Zinsderivate: Modelle und Bewertung (German Edition)

Zinsderivate

3 Berlin Heidelberg New York Hongkong London Mailand Paris Tokio

Nicole Branger ´ Christian Schlag

Zinsderivate Modelle und Bewertung Mit 33 Abbildungen

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Dr. Nicole Branger Professor Dr. Christian Schlag Professur fçr Derivate und Financial Engineering Johann Wolfgang Goethe-Universitåt Mertonstraûe 17 60054 Frankfurt am Main [email protected] [email protected]

ISBN 3-540-21228-0 Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet çber abrufbar. Dieses Werk ist urheberrechtlich geschçtzt. Die dadurch begrçndeten Rechte, insbesondere die der Ûbersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfåltigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfåltigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulåssig. Sie ist grundsåtzlich vergçtungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Springer-Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media springer.de ° Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2004 Printed in Germany Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wåren und daher von jedermann benutzt werden dçrften. Umschlaggestaltung: Erich Kirchner, Heidelberg SPIN 10992579

43/3130-5 4 3 2 1 0 ± Gedruckt auf såurefreiem Papier

Vorwort

Die zentrale Motivation fur dieses Buch ist die Tatsache, dass Zinsrisiko eine der wichtigsten Risikoquellen fur Finanzinstitute, aber auch fur andere Unternehmen darstellt. Steigende Zinsen konnen die Kosten der Fremdfinanzierung so stark wachsen lassen, dass u.U. sogar die Existenz eines Unternehmens gefahrdet ist. Eine Festgeldanlage erbringt in Zeiten fallender Zinsen weniger Ertrag als geplant und beeinflusst das Ergebnis eines Unternehmens negativ, wahrend Portfolios aus festverzinslichen Anleihen bei einem Zinsanstieg an Wert verlieren. Ein Portfoliomanager sollte daher ein genuines Interesse an Instrumenten zur Steuerung des Zinsanderungsrisikos haben, und Zinsderivate bieten hierfur vielfaltige Moglichkeiten. Trotz der mittlerweile umfangreichen Literatur zum Thema der Bewertung von Aktien-, Index- und Wahrungsderivaten gibt es unserer Ansicht nach bisher kaum Bucher, die dem Leser sowohl die allgemeinen technischen Grundlagen der Derivatebewertung als auch den Inhalt der aktuellen Modelle zur Bewertung von Zinsderivaten vermitteln. Zinssensitive Produkte stellen immer noch in einem hohen Mafie eine ,,eigene Welt" mit vielen Besonderheiten und Unterschieden im Vergleich zu Aktien, Indizes oder Wahrungen dar. Als einfachstes Beispiel sei hier die begrenzte Restlaufzeit von Anleihen mit (im Falle von Staatsanleihen in heimischer Wahrung) garantierter fester Ruckzahlung genannt. Ein sinnvolles Zinsmodell muss in der Lage sein, eine im Zeitablauf abnehmende Unsicherheit uber die Kursentwicklung der Anleihe im Zeitablauf abzubilden. Bei Aktien ist dieses Problem aufgrund der okonomischen Charakteristika einer prinzipiell unendlichen Laufzeit mit unsicherem Ruckzahlungswert nicht gegeben. Diese Tatsache schliei3t eine einfache ubertragung des Modells von Black und Scholes auf die Bewertung von Zinsderivaten aus. Die Zielsetzung des vorliegenden Buches ist es, eine Einfuhrung in Zinsmodelle zum Zwecke der Bewertung von Zinsderivaten zu geben. Es ist entstanden aus Vorlesungen fur Diplomanden und Doktoranden, die von den Autoren an der Universita degli Studi di Bergamo, der Universitat Karlsruhe (TH) und der Johann Wolfgang Goethe-Universitat in Frankfurt am Main gehalten wur-

den und immer noch regelmaaig gehalten werden. Das Buch wendet sich an Studenten und Dozenten der Betriebs- und Volkswirtschaftslehre, aber auch an interessierte Praktiker, die an einem fundierten Einstieg in die Materie der Zinsderivate und der zugrundeliegenden Modelle interessiert sind. Im Mittelpunkt der Betrachtung stehen Bewertungstheorie und Modellbildung. Der Schwerpunkt der Analyse liegt auf Konzepten und Modellierungsansatzen. Um dem Leser ein Gefuhl dafur zu geben, welche Modelle bzw. Modellklassen im Wesentlichen die Entwicklung der Bewertungstheorie fur Zinsderivate getrieben haben, wird eine Auswahl der aus unserer Sicht wichtigsten Modelle diskutiert. NaturgemaB wird der ubergang in den Zinsbereich fur diejenigen Leser etwas einfacher sein, die bereits Vorkenntnisse bezuglich der Bewertung von Aktien- oder Wahrungsderivaten aus den Modellen von Black und Scholes (1973) oder von Cox, Ross und Rubinstein (1979) besitzen. Ein wichtiger Aspekt eines Buches zum Thema Zinsderivate ist das mathematische Niveau der Darstellung. Im vorliegenden Werk wurde zwar eine moglichst exakte Darstellung angestrebt, jedoch wurde grundsatzlich mehr Gewicht auf Intuition und okonomische Motivation der Konzepte gelegt als auf eine in jedem Detail mathematisch strenge Analyse. Der Leser mit Interesse an einer mathematisch strikteren Darstellung sei auf weiterfuhrende Literatur wie z.B. die Werke von Bingham und Kiesel (1998), Bjork (1998), Brigo und Mercurio (2001), Duffie (2001), James und Webber (2000), Karatzas und Shreve (1998) sowie von Pelsser (2000) verwiesen. Das vorliegende Buch stellt prinzipiell eine abgeschlossene Einheit dar: Alle benotigten Konzepte werden innerhalb des Buches (zumindest kurz) erlautert, so dass im strengen Sinne keine weitere Literatur hinzugezogen werden muss. Um dem Leser eine stetige Kontrolle des Lernfortschritts zu ermoglichen, befinden sich am Ende eines jeden Kapitels ~ b u n ~ s a u f ~ a bAus e n . unserer eigenen Erfahrung kann sich jedoch ein gewisses Frustpotenzial aufbauen, wenn der Schlussel zur Losung einer Aufgabe nicht oder nicht in angemessen erscheinender Zeit gefunden wird. Daher folgen auf die Aufgaben auch Losungshinweise, die zwar knapp gehalten sind, jedoch stets den Kerngedanken zur Losung des jeweiligen Problems enthalten. Ein Werk wie dieses Buch kann nicht ohne Hilfe und Unterstutzung entstehen. Wir danken unseren Studentinnen und Studenten fur ihre Anregungen und Kommentare. Unser besonderer Dank geht an unsere Kolleginnen und Kollegen an der Professur fur Derivate und Financial Engineering der Goethe-Universitat, insbesondere an Frau Dr. Angelika Esser fur die kritische Durchsicht des Manuskripts und viele wertvolle Verbesserungsvorschlage.

Frankfurt am Main, im Februar 2004

Nicole Branger Christian Schlag

Inhalt sverzeichnis

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Ein ~ b e r b l i c kiiber zinssensitive Finanztitel . . . . . . . . . . . . . . .

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Zinsstrukturen und Zinsderivate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Zinsstrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Diskontierungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Kassazins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Terminzins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Kurzfristiger Terrninzins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.5 Zinssicherheit und Zinsunsicherheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Anleihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Nullkuponanleihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Kuponanleihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2.1 Festverzinsliche Anleihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2.2 Variabel verzinsliche Anleihe . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Anleiheoptionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Verteilungsfreie Wertuntergrenzen fiir Anleiheoptionen . 2.3.2 Verteilungsfreie Wertobergrenzen fur Anleiheoptionen . . 2.3.3 Vorzeitige Ausubung amerikanischer Anleiheoptionen . . 2.3.4 Put-Call-Paritat fur europaische Optionen . . . . . . . . . . . . 2.4 Forwards und Futures auf Anleihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Forwards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Futures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Forwards und Futures auf Zinsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Swaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 Payer und Receiver Swaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1.1 Payer Swaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1.2 Receiver Swaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1.3 Swap Rate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.2 Forward Swaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.3 Swaptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Caps, Floors und Collars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 7 8 8 8 9 11 12 13 13 13 13 14 16 17 18 19 19 20 20 21 22 23 23 24 24 24 25 25 26

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Inhaltsverzeichnis 2.7.1 Caps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26 2.7.2 Floors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28 2.7.3 Cap-Floor-Paritat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 . 2.7.4 Collars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 31 2.8 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9 Losungshinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33

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Bewertung in diskreter Zeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35 3.1 Einperiodiges Model1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36 3.1.1 Modellokonomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36 3.1.2 Arbitragemoglichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.1.3 Duplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39 3.1.4 Vollstandigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39 3.1.5 Risikoneutrales Martingalma8 (RNM) . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.2 Mehrperiodiges Model1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44 3.2.1 Modellokonomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.2.2 Duplikation und Ruckwartsrechnung im Baum . . . . . . . . 46 3.2.3 Vollstandigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47 3.2.4 Arbitragefreiheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47 3.2.5 Risikoneutrale Bewertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.2.6 Zwischenzeitliche Zahlungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2.7 Amerikanische Derivate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.3 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.4 Losungshinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

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Diskrete Zinsmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57 . 4.1 ~ b e r b l i c k. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57 4.2 Besonderheiten von Zinsmodellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.3 Das Model1 von Ho und Lee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.3.1 Beschreibung des Modells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.3.1.1 Baum der Diskontierungsfunktion . . . . . . . . . . . . 59 4.3.1.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.3.1.3 Volatilitatsparameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.3.1.4 Anleihepreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66 4.3.2 Zinsstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67 4.3.2.1 Short Rate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67 4.3.2.2 Fortfiihrung des Beispiels: Baum der Short Rate 69 4.3.2.3 Kassazinsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69 4.3.2.4 Terminzinsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.3.3 Bewertung von Derivaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70 4.3.3.1 Optionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.3.3.2 Futures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73 4.3.3.3 Fortfuhrung des Beispiels: Futures- und Forwardpreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75 4.3.3.4 Caps und Floors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

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4.4

4.5 4.6 4.7

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4.3.3.5 Fortfuhrung des Beispiels: Bewertung von Caps und Floors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Das Model1 von Black, Derman und Toy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.4.1 Baum der Short Rate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.4.2 Kalibration des Modells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.4.2.1 Gegebene Volatilitaten der Short Rates . . . . . . . 81 4.4.2.2 Gegebene Volatilitaten der Kassazinsen in t = 1 81 4.4.3 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .84 Terminrisikoangepasste Bewertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .95 Losungshinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .98

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Bewertung in stetiger Zeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .105 5.1 Modellokonomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .106 5.2 Grundlagen der stochastischen Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .106 . 5.2.1 Stochastische Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.2.2 Wiener Prozesse, stochastische Differentialgleichungen und stochastische Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .107 . 5.2.3 ItGs Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111 . 5.3 Risikoneutrale Bewertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 5.3.1 Bestimmung des risikoneutralen MaBes . . . . . . . . . . . . . . .114 . 5.3.2 Bewertung von Derivaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 5.4 findamentale partielle Differentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . .117 . 5.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 . 5.6 Losungshinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

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. Zeitstetige Zinsmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 . 6.1 ~ b e r b l i c k. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .125 6.2 Das Model1 von Heath. Jarrow und Morton . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 . 6.2.1 Modellbeschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .126 6.2.1.1 Stochastik der Forwardzinsen und der . Anleihepreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 6.2.1.2 Arbitragefreiheit und Driftrestriktionen . . . . . . . 129 6.2.2 Risikoneutrale Bewertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .130 6.2.2.1 Bestimmung des risikoneutralen WahrscheinlichkeitsmaBes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .130 6.2.2.2 Stochastik unter dem risikoneutralen MaB . . . . . 131 6.2.2.3 Risikoneutrale Bewertung von Derivaten . . . . . . 132 . 6.2.3 Terminrisikoangepasste Bewertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 6.2.3.1 Bestimmung des terminrisikoangepassten MaBes 132 6.2.3.2 Prozesse unter dem terminrisikoangepassten Mafl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 . 6.2.3.3 Terminrisikoangepasste Bewertung von . Derivaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .134 6.2.3.4 Beispiel: Bewertung eines europaischen Calls . . 134

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6.2.3.5 Beispiel: Forward- und Futurespreise . . . . . . . . . 135 6.2.4 Verallgemeinerung: d-dimensionaler Wiener Prozess . . . . 136 6.2.5 GauB-Zinsmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .137 6.2.5.1 Exkurs: Normalverteilung und Lognormalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 6.2.5.2 Bewertung von Anleihen, Futures und Optionen im GauB-Zinsmodell . . . . . . . . . . . . . . . 139 6.2.5.3 GauB-Zinsmodell mit konstant.er Volat.ilitat . . . 144 6.2.5.4 GauB-Zinsmodell mit exponentiell gedampfter Volatilitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 6.3 Das LIBORMarket-Model1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .149 6.3.1 Definition des LIBOR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .149 6.3.2 Modellierung des Forward-LIBOR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 6.3.3 Terminal Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151 6.3.3.1 Zusammenhang zwischen den terrrliririsikonarlgepaBterl Mafien . . . . . . . . . . . . . 151 6.3.3.2 Forward-LIBORunter dem Terminal Measure . . 152 6.3.4 Bewertung von Derivaten im LIBORMarket-Model1 . . . . 153 6.3.4.1 Bewertung einer variabel verzinslichen Zahlung 153 6.3.4.2 Bewertung eines Caps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 6.4 Das Swap Market-Model1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 6.4.1 Definition und Modellierung der Swa.p Rake . . . . . . . . . . . 155 6.4.2 Bewertung einer Swaption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 6.5 Short Rate-Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 6.5.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 6.5.1.1 Beschreibung der Unsicherheit . . . . . . . . . . . . . . . 157 6.5.1.2 Bestimrnung des risikoneutra.len Ma.Bes . . . . . . . 158 6.5.1.3 Bewertung von Derivaten in Short Rate-Modellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 6.5.1.4 Modellendogene Zinsstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . 159 6.5.1.5 Abgrenzung von Short Rate-Modellen gegen das HJM-Model1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 6.5.2 Die zeitstetige Version des Modells von Ho und Lee . . . . 161 6.5.2.1 Beschreibung des Modells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 6.5.2.2 Verhalten der Short Rate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 6.5.2.3 Bestimmung der Zinsstruktur . . . . . . . . . . . . . . . 163 6.5.2.4 Kalibration des Modells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .165 6.5.2.5 Verbindung zum Model1 von HJM . . . . . . . . . . . 166 6.5.3 Das Model1 von Vasicek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .168 6.5.3.1 Beschreibung des Modells . . . . . . . . . . . . . . . . . . .168 6.5.3.2 Verhalten der Short Rate . . . . . . . . . . . . . . . . . . .169 6.5.3.3 Bestimmung der Zinsstruktur . . . . . . . . . . . . . . . 170 6.5.3.4 Kalibration des Modells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 6.5.3.5 Verbindung zum Model1 von HJM . . . . . . . . . . . 172 6.5.4 ,,Extended Vasicek" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .173

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6.5.4.1 Beschreibung des Modells . . . . . . . . . . . . . . . . . . .173 6.5.4.2 Verhalten der Short Rate . . . . . . . . . . . . . . . . . . .173 6.5.4.3 Bestimmung der Zinsstruktur . . . . . . . . . . . . . . .174 6.5.4.4 Kalibration des Modells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .176 6.5.4.5 Verbindung zum Model1 von HJM . . . . . . . . . . . 177 6.5.5 Das Model1 von Cox, Ingersoll und Ross . . . . . . . . . . . . . . 178 6.5.5.1 Beschreibung des Modells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 6.5.5.2 Verhalten der Short Rate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 6.5.5.3 Bestimmung der Zinsstruktur . . . . . . . . . . . . . . . 180 . 6.6 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .182 .. 6.7 Losungshinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

Abbildungsverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .193

. Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .195 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .197 ..

Ein ~berblickiiber zinssensitive Finanztitel

In diesem Kapitel sollen die wichtigsten Arten zinssensitiver Wertpapiere vorgestellt werden. Dabei geht es in erster Linie um eine Beschreibung der wesentlichen Charakteristika der einzelnen Titel, ohne dass hier schon eine formale Darstellung der Zahlungsstrome erfolgen soll. Anleihen stellen die einfachsten zinssensitiven Titel dar. Man unterscheidet im Wesentlichen zwischen Nulllcuponanleihen (NKAs) und Kuponanleihen. NKAs weisen eine feste, einmalige Zahlung in Hohe des Nennwerts an einem bestimmten zukunftigen Termin (Falligkeitstermin) auf. Die wichtigste Motivation fur den Erwerb von NKAs ist der Wunsch, zu einem zukunftigen Zeitpunkt eine sichere Zahlung zu erhalten, z.B. zur Finanzierung einer fur diesen Termin geplanten Anschaffung. Ein solches sicheres Anlageergebnis ist mit einer rollierenden Anlage z.B. auf einem Festgeldkonto nicht erreichbar, da zwar der Ertrag uber die nachste, nicht jedoch uber alle zukunftigen Anlageperioden bekannt ist, wenn zukunftige Zinssatze risikobehaftet sind. Es ist somit z.B. unsicher, welches Endvermogen ein Anleger erhalt, der uber 10 Jahre jeweils monatlich Festgeld anlegt und prolongiert. Im Gegensatz dazu ist das Endvermogen bei Kauf einer 10-jahrigen NKA aus heutiger Sicht sicher. Hierbei ist die wichtigste Eigenschaft von NKAs, dass sie kein laufendes ,,EinkommenUin Form von Ausschuttungen erzeugen, sondern lediglich die Riickzahlung des Nennwerts am Ende der Laufzeit. Daraus ergibt sich, dass der Inhaber kein Wiederanlagerisiko fur zwischenzeitliche Ertrage zu tragen hat. Wie in den folgenden Kapiteln deutlich werden wird, weist eine NKA aber im Regelfall zwischenzeitliches Kursrisiko auf, d.h. es ist bei Zinsunsicherheit nicht moglich, heute genau vorherzusagen, welchen Wert die Anleihe zu einem zukunftigen Zeitpunkt vor Falligkeit haben wird. Dieses Risiko ist jedoch im idealtypischen Fall fur den Kaufer der NKA irrelevant, da er dieses Instrument ja genau dehalb gewahlt hat, weil es zum Falligkeitszeitpunkt eine feste Zahlung aufweist und er an zwischenzeitlichen Ausschuttungen nicht interessiert ist. Wunscht der Investor wahrend der Laufzeit der Anleihe ein regelmafliges Einkommen, so stellt eine Kuponanleihe die geeignete Form der Kapitalanlage

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dar. Eine Kuponanleihe ist ebenso wie eine NKA durch einen Falligkeitstermin und einen Nennwert gekennzeichnet, daruberhinaus erhalt der Inhaber jedoch in regelmaaigen Abstanden eine Kuponzahlung, die ublicherweise als Prozentsatz des Nennwerts festgelegt ist. Kuponzahlungen erfolgen in Deutschland meist jahrlich, in den USA dagegen halbjahrlich. Im einfacheren Fall ist die Kuponhohe uber die gesamte Laufzeit festgeschrieben, man spricht dann von einer festverzinslichen Anleihe. Man erwirbt also z.B. eine 5-jahrige Anleihe mit einem Nennwert von 100 Geldeinheiten (GE) und einem Kupon von 4.5%. Dies bedeutet, dass bei jahrlicher Kuponzahlung am Kupontermin 4.5 GE an den Investor flieaen, bei halbjahrlicher Zahlungsweise dagegen alle sechs Monate 2.25 GE. Bei Wiederanlage der Ertrage gilt, dass eine gegebene Kuponrate bei halbjahrlicher Kuponzahlung einen etwas hoheren Wert der Anleihe induziert als bei jahrlicher Zahlung. Geht es dem Investor lediglich darum, einen bestimmten Geldbetrag im Falligkeitszeitpunkt zu erhalten, sieht er sich bei einem Investment in eine Kuponanleihe einem Wiederanlagerisiko ausgesetzt. Die zwischenzeitlich anfallenden Kuponzahlungen mussen bis zum Falligkeitszeitpunkt angelegt werden, wobei aus Sicht des Erwerbszeitpunktes die Zinssatze, zu denen diese Anlage erfolgen kann, unsicher sind. Eine Variation dieses Grundtyps von Kuponanleihe stellen Kuponanleihen mit variablem Kupon, sogenannte variabel verzinsliche Anleihen oder Floater, dar. Bei einem Floater ist der Kupon nicht mehr von Beginn an fur die ganze Laufzeit fest, sondern er richtet sich nach einem Referenzzinssatz und wird regelma.aig a.ngepaast. Beispielsweise konnte eine Anleihe ,,6-Monats-LIBOR 0.5%" zahlen. LIBORsteht dabei fur London Interbank Oflered Rate und bezeichnet einen Interbankenzinssatz am Finanzplatz London. An den einzelnen Anpassungsterminen wird der nachste Kupon dieses Floaters nach der angegebenen Formel auf Basis des 6-Monats-LIBORfestgelegt. Wie oben erwahnt, beschranken sich die Ausfuhrungen in diesem Buch auf ausfallrisikolose (Staats-)Anleihen. Im Gegensatz zu Emissionen z.B. der Bundesrepublik Deutschland oder der USA ist bei Unternehmensanleihen die Ruckzahlung nicht garantiert, da das Unternehmen vor Falligkeit der Anleihe in Konkurs gehen konnte. Diese Tatsache wirft besondere Probleme bei der Bewertung auf, die den Rahmen dieses Buches sprengen wurden. Wahrend Anleihen naturlich zinssensitive Finanztitel darstellen, wurde man sie im Allgemeinen nicht als klassische Zinsderivate ansehen. Ein klassisches Zinsderivat wird dagegen z.B. durch einen Zinsterminkontrakt, englisch Forward Rate Agreement (FRA), reprasentiert. Ein FRA beinhaltet eine Vereinbarung uber den Zinssatz (Terminzinssatz) fur eine Anlageperiode, die erst zu einem zukunftigen Zeitpunkt beginnt. Man wurde also z.B, heute vereinbaren, dass in drei Monaten ein bestimmter Betrag fiir sechs Monate zu einem bereits heute festgelegten Zinssatz angelegt werden kann. Fur diese zukunftige Periode ist damit aus heutiger Sicht das Risiko adverser Zinsanderungen ausgeschlossen, der Investor kann genau sagen, welchen Betrag er von heute aus gerechnet in neun Monaten zur Verfugung haben wird. Selbstverstandlich kann ein FRA auch zur Spekulation eingesetzt werden. Erwartet ein Investor

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fur eine zukunftige Anlage eine niedrigere Verzinsung als den heute angebotenen Terminzins, so kann er durch den Abschluss eines FRA als Anleger eine Position aufbauen, von der er im Falle einer richtigen Einschatzung der Zinsentwicklung profitieren wurde. Ebenso kann naturlich auch auf steigende Zinsen spekuliert werden, indem man im Rahmen des FRA Kredit zum Terminzins aufnimmt und hofft, durch die zukunftige Anlage des Kreditbetrags zu dann hoheren Zinsen einen Gewinn erzielen zu konnen. Ein Swap ist eine bilaterale Vereinbarung uber den Tausch von Zahlungsstromen. In der klassischen Variante, dem sogenannten Plain Vanilla Swap, vereinbaren die Parteien den Tausch von festen gegen variable Zahlungen. Die variablen Zahlungen orientieren sich dabei meist an einem Referenzzinssatz wie oben fur Floater geschildert. Insofern kann ein Swap auch als Tausch einer festverzinslichen gegen eine variabel verzinsliche Anleihe interpretiert werden, obwohl ublicherweise nicht der Nennbetrag, sondern nur die Zinszahlungen getauscht werden. 1st ein Kreditnehmer z.B. eine variabel verzinsliche Verpflichtung eingegangen und furchtet er nun zukunftig steigende Zinsen, so kann er als Festzinszahler in einen Swap eintreten. Es wurde sich dann aus seiner Sicht um einen Payer Swap handeln, wahrend es sich fur die Gegenpartei um einen Receiver Swap handeln wurde. Wie ein FRA, so kann auch ein Swap zu Spekulationszwecken eingesetzt werden. Glaubt ein Investor z.B. an steigende Zinsen in der Zukunft, so kann er einen Payer Swap eingehen, so dass er feste Zinsen zahlt und zukunftig von hoheren Einnahmen aus den va.ria.blen Zahlungen der Gegenpa.rtei profitieren ka.nn. Forwards und Futures auf Anleihen sind Kontrakte, bei denen im Zeitpunkt des Vertragsabschlusses der in der Zukunft zu zahlende Kaufpreis fur eine Anleihe festgelegt wird. Dieser Festpreis wird als Forwardpreis bzw. Futurespreis bezeichnet. ~ h n l i c hwie die bereits geschilderten Terminkontrakte konnen Forwards und Futures sowohl zur Absicherung einer Position als auch zur Spekulation verwendet werden. Halt ein Investor eine Anleihe und befiirchtet zukunftig einen Zinsanstieg, so kann er die Anleihe bereits heute ,,auf Termin" verkaufen und sich damit einen festen Verkaufspreis sichern. Man spricht in diesem Fall von einer Short-Position im Terminkontrakt. Eine Spekulation uber Forwards oder Futures wurde z.B. bei Erwartung fallender Zinsen und damit steigender Anleihepreise einen Terminkauf der Anleihe beinhalten, also eine Long-Position im Forward bzw. Future. Eine spezielle Form von Futures sind solche Kontrakte, die auf sehr kurzfristige Anleihen geschrieben sind, wie z.B. T-Bill-Futures oder Schatz-Futures. Futures und Forwards sind ahnliche Kontrakte. Ein wesentlicher Unterschied ist, dass Futures borsengehandelt und standardisiert sind, wahrend Forwards ,,over the counter" (OTC), also ausserhalb einer Borse gehandelt werden. Die bisher vorgestellten Zinsderivate sind sogenannte unbedingte Terminkontrakte, bei denen keine der beiden Parteien ein Wahlrecht bezuglich der endgultigen Erfiillung, also dem Tausch von Geld gegen Wertpapier, besitzt. Die wichtigsten bedingten Terminkontrakte, d.h. solche mit einseitigen Wahlrechten, sind Caps und Floors. Ein Cap ist ein Kontrakt, der es erlaubt, eine

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Obergrenze fiir eine variable Zinsverpflichtung zu erzeugen. Er ist, zusammengesetzt aus einer Serie von elementaren Kontrakten, sogenannten Caplets. Liegt der Referenzzinssatz am Abrechnungstermin uber der Strike Rate, so erhalt der Inhaber eines Caplets eine Zahlung, die diesen Unterschied gerade ausgleicht, d.h. er erhalt die Zinsdifferenz auf den Nennbetrag des Kontrakts. Andernfalls erfolgt keine Zahlung. Ein Floor funktioniert genau umgekehrt. Er ist aus Floorlets zusammengesetzt, von denen jeder zum jeweiligen Abrechnungstermin eine Zahlung leistet, falls der Referenzzinssatz unter der Strike Rate liegt, andernfalls wird nichts gezahlt. Ein Floor ermoglicht es damit, eine Mindestverzinsung auf eine variabel verzinsliche Anlage zu garantieren, da im Falle niedriger Zinsen mindestens die Strike Rate gezahlt wird. Die Kombination aus dem Kauf eines Caps und dem Verkauf eines Floors mit niedrigerer Strike Rate wird auch als Collar bezeichnet. Ein Collar garantiert eine Oberund eine Untergrenze fur die variablen Zinsen, die fur einen Kredit zu entrichten sind. Der Verkauf des Floor, der in Zeiten sehr niedriger Zinsen zu einem Verlust fuhrt, wird haufig dadurch motiviert, dass die Einstandskosten der Collar-Position durch den Verkaufserlos aus dem Floor gemindert werden. Selbstverstandlich stellt dies implizit eine Spekulation auf nicht zu niedrige zukunftige Zinsen dar. Eine Anleiheoption ist ein Zinsderivat, das seinen Inhaber berechtigt, eine Anleihe zu einem zukunftigen Zeitpunkt bzw. wahrend eines bestimmten Zeitraums zu einem bestimmten Preis (Basispreis, Strike Price, Exercise Price) zu kaufen (Kaufoption, Call) bzw. zu verkaufen (Verkaufsoption, Put). 1st die Ausubung des Rechts jederzeit moglich, bezeichnet man die Option als amerikanisch. Kann es dagegen nur am Ende der Optionsfrist ausgeiibt werden, heii3t die Option europaisch. Die Auszahlung eines Calls bei Ausubung ist positiv, wenn der Anleihepreis gri33er ist als der Basispreis, und sonst null. Ein Put hat dagegen eine positive Zahlung, wenn der Kurs der Anleihe unter dem Basispreis liegt. Er kann damit z.B, zur Absicherung einer Anleiheposition gegen einen befurchteten Kursverfall eingesetzt werden. Der Wertverlust der Anleihe wird durch die positive Zahlung aus dem Put kompensiert, so dass der Investor stets mindestens ein Vermogen in Hohe des Basispreises der Option hat. Auch Optionen konnen zu spekulativen Zwecken eingesetzt werden, um z.B. Erwartungen fallender Anleihekurse mit Hilfe von Verkaufsoptionen in eine Investitionsstrategie umzusetzen. Neben solchen rein zinssensitiven Titeln existiert eine groi3e Bandbreite sogenannter hybrider Finanztitel, die neben Zinsrisiko auch noch weiteren Risikoquellen ausgesetzt sind. Die zwei wichtigsten Formen solcher Wertpapiere, namlich Wandel- und Optionsanleihen, sollen hier kurz beschrieben werden. Wandelanleihen sind Unternehmensanleihen, die wahrend einer bestimmten Frist den Umtausch der Anleihe in Aktien des ausgebenden Unternehmens erlauben. Die Anleihekomponente stellt im Wesentlichen einen zinssensitiven Titel dar, wahrend der Wert des Umtauschrechts hauptsachlich von der Entwicklung des Aktienkurses abhangt. ~ h n l i c hwie Wandelanleihen beinhalten auch Optionsanleihen ein Recht auf den Bezug von Aktien des emittierenden

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Unternehmens. Allerdings besteht eine Optionsanleihe aus zwei Teilen, die meist nach einer gewissen Frist getrennt gehandelt werden. Der eine Teil ist die Anleihe, der andere der sogenannte Optionsschein. Dieser Optionsschein berechtigt ahnlich einer ublichen Option zum Bezug der Aktien des emittierenden Unternehmens gegen Bezahlung des Bezugspreises. Die Bewertung hybrider Derivate erfordert Modelle, in denen neben dem Zinsrisiko auch noch eine Risikoquelle wie der Aktienkurs oder der Gesamtwert des Unternehmens erfasst werden muss. Die Darstellung und Analyse dieser Modelle wurde jedoch den Rahmen des vorliegenden Buches sprengen, weshalb im Folgenden hybride Dervate nicht weiter erortert werden. Zinsderivate werden an zahlreichen Terminborsen rund um die Welt gehandelt. Die bekanntesten Terminborsen sind sicherlich die CBOT (Chicago Board of Trade), die LIFFE (London International Financial Futures Exchange) sowie die EUREX in Frankfurt. Wie oben bei der Beschreibung von Forwards und Futures angedeutet, werden Zinsderivate jedoch auch auf OTCMarkten gehandelt. Ein Kunde kann z.B. bei einer Investmentbank ein Zinsderivat kaufen, das diese exakt auf seine Bedurfnisse zugeschnitten hat. Dies hat fur den Kunden eben den Vorteil, dass das Derivat exakt seinen Anforderungen entspricht. Gleichzeitig ist jedoch zu bedenken, dass es bei einem spezieller gestalteten Derivat schwierig sein durfte, es bei einer Auflosung der Position an andere Investoren weiter zu verkaufen. Dieser Abschnitt sollte in erster Linie dazu dienen, einen ~ b e r b l i c kfiber die wesentlichen Arten von Zinsderivaten zu geben. In den spateren Kapiteln des Buches wird nicht jedes Produkt im Einzelnen in allen Modellen bewertet, sondern es wird allgemein der Weg von der Feststellung der Auszahlung eines Derivats hin zu seinem fairen Preis im Bewertungszeitpunkt dargestellt. Mit Information uber die Kontraktspezifikation des jeweiligen Derivats kann anschliefiend prinzipiell jeder Claim bewertet werden. Der weitere Aufbau des Buches ist wie folgt: Grundlegende Begriffe wie Kassa- und Terminzinssatz, Zinsstruktur usw. sowie die formale Abbildung der spater diskutierten Zinsprodukte sind Gegenstand von Kapitel 2. Eine Einfuhrung in die Bewertung von Derivaten in diskreter Zeit folgt in Kapitel 3. Die wichtigsten Zinsmodelle in diskreter Zeit, namlich die Ansatze von Ho und Lee (1986) sowie von Black, Derman und Toy (1990) sind Inhalt von Kapitel 4. Kapitel5 prasentiert die Grundlagen der Bewertung von Zinsderivaten in stetiger Zeit. Die wichtigsten stetigen Zinsmodelle werden anschlieoend in Kapitel 6 vorgestellt. Als Benchmark ist dabei das Model1 von Heath, Jarrow und Morton (1992) anzusehen. Ferner werden die sogenannten Market Models auf Basis von LIBOR-oder Swap-Satzen vorgestellt. Aus Grunden der Vollstandigkeit und vor dem Hintergrund der historischen Entwicklung von Modellen zur Bewertung von Zinsderivaten werden in diesem Kapitel auch sogenannte Short Rate-Ansatze prasentiert, in denen der kurzfristige Zinssatz die einzige Zustandsvariable darstellt.

Zinsstrukturen und Zinsderivate

Ziel dieses Kapitels ist eine erste formale Analyse der im vorangegangenen Kapitel diskutierten Zinsprodukte. Wir beginnen fur jeden Kontrakt mit der Definition seiner Auszahlungsfunktion. Durch diese Auszahlungsfunktion, die angibt, wieviel zu welchem Zeitpunkt in Abhangigkeit des Umweltzustandes gezahlt wird, ist der Kontrakt eindeutig beschrieben. Ziel der folgenden Kapitel wird es dann sein, ausgehend von der Auszahlungsfunktion den Preis des Kontraktes zu bestimmen. Fur die Definition der verschiedenen Kontrakte sei unter anderem auf Baxter und Rennie (1996), Bjork (1998), Brigo und Mercurio (2001), James und Webber (2000) sowie auf Sandmann (2001) verwiesen. Fur die meisten Kontrakte gilt, dass eine Bewertung nur auf Basis eines Zinsmodells moglich ist. Eine Ausnahme stellen hier z.B. Forwardkontrakte dar, fur die sich der Wert und der Forwardpreis (auf diese Unterscheidung werden wir weiter unten noch eingehen) ohne Verwendung eines Zinsmodells berechnen lassen und somit unabhangig von dem stochastischen Verhalten der Zinsen sind. Fur die meisten anderen Kontrakte ist der Wert dagegen vom Zinsmodell abhangig. Wir beschranken uns an dieser Stelle fur alle Kontrakte, bei denen eine solche modellfreie Bewertung nicht moglich ist, zum einen auf die Ermittlung von verteilungsfreien Wertgrenzen, also Preisoberund -untergrenzen. Diese mussen in jedem Zinsmodell gelten, da sonst Arbitragemoglichkeiten existieren wurden. Zum anderen geben wir Beziehungen zwischen den Preisen verschiedener Kontrakte an, die bei Arbitragefreiheit erfullt sein mussen. Das wohl bekannteste Beispiel ist hier die Put-Call-Paritat. Das Konzept der Arbitrage werden wir in Kapitel 3 formal einfuhren und uns hier einstweilen mit einer verbalen Erklarung begnugen. Man nennt einen Kapitalmarkt arbitragefrei, wenn es nicht moglich ist, ohne Kapitaleinsatz und ohne das Risiko von Verlusten einen Gewinn zu erzielen. Insbesondere mussen also Portfolios, deren Zahlungen in der Zukunft ubereinstimmen, heute den gleichen Preis haben. Ansonsten wiirde man das teurere Portfolio verkaufen und das billigere kaufen. Die Zahlungen in der Zukunft wurden sich gegenseitig aufheben, und die Preisdifferenz heute wurde einen sicheren Gewinn darstellen.

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2 Zinsstrukturen und Zinsderivate

2.1 Zinsstrukturen Wir beginnen dieses Kapitel mit einer Diskussion der Diskontierungsfunktion und der Zinsstruktur als den Grundbausteinen von Zinsmodellen. Wahrend die Definition der Diskontierungsfunktion eindeutig ist, da sie sich aus den Preisen von NKAs zusammensetzt, gilt dies fur Zinsen nicht. Hier unterscheidet man zum einen danach, ob der Zins fur eine sofortige Anlage a b dem Zeitpunkt der Festsetzung oder fur eine zukunftige Anlage gilt, zwischen Kassaund Terminzinsen. Zum anderen unterscheidet man nach der Art der Berechnung zwischen diskreten und stetigen Zinsen. Die Aussage, dass der Zins 5% betragt, ist damit bei weitem nicht ausreichend. Zusatzlich muss man wissen, fur welche Anlageperiode der Zins gilt und wie er berechnet wurde. Es sei ausdrucklich betont, dass es sich bei den verschiedenen Berechnungsmethoden einzig und alleiri urn verschiedene Definitionen handelt. Die R a g e nach richtig oder falsch stellt sich in diesem Zusammenhang nicht. 2.1.1 Diskontierungsfunktion Die Diskontierungsfunktion urnfaat die Preise von NKAs zurn Zeitpunkt t rnit Falligkeit in allen denkbaren Zeitpunkten T t . Eine NKA stellt das einfachste Zinsderivat dar. Die in r fallige NKA zahlt in T gerade ihren Nennwert zuruck, den wir im Folgenden ohne Beschrankung der Allgemeinheit konstant gleich eins setzen. Ferner nehmen wir an, dass die Ruckzahlung sicher erfolgt, also kein Ausfallrisiko vorliegt. Der Preis in t der in T falligen NKA sei mit B ~ ( Tbezeichnet. ) Die Auszahlungsfunktion ist gegeben durch

>

Der Preis B t ( r ) gibt den Wert in t einer sicheren Zahlung in T an und wird auch als Diskontierungsfaktor (fiir den Zeitpunkt T ) bezeichnet. Die Menge aller B t ( r ) mit T 2 t bildet dann die Diskontierungsfunktion in t. Die Diskontierungsfunktion ist eine Moglichkeit, die Zinsstruktur zu beschreiben. In der Regel verwendet man hierzu jedoch direkt Zinssatze. Dabei wird zwischen Kassazinsen fur die Anlage von heute bis zu einem bestimmten zukunftigen Zeitpunkt und Terminzinsen fur die Anlage uber eine zukunftige Periode unterschieden. Ferner ist zwischen stetiger und diskreter Zinsberechnung zu differenzieren. 2.1.2 Kassazins Der Kassazins (spot rate) in t fur einen Zeitraum der Lange r - t ist der Zins, der fur eine Anlage von t bis T gezahlt wird. Er folgt eindeutig aus dem Preis in t der in T falligen NKA, die gerade das Instrument ist, mit dem man Geld fur diese Zeit sicher anlegen kann. Bei stetiger Verzinsung gilt fur den stetigen Kassazins y t ( r ) von t bis T

2.1 Zinsstrukturen

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Bei diskreter Verzinsung gilt fur den diskreten Kassazins y , d ( ~von ) t bis r

Fur den Zusammenhang zwischen diskreten und stetigen Kassazinsen folgt aus den Gleichungen (2.1) und (2.2)

Die Menge aller Kassazinsen yt(r) in t fur alle Falligkeitszeitpunkt r 2 t bezeichnet man als (Kassa-)Zinsstruktur in t. Die Gleichungen (2.1) und (2.2) zeigen, dass die Diskontierungsfunktion und die Kassazinsstruktur genau die gleichen Informationen beinhalten: Man erhalt aus der Diskontierungsfunktion die Kassazinsstruktur und umgekehrt. Empirisch beobachtet man oft, dass die Kassazinsen rnit wachsendem Anlagezeitraum T - t steigen. In diesem Fall spricht man von einer normalen (oder steigenden) Zinsstruktur. Die Zinsstruktur ist flach, wenn die Kassazinsen fur alle Laufzeiten r - t gleich hoch sind. Sie ist invers (bzw. fallend), wenn die Kassazinsen rnit wachsendem Anlagezeitraum r - t immer kleiner werden. 2.1.3 Terminzins

Neben den Kassazinsen kann man die Terminzinsen (forward rates) berechnen. Der Terminzins, der in t fur eine Anlage von r bis s (mit t 5 r < s) vereinbart wird, sei rnit ft(r,S ) bezeichnet. Wir beginnen wiederum rnit der Definition des stetigen Terminzinses, bevor wir den diskreten Terminzins einfiihren. Die Hohe des Terminzinses folgt aus dem Vergleich der beiden folgenden Strategien: Strategie A: Investiere in t genau 1 GE in die NKA rnit Falligkeit in s (kaufe also Bt(s)-' NKAs rnit Nennwert eins und einem Preis von jeweils Bt(s)) + Zahlung in s: Bt(s)-' Strategie B: Investiere in t genau 1 GE in die NKA rnit Falligkeit in r + Zahlung in r: Bt(r)-' Lege den (in t bereits bekannten) Betrag in r zu ft(r, S) bis s an + Zahlung in s: B~(7)-'eft(('+) (S-') Beide Strategien erfordern die gleiche Anfangsinvestition von 1 GE. Die einzige Zahlung erfolgt in s . Sie ist sicher und bereits heute bekannt, da der stetige

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2 Zinsstrukturen und Zinsderivate

Terminzins f t ( r , S ) bereits in t festgelegt wird. Bei Arbitragefreiheit mussen dann auch die Zahlungen in s gleich sein, und man erhalt ~

~

(

Bt-( rl) - l e f t ( 7 > 4( s - 7 ) .

~= )

Hieraus folgt der Terminzins ft

(T,s )

=

-

In B t ( s ) - In Bt ( r ) S

- 7-

Stimmt der Beginn der Anlageperiode T mit dem heutigen Zeitpunkt t iiberein, so erhalt man wegen Bt(t)= 1 wieder den stetigen Kassazins:

Daneben kann man noch einen weiteren Zusammenhang zwischen Kassazinsen und Terminzinsen herleiten. So folgt aus der Definition des Terminzinses in Gleichung (2.3)

Sei nun t < tl < t z < . . . < tn < Anwendung von Gleichung (2.3)

T.

Dann erhalt man durch wiederholte

Mit der Definition des stetigen Kassazinses in Gleichung (2.1) folgt dann

, 1

Y ~ ( T= )

{ f 4 t , t l ) ( t l- t)

+ A(tl>t.)(t. - t l ) + - .. + ft(tn,.)(.

- t.)}.

Der Kassazins ist also ein gewichteter Durchschnitt der Terminzinsen. Neben dem stetigen kann man auch einen diskreten Terminzins definieren. Bezeichnet man den diskreten Terminzins in t fur Anlage von T bis s mit f , d ( ~s, ) , SO gilt

Hieraus erhalt man

Fur den Zusammenhang zwischen diskreten und stetigen Terminzinsen folgt aus den Gleichungen (2.3) und (2.5)

2.1 Zinsstrukturen

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2.1.4 Kurzfristiger Terminzins

Von speziellem Interesse sind die Terminzinsen uber die kurzesten im Model1 betrachteten Zeitintervalle, die sogenannten kurzfristigen Terminzinsen (instantaneous forward rates). Sprechen wir im Folgenden ohne weiteren Zusatz von Terminzinsen, so sollen stets diese kurzfristigen Terminzinsen gemeint sein. Die kurzfristigen Terminzinsen f t k (ti, ti At) werden im Folgenden mit f t k (ti) abgekurzt. Die Gesamtheit aller kurzfristigen Terminzinsen in tk bildet die Terminzinsstruktur. Aus dieser erhalt man mittels Gleichung (2.4) die Diskontierungsfunktion mit

+

Umgekehrt folgt aus der Diskontierungsfunktion die Terminzinsstruktur, so dass die Zinsstruktur nicht nur durch die Diskontierungsfunktion oder durch die Kassazinsstruktur, sondern alternativ auch durch die Terminzinsstruktur angegeben werden kann. In zeitstetigen Modellen ist der kurzfristige Terminzins ft(s) definiert alsl

+

ft(s) = lim ft(s, s At) ALL0 In Bt (s At) - ln Bt (s) = lim A~LO nt - - d In Bt (s) ' ds

+

Aus den kurzfristigen Terminzinsen erhalt man durch Integration die Preise von NKAs mit

Auch in stetigen Modellen folgt damit die Diskontierungsfunktion aus der Terminzinsstruktur {ft(s) 1s 2 t ) und umgekehrt. Der kurzfristige Terminzins ft(t) wird auch als Short Rate rt bezeichnet. Er beschreibt nicht die gesamte Zinsstruktur, sondern nur ihr ,,linkes Ende". Aus der Kenntnis der Short Rate allein lasst sich die Zinsstruktur nicht bestimmen. Dies deutet bereits auf die Probleme hin, die in Modellen auftreten, die nur das Verhalten der Short Rate, nicht aber das der gesamten Zinsstruktur beschreiben. Auf diese Ansatze werden wir in Abschnitt 6.5 noch naher eingehen. '1m Folgenden wird stets angenommen, dass die Ableitung des Preises der NKA nach dem Falligkeitszeitpunkt existiert.

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2 Zinsstrukturen und Zinsderivate

2.1.5 Zinssicherheit und Zinsunsicherheit

Mit Hilfe von Kassa- und Terminzinsen ist man in der Lage, Zinssicherheit und Zinsunsicherheit gegeneinander abzugrenzen. Bei Zinssicherheit stimmt der zukunftige Kassazins mit dem heutigen Terminzins uberein, wobei der heutige Zeitpunkt mit t = 0 bezeichnet sei:

Bei Zinssicherheit sind bereits heute alle kunftigen Kassazinsen bekannt. Bei Zinsunsicherheit dagegen weicht der zukunftige Kassazins im allgemeinen vom heutigen Terminzins ab:

1st der Kassazins yt(r) in t unsicher, so mussen bei Arbitragefreiheit einige mogliche Realisationen fur den Kassazins kleiner als der heutige Terminzins, andere dagegen grofier sein. Es muss also gelten:

wobei P[A]fur die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A steht. Ziel von Zinsmodellen ist es, die Entwicklung der zukunftigen Zinsen abzubilden. Genauso wie bei Aktienkursunsicherheit in den Modellen von Cox, Ross und Rubinstein (1979) (CRR) oder Black und Scholes (1973) (BS) die zukunftige Entwicklung des Aktienkurses modelliert wird, beschreiben Zinsmodelle die zukunftige Entwicklung der Zinsen. Wir haben bereits gesehen, dass die Zinsstruktur alternativ durch die Diskontierungsfunktion, die Kassazinsstruktur oder die Terminzinsstruktur angegeben werden kann. Dementsprechend konnen Zinsmodelle die Entwicklung der Diskontierungsfunktion, der Kassazinsstruktur oder der Terminzinsstruktur beschreiben. Daneben gibt es auch Ansatze, die von der Entwicklung der Short Rate ausgehen. Im Unterschied zu Aktienkursmodellen sind bei Zinsmodellen einige Besonderheiten zu beachten: 0

0

0

In einem Aktienkursmodell wird die Kursentwicklung eines einzelnen Wertpapiers (der Aktie) modelliert. In einem Zinsmodell dagegen werden NKAs verschiedener Laufzeiten betrachtet, deren Entwicklung simultan zu modellieren ist. Wahrend die Aktie ein gehandeltes Wertpapier darstellt, ist der Zins selbst nicht gehandelt. Gehandelt werden lediglich Derivate auf den Zins, wie im einfachsten Fall eine NKA. Die Unsicherheit uber den zukunftigen Aktienkurs wird mit zunehmendem Zeithorizont grofier. Eine NKA dagegen zahlt bei Falligkeit mit Sicherheit den Nennwert zuruck, so dass ihr Wert mit abnehmender Restlaufzeit gegen den Nennwert konvergieren muss.

2.2 Anleihen

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In den spateren Kapiteln werden wir verschiedene Modelle kennenlernen, die Zinsunsicherheit abbilden. Im Rahmen dieser Modelle konnen dann Zinsderivate wie Optionen, Futures, Caps, Floors und Swaptions bewertet werden. Zunachst sollen diese Derivate jedoch definiert und modellunabhangige Bewertungsbeziehungen hergeleitet werden.

2.2 Anleihen Mit der NKA haben wir die einfachste Anleihe schon kennengelernt. Daneben gibt es Anleihen, die wahrend der Laufzeit entweder feste (im Falle von festverzinslichen Anleihen) oder variable (im Falle von variabel verzinslichen Anleihen) Zinszahlungen leisten. Im Folgenden nehmen wir stets an, dass alle Anleihen ausfallrisikolos sind, die versprochenen Zahlungen also auch tatsachlich geleistet werden. Zur Erfassung des Ausfallrisikos gibt es eigene Modelle, deren Diskussion den Rahmen dieses Buches sprengen wurde. Hier sei u.a. auf Duffie und Singleton (2003) und Bielecki und Rutkowski (2002) verwiesen. 2.2.1 Nullkuponanleihe Die NKA mit Falligkeit in T leistet nur in T eine Zahlung in Hohe des auf eins normierten Nennwertes. Ihr Preis in t wurde oben bereits mit Bt (T) eingefuhrt. Insbesondere gilt B,(T) = 1. Sind Zinsen stets nichtnegativ, so ist der Preis einer NKA kleiner als der Nennwert, und er ist um so kleiner, je langer die Restlaufzeit ist. Wahrend man die Nichtnegativitat der Zinsen intuitiv fordert, ist sie keineswegs zwingend, und tatsachlich gilt fur einige der bekannteren Zinsmodelle, dass Zinsen negativ werden konnen. 2.2.2 Kuponanleihe 2.2.2.1 Festverzinsliche Anleihe Eine festverzinsliche Kuponanleihe (fixed coupon bond) leistet auch wahrend der Laufzeit Zahlungen. Sie ist beschrieben durch den Nennwert F (im Folgenden als eins angenommen), den Falligkeitstermin T, die Zahlungszeitpunkte t l , tz, . . . , t, = T mit geleisteten Kuponzahlungen cti und die Tilgungsmodalitaten. Letztere legen fest, ob es sich um Annuitaten (und damit in jedem Zeitpunkt gleich hohe Zahlungen), um endfallige Anleihen (deren Nennwert bei Falligkeit zuruckgezahlt wird) oder teilfallige Anleihen (deren Nennwert uber mehrere Zeitpunkte verteilt zuruckgezahlt wird) handelt. Vereinfachend gehen wir im Folgenden davon aus, dass die Kuponanleihe endfallig ist und sich zu jedem Zahlungszeitpunkt die Kuponzahlung aus der konstanten Kuponrate von c ergibt. Als Zahlungen aus dieser Kuponanleihe erhalt der Inhaber dann in ti (i = 1,. . . ,n - 1) jeweils den Kupon c (ti - ti-l) sowie in

2 Zinsstrukturen und Zinsderivate

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t, = T zusatzlich zum dann falligen Kupon auch den Nennwert, so dass die Gesamtzahlung 1 c (t, - t,-l) betragt. Die Kuponanleihe entspricht einem Portfolio aus NKAs. Ihr Preis in t 5 tl ist dementsprechend gleich dern Preis des Portfolios, der durch

+

gegeben ist. Zu beachten ist an dieser Stelle, dass wir Stiickzinsen grundsatzlich nicht berucksichtigen, da sie nicht aus einer Bewertungsbeziehung folgen, sondern lediglich eine Marktusance darstellen.

2.2.2.2 Variabel verzinsliche Anleihe Eine variabel verzinsliche Anleihe (floating mte m t e ) leistet zwischenzeitliche Zahlungen, deren Hohe unsicher ist und sich jeweils aus dern aktuellen Marktzins ergibt. In der einfachsten Form bestimmt sich die Hohe der variablen Zahlung aus dern Zinssatz im Interbankenhandel, also aus LIBORoder EURIBOR (Euro Interbank Offered Rate). Wir sprechen im Folgenden vereinfachend nur von LIBOR.Wir nehmen zusatzlich an, dass LIBORdern Kapitalmarktzins entspricht, es also keine Friktionen am Markt gibt. Man unterscheidet zwischen Kassa- und Forward-LIBOR.Allgemein bezeichnet Lt(.s, T) den Forward-LIBOR, der in t fur eine Anlage von s bis r vereinbart wird. Er ist definiert durch die Beziehung

Der Kassa-LIBORLt(t, r) ist der Zins, der zum Zeitpunkt t fur eine Anlage von t bis r gilt. Fur den Preis der in T falligen NKA gilt

Aufgelost nach Lt(t, T) erhalt man

Ausgehend von dern variablen Zins konnen wir nun die Zahlungen der einfachsten variabel verzinslichen Anleihe angeben. Wie bereits im Falle der Kuponanleihe seien die Zahlungszeitpunkte t l = to+&, t2 = to+2At,. . . , tn-l = to (n - l)&,t , = to nAt. Die variable Zahlung in ti < t, ist definitionsgemafi gleich dern LIBORfur die vorangegangene Anlageperiode von ti-l bis ti, multipliziert mit der Lange At der Anlageperiode:

+

+

2.2 Anleihen

15

Setzt man die Definition des LIBORein, so erhalt man

Lt,-, (ti-1, ti-1

+ At)At = -

1

Bti_i(ti-l

+ At) - 11 At

Dies entspricht gerade der Zinszahlung auf eine Anlage von 1 GE von tiPl bis ti zum in ti-1 herrschenden Marktzins. Die Zahlung in tn setzt sich aus der Ruckzahlung des Nennwertes und einem variablen Anteil zusammen:

Im hier betrachteten (und einfachsten) Fall gilt fur die Zahlung in ti, dass ihre Hohe in ti-1 bestimmt (reset date) wird, die Zahlung selbst dagegen in ti (payment date) erfolgt. Dies fuhrt dazu, dass man den Wert der variablen Zinszahlungen und den Wert der variabel verzinslichen Anleihe ohne Zugrundelegung eines Zinsmodells bestimmen kann, sie also unabhangig von dem unterstellten Verhalten der Zinsen iiber die Zeit sind. Das sol1 im Folgenden gezeigt werden. Wir beginnen mit der Bewertung der variablen Zahlung (2.8) in ti. Ihre Hohe ist aus Sicht von t < ti-1 unbekannt, in ti-1 jedoch bekannt. Damit kann man ihren Wert in ti-1 einfach durch Multiplikation mit dem Preis der entsprechenden NKA bestimmen:

Dies ist der Wert in ti-1 eines Portfolios, das aus einer NKA mit Falligkeit in ti-l long und einer NKA mit Falligkeit in ti short besteht. Der Wert dieses Portfolios zu dem fruheren Zeitpunkt to 5 tipl ist

Der Wert der variabel verzinslichen Anleihe in to setzt sich zusammen aus den Werten der variablen Zahlungen und aus dem Wert der Ruckzahlung des Nennwertes:

16

2 Zinsstrukturen und Zinsderivate

Im Zeitpunkt to ist der Wert der variabel verzinslichen Anleihe somit eins. Allgemein gilt in jedem Zahlungszeitpunkt, dass der Wert der variabel verzinslichen Anleihe unmittelbar nach erfolgter Zahlung gleich eins (bzw. gleich ihrem Nennwert) ist. Zur Bewertung der variablen Zahlung ist es auch moglich, ein Duplikationsportfolio anzugeben, das genau die gleichen Zahlungen aufweist. Betrachtet man wiederum die variable Zahlung (2.8) in ti, so lautet die zugehorige Handelsstrategie: in t = to: Kauf einer NKA mit Falligkeit in ti-1, Verkauf einer NKA mit Falligkeit in ti. Der Wert dieses Portfolios betragt

in t = tipl: Aus der NKA mit Falligkeit in ti-1 erhalt man 1 GE, die man zum aktuellen Zins (und damit zum LIBORLti-, (tiTl, ti)) bis ti anlegt. in ti: Aus der in tipl getatigten Anlage erhalt man 1 Lti-, (ti-1, ti)At. Zusammen mit der Short-Position in der in ti falligen NKA ergibt sich eine Zahlung von

+

was genau der variablen Zinszahlung aus Gleichung (2.8) entspricht.

2.3 Anleiheoptionen Im Bereich der Zinsderivate konnen Optionen als Underlying entweder Anleihen oder auch Zinssatze haben. Wir beginnen mit dem Fall, in dem das Underlying der Optionen Anleihen sind, und schranken die Analyse an dieser Stelle sogar noch weiter auf Optionen auf NKAs ein. Im Folgenden bezeichne C t ( X , TI, T2) den Preis in t einer europaischen Calloption, die in TI fallig ist. Der Basispreis der Option ist X , das Underlying der Option ist die in T2 fallige NKA. CF (X, TI,T2) ist der Preis der entsprechenden amerikanischen Calloption. Analog hierzu bezeichnen Pf (X, TI, T2) und Pta(X, TI, T2) die Preise der entsprechenden Putoptionen. Die europaischen Optionen sind durch ihre Auszahlungen bei Falligkeit beschrieben:

Die amerikanischen Optionen konnen jederzeit ausgeubt werden. Bei Ausubung des amerikanischen Calls im Zeitpunkt s erhalt man

2.3 Anleiheoptionen

17

bei Ausubung des amerikanischen Puts erhalt man

mit y+ = max{y, 0). Als ein zentrales Problem bei der Bewertung amerikanischer Optionen wird sich die Wahl des optimalen (d.h, wertmaximierenden) Ausubungszeitpunktes herausstellen. Ausgehend von der Forderung der Arbitragefreiheit erhalt man eine Reihe von verteilungsfreien, d.h. modellunabhangigen, Wertrelationen fur diese Optionen. Bevor wir diese herleiten, sei noch erwahnt, dass Optionen auch mit einer Anleihe verbunden sein konnen. So versteht man unter einer kundbaren Anleihe (Callable Bond) eine (Kupon-)Anleihe, die vom Emittenten vorzeitig gekundigt werden kann. Ein solche kundbare Anleihe stellt ein Portfolio aus der zugrundeliegenden Anleihe long und einem Call auf diese Anleihe short dar. Unter einem Puttable Bond versteht man eine (Kupon-)Anleihe, die dem Inhaber das Recht gibt, vorzeitig die Riickzahlung zu verlangen. Der Puttable Bond besteht somit aus einer Long-Position in der zugrunde liegenden Anleihe und einer Long-Position in einem Put auf diese Anleihe. 2.3.1 Verteilungsfreie Wertuntergrenzen fiir Anleiheoptionen

Optionen verbriefen nur Rechte, aber keine Pflichten. Im schlechtesten Fall verzichtet der Inhaber auf die Ausubung und erhalt eine Auszahlung von null. Damit mussen Optionen heute einen Preis von mindestens null haben:

Amerikanische Optionen verbriefen mehr Rechte als europaische. Verzichtet man auf das Recht der vorzeitigen Ausubung, so erhalt man im Falligkeitszeitpunkt die gleiche Auszahlung wie bei europaischen Optionen. Damit mussen amerikanische Optionen mindestens so vie1 wert sein wie europaische:

Neben der Wertuntergrenze von null gilt fur den europaischen Call auch

Dies laat sich leicht durch den Vergleich von zwei Strategien zeigen: 0

Strategie A: Kauf des Calls Strategie B: Kauf des Underlyings, Leerverkauf von X in Tl falligen NKAs.

Aus Strategie A erhalt man in Tl eine Zahlung in Hohe von

18

2 Zinsstrukturen und Zinsderivate

aus Strategie B B T (T2) ~ - X. Da die Zahlung von Strategie A mindestens so grof3 ist wie diejenige von Strategie B, muss auch der anfangliche Wert von Strategie A mindestens so grof3 sein wie derjenige von Strategie B, und man erhalt Ungleichung (2.9). Analog kann man zeigen, dass fur den europaischen Put die folgende Ungleichung gilt: P;(X, Ti, 7'2)

> X Bt (Ti) - Bt(T2).

Fur amerikanische Optionen gelten strengere Restriktionen. Sie sind mindestens so vie1 wert wie die entsprechenden europaischen Optionen. Auf3erdem kann ihr Preis nicht unter die Ausubungszahlung fallen. Damit erhalt man

Fasst man nun die Wertuntergrenzen zusammen, so erhalt man fur europaische Optionen

Fur amerikanische Optionen gilt

2.3.2 Verteilungsfreie Wertobergrenzen fiir Anleiheoptionen

Analog zu den Wertuntergrenzen lassen sich auch Wertobergrenzen herleiten. Fur europaische Optionen erhalt man

wobei die Wertobergrenze fur den Call aus dem Vergleich mit einer Investition im Underlying und die Wertobergrenze fur den Put aus dem Vergleich mit einer sicheren Zahlung von X folgt. Fur amerikanische Optionen erhalt man

Die Wertobergrenze des Calls ergibt sich ebenfalls aus dem Vergleich mit dem Underlying. Die Wertobergrenze des Puts folgt aus der uberlegung, dass man aus dem Put maximal eine Zahlung von X erhalt. Maximiert man dann den heutigen Wert dieser Zahlung uber alle moglichen Zahlungszeitpunkte, erhalt man die Wertobergrenze. Sind die Zinsen stets nichtnegativ, vereinfacht sich diese Wertobergrenze zu X.

2.3 Anleiheoptionen

19

2.3.3 Vorzeitige Ausubung amerikanischer Anleiheoptionen Unter der Annahme, dass Zinsen nicht negativ werden konnen, ist es nie sinnvoll, einen amerikanischen Call auf eine NKA vorzeitig auszuuben, und es gilt: Ct"(X,Tl, T2) = c t e ( x ,Tl, T2). Um dies zu zeigen, greift man auf die Wertgrenzen fur den europaischen Call zuriick. Es gilt

Sind Zinsen nichtnegativ, so gilt Bt(Tl) 5 1, und man erhalt

Der europaische und damit auch der amerikanische Call hat also einen Wert, der mindestens so groD ist wie die Zahlung, die man bei sofortiger Ausubung des amerikanischen Calls bekommt. Es ist somit nie optimal, den amerikanischen Call vorzeitig auszuuben. Er sollte bis Falligkeit in TI gehalten werden. Diese Aussage gilt nur fiir Calls, und sie gilt auch nur dann, wenn Zinsen stets nichtnegativ sind und das Underlying keine Ausschuttungen wahrend der Laufzeit der Option hat. Fur den amerikanischen Put laDt sich auch unter diesen Voraussetzungen eine vorzeitige Ausubung nicht ausschlieDen, und tatsachlich werden wir spMer in Beispielen sehen, dass die vorzeitige Ausiibung des amerikanischen Puts durchaus optimal sein kann. 2.3.4 Put-Call-Paritat fur europaische Optionen

Zwischen den Preisen von europaischen Call- und Putoptionen besteht der folgende, als Put-Call-Paritat bezeichnete Zusammenhang:

Der Beweis basiert auf dem Vergleich der beiden folgenden Portfolios: 0

0

Portfolio A: Call long mit Falligkeit in TI und X NKAs mit Falligkeit in Tl long Portfolio B: Put long mit Falligkeit in TI und eine NKA mit Falligkeit in Tz long.

In TI ist der Wert von Portfolio A ~ ~ x { B (Tz) T , - X , 0)

+ X = m a x { B ~(T2), ~ X).

Der Wert von Portfolio B ist max{x - B T (T2), ~ 0)

+ B T (7'2) ~ = max{B~,(T2), X ) .

Die Werte der beiden Portfolios in Tl sind damit identisch. Da die Portfolios daruber hinaus keine zwischenzeitlichen Zahlungen leisten, mussen bei Arbitragefreiheit auch ihre heutigen Preise gleich sein.

2 Zinsstrukturen und Zinsderivate

20

2.4 Forwards und Futures auf Anleihen Forwards und Futures gehoren zu den unbedingten Termingeschaften. Sie unterscheiden sich dadurch, dass der Forward nur bei Falligkeit eine Auszahlung leistet, wahrend in einem Futureskontrakt bis Falligkeit Settlement-Zahlungen erfolgen. 2.4.1 Forwards Ein Forward mit Falligkeit in TI auf die in T2 fallige NKA ist eine (in t getroffene) Vereinbarung, bei Falligkeit des Forwards in TI die in T2 fallige NKA zu dem in t festgelegten Forwardpreis Gt(T1, T2) zu kaufen (Forward long) oder zu verkaufen (Forward short). Wird der Forward in t abgeschlossen, so ist die Auszahlungsfunktion in TI aus Sicht der Long-Partei

Die Auszahlungsfunktion fiir die Short-Partei ergibt sich durch Multiplikation mit minus eins. Der Forwardpreis in t wird so bestimmt, dass der Forwardwert in t null ist. Hierzu betrachten wir wiederum zwei Strategien: 0

Strategie A: in t: Kauf der NKA mit Falligkeit in T2 auf Kredit, d.h. Kreditaufnahme in Hohe von Bt(T2) 1 in TI: Tilgung des Kredites: Bt (T2)Bt (TI) Strategie B: in t: Forward long in TI: Zahlung des Forwardpreises Gt (TI,T2) -

0

Bei beiden Strategien ist die Nettozahlung im Zeitpunkt t gleich null, da bei Alternative A der Kauf der Anlehe kreditfinanziert wird und bei Alternative B der Forward annahmegemao bei Abschluss keine Zahlung erfordert. Die Zahlung in TI ist mit Sicherheit bekannt, und man halt in TI die NKA mit Falligkeit in T2. Damit muss der in Tl zu zahlende Betrag bei beiden Strategien gleich sein, und es gilt

Diese Formel bezeichnet man auch als Cost of Carry-Formel. Wie man sieht, hangt der Forwardpreis nicht vom zugrundeliegenden Zinsmodell ab, sondern basiert nur auf zwei Datenpunkten aus der Diskontierungsfunktion. Im Zeitpunkt t hat der in t vereinbarte Forward also aufgrund der Festlegung des Forwardpreises einen Wert von null. Zu einem spateren Zeitpunkt

2.4 Forwards und Futures auf Anleihen

21

u > t dagegen wird der Wert des Forwards in der Regel von null abweichen. Der Long-Partei erhalt in TI die Zahlung

Der Wert dieser Zahlung zum Zeitpunkt u 5 TI ist

und hangt, von der Differenz des Forwardpreises in u und des Forwardpreises in t ab. 1st der Forwardpreis gestiegen, so ist der Wert des Kontraktes fur die Long-Partei positiv. 1st der Forwardpreis hingegen gefallen, ist er negativ. 2.4.2 Futures Wahrend in einem Forward nur bei Falligkeit eine Zahlung erfolgt, fiihrt ein in to abgeschlossener Future zu den Settlement-Zeitpunkten tl = to At, t2 = to 2 4 . . . , t, = to nAt = TI zu sogenannten Settlement-Zahlungen. Bezeichnet man den (noch zu bestimmenden) Futurespreis in s mit H,(Tl, T2), so ist die Settlement-Zahlung in ti aus Sicht der Long-Position

+

+

+

d.h. die Zahlung entspricht gerade der Veranderung des Futurespreises von tipl nach ti. 1st diese Differenz positiv (der Futurespreis also gestiegen), so erhalt die Long-Position eine Zahlung. 1st die Differenz dagegen negativ (der Futurespreis also gefallen), so muss die Long-Position eine Zahlung leisten. Bei Falligkeit gilt

Die Futurespreise werden so bestimmt, dass der Wert des Future unmittelbar nach einer Settlement-Zahlung jeweils null ist. Anders als der Forwardpreis ist der Futurespreis jedoch nicht verteilungsunabhangig, sondern man benotigt zu seiner Berechnung ein Zinsmodell, wie in Abschnitt 4.3.3.2 noch deutlich werden wird. In diesem folgen die Futurespreise vor Falligkeit dann eindeutig aus dem Futurespreis bei Falligkeit, der in Gleichung (2.10) angegeben ist. Ohne Beriicksichtigung der unterschiedlichen Zahlungszeitpunkte erhalt man fur die Summe aller Settlement-Zahlungen von to bis t, = TI

Im Vergleich dazu ist die Zahlung eines in to abgeschlossenen Forwards in TI

22

2 Zinsstrukturen und Zinsderivate

Die Zahlungen erfolgen jedoch zu unterschiedlichen Zeitpunkten, so dass im Allgemeinen Futurespreis und Forwardpreis nicht ubereinstimmen. Eine Ausnahme stellt der Fall der Zinssicherheit dar, wie spater noch im Detail gezeigt werden wird.

2.5 Forwards und Futures auf Zinsen Forwards und Futures konnen als Underlying nicht nur Anleihen, sondern auch ZinssMze selbst haben. Ein Beispiel ist das Forward Rate Agreement (FRA). Mit diesem Instrument sichert sich der Anleger den Terminzins fur die Anlage eines festen Betrags zu einem spateren Zeitpunkt. Angeno~n~nen, der Anleger schliefit das FRA in t ab und sichert sich fur den Anlagezeitraum von T bis T At und fur einen festen, hier als 1 GE angenommenen Anlagebetrag den Forward-LIBORLt(T, T At). In T legt er diesen Betrag zunachst zum dann geltenden Kassazins an und erhalt in T + A t

+

+

Bei einer Anlage zum vereinbarten Forward-LIBORhatte er dagegen

erhalten. Der Differenzbetrag wird nun durch das FRA ausgeglichen. Erfolgt der Ausgleich in T At, so betragt die (positive oder negative) Zahlung

+

[Lt(T,T

+ At)

-

LT(T, T

+ At)] At.

Wird der Differenzbetrag dagegen in T ausgeglichen, so ist dieser Betrag noch zu diskontieren:

+

[Lt (T, T f At) - LT (T, T At)] At 1 LT(T, T At)At

+

+

Der Wert des FRA bei Abschluss in t ist null. Neben Forwards auf Zinsen gibt es auch Futures auf Zinsen. Wie bei anderen Futureskontrakten auch erfolgt auf Basis der Futurespreise ein tagliches Settlement, und der Futurespreis wird so bestimmt, dass der Wert des Futures unmittelbar nach Abschluss bzw. unmittelbar nach dem Settlement null ist. Interessant ist die Festlegung des Futurespreises bei Falligkeit (aus dem dann mit Hilfe eines Zinsmodells alle weiteren F'uturespreise folgen). Bezeichnet man mit Ht(Tl, T2) den Futurespreis in t fur den in TI falligen Future, der auf den LIBORvon TI bis T2 geschrieben ist, so gilt definitionsgernafi

2.6 Swaps

23

wobei wir konstante Multiplikatoren, die sich aus der Kontraktdefinition ergeben, aus Grunden der Vereinfachung weggelassen haben. J e kleiner der LIBOR zum Zeitpunkt TI, desto groBer der Futurespreis, und desto groaer der Gewinn fur die Long-Partei. Damit profitiert die Long-Partei von fallenden Zinsen, wahrend die Short-Partei bei steigenden Zinsen einen Gewinn erzielt. Plant ein Anleger, in der Zukunft einen bestimmten Geldbetrag anzulegen, und mochte er sich mittels Futures gegen das Zinsanderungsrisiko absichern, so sollte er einen Future auf den LIBORfur die entsprechende Periode kaufen, d.h. eine Long-Position eingehen. Die durch den Future erreichte Absicherung ist jedoch nicht perfekt. Grund hierfur sind die Settlementzahlungen, die der Anleger zu den zukunftigen, unsicheren Zinsen anlegen oder aufnehmen muss. Ein weiterer Grund besteht darin, dass er die Zinszahlung aus der abzusichernden Anlage erst in T2, die Ausgleichszahlung aber bereits in TI erhalt und sie dann zu dem unsicheren zukunftigen Zins bis T2 anlegen muss.

2.6 Swaps Ein Swap ist ebenfalls ein Derivat, dessen Underlying Zinsen sind. Wir betrachten im Folgenden zunachst einfache Zinsswaps, sogenannte Plain VanillaSwaps. Anschlieaend gehen wir a.uf Forwaads urid Optionen ein, deren Underlying jeweils ein Swap ist. 2.6.1 Payer und Receiver Swaps In einem Swap werden allgemein Zahlungen gegeneinander getauscht. Wir betrachten hier den einfachsten Swap, in dem eine Partei variable, die andere fixe Zinszahlungen leistet. Die Zahlungszeitpunkte seien wiederum tl = to At, t, = to 2 & . . . , t, = to nAt. Bei einem Nennwert (notional amount) von eiris ist die fixe Zahlung in ti gleich cAt. Der Wert dieser Zahlung in t (mit t to) ist c Bt (ti) At.

+

+

+

<

Fiir die variable Zahlung in ti gilt im einfachsten Fall, dass sie im vorangehenden Zeitpunkt ti-1 festgesetzt wird und sich an der Hohe des Kapitalmarktzinses fur den Anlagezeitraum von ti-1 bis ti orientiert. Konkret nehmen wir an, dass sie aus dem L I B O R - ~ ~ von ~ S Sti-l~ ~bis Z ti folgt:

Wie in Abschnitt 2.2.2.2 bei der Bewertung der variabel verzinslichen Anleihe bereits gezeigt, ist der Wert dieser Zahlung in t ti-1:

<

Je nachdem, ob man den fixen Zins zahlt und die variable Zahlung erhalt oder umgekehrt, unterscheidet man zwischen einem Payer Swap und einem Receiver Swap.

24

2 Zinsstrukturen und Zinsderivate

2.6.1.1 Payer Swaps

In einem Payer Swap zahlt man den festen und erhalt den variablen Zins. Die Zahlung in ti ist damit [ ~ t , -(ti-1, , ti) - C] At.

Der Wert des Payer Swaps in t 5 to ergibt sich aus der Summe der Werte der Zahlungen in t l , t2, . . . , tn und ist

Die Zahlungen des Payer Swaps stimmen genau mit den Zahlungen eines Portfolios uberein, das aus einer Kuponanleihe mit Kupon c short und einer variabel verzinslichen Anleihe long besteht. Dieses Duplikationsportfolio fuhrt ebenfalls auf den Wert des Payer Swaps in Gleichung (2.11). 2.6.1.2 Receiver Swaps

In einem Receiver Swap zahlt man entsprechend den variablen und erhalt den festen Zins. Die Zahlung in ti ist

Dies entspricht gerade der mit minus eins multiplizierten Zahlung des Payer Swaps. Der Wert des Receiver Swap in t to ist

<

Analog zu dem Payer Swap kann ein Receiver Swap als ein Portfolio mit einer Long-Position in einer Kuponanleihe mit Kupon c und einer Short-Position in einer variabel verzinslichen Anleihe interpretiert werden. 2.6.1.3 Swap Rate

Die Frage ist nun noch, wie die Hohe der festen Zahlung bestimmt wird. Wahlt man diese so, dass der Wert des Swaps bei Abschluss in to gerade null ist, dann spricht man von der Swap Rate ct, (t,). Aus Gleichung (2.11) fur den Wert eines Payer Swaps erhalt man fur die Swap Rate zunachst die Bedingung

2.6 Swaps

25

Hieraus ergibt sich die Swap Rate als

cto (tn) =

1 - Bto (tn)

At C y = p t o( t i )'

Aus den Preisen der in ti (i = 1,2, . . . , n ) falligen NKAs erhalt man die Swap Rates cto(ti)(i = 1 , 2 , .. . , n ) . Umgekehrt folgen aus diesen Swap Rates wiederum die Preise der NKAs. 2.6.2 Forward Swaps Bei Abschluss eines Forward Swap in t mit der Forward Swap Rate ct(t1,t n ) vereinbart man, in to 2 t in einen Swap mit den Zahlungszeitpunkten t l , . . . , tn einzutreten, dessen fixe Zahlungen sich aus der Forward Swap Rate ct(tl,t n ) ergeben und dessen variable Zahlungen wiederum aus den in Zukunft giiltigen Kassa-LIBOR-Zinssatzen folgen. Die Forward Swap Rate wird so festgesetzt, dass der Wert des Forward Swap bei Abschluss in t null ist. Damit der Wert des Forward Swap null ist, muss der Wert der fixen Zahlungen gleich dem Wert der variablen Zahlungen sein:

Auflosen nach der Forward Swap Rate ergibt

-

1 - Gt(t0,tn) At C:=l Gt(t0,ti) '

wobei Gt(to,t i ) wie in Abschnitt 2.4.1 den Forwardpreis in t fiir Lieferung in to 2 t der in ti falligen NKA bezeichnet. 2.6.3 Swaptions Ein Swap kann nicht nur Underlying eines Forwards, sondern auch Underlying einer Option sein. Man spricht dann von einer Swaption, die dem Inhaber das Recht gibt, bei Falligkeit in einen Swap einzutreten. Der zugrunde liegende

26

2 Zinsstrukturen und Zinsderivate

Swap wird im Falle eines Plain Vanilla-Swaps durch den vereinbarten Festzins c (die Strike Rate) beschrieben, der hier quasi die Rolle des Basispreises iibernimmt. Die Zahlungszeitpunkte des Swap seien tl = to+& . . . ,tn = to+nAt, und die Swaption sei fallig in to. 1st das Underlying ein Receiver-Swap, so ist der Wert des Underlyings im Falligkeitszeitpunkt to:

Die Zahlung der Swaption in to ist damit

Dies ist gerade die Zahlung einer in to falligen Calloption mit Basispreis 1 auf eine Kuponanleihe mit Kupon c. Die Bewertung der Swaption la5t sich somit auf die Bewertung eines Calls auf eine Kuponanleihe zuruckfuhren. Die Zahlung der Receiver Swaption in to und damit auch ihr heutiger Wert sind monoton wachsend in der Strike Rate c. Man sagt nun, dass die Receiver Swaption at-the-money (ATM) ist, wenn die Strike Rate c mit der Forward Swap Rate ct (tl, t,) ubereinstimmt. Sie ist in-the-money (ITM), wenn die Strike Rate grof3er als die Forward Swap Rate ist, und sie ist out-of-the-money (OTM), wenn die Strike Rate kleiner als die Forward Swap Rate ist. Analog zu oben kann man zeigen, dass eine Payer Swaption genau die gleiche Auszahlung aufweist wie eine Putoption auf eine Kuponanleihe mit Kupon c, Basispreis 1 und Falligkeit in to. Die Payer Swaption ist ATM, wenn die Strike Rate c mit der Forward Swap Rate ct(tl, t,) iibereinstimmt. Sie ist ITM, wenn die Strike Rate kleiner als die Forward Swap Rate ist, und sie ist OTM, wenn die Strike Rate gro5er als die Forward Swap Rate ist.

2.7 Caps, Floors und Collars Im Folgenden betrachten wir Optionen, deren Underlying Zinssatze bzw. Zinszahlungen sind. Hierzu zahlen als die bekanntesten Derivate Caps, Floors und Collars. Diese konnen unter anderem dazu verwendet werden, die Zahlungen, die man aus variablen oder festverzinslichen Anleihen erhalt, abzusichern oder zu verandern. 2.7.1 Caps

Ein Cap ist ein Portfolio aus Calloptionen auf einen Zins, wobei die einzelnen Calloptionen als Caplets bezeichnet werden. Genauer gesprochen besteht

2.7 Caps, Floors und Collars

+

27

+

ein Cap mit den Zahlungszeitpunkten tl = to A t , . . . ,t, = to nAt aus Caplets fur diese Zeitpunkte. Die Zahlung des in ti falligen Caplets hangt im einfachsten Fall vom LIBOR-SatzLt,-l(ti-l, ti) ab, der in ti-l fur die Periode von tiWl bis ti gilt. Die Zahlung in ti ist dann

wobei LC die Strike Rate des Cap bezeichnet. Kauft der Emittent einer variabel verzinslichen Anleihe einen solchen Cap, so reduziert sich die variable Zahlung, die er in ti leisten muss, um die Differenz zwischen dem variablen Zins und der Strike Rate LC, sofern diese Differenz positiv ist. Seine zu leistende Zahlung ist dann

Er zahlt somit hochstens den Zins LC, ist also dagegen abgesichert, dass der variable Zins uber LC steigt. Voraussetzung hierfur ist natiirlich, dass die Zahlungszeitpunkte der Anleihe und des Caps ubereinstimmen und beiden Kontrakten der gleiche variable Zins zugrundeliegt. Die Bewertung eines Caplets mit Zahlung in ti kann auf die Bewertung eines Puts auf eine NKA zuruckgefuhrt werden. Um dies zu zeigen, geht man von der Zahlung des Caplets in ti aus: max {

(ti-1, ti) - LC] At, 0) .

Die Hohe dieser Zahlung ist bereits in ti-l bekannt, und ihr Wert in ti-l ist Bti_, (ti) max { [Lt,-, (ti-1, ti) =

=

-

LC] At, 0)

+ Lti-, (ti-1, ti)At - (1 + LcAt), 0) (ti) max {Bt,-, (ti)-' - (1 + LCAt), 0) (ti) max {l

+ LcAt) max

1

{ + LcAt ti-1 (ti),0) . Dies ist gerade die Zahlung von (1 + LcAt) Stuck des in ti-l falligen Puts auf die in ti fallige NKA mit Basispreis (1 + L c A ~ ) - ' . Der Wert des Caplets = (1

1

-

folgt aus dem Wert dieses Puts, und der Cap ist somit als ein Portfolio aus Putoptionen bewertbar. Die Zahlungen und damit auch der Wert eines Cap sind monoton fallend in der Strike Rate LC. Der Cap ist ATM, wenn die Strike Rate LC mit der Swap Rate ubereinstimmt. Er ist ITM, wenn die Strike Rate kleiner ist als die Swap Rate, und er ist OTM, wenn die Strike Rate groaer ist als die Swap Rate.

28

2 Zinsstrukturen und Zinsderivate

2.7.2 Floors Ein Floor ist ein Portfolio aus Putoptionen auf einen Zins, wobei die einzelnen Putoptionen als Floorlets bezeichnet werden. Die Zahlung des in ti falligen Floorlets ergibt sich im einfachsten Fall wiederum aus dem LIBOR Lti-l (ti-1, ti), der in ti-1 fur die Periode von ti-1 bis ti gilt. Die Zahlung in ti ist max { [LF (ti-1, ti)] At, 0 ) , wobei LF die Strike Rate des Floor bezeichnet. Kauft der Inhaber einer variabel verzinslichen Anleihe einen solchen Floor, so erhalt er die variable Zahlung zuziiglich der Differenz zwischen der Strike Rate LF und dem variablen Zinssatz, sofern diese Differenz positiv ist. Damit erhalt er in ti

was gerade max {Lti-l (ti-1, ti), LF) At entspricht. Der Inhaber des Floors erhalt also mindestens den festen Zinssatz LF und ist somit gegen fallende Zinsen abgesichert. Voraussetzung hierfur ist wiederum, dass die Zahlungszeitpunkte der Anleihe und des Floors ubereinstimmen und dass beiden Kontrakten der gleiche variable Zinssatz zugrundeliegt . Die Bewertung eines Floorlets mit Zahlung in ti kann auf die Bewertung eines Calls auf eine NKA zuruckgefuhrt werden. Das Vorgehen ist das gleiche wie beim Caplet in Abschnitt 2.7.1, das einer bestimmten Zahl von Putoptionen auf die NKA entspricht. In ti zahlt das Floorlet

Die Hohe dieser Zahlung ist bereits in ti-l bekannt, und ihr Wert in ti-l ist Bti-1 (ti) max { [LF -

(ti-1, ti)] At, 0)

+ L F A ~- [I + L t i l (ti-1, ti)At] , o ) = Bti-, (ti) max {1 + L F A ~- B,,-, (ti)-', 0 ) = & - , ( t i ) max (1

+

Dies ist gerade die Zahlung von (1 LFAt) Stuck des in ti-l falligen Calls auf die in ti fallige NKA mit Basispreis (1 LFAt)-l. Ein Floor ist somit als ein Portfolio aus Calloptionen bewertbar. Die Zahlungen und damit auch der Wert eines Floor sind monoton wachsend in der Strike Rate LF. Der Floor ist ATM, wenn die Strike Rate LF mit der Swap Rate ubereinstimmt. Er ist ITM, wenn die Strike Rate die Swap Rate ubersteigt, und er ist OTM, wenn die Strike Rate kleiner ist als die Forward Swap Rate.

+

2.7 Caps, Floors und Collars

29

2.7.3 Cap-Floor-Paritat Die Cap-Floor-Paritat stellt eine Beziehung zwischen dem Wert eines Cap und eines Floor her, wobei die Zahlungszeitpunkte und die Strike Rate in beiden Kontrakten ubereinstimmen. Zunachst gilt fur den Wert zum Zeitpunkt t 5 ti-l des in ti falligen Caplets mit Strike Rate L

Caplett(ti. L ) = ( 1 + L A t ) P : Analog gilt fur das in ti fallige Floorlet mit Strike Rate L in t 5 ti-l

Aus der Put-Call-Paritat folgt dann

=

(1+ LAt)

= &(ti-1) - ( I

1 +

I

~ t ( t i - I) ~t(ti)

+ LAt)Bt(ti)

Addiert man uber die Zahlungszeitpunkte ti auf, so erhalt man

und nach einer weiteren Umformung

Die Summe aus Cap und Kuponanleihe ist damit gleich der Summe aus Floor und variabel verzinslicher Anleihe. Wie man nachpriifen kann, stimmen auch die Zahlungen dieser Portfolios in jedem Zeitpunkt uberein. Die okonomische Interpretation der obigen Darstellung erhalt man aus eben diesen Zahlungen der Portfolios. So zahlt ein Portfolio aus einem Cap und einer Kuponanleihe den fixen Zins L und, falls dieser kleiner als LIBOR ist, zusatzlich die Differenz zu LIBOR.Ein Portfolio aus einem Floor und einer variabel verzinslichen Anleihe zahlt den variablen Zins und, falls dieser kleiner

30

2 Zinsstrukturen und Zinsderivate

als der feste Zins L ist, zusatzlich die Differenz zu L. Damit erhalt man in beiden Fallen das Maximum aus der Strike Rate L und LIBOR. Formt man die obige Gleichung um zu

so kann man auch diese Beziehung okonomisch interpretieren. Sowohl ein Portfolio aus einer Kuponanleihe long und einem Floor short als auch ein Portfolio aus einer variabel verzinslichen Anleihe und einem Cap short zahlt das Minimum aus dern variablen Zins und der Strike Rate L. Der Verkaufer eines dieser beiden Portfolios zahlt damit den kleineren der beiden Zinsen. Formt man die obige Cap-Floor-Paritat nochmals um, so erhalt man

Damit ist der Wert des Caps gleich dern Wert eines Floors zuziiglich dern Wert eines Payer Swaps mit Kupon L. Entsprechend ist der Wert eines Floors gleich dern Wert eines Caps zuziiglich dern Wert eines Receiver Swaps. 2.7.4 Collars

Kombiniert man eine Long-Position in einem Cap mit Strike Rate LC mit einer Short-Position in einem Floor mit Strike Rate LF, so erhalt man einen Collar. Die Zahlung in ti ergibt sich als Caplett, (ti, LC) - Floorletti (ti, LF) = At {max [Lti-, (ti-1, ti) - L ~ , o ] max [LF - Lti-l(ti-l,ti),O]}. Unter der Annahme, dass LC > LF gilt, erhalt man fur die Zahlung in ti

Man erhalt damit aus dern Collar eine Zahlung, wenn der variable Zins grofier ist als LC, und man muss eine Zahlung leisten, wenn der variable Zins kleiner als LF ist. Kauft der Emittent einer variabel verzinslichen Anleihe einen Collar mit LC > LF, so zahlt er maximal einen Zins von LC und mindestens einen Zins von LF.

2.8 Aufgaben

31

2.8 Aufgaben 1. Gegeben sei die folgende Diskontierungsfunktion:

Berechnen Sie fur stetige und diskrete Verzinsung a) die Kassazinsstruktur in t = 0 b) samtliche Terminzinsen in t = 0. 2. Die Zinsstruktur wird als steigend (oder ,,normalu) bezeichnet, wenn die Kassazinsen monoton wachsend in der Laufzeit sind, sie wird als fallend (oder invers) bezeichnet, wenn die Kassazinsen monoton fallend in der Laufzeit sind, und sie wird als flach bezeichnet, wenn die Ka.ssazinsen unabhangig von der Laufzeit sind. a) Sind die folgenden Kassazinsstrukturen steigend, fallend oder flach?

b) Beweisen Sie fur den Fall stetiger Verzinsung die folgenden Aussagen: i. 1st die Zinsstruktur flach, so sind die (kurzfristigen) Terminzinsen konstant. ii. 1st die Zinsstruktur steigend, so sind die kurzfristigen Terminzinsen grofier als die Kassazinsen. iii. 1st die Zinsstruktur fallend, so sind die kurzfristigen Terminzinsen kleiner als die Kassazinsen. 3. Sind die Zinsen immer positiv, so wird ein amerikanischer Call auf eine NKA nie vorzeitig ausgeubt. Erklaren Sie, warum eine analoge Aussage n sich fur den entsprechenden amerikanischen P u t falsch ist. ~ b e r l e ~ eSie hierzu, wann der amerikanische P u t vorzeitig ausgeubt wurde. 4. Weisen Sie nach, dass das in ti fallige Caplet mit Strike Rate LC die gleichen Zahlungen generiert wie die folgende Investitionsstrategie: Kauf von (1 LcAt) in ti-1 falligen Putoptionen mit Basispreis 1/(1 L c d t ) auf die in ti fallige NKA, Anlage der Zahlungen von ti-1 bis ti in NKAs. 5. Die Diskontierungsfunktion sei gegeben mit

+

+

a) Berechnen Sie die Swap Rate in t = 0 fur einen Swap mit den Zahlungszeitpunkten ti = 1 , 2 , 3 , 4 . b) Zeigen Sie, dass Sie aus den Swap Rates fur Swaps mit letzter Zahlung in ti = t l , tz, t3,t4 (d.h. aus cto(ti), cto(tz),cto(t3) und ct0(t4)) wiederum die Diskontierungsfunktion erhalten.

32

2 Zinsstrukturen und Zinsderivate

c) Es herrsche Zinssicherheit. Nehmen Sie Stellung zu folgender Aussage: ,,Da die zukiinftigen Zinsen heute bereits bekannt sind, ist der Wert des heute zu der gerade berechneten Swap Rate abgeschlossenen Swap zu jedem zukunftigen Zeitpunkt null." 6. Die aktuelle Zinsstruktur sei flach, der stetige Kassazins ist rnit yo(t) = 0.05 gegeben. Berechnen Sie den Wert einer variabel verzinslichen Anlei80 BP zahlt (1 BP = 1 he, die in t = 1 , 2 , 3 , 4 einen Zins von Libor Basispunkt = 0.01%). 7. Ihnen werden die folgenden stetigen Terminzinsen genannt:

+

Sind diese Daten in sich konsistent? Konnen Sie anhand dieses Beispiels erklaren, warum man zur Beschreibung der Zinsstruktur nur die kurzfristigen Terminzinsen verwendet? 8. Swaptions a) Betrachten Sie eine Payer Swaption rnit Falligkeit in to und Strike Rate c auf einen Swap rnit den Zahlungszeitpunkten t l , t2, . . . , t,, eine entsprechende Receiver Swaption, eine Kuponanleihe rnit Kuponrate c und den Zahlungszeitpunkten tl, t 2 , . . . , t, sowie eine variabel verzinsliche Anleihe rnit erster Zinszahlung in t l . Zeigen Sie, dass das Portfolio aus der Payer Swaption und der Kuponanleihe genau so vie1 wert ist wie das Portfolio aus der Receiver Swaption und der variabel verzinslichen Anleihe. b) Zeigen Sie, dass eine Payer Swaption genau dann ATM ist, wenn der Wert der Payer Swaption rnit dem Wert der Receiver Swaption ubereinstimmt!

2.9 Losungshinweise

33

2.9 Losungshinweise 1. a) Stetige Kassazinsen: yo(l) = 0.0513, y0(2) = 0.0527, yo(3) = 0.0503, yo(4) = 0.0589 b) Diskrete Kassazinsen: y,d(l) = 0.0526, y,d(2) = 0.0541, y,d(3) = 0.0516, y,d(4) = 0.0607 c) Stetige Terminzinsen: fo(O, 1) = 0.0513, f0(0,2) = 0.0527, fo(O,3) = 0.0503, fo(o,4) = 0.0589, fo(1,2) = 0.0541, f o ( l , 3 ) = 0.0498, fo(1,4) = 0.0615, f0(2, 3 ) = 0.0455, fo(2,4) = 0.0652, fo(3,4) = 0.08490

d) Diskrete Terminzinsen: ft(0,l) ft(l,2) ft(2,3) ft(3,4)

= 0.0526, f t ( 0 , 2 ) = 0.0541, f t ( 0 , 3 ) = 0.0516, f t ( 0 , 4 ) = 0.0607, = 0.0556, f $ ( l , 3 ) = 0.0510, f t ( l , 4 ) = 0.0634, = 0.0465, f t ( 2 , 4 ) = 0.0673, = 0.0886

2. a)

i. flach ii, fallend (invers) iii. weder noch iv. steigend b) Man kann den folgenden Zusammenhang ausnutzen:

Hieraus folgt

9

i. flache Zinsstruktur =+ = 0 =+ f o(t) = yo (t) =+ die Terminzinsen sind ebenso wie die Kassazinsen konstant ii. steigende Zinsstruktur =+ > 0 =+ fo(t) > yo(t) iii. fallende Zinsstruktur + < 0 + fo(t) < yo(t) 3. Gegenbeispiel: Underlying ist fast wertlos (Warum ist das ein Gegenbeispiel?) 4. Zahlungen aufstellen! 5. a) Swap Rate

b) Umrechnungsformeln angeben! c) Formal kann man die Aussage durch Berechnung der Swap Rate zu spateren Zeitpunkten widerlegen. Diese miisste bei Giiltigkeit der Aussage konstant sein. Man erhalt

34

2 Zinsstrukturen und Zinsderivate

Wie kann man die Aussage okonomisch widerlegen? (Hinweis: Beachten Sie, dass die Zinsstruktur bei Zinssicherheit keineswegs flach sein muss.) 6. Die variabel verzinsliche Anleihe mit einer Zinszahlung von LIBOR 80 BP kann zerlegt werden in eine variabel verzinsliche Anleihe, die LIBOR zahlt und vier NKAs mit einem Nennwert von jeweils 0.008 (= 1 . 0.008) und den Falligkeitsterminen T = 1,2,3,4. Damit erhalt man als Wert

+

7. Es muss gelten:

Die uberpriifung ergibt, dass der Terminzins f o ( l , 3) nicht konsistent mit den ubrigen Daten ist:

Die Gesamtheit der kurzfristigen Terminzinsen beschreibt die Zinsstruktur eindeutig, es liegen keine redundanten Angaben vor. 8. a) Die Aussage folgt aus dem Vergleich der Werte in to. b) Payer Swaption und Receiver Swaption haben den gleichen Wert, wenn der Wert der festverzinslichen Kuponanleihe mit dem Wert der variabel verzinslichen Anleihe ubereinstimmt. Dies ist genau dann der Fall, wenn der Kupon gleich der Swap Rate ist, d.h. wenn die Payer Swaption ATM ist.

Bewertung in diskreter Zeit

Ein Markt wird als arbitragefrei bezeichnet, wenn es nicht moglich ist, durch den Handel von Wertpapieren ohne Kapitaleinsatz und ohne Risiko einen Gewinn zu erzielen. Das Konzept der Arbitragefreiheit ist ein machtiges Instrument zur Bewertung von Derivaten. Die Idee sol1 im Folgenden kurz skizziert werden. Wir betrachten einen Kapitalmarkt, auf dern bereits eine gegebene Menge an Wertpapieren gehandelt wird. Auf diesem Markt wird ein neues Derivat eingefuhrt, das durch seine Auszahlungen in der Zukunft beschrieben ist. 1st es nun moglich, aus den bereits vorhandenen Wertpapieren ein Portfolio zusammenzustellen, das genau die gleichen Zahlungen aufweist wie das neu zu bewertende Derivat (Duplikation), so muss der Preis dieses Portfolios mit dern Preis des Derivates ubereinstimmen (Law of One Price). Andernfalls konnte man das teurere der beiden Assets (Duplikationsportfolio oder Derivat) verkaufen und das billigere kaufen. Die Zahlungen in der Zukunft wurden sich aufheben, und die heutige Preisdifferenz ware ein risikoloser Gewinn ohne Kapitaleinsatz. ,,GierigeG Investoren, d.h. solche, die ein hoheres Vermogen einem niedrigeren vorziehen, wurden ein solches Geschaft unendlich oft durchfuhren, und der Markt ware nicht im Gleichgewicht. Formal fuhren die obigen uberlegungen auf das Konzept der risikoneutralen Bewertung: die mit dern Geldmarktkonto (dem Ergebnis der rollierenden Anlage zum risikolosen Zins) normierten Preise sind unter dern risikoneutralen Mafi (RNM) Martingale. Der heutige Preis eines Derivats kann dann als Erwartungswert der mit dern kurzfristigen Zins diskontierten zukunftigen Zahlungen unter dern RNM berechnet werden. Dieses Konzept der martingalbasierten Bewertung lafit sich auf beliebige Numeraires verallgemeinern. Man sucht dann zu einem gegebenen Numeraire wiederum ein Wahrscheinlichkeitsmafi, das die normierten Preise zu Marlingalen macht,. Dieses Mafi wird ublicherweise als aquivalentes Martingalma8 (Equivalent Martingale Measure, EMM) bezeichnet. Die Ausfuhrungen in diesem Kapitel sind nicht auf vollkommene mathematische Exaktheit ausgerichtet. Sie sollen vielmehr dern Leser den Einstieg in die Materie erleichtern und die wesentlichen Resultate anschaulich machen.

36

3 Bewertung in diskreter Zeit

Als weitere Referenzen zu den in diesem Kapitel erorterten Fragen konnen die Bucher bzw. Artikel von Baxter und Rennie (1996), Bingham und Kiesel (1998), Cox, Ross und Rubinstein (1979)) Duffie (2001), Jarrow und Turnbull (2000), Pliska (1997) und Sandmann (2001) dienen.

3.1 Einperiodiges Model1 Das einperiodige Model1 stellt den einfachsten Rahmen fur die Bewertung von Derivaten und zur Erlauterung der zentralen Konzepte der Arbitragefreiheit und der Vollstandigkeit eines Kapitalmarkts dar. Da viele Ergebnisse aus der einperiodigen Analyse analog auf das Mehrperiodenmodell ubertragbar sind, ist es trotz des scheinbar restriktiven Charakters eines Einperiodenmodells lohnend, dieses im Detail zu untersuchen. 3.1.1 Modelltikonomie

Wir betrachten eine einperiodige diskrete Modellokonomie mit den folgenden Charakteristika: Es gibt zwei Zeitpunkte, t = 0 und t = T ( T < cm). Bezuglich des Umweltzustands im Zeitpunkt t = T herrscht aus der Sicht von t = 0 Unsicherheit. Die moglichen Umweltzustande sind in der Menge 0 = {wl, . . . , wJ) (1 < J < m ) zusammengefasst. Es tritt genau einer der Zustande aus 0 ein. Es gibt L 1 Basiswertpapiere (L < m ) , deren Preise in t = 0 und Zahlungen in t = T gegeben sind. Der Preis des 1-ten Basiswertpapiers (1 = 0,1, . . . , L) in t = 0 wird mit p(l) bezeichnet. x(') (wj) sei die Zahlung dieses Wertpapiers in t = T im Zustand wj. Es wird ferner angenommen, dass das Wertpapier mit Index 1 = 0 risikolos ist. Insbesondere sol1 gelten d O ) ( w j )= 1 und p(0) = 1mit r als risikolosem Zins. I;?' Die Investoren in dieser Okonomie weisen folgende Eigenschaften auf: Jeder Investor ordnet den Zustanden aus 0 subjektive Wahrscheinlichkeiten zu. Bezuglich dieser Wahrscheinlichkeiten mussen die Investoren nicht ubereinstimmen. Sie stimmen jedoch darin iiberein, dass jeder Zustand mit einer positiven Wahrscheinlichkeit eintritt. - Alle Investoren stimmen bezuglich der heutigen Preise und der zukunftigen zustandsabhangigen Zahlungen uberein. Die Investoren ziehen mehr Wohlstand weniger Wohlstand vor. Dies heifit insbesondere, dass sie die Moglichkeit, ohne Risiko und ohne Kapitaleinsatz Geld zu verdienen, unendlich oft ausnutzen werden. Sobald es solche Arbitragemoglichkeiten gibt, kann der Markt also nicht im Gleichgewicht sein. Damit ist es sinnvoll, Arbitragefreiheit zu fordern. Im Rahmen eines Einperiodenmodells spricht man dann von statischer Arbitragefreiheit.

+

3.1 Einperiodiges Model1

37

Zur Vereinfachung der Schreibweise werden die Preise der Basiswertpapiere im Preisvektor p mit = (p(O),. . . ,p(L)) und ihre zustandsabhiingigen Zahlungen in der Zahlungsmatrix X mit

zusammengefasst. Die Spalten dieser Matrix entsprechen dabei den einzelnen Wertpapieren, die Zeilen den Umweltzustanden. ) StuckEin Portfolio ist ein Vektor N mit N' = (N('), N('), . . . ,N ( ~ )von zahlen der Basiswertpapiere. Dabei bezeichnet N(') die Anzahl der Stucke von Wertpapier I , die von 0 bis T gehalten werden. Fur N(') > 0 liegt eine Long-Position vor, im Falle N(') < 0 spricht man von einer Short-Position. 3.1.2 Arbitragemoglichkeiten Um spater einen Zusammenhang zwischen der Arbitragefreiheit des Kapitalmarkts und der Existenz eines RNM aufzeigen zu konnen, ist zunachst eine formale Definition des Begriffs der Arbitragernoglichkeit erforderlich. Man unterscheidet dabei zwischen zwei Typen.

Definition 3.1 (Arbitragemoglichkeit Typ I). Ein Portfolio N E R L f l ist eine Arbitragemoglichkeit vom Typ I genau dann, wenn gilt

N ( ' )p(') 5 0

und

L

C N(') z("(wj) 2 0

fiir alle j = 1 , . . . , J

sowie

l=O

Bei einer Arbitragernoglichkeit vom Typ I hat der Investor die Chance auf eine streng positive Auszahlung in der Zukunft, ohne dass er heute oder in der Zukunft eine Zahlung leisten muss.

Definition 3.2 (Arbitragemoglichkeit Typ 11). Ein Portfolio N E RL+l ist eine Arbitragemoglichkeit vom Typ 11 genau dann, wenn gilt

3 Bewertung in diskreter Zeit

38

Bei einer Arbitragemoglichkeit vom Typ I1 erhalt der Investor beim Kauf des Portfolios heute eine Zahlung, muss aber in der Zukunft mit Sicherheit keine Zahlung leisten. Fiir die Bewertung von Derivaten ist das Law of One Price von zentraler Bedeutung.

Definition 3.3 (Law of One Price). Zwei Portfolios N und M mit identischen Zahlungen, d.h. mit

mussen den gleichen Preis haben mussen, d.h. es muss

gelten. Zur Vereinfachung der Notation werden die Definitionen der beiden Typen von Arbitragemoglichkeiten in Matrixform geschrieben:' Arbitragemoglichkeit vom Typ I:

0

Arbitragemoglichkeit vom Typ 11:

Diese beiden Aussagen lassen sich zusammengefasst schreiben als

wobei die Matrix A =

die Dimension ( J

+ 1) x ( L + 1) aufweist.

' ~ i i rVektoren x E Rn werden die Ungleichheitszeichen hier in folgender Bedeutung verwendet: x >> 0 H xi > 0 fur alle i = l , . . . , n . x > 0 % xi > 0 fur alle i = 1 , .. . , n und xi > 0 fiir mindestens ein i = 1,. . . ,n. x ~ 0 ~ ~ ~ ~ 0 f i i r a l ... l e, ni. = l ,

3.1 Einperiodiges Model1

39

3.1.3 Duplikation

Wir wenden uns nun der Bewertung eines Derivats durch Duplikation zu. Dabei sei das Preissystem (p, X) exogen gegeben, d.h. die zustandsabhangigen Zahlungen sowie die Preise der Basiswertpapiere seien bekannt. Gesucht ist der Preis p(L+l) eines Contingent Claims2, der durch seine zukunftigen zustandsabhangigen Zahlungen x(L+l) im Zeitpunkt t = T beschrieben ist:

Die Idee der Bewertung uber Duplikation besteht darin, ein Portfolio N E

RL+l der Basiswertpapiere so zu bestimmen, dass

gilt. Die Zahlungen des Duplikationsportfolios stimmen also in t = T in jedem Zustand mit den Zahlungen des zu bewertenden Contingent Claims uberein. Nach dem Law of One Price muss der Wert des Duplikationsportfolios in t = 0, N ( ~p(l), ) mit dem Preis des Derivats iibereinstimmen: also

Es ist an dieser Stelle anzumerken, dass die Bewertung mittels Duplikation eine relative Bewertung darstellt, d.h. der Preis eines Derivats wird nur relativ zu den Preisen der gegebenen Basiswertpapiere bestimmt (und nicht absolut). Bei der Bewertung mittels Duplikation sind zwei Punkte zentral: 0

0

Vollstandigkeit: Existiert fur den zu bewertenden Claim uberhaupt ein Duplikationsportfolio? Arbitragefreiheit: 1st das gegebene Preissystem widerspruchsfrei?

3.1.4 Vollstandigkeit

Die Vollstandigkeit eines Kapitalmarkts impliziert, dass sich jeder beliebige Claim als Portfolio, d.h, als Linearkombination der Basiswertpapiere, darstellen lasst. Mathematisch bedeutet dies, dass das entsprechende lineare Gleichungsssystem (LGS) fiir jedes denkbare x(=+'1 eine LGsung haben muss.

' ~ e rBegriff ,,Contingent Claim" wird stets als Synonym fiir ,,DerivatUverwendet .

40

3 Bewertung in diskreter Zeit

Definition 3.4 (Vollstandigkeit). Der Kapitalmarkt heisst vollstandig, wenn fur jeden Contingent Claim x ( ~ +E ~RJ ) ein Duplikationsportfolio N ( ~' 1+ E RL+l existiert, d.h. wenn das LGS

fur alle x ( ~ + 'lBsbar ) ist. Die Vollstandigkeit des Marktes laf3t sich auf sehr einfache Weise mittels des Rangs der Zahlungsmatrix prufen.

Satz 3.1 Der Kapitalmarkt ist vollstandig genau dann, wenn der Rang der Zahlungsmatrix X , R g ( X ) , der Anzahl der moglichen Umweltzustande entspricht. Zum Beweis dieses Satzes uberlegt man sich, dass die Losbarkeit des LGS (3.1) fur alle x ( ~ + ja ' ) genau R g ( X ) = J impliziert. Dies bedeutet, dass die Zahl der linear unabhangigen Basiswertpapiere gerade gleich der Zahl der Umweltzustande ist.

3.1.5 Risikoneutrales Martingalmaa (RNM) Wie oben erwahnt, ist die Arbitragefreiheit des Kapitalmarkts aquivalent zur Existenz eines risikoneutralen Martingalmafies. Dieses sol1 zunachst formal definiert werden.

Definition 3.5 (Risikoneutrales Martingalmaa RNM). Ein Wahrscheinlichkeitsmafi Q E RJ heigt risikoneutrales Martingalmafi ( R N M ) fur ein Preissystem (p, X ) genau dann, wenn Q allen Ereignissen aus 62 eine positive Wahrscheinlichkeit zuweist und

oder, anders geschrieben,

gilt. Hierbei bezeichnen r den kurzfristigen (diskreten) risikolosen Zins und?!J den Erwartungswert unter dem Map Q. Die Forderung, dass Q allen Zustanden eine positive Wahrscheinlichkeit zuordnet, wird oft auch so formuliert, dass das ,,echteGG Mafi P und das RNM aquivalent sein mussen. Zwei Wahrscheinlichkeitsmaf3e heiflen aquivalent, wenn jeder Zustand entweder unter beiden Wahrscheinlichkeitsmafkn eine Wahrscheinlichkeit von null oder unter beiden Wahrscheinlichkeitsmaaen eine positive Wahrscheinlichkeit hat. Bier haben annahmegemafi unter P alle Zustande

3.1 Einperiodiges Model1

41

eine positive Wahrscheinlichkeit, so dass auch unter jedem zu P aquivalenten Mai3 alle Zustande eine positive Wahrscheinlichkeit haben miissen. Von besonderer Bedeutung ist der Begriff des Martingals. Ein stochastischer Prozess Y heifit Martingal, wenn der bedingte Erwartungswert des zukiinftigen Prozessstandes gleich dem heutigen Stand des Prozesses ist. Im hier betrachteten einperiodigen Model1 reduziert sich diese Bedingung auf E[Y~] = Yo. Setzt man nun Y gleich dem Preis eines Wertpapiers, das mit dem risikolosen Zins auf den Zeitpunkt t = 0 diskontiert wird, so ist dieser normierte Preis unter dem RNM ein Martingal:

Satz 3.2 (RNM und Arbitragefreiheit) Das Preissystem ist genau dann arbitragefrei, wenn ein RNM existiert.

N

Beweis: Sei das Preissystem arbitragefrei. Dann existiert kein Portfolio IRLfl mit der Eigenschaft

E

Nach Stiemkes Lemma (siehe 2.B. Duffie (2001)) hat somit das LGS

eine positive Losung dazu, dass das LGS

Q E' :R:

(d.h.

Q >> 0). Dies wiederum ist Bquivalent

(XI1 - p) Q = 0

IW:? aufweist. Die k-te Zeile dieses Glei~hungss~s-

eine positive Losung Q E tems lafit sich schreiben als x ( " ( w ~ )Q l

+ . . . + x ( ~ ) ( w ~ )= p(k) Q j + i , Qj

woraus

folgt. Die Briiche &;?- ( j = 1, . . . , J ) konnen als positive Zustandspreise oder Q J + ~ Arrow-Debreu-Preise interpretiert werden, d.h. als Preise von Wertpapieren, die am Periodenende in genau einem Zustand eine Zahlung von eins haben und ansonsten eine Auszahlung von null leisten. Man erhalt nun das RNM einfach durch die folgende uberlegung: Laut Annahme ist das Wertpapier mit Index 0 risikolos, d.h. es gilt x(0)(wj) = 1 fiir alle j = 1 , . . . , J . Damit folgt aus der zu k = 0 gehorigen Zeile des obigen Gleichungssystems

42

3 Bewertung in diskreter Zeit

und eine weitere Umformung ergibt

Q = (41, . . . , q ~ ) ist ' damit ein Wahrscheinlichkeitsmafi, das jedem Zustand aus 6' eine positive Wahrscheinlichkeit zuweist. Fur jedes Wertpapier k gilt nun 1 l+r

+ . . . $ x(k)( w ~4)J ]

p(k) = -[ Z ( ~ ) ( W 41 ~ )

oder in Matrixschreibweise 1 p = -XI l+r

Q.

Damit ist Q = (ql, . . . , qJ)' ein RNM, und der erste Teil der Aussage ist bewiesen. ' Dann gilt fur den Sei nun umgekehrt ein RNM Q = (ql, . . . , q ~ )gegeben. Preise eines Portfolios N mit XN>O aufgrund der Definition eines RNM die Beziehung

0 d.h. es existiert keine Arbitragemoglichkeit. Anmerkung: Im obigen Beweis diskontieren wir die Zahlungen in t = T mit dem risikolosen Zins bzw. normieren sie, indem wir durch das Ergebnis der Anlage von einer Geldeinheit zum risikolosen Zins dividieren. Ebenso konnen wir ein anderes Wertpapier als Numeraire wahlen, vorausgesetzt, der Preis dieses Wertpapiers und seine Zahlungen zu allen Zeitpunkten und in allen Zustanden sind positiv. Wir erhalten dann ein anderes aquivalentes Martingalmail, unter dem die mit dem Numeraire normierten Preise Martingale sind. So erhalten wir beispielsweise bei Wahl einer in t = T falligen NKA als Numeraire die terminrisikoangepasste Bewertung. Dieses Bewertungskonzept wird in Abschnitt 4.5 im Detail dargestellt werden. Wir kommen nun zur Beziehung zwischen der Vollstandigkeit des Kapitalmarkts und bestimmten Eigenschaften des RNM.

Satz 3.3 ( R N M und Vollstandigkeit) Ein arbitragefreier Markt ist genau dann vollstandig, wenn das RNM eindeutig ist.

3.1 Einperiodiges Model1

43

Beweis: Die Vollstandigkeit des Markets ist aquivalent zu R g ( X ) = J . Damit hat aber das LGS

eine eindeutige Losung Q E J R J , und aufgrund der Arbitragefreiheit gilt Q E R:+. Das RNM ist somit eindeutig. Das RNM ist besonders nutzlich bei der Bewertung neu hinzukommender Wertpapiere, da die ansonsten erforderliche und u.U. aufwandige Losung eines LGS zur Bestimmung des Duplikationsportfolios uberfliissig wird.

Satz 3.4 (Risikoneutrale Bewertung) Sei ' 1 der Vektor der Zahlungen in t = T eines Contingent Claims, und sei dieser Claim duplizierbar. Dann gilt auf einem arbitragefreien Markt fur den Preis p(L+l) des Claims die risilconeutrale Bewertungsgleichung

wobei

den Erwartungswert unter dem RNM Q bezeichnet.

Beweis: 1st x ( ~ + 'duplizierbar, ) so existiert ein Portfolio N mit X N = x ( ~ + Da ~ ) der . Markt arbitragefrei ist, existiert ein RNM Q. Damit folgt

0

Wir geben hier nochmals eine kurze Zusammenfassung der Eigenschaften des RNM und deren Beziehung zu Vollstandigkeit und Arbitragefreiheit des Kapitalmarkts: Die Arbitragefreiheit des Preissystems ist aquivalent zur Existenz eines RNM. Die Vollstandigkeit ist zusammen mit der Arbitragefreiheit aquivalent zur Existenz und Eindeutigkeit des RNM. Die Bewertung von duplizierbaren Contingent Claims erfolgt nach der Regel 1 ,qX(L+l)] p(L+l)= 1+r

44

3 Bewertung in diskreter Zeit

3.2 Mehrperiodiges Model1 Einperiodige Modelle stellen sehr restriktive Spezialfalle diskreter Modelle dar. Eine Verallgemeinerung auf den Fall mehrerer Perioden ist deshalb wunschenswert. Wie sich zeigen wird, lassen sich die meisten Aussagen uber Arbitragefreiheit und Vollstandigkeit einperiodiger Modelle ohne grofien zusatzlichen Aufwand auf mehrperiodige Modelle ubertragen. Es ist lediglich die Einfuhrung einiger weniger neuer Konzepte erforderlich, um die entsprechenden Resultate auch im Mehrperiodenfall herzuleiten.

Die mehrperiodige diskrete Modellokonomie ist wie folgt charakterisiert: 0 0

0

+

Es werden die T 1 Zeitpunkte t = O , l , . . . ,T < oo betrachtet. Die Unsicherheit im Model1 wird wie folgt dargestellt: - Die in t = T moglichen Umweltzustande sind in der Menge f2 = {wl, . . . ,wJ) (1 < J < oo) zusammengefasst. In t = T tritt genau einer der Zustande aus f2 ein. Die Auflosung der Unsicherheit im Zeitablauf wird durch eine Filtration 3 = ( 3 0 , F l , . . . , FT)beschrieben. Jedes einzelne Ft ist eine 0-Algebra, die genau die Mengen umfasst, fur die zum Zeitpunkt t bekannt ist, ob der wahre in T eintretende Zustand in ihnen liegt oder n i ~ h t . ~ Es gilt 30C 31C . . . C 3 T , so dass im Zeitablauf die Information (die Menge der unterscheidbaren Mengen) zunimmt. Fur 3 0 gilt Fo= {0, a } , d.h, im Zeitpunkt 0 ist keine Information verfugbar. Fur FTgilt FT= P ( 0 ) , d.h. im Zeitpunkt T kennt man den realisierten Zustand, die Unsicherheit ist vollstandig aufgelost. Dabei bezeichnet P ( 0 ) die Potenzmenge von 0, d.h. die Menge aller Teilmengen von 0 . Es gibt L 1 Basiswertpapiere (1 = 0 , . . . , L), deren heutige Preise, zwischenzeitliche Preisentwicklung und Zahlungen in T gegeben sind. Der Preis von Wertpapier 1 zum Zeitpunkt t = 0 wird mit bezeichnet.

+

s!)

3 ~ i n u-Algebra e A iiber R ist ein System von Teilmengen von 62 mit den folgenden Eigenschaften:

wobei M c das Komplement von M beziiglich R darstellt, d.h. M C enthalt alle Elemente aus 52, die nicht in M sind.

3.2 Mehrperiodiges Model1

45

Der Preis von Wertpapier 1 zum Zeitpunkt t in Zustand wj wird mit s,(")(wj)bezeichnet, wobei die Zufallsvariable s,(')3t-mef3bar sein soll. Dies bedeutet, dass der Preis in t zu diesem Zeitpunkt auch bekannt sein soll, gegeben die verfugbare I n f ~ r m a t i o n . ~ In Abbildung 3.1 ist dieses Konzept veranschaulicht.

-

Abbildung 3.1. Baum mit Preisen der Basiswertpapiere

Die Auflosung der Unsicherheit uber eine Filtration soll nun kurz anhand eines Beispiels veranschaulicht werden. Sei T = 2 und R = {wl, . . . , w4). Dann ist eine mogliche Filtration durch

gegeben. 4

S ( 1 ) - {St( 1 ) ) t = O , l , . . . , bezeichnet ~ man auch als einen (der Filtration .F adap-

tierten) stochastischen Prozess.

46

3 Bewertung in diskreter Zeit

3.2.2 Duplikation und Riickwartsrechnung im Baum Die Preise der Basiswertpapiere in t = 0 und die Preisentwicklung bis t = T sind gegeben. Gesucht ist der Preis eines Contingent Claims rnit einer (einmaligen) Zahlung in t = T in Hohe von ( j = 1,.. . , J). Die grundlegende Idee zur Bewertung im mehrperiodigen Model1 ist die gleiche wie im Einperiodenfall, namlich die Duplikation. Es ist also ein Portfolio zusammenzustellen, dessen Wert in T in jedem Zustand rnit der Zahlung des Claims ubereinstimmt. AnnahmegemaD wird die Eritwicklung der Unsicherheit im Zeitablauf in einem Baum dargestellt. In jedem Knoten des Baumes kennt man die Preise der Basiswertpapiere. Ferner sei das Derivat durch die zustandsabhangigen Auszahlungen in t = T beschrieben. Das Derivat kann nun durch schrittweise Ruckwartsrechnung im Baum bewertet werden.

sgtl)(wj)

0

0

0

Der zustandsabhangige Preis des Derivates in T ist gegeben. Der zustandsabhangige Preis in T - 1 kann (mittels Duplikation oder risikoneutraler Bewertung) aus dern zustandsabhangigen Preis in T bestimmt werden. Bei Bewertung mittels Duplikation werden in jedem Knoten im Zeitpunkt T - 1 folgende Schritte durchgefuhrt: Schritt 1: Zusammenstellen eines Portfolios aus den Basiswertpapieren, dessen Wert zum Zeitpunkt T in allen Folgeknoten des gerade betrachteten Knotens rnit dern (bekannten) Wert des Derivats in T in diesen Knoten ubereinstimmt. Schritt 2: Der Wert des Duplikationsportfolios in T - 1 ergibt sich aus den bekannten Preisen der Basiswertpapiere in T - 1. - Schritt 3: 1st der Markt arbitragefrei, so muss der Preis des Derivats in T - 1 rnit dern Preis des Duplikationsportfolios ubereinstimmen. Bei dieser schrittweisen Ruckwartsrechnung im Baum erhalt man gleichzeitig die Handelsstrategie, die das Derivat dupliziert. Alternativ kann der Preis auch rnit Hilfe der risikoneutralen Bewertung bestimmt werden. Der Preis in T - 1 ist dann gleich dern Erwartungswert unter dern RNM des Preises in T , gegeben die Information in T - 1 (d.h. gegeben die Information, welchen Knoten in T - 1 man gerade betrachtet), diskontiert rnit dern einperiodigen risikolosen Zins r p 1 , der in dern gerade betrachteten Knoten in T - 1 fur die einperiodige Anlage gilt:

s['~~~-l]

0

rnit als Erwartungswert unter dern RNM, bedingt auf die Information in T - 1. Nach dern gleichen Prinzip konnen die zustandsabhangigen Preise in T - 2 aus den zustandsabhangigen Preisen in T - 1 berechnet werden. Auf diese Weise rechnet man im Baum schrittweise zuruck, bis man den Preis in t = 0 erhalt. Bei der Anwendung der risikoneutralen Bewertung folgen die

3.2 Mehrperiodiges Model1

47

risikoneutralen Martingalwahrscheinlichkeiten der einzelnen Zustande aus SZ durch Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten entlang des jeweiligen Pfades. 3.2.3 Vollstandigkeit

Bei der Untersuchung der Vollstandigkeit des Kapitalmarkts ist zwischen statischer und dynamischer Vollstandigkeit zu unterscheiden. Der Kapitalmarkt ist statisch vollstandig, wenn jedes Derivat durch ein Portfolio dupliziert werden kann, das einmalig in t = 0 zusammengestellt und im Zeitablauf nicht umgeschichtet wird. Die statische Vollstandigkeit des Marktes ist aquivalent dazu, dass die Zahl der linear unabhangigen Basiswertpapiere - bezogen auf die Werte und Zahlungen in t = T - gleich der Zahl der Umweltzustande ist. Im Gegensatz dazu ist der Kapitalmarkt dynamisch vollstandig, wenn jedes Derivat durch eine Handelsstrategie dupliziert werden kann, bei der das Portfolio zu jedem Handelszeitpunkt t = 1,.. . ,T angepasst werden kann. Diese Anpassung muss so geschehen, dass im Zeitablauf keine Mittelzuflusse oder Mittelabflusse erfolgen. Anders ausgedruckt: In jedem Zeitpunkt und in jedem Zustand entspricht der Wert des iiber die letzte Periode gehaltenen Portfolios gerade dem Wert des neu zusammenzustellenden Portfolios. Man spricht in diesem Fall auch von einer selbstjinanzierenden Handels- oder Portfoliostrategie. Aus dem Vorgehen bei der Ruckwartsrechnung im Baum, wie sie im vorangegangenen Abschnitt demonstriert wurde, erkennt man, dass der Kapitalmarkt genau dann dynamisch vollstandig ist, wenn jedes einperiodige Teilmodell vollstandig ist. 3.2.4 Arbitragefreiheit Auch die uberpriifung der Arbitragefreiheit des Mehrperiodenmodells erfolgt im Wesentlichen analog zum Einperiodenfall. Der Kapitalmarkt ist namlich genau dann dynamisch arbitragefrei, wenn keine Handelsstrategie existiert, die bei einem Preis, der heute gleich null oder negativ ist, zu einem spateren Zeitpunkt mit Sicherheit einen Wert groi3er oder gleich null und mit positiver Wahrscheinlichkeit einen Wert groi3er als null hat oder bei einem Preis, der heute negativ ist, zu einem spateren Zeitpunkt mit Sicherheit einen Wert groi3er oder gleich null hat. ~ h n l i c hwie bei der Vollstandigkeit erkennt man auch bei der Untersuchung der Arbitragefreiheit, dass der Kapitalmarkt genau dann dynamisch arbitragefrei ist, wenn jedes einperiodige Teilmodell arbitragefrei ist, d.h. wenn in jedem Teilmodell statische Arbitragefreiheit gegeben ist.

48

3 Bewertung in diskreter Zeit

3.2.5 Risikoneutrale Bewertung Analog zum einperiodigen Model1 gelten folgende Aussagen: Der Kapitalmarkt ist genau dann arbitragefrei, wenn ein mehrperiodiges RNM existiert. Ein arbitragefreier Kapitalmarkt ist genau dann dynamisch vollstandig, wenn das RNM eindeutig ist. Bevor die risikoneutrale Bewertungsgleichung im Mehrperiodenfall formal dargestellt werden kann, ist zunachst noch die rollierende risikolose Anlage, d.h. das Geldmarktkonto, in diesem Model1 zu definieren.

Definition 3.6 (Geldmarktkonto). Das Geldmarktkonto B ist definiert uber

B, ist also der Wert in T der rollierenden Anlage einer Geldeinheit von t = 0 bis t = r zum jeweiligen einperiodigen Zins. Das Geldmarktkonto ist lokal risikolos, d.h. sein Wert am Periodenende ist sowohl bei Zinssicherheit als auch bei Zinsunsicherheit bereits am Periodenanfang bekannt. Sate 3.5 (Normierte Preise als Martingale) Unter dem R N M Q ist der mit dem Geldmarktkonto normierte Preis eines gehandelten bzw. duplizierbaren Wertpapiers oder Portfolios (ohne zwischenzeitliche Zahlungen) ein Martingal, d. h.

wobei g[.\Fi]den bedingten Erwartungswert zum Zeitpunkt t unter dem RNM bezeichnet. Beweis: In jedem einperiodigen Teilmodell gilt

Damit gilt auch

Setzt man diese Gleichung in die vorhergehende ein, so erhalt man

3.2 Mehrperiodiges Model1

49

wobei in der letzten Gleichung das Tower Law (oder auch Law of Iterated Expectation) verwendet wurde. Durch wiederholte Anwendung dieser Operation erhalt man schliefllich

Dies kann man umformen zu

womit die Aussage des Satzes gezeigt ist. 3.2.6 Zwischenzeitliche Zahlungen

Wir nehmen weiterhin an, dass die Basiswertpapiere keine zwischenzeitlichen Zahlungen aufweisen, betrachten nun aber ein Derivat mit zwischenzeitlichen Zahlungen. Ein einfaches Beispiel fur ein solches Wertpapier ist eine Kuponanleihe, die wahrend ihrer Laufzeit in Form der Kupons regelmaflige Ausschuttungen aufweist. Vereinbarungsgema.fi bezeichne pt den Preis nach einer zwischenzeitlichen Zahlung, pt ist somit der ex-Preis. Halt man das Derivat, so ist der Gesamtwert der Position zum nachsten Zeitpunkt gleich dem ex-Preis des Derivats zuziiglich der anfallenden Zahlung. Bezeichnet man die zwischenzeitliche Zahlung in t mit d t , so lautet die rnodifizierte risikoneutrale Bewertungsgleichung:

Weitere ~ n d e r u n ~ edes n Bewertungsverfahrens sind nicht erforderlich. 3.2.7 Amerikanische Derivate

Bei einer amerikanischen Option kann man zu jedem Zeitpunkt entscheiden, ob man die Option ausubt oder nicht. 0

Im Falle der Ausubung in t erhalt man eine Zahlung xt und hat keine weiteren Anspruche mehr aus der Option. Der Wert der Option in t ist dann gleich der Ausiibungszahlung

50

3 Bewertung in diskreter Zeit

~ b man t die Option nicht aus, so folgt ihr Wert in t aus dem Wert in t und man erhalt

+ 1,

In t wird man genau dann ausuben, wenn der Wert bei Ausuben groBer ist als der Wert bei Halten. Damit gilt fur den Wert der Option in t:

3.3 Aufgaben

51

3.3 Aufgaben Sind die folgenden Preissysteme arbitragefrei und vollstandig? Preissystem 1 : =

( )

=

1.25 8 ( 1 . 2 5 (I) 1.25 -7

Preissystem 2 :

Gegeben sei das folgende Preissystem:

a) 1st das Preissystem arbitragefrei und vollstandig? b) Bewerten Sie die folgenden Derivate sowohl mittels Duplikation als auch mittels risikoneutraler Bewertung:

Gegeben sei das in Abbildung 3.2 dargestellte Modell. Darin bezeichnet sji)den Preis von Basiswertpapier i zum Zeitpunkt t. a) 1st das Model1 arbitragefrei und vollstandig? b) Berechnen Sie jeweils den einperiodigen risikolosen Zins. c) Bewerten Sie die folgenden Derivate sowohl mittels Duplikation als auch mittels risikoneutraler Bewertung: i. Call mit Basispreis 20 und Falligkeit in t = 1 auf das Wertpapier $1)

ii. Call mit Basispreis 25 und Falligkeit in t = 2 auf das Wertpapier ~ ( 1 )

iii. Arrow-Debreu-Wertpapiere fur die vier moglichen Zustande in t = 2

Gegeben sei das Model1 mit Zinsunsicherheit in Abbildung 3.3, in der die Entwicklung des kurzfristigen Zinses direkt unter dem RNM angegeben ist. Hierin bezeichnet rt den kurzfristigen kontinuierlichen Zins fur die Periode ( t , t 11. Die Martingalwahrscheinlichkeiten entlang der Pfade im Baum sind ebenfalls gegeben.

+

52

3 Bewertung in diskreter Zeit

Abbildung 3.2. Preisprozesse der Basiswertpapiere (Aufgabe 3)

a) Berechnen Sie die Zinsstruktur in t = 0. Geben Sie die Diskontierungsfunktion Bo(t),die Kassazinsen yo(t)und die kurzfristigen Forwardzinsen fo(t) an.

Abbildung 3.3. Zinsprozess unter dem RNM (Aufgabe 4)

3.3 Aufgaben

53

b) Der kurzfristige Zins in t = 1 ist in jedem Zustand kleiner als der kurzfristige Zins in t = 0. Stellt dies eine Arbitragemoglichkeit dar? 5. Sind die folgenden Aussagen richtig oder falsch? Warum? a) Ein Portfolio, das risikolos ist, stellt eine Arbitragemoglichkeit dar. b) Ein Portfolio, das einen Kapitaleinsatz von null erfordert, stellt eine Arbitragemoglichkeit dar. c) Risikoneutrale Bewertung basiert auf der Risikoneutralitat der Investoren. d) Ein vollstandiger Kapitalmarkt ist immer arbitragefrei. e) Bei Arbitragefreiheit stimmen der mittels Duplikation ermittelte Preis und der mittels risikoneutraler Bewertung ermittelte Preis iiberein. f) Gilt das Law of One Price, so ist der Kapitalmarkt arbitragefrei. g) 1st der Kapitalmarkt arbitragefrei, so gilt das Law of One Price.

3 Bewertung in diskreter Zeit

54

3.4 Losungshinweise Preissystem 1: arbitragefrei (RNM ist z.B. Q = (0.4,0.5,0.1)'), unvollstandig Preissystem 2: nicht arbitragefrei (einzige Losung der Gleichung zur Bestimmung des RNM ist Q = (0.6,0.7, -O.3)'), vollstandig 2. a) Arbitragefrei (erst Geldmarktkonto aus Basiswertpapieren duplizieren, dann RNM Q = (0.25,0.5,0.25)' ableiten), vollstandig b) p3=0.8, p4=1.4, p5 =0.4, p~ = 13.4 3. a) Arbitragefrei, vollstandig b) Der diskrete risikolose Zins und die (bedingten) risikoneutralen Martingalwahrscheinlichkeiten entlang der Pfade sind im Baum in Abbildung 3.4 angegeben. 1.

Abbildung 3.4. Baum des risikolosen Zinssatzes (Aufgabe 3)

c)

i. 0.6667 ii. 2.2848 iii. 0.2424,

0.0606,

0.2800,

0.1200

4. a) Werte fiir Diskontierungsfunktion, Kassa- und Terminzinsen

Der Baum der Anleihepreise ist in Abbildung 3.5 wiedergegeben. b) Nein.

3.4 Losungshinweise

55

Abbildung 3.5. Baum der Diskontierungsfunktion (Aufgabe 4)

5 , a) b) c) d)

Falsch. Ein Gegenbeispiel ist die risikolose Anlage. Falsch. Als Gegenbeispiel lasst sich der Forwardkontrakt anfiihren. Falsch. Falsch. Ein Gegenbeispiel ist durch das Preisystem 2 aus Aufgabe 1 gegeben. e) Richtig. f ) Falsch. Man betrachte folgendes Gegenbeispiel: Auf einem Kapitalmarkt werden zwei Wertpapiere gehandelt. Das erste Wertpapier zahlt in jedem Zustand 1 und kostet -0.1, das zweite Wertpapier zahlt in jedem Zustand 2 und kostet -0.2. Das Law of One Price halt, es liegen jedoch offensichtlich Arbitra,gemoglichkeiten vor. g) Richtig.

Diskrete Zinsmodelle

Die Bewertung von Derivaten basiert auf einem Model1 fur die zeitliche Entwicklung des Underlyings. So wird z.B. im Rahmen des klassischen Binomialmodells die zukunftige Entwicklung des Aktienkurses modelliert. Anschliefiend konnen im Rahmen des Modells Derivate auf die Aktie bewertet werden. Unser Ziel ist es nun, die zukunftige Entwicklung der Zinsen und Anleihepreise in einem Model1 abzubilden, um in diesem Model1 dann Zinsderivate zu bewerten. Zinsmodelle weisen gegenuber den Modellen fur Aktienderivate einige Besonderheiten auf. In Abschnitt 4.2 werden kurz die Probleme skizziert, die Zinsmodelle und die Bewertung von Zinsderivaten zu einem eigenstandigen und umfa.ngreichen Thema werden liefien. Wir beginnen die Diskussion der zeit- und zustandsdiskreten Ansatze mit dem Model1 von Ho und Lee (1986) in Abschnitt 4.3. Es gilt gemeinhin als das erste zinsstrukturkonforme Modell, in dem die endogen berechneten Preise von NKAs mit den exogen vorgegebenen (Markt-)Preisen ubereinstimmen. Diese korrekte Bewertung des Underlyings ist unabdingbare Voraussetzung fur eine sinnvolle Bewertung von Zinsderivaten. Ein Nachteil des Modells von Ho und Lee ist jedoch das unterstellte Verhalten fur den Zins. So konnen unter anderem negative Zinsen auftreten. Die Losung dieses Problems fuhrt auf das in Abschnitt 4.4 dargestellte Model1 von Black, Derman und Toy (1990), in dem durch eine andere Modellierung des Zinses sichergestellt wird, dass die Zinsen immer positiv bleiben. Der Preis, den man hierfur zu zahlen hat, k t , dass die Kalibration des Modells an eine gegebene Zinsstruktur nur noch numerisch moglich ist.

58

4 Diskrete Zinsmodelle

4.2 Besonderheiten von Zinsmodellen Zinsen und zinssensitive Finanztitel weisen im Vergleich zu Aktien einige Besonderheiten auf, die bei der Modellierung zu beachten sind und die eine einfache ubertragung von Ansatzen fur Aktienderivate wie z.B. des Modells von Cox, Ross und Rubinstein (1979) auf Zinsderivate verhindern. Diese Besonderheiten sollen nun kurz skizziert werden. In den folgenden Kapiteln werden wir auf sie noch haufiger zuruckkommen, auch im Zusammenhang mit Ansatzen, die genau diese speziellen Probleme losen (sollen). Die erste Frage in einem Zinsmodell ist, welche zugrundeliegende Grofle modelliert werden soll. Wahrend man in einem Model1 fur die Bewertung von Aktienderivaten in der Regel einfach das Verhalten des Aktienkurses beschreibt, gibt es in einem Zinsmodell mehrere Alternativen bei der Wahl des Underlyings. Zum einen kann man die Entwicklung der gesamten Zinsstruktur auf einmal modellieren, wobei die Zinsstruktur durch die Diskontierungsfunktion oder durch die Terminzinskurve reprasentiert sein kann. Zum anderen kann man das Verhalten einiger weniger Zustandsvariablen an den Anfang stellen und die Entwicklung der Zinsstruktur aus diesen Zustandsvariablen ableiten. Bei den Zustandsvariablen kann es sich um Zinsen selbst handeln (beispielsweise die Short Rate oder Kassazinsen fur ausgewahlte Fristigkeiten), um die Volatilitat der Short Rate oder den Mittelwert der Short Rate oder auch um Zustandsvariablen, die keine direkte anschauliche Interpretation haben. Diese beiden grundsatzlichen Arten von Ansatzen werden wir bei der Diskussion der stetigen Zinsmodelle in Kapitel 6 noch gegeneinander abgrenzen. Bei der Modellierung ist zu beachten, dass sich das Verhalten von Anleihepreisen grundlegend von dem Verhalten von Aktienkursen unterscheidet. Wahrend ein Aktienkurs um so unsicherer ist, je weiter man in die Zukunft schaut, gilt dies fur eine NKA nicht. Diese zahlt bei Falligkeit einen festen Betrag zuruck. Der Wert der NKA ist damit nur bis zum Zeitpunkt der Falligkeit unsicher und mufl mit abnehmender Restlaufzeit gegen den Nennwert konvergieren, was als Pull-to-Par bezeichnet wird. Fur den Preis einer NKA kann man daher nicht annehmen, dass er in jeder Periode um einen uber die Zeit konstanten Faktor steigt oder fallt. Ferner stellt sich die Frage, ob das Model1 zinsstrukturkonform ist oder nicht. Dabei bezeichnet man ein Model1 als zinsstrukturkonform, wenn die endogen im Model1 bestimmte Zinsstruktur im Anfangszeitpunkt mit der exogen vorgegebenen Zinsstruktur im Anfangszeitpunkt ubereinstimmt. Die richtige Bewertung von NKAs aufgrund der Zinsstrukturkonformitat eines Modells ist sicherlich eine zentrale Voraussetzung dafur, dass man es sinnvoll zur Bewertung von Derivaten auf diese Anleihen einsetzen kann. Modelle, die auf dem Verhalten des kurzfristigen Zinses uber die Zeit basieren, mussen jedoch explizit an die gegebene Zinsstruktur kalibriert werden, und dies ist nicht fur alle Modelle moglich. Modelle, in denen die Dynamik der gesamten Zinsstruktur auf einmal abgebildet wird, erfiillen diese Voraussetzung, da sie einfach von

4.3 Das Model1 von Ho und Lee

59

der vorgegebenen Zinsstruktur ausgehen und diese Daten als Anfangsbedingung verwenden. Die Modellierung der gesamten Zinsstruktur fuhrt jedoch zu einem anderen Problem. In diesem Fall sind alle gehandelten NKAs Basiswertpapiere, und ihre Preise in jedem Zustand und zu jedem Zeitpunkt werden durch das Model1 vorgegeben. In der Regel ubersteigt jedoch die Zahl der gehandelten NKAs und damit die Zahl der Basiswertpapiere die Zahl der Unsicherheitsquellen, die in der 0konomie existieren. Man muss dann durch zusiitzliche Bedingungen sicherstellen, dass die Preise der NKAs untereinander arbitragefrei sind. Schliefilich kann man noch fordern, dass Zinsen stets positiv bzw. die Preise von NKAs hochstens so grofi wie ihr Nennwert sind, der meist gleich eins gesetzt wird. Dazu ist allerdings anzumerken, dass negative Zinsen keine Arbitragemoglichkeit darstellen, solange man (wie wir es im Folgenden stets implizit tun werden) innerhalb des Modells keine Kassenhaltung zulasst.

4.3 Das Model1 von Ho und Lee 4.3.1 Beschreibung des Modells

Zunachst sollen die wesentlichen Charakteristika des Modells von Ho und Lee (1986) (HL-Modell) kurz im ~ b e r b l i c kdargestellt werden, bevor sie dann im Einzelnen naher erlautert werden. Das Model1 beschreibt die Dynamik der gesamten Zinsstruktur, wobei die Zinsstruktur durch die Diskontierungsfunktion abgebildet wird. Die Unsicherheit wird in einem Binomialmodell abgebildet. Die Entwicklung der Zinsstruktur ist pfadunabhangig. Das Model1 ist zinsstrukturkonform, d.h. die beim Modellaufbau als Eingangsinformation verwendete exogene Zinsstruktur im Anfangszeitpunkt stimmt mit der endogen im Model1 bestimmten Zinsstruktur im Anfangszeitpunkt uberein. Die Bestimmung der modellendogenen anfanglichen Diskontierungsfunktion bzw. Zinsstruktur erfolgt dabei so, dass eine sichere Zahlung von eins im Falligkeitstermin im Model1 wie ein Zinsderivat bewertet wird. 4.3.1.1 Baum der Diskontierungsfunktion

Bei Zinssicherheit sind die zukunftigen Kassazinsen gleich den heutigen Terminzinsen bzw. die zukiinftigen Anleihepreise gleich den heutigen Forwardpreisen, d.h. es gilt

Die Anleihepreise in der Zukunft folgen damit eindeutig aus der (gegebenen) Zinsstruktur in t = 0. Damit gilt auch

60

4 Diskrete Zinsmodelle

Der Anleihepreis im nachsten Zeitpunkt ist somit durch den aktuellen Anleihepreis, aufgezinst mit dem einperiodigen Zins, gegeben. Bei Zinsunsicherheit dagegen weicht der zukiinftige realisierte Anleihepreis im Allgemeinen vom heute berechneten Forwardpreis ab. Ho und Lee (1986) beschreiben diese Abweichung im Rahmen eines Binomialmodells mit Hilfe einer Storfunktion. Ausgangspunkt des Modells ist die in t = 0 gegebene Diskontierungsfunktion, deren Entwicklung im Folgenden modelliert wird. Hierbei bezeichne B , ( ~ ' ( T ) den Preis einer in T falligen NKA zum Zeitpunkt t nach i Aufwartsspriingen der Diskontierungsfunktion.

Abbildung 4.1. Einperiodige Entwicklung der Anleihepreise im HL-Model1

Abbildung 4.1 zeigt die Entwicklung der Diskontierungsfunktion von t nach t + 1. Der Preis der NKA im Zeitpunkt t 1 ist gleich dem Forwardpreis aus der Sicht von t , multipliziert mit einer Storfunktion, d.h.

+

Diese Storfunktion h ( . )bzw. h*(.)ist annahmegemafl nur von der R.est,laufzeit abhangig, nicht aber vom aktuellen Zeitpunkt oder vom aktuellen Zustand.

4.3 Das Model1 von Ho und Lee

61

~berraschenderweisereichen die Bedingungen, die sich aus dem Preis der NKA bei Falligkeit und den Forderungen der Arbitragefreiheit sowie der Pfadunabhangigkeit der Zinsstrukturdynamik ableiten lassen, bereits aus, um die Storfunktion eindeutig zu bestimmen. Dies zeigen wir im Folgenden. 1. Bei Falligkeit zahlt die Anleihe mit Sicherheit 1 GE, d.h.

BiY,(t

+ 1) = 1

fur alle i

Hieraus erhalt man aufgrund der Gleichungen (4.1) und (4.2) fur Biif " ( T ) bzw. Bii)( T )und mit T = t 1

+

und somit

2. 1st der Markt arbitragefrei, so existiert ein risikoneutrales Wahrscheinlichkeitsmao. Fur dieses wird angenommen, dass die einperiodige Wahrscheinlichkeit fur eine Aufwartsbewegung gleich .ir und fur eine Abwartsbewegung gleich 1 - IT ist. Auch diese einperiodigen Wahrscheinlichkeiten sind somit zeit- und zustandsunabhangig. Die Anleihepreise selbst mussen naturlich auch die risikoneutrale Bewertungsgleichung erfiillen:

+

wobei Bii)(t+ 1 ) = ( 1 rii))-l gilt. Ersetzt man die Anleihepreise auf der rechten Seite durch die mit der Storfunktion multiplizierten einperiodigen Terminpreise, so erhalt man

Fur die Storfunktion laat sich hieraus die Bedingung

ableiten. 3. Die Anleihepreise im Model1 sollen pfadunabhangig sein, d.h, ausgehend vom Zeitpunkt t sol1 ein Aufwartsschritt gefolgt von einem Abwartsschritt zu den gleichen Anleihepreisen in t 2 fuhren wie die umgekehrte Folge. Dies wird an dem zweiperiodigen Ausschnitt aus dem Baum der Diskontierungsfunktion in Abbildung 4.2 verdeutlicht.

+

62

4 Diskrete Zinsmodelle

Abbildung 4.2. Pfadunabhangigkeit der Anleihepreise im HL-Model1

Entlang des oberen Pfades erhalt man fur den Anleihepreis in t + 2

Entlang des unteren Pfades gilt analog

Bei Pfadunabhangigkeit mussen diese beiden Preise in t men:

Weitere Umformungen fuhren auf den Zusammenhang

+ 2 ubereinstim-

4.3 Das Model1 von Ho und Lee

63

Durch sukzessives Einsetzen folgt hieraus schliealich die Pfadunabhangigkeitsbedingung fur die Storfunktion:

-

Nun konnen die erhaltenen Bedingungen fur die Storfunktion zusammengefugt werden. Mit h(l)/h*(l) 6-I und mit der Randbedingung (4.3) folgt aus der gerade hergeleiteten Pfadunabhangigkeitsbedingung (4.5) fur den Zusammenhang zwischen h ( r ) und h* (T)

Setzt man dies in die Arbitragefreiheitsbedingung (4.4) ein, so ergibt sich

woraus man die endgultige Darstellung fur die Storfunktion erhalt:

Mit Hilfe der Storfunktion kann jetzt der Baum der Diskontierungsfunktion aufgebaut werden, wobei die anfangliche Zinsstruktur, die risikoneutrale Wahrscheinlichkeit 7r fur einen Aufwartssprung sowie der Parameter 6 vorzugeben sind. Die in diesem Abschnitt gewonnenen Erkenntnisse sollen noch einmal kurz zusammengefasst werden. 0

0

Eingangsinformation in das Model1 ist die anfangliche Zinsstruktur, beschrieben durch die Diskontierungsfunktion {Bo( t ) t, = 1,2,3,. . .). Modellparameter sind 7~ und 6. 7r ist die risikoneutrale Wahrscheinlichkeit fur eine Aufwartsbewegung der Diskontierungsfunktion, wahrend 6 das Verhaltnis der Storfunktionen h(.) und h*(.) festlegt. Es gilt

64

4 Diskrete Zinsmodelle

Die Storfunktionen geben die relative Abweichung von den einperiodigen Forwardpreisen an:

Sie sind so gewahlt, dass die Anleihepreise pfadunabhangig sind und bei Falligkeit die Anleihepreise mit dem Nennwert von eins ubereinstimmen. Das Model1 ist zinsstrukturkonform, d.h. die endogen im Model1 bestimmte Zinsstruktur im Anfangszeitpunkt stimmt mit der exogen gegebenen Zinsstruktur fur den Anfangszeitpunkt uberein. Fur den Leser, der bereits Erfahrung im Umgang mit dem popularen Binomialmodell von Cox, Ross und Rubinstein (1979)(CRR) zur Bewertung von Aktienderivaten hat, seien hier kurz einige ~hnlichkeitenund Unterschiede zwischen diesem Model1 und dem HL-Ansatz zur Bewertung von Zinsderivaten aufgezeigt . Beide Modelle basieren auf einer Binomialstruktur fur die Bewegung des Underlyings. Das CRR-Modell wird durch die Sprungparameter u und d sowie durch den risikolosen Zins r beschrieben. Die Martingalwahrscheinlichkeit folgt endogen. Im HL-Model1 wird hingegen die Martingalwahrscheinlichkeit vorgegeben, und die Storfunktionen folgen aus 7r und aus b. Die Reihenfolge kann hier jedoch auch vertauscht werden, d.h, die Parameter n und 6 konnen aus den Storfunktionen gewonnen werden. Stellt man die Storfunktionen fur die kurzeste Restlaufzeit T = 1 an den Anfang, so gilt

Alternativ ware es auch moglich, von den Storfunktionen fur eine beliebige Restlaufzeit T auszugehen. Hier gilt

Die Formel zur Bestimmung von n ist vollkommen analog zur Formel von CRR. Fuhrt man diese auf die Faktoren u/(l r) und d/(l+ r ) zuruck,

+

4.3 Das Model1 von Ho und Lee

65

die die Abweichung des realisierten Aktienkurses vom einperiodigen Forwardpreis beschreiben, so erhalt man

Im Unterschied zu CRR ist der kurzfristige Zins im HL-Model1 nicht konstant, sondern zeit- und zustandsabhangig. Er kann jedoch nicht einfach in jedem Zustand exogen vorgegeben werden, sondern folgt aus der Spezifikation der Storfunktion und aus der anfanglichen Zinsstruktur. Wie dieser Zusammenhang explizit aussieht, ist genau der Inhalt des Modells. Hier sei auch auf Formel (4.9) fur die Short Rate in Abschnitt 4.3.2 verwiesen. 4.3.1.2 Beispiel

Gegeben seien die folgenden Daten: 7r = 0.5, 6 = 0.95 sowie Bo(T) = exp(-0.1 . T ) fur die Falligkeitstermine T = 0,1,2,3,4. Fur die Storfunktion erhalt man hieraus

Nun kann der Baum der Diskontierungsfunktion bestimmt werden, der in Abbildung 4.3 wiedergegeben ist.

Der zulassige Bereich fur 6 wird durch verschiedene Anforderungen an die Storfunktionen h und h* festgelegt. Da h ( ~ und ) h * ( ~ fur ) T = 0,1,2,. . . positiv sein mussen, muss 6 > 0 gelten. Fordert man ferner ohne Beschrankung der Allgemeinheit h ( ~ 2 ) h*(r), so folgt hieraus 6 5 1, insgesamt also 6 E (0,lI. Um 6 zu interpretieren, betrachtet man die Auswirkungen dieses Parameters auf die Anleihepreise. Fur i = 0,. . . , t - 1 gilt:

1st S = 1, so gilt

66

4 Diskrete Zinsmodelle

t=O

t = l

t=2

t = 3

Abbildung 4.3. Baum der Diskontierungsfunktion im HL-Model1

es liegt also Zinssicherheit vor. Fur 6 < 1 gilt dagegen B,(i)(T) < Bf+l)

(T),

und es liegt Zinsunsicherheit vor. Die Anleihepreise in benachbarten Knoten unterscheiden sich um so mehr, je kleiner 6 ist, wie aus der Definition der Stijrfunktionen h(.) und h*(.) in den Gleichungen (4.6) und (4.7) erkennbar ist. Deshalb bezeichnet man 6 auch als inversen Volatilitatsparameter. Ferner nimmt der Unterschied zwischen Bji)(T) und B,(~+')(T) in der Restlaufzeit T - t xu. Damit ist die Auswirkung der Zinsunsicherheit auf die Preise langer laufender Anleihen grof3er. Die Auswirkung von 6 auf die Stochastik der Zinsen wird unten in Abschnitt 4.3.2 dargestellt.

4.3.1.4 Anleihepreise Der Anleihepreis zu einem zukunftigen Zeitpunkt wird beim Aufbau des Baumes schrittweise berechnet. Daneben kann man auch eine geschlossene Forme1 fur den Anleihepreis angeben, die eine direkte Berechnung des zustandsabhangigen zukunftigen Anleihepreises erlaubt:

4.3 Das Model1 von Ho und Lee

67

Diese Gleichung erhalt man, indem man den Anleihepreis B , ( ~ ) ( Tdurch ) die Anleihepreise B~(:T')(T), ( t )und die Stijrfunktion h ausdruckt, anschlieanwendet und so bis fiend die analoge Operation auf B:~:')(T)und ~t(L<')(t) zum Zeitpunkt t = 0 zuruckrechnet. Ausdruck (4.8) fiir den Anleihepreis werden wir im Folgenden verwenden, um ausgehend von der anfanglichen Diskontierungsfunktion die Short Rate zu einem spateren Zeitpunkt t zu bestimmen. Er kann ferner auch verwendet werden, urn die in Abschnitt 4.3.3.2 angegebene Formel fur den Futurespreis abzuleiten.

B,(I;~)

4.3.2 Zinsstruktur Es sol1 nun das stochastische Verhalten der Zinsen naher betrachtet werden. Hierzu berechnen wir zunachst die Short Rate. Diese kann - je nach Parameterkonstellation - auch negativ werden. Um dies zu vermeiden, darf der inverse Volatilitatsparameter eine bestimmte kritische Untergrenze nicht unterschreiten, d.h. die Volatilitat darf nicht zu grofi sein. In einem zweiten Schritt vergleichen wir die Zinsstrukturen, die sich zu einem gegebenen Zeitpunkt in unterschiedlichen Zustanden ergeben konnen. Hier gilt sowohl fur die Kassazinskurve als auch fur die Terminzinskurve, dass sie parallel verschoben sind. 4.3.2.1 Short Rate Fiir die kontinuierliche Short Rate rji) im Zeitpunkt t und nach i Aufwartsbewegungen der Diskontierungsfunktion gilt

Hieraus erhalt man

Setzt man die geschlossene Formel fur den Anleihepreis aus (4.8) ein, so erhalt man fur die Short Rate:

Damit unterscheiden sich kurzfristige Zinsen in benachbarten Knoten urn In 6, d.h. es gilt

68

4 Diskrete Zinsmodelle

Man kann nun zum einen Erwartungswert und Varianz des kurzfristigen Zinses unter dem risikoneutralen Wahrscheinlichkeitsmai3 berechnen. Zum anderen kann man untersuchen, ob und unter welchen Bedingungen die Short Rate und damit auch alle anderen cinssatze stets positiv sind. Fur den Erwartungswert E[rtIFo]und die Varianz v=[rt IFo]unter dem risikoneutralen WahrscheinlichkeitsmaA erhalt man aus Gleichung (4.9) aufgrund der Binomialverteilung von i mit t Ziehungen und Erfolgswahrscheinlichkeit n (d.h. i B ( t , n ) )

-

E^[rt130] = fo(t)

+ In { n F t + (1- n ) ) + n t In6

C%[rt[&] = t n(1 - ~ ) ( l n 6 ) ~ . Die Varianz ist um so grofier, je kleiner 6 ist. Daruber hinaus gilt lim C%[rt IFo]4 m.

t+w

Um zu untersuchen, ob die Zinsen negativ werden kijnnen, geht man von der Beziehung

rji) = fo(t) in Gleichung (4.9) aus. Mit 6

+ In { ~ 6 +- ~(1 - n ) } + i In 6 < 1 ist In6 negativ, und es gilt

Damit ist zum Zeitpunkt t der kurzfristige Zins in allen Zustanden genau dann positiv, wenn rjt) positiv ist:

wird diese Bedingung an rjt) zu

Hieraus lassen sich zwei Schlussfolgerungen ableiten: Der Zins in t ist mit Sicherheit positiv, falls e - f ~ ( ~ )n < 0 und damit der Bruch negativ ist. Dies ist aquivalent zu folgender Aussage:

Fur n = 0.5 lautet diese Bedingung z.B. fo(t)

> 0.6931.

4.3 Das Model1 von Ho und Lee 0

69

Der kurzfristige Zins ist genau dann immer positiv, wenn die Ungleichung (4.10) fur alle t erfullt ist. Dies fuhrt auf die Bedingung

6 > 6,i,

= max t

1-7r

und damit auf eine Untergrenze fur den inversen Volatilitatsparameter, die von n und von der anfanglichen Zinsstruktur abhangt. 4.3.2.2 Fortfiihrung des Beispiels: Baum der Short Rate

Abbildung 4.4. Baum der Short Rate im HL-Model1

Im obigen Zahlenbeispiel erhalt man fiir die Short Rate den Baum in Abbildung 4.4. ~ e ~nterschied r zwischen den kurzfristigen Zinsen in benachbarten Knoten ist ln0.95 = -0.051. Mit 7r = 0.5 und ausgehend von der Kassazinsstruktur in t = 0 ist die Untergrenze fur den inversen Volatilitatsparameter dmi, = 0.8096. Sie ist offensichtlich fur 6 = 0.95 eingehalten, weshalb die Zinsen in dem Beispiel samtlich positiv sind. 4.3.2.3 Kassazinsen

Der Kassazins y,(i)(T)im Zeitpunkt t fur Anlage bis T nach i Aufwartsbewegungen ist

70

4 Diskrete Zinsmodelle

Einsetzen der geschlossenen Formel fiir den Anleihepreis aus Gleichung (4.8) ergibt

Damit unterscheiden sich die Kassazinsen in benachbarten Knoten um In 6:

Yt(i+l)

( T )= y,(')( T )+ In 6.

Die Kassazinsstrukturen in benachbarten Knoten sind parallel zueinander verschoben. 4.3.2.4 Terminzinsen Der Terminzins f i i ) ( T ) im Zeitpunkt t fiir Anlage von T bis T Aufwartsbewegungen ist

+ 1 nach i

Einsetzen der geschlossenen Formel fiir die Anleihepreise aus (4.8) ergibt

Damit unterscheiden sich auch die Terminzinsen in benachbarten Knoten um In 6. d.h.

Die Terminzinsstrukturen in benachbarten Knoten sind also ebenfalls parallel zueinander verschoben. 4.3.3 Bewertung von Derivaten Das HL-Model1 sol1 nun verwendet werden, um Zinsderivate zu bewerten. Fur die Beispiele wird jeweils der Baum aus den Abbildungen 4.3 bzw. 4.4 zugrunde gelegt.

4.3 Das Model1 von Ho und Lee

71

4.3.3.1 Optionen Die Bewertung von Optionen erfolgt durch Riickwartsrechnung im Baum. Die zustandsabhangige Zahlung bei Falligkeit ergibt sich aus der Kontraktdefinition und aus dem zustandsabhangigen Preis des Underlyings (im Folgenden stets einer NKA). Der Wert vor Falligkeit folgt dann jeweils mittels Duplikation oder mittels risikoneutraler Bewertung aus dem Wert im nachsten Zeitpunkt. Dieser Wert bei Halten ist im Falle einer amerikanischen Option noch mit der Ausiibungszahlung zu vergleichen. 1st die Ausubungszahlung gri%er, so wird ausgeubt, und zusammen mit dem Wert der Option erhalt man auch die optimale Ausubungsstrategie. Wir betrachten nun beispielhaft folgende Kontrakte: 0

einen europaischen Call, fallig in TI = 2, auf die in T2 = 4 fallige NKA mit Basispreis 0.80 (vgl. Abbildung 4.5, Modellwert Cz(0.80,2,4) = 0.0281)

Abbildung 4.5. Baum der europaischen Call-Preise im HL-Model1

einen europaischen P u t , fallig in Tl = 2, auf die in T2 = 4 fallige NKA mit Basispreis 0.80 (vgl. Abbildung 4.6, Modellwert Poe(0.80,2,4) = 0.0128) 0

einen amerikanischen Call, fallig in TI = 2, auf die in T2 = 4 fallige NKA mit Basispreis 0.80 (vgl. Abbildung 4.7, Modellwert Cg(0.80,2,4) = 0.0281)

72

4 Diskrete Zinsmodelle

t=O

t=l

t=2

Abbildung 4.6. Baum der europaischen Put-Preise im HL-Model1

Abbildung 4.7. Baum der amerikanischen Call-Preise im HL-Model1

einen amerikanischen P u t , fallig in TI = 2, auf die in T2 = 4 fallige NKA mit Basispreis 0.80 (vgl. Abbildung 4.8, Modellwert P$(0.80,2,4) = 0.1297)

4.3 Das Modell von Ho und Lee

73

Abbildung 4.8. Baum der amerikanischen Put-Preise im HL-Model1

4.3.3.2 Futures

Der Futurespreis ist so zu wahlen, dass der Wert des Futureskontrakts nach der Settlementzahlung null ist. Wie wir gleich zeigen werden, sind Futurespreise unter dem risikoneutralen Ma6 Martingale. Wir bezeichnen wie zuvor mit Hii)(T1,Tz) den Futurespreis zum Zeitpunkt t eines in Tl fklligen Futures auf die in T2fallige NKA nach i Aufwartsbewegungen der Diskontierungsfunktion. &(')(TI, Tz) bezeichne den Futureswert nach dern Settlement. Es gilt somit & ' " ( ~ 1 , ~ 2=) 0. In t

+ 1 erfolgt eine Settlement-Zahlung in Hohe von H;$~)(TI, ~ 2 -) Hii)(TI,T2)

im Falle einer Aufwartsbewegung und (TI, Tz) - Hii) (Ti,~ 2 ) im Falle einer Abwartsbewegung. Da der Futureswert die risikoneutra de Bewertungsgleichung erfiillen muss, erhalt man

74

4 Diskrete Zins~nodelle

Einsetzen des Futureswertes von null ergibt

und damit

+

H , ' ~ ' ( T ~ ,= TT ~ )H ~ $ ~ ' ( T~ ~2, ) ( 1 - K ) H , ( ? ~ ( T ~ , T ~ )

Aus dem Tower Law folgt dann

d.h. unter dem risikoneutra.len Ma.fl ist der Futurespreis ein Martingal. Der Futurespreis einer NKA muss im Liefertermin t = TI die Konvergenzbedingung

erfullen, woraus man die allgemeine Formel

erhalt . Im HL-Model1 lasst sich sogar eine geschlossene Formel fur den Futurespreis ableiten, indem man auf den Ausdruck (4.8) fur die Anleihepreise zuruckgreift (vgl. Schlag (1995)). Es folgt

-

Bt (T2)

TI-t-l

n

k=l

Futurespreis

Sk + +(I - h k ) S* + n(l - dk)h(T2- T i )'

Forwardpreis

Auf Basis dieser Gleichung kann man nun den Forwardpreis Gt(T1,T2) und den Futurespreis Ht ( T I T2) , vergleichen: Im Falle Tl = T2 gilt Ht (Ti,T I ) = Gt ( T I T , I )= 1 . Forward- und Futurespreis fur die Lieferung der Anleihe an ihrem Falligkeitstermin stimmen naturlich mit dem sicheren Nennwert uberein.

4.3 Das Model1 von Ho und Lee 0

0

0

75

Fur d = 1, d.h. bei Zinssicherheit, gilt Ht (TI, T2) = Gt(T1, T2). Forwardund Futurespreis stimmen somit uberein. Betragt die Restlaufzeit der Kontrakte eine Periode, so stimmen die beiden Preise ebenfalls uberein: Ht (t 1,Tz) = Gt (t 1, T2). Ansonsten gilt Ht (TI, T2) < Gt (TI, T2), wobei die Differenz um so grof3er ist, je kleiner S, je grof3er T2 - Tl und je grofier Tl - t .

+

+

4.3.3.3 Fortfiihrung des Beispiels: Futures- und Forwardpreis

Gesucht sind der Forward- und der Futurespreis fur eine Kontraktfalligkeit in Tl = 2 auf die in T2 = 4 fallige NKA. Die Modellpreise sind Go(2,4) = Bo(4)/Bo(2) = 0.8187 und Ho(2,4) = 0.8177. Die Bewertung des Futureskontrakts im Baum ist in Abbildung 4.9 dargestellt.

Abbildung 4.9. Baum der F'uturespreise im HL-Modell

4.3.3.4 Caps und Floors

Caps bzw. Floors sind Portfolios aus Caplets bzw. Floorlets. Ihr Wert folgt aus den Werten der Caplets und Floorlets. Diese Caplets und Floorlets konnen durch Ruckwartsrechnung im Baum bewertet werden. Da sie vom variablen L I B O R - Sabhangen, ~~~ ist zunachst ein Baum fur diesen Zinssatz aufzustellen. Fur die Bewertung selbst ist zu beachten, dass die Zahlung im Zahlungszeitpunkt ti von dem LIBORim Zeitpunkt ti-l, dem sogenannten reset date, abhangt. Damit ist ein Caplet ein Beispiel fur ein Derivat, das uber die letzte Periode pfadabhangig ist. Fur die Bewertung im Baum ist daher jeweils der

76

4 Diskrete Zinsmodelle

Baum uber die letzte Periode ,,aufzuspaltenU,d.h. der Baum kann nicht mehr rekombinierend dargestellt werden. Alternativ kann man die Bewertung von Caps und Floors auf die Bewertung von Puts und Calls zuruckfuhren. 4.3.3.5 Fortfiihrung des Beispiels: Bewertung von Caps und Floors Zunachst ist der LIBOR-Satzzu berechnen als der Zins, der den Zahlungen der Caps und Floors zugrundeliegt. Aus den Anleihepreisen erhalt man den Baum des Zinssatzes in Abbildung 4.10.

Abbildung 4.10. Baum der kurzfristigen Lr~o~-Zinsen im HL-Model1

Auf der Grundlage dieses Baumes werden nun einige Kontrakte beispielhaft bewertet: Cap mit Zahlungszeitpunkten t = 1 , 2 , 3 und diskreter Strike Rate 0.11 Dieser Kontrakt besteht aus drei Caplets, die zunachst einzeln zu bewerten sind. Der Wert des Caps ist dann gleich der Summe der Einzelwerte. Wir wollen die beiden alternativen Bewertungstechniken fur Caplets demonstrieren. 1. Risikoneutrale Bewertung im Baum - Bewertung des Caplet mit Zahlung in t = 1 (Abbildung 4.11) Bewertung des Caplet mit Zahlung in t = 2 (Abbildung 4.12) - Bewertung des Caplet mit Zahlung in t = 3 (Abbildung 4.13) Der Gesamtwert des Cap ist somit 0 0.0097 0.0094 = 0.0191. 2. Bewertung der Caplets uber Put-Optionen auf NKAs Wie in Abschnitt 2.7 gezeigt wurde, kann die Bewertung der Caplets

+

+

4.3 Das Model1 von Ho und Lee

77

~ a p ~ e t y ~ ) ( l ,=~ 0. l l ) A b b i l d u n g 4.11. Bewertung des Caplet mit Zahlung in t = 1 im HL-Model1

A b b i l d u n g 4.12. Bewertung des Caplet mit Zahlung in t = 2 im HL-Model1

A b b i l d u n g 4.13. Bewertung des Caplet mit Zahlung in t = 3 im HL-Model1

auch auf die Bewertung von Puts zuruckgefuhrt werden, die jeweils zu den Anpassungszeitpunkten des L ~ ~ o ~ - S a tfallig z e s sind. Das Caplet mit Zahlung in t = 1 entspricht 1 0.11 = 1.11 Puts auf die in t = 1 fallige NKA mit Basispreis (1 0.11)-l = 1.11-I und Falligkeit in

+

+

78

4 Diskrete Zinsmodelle

t = 0 . Fiir den Wert des Puts erhalt man Der Wert des Caplet ist dann

Capleto( 0 )(1,0.11) = 1.11 . 0.0 = 0.0.

+ +

Das Caplet rnit Zahlung in t = 2 entspricht 1 0.11 = 1.11 Puts auf die in t = 2 fallige NKA rnit Basispreis ( 1 0.11)-' = 1.11-I und Falligkeit in t = 1. Der entsprechende Baum ist in Abbildung 4.14 dargestellt .

Abbildung 4.14. Bewertung des Caplet rnit Zahlung in t = 2 iiber eine

Put-Option Der Wert des Caplet ist dann

~ a p l e t ! ) ( 2 , 0 . 1 1 ) = 1.11 . 0.0087 = 0.0097. Das Caplet rnit Zahlung in t = 3 entspricht 1 + 0.11 = 1.11 Puts auf die in t = 3 fallige NKA rnit Basispreis ( 1 0.11)-l = 1.11-I und Falligkeit in t = 2 (siehe Abbildung 4.15). Der Wert des Caplet ist dann

+

~ a p l e t ~ ) ( 3 , 0 . 1=1 )1.11 .0.0085 = 0.0094. Fiir den Wert des Cap erhalt man wiederum

0.0

+ 0.0097 + 0.0094 = 0.0191.

Floor mit Zahlungszeitpunkten t = 1 , 2 , 3 und diskreter Strike Rate 0.10 Analog zum obigen Cap sind hier zunachst drei einzelne Floorlets zu bewerten, bevor der Gesamtwert des Floors ermittelt werden kann. - Bewertung des Floorlet rnit Zahlung in t = 1 (vgl. Abbildung 4.16) - Bewertung des Floorlet rnit Zahlung in t = 2 (vgl. Abbildung 4.17) Bewertung des Floorlet rnit Zahlung in t = 3 (vgl. Abbildung 4.18) Der Gesamtwert des Floors betragt somit 0 + 0.0094 0.0097 = 0.0191. Alternativ kann man, wie in Abschnitt 2.7 gezeigt, den Floor auch als Portfolio aus Calloptionen bewerten.

+

4.4 Das Model1 von Black, Derman und Toy

79

Abbildung 4.15. Bewertung des Caplet mit Zahlung in t = 3 iiber eine Put-Option

Abbildung 4.16. Bewertung eines Floorlet mit Zahlung in t = 1 im HLModel1

4.4 Das Model1 von Black, Derman und Toy Wie im HL-Model1 wird auch im Model1 von Black, Derman und Toy (1990) (BDT-Modell) die Unsicherheit in einem Binomialmodell mit einer pfadun-

Abbildung 4.17. Bewertung eines Floorlet mit Zahlung in t = 2 im HL-Model1

80

4 Diskrete Zinsmodelle

Abbildung 4.18. Bewertung eines Floorlet mit Zahlung in t = 3 im HL-Model1

abhangigen Entwicklung der Zinsstruktur abgebildet. Die grundlegende Variable ist jedoch im Gegensatz zum HL-Model1 die Short Rate. Das BDTModel1 ist ebenfalls zinstrukturkonform. Zusatzlich zum HL-Model1 bietet der BDT-Ansatz auch die Moglichkeit, das Model1 an eine exogen gegebene Volatilitatsstruktur anzupassen. 4.4.1 Baum der Short Rate BDT modellieren die Entwicklung der Short Rate unter dem risikoneutralen Wahrscheinlichkeitsmafi. Um das Model1 einzufuhren, bietet es sich an, es mit dem im vorherigen Abschnitt diskutierten HL-Model1 zu vergleichen. Dort gilt fur die Short Rate unter dem risikoneutralen Wahrscheinlichkeitsmafi die Beziehung r,(i+l)= rii)+1n 6. Die (kontinuierliche) Short Rate in benachbarten Zustanden unterscheidet sich also um den zeit- und zustandsunabhangigen additiven Faktor In b. Gegeben den inversen Volatilitatsparameter 6 und die risikoneutrale Wahrscheinlichkeit r fur eine Aufwartsbewegung ist der Baum der Short Rate damit durch die Angabe der Short Rate im jeweils untersten (0) vollstlndig beschrieben. Zustand, d.h. durch Angabe von r r ) , r!') . . . ,rT-,, Das Model1 von HL ist zinsstrukturkonform. Damit sind die Short Rates in den untersten Knoten eindeutig durch die vorgegebene Zinsstruktur in t = 0 bestimmt, wie man auch an Gleichung (4.9) erkennt. Dagegen gilt im BDTModel1 fur die (diskrete) Short Rate

d.h. die (diskrete) Short Rate in benachbarten Zustanden unterscheidet sich um den zustandsunabhangigen, aber zeitabhangigen multiplikativen Faktor at. Aufgrund dieser multiplikativen Modellierung sind die Short Rates immer positiv, denn fur at > 0 und r,(O)> 0 gilt rii) > 0 fiir i = 0, 1, . . . , t . Gegeben

4.4 Das Mode11 von Black, Derman und Toy

81

eine risikoneutrale Wahrscheinlichkeit fiir eine Aufwartsbewegung von n = 0.5 ist der Baum der Short Rate damit eindeutig durch Angabe der zeitabhangi(0) gen Faktoren al, . . . , cw-1 und der Short Rates r f ) , rp),. . . , TT-i in den jeweils untersten Knoten des Baumes beschrieben. 4.4.2 Kalibration des Modells

Das Model1 von BDT ist zinsstrukturkonform, d.h. es kann an eine gegebene Zinsstruktur angepasst werden. Dies geschieht durch geeignete Wahl der Short Rates in den jeweils untersten Knoten. Daruber hinaus ist auch eine Anpassung an eine gegebene Volatilitatsstruktur moglich. Dabei konnen entweder direkt die Volatilitaten al, . . . , ~ q - 1der Short Rates oder aber die Volatilitaten der Kassazinsen unterschiedlicher Fristigkeiten in t = 1 als Eingangsinformation vorgegeben werden. Diese beiden Falle werden wir im Folgenden naher erlautern. 4.4.2.1 Gegebene Volatilitsten der Short Rates

Die Volatilitat der (logarithmierten) Short Rate ist v=[ln

rt I.Ft-l]= n ( l - n)(ln a t )2

1 4

2

= -(ln at) .

Aus der gegebenen Volatilitat der logarithmierten Short Rate in t kann somit der Parameter at berechnet werden. Gegeben al, . . . , c q - 1 ist der Baum der Short Rate eindeutig durch die (0) Short Rates r f ) ,r p ) , . . . , rT-l in den jeweils untersten Knoten des Baumes festgelegt. Diese sind so zu bestimmen, dass die modellendogene Zinsstruktur mit der modellexogen gegebenen Zinsstruktur in t = 0 ubereinstimmt. 4.4.2.2 Gegebene Volatilitaten der Kassazinsen in t = 1

Der diskrete Kassazins in t = 1 folgt aus den Bondpreisen mittels

Fur die Varianz der logarithmierten Kassazinsen aus Sicht von t = 0 erhalt man

1 2 = - [ln y j l ) ( ~-) ln y j O ) ( ~ ) ]. 4

4 Diskrete Zinsmodelle

82

Setzt man diesen Ausdruck gleich einem vorgegebenen Wert a 2 ( T )und nimmt aufierdem a.n, dass der Ka.ssazins im oberen Zustand grofier ist als im unteren, erhalt man fur den Zusammenhang zwischen den Kassazinsen in t = 1:

Aus der exogen gegebenen Zinsstruktur und aus den Volatilitaten der Kassazinsen in t = 1 ist nun der Baum der Short Rate zu entwickeln, d.h. es sind die (0) in den jeweils untersten Knoten des Baumes Short Rates r f ) , rp),. . . , r,-, der Short Rates zu berechnen. Der Aufbau und die Volatilitaten a , , . . . , a ~ - 1 des Baumes geschieht schrittweise mittels einer Vorwartsinduktion. Fur t = 0 ist der nachstfallige Anleihepreis Bo(1) gegeben. Gesucht ist der kurzfristige Zins r f ) , der sich leicht aus Bo(l) berechnen Iasst:

Eine Volatilitatsinformation ist hier naturgemafi nicht erforderlich. Gesucht sind die Short Rates in t = 1, die eindeutig durch rp) und a1 beschrieben sind. Die zur Verfiigung stehenden Informationen sind der Preis der nachstfalligen Anleihe Bo(2) und die Volatilitat des Kassazinses y1(2), die mit a(2) bezeichnet wird. Ferner ist aus dem ersten Schritt der kurzfristige Zins r f ) bekannt. Im ersten Schritt betrachtet man die risikoneutrale Bewertungsgleichung fur Bo(2) und setzt die Volatilitatsinformation ein:

Diese Gleichung 16st man nach yy'(2) auf. Mittels (4.11) erhalt man dann (2). Die Short Rate in t = 1 stimmt mit dem Kassazins in t = 2 fur eine Anlage bis T = 2 uberein, so dass

yil)

-

rp)

Gesucht sind die Short Rates in t = 2, wobei diese eindeutig durch und a 2 beschrieben sind. Als Information stehen wiederum der Preis der nachstfalligen Anleihe Bo(3) sowie die Volatilitat des Kassazinses a(3) zur Verfugung. Ferner ist der Baum der Short R.ate bis einschliefilich t = 1 bekannt .

4.4 Das Model1 von Black, Derman und Toy -

83

Im ersten Schritt wird analog zu oben die risikoneutrale Bewertungsgleichung fur Bo(3)in Verbindung mit der Volatilitatsinformation verwendet :

Diese Gleichung ist numerisch nach yl( 0 )(3) aufzuli5sen. Hieraus erhalt man dann weiter yi1)(3)und damit auch Bi1)(3)und ~ i O ' ( 3 ) . - Aus der risikoneutralen Bewertungsgleichung

0

erhalt man sowohl fur Bi1)(3)als auch fur Bp1(3)eine Gleichung in Abhangigkeit von den Short Rates bis einschliefilich t = 2. Die Short Rates bis einschliefllich t = 1 sind bekannt, die Short Rates in t = 2 sind eindeutig beschrieben durch d 0 ) ( 2 ) und a 2 . Damit hat man zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten, aus denen man r p ) und 0.2 erhalt. Aus diesen beiden Groflen folgen dann samtliche Short Rates in t = 2. Allgemein werden fur einen beliebigen Zeitpunkt t mit 1 5 t < T die zustandsabhangigen Short Rates gesucht, die durch rjO)und at eindeutig beschrieben sind. Der Baum der Short Rates ist bis einschliefilich t - 1 erstellt. Als weitere Informationen stehen der Anleihepreis Bo(t 1) und die Volatilitat u(t 1) zur Verfiigung. Im ersten Schritt werden die risikoneutrale Bewertungsgleichung fiir Bo(t 1 ) sowie die Volatilitatsinformation ausgewertet:

+

+

+

+

Hat man numerisch den Wert yp)(t 1 ) gefunden, der diese Gleichung erfiillt, erhalt man daraus yil)(t 1) und schliefllich die Anleihepreise BI1)( t 1) und B?)(t 1 ) .

+

+

+

4 Diskrete Zinsmodelle

84 -

Aus der risikoneutralen Bewertungsgleichung

BI~) +

BY)

erhalt man sowohl fiir (t 1 ) als auch fur (t+ 1 ) eine Gleichung in Abhangigkeit von den bekannten Short Rates ro, . . . ,rt-1 sowie von den Unbekannten riO)und at. Durch LGsen dieser Gleichungen erhalt man dann rfo) und at, woraus sich schliefilich sgmtliche Short Rates in t berechnen lassen. Es sei hier nochmals angemerkt, dass die Bestimmung der Short Rate r(O)(t) und des Parameters at im Regelfall die Losung eines nichtlinearen Gleichungssystems erfordert, die nur numerisch zu bewerkstelligen ist.

4.4.3 Beispiel Die Vorgehensweise bei der Kalibrierung des BDT-Modells sol1 nun anhand eines Beispiels verdeutlicht werden. Gegeben seien die folgenden Daten fur Diskontierungsfunktion und Volatilitatsstruktur:

Hieraus kann man nun schrittweise nach dem oben beschriebenen Verfahren den Baum der Short Rate aufbauen: 0

0

In t = 0 ist der Anleihepreis B o ( l ) mit 0.9090 gegeben, die Short Rate ro( 0 ) ergibt sich zu

Fiir t = 1 sind die Grol3en B o ( 2 ) = 0.8116 und 4 2 ) = 0.19 gegeben, der Baum ist fiir t = 0 bekannt. Die Short Rates in t = 1 sind durch r p ) und a1 bestimmt. Man erhalt im ersten Schritt aus der Beziehung

die Kassazinsen

ari0)(2)= 0.0979 y$1'(2) = 0.1432

4.4 Das Model1 von Black, Derman und Toy

85

und damit die zustandsabhangigen Anleihepreise

-

0

Die Short Rates stimmen in diesem Fall naturlich mit den Kassazinsen uberein:

Um die Knoten des Baumes fiir den Zeitpunkt t = 2 mit Werten zu belegen, benotigt man zusatzlich zum Baum bis einschliefilich t = 1 die Werte fur B o ( 3 ) und 4 3 ) . Diese sind mit Bo ( 3 ) = 0.7118 und 4 3 ) = 0.18 gegeben. - Wiederum werden im ersten Schritt die Kassazinsen in t = 1 bestimmt:

woraus

und damit auch

B P ' ( 3 ) = 0.8151 B i 1 ) ( 3 )= 0.7506 folgt . - Aus der risikoneutralen Bewertungsgleichung

erhalt man

und fiir B?) ( 3 )

Zusammen mit

4 Diskrete Zinsmodelle

86

folgt hieraus

und somit weiter

Fur t = 3 sind die Daten & ( 4 ) = 0.6234 und 4 4 ) = 0.17 gegeben, ferner ist der Baum nunmehr bis einschliefilich t = 2 bekannt. Aus

folgen die Kassazinsen

und damit auch die zustandsabhangigen Anleihepreise

-

Aus der risikoneutralen Bewertungsgleichung

erhiilt man fur B i 1 ) ( 4 )

und fur B p ' ( 4 )

4.5 Terminrisikoangepasste Bewertung

87

folgt dann

und weiter

Damit erhalt man den in Abbildung 4.19 dargestellten Baum fur die Short Rate. Zusammen mit den (einperiodigen) Martingalwahrscheinlichkeiten von n = 0.5 folgt der Baum der Diskontierungsfunktion aus Abbildung 4.20.

4.5 Terminrisikoangepasste Bewertung Zum Abschluss des Kapitels uber diskrete Zinsmodelle sol1 nun noch eine Bewertungstechnik dargestellt werden, die spater im Rahmen der Bewertung von Zinsderivaten in stetigen Modellen relevant sein wird, deren okonomischer Kern jedoch im Rahmen eines diskreten Modells leichter darstellbar ist. Weiterfiihrende Darstellungen dieser Bewertungstechnik findet man u.a. bei Sandmann (2001) und bei Madjlessi und Schlag (1996). Unter dem risikoneutralen Wahrscheinlichkeitsmafi sind die mit dem Geldmarktkonto normierten Preise Martingale. Nun kann man anstelle des Geldmarktkontos auch ein anderes Wertpapier oder Portfolio zur Normierung der Preise verwenden, sofern der Preis dieses Wertpapiers zu allen Zeitpunkten und in allen Zustanden streng positiv ist. Auch die mit diesem sogenannten Numeraire normierten Preise der Wertpapiere sind Martingale, allerdings in

88

4 Diskrete Zinsmodelle

Abbildung 4.19. Baum der Short Rate im Beispiel zum BDT-Model1

Abbildung 4.20. Baum der Diskontierungsfunktion im Beispiel zum BDT-Model1

der Regel nicht unter dem risikoneutralen Mafi (bei dem das Geldmarktkont o als Numeraire fungiert), sondern unter einem anderen EMM, das jeweils passend zum Numeraire zu wahlen ist. Besonders interessant ist im Zusam-

4.5 Terminrisikoangepasste Bewertung

89

menhang mit Zinsderivaten der Fall, in dem eine NKA als Numeraire gewahlt wird. Man spricht dann von terminrisikoangepasster Bewertung. Um anschlieBend die Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen den beiden Bewertungstechniken besser erortern zu konnen, soll zunachst die risikoneutrale Bewertung nochmals kurz zusammengefaBt werden. Unter dem risikoneutralen Ma0 gilt in jedem einperiodigen Teilmodell von t nach t 1

+

wobei E den Erwartungswert unter dem risikoneutralen Maa, pt den Preis eines Wertpapiers zum Zeitpunkt t und Bt den Stand des Geldmarktkontos in t bezeichnen. Analog gilt

Setzt man Gleichung (4.13) in Gleichung (4.12) ein, so erhalt man

wobei in der letzten Gleichung das Tower Law verwendet wurde. Sukzessives Wiederholen dieser Vorgehensweise ergibt schlieBlich nach Division durch Bt

Der mit dem Geldmarktkonto normierte Preis eines Wertpapiers ist also unter dem risikorleutraleri Ma0 ein Ma(rtinga.1. Gesucht ist nun das Bquivalente Martirigadrna.B, unter dem die rnit einer annahmegem5B in T* falligen NKA normierten Preise Martingale sind. Wie dieses Martingalrnafi bestirnmt wird, soll anhand des HL-Modells erklart werden. Wir greifen das einperiodige Teilmodell von t bis t 1 5 T* nach i Aufwartsbewegungen der Diskontierungsfunktion heraus. Die terminrisikoangepassten Wahrscheinlichkeiten qii) fiir eine Aufwiirtsbewegung und 1 - qji) fur eine Abwartsbewegung mussen die folgende Bedingung (mit s 2 t 1) erfiillen:

+

+

90

4 Diskrete Zinsmodelle

B~"(s)

(i)

&Z1)(s)

(i+ll (T*) + Bji' (T*) = qt Bt+l

BI?~

(s) ) B(i) (T*). t+ 1

(i)

- qt

Auflosen nach 9:') ergibt fur s # T*

Mit dieser Formel kann man fur jede Zeitpunkt und jeden Zustand im Baum die zugehorige terminrisikoangepasste Wahrscheinlichkeit bestimmen. Um den Zusammenhang zwischen dem risikoneutralen Ma0 und dem terminrisikoangepassten Mafl zu bestimmen, betrachten wir die Arrow-DebreuPreise aus Sicht von t fur eine Auf- und eine Abwartsbewegung in t 1. Wie in Abschnitt 3.1.5 erortert ist der Arrow-Debreu-Preis fur einen Zustand zu einem bestimmten Zeitpunkt der Preis eines Wertpapiers, das genau zu diesem Zeitpunkt und in genau diesem Zustand eine Zahlung von eins verbrieft, und ansonsten eine Zahlung von null verspricht. Der Arrow-Debreu-Preis fur eine Aufwartsbewegung von t nach t 1 ergibt sich unter dem risikoneutralen Ma0 als B i i ) ( t + l ) ( n . l + (1 - n) . o ) ,

+

+

und unter dem terminrisikoangepassten Ma0 erhalt man 1

~ g(T*) l ) + (1 - qii)) Setzt man die beiden Ausdrucke fur den Preis des Arrow-Debreu-Papiers gleich, so erhalt man

Analog erhalt man fur die terminrisikoangepasste Wahrscheinlichkeit einer Abwartsbewegung den Ausdruck 1-9, --

(i)

1-7r

-

B~:~(T*) (i) B, ( t f l ) . Bji' (T*)

Wir betrachten nun ein Beispiel zur terminrisikoangepassten Bewertung im HL-Modell. Gegeben ist der Baum des (kontinuierlichen) kurzfristigen risikolosen Zinses aus Abbildung 4.21. Die risikoneutrale Wahrscheinlichkeit fur eine Aufwartsbewegung sei 0.5. Gesucht ist die terminrisikoangepasste

4.5 Terminrisikoangepasste Bewertung

91

Abbildung 4.21. Baum der Short Rate

Wahrscheinlichkeit bei Verwendung der in T* = 4 falligen Anleihe als Numeraire. Hierzu benotigt man zunachst den Preis dieser Anleihe in jedem Knoten, bevor man die terminrisikoangepassten Wahrscheinlichkeiten nach der oben angebenen Formel errechnen kann. Es ergibt sich der Baum aus Abbildung 4.22 fur die Preise der in T* = 4 falligen NKA mit den zugehorigen terminrisikoangepassten Wahrscheinlichkeiten. Man beobachtet, dass im HL-Model1 die terminrisikoangepassten Martingalwahrscheinlichkeiten im Unterschied zu den risikoneutralen Martingalwahrscheinlichkeiten zeitabhangig, aber zustandsunabhangig sind. Die Zustandsunabhangigkeit lasst sich schnell *) erkennen, wenn man in Gleichung (4.15) den Anleihepreis B L ~ ~ ) ( T gemLl3 (4.1) durch den Ausdruck

B Z ~ ) (T*) h (T* - ( t + 1 ) ) (t + 1)

ersetzt. Es folgt qt =

"h (T*

-

(t + 1 ) ),

d.h. die terminrisikoangepasste Wahrscheinlichkeit ist gleich der risikoneutralen Wahrscheinlichkeit multipliziert mit der Storfunktion h fur die entsprechende Falligkeit. In diesem Baum kann man nun Derivate bewerten. Berechnet man beispielhaft den Wert der in t = 3 falligen Anleihe, so erhalt man fur den Falligkeitszeitpunkt naturlich zunachst

92

4 Diskrete Zinsmodelle

Abbildung 4.22. Terminrisikoangepasste Wahrscheinlichkeiten

F u r den Zeitpunkt t = 2 ergeben sich folgende Werte:

sowie

und

Die weitere Riickwartsrechnung ergibt fur t = 1

4.5 Terminrisikoangepasste Bewertung

93

und schliei3lich fiir t = 0

Dies ist naturlich der gleiche Anleihepreis, den man auch mittels risikoneutraler Bewertung erhalten wurde. Die wesentlichen Eigenschaften der terminrisikoangepassten Bewertung sollen nun nochmals zusammengefasst werden: 0

0

Unter dem t,ermiarisikoangepassten Mai3 ist der mit dem Preis der in T* falligen Anleihe normierte Preis eines beliebigen gehandelten Wertpapiers oder Portfolios S ein Martingal, d.h. es gilt die folgende Bewertungsbeziehung

Hierbei bezeichnet Q ~ das * terrninrisikoa.~igepassteMai3 mit der in T* falligen NKA als Numeraire. Wahlt man speziell u = T*, so erhalt man

bzw.

0

Die obige Bewertungsbeziehung hat eine anschauliche okonomische Bedeutung. So bezeichnet

gerade den Forwardpreis in t des in T* falligen Forwards auf das Wert* papier S. Damit sind linter dem terminrisikoangepassten Ma8 Q ~ die Forwardpreise mit Lieferzeitpunkt T* Martingale. Unter dem risikoneutralen Ma.fi sind dagegen Futurespreise (mit, beliebigem Falligkeitszeitpunkt) Martingale.

4 Diskrete Zinsmodelle

94 0

Analog zur risikoneutralen Bewertung gelten die folgenden Aussagen: Da.s terminrisikoangepasste MartingalmaB existiert genau dann, wenn der Markt arbitragefrei ist. - 1st der Markt arbitragefrei, so ist das terminrisikoangepasste MartingalmaB genau dann eindeutig, wenn der Markt dynamisch vollstandig ist. -

Um eine (duplizierbare) Zahlung in T zu bewerten, gibt es nun mehrere Moglichkeiten: 0 0 0

0

Duplikation, risikoneutrale Bewertung, terminrisikonangepasste Bewertung mit dem in T falligen Bond als Numeraire, martingalbasierte Bewertung mit einem beliebigen Numeraire.

Alle diese Bewertungstechniken fuhren zum gleichen Ergebnis. Welche man verwendet, ist letztendlich Geschmackssache, kann aber u.U. erhebliche Auswirkungen auf den Rechenaufwand haben. Tendenziell kann man folgendes sagen:

0

Die risikoneutrale Bewertung ist oft besser geeignet bei Derivaten, die wie Futureskontrakte Settlement-Zahlungen aufweisen. Die terminrisikoangepasste Bewertung mit dem in T falligen Bond als Numeraire ist oft besser geeignet fur Derivate, die nur in T eine Zahlung aufweisen.

4.6 Aufgaben

95

4.6 Aufgaben 1. Es gelte das HL-Model1 mit den Daten .rr = 0.5, S = 0.90 sowie Bo(T) = exp(-0.1 T) fur T = 0,1,2,3,4. a) Bestimmen Sie den Baum der Diskontierungsfunktion. b) Bestimmen Sie den Baum des kurzfristigen (kontinuierlichen) Zinses. c) Berechnen Sie die Preise der in den vorangegangenen Beispielen betrachteten Derivate. d) Berechnen Sie ausgehend vom Baum des kurzfristigen kontinuierlichen Zinses die Zinsstruktur in t = 0, und iiberzeugen Sie sich, dass das HL-Model1 tatsachlich zinsstrukturkonform ist. Wie wird die ZinsstrukturkonformitM erreicht? 2. Es gelte das HL-Modell. Gegeben sei der Baum des kurzfristigen (kontinuierlichen) Zinses aus Abbildung 4.23. Ferner gelte .rr = 0.5.

/

= 0.0100

> > TI"

r p ) = 0.1600

/ ril) = 0.0200 r p = 0.1000

r g ) = 0.1100

Lr?'

= 0.1200

T?'

Lrp' t=O

t = l

t=2

= 0.2600

=

t=3

Abbildung 4.23. Baum der kurzfristigen Zinsen im HL-Model1 (Aufgabe 2)

a) Berechnen Sie die Diskontierungsfunktion in t = 0. b) Wie groa ist der Parameter S? 3. Es gelte das HL-Modell. a) Betrachten Sie ein Derivat, das in t die Differenz zwischen dem Kassazins fur eine 10-periodige Anlage und dem Kassazins fur eine einperiodige Anleihe zahlt, falls diese positiv ist, und null sonst. Die Auszahlung dieser Option in t lautet also

96

4.

4 Diskrete Zinsmodelle

Nehmen Sie Stellung zu folgender Aussage: ,,Man weii3 bereits in t = 0, ob man die Option ausuben wird oder nicht." b) Gegeben sei eine amerikanische Calloption auf eine NKA. Konnen Sie eine vorzeitige Ausubung ausschliefien? Warum? c) Im HL-Model1 konnen negative Zinsen auftreten. Dies stellt solange kein (modellendogenes) Problem dar, wie man Kassenhaltung ausschlieat. Warum? Sind die folgenden Aussagen im Rahmen des HL-Modells wahr oder falsch? Begrunden Sie Ihre Entscheidung! a ) Da das Model1 pfadunabhangig ist, konnen in ihm keine pfadabhangigen Derivate bewertet werden. b) Die Storfunktion gibt an, wie die moglichen Anleihepreise in t 1 von den in t berechneten Forwardpreisen fur Lieferung in t 1 abweichen. c) Es gilt n E ( 0 , l ) . d) Das Model1 ist arbitragefrei. e) Es gilt 6 E (0, 11. f) Die (kontinuierlichen) Kassazinsen sind lokal perfekt korreliert. g) Da das Model1 zinsstrukturkonform ist, stimmen die zukiinftigen Kassazinsen mit den heute fur die zukunftigen Zeitpunkte bestimmten Forwardzinsen iiberein. Gegeben ist der Baum der Short Rate im BDT-Model1 aus Abbildung 4.24. a) Berechnen Sie die Parameter at. b) Bestimmen Sie die anfangliche Diskontierungsfunktion und die Volatilitatsstruktur. Warum ,,fehltGbei den Eingangsinformationen fur das Model1 von BDT der Parameter a(l)? Warum ist die terminrisikoangepasste Wahrscheinlichkeit in Gleichung (4.14) unabhangig von s? (Keine Rechnung, sondern okonomische Begriindung!) Im Beispiel waren in der letzten Periode vor Falligkeit der normierenden Anleihe (von t = 3 bis t = 4) die risikoneutralen und die terminrisikoangepassten Wahrscheinlichkeiten gleich hoch. Gilt dies immer? Warum? Beweisen Sie die folgende Formel fur den Preis C t ( X , TI, T2) einer Calloption:

+

5.

6.

7. 8.

9.

+

ist die Indikatorfunktion des Ereignisses BTl (TZ) > X , d.h. 1, falls BTl (T2) > X , und null sonst. Interpretieren Sie die beiden auftretenden Erwartungswerte. lBT1(T2)>X

lBT,(TZ)>X =

4.6 Aufgaben

97

Abbildung 4.24. Baum der Short Rate im BDT-Model1 (Aufgabe 5)

10. Der LIBORin t fur die Anlage von t bis TIist definiert uber

1

Bt(T1) = 1 + Lt(t,T1)(T1 -t). Der Forward-LIBORin t fur die Anlage von TIbis T2ist definiert uber

Zeigen Sie, dass der Forward-LIBORfur die Anlage von TI bis T2unter dem terrninrisikoangepassterl Ma,O rnit cler in T2falligen NKA als Numeraire ein Martingal ist.

98

4 Diskrete Zinsmodelle

4.7 Losungshinweise 1. a) Baum der Diskontierungsfunktion: vgl. Abbildung 4.25

Abbildung 4.25. Baum der Diskontierungsfunktion im HL-Model1 (Aufgabe 1)

b) Baum der Short Rate: vgl. Abbildung 4.26 c) Bewertung von Derivaten: Europaischer Call, fallig in TI = 2, auf die in T2 = 4 fallige NKA mit Basispreis 0.80: Ct(0.80,2,4) = 0.0439 Europaischer Put, fallig in TI = 2, auf die in T2 = 4 fallige NKA mit Basispreis 0.80: Poe(0.80,2,4) = 0.0286 Amerikanischer Call, fallig in Tl = 2, auf die in T2 = 4 fallige NKA mit Basispreis 0.80: C$(0.80,2,4) = 0.0453 Amerikanischer Put, fallig in TI = 2, auf die in T2 = 4 fallige NKA mit Basispreis 0.80: P$(0.80,2,4) = 0.1297 Futurespreis der in T2 = 4 falligen NKA bei Fallgkeit des Futures in Tl = 2: Ho(2,4) = 0.8142 Forwardpreis der in T2 = 4 falligen NKA bei Fallgkeit des Forward in TI = 2: Go(2,4) = 0.8187 Cap mit Zahlungszeitpunkten t = 1 , 2 , 3 und diskreter Strike Rate 0.11: Caplet fur t = l : 0.0000 Caplet fur t=2: 0.0221 Caplet fur t=3: 0.0201 + Wert des Caps: 0.0422

4.7 Losungshinweise

,

99

~ ( ~ ' (=3 -0.0456 )

, > > /

Tp'

= 0.0002

~ ( " ( 3 )= 0.0598

r!" = 0.0487

rr' = O.~OOO

T:"

l T?' = 0.1541

= 0.1055

>

~ ( " ( 3= ) 0.1651

TP' = 0.2109

~"'(3= ) 0.2705 t=O

t=l

t=2

t=3

Abbildung 4.26. Baum der kurzfristigen Zinsen im HL-Model1 (Aufgabe 1 )

2. a) b) 3. a)

b) c) 4. a) b) c) d) e) f) g) 5. a)

Floor mit Zahlungszeitpunkten t = 1 , 2 , 3und diskreter Strike Rate 0.10: Floorlet fur t = 1: 0.0000 Floorlet fur t = 2: 0.0216 Floorlet fur t = 3: 0.0215 + Wert des Floors: 0.0431 Baum der Diskontierungsfunktion: vgl. Abbildung 4.27 6 = 0.9048 Die Aussage ist richtig. Die Kassazinsstrukturen in benachbarten Knoten sind parallel verschoben, d.h. ihre Steigung ist unabhangig von i. Ein Derivat, das nur von der Steigung abhangt, hat damit eine deterministische Auszahlung. Nein. Im HL-Model1 konnen die Zinsen negativ sein. Eine vorzeitige Ausubung konnte somit optimal sein. Falls Kassenhaltung zulassig ist, gibt es bei negativen Zinsen Arbitragemijglichkeiten (welche?). n sich, wie man bei pfadabhangigen Derivaten Falsch. ~ b e r l e ~ eSie vorgehen wurde. Richtig. Richtig. Richtig. Richtig. Richtig. Falsch. Parameter a

100

4 Diskrete Zinsmodelle

Abbildung 4.27. Baum der Diskontierungsfunktion im HL-Model1 (Aufgabe 2)

b) Baum der Diskontierungsfunktion: vgl. Abbildung 4.28 Volatilitat der logarithmierten Kassazinsen in t = 1:

1 n(2)2 = - (ln 0.0840 - ln 0.0700)~ = 0.0083 4

4.7 Losungshinweise

101

1 ~ ( 3 =) -~ (ln 0.0730 - 1n 0.0543)~ = 0.0219 4 a(3) = 0.1480

1 0 ( 4 ) ~= - (ln 0.1184 - 1n 0.0725)~ = 0.0602 4 =+ u(4) = 0.2454

Abbildung 4.28. Baum der Diskontierungsfunktion im BDT-Model1 (Aufgabe 5)

102

4 Diskrete Zinsmodelle

Anfangliche Diskontierungsfunktion: Bo(1) = 0.9009, Bo(2) = 0.8365, Bo(3) = 0.7964, Bo(4) = 0.6872 0 Volatilitatsstruktur der Kassazinsen in t = 1: a(2) = 0.0912, a(3) = 0.1480, 4 4 ) = 0.2454 In t = 1 sind die Anleihepreise rnit Falligkeit in T = 2 , 3 , . . . unsicher, dementsprechend wird 4 2 ) , a(3), . . . angegeben. Die Anleihe rnit Falligkeit in T = 1 hat in t = 1 einen sicheren Preis von eins. Die Unabhangigkeit von s (bzw. allgemein vom betrachteten Wertpapier) kann als Arbitragefreiheitsbedingung interpretiert werden. Warum? Anmerkung: Bei der Herleitung des HL-Modells haben wir das risikoneutrale MaB vorgegeben. Die Bedingung, daB dieses Ma0 alle rnit dem Geldmarktkonto normierten Preise zu Martingalen macht, wurde fur die Herleitung der Storfunktion verwendet. Auch dies wurde als Arbitragefreiheitsbedingung bezeichnet. ~ b e die r letzte Periode der Laufzeit einer NKA ist ihre Rendite gleich der Wertentwicklung des Geldmarktkontos. Gleichung (4.15) zeigt, dass die beiden Wahrscheinlichkeiten gleich sind. Zahlung des Calls in T I : 0

6.

7.

8,

9.

Der Wert der ersten Zahlung wird mittels der terminrisikoangepassten Bewertung rnit der in T2 falligen NKA als Numeraire bestimmt:

Dies ist gerade der aktuelle Wert des Underlyings, multipliziert rnit der Wahrscheinlichkeit, dass der Call bei Falligkeit ausgeiibt wird, wobei die Wahrscheinlichkeitunter dem terminrisikoangepassten Mafi rnit der in T2 falligen NKA als Numeraire berechnet wird . Der Wert der zweiten Zahlung wird mittels der terminrisikoangepassten Bewertung rnit der in TI falligen NKA als Numeraire bestimmt:

Dies ist gerade der Barwert des Basispreises, multipliziert rnit der Wahrscheinlichkeit, dass der Call bei Falligkeit ausgeiibt wird, wobei die Wahrscheinlichkeit unter dem terminrisikoangepassten Mafi rnit der in TI falligen NKA als Numeraire berechnet wird. Weiterfuhrende Frage: Wie lautet die analoge Interpretation der Formel von Black und Scholes (1973)? 10. Unter dem terminrisikoangepassten Mafi rnit der in T2 falligen NKA als Numeraire gilt fur die in TI fallige NKA:

4.7 Losungshinweise

103

Einsetzen der Definition fiir den Forward-LIBORergibt

und daraus folgt

Diese Tatsache wird in Abschnitt 6.3 bei der Analyse von LIBOR-Modellen relevant werden.

Bewertung in stetiger Zeit

In den Kapiteln 3 und 4 hatten wir Modelle in diskreter Zeit betrachtet, in denen nur zu fest vorgegebenen Zeitpunkten 0 = to, t l , . . . , t, = T gehandelt werden kann und in denen es nur endlich viele Umweltzustande gibt. Diese Modelle konnen im Regelfall in einem Baum dargestellt werden. Von nun an befassen wir uns mit Modellen, in denen zu jedem Zeitpunkt aus dem Interval1 [0,TI gehandelt werden kann und in denen es unendlich viele Umweltzustande gibt. Die Veranschaulichung in einem Baum ist fur diese Modelle nicht mehr moglich. Hier benotigen wir explizit Konzepte aus der stochastischen Analysis, die im Folgenden eingefiihrt werdenl. Wesentliche Begriffe und Konzepte sind dabei Wiener Prozesse (statt der Auf- und Abwartsbewegungen im Baum), stochastische Prozesse (um Preise zu beschreiben, die nicht mehr durch ,,Beschriften der Knoten im Baum" angegeben werden konnen) sowie stochastische Integrale und Rechenregeln fur stochastische Prozesse. Nach der Einfuhrung der Begriffe erortern wir die Bewertung von Derivaten. Auch hier ist die Grundidee die Duplikation: 1st es moglich, ein Derivat aus den bereits gehandelten Basiswertpapieren zu duplizieren, so muss der Preis des Derivats mit dem Preis des Duplikationsportfolios ubereinstimmen. Dies fuhrt zum einen auf die martingalorientierte Bewertungstechnik. Unter dem EMM sind die normierten Preise der Wertpapiere Martingale, und der (normierte) Preis eines duplizierbaren Derivats kann als Erwartungswert der normierten Zahlungen berechnet werden. Im Mittelpunkt der Darstellung wird im Folgenden stehen, wie das EMM und hier speziell das RNM in einem stetigen Model1 bestimmt werden konnen. Zum anderen kann man unter bestimmten Voraussetzungen eine partielle Differentialgleichung herleiten, die die Preise aller gehandelten Wertpapiere erfullen mussen. Zusammen mit den Zahlungen eines Derivats erhalt man dann als Losling dieser Differentialgleichung den Preis(prozess) des Derivats. Der Herleitung liegt wiederum das ' ~ u c hirn diskreten Model1 hatten wir bereits mit Konzepten aus der stochastischen Analysis gearbeitet, jedoch auf einem eher intuitiven Niveau.

106

5 Bewertung in stetiger Zeit

Law of One Price zugrunde. Gleiche Risiken mussen den gleichen Preis haben, oder anders ausgedruckt: Der Marktpreis des Risikos ist unabhangig vom betrachteten Derivat. Die Darstellung in diesem Kapitel soll die Intuition der Modelle vermitteln. Ein formaler Beweis der Aussagen wird nicht gefuhrt, ebenso wird auf die uberPriifung technischer Bedingungen verzichtet, die z.B. erfullt sein mussen, damit stochastische Differentialgleichungen uberhaupt Losungen haben. Nahere Ausfuhrungen zu den hier vorgestellten Konzepten findet man z.B. bei Baxter und Rennie (1996), Bingham und Kiesel (1998) oder bei Neftci (2002).

5.1 Modellokonomie Der Aufbau der Modellokonomie ist strukturell demjenigen des mehrperiodigen diskreten Modells ahnlich. Der Handel mit Wertpapieren ist im Interval1 [0, T] kontinuierlich moglich. Die Unsicherheit wird im Model1 wie folgt abgebildet: Der Zustand in T ist unsicher. Es tritt genau ein Zustand aus der Menge R ein, die nun im Gegensatz zu einem typischen diskreten Model1 unendlich viele Elemente enthalt. Die Auflosung der Unsicherheit im Zeitablauf wird durch eine Filtration IF = {.Tt)Ost5~beschrieben. Jedes einzelne Ft ist dabei eine 8-Algebra uber 0, welche den Informationsstand zum Zeitpunkt t beschreibt. - Die Information nimmt im Zeitablauf zu. Fur t 5 s gilt somit Ft Cs. Fur die L 1 Basiswertpapiere (L < m) sind die heutigen Preise und die Preisentwicklung bis einschliefllich T gegeben. Die Zufallsvariable s,(')(u) (1 = 0 , . . . , L) bezeichne den Preis von Wertpapier I zum Zeitpunkt t in muss Ft-rnefibar sein, d.h. der Preis in Zustand w . Die Zufallsvariable s,(') t eines Wertpapiers soll in t auch bekannt sein, gegeben die in t verfugbare 1nformation2. Weitere technische Bedingungen betreffen 2.B. die Natur der zulassigen Handelsstrategien. Diese Bedingungen sind jedoch fur ein grundlegendes Verstandnis der Funktionsweise kontinuierlicher Modelle nicht erforderlich und werden daher nicht weiter erortert. Der interessierte Leser sei 2.B. auf die Darstellung in Duffie (2001) verwiesen.

+

0

5.2 Grundlagen der stochastischen Analysis Ein diskretes Model1 kann durch einen Baum beschrieben werden, der die Entwicklung der Unsicherheit im Zeitablauf abbildet. Zusatzlich benotigt man 2 ~ a sagt n auch, der stochastische Prozess { S , ( ' ) ) ~
5.2 Grundlagen der stochastischen Analysis

107

die Preise der Basiswertpapiere, die vom aktuellen Zustand und damit vom gerade betrachteten Knoten im Baum abhangen. In einem stetigen Model1 wird die Entwicklung der Unsicherheit im Zeitablauf im einfachsten Fall durch Wiener Prozesse abgebildet, die weiter unten naher beschrieben werden. Die Preise der Basiswertpapiere, die von den Wiener Prozessen abhangen, werden mit Hilfe von stochastischen Differentia.lg1eichungen modelliert. Die hierfur notwendigen Grundlagen sollen im Folgenden dargestellt werden.

5.2.1 Stochastische Prozesse Die Entwicklung okonomischer Groaen wie Aktienkurse, Arileihepreise oder Zinssatze kann als stochastischer Prozess in stetiger Zeit modelliert werden. Zur Einfuhrung in die Thematik betrachten wir in diesem Kapitel zunachst Aktienkurse, da hier die speziell bei Anleihen auftretenden Modellierungsbesonderheiten keine Rolle spielen und die Darstellung somit etwas einfacher gehalten werden kann. In Kapitel 6 erfolgt dann die Anwendung dieser Theorie auf zeitstetige Zinsmodelle. Ein (univariater) stochastischer Prozess X = {X(t,w) It E T, w E 0) ist eine Abbildung X : T x 0 -+ R, die jedem Zeitpunkt t E T und jedem Elementarereignis w E 0 eine reelle Zahl zuordnet. Ein stochastischer Prozess kann auf zweierlei Art interpretiert werden: als eine Abbildung von w auf einen moglichen Pfad {X(t,w)lt E T), bei der jedem w eine Aktienkursentwicklung zugeordnet wird, oder als 0

eine Abbildung von t auf die Zufallsvariable { X ( t ,w)lw E 01, wobei diese Zufallsvariable den stochastischen Aktienkurs zum Zeitpunkt t in Abhangigkeit des Umweltzustandes beschreibt. Diese Zufallsvariable schreiben wir im Folgenden als X t .

5.2.2 Wiener Prozesse, stochastische Differentialgleichungen und stochastische Integrale In den hier betrachteten zeitstetigen Modellen wird die Unsicherheit durch einen oder mehrere Wiener Prozesse beschrieben. Die Entwicklung des Aktienkurses (oder allgemeiner eines stochastischen Prozesses) uber die Zeit wird durch eine stochastische Differentialgleichung reprasentiert, welche die ~ n d e rung des Aktienkurses in Beziehung zu Anderungen des Wiener Prozesses setzt. Ein Wiener Prozess W ist durch folgende Eigenschaften charakterisiert: 0

wo=o. Die Inkremente Wtl - Wto,.. . , Wtn-l - Wtn-?,Wtn - WtnTl sind stochastisch unabhangig fur to < t l < . . . < t,-l < t,.

108 0

0

5 Bewertung in stetiger Zeit

W, - Wt ist fur s - t.

t < s normalverteilt mit Erwartungswert 0 und Varianz

Die Pfade des Wiener Prozesses sind fast sicher stetig.

Man fuhrt nun das Verhalten der stochastischen Prozesse uber die Zeit auf das Verhalten der Wiener Prozesse im Zeitablauf zuruck. Als Ausgangspunkt sei zunachst ein Model1 ohne stochastische Komponente betrachtet. Hier ist der Wertpapierpreis St eine deterministische Funktion der Zeit. In einem zeitdiskreten Model1 wird die Anderung uber die Zeit durch

angegeben mit &+at

= %+at - St.

In einem zeitstetigen Model1 dagegen wird die ~ n d e r u nuber ~ die Zeit in Form einer ~ifferentialgleichung~

beschrieben. Bei Unsicherheit kommt zu der deterministischen Entwicklung uber das nachste Zeitintervall noch eine stochastische Komponente hinzu. In ~ die Zeit dann beschrieben einem zeitdiskreten Model1 kann die ~ n d e r u niiber werden durch = a(St, t)At

+ stochastische Komponente.

~ die Zeit durch In einem zeitstetigen Model1 kann die ~ n d e r u nuber

~ Wiener Prozesses W uber das modelliert werden, wobei die ~ n d e r u ndes betrachtete Zeitintervall die stochastische Komponente erfasst. Zur Veranschaulichung kann man diese Gleichung diskret schreiben:

oder kurzer als

Die ~ n d e r u nbesteht ~ damit aus einem deterministischen Teil (beschrieben durch At und den ,,SkalierungsfaktorUa(St, t ) )und einem stochastischen Teil (beschrieben durch A W und den ,,Skalierungsfaktor" b(St, t ) ). Die Skalierungsfaktoren konnen nicht nur vom aktuellen Aktienkurs und vom aktuellen 3 ~ i gehen r im Folgenden immer davon aus, dass die fur die betrachteten Gleichungen notwendigen technischen Bedingungen erfullt sind.

5.2 Grundlagen der stochastischen Analysis

109

Zeitpunkt, sondern im allgemeinen Fall auch von der gesamten Historie aller Variablen des Modells bis t abhangen. Die Gleichung dSt = a(&, t)dt b(St , t)dWt ,

+

die man intuitiv als Grenzwert von (5.1) fur At - - 0 auffassen kann, bezeichnet man auch als stochastische Differentialgleichung (kurz ,,SDEU,als Abkurzung des englischen Begriffs ,,stochastic differential equation"). Sie ist eine Kurzschreibweise fur die Darstellung mittels stochastischer Integrale

Die Diskretisierung dieses Integrals mit Schrittweite At lautet

Im Folgenden werden wir anstelle des stochastischen Integrals meist die SDE verwenden. Anschaulich gesprochen beschreibt sie das Verhalten des stochastischen Prozesses, also z.B. des Aktienkurses, uber ein irifinitesimales Zeitintervall dt, das in einem stetigen Model1 das ,,kleinste betrachtete Zeitintervall" darstellt. Die beschriebenen Konzepte sollen nun mittels zweier Beispiele verdeutlicht werden. Wir beginnen mit der arithmetischen Brownschen Bewegung. Sie wird durch die SDE dSt = pdt adWt

+

mit p , a E

IR beschrieben. Die diskrete Approximation lautet hier

Hieraus erhalt man n

= So

+ p nAt + a(Wnnt - Wo)

110

5 Bewertung in stetiger Zeit

Man beachte, dass dieses Ergebnis unabhangig von der Diskretisierungsschrittweite A t gilt. Die Losung der SDE lautet somit

Hieraus lassen sich wichtige Eigenschaften der arithmetischen Brownschen Bewegung ableiten: 0

St ist normalverteilt mit Erwartungswert So + pt und Varianz a 2 t . St nimmt mit positiver Wahrscheinlichkeit negative Werte an. Absolute ~ n d e r u n ~ evon n St sind unabhangig von dem aktuellen Stand des Prozesses. Beispielsweise ist damit eine ~ n d e r u nvon ~ +1 bei einem Aktienkurs von 10 genauso wahrscheinlich wie bei einem Aktienkurs von 100.

Als Fazit lafit sich festhalten, dass die arithmetische Brownsche Bewegung zur Modellierung von Aktienkursen nicht geeignet erscheint. Sie wird aber in einigen populare Modellen zur Beschreibung des stochastischen Verhaltens von Zinssatzen benutzt, wie spater gezeigt wird. Das zweite Beispiel ist die geometrische Brownsche Bewegung. Diese wird beispielsweise im Model1 von Black und Scholes (1973) fur den Aktienkurs angenommen. Die zugehorige SDE lautet

Hierbei bezeichnet man p als Driftrate und a als Volatilitat. Die Losung dieser SDE lautet 1 st= s o e q { ( p - 5g2) t a ~ ~ } .

+

Um dieses Ergebnis herzuleiten und um nachzuweisen, dass St tatsachlich die obige SDE erfiillt, benotigt man It& Lemma, das weiter unten vorgestellt wird. Die wichtigsten Eigenschaften der geometrischen Brownschen Bewegung sind: 0 0

Der Aktienkurs St ist lognormalverteilt und fur So> 0 immer positiv. Die absolute Aktienkursanderung ist abhangig vom aktuellen Niveau des Prozesses, die relative dagegen nicht. Beispielsweise ist damit eine ~ n d e rung um 1%bei einem Aktienkurs von 10 genauso wahrscheinlich wie bei einem Aktienkurs von 100.

Vor allem die erste Eigenschaft macht die geometrische Brownsche Bewegung zu einem attraktiven Model1 fiir die Beschreibung des zufalligen Verhaltens von Aktienkursen.

5.2 Grundlagen der stochastischen Analysis

111

5.2.3 Itbs Lemma

Mit Hilfe von SDEs bzw. stochastischen Integralen kann man einen stochastischen Prozess beschreiben. Wendet man auf einen solchen Prozess eine Funktion g an, so erhalt man einen neuen stochastischen Prozess. Auch dieser kann mit Hilfe einer SDE beschrieben werden. Wie dies moglich ist, zeigt It& Lemma. Bevor wir uns im Detail mit It6s Lemma auseinander setzen, sol1 kurz angedeutet werden, warum die Bestimmung der SDE fur die Funktion g ein wichtiges Problem darstellt. So ist der Preis eines Derivats im Allgemeinen eine Funktion der Zeit und des aktuellen Wertes des Underlyings. Von Interesse ist dann, wie sich der Preis des Derivats iiber die Zeit verhalt. Diese Frage werden wir bei der Herleitung der fundamentalen partiellen Differentialgleichung in Abschnitt 5.4 untersuchen. Des weiteren ist ein Anleihepreis beispielsweise eine Funktion des zugehorigen Kassazinses. Hat man das Verhalten des Kassazinses iiber die Zeit beschrieben, so mochte man auch das Verhalten des Anleihepreises angegeben konnen. Fragestellungen dieser Art sind z.B. im Model1 von Heath, Jarrow und Morton (1992) relevant. Ferner kann man mit Hilfe von It& Lemma z.B. uberprufen, ob ein bestimmter Prozess - wie z.B. der oben fur St angegebene - eine vorgegebene SDE lost. Gegeben seien n stochastische Prozesse ~ ( l ). .,. , x("), wobei der i-te Prozess (i = 1,. . . , n) durch die SDE

die unabhangigen Kombeschrieben sei. Hierbei reprasentieren ~ ( l ). . ,. , w(*) ponenten eines d-dimensionalen Wiener Prozesses. dij) (i = 1 , . . . , n;j = 1,.. . , d) stellt die Sensitivitat von Wertpapier i bezuglich des j-ten Wiener Prozesses dar. Wir kommen nun zum konkreten Inhalt von It& Lemma. Sei g eine Funktion der Zeit t und der Variablen x(l), . . . , x ( ~ )wobei , g nach der Zeit einfach und nach den Variablen x ( ~ (i ) = 1,. . . , n) zweifach stetig differenzierbar sei. Dann gilt fur das stochastische Differential dg der Funktion g

Diese Gleichung kann man auch schreiben als

112

5 Bewertung in stetiger Zeit

wobei man den letzten Term aus der ,,DaumenregelK

dW,(i)dW,(j) =

dt fur i = j 0 fur i # j

erhalt . It& Lemma sol1 nun fur einen Prozess X , der von einem Wiener Prozess W getrieben wird, veranschaulicht werden. Sei hierzu

und sei g eine Funktion von t und x. Nach It& Lemma gilt dann:

Dies ergibt sich heuristisch aus einer Taylorreihenentwicklung von g:

+-2

-(nt12 + 2 dt2

3 .xt+,,at + a 2 9 (AX,+,, dxdt

+..., wobei die Ableitungen an der Stelle (Xt, t) ausgewertet werden. Fur die einzelnen Terme erhalt man naherungsweise

Mit den Beziehungen

5.3 Risikoneutrale Bewertung

113

erhalt man approximativ

+

~ ( X , + A ,t , At) - g(Xt, t)

und mit At

+ dt

=g

~

dg + -dx tA x t + ~ t

schliefilich

5.3 Risikoneutrale Bewert ung Nachdem nun die notwendigen Konzepte eingefuhrt sind, soll ein stetiges Modell, beginnend beim Modellaufbau bis hin zur Bewertung von Derivaten, dargestellt werden. Startpunkt ist dabei die Technik der risikoneutralen Bewertung, wobei wir uns an den bereits aus dem diskreten Model1 bekannten okonomischen Argumenten orientieren. Das Vorgehen in einem diskreten Model1 soll als Ausgangspunkt der Darstellung fur stetige Modelle dienen. Die zentralen Schritte in einem diskreten Model1 wurden bereits in Kapitel 3 erortert und werden hier zur Erinnerung noch einmal aufgefuhrt: Schritt 1: Beschreibung des Modells unter dem wahren Wahrscheinlichkeitsmafi P (a) Aufbau des Baumes (Beschreibung der Unsicherheit, d.h. des Zustandsraumes R und der Filtration F) (b) Angabe der zeit- und zustandsabhangigen Preise der Basiswertpapiere Schritt 2: Bestimmung des risikoneutralen Mafies Q, unter dem die mit dem Geldmarktkonto B normierten Preise der Basiswertpapiere Martingale sind. Die Basiswertpapiere mussen also die folgende Gleichung erfiillen:

Schritt 3: Bewertung von Derivaten im Model1 mittels der risikoneutralen Bewertungsgleichung

wobei C den Preis eines Wertpapiers (Basiswertpapier oder Contingent Claim) bezeichnet. Hierbei und im Folgenden sei vereinfachend angenommen, dass die Wertpapiere keine zwischenzeitlichen Zahlungen leisten und dass der Markt vollstandig ist. Diese Vorgehensweise soll nun auf ein stetiges Model1 ubertragen werden:

114 a

0 0

5 Bewertung in stetiger Zeit

Schritt 1: Beschreibung des Modells unter dern wahren WahrscheinlichkeitsmaB (a) Die Unsicherheit wird im Model1 durch einen ein- oder mehrdimensionalen Wiener Prozess erfasst. (b) Angabe der zeit- und zustandsabhangigen Preise der Basiswertpapiere. Dies geschieht durch Angabe der stochastischen Differentialgleichungen fiir die Preise der Basiswertpapiere. Zur Vereinfachung betrachten wir im Folgenden ein Modell, in dern die Unsicherheit durch nur einen Wiener Prozess beschrieben wird und in dern die Dynamik des Aktienkurses durch die folgende SDE reprasentiert wird:

Der Einfachheit halber nehmen wir konstante Koeffizienten ps und us an. Neben einer Investition in die Aktie ist es auch moglich, Geld lokal risikolos zum kurzfristigen Zins rt anzulegen oder aufzunehmen, der ebenfalls aus Vereinfachungsgriinden als sicher angenommen wird. Schritt 2: Bestimmung des risikoneutralen MaBes Q Schritt 3: Bewertung von Derivaten

Die Schritte 2 und 3 werden nunmehr im Detail erortert.

5.3.1 Bestimmung des risikoneutralen MaBes Gesucht ist das risikoneutrale MaB Q, unter dern die mit dern Geldmarktkonto normierten Preise aller Wertpapiere Martingale sind. Hierzu bestimmt man zunachst das Verhalten der normierten Preise unter dern gegebenen Ma0 P. Anschliei3end wird der MaBwechsel abgeleitet. Das Geldmarktkonto ist definiert als das Ergebnis der rollierenden Anlage einer Geldeinheit zum jeweils giiltigen kurzfristigen Zins. Die Short Rate in t ist r t , so dass man fiir das Geldmarktkonto die Differentialgleichung

erhalt, woraus mit der Anfangsbedingung Bo = 1

folgt. Der mit dern Geldmarktkonto normierte Preisprozess Zt ist gegeben durch

Das Verhalten des normierten Preises erhalt man mittels Itas Lemma:

5.3 Risikoneutrale Bewertung

115

Einsetzen der Ableitungen und der Dynamik fur S und B ergibt unter Berucksichtigung der Rechenregeln fur Wiener Prozesse

Der normierte Preis hat damit einen Drift von ps - rt und eine Volatilitat von as. Unter dem risikoneutralen Mafi Q muss Z ein Martingal sein. Anschaulich bedeutet dies, dass der heutige Stand des Prozesses gleich dem erwarteten zukunftigen Stand sein muss. Ein Martingal hat damit eine erwartete ~ n d e rung von null, so dass der Drift des Prozesses verschwinden muss. Hierzu formt man dZ nochmals um:

Einen Drift von null k a n man ~ nun erreichen, indem man das Mafi Q so wahlt4, dass der Prozess W mit

unter dem neuen Mafi Q ein Wiener Prozess ist. Z hat dann unter Q in der Tat einen Drift von null, wie man durch Einsetzen nachweist. Der Term

wird als Marktpreis des Risikos bezeichnet. Er gibt die erwartete ~ b e r r e n d i t e der Aktie uber den risikolosen Zins pro Einheit Volatilitat an und ist fur alle gehandelten Wertpapiere mit der Risikoquelle W identisch. Der zweite Teil dieser Aussage wird in Abschnitt 5.4 bei der Herleitung der fundamentalen partiellen Differentialgleichung fur den Preis eines Derivats von Bedeutung sein. Grundlegend fur die risikoneutrale Bewertung von Derivaten ist die Dynamik der Prozesse unter dem risikoneutralen Ma6 Q: 4~orrnalgeschieht der Mafiwechsel rnittels der Radon-Nikodyrn-Ableitung. Fiir den Fall eines Wiener Prozesses wendet man hierzu das Theorem von Girsanov an. Vgl. hierzu 2.B. Duffie (2001).

116 0

5 Bewertung in stetiger Zeit

Die SDE fiir die Aktie lautet

Unter dern risikoneutralen Mafi gilt d a m unter Verwendung von (5.2)

0

Die Aktie (und auch jedes andere gehandelte Wertpapier, das keine zwischenzeitlichen Zahlungen aufweist) hat damit unter dern risikoneutralen Mail einen Drift in Hohe des risikolosen Zinses. Betrachtet man eine andere, nichtgehandelte Variable X , die durch die SDE

beschrieben wird, so lautet deren Dynamik unter dern risikoneutralen Mail dXt = [ p x - XtaxIXtdt

+a x ~ t d F t

1st X also nicht der Preisprozess eines gehandelten Wertpapiers, so sind an dieser Stelle keine weiteren Aussagen uber den Drift unter dern risikoneutralen Mafi moglich.

5.3.2 Bewertung von Derivaten Die Grundidee der Bewertung von Derivaten ist die gleiche wie in diskreten Modellen: 0

0

0

Die mit dern Geldmarktkonto normierten Preise der Basiswertpapiere sind unter dern risikoneutralen Mafi Martingale. Die Zahlung eines Contingent Claims wird durch ein Portfolio aus den Basiswertpapieren dupliziert. Dieses Portfolio wird kontinuierlich angepasst und ist selbstfinanzierend, d.h. bei den Umschichtungen gibt es weder Mittelzu- noch Mittelabfliisse. Aufgrund des Law of One Price stimmt der Preis des Portfolios mit dern Preis des Claims uberein. Da ein Portfolio eine Linearkombination der Basiswertpapiere ist, folgt aus der Martingaleigenschaft der normierten Preise der Basiswertpapiere die Martingaleigenschaft der normierten Preise selbstfinanzierender Portfolios und daraus wiederum die Martingaleigenschaft der normierten Preise von Derivatem5

amit it diese Schlussfolgerung gilt, muss die Handelsstrategie gewisse technische Bedingungen erfiillen, auf die hier jedoch nicht im Detail eingegangen werden soll. Fiir weitere Details zu diesem Thema vgl. 2.B. Duffie (2001).

5.4 Fundarnentale partielle Differentialgleichung

117

Unter einigen weiteren technischen Bedingungen erhalt man die risikoneutrale Bewertungsgleichung im stetigen Model1 als

Diese Gleichung kann man auch schreiben als

5.4 Fundamentale part ielle Different ialgleichung Im Folgenden zeigen wir zunachst, dass der Marktpreis des Risikos nur vom aktuellen Zustand und vom aktuellen Zeitpunkt abhangt, nicht aber vom betrachteten Derivat. Die Definit,ion des Marktpreises des Risikos kann dann verwendet werden, urn mit Hilfe von It& Lemma eine partielle Differentialgleichung fiir den Preisprozess eines Derivats herzuleiten. Gegeben seien zwei Wertpapiere, deren Preisentwicklung jeweils durch eine SDE beschrieben wird:

wobei d l )# a(') gelten soll. Wesentlich ist, dass beide Wertpapiere der gleichen Unsicherheitsquelle dWt ausgesetzt sind. Aus den beiden Wertpapieren kann man aufgrund dieser Eigenschaft ein Portfolio bilden, das lokal risikolos ist. Hierzu wahlt man einen Anteil von

im ersten Wertpapier und einen Anteil von

im zweiten Wertpapier. Der Wert des Portfolios in t sei &. Damit besteht das Portfolio aus

Stuck von Wertpapier 1 und

118

5 Bewertung in stetiger Zeit

Stuck von Wertpapier 2. Fur die Wertentwicklung dV dieses Portfolios gilt:

Das Portfolio ist lokal risikolos und muss damit gerade die risikolose Verzinsung erbringen:

Einsetzen ergibt

woraus man schlieDlich die Bedingung

erhalt. Der stochastische Prozess X ist genau der oben eingefuhrte Marktpreis des Risikos. Die beiden Seiten dieser Gleichung und damit auch der Marktpreis des Risikos sind nur vom aktuellen Zeitpunkt und vom aktuellen Zustand abhangig, nicht aber von der Art des betrachteten Wertpapiers. Nun betrachtet man speziell ein Derivat C auf ein Underlying S. Mit Hilfe von It& Lemma erhalt man den Drift und die Volatilitat des Derivats. Setzt man diese in die Definitionsgleichung fur den Marktpreis des Risikos ein, dann erhalt man eine partielle Differentialgleichung, die der Preis des Derivats erfullen muss. Dies sol1 im Folgenden gezeigt werden. Erfullt ein Derivat die SDE

SO

muss

gelten. Es sei an dieser Stelle angemerkt, dass pc und ac im Allgemeinen keine Konstanten sein werden, sondern von der Zeit und C selbst abhangen konnen. Das Underlying dieses Derivats sei die Aktie S, die wie oben durch die SDE

5.4 F'undarrientale partielle Differentialgleichung

119

beschrieben ist. Nimmt man nun an, dass der Wert C des Derivats eine Funktion des Aktienkurses und des aktuellen Zeitpunktes ist, d.h. dass gilt

so kann man die Dynamik des Derivats auch mit Hilfe von It& Lemma beschreiben:

Hieraus lassen sich iiber einen Koeffizientenvergleich folgende Beziehungen ableiten:

Setzt man dies in die Gleichung fiir den Marktpreis des Risikos ein, so erhalt man die fundamentale partielle Dzjferentialgleichung

Der Term

ist gerade der Drift des Prozesses S unter dem risikoneutra.len Mati. 1st S der Preis eines gehandelten Wertpapiers, so muss gelten

Der Drift von S unter dem risikoneutralen Mati ist d a m gerade gleich dem risikolosen Zins rt, urid die obige Differentialgleichung lautet:

Um den Preis eines Derivats zu bestimmen, ist diese Differentialgleichung zu losen. Die Randbedingungen folgen dabei aus der Kontraktspezifikation des Derivats. So gilt fiir einen europaischen Call beispielsweise C(ST, T) = m a x { S ~- X, 0), wobei X den Basispreis bezeichnet.

120

5 Bewertung in stetiger Zeit

5.5 Aufgaben 1. Weisen Sie mit Hilfe von It& Lemma nach, dass der Prozess 1 st = SOenp { ( c - ?a') t + aWt}

die stochastische Differentialgleichung

erfiillt. Welcher Verteilung folgt die Zufallsvariable St? 2. Betrachten Sie zwei Wertpapiere dl)und d2), deren Dynamik durch die folgenden SDEs gegeben ist:

Der risikolose Zins sei konstant gleich r. Es sei

Nehmen Sie an, dass X1 > X2 gilt. Geben Sie ein Arbitrageportfolio an, und begrunden Sie ihre Wahl. Wie konnen Sie die Zahlungen aus dem Arbitrageportfolio beschreiben? Unterscheiden Sie bei der Beantwortung der Fragen die folgenden Falle: a) g ( l ) = a ( 2 ) b) dl) # d2) 3. Bei der Herleitung der fundamentalen partiellen Differentialgleichung haben wir angenommen, dass der Wert des Derivats auschlief3lich eine Funktion der Zeit und des gegenwartigen Wertes des Underlyings ist. Nennen Sie Beispiele fur Derivate, die diese Eigenschaft nicht aufweisen.

5.6 Lijsungshinweise

121

5.6 Losungshinweise 1. Aus It6s Lemma folgt

dst = soexp

{

(p - io2) t

+a

1 ~ t (}p - ?a') dt

+ SOexp { ( p - i o 2 ) t + +1 2 SOexp { ( p - i o 2 ) t + o

o d ~ t ~ t02dt }

St ist lognormal verteilt mit

2. a) Fall 1: a(') = d 2 )G o Arbitrageportfolio: Kaufe 1 / ~ : ' Stiick ) von Wertpapier 1 und verkaufe 1 / ~ , (Stiick ~ ) von Wertpapier 2. Wert des Portfolios:

Wertanderung des Portfolios:

Das Portfolio verlangt keinen Kapitaleinsatz, hat aber eine positive kontinuierliche Zahlung. b) Fall 2: d l ) < d 2 )( d l )> cd2) folgt analog) Arbitrageportfolio: Kaufe

Stiick des ersten Wertpapiers, kaufe

122

5 Bewertung in stetiger Zeit

Stiick des zweiten Wertpapiers, und lege den Betrag

risikolos an. Wert des Portfolios:

0

Wertanderung des Portfolios:

und X2 < XI. da a(') < d2) Das Portfolio verlangt keinen Kapitaleinsatz, hat aber eine positive kontinuierliche Zahlung. 3. Beispiele fiir in T fallige Derivate, deren Wert nicht nur vom aktuellen Wert des Underlying und vom aktuellen Zeitpunkt abhangt: Option auf das Maximum der Aktienkurse zwischen 0 und T

5.6 Losungshinweise 0 0

123

Option auf den Durchschnitt der Aktienkurse zwischen 0 und T ,,Up-and-In-Option", die nur dann eine Zahlung ungleich null hat, wenn der Aktienkurs zwischen 0 und T mindestens einmal auf oder iiber der Grenze H lag

Zeitstet ige Zinsmodelle

Einen Meilenstein in der Entwicklung stetiger Zinsmodelle stellt das Model1 von Heath, Jarrow und Morton (1992) dar, das im Folgenden mit HJM-Model1 bezeichnet wird. In diesem Model1 wird die Entwicklung der gesamten Zinsstrukturkurve beschrieben, so dass das HJM-Model1 ebenso wie das Model1 von Ho und Lee (1986) per Konstruktion zinsstrukturkonform ist. Die simultane Modellierung der Dynamik von unendlich vielen Bondpreisen bei nur endlich vielen Risikoquellen erfordert es, wiederum analog zum HL-Modell, die Dynamik der Zinsstruktur durch eine Driftrestriktion einzuschranken. Nur wenn diese erfiillt ist, ist das Model1 von HJM arbitragefrei. Zentrale GroBe im Model1 von HJM ist die Volatilitatsfunktion der Terminzinsen. Im einfachsten Fall geht man von deterministischen Volatilitaten aus. Forwardzinsen sind dann normalverteilt, weshalb man auch von GauBZinsmodellen spricht. In diesen lassen sich zumindest fur einfache Zinsderivate geschlossene Bewertungsformeln ableiten. Die beiden gelaufigsten Spezifikationen unterstellen eine konstante, von der Zeit unabhangige Volatilitat oder eine Volatilitat, die exponentiell mit der Restlaufzeit fallt. Einen anderen Weg als HJM gehen Short Rate-Modelle. Sie stellen nicht die Dynamik der gesamten Zinsstruktur, sondern nur die Dynamik des kurzfristigen Zinses, der Short Rate, an den Anfang. Die Preise von NKAs als den einfachsten Zinsderivaten folgen dann modellendogen aus dem Verhalten der Short Rate. In der Regel sind diese Modelle nicht zinsstrukturkonform, die modellendogene Zinsstruktur stimmt also nicht mit der modellexogenen, am Markt beobachteten Zinsstruktur uberein. Als Beispiele betrachten wir das zeitstetige Model1 von Ho und Lee (1986), das Model1 von Vasicek (1977) sowie dessen Erweiterung durch Hull und White (1990) und das Model1 von Cox, Ingersoll und Ross (1985). Eine weitere Modellklasse stellen die sogenannten Market Models dar. Wahrend im HJM-Model1 die nicht beobachtbaren kurzfristigen Forwardzinsen ft(T) fiir infinitesimale Zeitintervalle betrachtet werden, stellen diese Mo-

126

6 Zeitstetige Zinsmodelle

delle direkt am Markt beobachtbare Grol3en wie den LIBORoder Swap Rates an den Anfang. Man spricht dann von LIBOR Market- oder Swap MarketModellen. Ausgehend von der Annahme einer Lognormalverteilung des LIBOR bzw. der Swap Rate unter einem jeweils geeignet gewahlten EMM erhalt man in diesen Modellen fur die Bewertung von Caps und Swaps die Formel von Black (1976). Nahere Ausfuhrungen zu den hier besprochenen Modellen finden sich z.B. bei Baxter und Rennie (1996)) Bingham und Kiesel (1998), Bjork (1998), Brigo und Mercurio (2001), James und Webber (2000) und Pelsser (2000) sowie in den entsprechenden Originalartikeln.

6.2 Das Model1 von Heath, Jarrow und Morton 6.2.1 Modellbeschreibung

Das HJM-Model1 ist ein zeitstetiges und zinsstrukturkonformes Zinsmodell, in dem die Entwicklung der Forwardzinskurve uber die Zeit beschrieben wird. Eine zeitdiskrete Version ist im Artikel von Heath, Jarrow und Morton (1990) zu finden. Anfangsbedingung ist die in t = 0 gegebene Forwardzinskurve, wodurch das Model1 per Konstruktion zinsstrukturkonform wird. Vergleicht man die Zahl der gehandelten Basiswertpapiere mit der Zahl der Unsicherheitsquellen, so stellt man fest, dass unendlich vielen NKAs nur endlich viele Wiener Prozesse gegenuberstehen. Aus diesem Grund ist das Model1 nur dann arbitragefrei, wenn die gemeinsame Dynamik der Forwardzinsen eingeschrankt wird, wenn also eine sogenannte Driftrestriktion erfullt ist. Wir gehen irn Folgenden von einer stochastischen Differentia.lg1eichung (SDE) fur die Forwardzinsen aus und zeigen in einem ersten Schritt, wie man aus dieser die SDE fur die Anleihepreise erhalt. Ausgehend von dem Verhalten der Anleihepreise leiten wir dann die Bedingungen her, unter denen das Model1 arbitragefrei ist - die Driftrestriktionen - und zeigen, wie man das risikoneutrale Ma0 und das terminrisikoangepasste Maf3 bestimmen kann. Mittels dieser Maf3e konnen dann Derivate bewertet werden. Zur Erinnerung sei nochmals kurz die Notation wiederholt. Bt(T) bezeichne den Preis in t einer in T falligen NKA und ft(T) sei der Forwardzins in t fur eine Anlage von T bis T dt. Fur den Zusammenhang zwischen den Preisen von NKAs und Forwardzinsen gilt

+

bzw .

6.2 Das Model1 von Heath, Jarrow und Morton

127

so dass die Zinsstruktur sowohl durch die Diskontierungsfunktion als auch durch die Forwardzinskurve eindeutig beschrieben ist. HJM gehen von der Zinsstruktur in t = 0 aus und modellieren die Stochastik der Forwardzinsen, d.h. die Entwicklung der Forwardzinskurve uber die Zeit:

Die Unsicherheit wird allgemein durch einen d-dimensionalen Wiener Prozess abgebildet. Einschrankend betrachten wir hier nur den Fall d = 1, auf den Fall d > 1 werden wir kurz in Abschnitt 6.2.4 eingehen. Der Forwardzins in t ist nach Integration von (6.1) gegeben durch

Sowohl der Drift als auch die Volatilitat der Forwardzinsen in Gleichung (6.1) konnen zeit- und zustandsabhangig sein. Bis auf einige technische Bedingungen, welche die Existenz der Forwardzinsen zu spateren Zeitpunkten t sicherstellen, werden sie hier nicht eingeschrankt.

6.2.1.1 Stochastik der Forwardzinsen und der Anleihepreise HJM gehen von der Entwicklung der Forwardzinsen iiber die Zeit aus. Aus den Forwardzinsen in t erhalt man eindeutig die Anleihepreise in t, und umgekehrt folgen aus den Anleihepreisen die Forwardzinsen. Damit ist das Verhalten der Zinsstruktur uber die Zeit sowohl durch die Angabe der Dynamik der Forwardzinsen (wie bei HJM) wie auch durch die Angabe der Dynamik der Anleihepreise eindeutig beschrieben. Im Folgenden zeigen wir, wie aus der Dynamik der Forwardzinsen die Dynamik der Anleihepreise folgt (Satz 6.1) und umgekehrt (Satz 6.2).

Satz 6.1 (HJM: SDE fiir Anleihepreise) Aus der SDE fur Forwardzinsen dft(7) = p,f,t( ~ ) d+t af,t(7)dWt erhalt man die SDE fiir die Anleihepreise

mit

128

6 Zeitstetige Zinsmodelle

Beweis: Ausgangspunkt ist Gleichung (6.1). Mit der Beziehung

Bt ( r )= exp

{

-

l7

ft

(s)ds)

zwischen den Anleihepreisen und den Forwardzinsen erhalt man durch Anwendung von It& Lemma

Eine Nebenrechnung ergibt fiir das Verhalten des Integrals iiber die Forwardzinsen

Durch Einsetzen in (6.3) erhalt man

Hieraus folgen Drift und Volatilitat der Anleihepreise.

Satz 6.2 (HJM: SDE fur Forwardzinsen) Aus der SDE fur die Anleihepreise

folgt die SDE fur die Forwardzinsen

mit

und

6.2 Das Modell von Heath, Jarrow und Morton

129

Beweis: Aus der SDE fur die Anleihepreise und der Beziehung

erhalt man mittels It8 als Dynamik der Forwardzinsen

Hieraus folgen Drift und Volatilitat der Forwardzinsen.

0

6.2.1.2 Arbitragefreiheit und Driftrestriktionen

Sol1 das Model1 arbitragefrei sein, so muss, wie in Abschnitt 5.3.1 dargestellt, fur den Wiener Prozess W ein Marktpreis des Risikos existieren, der fur alle gehandelten Wertpapiere gleich ist. Fur diesen Marktpreis des Risikos At gilt

Durch Umformen erhalt man die Driflrestriktion fur Anleihepreise

Durch Differenzieren nach

T

folgt unter Ausnutzung von Satz 6.2 die Driftre-

striktion fur die Forwardzinsen:

Integriert man diese uber 7, so erhalt man wieder die Driftrestriktion fur die Anleihepreise. Damit gilt, dass die beiden Driftrestriktionen die gleiche Information beinhalten. Dies ist auch zwingend, da die Dynamik der Forwardzinsen und die Dynamik der Anleihepreise ineinander umgerechnet werden konnen. Die Driftrestriktion lafit sich okonomisch interpretieren: Der Drift der Forwardzinsen darf nicht frei gewahlt werden, sondern folgt aus der Volatilitatsstruktur der Forwardzinsen und dem Marktpreis des Risikos. Dies kann intuitiv dadurch erklart werden, dass hier nur eine Risikoquelle vorhanden ist,

130

6 Zeitstetige Zinsmodelle

aber unendlich viele Basiswertpapiere (NKAs) gehandelt werden. Damit diese untereinander arbitragefrei sind, ist ihre Dynamik so einzuschranken, dass sie alle den gleichen Marktpreis des Risikos fur diese Risikoquelle implizieren. Dies fuhrt genau auf die Driftrestriktionen (6.5) bzw. (6.6). Das Vorgehen ist leicht auf den Fall zu erweitern, in dern die Stochastik der Forwardzinsen von einem d-dimensionalen Wiener Prozess mit d > 1 abhangt. Statt eines Marktpreises des Risikos gibt es dann d Marktpreise des Risikos. Details hierzu sind in Abschnitt 6.2.4 zu finden.

6.2.2 Risikoneutrale Bewertung 6.2.2.1 Bestimmung des risikoneutralen Wahrscheinlichkeitsmai3es

Unter dern risikoneutralen Wahrscheinlichkeitsmaf3 Q sind die mit dern Geldmarktkonto normierten Preise der NKAs Martingale. Dieses risikoneutrale Mafi sol1 nun hergeleitet werden. Hierzu wird zunachst das Verhalten der mit dern Geldmarktkonto normierten Anleihepreise bestimmt. Anschlieoend wird der Zusammenhang zzischen dern Wiener Prozess W unter dern Mafi P und dern Wiener Prozess W unter dern risikoneutralen Maf3 Q hergeleitet. Der risikolose Zins ist rt = ft(t), und der Stand des Geldmarktkontos in t ist

Der normierte Preis des in

T

falligen Bonds ist

Fiir die Stochastik des normierten Preises erhalt man mittels Itbs Lemma

Einsetzen der Ableitungen und der Dynamikgleichungen fur den Anleihepreis und das Geldmarktkonto ergeben weiter

6.2 Das Model1 von Heath, Jarrow und Morton

131

Dies fiihrt schliefilich a.uf

Wiihlt man da.s Ma0 Q so, dass

% mit

unter Q ein Wiener Prozess ist, gilt fur den normierten Preisprozess

Damit ist der normierte~reisprozessunter Q ein Martingal. Den Zusammenhang zwischen W und W kann man in Abhangigkeit des Marktpreises des Risikos aus Gleichung (6.4) auch schreiben als

Die Bedingung, dass der Marktpreis des Risikos fur alle Wertpapiere gleich ist, kann nun auch folgendermaaen ausgedruckt werden: Unter dern risikoneutralen Mafi Q ist nicht nur der normierte Preis der in T falligen Anleihe ein Martingal, sondern es sind auch die normierten Preise aller anderen Anleihen Martingale. Man erhalt also nicht fur jede Anleihe ein eigenes risikoneutrales Mafi. 6.2.2.2 S t o c h a s t i k u n t e r dern r i s i k o n e u t r a l e n Mai3

Die Beschreibung des Modells unter dern risikoneutralen Man ist der Ausgangspunkt fiir die Bewergng von Derivaten. Setzt man den Zusammenhang (6.7) zwischen dWt und dWt sowie die Driftrestriktion (6.5) fur Anleihepreise ein, so erhalt man fur den Anleihepreis die SDE

Der Drift der Anleihe ist unter dern risikoneutralen Ma0 gleich dern lokal risikolosen Zins. Die Volatilitat ist unter dern ursprunglichen Maf3 P und unter dern risikoneutralen Maa Q gleich. Fur den Forwardzins gilt

und der Forwardzins in t ist

Diese Gleichung fur den Forwardzins zeigt anschaulich, durch welche Angaben das Model1 unter dem risikoneutralen Mafi eindeutig beschrieben ist. Man benotigt die anfangliche Zinsstruktur sowie die Volatilitatsstruktur der Terminzinsen, jedoch weder den Marktpreis des Risikos noch den Drift unter dern Mafi P. Dies ist eine allgemeine Eigenschaft von vollstandigen Modellen.

132

6 Zeitstetige Zinsmodelle

6.2.2.3 Risikoneutrale Bewertung von Derivaten

1st C ein (duplizierbares) Derivat ohne zwischenzeitliche Zahlungen, so gilt fur seinen Preis die bekannte Gleichung

oder umgeformt

6.2.3 Terminrisikoangepasste Bewertung

Die terminrisikoangepasste Bewertung wurde im Rahmen der zeitdiskreten Modelle bereits in Kapitel 4.5 eingefuhrt. Bei der risikoneutralen Bewertung werden die Preise der Basiswertpapiere mit dern Geldmarktkonto normiert, wahrend bei der terminrisikoangepassten Bewertung die in T * fallige NKA als Numeraire fungiert. Im Folgenden steht die Frage im Vordergrund, wie dieses Konzept im Rahmen eines stetigen Modells umgesetzt werden kann. Dazu ist zunachst das terminrisikoangepasste Martingalma0 zu bestimrnen. Wir zeigen hierfur, welcher Zusammenhang zwischen dern Wiener Prozess unter dern risikoneutralen Mafi und dern Wiener Prozess unter dern terminrisikoangepassteri Mafi besteht. AnschlieBend wird das Verhalten der Anleihepreise und der Forwardzinsen unter dern termiririsikoangepaasten Ma,fi angegeben. Darauf aufbauend lassen sich dann Derivate bewerten. 6.2.3.1 Bestimmung des terminrisikoangepassten Mafies

Zur Bestimmung des terminrisikoangepassten Ma0es betrachtet man wiederum die normierten Preise. Der Numeraire ist die in T * fallige NKA mit Preis Bt(T*). Der normierte Preis der in T falligen NKA ist dann fur Unter dern terminrisikoangepassten Ma0 Q ~ muss ' dieser normierte Preis ein Martingal sein. Wir gehen genauso vor wie im Falle der Bestimmung des risikoneutralen Ma0es. Zunachst berechnet man mittels It& Lemma die Dynamik des normierten Anleihepreises:

-1 Bt(T) dBt(T*)dBt(T*) + -dBt (T*)dBt(T). +--2 Bt(T*)3 Bt (T*)2

6.2 Das Model1 von Heath, Jarrow und Morton

133

Einsetzen der SDEs fur die Anleihepreise ergibt

wobei die Volatilitat des normierten Preises

ztT'( T )mit

bezeichnet wird. Setzt man die Driftrestriktion (6.5) fiir die Anleihepreise ein, so erhalt man

Das Mafl QT* wird nun so gewahlt, dass

WT*mit

unter QT* ein Wiener Prozess ist. Unter dern Ma6 Q ~ gilt " dann

dZT* ( T )= -2:' ( T ) ~ (BT ,T*)~ET* ~ Damit sind unter dern Ma0 QT* die mit dern Preis der in T * falligen Anleihe normierten Anleihepreise Martingale. Mit Gleichung (6.9) haben wir einen Zusammenhang zwischen dern Wiener Prozess W unter dern wahren Ma.J.3 und dern Wiener Prozess ET*unter dern terminrisikoangepassten Mafl gefunden. Nutzt man den analogen Zusammenhang (6.7) zwischen dern wahren Mafi und dern risikoneutralen Maf3 aus, so erhalt man

Um die Wiener Prozesse unter dern risikoneutralen MaD und unter dern terminrisikoangepassten Mafi ineinander zu uberfuhren, benotigt man also lediglich die Volatilitat der normierenden NKA.

134

6 Zeitstetige Zinsmodelle

6.2.3.2 Prozesse unter dem terminrisikoangepassten MaD Auch die Beschreibung des Modells unter dern terminrisikoangepassten Ma6 kann als Ausgangspunkt fur die Bewertung von Derivaten dienen. Die Stochastik der Anleihepreise unter dern terminrisikoangepassten Ma6 lautet

Der Drift der NKA unter dern terminrisikoangepassten Ma8 ist gleich dern risikolosen Zins plus dern Produkt aus der Volatilitat der Anleihe und der Volatilitat der normierenden Anleihe. Die Stochastik der Forwardzinsen lautet

Zur Beschreibung des Modells unter dern terminrisikoangepassten Ma6 benijtigt man die anfangliche Zinsstruktur sowie die Volatilitatsstruktur der Terminzinsen. Der Marktpreis des Risikos wird wiederum nicht benotigt, da es sich um ein vollstandiges Model1 handelt. 6.2.3.3 Terminrisikoangepasste Bewertung von Derivaten Die Bewertung von Derivaten basiert darauf, dass unter dern terminrisikoangepassten Ma13 Q ~ die * mit der in T* falligen NKA normierten Preise von gehandelten Wertpapieren Martingale sind. Dabei wird angenommen, dass diese keine zwischenzeitlichen Zahlungen leisten. Damit gilt fur ein (duplizierbares) Derivat C die Bewertungsgleichung

oder im Spezialfall s = T*

6.2.3.4 Beispiel: Bewertung eines europaischen Calls Die terminrisikoangepasste Bewertung kann verwendet werden, um die Struktur der Bewertungsgleichung fur einen europaischen Call auf eine NKA zu zeigen. Hierzu schreibt man die Zahlung des Calls bei Falligkeit in TI als , - X , 0) C T ~= m a x { B ~(T2) = B T (7'2) ~ ~ B T (T2)>x , - X laT1 (T2)>x mit l Aals Indikatorfunktion fur das Ereignis A, d.h. l A= 1, falls A eintritt, und null sonst. Den ersten Term bewertet man unter dern terminrisikoangepassten Ma13 QT2 mit der in T2 falligen NKA als Numeraire, den zweiten Term

6.2 Das Model1 von Heath, Jarrow und Morton

135

bewertet man man unter dern terminrisikoangepassten Mafl QT1 mit der in TI falligen NKA als Numeraire. Dies ergibt

Da der Erwartungswert der Indikatorfunktion gerade die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ist, erhalt man schliefllich

Der Wert des Calls ist damit gleich dern Wert des Underlyings, multipliziert mit einer Ausubungswahrscheinlichkeit, abzuglich dern Barwert des Basispreises, multipliziert mit einer zweiten Ausubungswahrscheinlichkeit. Die erste Ausiibungswahrscheinlichkeit wird dabei unter dern EMM mit dern Underlying als Numeraire berechnet, die zweite unter dern EMM, bei dern die gleichzeitig mit dern Call fallige NKA als Numeraire dient. 6.2.3.5 Beispiel: Forward- und Futurespreise

Die terminrisikoangepasste Bewertung und die risikoneutrale Bewertung fuhren zum gleichen Ergebnis. Welche Bewertungstechnik man verwendet, ist letztendlich Geschmackssache bzw. in gewissen Fallen eine Rage der einfacheren Rechenbarkeit. Dieser zweite Punkt zeigt sich insbesondere am Beispiel von Forward- und Futurespreisen. Unter dern risikoneutralen Maf3 sind Futurespreise Martingale. Es gilt

Unter dern terminrisikoangepassten Maf3 QT1 sind die Forwardpreise fur Lieferung in Tl Martingale, es gilt

Unter dern terrninrisikoa.rigepa.ssten Ma,fl sind daruber hinaus auch einige (nicht alle!) Forwardzinsen Martingale. Um dies zu zeigen, betrachten wir den Forwardzins in t . Fiir ft(T) erhalt man unter dern terminrisikoangepassten Ma0 Q~~

136

6 Zeitstetige Zinsmodelle

Betrachtet man speziell den Forwardzins ft(T1) fur die Anlage in TI, so gilt

Der (kontinuierliche) Forwardzins fur Tl ist damit unter QTl ein Martingal. Gleiches gilt fur den Forward-LIBOR,wenn dieser sich auf eine Anlageperiode bezieht, die in TI endet. Betrachtet man den Forward-LIBORfur das Interval1 [TI- h, TI], so ist dieser 1 Bt (Tl - h) - Bt (Tl) Lt(Tl - h,Tl) = - . h Bt (Tl )

Er entspricht dem Preis eines Portfolios aus zwei NKAs, normiert mit dem Preis der in TI falligen Anleihe. Damit ist auch dieser Forward-LIBOR fur die Anlage bis TI unter dem terminrisikoangepassten Mai3 QT1 ein Martingal. Diese Eigenschaft des Forward-LIBORwird im LIBORMarket-Model1 in Abschnitt 6.3 verwendet werden. 6.2.4 Verallgemeinerung: d-dimensionaler Wiener Prozess

In der allgemeinen Form des HJM-Modells geht man davon aus, dass die Entwicklung der Zinsunsicherheit nicht durch einen eindimensionalen, sondern durch einen d-dimensionalen Wiener Prozess getrieben wird. Wir wollen im Folgenden kurz die Verallgemeinerung der obigen Ergebnisse auf diesen 1 d-dimensionaler ) Wiener Fall angeben. Hierzu sei ( ~ ( ~~ (1 ' ,1 , . . , ~ ( ~ ein ) stochastisch unabhangige Prozess, d.h. die einzelnen Komponenten w ( ~sind eindimensionale Wiener Prozesse. Ausgangspunkt ist wiederum die Entwicklung des Forwardzinses iiber die Zeit: d

dft (T) = pf,t (i)dt

+C

( . i ) d ~ j ",

wobei anstelle einer einzigen jetzt d solche Volatilitatsfunktionen o:i(~) (i = 1 , .. . , d) vorzugeben sind. Die SDE fur den Anleihepreis lautet dann

mit

6.2 Das Model1 von Heath. Jarrow und Morton

137

Die Driftrestriktion (6.5) fur den eindimensionalen Fall verallgemeinert sich zu

mit x ( ~ )(i = 1,.. . , d) als dem Marktpreis des Risikos fur den Wiener Prozess w ( ~ ) Fur . die Forwardzinsen gilt entsprechend

Die Dynamik der Forwardzinsen unter dem risikoneutralen Maf3 lautet dann

und fur die Dynamik der Anleihepreise erhalt man

Auch hier sol1 abschlieflend noch das terrninrisikoangepasste Ma.B QT' angegeben werden, unter dem Preise, normiert mit dem Preis der in T* falligen NKA, Martingale sind. Fur die Wiener Prozesse gilt dFji)T* = d@ji)

+ ggL(~*)dt.

Fur den Forwardzins erhalt man

und fur den Anleihepreis gilt

Alle fur den eindimensionalen Fall abgeleiteten Bewertungsergebnisse sind vollkommen analog auf den d-dimensionalen Fall ubertragbar.

Um das Model1 von HJM vollstandig zu spezifizieren, benijtigt man die anfangliche Zinsstruktur und die Volatilitatsstruktur der Terminzinsen. Sind diese Volatilitaten eine deterministische Funktion des aktuellen Zeitpunktes und des Falligkeitszeitpunktes, so spricht man von einern Gad-Zinsmodell.

138

6 Zeitstetige Zinsmodelle

Definition 6.1 (Gaua-Zinsmodell). In einem Gaujl-Zinsmodell sind die Volatilitaten o ~ , ~ ( T(0) 5 t 5 7 ) eine deterministische Funktion von t und 7.

Die Forwardzinsen unter dern risikorieutralen Mafl sind

deterministisch

normalverteilt

Forwardzinsen sind in einem Ga.ufl-Zinsmodell somit normalverteilt. Damit sind auch die Kassazinsen normalverteilt, und die Preise von NKAs sind lognormalverteilt. In einem Gaufl-Zinsmodell konnen die Preise von europaischen Optionen ebenso wie Futurespreise relativ einfach berechnet werden. Ein Nachteil der GaufLZinsmodelle ist jedoch, dass aufgrund der Normalverteilung die Wahrscheinlichkeit fur negative Zinsen positiv ist. Im Folgenden sol1 nach einem kurzen Exkurs zu Normal- und Lognormalverteilung zunachst das allgemeine Gaul3-Zinsmodell betrachtet werden. Fur dieses berechnen wir die Anleihepreise zu einem zukunftigen Zeitpunkt und aufbauend darauf die Preise von Futures und Optionen auf eine NKA. In den folgenden Beispielen wird die Volatilitat dann weiter eingeschrankt, und wir betrachten den Fall einer konstanten sowie einer exponentiell gedampften Volatilitat der Forwardzinsen. 6.2.5.1 Exkurs: Normalverteilung und Lognormalverteilung

Bevor wir uns der Bewertung von Derivaten in einem Gad-Zinsmodell zuwenden, geben wir einige niitzliche Formeln im Umgang mit der Normalverteilung und der Lognormalverteilung an. Seien a(.) und b(.) deterministische Funktionen von s E Rf (die einigen weiteren Bedingungen genugen) und sei t 5 TI 5 Tz.Sei auflerdem W ein Wiener Prozess. Dann ist die Zufallsvariable

aus der Sicht von t normalverteilt mit

Ferner gilt

6.2 Das Model1 von Heath, Jarrow und Morton

139

1st X normalverteilt, so ist ex lognormalverteilt. Fur den Erwartungswert einer lognormalverteilten Zufallsvariable gilt

E [exp{X)] = exp Fiir den Erwartungswert des Maximums aus der Differenz zweier bivariat lognormalverteilter Zufallsvariablen und null gilt

E [max{ex - eY, 0)] = ~ [ eN (~d ) ] E [eY]N ( d - s ) mit

s2 = var[X - Y].

Diese Formel wird sich bei der Bewertung von Anleiheoptionen als sehr nutzlich erweisen. Ebenso wie die Formel zur Berechnung des Erwartungswertes von ex kann sie bewiesen werden, indem man den Erwartungswert unter Verwendung der Dichte der Normalverteilung bzw. der Lognormalverteilung explizit berechnet. 6.2.5.2 Bewertung von Anleihen, Futures und Optionen im

GauB-Zinsmodell In einem Gaui3-Zinsmodell existieren fiir Zinsderivate zum Teil geschlossene Formeln. Wir beginnen mit der Bestimmung des Anleihepreises zu einem beliebigen spateren Zeitpunkt T I . Da die Zahlung von in Tl falligen Derivaten auf die NKA von diesem Preis abhangt, ist seine Bestimmung der erste Schritt zu deren Bewertung.

Satz 6.3 (Anleihepreis in T I ) Der Preis in Tl der in T2 falligen NKA ist

Beweis: Zunachst gilt fiir den Zusammenhang zwischen Anleihepreisen und Terminzinsen

140

6 Zeitstetige Zinsmodelle

Mit der Dynamik der Forwardzinsen unter dem risikoneutralen Ma0 erhalt man

Die Ausnutzung des Zusammenhangs zwischen Anleihepreisen und Terminzinsen sowie das Vertauschen der Integrationsreihenfolge ergibt

-Bt(T2) exp

Bt (TI)

{ iT1 -

[ ~ B ,( u~ 2 ) ' - V B , U

(TI)']du

mit v ~ , ~ ( TT Iz)als , Volatilitat des normierten Anleihepreises aus Gleichung 0 (6.8). Damit ist die Formel fur den Anleihepreis bewiesen. Der zukunftige Anleihepreis in TI ist also gleich dem heutigen Forwardpreis fiir Lieferung in T I ,mudtipliziert mit einem Storterm, der von der Entwicklung des Wiener Prozesses W zwischen t und TI abhangt. Die Formel fiir den zukunftigen Anleihepreis ermoglicht nun die Berechnung des Futurespreises. Fiir diese Formel nutzen wir explizit aus, dass wir uns in einem Gad-Zinsmodell befinden.

Satz 6.4 (F'uturespreise im Gaufi-Zinsmodell) Der Futurespreis i n t eines i n Tl falligen Futures auf die i n T2 fallige NKA ist

6.2 Das Model1 von Heath, Jarrow und Morton

141

Beweis: Unter dem risikoneutralen Maf3 ist der Futurespreis ein Martingal. Damit gilt

Setzt man die Gleichung fur den Anleihepreis ein, so gilt

--Bt(T2) p Bt (TI)

-

lT1

[.B,.(T~)~ - ' . ~ B , u ( T I ) ~du ]

0.

Der Futurespreis entspricht somit dem Forwardpreis, multipliziert mit einem Korrekturfaktor. Die Bewertungsgleichung fiir einen europaischen Call ist im folgenden Satz gegeben.

Satz 6.5 (Europaischer Call auf NKA im GauO-Zinsmodell) Fur den Preis in t eines in T I falligen Calls mit Basispreis X auf die in T2 fallige NKA gilt

mit

Beweis: Aus der risikoneutralen Bewertungsgleichung folgt

142

6 Zeitstetige Zinsmodelle

Fur das Integral uber den kurzfristigen Zins erhalt man

Der erste Term auf der rechten Seite ist der Anleihepreis Bt(Tl).Den zweiten Term kann man vereinfachen, indem man zunachst die Integrationsreihenfolge vertauscht und anschlieflend den Zusammenhang zwischen den Anleihevolatilitaten und den Forwardzinsvolatilitaten einsetzt:

Dabei wurde ausgenutzt, dass U B , ~ ( U =)0 gilt. Einsetzen des gerade berechneten Integrals iiber den kurzfristigen risikolosen Zins und des Anleihepreises nach Satz 6.3 in die risikoneutrale Bewertungsgleichung (6.11) ergibt dann

Mit der Formel fur den Erwartungswert des Maximums aus Abschnitt erhalt man

6.2 Das Model1 von Heath, Jarrow und Morton

143

mit

und

0

Alternativ kann man den Call auch mittels terminrisikoangepasster Bewertung bewerten. Ausgangspunkt ist die in Abschnitt 6.2.3.4 hergeleitete Formel. Wir benotigen hierfur die Verteilung des Anleihepreises BTl (T2)sowohl unter dem Mai3 QT1 als auch unter dem Mai3 QT2.Aus Satz 6.3 erhiilt man fur den Anleihepreis

Wahlt man die in Tl fallige Anleihe als Numeraire, so gilt fur den Zusammenhang der Wiener Prozesse

Fur den Anleihepreis folgt

Wahlt man die in T2 fallige Anleihe als Numeraire, so erhalt man analog

Der Anleihepreis BTl (T2)ist damib unter beiden Maf3en lognormalverteilt. Die Ausiibungswahrscheinlichkeit, unter dem Ma0 QT1 ist

144

6 Zeitstetige Zinsmodelle

wobei die Varianz s2 berechnet wird als

Analog dazu ist die Ausubungswahrscheinlichkeit unter dem Ma0

QT2

Das Zusammenfugen der Ergebnisse ergibt wiederum die Callpreisformel aus Satz 6.5. Wie man sieht, kann N ( d ) als Ausubungswahrscheinlichkeit fur den Call uriter dem termiririsikoangepassten Ma0 mit der in T 2 falligen NKA als Numeraire interpretiert werden. Analog stellt N(d - s ) die Ausubungswahrscheinlichkeit fur den Call unter dem terminrisikoangepassteri Ma0 rnit der in Tl falligen NKA als Numeraire dar. 6.2.5.3 Gad-Zinsmodell mit konstanter Volatilitat

In einem Gad-Zinsmodell ist die Volatilitat der Forwardzinsen eine deterministische Funktion der Zeit. Wir betrachten nun den einfachsten Fall einer konstanten Volatilitat:

Die Volatilitat ist fur alle Forwardzinsen gleich hoch. Sie hangt weder vom aktuellen Zeitpunkt noch von der Restlaufzeit ab. Fur die Volatilitat der Anleihepreise erhalt man aus Gleichung (6.2)

Sie ist proportional zur Restlaufzeit. Einsetzen in die obigen Gleichungen ergibt dann die Anleihepreise, Futurespreise und Optionspreise. Fur den Anleihepreis gilt nach Satz 6.3 zunachst

6.2 Das Model1 von Heath, Jarrow und Morton

145

Fiir den Futurespreis gilt nach Satz 6.4

Fur die Calloption auf eine NKA erhalt man mit Hilfe von Satz 6.5

mit

und s2 = U ? ( T ~- T ~ ) ~ ( Tt).~ Neben den Preisen von einfachen Zinsderivaten ist das Verhalten der Zinsstrukturen von Interesse, das durch die Annahme einer konstanten Volatilitat der Forwardzinsen impliziert wird. Dabei ist zwischen dem Verhalten uber die Zeit (d.h. dem Langsschnitt) und dem Vergleich der Zinsstrukturen uber verschiedene Zustande zu einem Zeitpunkt (d.h. dem Querschnitt) zu unterscheiden. Aus den Anleihepreisen oder direkt aus der SDE fur die Forwardzinsen erhalt man den Forwardzins zum Zeitpunkt t:

Man erkennt, dass zum Zeitpunkt t die Forwardzinskurven in den verschiedenen Zustanden parallel gegengnander verschoben sind, da sie sich nur hinsichtlich der additiven GroOe ofWt unterscheiden. Fur den Kassazins in t folgt unter Verwendung von Gleichung (6.12) fur den Anleihepreis

Damit sind nicht nur die Terminzinskurven, sondern auch die Kassazinskurven zu einem Zeitpunkt t in verschiedenen Zustanden parallel gegeneinander verschoben. In einem Gad-Zinsmodell mit konstanter Volatilitat der Forwardzinsen ist also die Form der zukunftigen Zinsstruktur heute schon bekannt und lediglich das Niveau der Zinsen unsicher. Derivate, deren Zahlung von der Steigung der Zinskurve oder von der Differenz zwischen zwei Zinsen abhangt, haben aufgrund dieser Eigenschaft eine sichere Auszahlung; ihre Bewertling im Gnu& Zinsmodell ist trivial.

146

6 Zeitstetige Zinsmodelle

Nach diesen Aussagen zum Querschnitt untersuchen wir nun das Verhalten der Zinsstrukturen uber die Zeit. Dazu zeigen wir, wie sich die Form der Zinskurve und das (erwartete) Niveau uber die Zeit verhalten. Ableiten des Kassazinses in Gleichung (6.13) nach der Zeit T ergibt

1st die anfangliche Zinsstruktur flach (und damit die Ableitung des Forwardzinses fo(t, T ) nach T gleich null), so ist die Zinsstruktur zu jedem spateren Zeitpunkt wachsend. Ihre Steigung wird um so grofier, je weiter man in die Zukunft geht, d.h. je grofier t ist. Tendenziell gilt auch fur eine anfanglich nicht steigende Zinsstruktur, dass sie im Zeitablauf zu einer steigenden Zinsstruktur wird und daruber hinaus die Steigung immer grofier wird. Zusammenfassend erhalt man, dass die Zinskurven zu einem gegebenen Zeitpunkt in verschiedenen Umweltzustanden parallel verschoben sind. Dies gilt jedoch nicht, wie teilweise falschlicherweise behauptet, fur den Vergleich der Zinskurven uber die Zeit. Von einem Zeitpunkt zum nachsten findet keine Parallelverschiebung der Zinskurve statt, sondern es andert sich auch ihre Form. Dies wird aus der Tatsache deutlich, dass aus einer anfanglich flachen Kassazinsstruktur im Zeitablauf eine immer starker steigende Kassazinsstruktur wird. Das Niveau der zukunftigen Zinsstruktur wird durch die Short Rate rt = f t (t) festgelegt. Fur diese gilt

Der Erwartungswert der Short Rate unter dem risikoneutralen Ma3 ist

Der Erwartungswert ist grofier als der Forwardzins. Die Differenz zum Forwardzins wachst mit der Zeit immer starker, und der erwartete kurzfristige Zins ist nicht nach oben beschrankt. Gleiches gilt fur die Varianz des kurzfristigen Zinses unter dem risikoneutralen Mafi, die sich zu o?t ergibt. Zukunftige Zinsen schwanken damit aus heutiger Sicht immer starker. Abschlieaend sei noch die SDE fur rt = ft(t) berechnet: drt = ( T + g j t

) dt+ofdGt.

1st die anfangliche Zinsstruktur fla.ch, so ist der Drift unter dem risikoneutralen Mafi a;t. Er ist positiv und nimmt im Zeitablauf zu. Damit gilt, dass die Short Rate im Schnitt uber die Zeit immer groaer wird und sich diese Tendenz im Laufe der Zeit sogar noch verstarkt. Des weiteren ist der Drift nicht vom aktuellen Stand der Short Rate abhangig. Damit gilt insbesondere, dass die Short Rate langfristig nicht zu einem bestimmten Niveau zuruckgezogen wird.

6.2 Das Model1 von Heath, Jarrow und Morton

147

6.2.5.4 Gaufi-Zinsmodell mit exponentiell gedampfter Volatilitat

Eine weitere gelaufige Parametrisierung fur die Volatilitat der Forwardzinsen ist

In diesem Fall ist die Volatilitat der Forwardzinsen urn so kleiner, je grofier 7 - t ist. Fur die Volatilitat der Anleihepreise erhalt man aus Gleichung (6.2)

Die Volatilitat des Anleihepreises wachst somit in der Restlaufzeit Fur den Anleihepreis gilt nach Satz 6.3

T

- t.

Fur den Futurespreis folgt aus Satz 6.4

Fiir die Calloption auf eine NKA gilt nach Satz 6.5

mit

Auch fur den Fall einer exponentiell gedampften Volatilitatsfunktion sol1 nun das resultierende Verhalten der Zinsstrukturen sowohl uber die Zeit als auch uber die Zustande untersucht werden. Aus den Anleihepreisen oder aus der SDE fur die Forwardzinsen erhalt man die Forwardzinsen in t

148

6 Zeitstetige Zinsmodelle

und die Short Rate in t ist gegeben als

Druckt man den Forwardzins in t in Abhangigkeit der Short Rate ft(t) aus, so erhalt man

Die Formel zeigt, dass der Einflufi der aktuellen Short Rate auf den Forwardzins mit wachsendem T immer kleiner wird. Damit ist der Einfluo der Unsicherheit, der sich in ft(t) zeigt, fur kurzfristige Zinsen am grofiten und fur langfristige Zinsen am kleinsten. Ferner gilt, dass fur sehr groi3es T - t die Differenz zwischen dem aktuellen Forwardzins und dem Forwardzins aus Sicht von t = 0 immer kleiner wird. So geht, wie bereits ausgefuhrt, der zweite, von der Short Rate abhangige Term mit wachsendem T - t gegen null, und auch der letzte Term ist fur T - t 2 (In 2)/a fallend und geht mit wachsendem T - t gegen null. Auch dieses Verhalten der Zinsen verdeutlicht nochmals, dass die langfristigen Zinsen weniger schwanken als die kurzfristigen. Fur den Erwartungswert der Short Rate unter dem risikoneutralen Ma0 erhalt man

Wie im Falle einer konstanten Volatilitat der Forwardzinsen gilt auch hier, dass der Erwartungswert groaer ist als der Forwardzins fo(t). Die Differenz zwischen dem Erwartungswert und dem Forwardzins wachst wiederum in t , ist nun aber durch c?/(2a2) nach oben beschrankt. Auch die Varianz der Short Rate wachst nicht ohne Grenzen, sondern geht fur t -+ co gegen 0;/(2a). Zusammenfassend lasst sich festhalten, dass kurzfristige Zinsen starker schwanken als langfristige und dass der Erwartungswert und die Varianz des kurzfristigen Zinses beschrankt sind. In beiden Eigenschaften der Zinsstruktur spiegelt sich die Mean Reversion-Eigenschaft des kurzfristigen Zinses wieder. Um diese zu veranschaulichen, betrachten wir das Verhalten der Short Rate rt = ft(t):

6.3 Das LIBORMarket-Model1

149

Der Drift der Short Rate ist fur grofk Short Rates negativ und fur kleine Short Rates positiv. Dies bewirkt, dass der Zins zu dem zeitabhangigen Mittelwert B(t) zuruckgezogen wird. Genau dies bezeichnet man als Mean ReversionEigenschaft. Auf das Verhalten des kurzfristigen Zinses werden wir bei der Diskussion von Short Rate Modellen in Abschnitt 6.5.4 noch naher eingehen. Die obige SDE fur den kurzfristigen Zins rt wird sich dort auch im erweiterten Modell von Vasicek ergeben, wenn dieses an die anfangliche Forwardzinskurve {fo(T)IT 0) kalibriert wird.

>

6.3 Das LIBORMarket-Model1 Das HJM-Model1 beschreibt die Entwicklung der Forwardzinskurve uber die Zeit, ausgehend von der gesamten Forwardzinskurve in t = 0. LIBORMarketModelle, eingefuhrt von Brace, Gatarek und Musiela (1997) und Miltersen, Sandmann und Sondermann (1997), beschreiben dagegen das Verhalten von LIBo~-Zinsenfur eine bestimmte Fristigkeit. Im Unterschied zu den kurzfristigen Forwardzinsen, die aus den Preisen von gehandelten Kuponanleihen geschatzt werden mussen, sind letztere direkt am Markt beobachtbar. Aus diesem Grund spricht man auch von einem Market Model. Wie auch das HJMModel1 sind LIBORMarket-Modelle zinsstrukturkonform. Wir beschreiben zunachst das allgemeine LIBORMarket-Modell. Es zeigt sich, dass in einem solchen Model1 die terminrisikoangepassten EMMs eine wichtige Rolle spielen. Anschlieaend gehen wir auf die Bewertung von Caps ein. Unterstellt man, dass die Volaitlitaten der LIBOR-Satzefur eine bestimmte Fristigkeit deterministisch sind, erhalt man gerade die Formel von Black (1976) fur Caps. 6.3.1 Definition des LIBOR

Zur Erinnerung seien hier die Definitionen des K a s s a - L ~ und ~ o ~des ForwardLIBORaus Abschnitt 2.2.2.2 wiederholt. Allgemein ist der LIBORder Zins fur

150

6 Zeitstetige Zinsmodelle

eine Anlage uber ein diskretes Zeitintervall. Der Kassa-LIBORL t ( t , T ) in t fur die Anlage von t bis T ist definiert als

Dabei bezeichnet man die Lange T - t der Anlageperiode auch als Tenor. Man erhalt fiir den Kassa-LIBOR

Der Forward-LIBORL t ( s ,T ) in t fur die Anlage von s bis Forwardpreis fur Lieferung in s

T

> s folgt aus dem

Aufgelost erhalt man den Forward-LIBOR

6.3.2 M o d e l l i e r u n g d e s Forward-LIBOR

Im Folgenden steht der Forward-LIBOR im Mittelpunkt. Dieser ForwardLIBORfur die Anlage von s bis T ist unter dem terminrisikoangepassten Ma0 mit der in T falligen NKA als Numeraire ein Martingal. Um dies zu zeigen, greift man auf die Definition des Forward-LIBORaus Gleichung (6.16) zuruck. Im Zahler steht der Wert eines Portfolios aus zwei NKAs, und dieser Wert wird mit dem Preis der in T falligen NKA normiert. Dieser Ausdruck ist definitionsgemafi unter dem EMM Q' ein Martingal. Bezeichnet man die Volatilitat des Forward-LIBORrnit yt ( s ,T ) , so gilt dLt ( s ,T ) = L t ( s , ~ ) y t ( sr)d@;. ,

(6.17)

1st diese Volatilitat eine deterministische Funktion von t , s und T, so ist der Forward-LIBOR unter dem terminrisikoa.ngepa.ssten Ma.0 Q' lognormalverteilt. Dies fiihrt, wie noch gezeigt wird, zur Bewertung von Caps nach der Formel von Black (1976). Im Folgenden betrachten wir LIBOR-Zinsenfur Anlagezeitraume, die durch die Zeitpunkte to,t l , . . . , t , mit ti+1 - ti = At (i = 0,. . . , n - 1 ) beschrieben sind. Die entsprechenden F o r w a r d - L ~ ~ o ~ - Z i n sfur e n eine Anlageperiode der Lange At sind dann L t ( t i , ti+l).

6.3 Das LIBORMarket-Model1

151

6.3.3 Terminal Measure

Die Dynamik des Forward-LIBORL t ( t i - 1 , t i ) wird in Gleichung (6.17) unter dem Ma0 Qti angegeben. Damit spezifiziert man jeden Forward-LIBOR zunachst unter einem anderen Ma0. Ziel ist es nun, das Verhalten aller Zinsen unter einem einzigen Ma8 anzugeben. Es bietet sich an, hierzu das sogenannte Terminal Measure Qt- zu verwenden, unter dem mit dem Preis der in t, falligen NKA normierte Preise Martingale sind. Um alle Prozesse unter diesem Ma0 anzugeben, i s t s s zunach-st notwendig, den Zusammenhang zwischen den Wiener Prozessen W t i und Wtj zu kennen. 6.3.3.1 Zusammenhang zwischen den terminrisikonangeparjten Maaen

Wir nutzen den bereits in Gleichung (6.10) angegebenen Zusammenhang zwischen dem risikoneutralen Ma8 und dem terminrisikoangepassten Ma8 aus. Es gilt

Hieraus erhalt man fur den Zusammenhang zwischen den terminrisikoangepassten Mai3en

In einem L ~ ~ o R - M o d esind l l die Anleihevolatilitaten zunachst nicht gegeben. Um diese zu erhalten, nutzen wir aus, dass die Differenz der Anleihevolatilitaten gerade gleich der Volatilitat eines Forwardpreises ist. So gilt, wie in Abschnitt 6.2.3.1 gezeigt, fur den Forwardpreis des in T falligen Bonds bei Lieferung in ti

-

-B t ( T )[ g ~ , t ( T -)g B , t ( t i ) ] ( d G t

Bt ( t i )

+ ffB,t(ti)dt)

Speziell fiir T = ti+l erhalt man

dBt(ti+l) - - Bt(ti+l) Bt ( t i ) Bt ( t i )

(ti+l)- g ~ , t ( t i )( ]d E t

+ g a , t ( t i ) d t ) .(6.19)

Kennt man die Volatilitat des Forwardpreises, so kennt man die fiir die Beschreibung des MaBwechsels benotigte Differenz der Anleihepreisvolatilitaten. Um die Volatilitat des Forwardpreises zu bestimmen, stellt man den Forwardpreis in Abhangigkeit des Forward-LIBORdar:

152

6 Zeitstetige Zinsmodelle

Anwendung von It8s Lemma ergibt

Da die Volatilitat unter jedem Mafi gleich ist, erhalt man aus dem Vergleich mit (6.19) fiir die Differenz der Anleihevolatilitaten

Setzt man diesen Zusammenhang in Gleichung (6.18) ein, so erhalt man d@:* = d@;*+l - % ( t i , & + I ) Lt (ti,t i + l ) A t dt. 1 Lt (ti,ti+1 )At

+

Fur allgemeines j > i gilt dann

Mit dieser Formel ist es mijglich, im LIBORMarket-Model1 von einem terminrisikoangepassten Ma0 zum anderen uberzugehen. 6.3.3.2 Forward-LIBOR u n t e r d e m T e r m i n a l M e a s u r e Wir wahlen nun das Terminal Measure Mafi Qtn als das Ma& unter dem alle Prozesse beschrieben werden. Fiir den Forward-LIBORvon t n P 1nach tn gilt

-

dLt(tn-1, t n ) = yt(tn-1, t n ) ~ t ( t n - l , t n ) d w / " . Er ist bereits per Konstruktion unter dem Terminal Measure angegeben. Fur den Forward-LIBORvon t n - 2 nach tn-1 gilt

6.3 Das LIBORMarket-Model1

153

Er ist somit unter dem Terminal Measure kein Martingal, da der Term vor d t nicht verschwindet. Fur den Forward-LIBORvon t i - 1 nach ti gilt unter Verwendung von Gleichung (6.21)

Auch dieser LIBOR-Satzist somit unter dem Terminal Measure kein Martingal. 6.3.4 Bewertung von Derivaten im LIBORMarket-Model1

Im LIBORMarket-Model1 sollen nun Zinsderivate bewertet werden. Wir zeigen zunachst, dass man fur eine variabel verzinsliche Zahlung die bereits in Kapitel 2.2.2.2 hergeleitete Formel erhalt. Anschliefiend bewerten wir einen Cap. Unterstellt man, dass die Volatilitat des LIBOR-Satzesunter dem entsprechenden terminrisikoangepassten Mafi deterministisch ist, so erhalt man gerade die Formel von Black (1976). 6.3.4.1 Bewertung einer variabel verzinslichen Zahlung Betrachtet wird die in T

+ At erfolgende variable Zinszahlung

deren Hohe im Anpassungszeitpunkt T festgesetzt wird. Fur den Wert Ct dieser Zahlung gilt unter dem terminrisikoangepassten Ma8 Q ~ + * ~ :

ct B~(T

+ nt)

-

EQT+At i

+

LT ( T ,T At)& B T + A(T ~ + At)

Hieraus erhalt man

Da der Forward-LIBORfur die Anlage von T bis T Martingal ist, folgt

Ct = Bt (T

+ At

unter Q

~ ein+

+ At)Lt ( T ,T + At)At.

Einsetzen der Definition des Forward-LIBORergibt dann mit

gerade die in Abschnitt 2.2.2.2 hergeleitete Formel. Diese ist unabhangig von dem stochastischen Prozess, den man fiir den Forward-LIBORunterstellt.

~

~

154

6 Zeitstetige Zinsmodelle

6.3.4.2 Bewertung eines Caps

Ein Cap leistet Zahlungen zu den Zeitpunkten t l , t2,. . . , t, und stellt ein Portfolio aus Caplets dar. Mit einer Strike Rate von LC ist die Zahlung in ti gegeben als max {[Lt,-l(ti-l,ti) - LC] (ti - t i - l ) , ~ ). Wir bewerten diese Zahlung mittels des terminrisikoangepassten Mafles Qti mit der in ti falligen NKA als Numeraire. Einsetzen in die Bewertungsgleichung ergibt fiir den Preis Caplett(ti, LC) Caplett(ti,LC) = B~( t i ) ~ Q t i

[ ~ t i - ,(ti-1,

ti) - LC] Bti (ti)

+

(ti - ti-I)

= ~t (ti)EQti [ [ ~ t , - ,(ti-1, ti) - LC] + (ti - ti-1)

I Ft / Z]

Nehmen wir nun an, dass die Volatilitat ys(tiWl,ti) des LIBOR-Satzeseine deterministische F'unktion von s , ti-1 und ti ist, so ist der Forward-LIBOR Lt,-l (ti-1, ti) unter Qtz lognormalverteilt, und es gilt

mit

S

EQt' [kl (ti-I, ti) I ~ LC

t

]

+

1 -2

2)

und

Nun kann man noch ausnutzen, dass der Forward-LIBORLt(ti-1, ti) unter Qt" ein Martingal ist. Dies ergibt schliefllich Caplett(ti, LC) = (ti - ti-1) Bt(ti) (Lt(tiWl,ti)N(d) - LcN(d - s)) mit

und dem Varianzausdruck

Dies ist gerade die Formel von Black (1976).

6.4 Das Swap Market-Model1

155

6.4 Das Swap Market-Model1 LIBORMarket-Modelle stellen den Forward-LIBOR an den Anfang. Analog hierzu gehen Swap Market-Modelle von der Swap Rate aus. Wie bereits das HJM-Model1 und auch die LIBORMarket-Modelle sind diese Modelle ebenfalls per Konstruktion zinsstrukturkonform. Wir beschreiben zunachst wiederum den Aufbau des Modells. Anschliefiend zeigen wir, dass bei der Annahme einer deterministischen Volatilitatsstruktur fiir die Swap Rates diese unter dem jeweils geeigneten Mafi lognormalverteilt sind, wodurch sich dann fur die Bewertung von Swaptions die Formel von Black (1976) ergibt.

6.4.1 Definition und Modellierung der Swap Rate

<

Die Swap Rate im Zeitpunkt t (mit t ti-1) fiir einen Swap mit den Zahlungszeitpunkten t i , . . . , t, (mit tj+1 - t j = At fur j = 0,1, ...,n - 1) und den Anpassungszeitpunkten ti-l, . . . ,t,-l ist der fixe Zins, fur den der Wert des Swaps im Zeitpunkt t gerade null ist. Aus dieser Definition erhalt man, wie in Abschnitt 2.6 bereits gezeigt,

Der Nenner ist der Wert eines Portfolios aus jeweils At NKA mit Falligkeit in t i , . . . , t,. Im Folgenden verwenden wir den Wert dieses Portfolios als Numeraire. Das entsprechende EMM Qttvtn wird auch als Forward Swap Measure bezeichnet. Unter diesem Mafi ist die Swap Rate ct(ti, t,) ein Martingal. Die Dynamik der Swap Rate kann damit geschrieben werden als dct(ti, tn) = ,&(ti, tn)ct(tilt n ) d F t " t n , unter Qttltn ein Wiener Prozess ist. Nimmt man an, dass die wobei Volatilitat P der Swap Rate eine deterministische Funktion von t , ti und t, ist, so ist die Swap Rate unter dem Forward Swap Measure lognormalverteilt.

6.4.2 Bewertung einer Swaption Eine Swaption ist eine Option auf einen Swap. Wir betrachten im Folgenden eine Payer Swaption, d.h. eine Option auf einen Payer Swap, mit dem festen Zins Ls, den Zahlungszeitpunkten t l , . . . ,t, und den Anpassungszeitpunkten to, . . . , tn-l. Die Swaption sei in to fallig. Der Wert des Payer Swaps zu diesem Zeitpunkt ist

156

6 Zeitstetige Zinsmodelle

und die Payer Swaption hat eine Zahlung von

Der Wert Ct des Payer Swaps im Zeitpunkt t werden iiber

< to kann dann berechnet

Hieraus erhalt man

Nimmt man nun an, dass die Swap Rate c t ( t l , t n ) unter dem Mafl Qt19tn lognormalverteilt ist, so erhalt man

mit

und

Die Swap Rate ist unter Qtlltn ein Ma.rtinga1. Dies ergibt schliefllich

mit

und

Dies ist wiederum gerade die Formel von Black (1976).

6.5 Short Rate-Modelle

157

6.5 Short Rate-Modelle Short Rate-Modelle stellen die Entwicklung des kurzfristigen Zinses rt an den Anfang der Analyse. Das einzige gehandelte Basiswertpapier ist das Geldmarktkonto. NKAs dagegen gehoren nicht zu den gehandelten Basiswertpapieren, ihr Preis ergibt sich modellendogen. Dies deutet bereits darauf hin, dass Short Rate-Modelle im Allgemeinen nicht zinsstrukturkonform sind. Hull und White (1990) haben zur Losung dieses Problems vorgeschlagen, Short Rate-Modelle dahingehend zu modifizieren, dass man die Parameter unter dem risikoneutralen Mafi als Funktion der Zeit angibt, wobei diese Funktionen gerade so gewahlt werden, dass das Model1 zinsstrukturkonform wird. Auch diese Erweiterung der reinen Short Rate-Modelle sol1 in diesem Kapitel vorgestellt werden. Wir beginnen mit einer allgemeinen Darstellung von Short Rate-Modellen und zeigen, wie man von der Angabe des Verhaltens der Short Rate unter dem wahren Maf.3 P zu Bewertungsgleichungen fur Derivate gelangt. Dabei diskutieren wir insbesondere auch die Unterschiede zum Model1 von HJM und zeigen, wie sich Short Rate-Modelle in den Modellrahmen von HJM einfugen. Im Anschluf.3 stellen wir dann die zeitstetige Variante des HL-Modells, die Modelle von Vasicek (1977) und Cox, Ingersoll und Ross (1985) sowie das erweiterte Vasicek-Model1 von Hull und White (1990) dar. 6.5.1 Grundlagen

Wir gehen bei der Darstellung von Short Rate-Modellen in drei Schritten vor. Im ersten Schritt wird das Model1 unter dem wahren Mafi P angegeben. Dies geschieht hier durch die Angabe der SDE fur die Short Rate rt. Im zweiten Schritt wird das risikoneutrale Ma0 bestimmt, wobei gleichzeitig zu untersuchen ist, ob das im ersten Schritt spezifizierte Model1 arbitragefrei und vollstandig ist. Im dritten Schritt werden dann Derivate bewertet. 6.5.1.1 Beschreibung der Unsicherheit

Die SDE fur die Short Rate ist wie folgt gegeben:

wobei pt und ot auch von der Short Rate rt selbst abhangen konnen. In Erweiterungen dieses Modells betrachtet man zusatzlich weitere Zustandsvariablen. Dabei kann es sich um Zinsen selbst handeln (beispielsweise Kassazinsen fur ausgewahlte Fristigkeiten, Forwardzinsen oder Swap Rates), um Zustandsvariablen wie die Volatilitat der Short Rate oder den Mittelwert der Short Rate (diese haben den Nachteil, dass sie nicht direkt beobachtet werden konnen) oder auch um Zustandsvariablen, die keine direkte anschauliche Interpretation haben.

158

6 Zeitstetige Zinsmodelle

6.5.1.2 Bestimmung des risikoneutralen Mafies

Zweiter Schritt nach der Beschreibung der Unsicherheit ist die Angabe des Modells unter dern risikoneutralen Wahrscheinlichkeitsmafi. Dieses existiert nur, wenn das Model1 arbitragefrei ist. Im HJM-Model1 muss aufgrund der zu grofien Zahl an Basiswertpapieren die gemeinsame Dynamik der Forwardzinsen eingeschrankt werden, um die Arbitragefreiheit sicherzustellen. Dies geschieht durch die Driftrestriktion. In einem Short Rate-Model1 dagegen wird nur der Preisprozess des Geldmarktkontos vorgegeben, und jedes Portfolio besteht ausschlief3lich aus dern Geldmarktkonto. Da dieses stets positiv ist, ist das Model1 ohne weitere Einschrankungen arbitragefrei. Um das risikoneutrale Maf3 anzugeben, be@tigt man den Marktpreis des Risikos, der die Verbindung zwischen Wt und Wt herstellt. Dieser Marktpreis des Risikos folgt im Model1 von HJM aus dern Preisprozess einer beliebigen NKA mit Falligkeit in T als

Da dieser Marktpreis des Risikos eindeutig ist, sind die Preisprozesse aller anderen NKAs dann nicht mehr frei wahlbar, und die Driftrestriktion (6.5) muss erfullt sein. In einem Short Rate-Model1 dagegen wird nur das Geldmarktkonto gehandelt, so dass der Marktpreis des Risikos nicht aus dern Verhalten gehandelter Titel abgelesen werden kann, sondern vielmehr als zusatzliche Information exogen vorgegeben werden muss. Mit dern Marktpreis des Risikos At ist der Prozess der Short Rate unter dern risikoneutralen Wahrscheinlichkeitsmafi gegeben als

+ atdWt , A

drt = ( p t - &at)dt

wobei die Wiener Prozesse unter dern risikoneutralen Mafi und unter dern wahren Mafi wie folgt zusarnmenhangen:

Abkurzend kann man fiir die Dynamik der Short Rate unter dern risikoneutralen Mafi auch schreiben

wobei sich der Drift unter dern risikoneutxalen Ma13 als

ergibt. Gibt man direkt diese SDE unter dern risikoneutralen Ma.0 Q an, so spricht man auch von Martingale Modelling.

6.5 Short Rate-Modelle

159

6.5.1.3 Bewertung von Derivaten in Short Rate-Modellen Kennt man den Prozess der Short Rate unter dem risikoneutralen WahrscheinlichkeitsmaB, kann man Zinsderivate bewerten. Die risikoneutrale Bewertungsgleichung fur Zinsderivate lautet

I Ft] Die pa.rtielle Differentialgleichurig fur Zinsderivate C , deren Preis c(t, r t ) nur von t und rt abhangt, und die unter anderem auch fiir NKAs gilt, lautet: dc dc %(t,~+ ) %(t.r) (pt

-

k t )

1 d2c + --(t,r)of 2 dr2

= r c(t,r)

bzw. unter Verwendung des Driftes der Short Rate unter dem risikoneutralen MaB

Auf diese Gleichung werden wir bei der Darstellung des Modells von Cox, Ingersoll und Ross (1985) in Abschnitt 6.5.5 noch zuruckgreifen. 6.5.1.4 Modellendogene Zinsstruktur Der Anleihepreis im Zeitpunkt t ergibt sich als

Speziell fur die Zinsstruktur in t = 0 erhalt man ( T )=

E

[ 1' -

r.ds)

FO].

Sie hangt von der unterstellten Stochastik der Short Rate unter dem Mafi P (d.h. vom Drift pt und von der Volatilitat at) und vom Marktpreis des Risikos At ab. Geht man von der Stochastik unter dem risikoneutralen Maf3 aus, so hangt sie von dem Drift Ot (in den pi, ot und At eingehen) und von der Volatilitat at ab. Das Model1 ist nicht automatisch zinsstrukturkonform. Um Zinsstrukturkonformitat zu erreichen, muss man die modellendogenen Anleihepreise gleich den exogen gegebenen Anleihepreisen setzen und das Model1 dann nach den Parametern Ot und at invertieren. Dies ist nicht fur alle Modelle moglich, und die Losung ist auch nicht immer eindeutig.

6 Zeitstetige Zinsmodelle

160

6.5.1.5 Abgrenzung von Short Rate-Modellen gegen das

HJM-Model1 Short Rate-Modelle lassen sich hinsichtlich verschiedener Kriterien gegen das HJM-Model1 abgrenzen. 0

Basiswertpapiere Im Model1 von HJM gibt es mit den NKAs aller Fristigkeiten unendlich viele Basiswertpapiere. - In einem Short Rate-Model1 ist das einzige Basiswertpapier das Geldmarktkonto. Vollstandigkeit - Das Model1 von HJM ist vollstandig. Intuitiv lafit sich dies damit begrunden, dass man nur eine Risikoquelle (den Wiener Prozess) bzw. im allgemeinen Fall d Risikoquellen (einen d-dimensionalen Wiener Prozess) hat, es aber unendlich viele Basiswertpapiere gibt. Das Short Rate-Model1 ist unvollstandig. Hier gibt es eine Risikoquelle (den Wiener Prozess), aber nur ein gehandeltes Wertpapier. Arbitragefreiheit Das Model1 von HJM ist nur dann arbitragefrei, wenn die zusatzliche Driftrestriktion erfullt ist. Der Grund hierfur ist, dass es eine Risikoquelle (Wiener Prozess) bzw. im allgemeinen Fall d Risikoquellen (ddimensionaler Wiener Prozess) gibt, aber nicht 2 bzw. d l, sondern unendlich viele Basiswertpapiere vorhanden sind. Short Rate-Modelle sind laut Konstruktion arbitragefrei. Das einzige mogliche Portfolio besteht aus dem Geldmarktkonto, und hier wird aus einer positiven Anfangsinvestition eine positive Zahlung in der Zukunft, so dass keine Arbitragemoglichkeiten bestehen. Zinsstrukturkonformitat - Im Model1 von HJM ist die Zinsstruktur im Zeitpunkt t = 0 als Eingangsinformation vorzugeben. Das Model1 ist damit automatisch zinsstrukturkonform. In Short Rate-Modellen folgt die Zinsstruktur modellendogen aus der Stochastik der Short Rate unter dem risikoneutralen Wahrscheinlichkeitsmafi. Um Zinsstrukturkonformitat zu erreichen, ist das Model1 zu kalibrieren, was keineswegs fur alle Modelle bzw. fur alle anfanglichen Zinsstrukturen mijglich ist. Marktpreis des Risikos - Im Model1 von HJM tritt der Marktpreis des Risikos in der SDE unter dem risikoneutralen Mafi nicht mehr auf. - Im Short Rate-Model1 hangt die Stochastik unter dem risikoneutralen Mafi vom Marktpreis des Risikos ab. Der Marktpreis des Risikos ist ein praferenzabhangiger Parameter, der ausdruckt, wie die Investoren in der 0konomie das Risiko beurteilen, welche Kompensation sie also fur seine ~ b e r n a h m everlangen. Im Model1 von HJM wird durch die Vorgabe der Anleihepreisprozesse -

0

0

+

0

0

6.5 Short Rate-Modelle

161

der Marktpreis des Risikos fur die Risikoquelle W eindeutig festgelegt mit

Hier sind die Anleihepreisprozesse sogar mittels einer Driftrestriktion einzuschranken. Derivate auf Zinstitel hangen nun ebenfalls von der Risikoquelle W ab, deren Marktpreis des Risikos bekannt ist und bei der Bewertung verwendet werden kann. Jeder andere Marktpreis des Risikos wurde zu einer Arbitragemoglichkeit zwischen dem Derivat und den NKAs fuhren. Dies erklart, warum der Marktpreis des Risikos im Model1 von HJM unter dem risikoneutralen Wahrscheinlichkeitsmall (d.h. bei der Bewertung von Derivaten) genausowenig auftritt wie der Marktpreis des Risikos im Model1 von Black Scholes in die Preise von Aktienderivaten eingeht. Dies ist in Short Rate-Modellen anders. Hier wird laut Modellkonstruktion nur das Geldmarktkonto gehandelt. Nur mit diesem ist es aber nicht moglich, beliebige Derivate zu duplizieren. Ebensowenig erhalt man aus ihm den Marktpreis des Risikos fiir die Risikoquelle W. Dieser Marktpreis des Risikos ist fiir alle Zeitpunkte t und fur alle Zustande exogen vorzugeben. Reformulierung eines Short Rate-Modells als HJM-Model1 Ausgehend von dem Verhalten der Short Rate und dem Marktpreis des Risikos erhalt man eine Bewertungsgleichung fur Derivate. Mittels dieser kann man auch NKAs bewerten. Die hieraus folgende Dynamik der Anleihepreise kann man dann dazu verwenden, um das Short Rate-Model1 als HJM-Model1 zu reformulieren, indem man die Dynamik der Forwardzinsen angibt. Dabei ist zum einen die Volatilitatsstruktur festzulegen. Zum anderen ist die anfangliche Zinsstruktur vorzugeben: Die anfangliche Zinsstruktur folgt zunachst modellendogen. Sie hangt damit unter anderem von den Marktpreisen des Risikos ab. Hat man das Model1 an eine exogene Zinsstruktur angepasst, dann stimmen die modellendogene anfangliche und diese exogen gegebene Zinsstruktur uberein. Der Marktpreis des Risikos tritt dann bei der Bewertung von Derivaten nicht mehr auf. Im Folgenden sollen die bekanntesten Short Rate-Modelle vorgestellt werden. Schwerpunkte der Analyse bilden die Bestimmung der modellendogenen Zinsstruktur, die Kalibrierung des Modells, die Reformulierung als HJMModel1 sowie die Analyse der Eigenschaften der Zinsstruktur.

6.5.2 Die zeitstetige Version des Modells von Ho und Lee Wir beginnen die Darstellung von Short Rate-Modellen mit dem zeitstetigen Analogon des HL-Modells. Hier nimmt man an, dass die Volatilitat der Short

162

6 Zeitstetige Zinsmodelle

Rate eine Konstante ist, und dass ferner der Drift der Short Rate zeitabhangig, aber zustandsunabhangig ist. Insbesondere kann er nicht von der Short Rate selbst abhangen. Dies impliziert unter anderem, dass der Zins nicht zu einem bestimmten Wert zuruckgezogen wird, sondern dass er ohne Grenzen wachsen oder fallen kann.

6.5.2.1 Beschreibung des Modells Das Model1 wird festgelegt durch die Stochastik der Short Rate unter dem risikoneutra.len Ma.J.3, die hier gegeben ist als

wobei 6 ( . ) eine deterministische Funktion der Zeit und a eine Konstante ist. Im einfachsten Fall setzt man 6 ( t ) = 6 . Die Vorgabe der Stochastik unter dem risikoneutralen MaJ.3 reicht aus, um innerhalb dieses Modells alle Zinsderivate zu bewerten. Im Folgenden wird das Ziel sein, die Eigenschaften des Modells zu untersuchen. Die wichtigsten Ergebnisse lauten wie folgt: Die Short Rate ist unter dem risikoneutralen Maf3 normalverteilt. Sie kann damit negativ werden. Ihre Varianz geht mit wachsendem Zeithorizont gegen unendlich. Zur Bestimmung der Zinsstruktur sind zunachst die Anleihepreise zu bestimmen. Aus diesen erhalt man dann die Forwardzinsen. Die Forwardzinskurven verlaufen in einem gegebenen Zeitpunkt in unterschiedlichen Zustanden parallel. Damit ist nur die absolute Hijhe der Zinsen unsicher, die zukunftige Form der Forwardzinskurve ist dagegen schon heute bekannt . 1st der Drift der Short Rate unter dem risikoneutralen Ma8 eine Konstante, so ist das Model1 nicht zinsstrukturkonform. 1st der Drift dagegen eine deterministische Funktion der Zeit, so kann diese Funktion so gewahlt werden, dass das Model1 zinsstrukturkonform ist. Refomuliert man das zeitstetige HL-Model1 als HJM-Modell, so ist eine konstante Forwardzinsvolatilitat zu wahlen.

6.5.2.2 Verhalten der Short Rate Fur die Short Rate in t gilt

Damit ist rt unter dem risikoneutralen Mafi normalverteilt mit Erwartungswert

6.5 Short Rate-Modelle

163

und Varianz

Fur t + oo geht die Varianz gegen unendlich. Ferner gilt aufgrund der Normalverteilung, dass die Wahrscheinlichkeit fur negative Zinsen fur alle t positiv ist. 6.5.2.3 B e s t i m m u n g d e r Zinsstruktur Die Zinsstruktur kann durch die Preise von NKAs oder durch die Forwardzinsen beschrieben werden. Dabei stellt die NKA in diesem Model1 das einfachste Zinsderivat dar. Ihr Preis ist nicht exogen gegeben, sondern wird modellendogen bestimmt. S a t z 6.6 (Zeitstetiges HL-Modell: Anleihepreise) Die Short Rate folge dem Prozess (6.23). Dann ist der Preis in t der in T falligen NKA gegeben durch

Beweis: Nach der risikoneutralen Bewertungsgleichung gilt fur den Anleihepreis

Mit dem Zusammenhang zwischen der Short Rate zum Zeitpunkt s und der Short Rate zum Zeitpunkt t

erhalt man fur das Integral uber die Short Rate

iT IT + ls + Is r,ds =

[rt

B(u)du

ud@u] ds

164

6 Zeitstetige Zinsmodelle

Einsetzen in die Bewertungsgleichung fiir die NKA ergibt

Bt(T) =?! ,

[

exp

i

- (T - t ) r t -

iT

0 ( u )(T - u ) d u

I3

Da die Zinsen normalverteilt sind, ist der Anleihepreis lognormalverteilt.

Satz 6.7 (Zeitstetiges HL-Modell: Forwardzinsen) Die Short Rate folge dem Prozess (6.23) Dann ist der Forwardzins i n t fur den Zeitpunkt T gegeben durch

Beweis: Der Forwardzins folgt eindeutig aus den Preisen der NKAs iiber f t ( T )= -

d In Bt ( T ) dT .

Setzt man den in Satz 6.6 berechneten Anleihepreis ein, so erhalt man

0

Aus Satz 6.6 und Satz 6.7 erhalt man die modellendogene Zinsstruktur mit den Anleihepreisen

und den Forwardzinsen

6.5 Short Rate-Modelle

165

Da der Drift 0 vom Marktpreis des Risikos abhangt, ist auch die modellendogene Zinsstruktur vom Marktpreis des Risikos abhangig.

6.5.2.4 Kalibration des Modells Das Model1 sol1 an eine anfangliche, exogen gegebene Zinsstruktur B F ( T ) bzw. f g x ( T ) angepasst werden. Dies geschieht hier durch geeignete Wahl des Driftparameters O ( . ) :

Satz 6.8 (Zeitstetiges HL-Modell: Modellkalibration) Die Short Rate folge dem Prozess (6.23). Dann kann das Model1 durch die Wahl uon

an die exogen gegebene Forwardzinskurue { foex ( t )It 2 0 ) angepasst werden. Beweis: Die Formel fiir B(t) kann entweder durch Gleichsetzen von modellendogenen und modellexogenen Anleihepreisen oder durch Gleichsetzen von modellendogenen und modellexogenen Forwardzinsen gezeigt werden. Wir beginnen mit der Kalibration des Modells anhand der Diskontierungsfunktion. Aus der Bedingung Bo( T )= B,e" ( T ) erhalt man unter Verwendung der Anleihepreisformel aus Satz 6.6

und hieraus durch Logarithmieren und anschlieflendes Differenzieren nach T

-ro-0(T)(T-T)-

IT

1 2

B(u)~u+-u~T~=

bzw, umgeformt

Nochmaliges Differenzieren nach T ergibt

8 ln B:" ( T ) dT

166

6 Zeitstetige Zinsmodelle

und schliefilich

Alternativ kann das Model1 auf Basis der Forwardzinskurve kalibriert werden. Aus der Bedingung

fur alle T erhalt man unter Verwendung der Gleichung fur den Forwardzins aus Satz 6.7

Differenzieren nach T ergibt

8fo""(T) B(T)- a 2 T = dT und schliefilich wiederum

Mit dieser Wahl von 8 ( t ) lautet die SDE fur die Short Rate

Dies entspricht der SDE (6.14), die man im Model1 von HJM unter der Annahme einer konstanten Forwardzinsvolatilitat erhalten hat. Und tatsachlich entspricht das zeitstetige HL-Model1 dem HJM-Model1 mit konstanter Volatilitat der Forwardzinsen, wie wir im Folgenden sehen werden. 6.5.2.5 Verbindung zum Model1 von HJM Aus dem Verhalten der Short Rate unter dem risikoneutralen Mafi erhalt man zu jedem Zeitpunkt und in jedem Zustand die Preise der Anleihen. Damit kann der Prozess der Anleihepreise und auch der Prozess der Forwardzinsen bestimmt werden. Dieser Prozess der Forwardzinsen ist der Ausgangspunkt des Modells von HJM. Es liegt damit nahe, das Short Rate-Model1 als HJMModel1 darzustellen.

Satz 6.9 (Zeitstetiges HL-Modell: SDE fiir Anleihepreise) Die Short Rate folge dem Prozess (6.23). Dann gilt fur die Dynamik der Anleihepreise dBt ( T ) -- rtdt Bt (TI

A

-

o(T - t ) d W t .

6.5 Short Rate-Modelle

167

Beweis: Nach Satz 6.6 ist der Anleihepreis

eine Funktion von t und rt. Mit Hilfe von It6s Lemma erhalt man

Hieraus folgt

0

Die SDE fiir den Anleihepreis in Satz 6.9 ist gerade die SDE, die man auch im Model1 von HJM mit konstanter Volatilitat der Forwardzinsen erhalt.

Satz 6.10 (Zeitstetiges HL-Modell: SDE Forwardzinsen) Die Short Rate folge dem Prozess (6.23), so gilt fiir das Verhalten der Forwardzinsen dft ( T )= a2(T - t)dt + adEt.

Beweis: Ausgehend von der Gleichung fur die Forwardzinsen

erhalt man

0

Dies ist gerade die SDE, die man auch im Model1 von HJM mit konstanter Volatilitat der Forwardzinsen erhalt. Das zeitstetige HL-Model1 entspricht also dem HJM-Model1 mit konstanter Volatilitat der Forwardzinsen:

~ f , t ( T=) a a,,,(T) = a(T - t ) . Bezuglich der anfanglichen Forwardzinsstruktur gelten folgende Aussagen:

168

6 Zeitstetige Zinsmodelle

Wird die Stochastik der Short Rate unter dem risikoneutralen Ma0 vorgegeben, dann folgt die anfangliche Zinsstruktur modellendogen. Die bei HJM ,,vorgegebeneNZinsstruktur ist dann unter anderem eine Funktion des Marktpreises des Risikos. Wird das HL-Model1 an eine exogen gegebene Zinsstruktur kalibriert, dann ist die anfangliche Zinsstruktur bei HJM gerade diese exogen gegebene Zinsstruktur. Es treten keine Marktpreise des Risikos mehr auf. Das HL-Model1 kann also als HJM-Model1 reformuliert werden. Dennoch ist der folgende Unterschied wichtig: Wahrend bei HJM der Drift der Forwardzinsen eingeschrankt werden muss und die Anpassung an die exogene Zinsstruktur durch die Vorgabe genau dieser Zinsstruktur als Startbedingung geschieht, ist das Short Rate-Model1 per Konstruktion arbitragefrei, und die Anpassung an die exogen gegebene Zinsstruktur erfolgt durch eine geeignete Wahl des Drifts der Short Rate.

6.5.3 Das Model1 von Vasicek Der Prozess fur die Short Rate im HL-Model1 weist zwei Schwachpunkte auf. Erstens ist der Zins normalverteilt, so dass negative Zinsen auftreten konnen. Zweitens wachst die Varianz des Zinses mit wachsendem Zeithorizont ohne Grenzen. Dieses zweite Problem wird im Model1 von Vasicek (1977) gelost, in dem man annimmt, dass der Zins einem sogenannten Mean Reversion-Prozess folgt, es also einen langfristigen Mittelwert gibt, zu dem der Zins immer wieder zuruckgezogen wird. Bei der Diskussion des Modells von Vasicek gehen wir genauso vor wie im vorangegangenen Abschnitt. Zunachst wird das Model1 durch Angabe der SDE fur den kurzfristigen Zins beschrieben. AnschlieBend leiten wir die anfangliche Zinsstruktur her. Wir zeigen dann, warum eine Modellkalibration an eine exogen gegebene Zinsstruktur nicht moglich ist. 6.5.3.1 Beschreibung des Modells Das Model1 wird durch die Stochastik der Short Rate unter dem risikoneutralen Ma0 festgelegt:

wobei 9, n > 0 und a Konstanten sind. Der Parameter 9 ist das Mean Reversion-Level des Prozesses rt. 1st der aktuelle Stand des Prozesses grofier (kleiner) als 9, so ist der Driftterm negativ (positiv), und der Prozess wird zu 0 zuruckgezogen. J e gro0er n, die Mean Reversion-Geschwindiglceit,desto starker reagiert der Drift auf Abweichungen vom Mean Reversion-Level, und desto schneller kehrt der Prozess zu diesem zuruck. Die Stochastik unter dern risikoneutralen Ma0 reicht, aus, um innerhalb dieses Modells alle Zinsderivate zu bewerten. Im Folgenden wird es das Ziel

6.5 Short Rate-Modelle

169

sein, die Eigenschaften des Modells zu untersuchen. Die wichtigsten Ergebnisse seien hier bereits vorweggenommen:

0

0

Die Short Rate ist urlter dern risikoneutralen MaO normalverteilt. Sie kann also negativ werden. Ihre Varianz geht mit wachsendem Zeithorizont allerdings gegen einen endlichen Wert. Das Model1 ist nicht zinsstrukturkonform, es kann nicht an eine exogen gegebene Zinsstruktur kalibriert werden. Das Model1 impliziert eine exponentiell gedampfte Volatilitat der Forwardzinsen.

6.5.3.2 Verhalten der Short Rate Fur den Zins in t gilt

Um diese Gleichung zu erhalten, bestimmt man zunachst die SDE fur entrt. Mit Hilfe von It6s Lemma erhalt man

Integrieren von 0 bis t ergibt

Durch Auflosen nach rt folgt dann Gleichung (6.25) fur die Short Rate in t. Diese ist unt,er dem risikoneutralen Mai3 normalverteilt mit Erwartungswert

und Varianz

Sowohl der Erwartungswert als auch die Varianz unter dem risikoneutralen MaO sind beschrankt. Der Grund hierfur liegt in der Mean ReversionEigenschaft des kurzfristigen Zinses. Da der Zins immer wieder zu seinem Mean Reversion Level von Q zuriickgezogen wird, kann er auch in ferner Zukunft nicht beliebig stark schwanken, sondern es gibt eine 'Obergrenze' fur seine Unsicherheit.

170

6 Zeitstetige Zinsmodelle

6.5.3.3 Bestimmung der Zinsstruktur

Wie auch im zeitstetigen HL-Model1 besteht der erste Schritt darin, die Preise von NKAs zu bestimmen. Diese werden im Model1 nicht gehandelt, sondern stellen die einfachsten Zinsderivate dar.

Satz 6.11 (Model1 von Vasicek: Anleihepreise) Die Short Rate rt folge dem Prozess (6.24). Dann ist der Preis in t einer in T falligen NKA gegeben durch

Beweis: Aus der risikoneutralen Bewertungsgleichung erhalt man

Fur den Zins in s gilt, ausgehend von rt

Hiermit erhalt man fur das Integral uber den kurzfristigen Zins

Vertauschen der Integrationsreihenfolge beim letzten Summanden ergibt

Damit erhalt man schliefilich

6.5 Short Rate-Modelle

171

Dieser Term ist normalverteilt. Fur den Erwartungswert des Integrals uber die Short Rate gilt

und fur die Varianz erhalt man

Einsetzen in die risikoneutrale Bewertungsgleichung ergibt fur den Preis der

NKA

= exp

{

-

l - e:(T-t)

Da die Short Rate normalverteilt ist, ist der Anleihepreis lognormalverteilt.

Satz 6.12 (Modell von Vasicek: Forwardzinsen) Die Short Rate folge dem Prozess (6.24). Dann ist der Forwardzins i n t fur eine Anlage i n T gegeben durch

Beweis: Fur den Forwardzins gilt

172

6 Zeitstetige Zinsmodelle

ft(T) = -

a In Bt ( T ) aT

Einsetzen des in Satz 6.11 berechneten Anleihepreises ergibt dann den Forwardzins. 13 Damit erhalt man eine modellendogene Zinsstruktur mit den Anleihepreisen

und den Forwardzinsen

6.5.3.4 Kalibration des Modells Es ist nicht moglich, das Model1 von Vasicek (1977) an eine exogen gegebene Zinsstruktur anzupassen, das Model1 ist also nicht zinsstrukturkonform. Der Grund liegt darin, dass die Forderung

fur alle t erfullt sein muss. Diesen unendlich vielen Bedingungen stehen nur drei freie Parameter, namlich 8, n und a, gegenuber. Die Begrundung deutet bereits an, wie das Problem gelost werden kann. So besteht die vielleicht einfachste Moglichkeit darin, einen oder mehrere Parameter zeitabhangig zu machen. In der Regel wahlt man hierfiir das Mean Reversion Level. Dieses sogenannte 'Extended Vasicek'-Model1 wurde von Hull und White (1990) vorgeschlagen, und wir werden es in Abschnitt 6.5.4 naher betrachten. Im Model1 von Vasicek (1977) ist die Menge der moglichen Zinsstrukturen eingeschrankt. 1st die Short Rate rt grofier als ihr langfristiger Erwartungswert I3 unter dem risikoneutralen Mafi, dann ist die Forwardzinsstruktur in t fallend. 1st die Short Rate rt dagegen kleiner als ihr langfristiges Mittel, dann ist die Forwardzinsstruktur zunachst wachsend. 1st die Short Rate sogar kleiner als 13 - a2/n2, dann ist sie fur alle T wachsend, andernfalls beginnt sie ab einem bestimmten Wert von T zu fallen.

6.5.3.5 Verbindung zum Model1 von HJM Zum Abschlufi sol1 noch die Einbettung des Modells von Vasicek in den Modellrahmen von HJM erfolgen:

6.5 Short Rate-Modelle

173

Satz 6.13 (Model1 von Vasicek: SDE Forwardzinsen) Die Short Rate folge dem Prozess (6.24). Dann gilt fur das Verhalten der Forwardzinsen

Beweis: Wir gehen von dem in Satz 6.12 berechneten Forwardzins aus. Anwenden von It6s Lemma und Einsetzen der SDE (6.24) fur die Short Rate rt 0 ergibt die obige Dynamik fiir den Forwardzins. Die SDE fur die Forwardzinsen entspricht gerade der Dynamik der Forwardzinsen im Model1 von HJM mit exponentiell gedampfter Volatilitat:

Zu beachten ist jedoch, dass hier nicht eine beliebige Zinsstruktur an den Anfang gestellt werden kann, sondern nur die Zinsstruktur, die sich modellendogen ergibt. 6.5.4 ,,Extended Vasicek" Hull und White (1990) haben eine Erweiterung des Modells von Vasicek vorgeschlagen, die das Problem der fehlenden Zinsstrukturkonformitat lost. Grundidee ist es, einen oder mehrere der konstanten Parameter durch eine von der Zeit abhangige Funktion zu ersetzen. Es liegen dann genug Freiheitsgrade vor, um das Model1 an eine beliebige gegebene Zinsstruktur anzupassen. 6.5.4.1 Beschreibung des Modells Das Model1 wird durch die Stochastik der Short Rate unter dem risikoneutralen Ma0 festgelegt:

wobei das Mean Reversion-Level O(.), die Mean Reversion-Geschwindigkeit K(.) und die Volatilitat a(.) deterministische Funktionen der Zeit sind. Wir betrachten im Folgenden ein vereinfachtes Modell mit n(t) = n und a ( t ) = a . Die SDE fiir rt lautet dann

6.5.4.2 Verhalten der Short Rate Die Short Rate rt erhalt man wie im Model1 von Vasicek (1977), indem man zunachst die SDE fur entrt bestimmt und diese lost. Fiir rt folgt dann

174

6 Zeitstetige Zinsmodelle

rt = e-"ro

+

1 t

+

~e-'('-~)B(u)du a

/

t

e-K(t-u)d@u.

0

Auch in diesem Model1 ist rt normalverteilt, diesmal mit Erwartungswert

und Varianz

wobei die Varianz gegenuber dem Model1 Vasicek unverandert bleibt. 6.5.4.3 Bestimmung der Zinsstruktur Wie bereits im Falle des zeitstetigen HL-Modells und des Modells von Vasicek reicht die Kenntnis des Prozesses der Short Rate unter dem risikoneutralen Ma0 aus, um alle Zinsderivate zu bewerten. Von besonderem Interesse ist zunachst die Bestimmung der modellendogenen Zinsstruktur.

Satz 6.14 (Extended Vasicek: Anleihepreise) Die Short Ratefolge dem Prozess (6.26). Dann ist der Preis in t der in T falligen NKA gegeben durch

Beweis: Mit der risikoneutralen Bewertungsgleichung gilt

Fiir den Zins in s gilt, ausgehend von r t ,

Hiermit erhalt man fur das Integral uber den kurzfristigen Zins

6.5 Short Rate-Modelle

175

Vertauschen der Integrationsreihenfolge bei den letzten beiden Summanden ergibt

Damit erhii.lt man schliei3lich

Dieser Term ist normalverteilt. Fur den Erwartungswert des Integrals iiber die Short Rate gilt

seine Varianz ist

Einsetzen in die risikoneutrale Bewertungsgleichung ergibt

0

Wie bereits im Model1 von Vasicek hangt der Anleihepreis nicht nur von dem Stand des Wiener Prozesses in t , sondern von dessen gesamtem Pfad bis t ab. Gleiches gilt fur die Forwardzinsen:

Satz 6.15 (Extended Vasicek: Forwardzinsen) Die Short Rate folge dem Prozess (6.26). Dann ist der Forwardzins i n t fur Falligkeit i n T gegeben durch

176

6 Zeitstetige Zinsmodelle

Beweis: Der Forwardzins ist f t ( T )= -

d ln Bt ( T ) ,!jT

.

Einsetzen des in Satz 6.14 bestimmten Anleihepreises ergibt dann die Forwardzinsen. Damit kennt man die zustandsabhangige Zinsstruktur. Die modellendogene Zinsstruktur im Zeitpunkt t = 0 ist dann durch die Anleihepreise

oder alternativ durch die Forwardzinsen

festgelegt. Im Unterschied zum Model1 von Vasicek ist es nun mijglich, dieses Model1 an eine exogen gegebene Zinsstruktur zu kalibrieren. Wie dies geschieht, wird im nachsten Abschnitt gezeigt. 6.5.4.4 Kalibration des Modells

Die Kalibration des Modells geschieht durch die geeignete Wahl der Funktion

O(t). Satz 6.16 (Extended Vasicek: Modellkalibration) Die Short Rate folge dem Prozess (6.26). Dann kann das Modell durch die Wahl von

an die exogen gegebene Forwardzinskurve {foex(t)lt2 0 ) angepasst werden. Beweis: Wir beginnen mit der Bedingung

Durch Einsetzen der Formel aus Satz 6.15 fur f o ( T ) erhalt man

Multiplikation mit enT ergibt

6.5 Short Rate-Modelle

177

Durch Differenzieren nach T erhalt man

und schliefdich

0

Setzt man die Funktion 8 ( t ) in die SDE (6.26) fur die Short Rate ein, so erhalt man ad@t. Dies ist genau die SDE (6.15) fur die Short Rate, die man auch im Model1 von HJM bei exponentiell gedampfter Volatilitat der Forwardzinsen erhalten hat. Die Verbindung zum HJM-Model1 sol1 nun wiederum genauer analysiert werden.

6.5.4.5 Verbindung zum Model1 von HJM Um die Verbindung zum HJM-Model1 herzustellen, betrachten wir die SDEs fur die Anleihepreise und fiir die Forwardzinsen. Diese sind in den beiden folgenden Satzen angegeben:

Satz 6.17 (Extended Vasicek: SDE Anleihepreise) Die Short Rate folge dem Prozess (6.26). Dann ist die SDE der Anleihepreise gegeben durch

Beweis: Die Behauptung folgt durch Anwendung von ItSs Lemma auf die in 0 Satz 6.14 angegebenen Preise von NKAs. Satz 6.18 (Extended Vasicek: SDE Forwardzinsen) Die Short Rate folge dem Prozess (6.26). Dann ist die SDE der Forwardzinsen gegeben durch

178

6 Zeitstetige Zinsmodelle

Beweis: Die SDE resultiert direkt aus der Formel fur die Forwardzinsen in Satz 6.15. 0 Sowohl aus der SDE fur die Forwardzinsen als auch aus der SDE fur die Anleihepreise lasst sich die Verbindung zum HJM-Model1 ableiten. Das erweiterte Model1 von Vasicek entspricht dem Model1 von HJM mit exponentiell gedampfter Volatilitat der Forwardzinsen, d.h. mit

und

Es kann eine beliebige anfangliche Zinsstruktur vorgegeben werden, da man das Model1 durch die geeignete Wahl des Mean Reversion-Level immer an diese kalibrieren kann.

6.5.5 Das Model1 von Cox, Ingersoll und Ross 6.5.5.1 Beschreibung des Modells Ein weiteres Short Rate-Model1 ist das Model1 von Cox, Ingersoll und Ross (1985), kurz als CIR-Model1 bezeichnet. In diesem Model1 wird der Prozess der Short Rate im Rahmen eines Gleichgewichtsmodells hergeleitet, in dem die Entwicklung des (aggregierten) Konsums exogen gegeben ist. Wir wollen an dieser Stelle nicht auf das zugrundeliegende Gleichgewichtsmodell eingehen, sondern, dem Ansatz des Martingale Modelling folgend, die SDE fur die Short Rate uriter dern risikorieutralen Ma0 an den Arifang stellen. Das Model1 wird durch die Dynamik der Short Rate unter dem risikoneutralerl Ma0 festgelegt:

drt = ~ ( -0rt)dt

+ ofidGt.

(6.27)

Die Short Rate folgt einem sogenannten Square Root-Prozess. Dieser ist dadurch gekennzeichnet, dass die Volatilitat der Short Rate proportional zur Wurzel der Short Rate ist, wahrend wir bis jetzt Modelle betrachtet haben, in denen die Volatilat konstant oder eine deterministische Funktion der Zeit war.

6.5.5.2 Verhalten der Short Rate Der Square Root-Prozess ist wesentlich schwieriger zu handhaben als die bis jetzt behandelten Prozesse. Insbesondere ist es im Allgemeinen nicht moglich, eine geschlossene Formel fur die Short Rate rt zu finden, wie dies im HLModel1 und im Model1 von Vasicek noch moglich war.

6.5 Short Rate-Modelle

179

Ma.n weifl jedoch, da.ss die Short Rate einer nicht-zentralen X2-Verteilung folgt. Der Erwartungswert und die Varianz von rt unter dem risikoneutralen Mafl 1a.ssen sich noch relativ leicht berechnen. Hierzu geht man von der Gleichung

aus. Fur den Erwartungswert gilt dann

Bezeichnet man den gesuchten Erwartungswert mit p(s), so gilt

Ableiten dieser Funktion nach T ergibt

Hieraus folgt dann

und man erhalt als Losung dieser Differentiadgleichung den bedingten Erwa.rtungswert der Short Rate

Er entspricht genau dem Erwartungswert aus dem Vasicek-Model1 und ist gleich dem gewichteten Mittelwert aus der Short Rate rt und dem Mean Reversion-Level 0. Um die Varianz zu bestimmen, betrachtet man r$. Zunachst erhalt man durch Anwendung von It6s Lemma

Fiir den Erwartungswert ergibt sich

E [ r $ l . ~= ~ lr:

+

1

T

t

+

((2x0 g2)P[rS[.Ft] - 2n~[r;1.Ft]} ds.

180

6 Zeitstetige Zinsmodelle

Mit einer ahnlichen Rechnung wie im Falle des bedingten Erwartungswertes von rT erhalt man fur den bedingten Erwartungswert von r$

Die Varianz ergibt sich dann mittels der Beziehung

6.5.5.3 Bestimmung der Zinsstruktur

In den bis jetzt diskutierten Zinsmodellen haben wir die Anleihepreise durch Einsetzen der sicheren Auszahlung von eins in die risikoneutrale Bewertungsgleichung bestimmt. Ausgehend von der Gleichung fur den Zins zu einem Zeitpunkt s und dem Integral uber den risikolosen Zins von t bis T sowie von dessen Verteilung haben wir dann den Preis in t der in T falligen NKA erhalten. Dieses Vorgehen scheitert im Model1 von Cox, Ingersoll und Ross (1985) daran, dass wir im Allgemeinen nicht in der Lage sind, eine geschlossene Formel fur den Zins anzugeben. Wir greifen deshalb auf die fundamentale partielle Differentialgleichung (6.22) in Abschnitt 6.5.1.3 zuruck. Da die Short Rate im Model1 einem Markovprozess folgt, ist der Anleihepreis in t eine Funktion des aktuellen Zeitpunktes t und des Falligkeitszeitpunktes T sowie der Short Rate rt:

Wie jedes Derivat muss auch der Anleihepreis die fundamentale partielle Differentialgleichung erfullen:

db db + -K(B at dr

erhalt man

- r)

+ -21.

d2b dr2

2

-a r

= rb.

6.5 Short Rate-Modelle

181

bzw.

Da diese Gleichung fur alle r erfullt sein muss, mussen die beiden Klammerausdrucke identisch gleich null sein, woraus man die folgenden beiden Differentialgleichungen fur die Funktionen A und C erhalt:

Die Losung dieser Gleichungen lautet

mit

Damit sind der Preis der NKA und die modellendogene Zinsstruktur berechnet.

182

6 Zeitstetige Zinsmodelle

6.6 Aufgaben 1. Betrachtet werde ein GauB-Zinsmodell. a) Berechnen Sie die Kassazinsen in TI unter Verwendung von Satz 6.3. b) Geben Sie die Verteilung der Kassazinsen an. c) Geben Sie die Verteilung der Forwardzinsen an. d) Was bedeutet die Verteilung der Zinsen fur die Bewertung einer amerikanischen Calloption auf eine NKA? 2. Betrachtet werde das Gaui3-Zinsmodell mit konstanter Volatilitat der Forwardzinsen. a) Vergleichen Sie den Forwardpreis mit dem Futurespreis. Interpretieren Sie Ihre Aussagen jeweils auch okonomisch. i. Wie hangt das Verhaltnis der beiden Preise von der Volatilitat af ab? ii. Wie hangt das Verhaltnis der beiden Preise von der Zeit bis Lieferung ab? (Vergleich von Ht (TI,TI T) und Gt (TI, TI T) in Abhangigkeit von TI) iii. Wie hangt das Verhaltnis der beiden Preise von der Restlaufzeit des Underlyings bei Lieferung ab? (Vergleich von Ht(T1, TI T ) und Gt (TI,TI T) in Abhangigkeit von r ) b) Was konnen Sie uber den Drift des Futurespreises unter dem risikoneutralen Mafi sagen? c) Was konnen Sie uber den Drift des Forwardpreises Gt(Tl, T2) unter dem terminrisikoangepassten Ma8 QT1 sagen? d) Es sei nun die anfangliche Zinsstruktur durch

+

+

+

+

A

gegeben, und es sei af = 0.2. Ferner sei Wq = 0.3. i. Berechnen Sie den Anleihepreis B4(7). ii. Berechnen Sie den Kassazins y4(7). iii. Berechnen Sie den Forwardzins fd(7). e) Betrachten Sie Optionen mit einer Zahlung in T von

bzw.

XI. ~ ~ x { Y T ( T-zYT(Tl), ) Nehmen Sie Stellung zu der folgenden Aussage: ,,Die Zahlung dieser Optionen ist aus heutiger Sicht eine Konstante." f) Welche Form hat die Forwardzinskurve in t fur t + oo? Gehen Sie dabei davon aus, dass fo(T) E [fu,fo] fur alle T. g) ,,Wenn man in t einen Zins kennt, kennt man die gesamte Zinsstruktur in t." Nehmen Sie Stellung zu dieser Aussage. 3. Betrachten Sie das Ga.ui3-Zinsmodell mit exponentiell gedampfter Volatilitat der Forwardzinsen uf,t(T) = af e-a(T-t).

6.6 Aufgaben

183

a) Vergleichen Sie den Forwardpreis mit dem Futurespreis. Interpretieren Sie Ihre Aussagen jeweils auch okonomisch. i. Wie hangt das Verhaltnis der beiden Preise von der Volatilitat uf ab? ii. Wie hangt das Verhaltnis der beiden Preise von der Zeit bis Lieferung ab? (Vergleich von Ht(Tl, TI T) und Gt (TI, Tl T ) in Abhangigkeit von TI) iii. Wie hangt das Verhaltnis der beiden Preise von der Restlaufzeit des Underlyings bei Lieferung ab? (Vergleich von Ht (TI,TI T) und Gt (TI, Tl T ) in Abhangigkeit von T) b) Geben Sie eine Formel fur ft(t) an. Wie groB ist die Varianz von ft(t) aus Sicht von t = 0 unter dem risikoneutralen MaB? Berechnen Sie zum Vergleich die Varianz von ft(t) fiir den Fall einer konstanten Volatilitat der Forwardzinsen. c) ,,Wenn man in t einen Zins kennt, kennt man die gesamte Zinsstruktur in t." Nehmen Sie Stellung zu dieser Aussage. d) Vergleichen Sie die Forwardzinsstrukturen in t in verschiedenen Zustanden. 4. Geben Sie fur die folgenden Derivate die risikoneutralen und terminrisikoangepassten Bewertungsgleichungen an. Der aktuelle Zeitpunkt sei t. Stellen Sie nur den Ansatz ohne explizite Rechnung dar. a) In Tl haben Sie das Recht, eine NKA mit Falligkeit in T2 fur einen Basispreis von X zu verkaufen. b) In TI konnen Sie wahlen, ob Sie zwei NKAs mit einer Restlaufzeit von dann noch 4 Jahren erhalten oder ob Sie drei NKAs mit einer Restlaufzeit von dann noch 10 Jahren erhalten. c) In TI erhalten Sie eine Auszahlung in Hohe des quadrierten (kontinuierlichen) Forwardzinses, der in Tl fur die Periode [TI 2, Tl 31 gilt. d) In TI haben Sie das Recht, fiir einen Basispreis von X I einen Call auf eine NKA zu kaufen, wobei dieser Call einen Basispreis von X2 hat, in T2 fallig ist und die NKA in T3 fallig ist. e) In Tl haben Sie das Recht, zu den dann geltenden Marktbedingungen in einen Future einzutreten, wobei der Future in T2 fallig ist und sein Underlying die in T3 fallige NKA ist. 5. Sind die folgenden Aussagen wahr oder falsch? Begrunden Sie Ihre Antwort kurz! a) Das Model1 von HJM ist zinsstrukturkonform, es kann an eine beliebige anfangliche Zinsstruktur angepasst werden. b) Beim Model1 von HJM konnen beliebige Driftfunktionen und Volatilitatsfunktionen vorgegeben werden. c) Die risikoneutrale Bewertung von Derivaten und die terminrisikoangepasste Bewertung von Derivaten fuhren zum gleichen Preis. d) Der Marktpreis des Risikos ist abhangig von den zu bewertenden Derivaten.

+

+

+

+

+

+

184

6 Zeitstetige Zinsmodelle

e) Da HJM nur das Verhalten der Forwardzinskurve beschreibt, kann das Verhalten von Anleihen innerhalb des Modells nicht erfasst werden. f) Im Model1 von HJM ist der Forwardpreis der beste Schatzer fur den zukunftigen Kassapreis einer Anleihe. g) Im Model1 von HJM ist der Forwardzins der beste Schatzer fur den zukunftigen Kassazins. 6. Allgemeine Verstandnisfragen a) Begrunden Sie, warum der Preis einer europaischen Calloption auf eine NKA unt,er dern risikoneutralen MaB einen Drift von rt hat. b) Begrunden Sie, warum im Model1 von HJM die Volatilitat eines Anleihepreises mit fallender Restlaufzeit gegen null geht. c) Der Preis einer Anleihe muss gegen den Nennwert von eins konvergieren, wenn die Restlaufzeit gegen null geht. Erlautern Sie verbal, wie diese Konvergenzbedingung im Model1 von HJM erfiillt wird. d) Wenn das Model1 von HJM arbitragefrei ist, ist der Drift der Anleihepreise unter dern risikoneutralen Mafl gleich dern risikolosen Zins. Gilt dies auch fur die Terminzinsen? Warum? e) Im Model1 von HJM wird die Arbitragefreiheit durch die Driftrestriktion sicher gestellt. Vergleichen Sie mit dern HL-Modell: Wie lautet die entsprechende Bedingung dort? f ) Interpretieren Sie die Bestandteile der folgenden Gleichungen. GrenZen Sie die Gleichungen insbesondere gegeneinander ab.

g) Nehmen Sie Stellung zu der folgenden Gleichung:

h) Vergleichen Sie die beiden folgenden Gleichungen miteinander. Welche ist richtig? Begrunden Sie Ihre Antwort!

7. Leiten Sie die Gleichung fiir das Verhalten des Forward-LIBORunter dern risikoneutralen MaB her. Gehen Sie da.bei vori dern Modell von HJM aus.

6.6 Aufgaben

185

8. Betrachten Sie zwei Caps. Die Zahlungszeitpunkte des ersten Caps sind 2At, 4At, . . ., 2nAt, die Zahlung in 2iAt ist

Die Zahlungszeitpunkte des zweiten Caps sind At, 2 4 3At, . . . ,2nAt, die Zahlung in iAt ist

Konnen Sie beide Caps mit der Formel von Black bewerten? 9. Short Rate-Modelle a) Wie wird in Short Rate-Modellen erreicht, dass der Preis einer NKA mit abnehmender Restlaufzeit gegen den Nennwert konvergiert? b) Grenzen Sie Short Rate-Modelle gegen das Model1 von HJM ab. c) Das Model1 von Vasicek und das zeitstetige HL-Model1 konnen auch als HJM-Modelle reformuliert werden. Gilt dies allgemein fur Short Rate-Modelle? d) Wie wurden Sie vorgehen, um ein Short Rate-Model1 unter dem terminrisikoangepassten Mafi anzugeben? e) In einem Short Rate-Model1 wird der Marktpreis des Risikos exogen vorgegeben. Was bedeutet dies? 10. Zeitstetiges HL-Model1 a) Wie verhalt sich die Short Rate rt fur wachsendes t? b) Wie bewerten Sie im Model1 von Ho und Lee einen europaischen Put auf eine NKA, wenn i. das Model1 nicht an eine exogen vorgegebene Zinsstruktur angepasst wird? ii. das Model1 an eine exogen vorgegebene Zinsstruktur angepasst wird? Geben Sie die einzelnen Schritte, beginnend mit der Aufstellung des Modells, an. 11. Model1 von Vasicek a) Betrachten Sie die modellendogene Forwardzinskurve zum Zeitpunkt t = 0. i. Wie groi3 ist fo(0)? ii. Gegen welchen Grenzwert konvergiert der Forwardzins fo(T) fur T -+ oo? iii. Zeichnen Sie die Forwardzinskurve fur verschiedene Parameterwerte. Versuchen Sie dabei, die Parameter so zu wahlen, dass Sie alle typischen Verlaufe erhalten. iv. Charakterisieren Sie die Form der Forwardzinskurve. Wann ist sie fallend, wann ist sie steigend? b) Wie verhalt sich die Short Rate fur wachsendes t? Erlautern Sie insbesondere anhand der SDE, warum die Short Rate mean reverting ist, also stets zu ihrem langfristigen Mittelwert zuruckgezogen wird.

186

6 Zeitstetige Zinsmodelle

c) Wie bewerten Sie im Model1 von Vasicek eine europaische Calloption auf eine NKA? Geben Sie die einzelnen Schritte, beginnend mit der Aufstellung des Modells, an.

6.7 Losungshinweise

187

6.7 Losungshinweise 1. a) b) c) d) 2. a)

b) c) d)

e)

f) g) 3. a)

b)

Man benutze die Beziehung zwischen Anleihepreisen und Kassazinsen. Normalverteilung. Normalverteilung. Vorzeitige Ausubung kann nicht ausgeschlossen werden. Im Allgemeinen gilt Futurespreis < Forwardpreis, d.h. Ht (TI,T2) < Gt (Tl, T2) Sonderfall: t = TI oder TI = T2 oder af = 0, dann gilt Ht(Tl, T2) = Gt (TI,T2) i. Differenz wachsend in af ii. Differenz wachsend in TI iii. Differenz wachsend in T Drift unter dem risikoneutralen Ma0 gleich null Drift unter dem terminrisikoangepa.ssten Ma.O QT1 gleich null i. B4(7) = 0.1300 ii. y4(7) = 0.68 iii. f4(7) = 0.92 Die Auszahlungen der Optionen hangen von der Steigung der Zinsstruktur ab. Da die Forwardzinskurven (und damit auch die Kassazinskurven) in verschiedenen Zustanden in T parallel zueinander sind, ist die Steigung unabhangig vom Zustand in T immer gleich. Forwardzinskurve ist steigend. Hinweis: Betrachten Sie f t ( t r2)ft(t rl) mit 72 > 71 und bilden Sie den Grenzwert fiir t -. m. Richtig. Wie wurden Sie vorgehen, urn aus einem Forwardzins alle anderen Forwardzinsen zu berechnen? Im Allgemeinen gilt Futurespreis < Forwardpreis, d.h. Ht(Tl, T2) < Gt(T1, T2) Sonderfall: t = Tl oder TI = T2 oder af = 0, dann gilt Ht(Tl, T2) = Gt(T1, T2) i. Differenz wachsend in af ii. Differenz wachsend in Tl iii. Differenz wachsend in T Formel fur ft(t):

+

+

Varianz bei exponentiell gedampfter Volatilitat der Forwardzinsen:

Varianz bei konstanter Volatilitat der Forwardzinsen:

188

6 Zeitstetige Zinsmodelle

c) Richtig. Wie wurden Sie vorgehen, um aus einem Forwardzins alle anderen Forwardzinsen zu berechnen? d) Zustandsabhangig in der Formel fur f t ( r )ist der letzte Term:

Der zweite Term ist nur zustandsabhangig, hangt aber nicht von der Fristigkeit T ab. Der erste Term hangt von der F'ristigkeit T ab und ist um so kleiner, je grijfler T ist. La13 man in Gedanken den zweiten Term von -co bis +co durchlaufen, so ist die Auswirkung auf die Forwardzinsen mit kiirzester Fristigkeit am grofiten. (Tipp: Zeichnen Sie den ersten Term, dann kennen Sie den Einflui3 der Stochastik fur einen zweiten Term von eins. Zeichnen Sie dann exemplarisch die Forwardzinskurven fur Werte des zweiten Terms von -3, -2 - l , O , l , 2,3.) 4. a) Put auf NKA, siehe Vorgehen bei Call

6.7 Losungshinweise

189

rnit

e) 5. a) b) c) d) e) f) g) 6. a)

b)

c) d)

e)

Wert dieser Vereinbarung heute ist null Richtig. Falsch. Richtig. Falsch. Falsch. Falsch. Unter welchem Ma8 gilt diese Aussage? Falsch. Unter welchem Ma8 gilt diese Aussage? Der Preis der Option, normiert mit dern Geldmarktkonto, ist unter dern risikoneutralen Ma0 ein Ma.rtinga1. Daraus folgt, dass der Drift des Optionspreises unter dern risikoneutralen Ma0 der risikolose Zins ist. Die Volatilitat des Anleihepreises ist das Integral uber die Forwardzinsvolatilitaten. Geht die Restlaufzeit gegen null, dann geht die untere Integrationsgrenze gegen die obere Integrationsgrenze und die Anleihevolatilitat damit gegen null. Hinweis: Der Anleihepreis wird nicht direkt modelliert, sondern als Funktion der Forwardzinsen ausgedruckt. Nein. Unter dern risikoneutralen Ma0 gilt fur die gehandelten Wertpapiere (ohne zwischenzeitliche Zahlungen), dass ihr Drift gleich dern risikolosen Zins ist. Der Forwardzins ist kein gehandeltes Wertpapier. Anleihepreise miissen untereinander arbitragefrei sein. Dies wird sichergestellt durch die Einschrankung der Storfunktion

und damit durch eine Einschrankung der moglichen gemeinsamen Dynamik der Anleihepreise. f) Alle Gleichungen: Die ~ n d e r u des n ~ Forwardzinses uber die Zeit wird in einen (lokal) deterministischen Drift und in einen stochastischen Teil zerlegt. Letzterer ergibt sich aus der Volatilitat, multipliziert mit dern Inkrement des Wiener Prozesses. Erste Gleichung: Dynamik der Forwardzinsen unter dern Mafi P, Marktpreis des Risikos noch enthalten (warum?), Arbitragefreiheit erfullt (warum?) Zweite Gleichung: Dynamik der Forwardzinsen unter dern risikoneutralen Ma13, Marktpreis des Risikos nicht mehr enthalten (warum?) Dritte Gleichung: Dynamik der Forwardzinsen unter dern terminrisikoangepassten Ma0 mit Falligkeit des normierenden Bonds in T*, Marktpreis des Risikos nicht mehr enthalten (warum?)

190

6 Zeitstetige Zinsmodelle

Die Volatilitat ist unter allen drei MaBen gleich, nur der Drift unterscheidet sich. Dies ist eine allgemeine Eigenschaft von Modellen, die auf Wiener Prozessen basieren. g) Falsch. Hier muBte der risikoneutrale Erwartungswert stehen, nicht, der terminrisikoangepasste. h) Erste Gleichung: falsch, sie basiert auf einer falschen Rechnung.

=

f [exp

{- iT

f8(.)dS}

1.1

[c~i]

Das zweite Gleichheitszeichen ist nur dann richtig, wenn die beiden Faktoren in der ersten Zeile stochastisch unabhangig sind. Zweite Gleichung: richtig ~ b e r l e ~ eSie n sich weiterfiihrend, wann risikoneutrales und terminrisikoangepasstes Ma8 auf jeden Fall iibereinstimmen. 7. Ausgangspunkt ist das Verhalten von NKAs im Model1 von HJM

Die gesuchte Gleichung folgt dann mit Hilfe von It& Lemma aus der Definition des Forward-LIBOR. 8. Die Formel von Black beruht auf der Lognormalverteilung des ForwardLIBOR.Zwischen den Forward-LIBORSfur Anlageperioden von At und 2At gilt der folgende Zusammenhang:

Es ist nicht moglich, dass alle drei Forward-LIBOR-Satzelognormalverteilt sind. Damit kann die Formel von Black (1976) nicht fiir die Bewertung von beiden Caps gleichzeitig verwendet werden. 9. a) Durch die risikoneutrale Bewertungsgleichung (durch diese wird der Anleihepreis modellendogen bestimmt). ~ b e r ~ r u f Sie e n diese Aussage! b) Stichworte: Basiswertpapiere, Vollstandigkeit, Arbitragefreiheit und Marktpreis des Risikos c) Ja. d) Angabe des Short Rate-Modells unter dem risikoneutralen MaB; Bestimmung der modellendogenen Anleihepreise; Wahl einer dieser Anleihen als neuer Numeraire; Maflwechsel vom risikoneutralen Ma6 zum terminrisikoangepassten Ma0

6.7 Losungshinweise

191

e) Der Marktpreis des Risikos ist praferenzabhangig. Er muss vorgegeben werden, da die Menge der Basiswertpapiere (Geldmarktkonto) nicht ausreicht, um alle Derivate zu duplizieren. (Was heifit das? Denken Sie an die Aussage ,,Arbitrageorientierte Bewertung ist relative Bewertung" .) 10. a) Short Rate:

Der risikoneutrale Erwartungswert der Short Rate ist

und liegt iiber dem Forwardzins. 1st der Forwardzins beschrankt, dann geht der Erwartungswert gegen unendlich. Die Varianz der Short Rate ist a2t und geht mit wachsendem t ebenfalls gegen unendlich. Wie realistisch ist dieses Verhalten? b) i. Angabe der Stochastik der Short Rate; exogene Vorgabe des Marktpreises des Risikos; Angabe der Stochastik der Short Rate unter dem risikoneutralen Mafi; Bewertung der NKA (als Underlying) im Falligkeitszeitpunkt des Puts; Angabe der Zahlung des Puts im Falligkeitszeitpunkt; Bewertung des Puts durch die risikoneutrale Bewertungsgleichung. 1st der Preis des Puts vom Marktpreis des Risikos abhangig? Warum? ii. Angabe der Stochastik der Short Rate; Marktpreis des Risikos wird als deterministische Funktion der Zeit eingefiihrt, die noch zu bestimmen ist; Angabe der Stochastik der Short Rate unter dem risikoneutralen Mao; Kalibration des Modells anhand der exogen gegebenen Preise der NKAs; Bewertung des Underlyings NKA im Falligkeitszeitpunkt des Puts; Angabe der Zahlung des Puts im Falligkeitszeitpunkt; Bewertung des Puts durch die risikoneutrale Bewertungsgleichung 1st der Preis des Puts vom Marktpreis des Risikos abhangig? Warum? 11. a) Modellendogene Forwardzinskurve im Zeitpunkt t = 0:

Term (1) ist ein gewichteter Durchschnitt aus T O und 8 und entspricht gerade dem Erwartungswert der Short Rate:

192

6 Zeitstetige Zinsmodelle

E[TTI.&]

+

= eWKTrO (1 - e-nT)6'.

Der Forwardzins ist damit gleich der erwarteten Short Rate abzuglich einem von der Volatilitat abhangigen Term. i. fo(0) = ro (Warum ist dies zwingend?) a" ii. lim f o ( T ) = 6 ' - T+cc 2K2 iii. Tipp: Unterscheiden Sie unter anderem die Falle

>

O=ro < iv. Fallunterscheidung ,. a Fall 1: - < 0 - ro

und

a2

-

K2

7 6'-r,

+ Forwardzinskurve ist steigend

62,

a' Fall 2: - > 0 - ro + Forwardzinskurve ist steigend fiir T K2 TI und fallend fur T > TI mit

<

Weisen Sie diese Aussagen nach! b) Short Rate:

Der Erwartungswert unter dern risikoneutralerl Mai3 ist ein gewichteter Durchschnitt aus der aktuellen Short Rate ro und aus 0, der gegen 0 konvergiert. Damit ist der Erwartungswert beschrankt. Varianz der Short Rate:

Sie konvergiert mit wachsendem t von unten gegen a2/(26). Damit ist auch die Varianz beschrankt. Um die Mean Reversion-Eigenschaft nachzuweisen, betrachtet man den Drift ~ ( -0 rt). 1st der aktuelle Zins kleiner als der langfristige Mittelwert von 0, so ist der Drift positiv. 1st der aktuelle Zins groBer als der langfristige Mittelwert von 0, so ist der Drift negativ. c) Spezifikation des Verhdtens der Short Rate; Vorgabe des Marktpreises des Risikos; Angabe des Verhaltens der Short Rate unter dem risikoneutralen MaB; Bewertung des Underlyings NKA im Falligkeitszeitpunkt des Calls; Angabe der Zahlung des Calls bei Falligkeit; risikoneutrale Bewertung der Zahlung

Abbildungsverzeichnis

Baum mit Preisen der Basiswertpapiere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Preisprozesse der Basiswertpapiere (Aufgabe 3) . . . . . . . . . . . . . . 52 Zinsprozess unter dem RNM (Aufgabe 4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Baum des risikolosen Zinssatzes (Aufgabe 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Baum der Diskontierungsfunktion (Aufgabe 4) . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.10 4.11 4.12 4.13 4.14 4.15 4.16 4.17 4.18 4.19 4.20 4.21 4.22 4.23 4.24 4.25

Einperiodige Entwicklung der Anleihepreise im HL-Model1 . . . . . 60 Pfadunabhangigkeit der Anleihepreise im HL-Model1 . . . . . . . . . . 62 Baum der Diskontierungsfunktion im HL-Model1 . . . . . . . . . . . . . 66 Baum der Short Rate im HL-Model1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Baum der europaischen Call-Preise im HL-Model1 . . . . . . . . . . . . 71 Baum der europaischen Put-Preise im HL.Model1 . . . . . . . . . . . . . 72 Baum der amerikanischen Call-Preise im HL-Model1 . . . . . . . . . . 72 Baum der amerikanischen Put-Preise im HL.Model1 . . . . . . . . . . . 73 Baum der Futurespreise im HL-Model1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Baum der kurzfristigen LIBOR-Zinsenim HL-Model1 . . . . . . . . . . 76 Bewertung des Caplet mit Zahlung in t = 1 im HL-Model1 . . . . . 77 Bewertung des Caplet mit Zahlung in t = 2 im HL-Model1 . . . . . 77 Bewertung des Caplet mit Zahlung in t = 3 im HL-Model1 . . . . . 77 Bewertung des Caplet rnit Zahlung in t = 2 uber eine Put-Option 78 Bewertung des Caplet rnit Zahlung in t = 3 uber eine Put-Option 79 Bewertung eines Floorlet rnit Zahlung in t = 1 im HL-Model1 . . 79 Bewertung eines Floorlet rnit Zahlung in t = 2 im HL-Model1 . . 79 Bewertung eines Floorlet rnit Zahlung in t = 3 im HL-Model1 . . 80 Baum der Short Rate im Beispiel zum BDT-Model1 . . . . . . . . . . . 88 Baum der Diskontierungsfunktion im Beispiel zum BDT-Model1 88 Baum der Short Rate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Terminrisikoangepasste Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Baum der kurzfristigen Zinsen im HL-Model1 (Aufgabe 2) . . . . . 95 Baum der Short Rate im BDT-Model1 (Aufgabe 5) . . . . . . . . . . . 97 Baum der Diskontierungsfunktion im HL-Model1 (Aufgabe 1) . . 98

194

Abbildungsverzeichnis

4.26 Baum der kurzfristigen Zinsen im HL-Model1 (Aufgabe 1) . . . . . 99 4.27 Baum der Diskontierungsfunktion im HL-Model1 (Aufgabe 2) . . 100 4.28 Baum der Diskontierungsfunktion im BDT-Model1 (Aufgabe 5). 101

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Index

adaptiert, 106 Anleihe festverzinsliche, 2, 13 kiindbare, 17 variabel verzinsliche, 2, 14 Anleiheoption, 4 Arbitragefreiheit dynamische, 47 statische, 36 Arbitragemoglichkeit, 36 Arrow-Debreu-Preis, 41, 90 Basispreis, 4 Basispunkt, 32 Bewertung risikoneutrale, 35, 43, 113 terminrisikoangepasste, 42, 87, 132 Brownsche Bewegung arithmetische, 109 geometrische, 110 Call, 4 Callable Bond, 17 Cap, 3, 26 Formel von Black, 154 Cap-Floor-Paritat, 29 Caplet, 4, 26 CIR-Modell, 178 Collar, 4, 30 Cost of Carry-Formel, 20 Cox-Ingersoll-Ross-Modell, 178

Differentialgleichung fundamentale partielle, 119 stochastische, 109 Diskontierungsfaktor, 8 Diskontierungsfunktion, 8 Duplikation, 35 EMM, 35 Equivalent Martingale Measure, 35 Euribor, 14 ex-Preis, 49 Exercise Price, 4 Extended Vasicek. 173 Falligkeitstermin, 1 Filtration, 44, 106 Finanztitel hybride, 4 Fixed Coupon Bond, 13 Floater, 2 Floating Rate Note, 14 Floor, 3, 28 Floorlet, 4, 28 Forward, 3, 20 Forward Rate, 9 Forward Rate Agreement, 2, 22 Forward Swap Measure, 155 Forward Swap Rate, 25 Forward-Libor, 14 Forwardpreis, 3, 20 Forwardwert, 20 FRA, 2 Future, 3, 21 Settlement, 21

198

Index

Futurespreis, 3, 21 Gaufi-Zinsrnodell, 138 Anleihepreis, 139 Europaischer Call, 141 Futurespreis, 140 Geldmarktkonto, 48, 114 Handelsstrategie selbstfinanzierende, 47 HJM-Modell, 126 Driftrestriktion Anleihepreise, 129 Forwardzinsen, 129 Modellgleichung, 127 risikoneutrales Mafi, 130 terminrisikoangepasstes Ma6, 132 HL-Modell, 59 Ho und Lee, zeitstetige Version Anleihepreis, 163 Kalibration, 165 Integral stochastisches, 109 It6s Lemma, 111 Kapitalmarkt arbitragefreier, 7 Kassa-Libor, 14 Kassazins, 8 Kassazinsstruktur, 9 Kaufoption, 4 Kuponanleihe, 1 Kursrisiko, 1 Law of Iterated Expectation, 49 Law of One Price, 35, 38 Libor, 14, 149 Libor Market-Modell, 149 Modellgleichung, 150 Terminal Measure, 151 Long-Position, 3 Market Model, 149 Marktpreis des Risikos, 115, 160 Martingal, 41 Martingale Modelling, 158 Martingalma6 aquivalentes, 35 Mean Reversion-Geschwindigkeit, 168

Mean Reversion-Level, 168 Mean Reversion-Prozess, 168 Model1 zinsstrukturkonformes, 58 Model1 von Ho und Lee, 59 zeitstetige Version, 161 Nennwert, 1 NKA, 1 Nullkuponanleihe, 1, 13 Option amerikanische, 4 europaische, 4 Optionsanleihe, 4 Optionsschein, 5 OTC, 3 Payer Swap, 3, 24 Payment Date, 15 Portfoliostrategie selbstfinanzierende, 47 Pull-to-Par, 58 Put, 4 Put-Call-Paritat, 19 Puttable Bond, 17 Receiver Swap, 3, 24 Referenzzinssatz, 2 Reset Date, 15, 75 SDE, 109 Short Rate, 11 Short Rate-Modell, 157 Short-Position, 3 Spot Rate, 8 Square Root-Prozess, 178 St ike Price, 4 Storfunktion, 60 Strike Rate, 4, 26 Swap, 3, 23 Notional Amount, 23 Payer, 24 Plain Vanilla, 3, 23 Receiver, 24 Swap Market-Modell, 155 Forward Swap Measure, 155 Swap Rate, 24 Swaption, 25

Index Formel von Black, 156 Tenor, 150 Terminal Measure, 151 Terminkontrakt bedingter, 3 unbedingter, 3 Terminzins, 9 kurzfristiger, 11 Terminzinssatz, 2 Terminzinsstruktur, 11 Tower Law, 49, 89 Vasicek-Modell, 168 Verkaufsoption, 4 Vollstandigkeit dynamische, 47 statische, 47

Wahrscheinlichkeitsmafie aquivalente, 40 Wandelanleihe, 4 Wiederanlagerisiko, 1

Zinssicherheit, 12, 59 Zinsstruktur fallende, 9 flache, 9 inverse, 9, 31 Kassa-, 9 normale, 9, 31 steigende, 9 Termin-, 11 Zinsstrukturkonformitat, 58, 159 Zinsunsicherheit , 12 Zustandspreis, 41

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Druck und Bindung: Strauss GmbH, Mörlenbach