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0 gibt es daher ein 8 > 0, so daß IlRP l 0, so ist log 0.) 1.14. Sind A, B E GL (m, lR) positiv definit und A E [0, 1J, so gilt: IlflIK, so leistet 0 existieren, so daß l (L) :::; 1( , so gilt nach Lemma 2.18 und Darstellungssatz 2.5 für alle 1 E C(X):
5. Integration über meßbare Teilmengen. Ist f : X -+ JK integrierbar, so bieten sich zwei Möglichkeiten zur Definition des Integrals von f über meßbare Teilmengen Y c X an: (i) Man integriere f . Xy über X. (ii) Man bilde den Maßraum (Y, 2lIY, JLI(2lIY)) und integriere flY bez. JLI(2lIY). Beide Ansätze führen zum gleichen Resultat: 3.15 Lemma. Sind Y E 2l, ~ :== 2lIY , LJ :== JLI~ und f : X -+ JK, so gilt: a) f . Xy ist 2l-meßbar genau dann, wenn flY ~-meßbar ist. b) Es ist f . Xy E M+(X,2l) genau dann, wenn flY E M+(Y, ~), und dann gilt
L
f . Xy
dJ-L
=
i
f IY dv .
c) f . Xy ist JL-integrierbar über X genau dann, wenn f IY über Y, und dann gilt
L
f·
Xy dJ-L
=
i
LJ -integrierbar
ist
flY dv.
Entsprechendes gilt für quasiintegrierbare Funktionen. Beweis. Für alle A E ~ ist (fly)-l(A) == ((f· Xy )-l(A)) n Y, also folgt a), und die unter b) und c) nachzuprüfenden Meßbarkeitsbedingungen sind klar. - Zum Beweis von b) seien f . Xy E M+(X, 2l) und (U n )n>l eine Folge aus T+(X, 2l) mit U n t f . Xy· Dann gilt: unlY E T+(Y,~) (n E N) und unlY t flY. Wegen unlYc == 0 folgt:
Jrx f· Xy dJ-L =
lim n-+oo
U n dJ-L = Jr x
lim n-+oo
JyrunlY dv = JyrflY dv.
Aussage c) folgt sogleich aus b).
D
3.16 Definition. Ist in der Situation des Lemmas 3.15 die Funktion integrierbar oder quasiintegrierbar, so heißt
i
f dJ-L:=
L
f·
Xy dJ-L
=
i
das (JL-)Integral von f über Y. Ist X == IR und z.B. Y == [a, b], so schreibt man
1
[a,b]
rf b
f
dJ-L
=
Ja
dJ-L
flY dv
f . Xy
IV. Das Lebesgue-Integral
136
etc. Diese Schreibweise ist gerechtfertigt, wenn J-L( {a}) == J-L( {b}) == 0 ist; anderenfalls ist zwischen den Integralen über [a, bJ, Ja, b], [a, b[, Ja, b[ zu unterscheiden. Ist J-L == J-LF das Lebesgue-Stieltjessche Maß zur wachsenden rechtsseitig stetigen Funktion F : IR --t IR, so schreibt man z.B.
1f
dJ-LF == jb f(x) dF(x) .
[a,b]
a
Diese Schreibweise ist legitim, falls J-LF( {a}) == J-LF( {b}) == 0 ist, d.h. falls F in a und b stetig ist. Speziell für F(x) == x, d.h. für J-L == A schreibt man z.B.
Für b < a ist - wie beim Riemannschen Integral - die Konvention
jb f(x) dx :=
-la
f(x) dx
üblich. Diese Schreibweise ist verträglich mit den für das Riemann-Integral üblichen Notationen, denn wir werden in § 6 zeigen, daß jede (eigentlich) Riemannintegrierbare Funktion auch Lebesgue-integrierbar ist mit gleichem Wert des Integrals. - Ist A E j2P, so heißt eine j2PIA-meßbare Funktion f : A --t :rk Lebesgue-meßbar, und für Lebesgue-integrierbares f : A --t :rk schreiben wir
6. Historische Anmerkungen. Der moderne Integralbegriff wird von H. LEBESGUE in seiner These (1902) begründet. Seine wesentliche Idee haben wir schon am Anfang von Kap. 111 skizziert. Etwas später als LEBESGUE gelangt W.H. YOUNG zum Integralbegriff (Philos. Trans. Roy. Soc. London, Sero A, 204, 221-252 (1905) und Proc. London Math. Soc. (2) 2, 52-66 (1905)). Die Definition von YOUNG beruht auf der Einführung von Ober- und Unterintegralen. YOUNG betrachtet Funktionen I mit meßbarem Definitionsbereich E C ~, zerlegt E in endlich oder abzählbar viele disjunkte meßbare Mengen, multipliziert das Maß jeder dieser Mengen mit dem zugehörigen Supremum bzw. Infimum von I und bildet durch Summation dieser Terme Ober- und Untersummen. Das Infimum der Menge der Obersummen ist dann das (Youngsche) Oberintegral von I; entsprechend liefert das Supremum der Menge der Untersummen das Unterintegral. Haben Ober- und Unterintegral denselben Wert, so heißt dieser das Integral von I, und I heißt integrierbar. (Diese Definition ist auch für unbeschränktes I brauchbar, falls eine Zerlegung von E existiert, für welche die Obersumme von III endlich ist; man betrachtet dann nur absolut konvergente Ober- und Untersummen.) Der Zusammenhang der Definition von YOUNG mit unserer Integraldefinition wird in Aufgabe 2.5 hergestellt. F. RIESZ ([1]' S. 445) gibt 1910 eine einfache Definition des Lebesgue-Integrals, die vom Integralbegriff für Treppenfunktionen ausgeht: Ist I auf einer meßbaren Menge E C ~ definiert, und nimmt I auf den disjunkten meßbaren Mengen Al, A 2 , ... c E die Werte al, a2, ... an, wobei Uj~l A j == E, so setzt RIESZ I(x) dx == Lj~l ajA(Aj ), vorausgesetzt, daß die Reihe absolut konvergiert. Von dieser speziellen Klasse integrierbarer Funktionen ausgehend erhält er durch Bildung von Limites gleichmäßig konvergenter Folgen die Klasse der integrierbaren Funktionen. F. RIESZ ([1]' S. 185-187,200-214) eröffnet 1912 einen elementaren Zugang zum Lebesgue-Integral, der nur den Begriff der Nullmenge zugrundelegt, aber nicht
JE
§ 3. Integrierbare Funktionen
137
das Lebesgue-Maß auf IR benötigt. Dabei geht RIESZ aus vom Integral für einfache Funktionen der Form 'P == L7=1 (Y-jXl j , wobei 11,.. . ,In c [a, b] disjunkte Intervalle sind. Ist nun f : [a, b] -+ IR beschränkt und gibt es eine beschränkte Folge ('Pn)n>l einfacher Funktionen, so daß f(x) == limn --+ oo 'Pn(x) für alle x E [a, b] mit Ausnahme höchstens der Elemente x einer Nullmenge, so zeigt RIESZ: Für jede solche Folge ('Pn)n2 1 konvergiert die Folge der Integrale der 'Pn gegen denselben Grenzwert, und dieser ist dann das Integral von 'P. Bei diesem Zugang ist sofort klar, daß jede Riemann-integrierbare Funktion auch Lebesgue-integrierbar ist mit gleichem Wert des Integrals. Unabhängig von F. RIESZ entwickelt W.H. YOUNG einen weiteren Zugang zum Integralbegriff auf der Basis der Methode der monotonen Folgen (s. Proc. London Math. Soc. (2) 9, 15-50 (1911) und Proc. Roy. Soc. London, Sero A, 88, 170-178 (1913)). Dabei beginnt er mit einer Klasse einfacher Funktionen, für die das Integral leicht erklärt werden kann, und erweitert den Integralbegriff durch Bildung monotoner Folgen. Diese Idee zur Einführung des Integralbegriffs benutzen auch wir hier; sie liefert für viele Aussagen einen effizienten Beweisansatz. Das wird schon deutlich bei den Untersuchungen von Y OUNG über das Stieltjes-Integral. LEBESGUE bemüht sich 1909 ohne rechten Erfolg um eine Übertragung seiner Integrationstheorie auf das Riemann-Stieltjes-Integral. Dagegen erreicht YOUNG (Proc. London Math. Soc. (2) 13, 109-150 (1914)) dieses Ziel mühelos mit Hilfe seiner Methode der monotonen Folgen. Dazu schreibt LEBESGUE ([6], S. 263): «M.W.H. YOUNG montrait que ... l'integrale de Stieltjes se definit exactement comme l'integrale ordinaire par le procede des suites monotones... »3 Unabhängig von YOUNG entwickelt J. RADON [1] die Theorie des Stieltjesschen Integrals für Funktionen f, die auf einem kompakten Intervall im IRP definiert sind. Dabei benutzt er zur Approximation des Integrals Analoga der Lebesgueschen Oberbzw. Untersummen, bei denen das Lebesguesche Maß der Mengen {Yj :s; f < Yj+1} ersetzt wird durch das entsprechende Lebesgue-Stieltjessche Maß. Der letzte Schritt zur Definition des Integrals für meßbare Funktionen auf einer abstrakten Menge wird 1915 von M. FRECHET [1] vollzogen. Er schreibt (C.R. Acad. Sci. Paris, Sero A, 160,839-840 (1915)): « ... la definition de Radon fournit immediatement une definition de l' integrale ... etendue a un ensemble abstrait E, c 'est-a-dire a un ensemble dont les elements sont de nature quelconque.» 4 7. Kurzbiographie von W.H. YOUNG. WILLIAM HENRY YOUNG wurde am 20. Oktober 1863 als Sohn einer Kaufmannsfamilie geboren. Auf der Schule erkannte E.A. ABBOTT (1838-1926), Autor des bekannten "mathematischen Märchens" Flatland, YOUNGS ungewöhnliche mathematische Begabung. Neben seinem Studium der Mathematik an der Universität Cambridge (1881-1884) widmete sich YOUNG seinen vielseitigen geistigen und sportlichen Interessen. Der Studienerfolg entsprach daher nicht ganz den hochgesteckten Erwartungen. Von 1886-1892 war YOUNG Fellow des Peterhouse College in Cambridge, hatte aber keine feste Anstellung am College oder an der Universität. Es war damals in Cambridge durchaus üblich, durch Privatunterricht stattliche Einnahmen zu erzielen. Aus eigenem Entschluß wirkte YOUNG 13 Jahre lang als Lehrbeauftragter, Privatlehrer und Prüfer; diese Arbeit vom frühen Morgen bis zum späten Abend ermöglichte ihm in Verbindung mit seinem "banker's instinct" die Ansammlung stattlicher Ersparnisse. Im Jahre 1896 heiratete YOUNG seine frühere Schülerin G RACE EMELY CHISHOLM (18681944). Sie hatte 1893 ihr Abschlußexamen in Cambridge mit hervorragendem Erfolg bestanden, wurde aber als Frau nicht zum Graduiertenstudium zugelassen und begab sich daher zu weiteren Studien nach Göttingen, dem damals neben Paris renommiertesten Zentrum mathematischer Forschung in der Welt. Die Göttinger Universität nahm in der Frage des Promotionsrechts für Frauen eine liberale Haltung ein. Schon 1874 wurde SOPHIE v. KOWALEVSKY (1850-1891) in absentia als erste Mathematikerin in Göttingen promoviert; ihr wurde auf Fürsprache ihres Lehrers K. WEIERSTRASS (1815-1897) die mündliche Doktorprüfung erlas3Herr W.H. YOUNG zeigte, daß ... sich das Stieltjes-Integral ebenso wie das gewöhnliche Integral mit Hilfe der Methode der monotonen Folgen definieren läßt. 4 ••• die Definition von Radon liefert unmittelbar eine Definition des Integrals ... , das über eine abstrakte Menge erstreckt wird, d.h. über eine Menge, deren Elemente von irgendwelcher Art sind.
138
IV. Das Lebesgue-Integral
sen. Im Jahre 1895 promovierte G. CHISHOLM bei F. KLEIN (1849-1925) in Göttingen als erste Frau, der in Deutschland nach regulärem Promotionsverfahren der Doktorgrad (in irgendeinem Fach!) zuerkannt wurde. G RACE CHISHOLM YOUNG erlangte als Mathematikerin internationalen Ruf. Von den drei Söhnen und drei Töchtern der Familie YOUNG wurden ein Sohn und eine Tochter bekannte Mathematiker. Die große Wende in YOUNGs Leben kam 1897; Frau YOUNG erinnerte sich: "At the end of our first year together he proposed, and I eagerly agreed, to throw up lucre, go abroad, and devote ourselves to research." Von 1897-1908 lebte die Familie YOUNG in Göttingen, ab 1908 in Genf, danach in Lausanne. Bis zu seinem 35. Lebensjahr hatte YOUNG keine Beiträge zur Forschung geliefert - aber in den Jahren von 1900-1924 entfaltete er eine gewaltige Forschungsaktivität und schrieb über 200 Arbeiten und drei Lehrbücher, zwei davon gemeinsam mit seiner Frau; daneben nahm er Lehraufgaben an verschiedenen Universitäten wahr. Durch Kriegsereignisse von seiner Familie getrennt, starb YOUNG am 7. Juli 1942 in Lausanne. In seinem Nachruf (J. London Math. Soc. 17,218-237 (1942)) bezeichnet ihn G.H. HARDY (1877-1947) als "one of the most profound and original of the English mathematicians of the last fifty years". Ein lebendiges Bild des Ehepaares YOUNG und seiner vielfältigen Aktivitäten zeichnet 1. GRATTAN-GUINNESS: A mathematical union: William Henry and Grace Chisholm Young, Ann. Sei. 29, 105-186 (1972); s. auch BRUCKNER und THOMSON [1]. Die mathematischen Schriften von W.H. YOUNG sind überwiegend der reellen Analysis gewidmet. Unabhängig von H. LEBESGUE entwickelte er etwa zwei Jahre später als LEBESGUE die Lebesguesche Maß- und Integrationstheorie. Es muß für YOUNG eine herbe Enttäuschung gewesen sein festzustellen, daß LEBESGUE ihm zuvorgekommen war - aber das tat seiner Produktivität keinen Abbruch, er selbst nannte den neuen Integralbegriff das Lebesgue-Integral. Als von bleibendem Wert in der Integrationstheorie erwies sich die von YOUNG entwickelte Methode der monotonen Folgen. Gemeinsam mit seiner Frau veröffentlichte YOUNG 1906 das erste englische Lehrbuch der Mengenlehre. Bedeutende Beiträge lieferte YOUNG zur Theorie der Fourier-Reihen: Die Ungleichungen von HAUSDORFF-YOUNG sind eine tiefliegende Verallgemeinerung der berühmten Vollständigkeitssätze von PARSEVAL und RIESZ-FISCHER. Ein schwieriges Problem in der Theorie der Fourier-Reihen ist die Frage, welche Nullfolgen als Folgen von Fourier-Koeffizienten integrierbarer Funktionen auftreten. Einer der schönsten Sätze von YOUNG liefert einen Beitrag zu diesem Problem: Ist (a n )n>l eine konvexe Null/olge positiver Zahlen, so ist L~=l an cos nt eine Fourier-Reihe, d.h. es gibt eine gerade Funktion f E 1 ([-1r,1r]), so daß an == ~ f::1r f(t) cosnt dt (n 2: 1). Der stattliche Band der Selected Papers von G.C. YOUNG und W.H. YOUNG [1] enthält außer der Dissertation von G.C. YOUNG im wesentlichen eine Auswahl der Publikationen über Fourier-Reihen. - Die mehr elementaren Arbeiten von YOUNG zur Differentiation von Funktionen mehrerer reeller Variablen haben die Lehre nachhaltig beeinflußt. Die angemessene Definition der (totalen) Differenzierbarkeit hatten schon J.K. THOMAE und O. STOLZ (1842-1905) ausgesprochen; YOUNG zeigte die wahre Nützlichkeit dieses Begriffs. Eine hübsche Frucht seiner Arbeit ist folgender Satz: Ist f in einer Umgebung des Punktes (xo, Yo) E ]R2 einmal partiell differenzierbar, und sind
.c
~
,U
im Punkte (xo, Yo) total differenzierbar, so gilt a~2ty (xo, Yo) == ~2tx (xo, Yo). - Die Youngsche Ungleichung bildet die Grundlage für die Theorie der Orlicz-Räume.
Aufgaben. 3.1. f: [a, b] ---+ IR (a, b E IR, a < b) sei Lebesgue-meßbar und beschränkt, A < f < B. Für jede Zerlegung Y : A == Yo < Yl < ... < Yn == B seien UL(f, Y), OL(f, Y) die Lebesguesche Untersumme bzw. Obersumme von f (s. Einleitung zu Kapitel 111) und <5(Y) :== max{Yj+l - Yj : j == 0, ... , n - I} das Feinheitsmaß von Y. a) Für jede Folge (y(k))k2:1 von Zerlegungen von [A, B] mit <5(y(k)) ---+ 0 gilt:
§ 3. Integrierbare Funktionen b)
[
139
sup{UL(/, Y) : Y Zerlegung von [A, B]}
fd>'
inf{OL(/, Y) : Y Zerlegung von [A, B]}.
(Bemerkung: Hiermit ist gezeigt, daß für beschränkte Lebesgue-meßbare Funktionen I : [a, b] -+ JR und J-L = Ader Integralbegriff aus Definition 3.1 übereinstimmt mit der ursprünglichen Definition von H. LEBESGUE.) 3.2. Sind a
> 1 und I : X -+ JK meßbar, so ist I genau dann integrierbar, wenn
L
anJ-L ( { an:::;
II I < an+ 1 }) < 00 .
nEZ
3.3. Sind
I : X -+ Ik meßbar und
J-l(X)
< 00, so ist I genau dann integrierbar, wenn
L J-l({1/1 > n}) <
00.
n=l
3.4. Es seien (J-ln)n?l eine Folge von Maßen auf m, J-l = L~=l J-ln und I : X -+ Ik meßbar. Zeigen Sie: I ist genau dann J-l-integrierbar, wenn L~=l III dJ-ln < 00, und dann gilt:
Ix
3.5. Es seien (X, m, J-l) ein a-endlicher Maßraum und F : X -+ JK eine meßbare Funktion mit der Eigenschaft, daß für alle 9 E .cl gilt: Fg E .cl. Dann gibt es ein a > 0, so daß J-L( {IFI > a}) = ist. (Hinweis: Zu jeder Folge (an)n>l positiver reeller Zahlen mit an t 00 gibt es eine Folge (cn)n2: l positiver reeller Zahlen~ so daß L~=l Cn konvergiert, aber L~=l anCn divergiert.)
°
3.6. Ist J-l das Zählmaß auf ~(N), so ist eine Funktion I : N -+ JK genau dann integrierbar, wenn L~=l I(n) absolut konvergiert, und dann gilt: IN I dJ-L = L~=l I(n). 3.7. Die Funktion I : X -+ Ik sei integrierbar. a) Zu jedem C > gibt es ein 8 > 0, so daß für alle A E
°
mmit J-L(A) < 8 gilt:
(Hinweis: Zeigen Sie die Behauptung zunächst für beschränktes I.) b) Zu jedem C > gibt es ein A E mmit J-l(A) < 00, so daß
°
11/ dJ.l 3.8. Die Funktion
I : [a, b]
L dJ.l1 f
< dür alle B
E
'21 mit B =:l A.
-+ JR sei Lebesgue-integrierbar und F : [a, b] -+ JR,
F(x)
:= [ '
f(t) dt
(x
E
[a, b]) .
a) F ist stetig. b) Ist I in Xo E [a, b] stetig, so ist F in Xo differenzierbar mit F'(xo) = I(xo). c) Ist I stetig in [a, b], so stimmt das Riemann-Integral von I über [a, b] mit dem entsprechenden Lebesgue-Integral überein. d) Eine stetige Funktion I : [0,00[-+ JK ist genau dann Lebesgue-integrierbar, wenn III über [0, oo[ uneigentlich Riemann-integrierbar ist.
IV. Das Lebesgue-Integral
140
3.9. Ist f : IR -+ Ik Lebesgue-integrierbar, so ist F : IR -+ lK, F(x) :== gleichmäßig stetig auf IR. 3.10. Für jedes
f
E
fox f(t) dt (x
E IR)
.cl (IRP , )2P, ,,\P) gilt: lim ( t--+o
JJRP
If(x + t) - f(x)1 dx ==
o.
(Hinweis: Satz 3.12.)
§ 4.
Fast überall bestehende Eigenschaften « ... je dirai qu'une condition est remplie presque partout lorsqu'elle est verifiee
en tout point, sauf aux points d'un ensemble de mesure nulle.»
5
(H. LEBESGUE
[2], S. 200)
Das /L-Integral erweist sich im folgenden als unempfindlich gegenüber Abänderungen des Integranden auf /L-Nullmengen, solange der Integrand meßbar bleibt. Um diese Eigenschaften des Integrals bequem formulieren zu können, erweist sich der von H. LEBESGUE 1910 eingeführte Begriff "fast überall" als sehr zweckmäßig.
4.1 Definition. Die Eigenschaft E sei für die Elemente x E X sinnvoll. Dann sagt man, die Eigenschaft E gilt {/L-)fast überall auf X (Abkürzung: (/L-)j.ü.) oder {/L- )fast alle x E X haben die Eigenschaft E, wenn es eine (/L- )Nullmenge N E 2l gibt, so daß alle x E NC die Eigenschaft E haben. Sind zum Beispiel f, g : X ---+ Y zwei Funktionen, so ist f == g /L-j.ü. genau dann, wenn es eine /L-Nullmenge N gibt mit flNc == glNc. Eine numerische Funktion f : X ---+ IR ist f.ü. endlich genau dann, wenn es eine /L-Nullmenge N gibt mit f(NC) c JR. Eine Folge von Funktionen fn : X ---+ 1f{ (n E N) konvergiert j.ü. gegen f : X ---+ 1f{ genau dann, wenn eine /L-Nullmenge N existiert mit fnlNc ---+ flNc. Eine auf einer Teilmenge A c X erklärte Funktion f : X ---+ Y ist f.ü. auf X definiert genau dann, wenn es eine /L-Nullmenge N gibt mit Ac c N. Eine Funktion f : X ---+ 1f{ ist j.ü. beschränkt genau dann, wenn es ein a 2:: 0, a E JR und eine /L-Nullmenge N gibt mit IflNcl ::s; a. - In der Definition des Begriffs "fast überall" wird nicht gefordert, daß die Ausnahmemenge M der x EX, welche nicht die Eigenschaft E haben, zu 2l gehört; es wird nur verlangt, daß M Teilmenge einer geeigneten /L-Nullmenge N E 2l ist. Ist das Maß /L vollständig und gilt E f.ü., so ist auch M E 2l und /L(M) == O. 5 ••• ich werde sagen, daß eine Bedingung fast überall erfüllt ist, wenn sie für alle Punkte bis auf die Punkte einer Menge vom Maße Null gilt.
141
§ 4. Fast überall bestehende Eigenschaften Satz 2.6 läßt sich jetzt so formulieren: Für alle I E M+ gilt:
Korollar 3.4 besagt nun: I : X -t :IR integrierbar
1II <
==:}
00
J1-f.ü.
4.2 Satz. a) Sind I, 9 : X -t ~ quasiintegrierbar und I :::; 9 J1-I.ü., so gilt
Ist insbesondere I == 9 J1-f. ü., so gilt
b) Sind I, 9 : X -t :IR meßbar, I integrierbar und I < 9 quasiintegrierbar und
J1-I· ü., so ist 9
L L f
dfl::;
9 dfl .
c) Sind I, 9 : X -t JK meßbar, I integrierbar und I integrierbar und
9
J1-I· ü., so ist 9
L L f
dfl
=
9 dfl .
Beweis. a) N :== {I > g} ist meßbar, J1(N) ==
o.
Daher verschwindet 1+ . XN E
M+ f.ü. Wegen 1+ . XNc :::; g+ folgt:
Lr
dfl =
L
(1+ . XN
+r
.XNc) dfl =
Lr . L XNc ::;
9 + dfl .
Ebenso ist Ix f- dJ1 2: Ix g- dJ1, und es folgt a). jl-f.ü. Da 1b) Aus f :::; 9 J1-f.ü. folgt 1+ :::; g+ J1-f.ü. und j- 2: 9 integrierbar ist, ist auch g- integrierbar, d.h. 9 quasiintegrierbar und
c) ist klar nach a).
o
4.3 Korollar. Die Funktion I : X -t t sei meßbar, und es gebe eine integrierbare Funktion 9 E M+ mit Ifl :::; 9 J1-f.ü. Dann ist auch f integrierbar. Beweis. Nach Satz 4.2 a) sind (Rel)± , (Im I)± integrierbar.
o
Sind I, 9 : X -t :IR integrierbar und f :::; 9 J1-f.ü., so gilt für alle A E 2t nach Satz 4.2, b): I A f dJ1:::; IAgdJ1. Umgekehrt:
IV. Das Lebesgue-Integral
142
4.4 Satz. Sind f, g : X
i
(4.1)
~
IR integrierbar und
f dp,:::;
i
9 dp,
für alle A E 2t,
so ist f :::; g J-1-f. ü. Gilt insbesondere in (4.1) das Gleichheitszeichen, so ist f == g J-1-f.ü. Beweis. M :== {f > g} und Mn :== {f > g+;} (n E N) sind meßbar, und (4.1) liefert:
r
JMnf
dp,
'2 JMrn(9 +~)
dp,
also J-1(Mn ) == 0 (n E N), denn
=
1Mn 9 +~P,(Mn) '21Mn f +~P,(Mn) dp,
IMn f dJ-1 E IR.
dp,
Aus Mn
t M folgt nun J-1(M)
==
,
o. o
Einfache Beispiele lehren, daß Satz 4.4 nicht entsprechend für f, g E M+ richtig ist; man setze z.B. 2t == {0, X} , J-1(0) == 0 , J-1(X) == 00 , f == 2 . Xx , g == Xx. Ist aber J-1 a-endlich, so gilt:
4.5 Satz. Ist J-1 a-endlich und gilt für die quasiintegrierbaren Funktionen f, g : X~R
i
(4.2)
f dp, :::;
i
9 dp,
für alle A E 2t ,
so ist f :::; g J-1-f. ü. Gilt speziell in (4.2) das Gleichheitszeichen für alle A E 2t, so ist f == g J-1-f. ü. Beweis. Aus Symmetriegründen kann angenommen werden, daß f- integrierbar ist. Dann ist -00 < f dJ-1 :::; g dJ-1, also ist auch g- integrierbar. - Wir wählen eine Folge meßbarer Mengen B n mit B n t X , J-1(B n ) < 00 (n E N) und setzen An :== B n n {g :::; n}. Dann gilt An E 2t und An t {g < oo}. Ferner sind J-1(A n ) < 00, g+IA n beschränkt und g- integrierbar, also ist g. XA n integrierbar. (4.2) mit A == B n An (B E 2t) liefert nun:
Ix
-00
<
i
Ix
f . XA dp, :::; n
i
9' XA n dp,
<
00
für alle B E 2t.
Insbesondere (B == X) ist auch f . XA n integrierbar, und Satz 4.4 ergibt: f . XA n :::; g . XA n J-1-f.ü. Mit E :== {g < oo} ist daher f . XE :::; g . XE J-1f.ü., und wegen glEC == 00 folgt f :::; g J-1-f.ü. 0
Aufgaben. 4.1. Es sei In : X ~ IK (n E N) eine Folge integrierbarer Funktionen mit 2:~=1 Ilnl dJ-l < 00. Dann konvergiert die Reihe 2:~=1 In J-l-f.ü. gegen eine integrierbare Funktion I : X ~ IK, und es gilt:
Ix
§ 4. Fast überall bestehende Eigenschaften 4.2. Die Funktion f [0,00[: Für jedes a n-O: I(nx).)
: [0,00[-+
143
JK sei Lebesgue-integrierbar. Dann gilt für Al-fast alle x E == O. (Hinweis: Aufgabe 4.1 mit In(x) ==
> 0 ist limn -+ oo n-O: I(nx)
4.3. Es seien (ak)k>l irgendeine (!) streng monoton wachsende Folge natürlicher Zahlen und In: [0, 1] -+ C, 1
In(x) :== -
n
n
L
e21riakX
(x E [0,1]).
k=l
Dann konvergiert (fn)n?-l A-f.ü. gegen O. (Hinweis: Es ist
und für m 2 ::; n ::; (m
+ 1)2
gilt
4.4. Für x E [0,1] sei x L~=l dn(x) ·2- n (dn(x) E {0,1} für alle n E N) die dyadische Entwicklung von x, wobei wir die nicht abbrechende Entwicklung von x wählen,
wenn x eine abbrechende und eine nicht abbrechende Entwicklung hat. Ziel der folgenden Aufgabe ist es zu zeigen, daß für A-fast alle x E [0,1] die Folge (dn(X))n?-1 "asymptotisch ebensoviele Nullen wie Einsen" enthält. Diese Aussage läßt sich folgendermaßen präzisieren: Wir nennen mit
E.
([4], S. 1055-1079) die Zahl x E [0,1] normal, falls
BOREL
lim n -+ oo ~I{k: 1 ::; k ::; n, dk(x) == 1}1 == ~. Ziel ist es nun zu zeigen: A-fast alle x E [0,1] sind normal. Dieses Resultat hat eine sehr anschauliche wahrscheinlichkeitstheoretische Deutung: Man stelle sich eine Münze vor, die auf einer Seite eine ,,0" und auf der anderen Seite eine ,,1" trägt. Die Folge (dn(X))n?-1 (d.h. den Punkt x) kann man dann auffassen als Ergebnisfolge unendlich vieler Münzwürfe. Bei einer idealen Münze wird man erwarten, daß bei "praktisch allen" solchen Ergebnisfolgen die Zahlen ,,0" und"l" asymptotisch mit gleicher Häufigkeit auftreten. Das ist das sog. starke Gesetz der großen Zahlen von E. BOREL ([4]' S. 1055-1079). Für den Beweis führen wir leicht modifizierte Bezeichnungen ein: Es seien fk(X) :== 2(d k (x) - ~) und F n :== ~(fl + ... + In). Wir haben zu zeigen, daß limn --+ oo F n == 0 A-f.Ü. auf [0,1]. Das kann in folgenden Schritten geschehen: l a) Für alle j, k E N ist fj Ik dA == ~jk.
Ia Ia
n
b) Für alle E N ist F~ dA == ~. c) limn -+ oo F n 2(X) == 0 für A-fast alle x E [0,1]. (Hinweis: Aufgabe 4.1.) d) Für k
< 1 ::;
l
m gilt
IFll ::; mkk + IFkl.
Folgern Sie: lim n -+ oo Fn == 0 A-f.Ü. auf [0,1].
Aufgabe 4.5. Es sei (X, 2t, ji,) die Vervollständigung von (X, Qt, J-l). Eine Funktion I : X -+ t ist genau dann ji,-integrierbar, wenn eine J-l-integrierbare Funktion 9 : X -+ t existiert mit
I == 9 J-l-f.ü., und dann gilt: grierbare Funktionen?
Ix I
dji, ==
Ix 9 dJ-l. Gilt das Entsprechende auch für quasiinte-
144
IV. Das Lebesgue-Integral
§ 5.
Konvergenzsätze «Si des fonctions positives, bornees sommables: 11(X), 12(X), ... tendent vers une fonction bornee ou non I (x) et si In (x) dx reste, quel que soit n, inferieur a un nombre fixe, la fonction I (x) est integrable, et I' on a:
J:
J: I(x) dx :::;
liminf
J: In(x) dx.»6
(P. FATOU: Series trigonometriques et series de Taylor, Acta Math. 30, 335-400 (1906), insbes. S. 375) «Si des fonctions sommables In forment une suite convergente et sont toutes,
en valeur absolue, inferieures a une fonction sommable positive F, la limite I des In est sommable et son integrale est la limite de l'integrale de In.» 7 (H. LEBESGUE [2], S. 199)
1. Das Lemma von FATOU. Das Lebesguesche Integral zeichnet sich gegenüber dem Riemannschen besonders dadurch aus, daß wesentlich bessere Konvergenzsätze gelten. Als wichtiges Resultat haben wir schon den Satz von der monotonen Konvergenz kennengelernt, der besagt:
Das folgende sog. Lemma von P. FATOU (1878-1929) enthält eine Verallgemeinerung des Satzes von der monotonen Konvergenz für Folgen von Funktionen aus M+, die nicht notwendig konvergieren.
5.1 Lemma von P. Fatou (1906). Für jede Folge von Funktionen In E E N) gilt:
M+ (n
r lim in dp, ::; lim Jr in dp,.
JX
n---+oo
n---+oo
X
Beweis. Zunächst ist I :== lim In E M+ und für gn :== infk>n Ik E M+ gilt
gn t
I·
n---+oo
-
Der Satz von der monotonen Konvergenz liefert daher:
lim n---+oo
Für alle k 2:
rgn dp, = Jxr i dp, .
JX
n ist aber gn :::; Ik und daher Ix gn d/l> :::; infk~n Ix Ik d/l>, also
6Wenn eine Folge positiver, beschränkter, integrierbarer Funktionen 11 (x), 12 (x), . .. gegen eine beschränkte oder unbeschränkte Funktion I (x) konvergiert und wenn die Integrale In(x) dx für alle n unterhalb einer festen Schranke bleiben, dann ist die Funktion I(x)
J:
integrierbar, und es gilt:
J:ba I (x) dx
:::; lim inf
n-+oo
J:ba In (x) dx.
7Wenn die integrierbaren Funktionen In eine konvergente Folge bilden und alle betragsmäßig unterhalb einer positiven integrierbaren Funktion F bleiben, so ist der Limes I der In integrierbar und sein Integral ist der Limes der Integrale der In.
145
§ 5. Konvergenzsätze
D
2. Kurzbiographie von P. FATOU. PIERRE FATOU wurde am 28.02.1878 in Lorient (Frank-
reich) geboren; er starb am 09.08.1929 in Pornichet. FATOU studierte von 1898-1900 in Paris an der Ecole Normale Superieure, wo er über E. BOREL und H. LEBESGUE die neuesten Fortschritte der Theorie der reellen Funktionen kennenlernte. Ermutigt durch das Interesse seines Freundes H. LEBESGUE, «qui n'a cesse de s'interesser
a mes
recherches et dont les conseils
m'ont ete fort utiles», verfaßte FATOU seine Dissertation Series trigonometriques et series de Taylor, Acta Math. 30, 335-400 (1906). Ziel dieser Arbeit war es zu zeigen, welche Vorteile die Lebesgue-Borelsche Theorie des Maßes und die Theorie des Lebesgue-Integrals für die
Theorie der Fourier-Reihen und für die Funktionentheorie bieten. Ein berühmtes Ergebnis dieser Arbeit ist der sog. Satz von FATOU VI.2.35: Ist die Potenzreihe f(z) == L~=o anz n für Izi < 1 konvergent und beschränkt, so existiert für )...-fast alle 'P E [0,27rJ der "radiale" Limes limr -71- f(rei'P). - Rückblickend ist festzustellen, daß die Dissertation von FATOU und die Arbeiten von LEBESGUE über trigonometrische Reihen der harmonischen Analysis neue Horizonte eröffnet haben, deren Erforschung bis in die Gegenwart andauert. Dabei ist das Lemma von FATOU ein äußerst nützliches Hilfsmittel. - Ab 1901 wirkte FATOU am Observatorium in Paris. Neben astronomischen Arbeiten lieferte er vielerlei mathematische Arbeiten u.a. über
Differentialgleichungssysteme, numerische Verfahren und Funktionalgleichungen.
3. Der Satz von der majorisierten Konvergenz. Der folgende Satz von der majorisierten Konvergenz von H. LEBESGUE [2]' S. 199 ist wohl neben dem Satz von der monotonen Konvergenz der am häufigsten benutzte Konvergenzsatz. Bemerkenswert ist die Allgemeinheit des Resultats: Der Fall tL(X) == 00 ist durchaus zugelassen. Die Folge (In)n?.1 braucht nur punktweise gegen I zu konvergieren. Dagegen wird im üblichen Konvergenzsatz für Riemann-Integrale vorausgesetzt, daß die Funktionen In auf einem kompakten Intervall [a, b] C :IR definiert sind und gleichmäßig auf [a, b] gegen die Grenzfunktion i konvergieren. Wesentliche Voraussetzung im Satz von der majorisierten Konvergenz ist die Forderung der Existenz einer integrierbaren Majorante g E M+ der Folge
(In)n'2 1 : 5.2 Satz von der majorisierten Konvergenz (H. LEBESGUE 1910). Die Funktionen i, in : X ~ Jk. (n E N) seien meßbar, und es gelte limn --+ oo in == I tL-f· ü. Ferner gebe es eine integrierbare Funktion g E M+, so daß für alle n E N gilt Ilnl ~ g tL-f.ü. Dann sind I und alle In (n E N) integrierbar, und es gilt
JX In dJi = J{X 1 dJi
lim { n--+oo
und
lim { n--+oo
Beweis. Nach Korollar 4.3 sind
J
i
X
Iin - 11 dJi = 0 .
und alle
in
(n E N) integrierbar. Wir können
146
IV. Das Lebesgue-Integral
nach § 4 ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, daß f, 9 und alle fn (n E N) überall Werte in IK haben und daß überall gilt limn --+ oo fn == f , Ifnl :::; 9 (n E N). Dann ist gn :== Ifl + 9 -Ifn - fl E M+ (n E N), und das Lemma von FATOU liefert:
r(Ijl + g) rgn Jx
dJL
Jx
::::: lim
r gn = r(Iil + g) Jx
=
dJL
n--+oo
Hier ist das Integral von Ifl Wegen
dJL
lim
Jx n--+oo
+ 9 endlich.
dJL- lim n--+oo
r lin - il
Jx
Daher folgt: limn --+ oo
dJL.
fx Ifn - fl dJ-1 == o.
ergibt das die Behauptung.
D
Das folgende Beispiel enthält eine bemerkenswerte Verschärfung eines für stetig differenzierbare Funktionen für das Riemann-Integral wohlbekannten Satzes. 5.3 Beispiel (H.
f'
[1], S. 235). f : [a, b] ~ IK sei differenzierbar und Lebesgue-integrierbar über [a, b] und
LEBESGUE
beschränkt. Dann ist
f'
!ab l' dA = i(b) -
i(a) .
(Warnung: f' braucht nicht Riemann-integrierbar zu sein! Auf diese Möglichkeit hat zuerst V. VOLTERRA (Giorn. di mat. (1) 19,333-337 (1881)) aufmerksam gemacht. Ein Beispiel dafür findet man bei ROOIJ und SCHIKHOF [1], S. 80-83.) Beweis. Im folgenden kann ohne Beschränkung der Allgemeinheit angenommen werden, daß f : JR ~ IK differenzierbar ist und f' (x) M für alle x E JR mit geeignetem M > o. Mit gn(x) :== n (f (x +~) - f(x)) (x E JR, n E N) gilt f' == limn --+ oo gn· Daher ist f' meßbar, denn gn ist stetig, also ist f' über [a, b] Lebesgue-integrierbar. Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung ist Ign(x) I == If'(~n) I :::; M mit geeignetem ~n E]X, x + ~ [, also ist die Konstante M eine über [a, b] integrierbare Majorante der Folge (gn)nEN. Der Satz von der maj orisierten Konvergenz liefert: 1
j
I
b b
1'(x) dx = lim Jr gn(x) dx.
a
n--+oo
Wegen der Stetigkeit von fist F(x) :== Aufgabe 3.8), und es folgt:
a
fax f(t) dt differenzierbar mit F' == f (s.
!ab gn (x) dx = n !ab (i (x + ~) - i(x))
dx
n(F(b+~) -F(b)) -n(F(a+~) ~
n--+oo
:::;
F'(b) - F'(a)
==
f(b) - f(a) .
-F(a))
147
§ 5. Konvergenzsätze
Durch Anwendung des Satzes von der majorisierten Konvergenz auf die Folge der Teilsummen der Reihe E~=l fk erhalten wir:
5.4 Korollar. Die Funktionen f, fn : X ~ TI{ seien meßbar, und es gebe eine integrierbare Funktion g E M+, so daß für alle n E Ngilt I E~=l fk I ::; g M-f. ü., und es sei f ==
E%:l fk
M-f.Ü. Dann sind f und alle fn integrierbar, und es gilt
5.5 Korollar. Sei f : X ~ ]I{ integrierbar über A E 2t und A == U~=l An mit An E 2t (n E N) , M(A j n A k ) == 0 für alle j, k E N, j #- k. Dann gilt:
Beweis. Nach § 4 kann gleich ohne Beschränkung der Allgemeinheit angenommen werden, daß A die disjunkte Vereinigung der An ist und daß f - XA überall endlich ist. Dann ist f -XA == E~=l f· XA n , und g :== Ifl- XA ist eine integrierbare Majorante der Folge der Teilsummen. Korollar 5.4 ergibt die Behauptung. 0
4. Von einem Parameter abhängige Integrale. 5.6 Satz (Stetige Abhängigkeit des Integrals von einem Parameter). Es seien T ein metrischer Raum und f : T x X ~ IK habe folgende Eigenschaften: a) Für alle t E T ist f(t, -) E r}. b) Für M-fast alle x E X ist f(-,x): T ~ IK stetig im Punkt t o E T. c) Es gibt eine Umgebung U von t o und eine integrierbare Funktion g E M+, so daß für alle t E U gilt: If(t, -)1::; g M-f.Ü. 8 Dann ist die Funktion F : T ~ IK,
F(t):=
L
f(t, x) df.t(x)
(t E T)
stetig im Punkte t o E T, und auch die Abbildung : T ~ r} , (t) :== f(t, -) E r} (t E T) ist stetig in t o E T. Beweis. Es sei (t n )n2: 1 eine Folge von Punkten aus U mit limn - Hx) t n == t o. Dann ergibt eine Anwendung des Satzes von der majorisierten Konvergenz auf die 0 Folge der Funktionen fn :== f(t n , -) (n E N) sogleich die Behauptung.
5.7 Satz (Differentiation unter dem Integralzeichen). Es seien I ein Intervall, t o E I, und f : I x X ~ IK habe folgende Eigenschaften: a) Für alle tEl gilt f(t,·) Er}. b) Die partielle Ableitung ~{ (t o, x) existiert für alle x EX. 8Die Vereinigung der Nullmengen Nt := {If(t, ·)1 zu sein.
> g} (t
c IR
E U) braucht keine Nullmenge
148
IV. Das Lebesgue-Integral
c) Es gibt eine Umgebung U von t o und eine integrierbare Funktion 9 so daß für alle t E UnI, t #- t o gilt I f(t,
=
x~ ~(to, x) I ~ g(x)
Dann ist die Funktion F : I
~
F(t)
:=
E M+,
fL-f.ü. 9
JK,
Ix
f(t, x) dfL(X)
(t E 1)
im Punkte t o (ggf. einseitig) differenzierbar, ~{ (t o, .) ist integrierbar, und es gilt
Zusatz. Die Aussage dieses Satzes bleibt bestehen, wenn man die Voraussetzungen b), c) ersetzt durch: b*) Es gibt ein 8 > 0, so daß die partielle Ableitung ~{ (t, x) (x E X) für alle t E U :==]t o - 8, t o + fJ[ nI existiert. c*) Es gibt eine integrierbare Funktion 9 E M+, so daß für alle t E U und x E X gilt:
1~~(t,x)1 ~g(x). Beweis. Es sei (t n )n2:1 eine Folge in U mit limn --+ oo t n == t o , t n #- t o für alle n E N. Eine Anwendung des Satzes von der majorisierten Konvergenz auf fn :== (f(t n ,·) - f(t o, ·))/(tn - t o) (n E N) liefert unter den Voraussetzungen a)-c) sogleich die Behauptung. - Zum Beweis des Zusatzes wenden wir 'den Mittelwertsatz der Differentialrechnung an und erhalten zu jedem n E N und x E X ein (i.a. von x abhängiges!) t~ E U, so daß
Ifn(x)1 =
I~ (t~,x)1 ~ g(x)
(x E X).
Wieder ergibt der Satz von der majorisierten Konvergenz das Gewünschte.
D
5.8 Satz (Holomorphe Abhängigkeit des Integrals von einem komplexen Parameter). Es sei G c ce offen, und f : G x X ~ ce habe folgende Eigenschaften: a) f(z,·) E [} für alle z E G. b) Für alle x E X ist f(·,x) : G ~ ce holomorph. c) Zu jeder kompakten Kreisscheibe K c G gibt es eine integrierbare Funktion gK E M+, so daß für alle z E K gilt: If(z, ·)1::; gK Jl-f.ü. Dann ist die Funktion F : G ~ ce,
F(z)
:=
Ix
f(z,x) dfL(X)
(z
E
G)
9Die Vereinigung der Ausnahme-Nullmengen braucht keine Nullmenge zu sein.
§ 5. Konvergenzsätze
149
holomorph, für alle ganzen n
2 0 ist ~:! (z, .) integrierbar über X, und es gilt: (z
E
G) .
Beweis. Es seien a E G und r > 0 so klein, daß K :== K 2r (a) C G. Für alle z E K 2r (a) ist dann nach der Cauchyschen Integralformel für Kreisscheiben
J(z,x) =
r
~ 21rz
J 8K2r(a)
J((,x) d(, (- Z
wobei das Kurvenintegral im Riemannschen Sinn zu verstehen ist (s. Grundwissen-Band Funktionentheorie I von R. REMMERT). Für alle z, W E Kr (a) , z #- W ist also F(z)-F(w) ==
z- w
I f_ Jx
21ri
r J8 K 2r(a) (( -
J((,x) d(dJ-1(x). z)(( - w)
Es sei nun (Wk)k~l eine Folge in Kr(a) mit limk--+oo Wk == Z, Wk und 1 f((,x) CPk (z, x) :== ( )( ) d(. 21ri 8K2r(a) ( - Z ( - Wk
1
#- z
für alle k
Dann ist cpk(Z,') == (Z-Wk)-l(f(z, .)- f(Wk' .)) meßbar, genügt der Abschätzung
Icpk(Z, ·)1
~
2
-gK(') r
j1-f.ü.,
und es gilt wegen der gleichmäßigen Konvergenz des Integranden im Kurvenintegral . 1 f((,x) 8f 11m cpk(Z, x) == - . (( pd( = -8 (z, x) ; k--+oo 21rZ 8K2r(a) - Z Z
1
die zweite Gleichheit beruht hier auf der Cauchyschen Integralformel für die Ableitung ~: (0, x). Der Satz von der majorisierten Konvergenz liefert nun die Behauptung für n == 1. Eine Fortsetzung dieser Schlußweise liefert unter Benutzung der Cauchyschen Integralformel für die höheren Ableitungen die Behauptung in vollem Umfang. D Eine vertiefte Diskussion der Differentiation eines Integrals nach einem komplexen Parameter findet man bei MATTNER [2].
Ix
5. Der Satz von SCHEFFE. Sind f, fn (n E N) integrierbar und gilt Ifn Ildj1 ~ 0 (n ~ (0), so folgt auch I x lndj1 ~ I x l dj1 , denn IJylndj1I dj11 ~ Iin - I1 dj1. Der Satz von H. SCHEFFE (1907-1977)10 gibt eine hinreichende Bedingung für die umgekehrte Implikation.
Ix
Ix
lOH. SCHEFFE: A useful convergence theorem for probability distributions, Ann. Math. Stat. 18, 434-438 (1947).
150
IV. Das Lebesgue-Integral
5.9 Satz von Scheffe (1947). Die Funktionen
I, In
E
M+ (n
E
N) seien
integrierbar, und es gelte
lim In n~oo
r
= I fl-f.ü.,
lim In dfl n~ooJx
=
Jxr I dfl.
Dann gilt:
Beweis. Das Lemma von
liefert:
FATOU
lim (in + I Jxr n~oo
<
lim
n~oo 2
Jxr(in + I
- Iin - 11) dfl - Iin -
11) dfl
lim r Iln-Ildfl, Jxr Idfl- n~oo Jx
o
und es folgt die Behauptung. 5.10 Korollar. Die Funktionen gelte
lim In n~oo
I, In : X
= I fl-f.ü., lim
n~oo
Dann gilt:
lim sup I
n~oo AE2( Beweis. Für alle A E 2t ist
~
:rK seien J-L-integrierbar, und es
Jr Ilnl dfl = Jr 1I1 dfl. X
X
JArIlnl dfl- JAr1I1 dfll == o.
o
und Satz 5.9 ergibt die Behauptung.
Aufgaben. 5.1. Lösen Sie Aufgabe 4.1 mit Hilfe des Satzes von der majorisierten Konvergenz.
5.2. Ist f : IR ~ IK Lebesgue-integrierbar, so gilt lim n-+ oo f(x + n) = limn-too f(x - n) = 0 für Al-fast alle x E IR. 5.3. Für alle
f
E
M+ gilt
5.4 Erweitertes Lemma von FATOU: Die Funktionen f, fn : X ~ quasiintegrierbar. a) Ist Ix f dp > -00 und fn 2: f p-f.ü. (n E N), so gilt:
r
Jx
lim n-+oo
fn
rf
dp ::; lim n-+oo Jx
n
dp .
IR seien meßbar
und f
§ 6. Riemann-Integral und b) Ist
Ix I
dJ.-l <
00
Lebe~gue-Integral
und In ~ I J.-l-f.ü.
151
(n E N), so gilt:
r n---+(X) lim In dJ.-l 2: lim r In dJ.-l. n---+(X) }
}X
X
Ix
Ix
c) Zeigen Sie, daß man oben auf die Voraussetzung I dJ.-l > -00 bzw. I dJ.-l < 00 nicht verzichten kann und daß im Satz von der majorisierten Konvergenz die Bedingung der Existenz einer integrierbaren Majorante auch im Falle J.-l(X) < 00 nicht durch die schwächere Bedingung SUPnEN IlnldJ.-l < 00 ersetzt werden kann.
Ix
5.5. Es seien I, In : X -+ ll{ meßbar, a E IR, Ilnl ~ a J.-l-f.ü., und es gelte fn -+ I J.-l-f.ü. auf 00. Zeigen Sie:
X , J.-l(X) <
lim
r IIn -
n---+(X)}x
I I dJ.-l == 0, lim
r In dJ.-l == r f dJ.-l .
n---+(X)}x}x
5.6. Es sei J.-l(X) < 00, und die Folge (In)n>l J.-l-integrierbarer Funktionen In : X -+ ll{ konvergiere J.-l-f.ü. gleichmäßig (d.h im Komple~ent einer geeigneten J.-l-Nullmenge gleichmäßig) gegen die meßbare Funktion I : X -+ K Dann ist I integrierbar, und es gilt: lim
r IIn -
n---+(X)}x
I I dJ.-l == 0, lim
r In dJ.-l == r I dJ.-l .
n---+(X)}x}x
5.7. Es sei SJ ein Halbring, der 21 erzeuge, und J.-lISJ sei a-endlich. Ferner sei I : X -+ teine
IA
integrierbare Funktion mit der Eigenschaft, daß I dJ.-l == 0 für alle A E SJ mit J.-l(A) < 00. Zeigen Sie: f == 0 J.-l-f.ü. Gilt die Aussage entsprechend für quasiintegrierbare Funktionen? 5.8. Es seien I c IR ein Intervall, a E I und I : I -+ ll{ Lebesgue-integrierbar mit für alle x E I. Dann ist 1==0 'x-f.ü. (H. LEBESGUE (1904), G. VITALI (1905)). 5.9. Konstruieren Sie eine positive stetige Funktion fa (j. ,Cl (,X) für alle a > O.
§ 6.
I : IR --+
I: f(t) dt
== 0
IR mit limlxl---+(X) f(x) == 0, so daß
Riernann-Integral und Lebesgue-Integral «Pour qu 'une fonction bornee f(x) soit integrable, il faut et il suffit que l'ensemble de ses points de discontinuite soit de mesure nulle.»l1 (H. LEBESGUE [2], S. 45)
1. Eigentliches Riemann-Integral und Lebesgue-Integral. Jede eigentlich Riemann-integrierbare Funktion ist Lebesgue-integrierbar, und die Integralwerte stimmen überein. Im folgenden Satz von H. LEBESGUE (1904), der unabhängig von G. VITALI (1904) bewiesen wurde, werden die Riemann-integrierbaren Funktionen genau charakterisiert. Vorläufer dieses Satzes stammen von B. RIEMANN und von P. DU BOIS-REYMOND; s. dazu H. LEBESGUE [6], S. 26-29. 6.1 Satz. Eine beschränkte Funktion f : [a, b] -t TI{ (a, b E JRP, a < b) ist genau dann Riemann-integrierbar, wenn die Menge ihrer Unstetigkeitsstellen 11 Dafür, daß eine beschränkte Funktion f(x) [Riemann-]integrierbar ist, ist notwendig und hinreichend, daß die Menge ihrer Unstetigkeitsstellen vom Maß Null ist.
152
IV. Das Lebesgue-Integral
eine AP-Nullmenge ist, und dann stimmt das Riemann-Integral von j mit dem Lebesgue-Integral überein. Beweis. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann TI{ == JR angenommen werden. Für j == 1, ... , p zerlegen wir [aj, bj ] in die 2n disjunkten Teilintervalle [aj, aj + (b j - aj)2- n], ]aj + (b j - aj)2- n , aj + (b j - aj)2- n+ 1], ... , ]b j - (b j aj )2- n , bj ] und erhalten durch Bildung cartesischer Produkte eine Zerlegung von [a, b] in 2np disjunkte Intervalle I nk (k == 1, ... ,2np ). Mit an,k :== inf{j(x) : x E ln,k} , ßn,k :== sup{j(x) : x E ln,k} bilden wir die Treppenfunktionen gn, h n : [a, b] -+ JR, deren Wert auf In,k gleich an,k bzw. ßn,k ist. Dann ist (gn)n?.1 wachsend, (h n )n?.1 fallend, gn :S j :S h n , und np
1
2
gn dA P ==
[a,b]
L an,k AP(In,k) ==: Un k=l
ist die Riemannsche Untersumme zur Zerlegung (In,k)k=1,... ,2 np und
I
2 np
hn dA P ==
[a,b]
L
ßn,k AP(In,k) ==: On
k=l
die entsprechende Riemannsche Obersumme. Ist nun j Riemann-integrierbar, so ist limn --+ oo Un == limn --+ oo On. Die Funktionen 9 :== limn --+ oo gn und h :== limn --+ oo h n sind Borel-meßbar und beschränkt, also Lebesgue-integrierbar über [a, b], und der Satz von der majorisierten Konvergenz liefert:
1
[a,b]
b 9 d)''p = lim Un = (R-) r f(x) dx = lim On = Ja
n--+oo
n--+oo
1
[a,b]
h dAP
,
wobei der Zusatz ,,(R-)" andeutet, daß es sich um ein Riemann-Integral handelt. Aus ~a,b](h - g)dA P == 0 folgt nun mit Satz 2.6: h == 9 AP-f.ü., also j == 9 AP-f.Ü., denn es ist 9 :S j :S h. Da AP die Vervollständigung von ßP ist, lehrt Aufgabe 4.5: j ist AP-integrierbar über [a, b] und
1
[a,b]
jdAP==l gd).'p=(R-) rbf(X)dx. [a,b] Ja
Bezeichnen D die Menge der Unstetigkeitsstellen von j und R die Menge der Randpunkte aller In,k (n E N, k == 1, ... , 2np ), so ist DeR U {g < h} eine AP - Nullmenge. Ist umgekehrt Deine AP-Nullmenge, so ist 9 == h AP-f.ü., denn {g < h} c D. Der Satz von der majorisierten Konvergenz liefert also zusammen mit Satz 4.2: lim Un == n--+oo
1
[a,b]
9 dA P ==
1
[a,b]
h dA P == lim On, n--+oo
§ 6. Riemann-Integral und Lebesgue-Integral
1 ist
d.h.
153
o
Riemann-integrierbar.
Satz 6.1 gilt entsprechend für jede beschränkte Funktion f : M -t TI{, die auf einer Jordan-meßbaren Menge M C W definiert ist, denn eine beschränkte Menge M C JRP ist genau dann Jordan-meßbar, wenn ihr Rand eine JordanNullmenge ist (vgl. W. WALTER: Analysis 11, S. 234-235).
6.2 Beispiele. a) Für x E [0,1] sei l(x) :== 1, falls x rational und l(x) :== 0, falls x irrational ist. Die Funktion 1 ist das bekannte Beispiel von DIRICHLET ([1]' S. 132) einer nicht Riemann-integrierbaren Funktion. Da 1 überall unstetig ist, ist auch nach Satz 6.1 evident, daß 1 nicht Riemann-integrierbar ist. Andererseits ist 1 als charakteristische Funktion der Boreischen Nullmenge Qn [0, 1] 1 Lebesgue-integrierbar mit fo 1 dA == 0. falls b) Für x E [0,1] sei l(x) :== 0, falls x irrational ist, und l(x) :== x E [0,1] n Q die Bruchdarstellung x == ~ mit minimalen ganzen p 2: 0, q 2: 1 hat. Die Menge Q n [0,1] der Unstetigkeitsstellen von 1 ist eine A-Nullmenge, 1 1 Aalso ist 1 Riemann-integrierbar mit (R-) fo l(x) dx == fo f dA == 0, da 1 == f.ü. c) Es seien C C [0, 1] das Cantorsche Diskontinuum und Ace , A ~ ~ 1 . Dann ist 1 :== XA I[0,1] auf [0,1] \ C stetig, d.h. die Unstetigkeitsstellen von 1 bilden eine Lebesguesche Nullmenge. Daher ist 1 Riemann-integrierbar mit 1 1 (R-) fo l(x) dx == fo 1 dA == 0, da 1 == A-f.ü. Eine Riemann-integrierbare Funktion braucht also nicht Borel-meßbar zu sein. d) Ist K c [0,1] eine nirgends dichte perfekte Menge mit A1 (K) > (s. Aufgabe 11.8.1), so ist 1 :== XK A1 -integrierbar, und 1 stimmt nicht A1 -f.ü. mit einer Riemann-integrierbaren Funktion überein.
*'
°
°
°
In Verallgemeinerung von Satz 6.1 bewies W.H.
YOUNG
(Proc. London Math. Soc. (2)
13, 109-150 (1914)): Es sei f : [a, b] ~ IR beschränkt und 9 : [a, b]
-t
IR monoton wachsend
und auf Ja, b[ rechtsseitig stetig. Dann existiert das Riemann-Stieltjes-Integral
f:
f{x) dg{x)
genau dann, wenn die Menge der Unstetigkeitsstellen von f eine Ag -Nullmenge ist, und dann
f:
gilt: f{x) dg{x) == ~a,b] f dA g. Der Beweis von Satz 6.1 läßt dies leicht erkennen, wenn man zur Zerlegung von Ja, b[ nur Stetigkeitspunkte von 9 benutzt.
2. Uneigentliches Riemann-Integral und Lebesgue-Integral. 6.3 Satz. Ist I C JR ein Intervall und 1 : I -t TI{ Riemann-integrierbar über jedes kompakte Teilintervall von I, so ist 1 genau dann Lebesgue-integrierbar über I, wenn 111 uneigentlich Riemann-integrierbar ist über I, und dann stimmt das uneigentliche Riemann-Integral von 1 über I mit dem Lebesgue-Integral überein.
Beweis. Es seien I ==]a, b[ mit -00 ::; a < b ::; 00 und a < an < bn < b, an -ta, bn t b. Dann ist 1 == limn --+ oo 1 . X[an,b n ] nach Satz 6.1 Lebesgue-meßbar. Weiter gilt nach Satz 6.1 und dem Satz von der monotonen Konvergenz: (6.1)
lim (R-) n--+oo
ibn If(x)1 dx = J111· an
lim
n--+oo
I
X[an,b n ] dA ==
J
Ifl dA.
I
154
IV. Das Lebesgue-Integral
Ist nun 1II uneigentlich Riemann-integrierbar über I, so ist die linke Seite dieser Gleichung endlich, also ist 1II und damit auch I Lebesgue-integrierbar über I. - Ist umgekehrt I Lebesgue-integrierbar über I, so ist die rechte Seite von (6.1) endlich und 1I1 über I uneigentlich Riemann-integrierbar. Ist 1II uneigentlich Riemann-integrierbar über I, so liefert Satz 6.1 in Verbindung mit dem Satz von der majorisierten Konvergenz:
(R_)jb f(x) dx = lim (R_)jb a
n
f(x) dx
an
n-+oo
= lim!l' X[an,b n ] dA ==!I dA. n-+oo
I
I
Im Falle eines halboffenen Intervalls I schließt man ebenso.
D
6.4 Beispiel. Das uneigentliche Riemann-Integral (R-)
(6.2)
(OO sin x
Jo
x
dx
existiert: Für 0 < a < b liefert eine partielle Integration
I
j
b
sin x dx I == I [- cos x] b
a
X
X
a
_jb CO~ x dx I :s ~a+b~ + jb d~ = ~a , a
X
aX
und das Cauchy-Kriterium ergibt die Konvergenz von (6.2). Aber I sinx/xl ist nicht über ]0, oo[ uneigentlich Riemann-integrierbar, denn
l
1r
(n+l)1r
I sin x I dx ~ X
L n
1 (k)
+1
k=l
l(k+l)1r
I sin x I dx 7r
k1r
2
=-
7r
1 L -~ k+ n
k=l
00 .
1
Daher ist x r-+ sin x/x nicht über ]0, oo[ Lebesgue-integrierbar. - Ebenso sieht oo man: Das Integral Jo sin x / X O dx existiert für 0: :s 0 weder als uneigentliches Riemann- noch als Lebesgue-Integral, für 0 < 0: :s 1 als uneigentliches RiemannIntegral, aber nicht als Lebesgue-Integral, für 1 < 0: < 2 als absolut konvergentes uneigentliches Riemann-Integral, also auch als Lebesgue-Integral und für 0: 2: 2 wegen des Verhaltens bei 0 weder als Riemann- noch als Lebesgue-Integral.
6.5 Die Gammafunktion. Für x > 0 existiert das Eulersche Integral
(6.3) als absolut konvergentes uneigentliches Riemann-Integral, also auch als LebesgueIntegral. Zum Beweis seien 0 < 0: < ß < 00 und x E [0:, ß]. Dann ist
o < tx-1e- t :S tß-1e- t :S
M e- t / 2 für alle t 2: 1
mit geeignetem M > O. Da die Funktion g :]0, oo[~ lR, für 0 < t :S 1 , M e- t / 2 für t > 1
to-l
g( t):==
{
§ 6. Riemann-Integral und Lebesgue-Integral
155
uneigentlich Riemann-integrierbar ist, existiert (6.3) als absolut konvergentes uneigentliches Riemann-Integral. Die Funktion r : ]0, oo[~ :IR heißt die Gammafunktion. Mit partieller Integration beweist man die Funktionalgleichung
r(x + 1) == x r(x)
(x > 0) .
Wegen r(l) == 1 ist also r(n + 1) == n! für alle ganzen n 2: o. Ist Xo > 0 und wählen wir 0 < a < Xo < ß < 00, so sind für die Umgebung U ==]a, ß[ von Xo die Voraussetzungen von Satz 5.6 erfüllt, und wir erkennen: Die Gamma/unktion ist stetig. Differenzieren wir den Integranden in (6.3) k-mal nach x, so erhalten wir:
ak
8x k tx-1e- t = (log t)k tx-1e- t
,
und für alle x E [a, ß] hat diese Funktion die integrierbare Majorante Ilogtlkg(t). Der Satz von der Differentiation unter dem Integralzeichen liefert nun sukzessive: Die Gamma/unktion ist beliebig oft differenzierbar, und für alle k 2: 0 gilt:
1
00
r(k)(X) =
(6.4)
(logt)k e-1e- t dt
(x > 0) .
Wegen 10g(1 + x) ::; x (x > -1) ist (1 - t/n)n ::; e- t für 0 ::; t ::; n, und der Satz von der majorisierten Konvergenz (integrierbare Majorante: g) liefert für x> 0:
r(x)
{OO tx-1e- t dt == lim {OO t x - 1 (1 _ } 0
n-+oo } 0
lim n-+oo
{n (1- !)n t xJo n
1
!)
n
X0n
n] , [
(t) dt
dt.
Das letzte Integral bestimmen wir durch sukzessive partielle Integrationen und erhalten die Gaußsehe Darstellung der Gamma/unktion: x
r(x) == lim
(6.5)
n-+oo
Für x (6.6)
==
,
n n.
x(x + 1) ..... (x
+ n)
.
~ liefert (6.5) zusammen mit der Wallisschen Formel
r (~)
== J7f ,
d.h.
(6.7) was wir noch auf verschiedenen anderen Wegen herleiten werden. Da für x E ce und t > 0 gilt ItXI == t Rex , lassen sich die obigen Aussagen unmittelbar auf komplexe x mit Rex> 0 ausdehnen, d.h. (6.3)-(6.5) gelten für
156
IV. Das Lebesgue-Integral
x E C, Rex> O. - Die Holomorphie der Gamma/unktion und GI. (6.4) lassen sich für Re x > 0 auch mühelos mit Satz 5.8 beweisen. Bringt man in der Gaußschen Darstellung den Faktor n! in den Nenner und fügt Faktoren exp( -z/k) ein, so erhält man für Rez > 0 _. exp (z (logn - L:~=l i)) r (z ) - n~oo 11m Z ITk=l n ( 1 + f ) exp ( -f ) ' Hier stellt z IT~l (1 + z/k) exp( -z/k) eine ganze Funktion von z E C dar mit den Nullstellen 0, -1, -2, , und der Limes limn~oo (logn - L:~=ll/k) existiert und ist gleich -'Y, wobei 'Y = 0,5772 die Eulersche Konstante ist (s. Grundwissen-Band Funktionentheorie 11 von R. REMMERT). Das liefert die meromorphe Fortsetzbarkeit der Gammafunktion in die ganze komplexe Ebene und die Weierstraßsehe Produktdarstellung:
_1_ r(z)
(6.8)
= ze"!z
fi
n=l
(1 + ~) n
e-~
(z E
C) .
Insbesondere ist r- 1 eine ganze Funktion, und rist nullstellenfrei in C. Wegen der Funktionalgleichung folgt aus (6.8)
rr (1 + ~)
r(z)r(l - z)
= z
rr 00
(
1-
n=l
(s. z.B. R.
rr (1 - ~)
0 0 0 0
1
---- z (-z)r(z)r( -z) - n=l
:22) =;:1
n
e- z / n
n=l
n
ez / n
sin 1rZ
loe. eit.), also
REMMERT,
r(z)r(l- z)
(6.9)
1r
= -.-. SIn 1rZ
Hieraus folgt erneut: r (~) = ~.
3. Mittelwertsätze der Integralrechnung. 6.6 Erster Mittelwertsatz der Integralrechnung. Es seien 1 : [a, b] ~ IR Lebesgueintegrierbar, 1 ~ 0 und 9 : [a, b] ~ IR stetig. Dann gibt es ein E [a, b], so daß
t
f(x)g(x) dx = g(e)
t
e
f(x) dx.
Beweis. Mit a = min{g(x) : x E [a, b]} und ß := max{g(x) : x E [a, b]} erhält man durch Integration der Ungleichung al ::; Ig ::; ß/: Cl<
t
f(x) dx
~
t
f(x)g(x) dx
~ß
t
f(x) dx.
Der Zwischenwertsatz für stetige Funktionen ergibt unmittelbar die Behauptung.
0
6.7 Zweiter Mittelwertsatz der Integralrechnung (0. BONNET 1849). Es seien 1 : [a, b] ~ IR Lebesgue-integrierbar und 9 : [a, b] ~ IR monoton. Dann gibt es ein E [a, b], so daß
t
e
f(x)g(x) dx
= g(a)
l
f(x) dx + g(b)
l
f(x) dx.
Beweis. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei 9 fallend. Sei c > O. Dann gibt es ein 8 > 0, so daß I/(x)ldx < c für alle u, v E [a, b] mit 0 ::; v - u < 8 (s. Aufgabe 3.7). Ist nun
J:
§ 6. Riemann-Integral und Lebesgue-Integral
157
Z : a = Xo < Xl < ... < Xn = beine Zerlegung von [a, b] mit J-l(Z) := max{xk+l - Xk : k 0, ... , n - 1} < 8, so ist wegen der Monotonie von 9
I
J: f(x)g(x) dx - L~=l g(Xk) J:
k_ k 1
::; L~=l (g(Xk-l) - g(Xk))
J:
Für S(Z) := L~=l g(Xk)
k_ k 1
J::_
1
f(x) dxl ::;
J:
If(x)l(g(x) - g(Xk)) dx
k_ k 1
If(x)1 dx ::; c(g(a) - g(b)).
f(x) dx gilt also: Durchläuft Z eine Folge z(n) von Zerlegungen
mit J-l(z(n)) ~ 0, so gilt: lim s(z(n)) n---too Die Funktion F : [a, b] ~ IR, F(x) = Abelscher partieller Summation folgt:
L g(xk)(F(Xk) -
jb
=
f(x)g(x) dx.
a
Jax f(t)
dt (x E [a, b]) ist stetig (Aufgabe 3.8). Mit
n-l
n
S(Z) =
L~=l
=
F(Xk-l)) =
k=l
L F(Xk)(g(Xk) -
g(Xk+l))
+ F(b)g(b).
k=l
Wir setzen a := min{F(x) : a ::; x ::; b}, ß:= max{F(x) : a ::; x ::; b} und erhalten
+ F(b)g(b)
a(g(a) - g(b))
::; S(Z) ::; ß(g(a) - g(b))
+ F(b)g(b).
Hier lassen wir Z eine Folge (z(n))n~l mit J-l(z(n)) ~ 0 durchlaufen; das ergibt für n ---t
a(g(a) - g(b)) Es gibt also ein
'f}
E
+ F(b)g(b)
= F(~)
f(x)g(x) dx
~ ß(g(a) -
g(b))
+ F(b)g(b).
[a, ß] mit [
und da 'fJ
~[
00:
f(x)g(x) dx = TJ(g(a) - g(b))
+ F(b)g(b) ,
ist mit geeignetem ~ E [a, b] (Zwischenwertsatz), folgt die Behauptung.
6.8 Korollar. Ist in der Situation des Satzes 6.7 die Funktion 9 [a, b], so daß
~ E
[
f(x)g(x) dx = gral
t
0
2:: 0 Jallend, so gibt es ein
f(x) dx.
Beweis. Man wende Satz 6.7 auf 9 :== 9 . X[a,b[ an.
o
6.9 Beispiel. Für jede monotone Funktion 9 : [0, oo[~ IR mit limx---too g(x) == 0 existiert das trigonometrische Integral
1
00
:=
g(t)e itx dt
(x
=Je
0)
als uneigentliches Riemann-Integral: Nach Korollar 6.8 ist für 0
I ja
b
g(t) sintx dtl = Ig(a)11
j~ a
sintx dtl
~
Rlg(a)l,
und zusammen mit der entsprechenden Gleichung für den Kosinus liefert das Cauchy-Kriterium die Existenz des uneigentlichen Riemann-Integrals. Zusätzlich ergibt sich:
158
IV. Das Lebesgue-Integral
ausgeprägten geistigen Interessen, starb früh an Tuberkulose und hinterließ seine junge Frau, seine Tocher CLAIRE, den tuberkulösen HENRI und einen weiteren Sohn, der bald an tuberkulöser Meningitis starb. Seine Mutter mußte Arbeiten außer Haus annehmen, um den Lebensunterhalt der Familie zu sichern, denn es gab keine Versorgung aus öffentlichen Kassen. Wie LEBESGUE schrieb, mußte seine Mutter auf Gedeih und Verderb ihrer Arbeit gewachsen sein, die ihr nicht immer genug einbrachte, um sich satt zu essen. Dennoch stimmte sie ohne Zögern zu, als ihre Kinder berufliche Wege einschlugen, die ihr selbst lange Zeit nur Belastungen brachten. Auf der Primarschule und der Realschule in Beauvais erkannten die Lehrer die mathematische Begabung von LEBESGUE, und ein Stipendium seiner Heimatstadt ermöglichte ihm den Besuch des Lyzeums in Paris. Während seines Studiums an der Bcole Normale Superieure in Paris (ab 1894) lernte LEBESGUE die intellektuelle Elite seiner Zeit kennen, blieb aber in seinem angestammten sozialen Milieu und heiratete die Schwester eines Studienfreundes. Zu seinen Studienfreunden zählten der Mathematiker P. MONTEL (1876-1975), bekannt durch den Satz von MONTEL über normale Familien holomorpher Funktionen, und der Physiker P. LANGEVIN (1872-1946). Nach dem Staatsexamen (1897) arbeitete LEBESGUE zwei Jahre lang in der Bibliothek der Bcole Normale Superieure; gleichzeitig schrieb er seine ersten Arbeiten. Von 1899-1902 unterrichtete er am Lyzeum in Nancy. Während dieser Zeit schrieb er seine These: Integrale, longueur, aire, die ein Markstein in der Geschichte der Mathematik wurde. Nach der Promotion (1902) wirkte LEBESGUE von 1902-1906 als Dozent an der Universität Rennes, danach als Lehrbeauftragter an der Universität Poitiers (1906-1910), anschließend als Dozent für mathematische Analysis (1910-1919) und Professor (1919-1921) an der Sorbonne, ab 1921 als Professor am College de France; 1922 wurde er Nachfolger von C. JORDAN in der Academie Frangaise. Während des Ersten Weltkriegs beschäftigte LEBESGUE sich im Dienst für Erfindungen mit ballistischen Problemen und beseitigte gefährliche Fehler. Im Verlauf seiner siebzehnjährigen Tätigkeit als Lehrbeauftragter sowohl an der Bcole Normale Superieure (rue d'Ulm) als auch an der Bcole Normale Superieure de Jeunes Filles in Sevres (1920-1937) bildete er viele Generationen französischer Gymnasiallehrer und -lehrerinnen aus. Nach längerer Krankheit starb H. LEBESGUE am 26. Juli 1941 in Paris, hochgeehrt durch Preise und Auszeichnungen von zahlreichen wissenschaftlichen Institutionen. Die wichtigsten mathematischen Arbeiten von LEBESGUE sind der reellen Analysis gewidmet. Seine erste Arbeit (1898) enthält einen einfachen Beweis des Weierstraßschen Approximationssatzes. Von größter Bedeutung sind seine Arbeiten zur Integrationstheorie. Dabei kamen LEBESGUE die Vorarbeiten von B. BOREL über Maßtheorie und R. BAIRE über reelle Funktionen zustatten. R. BAIRE hatte mit den sog. Baireschen Klassen eine Art Hierarchie unter den Funktionen aufgestellt und damit ordnende Gesichtspunkte in die vermeintlich völlig ungeordnete Welt der unstetigen Funktionen gebracht. Ausgehend vom Maßproblem entwickelt LEBESGUE im ersten Kapitel seiner These die Lebesguesche Maßtheorie auf JR und im JR2. Damit vervollständigt und präzisiert er die etwas raschen Andeutungen (<
J:
J:
§ 6. Riemann-Integral und Lebesgue-Integral
159
Nachruf (Obituary Notices of the Fellows of the Royal Soc. 4, 483-490 (1942-44)). Im akademischen Jahr 1902-1903 hielt LEBESGUE am College de France eine Vorlesung über Integrationstheorie, die er unter dem Titel Lelfons sur l'integration et La recherche des fonetions primitives (Paris 1904) veröffentlichte ([2]' 11-154). Leitmotiv dieses Buches ist die Frage, unter welchen Bedingungen das unbestimmte Integral eine Stammfunktion des Integranden ist. Die historische Entwicklung dieses Problems wird ausführlich dargelegt: Ein Kapitel behandelt die Theorie der Integration von CAUCHY und DIRICHLET, es folgen zwei Kapitel über das Riemann-Integral, eines über Funktionen von beschränkter Variation und zwei über Stammfunktionen. Erst im letzten Kapitel geht LEBESGUE kurz auf seinen Integralbegriff ein. Dabei geht er axiomatisch vor und formuliert analog zum Maßproblem das Integrationsproblem. Dieses führt er auf das Maßproblem zurück und gelangt mit Hilfe des Lebesgue-Maßes und des Begriffs der meßbaren Funktion zur analytischen und zur geometrischen Definition des Integrals. Die Untersuchung von Stammfunktionen und die Rektifikation von Kurven dienen als Anwendungsbeispiele. Mit diesem Buch wurde die Lebesguesche Integrationstheorie allgemein zugänglich. Eine zweite, wesentlich erweiterte Auflage dieses Werkes erschien 1928 ([6]). Um zu zeigen, daß das Lebesgue-Integral für die Lösung wichtiger Probleme ein unersetzliches Hilfsmittel ist, wandte LEBESGUE sich der Theorie der Fourier-Reihen zu und erzielte folgende Resultate: Die Fourier-Koeffizienten jeder 21r-periodischen über [0,21r] integrierbaren Funktion konvergieren gegen Null (Lemma von RIEMANN-LEBESGUE). Jede FourierReihe darf gliedweise integriert werden. Das Lebesguesche Konvergenzkriterium umfaßt alle klassischen Konvergenzkriterien für Fourier-Reihen. Die Folge der arithmetischen Mittel der Teilsummen der Fourier-Reihe einer 21r-periodischen über [0,21r] integrierbaren Funktion f konvergiert f.ü. gegen f. - Im akademischen Jahr 1904-1905 hielt LEBESGUE am College de France eine Vorlesung über Fourier-Reihen, die als Buch ([8]) veröffentlicht wurde. Bis zu seiner Aufnahme in die Academie Franc;aise (1922) schrieb LEBESGUE etwa 90 Bücher und Arbeiten hauptsächlich über Maß- und Integrationstheorie, Fourier-Reihen, Mengenlehre, Variationsrechnung, Theorie des Oberflächenmaßes und Dimensionstheorie. Besondere Erwähnung verdient hier seine große Arbeit Sur l'integration des fonctions discontinues ([2], S. 185-274). Einen ausführlichen Überblick über diese Arbeiten gibt LEBESGUE selbst in der Notiee sur les travaux scientifiques de M. Henri Lebesgue ([1], S. 97-175). In den Jahren 1918-1920 entbrannte in den Ann. Sei. Be. Norm. Super. eine mit gallischer Schärfe ausgetragene Polemik zwischen E. BOREL und H. LEBESGUE, die sich jedoch gegenseitig durchaus schätzten (s. B. ARNOLD: Borel versus Lebesgue - eine Fallstudie über reelle Funktionen und Forsehungsprogramme, Diss., Darmstadt 1986). Dabei ging es auch um Prioritätsfragen. Was diese anbetrifft, ist heute unstrittig, daß die Maßtheorie auf BOREL zurückgeht, während die Integrationstheorie von LEBESGUE stammt. Ein lebendiges Bild der wissenschaftlichen Auffassungen, der lange Zeit freundschaftlichen Beziehungen und der unterschiedlichen Charaktere der Partner vermitteln die Briefe von LEBESGUE ([9]) an BOREL. In seinen letzten 20 Lebensjahren publizierte LEBESGUE zahlreiche Arbeiten pädagogischen, historischen und elementargeometrischen Inhalts. Die ersten Arbeiten von LEBESGUE zur Integrationstheorie wurden von den zeitgenössischen Mathematikern überwiegend kühl bis feindlich aufgenommen. CHARLES HERMITE (1822 -1901) wollte anfangs die Vorankündigung der Resultate der These nicht zur Publikation in den G.R. Acad. Sei. Paris annehmen. Er hatte seine Meinung schon früher in einer vielzitierten Zeile in einem Brief an STIELTJES zum Ausdruck gebracht: «Je me detourne avec effroi et horreur de cette plaie lamentable des fonctions qui n'ont point de derivees.»12 Auch gegen die Annahme der These wurde Kritik geäußert. So reagierte G. DARBOUX ausgesprochen feindlich, obgleich er selbst 1875 eine gewichtige Arbeit über unstetige Funktionen geschrie12Ich wende mich ab mit Entsetzen und Abscheu von dieser beklagenswerten Plage von Funktionen, die überhaupt keine Ableitungen haben.
160
IV. Das Lebesgue-Integral
ben hatte. V.J. BOUSSINESQ (1842-1929), Professor für Differential- und Integralrechnung an der Sorbonne, soll gesagt haben: «Mais une fonction atout interet a avoir une derivee!»13 E. PICARD (1856-1941), dessen Name mit den Picardschen Sätzen in der Funktionentheorie und dem Existenz- und Eindeutigkeitssatz von PICARD-LINDELÖF in der Theorie der Differentialgleichungen verbunden ist, verteidigte die Untersuchungen von LEBESGUE. Er konnte U. DINI (Pisa) zur Publikation der Lebesgueschen These in den Annali di Mat. bewegen. DINI war auch nicht recht von der Bedeutung der Arbeit überzeugt, aber um PICARD entgegenzukommen, nahm er die Arbeit zur Veröffentlichung an (s. hierzu VITALI [1]' S. 9). Erst etwa ab 1910 nahm die Anzahl der Mathematiker, die in ihren Arbeiten das LebesgueIntegral benutzten, rasch zu, wozu namentlich die Pionierarbeiten von P. FATOU, F. RIESZ, E. FISCHER (1875-1954) beitrugen. Insbesondere die Arbeiten von F. RIESZ über LP-Räume sicherten dem Lebesgue-Integral einen dauerhaften Platz in der Funktionalanalysis. - In einem Nachruf schreibt P. MONTEL über H. LEBESGUE ([1], S. 84): «11 a ete un grand savant, un professeur admirable, un homme d'une incomparable noblesse morale.»14
Aufgaben. 6.1. a) Ist f : [a, b] ~ R Lebesgue-meßbar und beschränkt, so gilt für das Riemannsche 0 ber- bzw. Unterintegral:
J
b
1
J
b-b
f(x) dx '"
a
~
f dA '"
f(x) dx.
a
b) Es sei U C]O, 1[ eine offene Menge mit Qn]O, I[C U. Bestimmen Sie das Riemannsche Oberbzw. Unterintegral von XU. Wann ist XU Riemann-integrierbar? 6.2. Hat f : [a, b] ~ R in jedem Punkt einen rechtsseitigen und einen linksseitigen Grenzwert, so ist f Riemann-integrierbar (G. DARBOUX, Ann. Sei. Be. Norm. Super. (2) 4, 57-112 (1875)). (Bemerkung: Vgl. Aufgabe 111.4.7.) 6.3. Welche der folgenden Funktionen f, g, h sind uneigentlich Riemann-integrierbar bzw. Lebesgue-integrierbar über 1? a) f(x) = X/VI + x 4 , 1 = R. b) g(x) = sinx GY (a E R), 1=]0,00[. c) h(x) = 2xsin ~ - ~ cos ~, 1=]0,1[.
6.4. Ist f : [0, oo[~ [0, oo[ monoton fallend, so ist die Funktion x ~ f(x) - f([x] + 1) ([x] = größte ganze Zahl:::; x) Lebesgue-integrierbar über [0,00[. 6.5. Es seien f : [a, ß] ~ [a, b] , 9 : [a, b] ~ R. a) Ist 9 stetig und f Riemann-integrierbar, so ist go f Riemann-integrierbar (P. DU BOISREYMOND (1880)). b) Sind f, 9 Riemann-integrierbar, so braucht gof nicht Riemann-integrierbar zu sein. c) Ist gof für jede stetige Funktion f : [a, ß] ~ [a, b] Riemann-integrierbar, so ist 9 stetig. (Hinweise: Es seien K C [a, ß] eine nirgends dichte perfekte Menge positiven Maßes, y E ]a,b[, f(x) := h(x) + y, wobei h : [a,ß] ~ R eine stetige Funktion ist, die auf ]a,ß[\K positiv und hinreichend klein ist und sonst verschwindet. Nach Voraussetzung ist gof in einem Punkt aus K stetig. - Die Aussage gilt entsprechend, wenn man in der Voraussetzung nur COO-Funktionen f zugrundelegt.) 6.6. Es seien (rk)k~l eine Abzählung von Q n [0,1], und für n E N, x E [0,1] sei
fn(x) :=
L 2- k (x -
Tk)2(1 - (x - rk)2)n-1.
k=l 13 Aber eine Funktion hat alles Interesse, eine Ableitung zu haben! 14Er war ein großer Gelehrter, ein bewundernswürdiger Lehrer, ein Mensch von unvergleichlichem moralischem Adel.
§ 6. Riemann-Integral und Lebesgue-Integral
161
Ist 9 := l:~=1 fn Riemann-integrierbar über [0,1]?
> 0 gilt:
6.7. Für alle x,y E
{1
tx-1
Ja
(-1)n
00
l+t y dt=
~x+ny'
(Warum konvergiert die Reihe auf der rechten Seite?) 6.8. Prüfen Sie, ob das folgende Integral als uneigentliches Riemann-Integral oder als LebesgueIntegral existiert, und zeigen Sie:
(OO 1 - cos t d _ 1r
Ja 6.9. Für s
~ t -
> 0 gilt
1
00
a
1I
4" - "2
2 og .
dx h 1/ = 2f(s + 1)L(s) , cos x s
wobei f die Gammafunktion bezeichnet und L (s) = l:~= 1 ( -1 ) n / (2n + 1) s . 6.10. Für alle x E lR gilt:
sintx -:---h /2 dt = 1r tanh 1rX •
1
00
Sin t
a
(Anleitung: Das Integral läßt sich in Gestalt einer unendlichen Reihe auswerten. Diese bestimmt man durch Fourier-Entwicklung der 21r-periodischen Funktion fa : lR ~
~
lR,
F(t):= (OO log~l
Ja
+ t:x
+x
2 )
dx (t
E
IR)
ist wohldefiniert, stetig und in jedem Punkt t i= 0 differenzierbar. Bestimmen Sie F'(t) (t explizit und zeigen Sie: F(t) = 1r log(1 + Itl) (t E lR). 6.12. Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion 00
f(t)
:=
1
e- tx
a
i= 0)
f :]0, oo[~ lR,
sinx dx x
-
(t > 0)
explizit und zeigen Sie: f(t) = 1r/2 - arctan t (t > 0). Zeigen Sie weiter durch Grenzübergang t~ +0: (R-) {OO sinx dx = ~. 2 6.13. Die Funktionen F, G : lR ~ lR,
Ja
{X F(x):= ( Ja e-
t
2
x
)
dt
2
(1 ,G(x):= Ja
(x E lR) sind differenzierbar mit F' + G' = 0, F
+ G = i.
2 e-x2 (1+t )
1 + t2
dt
Folgern Sie:
(n 2:: 0 ganz, t
> 0) .
Folgern Sie weiter durch Reihenentwicklung des Integranden und Anwendung des Satzes von der majorisierten Konvergenz: 00
_1_1+
y'21r
-00
e-x2/2+itx
dx =
e- t2 / 2 .
162 6.14. Die Funktion
IV. Das Lebesgue-Integral
f : IR ~
IR,
ist wohldefiniert, stetig, in jedem Punkt t f. 0 differenzierbar und genügt der Differentialgleichung f'(t) + 2f(t) = 0 (t > 0). Folgern Sie: f(t) = y7rexp( -2Itl) (t E IR). 6.15. Die Funktion
f : IR ~
IR, +00
f(t):=
e- x " /2+it x dx
-00
(t E IR)
/
+ tf(t) = 0, also gilt: f(t) = J21rexp( -tZ /2).
genügt der Differentialgleichung f'(t)
6.16. Beweisen Sie mit Hilfe einer Differentiation unter dem Integralzeichen in der Gleichung
1
00
cSr(s)
=
x s-
1
e- tx dx
(s, t > 0)
+ 1) = s r(s)
(s > 0). 1 6.17. a) Der Raum Span {XI: I E JP} liegt dicht in .c (,\P). b) Ist I c IR ein Intervall und f : I ~ JK Lebesgue-integrierbar, so gilt: die Funktionalgleichung der Gamma/unktion: r(s
lim jf(x)e itx dx
Itl--+oo
I
=0
(Lemma von RIEMANN-LEBESGUE).
6.18. Die Funktion
1=
00
ua(t) :=
o
t -z--z cosaxdx t +x
(a, t > 0)
genügt der Differentialgleichung u~ aZu a (wiederholte Differentiation unter dem Integralzeichen und partielle Integration). Daher ist ua(t) = ae at + ße- at mit geeigneten a, ß E IR. Für a ~ 00 konvergiert ua(t) gegen 0 (Lemma von RIEMANN-LEBESGUE), und für a ~ +0 hat U a (t) den Limes 1r /2. Daher gilt:
1
00
o
t -')--z cos ax dx t.. + x
1r
= - e -at (a,t > 0). 2
Bestimmen Sie durch eine weitere Differentiation unter dem Integralzeichen das uneigentliche Riemann-Integral
(R-)
x
1
00
1r
-Z--Z sin ax dx t +x
o
(Hinweis: Beim letzten Schritt wähle man T
=-
2
e- at
(a,t
> 0).
> 0 und differenziere zunächst im Integral über
]0, T] unter dem Integralzeichen. Den Rest kann man nach partieller Integration abschätzen. - Fortsetzung: Aufgabe V.2.13.) 6.19. Es seien (a n )n2: 1 eine Folge positiver reeller Zahlen mit L~=l an 10g(1 + 1/ an)
< 00 und
(b n )n2: 1 eine beliebige Folge reeller Zahlen. Dann konvergiert die Reihe L~=l an/Ix - bnl
f.ü. auf IR. (Hinweise: Es gilt lim n--+ oo an = O. Man setze fn(x) := an/Ix - bnl für an S
(nl~~ An) = O. Für jedes R f.ü. auf IR.) 1
,\1_
bnl
f. an/Ix - bnl} gilt L~=l ,\1 (An) < 00 und > 0 gilt nun I~ L~=l f n d'\ 1 < 00, also konvergiert L~=l f n
und fn(x) = 0 sonst. Mit An = {x : fn(x) ,\
Ix -
Kapitel V Produktmaße, Satz von Fubini und Transformationsformel «Le procede dont je fais usage, est fonde sur la propriete connue des integrales doubles, d'etre independantes de l'ordre dans lequelles deux integrations sont effectuees.... la justice exige aussi d'attribuer a EULER la premiere idee de faire servir la propriete enoncee des integrales doubles definies simples.»1
(DIRICHLET
a l'evaluation
des integrales
[1], S. 111)
Das folgende Kapitel ist vornehmlich der Diskussion "mehrfacher" Integrale gewidmet. Zentrale Sätze sind der Satz von FUBINI und die Transformationsformel. Der Satz von FUBINI gestattet die Reduktion mehrfacher Integrale auf einfache. Die Transformationsformel ist das p-dimensionale Analogon der Substitutionsregel für das Riemann-Integral. Im folgenden Kapitel seien (X, 2l, J-l) , (Y, 93, v) zwei Maßräume, M(X, 2l) , M(Y, 93) , M(X x Y, 2(093) die Mengen der meßbaren numerischen Funktionen auf X, Y bzw. X x Y und M+( ... ) die Menge der nicht-negativen Funktionen aus M( .. .).
§ 1.
Prod uktlllaße "Man kann in dem Raume X x Y ein Maß einführen, so daß Mengen von der Gestalt Mx N meßbar sind, und zwar das Maß j.L(M)v(N) haben (dabei bedeuten Mund N meßbare Untermengen von X resp. Y), ... " (ULAM [1], S. 40)
1Das Verfahren, welches ich benutze, beruht auf der bekannten Eigenschaft von Doppelintegralen, unabhängig von der Reihenfolge der Integrationen zu sein.... die Gerechtigkeit gebietet es zudem, EULER die erste Idee zur Benutzung der genannten Eigenschaft der Doppelintegrale zur Auswertung von einfachen bestimmten Integralen zuzuschreiben.
V. Produktmaße
164
1. Produkt-a-Algebren. Wir wollen ein "Produktmaß" p auf X x Y definieren, so daß für alle A E 2(, B E ~ gilt: p(A x B) == fL(A) v(B) (elementargeometrische Motivation: Flächeninhalt eines Rechtecks == Länge· Breite). Als Definitionsbereich für ein solches Maß p bietet sich die von 2(
* ~ == {A
x B : A E 2(, B E ~}
erzeugte Produkt-a-Algebra
an. Aus Korollar 111.5.8 wissen wir:
1.1 Lemma. Ist M E
2( 0 ~,
so ist jeder Schnitt
M a . - {y E Y : (a, y) E M} Mb.- {xEX:(x,b)EM}
(a E X), (bEY)
meßbar, d.h. M a E ~,Mb E 2t, und für jeden Meßraum (Z,
ein Erzeuger von ~P
0
~q
==
2(
0
* ~ ==
~.
{E x F : E E <E, F E ~}
Insbesondere ist JP
* Jq ==
Jp+q
ein Erzeuger von
~p+q.
2. Produktmaße. Die Existenz eines Produktmaßes sichert der folgende Satz. 1.2 Satz. Es gibt ein Maß p : 2( 0
(1.1)
~
-+ JR, so daß
p(A x B) == fL(A) v(B)
(A E
2(,
B E
~).
Beweis. Wir definieren zunächst p auf dem Halbring 2(* ~ durch (1.1); dabei ist die Konvention O· 00 :== 0 wesentlich. Dann ist p : 2( * ~ -+ IR ein Prämaß: Zum Nachweis der a-Additivität sei A x B die disjunkte Vereinigung der Mengen
§ 1. Produktmaße
An
X
165
B n mit A, An E Q(, B, B n E
p(A x B) = i i
t.2
~
(n E N). Dann gilt nach Folgerung IV.2.4:
v(B) XA(X) dJ1(x) = i
v((A x B)x) dJ1(x)
v (Q(An x Bn)x) dJ1(x)
~i
v ((An
X
i~V((An x Bn)x) dJ1(x)
=
Bn)x) dJ1(x) =
~ p(An
X
Bn);
dabei gilt die Gleichheit (!) nach Korollar IV.2.8. Nach dem Fortsetzungssatz 11.4.5 läßt sich das Prärnaß p : Q( * ~ -+ JR fortsetzen zu einem Maß auf a(Q( * ~)==Q(®~.
0
Damit ist die Existenz eines Produktmaßes gesichert, aber nicht die Eindeutigkeit. - Offenbar ist die Konstruktion von p mit Hilfe des Fortsetzungssatzes recht unhandlich. Einen flexiblen Kalkül verspricht folgender Ansatz, der bisweilen nach B. CAVALIERI (1598-1647), einem Schüler von G. GALILEI, benannt wird (s. Abschnitt 3.): Ist M E Q( ® ~, so ist jeder Schnitt Mx meßbar, und es liegt nahe, die Funktion x ~ v(Mx ) bez. J-l zu integrieren:
p(M)
:=
i
v(Mx ) dJ1(x).
Dieser Ansatz ist nur sinnvoll, wenn die Funktion unter dem Integralzeichen aus
M+(X, Q() ist. Letzteres ist der Fall, wenn va-endlich ist: 1.3 Satz. Ist va-endlich, so ist für jedes M E Q( ® v(Mx ) Q(-meßbar, und p : Q( ® ~ -+ JR,
v(Mx ) dJ1(x)
p(M) := i
(1.2)
ist ein Maß auf Q( ®
~
die Funktion x
~
(M E 2t 0 SB)
mit
p(A x B)
(1.3)
~
==
J-l(A) v(B)
(A
E
Q(, B E ~) .
Beweis. Zunächst müssen wir zeigen, daß fM : X -+ JR, fM(X) :== v(Mx ) (x E X; M E Q( ® ~) Q(-meßbar ist; dieses ist die wesentliche Schwierigkeit im folgenden Beweis. Zu diesem Ziel benutzen wir das Prinzip der guten Mengen und setzen
9J1 :== {M Für A E Q(, B E
~
E
Q( ® ~ : fM ist Q(-meßbar} .
ist
fAXB(X) == v(B) XA(X)
(x E X)
offenbar Q(-meßbar, also gilt Q( * ~ c 9J1. Die weitere Argumentation erfolgt in zwei Schritten: (1) Ist v(Y) < 00, sO ist 9J1 == Q( ® ~.
V. Produktmaße
166
Begründung: 9J1 ist ein Dynkin-System über X x Y, denn es gilt: a) X x Y E 9J1, denn fxxY ist konstant gleich v(Y). b) Für M E 9J1, x E X ist wegen der Subtraktivität des Maßes (v(Y) < oo!)
eine 2l-meßbare Funktion. c) Ist (Mn)n?) eine Folge disjunkter Mengen aus 9J1, so ist U~=l Mn E 9J1, denn fU~=lMn == L~=l fM n ist 2l-meßbar. Insgesamt ist 9J1 ein Dynkin-System, das den durchschnittsstabilen Erzeuger 2l * ~ von 2l ® ~ umfaßt. Nach Satz 1.6.7 ist das von 2l * ~ erzeugte DynkinSystem 1) gleich 2l®~, und aus 1) C 9J1 C 2l®~ folgt 9J1 == 2l®~. (Bemerkung: Alternativ kann man auch so schließen: 9J1 ist eine monotone Klasse, die den von 2l * ~ erzeugten Ring umfaßt. Satz 1.6.2 liefert daher 9J1 == 2l ® ~.) (2) Ist va-endlich, so ist 9J1 == 2l ® ~. Begründung: Sei (Bn)n?) eine Folge von Mengen aus ~ mit B n t Y , v(Bn ) < 00 (n E N) und V n : ~ -+ IR, vn(B) :== v(B n B n ) (B E ~). Für jedes M E 2l®~ ist x t---+ vn(Mx ) nach (1) 2l-meßbar, also ist auch fM(X) == limn-too vn(Mx ) eine 2l-meßbare Funktion von x EX, d.h. 9J1 == 2l ® ~. Damit ist die durch (1.2) definierte Funktion p sinnvoll und offenbar gilt (1.3). Zum Nachweis der a-Additivität von p sei (Mn )n2: 1 eine Folge disjunkter Mengen aus 2l ® ~. Dann gilt:
Ix v ( (Q Mn) JdJl(x) = Ix ~ v((Mn)x) dJl(x)
f= 1
v((Mn)x) dJl(x) =
n=l
X
f=
p(Mn) ;
n=l
hier ist die Vertauschung von Summation und Integration nach Korollar IV.2.8 D zulässig. Ist v nicht a-endlich, so ist der Ansatz (1.2) zur Definition eines Produktmaßes nicht sinnvoll, denn x t---+ v(Mx ) braucht nicht meßbar zu sein; BEHRENDS [1], S. 96 gibt ein Beispiel dafür. - Auch für a-endliches v braucht das Maß p aus (1.2) nicht das einzige Maß auf 2l ® ~ zu sein, das (1.3) erfüllt: 1.4 Beispiel. Es seien (X,2l) == (Y, ~) :== (IR, ~l), JL das Zählmaß auf ~l und v :== ßl. Wir wissen aus dem Beweis von Satz 1.2, daß p gemäß (1.1) ein Prämaß auf ~l * ~l ist. Bezeichnet TJ das äußere Maß zu p, so ist 1r :== TJI~2 nach Kap. 11 eine Maßfortsetzung von p. Offenbar ist D:== {(x,x) : x E [0, I]} E ~2. Wäre so gäbe es Mengen An, B n E ~l (n E N) mit D C U~=l An X B n und < 00. Für alle n E N ist daher An endlich oder ßI(Bn ) == O. Die Vereinigung A aller endlichen An ist abzählbar, die Vereinigung B aller B n mit ßl(Bn ) == 0 ist eine ßI-Nullmenge, und es gilt D c (A x JR) U (JR x B). Bezeichnet nun pr 1 die Projektion auf die erste Koordinate, so ist einerseits pr1(D\(AxJR)) == [0, l]\A, während andererseits pr1(D\(AxJR)) C B,ß1(B) ==
1r(D) <
00,
L~=l JL(A n ) ·ßl(Bn )
§ 1. Produktmaße
167
0: Widerspruch! Es folgt 7r(D) == Satz 1.3 ist p : ~2 -+ IR,
p(M)
:=
00. -
Nun ist aber v ==
k
ß1 (Mx ) dfl,{X)
ßl
a-endlich, und nach
(M E 1B 2 )
eine Maßfortsetzung des Prämaßes (1.1) mit p(D) == O. Das ursprüngliche Prämaß (1.1) hat also zwei verschiedene Maßfortsetzungen. - Im vorliegenden Beispiel ist bemerkenswert, daß die Abbildung y I---t JL(MY) (M E ~2) immer noch Lebesgue-meßbar ist. (Das wird bei BEHRENDS [1], S. 94-96 bewiesen.) Daher ist a : ~2 -+ IR,
cr(M) :=
k
(M E 1B 2 )
J1(MY) d)..l(y)
eine dritte Maßfortsetzung von (1.1). Wegen a(D) == 1 ist a =I- p und a =I-
7r.
1.5 Satz und Definition. Sind JL und va-endlich, so gibt es genau ein Maß @ v : 2( @ ~ -+ IR mit
JL
JL
(1.4)
@
v(A x B) == JL(A) v(B)
(A E 21, B E
~) ,
und zwar ist
(1.5)
J10 v(M) =
Das Maß JL
@
Ix v(M
x)
dJ1(x) = [J1(MY) dv(y)
(M E 2t 01B) .
v ist a-endlich und heißt das Produktmaß von JL und v.
Beweis. Das Prämaß p : 2(* ~ -+ IR, p(A x B) == JL(A)v(B) (A E 21, B E ~) aus dem Beweis von Satz 1.2 ist a-endlich, denn aus An E 2(, B n E ~,An t X, B n t Y, JL(A n ) < 00, v(Bn ) < 00 folgt An X B n t X x Y, p(A n X B n ) < 00 (n E N). Nach Korollar 11.5.7 gibt es also genau ein Maß JL @ v : 2( @ ~ -+ IR mit (1.4), und JL@v ist a-endlich. Andererseits ist das Maß paus (1.2) ein Maß auf2(@~ mit (1.3), also ist p == JL @ v. Aus Symmetriegründen ist auch a : 21 @ ~ -+ IR,
cr(M)
:=
[J1(MY) dv(y)
(M E 2t 01B)
ein Maß mit a(A x B) == JL(A)v(B) (A E 2(, B E
~),
also ist auch a == JL @ v. D
1.6 Korollar. Für alle M E 2( @ ~ sind folgende Aussagen a)-c) äquivalent: a) JL @ v(M) == O. b) v(Mx ) == 0 für JL-fast alle x EX. c) JL( MY) == 0 für v-fast alle y E Y. Beweis: klar nach (1.5) und Satz IV.2.6.
D
1.7 Beispiele. a) Für die a- Algebren ~P und ~q gilt ~P @ ~q == ~p+q. Die entsprechenden Lebesgue-Borelschen Maße ßP @ ßq und ßp+q stimmen auf dem erzeugenden Halbring JP * Jq == Jp+q überein, also gilt ßP @ ßq
==
ßp+q .
v.
168
Produktmaße
b) Für X E Q3P setzen wir Q3~:== Q3PIX,ß~:== ßPIQ3~. Sind nun X E ~P,Y E Q3q, so erzeugt der Halbring ~~*Q3~ die a-Algebra Q3~®Q3~" und nach Korollar II1.5.12 ist Q3~ ® Q3~ == Q3~+xqy. Da die Maße ß~ ® ß~ und ß~~qy nach a) auf dem Erzeuger Q3~ * Q3~ dieser a-Algebra übereinstimmen, erhalten wir:
c) Die a-Algebra ~P ® ~q ist in ~p+q echt enthalten (Aufgabe 1.1). Daher ist AP+q eine echte Fortsetzung von AP ® Aq. Das Maß AP+q ist vollständig, AP ® Aq unvollständig. d) Die Funktionen F : ffi.P ~ ffi., G :== ffi.q ~ ffi. seien wachsend und rechtsseitig stetig und H : ffi.p+ q ~ ffi.,H(x,y) :== F(x)G(y) (x E ffi.P,y E ffi.q). Dann stimmen die zugehörigen Lebesgue-Stieltjesschen Maße Ap 129 Ac und AH auf JP * Jq überein (Aufgabe 11.3.3), also gilt:
e) Ist auch nur eines der Maße J.1, 1/ nicht O"-endlich, und existieren beide Integrale unter (1.5), so brauchen diese Integrale nicht gleich zu sein, wie Beispiel 1.4 lehrt.
1.8 Beispiel: Kugelvolumen im lRP (C.G.J. JACOBI : Werke 111, S. 257). Für das Volumen ~(R) == ßP(KR(O)) einer Kugel vom Radius R > 0 im lRP gilt:
~(R)
P
{
2(211" )(p-l)/2
P
p(p-2) .....3.1 R , falls p ungerade,
Jrp/2 ---RP r (~ + 1)
(1.6)
wobei
(211")P/2
p(p-2) .....4.2 R , falls p gerade,
r
(p 2 1) ,
die Gammafunktion bezeichnet.
Beweis. Nach Korollar II1.2.6 ist ~(R) == wpRP mit wp == ßP(K1(0)). Für p 2 2 ist JRP == lR X lRP- 1 , ßP == ßl ® ßP-\ und für -1 < x < 1 ist der Schnitt (K 1(O))x eine (p - 1)-dimensionale Kugel vom Radius ~ . Daher liefert (1.5):
(Substitution: x == cos t). Das letzte Integral wird (üblicherweise bei der Herleitung des Wallisschen Produkts) mit Hilfe sukzessiver partieller Integrationen berechnet: (p-l)(p-3)· ... ·3·1
1
11" /2
o
• SlnP
p(p-2)·...·4·2
t dt == {
11" f 11 d . 2"' asp gera e,
(p-l)(p-3)· ...·4·2 f 11 d p(p-2) .....3.1 ' asp ungera e.
Damit ist ~(R)/~-2(R) == 2; R 2 (p 2 3). Die rechte Seite von (1.6) genügt derselben Rekursion, und da (1.6) für p == 1 (r (~) == y1f(!)) und für p == 2 gilt, folgt die Behauptung. 0
§ 1. Produktmaße
169
1.9 Beispiel (SIERPINSKI [1], S. 328-330). Es gibt eine Menge A C [0,1]2, A ~ ,522, so daß jeder Schnitt A x (x E IR) und jeder Schnitt AY (y E IR) höchstens einen Punkt enthält. Das bedeutet: In Korollar 1.6 und in Aufgabe 1.4 wird die Implikation "b) ==} a)" ohne die Voraussetzung der Meßbarkeit von M falsch. Obgleich für die Menge A beide Integrale in (1.5) (mit J-t == v == ßl) sinnvoll sind, ist A nicht Lebesgue-meßbar.
°
Beweis. Wir beginnen mit einer Vorbemerkung: Jede Menge M E ,521 mit,Xl (M) > hat die Mächtigkeit Co Begründung: Es gibt ein Kompakturn K C M mit ,Xl(K) > (Korollar 11.7.2). Nach dem Satz von CANTOR-BENDIXSON (s. z.B. HEWITT-STROMBERG [1]' S. 72) hat K eine Zerlegung K == Q u C in eine perfekte Menge Q und eine abzählbare Menge C. Da K überabzählbar ist, ist Q =1= 0, und nach einem bekannten Satz von CANTOR (s. loc. cit.) ist IQI 2: c, also IMI == c. Zur Konstruktion der Menge A argumentieren wir ähnlich wie im Beweis des Satzes 111.3.10: Die Menge .~ :== {K C [0,1]2 : K kompakt, ß 2 (K) > o} hat nach Lemma 111.3.9 die Mächtigkeit c. Nach dem Wohlordnungssatz können wir die Elemente von .~ indizieren mit Hilfe der Ordinalzahlen< 'f}, wobei 'f} die kleinste Ordinalzahl mit c Vorgängern ist: .~ == {K a : a < 'f}}. Wir konstruieren A mit Hilfe einer Definition durch transfinite Induktion: Es sei (ao, bo) ein beliebiger Punkt von K o. Weiter sei nun a < 'fJ und für alle ß < a sei (aß, bß) E Kß schon so definiert, daß alle Schnitte der Menge {(aß, bß) : ß < a} höchstens einelementig sind. Nach der Vorbemerkung und Korollar 1.6 hat die Menge der x E [0,1] mit ßl((Ka)x) > die Mächtigkeit c, während l{aß : ß < a}1 < c. Daher existiert ein aa E [0,1] \ {aß: ß < a}, so daß ,Xl((Ka )aa) > 0, und da auch der Schnitt (Ka)aa die Mächtigkeit c hat, gibt es ein ba E (Ka)aa \ {bß : ß < a}. Damit ist für alle a < 'f} ein Punkt (aa, ba ) definiert, und wir zeigen:
°
°
leistet das Verlangte. Offenbar sind alle Schnitte von A höchstens einelementig. Wäre nun
A
E ,522, so wäre
,X2(A) ==
°
nach Aufgabe 1.4, also ,X2([0, 1]2 \ A) == 1. Nach Korollar 11.7.2
gäbe es dann ein K E .~ mit K C [0, 1]2 \ A: Widerspruch, denn nach Konstruktion ist
KnA
=1=
0.
0
3. Das Cavalierische Prinzip. In seiner schon früh mit dem Vorwurf der Dunkelheit bedachten Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota (Bologna 1635, 2. Ausg. 1653) formuliert der Jesuat (nicht Jesuit(!))2 B. CAVALIERI folgendes Prinzip: "Figurae planae habent inter se eamdem rationem, quam earum omnes lineae iuxta quamuis regulam3 assumtae, et figurae solidae quam earum omnia plana iuxta quamuis regulam assumta." In freier Übersetzung läßt sich das etwa so aussprechen: Ebene Figuren bzw. räumliche Körper stehen (dem Maße nach) in demselben Verhältnis wie in gleicher Höhe zwischen beiden geführte gerade bzw. ebene Schnitte. - Als maßtheoretische Version dieses Prinzips folgt aus Satz 1.5 unmittelbar: 1.10 Cavalierisches Prinzip. Es seien
j.L,
va-endlich, und für M, N E 2l @ ~
2 Jesuaten (Jesusdiener) nannten sich die Mitglieder eines um 1360 in Siena gegründeten Vereins für strenge Askese und Werke der Nächstenliebe. Papst PAUL V. genehmigte 1606 den Zutritt von Priestern, aber schon 1668 hob CLEMENS IX. die Jesuaten auf. - Bis ins späte 17. Jh. gab es kaum ausreichend besoldete Anstellungen für Mathematiker. CAVALIERI hatte einen Lehrstuhl für Mathematik an der Universität Bologna inne und war gleichzeitig Prior eines Jesuatenklosters (s. E. GIUSTI [1]). 3Zum Begriff der regula s. M. CANTOR: Vorlesungen über Geschichte der Mathematik, Bd. 11, S. 834. Leipzig: Teubner 1900.
170
V. Produktmaße
gelte
v(lY[x) == v(Nx ) für l1-fast alle x EX. Dann ist
11 ® v(M) == 11 ® v(N) . 1.11 Volumenbestimmung der Kugel nach ARCHIMEDES. In seiner Methodenlehre4 gibt ARCHIMEDES eine elegante Begründung dafür, "daß die Kugel viermal so groß ist wie ein Kegel, dessen Grundfläche dem größten Kreis der Kugel gleich ist, die Höhe aber dem Radius der Kugel, und daß ein Zylinder, dessen Grundfläche dem größten Kreis der Kugel gleich ist, die Höhe aber dem Durchmesser des Kreises, anderthalbmal so groß ist wie die Kugel. .. " Indem wir die von ARCHIMEDES zugrundegelegte geometrische Situation geringfügig modifizieren, können wir diese Aussage wie folgt beweisen: Wir legen um die Kugel KR(O) einen Kreiszylinder vom Radius R mit der Höhe 2R mit der xAchse als Rotationsachse. Aus dem Zylinder entfernen wir die beiden Kreiskegel mit der Spitze 0, die die Grundflächen des Zylinders zur Basis haben; das ergibt einen Restkörper M. Für lxi< Rist (KR(O))x eine Kreisscheibe mit dem Radius (R 2 - X 2 )1/2, hat also den Flächeninhalt K(R 2 - x 2 ). Der Schnitt Mx ist ein Kreisring mit äußerem Radius R, innerem Radius lxi, hat also ebenfalls den Flächeninhalt K(R 2 - x 2 ). Nach dem Cavalierischen Prinzip ist also ß3(KR(0)) == ß3(M). Da nach (1.5) jeder der beiden Kreiskegel das Volumen jR 3 hat, erhalten wir: ß3(KR(0)) == ~KR3, und das impliziert die Behauptung. Ergebnis: Das Volumen des Zylinders verhält sich zum Kugelvolumen und dieses zum Volumen der beiden Kegel wie 3 : 2 : 1. 4. Produkte endlich vieler Maßräume. Die obigen Resultate lassen sich ohne weiteres auf endlich viele Maßräume ausdehnen: Vorgelegt seien die aendlichen Maßräume (X j , 2lj , I1j) (j == 1, ... , n). Gesucht ist ein auf der von 211* ... * 2ln erzeugten Produkt-a-Algebra ®7=1 2lj definiertes Produktmaß p :
®7=1 2lj
-t
lR, so daß
p(A l x ... x An) == 111 (Al) .... ·l1n(An ) (A j E 2lj für j == 1, ... ,n) . Wir wissen nun aus Kap. 111, § 5, daß im Sinne der natürlichen Identifikation von (Xl x ... X X n - 1 ) X X n mit Xl x ... X X n gilt:
(2l 1 ® ... ® 2ln - 1 ) ® 2ln == 2(1 ® ... ® 2ln , und diese a-Algebra hat den Erzeuger (2l 1 *... * 2ln - 1 ) * 2ln == 21 1 *... * 2ln . Daher liefert Satz 1.5 nebst Beweis in Verbindung mit einem Induktionsargument sofort: 1.12 Satz und Definition. Sind (X j , 2lj , I1j) (j == 1, ... , n) a-endliche Maßräume, so existiert genau ein Maß n
n
j=l
j=l
® I1j == 111 ® ... ® I1n : ® 2l
j
4J.L. HEIBERG, H.G. ZEUTHEN:
Bd. 7,321-363 (1907).
-t
lR ,
Eine neue Schrift des Archimedes, Bibl.Math., 3. Folge,
§ 1. Produktmaße
171
so daß n
® /-lj(A 1
rr n
X ...
x An)
==
j=l
/-lj(A j )
(A j
E
2lj für j
==
1, ... , n) .
j=l
Das Maß ®7=1/-lj ist a-endlich und heißt das Produktmaß von /-l1 , ... , /-ln' Für alle M E 21 1 ® ... ® 2ln ist die Funktion Xn f--+ /-l1 ® ... ® /-ln-1 (Mxn ) meßbar, wobei M Xn == {(Xl,"" Xn-1) : (Xl"," Xn-I, Xn ) E M}, und es gilt:
~ /-lj(M) = Ln /-ll 0
... 0 /-ln-I (MxJ d/-ln(xn).
Im Sinne der natürlichen Identifikation von (Xl x ... X X n- 1) X n gilt: (/-lI ® ... ® /-ln-I) ® /-ln == /-l1 ® ... ® /-ln . In Verbindung mit dem Eindeutigkeitssatz liefert Satz 1.12:
X
X n mit Xl x
... X
1.13 Satz. In Satz 1.12 seien -fh, ... ,nn Halbringe mit a(S)j) == 2lj , und /-ljlS)j sei a-endlich (j == 1, ... , n). Dann gibt es genau ein Maß p : ®7=12lj -t IR mit
rr n
(1.7)
p( BI
X . . .
x B n ) ==
/-lj (B j )
(B j E S) j für j == 1, ... , n) ,
j=l
und zwar p == ®7=1 /-lj.
n1
Beweis. Definiert man p gemäß (1.7) auf dem Halbring S) :== * ... * S)n, so ist p == /-l1 ® ® /-ln IS) ein a-endliches Prämaß, und nach Beispiel II1.5.3 ist a(S)) == 21 1 ® ® 2ln . Der Eindeutigkeitssatz ergibt also das Gewünschte. 0 In Verbindung mit Beispiel I1.4.6 für p Satz I1.3.1.
== 1 liefert Satz 1.13 einen Beweis von
Produkte abstrakter Maßräume wurden erstmals eingeführt von H. HAHN: Über die Multiplikation total-additiver Mengen/unktionen, Ann. Sc. Norm. Super. Pisa, Sero 2, 2, 429-452 (1933) und von Z. LOMNICKI und S. ULAM (s. ULAM [1], S. 79-120). 5. Das p-dimensionale äußere Hausdorff-Maß. Es seien h p das p-dimensionale äußere Hausdorff-Maß im jRP und TJP das äußere Lebesgue-Maß. Nach Satz 111.2.9 gibt es ein /
(1.8)
L wpr~ == L n=l
n=l
also bilden die r n (n 2 1) eine Nullfolge.
)..P(Kn )
::;
)..P(U)
< 00,
v.
172
Produktmaße
Angenommen, es sei AP(U \ U~l K n ) > o. Es sei Ln die zu K n konzentrische Kugel mit dem Radius 4r n . Nach (1.8) ist L::~=l AP(L n ) < 00, und wir können ein q E N wählen, so daß L::~=q+l AP(Ln) < AP(U \ U~=l K n). Sei Xo E U \ (U~=l K n U U~=q+l Ln). Da die K j abgeschlossen sind, gibt es ein 0 < p < 8/2, so daß Kp(xo) n (K l U ... UKq ) == 0. Ist nun n E N und Kp(xo) n (K l U ... U K n ) == 0, so ist P ::; Rn ::; 2r n+l. Da die r n (n 2 1) eine Nullfolge bilden, gibt es also ein minimales m E N mit Kp(xo) n Km =I- 0, und nach Konstruktion ist m > q. Nun ist Xo ~ L m und Kp(xo) n Km =I- 0, also gilt für das Zentrum X m von Km: p
+ r m 2 II x o - xmll > 4rm ,
also p > 3r m 2 ~Rm-l. Wegen der Minimalitätvon m ist aber Kp(xo) C U\(KlU .. . UKm - l ) und daher p ::; R m - l : Widerspruch! 0 Der folgende Satz bringt zum Ausdruck, daß die Kugel vom Durchmesser d unter allen Mengen A C IRP mit d(A) ::; d maximales (äußeres) Maß hat:
1.15 Satz. Für jedes A C IRP gilt:
wobei 'Jrp/2
(1.9) das Volumen einer Kugel vom Durchmesser 1 im IRP ist. Beweis. Es kann gleich angenommen werden, daß A eine beschränkte Borel-Menge des IRP ist. Wir üben auf A eine nach dem Geometer J. STEINER (1796-1863) benannte Symmetrisierungsoperation aus, die es gestattet, eine Menge vom Maß ßP(A) in einer Kugel vom Durchmesser d(A) zu finden. Für y E IRP-l sei AY :== {Xl : (Xl, y) E A}. Dann ist AY E ~l und die Funktion f : W- l -+ IR, f(y) :== ßl(AY) (y E IRP-l) ist Borel-meßbar. Wir ersetzen nun den (evtl. "unsymmetrischen") Schnitt AY durch das "gleich lange" symmetrische Intervall I y :== ] f(y), f(y) [ und bilden die Steiner-Symmetrisierung
-!
!
O"l(A):==
U
Iyx{y}.
yEJRP-l
Um zu zeigen, daß 0"1 (A) eine Borel-Menge ist, wählen wir eine Folge (Un)n>l in T+ (IRP-l, ~p-l) mit Un t f. Dann ist die Funktion gn(Xl' y) :== Un(y) -lxII ((Xl, y) E IRx IRP-l) Bore1meßbar, und wegen {gn > O} t O"l(A) folgt: O"l(A) E ~p. Nach (1.5) ist ßP(A) == ßP(O"l(A)). Wir zeigen weiter, daß d(O"l(A)) ::; d(A) ist: Für AY =I- 0 sei K y :== [inf AY, sup AY]. Sind nun X E Iy,x' E I y" so ist Ix - x'l ::; !f(y) + !f(y') ::; le - e'l für geeignete Eckpunkte e von Ky,e' von K y'. Zu allen (x,y), (x',y') E O"l(A) gibt es also (e,y), (e',y') E A mit II(x,y) - (x',y')11 ::; II(e,y) - (e',y')II, folglich ist d(O"l(A)) ::; d(A). Entsprechend definiert man für i == 1, ... ,p die Steiner-Symmetrisierung O"i(A) von A in bezug auf die i-te Koordinatenhyperebene H i == {x E IRP : Xi == O}. Dabei ist ßP(O"i(A)) == ßP(A) und d(O"i(A)) ::; d(A). Für j =I- i ist O"j(O"i(A)) symmetrisch in bezug auf H i und H j . Die Menge O"(A) :== O"p( ... 0"1 (A)) ist nun in bezug auf alle Koordinatenhyperebenen symmetrisch, d.h. für alle X E O"(A) gilt -x E O"(A). Wegen d(O"(A)) ::; d(A) liegt daher O"(A) in der Kugel um 0 vom Durchmesser d(A), und wegen ßP(O"(A)) == ßP(A) folgt die Behauptung. 0
1.16 Satz (F. (1.9).
HAUSDORFF
(1919)). Für alle A
C
IRP ist 1]P(A) == etphp(A) mit etp gemäß
Beweis. Es ist nur noch zu zeigen, daß (hp(W))-l, W :==]0,1[P den Wert (1.9) hat: Nach Satz 1.14 gibt es zu jedem 8 > 0 eine Folge disjunkter abgeschlossener Kugeln K n C W
§ 1. Produktmaße
173
mit d(K n ) < 8 (n E N), so daß AP(W \ U~=l K n ) == O. Nach Satz II1.2.9 ist dann auch hp(W \ U~=l K n ) == O. Weiter ist nach GI. (I1.9.5):
also hp,b (U~=l K n ) ::; a;l für alle 8 > 0 und daher hp(W) ::; a;l. Es sei weiter 8 > 0 und (An)n>l eine Überdeckung von W durch Mengen vom Durchmesser d(A n ) ::; 8 (n E N). Dann gilt nach Satz 1.15: 1 == 1]P(W) ::; L 1]P(A n ) ::; a p L(d(An))P, n=l n=l also hp,b(W) 2: a;l.
o
Weitere Ergebnisse vom Typ des Satzes 1.16 findet man bei FEDERER [1], S. 197.
Aufgaben. 1.1. Die a- Algebra ,ep 0,eq ist in ,ep+q echt enthalten. (Hinweis: Jeder Schnitt einer Menge aus ,ep 0,eq ist Lebesgue-meßbar.) 1.2. Für abzählbare Mengen X, Y gilt: ~(X) 0 ~(Y) == ~(X x Y). Ist dagegen lXI> IlRl, so ist ~(X) 0~(X) eine echte Teilmenge von ~(X x X). (Hinweis: Korollar II1.5.15. Bemerkung: Unter Annahme der Kontinuumshypothese ist ~(X) 0 ~(X) == ~(X x X), falls lXI::; IlRl; s. B.V. RAO: On discrete Borel spaces and projective sets, Bull. Amer. Math. Soc. 75, 614-617 (1969) und A.B. KHARAZISHVILI: A note on the Sierpinski partition, J. Appl. Anal. 2,41-48 (1996).) 1.3. Ist X überabzählbar und 21. die von den endlichen Teilmengen von X erzeugte a-Algebra über X, so gehört die Diagonale t6. :== {(x, x) : x E X} nicht zu 21. 0 21., obwohl alle Schnitte von t6. zu 21. gehören. (Hinweis: Satz II1.5.14.)
Für die folgenden Aufgaben 1.4-1.6 gelten die Voraussetzungen und Bezeichnungen von Satz 1.5. 1.4. Für alle M E (21. 0 Q3)'" sind folgende Aussagen a)-c) äquivalent: a) (J-l0 v)"'(M) == O. b) Für J-l-fast alle x E X ist Mx E ~ und v(Mx ) == O. c) Für v-fast alle y E Y ist MY E 2l und ji(MY) == O. (Hier bezeichnen (X, 2l, ji) etc. die Vervollständigungen von (X, 21., J-l) etc.)
1.5. Sind J-l, va-endlich, so ist (ji 0 v)'" == (J-l0 v)"'. 1.6. Für zwei a-Ringe 91 über X , 6 über Y sei 9106 der von 91 * 6 erzeugte a-Ring über X x Y. ~p, sei der a-Ring aller Teilmengen von J-l-Nullmengen. a) Für alle P E 21. 0 6 , N E ~p, 0 6 gilt: P n N E ~p, 0 6. b) 210 6 == {P U N: P E 21. 06, N E ~p, 06}. c) 210 ~ == {PU A UB U C: P E 21.0 Q3,A E ~p, 0 Q3,B E 21.0~v,C E ~p, 0~v}' 1.7. Es sei Vn(r) das Volumen der Kugel Kr(O) C lRn . a) Die Folge (Vn (l))n>l konvergiert gegen Null (!). Diskutieren Sie das Monotonieverhalten dieser Folge und besti~men Sie die Dimension n, für welche Vn (1) maximal ist. Für welches n 2: 2 ist das Verhältnis des Volumens von Kr(O) zum Volumen des die Kugel umgebenden Würfels (Kantenlänge 2r) maximal? b) Die (Potenz-)Reihe L~=l Vn(r) konvergiert für alle r > 0; insbesondere ist (Vn (r))n2::1 für jedes r > 0 eine Nullfolge (!). c) Die Reihe L~=l n(n+l)/2Vn (r) konvergiert genau für 0 < r < (27re)-1/2.
174
V. Produktmaße
1.8 Volumen von Rotationskörpern. Es sei / : [a, b] -+ [0, oo[ Borel-meßbar und
K :== {(x, y, z)t
E IR3
:
x E [a, b], y2
+ Z2
::; (/(X))2}
der durch Rotation der Ordinatenmenge von / um die x-Achse entstehende Rotationskörper. Dann ist K Borel-meßbar, und es gilt:
1.9. Es seien 0 < r ::; R. Durch Rotation der Kreisscheibe Kr((O, R)) um die x-Achse im IR3 erhält man einen Torus T. Zeigen Sie: ,X3 (T) ==
(J.
KEPLER
21r 2 r 2 R
(1571-1630): Nova stereometria doliorum vinariorum, Linz 1615).
1.10. "Wenn in einen Würfel ein Zylinder eingeschrieben wird, der die Grundflächen in den gegenstehenden Quadraten hat und mit der Zylinderfläche die übrigen vier Ebenen berührt, und ferner in denselben Würfel ein zweiter Zylinder eingeschrieben wird, der die Grundflächen in zwei anderen Quadraten hat und mit der Zylinderfläche die vier übrigen Ebenen berührt, so wird der von den Zylinderflächen eingeschlossene Körper, der in beiden Zylindern enthalten ist, [dem Volumen nach] 2/3 des ganzen Würfels sein." (ARCHIMEDES; s. J.L. HEIBERG, H.G. ZEUTHEN: Eine neue Schrift des Archimedes, BibI. Math., 3. Folge, Bd. 7, 321-363 (1907).) b) "Wenn in ein rechtstehendes Prisma [d.h. in einen Quader] mit quadratischen Grundflächen ein Zylinder eingeschrieben wird, dessen Grundflächen in den gegenstehenden Quadraten liegen und dessen krumme Oberfläche die 4 übrigen Rechtecke berührt, und durch den Mittelpunkt des Kreises, der Grundfläche des Zylinders ist, und eine Seite des gegenstehenden Quadrats eine Ebene gelegt wird, so wird der Körper, der durch diese Ebene [vom Zylinder] abgeschnitten wird, [dem Volumen nach] 1/6 des ganzen Prismas sein." (ARCHIMEDES, Ioc. cit. ) 1.11. Bestimmen Sie mit Hilfe des Cavalierischen Prinzips das Volumen eines sphärischen Rings, der als Restkörper übrigbleibt, wenn man in eine Kugel ein zylindrisches Loch bohrt, so daß die Zylinderachse ein Durchmesser der Kugel ist. Alle sphärischen Ringe gleicher Höhe haben gleiches Volumen (unabhängig von den Radien der Kugel und des Zylinders). (Hinweis: Benutzen Sie als Vergleichskörper eine Kugel, deren Durchmesser gleich der Höhe des Rings ist.) 1.12. Für f : X -+ [0, oo[ bezeichne 0(/) :== {(x, y) E X x IR : 0 ::; y < /(x)} die Ordinatenmenge von /, und für / : X -+ IR sei 9(/) :== {(x, /(x)) E X x IR : x E X} der Graph von /. Ferner sei (Y, 93, v) :== (IR, 93 1 , ß1), und p sei definiert wie in Satz 1.3. Dann gilt: a) / E M+(X, 2l) ~ 0(/) E 2l ® 93 1. (Hinweise: ,,===}": g(x, y) :== /(x) - y : X x IR -+ 1R ist 2l ® 931_~-meßbar. ,,~": Schnittbildung.) b) dJ-L == p(O(/)) für alle / E M+(X,2l). (Bemerkung: Diese Aussage eröffnet eine alternative Möglichkeit zur Definition des Integrals mit Hilfe des Produktmaßes der Ordinatenmenge.) c) Ist / : X -+ IR 2l-93 1-meßbar, so ist 9(/) E 2l ® 93 1 und p(9(/)) == O. (Bemerkung: Für Funktionen / : IR -+ IR ist auch bekannt: Ist 9(/) E 93 2 , so ist / Borel-meßbar, und ist 9(/) E 121 ® 93 1, so ist / Lebesgue-meßbar; s. Amer. Math. Monthly 81, 1125-1126 (1974).) d) Ist J-L a-endlich und / E M+(X, 2l), so gilt:
Ix /
L>O J.L( {f > t}) dt , a 1.13. Ist K
mit
/Ix - ylI
c IRP
LX) J.L( {f > t}) t',,-l dt
(a > 0) .
eine kompakte konvexe Menge mit 'xP(K) 2:: 'xP(K 1 / 2 (0)), so gibt es x, y E K
== 1. (Hinweis: Satz 1.15.)
§ 2. Der Satz von
§ 2.
175
FUBINI
Der Satz von
FUBINI
«Se f(x, y) euna funzione di due variabili x, y, limitata 0 illimitata, integrabile in un'area r deI piano (x, y), allora si ha sempre:
Ir
f(x,y) da
=
! ! dy
f(x,y) dx
=
! ! dx
f(x,y) dy,
quando con d(J" si intenda l'elemento d'area di r.» (G. FUBINI: Sugli integrali multipli, Rend. R. Accad. dei Lincei, Sero 5a, 16,608-614 (1907))5
1. Der Satz von FUBINI. Die Integration in bezug auf das Produktmaß f1 @ v zweier a-endlicher Maße f1, v kann als iterierte Integration in bezug auf die einzelnen Variablen durchgeführt werden. Dies ist der wesentliche Inhalt des folgenden Satzes von G. FUBINI, der zu den am häufigsten benutzten Sätzen der Integrationstheorie gehört, denn "eine geschickte Vertauschung der Integrationsreihenfolge ist oft die halbe Mathematik", wie ein Bonmot von K. JÖRGENS (1926-1974) besagt. 2.1 Satz von G. Fubini (1907). Es seien f1, va-endlich. Dann gilt: a) Für jedes f E M+(X x Y,2l ®~) sind die durch
X f-----+ [f(X, y) dv(y)
(bzw. y f-----+
Ix f(x, y) dJ1(x))
auf X (bzw. Y) definierten nicht-negativen numerischen Funktionen 2l-meßbar (bzw. ~-meßbar), und es gilt:
(2.1)
IxxY f dJ10 v
b) Ist f : X x Y -+ alle x E X und
=
Ix ([ f(x, y) dV(y)) dJ1(x) [ (Ix f(x,y) dJ1 (X)) dv(y).
K f1 ® v-integrierbar,
so ist f(x, .) v-integrierbar für f1-fast
A :== {x EX: f(x, .) ist nicht v-integrierbar} E 2(; ebenso ist
f (', y)
f1-integrierbar für v-fast alle y E Y und
B :== {y E Y : f
(', y)
ist nicht f1-integrierbar} E ~ .
5Ist f(x, y) eine beschränkte oder unbeschränkte Funktion zweier Variablen x, y, die über eine Fläche r der (x, y)-Ebene integrierbar ist, so gilt stets:
Ir
f(x,y) da
=
! ! dy
wobei unter d(J" das Flächenelement von
r
f(x,y) dx
=
! ! dx
zu verstehen ist.
f(x,y) dy,
176
V. Produktmaße
Die Funktionen
x
f------+
[f(X, y) dv(y)
bzw.
y f------+
Ix
f(x, y) d/1(x)
sind J-l-integrierbar über Ac bzw. v-integrierbar über BC, und es gilt:
(2.2)
IxxY f d/1Q9 v
=
ic ([
lc (Ix c) Ist f : X x Y ---+ TI{
2(
f(x, y) dV(y)) d/1(x) f(x, y) d/1(X)) dv(y).
0 fJ3-meßbar und eines der Integrale
(2.3)
IxxY Ifl d/1Q9v, Ix ([ If(x,Y)ldV(Y)) d/1(x) , [(Ix If(x,Y)ld/1(X)) dv(y) endlich, so sind alle drei Integrale endlich und gleich, fist J-l 0 v-integrierbar, und es gelten die Aussagen unter b).
2.2 Bemerkung. Es seien N E 2t eine J-l-Nullmenge und 9 : NC ---+ TI{ integrierbar. Dann setzt man
J-l-
wobei g : X ---+ TI{ irgendeine 2t-meßbare Fortsetzung von g auf X ist. Diese erweiterte Integraldefinition ist sinnvoll, denn sie hängt nicht ab von der Auswahl von g, und sie stimmt für auf ganz X definierte Funktionen g mit der bisherigen Definition überein. Im Sinne der erweiterten Integraldefinition schreibt man die Formel (2.2) meist in der Gestalt
(2.4)
IxxY f d/1Q9 v
=
Ix ([
f(x, y) dV(Y)) d/1(x)
[ (Ix f(x, y) d/1(X)) dv(y). Entsprechendes gilt für nicht-negative meßbare Funktionen, die nur fast überall definiert sind. Beweis des Satzes von FUBINI. a) Für alle M E 2t 0 fJ3 ist Mx E fJ3 (x EX), r--+ v(Mx ) :=: XM(X, y) dv(y) ist 2t-meßbar, und nach (1.6) ist
die Funktion
x
Jy
Aus Symmetriegründen gilt dies entsprechend mit vertauschten Rollen für J-l und v. Das liefert a) für alle f :=: XM (M E 2( 0 fJ3), also gilt a) auch für alle f E T+(X x Y,2t 0 fJ3).
§ 2. Der Satz von
177
FUBINI
Ist nun f E M+(X x Y, Qt ® ~), so gibt es eine Folge von Funktionen fn E T+(X x Y, Qt ®~) (n 2:: 1) mit fn t f. Für alle x E X ist f(x,·) E M+(Y, ~) (Lemma 1.1), fn(x,·) E T+(Y, ~), und es gilt fn(x,·) t f(x, .). Nach der Integraldefinition gilt also für alle x EX:
[fn(X, y) dv(y) t [f(X, y) dv(y) .
(2.5)
Hier steht auf der linken Seite eine Folge Qt-meßbarer Funktionen von x E X. Daher ist die rechte Seite in Abhängigkeit von x E X ebenfalls Qt-meßbar, und wir erhalten:
r
JXXY
f dp, (9 v = lim
r
n-+ooJxXY
fn dp, (9 v
(Integraldefinition)
Jx Jyr fn(x,y) dV(y)) dJ.L(x)
== lim { ( n-+oo
== {
Jx
=
(lim Jyr fn(x,y) dV(y)) dJ.L(x)
(Aussage a) gilt für T+) (monotone Konvergenz)
n-+oo
Ix ([ f(x, y) dV(y)) dp,(x)
(nach (2.5)).
Entsprechend argumentiert man bei vertauschten Rollen für J.L und v. b) Mit f ist auch Ifl integrierbar bez. J.L ® v, und a) liefert:
Ix ([ If(x, y)1 dV(y)) dp,(x) Ixxy Ifl dp, =
(9
v<
00.
Hier ist nach a) das innere Integral auf der linken Seite eine Qt-meßbare numerische Funktion von x EX, und die Endlichkeit des Integrals impliziert:
[ If(x, y)1 dv(y) <
00
Da für alle x E X der Schnitt f(x,·) menge" A aus Aussage b):
für p,-fast alle x EX. ~-meßbar
ist, gilt für die "Ausnahme-
A = {x EX: [lf(X, y)1 dv(y) = und diese Menge ist offenbar meßbar mit J.L(A)
[f(X, y) dv(y) (2.6)
00 }
,
== O. Für alle x
E
Ac gilt:
Jyr(ReJ)+(x, y) dv(y) - Jyr(ReJ)-(x, y) dv(y) +i [(Im J)+(x, y) dv(y)
~ i [(Im J)-(x, y) dv(y) .
Hier sind nach a) alle Integrale auf der rechten Seite in Abhängigkeit von x E X Funktionen aus M+(X, Qt), und alle diese Funktionen sind J.L-integrierbar, denn für g E {(Ref)±, (Im f)±} ist
Ix ([g(x,y) dV(y)) dp,(x)::; Ix ([ If(x,y)ldv(y)) dp,(x) <
00.
V. Produktmaße
178
Daher ist (2.6) JL-integrierbar über AC, und wegen JL(A) == 0 folgt nach a):
Lc
([f(X,y) dV(y)) dM(X)
Lc ([ ic
(Rej)+(x, y) dV(y)) dM(X) -
ic ([ ic
([(Imj)+(X,y) dV(y)) dM(X) - i
+i
1 1([
([(Ref)+(x,y) dV(y)) dM(X) -
+i
r
(Rej)+dM&J v -
r
r
1([
(Im j)-(x, y) dV(y)) dM(x)
(Rej)-dM&J v
JXXY
(Im j) + dM &J v-i
JXXY
r
([(Imj)-(X,y) dV(y)) dM(X)
([(Rej)-(x,y) dV(y)) dM(X)
(Im j)+(x, y) dV(y)) dM(X) - i
JXXY
+i
1
(Rej)-(x, y) dV(y)) dM(X)
r
(Im j) - dM &J v
JXXY
f dM &J v.
JXXY
Entsprechend schließt man bei vertauschten Rollen für JL und v. c) ist klar nach a) und b).
D
Sind JL und v (j-endlich, so garantiert der Satz von FUBINI die Vertauschbarkeit der Reihenfolge der Integrationen
1([
(2.7)
f(x, y) dV(y)) dM(X) = [
(1
f(x, y) dM(X)) dv(y) ,
falls gilt: (i) fE M+(X x Y,2l®~) oder (ii) fist JL ® v-integrierbar. Bedingung (ii) ist erfüllt, falls f meßbar und eines der Integrale (2.3) endlich ist. Dagegen ist die Existenz der iterierten Integrale unter (2.7) nicht ohne weiteres hinreichend für (2.1) bzw. (2.2) bzw. (2.7), wie die folgenden Beispiele lehren. 2.3 Beispiele. a) Für x, Y > 0 ist x2
-
y2
{}2
x
(2 2)2 = -xy 8 8 arctanx+y y
(2.8)
1 1 (11 (::;
also gilt:
:22)2dY) dx
1 = ~, 1 (11 (::;
:22)2dX) dy =
~~.
Die iterierten Integrale unter (2.7) existieren beide, sind aber nicht gleich. Insbesondere ist die Funktion (2.8) nicht ß2-integrierbar über ]0, 1[2. - Dieses Beispiel wurde schon 1814 von A.L. CAUCHY gefunden, aber erst 1827 veröffentlicht und von zahllosen Autoren übernommen; s. A.L. CAUCHY: Memoire sur les
§ 2. Der Satz von
179
FUBINI
integrales definies, CEuvres, Sero 1, Tome 1, 319-506, insbes. S. 394-396 (1882). Zahlreiche weitere Beispiele dieser Art findet man bei G.R. RARDY: Note on the inversion of a repeated integral, Collected Papers, Vol. V, 647-649 und bei S.D. CHATTERJI: Elementary counter-examples in the theory of double integrals, Atti Sem. Mat. Fis. Modena 34, 363-384 (1985-86). b) Bezeichnet A C [0,1]2 die Menge aus Beispiel 1.9, so sind alle Schnitte A x , AY höchstens einelementig, die iterierten Integrale
[
( [ XA(X,y) dX) dy, [
( [ XA(X,y) dY) dx
existieren und sind gleich, der Integrand ist nicht-negativ, aber es ist A 1:- ~2, d.h. XA ist nicht A2-integrierbar über [0,1]2. Für die Gültigkeit von (2.1) ist also die Voraussetzung der Qt ® SB-Meßbarkeit von f wesentlich (vgl. hierzu MATTNER [1], MILNOR [1]). c) G. FICHTENHOLZ: Bur une fonction de deux variables sans integrale double, Fund. Math. 6, 30-36 (1924) hat sogar gezeigt: Es gibt eine Lebesgue-meßbare Funktion f : [0,1]2 --+ IR, so daß f nicht A2-integrierbar ist über [0, 1]2, während für alle meßbaren Teilmengen A, B C [0,1] die folgenden iterierten Integrale existieren und übereinstimmen:
i (L
f(x,y) dY) dx =
L(i
f(x,y) dX) dy.
Sind J-l, v nicht (j-endlich, so gibt es zwar nicht notwendig ein eindeutig bestimmtes Produktmaß, aber man kann speziell das Maß p aus dem Beweis von Satz 1.2 als eine Fixierung des Produktmaßes wählen. Bei dieser Wahl des Produktmaßes gilt der Satz von FUBINI sinngemäß (s. RAO [1]' S. 325). Mit Hilfe von § 1, 4. läßt sich der Satz von FUBINI leicht ausdehnen auf Funktionen f : Xl x ... X X n -+ JK, wobei (X j , 2lj , J-lj) (j == 1, ... , n) (j-endliche Maßräume sind. 2.4 Satz (G. FUBINI 1907). Es seien J-l, v vollständige (j-endliche Maße und (J-l ® v)r-v : (2l ® ~)r-v -+ JR die Vervollständigung von J-l ® V. Dann gilt: a) Für jedes f E M+(X X Y, (2l®~)r-v) ist f(x,·) ~-meßbar für J-l-fast alle x E X , f(·, y) 2l-meßbar für v-fast alle y E Y, die Funktionen x f---+ f(x, y) dv(y) bzw. y f---+ Jx f(x, y) dJ-l(x) sind f.ü. auf X bzw. Y erklärt und 2l-meßbar bzw. ~-meßbar, und es gilt (im Sinne von Bem. 2.2)
Jy
(2.9)
IxXyfd(j1®V)~
= Ix ([f(X,y)dV(y))dj1(x) [
(Ix f(x, y) dj1(X)) dv(y).
b) Ist f : X x Y -+ JK (J-l ® v)r-v -integrierbar, so ist f(x, .) v-integrierbar für J-l-fast alle x EX, f(·,y) J-l-integrierbar für v-fast alle y E Y, und es gilt (2.9) (im Sinne von Bem. 2.2). c) Ist f (2l ® ~)r-v-meßbar und eines der (ggf. im Sinne von Bem. 2.2 zu verstehenden) Integrale
Ixxy
Ifld(j1®v)~, Ix
( [ If(x, y)1 dV(y)) dj1(x) , [
(Ix If(x, y)ldj1(X)) dv(y)
180
V. Produktmaße
endlich, so sind alle drei Integrale endlich und gleich, fist (/lJ2) v )rv -integrierbar, und es gelten die Aussagen unter b). Beweis. Ist M E (2t®~)rv, so gibt es A,C E 2t®~ mit (J-L®v)(C) == 0 und ein N c C, so daß M == AUN. Für alle x E X ist Mx == AxUNx , N x c C x , und hier ist v(Cx ) == 0 für J-L-fast alle x E X (Korollar 1.6). Daher ist XM(X,') == XM;]J ~
meßbar für J-L-fast alle x E X, und im Sinne von Bem. 2.2 gilt nach (1.5)
Dies gilt entsprechend mit vertauschten Rollen für J-L und v, also folgt a) für alle f == XM mit M E (2t ® ~)rv und damit für alle f E T+(X X Y, (2t ® ~)rv). - Ist nun f E M+(X x Y, (2t ® ~)rv), so gibt es eine Folge von Funktionen fn E T+(X X Y, (2t ® ~)rv) mit fn t f. Für J-L-fast alle x E X gilt fn(x,') E T+(Y, ~), also ist auch f(x,·) E M+(Y,~) für J-L-fast alle x E X. Die weitere Argumentation verläuft ähnlich wie im Beweis von Satz 2.1. 0 2. Historische Anmerkungen. L. EULER führt erstmals 1768 Doppelintegrale ein und bemerkt die Gleichheit
[ (l
d
f(x, y) dY) dx =
l
d ([
f(x, y) dX) dy
der iterierten Integrale, wobei er stillschweigend voraussetzt, daß f auf [a, b] x [c, d] stetig ist (s. L. EULER: De jormulis integralibus duplicatis, Opera omnia, Sero 1, Vol. 17, 289-315). Daß die Rechtfertigung der Vertauschung der Integrationsreihenfolge für unstetige Funktionen auf eigentümliche Schwierigkeiten stößt, führt gegen Ende des 19. Jh. zu z.T. kontroversen Diskussionen und zu insgesamt unbefriedigenden Vertauschungssätzen (s. z.B. P. DU BOISREYMOND: Über das Doppelintegral, J. reine angew. Math. 94, 273-290 (1883); A. PRINGSHEIM: Zur Theorie des Doppel-Integrals... , Sitzungsber. Bayer. Akad. Wiss., Math.-Nat. Kl. 28, 59-74 (1898), ibid. 29, 39-62 (1899); C. JORDAN: Gours d'analyse, 2eme ed., tome 11, §§ 56-58, Paris 1894). Dagegen führt die Lebesguesche Integrationstheorie in natürlicher Weise zu einer befriedigenden Theorie der Doppelintegrale. Schon H. LEBESGUE beweist in seiner These (1902), daß GI. (2.4) für J-l == v == ßl und alle beschränkten ß2-integrierbaren Funktionen gilt, und er bemerkt, daß dieses Resultat auch auf unbeschränkte Funktionen ausgedehnt werden kann. Letzteres wird von G. FUBINI: Sugli integrali multipli, Rend. R. Accad. dei Lincei, Ser. 5a, 16, 608-614 (1907) genau ausgeführt. Diese Arbeit gibt genaue Beweise für Satz 2.1, b) und Satz 2.4, b) für den Fall des Lebesgueschen Maßes. In einer Fußnote bemerkt FUBINI, daß seine Resultate unabhängig auch von B. LEVI gefunden wurden. In der Tat weist dieser in einer Fußnote auf S. 322 seiner Arbeit Sul principio di Dirichlet (Rend. eirc. Mat. Palermo 22, 293-360 (1906)) auf die Beiträge von LEBESGUE hin, bemerkt die Integrierbarkeit von f(·, y) für fast alle y und schreibt dann: « ... l'integrale d'area deI LEBESGUE puo dunque ottenersi sempre con due integrazioni successive.»6 Die Aussagen a) und c) von Satz 2.1 und Satz 2.4 gehen zurück auf L. TONELLI: Sull'integrazione per parti, Rend. R. Accad. dei Lincei, Sero 5a, 18, 246-253 (1909). Dieser schreibt: « ... dimostriamo che una junzione f(x, y) misurabile superjicialmente in R [== [a, b] x [c, d]], non negativa, e tale che esista
[
dx {
f(x,y) dy,
6... das zweidimensionale Lebesgue-Integral kann daher immer durch zwei sukzessive Integrationen erhalten werden.
§ 2. Der Satz von
181
FUBINI
e integrabile superjicialmente in R.
laX
dx
l
Y
f(x, y) dy
Da cio segue
= lax
l
Y
f(x, y) dxdy
=
l
Y
dy
lax
f(x, y) dx . »
7
Im Beweis stützt sich TONELLI (1885-1946) auf die Arbeit von FUBINI. In der Literatur werden daher die Sätze 2.1,2.4 oft nach FUBINI und/oder TONELLI benannt. - Eine sorgfältige Diskussion der Doppelintegrale stammt auch von C. DE LA VALLEE POUSSIN: Reduction des
integrales doubles de Lebesgue... , Acad. Roy. Belgique, Bull. Cl. Sci. 1910, 768-798. Dieser gibt einen weiteren genauen Beweis des Fubinischen Satzes, auf den er auch verweist, und er beweist (offenbar unabhängig von TONELLI) die Aussagen a), c) der Sätze 2.1, 2.4. Im wesentlichen dasselbe leistet E. W. HOBsON: On some fundamental properties of Lebesgue
integrals in a two-dimensional domain, Proc. London Math. Soc. (2) 8, 22-39 (1909). Auch W.H. YOUNG: On the change of order of integration in an improper repeated integral, Trans. Camb. Philos. Soc. 21, 361-376 (1910) beweist die Resultate von TONELLI. Er macht in seiner Arbeit On the new theory of integration (Proc. Roy. Soc. London, Ser. A, 88, 170178 (1913)) darauf aufmerksam, daß die Ergebnisse von TONELLI besonders bequem mit Hilfe seiner Methode der monotonen Folgen bewiesen werden können. Zusätzlich beweist G. FUBINI: Sugli integrali doppi, Rend. R. Accad. dei Lincei, Sero 5a, 22, H.1, 584-589 (1913) die Tonellischen Resultate, bemerkt aber in einer Note kurz darauf (ibid., 22, H.2, 67 (1913)) die Priorität von TONELLI. - In seiner letzten Arbeit 11 teorema di riduzione per gli integrali doppi (Rend. Semin. Mat., Torino 9, 125-133 (1949)) berichtet FUBINI selbst über die historische Entwicklung.
3. Beispiele für Anwendungen des Satzes von
FUBINI.
2.5 Beispiel. Es seien (X, 2t, JL) == (Y, 93, v) == (N, ~(N), JL), wobei JL das Zählmaß auf N ist. Dann ist ~(N) ® ~(N) == ~(N x N), und der Satz von FUBINI besagt: Die Gleichung 00
(m,n)ENxN
00
m=l n=l
00
00
n=l m=l
gilt für alle amn E [0,00], und sie gilt auch für amn E ce, falls eine der auftretenden Reihen bei Ersetzung von amn durch lamnl konvergiert. Das ist gleichbedeutend mit dem großen Umordnungssatz für Doppelreihen (s. Kap. 11, § 1, Fußnote 2). 2.6 Beispiel. Eine Vertauschung der Integrationsreihenfolge eröffnet häufig einen Weg zur Auswertung bestimmter Integrale, bei denen der Integrand keine elementare Stammfunktion hat. Ein typisches Beispiel ist hier das Integral oo Jo exp( -x 2 ) dx. Da der Integrand nicht-negativ ist, können wir bei (!) die 7 ... wir zeigen, daß eine auf R zweidimensional meßbare, nicht-negative Funktion f(x, y), für welche das Integral dx f(x, y) dy existiert, zweidimensional integrierbar ist. Daher folgt
I: I:
laX dx
l
Y
f(x, y) dy = {
{
f(x, y) dxdy =
l
Y
dy
lax f(x, y) dx .
V. Produktmaße
182 Integrationsreihenfolge vertauschen und erhalten:
00 (100 ye
1o ~
°
1 (1 00
1100
-(1+x 2 )y2
d y ) d X==2 00 x2y2 y2 edx) y e- dy =
dx 2 l+x
° 00
1 (1
00
1r
4
y2 t2 e- dt) e- dy
=
(100
e-
y2
dY )
also (vgl. GI. (IV.6.7) und Aufgabe IV.6.13): 2 1 (2.10) e- x dx == -yK . o 2 Dieses Resultat wird in der Wahrscheinlichkeitstheorie oft in der Form
00
1
_1_
vI21fa
/+00 e-(x-I')2/2cr2
dx = 1 (M
E IR, CY
> 0)
-00
gebraucht. Die hier auftretende Dichte der Gaußsehen Normalverteilung ziert neben dem Porträt von C.F. GAUSS (1777-1855) die Vorderseite der 1989 erschienenen Banknote über 10 DM. - Der obige Beweis von (2.10) wurde von P.S. LAPLACE (1749-1827) im Jahre 1778 angegeben; s. Memoire sur les probabilites, CEuvres completes de LAPLACE, tome 9, S. 447-448, Paris 1893. Das Integral (2.10) wurde erstmals 1730 von L. EULER bestimmt (s. Opera omnia, Ser. 1, Vol. 14, S. 11 oder Mechanica, Vol. 1, Opera omnia, Ser. 11, Vol. 1, S. 100 und Opera omnia, Ser. IV A, Vol. 2, S. 40-41.)
2.7 Zusammenhang zwischen Betafunktion und Gammafunktion. Für x, y > 0 existiert das Integral
1 1
(2.11)
B(x, y):=
t x- 1 (1 - t)y-l dt
als absolut konvergentes uneigentliches Riemann-Integral, also auch als LebesgueIntegral; B : ]0, 00[2-+ ]R heißt die Eulersche Betafunktion. Diese steht in einem einfachen Zusammenhang mit der Gammafunktion (s. GI. (IV.6.3)). Zur Herleitung dieses Zusammenhangs multiplizieren wir die Integrale r(x), r(y) (x, y > 0) und substituieren im inneren Integral u == v - t:
r(x) r(y)
=
100 (100 100 (/00 r
y t x- 1 u - 1 e- t- u dU) dt t x- 1 (v _
W- 1 e-
XM(t, v)t X - 1 (v -
V
dV) dt
W- 1 e-
V
dß2(t, v) ,
J]O,00[2
wobei M :== {(t,v) E ]R2 : v > t > O}. Nach Vertauschung der Integrationsreihenfolge (Integrand nicht-negativ!) ergibt sich:
r(x)r(y) =
100 (lV
=
w x- 1 (1 - W)y-l dw ) v x +y- 1 e- V dv
100 (11
V
t x- 1 (v - t)y-l dt) e- dv =
B(x, y) r(x + y) ,
2 ,
§ 2. Der Satz von
183
FUBINI
also (2.12)
B(
) == f(x) f(y) x,y
f(x+y)
(x,y > 0).
Wegen It Z I == t Rez (t > 0, Z E C) ist (2.11) auch für alle komplexen x, y mit Rex,Rey > 0 sinnvoll. Wir wenden nun Satz 2.1, c) und b) an und erkennen: Gl. (2.12) gilt einsehl. Beweis für alle x, y E C mit Rex, Rey > O. Für x == y == ~ liefert (2.12) (Substitution: t == u 2 )
= r\-!(1-t)-!dt=2 ( ( r(~))2 2 Jo Jo
du =7r, ~
und wir erhalten erneut (s. GI. (IV.6.6)) (2.13) was mit (2.10) gleichbedeutend ist. - Wählen wir in (2.12) speziell y == I-x, 0 < x < 1, so liefert die Substitution u == (1 - t)-1 - 1:
f(x) f(l - x) = B(x,l - x) = {'X> u
Jo
1
1 ux-1
1 1
x 1 -
1+U
du
v-x
--du+ --dv ol+u ol+v
(v == U -1 ). Hier entwickeln wir (1 + u) -1 bzw. (1 + v) -1 in die geometrische Reihe und erhalten wegen majorisierter Konvergenz für 0 < x < 1: (2.14)
f(X)f(l-x)=I:(-l)n +I: n=O
x+n
n=O
(-l)n
=
n+l-x
f
n=-oo
(-l)n. x+n
Für x ~ kann man hier die rechte Seite mit Hilfe der Leibnizschen Reihe auswerten und erhält wieder (2.13). Auf der rechten Seite von (2.14) steht die bekannte Partialbruchentwicklung der Funktion 7r/ sin7rx, und wir erhalten erneut (vgl. GI. (IV.6.9)) (2.14)
7r f(x)f(l-x)==-.-
(O<x
Sin 7rX
(Man kann hier auch umgekehrt vorgehen und GI. (IV.6.9) zum Beweis der Partialbruchentwicklung von 7r/ sin 7rX heranziehen.) Den obigen Beweis von (2.12) hat C.G.J. JACOBI (1804-1851), "der herkulische Analyst ",8 im Jahre 1833 angegeben (Gesammelte Werke, Bd. 6, S. 62-63). Das Resultat selbst stammt von L. EULER (Opera omnia, Sero 1, Vol. 14 und Vol. 17). 8 Attribut von L. KRONECKER (1823-1891) in seinen Vorlesungen über die Theorie der einfachen und der vielfachen Integrale, Leipzig: Teubner 1894, S. 236.
184
V. Produktmaße
2.8 Beispiel: L~=l 1/n 2 == 7[2/6. Das iterierte Integral
läßt sich nach Entwicklung des Integranden in die geometrische Reihe durch sukzessive gliedweise Integrationen berechnen (Satz von der majorisierten Konvergenz mit I L~=o( -1)k(xy)kl S 2/(1 - y), dann Korollar IV.2.8): 00 1 P==2~- ~(2n+1)2'
Andererseits ergeben die Substitution u == u(x) == x + ~Y(X2 - 1) und eine anschließende Vertauschung der Integrationsreihenfolge (Integrand positiv!):
=
p
[~(1
1+
1
1 / -1
1
2:Y + y2 dY) du [arctan
1 / -1 V
1
~
u2
1-
y+u
J1=U2
Vf=U2
] y=1
du
y=o
1+u arctan ~2 du, V 1- u
denn die untere Grenze liefert den Beitrag Null. Im letzten Integral substituieren wir u == - cos 2
Wegen L~=l 1/n2 == L~=l 1/(2n)2 + L~=o 1/(2n + 1)2 ist das gleichbedeutend mit dem berühmten Resultat von EULER: (2.15) Der obige Beweis von (2.16) ist eine Variante der Argumentation von F. (Arch. Math. Phys. (3) 20,323-324 (1913)).
GOLDSCHEIDER
4. Der Gaußsehe Integralsatz für die Ebene. Es seien ep, 'ljJ : [a, b] ~ ~ stetig und von beschränkter Variation (d.h. rektijizierbar im Sinne von Kap. 11, 3.), ep < 'ljJ und
B :== {( x, y) t E ~2
(2.16)
:
a ::; x ::; b, ep (x) ::; y ::; 'ljJ (x )} .
B
Ferner sei v : B ~ ~ stetig, auf G :== nach y partiell differenzierbar, und v y sei auf G beschränkt (oder auch nur auf jedem vertikalen Schnitt beschränkt und ß2-integrierbar über G). Dann ist nach dem Satz von FUBINI und Beispiel IV.5.3 -
1
Vy
G
dß2 == -
l
a
b
(j'I/J(X) V y dy ) cp(x)
dx ==
l a
b
(v(x, ep(x)) - v(x, 'ljJ(x))) dx (') ~
1
v dx.
f
§ 2. Der Satz von
185
FUBINI
Hier bezeichnet 1'(.) = (x(.),y(.)) die durch "Aneinanderhängen" der Kurve (t,ep(t)) (a::; t ::; b), der vertikalen Verbindungsstrecke von (b, ep(b)) nach (b, 'l/J(b)) , der Kurve (t, 'l/J(a + bt)) (a::; t ::; b) und der vertikalen Verbindungsstrecke von (a, 'l/J(a)) nach (a, ep(a)) entstehende positiv orientierte, stetige, rektifizierbare und einfach geschlossene Kurve, deren Spur gleich dem Rand von G ist. Das letzte Integral ist als Riemann-Stieltjes-Integral aufzufassen (s. Grundwissen-Band Analysis 11 von W. WALTER). Bei (!) ist zu beachten, daß die Integrale über die rechte und die linke vertikale Randstrecke von G verschwinden, da x(.) längs dieser Strecken konstant ist. - Eine Menge von der Form (2.16) nennen wir einen Normalbereich in bezug auf die x-Achse. U x dß2 = udy, wenn Bein Normalbereich ist in bezug auf die y-Achse und Ebenso ist
Je
J-y
:=13
u : B - ? lR stetig und auf G nach x partiell differenzierbar und U x auf G beschränkt (oder wenn auch nur U x auf jedem horizontalen Schnitt von G beschränkt ist und ß2-integrierbar über G). Zusammenfassend erhalten wir folgendes Ergebnis, das von B. RIEMANN in seiner Dissertation (Mathematische Werke, S. 12-14) bewiesen wurde. In der deutschen Literatur wird dieser Satz meist als Gaußscher Integralsatz für die Ebene bezeichnet, in der englischsprachigen Literatur als Greenseher Satz (nach G. GREEN (1793-1841)).
2.9 Gaußseher Integralsatz für die Ebene. Es seien B C lR 2 ein Normalbereich (in bezug auf beide Koordinatenachsen) und l' die positiv orientierte, stetige und rektijizierbare Randkurve von B. Die Funktionen u, v : B - ? lR seien stetig, und die partiellen Ableitungen u x , v y
:=13
seien auf G vorhanden und beschränkt. (Es genügt, wenn U x auf jedem horizontalen, V y auf jedem vertikalen Schnitt von G beschränkt ist und wenn U x , v y über G ß2 -integrierbar sind.) Dann gilt:
(2.17)
Die Formel (2.18) gilt also ohne die sonst La. geforderte Voraussetzung der Stetigkeit der Ableitungen U x , v y , wenn man nur die relativ schwachen Beschränktheitsforderungen aus Satz 2.9 postuliert.
2.10 Korollar. Ist B C lR 2 ein Normalbereich (in bezug auf beide Koordinatenachsen) und l' die positiv orientierte, stetige und rektijizierbare Randkurve von B, so gilt:
ß2(B) =
(2.18)
Beweis: (2.18) mit u(x, y)
= x,
~
i
(xdy - ydx).
o
v(x, y) = -y.
Offenbar gelten (2.18), (2.19) sinngemäß auch dann, wenn Beine "Zerschneidung" in endlich viele Normalbereiche zuläßt.
2.11 Beispiel: Cauchyscher Integralsatz. Es seien D c C offen und f : D - ? C komplex differenzierbar, d.h. für alle Zo E D existiere f'(zo) := limz~zo(!(z) - !(zo))/(z - zo). Für u := Ref, v := Im! gelten dann die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen (2.19)
Ux
= vy , u y =
-V x .
Das folgt sofort aus der Definition der komplexen Differenzierbarkeit, wenn man die Annäherung an Zo einmal parallel zur x-Achse (z = Zo +h, h E lR, h =1= 0, h - ? 0), zum anderen parallel zur y-Achse (z = Zo + ih, h E lR, h =1= 0, h - ? 0) vornimmt. Wir setzen zusätzlich voraus, daß u x , u y lokal beschränkt sind in D, d.h. daß U x , u y auf jedem Kompaktum K c D beschränkt sind. Für jede positiv orientierte, stetige und rektifizierbare einfach geschlossene Kurve 1', die
v.
186
Produktmaße
einen in D gelegenen Normalbereich B berandet, gilt dann nach (2.18) (mit G :==B):
i
f(z) dz
:=
i
i
+i
(udx - vdy)
(udy
[(-v -u y)dß2 +i [(u
(2.20)
x
+ vdx) x -V
y)dß2.
Da hier nach (2.20) auf der rechten Seite beide Integranden verschwinden, erhalten wir den Cauchyschen Integralsatz:
i
f(z)dz = O.
Hieraus folgt in bekannter Weise (s. Grundwissen-Band Funktionentheorie I von R. REMdie übliche "lokale" Funktionentheorie einer Variablen (Cauchysche Integralformel, Potenzreihenentwicklung, Maximumprinzip etc.). Alle diese Ergebnisse sind also mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes rasch und leicht zugänglich, wenn man nur die lokale Beschränktheit der Ableitung der betrachteten komplex differenzierbaren Funktionen voraussetzt. Wie in der Funktionentheorie gezeigt wird, ist diese Beschränktheitsvoraussetzung überflüssig, da sie automatisch erfüllt ist (s. R. REMMERT, loc. cit., S. 141). - Man kann übrigens oben die Voraussetzung der lokalen Beschränktheit von I' ersetzen durch die Voraussetzung der lokalen ß2-Integrierbarkeit von I', denn Beispiel IV.5.3 läßt eine entsprechende Verschärfung zu. MERT)
2.12 Beispiel: Pompeiusche Formel. Auch die Cauchysche Integralformel und die sog. Pompeiusche Formel (inhomogene Cauchysche Integralformel) lassen sich leicht aus dem Gaußschen Integralsatz gewinnen: Dazu seien D, '"Y wie in Beispiel 2.11 und I : D ~ C stetig differenzierbar (oder es seien auch nur I partiell differenzierbar und Ix,ly lokal beschränkt in D). Es sei ferner z E D im Inneren von '"Y gelegen. Wir wenden (2.21) an auf die Funktion ( H g(() :== 2~i/(()/(( - z) und das Gebiet G \ Ke(z) (c > 0 hinreichend klein). Wir bezeichnen mit 8Ke (z) den positiv orientierten Rand von Ke(z) und setzen u :== Reg, v :== Img, ( == ~ + i'T}. Dann liefert (2.21): (2.21)
!
r
_1 I(() d( _ _ 1 I(() d( 27ri -y(-z 27riJ8Ke (z)(-z
Hier läßt sich der Integrand auf der rechten Seite ausdrücken durch die Wirtinger-Ableitung 8g18( :== ~(g~ + i9 17 ) == ~(u~ + iv~ + iU 17 - v 17 ), und da ( H (( - Z)-l holomorph ist in D \ {z}, ist 8g18( == 2~i (( - z)-18118(. Für c ~ +0 konvergiert
~
[
!(() d(
27rz J8K e (z) ~
= ~ [27r f(z + ce it ) dt 27r Ja
- Z
gegen I(z). Damit liefert (2.22) für c -t +0 die Pompeiusche Formel (2.22)
I(z)
==~! 27rZ
I(() d(-.!. Z 7r
-y ( -
r 8118(z dß2(~,'T}),
JG
(-
benannt nach dem rumänischen Analytiker D. POMPEIU (1873-1954). Für komplex differenzierbares I ist 81 I 8( == 0, und (2.23) impliziert die Cauchysche Integralformel (2.23)
I(z) ==
~! 27rZ
I(() d(;
-y ( -
dabei ist nach wie vor z im Inneren von '"Y gelegen.
z
§ 2. Der Satz von
FUBINI
187
5. Kurzbiographien von G. FUBINI und L. TONELLI. GUIDO FUBINI wurde am 19. Januar 1879 in Venedig geboren. Er war ein brillanter Schüler und Student. Im Alter von 17 Jahren nahm er 1896 sein Studium an der Scuola Normale Superiore in Pisa auf. Die folgende formende Periode seines Lebens wurde wesentlich durch seine Lehrer L. BIANCHI, U. DINI und E. BERTINI (1846-1933) bestimmt. Seine Dissertation (1900) über den Cliffordschen Parallelismus in elliptischen Räumen gewann rasch an Publizität, da ihre Ergebnisse schon 1902 in BIANCHIS bekanntes Buch über Differentialgeometrie aufgenommen wurden. FUBINI verbrachte nach der Promotion ein weiteres Jahr in Pisa und vollendete seine Habilitationsschrift über harmonische Funktionen auf Räumen konstanter Krümmung. Ende 1901 wurde er Lehrbeauftragter an der Universität Catania (mit nur 22 Jahren), und bereits wenig später war er bei der Bewerbung um eine Professorenstelle an derselben Universität erfolgreich. Nach einer Zwischenstation in Genua wurde FUBINI 1908 Professor für mathematische Analysis am Polytechnikum in Turin; gleichzeitig wirkte er als Lehrbeauftragter für höhere Analysis an der Universität Turin, bis er 1938 infolge der von der faschistischen Regierung erlassenen Rassengesetze in den Ruhestand versetzt wurde. FUBINI folgte 1939 einem Ruf an das Institute for Advanced Study in Princeton, N.J. und emigrierte mit seiner Familie in die USA. Trotz seiner schon schlechten Gesundheit setze er seine Lehrtätigkeit an der New York University fort. Er starb am 6. Juni 1943 in New York. - Gegen Ende seines Lebens fügte FUBINI seinem Namen offiziell den Nachnamen seiner Ehefrau ANNA GHIRON hinzu und nannte sich GUIDO FUBINI GHIRON. FUBINI war ein höchst fruchtbarer, vielseitiger und scharfsinniger Mathematiker. Seine Arbeitsgebiete stehen weitgehend in der Tradition der italienischen Mathematiker des 18. und 19. Jahrhunderts: Reelle Analysis, insbesondere Differentialgleichungen, partielle Differentialgleichungen, Variationsrechnung, das Dirichletsche Prinzip; Differentialgeometrie, insbesondere Riemannsche Räume, nichteuklidische Räume, Lie-Gruppen, das Riemann-Helmholtzsche Problem, projektive Differentialgeometrie; diskontinuierliche Gruppen und automorphe Funktionen; mathematische Physik und Ingenieurmathematik. - Neben "dem" Satz von FUBINI hat FUBINI folgenden bemerkenswerten Satz aus der Theorie der reellen Funktionen bewiesen (s. Korollar VII.4.7): Ist F = L:~=1 in eine konvergente Reihe von monoton wachsenden Funktionen in : [a, b] -+ IR (n E N), so darf man diese Reihe A-f.Ü. gliedweise differenzieren, d.h. es ist F ' = L:~=1 i~ A-f.Ü. (Nach einem Satz von LEBESGUE ist jede monotone Funktion A-f.ü. differenzierbar.) - Die wichtigsten der fast 200 Arbeiten aus FUBINIS Feder sind in den Opere scelte, Vol. 1-3 (Roma: Cremonese 1957) gesammelt. Besonderes Gewicht haben auch seine Lehrbücher. Viele Generationen von Studenten studierten FUBINIS Lezioni di Analisi (Turin 1913) und die zugehörige Aufgabensammlung. Die gemeinsam mit E. eECH (1893-1960) verfaßte Monographie über projektive Differentialgeometrie gilt als Klassiker auf diesem Gebiet. FUBINIS Monographie (1908) über diskontinuierliche Gruppen und automorphe Funktionen ist ein umfangreiches Werk, das zahlreiche neue Resultate des Autors enthält; noch 1954 bezeichnet B. SEGRE (1903-1977) in seinem Nachruf auf FUBINI dieses Buch als "noch heute maßgebend über diesen Gegenstand". LEONIDA TONELLI wurde am 19. April 1885 in Gallipoli (unweit Lecce, Süditalien) geboren. Mit 17 Jahren schrieb er sich 1902 in Bologna ein zum Studium der Ingenieurwissenschaften. Unter dem Einfluß seiner Lehrer C. ARZELA und S. PINCHERLE (1853-1936), die bald die außergewöhnliche Begabung des jungen Mannes erkannten, wechselte er das Studienfach und wandte sich der reinen Mathematik zu. Im Jahre 1906 legte TONELLI seine Dissertation über die Approximation durch Tschebyschew-Polynome vor, wurde rasch Assistent an der Universität Bologna und erhielt 1910 die sog. "freie Dozentur" für infinitesimale Analysis. Die weitere akademische Laufbahn führte ihn als Lehrbeauftragten bzw. Ordinarius (ab 1917) an die Universitäten Cagliari (1913), Parma (1914) und Bologna (1922). Im Jahre 1930, als sein wissenschaftliches Ansehen seinen Gipfel erreicht hatte, wurde TONELLI an die Scuola Normale Superiore di Pisa berufen, um die große wissenschaftliche Tradition dieser Institution fortzusetzen. An der Universität Pisa hatte Tonelli den Lehrstuhl für infinitesimale Analysis inne und den Lehrauftrag für höhere Analysis; an der Scuola Normale Superiore hielt er zusätzliche Vorlesungen, die seine Lehrveranstaltungen an der Universität ergänzen
188
V. Produktmaße
und den Hörern den Weg zu eigener mathematischer Forschung ebnen sollten. Die inhaltlich und didaktisch meisterlichen Vorlesungen TONELLIS übten auf das Auditorium eine große Anziehungskraft aus; es wird berichtet, die Studenten seien den Darlegungen des «Maestro insuperabile» in «religioso silenzio» gefolgt. 9 Gegen die damalige faschistische Regierung Italiens hegte TONELLI eine offene Feindschaft. Im Herbst 1939 wurde er an die Universität Rom berufen, setzte aber zusätzlich seine Arbeit in Pisa fort, um seine Schüler an der Scuola Normale Superiore nicht im Stich zu lassen, und kehrte 3 Jahre später ganz nach Pisa zurück. Besondere Verdienste erwarb er sich während seiner langen Amtszeit als Direktor des mathematischen Instituts der Universität Pisa. In der schwierigen Periode nach dem September 1943, als Pisa und die ehrwürdige Scuola Normale von deutschen Truppen besetzt waren, gelang es TONELLI als Direktor der Scuola in Zusammenarbeit mit Schülern und Kollegen, die Institution vor Schaden zu bewahren und die wertvollen Sammlungen und die unschätzbar wertvolle Bibliothek zu retten. - L. TONELLI starb am 12. März 1946 in Pisa. Er war hochgeehrt als Mitglied zahlreicher Akademien und wissenschaftlicher Vereinigungen und Träger mehrerer bedeutender wissenschaftlicher Preise und Auszeichnungen. TONELLI schrieb rund 150 Arbeiten vornehmlich über Themen aus der reellen Analysis, insbesondere über Funktionen reeller Variablen, analytische Funktionen, trigonometrische Reihen, gewöhnliche Differentialgleichungen, Funktionalgleichungen, Variationsrechnung, das Dirichletsche Prinzip und das Plateausche Problem. Seine Arbeiten haben wesentlich mit dazu beigetragen, dem Lebesgue-Integral allgemeine Verbreitung zu verschaffen. Zum Beispiel erkannte TONELLI in der absoluten Stetigkeit der Komponenten von 'Y die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß die Länge L(,) der stetigen und rektifizierbaren Kurve 'Y durch das Lebesgue-Integral 1I,'(t)1I dt gegeben wird (s. Satz VII.4.22). Weiter lieferte er analoge Untersuchungen zum Problem der Quadratur gekrümmter Flächen. Sein Beitrag zum Satz von FUBINI (-TONELLI) ist von bleibendem Wert. Bemerkenswert sind die Arbeiten von TONELLI zur Approximation reeller Funktionen einer oder mehrerer Variablen. Von TONELLI stammt ein Zugang zur Lebesgueschen Integrationstheorie, der die vorherige Entwicklung des Lebesgue-Maßes entbehrlich macht. Der Theorie der trigonometrischen Reihen widmete er über 10 Arbeiten und die wichtige Monographie Serie trigonometriche (Bologna: Zanichelli 1928), die in systematischer und vollständiger Weise den Stand dieser Theorie von 1928 widerspiegelt. - Die bedeutendsten Arbeiten von TONELLI liegen auf dem Gebiet der Variationsrechnung. Ausgehend von der Feststellung, daß die in der Variationsrechnung betrachteten Funktionale im allgemeinen unstetig sind, bemerkte er die Halbstetigkeit dieser Funktionale, und unter systematischer Verwendung der Lebesgueschen Integrationstheorie und der Methoden der Funktionalanalysis eröffnete er mit seiner «metodo diretto» einen neuen Zugang zu den Extremalproblemen. Als wichtige Anwendungsbeispiele behandelte er z.B. isoperimetrische Probleme und die klassischen Probleme von DIRICHLET und PLATEAU. Seine große zweibändige Monographie Fondamenti di Calcolo delle Variazioni (Bologna: Zanichelli 1921, 1923) hat auf die weitere Entwicklung dieses Gebiets einen nachhaltigen Einfluß ausgeübt. Die wichtigsten Arbeiten von TONELLI sind in den Opere seelte, Vol. 1-4 (Roma: Cremonese 1960) gesammelt.
J:
Aufgaben. 2.1. Es sei fo:(x, y) :== x· y/(x 2 + y2 + 1)0: (x, Y E IR). Bestimmen Sie alle a E IR,
J~: (J~: fo:(x, y) dX) dy und ß2-integrierbar über IR2 ?
für welche die iterierten Integrale existieren. Für welche a ist
f
0:
J~: (J~: fo:(x, y) dy) dx
2.2. Prüfen Sie, welche der Integrale
[ ( [ !(X,Y)dX) dy, [ ( [ !(x,Y)dY) dx, j!dß2 9Mit Blick auf heute bisweilen anzutreffende Verhältnisse kann der Verf. ein ,,0 tempora, o mores!" nicht unterdrücken.
§ 2. Der Satz von
189
FUBINI
(I ==]0,1[2) für die folgenden Funktionen existieren und übereinstimmen. a) f(x, y) == (x - y)/(x + y)3 für x, y > O. b) f(x, y) == /y ((x 2 - y2)2/(x 2 + y2)2) für x, y > o. 22n für 2- n < x ~ 2- n + l , 2- n < y ~ 2- n + l , n E N, c) f(x, y) :== _2 2n + l für 2- n- 1 < x ~ 2- n , 2- n < y ~ 2- n + l , n E N, { o sonst.
-Ix
2.3. Bestimmen Sie alle stetigen Funktionen 9 : [0, oo[~ [0,00[, so daß
r
g(xy) dß2(X, y) < 00.
i[O,l] x [l,oo[
2.4. Es sei f : ffi.2 ~ ffi., f(x, y) :== 1 für x E (Q, f(x, y) :== 2y für x ~ (Q. Welches der Integrale
[ ( [ f(X,Y)dX) dy, [ ( [ f(x,Y)d Y) dx existiert als iteriertes Riemann-Integral bzw. iteriertes ßl-Integral? Ist integrierbar? 2.5. Es seien f : [0, oo[~ [O,oo[ ßl-integrierbar und 9 ßl-integrierbar über [O,oo[? 2.6. Die Funktion
f : [0, oo[~
g(x) :==
J; f(t) dt
f
über [0,1]2
ß2-
(x 2: 0). Wann ist
ffi. sei stetig, die uneigentlichen Riemann-Integrale
1
00
1
00
f(t) logt dt,
f(t) dt
seien (nicht notwendig absolut) konvergent, und es gelte: Jo f(t) dt == O. Dann gilt für alle a,b > 0: OO
Im Spezialfall f(t) == ae-at - ße- ßt (a, ß
> 0) hat die rechte Seite den Wert logß/a (G.H.
HARDY).
2.7. Mit M :== {(x, y)t E ffi.2 : x
< y, Y > O} gilt:
Lye-~(xOd) dß2(X,y) = ~ 2.8 Partielle Integration.
f, 9 : [a, b]
F(x) := [ Dann gilt:
l
~
(1 + h) Vif.
IK. seien ,Al-integrierbar, und für x E [a, b] sei
f(t) dt, G(x) :=
l
x g(t) dt.
b
F(x)g(x)dx = F(b)G(b) - [f(X)G(X)dX.
(Hinweis: Anwendung des Satzes von FUBINI auf (x, y) r-+ f(y) g(x) XE(X, y) mit E == {(x, y) E [a, b]2 : y < x}.) 2.9 Cauchy-Schwarzsche Ungleichung. Es seien f,9 : X ~ IK. meßbar und If1 2 ,191 2 E .cl. Zeigen Sie mit Hilfe des Satzes von FUBINI durch Betrachtung der Funktion (x, y) r-+ If(x)g(x)f(y)g(y)1 die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung:
190
V. Produktmaße
(Hinweis: Ist J-l nicht a-endlich, so verschwinden fund 9 außerhalb einer meßbaren Menge a-endlichen Maßes.) 2.10. Es seien M C IR2 offen und f : M --+ IR zweimal stetig partiell differenzierbar. Zeigen Sie mit Hilfe des Satzes von FUBINI:
(Hinweis: Schließen Sie indirekt und integrieren Sie die Differenz von rechter und linker Seite über ein geeignetes hinreichend kleines Quadrat.) 2.11. Für jedes R also gilt
> 0 ist die Funktion (x, y)
r--+ e- XY sinx ß2-integrierbar über ]0, R[x]O,
sinx {(X) ( (R Jo{R -xdx == Jo Jo eBestimmen Sie durch Grenzübergang R --+
00
xy
sinx dx
)
00[,
dy.
das uneigentliche Riemann-Integral
(R-) {(X) sinx dx == ~ Jo x 2 und folgern Sie:
{(X) 1- ~osx dx
Jo
x
==
~, {(X) 2
Jo
(SinX)2 dx ==
x
~. 2
(Bemerkung: Das letzte Integral wird im Beweis des Satzes von WIENER-IKEHARA benötigt, der die Basis für den WIENERschen Beweis des Primzahlsatzes ist.) 2.12. a) Für 1 a == r(a)-l
x-
< Rea < 2 existiert das Lebesgue-Integral
Jo
oo
e-txt a - l dt
Jooo sinx/x
a dx. Setzen Sie hier und zeigen Sie mit Hilfe des Satzes von FUBINI:
((X) sinx dx _
Jo
xa
-
1f
2r(a) sin 1fa/2 .
GI. (*) gilt für 0 < Rea < 2, wenn man die linke Seite als uneigentliches Riemann-Integral auffaßt. b) Benutzen Sie die Methode aus a) zur Bestimmung der Integrale F(t):==
00 1 0
e
-tx
COS X Xl / 2
dx, G(t):==
100 0
e
-tx
.
sln x Xl / 2
dx
(t > 0)
und folgern Sie durch Grenzübergang t --+ +0:
{(X) COS x
(R-)
Jo
x l / 2 dx == (R-)
fIT
((X) sin x
Jo
Xl/2 dx ==
V"2 .
(Fresnelsche Integrale; vgI. Aufgabe 4.3). 2.13. Schreiben Sie X-I sin ax == des Satzes von FUBINI:
{(X)
Jo
J; cos ax da und folgern Sie aus Aufgabe IV.6.18 mit Hilfe
sinax dx == ~(1 _ e- at ) x(t 2 + x 2 ) 2t 2
(a,t > 0).
2.14. Ist V ein Vektorraum von Funktionen f : X --+ IK, Wein Vektorraum von Funktionen 9 : Y --+ IK, so bezeichne V ® W das Tensorprodukt von V und W, d.h. den Vektorraum
aller endlichen Summen von Funktionen der Form (x, y) r--+ f ® g(x, y) :== f(x) g(y) (f E V, 9 E W; x E X, Y E Y). Zeigen Sie: Sind J-l, va-endlich und liegt V dicht in LI (X, 2l, J-l), W dicht in LI (Y, Q3, v), so liegt V ® W dicht in Ll(X x Y,2l ® Q3, J-l ® v). Insbesondere liegt LI (J-l) ® LI (v) dicht in LI (J-l ® v). (Bemerkung: Dieser Sachverhalt motiviert die Schreibweise
§ 3. Faltung und Fourier-Transformation des Produktmaßes mit dem Zeichen ,,0" für das Tensorprodukt.) 2.15. Es seien A, B E ~P, ßP(A) < 00, ßP(B) < 00 und f(t) :== ßP(A n (B Dann ist f : II~F ~ lR gleichmäßig stetig, und es gilt:
r
J~P
f dßP
==
191
+ t))
(t E lRF).
ßP(A) ßP(B) .
Ist ßP(A) > 0, ßP(B) > 0, so enthält A - B einen inneren Punkt. (Hinweise: Die gleichmäßige Stetigkeit zeigt man wie in Beispiel IV.3.14. Ferner stellt man f als Integral einer charakteristischen Funktion dar und wendet den Satz von FUBINI an. Wegen {f > O} c A - B enthält A - B einen inneren Punkt, falls ßP(A)ßP(B) > 0; vgI. Aufgabe 111.2.5. - Die Aussagen gelten sinngemäß mit ~P, AP statt ~P, ßP.) 2.16. Kugelvolumen im lRP • Alternativ zu Beispiel 1.8 läßt sich das Volumen Vp(R) == ßP(KR(O)) einer Kugel im lRP vom Radius R > 0 folgendermaßen bestimmen: Für r > 0 sei
Dann gilt nach Korollar 111.2.6
Beweisen Sie zunächst mit Hilfe des Satzes von Fubini für die Laplace-Transformierte
(t > 0). Bestimmen Sie anschließend Fp(t) mit Hilfe von (*) zu Fp(t) == Vp(1)f (~ + 1) t- p/ 2- 1 (t > 0), und folgern Sie durch Vergleich der Resultate
die Identität Fp(t) == 1rp/2t-p/2-1 die GI. (1.6).
§ 3.
Faltung und Fourier-TransforIllation
1. Integration in bezug auf Bildmaße. Im folgenden seien (X, 2l, M) ein Maßraum, (Y,93) ein Meßraum und t : X ~ Y eine meßbare Abbildung. Nach Satz 111.1.7 ist das Bildmaß t(M) : 93 ~ JR erklärt durch
Die Integration einer Funktion f : Y ~ JK über Y bez. t(M) läßt sich wie folgt auf die Integration von fot über X bez. f1 zurückführen:
3.1 Allgemeine Transformationsformel. Für alle f E M+(Y, 93) ist
(3.1) Eine 93-meßbare Funktion f : Y ~ JK ist genau dann t(f1)-integrierbar über Y, wenn fot f1-integrierbar ist über X, und dann gilt (3.1).
192
V. Produktmaße
Beweis. Für alle f E M+(Y, ist nun zunächst
~)
ist fot E M+(X, 2l). - Im Falle f
~)
[XB dt(p,)
= p,(C 1 (B)) =
1
Xt- 1 (B) dp,
=
== XB (B
E
1
XB ot dp,.
Daher gilt (3.1) für alle f == XB (B E ~) und mithin auch für alle f E T+(Y, ~). - Ist nun f E M+(Y, ~), so wählen wir eine Folge von Funktionen U n E T+(Y, ~) mit U n t f und erhalten nach dem schon Bewiesenen
Jyr f
dt(p,) = lim n-+oo
Jyr U n dt(p,) =
lim n-+oo
Jrx unot dp, = Jrx fot dp"
denn für die Funktionen U n t E T+ (X, 2l) gilt U n t t fot. Die zweite Aussage folgt unmittelbar durch Anwendung der ersten auf (Ref)±, (Im f)±. 0 0
0
3.2 Korollar. Es seien t : JRP -+ JRP eine bijektive affine Abbildung und f E M+(W, ~P) oder f : JRP -+ Jf{ )"P-integrierbar. Dann gilt
(3.2)
r fdAP=ldettl J~Pr fotdAP.
J~P
Beweis. Nach Satz 111.2.5 ist t ~P-~P-meßbar und t(A P ) == I det tl- 1 AP • Satz 3.1 liefert daher sogleich die Behauptung. 0 Insbesondere ist das AP - Integral über W translations- und spiegelungsinvariant. 3.3 Beispiel. Es seien (X, 2l, J-l) ein Maßraum und 9 : X -+ JR eine meßbare Funktion mit J-l(g-I(Ja, bJ)) < 00 für alle a, b E JR. Dann wird das Bildmaß 9 (J-l) : ~ 1 -+ JR durch eine wachsende rechtsseitig stetige Funktion F : JR -+ IR beschrieben. Wir wählen in Satz 3.1 (Y, ~) :== (JR, ~1) , t :== g, f == id : IR -+ IR und erhalten: Ist zusätzlich 9 2:: 0 oder 9 E [,1 (J-l), so gilt:
rgdp,= J-oo r Jx
oo
xdF(x).
Ist allgemeiner f : IR -+ JR eine Borel-meßbare Funktion und f 2:: 0 oder fog E 1 (J-l), so gilt
[,
Von dieser Möglichkeit der Transformation des J-l-Integrals in ein LebesgueStieltjes-Integral wird in der Wahrscheinlichkeitstheorie Gebrauch gemacht. 2. Transformation von Maßen mit Dichten. Es seien (X, 2l, J-l) , (Y, ~) und t : X -+ Y wie oben und 9 E M+(Y, ~). Dann läßt sich das Maß mit der Dichte 9 bez. t(J-l) wie folgt als Bildmaß bez. t darstellen: 3.4 Satz. Für alle 9 E M+(Y, ~) gilt: 9 8 t(J-l)
== t((got)
8 J-l) .
§ 3. Faltung und Fourier-Transformation
193
Beweis. Nach (3.1) gilt für alle B E 93:
(g 8 t(J1))(B) =
=
Ix
Xt- 1 (B)
i XB . •
9 dt(J1) =
J)XB' g) ot dJ1
(got) dJ1 = ((got) 8 J1)(r 1 (B)) = (t((got) 8 J1))(B). D
3.5 Korollar. Ist t : X ---t Y ein meßbarer Isomorphismus, so gilt für alle h E M+(X, 2t): t(h 8 J-l) == (hot-I) 8 t(J-l) . Beweis: klar nach Satz 3.4 mit 9 :== hot-I.
D
3. Die Faltung auf .c1CIl.~.p, 93 P,ßP). Für I,g E .c1(ßP) ist die Funktion <.p : lR2p ---t lR, <.p(x, y) :== I(x - y)g(y) (x, Y E lRP ) Borel-meßbar, und es gilt nach Korollar 3.2:
(3.3)
lp (lp
If(x - y)g(y) IdßP(X)) dßP(y) =
Ilflh
lp
Ig(y)1 dßP(y)
1IIIhllglh <
00.
Nach dem Satz von FUBINI ist die Menge A der x E lRP , für welche <.p(x,·) nicht ßP-integrierbar ist, eine ßP-Nullmenge. Daher ist die Funktion 1 * 9 : lRP ---t JK,
1 * g(x)
:==
r f(x-y)g(y)dßP(y)
lIRP
{o
für xEAc, für x E A,
Borel-meßbar, und nach (3.3) gilt
1 *9 E
.cl (ßP)
und
111 * glll ::; IIllhllglh· Die Funktion 1 * 9 heißt die Faltung von 1 und g. Die Substitution y r-+ x - y in der Definition von
1*9
liefert nach (3.2)
die Faltung ist also kommutativ. Ferner ist die Faltung distributiv in dem Sinne, daß für alle I, g, h E .cl(ßP) gilt
Wir zeigen weiter: Die Faltung ist assoziativ in dem Sinne, daß für alle gilt
.cl (ßP)
I, g, h E
194
V. Produktmaße
Wegen der Distributivit¨at der Faltung gen¨ ugt der Beweis der Assoziativit¨at f¨ ur den Fall f, g, h ≥ 0. Dann ist aber nach Korollar 3.2 in Verbindung mit dem Satz von Fubini f ∗ g(x − y) h(y) dβ p (y) = f ∗ g(y) h(x − y) dβ p (y) Rp
Rp
=
Rp
=
Rp
f (z)g(y − z) dβ p (z) h(x − y) dβ p (y)
p
f (z)
Rp
= Rp
Rp
g(y − z)h(x − y) dβ (y) dβ p (z)
f (z) g ∗ h(x − z) dβ p (z) ,
und es folgt die Behauptung. – Mit Hilfe der obigen Eigenschaften der Faltung werden wir in Kap. VI den zu L1 (β p ) geh¨origen Banach-Raum L1 (β p ) mit der Struktur einer Banach-Algebra ausstatten. 3.6 Lemma. Es sei (kn )n≥1 eine Folge aus L1 (β p ) mit kn ≥ 0 , kn 1 = 1 und d({0} ∪ Tr kn ) → 0 (n → ∞). Dann gilt f¨ur alle f ∈ L1 (β p ): lim kn ∗ f − f 1 = 0 .
n→∞
ur a ∈ Rp sei fa (t) := f (a+t) (t ∈ Rp ). Beweis. Es seien f ∈ L1 (β p ) und ε > 0. F¨ ur alle Dann gibt es nach Aufgabe IV.3.10 ein δ > 0, so daß fa − f 1 < ε f¨ a ∈ Kδ (0). Wir w¨ahlen n0 ∈ N so groß, daß Tr kn ⊂ Kδ (0) f¨ ur alle n ≥ n0 . Dann gilt nach dem Satz von Fubini f¨ ur alle n ≥ n0 : | kn (y)(f (x − y) − f (x)) dβ p(y) | dβ p(x) kn ∗ f − f 1 = ≤
Rp
Rp
kn (y)
Rp
Rp
|f (x − y) − f (x)|dβ p(x) dβ p (y) ≤ ε
Rp
kn (y) dβ p (y) = ε . 2
Eine Folge (kn )n≥1 wie in Lemma 3.6 kann man als eine approximative ” Einheit“ f¨ ur die Multiplikation ∗“ auf L1 (β p ) ansehen. – Wir werden in Korollar ” 3.10 zeigen, daß es keine Einheit“ k ∈ L1 (β p ) gibt mit der Eigenschaft, daß ” u. f¨ ur alle f ∈ L1 (β p ). k ∗ f = f β p -f.¨ Ist U ∈ Rp offen und g : U → Rp partiell differenzierbar, so bezeichnet Dk g = ∂g/∂xk die partielle Ableitung von g nach dem k-ten Argument. Ist α = (α1 , . . . , αp ) mit ganzen α1 , . . . , αp ≥ 0 ein Multiindex, so setzen wir |α| := α1 + . . . + αp , und f¨ ur g ∈ C |α| (Rp ) , x ∈ Rp sei D α g := D1α1 ◦ . . . ◦ Dpαp g , xα := xα1 1 · . . . · xαp p .
195
§ 3. Faltung und Fourier-Transformation 3.7 Satz. Für 1 E [}(ßP) und 9 E C~(JRP) ist 1 DO(I
* g)
== 1
* (DOg)
* 9 E COO(JRP)
und
für alle a.
Beweis. Wegen der gleichmäßigen Stetigkeit von Dkg gibt es zu jedem c > 0 ein 8 > 0, so daß IDkg(u) - Dkg(v)1 < c für alle u, v E JRP mit Ilu - vii< 8. Bezeichnet ek den k-ten Einheitsvektor des JRP, so gilt also für 0 #- t E JR, Itl < 8 und x E JRP:
I~(j * g(x + tek) =
II f(Y)~ p
f
* g(x)) -
(j
* Dkg)(x)1
fat (Dkg(x - Y + sek) - Dkg(x - y)) ds dßP(y) I ~
Ellflll .
Daher ist 1 * 9 in x partiell differenzierbar mit Dk(1 * g) == 1 * (Dkg), und diese Funktion ist offenbar stetig (Aufgabe 3.1). Eine Fortsetzung dieser Schlußweise D liefert die Behauptung. Nun können wir leicht einen weiteren Beweis für Korollar IV.3.13 angeben:
3.8 Korollar. C~(JRP) liegt dicht in [}(ßP). Beweis. Für n E N sei k n
wobei
Cn
:
JRP -+ JR,
> 0 so gewählt sei, daß IIknl/I
== 1. Dann ist k n E C~(JRP), Tr k n ==
K 1 jn(0). Ist nun 1 E [,l(ßP) und c > 0, so gibt es ein R > 0, so daß für 9 :== I· XKR(O) gilt 111 - glll < c/2. Nach Lemma 3.6 ist IIk n * 9 - glll < c/2 für alle n 2:: no(c), also 111 - kn * glll < c für alle n 2:: no(c). Hier ist kn * 9 E COO(JRP) (Satz 3.7), und da 9 und k n einen kompakten Träger haben, ist auch der Träger von k n * 9 kompakt. D
4. Die Fourier-Transformation. Im folgenden legen wir in den Definitionen des Raumes [,1 und der Faltung * anstelle von ßP das Maß
zugrunde. Diese Umnormierung hat zur Folge, daß am Ende die Formel des Fourierschen Umkehrsatzes besonders einprägsam wird. Für komplexwertiges 1 E [, 1 (J1p) heißen j, j : JRP -+ C,
j(t):=
r e-i(t,x) f(x) dJ-lp(x)
JJRP
die Fourier- Transformierte von 1 und
(t
E
JRP)
196
V. Produktmaße
die inverse Fourier-Transformierte von f. Hier bezeichnet (t, x) == L~=l tjXj das Skalarprodukt von t, x E JR.P. (Der Name von j wird später durch den Fourierschen Umkehrsatz motiviert.) Die C-lineare Abbildung, die jedem f E [}(J-lp) seine Fourier-Transformierte] zuordnet, heißt die Fourier- Transformation. Sie ist benannt nach dem französischen Mathematiker, mathematischen Physiker, Administrator und «secretaire perpetuel~ der Academie des Sciences J EAN BAPTISTE JOSEPH FOURIER (1768-1830). 3.9 Satz. Für f, 9 E [}(J-lp) gilt: a) ] E C(W), 1]1 :S 111111 und limlltll-+oo ](t) == o. b)(f*g)A==].g. c) Für fa(x) :== f(a + x) (a E JRP) und (Mrf)(x) :== rPf(rx) (r > 0) gilt:
1a(t)
ei(a,t) ](t) ,
(Mrf)A(t)
] (~t) ,
(e-i(a,x) f) A
(])a .
d) Ist a == (a1, ... ,ap ) mit ganzen a1, ... ,ap 2: 0 und f E c1al(W),xßf E für 0 :S ß :S a, so gilt für 0 :S ß :S a:
.cl (J-lp)
nß]
== (-i)IßI (x ß f)A
.
Beweis. a) Nach Satz IV.5.6 ist] stetig. Die Ungleichung Ferner ist nach Korollar 3.2 für t E W, t #- 0
j(t) =
1]1
:S IIfll1 ist klar.
kp e-i(t,x1f(x)dflp(X) = - kp e-i(t,x1f (x+ 11~12t) dflp(X) ,
und es folgt:
2Ij(t)1 :s;
kp If(x) - f (X + 11~12t) Idflp(X)
--t 0 für
Iltll
--t
00.
(Dies ist ein alternativer Beweis des Lemmas von RIEMANN-LEBESGUE; s. Aufgabe IV.6.17.) b) Wegen (3.3) ist nach dem Satz von FUBINI
kp e-i(t,xI (kp f(y)g(x - y) dflP(Y)) dflp(X)
(f
* g)/\(t) =
=
kp (kp e-i(t,x-YI g(x - y) dflP(X)) e-i(t,YI f(y) dflp(y) = j(t)fj(t) .
c) ist klar nach Korollar 3.2. d) folgt durch sukzessive Anwendung von Satz IV.5.7. 3.10 Korollar. Es gibt kein k E
.cl (J-lp).
.cl (J-lp) ,
so daß k
* f ==
D
f j.ü. für alle f
E
§ 3. Faltung und Fourier-Transformation
197
Beweis. Gibt es ein solches k, so ist k] == ] für alle f E [,1 (J1p). Hier wählen wir f(x) == exp( -llxl1 2 /2). Dann ist] == f nach Aufgabe IV.6.13 oder IV.6.15, und es folgt k == 1: Widerspruch, denn als Fourier-Transformierte einer Funktion D aus [,l(J1p) müßte k im Unendlichen verschwinden (Satz 3.9, a)).
3.11 Fourierseher Umkehrsatz. Sind f E [,l(J1p) und] E [,l(J1p), so gilt:
f
== (]) v
f. ü.
Beweis. Für die Funktion
rr p
(3.4)
kn(x)
:==
(21f)p/2
max(O, n - n2lxjl)
(x
E
JRP)
j=l
gilt nach Aufgabe 3.2:
rr P
kn(t)
(3.5)
==
j=l
(sin t j /2n) 2 t j /2n
(
tEW
)
und (kn)V == kn. Der Grundgedanke des Beweises ist nun: Die Behauptung kann für die "approximative Einheit" (kn)n>l durch Rechnung verifiziert werden und ergibt sich dann folgendermaßen allge~ein: Wegen kn] E [,1 (J1p) ist nach dem Satz von FUBINI
(3.6)
(knj)V(x) =
r ei(x,t)kn(t) j(t) d{.tp(t)
JJRp
Lp I(z) (Lp ei(t,x~z) kn(t) d{.tp(t)) d{.tp(z) = 1 * kn(x).
=
Für n ---+ CX) gilt hier nach dem Satz von der majorisierten Konvergenz: Ilk n ] ]/11 ---+ O. Daher konvergiert die Folge der Funktionen (kn])V gleichmäßig gegen (j)V (Satz 3.9, a)). Andererseits gilt Lemma 3.6 ebenso mit J1p statt ßP, und da Ilkn ll l == 1 ist bez. J1p, erhalten wir: Ilkn * f - fllr ---+ o. Für alle R > 0 ist daher nach (3.6)
r
JKR(O) = !im
I(})V - I1 d{.tp = lim
n--+oo
und es folgt
f
n--+oo
r
JKR(O)
l(knj)V -
I1 d{.tp
r
!im Ilf * kn - 1111 = 0, JKR(O) 1I * kn - I1 d{.tp <::: n--+oo
== (]) v
f. ü.
3.12 Korollar. Sind f,g E [,l(J1p) und gilt] == vität" der Fourier- Transformation).
D
g, so ist f
== g f.ü. ("Injekti-
Beweis. (f - g)/\ == 0 E [,l(J-lp), und der Umkehrsatz liefert die Behauptung. D
V. Produktmaße
198
Der Fouriersche Umkehrsatz ist der Schlüssel zu einem eleganten Beweis der folgenden vereinfachten Version des Satzes von PLANCHEREL, benannt nach dem Schweizer Mathematiker MICHEL PLANCHEREL (1885-1967). 3.13 Satz von Plancherel (1910). Sind f E [}(J1p) und f2 E IJI 2 E LI (J1p) und
.c l (J1p),
so ist
(3.7)
Beweis. Für f*(x) :== f(-x) gilt f* == J. Daher hat g :== f * f* E L l (J1p) die Fourier-Transformierte fJ == IJI 2 . Wegen If(x - y)f( -y)1 ~ ~(If(x - y)1 2 + If( _y)1 2 ) konvergiert für alle x E JRP das Faltungsintegral für g, und es ist
g(x) =
r f(x - y)J( -y) df.J,p(y) = J~Pr f(x + y) f(y) df.J,p(y)
J~P
(x E JRP).
Die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung (s. Aufgabe 2.9 oder VI.1.6) liefert für alle x, x' E JRP
und hier konvergiert die rechte Seite nach Satz VI.2.30 für x' -+ x gegen 0, d.h. g ist stetig. (Für beschränktes f folgt die Stetigkeit von g auch aus Satz IV.3.12 oder Aufgabe 3.1.) Zu vorgegebenem c > 0 gibt es also ein <5 > 0, so daß Ig(x) - g(O)1 < c für alle x E Ko(O). Wir benutzen nun die kn aus (3.4) und wählen no so groß, daß Tr k n C Ko(O) für alle n 2: no; dann ist
für alle n 2: no. Daher ist
Andererseits ist g * k n E LI (J1p) und (g * k n )/\ == fJk n E LI (J1p) , denn fJ ist als Fourier-Transformierte beschränkt und kn E .cl (J1p). Der Umkehrsatz ergibt daher wegen der Stetigkeit von g * k n : (3.8) Nun liefert eine Anwendung des Lemmas von
FATOU
wegen limn - Hx) kn == 1:
§ 3. Faltung und Fourier-Transformation
199
Da hier die rechte Seite endlich ist, gilt 1]1 2 E .cl (f-lp). Wir können nun wegen o :::; kn :::; 1 in der letzten Formelzeile den Satz von der majorisierten Konvergenz anwenden, statt "lim" überall "lim" schreiben und die Ungleichheit zur Gleichung verschärfen. 0 Aus (3.7) folgt sogleich eine Formel, deren Analogon für den Fall der FourierReihen zuerst von MARC-ANTOINE PARSEVAL (1755-1836) angegeben wurde. IO 3.14 Parsevalsehe Formel. Sind f,g E .cl(f-lp) und f2,g2 E .cl(f-lp), so gilt:
rf g
(3.9)
J~P
dJLp
=
r {g
J~P
dJLp .
Beweis. Wegen
o
liefert (3.7) sogleich die Behauptung. 3.15 Beispiele. a) Für f(x) == e- a1xl (x E IR; a > 0) ist ](t) t 2 ) (t E IR). Daher gilt nach (3.9) für a, b > 0:
+00 dt == ~ -00 (a 2 +t 2)(b2 +t 2) 2ab
1
1+
1
-00
Im Jahre 1932 publizierte kenswerten SatzlI:
e-(a+b)lxl dx ==
-00
b) Für f(x) == X]-a,a[(x) (a > 0) ist ](t) (3.9) liefert für a, b > 0: +00
00
t
1r ab(a+b)·
== _(21r)-1/22(sinat)/t (t
sin at sin bt d -
---2--
== (21r)-1/22a/(a 2+
. ( b)
t - 1rmln a,
NORBERT WIENER
E
IR), und
.
(1894-1964) folgenden bemer-
3.16 Satz von Wiener (1932). Für f E .cl(f-lp) liegt Span {fa: a E JRP} genau dann dicht in .cl (f-lp) , wenn] nullstellenfrei ist.
Die Notwendigkeit der Bedingung ist wie folgt leicht einzusehen: Angenommen, es gibt ein t o E IRP mit ](t o) == 0, so daß Span {fa: a E IRP} dicht liegt in .cl (f-lp). lOPARSEVAL DES CHENES, M.-A.: Memoire sur les series et sur l'integration complete d'une equation aux differences partielles lineaires du second ordre, a coefficiens constans, Memoires presentes a l'Institut des Sciences, Lettres et Arts, par divers savans, et lus dans ses assemblees, Sciences mathe et phys. (savans etrangers) 1, 638-648 (1806). 11 N. WIENER: Tauberian theorems, Ann. Math. 33, 1-100 (1932); Collected Works, Val. 11, 519-618, Cambridge, Mass.: MIT Press 1979.
V. Produktmaße
200
Dann gibt es zu jedem 9 E [}(Mp) und c > 0 endlich viele Al, ... , An E C und aI,"" an E JRP mit I/g - L7=I Ajfaj III < c. Wegen ia(t) == ei(a,t) j(t) verschwinden die Fourier-Transformierten von fal' ... ,fan an der Stelle t o, und da für alle h E .cI(Mp) gilt Ihl :::; IlhllI, müßte für alle 9 E .cI(M) gelten: g(t o) == 0: Widerspruch, denn für g(x) == exp( -llxl1 2 /2) ist g == 9 nullstellenfrei. - Der Beweis der Hinlängliehkeit der angegebenen Bedingung liegt wesentlich tiefer; s. z.B. H. REITER: Classieal harmonie analysis and loeally eompaet groups, London: Oxford University Press 1968, S. 8-9 oder K. CHANDRASEKHARAN: Classieal Fourier transforms, Berlin: Springer-Verlag 1989, S. 70-73. Benutzt man den Satz von FUBINI in der Version des Satzes 2.4, so lassen sich die Ergebnisse dieses Paragraphen über Faltung und Fourier-Transformation sinngemäß auch alle mit (27r)-P/2 AP anstelle von (27r)-P/2ßP == Mp aussprechen.
Aufgaben 3.1. Ist eine der Funktionen I, 9 E .cl (J-lp) beschränkt, so ist 1 * 9 gleichmäßig stetig auf IRP. Sind I, gELl (J-lp) beide unbeschränkt, so braucht 1 * 9 nicht stetig zu sein. 3.2. a) Für
(
lxI)
ist
t) == (sin t / 2) 2 == 2 1 - cos t . t /2 t2
Die Fourier-Transformierte der Funktion k n aus (3.4) ist daher durch (3.5) gegeben. (Hinweis: Satz 3.9, c).) b) Für die Funktion
(Hinweis: Grenzübergang n -+
00
PLANCHEREL
.cl (J-lp) , so ist (1
0
tV\ == jot.
gilt für alle x E IRP:
in (3.8) oder Parsevaische Formel.)
3.5. Es sei S(IRP) die Menge aller 9 E COO(IRP), so daß
für alle k E N, a E ZP, a 2:: O. Die Funktionen aus S(IRP) heißen schnell fallende Funktionen; z.B. gehört g(x) == exp( -llxI1 2) zu S(IRP). a) S(IRP) liegt dicht in .cl (J-lp) , denn C~(IRP) c S(IRP). b) Für alle 9 E S(IRP) gilt 9 E S(IRP) und
DCig == (_i)ICiI(xCig)/\, tCig(t) == (-i)ICiI(DCig)/\(t)
(a E ZP,a 2:: 0).
c) Die Fourier-Transformation definiert eine bijektive Abbildung von S(IRP) auf sich; die Umkehrabbildung wird durch 9 Ho 9 gegeben. 3.6. Es seien X == [0, 1[, 2l :== ~l I X, J-l :== (1 +x )-1 8 (ßl 12l) und t : X -+ X, t(O) :== 0, t(x) :== X-I - [X-I] für 0 < x < 1, wobei [a] die größte ganze Zahl::; a bezeichnet. Dann ist t(J-l) == J-l,
201
§ 4. Die Transformationsformel
d.h. f1 ist t-invariant. (Bemerkung: Über interessante Eigenschaften der "Gauß-Abbildung" t berichtet R.M. CORLESS: Continued fractions and chaos, Amer. Math. Monthly 99,203-215 (1992).) 3.7. Für M C lRP sei cardM E [0,00] die Anzahl der Elemente von M. Es gilt für alle M E ~P: Die Funktion x M card ((M + x) n /ZP) ist Borel-meßbar und
ßP(M) ==
r
card ((M
+ x) n ZP) dßP(x) .
J[Q,1[P
Ist also ßP(M) > 1 (bzw. < 1), so existiert eine Borel-Menge A C [0, 1[P mit ßP(A) > 0, so daß card ((M + x) n ZP) ~ 2 (bzw. == 0) für alle x E A. Entsprechendes gilt für AP statt ßP. (Bemerkung: Von H. STEINHAUS stammt folgendes Problem: Gibt es eine Menge M C lR2 , so daß card (t(M) n Z2) == 1 für jede Bewegung t : lR2 --+ lR2? - Es ist bekannt, daß keine beschränkte Menge M E ~2 das Gewünschte leistet; s. J. BECK: On a lattice-point problem of H. Steinhaus, Stud. Sei. Math. Hung. 24,263-268 (1989); s. auch P. KOMJATH: A latticepoint problem of Steinhaus, Quart. J. Math., Oxf. (2) 43, 235-241 (1992).) 3.8. Es sei (a n )n>l eine Folge reeller Zahlen, und es gebe ein A E ~1 mit Al (A) > 0, so daß lim n- Hx) exp(ianx) für alle x E A existiert. Dann konvergiert die Folge (a n )n>l in lR. (Hinweise: Die Menge M der x E lR, für welche g(x) :== limn~oo exp(ianx) existiert~ist eine additive Gruppe. Nach dem Satz von STEINHAUS ist M == lR. Eine Betrachtung von
rf(x)g(x) dx == n~oo lim r f(x) exp(ianx) dx JIR
JIR lehrt, daß punkte?)
(an)n~l
§ 4.
Die Transformationsformel
beschränkt ist. Warum hat
(an)n~l
(f
E
.cl (lR))
keine zwei verschiedenen Häufungs-
" ... nanciscimur
quae est formula generalis pro integrali transformando. Quam formulam pro duabus et tribus variabilibus eodem fere tempore Eulerus et Lagrange invenerunt, sed ille paullo prius. Et haec formula egregie analogiam differentialis et Determinantis functionalis declarat."12 (C.G.J. JACOBI: De Determinantibus functionalibus, Gesammelte Werke, Bd. 111, S. 438) 12 ... erhalten wir
J
UBfBf1 ... Bfn ==
J (""
Bf Bf1 Bfn) U L.-- ± Bx . BX1 ... BX n
welches die allgemeine Transformationsformel für das Integral ist. Euler und Lagrange haben diese Formel für zwei und drei Variable fast gleichzeitig gefunden, aber jener ein wenig eher. Diese Formel macht in vorzüglicher Weise die Analogie zwischen der Ableitung und der Funktionaldeterminante deutlich. ("In Jacobi's Aufsatze ist nicht beachtet, dass bei der Transformation der Integrale immer nur der absolute Werth der Functionaldeterminante eine Rolle spielt ... ", bemerkt L. KRONECKER in seinen Vorlesungen über die Theorie der einfachen und der vielfachen Integrale, Leipzig: Teubner 1894 auf S. 235.)
202
V. Produktmaße
1. Die Transformationsformel. In Kap. 111 haben wir für jede bijektive affine Abbildung t : lRP -+ lRP die Bildmaße t(ßP), t(AP) bestimmt:
(4.1)
t(ßP) == Idet tl- l ßP, t(AP) == Idet tl- l AP .
Wesentliches Ziel dieses Paragraphen wird es sein, diese Ergebnisse durch einen Approximationsprozeß auf beliebige bijektive stetig differenzierbare Transformationen t mit nullstellenfreier Funktionaldeterminante auszudehnen. Zunächst erinnern wir an folgende Sachverhalte: Es seien X c :w offen und t : X -+ :w stetig differenzierbar, t == (tl,"" tp)t (Spaltenvektor). Mit D j :== 8 / 8xj (j == 1, ... ,p) ist dann
Dlt l , ... ,Dpt l ) Dt :== (Dlt, ... ,Dpt) = = : : ( Dltp , , Dptp die Funktionalmatrix von t. Bekanntlich besteht folgender Zusammenhang zwischen dem Nichtverschwinden der Funktionaldeterminante det Dt und der lokalen Bijektivität von t: Ist a E X und det((Dt)(a)) # 0, so vermittelt t einen CI-Diffeomorphismus einer offenen Umgebung U c X von a auf eine offene Umgebung V von f(a); d.h. tlU : U -+ V ist bijektiv, stetig differenzierbar, und die Umkehrabbildung (tIU)-1 : V -+ U ist ebenfalls stetig differenzierbar (s. W. WALTER: Analysis 11, S. 118 ff.). Die Funktionalmatrix der Umkehrabbildung ist dann nach der Kettenregel gegeben durch
(D(tIU)-I)(t(X)) == ((Dt)(X))-1
(x
E
U).
Ist also det Dt nullstellenfrei auf X, so ist Y :== t(X) eine offene Teilmenge des lRP. Weiter folgt: Ist t : X -+ Y eine bijektive stetig differenzierbare Abbildung der offenen Menge X c :w auf die offene Menge Y c lRP, so ist t genau dann ein CI-Diffeomorphismus, wenn det Dt nullstellenfrei ist auf X. - Man beachte, daß für p 2: 2 aus der Nullstellenfreiheit der Funktionaldeterminante einer stetig differenzierbaren Abbildung t von X auf Y nicht die Bijektivität von t folgt, wie das Beispiel der Polarkoordinatenabbildung t :]0, oo[ xlR -+ lR2 \ {O}, t(r,
IT
II
:==
sup{IITxll : x E lRP , Ilxll
:S 1}.
Dann ist
IITxll
IITllllxl1 (x
lRP ) • Es werde T bez. der kanonischen Basis el, ... , ep des lRP beschrieben durch die Matrix (t ik ), d.h. Tek == I:f=l tikei für k == 1, ... ,po Dann gilt für x == (Xl" .. , xp)t E lRP :
:S
E
203
§ 4. Die Transformationsformel und die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung liefert
also:
(4.2)
Für Borel- bzw. Lebesgue-meßbares X ~~
(lP ~x
.-
c JRP
~PIX, ß~
.- ,~ fl.PIX,
setzen wir ßPI~~,
,P .- '"'PI ~x' (lP "'x'-
4.1 Lemma. Sind X, Y c JRP offen und t : X ~ Y ein CI-Diffeomorphismus, so ist ~~ ==
{t (A) : A
E ~~} .
Beweis. Die Umkehrabbildung t- I : Y ~ X ist stetig, also ist t(A) == (t- I )-I(A) E ~~, falls A E ~~. Ist umgekehrt B E ~~, so ist A :== t-I(B) E ~~ und B == t(A). 0 Es seien nun X, Y c JRP offen und t : X ~ Y ein CI-Diffeomorphismus. In Verallgemeinerung von (4.1) werden wir im folgenden zeigen: t(ß~) == I detDt- 118 ß~, t("\~) == I detDt-118"\~.
Diese Gleichungen besagen: t ist sowohl ~~-~~-meßbar als auch ~i:--~~-meßbar, und es gilt (4.3) Ersetzen wir hier t- I durch t, so können wir (4.3) auch in der äquivalenten Weise
AP(t(A)) =
i
I detDtldAP
(AE~~)
schreiben. In dieser besonders einprägsamen Form werden wir die Formel für das Bildmaß beweisen, und zwar zunächst nur für Borel-Mengen (s. (4.4)). Die folgende Transformationsformel ist das p-dimensionale Analogon der Substitutionsregel. Zusammen mit dem Satz von FUBINI ermöglicht sie die Auswertung zahlreicher mehrdimensionaler Integrale. 4.2 Transformationsformel (C.G.J. JACOBI 1841). Es seien X, Y offen und t : X ~ Y ein CI-Diffeomorphismus. a) Für alle A E ~~ ist
(4.4)
ßP(t(A))
=
i
Idet Dtl dßP .
c JRP
204
b) Für alle
V. Produktmaße
f
E
M+(Y, 93~) gilt: [fdß P = ifotldetDtldßP.
(4.5)
c) Eine Funktion f Y ~ Jf{ ist genau dann ßP -integrierbar über Y, wenn fot I det Dt I über X ßP -integrierbar ist, und dann gilt: (4.6)
[
f dßP
fot I det Dt I dßP .
=i
Beweis. Der Halbring S):=
{0} U {Ja,b] : a,b
E
Q
TnZ,P,a < b, [a,b]
C
X}
erzeugt die a-Algebra 93~, denn jede offene Menge AI C X ist die (abzählbare!) Vereinigung der in M enthaltenen Mengen aus 5). Wir zeigen in einem ersten Beweisschritt, der den wesentlichen Kern des ganzen Beweises enthält, daß die zur Ungleichung abgeschwächte Aussage a) richtig ist für alle Mengen aus 5). (1) Für alle I E 5) ist
(4.7) Begründung: Es seien c > 0, I E f). Nach Lemma 4.1 ist t(I) E schreiben
93~.
Wir
n
(4.8) als eine disjunkte Vereinigung von Würfeln Iv E f) (v == 1, ... , n), die alle die gleiche Kantenlänge d haben. Da für hinreichend großes m E N die Koordinaten aller Eckpunkte von I in 2- m Z p liegen, ist eine solche Zerlegung (4.8) stets möglich. Zusätzlich können wir durch fortgesetzte Halbierung aller Kanten der Iv die Zerlegung (4.8) beliebig verfeinern. Wir wählen die Kantenlänge d wie folgt: Wegen 1 C X gibt es ein r > 0, so daß Kr(a) C X für alle a E I. Da Dt und (Dt)-l auf kompakten Teilmengen von X gleichmäßig stetig sind, können wir nach (4.2) zusätzlich r > 0 so klein wählen, daß
(4.9)
c sup II(Dt)(x) - (Dt)(a)1I ~ ~ für alle a EI,
vIP
xEKr(a)
wobei (4.10)
M :== sup 11((Dt)(y))-lll. YEl
§ 4. Die Transformationsformel
205
Nach Wahl eines solchen r wählen wir nun die Zerlegung (4.8) so fein, daß Iv ist dann
d < r / yIP. Für jedes b E (4.11 )
Wir wählen für v == 1, ... , nein a v E
Iv,
so daß
I det(Dt)(av)1 == m~n I det(Dt)(y)1 ,
(4.12)
yEl v
und setzen Tv : == (Dt) (av )
(4.13)
(v == 1, ... , n) .
Ist nun a E I und h : Kr (a) ---t IR.P eine differenzierbare Funktion, so gilt nach dem Mittelwertsatz für alle x, y E K r (a):13
IIh(x) - h(y) 11 :S IIx -
yll
sup II D h(x
+ A(Y -
x))I1·
O~A~l
Diese Ungleichung wenden wir an auf h(x) :== t(x) - Tvx, Y == av und erhalten für alle x E Iv: (4.14) dabei wurde (4.9) benutzt. Für x E Iv ist nun liefert:
Ilx -
avll < dyIP, und (4.14)
t(Iv ) C t(a v ) + Tv(Iv - av ) + KedjM(O). Nach (4.10) ist aber KedjM(O) == Tv(Tv- 1 KedjM(O))
C
TvKed(O), also:
t(Iv ) C t(av ) + Tv(Iv + Ked(O) - av ) . 13 Beweis. Für hinreichend kleines 8 > 0 ist g(t) :== (h(x + t(y - x)), h(y) - h(x))
(-8 < t < 1 + 8)
differenzierbar (Kettenregel), und für t E [0, 1] gilt:
(~h(X+t(Y-X)), h(Y)-h(X))
g'(t)
((Dh(x + t(y - x)))(y - x), h(y) - h(x)) ::;
sup IIDh(x
+ A(y - x))lllly -
xllllh(y) - h(x)lI.
O:S;.\:S;l
Nach dem Mittelwertsatz für Funktionen einer reellen Variablen existiert ein
~ E
[0,1], so daß
g(l) - g(O) == g'(~)
Ilh(y) - h(x)11 2 ::;
sup IIDh(x + A(y - x))lIlly - xllllh(y) - h(x)ll. O:S.\:S;l
o
V. Produktmaße
206
Hier ist Iv + Kcd(O) - a v enthalten in einem Würfel der Kantenlänge d(l und wir erhalten nach (4.1)
+ 2E),
(Diese Approximation von tlIv durch die affine Abbildung t( a v ) + Tv ist der Kern des ganzen Beweises.) Die Summation über v == 1, ... , n ergibt: n
ßP(t(I)) < (1 +2E)P
< (1 + 2c:)P
I detTvlßP(Iv ) L v=l
1 1
detDtl dßP;
die letzte Ungleichung folgt aus (4.12), (4.13). Der Grenzübergang liefert nun (4.7). -
E
~
+0
(2) Für alle A E ~~ ist
ßP(t(A))
(4.15)
s:
iI
det Dtl dßP.
Begründung. Die Maße t-l(ß~) und I detDtl8ß~ erfüllen (4.15) für alle A E S), und ihre Einschränkungen auf S) sind a-endlich. Wegen a(S)) == ~~ folgt (4.15) aus dem Vergleichssatz 11.5.8. (3) Für alle
I
E
(4.16)
M+(Y, ~t) ist
[idßP
Begründung. Für
I
== XB
s: lxiotldetDtldßP.
mit B E ~t ist A :== t- 1 (B) E ~~, und (4.15) liefert
s:
[XEdßP = ßP(t(A))
i
1
det Dtl dßP =
Ix
XE ot det Dtl dßP. 1
Ungleichung (4.16) gilt daher für alle I E T+(Y, ~t)· Ist nun I E M+(Y, ~t), so wählen wir eine Folge von Funktionen In E T+(Y, ~t) mit In t I und erhalten
[idßP
lim n--+oo
Ix
rin dßP s:
Jy
lim n--+oo
r
JX in
0
t det Dtl dßP 1
i t Idet Dt IdßP ; 0
die letzte Gleichung folgt aus dem Satz von der monotonen Konvergenz. -
(4) Für alle
(4.17)
I
E M+(Y, ~t) gilt:
[ i dßP =
Ix
i ot 1 detDtl dßP.
§ 4. Die Transformationsformel
207
Begründung. Zunächst gilt (4.16). Anwendung von (4.16) auf den C1-Diffeomorphismus t- I : Y ---* X anstelle von t und die Funktion f otl det Dtl E M+(X, ~~) anstelle von f liefert die umgekehrte Ungleichung
L otl f
det Dtl dßP
:s; [ f dßP,
denn nach der Kettenregel ist ((Dt)ot-1)(Dt- 1) == E.Nun führen wir den Beweis wie folgt zu Ende: Aussage b) wurde unter (4) bewiesen, Aussage a) ist der Spezialfall f == Xt(A) von b), und Aussage c) folgt D durch Anwendung von b) auf (Ref)±, (Im f)±. Der obige Beweis der Transformationsformel ist eine Variante der Argumentation von J. SCHWARTZ:
The formula for change in variables in a multiple integral, Amer. Math. Monthly
61,81-85 (1954).
4.3 Korollar. Sind X, Y so gilt für A E ~~
c
(4.18)
~P offen und t : X
---* Y ein CI-Diffeomorphismus,
fdßP= (fotldetDtldß P ,
{ Jt(A)
JA
falls f E M+(t(A), ~f(A)) oder falls f : t(A) ---*
K ßP-integrierbar ist.
Beweis. Man wende die Transformationsformal an auf 9 : Y ---* OC, glt(A) .t(A)) :== O. D
f, gl(Y \
4.4 Korollar. Die Transformationsformel gilt entsprechend für Lebesgue-meßbare Mengen bzw. Funktionen anstelle Borel-meßbarer. Beweis. Nach (4.4) ist A E ~~ genau dann eine ßP-Nullmenge, wenn t(A) E ~t eine ßP-Nullmenge ist. Daher definiert teine Bijektion von "C~ auf "Ct, die Lebesguesche Nullmengen auf Lebesguesche Nullmengen abbildet. Da Ai:-, At gerade D die Vervollständigungen von ß~, ß~ sind, folgt die Behauptung.
4.5 Polarkoordinaten in der Ebene. Die Abbildung t : X ---* Y, X :== ]0, oo[ x ]0, 21r[, Y :== ~2 \ {(x, O)t : x 2: O}, t(r, Cf?) :== (r cos Cf?, r sin Cf?)t ist ein C I _ Diffeomorphismus mit det(Dt)(r, Cf?) == r. Da {(x, O)t : x 2: O} eine A2 -Nullmenge ist, stellen wir fest: Ist f E M+ (~2 , "C2), so gilt:
(4.19)
(
JJR2
f
= { f (r cos cp, r sin cp) r d)" 2 ( r, cp) . JX
d)" 2
Eine Funktion f ~2 ---* OC ist genau dann A2 -integrierbar, wenn (r, Cf?) ~ r f(r cos Cf?, r sin Cf?) A2 -integrierbar ist über X, und dann gilt (4.19). - Auf der rechten Seite von (4.19) kann auch über [0, oo[x [0, 21r] integriert werden.
4.6 Beispiel. Der Satz von
([:00
=
e-xz dx)
( J]O,OO[X]O,21r[
r
in Verbindung mit (4.19) liefert: yz 1.z e- xz - d)..2(X, y)
FUBINI 2
=
e~rz d)..2(r, cp)
= 211"
{oo r e- rz dr
Jo
= 11".
V. Produktmaße
208
Da das Integral positiv ist, folgt erneut:
r+
oo
J
(4.20)
-00
e-
x2
dx
= V1i,
Zu diesem wohl populärsten Beweis von (4.20) findet man im 7. Band (1871) der Werke von C.F. GAUSS auf S. 290 folgende Bemerkung des Herausgebers E. SCHERING: "In seinen Vorlesungen "Methodus quadratorum minimorum ejusque usus in Astronomia, Geodesia Sublimiori et Scientia naturali" pflegte G AUSS diesen Satz in der Weise abzuleiten, daß er die Gleichung
mit Hülfe geometrischer Betrachtungen aufstellte, und dabei x, Y als rechtwinkelige Coordinaten, p, <.p als Polar-Coordinaten der Punkte in einer Ebene voraussetzte." - Der Physiker Sir W. THOMSON, Lord KELVIN OF LARGS (1824-1907) soll mit Bezug auf (4.20) gesagt haben: "A mathematician is one to whom that is as obvious as that twice two makes four is to you."
4.7 Polarkoordinaten im JRP. Es seien p 2:: 2,X :==]0,OO[X]0,7r[p-2 X]0, 27r[, und für (r,
r
sin 'PI
sin <.p2
sin'Pk-I
cos 'Pk
r r
sin 'PI sin 'PI
sin 'P2 sin 'P2
sin 'Pp-2 sin 'Pp-2
cos 'Pp-I sin 'Pp-I
==: y.
j Für 1 ~ k ~ p - 1 ist dann Yk == (L~=k y;)I 2 COS 'Pk, während Yp == (Y~-I + y~)Ij2 sin 'Pp-I; Ilyll == r. Mit Hilfe dieser Gleichungen zeigt man: t ist ein C I _ Diffeomorphismus von X auf Y :== JRP \ Hp, wobei Hp == {y E JRP : Yp-I 2:: 0, YP == O} diejenige "Hälfte" der Hyperebene {y : YP == O} bezeichnet, in welcher Yp-I 2:: 0 ist. Die rekursive Berechnung der Funktionaldeterminante liefert p det(Dt)(r, 'PI, ... ,<.pp-I) == r P- I sinp- 2 'PI . sin - 3 'P2 ..... sin 2 'Pp-3 . sin 'Pp-2 .
Für alle (4.21)
f
E
M+ (JRP,
iJd)"p
~P)
ist also
= if(t(r,'P1"",'PP-l)) ·rP- I sinp - 2 'PI ..... sin 'Pp-2 dAP(r, 'PI, ... ,<.pP-I) .
Eine Funktion f : :w ---t Ik ist genau dann AP -integrierbar über JRP, wenn f (t( r, 'PI, ... , 'Pp-I)) . r P- I sinp - 2 'PI ..... sin 'Pp-2 über X AP -integrierbar ist,
§ 4. Die Transformationsformel
209
und dann gilt (4.21). - Wendet man (4.21) an auf die charakteristische Funktion von KR(O), so folgt erneut (1.6). 2. Der Satz von SARD. Sind X c JRP offen, t : X -+ JRP stetig differenzierbar und die (relativ X abgeschlossene) Menge C :== {x EX: Rang Dt(x) < p} der kritischen Punkte von t nicht leer, so ist t : X -+ t(X) kein C1-Diffeomorphismus. Wir fragen, unter welchen Bedingungen die Transformationsformel
r
(4.22)
fd)"P=
Jt(X)
r fotldetDtld)"P
Jx
noch gilt. Offenbar ändert sich die rechte Seite nicht, wenn man über X \ C statt X integriert. Der folgende Satz von SARD lehrt, daß die Menge t( C) der kritischen Werte von teine Nullmenge ist. Daher kann auf der linken Seite von (4.22) über t(X \ C) statt t(X) integriert werden. Das führt zu einer Verallgemeinerung der Transformationsformel (Korollar 4.9). 4.8 Satz von Sard (1942). Sind X c JRP offen, t : X -+ W stetig differenzierbar und C die Menge der kritischen Punkte von t, so ist t( C) eine ßP - Nullmenge. Bemerkung. Der Satz gilt allgemeiner für ek-Abbildungen t : X ~ IRq, falls k
= max(p -
q + 1,1) und C := {x EX: Rang Dt(x) < q}; s. A. SARD: The measure 0/ critical values 0/ differentiable maps, Bull. Am. Math. Soc. 45, 883-890 (1942) oder S. STERNBERG: Lectures on differential geometry, Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-HaIl1964, S. 47-54. Einen Beweis
für eOO-Funktionen findet man bei M.W. HIRSCH: Differential topology, Berlin-HeidelbergNew York: Springer-Verlag 1976, S. 69-72, bei J. MILNOR: Topology /rom the differentiable point 0/ view, Charlottesville: The University Press of Virginia 1965 und bei R. N ARASIMHAN: Analysis on real and complex mani/olds, Paris: Masson & Cie, Amsterdam: North-Holland Publ. Comp. 1973, S. 20 ff. und bei R. ABRAHAM et al. [1], S. 221 ff.
Beweis des Satzes von SARD. C ist abzählbare Vereinigung kompakter Teilmengen von X, also ist t(C) E ~p. - Es sei nun W E JP ein Würfel mit W c X. Wir brauchen nur zu zeigen, daß t(W n C) (E ~P!) eine ßP-Nullmenge ist. Zu allen x,a E Wund j E {I, ... ,p} gibt es ein ~j E]O, 1[, so daß (4.23)
(Anwendung des Mittelwertsatzes auf die Funktion s ] - "7,1 + "7[, Tl > 0 hinreichend klein). Es sei nun E > O. Dann existiert ein 8 > 0, so daß (4.24)
II(Dt)(x) - (Dt)(a) 11 <
E
M :== sup II(Dt)(x)ll. xEW
tj(a
für alle x,a E W mit
Es sei ferner (4.25)
1---+
+ s(x -
a)) (s
IIx - all < 8.
E
210
V. Produktmaße
Wir zerlegen nun W = nν=1 Wν in disjunkte Teilw¨ urfel Wν ∈ Ip , die alle −1/2 die gleiche Kantenl¨ange δp haben, wobei δ gem¨aß (4.24) gew¨ahlt sei. F¨ ur festes ν mit Wν ∩ C = ∅ sch¨atzen wir β p (t(Wν ∩ C)) folgendermaßen ab: Es sei a ∈ Wν ∩ C. Dann ist Rang (Dt)(a) < p. Da β p bewegungsinvariant ist, kann angenommen werden, daß t(a) = 0 und ((Dt)(a))(Rp ) ⊂ Span (e1 , . . . , ep−1 ) (d.h. (Dtp )(a) = 0). Dann gilt f¨ ur alle j = 1, . . . , p − 1 und x ∈ Wν nach (4.23), (4.25): |tj (x)| ≤ ((Dt)(a + ξj (x − a)))(x − a) ≤ Mδ . ur alle x ∈ Wν Wegen (Dtp )(a) = 0 ist nach (4.23), (4.24) f¨ |tp (x)| = |((Dtp )(a + ξp (x − a)) − (Dtp )(a))(x − a)| ≤ ((Dt)(a + ξp (x − a)) − (Dt)(a))(x − a) ≤ εδ , so daß insgesamt folgt t(Wν ) ⊂ [−Mδ, Mδ]p−1 × [−εδ, εδ] . Damit ist f¨ ur alle ν β p (t(Wν ∩ C)) ≤ 2p M p−1 pp/2 β p (Wν )ε , und die Summation u ¨ber ν = 1, . . . , n liefert β p (t(W ∩ C)) ≤ 2p M p−1 pp/2 β p (W )ε . Da ε > 0 beliebig ist, folgt die Behauptung.
2
4.9 Korollar. Es seien X ⊂ Rp offen, t : X → Rp stetig differenzierbar, C die Menge der kritischen Punkte von t, und t|(X \ C) sei injektiv. Eine ˆ ist genau dann λp -integrierbar u Funktion f : t(X) → K ¨ber t(X), wenn t(X) p f ◦ t | det Dt| λX -integrierbar ist u ¨ber X, und dann gilt: f dλp = f ◦ t | det Dt| dλp . t(X)
X
Beweis. t(C) ist als abz¨ahlbare Vereinigung kompakter Mengen Borelsch, t(X \ C) ist offen, also ist t(X) ∈ Bp . – Nach Korollar 4.4 gilt die Behauptung mit X \ C und t(X \ C) anstelle von X, t(X), und der Satz von Sard liefert das Gew¨ unschte. 2 Bemerkungen. a) Auch f¨ ur injektive stetig differenzierbare Abbildungen t : X → Rp braucht die Menge der kritischen Punkte von t keine Nullmenge zu sein. Ein Beispiel f¨ ur p = 1 findet man bei K. Floret (1941–2002) [1], S. 330, 17.15. b) Ist X ⊂ Rp offen und t : X → Rp stetig und injektiv, so ist nach einem tiefliegenden Satz von L.E.J. Brouwer (1881–1966)14 das Bild t(X) offen und t : X → t(X) ein Hom¨ oomorphismus. 14 L.E.J. Brouwer: Beweis der Invarianz der Dimensionenzahl, Math. Ann. 70, 161–165 (1911); s. auch J.T. Schwartz: Nonlinear functional analysis, New York–London–Paris: Gordon & Breach 1969, S. 77 f.
§ 4. Die Transformationsformel
211
3. Verallgemeinerte Transformationsformel. Ist t : X ~ Y nicht global, sondern nur lokal bijektiv, so zerlegen wir X in abzählbar viele disjunkte Mengen, auf denen jeweils t injektiv ist, wenden auf jeden dieser Teile die Transformationsformel an und fassen alles wieder unter einem Integralzeichen zusammen. Zusätzlich eliminieren wir mit Hilfe des Satzes von SARD die Voraussetzung der Nullstellenfreiheit von det Dt.
4.10 Verallgemeinerte Transformationsformel. Es seien X C lRP offen, t : X ~ JRP stetig differenzierbar, Y :== t(X) und C die Menge der kritischen Punkte von t. Für y E Y sei N(y) E [0,00] die Anzahl der x E X \ C mit t(x) == y. Dann ist N E M+(Y, Q3t), und für alle f E M+(Y, Q3t) gilt:
(4.26)
[NfdßP= [fotldetDtldßP.
Für Borel-meßbares f : Y ~ 1k ist N f genau dann ßP -integrierbar über Y, wenn fot I det Dtl über X ßP -integrierbar ist, und dann gilt (4.26). Entsprechendes gilt für Lebesgue-meßbare Funktionen anstelle Borel-meßbarer. Beweis. Es seien zunächst det Dt nullstellenfrei und K C X kompakt. Zu jedem E K wählen wir offene Umgebungen Ux von x und Vx von t(x), so daß tlUx : Ux ~ Vx ein C 1 -Diffeomorphismus ist. Es existieren endlich viele xl, . . . ,Xm E K, so daß K C U7=1 UXj • Die Mengen Al :== UX1 n K, A 2 :== (UX2 n K) \ Al, ... , Am :== (UXrn nK) \U7=--;.1 A j sind disjunkte Borel-Mengen mit U7=1 A j == K. Ist nun f E M+(Y, Q3t), so addieren wir die GI. (4.18) mit A == A j (j == 1, ... , m) und erhalten
x
(4.27)
r
Jt(K)
NKfdßP=
r fotldetDtldßP,
JK
wobei NK(y) == 2:::7=1 Xt(Aj)(y) die (endliche) Anzahl der x E K mit t(x) == y bezeichnet. Ersichtlich ist N K E M + (Y, Q3t ). - Wir wählen nun eine Folge kompakter Mengen K n C X mit K n t X. Dann gilt: t(Kn ) t Y und N Kn t N. Daher ist N E M+ (Y, Q3t), und GI. (4.27) mit K n statt K liefert für n ~ 00 die GI. (4.26) für alle f E M+(Y, Q3t). Dies ergibt die Behauptung für Borel-meßbare Funktionen, falls det Dt nullstellenfrei ist. Nach Korollar 4.4 gilt Entsprechendes für Lebesgue-meßbares f. Ist nun det Dt nicht notwendig nullstellenfrei, so gilt GI. (4.26) nach dem oben Bewiesenen mit X \ C statt X und t(X \ C) statt Y. Da Y \ t(X \ C) C t(C) nach dem Satz von SARD eine Nullmenge ist, folgt die Behauptung in vollem 0 Umfang. Noch allgemeinere Versionen der Transformationsformel findet man bei H. FEDERER [1], S. 243 ff., W. RUDIN [1], S. 153 f. und P. HAJLASZ: Change of variables formula under minimal assumptions, Colloq. Math. 64, 93-101 (1993).
4. Transformation von Maßen mit Dichten bez. AP. Eine Modifikation des Beweises der verallgemeinerten Transformationsformel 4.10 ergibt einen Transformationssatz für Dichten.
V. Produktmaße
212
4.11 Transformationssatz für Dichten. Es seien X c W offen, t : X ~ JRP stetig differenzierbar mit nullstellenfreier Funktionaldeterminante, Y :== t(X) und g E M+(X, Q3~). Dann ist h : Y ~ [0,00],
:=" ~
h(y)
XEt-
1 ({y})
g(x) I det Dt(x) I
(y E Y)
Borel-meßbar, und es gilt: t(g8ß~)==h8ß~.
(4.28)
Entsprechendes gilt für Lebesgue-meßbare Dichten g mit A~, A~ anstelle von ß~,ß~·
Beweis. Es seien K,Uj :== Uxj,A j (j == 1, ... ,m) wie im Beweis des Satzes 4.10. Für B E Q3~ und j == 1, ... , m gilt dann: XB otd(g8
L J
=
ß~) = L(XBot). gdß~ J
r Jt(Aj)
.go(tIUj)-l·ldetD(tIUj)-lldß~.
XB
Die Summation über j == 1, ... , m ergibt:
r XBotd(g8ß~)= Jt(K) r XB"hKdß~
(4.29)
JK
mit der Borel-meßbaren Funktion h K
:
Y
~
[0,00],
m
hK(y) ==
L Xt(Aj)(Y) . (go (tIUj)-l . I det D(tIUj)-ll)(y) j=l
L xEt- 1 ( {y} )nK
g(x) I det Dt(x) I .
Wir wählen nun eine Folge kompakter Mengen K n C X mit K n erhalten aus (4.29) mit K == K n durch Grenzübergang
Ix
XB t d(g 8 0
In der Situation des Transformationssatzes 4.11 gilt für alle [
f . h dß~
X und
ß~) = [XB' h dß~ , o
und das ist nach Satz 3.1 gleichbedeutend mit (4.28).
(4.30)
t
=
Ix
f
E
M+(Y, Q3~):
fot· g dß~ .
Für Borel-meßbares f : Y ~ t ist f . h genau dann ßP-integrierbar über Y, wenn fot· g über X ßP-integrierbar ist, und dann gilt (4.30).
213
§ 4. Die Transformationsformel
5. Der Brouwersche Fixpunktsatz. Mit Hilfe des in der Transformationsformel auftretenden Integrals können wir einen Beweis des Brouwerschen Fixpunktsatzes führen. 4.12 Brouwerscher Fixpunktsatz.l 5 Jede stetige Abbildung der abgeschlossenen Einheitskugel W c ffi.P in sich hat einen Fixpunkt. Beweis. Wir zeigen zunächst: Gilt der Satz für alle C(X) -Funktionen 9 : ffi.P --+ W, so gilt er allgemein. Begründung: Es sei I : W --+ W stetig. Wir setzen I vermöge I(x) := 1(llxll- 1x) (Ilxii > 1) zu einer stetigen Funktion I : ffi.P --+ W fort und wählen eine Folge von C~-Funktionen k n : ffi.P --+ ffi., so daß kn 2:: 0, J]Rp kn(x) dx = 1, Tr kn C K 1jn (0). Die Funktionen In := I * k n (komponentenweise Faltung bez. ßP) sind nach Satz 3.7 beliebig oft differenzierbar, und es gilt für alle x E ffi.P
Il/n(x)11 = max (ln(x),v) = max((/,v) * kn(x)) vEJB'J' vE~
::; 1.
Für alle n E N, x E ffi.P gilt weiter
l(x)11 = max (In(x) vEJB'J'
Illn(x) -
= max vEJB'J'
r
}]Rp
- I(x), v)
(/(y) - I(x), v) kn(x - y) dy ::;
11/(y) - l(x)ll.
sup YEK1/n(x)
Daher konvergiert (In)n?-l auf W gleichmäßig gegen I. Nach Voraussetzung hat nun jedes In einen Fixpunkt Xn E W. Da W kompakt ist, kann (ggf. nach Übergang zu einer geeigneten Teilfolge) gleich angenommen werden, daß X n --+ Xo E W. Die gleichmäßige Konvergenz von (In)n?-l auf W gegen I liefert dann I(xo) = Xo, d.h. I hat den Fixpunkt xo. Es bleibt zu zeigen, daß jede C(X)-Funktion 9 : ffi.P --+ Weinen Fixpunkt hat. Wir schließen indirekt und nehmen an, 9 habe keinen Fixpunkt. Die Funktion g).(x) := x - Ag(X) (x E IRP, A E [0,1]) hat nun folgende Eigenschaften: Für 0 ::; A < 1, x E Sp-1 ist
Ilg).(x)11 2::
1-
Allg(x)11 2::
1 - A > 0,
g(x)11 > 0
(x E lffiP).
und für A = 1 ist
Ilg).(x)1I = Ilx -
Die stetige Funktion (x, A) ~ g).(x) hat daher auf dem Kompaktum K := (Sp-1 x [0,1]) U (W x {I}) ein positives Minimum. Es gibt also ein 8 E]O, 1[, so daß Ilg).(x)11 > 8 für alle (X,A) E K. Es sei nun rp E C~(ffi.P),rp 2:: 0, Trrp C K15(O),JK,s(O) rpdßP = I,B:= K 1(0). Wir betrachten die Funktion h : [0, 1] --+ ffi.,
h(>') :=
1
'{J0g\ detDg\ dßP
Dann ist h stetig und
h(O) =
(O:S >. :S 1).
1
'{JdßP = 1, h(1) = 0,
denn gl (x) 1- K 15 (0) für alle x E W . Andererseits ist h in ]0, 1[ differenzierbar, und wir werden im restlichen Teil des Beweises zeigen, daß h' (A) = 0 ist für 0 < A < 1, was einen Widerspruch ergibt. Im folgenden sei 0 < A < 1. (Die Anwendung der Kettenregel für Funktionen mehrerer Variablen setzt einen offenen Definitionsbereich voraus.) Dann ist
(4.31)
h'(>')
=
1((D'{J)og\)g~
detDg\dßP
+
1
'{J0g>.
d~ (detDg\)dß P ,
15L.E. BROUWER: Über Abbildung von Mannigfaltigkeiten, Math. Ann. 71, 97-115 und S. 598 (1912); Berichtigung, Math. Ann. 82, 286 (1921).
V. Produktmaße
214
wobei der Strich stets die Ableitung nach'x bezeichnet. Ist nun A('x) == (ajk('x)) eine (p xp)Matrix von differenzierbaren Funktionen ajk :]0,1[-0 IR, ak == (alk,"" apk)t die k-te Spalte von A(-\), so gilt (4.32)
d~ det A(A) = det(a~, a2,···, a p ) + det(aI, a;, a3,· .. ap ) + ... p
+det(al, ... ,ap-l,a~) ==
L
a}k('x)äjk('x) == SpurA'('x)A('x) ,
j,k=l wobei A('x) == (äjk(,X))t die Komplementärmatrix von A('x) bezeichnet und äjk('x) == (_l)j+k det A jk (,X), wobei A jk (,X) durch Streichen der j-ten Zeile und k-ten Spalte aus A('x) entsteht. Das zweite Integral auf der rechten Seite von (4.31) ist also gleich
i =
'P 0 g>.
d~ det Dg>. dßP =
i
'P 0 g>. Spur
(Dg~)(Dg>.)~dßP
t 1<pog>.(Dk(g~)j)(Dg>.)jkdßP.
j,k=l
B
Hier bezeichnen (g~)j die j-te Koordinate von g~ und (Dg)..)jk das Element in der j-ten Zeile und k-ten Spalte von (Dg)..t'"'. Im letzten Integral integrieren wir partiell in bezug auf die Variable Xk und wälzen die Differentiation von Dk(g~)j auf die übrigen Faktoren ab. Da der Integrand nach Wahl von K,8 einen kompakten Träger in B hat, treten keine Randbeiträge auf, und wir haben
+
i
<pog>.
(g~)j Dk(Dg>.)jk dßP )
.
Nach dem Entwicklungssatz ist L~=l Dk(g)..)i (Dg)..)jk == 8ij det Dg).., also ist die erste Summe auf der rechten Seite von (4.33) gleich dem ersten Integral auf der rechten Seite von (4.31). Das ergibt:
-i
<po g>. div (Dg>.)~g~ dßP ,
wobei die spaltenweise zu bildende Divergenz von (Dg)..)'" ein Zeilenvektor ist, der mit dem Spaltenvektor g~ zu multiplizieren ist. Nach dem folgenden Lemma ist nun div (Dg)..)'" == 0, also ist h' (,X) == 0, und die Behauptung ist bewiesen. 0 4.13 Lemma von J ACOBI. Ist U so gilt
c IRP
offen und 9 : U -0 IRP zweimal stetig differenzierbar,
div (Dg)'" == 0,
215
§ 4. Die Transformationsformel
wobei die k-te Koordinate des Zeilenvektors auf der linken Seite gleich der Divergenz des k-ten Spaltenvektors der Komplementärmatrix (D g) rv von D 9 ist. Beweis. Bezeichnet L ij die Determinante der (p - 1)-reihigen Matrix, die aus Dg durch Streichen der i-ten Zeile und der j-ten Spalte entsteht, so ist (Dg)rv == (( -l)i+ j Lij)t. Aus Symmetriegründen genügt es daher zu zeigen, daß die erste Koordinate von div (Dg)rv verschwindet, d.h. wir haben zu zeigen:
~ 1+' ~(-1) J j=1
a ax ,L 1j ==0. J
Mit h :== (g2, ... , gp)t : U --+ ffi;.p-l ist L 1j == det(D 1h, ... , D j - 1h, D j + 1h, ... , Dph). Wir bezeichnen für i i- j mit Cij die Determinante der (p - l)-reihigen Matrix, deren erste Spalte gleich DiDjh ist, während die übrigen Spalten gleich D 1h, ... , Dph (im Sinne wachsender Indizes) sind, wobei die Spalten Dih und Djh auszulassen sind; C ii :== O. Dann ist nach (4.32)
mit
Cij
== 1 für i
< j, Cii
== 0 und
Cij
== -1 für i
p
> j. Das ergibt: P
j L(-1)I+ D j L 1j == L (-l)i+jcijCij. j=1 i,j=1
Die rechte Summe ist invariant bei Vertauschung der Summationsindizes i, j. Andererseits ist == -Cji, C ij == C ji , so daß die rechte Seite bei Vertauschung von i und j das Vorzeichen wechselt. Daher verschwindet die rechte Seite, und das war zu zeigen. D
Cij
Der tiefere Grund für die Konstanz der Funktion h aus dem Beweis des Brouwerschen Fixpunktsatzes ist die Homotopieinvarianz des Abbildungsgrads; s. H. LEINFELDER und C. SIMADER: The Brouwer fixed point theorem and the transformation rule for multiple integrals via homotopy arguments, Expo. Math. 4, 349-355 (1983). In dieser Arbeit wird auch gezeigt, wie die Argumente aus dem obigen Beweis des Brouwerschen Fixpunktsatzes zu einem Beweis der Transformationsformel ausgestaltet werden können. Eine Teilmenge Ades topologischen Raums X heißt ein Retrakt von X, wenn es eine stetige Abbildung f : X --+ A mit flA == idA gibt; eine solche Abbildung f heißt dann eine Retraktion von X auf A. 4.14 Korollar. Sp-l ist kein Retrakt von lffiP. Beweis. Gäbe es eine Retraktion f von lffiP auf Sp-l, so wäre - feine fixpunktfreie stetige Abbildung von IffiP in sich: Widerspruch zum Brouwerschen Fixpunktsatz! D
Eine stetige Abbildung f : X --+ X eines topologischen Raums X in sich heißt nullhomotop ("stetig in eine konstante Abbildung deformierbar"), wenn es eine stetige Abbildung F : X x [O,lJ --+ X und ein a E X gibt mit F(x,O) == f(x) (x E X) und F(x, 1) == a (x EX). Eine solche Abbildung F heißt dann eine Nullhomotopie. 4.15 Korollar. Die Identität von Sp-l ist nicht nullhomotop. Beweis. Gäbe es eine Nullhomotopie F : Sp-l x [O,lJ --+ Sp-l von idsp-l, so wäre f : IffiP --+ SP-1, f(AX) := F(x, 1 - A) (x E SP-1, 0 :::; A :::; 1) wohldefiniert (!) und eine Retraktion von IffiP auf Sp-l: Widerspruch zu Korollar 4.14! D
Aufgaben. 4.1. Es seien X C ffi;.P offen und konvex und t : X --+ ffi;.P stetig differenzierbar und (Dt)(c) : ffi;.P --+ ffi;.P (c E X) positiv definit. Dann ist t injektiv. (Hinweis: Sind a, b E X, t(a) ==
v.
216 t(b), so wende man für festes Y E W auf die Funktion
+ 'x(b -
(t(a
,X t-+
Produktmaße
a)), y)
(-8 <
,X
<
1 + 8) den Mittelwertsatz an.) 4.2. a) Für A E GL (p, R) ist
r
J~P
e-IIAxI12
dßP(x)
= Jrp/21 det AI-I.
b) Ist A E GL (p, R) positiv definit, so gilt:
r
J~P
e-(Ax,x)
dßP(x) = Jrp/2 (det A)-1/2 .
4.3. Multiplizieren Sie die Integrale
1
00
F(t):=
1
00
e-
tx2
cosx 2 dx, G(t):=
e-
tx2
sinx 2 dx (t
> 0)
mit sich selbst und zeigen Sie mit der Methode aus Beispiel 4.6 2
F (t) - G (t) Schreiben Sie weiter 2FG = FG
2
t
Jr
="4 1 + t 2
(t > 0) .
+ GF und zeigen Sie entsprechend
2F(t)G(t)
1
Jr
= "4 1 + t 2
(t > 0) .
Da G(t) > 0 ist, lassen sich F(t) und G(t) explizit bestimmen. Folgern Sie durch Grenzübergang t -1- +0:
1
00
(R-)
1
Vi
00
2
cosx dx
=
(R-)
2
sinx dx
=
(Fresnelsche Integrale). 4.4. a) Es seien al, ... , a p Borel-meßbar. Dann gilt:
> 0, Y
:=
{y E ~P
:
y > 0, YI + ... +
r f(Yl + ... + yp)y~,-1 ..... y;p-l dßP(y) = r(al) +
Jy
f(al
YP
r(ap )
+ ap )
< 1} und f :]0,1[-1- [0,00]
t
Jo
f(U)UUl+ ...+up-l du,
und diese Gleichung gilt auch, falls f :]0,1[-1- JK Borel-meßbar ist und eines der beiden Integrale existiert. (Hinweis: Benutzen Sie zur iterativen Berechnung des Integrals die Transformation t: X -1- Y,t(x) := (XI, ... ,Xp-2,Xp-IXp,Xp-I(1- xp))t, wobei X = {x E RP : x > 0, Xl + ... + Xp-l < 1, xp < 1}.) Ist zusätzlich ap+l > 0, so gilt:
r (1 _ (YI + ... + Yp)Y~P+I-Iyfl-1 ..... y~p-l dßP(y) =
Jy
f(al) f(al +
f(ap+I)
+ ap+l)
(DIRICHLET [1]' S. 383 ff., [2], S. 375 ff.). b) Sind aI, ... ,ap,al, ... ,ap,ßI, ... ,ßp > 0 und Z:= {z E ~p : z > 0, (zl/al)QI + ... + (zp/ap)Qp < 1},pj:= ßj/aj (j == 1, ... ,p), so gilt unter entsprechenden Voraussetzungen an f: f((zl/all u l + ... + (zp/ap)up)z~d ..... zgp-l dßP(z)
i
= a~' al
P
ag r(Pl) a p f(PI +
r(pp)
t
+ pp) Jo
f(u)uP1 +...+pp-l du.
c) Das Volumen des p-dimensionalen Ellipsoids E(al, ... ,ap):== {x E ~p : (xI/al)2 (x p / ap )2 < 1} beträgt
+ ... +
217
§ 4. Die Transformationsformel speziell ist
ßP(Kr(O)) ==
4.5. Unter entsprechenden Voraussetzungen an
!
f( XlI/al
X
(J.L.
RAABE,
+ ... + X pl/ap) dßP( X ) ==
f(al
Jrp/2 (P ) rP. 2" + 1
f
f
gilt für ab ... ,ap
+ 1)· ... · f(a p) + 1)
f(
al
+ ... + a p
> 0, X ==]0, oo[P:
1°
00
f( ) al+··.+ap-l d r r
r
J. reine angew. Math. 28, 19-27 (1844)).
4.6. Für Res> p/2 existiert das Integral
1p(s):==
r (1 + IlxI1 2)-S dßP(x) ,
J~P
und es ist
Ip(s) = h Mit I l (s) == ftf
(s -
(s - p; 1)
Ip-ds).
~) /f(s) ergibt sich daher
1p(s) == Jrp/2f (s -
~) /f(s).
(Alternativen: Polarkoordinaten oder Aufgabe 4.5.) 4.7. Es seien B E ~P,ßP(B) < 00, und für festes a E ~'p+l mit ap+l mit der Basis B und der Spitze a, d.h. K == {-\(b, 0) + (1 - -\)a : K E ~p+l und ßP+l (K) == ap+l ßP(B) . p+1
>
°
sei K der Kegel
°:: ; -\ : :; 1, bEB}. Dann ist
4.8. Für n 2: 1 sei E n :== {x E lRn : Ilxll ]O,oo[xEp-l,Y :==]O,oo[xW-l,t: X -t Y,
< I}. - Es seien nun p 2: 2 und X .-
t(r,x) :== r((1-llxI1 2)1/2,x)
(r
> O,X
E Ep-
l ).
Dann ist tein Cl-Diffeomorphismusmit detDt(r,x) == r P- l (1_llxI1 2)-1/2. Ist F :]O,oo[-t Borel-meßbar und F(r)r P - l über ]0, oo[ ßl-integrierbar, so gilt:
t
Insbesondere resultiert für F == X]O,l[
und für F(r) == exp( -r 2 ):
ßP(Ep) ==
f
Jrp/2 (P ) . 2"
+
1
4.9. Sind a > O,ß > O,a+ß < p und x,y E lRP,x i= y, so ist die Funktion z ~ Ilx-zlla-PllzyIIß-P ßP-integrierbar über lRP, und es gibt eine nur von a, ß, p abhängige Konstante Ca,ß, so daß Ilx - zlla-Pllz - yIIß-P dßP(z) == Ca,ßllx _ y!!a+ ß- p .
r
J~P
(Bemerkung: Ca,ß == Jr P/ 2f(a/2)f(ß/2)f((p - a - ß)/2)/(f((p - a)/2)f((p - ß)/2)f((a + ß)/2)); s. N. DU PLESSIS: An introduction to potential theory, Edinburgh: Oliver & Boyd 1970, S. 71 ff. oder N.S. LANDKOF: Foundations 0/ modern potential theory, Berlin-Heidelberg-New
218
V. Produktmaße
York: Springer-Verlag 1972, S. 44.) 4.10. Es sei t : IRP \ {O} -+]0, oo[xS P-l, t(x) := = Pp 0 wp, wobei
(lIxII, IIxll- 1x)
(x E IRP, x
i-
0). Dann ist
t(ßP)
JArr P-
1dß1(r) für A E '1)P
]0,00['
pßP({ax: 0 < a::; 1,x E B}) für B E
~P,B C
Sp-1.
4.11. Für r ~ 0 sei Kr := {z E C : Izl < r}. Es seien R > 0 und f, 9 : KR -+ C holomorphe Funktionen mit den Taylorreihen f(z) = L~=oanzn,g(z) = L~=obnzn (an,b n E C für n ~ 0, Izi < R). a) Für 0 ::; r < R gilt:
b) Für 0 ::; r ::; Rist
1 1/1
2
dß2
= 1r
f
n=O
Kr
~a:l: r2n +2 ,
und sind If1 2, Igl 2 ß2-integrierbar über KR, so gilt die Formel unter a) für 0 ::; r ::; R. c) Ist f injektiv, so gilt:
ß2(f(Kr )) =
1f
L
nla n l 2r 2n
(0::; r ::; R).
n=l Bezeichnet SR die Menge aller holomorphen und injektiven Abbildungen f(O) = 0, f'(O) = 1, so gilt
f : KR -+
C mit
und das Infimum wird genau dann angenommen, wenn f(z) = z. d) Ist f(z) = 1 + L~=l anz n für Izi < R holomorph und 0 < r < R,
so hat f in Kr eine Nullstelle. (Hinweis: Ist f in Kr nullstellenfrei, so hat f auf Kr eine "holomorphe Quadratwurzel" 9 mit g(O) = 1, f = g2. Wie beginnt die Potenzreihe von 9 um O?) e) Wie lautet das Analogon von a) für Funktionen f, g, die in einem Kreisring D(r, R) := {z E C : r < Izi < R} (0::; r < R) holomorph sind? f) Ist f in D(O, R) holomorph, 0 < r < Rund fD(O,r) Ifl 2 dß2 < 00, so hat f in 0 eine hebbare Singularität. 4.12. Es seien JE := {z E C : Izi < I}, G die Gruppe der Abbildungen z f---+ (az + ß)/(ßz + a) (a, ß E C, lal 2 -IßI 2 = 1). (In der Funktionentheorie wird gezeigt, daß G gleich der Gruppe aller biholomorphen Abbildungen von JE auf sich ist; s. z.B. R. REMMERT: Funktionentheorie I, 4. Auf!. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag 1995). a) Das Maß J-l mit der Dichte 4(1 - IzI 2)-2 bez. ßi ist G-invariant, d.h. es ist g(J-l) = J-l für alle 9 E G. b) Bezeichnet SI die Einheitskreislinie, so operiert G auf X := JE x SI vermöge
g(z,():= (g(z), (g'(z)/lg'(z)l)
((z,() E X,g E G).
Es bezeichne w das durch w( {ei
Kapitel VI Konvergenzbegriffe der Maßund Integrationstheorie Im ganzen folgenden Kapitel sei (X, 2t, fL) ein Maßraum. Wir betrachten für o < p < 00 die Menge L P der meßbaren Funktionen f : X -+ JI{, für welche Ifl P E LI ist, und setzen
Ilfll p
:=
(Ix IfIP dJl)
l/p
(j E
rn .
Für p 2: 1 ist dann 11 . IIp eine Halbnorm auf dem Vektorraum L P , und der fundamentale Satz von RIESZ-FISCHER besagt, daß der halbnormierte Raum (L P , 1I·llp) vollständig ist. Aus diesem Grunde ist L P von grundlegender Bedeutung für die Funktionalanalysis. Eine weitere wichtige Aufgabe für das folgende Kapitel wird es sein, den durch 11 . IIp induzierten Konvergenzbegriff, die sog. Konvergenz im p-ten Mittel, mit anderen Konvergenzbegriffen zu vergleichen.
VI. Konvergenzbegriffe der Maß- und Integrationstheorie
220
§ 1.
Die Ungleichungen von JENSEN, HÖLDER und MINKOWSKI «8upposons que a(x) et f(x) sont des fonctions inü~grables dans l'intervalle (0,1), et que a(x) est constamment positive...
f; a (x ) f (x ) dx ) 1
fa a(x) dx
1
<
fa a(x)
-
1
f a a(x) dx
1
.»
(J.L.W.V. JENSEN: Bur les fonctions convexes... , Acta Math. 30, 175-193
(1906))
1. Die Jensensche Ungleichung. Es sei I c lR ein Intervall. Eine Funktion ep : I ~ lR heißt konvex, wenn für alle x, y E I und A E [0,1] gilt: (1.1)
ep(AX + (1 - A)y) S Aep(X)
+ (1 - A)ep(y) .
1.1 Lemma. Für jede Funktion ep : I ~ lR sind folgende Eigenschaften a)-e) äquivalent: a) ep ist konvex. b) Für alle x, y, tEl mit x < t < y gilt:
cp(t) S cp(x) + cp(y) - cp(x) (t ~ x) . y-x c) Für alle x, y, tEl mit x < t < y gilt: ep(t) - ep(x) ep(y) - ep(x) . t-x y-x
----<
d) Für alle x, y, tEl mit x < t < Y gilt:
ep(y) - ep(x) ep(y) - ep(t) . y-x y-t
-----<
e) Für alle x, y, tEl mit x < t < y gilt: ep(t) - ep(x) ep(y) - ep(t) . t-x y-t
----<
1 Es seien a(x) und f(x) integrierbare Funktionen im Intervall (0,1) und a(x) sei stets positiv...
1
fa a(x)f(x) dX) fa a(x)
.
§ 1. Die Ungleichungen von
JENSEN, HÖLDER
und MINKOWSKI
221
Alle Bedingungen b)-e) aus Lemma 1.1 haben einleuchtende geometrische Bedeutungen: b) bringt zum Ausdruck, daß der Graph von cp in [x, y] unterhalb der Strecke von (x, cp(x)) nach (y, cp(y)) verläuft, c) besagt, daß die Steigung t f---t (cp(t) - cp(x))/(t - x) für t > x monoton wächst, etc. - Zum Beweis von Lemma 1.1 zeigt man, daß alle angegebenen Bedingungen zu b) äquivalent sind. Wir überlassen diesen elementaren Nachweis dem Leser. 1.2 Satz (JENSEN 1906). Ist cp : I ~ JR konvex, so ist
0
Beweis. Es seien Xo E I und s, tEl, s < Xo < t. Ist nun Xo < x < t, so gilt nach Lemma 1.1:
t)) :s: [
'P( t) d/l( t) .
Die Jensensche Ungleichung liefert eine bedeutende Verallgemeinerung dieses Sachverhalts. 1.3 Jensensche Ungleichung (1906). Es seien (X, 2l, J-l) ein Maßraum mit J-l(X) == 1, I c JR ein Intervall, f : X ~ I J-l-integrierbar und
Ix
(1.2)
0
'P
(Ix f
d/l)
:s:
Ix
'Po f d/l.
Ix
Beweis. Wir zeigen zunächst, daß m :== f dJ-l E I ist, daß also die linke Seite von (1.2) sinnvoll ist. Dazu seien a, b E IR der linke bzw. rechte Eckpunkt von I. Aus a ~ f ~ b folgt wegen J-l(X) == 1 durch Integration zunächst a ~ m ~ b (Satz IV.3.7). Ist nun a E JR und a tt I, so ist 0 < f(x) - a für alle x E X, und Satz IV.2.6 liefert: a < m. Entsprechendes gilt für b. Daher ist m E I. Ist m kein innerer Punkt von I, so ist m E JR rechter oder linker Eckpunkt von I. Die vorangehende Überlegung läßt erkennen: f(x) == m für J-l-fast alle x E X, also
Ix
Es sei nun m EI. Wir konstruieren eine Stützgerade an den Graphen von
222
VI. Konvergenzbegriffe der Maß- und Integrationstheorie
im Punkte (m,
-----< also ist a :== sup {
00 ,
und für alle tEl, t > m gilt: (1.3)
~
+ a(t - m) .
Ungleichung (1.3) ist für t == m offenbar richtig, und sie gilt nach Definition von a auch für alle tEl, t < m. Daher gilt (1.3) für alle tEl. Geometrisch bedeutet (1.3), daß der Graph von
~
+ a(f(x) -
m).
Wegen J-l(X) == 1 ist hier die rechte Seite J-l-integrierbar über X. Daher ist
1.4 Ungleichung zwischen geometrischem und arithmetischem Mittel. Es sei wieder J-l(X) == 1. Eine Anwendung von (1.2) auf die konvexe Funktion
(Ix f
djt) S;
Ix
ef djt ,
d.h. für alle g : X ~]o, oo[ mit logg E [,1(J-l) ist (1.5)
exp
(Ix
log9djt) S;
Ix
gdjt.
Wählen wir z.B. X {l, ... ,n},2l == ~(X),J-l({k}) == ak E [0,1] für k 1, ... , n, wobei al + ... + an == 1, so liefert (1.5) mit g(k) ==: Xk > 0: (1.6)
n
n
k=l
k=l
II X~k S Lakxk,
und diese Ungleichung gilt sogar für alle Xl, ... , X n ... == an == l/n ist (1.6) die klassische Ungleichung
~
o.
Im Spezialfall al
(1.7) zwischen dem geometrischen und dem arithmetischen Mittel.
§ 1. Die Ungleichungen von
JENSEN, HÖLDER
und MINKOWSKI
223
2. Die Höldersche Ungleichung. Für reelles p > 0 setzen wir ooP :== :== O. Ist dann f : X ~ JK meßbar, so ist Ifl P E M+(X, 2t), und
Np(J)
(1.8)
(L Ifl
;=
ist sinnvoll, 0 :::; Np(f) :::;
00.
P
dJ1) l/p
(p E JR,p
i
00, oo-P
0)
Offenbar ist
Wesentliches Ziel dieses Paragraphen wird es sein, zu zeigen, daß Np für p 2: 1 der Dreiecksungleichung genügt (Minkowskische Ungleichung). Dabei wird der Fall p == 00 einbezogen: Für p == 00 sei
(1.9)
Noo(f)
:== inf{ a E [0,00] :
Ifl :::; a {L-f.ü.}.
{L-f.ü., denn für Noo(f) < 00 ist {Ifl > Noo(f)} == > Noo(f) + l/n} eine {L-Nullmenge. Man nennt N oo das essentielle
Dann ist Ifl :::; Noo(f) U~=l {Ifl
oder wesentliche Supremum von
Ifl
Noo(f)
und schreibt
== ess sup
If(x) I·
xEX
Ersichtlich ist Noo(af) == laINoo(f) (a E lK) und Noo(f+g) :::; Noo(f)+Noo(g), falls f, 9 : X ~ JK meßbar. - Die Bezeichnung Noo(f) wird durch Aufgabe 1.8 motiviert. 1.5 Höldersche Ungleichung. 2 Es seien 1 :S p, q :::; 00,1.p 1/00 :== 0, und
+
1.q == 1, wobei
f, 9 : X ~ JK meßbar. Dann gilt:
(1.10) Beweis. Für p == 00 oder q == 00 ist die Behauptung klar. Seien nun 1 < p, q < 00: Ist dann Np(f) == 0 oder Nq(g) == 0, so ist f . 9 == 0 {L-f.ü. und die Behauptung richtig. Ist nun Np(f) . Nq(g) > 0 und Np(f) == 00 oder Nq(g) == 00, so ist (1.10) wiederum klar. Es seien daher im folgenden 1 < p, q < 00 und o < Np(f), Nq(g) < 00. Nach (1.6) ist (1.11)
~TI
:::;
1
-~p
p
1
+ -Tl q für q
alle ~,TI E [0,00] .
Setzen wir hier ~ :== Ifl/Np(f),TI :== Igl/Nq(g), so liefert eine Integration über X die Behauptung. 0
20. HÖLDER:
38-47.
Über einen Mittelwerthssatz, Nachr. k. Gesellsch. Wisse Göttingen (1889),
VI. Konvergenzbegriffe der Maß- und Integrationstheorie
224
1.6 Cauchy-Schwarzsche Ungleichung. Sind f, 9 : X -t
JK
meßbar, so gilt:
(1.12)
Beweis. p == q == 2 in (1.10).
D
1.7 Beispiel. Wählt man J-l gleich dem Zählmaß auf N und 1 < p < 00, q :== (1 - l/p )-1, so ergibt (1.10) die klassische Häldersche Ungleichung für Reihen:
(1.13) für p == q == 2 ist das die klassische Cauchy-Schwarzsche Ungleichung.
Bemerkung. Ist 0 < p < 1, und bestimmt man q gemäß l/p + l/q == 1, so ist < 0, und die Höldersche Ungleichung gilt im wesentlichen mit umgekehrtem Ungleichheitszeichen (s. Aufgabe 1.11).
q
3. Die Minkowskische Ungleichung. Die Ungleichung von H. MINKOWSKI (1864-1909) bringt zum Ausdruck, daß N p (') für 1 :S p :S 00 der Dreiecksungleichung genügt. 1.8 Minkowskische Ungleichung. 3 Sind f, 9 : X -t 00, so gilt:
JK
meßbar und 1 :S p :S
(1.14)
Beweis. Ist p == 1 oder p == 00 oder Np(f) == 00 oder Np(g) == 00 oder Np(f+g) == 0, so ist die Behauptung klar. Es seien also 1 < p < 00, Np(f) < 00, Np(g) < 00, Np(f + g) > 0 und q :== (1 - l/p)-l( E]l, oo[). Eine zweimalige Anwendung der Hölderschen Ungleichung ergibt: (1.15)
Ix I! +
glP dp,
<
Ix I!II! + glP-l + Ix Igll! + glP-l dp,
dp,
< (Np(f) + Np(g))Nq(lf + gIP-1) (Np(f)
+ Np(g))(Np(f + g))pjq ,
denn q(p - 1) == p. Wegen (1.16) ist hier Np(f + g) < 00. Da Np(f + g) > 0 ist, liefert eine Division von (1.15) durch (Np(f + g))pjq die Behauptung. D 3H. MINKOWSKI:
Geometrie der Zahlen, Leipzig: B.G. Teubner 1910, S. 116, (4).
§ 1. Die Ungleichungen von
JENSEN, HÖLDER
und MINKOWSKI
225
1.9 Beispiel. Wählt man J-l gleich dem Zählmaß auf N, so liefert (1.14) die Minkowskische Ungleichung für Reihen: Für X n , Yn E J[{ (n E N),l :::; p < 00 gilt: 00
(1.17) (
~ IX n + Ynl P
1.10 Satz. Sind f, 9 : X ~
l/p
)
<
JK
meßbar und 0 < p :::; 1, so gilt:
(1.18)
N:(f
+ g) < N:(f) + N:(g) ,
(1.19)
Np(f
+ g) < 21 / p- 1 (Np(f) + Np(g)).
Beweis. Die Funktion
(a + b)P :::; aP + bP . Setzt man hier a == Ifl, b == Igl und integriert über X, so folgt (1.18). Die Funktion 1/J(t) :== (a 1/p + t1/p)(a + t)-l/p (t 2: 0; a > 0 fest) hat die Ableitung 1/J'(t) == (a/p)(a + t)-1/p-l(t 1/p- 1 - a1/P- 1), ist also für 0 :::; t :::; a fallend, für t 2: a wachsend, und hat in a ein absolutes Minimum. Daher ist
(a + b)l/P :::; 21 / p - 1 (a 1/P + b1/P) für alle a, b E [0,00] , also
(i
Ifl PdM +
und (1.18) ergibt (1.19).
i
IglP dM) l/p
~2
1
/ P-
1
(Np(j)
+ Np(g)) , o
4. Historische Anmerkungen. Für endliche Summen geht die Cauchy-Schwarzsche Un-
gleichung (1.13) mit p == q == 2 zurück auf A.L. CAUCHY: Cours d'analyse de l'Ecole Royale Polytechnique, Ire partie. Analyse algebrique. Paris: Imprimerie Royale 1821, S. 455 (Nachdruck: Darmstadt: Wiss. Buchges. 1968; deutsche Ausg.: Algebraische Analysis, Berlin: Verlag von Julius Springer 1885). Im gleichen Werk führt CAUCHY auf S. 457 ff. einen kunstvollen elementaren Beweis der Ungleichung (1.7) zwischen dem geometrischen und dem arithmetischen Mittel. Die Ungleichung (1.12) für Integrale stammt von V.J. BUNJAKOWSKI 4: Bur
quelques inegalites concernant les integrales ordinaires et les integrales aux differences finies, Memoires de l'Acad. de St.-Petersbourg (VII) 1 (1859), No. 9 und von H.A. SCHWARZ 5: Über ein die Flächen kleinsten Flächeninhalts betreffendes Problem der Variationsrechnung, Acta Soc. scient. Fenn. 15, 315-362 (1885) (== Mathematische Abhandlungen I, 223-269, insbes. S. 4Geb. 1804, Doktorand von CAUCHY (1825), Professor an der St. Petersburger Universität (1846-1880), gemeinsam mit M.W. ÜSTROGADSKI (1801-1862) Wegbereiter der russischen mathematischen Schule unter P.L. TSCHEBYSCHEW (1821-1894), gest. 1889 in St. Petersburg. 5Geb. 1843, Studium in Berlin bei K. WEIERSTRASS, L. KRONECKER und E.E. KUMMER, Professor in Zürich, Göttingen und Berlin (1892-1917), Arbeiten zur Theorie der Minimalflächen und konformen Abbildung, gest. 1921 in Berlin.
226
VI. Konvergenzbegriffe der Maß- und Integrationstheorie
251).
O. HÖLDER (1859-1937)6 wendet erstmals systematisch die Eigenschaft der Konvexität zum Beweis von Ungleichungen an: Erz benutzt die Konkavität des Logarithmus zum Beweis der Ungleichung (1.7) zwischen dem geometrischen und dem arithmetischen Mittel, und er benutzt die Konvexität von tP(p
>
1) zum Beweis der Ungleichung (1.13), die seither seinen
Namen trägt, aber schon ein Jahr früher von L.J. ROGERS (An extension of a certain theorem in inequalities, Messenger of Math. 17, 145-150 (1888)) gefunden wurde. H. MINKOWSKI 7 beweist die Ungleichung (1.17) im Jahre 1896 im Rahmen seiner berühmten Untersuchungen zur Geometrie der Zahlen. Die außerordentliche Bedeutung der Minkowskischen Ungleichung als Dreiecksungleichung in einem Funktionenraum wird wohl erstmals von F. RIESZ klar herausgestellt; er gibt auch einen eleganten elementaren Beweis der Ungleichungen von HÖLDER und MINKOWSKI (s. F. RIESZ [1], S. 519-521). J.L.W.V. JENSEN 8 (Bur les fonctions convexes... , Acta Math. 30, 175-193 (1906)) benutzt in systematischer Weise den Begriff der Konvexität zur Herleitung wichtiger klassischer Ungleichungen. Insbesondere beweist er die Ungleichung (1.2) in Integralform. In einem Nachtrag zu seiner Arbeit räumt JENSEN ein, daß ein Teil seiner Resultate von HÖLDER vorweggenommen wurde.
Aufgaben. 1.1. Sind I, J c IR Intervalle und
Xl, ... ,
~
~
J konvex, 'l/J : J
Xn E I und
L
Al, ... ,
~
An 2:: 0 mit
IR monoton
L7=1 Aj =
Aj
j=l
(JENSEN). b) Es sei n 2:: 3. Unter allen dem Einheitskreis umbeschriebenen (bzw. einbeschriebenen) nEcken hat das reguläre n- Eck den kleinsten (bzw. größten) Umfang und den kleinsten (bzw. größten) Flächeninhalt. 6Geb. 1859 in Stuttgart, Studium in Stuttgart, Berlin und Tübingen, Promotion und Habilitation 1884 in Göttingen, Professor in Göttingen, Tübingen, Königsberg, ab 1899 in Leipzig, Arbeiten zur Algebra (Satz von J ORDAN-HÖLDER über die Faktorgruppen aufeinanderfolgender Normalteiler in der Kompositionsreihe einer endlichen Gruppe), Höldersches Summationsverfahren, Höldersche Ungleichung, Hölder-Stetigkeit (Hölder-Bedingung), Nichtexistenz einer algebraischen Differentialgleichung für die Gammafunktion, gest. 1937 in Leipzig. 7Geb. 1864 in Alexoten (nahe Kaunas, Litauen), Abitur mit 15 Jahren, Studium 18801884 in Königsberg und Berlin, Freundschaft mit D. HILBERT, mit 18 Jahren als Student erste große Arbeit über Arithmetik quadratischer Formen, die ihm 1883 den Grand Prix des Sciences Mathematiques der Pariser Akademie eintrug, 1885 Promotion in Königsberg, 1887 Habilitation in Bonn, Professor in Bonn, Königsberg, Zürich und ab 1902 in Göttingen, Arbeiten über quadratische Formen (Prinzip von HASSE-MINKOWSKI), Geometrie der Zahlen, konvexe Mengen, algebraische Zahlentheorie, mathematischer Vollender der speziellen Relativitätstheorie (Minkowski-Raum), gest. 1909 in Göttingen. 8Geb. 1859, Autodidakt, ab 1876 Studium der Naturwissenschaften an der TH Kopenhagen, ab 1890 als Telefoningenieur Chef der Technikabteilung der Kopenhagener Filiale der Bell Telephone Comp., "nebenher" mathematische Arbeiten über Funktionentheorie (Satz von JENSEN über den Mittelwert von log If(z)I), konvexe Funktionen und die Gammafunktion, gest. 1925 in Kopenhagen.
§ 1. Die Ungleichungen von
JENSEN, HÖLDER
und
MINKOWSKI
227
c) Ist die Matrix A E Mat (n, IR) positiv semidefinit, so gilt: 1 (det A)l/n ::; -Spur A. n
1.3. Es sei I c IR ein offenes Intervall. a) Ist
y- x
y+x
Y- x
ytx
(Hieraus folgt erneut die Stetigkeit von
Daher ist limx+t Dr
c) Eine Funktion
=
l
x
1(; (t) dt
+c
(x E I) "
(Nach Aufgabe 11.2.4 ist
°
1.4. Sind an > und Funktion f : IR ---+ IR,
X
n E IR (n E N), so daß L~=l a n (l f(x) :==
L anlx -
xnl
+ Ixnl) <
00,
so ist die konvexe
(x E IR)
n=l in jedem Punkt x ~ {x n : n E N} differenzierbar. Im Punkte seitigen und der linksseitigen Ableitung von f gleich 2a n .
Xn
ist die Differenz der rechts-
1.5. Es seien I c IR ein offenes Intervall und
1.7. Sind J-L(X) == 1, f, 9 E M+(X),
f .9 ~
1, so gilt:
L L f
d/1"
gd/1
? 1.
(Hinweis: (1.5).) 1.8. Sind J-L(X)
< 00, f : X ---+
t
meßbar und Noo(f)
< 00, so gilt:
VI. Konvergenzbegriffe der Maß- und Integrationstheorie
228
Ix
1.9. Es seien 1 < p, q < 00, l/p + l/q == 1 und f, 9 : X -+ Ik meßbar mit Ifl P dp < Iglq dp < 00. In der Hölderschen Ungleichung (1.10) gilt genau dann das Gleichheitszeichen, wenn a, ß E lR, (a, ß) =1= (0,0) existieren, so daß alfl P == ßlglq p-f.ü. (Hinweis: In (1.11) steht genau dann das Gleichheitszeichen, wenn ~P == 'fJq.) 00,
Ix
1.10 Verallgemeinerte Höldersche Ungleichung. Sind 0 == l/r und fl,.' ., fn : X -+ Ik meßbar, so gilt:
<
r,pl, ... ,Pn ~
00,
l/Pl
+
... + l/Pn
(Hinweis: (1.6).) 1.11 Höldersche Ungleichung für 0 < P < 1. Es seien 0 < P < 1 und l/p + l/q == 1, also q < O. Ferner seien f, 9 : X -+ Ik meßbar und {g == O} \ {f == O} eine p-Nullmenge. Dann gilt:
Ix Ifgl
dJL;:::
(
Ix Ifl
P
l/p (
dJL )
r Igl )
}x
q
l/q
dJL
,
Ix
falls Iglq dJ-l < 00. (Hinweis: Wenden Sie die Höldersche Ungleichung mit dem Exponenten p' :== l/p an auf u :== Ifgl P , v :== Igl-p.) 1.12. Ist
f : X -+ Ik meßbar,
so ist
1(f) :== {p > 0 : Np(f) < oo} leer, einelementig oder ein Intervall, und
Ferner ist auch die Funktion P M log NC(f) auf 1(f) konvex. (Hinweis: Aufgabe 1.10.) 1.13. Sind D C C offen und u : D -+ lR stetig, so heißt u subharmonisch, wenn für alle a E D und r > 0 mit Kr(a) C D gilt:
1
27r
u(a) ~ -1 27r
u(a + reit) dt.
0
Es seien 1 C lR ein offenes Intervall, u : D -+ 1 subharmonisch und
det(AA + (1 - A)B) 2:: (det A)A(det B)I-A. (Hinweis: Aufgabe V.4.2, b).) 1.15. Sind die Funktionen
daß lim n -+ oo
§ 2. Die Räume V und der Satz von
§ 2.
229
RIESZ-FISCHER
Die RäuIlle LP und der Satz von
RIESZ-
FISCHER «Soit 'PI (x), 'P2 (x), ... un systeme norme de fonctions, definies sur 1'intervalle ab, orthogonales deux a deux, bornees ou non, sommables et de carre sommable... Attribuons a chaque fonction 'Pi(X) du systeme un nombre ai. Alors la convergence de L:i a7 est la condition necessaire et suffisante pour qu 'il ait une fonction f (x) telle qu'on ait
l
b f(X)
pour chaque fonction 'Pi(X) et chaque ai.»9 (F. RIESZ [1], S. 379)
«Soit n l'ensemble des fonctions reelles soient sommables...
I
d'une variable reelle x teIles que
I
et
12
Theoreme. - Si une suite de fonctions appartenant a n converge en moyenne, il existe dans n une fonction I vers laquelle elle converge en moyenne.»IO (E. FISCHER: Sur la convergence en moyenne, C.R. Acad. Sei., Paris 144, 1022-1024 (1907))
1. Die Räume L P und V. Zu Ehren von H. LEBESGUE benannte F. RIESZ ([1]' S. 403 und S. 451) die folgenden Funktionenräume mit "LP ".
2.1 Definition. Für 0 < P ~ 00 sei L P ==: LP(M) ==: LP(X, 2l, M) die Menge aller meßbaren Funktionen f : X ---+ TI{ mit Np(f) < 00, und es sei
Für reelles P > 0 ist also L P genau die Menge aller meßbaren Funktionen TI{, so daß If IP J-L- integrierbar ist, und es ist
f : X ---+
Ilfll p =
(Ix Ifl
P
dll)
l/p
(J
E
J:n .
9 Es sei 'PI (x), 'P2 (x), . .. ein normiertes Orthogonalsystem von beschränkten oder unbeschränkten Funktionen, die im Intervall ab definiert, integrierbar und quadratisch integrierbar sind... Wir ordnen jeder Funktion 'Pi (x) des Systems eine Zahl ai zu. Dann ist die Konvergenz von L:i a7 die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß es eine Funktion f (x) gibt, so daß gilt b f(X)
l
für jede Funktion 'Pi (x) und jede Zahl ai. IOEs sei n die Menge der reellwertigen Funktionen I einer reellen Variablen x, so daß I und 12 integrierbar sind... Satz. Ist eine Folge von Funktionen aus n eine Cauchy-Folge für die Konvergenz im quadratischen Mittel, so existiert in n eine Funktion f, gegen welche sie im quadratischen Mittel konvergiert. (Anmerkung: FISCHER bezeichnet Cauchy-Folgen für die Konvergenz im quadratischen Mittel als convergent en moyenne.)
VI. Konvergenzbegriffe der Maß- und Integrationstheorie
230
Im Falle p == daß
00
ist
.c
oo
die Menge aller meßbaren Funktionen f : X 11
f
11 00 :
==
ess sup
f (x ) <
1
1
~
JK, so
00 .
xEX
Für 0 < p < 00 gilt (1.16). Da p nur Funktionen mit Werten in JK enthält, ist also p für 0 < p :::; 00 ein JK- Vektorraum. Soll der Skalarenkörper besonders hervorgehoben werden, so schreiben wir .c~ bzw. .c~. Für alle f E .cp gilt:
.c
.c
IIfll p 2.2 Satz. Für 1 :::; p :::; lür 0 < p < 1 ist
00
ist
==
0 ~
f
0 J-l-f.ü.
==
.cp ein halbnormierter Vektorraum bez.
dp(f, g) :== p eine Halbmetrik auf .
IIf -
gll~
(f, 9 E
1I·llp, und
.cP )
.c
Beweis. Alle nachzuprüfenden Bedingungen sind klar mit Ausnahme der Dreiecksungleichung. Diese folgt für 1 :::; p :::; 00 aus der Minkowskischen Unglei0 chung (1.14) und für 0 < p < 1 aus (1.18). Insbesondere ist .cp auch für 0 < p < 1 ein topologischer Vektorraum, d.h. bez. der durch dp definierten Topologie sind die Addition .cp x .cp ~ .cp und die skalare Multiplikation JK x .cp ~ .cp stetig.
.c
Der topologische Raum p erfüllt nicht das Hausdorffsche Trennungsaxiom, wenn es eine nicht-leere J-l-N ullmenge gibt. Dieser Übelstand läßt sich wie folgt beheben: Die Menge N aller meßbaren Funktionen 1 : X ~ JK mit f == 0 J-l-f.ü. ist ein Untervektorraum von .cp , also ist der Quotientenraum
.c
sinnvoll. Elemente von V sind die Nebenklassen F == 1 + N (I E P ); zwei Funktionen I, 9 E .cp liegen genau dann in derselben Nebenklasse, wenn sie f.ü. gleich sind. Addition und skalare Multiplikation von Elementen von V werden in bekannter Weise mit Hilfe von Vertretern der Nebenklassen erklärt; V ist dann ein JK-Vektorraum. Ist F E V, so hat IIfll p für alle Vertreter 1 E F denselben Wert, so daß die Definition
IIFllp :== Ilfli p (f
E
F)
sinnvoll ist, und nun gilt für F E V:
wobei wir für das Nullelement N von V einfach 0 schreiben. Daher erfüllt LP das Hausdorffsche Trennungsaxiom. Obgleich die Räume LP keine Funktionen als Elemente haben sondern Äquivalenzklassen f. ü. gleicher Funktionen, bedient man sich oft einer etwas laxen
§ 2. Die Räume V und der Satz von
231
RIESZ-FISCHER
Sprechweise und behandelt die Elemente von V wie Funktionen, wobei f.ü. gleiche Funktionen zu identifizieren sind. Diese Vorgehensweise läuft auf eine Auswahl eines Vertreters des betr. Elements von V hinaus und wird zu keinen Mißverständnissen führen, da alle strukturellen Daten von V (Vektorraumstruktur, 11 . IIp, Ordnungsstruktur von L~ etc.) mit Hilfe von Repräsentanten definiert werden. - Aus Satz 2.2 folgt nun unmittelbar:
2.3 Satz. Für 1 :::; p :::; 1 ist
(X)
ist V bez. " ·llp ein normierter Vektorraum, und für
o< p <
dp(f,g):==
1II -
gll~
(I,g
E
LP)
eine Metrik auf V. 2. Der Satz von RIESZ-FISCHER. Wesentliches Ziel dieses Abschnitts wird es sein zu zeigen, daß die Räume ['P und V vollständig sind. 2.4 Definition. Es seien 0 < p :::; (X) und fn E ['P (n E N). Die Folge (In)n?) heißt im p-ten Mittel konvergent gegen f E ['P, falls limn -+ oo Ilfn - Illp == 0, d.h. falls (fn)n?) in (der Halbmetrik von) ['P gegen f E ['P konvergiert. Die Folge (In)n?) heißt eine Cauchy-Folge in ['P oder eine Cauchy-Folge für die Konvergenz im p-ten Mittel, falls zu jedem E > 0 ein no(E) E N existiert, so daß 111m - fnllp < E für alle m,n 2: no(E). - Entsprechende Begriffe prägt man für V statt [,p. Ist P == 2, so spricht man auch von Konvergenz im quadratischen Mittel bzw. von Cauchy-Folgen für die Konvergenz im quadratischen Mittel. Für p == 1 spricht man von Konvergenz im Mittel bzw. von Cauchy-Folgen für die Konvergenz im Mittel. Konvergiert (In)n?) in ['P (bzw. V) gegen I, so ist f f.ü. eindeutig bestimmt (bzw. eindeutig bestimmt). Offenbar ist jede im p-ten Mittel konvergente Folge eine Cauchy-Folge in ['P (bzw. V). Die Frage nach der Umkehrung dieser Implikation ist gleichbedeutend mit der Frage nach der Vollständigkeit von ['P (bzw. V). Eine positive Antwort gibt der Satz von RIESZ-FISCHER.
2.5 Satz von Riesz-Fischer (1907).11 Die Räume ['P (0 < p :::; (0) sind vollständig, d.h.: Zu jeder Cauchy-Folge (fn)n?) in ['P gibt es ein I E ['P, so daß Ilfn - Illp ~ 0 (n ~ (0).
Beweis. Es sei zunächst 1 :::; p < 00. Es gibt eine Teilfolge (Ink)k>l von (In)n>l' so daß Illnk - Imllp :::; 2- k für alle m 2: nk, k 2: 1. Mit gk :== fnk - nk+l gilt da;n für alle n 2: 1:
f
n
11 L Igklllp:::; k=l
11 F.
n
n
k=l
k=l
L Ilgkllp:::; L2- k < 1. Aead. Sei., Paris 144, 615-619 ibid. 144, 1022-1024 (1907).
RIESZ: Bur les systemes orthogonaux de fonctions, C.R.
(1907); E.
FISCHER: Bur la convergence en moyenne,
VI. Konvergenzbegriffe der Maß- und Integrationstheorie
232
Der Satz von der monotonen Konvergenz impliziert nun Np (L~=l Igkl) :S 1, also konvergiert die Reihe L~=l gk J1,-f.ü. absolut. Daher konvergiert die Folge (fnl - fnk)k~l J1,-f.ü. gegen eine meßbare Funktion X -+ :OC, d.h. es gibt eine meßbare Funktion f : X -t :OC, so daß fnk -t f (k -t (0) J1,-f.ü. Wir zeigen, daß f E L P und IIfn - flip -t 0 (n -t (0). Dazu sei c > O. Dann gibt es ein no(c), so daß Ilfz- fmllp < c für alle l, m 2 no(c). Eine Anwendung des Lemmas von FATOU auf die Folge (Ifnk - fmIP)k~l ergibt: Für alle m 2 no(c) ist
und es folgt die Behauptung für 1 :S p < 00. Im Fall 0 < p < 1 genügt 11 . II~ der Dreiecksungleichung, und die obigen Schlüsse liefern bei Ersetzung von 11 . IIp durch 11 . II~ die Behauptung. Es seien nun p == 00 und (fn)n~l eine Cauchy-Folge in L oo . Dann ist 00
N :==
00
U{Ifnl > Ilfnlloo} U {Ifm U
n=l
fnl > IIfm - fnlloo}
m,n=l
eine Nullmenge, und für alle x E Ne gilt
Ifm(x) - fn(x)1 :S
Ilfm -
fnlloo
(m,n E N).
Daher konvergiert (fn)n>l auf Ne gleichmäßig gegen f :== limn-+ oo XNc· fn E L oo . Insbesondere ist f E LeX) und limn-+ oo 11 f n - f 11 00 == o. D Ein vollständiger normierter Vektorraum heißt ein Banach-Raum. Aus Satz 2.5 resultiert unmittelbar folgende Version des Satzes von RIESZ-FISCHER: 2.6 Korollar. Für 1 :S p :S 00 ist LP ein Banach-Raum, und für 0 < p < 1 ist LP ein vollständiger metrischer Raum. Dem obigen Beweis des Satzes von RIESZ-FISCHER entnehmen wir mit WEYL (1885-1955) folgendes Resultat.
HER-
MANN
2.7 Korollar (H. WEYL 1909).12 Es sei 0 < p :S 00. a) Zu jeder Cauchy-Folge (fn)n~l in L P gibt es eine Teilfolge (fnk )k~l und ein f E L P, so daß fnk -+ f J1,-f·ü. b) Konvergiert die Folge (fn)n~l in LP gegen f E L P, so existiert eine Teilfolge (fnk)k~l' die J1,-f·ü. gegen f konvergiert.
Beweis. a) ist im Beweis des Satzes von RIESZ-FISCHER enthalten. b) (fn)n>l ist eine Cauchy-Folge in L P. Nach dem Beweis des Satzes von RIESZFISCHER gibt es ein g E L P mit Ilfn - gllp -t 0 und eine Teilfolge (fnk )k~l' die J1,-f.ü. gegen g konvergiert. Wegen Ilfn - flip -t 0 ist aber f == g J1,-f.ü. D 12H. WEYL: Über die Konvergenz von Reihen, die nach Orthogonalfunktionen fortschreiten, Math. Ann. 67, 225-245 (1909) (== Gesammelte Abhandlungen I, S. 154-174).
§ 2. Die Räume V und der Satz von
233
RIESZ-FISCHER
2.8 Beispiel. Für p == 00 ist Korollar 2.7 trivial, denn Konvergenz in [,00 ist äquivalent mit gleichmäßiger Konvergenz auf dem Komplement einer geeigneten Nullmenge. Ist aber < p < 00, so braucht die Folge (fn)n'2 1 in der Situation des Korollars 2.7 nicht punktweise f.ü. zu konvergieren, wie das folgende Beispiel lehrt: Es seien X == [0,1], 2l :== ~1:-, tL == ßl. Wir zählen die Intervalle [0,1], [o,~], [~, 1], [0, ~], [~, ~], [~, 1]' [0, ~], ... ab zu einer Folge von Intervallen In (n 2 1). Dann gibt es zu jedem x E X unendlich viele n E N mit x E In und unendlich viele n E N mit x ~ In' Die Folge der Funktionen fn :== Xl n (n E N) divergiert daher in jedem Punkt x EX. Andererseits gilt für 0 < p < 00
°
d.h. (fn)n'21 konvergiert in jedem [,P(tL) (0 < p < (0) gegen Null. - Im Einklang mit Korollar 2.7 macht man sich leicht klar, daß man auf vielerlei Weisen Teilfolgen (fnk)k>l von (fn)n>l auswählen kann mit fnk -t 0 tL-f.ü. -
2.9 Beispiel. Jede Cauchy-Folge (fn)n'2 1 in ['P (0 < p :::; (0) ist beschränkt in dem Sinne, daß die Folge (1Ifnllp)n'21 in lR beschränkt ist (s. Aufgabe 2.1). Mit Blick auf Korollar 2.7 liegt es nahe zu fragen, ob jede beschränkte Folge von Funktionen aus ['P eine fast überall konvergente Teilfolge hat. Die Antwort ist negativ: Es seien (X, 2l, tL) wie in Beispiel 2.8 und fn(x) :== exp(21rinx). Dann ist Ilfnllp == 1 für alle n E N und 0 < p :::; 00. Angenommen, es gebe eine streng monoton wachsende Folge (nk) k'2 1 natürlicher Zahlen und eine (ohne Beschränkung der Allgemeinheit gleich Borel-meßbare) Funktion f : X -t JK mit fnk -t f f.ü. Offenbar gilt
und der Satz von der majorisierten Konvergenz liefert
(k -t (0). Daher ist f == 0 f.ü. im Widerspruch zu Ifnk I == 1. Für p
#-
p' bestehen im allgemeinen keine Inklusionsbeziehungen zwischen
['P und [,P', und die entsprechenden Konvergenzbegriffe sind nicht generell ver-
gleichbar. Für tL(X) <
00
besteht aber eine Vergleichsmöglichkeit:
2.10 Satz. Ist 0 < p < p' :::;
00
und tL(X) <
00,
so ist [,p' C ['P und
Ilfll p :::; tL(X)l/P-l/P' Ilfll p' für alle f
E
[,p' ,
d.h. Konvergenz in [,p' impliziert Konvergenz in ['P (mit gleichem Limes). Beweis. Der Fall p' == 00 ist klar. Für 0 < p < p' < 00 setzen wir r :== p' /p, s :== (1 - l/r)-l und wenden die Höldersche Ungleichung mit den Exponenten r, s
234
VI. Konvergenzbegriffe der Maß- und Integrationstheorie
an auf die Funktionen 111 P , 1, wobei 1 E L P ':
Es folgt: 1 E L P und D
3. Die Banach-Algebra LI(lRn , Q3n, ßn). Der Banach-Raum LI(lRn , Q3n, ßn) besitzt auf natürliche Weise eine interne Multiplikation, die ihn zu einer BanachAlgebra macht. 2.11 Definition. Ein Banach-Raum (V, 11·11) über JK heißt eine Banach-Algebra, wenn eine Multiplikation· : V x V -+ Verklärt ist, die V zu einer JK-Algebra macht, so daß Ilx . yll ::; Ilxllllyll (x, Y E V) .
Eine Banach-Algebra mit kommutativer Multiplikation heißt kommutativ. 2.12 Beispiel. a) Für jedes Kompaktum X c lRn ist die Menge C(X) der stetigen Funktionen 1 : X -+ JK mit der Supremumsnorm
11111 :== sup{11(x)1 : x E X} und den üblichen punktweisen Verknüpfungen eine kommutative Banach-Algebra mit Einselement. b) Die Algebra Mat(n,lR) ist bez. der in Kap. V, §4, 1. erklärten Norm eine Banach-Algebra mit Einselement. Nach Kap. V, § 3,3. liefert die Faltung für alle 1, g E LI(ßm) ein wohldefiniertes Element 1 * g E LI(ßm), und die bekannten Rechenregeln besagen: LI(ßm) ist bez. der Faltung als Multiplikation eine kommutative JK-Algebra ohne Einselement (Korollar V.3.10). Da LI(ßm) nach RIESZ-FISCHER ein Banach-Raum ist, stellen wir fest: 2.13 Satz. LI (lRm , Q3m, ßm) ist bez. der Faltung als Multiplikation eine kommutative Banach-Algebra ohne Einselement.
Setzen wir wieder
11m :== (2Jr)-m/2ßm, so ist für alle 1 E LI (11m) in natürlicher Weise die Fourier-Transformierte j und die inverse Fourier-Transformierte j erklärt. Die Gleichung (1 * g)/\ == j g impliziert: Die Fourier-Transformation ist ein stetiger Homomorphismus der Banach-Algebra L I (l1m) in die Banach-Algebra der stetigen Funktionen lRm -+ C, die im Unendlichen verschwinden (versehen mit der Supremumsnorm). Der Fouriersche Umkehrsatz nimmt für L I (l1m) folgende Gestalt an:
§ 2. Die Räume LP und der Satz von
235
RIESZ-FISCHER
2.14 Fourierseher Umkehrsatz. Sind f E LI (jjm) und
j
E L I (jjm),13
so gilt:
Insbesondere ist die Fourier- Transformation auf LI (jjm) injektiv. - Der Satz von PLANCHEREL läßt sich besonders durchsichtig in L 2(jjm) aussprechen (s. Satz 2.33). 4. Der Hilbert-Raum L 2(jj). Für f,g E L 2(jj) ist fg E LI(jj), denn fg ist meßbar und Ifgl ~ ~(lfI2 + IgI 2 ). Offenbar ist (".) : L 2 x L 2 ---+ JK,
eine positiv semidefinite hermitesche Form auf L 2 (d.h. es ist (f, f) ~ 0, (af + ßg, h) == a (f, h) + ß (g, h) und (f, g) == (g, f) für alle f, g, h E L 2, a, ß E JK), und es gilt
Die Form (".) hat alle Eigenschaften eines Skalarprodukts mit Ausnahme der Definitheit, denn es ist (f, f) == 0 genau dann, wenn f == 0 f.ü. Die Definitheit wird nun durch Übergang zu L 2 (jj) hergestellt: Sind F,G E L 2 , so hat (f,g) für alle Vertreter f, g von F bzw. G denselben Wert, und
(F, G)
:==
(f, g)
definiert ein Skalarprodukt auf L 2, welches vermöge
die Norm von L 2 induziert. - Ein Banach-Raum (H, 11 . 11), auf dem ein Skalarprodukt (".) existiert, das vermöge Ilxll == (x, X)I/2 (x E H) die Norm von H induziert, heißt ein Hilbert-Raum. Zusammenfassend stellen wir fest: 2.15 Satz. L 2(jj) ist ein Hilbert-Raum mit dem Skalarprodukt
Wählt man insbesondere jj gleich dem Zählmaß auf I == N oder Z, so folgt: Der Hilbertsche Folgenraum
13Genauer müßte man schreiben:
j +N E LI (J.Lm)'
VI. Konvergenzbegriffe der Maß- und Integrationstheorie
236
ist ein Hilbert-Raum mit dem Skalarprodukt ( x,y )
==
""""" ~XjYj
(x,y E
[2(1))14.
jE!
Wir erinnern kurz an einige grundlegende Tatsachen über Hilbert-Räume: Es sei Hein Hilbert-Raum mit dem Skalarprodukt (-, .). Eine Familie (ej)jEI (I C 2)14 von Elementen von H heißt ein Orthonormalsystem, falls (e j , e k) = 8j k für alle j, k EI. 2.16 Satz von der besten Approximation. Ist (ej h<j
11/ - gll
hll : h E
= inf{lI/ -
Span (e1,"" e n )},
und zwar g= L(/,ej)ej.
j=l Für dieses 9 gilt:
11/ - gl12 = 11/11 2-
(2.1)
n
1(/, ej) 12.
L j=l
Beweis. Für Al, ... ,An E
TI{
ist
n
11/ - L Ajej
2 11
11/11 2-
j=l
n
n
n
11/11 2 -
+ L IAjl2
2Re LXj (/,ej) j=l
LI (/, ej)
j=l n
2
+L
1
j=l
1 (/,
ej) - Aj12.
j=l D
2.17 Besselsche Ungleichung. Sind (ej)jEI ein Orthonormalsystem in Hund / E H, so konvergiert ~jEI I (/, ej) 12 , und es gilt (2.2)
LI (/,ej)
2 1
::;
11/11
2
.
JEI Beweis: klar nach (2.1).
D
2.18 Korollar. Sind (ej)jEI ein Orthonormalsystem in Hund Aj E TI{ (j E I), so gilt: Es gibt ein / E H mit (/, ej) = Aj (j E I) genau dann, wenn ~jEI IAj 12 < 00.
Beweis. Die Notwendigkeit der Bedingung folgt aus (2.2). Ist umgekehrt ~jEI IAj 12 < E eine endliche Teilmenge von I, so ist
00
und
11 L Ajejll2 = L IAjI2, jEE
jEE
d.h. das Cauchy-Kriterium für die Konvergenz der Reihe ~jEI Ajej ist erfüllt. Wegen der Vollständigkeit von H definiert die Reihe also ein Element / EH, und die Stetigkeit des Skalarprodukts impliziert (/, ej) = Aj (j EI). D 14Entsprechendes gilt für beliebige Indexmengen I.
§ 2. Die Räume LP und der Satz von
237
RIESZ-FISCHER
Ein Orthonormalsystem (e j ) jE I in H heißt vollständig, falls Span (e j : j E I) dicht liegt inH. 2.19 Satz. Ist (ej)jEI ein Orthonormalsystem in H, so sind folge'nde Aussagen a)-f) äquivalent: a) (ej)jEI ist vollständig. b) Für jedes I E H gilt der Entwicklungssatz
I == L (I, ej) ej . JEI
c) Für alle
I, gEH
gilt die Parsevalsche Gleichung
(I, g) == L (I, ej) (ej, g)
.
JEI d) Für alle
I
E H gilt die Vollständigkeitsrelation
L
2
11/11 ==
2
I (I, ej) 1
•
JEI e) (ej)jEI ist ein maximales Orthonormalsystem. f) Ist I E H und (I, ej) == 0 für alle j E I, so gilt
I
== O.
Beweis. a) =? b): Zu jedem c > 0 gibt es eine endliche Menge E c I und Elemente Aj E (j E E), so daß 111 - LjEE Ajej 11 < c. Nach dem Satz von der besten Approximation gilt daher für jede endliche Menge J mit E c J c I: TI{
11I -
L
(I, ej) ejll
::;
1II -
jEJ
b) =? c): Für jede endliche Menge E das Skalarprodukt
I (f,g)
~L
(f,ej) (ej,g) I =
cI
1/ f -
JEE
\
c) =? d): klar. d) =? a): Für jede endliche Menge E
11I -
L
L
Ajejll < c.
JEE
ist nach der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung für
L
(f,ej)ej,g)
JEE
cI
I::;
111 -
L
(/,ej)ejllllgll·
JEE
ist nach (2.1)
(I, ej) ejl12 == 11/11 2 -
JEE
L
I (I, ej) 12 .
JEE
b) =? f): klar. f) =? e): Ist (ej)jEI nicht maximal, so existiert ein
I
E
H,1I/11 == 1 mit (/,ej) == 0 für alle
j E I im Widerspruch zu f).
I
H, und es gilt (/,ej) == (g,ej) für alle I EH -:F g. Das widerspricht e), da sich (ej)jEI um 1II - gll-l(1 - g) erweitern läßt. 0
e) =? b): Für jedes
E
H ist g:== LjEI(/,ej)ej
E
j E I (Besselsche Ungleichung 2.17 und Korollar 2.18). Gilt b) nicht, so gibt es ein
mit
I
Ist nun (ej)jEI (1 C Z)14 ein Orthonormalsystem in L 2 (J-l) , so liefert Korollar 2.18 die Rieszsche Version 9 des Satzes von RIESZ-FISCHER: 2.20 Satz (F. RIESZ 1907). Ist (ej)jEI ein Orthonormalsystem in L 2 (J-l) und aj E TI{ (j E 1), so ist LjEI laj 2 < 00 die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß es ein f E L 2 (J-l) gibt mit (f, ej) == aj für alle j EI. 1
VI. Konvergenzbegriffe der Maß- und Integrationstheorie
238
Sind (H 1 , (., ·)1) und (H2 , \-, ·)2) zwei Hilbert-Räume, so heißt eine bijektive (u, v E H 1) lineare Abbildung
((aj)jEI E [2(1))
2.22 Vollständigkeit des trigonometrischen Systems. Wir betrachten den Maßraum ([O,I],~[O,I],ß~,I]) und die zugehörigen Räume V([O,I]) (1 ~ p ~ (0), JK :== C. Es sei en(t) :== exp(21rint) (n E Z, t E [0,1]). Dann ist en E LOO([O, 1]), und (en)nEZ ist ein Orthonormalsystem in L 2 ([0, 1]). Wir behaupten: Das Orthonormalsystem (en)nEZ in L 2 ([0, 1]) ist vollständig. Zum Beweis zeigen wir eine schärfere Aussage: Für jedes f E LI ([0, 1]) und n E Z ist der n-te Fourier- K oejJizient
1f(t)e~2"int 1
j(n) :=
dt
und damit die Fourier-Transformation 1\ : L 1 ([0, 1]) -+ CZ,f ~ (j(n))nEZ erklärt. Die Vollständigkeit von (en)nEZ in L 2 ([0, 1]) wird bewiesen sein, wenn wir zeigen: Die Fourier- Transformation LI ([0,1]) -+ CZ ist injektiv.
°
Beweis. Wir zeigen: Ist f E .c~ ([0, 1]) und j == 0, so ist f == f. ü. Das geschieht in zwei Schritten. (1) Es sei zunächst f : [0,1] -+ C stetig mit j == 0. Für jedes trigonometrische Polynom, d.h. für jede (endliche) Linearkombination T der en (n E Z) gilt dann:
1 1
f(x)T(x) dx =
(2.3)
o.
Wegen en == e_ n (n E Z) sind mit Tauch T und daher auch ReT, Im T trigonometrische Polynome. Folglich liefert (2.3) für alle T:
1 1
1 1
(Re f (x))T(x)dx = 0,
(Im f (x))T(x)dx = O.
Daher können wir uns beim Beweis der Behauptung auf reellwertige f beschränken. Angenommen, es sei f -I- 0. Dann gibt es ein Xo E]O, 1[ mit f(xo) -I- 0; sei ohne Beschränkung der Allgemeinheit gleich f(xo) > 0. Dann gibt es ein E > und ein 8 > 0, so daß f(x) 2: E für < Xo - 8 ~ x ~ Xo + fJ < 1. Wir setzen nun für n E N: Tn(x) :== (1 + cos 21r(x - xo) - cos 21rfJ)n . Dann ist Tn ein trigonometrisches Polynom mit folgenden Eigenschaften: (i) Tn(x) 2: für Xo - fJ ~ x ~ Xo + 8;
°
°
°
§ 2. Die Räume LP und der Satz von (ii) Tn(x) 2: (1
+ cos 7r8 -
239
RIESZ-FISCHER
cos 27r8)n ---t
00
n----+oo
(iii) ITn(x)1 :S 1 für x E [0, Xo - 8] U [xo Daher gilt:
für Ix - Xo I :S 8/2;
+ 8, 1].
1
11 f(x)Tn(x) dxl
: : Jxo-~ roH f(x)Tn(x) dx _11
J
XO
f(x)Tn(x) dx
-
-11
+
0
2: c8(1 + cos 7r8 - cos 27r8)n
o
t
Jxo+~
f(x)Tn(x) dxl
If(x)1 dx --t oe n----+oo
im Widerspruch zu (2.3). Daher ist f == 0. 15 (2) Es sei nun f E .cb([O, 1]) mit j == 0 und F(x) :== fox f(t) dt (x E [0,1]). Dann ist F : [0,1] -t lK stetig mit F(I) == j(O) == 0 == F(O). Mit partieller Integration (Aufgabe V.2.8 mit g(x) == exp( -27rinx)) folgt für alle n -I- 0:
1 1) 1 1
F(n) = == -
1
o
F(x)e-21rinx dx
0
f(x)
(
--. 27rzn
1
2·
(e- 1r'lnx - 1) dx == - . (f(n) - f(O)) == O. 27rzn A
A
Daher ist h :== F - F(O) eine stetige Funktion mit h == 0, und nach dem ersten Schritt ist h == 0, d.h. F == F(O). Wegen F(O) == 0 ist also F == 0, folglich f == 0 f.ü. (Aufgabe IV.5.8). 0 2.23 Korollar. Die Fourier-Transformation 1\ : L 2([0, 1]) -t l2(Z) ist ein Iso-
morphismus. 0 Beweis: klar nach den Sätzen 2.21, 2.22. 2.24 Korollar. Für jedes f E L 2([0, 1]) konvergiert die Reihe LnEZ j(n)e n im quadratischen Mittel gegen f, und es gelten die Vollständigkeitsrelation
Ilfll~
==
L
Ij(n)1
2
nEZ
und die Parsevalsche Gleichung (f, g) ==
L
j(n)g(n)
(f, 9 E L 2([0, 1])) .
nEZ
Beweis: klar nach Satz 2.19 und 2.22.
o
Ist nun f E .c 2 ([ 0, 1]), so existiert nach Korollar 2.7 eine Teilfolge der Folge der Partialsummen Llklsn j(k)ek (n E N) der Fourier-Reihe von f, die punktweise f.ü. gegen f konvergiert. Nach einem tiefliegenden Satz von L. CARLESON (1928- )16 konvergiert sogar die Folge der Teilsummen selbst punktweise f.ü. ge15Dieser bemerkenswert elementare Beweis stammt von H. LEBESGUE [8], S. 37-38. 16L. CARLESON: On convergence and growth 0/ partial sums 0/ Fourier series, Acta Math. 116, 135-157 (1966).
240
VI. Konvergenzbegriffe der Maß- und Integrationstheorie
gen I, und nach R.A. HUNT l7 gilt das Entsprechende für alle Räume V([O, 1]) mit p > 1. Dagegen hat A.N. KOLMOGOROFF schon 1926 eine Funktion aus .cl ([0,1]) konstruiert, deren Fourier-Reihe überall divergiert. 18
5. Der Banach-Verband L~. Die Räume L~ (0 < p ~ 00) zum Maßraum (X, 2t, p) tragen eine natürliche Ordnungsstruktur: Es seien F, G E L~ und I, g Vertreter von F bzw. G. Dann ist die Definition F
~
G{:::=}I
~
g p-f.ü.
sinnvoll, da unabhängig von der Auswahl der Vertreter I, g, und ,,~" ist eine Ordnung auf L~ (d.h. reflexiv, antisymmetrisch und transitiv). - Ist allgemein V ein JR-Vektorraum und ,,~" eine Ordnung auf V, so heißt (V,~) ein geordneter Vektorraum, falls gilt: (i) Sind x, y E V und x ~ y, so gilt x + z ~ y + z für alle z E V. (ii) Für alle x E V mit x ~ 0 und alle ,X E JR mit ,X > 0 gilt 'xx ~ O. Offenbar ist (L~,~) ein geordneter Vektorraum. Ein geordneter Vektorraum (V,~) heißt ein Rieszscher Raum, wenn zu je zwei Elementen x, y E V ein (notwendig eindeutig bestimmtes) Supremum sup( x, y) ~: x V y E V existiert. Das Element x V y ist charakterisiert durch folgende Bedingungen: (i) x ~ x V y, Y ~ x V y. (ii) Für alle z E V mit x ~ z und y ~ z gilt x V Y ~ z. In jedem Rieszschen Raum sind x+ :~xVO, x-:~ (-x)VO,
lxi
:~xV(-x)
erklärt, und es gelten z.B. die Rechenregeln x ~ x+ - x-, lxi ~ x+
+ x- ,
I'xxl ~ I'xllxl, Ix
+ yj
~ lxi
+ lyl
und viele weitere. In jedem Rieszschen Raum existiert für alle x, y E V ein eindeutig bestimmtes Infimum inf(x, y) ~: x /\ y E V, und es gilt z.B.
x /\ Y
~
-((-x) V (-y))
~
x - (x - y)+.
Offenbar ist .c~ mit der punktweise definierten Ordnung ein Rieszscher Raum. Auch L~ ist ein Rieszscher Raum: Sind F, G E L~ und I, g Vertreter von Fund G, so ist F V G ~ sup(l,g)
+N, F /\ G ~ inf(l,g) +N, IFI
~
1II +N.
17R.A. HUNT: On the convergence 0/ Fourier series; in: Orthogonal expansions and their eontinuous analogues, Proe. Conf. Edwardsville, BI., S. 235-255, Southern Blinois Univ. Press 1968. 18 A.N. KOLMOGOROFF: Une serie de Fourier-Lebesgue divergente partout, C.R. Aead. Sei., Paris 183, 1327-1328 (1926).
§ 2. Die Räume V und der Satz von
RIESZ-FISCHER
241
Ist der Banach-Raum (V, 1I . 11) bez. der Ordnung ,,:::;" ein Rieszscher Raum und gilt für alle x, y E V mit lxi::; lyl notwendig Ilxll :::; Ilyll, so heißt (V, 11·11, ::;) ein Banach- Verband. Zusammenfassend können wir folgenden Satz aussprechen: 2.25 Satz. Für 1 ::; p :::;
CX)
ist L~ ein Banach- Verband.
Ist (V,:::;) ein geordneter Vektorraum und MeV, so heißt M nach oben (bzw. unten) beschränkt, wenn ein a E V existiert, so daß v ::; a (bzw. v 2:: a) für alle v E M, und (V,:::;) heißt ordnungsvollständig, wenn jede nicht-leere nach oben beschränkte Teilmenge von V ein Supremum (d.h. eine kleinste obere Schranke in V) besitzt. In einem ordnungsvollständigen geordneten Vektorraum hat jede nach unten beschränkte nicht-leere Menge MeVein Infimum. 2.26 Beispiel. Für den Maßraum ([0,1], Q3[O,l]' ß~,l]) sind die Räume.c~ (0 < p ::; CX») nicht ordnungsvollständig bez. ihrer natürlichen punktweise definierten Ordnung. Zum Beweis seien M e [0,1], M Q3[O,l] und
tt
:F
:== {XE: E
e
M, E endlich} .
Dann ist :F e .c~ durch 1 E .c~ nach oben beschränkt. Angenommen, es gibt ein Element g :== sup:F E .c~: Dann ist g 2:: XE für jede endliche Teilmenge E e M, also g 2:: XM. Für jedes x E MC ist 1 - X{x} eine obere Schranke von :F in .c~, also ist g ::; 1 - X{x} für alle x E MC. Es folgt: g :::; XM, also: g == XM. Es 0 ist aber XM .c~, denn M ist nicht meßbar: Widerspruch!
tt
2.27 Satz. a) Für 0 < p < CX) ist L~ ordnungsvollständig. Insbesondere ist L~ für 1 :::; p < CX) ein ordnungsvollständiger Banach- Verband. b) Ist I-l a-endlich, so ist LC;: ein ordnungsvollständiger Banach- Verband. Beweis. a) Es seien M e L~, M -=1= 0 und G E L~ eine obere Schranke von E .c~ ein Vertreter von G, so hat jedes F E M einen Vertreter f mit f ::; g. Bildet man punktweise das Supremum s dieser f, so ist s :::; g. Ist nun M abzählbar, so ist s meßbar, s E .c~ und s + N == sup M. Für überabzählbares M braucht das obige s nicht meßbar zu sein, und das Argument ist wie folgt zu modifizieren: Es kann ohne Beschränkung der Allgemeinheit angenommen werden, daß für alle F E M gilt: F 2:: O. Für jede nichtleere endliche Menge E e M existiert das Supremum supE E L~. Die Menge {li supEllp : E e M endlich, E -=1= 0} e IR ist durch IIGllp nach oben beschränkt, hat also ein Supremum a E IR. Zu jedem n E N wählen wir eine nicht-leere endliche Menge En C M, En e En + 1 (n E N), so daß II supEnllp 2:: a-1/n. Dann ist A == U~=l En eine abzählbare nach oben beschränkte Teilmenge von L~, hat also nach dem schon Bewiesenen ein Supremum S :== supA E L~. Wegen En t A gilt nach dem Satz von der monotonen Konvergenz: a == IISllp. Wir zeigen: S == sup M. Zunächst ist klar: Ist H E L~ eine obere Schranke von M, so ist H auch eine obere Schranke von A, also S :::; H. S ist auch eine obere Schranke von M: Für alle F E M gilt nach dem Satz von der monotonen
M. Ist g
VI. Konvergenzbegriffe der Maß- und Integrationstheorie
242 Konvergenz
IISllp::;
IIF V Slip == sup 11 sup{F} U Enll p :S a == nEN
IISllp·
Aus 0 :S S :S F V S folgt nun insgesamt S == F V S, cl.h. F :S S. b) Es sei nun J1 a-endlich. Dann gibt es eine integrierbare Funktion 9 : X -+ ]0,00[. Da die Maße J1 und v :== g8 J1 dieselben Nullmengen haben, ist LfR(J1) == LfR(v), und wegen v(X) < 00 ist LfR(v) c L~(v). Ist nun Meine nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge von LfR(J1), so hat M nach dem schon Bewiesenen ein Supremum supM E L~(v), und offenbar ist dieses Element supM das Supremum von M in LfR(J1). 0 6. Dichte Unterräume von LP. Die im folgenden angegebenen dichten Unterräume von L P liefern vermöge der Quotientenabbildung L P -+ LP dichte Unterräume von LP. 2.28 Satz. a) Für 0 < p < 00 liegt der Raum ~ :==
Span {XE: E E
2(,
J1(E) < oo}
dicht in LP. Zu jedem I E L P und c > 0 existiert ein 9 E ~ mit Ig I ::; II I, so daß 11I - gllp < c. b) Ist S) c 2t ein Halbring mit a(S)) == 2t und J11 S) a-endlich, so liegt lür o < p < 00 der Raum Span {XA ES), J1(A) < oo}
dicht in LP. Beweis. a) Offenbar ist ~ C LP • - Es seien c > 0 und I E LP , I ~ O. Dann existiert eine Folge von Funktionen t n E T+ mit t n t I. Wegen I E LP sind alle t n E ~, und der Satz von der majorisierten Konvergenz (Majorante IIIP) liefert: 11I - tnll p -+ O. Es gibt also ein t E ~ mit 0 ::; t ::; I, so 1II - tll p < c. - Ist I E LP beliebig, so wendet man die soeben bewiesene Aussage an auf (Rel)±, (Im I)± E L P anstelle von I. Bildet man mit den entsprechenden t, u, v, w E ~ die Linearkombination 9 :== t - u + i(v - w) E ~, so ist Igl ::; 111, und für 1 :S p < 00 ist 1II - gllp < 4c, während für 0 < p < 1 nach (1.18) gilt
1II - gll~ < 4c • b) Wir brauchen nur zu zeigen: Zu jedem E E 2( mit J1(E) < 00 und jedem c > 0 gibt es disjunkte Ab ... ,An E S) von endlichem Maß, so daß IlxE - XU~=l A k II~ == J1(E ß U~=l A k ) < c. Zur Begründung benutzen wir Fortsetzungssatz 11.4.5, GI. (11.4.9) und Korollar 11.5.7 und folgern: Es gibt eine Folge disjunkter Mengen A k E S) (k ~ 1) mit E C U~=l A k , so daß L:~1 J1(A k ) < J1(E) + c/2. Für hinreichend großes n ist daher J1(E ß U~=l A k ) < c. 0 p
Ein topologischer Raum heißt separabel, wenn er eine abzählbare dichte Teilmenge hat. - Wählt man in Satz 2.28, b) die Koeffizienten der Linearkombinationen aus Q (bzw. Q( i)), so folgt:
§ 2. Die Räume LP und der Satz von
243
RIESZ-FISCHER
2.29 Korollar. Existiert ein abzählbarer Halbring S) C 21 mit a(S)) == 21, so daß f.-ll S) a-endlich ist, so ist der Raum LP(f.-l) lür 0 < p < 00 separabel. 2.30 Korollar (F. RIESZ 1910)19. Ist 0 < p < 00 und I so ist Span {XJ : J E J Q,] CI}
C
JRm ein Intervall,
dicht in LP(ß1 ). Insbesondere ist ,CP(ß1 ) separabel. Entsprechendes gilt lür jede offene Menge U C JRm anstelle von I. 2.31 Satz. Ist 0 < p < 00 und I dicht in LP(I, ~7t, ß1 )·
C
JRm ein Intervall, so liegen Cc(I) und C~(I)
Beweis. Die Argumentation aus dem Beweis von Satz IV.3.12 liefert zu jedem I E LP(ß1 ) und c > 0 ein 9 E Cc(I) mit
11I -
gllp < c.
Es bleibt zu zeigen, daß zu jedem 9 E Cc(I) und c > 0 ein h E C~(I) existiert mit Ilg-hll p < c: Dazu fassen wir 9 als Element von Cc(JRm) auf, wählen k n E C~(JRm) wie im Beweis von Korollar V.3.8 und bilden 9 * k n E C~(JRm). Zu c > 0 wählen wir ein 6 der gleichmäßigen Stetigkeit von 9 so klein, daß zusätzlich K:== {x E JRm : d(x, Trg) S; 6}
Cl
und ßm(K) S; ßm(Tr g)+l. Für alle n > 1/6 und x E JRm ist dann Tr kn C KJ(O) und daher
Ferner ist K kompakt, für n > 1/6 ist Tr 9 c(ßm(K) )l/p S; c(ßm(Tr g) + l)l/P.
* kn
Iig -
C Kund
9
* knll p < D
Für I : JRm -+ ]I( und x E JRm sei Ix : JRm -+]I(, Ix(Y) :== I(y - x).
2.32 Korollar. Für 0 < p < 00 und I E LP(ßm) ist die Abbildung JRm -+ LP (ßm), x r-+ I x gleichmäßig stetig.
Beweis. Zu c > 0 gibt es ein 9 E Cc(JRm) mit x, Xo E JRm, so folgt für 1 S; p
<
11I - gllp
< c. Sind weiter
00:
IIlx - Ixollp == IIlx- xo -
Illp
S; Illx-xo - gx-xollp + Ilgx-xo - gllp == 2111 - gllp + Ilgx~xo - gllp < 3c ,
+ Iig -
Illp
falls Ilx - Xo 11 hinreichend klein ist, denn 9 ist gleichmäßig stetig und hat einen kompakten Träger. - Für 0 < p < 1 schließt man entsprechend mit 11 . II~. D
7. Der Satz von PLANCHEREL. Wir betrachten im folgenden die Räume LI, L 2 in bezug auf den Maßraum (JRm, ~m, f.-lm) mit f.-lm == (21f )-m/2 ßm. 19F. RIESZ
[1], S. 451 ff.
VI. Konvergenzbegriffe der Maß- und Integrationstheorie
244
2.33 Satz von PLANCHEREL. Die Fourier- Transformation /\ : LI n L 2 --+ L 2 läßt sich auf genau eine Weise fortsetzen zu einem isometrischen Isomorphismus /\ : L 2 --+ L 2 . Für alle f, g E L 2 gilt dann die Parsevalsche Gleichung
Beweis. Nach Satz V.3.13 ist /\ : LI n L 2 --+ L 2 eine Isometrie, d.h. für alle fELl nL 2 ist} E L 2 und Ilflb == 11}112' Da LI nL 2 dicht liegt in L 2 , brauchen wir nur noch zu zeigen, daß M :== {} : fELl n L 2 } dicht liegt in L 2 • Wäre M nicht dicht in L 2 , so gäbe es ein h E L 2 und ein 8 > 0, so daß 11 h - }Ib ~ 8 für alle fELl n L 2 . Zu h gibt es ein g E C~(IRm) mit Ilh - gl12 < 8/2. Offenbar ist aber gELl n L 2 (vgl. Aufgabe V.3.5, b)). Nach dem Fourierschen Umkehrsatz ist daher g == (g)V == (g)/\ E M: Widerspruch! D
2.34 Korollar. Für jedes
f
E L 2 und a
> 0, t
E lRm sind
sinnvoll, und es gilt:
lim a--+oo
Ilua - }112 == 0,
lim a--+oo
Ilva - fl12
== O.
Beweis. Wegen f . X[-a,a]rn E LI n L 2 ist U a == (f . X[-a,a]rn)/\ sinnvoll, und es gilt wegen der Isometrie der Fourier-Transformation:
Die zweite Aussage folgt ebenso.
D
8. Der Satz von FATOU über Potenzreihen. Der Satz von RIESZ-FISCHER ist die Grundlage für den folgenden Beweis eines berühmten Satzes von FATOU über Potenzreihen. 2.35 Satz von FATOU. Ist die Potenzreihe f(z) :== I:~=o anz n für Izi < 1 konvergent und beschränkt, so existiert der "radiale" Limes limr--+I-o f (reit) für AI-fast alle t E [0, 27r]. Beweis. Für 0 < r < 1 konvergiert die Potenzreihe auf dem Kreis vom Radius r gleichmäßig, also gilt:
Da dieser Ausdruck in Abhängigkeit von r beschränkt ist, konvergiert I:~=o an 2 . Nach dem Satz von RIESZ-FISCHER konvergiert daher die Reihe I:~=o ane int I
1
§ 2. Die Räume V und der Satz von
RIESZ-FISCHER
245
im quadratischen Mittel gegen eine Funktion g E L 2 ([0, 2nD, also konvergiert die Reihe auch im (ersten) Mittel gegen g (Satz 2.10). Nach einem berühmten Satz von LEBESGUE 20 über Fourier-Reihen ist daher die obige Reihe AI _ fast überall (C, l)-summierbar gegen g, d.h. die Folge der arithmetischen Mittel an :== (so+ ... +sn)/(n+1) der Teilsummen sn(t) :== I:~=o akeikt konvergiert AI _ fast überall gegen g. Aber jede (C, l)-summierbare Reihe ist Abel-summierbar mit gleichem Grenzwert,21 d.h. es gilt 00
lim '"""" anrneint == g(t) für Al-fast alle t E [0, 2n] .
r~l-O
L..J n=O
o 9. Historische Anmerkungen. Schon 1880 stößt A. HARNACK bei seinen Untersuchungen zur Theorie der Fourier-Reihen (Math. Ann. 17, 123-132 (1880)) auf den Begriff der Konvergenz im quadratischen Mittel. Er stellt fest, daß die Folge der Fourier-Koeffizienten einer (im Riemannschen Sinn uneigentlich) quadratisch integrierbaren Funktion im Raum l2 (Z) liegt, und er interpretiert diese Beobachtung dahingehend, daß die Folge der Teilsummen der betr. Fourier-Reihe eine Gauchy-Folge für die Konvergenz im quadratischen Mittel ist. Das führt ihn zu dem wichtigen Satz: Die Fourier-Reihe jeder quadratisch integrierbaren Funktion f konvergiert im quadratischen Mittel gegen f (vgl. Korollar 2.24). Damit gibt er dem Begriff der "Darstellung" einer Funktion durch ihre Fourier-Reihe eine völlig neue Bedeutung. Da der Raum der im Riemannschen Sinn uneigentlich quadratisch integrierbaren Funktionen aber unvollständig ist bez. der Konvergenz im quadratischen Mittel, können die Harnackschen Untersuchungen nicht zu so einem abschließenden Resultat wie Korollar 2.23 führen. Erst der Lebesguesche Integralbegriff ermöglicht hier eine befriedigende L 2 _Theorie der Fourier-Reihen. Es ist in der Geschichte der Mathematik öfter zu beobachten, daß wichtige Sachverhalte geradezu zwangsläufig von mehreren Autoren unabhängig entdeckt werden, wenn die Zeit dazu reif ist. Ein Beispiel dafür ist die fast gleichzeitige Entdeckung des Lebesgueschen Integralbegriffs durch LEBESGUE, VITALI und YOUNG zu Beginn des 20. Jh. Besonders frappant ist die Gleichzeitigkeit der Entdeckung des Satzes von RIESZ-FISCHER, denn beide Autoren veröffentlichen den Satz im gleichen Jahr im gleichen Band der gleichen Zeitschrift G.R. Aead. Sei., Paris 144 (1907), und zwar F. RIESZ auf S. 615-619, E. FISCHER auf S. 10221024. Ausgehend von der Integralgleichungstheorie gibt F. RIESZ dem Resultat die Form des Satzes 2.20 (für das Lebesgue-Maß), während E. FISCHER das Ergebnis in der eleganten Version des Satzes 2.5 (für das Lebesgue-Maß und p = 2) ausspricht. FISCHER zeigt auch, daß die Rieszsche Fassung des Satzes leicht aus seiner "Vollständigkeitsversion" folgt. Wenig später beweist F. RIESZ auch die Vollständigkeit der Räume LP(J-l) (s. [1], S. 405 und S. 460). Dagegen läßt Korollar 2.24 nur eine teilweise Ausdehnung auf die Räume LP([O, 1]) zu (s. F. HAUSDORFF: Eine Ausdehnung des Parsevalsehen Satzes über Fourierreihen, Math. Z. 16, 163-169 (1923)). Implizit wird mit dem Satz von RIESZ-FISCHER auch die Frage nach dem "richtigen" Integralbegriff beantwortet, denn der Lebesguesche Integralbegriff führt in natürlicher Weise zu den vollständigen Funktionenräumen L P(J-l), während die entsprechend mit dem Riemann-Integral definierten Räume unvollständig sind. Aus diesem Grunde haben die Arbeiten von RIESZ und FISCHER wesentlich den Weg zur allgemeinen Annahme des Lebesgueschen Integralbegriffs geebnet. - Einen kurzen Bericht aus berufener Feder über die Geschichte und die Bedeutung des Satzes von RIESZ-FISCHER findet man bei F. RIESZ [1], S. 327 f. 20LEBESGUE [8], S. 94 oder A. ZYGMUND: Trigonometrie series, 2nd ed., Vol. I, S. 90. Cambridge University Press 1959. 21 ZYGMUND, loe. cit., S. 80.
246
VI. Konvergenzbegriffe der Maß- und Integrationstheorie
Der oben angegebene klassische Beweis von Satz 2.5 geht zurück auf H. WEYL. 12 Insbesondere bemerkt WEYL, daß jede Cauchy-Folge in [,2 (fL) eine f. ü. konvergente Teilfolge hat. Dieses Resultat spricht er in einer verschärften Form aus, auf die wir noch in Korollar 4.8 zurückkommen. - Eine vertiefte Untersuchung der historischen Entwicklung findet man bei MEDVEDEV [1] und bei KAHANE und LEMARIE-RIEUSSET [1]. 10. Kurzbiographien von F. RIESZ und E. FISCHER. FRIEDRICH RIESZ (RIESZ FRIGYES) wurde am 22. Januar 1880 in Raab (damals Donaumonarchie Österreich-Ungarn, heute Györ, Ungarn) geboren. Nach dem Abitur nahm er 1897 ein Ingenieurstudium am Eidgenössischen Polytechnikum (der heutigen ETH) Zürich auf, wechselte aber bald über zum Studium der Mathematik, das er an den Universitäten Budapest und Göttingen fortsetzte und 1902 mit der Promotion in Budapest abschloß. Die auf Ungarisch verfaßte Dissertation über ein Thema aus der projektiven Geometrie fand kaum Beachtung. Nach der Promotion setzte RIESZ sein Studium in Paris und in Göttingen (WS 1903/04) fort, wo er Lehrveranstaltungen von HILBERT und MINKOWSKI besuchte und später enge Freundschaft mit E. SCHMIDT und H. WEYL schloß. Der lebendige Kontakt mit Göttingen und Paris, den damaligen Zentren der aufkommenden Funktionalanalysis, mit HILBERT und seinen Schülern und LEBESGUE, FRECHET und HADAMARD (1865-1963), war für die späteren wissenschaftlichen Erfolge von RIESZ von größter Bedeutung. - Nach Erlangung des Lehrerdiploms war RIESZ ab 1904 in Leutschau (ungar. Löcse, heute Levoca, Slowakei) und ab 1908 in Budapest als Oberschullehrer tätig. Während dieser Zeit gelangen ihm fundamentale Entdeckungen. In Anerkennung seiner wissenschaftlichen Leistungen wurde er im Jahre 1912 zum außerordentlichen, ab 1914 zum ordentlichen Professor an der Universität Klausenburg (jetzt Cluj-Napoca, Rumänien) ernannt. Nach 1918 setzte er seine Tätigkeit provisorisch in Budapest fort, bis 1920 die Universität Klausenburg nach Szeged (Ungarn) verlagert wurde. Unter schwierigen äußeren Bedingungen gelang es F. RIESZ gemeinsam mit A. HAAR (1885-1933) in Szeged ein mathematisches Zentrum von internationalem Rang zu schaffen mit einer angesehenen wissenschaftlichen Zeitschrift, den Acta Scientiarum Mathematicarum. Nach einer langen Spanne fruchtbarer Arbeit in Szeged (1920-1946) folgte RIESZ einem Ruf an die Universität Budapest, wo er die letzten 10 Jahre seines Lebens verbrachte und am 28.2.1956 starb. Zu den zahlreichen akademischen Ehrungen, die F. RIESZ zuteil wurden, zählt die Ehrendoktorwürde der Pariser Sorbonne. Die mathematischen Abhandlungen von F. RIESZ sind in den zwei umfangreichen Bänden seiner Gesammelten Arbeiten (Budapest 1960) bequem zugänglich. Seine Darstellung ist durchweg von mustergültiger Klarheit und von sicherem Blick für das Wesentliche geprägt. Seine Arbeitsgebiete umfassen Topologie, Theorie der reellen Funktionen, harmonische und subharmonische Funktionen, Funktionalanalysis, Ergodentheorie und Geometrie. Außer dem Satz von RIESZ-FISCHER sind mit seinem Namen zahlreiche Darstellungssätze von grundlegender Bedeutung verbunden. So bewies er 1909 den Darstellungssatz von RIESZ für stetige Linearformen auf C([a, b]) durch Stieltjessche Integrale. Von ihm stammt der Darstellungssatz für stetige Linearformen auf L 2 ([a, b]) oder einem Hilbert-Raum und der Satz von der Darstellung stetiger Linearformen auf LP durch Elemente von L q (1::; p < 00, 1/ p + 1/ q == 1). F. RIESZ führt 1922 den Begriff der subharmonischen Funktion ein, mit dessen Hilfe O. PERRON (1880-1975) im Jahre 1923 eine überraschend einfache Behandlung des Dirichletschen Problems gelingt, welche die Grundlage bildet für die Klassifikation der Riemannschen Flächen und den wohl einfachsten Beweis des Uniformisierungssatzes. Für subharmonische Funktionen beweist F. RIESZ einen Darstellungssatz, der besagt, daß sich jede solche Funktion lokal als logarithmisches Potential plus einer harmonischen Funktion schreiben läßt. Die Analysis verdankt F. RIESZ die Begriffe der starken und schwachen Konvergenz, der Konvergenz nach Maß und viele wichtige Konvergenzsätze (s. §§ 4,5). In der Funktionalanalysis liefert er wichtige Beiträge zur Theorie der Integralgleichungen und zur Spektraltheorie sowohl der kompakten als auch der beschränkten oder unbeschränkten linearen Operatoren (Spektralsatz für unbeschränkte selbstadjungierte Operatoren). Die Ler;ons d'analyse fonctionnelle (Budapest 1952) von F. RIESZ und B. SZÖKEFALVI-NAGY (1913-1998) sind eine klassische Darstellung des Gebiets von bleibendem Wert. - Von bleibendem Wert ist auch der unübertroffen kurze und elegante Beweis des Riemannschen Abbildungssatzes von L. FEJER (1880-1959) und F.
§ 2. Die Räume LP und der Satz von
247
RIESZ-FISCHER
RIESZ (Acta Sci. Math. 1,241-242 (1922/23)), der in fast allen Lehrbüchern der Funktionentheorie zu finden ist. Gemeinsam mit seinem 6 Jahre jüngeren Bruder MARCEL (1886-1969, Professor an der Universität Lund) beweist F. RIESZ 1916 den merkwürdigen tiefliegenden Satz von F. und M. RIESZ: Ist J-L ein komplexes Maß auf [0, 2rr] mit
Jar
21r
so existiert ein I E
.cl ([0, 2rr])
e-intdJ-L(t) = 0 für alle ganzen n < 0, mit J-L
= 18,,\1.
ERNST FISCHER wurde am 12.7.1875 in Wien geboren, studierte 1894-99 Mathematik an den Universitäten Wien und Berlin und promovierte 1899 bei F. MERTENS (1840-1927) in Wien. Nach weiteren Studien bei H. MINKOWSKI in Zürich und Göttingen wurde FISCHER 1904 Privatdozent, 1910 außerordentlicher Professor an der technischen Hochschule Brünn (tschechisch Brno) und 1911 ordentlicher Professor an der Universität Erlangen. Nach dem Kriegsdienst (1915-1918) folgte er 1920 einem Ruf an die 1919 wiedergegründete Universität zu Köln. Während der Herrschaft der Nationalsozialisten wurde ab 1937 die Entlassung des "Halbjuden" FISCHER betrieben. Der Dekan der Philosophischen Fakultät der Universität zu Köln konnte bewirken, daß FISCHER im Unterschied zu vielen seiner Kollegen nicht sofort entlassen sondern "nur" vorzeitig in den Ruhestand versetzt wurde. FISCHER erhielt 1938 eine von HITLER ausgefertigte Urkunde, in der er von seinen amtlichen Pflichten entbunden und in der ihm "für seine akademische Wirksamkeit und die dem deutschen Volk geleisteten treuen Dienste" der Dank ausgesprochen wurde. 22 Noch 1941 erhielt er das Treuedienstabzeichen in Silber für seine Dienstzeit. Dennoch gelangte 1944 sein Name auf die Liste derer, gegen die noch in letzter Stunde die Verfolgung aufgenommen werden sollte. FISCHER konnte sich aber mit seiner Familie außerhalb Kölns für den Rest der Kriegszeit verstecken. Trotz seines vorgerückten Alters stellte er sich sofort nach Kriegsende der Universität zur Verfügung und nahm schon im WS 1945/46 seine Lehrtätigkeit an der zerstörten Alma mater wieder auf. Er hielt seine letzte Vorlesung ein Semester vor seinem Tode am 14.11.1954 in Köln. Zu den bedeutendsten wissenschaftlichen Leistungen FISCHERS zählen seine Einführung des Begriffs der Konvergenz im quadratischen Mittel, sein Beweis der Vollständigkeit von L 2 , die Minimax-Charakterisierung der Eigenwerte selbstadjungierter linearer Abbildungen (s. E. FISCHER: Über quadratische Formen mit reellen Koeffizienten, Monatsh. Math. Phys. 16, 234-249 (1905)) und seine Beiträge zur Algebra und Gruppentheorie. Schon früh erkannte er die Entwicklungsmöglichkeiten der modernen Algebra und übte als Hochschullehrer in seiner Erlanger Zeit auf EMMY NOETHER (1882-1935) prägenden Einfluß aus (s. A. DICK: Emmy
Noether, 1882-1935. Boston-Basel-Stuttgart: Birkhäuser 1981). Aufgaben. 2.1. Für jede Cauchy-Folge (In)n?-l in.c in IR;. beschränkt.
p
(0
< P :S
00)
ist die Folge
(1I/nllp)n?-l
2.2. LOO(J-L) ist eine Banach-Algebra. 2.3. Bezeichnet ji die Vervollständigung von J-L, so sind für 0 LP(ji) (norm-)isomorph.
< p :S
00
die Räume LP(J-L) und
2.4. Es seien 0 < p,p' :S 00 und In E .cP(J-L) n .c p' (J-L) (n ~ 1). a) Konvergiert (In)n?-l in .cP(J-L) gegen I E .cP(J-L) und in .c p' (J-L) gegen g E .c p' (J-L), so ist I = 9 J-L-f.ü. 22Zitat nach F. GOLCZEWSKI: Kölner Universitätslehrer und der Nationalsozialismus, Köln-Wien: Böhlau Verlag 1988, S. 130-131.
248
VI. Konvergenzbegriffe der Maß- und Integrationstheorie l
b) Konvergiert (!n)n?l in ['P(J-t), so braucht (In)n?l in [,p (J-t) nicht zu konvergieren. 2.5. Folgende Bedingungen a)-c) sind äquivalent: a) Es gibt 0 < P < p' < 00, so daß LP(J-t) C LP' (J-t).
b) inf{J-t(A) : A E 2t,J-t(A) > O} > O. c) Für alle 0 < P < p' < 00 gilt LP(J-t)
C
LP' (J-t).
(Hinweise: a) =} b): Nach dem Satz vom abgeschlossenen Graphen ist die Inklusionsabbildung LP(J-t) -+ LP' (J-t) stetig. b) =} c): Für I E LP(J-t) gilt J-t({1/1 > n}) -+ 0, also ist I f.ü. beschränkt. ) 2.6. Folgende Bedingungen sind äquivalent: a) Es gibt 0 < P < p' < 00, so daß LP(J-t) => LP' (J-t). b) sup{J-t(A) : A E 2t, J-t(A) < oo} < 00. c) Für alle 0 < P < p' < 00 gilt LP(J-t) => LP' (J-t).
2.7. Es seien 1 :::; p, q :::; 00, l/p + l/q == 1, und die Folge der Funktionen In E ['P konvergiere im p-ten Mittel gegen I E ['P, gn E [,q konvergiere im q-ten Mittel gegen 9 E [,q. Dann konvergiert (Ingn)n?l im Mittel gegen fg E [,1. 2.8. a) Ein halbmetrischer Raum (R, d) ist nicht separabel genau dann, wenn eine überabzählbare Menge A C R und ein E > 0 existieren, so daß d(x, y) ~ E für alle x, y E A, x =I y. (Hinweis: Nach dem Zornschen Lemma hat das System 2t n aller Teilmengen B C R mit d(x, y) ~ l/n für alle x, y E B, x =I y ein maximales Element An· Betrachten Sie U~=l An') b) Für a, b E ffi.m, a < b ist der Raum L OO (ß[::,b]) nicht separabel. 2.9. Ist I Lebesgue-integrierbar über [a, b] C ffi., so existiert zu jedem E > 0 ein 8 > 0, so daß für jede Zerlegung a == Xo < Xl < ... < Xn == b von [a, b] mit maxi Xk - Xk-1 : k == 1, ... , n} < 8 gilt:
t
I
If(t)1 dt -
a
t Il k=l
x •
f(t) dtll < E.
Xk-l
2.10. Ist J-t nicht o--endlich, so braucht L~(J-t) nicht ordnungsvollständig zu sein. 2.11. Eine Menge M C L~ heißt nach oben gerichtet, wenn zu allen u,v E Mein wEM existiert mit w ~ u, w ~ v. - Es seien 0 < P < 00 und M C L~ eine nicht-leere nach oben gerichtete Menge nicht-negativer Elemente. Zeigen Sie: M ist nach oben beschränkt genau dann, wenn sup{llullp : u E M} < 00, und dann gilt 11 supMllp == sup{llull p : u E M}. 2.12. Es seien (X, 2t, J-t) und (Y,~, v) o--endliche Maßräume. Für I E L 2 (J-t) und 9 E L 2 (v) definiert I®g(x,y):== I(x)g(y) (x E X,y E Y) ein Element I®g E L 2 (J-t®v). Sind (ej)jEJ und (lk)kEK Orthonormalsysteme in L 2 (J-t) bzw. L 2 (v), so ist (ej ® Ik)(j,k)EJxK ein Orthonormalsystem, und sind (ej)jEJ und (lk)kEK vollständig, so auch (ej ® Ik)(j,k)EJxK' 2.13. Die Funktion I E [,2([0,1]) sei stetig im Intervall J C [0,1], und die Folge der Teilsummen Sn :== Llkl:::;n j(k)ek (n E N) der Fourier-Reihe von I konvergiere auf J gleichmäßig. Dann ist I(t) == lim n -+ oo sn(t) für alle t E J. 2.14. Ist F : ffi.m -+ C in allen Koordinaten periodisch mod 1 und über [O,l]m Lebesgueintegrierbar, so heißt
F(l):==
r
F(x)e- 27ri (l,x) dx
(1 E zm)
1[0,1]rn
der I-te Fourier-Koeffizient von odisch mod 1, so gilt:
I.
F(x) ==
Zeigen Sie: Ist F E C 2m (ffi.m ) in allen Koordinaten peri-
L lEZ rn
wobei die Reihe absolut konvergiert.
F(1)e 27ri (l,x)
(x E ffi.m),
§ 2. Die Räume LP und der Satz von 2.15. Für
I
249
RIESZ-FISCHER
E S(JRm) (s. Aufgabe V.3.5) sei
F(x) ==
L
I(x
+ k)
(x
E
zm) .
kEZ m
Dann ist F E Coo (JRm) in allen Koordinaten periodisch mod 1, und es ist F(l) == j(1) (1 E zm), wobei (abweichend von der früheren Normierung)
j(x):== (
JRm
die Fourier-Transformierte von
L
I
I(x
l(y)e- 21ri (X,y) dy
bezeichnet. Aufgabe 2.14 liefert:
+ k)
==
kEZ m
L
j(1)e 21ri (1,x)
(x
E
JRm);
lEZ m
insbesondere gilt die Poissonsche Summenformel
L
I(k) ==
kEZ m
L
j(1).
lEZ m
Wendet man die Poissonsche Summenformel an auf IN(X) :== I(Nx) (N E N) anstelle von I, so konvergiert die linke Seite für N -+ 00 gegen 1(0), während die rechte gegen (j)V (0) konvergiert , wobei j (x) == j (- x ). Hieraus folgt der Fouriersche Umkehrsatz I == (j) v. (Dieser kurze Beweis des Fouriersehen Umkehrsatzes für schnell fallende Funktionen stammt von A. ROBERT: A short proof of the Fourier inversion formula, Proc. Am. Math. Soc. 59,287-288 (1976).)
2.16. Es seien G c ce offen und 0 < P < 00. a) Ist I : G -+ ce holomorph und a E G, r > 0, Kr(a)
c
G, so gilt:
(Hinweise: Die Behauptung folgt aus der Ungleichung
Für p 2:: 1 folgt (*) aus der Cauchyschen Integralformel zusammen mit Satz 2.10. Schwieriger ist der Fall 0 < P < 00: Offenbar genügt der Beweis von (*) für a == 0, p == 1. Ist I nullstellenfrei in K 1 (0), so gibt es eine in K 1 (0) holomorphe Fixierung von IP, und die Cauchysche Integralformel liefert (*). Eventuell vorhandene Nullstellen von I lassen sich mit Hilfe geeigneter Automorphismen z H (z - a)/(l - az) (lai< 1, a fest) der Einheitskreisscheibe abspalten. ) b) Die Menge HP der holomorphen Funktionen I : G -+ ce mit
IIfll p
:= ( [
Ifl P dß2) l/p < 00
ist für p 2 1 ein Banach-Raum mit der Norm
11 . IIp
und für 0
<
P
<
1 ein vollständiger
metrischer Raum mit der Metrik dp(/, g) == 11I - gll~. (Hinweis: Nach a) konvergiert jede Cauchy-Folge in HP auch punktweise, und zwar gleichmäßig auf allen kompakten Teilmengen von G.)
VI. Konvergenzbegriffe der Maß- und Integrationstheorie
250
§ 3.
Der Satz von JEGOROW «Bi l'on a une suite de fonctions mesurables convergente pour tous les points d'un intervalle AB sauf, peut-etre, les points d'un ensemble de mesure nulle, on pourra toujours enlever de l'intervalle AB un ensemble de mesure 'fJ aussi petite qu'on voudra et tel que pour l'ensemble complementaire ... la suite est uniformement convergente.»23 (D.- TH. EGOROFF: Bur les suites de fonctions mesurables, C.R. Acad. ScL, Paris 152, 244-246 (1911))
1. Konvergenz J-l-fast überall. Für meßbare Funktionen fn : X ~ IK sind bisher folgende "punktweisen" Konvergenzbegriffe aufgetreten: (punktweise) Konvergenz ("überall"), Konvergenz J-l-fast überall, gleichmäßige Konvergenz, J-l-fast überall gleichmäßige Konvergenz (== gleichmäßige Konvergenz auf dem Komplement einer geeigneten Nullmenge == Konvergenz in .c oo (J-l) ). 3.1 Satz. Sind fn, f : X ~ IK meßbar, so gilt: a) (fn)n?.1 konvergiert J-l-f.ü. gegen f genau dann, wenn
11
(öQ{11n+k - 11
~ E}) = 0
für alleE> O.
b) Ist limn-too J-l (U~=l {I f n+k - f I 2: E}) == 0 für alle E > 0, so konvergiert (fn)n>l J-l-f·ü. gegen f· c) Gilt fn ~ f J-l-f·ü. und ist A E 2t, J-l(A) < 00, so gilt für alle E > 0: lim J-l n-too
Speziell gilt für J-l(X) < fn -+ fJ-l-f·ü.
(A n C){11n+k - 11 ~ c}) ==
0.
k=l
00:
~ 1~~J-l (CJ{l1n+k - 11 ~ c}) == 0
für alle E >
o.
k=l
Beweis. a) Es gilt fn -+ f J-l-f.ü. genau dann, wenn {x EX: 'v'n2:1 3 k2: 1 Ifn+k(x)f(x) I 2: E} für jedes E > 0 eine J-l-Nullmenge ist. b) ist klar nach a). D c) folgt aus a) und b) wegen der Stetigkeit des Maßes von oben. 3.2 Beispiel. Für J-l( X) == 00 ist die umgekehrte Implikation unter b) falsch: Wählt man (X, 2t, J-l) == (IR, Q31, ßl), fn :== X[n,oo[, so konvergiert (fn)n2:1 überall gegen 0, aber es ist J-l( {Ifn - 01 2: E}) == 00 für alle E E]O, 1[. 23 Hat man eine Folge meßbarer Funktionen, die in allen Punkten eines Intervalls AB konvergiert mit Ausnahme eventuell der Punkte einer Nullmenge, so kann man stets aus dem Intervall AB eine Menge beliebig kleinen [positiven] Maßes 'fJ entfernen, so daß die Folge im Komplement dieser Menge gleichmäßig konvergiert.
§ 3. Der Satz von
JEGOROW
251
Für jeden der oben genannten Konvergenzbegriffe ist der Begriff der CauchyFolge sinnvoll. (Z.B. ist eine Folge von Funktionen fn : X ~ IK eine CauchyFolge für die Konvergenz J.L-f.ü., wenn eine J.L-Nullmenge N E 2t existiert, so daß (fn(x) )n?) für alle x E NC eine Cauchy-Folge in IK ist.) In allen Fällen ist es richtig, daß jede Cauchy-Folge meßbarer Funktionen fn : X ~ IK gegen eine meßbare Funktion f : X ~ IK konvergiert (i.S. des jeweiligen Konvergenzbegriffs). - Analog zu Satz 3.1 lassen sich Cauchy-Folgen für die Konvergenz J.L-f.ü. charakterisieren. 3.3 Satz. Die Funktionen fn : X ~ lK seien meßbar. a) (fn)n?) ist eine Cauchy-Folge für die Konvergenz J.L-f.ü. genau dann, wenn für alle E > 0 gilt:
b) Ist limn-too J.L (U~=l {Ifn+k - fn I 2: E}) == 0 für alle E > 0, so ist (fn)n?) eine Cauchy-Folge für die Konvergenz J.L-f.ü. c) Sind (fn)n?) eine Cauchy-Folge für die Konvergenz J.L-f.ü. und A E 2t, J.L(A) < 00, so gilt für alle E > 0:
Speziell gilt für J.L(X) < genau dann, wenn
00:
(fn)n?) ist Cauchy-Folge für die Konvergenz J.L-f.ü.
2. Fast gleichmäßige Konvergenz. Eine Folge von Funktionen fn : X ~ lK heißt fast gleichmäßig konvergent, wenn zu jedem 8 > 0 ein A E 2t mit J.L(A) < 8 existiert, so daß die Folge (fn I AC)n21 gleichmäßig konvergiert. Fast gleichmäßige Konvergenz bedeutet also gleichmäßige Konvergenz im Komplement geeigneter Mengen beliebig kleinen (i.a. positiven) Maßes. Um Verwechselungen mit der J.L-f.ü. gleichmäßigen Konvergenz zu vermeiden, werden wir anstelle von J.L-f.ü. gleichmäßiger Konvergenz im folgenden bevorzugt von Konvergenz in LOO(J.L) sprechen. 3.4 Lemma. Konvergiert die Folge der meßbaren Funktionen fn : X ~ IK fast gleichmäßig, so gibt es eine meßbare Funktion f : X ~ IK, so daß fn ~ f J.L-f.ü.
Beweis. Zu 8 == l/k (k E N) existiert eine Menge A k E 2t mit J.L(A k ) < l/k, so daß (fn I AAJn21 gleichmäßig konvergiert. Die Menge A :== n%:l A k E 2t ist eine J.L-Nullmenge, und für alle x E Ac konvergiert (fn(x))n21 gegen die meßbare Funktion f(x) :== limn-too fn(X)XAc(X) (x EX). 0
252
VI. Konvergenzbegriffe der Maß- und Integrationstheorie
Fast gleichmäßige Konvergenz einer Folge meßbarer Funktionen impliziert also die Konvergenz j.L-f.ü. Der folgende Satz von DMITRI F JODOROWITSCH JEGOROW (1869-1931 )24 liefert für j.L(X) < CX) die umgekehrte Implikation. 3.5 Satz von Jegorow (1911). Ist j.L(X) < CX) und konvergiert die Folge der meßbaren Funktionen fn : X ---+ JK j.L-fast überall gegen die meßbare Funktion f : X ---+ JK, so konvergiert (fn)n?) fast gleichmäßig gegen f·
Beweis. Nach Satz 3.1, c) gilt für alle
E
> 0:
Ist nun 8 > 0 fest gewählt, so existiert zu jedem k E Nein nk E N, so daß für
gilt: j.L(B k ) < 8 . 2- k . Die Menge A :== U~=l Bk ist meßbar mit j.L(A) < 8, und für alle x E AC, k 2: 1 gilt x tf- Bk, also
Ifj(x) - f(x)1 S
1
k
für allej 2: nk·
Daher konvergiert (fn I AC)n2: 1 gleichmäßig gegen f I AC.
o
Bemerkung. Der Satz von JEGOROW gilt entsprechend', falls f und die fn Werte in einem metrischen Raum haben (vgl. Aufgabe 4.5). 3.6 Beispiel. Für den Maßraum ([0, 1[, ~~,l['ß[O,l[) konvergiert die Folge der Funktionen fn(x) :== x n (x E [0,1[) zwar punktweise gegen 0, aber nicht gleichmäßig. Für jedes 0 < 8 < 1 ist aber die Konvergenz auf [0,1-8] gleichmäßig, d.h. (fn)n>l konvergiert fast gleichmäßig gegen 0 (in Übereinstimmung mit dem Satz von JEGOROW). 3. Kurzbiographie von D.F. JEGOROW. DMITRI FJODOROWITSCH JEGOROW wurde am 22.12.1869 in Moskau geboren. Nach dem Schulabschluß (1887) studierte er an der Universität Moskau mit glänzendem Erfolg Mathematik und erhielt auf Grund seines hervorragenden Abschlußzeugnisses (1891) ein staatliches Stipendium zur Vorbereitung auf eine Laufbahn als Hochschullehrer. Der Ernennung zum Privatdozenten (1894) und der Verteidigung der Dissertation (1901) folgte auf Vorschlag der Universität Moskau ein dreisemestriger Studienaufenthalt in Berlin, Paris und Göttingen (1902-1903); anschließend wurde JEGOROW zum Professor am Institut für reine Mathematik der Universität Moskau ernannt. Als Prorektor der Universität, Direktor des Forschungsinstituts für Mathematik und Mechanik (1921-1930), Präsident der Moskauer Mathematischen Gesellschaft (1923-1930) und korrespondierendes Mitglied der Akademie der Wissenschaften der UdSSR war JEGOROW eine der führenden Persönlichkeiten im mathematischen Leben Moskaus. Gemeinsam mit seinem Schüler N.N. 24Betonung der Vornamen auf der ersten Silbe, beim Nachnamen auf der zweiten (mit offenem ,,0"). Der Name JEGOROW wird oft in der engl. Transskription "EGOROV" oder in der frz. "EGOROFF" angegeben.
253
§ 4. Konvergenz nach Maß
LUSIN (1883-1950), der als begeisternder akademischer Lehrer eine große Anziehungskraft auf hochbegabte Studenten ausübte, war er der Begründer der berühmten Moskauer Schule der Theorie der reellen Funktionen, aus der zahlreiche der angesehensten Mathematiker der Sowjetunion hervorgingen. JEGOROW war in den klassischen akademischen Traditionen fest verankert. Nach der Revolution gelang es ihm auf Grund seines hohen Ansehens einige Zeit, "seine" Schule vor unqualifizierter politischer Einflußnahme zu schützen. Zur Zeit der stalinistischen Säuberungen nahm der politische Druck auf JEGOROW in der zweiten Hälfte der zwanziger Jahre deutlich zu. Die widerliche Kampagne kulminierte in dem öffentlichen Vorwurf der "Sabotage" in der Zeitschrift Bolschewik (No. 2 (1931)). Wenig später wurde JEGOROW unter dem Vorwurf der "Mitgliedschaft in einer konterrevolutionären Organisation" verhaftet; er starb am 10.9.1931 nach einem Hungerstreik in der Verbannung in Kasan. Während seines Studienaufenthalts in Paris hörte JEGOROW die berühmte Vorlesung von LEBESGUE über Integrationstheorie, und er war einer der ersten, die die Bedeutung des Lebesgue-Integrals für die Analysis erkannten. Beeinflußt durch H. WEYL 12 , der den Begriff der fast gleichmäßigen Konvergenz unter dem Namen wesentlich-gleichmäßige Konvergenz eingeführt hatte, bewies JEGOROW dann 1911 den mit seinem Namen verbundenen Satz. Das war der Beginn der "Moskauer Schule". Zur Historie des Satzes von JEGOROW bemerkt L. TONELLI (Opere I, S. 421), daß das Resultat im wesentlichen bereits 1910 von C. SEVERINI bewiesen wurde. - Die wichtigsten weiteren mathematischen Arbeitsgebiete von JEGOROW waren Differentialgeometrie, Variationsrechnung, Theorie der Integralgleichungen und Zahlentheorie. Aufgaben. 3.1. a) Es seien j.1 a-endlich, I, In : X ~ IK meßbar, und es gelte In ~ I j.1-f.ü. Dann gibt es Mengen A k E 2l (k E N) mit j.1(X \ U~l A k ) == 0, so daß für jedes k E N die Folge (InIAk)n>l gleichmäßig konvergiert (N. LUSIN). b) Aussage a) ;ird ohne die Voraussetzung der a-Endlichkeit von j.1 falsch. 3.2. Definieren Sie den Begriff einer Cauchy-Folge für die fast gleichmäßige Konvergenz und zeigen Sie, daß jede solche Folge fast gleichmäßig konvergiert. 3.3. Sind I, g, In E .cl und gilt In ~ I j.1-f.ü., Ilnl ::; g j.1-f.Ü., so konvergiert (In)n>l fast gleichmäßig gegen I. 3.4. Es seien j.1(X) < 00 und I, In : X ~ IK meßbar. Die Folge (In)n>l konvergiert fast gleichmäßig gegen I genau dann, wenn für jedes c > 0 gilt:
lim j.1 ( n-+oo 3.5. Es seien j.1(X)
< 00 und In : X
Ü{I!k - f I 2: d) == 0 .
k=n
~
IK meßbar. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
a) Es gibt eine f.ü. gegen Null konvergente Teilfolge (Ink)k?l von (In)n?l' b) Es gibt reelle an ~ 0 (n ~ 1) mit lim an n-+oo konvergiert.
§ 4.
> 0, so daß die Reihe 2: n=1 anln f.ü. absolut 00
Konvergenz nach Maß «Soient
11 (x), 12 (x), ... ,/(x)
des fonctions mesurables, definies sur l'ensemble
E; c etant une quantite positive quelconque, nous designons par m(n, c) la me-
sure d'ensemble [1/(x) - In(x)1 > c]; alors nous dirons que la suite [In(x)] tend en mesure vers la fonction I (x), si, quelque petite que soit la quantite c, on a lim n -+ oo m(n, c) == 0.»25 (F. RIESZ [1], S. 396)
VI. Konvergenzbegriffe der Maß- und Integrationstheorie
254
1. Konvergenz nach Maß und lokal nach Maß. Mit F. RIESZ ([1], S. 396) führen wir den Begriff der Konvergenz nach Maß wie folgt ein. 4.1 Definition. Die Funktionen I, In : X ----t lK (n E N) seien meßbar. Man sagt, die Folge (In)n?l konvergiert nach Maß gegen f, falls für jedes c > 0 gilt: lim JL ({ 11n
n---+oo
-
I I 2:
c}) == 0 ;
Schreibweise: In ----t f n.M. Ferner sagt man, die Folge (In)n?l konvergiert lokal nach Maß gegen I, falls für jedes c > 0 und alle A E 2( mit JL(A) < (X) gilt: lim JL ({ If n
n---+oo
Schreibweise: In
----t
-
11 2: c} n A)
== 0 ;
I lokal n.M.
Ist z.B. (X, 2(, JL) == (IR, ~1, ßl), so konvergiert die Folge der Funktionen In :== X]n,n+l[ lokal n.M. gegen 0, aber nicht n.M. gegen O. 4.2 Folgerungen. Die Funktionen I, In, g, gn : X ----t lK (n E N) seien meßbar. a) Konvergiert (In)n?l nach Maß gegen I und nach Maß gegen g, so ist I == 9 JLf.ü. Konvergiert (In)n?l lokal nach Maß gegen I und lokal nach Maß gegen g, so ist I == 9 lokal JL-f.ü., d.h. für alle A E 2( mit JL(A) < (X) gilt f· XA == g. XA JL-f.ü. b) Aus In ----t I n.M. und gn ----t g n.M. folgt In + gn ----t I + g n.M. und ain ----t al n.M. (0: E lK). Entsprechendes gilt für die Konvergenz lokal n.M.
Beweis. a) Für alle k E N gilt
Da hier die rechte Seite für n ----t (X) gegen 0 konvergiert, ist {lI - gl 2: l/k} eine Nullmenge, also ist auch {I =I- g} == U~l{II - gl 2: l/k} eine Nullmenge. b) klar wegen {1(In + gn) - (I + g)1 2: c} C {iln - 11 2: c/2} U {Ign - gl 2: c/2}.
o 4.3 Satz (F. RIESZ 1910).26 Es gelte 0 < P S (n ----t (0). Dann konvergiert In ----t I n.M.
00,
I, In E LP und
IIIn -
Illp
----t
o
Beweis. Der Fall p == (X) ist klar, denn Konvergenz in L oo bedeutet gleichmäßige Konvergenz im Komplement einer Nullmenge. Für 0 < p < (X) folgt die Behauptung aus
J-l( {[in - i[ ;::: c}) ::;
Ix
[Un - J)/c[P dJ-l = c-PI[in -
ill~ -+ o.
0
25 Es seien 11 (x), 12 (x), ... , I (x) auf der Menge E definierte meßbare Funktionen. Ist c irgendeine positive Zahl, so bezeichnen wir mit m(n, c) das Maß der Menge {li - Inl > c}. Dann sagen wir, daß die Folge (In)n>l nach Maß gegen die Funktion I konvergiert, wenn für jedes c > 0 gilt lim n --+ oo m(n, c) == 0.26F. RIESZ [1], S. 396.
255
§ 4. Konvergenz nach Maß
4.4 Satz. Sind i, in : X -+ ]I{ meßbar und konvergiert (in)n?) fast gleichmäßig gegen i, so gilt in -+ i n.M.
Beweis. Zu jedem 8 > 0 existiert ein A E Q( mit {l(A) < 6, so daß (in I AC)n>1 gleichmäßig gegen i I AC konvergiert. Daher existiert zu jedem c > 0 ein no (c) E N, so daß {Iin - il ~ c} c A für alle n ~ no(c). 0 4.5 Satz (H. LEBESGUE).27 Sind i, in : X -+ ]I{ meßbare Funktionen mit in -+ i {l-f.ü., so gilt in -+ i lokal n.M. Ist insbesondere {l(X) < 00, so gilt in -+ i n.M.
Beweis: klar nach Satz 4.4 und dem Satz von bequem mit Satz 3.1, c) schließen.)
JEGOROW.
(Man kann auch 0
Umgekehrt braucht eine n.M. konvergente Folge nicht punktweise f.ü. oder gar fast gleichmäßig zu konvergieren: Die Folge in Beispiel 2.8 konvergiert in J:P, also nach Satz 4.3 auch n.M., aber sie konvergiert nicht punktweise. Wir werden aber zeigen, daß jede n.M. konvergente Folge eine f.ü. konvergente (sogar eine fast gleichmäßig konvergente) Teilfolge besitzt. Der Beweis läßt sich bequem im Rahmen einer Diskussion von Cauchy-Folgen für die Konvergenz n.M. erbringen. 2. Cauchy-Folgen für die Konvergenz nach Maß. Eine Folge meßbarer Funktionen in : X -+ ]I{ heißt eine Cauchy-Folge für die Konvergenz n.M., falls zu jedem c > 0 ein no (c) E N existiert, so daß für alle m, n E no (c) gilt
Offenbar ist jede Cauchy-Folge in J:P eine Cauchy-Folge für die Konvergenz n.M. (s. Beweis von Satz 4.3). Wegen
{Iim - inl ~ c}
C
{Iim - il ~ c/2} u {li - inl ~ c/2}
ist jede nach Maß konvergente Folge eine Cauchy-Folge für die Konvergenz n.M. Die Umkehrung dieser Aussage liefert Korollar 4.10. 4.6 Satz. Bilden die meßbaren Funktionen in : X -+ ]I{ eine Cauchy-Folge für die Konvergenz n.M., so gibt es eine Teilfolge (ink)k'21' die fast gleichmäßig gegen eine meßbare Funktion i : X -+ ]I{ konvergiert.
Beweis. Zu jedem k E N gibt es ein nk E N, so daß nk < nk+l (k {l( {Iim - inl ~ 2- k })
:s;
~
1) und
2- k für alle m, n ~ nk .
Es seien A k :== {Iink+l - ink 1~ 2- k }, B[ :== U~[ A k und 6 > O. Dann gibt es ein m E N mit {l(B m ) < 6, und für alle x E B~ und 1 > k > m gilt [-1
linz(X) - ink(X)1
:s;
L
linj+l(X) - inj(x)l:S; 21- k
j=k
27Nach F.
RIESZ
[1]' S. 396 stammt dieser Satz von H.
LEBESGUE.
:s;
2- m .
VI. Konvergenzbegriffe der Maß- und Integrationstheorie
256
Daher konvergiert (!nk I B~)k?) gleichmäßig, und es folgt die Behauptung.
D
4.7 Satz. Konvergieren die meßbaren Funktionen !n : X ---+ JK n.M. gegen die meßbare Funktion! : X ---+ JK, so gibt es eine Teilfolge (!nk)k?l, die fast gleichmäßig gegen! konvergiert. Beweis. Nach Satz 4.6 konvergiert eine geeignete Teilfolge (!nk )k?l fast gleichmäßig gegen eine meßbare Funktion 9 : X ---+ JK. Da (!nk)k?l auch n.M. gegen 9 konvergiert (Satz 4.4), ist 9 == ! f.ü. D
4.8 Korollar (H. WEYL 1909).12 Es sei 0 < p < 00. a) Zu jeder Cauchy-Folge (!n)n?l in L P gibt es eine Teilfolge (!nk)k?l und ein ! E L P , so daß (!nk )k>l fast gleichmäßig gegen! konvergiert. b) Konvergiert (!n)n?~ in L P gegen! E L P , so gibt es eine Teilfolge (!nk)k?l, die fast gleichmäßig gegen! konvergiert. Beweis. a) (!n)n?l konvergiert nach dem Satz von RIESZ-FISCHER gegen ein E L P , und die Sätze 4.3,4.7 liefern a). Zugleich wird Aussage b) klar. D
f
4.9 Korollar (F. RIESZ 1910).25 a) Bilden die meßbaren Funktionen!n : X ---+ JK eine Cauchy-Folge für die Konvergenz n.M., so gibt es eine Teilfolge (!nk)k?l, die J-l-f.ü. gegen eine meßbare Funktion! : X ---+ JK konvergiert. b) Konvergieren die meßbaren Funktionen !n : X ---+ JK n.M. gegen die meßbare Funktion! : X ---+ JK, so gibt es eine Teilfolge (!nk)k?l, die J-l-f.ü. gegen! konvergiert. Beweis: klar nach Satz 4.6, 4.7.
D
4.10 Korollar (F. RIESZ 1910).28 Die meßbaren Funktionen fn : X ---+ JK bilden eine Cauchy-Folge für die Konvergenz nach Maß genau dann, wenn es eine meßbare Funktion! : X ---+ JK gibt mit ! n ---+ ! n. M. Beweis. Wir haben bereits bemerkt, daß jede n.M. konvergente Folge eine Cauchy-Folge für die Konvergenz nach Maß ist. - Ist umgekehrt (!n)n?l eine Cauchy-Folge für die Konvergenz n.M., so existiert eine Teilfolge (fnk)k?l, die fast gleichmäßig gegen eine meßbare Funktion! : X ---+ JK konvergiert (Satz 4.6). Nach Satz 4.4 konvergiert (!nk)k?l auch n.M. gegen !. Wegen
konvergiert daher auch (!n)n?l n.M. gegen!.
D
3. Vergleich der Konvergenzbegriffe. Wir sammeln die wesentlichen Beziehungen zwischen dem Konvergenzbegriffen in einem Schema. Dabei gelten die Implikationen ,,===}" unter der Zusatzvoraussetzung J-l(X) < 00. 28F. RIESZ
[1], S. 397.
§ 4. Konvergenz nach Maß Gleichmäßige Konvergenz
===}
257
f.ü. gleichmäßige Konvergenz (== Konvergenz in L OO )
===}
fast gleichmäßige
===}
4.4
Konvergenz in L P
Konvergenz n.M.
Konvergenz
nn Punktweise Konvergenz
===}
nn
3.5
Konvergenz J-l-f.ü.
~
Konvergenz lokal n.M.
Besonders interessant sind hier noch Zusatzbedingungen, die zusammen mit der Konvergenz J-l-f.ü. oder der Konvergenz (lokal) n.M. die Konvergenz in L P implizieren. Zum Beispiel liefert der Satz von der majorisierten Konvergenz sofort: Ist 0 < p < 00, konvergieren die Funktionen In E L P J-l-f.ü. gegen die meßbare Funktion I : X -t JK, und gibt es ein g E L P mit I/nl 9 J-l-f.ü., so gilt I E L P und Illn - Illp -t O. Weitere Aussagen dieses Typs werden wir in § 5 kennenlernen.
s
Die folgenden Beispiele ergänzen die Aussagen des Schemas.
4.11 Beispiele. a) Ist 0 < p < 00, J-l(X) < 00, In E L P und gilt In -t 0 J-lI.ü., so braucht (In)n>l nicht in L P zu konvergieren: Wählt man (X, 2l, J-l) == 2 ([0, 1]' ~[Ü,lJ' ß~,lJ)' In ~== n /P XJÜ,1/nJ, so gilt: In -t 0, In E L P , aber Illnll~ == n, d.h. (In)n>l ist nicht einmal beschränkt in L P • b) Ist 0 p < 00, In E L P und konvergiert (In)n?.1 gleichmäßig gegen 0, so braucht (In)n>l nicht in L P zu konvergieren, lalls J-l(X) == 00. Als Beispiel wählen wir (X,2l,J-l) == (JR,~l,ßl) und In :== n- 1X[Ü,2 n J. Dann konvergiert (In)n?.1 gleichmäßig gegen 0, aber wegen Illnll~ == n-P 2n ist (In)n?.1 nicht einmal beschränkt in L P • c) Eine n.M. konvergente Folge braucht nicht f. ü. zu konvergieren: s. Beispiel 2.8. d) Ist J-l(X) == 00 und konvergiert (In)n?.1 punktweise überall und nach Maß und in jedem L P (0 < p < (0) gegen 0, so braucht (In)n>l nicht fast gleichmäßig gegen 0 zu konvergieren: Wählt man (X, 2l, J-l) == (JR, ful, ßl) und In :== X[n,n+l/n], so gilt In -t 0, In -t 0 n.M., Illnllp -t 0, aber für jedes n E N und 0 < E < 1 ist
.<
4. Charakterisierung der Konvergenz n.M. und der Konvergenz lokal n.M. Die Aussage des Satzes 4.7 läßt sich zu einer Charakterisierung der Konvergenz n.M. erweitern:
VI. Konvergenzbegriffe der Maß- und Integrationstheorie
258
4.12 Satz. Sind f, fn : X ---+ JK meßbar, so gilt: (fn)n21 konvergiert n.M. gegen f genau dann, wenn jede Teilfolge von (fn)n2 1 eine Teilfolge hat, die fast gleichmäßig gegen f konvergiert.
Beweis. Konvergiert (fn)n21 n.M. gegen f, so konvergiert auch jede Teilfolge (fnk )k21 von (fn)n2 1 n.M. gegen f, hat also nach Satz 4.7 eine fast gleichmäßig gegen f konvergente Teilfolge. - Es seien umgekehrt die" Teilfolgenbedingung" erfüllt und E > O. Es gibt eine Teilfolge gk :== fnk (k 2: 1), so daß j1 ({ gk - f 2: E}) ---t lim j1 ({ f n - f 2: E}) . I
1
1
1
k---+oon---+oo
Nach Voraussetzung hat (gk)k21 eine Teilfolge (gkJl21, die fast gleichmäßig gegen f konvergiert. Nach Satz 4.4 konvergiert j1( {Igk l - fl 2: E}) für l ---+ 00 gegen 0, also ist lim j1 ({ f n - f ~ E}) == O. 0 1
I
n---+oo
4.13 Korollar. Sind f, fn : X ---+ JK meßbar, so gilt: Konvergiert (fn)n21 n.M. gegen f, so hat jede Teilfolge von (fn)n21 eine j1-f.ü. gegen f konvergente Teilfolge. Für j1(X) < 00 gilt auch die umgekehrte Implikation.
Beweis: klar nach Satz 4.12 und dem Satz von
o
JEGOROW.
4.14 Satz. Sind j1 a-endlich und f, fn : X ---+ JK meßbar, so gilt: Konvergiert fn ---+ f lokal n.M., so hat (fn)n2 1 eine f.ü. gegen f konvergente Teilfolge.
Beweis. Es gelte fn ---+ f lokal n.M. Wir wählen A k E Ql mit A k t X, j1(A k ) < (k E N). Nach Korollar 4.13 existiert eine Teilfolge (fln)n2 1, so daß (fln I A 1)n2 1 f.ü. gegen f I Al konvergiert. Ebenso hat (fln)n21 eine Teilfolge (f2n)n21, so daß (f2n I A 2)n>1 f.ü. gegen f I A 2 konvergiert usw. Die Diagonalfolge (fnn)n>l aller dieser Folgen (fkn)n21 (k E N) konvergiert f.ü. gegen f. 0 00
4.15 Korollar. Sind j1 a-endlich und f, fn : X ---+ JK meßbar, so gilt: (fn)n21 konvergiert lokal n.M. gegen f genau dann, wenn jede Teilfolge von (fn)n?l eine f. ü. gegen f konvergente Teilfolge hat.
Beweis. Die Notwendigkeit der Teilfolgenbedingung ist klar nach Satz 4.14. Die 0 Umkehrung folgt aus Satz 4.12 und dem Satz von JEGOROW.
Aufgaben. 4.1. Sind In, I : X -+ 1K meßbar, konvergiert (/n)n>l nach Maß gegen ist (In)n?l eine Cauchy-Folge für die fast gleichmäßige Konvergenz, so gilt In -+ gleichmäßig.
4.2. Sind J-L lT-endlich, In, n.M., so ist I == 9 J-L-f.ü.
I, 9
: X -+
TI(
meßbar und gilt
In -+ I
lokal n.M.,
In -+
I I
und fast
9 lokal
4.3. Konvergiert die Folge der meßbaren Funktionen In: X -+ 1K lokal n.M. gegen die meßbare Funktion I : X -+ TI( und ist cp : 1K -+ TI( stetig, so konvergiert (CPOln)n?l lokal n.M. gegen cp 01. Die entsprechende Aussage für die Konvergenz n.M. ist falsch. 4.4. Es sei M der Vektorraum der meßbaren Funktionen
I : X -+
IK.
§ 5. Konvergenz in a) Ist p(X)
<
00,
.c
p
259
so definiert
1I -
d(/,g):== /,x 1 + 1I
gl
_ gl
dp
(/,g E M)
eine Halbmetrik auf M. Eine Folge von Funktion In E M konvergiert genau dann nach Maß gegen I E M, wenn d(ln, I) ~ O. Der halbmetrische Raum (M, d) ist vollständig. b) Es seien p o--endlich, A k E 2l, U~l A k == X, p(A k ) < 00 (k E N) und 00
d(f,g):="E.
k=l p
k 2(A.)+l
k
!
Ak
1I -
gl
1+1/-
9
I
dj1
(f,gEM).
Dann ist deine Halbmetrik. Eine Folge (In)n>l in M konvergiert genau dann lokal n.M. gegen I E M, wenn d(ln,/) ~ O. Der halbmetrische Raum (M,d) ist vollständig.
4.5. Ist (R, d) ein separabler metrischer Raum, so hat die Topologie von Reine abzählbare Basis, also gilt SJ3(R x R) == SJ3(R) Q9 SJ3(R) (Satz 111.5.10). Sind ferner I, 9 : X ~ R meßbar, so ist (I, g) : (X, 2l) ~ (R x R, SJ3(R) Q9SJ3(R)) meßbar, und die stetige Funktion d : R x R ~ ~ ist meßbar bez. SJ3(R x R). Daher ist d 0 (I, g) : X ~ ~ meßbar, und wir können definieren: Eine Folge meßbarer Funktionen In: X ~ R konvergiert nach Maß gegen die meßbare Funktion I : X ~ R, falls für alle c > 0 gilt: p({d(ln,/)2::c})~O
(n~oo).
Entsprechend ist der Begriff der Konvergenz lokal n.M. sinnvoll. a) Konvergieren die meßbaren Funktionen In : X ~ R f.ü. gegen die meßbare Funktion I : X ~ R, so gilt In ~ I lokal n.M. b) Konvergieren die meßbaren Funktionen In : X ~ R n.M. gegen die meßbare Funktion I : X ~ R, so gibt es eine fast gleichmäßig gegen I konvergente Teilfolge (Ink )k?-l; insbesondere existiert eine f. ü. gegen I konvergente Teilfolge. c) Sind In, I : X ~ R meßbar, so gilt: In ~ I n.M. genau dann, wenn jede Teilfolge von (In)n>l eine fast gleichmäßig gegen I konvergente Teilfolge hat. d) SiI~d p o--endlich und In, I : X ~ R meßbar, so gilt: In ~ I lokal n.M. genau dann, wenn jede Teilfolge von (In)n?-l eine f.ü. gegen I konvergente Teilfolge hat. Wie läßt sich Aufgabe 4.3 verallgemeinern? e) Sind p, 1/ o--endliche Maße auf 2l mit den gleichen Nullmengen und In, I : X ~ R meßbar, so konvergiert I n ~ I lokal n.M. bez. p genau dann, wenn I n ~ I lokal n.M. bez. 1/. f) Es sei p(X) < 00. Sind I, 9 : X ~ R meßbar, so sei 8 (I, g) :== inf{c 2:: 0 : p ({ d (I, g)
> c}) :::; c} .
Dann wird das Infimum angenommen, d.h. a :== 8(/, g) ist die kleinste reelle Zahl mit p( {d(/, g)
> a}) :::; a.
8 ist eine Halbmetrik auf der Menge M(X, R) der meßbaren FunktioR. (Diese Halbmetrik wurde eingeführt von Ky FAN (1914-): Entfernung zweier zufälligen Größen und die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit, Math. Z. 49, 681-683 (1944).) Eine Folge (In)n?-l in M(X, R) konvergiert genau dann nach Maß gegen I E M(X, R), wenn 8(ln, I) ~ O. Ist R vollständig, so ist (M(X, R), 8) ein vollständiger halbmetrischer Raum.
nen
I :X
§ 5.
~
Konvergenz in L P "... a convergent sequence permits exchange of lim and I if it is bracketed by two sequences which permit this exchange." (J. W. PRATT: On interchanging
limits and integrals, Ann. Math. Stat. 31, 74-77 (1960))
VI. Konvergenzbegriffe der Maß- und Integrationstheorie
260
1. Der Satz von PRATT. Die folgende nützliche Variante des Satzes von der majorisierten Konvergenz geht für punktweise f.ü. konvergente Folgen In, gn, h n zurück auf J.W. PRATT, loe. eit.
5.1 Satz von Pratt (1960). Es sei (In)n>l eine Folge in .c~(j1), die lokal n.M. gegen die meßbare Funktion I : X ~ JR.-konvergiert, und {I #- O} sei von a-endliehem Maß. Gibt es Funktionen gn, g, h n , h E .c~(j1), so daß (i) gn ~ 9 lokal n.M., h n ~ h lokal n.M., (ii) limn--+oo gn d j1 == gdj1, limn--+oo hndj1 == hdj1, (iii) gn :::; In:::; h n j1- f. ü. , so ist I E .c~ (j1), und es gilt:
Ix
Ix
Ix
Ix
Beweis. Es gelte zunächst In ~ I, gn ~ g, h n ~ h j1-f.ü. Aus 9 :::; I :::; h j1-f.ü. folgt dann I E .cl, und das Lemma von FATOU liefert
also
Ix I dj1
FATOU
:::; lim n-+oo
Ix In dj1.
Eine nochmalige Anwendung des Lemmas von
ergibt
Ix
Ix
Ix
Ix
d.h. lim In dj1 :::; I dj1. Insgesamt erhalten wir: limn-+ oo In dj1 == I dj1. n--+oo Es gelte nun lediglich In ~ I, gn ~ g, h n ~ h lokal n.M. Da die integrierbaren Funktionen In, gn, h n außerhalb einer geeigneten Menge a-endlichen Maßes (d.h. außerhalb einer abzählbaren Vereinigung von meßbaren Mengen endlichen Maßes) verschwinden und da auch {I #- O} von a-endlichem Maß ist, liefert Korollar 4.15: 9 :::; I :::; h j1-f.ü., also I E .cl. - Angenommen, die Behauptung ist falsch. Dann gibt es ein 8 > 0 und eine Teilfolge (Ink )k?b so daß
(5.1) Da die integrierbaren Funktionen I, In, g, gn, h, h n außerhalb einer geeigneten Menge a-endlichen Maßes alle verschwinden, kann nach Korollar 4.15 zusätzlich angenommen werden, daß die Funktionen I nk , gnk' h nk punktweise f. ü. gegen I bzw. 9 bzw. h konvergieren. Dann ist aber limk-+oo Ink dj1 == I dj1 nach dem bereits Bewiesenen im Widerspruch zu (5.1). D
Ix
Ix
§ 5. Konvergenz in LP
261
Bemerkung. Die obige Schlußweise zur Abschwächung der Voraussetzung der Konvergenz /l-f.ü. zur Konvergenz lokal n.M. geht zurück auf F. RIESZ [1]' S. 517. 5.2 Korollar
(PRATT
1960). Gilt in Satz 5.1 zusätzlich gn lim
r Iin - I1
n--+oo } X
dfl
:s;
0
:s;
h n , so gilt
= 0.
Beweis. Offenbar gilt nach der obigen Schlußweise /l-f.ü.
und hier konvergiert h n - gn
Ix
(h n - gn
+h-
9 lokal n.M. gegen 2h - 2g E 121 und
+h -
g) dfl---+
Ix
(2h - 2g) dfl·
Da Ifn - fllokal n.M. gegen 0 konvergiert, liefert Satz 5.1 die Behauptung. 0 Offenbar umfaßt Korollar 5.2 die Aussage des Satzes IV.5.9 von SCHEFFE. 2. Konvergenz in L P • Der Satz von PRATT ist das wesentliche Hilfsmittel zum Beweis der folgenden Kriterien für die Konvergenz in L P • 5.3 Satz. Es seien 0 < p < 00, fn E Lk' f : X -+ ]I{ meßbar; {f i= O} sei von (5endlichem Maß, und es gelte in -+ f lokal n.M. Ferner gebe es h n , h E LPnM+, so daß h n -+ h lokal n.M., Ifnl :s; h n /l-f·ü. und h~ d/l -+ hPd/l. Dann gilt: f E L P und Ilfn - flip -+ o.
Ix
Ix
Beweis. Die Funktionen fn, f, h n , h verschwinden außerhalb einer geeigneten Menge (5-endlichen Maßes. Nach Satz 4.14 ist daher Ifl :s; h /l-f.ü., also f E L P. Ferner gilt nach Korollar 4.15: h~ -+ hP lokal n.M., und nach (1.16) gilt Ifn fl P :s; 2P(h~ + IfI P) /l-f.ü. Daher liefert der Satz von PRATT die Behauptung.
o 5.4 Satz. Es seien 0 < p < 00 und fn, f E L P (n E N). Dann sind folgende Aussagen äquivalent: a) Ilfn - flip -+ o. b) fn -+ f lokal n.M. und Ilfnllp -+ Ilfll p·
Beweis. a) =} b): Aus Ilfn - flip -+ 0 folgt zunächst fn -+ f lokal n.M. (Satz 4.3). Ist p ~ 1, so folgt die zweite Aussage unter b) aus Illfnllp -llfllpl :s; IIfn - flip -+ O. Für 0 < p < 1 schließt man entsprechend mit 1I . II~ anstelle von I1 . IIp (s. (1.18)). b) =} a): klar nach Satz 5.3 mit h n :== Ifnl. 0 5.5 Korollar (F. RIESZ 1928).29 Es seien 0 < p < 00, fn, f E L P, und es gelte fn -+ f /l-f.ü. und Jlfnllp -+ Ilfllp· Dann gilt: Ilfn - flip -+ O. 29F. RIESZ
[1], S. 513.
VI. Konvergenzbegriffe der Maß- und Integrationstheorie
262
Beweis: klar nach Satz 5.4 und Satz 4.5.
D
3. Der Konvergenzsatz von VITALI. Für die Funktionen In E ['P gelte In -+ 0 JL-f.ü. Wir fragen, welches Verhalten der In die Konvergenz IIlnllp -+ 0 verhindern kann. Nehmen die In auf Mengen sehr kleinen Maßes sehr große Werte an, so kann man leicht erreichen, daß In -+ 0 JL-f.ü. während zugleich Illnllp ~ 1 für alle n E N (s. Beispiel 4.11, a)). Man kann auch mühelos Funktionen konstruieren, die auf Mengen sehr großen Maßes sehr kleine Werte annehmen, so daß In -+ 0 JL-f.ü. und Illnllp ~ 1 für alle n E N (s. Beispiel 4.11, b)). Grob gesprochen besagt der Konvergenzsatz von VITALI, daß dieses die einzigen möglichen Obstruktionen sind, welche die Konvergenz Illnllp -+ 0 verhindern können. 5.6 Konvergenzsatz von Vitali (1907).30 Es seien 0 < P < 00 und I, In E (n E N). Dann sind lolgende Aussagen a), b) äquivalent: a) (In)n?) konvergiert im p-ten Mittel gegen I. b) (i) In -+ I lokal n.M. (ii) Zu jedem c > 0 gibt es ein E E 2l mit JL(E) < 00, so daß ['P
( IfnlPdtt < lEc
E
für allen
E
N.
(iii) Zu jedem c > 0 gibt es ein 6 > 0, so daß lür alle A E 2l mit JL(A) < 8 und alle n E N gilt
i
Ifnl Pdtt <
E•
Eine Folge von Funktionen In E ['P mit den Eigenschaften (ii), (iii) heißt (im p-ten Mittel) gleichgradig integrierbar. Beweis. a) =? b): Bedingung (i) ist klar nach Satz 4.3. Ist 1 ~ p < B E 2l, so liefert die Minkowskische Ungleichung
I
00
und
(i IfnlPdtt) l/p - (i IflPdtt) l/p I = IIIfnXBIlp - IlfxBllpl
~
11 (In
- l)xBllp ~ Illn - IlIp·
Nach Aufgabe IV.3.7 sind damit die Bedingungen (ii), (iii) klar. - Für 0 < p < 1 schließt man ebenso mit 11 . II~ anstelle von 11 . IIp· b) =? a): Es gelte zunächst In -+ I JL-f.ü. Zu vorgegebenem c > 0 wählen wir E E 2l gemäß (ii) und 8 > 0 gemäß (iii). Dann gibt es nach dem Satz von JEGOROW eine meßbare Menge B c E mit JL(E \ B) < 8, so daß (In I B)n>l gleichmäßig gegen I I B konvergiert. Nun schätzen wir mit (1.16) ab: -
(5.2) klfn - fl Pdtt :::;
2P {
lEc (lfnl
P+ IfI P)dtt + 2P {
--------30G. VITALI: Sull'integrazione
Opere, S. 237-255).
lE\B (lfnl
P+ Ifn dtt + { Ifn - fl Pdtt·
lB
per serie, Rend. eire. Mat. Palermo 23, 1-19 (1907) (==
§ 5. Konvergenz in ,ep Nach dem Lemma von
263 FATOU
ist hier
Die ersten beiden Terme auf der rechten Seite von (5.2) sind daher zusammen < 2P+2 E. Da (In I B)n?) gleichmäßig gegen f I B konvergiert, ist auch der dritte Term < E für alle n 2:: no (E ), und es folgt a). Es gelte nun lediglich In ---+ I lokal n.M.. Angenommen, es gibt ein 6 > 0 und eine Teilfolge (fnk)k?) mit
IIInk - Illp 2:: 6 für alle k
(5.3)
E
N.
Nach Satz 4.14 kann zusätzlich angenommen werden, daß (Ink)k?l f.ü. gegen I konvergiert, denn die Funktionen I, In verschwinden außerhalb einer Menge a-endlichen Maßes. Nach dem oben Bewiesenen gilt dann IIInk - flip ---+ 0 (k---+ (0) im Widerspruch zu (5.3). 0 Bemerkung. Der Konvergenzsatz von VITALI gilt entsprechend, wenn nur vorausgesetzt wird, daß f : X ---+ lK meßbar ist und außerhalb einer Menge aendlichen Maßes verschwindet; unter a) ist dann zusätzlich I E ,ep zu fordern. Dagegen reicht es für die Richtung "b) =} a)" nicht, I lediglich als meßbar vorauszusetzen: Es gibt Maßräume, in denen Mengen B E 2t mit J1(B) == 00 existieren, so daß J1(AnB) == 0 für alle A E 2t mit J1(A) < 00. Für I == XB, fn == 0 sind dann die Bedingungen b) erfüllt, nicht aber a). - Konvergiert z.B. fn ---+ I J1f.ü. oder In ---+ I n.M., so verschwindet f außerhalb einer Menge a-endlichen Maßes.
4. Schwache Konvergenz in ,ep. Ist V ein Banach-Raum über lK und V' der (Banach-)Raum der stetigen Linearformen V ---+ lK, so heißt eine Folge (Xn)n?l von Vektoren aus V schwach konvergent gegen x E V, falls
Ix
5.7 Definition. Es seien 1 ~ p < 00, q :== (1 - 1/p)-1 und In, f E ,CP (bzw. LP). Die Folge (In)n?l heißt schwach konvergent gegen f, wenn für alle g E ,eq (bzw. Lq) gilt:
Schreibweise: fn
~
f·
Im Unterschied zur schwachen Konvergenz bezeichnet man die (Norm- )Konvergenz in ,ep als starke Konvergenz.
VI. Konvergenzbegriffe der Maß- und Integrationstheorie
264
5.8 Folgerungen. a) Konvergiert die Folge (In)n?) aus L P (1::; p < (0) schwach gegen I E L P und schwach gegen g E L P , so ist I == g f.ü. b) Jede stark konvergente Folge in L P (1::; p < (0) ist schwach konvergent mit gleichem Limes. c) Jede schwach konvergente Folge in L P (1::; p < (0) ist beschränkt. Beweis. a) Die Voraussetzung liefert: man speziell:
Ix(1 -
g)hdM == 0 für alle hE L q • Wählt
h(x) :== { (I (x) - g(x)) II (x) - g(x) I~ -1, falls I (x) # g(x) , o, falls I (x) == g(x) ,
so ist h E L q und Ix(1 - g)h dM == Ix 1I - glP dM == 0, also ist I == g f.ü. b) Konvergiert (In)n?) in L P gegen I E L P , so gilt nach der Hölderschen Ungleichung für alle g E L q :
c) klar nach dem Satz von BANACH-STEINHAUS (Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit; s. HEWITT-STROMBERG [1], S. 217-218). D 5.9 Satz. Es seien 1 < p < 00, I, In E L P , und die Folge (1IInllp)n2: 1 sei in JR beschränkt. Konvergiert In -t I lokal n.M., so konvergiert (In)n2:1 schwach gegen I.
Beweis. Wir setzen zunächst voraus, daß sogar In -t I M-f.ü. Es sei M > 0 so gewählt, daß Illnllp ::; M für alle n E N. Dann ist nach dem Lemma von FATOU auch
Es seien nun q == (1 - l/p)-\ g E L q und c > IV.3.7 ein fJ > 0, so daß
und ein E E 2l mit M(E) <
00,
o.
Dann existieren nach Aufgabe
so daß
Nach dem Satz von JEGOROW gibt es eine meßbare Menge B c E mit M(E \ B) < fJ, so daß (In B)n2:1 gleichmäßig gegen I B konvergiert. Mit Hilfe der 1
I
§ 5. Konvergenz in
.cp
265
Hölderschen und der Minkowskischen Ungleichung können wir nun abschätzen:
11 fngdft
-1
f9dftl
: :; JEer Ifn - fllgl dft + JE\B r Ifn ~ fl Igl dft + JBrIfn - fl Igl dft q
:::; (1lfnllp + Ilfllp )
+
(
(Lc Iglq dft) l/q + (L\B Iglq dft) l/ )
(i Ifn - fl dft) l/p Ilgllq (~ + ~) + (i Ifn - fl dft ) l/p Ilgllq. P
P
:::; 2M
Wegen der gleichmäßigen Konvergenz der fn I B gegen f I Bund M(B) < 00 konvergiert der letzte Term für n ---+ 00 gegen 0, und es folgt die Behauptung im Falle fn ---+ f M-f.ü. Es gelte nun lediglich fn ---+ f lokal n.M. Angenommen, die Behauptung ist falsch. Dann gibt es ein g E .c q , ein 8 > 0 und eine Teilfolge (fnk)k~l' so daß
(5.4)
11fnkgdft-1fgdft!?J
fürallekEN.
Wieder kann nach Satz 4.14 gleich angenommen werden, daß fnk ---+ f M-f.ü., und dann gilt nach dem bereits Bewiesenen fnk ~ f im Widerspruch zu (5.4).
o Bemerkungen. a) Satz 5.9 gilt entsprechend, wenn anstelle von "f E .cp" vorausgesetzt wird: f : X ---+ lK ist meßbar und verschwindet außerhalb einer Menge a-endlichen Maßes. b) Satz 5.9 gilt nicht für p == 1: Die Folge der Funktionen fn :== nX]O,l/n[ konvergiert zwar punktweise gegen 0, IIfnll1 == 1 für alle n, aber (fn)n>l konvergiert nicht schwach gegen 0 in .c 1([0, 1]' ~tO,l]' ß~,l])' denn für g == 1-E .c oo gilt
J01fng dß1
== 1 für alle n.
Der folgende Satz von J. mit Satz 5.4 von Interesse.
RADON
und F.
RIESZ
ist besonders im Vergleich
5.10 Satz von RADON-RIESZ. 31 Es seien 1 < p < 00 und f, fn Dann sind folgende Aussagen äquivalent: a) IIfn - flip ---+ 0 (n ---+ 00). b) (fn)n?) konvergiert schwach gegen fund Ilfnllp ---+ IIfll p·
E.cP
(n E N).
Beweis. a) ~ b): klar nach Folgerung 5.8, b). b) ~ a): Für den Beweis darf gleich 11 flip > 0 angenommen werden. Es seien q :== (1 - l/p)-1 und g
(x) '== { If(x)IP / f(x), . 0,
--------31 J. RADON [1]' S. 1363; F. RIESZ
falls f(x) # 0, falls f (x) == 0 .
[1], S. 514 ff. und S. 522 ff.
VI. Konvergenzbegriffe der Maß- und Integrationstheorie
266
Dann ist Iglq == IfI P, also g E [,q und Ilgll~ == Ilfll~. Nach b) gilt für n -+
Ix
(5.5)
fngdJl--+
Ix
fgdJl
=
00
Ilfll~·
Ferner liefert die Höldersche Ungleichung nach b)
und zusammen folgt: (5.6)
Wir setzen nun für 0
:s;
A :s; 1
Dann sind In(O) und I n(l) endlich, und für 0 < A < 1 liefert die Höldersche Ungleichung (mit den Exponenten p' == l/A,q' == 1/(1- A)), daß In(A) endlich ist. Da die rechte Seite von (5.6) positiv ist, kann gleich angenommen werden, daß In(A) > 0 für alle n. Mit Hilfe der Hölderschen Ungleichung prüft man nach, daß die Funktion A t---+ log In(A) konvex ist. Nun gilt'nach b) und (5.6)
In(l)
== Ilfll~,
In(O) -+ Ilfll~, In(l - l/p) -+ Ilfll~,
und die Konvexität von log In impliziert nach Aufgabe 1.15: lim n --+ oo In(A) == I1 f II~ für 0 :s; A :s; 1. Insbesondere gilt das für A == ~, d.h.
Daher folgt:
d.h. (lfnIP/2)n~1 konvergiert im quadratischen Mittel gegen IfI P/2. Nun schließen wir indirekt: Angenommen, es gibt ein 8 > 0 und eine Teilfolge (fnk )k~l mit
(5.7)
Ilfnk - flip 2: 8 für alle k 2: 1 .
Da die Ifnk IP/2 im quadratischen Mittel gegen IfI P/ 2 konvergieren, kann nach Satz 2.7 gleich zusätzlich angenommen werden, daß
(5.8)
§ 5. Konvergenz in J:P
267
also auch (5.9) Nach (5.5), (5.6) gilt weiter
so daß wegen der Nichtnegativität des Integranden (wiederum nach Satz 2.7) gleich zusätzlich angenommen werden kann, daß Ifnkgl - Re(fnkg) -t 0 J-l-f.ü. Insbesondere folgt hieraus Im (fnkg) -t 0 J-l-f.ü., und (5.9) ergibt: fnkg -t Ifl P J-l-f.ü. Nach Definition von 9 bedeutet dies: fnkX{!fO} -t f J-l-f.ü., und aus (5.8) folgt: fnk -t f J-l-f.ü. Wegen unserer Voraussetzung Ilfnk IIp -t IIfll p impliziert nun Korollar 5.5: IIfnk - flip -t 0: Widerspruch zu (5.7)! D Ein anderer relativ einfacher Beweis des Satzes von RADON-RIESZ wird von HEWITT[1] als Übungsaufgabe (15.17) vorgeschlagen. - Folgende Charakterisierung der starken Konvergenz in .cl findet man bei DUNFORD-SCHWARTZ [1]' S. 295, Theorem 12: Für STROMBERG
In, I E.c l (n E N) sind folgende Aussagen äquivalent: a) Illn - 1111 ~ 0 (n ~ 00). b) In ~ I und In ~ I lokal n.M. Die Implikation "a) ~ b)" ist hier klar nach Folgerung 5.8, b) und Satz 4.3. Der Beweis der Umkehrung stützt sich auf den Konvergenzsatz von VITALI und eine Charakterisierung der schwach folgenkompakten Teilmengen von .cl (s. DUNFORD-SCHWARTZ, a.a.O.).
Aufgaben 5.1. Es seien J-L(X) < 00,0 < r < p::; Funktion und (In)n?l eine beschränkte Folge in
.c
(i) In ~ I n.M. (ii) Illn - Illr ~ 0 und I E
.c
p
00 p
•
.c
(also.c p c r ), I : X ~ IK eine meßbare Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
•
JA
(Hinweise: Sei Illnllp ::; M für alle n E N. Nach Satz 2.10 ist I/nl r dJ-L ::; (J-L(A))l-r/ p Mr für alle A E 2l, n E N. Gilt nun (i), so ergibt ein Teilfolgenargument mit dem Lemma von FATOU
.c
zunächst, daß I E klar nach Satz 4.3.) 5.2. Es seien 0 N).
p
,
und der Konvergenzsatz von
00,
In
E
VITALI
liefert (ii). - Die Umkehrung ist
.c Illnllp == 1, und es gebe ein M p
,
> 0, so daß I/nl ::; M (n
E
a) Es gibt ein A E 2l mit J-L(A) > 0, so daß L~=l Iln(x)la == 00 für alle x E A und a > O. (Hinweis: Die Folge (In)n?l kann nicht f.ü. gegen 0 konvergieren.) b) Konvergiert die Reihe L~=l anln n.M. gegen eine meßbare Funktion I : X ~ IK, so ist (an)n?l eine Nullfolge. (Hinweis: Gibt es ein ~ > 0 und eine Teilfolge, so daß la nk I 2:: ~ (k E N), so konvergiert (Ink)k?l n.M. gegen 0.) c) Aussage b) wird ohne die Voraussetzung der Beschränktheit der In falsch. 5.3. Für 0
falls p' ==
< p,p' ::;
00.
00
ist {Ig: I E .cP,g E .c p'} == .cpp'/(p+p'); dabei sei pp'/(p+ p') :== p,
VI. Konvergenzbegriffe der Maß- und Integrationstheorie
268
p
5.4. Es sei (In)n~l eine Folge in.c (1::; p < 00) mit L~=l IIln - In+111p < 00. Dann konvergiert die Folge der Funktionen Fn :== L~=l Ilk - Ik+11 f.ü. gegen eine Funktion F E .c p, und es gilt auch IIFn -Flip -t O. Die Folge (/n)n~l konvergiertf.ü. gegen eine Funktion I E .c p, und es gilt Illn - Illp -+
o. - Wie lautet der entsprechende Sachverhalt für 0 < p < I?
5.5. Sind In, 9 E.c P (n
E N) und gilt Ilnl ::; 9 fL-f.Ü. (n E N), so erfüllt (In)n~l die Bedingungen (ii), (iii) des Konvergenzsatzes von VITALI.
5.6. Zeigen Sie mit Hilfe von Beispielen: Die schwache Konvergenz einer Folge in.c p (1::; p
<
00) impliziert weder die Konvergenz f. Ü. noch die Konvergenz (lokal) n.M. noch die
Konvergenz in .c p. Weder die gleichmäßige Konvergenz einer Folge (von Funktionen aus .c p gegen eine Funktion aus .cP ) noch die Konvergenz n.M. impliziert die schwache Konvergenz. Aus In, I E.c P (1::; p
< 00; n
E N) und In --\. I folgt nicht Ilnl --\.
1/1.
(Hinweis: Lemma von
RIEMANN-LEBESGUE.)
5.7. Es seien (X,2t,fL) == ([0,1], Q3[O,l]'ß[O,l]) und 0 < P < 1. Dann ist 0 die einzige stetige Linearform auf .c p. (Hinweise: Ist
1I/IIp == 1 und
J: In(x) dx -+ 0 für alle a, b E [0,1], und für jedes 9 aber die Folge (In)n~l konvergiert in keinem.c
5.9. Ist 1
<
P
<
p
E
(1::; p
C 1([0, 1]) gilt J; In(x)g(x) dx -t 0,
< 00)
schwach gegen O.
00, so konvergiert eine Folge (In)n~l in .cp(IRm, Q3m, ßm) genau dann
schwach gegen I, wenn (1IInllp)n~l beschränkt ist und wenn für alle a, b E CQm mit a ::; b gilt
J[a,b] In dß1 -+ ~a,b] I dß1.
Kapitel VII Absolute Stetigkeit Im ganzen folgenden Kapitel sei 2l eine a-Algebra. Ein wesentliches Ziel der folgenden Überlegungen ist die genaue Charakterisierung aller Maße v auf 2(, die bez. eines fest vorgegebenen a-endlichen Maßes J.k auf 2l eine Dichte haben. Zentrale Ergebnisse sind hier der Satz von RADON-NIKODYM und der Lebesguesche Zerlegungssatz. Diese Sätze gelten sogar für sog. signierte Maße v, die sich von Maßen lediglich dadurch unterscheiden, daß die Forderung der Nichtnegativität fallengelassen wird. Jedes signierte Maß ist darstellbar als Differenz von Maßen (Jordanscher Zerlegungssatz). - Als Anwendung des Satzes von RADONNIKODYM bestimmen wir die Dualräume der Räume V (1 ~ p < (0). In § 4 stellen wir den Zusammenhang des Begriffs "absolut stetig" mit der Differentiation von Funktionen auf :IR her. Das führt uns zum sog. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung für das Lebesgue-Integral und zum Lebesgueschen Zerlegungssatz für Lebesgue-Stieltjessche Maße auf :IR.
§ 1.
Signierte Maße; Hahnseher und Jordanseher Zerlegungssatz "Ist
(H. HAHN [1]' S. 404-405, Satz IX, X)
1. Signierte Maße. Signierte Maße unterscheiden sich von Maßen lediglich dadurch, daß die Forderung der Nichtnegativität fallengelassen wird. 1.1 Definition. Eine Abbildung v : 2l -+ JR heißt ein signiertes Maß, wenn gilt: (i) v(0) == O.
VII. Absolute Stetigkeit
270
(ii) v(2l) C] - 00, +00] oder v(2l) C [-(X), +00[. (iii) Ist A == U~=l An mit disjunkten An E 2l, so gilt: 00
(1.1)
v(A) ==
L v(An)
(a-Additivität).
n=l Da die Addition auf] - 00, +00] und auf [-(X), +oo[ assoziativ ist, hat Bedingung (ii) zur Folge, daß die Teilsummen der Reihe unter (iii) sinnvoll sind. Von der Reihe (1.1) wird gefordert, daß sie in IR gegen v(A) konvergiert. - Anschaulich kann man sich ein signiertes Maß vorstellen als eine Ladungsverteilung, bei der sowohl positive als auch negative Ladungen verteilt sind; v(A) ist dann die gesamte auf A befindliche Ladung. 1.2 Folgerungen. Es sei v : 2l -+ JR ein signiertes Maß. a) Ist A E 2l, Iv(A) I < 00, so ist Iv(B) I < (X) für alle B E 2l, B C A. b) Ist A == U~=l An mit disjunkten An E 2l (n 2: 1) und Iv(A)1 < 00, so konvergiert die Reihe L~=l v(A n ) absolut. Beweis. a) Es ist v(A) == v(B) + v(A \ B), und nach (ii) sind beide Summanden auf der rechten Seite endlich. b) Nach a) sind alle v(A n ) E JR, und wegen (iii) konvergiert die Reihe L~=l v(A n ) unbedingt, also auch absolut. D
1.3 Beispiele. a) Sind p, a : 2l -+ IR Maße, und ist p oder a endlich, so ist v :== p - a ein signiertes Maß. Ein wesentliches Ziel dieses Paragraphen wird es sein zu zeigen, daß jedes signierte Maß v auf 2l von dieser Form ist und daß p und a bei geeigneter "minimaler" Wahl durch v eindeutig bestimmt sind (J ordanscher Zerlegungssatz). b) Sind /1 : 2l -+ IR ein Maß und f : X -+ IR quasiintegrierbar, so ist v : 2l -+ IR,
v(A) :=
i
f dJ1 (A
E
2t)
nach a) ein signiertes Maß, denn es ist v == f+ 8/1- f- 8/-l, und eines der Maße f+ 8 /1, f- 8 /1 ist endlich. Wir nennen v das signierte Maß mit der Dichte f bez. /1 und schreiben
1.4 Lemma. Es sei v : 2l -+ JR ein signiertes Maß. E 2l, An t A folgt: v(A n ) -+ v(A) (Konvergenz in IR). b) Aus An E 2l,A n tB und Iv(AI)1 < (X) folgt: v(A n ) -+ v(B).
a) Aus An
Beweis. a) Aus A == Al U U~=l (A n+l
An) (disjunkte Vereinigung) folgt
\
00
v(A)
==
v(A I )
+
L v(An+
1 \
n=l
An)
§ 1. Signierte Maße; Hahnseher und Jordanseher Zerlegungssatz
271
b) Wegen Al \A n t Al \B gilt nach a) v(A I \A n ) -+ v(A I \B). Nach Folgerung 1.2, a) sind aber in den Gleichungen v(A I ) == v(A I \ An) + v(A n ) == v(A I \ B) + v(B) alle Terme endlich, und es folgt die Behauptung. D 1.5 Definition. Ein signiertes Maß v : 2l -+ IR heißt endlich, falls v(2l) c IR. Ferner heißt va-endlich, wenn es eine Folge von Mengen E n E 2l (n 2 1) gibt mit X == U~=l E n und Iv(En)1 < 00 (n E N).
Nach Folgerung 1.2, a) ist v genau dann endlich, wenn Iv(X)1 < 00, und v ist genau dann a-endlich, wenn es eine Folge disjunkter Mengen An E 2l gibt mit X == U~=l An und Iv(An)1 < 00 (n E N). 2. Der Hahnsehe Zerlegungssatz. Stellt man sich ein signiertes Maß v : 2l -+ IR als eine Ladungsverteilung vor, so wird man erwarten, daß X sich disjunkt zerlegen läßt in zwei Mengen P, N E 2l, wobei P nur mit Ladungen 2 0 besetzt ist und N nur mit Ladungen:::; o. Der Hahnsche Zerlegungssatz wird diese anschauliche Vorstellung in vollem Umfang rechtfertigen. 1.6 Definition. Ist v : 2l -+ IR ein signiertes Maß, so heißt die Menge P E 2l (v- )positiv, falls v( A) 2 0 für alle A E 2l mit A c P. Entsprechend heißt N E 2l (v-)negativ, falls v(A) :::; 0 für alle A E 2l mit A c N. Weiter heißt Q E 2l eine (v-)Nullmenge, falls v(A) == 0 für alle A E 2l mit A c Q.
Für Maße stimmt die neue Definition des Begriffs "Nullmenge" offenbar mit der früheren überein. 1.7 Lemma. Ist v : 2l -+ [-00, +oo[ ein signiertes Maß, so enthält jedes A E 2l mit v(A) =I- -00 eine positive Menge P mit v(P) 2 v(A).
Beweis. Wir zeigen zunächst: Zu jedem E > 0 gibt es eine meßbare Menge A E C A mit v(A E ) 2 v(A), so daß v(B) 2 -E für alle meßbaren B C A E • Zum Beweis schließen wir indirekt und nehmen an, für ein E > 0 sei diese Behauptung falsch. Dann enthält jede meßbare Menge C C A mit v( C) 2 v(A) eine meßbare Menge B, so daß v(B) :::; -E. Induktiv erhalten wir eine Folge meßbarer Mengen BI C A,Bk C A \ (BI U ... U Bk-I) (k 2 2), so daß v(B k ) :::; -E (k 2 1). Da die Bk disjunkt sind, ist v (U~l Bk) == -00 im Widerspruch zu v(A) =I- -00 und Folgerung 1.2, a). Nun wenden wir obige Zwischenbehauptung induktiv an mit E == 11n und erhalten eine fallende Folge A 1 / n E 2l, so daß P :==, n~l A 1 / n positiv ist. Nach Lemma 1.4, b) ist v(P) 2 v(A). D 1.8 Hahnseher Zerlegungssatz (1921). Zu jedem signierten Maß v: 2l-+ IR existiert eine disjunkte Zerlegung ("Hahn-Zerlegung") X == P U N (P, N E 2l) von X in eine positive Menge P und eine negative Menge N. P und N sind bis auf eine v-Nullmenge eindeutig bestimmt, d.h.: Ist X == P' U N' eine zweite Hahn-Zerlegung von X in eine positive Menge P' und eine negative Menge N', so ist P DP' == N DN' eine v-Nullmenge.
VII. Absolute Stetigkeit
272
Beweis. 1 Es kann ohne Beschränkung der Allgemeinheit v(2t) C [-00, +oo[ angenommen werden. - Wir setzen Q :== sup{v(A) : A E 2t}. Nach Lemma 1.7 gibt es eine Folge (Pn)n>l positiver Mengen mit v(Pn ) ~ Q. Die Menge P :== U~=l Pn ist offenbar po~itiv, und es ist v(P) 2 v(Pn ) für alle n E N, also v(P) == Q. Damit ist insbesondere erkannt, daß Q E lR. Die Menge N :== pe ist nun negativ, denn gäbe es eine meßbare Menge BeN mit v(B) > 0, so wäre v(P U B) > Q, was unmöglich ist. Ist X == P' U N' eine zweite Hahn-Zerlegung von X und B E 2t, B c P \ pI, so ist v(B) 2 0, da B C P, und v(B) :::; 0, da B C N', also ist v(B) == 0. Daher ist P \ P' eine v-Nullmenge. Aus Symmetriegründen ist auch P' \ P eine v-Nullmenge, d.h. P 6P' == N 6N' ist eine v-Nullmenge. D Historische Anmerkung. Der Hahnsche Zerlegungssatz geht zurück auf H. HAHN [1], S. 404. Weitere Beweise des Satzes stammen von R. FRANCK: Bur une proprü§te des fonctions additives d'ensemble, Fundam. Math. 5,252-261 (1924) und W. SIERPINSKI: Demonstration d'un theoreme sur les fonctions additives d'ensemble, Fundam. Math. 5, 262-264 (1924) (== SIERPINSKI [2]' S. 537-540).
3. Positive Variation, negative Variation und Variation. Es sei v : 2t ~ == P u N. Dann heißen die
lR ein signiertes Maß mit der Hahn-Zerlegung X Maße v+ : 2t ~ lR, v+(A) :== v(A n P) die positive Variation, v- : 2t
~
(A E 2t)
lR,
v-(A) :== -v(A die negative Variation und I v I : 2t ~
n N)
(A E 2t)
lR,
die Variation von v. Da P und N bis auf eine v-Nullmenge eindeutig bestimmt sind, hängen v+, v-, I v I nur von v ab, nicht aber von der Auswahl der HahnZerlegung für v. Mindestens eines der Maße v+, v- ist endlich, und es gilt:
Daher ist v genau dann endlich (bzw. o--endlich), wenn v+ und v- endlich (bzw. o--endlich) sind, und das ist genau dann der Fall, wenn lvi endlich (bzw. 0-endlich) ist. 1 Der folgende kurze Beweis des Hahnschen Zerlegungssatzes stammt von R. Doss: The Hahn decomposition theorem, Proc. Am. Math. Soc. 80, 377 (1980).
§ 1. Signierte Maße; Hahnscher und Jordanscher Zerlegungssatz 1.9 Satz. Für jedes signierte Maß v : 2t
~
JR und A
E
273
2t gilt:
sup{v(B): B E 2t,B c A}, -inf{v(B): B E 2t,B c A},
(1.2) v+(A) (1.3) v-(A) (1.4)l v l(A)
sup
n
n
j=l
j=l
{L Iv{Aj)1 : Al, ... ,An E Q( disjunkt, A = U An} 00
sup {
L
00
Iv{Aj)1 : A j E
Q(
UA
(j .:::: 1) disjunkt, A =
j=l
j } •
j=l
Beweis. Es sei X == Pu N eine Hahn-Zerlegung für v. Für jede meßbare Menge B c Agilt zunächst
v(B)
==
v(B n P)
+ v(B n N) :s; v(B n P) :s; v(A n P)
==
v+(A) ,
also sup{v(B) : B E 2t,B c A} :s; v+(A). Andererseits ist
v+(A)
==
v(A n P) :s; sup{v(B) : B E 2t, B c A},
und es folgt (1.2). Eine Anwendung des soeben Bewiesenen auf -v anstelle von v liefert (1.3). Bezeichnen O"e (bzw. O"a) das erste (bzw. zweite) Supremum auf der rechten Seite von (1.4), so ist zunächst
Ivl(A)
==
Iv(Anp)1
+ Iv(AnN)I:S; O"e:S;
Sind andererseits Al, .. . , An E 2t disjunkt mit n
L
A j c A, so ist
n
Iv(Aj)1 :s; L(v+(A j )
j=l
also auch
U;=l
O"a·
+ v-(A j )) :s;
v+(A)
+ v-(A)
==
Ivl(A),
j=l O"a
:s; Ivl(A).
D
4. Jordanseher Zerlegungssatz. Die Zerlegung v == v+ - v- des signierten Maßes v heißt die Jordan-Zerlegung von v. Um eine wesentliche Eigenschaft dieser Zerlegung kurz aussprechen zu können, führen wir einen wichtigen neuen Begriff ein. 1.10 Definition. Zwei signierte Maße v, p : 2t ~ JR heißen zueinander singulär, wenn es eine Zerlegung X == A u B, A n B == 0, A, B E 2t gibt, so daß A eine v-Nullmenge und Beine p-Nullmenge ist; Schreibweise: v -.l p. 1.11 Beispiele. a) Ist F : JR ~ JR eine Sprungfunktion, so gilt Ap I Q31 -.l ßI. b) Ist F : JR ~ JR die Cantorsche Funktion (Beispiel 11.8.7) oder gleich der Funktion G aus Beispiel 11.8.8, so sind Ap I Q31 und ßI zueinander singulär. e) Für jedes signierte Maß v gilt: v+ -.l v-.
274
VII. Absolute Stetigkeit
1.12 Jordanscher Zerlegungssatz. Jedes signierte Maß v hat die JordanZerlegung dabei gilt: v+ l- v-. Die Jordan-Zerlegung ist minimal in folgendem Sinne: Ist v == P - a mit zwei Maßen p, a : 2t -+ IR, von denen mindestens eines endlich ist, so gilt: v+ :S p, v- :S a. Beweis. Es ist nur noch die Minimalität der Jordan-Zerlegung zu zeigen. Dazu sei v == p - a mit zwei Maßen p, a : 2t -+ IR, von denen mindestens eines endlich ist. Dann gilt für alle A E 2t: v+(A) == v(A
n P)
== p(A
n P)
- a(A
n P) :S
p(A
n P) :S
p(A) ,
also v+ :S p. Entsprechend ist auch v- :S a.
D
Historische Anmerkungen. Die Jordan-Zerlegung ist benannt nach C. JORDAN, der eine analoge Zerlegung für Funktionen von beschränkter Variation entdeckte (s. C. JORDAN: Bur la serie de Fourier, C.R. Acad. Sci., Paris 92, 228-230 (1881); s. auch CARATHEODORY [1], S. 180 ff., HAHN [1], S. 483 ff. und Aufgabe 1.10). Für Lebesgue-Stieltjessche Maße im IR:P zeigt RADON [1]' S. 1303 die Existenz einer Jordan-Zerlegung. Den allgemeinen Fall behandelt HAHN [1], S. 406-407, Satz XV, XVI.
1.13 Beispiel (H. LEBESGUE [2], S. 380 ff.). Es seien (X, 2t, J-L) ein Maßraum und f : X -+ IR quasiintegrierbar. Das signierte Maß v :== f 8 J-L mit der Dichte f bez. J-L (s. Beispiel 1.3, b)) hat die Hahn-Zerlegung X == P U N mit P :== f- 1([0, 00]), N :== f- 1([-00, OD. Daher ist v+ == f+
8 J-L,
v- == f-
8 J-L, lvi
==
Ifl8 J-L.
5. Der Banach-Verband der endlichen signierten Maße.
Die Menge
M(2t) der endlichen signierten Maße auf 2t ist (bez. der üblichen punktweisen Verknüpfungen) ein Vektorraum über JR. Setzt man v :S p :
~
v(A) :S p(A)
für alle A E 2t
(v, P E M(2t)), so erweist sich (M(2t),:S) als geordneter Vektorraum, und zwar sogar als ein Rieszscher Raum (s. Kap. VI, § 2, 5.): Zur Begründung haben wir die Existenz eines Supremums zu v, p E M(2t) zu zeigen und setzen a :== v + (p - v)+. Dann ist zunächst v :S a, und nach (1.2) ist auch p :S a. Sind nun T E M(2t), v :S T, P :S T und A E 2t, so gilt nach (1.2): (p - v)+(A)
c 2t,B c
sup{(p - v)(B) : B E 2t,B
< SUp{(T - v)(B) : B
E
A} A} == (T - v)(A) ,
also a :S T. Ergebnis: a == sup(v, p). - Wenden wir dieses Ergebnis speziell an für v == 0, so erhalten wir: p+ == sup(p, 0), d.h.: Die positive Variation p+ stimmt mit dem gemäß Kap. VI, § 2, 5. definierten Element p+ == P V 0 überein. Daher
§ 1. Signierte Maße; Hahnscher und Jordanscher Zerlegungssatz
275
sind auch die Bezeichnungen P- und Ipl mit den üblichen Bezeichnungen in einem Rieszschen Raum konform: p- == (-p) V 0, Ipl == p V (-p). Für v E M(2l) definieren wir nun die Totalvariation von v vermöge
IIvll:== Man prüft leicht nach: 1.14 Satz. (M(2l),
11 . 1I
11 . 11)
Ivl(X).
ist eine Norm auf M(2l).
ist ein Banach- Verband.
Beweis. Da für alle v,p E M(2l) mit lvi::; Ipl offenbar gilt IIvll ::; IIpll, bleibt nur die Vollständigkeit von M(2l) zu beweisen. Dazu sei (Vn )n>l eine CauchyFolge in M(2l). Dann gibt es zu jedem c > 0 ein No(c) E N,-so daß für alle m, n 2: No(c) gilt IIvm - vnll < c. Nach (1.4) gilt dann für alle m, n 2: No(c) und B E 2l
d.h. (Vn )n2:1 konvergiert gleichmäßig auf 2l gegen eine Funktion v : 2l ---+ JR. Offenbar ist v endlich-additiv. Wir zeigen: v ist a-additiv. Dazu seien (B k )k>l eine Folge disjunkter Mengen aus 2l, B :== U~=l Bk und c > 0; N :== N o(cj3). Da VN ein signiertes Maß ist, gibt es ein no(c) E N, so daß n
IVN(B) -
L vN(Bk) I < E/3
für alle n
~ no(E).
k=l
Damit wird für alle n 2: no(c)
Iv(B) -
t
v(Bk)!
k=l
~ Iv(B) - vN(B)! + IVN(B) - ~ vN(Bk)1 + IVN (~Bk)
- V
(~ Bk) I <
E.
o 1.15 Satz. M(2l) ist ordnungsvollständig.
Beweis. Ist 0 # M c M(2l) nach oben beschränkt, so ist auch 1M :== {sup E : E c M endlich, E # 0} nach oben beschränkt, und v E M(2l) ist genau dann
Supremum von M, wenn v Supremum von 1M ist. Die Existenz eines Supremums von 1M zeigt man wie in Aufgabe 11.1.4 (Alternative: Aufgabe 1.4). (Warnung: Es ist zwar (sup 1M)(A) == sup{v(A) : v E M}, aber die entsprechende GI. mit M anstelle von M ist nicht notwendig richtig.) 0
6. Kurzbiographie von
H. HAHN.
HANS HAHN
wurde am 27.09.1879 in Wien geboren.
Er studierte Mathematik an den Universitäten Straßburg, München und Wien, wo er im Juli 1902, am Ende seines achten Semesters, zum Doktor der Philosophie promoviert wurde. In den folgenden Jahren setzte
HAHN
seine Ausbildung bei G.
VON ESCHERICH
(1849-1935),
276
VII. Absolute Stetigkeit
F. MERTENS (1840-1927) und W. WIRTINGER (1865-1945) in Wien und D. HILBERT, F. KLEIN und H. MINKOWSKI in Göttingen fort und verfaßte seine ersten Arbeiten. Nach der Habilitation in Wien (1905) und einigen Jahren als Dozent in Wien erhielt er 1909 ein Extraordinariat an der Universität Czernowitz (am Oberlauf des Pruth, damals Hauptstadt des österreichischen Herzogtums Bukowina, heute Tschernowzy, Ukraine). Im Ersten Weltkrieg erlitt HAHN 1915 eine schwere Verwundung. Nach einer Tätigkeit als Extraordinarius (1916) und Ordinarius (1917) an der Universität Bonn kehrte er 1921 an die Universität Wien zurück, wo er bis zu seinem Tode am 24.07.1934 eine fruchtbare Tätigkeit entfaltete. - HAHN verband starkes mathematisches Talent mit unermüdlicher Arbeitskraft. Seine Vorlesungen waren auf das genaueste vorbereitet und wurden in vollendetem Stil vorgetragen. Neben seinen vielseitigen mathematischen Arbeiten hegte HAHN größtes Interesse für Philosophie, insbesondere für Logik und mathematische Grundlagenforschung. In Aufsätzen und öffentlichen Vorträgen trat er für die Philosophie des logischen Positivismus ein und war führendes Mitglied des berühmten Wien er Kreises, einer Gruppe positivistischer Philosophen und Wissenschaftler, der u.a. die Mathematiker K. MENGER (1902-1985) und K. REIDEMEISTER (1893-1971), der Logiker K. GÖDEL (1906-1978), der Logiker und Philosoph R. CARNAP (1891-1970) und der Philosoph und Wissenschaftstheoretiker Sir KARL POPPER (1902-1994) angehörten. Ein lebendiges Bild von H. HAHN und dem Wiener Kreis zeichnet K. SIGMUND: A philosopher's mathematician: Hans Hahn and the Vienna Circle, Math. Intell. 17, No. 4, 16-29 (1995). In seinen mathematischen Arbeiten wendet sich HAHN zunächst im Anschluß an Untersuchungen von G. VON ESCHERICH der Variationsrechnung zu. Bedeutende Beiträge liefert er zur Mengenlehre und Topologie (Charakterisierung der stetigen Bilder einer Strecke; s. Bemerkungen nach Satz 11.9.9). Eine besondere Meisterschaft entwickelt HAHN auf dem Gebiet der reellen Funktionen (Hellinger-Integral, Riemann-Integral und Lebesgue-Integral, Darstellung von Funktionen durch singuläre Integrale, Satz von PARSEVAL für vollständige Orthonormalsysteme, Fourier-Reihen, Fouriersche Umkehrformel, Produkte abstrakter Maßräume).
Habent sua fata libelli: Die Entstehungsgeschichte der Lehrbücher von HAHN [1], [2] und HAHN-ROSENTHAL [1] spiegelt in beklemmender Weise die leidvolle Geschichte Mitteleuropas in der ersten Hälfte des 20. Jh. Hiervon legen die Vorworte zu diesen Werken ein beredtes Zeugnis ab. Dank des umfassenden Wissens von H. HAHN und A. ROSENTHAL (1887-1959) ist in diesen Lehrbüchern viel Wertvolles enthalten, das diese Werke bis auf den heutigen Tag zu Fundgruben macht. - HAHN ist einer der Begründer der Funktionalanalysis. In seiner Arbeit Über Folgen linearer Operationen (Monatsh. Math. Phys. 32, 3-88 (1922)) führt er unabhängig von S. BANACH den Begriff eines vollständigen normierten linearen Raums ein. Als zentrales Resultat beweist er einen Satz über gleichmäßige Beschränktheit von Folgen linearer Funktionale, der unter dem Namen Satz von BANACH-STEINHAUS oder Prinzip der
gleichmäßigen Beschränktheit zum ehernen Bestand der Funktionalanalysis gehört. Zwei Jahre früher als BANACH beweist HAHN (Über lineare Gleichungssysteme in linearen Räumen, J. reine angew. Math. 157,214-229 (1927)) den sog. Satz von HAHN-BANACH über die Fortsetzbarkeit linearer Funktionale, der ebenfalls zu den Säulen der Funktionalanalysis zählt. - Die gesammelten Abhandlungen (3 Bde.) von HANS HAHN sind 1997 im Springer-Verlag, Wien erschienen.
§ 1. Signierte Maße; Hahnseher und Jordanseher Zerlegungssatz
277
Aufgaben. 1.1. Es seien v, p signierte Maße auf 2l. a) Für A E 2l sind folgende Aussagen äquivalent: (i) A ist eine v-Nullmenge. (ii) A ist eine v+ - und eine v- -Nullmenge. (iii) A ist eine Ivl-Nullmenge. b) Folgende Aussagen sind äquivalent:
(i) v.l p; (ii) v+ .l p und v- .l p; (iii) .l p; (iv) .l Sind zusätzlich p, v endlich, so sind (i)-(iv) auch äquivalent zu
(v)
lvi lvi Ipl· Ivl/\ Ipl == o.
1.2. Es seien v : 2l -+ IR:. ein signiertes Maß, p, (J" Maße auf 2l, von denen mindestens eines endlich ist, und es gelte v == p - (J", P .l (J". Dann ist p == v+ , (J" == v-. 1.3. Sind (X, 2l, fl) ein Maßraum und j, 9 : X -+
IR integrierbar, so gilt:
sup(j 8 fl, 9 8 J-L) == (sup(j, g)) 8 fl· 1.4. Ist M =I- f/J eine nach oben beschränkte Teilmenge von M(2l), so gilt für alle A E 2l:
(supM)(A)
sup {
t
Aj{Aj ) : Ab"" An E 2l disjunkt ,
j=l
A
=
U
Aj,Ab" .,A n E M,n E
N}.
j=l
1.5. a) Ist v : 2l --+ [-00, +oo[ ein signiertes Maß, so gibt es ein P E 2l mit v(P) == max{v(A) : A E 2l} < 00. Insbesondere ist jedes endliche signierte Maß v : 2l -+ IR:. beschränkt, d.h. es gibt ein reelles a > 0, so daß Iv(A) I ::; a für alle A E 2l. b) Erfüllt r.p : 2l --+ IR die Bedingungen aus Definition 1.1, wobei (iii) abgeschwächt wird zur endlichen Additivität (r.p(A U B) == r.p(A) + r.p(B) für alle disjunkten A, B E 2l), so heißt r.p ein signierter Inhalt auf 2l; dabei braucht 2l nur ein Ring über X zu sein. Ist r.p(2l) C IR:., so heißt r.p endlich. Zeigen Sie: Ein endlicher signierter Inhalt braucht nicht beschränkt zu sein. Ein endlicher (J"-additiver signierter Inhalt braucht keine Fortsetzung zu einem signierten Maß zu haben. (Hinweis: Es seien 2l die von den einelementigen Teilmengen einer überabzählbaren Menge X erzeugte Algebra und r.p(A) :== lAI, falls A endlich ist, und r.p(A) :== -IAcI, falls Ac endlich ist.) 1.6. Es sei r.p : 2l --+ IR ein signierter Inhalt auf der Algebra 2l über X. a) Ist r.p nach oben oder unten beschränkt, so sind r.p+, r.p- : 2l -+ IR,
.-
sup{r.p(B): B C A, B E 2l}, -inf{r.p(B): Be A,B E 2l}
zwei Inhalte, von denen mindestens einer endlich (und damit beschränkt) ist, und es gilt r.p == r.p+ - r.p-. Diese Zerlegung ist minimal in folgendem Sinne: Sind p, (J" : 2l -+ IR zwei Inhalte, von denen einer endlich ist, und gilt r.p == P - (J", so ist r.p+ ::; p, r.p- ::; (J". b) Ist r.p (J"-additiv und nach oben oder unten beschränkt, so sind r.p+ und r.p- Prämaße. c) r.p gestattet genau dann eine Fortsetzung zu einem signierten Maß auf (J"(2l), wenn r.p (J"additiv und nach oben oder unten beschränkt ist. 1.7. Eine Abbildung v : 2l -+ C heißt ein komplexes Maß, wenn für jede Folge disjunkter Mengen An E 2l (n 2: 1) gilt: v (U~=l An) == L~=l v(A n ). - Es sei v ein komplexes Maß.
278
VII. Absolute Stetigkeit
Die Variation
Iv I von v wird definiert durch
Id(A) := sup
{~IV(Aj)1 : An
E 2l disjunkt
(j 2: l),A =
g
Aj } .
Eine Menge A E 2l heißt eine v-Nullmenge, falls v(B) = 0 für alle B E 2l, B C A. a) v ist genau dann ein komplexes Maß, wenn Rev, Im v endliche signierte Maße sind. b) Aufgabe 1.1 gilt sinngemäß für komplexe Maße. c) ist das kleinste positive Maß J-L auf 2l, so daß Iv(A)1 S; J-L(A) für alle A E 2l.
lvi
lvi (X)
(v E
ein komplexes Maß; v heißt das komplexe Maß mit der Dichte 1 bez. v; Schreibweise: v = Zeigen Sie: = 1118 /-l.
18/-l.
d) Der Vektorraum Mc(2l) der komplexen Maße auf2l ist bez. der Norm IIvll := Mc(2l)) ein komplexer Banach-Raum. 1.8. Ist (X, 2l, J-L) ein Maßraum und
1 : X ---+ C
v(A) :=
L!
integrierbar, so ist v : 2l ---+ C,
dp
(A E 2l)
lvi
Iv I Ipl;
1.9. Zwei komplexe Maße v, p auf2l heißen zueinander singulär, falls ..1 Schreibweise: v ..1 p. -Sind v, p komplexe Maße auf 2l, so sind folgende Aussagen äquivalent: a) v ..1 p; b) IIv + pli = Ilvll + Ilpll und IIv - pli = IIvll + IIpll; c) IIv + pli + IIv - pli = 2(lIvli + IIpll)· 1.10. Ist
1 : [a, b] ---+
IR eine Funktion, so heißt
Var(f; [a, b]) := sup
{~ 1!(Xk) -
!(xk-Ill : a = Xo < Xl < ... < Xn
=
b, n
E N}
die Totalvariation von 1 über [a, b], und 1 heißt von beschränkter Variation über [a, b], falls Var(l; [a, bJ) < 00. Entsprechend nennt man das Supremum der Menge aller Summen n
L max(l(xk) -
I(Xk-I), 0), a
= Xo < Xl < ... < Xn = b
k=l
die positive Variation Var+ (I; [a, bJ) und das Supremum der Menge aller Summen n
- L min(l(xk) -
I(Xk-I), 0), a
= Xo < Xl < ... < Xn = b
k=l
die negative Variation Var- (I; [a, bJ) von 1 über [a, b]. a) Für a < c < bist Var(l; [a, bJ) = Var(l; [a, cJ) + Var(l; [c, bJ). Entsprechendes gilt für Var+ und Var-. b) Die Menge BV (a, b) der Funktionen 1 : [a, b] ---+ IR von beschränkter Variation ist ein Vektorraum über IR. c) Jede monotone und jede Lipschitz-stetige Funktion 1 : [a, b] ---+ IR sind von beschränkter Variation. - Ist r.p : [a, b] ---+ IR Lebesgue-integrierbar, so ist I(x) := r.p(t) dt (a S; X S; b) von beschränkter Variation. d) Für alle 1 E BV (a, b) gilt:
J:
I(b) - I(a) Var(l; [a, bJ)
Var+ (I; [a, b])
+ Var- (I; [a, b]) .
1 E BV(a, b) ist Differenz monotoner Funktionen; genauer gilt: Die Funktionen := Var+(I; [a,xJ),t-(x) := Var-(I; [a,xJ) sind monoton wachsend mit 1 = I(a) +t+-
e) Jedes
t+(x)
Var+ (I; [a, bJ) - Var- (I; [a, bJ) ,
§ 2. Satz von
RADON-NIKODYM
und Lebesguescher Zerlegungssatz
279
t-. Diese Darstellung von f als Differenz zweier wachsender Funktionen heißt Minimalzerlegung von f, denn sie ist minimal in folgendem Sinne: Ist f == 9 - h mit wachsenden Funktionen g, h : [a, b] -+ IR, so sind 9 - t+ und h - t- wachsend. (Bemerkung: Wegen der Analogie dieser von C. JORDAN entdeckten Zerlegung zur Darstellung (*) v == v+ - v- nennt man (*) die Jordan-Zerlegung von v; s. auch h).) f) Ist f E BV (a, b), so hat f höchstens abzählbar viele Unstetigkeitsstellen und in jedem x E [a, b] einen rechtsseitigen und einen linksseitigen Grenzwert. g) Sind f,t+,t- wie in e), so gilt für kein x E [a,b[ zugleich t+(x + 0) - t+(x) > 0 und t- (x + 0) - t- (x) > O. Entsprechendes gilt für die linksseitigen Grenzwerte. Daher ist f in x E [a, b] genau dann (rechts- bzw. linksseitig) stetig, wenn t+ und t- in x (rechts- bzw. linksseitig) stetig sind, und das ist genau dann der Fall, wenn t == t+ + t- in x (rechts- bzw. linksseitig) stetig ist. Insbesondere ist f E BV(a, b) genau dann stetig, wenn die Komponenten der Minimalzerlegung von f stetig sind. h) Ist f E BV(a, b) auf Ja, b[ rechtsseitig stetig, so definieren t+, t- gemäß Kap. 11 zwei endliche Maße p, (J" auf Qt :== ~1 I [a, b]. Zeigen Sie: Für das endliche signierte Maß v :== p - (J" auf Qt gilt v+ == p, v- == (J", d.h. der Minimalzerlegung von f entspricht die Jordan-Zerlegung von v. i) Jedes f E BV(a, b) läßt sich schreiben als f == s + 9 mit der Sprung/unktion s E BV(a, b), s(a) :== 0,
s(x) :== f(a
+ 0) -
f(a)
+
L
(f(u
+ 0) -
f(u - 0))
+ (f(x)
- f(x - 0))
(a < x :::; b),
a
wobei die Summation über alle Unstetigkeitsstellen u E]a, x[ von
f
zu erstrecken ist, und der
stetigen Funktion 9 :== f - s E BV (a, b).
§ 2.
Der Satz von RADON-NIKODYM und der Lebesguesche Zerlegungssatz «La condition necessaire et suffisante pour qu'une fonction F(E) soit parfaitement additive et J.l-continue est qu'il existe une fonction J.l-sommable f(x) teIle que
F(E)
=
L
f dJL
pour tout E E .R.»2 (0. NIKODYM [1], S. 135)
1. Absolute Stetigkeit. Ist j1 ein Maß auf 2t und v == f 8 j1 mit der quasiintegrierbaren Dichte f : X -+ IR, so ist nach Korollar IV.2.11 jede j1-Nullmenge eine v-Nullmenge. - Allgemein definieren wir nun: 2.1 Definition. Sind j1, v signierte (oder komplexe) Maße auf 2t, so heißt v j1stetig oder absolut stetig bez. j1, falls jede j1-Nullmenge eine v-Nullmenge ist; Schreibweise: v « j1. Hinreichend für die absolute Stetigkeit des signierten Maßes v bez. des Maßes j1 ist also die Existenz einer (quasiintegrierbaren) Dichte f von v bez. j1. 2Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß eine [reellwertige] Funktion F(E) (J"-additiv und J.l-stetig [bez. des endlichen Maßes J.l] ist, ist die Existenz einer J.lintegrierbaren Funktion f(x), so daß F(E) == JE f dJ.l für alle E E .R.
VII. Absolute Stetigkeit
280
Wesentliches Ziel dieses Paragraphen wird es sein zu zeigen, daß umgekehrt aus v « J1 notwendig die Existenz einer Dichte von v bez. J1 folgt, falls J1 a -endlich ist (Satz von RADON-NIKODYM). 2. Der Satz von RADON-NIKODYM. Der Schlüssel zum Beweis des Satzes von RADON-NIKODYM ist der folgende Spezialfall dieses Satzes. 2.2 Lemma. Sind v, p endliche Maße auf 2( mit v :::; p, so gibt es eine meßbare Funktion h : X -+ [0,1] mit v == h 8 p.
Beweis (nach R.C. BRADLEY, Amer. Math. Monthly 96,437-440 (1989)). Eine Familie P == {Al, ... , Am} disjunkter Mengen Al, ... ,Am E 2( mit UT=1 A j == X heißt eine meßbare Partition von X. Die meßbare Partition Q == {BI, ... , B n } von X heißt eine Verfeinerung von P, falls jedes Bk in einem A j enthalten ist, und dann bilden die in A j enthaltenen Bi eine meßbare Partition von A j • Zu je zwei meßbaren Partitionen P :== {Al' ... ' Am}, Q == {BI' ... ' B n } existiert eine gröbste gemeinsame Verfeinerung, nämlich {A j n Bk : j == 1, ... , m; k == 1, ... , n}. Jeder meßbaren Partition P == {Al' ... ' Am} ordnen wir eine Treppenfunktion p : X -+ [0,1] zu, indem wir für x E A k , k == 1, ... , m setzen
p(x)
v(A k )/ p(A k )
:== {
o
,
,
falls p(A k ) > 0, falls p(A k ) == 0 .
Die Treppenfunktion p mißt die "Dichte" von v bez. p in bezug auf die Partition P. - Für jede endliche Vereinigung A von Mengen aus P ist v(A) == IAPdp. Ist also Q eine Verfeinerung von P, so gilt für das zugehörige q und alle A E P
i
qdp = v(A)
=
i
pdp.
Da p auf den A E P konstant ist, folgt IApqdp == I A P2 dp Ix pq dp == Ix p2 dp. Daher ist für jede Verfeinerung Q von P
(A
E
P), also
k ldP - k P2dP = k(q_p)2dP?O.
(2.1) Es sei nun
a := sup
{k
p2 dp : P meßbare Partition von X } .
Dann ist 0 :::; a :::; p(X) < 00. Zu jedem n E N existiert eine meßbare Partition P n von X, so daß für das zugehörige Pn gilt:
(2.2)
a:;:,
rp~
Jx
dp :;:, a -
~.
n
Wegen (2.1) kann ohne Beschränkung der Allgemeinheit angenommen werden, daß P n +l eine Verfeinerung von P n ist. Dann gilt aber nach (2.1), (2.2) für alle n>m (Pn - Pm) dp == Pn dp Pm dp < -1 ,
/
X
2/2/2 X
x
m
§ 2. Satz von
RADON-NIKODYM
und Lebesguescher Zerlegungssatz
281
d.h. (Pn)n~l ist eine Cauchy-Folge in L 2(p). Es gibt also ein h E L 2(p) mit IIPn - hl1 2 -+ 0, und wegen 0 ~ Pn ~ 1 kann gleich 0 ~ h ~ 1 angenommen werden (Korollar VL2. 7). Ist nun A E 2l, so seien Qn die gröbste gemeinsame Verfeinerung von Pn und {A,AC} und qn die entsprechende Treppenfunktion. Nach (2.1), (2.2) gilt dann IIPn - qnl12 -+ 0, also v(A)
=
i
qn dp
=
(qn, XA)
=
(Pn, XA)
+ (qn ~ Pn, XA)
-+ (h, XA) =
i
h dp. D
Zweiter Beweis von Lemma 2.2 (nach J. VON NEUMANN, Ann. Math., 11. Sero 41,94-161 (1940), insbes. S. 127 ff. (== [4]' S. 194 ff.; s. auch [5], S. 99, Fußnote 24)). Wegen v ~ p und p(X) < 00 ist L~(p) C L~(V) c L~(V). Daher ist die Linearform f 1-+ Jx f dv (f E L~(p)) wohldefiniert und stetig (Satz VL2.10). Nach dem bekannten Darstellungssatz von F. RIESZ 3 für stetige Linearformen auf einem Hilbert-Raum existiert ein h E L~(p), so daß
L
j dv
=
U,h)
=
L
jhdp
für alle j E Li(p)·
Wählt man f == XA (A E 2l), so folgt v == h8p. - Angenommen, es sei p(E) > 0 mit E :== {h > I}. Dann ist v(E) == JE h dp > p(E): Widerspruch! Daher ist h ~ 1 p-f.ü. Entsprechend ist auch h 2:: 0 p-f.ü., d.h. es kann h : X -+ [0,1] D gewählt werden.
2.3 Satz von RADON-NIKODYM. Es seien J-l ein a-endliches Maß und v « J-l ein signiertes Maß auf 2l. Dann hat v eine Dichte bez. J-l, d.h. es gibt eine quasiintegrierbare Funktion f : X -+ lR, so daß v == f 8 J-l, und fist J-l-f.ü. eindeutig bestimmt. Ist v ein Maß, so kann f 2:: 0 gewählt werden. Beweis. Die Eindeutigkeitsaussage ist bekannt aus Satz IV.4.5. - Nach dem Jordanschen Zerlegungssatz braucht die Existenz nur für Maße v bewiesen zu werden, denn für signierte Maße v ist v « J-l gleichbedeutend mit v+ « J-l und v- « J-l. Es sei also im folgenden v ein Maß. Wir führen den Existenzbeweis in drei Schritten: (1) Die Behauptung gilt für endliche Maße J-l, v mit v « J-l. Begründung: Zum endlichen Maß 7 :== J-l + v existieren nach Lemma 2.2 zwei meßbare Funktionen g, h : X -+ [0,1] mit J-l == g87, V == h87. Für N :== {g == O} gilt J-l(N) == JNgd7 == 0, also auch v(N) == 0, denn v« J-l. Die Funktion .==
f( x. )
{h(X)/9(x) für x 0 für x
--------3Darstellungssatz von F. RIESZ. Ist ep : H -+
E NC, E N
JE( eine stetige Linearform auf dem HilbertRaum H, so gibt es ein h E H, so daß ep(f) == (f, h) für alle fEH. Beweis. Für ep == 0 leistet h == 0 das Gewünschte. Im Falle ep -# 0 ist U :== Kernep ein abgeschlossener linearer Teilraum von H, U -# H. Daher gibt es nach dem Projektionssatz von F. RIESZ (s. IV.2.3) ein v E H,v -# o,v ..1 U. Wegen ep(v) -# 0 kann gleich ep(v) == 1 angenommen werden. Für jedes fEH ist dann f - ep(f)v E U, also (f, v) == ep(f)lIvIl 2 , und h :== IIvll- 2 v leistet das Verlangte. 0
VII. Absolute Stetigkeit
282 ist nicht-negativ, 2l-meßbar, und für alle A E 2l gilt:
v(A) = v(A n Ne) = ==
r
JA nNc
l
hdT
=
I df-1 ==
AnNc
r
JAnNc
l
fgdT
I df-1 == I 0 f-1(A) . -
A
(2) Die Behauptung gilt für endliche Maße f-1 und beliebige Maße v mit v Begründung: Es sei G:
:==
sup{f-1(B) : B E 2l, v(B) < oo}
(S; f-1(X) <
«
f-1.
00) .
Dann gibt es eine wachsende Folge von Mengen B n E 2l mit v(B n) < und es ist E :== U:=l B n E 2l, f-1(E) == G:. Es seien nun A E 2l, A c F :== EC und v(A) < 00. Dann ist
00,
f-1(B n) t
G:,
G:
+ f-1(A)
==
lim f-1(B n U A) S; a ,
n---too
denn v(BnuA) < 00. Es folgt: f-1(A) == 0, also auch v(A) == O. Ergebnis: Für jedes A E 2l mit A c F gilt entweder f-1(A) == v(A) == 0 oder f-1(A) > 0, v(A) == 00. Nun ist E n :== B n \ B n- 1 (n 2: 1; BQ :== 0) eine Folge disjunkter Mengen aus 2l mit U:=l E n == E und v(En) < 00. Wir setzen V n :== XE n 0 v (n 2: 1), VF :== XF 0 v. Dann sind die V n endliche Maße auf 2l mit V n « f-1. Nach dem ersten Schritt gibt es Funktionen In E M+ mit V n == In 8 f-1. Weiter ist nach dem oben Bewiesenen VF == (00 . XF) 8 f-1, und es folgt: 00
v ==
L
n=l
00
Vn
+ VF
L In 0 f-1 +
(00 . XF)
8 f-1
n=l
(~fn+OO.XF) 8~.-
(3) Die Behauptung gilt für O"-endliche Maße f-1 und beliebige Maße v mit v « f-1. Begründung: Es gibt eine Folge disjunkter Mengen An E 2l mit f-1(A n) < 00 und
U:=l An == X. Die Maße f-1n :== XA n 8 f-1, V n :== XA n 8 verfüllen die Voraussetzungen von (2), denn f-1n(X) < 00, V n « f-1n. Daher gibt es ein In E M+ mit V n == In 8 f-1n, und wählt man gleich In I A~ == 0, so ist V n == In 8 f-1, also
o In der Situation des Satzes von RADON-NIKODYM bezeichnet man die Dichte I auch als die RADON-NIKODYM-Ableitung und schreibt I == dv/ df-1. Diese Schreibweise als formale Ableitung wird motiviert durch Aufgabe 2.4.
§ 2. Satz von RADON-NIKODYM und Lebesguescher Zerlegungssatz
283
2.4 Korollar. In der Situation des Satzes von RADON-NIKODYM gilt: I : X ---+ [O,oo[ und eine Menge F E 2(, so daß
a) Ist v ein Maß, so gibt es eine meßbare Funktion
b) v ist genau dann endlich, wenn eine integrierbare Dichtei: X bez. J-l existiert. c) v ist genau dann O"-endlich, wenn eine reellwertige Dichtei: X bez. J-l existiert.
---+
lR von v
---+
lR von v
Beweis. a) wurde oben bewiesen und b) ist klar. - c) Existiert eine reellwertige Dichte I von v bez. J-l, so seien (An)n~l eine Folge von Mengen aus 2( mit An i X, J-l(An) < 00 und B n :== An n {11I::; n} (n E N). Dann gilt B n E 2(, B n i X und Iv(Bn) I < 00, also ist v O"-endlich. - Ist umgekehrt v 0"endlich, so seien (En)n~l eine Folge disjunkter Mengen aus 2l. mit U~=l En == X, Iv(En)1 < 00 (n E N) und V n :== XEn 8 v (n E N). Dann ist V n ein endliches signiertes Maß auf 2l., V n « J-l. Daher hat V n eine (J-l- integrierbare) reellwertige Dichte In, und wählen wir gleich In I E~ == 0, so ist I == L~=l In eine reellwertige (quasiintegrierbare) Dichte von v == L~l V n bez. J-l. D
Der Satz von RADON-NIKODYM gilt allgemeiner für sog. zerlegbare Maßräume (X, 2(, J-l) anstelle O"-endlicher (s. HEWITT-STROMBERG [1], S. 317-320, KÖLZOW [1]' RAO [1]). Die Voraussetzung der O"-Endlichkeit kann aber nicht ersatzlos gestrichen werden, wie die folgenden Beispiele lehren. 4
i- 0,2( == {0, X} und J-l(0) == 0, J-l(X) == 00, v(0) == J-l, aber v hat keine Dichte bez. J-l. b) Es seien J-l das Zählmaß auf 2l. :== ~l I [0, 1] und v :== ßl I 2l.. Dann gilt v « J-l, aber v hat keine Dichte bez. J-l: Wäre nämlich v == I 8 JL mit I E M+, so wäre I reellwertig und J-l-integrierbar, da v([O,I]) < 00. Dann gäbe es aber eine abzählbare Menge A C [0,1] mit I I Ac == 0 (J-l == Zählmaß!), und es wäre 1 == v(AC) == JAc I dJL == 0: Widerspruch! - Setzt man p(A) :== 0 für abzählbares A E 2l. und p(A) :== 00 für überabzählbares A E 2l., so gilt ebenfalls v « p, aber v hat keine Dichte bez. p. 2.5 Beispiele. a) Ist X
0, v(X) == 1, so gilt v
«
Historische Anmerkungen. G. VITALI ([1], S. 207) nennt 1905 eine Funktion F : [a, b] ~ IR absolut stetig, wenn zu jedem € > 0 ein 8 > 0 existiert, so daß I:~=l IF(ßk) - F(ak)1 < € für alle a ::; al < ßl ::; ... ::; an < ßn ::; b,n E N mit I:~=l(ßk - ak) < 8. Ferner nennt er F ein unbestimmtes Integral (Iunzione integrale), falls eine integrierbare Funktion I existiert, so daß F(x) - F(a) = fax I(t) dt für a ::; x ::; b, und er zeigt: «Condizione neeessaria e suffieiente perehe una funzione F(x) sia in (a, b) una funzione integrale e ehe 4Eine Charakterisierung derjenigen O"-Algebren, auf denen die O"-Endliehkeit von J-L eine notwendige Voraussetzung für die Gültigkeit des Satzes von RADON-NIKODYM ist, findet man bei W.C. BELL und J.W. HAGOOD: The necessity 01 sigma-finiteness in the RADONNIKODYM theorem, Mathematika 28,99-101 (1981).
284
VII. Absolute Stetigkeit
essa sia assolutamente continua in (a, b)>>(s. hierzu Hauptsatz 4.14 und Korollar 4.15).5 H. LEBESGUE reklamiert 1907 in einem Brief an VITALI seine Priorität (s. VITALI [1]' S. 457460), räumt aber ein: « ... je n'avais pas mis mon resultat en lumiere... ».6 LEBESGUE ([2]' S. 223) beweist 1910 den Satz von RADON-NIKODYM im Spezialfall J-l == AP; daher wird der Satz oft auch nach LEBESGUE-RADON-NIKODYM benannt. Der Lebesgueschen Arbeit entnimmt RADoN ([1], insbes. S. 1351) wesentliche Anregungen für seinen Beweis im Fall eines LebesgueStieltjesschen Maßes im ffi.P. Auch P.J. DANIELL (1889-1946) beweist den Satz für LebesgueStieltjessche Maße im IRP (Bull. Am. Math. Soc. 26,444-448 (1920)). Die allgemeine Fassung des Satzes stammt von O. NIKODYM [1]. In dieser Arbeit zeigt NIKODYM auch, wie sich für Maße auf a-Algebren über abstrakten Mengen bequem eine Integrationstheorie nach dem Vorbild von LEBESGUE, RADoN und FRECHET entwickeln läßt. - Eine verbandstheoretische Version des Satzes von RADON-NIKODYM findet man bei G. BIRKHOFF: Lattice theory, third ed., Providence (R.1.): Amer. Math. Soc. 1973, S. 375. 3. Kurzbiographie von O. NIKODYM. OTTON MARTIN NIKODYM wurde am 13.08.1887im
Marktflecken Zablotow am Oberlauf des Pruth unweit Kolomea (Kolomya) geboren. Damals gehörte Zablotow zum österreichischen Kronland Galizien, nach der Wiederbegründung des polnischen Staates (1918) zu Polen, nach dem 11. Weltkrieg zur UdSSR und heute unter dem Namen Sabolotow zur Ukraine; dasselbe gilt für die damalige galizische Hauptstadt Lemberg (polnisch Lwow, ukrainisch Lwiw). Nach dem Umzug seiner Familie nach Lemberg (1897) besuchte NIKODYM dort die Schule und studierte anschließend Mathematik und Physik an der Universität Lemberg. Seine akademischen Lehrer im Fach Mathematik waren der explorateur de l'infini7 W. SIERPINSKI (1882-1969), der sich 1908 in Lemberg habilitiert hatte und dort 1909 eine der weltweit ersten systematischen Vorlesungen über Mengenlehre hielt, und J. PUZYNA (1856-1919), zu dessen Arbeitsgebieten die damals sehr neue Theorie der Integralgleichungen und die Funktionentheorie zählten. Nach dem Abschlußexamen (1911) arbeitete NIKODYM - wie sein Freund S. BANACH - als Lehrer an einer der höheren Schulen Krakaus. Zeit seines Lebens blieb er ein engagierter Lehrer. O. NIKODYM ist mit der "Entdeckung" von S. BANACH eng verbunden. H. STEINHAUS erinnerte sich (Scripta Math. 26, 93-100 (1961)): "On a walk along the Cracow Green Belt one summer evening in 1916, I overheard a conversation, or rather only a few words; but these 'the Lebesgue integral', were so unexpected that I went up to the bench and introduced myself to the speakers - Stefan Banach and Otto Nikodym discussing mathematics. They told me they had a third member of their little group, [Witold] Wilkosz [(1891-1941)). The three companions were linked not only by mathematics, but also by the hopeless plight of young people in what was then the fortress of Cracow - an insecure future, no opportunities for work and no contacts with scientists, foreign or even Polish. This indeed was the atmosphere in the Cracow of 1916." Die Wiederbegründung des polnischen Staates nach dem 1. Weltkrieg führte zu einem Aufblühen des wissenschaftlichen Lebens und zur Begründung der sog. Polnischen Schule der Mathematik, in der mathematische Grundlagenforschung, Mengenlehre, Topologie, reelle Funktionen, Maßund Integrationstheorie und Funktionalanalysis besonders gepflegt wurden. Bei der Gründung der Polnischen Mathematischen Gesellschaft in Krakau (1919) gehörten S. BANACH und O. 5Notwendig und hinreichend dafür, daß eine Funktion F in (a, b) unbestimmtes Integral ist, ist ihre absolute Stetigkeit in (a, b). 6 ..• ich habe mein Resultat nicht ins [rechte] Licht gesetzt ... 7Inschrift auf SIERPINSKIS Grabstein.
§ 2. Satz von
RADON-NIKODYM
und Lebesguescher Zerlegungssatz
285
NIKODYM zu den 16 Gründungsmitgliedern. Auf dringendes Anraten von SIERPINSKI promovierte NIKODYM 1924 (im Alter von 37 Jahren!), habilitierte sich 1927 in Warschau und arbeitete anschließend als Dozent in Krakau und Warschau. Von 1930 bis 1945 lebte er mit seiner Frau, der Mathematikerin STANISLAWA NIKODYM, in Warschau. Während der deutschen Besetzung Polens im Ir. Weltkrieg wurden alle höheren Lehranstalten geschlossen, die meisten Lehrer und Professoren in Gefängnisse oder Konzentrationslager geworfen, viele von ihnen umgebracht, wie z.B. die bekannten Mathematiker S. RUZIEWICZ (1889-1941), S. SAKS (1897-1942), J. SCHAUDER (1899-1943). Viele der nicht inhaftierten Lehrer und Hochschullehrer hielten geheime Lehrveranstaltungen in Privatwohnungen ab - wohl wissend um die drakonischen Strafen, die ihnen und ihren Schülern drohten. Es gelang dem Ehepaar NIKODYM diese schwere Zeit in Warschau zu überleben und an diesen Lehrveranstaltungen mitzuwirken. - Nach dem Kriege emigrierte O. NIKODYM in die USA und fand am Kenyon College in Gambier (Ohio) eine neue Wirkungsstätte. Er arbeitete intensiv bis ins hohe Alter und starb am 4.5.1974 in Utica (N.Y.). Erst nach dem Doktorexamen beginnt NIKODYM mit der Veröffentlichung von Forschungsergebnissen. Bis 1945 veröffentlicht er über 30 Arbeiten und vier Lehrbücher, davon eines gemeinsam mit seiner Frau; nach 1947 folgen über 50 weitere Arbeiten und das monumentale Werk The Mathematical Apparatus for Quantum-Theories, Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag 1966. Er liefert zahlreiche Beiträge zur Theorie der reellen Funktionen, mengentheoretischen Topologie, Maßtheorie auf Verbänden, Funktionalanalysis, insbesondere Spektraltheorie und zur Theorie der Differentialgleichungen. Am bekanntesten ist wohl seine Arbeit [1] über den Satz von RADON-NIKODYM, wobei die Namengebung offenbar auf S. SAKS [1], [2] zurückgeht. Weniger bekannt ist, daß NIKODYM schon 1931 eine Arbeit vorlegt, in der er zeigt, daß jede abgeschlossene konvexe Teilmenge eines Hilbert-Raums ein eindeutig bestimmtes Element minimaler Norm besitzt (s. Ann. Soc. Polon. Math. 10, 120-121 (1931), ausführlich veröffentlicht in Mathematica, Cluj 9, 110-128 (1935)). Dieser Satz wird oft F. RIESZ zugeschrieben, der ihn 1934 veröffentlicht und zum Beweis des Darstellungssatzes von RIESZ 3 benutzt.
4. Der Lebesguesche Zerlegungssatz. Sind j1, v zwei endliche Maße auf 2{, so wird v nicht notwendig j1-stetig sein, d.h. v wird nicht notwendig eine Dichte f bez. j1 haben. Wir stellen die Frage: Kann man von v ein endliches Maß der Form f 8 J-l (f E M+) abspalten, so daß möglichst "wenig" übrigbleibt? Anschaulich gesprochen wird v - f 8 J-l "klein" sein, wenn dieses Maß auf einer Menge möglichst kleinen Maßes konzentriert ist. Am günstigsten ist hier eine J-l-Nullmenge, und dann ist v - f 8 J-l -.L J-l. Eine solche Zerlegung ist in der Tat möglich, und sie ist eindeutig bestimmt. 2.6 Lebesguescher Zerlegungssatz. Sind J-l ein O"-endliches Maß und v ein O"-endliches signiertes Maß auf 2{, so gibt es genau eine Zerlegung 8
v=p+a von v in zwei signierte Maße p, a auf Ql, so daß p « J-l, 0" -.L j1 (Lebesguesche Zerlegung), und p hat eine (quasiintegrierbare) Dichte f : X ~ :IR bez. J-l. Dabei sind p, 0" O"-endlich, und p, a sind genau dann endlich, wenn v endlich ist. 8Die signierten Maße p, (J" nehmen beide den Wert
-00
oder beide den Wert
+00
nicht an.
286
VII. Absolute Stetigkeit
Beweis. Den Eindeutigkeitsbeweis führen WIr In Lemma 2.7 (sogar ohne die Voraussetzungen der a-Endlichkeit von J-L und v). - Nach dem Jordanschen Zerlegungssatz genügt der Nachweis der Existenz einer Lebesgueschen Zerlegung für Maße v. Es seien also J-L, va-endliche Maße. Wir argumentieren ähnlich wie unter (1) im Beweis des Satzes von RADON-NIKODYM und setzen T :== J-L + v. Dann ist Tein a-endliches Maß mit J-L « T, und nach dem Satz von RADONNIKODYM gibt es ein 9 E M+, so daß J-L == 9 8 T. Wir setzen N :== {g == O}, definieren p, a == 2l -+ [0,00] vermöge p(A) :== v(A
n N C) ,
a(A) :== v(A
n N)
(A E 2l)
und stellen fest: p, a sind a-endliche Maße mit v == p + a. Offenbar gilt a -l J-L, denn J-L(N) == INgdT == 0 und a(NC) == O. Wir zeigen weiter: p« J-L. Dazu sei A E 2l eine J-L-Nullmenge. Dann ist 0 == J-L(A) == Ix gXA dT, also gXA == 0 T-f.ü., d.h. T(A n NC) == O. Wegen p(A) == v(A n NC) :s; T(A n NC) == 0 ist also auch p(A) == O. - Daß p eine Dichte f : X -+ [0, oo[ bez. J-L hat, folgt aus Korollar 2.4, c). D
2.7 Lemma. Sind J-L, v signierte Maße auf 2l, und gibt es, eine Lebesguesche Zerlegung8 v == p + a, p « J-L, a -l J-L, so sind p, a die einzigen signierten Maße mit diesen Eigenschaften.
Beweis. Es sei v == p' + a' eine zweite Lebesguesche Zerlegung von v, so daß p' « J-L,a' -l J-L. Dann gibt es J-L-Nullmengen N,N' E 2l, so daß lal(NC) == la'I(N'C) == O. Für alle A E 2l gilt daher p(A) == p(A n N Cn N 'C ) == v(A n N Cn N 'C ) == p'(A n N Cn N 'C ) == p'(A). Weiter ist
n N) == v(A n N) == v(A n N n N') , p'(A n N n N'C) + a'(A n N n N'C) == 0, da
a(A) == a(A
denn v(A n N n N'C) == p == p'. Aus Symmetriegründen liefert die Gleichung a(A) == v(A n N n N') nun a == a'. D Historische Anmerkung. LEBESGUE ([2], S. 237) spricht 1910 im Fall J1 == AP den Zerlegungssatz folgendermaßen aus: «Si s(l) est la fonction des singularites d'une fonction f(l) additive et
a variation
bornee, la difference f(l) - s(l) est absolument continue et s(l) a
une variation totale plus petite que celle de toute autre fonction 0'(1) telle que f(l) - 0'(1) soit absolument continue.»9 Für Lebesgue-Stieltjessche Maße J1 im JRP beweist RADON ([1], S. 1322) den Lebesgueschen Zerlegungssatz. Der Fall abstrakter Maßräume wird von HAHN
[1], S. 422-424, Satz XI-XIII detailliert behandelt. Allerdings zeigt HAHN nicht die Existenz 1/. Der Name "Lebesguescher Zerlegungssatz" geht wohl zurück auf SAKS [1], S. 16, [2], S. 32-35. Bez. einer verbandstheoretischen Version des Lebesgueschen Zerlegungssatzes verweisen wir auf K. Y OSIDA: Vector lattices and additive set functions, Proc. Imp. Acad. Tokyo 14, 228-232 (1940) und YOSIDA [1], S. 375-378.
einer Dichte des absolut stetigen Anteils von
9Ist s(I) der singuläre Anteil des signierten Maßes f(I), so ist f(l) -s(l) absolut stetig und s(l) hat eine Totalvariation kleiner [oder gleich] derjenigen jedes anderen signierten Maßes 0'(1), so daß f(I) - 0'(1) absolut stetig ist.
§ 2. Satz von
und Lebesguescher Zerlegungssatz
RADON-NIKODYM
287
- Übrigens lassen sich der Hahnsehe, der Jordansehe, der Lebesguesche Zerlegungssatz und der Satz von RADON-NIKODYM bequem mit Hilfe des Zornsehen Lemmas beweisen; s. M.K. FORT:
A specialization
0/ Zorn's lemma,
Duke Math. J. 15, 763-765 (1948).
Aufgaben. 2.1. Es seien J.1, v signierte (oder komplexe) Maße auf 21., und v sei endlich. Dann ist v absolut stetig bez. J.1 genau dann, wenn zu jedem E > ein 8 > 0 existiert, so daß Iv(A)1 < E für alle A E 21. mit 1J.1I(A) < 8. (RADON [1], S. 1319.)
°
2.2. Es seien J.1 ein endliches signiertes Maß, v ein signierter Inhalt auf 21., und für jede Folge (A n )n2: 1 von Mengen aus 21. mit 1J.11 (An) -t gelte v(A n ) -t 0. Dann ist v ein signiertes Maß auf 21..
°
2.3. Es seien (X, 21., J.1), (Y,~, v) Maßräume, 1 : X -t Y meßbar und j1, v die Vervollständigungen von J.1 bzw. v. Zeigen Sie: Aus 1(J.1) « v folgt 1(j1) « v. (Vgl. Aufgabe II1.1.2.) 2.4. Es seien J.1 ein a-endliches Maß und v, p signierte Maße auf 21.. a) Aus v« J.1 folgt av« J.1 (a E lR) und d(av)/dJ.1 == a(dv/dJ.1) J.1-f.ü. b) Nehmen v und p beide den Wert +00 oder beide den Wert -00 nicht an, so ist v falls v « J.1 und p « J.1, und dann gilt: d(v + p) / dJ.1 == dv / dJ.1 + dp / dJ.1 J.1-f. ü. c) Ist v ein a-endliches Maß mit p « v, v « J.1, so gilt die "Kettenregel"
dp dv -dvdJ.1 d) Ist v ein a-endliches Maß mit v
«
J.1 und J.1
:: =
(~~
J.1-f.ü.
«
r
+ p« J.1,
v, so ist dv/dM =I
°
J.1-f.ü. und
1
/l-f.ü.
2.5 In welchen der folgenden Beispiele existiert eine Lebesguesche Zerlegung von v bez. J.1? a) 21. == ~l 1[0, 1] , J.1 == Zählmaß, v == ßl 121.. b) 21. == ~l 1[0,1], J.1 == ßl 121., v == Zählmaß. c) 21. == ~l 1[0,1], M C [0,1], J.1(A) :== Anzahl der Elemente von AnM, v(A) :== Anzahl der Elemente von A n Me (A E 21.). (Hinweis: Unterscheiden Sie die Fälle M E 21. und M ~ 21..) d) 21. == ~21 [0,1]2, J.1(A) :== LXE[O,l] ßl(A x ), v(A) :== LYE[O,l] ßl(AY) (A E 21.). 2.6. Sind J.1 ein a-endliches Maß, v ein a-endliches signiertes Maß auf 21., so gilt v 1. J.1 genau dann, wenn kein signiertes Maß p i 0 existiert mit I pi:::; I v I, p « J.1. 2.7. Sind v, p signierte oder komplexe Maße auf 21., so sind folgende Aussagen äquivalent:
a) v« p; b) (Rev)± «p, (Imp)± «p; c) d)
lvi « p; lvi « Ipl·
2.8. Sind J.1, v signierte oder komplexe Maße auf 21., und hat v eine Lebesguesche Zerlegung v == p + a, p « J.1, a 1. J.1, so hat die Lebesguesche Zerlegung == +
lvi
lvi Ipl lai·
2.9. Ist v : 21. -t 1R ein endliches signiertes Maß, so gibt es eine Ivl-integrierbare Funktion 9 : X -t lR, I9 I == 1, so daß v == 9 8 I v
I·
2.10. Ist v ein komplexes Maß auf 21., so seien p :== Rev, a :== Im v und .c~(v) :== .c~(p+)
n .c~(p-) n .c~(a+) n .c~(a-).
Für 1 E .c~(v) sei
r 1 dv:== Jxr 1 dp+ - Jxr 1 dp- + i Jxr 1 da+ - i Jxr 1 da- .
Jx
VII. Absolute Stetigkeit
288
2.11. Es seien /1 ein (T-endliches Maß und v ein komplexes Maß auf 21. mit v « /1. Dann existiert eine /1-f.ü. eindeutig bestimmte Dichte 9 E I:,~(/1) mit v == 9 8 /1. Für meßbares 1 : X -+ C gilt f E I:,~(v) genau dann, wenn Ig E I:,~(/1), und dann gilt
Ix fdv = Ix fgdJ1.. 2.12. a) Ist v : 21. -+ C ein komplexes Maß, so gibt es eine meßbare Funktion 9 : X -+ C mit Igl == 1, so daß v == 9 (Bemerkung: In Analogie zur Polarkoordinatendarstellung komplexer Zahlen nennt man diese Darstellung die polare Zerlegung von v.) b) Für alle 1 E I:,~(v) gilt
81vl.
IIx f dvl ::; Ix Ifl dlvl·
2.13. Es seien (X j , 21. j ,/1j) ein (T-endlicher Maßraum und Vj ein (T-endliches Maß auf 21. j mit der Lebesgueschen Zerlegung Vj == Pj + (Tj, Pj « /1j, (Tj .l- /1j (j == 1, 2). Dann hat VI Q9 v2
bez. /11
Q9
/12 die Lebesguesche Zerlegung VI
+ P2 Q9 (Tl + (Tl Q9 (T2
Q9
v2 == P + (T mit P :== PI
Q9
P2
«
J-L1
Q9
/12 und
-+ IR bez. J-Lj (j == 1, 2), so hat PI Q9 P2 bez. /11 Q9 /12 die Dichte 11 Q9 12(X1, X2) :== 11 (Xl) ·/2(X2) (Xj E X j , j == 1, 2). (T :== PI
Q9
(T2
.l- /11 Q9 /12' Hat Pj die Dichte Ij : X j
2.14. Ist (/1n)n?l eine Folge (T-endlicher Maße auf 21., so existiert ein (T-endliches Maß J-L auf 21., so daß J-Ln « /1 für alle n E N. 2.15. Ist P ein Maß auf 21. und M E 21., so sei PM(A) :== p(AnM) (A E 21.). - Es seien nun /1, v zwei (T-endliche Maße auf 21.. Dann existiert eine Zerlegung X == S U E (S, E E 21., Sn E == 0),
so daß gilt: /1 == /1s + /1E, V == Vs + VE, Vs .l- /1s, VE « /1E und /1E für (T-endliche signierte Maße /1, v. (Hinweis: Nach dem Satz von
«
VE. Entsprechendes gilt
RADON-NIKODYM
gibt es
I,g E M+, so daß /1 == 187,V == g87, wobei 7:== /1+v. Die Mengen S:== {I == O}U{g == O}
und E :== Sc leisten das Verlangte.)
§ 3.
Der DualrauIll von LP (1
< P < 00)
1. Der Dualraum von V(J-L) (1::; P < (0). Ist (V, 11·11) ein Banach-Raum über JK, so heißt
V' :== {cp : cp : V -+ JK linear und stetig} der (stetige) Dualraum von V. Bez. der Norm
11 cpll :== sup{ Icp(x) 1: x
E V,
Ilxll ::; I}
ist auch V' ein Banach-Raum. Für viele funktionalanalytische Untersuchungen ist die genaue Kenntnis von V' eine wesentliche Voraussetzung. Im folgenden sei stets (X, 2(, J-L) ein Maßraum. Es ist unser Ziel, mit Hilfe des Satzes von RADON-NIKODYM zu zeigen, daß der Dualraum des Banach-Raums V(J-L) (1::; P < (0) (zumindest für a-endliches J-L) zu Lq(J-L) normisomorph ist. Dabei ist q E]l, 00] gemäß 1 1
-+-==1 P q
festgelegt. Diese Bezeichnung wird im folgenden stillschweigend beibehalten.
§ 3. Der Dualraum von V
(1::; p < 00)
289
3.1 Lemma. Für jedes 9 E Lq ist
eine stetige Linearform auf V. Die Gleichung II
Daher ist
h(x) :== {olg(x)lq-lg(X)/lg(x)1 für g(x) -I- 0, für g(x) == 0 ist meßbar mit
Daher ist h E V und ipg(h)
=
Ix
Iglq dll
=
(Ix
Iglq dll) l/q
(Ix
Iglq dll) l-l/q
= Ilgllqllhll p
·
Folglich ist 11
f (x) :== { X E ( X)9(x )/ 9 ( x ) o 1
I
für 9 ( x) -I- 0 , für g(x) == 0
liegt in LI, und es ist
Damit erhalten wir eine natürliche Abbildung
290
VII. Absolute Stetigkeit
3.2 Satz. Ist p == 1 und pa-endlich oder 1
ifJg(J):=
Ix
fgdJ.t
< p <
00
und p beliebig, so ist
(J E IJ')
ein Normisomorphismus; kurz: (V)' == Lq. Beweis. Es sei 7/J E (V)'. Wir müssen zeigen: Es gibt ein 9 E Lq mit 7/J ==
und die Stetigkeit von 7/J liefert: n
L v(E
k)
==
7/J (XUk=l Ek )
-7
7/J(XE)
==
v(E) .
k=1
v ist also ein (endliches) signiertes oder komplexes Maß, und v « p, denn ist E E 2t eine p-Nullmenge, so repräsentiert XE das Nullelement von V, d.h. es ist v(E) == 7/J(XE) == o. Nach dem Satz von RADON-NIKODYM existiert ein 9 E L 1 (p), so daß v == 9 8 p. (Im Falle JK == C wende man den Satz von RADON-NIKODYM auf die endlichen signierten Maße Rev, Im v an. Das liefert gl, g2 E LI (p) mit Rev == gl 8 p, Im v == g2 8 p, und 9 :== gl + ig2 leistet das Gewünschte. ) Nach Definition ist nun
d.h. für alle
(3.1)
f
E
T
:== Span {XE: E E
2t} gilt
§ 3. Der Dualraum von LP (1:::; p <
291
00)
Ist nun f E Loo (C LP (!)), so existiert eine Folge von Funktionen t n E T mit Ilt n - flloo -+ 0, Iltnll oo :::; IIflloo. Daher gilt IIt n - flip -+ 0 (Satz VI. 2.10), folglich 1/J(tn ) -+ 1/J(f)· Andererseits konvergiert (tng)n~l punktweise /L-f.ü. gegen fg, wobei Itngl :::; IIflloolgl/L-f.ü. Der Satz von der majorisierten Konvergenz liefert mithin tng d/L -+ fg d/L. Ergebnis: GI. (3.1) gilt für alle f E Loo. Wenn wir nun zeigen, daß gilt
Ix
Ix
(3.2) so sind wir fertig, denn dann stimmen 1/J, CPg E (LP)' auf dem dichten linearen Teilraum T von LP überein, sind also gleich. Zum Nachweis von (3.2) unterscheiden wir zwei Fälle: (i) q == 00: Die Funktion
fE(X)
:==
XE(X) . {gl(x)/lg(x)1 für g(x) für g ( x)
i= 0,
(E E 21)
== 0 ,
liegt in Loo. Daher gilt nach (3.1) für alle E E 2l:
1
Igl dJi
=
Ix
fEgdJi
=
'l/J(fE) :::; 11'l/JllllfElll
=
1
11'l/J1I dJi,
und Satz IV.4.4 liefert: Igl :::; 111/J11/L-f.ü ., also g E Loo, IIglloo :::; 1I1/J1I. (ii) 1 < q < 00: Für a > 0 seien E a :== {igl :::; a} und
fa(x)
:=
xEJx)lg(x)lq-l . {
i-( x )/1 g(x )1
für g(x) -I- 0, für g(x): o.
Dann ist fa E Loo, und (3.1) ergibt
also:
(la Iglq dJi) l/q :::; 11'l/J11
für alle a > 0 .
Für a -+ 00 liefert nun der Satz von der monotonen Konvergenz die Beziehung (3.2) und zusätzlich IIgllq :::; 111/J11· Damit ist die Behauptung für /L(X) < 00 bewiesen. (2) Die Behauptung gilt für a-endliche Maße /L. Begründung: Wir wählen eine Folge von Mengen X n E 2l mit X n t X, J.-L(Xn ) < 00 und setzen 2ln :== 211 X n , /Ln :== J.-L l2ln . Der Raum LP(J.-Ln) läßt sich vermöge
als Unterraum von LP auffassen. Dann ist 1/Jn :== 1/J I LP(/Ln) eine stetige Linearform auf LP(/Ln) , und nach (1) existiert ein gn E Lq(Xn ), so daß
'l/Jn(f) =
r fgn dJin
JXn
für alle f E LP(Jin) .
VII. Absolute Stetigkeit
292
Da gn {ln-f.ü. eindeutig bestimmt ist, kann gn ohne Beschränkung der Allgemeinheit gleich so gewählt werden, daß gn+l I X n == gn. Dann ist die Definition g(x) :== gn(x) für x E Xn,n E N sinnvoll, und 9 ist meßbar. Nach (1) ist IIgnllq:S; II'l/Jnll :s; 1I'l/J11, und der Grenzübergang n -+ 00 liefert wegen monotoner Konvergenz: 9 E Lq, IIgllq :s; 11'l/J1I· Für alle f E V(J-ln) ist
und da U~=l V({ln) dicht liegt in V({l), folgt (2). (3) Die Behauptung gilt für beliebige Maße {l, falls 1 < p < 00. Begründung: Für A E 2t fassen wir L~ :== V(A, 2t I A, J-li (2t I A)) als Unterraum von V auf und setzen 'l/JA :== 'l/J I L~. Bezeichnet nun 6 die Menge aller Elemente von 2t, die bez. {l a-endliches Maß haben, so existiert nach (2) zu jedem A E 6 genau ein gA E L~, so daß 'l/JA(f) == JA fgA dJ-lA für alle f E L~ und lI'l/JAIi == IIgAllq. Für disjunkte A, B E 6 ist (3.3) denn wegen der Eindeutigkeit von gA, gB, gAUB ist gAUB und aus 1 < q < 00 folgt:
II'l/JAuBllq Nach (3.3) ist lI'l/JAII Offenbar ist
== IlgAuBII~ == IIgAII~
:s; II'l/JBII CY
:==
+ IlgBII~ ==
II'l/JAllq
für alle A, B E 2t mit A
:s;
sup{II'l/JAIi : A E 6}
IA == gA, gAUB I B
==
gB,
+ II'l/JBllq .
c B.
1I'l/J1I <
00,
und es gibt eine Folge (Sn)n>l in 6 mit II'l/Jsn 11 -+ CY. Ersichtlich ist S .U~=l Sn E 6 und lI'l/JslI == CY. Nach (2) existiert ein 9 E L~, so daß (3.4)
'ljJs(J) = lfgdP,
fürallefE L1·
Wegen (3.3) folgt aus lI'l/Jsll == CY, daß 'l/JB\S == 0 für alle B E 6. Für jedes f E V ist nun B :== {f # O} E 6, denn B n :== {Ifl > 1/n} t Bund J-l(B n ) :s; Ilnfll~ < 00. Daher ist 'l/J(xscf) == 'l/JB\s(f I (B \ S)) == 0, und (3.4) liefert
'ljJ(J) = 'ljJ(xsf)
+ 'ljJ(Xscf) = 'ljJs(J IS) =
l
fgdp, =
Ix
fgdp, = cpg(J). D
Für p == 1 und nicht a -endliches {l ist
§ 3. Der Dualraum von Lp (1 ≤ p < ∞)
293
ist jeder σ-endliche Maßraum lokalisierbar, und jeder im Sinne von Hewitt– Stromberg [1], S. 317 zerlegbare Maßraum ist lokalisierbar. – Der Dualraum des (modifizierten) Raums L∞ ist normisomorph zu einem Raum beschr¨ankter signierter Inhalte auf A (s. Hewitt–Stromberg [1], S. 354 ff.). Historische Anmerkung. F¨ ur p > 1 wird Satz 3.2 im Jahre 1910 von F. Riesz ([1], S. 467) in seiner großen Arbeit Untersuchungen u ¨ ber Systeme integrierbarer Funktionen bewiesen. Den wichtigen Spezialfall p = 2 erledigt Riesz ([1], S. 386–388) schon 1907 in einer Note in den C.R. Acad. Sci., Paris 144, 1409–1411 (1907). Gleichzeitig findet Fr´ echet dasselbe Resultat und ver¨ offentlicht es im gleichen Band derselben Zeitschrift auf S. 1414–1416. – ur das Lebesgue-Maß auf einem Intervall) wird erst 1919 eingef¨ uhrt von H. Der Raum L∞ (f¨ Steinhaus (Math. Z. 5, 186–221 (1919)). In dieser Arbeit zeigt Steinhaus, daß L∞ zu (L1 ) isomorph ist.
2. Die multiplikativen Linearformen auf der Banach-Algebra L1 (μm ). Ist A eine Banach-Algebra u ¨ber K, so heißt eine K-lineare Abbildung ϕ : A → K mit ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y) (x, y ∈ A) eine multiplikative Linearform. Bemerkenswerterweise sind multiplikative Linearformen auf Banach-Algebren automatisch stetig (w¨ahrend auf unendlich-dimensionalen Banach-R¨aumen stets unstetige Linearformen existieren (!)). 3.3 Lemma. Ist ϕ eine multiplikative Linearform auf der Banach-Algebra A, so ist ϕ stetig mit ϕ ≤ 1. Beweis. Angenommen, es gibt ein a ∈ A mit |ϕ(a)| > a. F¨ ur b := (ϕ(a))−1 a n n gilt dann b < 1 und ϕ(b) = 1. Wegen b ≤ b und b < 1 ist yn := b + b2 + . . . + bn (n ∈ N) eine Cauchy-Folge in A, konvergiert also gegen ein y ∈ A, und aus byn = yn+1 − b folgt by = y − b. Da aber ϕ(b) = 1 ist, folgt hieraus ϕ(y) = ϕ(y) − 1: Widerspruch! 2 ur jedes t ∈ Rm Es sei wieder μm := (2π)−m/2 β m (s. Kap. V, § 3, 4.). F¨ 1 ˆ ist f → f(t) eine multiplikative Linearform auf LC (μm ), denn (f ∗ g)∧ = fˆ · gˆ (f, g ∈ L1C (μm )). Wir zeigen, daß dieses alle nicht-trivialen multiplikativen Linearformen auf L1C (μm ) sind: 3.4 Satz. Ist ϕ = 0 eine multiplikative Linearform auf L1C (μm ), so existiert ˆ f¨ur alle f ∈ L1 (μm ). genau ein t ∈ Rm , so daß ϕ(f ) = f(t) C Beweis. Wegen ϕ ∈ (L1 ) (Lemma 3.3) existiert nach Satz 3.2 genau ein h ∈ L∞ , so daß f h dμm f¨ ur alle f ∈ L1 . ϕ(f ) = Rm
Wir werten die Bedingung ϕ(f ∗ g) = ϕ(f )ϕ(g) (f, g ∈ L1 ) aus zur genaueren Bestimmung von h: Zun¨achst gilt nach dem Satz von Fubini f¨ ur alle f, g ∈ L1 mit fy (x) := f (x − y):
VII. Absolute Stetigkeit
294
* g)
l~ (J * g)(x)h(x) df1m(x)
l~ (l~ f(x - y)g(y) df1m(y)) h(x) df1m(x) l~ (l~ fy(x)h(x) df1m(X)) g(y) df1m(Y) l~
und es folgt für alle fELl: (3.5) Da
für JLm-fast alle y E IRm .
#- 0 ist, können wir hier FELl so wählen, daß
(3.6) Die Abbildung IRm --+ LI, Y H- F y ist stetig, und
Es gilt also die Funktionalgleichung
h(x
(3.7)
+ y) == h(x)h(y )
(x, Y E IRm )
,
und es ist h(O) ==
r
h(y) df1m(Y) =/= 0 .
J[o,a]
Die Integration von (3.7) bez. y über [0, a] liefert:
O'h(x) =
r
J[o,a]
h(x + y) df1m(y) =
r
h(z) df1m(z) .
J[x,x+a]
Hier ist die rechte Seite nach x stetig differenzierbar, d.h. h ist stetig differenzierbar. Setzen wir w :== (Dh)(O) E Cm , so ist nach (3.7) (Dh)(x) == wh(x) (x E IRm), also D(h(x)exp(-(w,x))) == 0 für alle x E IRm. Daher ist h(x) exp( -(w, x)) konstant, und wegen h(O) == 1 ergibt sich h(x) == exp( (w, x)). Weil h (E LOO!) beschränkt ist, hat w die Form w == -it mit t E IRm, d.h. es ist
§ 3. Der Dualraum von V
(1 ~ p < (0)
295
denn ist auch u E lRm und cp(f) == j (u) für alle fELl, so läßt sich obige Argumentation auf h(y) == exp( -i(u, y)) anwenden. 0 Bezeichnen wir mit Co(lRm ) den Banach-Raum der stetigen Funktionen auf dem lRm , die im Unendlichen verschwinden (versehen mit der Supremumsnorm), so hat die Eindeutigkeitsaussage von Satz 3.4 zur Folge: Das Bild (L~ (f.Lm))/\ C Co(IRm) von L~(f.Lm) unter der Fourier-Transformation trennt die Punkte von IRm. Zusammen mit den übrigen Eigenschaften der Fourier-Transformation liefert daher der Satz von STONE-WEIERSTRASS (s. z.B. SEMADENI [1]' 7.3.9.): Der Raum (L~(f.Lm))/\ liegt dicht in CoORm).
Aufgaben 3.1. Eine Menge M E 2l heißt eine lokale (J-L-) Nullmenge, wenn für alle E E 2l mit J-L(E) < 00 gilt J-L(M n E) == 0. a) Jede Nullmenge ist eine lokale Nullmenge, und jede lokale Nullmenge von a-endlichem Maß ist eine Nullmenge, aber eine lokale Nullmenge braucht keine Nullmenge zu sein. b) Die Abbildung
oder 1 < P < 00 und J-L beliebig. Ferner sei jede lokale -+ IK meßbar. Ix Iigl dJ-L :::; all/ll p für alle 1 E LP, so ist 9 E Lq und und Ig E LI für alle 1 E LP, so ist 9 E Lq. (Hinweis: von Funktionen gn E Lq mit gn -+ g, und benutzen Sie
3.3. Lemma 3.1 gilt sinngemäß für (p, q) == (00, 1) und liefert für jedes Maß J-L eine normerhaltende Injektion
in die multiplikative Gruppe SI der komplexen Zahlen vom Betrage 1.) Zeigen Sie: Zu jedem Borel- (oder Lebesgue-) meßbaren Charakter X : lRm -+ ce existiert ein t E lRm , so daß X(x) = exp(i(t, XI) für alle X E lRm . (Hinweise: 1 r-+ x(x)/(x) dJ-Lm(x) ist eine multiplikative Linearform auf LI(J-Lm). Daher existiert ein t E lRm , so daß X(x) == exp(i(t, XI) für J-Lm-fast alle x E lRm . Insbesondere ist die Menge der X E lRm , für welche X(x) und exp(i(t, XI) übereinstimmen, eine additive Untergruppe positiven Maßes.) 3.5. Jede Lebesgue-meßbare Lösung 1 : lRm -+ lR der Funktionalgleichung
IRrn
(3.8)
I(x
+ y) ==
I(x) + I(y)
(x, Y E lRm
)
ist stetig und hat daher die Gestalt I(x) == (a, XI mit geeignetem a E lRm . (Hinweis: X == exp(i/) ist ein Lebesgue-meßbarer Charakter auf lRm .) 3.6. Es gibt nicht Lebesgue-meßbare Lösungen der Funktionalgleichung (3.8). (Hinweise: Jede Lösung von (3.8) ist eine Q-lineare Abbildung von lRm in lR. Schreibt man also die Werte von 1 auf einer Basis des Q- Vektorraums lRm ganz beliebig vor, so läßt sich 1 auf genau eine Weise zu einer Lösung von (3.8) fortsetzen. Eine Mächtigkeitsbetrachtung liefert das Gewünschte.)
3.7. Faßt man Funktionen auf [0,27r[ als (27r)-periodische Funktionen auf lR auf, so wird
VII. Absolute Stetigkeit
296
LI :== Lt([O, 2n], ~I 1[0, 2n], f;ßI I (~I I [0, 2nD) vermöge der Faltung
1 * g(x) :~
1 2n
1E
zu einer Banach-Algebra. Für durch
j(n) :==
Jar
2rr
(/,g E LI)
I(x - y)g(y) dy
LI wird die Fourier-Transformierte
~ 2n
Jar
2rr
I(t)e- int dt
j : Z -+ C definiert
(n E Z),
und es gilt:
(/*gr\==j·g· Für jedes n E Z ist also
+
(x
* Y)n:==
(X)
L
Xn-kYk
(n E Z)
k=-(X) (x == (Xk)kEZ,Y == (Yk)kEZ E lt(Z)) als Multiplikation, so ist lt(Z) eine Banach-Algebra. Zeigen Sie: Zu jeder multiplikativen Linearform
(3.9)
(X)
L
Xk eikt
k=-(X) für alle x == (Xk)kEZ E lt(Z). Umgekehrt ist jede Abbildung
+ x(t) ==
+
(X)
L
Xk eikt
(t E IR),
k=-(X)
(X)
L
IXkl
< 00
k=-(X)
mit der Norm Ilxll :== 2:t::-(X) IXk I und der punktweise definierten Multiplikation. Zeigen Sie: Jede multiplikative Linearform
§ 4.
Absolut stetige Funktionen auf JR
1. Der Überdeckungssatz von VITALI. Ziele dieses Paragraphen sind der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung für das Lebesgue-Integral und eine Verfeinerung des Lebesgueschen Zerlegungssatzes für Lebesgue-Stieltjessche Maße auf lR. Insbesondere wird sich für bez. ß absolut stetige Lebesgue-Stieltjessche Maße f1F auf lR zeigen, daß die Radon-Nikodym-Ableitung df1F / dß mit der gewöhnlichen Ableitung von F ß-f.ü. übereinstimmt. Der Schlüssel zu diesen Resultaten ist der Überdeckungssatz von VITALI. Im folgenden bezeichnen TI das äußere Lebesgue-Maß, A das Lebesgue-Maß und ß das Lebesgue-Borelsche Maß auf lR.
§ 4. Absolut stetige Funktionen auf IR
297
4.1 Definition. Es seien A c IR und F eine Familie von (offenen oder abgeschlossenen oder halboffenen) Intervallen I C IR mit )",(1) > O. Dann heißt F eine Vitali- Überdeckung von A, wenn zu jedem x E A und c > 0 ein I E F existiert, so daß x E I und )..,(1) < c. 4.2 Überdeckungssatz von Vitali (1908) 10. Sind A C IR eine (nicht notwendig meßbare) Menge endlichen äußeren Lebesgue-Maßes und Feine VitaliÜberdeckung von A, so gibt es zu jedem c > 0 endlich viele disjunkte Intervalle 11, ... ,In E F (n 2: 0), so daß (4.1)
Beweis (nach BANACH [1], S. 90 ff.). Für A == 0 wähle man n == 0 und das leere System von Intervallen. - Es sei nun A -I- 0. Wir wählen eine offene Menge U ~ A mit )"'(U) < 00. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit können wir gleich voraussetzen, daß F nur abgeschlossene Intervalle enthält, die alle in U enthalten sind, denn {I : I E F, leU} ist eine Vitali-Überdeckung von A. Wir beginnen die induktive Konstruktion mit irgendeinem 11 E Fund nehmen an, die paarweise disjunkten Intervalle 11, ... ,Ik E F (k 2: 1) seien schon konstruiert. Ist A C U~=1 I j , so beenden wir die Konstruktion, und die Behauptung ist mit n :== k richtig. Im Falle A \ U~=l I j
rk :== sup {A(I) : I E :F, In
-I- 0 sei
U = 0} .
)=1
Ij
Dann ist 0 < rk ::; )"'(U) < 00, und wir können ein I k+1 E F auswählen mit )"'(Ik+1 ) > rk/ 2 und I k+1 n U~=l I j == 0. Es sei nun A \ U~=l I j -I- 0 für alle k 2: 1. Dann ist
(4.2) Insbesondere gilt rk -+ 0, und es gibt ein n E N mit I:~n+1 )"'(Ik ) < c/5. Zum Nachweis von (4.1) sei x E A \ U~=l I k· Da U~=1 I k abgeschlossen ist, existiert ein zu 11,"" In E F disjunktes I E F mit x E I. Das Intervall I hat mit einem der Intervalle I k mit k 2: n + 1 einen nicht-leeren Durchschnitt, denn wäre In I k == 0 für alle k 2: 1, so wäre rk 2: )..,(1) für alle k im Widerspruch zur Konvergenz rk -+ O. Es sei nun I > n die kleinste natürliche Zahl mit In I z -I- 0. Dann ist also )",(1) ::; rZ-1 < 2)..,(Iz), folglich beträgt der Abstand des Punktes x vom Mittelpunkt von I z höchstens )..,(1) + ~)"'(Iz) < 5)"'(Iz)/2. Bezeichnet nun J k das abgeschlossene Intervall mit )..,(Jk ) == 5)..,(Ik ), das denselben Mittelpunkt lOVITALI
[1], S. 257 ff.
VII. Absolute Stetigkeit
298
hat wie I k , so ist x E J z und daher
TI
(A \Qh) ~ k~l )'(Jk)= 5 kEl ).(h) <
c.
Damit ist (4.1) bewiesen. Zusätzlich wird klar: TJ (A \ Uk>l I k ) haben wir das folgende Korollar im Fall TJ(A) < 00 bewiesen.
O. Damit
o
4.3 Korollar. Ist Feine Vitali- Überdeckung von A C lR, so existiert ezne abzählbare Familie (Ik)k~l disjunkter Intervalle aus F, so daß
Beweis. Für n E Z ist F n :== {I E F: I C]n,n + 1[} eine Vitali-Überdeckung von An :== An]n, n + 1[. Wegen TJ(A n ) < 00 existiert nach dem vorangehenden Beweis eine abzählbare Familie (Jnk )k>l disjunkter Intervalle aus F n mit TJ (An \ Uk>l J nk ) == 0, und (Jnk)nEZ,k~l ist-eine abzählbare Familie disjunkter Mengen aus F mit
o 4.4 Bemerkung. Der Überdeckungssatz von Vitali und Korollar 4.3 gelten offenbar sinngemäß im ~P, falls :F nur Würfel (Quader mit lauter gleich langen Kanten) enthält. Dagegen sind diese Aussagen nicht unverändert richtig, wenn man als Elemente von :F beliebige Quader zuläßt (s. BANACH [1], S. 90 ff.). Allgemeinere Versionen des Vitalischen Satzes für das Lebesgue-Maß im
~p
findet man bei BANACH [1], S. 90 ff., KAMKE [1], S. 82 ff., SAKS [2]'
S. 109 ff., L. MEJLBRO, F. TOPS0E: Apreeise Vitali theorem for Lebesgue measure, Math. Ann. 230, 183-193 (1977), O. J0RSBOE, L. MEJLBRO, F. TOPS0E: Some Vitali theorems for Lebesgue measure, Math. Scand. 48, 259-285 (1981).
2. Differenzierbarkeit monotoner Funktionen A-f.ü. Ist I c lR ein Intervall und f : I -+ lR, so werden die rechten (bzw. linken) oberen und unteren Ableitungszahlen von f in x E I definiert durch
._ -r
h~~O
f(x
+ h) h
f(x)
D+f(x):=!im f(x '
h---++O
+ h) -
f(x) ,
h
-1' f(x) - f(x - h) D f( ).== l' f(x) - f(x - h) h , - x. 1m . h-++O h
~m+O h ---,
Hier sind lim und lim in
JR zu
bilden. Gehört der linke (bzw. rechte) Eckpunkt
von I zu I, so sind dort nur die rechten (bzw. linken) oberen und unteren Ableitungszahlen erklärt. Offenbar ist stets D+ f 2: D+f und D- f 2: D-f, und f
§ 4. Absolut stetige Funktionen auf ~
299
ist in x E I differenzierbar genau dann, wenn im Punkte x alle Ableitungszahlen endlich und gleich sind. - Ist f Borel- (bzw. Lebesgue- )meßbar, so sind alle Ableitungszahlen von f Borel- (bzw. Lebesgue-)meßbar (Aufgabe 4.2). 4.5 Satz (H. LEBESGUE 1904)11. Ist f : [a, b] -+ ~ monoton wachsend, so ist f A-f·ü. auf [a, b] differenzierbar. Setzt man f'(x) :== 0 für alle x E [a, b], in denen f nicht differenzierbar ist, so ist f' E .cl ([a, b]) und
l l'( b
x) dx ::; f (b) - f (a) .
(4.3)
Beweis. Wir zeigen zunächst, daß die Menge aller x E]a,b[ mit D+f(x) > D-f(x) eine A-Nullmenge ist. Zu diesem Zweck genügt es zu beweisen: Für alle r, s E Q, r < s ist
Ar,s
:==
{x E]a, b[: D+ f(x) > s > r > D-f(x)}
eine A-Nullmenge. Dazu setzen wir 12 a :== 1](Ar,s) ~ O. Wir wählen ein c > 0 und eine offene Menge mit Ja, b[=:> U =:> Ar,s und A(U) < a + c. Zu jedem x E Ar,s existiert ein h > 0, so daß [x - h,x] c U und f(x) - f(x - h) < rho Das System aller dieser Intervalle ist eine Vitali-Überdeckung von Ar,s. Nach dem Überdeckungssatz von VITALI existieren daher endlich viele disjunkte Im == [x m - hm, xm] C U (m == 1, ... ,p), so daß 1] (Ar,s \ U~=l Im) < c und
(4.4)
'j;;(J(Xm) - f(x m - hm)) < r
Weiter ist jedes Y
[y, Y + k]
Cl
Elm
nAr,s (m
'j;;
== 1, ...
hm = TA
(01
Im) < r(o: + E).
,p) linker Eckpunkt eines Intervalls
+ k) - f(y) > sk. Das System aller dieser Intervalle ist eine Vitali-Überdeckung von Ar,s n U~=l Im. Nach dem Überdeckungssatz von VITALI gibt es endlich viele disjunkte J n == [Yn, Yn + k n ] (n == 1, ... , q) m,
so daß f(y
unter diesen Intervallen, so daß
11 LEBESGUE [2], S. 144 beweist den Satz für stetige f. Der Fall unstetiger monotoner Funktionen wird behandelt von W.H. YOUNG, G.C. YOUNG: On the existence 01 a differential coefficient, Proc. London Math. Soc. (2) 9, 325-335 (1911), W.H. YOUNG: On lunctions 01 bounded variation, Quarterly J. Math. 42, 54-85 (1911) und von H. LEBESGUE [6], S. 186-188. 12Nach Aufgabe 4.2 ist Ar,s eine Borel-Menge, so daß wir ß(Ar,s) statt "7(A r,s) schreiben dürften.
VII. Absolute Stetigkeit
300
Nun ist jedes der Intervalle J n in einem Im enthalten, und summieren wir bei festem m über alle n mit J n C Im, so ergibt sich
n:JnClrn
denn
f
ist wachsend. Summieren wir nun über alle m == 1, ... ,p, so folgt q
p
+ kn) -
L(f(Yn
f(Yn)) ::; L(f(x m )
f(x m
-
-
h m )),
m=1
n=1
und (4.4), (4.5) liefern s(a - 2c) < r(a + c). Dies gilt für alle c > 0, und aus r < s, a 2: 0 folgt a == 0, d.h. Ar,s ist eine A-Nullmenge. Eine Anwendung des soeben Bewiesenen auf -f(a + b - x) (x E [a,bJ) anstelle von f liefert: D- f ::; D+f A-f.ü., und insgesamt erhalten wir:
Die vier Ableitungszahlen sind also A-f.ü. gleich, d.h. g(x) :== limh--+o(f(x + h) - f(x))/h existiert A-f.ü. als Limes in lR. (Daß g A-f.ü. endlich und damit f A-f.ü. differenzierbar ist, wird sich gleich zeigen.) Wir definieren g(x) :== 0 für alle x, für welche der obige Limes nicht in lR existiert. Für x 2: b setzen wir f(x) :== f(b) und bilden
9n(X)
:=
n (f (x
+~) - f(X))
(x E [a,b]).
Dann gilt gn -t g A-f.ü., d.h. g ist Lebesgue-meßbar. Da f monoton wächst, ist gn 2: 0, und eine Anwendung des Lemmas von Fatou ergibt lim n--+oo
lim n----+oo
I
a
b 9n(X) dx = !im
n--+oo
nI
b (f
a
(x + ~) - f(X)) dx n
(n lb+~ f(x) dx - nla+~ f(x) dX)
lim (f(b) - n n--+oo
a
b
la+~ f(X)dX)
::; f(b) - f(a) .
a
Damit ist g A-integrierbar und insbesondere A-f.ü. endlich. Daher ist differenzierbar, und es gilt (4.3).
f
A-f.Ü. D
4.6 Korollar (H. LEBESGUE 1904)11. Jede Funktion von beschränkter Variation ist A-f. ü. differenzierbar.
Beweis. Nach Aufgabe 1.10 ist jedes f E BV(a, b) darstellbar als Differenz D monotoner Funktionen. Ein elementarer Beweis der Differenzierbarkeit monotoner Funktionen A-f.ü., der nicht den Überdeckungssatz von
VITALI
benutzt, stammt von F.
RIESZ
([1], S. 250-263; s. auch
§ 4. Absolut stetige Funktionen auf lR
301
RIESZ-Sz.-NAGY [1], S. 3-7). RIESZ beweist den Satz nur für stetige monotone Funktionen und bemerkt, daß die Argumentation auf unstetige monotone Funktionen ausgedehnt werden kann. Eine Ausarbeitung dieser Bemerkung findet man bei M. HEINS: Selected topics in the
classical theory 0/ /unctions 0/ a complex variable. New York: Holt, Rinehart and Winston 1962, S. 141-145. - Ein weiterer elementarer Beweis des Lebesgueschen Satzes stammt von G. LETTA: Une demonstration elementaire du theoreme de Lebesgue ... , L'Enseignement Math. (2) 16, 177-184 (1970).
4.7 Korollar (G. FUBINI 1915)13. Ist (fn)n>l eine Folge monoton wachsender (bez. fallender) Funktionen auf [a,b], so daß-die Reihe F(x):== L~=lfn(x) für alle x E [a, b] konvergiert, so gilt 00
(4.6)
p' ==
L f~
A-f·ü.
n=l Beweis (nach F. RIESZ [1]' S. 269). Ohne Beschränkung der Allgemeinheit seien gleich alle f n wachsend und f n(a) == 0 (sonst ersetzen wir f n durch f n - f n(a)). Für Fn :== L~=l fk gilt nun Fn t F, und da alle auftretenden Funktionen monoton wachsend sind, gilt nach Satz 4.5 für alle n ~ 1 (4.7) Insbesondere konvergiert L~=l f~ A-f.Ü. Zum Nachweis von (4.6) brauchen wir wegen (4.7) nur zu zeigen, daß für eine geeignete Teilfolge (Fnk )k>l gilt: F' F~k --t 0 A-f.ü. Dazu wählen wir die nk so groß, daß F(b) - Fnk(b) < 2- k , und setzen gk(X) :== F(x) - Fnk (x) (x E [a, bJ). Dann ist gk monoton wachsend, o :::; gk :::; 2- k , und wir können die obigen Betrachtungen auf die gk anstelle der fn anwenden. Dann folgt: L~l g~ konvergiert A-f.ü., insbesondere gilt g~ == F' - P~k --t 0 A-f.ü., und das war zu zeigen. D
4.8 Beispiele. a) Für die Cantorsche Funktion F (Beispiel 11.8.7) ist P' == 0 A-f.ü. Daher steht in Ungleichung (4.3) nicht notwendig das Gleichheitszeichen (!). Nach Korollar 4.7 gilt für die Funktion G aus Beispiel 11.8.8: G' == 0 A-f.ü. Es gibt also streng monoton wachsende, stetige Funktionen auf lR, deren Ableitung A-f. ü. verschwindet. (Aber: Ist f : lR --t lR überall differenzierbar mit f' == 0, so ist f konstant; s. auch Satz 4.13.) b) Für jede Sprungfunktion H : lR --t lR (s. Kap. 11, § 2, 2.) ist nach Korollar 4.7 H' == 0 A-f.ü. 3. Der Dichtesatz. Ein Punkt x E lR heißt ein Dichtepunkt der (nicht notwendig meßbaren) Menge A C lR, falls gilt lim 1](A n [x - h, x + hJ) == 1 . 2h
h--++O
13G. FUBINI: Bulla derivazione per serie, Rend. Acad. Lincei Roma 24,204-206 (1915) (== Opere seelte, Vol. 111, S. 90-92. Roma: Edizioni Cremonese 1962).
VII. Absolute Stetigkeit
302
Es bezeichne D(A) die Menge der Dichtepunkte von A.
4.9 Dichtesatz (H. LEBESGUE 1904). Ist A c IR eine beliebige Menge, so sind A-fast alle Punkte von A Dichtepunkte, d.h. es gilt 1](A \ D(A)) == O.
Beweis (nach F. RIESZ [1]' S. 270). Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann angenommen werden, daß A beschränkt ist. Wir wählen eine Folge (Un )n21 beschränkter offener Mengen Un =:) A mit 1](Un ) S 1](A) + 2- n (n ~ 1) und setzen f(x) :== 1](An] -
00,
x]), fn(x) :== A(Unn] -
00,
x])
(x
E
IR) .
Dann ist gn :== fn - f monoton wachsend, denn sind I, J c IR disjunkte Intervalle, so ist 1](P U Q) == 1](P) + 1]( Q) für alle P c I, Q c J. Daher gilt o S gn S 2- n, und nach Korollar 4.7 konvergiert E~=l g~ A-f.ü., insbesondere gilt g~ -+ 0 A-f.ü. Ist aber x E A, so ist x E Un für alle n und f~(x) == 1, denn Un ist offen. Daher ist f'(x) == 1 für A-fast alle x E A, d.h. A-fast alle x E A sind Dichtepunkte, 1](A \ D(A)) == o. 0
4.10 Korollar (H. A(A ß D(A)) == o.
LEBESGUE
1904). Für alle A E
~1
ist D(A)
E ~1
und
Beweis. Nach dem Dichtesatz ist 1](A \ D(A)) == O. Für alle A E ~1 ist aber D(A) c D(AC)C, also D(A) \ A c Ac \ D(AC). Der Dichtesatz mit Ac statt A liefert 1](D(A) \ A) == 0, insgesamt also 1](A ß D(A)) == o. Daher ist D(A) E ~1 und A(A ß D(A)) == o. 0 H. LEBESGUE ([2]' S. 139-140, S. 164 und S. 231) beweist den Dichtesatz für meßbare Mengen. Einen elementaren Beweis des Satzes für beliebige Mengen und ausführliche Literaturangaben findet man bei W. SIERPINSKI ([1], S. 489-493).
4. Absolut stetige Funktionen auf IR. Der bekannte Hauptsatz der Differentialund Integralrechnung (für das Riemann-Integral) besagt: Ist f : [a, b] -+ IR stetig, so hat feine Stammfunktion, und zwar ist
F (x) :=
l
x
(a:S: x
f (t) dt
:s: b)
eine Stammfunktion von f (d.h. F ist differenzierbar mit F' == f). Je zwei Stammfunktionen von f unterscheiden sich höchstens um eine additive Konstante. Ist G irgendeine Stammfunktion von f, so gilt:
G(b) - G(a) =
l
b
f(t) dt.
Ziel dieses Abschnitts ist eine Version dieses Satzes für das Lebesgue-Integral. Als Warnung bemerken wir gleich, daß die angestrebte Gleichung
F(b) - F(a) =
l
b
F'(x) dx
§ 4. Absolut stetige Funktionen auf JR
303
nach Beispiel 4.8 schon für stetige monotone F nicht uneingeschränkt richtig ist. Der Schlüssel zur Lösung des Problems ist der folgende Begriff. 4.11 Definition (G. VITALI 1905)14. Eine Funktion F : [a, b] -+ absolut stetig, wenn zu jedem c > 0 ein 8 > 0 existiert, so daß
]I{
heißt
n
L
IF(ßk) - F(Qk)1 < c
k=l
für alle a ~ Q1 < ß1 ~ Q2 < ß2 :S ... :S Qn < ßn ~ b mit ~~=1 (ßk - Qk) < 8. 4.12 Folgerungen. a) Jede absolut stetige Funktion ist stetig. Die Cantorsche Funktion F : [0,1] -+ JR (Beispiel 11.8.7) ist stetig, aber nicht absolut stetig. b) Jede absolut stetige Funktion F : [a, b] -+ ]I{ ist von beschränkter Variation (s. Aufgabe 1.10). Insbesondere ist jede absolut stetige Funktion A-f.ü. differenzierbar. Beweis. a) Zum Beweis der zweiten Aussage sei 8 > O. Wir wählen die Qj, ßj als die Eckpunkte der Intervalle Kn,j (j == 1, ... ,2 n+1) mit hinreichend großem 2n + 1 • • n, so daß ~j=l (ßj - Qj) < 8 (s. Kap. 11, §8, 1.). Dann 1st F 1m Intervall [ßj, Qj+1] (j == 1, ... ,2 n+1 - 1) konstant, also
L
IF(ßk) - F(Qk)1 == F(l) - F(O) == 1.
k=l
b) Wir wählen das zu c :== 1 gehörige 8 zerlegen [a, b] gemäß a == Xo < Xl < ... < < 8. Dann ist Var(F; [Xk-1, XkJ) < 1 für k
> 0, setzen n :== (b - a)/8 + 1 und Xn == b in n Intervalle gleicher Länge == 1, ... , n, also
n
Var(F; [a, bJ) ==
L Var(F; [Xk-1, XkJ) < n. k=l
Nach Korollar 4.6 ist F A-f.ü. differenzierbar.
o
4.13 Satz (G. VITALI 1905)15. Jede absolut stetige Funktion F : [a,b] -+ mit F ' == 0 A-f. ü. ist konstant.
]I{
Beweis. Es seien a < c < b,c > 0 und A:== {x E [a,c[: F'(x) == O}. Zu jedem x E A existieren beliebig kleine h > 0 mit x + h < c, so daß IF(x + h) F(x) I < eh. Das System aller dieser Intervalle [x, x + h] (x E A) ist eine VitaliÜberdeckung von A. Wählen wir nun zum vorgegebenen e > 0 ein 8 > 0 gemäß
Definition 4.11, so existieren nach dem Überdeckungssatz von VITALI endlich viele disjunkte Intervalle I k :== [Xk' Xk + h k] (Xk E A, h k > 0, Yk :== Xk + h k < c,k == 1, ... ,n), so daß (4.8) 14VITALI 15VITALI
[1], S. 207. [1], S. 215 f.
VII. Absolute Stetigkeit
304
und 11 (A \ U~=l I k ) < 6. Wir denken uns die Xk, Yk der Größe nach geordnet:
Yo :== a
Xl < YI
~
~
X2 < Y2
~
Xn < Yn
~
...
~
c ==: Xn+l .
Dann ist also L:~=O(Xk+1 - Yk) < 8 und mithin L:~=o IF(Xk+l) - F(Yk)1 < c. Wegen (4.8) ergibt das n
IF(c) - F(a) I =
n
IL
(F(XkH) - F(Yk)) +
k=O
L
(F(Yk) - F(Xk)) I < E(C - a + 1) .
k=l
Da c > 0 beliebig ist, folgt F( c) == F(a) für a < c < b, also ist F konstant.
0
4.14 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung für das Lebesgue-Integral (H. LEBESGUE (1904), G. VITALI (1905))16. a) Ist f : [a, b] -t Jk Lebesgue-integrierbar, so ist
1 x
F(x)
:=
(a::; x ::; b)
f(t) dt
absolut stetig, und es gilt F' == f A-f. ü. b) Ist F : [a, b] -t ]I{ absolut stetig und setzt man F' (x) :== 0 für alle x E [a, b], in denen F nicht differenzierbar ist, so ist F' Lebesgue-integrierbar über [a, b], und es gilt
1 x
F(x) - F(a)
=
(a::; x ::; b) .
F'(t) dt
Beweis. a) Nach Aufgabe IV.3.7 gibt es zu jedem c > 0 ein 6 > 0, so daß für alle A E )21 mit A(A) < 8 gilt JA Ifl dA < c. Daher ist F absolut stetig, insbesondere ist F A-f.ü. differenzierbar (Folgerung 4.12, b)). Wir beweisen die GI. F' == f A-f.ü. zunächst in dem Fall, daß f beschränkt ist: Sei etwa If(x)1 ~ M (x E [a, bJ). Wir setzen f(x) :== f(b) für alle x 2 bund
( ( 1) - F(x) ) =
fn(x):= n F x+;
Dann ist Ifnl ~ M für alle n E N und majorisierten Konvergenz liefert nun für a lim
n---+oo
n
Jx(x+I/n f(t)dt
(a::; x::; b).
fn
-t F' A-f.ü. Der Satz von der
~
~
c
b:
jC fn(x) dx = lim n je (F (x + ~) - F(X)) dx a
n---+oo
1~~ (n [cHln F(x) dx -
n
a
n1 a
1/n
+
F(x) dX)
1 c
F(c) - F(a) = -------16LEBESGUE [2], S. 145 und
458-459.
f(x) dx,
S. 175-182, [6], S. 183 und S. 188;
VITALI
[1], S. 205 ff. und S.
§ 4. Absolut stetige Funktionen auf :IR
305
denn F ist stetig. (Hier wird die klassische Version des Hauptsatzes der Differentialund Integralrechnung für stetige Integranden benutzt.) Damit erhalten wir
l
C
(F' (x) - f (x)) dx = 0 für a :; c :; b,
und nach Aufgabe IV.5.8 ist F' == f A-f.ü. Nun sei f : [a, b] --+ Jk A-integrierbar, aber nicht notwendig beschränkt. Wir können gleich annehmen, daß f 2: 0 ist, und setzen gn :== min(n, f),
Nach dem schon Bewiesenen ist Fn A-f.ü. differenzierbar mit Die Funktion G n ist wachsend, also A-f.ü. differenzierbar mit Insgesamt erhalten wir F' == F~ + G~ 2: gn A-f.ü. Daher ist
F' 2:
(4.9) und folglich
l
b
F'(x) dx ?:
l
f
F~ == G~
gn A-f.ü.
> 0 A-f.ü.
A-f.ü.
b
fex) dx = F(b) - F(a) .
Da F wachsend ist, gilt hier nach Satz 4.5 das Gleichheitszeichen, also I:(F'(x)f(x)) dx == 0, und (4.9) impliziert F' == f A-f.ü. b) F ist als absolut stetige Funktion von beschränkter Variation und daher Linearkombination monotoner Funktionen (Aufgabe 1.10). Die Ableitungen dieser monotonen Komponenten sind nach Satz 4.5 A-integrierbar, also ist F' E 1 ([a, bJ). Setzen wir G(x) :== F'(t) dt (a S x sb), so ist G nach a) absolut stetig mit G' == F' A-f.ü. Die Funktion G - F ist daher absolut stetig mit (G - F)' == 0 A-f.ü., also ist G - F konstant (Satz 4.13). Daher ist
.c
I:
F(x) - F(a) = G(x) - G(a) =
l
x
F'(t) dt
(a:; x :; b). o
Aus Hauptsatz 4.14, b) folgt unmittelbar: Ist f : [a, b] --+ :IR absolut stetig und f' 2: 0 A-f·ü., so ist f wachsend. Eine Funktion F : [a, b] --+ 1K heißt ein unbestimmtes Integral, wenn· eine Lebesgue-integrierbare Funktion f : [a, b] --+ Jk existiert, so daß
F(x) = F(a) +
l
x
f(t) dt
(a:; x :; b) .
Nun folgt aus dem Hauptsatz 4.14 unmittelbar:
VII. Absolute Stetigkeit
306
4.15 Korollar (G. VITALI 1905)17. Eine Funktion F : [a, b] -t dann ein unbestimmtes Integral, wenn F absolut stetig ist.
]I{
ist genau
Die Regel von der partiellen Integration (s. Aufgabe V.2.8) läßt sich jetzt so aussprechen:
4.16 Partielle Integration. Sind f, 9 : [a, b] -t
lb
[fg]~ -
J'(x)g(x) dx =
lb
]I{
absolut stetig, so gilt:
f(x)g'(x) dx.
4.17 Korollar (H. LEBESGUE 1906)18. Ist f : [a, b] -t so gilt für A-fast alle x E]a, b[:
11
11
I ~ (f (x + t) + f (x - t)) - f (x) I dt
o.
h--t+O h
0
h
0,
lim -h
lim h--t+O h
Lebesgue-integrierbar,
If(x ± t) - f(x)1 dt
(4.10) (4.11 )
]I{
0
Beweis. Es sei A c ]I{ eine abzählbare dichte Menge. Nach dem Hauptsatz 4.14 gilt für alle 0: E A und A-fast alle x E]a, b[
i Jor If(x ± t) - al dt = If(x) - al· h--t+O h
(4.12)
lim
Bezeichnen wir mit E n die Nullmenge der x E]a, b[, für welche (4.12) nicht gilt, so ist E :== UnEA E n eine Nullmenge. Es seien x E]a, b[\E und E > O. Dann existiert ein 0: E A mit If(x) - 0:1 < E /2. Nun ist
11
h
h
If(x ± t) - f(x)1 dt
0
11
s -h
0
h
If(x ± t) -
11
0:1 dt + -
h
h
If(x) -
0:1 dt,
0
und hier ist das zweite Integral auf der rechten Seite< E /2, das erste konvergiert wegen (4.12) für h -t +0 gegen If(x) - 0:1 < E/2. Damit folgt (4.10), und (4.11) ist klar nach (4.10). D Man nennt x E]a,b[ einen Lebesgue-Punkt, falls (4.11) gilt. Daher können wir sagen: Ist f : [a, b] -t ]I{ Lebesgue-integrierbar, so sind A-fast alle x E [a, b] Lebesgue-Punkte. Auf diese Aussage stützt sich der Beweis eines sehr allgemeinen Konvergenzsatzes von LEBESGUE ([8], S. 59) über Fourier-Reihen.
5. Lebesguesche Zerlegung Lebesgue-Stieltjesscher Maße. Ist F : JR -t JR wachsend und rechtsseitig stetig, so sei !JF : Q)1 -t i: das zugehörige LebesgueStieltjessche Maß auf Q)1 (s. Beispiel 11.4.7). Im folgenden Abschnitt seien alle Lebesgue-Stieltjesschen Maße auf Q)1 definiert. 17VITALI
[1], S. 207 ff. [8], S. 13.
18LEBESGUE
§ 4. Absolut stetige Funktionen auf JR
307
Der Zerlegung F == Fe + F d der wachsenden, rechtsseitig stetigen Funktion F : JR -+ JR in eine wachsende, stetige Funktion Fe und eine wachsende, rechtsseitig stetige Sprungfunktion Fd gemäß Satz 11.2.4 entspricht die (eindeutig bestimmte) Zerlegung J.LF == J.Le + J.Ld von J.LF in den atomlosen ("stetig verteilten") Anteil Me und den rein atomaren Anteil Md (s. Aufgabe 11.6.3). Bezeichnet U die (abzählbare) Menge der Unstetigkeitsstellen von F, so ist (4.13)
J.Ld(E) ==
L
(F(x) - F(x - 0))
(E E
Q.)1).
xEUnE
Nach Korollar 4.7 ist F~ == 0 f. ü., und offenbar ist J.Ld 1- ß. Ziel der folgenden Überlegungen ist die Zerlegung von J.Le in einen bez. ß absolut stetigen und einen singulären Anteil. Dazu definieren wir:
4.18 Definition. Eine Funktion F : J -+ :IR heißt absolut stetig im Intervall J c JR, wenn F I [a, b] absolut stetig ist für alle [a, b] C J, und F heißt singulär, falls F stetig und wachsend ist und F ' == 0 ß-f.ü. 4.19 Satz. Ist F : JR -+ JR wachsend und rechtsseitig stetig, so ist J.LF genau dann, wenn F absolut stetig ist, und dann gilt J.LF == F ' 8 ß.
« ß
Beweis. Ist F absolut stetig, so setzen wir F'(x) :== 0 für alle x E JR, in denen F nicht differenzierbar ist. Dann gilt nach Hauptsatz 4.14 für alle a < b
!LF(]a, b]) = F(b) - F(a) =
l
b
F'(t) dt.
Die Maße J.LF und F ' 8 ß stimmen auf J überein, sind also nach dem Eindeutigkeitssatz gleich. Ist umgekehrt J.LF « ß, so gibt es eine Borel-meßbare Funktion g : JR -+ [0,00[, so daß J.LF == 9 8 ß, und es gilt
F(x) - F(a) = !LF(]a,x]) =
l
x
g(t)dt
für alle a, x E JR, x 2: a. Daher ist F nach Hauptsatz 4.14 absolut stetig (und F ' == 9 ß-f.ü.). D
4.20 Satz. Eine wachsende, stetige Funktion F : JR -+ JR ist singulär genau dann, wenn J.LF atomlos ist und MF 1- ß· Beweis. Es sei zunächst F singulär. Damit ist F stetig, also MF atomlos (Beispiel 11.4.7). Weiter sei J.LF == P + (]" die Lebesguesche Zerlegung von J.LF bez. ß, wobei p « ß und (]" 1- ß. ZU p, (]" existieren wachsende, stetige Funktionen G, H : JR -+ JR mit p == J.Lc, (]" == J.LH, so daß F == G + H, und aus F ' == 0 ß-f.ü. folgt G' == H ' == 0 ß-f.ü. Das Maß p hat eine Dichte 9 bez. ß, und es ist
G(x) - G(a)
=
p(]a, x])
=
l
x
g(t) dt
VII. Absolute Stetigkeit
308
für alle a, x E lR, a ~ x. Daher ist nach Hauptsatz 4.14 9 == G' == 0 ß-f.ü., also p == 0, /-lF == (5, /-lF -.l ß· Nun sei umgekehrt /-lF -.l ß. Das Maß p :== F ' 8 ß ist absolut stetig bez. ß, und für alle a < b ist nach Satz 4.5
J'LF(]a, b]) = F(b) - F( a)
21
b
F I (x) dx = p(]a, b]) .
Nach dem Vergleichssatz 11.5.8 ist daher p ~ /-lF, und Aufgabe 2.6 liefert p == 0, also F ' == 0 ß-f.ü. D
4.21 Lebesgue-Zerlegung von /-lF (H. LEBESGUE 1904)19. Zu jeder wachsenden rechtsseitig stetigen Funktion F : lR ~ lR existieren eine Zerlegung (4.14)
F == F abs
+ F sing + F d
in wachsende rechtsseitig stetige Funktionen und dazu eine Zerlegung (4.15 )
/-lF == /-labs
+ /-lsing + /-ld
von /-lF in Maße auf p,1, so daß gilt: a) F abs ist absolut stetig, /-labs « ß, /-labs == F ' 8 ß· b) F sing ist singulär, /-lsing -.l ß,F;ing == 0 ß-f.ü.
c) Fd ist eine Sprungfunktion, F~ == 0 ß-f.ü., und für alle E E p,1 gilt (4.13). d) /-lF == /-le + /-ld ist die eindeutig bestimmte Zerlegung von /-lF in den atomlosen Anteil /-le == /-labs + /-lsing und den rein atomaren Anteil /-ld· e) Legt man die Normierungen F abs (0) == F sing (0) == 0 zugrunde, so sind die Zerlegungen (4.14), (4.15) eindeutig bestimmt. Beweis. Wir zerlegen wie oben F == Fe + F d , /-lF == /-le + /-ld und weiter /-le == /-labs + /-lsing, /-labs « ß, /-lsing -.l ß (Lebesguesche Zerlegung). Die Maße /-labs, /-lsing werden beschrieben durch wachsende stetige Funktionen F abs bzw. F sing die wir so wählen können, daß (4.14) gilt. Wegen F;ing == F~ == 0 ß-f.ü. ist F~bs == F ' ß- f. ü., und a )-d) sind nach dem obigen klar. Aussage e) ist nun leicht zu sehen. D
Eine vertiefte Darstellung der Differentiation von Maßen auf dem IRP und auf allgemeineren Räumen findet man bei COHN [1], EVANS und GARIEPY [1]' FEDERER [1], HAHN und ROSENTHAL [1]' KÖLZOW [1], RUDIN [1], SAKS [2], SHILOV und GUREVICH [1], WHEEDEN und ZYGMUND [1], ZAANEN [2]. 6. Rektifizierbare Kurven. Eine (stetige) Kurve ~ : [a, b] ---+ IRP ist genau dann rektifizierbar, wenn alle Koordinatenfunktionen ~1, ... , ~P von beschränkter Variation sind. Insbesondere existiert für jede rektifizierbare Kurve f.ü. die Ableitung ~'(t) (t E [a, b]). Es seien ~ rektifizierbar, L(~) die Bogenlänge von ~ und l(t) :== L(~ I [a, t]) (a::; t ::; b). Ist ~ sogar stückweise stetig differenzierbar, so ist bekanntlich L(~) == 1I~'(t)11 dt. Der folgende Satz von L. TONELLI enthält eine einfache notwendige und hinreichende Bedingung für die Gültigkeit dieser Gleichung.
f:
19LEBESGUE [2]' S. 144 f. und S. 232 ff.
§ 4. Absolut stetige Funktionen auf :IR
309
4.22 Satz (L. TONELLI 1908)20. Ist l' : [a, b] --+ JRP eine rektijizierbare stetige Kurve, so gilt: a) 111"11 ist Lebesgue-integrierbar und
L(')') 2>
(4.16)
[1I')"(t)11 dt.
b) Das Gleichheitszeichen gilt in (4.16) genau dann, wenn alle Koordinaten/unktionen von l' absolut stetig sind. Beweis. a) Die Funktion l(t) :== L(1' I [a, t]) (a:S; t :s; b) ist monoton wachsend, also f.ü. differenzierbar. Bezeichnet nun E die Menge der t E [a, b], in denen 1 und alle 1'1,···, 1'p differenzierbar sind, so gilt für alle t o E E: l'(to) == lim l(t) -l(to) > lim 1I1'(t) -1'(to)11 == 1I1"(to)ll. t~t() t - to - t~t() It - tol Nach Satz 4.5 ist also 111"11 integrierbar, und es gilt (4.16). b) Nach Aufgabe 4.11 sind 1'1, ... ,1'p absolut stetig genau dann, wenn 1 absolut stetig ist. Gilt nun in (4.16) das Gleichheitszeichen, so ist
= [II')"(S)II ds
l(t)
(a::; t ::; b),
also ist 1 absolut stetig. - Seien nun umgekehrt 1 absolut stetig und a == to b,
l
:s; 1I1'(s) -1'(t)11 :s;
11(s) -l(t)1
< h < ... < t n ==
(s, t E [a, b]),
also sind alle
== lim 111'(t) - l' (s ) 11 t~s
so daß insgesamt gilt:
also L(1')
:s;
J: 1I1"(s)11
:s; 111"11
t- s
:s; 111" (s ) 11 ,
f.ü. Daher ist
ds, und in (4.16) gilt das Gleichheitszeichen.
Aufgaben. 4.1. Ist A c JR Vereinigung einer (nicht notwendig abzählbaren!) Familie Intervallen (beliebigen Typs), so ist A E ~1. (Hinweis: Korollar 4.3.)
o
g von
2oL. TONELLI: Bulla rettijicazione delle curve, Atti R. Accad. Sci. Torino 43,783-800 (1908); Bulla lunghezza di una curva, ibid. 47, 1067-1075 (1912) (== Opere scelte, Vol I, S. 52-68 und S. 227-235. Roma: Edizioni Cremonese 1960).
310
VII. Absolute Stetigkeit
4.2. Es sei I C ~ ein Intervall. a) Für jede stetige Funktion I : I -+ ~ sind alle Ableitungszahlen Borel-meßbar. b) Für jede monotone Funktion I : I -+ ~ sind alle Ableitungszahlen Borel-meßbar. c) Für jede Borel- (bzw. Lebesgue-)meßbare Funktion I : I -+ ~ sind alle Ableitungszahlen Borel- (bzw. Lebesgue-)meßbar (SIERPINSKI [1], S. 452 ff., BANACH [1]' S. 58 ff., AUERBACH, Fund. Math. 7, 263 (1925), SAKS [2], S. 113 f.). d) Für nicht Lebesgue-meßbares I : I -+ ~ brauchen die Ableitungszahlen nicht Lebesguemeßbar zu sein, können aber durchaus Borel-meßbar sein. 4.3. Ist N c ~ eine A-Nullmenge, so existiert eine wachsende absolut stetige Funktion I : ~ -+ ~, die in keinem x E N differenzierbar ist. (Hinweise: Es seien Un ::J N, Un offen, A(Un ) < 2- n (n ~ 1) und I(x) :== fox ~C:=l XUn (t) dt (x E ~).) 4.4. Ist I : [a, b] -+ ~ von beschränkter Variation, t(x) :== Var(/; [a, x]) (a ~ x ~ b), so ist t A-f.Ü. differenzierbar mit t' == 1/'1 A-f.Ü. (Hinweis: Korollar 4.7.) 4.5. Es seien I : [a, b] -+ ~ von beschränkter Variation, t(x) :== Var(/; [a, x]), t±(x) .Var±(/; [a, x]) (a ~ x ~ b; s. Aufgabe 1.10). Dann sind folgende Aussagen äquivalent: (i) I ist absolut stetig. (ii) t+ und t- sind absolut stetig. (iii) t ist absolut stetig. Insbesondere ist jede absolut stetige Funktion darstellbar als Differenz zweier wachsender absolut stetiger Funktionen (G. VITALI 1905). 4.6. Sind
I : [a, b]
-+ ~ absolut stetig und t, t± wie in Aufgabe 4.5., so gilt
t(x) C(x)
4.7. Ist
I : [a, b]
-+
~
l l
x
1!,(u)1 du, t+(x) = {(f')+(u) du, x
(f'nu) du
(a:S; x
:s; b).
von beschränkter Variation, so gilt
[
1!,(x)1 dx :s; Var(f; [a, bJ),
und das Gleichheitszeichen gilt genau dann, wenn
I
absolut stetig ist.
4.8. Eine Funktion I : [a, b] -+ IK heißt Lipschitz-stetig, wenn ein M > 0 existiert, so daß I/(x) - l(y)1 ~ Mix - Yl für alle x, Y E [a, b]. Jede Lipschitz-stetige Funktion ist absolut stetig. 4.9. Ist I : [a, b] -+ Nullmenge.
~
absolut stetig und N C
~
eine A-Nullmenge, so ist I(N) eine A-
4.10 Substitutionsregel. Ist
[f(X)dX
=
J:
f(cp(t))cp'(t)dt.
(Hinweis: Man beweise die Behauptung zunächst für charakteristische Funktionen von Intervallen. - Eine genauere Diskussion von (4.17) findet man bei STROMBERG [1], S. 323 ff.) 4.11. Sind, : [a, b] -+ ~p eine rektifizierbare (stetige) Kurve und l(t) :== L(, I [a, t]) (a ~ ~ b), so ist 1 genau dann absolut stetig, wenn alle Koordinatenfunktionen ,1, ... , absolut stetig sind (L. TONELLI 1908). 4.12. Es seien a, b E ~ und I : [0, 00[-+ ~,/(O) :== 0 und I(x) :== x a sin(x- b) für x > O. Unter
t
welchen Bedingungen an a, bist (i) I beschränkt, (ii) I stetig, (iii) Var(/; [0, 1])
,p
< 00, (iv) I
§ 4. Absolut stetige Funktionen auf :IR absolut stetig, (v)
f
in 0 differenzierbar, (vi)
311
f'
1[0, IJ beschränkt?
4.13. Es sei F : [a, bJ ~ JE. monoton wachsend, F I Ja, b[ rechtsseitig stetig und J.1F : ~[a,b] ~ jR das zugehörige Lebesgue-Stieltjessche Maß, das durch J.1F(Ja,ßJ) == F(ß) -F(a),J.1F([a,ßJ) == F(ß) - F(a) (a < a < ß ::; b) definiert ist. Zeigen Sie: J.1F ist singulär bez. ß I ~[a,b] genau dann, wenn es zu jedem c > 0 Zwischenpunkte a ::; al < ßl < ... < an < ßn ::; b gibt, so daß L~=l (ßk - ak) < c und L~=l IF(ßk) - F(ak)1 2: Var(F; [a, bJ) - c. Entsprechendes gilt für das signierte Maß VF, das zu einer auf Ja, b[ rechtsseitig stetigen Funktion F : [a, bJ ~ JE. von beschränkter Variation gehört (s. Aufgabe 1.10). 4.14. Es seien p > 0 und F : [0, IJ ~ JE. wie folgt definiert: F(O) :== 0, und ist x == L~=o 2- kn mit natürlichen Zahlen 0 < ko < k 1 < ..., so sei
F(x) :==
L
pn(1
+ p)-k
n
•
n=O
Dann ist F streng monoton wachsend und stetig, und für p == 1 ist F(x) == x (0::; x ::; 1). Für p 1= 1 ist F singulär. (Hinweis: Ist F in einem x E]O, 1] differenzierbar mit F'(x) 1= 0, so ist P == 1; s. L. TAKACS: An increasing continuous singular function, Amer. Math. Monthly
85, 35-37 (1978).)
Kapitel VIII Maße auf topologischen Räumen Im vorliegenden Kapitel studieren wir Maße auf topologischen Räumen. Musterbeispiele sind das Lebesgue-Maß und die Lebesgue-Stieltjesschen Maße. Wir interessieren uns daher besonders für diejenigen Maße auf der a-Algebra Q3(X) der Borel-Mengen des topologischen Raums X, die möglichst viele Eigenschaften mit dem Lebesgue-Maß gemeinsam haben. Diese etwas vage Zielvorstellung legt verschiedene Ansätze nahe. Das betrifft zunächst die topologischen Voraussetzungen an den Raum X: Der IRP ist sowohl ein lokal-kompakter Hausdorff-Raum als auch ein vollständig metrisierbarer Raum. Demzufolge entwickeln wir die Regularitätseigenschaften von Borel-Maßen in § 1 bevorzugt für lokal-kompakte Hausdorff-Räume und für vollständig metrisierbare Räume. In § 2 zeigen wir: Ist X ein lokal-kompakter Hausdorff-Raum, so läßt sich jede positive Linearform I : Cc(X) -+ JI{ auf dem Raum Cc(X) der stetigen Funktionen f : X -+ JI{ mit kompaktem Träger in der Form
"darstellen" durch ein geeignetes Maß f.1 auf Q3(X) (Darstellungssatz von F. RIESZ). Von diesem Satz beweisen wir mehrere Varianten. Das führt zu einer Beschreibung des Dualraums von Co(X) durch signierte bzw. komplexe Maße auf Q3(X). - In Kap. 111, § 2 haben wir festgestellt, daß das Lebesgue-Borelsche Maß ßP das einzige normierte translationsinvariante Maß auf Q3P ist. Dieser Sachverhalt ist nur ein Spezialfall des fundamentalen Satzes von HAAR, den wir in § 3 beweisen: Auf jeder lokal-kompakten Hausdorffschen topologischen Gruppe existiert ein translationsinvariantes Radon-Maß, und dieses ist bis auf einen positiven Faktor eindeutig bestimmt. Der Beweis dieses Satzes ist eines der wichtigsten Ziele von Kap. VIII. Da der Satz von HAAR im wesentlichen nur für lokal-kompakte Gruppen gilt, werden wir uns in §§ 2-3 bevorzugt mit Borel-Maßen auf lokal-kompakten Räumen beschäftigen. Es liegt in der Natur der Sache, daß wir in Kap. VIII beim Leser mehr Kenntnisse aus der mengentheoretischen Topologie voraussetzen müssen als in den vorangehenden Kapiteln. Die Bücher von v. QUERENBURG [1] und SCHUBERT
§ 1. Borel-Maße, Radon-Maße, Regularit¨at
313
[1] sind bei Bedarf zuverl¨assige Ratgeber. Wir rekapitulieren die zugrundegelegte Terminologie und einige grundlegende Sachverhalte in Anhang A.
§ 1.
Borel-Maße, Radon-Maße, Regularit¨ at
1. Grundbegriffe. Im vorliegenden Paragraphen studieren wir die sog. Regularit¨at von Borel-Maßen auf topologischen R¨aumen. Letztendlich wollen wir zeigen, daß Borel-Maße auf lokal-kompakten Hausdorff-R¨aumen mit abz¨ahlbarer Basis oder auf vollst¨andig metrisierbaren separablen metrischen R¨aumen viele Approximationseigenschaften mit dem Lebesgue-Maß und den Lebesgue– Stieltjesschen Maßen gemeinsam haben. Da bei unserem Vorgehen die kompakten Mengen eine ausgezeichnete Rolle spielen, m¨ ussen wir sicherstellen, daß alle kompakten Mengen Borelsch sind. Das ist in allen Hausdorff-R¨aumen der Fall, denn jede kompakte Teilmenge eines Hausdorff-Raums ist abgeschlossen. Daher verabreden wir f¨ ur den ganzen § 1 folgende Voraussetzungen und Bezeichnungen: Es seien X ein Hausdorff-Raum und O, C, K die Systeme der offenen bzw. abgeschlossenen bzw. kompakten Teilmengen von X. Ferner sei B = B(X) = σ(O) die σ-Algebra der Borel-Mengen von X. Bei den folgenden Definitionen schließen wir uns weitgehend den Namengebungen von L. Schwartz (1915–2002) [1] und R.J. Gardner, W.F. Pfeffer [1] an. In diesem Zusammenhang ist eine eindringliche Warnung n¨otig: In der Literatur werden dieselben Namen oft in unterschiedlicher Bedeutung benutzt. Daher ist es bei Konsultation verschiedener Quellen unerl¨aßlich, zun¨achst die Definitionen zu rekapitulieren, bevor man die mathematischen Aussagen vergleichen kann. 1.1 Definition. Es seien A ⊃ B eine σ-Algebra und μ : A → [0, ∞] ein Maß. a) μ heißt lokal-endlich, wenn zu jedem x ∈ X eine offene Umgebung U von x existiert mit μ(U) < ∞. Ein lokal-endliches Maß μ : B → [0, ∞] heißt ein Borel-Maß. b) Eine Menge A ∈ A heißt von innen regul¨ar, falls (1.1)
μ(A) = sup{μ(K) : K ⊂ A, K ∈ K} ,
und μ heißt von innen regul¨ar, wenn alle A ∈ A von innen regul¨ar sind. c) Eine Menge A ∈ A heißt von außen regul¨ar, falls (1.2)
μ(A) = inf{μ(U) : U ⊃ A, U ∈ O} ,
und μ heißt von außen regul¨ar, wenn alle A ∈ A von außen regul¨ar sind. d) Eine Menge A ∈ A heißt regul¨ar, wenn sie von innen und außen regul¨ar ist. Sind alle A ∈ A regul¨ar, so nennt man μ regul¨ar. e) Ein von innen regul¨ares Borel-Maß nennt man ein Radon-Maß.
314
VIII. Maße auf topologischen Räumen
Der Begriff "regulär" wurde (im Sinne einer Art äußerer Regularität für äußere Maße) von CARATHEODORY [1], S. 258 geprägt und fand gleich Aufnahme in die mathematische Literatur (s. z.B. HAHN [1], S. 433, ROSENTHAL [1], S. 990 ff., SAKS [2]' S. 50 f., VON NEUMANN [1]' S. 103 ff.). Angeregt durch den VON NEUMANNschen Beweis der Eindeutigkeit des Haarschen Maßes (s. VON NEUMANN [5], S. 91-104) begannen A.A. MARKOFF (1903-1979)1 [1] und A.D. ALEXANDROFF [1] mit der Untersuchung regulärer (signierter) Inhalte und Maße auf (normalen) topologischen Räumen. Die weitere Entwicklung wurde durch die Diskussion der regulären Maße im Lehrbuch von P .R. HALMOS [1] nachhaltig beeinflußt. Die Darstellung bei HALMOS stützt sich u.a. auch auf eine Vorlesung von J. v. NEUMANN [6] aus dem Jahre 1940, die erst 1999 veröffentlich wurde. - Die obige Festlegung des Begriffs "Radon-Maß" ist das Ergebnis einer längeren Entwicklung. Wir folgen dem Vorschlag von SCHWARTZ [1], S. 12 ff. Die Definition bei FREMLIN [1], S. 210 ist formal anders, in gewissem Sinne aber inhaltlich äquivalent.
1.2 Folgerungen. Es sei J1 wie in Definition 1.1. a) Eine Menge A E 2l mit J1(A) < 00 ist genau dann regulär, wenn zu jedem c > 0 ein kompaktes K c A und ein offenes U => A existieren mit J1(U\K) < c. b) Ist J1lokal-endlich, so hat jedes K E R eine offene Umgebung U mit J1(U) < 00; insbesondere ist J1(K) < 00 (K ER). c) Ist X lokal-kompakt, so ist J1lokal-endlich genau dann, wenn J1(K) < 00 für alle K E R. d) Der Raum X erfülle das erste Abzählbarkeitsaxiom. Ist jede offene Teilmenge von X von innen regulär und J1(K) < 00 (K ER), so ist J1lokal-endlich. e) Jede a-kompakte Menge ist von innen regulär. f) Jedes endliche Radon-Maß ist regulär. g) Ist J1 ein Radon-Maß, so ist jedes K E R von außen regulär.
Beweis. a) ist klar. b) Ist K E R, so hat jedes x E K eine offene Umgebung Ux mit J1(Ux ) < 00. Da K von endlich vielen dieser Ux überdeckt wird, folgt b). c) folgt aus b). d) Wir schließen indirekt: Angenommen, es gibt ein x EX, so daß J1(U) == 00 für alle U E D mit x E U. Es sei (Vn )nEl eine Umgebungsbasis von x mit Vn E D und Vn => Vn+l (n E N). Nach Voraussetzung gibt es zu jedem n E N ein kompaktes K n C Vn mit J1(Kn ) 2: n und x E K n . Die Menge K :== U~=l K n ist kompakt: Ist nämlich (Ut ) tEl eine offene Überdeckung von K, so gibt es ein LO E I mit x E Uto und dazu ein N E N mit VN C Uto • Daher ist K n C Uto für alle n 2: N. Die übrigen K j (j == 1, ... , N -1) werden von endlich vielen Ut1 , ••• , Utr überdeckt. Daher wird K von Uto ' . ' " Utr überdeckt, d.h. K ist kompakt. Nach Konstruktion ist aber J1(K) == 00 im Widerspruch zur Voraussetzung. e) Ist A a-kompakt, so ist A E ~, und es gibt eine Folge (Kn )n>l in j{ mit K n t A. Daher gilt J1(Kn ) t J1(A); insbesondere folgt (1.1). f) Sei A E ~. Dann ist Ac von innen regulär. Wegen J1(X) < 00 ist daher A von außen regulär. lSohn des gleichnamigen Mathematikers A.A. MARKOFF (1856-1922), nach dem die Markoffschen Prozesse und die Markoffschen Ketten benannt sind.
§ 1. Borel-Maße, Radon-Maße, Regularität
315
g) Nach b) hat K eine offene Umgebung U mit J-L(U) < 00. Da J-L von innen regulär ist, existiert zu E > eine kompakte Menge LeU \ K mit J-L( L) > J-L(U \ K) - E. Nun ist V :== U \ L eine offene Umgebung von K mit
°
J-L(V)
==
J-L(U) - J-L(L) :::; J-L(U) - J-L(U \ K) +
E
==
J-L(K) + E.
o Nach Folgerung 1.2, c) und d) kann man in der Definition der Radon-Maße die Forderung der lokalen Endlichkeit von J-L ersetzen durch die Forderung der Endlichkeit von J-L auf R, falls X lokal-kompakt ist oder dem ersten Abzählbarkeitsaxiom genügt. Ohne Zusatzbedingungen ist eine solche Ersetzung unzulässig (s. Beispiel 1.3, f)).
1.3 Beispiele. a) Die Borel-Maße und die Radon-Maße auf ~p sind genau die Lebesgue-Stieltjesschen Maße (s. Kap. 11, § 7, insbes. Aufgabe 11.7.5). Die Regularität der Lebesgue-Stieltjesschen Maße wird im folgenden in Korollar 1.11, Korollar 1.12 und in Satz 1.16 erneut bewiesen. b) Das Zählmaß auf 93 (X) ist genau dann lokal-endlich, wenn X diskret ist. Für diskretes X ist das Zählmaß ein reguläres Borel-Maß. c) Ist (J-LJtEI eine Familie von innen regulärer Maße auf 2l => 93(X), so ist J-L :== ~tEI J-Lt von innen regulär (Beweis zur Übung). Ist also (J-LJtEI eine Familie von Radon-Maßen auf 93(X) und J-L :== ~tEI J-Lt lokal-endlich, so ist J-L ein RadonMaß. d) Es seien J-L : 2l ~ [0,00] ein Maß, 2l => ~,A E 2l und J-LA : 2l ~ [0,00], J-LA(B) :== J-L(A n B) (B E 2l). Ist J-L lokal-endlich, so auch J-LA, und ist J-L von innen regulär, so auch J-LA. Ist insbesondere J-L ein Radon-Maß, so auch J-LA (A E 93). e) Ein von außen reguläres Borel-Maß braucht nicht von innen regulär zu sein: Es sei X == JR versehen mit der Topologie D, die von allen halboffenen Intervallen [a, b[ (a, b E JR, a < b) erzeugt wird. Offenbar ist D echt feiner als die übliche ("euklidische") Topologie '1'1 auf JR; dennoch ist 93( (X, D)) == ~1. Das Maß ß1 ist sowohl bez. '1'1 als auch bez. D ein von außen reguläres Borel-Maß, und bez. '1'1 ist ß1 auch von innen regulär. In bezug auf D gilt zwar für alle A E ~1
aber ß1 ist nicht von innen regulär, denn jede bez. D kompakte Teilmenge von JR ist abzählbar (Beweis zur Übung). f) Ein von innen reguläres Maß braucht nicht lokal-endlich und nicht von außen regulär zu sein: Es seien '1'1, '1'2 die üblichen ("euklidischen") Topologien auf]R1 bzw. JR2, X :== JR2 und D das System aller Teilmengen U c X mit Ux , UY E '1'1 für alle x, y E JR. (Wie früher ist Ux == {y : (x, y) EU}, UY == {x : (x, y) EU}.) Dann ist D eine Topologie auf X mit D => '1'2; insbesondere ist D Hausdorffsch. Das System 2l aller Teilmengen A c X mit A x , AY E 93 1 für alle x, y E JR ist eine a-Algebra mit 2l => D, also gilt 93(X) c 2l. Auf 2l definieren wir vermöge
J-L(A)
:==
Lß (A 1
x EIE.
x)
+ Lß 1 (AY) yEIR
(A E 2l)
VIII. Maße auf topologischen Räumen
316
ein Maß. Ist U E D eine Umgebung von (x, y) E X, so gibt es ein 6 > 0 mit {x}x]y - 6,y + 6[C U, und zu jedem t E]Y - 6,y + 6[ gibt es ein Ct > 0, so daß ]x - Ct, x + cd x {t} C U. Daher ist JL(U) == 00, d.h. jede nicht-leere D-offene Menge hat unendliches Maß, JL ist nicht lokal-endlich. Die Diagonale D :== {(x, x) : x E IR} ist 'T2 -abgeschlossen, also auch D-abgeschlossen, und es ist JL(D) == O. Für jedes offene U =:> D ist aber JL(U) == 00, d.h. D und damit JL ist nicht von außen regulär. (Es gibt keine nicht-leere von außen reguläre Menge A E 2( mit JL(A) < 00.) Wir behaupten: Eine Menge M C X ist kompakt (bez. D) genau dann, wenn es endliche Mengen E, F c IR und kompakte K(x), L(y) C IR (x E E, y E F) gibt, so daß M == U{x} x K(x) u L(y) x {y}.
U
xEE
yEF
Begründung: Daß jede Menge der angegebenen Gestalt kompakt ist (bez. D), sieht man leicht. - Umgekehrt: Ist M C X kompakt bez. D, so ist M kompakt bez. '1'2, also ist M C IR2 beschränkt und 'T2 -abgeschlossen. Daher sind alle Schnitte Mx, MY C IR kompakt, und wir müssen nur noch zeigen, daß M in der Vereinigung endlich vieler achsenparalleler Geraden enthalten ist. Wäre das nicht der Fall, so gäbe es eine Folge von verschiedenen Punkten Zn E M (n 2: 1), so daß A :== {zn : n E N} mit jeder achsenparallelen Geraden höchstens einen Punkt gemeinsam hat. Dasselbe gilt dann für jede Teilmenge von A. Daher ist A abgeschlossen und diskret, also als Teilmenge des Kompaktums M endlich: Widerspruch! - Es folgt: D ist echt feiner als 'T2 . Für alle M E R ist offenbar JL(M) < 00, und nach c) ist JL von innen regulär. (Dieses Beispiel geht zurück auf FREMLIN [2], S. 104 f.) g) Ein von außen reguläres, endliches Maß auf einem metrisierbaren Raum braucht nicht von innen regulär zu sein: Eine leichte Modifikation des Beweises von Satz 111.3.10 lehrt: Es gibt eine "Bernstein-Menge" X C [0,1], so daß sowohl X als auch [0,1] \ X mit jeder überabzählbaren kompakten Menge K C [0,1] einen nicht-leeren Durchschnitt hat. Nach dem Argument des Beweises von Satz 111.3.7 ist X ~1 und
tt
(1.3)
sup{ß1(K) : K C X, K kompakt} == sup{ß1(L): L C [0,1] \ X, L kompakt}
== 0.
Wir zeigen:
r/(X)
==
inf{ß1(U) : U =:> X, U offen in IR}
== 1 .
Zur Begründung sei U =:> X, U offen in IR. Dann ist [0,1] \ U eine kompakte Teilmenge von [0,1] \ X, also ß1([0, 1] \ U) == 0, d.h. ß1(U) 2: ß1([0, 1] n U) == 1. Da die Ungleichung ,,~ 1" klar ist, folgt die Behauptung. Wir versehen X mit der Spurtopologie 'T :== 'Tl I X; dann ist ~(X) == ~l IX. Offenbar ist 7] :== 7]1 I s,p(X) ein äußeres Maß. Wir zeigen, daß alle Mengen aus ~(X) 7]-meßbar sind: Dazu seien A E 'T und Q C X. Es gibt ein U E 'Tl mit A == X n U, und wir erhalten
§ 1. Borel-Maße, Radon-Maße, Regularität
317
denn U ist 1]1-meßbar. Folglich ist A E 2t11' also auch ~(X) C 2t1]; JL :== 1]1 ~(X) ist ein endliches Borel-Maß, und JL ist von außen regulär, denn für alle A c X ist
1](A) < inf{1](V): A c V, V E ~} < inf{1]I(U): A c U, U offen in lR} Daher gilt auch für alle A E
JL(A)
==
==
1](A).
~(X):
sup{JL(F) : F
c A, F
~-abgeschlossen}
.
Aber JL ist nach (1.3) nicht von innen regulär, also kein Radon-Maß.
2. Regularitätssätze. Auf vielen wichtigen Hausdorff-Räumen ist jedes endliche Borel-Maß automatisch regulär. Den Beweisen einiger Aussagen dieses Typs legen wir folgendes Regularitätslemma zugrunde. 1.4 Regularitätslemma. Für jedes endliche Maß JL auf einer a-Algebra 2t :=>
~
ist 9lJl :== {A E 2t : A JL-regulär}
ein a-Ring. Beweis. Wir führen den Beweis in zwei Schritten. (1) Für alle A,B E 9tJl gilt AUB,AnB,A \B E 9tJl. Begründung: Zu jedem E > 0 gibt es kompakte K, L und offene U, V, so daß K c A c U, LeB c V und JL(U \ K) + JL(V \ L) < E. Nun sind K U L kompakt, U U V offen, K U L c A U B c U U V und (U U V) \ (K U L) c (U \ K) U (V \ L), also JL((U U V) \ (K U L)) < E, und es folgt: Au B E 9tJl. Wegen (U n V) \ (K n L) c (U \ K) U (V \ L) folgt ebenso: A n B E 9tJl. Weiter ist A \ B == A \ (A n B), so daß wir beim Nachweis von A \ B E 9tJl gleich B c A voraussetzen können. Dann dürfen wir aber (ggf. nach den Ersetzungen K ~ K U L, V ~ U n V) auch gleich LeK und V c U annehmen und erhalten: K \ V c A \ B c U \ L, K \ V ist kompakt, U \ L offen und (U \ L) \ (K \ V)
==
((U \ L) \ K)
U
((U \ L) n V)
==
(U \ K)
U
(V \ L),
also JL((U \ L) \ (K \ V)) <
E. Daher ist auch A \ B E 9tJl. (2) Für jede Folge disjunkter Mengen An E 9tJl (n 2: 1) gilt: U~=1 An E 9tJl. Begründung: Zu vorgegebenem E > 0 existieren K n E n, Un E D mit K n C An C Un und JL(Un \Kn ) < E2- n (n E N). Wegen 2:~=1 JL(A n ) == JL (U~=1 An) :::; JL(X) < 00 und JL(Un ) :::; JL(A n ) + E2- n (n E N) ist 2:~=1 JL(Un ) < 00. Daher existiert ein N E N, so daß 2:~N+l JL(Un ) < E. Nun sind K :== U:=1 K n kompakt, U :== U~=1 Un offen, K C U~=1 An C U und JL(U \ K) :::; 2::=1 JL(Un \ K n) + 2:~=N+l JL(Un) < 2E. Daher ist U~=1 An E 9tJl. Nach (1), (2) ist 9tJl ein a-Ring. D
1.5 Regularitätssatz. Ist JL : ~ ~ [O,oo[ ein endliches Borel-Maß, und sind alle V E D von innen regulär, so ist JL regulär.
VIII. Maße auf topologischen Räumen
318 Beweis. Wegen D
c
91Jl liefert das Regularitätslemma 1.4 die Behauptung.
D
1.6 Korollar. Ist jede offene Teilmenge von X (J"-kompakt, so ist jedes endliche Borel-Maß auf X regulär. Beweis. Folgerung 1.2, e) und Regularitätssatz 1.5 ergeben die Behauptung. D
3. Moderate Borel-Maße. Im folgenden wollen wir die Voraussetzung der Endlichkeit von f.-l im Regularitätssatz 1.5 und in Korollar 1.6 abschwächen. Dabei leistet der von N. BOURBAKI [5], S. 21 eingeführte Begriff des moderaten Maßes gute Dienste. 1.7 Definition. Ein Borel-Maß heißt moderat, wenn X die Vereinigung einer Folge offener Mengen endlichen Maßes ist. 1.8 Folgerungen. a) Jedes moderate Borel-Maß ist (J"-endlich, und jedes von außen reguläre (J"-endliche Borel-Maß ist moderat. (Dagegen braucht ein nur (J"-endliches Borel-Maß nicht moderat zu sein, wie die Beispiele von BOURBAKI [5], S. 101, exercice 8 und bei GARDNER und PFEFFER [1]' S. 1016 f., 12.6 oder 12.7 lehren.) b) Ist X (J"-kompakt, so ist jedes Borel-Maß auf X moderat (Folgerung 1.2, b)). c) Jedes Borel-Maß auf einem Hausdorff-Raum mit abzählbarer Basis ist moderat. Begründung: Sei meine abzählbare Basis von X. Wir zeigen: Auch e :== {V E m : f.-l(V) < oo} ist eine Basis von X. Zum Beweis seien U E D und x E U. Nach Voraussetzung hat x eine offene Umgebung W mit f.-l(W) < 00, und es gibt ein V E Q1 mit x E V c UnW. Offenbar ist V E me, d.h. Q1e ist eine Basis von X. Insbesondere ist f.-l moderat, da Q1e abzählbar ist. -
m
1.9 Satz. Ist f.-l ein moderates Borel-Maß auf ~(X) mit der Eigenschaft, daß jedes offene V C X mit f.-l(V) < 00 von innen regulär ist, so ist f.-l regulär. Insbesondere ist jedes moderate Radon-Maß auf ~(X) regulär. Beweis. Es sei (G n)n2: 1 eine Folge offener Mengen endlichen Maßes mit U~=l G n == X. Die Maße f.-ln :== f.-ll ~(Gn) (n E N) sind nach dem Regularitätssatz 1.5 regulär. Es seien nun A E ~(X) und An :== A n G n (n E N). Dann existiert zu jedem E > 0 ein offenes Un mit An C Un C Gn und f.-l(Un \ An) == f.-ln(Un \ An) < E2- n (n E N). Daher ist U :== U~=l Un offen, U ~ A und f.-l(U \ A) ::; E~=l f.-l(Un \ An) < E, folglich ist f.-l von außen regulär. - Weiter seien a < f.-l(A)
und N E N so groß, daß
E :=
p,
(U~=l
Ak)
~ a > O.
Zu jedem j = 1, ... , N exi-
stiert ein kompaktes K j C A j mit f.-l( A j \ K j ) == f.-lj (A j \ K j ) <
K
:=
U~l K j
also p,( K) :2: p,
ist kompakt, und es ist p,
(U~l A j )
-
E
(Uf=l A j \
K)
E/
N. Die Menge
:s: E~l p,( A j \ K j )
= a. Daher ist p, auch von innen regulär.
<
E,
0
4. Regularität von Borel-Maßen. Satz 1.9 liefert nützliche Regularitätssätze für Borel-Maße.
§ 1. Borel-Maße, R,adon-l\!laße, Regularität
319
1.10 Satz. Es seien X ein a-kompakter Hausdorff-Raum und J.1 ein Borel-Maß auf Q)(X) mit der Eigenschaft, daß jede offene Menge endlichen Maßes von innen regulär ist. Dann ist J.1 regulär und moderat. Beweis. Nach Folgerung 1.8, b) ist J.1 moderat. Daher folgt die Behauptung aus Satz 1.9. D
1.11 Korollar. Ist X ein Hausdorff-Raum, in dem jede offene Menge a-kompakt ist, so ist jedes Borel-Maß auf Q)(X) regulär und moderat. Beweis: klar nach Folgerung 1.2 e) und Satz 1.10.
D
1.12 Korollar. Ist X ein lokal-kompakter Hausdorff-Raum mit abzählbarer Basis, so ist jedes Borel-Maß auf Q)(X) regulär und moderat. Beweis. Es seien (1/n)n~1 eine abzählbare Basis von X und U c X offen. Zu jedem x E U gibt es eine kompakte Umgebung W x C U und dazu ein k E N mit x E Vk C V k C T11x ' Ersichtlich ist U gleich der Vereinigung dieser abzählbar vielen (kompakten!) V k . Daher ist jedes U E Da-kompakt, und Korollar 1.11 D impliziert die Behauptung.
1.13 Korollar. Ist ./Y ein a-kompakter Hausdorff-Raum, so ist jedes RadonMaß auf Q)(X) regulär und moderat. Beweis: klar nach Satz 1.10.
D
1.14 Bemerkungen. a) Für endliche Borel-Maße folgt Korollar 1.12 mit gleichem Beweis unmittelbar aus Korollar 1.6. b) Jeder lokal-kompakte Hausdorff-Raum mit abzählbarer Basis ist polnisch (s. Anhang A.22). Daher folgt Korollar 1.12 auch aus Satz 1.16. c) Ein Borel-Maß auf einem kompakten Hausdorff-Raum (ohne abzählbare Basis) braucht nicht regulär zu sein. Ein erstes Beispiel für diese Möglichkeit geht zurück auf J. DIEUDONNE (1906-1992): Un exemple d 'espace normal non susceptible d'une structure d'espace complet, C.R. Acad. Sei. Paris 209, 145147 (1939). Dieses Beispiel findet man als Übungsaufgabe bei HALMOS [1]' S. 231, ex. 10 und bei COHN [1]' S. 215, ex. 7; eine ausführlichere Darstellung geben FLORET [1]' S. 350, A4.5, GARDNER und PFEFFER [1]' S. 974, 5.5. und SCHWARTZ [1], S. 45 und S. 120. Viele weitere Beispiele findet man bei H.L. PETERSON: Regular and irregular measures on groups and dyadic spaces, Pacific J. l\!Iath. 28, 173-182 (1969). Dagegen gibt es durchaus auch kompakte Hausdorff-Räume ohne abzählbare Basis (d.h. nicht metrisierbare kompakte Hausdorff-Räume), auf denen jedes Borel-Maß regulär (d.h. ein Radon-Maß) ist (s. SCHWARTZ [1], S. 120-121). 1.15 Beispiel. Es seien D =I 0 ein diskreter topologischer Raum und X :== D x lR versehen mit der Produkttopologie D. Offenbar ist X lokal-kompakt.
VIII. Maße auf topologischen Räumen
320
Ferner ist X metrisierbar: Setzt man für x == (o:,s),Y == (ß,t) EX d(x
).== { ,y.
Is - tl
1 + Is -
,falls falls
tl ,
0: 0:
== ß ,
-# ß ,
so ist d eine Metrik auf X, welche die Topologie D definiert. X hat eine abzählbare Basis genau dann, wenn D abzählbar ist. (Man kann X auch auffassen als die "topologische Summe" von IDI Exemplaren von IR.) Die Menge 2l aller A c X mit A a :== {t E IR : (0:, t) E A} E ~l für alle 0: E D ist eine a-Algebra. (Bezeichnen wir für 0: E D mit ja : IR ~ X,ja(t) :== (0:, t) (t E IR) die kanonische Injektion, so ist 2l die im Sinne von Aufgabe 111.5.7 gebildete Final-a-Algebra auf X bez. (ja)aED') Wegen D c 2l ist offenbar ~(X) c 2l. Ist D abzählbar, so gilt hier nach Satz 111.5.10 das Gleichheitszeichen. (Für überabzählbares D ist aber ~(X) -# 2l nach KURATOWSKI [1], S. 362, Remark (== S. 268, Remarque der frz. Ausg.). Diese Tatsache wurde erstmals bemerkt von E. SZPILRAJN (== E. MARCZEWSKI); s. SIERPINSKI [2], S. 153 (== Fundam. Math. 21, S. 112 (1933)).) Das Maß J-l : 2l ~ [0,00], J-l(A) :==
L
ßl(Aa )
(A E 2l),
aED
ist lokal-endlich und von innen regulär (Beispiel 1.3, c)). Ist D abzählbar, so ist J-l nach Korollar 1.12 ein reguläres Borel-Maß. Für überabzählbares D ist aber J-l nicht von außen regulär: Die Menge F :== D x {O} c X ist abgeschlossen, J-l(F) == 0, aber für jede offene Menge U ~ F gilt J-l(U) == 00.
5. Regularität von Borel-Maßen auf polnischen Räumen. Der topologische Raum X heißt polnisch, wenn eine die Topologie von X definierende Metrik existiert, so daß (X, d) ein separabler vollständiger metrischer Raum ist. Die Klasse der polnischen Räume ist erfreulich reichhaltig (s. Anhang A.22). Neben den lokal-kompakten Hausdorff-Räumen sind die polnischen Räume in der topologischen Maßtheorie von besonderer Wichtigkeit. Ein wesentlicher Grund dafür ist, daß wichtigen Konvergenzsätzen für stochastische Prozesse Maße auf polnischen (aber nicht lokal-kompakten) Räumen zugrundeliegen, wie J.V. PROCHOROV (1929-) in einer grundlegenden Arbeit 2 dargelegt hat. 1.16 Satz von Ulam (1939). Jedes Borel-Maß auf einem polnischen Raum ist regulär und moderat. Beweis. Es sei J-l ein Borel-Maß auf dem polnischen Raum X. Wir beweisen die Regularität von J-l in drei Schritten. (1) Ist J-l endlich, so ist J-l regulär. Begründung: Nach dem Regularitätslemma 1.4 brauchen wir nur zu beweisen, daß jede abgeschlossene Menge FeX zu 9tJl gehört. Das zeigen wir zunächst für F == X: Dazu seien d eine die Topologie von X definierende Metrik, bez. 2yU. V. PROKHOROV: Convergence 0/ random processes and limit theorems in probability theory, Theory Probab. Appl. 1, 157-214 (1956).
§ 1. Borel-Maße, Radon-Maße, Regularität
321
welcher (X, d) vollständig ist, und (X n )n>l eine in X dichte Folge. (Wir dürfen gleich annehmen, daß X -# 0 ist.) Zu jed;m x E X und p > 0 existiert ein JEN mit d(x, Xj) < p. Daher ist X == Kp(xj), also
U;:l
f-L(X) == lim J-L k~oo
(U
Kp(Xj)) .
j=l
Wählen wir p == l/n (n E N), so existiert also zu jedem c > 0 ein k n E N, so daß
M
(Q
n Kl/n(Xj)) > Jl(X) - ET .
U;::l
Die Menge K :== n~=l K 1 / n (xj) ist abgeschlossen, also vollständig. Für jedes J == 2/n > 0 (n E N) wird K durch die endlich vielen Mengen K 1 / n (xj) (j == 1, ... ,kn ) vom Durchmesser ~ J überdeckt. Mit einem Diagonalfolgenargument folgt hieraus: Jede Folge in K hat eine Cauchy-Folge als Teilfolge. Wegen der Vollständigkeit von K heißt das: Jede Folge in K hat eine konvergente Teilfolge. Daher ist K kompakt. Nach Konstruktion ist nun
also X E 9lJL. (Diese ULAMsche Konstruktion einer kompakten Teilmenge K C X mit J-L(KC) < c ist die wesentliche Schwierigkeit im ganzen Beweis, da apriori gar nicht klar ist, wie reichhaltig das System der kompakten Teilmengen eines polnischen Raums ist.) Ist nun F eine beliebige abgeschlossene Teilmenge von X, so wählen wir zu c > 0 ein K E n mit J-L(KC) < c. Dann ist F n K eine kompakte Teilmenge von F mit F \ (F n K) c KC, also ist J-L(F \ (F n K)) < c, d.h. F ist von innen regulär. Da Feine GJ-Menge ist (s. Aufgabe 1.6.1), ist F auch von außen regulär, denn J-L ist endlich. Daher ist F E 9lJL. (2) J-L ist moderat. Begründung: Folgerung 1.8, c). (3) Jede offene Menge G mit J-L( G) < 00 ist von innen regulär. Begründung: G ist eine Fu-Menge (Aufgabe 1.6.1). Nach (1) ist jedes abgeschlossene FeX mit f-L(F) < 00 von innen regulär. Daher ist auch G von innen regulär (s. Aufgabe 1.2). D Aus Satz 1.9 und (2), (3) folgt nun die Behauptung des Satzes. Nach Beispiel 1.3, g) wird Satz 1.16 ohne die Voraussetzung der Vollständigkeit von X falsch. Historische Notiz. Nach OXTOBY [2], S. 216 hat ULAM den Satz 1.16 nicht veröffentlicht, doch findet sich der Kern des Arguments, nämlich Schritt (1) des Beweises, im wesentlichen in Fußnote 3 auf S. 561 bei OXTOBY und ULAM [1]. - In seiner Autobiographie Adventures 0/ a Mathematician (New York: Charles Scribner's Sons 1976) berichtet S.M. ULAM (1909-1984) auf S. 84-86 über seine Zusammenarbeit mit J. OXTOBY (1910-1991).
322
VIII. Maße auf topologischen Räumen
Der Satz von ULAM gestattet eine weitgehende Verschärfung, über die wir ohne detaillierte Beweise kurz berichten: Ein Hausdorff-Raum X heißt ein Suslin-Raum, falls es einen polnischen Raum Y und eine stetige Surjektion f : Y -+ X gibt. Eine Teilmenge A eines topologischen Raums Z heißt eine Suslin-Menge oder eine analytische Menge, wenn A bez. der von Z induzierten Relativtopologie ein Suslin-Raum ist. Die Klasse der Suslin-Räume ist abgeschlossen bez. der Bildung (i) abzählbarer topologischer Summen oder Produkte, (ii) abzählbarer Durchschnitte und abzählbarer Vereinigungen Suslinscher Unterräume eines topologischen Raums, (iii) Borelscher Unterräume, (iv) stetiger Bilder (insbesondere Hausdorffscher Quotienten und Hausdorffscher Vergröberungen der Topologie). Dagegen ist das System der Suslinschen Teilmengen eines Hausdorff-Raums nicht notwendig abgeschlossen bez. der Komplementbildung: Ist ein Hausdorff-Raum X die Vereinigung abzählbar vieler disjunkter Suslinscher Teilräume An(n 2: 1), so sind alle An E ~(X) (s. z.B. SCHWARTZ [1]' Chapter 11).
1.17 Satz von P .A. MEYER. Jedes Borel-Maß auf einem Suslin-Raum ist regulär und moderat. Beweis. Parallel zum Beweis des Satzes von ULAM stützt sich die Argumentation auf drei Schritte: (1) Jedes endliche Borel-Maß auf einem Suslin-Raum ist regulär (s. SCHWARTZ [1]' S. 122, Theorem 10 von P.A. MEYER). (2) Jedes Borel-Maß auf einem Suslin-Raum ist moderat. Begründung: Es seien X ein Suslin-Raum, Y ein polnischer Raum und f : Y -+ X eine stetige Surjektion. Jedes x E X hat eine offene Umgebung Ux mit J-L(Ux ) < 00. Zum Beweis der Behauptung zeigen wir, daß bereits abzählbar viele Mengen UXn zur Überdeckung von X ausreichen: Sei nämlich (Vn )n>l eine abzählbare Basis von Y und I die Menge der n E N, zu denen ein x E X existiert mit -f(Vn ) C U x ' Zu jedem n E I wählen wir ein festes X n E X mit f(Vn ) C U Xn ' Dann ist (UXn)nEI eine Überdeckung von X, denn ist x E X und y E f-l({X}), so gibt es ein n E N mit y E Vn C f- 1 (Ux ), und dann ist x E f(Vn ) C UXn ' (3) Ist J-L ein Borel-Maß auf dem Suslin-Raum X, so ist jede offene Menge G C X mit J-L( G) < 00 von innen regulär. Begründung: Ist f wie unter (2), so der offene Teilraum f-l(G) C Y nach A.22 polnisch. Daher ist G ein Suslin-Raum. Nach (1) ist das endliche Borel-Maß J-LG :== J-L I ~(G) regulär, also ist G von innen regulär. Aus Satz 1.9 und (2), (3) folgt nun die Behauptung des Satzes. 0 Bezüglich vertiefter Darstellungen der Theorie der Suslin-Räume verweisen wir auf folgende Literatur: BEHRENDS [1], S. 236 ff., BOURBAKI [7], Chap. IX, § 6, COHN [1], S. 261 ff., CHRISTENSEN [1], DELLACHERIE [1], DELLACHERIE und MEYER [1], Chap. 111, 1., HAHN [2]' Kapitel V, HAUSDORFF [2], HOFFMANN-JORGENSEN [1], KURATOWSKI [1]' LUSIN [1], PARTHASARATHY [1]' S. 15-22, ROGERS, JAYNE u.a. [1], SAKS [2]' S. 47 ff., SCHWARTZ [1], Chapter 11, SRIVASTAVA [1].
Historische Notiz. Die Suslin-Räume sind benannt nach M.J. SUSLIN (1894-1919), einem der zahlreichen hochbegabten Schüler von N.N. LUSIN (1883-1950). In der einzigen zu seinen Lebzeiten veröffentlichten mathematischen Arbeit (M. SOUSLIN: Sur une definition des en-
sembles mesurables B sans nombres transfinis, C.R. Acad. Sci., Paris 164, 88-91 (1917)) zeigt SUSLIN mit Hilfe der Theorie der analytischen Mengen, daß stetige Bilder Borelscher Mengen nicht Borelsch zu sein brauchen. Damit korrigiert er einen Fehler von LEBESGUE und gibt einen wesentlichen Anstoß für die weitere Entwicklung der Theorie der analytischen Mengen und der sog. deskriptiven Mengenlehre. - SUSLIN starb schon 1919 während der schweren
§ 1. Borel-Maße, Radon-Maße, Regularität
323
Zeiten im Gefolge der russischen Revolution an einer Typhusepidemie. Über Leben und Werk von M.J. SUSLIN unterrichten die Biographien von V.I. IGOSHIN [1]' [2] sowie ein Artikel von
G.G. LORENTZ [1].
6. Der Satz von LUSIN. Der Satz von LUSIN stellt eine verblüffend enge Beziehung her zwischen Borel-Meßbarkeit und Stetigkeit. 1.18 Satz von Lusin (1912).3 Es seien X, Y Hausdorff-Räume, Y habe eine abzählbare Basis, f-1 sei ein a-endliches reguläres Borel-Maß auf ~(X) und f : X -+ Y. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: a) Es gibt eine Borel-meßbare Funktion g : X -+ Y mit f == 9 f-1-f.ü. b) Zu jedem offenen U c X mit f-1(U) < 00 und jedem 8 > 0 gibt es ein Kompaktum K c U mit f-1(U \ K) < 8, so daß f I K stetig ist (bez. der Spurtopologie von X auf K). c) Zu jedem A E ~(X) mit J-l(A) < 00 und jedem 8 > 0 gibt es ein Kompaktum K c A mit f-1(A \ K) < 8, so daß f I K stetig ist. d) Zu jedem K ompaktum TeX und jedem 6 > 0 gibt es ein K ompaktum K c T mit J-l(T \ K) < 8, so daß f I K stetig ist.
Bemerkungen. a) Die Voraussetzungen bez. J-l sind z.B. dann erfüllt, wenn (i) J-l ein moderates Radon-Maß ist (Satz 1.9) oder (ii) X ein lokal-kompakter Hausdorff-Raum mit abzählbarer Basis ist und f-1 ein Borel-Maß (Korollar 1.12) oder (iii) X ein a-kompakter Hausdorff-Raum ist und f-1 ein Radon-Maß (Korollar 1.13) oder (iv) X ein polnischer Raum ist und J-l ein Borel-Maß (Satz 1.16 von ULAM). b) Die Implikationen a) =* b) ~ c) ~ d) gelten auch ohne die Voraussetzung der a-Endlichkeit von J-l. Beweis. a) =* b): Es kann gleich U == X, J-l(X) <
00
angenommen werden. Ist
(B n )n>l eine abzählbare Basis von Y, so gibt es wegen der Regularität von J-l zu jed~m n E Nein K n E Jl und ein Vn E D mit K n C g-l(Bn ) C Vn und J-l(Vn \ K n ) < 6 . 2-(n+l). Daher ist V :== U~=l (Vn \ K n ) offen mit f-1(V) < 6/2, und h :== 9 I VC ist stetig, wie folgende Betrachtung lehrt: Für alle n E N ist
Vn n V C== K n n V Cc g-l(Bn ) n V C== h- 1 (B n )
C
Vn n V C,
d.h. h- 1 (B n ) == Vn n VC ist offen in Vc. Daher ist h stetig. Es sei weiter N E ~(X) eine J-l-Nullmenge mit f I NC == 9 I NC. Wir benutzen ein weiteres Mal die Regularität von J-l und wählen ein kompaktes K C (VUN)C mit J-l( (V U N)C \ K) < 8/2. Dann ist f-1(K C) ::; f-1(V U N)
+ f-1((V U N)C \
K) < 6,
und f I K == 9 I K == h I K ist wegen K C VC stetig. b) =* c): Es sei A E ~(X),f-1(A) < 00. Dann existieren ein offenes U =:> A und 3N. LUSIN: Bur les proprietes des fonctions mesurables, C.R. Acad. Sci. Paris 154, 16881690 (1912).
324
VIII. Maße auf topologischen Räumen
ein kompaktes K c A mit JL(U \ K) < 6/2. Nach b) gibt es ein Kompaktum LeU mit JL(U \ L) < 6/2, so daß f I L stetig ist. Nun ist K n L c A ein Kompaktum mit JL(A \ (K n L)) ::; JL(A \ K) + JL(A \ L) < 6, und f I K n List stetig. c) =? d): klar. d) =? c): Sind A E ~(X), JL(A) < 00 und 6 > 0, so existiert ein Kompaktum T c A mit JL(A \ T) < 6/2. Zu T wählen wir nach d) ein Kompakturn K c T mit JL(T \ K) < 6/2, so daß f I K stetig ist. Dann leistet K das Verlangte. c) =? a): Es sei X == U~=l An mit disjunkten An E ~(X), JL(A n ) < 00 (n E N). Zu jedem JEN existiert ein Kompaktum K nj C An mit JL(A n \ K nj ) < l/j, so daß f I K nj stetig ist. Ersichtlich ist L :== Un,jEN K nj eine a-kompakte Menge mit JL(A n \ L) == 0, d.h. N :== LC ist eine BoreIsche Nullmenge. Ist nun F C Y abgeschlossen, so ist (f I L)-l(F) == Un,jEN(f I K nj )-l(F) a-kompakt, also BoreIseh. Daher ist f I L Borel-meßbar. Wählen wir nun ein festes bEY und setzen g I LC :== b, g I L :== f I L, so ist g : X ~ Y eine Borel-meßbare Funktion, die JL-f.ü. mit f übereinstimmt. D 1.19 Korollar. Es seien X ein lokal-kompakter Hausdorff-Raum, JL ein reguläres Borel-Maß auf ~(X) und f : X ~ JK eine Funktion, die JL-f.ü. mit einer Borel-meßbaren Funktion übereinstimmt. Dann gibt es zu jeder offenen Menge U C X mit JL(U) < 00 und jedem 6 > 0 ein
Beweis. Nach Satz 1.18 und der folgenden Bemerkung b) gibt es ein Kompaktum K C U mit JL(U \ K) c 6, so daß f I K stetig ist. Zur Konstruktion von
§ 1. Borel-Maße, Radon-Maße, Regularit¨at
325
versit¨ at Moskau und war nach einem halben Jahr von diesem Fach so verzaubert“, daß er ” sich fortan der Mathematik zuwandte. W¨ ahrend der Unruhen im Revolutionsjahr 1905 wurde die Universit¨ at Moskau geschlossen, und D.F. Jegorow riet Lusin seine Studien in Pa´ Borel, J. ris fortzusetzen. Dort studierte er bis Juni 1906 und h¨orte Vorlesungen bei E. ´ Hadamard und insbesondere bei H. Poincare (1854–1912), dessen sch¨ opferische Art des Vortrags ihn faszinierte. Nach Moskau zur¨ uckgekehrt, legte er Ende 1906 das Staatsexamen ab. Jegorow war von der Selbst¨ andigkeit und Originalit¨ at seines Sch¨ ulers so angetan, daß er Lusin veranlaßte, an der Universit¨ at zu bleiben, um die Hochschullehrerlaufbahn anzustreben. Im Jahre 1910 wurde Lusin Dozent, hielt aber zun¨ achst keine Vorlesung, denn dank Jegorow’s hartn¨ ackigen Antr¨ agen bekam er ein mehrj¨ahriges Reisestipendium zur Fortset¨ zung seiner Studien in G¨ ottingen und Paris. In G¨ ottingen schrieb er seine erste Arbeit (Uber eine Potenzreihe, Rend. Circ. Mat. Palermo 32, 386–390 (1911)), in der er eine Potenzreihe ∞ n n=0 an z konstruiert mit an → 0 (n → ∞), die auf der ganzen Einheitskreislinie divergiert. Die Jahre 1912–1914 verbrachte Lusin in Paris und wurde mit f¨ uhrenden Fachvertretern der ´ Borel, H. Lebesgue, A. DenTheorie der reellen und komplexen Funktionen bekannt: E. joy (1884–1974) und J. Hadamard. In diese Zeit f¨ allt die Publikation des ber¨ uhmten Satzes von Lusin3 . Zusammen mit dem Satz von Jegorow (1911) markiert dies den Beginn der sog. Moskauer Schule5 der reellen Analysis. Wieder in Moskau, nahm Lusin seine Vorlesungen auf und reichte eine Monographie mit dem Titel Integral und trigonometrische Reihe als Magisterarbeit ein. Diese Arbeit wurde mit einem Preis ausgezeichnet und auf Empfehlung der Gutachter gleich als Doktordissertation angenommen – ein ganz ungew¨ ohnlicher Vorgang, denn der damit verbundene Doktorgrad ist wesentlich h¨ oher zu bewerten als etwa ein Doktorgrad in Deutschland. Im folgenden Jahr wurde Lusin zum Professor ernannt. Bemerkenswert an Lusins Dissertation sind die vielen offenen Fragen und Probleme. Viele davon wurden in der Folgezeit von seinen Sch¨ ulern gel¨ ost. Eine jedoch, die ber¨ uhmte Lusinsche Vermutung, war 50 Jahre lang offen bis sie von L. Carleson im Jahre 1966 bewiesen wurde (s. die Bemerkungen nach Korollar VI.2.24). Bedauerlicherweise ist Lusins Dissertation nicht in einer ¨ Ubersetzung zug¨ anglich. Lusin war ein brillianter Hochschullehrer, und er entfaltete in den Jahren 1914–1924 trotz der Beeintr¨ achtigungen durch Revolution und B¨ urgerkrieg eine außerordentlich erfolgreiche Lehrt¨ atigkeit. Die Liste der Mitglieder der Lusinschen Schule, der sog. Lusitania,6 liest sich wie ein Who’s Who der Moskauer Mathematiker der 1. H¨ alfte des 20. Jahrhunderts, z.B. P.S. Alexandroff (1896–1982), D. Je. Menschow (1892–1988), A. Ja. Chintschin (1894–1959), P.S. Urysohn (1898–1924), A.N. Kolmogoroff (1903–1987), Nina K. Bari (1901–1961), die erste Frau, welcher der Grad eines Doktors und Kandidaten der Wissenschaft verliehen wurde, W.I. Gliwenko (1897–1940), L.A. Ljusternik (1899–1981), L.G. Schnirelman (1905–1938),7 P.S. Nowikow (1901–1975), M.A. Lawrentjew 5 Siehe z.B. B.V. Tikhomirov: The phenomenon of the Moscow mathematical school. In: Charlemagne and his Heritage, 1200 Years of Civilization and Science in Europe, Vol. 2, S. 147–162. Hrsg. P. Butzer et al. Turnhout: Brepols 1998. 6 Lusitania“ war der Name einer r¨ om. Provinz im S¨ udwesten der iberischen Halbinsel, etwa ” dem heutigen Portugal entsprechend. – Die Versenkung des brit. Passagierschiffs Lusitania“ ” im Jahre 1915 durch ein deutsches U-Boot war ein folgenschweres Ereignis im I. Weltkrieg. 7 8 Wilenkin bezeichnet Schnirelman als einen der begabtesten Gelehrten“ und f¨ ahrt ” fort: Es wird best¨ atigt, daß er den Entschluß faßte, den Gashahn in der K¨ uche zu ¨ offnen, ” nachdem er eine Vorladung in die Lubjanka [Sitz des Staatssicherheitsdienstes NKWD] und
326
VIII. Maße auf topologischen Räumen
(1900-1980) und die etwas älteren LI. PRIWALOW (1891-1941) und W.W. STEPANOW (1889-1950). Während der Blütezeit der Lusitania in der ersten Hälfte der zwanziger Jahre standen Mengenlehre, reelle Funktionen, Fourier-Reihen und Maß- und Integrationstheorie im Zentrum der Forschung. Relativ rasch ließen sich die besser zugänglichen Probleme lösen, aber die noch offenen, schwierigen (wie z.B. die Kontinuumshypothese oder die Lusinsche Vermutung) widerstanden intensiven Bemühungen. Sehr zu LUSINs Mißfallen wandten sich daher viele Mitarbeiter erfolgreich anderen Arbeitsgebieten zu wie Zahlentheorie, Differentialgleichungen, Topologie, Funktionalanalysis, Wahrscheinlichkeitstheorie, mathematische Logik. Zwischen dem Lehrer und etlichen seiner früheren Schüler trat eine Entfremdung ein, es entwickelten sich gespannte, z. T. geradezu feindliche Beziehungen. Ein Grund dafür ist wohl auch in der Komplexität von LUSINs Persönlichkeit zu suchen, seiner Emotionalität und seinem autokratischen Führungsanspruch. Der Niedergang der Lusitania begann schon Mitte der zwanziger Jahre; etwa fünf Jahre später löste sich die Arbeitsgruppe auf. LUSIN konzentrierte sich während dieser Zeit auf seine Arbeiten über Mengenlehre und vollendete während eines Forschungsaufenthalts in Paris seine Monographie Lel;ons sur les ensembles analytiques et leurs applications (Paris: Gauthier-Villars 1930). Unter bedrückenden Begleitumständen wurde LUSIN im Jahre 1927 zum korrespondierenden und 1929 zum wirklichen Mitglied der Akademie der Wissenschaften der UdSSR gewählt und mit der Leitung der Abteilung für Funktionentheorie im Steklov-Institut betraut. LUSIN geriet bald nach seiner Rückkehr aus Paris (1930) unter massiven politischen Druck, verließ die Universität Moskau und wechselte vollständig zur Akademie. Im Jahr 1936, als der Stalinsche Große Terror wütete, wurde gegen LUSIN eine existenzbedrohende Kampagne entfacht. 8 Im Parteiorgan "Prawda" (dt. "Wahrheit") erschien eine offenbar sorgfältig geplante Serie von Artikeln wie z.B. "Über Feinde mit sowjetischer Maske", "Traditionen der Kriecherei", in denen vernichtende Vorwürfe gegen LUSIN erhoben wurden. In der Untersuchungskommission der Akademie verhielten sich LUSINs Kritiker - darunter etliche aus den Reihen seiner früheren Schüler - dem Beschuldigten gegenüber zunächst äußerst aggressiv. Jeder erwartete LUSINs Ausschluß aus der Akademie und die unvermeidliche Überweisung der Angelegenheit an die Geheimpolizei. Aber es kam ganz anders. Vermutlich auf einen Wink "von ganz oben" änderte sich in den letzten Kommissionssitzungen der Ton. In verblüffendem Gegensatz zum Tenor der gesamten Kampagne wurde LUSIN am Ende vom Präsidium der Akademie unerwartet "milde" bestraft mit einer Abmahnung, einer Amtsenthebung und Versetzung in die Abteilung für Automation und Telemechanik. Schon 1941 erhielt er sein früheres Amt in der Akademie zurück, und er kehrte 1943 auch als Professor an die Universität Moskau zurück. - LUSIN starb am 28. Februar 1950 an einem Herzanfall. In einem offiziellen Nachruf in der Regierungszeitung Izvestija heißt es, LUSINs Name werde "einen Ehrenplatz in der Geschichte den Auftrag erhalten hatte, einen bekannten Parteifunktionär zu beschatten, in dessen Haus er verkehrte." 8Siehe z.B. A.P. JUSCHKEWITSCH: Der Fall des Akademiemitglieds N.N. LUSIN (russ.), Vestnik Akad. Nauk SSSR 1989, H. 4, 102-113; A.E. LEVIN: Anatomy of a public campaign: "Academian Luzin's case" in soviet political history, Slavic Review 49, 90-108 (1990); N .JA. WILENKIN: Formeln auf Sperrholz (russ.), Priroda 1991, No. 6, 95-104; S. PAUL: Die Moskauer mathematische Schule um N.N. Lusin, Bielefeld: Kleine Verlag 1997; S.S. DEMIDOV, B.V. LEVSHIN: Der Fall des Akademiemitglieds Nikolai Nikolajewitsch Lusin (russ.), St. Petersburg: Russkii Christianskii Gumanitarnyi Institut 1999; Golden years of Moscow mathematics, S. ZDRAVSKOVSKA, P. DUREN, eds. Providence, R.!.: Amer. Math. Soc. 1993.
§ 1. Borel-Maße, Radon-Maße, Regularität
327
der sowjetischen Wissenschaft" einnehmen. Aufgaben. 1.1. Es seien Q(. :) ~ eine a-Algebra und J-L ein von innen reguläres Maß auf Q(.. Dann ist jedes A E Q(., das eine offene Umgebung U mit J-L(U) < 00 hat, von außen regulär. 1.2. Es sei J-L : Q(. ~ [0,00] ein Maß, wobei Q(.:) ~ eine a-Algebra ist. a) Ist (An)n~l eine Folge von außen (bzw. innen) regulärer Mengen aus Q(., so ist U~=l An von außen (bzw. innen) regulär. b) Ist (A n )n>l eine Folge von außen (bzw. innen) regulärer Mengen aus Q(. mit J-L(A n ) < 00 (n E N), ;0 ist n~=1An von außen (bzw. innen) regulär. 1.3. Eine Familie A(# 0) von Teilmengen von X heißt nach oben gerichtet, wenn zu allen A, B E A ein C E A existiert mit Au B c C. Ist A nach oben gerichtet und B := UCEA C, so schreiben wir A i B. - Es sei J-L ein Borel-Maß auf~. J-L heißt T-stetig, wenn für jede nach oben gerichtete Familie Q(# 0) offener Teilmengen von X mit Q i H gilt sup{J-L(G) : G E Q}
= J-L(H).
Zeigen Sie: Ist jede offene Teilmenge von X von innen regulär, so ist J-L T-stetig. 1.4. Es seien J-L,1/ : Q(. ~ [0,00] von innen reguläre Maße auf der a-Algebra alle K E j{ mit J-L(K) = sei auch 1/(K) = 0. Zeigen Sie: 1/ «J-L.
°
1.5. Es seien J-L, 1I endliche Maße auf der a-Algebra auch 1I regulär.
Q(. :) ~
mit
1/
« J-L.
Q(. :) ~,
und für
Ist J-L regulär, so ist
1.6. Ein äußeres Maß TJ : ~(X) ~ [0,00] heißt von außen regulär, wenn für alle M c X gilt: = inf{TJ(U) : U :) M, U offen }. Zeigen Sie: Ist TJ ein von außen reguläres äußeres Maß, so ist eine Menge A c X genau dann TJ-meßbar, wenn für alle offenen U c X mit TJ(U) < 00 gilt:
TJ(M)
TJ(U)
~
TJ(U n A) + TJ(U n AC) .
1.7. Ist J-L : ~ ~ [0,00] ein Maß, so ist TJ : ~(X) ~ [0,00],
1J(A) := inf{J-L(U) : U c A, U offen}
(A c X)
ein von außen reguläres äußeres Maß. Ist J-L endlich (oder moderat), so gilt ~ C Q(.1J (= a-Algebra der TJ-meßbaren Mengen) genau dann, wenn J-L von außen regulär ist, d.h. wenn TJ I ~ = J-L ist. 1.8. Es sei X = NU {(X)} die Alexandroff-Kompaktifizierung des diskreten Raums (N, ~(N)). Eine Menge Ac N ist genau dann kompakt, wenn sie endlich ist; zusätzlich sind alle A c X mit 00 E A kompakt. Das Zählmaß auf X ist nicht lokal endlich und nicht von außen regulär, wohl aber von innen regulär. 1.9. X := Nu {(X)} trage folgende Topologie: Alle Teilmengen von N seien offen, und eine Menge A c X mit 00 E A heiße genau dann offen, wenn
lim n-+oo
~IAn{l, ... ,n}l=l. n
Dann ist X ein normaler Hausdorff-Raum, in dem jede kompakte Menge endlich ist. Das Zählmaß auf X ist nicht lokal-endlich, also kein Borel-Maß, und das Zählmaß ist von innen, aber nicht von außen regulär. 1.10. Es seien X, Y Hausdorff-Räume, f : X ~ Y stetig, J-l ein von innen reguläres Maß auf und f(J-L) das Bildmaß auf ~(Y). Zeigen Sie: f(J-l) ist von innen regulär.
~(X)
328
VIII. Maße auf topologischen Räumen
Der Darstellungssatz von F.
§ 2.
RIESZ
«Etant donnee l'operation lineaire A [f (x)], on peut determiner la fonction variation bornee a{x) telle que pour toute fonction continue f{x) on ait
A[f(x)] (F.
RIESZ
=[
f(x) da(x) . »
a
9
[2], S. 808)
1. Problemstellung. Für den ganzen § 2 unterstellen wir stillschweigend folgende Voraussetzungen und Bezeichnungen: Es seien X ein Hausdorff-Raum, D,
Ist J1 ein Borel-Maß auf ~(X), so braucht eine beliebige Funktion I E C(X) natürlich nicht J1-integrierbar zu sein. Hat aber I E C(X) einen kompakten Träger K, so ist I Borel-meßbar und 1II ~ 1111100 . XK, wobei J1(K) < 00, also gilt I E 1:,1(J1), d.h. Ce(X) C 1:,1(J1). Daher definiert 1 : Ce(X) --t lK,
(2.1)
1(f)
:=
L
f d/-l (f
E
Cc(X))
eine Linearlorm auf Ce(X), und 1 ist offenbar positiv10 in dem Sinne, daß (2.2)
1(1) 2:: 0 für alle I
E
C:(X) .
Diese völlig triviale Feststellung führt zu folgender höchst nicht-trivialen Frage: Sind alle positiven Linearformen aufCe(X) von der Form (2.1) mit einem geeigneten Borel-Maß J1? Die Antwort auf diese Frage ist keineswegs offensichtlich, sogar nicht einmal im Fall des kompakten Intervalls X == [a, b], der erstmals 1909 von F. RIESZ mit überzeugendem Erfolg behandelt wurde. In der Tat konnte F. RIESZ zeigen, daß zu jeder positiven Linearform 1 : C[a, b] --t lK ein Borel-Maß J1 auf ~([a, b]) existiert, so daß 1 im Sinne der GI. (2.1) durch 9Z U jedem linearen Operator A[f{x)] [auf C[a, b]] kann man eine Funktion a{x) von beschränkter Variation bestimmen, so daß für jede [auf [a, b]] stetige Funktion f{x) gilt
A[f(x)]
=[
f(x)da(x).
lOEine inhaltlich korrekte Bezeichnung wäre "nicht-negativ", aber das klingt zu gekünstelt.
§ 2. Der Darstellungssatz von F.
329
RIESZ
/-L dargestellt wird (Darstellungssatz von F. RIESZ [1]' S. 400-402). Eine entsprechende Existenzaussage ist für sehr weite Klassen von Hausdorff-Räumen richtig, z.B. für alle lokal-kompakten Hausdorff-Räume.
Ist die Existenzfrage positiv entschieden, so stellt sich die Frage nach der Eindeutigkeit von /-L: Wenn die positive Linearform 1 : Cc(X) ~ IK eine Darstellung der Form (2.1) mit einem B orel-Maß /-L gestattet, ist dann /-L das einzige Borel-Maß mit dieser Eigenschaft? Die Antwort kann durchaus negativ ausfallen, und zwar aus folgendem Grund: Durch (2.1) wird das Maß /-L im wesentlichen nur auf den kompakten Teilmengen von X festgelegt. Dagegen ist auf der Basis von (2.1) durchaus nicht klar, welche Werte /-L auf "sehr großen" (d.h. nicht a-kompakten) offenen oder abgeschlossenen Mengen annehmen wird. In der Tat kann man Beispiele lokal-kompakter Hausdorff-Räume mit derartigen "großen" offenen oder abgeschlossenen Mengen angeben, für welche die Eindeutigkeitsfrage negativ zu beantworten ist, wenn man beliebige Borel-Maße /-L zur Darstellung von 1 heranzieht. Da aber GI. (2.1) das Maß /-L im wesentlichen nur auf den kompakten Teilmengen von X festlegt, liegt es nahe, nur solche Borel-Maße /-L zur Darstellung von 1 zuzulassen, die bereits durch ihre Werte auf R eindeutig festgelegt sind, und das sind gerade die Radon-Maße. Ein wesentliches Ziel des vorliegenden Paragraphen wird es sein zu zeigen, daß für lokal-kompakte Hausdorff-Räume X sowohl das Existenz- als auch das Eindeutigkeitsproblem positiv zu beantworten sind, wenn ausschließlich Radon-Maße zur Darstellung von 1 herangezogen werden. 2. Fortsetzungssatz. Vorgelegt sei eine positive Linearform 1 : Cc(X) ~ IK. Wir interessieren uns für die Frage, ob 1 eine Darstellung (2.1) mit einem BorelMaß /-L gestattet. Ein solches /-L wird man nicht ohne weiteres gleich auf ganz ~ definieren können. Wir gehen daher schrittweise vor und definieren zunächst nur für K E R
(2.3)
/-Lo(K) :== inf{1(f) : f E
Cc(X), f 2: XK} .
Ganz ohne weitere topologische Voraussetzungen an X sind keine interessanten Eigenschaften von /-Lo zu erwarten, denn es existieren z.B. reguläre HausdorffRäume, auf denen jede stetige reellwertige Funktion konstant ist (s. z.B. ENGELKING [1], S. 160 f., 2.7.17).Vom Ansatz (2.3) ist ein Erfolg zu erhoffen, wenn zu jedem K E Rein f E Cc(X) mit f 2: XK existiert. Dann ist aber bereits {f > O} eine relativ kompakte offene Umgebung von K, und eine solche existiert für alle K E .R. genau dann, wenn X lokal-kompakt ist. Wir werden dementsprechend zunächst für lokal-kompakte Hausdorff-Räume einige grundlegende Eigenschaften von /-Lo feststellen. Anschließend gehen wir axiomatisch vor und beweisen allein auf der Grundlage dieser Eigenschaften von /-Lo (ohne Rückgriff auf das Funktional 1) einen allgemeinen Fortsetzungssatz für Mengenfunktionen /-Lo : R ~ [0,00[, der die Fortsetzbarkeit von /-Lo zu einem von innen regulären Maß auf ~ liefert. Dieser Fortsetzungssatz ist so allgemein gehalten, daß er in Abschnitt 4. die Lösung unseres Darstellungsproblems auch für vollständig reguläre Räume erlauben wird. - Zur Erinnerung: Ein topologischer Raum Y
VIII. Maße auf topologischen Räumen
330
heißt vollständig regulär, wenn zu jedem a E Y und jeder offenen Umgebung U von a eine stetige Funktion 1 : Y -+ [0,1] existiert, so daß I(a) == 1,1 I ue == o. Bekanntlich ist jeder lokal-kompakte Hausdorff-Raum vollständig regulär, denn er ist Teilraum seiner kompakten (also normalen, also vollständig regulären) Alexandroff-Kompaktifizierung.
2.1 Lemma. Es seien X ein vollständig regulärer Hausdorff-Raum, K C X kompakt und U eine offene Umgebung von K. Dann existiert eine stetige Funktion cp : X -+ [0,1] mit cp I K == 1, cp I ue == O. Ist X zusätzlich lokal-kompakt, so existiert ein solches cp E Ce (X) mit Tr cp cU. Beweis. Zu jedem x E K existiert ein stetiges CPx : X -+ [0,1] mit CPx(x) == 1, CPx I ue == O. Die Mengen Vx :== {CPx > ~} (x E K) bilden eine offene Überdeckung von K, folglich existieren endlich viele Xl, ... ,Xn E K, so daß VX1 ' • • • , VXn bereits ganz K überdecken. Die Funktion 1/J :== max(2cpxl' ... ,2cpxn ) ist stetig auf X, 1/J I K > 1,1/J I ue == o. Daher leistet cp :== min( 1/J, 1) das Verlangte. - Ist X zusätzlich lokal-kompakt, so wähle man zunächst eine relativ kompakte offene Umgebung V von K mit K C V c U und wende die vorangehende Konstruktion an auf (K, V). D
2.2 Lemma. Es seien X ein lokal-kompakter Hausdorff-Raum, I : Ce(X) -+ lK eine positive Linearlorm, und Mo sei gemäß (2.3) definiert. Dann gilt:
(K.1) 0::; Mo(K) ::; Mo(L) <
00
lür alle K, L
E
R mit K
C
(K.2) Mo(K U L) ::; Mo(K)
+ Mo(L)
lür alle K, L E R.
(K.3) Mo(K
+ Mo(L)
lür alle K, L E R mit K
U
L)
==
Mo(K)
L.
n L == 0.
(KO) Zu jedem K E Rund E > 0 existiert eine offene Umgebung U von K, so daß lür alle kompakten LeU gilt:
Mo(L) ::; Mo(K)
+E•
Beweis. (K.1) Nach Lemma 2.1 existiert ein 1 E Ce(X) mit 1 2 XL. Da 1 positiv ist, folgt (K.1). (K.2) Sind I, g E Ce(X), 1 2 XK, g 2 XL, so ist 1 + g E Ce(X), 1 + g 2 XKUL, also
Mo(K
U
L) ::; 1(1 + g)
==
1(1) + 1(g) ,
und die Infimumbildung bez. I, g auf der rechten Seite liefert (K.2). (K.3) Wegen (K.2) ist nur noch ,,2" zu zeigen. Dazu sei h E Ce(X) mit h 2 XKUL. Offenbar ist U :== Le eine offene Umgebung von K, und nach Lemma 2.1 existiert ein stetiges cp : X -+ [0,1] mit cp I K == 1, cp I ue == cp I L == o. Nun sind 1 :== hcp, g :== h(l - cp) E Ce(X), 1 2 XK, g 2 XL, 1 + g == h, und es folgt:
1(h)
==
1(1) + 1(g) 2 Mo(K) + Mo(L) .
Daher ist Mo(K U L) 2 Mo(K) + Mo(L). (KO) Nach Lemma 2.1 existiert zu K E Rund 8 > 0 ein
1
E
Ce(X) mit
§ 2. Der Darstellungssatz von F. Riesz
331
f ≥ χK und I(f ) ≤ μ0 (K) + δ. Offenbar ist U := {f > 1/(1 + δ)} eine offene Umgebung von K. F¨ ur jedes kompakte L ⊂ U ist (1 + δ)f ≥ χL und daher μ0 (L) ≤ (1 + δ)I(f ) ≤ (1 + δ)(μ0 (K) + δ) . W¨ahlen wir von vornherein δ so klein, daß δ(μ0 (K) + δ + 1) < ε, so folgt (KO). 2 2.3 Lemma. Es seien X ein Hausdorff-Raum und μ0 : K → [0, ∞[ eine Mengenfunktion mit den Eigenschaften (K.1)–(K.3), (KO) aus Lemma 2.2. Dann gen¨ugt μ0 folgender S t r a f f h e i t s b e d i n g u n g: (S) F¨ur alle K, L ∈ K mit K ⊂ L ist μ0 (L) − μ0 (K) = sup{μ0(C) : C ⊂ L \ K , C ∈ K} . Beweis. F¨ ur alle kompakten C ⊂ L \ K ist K ∪ C ⊂ L, K ∩ C = ∅, also μ0 (K) + μ0 (C) ≤ μ0 (L) (nach (K.1) und (K.3)). Daher braucht unter (S) nur noch ≤“ bewiesen zu werden. Dazu sei ε > 0. Dann existiert nach (KO) eine ” offene Umgebung U von K, so daß (2.4)
ur alle H ⊂ U, H ∈ K . μ0 (H) ≤ μ0 (K) + ε f¨
Nun ist L ⊂ K c ∪U, und hier sind K c , U offen. Wir zeigen zun¨achst: Es existieren undung: Die Mengen kompakte Mengen C ⊂ K c , D ⊂ U, so daß C ∪D = L. Begr¨ L \ K c = K und L \ U sind disjunkte kompakte Mengen im Hausdorff-Raum (!) X, haben also disjunkte offene Umgebungen V, W : K ⊂ V, L \ U ⊂ W, V ∩ W = ∅ . Nun sind C := L \ V, D := L \ W kompakt, C ⊂ L \ K ⊂ K c , D ⊂ U, C ∪ D = (L \ V ) ∪ (L \ W ) = L \ (V ∩ W ) = L , also leisten C, D das Gew¨ unschte. Mit den obigen Mengen C, D ist nun μ0 (L) ≤ μ0 (C) + μ0 (D) (wegen (K.2)), also folgt nach (2.4) μ0 (C) ≥ μ0 (L) − μ0 (D) ≥ μ0 (L) − μ0 (K) − ε . 2 Ohne R¨ uckgriff auf das Funktional I werden wir im folgenden Fortsetzungssatz zeigen, daß sich jede Mengenfunktion μ0 : K → [0, ∞[ mit der Eigenschaft (S) zu einem von innen regul¨aren Maß μ auf B fortsetzen l¨aßt. Geh¨ort μ0 gem¨aß (2.3) zu einer positiven Linearform I : Cc (X) → K, wobei X ein lokalkompakter Hausdorff-Raum ist, so werden wir in Abschnitt 3. zeigen, daß μ die gew¨ unschte Darstellung von I leistet. – In der Literatur gibt es verschiedene Varianten des Fortsetzungssatzes 2.4. Die ¨alteste Version stammt wohl von G.
332
VIII. Maße auf topologischen Räumen
(1915-2006) [1]' S. 207 ff. und [2], S. 158 ff., insbes. S. 164 f.; s. auch [1], S. 62, MEYER [1], S. 42 ff. und DELLACHERIE-MEYER [1], S. 82 ff. CHOQUET benutzt die Bedingung (KO) anstelle von (8); eine etwas allgemeinere, aber ähnliche Fassung steht bei BOURBAKI [1], S. 163 ff. Die folgende Formulierung des Fortsetzungssatzes mit (8) anstelle von (KO) stammt von KISYNSKI [1]; vgl. auch BERG-CHRISTENSEN-RESSEL [1]. Bezüglich neuerer Resultate verweisen wir auf ANGER-PORTENIER [1], POLLARD-ToPS0E [1], TOPS0E [1], [2] und KÖNIG [1]-[9]. In diesen Arbeiten wird in allgemeinerem Rahmen gezeigt, daß eine Straffheitsbedingung vom Typ (S) im wesentlichen notwendig und hinreichend für die Fortsetzbarkeit zu einem Maß ist. CHOQUET
SCHWARTZ
2.4 Fortsetzungssatz. Es seien X ein Hausdorff-Raum und J..Lo : Jt --t [O,oo[ eine Mengenfunktion mit der Eigenschaft (S). Dann gestattet J..Lo genau eine Fortsetzung zu einem von innen regulären Maß J..L : ~ --t [0, 00], und zwar gilt für alle A E ~
J..L(A) == sup{J..Lo(K) : K c A, K E Jt} .
(2.5)
Beweis (nach KISYNSKI [1]). Wenn J..Lo überhaupt eine Fortsetzung zu einem von innen regulären Maß J..L gestattet, so ist diese durch (2.5) gegeben. Damit ist die Eindeutigkeit klar und auch der Ansatz für den Existenzbeweis: Für beliebiges A c X setzen wir
J..L(A) :== sup{J..Lo(K) : K c A, K E Jt} .
(2.6)
Die Eigenschaft (8) impliziert (K.l)-(K.3). Nach (K.l) ist J..L I Jt == J..Lo, und es ist zu zeigen, daß J..L I ~ ein Maß ist. Dabei orientieren wir uns am Beweis des Fortsetzungssatzes 11.4.5, müssen jedoch beachten, daß das äußere Maß in GI. (11.4.6) durch ein Infimum definiert wird, J..L in (2.6) aber durch ein Supremum. Diese Bemerkung mag als Motivation dafür dienen, daß wir jetzt im Analogon der Meßbarkeitsdefinition das Ungleichungszeichen umzukehren haben. Dementsprechend definieren wir für beliebiges Q c X
und Ql:==
n
Qtc·
CEi{
Zum Beweis des Satzes werden wir zeigen: Qt ist eine a-Algebra, Qt
=:) ~,
und
J..L IQt ist ein Maß. Sei FeX abgeschlossen und C E Jt. Dann gilt nach (8)
J..L(C) - J..L(C n F) == J..Lo(C) - J..Lo(C n F) == sup{J..Lo(D): D C C \ F, D E Jt} == J..L(C \ F), also F E Qlc für alle C E Jt, d.h. F E Ql. Wenn wir Ql als a-Algebra erkannt haben, so folgt hieraus ~ C Ql.
§ 2. Der Darstellungssatz von F.
333
RIESZ
Es bleibt zu zeigen: 2l ist eine a-Algebra und J-l12l ein Maß. Zunächst ist
J-l(0) == 0 (nach (K.3»). Weiter ist 0 E 2l, und für alle A E 2l ist auch Ac E 2l. Es seien weiter A, B c X, A n B == 0. Ist J-l(A) == (X) oder J-l(B) == 00, so ist J-l(A U B) == (X) (wegen (2.6)), und die Ungleichung (2.7) ist richtig. Seien nun J-l(A), J-l(B) < R,K c A,L c B mit
J-l(A)
+ J-l(B) -
E
(X)
und
E
>
o.
Dann existieren K, L E
< J-lo(K) + J-lo(L) J-lo(K
U
L)
(nach (K.3»)
< J-l(A U B), und (2.7) gilt ebenfalls. Ist nun (A n )n2::1 eine Folge disjunkter Teilmengen von X, so folgt mit (2.7) induktiv für alle n E N
und daher
(2.8) Zunl Abschluß des Beweises brauchen wir daher nur noch zu zeigen: 00
(2.9)
Für jede Folge von Mengen E n E 2l (n E N) ist
UE
n E
2l und
n=l
Zum Beweis seien CER und c > o. Nach Definition von 2l und J-l gibt es zu jedem n E N kompakte Mengen An C C n E n, B n C C \ E n, so daß
Für alle n E N sind (Al U ... U An-I) n An und (BI n ... n B n- l ) U B n disjunkte kompakte Teilmengen von C. ll Daher gilt für alle n ~ 1:
-2- nE :::; J-lo(A n ) + J-lo(B n ) - J-lo(C) :::; J-lo(A n ) + J-lo(B n ) - J-lo( (Al U ... U An-I) n An) -J-lo((B l n n B n- l ) U B n ) (nach (K.l), (K.3») J-l(A n \ (Al U U An-I)) - J-l((B l n ... n B n- l ) \ B n ) (nach (8») J-lo(A l U U An) - J-lo(A l U U An-I) +J-lo(Bl n n B n ) - J-lo(B l n n B n- l ) (nach (8»). 11 Für
n == 1 ist BI
n ... n B n -
1
== C zu setzen.
VIII. Maße auf topologischen Räumen
334
Summiert man diese Ungleichungen über n == 1, ... ,N, so folgt ll (2.10)
J-lo(A I U ... U AN)
+ J-lo(B I n ... n B N )
N
~ J-lo(C) -
L
2- n c > J-lo(C) - c.
n=l
Nach (8) gibt es ein D E J{ mit D C BI \ n~=l B n , so daß (2.11) Da D n n~=l B n == 0 ist und D, B n (n E N) kompakt sind, ist D n n:=l B n == 0 für alle N ~ No mit geeignetem No E N. Daher liefern (K.3) und (K.l) zusammen mit (2.11)
für alle N ~ No, und nach (K.2) und (2.10), (2.12) folgt
(2.13)
~ 110(An) + 110 (0 B n)
~
110
(Q
An)
+ 110
(0
Bn) > 110(C) - 2E
(N ~ No). Wegen Al U ... U AN C C n U~=l E n , n~=l B n C C \ U~=l E n folgt aus (2.13), da c > 0 beliebig ist:
und wegen An
C
C
n E n liefert
(2.13)
(2.15) Aus (2.14) folgt U~=l E n E 2lc für alle C E J{, d.h. U~=l E n E 2l, und (2.15) ergibt
Damit ist (2.9) bewiesen.
o
§ 2. Der Darstellungssatz von F.
335
RIESZ
3. Der Darstellungssatz von F. RIESZ für lokal-kompakte Räume 2.5 Darstellungssatz von F. Riesz (1909) .12 Es seien X ein lokal-kompakter Hausdorff-Raum und 1 : Cc(X) ---t ]I{ eine positive Linearform. Dann existiert genau ein Radon-Maß /-L : 93 ---t [0,00], so daß
1(j) =
(2.16)
Ix f
djL
(j E Cc(X)) ,
und zwar ist
(2.17) (2.18)
/-L(K) /-L(A)
inf{1(f): f E Cc(X),f ~ XK} (K ER),
sup{/-L(K): K c A,K
E
R} (A
E
93).
Beweis. Eindeutigkeit: Es sei /-L ein Radon-Maß auf ~ mit (2.16). Wir brauchen nur (2.17) zu beweisen, und da für jedes K E Rund f E Cc(X) mit f ~ XK offenbar 1(f) ~ /-L(K) ist, bleibt unter (2.17) nur ,,~" zu zeigen. Dazu seien K E R, E > o. Nach Folgerung 1.2, g) gibt es eine offene Umgebung U von K mit /-L(U) :S /-L(K) + E, und nach Lemma 2.1 existiert ein f E Cc(X) mit XK :S f :S Xu· Nun folgt:
und die Eindeutigkeit ist bewiesen. Existenz: Wir definieren /-L durch (2.17), (2.18). Nach Abschnitt 2. ist /-L ein von innen reguläres Maß. Da X lokal-kompakt ist, ist /-L auch lokal-endlich (Folgerung 1.2,c)), d.h. /-L ist ein Radon-Maß. Es bleibt zu zeigen, daß (2.16) gilt, und dabei darf gleich f ~ 0 angenommen werden. Wir führen den Beweis in zwei Schritten:
(1) Für alle f
E C:(X) ist 1(f) ~
Ix f df1.
Begründung: Es sei u == L7=1 ajXAj (al,".' a m > 0, Al, .. . , Am E 93 disjunkt) eine nicht-negative Treppenfunktion mit u :S f. Alle A j (j == 1, ... ,m) sind im kompakten Träger von f enthalten, haben also endliches Maß. Zu vorgegebenem o < E < min(al' , a m ) existieren daher kompakte K j C A j mit f1(A j ) - E :S /-L(Kj ) (j == 1, , m). Die disjunkten kompakten K j haben disjunkte offene Umgebungen Uj (j == 1, ... , m), und Uj kann gleich als Teilmenge der offenen Umgebung {f > aj - E} von K j gewählt werden. Wir wählen zu jedem j == 1, ... , mein CPj E Cc(X) mit XKj :S CPj :S XUj· Dann ist m
9 :== L(aj - E)cpj E C:(X) , 9 :S
j=l 12 F. RIESZ
[1]' S. 400-402 und S. 490-495.
f
336
VIII. Maße auf topologischen Räumen
und daher m
m
l(f) 2 l(g) == L(aj - E)I(
-2'
f)C\'j - E)(/l(Aj ) ~ E) = j=l
1
ud/l- E
f(C\'j + /l(A j ) -
E).
j=l
X
Ix u dj1, und es folgt (1). E C:(X) ist l(f) == Ix f dj1.
Damit ist l(f) 2
(2) Für alle f
Begründung: Ohne Einschränkung der Allgemeinheit darf 0 :S f :S 1 angenommen werden. - Zu vorgegebenem E > 0 existiert nach Folgerung 1.2, g) eine relativ kompakte offene Umgebung U =:> K :== Tr f mit j1(U) :S j1(K) + E, und zu K, U gibt es nach Lemma 2.1 ein
Da hier nach Konstruktion und nach (2.17) gilt
o
folgt (2) und damit die Behauptung.
2.6 Korollar. Ist X ein lokal-kompakter Hausdorff-Raum mit abzählbarer Basis, so existiert zu jeder positiven Linearform I : Cc(X) ---t IK. genau ein BorelMaß j1, so daß
I(f) =
L
f
d/l
(f
E
Cc(X)) .
Beweis. Jedes Borel-Maß auf Q3 ist regulär (Korollar 1.12), also ein Radon-Maß. Daher folgt die Behauptung aus dem Darstellungssatz von RIESZ. 0 2.7 Beispiele. a) Für jedes f E Cc(l~?) kann man IJRP f(x)dx elementar als pfach iteriertes Riemann-Integral definieren und erhält eine positive Linearform I : Cc(W) ---t IK.,I(f) :== fJRp f(x)dx (f E Cc(W)). Der Darstellungssatz von RIESZ liefert dann eine von unseren früheren Entwicklungen weitgehend unabhängige Möglichkeit zur Einführung des Lebesgue-Borelschen Maßes. Dabei übernimmt der Fortsetzungssatz 2.4 die Rolle des früher benutzten Fortsetzungssatzes 11.4.5. Entsprechendes gilt für die Lebesgue-Stieltjesschen Maße. b) Ist I : Cc(lR) ---t IK. eine positive Linearform, so existiert nach Korollar 2.6 genau ein Borel-Maß j1 : Q31 ---t [0,00], so daß
I(f) =
L f
d/l
(f E Cc(JR)) .
§ 2. Der Darstellungssatz von F. Riesz
337
Beschreibt man hier μ durch die (bis auf eine additive Konstante eindeutig bestimmte) rechtsseitig stetige wachsende Funktion F : R → R, so erh¨alt man eine Darstellung von I durch ein Lebesgue–Stieltjes-Integral: f dF (f ∈ Cc (X)) . I(f ) = R
Hier stimmt die rechte Seite mit dem Riemann–Stieltjes-Integral R f dF u ¨ berein, und man erh¨alt die Darstellung von I in der von F. Riesz angegebenen Form. Bemerkungen. Es gibt zahlreiche Varianten des Darstellungssatzes von F. Riesz. Die urspr¨ ungliche Version des Satzes wird von F. Riesz f¨ ur stetige Linearformen auf C[a, b] ausgesprochen. J. Radon ([1], S. 1332 ff.) l¨ost das Darstellungsproblem f¨ ur stetige Linearformen auf C(K), wobei K ⊂ Rp kompakt ist. F¨ ur kompakte metrische R¨aume wird der Satz bewiesen von S. Banach (1937; s. S. Saks [2], S. 320 ff., Note II) und S. Saks [3]; die Version f¨ ur kompakte Hausdorff-R¨aume stammt von S. Kakutani (1911–2004) [1]. Weitere markante Punkte der historischen Entwicklung sind die Arbeiten von A.D. Alexandroff [1] und V.S. Varadarajan [1] und die B¨ ucher von N. Bourbaki [1]–[5]. Eine ausf¨ uhrliche Darstellung der Ergebnisse bis ca. 1970 findet man ¨ im Ubersichtsartikel von J. Batt [1]; s. auch Semadeni [1], S. 313 f. Einen einheitlichen Zugang zu Darstellungss¨atzen vom Rieszschen Typus er¨offnen D. ¨ Pollard und F. Topsøe [1]. Uber die neueste Entwicklung unterrichten Anger und Portenier [1]. Wir haben uns bei Darstellungen des Typs (2.16) konsequent auf RadonMaße μ beschr¨ankt. Viele andere Autoren (z.B. Hewitt–Ross [1], Hewitt– Stromberg [1], Rudin [1]) benutzen Borel-Maße ν, die regul¨ar“ sind in dem ” Sinne, daß ν(U) = sup{ν(K) : K ⊂ U, K ∈ K} (U ∈ O) , und ν(A) = inf{ν(U) : U ⊃ A, A ∈ O} (A ∈ B) . Dabei gilt dann f¨ ur alle B ∈ B mit ν(B) < ∞: ν(B) = sup{ν(K) : K ⊂ B, K ∈ K} , aber diese Gleichung ist nicht notwendig f¨ ur alle Borel-Mengen B richtig. Ist X lokal-kompakt, so ist das Existenz- und Eindeutigkeitsproblem auch dann positiv zu beantworten, wenn nur Borel-Maße ν zur Darstellung zugelassen werden, die im obigen Sinne regul¨ar“ sind. Eine genauere Untersuchung der Beziehun” gen zwischen diesem prinzipalen Darstellungsmaß“ ν und dem essentiellen ” ” Darstellungsmaß“ μ (d.h. dem Radon-Maß μ aus (2.17), (2.18)) findet man bei Bauer [1], [2] und Schwartz [1]. Dabei ergibt sich: μ und ν stimmen auf K und auf O u ¨berein. Daher ist μ = ν, falls μ regul¨ar ist (im Sinne von Definition 1.1,d)), also z.B., wenn μ endlich ist (Folgerung 1.2,f)) oder wenn X σ-kompakt ist (Korollar 1.13).
VIII. Maße auf topologischen Räumen
338
Auch gibt es verschiedene Möglichkeiten der Wahl der a-Algebra, auf welcher das darstellende Maß definiert ist. Natürlich kann man pl93 vervollständigen und das vervollständigte Maß jj zur Darstellung verwenden. Eine ganz andere Möglichkeit besteht darin, anstelle der a-Algebra der Borel-Mengen 93 die kleinere a-Algebra 93 o(X) C 93(X) die Baireschen Teilmengen von X zu verwenden, die von den Mengen f-l( {O}) (f: X --+ [0,1] stetig) erzeugt wird (s. z.B. FLORET [1]). Über Baire-Maße informiert der ausführliche Übersichtsartikel von WHEELER [1]. 2.8 Satz. Ist X ein lokal-kompakter Hausdorff-Raum, so gilt: Eine positive Linearform I : Cc(X) --+ JK ist genau dann stetig bez. der Supremumsnorm 11 . 1100 auf Cc(X), wenn das I darstellende Radon-Maß p endlich ist, und dann ist p(X) == 11111. Beweis. Ist p endlich, so gilt nach (2.16) für alle f E Cc(X):
Il(j)1 =
I
Ix f
dJlI :::;
Jl(X)llflloo,
also ist I stetig bez. 11 . 1100 und 11111 ~ p(X). - Sei nun umgekehrt I stetig bez. 11·1100, also II(f) I ~ IIIIIIIfiloo (f E Cc(X)). Sei K C X kompakt. Dann existiert ein f E C:(X), 0 ~ f ~ 1 mit f I K == 1. Daher gilt p(K) ~ I(f) ~ 11111, also
p(X)
==
sup{p(K) : K
E
.R}
~
11111.
0
Es seien weiter X ein lokal-kompaker Hausdorff-Raum und Co(X) der Raum der stetigen Funktionen f : X --+ JK, die im Unendlichen verschwinden in dem Sinne, daß zu jedem c > 0 ein K E .R existiert mit If I KCI < c. (Bezeichnet X == X u {w} die Alexandroff-Kompaktifizierung von X, so ist offenbar f E Co (X) genau dann, wenn f eine stetige Fortsetzung j E C(X) besitzt mit j(w) == 0.) Co(X) ist bez. der Supremumsnorm 11 . 1100 ein Banach-Raum, und Cc(X) liegt dicht in Co(X) bez. 11·1100 (Lemma 2.1). Eine Linearform I : Co(X) --+ JK heißt positiv, wenn I(f) 2: 0 für alle f E C~(X), wobei C~(X) :== {f E Co(X) : f 2:
O}. 2.9 Lemma. Ist X ein lokal-kompakter Hausdorff-Raum, so ist jede positive Linearform I : Co(X) --+ JK stetig bez. der Supremumsnorm. Beweis. Ist I unstetig, so existiert zu jedem n E Nein fn E Co(X) mit Ilfnlloo == 1 und II(fn)1 2: n 3 • Wegen II(fn)! ~ I(lfnl) (Aufgabe 2.5) kann gleich fn E C~(X) angenommen werden. Nun ist I:~=1 n- 211fn1100 < 00, also konvergiert die Reihe I:~=1 n- 2 fn gleichmäßig auf X, und es gilt 9 :== I:~=1 n- 2 fn E C~(X). Für alle n E N ist n- 2 fn ~ g, also n ~ n- 2 I(fn) ~ I(g): Widerspruch! 0
2.10 Darstellungssatz von F. RIESZ für Co(X). Es seien X ein lokalkompakter Hausdorff-Raum und I : Co(X) --+ JK eine positive Linearform. Dann existiert genau ein Radon-Maß p auf~, so daß Co(X) C [,l(p) und
(2.19)
l(j) =
Ix f
dJl
(j E Co(X)) .
§ 2. Der Darstellungssatz von F.
339
RIESZ
Dieses Radon-Maß ist endlich und wird durch (2.17), (2.18) gegeben. Umgekehrt definiert jedes endliche Radon-Maß j.1 auf ~ vermöge (2.19) eine positive Linearform 1 : Co(X) -t JK. Beweis. Zur Einschränkung 1 I Cc(X) gehört genau ein Radon-Maß j.1 mit (2.16), und dieses ist durch (2.17), (2.18) gegeben. Nach Lemma 2.9 ist 1 I Cc(X) stetig bez. 11·1100, also ist j.1 nach Satz 2.8 endlich, folglich gilt Co(X) C [}(j.1). Nun sind 1 und J : Co(X) -t JK, J(f) :== f dj.1 (f E Co(X)) zwei bez. 11·1100 stetige Linearformen auf Co(X), die auf dem dichten Teilraum Cc(X) übereinstimmen. Daher ist 1 == J, d.h. es gilt (2.19). - Die Umkehrung ist klar. D
Ix
4. Der Darstellungssatz von F. RIESZ für vollständig reguläre Räume. Im folgenden Abschnitt entwickeln wir zwei Versionen des Darstellungssatzes von F. RIESZ für vollständig reguläre Räume. Zunächst erinnern wir daran, daß die Klasse der vollständig regulären Räume sehr reichhaltig ist, denn es gelten folgende bekannten Sachverhalte: (i) Beliebige Teilräume vollständig regulärer Räume sind vollständig regulär. (ii) Beliebige Produkte vollständig regulärer Räume sind vollständig regulär. (iii) Jeder metrisierbare topologische Raum ist vollständig regulär. (iv) Jeder lokal-kompakte Hausdorff-Raum ist vollständig regulär. Im folgenden wollen wir die Überlegungen der Abschnitte 2., 3. auf den Fall eines vollständig regulären Raums X übertragen. Dabei erweist sich der Raum Cc(X) als Definitionsbereich für 1 als unzweckmäßig: Legen wir zunächst versuchsweise wieder den Ansatz (2.3) zugrunde, so ist nur dann ein Erfolg zu erhoffen, wenn zu jedem K E Jl ein f E Cc(X) mit f 2: XK existiert. Dann ist aber bereits {f > O} eine relativ kompakte Umgebung von K, und eine solche existiert für alle K E Jl genau dann, wenn X lokal-kompakt ist. Diesen Fall haben wir bereits in Abschnitt 3. behandelt. Ist X nur vollständig regulär (aber nicht notwendig lokal-kompakt), so liegt es im Hinblick auf Lemma 2.1 nahe, den Raum Cc(X) durch den Raum Cb(X) aller beschränkten stetigen Funktionen f : X -t JK zu ersetzen. Nun ist es durchaus nicht so, daß für jedes Radon-Maß j.1 : ~ -t [0,00] und jedes f E Cb(X) das Integral f dj.1 existiert; schon für X == lR gilt das nicht. Dennoch können wir die Frage nach der DarsteIlbarkeit positiver Linearformen 1 : Cb(X) -t JK durch Radon-Maße stellen: Vorgelegt sei eine Linearform 1 : Cb(X) -t JK, die positiv sei in dem Sinne, daß l(f) 2: 0 für alle f E C:(X). Gesucht wird ein Radon-Maß j.1, das 1 "darstellt" gemäß
Ix
(2.20) Wenn es überhaupt ein solches Radon-Maß j.1 gibt, so lehrt eine Ersetzung von Cc(X) durch Cb(X) im Beweis der Eindeutigkeitsaussage des Darstellungssatzes von F. RIESZ 2.5, daß j.1 eindeutig bestimmt ist und daß (2.21 )
j.1(K) == inf{ l(f) : f E Cb(X), f 2: XK}
(K E Jl) .
Es bleibt die Frage nach der Existenz eines darstellenden Radon-Maßes j.1 für
VIII. Maße auf topologischen Räumen
340
das vorgelegte I zu diskutieren. Dazu modifizieren wir gemäß (2.21) den alten Ansatz (2.3) und setzen (2.22)
f1o(K)
:==
inf{ l(f) : f E Cb(X), f 2 XK}
(K E Ji) .
Nun ersetzen wir im Beweis von Lemma 2.2 den Raum Cc(X) durch Cb(X) und erkennen: f10 genügt den Bedingungen (K.1)-(K.3), (KO) aus Lemma 2.2. Daher genügt f10 auch der Bedingung (S) aus Lemma 2.3, und der Fortsetzungssatz 2.4 liefert: f10 läßt sich zu einem von innen regulären Maß f1 : Q) -+ [0,00] fortsetzen: (2.23)
f1(A)
==
sup{f1o(K) : K C A, K E Ji}
(A E
Q)) .
Dieses Maß f1 ist endlich, denn für jedes K E Ji ist f10 (K) :S I (Xx), also ist nach (2.23) f1(X) :S I(Xx) < 00. Ergebnis: Zu jeder positiven Linearform I : Cb(X) -+ ]I{ gehört gemäß (2.22), (2.23) ein endliches Radon Maß f1 : Q) -+ [0,00[. Von diesem Maß f1 werden wir in Satz 2.12 zeigen, daß es unter einer geeigneten (notwendigen und hinreichenden) Zusatzbedingung die Linearform I darstellt im Sinne von (2.20).
2.11 Lemma. Es seien X ein vollständig regulärer Hausdorff-Raum, I : Cb(X) -+ ]I{ eine positive Linearform und f1 das durch (2.22), (2.23) definierte endliche Radon-Maß auf Q). Dann ist Cb(X) C [}(f1), und es gilt:
(2.24)
i
f dp,
~ 1(J)
(J
E
C:(X)) .
Zum Beweis kontrolliert man die Argumente im Schritt (1) des Beweises des Darstellungssatzes von F. RIESZ 2.5, beachtet, daß Al, ... ,Am wegen der Endlichkeit von f1 alle endliches Maß haben, und ersetzt Cc(X) durch Cb(X). Das ergibt (2.24), also C:(X) c [}(f1) und daher auch Cb(X) C [,1(f1). D
2.12 Darstellungssatz von F. RIESZ für Cb(X). Es seien X ein vollständig regulärer Hausdorff-Raum, I : C b (X) -+ ]I{ eine positive Linearform und f1 das durch (2.22), (2.23) definierte endliche Radon-Maß. Dann ist Cb(X) C [,1(f1), und folgende Aussagen sind äquivalent: a) I wird durch f1 dargestellt gemäß (2.25)
1(J) =
Ix f
dp,
(J
E
Cb(X)) .
b) f1(X) == I(Xx). c) Zu jedem E > 0 existiert ein K E Ji, so daß l(f) <
E
für alle f E Cb(X) mit
O:S f:S 1,f1K == O.
d) I ist s t r a f f in folgendem Sinne: Ist (foJaED ein Netz13 in Cb(X) mit 13D.h.: D ist mit einer Ordnung ,,::;" ausgestattet, so daß zu allen a, ß E Dein, E D existiert mit a ::; "ß ::; ,. - Die Konvergenz f 0: -t 0 gleichmäßig auf allen kompakten Teilmengen von X bedeutet: Zu jedem c > 0, K E .R gibt es ein, E D, so daß Ifo:(x) I ::; c für alle a E D mit , ::; a und x E K.
§ 2. Der Darstellungssatz von F.
341
RIESZ
Ilfalloo :::; 1 (a E D), so daß fa -+ 0 gleichmäßig auf allen kompakten Teilmengen von X, so gilt l(fa) -+ o. Ist eine dieser Bedingungen erfüllt, so ist j1 das einzige Radon-Maß auf P; mit (2.25).
Beweis. a) =} b): Man setze f == Xx in (2.25). b) =} a): Es genügt die GI. (2.25) für 0 :::; f :::; 1 zu beweisen: Nach Lemma 2.11 ist Cb(X) c .cl (,.-t), und es gilt (2.24). Zum Nachweis der umgekehrten Ungleichung wenden wir (2.24) an auf 1 - f E C:(X) anstelle von fund erhalten p,(X) -
i
f dp,
=
i
(1 - 1) dp, ::; 1(1 - f) = I(Xx) - 1(1).
Ix
Wegen b) erhalten wir hieraus f dJ1 2: l(f), und es folgt a). b) ::::} c): Sei E > o. Dann gibt es ein K E n mit J1(K) > J1(X) - E. Ist nun f E Cb(X), 0 :::; f :::; 1, f I K == 0, so ist nach b) und (2.22), (2.23) j1(X) - l(f) == 1(1 - f) 2: J1(K) > j1(X) - E, also I(f) < E. c) ::::} b): Nach (2.24) ist J1(X) :::; I(Xx), so daß nur noch" 2:" zu zeigen ist. Dazu seien E > 0 und K E n zu E gemäß c) bestimmt. Sei nun g E C:(X), 0 :::; g :::; 1, g I K == 1, so daß l(g) :::; j1(K) + E. Dann ist nach c)
I(Xx)
==
l(g) + I(Xx - g) :::; J1(K) + 2E :::; j1(X) + 2E.
Da E > 0 beliebig ist, folgt die Behauptung. a) ::::} d): Zu vorgegebenem E > 0 gibt es ein K E n mit j1(KC) < E /2 und dazu ein I E D, so daß Ifa(x)1 :::; E/2(J1(X) +1) für alle a E D mit a 2: I und x E K. Nach (2.25) ist daher 1(fa) I == I fa dJ11 < E für alle a 2: ,. d) ::::} c): Für K E n und h E C(X) setzen wir Ilhil K :== sup{lh(x)1 : x E K}. Dann bilden die Mengen U8,K(f) :== {g E Cb(X) : Ilf-gllK < J} (J > 0, K E n) eine Umgebungsbasis von f E Cb(X) bez. der Topologie der kompakten Konvergenz auf Cb(X). Es sei B :== {f E Cb(X) : IIflloo :::; I} die abgeschlossene Einheitskugel in Cb(X). Dann bedeutet Bedingung d) genau, daß I B stetig ist bez. der Spurtopologie der Topologie der kompakten Konvergenz auf B (s. z.B. KELLEY [1]' S. 86). Zu vorgegebenem E > 0 existieren daher ein K E n und ein 8 > 0, so daß 11(f)1 < E für alle f E U8,K(0) n B. Ist insbesondere 0 :::; f :::; 1 und f K == 0, so ist f E U8,K(0) nB und daher 11(f)1 < E. Daß es unter der Voraussetzung der Darstellbarkeit von I nur ein darstellenD des Radon-Maß gibt, haben wir schon oben (nach (2.20)) gesehen. 1
Ix
1
1
Die Äquivalenz der Aussagen a), b) des Darstellungssatzes 2.12 bedeutet: Wird I(Xx) durch J1 dargestellt, so wird l(f) für alle f E Cb(X) durch j1 dargestellt gemäß (2.25). In Aufgabe 2.7 lernen wir ein Beispiel einer positiven Linearform I : Cb(X) -+ ]I{ kennen, die nicht durch das zugehörige Radon-Maß J1 dargestellt wird. Aus Aufgabe 2.7 folgt: Ein vollständig regulärer HausdorffRaum X ist genau dann kompakt, wenn jede positive Linearform I : Cb(X) -+ ]I{ durch ein Radon-Maß J1 darstellbar ist gemäß (2.25). - Bedingung d) von Darstellungssatz 2.12 geht zurück auf VARADARAJAN [1]; bez. weiterer Details s. BADRIKIAN [1] und WHEELER [1].
VIII. Maße auf topologischen Räumen
342
Satz 2.12 gilt sinngemäß, wenn die positive Linearform I auf ganz C(X) (X vollständig regulär) definiert ist. Zum Beweis dieser Aussage benötigen wir folgendes Lemma: 2.13 Lemma. Sind X ein vollständig regulärer Hausdorff-Raum, I : C(X) -+ ]I{ eine positive Linearform, f E C+(X) und fn :== min(n, f) (n E N), so gibt es ein no E N, so daß I(f) == I(fn) für alle n ~ no. Sind insbesondere I, J : C(X) -+ ]I{ zwei positive Linearform, die auf Cb(X) übereinstimmen, so ist I == J.
Beweis. Für jede Wahl reeller An > 0 ist g :== 2:~=1 An(f - fn) E C+(X), denn die Reihe ist lokal eine endliche Summe. Aus 2:~=1 An(f - fn) ::; 9 folgt 2:~=1 An(I(f) - I(fn)) ::; I(g) für alle N E N. Daher konvergiert die Reihe 2:~=1 An(I(f) - I(fn)), insbesondere gilt: An(I(f) - I(fn)) -+ 0 (n -+ (0). Da dies für jede Wahl der An zutrifft, gibt es ein no E N mit I(f) == I(fn) für alle n ~ no. D 2.14 Darstellungssatz von F. RIESZ für C(X). Ist X vollständig regulär, so gilt Darstellungssatz 2.12 entsprechend für positive Linearformen I : C(X) -+ ]I{, wenn man überall Cb(X) durch C(X) ersetzt.
Beweis. Zur Einschränkung I I Cb(X) gehört ein endliches Radon-Maß J-l gemäß (2.22), (2.23), und nach Lemma 2.11 gilt (2.24). Wir zeigen zunächst, daß sogar
i
(2.26) Dazu seien
f
E
I dJl :s; 1(1)
(I
E
C+ (X)) .
C+(X) und fn, no wie in Lemma 2.13. Dann ist nach (2.24)
i
In dJl :s; 1(1n) = 1(1)
(n;::: no) ,
und wegen fn t f liefert der Satz von der monotonen Konvergenz die Ungleichung (2.26). Insbesondere folgt C(X) C [}(J-l). Nach Darstellungssatz 2.12 sind die Aussagen a)-d) dieses Satzes äquivalent. Zum Beweis von Darstellungssatz 2.14 brauchen wir nur noch zu zeigen, daß aus (2.25) folgt (2.27)
1(1) =
i
I dJl
(I
Das ist aber klar nach Lemma 2.13 mit J(f) :==
E C(X)) .
Ix f dJ-l
(f E C(X)).
D
Bemerkung. Ist X lokal-kompakt und abzählbar kompakt, so ist C(X) == Cb(X); ist X überdies nicht kompakt, so gibt es nach Aufgabe 2.7 eine positive Linearform I : C(X) ~ JK, die nicht durch das zugehörige J-L dargestellt wird. - Folgender Raum X hat die genannten
Eigenschaften: Es seien ßN die Stone-Cech-Kompaktifizierung von N (s. Aufgabe 2.7) und
a
E
(ßN) \N. Dann ist X :== (ßN) \ {al lokal-kompakt und abzählbar kompakt (s.
ENGELKING
[1], 3.10.18), aber X ist als dichte echte Teilmenge von ßN nicht kompakt. Wie oben bemerkt, ist ein vollständig regulärer Hausdorff-Raum X genau dann kompakt,
§ 2. Der Darstellungssatz von F.
343
RIESZ
wenn jede positive Linearform auf Cb(X) durch ihr Radon-Maß dargestellt wird. Dagegen gibt es sehr wohl nicht kompakte vollständig reguläre Räume X, für welche jede positive Linearform auf C(X) durch ihr Radon-Maß dargestellt wird; z.B. hat jeder O"-kompakte lokalkompakte Hausdorff-Raum diese Eigenschaft (s. Darstellungssatz 2.19, b)).
5. Träger von Maßen. Im Hinblick auf Darstellungssatz 2.14 stellen wir die Frage, für welche Radon-Maße /-1 die Inklusion C(X) C L I (/-1) gilt. Wir werden zeigen: Ist X ein a-kompakter, lokal-kompakter Hausdorff-Raum, so gilt C(X) C L I (/-1) genau dann, wenn /-1 einen kompakten Träger hat (Lemma 2.16). Dabei ist der Träger eines Radon-Maßes /-1 definiert als das Komplement der größten offenen /-1- Nullmenge. Daß diese Definition sinnvoll ist, folgt aus Lemma 2.15. 2.15 Lemma. Sind X ein Hausdorff-Raum, /-1 ein Radon-Maß auf Q3 und (UJLEJ eine (nicht notwendig abzählbare) Familie offener /-1-Nullmengen, so ist /-1(ULEJ UJ == O.
Beweis. Sei K C ULEJ UL kompakt. Dann existieren endlich viele il,' .. , in E I mit K C U~=l ULv ' folglich ist /-1(K) == O. Da /-1 von innen regulär ist, folgt /-1(ULEJ UJ == O. D Nach Lemma 2.15 ist die Vereinigung V aller offenen /-1-Nullmengen eines Radon-Maßes /-1 eine /-1-Nullmenge, und offenbar ist V die (bez. mengentheoretischer Inklusion) größte offene /-1-Nullmenge. Das Komplement von V nennt man den Träger von /-1: Tr /-1 :== V C • Offensichtlich ist Tr /-1 abgeschlossen. Für a E X gilt a E Tr /-1 genau dann, wenn für jede offene Umgebung U von a gilt /-1(U) > O. Sind f,g E C+(X) (oder auch nur f,g E M+(X, Q3)) und f I Tr /-1 == gl Tr /-1, so ist f == g /-1-f.ü . und daher
Diese Gleichung gilt auch für alle f, gELl (/-1) mit f I Tr /-1 == g I Tr /-1. Ist Tr /-1 kompakt, so sind alle f E C(X) /-1-integrierbar. Lemma 2.16 enthält eine teilweise Umkehrung dieser Aussage.
2.16 Lemma. Es seien X ein a-kompakter, lokal-kompakter Hausdorff-Raum und /-1 ein Radon-Maß auf Q3, so daß C(X) C L I (/-1). Dann ist Tr /-1 kompakt.
Beweis. Wir wählen eine aufsteigende Folge (Kj )j'21 in R mit K j
t
X, K j CKj+1
(j 2 1). Angenommen, Tr /-1 ist nicht kompakt. Dann gibt es eine Folge 1 S; nl < n2 < ... natürlicher Zahlen und aj E Tr /-1, so daß aj E K nj + 1 \ K nj (j 2 1). Zur Vereinfachung der Notation kann gleich angenommen werden, daß aj E (Kj+l
\Kj ) nTr /-1. Zu aj existiert ein
Ix
Ix
VIII. Maße auf topologischen Räumen
344
2:;:1
E C+(X), denn die Reihe ist lokal eine endliche Summe, aber nach
Konstruktion ist
f
t/:. r}(J-l) (Satz von der monotonen Konvergenz!).
D
2.17 Beispiel. Ein endliches Radon-Maß J-L auf einem lokal-kompakten Hausdorff-Raum X mit C (X) C L, 1 (J-L) braucht keinen kompakten Träger zu haben. Als Beispiel betrachten wir
den lokal-kompakten Raum X
=
(ßN) \ {a} aus der Bemerkung nach Darstellungssatz 2.14.
Für B E ~(X) und n E N sei 8n (B) := 1, falls n E Bund 8n (B) := 0, falls n
rt
B.
Dann ist J-L := L:::=12-n8n ein endliches Radon-Maß auf X (Beispiel 1.3, c)), und es ist C(X) = Cb(X) C L,1(J-L). Wegen Ne TrJ-L ist TrJ-L = X, aber X ist nicht kompakt.
2.18 Lemma. Es seien X ein a--kompakter, lokal-kompakter Hausdorff-Raum und I : C(X) --+ lK eine positive Linearform. Dann existiert ein T E R, so daß I(f) ~ 0 für alle f E C(X) mit fiT ~ O. Beweis. Es seien die K j (j E N) wie im Beweis von Lemma 2.16. Ist die Behauptung falsch, so gibt es zu jedem n E Nein gn E C+(X), mit gn I K n ~ 0 und I(gn) ~ 1. Dann ist aber f :~ 2:~=1 gn E C+(X), denn die Reihe ist lokal eine endliche Summe, und für jedes N E N ist f ~ 2::=1 gn, also I(f) ~ 2::=1 I(gn) ~ N für alle N E N: Widerspruch! D
Es sei weiter X ein lokal-kompakter Hausdorff-Raum. Wir statten C(X) aus mit der Topologie der kompakten Konvergenz 'Tc. Diese wird definiert durch die Halbnormen 11 . IIK : C(X) --+ [0,00[,
IlfilK :~ sup{lf(x)1 : x E K}
(K E R; f E C(X)).
Die Mengen {g E C(X) : IIg - fliK < c} (c > O,K E R) bilden eine Umgebungsbasis von f E C(X). Eine lineare Abbildung
2.19 Darstellungssatz von F.
RIESZ für C(X). Es seien X ein lokalkompakter Hausdorff-Raum und I : C(X) --+ lK eine positive Linearform. a) Ist I stetig bez. der Topologie 'Tc der kompakten Konvergenz, so existiert genau ein Radon-Maß J-l auf Q3, so daß C(X) C r,1(J-l) und
(2.28)
1(J) = [fdJ-l
(J E C(X)).
Dieses Radon-Maß hat einen kompakten Träger und wird durch (2.22), (2.23) gegeben. Umgekehrt definiert jedes Radon-Maß J-l auf Q3 mit kompaktem Träger vermöge (2.28) eine positive Linearform I : C(X) --+ lK, die bez. 'Tc stetig ist. b) Ist X zusätzlich a--kompakt, so ist I stetig bez. 'Tc, und es gelten die Aussagen unter a).
§ 2. Der Darstellungssatz von F.
RIESZ
345
Beweis. a) Nach dem Darstellungssatz 2.5 gehört zu 1 I Cc(X) genau ein RadonMaß /-1> mit (2.16), und /-1> wird durch (2.17), (2.18) festgelegt. Offenbar stimmt /-1> mit dem durch (2.22), (2.23) definierten Radon-Maß überein, also gilt C(X) c 1 (/-1» (Darstellungssatz 2.14). Ist nun 1 stetig bez. 'Ic , so gibt es ein K E .R und ein a > 0, so daß 11(1) I :::; alliliK (I E C(X)). Daher erfüllt 1 die Bedingung c) von Darstellungssatz 2.12, und Darstellungssatz 2.14 liefert (2.28). - Wir zeigen, daß Tr /-1> kompakt ist: Dazu seien L c KC ein Kompaktum und
.c
.c
1
D
Bemerkungen. a) Ohne die Voraussetzung der 'Tc-Stetigkeit von I wird Darstellungssatz 2.19 falsch, wie die Bemerkung nach Darstellungssatz 2.14 lehrt. Auch wenn die positive Linearform I : C(X) -+ IK durch das zugehörige J.1 dargestellt wird, braucht J.1 keinen kompakten Träger zu haben (Beispiel 2.17). b) Die Voraussetzung der a-Kompaktheit von X kann in Darstellungssatz 2.19 ersetzt werden durch die Voraussetzung der Parakompaktheit von X, denn jeder parakompakte lokalkompakte Raum ist darstellbar als disjunkte Vereinigung offener und a-kompakter Teilräume (s. ENGELKING [1], S. 382, Theorem 5.1.27). c) Lemma 2.16 folgt erneut aus Darstellungssatz 2.19.
2.20 Zusammenfassung. Es sei X ein lokal-kompakter Hausdorff-Raum. Dann entsprechen die positiven Linearformen auf (i) Cc(X) den Radon-Maßen auf 93 (Darstellungssatz 2.5); (ii) Co(X) den endlichen Radon-Maßen auf 93 (Darstellungssatz 2.10); (iii) Cb(X) den Radon-Maßen auf93(ßX), wobei ßX die Stone-Cech-Kompaktijizierung von X bezeichnet (Aufgabe 2.8); (iv) C(X) den Radon-Maßen mit kompaktem Träger, falls X a-kompakt ist (Darstellungssatz 2.19).
6. Der Darstellungssatz von F. RIESZ für stetige Linearformen auf Co(X). Die obigen Darstellungssätze gestatten die Beschreibung der Dualräume gewisser Banach-Räume stetiger Funktionen mit Hilfe von Banach-Räumen regulärer signierter (bzw. komplexer) Maße. Aus Platzgründen beschränken wir
VIII. Maße auf topologischen Räumen
346
uns auf den Raum (Co(X), 11·1100) (X lokal-kompakter Hausdorff-Raum). Damit wird gleichzeitig der Dualraum von (C(X), 11·1100) für kompakte HausdorffRäume X bestimmt. Die allgemeine Einführung signierter (bzw. komplexer) Radon-Maße ist etwas diffizil (SCHWARTZ [1]' S. 53 ff.). Da wir es nur mit endlichen Maßen zu tun haben werden, wird die Definition einfacher. - Im folgenden benötigen wir für signierte bzw. komplexe Maße v den Begriff der Variation lvi von v (s. Kap. VII, § 1, 3. und Aufgabe VII.1.7).
2.21 Definition. Ein signiertes oder komplexes Maß v : ~ -+ IK heißt regulär, wenn zu jedem A E ~ und c > 0 ein K E R und ein U E D existieren, so daß K c A c U und lvi (U \ K) < c. Mit Mreg(~) bezeichnen wir die Menge der regulären signierten (bzw. komplexen) Maße v : ~ -+ IK. 2.22 Folgerungen. a) Mreg(~) ist ein Banach-Raum bez. der Norm
Ilvll .-
Ivl(X). b) Ist v : ~ -+ lR ein signiertes Maß, so sind folgende Aussagen äquivalent: (i) v ist regulär. (ii) v+, v- sind regulär. (iii) I v I ist regulär. Ist v ein komplexes Maß, so sind äquivalent: (i) v ist regulär. (ii) p :== Rev, (j :== Im v sind regulär. (iii) p+, p-, (j+, (j- sind regulär. (iv) I v I ist regulär. Beweis. a) Wir zeigen, daß Mreg(~) ein abgeschlossener Unterraum des BanachRaums M(~) ist: Dazu sei (Vn)n~l eine Folge in Mreg(~), die gegen v E M(~) konvergiert. Es seien A E ~,c > o. Dann ist IIvn - vii< c/2 für alle hinreichend großen n. Wir wählen ein solches n fest aus, und zu v n ,A,c/2 (statt c) wählen wir K, U gemäß Definition 2.21. Dann ist
lvi (U \
K) ~
Iv -
Vn
I(U \
K)
+
IVn
I(U \
K) ~
Ilvn
c
-
vii + 2 < c.
b) Im reellen Fall sind die Implikationen (i) :::} (iii) :::} (ii) :::} (i) klar, im komplexen Fall schließt man (i) :::} (iv) :::} (ii) :::} (iv) :::} (iii) :::} (i). - Im komplexen Fall heißt v == p+ - p- + i((j+ - (j-) die Jordan-Zerlegung von v. D Ist v ein signiertes Maß, so setzt man .cl(v) :== .cl(v+) n .cl(v-) und
Für ein komplexes Maß v sind p :== Rev, (j :== Im v endliche signierte Maße, und man setzt .cl (v) :== .cl (p) n .cl ((j) und
Ix f
dv:=
Ix f
dp + i
Ix f
da
(J E
.c 1 (v)).
§ 2. Der Darstellungssatz von F.
347
RIESZ
Ix
Sei v E M(~): Dann ist XBdv == v(B) (B E Q3), also ist für jede Linearkombination u der Funktionen XB!, ... ,XB (BI' ... ' B n E Q3 disjunkt) n
[L
udv!
S;
L
luldlvl·
Jede beschränkte meßbare Funktion 1 : X Funktionen u obigen Typs, und es folgt
L
I f dvl
(2.29)
S;
~ JI{
ist gleichmäßiger Limes von
L
Ifldlvl ;
speziell ist
[L
(2.30)
f dv[
Ilflloollvll·
S;
Im folgenden legen wir einen lokal-kompakten Hausdorff-Raum X zugrunde und betrachten den Raum Co(X) der stetigen Funktionen 1 : X ~ JI{, die im Unendlichen verschwinden. Unser Ziel ist eine Beschreibung des Dualraums Cb(X) von (Co(X), 11.11(0). 2.23 Satz. Es sei X ein lokal-kompakter Hausdorff-Raum. Dann ist
: M reg (Q3) ----+ Cb(X) , (2.31)
<"P(v)(j)
:=
L
f dv (j
E
Co(X); v E Mreg(lB))
eine lineare Abbildung mit
11(v)11 == Ilvll·
(2.32)
Beweis. Nach (2.30) ist sinnvoll und 11(v)1I :::; IIvll. Zum Beweis der umgekehrten Ungleichung sei e > o. Dann existieren disjunkte Al, ... ' An E Q3 mit ~7=1 Iv(Aj)1 > Ilvll - e. Zu den Aj existieren kompakte K j C Aj , so daß ~7=1 Iv(Kj)1 > IIvll - 2e, denn v ist regulär. Zu den (disjunkten) K j gibt es paarweise disjunkte offene Uj ~ K j mit Ivl(Uj \Kj ) < ein. Wir wählen Funktionen CPj E (X) mit 0 :::; CPj :::; 1, CPj I K j == 1, Tr CPj C Uj und setzen
C:
wobei die Terme mit v(Kj ) == 0 wegzulassen sind. Dann ist
1111100 :::; 1 und
n
>
L Iv(Kj)l- e 2 IIvll - 3e. j=l
o
VIII. Maße auf topologischen Räumen
348
Nach (2.32) ist injektiv. Zum Beweis der Surjektivität von wollen wir Darstellungssatz 2.10 verwenden, und das ist möglich, wenn jedes I E Cb(X) Linearkombination positiver Linearformen ist. Das ist richtig; in der Tat gilt ein Analogon des Jordanschen Zerlegungssatzes VII.1.12 für Linearformen I E
Cb(X). 2.24 Satz von der Minimalzerlegung (]I{ == JR). Es seien X ein lokalkompakter Hausdorff-Raum und I : Co(X) ---+ JR eine stetige Linearform. Dann ist I == 1+ - 1- mit positiven Linearformen 1+,1- : Co(X) ---+ JR, wobei für f E ct(X) gilt
(2.33)
I+(f)
== sup{I(h) : h
E
ct(X), h ~ f}.
Diese Zerlegung von I ist minimal in folgendem Sinne: Ist I == J - L mit positiven Linearformen J, L : Co (X) ---+ JR, so ist J - 1+ == L - 1- positiv. Beweis. Zum Nachweis der Minimalität seien I == J - L mit positiven Linearformen J, L und f, h E ct(X), h ~ f. Dann ist J(f) ~ J(h) ~ I(h) für alle diese h, also J(f) ~ I+(f), d.h. J - 1+ == L - 1- ist positiv. Zum Nachweis der Existenz definieren wir 1+ auf ct(X) durch (2.33). Diese Definition ist sinnvoll, denn wegen der Stetigkeit von I ist die rechte Seite von (2.33) endlich. Wir zeigen:
(2.34) Begründung: Da die Ungleichung ,,~" klar ist, bleibt ,,~" zu zeigen. Dazu sei h E + g. Dann sind p :== max(h - g, 0), q :== min(h, g) E ct(X),p ~ f, q ~ g, p + q == h, also
ct(X), h ~ f
und die Supremumsbildung bez. hergibt I+(f) ist offenbar
+ I+(g)
~ I+(f
+ g).
- Weiter
(2.35) Nach (2.34), (2.35) gestattet 1+ genau eine Fortsetzung zu einer positiven Linearform 1+ : Co(X) ---+ JR (Beweis zur Übung). Nun leisten 1+ und 1- :== 1-1+ das Gewünschte. 0 Setzt man nun im Falle
]I{
I
~
== JR für I, J J :
~
E
Cb(X)
J - I positiv,
so lassen sich Überlegungen aus Kap. VII, § 1, 5. im wesentlichen mühelos übertragen, und man erkennt: (Cb(X), 11 . 11) ist ein Banach- Verband. Im Falle ]I{ == C läßt sich mit Hilfe von Satz 2.24 die Existenz einer Minimalzerlegung wie folgt einsehen: Der Deutlichkeit halber schreiben wir Co (X, C),
§ 2. Der Darstellungssatz von F.
349
RIESZ
Co(X, JR) für die ce- bzw. JR-linearen Räume der komplex- bzw. reellwertigen stetigen Funktionen f auf X, die im Unendlichen verschwinden, und Ch(X,ce), Ch(X, JR) für die entsprechenden Dualräume. Ist I E Ch(X, ce), so ist 1 : Co(X, ce) -t
ce, 1(f)
:==
1(1)
(f
E
Co(X, ce))
ein Element von Ch(X, ce); 1 heißt das zu I konjugierte Element. In Analogie zur üblichen komplexen Konjugation nennen wir 1 1RI :== 2(1 + I) , TI :== 2i (I - I) E Cb(X, ce) den Real- bzw. Imaginärteil von I. I heißt reell, falls I == 1. Offenbar ist I genau dann reell, wenn I == RI, und das gilt genau dann, wenn TI == o. Ferner gilt
I == RI + iTI,
1 == RI -
iTI .
2.25 Satz von der Minimalzerlegung (JK == ce). Es seien X ein lokalkompakter Hausdorff-Raum und I E Ch(X, ce). Dann gibt es eindeutig bestimmte positive Linearformen J+,J-,L+,L- E Ch(X,ce), so daß gilt: a) I == J+ - J- + i(L+ - L-). b) Sind P, Q, R, SECh (X, ce) positive Linearformen mit I == P - Q + i (R - S) , so sind P - J+ == Q - J- und R - L+ == S - L- positiv. Beweis. Die Komponenten der Minimalzerlegungen von RI I Co(X, JR), TI I Co(X, JR) besitzen kanonische Fortsetzungen zu positiven Linearformen J+,J-,L+,L- E Ch(X,ce), und diese leisten das Verlangte. D 2.26 Darstellungssatz von F. Hausdorff-Raum. Dann ist :
RIESZ
für Ch(X). Es sei X ein lokal-kompakter
M reg (93) ---+ Ch(X) ,
<J>(v)(J)
;=
1
f dv (J
E
Co(X); v E Mreg('B))
ein ordnungstreuer Norm-Isomorphismus: 11 (v) 11 == IIvll·
Für jedes v E M reg (93) entsprechen die Komponenten der Minimalzerlegung von (v) den Komponenten der Jordan-Zerlegung von v. Beweis. Nach Satz 2.23 ist injektiv und normerhaltend. Zum Beweis der Surjektivität von sei I E Ch(X). Dann werden die Komponenten der Minimalzerlegung von I gemäß Darstellungssatz 2.10 beschrieben durch endliche RadonMaße, und durch Bildung einer entsprechenden Linearkombination erhält man ein v E Mreg(X) mit (v) == I, d.h. ist surjektiv und offenbar ordnungstreu. Daß die Komponenten der Jordan-Zerlegung von v vermöge gerade den Komponenten der Minimalzerlegung von (v) entsprechen, ist leicht zu prüfen. D
VIII. Maße auf topologischen Räumen
350
Aufgaben. 2.1. Im Beweis des Fortsetzungssatzes 2.4 gilt für alle E C X mit J.l(E)
n n
< 00:
2lc·
CCE,CE.n
Daher ist 2l
=
2l E
.
EcX,J-L(E) <(X)
2.2. Sind X ein kompakter Hausdorff-Raum, JK form mit l(xx) = 11111, so ist 1 positiv.
= IR
und 1 : C(X) -* IR eine stetige Linear-
2.3. Jede positive Linearform 1 : C b (X) -* JK ist stetig bez. der Supremumsnorm. 2.4. Es seien X ein lokal-kompakter Hausdorff-Raum, 1 : Cc(X) -* JK eine positive Linearform, und für K E .n sei
Dann ist 1 I CK(X) stetig bez. der Supremumsnorm, aber 1 : Cc(X) -* JK ist nicht notwendig stetig bez. der Supremumsnorm. 2.5. Ist V einer der Räume Cc(X), Co(X), Cb(X), C(X) und 1 : V -* JK eine positive Linearform, so gilt 11(/)1 :::; 1(1/1) für alle / E V. 2.6. Es seien F : IR -* IR wachsend und rechtsseitig stetig, J.l := J.lF das zugehörige LebesgueStieltjessche Maß auf Q31. Dann ist Tr J.l das Komplement der größten offenen Teilmenge U c IR, auf welcher F lokal konstant ist. (Dabei heißt F lokal konstant auf U, wenn jedes x E U eine Umgebung Vx c U hat, auf welcher F konstant ist. Das ist genau dann der Fall, wenn F auf allen Zusammenhangskomponenten von U konstant ist.)
2.7. Jeder vollständig reguläre Hausdorff-Raum X hat eine bis auf Homöomorphie eindeutig bestimmte Stone-Cech-Kompaktijizierung ßX (s. v. QUERENBURG [1]' S. 136 ff.). Diese hat folgende Eigenschaften: X ist dichter Unterraum des kompakten Hausdorff-Raums ßX, und jede stetige Abbildung / : X -* Y in irgendeinen kompakten Hausdorff-Raum Y läßt sich auf genau eine Weise zu einer stetigen Abbildung j : ßX -* Y fortsetzen. Es seien nun X ein nicht kompakter, lokal-kompakter Hausdorff-Raum, a E ßX \ X und 1 : Cb(X) -* lK, 1(/) := j(a) (/ E Cb(X)). Dann ist 1 =I- 0 eine positive Linearform auf Cb(X), aber zu 1 gehört im Sinne von (2.22), (2.23) das Radon-Maß J.l = O. Insbesondere wird 1 nicht durch J.l dargestellt im Sinne (2.25). 2.8. Es seien X ein vollständig regulärer Hausdorff-Raum, ßX die Stone-Cech-Kompaktifizierung von X, und für / E Cb(X) sei j : ßX -* JK die eindeutig bestimmte stetige Fortsetzung von / auf ßX (s. Aufgabe 2.7). Jeder positiven Linearform 1 : Cb(X) -* JK entspricht vermöge i(h) := l(h I X) (h E C(ßX)) eine positive Linearform i : C(ßX) -* lK, und zu dieser Linearform i gehört nach Darstellungssatz 2.5 genau ein Radon-Maß it : Q3(ßX) -* [O,oo[ mit
i(h)
=
1(/)
=
r hdit
Jßx
(h E C(ßX)).
Daher wird 1 gemäß
r
Jßx
j dit (/
E
Cb(X))
durch ein Radon-Maß it auf Q3(ßX) beschrieben. Umgekehrt entspricht jedem Radon-Maß it auf Q3(ßX) vermöge (*) eine positive Linearform 1 : Cb(X) -* K - Es sei nun X sogar lokalkompakt. Dann ist X eine offene Teilmenge von ßX (s. z.B. ENGELKING [1], S. 221, Theorem 3.5.8). Ferner seien 1 : Cb(X) -* JK eine positive Linearform und J.l das nach (2.22), (2.23) zugehörige endliche Radon-Maß auf Q3. Zeigen Sie: 1 wird genau dann durch J.l dargestellt gemäß (2.25), wenn it((ßX) \ X) = 0, und dann ist J.l = it I Q3(X).
§ 3. Das Haarsehe Maß
351
2.9. Es seien X ein vollständig regulärer Hausdorff-Raum und J-l ein Radon-Maß auf~. a) Für a E X gilt a E Tr J-l genau dann, wenn für alle f E C+(X) mit f(a) > 0 gilt Ix f dJ-l > o. b) Ist U E D, so gilt J-l(U) = 0 genau dann, wenn für alle f E C+(X) mit f I UC = 0 gilt IxfdJ-l=O. 2.10. In der Situation von Lemma 2.18 existiert eine kleinste kompakte Menge TeX, so daß l(f) = 0 für alle f E C(X) mit fiT = O. 2.11. Es sei X ein Hausdorff-Raum, und für a E X sei <5a (B) := 1, falls a E B, und <5a (B) := 0, falls a ~ B (B E ~). Sind dann al, ... ,an E X paarweise verschieden und Al, ... ,An > 0, so ist J-l := Al<5a1 + ... + An <5an ein Radon-Maß mit Tr J-l = {ab ... ' an}. Ist umgekehrt J-l ein Radon-Maß mit Tr J-l = {ab···, an} (al, ... ,an paarweise verschieden), so gibt es Al, ... ,An> 0, so daß J-l = Al <5a1 + ... + An <5an • 2.12 Ist J-l ein reguläres Borel-Maß auf dem lokal-kompakten Raum X, so liegt Cc(X) für jedes P E [1, oo[ dicht in L,P(J-l). 2.13. Es seien X, Y lokal-kompakte Hausdorff-Räume und J-l : ~(X) -t [0,00], v : ~(Y) -t [0,00] zwei Borel-Maße. a) Ist f E Cc(X x Y), so gibt es zwei relativ kompakte offene Mengen U C X, V c Y mit Tr (f) C U x V, und zu jedem c > 0 gibt es eine Linearkombination h von Funktionen des Typs (x,y) ~ u(x)v(y) (u E Cc(X),v E Cc(Y)) mit Trh c U x V und Ilf - hll oo < c. (Hinweis: Eine einfache Lösung gelingt durch Anwendung folgender Version des Satzes von STONE-WEIERSTRASS auf die Alexandroff-Kompaktifizierung von X x Y. Satz von STONEWEIERSTRASS: Es seien Z ein kompakter Hausdorff-Raum und A c C(Z) eine Algebra, welche die Punkte von Z trennt, mit der Eigenschaft, daß aus f E A folgt 7 E A. Dann liegt A dicht in C(Z), oder es gibt ein Zo E Z, so daß A dicht liegt in {f E C(Z) : f(zo) = O} (s. SEMADENI [1], S. 115).) b) Ist f E Cc(X x Y), so sind f(·, y) E Cc(X) (y E Y), f(x,·) E Cc(Y) (x E X); die Zuordnungen x ~ I y f(x, y)dv(y), y ~ Ix f(x, y)dJ-l(x) definieren Funktionen aus Cc(X) bzw. Cc(Y), und es gilt:
Ix ([
!(x,Y)dV(Y)) dJl(x)
=[
(Ix
!(x,Y)dJl(X)) dv(y).
c) Definiert man die positive Linearform1 : Cc(XxY) -t IK, indemman1(f) (f E Cc(XxY)) gleich dem Doppelintegral unter b) setzt, so gehört zu I nach dem Darstellungssatz von F. RIESZ 2.5 genau ein Radon-Maß J-l0 v auf ~(X x Y), so daß
l(f) =
r
f dJ-l0 v
(f E Cc(X x Y)).
JXXY
(Man beachte: Das Radon-Maß J-l 0 v ist auch dann auf ~(X x Y) definiert, wenn ~(X) 0 Y).) =t d) Genügen X und Y dem zweiten Abzählbarkeitsaxiom, so ist das im Sinne von Kap. V ~(Y) C ~(X x
gebildete Produktmaß J-l 0 v ein reguläres Borel-Maß auf
~(X
x Y) und stimmt mit dem
ebenso bezeichneten Maß aus Teil c) überein. (Hinweise: Korollar 1.12 und Satz 111.5.10.)
§ 3.
Das Haarsehe Maß «On peut demontrer, en approfondissant quelque peu un resultat tres connu de A. Haar, que dans tout groupe localement bicompact il existe une mesure invariante a gauche, et que cette mesure est unique.»14 (A. Weil [1], S. 141)
l4Indem man ein wohlbekanntes Resultat von A. Haar ein wenig vertieft, kann man zeigen,
352
VIII. Maße auf topologischen Räumen
1. Topologische Gruppen. Im ganzen folgenden § 3 legen wir folgende Bezeichnungen zugrunde: G sei eine multiplikativ geschriebene Gruppe mit dem Einselement e. Sind A, BeG und x E G, so setzen wir AB .- {ab: a E A, bEB}, A- 1 :== {a- 1 : a E A}, xA .- {xa:aEA}, Ax:=={ax:aEA}.
Für a E G werden die Linkstranslation L(a) : G -+ G und die Rechtstranslation R(a) : G -+ G definiert durch L(a)x :== ax, R(a)x :== xa (x E G). 3.1 Definition. G heißt eine topologische Gruppe, wenn G mit einer Topologie ausgestattet ist, so daß die Gruppenmultiplikation G x G -+ G, (x, y) 1---+ xy und die Inversenbildung G -+ G, x 1---+ X-I stetig sind. (Dabei ist G x G mit der Produkttopologie zu versehen.) 3.2 Beispiele. a) (lR, +), (lR n , +), (C, +), (cn, +), (lR\ {O}, .), (Jo, 00[, .) sind abelsche topologische Gruppen. Bezeichnet IHI den Schiefkörper der Quaternionen, so ist (IHI \ {O}, .) eine nicht abelsche topologische Gruppe. Alle diese Gruppen sind lokal-kompakt. Die Einheitskreislinie 8 1 c C und die Einheitssphäre 8 3 C IHI sind kompakte multiplikative topologische Gruppen. 2 b) Die Gruppen GL(n,lR),GL (n,C) sind (bez. der von lRn2 bzw. cn induzierten Topologie) lokal-kompakte topologische Gruppen; die Stetigkeit der Inversenbildung folgt aus der bekannten Formel A -1 == (det A)-1 A, wobei A die Komplementärmatrix von A bezeichnet (A == ((-l)j+kdetAjk)t, wobei A jk aus A durch Streichen der j-ten Zeile und k-ten Spalte entsteht). Auch SL (n, lR), SL (n, C) sind lokal-kompakte topologische Gruppen. Die orthogonalen Gruppen O(n), SO(n) und die unitären Gruppen U(n), SU(n) sind kompakte topologische Gruppen. c) Die Gruppen (Q, +), (Q \ {O}, .), GL (n, Q), SL (n, Q) sind (nicht lokal-kompakte) topologische Gruppen. d) Jede Gruppe ist bez. der diskreten Topologie eine lokal-kompakte topologische Gruppe. e) Ist (GJf,El eine Familie topologischer Gruppen, so ist TIf,El Gf, bez. der Produkttopologie eine topologische Gruppe. Versieht man z.B. die additive Gruppe D :== Z/2Z mit der diskreten Topologie, so ist die additive Gruppe D N aller Folgen von Elementen aus D bez. der Produkttopologie eine (nicht diskrete!) topologische Gruppe. Nach dem Satz von TYCHONOFF ist D N kompakt. Im folgenden sei stets G eine topologische Gruppe; U bezeichne das System der Umgehungen von e. Wir leiten einige grundlegende Eigenschaften topologischer Gruppen her, die zum Beweis der Existenz des Haarschen Maßes benötigt werden. 3.3 Lemma. Alle Linkstranslationen L(a), alle Rechtstranslationen R(a) (a E daß auf jeder lokal-kompakten [Hausdorffschen topologischen] Gruppe ein linksinvariantes Maß [=1= 0] existiert und daß dieses Maß [bis auf einen positiven Faktor] eindeutig bestimmt ist.
§ 3. Das Haarsche Maß
353
G) und die Inversenbildung j : G ~ G, j(x) :== X-I (X E G) sind Homöomorphismen von G in sich. Beweis. Die Abbildungen L(a), R(a) sind als Einschränkungen der stetigen Multiplikation G x G ~ G, (x, y) f--+ xy stetig, ferner bijektiv, und die inversen Abbildungen (L(a))-l == L(a- 1 ), (R(a))-l == R(a- 1 ) sind ebenfalls stetig. Ebenso ist j stetig, bijektiv, und j-l == j ist stetig. D
3.4 Lemma. a) Ist meine Umgebungsbasis von e, so sind {aV: V E m}, {Va: V E m} Umgebungsbasen von a E G, und {V-I: V E sn}, {V n V-I: V E m} sind Umgebungsbasen von e. Insbesondere hat e eine Umgebungsbasis bestehend aus symmetrischen Mengen (d.h. aus Mengen W mit W == W- 1 ). b) Zu jedem U E II existiert ein V E 11 mit V 2 :== V . V cU. c) Sind A, U c G, U offen, so sind AU und U A offen. d) Sind K, LeG kompakt, so ist K L kompakt. Beweis. a) klar nach Lemma 3.3. b) klar wegen der Stetigkeit der Multiplikationsabbildung G x G
~
G, (x, y)
f--+
xy. c) AU == UaEA L(a)U und U A == UaEA R(a)U sind offen nach Lemma 3.3. d) K L ist das Bild von K x LeG x G unter der stetigen Multiplikationsab-
bildung.
D
3.5 Lemma. Zu jedem U E 11 existiert ein V E 11 mit V cU. Daher ist G ein regulärer topologischer Raum. Beweis. Nach Lemma 3.4 existiert ein symmetrisches V E II mit V 2 C U. Ist nun x E V, so ist (xV) n V =1= 0, d.h. es gibt v, w E V mit xv == w, also x == wv- 1 E VV- 1 == V 2 C U, d.h. V c U. Daher gilt das Regularitätsaxiom an der Stelle e, nach Lemma 3.3 also überall. D
3.6 Lemma. Sind K C U c G, K kompakt, U offen, so existiert ein V E 11 mit KV cU. Ist insbesondere G lokal-kompakt, so gibt es ein abgeschlossenes und kompaktes V E II mit KV cU. Beweis. Zu jedem x E K existieren ein Ux E 11 mit xUx C U und dazu ein offenes V x E II mit V; C U X' Die offene Überdeckung (XVX)XEK von K hat eine endliche Teilüberdeckung. Daher existieren Xl, ... ,Xn E K mit K C U7=lX j V Xj ' Setzen wir nun V :== VXj ' so gilt KV C Xj VXj V C Xj UXj cU. - Ist
n7=1
U7=1
U7=1
insbesondere G lokal-kompakt, so bilden. die abgeschlossenen und kompakten Umgebungen von e eine Umgebungsbasis, denn G ist regulär (KELLEY [1], S. 146). D Intuitiv gesprochen, wird man sagen, daß sich zwei Elemente x, y E G "nah beieinander" befinden, wenn mit einer "kleinen" Umgebung U E 11 gilt x-1y E U (bzw. yx- 1 EU). Damit können wir den Begriff der gleichmäßigen Stetigkeit 15 für Funktionen f : G ~ lK definieren. 15Für ein vertieftes Studium der hier implizit vorkommenden uniformen Strukturen auf topologischen Gruppen verweisen wir auf BOURBAKI [6], chap. 3 und W. ROELCKE, S. DIE-
VIII. Maße auf topologischen Räumen
354
3.7 Definition. Eine Funktion 1 : G ~ JK heißt links-gleichmäßig stetig, wenn zu jedem E > 0 ein U E 11 existiert, so daß II(x) - l(y)1 < E für alle X,Y E G mit x-Iy E U (d.h. II(x) - l(xu)1 < E für alle x E G, u EU). Entsprechend heißt 1 rechts-gleichmäßig stetig, wenn zu jedem E > 0 ein U E 11 existiert, so daß II(x) - l(y)1 < E für alle x,y E G mit yx- l E U (d.h. II(x) - l(ux)1 < E für alle x E G, u E U). Eine links- (bzw. rechts-) gleichmäßig stetige Funktion braucht nicht rechts(bzw. links-) gleichmäßig stetig zu sein (vgl. HEWITT- Ross [1], (4.2)).
3.8 Satz. Ist G eine topologische Gruppe, so ist jedes als auch rechts-gleichmäßig stetig.
1 E Cc ( G) sowohl links-
Beweis. Es seien 1 E Cc(G),E > 0 und K:== Tr I. ZU jedem x E K gibt es ein Ux E 11, so daß II(x) - l(xu)1 < E/2 für alle u E Ux , und zu Ux existiert ein offenes symmetrisches Vx E 11 mit Vx3 :== (V;)Vx C Ux. Wegen der Kompaktheit von K existieren endlich viele Xl, ... , Xn E K, so daß K C Xj VXj . Wir setzen V :== VXj und behaupten: Für alle x E G und v E V ist II (x) l(xv)1 < E. Zur Begründung sei x E G. Ist xV n K == 0, so ist I(x) == I(xv) == 0 (v E V), und die Behauptung ist klar. Sei nun xV n K =1= 0. Dann existiert ein jE {l, ... ,n} mit xVnXjVXj =1= 0, also ist x E XjVXjV- I C XjV~, d.h. xV c Xj Vx~ C XjUXj . Für alle v E V ist daher nach Wahl von UXj
U7=1
n7=1
II(x) - 1(xv ) I ::; II(x) - 1(x j ) I + II(x j) - 1(xv ) I < E • Daher ist 1 links-gleichmäßig stetig. Der Nachweis der rechts-gleichmäßigen Stetigkeit von 1 kann analog geführt werden. Man kann auch folgendermaßen schließen: Stattet man G mit der entgegengesetzten Multiplikation x.y :== yx (x, y E G) aus und läßt die Topologie unverändert, so erhält man die zu Gentgegengesetzte topologische Gruppe G opp . Ist nun 1 E Cc ( G), so ist 1 : G opp ~ JK nach dem oben Bewiesenen linksgleichmäßig stetig. Daher ist 1 : G ~ JK rechts-gleichmäßig stetig. D 2. Linksinvariante Linearformen und Maße. Eine Linearform I : Cc ( G) JK heißt linksinvariant, wenn
1(1 oL(y)) == 1(1) (I Entsprechend heißt ein Maß J-L : ~(G) y E G gilt L(Y)(J-L) == J-L, d.h. wenn
J-L(yB) == J-L(B)
(B
~
E
Cc(G), y
E
~
G) .
[0,00] linksinvariant, wenn für alle
E ~(G),
y
E
G) .
ROLF: Uniform structures on topological groups and their quotients. New York: McGraw-Hill International Book Comp. 1981
§ 3. Das Haarsche Maß
355
Analog werden rechtsinvariante Linearformen bzw. Maße definiert. Für abelsches G sind die Begriffe "linksinvariant" und "rechtsinvariant" offenbar äquivalent. Wir werden aber sehen, daß linksinvariante Linearformen bzw. Maße nicht stets rechtsinvariant zu sein brauchen (s. Beispiel 3.14, a)). Mit Hilfe der entgegengesetzten topologischen Gruppe G opp (s.o.) lassen sich alle Aussagen über linksinvariante Linearformen bzw. Maße sofort auf rechtsinvariante übertragen (und umgekehrt), so daß wir uns auf die Diskussion des Begriffs der Linksinvarianz beschränken können. - Ist 1 (bzw. J-l) links- und rechtsinvariant, so heißt 1 (bzw. J-l) invariant. 3.9 Lemma. Es sei G eine lokal-kompakte Hausdorffsche topologische Gruppe. Ist 1 : Cc ( G) ~ IK eine linksinvariante positive Linearform, so existiert genau ein Radon Maß JL : Q3(G) ~ [0,00] mit
1(1) =
(3.1)
l
f d/l (1
E
Cc(G)) ,
und J-l ist linksinvariant. Umgekehrt entspricht jedem linksinvarianten RadonMaß J-l : Q3(G) ~ [0,00] vermöge (3.1) eine linksinvariante positive Linearform 1 : Cc(G) ~ IK.
Beweis. Ist 1 eine linksinvariante positive Linearform auf Cc ( G), so existiert nach dem Darstellungssatz von F. RIESZ 2.5 genau ein Radon-Maß J-l mit (3.1). Dieses J-l ist linksinvariant: Es gilt nämlich nach der allgemeinen Transformationsformel V.3.1 für alle f E Cc(G) und y E G:
1(1) = 1(1 oL(y)) =
l
f oL(y)d/l =
l
f dL(Y)(/l),
und da L(Y)(J-l) ein Radon-Maß ist (Aufgabe 1.10), ist L(Y)(J-l) == J-l (y E G) wegen der Eindeutigkeit von J-l. - Entsprechend folgt aus der allgemeinen Transformationsformel die Linksinvarianz von 1, falls J-l in (3.1) ein linksinvariantes Radon-Maß (oder auch nur ein linksinvariantes Borel-Maß) ist. D 3.10 Beispiele. a) Das Maß ßP ist ein invariantes Radon-Maß auf Q3P; die zugehörige invariante positive Linearform ist 1(f) == fJR;.p fdßP (f E Cc(JRP)). b) Im Falle der multiplikativen Gruppe IR X :== IR \ {o} ist
1(1) :=
r
dx
lJ!l.x f(x)r;r
eine invariante positive Linearform; Ixl- I 8 ßl I Q3(IR X ) ist das zugehörige invariante Radon-Maß. Für die multiplikative Gruppe ]0, oo[ ist
1
00
1(f) :==
o
dx f(x)x
(f
E
Cc(]O, oo[))
eine invariante positive Linearform mit dem zugehörigen invarianten RadonMaß X-I 8 ßI I Q3(]0, oo[). Mit Hilfe der Transformationsformel (V.4.5) stellt
VIII. Maße auf topologischen Räumen
356 man fest, daß
eine invariante positive Linearform für die multiplikative Gruppe C X liefert; hierzu gehört das invariante Radon-Maß Izl- 2 8 ß2 ~(CX). c) Ist G diskret, so ist jede kompakte Teilmenge von G endlich, und Cc(G) enthält genau diejenigen Funktionen f : G -t IK, die außerhalb einer endlichen Teilmenge von G verschwinden. Daher definiert 1
1(f) :==
L f(x)
(f E C c ( G))
xEG
eine invariante positive Linearform; das zugehörige invariante Radon-Maß ist das Zählmaß. d) Für die Einheitskreislinie 51 C C liefert
1
21r
1(f) :== - 1 21r
f(e ii ) dt
(f E C(5 1 ))
0
eine positive invariante Linearform; das zugehörige invariante Radon-Maß ist gleich 2~ mal dem Lebesgue-Borelschen Maß auf 51. 2 e) Wir fassen die Gruppe GL (n, JR) als offene Teilmenge von JRn auf, indem
wir die Spalten
Xl, ... ,Xn
von X
E
GL (n, JR)
zu einem Vektor (;: )
E
JRn
2
~::er(ei~~de)rs:r::~n~l:ai:~ le::~:::(~~)~A~~ de::I; :~r(:~~~:n d::sV::: AX n 2 Lebesgue-Borelsche Maß ßn im Sinne der obigen Identifikation auf GL (n, JR) übertragen. Dann ist
1(1):=
r
j(X)ldetXI- n dß n2 (x)
(I
E
Cc(GL(n,JR)))
JGL(n,ITf.)
nach der Transformationsformel eine positive linksinvariante Linearform. Diese ist auch rechtsinvariant, denn wie oben sieht man, daß auch IdetD(R(A))1 == IdetAln für alle A E GL(n,JR). 3. Existenz und Eindeutigkeit des Haarsehen Maßes. Im ganzen Abschnitt 3. sei G eine lokal-kompakte Hausdorffsche topologische Gruppe. Wir wollen zeigen: Es gibt eine linksinvariante positive Linearform 1 : C c ( G) -t IK, 1 -I- 0, und 1 ist bis auf einen positiven Faktor eindeutig bestimmt. Nach Lemma 3.9 ist dieser Satz äquivalent zu folgender Aussage: Es gibt ein linksinvariantes Radon-Maß J-l : ~(G) -t [0,00], J-l -I- 0, und J-l ist bis auf einen positiven Faktor eindeutig bestimmt. Dieses Maß J-l nennt man nach seinem Entdecker A. HAAR (1885-1933) das Haarsehe Maß auf G.
§ 3. Das Haarsehe Maß
357
Während man in konkreten Beispielen (s.o.) das Haarsehe Maß oft relativ leicht angeben kann, ist durchaus nicht offensichtlich, wie man dieses Maß allgemein finden kann. Zur Motivation des folgenden Existenz- und Eindeutigkeitsbeweises beschreiben wir den Ansatz, den A. HAAR [1]' S. 579 ff. seinem Existenzbeweis zugrundelegt: Gibt es ein linksinvariantes Radon-Maß J1 -I 0 auf G, so ist J1 bereits durch die Werte J1(K) (K c G kompakt) eindeutig festgelegt. Sind nun K c G kompakt und U E U, so gibt es Elemente Xl,'." Xn E G mit K C U7=1 xjU; wir bezeichnen mit (K : U) die minimale Anzahl n von Punkten Xl, ... ,X n , die zu einer solchen Überdeckung benötigt werden. Wir wählen einfür allemal ein festes Kompakturn K o C G mit 1<0=1= 0. Dann ist J1(Ko) > 0 (s. die Bemerkungen nach Satz 3.12, (iv)), und wir können gleich J1 so normieren, daß J1(Ko) == 1 ist. Die wesentliche Idee ist nun, eine sehr kleine Umgebung U von e zu verwenden, so daß sich die Translate xjU im wesentlichen lückenlos aneinanderfügen. Dann wird näherungsweise gelten J1(K) ~ (K : U)J1(U), 1 == J1(Ko) ~ (Ko : U)J1(U), also J1(K) ~ (K : U)/(Ko : U). Damit haben wir den Haarsehen Ansatz für den Existenzbeweis: Ohne irgendetwas über die Existenz eines linksinvarianten Radon-Maßes J1 =1= 0 zu wissen, betrachten wir die Quotienten J1u(K) :== (K : U)/(Ko : U) bei schrumpfendem "U ~ {e}". Wenn sich dabei ein Limes einstellt, so besteht wegen der offensichtlichen Linksinvarianz J1u(yK) == J1u(K) (y E G) eine begründete Aussicht, das gesuchte J1 zu finden. Nun besteht die wesentliche Schwierigkeit darin, daß die Existenz eines Limes von J1u(K) für "U ~ {e}" durchaus nicht leicht zu zeigen ist. HAAR meistert dieses Problem, indem er G zusätzlich als metrisierbar und separabel voraussetzt. Dann kann er U eine Umgebungsbasis (Un)n~l von e durchlaufen lassen und erhält mit Hilfe eines Diagonalfolgenarguments eine konvergente Teilfolge, die das gewünschte J1 liefert. Der folgende Existenzbeweis nach A. WEIL (1906-1998) benutzt eine Variante des Ansatzes von HAAR zur Konstruktion einer linksinvarianten positiven Linearform I : C c ( G) ~ IK, I -I O. Das oben angedeutete Diagonalfolgenargument wird dabei ersetzt durch ein Kompaktheitsargument (Satz von TYCHONOFF). Dadurch werden Abzählbarkeitsvoraussetzungen an G entbehrlich. 3.11 Satz (A. HAAR (1932), J. v. NEUMANN (1936), A. WEIL (1936)). Ist G eine lokal-kompakte Hausdorffsche topologische Gruppe, so gibt es eine linksinvariante positive Linearform I : C c ( G) ~ IK, I -I 0, und I ist bis auf einen positiven Faktor eindeutig bestimmt. I heißt ein linkes Haar-Integral auf
Cc(G). Beweis (nach A.
WEIL
[2]). Existenz: Es seien f,g E C:(G),g
-I
O. Dann ist
{g > ~ Ilglloo} eine nicht-leere offene Menge, folglich existieren endlich viele Xl, ... ,Xm E G mit Tr f c U:=l Xk V, also ist f ~ 2(llfII00/llgII00) 2::=1 go L(X;l).
V
:==
Daher gilt eine Ungleichung des Typs m
(3.2)
f ~ LCkgoL(X;l)
k=l
mit Xl,'·' ,Xm E G,Cl,· . . ,Cm ~ O,m E N.
VIII. Maße auf topologischen Räumen
358
Für jede positive linksinvariante Linearform J : Cc ( G) ---+ JK, J =1= 0 folgt aus (3.2): J(f) :s; L:=l CkJ(g), d.h. L:=l Ck 2 J(f)IJ(g)· Das führt uns zur Betrachtung folgenden Ausdrucks: Es sei (f : g) das Infimum aller Summen L:=l Ck von Koeffizienten Cl, ... ,Cm , die in Ungleichungen des Typs (3.2) vorkommen. Das Funktional (f : g) (f,g E C:(G),g =1= 0) hat folgende Eigenschaften:
(3.3) (3.4) (3.5) (3.6) (3.7) (3.8)
(f oL(y) (>"f (f1 + f2 (f (f
(f : g) (y E G), : g) >"(f : g) (>.. 2 0) , : g) : g) < (f1 : g) + (f2 : g) (f1,f2 E C:(G)) , : g) > Ilflloo/llglloo , : h) < (f : g) (g : h) (h E C:(G), h =1= 0) , 1
(h : f)
< (1:g) < (1:h) (h : g) -
(f,g,h
E
C:(G) \ {O}).
Begründung: (3.3)-(3.5) sind auf Grund der Definition von (f : g) evident. Zum Beweis von (3.6) gehen wir aus von (3.2) und erhalten Ilflloo :s; L~l ckllglloo, also L:=l Ck 2 Ilflloo/llglloo. Damit folgt (3.6); insbesondere ist (f : g) > 0, falls zusätzlich f #- 0 ist. Zur Begündung von (3.7) seien Xl,"" Xm E G und Cl, ... , Cm 2 0 gemäß (3.2) gewählt und entsprechend Y1,···, Yn E G, d1, ... ,dn 2 0 zu g, h, so daß 9 :s; L~=l dzh L( yz 1). Schätzt man die rechte Seite von (3.2) mit Hilfe der letzten Ungleichung ab, so folgt: f :s; L:=l L~=l ckd zhoL((Xkyz)-l), also (f : h) :s; L:=l Ck L~=l dz, und die Infimumbildung auf der rechten Seite liefert (3.7). (3.8) folgt sogleich aus (3.7). Dabei ist zu beachten, daß die Nenner positiv sind, da f, g, h =1= o. Die weitere Beweisidee ist nun, den Träger von 9 auf den Punkt e schrumpfen zu lassen. Um dabei (f : g) unter Kontrolle zu halten, liegt im Hinblick auf (3.8) folgende Quotientenbildung nahe: Wir wählen für den Rest des Beweises G), fo =1= 0 und bilden eine feste Vergleichsfunktion fo E 0
C:(
19 (1) :=
(~::~)
(1, 9 E C:(G), 9
-# 0).
(Die Wahl der Funktion fo wird am Ende des Existenzbeweises bewirken, daß die Linearform 1 der Normierungsbedingung l(fo) == 1 genügt.) Die GIn. (3.3)(3.5) ergeben nun:
(3.9)
19 (f oL(y)) 19 (>"f)
(3.10) (3.11 )
19 (f1
und (3.8) liefert (3.12)
+ f2) <
19 (f)
>..19 (f) 19 (f1)
(y
E G) ,
(>.. 2 0) ,
+ 19 (f2)
(f1, f2
E
C:(G)) ,
§ 3. Das Haarsche Maß
359
Wir fassen I g (l) als Näherungswert für das zu konstruierende 1(1) auf und stellen fest: Die Eigenschaften (3.9), (3.10) sind bereits passend, aber (3.11) ist zum Beweis der angestrebten Additivität von I unzureichend. Daher beweisen wir eine Ungleichung in umgekehrter Richtung:
(3.13) Zu allen 11,12
E
C:(G) und c > 0 gibt es ein V I g (11)
lür alle 9
E
C: (G), 9
=1=
E
U, so daß
+ I g (12) ::; I g (11 + 12) + c
0 mit Tr 9
C
V.
C:
Begründung: Zu K :== Tr (11 + 12) wählen wir ein h E (G) mit h I K == 1 und setzen F :== 11 + 12 + 6h, wobei 6 > 0 so klein sei, daß 26(h : 10) < c/ 2. Für j == 1, 2 setzen wir r.p j (x) :== Ij (x) / F (x), falls x E {F > O}, und r.pj(x) :== 0, falls x E KC. Dann sind r.p1, r.p2 wohldefiniert, da K c {F > O} und r.p1 (x) == r.p2 (x) == 0 für alle x E {F > O} n KC. Ferner sind die Funktionen r.p1, r.p2 stetig, da sie auf den offenen Mengen {F > O} und KC stetig sind. Daher gilt: r.p1, r.p2 E C:(G),O ::; r.p1 + r.p2 ::; 1 und Fr.pj == Ij (j == 1,2). Die Funktionen r.p1, r.p2 sind nach Satz 3.8 links-gleichmäßig stetig. Wählen wir also o < TJ < ~ so klein, daß 2TJ(11 + 12: 10) < c/2, so existiert ein V EU, so daß Ir.p j (x) - r.p j (xv) I < TJ für alle x E G, v E V, j == 1, 2. Es seien nun 9 E C:(G), 9 =1= 0, Tr 9 C V und Xl,· .. , Xm E G, Cl, ... , Cm ~ 0, so daß (vgl. (3.2)) m
F::; LCkgoL(X;l). k=l
(3.14) Ist hier goL(X;l )(x) TJ (j == 1, 2), also
=1=
0, so gilt x E Xk V, und für diese x ist r.pj(x) ::; r.pj(Xk)
+
m
Ij(x)
==
r.pj(x)F(x) ::; L Ck(r.pj(Xk) k=l
+ TJ)g(X;l X) (x
E G;j ==
1,2).
Eine Addition der hieraus resultierenden Ungleichungen für (11 : g), (12 : g) führt unter Berücksichtigung von r.p1 + r.p2 ::; 1 auf m
(11 : g)
m
+ (12 : g) ::; L Ck(r.p1(Xk) + r.p2(Xk) + 2TJ) ::; L ck(l + 2TJ)· k=l
k=l
Wegen (3.14) und (3.10), (3.11) können wir daher schließen:
(11 : g) + (12 : g) ::; (F: g)(l + 2TJ) ::; ((11 + 12 : g) I g (11) + I g (12) ::; (lg (11 + 12) + 61g (h))(1 + 2TJ)·
+ 6(h: g))(l + 2TJ),
Hier ist nach (3.12) und der Wahl von 6, TJ
2TJlg (11 + 12) < 2TJ(11 + 12 : 10) < c /2 , 81g (h)(1 + 2TJ) ::; 26(h: 10) < c/2, und (3.13) ist bewiesen. -
VIII. Maße auf topologischen Räumen
360
Zum Abschluß des Existenzbeweises betrachten wir den Produktraum X :==
TI! [Uo1:f) ' (J : 10)]' wobei die Produktbildung über alle 1 E
C: (G), 1 i 0 erstreckt wird. Nach dem Satz von TYCHONOFF (1906-) ist X bez. der Produkttopologie kompakt, und nach (3.12) ist 19 E X für alle 9 E C:(X), 9 i= o. Der oben angedeutete Prozeß des "Zusammenziehens" des Trägers von 9 auf den Punkt e läßt sich nun mit Hilfe eines Kompaktheitsarguments folgendermaßen streng fassen: Für V E II sei F(V) der Abschluß der Menge {1g : 9 E (G), 9 i= 0, Tr 9 C V} in X. Sind VI, ... , Vn E ll, so ist F(V1) n ... n F(Vn ) == F(V1 n ... n Vn ), also hat das System der Mengen F(V) (V E ll) die endliche Durchschnittseigenschaft. Wegen der Kompaktheit von X ist daher der Durchschnitt der Mengen F(V) (V E ll) nicht leer; sei 1 E F(V) für alle V E U. Nach Definition der Produkttopologie gibt es zu allen f1, ... ,fn E C:(G) \ {O},n E N,c > 0 und V E U ein 9 E (G), 9 i= 0 mit Tr 9 C V, so daß
C:
C:
11(fj) - 19 (fj) I < c für alle j
== 1, ... , n.
Aus dieser Approximationseigenschaft und (3.9)-(3.13) erhellt, daß 1 : C:( G) \ {O} ~]O, oo[ folgende Eigenschaften hat (f, f1, f2 E C:(G) \ {O}): (3.15) (3.16) (3.17) (3.18)
1(f oL(y)) 1(>"f) 1(f1 + f2) 1
(fa: f)
1(f) (y E G), >..1(f) (>.. > 0) , 1(f1) + 1(f2) ,
< 1(f) :::; (f : fo) .
Daher gestattet 1 eine kanonische Fortsetzung zu einer linksinvarianten positiven Linearform 1 : Cc(G) ~ JK, und nach (3.18) ist 1 i= o. (Wegen (3.6) und der Definition von (fa: fo) ist (fa: fo) == 1; folglich ist 1(fo) == 1 nach (3.18).) Damit ist der Existenzbeweis beendet. Eindeutigkeit: Es seien J : C c ( G) ~ JK ein linkes Haar-Integral und f, 9 E C:(G), 9 i= o. Aus (3.2) folgt J(f) :::; ~;:=1 CkJ(g), also
(3.19)
J(f) :::; (f : g)J(g).
Hier ist notwendig J(g) i= 0, denn sonst wäre nach (3.19) J(f) == 0 für alle f E C:(G), d.h. J == 0: Widerspruch! Es seien weiter f E C:(G),c > O. Dann existiert ein U E ll, so daß If(x) f(y)1 < c für alle x, y E G mit x- 1y E U, denn f ist links-gleichmäßig stetig (Satz 3.8). Es sei ferner 9 E C:(G),g i= 0 mit Trg C U, so daß 9 symmetrisch ist in dem Sinne, daß g(x) == g(x- 1) (x E G). Für festes x E G betrachten wir die Funktion G ~ lR,y H f(y)g(y-1 X ). Wir bezeichnen diese Funktion im folgenden kurz mit f(y)g(y-1 X ), wobei y die "freie" Variable und x ein "festes" Element von G bedeuten. Für y-l x ~ U ist g(y-1 X ) == 0, und für y-1 x E U ist f(y) 2: f(x) - c. Daher ist wegen der Symmetrie von 9
J(f(y)g(y-1 X )) > (f(x) - c)J(g(y-1 X )) == (f(x) - c)J(g(x- 1y)) == (f(x) - c)J(g) ,
§ 3. Das Haarsche Maß
361
denn J ist linksinvariant, also
f(x) - c ~ J(f(y)g(y-lx))/J(g)
(3.20)
(x
E
G).
Die Funktion g ist rechts-gleichmäßig stetig. Zu vorgegebenem TJ > 0 gibt es daher ein offenes W E II mit Ig(y) - g(z)1 < TJ für alle y, z E G mit yz-l E W. Zur Menge K :== Tr (f + fo) existieren endlich viele Yl, ... , Yn E G und
J(f(y)g(y-lx))
(3.21 )
==
L
J(f(y)
k=l und hier ist
f(x) ~ c +
n
n
k=l
k=l
L rk(g(YJ;lx) + TJ) == c + TJJ(f)/ J(g) + L rkg(YJ;lX).
Wir wählen oben TJ > 0 gleich so klein, daß TJJ(f)/J(g) < c, und zusätzlich wählen wir ein h E (G) mit h I K == 1. Dann folgt
C:
n
f(x) ~ 2ch(x)
+ L rkg(YJ;lX) (x
E
G)
k=l und mithin n
(3.22)
(f : g) ~ 2c(h : g) +
L rk == 2c(h : g) + J(f)/ J(g) . k=l
Hier dividieren wir durch (fo : g) und erhalten nach (3.8) und (3.19)
(3.23)
(f : g) (h : g) J(f) J(f) I g (J) = (Jo : g) ::; 2c (Jo : g) + (Jo : g)J(g) ::; 2c(h : 10) + J(Jo)'
Wählen wir nun gleich zu Beginn des Eindeutigkeitsnachweises die Umgebung U so klein, daß auch Ifo(x) - fo(y)1 < c für alle x, Y E G mit x-ly E U, so gilt (3.22) auch mit fo anstelle von f, und es folgt mit (3.19) (324) .
1(J)=(J:g) > J(J) . 9 (fo : g) - 2c(h : g)J(g) + J(fo)
Hier ist der Term (h : g)J(g) im Nenner von (3.24) nach oben abzuschätzen. Dazu w~hlen wir ein h* E C:(G) mit h* I K == 1, setzen c* :== (4(h* : h))-l 16 Begründung: Wir wählen ein relativ kompaktes offenes V E U mit V C W. Dann gibt es endlich viele Yl, ... , Yn E G mit K C L~=l Yk V und dazu 'l/Jl, ... , 'l/Jn E ct(G) mit 'l/Jk I Yk V = 1, Tr'l/Jk C Yk W. Wir setzen 'l/J := L~=l 'l/Jk und wählen zusätzlich ein X E ct(G), X :::; 1 mit X I K = 1. Setzen wir nun 'Pk(X) := min(x(x), 'l/J(X))'l/Jk (x)/'l/J(x), falls 'l/J(x) > 0, und 'Pk(X):= 0, falls 'l/J(x) = 0, so sind 'P1, ... ,'Pn stetig (!) und leisten das Verlangte.
°:: ;
VIII. Maße auf topologischen Räumen
362
und wählen U von Anfang an so klein, daß zusätzlich Ih(x) - h(y)1 < E* für alle x, y E G mit x-ly E U. Dann gilt (3.22) auch für h, h*, E* anstelle von f, h, E, und zwar für alle symmetrischen 9 E C;;(G),g -I- 0 mit Trg C U; d.h.
(h : g)
< 2E*(h*: g) + J(h)j J(g)
:s: ~ ~~: ; ~~ + J(h)j J(g) :s: ~(h : g) + J(h)j J(g) ; beim letzten Schritt wird (3.7) benutzt. Insgesamt ist (h : g)J(g) S 2J(h), und (3.24) liefert
J(f)
I g (1) ~ 4c:J(h) + J(1o) .
(3.25)
Nach (3.23), (3.25) gibt es zu jedem fJ > 0 eine Umgebung V E ll, so daß IIg(f)-J(f)/J(fo)1 < fJ für alle symmetrischen 9 E C;;(G),g =I- 0 mit Trg C V. Daher ist J(f) / J(fo) eindeutig bestimmt. D Der obige kunstvolle, aber technisch diffizile Beweis der Eindeutigkeit eines linken Haarschen Maßes (nach A. WEIL [2]) zeichnet sich dadurch aus, daß nur sehr elementare Hilfsmittel verwendet werden und daß am Ende die Konvergenz der Quotienten I g(f) gegen ein linkes Haar-Integral quantitativ nachgewiesen wird. Wesentlich kürzere Eindeutigkeitsbeweise (mit Hilfe des Satzes von FuBINI) findet man z.B. bei BOURBAKI [4]' FLORET [1]' 13.5.3, LOOMIS [1] und RUDIN
[2].
Wendet man Satz 3.11 auf die zu G entgegengesetzte Gruppe G opp an, so folgt: Es gibt eine nicht-triviale rechtsinvariante positive Linearform J : C c(G) -t l[{ und J ist bis auf einen positiven Faktor eindeutig bestimmt; J heißt ein rechtes Haar-Integral auf Cc(G). - Im Anschluß an (3.19) haben wir gesehen: Ist I : Cc(G) -t l[{ ein linkes (oder rechtes) Haar-Integral, so ist I(f) > 0 für alle f E C;;(G), f =I- O. 3.12 Satz (A. HAAR (1932), J. v. NEUMANN (1936), A. WEIL (1936)). Ist G eine lokal-kompakte Hausdorffsche topologische Gruppe, so gibt es ein linksinvariantes Radon-Maß J-l : ~(G) -t [0,00], J-l =I- 0, und J-l ist bis auf einen positiven Faktor eindeutig bestimmt; J-l heißt ein linkes Haar-Maß auf G.
Beweis. Die Behauptung folgt sofort aus Satz 3.11 und Lemma 3.9.
D
Durch Anwendung von Satz 3.12 auf die Gruppe G opp folgen wieder Existenz und Eindeutigkeit (bis auf einen positiven Faktor) eines nicht-trivialen rechtsinvarianten Radon-Maßes v : ~(G) -t [0,00]; v heißt ein rechtes Haar-Maß auf G. - Ist J-l ein linkes Haar-Maß auf G, so hat J-l folgende Eigenschaften:
(i) J-l(aB)
== J-l(B)
(a E G, B E ~(G));
(ii) J-l(K) < 00 für alle kompakten K C G; (iii) J-l(B) == sup{Jl(K) : K
C
B, K kompakt}
(iv) J-l(U) > 0 für jede offene Menge U
C
G, U
(B
-I- 0;
E ~(G));
§ 3. Das Haarsehe Maß
363
(v) 0 < /-l(U) < 00 für jede relativ kompakte offene Menge U c G.
Begründung: (i)-(iii) sind klar, da /-l ein linksinvariantes Radon-Maß ist. Zum Beweis von (iv) nehmen wir an, es sei U i= 0 offen, /-l(U) == O. Ist K c G kompakt, so existieren endlich viele Xl,' .. , X n E G mit K C U7=1 xjU, folglich ist /-l( K) == O. Da /-l von innen regulär ist, folgt /-l == 0: Widerspruch, denn als 0 linkes Haar-Maß ist /-l i= O. - (v) folgt aus (ii) und (iv). Für ein rechtes Haar-Maß v ist (i) zu ersetzen durch (i') v(Ba) == v(B) (a E G, B E ~(G)); die übrigen Bedingungen (ii)-(v) gelten entsprechend mit v statt /-l. (x
Ist f : G ~ lK eine Funktion, so setzen wir f* : G ~ lK,f*(x) :== f(x- l ) E G). Dann ist (foL(a))* == f*oR(a- I ), (foR(a))* == f*oL(a- l ) (a E G).
3.13 Satz. Es sei G eine lokal-kompakte Hausdorffsche topologische Gruppe. a) Ist I : Cc(G) ~ lK ein linkes (bzw. rechtes) Haar-Integral, so ist 1* : Cc(G) ~ lK,I*(f) :== l(f*) (f E Cc(G)) ein rechtes (bzw. linkes) Haar-Integral. b) Ist /-l : ~(G) ~ [0,00] ein linkes (bzw. rechtes) Haar-Maß, so ist /-l* : ~(G) ~ [0,00], /-l*(B) :== /-l(B- I ) (B E ~(G)) ein rechtes (bzw. linkes) HaarMaß· c) Gehört /-l zu I im Sinne von Lemma 3.9, so gehört /-l* zu 1*.
Den einfachen Beweis überlassen wir dem Leser (vgl. Aufgabe 3.14). Dabei ist zu beachten: Die Abbildung f J---t f* ist ein Isomorphismus von C c ( G) auf sich, und die Abbildung B J---t B- I ist eine Bijektion von ~(G) auf sich. 3.14 Beispiele. a) Die Menge aller Matrizen A == (~i) (x, y E JR, x i= 0) bildet eine abgeschlossene Untergruppe H von GL (2, JR). Beschreiben wir die Elemente A E H durch die entsprechenden Zahlenpaare (x, y) E JRx xJR (JR x :== JR\ {O}), so erhalten wir die lokal-kompakte Hausdorffsche topologische Gruppe G == JRx x JR mit der Multiplikation (x, y) (u, v) == (xu, xv + y), dem Einselement (1,0) und der Inversenbildung (x, y)-l == (X-I, -x-Iy). (Algebraisch ist G das sog. semidirekte Produkt der multiplikativen Gruppe JR x , deren Elemente via Multiplikation als Automorphismen auf der additiven Gruppe (JR, +) operieren, mit der additiven Gruppe JR. Man kann G auch auffassen als die Gruppe der bijektiven affinen Abbildungen (a,b): JR ~ JR,t J---t at+b (a,b E JR,a i= 0).) Offenbar ist
ein linkes Haar-Integral auf Cc(G), denn für (a,b) E G ist IdetDL(a,b)1 == a 2 , und die Transformationsformel ergibt die Linksinvarianz. Nach Satz 3.13 definiert I*(f) :== l(f*) (f E Cc(G)) ein rechtes Haar-Integral auf Cc(G). Da die Transformation t(x, y) :== (x-I, -x-Iy) die Funktionaldeterminante (detDt)(x,y) == x- 3 hat, ergibt die Transformationsformel
1*(1) =
L
f(x-
1
~~X-ly) dß2(X, y) =
Lf(~IY)
dß2(X, y) .
VIII. Maße auf topologischen Räumen
364
(Die Rechtsinvarianz von 1* läßt sich auch an der letzten Integraldarstellung leicht mit Hilfe der Transformationsformel nachprüfen.) 1* ist offenbar kein positives Vielfaches von I, d.h. I ist nicht rechtsinvariant. G ist wohl das einfachste Beispiel einer lokal-kompakten Hausdorffschen topologischen Gruppe, für welche die linken und die rechten Haar-Integrale wesentlich verschieden sind. Auffälligerweise besitzt die Gruppe GL (2, JR) ein invariantes Haar-Integral (Beispiel 3.10,e)), die abgeschlossene Untergruppe H c GL (2, JR) aber nicht. b) Es sei JHIx die (nicht abelsche) multiplikative Gruppe der von Null verschiedenen Quaternionen x == a+ßi+,j +8k (a,ß",8 E JR,i 2 == j2 == k 2 == -l,ij == - ji == k, jk == -kj == i, ki == -ik == j), versehen mit der von JR4 induzierten Topologie. Für x E JHI sei N(x) :== a 2 + ß2 +,2 + 82 die Norm von x. Bekanntlich ist N(xy) == N(x)N(y) (x, y E JHI). Für a E JHIx ist I det DL(a)1 == (N(a))2. Daher ist
I(J)
:=
lx (~gj)2dß4(X)
(J
E
Cc(JHI
X ))
ein linkes Haar-Integral auf Cc(lHI X ), und I ist wegen I det DR(a)1 == (N(a))2 (a E JHIX) auch rechtsinvariant. Historische Anmerkungen. Die Invarianzeigenschaften der Haarschen Maße auf ~p , ~x , SI
und auf endlichen Gruppen sind seit langem wohlbekannt, aber erst mit der allgemeinen Akzeptanz des Gruppenbegriffs wird der strukturelle Begriff der Linksinvarianz klar. Das kommt erstmals 1897 in einer fundamentalen Arbeit von A. HURWITZ (1859-1919) zum Ausdruck, in der HURWITZ Haarsche Integrale für die orthogonale Gruppe SO(n) und die unitäre Gruppe SU (n) bestimmt und für die Erzeugung von Invarianten durch Integration nutzbar macht. Zusätzlich betont HURWITZ "die allgemeine Anwendbarkeit des Prinzipes, die Invarianten einer kontinuierlichen Gruppe durch Integration zu erzeugen," d.h. er weist auf die Existenz eines Haarschen Maßes für jede Lie-Gruppe hin. Erst von 1924 an wird der Wert dieser Untersuchungen in den Arbeiten von 1. SCHUR (1875-1941) und H. WEYL über die Darstellungstheorie kompakter Lie-Gruppen deutlich (Orthogonalitäts- und Vollständigkeitssatz für die Charaktere irreduzibler Darstellungen, explizite Bestimmung der Charaktere). Diese Untersuchungen gipfeln in dem berühmten Satz von F. PETER (1899-1949) und H. WEYL; dieser ist ein vollkommenes Analogon des aus der Darstellungstheorie der endlichen Gruppen bekannten Satzes von der Zerlegung der regulären Darstellung in ihre irreduziblen Komponenten (s. H. WEYL, Gesammelte Abhandlungen, Bd. 11, 111). Mit der Begründung der allgemeinen Theorie der topologischen Gruppen durch O. SCHREIER (1901-1929) und F. LEJA17 wird die allgemeine Frage nach der Existenz linksinvarianter Maße auf topologischen Gruppen aufgeworfen. Dabei muß man sich vergegenwärtigen, daß sich in den zwanziger Jahren des 20. Jahrhunderts die angemessenen allgemeinen Begriffe in Topologie und Maßtheorie noch in statu nascendi befinden. In dieser Situation ist der Beweis der Existenz eines linksinvarianten Maßes auf jeder lokal-kompakten Hausdorffschen Gruppe mit abzählbarer Basis 18 durch A. HAAR ein aufsehenerregendes Ereignis für die Fachwelt (s. 17 O. SCHREIER: Abstrakte kontinuierliche Gruppen, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 4, 15-32 (1925); F. LEJA: Bur la notion du groupe abstrait topologique, Fund. Math. 9, 37-44 (1927). 18Die Metrisierbarkeit Hausdorffscher topologischer Gruppen mit abzählbarer Umgebungsbasis von e wurde 1936 fast gleichzeitig und unabhängig gezeigt von GARRETT BIRKHOFF
§ 3. Das Haarsehe Maß
365
z.B. A. WEIL [1], S. 534). HAAR veröffentlicht seinen Satz zuerst 1932 aus Anlaß seiner Wahl zum korr. Mitglied der Ungarischen Akademie der Wissenschaften auf Ungarisch (HAAR [1], S. 579-599) und im folgenden Jahr auf Deutsch in den Ann. of Math. (2) 34, 147-169 (1933) (HAAR [1], S. 600-622). Die Beweismethode von HAAR haben wir oben bereits angedeutet; hierzu schreiben SEGAL und KUNZE [1]' S. 188: "...either a great deal of optimism, or genius, is required to expect that a countably additive measure could really be obtained in this way. Haar supplied the genius, and the remarkable affinity between the theory of groups and integration shown by this result is indeed one of the authentie natural wonders of mathematics." HAAR selbst eröffnet den Reigen eindrucksvoller Anwendungen seines Satzes mit einer Ausdehnung der Theorie von PETER-WEYL auf beliebige kompakte topologische Gruppen mit abzählbarer Basis. Eine weitere spektakuläre Anwendung ist die positive Lösung des berühmten fünften Hilbertschen Problems für kompakte Gruppen durch J. VON NEUMANN 1933 ([3], S. 366-386). Dabei geht es um folgendes: In seinem berühmten Vortrag Mathematische Probleme formuliert D. HILBERT auf dem Internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900 als fünftes Problem die Frage, "inwieweit der Liesche Begrifj der kontinuierlichen Transjormationsgruppe auch ohne Annahme der Difjerenzierbarkeit der Funktionen unserer Untersuchung zugänglich ist. " Auf topologische Gruppen spezialisiert ist dies die Frage, ob bei einer lokal euklidischen topologischen Gruppe aus der Stetigkeit der Gruppenoperationen bereits folgt, daß die Gruppenoperationen lokal in geeigneten Koordinatensystemen durch reellanalytische Funktionen beschrieben werden können, d.h. daß die Gruppe eine Lie-Gruppe ist. Die vollständige Lösung dieses Problems erstreckt sich über einen längeren Zeitraum: Nach v. NEUMANNs Behandlung der kompakten Gruppen gelingt L.S. PONTRJAGIN 1934 die Lösung für abelsche lokal-kompakte Gruppen, und erst 1952 erhalten A. GLEASON (1921-2008), D. MONTGOMERY (1909-1992) und L. ZIPPIN (1905-1995) die endgültige Lösung des Problems für beliebige lokal-kompakte Gruppen (s. MONTGOMERy-ZIPPIN [1]). Schon 1933 führt S. BANACH das Haarsche Maß in die Lehrbuchliteratur ein, und zwar in einem Anhang im Buch von S. SAKS ([1], S. 264-272; [2], S. 314-319, erneut abgedruckt in BANACH [1], S. 239-245). Dabei kombiniert BANACH den Beweisansatz von HAAR mit der Theorie der sog. Banach-Limiten, aber er beschränkt sich nicht auf den Fall lokal-kompakter topologischer Gruppen mit abzählbarer Basis, sondern er geht gleich axiomatisch vor und zeigt die Existenz eines invarianten Maßes auf lokal-kompakten metrisierbaren separablen topologisehen Räumen, für deren Teilmengen ein geeigneter Begriff von Kongruenz erklärt ist. Für eine wirksame Nutzung des Haarsehen Maßes ist nicht nur seine Existenz, sondern ganz wesentlich auch seine Eindeutigkeit maßgeblich. Diese wird für kompakte Gruppen 1934 bewiesen von J. VON NEUMANN ([3], S. 445-453); der Beweis für beliebige lokal-kompakte Gruppen (mit abzählbarer Basis) erfordert ganz andere Methoden und gelingt v. NEUMANN erst 1936 ([5], S. 91-104). Gleichzeitig beweist A. WEIL die Existenz und Eindeutigkeit des Haarschen Maßes für beliebige lokal-kompakte Hausdorffsche topologische Gruppen ohne irgendwelche Abzählbarkeitsvoraussetzungen (s. WEIL [1], S. 132, S. 141 f. und [2]). WEIL gewinnt auch eine Bedingung für die Existenz eines relativ invarianten Maßes auf einem homogenen Raum, und er zeigt, daß die Existenz eines"vernünftigen" linksinvarianten Maßes in gewissem Sinne für die lokal-kompakten Gruppen charakteristisch ist ([2]' S. 140 ff.). Dieses Ergebnis wird auf bemerkenswerte Weise abgerundet durch J .e. OXTOBY [2]' der zeigt: Ist (1911-1996), S. KAKUTANI (1911-2004) und L.S. PONTRJAGIN (1908-1988) (s. A. WEIL [1], S. 537).
VIII. Maße auf topologischen Räumen
366
G eine überabzählbare vollständig metrisierbare topologische Gruppe, so existiert ein linksinvariantes Maß I-t : ~(G) ~ [0,00], das nicht nur die Werte 0 und 00 annimmt, und I-t ist genau dann lokal-endlich, wenn G lokal-kompakt ist. Auch S. KAKUTANI [2], [3] macht darauf aufmerksam, daß die Konstruktion von HAAR auf alle lokal-kompakten Hausdorffschen Gruppen ausgedehnt werden kann, und er beweist die Eindeutigkeit des Haarschen Maßes. Der konstruktive Existenz- und Eindeutigkeitsbeweis für das Haarsche Maß von H. CARTAN (1904-2008) [1] ist dadurch ausgezeichnet, daß er keinen Gebrauch vom Auswahlaxiom der Mengenlehre macht; s. auch ALFSEN [1]. Für eine ausführliche Darstellung der Theorie des Haar-Maßes und seiner Anwendungen auf die harmonische Analyse auf Gruppen verweisen wir auf BOURBAKI [4], HEWITT-Ross [1], LOOMIS [1], NACHBIN [1], REITER [1], RUDIN [2], SCHEMPP-DRESELER [1] und WEIL [2].
4. Anwendungen des Haar-Maßes. Im ganzen Abschnitt 4. seien G eine lokal-kompakte Hausdorffsche topologische Gruppe, I ein linksinvariantes HaarIntegral auf Cc(G) und J.L das zugehörige Haar-Maß auf ~(G). 3.15 Satz. a) G ist diskret genau dann, wenn J.L( {e}) > O. b) G ist kompakt genau dann, wenn J.L(G) < 00. Beweis. a) Ist G diskret, so ist J.L ein positives Vielfaches des Zählmaßes, also J.L({ e}) > o. - Ist umgekehrt J.L({ e}) == a > 0, so ist J.L({ a}) == a für alle a E G wegen der Linksinvarianz von J.L. Daher ist jede kompakte Teilmenge K c G endlich, denn J.L(K) < 00. Da G Hausdorffsch und lokal-kompakt ist, ist also G diskret. b) Für kompaktes G ist natürlich J.L(G) < 00. - Umgekehrt: Seien J.L(G) < 00 und V eine kompakte Umgebung von e. Sind Xl, ... ,Xn E G, so daß Xj V n Xk V == 0 für j =1= k, so ist nJ.L(V) == J.L(xIV U ... U xnV) ~ J.L(G) , also n ~ J.L(G)/J.L(V). Wir können daher ein maximales n E N wählen, zu dem Xl, ... ,Xn E G existieren, so daß XjV n xkV == 0 (j =1= k). Ist dann X E G, so existiert ein k E {I, ,n} mit XVnXk V =1= 0. Daher liegt X in einer der kompakten Mengen I , XnVV- I , folglich ist G kompakt. Xl VV- , 0
Für kompaktes G kann man also das Haar-Maß von G normieren zu J.L(G) == 1, und dann ist J.L eindeutig bestimmt. Für a E G ist 1a : Cc(G) --+ OC,1a(f) :== 1(foR(a)) (f E Cc(G)) eine nichttriviale linksinvariante positive Linearform, denn für alle X E G ist 1a(f 0 L(x)) == 1((f L(x)) R(a)) == 1((f R(a)) L(x)) == 1(f oR(a)) == 1a(f). Da I bis auf einen positiven Faktor eindeutig bestimmt ist, gibt es ein ß(a) > 0, so daß 0
(3.26)
0
0
1(f oR(a))
0
==
ß(a)1(f)
(f E Cc(G), a E G) .
Die Funktion ß : G --+]0,00[, a r--+ ß(a) heißt die modulare Funktion von G. Da I bis auf einen positiven Faktor eindeutig bestimmt ist, hängt ß nur von G ab, nicht aber von der speziellen Auswahl von I. Ist ß == 1, so heißt G unimodular. Offenbar ist ß == 1 genau dann, wenn I invariant ist. Insbesondere ist jede abelsche (lokal-kompakte Hausdorffsche topologische) und jede diskrete Gruppe unimodular.
§ 3. Das Haarsche Maß
367
Bezeichnet J-1a das Haar-Maß zu 1a, so gilt nach (2.17) für jedes Kompaktum KcG: inf{la (f) : f E Cc(G), f ~ XK} == ß(a)J-1(K) inf{l(f oR(a)) : f E Cc(G), f ~ XK} inf{l(g): 9 E Cc(G),g ~ XKa- l J-1(Ka- 1) == (R(a))(J-1))(K) , und daher folgt nach (2.18) und Aufgabe 1.10: (3.27) (R(a)(J-1))(B) == J-1(Ba- 1) == ß(a)J-1(B)
(a
}
E
G, B E ~(G)).
3.16 Satz. Jede kompakte Hausdorffsche topologische Gruppe ist unimodular.
Beweis: klar nach (3.26) mit f == 1 (oder (3.27) mit B == G).
o
3.17 Satz. Die modulare Funktion ß : G --t]O,oo[ ist ein stetiger Homomorphismus von G in die multiplikative Gruppe ]0,00[.
Beweis. Wir wählen ein f x,y E G:
E
C:(G) mit l(f)
== 1. Dann liefert (3.26) für alle
ß(xy) == l(f oR(xy)) == 1((f oR(x)) oR(y)) == ß(y)l(f oR(x)) == ß(x)ß(y) . Es seien weiter K eine kompakte Umgebung von Tr fund E > O. Dann gibt es eine kompakte Umgebung V von e, so daß If(x) - f(xv)1 < E für alle x E G, v E V und (Tr f) . V c K (Lemma 3.6). Daher ist für alle v E V
11 - ß(v)1 =
Il
(J(x) - f(xv))dj.L(x) 1:::; Ej.L(K) ,
denn der Integrand verschwindet auf KC. Die Funktion ß ist also an der Stelle e stetig und wegen der Homomorphie und Positivität überall. 0 3.18 Satz. Für das rechtsinvariante Haar-Integral 1* aus Satz 3.13 gilt 1* (f) == I (ß f)
(3.28)
(f E C c ( G)) ,
und für das entsprechende rechtsinvariante Haar-Maß J-1*: J-1*(A) == ß 8 J-1(A)
(3.29)
(A
E ~(G)).
Beweis. Die nicht-triviale positive Linearform f t---+ I(ßf) (f E Cc ( G)) ist rechtsinvariant, denn I(ß· (foR(a))) == ß(a)-11((ßf)oR(a)) == I(ßf) nach (3.26). Daher gibt es ein a > 0, so daß 1*(f) == a1(ßf) (f E Cc(G)). Es folgt weiter: I(ßf) == 1*( (ßf)*) == 1*(ß -1 f*) == a1(f*) == a1*(f), also a 2 == 1, d.h. a == 1, denn a > o. Wir zeigen (3.29) zunächst für kompaktes K c G: Es seien L eine kompakte Umgebung von K,E > 0 und M :== maxß I L. Dann gibt es ein f E Cc(G), so daß 0 S f 1, f I K == 1, Tr f c L und 0 S l(f) - J-1(K) < E/M. Daher ist
s
VIII. Maße auf topologischen Räumen
368
o ::; 1(/::"f) - /::,. 0 Jl(K)
[
/::"f dJl - /::,. 0 Jl(K)
?JL\K /::"f dJl ::; M(I(f) -
Jl(K)) <
E:,
und wegen (3.28) und (2.17) folgt: J-l*(K) == ~ 8 J-l(K). Es sei weiter A E Q3 (G). Für kompaktes K c A ist J-l* (K) == ~ 8 J-l(K) :::; ~ 8 J-l(A), und die innere Regularität von J-l* ergibt: J-l*(A) :::; ~ 8 J-l(A). Zum Beweis der umgekehrten Ungleichung sei 0 < Q < ~ 8 J-l(A). Dann gibt es eine Treppenfunktion u,O :::; u == ~7=1 CjXA j :::; ~XA mit disjunkten AI, ... ,An E Q3(G) und CI, ... ,Cn > 0, so daß JeudJ-l > Q. Wegen der inneren Regularität von J-l kann gleich angenommen werden, daß Al,.'" An kompakt sind, und mit K :== A j gilt dann: J-l*(K) == ~ 8 J-l(K) 2: Je u dJ-l > D:. Daher ist J-l*(A) 2: ~ 8 J-l(A). D
U7=1
GI. (3.27) liefert in Verbindung mit der allgemeinen Transformationsformel V.3.1
(3.30)
k
f(xa) dJl(x) = /::,.(a)
k
f(x) dJl(x)
während (3.29) impliziert
(3.31)
k
f(x-1)/::,.(x) dJl(x) =
Diese Gleichungen gelten für alle meßbaren Linksinvarianz von J-l bedeutet dagegen:
(a E G) ,
k
f 2:
f(x) dJl(x).
0 und für alle
f
E
J21(J-l). Die
(3.32) Ist insbesondere G unimodular, so folgt für die genannten
(3.33)
f
und alle a E G:
kf(ax)dJl(x) = kf(xa)dJl(x) = kf(X-1)dJl(X) = kfdJl.
5. Invariante und relativ invariante Maße auf Restklassenräumen. Für den ganzen Abschnitt 5. vereinbaren wir folgende Voraussetzungen und Bezeichnungen: Es seien G eine lokal-kompakte Hausdorffsche topologische Gruppe mit neutralem Element e, Le(s),Re(s) die Links- bzw. Rechtstranslation um s E G, I e ein linkes Haar-Integral auf C c ( G), J-le das zugehörige linke Haar-Maß und ~e die modulare Funktion von G. Ferner sei H eine abgeschlossene Untergruppe von G. Dann ist auch H eine lokal-kompakte Hausdorffsche topologische Gruppe, und die Daten LH(t), RH(t) (t EH), I H, J-lH, ~H sind sinnvoll. Wir versehen die Menge G / Haller Linksrestklassen sH (s E G) mit der Quotiententopologie; das ist die feinste Topologie auf G / H, welche die Quotientenabbildung q : G -+ G / H, q( s) :== sH (s E G) stetig macht. Eine Menge M C G/H ist genau dann offen, wenn q-I(M) offen ist in G. Dann ist eine Abbildung f : G / H -+ Y in irgendeinen topologischen Raum Y genau dann
§ 3. Das Haarsche Maß
369
stetig, wenn 1 0 q : G ---t Y stetig ist. Die Quotientenabbildung q ist auch offen, denn für offenes U c G ist q-l(q(U)) == UH offen in G (Lemma 3.4, c)), d.h. q(U) ist offen in G/ H. Wir zeigen: G / H ist Hausdorffsch. Begründung: Für jedes a E G ist aH abgeschlossen in G, also (aH)e offen in G, also {aHle offen in G/ H, folglich {aH} abgeschlossen in G/ H. Sind nun a, bEG, aH =1= bH, so existiert eine offene symmetrische Umgebung V von e mit bH ~ q(V 2 a). Dann sind q(Va), q(Vb) disjunkte offene Umgebungen von aH bzw. bH. - Da q kompakte Umgebungen von a E G auf kompakte Umgebungen von aH E G/H abbildet, ist G / H ein lokal-kompakter Hausdorff-Raum. 3.19 Lemma. Zu jedem K ompaktum LeG/ H gibt es ein K ompaktum K
cG
mit q(K) == L. Beweis. Es sei V eine relativ kompakte offene Umgebung von e. Dann existieren endlich viele SI,.'.' Sn E G, SO daß L C q(Vs 1 )U ...Uq(Vs n ) == q(Vs 1 U...UVs n ). Daher ist K :== (V SI U ... U 17sn) n q-l (L) eine kompakte Teilmenge von G mit q(K) == L.
0
Für jedes s E G ist die Linkstranslation L( s) : G/ H ---t G/ H, L( s) (aH) :== E G) stetig, denn L( s) 0 q == q 0 L c (s). Da L(S-I) stetig ist und zu L( s) invers, ist L( s) ein Homöomorphismus.
saH (a
1 E Ce(G), s E G definiert die Zuordnung t H) ein Element von Ce(H), und IH : G ---t lK,
3.20 Lemma. Für jedes
I(st) (t
E
(3.34)
fH(S)
:=
i
f(st) d/lH(t)
f--7
(s E G)
ist eine stetige Funktion mit fH(SU) == IH(S)
(3.35)
(s
E
G, u
E
H).
Daher definiert 1H eine stetige Funktion I~ : G/ H ---t lK mit I~ q == 1H, und I~ hat einen kompakten Träger. Die lineare Abbildung Ce(G) ---t Ce(G / H), 1 f--7 I~ ist surjektiv, und es gilt: 0
(3.36)
(loLc(u))~
(3.37)
(1 R c (u))~ 0
I~ L (U )
(u E G) , ~H(u)l~ (u E H). 0
Beweis. Für s E G ist
G,v
E
V
IfH(S) - fH(vs)1 ::::
i
If(st) - f(vst)1 d/lH(t) :::: E/lH((S-l L) n H),
VIII. Maße auf topologischen Räumen
370
d.h. fH ist stetig, also ist auch f~ stetig. Ist nun f~ (sH) -I 0 (s E G), so gibt es ein t E H mit f(st) -I o. Dann ist st E K, also sH E q(K). Daher ist Tr f~ c q(K), d.h. Tr f~ ist kompakt, denn q(K) ist kompakt. Damit haben wir eine lineare Abbildung Cc ( G) -+ Cc ( G/ H), f r-+ f~ konstruiert. Wir zeigen: Diese Abbildung ist surjektiv. Zum Beweis sei F E C c(G/ H), F -I o. Nach Lemma 3.19 gibt es ein Kompaktum K c G mit q(K) == Tr F ==: L. Wir wählen ein Kompaktum C c H mit f1H(C) > o. Dann ist auch q(KC) == L. Wir wählen weiter ein 9 E C:(G) mit gl KC == 1. Dann ist
g'(sH) =
L
g(st) d/lH(t) 2> /lH(C) > 0, falls s
E
K,
denn für s E Kund t E C ist g(st) == 1. Nach Konstruktion ist also g~(sH) > 0 für alle sH E L. Definieren wir nun f(s) :== g(s)F(sH)/g~(sH), falls sH E L, und f(s) :== 0, falls sH tf- L, so ist f E Cc(G) und f~ == F. Damit ist die behauptete Surjektivität bewiesen. Nach (3.34) ist weiter für alle u E G
(f oLc(u))·(sH) =
L
f(ust)d/lH(t) = (f. oL(u))(sH) ,
und es folgt (3.36). Für u E H gilt nach (3.30):
(foRc(u))·(sH) =
L
f(stu)d/lH(u) = ßH(u)J"(sH) ,
und es folgt (3.37).
D
Eine nicht-triviale Linearform 1 : C c(G/ H) -+ JK heißt relativ invariant, wenn eine Funktion ~ : G -+ ]I{ existiert, so daß
(3.38)
1(f oL(s)) ==
~(s)1(f)
(f
E
Cc(G/ H), s
E
G),
und dann heißt ~ die modulare Funktion von 1. Ist 1 -I 0 eine positive relativ invariante Linearform, so ist ~ : G -+]O,oo[ ein stetiger Homomorphismus. (Zum Beweis macht man sich klar, daß sich die Beweise der Sätze 3.17 und 3.8 in offensichtlicher Weise übertragen lassen.) Ist ~ == 1, so heißt 1 invariant. 3.21 Satz von A. Weil (1936).19 Ist ~ : G -+]O,oo[ ein stetiger Homomorphismus, so existiert eine nicht-triviale positive relativ invariante Linearform 1 : C c(G/ H) -+ ]I{ mit modularer Funktion ~ genau dann, wenn (3.39)
und dann ist 1 bis auf einen positiven Faktor eindeutig bestimmt. Beweis. Wir zeigen zunächst die Notwendigkeit der Bedingung (3.39) und nehmen an, 1 : Cc ( G / H) -+ JK sei eine nicht-triviale positive relativ invariante 19WEIL
[1]' S. 132 und [2], S. 45
§ 3. Das Haarsche Maß
371
Linearform mit modularer Funktion ß. Dann ist J Cc ( G) -+ IK, J(f) :== I((ßf)~) (f E Cc(G)) ein linkes Haar-Integral auf Cc(G), denn J ist nach Lemma 3.20 eine nicht-triviale positive Linearform, und nach (3.36) gilt für alle sE
G: J(f oLc(s)) == I((ß(f oLc(s)))~) == ß -l(s)I(((ßf) oLc(s))~) ß -l(s)I((ßf)~ oL(s)) == I((ßf)~) == J(f).
Nach (3.26) ist daher
J (f Re ( s)) == ßc (s)J (f)
(3.40)
(s
0
G, f E Ce (G)) .
E
Andererseits ist für alle s E G,u E H,f E Cc(G) nach (3.34) und (3.30)
(/l(j R a (u)) )H(8) 0
=
/l -1 (u)
i
=
i
/l(8t)f( 8tU) dJlH(t)
(/lf)( 8tU) dJlH(t)
=
/l -1 (u )/lH(u) (/lf)H( 8)
,
und das liefert (3.41)
J (f Re (U )) == ß 0
-1 ( U )
ß
H (U ) J
(f)
(u E H) .
Aus (3.40), (3.41) folgt als notwendige Bedingung (3.39). Es sei nun umgekehrt (3.39) erfüllt. Wir betrachten die Linearform q> Cc(G) -+ IK,
(j) und stellen fest: q> (3.42)
:=
1
/l -1 f dJla
(j
E
Cc ( G))
#- 0 ist eine positive Linearform mit
1
/l-1(joL a (8))dJla
q>(foLc(s))
/l( 8)
1
(/l -1 f) L a (8) dJla = /l( 8) (j) , 0
denn J-lc ist linksinvariant bez. G. Wir wollen nun die gesuchte Linearform I mit Hilfe des folgenden Diagramms einführen, in dem ,,~" die Surjektion aus Lemma 3.20 bezeichnet:
Offenbar existiert genau dann eine lineare Abbildung I, die dieses Diagramm kommutativ macht, wenn der Kern der linearen Abbildung ,,~" im Kern von q> enthalten ist. Wir zeigen daher folgende Zwischenbehauptung: Ist f E C c ( G) und f~ == 0, so ist q>(f) == O. Zur Begründung seien f E Cc ( G) und f~ == 0, d.h.
i
f(8t)dJlH(t) = 0 (8
E
G).
VIII. Maße auf topologischen Räumen
372 Nach (3.31) bedeutet dies:
Für alle g E Cc ( G) ist daher
Hier dürfen wir nach Aufgabe 2.13 die Reihenfolge der Integrationen vertauschen:
i
tlH(t) (lg(s)tl-1(s)f(sr1)dMC(S)) dMH(t) = O.
Im inneren Integral führen wir die Substitution s wegen (3.30) und der Voraussetzung (3.39):
f---t
st durch und erhalten
und eine nochmalige Vertauschung der Integrationsreihenfolge ergibt (3.43) Diese Gleichung gilt für alle 9 E Cc(G). Nun wählen wir ein spezielles g: Da G / H ein lokal-kompakter Hausdorff-Raum ist, gibt es ein g E C c ( G / H) mit gl q(Tr f) == 1, und zu g gibt es nach Lemma 3.20 ein 9 E Cc(G) mit gP == g. Für dieses 9 gilt nach Konstruktion
i
g(st)dMH(t) = 1 (s E Tr f) ,
und aus (3.43) folgt:
l
f(s)tl-1(s)dMc(S) = 0,
d.h. ip(f) == O. Damit ist die obige Zwischenbehauptung bewiesen. Es gibt also eine Linearform I : C c ( G / H) kommutativ macht, und zwar ist
~
JK, die das obige Diagramm
(3.44) Nach Lemma 3.20 ist I nicht-trivial und positiv, und wegen (3.42) ist
d.h. I ist relativ invariant mit modularer Funktion ß. GI. (3.39) ist also hinreichend für die Existenz einer Linearform I mit den genannten Eigenschaften. -
§ 3. Das Haarsche Maß
373
Zum Beweis der Eindeutigkeitsaussage seien 11 , 12 zwei nicht-triviale positive relativ invariante Linearformen auf Cc ( G/ H) und J 1 , J 2 : Cc ( G) -t JK, J k (f) ::=: Ik((ßf)P) (f E Cc(G),k:=: 1,2). Wir haben oben bereits gesehen, daß J 1 ,J2 linke Haar-Integrale auf C c ( G) sind. Daher gibt es ein a > mit J 1 :=: aJ2 • Für alle f E Cc(G) ist also I 1(fP) :=: J1(ß~lf) :=: aJ2(ß~lf) :=: aI2(fP), und die Surjektivität der Abbildung "P" ergibt das Gewünschte. D
°
Es gelte (3.39) und I : Cc ( G/ H) -t JK sei eine nicht-triviale positive relativ invariante Linearform. Dann existiert nach dem Darstellungssatz von F. RIESZ 2.5 genau ein Radon-Maß j1: ~(G/H) --+ [0,00] mit
1(J)= (
(3.45)
fdfi
(JECc(G/H)).
JG/H
Wegen der allgemeinen Transformationsformel V.3.1 ist für alle a E G
t:..(a)I(J)
= l(JoL(a)) = {
foL(a)dfi
JG/H
= (
fd(L(a)(fi)) ,
JG/H
und da auch L(a)(j1) ein Radon-Maß ist, ist J-l relativ invariant in dem Sinne, daß L(a) (J-l) :=: ß (a) J-l für alle a E G. Umgekehrt entspricht jedem relativ invarianten Radon-Maß J-l gemäß (3.45) eine nicht-triviale positive relativ invariante Linearform I. Beschreiben wir I durch J-l, so ist (3.44) gleich der 3.22 Formel von A. Weil (1936). Es sei ß : G -t]0, oo[ ein stetiger Homomorphismus, und es gelte (3.39). Dann existiert bis auf einen positiven Faktor genau ein nicht-triviales relativ invariantes Radon-Maß J-l : ~(G / H) --+ [0,00], und bei geeigneter Normierung von J-l gilt die W eil s c h e F 0 r m e I (3.46)
l/H (if(st)dfiH(t)) dfi(sH)
=l
t:..~lfdfiG
(J E Cc(G)) ,
wobei das innere Integral über H als Element von C c ( G/ H) aufzufassen ist.
3.23 Korollar. Es seien H ein abgeschlossener Normalteiler von G und J-lG/H ein linkes Haar-Maß auf G / H. Gibt man zwei der linken Haar-Maße J-lG, J-lH, J-lG / H vor, so gibt es genau eine Fixierung des dritten, so daß die W eil sche Formel
gilt. Ferner ist ßG I H unimodular.
:=:
ßH
,o
ist insbesondere G unimodular, so ist auch H
Beweis. J-lG/H ist ein nicht-triviales linksinvariantes Radon-Maß auf G/ H, also existiert ein nicht-triviales Radon-Maß J-l obigen Typs mit ß :=: 1. Nach (3.39) ist ßG I H :=: ßH. Ferner ist J-l nach Satz 3.21 ein positives Vielfaches von J-lG/H, und (3.46) ergibt die Behauptung. D
VIII. Maße auf topologischen Räumen
374
3.24 Korollar. Eine nicht-triviale positive invariante Linearform I: Cc(G/H) -t IK existiert genau dann, wenn ~H == ~c I H, und dann ist I bis auf einen
positiven Faktor eindeutig bestimmt. Beweis: klar nach Satz 3.21.
D
3.25 Korollar. Ist G unimodular, so existiert eine nicht-triviale positive invariante Linearform I : Cc(G/ H) -t IK genau dann, wenn auch H unimodular ist, und dann ist I bis auf einen positiven Faktor eindeutig bestimmt.
Beweis: klar nach Satz 3.21.
D
3.26 Korollar. Ist G kompakt, so existiert eine und bis auf einen positiven Faktor genau eine nicht-triviale positive invariante Linearform I : C c(G / H) -t IK.
Beweis. Als abgeschlossene Untergruppe von G ist auch H kompakt, und nach Satz 3.16 sind G und H unimodular. Daher liefert Korollar 3.25 die Behauptung. D
Für die Existenzaussage von Korollar 3.26 gibt es folgenden einfachen zweiten Beweis: Es seien G kompakt und f E C(G / H). Dann definiert die Zuordnung s H f(sH) (s E G) ein Element von C(G), und I(f) :== fc f(sH)dJLc(s) (f E C(G / H)) leistet das Verlangte. D Bemerkung. 1. SEGAL (Invariant measures on locally compact spaces, J. Indian Math. Soc. 13, 105-130 (1949)) beweist einen Existenz- und Eindeutigkeitssatz für positive invariante Linearformen auf Cc(X), wobei X ein lokal-kompakter uniformer Raum ist, auf dem eine gleichmäßig gleichstetige Gruppe von uniformen Isomorphismen operiert. Dieses Resultat findet man auch bei SEGAL-KuNZE [1]' S. 187; s. auch FEDERER, S. 121 ff. - Man kann die Frage nach der Existenz eines invarianten Maßes auf G/ H auch unmittelbar mit der Beweismethode des Satz 3.11 behandeln; das geschieht bei J. PONCET: Une classe d'espaces homogenes possedant une mesure invariante, C.R. Acad. Sei. Paris 238, 553-554 (1954).
Beispiel 3.27: Haar-Integral auf SL (2, JR). Die Matrizen M == (~~) der Gruppe G :== SL (2, JR) operieren auf der oberen Halbebene JHI :== {z == x + iy : x, y E JR,Y > O} vermöge z H M(z) :== (az + b)/cz + d), denn für z == x + iy E JHI ist Im M(z) == Y/lcz + dl 2 > 0, d.h. M(z) E JHI. Für alle M, N E G, z E JHI ist (MN)(z) == M(N(z)).20 Ist z == x + iy E JHI, so setzen wir Pz
._ (VY x/VY) 0 1/ VY
.-
E
G.
Dann ist P z (i) == z. Daher operiert G transitiv auf JHI, d.h. zu allen z, w E JHI gibt es ein M E G mit M(z) == w; z.B. leistet M :== Pw P z- 1 das Verlangte. Die Fixgruppe des Punktes i in G ist die Gruppe K :== SO(2) der Matrizen 20Bekanntlich sind die Abbildungen des Typs Z H M(z) mit M E G genau die konformen Abbildungen von IHI auf sich; s. z.B. R. REMMERT: Funktionentheorie I, 4. Aufl. BerlinHeidelberg-New York: Springer-Verlag 1995, S. 213.
§ 3. Das Haarsche Maß K
:==
375
(c?s~ -sin~)
(~E
ffi.). Ist nun M E G und z:== M(i), so ist
== PzK
1
I
11
1
I
27r
1 I(f) :== -2 1r
IHr
dxdy f(Px+iyK
0
Y
(f
E
Cc(SL (2, ffi.)) .
In der Tat ist G unimodular, denn G ist ein abgeschlossener Normalteiler der unimodularen Gruppe GL(2,ffi.) (Beispiel 3.10, e)) und daher nach Korollar 3.23 unimodular. Wir können uns auch leicht von der Linksinvarianz von I überzeugen: Für M E G, z E JHI ist MPz(i) == M(z) == PM(z)i, also MPzK == PM(z)K. Das innere Integral in der Definition von I kann als stetige Funktion mit kompaktem Träger auf GIK ~ JHI aufgefaßt werden, und das bei der äußeren Integration verwendete Maß auf JHI ist G-invariant. Daher ist I linksinvariant bez. G. (Vgl. auch Aufgabe 3.15). Zahlreiche weitere Beispiele und Aufgaben findet man bei BOURBAKI [4], chap. 7, DIEUDONNE [1], HEWITT- Ross [1]' NACHBIN [1] und SCHEMPPDRESELER [1]. 6. Kurzbiographie von
A. HAAR.
ALFRED HAAR
wurde am 11. Oktober 1885 in Bu-
dapest geboren. Nach dem Besuch des Gymnasiums studierte er zunächst Chemie in seiner Heimatstadt, wechselte aber nach einem ersten Preis beim mathematischen Landeswettbewerb für Abiturienten zum Studium der Mathematik, Physik und Astronomie. Ab 1905 studierte
HAAR in Göttingen, wo er im Jahre 1909 promoviert wurde mit einer Dissertation "Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme ", in der HAAR die später nach ihm benannten orthogonalen Funktionensysteme einführt, die "dadurch ausgezeichnet sind, daß die in bezug auf diese Systeme gebildeten Fourier-Reihen jeder stetigen Funktion konvergieren und die Funktion darstellen" (HAAR [lJ, S. 47-87). Referent der Dissertation war D. HILBERT. Schon wenige Monate nach der Promotion habilierte sich HAAR in Göttingen (1909) und wurde 1912 als Nachfolger von L. FEJER (1880-1959) an die Universität Klausenburg (jetzt Cluj-Napoca, Rumänien) berufen. Der zweite mathematische Lehrstuhl war dort ab 1912 besetzt mit F. RIESZ. Nach dem ersten Weltkrieg fiel Siebenbürgen an Rumänien; die
VIII. Maße auf topologischen Räumen
376
ungarischen Professoren der Universität Klausenburg mußten die Stadt verlassen. Ab 1920 konnten HAAR und RIESZ ihr erfolgreiches Wirken unter schwierigen äußeren Bedingungen an der neu gegründeten Universität Szeged fortsetzen und das spätere Bolyai-Institut zu einem mathematischen Zentrum von internationalem Rang entwickeln. Eine wichtige Rolle spielte dabei die Gründung der angesehenen Zeitschrift Acta Scientiarum Mathematicarum durch und RIESZ im Jahre 1922. Die wichtigsten wissenschaftlichen Arbeiten von
HAAR
HAAR
sind orthogonalen Funktionensy-
stemen, partiellen Differentialgleichungen, Variationsrechnung, Approximationstheorie und topologischen Gruppen gewidmet. In der Theorie der orthogonalen Funktionensysteme spielt das Haarsehe Orthonormalsystem eine ausgezeichnete Rolle. Die Variationsrechnung verdankt HAAR das Haarsche Lemma, welches er zur Lösung des Plateauschen Problems der Theorie der Minimalflächen einsetzt. In der Approximationstheorie garantiert die Haarsehe Bedingung die Existenz und Eindeutigkeit bester approximierender Polynome. Die Haarschen Arbeiten
über topologische Gruppen beschäftigen sich hauptsächlich mit der Theorie der Charaktere endlicher und unendlicher Gruppen. Die wohl originellste mathematische Leistung von HAAR ist sein Beweis der Existenz des Haarsehen Maßes, das ein schlagkräftiges Hilfsmittel zur Untersuchung lokal-kompakter Hausdorffscher topologischer Gruppen bildet und eine Ausdehnung der Fourier-Analysis auf beliebige lokal-kompakte abelsche Gruppen ermöglicht (abstrakte harmonische Analyse). Im Nachruf der Redaktion der Acta Sei. M ath. heißt es: "Er beabsichtigte vor kurzem, jene Methoden, die er in den letzten Jahren über Gruppencharaktere und ... den Maßbegriff auf Gruppenmannigfaltigkeiten entwickelt hat, auf verschiedene Fragen der Algebra, Topologie, Analysis und Zahlentheorie anzuwenden." -
HAAR
starb am
16. März 1933 inmitten einer produktiven Schaffensphase an einem Krebsleiden. Aufgaben. Im folgenden seien stets G eine lokal-kompakte Hausdorffsche topologische Gruppe, I ein linkes Haar-Integral auf G, J-l das zugehörige Haar-Maß und ß die modulare Funktion von G, soweit nichts anderes gesagt wird. 3.1. Es seien A, B E Q3(G) und J-l(A)
= J-l(B) = o. Ist dann J-l(AB) = O?
3.2. Für ep E C+(G) ist I
3.4. Es sei H
c
SL (3, lR) die multiplikative Gruppe der Matrizen
A =(~1 x~ yZl)
(x, y, Z E lR) .
Beschreibt man die Elemente A E H durch die entsprechenden Vektoren (x, y, z) E lR3 , so erhält man eine multiplikative Gruppe G mit der Multiplikation (x, y, z)(u, v, w) = (x+u, y+ v, xv + z + w), und l(f) := Je f dß3 (f E Cc(G)) ist ein linkes Haar-Integral auf G. Ist I auch rechtsinvariant? 3.5. Es sei G
c
GL (n, lR) die Gruppe der oberen Dreiecksmatrizen
xn
x=
o o o
XI2
XI3
X22
X23
0
X33
o
o
§ 3. Das Haarsehe Maß
377
Faßt man G als offene Teilmenge des
ffi.n{n+1)/2
auf, so ist
ein linkes und
1r (f) ==
r
Je
2
f
(X)
IXl1X22 •••••
n dßn{n+1)/2(X) xnnl
(f E Cc(G))
ein rechtes Haar-Integral auf G. Welches ist die modulare Funktion von G? 3.6. Die Elemente 9 E SO(3) lassen sich (bis auf eine Nullmenge) mit Hilfe der Eulerschen Winkel parametrisieren in der Form
wobei
gtp ==
cos rp sinrp
(
o
- sin rp cosrp 0
0) (1 0 , h7j; == 0 1 0
0 cos'ljJ sin 'ljJ
Dann ist 1
r Jar Jar 27r
7r
27r
l(f) == 81r 2 Ja
f(gtph7j;gß)sin'ljJdrpd'ljJdr{}
(f E C(SO(3)))
das durch 1(1) == 1 normierte Haar-Integral auf SO(3) (M.A. NEUMARK: Lineare Darstellungen der Lorentzgruppe. Berlin: Deutscher Verlag der Wissenschaften 1963, S. 22 ff. oder SCHEMPP-DRESELER [1], S. 170 f.).
3.7. Es sei Q; die multiplikative Gruppe QX mit der diskreten Topologie, und G :== Q; x IR sei mit der Produkttopologie und der Multiplikation (a, b)(x, y) :== (ax, ay + b) (a, x E QX ,b, y E IR) ausgestattet (vgl. Beispiel 3.14, a)). Bestimmen Sie ein linkes Haar-Integral auf Ce (G) und die modulare Funktion von G. 3.8. Bestimmen Sie ein Haar-Integral und ein Haar-Maß für die additive Gruppe IR x
wobei
~
~,
die mit der diskreten Topologie versehene Gruppe (IR, +) bezeichne.
3.9. Die Menge f :== G x IR ist bez. der Produkttopologie und der Multiplikation (x, t)(y, u) :==
(xy, t
+ ß(X)-l U )
(x, Y E G, t, U E IR) eine lokal-kompakte Hausdorffsche topologische Grup-
pe. Bestimmen Sie ein linkes Haar-Integral auf Cc(f) und zeigen Sie: fist unimodular; G ist isomorph zu einer abgeschlossenen Untergruppe von f. Ändert man jedoch die Multiplikation in f, indem man ß
-1
durch ß ersetzt, so ist die neue Gruppe nicht unimodular, falls G nicht
unimodular ist. 3.10. Es seien G, H lokal-kompakte Hausdorffsche topologische Gruppen und J-l, v linke Haar-
Maße auf G bzw. H. Dann ist das im Sinne von Aufgabe 2.13 gebildete Radon-Maß J-l0 v ein linkes Haar-Maß auf G x H. Wie läßt sich die modulare Funktion von G x H durch die modularen Funktionen von G und Hausdrücken? 3.11. a) Existiert eine kompakte Umgebung V von e, die unter allen inneren Automorphismen x t---+ axa- 1 (a E G) von G invariant ist, so ist G unimodular.
b) Gibt es einen kompakten und offenen Normalteiler in G, so ist G unimodular. 3.12. G ist unimodular genau dann, wenn 1==1*. 3.13. Die Gruppe G aus Beispiel 3.14, a) hat folgende Eigenschaft: Es gibt eine Borel-Menge
VIII. Maße auf topologischen Räumen
378
von endlichem linkem Haar-Maß, welche unendliches rechtes Haar-Maß hat. 3.14. Es seien H eine lokal-kompakte Hausdorffsche topologische Gruppe und <.p : G ----+ Hein topologischer Isomorphismus. a) Iep : Cc(H) ----+ lI{,Iep(g) :== I(go<.p) (g E Cc(H)) ist ein linkes Haar-Integral auf Cc(H) mit zugehörigem linkem Haar-Maß J.Lep == <.p(J.L). Für die modulare Funktion ßH von H gilt: ßH == ß 0 <.p-l. Im Spezialfall <.p : G ----+ G opp , <.p(x) :== X-I (x E G) erhält man Satz 3.13. b) Ist insbesondere G == H, so gibt es ein m(<.p) > 0, so daß Iep == m(<.p)I,J.Lep == m(<.p)j.l, und es gilt: ß o<.p == ß. Bezeichnet r die Gruppe der topologischen Automorphismen <.p : G ----+ G, so ist m : r ----+]0, oo[ ein Homomorphismus. Ist G kompakt oder diskret, so ist m == 1. c) Bezeichnet <.pa : G ----+ G, <.pa (x) :== a-1xa (x E G) den zu a EGgehörigen inneren Automorphismus, so ist m(<.pa) == ß(a). d) Im Falle G == (mF, +) ist m(<.p) == I det <.pl-l für alle <.p E GL (JRP). 3.15. Jeder stetige Homomorphismus h : SL (2, m.) ----+]O,oo[ ist konstant gleich 1. Insbesondere ist SL (2, m.) unimodular. (Hinweise: Nach Beispiel 3.27 hat jedes M E SL (2, m.) eine Darstellung der Form M = U",D>.K", mit U", =
(~~),D>.
=
(A~2 A-~/2) ,K",
=
C?s<.p - sin<.p ) (a E m.,'x > 0, <.p E m.). Zunächst ist h(Kep) == 1 (<.p E m.). Weiter ist ( SIn<.p cos <.p Ua+ß == UaUß' also gibt es ein a > 0 mit h(Ua ) == aa. Wegen D)..UaD)..-l == Ua ).. ist a == 1. Analog gibt es wegen D)..DJ.L == D)..J.L('x, J.L > 0) ein b E m. mit h(D)..) == ,Xb(,X > 0), und wegen TD>.T- 1 = D>.-l (T:=
§ 4.
(~ ~1)) ist b =
0.)
Schwache Konvergenz und schwache Kornpaktheit "... we show how a distance L(J.LI, J.L2) can be introduced between two measures J.LI and J.L2 ... such that convergence in the sense of this distance is equivalent to weak convergence. The set of finite measures in 9l together with the distance L constitutes a complete separable metric space :D(91) ... For the compactness of the set 91 C :D(91) it is necessary and sufficient that the following two conditions should be simultaneously fulfilled: 1. sUPJ.LE'J1 J.L(91) < 00. 2. For any c > 0 there exists a compact K e such that for every measure J.L E 91
J.L(91- K e )
:::;
c ."
(Yu.V.
PROKHOROV 2 ,
S. 158)
Im folgenden untersuchen wir die Konvergenz von Folgen und die Kompaktheit von Mengen von endlichen Maßen auf topologischen Räumen. Dieses Thema ist außerordentlich vielschichtig: Man kann an den zugrundeliegenden topologisehen Raum verschiedenartige Forderungen stellen, unterschiedliche a-Algebren bieten sich als Definitionsbereiche für die betrachteten Maße an, verschiedene Klassen stetiger Funktionen können als Testfunktionen dienen, und verschiedene Regularitätsbegriffe kommen in Betracht. Das ergibt eine reiche Palette
§ 4. Schwache Konvergenz und schwache Kompaktheit
379
fein abgestuften Sätzen, die wir hier nur beispielhaft behandeln können, über die aber BOGACHEV [1], [2] ausführlich berichtet. Um einige zentrale Sätze möglichst einprägsam aussprechen zu können, verabreden wir - soweit nicht ausdrücklich etwas anderes gesagt wird - für den ganzen § 4 folgende Voraussetzungen und Bezeichnungen: Es seien (X, d) ein metrischer Raum und ~ = ~(X) die a-Algebra der BoreIschen Teilmengen von X. Ferner seien C(X) der Raum der stetigen Funktionen 1 : X ~ lK, Cb(X) der Raum der beschränkten Funktionen aus C(X) und Cc(X) der Raum der stetigen Funktionen 1 : X ~ lK mit kompaktem Träger. Für 1 E Cb(X) sei 11/1100 := sup{l/(x)1 : x E X} . Mit
M+(~)
bezeichnen wir die Menge der
end I ich e n
Maße J-l : ~
~
[0,00[, und für J-l E M+(~) sei 11J-l11:= J-l(X). Fundamental ist im folgenden der Begriff der schwachen Konvergenz: Eine Folge von Maßen J-ln E M+(~) heißt schwach konvergent gegen J-l E M+(~), wenn für alle 1 E Cb(X) gilt:
r
lim f dJLn = n~ooJx
Jxrf dJL .
Im Portmanteau- Theorem wird dieser Begriff charakterisiert mit Hilfe des Konvergenzverhaltens der Folgen (J-ln(M))n?l (M c X abgeschlossen bzw. offen bzw. Borelsch). Die schwache Konvergenz von Folgen von endlichen Maßen auf lR läßt sich über das Konvergenzverhalten der entsprechenden Folgen von Verteilungsfunktionen charakterisieren und führt zum klassischen Konvergenzsatz von HELLy-BRAY. Der berühmte Auswahlsatz von HELLY wirft allgemein die Frage auf, unter welchen Bedingungen eine Folge oder Menge von Maßen aus M+(~) eine schwach konvergente Teilfolge hat (Analogon des Satzes von BOLZANOWEIERSTRASS). Für polnische Räume X gibt der Satz von PROCHOROV hierauf eine abschließende Antwort: Eine Menge M c M+(~) ist relativ folgenkompakt genau dann, wenn sie straff und beschränkt ist. Die Prochorov-Metrik ermöglicht es schließlich, die schwache Konvergenz auch als Konvergenz bezüglich einer Metrik auf M+(~) aufzufassen. Ist X ein polnischer Raum, so ist M+(~) bezüglich der Prochorov-Metrik ein polnischer Raum. 1. Eine Regularitätseigenschaft endlicher Maße auf metrischen Räumen. 4.1 Satz. Ist J-l ein endliches Maß auf ~ (X metrischer Raum), so ist jedes B E ~ in folgendem Sinne abgeschlossen-regulär: Zu jedem c > 0 gibt es eine offene Menge U ~ B und eine abgeschlossene Menge A c B mit J-l(U \ A) < c. Beweis. Analog zum Beweis des Regularitätslemmas 1.4 betrachten wir das System 9t aller abgeschlossen-regulären Borel-Mengen B c X und zeigen zunächst:
VIII. Maße auf topologischen Räumen
380
9\ ist eine a-Algebra: Offenbar ist 0 E 9\. Sind nun B E ~,c > 0 und U :=) B :=) A, U offen, A abgeschlossen, f.-l(U \ A) < c, so gilt UC c BC c Ac, UC ist abgeschlossen, Ac offen, U \ A = Ac \ UC, also f.-l(AC \ UC) < c. Daher ist 9\ abgeschlossen bez. der Komplementbildung. Sind weiter (Bn)n>1 eine Folge von Mengen aus 9\ und c > 0, so gibt es zu jedem n E N ein offenes Un :=) B n und ein abgeschlossenes An C B n mit f.-l(Un \ An) < c2- n - 1. Dann ist U := U::1 Un eine offene Obermenge von B := U~=1 B n, C := U~=1 An ist eine Fa- Teilmenge von B, und es gilt f.-l(U \ C) < c/2. Da f.-l endlich ist, gibt es ein N E N, so daß für die abgeschlossene Menge A := U~=1 An gilt f.-l( C \ A) < c/2, und es folgt: f.-l(U \ A) < c. Daher ist B E 9\, und 9\ ist als a-Algebra erkannt. Zum Abschluß des Beweises zeigen wir: 9\ enthält alle offenen Teilmengen von X: Ist G C X offen, so ist G eine Fa-Menge (Aufgabe 1.6.1), d.h. es gibt eine wachsende Folge abgeschlossener Mengen Fn C X (n E N) mit F n i G. Ist weiter c > 0, so gibt es wegen der Endlichkeit von f.-l ein N E N mit f.-l( G \ FN ) < c, und U := G, A := F N leisten das Gewünschte. D
4.2 Definition. Ein Maß f.-l E M+(~) heißt straff (engl. tight), wenn zu jedem c > 0 ein Kompaktum K C X existiert mit f.-l(KC) < c. 4.3 Korollar. Ist in der Situation des Satzes regulär, d.h. f.-l ist ein Radon-Maß·
4.1
das Maß f.-l straff, so ist f.-l
Beweis. Es seien B E ~ und c > O. Dann gibt es ein offenes U :=) B und ein abgeschlossenes A C B mit f.-l(U \ A) < c/2, und nach Voraussetzung gibt es ein Kompaktum K C X mit f.-l(KC) < c/2. Daher ist f.-l(U \ (A n K)) < c. D
Ist nun X sogar ein polnischer Raum (d.h. ein vollständig metrisierbarer Raum mit abzählbarer Basis, s. Anhang A.22), so haben wir im ersten Beweisschritt des Satzes 1.16 von ULAM gerade gezeigt, daß jedes f.-l E M+(~) straff ist. Zusammen mit diesem wichtigen Beweisschritt, den wir im folgenden noch zweimal benutzen werden, liefern die obigen Argumente für endliche Maße auf polnischen Räumen gerade die Regularitätsaussage des Satzes von Ulam.
2. Schwache und vage Konvergenz von Folgen von Maßen. Es seien f.-l, f.-ln(n E N) endliche Maße auf der a-Algebra 2( über der Menge X. Wollen wir den Begriff der Konvergenz "f.-ln ---+ f.-l" definieren, so drängt sich zunächst der folgende Versuch einer Definition auf: (f.-ln)n~1 konvergiert gegen f.-l, wenn für alle A E 2( gilt:
(4.1)
lim f.-ln(A) n~oo
= f.-l(A) .
Dieser Versuch ist aber zu verwerfen, denn dieser Konvergenzbegriff ist für viele Zwecke (namentlich in der Wahrscheinlichkeitstheorie) zu restriktiv, wie das folgende Beispiel zeigt.
4.4 Beispiel. Auf (IR, 23 1 ) betrachten wir die Maße Mn(B) := XB (~) ,f.-l(B) := XB(O) (B E ~1, n E N). Intuitiv erscheint es als durchaus naheliegend, daß die Folge der Massenverteilungen f.-ln, bei welchen eine Einheitsmasse im Punkt ~
§ 4. Schwache Konvergenz und schwache Kompaktheit
381
plaziert ist, für n ---+ 00 gegen die Massenverteilung /-L mit der Einheitsmasse im Nullpunkt konvergiert. Diese intuitive Vorstellung widerspricht aber (4.1), denn für A =] - 00,0], A = {O}, A =]0, oo[ ist (4.1) offenbar nicht erfüllt. Betrachten wir die Massenverteilung, bei der in den Punkten kin (1 ~ k ~ n) jeweils die Masse ~ plaziert ist (d.h. /-Ln(B):= ~ E~=lXB (~) für B E ~l,n E N), so ist plausibel, daß (/-Ln)n?l gegen X[O,l] 8 ßl konvergiert. Es ist aber z.B. /-Ln([O, 1] \ Q) = 0, während ßl([O, 1] \ Q) = 1 ist, so daß auch hier die Bedingung (4.1) verletzt ist. Um zu einer geeigneten Abschwächung von (4.1) zu gelangen, die den intuitiven Vorstellungen des Beispiels 4.4 gerecht wird, beachten wir: (4.1) ist äquivalent zu der Forderung: Für jedes f E ,COO(X, 2t, /-L) gilt
lim { I dp,n = { I dp, . n--+ooJx Jx
(4.2)
(Der Beweis der Implikation ,,(4.1) => (4.2)" genügt für den Fall f 2: 0, und dann liefert eine Approximation durch 'freppenfunktionen das Gewünschte.) Wenn wir nun im Falle eines topologischen Raums X die Bedingung (4.2) nur für spezielle Klassen stetiger Funktionen fordern, so erhalten wir als interessante Konvergenzbegriffe die schwache Konvergenz und die vage Konvergenz.
4.5 Definition. Es seien X ein metrischer Raum und /-Ln, /-L E M+(~) (n E N). Dann heißt (/-Ln)n?l schwach konvergent gegen /J, wenn für alle f E Cb(X) gilt lim { I dp,n = ( I dp, ; n--+ooJx Jx
(4.3) Schreibweise: /-Ln ~ /J.
Der Buchstabe" w" bedeutet hier "weakly". - Offenbar existieren die Integrale unter (4.3), denn die Integranden sind meßbar und beschränkt, und die Maße sind alle endlich. Die in Beispiel 4.4 angegebenen Folgen (/-Ln)n?l konvergieren schwach gegen das jeweilige /-L. Unter den Gegebenheiten der Definition 4.5 betrachten wir das signierte Maß /-Ln - /-L, bezeichnen seine Variation mit I/-Ln -/JI (s. Abschnitt VII.1.3) und seine
Totalvariation mit
II/Jn - /JII =
/-LI (X)
I/-Ln -
(s. Abschnitt VII.1.5). Dann gilt nach Aufgabe VII.2.12 für alle
I
L L I dp,n -
I dp,1 <
L1II
dlP,n -
f
E
Cb(X)
p,1
< Ilfllooll/-Ln - /-LII , d.h.: Aus der "starken Konvergenz" che Konvergenz" /-Ln ~ /J.
II/-Ln - /-LII
---+
° (n
---+
(0) folgt die "schwa-
VIII. Maße auf topologischen Räumen
382
Zur schwachen Konvergenz von Folgen endlicher Maße gehört eine natürliche Topologie auf M+(~), die sog. schwache Topologie. Diese wird definiert als die gröbste Topologie auf M+(~), bezüglich welcher alle Abbildungen
stetig sind. Eine Umgebungsbasis von JLo E M+(~) bez. der schwachen Topologie wird gebildet vom System aller Mengen Uj1, ...,fn;c(JLO) := {JL E M+(~) : I fj dJL - fj dJLol < € für alle j = 1, ... ,n}, wobei f1, ... ,fn E Cb(X), n E N, € > O. Die schwache Topologie ist Hausdorffsch, denn nach dem folgenden Satz 4.6 gibt es zu verschiedenen Maßen JL, v E M+(~) ein f E Cb(X) mit € = f dJL f dvl > 0, und dann ist Uj;c(JL) n Uj;c(v) = 0. Insbesondere ist der Limes einer schwach konvergenten Folge endlicher Maße eindeutig bestimmt.
Ix
Ix
!I Ix
Ix
4.6 Satz. Sind JL, v zwei endliche Borel-Maße auf dem metrischen Raum X, so
daß
lld/l= lldV für alle f E Cb(X), so gilt JL = v. Beweis. Für
0 =1= A c X
und x E X bezeichnen wir mit
d(x,A):= inf{d(x,y): y E A} den Abstand des Punktes x von A. -
Es seien nun U C X offen, n E N und
fn(x) := min(l, nd(x, U
C ))
(x E X) ,
falls U =1= X, und fn := 1, falls U = X. Dann ist fn E Cb(X), und es gilt fn i Xu, also (monotone Konvergenz)
/l(U) = lim
n-HX>
r
JX In d/l =
lim n---+oo
r
JX In dl/ = I/(U) .
Daher stimmen JL und v auf allen offenen Teilmengen von X überein, also auch auf allen abgeschlossenen Mengen, denn JL und v sind endlich und JL(X) = v(X). Nach Satz 4.1 folgt nun die Behauptung. 0 Für lokal-kompakte Hausdorff-Räume X bietet sich folgende Variante der Definition 4.5 an:
4.7 Definition. Sind X ein lokal-kompakter Hausdorff-Raum und JL, JLn(n E N) Radon-Maße auf ~(X), so heißt (JLn)n~l vage konvergent gegen JL, wenn für alle f E Cc(X) gilt
r
r
lim I d/l = I d/l . n---+ooJx Jx n
§ 4. Schwache Konvergenz und schwache Kompaktheit
383
Dieser Begriff wird von BOURBAKI [1] und BAUER [1]' [2] eingehend untersucht. Die vage Konvergenz wird beschrieben durch die vage Topologie auf der Menge der Radon-Maße; dieses ist die gröbste Topologie, bez. welcher alle Abbildungen /L
f------t
L
f d/L
(j E Cc(X))
stetig sind. Eine Umgebungsbasis des Radon-Maßes J-Lo bez. der vagen Topologie wird gebildet vom System aller Mengen von Radon-Maßen J-L mit
L LIi
I Ii d/L -
d/LOI < c
für alle j
= 1, ... , n ,
wobei 11, ... , In E Cc(X), n E N, c > O. - Nach dem Darstellungssatz 2.5 von F. RIESZ ist der Limes einer vage konvergenten Folge von Radon-Maßen eindeutig bestimmt. Zwischen vager und schwacher Konvergenz von Folgen endlicher Maße besteht z.B. im Falle (X, ~) == (lR, ~1) ein wesentlicher Unterschied: Gilt J-Ln ~ J-L, so kann man in (4.3) f == 1 wählen und erhält: J-Ln(X) -+ J-L(X) (n -+ (0), d.h. "es geht keine Masse verloren". Wählen wir dagegen J-Ln(B) :== XB(n) (B E ~1, n E N), so konvergiert die Folge (J-Ln)n2::1 vage gegen J-L == 0, aber es ist J-Ln (lR) == 1 (n E N), während J-L(lR) == 0 ist, d.h. in diesem Beispiel "geht bei der vagen Konvergenz von (J-Ln)n2::1 gegen J-L sämtliche Masse verloren". Im folgenden werden wir uns bevorzugt mit schwacher Konvergenz von endlichen Maßen auf metrischen Räumen beschäftigen; die vage Konvergenz kommt namentlich in Abschnitt 4 zum Zuge. Der Begriff der schwachen Konvergenz hängt folgendermaßen mit den in Kapitel VI studierten Konvergenzbegriffen zusammen: 4.8 Satz. Es seien (Y,
(4.4)
Insbesondere gilt (4.4), falls fn -+ f v-f.ü. Dieser Satz gilt sinngemäß auch für meßbare Funktionen In, f : Y -+ X mit Werten in einem separablen (!) metrischen Raum. Zum Beweis verwendet man Aufgabe VI.4.5 zusammen mit der Schlußweise des folgenden Beweises (s. Aufgabe 4.1).
Beweis von Satz 4.8. Es seien g E Cb(lR) und (fnk)k>l eine Teilfolge von (fn)n>l. Nach Satz VI.4.13 gibt es eine Teilfolge (fnk 1 )l>l, die v-f.ü. gegen f konvergie~t. Nun konvergiert (gofnk 1 )l>l v-f.ü. gegen gof, 9 ist beschränkt, und v ist endlich. Daher liefert der Satz von der majorisierten Konvergenz zusammen mit der allgemeinen Transformationsformel V.3.1 für l -+ 00:
ig
d/Lnkz
=
i
[gO fnkz dv ---+ [gO f dv = gd/L ,
VIII. Maße auf topologischen Räumen
384
d.h. J-1 nk l ~ J-1. Wir haben damit gezeigt: Jede Teilfolge von (J-1n)n?.1 hat eine schwach gegen J-1 konvergente Teilfolge. Hieraus folgt aber die schwache Konvergenz J-1n ~ J-1, denn wäre (J-1n)n21 nicht schwach konvergent gegen J-1, so gäbe es ein g E Cb(JR) , ein c > 0 und eine Teilfolge (J-1 nk)k21 von J-1, so daß (4.5) für alle k E N. Nach dem oben Bewiesenen hat aber (J-1 nk)k>l eine schwach gegen J-1 konvergente Teilfolge im Widerspruch zu (4.5). Es folgt: J-1n ~ J-1. Die zweite Behauptung folgt aus Satz VI.4.5. D Ist in der Situation des Satzes 4.8 das Maß v ein Wahrscheinlichkeitsmaß (d.h. v(Y) == 1), so nennt man eine meßbare Funktion f : Y ~ JR eine (reellwertige) Zufallsgröße und das Bildmaß f(v) die Verteilung von f. Statt von "Konvergenz nach Maß" spricht man dann von "Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit" und anstelle von schwacher Konvergenz spricht man von Verteilungskonvergenz. Im Sinne dieser Terminologie besagt Satz 4.8: Jede nach Wahrscheinlichkeit konvergente Folge von Zufallsgrößen ist verteilungskonvergent (mit gleichem Limes).
3. Das Portmanteau-Theorem. Es seien X ein metrischer Raum, J-1n, J-l E M+(~) (n E N), und es gelte J-1n ~ J-l. Wählen wir in (4.3) speziell f == 1, so folgt lim J-1n(X) == J-1(X) . n---+oo
Andererseits wissen wir aus Beispiel 4.4, daß die GI. limn ---+ oo J-1n(B) == J-1(B) nicht uneingeschränkt für alle Borel-Mengen B c X richtig sein kann. Die genauere Analyse lehrt, daß hier das Verhalten von J-l auf dem Rande von B entscheidend ist.
4.9 Definition. Ist J-1 ein Borel-Maß auf dem topologischen Raum X, so heißt eine Menge B E ~(X) J-1-randlos, wenn der Rand aB :== ist.
B\ Beine J-1-Nullmenge
Das folgende sog. Portmanteau- Theorem 21 gibt nun eine Reihe von Bedingungen an, die zur schwachen Konvergenz J-1n ~ J-1 äquivalent sind. Dieses Theorem läßt sich bis in die Anfänge der topologischen Maßtheorie zurückverfolgen (s.
A.D.
ALEXANDROFF
[1]).
21 Das eng!. Wort portmanteau bezeichnet einen Lederkoffer oder Mantelsack zum Transport von Kleidung auf Reisen. Im ü"b.ertragenden Sinn bedeutet Portmanteau- Theorem hier einen Satz, der Hilfsmittel enthält, die man zum Weiterkommen braucht. - In der zweiten Aufl. des Klassikers BILLINGSLEY [2J wird in diesem Zusammenhang eine berüchtigte Arbeit von JEANPIERRE PORTMANTEAU zitiert. Neuere historische Forschungen sollen ergeben haben, daß es sich hierbei um einen Abkömmling des weit verzweigten frz. Adelshauses der Portemanteau de Bourbaki handelt. Allerdings besteht noch Unklarheit in bezug auf den Vornamen; es könnte sich durchaus auch um Jean oder Andre oder Henri handeln; auch Nicolas scheint den Satz zu kennen.
§ 4. Schwache Konvergenz und schwache Kompaktheit
385
4.10 Portmanteau-Theorem. Es seien X ein metrischer Raum und Mn, M E M+(93) (n E N). Dann sind folgende Aussagen äquivalent: a) Mn ~ M· b) Für jede gleichmäßig stetige, beschränkte Funktion f : X ~ JR gilt lim n-7OO }
rf
dfLn
X
rf
=
dfL .
} X
c) Es ist limn -7oo Mn(X) == M(X), und für jede abgeschlossene Menge A c X gilt lim Mn(A) ::; M(A) . n-7OO
d) Es ist limn -7oo Mn(X) == M(X), und für jede offene Menge U
c X gilt
lim Mn(U) 2: M(U) . n-700
e) Für jede M-randlose Borel-Menge B c X gilt lim Mn(B) == M(B) .
n-7OO
Beweis. a) =:} b): trivial. b) =:} c): Wählt man in b) f == 1, so folgt zunächst: Mn(X) ~ M(X). Sei A c X abgeschlossen: Für A == f/J ist nichts zu tun. Sei A #- f/J und c > O. Die Menge
Um
:=
{X EX: d(x, A) < ~}
(m
E
N)
ist eine offene Obermenge von A und Um t A, denn A ist abgeschlossen. Wir wählen k E N so groß, daß M(Uk ) < M(A) + c. Die Funktion f : X ~ JR, f(x) :== max(l - kd(x, A), 0) (x E X) ist offenbar beschränkt und gleichmäßig stetig, denn für alle x, y E X ist Id(x, A) - d(y, A)I ::; d(x, y). Nach Voraussetzung gilt daher lim n-7OO }
und wegen XA ::;
f ::;
rf X
rf
dfLn
=
Um
rf
}
x
dfL ,
XUk resultiert
lim fLn(A)
:s;
n-7OO
n-7OO }
X
dfLn
::; M(Uk )::; M(A)
=
rf
} X
dfL
+c .
Da dies für alle c > 0 gilt, folgt Aussage c). c) {==::} d): klar (Komplementbildung). d) =:} e): Mit d) gilt auch c). Sei B E 93, M(ßB) == O. Dann ist M(B) == M(B) == M(B), also folgt aus d) und c):
M(B)
M(B)
<
lim Mn(B) n-700
und Aussage e) ist bewiesen.
<
lim Mn(B) n-700
386
VIII. Maße auf topologischen Räumen
e) =? a): Nach e) gilt zunächst Mn(X) ~ M(X), denn öX == 0; insbesondere ist die Folge (Mn (X) )n2:1 beschränkt. Wegen der Linearität des Integrals und Mn(X) ~ M(X) können wir zum Beweis von a) gleich annehmen: f E Cb(X), 0 < f < M (M > 0). Nach Aufgabe V.1.12 ist dann
1
M
Ix f dp, =
p,({f > t}) dt ,
und Entsprechendes gilt für Mn statt M. Wegen der Stetigkeit von f ist 22 ö{f > t} C {f == t}, und zufolge der Endlichkeit von Mgibt es eine abzählbare Menge C C lR, so daß M( {f == t}) == 0 für alle t E lR \ C. Daher ist {f > t} für alle t E lR \ C eine M-randlose Menge, und nach e) folgt mit Hilfe des Satzes von der majorisierten Konvergenz für n ~ 00
1
M
IxfdP,n =
P,n({f > t})dt
1 M
-+
p,({f > t}) dt = Ix f dp, . o
Im Portmanteau-Theorem ist unter c) und d) die Bedingung "Mn(X) ~ M(X)" nicht entbehrlich, denn die übrigen Bedingungen unter c) bleiben z.B. richtig, wenn man unter die Folge (Mn)n>l unendlich oft das Maß 0 "mischt", aber dabei bleibt a) nicht notwendig richtig. - Die Aufgaben 4.6, 4.7 enthalten Ergänzungen zum Portmanteau-Theorem.
4. Schwache Konvergenz von Verteilungsfunktionen und die Sätze von HELLy-BRAY und HELLY. Jedem Wahrscheinlichkeitsmaß M: ~1 ~ [0,1] haben wir in Abschnitt 11.5.3 seine Verteilungsfunktion F : lR ~ lR, (4.6)
F(x)
:==
M(] - 00, xJ)
(x
E
lR)
zugeordnet. Allgemeiner definieren wir jetzt für jedes endliche Maß M : ~1 ~ [0, oo[ eine Verteilungsfunktion F vermöge (4.6), und wir nennen auch alle Funktionen F + c (c E lR) Verteilungsfunktionen von M(vgl. Korollar 11.2.3). Ohne apriori ein Maß vorgegeben zu haben, verstehen wir im folgenden unter einer Verteilungsfunktion jede wachsende, rechtsseitig stetige, beschränkte Funktion F : lR ~ lR; jedes solche F definiert vermöge
M(]a, bJ) :== F(b) - F(a)
(a < b)
ein endliches Maß M : ~1 ~ [0,00[. Ist Feine Verteilungsfunktion, so setzen wir (4.7)
IIFII :== lim (F(x) - F( -x)) . X-tOO
22Die Inklusion kann echt sein (z.B. im Fall eines diskreten Raums).
§ 4. Schwache Konvergenz und schwache Kompaktheit
387
Wie in Abschnitt 11.2.2 nennen wir zwei Verteilungsfunktionen F, G : JR ~ JR äquivalent, wenn F - G konstant ist, und bezeichnen mit [F] die Äquivalenzklasse von F. Dann gilt wie in Abschnitt 11.5.3: Die Zuordnung J-L f-+ [F] definiert eine Bijektion zwischen der Menge der endlichen Maße auf ~1 und der Menge der Äquivalenzklassen von Verteilungsfunktionen F : JR ~ JR; dabei gilt (4.8)
IIJ-LII == IIFII .
4.11 Definition. Die Folge der Verteilungsfunktionen F n : JR ~ JR (n E N) heißt vage konvergent gegen die Verteilungsfunktion F : JR ~ JR, falls für alle Stetigkeitspunkte x E JR von F gilt: lim Fn(x) == F(x) . n---+oo Gilt zusätzlich IIFnl1 ~ IIFII (n ~ (0), so heißt (Fn )n>l schwach konvergent gegen F; Schreibweise: Fn ~ F. -
Der Limes jeder vage konvergenten Folge (Fn )n21 von Verteilungsfunktionen ist eindeutig bestimmt: Sind nämlich F, G Verteilungsfunktionen und konvergiert (Fn )n2 1 vage gegen F und gegen G, so ist F(x) == G(x) für alle x E JR, in denen Fund G beide stetig sind. Da Fund G als monotone Funktionen je höchstens abzählbar viele Unstetigkeitsstellen haben, ist die Menge der gemeinsamen Stetigkeitspunkte von Fund G dicht in JR, und die rechtsseitige Stetigkeit von Fund G impliziert F == G. Aus der vagen Konvergenz der Verteilungsfunktionen Fn gegen die Verteilungsfunktion F folgt nicht notwendig IIFnl1 ~ IIFII: Ist z.B. F o irgendeine nicht konstante Verteilungsfunktion und Fn(x) :== Fo(x + n) (x E JR,n E N), so konvergiert (Fn )n21 vage gegen die konstante Verteilungsfunktion F :== limt---+oo Fo(t), aber es ist IIFnll == IIFol1 > 0 und IIFII == O. Bei der vagen Konvergenz von Verteilungsfunktionen kann also (ähnlich wie bei der vagen Konvergenz von Maßen) "Masse verlorengehen" .
4.12 Satz. Es seien J-Ln (n E N), J-L endliche Maße auf ~1 mit zugehörigen Verteilungsfunktionen Fn , F : JR ~ JR. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: a) J-Ln ~ J-L. b) Mit geeigneten Konstanten Cn E JR (n E N) gilt Fn - Cn ~ F (n ~ (0). Beweis. a) =} b): Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir annehmen, daß Fn,F gemäß (4.6) festgelegt sind. Aus J-Ln ~ J-L folgt zunächst IIJ-Lnll ~ IIJ-LII, und mit (4.8) ergibt sich IIFnl1 ~ IIFII· Aus J-Ln ~ J-L folgt ferner die vage Konvergenz von (Fn )n2 1 gegen F mit Hilfe der Implikation "a) =} e)" des Portmanteau-Theorems. Dabei ist zu beachten, daß das Intervall] - 00, x] genau dann J-L-randlos ist, wenn x ein Stetigkeitspunkt von F ist, denn nach Beispiel 11.4.7 ist J-L( {x}) == F(x) - F(x - 0). b) =} a): Wir zeigen, daß Aussage d) des Portmanteau-Theorems erfüllt ist. Zunächst gilt: J-Ln(X) == IIFnll ~ IIFII == J-L(X). Sei ferner U c JR offen. Ist
388
VIII. Maße auf topologischen Räumen
U == 0, so ist nichts zu tun; sei U #- 0 und c > o. Dann ist U eine abzählbare Vereinigung disjunkter, nicht-leerer, offener Intervalle I j C IR (j ~ 1), und es gibt ein N E N mit
Zu jedem j == 1, ... , N können wir ein Intervall der Form ]aj, bj ] C I j wählen mit
JL(]aj, bj ]) > JL( I j ) - E2- j -
1
(aj < bj )
.
(Das folgt aus der Beziehung JL(]a, ß[) == F(ß - 0) - F( a) (s. Beispiel 11.4.7) und der rechtsseitigen Stetigkeit von F.) Dabei können wir zusätzlich die aj, bj (j == 1, ... ,N) als Stetigkeitspunkte von F wählen. Dann folgt:
N
N
lim "(Fn(bj ) - Fn(aj)) == L(F(bj ) - F(aj))
n-.+oo
L....J j=l
j=l
d.h. es ist limn-.+ooJLn(U) ~ JL(U). Die Implikation "d) Theorems ergibt nun die Behauptung.
=}
a)" des Portmanteau0
4.13 Satz von HELLy-BRAY. Konvergiert die Folge der Verteilungsfunktionen F n : IR ~ IR schwach gegen die Verteilungsfunktion F : IR ~ IR, so gilt für jedes g E
Cb(IR):
r
r
!im gdFn == gdF . n-.+oo}m:. }m:.
Beweis. Nach Satz 4.12 konvergiert die Folge der endlichen Maße JLn : ~l ~ [0,00[, die den F n entsprechen, schwach gegen das endliche Maß JL : ~l ~ [0,00[, das zu F gehört. 0 4.14 Satz von HELLy-BRAY. Konvergiert die Folge der Verteilungsfunktionen Fn : IR ~ IR vage gegen die Verteilungsfunktion F : IR ~ IR, so gilt für jedes g E Cc(IR):
r
r
lim gdFn == gdF . n-.+oo}m:. }m:.
Beweis. Es sei g
E
Cc(IR). Wir wählen Stetigkeitspunkte a, b von F mit Tr g
C
§ 4. Schwache Konvergenz und schwache Kompaktheit [a
+ 1, b - 1]
389
und setzen für x E IR, n E N:
Fn(a) für x 5: a , Fn(x) für a5:x5:b, Fn(b) für x ? b , F(a) für x 5: a , F(x) für a5:x5:b, F(b) für x ? b .
{ {
Gn(x) .-
G(x)
-
Dann sind Gn , G Verteilungsfunktionen mit Gn 0 G, denn für alle Stetigkeitspunkte x E IR von G gilt limn -+ oo Gn(x) == G(x), und zusätzlich gilt IIGn l1 == Fn(b) - Fn(a) -+ F(b) - F(a) == IIGII (n -+ (0). Nach Satz 4.13 folgt daher lim {gdG n == { gdG . Jrnz. Jrnz.
n-+oo
Wegen Tr 9
C
[a + 1, b - 1] ist aber
1
=
9 dGn
1
9 dFn ,
1 1 9 dG
=
9 dF ,
und es folgt die Behauptung.
D
4.15 Satz. Sind F, Fn : IR -+ IR
(n E N) Verteilungsfunktionen, so sind folgende Aussagen äquivalent: a) Es gibt Konstanten Cn E IR, so daß (Fn - Cn )n>l vage gegen F konvergiert. b) Für jedes 9 E Cc(IR) gilt lim n-+oo
r
Jrnz.
9 dFn
=
r
Jrnz.
9 dF .
Beweis. a) =} b): Satz 4.14 von HELLy-BRAY. b) =} a): Es seien a, b E IR Stetigkeitspunkte von F, a < b, E > 0, a + E < b - E, und E sei so gewählt, daß auch a ± E, b ± E Stetigkeitspunkte sind von F. Ferner sei g€ E Cc(IR) definiert durch
g€ ( X )
.== .
0 für x ~ [a, b] , E-1 (x - a) für a 5: x 5: a + E , 1 fu··r a+E_x_ < < b -E, { E-1 (b - x) für b - E 5: x 5: b .
Dann ist wegen Voraussetzung b) F(b - s) - F(a
= lim n-+oo
+ s) ::;
1
g,dF
lim (Fn(b) Jrg,dFn ::; n-+oo rnz.
Fn(a)) .
VIII. Maße auf topologischen Räumen
390
Läßt man hier c eine Nullfolge von Werten Ck durchlaufen, so daß alle Punkte + Ck, b - Ck Stetigkeitspunkte sind von F, so erhalten wir
a
F(b) - F(a) ~ lim (Fn(b) - Fn(a)) . n---+oo
Wenden wir die gleiche Schlußweise an auf die Funktion he E Cc(IR),
h ( ). == e X
•
0 - (a - c)) 1 c- 1(b + C - x)
C-1 (x
{
für für für für
x tf- [a - c, b + c] , a- C~ x ~ a, a ~ x ~ b, b ~ x ~ b+ C ,
so folgt
= ~ hedF < F(b + E) - F(a - E) , also: lim (Fn(b) - Fn(a)) ~ F(b) - F(a) .
n---+oo
Damit haben wir gezeigt: Für alle Stetigkeitspunkte a, b E IR von F gilt lim (Fn(b) - Fn(a)) == F(b) - F(a) .
n---+oo
(Hier brauchen wir die Voraussetzung a < b nicht mehr.) Wählen wir nun irgendeinen Stetigkeitspunkt ao von F und setzen Cn :== Fn(ao) - F(ao), so besagt die letzte Gleichung: Für alle Stetigkeitspunkte x E IR von F gilt lim (Fn(x) - cn ) == F(x) ,
n---+oo
und das war gerade zu zeigen.
D
Die Sätze 4.12 und 4.15 lehren, daß die schwache bzw. vage Konvergenz der (ggf. um geeignete Konstanten abgeänderten) Verteilungsfunktionen gerade der schwachen bzw. vagen Konvergenz der zugehörigen Maße entspricht. 4.16 Auswahlsatz von HELLY (1912). a) Jede gleichmäßig beschränkte Folge von Verteilungsfunktionen Fn : IR ---t IR hat eine vage konvergente Teilfolge. b) Jede beschränkte Folge (J-Ln)n?.1 von Maßen auf fJ31 hat eine vage konvergente Teilfolge.
Beweis. a) Die Folge (Fn )n?.1 heißt gleichmäßig beschränkt, wenn es ein M > 0 gibt, so daß IFn(x) I ~ M für alle x E IR, n E N. Wir beweisen die Behauptung mit Hilfe des Cantorschen Diagonalverfahrens. Dazu sei (rj)j?l eine Abzählung von Q. Die Folge (Fn (r1) )n?l ist beschränkt, hat also nach dem Satz von BOLZANO-WEIERSTRASS eine konvergente Teilfolge (F1n (r1))n?1. Nun ist die
§ 4. Schwache Konvergenz und schwache Kompaktheit
391
Folge (F1n (r2))n>1 beschränkt, hat also eine konvergente Teilfolge (F2n (r2))n>1' usw. Die k-te Thilfolge (Fkn(rk))n?) konvergiert, und da (Fkn ) eine TeilfoIge aller zuvor gewählten Teilfolgen (Fjn )n?.1 (j == 1, ... , k - 1) ist, konvergiert (Fkn (rj))n2::1 für alle j == 1, ... , k. Nehmen wir nun aus dem Schema der Fkn die "Diagonalfolge" der (Fnn )n2::1' so ist (Fnn (rj))n2::j eine Teilfolge von (Fjn (rj))n2:: 1' also konvergiert (Fnn (rj))n2::1 für jedes JEN. Wir gehen zur üblichen Notation für Teilfolgen über und stellen fest: Es gibt eine Teilfolge (Fnk )k2::1 von (Fn )n2:: 1 und eine Funktion G : Q ---+ IR, so daß für alle r E Q .
lim Fnk(r) == G(r) k-+oo
Offenbar ist die Funktion G : Q ---+ IR wachsend. Setzen wir nun für x E IR
F(x):== inf{G(r): r
E
Q,r > x},
so ist F rechtsseitig stetig, wachsend und beschränkt, d.h. F ist eine Verteilungsfunktion. Zum Abschluß des Beweises zeigen wir: (Fnk )k2::1 konvergiert vage gegen F. Dazu seien x E IR ein Stetigkeitspunkt von Fund c > O. Dann gibt es ein 8 > 0, so daß
F(x) - c < F(y)
~
F(z) < F(x)
für alle y, z mit x - 8 < Y < x < z < x y < S < x < z < t < x + 8, so daß
F(x) - c < F(y)
~
G(s)
~
+ 8.
+c
Zu y, z gibt es s, t E Q mit
G(t) < F(x)
+c
.
Wegen der Monotonie der F nk folgt hieraus:
F(x)-c <
lim Fnk (s) k-+oo
lim Fnk(x) < k-+oo
~
lim Fnk (x) k-+oo
~ lim
k-+oo
Fnk(t) < F(x)
+c
.
Da hier c > 0 frei wählbar ist, erhalten wir: limk-+oo Fnk (x) == F(x). b) Die Folge (J1n)n>l heißt beschränkt, wenn die Folge (11J1nll)n>l beschränkt ist. Ordnen wir J1n gemäß (4.6) seine Verteilungsfunktion Fn zu, s~ ist die Folge (Fn )n2:: 1 gleichmäßig beschränkt, hat also nach a) eine Teilfolge (Fnk )k2:: 1, die vage gegen eine Verteilungsfunktion F konvergiert. Nach dem Satz 4.14 von HELLy-BRAY konvergiert dann (J1 nk)k2:: 1 vage gegen das zur Verteilungsfunktion F gehörige Maß J1. D
Bemerkungen, historische Notizen. Der Satz 4.13 von HELLy-BRAY gilt auch bei Integration über ein kompaktes Intervall [a, b], falls nur die Folge der rechtsseitig stetigen wachsenden Funktionen Fn : [a, b] ---+ IR an allen Stetigkeitspunkten von F gegen die rechtsseitig stetige wachsende Funktion F : [a, b] ---+ IR konvergiert und F in a und b stetig ist (s. LOEVE [1]). Ferner gelten die Sätze von HELLY und HELLy-BRAY sinngemäß auch für Funktionen F n von gleichmäßig beschränkter Variation (s. NATANSON [1]). - BRAY (1889-1978)
VIII. Maße auf topologischen Räumen
392
(s. [1]) veröffentlicht seine Ergebnisse über Stieltjessche Integrale 1919 offenbar ohne zu wissen, daß HELLY (1884-1943) die Sätze 4.13, 4.14 und den wichtigen Auswahlsatz 4.16 schon 1912 als technische Hilfsmittel in einer Arbeit (s. HELLY [1]) entwickelte, die im Keim grundlegende Prinzipien der Funktionalanalysis enthält (Satz von BANACH-STEINHAUS, Satz von HAHN-BANACH). Eine Würdigung des dornenreichen Lebensweges und der wissenschaftlichen Leistungen von EDUARD HELLY findet man im Artikel von P .L. BUTZER et al.: EDUARD HELLY (1884-1943). Jahresber. Dtsch. Math.-Ver. 82, 128151 (1980). Die Sätze von HELLy-BRAY und HELLY spielen insbesondere in der Wahrscheinlichkeitstheorie in der Theorie der charakteristischen Funktionen (Fourier-Transformierten von Wahrscheinlichkeitsmaßen) eine bedeutende Rolle. Der Begriff der schwachen Konvergenz von (signierten) Maßen wird implizit im Jahre 1911 eingeführt von F. RIESZ ([2]' S. 798-827) in einer Arbeit, die sich mit dem Beweis und mit Anwendungen des Darstellungssatzes von F. RIESZ für stetige Linearformen auf C[a, b] durch Stieltjessche Integrale (d.h. signierte Maße auf [a, b]) beschäftigt. Dort werden auf S. 814 Linearformen des Typs f N f(x) dam(x) betrachtet, wobei die Totalvariationen der Funktionen a m (m ~ 1) gleichmäßig beschränkt sind. RIESZ zeigt dann mit Hilfe des Cantorschen Diagonalverfahrens, daß die Folge (am)m~l eine schwach konvergente Teilfolge hat. Damit beweist RIESZ de facto den Auswahlsatz von HELLY, aber er spricht den Satz nicht als selbständiges Resultat aus, da seine Untersuchung andere Ziele verfolgt. Auf der Grundlage des Satzes von HELLY könnten wir nun die schwach relativ folgenkompakten Teilfolgen von M+ (~1) charakterisieren, doch stellen wir das zurück, da wir im nächsten Abschnitt mit dem Satz von PROCHOROV 2 ein wesentlich allgemeineres Resultat kennenlernen werden. Auch im Beweis des Satzes von PROCHOROV spielt das Cantorsche Diagonalverfahren eine tragende Rolle.
J:
5. Der Satz von PROCHOROV 2 • Im ganzen Abschnitt 5 seien (X, d) ein metrischer Raum und
~
==
~(X).
4.17 Definition. Eine Menge M c M+(~) heißt (schwach) relativ Jolgenkompakt, wenn jede Folge von Elementen aus M eine schwach konvergente Teilfolge besitzt, d.h. wenn zu jeder Folge von Elementen J-ln E M (n ~ 1) eine Teilfolge (J-lnk)k~l und ein J-l E M+(~) existieren mit J-lnk ~ J-l. Offenbar ist jede relativ folgenkompakte Menge M c M+(~) beschränkt in dem Sinne, daß {11J-l11 : J-l E M} beschränkt ist. Im Satz von PROCHOROV werden die relativ folgenkompakten Teilmengen von M+(~) mit Hilfe des Begriffs der Straffheit charakterisiert. 4.18 Definition. Eine Menge M c M+(~) (X metrischer Raum) heißt (gleichmäßig) straff, wenn zu jedem c > 0 ein Kompaktum K c X existiert, so daß
§ 4. Schwache Konvergenz und schwache Kompaktheit
J-L(KC) < c für alle J-L E M. Eine Folge (J-Ln)n"2 1 von Elementen aus (gleichmäßig) straff, wenn die Menge {J-Ln : n E N} straff ist.
393 M+(~)
heißt
4.19 Beispiel. Es seien (X,~) :== (IR, Q31) und J-La(B) :== XB(a) (a E IR, B E Q31). Dann ist die Menge {J-Ln : n E N} nicht straff, aber {J-Lln : n E N} ist straff. Für beliebiges A c IR gilt: {J-La : a E A} ist straff genau dann, wenn A beschränkt ist. Eine straffe Menge M c M+(Q3) braucht nicht beschränkt zu sein. (Beispiel: Man nehme auf IR ein Borel-Maß J-L =I- 0 mit kompaktem Träger und setze
M:=={aJ-L:a>O}.) 4.20 Satz (PROCHOROV 2 1956). Ist X ein polnischer Raum (d. h. ein vollständig metrisierbarer Raum mit abzählbarer Basis), so ist jede relativ folgenkompakte Menge M C M+(Q3) straff und beschränkt. Da trivialerweise jede einelementige Teilmenge von M+ (Q3) relativ folgenkompakt ist, erweist sich der Satz 1.16 von ULAM im Fall eines endlichen Maßes J-L als Spezialfall von Satz 4.20. In der Tat wiederholt das wesentliche Argument im Beweis des Satzes 4.20 gerade die Schlußweise des schwierigsten Schrittes im Beweis des Satzes 1.16 von ULAM. Beweis von Satz 4.20. Oben wurde bereits bemerkt, daß jede relativ folgenkompakte Menge M C M+(~) beschränkt ist. - Zum Nachweis der Straffheit zeigen wir zunächst:
(A)
Ist (Uk )k>l eine wachsende Folge offener Teilmengen von X mit Uk>l Uk == X, so gibt es zu jedem c > 0 ein m E N, so daß J-L(U~) < c für alle ii E M.
Begründung: Wäre die Aussage (A) falsch, so gäbe es eine solche Folge (Uk)k"21 und ein c > 0 mit der Eigenschaft, daß man zu jedem k E Nein J-Lk E M finden könnte mit J-Lk(Uk) 2: c. Die Folge (J-Lk)k"21 hätte nach Voraussetzung eine schwach konvergente Teilfolge. Wegen der Monotonie der Folge (Uk)k"21 dürften wir gleich ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, daß bereits die ursprüngliche Folge (fLk)k"21 schwach konvergiert: J-Lk ~ J-L. Nach dem Portmanteau-Theorem könnten wir dann schließen: Für alle k E N ist
Da aber J-L endlich ist und Uk .t 0, erhalten wir einen Widerspruch, und (A) ist bewiesen. Zum Beweis der Straffheit von M sei nun c > O. Wir wählen eine in X dichte Folge (Xj)j"21 und setzen bei festem n E N k
Unk
:==
UK~(Xj)
j=l
(k
E
N) .
VIII. Maße auf topologischen Räumen
394
Dann konvergiert die Folge (Unk)k?) wachsend gegen X, und nach (A) gibt es zu jedem n E Nein k n E N, so daß
a jortiori ist also
Die gleichen Argumente wie im Beweis des Satzes 1.16 von ULAM lehren nun: K :== n~=l Unkn ist kompakt und JL(KC) < c für alle JL E M. Daher ist M straff. 0
4.21 Korollar. Jede schwach konvergente Folge von Maßen JLn E 1) ist straff (und beschränkt).
M+(~P)
(n 2:
Beweis. Ist (JLn)n?) schwach konvergent, so ist M :== {JLn : n E N} relativ 0 folgenkompakt, und Satz 4.20 liefert die Behauptung.
In Satz 4.20 gilt auch die umgekehrte Implikation, und zwar für beliebige metrische Räume. Das ist die beweistechnisch "schwierigere Hälfte" des Satzes 4.23 von PROCHOROV, während Satz 4.20 als die "einfachere Hälfte" anzusehen ist. Bei Anwendungen des Satzes von PROCHOROV kommt meist die folgende "schwierigere Hälfte" zum Zuge:
4.22 Satz (PROCHOROV 2 1956). Ist X ein metrischer Raum, so ist jede straffe und beschränkte Menge M c M+(~) relativ jolgenkompakt. Beweis (nach BILLINGSLEY [3] und [2]' second ed.). Es sei (JLn)n'2 1 eine Folge von Elementen aus M. Zur Konstruktion einer schwach konvergenten Teilfolge von (JLn)n>l benutzen wir folgenden Ansatz: D~ (JLn)n'21 straff ist, gibt es eine wachsende Folge kompakter Mengen Km C X (m E N), so daß
(4.9)
f-ln(K':,.) <
~ m
für alle m, n E N .
Jedes Km (m E N) ist ein kompakter metrischer Raum, also separabel, folglich ist auch L :== U:=l Km ein separabler Teilraum von X. (Man beachte hier, daß X nicht a-kompakt zu sein braucht; aber: Das Komplement der a-kompakten Menge L ist eine JLn-Nullmenge für alle n E N.) Wir wählen eine abzählbare dichte Menge D C L und betrachten die (abzählbare) Menge .R aller Kugeln Kr(a) C X (r E Q,r > O,a E D). Ist nun U C X offen und x E UnL, so wählen wir ein c > 0 mit Kc(x) C U, danach ein a E D mit d(x, a) < c/2 und ein r E Q mit d(x, a) < r < c/2. Dann gilt für die Kugel B :== Kr(a) E .R : x E B c B c Kc(x) c U. Mit V bezeichnen wir die Menge aller endlichen Vereinigungen von Durchschnitten des Typs B n Km(B E .R, m E N) einschließlich der leeren Vereinigung 0. Die Menge V ist abzählbar, und alle Mengen aus V sind kompakt. Für jedes m E N ist .R eine offene Überdeckung von Km, also gibt es eine
§ 4. Schwache Konvergenz und schwache Kompaktheit
395
endliche Teilüberdeckung BI,' .. , B r E .R von Km' Trivialerweise bilden dann auch die Mengen BI n Km, ... ,Br n Km E 1) eine Überdeckung von Km, und da 1) abgeschlossen ist bez. der Bildung endlicher Vereinigungen, erhalten wir: Km E 1) für alle m E N. Wie im Beweis des Auswahlsatzes 4.16 von HELLY benutzen wir nun das Cantorsche Diagonalverfahren und wählen eine Teilfolge (J1 nk )k?1 von (J1n), so daß der Limes
v(D)
(4.10)
:== lim
k-+oo
J1 nk (D)
für alle D E 1) existiert. (Die Konstruktion verläuft hier wie folgt: Sei (D j )j?1 eine Abzählung von 1). Die Folge (J1n(D 1))n?1 ist nach Voraussetzung beschränkt (!), hat also eine konvergente Teilfolge (J11k(D 1))k?1' Ebenso ist (J11k(D 2))k?1 beschränkt, hat also eine konvergente Teilfolge (J12k(D 2))k?l, usw. Die Folge (J1lk(D j ))k?1 konvergiert nach Konstruktion für alle j == 1, ... , I. Daher konvergiert die Diagonalfolge (J1kk(Dj ))k?l für alle JEN, denn (J1kk(Dj )k?j ist Teilfolge der konvergenten Folge (J1jk(Dj ))k?l' - Wir kehren zur üblichen Bezeichnung für Teilfolgen zurück und bezeichnen die Diagonalfolge mit (J1 nk) k?l) . Das wesentliche Ziel des folgenden Beweises ist nun die Konstruktion eines Maßes J1 auf ~(X), so daß für alle offenen U c X gilt: (4.11 )
J1(U)
==
sup{v(D) : D
E 1),
D c U} .
Wenn wir ein solches J1 konstruiert haben, können wir den Beweis folgendermaßen rasch zu Ende führen: Sei U C X offen. Für jedes D E 1), D c U ist
also nach (4.11)
J1(U) :::; lim J1 nk (U) .
(4.12)
k-+oo
Insbesondere ist J1 endlich, denn M ist nach Voraussetzung beschränkt. Ferner gilt wegen Km E 1) (m E N) folgende Ungleichungskette:
J1(X)
sup v(D) ~ sup v(Km) DED
mEN
sup ( lim J1 n k (Km)) k-+oo
mEN
> sup mEN
(lim fLnk(X) k-+oo
~) m
lim J1 n k (X) . k-+oo Zusammen mit (4.12) ergibt sich J1(X) == limk-+oo J1 nk (X), und wegen (4.12) liefert das Portmanteau-Theorem die schwache Konvergenz J1 nk ~ J1. Damit bleibt nur noch ein Maß J1 auf ~(X) zu konstruieren mit (4.11).
VIII. Maße auf topologischen Räumen
396
Zur Konstruktion eines solchen J-l gehen wir ähnlich vor wie im Beweis des Fortsetzungssatzes 2.4 und bemerken vorab folgende trivialen Eigenschaften von v: Für alle D I , D 2 E V gilt (4.13)
v(D I )
(4.14)
v(D I U D 2 )
(4.15)
v(D I U D 2 )
< v(D 2 )
<
ferner ist v(0) == O. Für offenes U (4.16)
falls D I C D 2
c
,
, ,
falls D I n D 2 ==
0;
X setzen wir nun zunächst
p(U) :== sup{v(D) : D C U, D E V} ,
und anschließend für beliebiges M (4.17)
,
+ v(D 2 ) v(D I ) + v(D 2 ) v(D I )
C
X
Tl(M):== inf{p(U): M C U,U offen}.
Zur Konstruktion des gesuchten J-l werden wir zeigen: (A) Tl ist ein äußeres Maß, und jede abgeschlossene Menge A meßbar.
C
X ist Tl-
Mit Hilfe von (A) ist die Konstruktion von J-l rasch zu erledigen: Nach (A) gilt ~(X) c 211] (== a-Algebra der Tl-meßbaren Mengen), J-l :== Tl I ~(X) ist also ein Maß, und für jedes offene U C X folgt (4.11) aus (4.13), (4.16), (4.17). Es bleibt nur noch (A) zu zeigen. Das geschieht in fünf Schritten.
(1) Sind A C U c X, A abgeschlossen, U offen, und gibt es ein D A cD, so existiert ein E E V mit AcE cU.
E
V mit
Begründung: Zu D gibt es ein m E N mit D C Km. Als abgeschlossene Teilmenge des Kompaktums D ist A kompakt. Weiter ist A C U n L, denn D C L. Zufolge einer Bemerkung im Ansatz gibt es daher zu jedem x E A ein B x E .R mit x E B x c B x c U. Die Familie (BX)XEA ist eine offene Überdeckung von A, folglich gibt es eine endliche Teilüberdeckung B X1 ' • • • , B Xr (Xl, ... ,X r E A), und die Menge E :== U;=l B Xj n Km E V leistet das Verlangte. (2) Für alle offenen U, V C X ist p(U U V) ::; p(U)
+ p(V)
.
Begründung: Ist U == X oder V == X, so ist die Behauptung offenbar richtig. Sei nun Uc #- 0 #- VC und D C U U V, D E V. Wir betrachten die abgeschlossenen Mengen
A B
.- {x E D : d(x, U C ) 2 d(x, V C ) } .- {x E D : d(x, U
C )
::;
d(x, V
,
C )}
•
§ 4. Schwache Konvergenz und schwache Kompaktheit
397
Offenbar ist A c U, denn gäbe es ein x E A \ u, so wäre x E V, also d(x, UC) == o < d(x, VC), denn VC ist abgeschlossen, und dann wäre x ~ A: Widerspruch! Also ist A c U und entsprechend B c V. Nach Schritt (1) gibt es wegen A c D ein E E V mit AcE c U. Entsprechend gibt es ein F E V mit B c F c V, und es gilt D == Au B c Eu F. Daher folgt aus (4.13), (4.14):
v(D) :S v(E U F) :S v(E) + v(F) :S p(U) + p(V) , und die Supremumsbildung über alle D
(3) Für alle offenen Un
Begründung: Ist D Dein p folgt
E
E V,
N, so daß D
v(D) Da D
E
X (n
C
D
E
c
U U V, D E V liefert (2). -
N) gilt
C U~=l
C U~=l
Un , so gibt es wegen der Kompaktheit von Un , und mit einer trivialen Induktion unter (2)
~ p (~Un) ~ ~p(Un) ~ ~p(Un) .
V, D C U~l Un beliebig ist, resultiert (3). -
(4) 'TJ ist ein äußeres Maß· Begründung: Da v(0) == 0 und da 'TJ monoton ist, brauchen wir nur noch die abzählbare Subadditivität von 'TJ zu zeigen. Dazu seien Mn C X (n E N) und E > o. Dann gibt es offene Un => Mn mit p(Un ) :S 'TJ(Mn ) + E ·2- n (n E N), und wir können mit (3) abschätzen: 00
00
< LP(Un):S L'TJ(Mn) +E. n=l
Dies gilt für alle
E
n=l
> 0, also folgt (4). -
(5) Jedes abgeschlossene A
C
X ist 'TJ-meßbar.
Begründung: Wir müssen zeigen, daß für alle Q C X gilt (4.18) Das zeigen wir zunächst für den Fall einer offenen Menge Q == U c X: Dazu sei E > O. Wir wählen ein D C UnAc (==offen (!)),D E V mit v(D) ~ p(UnAC)-E. Weiter wählen wir ein E c UnDc (== offen 0)), E E V mit v(E) ~ p(UnDC)-E.
VIII. Maße auf topologischen Räumen
398
Da D, E disjunkte Mengen aus 1) sind mit D u E c U folgern wir aus (4.15), (4.13), (4.17) wegen UnDc ~ UnA:
p(U) > v(D U E) == v(D) + v(E) > p(U n AC) + p(U n D C) - 2E > 7](U n A) + p(U n AC) - 2E . Da hier E > 0 beliebig klein sein darf, gilt (4.18) für offenes Q == U. Ist nun Q C X beliebig, so wählen wir zu E > 0 ein offenes U 7](Q) 2:: 7](U) - E und erhalten nach dem soeben Bewiesenen
7](Q) > 7](U) - E 2:: 7](U n A) + 7](U n AC) > 7](QnA)+7](QnAC)-E,
~
Q mit
E
und es folgt die Behauptung (5). -
D
4.23 Satz von PROCHOROV 2 (1956). Ist X ein polnischer Raum, so ist eine Menge M C M+(Q3) genau dann relativ folgenkompakt, wenn sie straff und beschränkt ist. Beweis. Satz 4.20 und Satz 4.22.
D
Da insbesondere der Raum lRP polnisch ist, liefert der Satz von folgende Ergänzung zum Auswahlsatz von HELLY.
PROCHOROV
4.24 Korollar. Ist /-Ln E M+ (Q3P) (n 2:: 1), so gilt: Die Folge (/-Ln)n?) ist genau dann straff und beschränkt, wenn jede Teilfolge von (/-Ln)n?) eine schwach konvergente Teilfolge hat. Beweis. Ist (/-Ln)n21 straff und beschränkt, so hat jede Teilfolge von (/-Ln)n21 nach Satz 4.22 eine schwach konvergente Teilfolge. Umgekehrt: Erfüllt (/-Ln)n>l die angegebene Teilfolgenbedingung, so ist M :== {/-Ln: n E N} relativ folge~ kompakt. Daher ist M und damit (/-Ln)n2 1 nach Satz 4.20 straff und beschränkt. D
Mit Hilfe von Satz 4.12 läßt sich die Aussage des Satzes 4.24 auch in Termen von Verteilungsfunktionen formulieren. 6. Die Laplace-Transformation. Ist /-L ein endliches Borel-Maß auf [0,00[, so heißt L : [0,00[-+ lR,
1
00
L(s) :=
e- SX dJl(x)
(s?: 0)
die (einseitige) Laplace- Transformierte von /-L. Offenbar ist L wohldefiniert, stetig und beschränkt, denn für s 2:: 0 ist
o ~ L(s)
~
L(O)
==
II/-LII ;
399
§ 4. Schwache Konvergenz und schwache Kompaktheit ferner gilt nach Satz IV.5.6 lim L (s) == /L ( {O}) .
s-too
Die Funktion L ist monoton fallend, und L ist gleichmäßig stetig auf [0,00[, denn für 0 ::; s ::; t gilt
1
00
o < L(s) - L(t) =
1
00
<
(1
e- SX (1 - e-(t-s)X) dJL(x)
~ e-(t~s)x) dJL(x) = L(O) -
L(t - s) ,
und die Stetigkeit von L in 0 impliziert die gleichmäßige Stetigkeit. Auf ]0, oo[ ist L nach Satz IV.5.7 beliebig oft differenzierbar mit
1 xke~SXdJL(x) 00
L(k)(s) = (-1)k
(s > Oik 2': O,k E Z).
Speziell ist L" (s) 2 0 für s > 0, d.h. L ist konvex. Eine auf einem Intervall I c :IR erklärte Funktion F : I -+]0, oo[ heißt bekanntlich logarithmisch konvex, falls log F konvex ist, d.h. wenn
für alle x, y E 1,0 < A < 1. Nach GI. (VI.1.6) ist jede logarithmisch konvexe Funktion konvex. Wir zeigen: Ist /L i= 0 ein endliches Borel-Maß auf [0,00[, so ist die Laplace- Transformierte L von /L logarithmisch konvex. Zum Beweis seien s, t 2 0 und 0 < A < 1. Wir wenden die Höldersche Ungleichung an mit p :== A- 1 , q :== (1 - A)-l (p, q > 1,p-l + q-l == 1) und erhalten
L(>'s + (1 - >.)t) =
<
(1
1
00
e-Asxe-(l-A)tx dJL(x)
00
e-SXdJL(X)r
(1
A
00
e-txdJL(X)r-
L(s)AL(t)l-A.
o 4.25 Lemma. Sind /Ln (n E N) und /L endliche Borel-Maße auf [O,oo[ mit zugehörigen Laplace- Transformierten Ln (n E N) bzw. L und gilt /Ln ~ /L, so gilt Ln(s) ---+ L(s). n-too
Beweis: Definition 4.5.
o
Lemma 4.25 gestattet folgende verschärfte Umkehrung, zu deren Beweis wir den Satz 4.22 von PROCHOROV heranziehen werden. 4.26 Satz. Es seien /Ln (n E N) endliche Borel-Maße auf [0, oo[ mit zugehörigen Laplace- Transformierten Ln (n E N), und es gebe eine in 0 stetige Funktion
400
VIII. Maße auf topologischen Räumen
L : [O,oo[---t IR mit limn~oo Ln(s) == L(s) (s 2:: 0). Dann gibt es ein endliches Borel-Maß f.L auf [0, oo[ mit f.Ln ~ f.L, so daß L die Laplace-Transformierte von f.L ist. (Insbesondere ist Lauf [0, oo[ stetig.) Beweis. Wir zeigen zunächst, daß (f.Ln)n?:.1 straff ist. Zum Beweis benutzen wir die elementare Identität
11°
T (1 - e -SiT) ds
-
== -1
(r > 0)
e
r
und erhalten nach dem Satz von FUBINI
(4.19)
Die Funktion L ist als punktweiser Limes stetiger Funktionen Borel-meßbar, ferner nach Voraussetzung stetig in 0, also in einem Intervall [0, b] beschränkt (b > 0 geeignet). Zu jedem E > 0 gibt es daher ein r E]O, b], so daß
11°
T
(4.20)
r
(L(O) - L(s)) ds < -E . e
Nun gilt Ln(O)-Ln(s) --t L(O)-L(s) (n ---t (0), und diese Konvergenz wird auf [0, b] majorisiert durch eine geeignete Konstante, denn 0 :::; Ln (s) :::; Ln (0) (0:::; S :::; b) und Ln (0) ---t L (0) (n ---t (0). Nach dem Satz von der maj orisierten Konvergenz gibt es daher zu jedem E > 0 ein no E N, so daß für r gemäß (4.20) und alle n 2:: no gilt
11°
T
-
r
(Ln (0) - Ln (s)) ds < -E . e
Nach (4.19) ist nun f.Ln([r- , oo[) < E für alle n 2:: no, und wählen wir a > r- I hinreichend groß, um auch noch f.LI, ... ,f.Lno-1 zu erfassen, so können wir schließen: Zu jedem E > 0 gibt es ein a > 0, so daß f.Ln([O, a]C) < E für alle n E N. Daher ist (f.Ln)n?:) straff und wegen IIf.Lnll == Ln(O) --t L(O) auch beschränkt. Nach Satz 4.22 gibt es ein endliches Borel-Maß f.L auf [0, oo[ und eine Teilfolge f.Lnk ~ f.L (k ----t (0). Wir zeigen, daß bereits die "ganze" Folge (f.Ln)n?.1 schwach gegen f.L konvergiert: Dazu seien 1 E Cb([O,oo[) und M > 0 so beschaffen, daß 1111100 :::; M. Ferner sei M gleich so groß gewählt, daß auch 11f.L11 :::; Mund IIf.Lnll :::; M für alle n E N. Sei nun E > 0 und fJ :== E/(4M + 1). Da (f.Ln)n>1 straff ist, gibt es ein a > 0, so daß f.L([0, a]C) < fJ und f.Ln([O, a]C) < 8 für alle ~ E N. Zu a wählen wir ein h E Cc([O,oo[) mit h I [0, a + 1] == 1,0 :::; h :::; 1 und approximieren die Funktion h . 1 E Cc([O,oo[) durch eine Linearkombination der Funktionen es : [O,oo[---t IR, es (x) :== e- SX (x 2:: 0; s > 0): Offenbar bilden die Linearkombinationen der Funktionen es (s > 0) mit komplexen Koeffizienten eine l
§ 4. Schwache Konvergenz und schwache Kompaktheit
401
Unteralgebra Ader C-Algebra Co([O,oo[) der stetigen Funktionen auf [0,00[, die im Unendlichen verschwinden, und A hat folgende Eigenschaften: (i) Für alle f E A ist 1 E A. (ii) A trennt die Punkte von [0,00[. (iii) Zu jedem x 2: 0 gibt es ein f E A mit f(x) =1= o. Nach einem Korollar zum Satz von STONE-WEIERSTRASS (s. z.B. SEMADENI [1]' S. 116,7.3.9.) liegt A daher dicht in Co([O, oo[) bez. der Supremumsnorm, d.h.: Es gibt eine Linearkombination g der Funktionen es (s > 0) (mit reellen Koeffizienten), so daß Ilhf - glloo < 6. Nun ist für alle n E N
11
00
f
dJtn -
11
<
1
00
g dJtn I
00
< Ilf(1 < 2M6,
11
00
+ (hf - g) dJtnl h)llooMn([a + 1, oo[) + Ilhf - glloollMnl1
(J - hf) dJtnl
und die gleiche Abschätzung gilt für M anstelle von Mn. Daher ist für alle n E N
(4.21)
11
00
<
f
dJtn
11
-1
00
f
dJtI
00
(J - g) dJtnl
< 4Mb +
11
11 -1
00
+
00
gdJtn
gdJtn
-1
00
gdJtI
+
11
00
(g - J) dJtI
00
gdJtI.
Da g eine Linearkombination der Funktionen es (s > 0) ist und da Ln(s) ~ oo L(s) == Jo e- SX dM(X) (s 2 0) konvergiert, gibt es ein nl E N, so daß für alle n 2 nl der letzte Term auf der rechten Seite von (4.21) kleiner ausfällt als 6. Nach Wahl von 6 ist daher die linke Seite von (4.21) für alle n 2 nl kleiner als (4M + 1)6 == c, und es folgt: Mn ~ M. D
4.27 Korollar. Die Laplace-Transformation, die jedem endlichen Borel-Maß M oo auf [0, oo[ seine Laplace-Transformierte L zuordnet (L(s) == Jo e- SX dM(X) für s 2 0), ist injektiv. Beweis. Es seien M, v endliche Borel-Maße auf [O,oo[ mit gleicher LaplaceTransformierten L. Wir setzen Mn :== M für gerades n E N und Mn :== v für ungerades n E N. Die der Folge (Mn)n'21 entsprechende Folge von LaplaceTransformierten ist konstant gleich L und L ist in 0 stetig. Nach Satz 4.26 gibt es daher ein endliches Borel-Maß p auf [0, oo[ mit Mn ~ p. Da (Mn)n'21 aber eine schwach gegen M und eine schwach gegen v konvergente Teilfolge hat und der schwache Limes eindeutig bestimmt ist, folgt M == P == v. D
7. Die Prochorov-Metrik. Im folgenden Abschnitt werden wir u.a. zeigen: Ist X ein separabler metrischer Raum, so gibt es eine natürliche Metrik 6 auf M+(~), die sog. Prochorov-Metrik, so daß die schwache Konvergenz Mn ~ M
VIII. Maße auf topologischen Räumen
402
äquivalent ist zur Konvergenz bez. der Metrik b (d.h. b(J-Ln, J-L) -t 0; s. Satz 4.35). Der Raum (M+(93),6) ist ein polnischer Raum, falls X ein polnischer Raum ist (Satz 4.38). - Im weiteren seien stets (X, d) ein metrischer Raum und 93 == 93(X). Für A c X und c > 0 setzen wir Ac :== 0, falls A == 0 und
Ac .- {x EX: es gibt ein y E A mit d(x,y) < c} {xEX:d(x,A)
E
M+(93) sei
Im Hinblick auf Satz 4.29 heißt b die Prochorov-Metrik.
4.29 Satz
(PROCHOROV 2
1956). (M+(93),6) ist ein metrischer Raum.
Beweis. Offenbar gilt b(J-L, J-L) == 0 und b(J-L, v) == b(v, J-L) (J-L, v E M+(93)). Es seien weiter J-L, v E M+(93) und b(J-L, v) == O. Für jede abgeschlossene Menge A c X ist dann J-L(A) :::; v(A1/n) + ~ (n E N). Für n -t 00 gilt A1/n t A (A ist abgeschlossen!), und es folgt J-L(A) :::; v(A). Da die Definition von 6 symmetrisch ist in J-L, v, folgt J-L(A) == v(A) für alle abgeschlossenen A c X. Insbesondere ist J-L(X) == v(X), und durch Komplementbildung ergibt sich J-L(U) == v(U) für alle offenen U c X. Satz 4.1 liefert nun J-L == v. - Zum Nachweis der Dreiecksungleichung für b seien J-L, v, P E M+(93), c > 0, 'Tl > 0 und b(J-L, v) < c, 6(v, p) < 'Tl. Dann gilt für alle A E 93 J-L(A)
< v(Ac) + c < p((AcY7) + c + 'Tl < p(Ac+ 17 ) + c + 'Tl ,
und aus Symmetriegründen ist auch
also b (J-L, p) :::; c ungleichung
+ 'Tl.
Die Infimumbildung bez. c und 'Tl liefert nun die Dreiecks-
D
4.30 Lemma. Es seien J-L, v E M+(93), c > 0 und
(4.22)
für alle B
E
93. Dann gilt für alle C
E
93
§ 4. Schwache Konvergenz und schwache Kompaktheit Beweis. Für beliebige B, C
c
403
X gilt:
(4.23) Begründung: Die Inklusion B c (CE)C ist gleichbedeutend mit "x t/:. CE für alle x E B", und das ist gleichbedeutend mit "d(x,y) ~ E für alle x E B,y E C". Die letzte Bedingung ist symmetrisch in B, C, also folgt (4.23). Es seien nun C E ~,E > 0, und für alle B E ~ gelte (4.22). Wir wählen speziell B == (CE)C und erhalten wegen (4.23)
M(C E)
IIMII- M((CE)C) == IIMII - M(B) > IIMII - v(B E v IIMII - II l + v((BE)C) - E > v(C) + IIMII- Ilvll - E • E
)
-
o
Damit ist die Behauptung bewiesen. 4.31 Korollar. Sind (4.24)
8(M, v)
M, v E
M+(~) und
IIMII
==
IIvll,
so gilt
inf{E > 0 : M(A) ::; v(A E) + E für alle A E ~} E == inf{E > 0 : v(A) ::; M(A ) + E für alle A E ~} .
o
Beweis. Definition 4.28 und Lemma 4.30.
4.32 Beispiel. Für a E X und B E ~ sei Ma(B) :== XB(a) (Einheitsmasse in a). Dann gilt für alle a,b EX: (4.25) Beweis. Nach (4.24) ist
8(Ma, Mb) == inf{E > 0 : XA(a) ::; XAe(b)
+ E für
alle A E ~} .
Für beliebiges A E ~ ist XA (a) ::; 1, daher ist zunächst 8(Ma, Mb) ::; 1. Ist weiter > d(a, b), so gilt für jedes A E ~
E
(4.26) denn für a t/:. A ist diese Ungleichung trivialerweise richtig, und für a E A ist b E AE, und (4.26) ist ebenfalls richtig. Damit haben wir gezeigt: Für alle a, b E X ist (4.27) Umgekehrt: Ist d(a, b) ~ 1 und 0 < verletzt, d.h. es gilt (4.28)
E
< 1, A
:==
{al, so ist b t/:. AE und (4.26) ist
VIII. Maße auf topologischen Räumen
404
Ist hingegen d( a, b) < 1, so wählen wir wieder A == {a}, und für 0 < c ::; d( a, b) ist b t/:- Ac, Ungleichung (4.26) ist verletzt, d.h. (4.28) gilt auch in diesem Fall. 0 Aus (4.27), (4.28) folgt nun (4.25). Offenbar ist min(l, d) eine Metrik auf X, die dieselbe Topologie definiert wie d. Beispiel 4.32 liefert folgendes 4.33 Korollar. Die Abbildung X 3 a t-+ fLa E M+(~) (fLa(B):== XB(a) für a E X,B E ~) definiert eine isometrische Injektion von (X,min(l,d)) in (M+(~), 8).
4.34 Satz. Sind fL, fLn E M+(~) (n E N) und gilt 8(fLn, fL) -t 0 (n -t (0), so folgt: fLn ~ fL· Beweis. Wir wählen eine monotone Nullfolge (Cn)n~1 positiver reeller Zahlen mit 8(fLn, fL) < Cn (n 2: 1). Für alle A E ~ gilt dann
(4.29) Ist speziell A
c
X abgeschlossen, so gilt Ac n
-J..
A, und (4.29) liefert für n -t
00:
speziell ist limn-Hx)fLn(X) ::; fL(X). - Ungleichung (4.29) gilt entsprechend bei Vertauschung der Rollen von fL und fLn, und das bedeutet für A == X
also n---too Insgesamt haben wir damit gezeigt: Für jedes abgeschlossene A c X ist limn---toofLn(A) ::; fL(A), und es gilt fL(X) == limn---too fLn(X). Das PortmanteauTheorem liefert nun die Behauptung. 0 Für separable metrische Räume gilt in Satz 4.34 auch die umgekehrte Implikation: 4.35 Satz (PROCHOROV 2 1956). Sind X ein separabler metrischer Raum und fL,fLn E M+(~) (n E N), so gilt für n -t 00: fLn ~ fL ~ 8(fLn, fL) ~ 0 .
Beweis. ~: Satz 4.34. Es seien (Xj )j~1 eine in X dichte Folge und C > O. Die Mengen BI :== K c/ 2(XI), B 2 :== K c/ 2(X2) \ BI, ... ,Bn+ I :== K c/ 2(x n+I) \ (BI U ... U B n) (n 2: 1) sind paarweise disjunkt, haben alle höchstens den Durchmesser c, und es ist =}:
§ 4. Schwache Konvergenz und schwache Kompaktheit
405
x == U:=1 B n· Wir wählen ein k E N mit JL(Uj>k B j ) < c und bezeichnen mit mdas endliche System der offenen Mengen (B jl U ... U Bjrn)c, wobei 1 ::; jl < j2 < ... < jm ::; k. Nach Voraussetzung ist limn-tooJLn(U) 2: JL(U) für jede offene Menge U C X (Portmanteau-Theorem). Da m endlich ist, gibt es also ein no E N, so daß JLn(V) > JL(V) - c für alle n 2: no und alle V E m. Ist nun A E Q3, so seien B jl , ... ,Bjrn (1::; j1 < j2 < ... < jm ::; k) diejenigen unter den Mengen BI, .. . , Bk, die mit A einen nicht-leeren Durchschnitt haben, und V :== (Bh U ... U Bjrn)c. Dann ist V C A 2c, und für alle n 2: no gilt: JL(A)
< JL(V) + JL
(U
Bj )
::;
JL(V)
+c
J>k
< JLn(V) + 2c
::; JLn(A 2C)
+ 2c .
Nach Lemma 4.30 folgt hieraus für alle n 2: no und alle B E Q3 2
JLn(B) ::; JL(B c)
+ 2c + IIJLnl1
-
IIJLII .
Wegen JLn ~ JL gilt aber IIJLnll -+ IIJLII, und durch hinreichend große Wahl von no können wir zusätzlich erreichen, daß IIJLnll- IIJLII ::; c für alle n 2: no. Insgesamt ergibt das für alle A E Q3 und alle n 2: no die Ungleichungen
JL(A) ::; JLn(A 3C)
+ 3c ,
JLn(A) ::; JL(A 3C)
+ 3c , o
d.h. für alle n 2: no ist 5(JLn, JL) ::; 3c.
4.36 Korollar. Ist (X, d) ein separabler metrischer Raum, so ist eine Menge M C M+ (Q3) genau dann relativ jolgenkompakt (im Sinne der Definition 4.17), wenn Mals Teilmenge des metrischen Raums (M+(Q3), 5) relativ kompakt ist.
Beweis. Bekanntlich ist ein metrischer Raum R genau dann kompakt, wenn jede Folge von Elementen aus R eine konvergente Teilfolge hat. Die Behauptung folgt daher aus Satz 4.35, denn nach Satz 4.35 ist M genau dann relativ folgenkompakt, wenn jede Folge von Elementen aus Meine bez. der Prochorov-Metrik 5 konvergente Teilfolge hat, und das ist genau dann der Fall, wenn jede Folge von Elementen aus M (Abschluß von M in (M+(Q3), 5)) eine konvergente Teilfolge h~. D 4.37 Satz. Der metrische Raum (X, d) ist genau dann separabel, wenn (M+(Q3), 5) separabel ist.
Beweis. Da jeder Unterraum eines separablen metrischen Raums separabel ist, folgt die Separabilität von (X, d) aus der von (M+(Q3), 5) (Korollar 4.33). - Es sei nun umgekehrt (X, d) separabel, und c > 0 und die Folge (B j )j'2 1 seien wie im Beweis von Satz 4.35. Für a E X sei JLa(B) :== XB(a) (B E Q3). Wir lassen die leeren Mengen unter den B j weg und nehmen (nach eventueller Umindizierung) gleich an, daß B j =I- 0 für j 2: 1. Für jedes j 2: 1 wählen wir ein aj E B j und setzen
Mc
:==
{trjf.laj : n E N,rj J=l
E
Q,rj :::: 0
für j
= 1, .. . ,n} .
VIII. Maße auf topologischen Räumen
406
Offenbar ist Me abzählbar. Wir zeigen: Zu jedem f.L E M+(SJ3) gibt es ein E Me mit 6(f.L, v) :::; 3c. Begründung: Zunächst wählen wir k E N so groß,
v
daß Jl
(Uj>k
Bj ) <
Co
Für j = 1, ... , k wählen wir weiter
Tj
E
Q, Tj ~ 0, so
daß 2:;=1 1f.L(Bj ) - rj I < c. Sodann setzen wir v :== 2:;=1 rjMaj und behaupten: v leistet das Verlangte. Zum Beweise seien A E SJ3 und I :== {j E N : j :::; k, A n B j =I- 0}. Nach Wahl von k ist dann
f.L(A)
<
f.L(UBj)+c==Lf.L(Bj)+C jE!
<
L
rj
jE!
+ 2c == v
jE!
<
(U
Bj)
+ 2c
jE!
v(A 2e)
+ 2c ,
und da dies für alle A E SJ3 gilt, liefert Lemma 4.30
Hier ist k
Ilvll - IIMII
== L
j=l
rj - L f.L(Bj ) j?-l
<
C ,
also ist 6(f.L, v) < 3c. Damit ist die Zwischenbehauptung bewiesen. - Setzen wir nun C == l/q (q E N) und bilden M :== U:l M 1 / q , so ist M abzählbar und dicht in (M+ (SJ3) , 6) . D 4.38 Satz (PROCHOROV 2 1956). (X, d) ist ein polnischer Raum genau dann, wenn (M+ (SJ3), 6) ein polnischer Raum ist. Beweis. Es sei zunächst (X, d) ein polnischer Raum. Nach Satz 4.37 ist nur noch zu zeigen, daß (M+ (SJ3), 6) vollständig ist. Dazu sei (f.Ln)n?-l eine CauchyFolge bez. der Prochorov-Metrik 6. Wir werden zeigen, daß (f.Ln)n?-l straff ist und beschränkt. Wenn das bewiesen ist, können wir den Beweis wie folgt abschließen: Nach Satz 4.22 hat (f.Ln)n?-l eine schwach konvergente Teilfolge. Diese Teilfolge konvergiert nach Satz 4.35 auch bezüglich der Metrik 6. Eine Cauchy-Folge in einem metrischen Raum, die eine konvergente Teilfolge hat, ist aber selbst konvergent, und die Vollständigkeit ist bewiesen. Zum Beweis der Straflbeit von (f.Ln)n>l seien C > 0, P > 0 und 0 < Tl < ~ min(c, p). Dann gibt es ein mo E N, so-daß 6(f.Lm, f.Lmo) < Tl für alle m 2: mo· Bezeichnen wir mit (Xj )j?-l wieder eine in X dichte Folge, so gibt es ein k E N, so daß für alle m == 1, ... ,mo gilt
(4.30)
§ 4. Schwache Konvergenz und schwache Kompaktheit Für alle m (4.31 )
~
407
mo gilt dann nach Konstruktion
~m (~K2q(Xj)) 2 ~m ((~Kq(Xj)) q) >
~mo(~Kq(Xj))-rJ
> J-lmo (X) - 21] (nach (4.30)) > J-lm(X) - 31] , denn wegen m ~ mo ist 8(J-lm, J-lmo) < 1], also (4.32) Zusammen ergibt sich aus (4.30), (4.31): Für alle m ~ 1 ist
Dies wenden wir an mit E • 2- n anstelle von E, wählen p == ~ können folgern: Zu jedem n E N gibt es ein k n E N, so daß
(n
E
N) und
für alle m E N. Wie im Beweis des Satzes 1.16 von ULAM folgt nun die Straffheit von (J-lm)m>l. - Die Beschränktheit ist klar nach (4.32). Sei nun umg~kehrt (M+(~), 8) ein polnischer Raum. Dann ist (X, d) separabel (Satz 4.37), und nach Korollar 4.33 ist nur noch zu zeigen, daß das Bild von X unter der Einbettung X :3 a t--+ J-la E M+(~) abgeschlossen ist. Wegen der Separabilität von X sind in M+(~) schwache Konvergenz und Konvergenz bez. der Prochorov-Metrik gleichbedeutend (Satz 4.35). Daher genügt es zum Nachweis der Abgeschlossenheit des Bildes von X, wenn wir zeigen: Ist (an)n>l eine Folge von Elementen aus X, und gibt es ein J-l E M+(~) mit J-la ~ J-l, so-gibt es ein a E X mit J-l == J-la. Begründung: Die Mengen A k :== {am : m ~ k} (k ~ 1) A :== n~=l An. bilden eine fallende Folge abgeschlossener Mengen mit A k Nach dem Portmanteau-Theorem ist für alle k E N n
+
also Wir zeigen weiter, daß A genau ein Element enthält: Angenommen, es gibt a, b E A mit a =1= b. Wir wählen 0 < E < ~d(a, b) und setzen f(x) :== max(l E-1d(x, Kc(a)), 0) (x E X); dann ist f E Cb(X) und f I Kc(a) == 1, f I Kc(b) ==
VIII. Maße auf topologischen Räumen
408
o. Nach Definition von A gibt es Teilfolgen (ank)k>l, (amk)k>l mit ank Kc(a)
(k E N), amk ---+ b, amk E Kc(b)
Ix f
dfta nk
=1,
(k E N)~ Daher gilt
Ix f dfta~k =
0 (k
E
---+ a, ank
E
N) .
Dies widerspricht offenbar der Konvergenz
Ix f
dfta n
----+
Ix f
dft
(n --t 00) .
Die Menge A enthält also höchstens ein Element, und da A wegen JL(A) == 1 1 folgt nicht leer ist, gibt es ein a E X mit A == {a}. Wegen JL(A) == JL(X) 0 nun: JL == JLa. Aufgaben. 4.1. Es seien (Y,~, v) ein endlicher Maßraum, (X, d) ein separabler (!) metrischer Raum und I, In : Y -+ X (n E N) meßbare Funktionen mit In -+ I n.M. (s. Aufgabe VI.4.5). Ferner seien J-L :== I(v), J-Ln :== In(v) die zugehörigen Bildmaße. Dann gilt: JLn ~ J-L. Insbesondere gilt J-Ln ~ J-L, falls In -+ I v-f. ü. 4.2. Sind (Y,~, v) ein endlicher Maßraum, (X, d) ein metrischer Raum, In : Y -+ X (n E N) meßbar, JLn :== In(v) (n E N) und a E X, J-La(B) :== XB(a) (B E ~) und gilt J-Ln ~ J-La, so gilt In -+ a n.M. (Warum ist hier - im Gegensatz zu Aufgabe 4.1 - der Begriff der Konvergenz In -+ a n.M. auch ohne die Voraussetzung der Separabilität von (X, d) sinnvoll?)
4.3. Es seien J-L,J-Ln (n E N) endliche Maße auf der (j-Algebra Ql über der Menge X. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: a) Für alle A E Ql gilt limn --+ oo JLn(A) == J-L(A). b) Für alle I E ~oo (X, Ql, J-L) gilt lim /, I dJLn == /, I dJ-L . n--+oo X X
4.4. Es seien X ein lokal-kompakter Hausdorff-Raum und JL, JLn (n E N) endliche Radon-Maße auf ~(X). Die Folge (J-Ln)n>l heiße schwach konvergent gegen J-L (kurz: J-Ln ~ JL), wenn für alle I E Cb(X) die GI. (4.3fgilt. Zeigen Sie: a) Der Limes einer schwach konvergenten Folge endlicher Radon-Maße ist eindeutig bestimmt. b) Die Folge (J-Ln)n>l konvergiert genau dann schwach gegen J-L, wenn (J-Ln)n>l vage gegen J-L konvergiert und li~n--+oo J-Ln(X) == J-L(X) ist. 4.5. Ist J-L ein Borel-Maß auf dem topologischen Raum X, so bilden die J-L-randlosen Teilmengen von X eine Algebra, aber nicht notwendig eine (j-Algebra. M+(~) (n E N). Dann sind folgende Aussagen a)-d) äquivalent: a) JLn ~ JL. b) Für jede J-L-randlose abgeschlossene Menge A c X ist lim n--+ oo J-Ln(A) == J-L(A). c) Für jede J-L-randlose offene Menge U c X ist lim n--+ oo JLn(U) == J-L(U). d) Für jede offene Menge U c X ist limn--+ooJ-Ln(U) 2: J-L(U), und für jede abgeschlossene Menge A c X ist limn--+ooJ-Ln(A) :::; J-L(A).
4.6. Es seien X ein metrischer Raum und J-L, J-Ln E
4.7. Ist (X, d) ein metrischer Raum, so heißt eine Funktion I : X -+ IR Lipschitz-stetig genau dann, wenn es eine Konstante C 2: 0 gibt, so daß für alle x, y E X gilt: I/(x)- l(y)1 :::; Cd(x, y). Sind weiter J-L,J-Ln E M+(~) (n E N), so sind folgende Aussagen äquivalent:
§ 4. Schwache Konvergenz und schwache Kompaktheit
409
a) J-ln ~ J-l. b) Für jede gleichmäßig stetige Funktion 1 E Cb(X) gilt limn --+ oo c) Für jede Lipschitz-stetige Funktion 1 E Cb(X) gilt lim n --+ oo
Ix 1 dJ-ln == Ix 1 dJ-l. Ix 1 dJ-ln == Ix 1 dJ-l.
4.8. Sind (X, d) ein metrischer Raum und J-l, v E M+(~), so sind folgende Aussagen äquivalent: a) J-l == v. b) Für jede gleichmäßig stetige Funktion 1 E C b(X) ist 1 dJ-l == 1 dv. c) Für jede Lipschitz-stetige Funktion 1 E Cb(X) ist 1 dJ-l == 1 dv.
Ix
Ix
Ix
Ix
4.9. Es sei (Fn )n2 1 eine gleichmäßig beschränkte Folge von Verteilungsfunktionen auf IR, und es gebe eine abzählbare Menge C c IR und eine Funktion G : IR \ C ---+ IR, so daß Fn(x) ---+ G(x) (n ---+ 00) für alle x E IR\ C. Dann gibt es eine Verteilungsfunktion F : IR ---+ IR, so daß (Fn )n2: 1 vage gegen F konvergiert. 4.10. Ist (X, d) ein polnischer Raum, so ist jede schwach konvergente Folge von Maßen aus M+(~) straff und beschränkt. 4.11. Es seien X, Y metrische Räume, J-ln ~ J-l. Dann gilt I(J-ln) ~ I(J-l)·
1:X
---+ Y stetig und J-l, J-ln E M+(~) (n E N) mit
4.12. Eine Folge (J-ln)n>l endlicher Borel-Maße auf [O,oo[ ist straff genau dann, wenn es eine monoton wachsende Funktion 1 : [0,00[---+ [O,oo[ gibt mit I(x) ---+ 00 (x ---+ 00) und 00 SUPnEN 10 1 dJ-ln < 00. 4.13. Es seien (X,d) ein metrischer Raum und für J-l,J-ln E M+(~) (n E N) gelte J-ln ~ J-l. Dann gilt für jede nicht-negative stetige Funktion 1 : X ---+ [0,00[:
lim n--+oo
r1
Jx
dJ-ln
~
r1
Jx
dJ-l .
(Hinweis: Für jedes m E N ist min(/,n) E Cb(X) und min(/,n)
t I.)
4.14. Es seien (Y, Q:, v) ein endlicher Maßraum, (X, d) ein separabler (!) metrischer Raum, I, 9 : Y ---+ X zwei meßbare Abbildungen und I(v), g(v) die zugehörigen Bildmaße auf ~(X). Ferner bezeichne p die Halbmetrik aus Aufgabe VI.4.5, d.h.
p (I, g) == inf{c
~
0 : v ({ d (I, g)
> c}) ::; c} .
Dann besteht zwischen p und der Prochorov-Metrik 8 folgende Beziehung: 8(/(v), g(v)) ::; p(/, g) .
Anhang A Topologische Räume Im folgenden stellen wir ohne Beweise einige Begriffe und Sachverhalte aus der Topologie zusammen. Bei Bedarf sind die Lehrbücher von BOURBAKI [6], [7], DUGUNDJI [1], ENGELKING [1], KELLEY [1], V. QUERENBURG [1] und SCHUBERT [1] zuverlässige Ratgeber.
A.l. Ein topologischer Raum (X, D) ist eine Menge X versehen mit einem System D von Teilmengen von X, so daß folgende Axiome erfüllt sind: (0.1) Jede Vereinigung von Mengen aus D gehört zu D; 0 E D. (0.2) Jeder endliche Durchschnitt von Mengen aus D gehört zu D; X E D. Die Elemente x E X heißen Punkte, die Elemente von D heißen die offenen Mengen von X, und D heißt die Topologie von X. Speziell ist ~(X) eine Topologie auf X, die sog. diskrete Topologie. Ist (X, d) ein metrischer (oder halbmetrischer) Raum und D das System aller Mengen V C X mit der Eigenschaft, daß zu jedem a E V ein c > 0 existiert mit K e(a) C V, so ist D eine Topologie auf X. In diesem Sinne ist jeder (halb- )metrische Raum ein topologischer Raum. - Im folgenden sei stets (X, D) ein topologischer Raum, soweit nichts anderes gesagt ist.
A.2. Sind a E X, V C X, so heißt V eine Umgebung von a, wenn es ein U E D gibt mit a E U C V;U(a) :== {V C X : V Umgebung von a} heißt der Umgebungsfilter von a. X heißt separiert oder ein Hausdorff-Raum, wenn zu allen a, b E X, a -# b Umgebungen U von a, V von b existieren mit U n V == 0 (Hausdorffsches Trennungsaxiom). Jeder metrische Raum ist ein Hausdorff-Raum. - Sind A, V c X, so heißt V eine Umgebung von A, wenn ein U E D existiert mit A c U c V. (Man beachte: Bei dieser Terminologie brauchen die Umgebungen keine offenen Mengen zu sein.)
A.3. Eine Menge Q) c D heißt eine Basis von D, wenn jedes A E D Vereinigung (nicht notwendig abzählbar vieler) Mengen aus Q) ist. Eine Menge mC U( a) heißt eine Umgebungsbasis von a, wenn zu jedem U E U(a) ein V E mexistiert mit V C U. Zum Beispiel bilden die Mengen Ke(a) (c > 0) eine Umgebungsbasis von a im (halb-)metrischen Raum (X,d), und die Mengen Ke(a) (a E X, c > 0) bilden eine Basis der Topologie von (X, d). - Der Raum (X, D) genügt dem ersten Abzählbarkeitsaxiom, wenn jedes a E X eine abzählbare Umgebungsbasis hat. Jeder (halb- )metrische Raum genügt dem ersten Abzählbarkeitsaxiom. - (X, D) erfüllt das zweite Abzählbarkeitsaxiom, wenn Deine abzählbare Basis hat. A.4. Eine Menge A C X heißt abgeschlossen, wenn Ac offen ist. Jeder Durchschnitt abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen; X ist abgeschlossen. Jede endliche Vereinigung abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen; 0 ist abgeschlossen. Zu jedem A C X gibt es eine bez. mengentheoretischer Inklusion kleinste abgeschlossene Menge F mit F ::J A, nämlich den
411
A. Topologische Räume
Durchschnitt aller abgeschlossenen Teilmengen von X, die A umfassen. Diese Menge F heißt die abgeschlossene Hülle von A und wird mit A bezeichnet. Die Punkte b E A heißen die Berührungspunkte von A. Es gilt b E A genau dann, wenn U n A i= f/J für alle U E U(b). Ist sogar U n (A \ {b}) i= f/J für alle U E U( b), so heißt b ein Häufungspunkt von A. - Sind A, B C X, so heißt A dicht in B, falls B c A. X heißt separabel, wenn X eine abzählbare dichte Teilmenge hat. Jeder topologische Raum, der dem zweiten Abzählbarkeitsaxiom genügt, ist separabel. Jeder separable (halb- )metrische Raum genügt dem zweiten Abzählbarkeitsaxiom. A.5. Zu jedem A
c
X gibt es eine größte offene Teilmenge U
c
A, nämlich die Vereinigung
aller offenen Teilmengen von A. Diese Menge U heißt der offene Kern von A und wird mit
A
bezeichnet. Die Punkte x EA heißen innere Punkte von A. Es gilt (A)C == Ac. A.6. Ist Y c X, so ist D I Y :== {U n Y : U E D} eine Topologie auf Y, die Spurtopologie oder Relativtopologie von D auf Y. (Y, D I Y) heißt ein Teilraum von (X, D).
A.7. Sind X, Y topologische Räume und I : X -t Y eine Abbildung, so heißt I stetig in a E X, falls zu jeder Umgebung V von I(a) eine Umgebung U von a existiert, so daß I(U) C V. Die Abbildung I : X -t Y heißt stetig, wenn sie in jedem Punkt a E X stetig ist. Kompositionen stetiger Abbildungen sind stetig. Eine Abbildung I : X -t Y ist genau dann stetig, wenn 1- 1 (V) offen ist in X für jede offene Menge V C Y. I : X -t Y heißt eine topologische Abbildung oder ein Homöomorphismus, wenn I bijektiv ist und wenn I : X -t Y und 1-1 : Y -t X beide stetig sind. Existiert ein Homöomorphismus I : X -t Y, so heißen X und Y homöomorph.
A.8. Sind 6 und '1' zwei Topologien auf der gleichen Menge X, so heißt 6 feiner als '1' (und '1' gröber als 6), falls '1' C 6. A.9. Sind (X, 6), (Y, '1') topologische Räume, so gibt es eine gröbste Topologie D auf X x Y, welche die kanonischen Projektionen prx : X x Y -t X, (x, y) H X und pry : X x Y -t Y, (x, y) H Y stetig macht; D heißt die Produkttopologie von 6 und '1' und (X x Y, D) das topologische Produkt von (X,6) und (Y, '1'). Die Mengen U x V (U E 6, V E '1') bilden eine Basis von D. Eine Abbildung 9 : (Z,9'\) -t (X X Y, D) ist genau dann stetig, wenn prx 0 9 und pry 0 9 stetig sind. Entsprechendes gilt für Produkte endlich vieler topologischer Räume. A.I0. Ein System U offener Teilmengen von X heißt eine offene Überdeckung von A C X, falls A C UU EU U. Eine Teilmenge 'I der Überdeckung U von A heißt eine Teilüberdeckung, falls 'I eine Überdeckung von A ist. X heißt kompakt, wenn jede offene Überdeckung von X eine endliche Teilüberdeckung hat. Eine Menge A C X heißt kompakt, wenn der Teilraum (A, DIA) kompakt ist, und A heißt relativ kompakt, wenn A kompakt ist. (Viele Autoren verlangen von einem kompakten topologischen Raum zusätzlich, daß das Hausdorffsche Trennungsaxiom erfüllt ist, und nennen die im obigen Sinne kompakten Räume "quasikompakt" .) Jede abgeschlossene Teilmenge eines kompakten Raums ist kompakt. Jede kompakte Teilmenge eines Hausdorff-Raums ist abgeschlossen.
A.ll. Eine Familie ~ von Teilmengen von X hat die endliche Durchschnittseigenschaft, wenn jeder endliche Durchschnitt von Mengen aus ~ nicht-leer ist. X ist kompakt genau dann, wenn für jede Familie ~ abgeschlossener Teilmengen von X, welche die endliche Durchschnittseigenschaft hat, der Durchschnitt aller Mengen aus ~ nicht-leer ist. A.12. Es sei I : X -t Y eine Abbildung von X in den topologischen Raum Y. Ist I stetig und K C X kompakt, so ist I(K) eine kompakte Teilmenge von Y. - I heißt offen (bzw. abgeschlossen), wenn für jede offene (bzw. abgeschlossene) Menge A C X die Bildmenge I(A) offen (bzw. abgeschlossen) in Y ist. Ist X kompakt, so ist jede stetige Abbildung I : X -t Y in einen Hausdorff-Raum Y abgeschlossen. Daher ist jede stetige bijektive Abbildung eines kompakten Raums X auf einen Hausdorff-Raum Y ein Homöomorphismus.
412
A. Topologische Räume
A.13. Eine Folge (Xn)n~l in X heißt konvergent gegen a E X, wenn zu jedem U E ll(a) ein no E N existiert, so daß X n E U für alle n 2:: no. Der Punkt a E X heißt ein Häufungswert von (x n )n2: 1 ' wenn es zu jeder Umgebung U von a unendlich viele n E N gibt mit X n E U. A.14. X heißt abzählbar kompakt, wenn jede abzählbare offene Überdeckung von X eine endliche Teilüberdeckung hat. X ist abzählbar kompakt genau dann, wenn jede Folge in X einen Häufungswert hat. Ist (X, d) eine halbmetrischer Raum, so sind folgende Aussagen äquivalent: (i) X ist kompakt. (ii) X ist abzählbar kompakt. (iii) Jede Folge in X hat eine konvergente Teilfolge. Jede stetige Funktion auf einem abzählbar kompakten Raum ist beschränkt und nimmt ihr Maximum und ihr Minimum an. A.15. Es seien I eine Indexmenge und ((Xl,' Dl,))l,EI eine Familie topologischer Räume. Das cartesische Produkt X :== ITl,EI Xl, ist definiert als Menge aller Abbildungen x : I --t Ul,EI Xl,' so daß Xl, :== x(t) E Xl, für alle tEl; Schreibweise: x == (Xl,)l,EI. Sind alle Xl, f 0(t EI), so ist X f 0 (Auswahlaxiom). Das System aller Mengen der Form ITl,EI Ul, ' zu denen eine endliche Menge E C I existiert, so daß U l, E D für alle tEE und U l, == Xl, für alle tEl \ E, bildet die Basis einer Topologie D auf X, der Produkttopologie der D l, (t E I). Dieses ist die gröbste Topologie auf X, die alle Projektionen pr K : X --t XK,prK((xl,)l,EI) :== xK(K, E I) stetig macht. Alle prK(K, E I) sind offene Abbildungen. Satz von Tychonoff (1935): Sind alle (Xl,' Dl,)(t E I) kompakt, so ist (X, D) kompakt. l,
A.16. X heißt regulär, wenn für jedes a E X die abgeschlossenen Umgebungen von a eine Umgebungsbasis von a bilden. X heißt vollständig regulär, wenn es zu jedem a E X und jeder abgeschlossenen Menge FeX mit a ~ F eine stetige Funktion f : X --t [0,1] gibt mit f(a) == 0, f I F == 1. X heißt normal, wenn es zuje zwei abgeschlossenen Mengen A, B C X mit An B == 0 Umgebungen U von A und V von B gibt mit U n V == 0. Jeder vollständig reguläre Raum ist regulär. Jeder kompakte Hausdorff-Raum ist normal. Jeder (halb-)metrische Raum ist normal und vollständig regulär. A.17. X heißt lokal-kompakt, wenn jedes a E X eine kompakte Umgebung hat. (Viele Autoren verlangen von einem lokal-kompakten Raum zusätzlich, daß das Hausdorffsche Trennungsaxiom erfüllt ist; wir folgen hier KELLEY [1] mit der Terminologie.) Ist X lokal-kompakt und Hausdorffsch oder regulär, so bilden für jedes a E X die abgeschlossenen und kompakten Umgebungen von a eine Umgebungsbasis. Insbesondere ist jeder lokal-kompakte Hausdorff-Raum regulär. A.18. Es seien X ein Hausdorff-Raum, w ~ X,X .- X U {w} und D .- D U {X \ K K C X kompakt }. Dann ist (X,.o) ein kompakter topologischer Raum, und (X,D) ist ein Teilraum von (X, D). Ist X nicht kompakt, so ist X ein offener dichter Teilraum von X. X ist Hausdorffsch genau dann, wenn X ein lokal-kompakter Hausdorff-Raum ist. (X, .0) heißt die Alexandroff-Kompaktijizierung von (X, D). A.19. Es sei X ein lokal-kompakter Hausdorff-Raum. X heißt a-kompakt oder abzählbar im Unendlichen, wenn X darstellbar ist als abzählbare Vereinigung kompakter Mengen. Folgende Aussagen sind äquivalent: (i) X ist a-kompakt. (ii) w E X hat eine abzählbare Umgebungsbasis. (iii) Es gibt eine Folge offener relativ kompakter Mengen Un C X(n E N) mit Un C Un + 1 (n E N) und U~=l Un == X. A.20. Urysohnsches Lemma. X ist normal genau dann, wenn es zu je zwei disjunkten abgeschlossenen Mengen A, B c X eine stetige Funktion f : X --t [0,1] gibt mit f I A == 0, f I B == 1. Insbesondere ist jeder normale Hausdorff-Raum vollständig regulär. Es folgt: Jeder lokal-kompakte Hausdorff-Raum ist vollständig regulär, denn er ist Teilraum seiner kompakten, also normalen, also vollständig regulären Alexandroff-Kompaktifizierung, und jeder Teilraum eines vollständig regulären Raums ist vollständig regulär.
A. Topologische Räume
413
A.21. Metrisationssätze. Ist X ein Hausdorff-Raum mit abzählbarer Basis, so sind folgende Aussagen äquivalent: (i) X ist vollständig regulär. (ii) X ist regulär. (iii) X ist normal. (iv) X ist metrisierbar. Ein kompakter Hausdorff-Raum ist genau dann metrisierbar, wenn er eine abzählbare Basis hat. Ist X ein lokal-kompakter Hausdorff-Raum, so sind folgende Aussagen äquivalent: (i) X hat eine abzählbare Basis. (ii) X ist metrisierbar. (iii) X ist metrisierbar und a--kompakt. A.22. X heißt vollständig metrisierbar, wenn es eine Metrik d auf X gibt, welche die Topologie von X definiert, so daß (X, d) ein vollständiger metrischer Raum ist. (Warnung: Ist (X, d) ein vollständiger metrischer Raum, so kann es durchaus eine andere Metrik d' auf X geben, welche ebenfalls die auf X vorhandene Topologie definiert, so daß (X, d') unvollständig ist.) Ein vollständig metrisierbarer Raum mit abzählbarer Basis heißt ein polnischer Raum. (Ein metrischer Raum hat genau dann eine abzählbare Basis, wenn er separabel ist.) Jeder separable Banach-Raum ist polnisch; insbesondere ist IRn ein polnischer Raum. Jeder kompakte metrisierbare Raum ist polnisch, d.h. jeder kompakte Hausdorff-Raum mit abzählbarer Basis ist polnisch. Jeder abgeschlossene und jeder offene Unterraum eines polnischen Raums ist polnisch. Das Produkt höchstens abzählbar vieler polnischer Räume ist polnisch. Jeder lokal-kompakte Hausdorff-Raum X mit abzählbarer Basis ist polnisch, denn er ist offener
X. - Ein Teilraum A eines polnischen Raums X ist genau dann polnisch, wenn A eine G<5 - Menge in X ist. Daher ist z.B. IR \ Q polnisch. Literatur: BOURBAKI [7], chap. 9, § 6, COHN [1], S. 251 ff., ENGELKING [1], 4.3., V. QUERENBURG [1], S. 148 ff., SCHUBERT [1]' S. 131 f. Teilraum des kompakten metrisierbaren (also polnischen) Raums
Anhang B
Transfinite Induktion Es sei Meine überabzählbare Menge. Nach dem Wohlordnungssatz (s. Kap. 111, § 3, 4.) existiert eine Wohlordnung ,,:S" auf M. Wir dürfen im folgenden gleich annehmen, daß M ein größtes Element 'rJ hat; sonst vergrößern wir M um ein weiteres Element 'f} mit der Maßgabe x :S 'f} für alle x E M und nennen die neue Menge wieder M. Für a E M sei M a :== {ß E M : ß < a}. Die Menge C :== {a E M : M a ist überabzählbar} enthält nach Voraussetzung das Element 'f}, d.h. C -::J 0, und da ,,:S" eine Wohlordnung ist, existiert ein kleinstes Element n E C. Die Menge I :== Mo hat nun folgende Eigenschaften: (i) I ist wohlgeordnet und überabzählbar. (ii) Für jedes a E I ist M a abzählbar. Man kann zeigen, daß I durch die Eigenschaften (i), (ii) bis auf eine ordnungstreue Bijektion eindeutig bestimmt ist. I ist ein Modell der Menge der abzählbaren Ordinalzahlen; n ist die kleinste überabzählbare Ordinalzahl. I hat kein größtes Element, denn wäre a E I größtes Element, so wäre ja I == M a U {a} abzählbar: Widerspruch. Für jedes a E I ist also die Menge {ß EI: ß > a} nicht-leer und hat daher ein eindeutig bestimmtes kleinstes Element. Dieses heißt der Nachfolger von a und wird mit a + 1 bezeichnet; a heißt der Vorgänger von a + 1 (und ist eindeutig bestimmt als größtes Element der Menge {ß : ß < a + 1}). Das kleinste Element von I nennen wir 0, sein Nachfolger 0 + 1 heiße 1, und so fortschreitend 1 + 1 == 2,2+ 1 == 3, ... können wir annehmen, daß w :== N U {O} c I. Wegen w C I :f-
gibt es ein kleinstes Element von I, das größer ist als alle Elemente von w. Dieses Element bezeichnen wir mit w, seinen Nachfolger mit w + 1, danach kommen w + 2, w + 3, ... ,w2, w2 + 1, w2 + 2, ... ,w3, ... ,w4, ... ,w5, ... ,w 2 , w 2 + 1, ... ,w 2 + W, .•• ,w 3 , .•• ,w 4 , •.. ,w w • (Hier ist W W ein Name für eine wohldefinierte Ordinalzahl, nicht die Menge aller Abbildungen von w in sich.) Alle oben genannten Elemente beschreiben wohldefinierte Ordnungstypen abzählbarer wohlgeordneter Mengen, aber es sind natürlich bei weitem noch nicht alle, denn auf W W folgen W + 1, ... ,w w + w, ... ,w w + w 2 , ••• ,w(WW), ... Die geniale Idee GEORG CANTORS bei der W Einführung der Ordinalzahlen besteht darin, mit dem Zählen einfach nicht aufzuhören. Eine Ordinalzahl kann einen Vorgänger haben (wie z.B. 1,2, w + 1) oder auch nicht (wie z.B. 0, w, w2). Eine Ordinalzahl ohne Vorgänger heißt eine Limeszahl. Anders als in N kommt man in I in abzählbar vielen Schritten nicht" bis zum Ende" , denn es gilt: Zu jeder Folge (a n )n>l in I gibt es ein ß E I mit ß > an für alle n E N. Begründung: Die Menge Un>l Man ist als abzählbare Vereinigung abzählbarer Mengen abzählbar. Daher gibt es ein 'Y E 1 \ Un>l Man' und ß :== 'Y + 1 leistet das Verlangte. Das von den natürlIchen Zahlen her bekannte Prinzip der vollständigen Induktion gestattet eine naheliegende Ausdehnung auf Ordinalzahlen. Speziell für die Menge I besagt das Prinzip der transfiniten Induktion: Es sei E(a) eine Aussage, die für alle a E I sinnvoll ist, und es gelte: (i) E(O) ist richtig.
415
B. Transfinite Induktion (ii) Aus E(a) folgt E(a + 1) (a EI). (iii) Ist, eine Limeszahl, und gilt E(a) für alle a Dann gilt E(a) für alle a E I.
< " so gilt auch E(,).
Beweis. Ist die Menge der a E I, für welche E(a) falsch ist, nicht-leer, so enthält sie ein kleinstes Element ,. Wegen (i) ist, > 0, und nach (ii) hat, keinen Vorgänger, ist also eine 0 Limeszahl. Da aber E(a) für alle a < , richtig ist, ergibt sich ein Widerspruch zu (iii). Das Prinzip der transfiniten Induktion gilt sinngemäß für jede wohlgeordnete Menge, nicht nur für die Menge I. Ähnlich wie man im Bereich der natürlichen Zahlen induktiv definieren kann, besteht auch in wohlgeordneten Mengen wie z.B. I die Möglichkeit der Definition durch
transfinite Induktion, von der wir in Kap. I, § 4 und in Kap. 111, § 3 Gebrauch machen. Literatur: DUDLEY [1], A.3, HAHN [2], Kap. I, § 7, HALMOS [2]' HEWITT-STROMBERG [1], sect. 4; s. auch die Beiträge von THIELE in EICHHORN-THIELE [1] und von KOEPKE in BRIESKORN
[1]'
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Namenverzeichnis Kursive Seitenzahlen verweisen auf Kurzbiographien ABBOTT, E.A. (1838-1926) 137 ABRAHAM, R. (1936-) 209, 416 ALEXANDROFF, A.D. (1912-1999)
314, 337, 384, 416 ALEXANDROFF, P.S. (1896-1982) 81,
325 ALFSEN, E.M. (1930-) 366,416 ANGER, B. (1941-) 332,337,416 ApPELL, P. (1855-1930) 41 ARCHIMEDES (287 (?)-212) 2, 170,
174 ARZELA, C. (1847-1912) 99, 187 ASCOLI, G. (1843-1896) 84 AUERBACH, H. (1901-1942) 310 BADRIKIAN, A. (1933-1994)342,416 BAIRE, R. (1874-1932) 30,37,42,158 BANACH, S. (1892-1945) 4, 5, 6, 93,
276, 284, 297, 298, 310, 337, 365, 416 BARI, N.K. (1901-1961) 325 BATT, J. 337,416 BAUER, H. (1928-2002) 24, 337, 383, 416 BECK, A. 95 BECK, J. 201 BEHRENDS, E. 167, 292, 322, 416 BELL, W.C. 283 BERBERIAN, S.K. (1926-) 416 BERG, C. 332, 416 BERGMANN, G. (1910-1998) 81 BERNOULLI, JAKOB (1654-1705) 121 BERNOULLI, JOHANN (1667-1748) 121 BERNSTEIN, F. (1878-1956) 6, 101, 102 BERTINI, E. (1846-1933) 187 BHASKARA RAO, K.P.S. 110,421 BIANCHI, L. (1856-1928) 99, 187 BILLINGSLEY, P. 17,384,394,416 BIRKHOFF, G. (1911-1996) 284,365 BLICHFELD, H.F. (1873-1945) 96 BOGACHEV, V.I. 379,416 BOIS-REYMOND, P. DU (1831-1889) 151, 180 BONNET, O. (1819-1892) 156 BOREL, E. (1871-1956) 3, 8, 17, 18, 33, 39, 41, 50, 55, 98, 119, 143, 145, 158f., 324f., 416
BOURBAKI, N. 1, 7, 87, 112, 318, 322,
332, 337, 353, 362, 366, 375, 383, 384, 410, 413, 416 BOUSSINESQ, V.J. (1842-1929) 160 BRADLEY, R.C. 280 BRAY, H.E. (1889-1978) 391,417 BRIESKORN, E. (1936-) 81,415,417 BRIGGS, J.M. 99 BROUWER, L.E.J. (1881-1966) 210, 213 BRUCKNER, A.M. 138, 417 BULIRSCH, R. (1932-) 58,417 BUNJAKOWSKI, V.J. (1804-1889) 225 BURKILL, J.C. (1900-1993) 158 BUTZER, P .L. (1928-) 325, 392 CANTOR, G. (1845-1918) 3,6,70-75, 81, 101, 169, 417 CANTOR, M. (1829-1920) 169 CARATHEODORY, C. (1873-1950) 5052,55, 57!, 76,274,314,417 CARLESON, L. (1928-) 239,325 CARNAP, R. (1891-1970) 276 CARTAN, H. (1904-2008) 366,417 CAUCHY, A.L. (1789-1857) 2, 159, 178,225 CAVALIERI, B. (1598-1647) 165, 169, 417 eECH, E. (1893-1960) 187 CHANDRASEKHARAN, K. (1920-) 200 CHATTERJI, S.D. (1935-) 178 CHINTSCHIN, A.JA. (1894-1959) 325 CHISHOLM YOUNG, G.E. (18681944) 137f., 299, 422 CHOQUET, G. (1915-2006) 332,417 CHRISTENSEN, J.P.R. (1944-) 87, 322, 332, 416f. CIESIELSKI, K. 93 f. COHEN, P.J. (1934-2007) 98 COHN, D.L. (1942-) 87,308,319,322, 413,417 COMFORT, W.W. (1933-) 36,417 CORLESS, R.M. 201 COURREGE, P. 417 DANIELL, P.J. (1889-1946) 284 DARBOUX, G. (1842-1917) 84, 159 DEDEKIND, R. (1831-1916) 3, 6, 11, 12
Namenverzeichnis
424 DEISER, O. 415, 417 DELLACHERIE, C. 78, 87, 322, 332, 417 DEMIDOV, 8.8. (1942-) 326 DENJOY, A. (1884-1974) 104, 325 DESCOMBES, R. 417 DEUBER, W. (1942-) 5 DICK, A. (1910-1993) 247 DIEROLF, 8. (1942-) 353f. DIEUDONNE, J. (1906-1992) 319,375,
417 DINI, U. (1845-1918) 99, 160, 187 DIRICHLET, P .G. (1805-1859) 2, 159,
163,216,417 DOETS, H.C. 36 DOOB, J.L. (1910-2004) 61,417 Doss, R. 272 DRESELER, B. 366, 375, 377, 421 DRINFEL'D, V.G. (1954-) 93 DUBINS, L.E. 5 DUDLEY, R.M. 415, 417 DUGUNDJI, J. (1919-1985) 410,417 DUNFORD, N. (1906-1986) 267,417 DYNKIN, E.B. (1924-) 24 EDA, K. 36 EDGAR, G. 417 EGOROFF, D.-TH. s. JEGOROW EICHHORN, E. 81,415,418 ENGELKING, R. (1935-) 36, 329, 342,
345,350,410,413,418 ENRIQUES, F. (1871-1946) 99 ERDÖS, P. (1913-1996) 94 ESCHERICH, G. VON (1849-1935) 49, 275f. EULER, L. (1707-1783) 2, 163, 180, 182 f. EVANS, C. 308, 418 FATOU, P. (1878-1929) 144, 145, 160, 244, 418 FEDERER, H. 77f., 80, 173, 211,308, 374, 418 FEJER, L. (1880-1959) 57,246,375 FICHTENHOLZ, G. (1888-1959) 179 FISCHER, E. (1875-1954) 160, 229, 231, 245 f., 247 FLORET, K. (1941-2002) 210, 319, 338, 362, 418 FORT, M.K. 287 FOURIER, J.B.J. (1768-1830) 196f. FRANCK, R. 272 FRECHET, M. (1878-1973) 27,34,55, 61,65,137,246,284,293,418,421 FREMLIN, D.H. (1942-) 314,316,418 FROBENIUS, G. (1849-1917) 57
FUBINI, G. (1879-1943) 99, 175, 179 ff., 187, 301 GAIER, D. (1928-2002) 80 GALILEI, G. (1564-1642) 5, 165 GARDNER, R.J. 94, 313, 318 f., 418 GARIEPY, R.F. 308,418 GAUSS, C.F. (1777-1855) 182,208 GEORGE, C. 418 GILLMAN, L. (1917-) 36 GIUSTI, E. 169, 418 GLEASON, A. (1921-2008) 365 GLIWENKO, W.I. (1897-1940) 325 GÖDEL, K. (1906-1978) 276 GOLCZEWSKI, F. 247 GOLDSCHEIDER, F. (1852-1926) 184 GRATTAN-GUINNEsS, I. (1941-) 138 GREEN, G. (1793-1841) 185 GREUB, W. (1925-) 99 GUREVICH, B.L. 308, 421 HAAR, A. (1885-1933) 90, 246, 312, 351,356 f., 362, 364ff., 375f., 418 HACKENBROCH, W. 57 HADAMARD, J. (1865-1963) 246,325 HADWIGER, H. (1908-1981) 418 HAGOOD, J.W. 283 HAHN, H. (1879-1934) 22,25,49,55, 61,65,80,87,100,171,269,271[,274, 275f., 286, 308, 314,322, 415,418 HAJLASZ, P. 211 HALMOS, P .R. (1916-2006) 34, 314, 319, 415, 418 HARDY, G.H. (1877-1947) 138,179 HARNACK, A. (1851-1888) 3,245 HARPE, P. DE LA 93 HAUSDORFF, F. (1868-1942) 4, 12,
14,18,26,78,80,87,94,172,245,322, 417,418 HAWKINS, T. 3,418 HEIBERG, J.L. (1854-1928) 170,174 HEINE, E. (1821-1881) 39 HEINS, M. (1915-) 301 HELLY, E. (1884-1943) 379, 386,
388 f., 418 HERMITE, C. (1822-1901) 159 HEWITT, E. (1920-1999) 73, 75, 88,
93, 101, 169, 354, 366, 375, HILBERT, D. 246, 276, 365,
264, 267, 283, 293, 337, 415, 418 (1862-1943) 12, 57, 80, 375 HIRSCH, M.W. (1933-) 209 HOBSON, E.W. (1856-1933) 181 HOFFMANN-J0RGENSEN, J. (1929-) 87,322,418
Namenverzeichnis
425
HÖLDER, O. (1859-1937) 223,226 HOPF, E. (1902-1983) 61,418 HUNT, R.A. 240 HURWITZ, A. (1859-1919) 364 IGOSHIN, V.1. 323, 419 JACOBI, C.G.J. (1804-1851) 168,
LANDKOF, N.S. 217 LANG, R. 68 LANGEVIN, P. (1872-1946) 158 LAPLACE, P.S. (1749-1827) 182 LAWRENTJEW, M.A. (1900-1980) 325 LEBESGUE, H. (1875-1941) 3, 17,26,
183, 201, 203, 214 JACOBS, K. (1928-) 419 JAYNE, J. 87, 322, 421 JEAN, R. 419 JECH, T. (1944-) 36 JEGOROW, D.F. (1869-1931) 250, 252 f., 325 ff. JENSEN, J.L.W.V. (1876-1925) 220ff., 226 JERISON, M. (1922-1995) 36 JORDAN, C. (1838-1922) 3,4,57,69, 80, 158, 180, 274 J0RSBOE, O. 298 J USCHKEWITSCH, A. P . ( 1906-1993) 326 KAHANE, J.-P. (1926-) 246,419 KAKUTANI, S. (1911-2004) 93, 337, 365 f., 419 KALLENBERG, O. 419 KAMKE, E. (1890-1961) 298,419 KELETI, T. 25,419 KELLEY, J.L. (1916-1999) 292, 341, 353, 410, 412, 419 KEPLER, J. (1571-1630) 174 KHARAZISHVILI, A.B. 173,419 KISYNSKI, J. (1933-) 332,419 KIYOSAWA, T. 36 KLEIN, F. (1849-1925) 57, 138, 276 KLINE, J .R. 80 KNOPP, K. (1882-1957) 80 KODAIRA, K. (1915-1997) 93 KOECHER, M. (1924-1990) 92,95,419 KOEPKE, P. 415 KOLMOGOROFF, A.N. (1903-1987) 34,59,61,240,325,419 KÖLZOW, D. (1930-) 308,419 KOMJATH, P. 201 KÖNIG, H. (1929-) 332,419 KOWALEVSKY, S. v. (1850-1891) 137 KRONECKER, L. (1823-1891) 183,201 KUNZE, R.A. 365,374,421 KURATOWSKI, K. (1896-1980) 320, 322,419 KY FAN (1914-) 259 LACZKOVICH, M. (1948-) 94 LAGRANGE, J.L. (1736-1813) 2
33,34,39,42,49,50,55,58,65,73,80, 83-85,89, 98f., 104,119, 140f., 144ff., 151 f. 157ff., 239, 245 f., 253, 255, 274, 284ff., 299ff., 304ff., 322, 324f., 419 LEIBNIZ, G.W. (1646-1716) 121 LEINFELDER, H. (1946-) 215 LEJA, F. (1885-1979) 364 LEMARIE-RIEUSSET, P.G. (1960-) 246, 419 LETTA, G. 301 LEVI, B. (1875-1961) 125, 126f., 180 LEVIN, A.E. 326 LEVSHIN, B.V. 326 LEVY, A. 36 LINDEMANN, F. (1852-1939) 57 LIU, Y.-Y. 82 LJUSTERNIK, L.A. (1899-1981) 325 LOEVE, M. (1907-1979) 391,419 LOMNICKI, Z. (1881-1941) 171 LOOMIS, L.H. (1915-1994) 362, 366, 420 LORENTZ, G.G. (1910-2006) 323,420 LUKACS, E. (1906-1987) 420 LUSIN, N. (1883-1950) 42, 87, 253, 322 ff., 324 ff., 420 MAHARAM, D. (1917-) 56 MARBO, C. 41 MARCZEWSKI, E. (1907-1976) 93,320 MARGULIS, G.A. (1946-) 93 MARKOFF, A.A. (1856-1922) 314 MARKOFF, A.A. (1903-1979) 314, 420 MARLE, C.-M. 420 MARSDEN, J.E. (1942-) 209,416 MATTILA, P. 78, 420 MATTNER, L. 149, 179,420 MAYRHOFER, K. (1899-1969) 69,420 MAZURKIEWICZ, S. (1888-1945) 80 MEDVEDEV, F.A. (1923-1993) 246, 420 MEJLBRO, L. 298 MENGER, K. (1902-1985) 276 MENSCHOW, D. JE. (1892-1988) 325 MERTENS, F. (1840-1927) 247,276 MEYER, P .-A. (1934-2003) 322, 332, 417,420 MILNOR, J. (1931-) 179,209,420 MINKOWSKI, H. (1864-1909) 96, 224ff., 276
Namenverzeichnis
426 MONTEL, P.
(1876-1975) 158, 160,
421 MONTGOMERY,
D. (1909-1992) 365,
420 MooRE, G.H. 99, 102, 420 MooRE, R.L. (1882-1974) MORITA, K. 36 NACHBIN, L. (1922-1993)
PREISS, D. 25,419 PRINGSHEIM, A. (1850-1941) 180 PRIWALOW, LI. (1891-1941) 325 PROCHOROV, J.V. (1929-) 320, 378f.,
392 ff., 401 ff. 80
PUZYNA, J. (1856-1919) 284 QUERENBURG, B. V. 312,350,410,413,
366, 375,
421
420 NAGATA, J. (1925-) 36 NARASIMHAN, R. (1937-) 209,420 NATANSON, I.P. (1930-2003) 391,420 NEGREPONTIS, S. 36, 417 NEUMANN, J. VON (1903-1957) 4,20,
26,42,281,314,357,362,364,420 NEUMARK, M.A. (1909-1978) 377 NEVEU, J. 420 NIKODYM, O. (1887-1974) 279, 284f., 420 NOETHER, E. (1882-1935) 247 NOWIKOW, P.S. (1901-1975) 325 NYMANN, J.E. 75 OHTA, H. 36 OSGOOD, W.F. (1864-1943) 80 OXTOBY, J.C. (1910-1991) 93, 321, 365, 420 PAINLEVE, P. (1863-1933) 42 PARSEVAL, M.-A. (1755-1836) 199 PARTHASARATHY, K.R. 87, 322, 420 PAUL, S. 326 PEANO, G. (1858-1932) 3, 4, 69, 80, 126, 420 PELC, A. 93 PERRON, O. (1880-1975) 57 PETER, F. (1899-1949) 364 PETERSON, H.L. 319 PFEFFER, W.F. 313, 318f., 418, 420 PICARD, E. (1856-1941) 160 PIER, J .-P. 421 PINCHERLE, S. (1853-1936) 187 PLANCHEREL, M. (1885-1967) 198 PLANCK, M. (1858-1947) 57 PLATEAU, J.A.F. (1801-1883) 158 PLESSIS, N. DU 217 POINCARE, H. (1854-1912) 325 POLLARD, D. 332, 337, 421 POMPEIU, D. (1873-1954) 186 PONCET, J. 374 PONTRJAGIN, L.S. (1908-1988) 365 POPPER, K. (1902-1994) 276 PORTENIER, C. 332, 337, 416 PRATT, J.W. 259f.
RAABE, J.L. (1801-1859) 217 RADON, J. (1887-1956) 34, 43,
48f., 65, 137,265,274,284,286[, 337,421 RAISONNIER, J. 99 RAO, B.V. 173 RAO, M.M. (1929-) 179,421 RATlU, T. (1950-) 209,416 REIDEMEISTER, K. (1893-1971) 276 REITER, H. (1921-1992) 200,366,421 REMMERT, R. (1930-) 149, 156, 186, 218, 374 RESSEL, P. (1948-) 332,416 RIEMANN, B. (1826-1866) 2, 83f., 151, 185, 421 RIESZ, F. (1880-1956) 42, 126, 136f., 160,226,229,231,237,243, 245, 246f., 254 ff., 263, 265, 281, 285, 293, 300 f., 312,328,335,337,375[,392,421 RIESZ, M. (1886-1969) 247 ROBERT, A. 249 ROELCKE, W. (1928-2005) 353 ROGERS, C.A. (1920-2005) 78, 87, 322, 421 ROGERS, L.J. (1862-1933) 226 ROOIJ, A.C.M. VAN (1936-) 146,421 ROSENTHAL, A. (1887-1959) 3, 26, 100, 276, 308, 314, 418, 421 Ross, K.A. 93, 337, 354, 366, 375, 418 RUDIN, W. (1921-) 211,308,337,362, 366, 421 RUZIEWICZ, S. (1889-1941) 93,285 SAGAN, H. 80, 421 SAKS, S. (1897-1942) 26, 87, 285f., 298, 308, 310 314, 322, 337, 365, 421 SAMELSON, H. (1916-2006) 49 SARD, A. 209 SARNAK, P. (1953-) 93 SCHAFFTER, T. 99 SCHAUDER, J. (1899-1943) 285 SCHEFFE, H. (1907-1977) 149,261 SCHEMPP, W. (1938-) 366, 375, 377, 421 SCHIKHOF, W.H. 146,421 SCHMIDT, E. (1876-1959) 57,246 SCHNIRELMAN, L.G. (1905-1938) 325 SCHREIER, O. (1901-1929) 364 SCHUBERT, H. (1919-2001) 30, 36, 312, 324, 410, 413, 421
427
Namenverzeichnis SCHUR, I. (1875-1941) 364 SCHWARTZ, J.T. (1930-) 207, 210,
L.
(1885-1946)
180f.,
187f., 253, 309 f. TOPS0E, F. (1938-) 298, 332, 337,
267,417 (1915-2002) 313f., 319, 322, 332, 337, 346, 421 SCHWARZ, H.A. (1843-1921) 57,225 SEGAL, I.E. (1918-1998) 292, 365, 374, 421 SEGRE, B. (1903-1977) 187 SEGRE, C. (1863-1924) 126 SEMADENI, Z. 295, 337, 351, 421 SEVERINI, C. 253 SHELAH, S. (1945-) 99 SHILOV, G.E. (1917-1975) 308,421 SHORTT, R.M. 110,421 SIERPINSKI, W. (1882-1969) 18, 24, 25, 42, 80, 93, 99(, 169,272,284, 302, 310, 320, 422 SIGMUND, K. (1945-) 276 SIMADER, C. (1943-) 215 SMITH, H.J.S. (1826-1883) 84 SOLOVAY, R.M. (1938-) 98f., 422 SRIVASTAVA, S.M. 322, 422 STEINER, J. (1796-1863) 172 STEINHAUS, H. (1887-1972) 68, 201, 284 STEPANOW, W.W. (1899-1950) 325 STERN, J. 99 STERNBERG, S. 209 STIELTJES, T.J. (1856-1894) 33, 34, 37, 49, 159 STOLZ, O. (1842-1905) 138 STROMBERG, K. (1931-1994) 5, 75, 80, 88, 101 f., 169, 264, 267, 283, 293, 310, 337, 415, 418, 422 SULLIVAN, D. (1941-) 93 SUSLIN, M.J. (1894-1919) 322,418 SZABO, L. 69,422 SZ.-NAGY, B. (1913-1998) 246, 301, 421 SZPILRAJN, E. s. MARCZEWSKI, E. TAKACS, L. (1924-) 311 TANNERY, J. (1848-1910) 41 TARSKI, A. (1902-1983) 4,5,6 TAYLOR, A.E. (1911-1999) 422 TAYLOR, S.J. 422 THIELE, E.-J. 81,415,418 THOMAE, J.K. (1840-1921) 84, 138 THOMSON, B.S. 138,417 THOMSON, W. (1824-1907) 208 TIETZE, H. (1880-1964) 324 TIKHOMIROV, B.V. 325 SCHWARTZ,
TONELLI,
L.
421, 422 TSENG, S. 80 ULAM, S.M. (1909-1984) 163, 171,
320 ff., 380, 393, 420, 422 URYSOHN, P.S. (1898-1924) 325 VALETTE, A. 93 VALLEE POUSSIN, C. DE LA (18661962) 34, 42, 119, 181, 422 VARADARAJAN, V.S. (1938-) 337, 341,422 VITALI, G. (1875-1932) 5, 50,96-99, 99, 111, 151, 160, 245, 262 (, 283 f., 296 ff., 303 ff., 306, 310, 324, 422 VOLTERRA, V. (1860-1940) 84, 126, 146 WAGON, S. 4,6, 93f., 422 WALTER, W. (1927-) 2, 37, 69, 134, 153, 185, 202 WEIERSTRASS, K. (1815-1897) 137 WEIL, A. (1906-1998) 351, 357, 362, 365 (, 370, 373, 422 WEYL, H. (1885-1955) 232,246,253, 256, 364f. WHEEDEN, R.L. 308,422 WHEELER, R.F. 338, 342, 422 WIDOM, H. (1932-) 422 WIENER, N. (1894-1964) 199 WILENKIN, N.JA. (1920-1991) 325f. WINGREN, P. 82 WILKOSZ, W. (1891-1941) 284 WIRTINGER, W. (1865-1945) 276 YOSIDA, K. (1909-1990) 286,422 YOUNG, G.C. (1868-1944) 137f. 299, 422 YOUNG, W.H. (1863-1942) 34, 50, 119 f., 122, 128, 136 f., 137, 153, 181, 245, 299, 422 ZAANEN, A.C. (1913-2003) 4,20,308, 422 ZERMELO, E. (1871-1953) 57,81,98, 101 ZEUTHEN, H.G. (1839-1920) 170,174 ZIPPIN, L. (1905-1995) 365,420 ZORETTI, L. (1880-1948) 421 ZYGMUND, A. (1900-1992) 245, 308, 422
SYlllbolverzeichnis N, Z, Q, IR,
ce 6
~(X)
6 [a, b], Ja, b], [a, b[, Ja, b[ 7, 8 AC,A \B,A6B 7 f(A), f-1(B), f-1(~) 7
flA
8
X 1 x ... xXp,X P 8 x == (Xl" .. ,Xp)t E IRP, IIxlI, Kr(a) 8 limn-too An, limn-too An 8 XA 10 0-( <E) 16 ~(X), ~P, ~ == ~1 18 DP,
C(IRP), Cc(IRP), C~(IRP) 134 f.ü. == fast überall 140 (R-) f(x) dx 152 Q(® ~ 164 Ma,M b 164 j1® v 167,351 EB Q(j 170 j11 ® ... ® j1n 170 f * g Faltung 193 Dkg == Og/8Xk, Da g, x a 194 j1p == (21r) -p/2 ßP 195 1, fV 195 S(IRP) 200 Dt == (8ti/ 8Xk) 202 IITII202 ß~ == ßP I ~~,'\~ == ,\P I ~~ 203 Np(f), Noo(f) 223 L P == L P (j1), L oo 229, 230 Ilfll p , Ilflloo 229, 230 LP == LP (j1) 230 (f, g) 235 n.M. == nach Maß 254 fn ~ f 263 v+, v-, 272,278 v ..1 p 273 Ilvll == Ivl(X) 275 v «j1 279 dv/dj1 282 Co(IRm) 295 D+ f, D+f, D- f, D-f 298 D,
J:
7=1
lvi
A
8A == A\ 384 Fn ~ F 387 5(j1, v) 402 U(a) 410
A,A 411
Sachverzeichnis Abbildung, abgeschlossene 411 -, affine 91 f. -, meßbare 86 -, offene 411 -, orthogonale 91 -, partielle 45, 114 -, stetige 411 -, topologische 411 Abbildungsgrad 215 abgeschlossene Hülle 411 - Menge 410 Abhängigkeit, stetige 147 -, holomorphe 148 Ableitung 282 Ableitungszahlen 298 absolut stetig (für Funktionen) 303, 307 absolut stetig (für Maße) 279 abzählbar 13 - erzeugter Meßraum 109 - im Unendlichen 412 - kompakt 412 - unendlich 13 Abzählbarkeitsaxiom, erstes 410 -, zweites 410 Additivität, abzählbare 27 -, endliche 27 Alexandroff-Kompaktifizierung 412 Algebra 11 -, erzeugte 16 analytische Menge 87, 322 äquivalent 39, 45 Atom 65, 88 atomlos 65 äußeres Lebesgue-Maß 55 - Maß 51 Auswahlaxiom 96, 98 f. Auswahlsatz von HELLY 390 Auswertungshomomorphismus 296 Bairesche Klasse 158 - Menge 338 Banach-Algebra 194, 234 Banach-Verband 241 Berührungspunkt 411 beschränkte Folge in L P 233 Betafunktion 182 f. Bewegungsinvarianz 78,89,92 Bildmaß 87 Bogenlänge 78 Borel-Maß 313 - -, moderates 318
Borel-Menge 17 f. Borel-meßbar 86 Brouwerscher Fixpunktsatz 213 Cantorsche Funktion 73 f. Cantorsches Diskontinuum 70 cartesisches Produkt 412 Cauchy-Folge für die Konvergenz nach Maß 255 - - in L P, LP 231 Cauchy-Schwarzsche Ungleichung 189, 224 Cauchyscher Integralsatz 186 Cavalierisches Prinzip 169 C 1 _Diffeomorphismus 202 Darstellungssatz von F. RIESZ 281 Darstellungssatz von F. RIESZ für -
Cc(X) 335 Co(X) 338 Cb(X) 340 C(X) 342, 344 - Cb(X) 349
b-Ring 14 Diagonale 115 f. dicht 411 Dichte 127 Dichtepunkt 301 Dichtesatz 302 Differentiation unter dem Integral 147 Differenzenoperatoren 44 Differenzierbarkeit monotoner Funktionen 299, 301 disjunkt 7 Diskontinuum, Cantorsches 70 Dualitätsprinzip 7 Dualraum 288 -, von LP 290 Durchschnittseigenschaft, endliche 411 durchschnittsstabil 18, 24 dyadische Entwicklung 143 Dynkin-System 24, 60 - -, erzeugtes 25 Eindeutigkeitssatz 60 Entwicklung, dyadische 143 -, triadische 71 Erzeuger 16, 86 -, minimaler 109 1]-meßbar 51 f.
430 fallend 9 f. Faltung 193, 296 fast gleichmäßig 251 fast überall 140 Filter 35 Final-o--Algebra 117 Folge, beschränkte in L P 233 -, konvergente 412 Fortsetzungssatz 53, 332 - für meßbare Funktionen 111 Fourier-Koeffizient 238 Fourier-Transformation 195, 238 Fourierscher Umkehrsatz 197, 235, 249 F(j-Menge 26, 67, 69 Funktion, absolut stetige 303, 307 -, Cantorsche 73, 301 -, charakteristische 10 -, integrierbare 129f. -, konvexe 220 -, meßbare 84, 86, 105 ff. - mit kompaktem Träger 133, 328 -, modulare 366, 370 -, numerische 105 ff. -, quasiintegrierbare 130 -, singuläre 307 - von beschränkter Variation 278, 300 Funktionaldeterminante 202 Gammafunktion 154 -, Gaußsche Darstellung 155 -, Weierstraßsche Darstellung 156 Gaußsche Normalverteilung 182 Gaußscher Integralsatz 185 geordneter Vektorraum 240 Gitter 96 Gitterpunktsatz von MINKOWSKI 96 gleichgradig integrierbar 262 Gramsche Matrix 92 Graph 116 Gö-Menge 26, 67, 69 Haar-Integral, linkes 357 - -, rechtes 362 Haar-Maß 91 - -, linkes 362 - -, rechtes 362 Hahn-Zerlegung 271 Hahnscher Zerlegungssatz 271 Halbmetrik 133 Halbnorm 133 Halbordnung 101 Halbring 20 Hamel-Basis 99f., 103 Häufungspunkt 411
Sachverzeichnis Häufungswert 412 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung - für das Lebesgue-Integral 304 - für das Riemann-Integral 302 Hausdorff-Dimension 82 Hausdorff-Maß 78, 94 Hausdorff-Raum 410 Hilbert-Raum 235 Hilbertscher Folgenraum 235 Häldersche Ungleichung 223, 228 holomorphe Abhängigkeit des Integrals 148 Homäomorphismus 411 Hülle, abgeschlossene 411 Indikatorfunktion 10 Induktion, transfinite 17, 414 f. Inhalt 27 -, auf J 37 -, endlicher 28 -, signierter 277 -, Stieltjesscher 34, 37, 46 -, von innen regulärer 43 Inhaltsproblem 4 Initial-o--Algebra 112 Injektivität der Fourier-Transformation 197, 239 innerer Punkt 411 Integral 121, 123, 129 f., 135, 177 -, Haarsches 357 -, unbestimmtes 305 Integration über meßbare Teilmengen 135 -, partielle 189, 306 integrierbare Funktion 129 f. - Majorante 130, 145 invariante Linearform 355, 370 invariantes Maß 355 isomorph 109 Isomorphiesatz 238 Isomorphismus, meßbarer 109 Jensensche Ungleichung 221 J ordan-Bogen 80 - -Kurve 80 - -Maß 13, 15, 69 f. - -meßbar 13, 15, 69 f. - -Zerlegung 273, 279, 346 Jordanscher Zerlegungssatz 273 Kategorie, von erster 15 Kern, offener 411 Klasse, kompakte 43
431
Sachverzeichnis -, monotone 23 - -, erzeugte 23 kompakt 411 konvergente Folge 412 Konvergenz, fast gleichmäßige 251 - im Mittel 231 - im p-ten Mittel 231 - im quadratischen Mittel 231 - in L P 261 - lokal nach Maß 254 - nach Maß 254 -, schwache 263 f. 381, 387 -, vage 382, 387 - von Folgen von Mengen 9 Konvergenzbegriffe, Vergleich 257 Konvergenzsatz von VITALI 262 konvexe Funktion 220 - Menge 68 Korrespondenzsatz 61 kritischer Wert 209 Kugelvolumen 168, 170, 191 Kurve, einfache 79 -, rektifizierbare 78, 308 f. -, stetige 78 Ladungsverteilung 270 Lebesgue-Borelsches Maß 55, 65, 89 ff. Lebesgue-Integral 84, 129, 135 f., 151 f. Lebesgue-Maß 55,65, 66ff., 89ff. -, äußeres 55 Lebesgue-meßbar 55,58,67 Lebesgue-Punkt 306 Lebesgue-Stieltjessches Maß 56, 65, 88 Lebesgue-Stieltjessches Prämaß 39, 48 Lebesgue-Zerlegung 285 - - von J-lF 308 Lebesguesche Nullmenge 55, 68 Lebesguesche Obersumme 84 Lebesguesche Untersumme 84 Lebesguescher Zerlegungssatz 285 Lebesguesches Prämaß 39, 43 Lemma von FATOU 144, 150 - - JACOBI 214 - - RIEMANN-LEBESGUE 162, 196 Limes 9 - inferior 8 f. - superior 8 Limeszahl 414 Lindeläf-Raum 115 Linearform, invariante 355, 370 -,linksinvariante 354 -, multiplikative 293 -, positive 328 -, rechtsinvariante 355 -, relativ invariante 370 linkes Haar-Integral 357
- Haar-Maß 362 links-gleichmäßig stetig 354 linksinvariante Linearform 354 linksinvariantes Maß 354 Linksrestklasse 368 Linkstranslation 90, 352, 369 lokal-endliches Maß 313 Lusinsche Vermutung 325 mager 15,29 Majorante, integrierbare 130, 145 Maß 28 -, äußeres 51 -, Haarsches 91, 356, 362 -, invariantes 355 -, komplexes 277f. -, Lebesgue-Borelsches 55, 65, 89 ff. -, Lebesgue-Stieltjessches 56, 65, 88 -, linksinvariantes 354 -, lokal-endliches 313 - mit Dichte 127,270 -, rechtsinvariantes 355 -, signiertes 269 -, translationsinvariantes 89 ff. -, vollständiges 63 Massenverteilung 41 Maßproblem 3, 5, 97 Maßraum 28, 85 -, lokalisierbarer 292 -, separabler 93 -, vollständiger 63 -, zerlegbarer 283 Menge, abgeschlossene 410 -, analytische 87, 322 -, Boreische 17 f. -, dichte 411 -, konvexe 68 -, magere 15, 29 -, meßbare 85 -, negative 271 -, nicht meßbare 96 ff. -, nirgends dichte 13, 71 -, offene 410 -, perfekte 71 -, positive 271 -, Suslinsche 87, 322 meßbar 51 f., 58 meßbare Menge 85 meßbarer Raum 85 Meßbarkeit konvexer Mengen 68 Meßraum 85 -, abzählbar erzeugter 109 -, separierter 109 Metrisationssätze 413 metrisches äußeres Maß 76 Minimalzerlegung 279, 348 f.
432 Minkowskische Ungleichung 224 Mittelwertsatz der Differentialrechnung 205 Mittelwertsätze der Integralrechnung 156 moderat 318 modulare Funktion 366, 370 monotone Klasse 23 Monotonie 28, 51 j1-Atom 65 j1-fast überall 140 j1-Nullmenge 32 Negativteil 107 nicht meßbare Menge 96 ff. nirgends dicht 13, 71 Norm 133 normale Zahl 143 Normalverteilung 182 Normisomorphismus 290 Nullhomotopie 215 Nullmenge 32, 271, 277 -, Lebesguesche 55, 68 -, lokale 295 Oberintegral 83 Obersumme 83 -, Lebesguesche 84 offene Menge 410 - Überdeckung 411 offener Kern 411 Operationstreue 8 Ordinalzahl 17, 414 Ordinalzahlen, abzählbare 414 -, überabzählbare 414 Ordnung 101 ordnungsvollständig 241 Orthonormalsystem 236 -, vollständiges 237 paarweise disjunkt 7 ParsevaIsche Formel 199 - Gleichung 237, 239, 245 Partialbruchentwicklung 183 partielle Abbildung 45, 114 - Integration 189, 306 Partition der Eins 361 Partition, meßbare 280 Peano-Kurve 80 perfekte Menge 71 Poinssonsche Summenformel 249 polare Zerlegung 288 Polarkoordinaten 207 f. polnischer Raum 320, 413 Pompeiusche Formel 186 positive Linearform 328 Positivteil 107
Sachverzeichnis Prämaß 28 - auf J 38 -, Lebesguesches 39, 43 -, Lebesgue-Stieltjessches 39, 48 Prinzip der guten Mengen 19, 25 Produkt, cartesisches 412 Produktmaß 167 Produkt-O"-Algebra 112, 164 Produkttopologie 114,412 Quadratur des Kreises, Tarskische 93 quasiintegrierbare Funktion 130 quasikompakt 411 Radon-Maß 313 Rand 384 randlos 384 Raum -, kompakter 411 -, lokal-kompakter 412 -, meßbarer 85 -, metrisierbarer 413 -, normaler 412 -, polnischer 320, 413 -, regulärer 412 -, Rieszscher 240 -, separabler 411 -, O"-kompakter 412 -, topologischer 410 -, vollständig metrisierbarer 413 -, vollständig regulärer 412 rechtes Haar-Integral 362 - Haar-Maß 362 rechts-gleichmäßig stetig 354 rechtsinvariante Linearform 355 rechtsinvariantes Maß 355 rechtsseitig stetig 38, 47 Rechtstranslation 352 regulär 313, 337, 346 -, von innen 313 -, von außen 313, 327 Regularitätslemma 317 Regularitätssatz 317 rein atomar 65 rektifizierbare Kurve 78, 308 relativ invariante Linearform 370 relativ kompakt 411 Relativtopologie 411 Retrakt 215 Riemann-Integral, eigentliches 151 f. -, uneigentliches 153 Riemann-integrierbar 84 Rieszscher Raum 240 Ring 11, 12 -, erzeugter 16, 22 Rotationskörper 174 Ruziewicz-Inhalt 93
Sachverzeichnis Satz von - - BAIRE 30, 75, 88 - - BANACH 4 - - BANACH und TARSKI 5, 6 - - BOREL-LEBESGUE 37, 39 - - CARLESON 239 f. - - der besten Approximation 236 - - der majorisierten Konvergenz 145 - - der Minimalzerlegung 348 - - der monotonen Konvergenz 125 - - FATOU 244 - - FUBINI 175, 179 - - HAAR-V.NEUMANN-WEIL 357 - - HAUSDORFF 4 - - HEINE-BoREL 38f. - - HELLY-BRAY 388 - - JEGOROW 252 - - LEVI 125 - - LUSIN 323 - - MEYER 322 - - PLANCHEREL 198, 244 - - PRATT 260 - - PROCHOROV 398 - - RADON-NIKODYM 281 - - RADON-RIESZ 265 - - RIESZ-FISCHER 231 - - SARD 209 - - SCHEFFE 150 - - STEINHAUS 68 - - STONE-WEIERSTRASS 295, 351, 401 - - TYCHONOFF 412 - - ULAM 320, 380, 393 f., 407 - - VITALI 5, 97, 262, 303f. - - WEIL 370 - - WIENER 199 Schnitt 114, 164, 169 schwache Konvergenz 263 f., 381, 387 Schwankung 111 separabler Raum 242, 411 a-additiv 27 a-Additivität 27, 32 a-Algebra 13 -, erzeugte 16, 23 a-endlich 59, 271 a-Ring 13 -, erzeugter 16, 23 a-Subadditivität 31, 51 signierter Inhalt 277 signiertes Maß 269 - -, endliches 271 - -, a-endliches 271 singulär 273, 278 singuläre Funktion 307 Sinusprodukt 156
433 Skalarprodukt in L 2 235 Spiegelungsinvarianz 192 Sprungfunktion 40 Spur einer Kurve 79 Spur-a-Algebra 15, 20 Spur-a-Ring 15 Spurtopologie 411 Stammfunktion 2 starkes Gesetz der großen Zahlen 143 Steiner-Symmetrisierung 172 stetig 86, 411 stetige Abhängigkeit des Integrals 147 Stetigkeit 86, 411 - von oben 32 - von unten 32 Stone-Cech-Kompaktifizierung 342, 344, 350 straff 340, 380, 392 f. Straffheitsbedingung 331 Stützgerade 221 Subadditivität 31 Substitutionsregel 310 Subtraktivität 31 Summenformel, Poissonsche 249 Suslin-Menge 87, 322 Suslin-Raum 322 r-stetig 327 Topologie 410 - der kompakten Konvergenz 344 -, feinere 411 -, gröbere 411 topologische Gruppe 352 - -, entgegengesetzte 354 topologischer Raum 410 topologisches Produkt 411 Torus 174 Totalvariation 275 Träger einer Funktion 133, 328 - eines Radon-Maßes 343 f. transfinite Induktion 414 f. Transformationsformel 203 f. -, allgemeine 191 - für Maße für Dichten 192, 212 -, verallgemeinerte 211 Translationsinvarianz 89 ff. trennen, Punkte 109 Treppenfunktion 108, 120 triadische Entwicklung 71 Überdeckung, offene 411 Überdeckungssatz von VITALI 171, 297 Ultrafilter 36 Umgebung 410
434 Umgebungsbasis 410 Umordnungssatz, großer 29, 181 unbestimmtes Integral 305 Ungleichung, Besselsche 236 -, Cauchy-Schwarzsche 189,224 -, Höldersche 223, 228 -, Jensensche 221 -, Minkowskische 224 unimodulare Gruppe 366 Unlösbarkeit des Inhaltsproblems 4 - - Maßproblems 5, 97 Unterintegral 83 Untersumme 83 -, Lebesguesche 84 Urysohnsches Lemma 412 vage Konvergenz 382, 387 Variation 272, 278 -, beschränkte 278 -, negative 272, 278 -, positive 272, 278 Vektorraum, geordneter 240 -, halbnormierter 133 -, normierter 133 vereinigungsstabil 18 Vergleichssatz 61 Vertauschbarkeit der Integrationsreihenfolge 178 Verteilungsfunktion 61 f., 386 Vervollständigung 63 f. Vitali-Überdeckung 297 vollständig, Maß 63 -, Maßraum 63 -, Orthonormalsystem 236 Vollständigkeit des trigonometrischen Systems 238 Vollständigkeitsrelation 237, 239 Vorgänger 414 wachsend 9, 46 Wahrscheinlichkeitsmaß 61 f., 386 Weilsche Formel 373 Wohlordnung 101 Wohlordnungssatz 101, 414 Zählmaß 29 Zornsches Lemma 287 Zwischensumme 84
Sachverzeichnis
