Математика. Часть 1: Учебно-методическое пособие по специальности 060108 (040500) - ''Фармация''

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Математика Часть I Учебно-методическое пособие Специальности 060108 (040500) — Фармация

Воронеж 2005

Утверждено научно-методическим советом математического факультета 1 сентября 2005 года Протокол №1

Составитель Шабров С.А.

Учебно-методическое пособие подготовлена на кафедре математического анализа математического факультета Воронежского государственного университета Рекомендуется для студентов 1 курса фармацевтического факультета всех форм обучения Учебно-методическое пособие написано в соответствии с программой курса «Математика». Оно содержит краткие теоретические сведения и задачи для самостоятельного решения. 2

1. Производная функции Пусть на [a, b] задана функция f (x). Разность ∆x = x − x0 (x, x0 ∈ [a, b]) называется приращением аргумента в точке x0 ; разность ∆f (x0 ) = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) — приращением функции f (x) в точке x0 соответствующее приращению ∆x независимого аргумента. ∆f (x0 ) стремится к конечному чис∆x лу A при ∆x → 0, то говорят, что функция f (x) имеет производную в точке x0 , которая обозначается через f 0 (x0 ). Определение 1. Если отношение

Теорема 1. Если f и g в точке x0 имеют производные, то 1. (af + bg)0 = af 0 + bg 0 , a и b — постоянные; 2. (f g)0 = f 0 g + f g 0 ; µ ¶0 f f 0g − f g0 3. = (g(x) 6= 0) g g2 Таблица производных 1. (xα )0 = αxα−1

9. (loga x)0 =

2. (sin x)0 = cos x

1 x ln a 1 1 − x2

3. (cos x)0 = − sin x

10. (arcsin x)0 = √

1 cos2 x 1 5. (ctg x)0 = − 2 sin x 6. (ex )0 = ex

11. (arccos x)0 = − √

4. (tg x)0 =

12. (arctg x)0 =

7. (ax )0 = ax ln a 8. (ln x)0 =

1 x

1 1 − x2

1 1 + x2

13. (arcctg x)0 = −

1 1 + x2

Пример 1. Найти производную функции y = xex . Решение. По правилам дифференцирования и используя таблицу производных, находим y 0 = (xex )0 = (x)0 ex + x(ex )0 = ex + xex .

3

Уравнение касательной к графику функции y = f (x), проведенной в точке x0 , имеет вид y = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ). Пример 2. Написать уравнение касательной к графику функции y = x2 √ в точке x0 = 2. √ √ √ Решение. Имеем f 0 (x) = 2x. Откуда f 0 ( 2) = 2 2 и f ( 2) = 2. Тогда уравнение касательной принимает вид √ √ √ y = 2 + 2 2(x − 2) или y = 2 2x − 2. Задачи для самостоятельной работы 1. Найти производные многочленов (a) y = 5x3 − 3x2 + x − 1

(c) y = 6x5 − 3x3 + 7x + 2

(b) y = x2n + 3xn − 1

(d) y = 3x2 − 7x7

2. Продифференцируйте функции √ x−1 (c) y = √ 3 x+4

x2 − 1 (a) y = 3 x +4 x4 − x 2 + 1 (b) y = 4 x + x2 + 1

x3 − 3x2 + (d) y = x4

√

x−1

.

3. Напишите уравнение касательной к графику функции y = f (x) в точке с абсциссой x0 (a) f (x) = 6x3 − 2x2 + 5x − 1, (c) f (x) = x3 − 3x + 1, x0 = −1; x0 = 1; x 3x − 4 (b) f (x) = 2 (d) f (x) = , x0 = 1; , x0 = 0. x +1 x+2 4. Найдите угловой коэффициент касательной к параболе y = x2 − 4x + 4 в точке с абсциссой x0 = 3. 5. Найдите угловые коэффициенты касательных к параболе y = x2 −4, проведенной в точках пересечения параболы с осью абсцисс.

4

2. Производная сложной функции. Производные высших порядков Если функции f (x) и h(y) имеют производные в точках x0 и y0 = f (x0 ) соответственно, то суперпозиция h(f (x)) в точке x0 также имеет производную и (h(f (x)))0 = h0 (f (x)) · f 0 (x). Пример 3. Найти производную сложной функции y = (2x7 + 1)2 . Решение. По правилу дифференцирования сложной функции имеем ¡ ¢0 y 0 = (2x7 + 1)2 = (2x7 + 1) · (2x7 + 1)0 = 2(2x7 + 1)17x6 = 56x13 + 28x6 . Допустим, что функция f (x) имеет производную в каждой точке некоторого интервала (a, b). Если отношение (x0 ∈ (a, b)) ∆f 0 (x0 ) f 0 (x0 + ∆x) − f 0 (x0 ) = ∆x ∆x стремится к конечному числу B при стремлении ∆x к нулю, то говорят, что функция f (x) имеет в точке x0 вторую производную, и обозначают через f 00 (x0 )(= B). Аналогично определяются производные более высокого порядка. x2 Пример 4. Найти вторую производную функции y = . x−1 Решение. Находим первую производную µ 2 ¶0 x (x2 )0 (x − 1) − x2 (x − 1)0 2x2 − 2x − x2 x2 − 2x 0 y = = = = . x−1 (x − 1)2 (x − 1)2 (x − 1)2 Тогда ¡ ¢ 2 0 2 2 2 0 (x − 2x) (x − 1) − (x − 2x) (x − 1) x − 2x y 00 = = = (x − 1)2 (x − 1)4 2 (2x − 2)(x − 1)2 − (x2 − 2x)2(x − 1) = . = (x − 1)4 (x − 1)3 µ

2

¶0

Задачи для самостоятельной работы 1. Найдите производные функций (a) y = (2x2 − 1)7

(c) y =

(b) y = (6x − 4)5 + 4(6 − x)2 + 1 5

(3x3

1 − 1)4

(d) y =

√

ln(ex + 1) (g) y = sin2 x ln x (h) y = arctg ex arcsin x + 1 (i) y = ln arccos x − 1

x4 + 16

√ (e) y = ( x − 1)5 (f) y = √

sin x arccos x + 2 tg x

2. Найдите вторые производные следующих функций √ x x (a) y = 2 y = (d) x −1 x2 + 4 2 x +1 (b) y = 2 (e) y = cos 2x x +4 x3 (c) y = (f) y = sin(arctg x) x−1 3. Найдите указанные производные (a) (7x5 − 6x2 + 4)000

(b) (2x6 − 6x4 + 1)(4)

3. Исследование функций с помощью производных. Определение 2. Функция f (x) называется возрастающей (убывающей) на [a, b], если f (x1 ) < f (x2 ) (соответственно f (x1 ) > f (x2 )) для всех x1 и x2 из [a, b], удовлетворяющих условию x1 < x2 . Определение 3. Точка x0 называется точкой максимума (минимума) функции f (x), если можно указать такой интервал I = (x0 − ε0 , x0 + ε0 ), что для всех x ∈ I справедливо неравенство f (x) 6 f (x0 ) (соответственно f (x) > f (x0 )). Пример 5. Функция y = x2 убывает на промежутке (−∞, 0], возрастает на [0, +∞), и, наконец, x0 = 0 — точка минимума. В самом деле, в качестве I можно взять1 (−1, 1), тогда для всех x 6= 0 имеем f (x) = x2 > 0 = f (0). Последнее неравенство и означает, что x0 — точка минимума. Точку максимума или минимума будем называть точкой экстремума. Теорема 2 (Необходимое условие экстремума). Если x0 точка экстремума и производная функции y = f (x) в этой точке существует, то f 0 (x0 ) = 0. 1

как, впрочем, в качестве I можно взять всю числовую прямую (−∞, +∞)

6

Замечание 1. Если f 0 (x0 ) = 0 в какой-то точке x0 , то x0 может и не быть точкой экстремума. В качестве примера предлагается рассмотреть функцию y = x3 . Теорема 3 (Первое достаточное условие экстремума). Если f 0 (x0 ) = 0, и для какого-то I = (x0 − ε0 , x0 + ε0 ) справедливо: 1) для всех x ∈ (x0 − ε0 , x0 ) производная f 0 (x) отрицательна и для всех x ∈ (x0 , x0 +ε0 ) производная f 0 (x) положительна, то x0 точка минимума; 2) для всех x ∈ (x0 − ε0 , x0 ) производная f 0 (x) положительна и для всех x ∈ (x0 , x0 +ε0 ) производная f 0 (x) отрицательна, то x0 точка максимума. Определение 4. Говорят, что функция f (x) выпукла вниз (вверх) на отрезке [a, b], если график функции на [a, b] лежит не ниже (не выше) любой своей касательной, проведенной в точке из указанного промежутка. Определение 5. Точка x0 называется точкой перегиба функции f (x), если график этой функции при переходе через точку (x0 , f (x0 )) переходит с одной стороны касательной на другую. Теорема 4. Точка x0 есть точка перегиба функции y = f (x), если f 00 (x0 ) = 0 и при переходе через точку x0 вторая производная меняет знак. Теорема 5 (Второе достаточное условие экстремума). Если f 0 (x0 ) = 0 и 1. f 00 (x0 ) < 0, то x0 точка максимума; 2. f 00 (x0 ) > 0, то x0 точка минимума. На рисунке 1 изображен график функции, которая на [a, x0 ] выпукла вверх, на [x0 , b] — вниз, и x0 — точка перегиба. Схема исследования функции Здесь мы приведем упрощенную схему исследования функции 1. Нахождение области определения функции. 2. Нахождение точек пересечения графика функции с осями координат (если это возможно). 7

3. Исследование на монотонность и нахождение экстремумов. 4. Исследование на выпуклость и нахождение точек перегиба. 5. Построение эскиза графика. y 10

8

y=f(x) 6

4

2

0 -1

O

x0

0 -2

x

1

2

3

x

Рис. 2. График функции y = 3x2 − x3 .

Рис. 1. Пример функции с точкой перегиба

Пример 6. Исследовать функцию y = 3x2 − x3 . 1. Область определения функции D(f ) = (−∞, +∞). 2. При x = 0 функция принимает значение 0. Решая уравнение 3x2 − x3 = 0, найдем точки пересечения графиком функции с осью Ox: O(0, 0) и A(3; 0). 3. Найдем производную: y 0 = 6x−3x2 . Корни уравнения f 0 (x) = 0 есть x = 0 и x = 2. Далее y 0 < 0 на (−∞, 0] и на [2, +∞), поэтому функция убывает на каждом интервале; y 0 > 0 на (0, 2), следовательно, функция возрастает на (0, 2). Кроме того, x = 0 — точка минимума, и x = 2 — точка максимума. Значения в этих точках равны: f (0) = 0 и f (2) = 4. 4. Исследуем на выпуклость: y 00 = 6 − 6x, следовательно, x = 1 — точка перегиба, так как f 00 (1) = 0 и вторая производная при переходе через точку x = 1 меняет знак, кроме того, на (−∞, 1) функция выпукла вниз, и выпукла вверх на (1, ∞). 5. График функции изображен на рис. 2. Задачи для самостоятельного решения 1. Исследуйте на экстремум следующие функции (a) y = x3 − 3x2 + 3x + 2 (b) y = x2 (x − 12)2 x3 (c) y = 2 x +3

(d) y =

16 x(4 − x2 )

(e) y = (x − 1)(x − 2)2 (x − 3)3 8

2. Исследовать функции x4 − 3 (c) y = x x−1 (d) y = x+1

(a) y = (x − 2)2 (x + 2) (b) y =

x2 − 2x + 2 x−1

4. Функции двух переменных. Частные производные. Дифференциал функции Определение 6. Функцию двух переменных u = f (x, y) назовем дифференцируемой в точке (x0 , y0 ), если приращение функции ∆u представимо в виде p ∆u = A∆x + B∆y + ε (∆x)2 + (∆y)2 (1) p где ε → 0 при ρ = (∆x)2 + (∆y)2 → 0. Если зафиксировать одну из переменных, например, y, то получится функция от одной переменной g(x) = f (x, y0 ). Производная функции g(x), если она существует, называется частной производной функции ∂f f (x, y) по переменной x и обозначается через f (x0 , y0 ). Аналогично ∂x ∂f определяются частная производная (x0 , y0 ) и частные производные ∂y более высокого порядка. Если функция u = f (x, y) дифференцируема в точке (x0 , y0 ), то равенство (1) принимает вид ∆u =

p ∂f ∂f (x0 , y0 )∆x + (x0 , y0 )∆y + ε (∆x)2 + (∆y)2 . ∂x ∂y

Сумма

∂f ∂f (x0 , y0 )dx + (x0 , y0 )dy, ∂x ∂y обозначаемая через du, называется дифференциалом функции; а dx и dy — дифференциалы независимых переменных. Пример 7. Найти все частные производные второго порядка функции u = x2 + ln(1 + xy).

9

Решение. Имеем ∂u y = (x2 + ln(1 + xy))0x = 2x + ∂x 1 + xy ∂u x = (x2 + ln(1 + xy))0y = ∂y 1 + xy µ ¶ 0 y y2 ∂ 2u = 2x + =2− ∂x2 1 + xy x (1 + xy)2 µ ¶0 ∂ 2u y 1 + xy − yx 1 = 2x + = = ∂x∂y 1 + xy y (1 + xy)2 (1 + xy)2 µ ¶0 ∂ 2u x 1 + xy − xy 1 = = = ∂y∂x 1 + xy x (1 + xy)2 (1 + xy)2 µ ¶0 ∂ 2u x x2 = =− ∂y 1 + xy y (1 + xy)2 µ ¶ ∂u ∂u Определение 7. Вектор с координатами (x0 , y0 ), (x0 , y0 ) на∂x ∂y зывают градиентом функции u(x, y) в точке (x0 , y0 ). Если направление ` в пространстве R2 характеризуется направляющими косинусами: {cos α, cos β} и функция u = f (x, y) дифференцируема, то производная по направлению ` вычисляется по формуле ∂u ∂u ∂u = cos α + cos β. ∂` ∂x ∂y Скорость наибольшего роста функций в данной точке, по величине и направлению, определяется градиентом grad u функции, величина которого равна sµ ¶ µ ¶2 2 ∂u ∂u + . | grad u| = ∂x ∂y 1. Найти частные производные первого и второго порядка от следующих функций (a) u = x4 + y 4 − 4x2 y 2

x

(d) u = arcsin p

x (b) u = 2 y

(e) u = xy +

x+y (c) u = arctg 1 − xy

x2 (f) u = tg y 10

x y

x2 + y 2

(g) u = xy

(h) u = p

1 x2 + y 2 + z 2

2. Найти дифференциалы следующих функций z x2 + y 2 p (f) u = ln x2 + y 2

(a) u = xm y n x (b) u = y

(e) u =

(c) u = exy

(g) u = exy

(d) u = xy + yz + zx

(h) u =

x2

z + y2

5. Неопределенный интеграл. Интегрирование методом разложения. Интегрирование методом замены переменной Определение 8. Функция F называется первообразной или примитивной функции f (x) на [a, b], если производная функции F (x) равна f (x) во всех точках [a, b], т. е. F 0 (x) = f (x). Совокупность всех первообразных функции f на [a, b] называется неопределенным интегралом от функции f (x) и обозначается через Z f (x)dx. Если F (x) — любая первообразная f (x), то Z f (x)dx = F (x) + C, где C — произвольная постоянная. Основные свойства неопределенного интеграла. µZ ¶ f (x)dx = f (x)dx; 1. d Z 2.

dF (x) = F (x) + C; Z

3.

Z λf (x)dx = λ

f (x)dx, λ ∈ R \ {0};

Z 4.

Z (f (x) + g(x))dx =

Z f (x)dx + 11

g(x)dx.

Таблица простейших интегралов Z Z p dx √ 1. dx = x + C. 7. = ln |x+ x2 ± 1|+ x2 ± 1 C. Z Z n+1 x ax n x 2. x dx = + C, n 6= −1. 8. +C a dx = n+1 ln a Z Z ex dx = ex + C. dx 3. = ln |x| + C. x Z 9. sin xdx = − cos x + C. ½ Z dx arctg x + C, 4. = Z − arcctg x + C. 1 + x2 10. cos xdx = sin x + C. ¯ ¯ Z dx 1 ¯¯ x − 1 ¯¯ Z 5. = ln + C. dx x2 − 1 2 ¯ x + 1 ¯ 11. = − ctg x + C. sin2 x ½ Z Z dx arcsin x + C, dx 6. √ = 12. = tg x + C. 2 − arccos x+C. 1−x cos2 x Z x3 dx Пример 8. Найти неопределенный интеграл . x8 − 2 Решение. Сделаем замену t = x4 . Тогда dt = 4x3 dx и Z Z x3 dx dt 1 √ = x8 − 2 4 t2 − ( 2)2 √ √ Сделав замену t = 2z, будем имеем dt = 2 dz и ¯ ¯ Z Z ¯z − 1¯ dt dz 1 1 ¯+C =√ = √ ln ¯¯ ¯ 2−1 t2 − 2 z z + 1 2 2 2 Возвращаясь к переменной x: ¯ √ ¯¯ Z ¯ 3 4 1 x dx ¯x − 2¯ √ √ ¯ + C. = ln ¯ x8 − 1 8 2 ¯ x4 + 2 ¯ Z xdx Пример 9. Найти неопределенный интеграл 3 x − 3x + 2 Решение. Имеем A B C x = + + , x3 − 3x + 2 (x − 1)2 (x − 1) x + 2 12

где A, B и C — неопределенные коэффициенты. Приводя в правой части к общему знаменателю получим x x2 (B + C) + x(A + B − 2C) + (2A − 2B + C) = , x3 − 3x + 2 x3 − 3x + 2 или x = x2 (B + C) + x(A + B − 2C) + (2A − 2B + C). Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, для определения коэффициентов A, B и C получаем линейную систему   B + C = 0, A + B − 2C = 1,  2A − 2B + C = 0, 2 2 1 решая которую мы находим A = , B = и C = − . Таким образом, 3 9 9 x 1 1 2 1 2 1 = + − . x3 − 3x + 2 3 (x − 1)2 9 (x − 1) 9 x + 2 Тогда Z

Z Z dx dx dx 2 2 + − = (x − 1)2 9 (x − 1) 9 x + 2 1 1 2 2 e= = − + ln |x − 1| − ln |x + 2| + C 3x − 1 9 ¯ 9 ¯ 1 1 2 ¯¯ x − 1 ¯¯ e = − + ln + C, 3 x − 1 9 ¯x + 2¯

1 xdx = x3 − 3x + 2 3

Z

e — произвольная постоянная. где C Задачи для самостоятельной работы 1. Найти неопределенные интегралы Z x7 dx (a) (e) Z √ (f) (b) x3 4 xdx Z (g) (c) 2x dx Z dx √ (d) (h) 25 − x2 13

Z

dx 25 + x2 Z dx x2 − 25 Z dx √ x2 + 25 Z dx √ x2 − 16

2. Путем разложения подинтегрального выражения найти интегралы Z Z 7 dx x − 7x2 + x + 1 (f) (a) dx x(x + 1)(x2 + x + 1) x2 Z Z xdx dx (b) (g) (x − 1)(x + 2)2 x3 + 1 Z Z xdx 2 (h) (c) sin 3xdx x3 − 1 Z Z dx (d) cos2 4xdx (i) 4 x +1 Z Z dx dx (e) (j) (x + 1)(x + 2)2 (x + 3)3 x4 + x2 + 1 3. Найти первообразную с помощью замены Z Z xdx (a) (4x − 7)8 dx (m) 4 Z 4+x Z √ dx √ (n) (b) 6x + 11dx (1 + x) x Z Z 1 dx cos 5xdx (c) (o) sin · 2 x x Z Z dx dx √ (d) √ (p) 3 2 8x − 15 Z x x +1 Z dx 2 xe−x dx (e) (q) 2 cos (6x − 1) Z x Z √ e dx 4 (r) (f) 1 − 4xdx 3 + ex Z Z dx dx (s) (g) x −x x2 + 4x + 4 Z e +e Z dx dx √ (t) (h) 1 + e2x 4x2 + 4x + 5 Z Z xdx ln3 x √ (i) (u) dx 2 x 1 − x Z Z p dx 3 x2 1 + x2 (v) (j) x ln x ln(ln x) Z Z xdx sin x (k) √ dx (w) 3 3 − 2x2 cos x Z Z xdx (l) (x) tg xdx (1 + x2 )2 14

Z (y)

Z ctg xdx

(z)

sin x + cos x √ dx 3 sin x − cos x

6. Интегрирование частям Формула интегрирования по частям имеет вид Z Z udv = uv − vdu Z Пример 10. Найти

x ln xdx

dx x2 Решение. Возьмем u = ln x и dv = xdx. Тогда du = и v = . x 2 Отсюда Z Z 2 x dx x2 x ln xdx = ln x − , 2 2 x окончательно, Z x2 x2 x ln xdx = ln x − + C. 2 4 Интегрируя по частям, найти следующие интегралы Z Z Z 4 x ln xdx x arctg xdx xe−x dx 1. 8. 15. Z

Z xe3x dx

2.

9.

e sin bxdx

3.

(x + 1) sin 5xdx 3

4. x sin xdx Z xdx 5. sin2 x Z 6. arcsin xdx

ln xdx

17.

Z x ln xdx Z xe sin xdx Z µ 13. Z 14.

ln x x

√

18.

arctg

√

x dx

Z

x

12.

sin x · ln(tg x)dx Z

2

3

11.

Z arctg xdx

Z 3

10.

x2 e−2x dx

16.

Z

Z

7.

Z ax

¶2 dx

Z 2

x ln xdx

15

arcsin x dx x2 Z p x2 + a2 dx 20. 19.

21.

x2

p

a2 + x2 dx

7. Вычисление определенных интегралов Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная неотрицательная функция f (x). Определенным интегралом от функции f (x) от a до b назовем площадь криволинейной трапеции ограниченной прямыми x = a, x = b, y = 0 и графиком функции y = f (x) (см. рис. 3) и обозначим через Zb f (x)dx. a

Если теперь f (x) произвольная непрерывная функция, то определенным интегралом от f (x) в пределах от a до b назовем разность между двумя опреZb деленными интегралами Adx

y=f(x)

O x=a

x=b

x

a

Zb и

y

Рис. 3. Криволинейная трапеция.

(A − f (x))dx, где A

=

a

max{0, max f (x)} — неотрицаx∈[a,b] тельная константа, т. е. Zb

Zb f (x)dx =

a

Zb Adx −

a

(A − f (x))dx. a

Если F (x) какая-то первообразная функции f (x), то Zb

¯x=b ¯ f (x)dx = F (b) − F (a) = F (x)¯¯

(2)

x=a

a

Равенство (2) называют формулой Ньютона–Лейбница. Z1 Пример 11. Найти xdx. 0

x2 Решение. Так как первообразная функции f (x) = x есть F (x) = , 2

16

то, применяя формулу (2), имеем Z1 0

¯x=1 1 x2 ¯¯ xdx = ¯ = . 2 x=0 2

Теорема 6. Пусть f (x) непрерывна на [a, b], монотонная на [α, β] функция g(t) имеет производную в каждой точке отрезка [α, β], причем g(α) = a, g(β) = b. Тогда Zβ

Zb

f (g(t))g 0 (t)dt.

f (x)dx = a

α

Замечание 2. Если отказаться от условия монотонности функции g(t), то формула замены переменной в определенном интеграле становиться неверной. Z2 Пример 12. Найти (2x − 1)3 dx 0

Решение. Сделаем замену t = 2x − 1, причем 2x − 1 является монотонной функцией. Тогда dt = 2dx и t изменяет от t1 = −1 до t2 = 3, и ¯ Z2 Z3 4 ¯t=3 t (2x − 1)3 dx = t3 2dt = 2 ¯¯ = 40. 4 t=−1 0

−1

Теорема 7. Если u, v имеют производную в каждой точке отрезка [a, b], то справедлива формула интегрирования по частям Zb

¯x=b Zb ¯ u(x)v 0 (x)dx = u(x)v(x)¯¯ − v(x)u0 (x)dx. x=a

a

(3)

a

Z2 Пример 13. Вычислить

x ln xdx 1

dx x2 Решение. Имеем u = ln x и dv = xdx. Тогда du = , v = и, x 2 применяя формулу (3), будем иметь Z2 1

¯x=2 Z2 ¯ 2 ¯x=2 ¯ x2 x x 3 x ln xdx = ln x¯¯ − dx = 2 ln 2 − ¯¯ = 2 ln 2 − . 2 2 4 x=1 4 x=1 1

17

Вычислить Z1 (x2 + 4)2 dx

1.

Zπ

Z2 e3x dx

5.

sin3 xdx

9.

−1

0

0

Z2

Z2

Z1

√

2. −2

Z5 3. 0

dx 16 − x2

dx 25 + x2

6.

ln xdx 1

0

Zπ

Z1

7.

x sin xdx Z1 xe−x dx

8. 0

0

11.

ln(1 + x) dx 1 + x2

arcsin xdx 0

0

Zπ/2 4. sin 2xdx

10.

Zπ/2 12. arctg2 xdx 0

8. Приложения определенного интеграла Площадь криволинейной трапеции ограниченной графиками функций y = f1 (x) и y = f2 (x) (f2 (x) > f1 (x)) и прямыми x = a и x = b вычисляется по формуле Zb S = (f2 (x) − f1 (x))dx. (4) a

Пример 14. Найти площадь фигуры, ограниченной прямыми x = 0, x x = π и графиками функций y = sin x, y = 2 sin . 2 Решение. По формуле (4) имеем ¯x=π ¯x=π Zπ ³ ´ ¯ x x ¯¯ 2 sin − sin x dx = −4 cos ¯ + cos x¯¯ = 2. S= 2 2 x=0 x=0 0

Если на плоскости задана кривая γ, определяемая равенствами x = ϕ(t), y = ψ(t) (t0 6 t 6 T ), то длина кривой определяется по формуле ZT q ϕ02 (t) + ψ 02 (t) dt.

l= t0

18

(5)

В частности, если кривая задана явно y = f (x) (t ∈ [a, b]), то длина кривой определяется формулой Zb q 1 + f 02 (x) dx.

l=

(6)

a

Пример 15. Вычислить длину дуги кривой γ = ¾ ½ 2 1 y − ln y, 1 6 y 6 e . (x, y) ∈ R2 : x = 4 2 Решение. Зададим параметрическое представление дуги кривой: x = t2 1 − ln t, y = t, причем t ∈ [1, e]. Тогда по формуле (5) имеем 4 2 s µ ¶2 ¶ µ 2 ¶¯t=e Ze Ze µ 1 1 1 1 1 y ¯¯ 1 l= 1+ y− dy = + y dy = + = (1+e2 ). ¯ 4 y 2 y 2 2 t=1 4 1

1

Объем тела вращения T , образованного вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y = f (x), отрезками прямыми x = a, x = b и сегментом [a, b] оси Ox, вычисляется по формуле Zb V = π f 2 (x)dx. (7) a

Пример 16. Найти объем тела, ограниченного поверхностью, полученной в результате вращения кривой γ = {x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t), 0 6 t 6 2π}, и y = 0 вокруг оси Ox. Решение. Применив формулу (7), получим Z2π Z2πa V =π y 2 dx = πa3 (1 − cos t)3 dt = 0 Z2π

= 0

0

t sin6 dt = 16πa3 2

Zπ sin6 zdz = 5π 2 a3 0

Последний интеграл предлагается посчитать самостоятельно. Задачи для самостоятельной работы 1. Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, ординатами x = 0, x = 2 и графиком функции y = x4 +2x2 +4. 19

2. Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью абс1 цисс, прямыми x = 0, x = 1 и графиком функции y = 1 + x2 3. Найдите площадь, ограниченную одной волной синусоиды и осью абсцисс. 4. Найдите площадь, ограниченную параболой y = x2 + 2x − 8 и осью абсцисс. 5. Найти площадь области, ограниченной в прямоугольной системе координат: √ x2 (d) y = , y = 2x. 2 ¯x¯ 4a 2a3 ¯ ¯ ,y= arctg ¯ ¯ (e) y = 2 2 a +x π a

(a) y = x2 e−x , y = 0, x = 2. (b) y = a sin x, y = a cos x. (c) y = x ln2 x, y = x ln x.

6. Найти площадь области, ограниченной кривой, заданной параметрически (a) x = 3t2 , y = 3t − t3

(b) x = a cos t, y = b sin t

7. Привести уравнение к параметрическому виду и найти площадь области, ограниченной петлей кривой (a) x =3 +y 3 = axy

(c) (x + y)3 = axy

(b) x4 = axy 2 + ay 3

(d) x5 + y 5 = ax2 y 2

8. Найти объемы тел, образованных вращением фигуры, ограниченной линиями: (c) x = a cos3 t, y = a sin3 t а) вокруг оси Oy; б) вокруг оси Ox

(a) y = cos x, y = 2 cos x, x = ±π/2 а) вокруг оси Oy; б) вокруг оси Ox 1 , y = 0, x = ±1 (b) y = 2 x +1 а) вокруг оси Oy; б) вокруг оси Ox

(d) x = a sin t, y = a sin 2t а) вокруг оси Oy; б) вокруг оси Ox в) вокруг прямой x = a

9. Найти длины дуг следующих кривых, заданных параметрически: 20

(a) x = a cos3 t,y = a sin3 t (b) x = a cos5 t, y = a sin5 t, 0 6 t 6 π/2 (c) x = 2a sin2 t, y = 2a cos t

(d) x = ln(1 + t2 ), y = 2 arctg t − 2t + 8 от точки A(0, 8) до точки B(ln 2, π/2+6)

21

Литература [1] Данко П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах : учеб. пособие для студентов втузов : в 2-х ч. / П. Е. Данко, А. Г. Кожевникова. – М. : Высш. школа, 1986. – Ч. 1. – 304 с. [2] Шипачев В. С. Основы высшей математики : учеб. пособие для втузов / В. С. Шипачев. – М. : Высш. школа, 1994. – 479 с. [3] Павлушков И. В. Основы высшей математики и математической стастики : учебник для медицинских и фармацевтических вузов / И. В. Павлушков. – М. : ГЭОТАР-МЕД, 2003. – 424 с. [4] Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа / Г. Н. Берман. – М. : Наука, 1985. – 384 с.

22

Составитель:

Шабров Сергей Александрович

Редактор

Тихомирова О.А.