   b  41 

b21 =

CнV
a ; Ka KT

b41 =

RT CнV
a . Ka KT

4. Матрица наблюдения С в данном случае вектор-строка: c = [1, 0, 0, 0]. В соответствии с положениями теории автоматического управления [2, 3] объект, заданный матрицами А, В, С, описывается векторно-матричной моделью в пространстве состояний

{

x
= Ax + Bu; y = Cx.

(1.3)

Для синтеза регуляторов и наблюдателей системы управления данным объектом необходимо оценить управляемость и наблюдаемость этого объекта [2]. Управляемость гарантируется, если матрица D y =  B, AB, A2 B,…, An −1B    имеет ранг, равный n. Аналогично наблюдаемость гарантируется, если матрица n −1 Dн = C T , ATC T ,…, AT C T  также имеет ранг, равный n.   Матрицы А, В, С могут быть преобразованы в различные формы, называемые каноническими [2]. Каноническая управляемая форма имеет вид 3

 0  0 Ay =  .   0  −an

1 0 0 1 . . 0 0 −an −1 −an −2

… 0 … 0 . . … 0 … − a2

0  0  .  , Ву, Су;  1  −a1 

каноническая наблюдаемая форма имеет вид 0 1 Aн = 0  . 0

0 0 1 . 0

0 0 0 . 0

… … … . …

0 − an  0 −an −1  0 −an −2  , Вн, Сн;  . .  1 −a1 

где ai, (i = 1, …, n) – коэффициенты характеристического уравнения и сходной матрицы А при а0 = 1. λI − A = 0; → f (λ ) = a0λ n + a1λ n −1 + … = 0.

Матрица Р линейного преобразования к заданной форме находится по следующему правилу: −1

Py =  b y , Ay b y , A2y b y ,…, Ayn −1b y  ⋅  b, Ab, A2 b,…, An −1b  . (1.4)     Данное преобразование находится корректно в случае, когда матрица В является вектором и система является управляемой (в случае приведения к канонической управляемой форме) или наблюдаемой (в случае приведения к канонической наблюдаемой форме). Если преобразование Ру невырожденно (т. е. существует обратная матрица Ру-1), то исходная форма записи объекта А, b, с, приводится к канонической по формулам:

Ay = Py APy−1,

b y = Py b,

c y = cT Py−1.

(1.5)

Приведение к канонической наблюдаемой форме делается по аналогичному алгоритму. В частности −1

T n −1 T n −1 Pн =  c Tн , AнT c Tн ,… , Aн ( )c Tн  ⋅  c T , AT c T ,… , A ( )c T  . (1.6)     Числовые значения элементов матриц А, b, с можно получить на основе следующих данных. Постоянные: RТ = 0,15; SТ = 0,03 г/дм3; F = 0,005 г/дм3. 4

Остальные параметры выбираются из таблицы вариантов.

№ варианта

Объем легких Ка, дм3

Объем тканевого резервуара, КТ, дм3

Минутный объем сердца Сн, дм3/мин

1 3,5

2 3 4 5 6 7 8

8 3,7 5 3,6

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

10 3,8

3,6 6 3,8 4 3,7 7 3,9

Скорость образования СО2 МТ, г/мин

Скорость вентиляции Va, дм3/мин

0,015

3,0

0,02

3,5

0,025

4,0

0,012

2,5

0,018

3,0

0,024

3,5

0,016

3,2

0,021

4,5

0,026

5,7

0,014

3,1

0,020

3,8

0,026

4,5

0,011

3,3

0,016

3,8

0,021

4,3

0,013

3,4

0,020

4,0

0,027

4,6

0,015

3,6

0,022

4,0

0,029

4,4

0,016

3,8

0,023

4,3

0,030

4,8

2. Порядок проведения работы 1. Вычисление коэффициентов матриц А, b, c. Используя пакеты MathCAD или MathLab, вычислить коэффициенты матриц А, b, с, постоянные fа и fТ, а также коэффициенты ai (i = 5

= 0, 1,…, 4) характеристического уравнения матрицы А по формулам (1.1)–(1.6) (если а0 ≠ 1, то аi = аi / а0 при i = 1, ..., 4). 2. Оценка управляемости и наблюдаемости матрицы Dу и Dн и вычисление их ранга по формулам (1.3)–(1.6). 3. Приведение к каноническому виду. Найти преобразование Ру, приводящее к канонической управляемой форме, и преобразование Рн, приводящее к канонической наблюдаемой форме. 4. Получение собственных значений матрицы А. Используя функцию ЕigenVals из пакета MathCAD, найти собственные значения матрицы А. 3. Содержание отчета В отчете о лабораторной работе необходимо привести: структуру модели с интеграторами; формулы вычислений; матрицы А, b, с, Ау, bу, су, Ан, bн, сн, Ру, Рн; собственные значения А; выводы по работе. 4. Контрольные вопросы 1. Как формируется модель объекта в пространстве состояний? 2. Размерность матриц А, b, с, в модели дыхательного хемостата? 3. Как определяется управляемость и наблюдаемость объекта? 4. Какие переменные входят в модель дыхательного хемостата? 5. Как связаны собственные значения матриц А, Ау и Ан?

6

Лабораторная работа № 2 СИНТЕЗ РЕГУЛЯТОРА МОДЕЛИ ДЫХАТЕЛЬНОГО ХЕМОСТАТА МЕТОДОМ МОДАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ Цель работы: Знакомство с алгоритмом синтеза регулятора системы стабилизации подсистемы дыхательного хемостата методом модального управления. 1. Описание алгоритма Для стабилизации концентрации СО2 в системе, моделирующей дыхательный хемостат, возможно использование линейных обратных связей [2]. Управляющий сигнал (вектор u(t)) при этом формируется по закону u = −Kxˆ (t ) ,

(2.1)

где xˆ (t ) – оценка вектора состояния объекта; К – матрица обратных связей с постоянными коэффициентами. Подставляя (2.1) в первое уравнение (1.3) получим (2.2) x
(t ) = Ax (t ) − bKxˆ (t ). Если оценка вектора состояния xˆ (t ) сходится с заданной разработчиком скоростью к вектору состояния xˆ (t ) или вектор xˆ (t ) измеряется непосредственно, то динамика управления объектом будет определяться уравнением x
(t ) = ( A − bK ) x (t )

(2.3)

и, следовательно, выбором собственных значений матрицы А–bK. Синтез управления в этом случае называется синтезом модального управления, так как выбранные разработчиком собственные значения матрицы А–bK (моды) будут определять движение всей системы [3]. Таким образом, модальное управление может обеспечить устойчивость и быстродействие многомерной системы. Точность в данном случае проверяется при моделировании синтезированной системы. Зададим собственные значения βi, i = 1,…, n и Reλi < 0. Тогда характеристический многочлен матрицы А–bK будет иметь вид J A−bK (λ ) = (λ − β1 )(λ − β2 )… (λ − βn ).

Сопровождающая матрица многочлена имеет вид, совпадающий с видом матрицы состояния в канонической управляющей форме: 7

 0  0 Ay − b y K y =  …  −γ  n

1 0 0 1 … … −γ n −1 −γ n −2

… 0  … 0  , … …  … −γ1 

(2.4)

где γi ( i = 1,…, n) – коэффициенты характеристического многочлена при γ0 = 1; Ау и bу – матрицы в канонической управляемой форме, т. е.  0  0 Ay =  …  −  an

1 0 0 1 … … −an −1 −an −2

… 0  0 0 … 0  , by =   и … … …    … −a1  1

k y =  k y1,k y 2 , …, k yn  .

(2.5)

Тогда, подставляя (2.5) в (2.4) получим  0  0 Ay − b y K y =  …  a −  − k yn

 0  0 = …   −γ n

1 0 … 0   0 1 … 0 = … … … …   −an −1 − k yn −1 … … −a1 − k y1 

1 0 … 0  0 1 … 0  , … … … …  −γ n −1 … … −γ1 

откуда k yi = ai – γi ( i = 1, …, n); и, преобразуя к исходному базису по формуле K = K y ⋅ Py −1, получим матрицу линейных обратных связей, обеспечивающую работу системы стабилизации с заданной динамикой. Для случая непосредственного измерения вектора состояния (С = I, где I – единичная матрица) получим структуру системы, приведенную на рис.1. Импульсную реакцию такой системы можно определить по формуле [3] x (t ) = exp  ( A − bK ) t  ⋅ δ (t ).

(2.6)

Матричную экспоненту в формуле [2.6] можно вычислить по следующему алгоритму [3]: 8

1) по набору известных собственных чисел найдем все собственные вектора матрицы. Составим из этих векторов модальную матрицу М; 2) найдем матрицу М–1 обратную М; 3) обозначим через Λ диагональную матрицу, в которой на диагонали расположены собственные числа βi (i = 1,…, n); 4) найдем матрицу 0 0 … 0 exp (β1t )    0 exp (β2t ) 0 … 0 ; exp [Λt ] =  … … … …   …  0 0 0 … exp (βn t )

5) на основании теоремы Гамильтона – Кэли [3], запишем exp  ( A − bK ) t  = M ⋅ exp [Λt ] ⋅ M −1.

Рис.1. Структура системы управления

Набор собственных значений выбирается из таблицы вариантов. № варианта

β1

β2

β3

β4

1

–0,80

–0,82

–0,84

–0,86

2

–0,82

–0,84

–0,86

–0,88

3

–0,84

–0,86

–0,88

–0,90

4

–0,86

–0,88

–0,90

–0,92

5

–0,88

–0,90

–0,92

–0,94

6

–0,90

–0,92

–0,94

–0,95

7

–0,81

–0,83

–0,85

–0,87

9

№ варианта

β1

β2

β3

β4

8

–0,83

–0,85

–0,87

–0,89

9

–0,85

–0,87

–0,89

–0,91

10

–0,87

–0,89

–0,91

–0,93

11

–0,89

0,91

–0,93

–0,95

12

–0,80

–0,84

–0,88

–0,92

13

–0,82

–0,86

–0,90

–0,94

14

–0,84

–0,90

–0,94

–0,96

15

–0,81

–0,85

–0,91

–0,95

16

–0,83

–0,87

–0,91

–0,94

17

–0,85

–0,89

–0,93

–0,95

18

–0,87

–0,90

–0,92

–0,94

19

–0,81

–0,84

–0,87

–0,90

20

–0,83

–0,86

–0,89

–0,92

21

–0,85

–0,88

–0,91

–0,94

22

–0,87

–0,91

–0,93

–0,95

23

–0,82

–0,84

–0,86

–0,88

24

–0,84

–0,86

–0,88

–0,90

2. Порядок проведения работы 1. Синтез вектора обратных связей в канонической форме. Для системы, заданной в лабораторной работе № 1, и в соответствии с заданным вариантом набора собственных значений вычислить коэффициенты вектора обратных связей Ку1, -Ку2, Ку3, Ку4 в каноническом базисе. 2. Приведение вектора обратных связей в исходную форму. Найти вектор обратных связей в заданном базисе (К = КуР–1). 3. Вычисление модальной матрицы для А–bК. Найти собственные вектора для А–bК. Составить из них модальную матрицу М. Вычислить обратную матрицу М–1. 4. Получение матричной экспоненты. Вычислить exp  ( A − bK ) t  . 5. Оценка динамики системы. 10

Получить функции ϑay (t ) , d ϑay / dt (t ) , ϑTy (t ) , d ϑTy / dt (t ) и на их основе графики. Полагаем

x1 (t ) = ϑay (t ) + f a ; x2 (t ) =

d ϑay (t ) ; dt

x3 (t ) = ϑTy (t ) + f T ; x4 (t ) =

d ϑTy ( t ). dt

3. Содержание отчета В отчете необходимо привести: структуру синтезированной системы; формулы для вычислений матрицы М, М–1; exp  ( A − bK ) t  ; графики функций ϑay (t ) , d ϑay / dt (t ) , ϑTy (t ) , d ϑTy / dt (t ); выводы по работе. 4. Контрольные вопросы 1. Что такое каноническая форма (базис)? 2. Как вычисляется матричная экспонента? 3. Что такое модальное управление? 4. Чем определяется динамика замкнутой системы с линейными обратными связями? 5. Как связаны векторы u(t) и x(t) в управляемой системе?

11

Лабораторная работа № 3 СИНТЕЗ НАБЛЮДАТЕЛЯ В МОДЕЛИ ДЫХАТЕЛЬНОГО ХЕМОСТАТА С ОБЩИМ ВЫХОДОМ Цель работы: Знакомство с алгоритмом синтеза наблюдателя в системе с общим выходом. 1. Оценка вектора состояния в системе с одним выходом На вход регулятора системы управления должен поступать вектор состояния системы х(t). Если реально число выходов объекта меньше размерности вектора состояния, то необходимо получить оценку вектора состояния xˆ (t ) по значению выхода y(t). Для решения этой задачи синтезируется устройство, называемое наблюдателем. Задача имеет единственное решение, если пара матриц (А, сТ) является наблюдаемой [2]. Тогда уравнение наблюдателя имеет вид x
ˆ (t ) = Axˆ (t ) + Bu (t ) + L ( y (t ) − Cxˆ (t )) , (3.1) где L – матрица наблюдателя. Коэффициенты матрицы L могут быть вычислены, если заданы собственные числа δi матрицы (А–LсT), определяющие динамику сходимости оценки вектора состояний xˆ (t ) к истинному значению вектора x(t). Полагая, что преобразование Рн матрицы А к канонической наблюдаемой форме вычислено, получим для системы с одним выходом −ρn   0 0 0 ... 0  1 0 0 ... 0 −ρn −1  A − LC T =  0 1 0 ... 0 −ρn −2  =          −ρ1   0 0 0 ... 1  0 0 0 ... 0 −an  l  1 0 0 ... 0 −an −1   1  l  =  0 1 0 ... 0 −an −2  −  2  ⋅ [0 0  1],    ...    ... ... ... ... ... l −a1   n   0 0 0 ... 1

(3.2)

где ρi ( i = 1,…, n) – коэффициенты характеристического уравнения матрицы (А – lcT) с заданными собственными числами δi ( i = 1, …, n), при ρ0 = 1. 12

Из уравнения (3.2) получим li = ρ n −i +1 − аn −i +1,

(3.3)

где i = 1,…, n. Полная структурная схема системы модального управления с наблюдателем приведена на рис. 2.

Рис. 2. Структура системы с наблюдателем

Структура наблюдателя соответствует следующей системе уравнений: x
ˆ (t ) =  A − lc T  xˆ (t ) + ly (t ) + bu (t ) ,    T ˆ  u (t ) = −k x (t ).

(3.4)

В соответствии с принципом разделения [3], динамика наблюдателя независима от динамики регулятора. В этом случае импульсная реакция полной системы определяется произведением матричных экспонент вида:

(

)

x (t ) = exp ( A − bk ) t  ⋅ exp  A − lcT t  δ (t ) ,   где δ (t ) – импульсная функция. Используя модальные матрицы для (А–bk) и (А–lс T ) можно получить импульсные реакции для компонент вектора состояния xi(t), i = = 1, …, n. 13

Набор собственных значений матрицы наблюдателя выбирается из таблицы вариантов. № варианта

1

2

3

4

1

–0,90

–0,91

–0,92

–0,93

2

–0,91

–0,92

–0,93

–0,94

3

–0,92

–0,93

–0,94

–0,95

4

–0,93

–0,94

–0,95

–0,96

5

–0,905

–0,915

–0,925

–0,935

6

–0,915

–0,925

–0,935

–0,945

7

–0,925

–0,935

–0,945

–0,955

8

–0,935

–0,945

–0,955

–0,965

9

–0,9

–0,915

–0,93

–0,945

10

–0,915

–0,93

–0,945

–0,96

11

–0,92

–0,94

–0,95

–0,965

12

–0,925

–0,93

–0,935

–0,94

13

–0,905

–0,91

–0,915

–0,92

14

–0,91

–0,915

–0,920

–0,925

15

–0,915

–0,92

–0,925

–0,93

16

–0,92

–0,925

–0,93

–0,935

17

–0,925

–0,93

–0,935

–0,94

18

–0,93

–0,935

–0,94

–0,945

19

–0,935

–0,94

–0,945

–0,95

20

–0,94

–0,945

–0,95

–0,955

21

–0,945

–0,95

–0,955

–0,96

22

–0,95

–0,955

–0,96

–0,965

23

–0,90

–0,92

–0,94

–0,96

24

–0,91

–0,93

–0,95

–0,965

2. Порядок выполнения работы 1. Нахождение матрицы наблюдателя в каноническом базисе. Для системы, заданной в лабораторной работе № 1, и для набора собственных значений δi (i = 1, …, n) из таблицы вариантов вычислить коэффициенты матрицы lн в каноническом базисе. 14

2. Нахождение матрицы наблюдателя в исходном базисе. Вычислить матрицу l в исходном базисе по формуле l T = lнT Pн−1 где Рн – преобразование из базиса (Ан, СнТ) в базис (А, СТ). 3. Получение модальной матрицы. Найти модальную матрицу для А–lсТ. 4. Вычисление матрицы реакции на импульс. Вычислить матрицу exp  A − lcT t  .   5. Вычисление реакций компонент вектора состояния. d ϑн ϑaн (t ) , d ϑaн / dt, ϑTн (t ) , d ϑTн / dt, xˆ1 (t ) = ϑ0н (t ) + f0; xˆ2 (t ) = 0 ; dt d ϑTн н xˆ3 (t ) = ϑT (t ) + f T ; x4 (t ) = ( t ). dt 6. Получение графиков найденных функций.

(

)

3. Содержание отчета В отчете необходимо привести: структурную схему системы с объектом, наблюдателем и регулятором; формулы вычислений матрицы наблюдателя; модальные матрицы; матрицу exp  A − lc T t  ;   графики функций ϑaн (t ) , d ϑaн / dt, ϑTн (t ) , d ϑTн / dt; выводы по работе.

(

)

4. Контрольные вопросы 1. Чем отличается управляемый канонический базис от наблюдаемого? 2. Как влияет наблюдатель на динамику полной системы? 3. Что такое наблюдатель? 4. Можно ли получить точную оценку вектора состояния за конечный промежуток времени?

15

Лабораторная работа № 4 СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНОГО СТОХАСТИЧЕСКОГО НАБЛЮДАТЕЛЯ МНОГОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ (ФИЛЬТР КАЛМАНА) Цель работы: Знакомство с методом синтеза оптимального стохастического наблюдателя (фильтр Калмана). 1. Синтез оптимального стохастического наблюдателя в многомерной системе управления Задача оценки вектора состояния в реальных условиях всегда осложняется из-за наличия помех. Если полагать, что шумы состояния и управления приложены ко входу объекта, а шум наблюдения суммируется с вектором наблюдения, то объект можно описать следующей системой уравнений:  x
(t ) = Ax (t ) + b  u (t ) + υ (t ) ,  T  y (t ) = c x (t ) + ω (t ) , где υ (t ) – шум состояния и управления, приведенный ко входу; ω (t ) – шум наблюдения. Оба шума являются стационарными случайными процессами типа белого шума при:

M {υ (t )} = M {ω (t )} = 0;

{ M {ω (t ) ω

} (t + τ )} = Rδ ( τ ),

M υT (t ) υ (t + τ ) = Qδ ( τ ); T

где Q и R – положительные симметрические матрицы. Если матрицы А, B, C, R, Q известны, то можно построить наблюдатель, обеспечивающий сходимость оценки вектора состояния к истинному его значению с минимальной среднеквадратичной ошибкой в классе линейных систем. Оптимальный в указанном смысле наблюдатель называется фильтром Калмана и описывается системой уравнений x
ˆ (t ) = Ax (t ) + L  y (t ) − c T xˆ (t ) + bu (t ) ; xˆ (0 ) = 0,   где L = S0c T R −1, S0 – положительно определенная симметрическая матрица, являющаяся решением алгебраического матричного уравнения Риккати [3]: 16

AS + SAT − ScT R −1cS + bQbT = 0; S (0 ) = R. Методы решения такого уравнения даны в литературе [4]. Кроме того, в пакете MathCAD имеется типовой пример его решения (в разделе "Решение матричных уравнений"). Структура такого наблюдателя в точности совпадает со структурой наблюдателя в детерминированной системе (см. работу № 3). Если единственное решение уравнения Риккати существует и положительно, то синтезированный наблюдатель устойчив. Для синтеза матрицы А, b, с берутся из работы № 1. Матрица Q = q0I, где I – единичная матрица; q0 и R приведены в таблице вариантов, полагая, что система имеет один вход и один выход. № варианта

q0

R

1

0,05

0,3

2

0,1

0,4

3

0,15

0,5

4

0,2

0,6

5

0,25

0,7

6

0,3

0,8

7

0,35

0,9

8

0,4

1,0

9

0,45

1,1

10

0,5

1,2

11

0,55

1,3

12

0,6

1,4

13

0,65

1,5

14

0,7

1,6

15

0,75

1,7

16

0,8

1,8

17

0,85

1,9

18

0,9

2,0

19

0,95

2,1

20

1,0

2,2

22

1,1

2,4

23

1,15

2,5

24

1,20

2,6

17

2. Порядок проведения работы 1. Решение уравнения Риккати. Для системы А, b, с из работы № 1 и в соответствии с заданными q0 и R получаем решение уравнения Риккати S. 2. Вычисление матрицы наблюдателя. Вычислить матрицу l по формуле l = ScT R −1. 3. Нахождение модальной матрицы. Найти собственные значения и модальную матрицу для матрицы ( A − lc T ). 4. Вычисление реакции наблюдателя на импульс. Вычислить функцию exp  A − lcT t  .   5. Получение реакции оценок компонент вектора состояния на импульс. ˆ (t ) , d ϑˆ / dt, ϑˆ (t ) , d ϑˆ / dt. Вычислить функции ϑ a a T T

(

)

3. Содержание отчета В отчете необходимо привести: структуру фильтра Калмана; формулы для вычислений; решение уравнения Риккати; собственные значения и модальную матрицу для ( A − lc T ), функцию exp  A − lc T t  ;   ˆ (t ) , d ϑˆ / dt, ϑˆ (t ) , d ϑˆ / dt; графики функций ϑ a a T T выводы по работе.

(

)

4. Контрольные вопросы 1. Чем отличается модальное наблюдение от оптимального? 2. Какие характеристики шумов используются для вычисления матрицы наблюдения оптимального фильтра? 3. Какие методы можно использовать для решения уравнения Риккати? 4. Можно ли применить оптимальный фильтр в системе с модальным управлением?

18

Библиографический список 1. Биологическая кибернетика / Под ред. А. Б. Коган М.: Высшая школа, 1977. 2. Андреев Ю. Н. Управление конечномерным линейным объектом. М.: Наука, 1976. 3. Деруссо П., Рой Р., Клоуз Ч. Пространство состояний в теории управления. М.: Наука, 1970. 4. Квакернаак Х., Сиван Р. Линейные оптимальные системы уравнений. М.: Мир, 1977.

19

СОДЕРЖАНИЕ Лабораторная работа № 1. Построение векторно-матричной модели многомерной системы управления процессом в организме .....

1

Лабораторная работа № 2. Синтез регулятора модели дыхательного хемостата методом модального управления ....................

7

Лабораторная работа № 3. Синтез наблюдателя в модели дыхательного хемостата с общим выходом ............................................. 12 Лабораторная работа № 4. Синтез оптимального стохастического наблюдателя многомерной системы управления (фильтр Калмана) ..... 16 Библиографический список ..................................................................... 19