Wie Mathematiker ticken: Geniale Köpfe - ihre Gedankenwelt und ihre größten Erkenntnisse (German Edition)

Wie Mathematiker ticken

david ruelle

Wie Mathematiker ticken geniale köpfe - ihre gedankenwelt und ihre größten erkenntnisse

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Prof. Dr. David Ruelle Inst. Hautes Etudes Scientif. 35 route de Chartres 91440 Bures-sur-Yvette Frankreich [email protected]

Übersetzerin: Nicola Fischer Originaltitel: David Ruelle, The Mathematician’s Brain © Princeton University Press, 2007 ISBN 978-3-642-04110-5 e-ISBN 978-3-642-04111-2 DOI 10.1007/978-3-642-04111-2 Springer Heidelberg Dordrecht London New York Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar.

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Vorwort

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  1

Wissenschaftliches Denken

1

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Was ist Mathematik?

 3

Das Erlanger Programm

 4

Mathematik und Ideologie

 5

Die Einheitlichkeit der Mathematik

7 15 23 31

 6 Ein kurzer Blick auf algebraische Geometrie und Arithmetik  7

Mit Alexander Grothendieck nach Nancy

 8

Strukturen

 9

Die Rechenmaschine und das Gehirn

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Mathematische Texte

11

Ehrungen

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Die Unendlichkeit: Nebelwand der Götter

13

Fundamente

14

Strukturen und die Entwicklung von Konzepten

15

Turings Apfel

16

Mathematische Erfindung: Psychologie und Ästhetik

45

53 59

67

75 83

91 97

105 115

17 Das Kreistheorem und ein unendlich-dimensionales Labyrinth 18



Fehler!

39

123

131



19 Das Lächeln der Mona Lisa

139

20 „Tinkering“ und die Konstruktion mathematischer Theorien 21 Mathematische Erfindung

151

22 Mathematische Physik und emergentes Verhalten 23 Die Schönheit der Mathematik Anmerkungen Sachverzeichnis

175 195

169

159

145

Vorwort

AGEΩMETRHOS MHDEIS EISITΩ

Der Überlieferung nach ließ Platon über dem Eingang zur Akademie in Athen eine Tafel anbringen mit der Inschrift: „Kein der Mathematik Unkundiger möge hier eintreten.“ Bis heute ist die Mathematik in mehr als einer Hinsicht eine unerlässliche Vorbereitung für jene, die das Wesen der Dinge verstehen wollen. Aber kann man ohne lange und trockene Studien in die Welt der Mathematik gelangen? In gewissen Grenzen ja, denn ein wissbegieriger und kultivierter Mensch (in früheren Zeiten wurde er als Philosoph bezeichnet) ist nicht an umfangreichem Fachwissen interessiert. Philosophen des alten Stils (also Sie, die Leser dieses Buchs, und ich) möchten vielmehr sehen, wie der menschliche Geist oder, anders ausgedrückt, wie das Gehirn des Mathematikers die mathematische Realität in den Griff bekommt. Ich möchte hier eine Betrachtung der Mathematik und von Mathematikern vorlegen, die ebenso für mathematische Laien wie für jene vielen Menschen von Interesse sein wird, die mathematisch bewandert sind. Ich werde nicht versuchen, systematisch den Ansichten von Mehrheiten zu folgen. Vielmehr werde ich eine zusammenhängende Abfolge von Fakten und Meinungen darzustellen versuchen, deren jede von einem Gutteil meiner mathematisch aktiven Kollegen akzeptiert würde. Dabei kann ich unmöglich hoffen, eine vollständige Darstellung zu geben, aber ich werde mehrere unterschiedliche Aspekte der Beziehung zwischen Mathematik und Mathematikern aufzeigen. Manche dieser Aspekte sind, wie sich zeigen wird, wenig liebenswert, und vielleicht hätte ich sie weglassen sollen; es erschien mir jedoch wichtiger, aufrichtig zu sein als politisch korrekt. Beanstanden mag man darüber hinaus auch meine Hervorhebung der formalen und strukturellen Aspekte der Mathematik; diese Aspekte aber werden die Leser des vorliegenden Buchs vermutlich am meisten interessieren.



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viii       vorwort

Die menschliche Kommunikation gründet auf Sprache. Jeder Einzelne von uns erwirbt und pflegt diese Kommunikationsmethode über den Kontakt zu anderen Sprachnutzern und vor dem Hintergrund menschlicher Erfahrungen. Die Sprache des Menschen transportiert ebenso Wahrheit wie Irrtum, Täuschung und Unsinn. Bei ihrer Verwendung – auch in der vorliegenden Diskussion – ist daher große Vorsicht geboten. Man kann die Exaktheit der Sprache durch die ausdrückliche Definition der verwendeten Begriffe erhöhen. Ein solches Vorgehen hat jedoch seine Grenzen: Die Definition eines Begriffs umfasst weitere Begriffe, die ihrerseits zu definieren wären, und so weiter. Die Mathematik hat einen Ausweg aus dieser unendlichen Regression gefunden: Sie umgeht die Verwendung von Definitionen, indem sie einige logische Zusammenhänge (Axiome genannt) zwischen ansonsten nicht definierten mathematischen Begriffen postuliert. Über die Verwendung der mit den Axiomen eingeführten mathematischen Begriffe lassen sich anschließend neue Begriffe definieren und in der Folge mathematische Theorien konstruieren. Im Prinzip ist die Mathematik auf eine menschliche Sprache nicht angewiesen. Sie hat stattdessen die Möglichkeit der formalen Darstellung, bei der die Validität einer Schlussfolgerung mechanisch und ohne die Gefahr von Irrtum oder Täuschung überprüft werden kann. Die Sprache des Menschen vermittelt Konzepte wie Bedeutung oder Schönheit. Diese Konzepte sind uns wichtig, lassen sich jedoch nur schwer allgemein definieren. Vielleicht können wir hoffen, dass mathematische Bedeutung und mathematische Schönheit einer Analyse eher zugänglich sind als die allgemeinen Konzepte. Mit derlei Fragen werde ich mich eine Zeitlang befassen. Es besteht ein krasser Gegensatz zwischen der Fehlbarkeit des menschlichen Geists und der Unfehlbarkeit mathematischer Herleitung, zwischen dem Trügerischen der menschlichen Sprache und der absoluten Präzision der formalen Mathematik. Zweifellos aus diesem Grund ist das Studium der Mathematik, wie Platon betonte, für den Philosophen unumgänglich. Während aber das Erlernen der Mathematik nach Platons Ansicht eine unerlässliche geistige Übung darstellte, war sie gleichzeitig nicht das letzte Ziel. Viele von uns werden zustim-

vorwort       ix

men: Es gibt mehr Dinge, die den Philosophen (also Sie, die Leser dieses Buchs, und mich) interessieren, als die mathematische Erfahrung, ganz gleich, wie wertvoll diese Erfahrung auch sein mag. Dieses Buch richtet sich an Leser mit unterschiedlichstem mathematischen Fachwissen (einschließlich eines minimalen). Zum Großteil ist es eine nicht fachtechnische Erörterung über Mathematik und Mathematiker, hier und da aber habe ich auch echte Mathematik eingefügt: einfache und weniger einfache. Ich möchte die Leserinnen und Leser dieses Buchs nachdrücklich bitten, sich ungeachtet ihrer jeweiligen mathematischen Vorbildung zu bemühen, die mathematischen Abschnitte nachzuvollziehen oder zumindest durchzulesen, anstatt gleich zum nächsten Kapitel weiterzublättern. Die Mathematik besitzt viele Aspekte, und jene, die mit Logik, Algebra und Arithmetik zu tun haben, gehören zu den schwierigsten und technischsten. Trotzdem sind einige der Ergebnisse aus diesen Richtungen ganz erstaunlich, relativ leicht darzustellen und für die Leser dieses Buchs wahrscheinlich vom größten philosophischen Interesse. Ich habe diese Aspekte deshalb weitgehend hervorgehoben. Gleichzeitig sollte ich aber darauf hinweisen, dass meine eigenen Schwerpunkte in anderen Bereichen liegen: in der linearen Dynamik und in der mathematischen Physik. Die Leser dieses Buchs dürfen daher nicht allzu erstaunt sein, ein Kapitel über mathematische Physik vorzufinden, in dem aufgezeigt wird, wie die Mathematik für etwas Anderes öffnet. Galilei hat dieses Andere das „große Buch der Natur“ genannt, in dem er sein Leben lang las. Am wichtigsten ist: Dieses große Buch der Natur, wie Galilei sagte, ist in der Sprache der Mathematik geschrieben. Bei der Entstehung der vorliegenden deutschen Ausgabe habe ich sehr von Mitarbeitern beim Springer Verlag Heidelberg profitiert. Zu großem Dank verpflichtet bin ich Angela Lahee und Nicola Fischer für die interaktive Art und Weise, in der sie ihre redaktionelle bzw. übersetzerische Rolle wahrnahmen. Sehr dankbar bin ich darüber hinaus Wolf Beiglböck für mehrere Anregungen und für seinen wichtigen Beitrag zu technischen Gesichtspunkten.

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Wissenschaftliches Denken

Mein Arbeitsalltag besteht größtenteils aus Forschung im Bereich der mathematischen Physik, und häufig habe ich über die Denkprozesse nachgedacht, die diese Aktivität ausmachen. Wie entsteht ein Problem? Wie wird es gelöst? Was macht das Wesen wissenschaftlichen Denkens aus? Viele Menschen haben Fragen dieser Art formuliert. Ihre Antworten füllen viele Bücher und tragen viele Etiketten: Erkenntnistheorie, Kognitionswissenschaft, Neurophysiologie, Wissenschaftsgeschichte und so weiter. Einige dieser Bücher habe ich gelesen und war teils befriedigt, teils enttäuscht. Zweifellos sind die Fragen, die ich mir stellte, sehr schwierig und zum momentanen Zeitpunkt wohl nicht abschließend zu beantworten. Ich bin jedoch zu der Auffassung gelangt, dass sich mein Einblick in das Wesen wissenschaftlichen Denkens sinnvoll ergänzen ließe, indem ich meine Arbeitsweise und die meiner Berufskollegen einer analytische Betrachtung unterziehe. Dahinter steckt der Gedanke, dass wissenschaftliches Denken am besten zu ergründen sei, indem man die gute wissenschaftliche Praxis untersucht, indem man letztlich selbst ein in Forschung vertiefter Wissenschaftler ist. Dies bedeutet nicht, dass man sich verbreitete Überzeugungen der Forschergemeinschaft kritiklos zu eigen machen sollte. Beispielsweise habe ich ernstliche Vorbehalte gegenüber dem mathematischen Platonismus, den zahlreiche Mathematiker vertreten. Trotzdem aber erscheint die Frage an Berufskollegen, wie sie arbeiten, ein besserer D. Ruelle, Wie Mathematiker ticken, DOI 10.1007/978-3-642-04111-2_1, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010



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Ausgangspunkt zu sein als ideologisch geprägte Ansichten darüber, wie sie ticken sollten. Sich selbst zu befragen, wie man funktioniert, ist natürlich Introspektion und als solche notorisch unzuverlässig. Dies ist ein sehr ernstzunehmendes Problem, sodass wir stets werden auf der Hut sein müssen: Was sind gute und was sind schlechte Fragen an uns selbst? Ein Physiker oder eine Physikerin weiß, dass der Versuch, das Wesen der Zeit auf dem Wege der Introspektion zu ergründen, sinnlos ist. Dieselbe Person wird jedoch gern erklären, wie sie an bestimmte Probleme herangeht (und auch dies ist Introspektion). Die Unterscheidung zwischen akzeptablen und inakzeptablen Fragen liegt für einen praktizierenden Wissenschaftler häufig auf der Hand und bildet den eigentlichen Kern der sogenannten wissenschaftlichen Methode, deren Entwicklung Jahrhunderte erforderte. Ich würde daher nicht behaupten, dass die Unterscheidung zwischen guten und schlechten Fragen immer offensichtlich ist, bin aber weiterhin der Auffassung, dass wissenschaftliche Schulung bei der Unterscheidung hilft. Damit zunächst genug zum Thema Introspektion. Ich darf nochmals darauf hinweisen, dass mich eine Wissbegier im Hinblick auf die Denkprozesse des Wissenschaftlers im Allgemeinen und meine eigene Arbeit im Besonderen geleitet hat. Ergebnis meiner Suche waren bestimmte Ansichten oder Gedanken, die ich zunächst natürlich mit Kollegen besprochen habe.1 Nun schreibe ich diese Ansichten und Gedanken für eine größere Öffentlichkeit nieder. Dabei möchte ich gleich zu Beginn sagen, dass ich keine abschließende Theorie vorlegen werde. Mein Hauptziel ist vielmehr eine detaillierte Beschreibung wissenschaftlichen Denkens: Dabei handelt es sich um eine etwas subtile und komplexe und gleichzeitig absolut faszinierende Angelegenheit. Nochmals: Ich werde meine Ansichten und Gedanken darlegen, dogmatische Behauptungen aber vermeiden. Derlei Behauptungen könnten bei Nichtwissenschaftlern den irreführenden Eindruck erwecken, die Zusammenhänge zwischen dem menschlichen Denkvermögen und dem, was wir Wirklichkeit nennen, seien eindeutig und abschließend geklärt. Eine dogmatische Haltung könnte zudem einige Fachkollegen dazu ermuntern, ihre eigenen, nicht ganz sicheren Überzeugungen als fest-

1   wissenschaftliches denken        

stehende und endgültige Schlussfolgerungen zu formulieren. Wir bewegen uns hier in einem Bereich, wo eine Diskussion erforderlich und im Gange ist. Zum momentanen Zeitpunkt aber verfügen wir eher über begründete Meinungen als über gesichertes Wissen. Nach all diesen sprachlichen Vorsichtsmaßnahmen möchte ich eine Schlussfolgerung formulieren, der man sich meiner Ansicht nach nur schwer entziehen kann: Die Struktur der menschlichen Wissenschaft hängt weitgehend vom besonderen Wesen und Aufbau des menschlichen Gehirns ab. Damit will ich keineswegs andeuten, dass eine außerirdische verstandesbegabte Spezies eine Wissenschaft entwickeln könnte, deren Schlussfolgerungen das Gegenteil der unseren besagen. Ich werde an späterer Stelle vielmehr darlegen, dass sich die Dinge, die unsere imaginären verstandesbegabten Außerirdischen begreifen (und interessant finden) würden, womöglich nur schwer in etwas übersetzen ließen, was wir verstehen (und interessant finden) würden. Eine weitere Schlussfolgerung lautet folgendermaßen: Was wir als die wissenschaftliche Methode bezeichnen, sieht in unterschiedlichen Disziplinen unterschiedlich aus. Wer sowohl in der Mathematik als auch in der Physik gearbeitet hat oder in Physik und Biologie, den wird dies kaum überraschen. Das Thema bestimmt in gewisser Hinsicht die Spielregeln, die je nach Wissenschaftsbereich unterschiedlich ausfallen. Selbst unterschiedliche Bereiche der Mathematik (Algebra und lineare Dynamik beispielsweise) fühlen sich ganz unterschiedlich an. Ich werde im Folgenden versuchen, das Gehirn des Mathematikers zu verstehen. Das tue ich keineswegs, weil ich Mathematik interessanter finde als Physik und Biologie. Die Mathematik, und darum geht es, lässt sich als Produkt des menschlichen Denkvermögens sehen, dem ausschließlich die Regeln der reinen Logik Grenzen setzen. (Diese Behauptung mag zu einem späteren Zeitpunkt noch zu modifizieren sein, für unsere momentanen Zwecke jedoch reicht sie aus.) Die Physik dagegen wird auch durch die physikalische Realität der Welt eingeschränkt, die uns umgibt. (Was wir unter physikalischer Realität verstehen, mag nur schwer zu definieren sein, fraglos aber schränkt sie die physikalische Theorie sehr stark ein.) Was schließlich die Biologie betrifft, so beschäftigt sie sich mit einer Gruppe erdgebundener Lebewesen, die sämtlich

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historisch miteinander verwandt sind – eine ziemlich ernsthafte Einschränkung. Die beiden „Schlussfolgerungen“, die ich soeben vorgelegt habe, sind von nur eingeschränktem Nutzen, weil sie in so allgemeinen und vagen Worten formuliert sind. Interessant wird es, wenn wir zu den Einzelheiten der wissenschaftlichen Tätigkeit vordringen und zu dem, was sie vom flüchtigen Wesen der Dinge einfängt. Mit dem Wesen der Dinge oder der Struktur der Realität meine ich das, worum es in der Wissenschaft geht. Dazu gehören die in der Mathematik untersuchten logischen Strukturen und die physikalischen oder biologischen Strukturen der Welt, in der wir leben. An dieser Stelle versuchen zu wollen, Realität oder Wissen zu definieren, wäre kontraproduktiv. Fraglos jedoch hat sich in unserem Wissen über das Wesen der Dinge im Laufe der letzten Jahrhunderte oder Jahrzehnte ein enormer Fortschritt vollzogen. Ich würde noch weiter gehen und eine dritte Schlussfolgerung formulieren: Was wir Wissen nennen, hat sich mit der Zeit verändert. Was ich damit meine, möchte ich am Beispiel Isaac Newtons erläutern.2 Durch seine Beiträge zur Begründung der Infinitesimalrechnung, der Mechanik und der Optik gehört Newton heute zu den größten Wissenschaftlern der Geschichte. Parallel dazu jedoch machen seitenweise handschriftliche Notizen deutlich, dass er noch andere Interessen verfolgte: Er verbrachte viel Zeit mit alchimistischen Experimenten und versuchte einen Bezug zwischen der Geschichte und den Prophezeiungen des Alten Testaments herzustellen. Wenn wir auf Newtons Arbeiten zurückblicken, erkennen wir leicht, welchen Teil davon wir als Wissenschaft bezeichnen wollen: Seine Infinitesimalrechnung, seine Mechanik und seine Optik haben gewaltige Entwicklungen nach sich gezogen. Seine Alchemie und seine Bibelstudien dagegen gingen ins Leere. Die Erfolglosigkeit der Alchemie wird angesichts der Denkweise der Alchimisten nachvollziehbar: Hier spielen Beziehungen zwischen den Metallen und den Planeten und weitere Konzepte eine Rolle, denen wir jegliche rationale oder empirische Grundlage absprechen. Die esoterische Verwendung der Heiligen Schrift zur Erklärung der Geschichte hingegen dauert bis heute an, wobei die meisten Wissenschaftler wissen, dass dieses Vorge-

1   wissenschaftliches denken        

hen Unsinn ist (und diese Meinung durch statistische Untersuchungen belegt ist).3 Ein moderner Wissenschaftler unterscheidet mühelos zwischen Newtons guter Wissenschaft und dessen pseudowissenschaftlichen Bemühungen. Wie konnte der brillante Geist, der die Geheimnisse der himmlischen Mechanik enthüllte, in anderen Bereichen so vollständig aus dem Ruder laufen? Eine irritierende Frage, betrachten wir gute Wissenschaft doch als ehrlich und von der Vernunft gesteuert, wohingegen Pseudowissenschaft oftmals unredlich ist und intellektuell auf dem Holzweg. Nur welcher Weg? Was wir heute als deutlich vorgezeichneten Weg der Wissenschaft betrachten, war zu Zeiten Newtons eine undeutliche Spur unter vielen, die vermutlich ins Leere führten. Der Fortschritt der Wissenschaft besteht nicht nur darin, dass wir die Antwort auf viele Fragen gefunden haben, sondern auch darin, und das ist vielleicht noch wichtiger, dass wir heute anders an neue Problemstellungen herangehen. Damit haben wir neue Einsichten in das Wesen guter und schlechter Fragestellungen und guter und schlechter Ansätze bei deren Lösung gewonnen. Dieser veränderte Blickwinkel bedeutet eine Veränderung im Wesen dessen, was wir Wissen nennen. Eben diese Veränderung des Blickwinkels verleiht einem heutigen Wissenschaftler oder einem gebildeten Laien eine gewisse geistige Überlegenheit gegenüber Giganten wie Newton. Mit geistiger Überlegenheit meine ich nicht nur mehr Wissen und bessere Methoden, sondern vielmehr eine tiefere Kenntnis vom Wesen der Dinge.

2

Was ist Mathematik?

Wenn von Mathematik die Rede ist, sind Beispiele wünschenswert. Die Beispiele in diesem Kapitel sind leicht; die Leser seien jedoch davor gewarnt, dem natürlichen Reflex nachzugeben und scheinbar technisches Zeug schneller durchzulesen. Im Gegenteil sollte man sein Tempo drosseln! Also, auf geht’s. Man betrachte zwei Dreiecke ABC und A′B′C′, wobei gelte |AB| = |A′B′|. (Das bedeutet: Die Seite AB ist ebenso lang wie die Seite A′B′.) Weiterhin gelte, dass |BC| = |B′C′| und dass die Winkel bei B bzw. B′ in den Dreiecken ABC bzw. A′B′C′ identisch seien. C’ A

O B

A'

C B'

O

Aus all diesen Dingen folgt, dass die beiden Dreiecke ABC und A′B′C′ gleich oder, wie man sagt, kongruent sind. Das bedeutet: Auf ein Blatt Papier gezeichnet und mit einer Schere ausgeschnitten, lassen sich D. Ruelle, Wie Mathematiker ticken, DOI 10.1007/978-3-642-04111-2_2, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010



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beide Dreiecke durch Verschieben zur exakten Deckung bringen. (Vielleicht muss man zunächst eines der beiden Dreiecke umdrehen und mit der Unterseite nach oben auf das andere legen.) Mit Hilfe der Papierdreiecke lässt sich weiterhin darstellen, was mit gleichen Seiten gemeint ist (man kann sie zur exakten Deckung bringen) oder auch mit gleichen Winkeln ( dito). Wenn Sie die Sprache, in der dieses Buch geschrieben ist, einigermaßen gut beherrschen und über ein Mindestmaß an räumlichem Vorstellungsvermögen verfügen, werden Sie die oben dargelegten Überlegungen verstanden und mit großer Wahrscheinlichkeit todlangweilig gefunden haben. Tatsächlich werden Ihnen diese Überlegungen, sobald Sie verstanden haben, was genau gemeint ist, vermutlich furchtbar trivial und offensichtlich erscheinen. Wie nur hat man je über „geometrische Sätze“ wie den eben erläuterten in Begeisterung geraten können? Aus reinem Spaß an der Freude formulieren wir ihn nochmals: Wenn zwei Dreiecke ABC und A′B′C′ die Längen |AB| = |A′B′| und |BC| = |B′C′| besitzen und der Winkel in B für ABC und der Winkel in B′ für A′B′C′ gleich sind, dann sind ABC und A′B′C′ kongruent. Gleichermaßen zutreffend ist: Wenn für die Dreiecke ABC und A′B′C′ gilt: |AB| = |A′B′|, |BC| = |B′C′| und |CA| = |C′A′|, dann sind ABC und A′B′C′ kongruent. Tatsächlich aber lassen sich aus ziemlich offensichtlichen Behauptungen wie dieser mit unfehlbarer Logik interessantere Ergebnisse wie der Satz des Pythagoras ableiten:1 Ist der Winkel in B im Dreieck ABC ein rechter Winkel, so gilt |AB|2 + |BC|2 = |AC|2. A

c2 = a2 + b2 c

b

C

a

B

* Was ein rechter Winkel ist, wissen Sie; wenn Sie jedoch darauf bestehen, will ich Ihnen gern eine Definition nennen: Sind die vier Winkel eines Vierecks gleich, so sind es rechte Winkel (und das Viereck ist ein Rechteck).

2   was ist mathematik?        

Ein Beweis für dieses Ergebnis wird bei eingehender Betrachtung der folgenden Abbildung erkennbar: b

a

b

c a

c

c b

a

c

a

b

Das große Quadrat besitzt die Fläche (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 und setzt sich aus einem kleinen Quadrat mit der Fläche c2 sowie vier Dreiecken mit einer Fläche von jeweils ab/2 zusammen, daher gilt: a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab oder a2 + b2 = c2. Den Satz des Pythagoras zu kennen, ist hilfreich. Mit seiner Hilfe können wir beispielsweise ein Stück Schnur zu einem rechten Winkel legen. Das geht folgendermaßen: Wir markieren die Schnur, indem wir sie in zwölf Segmente von gleicher Länge aufteilen (diese Länge können wir Elle nennen). Unsere Schnur legen wir anschließend zu einem Dreieck, dessen Seitenlängen aus 3, 4 und 5 Ellen bestehen: Der Winkel zwischen den 3 und 4 Ellen langen Seiten ist ein rechter Winkel. Man betrachte nämlich ein Dreieck mit einem rechten Winkel zwischen den Seitenlängen von 3 und 4 Ellen. Da 32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52, beträgt die Länge der dritten Seite des Dreiecks gemäß dem Satz des Pythagoras 5 Ellen. Wir erhalten somit ein Dreieck mit den Seitenlängen 3, 4 und 5 Ellen und einem rechten Winkel zwischen den beiden erstgenannten Seiten. Nun wissen wir aber, dass zwei Dreiecke mit den gleichen Seitenlängen kongruent sind. Infolgedessen hat jedes Dreieck

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mit den Seitenlängen 3, 4 und 5 Ellen zwischen den Seiten der Längen 3 und 4 Ellen einen rechten Winkel. Die Griechen der Antike diskutierten leidenschaftlich gern und schätzten die Geometrie, weil sie ihnen die Möglichkeit gab, zu diskutieren und zu unwiderlegbaren Schlussfolgerungen zu gelangen. Bei der Geometrie geht es, wie Platon feststellte, um Erkenntnis und nicht einfach um Ansichten. Im 7. Buch von „Der Staat“ zählt er die Geometrie zu den Pflichtfächern der Philosophen, die in seiner idealen Stadt regieren würden. In einer sehr modernen Abhandlung weist Platon darauf hin, dass die Geometrie von praktischem Nutzen ist, ihre wahre Bedeutung jedoch anderswo liegt: „Die Geometrie ist doch die Erkenntnis des immer Seienden. Sie zieht die Seele zur Wahrheit hin und wirkt philosophisches Denken in uns.“ Hier bezieht Platon sich auf die Geometrie der Ebene und erwähnt die (zu seinen Lebzeiten) fehlende Entwicklung einer räumlichen Geometrie, über die er mit Bedauern feststellt: „Ihre Erforschung [wird] ihrer Schwierigkeit wegen ohne Nachdruck betrieben.“2 Weniger als ein Jahrhundert nach Platons „Staat“ erscheinen (um 300 v. Chr.) Euklids „Elemente“.3 Die „Elemente“ geben eine strikt logische Darstellung der Geometrie: Eine Abfolge von (als Theoreme bezeichneten) Behauptungen, die durch strenge Ableitungsregeln miteinander verbunden sind. Begonnen wird mit einer Auswahl an Behauptungen, von deren Richtigkeit man ausgeht (im modernen Sprachgebrauch werden sie Axiome genannt), anschließend gehen aus den Regeln der Ableitung Theoreme hervor, welche die Geometrie bilden.

2   was ist mathematik?        11

Moderne Mathematiker sind bei der Formulierung von Axiomen und dem Beweis von Theoremen etwas pingeliger, als Euklid es war. Insbesondere David Hilbert4 hat aufgezeigt, dass bei einer wirklich rigiden Vorgehensweise an die Stelle von Euklids intuitiven Gedanken (beim Betrachten von Zahlen) teilweise zusätzliche Axiome und eine peniblere Beweisführung treten müssten. Das Bemerkenswerte ist jedoch, dass die moderne Mathematik exakt so betrieben wird, wie Euklid die Geometrie dargestellt hat. Noch einmal: Mathematik setzt sich aus Behauptungen – wie jener über kongruente Dreiecke oder dem Lehrsatz des Pythagoras – zusammen, die durch sehr strenge Ableitungsregeln miteinander verknüpft sind. Wenn Sie über die Ableitungsregeln und eine erste Auswahl von als richtig angenommenen Behauptungen (sogenannte Axiome) verfügen, dann können Sie daraus eine Vielzahl weiterer richtiger Behauptungen (sogenannte Theoreme) ableiten. Die Ableitungsregeln sind der logische Mechanismus der Mathematik, in den Axiomen sind die grundlegenden Eigenschaften der untersuchten Objekte enthalten (in der Geometrie können dies Punkte sein, Liniensegmente, Winkel usw.). Bei der Auswahl der Ableitungsregeln besteht eine gewisse Flexibilität, bei den Axiomen hat man zahlreiche Auswahlmöglichkeiten. Sind diese Entscheidungen einmal getroffen, haben Sie alles, was Sie brauchen, um Mathematik zu betreiben. Eine mögliche Katastrophe besteht darin, auf einen Widerspruch zu stoßen, mit anderen Worten also zu beweisen, dass eine Behauptung gleichzeitig richtig und falsch ist. Dies gibt Anlass zu ernsthafter Sorge, denn Kurt Gödel5 hat aufgezeigt, dass sich (in interessanten Fällen) nicht beweisen lässt, dass ein Axiomensystem nicht zu Widersprüchen führt. Dennoch lässt sich getrost behaupten, dass der Gödel’sche Unvollständigkeitssatz den Mathematikern nicht jeden Schlaf raubt. Damit will ich sagen, dass sich die meisten Mathematiker von Gödel nicht aus ihrer Alltagsroutine bringen lassen: Sie erwarten nicht, dass in ihrer Arbeit plötzlich ein Widerspruch auftaucht. Wir können das Problem des Widerspruchs daher fürs Erste beiseite lassen und uns der „realen“ Mathematik zuwenden, wie sie im Regelfall von Mathematikern betrieben wird.

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Mathematik, wie Mathematiker sie betreiben, ist nicht nur das Anhäufen von logisch aus den Axiomen abgeleiteten Behauptungen. Die Mehrzahl solcher Behauptungen sind selbst dann wertlos, wenn sie vollkommen richtig sind. Ein guter Mathematiker aber wird nach interessanten Ergebnissen suchen. Diese interessanten Ergebnisse, oder Theoreme, fügen sich zu bedeutungsvollen und natürlichen Strukturen zusammen; das Ziel der Mathematik ließe sich also als eine Suche nach diesen Strukturen und deren Untersuchung beschreiben. An dieser Stelle jedoch ist Vorsicht geboten. Mit meiner Behauptung, dass sich die Mathematik in bedeutungsvolle und natürliche Strukturen ordnet, bin ich der mehrheitlichen Ansicht der Mathematiker gefolgt. Doch warum muss das so sein? Und überhaupt – was ist damit gemeint? Das sind schwierige Fragen, mit denen wir uns im folgenden und in späteren Kapiteln auseinandersetzen werden. Zuvor jedoch wollen wir uns der Rolle der Sprache in der Mathematik zuwenden. Wenn ich sage: „Man betrachte zwei Dreiecke ABC und A′B′C′, wobei gelte |AB| = |A′B′|, |BC| = |B′C′| …“, bediene ich mich der deutschen Sprache. Mehr oder weniger. Wichtig ist hier nicht, dass Mathematiker ein schlechtes Deutsch (oder Englisch) sprechen, sondern dass sie überhaupt eine Sprache verwenden. Mathematische Arbeit wird unter Verwendung einer natürlichen Sprache verrichtet (Altgriechisch, Englisch oder Deutsch zum Beispiel), ergänzt durch technische Symbole und Fachjargon. Nun hatten wir die Mathematik als aus Behauptungen bestehend beschrieben, die durch sehr strenge Ableitungsregeln miteinander verbunden sind, sehen aber jetzt, dass die Behauptungen und Ableitungen in einer natürlichen Sprache dargestellt sind, die gerade nicht sehr strengen Regeln folgt. Natürlich gibt es grammatische Regeln; sie sind jedoch so wirr und ungenau, dass die maschinelle Übersetzung von einer natürlichen Sprache in eine andere ein schwieriges Problem darstellt. Sollte die Entwicklung der Mathematik daher von einer fundierten Kenntnis der Struktur natürlicher Sprachen abhängen? Das wäre eine ziemliche Katastrophe. Den Ausweg aus dieser Bedrängnis zeigt uns der Nachweis, dass wir im Prinzip auf eine natürliche Sprache wie Deutsch oder Englisch verzichten können. Mathematik lässt sich als der Umgang mit forma-

2   was ist mathematik?        13

len symbolischen Ausdrücken („Formeln“) darstellen, wobei für diesen Umgang absolut strenge Regeln gelten und jede Spur der Ungenauigkeit natürlicher Sprachen fehlt. Mit anderen Worten: Die Mathematik lässt sich im Prinzip vollkommen formalisiert darstellen. Warum nur im Prinzip und nicht tatsächlich? Weil eine formalisierte Mathematik so unhandlich und undurchsichtig wäre, dass sie in der Praxis vollkommen unbeherrschbar wäre. Wir können also behaupten, dass die Mathematik, wie sie derzeit von Mathematikern praktiziert wird, eine Diskussion (in natürlicher Sprache, ergänzt durch Formeln und Fachbegriffe) über einen formalisierten Text ist, der ungeschrieben bleibt. Es gibt recht überzeugende Argumente dafür, dass der formalisierte Text niedergeschrieben werden könnte; dennoch geschieht dies nicht. Tatsächlich wäre ein formalisierter Text über interessante Mathematik viel zu lang und für einen menschlichen Mathematiker zudem ziemlich unverständlich. Mathematische Texte stehen somit in einem ständigen Spannungsfeld: Die Notwendigkeit der Strenge zwingt zu einem formalisierten Stil, gleichzeitig zwingt die Notwendigkeit, verständlich zu sein, zu einer informellen Erläuterung mit Hilfe der Ausdrucksmittel einer natürlichen Sprache. Es gibt einige Tricks, die uns das Leben leichter machen. Eine wichtige Rolle spielen Definitionen: Man ersetzt eine komplizierte Beschreibung (etwa die eines regelmäßigen Dodekahedrons) durch einen einfachen Begriff („regelmäßiges Dodekahedron“) oder einen komplizierten symbolischen Ausdruck durch ein einfaches Symbol. Auch Sprachverstöße sind erlaubt: ein gewisses Maß an kontrollierter Nachlässigkeit, die keine Schwierigkeiten mit sich bringt. Man beachte, dass sich ein durchgängig formalisierter Text mechanisch, etwa durch einen Computer, auf Fehler überprüfen ließe. Bei einem gewöhnlichen mathematischen Text hingegen muss man sich auf die einigermaßen fehlbare Intelligenz eines menschlichen Mathematikers verlassen. Verschiedene Mathematiker pflegen verschiedene Ausdrucksweisen. Im Idealfall ist ihr Stil klar, elegant und schön. Moderne Beispiele sind der Cours d’arithméthique6 von Jean-Pierre Serre und die Rezension „Differentiable dynamical systems“7 von Steve Smale. In ihrem Stil sind diese beiden Texte sehr unterschiedlich – Serre drückt sich formaler

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aus, Smale weniger formal. Smale verwendet handgezeichnete Abbildungen, um seine mathematischen Konstruktionen zu erklären, was Serre vermeiden würde. Trotz der deutlichen stilistischen Unterschiede aber würden wohl die meisten Mathematiker Serres Buch und Smales Artikel als Meisterwerke der schriftlichen Arbeit bezeichnen.

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Das Erlanger Programm

Mit einem exakt definierten System aus Axiomen und logischen Ableitungsregeln haben Sie alles, was Sie für Mathematik brauchen. Gleichzeitig aber ist Mathematik nicht einfach ein großer Berg von Aussagen, die man logisch von grundlegenden Aussagen, den sogenannten Axiomen ableitet. Die meisten Mathematiker würden sagen, dass gute Mathematik aus Aussagen besteht, die interessant sind, dass sie eine Bedeutung hat und dass sie in natürliche Strukturen organisiert ist. Damit fehlt nur noch die Erklärung der Begriffe „interessante Aussagen“, „Bedeutung“ und „natürliche Strukturen“. Eine präzise Definition dieser Konzepte ist nicht leicht, doch sie sind für Mathematiker wichtig und wir müssen versuchen, sie zu verstehen. Natürliche mathematische Strukturen sind bereits verschiedentlich versuchsweise definiert worden, daher wollen wir uns auf dieses Konzept konzentrieren. Tatsächlich werden einige Mathematiker vehement die Ansicht vertreten, dass interessant oder bedeutungsvoll jene Aussagen sind, die sich auf natürliche Strukturen beziehen; andere wiederum werden dem widersprechen. Erörtern können wir diese Frage jedoch erst, wenn wir eine Vorstellung davon haben, was mathematische Strukturen sind. In seiner berühmten Antrittsvorlesung in Erlangen (1872) stellte Felix Klein1 ein Konzept natürlicher Strukturen der Geometrie vor, das heute als Erlanger Programm bezeichnet wird. Um Felix Kleins Ansichten erörtern zu können, müssen wir zunächst konkrete Mathematik, D. Ruelle, Wie Mathematiker ticken, DOI 10.1007/978-3-642-04111-2_3, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010

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16       wie mathematiker ticken

genauer gesagt etwas Geometrie, betreiben. Dabei richtig vorzugehen, würde die Verwendung von Axiomen, Theoremen und Beweisen bedeuten. Ich möchte jedoch nicht voraussetzen, dass die Leser dieses Buchs über mathematisches Fachwissen verfügen oder ein solches erwerben wollen. Daher werde ich mich des Ansatzes der Griechen aus jener Zeit der Antike bedienen, als die Geometrie noch nicht nach Art von Euklids „Elementen“ formalisiert worden war. Dabei werde ich Sie bitten, sich in Abbildungen zu vertiefen und einfache Ableitungen vorzunehmen (oder aber die Behauptungen, die ich aufstelle, als richtig zu akzeptieren). Versetzen Sie sich in die Rolle eines Philosophie-Fans im antiken Athen. Beim Eintritt in die Akademie, wo Sie die Debatten hören wollen, lesen Sie, dass „Nichtgeometer“ (Nichtmathematiker) draußen bleiben mögen. Dennoch haben Sie keine Angst. Sie betreten das Gebäude. Um Kleins Gedanken nachzuvollziehen, betrachten wir zunächst das Beispiel der euklidischen Geometrie der Ebene, von der in Kap. 2 bereits die Rede war. Die Ebene bezeichnen wir als den Raum der euklidischen Geometrie; darüber hinaus haben wir eine Vorstellung von Kongruenz. Zwei Figuren sind kongruent oder gleich, wenn eine so bewegt werden kann, dass sie exakt auf die andere passt. Die Bewegungen müssen dabei starr sein, das heißt, die Entfernung zwischen jeweils zwei Punkten darf nicht verändert werden. Starre Bewegungen, also Kongruenzen, bilden den Kern der euklidischen Geometrie. In der euklidischen Geometrie wird mit Konzepten wie (gerade) Linie, Parallele, Streckenmittelpunkt, Quadrat usw. gearbeitet. Die euklidische Geometrie entspricht unserem Wesen sehr; wir werden jedoch sehen, dass es noch weitere interessante Geometrien in der Ebene gibt. Wollen wir die Konzepte der Geraden und der Parallelen beibehalten, nicht aber jene der Abstände zwischen Punkten oder der Winkelgrößen, erhalten wir die affine Geometrie. Dort sind neben starren Bewegungen auch die Streckung oder die Verkürzung von Abständen zulässig, und an die Stelle von Kongruenzen treten affine Transformationen. Nach einer starren Bewegung ist ein Quadrat unverändert ein Quadrat von derselben Größe mit einer anderen Ausrichtung:

3   das erlanger programm        17

Durch eine affine Transformation hingegen kann aus einem Quadrat ein beliebiges Parallelogramm werden:

Die affine Geometrie (der Ebene) wird definiert durch einen Raum – die Ebene – und die affinen Transformationen. Am Rande sei angemerkt, dass der Begriff des Streckenmittelpunkts in der affinen Geometrie einen Sinn ergibt, der Begriff der Streckenlänge jedoch nicht. Das liegt daran, dass wir behaupten können, dass Abschnitte von Parallelen gleich lang sind, wenn sie von Parallelen geschnitten werden: A'

A

B'

B

C

(Wenn A′A und B′B sowie A′B und B′C parallel zueinander liegen, dann ist B der Mittelpunkt von AC.) Einen weiteren Teilbereich der Geometrie bildet die projektive Geometrie, die sich aus der Untersuchung der Perspektive ergibt. Tatsächlich sieht ein quadratischer Tisch (in der folgenden Abbildung links) in der perspektivischen Darstellung folgendermaßen aus (rechts):

18       wie mathematiker ticken D

Darstellung des Punkts im Unendlichen

C

D' A

B

A'

C' B'

(Die Beine des Tischs sind hier nicht dargestellt.) Beachten Sie, dass die parallelen Seiten des Tischs im Bild nicht mehr parallel sind. Hier ist der Gedanke normal, dass Parallelen sich in einem Punkt im Unendlichen schneiden. In der Abbildung wird aus einem Punkt im Unendlichen ein gewöhnlicher Punkt auf der Ebene. In der projektiven Geometrie gibt es einen Raum, die projektive Ebene, aus den gewöhnlichen Punkten der Ebene und den Punkten im Unendlichen. An die Stelle der starren Bewegungen (oder Kongruenzen) der euklidischen Geometrie treten hier projektive Abbildungen oder Transformationen, bei denen aus Sicht der Projektion auf natürliche Weise Verschiebungen vorgenommen werden: Während Geraden weiterhin Geraden sind, bleiben Parallelitäten nicht zwangsläufig erhalten. Bei der perspektivisch korrekten Wiedergabe einer auf einen Tisch gezeichneten Abbildung auf einem Schirm wird zwischen der Ebene des Tisches und der Ebene des Schirms eine projektive Transformation hergestellt. Wird ein Punkt P des Tisches durch einen Punkt P′ auf dem Schirm wiedergegeben, können wir sagen, dass die projektive Transformation P auf P′ abbildet. Wie wir gesehen haben, kann durch eine projektive Transformation ein Punkt im Unendlichen auf einen gewöhnlichen Punkt abgebildet werden; ebenso kommt der umgekehrte Fall vor. Der Streckenmittelpunkt ist kein gutes Konzept für die projektive Geometrie, wohl aber das Doppelverhältnis. Man nehme vier Punkte A, B, C, D auf einer Geraden, wobei a, b, c und d die Abstände dieser Punkte von einem Punkt O seien; Punkte rechts von O würden mit einem + und Punkte links von O mit einem − bezeichnet. (Die Zahlen a, b, c und d können somit positiv, negativ oder 0 sein.)

3   das erlanger programm        19

A

O

B

C

D

Die Größe (A, B; C, D) entsprechend c−a c−b (c − a) (d − b) : = d −a d −b (d − a) (c − b)

wird als das Doppelverhältnis von A, B, C und D bezeichnet. (Unerheblich ist dabei die Position von O beziehungsweise dessen, was wir mit „rechts von O“ und „links von O“ bezeichnet haben.) Wenn eine projektive Transformation A, B, C, D auf A′, B′, C′, D′ abbildet, gilt (A′, B′; C′, D′) = (A, B; C, D). Ebenso lässt sich das Doppelverhältnis der vier durch einen Punkt P verlaufenden Geraden PA, PB, PC und PD bestimmen:

A'

B'

C'

D'

A B C D

P

Dies ist schlicht das Doppelverhältnis der Punkte A, B, C und D, wie in der Abbildung dargestellt. (Die Verwendung von A′, B′, C′ und D′ würde zum gleichen Ergebnis führen.) Obwohl die soeben dargestellten Gedanken weiter gehen als Platon, hätte er sie nachvollziehen können. Ich möchte nun kurz auf etwas zu sprechen kommen, was wirklich anders ist als die Mathematik der Griechen, und werde dabei komplexe Zahlen verwenden. Sollten Sie

20       wie mathematiker ticken

mit komplexen Zahlen nicht vertraut sein, schauen Sie sich vor dem Weiterlesen die Fußnote2 an. Platon hätte der nächste Absatz möglicherweise nicht behagt, und vielleicht wird es Ihnen ebenso gehen. Lesen Sie ihn dennoch, aber fahren Sie sich nicht fest. Die komplexen Zahlen lassen sich als Punkte in einer komplexen Ebene darstellen. Wir definieren die komplexe projektive Gerade als die Punkte der komplexen Ebene und einen einzelnen zusätzlichen Punkt im Unendlichen. Beachten Sie dabei, dass die komplexe projektive Gerade, die eigentlich eine Ebene ist, gewöhnliche Geraden und Kreise enthält. Es gibt komplexe projektive Abbildungen, die Punkte innerhalb der komplexen projektiven Geraden bewegen. Namentlich der Punkt z (eine komplexe Zahl) wird auf den folgenden Punkt abgebildet (d. h. bewegt): pz + q . rz + s

(Wir setzen voraus, dass p, q, r und s komplexe Zahlen sind, sodass ps − qr ≠ 0.) Durch die komplexen projektiven Transformationen werden Kreise auf Kreise abgebildet (wobei eine Gerade plus der Punkt im Unendlichen als Kreis betrachtet werden). Das Doppelverhältnis der vier Punkte a, b, c und d (die komplexe Zahlen sind) lässt sich definieren als (a, b; c, d) =

c−a c−b : . d −a d −b

Im Allgemeinen ist dies eine komplexe Zahl; liegen jedoch a, b, c und d auf einem Kreis, so ist das Doppelverhältnis echt (ebenso im Umkehrfall). Bildet also eine komplexe projektive Transformation a, b, c, d auf a′, b′, c′, d′ ab, so gilt (a, b; c, d) = (a′, b′; c′, d′). Anders ausgedrückt: Bei der komplexen projektiven Abbildung bleibt das Doppelverhältnis erhalten. (Diese Tatsache dürfen Sie gern überprüfen. Verwenden Sie dazu die Definitionen, die ich gerade genannt habe, dann ist es eine einfache Berechnung.) Wir wollen nun einen Schritt beiseite treten und uns ansehen, was wir haben. Wir haben verschiedene Geometrien eingeführt mit jeweils

3   das erlanger programm        21

einem Raum und verschiedenen Abbildungen. In den besprochenen Fällen ist der Raum eine Ebene (möglicherweise mit zusätzlichen Punkten im Unendlichen). Die Ebene sollte jedoch lediglich die Visualisierung erleichtern; ebenso ließen sich andere Räume (der dreidimensionale etwa) verwenden. Im mathematischen Sprachgebrauch sind die Begriffe Raum und Menge mehr oder weniger gleichbedeutend, sie bezeichnen eine Ansammlung von „Punkten“, wenn es um einen Raum geht, oder aber von „Elementen“, wenn von einer Menge die Rede ist. Durch eine Transformation werden Punkte in einem Raum S auf Punkte in einem Raum S′ abgebildet (wobei S′ in einem Ra häufig mit S identisch ist). Felix Kleins Idee zufolge wird eine Geometrie durch einen Raum und eine Anzahl von Abbildungen definiert. Die Einführung verschiedener Geometrien ermöglicht es uns, Theoreme in eine gewisse Ordnung zu bringen. Betrachten Sie beispielsweise den Satz von Pappus: Zwei Dreiecke ABC und A′B′C′ seien so beschaffen, dass die Geraden AA′, BB′ und CC′ sich in einem einzelnen Punkt P schneiden. Weiterhin schnitten sich die Geraden AB und A′B′ in einem Punkt Q, die Geraden BC und B′C′ in einem Punkt R sowie die Geraden CA und C′A′ in einem Punkt S. Durch die Punkte Q, R und S verläuft dann eine Gerade. P

A B C R

S

Q

C' B' A'

22       wie mathematiker ticken

Welcher Geometrie ist dieses Theorem zuzuordnen? Es beinhaltet Geraden, keine Parallelen und keine Kreise. Man kann also zu Recht vermuten, dass der Satz von Pappus zur projektiven Geometrie gehört. Die projektive Geometrie beschäftigt sich mit Fragen der Perspektive, und der Satz von Pappus lässt sich tatsächlich auf die Perspektive beziehen: Man denke sich ABC und A′B′C′ als Dreiecke im dreidimensionalen Raum. Der von uns angenommene Punkt P bildet die Spitze einer Pyramide, und ABC und A′B′C′ bilden zwei Ebenenschnitte. Die Ebenen, die ABC und A′B′C′ enthalten, müssen sich in einer durch Q, R und S verlaufenden Geraden schneiden; somit verläuft, wie Pappus behauptet, eine Gerade durch Q, R und S. An dieser Stelle mag Sie langsam das Gefühl beschleichen, dass Geometrie mehr ist als eine spitzfindige Rechtfertigung von Theoremen. Es gibt Gedanken – Gedanken, die Platon nachvollziehen konnte.

4

Mathematik und Ideologie

Mit dem Wissen um die Unterschiede zwischen euklidischer, affiner und projektiver Geometrie können wir nun eine entsprechende Klassifizierung vornehmen. Wir haben also erkannt, dass der Satz von Pappus der projektiven Geometrie zuzurechnen ist. Dagegen gehört der Satz des Pythagoras zur euklidischen Geometrie, weil er den Begriff der Länge der Seiten eines Dreiecks verwendet. Klassifizierung hat für Wissenschaftler im Allgemeinen und Mathematiker im Besonderen etwas sehr Befriedigendes. Darüber hinaus ist sie nützlich: Für ein Problem der euklidischen Geometrie wird man einen bestimmten Satz Werkzeuge benutzen, unter anderem kongruente Dreiecke und den Satz des Pythagoras. Für ein Problem aus der projektiven Geometrie werden Sie eine andere Kiste mit Werkzeugen benutzen, einschließlich der projektiven Transformationen und der Tatsache, dass diese die Doppelverhältnisse erhalten. Eine Aufgabe kann relativ leicht sein, wenn man in die richtige Trickkiste greift, und ziemlich schwierig, wenn man die falsche wählt. Praktizierende Mathematiker erleben dies häufig und rechnen es Felix Klein hoch an, dass er diese verborgene mathematische Wahrheit entdeckt hat: Es gibt mehrere, unterschiedliche Geometrien und es ist gut, zu wissen, welcher von ihnen ein jeweiliges Problem zuzuordnen ist. Um Sie davon zu überzeugen, dass das Erlanger Programm eine nützliche mathematische Ideologie darstellt, möchte ich nun eine schwierige Aufgabe erörtern. Hier ist sie: D. Ruelle, Wie Mathematiker ticken, DOI 10.1007/978-3-642-04111-2_4, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010

23

24       wie mathematiker ticken P A

U

R

M

V

B

S Q

Der Schmetterlingssatz Man zeichne einen Kreis mit einer Kreissehne AB und deren Mittelpunkt M. Weiterhin zeichne man zwei beliebige Sehnen PQ und RS, die wie im Bild durch M verlaufen. Schließlich sollen die Sehnen PS und RQ die Sehne AB an den Punkten U bzw. V schneiden. Behauptung: M ist der Mittelpunkt der Strecke UV. (Beachten Sie, dass der Schmetterling PSRQ meist ein asymmetrisches Viereck ist.) Wenn Sie über eine gewisse Übung in elementarer Geometrie verfügen, dann empfehle ich Ihnen, sich vor dem Weiterlesen intensiv mit dieser Aufgabe auseinanderzusetzen (Lesen Sie nicht weiter, nehmen Sie sich ein Blatt Papier und machen Sie sich ans Werk!). An dieser Stelle möchte ich darauf hinweisen, dass Berufsmathematiker dies nicht als sehr schwieriges Problem bezeichnen würden. Von seinem Schwierigkeitsgrad her ist es mit dem großen Fermat’schen Satz nicht zu vergleichen, den wir uns später anschauen werden. Tatsächlich scheint es sich um eine einfache Aufgabe aus der elementaren euklidischen Geometrie zu handeln. Auf den ersten Blick erkennt man, dass die Winkel bei S und Q gleich sind. Sodann wird man versuchen, Standardsätze zu kongruenten Dreiecken (wie jenen aus Kap. 2) anzuwenden. Vielleicht wird man hier und da etwas zeichnen, eine Senkrechte oder eine Halbierende … – und dabei kein bisschen weiterkommen. Nun werden sich vielleicht erste Zweifel melden: Ist M wirklich der

4   mathematik und ideologie        25

Mittelpunkt von UV? (Ja, so ist es.) Das Vernünftigste in einer solchen Situation ist, eine Nacht darüber zu schlafen. (Als überaus vernünftiger Mensch, der ich bin, habe ich genau das getan, nachdem mein Kollege Ilan Vardi mir das Problem gezeigt hatte und ich an einer raschen Lösung gescheitert war.) Wenn Sie die Nuss wirklich knacken wollen, haben Sie nunmehr zwei Möglichkeiten. 1. Wenden Sie brutale Gewalt an! Tatsächlich kann man bei Problemen der elementaren Geometrie (wie wir sehen werden) immer Koordinaten einführen, Gleichungen für entstehende Geraden formulieren und das Problem auf ein bisschen algebraische Überprüfung reduzieren. Diese Methode geht auf Descartes zurück.1 Sie ist wirkungsvoll, aber umständlich. Häufig ist sie lang und unelegant, und einige Mathematiker werden sagen, dass man auf diese Weise nichts lernt: Man versteht das Problem, das man gelöst hat, nicht wirklich. 2. Finden Sie eine schlaue Idee, durch die die gestellte Aufgabe einfach wird. Dies ist für die meisten Mathematiker die Methode der Wahl. In unserem Fall besteht die schlaue Idee darin, zu erkennen, dass der Schmetterlingssatz nicht der euklidischen, sondern der projektiven Geometrie zuzurechnen ist. Es stimmt zwar, dass der Kreis ein euklidisches Objekt ist; gleichzeitig aber taucht er ganz natürlich in der Geometrie der komplexen projektiven Gerade auf. Es stimmt zwar, dass der Begriff des Mittelpunkts euklidisch oder affin ist; dies aber ist irreführend: Man könnte von  AM  = α AB   ausgehen, wobei α nicht notwendigerweise ½ betragen muss. Ich möchte nun rasch einen Beweis für den Schmetterlingssatz skizzieren. Nach Ihrem Belieben können Sie ihn detailliert ausarbeiten oder sich mit dem Grundgedanken begnügen. Denken Sie die Punkte A, B, P, R, … als komplexe Zahlen. Da A, B, P und R auf einem Kreis liegen, ist das Doppelverhältnis (A, B; P, R) eine reelle Zahl. Wenn wir den Ursprung der komplexen Ebene in S annehmen, finden wir, dass die Punkte A′ = 1/A, B′ = 1/B, P′= 1/P, R′= 1/R auf einer Geraden liegen und dass gilt:

26       wie mathematiker ticken (A, B; P, R) = (A , B ; P  , R )

Dies ist auch das Doppelverhältnis der Strecken SA′, SB′; SP′, SR′ bzw. (durch Spiegelung) der Strecken SA, SB; SP, SR bzw. (als Schnittpunkte mit AB) der Punkte A, B; U, M. Somit gilt

(A, B; P, R) = (A, B; U , M ).

Durch Ersetzen von S durch Q erhalten wir auf demselben Wege

(A, B; P, R) = (A, B; M , V ).

Somit ist aufgezeigt worden, dass gilt

(A, B; U , M ) = (A, B; M , V ),

oder: M −A M −B U −A U −A : = : . M −A M −B V −A V −B

Ist nun M der Mittelpunkt von AB, also M = (A + B)/2, so lässt sich die obige Gleichung vereinfachen, und wir finden

(U − A)(V − A) = (U − B)(V − B),

bzw., nach dem Ausführen der Multiplikationen und Umstellung:

(B − A)(U + V ) = B2 − A2 ,

bzw., nach Division durch B – A:

U + V = A + B.

Damit ist, wie eingangs behauptet, der Mittelpunkt der Strecke UV A+B U +V = = M, 2 2

Hier wechseln wir kurzzeitig von der eindimensionalen komplexen projektiven Geometrie in die zweidimensionale reelle Geometrie. Statt der eindimensionalen komplexen projektiven Geometrie verwenden manche Mathematiker übrigens lieber die zweidimensionale konformale Geometrie, was jedoch annähernd dasselbe ist.



4   mathematik und ideologie        27

Zu einem schwierigen Problem der Geometrie gibt es somit einen natürlichen und eleganten Beweis, sobald wir erkennen, dass das Problem seinem Wesen nach der projektiven und nicht der euklidischen Geometrie angehört. Dieses und zahlreiche weitere Beispiele zeigen, dass es in der Mathematik natürliche Strukturen gibt. Solche natürlichen Strukturen sind nicht unbedingt leicht zu erkennen. Sie sind wie die reinen Ideen oder Formen in der Vorstellung Platons. Ein Mathematiker hat also ebenfalls Zugang zur eleganten Welt natürlicher Strukturen, gerade so, wie, nach Platons Ansicht, einem Philosophen der Weg in die lichte Welt der reinen Ideen offen steht. Und wirklich muss für Platon ein Philosoph auch Geometer sein. Die Mathematiker von heute sind demnach die rechtmäßigen Erben der Philosophen-Geometer des antiken Athen. Sie haben Zutritt zu derselben Welt der reinen Formen, zeitlos und abgeklärt, und haben gemeinsam mit den Göttern Anteil an ihrer Schönheit. Diese Sicht der Mathematik wird inzwischen als mathematischer Platonismus bezeichnet. In unterschiedlicher Ausprägung wird er bis heute von vielen Mathematikern geschätzt. Unter anderem erhebt er sie über die Normalsterblichen. Wie in einem späteren Kapitel ausführlich darzulegen sein wird, darf man den mathematischen Platonismus allerdings nicht unkritisch übernehmen. An dieser Stelle jedoch soll eine schockierende Frage zur Sprache kommen: Wie konnte unser Schmetterlingssatz in die Liste „antisemitischer Problemstellungen“ gelangen? Schauplatz dieser Geschichte ist die Sowjetunion, der Zeitraum die 1970er- und 1980er-Jahre. Wie Sie vielleicht wissen, glänzte die Sowjetunion in vielen Bereichen der Wissenschaft – insbesondere in der Mathematik und in der theoretischen Physik. Herausragende wissenschaftliche Leistungen wurden belohnt und die flexible Anpassung an die verschlungene Parteilinie spielte in der Wissenschaft eine weniger dominante Rolle als in anderen Bereichen des sowjetischen Lebens. In gewissem Maße waren Wissenschaftler zu jener Zeit vor den Vorurteilen der herrschenden Kaste abgeschirmt. Über die Parteikomitees der Universitäten jedoch ergriffen die sowjetischen Behörden letztlich Maßnahmen, dies zu ändern. Insbesondere beschränkten sie die Zulassung von Juden und gewisser anderer nationaler Minderheiten an bedeutendere Hochschulen (speziell auch an

28       wie mathematiker ticken

die Moskauer Universität). Die Umsetzung dieser Politik erfolgte nicht offen und offiziell, sondern indem man unerwünschte Bewerber bei Aufnahmeprüfungen gezielt durchfallen ließ. Im Detail schildern dies Anatoly Vershik und Alexander Shen2, die in ihren Artikeln eine Liste von „Killeraufgaben“ nennen, mit denen rausgeprüft wurde, wer nicht als ethnisch oder politisch korrekt galt. Der Beweis des Schmetterlingssatzes steht auf der Liste der „Killeraufgaben“ – warum, ist leicht nachzuvollziehen: Die naheliegende Herangehensweise wird wahrscheinlich zu nichts führen. Natürlich gibt es eine relativ einfache Lösung, die ein erfahrener Mathematiker letztlich auch finden wird. Aber man stelle sich einen jungen Menschen vor, der zur Aufnahmeprüfung an einer Universität erscheint und innerhalb einer festgelegten Zeit eine solche Aufgabe lösen soll. Ich habe mit einigen russischen Kollegen (die heute überwiegend im Westen leben) über die sowjetische Politik gesprochen. Einer erzählte mir, wie man ihn bei der Aufnahmeprüfung an der Moskauer Universität gezielt durchfallen ließ, obwohl er die richtigen Antworten gegeben hatte, und erschien dabei eher traurig als wütend. Er ist heute ein sehr erfolgreich forschender Mathematiker in den Vereinigten Staaten; viele andere jedoch hat das damalige System aus der Bahn geworfen oder ihr Leben ruiniert. Ein Kollege bemerkte dazu: „Wie tragisch dieses Problem der ethnischen Diskriminierung im Einzelfall auch gewesen sein mag, so verblasst dieses Unglück doch neben einem viel größeren Unglück.“ Man denke allein an die von den Sowjetbehörden offiziell bestätigte „erhöhte Sterblichkeit“ von 16 Millionen Menschen in den Lagern des Gulag. Doch selbst wenn man sie als Randerscheinung sehen möchte – Mathematiker verstört es sehr, wenn Mathematik zur ethnischen und politischen Diskriminierung eingesetzt wird. Eben noch sahen wir die Mathematik als Bewohnerin einer abgeklärten Welt aus Formen, Schönheit und reinen Ideen, und hier zeigt sie sich als Hilfsmittel der Repression. Natürlich ist die Situation in Russland heute eine andere, und Ver­ shik erwähnt in seinem Artikel mehrere offizielle Universitätsvertreter, die sich aus engagierten Verfechtern der Diskriminierungsprogramme schlagartig in leidenschaftliche Demokraten verwandelt haben, die

4   mathematik und ideologie        29

heute jüdische Kulturveranstaltungen und ähnliches ausrichten. Und manch ein westlicher Kollege scheint dieser plötzlichen Metamorphose nur allzu gern Glauben zu schenken. Wie bin ich von der Mathematik auf dieses politische Thema abgekommen? Ich bin weder Russe noch Jude, und die Sowjetunion gibt es nicht mehr. Die Not anderer Personengruppen steht heute stärker im Brennpunkt als die der sowjetischen Juden. Sollte ich da nicht die hässlichen Seiten der Politik beiseite lassen und mich lieber mit der Schönheit von Platons Formenwelt befassen? Tatsache ist: Auch wenn die politischen und moralischen Aspekte der Wissenschaft hier nicht unser Hauptanliegen sind, dürfen wir sie dennoch nicht ganz ignorieren. Insgesamt sind Wissenschaftler meiner Ansicht nach angenehme Zeitgenossen; es steht jedoch außer Zweifel, dass unter ihnen ebenso auch Dreckskerle und falsche Fuffziger zu finden sind.3 Ab und an bewundere ich die moralische Stärke eines Kollegen, ab und an bedrückt mich die moralische Schwäche eines anderen. Fragen der Moral, könnte man sagen, sind nicht Teil der Wissenschaft. Manche Wissenschaftler aus Gründen, die außerhalb der Wissenschaft liegen, auszugrenzen oder zum Schweigen zu bringen, kann jedoch weitreichende Folgen haben. In späteren Kapiteln werden wir weitere Beispiele für diese unglückliche Sachlage kennenlernen.

5

Die Einheitlichkeit der Mathematik

Ausgehend von einer Abfolge von Axiomen und Ableitungsregeln haben wir gesehen, wie über den Beweis aufeinanderfolgender Theoreme die Geometrie entwickelt werden kann. Nun ist Mathematik aber mehr als nur Geometrie. Da gibt es zum Beispiel die Arithmetik: Wir beginnen mit den Zahlen 1, 2, 3, 4, …, den sogenannten (positiven) ganzen Zahlen. Aus ganzen Zahlen lassen sich Summen, wie 7 + 7 + 7 = 21, und Produkte, wie 7 × 3 = 21, bilden. Des Weiteren kann man Primzahlen bestimmen: 2, 3, 5, 7, …, 137, … (Primzahlen sind ganze Zahlen, die sich nicht als ein Produkt aus zwei Faktoren ungleich 1 darstellen lassen); wir haben soeben gesehen, dass 21 keine Primzahl ist. Schon Euklid wusste, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, bis heute aber haben Mathematiker viele Fragen zu ihnen.1 Manche Zahlen in der Geometrie sind keine ganzen Zahlen, Bruchzahlen beispielsweise: 1/2, 2/3, … Daneben gibt es reelle Zahlen, die kei√ ne Bruchzahlen sind, wie 2 = 1, 41421 . . . oder π = 3,14159… Die Zahl √ 2 ist die Diagonale eines Quadrats mit der Seitenlänge 1; Euklid (mög√ licherweise auch Pythagoras) wusste, dass die Quadratwurzel aus 2 keine Bruchzahl ist. Die Zahl π ist der Umfang eines Kreises mit einem Durchmesser von 1; dass π nicht zu den Bruchzahlen gehört, ist eine Erkenntnis jüngeren Datums (aus dem 18. Jahrhundert).

D. Ruelle, Wie Mathematiker ticken, DOI 10.1007/978-3-642-04111-2_5, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010

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32       wie mathematiker ticken

Leicht könnte ich mich hinreißen lassen und die Geschichte der Mathematik zu erzählen beginnen. Wie man eine wunderbare Formel wie diese beweist zum Beispiel:2 1+

1 1 1 π2 + + + ··· = 4 9 16 6

Das ist jedoch nicht Ziel dieses Buchs. Was ich oben angeführt habe, deutet auf zwei Grundtendenzen in der Entwicklung der Mathematik hin: Diversifikation und Vereinheitlichung. Wie Diversifikation entsteht, liegt auf der Hand: Jeder kann ein neues Axiomensystem aufstellen, Theoreme abzuleiten beginnen und so einen neuen Zweig der Mathematik ins Leben rufen. Zu vermeiden sind dabei natürlich Axiomensysteme, die zu Widersprüchen führen; darüber hinaus werden den Mathematikern manche Axiomensysteme interessanter erscheinen als andere. Es gibt jedoch viele Gebiete der Mathematik: die eingangs erörterte Geometrie; die Arithmetik, die sich mit den ganzen Zahlen und angrenzenden Fragen befasst; und die Analysis, die Nachfolgerin der Infinitesimalrechnung von Newton und Leibniz.3 Daneben existieren abstraktere Themen wie Mengenlehre, Topologie, Algebra und andere mehr. Man sollte meinen, die Mathematik löse sich vor unseren Augen in eine Staubwolke aus eigenständigen Fachgebieten auf. Die Gebiete sind jedoch nicht ohne Beziehung zueinander. So haben √ wir eben gesehen, dass reelle Zahlen, wie 2 oder π, in geometrischen Fragestellungen auftauchen. Tatsächlich sind die euklidische Geometrie und die reellen Zahlen eng miteinander verbunden. Zwischen der Zeit Euklids und dem 19. Jahrhundert vollzog sich der richtige Umgang mit reellen Zahlen über die Geometrie: Eine reelle Zahl wurde als das Verhältnis der Längen zweier Geradenabschnitte dargestellt. (Heute erscheint uns diese Vorgehensweise umständlich, was teilweise erklärt, warum wir die Mathematik Newtons als ziemlich mühsame Lektüre empfinden.) In der entgegengesetzten Richtung hat uns Descartes gezeigt, wie euklidische Geometrie mit Hilfe reeller Zahlen funktioniert. Wir legen die rechtwinkligen Achsen Ox und Oy fest und geben einen Punkt P1 der Ebene mit Hilfe seiner Koordinaten x1 und y1 (welche reelle Zahlen sind) wieder; gleichermaßen verfahren wir mit P2:

5   die einheitlichkeit der mathematik        33

y P1

y1

P2

y2

x1

O

x2

x

Die Länge des Segments P1P2 beträgt dem Satz des Pythagoras zufolge dann



(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 ; Fragen zur Geometrie lassen sich durch

formale Veränderungen von Zahlen (also durch Algebra) beantworten. In der obigen Abbildung hat der Punkt O die Koordinaten 0, 0, sodass wir schreiben können O = (0, 0). Entsprechend bedeutet P = ( x, y), dass der Punkt P die Koordinaten x, y besitzt. Ein Kreis mit einem Radius von 1 und einem Mittelpunkt O setzt sich aus diesen Punkten P = ( x, y) zusammen, daher gilt x2 + y2 − 1 = 0

Man sagt: x2 + y2 = 1 ist die Gleichung des beschriebenen Kreises (in der nachfolgenden Abbildung links).

y

O

y

x

O

x

34       wie mathematiker ticken

Die schräge Gerade durch O im rechten Teil der Abbildung hat die Gleichung x−y =0

Die Idee, Kurven als Gleichungen darzustellen, hat sich als sehr fruchtbar erwiesen und zur Begründung der sogenannten algebraischen Geometrie geführt. Descartes Idee hat gezeigt, wie sich geometrische Aufgaben in Zahlenaufgaben übersetzen lassen. Sie entstand zu einer Zeit, als die moderne Theorie der reellen Zahlen noch nicht entwickelt war. Heute hingegen verfügen wir über einfache und effiziente axiomatische Ansätze für die reellen Zahlen. Im Vergleich dazu ist die axiomatische Beschreibung der euklidischen Geometrie (von Euklid übernommen und rigoroser formuliert durch Hilbert) ein verworrenes Durcheinander. Heute setzt man, um die euklidische Geometrie effizient zu bewältigen, bei den Axiomen der reellen Zahlen an, geht sodann mit Hilfe der Sprache Descartes’ (der kartesianischen Koordinaten) zur Geometrie über, setzt mehrere geometrische Tatsachen (darunter die Euklid-Hilbert-Axiome) als Theoreme ein und leitet aus diesen Tatsachen schließlich nach Art des Euklid geometrische Theoreme ab. An dieser Stelle möchte ich in einem kleinen Exkurs auf die Rolle der Axiome in der mathematischen Praxis zu sprechen kommen: Sie sind relativ unbedeutend. Das mag überraschen nach all dem Gewese, das wir um die Definition der Mathematik mit Hilfe von Axiomen gemacht haben. In der mathematischen Praxis geht man von einer Reihe bekannter Tatsachen aus: Dies können Axiome sein oder, was häufiger der Fall ist, bereits bewiesene Theoreme (wie der Satz des Pythagoras in der euklidischen Geometrie). Aus diesen Fakten werden sodann neue Resultate abgeleitet. Dahinter steckt also der Gedanke, dass sich ein Zweig der Mathematik konstruieren lässt, indem man die Axiome eines anderen verwendet, ergänzt durch geeignete Definitionen. Wiederholt man diesen Vorgang mehrfach, kann man hoffen, die gesamte Mathematik als ein vereinheitlichtes Gebäude darstellen zu können, das auf nur wenigen Axiomen beruht. Diese Hoffnung bildete eine Haupttriebfeder der

5   die einheitlichkeit der mathematik        35

Mathematik während des 19. und des 20. Jahrhunderts. Man kann sagen, dass die Hoffnung sich erfüllt hat, wenn auch nicht ohne Krisen und Überraschungen. Mit dieser Geschichte verbinden sich Namen wie Georg Cantor,4 David Hilbert, Kurt Gödel, Alan Turing,5 Nicolas Bourbaki und viele mehr. Auf Teile der Geschichte werden wir später noch zurückkommen; zunächst aber wollen wir innehalten und den kuriosen Fall des französischen Mathematikers Nicolas Bourbaki betrachten. Frankreich ist aus historischen Gründen ein sehr zentralisiertes Land. Dieser Umstand hat dazu geführt, dass wissenschaftliche Forschung und Lehre häufig von einigen wenigen mächtigen alten Leuten kontrolliert wurden. Diese Kontrolle wiederum bekamen die gescheiten Nachwuchswissenschaftler schmerzhaft zu spüren. Nach einiger Zeit aber sterben die alten Tyrannen. Nun ergreift der zwischenzeitlich gealterte brillante wissenschaftliche Nachwuchs die Macht. Nach einiger Zeit sind auch sie zu alten Tyrannen geworden, und die Situation ist unverändert. Diesen Lauf der Dinge kann man beklagen, denn er hat mitunter katastrophale Folgen für die Wissenschaft. Mitunter aber bringt er brillante Resultate hervor. Warum? Weil die gescheiten jungen Leute in einer solchen Situation durch keinerlei zeitraubenden Pflichten behindert werden und wissenschaftlich produktiv arbeiten können. Wir haben gesehen, dass die sowjetische Wissenschaft in bestimmten Forschungsbereichen aus vergleichbaren Gründen von hoher Qualität war. Ende 1934 also beschlossen einige ehemalige Studenten der École Normale Supérieure, namentlich die französischen Mathematiker Henri Cartan (1904–2008), Claude Chevalley (1909–1984), Jean Delsarte (1903–1968), Jean Dieudonné (1906–1992) und André Weil (1906–1998), sich der verknöcherten Mathematik entgegenzustellen, von der sie sich umgeben sahen, und eine Abhandlung über die Analysis zu verfassen. Die Analysis umfasst Dinge wie multiple Integrale und die Stokes-Formel, Grundwerkzeuge der theoretischen Physik. Ziel des Projekts war, die Analysis auf absolut rigorose Weise zu entwickeln, bis hin zur StokesFormel. Es sollte eine gemeinschaftliche Anstrengung werden, und die jungen Revolutionäre beschlossen, sich hinter dem Pseudonym Nicolas Bourbaki zu verbergen (in scherzhafter Anspielung auf den ein wenig

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in Vergessenheit geratenen französischen General Charles Bourbaki aus dem 19. Jahrhundert). Eine rigorose Herleitung der Analysis bedeutet, dass von Axiomen ausgegangen wird. Aber nicht von Axiomen der Analysis! Wie wir gesehen haben, wollen wir die gesamte Mathematik, einschließlich der Analysis, auf einheitliche Weise aus einigen wenigen Axiomen ableiten. Ein ganzes Jahrhundert mathematischer Grübelei hat gezeigt, dass sich als Ausgangspunkt die Axiome der Mengenlehre eignen. Die Mengenlehre befasst sich mit Gruppen von Objekten, sogenannten Mengen (wie die Menge {a, b, c} aus den Buchstaben a, b, c). Man kann die Anzahl der Objekte in einer Menge zählen, und man kann verschiedene Mengen bilden (ausgehend von {a, b, c} und {A, B, C} erhält man {a, b, c, A, B, C}). Das erscheint maßlos uninteressant und wenig erfolgversprechend. Doch gerade weil es so simpel ist, eignet es sich gut als Ausgangspunkt für die gesamte Mathematik. In der Mengenlehre lassen sich Axiome und logische Ableitungsregeln höchst eindeutig analysieren. Wie nun soll man aus der Mengenlehre die übrige Mathematik entwickeln? Durch das Zählen der Objekte in einer Menge gelangt man zu den ganzen Zahlen 0, 1, 2, 3, … Ausgehend von den ganzen Zahlen lassen sich Bruchzahlen und reelle Zahlen bestimmen (unter Verwendung der Gedanken von Richard Dedekind oder Cantor). Über die reellen Zahlen erhält man die Geometrie (wie wir oben gesehen haben). Und so fort … Der Arbeitsentwurf der jungen Mitglieder von Bourbaki erschien ziemlich klar, sodass man hoffen konnte, nicht allzu viel Zeit dafür zu benötigen. Und wirklich schrieben über die Jahre mehrere Mathematikergenerationen (das Renteneintrittsalter bei Bourbaki war auf 50 Jahre festgelegt worden) viele Bände über Mengenlehre, Algebra, Topologie und andere Themen. Diese Arbeiten hatten erhebliche normative Auswirkungen: Notation und Terminologie wurden sorgfältig erörtert und strukturelle Aspekte der Mathematik äußerst detailliert durchleuchtet. Im Rückblick ist Bourbakis rigorose, vereinheitlichende und systematische Denkweise eindeutig ein wichtiger Bestandteil der Mathematik des 20. Jahrhunderts – auch wenn sie nicht allen gefiel! Natürlich wussten die Mathematiker, die Bourbaki Mitte der 30erJahre ins Leben riefen, nicht, wohin ihr Unternehmen sie führen wür-

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de. Aber sie waren voller Begeisterung. Und höchst scharfzüngig. André Weil zum Beispiel: Sagte jemand zu ihm: „Darf ich eine dumme Frage stellen?“, antwortete er: „Das haben Sie gerade getan.“ Kurz vor Ausbruch des Zweiten Weltkriegs beschloss Weil, die nationalistischen Kämpfe nicht als sein Problem zu betrachten, und versuchte dem Flächenbrand zu entkommen, indem er nach Finnland floh. Dort wurde er gefasst, entrann nur knapp der Hinrichtung als Spion und wurde zunächst nach England und später nach Frankreich deportiert, wo er erneut beinahe hingerichtet worden wäre, diesmal jedoch, weil er sich dem Militärdienst entzogen habe. Schließlich ging Weil in die Vereinigten Staaten, wo er als Mathematiker eine glänzende Laufbahn verfolgte, die in den Weil-Vermutungen mündete. Ein Mathematiker, der Grund zur Annahme hat, dass eine bestimmte Aussage zutrifft, sie jedoch nicht beweisen kann, hat die Möglichkeit, diese Aussage als Vermutung zu veröffentlichen. Der spätere Beweis der Weil-Vermutungen durch Alexander Grothendieck6 und Pierre Deligne7 bildete ein wichtiges Ereignis in der Mathematik des 20. Jahrhunderts. Natürlich kann man die politische Einschätzung Weils in Bezug auf den Zweiten Weltkrieg hinterfragen, dennoch zeigt sich darin eine Unabhängigkeit des Geistes, die Respekt verdient. Eben diese geistige Unabhängigkeit half ihm in seiner kreativen mathematischen Arbeit, die gekennzeichnet ist von einem gesunden Mangel an Ehrfurcht gegenüber den Leistungen seiner Vorgänger auf dem Gebiet der algebraischen Geometrie. Wenn von André Weil die Rede ist, darf seine Schwester Simone nicht unerwähnt bleiben, dem bekanntere Mitglied der Familie Weil in den intellektuellen Kreisen Europas. Simone Weil war eine Philosophin und Mystikerin, deren persönliche Entwicklung sie von einem judaistischen Hintergrund zum Christentum führte. Sie schrieb mehrere einflussreiche Bücher über ihre sozialen und religiösen Erfahrungen. Die Vorkriegsproblematik und die Schrecken des Krieges trafen sie zutiefst, und sie starb 1942 (in England) an den Folgen von Nahrungsverweigerung. Und was wurde aus Bourbaki? Er veränderte sich von jung und revolutionär über wichtig und etabliert zu tyrannisch und senil. Die letzten beiden Veröffentlichungen Bourbakis stammen aus den Jahren

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1983 und 1998, weitere wird es wohl nicht geben. Bourbaki ist tot.8 Die noch lebenden Mitglieder (aus der kreativen Zeit) von Bourbaki sind heute alte Mathematiker und zumeist mit Ehrenwürden überhäuft. Die Mathematik hat die Ideen Bourbakis in sich aufgenommen und ist weitergezogen.

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Ein kurzer Blick auf algebraische Geometrie und Arithmetik

Wollte man die zehn größten Mathematiker des 20. Jahrhunderts aufzählen, so käme man an dem Namen David Hilbert nicht vorbei. Außer ihm würde man vielleicht Kurt Gödel (obwohl dieser eher ein Logiker war als ein Mathematiker) und Henri Poincaré1 nennen (obwohl dieser eher dem 19. als dem 20. Jahrhundert zugerechnet wurde). Über diese zwei, drei Namen hinaus jedoch würde man sich schwertun, und die Liste fiele bei unterschiedlichen Mathematikern womöglich ziemlich unterschiedlich aus. Wir sind dem 20. Jahrhundert noch zu nah für einen zufriedenstellenden Blickwinkel. Manchmal erhält ein Mathematiker für den Beweis eines schwierigen Theorems eine wichtige Auszeichnung, und doch verblasst sein Ruf mit der Zeit. In anderen Fällen erweist sich die Arbeit eines Mathematikers im Rückblick als richtungweisend für die Mathematik, und sein Name geht in die Liste der ganz großen Wissenschaftler ein. Ein Name, der in diesen Tagen ganz sicher nicht verblasst, ist Alexander Grothendieck. Grothendieck war mein Kollege am französischen Institut des Hautes Études Scientifiques (IHÉS), und obwohl ich ihm nicht nahestand, waren wir doch gemeinsam in eine Kette von Vorgängen verwickelt, die letztlich zu seinem Abschied vom IHÉS und zu seinem Ausschluss aus der Mathematikergemeinschaft geführt hat. Er schloss sich selbst aus. Man könnte auch sagen, dass er seine ehemaligen Freunde in der Mathematikergemeinschaft zurückwies und sie D. Ruelle, Wie Mathematiker ticken, DOI 10.1007/978-3-642-04111-2_6, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010

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ihn. Wie sich diese wechselseitige Zurückweisung abspielte, werde ich später erzählen. Zunächst jedoch möchte ich etwas zu Grothendiecks Mathematik sagen, zu dem letzten großartigen mathematischen Œuvre in französischer Sprache, zu den Tausenden von Seiten der „Éléments de Géométrie Algébrique“ und zum Séminaire de Géométrie Algébrique. Grothendieck begann seine Laufbahn mit Aufgaben in der Analysis, zu der er Beiträge von bleibender Bedeutung leistete. Sein großes Lebenswerk aber lag in der algebraischen Geometrie. Eine technisch schwierige Arbeit, die jedoch aufgrund ihres Ausmaßes auch von Laien wahrgenommen wird wie der Gipfel eines sehr hohen Berges, der selbst für jene aus der Ferne zu sehen ist, die niemals in der Lage wären, ihn zu erklimmen. Die algebraische Geometrie begann, wie wir gesehen haben, mit der Beschreibung von Kurven in einer Ebene durch Gleichungen, die sich symbolisch darstellen lassen als p (x, y) = 0. Ein Punkt P = ( x, y) auf der Kurve besitzt die Koordinaten x, y, die in den oben betrachteten Beispielen die Gleichung x2 + y 2 – 1 = 0 (Kreis) oder aber x – y = 0 (Gerade) erfüllen. Anstelle von x2 + y 2 – 1 = 0 oder x – y = 0 schauen wir uns nun allgemeiner ein Polynom p ( x, y) an, d. h. eine Summe von Termen axky l, wobei xk die k-te Potenz von x und y l die l-te Potenz von y ist und der Koeffizient a eine reelle Zahl. Wenn nun k + l nur 0 oder 1 sein kann, so ergibt sich ein Polynom der Form p (x, y) = a + bx + cy, bezeichnet als Polynom ersten Grades, und die durch p ( x, y) = 0 beschriebene Kurve ist eine Gerade. Kann k + l 0, 1 oder 2 sein, haben wir es mit einem Polynom zweiten Grades zu tun:



p (x, y) = a + bx + cy + dx2 + exy + fy2 ,

Dieses Polynom entspricht einem Kegel. Kegel (oder Kegelschnitte) genannte Kurven wurden von Geometern der späten griechischen Antike untersucht; zu ihnen gehören Ellipsen, Hyperbeln und Parabeln. Die Beschreibung von Kurven mit Hilfe von Gleichungen hat den Vorteil, dass man zwischen Geometrie und Berechnung wechseln kann,

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wenn man Polynome verwendet. Man betrachte die folgende geometrische Tatsache: Durch fünf gegebene Punkte in einer Ebene verläuft im Allgemeinen nur ein Kegelschnitt. Präziser lautet das Theorem: Haben zwei Kegelschnitte fünf Punkte gemeinsam, so haben sie unendlich viele Punkte gemeinsam. Dieser geometrische Satz ist etwas subtil, er lässt sich jedoch in eine Eigenschaft von Lösungen polynomer Gleichungen übertragen, die einem modernen Mathematiker einleuchtender erscheint.2 Allgemein können wir sagen, dass sich die Verbindung von geometrischer Sprache und Intuition mit einer algebraischen Behandlung von Gleichungen als sehr fruchtbar erwiesen hat. Die Entwicklung eines Zweigs der Mathematik wird häufig vom untersuchten Gegenstand gesteuert, als würde den Mathematikern gesagt, schau dir dies an, formuliere jene Definition, dann gelangst du zu einer schöneren, natürlicheren Theorie. Genau dies geschah in der algebraischen Geometrie: Wie das Gebiet zu entwickeln sei, machte sozusagen das Gebiet selbst den Mathematikern klar. So haben wir Punkte P = ( x, y) verwendet, wobei die Koordinaten x, y reelle Zahlen waren; manche Theoreme aber haben eine einfachere Formulierung, wenn man zulässt, dass x, y komplexe Zahlen sind. Aus diesem Grund verwendet die klassische algebraische Geometrie weitgehend komplexe und nicht reelle Zahlen. Dementsprechend kann man außer den reellen Punkten einer Kurve auch komplexe Punkte betrachten, und ebenso kann man in natürlicher Weise Punkte im Unendlichen einführen. Natürlich wird man nicht nur Kurven einer Ebene untersuchen wollen, sondern auch Kurven (und Oberflächen) im dreidimensionalen Raum, und zu Räumen mit mehr als drei Dimensionen fortschreiten. Dies führt zwangsläufig zur Betrachtung einer Reihe unterschiedlicher Gleichungen anstelle einer einzelnen sowie zur Definition einer algebraischen Varietät. So, wie sie soeben eingeführt wurden, werden algebraische Varietäten durch Gleichungen in der Ebene oder in einem höherdimensionalen Raum definiert. Wir können den umgebenden Raum aber beiseite lassen und Varietäten untersuchen, ohne auf ihr Umfeld Bezug zu nehmen. Diese Denkrichtung wurde erstmals im 19. Jahrhundert von Bernhard Riemann beschritten, und sie führte ihn zu einer spezifischen Theorie komplexer algebraischer Kurven.

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Die Untersuchung algebraischer Varietäten bildet den Kernpunkt der algebraischen Geometrie. Ein schwieriges und technisches Thema; wie dieses Gebiet sich entwickelt hat, lässt sich jedoch in allgemeinen Worten umreißen. Ich möchte auf die Bemerkung zurückkommen, dass es interessant sei, algebraische Geometrie mit komplexen Zahlen statt lediglich mit reellen Zahlen zu entwickeln. Reelle Zahlen lassen sich normal addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren (eine Teilung durch 0 ist nicht zulässig); dies kann durch die Feststellung ausgedrückt werden, dass die reellen Zahlen einen Körper bilden: den reellen Zahlkörper. Die komplexen Zahlen bilden entsprechend den komplexen Zahlkörper. Es gibt zahlreiche weitere Körper, von denen manche (die sogenannten endlichen Körper) nur eine endliche Anzahl von Elementen haben. André Weil entwickelte die algebraische Geometrie systematisch über einen beliebigen Körper, und die berühmten Weil-Vermutungen beschäftigen sich mit endlichen Körpern. Doch warum von reellen oder komplexen Zahlen zu einem beliebigen Körper überwechseln? Woher kommt dieser Trieb zur Verallgemeinerung? Ich möchte diese Fragen mit einem Beispiel beantworten: Mathematiker sagen nicht 2 + 3 = 3 + 2 oder 11 + 2 = 2 + 11, stattdessen statuieren sie gern a + b = b + a. Das ist ebenso einfach und, weil es allgemeiner formuliert ist, auch nützlicher. Aussagen auf der richtigen Ebene der Verallgemeinerung zu treffen ist eine Kunst. Sie wird belohnt, da man eine natürlichere und allgemeinere Theorie erhält und, was sehr wichtig ist, Antworten auf Fragen bekommt, die sich in einer weniger allgemeinen Theorie zwar stellen, nicht aber beantworten ließen. An dieser Stelle möchte ich von der algebraischen Geometrie zu etwas anscheinend völlig Anderem springen: der Arithmetik. Die Arithmetik fragt beispielsweise nach ganzen Zahlen x, y, z, für die zu gelten habe

x2 + y2 = z 2 .

Eine Lösung ist x = 3, y = 4, z = 5; die übrigen Lösungen waren schon den Griechen bekannt. Was nun, wenn wir statt der Quadratzahlen

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x2, y2, z2 die n-te Potenz einsetzen mit der ganzen Zahl n > 2? Der große Fermat’sche Satz besagt, dass es zu xn + yn = z n

keine Lösung mit (positiven) ganzen Zahlen x, y, z gibt, wenn n > 2. Im Jahre 1637 glaubte Pierre Fermat,3 einen Beweis für diese Behauptung (später der große Fermat’sche Satz genannt) gefunden zu haben, irrte sich aber wahrscheinlich. Ein echter Beweis wurde erst 1995 von Andrew Wiles4 veröffentlicht. Dieser Beweis ist extrem lang und schwierig, und man mag sich zu Recht fragen, ob sich der Aufwand lohnt, wenn man ein Ergebnis beweist, das von keinem praktischen Nutzen ist. Am interessantesten ist am großen Fermat’schen Satz eigentlich, dass er so schwer zu beweisen und dabei so einfach zu formulieren ist. Davon abgesehen ist er nicht mehr als eine Auswirkung des monumentalen Fortschritts auf dem Gebiet der Arithmetik in der zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts. Arithmetik ist im Grunde die Untersuchung ganzer Zahlen, und eines ihrer zentralen Probleme besteht in der Lösung polynomialer Gleichungen (etwa p ( x, y, z) = 0, wobei etwa p ( x, y, z) = xn + yn – zn sein könnte) mithilfe ganzer Zahlen (das bedeutet, x, y, z sind ganze Zahlen). In dieser Darstellung scheint die Arithmetik der algebraischen Geometrie sehr ähnlich: Es wird versucht, polynomiale Gleichungen mit ganzen statt mit komplexen Zahlen zu lösen. Lassen sich also algebraische Geometrie und Arithmetik vereinheitlichen? Tatsächlich trennen tief greifende Unterschiede die beiden Gebiete, da die Eigenschaften ganzer Zahlen sich stark von denen komplexer Zahlen unterscheiden. Ist nämlich p ( z) ein Polynom in einer Variable z, so wird es stets einen komplexen Wert von z geben, bei dem p ( z) = 0. (Diese Tatsache kennt man als den Fundamentalsatz der Algebra.) Nichts dergleichen trifft jedoch auf die ganzen Zahlen zu. (Sehr) Langer Rede kurzer Sinn: Die Vereinheitlichung von algebraischer Geometrie und Arithmetik ist möglich, aber nur um den Preis umfangreicher Grundlagenarbeit. Die algebraische Geometrie muss auf einer (weitaus) allgemeineren Grundlage neu entwickelt werden – und hierin bestand Alexander Grothendiecks großes Vorhaben.

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Als Grothendieck sich ins Spiel einschaltete, war ein wirkmächtiger Gedanke in die algebraische Geometrie eingeführt worden: Statt eine algebraische Varietät als eine Punktmenge zu sehen, konzentrierte man sich auf „gute“ Funktionen auf der Varietät oder auf Teilen der Varietät. Speziell sind diese Funktionen Polynomquotienten und auf der Varietät dort sinnvoll, wo die Nenner nicht verschwinden. Die eben erwähnten guten Funktionen lassen sich addieren, subtrahieren oder multiplizieren, eine Division ist jedoch in der Regel nicht möglich (daraus entsteht keine gute Funktion). Die guten Funktionen bilden keinen Körper, sondern einen sogenannten Ring. Auch die ganzen Zahlen (positive, negative und Null) bilden einen Ring. Grothendieck nun wollte von beliebigen Ringen ausgehen und schauen, inwieweit sich diese wie die Ringe guter Funktionen in der algebraischen Geometrie verhalten würden und welche Bedingungen einzuführen wären, damit die üblichen Ergebnisse der algebraischen Geometrie zumindest teilweise auch weiterhin gälten. Grothendiecks Vorhaben war von einer gewaltigen Allgemeinheit, Größe und Schwierigkeit. Rückblickend wissen wir, wie erfolgreich er war; der Gedanke an den geistigen Mut und die Kraft jedoch, die nötig waren, um dieses Projekt ins Rollen zu bringen, erfüllt einen mit Demut. Wir wissen, dass einige der großartigsten mathematischen Errungenschaften des späten 20. Jahrhunderts auf den Weitblick Grothendiecks zurückgehen: der Beweis der Weil-Vermutungen und die neue Auffassung der Arithmetik, dank derer man den großen Fermat’schen Satz in Angriff nehmen konnte. Diese Anwendungen der Gedanken Grothendiecks wurden jedoch weitgehend von anderen beigesteuert, und dies nach seinem Rückzug aus der Mathematik. Was geschah, werde ich im nächsten Kapitel zu beschreiben versuchen. Zum Gesamtbild gehört eines jedoch ganz sicher: Grothendiecks Leidenschaft galt der Entwicklung neuer Ideen, der Freilegung grandioser mathematischer Landschaften. Um dies zu erreichen, brauchte er Kraft und Geschicklichkeit. Diese war bei ihm jedoch nicht Selbstzweck. Man mag bedauern, dass Grothendieck ein unvollendetes Bauwerk zurückließ, aber es hätte ihn nicht sonderlich interessiert, gewissenhaft Details zu ergänzen. Nicht darin besteht unser großer Verlust, sondern darin, nicht zu wissen, welche neuen Wege der Erkenntnis er uns noch hätte aufzeigen können, hätte er die Mathematik nicht aufgegeben beziehungsweise wäre er von ihr nicht aufgegeben worden.

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Mit Alexander Grothendieck nach Nancy

Das IHÉS, wo ich mit Grothendieck in Kontakt kam, ist ein kleines Forschungsinstitut für Mathematik und theoretische Physik in der Nähe von Paris. In den späten 1950er-Jahren als privat finanzierte Einrichtung von Léon Motchane gegründet, sollte es einer kleinen Gruppe Wissenschaftler ermöglichen, wissenschaftlich zu arbeiten, ohne sich um andere Dinge sorgen zu müssen. Motchane, ein exzentrischer ehemaliger Geschäftsmann, war mit dem Jahrhundert geboren worden und stammte ursprünglich aus Sankt Petersburg (den Namen Leningrad verwendete er nie). Als ich 1964 mit Motchane zusammentraf, war er ein distinguierter älterer Herr, der in seinem Leben viel unternommen hatte. Vor seiner Tätigkeit als Geschäftsmann hatte er (mit Paul Montel1) Mathematik studiert. Im Zweiten Weltkrieg war er in der Résistance gegen die Nazis aktiv gewesen.2 Außerdem hatte er eine Zeitlang in Afrika gelebt. Ich erinnere mich, dass er auf die Frage, was er dort gemacht habe, antwortete: „Gestatten Sie einem alten Mann, gewisse Dinge zu vergessen …“ Zur Geschichte der Entstehung des IHÉS gehörte eine sorgfältig geheim gehaltene Romanze zwischen Léon Motchane und Annie Rolland: Er war der erste Direktor, sie die Generalsekretärin. Beide zogen sich 1971 aufs Altenteil zurück – und heirateten zur Überraschung vieler. Es ist dem Engagement der beiden und den klugen Ratschlägen zu verdanken, die Motchane vom französischen Mathematiker Henri Cartan etwa oder vom amerikanischen Physiker Robert Oppenheimer3 erhielt, D. Ruelle, Wie Mathematiker ticken, DOI 10.1007/978-3-642-04111-2_7, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010

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dass das Institut bei seiner Gründung so erfolgreich war und während der 1960er- und 70er-Jahre eine Blütezeit erlebte. Allein die Vorstellung, dass die Mathematik am IHÉS in den 60erJahren von den jungen Wissenschaftlern René Thom4 und Alexander Grothendieck vertreten wurde! Trotz der überwältigenden wissenschaftlichen Qualität erschien mir das Institut damals völlig unbedeutend und schlicht: Niemand war Akademiemitglied, und keiner der Wissenschaftler hatte graue Haare. (Motchane trug sehr distinguiert wirkendes weißes Haar.) Dass ich das IHÉS unbedeutend nenne, mag seltsam klingen, denn immerhin war René Thom Träger der Fields-Medaille (damals die renommierteste mathematische Auszeichnung). Die Fields-Medaille war zur damaligen Zeit jedoch insbesondere in Frankreich weniger bedeutend als heute. Hinzu kommt, dass Thom und Grothendieck zwar große intellektuelle Ambitionen hegten, auf reines Prestige jedoch nicht aus waren. Von meinen Erinnerungen an jene Zeit möchte ich festhalten, wie Grothendieck einmal eine von Thom geleitete Seminardiskussion besuchte (was ungewöhnlich war). Grothendieck stellte eine Frage, die Thom in seiner typischen Art etwas vage beantwortete – woraufhin Grothendieck diese Antwort als einen Fehler bezeichnete, den die meisten Anfänger begingen! Dass Thom diese Kritik genoss, wäre zu viel gesagt, aber er wusste sie zu nehmen. Die Wissenschaftler dort waren ausnahmslos jung und relativ locker. Das Institut war damals neu und stand außerhalb des französischen Systems, sodass niemand das Gefühl hatte, wir müssten irgendwelche Traditionen befolgen. Alle hatten die riesige Chance, ihren eigenen Weg bis an seine Grenzen zu verfolgen, und auf unterschiedliche Weise taten wir alle genau dies. Alexander Grothendieck kam 1928 in Berlin zur Welt.5 Sein Vater war ein ehemaliger russischer Revolutionär, der als Nicht-Bolschewik Russland nach dem Sieg Lenins verlassen hatte. Danach kämpfte Grothendiecks Vater in verschiedenen europäischen Konflikten. Er gehörte den spanischen Republikanern an, als diese von Franco geschla­gen wurden, und floh anschließend nach Frankreich. Als der Krieg nahte, steckten ihn die französischen Behörden jedoch in ein Lager. Später wurde er an die Deutschen übergeben und nach Auschwitz in den Tod geschickt. In dem kleinen Büro über der Küche des IHÉS, das

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Alexander Grothendieck bewohnte, hing in den 60er-Jahren ein in Öl gemaltes Porträt von Grothendiecks Vater. Alexander Grothendieck traf nur selten mit seinem Vater zusammen und nahm den Namen seiner Mutter Hanka Grothendieck an. Seine Jugend verbrachte er in Deutschland und in Frankreich, in Freiheit, in Verstecken und im Lager. Als der Krieg zu Ende war, nahm Grothendieck ein Mathematikstudium an der Universität von Montpellier auf, wo er von 1945 bis 1948 blieb. Unzufrieden mit dem Grad der Rigorosität dessen, was man ihn lehrte, und in Unkenntnis des Konzepts des Lebesgue-Integrals (aus dem Jahr 1902) entwickelte er im Alleingang die Maßtheorie neu. 1948 ging Grothendieck nach Paris, wo er mit der damaligen mathematischen Welt in Kontakt kam. Er besuchte die Vorlesungen und das Séminaire von Henri Cartan und traf mit Jean-Pierre Serre, Claude Chevalley und Jean Leray (1906–1998) zusammen. Diese Mathematiker sollten einen großen Einfluss auf den jungen Grothendieck haben. Die Jahre von 1949 bis 1953 verlebte Grothendieck in Nancy (damals ein viel besserer Ort als Montpellier) und galt aufgrund seiner Arbeiten auf dem Gebiet der Funktionsanalysis als brillanter Nachwuchsmathematiker. Im Anschluss an Nancy brachte er einige Jahre mit Reisen zu (São Paulo, Kansas) und hatte sich bei seiner Rückkehr ans IHÉS 1958 von der Funktionsanalysis ab- und der algebraischen Geometrie und der Arithmetik zugewandt. Über zehn Jahre lang arbeitete er wie ein Berserker an seinen Éléments de Géométrie Algébrique und hielt dienstags am IHÉS vor einem großen Teil der mathematischen Elite Frankreichs sein Séminaire de Géométrie Algébrique ab. Mit Ausnahme der Dienstage, an denen er ans Institut kam, arbeitete er zu Hause. Er arbeitete viel. Sein außergewöhnlicher Arbeitswille verband sich mit den beiden zentralen Eigenschaften eines kreativen Mathematikers: mit fachlicher Zuverlässigkeit und Fantasie. Hinzu kam, dass das Gebiet, mit dem er sich nun befasste – die Kombination von algebraischer Geometrie und Arithmetik – im Umfang seinem Genie entsprach. Doch auch andere Umstände kamen ihm zugute. Er hatte keinerlei Lehrverpflichtungen oder Verwaltungsaufgaben. Er verbrachte wenig Zeit mit der Lektüre der Artikel anderer Mathematiker: Er ließ sich deren Ideen von Kollegen erklären. Ein letztes großes Plus war Jean Dieudonné.6 Auch dieser, ein hochrangiger Mathematiker

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und Mitglied von Bourbaki, verfügte über einen enormen Arbeitswillen. Er beschloss, als Grothendiecks wissenschaftlicher Sekretär zu fungieren: Er konnte dessen Gedanken folgen und sie in mathematischer Form sauber zu Papier bringen. Dies waren die Umstände, unter denen sich das Wunder von Grothendiecks Beitrag zur Mathematik abspielte. Im Alltag sprach Grothendieck Französisch, und Französisch verwendete er auch in seiner Mathematik; seine Muttersprache aber war Deutsch. In Grothendiecks Büro hing ein Porträt seines Vaters, aber seiner halbjüdischen Herkunft maß er keine Bedeutung bei und trug den Namen seiner Mutter. Der Vater hatte in Revolutionskriegen gekämpft, der Sohn aber war ein strikter Antimilitarist. Alexander Grothendieck lebte in Frankreich, blieb jedoch (bis 1980) freiwillig staatenlos. Er war eine zentrale Figur der Mathematikergemeinschaft Frankreichs, aber sein Hintergrund stimmte nicht: Er war kein Absolvent der École Normale. Für jeden dieser Widersprüche mag es eine genaue Erklärung geben, sie alle weisen jedoch auf eine sehr eindeutige Tatsache hin: Grothen­dieck bestimmte gezielt selbst, wer er war. Er war auch in der Lage, nach reiflicher Überlegung seine Meinung zu ändern. Mathematiker war er aus freien Stücken geworden. Seine Zugehörigkeit zu einer exklusiven Elite von Pariser Mathematikern aber widerfuhr ihm ohne sein bewusstes Zutun, und es sollte ihn später ziemlich ärgern, sich in dieser Situation gefangen zu sehen wie in einer Falle. Meine eigenen wissenschaftlichen Interessen waren ganz andere als die Grothendiecks, dennoch kannte ich ihn als Kollegen zwischen 1964 und 1970 relativ gut. Er war ein recht gut aussehender Mann mit völlig kahl rasiertem Kopf. Er war eindeutig ein couragierter Mensch: Schwierigen Situationen wich er nicht aus. Dies zeigte sich in Auseinandersetzungen mit Motchane immer wieder. Eigentlich war er weniger aggressiv als viele andere und stets gesprächsbereit, doch Argumente, die er nicht überzeugend fand, akzeptierte er nicht. Er besaß Charme, zweifellos, und moralische Fragen wie der Antimilitarismus lagen ihm am Herzen. Mitunter aber konnte er unsensibel oder sogar brutal sein. Wenn ich ihn mit anderen Mathematikern vergleichen sollte, würde ich sagen, dass er eine reichere Persönlichkeit besaß als die meisten anderen7, verbunden mit einem gewissen Maß der geistigen Unnachgiebig-

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keit, die bei diesen anderen häufig anzutreffen ist. Dass ich ihm nicht nahestand, war mir recht. Trotzdem empfinde ich zugegebenermaßen Sympathie für den Menschen und nicht nur Bewunderung für den Mathematiker. Menschen mit moralischen Anliegen und Mut sind selten. Und Wissenschaftler sind da nicht besser als der Durchschnitt. In geistiger Hinsicht war das IHÉS, als ich 1964 dort ankam, ein fantastischer Ort. Doch es gab auch Schwierigkeiten. Mit als erstes erfuhr ich (von René Thom), dass die Professorengehälter nicht immer pünktlich überwiesen wurden. In späteren Jahren musste das IHÉS sein Vermögen veräußern, um seinen Fortbestand zu sichern. (So musste ich mir Geld leihen, um die Wohnung zu kaufen, in der ich zur Miete lebte, oder ausziehen.) Die damaligen Professoren (René Thom, Louis Michel,8 Alexander Grothendieck und ich) waren sich Motchanes großen Engagements vollkommen bewusst; Sorgen bereitete uns allerdings sein zunehmend sprunghaftes Verhalten und die Frage seiner Nachfolge. 1969 trafen wir mehrfach im privaten Rahmen zusammen und setzten (in Louis Michels Speisezimmer) schließlich ein Schreiben an Motchane auf, in dem wir ihn förmlich darum baten, den Wissenschaftsausschuss des IHÉS zur Lagebesprechung zusammenzurufen. Diese Initiative kam nicht gut an, und die Dinge wendeten sich rasch zum Schlechten. Mo­ tchane ging zum Gegenangriff über, verdrehte dabei Tatsachen, ohne sich allzu sehr um die Wahrheit zu kümmern, drohte mit der Schließung des Instituts und unternahm dergleichen mehr. Einmal legte er uns einen Auszug aus dem Protokoll einer neuen Ausschusssitzung vor, demzufolge wir ihn für weitere vier Jahre in seinem Amt als Direktor bestätigt hätten. Niemand erinnerte sich an diesen Beschluss, und das Protokoll, aus dem dieser „Auszug“ stammte, bekamen wir nie zu Gesicht. Parallel versuchte Motchane, am Wissenschaftsausschuss vorbei seine Nachfolge zu sichern (dies widersprach der Satzung des IHÉS). Auswärtige Kollegen schrieben uns, Motchane sei an sie herangetreten und habe sie gebeten, uns davon nichts zu erzählen. Sie taten es trotzdem, baten uns jedoch, dies gegenüber Motchane nicht zu erwähnen. Bei genauerer Lektüre der Satzung des IHÉS, die auf Motchane zurückging und den Professoren gegenüber zunächst sehr großzügig erscheint, erkannten wir, dass sie keinerlei Bestimmungen enthielt, denen zufolge

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der Direktor gegen seinen Willen zu etwas gezwungen werden konnte. Irgendwann in dieser turbulenten Zeit erfuhr Grothendieck, dass das IHÉS Militärgelder erhalten hatte, und kündigte seinen Rücktritt an, falls sich dies fortsetze. Offensichtlich aber liefen diese Militärgelder aus, womit die Angelegenheit beendet war. Nach Gesprächen mit Michel und Thom reisten Grothendieck und ich am 20. Februar 1970 nach Nancy zu einem Treffen mit dem Kuratoriumsvorstand. Die Reise war weitgehend ergebnislos, verschaffte mir jedoch die Gelegenheit, einige Stunden im Zug mit Grothendieck zu verbringen. Wir sprachen über theoretische Physik. Er fragte vorsichtig und kommentierte meine Beiträge voller Aufmerksamkeit. Etwa zu jener Zeit eignete er sich, unterstützt von seinem Freund Mircea Dumitrescu, auch biologische Kenntnisse an. Wie viele andere Menschen auch, die die 40 erreichen, sowie unter dem destabilisierenden Einfluss der Ereignisse im Mai 1968 in Frankreich, war Grothendieck offensichtlich dabei, seinem Leben eine neue Richtung zu geben. Er wollte nicht einfach an den Grundlagen der algebraischen Geometrie weiterarbeiten. Er behauptete sogar, er werde aus der Mathematik aussteigen. Dies hielt ihn dennoch nicht davon ab, auch danach hervorragende Arbeit zu leisten, ungeachtet der widrigen Bedingungen. Kehren wir nun ans IHÉS zu Beginn der 70er-Jahre zurück. Die Stimmung verschlechterte sich zusehends, aber wir dachten, dass es letztlich wieder bergauf gehen werde. Ich erinnere mich an ein zufälliges Zusammentreffen mit Grothendieck in der Metro (in Massy-Palaiseau), bei dem er mir sagte: „Jetzt sind wir alle sauer auf Motchane, aber wart’s ab, in ein paar Jahren werden wir über die Geschichte lachen“ ( on en rigolera). Doch dazu sollte es nicht kommen. Bei den Diskussionen mit Motchane war Grothendieck tendenziell offener als wir anderen. Daher hielt Motchane ihn offensichtlich für unseren „Anführer“ und verspottete ihn. Irgendwann beschloss Grothendieck anscheinend, die Farce habe nun lange genug gedauert, und nannte Motchane bei einem unserer Treffen einen verdammten Lügner.9 (An den genauen Grund für diese Anschuldigung erinnere ich mich nicht.) Nach diesem Zwischenfall erklärte Motchane, das IHÉS erhalte erneut Militärgelder, und Grothendieck legte sein Amt nieder.

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Seitdem habe ich Grothendieck nicht wiedergesehen. Er engagierte sich bei einer kleinen Gruppe Atomkraftgegner, er reiste, und er unternahm mehrere Versuche, einen angemessenen akademischen Posten in Frankreich zu bekommen. Diese Versuche waren weitgehend erfolglos: Er musste sich mit einer Stelle als Lehrkraft an der kleinstädtischen Universität in Montpellier zufrieden geben, wo er selbst 1945 studiert hatte. 1981 nennt er es einen „Schlag ins Gesicht“ ( un coup de poing en pleine gueule), dass einer seiner Studenten aus der Zeit nach 1970, der sich um eine Professur bewarb, von einem Ausschuss abgelehnt wurde, in dem drei seiner Studenten aus der Zeit vor 1970 saßen. Weitgehend von der Forschergemeinschaft abgeschnitten, erlebte er Anfälle fieberhafter mathematischer Aktivität, während derer er Hunderte von Seiten schrieb, die privat in Umlauf gebracht, aber nur zum Teil veröffentlicht wurden. Von 1983 bis 1986 arbeitete Grothendieck an seinem langen Text Récoltes et Semailles (Ernten und Säen) – über 1.500 Seiten mit Betrachtungen über das Leben und die Mathematik. Es ist ein sehr vielfältiger Text, der sich mal wie Oscar Wildes De profundis liest und mal paranoide Angriffe gegen ehemalige Studenten und Freunde enthält, die er des Verrats an seinem wissenschaftlichen Werk und seiner Botschaft bezichtigt. Oft sind diese Angriffe unangenehm persönlich und intim. Zweifellos sind sie teilweise unberechtigt und teilweise wahr. Récoltes et semailles zirkulierte in privaten Kreisen; vergebens jedoch versuchte Grothendieck seinen Text als Buch zu veröffentlichen.10 In Teilen ist der Text von seltsamer Schönheit und Tiefe. Darüber hinaus wird er auch in der Zukunft ein zentrales Dokument zum Verständnis einer bedeutenden Epoche in der Geschichte der Mathematik bleiben. 1988 wurde Grothendieck 60 Jahre alt und verließ Montpellier in den Vorruhestand. Im selben Jahr „gewann“ er zur Hälfte eine wichtige mathematische Auszeichnung,11 die anzunehmen er sich weigerte. Auch eine dreibändige Festschrift wurde ihm überreicht,12 von der er sagte, er bedanke sich bei all jenen, die nicht dazu beigetragen hätten. 1990 verfasste Grothendieck einen Brief, in dem er ein prophetisches Buch ankündigte, das er noch im selben Jahr schreiben und veröffentlichen werde. Den 250 Empfängern dieses Briefs empfahl er, sich für eine

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große, von Gott befohlene Mission bereit zu machen. Das angekündigte Buch ist jedoch nie erschienen, und heute schweigt Grothendieck. Seit seiner Pensionierung führt Grothendieck immer mehr das Leben eines Einsiedlers. Buddhistischem Gedankengut verbunden, lebt er nach einer extrem strikten vegetarischen Diät. Sein derzeitiger Aufenthaltsort ist offiziell nicht bekannt. Ich fragte einen der letzten Freunde, zu denen Grothendieck (im Jahr 2000) Kontakt hatte, wie es diesem gehe, und erhielt die schlichte Antwort: „Er meditiert.“ Es mag schwer nachvollziehbar erscheinen, dass ein Mathematiker vom Kaliber Grothendiecks nach seinem Ausscheiden aus dem IHÉS in Frankreich keine angemessene akademische Anstellung finden konnte. Ich bin davon überzeugt, dass man einen seinen mathematischen Leistung entsprechenden Posten gefunden hätte, wenn Grothendieck Absolvent der École Normale und Mitglied des Systems gewesen wäre. Dazu möchte ich einen Augenblick vom Thema abschweifen. Als PierreGilles de Gennes13 1991 seinen Nobelpreis für Physik erhielt, wurde zu seinen Ehren eine offizielle Feier an der Sorbonne abgehalten, bei denen de Gennes selbst sowie der französische Bildungsminister (Lionel Jospin) eine Rede hielten. Bei diesem Anlass brandmarkte de Gennes die Vetternwirtschaft als die Geißel der französischen Wissenschaft. Das bedeutet, dass es von alles entscheidender Bedeutung ist, ob man die École Normale oder die École Polytechnique absolviert hat, in wessen Labor man aufgenommen wurde, ob man Mitglied des CNRS, der Académie, der richtigen Partei ist, und so weiter. Gehört man einer dieser Gruppen an, wird einem geholfen, und man selbst muss den Anderen helfen. Grothendieck war ein Nichts (besaß er doch zum damaligen Zeitpunkt nicht einmal die französische oder irgend eine andere Staatsbürgerschaft). Niemand fühlte sich für ihn verantwortlich; er war nur ein unangenehmer Störfaktor. Verständlicherweise möchten manche die Ausgrenzung Grothendiecks ausschließlich ihm selbst anlasten: Er hat den Verstand verloren und sich aus der Mathematik zurückgezogen. Doch dies entspricht nicht den bekannten Tatsachen und ihrer zeitlichen Abfolge. Hier hat sich ein beschämendes Ereignis abgespielt. Die Beseitigung Grothendiecks wird auch in Zukunft ein Schandfleck in der Geschichte der Mathematik des 20. Jahrhunderts bleiben.

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Strukturen

Nach allem, was wir bisher gesehen haben, scheint die Mathematik ein duales Wesen zu besitzen. Einerseits kann man sie mit Hilfe einer Formensprache aufbauen, über strenge Ableitungsregeln und ein Axiomensystem. Anschließend lassen sich sämtliche Theoreme mechanisch entwickeln und überprüfen. Wir können dies den formalen Aspekt der Mathematik nennen. Andererseits gründet die praktische Mathematik auf Konzepte wie Kleins Idee der unterschiedlichen Geometrien. Dies können wir den konzeptuellen (oder strukturellen) Aspekt nennen. Ein Beispiel für strukturelle Erwägungen ergab sich in Kap. 4 aus der Betrachtung des Schmetterlingssatzes. Dort haben wir gesehen, wie wichtig es ist, zu wissen, welcher Art von Geometrie ein Theorem angehört, das wir beweisen wollen. Das Konzept der projektiven Geometrie aber wird in den Axiomen, die derzeit bei der Begründung der Mathematik verwendet werden, nicht ausdrücklich genannt. Inwiefern ist die projektive Geometrie in den Axiomen der Mengenlehre zu finden? Welche Strukturen geben der Mathematik einen Sinn? Inwiefern steckt die Statue in einem Steinblock, bevor der Meißel des Bildhauers sie zum Vorschein bringt? Bevor wir uns den Strukturen zuwenden, lohnt sich ein genauerer Blick auf die Mengen, denen in der modernen Mathematik eine solch grundlegende Bedeutung zukommt. Dazu möchte ich zunächst einige Grundbegriffe der Intuition, Notation und Terminologie nennen. Die D. Ruelle, Wie Mathematiker ticken, DOI 10.1007/978-3-642-04111-2_8, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010

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Menge S = {a, b, c} ist eine Zusammenfassung der Objekte a, b, c, die als Elemente von S bezeichnet werden. Die Reihenfolge, in der die Elemente genannt werden, ist dabei unerheblich. Man schreibt a ∈ S, wenn a Element von S ist. Die Mengen {a} und {b, c} bilden Teilmengen (bzw. Untermengen) von {a, b, c}. Die Menge {a, b, c} ist endlich (sie umfasst drei Elemente), aber eine Menge kann auch unendlich sein. Die Menge {0, 1, 2, 3, …} der natürlichen ganzen Zahlen beispielsweise oder auch die Menge der Punkte auf einem Kreis sind unendliche Mengen. Seien Mengen S und T gegeben, und nehme man an, dass zu jedem Element x von S ein (eindeutig bestimmtes) Element f ( x) von T gegeben ist. Dann sagen wir, f ist eine Abbildung von S nach T. Man sagt auch: f ist eine auf S definierte Funktion mit Werten in T. Weiterhin wird f als Funktion bezeichnet, die von S definiert wird und Werte in T enthält. Beispielsweise lässt sich eine Abbildung f von der Menge {0, 1, 2, 3, …} der natürlichen Zahlen auf sich selbst definieren, sodass f ( x) = 2x. Andere Abbildungen (oder Funktionen) der natürlichen Zahlen mit Werten in den natürlichen Zahlen werden beschrieben durch 2

n

f (x) = xx = x oderf (x) = x · · · x = x . Das allgemeine Konzept einer Funktion (oder Abbildung) hat sich in der geschichtlichen Entwicklung der Mathematik ganz allmählich herausgebildet; für unser heutiges Verständnis mathematischer Strukturen ist es jedoch von maßgeblicher Bedeutung.1 Wiederholt haben Mathematiker versucht, die von ihnen verwendeten Strukturen präzise und allgemein zu beschreiben. Kleins Erlanger Programm ist ein Schritt in diese Richtung. Die Strukturen, die Klein betrachtete, waren Geometrien, jede von ihnen mit einer Familie von Abbildungen assoziiert: Kongruenzen (mit der euklidischen Geometrie), affine Abbildungen (mit der affinen Geometrie), projektive Abbildungen und so weiter. Der stark ideologisch geprägte Bourbaki definiert Strukturen auf der Grundlage von Mengen. Ich möchte hier einmal versuchen, Bourbakis Gedanken informell darzustellen. Angenommen, wir wollten Objekte von unterschiedlicher Größe miteinander vergleichen. Wir schreiben a ≤ b, wenn wir ausdrücken wollen, dass a kleiner als oder gleich b ist. (Hierbei sollten einige

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Bedingungen erfüllt sein; gelten etwa a ≤ b und b ≤ c, so gilt auch a ≤ c.) Das bedeutet: Wir wollen eine Ordnungsstruktur definieren (≤ wird als Ordnung bezeichnet). Dafür benötigen wir eine Menge S der Objekte a, b, …, die wir vergleichen sollen. Wir können dann eine zweite Menge T bestehend aus Paaren von Elementen a, b von S einführen, aus solchen Paaren, für die a ≤ b gilt. (Möglicherweise werden wir weitere Mengen einbeziehen müssen, um die Bedingung zu erzwingen, dass, wenn a ≤ b und b ≤ c gelten, auch a ≤ c, … zutreffen.) Kurz gesagt: Wir betrachten mehrere Mengen S, T, … in einer bestimmten Beziehung zueinander ( T besteht aus Paaren von Elementen von S), und dies beschreibt eine Ordnungsstruktur in der Menge S. Andere Strukturen sind auf einer Menge S ähnlich dadurch definiert, dass man jedes Mal unterschiedliche Mengen angibt, die in einer besonderen Relation zu S stehen. Nehmen wir beispielsweise an, dass die Menge S eine Struktur aufweist, die es erlaubt, ihre Elemente zu addieren; zu zwei beliebigen Elementen a, b gebe es also ein drittes Element c, für das wir a + b = c schreiben können. Für eine Beschreibung der vorliegenden Struktur in S ist demnach die Einbeziehung einer neuen Menge T aus Tripletts von Elementen von S erforderlich: jener Tripletts ( a, b, c), für die a + b = c gilt. In Lehrbüchern der Mathematik ist eine Vielzahl von Strukturen mit Bezeichnungen wie Gruppenstruktur, Hausdorff-Topologie und andere definiert. Diese Strukturen bilden die begrifflichen Bausteine der Algebra, der Topologie und allgemein der modernen Mathematik. Die Menge S besitze eine Ordnungsrelation, und auch die Menge S’ besitze eine Ordnungsrelation. Angenommen, wir könnten jedem Element a, b, … von S ein Element a′, b′, … von S′ zuordnen. In der mathematischen Terminologie haben wir es mit einer Abbildung von S nach S′ zu tun, wobei a, b, … in a′, b′, … abgebildet werden. Angenommen es gelte: Wenn a ≤ b, so auch a′ ≤ b′; das bedeutete, die Abbildung erhält die Ordnung. Die ordungserhaltende Abbildung von S nach S′ stellen wir mit einem Pfeil dar: S → S .

Allgemeiner möchte man S → S′ schreiben, um den Übergang von einer Menge mit einer bestimmten Struktur zu einer Menge mit einer

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ähnlichen Struktur unter Erhaltung der Struktur zu bezeichnen. Im Fachjargon nennt man den Pfeil einen Morphismus. (Besitzen also S und S′ eine Struktur, welche die Addition von Elementen erlaubt, und bildet der Morphismus S → S′ die Elemente a, b, c, … aus S in die Elemente a′, b′, c′, … von S′ ab, so sollte a + b = c zur Folge haben, dass a′ + b′ = c′.) Bei Mengen ohne eingeprägte Struktur sind die Morphismen S → S′ einfach alle Abbildungen von S nach S′. Ein weiterer Schritt besteht darin, Mengen eines bestimmten Strukturtyps zusammen mit den dazugehörigen Morphismen zu betrachten: Dies wird als Kategorie bezeichnet. (Es gibt somit eine Kategorie der Mengen, in der die Morphismen Abbildungen sind; eine Kategorie der geordneten Mengen, in der die Morphismen ordnungserhaltende Abbildungen sind; eine Kategorie der Gruppen, und so fort.) Bei dieser Sichtweise ist es von Nutzen, die Objekte einer Kategorie in jene einer anderen Kategorie abzubilden und dabei den Morphismus beibehalten zu können. In solchen Fällen spricht man von einem Funktor zwischen Kategorien. Die Begriffe Kategorie und Funktor wurden etwa 1950 (von Samuel Eilenberg und Saunders Mac Lane2) eingeführt und entwickelten sich rasch zu wichtigen begrifflichen Werkzeugen in der Topologie und der Algebra. Kategorien und Funktoren können als das ideologische Rückgrat eines wichtigen Teils der Mathematik des 20. Jahrhunderts gelten; Mathematiker wie Grothendieck verwendeten diese Begriffe ständig. Zusammenfassend ließe sich sagen, dass man im ideologischen Hintergrund wichtiger Gebiete der Mathematik Ende des 20. Jahrhunderts ständig mit Strukturen und deren Relationen befasst war. Manche Fragen stellen sich von selbst, und mancher strukturelle Aufbau bietet sich von selbst an. Die Frage, wie die begrifflichen Bausteine der Mathematik zu finden seien, ist damit gewissermaßen beantwortet. Die Antwort liegt in den Strukturen, Morphismen, vielleicht auch noch in den Kategorien, Funktoren und verwandten Konzepten. Wie gut diese Antwort ist, lässt sich an der Fülle der erzielten Resultate messen. An dieser Stelle muss ich ein falsches Bild geraderücken, das durch das eben Gesagte entstanden sein mag, dass nämlich das derzeitige mathematische Denken von Kategorien, Funktoren und dergleichen domi-

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niert werde. In Wirklichkeit ist es so, dass große und wichtige Gebiete der Mathematik mit diesen Konzepten wenig anfangen können. Fest­ zustellen ist wohl lediglich ein allgemeines Bestreben, begriffliche Aspekte zu klären, anstatt nichts als grausame Berechnungen anzustellen. Strukturelle Erwägungen sind aber womöglich ein zu klein gefasster Ansatz. Als Beispiel für einen anders gearteten mathematischen Stil möchte ich die Arbeiten von Paul Erdös3 (der ungarische Familienname wird im Auslaut „sch“ ausgesprochen) heranziehen. Erdös war ein ganz ungewöhnlicher Mathematiker, der von einem Ort zum nächsten reiste, ohne sich an ein bestimmtes Institut zu binden. Seine mathematische Hinterlassenschaft ist facettenreich und bedeutsam. Er hatte die schöne Idee von dem BUCH, „in dem Gott die perfekten Beweise für mathematische Sätze aufbewahrt“. (An Gott glaubte Erdös, nebenbei bemerkt, nicht; er bezeichnete ihn als den Obersten Faschisten.) Von Erdös selbst beeinflusst entstand unter dem Titel „Das BUCH der Beweise“ eine faszinierende Annäherung an das BUCH.4 Es ist recht leicht und ganz wunderbar zu lesen und zeigt die Mathematik aus einem entschieden nicht-bourbakistischen Blickwinkel. Nicht, dass strukturelle Erwägungen gänzlich fehlten – sie bleiben jedoch im Hintergrund. Paul Erdös gehörte zu den sogenannten Problemlösern unter den Mathematikern und unterschied sich damit grundlegend von Theorie-Konstrukteuren wie André Weil und Alexander Grothendieck. Ein guter Problemlöser muss gleichzeitig ein Konzeptmathematiker sein und Strukturen intuitiv gut erfassen können. Doch Strukturen sind für ihn stets Werkzeuge und nicht zentraler Untersuchungsgegenstand. Die aktuelle Konzeptualisierung der Mathematik setzt die Bemühungen früherer Zeiten fort und wird zweifellos in Zukunft weitergeführt werden. Die philosophische Suche nach den fundamentalen Strukturen der Mathematik könnte man als erfolgreich in dem Sinne bezeichnen, dass sie Konzepte hervorgebracht hat, die mit erschreckender Effizienz neue Ergebnisse hervorbringen und alte Probleme lösen. Die Tatsache, dass wir über eine leistungsfähige Konzeptualisierung der Mathematik verfügen, zeigt, dass sich darin eine gewisse mathematische Realität widerspiegelt, selbst wenn diese Realität in der formalen Aufzählung der Axiome der Mengenlehre nicht erkennbar ist.

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Der Standpunkt, den ich soeben dargestellt habe, kommt dem sogenannten mathematischen Platonismus nahe. In Der Staat5 beschreibt Platon eine Welt der reinen Gedanken, zu der der Philosoph Zugang hat, während seine weniger glücklichen Zeitgenossen in einer dunklen Höhle gefesselt nur vorüberziehende Schatten erkennen können. Die Strukturen der Mathematik („Strukturen“ hier im weiteren Wortsinne) gleichen den reinen Ideen bei Platon, und der Mathematikphilosoph hat Zugang zu ihnen, während seine weniger glücklichen Zeitgenossen im nicht mathematischen Dunkel gefesselt bleiben. Wenn wir uns die Strukturen der Mathematik als Statuen denken, dann meißelt der Mathematiker sie nicht einer zufälligen Fantasie folgend aus einem Steinblock heraus. Mitnichten! Die Statuen gehören der Welt der Götter an, und es ist die noble Aufgabe des Mathematikers, sie zu enthüllen und in ihrer immerwährenden Schönheit zu offenbaren. Man mag nachvollziehen können, warum der platonistische Standpunkt viele und so unterschiedliche Mathematiker wie Bourbaki und Erdös anspricht. Trotzdem halte ich ihn für teilweise irreführend, da er eine zentrale Tatsache missachtet: Was wir als Mathematik bezeichnen, ist vom menschlichen Geist und vom Gehirn betriebene Mathematik. Wenn wir uns mit den formalen Aspekten der Mathematik befassen, mag die Berücksichtigung des Geistes irrelevant sein, nicht jedoch, wenn wir begriffliche Aspekte erörtern. Tatsächlich nämlich sind mathematische Begriffe Produkte des menschlichen Denkens und können daher dessen Eigenheiten widerspiegeln.6 Vom nächsten Kapitel an werde ich mich mit der Beziehung zwischen dem menschlichen Geist (oder Gehirn) und diesem überaus nicht menschlichen Ding befassen, das wir Realität und insbesondere mathematische Realiltät nennen. Mit einigen Kenntnissen über die Funktionsweise unseres Gehirns ausgestattet werden wir besser in der Lage sein, uns der großen Frage zuzuwenden: Wie natürlich sind die Konzepte und Strukturen der Mathematik?

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Die Rechenmaschine und das Gehirn

Einer der mächtigsten und vielseitigsten wissenschaftlichen Geister des 20. Jahrhunderts war John von Neumann,1 der Grundlegendes zur reinen Mathematik, Physik, Wirtschaft und zur Entwicklung des Computers beigetragen hat. Sein letztes Buch war The Computer and the Brain2, das von Neumann schrieb, während ein Krebsleiden seinen Körper zerrüttete. Dieses 1958 nach dem Tod des Autors veröffentlichte Buch zieht einen faszinierenden Vergleich zwischen Struktur und Funktionsweise des digitalen Computers und dem menschlichen Gehirn. Doch ist ein solcher Vergleich zulässig? Ist es nicht ein Sakrileg, den menschlichen Geist, dieses edelste aller Dinge, mit dem Computer, einer reinen Maschine, zu vergleichen? Wissenschaftler sind dafür bekannt, dass sie sich nicht um Sakrilege scheren. An dieser Stelle können wir festhalten, dass Computer und Gehirn gleichermaßen informationsverarbeitende Geräte sind. Dies bringt gewisse Parallelen mit sich, beispielsweise die Notwendigkeit eines Speichers zur Aufbewahrung von Information. Ein Vergleich beider Geräte ist somit legitim. Und dieser Vergleich zeigt, man mag es erwartet haben, dass Computer und Gehirn sich in vielerlei Hinsicht voneinander unterscheiden. Bezeichnenderweise scheint die Funktionsweise des menschlichen Gehirns diverse Eigenheiten zu besitzen, die es nicht mit dem Computer teilt und die somit keinerlei logische Notwendigkeit besitzen. Wie ich an späterer Stelle darlegen werde, steht zu erwarten, dass diese Eigenheiten oder D. Ruelle, Wie Mathematiker ticken, DOI 10.1007/978-3-642-04111-2_9, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010

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eigentlich Mängel die Art und Weise beeinflussen, wie der Mensch Mathematik betreibt. Zunächst jedoch möchte ich im Geiste von Neumanns (leicht überarbeitet und mit anderen Absichten) Punkt für Punkt Computer und Gehirn vergleichen. Zur Abgrenzung des restlichen Texts werde ich dabei mit einem Punkt „Null“ beginnen, wie Mathematiker dies oft tun.

0.  Die Konstruktionsprinzipien von Computer und Gehirn sind verschieden

Die Rechenmaschine ist eine Erfindung des Menschen. Sie verarbeitet und speichert Informationen in digitaler Form (Bits); auf welche Weise diese Information verarbeitet und gespeichert wird, ist in Programmen festgelegt. Auf ein einzelnes Gerät (die Hardware) lassen sich ganz unterschiedliche Programme (Software) aufspielen, was den Computer zu einer extrem flexiblen und vielseitigen Maschine macht. Das Gehirn ist ein Resultat der biologischen Evolution. In den Genen der Eizelle eines Tieres ist (unter anderem) eine Art Blaupause von dessen Nervensystem festgeschrieben. Nach dem Prinzip von Versuch und Irrtum (beziehungsweise Mutation und Selektion) ist diese Blaupause im Laufe von Jahrmillionen verbessert worden. „Verbesserung“ meint hier, dass schrittweise ein Nervensystem hervorgebracht wird, das seinem Besitzer unter den gegebenen Umständen bessere Überlebens- und Fortpflanzungschancen sichert. Das Nervensystem bringt einen dazu, Schädliches zu meiden, Essbares zu fangen und auf der Basis von Sinneseindrücken Handlungsentscheidungen zu treffen. Im Laufe der vergangenen ein bis zwei Jahrmillionen hat sich das zentrale Nervensystem unserer hominiden Vorfahren explosionsartig weiterentwickelt. Schließlich hat unsere Spezies komplexe Sprache, symbolisches Denken und ein Schriftwesen entwickelt. Im Ergebnis ist das menschliche Gehirn zu einem flexiblen und vielseitigen Gerät geworden, das relativ schwierige Aufgaben (etwa „Welches sind die Primfaktoren von 169?“) zu lösen imstande ist, die zwar ein Computerprogramm ebenso gut lösen könnte, nicht aber ein Affe. (Selbstverständlich gibt es auch

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Aufgaben, denen ein Affe besser gewachsen ist als ein Computer oder ein Mensch: auf einen Baum zu klettern zum Beispiel!) Da wir gerade von Evolution sprechen, möchte ich betonen, dass wir über viel bessere mathematische Methoden verfügen als Euklid oder Archimedes3 zu ihrer Zeit. Trotzdem können wir nicht behaupten, wir seien intelligenter als sie. Darin zeigt sich, dass unsere kulturelle Evolution viel rascher voranschreitet als die biologische. Was die Evolution der Computer betrifft, so verläuft diese hinsichtlich der Hardware (Geschwindigkeit und Speicherplatz) wie auch bei der Software (Komplexität und Leistung der unterstützten Programme) in rasantem Tempo. In der Folge bewältigen Computer allmählich schwierige Aufgaben wie Schachspielen oder das Übersetzen natürlicher Sprachen. An dieser Stelle möchte ich eine persönliche Bemerkung einfügen: Ich muss gestehen, dass mir die rasante und anscheinend grenzenlose Weiterentwicklung der Computer ein wenig Angst macht. In meinen Augen spricht nichts gegen die Möglichkeit, dass die Computer unsere kulturelle Evolution überholen und beispielsweise bessere Mathematiker werden, als wir es sind. Wenn das geschieht, wird nach meinem Empfinden das Leben für uns weniger interessant und weniger lebenswert geworden sein. Unsere Welt hat das Ende des Zeitalters der großen gotischen Kathedralen erlebt. Auch das Zeitalter der großen menschlichen Mathematiker könnte einmal zu Ende gehen. Einstweilen aber geht die Mathematik weiter und das Leben auch, sodass wir unseren Vergleich von Computer und Gehirn fortsetzen können.

1.  Das Gehirn ist langsam und besitzt eine höchst parallele Architektur

Ein Computer arbeitet in diskreten Zeiteinheiten oder Zyklen, die von einer Uhr gemessen werden. In jedem Zyklus wird eine neue Operation durchgeführt. Die Uhr an Ihrem Computer arbeitet vielleicht mit einer Frequenz von 1 GHz; das bedeutet, ein Zyklus dauert 1 ns (den milliardsten Teil einer Sekunde). Eine Veränderung im Nervensystem demgegenüber dauert typischerweise mindestens 1 ms (den tausendsten

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Teil einer Sekunde), wobei ohne Weiteres auch Zeitspannen im Bereich von 100 ms möglich sind, da die Geschwindigkeit der Erregungsleitung in Nerven zwischen einem und einhundert Metern pro Sekunde liegt. Eine Sofortreaktion des menschlichen Gehirns dauert somit um ein Millionenfaches länger als das, was Ihr Computer als schnell bezeichnen würde. Die hohe Geschwindigkeit von Computern eignet sich gut für repetitive Aufgaben, bei denen jede Ebene ein überarbeitetes Input für die nächste Ebene liefert. Das Gehirn hingegen verarbeitet Information normalerweise auf einmal und nutzt dabei seine massiv parallele Struktur. So transportiert beispielsweise der Sehnerv parallel Informationen von verschiedenen Bereichen der Netzhaut zu verschiedenen Bereichen des Gehirns. Im Grunde wird ein verzerrtes Bild der Netzhaut (und somit der Welt vor unseren Augen) auf die Sehrinde im hinteren Teil des Großhirns projiziert, und unterschiedliche Aspekte des Bilds (Farbe, Ausrichtung usw.) werden gleichzeitig verarbeitet. Die parallele Verarbeitung wurde auch in die Struktur einiger Computer, sogenannter Spezialrechner, eingeführt, deren Leistung jedoch mit den über 1010 Neuronen in unserem Gehirn nicht vergleichbar ist. Es besteht demnach ein eklatanter Unterschied zwischen einem langsamen, massiv parallel arbeitenden Gehirn und einem schnellen, hoch repetitiven Computer. Doch es gibt noch weitere Unterschiede in der Funktionsweise der beiden.

2.  Wir haben ein schlechtes Gedächtnis

Manche Menschen können lange literarische oder religiöse Texte auswendig lernen, Homers Ilias oder Odyssee zum Beispiel oder die Bibel. Computer aber sind darin normalerweise viel besser: Der gesamte Text einer Enzyklopädie findet problemlos auf einer CD-ROM oder einer modernen Festplatte Platz. Natürlich sollten wir daraus nicht voreilig schließen, dass Computer uns überlegen seien. Das Auswendiglernen langer Texte ist schließlich nicht der Hauptzweck unseres Gedächtnisses, dessen wahre Stärken nur schwer erfassbar sind. Dennoch wollen wir behaupten, dass das menschliche Gedächtnis sich nicht sehr gut

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für Mathematik eignet. Der Mensch besitzt (ebenso wie der Computer) mehrere Gedächtnisformen, wobei für unsere Argumentation die Unterscheidung zwischen Langzeit- und Kurzzeitgedächtnis ausreichend scheint. Die Übertragung in unser Langzeitgedächtnis braucht Zeit (hierfür ist offensichtlich die Synthese von Proteinen erforderlich): Nach einmaligem Lesen wird sich keiner von uns eine lange zufällige Wort- oder Zahlenfolge merken können. Mit dem Kurzzeitgedächtnis können wir uns an die Elemente einer Liste erinnern, die uns soeben vorgelegt wurde, wobei die Speicherkapazität auf etwa sieben Elemente beschränkt ist. Es wird uns daher unter Umständen schwerfallen, die Zahlen einer Telefonnummer zu lesen und anschließend zu wählen, ohne dabei nochmals ins Telefonbuch zu schauen. Das korrekte Wählen von Telefonnummern ist erst seit Kurzem für unser Überleben von Bedeutung; anderenfalls hätte uns die natürliche Selektion hier mit größerer Fähigkeit ausgestattet. So wie die Dinge sind, überführen Mathematiker in langen Tagen des Studiums viele Fakten in ihr Langzeitgedächtnis. In der Folge erinnern sie sich an die Definition des Doppelverhältnisses, an die Tatsache, dass dieses bei der Anwendung einer projektiven Abbildung seinen Wert behält, und an vieles mehr. Was das Kurzzeitgedächtnis betrifft, so wird es durch eine Tafel, ein Blatt Papier oder einen Computerbildschirm ergänzt. Diese Hilfsmittel dienen als externe Speicher, auf die wir jederzeit zugreifen können, indem wir sie anschauen. Auch das Langzeitgedächtnis lässt sich ergänzen, durch Bücher und andere visuelle Medien. Dies führt uns zum nächsten Punkt.

3.  Das menschliche Gehirn besitzt gut entwickelte visuelle und sprachliche Fähigkeiten

Unser Sehapparat hat sich über viele Jahrmillionen zu einem erstaunlich leistungsfähigen Instrument entwickelt. Binnen eines Sekundenbruchteils können wir in einer komplexen Umgebung ein Tier oder einen Gegenstand ausmachen und erkennen. Für das Überleben unserer Vorfahren war diese Fähigkeit zweifellos von Bedeutung. Heute nun können wir sie dazu nutzen, auf geometrische Figuren, Diagramme,

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Formeln und mathematische Texte zu starren. Wenn wir einen Computer mit der Fähigkeit zur Mathematik bauen müssten, würden wir als Erstes vermutlich nicht ein äußerst komplexes visuelles System konstruieren. Wir Menschen aber können über dieses wunderbare Instrument verfügen, und natürlich nutzen wir es, wenn wir Mathematik betreiben. Mit anderen Worten: Wie wir Mathematik betreiben, wird in hohem Maße von der Verwendung unseres komplexen und effizienten visuellen Systems beeinflusst. An den Maßstäben der Evolution gemessen (deren Beginn vielleicht 50 000 Jahre zurückreicht), hat der Mensch seine Fähigkeit zur Kommunikation komplizierter abstrakter Informationen erst neulich entwickelt. Wie wichtig diese Entwicklung für das Überleben unserer Spezies war, liegt auf der Hand und erklärt die gewaltige Zahl von Menschen, die unseren Planeten derzeit bevölkern. Die Verwendung einer menschlichen natürlichen Sprache ist für die menschliche Mathematik von zentraler Bedeutung.4 Dabei kann es sich um Altgriechisch, modernes Deutsch, Englisch oder eine andere Sprache handeln, gesprochen oder in Schriftform. Letztlich jedoch bedient sich alles, was wir Mathematik nennen, einer natürlichen Sprache, auch wenn die Mathematiker steif und fest behaupten, mathematischer Text könne prinzipiell in einer formalen Sprache geschrieben werden. In der Praxis werden formale Sprachen nicht verwendet und lassen sich auch nicht verwenden. Unsere natürlichen Sprachen sind wirklich leistungsfähig und vielseitig. Dass wir von ihnen abhängen, ist eine Eigenheit der menschlichen Mathematik und im Grunde ein Manko, weil dadurch jegliche mechanische Überprüfung der Richtigkeit mathematischer Texte unmöglich wird. Dieser Umstand steht mit dem letzten Punkt in Zusammenhang, den wir in diesem Kapitel erörtern wollen.

4.  Dem menschlichen Denken fehlt es an formaler Präzision

Mit äußerster Leichtigkeit bewältigt ein Computer beispielsweise den Abgleich zweier langer Dateien auf Übereinstimmung. Die Dateien können dabei den Wortlaut eines Romans auf Gälisch oder Isländisch

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enthalten – der Computer wird uns binnen eines Sekundenbruchteils mitteilen, ob ein Wort in einer der beiden Dateien anders geschrieben wurde. Für einen Menschen wäre dies eine langwierige und quälende Aufgabe, die zudem noch von unwichtigen Details wie der Frage bestimmt wäre, ob man Gälisch oder Isländisch versteht. Nimmt man nun statt des Romans den Textinhalt einer Enzyklopädie oder die aktuelle Gesamtausgabe aller Telefonbücher des Landes, wäre die Aufgabe für einen Menschen nahezu unmöglich, für einen Computer aber weiterhin leicht zu bewältigen. Das Beispiel zeigt, wie eine in logischer Hinsicht einfache Aufgabe, die sehr lang ist und keinen Fehler erlaubt,5 für den Menschen schwer und für den Computer leicht ist. Hierin liegt sicherlich ein Schwachpunkt von uns Menschen, wenn wir Mathematik betreiben. Natürlich schneiden wir viel besser ab als jeder moderne Computer, wenn es darum geht, ein Kind oder eine Gabel beim Namen zu nennen. Im Bereich der mathematischen Kreativität ist unsere Überlegenheit erdrückend. Dennoch wird man mir wohl zustimmen, wenn ich behaupte, dass wir mathematische Fragestellungen auf etwas eigentümliche Weise in Angriff nehmen und dass eine außerirdische Gastmathematikerin sich möglicherweise über unsere Vorgehensweise wundern würde.6 Die Evolution hat dem Gehirn von Primaten die Fähigkeit verliehen, zunehmend komplexe Aufgaben zu bewältigen. Beim Menschen hat diese motorische Intelligenz zum Erwerb der Sprache und zu der Möglichkeit geführt, Musik und Mathematik zu betreiben. Wie ist es dazu gekommen? Mir gefällt außerordentlich gut, wie der Physiologe Gerhard Neuweiler diese Geschichte am Beispiel des Komponisten Györgyi Ligeti erzählt. In diesem Bericht wird besonders deutlich, dass wir nicht abstrakt denken, sondern geistige Aufgaben mit Hilfe eines sehr konkreten Gehirns bewältigen.7

134       wie mathematiker ticken √

2 im Intervall (1.41421, 1.41422) liegen, dann weiß man ebenso, dass √ π + 2 ohne jeden Fehler im Intervall (4.55580, 4.55582) liegt. Mit Hilfe

der Intervallarithmetik lassen sich mit streng kontrollierter Genauigkeit die verschiedensten Berechnungen mit reellen Zahlen durchführen. Ein Beispiel für die Verwendung solcher Berechnungen zum Beweis eines Theorems möchte ich kurz umreißen. Angenommen, zwei (ausdrücklich beschriebene) Kurven A0 und B0 in der Ebene schneiden sich in einem bekannten Punkt X0, und wir wollen beweisen, dass die (ausdrücklich beschriebenen) Kurven A und B sich in einem Punkt X nahe bei X0 schneiden. A0

B0

A

B X0 X

Es ist bekannt, dass dies unter bestimmten Bedingungen zutrifft (Transversalität des Schnittpunkts von A0 und B0, in einem bestimmten Sinne Nähe von A zu A0 und von B zu B0), die numerisch überprüfbar sind. Es kann zweckmäßig sein, die numerische Überprüfung mit Hilfe eines Computers durchzuführen. Damit habe ich einen computergestützten Beweis dafür umrissen, dass unter geeigneten Bedingungen zwei Kurven A und B einen Schnittpunkt X besitzen, mit einem Schätzwert für die Distanz zwischen X und einem bekannten Punkt X0. Es gibt Theoreme von echtem mathematischen Interesse, die tatsächlich die eben beschriebene Form haben, allerdings mit Mannigfaltigkeiten in einem unendlich-dimensionalen Raum statt der Kurven A und B. Mein Kollege Oscar Lanford berichtete einmal von einem solchen Theorem.8 Der Inhalt dieses Theorems ist für unsere Zwecke

18   fehler!        135

unerheblich. Vielmehr wollen wir uns einige technische Aspekte anschauen, wie Lanford den Beweis dafür führte. Der Beweis ist computergestützt; er besteht also aus einigen mathematischen Präliminarien, gefolgt von einem Computerprogramm. Dieses Programm (bzw. dieser Code) überprüft mit Hilfe der Intervallarithmetik verschiedene Ungleichheiten; erweisen sich diese als korrekt, ist das Theorem bewiesen. Aufgrund der Schwierigkeiten des Problems war Lanford gezwungen, ein relativ langes Programm von 200 Seiten zu schreiben. In zwei Spalten auf diesen Seiten ist zum einen der Code angegeben (in einer Abwandlung der Programmiersprache C); die zweite Spalte gibt Erläuterungen zum Vorgehen. Tatsächlich wäre nicht einmal der Autor in der Lage, einen langen Code ohne jegliche Erläuterung zu verstehen, und im vorliegenden Fall, bei einem mathematischen Beweis, sollten andere Personen diesen überprüfen können. Oscar Lanford ist ein sehr sorgfältiger Mensch, und er hat sich alle Mühe gegeben, dass der Computer exakt das macht, was er soll, wenn man den Code eingibt. In dieser Hinsicht – wenn der Computer die Ungleichheiten im Code akzeptiert hat – ist der Beweis des Theorems vollständig. Aber Lanford machte einige zusätzlichen Anmerkungen, die Ihnen ziemlich entmutigend erscheinen mögen. „Ich bin sicher“, schrieb er, „dass in dem Code, den ich geschrieben habe, einige Fehler stecken. Ebenso aber bin ich sicher, dass sie sich beheben lassen und dass das Ergebnis stimmt.“ Das heißt, dass in 200 Textseiten wahrscheinlich einige Fehler zu finden sind. Im vorliegenden Fall könnte es passieren, dass eine Ungleichheit, die zu beweisen war, tatsächlich nicht bewiesen wurde! Lanford glaubt jedoch das bestehende Problem in ausreichendem Detail zu verstehen, um eine ähnliche Ungleichheit finden und beweisen zu können, die zur Begründung seines Theorems ausreicht. An dieser Stelle sollten wir uns daran erinnern, dass es sich bei computergestützten Beweisen nicht um vollständig formalisierte Mathematik handelt (der man im Prinzip uneingeschränkt vertrauen könnte). Computergestützte Beweise sind Teil der menschlichen Mathematik. Dennoch ist das Problem der Fehlervermeidung ein anderes, wenn man einen Computer verwendet, als in der „normalen“, mit Stift und Papier

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betriebenen Mathematik. Bestimmte Fehler im Computercode lassen sich herausfiltern und eliminieren; was jedoch fehlt, ist die Intuition, die gute Mathematiker bei Beweisen mit Stift und Papier entwickelt haben. Mit der zunehmenden Länge der Beweise wird auch das Problem der Fehler in der Mathematik allmählich immer schwerwiegender, ganz gleich, ob nun Computer verwendet werden oder nicht. Wenn hier von Fehlern die Rede ist, so sind damit auch Lücken gemeint, das heißt Teile eines Beweises, die als leicht verständlich wahrgenommen werden, dies aber nicht sind. Zugespitzt formuliert, nimmt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Beweis keinen Fehler enthält, (mindestens) proportional zu seiner Länge ab. Und ein einziger Fehler kann einen ganzen Beweis zunichte machen! Glücklicherweise bleiben viele Fehler – die fehlerhafte Schreibweise eines Namens etwa oder ein falsches Datum in einer Quellenangabe – mathematisch folgenlos (auch wenn sie manche Menschen ziemlich wütend machen können). Auch ernsthaftere Fehler lassen sich häufig beheben, wie wir an späterer Stelle sehen werden. Wie schwerwiegend das Problem von Fehlern oder Lücken sein kann, wird deutlich, wenn wir uns nochmals das Theorem der Klassifikation endlicher einfacher Gruppen anschauen. Der Beweis dieses Theorems füllt Tausende von Seiten aus der Feder vieler Autoren und wurde zum Teil computergestützt geführt. Das Theorem gilt seit ungefähr 1980 als „moralisch“ bewiesen, wobei einzelne Teile noch niedergeschrieben werden müssen. Der Beweis war also lückenhaft, doch die Lücken wurden von Fachleuten nicht als gravierend angesehen. Immerhin aber erwies sich eine dieser Lücken als so schwerwiegend, dass (im Jahr 20049) weitere 1.200 Seiten Beweisführung erforderlich wurden. Auch andere Bereiche der Mathematik sind in einem unordentlichen Zustand. Zum Problem der Packung von Kugeln zum Beispiel schrieb Tom Hales: „Das Thema steckt voller fehlerhafter Beweise und veralteter Methoden.“10 Hat die Mathematik demnach ihre alten Anforderungen an die Rigorosität vergessen? Ist mathematische Wahrheit mittlerweile reine Ansichtssache und nicht mehr eine Frage der Erkenntnis? Verschiedene Autoren haben interessante Standpunkte zu dem oben erwähnten Artikel von Quinn und Jaffe geäußert.11 Grundsätzlich lässt sich sagen, dass gute Mathematiker, die in einem bestimmten Bereich arbeiten,

18   fehler!        137

wissen, wie zuverlässig die dazu veröffentlichte Literatur ist. Manche Bereiche sind mehrfach von hervorragenden Mathematikern überprüft und Theoreme mit verschiedenen Methoden bewiesen worden; solche Bereiche können als äußerst rigoros bezeichnet werden. Zugegebenermaßen jedoch gibt es in der mathematischen Fachliteratur auch eine Menge Müll, weil die Leute aus karrieretechnischen Gründen auch dann veröffentlichen müssen, wenn sie sich kaum dafür interessieren, was sie tun. Kurz gesagt: Die alten Ideale absoluter logischer Rigorosität sind nicht aufgegeben worden. Dennoch sind Kräfte am Werk, die den Stil der Mathematik verändern, da höchst wünschenswerte Theoreme sehr lange oder aber computergestützte Beweise erfordern. Will man zum Beispiel eine Eigenschaft einfacher endlicher Gruppen beweisen, so kann man diese Eigenschaft an einer konkreten Liste von Gruppen überprüfen. Darin zeigt sich die Nützlichkeit des Klassifikationstheorems: Es ist ein neuer Leuchtturm, der die Landschaft der Mathematik verändert. Natürlich gibt es auch beim menschlichen Mathematiker Veränderungen. Heute Mathematiker zu sein ist anders als vor hundert Jahren. In hundert Jahren Mathematik zu betreiben wird wiederum anders sein. Vielleicht wird es weniger befriedigend sein als in früheren Jahrhunderten, vielleicht auch nicht. Es wird jedoch neue Ergebnisse geben, tiefer gehende Theorien. Und dann wird ein weiteres Stück des unbekannten Gesichts der mathematischen Realität ins Licht der menschlichen Erkenntnis gerückt sein. Eine wichtige konzeptuelle Weiterentwicklung in der Mathematik vollzieht sich momentan mit dem Aufkommen computergeprüfter formaler Beweise.12 Dabei geht es darum, dass ein menschlicher Mathematiker den von Menschen geführten Beweis eines Theorems in eine Abfolge von Lemmata in formaler Sprache überträgt (ein hartes Stück Arbeit). Diese Abfolge wird sodann in einen Computer (mit einem Programm, das als Beweisassistent oder interaktiver Theorembeweiser bezeichnet wird) eingespeist, der die Lemmata auf ihre Korrektheit überprüft und einen vollständig formalisierten Beweis des Theorems liefert (dieser Teil ist nicht-trivial und umfangreich, da der Computer Beweismöglichkeiten durchforstet, die ihm zur Verfügung stehen; menschliche

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Mathematiker verlieren an dieser Stelle den Überblick über die sehr ausgedehnten Einzelheiten des formalen Beweises). Ein formaler Beweis, wie er hier beschrieben wurde, vermittelt sehr viel mehr Sicherheit als ein herkömmlicher, von Menschen geführter Beweis. Vorausgesetzt, dass die logischen Regeln und Axiome, die der Beweisassistent verwendet, keine logischen Widersprüche enthalten und das Programm frei von Fehlern ist, haben wir absolute Sicherheit. Laut Gödel lässt sich die Abwesenheit eines logischen Widerspruchs nicht beweisen (aber dieses Problem wiegt nicht schwerer als bei der herkömmlichen Mathematik). Hinsichtlich der Gefahr von Programmierfehlern betrachten wir den Theorembeweiser HOL Light, der zur Durchführung formaler Beweise dient. Der logische Systemkern von HOL Light, der die Überprüfung durchführt, setzt sich aus weniger als 500 Codezeilen zusammen. Diese Zeilen wurden genauestens überprüft, sodass einigermaßen Grund zur Hoffnung besteht, dass keine Fehler mehr übrig sind … Grundaxiome von HOL Light sind übrigens nicht die Axiome der ZFC-Mengenlehre (wobei man weiß, dass ein Widerspruch in HOL Light einen Widerspruch in ZFC implizieren würde). Durch Beweisassistenten sind mittlerweile formale Beweise von höchst nicht-trivialen Theoremen überprüft worden; hierzu gehören der Primzahlsatz und der Vier-FarbenSatz. Trotz allem steht außer Frage, dass Computer zum momentanen Zeitpunkt wenig von der schöpferischen Kraft menschlicher Mathematiker besitzen. Wie lange wird es dauern, bis sich das ändert?

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Mathematische Texte

Wir sprechen ebenso von einer mathematischen Realität wie von einer physikalischen. Sie sind unterschiedlich und doch beide durchaus real. Die mathematische Realität ist logischer Natur, während die physikalische Realität an das Universum gebunden ist, in dem wir leben und das wir mit unseren Sinnen wahrnehmen. Das soll nun nicht heißen, dass sich die mathematische oder die physikalische Wirklichkeit problemlos definieren ließen, aber wir können sie verstehen, indem wir mathematische Beweise oder physikalische Experimente durchführen. Auch Vermutungen können wir anstellen, und die Realität kann diese bestätigen oder widerlegen. Die Beziehungen des menschlichen Geists zur mathematischen oder zur physikalischen Realität sind komplex. Der Vergleich zwischen Computer und Gehirn in Kap. 9 hat einige der verborgenen Aspekte aufgezeigt, die bei der Anwendung menschlichen Denkens auf die Mathematik mitspielen. Wir wollen nun einen anderen Standpunkt einnehmen und das Endprodukt mathematischen Handelns untersuchen: den mathematischen Text. Bevor ich jedoch zu den schriftlichen mathematischen Texten komme, möchte ich eine wichtige Variante ansprechen: den mündlichen Vortrag in Form einer Vorlesung, eines Seminars, eines Kolloquiums oder dergleichen. Bei einem mündlichen Vortrag schreibt der Mathematiker an eine Tafel und spricht dabei ungefähr eine Stunde lang. Die Tafel wird heutzutage häufig durch einen Overheadprojektor ersetzt oder ergänzt, D. Ruelle, Wie Mathematiker ticken, DOI 10.1007/978-3-642-04111-2_10, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010

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mit dessen Hilfe einige mitgebrachte Folien auf eine Leinwand projiziert werden. Man beachte, dass sich die Mathematik, was mündliche Präsentationen betrifft, in wichtigen Punkten von anderen Disziplinen unterscheidet. Ein Philosoph sitzt vielleicht an einem Tisch und trägt einen gewissenhaft vorbereiteten Text vor. Ein Physiker verwendet vielleicht einen Computer, um einige bunte Bilder und Text, möglicherweise in animierter Form, zu zeigen. Der Mathematiker hingegen fühlt sich dem traditionellen Einsatz von Kreide und Tafel (oder von harmlosen Abwandlungen derselben wie Marker und Weißwandtafel) verbunden. Diese Konstellation hat den Vorteil, dass sie die Informationsmenge einschränkt, welche das Publikum pro Zeiteinheit aufnimmt. Tatsächlich nämlich lässt sich in einer einzelnen Vorlesung nur eine begrenzte Menge an Information vermitteln. Die Einblendung komplizierter Formeln in hohem Tempo oder ein zweistündiger Vortrag statt eines einstündigen ist weitgehend sinnlos und verursacht allseits Schwindelgefühle. (Auch dies ist ein Unterschied zwischen Computer und Gehirn: Ein richtig verkabelter und programmierter Computer kann tagelang „denken“, ohne eine Pause oder einen Kaffee zu brauchen.) Schriftliche mathematische Texte gibt es in Form von Büchern oder Artikeln (auch Papers genannt) unterschiedlicher Länge. Die Artikel werden in Fachzeitschriften veröffentlicht und/oder mittlerweile auch ins Internet gestellt. Ein schriftlich verfasster mathematischer Artikel ist das grundlegende Endprodukt menschlichen mathematischen Handelns. Ihn kann man jederzeit zur Rate ziehen und auf seine Richtigkeit überprüfen. Ein neuer mathematischer Gedanke ist erst dann rechtskräftig, wenn Sie ihn niedergeschrieben und veröffentlicht haben. Für die Ziele unserer Erörterung können wir mathematische Texte als aus drei unterschiedlichen Komponenten bestehend definieren: Abbildungen, Sätze und Formeln.

Abbildungen

In der euklidischen Geometrie spielen Abbildungen1 und Konstruktionen zu den Abbildungen (etwa: „Zeichne die Senkrechte zu AB durch

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den Punkt C…“) eine wichtige Rolle. Abbildungen bieten eine gute Anwendungsmöglichkeit des menschlichen visuellen Systems und sind ein wertvolles ausgelagertes Gedächtnis, sobald eine geometrische Situation kompliziert wird.2 Die Beweisführung anhand von Abbildungen ist ungemein effektiv; dies erklärt die Tatsache, dass in der Geschichte der Mathematik wirklich profunde und schwierige Ergebnisse zuerst in der Geometrie erzielt wurden. Dennoch ist in modernen mathematischen Artikeln häufig selbst dann keine einzige Abbildung zu finden, wenn ein geometrisches Problem behandelt wird. Die Hauptursache dieser Abneigung liegt darin, dass man Fehler machen kann, wenn man sich beim Versuch, ein allgemeines Ergebnis zu beweisen, zu sehr auf eine einzelne Abbildung stützt. Von der Beweisführung anhand einer Abbildung wird daher mit dem Hinweis auf mangelnde mathematische Strenge abgeraten. Zur Aufrechterhaltung der Aufmerksamkeit und als externe Gedächtnisstützen sind Abbildungen jedoch unverändert sinnvoll und werden in mündlichen Präsentationen häufig eingesetzt. Stellen wir uns vor, ein Redner oder eine Rednerin äußerte in einer Seminarsitzung den Satz: „Wir betrachten eine geodätische Krümmung, welche die Punkte A und B in der Riemann’schen Mannigfaltigkeit M verbindet.“ Dabei würde sie oder er folgendes an die Tafel zeichnen:

B A M

In einem mathematischen Artikel stünde der Satz ohne eine Abbildung da, und doch hätten viele Leser ein Bild vor ihrem geistigen Auge. Der Mangel an Abbildungen bedeutet daher nicht, dass man geometrische Intuition scheute. Im Gegenteil mögen Mathematiker die Geometrisierung: Dabei handelt es sich um eine geometrische Interpretation

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mathematischer Objekte (aus der Algebra oder der Zahlentheorie), die a priori nicht geometrisch sind. Ungeachtet der Bedeutung der visuellen Intuition müssen wir einräumen, dass sie in der Mathematik keinerlei logische Notwendigkeit besitzt. Manche setzen sie gar nicht ein; der französische Mathematiker Laurent Schwartz (1915–2002) etwa meinte, er habe in dieser Hinsicht so wenig Talent, dass er nur mit großer Mühe eine Landkarte lesen könne. Dies wirft die faszinierende Frage nach der Unterschiedlichkeit der inneren Bilder von mathematischen Objekten auf, die unterschiedliche Mathematiker sich machen. Wir wissen zu wenig über dieses Thema, und ich werde hier nicht näher darauf eingehen.

Sätze

Wir haben oben einen typischen mathematischen Satz formuliert: „Wir betrachten eine geodätische Krümmung, welche die Punkte A und B in der Riemann’schen Mannigfaltigkeit M verbindet.“ Dieser Satz ist hier auf Deutsch formuliert und enthält mehrere Symbole ( A, B, M) und Fachbegriffe (geodätische Krümmung, Riemann’sche Mannigfaltigkeit). Ohne Weiteres ließe er sich ins Französische oder in andere natürliche Sprachen übersetzen. Eine natürliche Sprache aber ist, wie oben ausgeführt, erforderlich, um Mathematik wenn nicht prinzipiell, so doch praktisch zu betreiben. Ohne Abbildungen und ohne Formeln ist Mathematik möglich, nicht aber ohne eine natürliche Sprache. Sprache spielt im menschlichen Denken eine zentrale (wenn auch nicht die einzige) Rolle. Aber Sprache ist eine ziemlich vielgestaltige Angelegenheit und ihre Verwendung in der Mathematik unterscheidet sich sehr von der in der Lyrik. Inwiefern? Statt des oben erörterten mathematischen Satzes schreibe ich: „N sei eine Riemann’sche Mannigfaltigkeit, und man nehme eine geodätische Krümmung in N.“ Hier haben wir der Riemann’schen Mannigfaltigkeit einen neuen Namen gegeben und ansonsten dasselbe mit anderen Worten gesagt. Verändert man jedoch in der Lyrik Namen und verwendet andere Worte, sagt man NICHT

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dasselbe. Nehmen wir Edgar Allan Poes Gedicht „Der Rabe“: Ersetzen wir einmal den Namen Leonore (der sich mit „im Ohre“ reimt)* durch einen anderen Namen, Madison zum Beispiel, und tauschen einige Wörter und grammatische Formen aus, ohne die Bedeutung zu verändern. Schon bald haben wir ein wirkungsvolles Gedicht in albernes Gestammel verwandelt. Das Lesen von Gedichten und die Lektüre mathematischer Texte sind offensichtlich recht unterschiedliche Aktivitäten des Gehirns. In der Lyrik bilden die Regelmäßigkeiten und Unregelmäßigkeiten in der Form einen maßgeblichen Teil der Aussage.3 In der Mathematik hingegen ist die Form von eingeschränkter Bedeutung. Wenn Sie zweisprachig sind und mit einem ebensolchen Kollegen einen Gedanken erörtern, werden Sie sich später vielleicht an das mathematische Thema des Gesprächs erinnern, nicht aber an die Sprache, in der es geführt wurde.

Formeln

Mathematische Texte sind normalerweise mit Formeln durchsetzt, zum Beispiel  M −A M −B U −A U −B : = : , M −A M −B V −A V −B

(∗)

(* )

Dieser Formel sind wir in Kap. 4 bereits begegnet. Zwischen einer Formel und einem Satz besteht kein grundlegender Unterschied. Tatsächlich kann man die mit (*) markierte Formel folgendermaßen ausformulieren: „U minus A durch M minus A geteilt durch … ist gleich …“.4 Den meisten Mathematikern wird die Formel eindeutig lieber sein als der Satz. Hierfür sehe ich vor allem zwei Gründe. Erstens können wir wie bei einer geometrischen Abbildung unsere visuellen Fähigkeiten auf die In der deutschen Übersetzung (aus dem Jahre 1914) von Hedwig Lachmann. Im englischen Original reimen sich „Lenore“ und „nevermore“. (Anm. d. Übs.)

*

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Formel anwenden und diese als visuelle Erinnerung behandeln. Zweitens gibt es Regeln, nach denen wir mit relativ wenig Aufwand und geringem Fehlerrisiko aus einer Formel automatisch eine andere machen können. Im Fall der Formel (*) haben wir uns die Zusatzinformation zunutze gemacht, dass M der Mittelpunkt von AB sei, was sich folgendermaßen ausdrücken lässt:

(M − A) : (M − B) = −1.  ( ∗ ∗)

(**)

Fügt man (**) in (*) ein, erhält man (U − A) (V − A) = (U − B) (V − B).

(Für einen geübten Mathematiker ist das sofort sichtbar.) Über einfache Modifikationen erhalten wir anschließend U +V A+B = = M. 2 2

Dies war unser Beweis des Schmetterlingssatzes. Mit der systematischen und einfachen Modifikation von Formeln hat die moderne Mathematik den geistigen Werkzeugen der antiken Griechen eine wichtige Erweiterung voraus. Ebenso wie Abbildungen stehen Formeln häufig auch dann vor dem geistigen Auge der Mathematiker, wenn sie nicht explizit ausformuliert werden. Beachten Sie außerdem, dass Formeln sich nicht immer auf Zahlen (bei (*) komplexe Zahlen) beziehen. Die Formel A ⊂ B etwa besagt, dass die Menge A in der Menge B enthalten ist; auch für jede andere logische Relation gibt es Formeln. Ungeachtet ihrer inhaltlichen Bedeutung besitzt eine geschriebene Formel prinzipiell den Wert eines externen Speichers sowie eines Objekts, dass nach wohldefinierten Regeln sinnvoll verändert werden kann. Mehrfach haben wir gesagt, Mathematik lasse sich im Prinzip darstellen, ohne eine natürliche Sprache zu verwenden. Eine solche Darstellung von Mathematik wäre „ausschließlich Formeln“ und könnte me-

10   mathematische texte        73

chanisch auf Richtigkeit überprüft werden. Tatsächlich schreiben manche Mathematiker (insbesondere Anfänger) lieber Formeln als Sätze, da sie dies für „rigoroser“ halten. Dieses Verfahren bringt jedoch rasch ein unverständliches Durcheinander hervor. Die wirkungsvolle Vermittlung mathematischer Inhalte an Menschen hängt von einer glücklichen Hand bei der Entscheidung ab, was man mit Formeln und was mit Worten (die sich auf ungeschriebene Formeln beziehen) ausdrücken will. Dieses Händchen für die richtigen Entscheidungen unterscheidet sich von der rein technischen Leistungsfähigkeit. Es ist eine Kunst, die manche Mathematiker sehr viel besser beherrschen als andere.

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Ehrungen

In den vorhergehenden Kapiteln haben wir uns Gedanken über das Wesen der menschlichen Mathematik gemacht. Nun wollen wir innehalten und fragen, warum Menschen sich mit mathematischer oder allgemein mit wissenschaftlicher Forschung befassen. (Mehr als andere Bereiche der Forschung ist die Mathematik reine Geistesübung und einsames Unterfangen; die Unterschiede sind jedoch lediglich gradueller und nicht wesenhafter Natur.) Wissenschaftler wird man natürlich wegen der Herausforderung, aus Interesse am Fach, wegen des Geldes, um des Ruhmes willen … Ein nähere Betrachtung dieser Motive sagt vielleicht nicht viel über die Struktur der mathematischen Realität aus, wohl aber über die menschliche Natur und Gesellschaft. In diesem Kapitel wollen wir uns ganz bescheiden auf den deutlicher sichtbaren Teil des emotionalen Bandes zwischen Wissenschaftler und Wissenschaft beschränken. Mein Kollege, der theoretische Physiker Louis Michel, behauptete gern, jede Entscheidung für die akademische Laufbahn liege an einem Mangel an Fantasie. Wie ist das möglich? Angenommen, Sie sind gut in der Schule. Dann werden Sie automatisch erwägen, an eine Universität zu gehen. Wenn Sie danach keinen großen Drang verspüren, gleich ins „wahre Leben“ (was auch immer das sein mag) einzusteigen, werden Sie eine Promotion in Angriff nehmen. Haben Sie die erst einmal hinter sich, wird Ihnen der akademische Betrieb wahrscheinlich wie das D. Ruelle, Wie Mathematiker ticken, DOI 10.1007/978-3-642-04111-2_11, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010

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wahre Leben vorkommen. Nur schwerlich werden Sie sich etwas anderes vorstellen können. Aus Mangel an Fantasie werden Sie versuchen, im akademischen Umfeld zu bleiben, und unter anderem „Forschung betreiben“. Nun bedeutet gute Forschung, neue Lösungen zu neuen Problemen zu finden – und dies ist eine Definition von Fantasie oder von Intelligenz. Gleichzeitig bedeutet gute Forschung aber auch eine Menge Routinearbeit, die oftmals knifflig und komplex ist und Sorgfalt, Präzision und nicht übermäßig viel Fantasie erfordert. Ein Mangel an Fantasie ist daher für die Forschung erforderlich, obwohl es etwas Fantasie braucht, um gute Forschung zu betreiben. Am Beginn von Wissenschaft und wissenschaftlicher Forschung steht der dringende Wunsch, steht der Zwang, das Wesen der Dinge zu ergründen. Wir werden uns dieses zwanghafte Verhalten später genauer anschauen und es zu verstehen versuchen. Aber Wissenschaft kennt auch andere Beweggründe (den Mangel an Fantasie etwa, wie wir gesehen haben). Einen wichtigen Motivationsfaktor in der menschlichen Wissenschaft bildet ihr Belohnungssystem, dem wir uns nun zuwenden wollen. Der Mensch ist ebenso wie andere Tiere mit einem angeborenen System aus Instinkten oder Trieben (die später durch Erfahrung verändert werden) ausgestattet, die seine unbewussten und bewussten Handlungen hinsichtlich Atmung, Nahrung, Sex und dergleichen steuern. Diese Triebe sind auf physiologischer Ebene teilweise analysiert worden. Häufig sind sie mit Reizen verknüpft, die wir als angenehm oder unangenehm empfinden. So scheint eine Substanz namens Histamin, welche die Zellen bei bestimmten Verletzungen ausschütten, an der Auslösung von Sinnesreizen beteiligt zu sein, die Schmerz oder Jucken hervorrufen. Man sollte sich jedoch davor hüten, Triebe übermäßig vereinfacht und automatisch als Reaktionen auf erinnerte angenehme oder unangenehme Sinnesreize zu interpretieren. Wenn die Antilope vor dem Löwen flieht, liegt das nicht daran, dass sie sich an die unangenehme Erfahrung erinnert, vom Löwen verspeist zu werden! Der Drang, sich von gefährlichen Raubtieren fernzuhalten, ist zumindest teilweise fest im Gehirn von Mensch und Tier verankert. Das erklärt vermutlich, warum viele von uns zu Schlangen, Spinnen und knurrenden Hunden

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auf Distanz gehen. Hinzu kommt, dass der Mensch ein Herdentier ist und dass wir uns mehr oder weniger an die Regeln der Gruppe halten, in der wir leben. Zu den Anreizen, sich so oder anders zu verhalten, zählt auch, was unsere Eltern uns beigebracht haben. Die Stelle unserer Eltern kann eine Mutter- oder eine Vaterfigur oder auch Gott einnehmen, der uns sagt, was wir tun sollen. Gott ist die Vaterfigur par excellence. Die typische Vaterfigur ist gütig, so lange wir ihren Wünschen entsprechen; tun wir dies nicht, ist ihr Zorn fürchterlich. Die Mutter- oder Vaterfigur wird versuchen, ihre Vormachtstellung durchzusetzen, die wir hinnehmen müssen. Eine Ablehnung dieser Dominanz ist eine Sünde, ein Verbrechen und überaus gefährlich. Denken Sie nur an Giordano Bruno,1 der für seine philosophische Ablehnung der Dogmen seiner heiligen Mutter, der katholischen Kirche, in Rom auf dem Scheiterhaufen verbrannt wurde. Und denken Sie an die Abermillionen Opfer von väterlichen totalitären Regimes linker oder rechter, religiöser oder antireligiöser Ausrichtung. Der freie Diskurs, wie er in der Wissenschaft stattfindet, ist kein allgemeines Menschenrecht. Das uneingeschränkte Nachdenken über philosophische Fragen und das Hinterfragen von Religion oder Gesellschaftsstrukturen bildete stets eher die Ausnahme als die Regel. In der Regel ist die bestehende Machtstruktur und Ideologie zu respektieren. Macht und Ideologie wandeln sich mit Zeit und Ort, und wir können zu ihrer Veränderung beitragen, aber sie sind stets präsent. Diese Präsenz kann unangenehm sein, aber meistens nehmen wir sie als gegeben hin. Wenn wir in einem demokratischen Land mit einer einigermaßen liberalen Staatsform leben, wird es uns wohl leichtfallen, die Machtstruktur und Ideologie unserer Gemeinschaft zu akzeptieren. Wechseln wir aber den Wohnort, so wird uns bewusst, dass es unterschiedliche Regeln gibt: Während der Präsident der Vereinigten Staaten meint, sich häufig auf Gott beziehen zu müssen, ist dem französischen Präsidenten dies untersagt. Auf die Gefahr hin, auf dem Offensichtlichen herumzureiten, möchte ich das Argument wiederholen. Machtstruktur und Anpassungsdruck können die abscheulichsten Formen annehmen. Doch ob abscheulich

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oder nicht – sie sind Teil der menschlichen Gesellschaft. Machtstruktur und Anpassungsdruck lassen sich mit brutalen Methoden durchsetzen, gleichzeitig aber sind sie in der elementaren menschlichen Psychologie und in unserer Anerkennung dominanter Mutter- und Vaterfiguren verwurzelt. Erwartungsgemäß gilt dies auch für die Wissenschaft. Es gibt in der Wissenschaft zwar mehr Diskussionsfreiheit als in anderen Bereichen, aber es gibt eine Machtstruktur und es gibt auch einen Anpassungsdruck. Die Machtstruktur äußert sich in Stellenzuteilungen und Gehältern, der Anpassungsdruck in der Annahme wissenschaftlicher Artikel zur Veröffentlichung in Fachzeitschriften. Insgesamt funktioniert das System leidlich effektiv und zufriedenstellend. Sicherlich ließe es sich verbessern, aber ich plädiere nicht für seine Zerschlagung. Erwähnt werden muss hier auch die Bewunderung, mit der manchen Wissenschaftlern aufgrund der von ihnen erzielten Ergebnisse und der Ehrungen begegnet wird, die ihnen in manchen Fällen eine Vaterfigur zuteil werden lässt. Wissenschaftliche Ehrungen sind häufig mit tief empfundenen Emotionen und einer ausgeprägten Irrationalität verbunden. Groß ist die Zahl der wahrhaft großen Wissenschaftler, deren Leben ins Unglück gestürzt wird, weil ihnen eine ersehnte Ehrung versagt blieb, selbst wenn diese Ehrung bei vernünftiger Betrachtung mehr Fluch als Segen wäre. Unter einer Ehrung verstehe ich die Aufnahme in eine Akademie, die Verleihung eines Preises oder einer Ehrenmedaille, die Einladung, einen besonderen Vortrag zu halten, oder auch schlicht das Angebot einer renommierten beruflichen Stellung. Ehrungen bedeuten in unterschiedlicher Gewichtung eine Belohnung: Selbstbestätigung, Geld, politische Macht, berufliches Fortkommen und möglicherweise zeitraubende Verpflichtungen. Ehrungen umfassen somit materielle und psychologische sowie rationale und irrationale Aspekte. Über das geehrte Individuum hinaus spielt jedoch auch die Politik eine Rolle. So erleichtert es die Mittelbeschaffung, wenn eine Universität in ihrem Kollegium mehrere Nobelpreisträger vorweisen kann: Diese sind ebenso wichtig wie (in den Staaten) ein gutes Football-Team. Einen Nobelpreis für Mathematik gibt es nicht, und ich erinnere mich an eine Zeit in den 1960er- und 70er-Jahren, als Mathematiker da-

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rüber ziemlich froh waren. Die Qualität der Mathematik wurde nicht in Millionen US-Dollar gemessen und Mathematiker nicht mit Footballspielern verglichen. In der Mathematik gibt es die relativ renommierte Fields-Medaille, die jedoch nur an Mathematiker unter 40 Jahren verliehen wird und auch nur geringfügigen finanziellen Wert besitzt (anders als der Nobelpreis für Physik, der etwa eine Million Dollar wert ist). Soweit ich mich erinnern kann, war die Verleihung der Fields-Medaille an René Thom und Alexander Grothendieck keine allzu große Sache. (René Thom war einmal leicht verärgert, weil seine Frau Suzanne seine Fields-Medaille verlegt hatte und die Auszeichnung unauffindbar war.) Doch die Dinge haben sich geändert. Die Fields-Medaille wird heute allgemein als der Nobelpreis für Mathematik bezeichnet. Darüber hinaus werden mehrere weitere Auszeichnungen an Mathematiker verliehen, die etwa eine Million Dollar wert sind und als Mathematik-Nobelpreis gesehen werden wollen. Auch für die Lösung einiger besonderer mathematischer Probleme wurden millionenschwere Preise ausgelobt. Viele Mathematiker sprechen bei jeder sich bietenden Gelegenheit gern von einem „Eine-Million-Dollar-Problem“. Andere wiederum finden es irgendwie geschmacklos, die Riemann’sche Vermutung mit einem Preisschild über US-$ 1 Mio. zu versehen. Wenn die Lohneinheit für herausragende mathematische Leistung bei einer Million US-Dollar liegt, liegt das auf jeden Fall weit unter dem bei Golf, Tennis oder Autorennen geltenden Tarif.2 Aber wir wollen über diese Millionen-Dollar-Frage nicht zu viel Zeit verlieren. Meiner Meinung nach kommt Ehrungen in der Mathematik momentan eine übermäßig große Bedeutung zu. (Vielleicht wird sich das auch wieder ändern.) Ursache dafür ist vermutlich die Schwierigkeit einer Bewertung der heutigen Arbeiten, die oft sehr technisch und schwer verständlich sind. Es sagt sich leichter, dass X mit dem AlphaPreis ausgezeichnet wurde, als sich das Theorem erklärt, das X bewiesen hat. Man muss jedoch zugeben, dass dies in intellektueller Hinsicht weniger interessant ist, ganz gleich, ob X den Alpha-Preis nun zu Recht erhalten hat oder nicht. Tatsächlich wird der Alpha-Preis nicht vom Allmächtigen verliehen, sondern von einem Ausschuss, der Ernennungen

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erhalten, Gutachten erbeten und gelesen hat und nicht immer eine gute Wahl trifft. Die Auswahl eines Wissenschaftlers für eine Ehrung kann offiziellen Beschränkungen unterliegen, wie Staatsangehörigkeit, Alter und ähnlichen Kategorien; nicht abhängen sollte sie hingegen von Volkszugehörigkeit, Geschlecht, politischer Einstellung und dergleichen. Dennoch ist es eine Tatsache, dass diese häufig mit ausschlaggebend sind. Betrachten wir einmal ein Beispiel für ein Auswahlverfahren. Ein guter Fachbereich Mathematik (an der Universität Princeton etwa) sucht einen neuen Fachdozenten. Die Auswahl wird hier von kompetenten Mathematikern getroffen, die in der Lage sind, talentierte Nachwuchswissenschaftler auszumachen und einzustufen. Der Fachbereich möchte Kollegen mit großen mathematischen Fähigkeiten einstellen und wird daher wahrscheinlich eine gute Wahl treffen. Nehmen wir demgegenüber einen Ausschuss, der sich seiner Kompetenz weniger sicher ist, gleichzeitig aber seine Seriosität verteidigen will. Dieser Ausschuss wird möglicherweise auf Nummer Sicher gehen und nach einem Bewerber oder einer Bewerberin Ausschau halten, der oder die bereits mehrere Auszeichnungen erhalten hat, und diesen eine weitere hinzufügen. Oder aber er wird Gerüchten glauben, ein bestimmter Bewerber stehe kurz vor dem Beweis eines bedeutenden Resultats, und eine schlechte Wahl treffen. Ein anschauliches Beispiel für die Ambivalenz von Preisen und anderen Ehrungen liefert der Fall Grigori Perelman, eines russischen Mathematikers (Jahrgang 1966), der in der geometrischen Grundlagenforschung arbeitete. Perelman hat sehr bedeutende und sehr harte Resultate bewiesen: die Thurston’sche Geometrisierungsvermutung und (als Sonderfall) die berühmte Poincaré-Vermutung über die dreidimensionale Sphäre. Für seine Arbeit wurde ihm 2006 die renommierte Fields-Medaille verliehen. Perelman aber lehnte die Auszeichnung ab und äußerte sich enttäuscht über die ethischen Standards in der Mathematik. Er erklärte, die meisten Mathematiker seien Konformisten – selbst mehr oder weniger ehrlich, aber tolerant gegenüber den weniger ehrlichen Kollegen. Dass er zu einer sehr auffälligen Gestalt des mathematischen Establishments geworden war, versetzte ihn in eine Position, die er als

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ethisch höchst unangenehm empfand. Inzwischen hat er sich offenbar aus der Mathematik zurückgezogen, ist arbeitslos und lebt bei seiner Mutter in St. Petersburg. Perelmans Geschichte erinnert an die von Grothendieck. Beide Mathematiker fühlten sich in eine Position gedrängt, die ihnen nicht behagte, und beide sagten sich vom mathematischen Establishment los. Ein häufig von den Medien beförderter Standpunkt lautet, in der Mathematik gehe alles darum, die Konkurrenz aus dem Feld zu schlagen und einen großen Preis zu gewinnen. Vielleicht wird es der Mathematik guttun, dass jemand vom Kaliber Perelmans sich von diesem Standpunkt distanziert; der Preis aber, den er dafür zahlen musste, war vernichtend hoch. Ich habe hier aufzuzeigen versucht, dass die Bewertung von Wissenschaftlern und Auszeichnungen mehr oder weniger gut funktionieren kann – in jedem Fall aber ist sie ein notwendiger Bestandteil der menschlichen Wissenschaft. Sie mag ein Ärgernis sein und ist doch ein ernsthaftes Problem, das sich nicht abtun oder ignorieren lässt. Gleichzeitig sollte man ernste Probleme oft nicht zu ernst nehmen. Und hier kommt mitunter aus einer unerwarteten Ecke Abhilfe, wie die folgende Episode zeigt. Ich hatte einem feierlichen Zusammentreffen der Pariser Académie des Sciences beigewohnt, unter der Kuppel des Institut de France. Das Publikum war erlesen, und viele der Anwesenden trugen den grünen Frack der Akademiemitglieder, den Zweispitz in der Hand und das Schwert an der Seite. Elegante Reden über Aspekte des Lebens der Académie waren zu hören gewesen, gefolgt von weiteren Ansprachen über gewichtige Fragen wie die Zukunft der Menschheit und unseres Planeten, die Verantwortung des Wissenschaftlers und dergleichen. Nach ein paar Stunden war die Versammlung zu Ende, und da ich noch andere Dinge vorhatte, wollte ich unauffällig und rasch verschwinden. Ich war als Erster draußen. Doch wie ich so voraneilte, merkte ich, dass irgendetwas nicht stimmte: Ich befand mich zwischen zwei Reihen prächtig uniformierter Soldaten mit gezogenen Säbeln. Es war la Garde Républicaine, die im Takt der Trommeln (nicht der Trompeten, die sind dem Tag des Jüngsten Gerichts vorbehalten) den grünen Fräcken

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der Akademiemitglieder salutieren sollten. Ich war zur falschen Zeit am falschen Ort und trug die falsche Kleidung. Ich hätte mich durch den Seitenausgang davonmachen sollen, anstatt zwischen den grimmig blickenden Soldaten hindurchzulaufen. Ich bemühte mich, möglichst unauffällig zu wirken; doch wie soll einer nicht auffallen, der sich durch ein Spalier aus republikanischen Gardesoldaten mit gezogenen Säbeln hindurchwindet? Immer wieder orientierte ich mich nach links und nach rechts. Mit einem Mal erblickte ich den Chef der Gardes – ein Riese; eine beeindruckende, erhabene Erscheinung mit einem unbewegten Gesicht, von dem ich meinen Blick nicht abwenden konnte. Auch er blickte mich an, ohne zu lächeln. Und dann sah ich, wie er ein Auge schloss und langsam wieder öffnete: ein eindeutiges Zwinkern, das die Situation für mich rettete.

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Die Unendlichkeit: Nebelwand der Götter

Wir wollen uns nun wieder der Hauptbeschäftigung der Mathematiker zuwenden: dem Beweis von Theoremen durch Anwendung logischer Regeln auf andere Theoreme und auf die grundlegenden Axiome. Die gesamte Mathematik lässt sich aus der Mengenlehre entwickeln; alles was wir brauchen, sind also die Axiome der Mengenlehre. Wie lauten sie? Ein Großteil der heute betriebenen Mathematik baut auf einem Axiomensystem auf, das als ZFC bezeichnet wird (für Zermelo-Fraenkel-Choice nach Ernst Zermelo,1 Adolf Fraenkel2 und dem englischen Begriff „[Axiom of] Choice“ für Auswahlaxiom). Tatsächlich jedoch verwenden Mathematiker die eigentlichen Axiome der Zermelo-Fraen­ kel-Mengenlehre mit Auswahlaxiom nur selten: Stattdessen berufen sie sich auf bekannte Theoreme, die sich auf ZFC zurückführen lassen. Wenn Sie zum Beispiel beweisen möchten, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, werden Sie dies in der Regel nicht vom Axiomensystem ZFC abzuleiten versuchen. Vielmehr werden Sie sich darauf verlassen, dass bereits eine Verbindung zwischen den ganzen Zahlen und der Mengenlehre hergestellt und eine gewisse Anzahl bekannter Tatsachen über die ganzen Zahlen abgeleitet wurde (siehe unten). Die Axiome von ZFC können Sie an verschiedenen Stellen nachschlagen. Im „Encyclopedic Dictionary of Mathematics“3 habe ich eine Auflistung von zehn in formaler Sprache formulierten Axiomen gefunden. Das fünfte Axiom lautet D. Ruelle, Wie Mathematiker ticken, DOI 10.1007/978-3-642-04111-2_12, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010

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∃ x ∀ y (¬ y ∈ x).

Vergessen Sie nicht, dass man „Regeln der Logik“ kennen muss, die es ermöglichen, die Symbole, welche Axiome und Theoreme bilden, zu manipulieren. Darüber hinaus haben die formalen Ausdrücke, die man niederschreibt, eine intuitive Bedeutung. Prinzipiell kann Mathematik auch ohne diese intuitive Bedeutung betrieben werden; menschliche Mathematiker jedoch betrachten die intuitive Bedeutung in der Regel als unerlässlich. Das fünfte Axiom nun besagt, dass eine Menge x existiert, bei der für sämtliche y falsch ist, dass y zu x gehört. Mit anderen Worten: Es gibt eine Menge x, welche kein Element enthält. Die Menge x wird als leere Menge bezeichnet und normalerweise mit ∅ bezeichnet. Das fünfte Axiom besagt demnach: Es gibt eine leere Menge ∅. Von der Menge ∅ ausgehend kann man auch die (davon verschiedene) Menge {∅} betrachten, die nur ein Element umfasst (nämlich die leere Menge ∅), sowie die Menge {{∅}} mit einem Element {∅}. Weiterhin kann man die Menge {∅, {∅}} betrachten, die die zwei Elemente ∅ und {∅} umfasst, dann die Menge {∅, {∅}, {{∅}}} mit drei Elementen und so weiter. Wenn Ihnen hiervon ein wenig der Kopf schwirrt, seien Sie unbesorgt: Diese Reaktion ist völlig normal. Nehmen Sie nebenbei jedoch zur Kenntnis, dass wir eine Möglichkeit entdeckt haben, die natürlichen ganzen Zahlen 0, 1, 2, 3, … einzuführen, indem wir sie mit den Mengen ∅; {∅}; {∅, {∅}}; {∅, {∅}, {{∅}}}; … verknüpfen. Hier sollen die Axiome von ZFC nicht im Detail erörtert werden. Ich möchte allerdings das sechste Axiom ansprechen, das in Alltagssprache besagt, dass es eine Menge mit unendlich vielen Elementen gibt oder, wie es die Mathematiker gern formulieren: Es gibt eine unendliche Menge. Wozu sollte man auf einem solchen Axiom bestehen, wenn doch klar ist, dass die natürlichen Zahlen 0, 1, 2, 3, … eine unendliche Menge bilden? Hier geht es darum, dass die Axiome zuerst kommen, die ganzen Zahlen aber erst später, und was intuitiv eindeutig erscheint, ist nebensächlich, wenn es darum geht, solide Grundlagen der Mathematik zu schaffen. Der grandiose Aufbau der abstrakten Mengenlehre, der Ende des 19. Jahrhunderts von Georg Cantor in Gang gebracht wurde, hatte mit Paradoxien zu kämpfen, die zu einer Grundlagenkrisis in der

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Mathematik führten.4 Wir haben uns bei den Logikern zu bedanken, die gute Arbeit leisteten, indem sie zu Beginn des 20. Jahrhunderts eine axiomatische Basis für die Mengenlehre schufen. Ich habe jedoch den Begriff der unendlichen Menge noch nicht erklärt. Eine formlose Definition nennt eine Menge unendlich, wenn sie ebenso viele Elemente enthält wie eine echt kleinere Teilmenge. Die Menge {0, 1, 2, 3, …} aus den natürlichen Zahlen zum Beispiel enthält ebenso viele Elemente wie die Teilmenge {0, 2, 4, …} aus den geraden natürlichen Zahlen. (Zur Verdeutlichung assoziiere man die ganze Zahl n mit ihrem Zweifachen 2n.) Die Menge der geraden natürlichen Zahlen ist jedoch echt kleiner als die Menge aller natürlichen Zahlen, da in ihr die Zahlen 1, 3, 5, … fehlen. Folglich ist die Menge {0, 1, 2, 3, …} der natürlichen Zahlen unendlich. Da wir nun definiert haben, was unendlich bedeutet, können wir sinnvoll auch sagen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Beträgt die Differenz zwischen zwei Primzahlen 2, so werden sie als Primzahlzwilling bezeichnet (3 und 5 bilden einen Primzahlzwilling, ebenso 5 und 7, 11 und 13, 17 und 19, …). Man vermutet, ohne dass es bewiesen wäre, dass es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt. Obwohl also das Axiomensystem ZFC unsere Mathematik mit einer zufriedenstellenden Grundlage ausstattet, bedeutet dies nicht, dass sich auf alle scheinbar vernünftigen Fragen leicht eine Antwort finden lässt. Tatsächlich besagt der Gödel’sche Unvollständigkeitssatz, dass es unmöglich ist, systematisch alle mathematischen Fragen zu beantworten. Doch wir wollen Gödel für einen Augenblick beiseite lassen und versuchen, das Problem der Primzahlzwillinge mit brachialer Gewalt zu lösen. Dazu errechnen wir sämtliche Primzahlen unter einem Wert N (was man ganz explizit tun kann), suchen danach die Zwillingspaare heraus (auch dies kann man ganz explizit tun) – und dann stecken wir fest: Wir müssten die Rechnung für beliebig große N durchführen, und das würde unendlich viel Zeit in Anspruch nehmen. Die Lösung des Problems der Primzahlzwillinge ist im Unendlichen verborgen, in den beliebig großen Werten für N. Woher aber wissen wir denn nun, dass es unendlich viele Primzahlen gibt? Die Antwort liegt nicht im Versuch, sämtliche Primzahlen zu

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berechnen; vielmehr bedienen wir uns eines findigen mathematischen Arguments. Schon Euklid kannte dieses Argument: Man schreibe n! = 1 * 2 … n für das Produkt sämtlicher aufeinanderfolgender ganzer Zahlen von 1 bis n. Zweifellos ist n! ein genaues Vielfaches jeder ganzen Zahl k von 2 bis n. Oder, wie man auch sagt: k ist ein Teiler von n! (d. h., man kann n! durch k ohne Rest teilen). Aber k ist kein Teiler von n! + 1 (weil hier der Rest der Division 1 beträgt). Demnach muss jede Zahl k (größer als 1), die ein Teiler von n! + 1 ist, größer sein als n. Insbesondere ist jeder Primfaktor von n! + 1 größer als n. Zu einer beliebig großen Zahl n lässt sich somit stets eine Primzahl k finden, die größer ist als n: Es existieren beliebig große Primzahlen. Man beachte, dass wir uns in unserer Beweisführung nicht auf die Axiome von ZFC gestützt haben. Stattdessen haben wir uns zwanglos einer bestimmten Anzahl bekannter Begriffe und Tatsachen über ganze Zahlen bedient (beispielsweise, dass eine ganze Zahl abgesehen von der Abfolge der Faktoren auf eindeutige Weise als ein Produkt von Primzahlen dargestellt werden kann). Das ist die übliche Vorgehensweise der Mathematiker. Prinzipiell aber ist es möglich, bei der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre mit Auswahlaxiom anzusetzen, ganze Zahlen mit der Mengenlehre zu verknüpfen und mit absoluter Strenge vorzugehen. Die Schönheit der Mathematik liegt darin, dass findige Argumente Antwort auf Fragestellungen geben, bei denen ein gewaltsames Vorgehen sinnlos wäre, es aber gleichzeitig keine Garantie dafür gibt, dass es immer ein findiges Argument gibt! Soeben haben wir eines kennen gelernt, das die Existenz von unendlich vielen Primzahlen beweist, und doch kennen wir kein Argument, das die Existenz von unendlich vielen Primzahlzwillingen beweist. Versuchen wir es nun mit einem anderen Gedanken. Von unseren Lieblingsaxiomen ausgehend (ZFC zum Beispiel) können wir systematisch und mechanisch eine Liste aller korrekten Beweise aufstellen. Wir können demnach ebenso sämtliche Aussagen auflisten, die sich aus den gewählten Axiomen beweisen lassen, und dabei bei jedem Schritt überprüfen, ob wir einen Beweis für unsere Lieblingsaussage (etwa: Es gibt unendlich viele Primzahlzwillinge) gefunden haben. Für die Liste der Aussagen, für die es einen Beweis gibt, benutzen wir die formale

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Sprache (wie im fünften Axiom), und wir werden einen Algorithmus haben, um die Liste systematisch und mechanisch zu erstellen. (Ein Algorithmus führt uns durch eine Folge von Einzelschritten, wobei er uns genau sagt, was bei jedem Schritt zu tun ist. Wir können den Algorithmus mit einem entsprechend programmierten Computer umsetzen.) Angemerkt sei hier, dass in der von unserem Algorithmus hervorgebrachten Liste der Aussagen sich Aussagen auch wiederholen können und dass manche kurzen Aussagen vielleicht erst ziemlich spät und überraschend auftauchen. Es gibt also einen Algorithmus, der eine Liste von Aussagen hervorbringt, die sich aus unseren Axiomen beweisen lassen. An dieser Stelle möchte ich jedoch eine bemerkenswerte (und nicht offensichtliche) Tatsache anführen: Es gibt keinen Algorithmus, der eine Liste aller Aussagen hervorbringt, die sich von den Axiomen her nicht beweisen lassen.5 Im Fachjargon der mathematischen Logik spricht man hier davon, dass die Menge der beweisbaren Aussagen rekursiv abzählbar ist, wogegen die Menge der Aussagen, für die es keinen Beweis gibt, nicht rekursiv abzählbar ist. Man beachte, dass die Menge der widerlegbaren Aussagen wiederum rekursiv abzählbar ist und daher mit der Menge der nicht beweisbaren Aussagen nicht zusammenfallen kann. Dies ist der Gödel’sche Unvollständigkeitssatz: Ist eine Theorie widerspruchsfrei (kann man also eine Aussage und deren Negation nicht beweisen), so gibt es Aussagen, die sich weder beweisen noch widerlegen lassen.6 Aus dem soeben Gesagten ergibt sich eine Relation zwischen Algorithmen und dem Gödel’schen Unvollständigkeitssatz: Manche Ansammlungen von Aussagen (oder von ganzen Zahlen) können durch einem Algorithmus erstellt werden, andere nicht. Dies hängt mit der Tatsache zusammen, dass es unendlich viele Aussagen (oder ganze Zahlen) gibt. Bei der Arbeit mit unendlichen Mengen sind den Aufgaben, die sich effektiv durchführen lassen, Grenzen gesetzt. Welche Aufgaben lassen sich effektiv durchführen? Diese Frage ist von Gödel, Church7 und Turing unterschiedlich beantwortet worden – glücklicherweise zeigt sich jedoch, dass die Antworten äquivalent sind. Knapp formuliert, lässt sich eine Aufgabe effektiv durchführen, wenn es einen Rechner gibt, der sie durchführen kann. Dieser Rechner ist ein

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endlicher Automat (der, wie Turing aufzeigte, ganz einfach sein darf) mit unbegrenzter Speicherkapazität, der unbegrenzt viel Zeit zur Verfügung hat. Bevor wir uns von Gödel verabschieden, möchte ich eine Konsequenz aus seiner Arbeit erwähnen, die für die tatsächliche Praxis der Mathematik von Bedeutung ist: Kurze Aussagen können beliebig lange Beweise haben. Was bedeutet das? Namentlich, dass bei variabler Länge L das Maximum für gegebenes L, von der Länge des kürzesten Beweises einer beweisbaren Aussage der Länge L keine tatsächlich berechenbare Funktion von L ist.8 Da die uns bekannten Funktionen (Polynome, Exponentiale, Exponentiale von Exponentialen, usw.) effektiv berechenbar sind, bedeutet dies, dass die Länge des Beweises mit der Länge der Aussage L rascher zunimmt als alles, was in unserer Reichweite liegt. Nochmals: Manche kurzen Aussagen haben einen sehr langen Beweis, der daher schwer zu finden ist, und dass es überhaupt einen Beweis gibt, weiß man erst, wenn man ihn gefunden hat. Solche Beweise werden daher von Mathematikern sehr geschätzt. An dieser Stelle mag man sich fragen, was für ein Spiel die Mathematiker da spielen, wenn sie intuitiv nicht erfassbare Vorstellungen einführen wie Mengen, die sich nicht durch einen Algorithmus darstellen lassen, oder Funktionen, die nicht effektiv berechnet werden können. Muss das wirklich sein? Es hängt davon ab, was man vorhat. Vor Tausenden von Jahren war es für unsere Vorfahren wichtig, Vieh, Sklaven oder Getreidegarben abzuzählen. Der Tauschhandel mit verschiedenen Waren mündete in Fragen der elementaren Arithmetik, die zur damaligen Zeit gar nicht so leicht zu beantworten waren. Nicht berechenbare Funktionen kamen damals hingegen nicht auf. Manche unserer Vorfahren jedoch blickten über das Schafezählen und deren Tausch gegen Krüge voll Wein oder Öl hinaus: Sie begannen sich Gedanken über Zahlen im Allgemeinen zu machen, über alle denkbaren Dreiecke oder andere geometrische Formen. Der Moment in der Antike, als dies geschah, bildete die Geburtsstunde der Mathematik. Wer über allgemeine

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Eigenschaften von Zahlen oder Dreiecken nachdenken will, kann nicht mit den Brachialmethoden vorgehen, jedes einzelne dieser Objekte zu betrachten – es gibt zu viele davon. Mit der Erörterung sämtlicher Elemente der unendlichen Menge von Zahlen oder geometrischen Figuren betritt der Mensch (so würde Platon es sehen) die Sphäre des Göttlichen. Und in der Sphäre des Göttlichen wurden viele wunderbare mathematische Tatsachen gefunden: verborgene Eigenschaften der ganzen Zahlen, unerwartete Sätze der Geometrie, und andere mehr. Nicht alle Geheimnisse jedoch sind enthüllt worden: Es bleiben Fragen, die man in der Zukunft vielleicht beantworten wird. Vielleicht aber lassen sie sich auch nicht beantworten, und aufgrund des Gödel’schen Unvollständigkeitssatzes werden wir das nie herausfinden. Mathematiker möchten über die Eigenschaften aller Elemente der unendlichen Mengen sprechen. In einer unendlichen Menge jedoch kann manches in weiter Ferne verborgen liegen. Und womöglich hätte Platon sich gefreut, hätte er gesehen, dass die Götter uns zwar Einlass in ihr Reich gewährt, gleichzeitig aber auch eine Möglichkeit gefunden haben, manche ihrer Geheimnisse vor unserem Zugriff zu bewahren.

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Fundamente

Die Mathematik der Antike befasste sich mit Objekten, die natürlich erschienen: mit geometrischen Figuren und Zahlen. Außerdem verfügte sie über eine natürliche Methode: die logische Ableitung aus wenigen anerkannten Axiomen und Definitionen. Das Prinzip der axiomatischen Methode ist selbst heute noch im Wesentlichen unverändert, die Vielfalt der betrachteten Objekte aber hat im Zuge der Diversifikation von Sprache und Verfahren enorm zugenommen. Eine heutige Beschreibung der Mathematik à la Bourbaki würde Strukturen hervorheben: einfache Strukturen wie die von Gruppen1 oder komplexere wie die Struktur der bereits erwähnten algebraischen Varietäten. Die Untersuchung der einfachen Strukturen würde man unter Überschriften wie Mengenlehre, Algebra oder Topologie fassen, die Betrachtung komplexerer Strukturen dagegen liefe zum Beispiel unter den Oberbegriffen der algebraischen Geometrie oder der linearen Dynamik. (Gruppen sind der Algebra, algebraische Varietäten dagegen der algebraischen Geometrie zuzuordnen.) Diese Klassifizierung mathematischer Themen ist sicher zweckdienlich, aber auch ein wenig kleinkrämerisch, und eine Aussage darüber, ob sie natürlich ist, steht noch aus. Tatsächlich entwickelt sich interessante Mathematik in verschiedene Richtungen, die den Strukturvorstellungen der Bourbakisten folgen oder auch nicht folgen können. D. Ruelle, Wie Mathematiker ticken, DOI 10.1007/978-3-642-04111-2_13, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010

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Die Diversifikation der Themen der modernen Mathematik wurde durch vereinheitlichende Tendenzen ausgeglichen. Ein einigender Faktor ist das unerwartete Auftreten von Verbindungen zwischen augenscheinlich unzusammenhängenden Fragen. So entpuppte sich ein Thema, das man Theorie der Funktionen einer komplexen Variable2 nennt, als ein unerlässliches Werkzeug in einem völlig anderen Bereich der Mathematik: der Arithmetik (der Untersuchung der ganzen Zahlen). Und tatsächlich ist die berühmteste ungeklärte Frage in der heutigen Mathematik die Riemann’sche Vermutung, die sich mit Eigenschaften einer bestimmten Funktion einer komplexen Variable befasst und bedeutende Folgen für unsere Kenntnisse über Primzahlen hätte.3 Ein weiterer einigender Faktor der Mathematik besteht darin, dass sie sich vollständig auf einer axiomatischen Behandlung der Mengenlehre aufbauen lässt, wie wir in Kap. 12 gesehen haben. Erneut haben die grundlegenden Axiome (ZFC zum Beispiel) hier eine intuitive Bedeutung, durch die sie für moderne Mathematiker ebenso akzeptabel werden, wie es die Sätze des Euklid für die Griechen waren. Während jedoch die Mathematik der Antike auf ansprechende Weise natürlich war, lässt sich dies von der Mathematik unserer heutigen Zeit nicht behaupten. Wo die Mathematiker der Antike auf der Suche nach der Wahrheit waren, scheinen wir nach Konsequenzen aus Axiomen zu suchen, die sich durch andere Axiome mit anderen Konsequenzen ersetzen ließen. Wo man in der Antike mit Geraden, Kreisen und ganzen Zahlen herumspielte, haben wir eine Unmenge esoterischer Strukturen eingeführt. Und beim Blick in die Fachzeitschriften, wo die modernen Mathematiker ihre Studien aufzeichnen, mag man sich durchaus fragen, was diese Wissenschaftler vorhaben: Warum gerade dieses Problem? Warum gerade diese Annahmen? Wozu das alles? Wir würden gern verstehen, wie natürlich die Mathematik der heutigen Zeit ist. Hierbei sehe ich zwei Aspekte: zum einen das Problem der Willkürlichkeit der Grundlagen (Warum gerade ZFC?), zum anderen das Problem der Willkürlichkeit der untersuchten Fragen (Warum gerade der große Fermat’sche Satz?). Ich möchte dieses Kapitel mit dem Problem der Grundlagen eröffnen und dabei der Auffassung folgen, dass die gesamte Mathematik auf der Mengenlehre gründet.4 Selbst wenn zukünftige Mathematiker die

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Dinge dereinst vielleicht ganz anders sehen werden – in der heutigen mathematischen Praxis ist diese Ansicht weithin anerkannt. Was aber ist mit der spezifischen Zusammensetzung des Axiomensystems ZFC? Aufschlussreich ist hier ein Blick auf das Auswahlaxiom (engl. „Axiom of Choice“, daher das C in ZFC). Der Inhalt des Auswahlaxioms ist für die aktuelle Diskussion nicht von Belang und soll daher einer Fußnote5 überlassen bleiben. Eine weitere Fußnote6 befasst sich mit dem Banach-Tarski-Paradoxon, einer seltsamen Konsequenz aus dem Auswahlaxiom. Mit ZF wollen wir die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ohne Auswahlaxiom bezeichnen. Gödel hat bewiesen: Wenn ZF widerspruchsfrei ist (wenn also aus diesen Axiomen kein Widerspruch erwächst), ist auch ZFC widerspruchsfrei.7 Die Widerspruchsfreiheit ist somit bei der Verwendung des Auswahlaxioms unstrittig, doch es gibt andere Überlegungen. Manche Mathematiker lehnen das Auswahlaxiom offen ab, andere merken sich, ob es in einer Theorie verwendet wird oder nicht. Zurzeit jedoch vertritt die Mehrheit der Mathematiker die Auffassung, dass sie mit diesem Axiom reichere, interessantere Mathematik erhalten als ohne es.8 Dadurch ist ZFC gegenwärtig die allgemeingültige Grundlage für Mathematik. Bedeutet dies, dass sich die axiomatische Grundlage der Mathematik in Zukunft nicht mehr ändern wird? Ich persönlich bin der Meinung, dass Veränderungen stattfinden werden, allerdings langsam. Manche der Probleme, mit denen sich die Mathematiker in den vergangenen hundert Jahren auseinandergesetzt haben, konnten zufriedenstellend gelöst werden, dazu gehören der Beweis des großen Fermat’schen Satzes oder die Klassifikation endlicher einfacher Gruppen.9 Für diese Erfolge waren sehr lange Beweise erforderlich. (Wenn wir an Gödels Ergebnisse hinsichtlich der Länge von Beweisen denken, die im vorhergehenden Kapitel zur Sprache kamen, verwundert dies nicht allzu sehr.) Manche Probleme sind, wie bewiesen wurde, logisch unentscheidbar: Dies gilt für Hilberts zehntes Problem zur Lösbarkeit diophantischer Gleichungen.10 Manche Probleme wiederum sind noch völlig offen, dazu gehört die Riemann’sche Vermutung. Die Riemann’sche Vermutung (RV) ist eine formale Hypothese, die aus verschiedenen Gründen die Aufmerksamkeit und sogar die Leidenschaft der Mathematiker geweckt hat. In der Vermutung geht es um die

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sogenannte Riemann’sche Zetafunktion, und sie lässt sich relativ leicht präzise formulieren. Eine Fußnote11 nennt die Standardformulierung der Riemann’schen Vermutung, die jedoch nicht einmal im Ansatz illustriert, was die RV interessant macht. Den ersten Grund für eine Frage nach dem Wahrheitsgehalt der RV hat Riemann selbst formuliert: Aus der Hypothese ergeben sich detaillierte Resultate zu Primzahlen, die anscheinend auf keinem anderen Weg zu erzielen sind und doch als wahr gelten. Ein zweiter Grund für unser Interesse an der RV besteht darin, dass sie außergewöhnlich schwer beweisbar scheint. Der letzte und wichtigste Grund ist, dass die RV mit tief greifenden strukturellen Fragen verknüpft ist. Insbesondere in den Weil-Vermutungen (die hier bereits zur Sprache kamen und von Grothendieck und Deligne bewiesen worden sind) steckt ein Gedanke, der mit der Riemann’schen Vermutung in Verbindung steht, dies aber in einem Rahmen, der mit der RV offensichtlich nichts zu tun hat. Eine technische Erörterung würde den Rahmen dieses Kapitels sprengen, daher werfen wir hier nun einen Blick auf einige logischen Fragen hinsichtlich der RV, die uns ein Bild von der Art und Weise vermitteln, wie Logiker denken. Formal besagt die Riemann’sche Vermutung, dass die Riemann’sche Zetafunktion in einem gewissen „kritischen Streifen“ der komplexen Ebene, in der sie definiert ist, niemals den Wert null annimmt. Insbesondere wenn die RV falsch ist, lässt sich dies beweisen, indem man im kritischen Streifen eine Nullstelle aufzeigt. (Dies ist über eine numerische Berechnung möglich.) Nehmen wir nun an, die RV sei unentscheidbar. Infolge der Unentscheidbarkeit kann im kritischen Streifen keine Nullstelle aufgezeigt werden. (Dies würde beweisen, dass die RV falsch wäre und somit nicht unentscheidbar.) Lässt sich jedoch keine Nullstelle aufzeigen, so bedeutet dies, dass es im kritischen Streifen keine Nullstelle gibt; also ist die RV wahr! Genauer ausgedrückt: Wenn die RV auf der Grundlage von ZFC unentscheidbar und ZFC widerspruchsfrei ist (zu keinerlei Widerspruch führt), dann ist die RV wahr. Wir haben angesprochen, dass die Riemann’sche Vermutung durch numerische Berechnungen überprüft werden kann. Tatsächlich ist hier bereits viel geleistet worden, was zu beträchtlichen numerischen Hinweisen auf eine Richtigkeit der RV geführt hat. Während jedoch eine nu-

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merische Berechnung eindeutig aufzeigen könnte, dass die RV falsch ist, können die vorliegenden Hinweise nicht belegen, dass sie wahr ist. Die erwähnten numerischen Berechnungen können als große Bemühung gelten, die RV zu widerlegen – bislang ohne Erfolg. Auch eine Menge (nicht numerische) Anstrengungen, die RV zu beweisen, sind unternommen worden – auch hier ohne Erfolg. Es lässt sich wohl gefahrlos behaupten, dass kein schlaues Superhirn schon morgen mit einem Beweis oder einer Widerlegung der RV aufwarten wird. Wenn es überhaupt einen Beweis oder eine Widerlegung gibt, wird dieser bzw. diese wohl lang und schwierig sein. Der Gedanke ist ernüchternd: Vielleicht gibt es einen Beweis für die RV – der aber könnte so lang sein, dass die physikalischen Grenzen des Universums, in dem wir leben, eine Umsetzung des Beweises unmöglich machen. (Er würde zu viel Papier oder zu viel Zeit in Anspruch nehmen …) Wir wollen jedoch auf die Möglichkeit zurückkommen, dass die Riemann’sche Vermutung unentscheidbar ist, es also weder ein Beweis noch eine Widerlegung gibt. Mit dieser Möglichkeit scheint das Ende der Fahnenstange erreicht; mehr kann man nicht tun. Eigentlich aber doch: Man kann versuchen zu beweisen, dass die RV unentscheidbar ist. Dass dies möglich wäre, ist nicht unvorstellbar; tatsächlich hat der Logiker Saharon Shelah formuliert, was er vorsichtig einen Traum nennt: zu beweisen, dass die Riemann’sche Vermutung in PA nicht beweisbar ist, dafür aber in einer höheren Theorie.12 Die Abkürzung PA steht hier für Peano-Arithmetik (siehe Fußnote 4), ein schwächeres Axiomensystem als ZFC. Shelahs Gedanke besteht darin, mit den Verfahren der mathematischen Logik die Unentscheidbarkeit der RV über PA zu beweisen. Daraus folgt, dass die RV wahr ist, wenn PA widerspruchsfrei ist. Auf diese Weise können mathematische Logiker, die Axiomensysteme von außen betrachten (also Metamathematik betreiben), zu einer Einsicht gelangen, die der typische Mathematiker übersieht, der innerhalb eines Axiomensystems wie ZFC oder PA arbeitet. Es ist jedoch eine soziologische Tatsache, dass die meisten Mathematiker die Metamathematik derzeit mit einem gewissen Mangel an Enthusiasmus sehen. Sie zollen Gödel und seinem Unvollständigkeitssatz den gebotenen Respekt und jubeln über den Beweis, dass Hilberts zehntes Problem unlösbar

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ist, gleichzeitig aber betreiben sie lieber die echte Mathematik, zu der sie eine raffinierte Kombination aus Methoden, Intuition und Geschmack entwickelt haben. Aber die Dinge ändern sich. Heute könnten wir fast sagen, die Mathematik bestehe darin, die Folgen von ZFC zu untersuchen. Ob dies jedoch auch in hundert Jahren noch der Fall sein wird, darf bezweifelt werden. Und ob es uns gefällt oder nicht: Es hat den Anschein, als würde die mathematische Logik (Metamathematik) in der Zukunft unserer Mathematik eine wichtige Rolle spielen.

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Strukturen und die Entwicklung von Konzepten

In Kap. 3 haben wir gesehen, dass die Vorstellung der mathematischen Struktur im Erlanger Programm von Felix Klein vorhanden ist. Strukturen dominieren in anderer Form die „Éléments de Mathématique“ von Bourbaki. Man könnte sagen, dass die moderne Mathematik von Strukturen durchdrungen ist – teilweise explizit, teilweise implizit. Dennoch erscheint der Sprung von den Axiomen der Mengenlehre zur Definition verschiedener Strukturen (Gruppen oder Geometrien etwa) womöglich etwas bemüht: Wir wollen nachvollziehen, ob die jeweils getroffenen Entscheidungen unausweichlich und natürlich sind. Bevor wir uns mit dem Ursprung der Strukturen befassen, möchte ich jedoch einen terminologischen Aspekt hinsichtlich der Axiome klären. Wenn wir das Konzept einer Gruppe einführen, legen wir bestimmte Eigenschaften fest, die gelten sollten:1 Diese Eigenschaften werden als Axiome bezeichnet. Die Axiome, die eine Gruppe definieren, sind jedoch etwas anders beschaffen als die ZFC-Axiome der Mengenlehre. Die ZFC-Axiome setzen wir im Grunde jedes Mal als gegeben voraus, wenn wir Mathematik betreiben: In einem mathematischen Fachartikel werden heute systematisch bekannte Folgerungen aus ZFC verwendet (ohne dass in der Regel ZFC erwähnt würde). Demgegenüber werden die Axiome einer Gruppe nur verwendet, wenn sie passen. Angenommen, wir hätten für eine Problemstellung eine Verknüpfung a ⋅ b aus den Elementen a und b einer Gruppe G eingeführt. Erfüllt diese D. Ruelle, Wie Mathematiker ticken, DOI 10.1007/978-3-642-04111-2_14, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010

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Verknüpfung die zu einer Gruppe passenden Eigenschaften (nämlich Assoziativität, Vorliegen von Einselement und inversen Elementen), so bezeichnen wir die Menge G mit der Verknüpfung ⋅ als Gruppe. Es kann auch vorkommen, dass ein Axiom (etwa die Assoziativität: a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c) nicht erfüllt wird und G keine Gruppe ist. Die Sätze des Euklid waren für die Griechen ähnlich wichtig wie ZFC heute für uns. Heute jedoch geht man anders an die euklidische Geometrie heran. Von diesem Axiomensystem ausgehend, werden zunächst reelle Zahlen und sodann die euklidische Ebene (oder der euklidische Raum) definiert. Anschließend kann man nachweisen, dass Punkte, Geraden usw. die von Euklid eingeführten Axiome oder aber deren von Hilbert überarbeitete Version bestätigen.2 Innerhalb dieses Ansatzes ist die euklidische Geometrie somit ein abgeleiteter Begriff. Kehren wir nun wieder zu den Strukturen zurück. Um ihre Bedeutung in der Mathematik zu erörtern, müssen wir das duale Wesen des Fachs vor Augen haben. Einerseits ist die Mathematik ein logisches Konstrukt, das sich mit der Leistung einer Turing-Maschine gleichsetzen lässt, die bis in alle Ewigkeit sämtliche Schlussfolgerungen aus den Axiomen der ZFC-Mengenlehre auflistet. Hierin besteht der mechanische, vollkommen nicht-menschliche Aspekt unseres Fachs. Andererseits ist die Mathematik eine unter vielen Tätigkeiten des Menschen. Stellen Sie sich vor, Sie wären ein Felskletterer. Zum Klettern braucht es Sie selbst, ein menschliches Wesen, und den Fels, den Sie erklimmen, ein ganz und gar nicht-menschliches Mineralgestein. Die Felskante, auf die Sie sich hochhieven, hat nicht auf Sie gewartet: Sie ist das Ergebnis einer Erosion verdichteter Sedimente, die sich vor vielen Jahrmillionen auf dem Boden eines Ozeans ablagerten. Und doch sind diese Felskante, auf der Sie in diesem Augenblick mühsam das Gleichgewicht halten, und die glücklicherweise perfekte Griffstelle von großer Bedeutung für Sie als Mensch: Von ihnen hängt Ihr Leben ab. Es liegt daher nahe, in mathematischen Strukturen einen dualen Ursprung zu sehen: teilweise menschlich, teilweise rein logisch. Menschliche Mathematik erfordert kurze Formulierungen (aufgrund unseres schlechten Gedächtnisses u. a.). Die mathematische Logik jedoch schreibt vor, dass kurz formulierte Theoreme sehr lange Beweise haben

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können, wie Gödel aufgezeigt hat.3 Natürlich will niemand denselben Beweis immer und immer wieder führen. Stattdessen wird man versuchen, wiederholt das kurze Theorem zu verwenden, das man erhalten hat. Ein wichtiges Instrument auf dem Weg zu kurzen Formulierungen aber bilden kurze Bezeichnungen für wiederholt auftretende mathematische Objekte. Diese Kurzbezeichnungen beschreiben neue Konzepte. Wir sehen also, wie sich in der praktischen Mathematik aus der immanenten Logik des Fachs und dem Wesen menschlicher Mathematiker die Entwicklung von Konzepten ergibt. Beispiele gefällig? Die gesamte erfolgreiche Mathematik! In Euklids Geometrie hat sich der Begriff des rechten Winkels zu Recht einen Namen gemacht, und ein immer wieder verwendetes Theorem ist der Satz des Pythagoras (der mit dem Begriff des rechten Winkels arbeitet). Ein Beispiel jüngeren Datums ist der Begriff der analytischen Funktion.4 Ein häufig verwendeter Satz lautet: Eine analytische Funktion innerhalb eines Bereichs nimmt ihr Maximum auf dem Rand an. Fachleute mögen die Stirn runzeln angesichts dieser von mir so salopp formulierten Aussage,5 die eher in eine mündlich geführte Diskussion passt als in die Schriftform. Doch sind salopp formulierte Aussagen als Kurzformulierungen längerer und „allseits bekannter“ Theoreme durchaus sinnvoll, und in der mathematischen Praxis werden zahlreiche Kurzformulierungen verwendet wie Das Bild einer kompakten Menge unter einer stetigen Menge ist kompakt.6 Bisweilen wird ein solcher Satz auch nur angedeutet, sodass ein Mathematiker schreibt: „Aus der Kompaktheit folgt, dass …“. Diese Erwägungen sollen eine Vorstellung von den Mechanismen und Beweggründen der mathematischen Praxis vermitteln: zwangsläufig lange Beweise, Schwerpunktsetzung auf Kurzformulierungen und, der Kürze wegen, Verwendung passender Definitionen. Am Ende erhalten wir eine mathematische Theorie: ein menschliches Konstrukt, das unweigerlich über Definitionen eingeführte Konzepte verwendet. Und die Konzepte entwickeln sich mit der Zeit weiter, da mathematische Theorien ein Eigenleben führen. Theoreme werden bewiesen und neue Konzepte bestimmt, während gleichzeitig auch alte Konzepte überarbeitet und umdefiniert werden. Leser, die sich mit der Topologie

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auseinandergesetzt haben, möchte ich auf die Entstehung eines bemerkenswert nützlichen und natürlichen Konzepts hinweisen: des Konzepts kompakter Mengen.7 Diese tauchten erstmals innerhalb anderer Mengenkategorien mit etwas anders gearteten Definitionen auf. Schließlich wurde das moderne Konzept einer kompakten Menge als das „richtige“ ausgewählt. Ich empfinde es als sehr befriedigend, dass wir uns die Entwicklung von Konzepten in der Mathematik als eine unausweichliche Folge der logischen Struktur der Mathematik und der grundlegenden Eigenschaften des menschlichen Denkvermögens erklären können. Dieser Ansatz scheint mir einem anderen gegenüber im Vorteil zu sein, der die Entwicklung von Konzepten insgesamt zu verstehen versucht und dabei die spezifischen Eigenschaften des Substrats (hier in Form mathematischer Logik) und des menschlichen Denkvermögens (mit seinem unzureichenden Gedächtnis usw.) ignoriert. Gleichzeitig müssen wir jedoch zugeben, dass wir relativ wenig Kenntnisse über die logische Struktur der Mathematik und die Funktionsweise des menschlichen Gehirns besitzen und somit einige Fragen nur teilweise, andere wiederum gar nicht beantworten können. Beachten Sie, dass ich für mathematische Konzepte zwar Beispiele angeführt, es gleichzeitig aber mit Bedacht vermieden habe, eine formale Definition solcher Konzepte zu nennen. Eine offene Frage lautet, inwieweit es möglich gewesen wäre, die Mathematik mit Hilfe anderer Konzepte zu entwickeln als den uns bekannten. In unserem Vergleich mit dem Felsklettern stellt sich die Frage, ob es mehrere natürliche Wege zum Gipfel eines Felsens gibt, und die Antwort lautet häufig: Ja. Auch in der Mathematik lässt sich die konzeptuelle Struktur eines Themas vielfach unterschiedlich entwickeln. Mit der Maßtheorie vertraute Leser werden wissen, dass manche Kollegen der abstrakten Maßtheorie den Vorzug geben und andere lieber mit Radonmaßen arbeiten.8 Verfechter der Probabilistik wiederum (die innerhalb der Mathematikergemeinschaft ein wenig isoliert sind) untersuchen Maße mit Hilfe ihrer eigenen Terminologie ( Marginale, Martingale usw.), ihrer eigenen Konzepte und eigenen Intuition. Bisweilen wird aus Gründen, die außerhalb der Mathematik liegen, ein neuer Zweig der

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Mathematik eingerichtet, der sich letztlich als von größtem intrinsischen Interesse erweist oder ältere Teilbereiche der Mathematik erschließt. So hat das Aufkommen elektronischer Rechenmaschinen zur Entwicklung einer Algorithmentheorie mit wichtigen neuen Konzepten geführt wie dem der NP-Vollständigkeit,9 auf die man anderenfalls kaum gestoßen wäre. An einer Geschichte war ich selbst beteiligt; sie werde ich in einem späteren Kapitel erzählen. Im Zuge der mathematischen Untersuchung eines Teilbereichs der Physik, der statistischen Mechanik im Gleichgewicht, wurde dabei das Konzept eines Gibbs-Zustandes entwickelt. Später sollten sich Gibbs-Zustände als ein bemerkenswertes Werkzeug zur Untersuchung der sogenannten Anosov-Diffeomorphismen erweisen, obwohl diese a priori nichts mit der statistischen Mechanik zu tun haben. Diese Beispiele widerlegen die Auffassung, gute mathematische Konzepte entstünden ausschließlich aus einer inneren mathematischen Notwendigkeit heraus. Manchmal ist das der Fall, manchmal aber erweisen sich Konzepte von außen als leistungsstark und gelten irgendwann als natürlich. Bei der nächsten Frage zögere ich: Welche Struktur könnte nicht menschliche Mathematik aufweisen? In unserem Klettervergleich wären die Probleme, die eine Eidechse oder eine Fliege beim Ersteigen eines Felsens hätte, zweifellos völlig andere als die eines menschlichen Kletterers. Nun sind nicht menschliche Mathematiker nur schwer vorstellbar;10 am Beispiel der Computer aber haben wir gesehen, dass sie mit manchen Fragen vielleicht besser zurechtkämen als wir (weil sie ein besseres Gedächtnis haben, schneller arbeiten und weniger Fehler machen). Und wenn man es genau bedenkt, liefert die Biologie (will sagen, die natürliche Evolution) ein Beispiel für eine Art nicht menschlicher Intelligenz: Sie hat zahlreiche schwierige entwicklungstechnische Probleme gelöst und darüber hinaus ein Gehirn hervorgebracht, das imstande ist, Mathematik zu betreiben! Dennoch arbeitet die Evolution nach dem Prinzip von Versuch und Irrtum auf scheinbar völlig nicht konzeptuelle Weise.11 Kehren wir zur menschlichen Mathematik zurück: Wir haben erkannt, warum sie notwendigerweise auf Konzepten oder auch auf Strukturen gründet. Die ausdrückliche Einführung von Strukturen im

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modernen Wortsinn (wie wir sie bei Bourbaki vorfinden) jedoch fand erst relativ spät statt. Die abstrakte Struktur der Gruppe zum Beispiel entstand erst im späten 18. und im 19. Jahrhundert. Einmal eingeführt, erwiesen sich diese Strukturen als überaus nützlich, und heute sind sie aus vielen Bereichen der Mathematik nicht wegzudenken. Inwieweit aber sind diese Strukturen unumgänglich? Sind sie das erst im 18. und 19. Jahrhundert sichtbar gewordene natürliche Rückgrat der Mathematik? Oder sind sie eine Art Gerüst – sicherlich sehr effizient, im Grunde aber künstlich? (In unserem Klettervergleich entspräche dies einer Metallleiter, mit deren Hilfe Sie mit minimalem Kraftaufwand auf den Felsen klettern könnten.) Auf diese Frage nach der Natürlichkeit mathematischer Strukturen, soweit sinnvoll, gibt es vermutlich keine einfache und eindeutige Antwort. Man betrachte den Untertitel von Bourbakis Aufsatz: „Die grundlegenden Strukturen der Analysis“.12 Zahlreiche Mathematiker würden sich der Auffassung anschließen, dass die von Bourbaki diskutierten Strukturen natürlich und vielleicht unumgänglich sind. Dennoch ist, wie Grothendieck gezeigt hat, ein dynamischerer Blick auf Strukturen möglich, der folgendermaßen beschrieben wurde: „Man fährt keinen Frontalangriff gegen ein Problem; man umhüllt es und löst es in einer steigenden Flut sehr allgemeiner Theorien auf “.13 Grothendiecks Art und Weise, Mathematik zu betreiben, ist extrem strukturell, „überbourbakistisch“; dennoch geraten die Probleme, die gelöst oder aufgelöst werden sollen, nicht aus dem Blick. Wenn Bourbakis Abhandlung als ein Museum der Strukturen gelten kann, so bestand Grothendiecks Bestreben darin, auf fantasievolle Weise allgemeine Gedanken zu entwickeln, um neue und alte Bereiche der Mathematik nachzuvollziehen. Wie bereits gesagt war Grothendiecks Programm außerordentlich erfolgreich und hat zur Lösung wichtiger Probleme, hauptsächlich durch andere Wissenschaftler, geführt. Zusammenfassend können wir behaupten, dass allgemeine Strukturen ein bemerkenswertes Werkzeug zur Untersuchung bestimmter Probleme der Mathematik sind. Sie sind nützlich und erscheinen modernen menschlichen Mathematikern als natürlich und sogar unumgänglich;

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die Frage jedoch, in welchem Maße sie natürlich und unumgänglich sind, bleibt unbeantwortet. Wir werden später detaillierter darauf eingehen, wie wir Menschen neue Mathematik erschaffen. Aus dem hier geschilderten dynamischen Blickwinkel betrachtet spielt eine gute Auswahl mathematischer Konzepte oder Strukturen dabei eine zentrale Rolle.

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Turings Apfel

Die Freude der mathematischen Erkenntnis oder Entdeckung ist nicht leicht zu beschreiben, sie ist jedoch etwas Besonderes. Darf ich noch √ einmal die alte Geschichte der Quadratwurzel aus 2 bemühen? Wir √ wissen, dass die Diagonale d eines Quadrats mit der Seitenlänge 1 2 beträgt (d. h., nach dem Satz des Pythagoras, d2 = 12 + 12 = 2). Können wir d als Quotienten m/n zweier ganzer Zahlen darstellen, das heißt, kann √ gelten 2 = m/n? Nein, denn das würde bedeuten, dass 2n2 = m2. Wir wissen, dass sich eine ganze Zahl eindeutig als Produkt von Primzahlen schreiben lässt. Im Produkt m2 aber erscheint die Primzahl 2 eine gerade Anzahl von Malen, in 2n2 dagegen mit ungerader Häufigkeit. Also kann 2n2 nicht gleich m2 sein. √ Die Tatsache, dass 2 eine irrationale Zahl ist (also nicht als m/n dargestellt werden kann), wird viele sicher völlig kalt lassen: Vielleicht übersteigen die Aussage und ihr Beweis ihren intellektuellen Horizont oder es ist ihnen schlicht egal. Als Leser dieses Buches, die bis zu diesem Kapitel vorgedrungen sind, gehören Sie jedoch wahrscheinlich nicht zu diesem Personenkreis. Sie haben erkannt, dass wir uns nicht auf Zahlen beschränken können, die Quotienten von Ganzzahlen sind, und es ist Ihnen bewusst, dass es sich hierbei um eine bedeutsame Entdeckung handelt. Diese Entdeckung liegt zweieinhalb Jahrtausende zurück und besitzt die Schönheit griechischer Statuen, nicht aber deren Fragilität. Die Schönheit der Mathematik existiert jenseits der Zeit. Ihre D. Ruelle, Wie Mathematiker ticken,  DOI 10.1007/978-3-642-04111-2_15, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010

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zahlreichen Schätze liegen für den Betrachter immer offen zutage: dass √ neben 2 auch die Zahl π irrational ist,1 dass endliche einfache Gruppen sich auflisten lassen und dass es Fragen gibt, die sich innerhalb des Konzeptrahmens der Axiome der ZFC-Mengenlehre nicht beantworten lassen. Mit Blick auf das letztgenannte Beispiel (Gödel’scher Satz) könnte man sagen, dass einige der tiefgreifendsten Antworten auf philosophische Fragen in der mathematischen Logik entwickelt wurden. An einigen Schönheiten der Mathematik kann sich auch der Laie erfreuen, ebenso, wie man Freude an Musik empfinden kann, ohne ein Instrument zu spielen oder ein Komponist zu sein. Die aktive Forschungstätigkeit in der Mathematik bringt jedoch andere immaterielle Gratifikationen mit sich als die Zuschauerrolle. Um ein erfolgreicher mathematischer Forscher zu werden, muss man (wie bei vielen anderen Tätigkeiten auch) erst einmal Talent besitzen, darüber hinaus braucht es eine gute Ausbildung, Glück und harte Arbeit. Typisch für die Mathematik ist im Vergleich zu anderen Wissenschaften, dass diese Disziplin eine große Freiheit bietet, dass es keinerlei Sperrgebiete oder Geheimdoktrinen gibt. Nur in seltenen Fällen werden Sie als Mathematiker um die Vorlage von Abschlusszeugnissen gebeten, und intelligentes Aussehen spielt keine Rolle. (Manche versuchen intelligent zu wirken, indem sie die Stirn runzeln, die Augen zusammenkneifen, auf ihre Nasenspitze oder aber an die Decke blicken, als wollten sie sich mit dem Allmächtigen beraten – all das ist unwichtig, vergessen Sie es einfach.) Die Arbeiten von Kollegen zu kennen, ist wichtig, aber es ist keine Teamarbeit. (Außerhalb der Mathematik und der theoretischen Physik spielt wissenschaftliche Forschung sich hauptsächlich in Arbeitsgruppen ab.) Sie haben also die Chance, den Machtbeziehungen und Ambivalenzen zu entkommen, mit denen eine hierarchische Ordnung häufig verbunden ist. Natürlich gibt es Mathematiker, die herrschen, und andere, die dienen wollen; wieder andere werden versuchen, Sie irgendwie in ihre Neurosen hineinzuziehen. Mit etwas Glück jedoch, und wenn es Ihr Wunsch ist, können Sie sich all diese Menschen vom Leib halten. Mathematische Forschung ist in höchstem Maße etwas für Einzelunternehmer. Sie erfordert geistige Beweglichkeit und die Geduld, in einem unendlichen und trostlosen Labyrinth umherzuwandern, bis man auf

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etwas stößt, das kein Mensch je zuvor erkannt hat: einen neuen Blickwinkel, einen neuen Beweis, ein neues Theorem. René Thom sagte mir einmal, dass man nur in der Mathematik (vielleicht auch noch in der theoretischen Physik, fügte er hinzu) wirklich nicht-triviales logisches Denken vorfindet. Äußerst subtile logische Denkprozesse spielen sich natürlich auch woanders ab, nicht aber die sehr lange Aneinanderreihung strenger logischer Argumente, die in einer Aussage münden, die dann über jeden Zweifel erhaben ist. Mit der Mathematik, und insbesondere mit der mathematischen Logik, bekommen wir die entlegensten, die am wenigsten menschlichen Objekte in den Griff, denen der menschliche Geist je begegnet ist. Und eben diese eisige Unnahbarkeit übt auf manche Menschen eine unwiderstehliche Anziehungskraft aus. Was sind das für Menschen? Mathematiker sind ein sehr gemischter Haufen von Einzelwesen: Männer und Frauen jeder ethnischer Provenienz, mit oder ohne Begabungen außerhalb der Mathematik, freundlich oder unfreundlich, mit einem feinen Sinn für Humor oder absolut humorlos. Auch in der Art, wie sie mathematische Forschung betreiben, unterscheiden sie sich (und ich lasse jene unberücksichtigt, die irgendwie mit Mathematik zu tun haben, aber behaupten, sie fänden leider keine Zeit zum Forschen). Und dennoch: Bei all dieser Unterschiedlichkeit treten manche Eigenschaften unter Mathematikern mit statistischer Signifikanz auf. Tatsächlich sind für die Mathematik manche Fähigkeiten erforderlich oder wünschenswert, andere dagegen nicht zwingend erforderlich – es leuchtet daher ein, dass Mathematiker sich statistisch etwa von Fußballern unterscheiden. Trotzdem kann man gleichzeitig ein hervorragender Mathematiker und ein hervorragender Fußballspieler sein, wie das Beispiel von Harald Bohr zeigt.2 Eine weitere Ursache für eine mögliche Andersartigkeit der Mathematiker gegenüber anderen Menschen liegt darin, dass ihre intensive und sehr abstrakte Tätigkeit sich irgendwann auf ihre Gesundheit und auf ihre Persönlichkeit auswirken kann. Das wichtigste Arbeitsinstrument eines Mathematikers ist sein Gehirn, und das muss in leidlich gutem Zustand gehalten werden. Übermäßiger Alkoholgenuss und Drogenkonsum, wie ihn manche Künstler pflegen, kommen daher nicht in Frage. Natürlich trinken viele

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Mathematiker Kaffee oder Tee, um munter zu bleiben. Auch Tabak kann der Konzentration förderlich sein, obwohl manche seiner sonstigen Auswirkungen ziemlich verheerend sind. Es gab eine Zeit, in den 1960er-Jahren, als der Konsum von Marihuana in akademischen Kreisen Nordamerikas sehr weit verbreitet war, auch unter Mathematikern; ich habe allerdings nie gehört, dass dies ihre mathematische Forschungsarbeit befördert habe. Kurios ist die Anmerkung, dass manche Mathematiker Wein trinken, um ihr Tempo zu drosseln. In der Tat neigen manche Schnelldenker zu einer unkontrollierten Beschleunigung bei komplizierten Beweisführungen oder Berechnungen, wobei man hier, um Fehler zu vermeiden, besser langsamer vorgehen sollte. Für manche Menschen könnte ein maßvoller Weinkonsum daher hilfreich sein. Ähnlich berichtete mir ein Kollege, dass er nach der medizinisch begründeten Einnahme von Kodein mit großer Geduld eine lange und komplizierte mathematische Beweisführung durchgegangen sei: Er hatte alle Zeit der Welt. Im Allgemeinen herrscht die Auffassung vor, dass Drogen uns nicht intelligenter machen. Unter Mathematikern gibt es daher kein solches Drogenproblem wie bei Leistungssportlern oder in manchen Künstlerkreisen. Natürlich findet ebenso ein hedonistischer Genuss von Wein und anderen (legalen und mitunter auch illegalen) Drogen statt wie Fälle von Missbrauch. Das nennenswerteste Problem in Bezug auf Drogen und Mathematiker aber stellt meiner Meinung nach die überaus qualvolle Zeit dar, die viele Kollegen durchleben mussten, nachdem sie das Rauchen aufgegeben hatten und sich nicht richtig auf ihre Arbeit konzentrieren konnten. Zivilisierte Staaten sind grundsätzlich bestrebt, die Menschen vor dem Gesetz gleichzustellen. Natürliche Begabung und geistiges Umfeld aber werden uns in sehr unterschiedlichem Maße zuteil. Manche sind deshalb nicht gut in Mathe, während andere sich mit der Ungezwungenheit und Leichtigkeit von Balletttänzern zwischen mathematischen Problemen bewegen. Hilfreich sind hier natürlich bestimmte Anlagen (vor allem ein gutes Kurzzeitgedächtnis). Auch Konzentrationsfähigkeit und ein Hang zum abstrakten Denken ließen sich anführen, sind jedoch eher schwammige psychologische Begriffe und für unseren Versuch, mathematisches Denken zu verstehen, von begrenztem Interesse.

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Als ich weiter oben davon sprach, einer Machtbeziehung zu entkommen und sich nicht in die Neurosen anderer hineinziehen zu lassen, mögen einige meiner Leser gedacht haben, dass sie ständig mit solchen Problemen zu tun haben, ohne dass dies ein großes Drama wäre. Das bedeutet vermutlich, dass Sie sozial gut angepasst sind: Sie können gut kommunizieren, Ihre „sexuellen Vorlieben“ werden in Ihrem Umfeld akzeptiert, und so weiter. Viele Mathematiker sind sozial gut angepasst, viele interessanterweise jedoch nicht. Warum ist das so? Man sagt, dass jemand, der intelligent, aber nur beschränkt kommunikationsfähig ist, seine Interessensgebiete auf Tätigkeiten mit begrenzten sozialen Anforderungen verlagert. Zu diesen gehören die Mathematik, die Programmierung und einige kreative Tätigkeiten. Als Beispiel können wir uns den großen Kurt Gödel anschauen, einen krankhaft um seine Gesundheit besorgten Menschen mit beschränkten sozialen Kompetenzen. Er verfügte, so darf vermutet werden, über ein sehr reiches Innenleben; seine Kontakte zur Außenwelt aber schienen weitgehend über seine Frau Adele zu laufen. Als Adele krankheitsbedingt ausfiel, musste er sich seinen Problemen allein stellen, insbesondere seiner Zwangsvorstellung, man versuche ihn zu vergiften. Er starb schließlich, nachdem er jegliche Nahrungsaufnahme verweigert hatte, in einem Klinikstuhl in Princeton im Staat New Jersey an den Folgen von Unterernährung. Bei dem als Autismus bezeichneten gleichzeitigen Auftreten von Zuständen sind Kommunikation, soziale Interaktion und Fantasie beeinträchtigt. Das Wesen des Autismus ist nicht ergründet; es ist jedoch bekannt, dass genetische Faktoren eine wichtige Rolle spielen. Es existiert die Auffassung, dass „leicht autistische Züge die Zielstrebigkeit und Entschlossenheit hervorbringen [können], die Menschen insbesondere in Verbindung mit einem hohen Maß an Intelligenz zu herausragenden Leistungen befähigen“.3 Tatsächlich sind Newton, Dirac und Einstein möglicherweise Beispiele für Menschen mit dem Asperger-Syndrom, einer Form des Autismus. Diese interessante Behauptung ist allerdings unter Vorbehalt zu sehen, da Newton, Dirac und Einstein nicht medizinisch auf dieses Syndrom getesten wurden. In jedem Fall glaube ich, dass viele (nicht alle) Mathematiker etwas Eigentümliches haben: eine etwas rigide Denk- und Verhaltensweise. Diese Meinung stütze ich auf

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Einzelberichte, nicht auf klinische Befunde. Genauer gesagt hat meine Erfahrung gezeigt, dass viele Mathematiker übertrieben detailliert auf eine beiläufige Frage antworten (eine Frage nach den Regeln des Damespiels etwa oder nach der Genealogie des japanischen Mittelalters) oder dass sie eine für die meisten Menschen völlig problemlose Behauptung logisch nicht nachvollziehbar finden. Oder sie lassen sich einen Witz ein zweites Mal erzählen und fragen dann, was daran komisch sei. Ich möchte wiederholen, dass – Gott sei Dank – nicht alle Mathematiker so sind. Es ist unter ihnen eine große Bandbreite an Persönlichkeitstypen und sogar psychischen Störungen zu finden, sofern diese sich nicht auf die Intelligenz auswirken. Paranoide, manisch-depressive oder zwanghafte Tendenzen sind unter Wissenschaftlern allgemein nicht selten zu finden; es gibt jedoch auch viele, die deprimierend normal und langweilig sind. Das Spezifische an Mathematikern ist, dass sie in beruflichen Situationen anders reagieren müssen als die meisten anderen Menschen. Wer sich an einer öffentlichen Diskussion beteiligt oder eine schwierigen chirurgischen Eingriff vornimmt, wird womöglich rasche Entscheidungen treffen müssen: Manche sind besser, andere nicht so gut – aber Zögern oder Entscheidungsunfähigkeit sind hier die schlechteste Entscheidung. Wer hingegen an einem mathematischen Beweis arbeitet und plötzlich Zweifel bekommt, ob das Gesagte korrekt ist, sollte keinen Schritt weitergehen, sich Zeit lassen und zweifelsfrei sicherstellen, dass das Argument wasserdicht ist. Als Vertreter des eines Persönlichkeitstyps würden Sie als Gastgeber einer Talkshow im Fernsehen eine glänzende Figur machen, als Mathematiker dagegen würden Sie kläglich versagen. Oder Sie wären ein wahrhaft großer Mathematiker und gäben in einer Fernsehsendung eine jämmerliche Vorstellung. Soeben haben wir dargelegt, wie ein bestimmter Persönlichkeitstyp dazu beitragen kann, dass man ein guter Mathematiker wird. Logischerweise müssen wir auch einräumen, dass mathematische Tätigkeit die Persönlichkeit beeinflussen kann. Ich halte dies tatsächlich allein aus dem Grund für zutreffend, dass mathematische Spitzenforschung Schwerstarbeit ist. Die Zahl der Spitzenmathematiker, die einen Nervenzusammenbruch erleiden, ist beeindruckend hoch, wenn auch nicht

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klinisch belegt. In ihrer Biografie über David Hilbert4 geht Constance Reid nur mit wenigen Zeilen auf das monatelange Abtauchen Hilberts in einem Sanatorium nach einem Nervenzusammenbruch ein. Dabei erwähnt sie den früheren und schwereren Zusammenbruch von Felix Klein und führt die Meinung Courants an, „nahezu jeder große Wissenschaftler, den ich gekannt habe, neigte zu solchen schweren Depressionen“.5 Man könnte die Bewältigung einer großen mathematischen Arbeit mit dem Höhenbergsteigen vergleichen: Beides sind bewundernswerte, aber gefährliche Leistungen. Hier wird der Geist, dort der Körper an seine Grenzen gebracht, und man zahlt einen Preis dafür: Abgesehen von einem Nervenzusammenbruch führt die Überlastung des Gehirns bei Mathematikern häufig zu Geistesabwesenheit und einem mangelnden Sinn fürs Praktische (Dichter genießen einen ähnlichen Ruf). Ein weiteres Resultat übermäßiger Gehirntätigkeit ist möglicherweise die unter Intellektuellen („Eierköpfen“) weit verbreitete Kahlköpfigkeit. Mathematische Forscher leisten also sehr harte Arbeit, leben aber gewissermaßen in einem eigenen Universum, sodass ihnen manche Beziehungsprobleme des „wahren Lebens“ erspart bleiben. Solcherlei ungelöste Probleme können jedoch auf grausame Weise an die Oberfläche zurückkehren und ihren Tribut fordern. Ein Beispiel hierfür ist die Geschichte des britischen Mathematikers Alan Turing.6 Der 1912 geborene Turing leistete seinen denkwürdigsten wissenschaftlichen Beitrag in den 1930er-Jahren mit dem Entwurf einer universellen Rechenmaschine, die wir heute als Turingmaschine kennen. Turing lieferte eine präzise Beschreibung eines endlichen Automaten mit unendlichem Speicher, der jede Berechnung durchführen kann wie jeder andere Automat dieser Art auch. Dahinter steckt der Gedanke, dass sich ein geeigneter digitaler Computer für jede Berechnung programmieren lässt, die auch jeder andere Computer durchzuführen imstande ist. Programmierbare Computer gab es zur damaligen Zeit noch nicht. Das war eine neue Idee, die das Konzept der Berechenbarkeit abschloss und die Arbeit Gödels verdeutlichte. Von großer historischer Bedeutung war Turings Entschlüsselung der Enigma-Chiffre, die zu Beginn des Zweiten Weltkriegs von deutschen U-Booten verwendet wurde. Dank der Dechiffrierung konnten die alliierten Streitkräfte den

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Atlantik unter ihre Kontrolle bringen. Außerdem beschäftigte Turing sich mit der Entwicklung elektronischer Computer und beteiligte sich an der Debatte, ob Computer „denken“ können (Turing-Test7). Schließlich leistete er einen wegweisenden Beitrag zur Erklärung der Entstehungsweise räumlicher Strukturen ( Morphogenese) durch chemische Reaktionen und Diffusion. In gewisser Hinsicht gehörte Turing zu den zahlreichen „Originalen“, die in ihrer Küche gefährliche chemische Experimente durchführten (er verwendete Zyankali8) und unterschiedlichen verrückten Ideen nachgingen. Doch Turings Ideen funktionierten. Seine Beiträge zur Wissenschaft und zu unserem Weltverständnis sind herausragend und lassen sich heute weder leugnen noch vergessen. Turing war in seiner Kleidung und seinem Verhalten gegenüber Kollegen eine unprätentiöse Erscheinung. Frank Olver9 erinnert sich, wie Turing als Teil einer Arbeitsgruppe sehr lange numerische Berechnungen (an Tischrechnern) durchführte, um einen Algorithmus zu überprüfen. Man musste Turing feuern, weil er zu viele Fehler machte! Wer ihm begegnete, nahm ihn vielleicht nicht unbedingt als eine sehr auffallende Persönlichkeit wahr. Turing war jedoch homosexuell, und das war im England des Jahres 1952 gesetzeswidrig. Seine Neigung wurde entdeckt. Als er sich der „groben Unzucht“ für schuldig bekannte, stellte man ihn vor die Wahl zwischen Gefängnisstrafe und medizinischer Behandlung. Letztere, die Turing wählte, bestand in der Injektion weiblicher Hormone über den Verlauf eines Jahres. Diese Heilung männlicher Homosexualität (nach der damaligen medizinischen Auffassung) kam einer chemischen Kastration gleich, prinzipiell reversibel, anders als die zwangsweise chirurgische Kastration, die zur damaligen Zeit in manchen Teilen der Vereinigten Staaten praktiziert wurde.10 Da die gängigen Ansichten über Homosexualität sich gewandelt haben, mag die Hormonbehandlung, der Turing unterzogen wurde, heute absurd und barbarisch erscheinen. Dennoch sollte klar sein, dass das Großbritannien der 1950er-Jahre nichts mit Nazideutschland oder Sowjetrussland zu tun hatte. Es war vielmehr ein hoch zivilisierter Staat, in dem männliche Homosexualität in der Kultur der gesellschaftlichen Oberschicht eine wichtige Rolle spielte. Unglücklicherweise besaß

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Turing zu viel von der intellektuellen Rigorosität, der man bei Mathematikern oft begegnet, und zu wenig von der Scheinheiligkeit, der man in der gesellschaftlichen Oberschicht oft begegnet. Er überstand die gesellschaftliche Ächtung und die Hormonbehandlung besser, als zu erwarten wäre. Eines Tages jedoch, im Juni 1954, fand man ihn tot in seinem Bett, mit Zyanid vergiftet, neben ihm ein Apfel, von dem er mehrfach abgebissen hatte. Offensichtlich hatte er sich mit dem vergifteten Apfel das Leben genommen. Wir möchten verstehen, was ihn zu diesem Entschluss bewegte. Doch er hat keine Erklärung hinterlassen. Er hat weder Ihre noch meine Fragen beantwortet. Der Apfel war eine Antwort, eine sehr endgültige, auf seine eigenen Fragen.

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Mathematische Erfindung: Psychologie und Ästhetik

Viele Mathematiker haben sich Gedanken über die Psychologie mathematischer Erfindungen gemacht. Was erfahren wir aus der Introspektion? Henri Poincaré1 und Jacques Hadamard2 setzen sich mit einem erstaunlichen Phänomen auseinander, das sie und einige andere Mathematiker bei sich selbst beobachteten. Nachdem sie eine Zeitlang an einem Problem gearbeitet hatten (die Zeit der Vorbereitung), ohne dass ihnen gelungen wäre, es zu knacken, ließen sie es liegen. Dann – ein Tag, eine Woche oder mehrere Monate später (nach der Zeit der Inkubation, des Ausbrütens) – fiel ihnen beim Aufwachen oder während einer belanglosen Unterhaltung plötzlich die Lösung ein. Diese Illumination oder Einsicht (wie Hadamard sie nennt) vollzieht sich ohne Vorwarnung und kann in eine andere Richtung gehen als die bis dahin geleistete Forschungsarbeit. Die Einsicht leuchtet sofort ein, obwohl später eine genaue Überprüfung notwendig wird. Diese letzte Etappe der Verifikation (Bestätigung der Lösung durch Überprüfung und Präzisierung) kann zu der Erkenntnis führen, dass die Einsicht falsch war, woraufhin man sie vergessen wird. Oft genug aber erweist sich die von den Göttern geschenkte Lösung als richtig. Statt von den Göttern spricht man heute lieber vom Unbewussten. Vielleicht aber mögen sich meine Leser wie viele andere mit dem Unbewussten ebensowenig zufriedengeben wie mit den Göttern. Ich möchte daher mit Bedacht vorgehen. D. Ruelle, Wie Mathematiker ticken, DOI 10.1007/978-3-642-04111-2_16, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010

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Das Bewusstsein ist ein introspektiver Begriff. Als Fahrrad- oder Autofahrer kann man bewusst beschließen, rechts abzubiegen. Viele Dinge jedoch, die eine Anstrengung erforderten, als wir das Rad- oder Autofahren noch lernten (das Gleichgewicht zu halten oder den Fuß aufs Bremspedal zu bringen), machen wir mittlerweile automatisch: Hier sind unbewusst ablaufende Denkprozesse am Werk. Durch Selbstbeobachtung können wir somit bewusste Denkprozesse erkennen und entsprechend auf zahlreiche weitere Prozesse schließen, die nicht bewusst ablaufen. Diese vielen unbewussten Prozesse sind scheinbar sehr ungleichartig, sodass es vermutlich irreführend wäre, sie als das Unbewusste in einen Topf zu werfen. Da das Bewusstsein zudem auf innerer Erfahrung beruht, lässt es sich nur schwer definieren. Wie soll man feststellen, ob der Ehepartner, die Katze oder der PC mit einem Bewusstsein ausgestattet sind? Ich möchte mich hier nicht in den allgemeinen Themen Bewusstsein, Unbewusstes, Wesen des Denkens, Erkenntnis, Bedeutung, Unsterblichkeit der Seele und so fort verstricken. Natürlich sind das interessante Forschungsgegenstände, ihre Untersuchung aber wirft enorme methodologische Probleme auf. Ich möchte hier daher vielmehr die Frage stellen, was sich über einen Teil dieser Themen in einem speziellen, aber methodologisch günstigen Fall sagen lässt: dem der mathematischen Arbeit. Ich werde dabei davon ausgehen, dass Mathematiker (wie zahlreiche andere Menschen wohl auch) ebenso wie ich eine introspektive Vorstellung vom Bewusstsein haben. Sodann gibt es die interessante Behauptung einiger prominenter Mathematiker, ein bedeutender Teil ihrer mathematischen Arbeit vollziehe sich unbewusst. Wie wir oben gesehen haben, folgt Hadamard Poincaré darin, dass er in der mathematischen Arbeit eine bewusste Phase der Vorbereitung, eine unbewusste Phase der Ausarbeitung oder Inkubation, sodann eine Illumination, die erneut ins bewusste Denken zurückführt, und eine bewusste Phase der Verifikation unterscheidet. Die Inkubationsphase wird als dem Wesen nach kombinatorisch beschrieben: Gedanken werden auf unterschiedliche Weise zusammengestellt, bis man sich für die richtige Kombination entscheidet. Es wird behauptet, diese Entscheidung falle auf einer ästhe-

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tischen Grundlage. Für Hadamard besteht eine mathematische Beweisführung allgemein aus mehreren Teilen, die sich jeweils strukturell aus Vorbereitung, Inkubation, Illumination und Verifikation zusammensetzen. Die Bestätigung eines Teils mündet in die präzise Formulierung eines Zwischenergebnisses, das sodann als Ausgangsbasis für die Vorbereitungsphase des nächsten Teils der Beweisführung eingesetzt werden kann. Zahlreichen Berichten zufolge fußt mathematisches Denken nicht zwangsweise auf Sprache. Die verwendeten Konzepte können nonverbal sein und mit vagen visuellen, akustischen oder muskulären Elementen assoziiert werden. Er selbst, berichtet Hadamard, denke in nonverbalen Konzepten und habe anschließend Schwierigkeiten, seine Gedanken in Worte zu fassen. Einstein deutet in einem Schreiben an Hadamard an, dass sein, Einsteins, wissenschaftliches Denken kombinatorischer nonverbaler Art sei. Zum Bewusstsein sagt er: „Was Sie volles Bewusstsein nennen, das ist, wie mir scheint, ein Grenzfall, der nie ganz erreicht werden kann. Dies scheint mir mit der Tatsache zusammenzuhängen, die man die Enge des Bewusstseins nennt.“3 Wo stehen wir nun? Lässt sich dem, was große Meister wie Poincaré, Hadamard und Einstein gesagt haben, noch irgendetwas hinzufügen? Ich meine ja, und unbedingt. Erstens, weil keiner dieser großen Wissenschaftler das Prinzip des magister dixit vertrat (will meinen, der Meister hat gesprochen und damit ist die Diskussion beendet). Zweitens, weil sich die Geisteslandschaft verändert hat, seitdem Hadamard sein wunderbares Büchlein schrieb. Ein Aspekt, den ich bereits an früherer Stelle angesprochen habe, betrifft unser heutiges Wissen über Kurz- und Langzeitgedächtnis: Die Inkubationsphase umfasst vermutlich zum Teil die Übertragung der Arbeit der Vorbereitungsphase ins Langzeitgedächtnis. Dies erklärt, warum es oftmals von Vorteil ist, ein Problem nach einer gewissen Bearbeitungszeit (für Hadamard die Vorbereitung) eine Zeitlang zur Seite zu legen. Eine wichtige Veränderung in unserer Geisteslandschaft hat das Aufkommen leistungsstarker digitaler Rechenmaschinen mit sich gebracht. Wir wollen nun die Leistungsmerkmale des menschlichen Geists mit jenen von Computern vergleichen und fragen uns naturgemäß, wie ein Computer zu programmieren wäre, der die Arbeit des menschlichen

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Geists nachahmt. Aus diesem Blickwinkel heraus haben wir festgestellt, dass ein Computer lange numerische Berechnungen mit Leichtigkeit und fehlerfrei durchführt, während die Übersetzung eines Texts in eine andere Sprache unverändert Probleme bereitet. Eine Sprache besteht ja nicht nur aus einem Wörterbuch und grammatischen Regeln; zu ihr gehören auch viele verborgene Regeln und ein riesiger Quellenbestand, auf den wir zugreifen, um flexible, weitgehend unzweideutige und idiomatische Ergebnisse hervorzubringen. Es ist vermutlich bezeichnend, dass sich die Regeln der Sprache nur schwer in einen Computer einprogrammieren lassen, aber (teilweise) erforderlich sind, wenn man Mathematik betreiben will. Ein Mathematiker, der eine Fragestellung endlich verstanden hat, wird vielleicht sagen, dass es letztlich ganz einfach war. Meist ist dieses Gefühl jedoch unzutreffend. Sobald unser Mathematiker nämlich mit der Niederschrift beginnt, wird sich die Komplexität des Ganzen offenbaren und am Ende vielleicht gewaltig erscheinen. Eine simple mathematische Beweisführung leuchtet wie ein einfacher englischer Satz oft nur vor einem riesigen kontextuellen Hintergrund ein. Um auf Computer zurückzukommen: Ich stelle mir gern vor, man könne sie auf die Erfindung guter neuer Mathematik programmieren. Dieser Gedanke führt uns zwangsläufig zu der Frage, wie wir uns selbst auf das Betreiben von Mathematik programmieren. Unter dem „Betreiben von Mathematik“ verstehe ich dabei dem fachlichen Sprachgebrauch entsprechend einen aktiven und konstruktiven Prozess. Wer sich die Eigenschaften eines mathematischen Objekts vorstellt und sie zu beweisen versucht, „betreibt Mathematik“. Ein solches mathematisches Objekt könnte zum Beispiel eine Klasse dynamischer Systeme sein oder ein Theorem über diese Systeme oder ein Artikel, den man zu diesem Thema schreibt. Auch die Lektüre eines mathematischen Fachartikels kann „Betreiben von Mathematik“ sein, vorausgesetzt, ihr entspricht ein geistiger Konstruktionsprozess. Im gegenteiligen Fall betreibt man keine Mathematik. Das „Betreiben von Mathematik“ ist somit die Arbeit an der Konstruktion eines mathematischen Objekts und gleicht anderen kreativen geistigen Unternehmungen in einem Bereich der Wissenschaft oder der Kunst. Doch obwohl die geistige Betätigung,

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bei der Mathematik erzeugt wird, in gewisser Weise mit jener verwandt ist, aus der Kunst hervorgeht, sollte stets klar sein, dass mathematische Objekte sich ganz erheblich von den Kunstobjekten der Literatur, der Musik oder der bildenden Künste unterscheiden. Die Vorstellung, dass künstlerisches Schaffen und kreative Arbeit in der Mathematik miteinander verwandt seien, führt uns erneut zu Hadamars Behauptung, gute mathematische Einfälle würden aufgrund ästhetischer Erwägungen ausgewählt. Tatsächlich gibt es eine ähnlich lautende Bemerkung von Einstein über seine eigene Arbeit in der mathematischen Physik. Müssen wir demnach also davon ausgehen, dass gute Mathematiker ästhetisches Talent in anderen Bereichen wie Literatur, Malerei oder Musik besitzen? Die Antwort ist nein. Viele Wissenschaftler erproben ihr literarisches Talent an einer Autobiographie, andere malen oder spielen ein Instrument. Die Resultate sind oft nicht schlecht, aber nur selten herausragend. In vielen Fällen erzielen wirklich gute Wissenschaftler wahrlich mittelmäßige künstlerische Resultate.4 Die ästhetische Befähigung für Mathematik ist somit von der künstlerischen Befähigung verschieden. Ist künstlerische Befähigung analysierbar? Betreten wir hier nicht den Bereich jenseits aller Erkenntnis? Tatsächlich meine ich, dass sich die ästhetische Befähigung für Mathematik leichter analysieren lässt als künstlerische Kompetenz. Doch ich möchte zunächst auf eine Veränderung in der Geisteslandschaft seit den Tagen von Poincaré, Hadamard und Einstein hinweisen: Heute sind wir uns viel deutlicher bewusst, dass Kunst von kultureller Tradition bestimmt ist und dass diese kulturelle Tradition unterschiedlich ausfällt. Eine Vorliebe für Bach oder Beethoven ist ebenso eine erworbene Vorliebe wie eine für gute Weine oder gute Mathematik. Nicht dass man Berufsmusiker sein muss, um spüren zu können, dass Bach und Beethoven Kompositionen von eindrucksvollem Umfang und imposanter Vielschichtigkeit überschauten. Wir spüren das vielmehr, weil wir mit einer bestimmten musikalischen Tradition vertraut sind. Musik, die uns fremd ist, wird uns gefallen oder nicht, wir werden jedoch nicht sagen können, ob sie fröhlich ist oder traurig, ob sie gut ist oder mittelmäßig. Natürlich wandelt sich die Tradition – sowohl Bach als auch Beethoven haben den Verlauf der westlichen Musiktradition beeinflusst.

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Vieles von dem, was soeben über Musik (oder Kunst) gesagt wurde, gilt auch für die Mathematik (oder die Wissenschaft): Je nach Zeit und Ort lassen sich unterschiedliche mathematische Kulturen und Subkulturen definieren, die unterschiedlichen Schulen, Ansätzen und Bereichen der Mathematik entsprechen. So gibt es französische und russische Traditionen, algebraische und geometrische Stilrichtungen bei der Mathematik. Innerhalb einer einzelnen Kultur oder Subkultur sind einige Konzepte (das der Gruppenstruktur zum Beispiel) und einige Tatsachen (der Satz über implizite Abbildungen5 etwa) bekannt. Nur wo bleibt da die Ästhetik? Wo sind guter und schlechter Geschmack? Da ich die relevanten Definitionen und Details nicht nennen kann, werden die Beispiele, die ich unten anreiße, mathematischen Laien vielleicht etwas vage erscheinen. Mathematiker dagegen werden wissen, was ich meine, und ihre eigenen detaillierten Beispiele konstruieren. Angenommen, wir schreiben einen mathematischen Artikel und konstruieren aus einem mathematischen Objekt a ein Objekt b. Möglicherweise ist in unserem Problem naturgemäß eine Gruppe G vorhanden, wobei b die Umkehrfunktion a–1 von a in G darstellt und diese Tatsache bei der Konstruktion von b = a–1 äußerst hilfreich ist. Hier zu übersehen, dass einem die Gruppe G sozusagen ins Gesicht springt, wäre ein Beispiel für schlechten Geschmack. Ein Beispiel für guten Geschmack wäre der Beweis eines schwierigen Theorems durch eine schlaue Anwendung des Satzes über implizite Abbildungen in einem Banach-Raum. Der Satz über implizite Abbildungen ist fundamental und gut bekannt, Schlauheit dagegen wird man vielleicht durch die Wahl des Banach-Raums und die Abbildung beweisen müssen, auf die man den Satz anwenden möchte. Im Erfolgsfalle erhält man womöglich einen kurzen Beweis eines ansonsten schwierigen Resultats.6 Guter mathematischer Geschmack besteht somit darin, die im kulturellen mathematischen Sozium vorhandenen Konzepte und Resultate intelligent zur Lösung neuer Probleme einzusetzen. Die Kultur wiederum entwickelt sich weiter, weil ihre zentralen Konzepte und Resultate sich allmählich oder abrupt verändern und durch neue Leuchttürme der Mathematik ersetzt werden.

16   mathematische erfindung: psychologie und Ästhetik        121

Die mathematische Ästhetik ist zwar kulturabhängig, deshalb jedoch keine bedeutungslose Mode. Erinnern wir uns daran, dass kurze mathematische Aussagen sehr lange Beweise haben können, dass man in der gängigen mathematischen Praxis jedoch nach kürzeren Wegen sucht, indem man aus bekannten Theoremen einfache Anwendungen macht und die schwierigen Beweise dieser Sätze ausklammert. Eine bestimmte mathematische Kultur in einer bestimmten Zeit stützt sich auf einheitliche Sätze, Verfahren und Denkweisen, über die sich die Kultur definiert. Ein zeitgenössischer Mathematiker sollte daher den Satz über implizite Abbildungen und den Ergodensatz kennen und imstande sein, sie anzuwenden. Nebenbei sei jedoch angemerkt, dass etwa der Ergodensatz im kulturellen Umfeld von Henri Poincaré nicht vorkam: Poincaré starb 1912, der Ergodensatz dagegen stammt aus dem Jahr 1932.7 Das geistige Umfeld einer bestimmten mathematischen Kultur hat seine allgemein gültigen Sätze, Terminologie und Vorstellungen, über die Einigkeit herrscht. Anstatt nach dem Zufallsprinzip vorzugehen, lässt sich mit ihnen effizient Mathematik betreiben. Man muss jedoch einräumen, dass bei der Auswahl der allgemein gültigen Sätze, der Terminologie und bei dem, was als interessante Forschung gilt, historische Zufälle eine gewisse Rolle spielen. In diesem Sinne spielt die Mode in der Mathematik doch eine Rolle. Schließlich möchte ich wiederholen: In der Mathematik wie in der Kunst verändert sich die Landschaft. Es gibt goldene Zeiten, aber auch lange Strecken öder Mittelmäßigkeit. Manche Innovationen erweisen sich als Sackgassen, als Holzwege. Manche Neuerer erstrahlen als kurzes Leuchtfeuer, um anschließend in Vergessenheit zu geraten. Andere verändern die Geisteslandschaft dauerhaft.

17

Das Kreistheorem und ein unendlich-dimensionales Labyrinth

In meiner Jugend bekam ich eine bekannte polnische Gesangstechnik mit sehr kräftigen, schrillen Frauenstimmen zu hören, die mir sehr gefiel. Leider habe ich diese Art des Gesangs seit vielen Jahren nicht mehr gehört. Da ich des Polnischen nicht mächtig bin, verstand ich die Texte der Lieder nicht, was jedoch keine allzu große Rolle spielte: Wichtig war der ungewöhnliche schrille Klang. Ich möchte Sie nun mit etwas Mathematik konfrontieren, genauer gesagt, mit einem recht frei formulierten mathematischen Text, den ich ausgewählt habe, weil die darin enthaltenen Konzepte zum allgemein anerkannten Standard gehören und sich von Mathematikern ohne Weiteres nachvollziehen lassen. Den mathematischen Laien unter meinen Lesern wird es (bei der Lektüre des nachfolgenden Abschnitts) ebenso gehen wie mir in Bezug auf den polnischen Gesang: Auch wenn die genaue Bedeutung uns verborgen bleibt – die Melodie und den Gesangsstil können wir trotzdem würdigen. Die Geschichte beginnt mit den Physikern T. D. Lee und C. N. Yang, die bei der Untersuchung eines Problems der statistischen Mechanik auf eine besondere Klasse P von Polynomen der Form (*) stießen: P (z) =

m 

aj z j

j=0

D. Ruelle, Wie Mathematiker ticken,  DOI 10.1007/978-3-642-04111-2_17, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010

123

124       wie mathematiker ticken

Alle Nullstellen der Polynome P in P, welche Lee und Yang analysieren konnten, lagen auf dem komplexen Einheitskreis {z : |z| = 1}. Die Forscher stellten die Vermutung auf, dass dies allgemein gelte. Diese Vermutung wäre bewiesen, wenn sich eine unitäre Matrix U finden ließe mit P (z) als charakteristischem Polynom von U, wenn also gälte P (z) = det (zI – U). Wer mathematische Vorkenntnisse besitzt, wird unweigerlich auf diesen Gedanken kommen – hier jedoch hilft er nicht weiter. Lee und Yang waren ausreichend gute Mathematiker, um einen Beweis für ihre Vermutung zu finden; einfach aber ist dieser Beweis nicht. Heute liegen uns weniger schwierige Beweise vor, die insbesondere auf die Arbeiten von Taro Asano zurückgehen. Zum Beweis des LeeYang-Kreistheorems (das wir unten formulieren werden) ersetzt man das Polynom P m-ten Grades in der Variablen z durch ein Polynom Q (z1, …, zn) in m Variablen, getrennt 1-ten Grades in jeder Variable z1, …, zm. Interessant ist die Klasse Q solcher Polynome, für welche gilt Q (z1, …, zm) ≠ 0, sobald |z| < 1, …, |zm| < 1. Wenn also P (z) = Q (z, …, z) und wenn Q zu Q gehört, dann gilt für die Nullstellen ξ aus P: |ξ| ≥1. (Zur Information: Aufgrund der Symmetrie Z → z–1 gilt auch |1/ξ| ≥ 1 und somit |ξ| = 1.) Gehören nun Q (z1, …, zm) und (zm+1, …, zm+n) zur Klasse Q, so gehört auch

˜ (zm+1 , . . . , zm+n )( ∗ ) Q (z1 , . . . , zm ) Q

zu Q. Wir beschreiben nun eine weniger offensichtliche Operation, die als Asano-Kontraktion bezeichnet wird und Q konserviert. Man schreibe Q (z1 , . . . , zm ) = Azj zk + Bzj + Czk + D

Dabei seien A, B, C, D Polynome in den Variablen z1, …, zm außer zj und zk. Durch die Asano-Kontraktion werden die Variablen zj, zk durch eine einzelne Variable zjk ersetzt, sodass gilt

Azj zk + Bzj + Czk + D → Azjk + D.

17   das kreistheorem und ein unendlich-dimensionales labyrinth        125

Ausgehend von einem Polynom Q in m Variablen gelangen wir letztlich zu einem Polynom in m – 1 Variablen, das erneut zu Q gehört, wenn Q zu Q gehörte. (Dies ist eine einfache Übung: Die Nullstelle von Azjk + D ist minus das Produkt der beiden Nullstellen von Az2 + (B + C) z + D.) Es lässt sich überprüfen, dass Polynome in zwei Variablen der Form zj zk + ajk (zj + zk ) + 1





zu Q gehören, wenn ajk reell ist und –1 ≤ ajk ≤ 1. (Aus der Gleichsetzung des Polynoms mit Null ergibt sich die Abbildung zj → zk und damit eine Involution, bei der das Innere des Einheitskreises auf sein Äußeres abgebildet wird.) Indem wir ein Polynomprodukt wie das oben genannte nehmen, Asano-Kontraktionen durchführen und alle Variablen mit z gleichsetzen, erhalten wir das Lee-Yang-Kreistheorem: Bei reellen ajk = akj, –1 ≤ ajk ≤ 1 liegen alle Nullstellen des Polynoms P (z) =



X ⊂{1,...,m}

z| X |



ajk

j∈X k ∈X /

auf dem Einheitskreis.1 Was hier dargelegt wurde, ist nicht unbedingt sehr schwierige Mathematik; Berufsmathematiker jedoch werden es als willkommene und erfrischende Abwechslung von Betrachtungen über die Mathematik empfinden: Das hier ist Mathematik. Beachten Sie dabei, dass ich die Details des Beweises nur angedeutet habe, davon ausgehend, dass die Leser über ausreichend technische Hintergrundkenntnisse verfügen, um sie zu vervollständigen (oder einfach zu sagen: „Ja, natürlich.“). Zu diesem technischen Hintergrundwissen (zu dieser kulturellen Tradition) gehören insbesondere ein Theorem über das charakteristische Polynom einer unitären Matrix (erwähnt, aber nicht erforderlich) und der Fundamentalsatz der Algebra2 (erforderlich, aber nicht erwähnt). Von einer formalen Herleitung auf Grundlage der Axiome der ZFC-Mengenlehre sind

126       wie mathematiker ticken

wir weit entfernt. Dennoch wäre es (für einen Berufsmathematiker) ein Leichtes, eine sehr viel formalere Darstellung zu geben. Dahinter steckt der Gedanke, dass sich jedes Detail dieser formaleren Darstellung im Prinzip zu einem rein formalen Text ausdehnen ließe. Prinzipiell ließen sich die oben dargestellte Aussage und der Beweis des Lee-Yang-Kreistheorems als rein formaler Text formulieren, der mechanisch überprüfbar wäre. Ich glaube, dass man einmal solche Texte schreiben und vom Computer überprüfen lassen wird. Nur so, scheint mir, wird man Fehler in Beweisen bekämpfen können, die sich zu einem gewaltigen Problem für die Zukunft der Mathematik entwickeln. Diese Frage wollen wir jedoch zurückstellen. Ein rein formaler Beweis des Lee-Yang-Satzes wäre sehr lang und für einen menschlichen Mathematiker weitgehend unlesbar und nicht überprüfbar. Man könnte die von Menschen betriebene Mathematik mit einer Art Tanz um einen solchen formalen Text vergleichen: Man führt ein überzeugendes Argument an, dass er sich schreiben ließe, schreibt ihn aber nicht. Welchen Status hat nun der Text, den ich oben dargestellt habe? Er ist von Menschen gemachte Mathematik, die es einem menschlichen Leser ermöglicht, sich rasch und effizient von der Richtigkeit (lies: Formalisierbarkeit) einer bestimmten Herleitung zu überzeugen; er setzt sich eher mit Ideen als mit formalen Aussagen auseinander. Was ist eine Idee? Oder genauer: Was ist eine mathematische Idee? Im Bemühen um Pragmatismus statt Profundität würde ich sagen, eine Idee ist eine kurze Aussage in menschlicher mathematischer Sprache, die sich zur Verwendung in einem menschlichen mathematischen Beweis eignet. (Bei der Aussage kann es sich um eine Vermutung oder um einen Kommentar handeln.) Beispielhaft möchte ich die wichtigsten Ideen des obigen mathematischen Abschnitts zum Lee-Yang-Satz benennen; ich erkenne drei davon. Die erste ist die Vermutung eines Theorems (Die Nullstellen der Polynome einer bestimmten Form liegen am Einheitskreis). Die zweite besteht in der Ersetzung einer Aussage über das Polynom P ( z) durch eine Aussage über das Polynom Q ( z1, …, zn). Diese ersten beiden Gedanken gehen auf Lee und Yang zurück. Die dritte Idee besteht in der Asano-Kontraktion (die auf Asano zurück-

17   das kreistheorem und ein unendlich-dimensionales labyrinth        127

geht). Alle drei Ideen sind nicht offensichtlich. (Die zweite ersetzt den offensichtlichen Gedanken, P ( z) als gewöhnliches Polynom darzustellen.) Alle drei Ideen lassen sich kurz und knapp formulieren. In der Tat kann ein praktizierender Mathematiker bereits nach wenigen Minuten der Erläuterung damit beginnen, einen Beweis des Lee-Yang-Kreistheorems niederzuschreiben. Demgegenüber ist es eindeutig Schwerstarbeit, das Theorem zu erraten oder von Grund auf einen Beweis zu finden. Ich habe drei Hauptideen genannt. Sekundäre Ideen werden Berufsmathematiker automatisch ergänzen können. Ich werde gleich auf die Frage zurückkommen, wie der Beweis eines Theorems gleichzeitig einfach sein und sich schwer finden lassen kann. Zunächst möchte ich jedoch fragen, warum der Lee-Yang-Satz einen einfachen Beweis hat. Wir haben mit Gödel gesehen, dass der Beweis für bestimmte Theoreme mit einer kurzen Formulierung lang sein kann. Es wundert uns daher nicht, dass der Lee-Yang-Satz schwer zu beweisen ist, aber wir fragen uns vielleicht, warum sich überhaupt je ein einfacher Beweis finden lässt. Der Grund ist folgender: Wir haben einige Resultate mit langen Beweisen zur Verfügung, die wir nicht nochmals beweisen müssen. (Ein Beispiel hierfür ist der oben erwähnte Fundamentalsatz der Algebra.) Der kulturelle Hintergrund der heutigen Mathematik enthält technische Werkzeuge, mit deren Hilfe wir die unterschiedlichsten Probleme effizient bewältigen können. (Unsere Werkzeugpalette ist das Ergebnis der Selektion effizienter Werkzeuge durch unsere kulturelle Evolution.) Ein einfacher Beweis des Lee-Yang-Satzes ist somit nicht ein kurzer Beweis, der bei den Axiomen von ZFC ansetzt; es handelt sich hier vielmehr um einen kurzen Beweis, der bei Standardwerkzeugen (in diesem Fall sind es „elementare“ Werkzeuge) der Algebra ansetzt. Die Werkzeugpalette eines Mathematikers ist vergleichbar mit dem Autobahnnetz, das einem Reisenden zur Verfügung steht: Beide stellen die Mittel bereit, effizient von A nach B zu gelangen. Es gibt jedoch einen wichtigen Unterschied: Die Wahl einer effizienten Reiseroute über die Autobahn ist normalerweise eine einfache Sache; für die Wahl einer effizienten mathematischen Route zum Beweis eines Theorems gilt dies nicht. Ich möchte den Vergleich zwischen Autobahnnetz und mathematischer Ausstattung kurz weiterführen. Im Autobahnnetz spiegelt sich

128       wie mathematiker ticken

die Geografie eines Landes, die uns auch durch andere Methoden vertraut ist, sodass der Bau einer neuen Straße unser geografisches Wissen nicht wesentlich verändern wird. Die Werkzeugpalette in der Mathematik spiegelt die innere Struktur der Mathematik wider und stellt letztlich die einzige Kenntnis dar, die wir von dieser inneren Struktur haben, sodass der Bau einer neuen Theorie unsere Vorstellung von den strukturellen Wechselbeziehungen einzelner Teilbereiche der Mathematik verändern kann. Ich möchte nun zu der Frage zurückkehren, warum der Beweis für ein Theorem auch dann schwer zu finden sein kann, wenn er sich letztlich als relativ einfach erweist. Die Antwort läuft darauf hinaus, dass es gleichzeitig schwer sein kann, etwas zu entdecken, und leicht, diese Entdeckung zu verifizieren. So mag das Passwort vom Computer Ihres Chefs schwer zu finden sein; aber sobald Sie es kennen, lässt es sich leicht verwenden. Ein kleiner Exkurs zum Thema Passwörter: Nehmen wir an, das Passwort Ihres Chefs habe die Länge 7 (es besteht also aus einer Abfolge von 7 Zeichen), und gehen wir weiterhin davon aus, dass es für jedes Zeichen 62 Möglichkeiten gibt: a, …, z, A, …, Z, 0, …, 9. Die Anzahl möglicher Passwörter liegt dann bei 62 × ... × 62 = (62)7. Sie hat 7 als Exponenten; das bedeutet, die Anzahl wächst exponentiell mit der Größe des Passworts (die Größe bzw. Länge ist hier auf 7 festgelegt). Statt nach einem Passwort wollen wir nun nach einer Kreuzung in einer amerikanischen Großstadt suchen (wo Straßen senkrecht zu Avenues verlaufen). Betrachten wir ein Rechteck der Größe 7 (sieben Straßen und sieben Avenues), so gibt es lediglich 7 × 7 = 72 Kreuzungen. Die Gesamtzahl der Kreuzungen wächst mit dem Quadrat der Größe des untersuchten Gebiets und damit deutlich langsamer als das exponentielle Wachstum, das wir für die Passwörter bestimmt haben. Das liegt daran, dass unsere Kreuzungssuche zweidimensional verläuft. Die Suche nach einem Fenster wäre dreidimensional. (Angenommen, es gäbe 40 Fenster pro Etage in einem Häuserblock. In einem Gebiet mit 15 × 15 Häuserblocks mit jeweils 15stöckigen Gebäuden läge die Gesamtzahl der Fenster bei 40 × (15)3.) Auch die Suche nach einer Nadel in einem Heuhaufen ist dreidimensional. Die Suche nach einem bestimmten Haus in einer Stra-

17   das kreistheorem und ein unendlich-dimensionales labyrinth        129

ße (Downing Street 10 zum Beispiel) ist eindimensional. Mit welcher Dimensionalität haben wir es bei der Suche nach Passwörtern zu tun? Sie ist größer als 1, 2, 3, …, sodass wir sagen können, sie ist unendlich. Nun sollten wir uns erneut der Aufgabe eines menschlichen Mathematikers zuwenden. Diese Aufgabe ist eine Annäherung an die Aufgabe, einen vollständig formalisierten mathematischen Text zu schreiben, aber sie ist keine gute Approximation. Ein menschlicher Mathematiker arbeitet mit „Ideen“, für die oben einige Beispiele genannt wurden. Eine zweckmäßige Gedankenkette liefert den Beweis eines interessanten Theorems. Darin besteht die von Poincaré und Hadamard beschriebene kombinatorische Aufgabe: Gedanken zusammenzufügen, bis man die richtige Kombination gefunden hat. Wie schwierig ist diese Aufgabe? Es geht nicht um die Suche in einer, zwei oder drei Dimensionen. Eher kommt es dem Versuch gleich, ein Passwort zu erraten – es ist wie eine unendlich-dimensionale Suche. Mit einem Unterschied allerdings. Anders als die Zeichen bei einem Passwort können mathematische Ideen nicht willkürlich zusammengefügt werden; sie müssen zueinander passen. (Ein Beispiel dafür ist die Idee, den Satz des Pythagoras zu verwenden: eine großartige mathematische Idee, die jedoch ausschließlich in einer geometrischen Situation funktioniert, in der ein rechtwinkliges Dreieck vorkommt. Außerhalb dieser Situation ist sie nicht verwendbar. Natürlich könnten wir Geometrie und Dreieck in die Aufgabe einführen. Dazu sind allerdings einige neue Ideen erforderlich.) Das Zusammenfügen einer Abfolge mathematischer Ideen ist wie ein Spaziergang in unendlicher Dimension von einer Idee zur nächsten. Und dass die Ideen zusammenpassen müssen, bedeutet, dass uns jede Etappe unseres Spaziergangs mit einer neuen Vielfalt an Möglichkeiten konfrontiert, unter denen wir zu wählen haben. Wir befinden uns in einem Labyrinth, in einem unendlich-dimensionalen Labyrinth. Soeben habe ich die von Menschen betriebene Mathematik als ein Labyrinth aus Ideen beschrieben, das der Mathematiker auf der Suche nach dem Beweis eines Theorems durchwandert. Die Ideen sind menschlich und gehören einer menschlichen Kultur der Mathematik an; gleichzeitig aber werden sie von der logischen Struktur des Themas stark beschränkt. Das unendliche Labyrinth der Mathematik trägt somit

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das duale Wesen menschengemachter Konstruktion und logischer Notwendigkeit in sich. Dies verleiht dem Labyrinth eine seltsame Schönheit. Sie spiegelt die innere Struktur der Mathematik und ist letzthin das Einzige, was wir von dieser inneren Struktur wissen. Nur durch eine lange Suche im Labyrinth jedoch lernen wir seine Schönheit zu schätzen; nur durch lange Studien lernen wir den feinen und mächtigen ästhetischen Reiz mathematischer Theorien voll auszukosten.

18

Fehler!

Die Mathematiklandschaft besitzt eine historische Dimension. Neue Theoreme werden bewiesen und bessere Werkzeuge für die Bewältigung der unterschiedlichsten Fragen entwickelt. Gleichzeitig steigt der Schwierigkeitsgrad der ungelösten Probleme. Über diese Welt im Wandel konnte ich mich einmal mit Shiing-shen Chern1 unterhalten, einem der großen Vertreter der Geometrie des 20. Jahrhunderts. Er beschrieb mir, wie er seine eigene, eigenständige Arbeit aufnehmen konnte, als er zu Beginn seiner Karriere als Mathematiker die Arbeit von Heinz Hopf über die Hopf-Faserungen2 las und sich an der Grenze der damaligen Mathematik wiederfand. Nun sind Hopfs Gedanken wundervoll, aber relativ leicht zu untersuchen. Im beginnenden 21. Jahrhundert ist es in der Regel deutlich schwieriger, an die Grenze der Mathematik vorzustoßen. Allein die Vorstellung, neben anderen die Ideen Grothendiecks bezwingen zu müssen, wenn man in der algebraischen Geometrie und in der Arithmetik arbeiten will! Nicht immer wird die Mathematik mit der Zeit schwieriger. Manchmal ebnet eine neue technische Entwicklung den Weg zu Fragen, die bis dahin in unerreichbarer Ferne lagen. Manchmal rücken Problemstellungen, für die sich bis dahin keiner interessierte, ins Zentrum eines neuen, leuchtenden Bereichs der Mathematik und relativ leicht sind wichtige Resultate gefunden. Das Aufkommen schneller Computer zum Beispiel brachte die Untersuchung von Algorithmen voran und führte D. Ruelle, Wie Mathematiker ticken,  DOI 10.1007/978-3-642-04111-2_18, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010

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zu fundamentalen Konzeptentwicklungen wie dem Begriff der NP-Vollständigkeit und dem erstaunlichen Beweis, dass sich Primzahltests in Polynomialzeit durchführen lassen.3 Im Allgemeinen jedoch muss man zugeben, dass die Mathematik mit der Zeit immer schwieriger wird. Das bringt Veränderungen in der Praxis der Forschung mit sich. Ich erinnere mich, wie in den 1960erJahren Kritik an einem Mathematiker geäußert wurde, der Ergebnisse von Kollegen verwendet hatte, ohne sie selbst zu überprüfen. Durch den inflationären Zuwachs der Fachliteratur ist eine solche Überprüfung früherer Ergebnisse immer seltener möglich. In den 1970er-Jahren hörte ich Pierre Deligne sagen, ihn interessiere jene Mathematik, die er selbst bis ins letzte Detail nachvollziehen könne. Mit Hilfe von Computern geführte oder extrem lange Beweise, die ein einzelner Mensch nicht bewältigen könne, seien somit ausgeschlossen. Tatsächlich aber sind computergestützte und extrem lange Beweise in der heutigen Mathematik zu einer Alltagserscheinung geworden. Vielleicht erleben wir derzeit einen Verfall der „moralischen Werte“ der Mathematik; Grothendieck hat dies deutlich formuliert. Gleichzeitig aber sind wir Zeugen außergewöhnlicher Erfolge bei der Lösung alter Probleme (großer Fermat’scher Satz, Poincaré-Vermutung4 u. a.) und müssen zugeben, dass es der zeitgenössischen Mathematik in gewisser Hinsicht erstaunlich gut geht. Wir beobachten schlicht und einfach einen Wesenswandel der menschlichen Mathematik. Und jeder passt sich dem Wandel auf seine Weise an. Zu einigen Kontroversen führte etwa die Arbeit von William Thurston über dreidimensionale Mannigfaltigkeiten. Ein natürliches Problem der Geometrie besteht in der Klassifikation bestimmter Mannigfaltigkeiten (darin also, sie aufzulisten). Die Klassifikation zweidimensionaler Mannigfaltigkeiten ist gut erforscht. Die Untersuchung dreidimensionaler Mannigfaltigkeiten hingegen ist viel schwieriger. Nach einiger Arbeit hatte Thurston das Thema gut durchdrungen, das er allgemein und mit einer Skizze der Beweisführung beschrieb. Thurstons Programm beanspruchte damit ein großes Gebiet der Mathematik, ohne dabei allerdings Beweise zu liefern, welche von Kollegen überprüft werden könnten. Letztlich erschwerte er anderen Mathematikern das Arbeiten in diesem Bereich:

18   fehler!        133

Man erntet keine großen Lorbeeren für den Beweis eines bereits formulierten Theorems, gleichzeitig aber kann man dieses Theorem nicht verwenden, weil noch nicht wirklich ein Beweis dafür existiert. Arthur Jaffe und Frank Quinn5 haben in einem viel diskutierten Artikel, der Thurston und andere erwähnt, diese Entwicklung der Mathematik beklagt. Thurstons Programm ist mittlerweile weitgehend umgesetzt; das von Jaffe und Quinn angesprochene Problem aber ist in manchen Teilen der Mathematik unverändert bedeutsam. Nun wenden wir uns dem Einsatz von Computern für die Mathematik zu. Wenn von Computern die Rede ist, denkt man an lange numerische Berechnungen. Sind solche Berechnungen in der reinen Mathematik von Nutzen? Manchmal schon. Riemann nahm lange Berechnungen von Hand vor, um einige Gedanken zu überprüfen; sicherlich hätte er sich gefreut, einen schnellen Computer zur Hand zu haben. Als überaus hilfreich haben sich Computer auch bei der Visualisierung von Objekten in der Theorie dynamischer Systeme6 erwiesen. Es besteht daher kein Zweifel, dass Computer bei heuristischen Verfahren zur Lösung mathematischer Probleme von Nutzen sein können, indem sie einige Vermutungen glaubhaft machen und andere entkräften. Die meisten Mathematiker haben gegen diese heuristische Rolle von Computern nichts einzuwenden. Der übliche Einsatz von Computern liefert jedoch nur annähernde numerische Ergebnisse – wie sollen sie sich da verwenden lassen, um rigorose Beweise zu erzielen? Computer sind wirklich recht vielseitige Geräte. Ich möchte einige Aufgaben anführen, die sie exakt auszuführen imstande sind, was für den Beweis eines Theorems von Nutzen sein kann. Am offensichtlichsten gehören dazu die exakten Berechnungen mit ganzen Zahlen. Computer lassen sich jedoch auch darauf programmieren, logische Operationen durchzuführen: auf die Überprüfung einer großen Anzahl von Situationen zum Beispiel und die Beantwortung einer Ja-Nein-Frage zu jeder einzelnen dieser Situationen. Diese kombinatorische Fähigkeit von Computern fand im Beweis des Vier-Farben-Satzes Anwendung.7 Auch √ mit reellen Zahlen wie π und 2 können Computer mit Hilfe der Intervallarithmetik exakt umgehen. Dahinter steckt der folgende Gedanke: Wenn man weiß, dass π innerhalb des Intervalls (3.14159, 3.14160) und

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2 im Intervall (1.41421, 1.41422) liegen, dann weiß man ebenso, dass √ π + 2 ohne jeden Fehler im Intervall (4.55580, 4.55582) liegt. Mit Hilfe

der Intervallarithmetik lassen sich mit streng kontrollierter Genauigkeit die verschiedensten Berechnungen mit reellen Zahlen durchführen. Ein Beispiel für die Verwendung solcher Berechnungen zum Beweis eines Theorems möchte ich kurz umreißen. Angenommen, zwei (ausdrücklich beschriebene) Kurven A0 und B0 in der Ebene schneiden sich in einem bekannten Punkt X0, und wir wollen beweisen, dass die (ausdrücklich beschriebenen) Kurven A und B sich in einem Punkt X nahe bei X0 schneiden. A0

B0

A

B X0 X

Es ist bekannt, dass dies unter bestimmten Bedingungen zutrifft (Transversalität des Schnittpunkts von A0 und B0, in einem bestimmten Sinne Nähe von A zu A0 und von B zu B0), die numerisch überprüfbar sind. Es kann zweckmäßig sein, die numerische Überprüfung mit Hilfe eines Computers durchzuführen. Damit habe ich einen computergestützten Beweis dafür umrissen, dass unter geeigneten Bedingungen zwei Kurven A und B einen Schnittpunkt X besitzen, mit einem Schätzwert für die Distanz zwischen X und einem bekannten Punkt X0. Es gibt Theoreme von echtem mathematischen Interesse, die tatsächlich die eben beschriebene Form haben, allerdings mit Mannigfaltigkeiten in einem unendlich-dimensionalen Raum statt der Kurven A und B. Mein Kollege Oscar Lanford berichtete einmal von einem solchen Theorem.8 Der Inhalt dieses Theorems ist für unsere Zwecke

18   fehler!        135

unerheblich. Vielmehr wollen wir uns einige technische Aspekte anschauen, wie Lanford den Beweis dafür führte. Der Beweis ist computergestützt; er besteht also aus einigen mathematischen Präliminarien, gefolgt von einem Computerprogramm. Dieses Programm (bzw. dieser Code) überprüft mit Hilfe der Intervallarithmetik verschiedene Ungleichheiten; erweisen sich diese als korrekt, ist das Theorem bewiesen. Aufgrund der Schwierigkeiten des Problems war Lanford gezwungen, ein relativ langes Programm von 200 Seiten zu schreiben. In zwei Spalten auf diesen Seiten ist zum einen der Code angegeben (in einer Abwandlung der Programmiersprache C); die zweite Spalte gibt Erläuterungen zum Vorgehen. Tatsächlich wäre nicht einmal der Autor in der Lage, einen langen Code ohne jegliche Erläuterung zu verstehen, und im vorliegenden Fall, bei einem mathematischen Beweis, sollten andere Personen diesen überprüfen können. Oscar Lanford ist ein sehr sorgfältiger Mensch, und er hat sich alle Mühe gegeben, dass der Computer exakt das macht, was er soll, wenn man den Code eingibt. In dieser Hinsicht – wenn der Computer die Ungleichheiten im Code akzeptiert hat – ist der Beweis des Theorems vollständig. Aber Lanford machte einige zusätzlichen Anmerkungen, die Ihnen ziemlich entmutigend erscheinen mögen. „Ich bin sicher“, schrieb er, „dass in dem Code, den ich geschrieben habe, einige Fehler stecken. Ebenso aber bin ich sicher, dass sie sich beheben lassen und dass das Ergebnis stimmt.“ Das heißt, dass in 200 Textseiten wahrscheinlich einige Fehler zu finden sind. Im vorliegenden Fall könnte es passieren, dass eine Ungleichheit, die zu beweisen war, tatsächlich nicht bewiesen wurde! Lanford glaubt jedoch das bestehende Problem in ausreichendem Detail zu verstehen, um eine ähnliche Ungleichheit finden und beweisen zu können, die zur Begründung seines Theorems ausreicht. An dieser Stelle sollten wir uns daran erinnern, dass es sich bei computergestützten Beweisen nicht um vollständig formalisierte Mathematik handelt (der man im Prinzip uneingeschränkt vertrauen könnte). Computergestützte Beweise sind Teil der menschlichen Mathematik. Dennoch ist das Problem der Fehlervermeidung ein anderes, wenn man einen Computer verwendet, als in der „normalen“, mit Stift und Papier

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betriebenen Mathematik. Bestimmte Fehler im Computercode lassen sich herausfiltern und eliminieren; was jedoch fehlt, ist die Intuition, die gute Mathematiker bei Beweisen mit Stift und Papier entwickelt haben. Mit der zunehmenden Länge der Beweise wird auch das Problem der Fehler in der Mathematik allmählich immer schwerwiegender, ganz gleich, ob nun Computer verwendet werden oder nicht. Wenn hier von Fehlern die Rede ist, so sind damit auch Lücken gemeint, das heißt Teile eines Beweises, die als leicht verständlich wahrgenommen werden, dies aber nicht sind. Zugespitzt formuliert, nimmt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Beweis keinen Fehler enthält, (mindestens) proportional zu seiner Länge ab. Und ein einziger Fehler kann einen ganzen Beweis zunichte machen! Glücklicherweise bleiben viele Fehler – die fehlerhafte Schreibweise eines Namens etwa oder ein falsches Datum in einer Quellenangabe – mathematisch folgenlos (auch wenn sie manche Menschen ziemlich wütend machen können). Auch ernsthaftere Fehler lassen sich häufig beheben, wie wir an späterer Stelle sehen werden. Wie schwerwiegend das Problem von Fehlern oder Lücken sein kann, wird deutlich, wenn wir uns nochmals das Theorem der Klassifikation endlicher einfacher Gruppen anschauen. Der Beweis dieses Theorems füllt Tausende von Seiten aus der Feder vieler Autoren und wurde zum Teil computergestützt geführt. Das Theorem gilt seit ungefähr 1980 als „moralisch“ bewiesen, wobei einzelne Teile noch niedergeschrieben werden müssen. Der Beweis war also lückenhaft, doch die Lücken wurden von Fachleuten nicht als gravierend angesehen. Immerhin aber erwies sich eine dieser Lücken als so schwerwiegend, dass (im Jahr 20049) weitere 1.200 Seiten Beweisführung erforderlich wurden. Auch andere Bereiche der Mathematik sind in einem unordentlichen Zustand. Zum Problem der Packung von Kugeln zum Beispiel schrieb Tom Hales: „Das Thema steckt voller fehlerhafter Beweise und veralteter Methoden.“10 Hat die Mathematik demnach ihre alten Anforderungen an die Rigorosität vergessen? Ist mathematische Wahrheit mittlerweile reine Ansichtssache und nicht mehr eine Frage der Erkenntnis? Verschiedene Autoren haben interessante Standpunkte zu dem oben erwähnten Artikel von Quinn und Jaffe geäußert.11 Grundsätzlich lässt sich sagen, dass gute Mathematiker, die in einem bestimmten Bereich arbeiten,

18   fehler!        137

wissen, wie zuverlässig die dazu veröffentlichte Literatur ist. Manche Bereiche sind mehrfach von hervorragenden Mathematikern überprüft und Theoreme mit verschiedenen Methoden bewiesen worden; solche Bereiche können als äußerst rigoros bezeichnet werden. Zugegebenermaßen jedoch gibt es in der mathematischen Fachliteratur auch eine Menge Müll, weil die Leute aus karrieretechnischen Gründen auch dann veröffentlichen müssen, wenn sie sich kaum dafür interessieren, was sie tun. Kurz gesagt: Die alten Ideale absoluter logischer Rigorosität sind nicht aufgegeben worden. Dennoch sind Kräfte am Werk, die den Stil der Mathematik verändern, da höchst wünschenswerte Theoreme sehr lange oder aber computergestützte Beweise erfordern. Will man zum Beispiel eine Eigenschaft einfacher endlicher Gruppen beweisen, so kann man diese Eigenschaft an einer konkreten Liste von Gruppen überprüfen. Darin zeigt sich die Nützlichkeit des Klassifikationstheorems: Es ist ein neuer Leuchtturm, der die Landschaft der Mathematik verändert. Natürlich gibt es auch beim menschlichen Mathematiker Veränderungen. Heute Mathematiker zu sein ist anders als vor hundert Jahren. In hundert Jahren Mathematik zu betreiben wird wiederum anders sein. Vielleicht wird es weniger befriedigend sein als in früheren Jahrhunderten, vielleicht auch nicht. Es wird jedoch neue Ergebnisse geben, tiefer gehende Theorien. Und dann wird ein weiteres Stück des unbekannten Gesichts der mathematischen Realität ins Licht der menschlichen Erkenntnis gerückt sein. Eine wichtige konzeptuelle Weiterentwicklung in der Mathematik vollzieht sich momentan mit dem Aufkommen computergeprüfter formaler Beweise.12 Dabei geht es darum, dass ein menschlicher Mathematiker den von Menschen geführten Beweis eines Theorems in eine Abfolge von Lemmata in formaler Sprache überträgt (ein hartes Stück Arbeit). Diese Abfolge wird sodann in einen Computer (mit einem Programm, das als Beweisassistent oder interaktiver Theorembeweiser bezeichnet wird) eingespeist, der die Lemmata auf ihre Korrektheit überprüft und einen vollständig formalisierten Beweis des Theorems liefert (dieser Teil ist nicht-trivial und umfangreich, da der Computer Beweismöglichkeiten durchforstet, die ihm zur Verfügung stehen; menschliche

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Mathematiker verlieren an dieser Stelle den Überblick über die sehr ausgedehnten Einzelheiten des formalen Beweises). Ein formaler Beweis, wie er hier beschrieben wurde, vermittelt sehr viel mehr Sicherheit als ein herkömmlicher, von Menschen geführter Beweis. Vorausgesetzt, dass die logischen Regeln und Axiome, die der Beweisassistent verwendet, keine logischen Widersprüche enthalten und das Programm frei von Fehlern ist, haben wir absolute Sicherheit. Laut Gödel lässt sich die Abwesenheit eines logischen Widerspruchs nicht beweisen (aber dieses Problem wiegt nicht schwerer als bei der herkömmlichen Mathematik). Hinsichtlich der Gefahr von Programmierfehlern betrachten wir den Theorembeweiser HOL Light, der zur Durchführung formaler Beweise dient. Der logische Systemkern von HOL Light, der die Überprüfung durchführt, setzt sich aus weniger als 500 Codezeilen zusammen. Diese Zeilen wurden genauestens überprüft, sodass einigermaßen Grund zur Hoffnung besteht, dass keine Fehler mehr übrig sind … Grundaxiome von HOL Light sind übrigens nicht die Axiome der ZFC-Mengenlehre (wobei man weiß, dass ein Widerspruch in HOL Light einen Widerspruch in ZFC implizieren würde). Durch Beweisassistenten sind mittlerweile formale Beweise von höchst nicht-trivialen Theoremen überprüft worden; hierzu gehören der Primzahlsatz und der Vier-FarbenSatz. Trotz allem steht außer Frage, dass Computer zum momentanen Zeitpunkt wenig von der schöpferischen Kraft menschlicher Mathematiker besitzen. Wie lange wird es dauern, bis sich das ändert?

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Das Lächeln der Mona Lisa

Im Laufe einer wissenschaftlichen Laufbahn nimmt man an sehr, sehr vielen Fachgesprächen teil. Wer Erfahrung in diesen Dingen hat, wird wissen, dass man bisweilen nicht mehr zuhört. Entweder fehlt das Interesse oder das erforderliche Wissen, oder man hat etwas Wichtiges verpasst, das der Redner zu Beginn seiner Ausführungen erwähnte oder hätte erwähnen müssen. Und so sitzt man da, halb eingenickt oder in Gedanken versunken, die nichts mit dem Thema des Vortrags zu tun haben, und schnappt hin und wieder eine technische Formulierung oder einen unverständlichen Satz auf. Bei einem solchen Anlass weckte das Wort „KILL“ meine Aufmerksamkeit, das wiederholt und mit großem Nachdruck gesprochen wurde. Konkret erklang dieses Wort in dem Satz „KILL that antisymmetric matrix“, tötet diese antisymmetrische Matrix. Inhaltlich handelt es sich bei einer Matrix um eine Zahlentabelle ( aij), antisymmetrisch ist sie, wenn aij = –aji, und mit dem „Töten“ der Matrix könnte gemeint gewesen sein, „einen Eigenvektor mit Eigenwert 0 finden“, aber sicher bin ich mir da nicht. Irgendetwas aber stimmte mit der Aussprache des Satzes „TÖTET diese antisymmetrische Matrix“ nicht. Im Grunde sagte der Redner nämlich: „KILL that antisemitic matrix“, tötet diese antisemitische Matrix. Mittlerweile war ich hellwach, mein Hörvermögen war zur damaligen Zeit ziemlich gut, und ich spitzte die Ohren. Hätte ich mich auf den mathematischen Inhalt konzentriert, D. Ruelle, Wie Mathematiker ticken,  DOI 10.1007/978-3-642-04111-2_19, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010

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wäre es mir durchgerutscht, so aber gab es keinen Zweifel: Der Redner sagte „antisemitic“ und nicht „antisymmetric“. Mehrfach sagte er „TÖTET diese antisemitische Matrix“.1 Natürlich können die Wörter „kill“ und „matrix“ auch eine mathematische Bedeutung haben; sie bedeuten aber auch in der Alltagssprache etwas: Das Verb bedeutet töten, auslöschen, und „matrix“ steht im Englischen unter anderem für Mutterleib und Gebärmutter. In einer mathematischen Debatte sind diese Profanbedeutungen natürlich verdeckt, unterdrückt; unbewusst aber sind sie dennoch präsent, wie die oben geschilderte Begebenheit zeigt. In einem früheren Kapitel haben wir über das freundliche, sterile Unbewusste gesprochen, das Poincaré und Hadamard Lösungen zu ihren Problemen lieferte. In „TÖTET diese antisemitische Matrix“ jedoch entlädt sich eine andere, mit Sexualität und Abscheulichkeit befrachtete Form des Unbewussten: das Unbewusste des Doktor Sigmund Freud. Müssen wir uns unbedingt damit befassen? Können die Gedanken Freuds einen sinnvollen Beitrag zu unserer Betrachtung über Mathematik leisten? Ich möchte Ihnen vorschlagen, sich den Sachverhalt anzuhören und anschließend zu einem eigenen Urteil zu kommen. Ich behaupte hier nicht, dass die Ideen Freuds der Schlüssel zum Wesen des mathematischen Denkens seien. Ich werde im Gegenteil zu dem Schluss kommen, dass dies nicht der Fall ist; tatsächlich behauptet Freud dies auch keineswegs. Wäre es daher nicht wunderbar, wenn wir Freud fragen könnten, warum sich seiner Ansicht nach manche Menschen mit mathematischer Arbeit beschäftigen? Nun weilt Dr. Freud nicht länger unter uns, aber wir können uns seine Studie „Eine Kindheitserinnerung des Leonardo da Vinci“ (1910)2 anschauen. Für eine Diskussion über die Ursprünge des Forschungsdrangs ist diese Studie tatsächlich von einiger Bedeutung. Der Florentiner Leonardo da Vinci (1452–1519) ist als Urheber von Meisterwerken wie Das letzte Abendmahl oder Das Bildnis der Mona Lisa hinlänglich bekannt. Die Notizbücher, die er hinterließ, zeugen von einem unstillbaren Forschungsdrang bei der Beobachtung der Natur und von einem bemerkenswerten technischen Erfindergeist. Er war seiner Zeit intellektuell um Jahrhunderte voraus. Es verwundert daher

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nicht, dass eine Persönlichkeit wie da Vinci die Aufmerksamkeit Freuds weckte und fesselte. Leonardo war der uneheliche Sohn von Piero da Vinci, einem Notar aus Florenz, und Catarina, einer jungen Bäuerin. Ab einem Alter von fünf Jahren lebte Leonardo im Haus von Ser Piero da Vinci, der zwischenzeitlich Donna Albiera geheiratet hatte, die kinderlos bleiben sollte. Als Leonardo ungefähr fünfzehn Jahre alt war, fand er als Lehrling Aufnahme in die Werkstatt von Andrea del Verrocchio und entwickelte sich zu dem außergewöhnlichen Künstler, als den wir ihn heute kennen. In späteren Lebensjahren verbrachte er mehr und mehr Zeit mit den Studien, die er in seinen Notizbüchern beschrieben hat: Studien der Natur, der Technik und anderer Themen. Freud weist auf bemerkenswerte Züge in der Persönlichkeit da Vincis hin, die zum Teil einer Erklärung bedürfen. Leonardo war ein kräftiger und gutaussehender Mann, der sich gern elegant kleidete und in guter Gesellschaft bewegte. Vermutlich besaß er gewisse homosexuelle Neigungen, aber kein wirkliches Sexualleben.3 Leonardo ließ Gemälde nach jahrelanger langsamer Arbeit unvollendet liegen. Sein Erkenntnisdrang war ungeheuer, die Arbeit an seinen Notizbüchern verdrängte allmählich seine Tätigkeit als Maler. Er entwarf mehrere Abhandlungen, ohne jedoch auch nur eine vollenden zu können. Er war offenbar Vegetarier, verurteilte den Krieg und kaufte auf dem Markt Vögel, um sie anschließend freizulassen. Ebenso aber wohnte er der Hinrichtung von Verbrechern bei und diente Cesare Borgia als oberster militärischer Ingenieur. Vielleicht sollte man hinzufügen, dass die „Wissenschaft“ Leonardos der visuellen Beschreibung der Natur zugewandt war und damit in direkter Verbindung zu seiner Malerei stand. Er untersuchte die Perspektive, obduzierte Leichen und beobachtete den Flug der Vögel. Seine Modernität offenbart sich in Bemerkungen wie: „Wer im Streite der Meinungen sich auf die Autorität beruft, der arbeitet mit seinem Gedächtnis anstatt mit seinem Verstand“ oder „Die Natur ist voll zahlloser Ursachen, die niemals in die Erfahrung traten.“4 Bevor wir uns Freuds Analyse von Leonardo zuwenden, möchte ich anmerken, dass auch Newton einige der oben genannten Eigenschaften

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besaß: den ungeheuren Erkenntnisdrang und verschiedenartige Interessen (vereint durch den Wunsch, das Wesen des Universums zu entdecken) sowie gewisse homosexuelle Neigungen bei einem offensichtlich nicht vorhandenen Sexualleben.5 Freud erklärt Leonardos Persönlichkeit mit dem Begriff der Sublimierung. Laut Freud ist die Sublimierung ein Prozess, bei dem der Sexualtrieb in Aktivitäten umgelenkt wird, die scheinbar in keinerlei Verbindung mit Sexualität stehen: künstlerisches Schaffen und geistige Forschertätigkeit.6 Kleine Kinder sehen sich naturgemäß mit der ontologischen Frage nach ihrer eigenen Herkunft konfrontiert: Woher kommen die kleinen Jungen und Mädchen? In der Standardreplik zu Zeiten Freuds spielten Störche eine Rolle. Ein intelligentes Kind jedoch würde vielleicht ahnen, dass seine Mutter eine wichtigere Rolle spielte als der Klapperstorch, und sähe sich mit Fragen von gewaltigem intellektuellen Anspruch gegenüber: Worin besteht die wirkliche Rolle der Mutter? Warum erzählen die Eltern Lügen darüber? Welche Rolle spielt, wenn überhaupt, der Vater? Was ist der Unterschied zwischen Jungen und Mädchen? Warum? Aus dieser Perspektive betrachtet scheint die sexuelle Neugier, angetrieben vom Sexualtrieb, für die Neugier kleiner Kinder von zentraler Bedeutung zu sein. In einem normalen Entwicklungsverlauf würde diese Neugier irgendwann mit zu einem „normalen“ Sexualverhalten beitragen. (In früheren Zeiten hätte man das Wort „normal“ ohne Anführungszeichen geschrieben.) Teilweise wird diese Neugier jedoch in nicht sexuelle Zwecke von möglicherweise sozialer Bedeutung sublimiert, insbesondere in künstlerisches Schaffen oder geistige Forschertätigkeit. In manchen Fällen, wie laut Freud im Falle Leonardos, wird der ursprüngliche Sexualtrieb vollständig in nicht sexuelle Ziele umgewandelt. Während Freuds Überlegungen insgesamt auf einige Kritik stießen, wurde das Konzept der Sublimierung relativ gut angenommen. So umreißt das American Heritage Dictionary (unter dem Stichwort „sublimate“, sublimieren) das Konzept, obwohl es keinen Eintrag zu Freud gibt. Vorwerfen können wir Freud seinen übertriebenen Glauben an die Macht der „psychoanalytischen Methode“ in einer Situation, über die wie bei Leonardo zu wenig Tatsachen bekannt sind. So vermerkt Freud, dass in den Aufzeichnungen Leonardos über einen Schüler, dem er

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scheinbar zugetan war, oder über den Tod seiner Mutter Catarina und seines Vaters Piero da Vinci Zahlen (der Preis für Kerzen etwa) genannt, aber keine Gefühle ausgedrückt werden. Dies ist eine scharfsinnige Beobachtung, die jedoch durch die Tatsache an Gehalt verliert, dass nicht sicher ist, ob es sich bei der erwähnten Catarina um Leonardos Mutter oder lediglich um eine Dienerin handelte. Das Kindheitserlebnis Leonardos, das Freud interpretieren möchte, hängt mit der Untersuchung des Fluges eines Vogels zusammen (der im Italienischen „nibbio“ genannt wird). Leonardo weist darauf hin, dass es offensichtlich sein Schicksal sei, so detailliert über den nibbio zu schreiben, da seine erste Kindheitserinnerung darin bestand, dass, als er in der Wiege lag, ein Vogel zu ihm kam und ihm mit seinem Schwanz in den Mund eindrang und mehrere Male zwischen die Lippen schlug. Ein Jahrhundert nach Freud drängt sich modernen und aufgeschlossenen gebildeten Lesern bei dieser „Erinnerung“ (oder auch Fantasie) eine sexuelle Interpretation förmlich auf. Freud zufolge handelt es sich um eine oral-sexuelle Fantasie, die mit dem Stillen Leonardos als Baby durch seine Mutter in Verbindung steht. Von der „Kindheitserinnerung“ hatte Freud in einer deutschen Übersetzung gelesen, in der nibbio leider fälschlicherweise mit „Geier“ statt mit „Milan“, oder Hühnergeier, wiedergegeben wurde. Infolge dieses Irrtums misst er der Tatsache große Bedeutung bei, dass das Wort „Mutter“ im Altägyptischen durch das Bild eines Geiers dargestellt wurde, und verliert sich in sinnlosen Interpretationen, die auf der irrigen Annahme einer Verbindung zwischen nibbio und Mutter aufbauen. Freud deutet auch das berühmte Gemälde Anna selbdritt (Anna Metterza) als Darstellung Leonardos (als Kind) mit seinen beiden Müttern (Catarina und Albiera). Zur Untermauerung dieser Interpretation führt Freud an, die bildliche Vorstellung der Anna selbdritt sei zur Zeit der Entstehung des Gemäldes ungewöhnlich gewesen. Leider irrt Freud in diesem Punkt, wie der Kunsthistoriker Meyer Schapiro dargelegt hat: Der Kult um die Hl. Anna und das Thema der Anna Metterza erlebte während Leonardos Schaffensperiode eine Blütezeit. Wie reagieren Sie, als Leser dieses Buchs, auf diese Erläuterungen? Viele meiner Kollegen, die in „harten“ Wissenschaften wie Mathematik oder Physik tätig sind, begegnen der Freudschen Psychoanalyse und

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anderen „weichen“ Wissensbereichen (wie Philosophie oder Wirtschaft) mit Ablehnung. Sie formulieren ein absolut vernichtendes (und völlig korrektes) Urteil über die Art und Weise, wie die sogenannten Fachleute das Thema angehen. Und erklären anschließend vielleicht, wie beispielsweise die Probleme der Wirtschaft tatsächlich zu lösen seien. An dieser Stelle werden sie in eine der zahlreichen, den Fachleuten wohlbekannten Fallstricke des Themas geraten. „Weich“ sind all jene Wissensbereiche, die methodologisch schwierig und unsicher sind. Dies trifft auf die Freud’sche Psychoanalyse sicherlich zu. Um es ganz deutlich zu sagen: Freud ist nicht unfehlbar. Dennoch hat er viele bedeutende Konzepte herausgearbeitet. Seine Ideen haben die westliche Kultur des 20. Jahrhunderts stark beeinflusst, und unter diesem Einfluss stehen unmerklich auch die Denkweisen jener, die von Freud nichts wissen wollen. An manchen Konzepten Freuds kommt man heutzutage nicht vorbei. Zu ihnen gehört die Sublimierung, die uns hilft, die Persönlichkeit von Leonardo da Vinci und Newton besser zu verstehen. Und doch, wie Freud ausdrücklich einräumt: Das Lächeln der Mona Lisa erklärt die Psychoanalyse nicht. Ebenso wenig wie sie, meine ich, die Geheimnisse des mathematischen Denkens erklärt. Da unser Interesse dem mathematischen Denken gilt – warum habe ich dann Sigmund Freud ins Feld geführt? Nun ja, damit nicht vergessen werde, dass im Gehirn des Mathematikers viele Objekte stecken: Theoreme, Lemmata und Geldsorgen ebenso wie „TÖTET die antisemitische Matrix“. All diese Dinge existieren auf unergründliche Arten nebenund interagieren miteinander. Zum Glück lässt sich das mathematische Denken logisch von den übrigen Dingen trennen; genau das tun wir im vorliegenden Buch. Diese Herauslösung hat einen großen methodologischen Vorzug: Sie trennt einen Bereich ab, der sich in erstaunlicher Tiefe und viel besser analysieren lässt, als dies bei Fragen mit einem psychologischen Bezug möglich wäre. Die Möglichkeit einer tief greifenden Analyse des mathematischen Denkens verleiht dem Thema ein erhebliches philosophisches Interesse. Bei allem aber sollte man nicht vergessen, dass im Geist eines Mathematikers neben schönen mathematischen Gedanken noch viele andere dunkle Objekte umherkreuchen.

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„Tinkering“ und die Konstruktion mathematischer Theorien

Mathematik zu betreiben ist oft ein einsames Unterfangen. Insgesamt betrachtet dagegen ist die Mathematik ein Gemeinschaftserfolg. Mathematiker bewegen sich in einer Geisteslandschaft aus Definitionen, Methoden und Ergebnissen, in der sie sich mehr oder weniger gut auskennen. Anhand dieser Kenntnisse wird neue Mathematik hervorgebracht, und diese Erfindungen verändern die Mathematiklandschaft mehr oder weniger stark. Wie läuft das ab? Worin besteht die Strategie mathematischer Erfindung? Eines ist klar: Man versucht nicht, systematisch und mit Hilfe der formalen Sprache und statthaften Ableitungsregeln sämtliche gültigen Schlussfolgerungen aus den Axiomen der ZFC-Mengenlehre hervorzubringen. Ebenso wenig werden Sie auf der Suche nach dem kürzesten Beweis eines Theorems bei ZFC ansetzen und sich der formalen Sprache bedienen. Vielmehr vollzieht sich die Arbeit immer innerhalb eines Kontexts, in einer Landschaft aus bereits bewiesenen Ergebnissen. Prinzipiell sollte man in formaler Sprache ausdrücken können, was man tut, verwendet jedoch lieber eine natürliche menschliche Sprache wie Deutsch, Französisch oder Englisch, die sich besser zur Vermittlung der Bedeutung mathematischer Gedanken und zur Formulierung der Ziele einer Arbeit eignet. Bedeutung! Ziele! Gefährliche Wörter sind das! In einem früheren Kapitel haben wir über mathematische Strukturen und mathematische Ideen gesprochen. Sie sind in den Axiomen D. Ruelle, Wie Mathematiker ticken, DOI 10.1007/978-3-642-04111-2_20, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010

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nicht enthalten, aber wir konnten sie mit der formalen Mathematik in Beziehung setzen. Bedeutung und Ziele sind etwas Anderes. Für eine Erörterung der Strategie mathematischer Erfindung mögen sie wichtig sein, zumindest an diesem Punkt aber stehen diese Konzepte gänzlich außerhalb der Mathematik. Wir versuchen hier jedoch Bedeutung und Ziele nicht allgemein zu definieren, sondern im besonderen und relativ gut steuerbaren Kontext mathematischen Arbeitens. Ich möchte die Bedeutung zurückstellen und mich auf Ziele konzentrieren. Man kann sagen, dass das Ziel eines Mathematikers beim Arbeiten stets darin besteht, eine mathematische Theorie zu entwickeln. Manchmal ist diese Arbeit gesteuert: Man untersucht, was andere Mathematiker gemacht haben. Manchmal handelt es sich um originale Arbeit. Statt also zu überlegen, worin das Ziel eines Mathematikers besteht, werde ich beschreiben, was er oder sie tatsächlich tut: eine Theorie konstruieren. Eine mathematische Theorie ist ein mathematischer Text, wie er in Kapitel 10 beschrieben wurde. Konkret handelt es sich dabei um eine Sammlung von Aussagen, die in einem logischen Zusammenhang stehen. Darüber hinaus lässt sich eine Theorie als ein kohärentes Konstrukt beschreiben, das sich aus mathematischen Gedanken zusammensetzt. Ein einzelnes Theorem innerhalb dieses Konstrukts mag dabei als wichtiger angesehen werden als die restlichen, sodass man später sagen wird, das Ziel der Arbeit habe darin bestanden, dieses Theorem zu beweisen. Das Ziel mathematischen Arbeitens besteht also darin, eine Konstruktion durchzuführen: eine mathematische Theorie, also eine kohärenten Sammlung mathematischer Gedanken zu konstruieren. Natürlich soll die Theorie interessant sein. Interessant ist eine Theorie, wenn sie bis dahin unbekannte Ergebnisse enthält, vorzugsweise in einer kurzen Formulierung und mit einem nicht trivialen Beweis (das heißt, von bekannten Ergebnissen ausgehend ist der Beweis unbedingt entweder lang oder nicht offensichtlich). Wünschenswert für eine interessante Theorie ist ferner, dass sie sich zum Beweis weiterer Ergebnisse eignet. Die Beurteilung, ob eine mathematische Arbeit interessant ist oder nicht, erfolgt vor dem Hintergrund einer bestimmten mathematischen Landschaft. Was dabei als interessant gilt, wird teilweise von der Geschichte

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und Soziologie des Fachs bestimmt. Es wäre jedoch ein Fehler, die Entscheidung über die Interessantheit einer mathematischen Theorie ausschließlich auf den soziologischen Aspekt zu reduzieren: Die logische Struktur der Theorie spielt eine grundlegendere Rolle. Gemeinhin gibt es in einem einzelnen Bereich der Mathematik Vermutungen, die jene Wissenschaftler, die sich zuvor mit dem Thema befasst hatten, unbewiesen ließen, und die zu interessanten Themen hinführen können. Ich gehe im Folgenden davon aus, dass die praktizierenden Mathematiker, die wir betrachten, gewisse konkrete Vorstellungen davon haben, was sie interessant finden. (Und wir müssen einräumen, dass manche Mathematiker in dieser Hinsicht besseren Geschmack beweisen als andere.). Nach vielen einleitenden Überlegungen sind wir damit endlich beim zentralen Problem der kreativen Mathematik angelangt: Wie konstruiert man eine interessante Theorie? In der Praxis kann das bedeuten: Wie schreibt man einen zwanzigseitigen Artikel, der in den Annals of Mathematics veröffentlicht wird und einem eine unbefristete Anstellung an einer guten Universität sichert? (Bei den Annals handelt es sich um eine gute Fachzeitschrift, die bei der Wahl ihrer Artikel sehr kritisch vorgeht und generell interessante Artikel veröffentlicht.) Die Anzahl der vorstellbaren interessanten zwanzigseitigen Artikel ist ziemlich riesig, die Anzahl der uninteressanten, falschen oder bedeutungslosen zwanzigseitigen Artikel sogar noch riesiger. Der Versuch, einen interessanten zwanzigseitigen Artikel zu schreiben, stellt uns vor ein Problem, das wir in einem früheren Kapitel mit der Suche nach dem Weg durch ein unendlich-dimensionales Labyrinth verglichen hatten. Leben wir die zwanzigseitigen mathematischen Fachartikel kurz beiseite und werfen einen allgemeiner gefassten Blick auf Zeichensequenzen (mathematische oder andere) von einer gewissen Länge: Wir gehen davon aus, dass mit jeder solchen Sequenz ein gewisses Interesse verbunden ist, und wollen uns mit Fragen beschäftigen wie: Wie interessant ist eine Sequenz im Durchschnitt? Wie finde ich eine, die von großem Interesse ist? Was ist eine Sequenz von maximalem Interessantheitsgrad? In der Physik, im Ingenieurswesen und in der Wirtschaftsmathematik kommen solche Fragen auf, und man versucht ihnen mit Computern beizukommen. Wie geht man dabei vor? Nach Maßgabe

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der spezifisch vorliegenden Fragestellung gibt es viele Methoden, ich würde jedoch sagen, dass zwei Grundgedanken berücksichtigt werden sollten: (a) die Möglichkeit der Auswahl nach dem Zufallsprinzip und (b) das Herumprobieren oder auch „Tinkering“. Sehen wir uns zunächst die Auswahl nach dem Zufallsprinzip an. Die Anzahl aller vorhandenen Zeichenfolgen ist meist derart groß, dass die Betrachtung jeder einzelnen ein hoffnungsloses Unterfangen wäre. Zur Abschätzung des durchschnittlichen Interessantheitsgrads einer Sequenz nimmt man sich daher nicht alle vor, sondern nur eine Stichprobe. Das heißt, man greift willkürlich 1.000 oder 1 Mio Sequenzen heraus und berechnet ihren durchschnittlichen Interessantheitsgrad. Nach diesem Prinzip arbeitet die von Physikern so genannte Monte-Carlo-Methode (in Anspielung auf den Zufallsfaktor bei den Glücksspielen in den Kasinos von Monte Carlo). Durch eine Zufallsstichprobenerhebung lassen sich manchmal Verbesserungen erzielen, jedwede planmäßige Erhebung ist jedoch normalerweise ein Fehler. Die Suche nach einer Sequenz mit einem streng maximalen Interessantheitsgrad ist in der Regel aussichtslos, man kann jedoch auf die Suche nach einer Sequenz von hohem Interesse gehen: Betrachte eine Anzahl zufällig ausgewählter Zeichenfolgen und wähle die beste aus. Verbessern lässt sich diese Methode, indem man sich eine Eigenschaft zunutze macht, die vielen Problemen eignet: Sequenzen, die nicht weit von einer anderen mit hohem Interessantheitsgrad liegen, sind von überdurchschnittlich hohem Interesse. Aus diesem Umstand ergeben sich neue Strategien, bei denen man die Zeichenfolgen nach dem Zufallsprinzip in kleinen, aufeinanderfolgenden Schritten und mit einer Tendenz in Richtung interessanterer Sequenzen durchwandert.1 Die Idee vom zufälligen Umherwandern mit einer Tendenz in Richtung eines wachsenden Interessantheitsgrads führt uns zum Konzept des Herumprobierens, mit dem englischen Begriff auch „Tinkering“ genannt, das der Biologe François Jacob2 in Verbindung mit der biologischen Evolution geprägt hat. Jacob beschäftigt sich unter anderem mit der Evolution der Proteine, der wir uns nun kurz zuwenden wollen. (Man beachte, dass die Zahl der Untersuchungen zur Evolution der Proteine wie bei vielen anderen Themen der Biologie nach dem 1977 veröffentlichten Artikel von Jacob explosionsartig zunahm.) Ein mittel-

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großes Protein wird von einer Sequenz aus etwa 1.000 Zeichen codiert, das einen von vier Werten einnehmen kann (eine der vier Basen A, T, G und C). Es gibt über 10600 solcher Sequenzen! Eine interessante Sequenz codiert für ein nützliches Protein (in einer gegebenen Spezies). Findet man eine neue interessante Sequenz nun auf dem Wege der Überprüfung von 10600 Möglichkeiten? Nein – dies geschieht über das Herumprobieren mit bereits vorhandenen Sequenzen. Bei vielen Proteinsequenzen lässt sich die Evolutionsgeschichte über 1 oder 2 Mrd Jahre zurückverfolgen (vor diesem Zeitraum lagen die chemische Evolution und frühe selbstreplikative Systeme, die sich unserem Zugriff derzeit entziehen). Einige Proteinfamilien sind untersucht worden; sie besitzen eine gemeinsame Vorläufersequenz, aus der sie durch Punktmutationen hervorgegangen sind. Dies zeigt beispielhaft die oben beschriebene Strategie eines ziellosen, zufälligen Umherwanderns (einzelne Mutationen) unter Zeichenabfolgen mit einer Tendenz in Richtung eines wachsenden Interessantheitsgrads. Die Proteine innerhalb einer Familie haben die gleiche Grundform und können in unterschiedlichen Spezies vorkommen, oder aber verschiedenartige Proteine aus derselben Familie kommen in derselben Art vor. Zwei Proteine aus einer Familie können miteinander zusammenhängende Aufgaben haben oder auch nicht. Dies kann der Fall sein, wenn eine die für ein Protein codierende Sequenz (infolge einer Genverdoppelung) für andere Aufgaben verfügbar wird. Infolge des Evolutionsdrucks kann das verdoppelte Gen wieder verloren gehen, da es nutzlos ist, oder es beginnt durch Mutation ein neues Leben und codiert für ein Protein mit einer neuen Aufgabe. Durch das Herumexperimentieren, das Tinkering, mit einem alten Protein entsteht also ein neues, nützliches Protein. Tinkering in der Protein-Evolution kann über Punktmutationen in vorhandenen Sequenzen hinausgehen. Manchmal werden Abschnitte zweier Gene, die für unterschiedliche Proteine codieren, zusammengefügt, und das Produkt codiert für ein neues Protein. Findet das so entstandene Mosaikprotein eine Verwendung, ist es das erste Mitglied einer neuen Familie mit einer Form, die sich von der seiner Protein-Eltern unterscheidet. François Jacob beschreibt die biologische Evolution als einen allgemeinen Prozess des Herumprobierens. Im Verlauf dieses Prozesses können aus bereits vorhandenen Proteinen neue, nützliche Proteine

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hervorgehen, oder aus einem Bein wird ein Flügel, aus einem Stück Kiefer ein Teil eines Ohrs und so weiter. Man könnte den Prozess des Tinkering in der biologischen Evolution als geistlos bezeichnen, dennoch ist er außergewöhnlich erfolgreich. Ein menschlicher Erfinder wäre nicht imstande, so wunderbare Produkte der Evolution wie eine Stechmücke oder ein menschliches Gehirn zu entwerfen. Gleichzeitig aber würde ein menschlicher Erfinder vielleicht manche Vorgehensweisen der Evolution vermeiden, die unklug erscheinen (wie die punktuelle Zusammenführung des Wegs, den die Nahrung vom Mund in den Magen nimmt, mit dem Weg der Luft von der Nase zur Lunge).3 Der (von Aharon Kantorovich4 entwickelte) Gedanke, dass das Herumprobieren neben der biologischen Evolution auch bei wissenschaftlichen Entdeckungen eine Rolle spielt, liegt auf der Hand. Insbesondere gilt dies für die Konstruktion mathematischer Theorien, bei der man in der Hoffnung, auf etwas Interessantes zu stoßen, vorhandene Konzepte nach dem Zufallsprinzip variiert. Oder man kombiniert die Fakten, die man kennt, auf unterschiedliche Weise, bis man ein wertvolles Ergebnis erhält. Dies ist die Verknüpfung von Gedanken, die sich unbewusst vollziehen kann und die Henri Poincaré und Jacques Hadamard für uns beschrieben haben. Natürlich aber ist das willkürliche Kombinieren von Ideen nur ein Teil der Geschichte. Mathematiker, die in einem bestimmten Bereich der Mathematik arbeiten, haben exakte Vorstellungen von den Strukturen, die in diesem Bereich eine Rolle spielen, und werden auf der Grundlage dieser strukturellen Vorstellungen zum Teil durchaus systematisch vorgehen. Mit anderen Worten: Für einen praktizierenden Mathematiker ist die Mathematik ein bedeutungsvolles Fach. Die Bedeutung gilt es zu entdecken. Sie liegt nicht auf der Hand, ist aber doch vorhanden. Und nun müssen wir uns einem ernsthaften Problem zuwenden: Welchen Sinn können wir dem Wort Bedeutung in der Mathematik zuschreiben?

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Mathematische Erfindung

Wenn Sie in irgendeiner Weise mit einer Universität zu tun haben, werden Sie womöglich schon einmal die Bibliothek der mathematischen Fakultät besucht haben. Wenn nicht, möchte ich Ihnen vorschlagen, dies zu tun. Sie werden dort an Tischen Studierende und Lehrkräfte arbeiten sehen, ein paar Computer, Stapel von Büchern, noch mehr Stapel jahrgangsweise gebundener mathematischer Fachzeitschriften und Auslagen laufender Jahrgänge von Annals of Mathematics, Inventiones Mathematicae und Dutzender weiterer Fachblätter. Beim Durchblättern eines Exemplars finden Sie längere und kürzere Artikel zu verschiedenen abgehobenen Fragen. Jeder dieser Artikel beginnt mit Titel, Name und Standort des Autors sowie dem Abstract (einer kurzen Zusammenfassung), gefolgt vom Haupttext mit Theoremen, Beweisen und so fort; am Ende schließlich sind Verweise auf andere Artikel verschiedener Autoren aufgeführt. In einer solchen Zeitschrift werden Sie häufig kürzere Beiträge finden, deren Titel einen lateinischen Begriff wie errata, addenda oder corrigenda enthält. Diese Errata stammen von den Autoren früherer Veröffentlichungen, die nun einräumen, dass in ihrem Artikel etwas nicht ganz richtig war, und versuchen dies zu beheben. Dabei mag es sich lediglich um erforderliche Ergänzungen des Literaturverzeichnisses handeln, auf die ein Kollege „freundlicherweise“ hingewiesen hat. Häufiger jedoch hat der Kollege freundlicherweise auf einen wirklichen Fehler im Beweis hingewiesen. In manchen Fällen D. Ruelle, Wie Mathematiker ticken,  DOI 10.1007/978-3-642-04111-2_21, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010

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müssen die Autoren dann zugeben, dass ihr „Haupttheorem“ unbewiesen bleibt, woraufhin sie dann vielleicht ein schwächeres, weniger interessantes Ergebnis vorschlagen. Solche „ehrenhaften Niederlagen“ sind allerdings nicht die Regel. Meistens danken die Autoren dem Kollegen, der zu einem Lemma in ihrem Artikel freundlicherweise ein Gegenbeispiel angeführt hat, weisen anschließend jedoch darauf hin, dass sich das Hauptergebnis des Artikels aus einem schwächeren Lemma ergibt, das unanfechtbar korrekt ist. Wie kann es sein, dass in einem Artikel so häufig ein Fehler entdeckt wird und sich dieser dann aber doch mehr oder weniger leicht beheben lässt? Die Antwort lautet, dass die Ergebnisse in einem Artikel nicht so dargestellt werden, wie sie erzielt wurden. Ein Fachartikel ist eine Beschreibung einer vom Autor konstruierten mathematischen Theorie (oder eines Teils einer solchen). Diese Konstruktion umfasst die Annahme verschiedener mathematischer Gedanken und deren Zusammenhänge. Häufig sind die Gedanken problematisch (etwas scheint offensichtlich, müsste später aber doch überprüft werden, oder etwas könnte – in Analogie zu einem bekannten Ergebnis – zutreffen, bedarf aber unbedingt eines Beweises). Will man also eine mathematische Theorie konstruieren, muss man ein Gedankennetz postulieren und dieses Netz schrittweise absichern und abwandeln, bis es logisch unangreifbar ist. Erst dann hat man eine Theorie. Tatsächlich steht im Normalfall anfangs nicht fest, ob es gelingen wird, die Konstruktion wie ursprünglich geplant zu Ende zu bringen (sonst wäre die Theorie uninteressant). Auf jeden Fall sollte man sich im Verlauf der Konstruktion auf die schwächeren Glieder in seiner Beweisführung konzentrieren: Dort ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Theorie scheitert, am größten, und das früh zu wissen, spart Zeit. Die leichten und sicheren Schritte werden zurückgestellt und in der letzten Bearbeitung oft mit einem Satz abgetan: „Es liegt auf der Hand, dass …“, „Es ist allgemein bekannt, dass …“. Ist das Gedankennetz, das die Theorie ausmacht, einmal gesichert, muss man das Ganze immer noch zusammenschreiben und dabei den Aufbau der Darstellung, die Terminologie und die Notation festlegen und hoffen, dass die Klärung der letzten Details keine böse Überraschung mit sich bringt. Eine große Rolle beim Verfassen der Endfassung eines

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Artikels können sekundäre Erwägungen spielen: die Verknüpfung der Arbeit zu denen anderer Mathematiker oder die Formulierung eines Zwischenergebnisses in allgemeinerer Form, als die mathematische Strenge es erfordert, sodass dieses Ergebnis einen eigenständigen Interessantheitsgrad erhält. Ein guter Mathematiker, der sich eine ganze Zeitlang mit der primären Arbeit der Ausarbeitung seiner Theorie auseinandergesetzt hat, wird die sekundäre Ausarbeitung, also das Zusammenschreiben der Endfassung, vielleicht lockerer angehen. Aus eben dieser lockeren Haltung heraus (Ich will mit diesem verdammten Artikel fertig werden, ihn veröffentlichen und nicht mehr daran denken) entstehen Fehler, und diese Fehler lassen sich normalerweise beheben, ohne die Hauptresultate des Artikels zu beeinträchtigen. Wir könnten sagen, dass unser guter Mathematiker, nachdem er viel Zeit mit der Erkundung eines bestimmten Teilstücks der mathematischen Landschaft verbracht hat, einen Artikel verfasst, in dem er nur einen Weg durch diese Landschaft beschreibt. Ist eine Abkürzung auf diesem Weg gesperrt, lässt sich wahrscheinlich ein anderer Weg finden. Wir waren übereingekommen, dass der Kern der mathematischen Arbeit in der Konstruktion einer mathematischen Theorie besteht. Ich möchte nun einige strategische Prinzipien für eine solche Konstruktion zu umreißen versuchen. Dabei werde ich zwangsläufig informell vorgehen. Vergessen Sie nicht, dass die uns bekannten Grundsätze kein Programm darstellen, das wir in einen Computer eingeben könnten. Ein erstes Prinzip ist das der Planung. Die Konstruktion einer mathematischen Theorie beginnt mit einem Plan, einem Netz aus mehr oder weniger problematischen Ideen, wobei gut möglich ist, dass diese im weiteren Verlauf tief greifend verändert werden müssen. Denken Sie daran, dass wir die Protein-Evolution durch Punktmutationen, von der in Kap. 20 die Rede war, als einen Prozess effektiven, aber geistlosen Herumprobierens bezeichnet hatten. Im Gegensatz dazu können wir die Planung der Konstruktion einer mathematischen Theorie als einen geistigen Prozess bezeichnen. Mit dieser Aussage wird lediglich ein Unterschied zwischen geplanter Konstruktion und Herumprobieren festgestellt und in einer gängigen Weise benannt. (Wir können das Wort „geistig“ verwenden, ohne zuvor das generelle metaphysische Problem

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der Definition von Intelligenz gelöst zu haben. Beachten Sie jedoch, dass diese Verwendung des Worts dann keine Aussagekraft besitzt.) Natürlich müssen wir an dieser Stelle erklären, wie die Konstruktion einer mathematischen Theorie zu planen ist, das heißt, wie man ein logisch kohärentes Netz mathematischer Gedanken knüpft. Ich werde hier einige allgemeine Grundsätze erörtern – die Verwendung bekannter mathematischer Fakten und struktureller Gedanken, den Gebrauch von Analogien – und abschließend einige Anmerkungen zur Intuition machen. Die Verwendung bekannter mathematischer Fakten umfasst die unter Umständen einfache und offensichtliche Anwendung bekannter Theoreme. Wer zum Beispiel nach den komplexen Zahlen z sucht, für die gilt z2 – 3z + 1 = 0, weiß über den Fundamentalsatz der Algebra, dass es zwei dieser komplexen Zahlen gibt, und gelangt über eine bekannte Formel √ √ zu den Lösungen (3 – 5 )/2 und (3 + 5 )/2 (reelle Zahlen). Manchmal ist die Anwendung der bekannten Theoreme und Formeln schwierig und tückisch, und manchmal muss vielleicht ein Computer eingesetzt werden.1 Für manche Problemstellungen (wie die Vereinfachung algebraischer Ausdrücke) bedarf es hartnäckigen Herumprobierens, das über ein Computerprogramm ausgeführt werden und durchaus nicht-triviale Ergebnisse hervorbringen kann. Ich möchte hier einige Bemerkungen zum Software-Paket Mathematica zitieren: Der Begriff Transformationsregeln ist sehr allgemein zu verstehen. Im Grunde können Sie sich Mathematica insgesamt einfach als ein System denken, das eine Ansammlung von Transformationsregeln auf viele verschiedene Ausdrücke anwendet. Das Grundprinzip, dem Mathematica folgt, ist leicht zu formulieren. Es nimmt sich jeden beliebigen Ausdruck, den Sie eingeben, und erzielt Ergebnisse, indem es eine Abfolge von Transformationsregeln anwendet, bis es keine weiteren anwendbaren Transformationsregeln mehr kennt.2 Die Verwendung von Strukturvorstellungen ist in der zeitgenössischen Mathematik allgegenwärtig. Ich möchte ein einfaches Beispiel nennen:

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Nehmen wir an, wir hätten eine Menge S, wobei die Elemente a, b ∈ S mit einem Element a × b ∈ S verknüpft seien. Wir müssen dann fragen, ob die Operation × assoziativ ist (d. h., ob ( a × b) × c = a × ( b × c)) und ob S mit dieser Operation eine Gruppe ist. Wenn S keine Gruppe ist, lässt sich S irgendwie zu einer Gruppe erweitern? (Ohne ins Detail zu gehen, möchte ich hier erwähnen, dass der hartnäckige Wille, eine Gruppenstruktur einzuführen, ein wichtiges Forschungsgebiet hervorgebracht hat: die von mehreren Mathematikern aus einem ursprünglich von Grothendieck stammenden Gedanken entwickelte K-Theorie.) Auf eine Erörterung an früherer Stelle zurückgreifend möchte ich wiederholen, dass mathematische Strukturen eine Erfindung des Menschen sind. In manchen Fällen (beispielsweise bei der Maßtheorie) sind sich die Mathematiker nicht einig, welche natürliche Struktur zu verwenden sei. Strukturelle Erwägungen (einschließlich der Verwendung von Kategorien und Funktoren) sind jedoch eine zentrale Eigenschaft mehrerer Teilbereiche der heutigen Mathematik. In anderen Bereichen scheinen strukturelle Erwägungen eine weniger zentrale Rolle zu spielen. Trotzdem machen sich Mathematiker häufig auch dann über Strukturen Gedanken, wenn diese nicht offenbart werden. Man könnte den strukturellen Ansatz in der Mathematik als ein ideologisches Vorurteil sehen – das sich jedoch als ein bemerkenswert fruchtbares Vorurteil erwiesen hat, von dem man behaupten kann, dass es einen wichtigen Teil des obskuren Objekts der mathematischen Untersuchung erfasst: die mathematische Realität. Die Analogie ist ein wirkmächtiges Werkzeug für das mathematische Arbeiten, vor allem in der Planungsphase einer Theorie. Im Unterschied zur Verwendung bekannter Fakten und struktureller Erwägungen ist die Analogie jedoch keine zuverlässige Richtschnur. Aufgrund der Tatsache, dass etwas in der einen Situation zutrifft, will man annehmen, dass etwas Verwandtes auch in einer anderen Situation gilt, in der man eine gewisse Ähnlichkeit zu erkennen meint. Im Wissen, dass es einen Algorithmus (Euklid) für die Teilung einer ganzen Zahl durch eine andere gibt (mit Rest), können wir zum Beispiel annehmen, dass sich mit Polynomen anstelle der ganzen Zahlen etwas Ähnliches machen lasse. Solche Mutmaßungen erfordern eine gute Kenntnis der

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Mathematik, ein gutes Gespür für Ähnlichkeit und Unterschiedlichkeit. Der große Vorteil der Analogie liegt darin, dass sie uns den Einstieg in die Konstruktion einer Theorie liefern kann. Aber es gibt keine Garantie dafür, dass sich eine Analogie auch erfolgreich weiterführen lässt. Die Verwendung einer Analogie ist kein völlig logischer Prozess, was manche Mathematiker freuen und andere ärgern wird. Letztere werden nachvollziehen wollen, warum zwei Theorien einander ähnlich sind, und werden dazu vielleicht eine allgemeiner gefasste Theorie finden, die beide als Sonderfälle umfasst. Wie sieht es mit der mathematischen Intuition aus? Wenn wir ein mathematisches Thema untersuchen, entwickeln wir ein Gespür dafür. Wir speichern eine Vielzahl von Fakten in unserem Gedächtnis ab, auf die wir sofort und selbst unbewusst zugreifen können. Da unser mathematisches Denken teilweise unbewusst und teilweise nonverbal abläuft, lässt sich gut von einer intuitiven Vorgehensweise sprechen. Das bedeutet, dass mathematische Denkprozesse schwer zu analysieren sind. Es bedeutet meiner Meinung nach jedoch nicht, dass mathematische Intuition in irgendeiner Weise übersinnlich sei. Der Begriff des Übersinnlichen bringt mich auf eine kuriose Tatsache: Mathematiker sind religiöser als die meisten anderen Wissenschaftler. Tatsächlich liegt der Prozentsatz derer, die an Gott und an ein Leben nach dem Tod glauben, bei Mathematikern doppelt so hoch wie bei Physikern.3 Für mich bedeutet dies, dass Mathematiker – statistisch gesehen – eine andere Beziehung zur Wirklichkeit haben als Physiker. (Vielleicht sollte ich hier auch meine persönliche Einstellung zu dieser Frage anführen: Ich bin auf liberale Weise areligiös. Mir jagen gleichermaßen religiöse Fanatiker wie fanatische Religionsgegner Angst ein.) Vielleicht ist es nun an der Zeit, ein paar Worte zur Bedeutung in der Mathematik zu sagen. Wie wir gesehen haben, entspricht die Darstellung einer mathematischen Theorie in einem fachspezifischen Artikel nicht ganz dem, was der Autor anfänglich vorhatte. Intuitive Gedanken und nonverbale Konzepte müssen herausgeputzt und in Fachjargon gekleidet werden. Daraus könnte man nun schließen, dass irgendwo hinter den Formeln und Fachtermini der Magazine die wahre Bedeutung der Mathematik verborgen liege und dass diese nicht formaler Natur

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sei. Tatsächlich erklären Redner bei Vorlesungen (die weniger formal sind als Artikel) gern, was ein Theorem „eigentlich bedeutet“. Warum also wirft man nicht die gestelzte formale Sprache der gedruckten Mathematik über Bord und erklärt die eigentliche Bedeutung dessen, was man tut? Um nachvollziehen zu können, was sich hier abspielt, erinnern wir uns daran, dass es bei der Mathematik um Erkenntnis geht, nicht um Meinungen. Dahinter steckt die Tatsache, dass die Mathematik seit den antiken Griechen eine solide Basis aus Axiomen und Ableitungsregeln hat. Ausgehend von dieser Basis werden Theorien entwickelt. Aus den Theorien wiederum erwächst eine Intuition, die den Theorien vorgreift, Analogien erkennt und Vermutungen formuliert. Neue Ergebnisse führen zu einer neuen Intuition, die ihrerseits vielleicht eine Veränderung der logischen Struktur von Theorien mit all ihren Axiomen und Definitionen nach sich zieht. Die intuitive Bedeutung der Mathematik aber hat ihre Wurzeln im Formalismus. Wollte man den Formalismus aufgeben und allein die intuitive Bedeutung beibehalten, würde es in der Mathematik schon bald um Meinungen gehen und nicht um die Erkenntnis. Auf diese Weise käme der Fortschritt der Mathematik rasch zum Stillstand.

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Mathematische Physik und emergentes Verhalten

Das große Buch der Natur ist laut Galilei in der Sprache der Mathematik geschrieben.1 Zumindest lässt sich behaupten, dass Erforscher der physikalischen Welt, angefangen mit Galilei, es sich zur Aufgabe gemacht haben, das Buch in die Sprache der Mathematik umzuschreiben. Auch Physiker sind in gewissem Sinne Mathematiker. Manche Physiker benutzen allerdings sehr wenig Mathe. Andere, die sich selbst als mathematische Physiker bezeichnen, verwenden für ihre Erforschung des großen Buchs nicht-triviale Mathematik. Newton war zweifellos ein mathematischer Physiker. Auch Einstein2 beschrieb sich selbst als mathematischen Physiker. Später gab es eine Zeit Mitte des 20. Jahrhunderts, in der viele Physiker, darunter Richard Feynman,3 mit der Mathematik nichts zu tun haben wollten. Feynman verfügte allerdings über gute Kenntnisse der klassischen Mathematik, und das von ihm eingeführte FeynmanIntegral ist ein fundamentaler Beitrag zur konzeptuellen Mathematik. Die Vertrautheit anderer Physiker mit der Mathematik hingegen erschöpfte sich häufig in „einer rudimentären Kenntnis des lateinischen und des griechischen Alphabets“.4 Ihr großes Comeback in der Physik feierte die Mathematik Ende des 20. Jahrhunderts mit der populären String-Theorie, die zu wichtigen Entwicklungen in der reinen Mathematik geführt hat, mit dem großen Buch der Natur jedoch bislang nur sehr begrenzt in Verbindung steht. Heute werden unter dem Oberbegriff Mathematische Physik zahlreiche Fachartikel von Autoren veröffentlicht, D. Ruelle, Wie Mathematiker ticken,  DOI 10.1007/978-3-642-04111-2_22, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010

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die physikalisch nicht gut ausgebildet sind; diese Beiträge sind oftmals von etwas zweifelhaftem wissenschaftlichen Rang. Auf die Gefahr hin, auf Offensichtlichem herumzureiten, möchte ich betonen, dass Sinn und Zweck der Physik nicht darin bestehen, „nicht-triviale physikalische Theoreme“ zu beweisen, sondern darin, mit jeder nur funktionierenden Methode das große Buch der Natur zu verstehen – und das kann auch die Entwicklung neuer mathematischer Theorien einschließen. Die oben formulierten Anmerkungen sind nicht polemisch gemeint: Wissenschaftlerkollegen, die dieses Kapitel lesen, werden sich der Komplexität der Situation bewusst sein und ihre eigene Meinung zum Thema haben. Andere Leser seien lediglich gewarnt, dass „mathematische Physik“ unterschiedlich interpretiert werden kann. Für mich ist die mathematische Physik etwas Einzigartiges: Die Natur persönlich nimmt uns an die Hand und zeigt uns die Konturen mathematischer Theorien, die ein reiner Mathematiker ohne Hilfestellung nicht erkennen würde. Dennoch bleiben viele Details verborgen und es ist an uns, diese ans Licht zu holen. Einen Aspekt dieser Aufgabe empfinde ich als besonders faszinierend: dem emergenten Verhalten physikalischer Systeme eine mathematische Deutung zu geben, was ich gleich erläutern werde. Ein Meilenstein in der Geschichte der Physik ist die Entdeckung der Naturgesetze – der klassischen Mechanik und der Gravitation durch Newton und Einstein, der Gesetze der Quantenmechanik durch Heisenberg und Schrödinger.5 Von diesen grundlegenden Gesetzen der Natur ausgehend kann man heute im Prinzip fast alle beobachteten physikalischen Phänomene erklären. Aktuell werden erhebliche Anstrengungen unternommen, um eine „Theorie von Allem“ zu erhalten, mit der sich prinzipiell alle beobachteten physikalischen Phänomene erklären ließen. Mit einer solchen Theorie wird der Mensch jede physikalische Größe berechnen können, wenn auch vielleicht unter großen Schwierigkeiten und mit begrenzter Genauigkeit. Es hat den Anschein, als würde der interessanteste Teil der Physik dann hinter uns liegen und vor uns „nur noch Berechnungen“. Das ist jedoch nicht der Fall, weil es in der Physik wichtige konzeptuelle Problemstellungen gibt, die weit über die Entdeckung der Naturgesetze hinausgehen. In vielen Bereichen der Mathe-

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matik ist die Situation eigentlich die gleiche. Jenseits der fundamentalen Gesetze der Arithmetik stehen wichtige konzeptuelle Probleme. Gibt es unendlich viele Primzahlen? Sind sie gemäß dem Primzahlsatz verteilt? Und dergleichen mehr. Nehmen wir an, Sie wollten das Verhalten von Wasser verstehen, vorausgesetzt, Sie wissen über die Grundgesetze der Mechanik der Wassermoleküle Bescheid. Interessieren würde Sie dann zum Beispiel das Phänomen der Phasenübergänge: Warum wird Wasser, wenn man seine Temperatur ändert, zu Eis oder zu Wasserdampf? Sie würden die Viskosität von Wasser (seinen Widerstand gegen eine Verformung) berechnen und Turbulenz verstehen wollen. (Dass sie sich problemlos in jeder Badewanne erzeugen lässt, trägt nicht sonderlich zum Verständnis dessen bei, was Turbulenz ist.) Die eben genannten Eigenschaften sind emergente Eigenschaften. Sie sind nicht Merkmale von einem oder von zehn Wassermolekülen – sie treten im Limit von unendlich vielen auf. Es stimmt, im Labor arbeitet man stets mit einer endlichen Menge Wasser, aber die Anzahl der Moleküle in einem Liter Flüssigkeit ist riesig und die Eigenschaften, um die es geht, sind (in erster Näherung) die eines unendlichen Systems. Hier könnte ich in Versuchung geraten, in größerem Detail auf Phasenübergänge (statistische Gleichgewichtsmechanik), Viskosität (statistische Nichtgleichgewichtsmechanik) oder Turbulenz einzugehen, denn diesen gilt mein berufliches Interesse. Doch die fachlichen Details sind hier unzumutbar und würden uns vom eigentlichen Ziel dieses Kapitels ablenken, nämlich von der Erörterung der Beziehungen zwischen Mathematik und mathematischer Physik bei der Untersuchung emergenter Eigenschaften von Vielteilchensystemen. Ich möchte im Folgenden drei Anmerkungen zur mathematischen Physik machen, die ich für wichtig halte. Eine erste wichtige Anmerkung lautet: Die Natur gibt uns mathematische Hinweise. Beim Wasser besteht der Hinweis darin, unendlich viele Wassermoleküle zu betrachten, um über Dinge wie Phasenübergänge oder Viskosität sprechen zu können. Doch die Natur erzählt uns nicht alles – es bedurfte des Genies von Boltzmann und Gibbs6 und einer Menge weiterführender Arbeiten, um zu verstehen, wie sich manche

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Probleme, darunter die Phasenübergänge, innerhalb des Rahmens der statistischen Gleichgewichtsmechanik analysieren lassen. Und diese Theorie ist sehr viel einfacher als die statistische Nichtgleichgewichtsmechanik, die man zur Untersuchung etwa der Viskosität benötigt. Bei der statistischen Nichtgleichgewichtsmechanik muss die zeitliche Entwicklung eines unendlichen Systems von Molekülen betrachtet werden. Dieser dynamische Aspekt taucht, wie wir gleich sehen werden, in der statistischen Gleichgewichtsmechanik nicht auf; dort fehlt die Zeit. Eine zweite wichtige Anmerkung lautet: Die mathematische Physik befasst sich mit idealisierten Systemen. Wir wissen, dass ein Wassermolekül aus von Elektronen umgebenen Sauerstoff- und Wasserstoffkernen besteht und dass auch die Kerne eine zusammengesetzte Struktur besitzen. Es gibt gute Gründe, davon auszugehen, dass diese komplizierten Einzelheiten für das Verständnis der oben erwähnten Vorgänge des Gefrierens und Verdampfens nicht von maßgeblicher Bedeutung sind. Ein vernünftiger Ansatz (im Grunde der einzig praktikable Ansatz) ist die Untersuchung einer Mannigfaltigkeit von idealisierten Systemen. Einfachere Modelle lassen sich leichter und detaillierter analysieren und sind mathematisch vielleicht interessanter. Aufwendigere Modelle kommen der physikalischen Realität vielleicht näher und liegen Physikern daher mehr am Herzen. Die dritte wichtige Anmerkung lautet: Die Natur kann auf ein Theorem hinweisen, aber sie sagt nicht deutlich, unter welcher Bedingung es zutrifft. Diese Anmerkung ist eine Ergänzung zur ersten, in der Erörterung der statistischen Gleichgewichtsmechanik werden wir gleich ein Beispiel sehen. Die statistische Gleichgewichtsmechanik ist eine emergente Theorie. Sie verwendet einige Konzepte, wie das der Energie, die in der (klassischen oder Quanten-)Mechanik bereits vorkommen, und andere, neue Konzepte wie Gleichgewichtszustand und Temperatur. Dazu muss ich anmerken, dass Physiker gewisse Materiezustände als besonders einstufen und mit dem Begriff „Gleichgewichtszustände“ bezeichnen;7 ein Beispiel hierfür wäre 1 kg Wasser im Ruhezustand in einem bestimmten Volumen V bei einer bestimmten absoluten Temperatur T > 0. Das Wasser besteht aus N Molekülen (die 1 kg entsprechen), die unterschiedliche

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Positionen und Geschwindigkeiten haben können. (Wir wählen hier die klassische Beschreibung, nicht die quantenmechanische.) Die klassische statistische Gleichgewichtsmechanik beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass die N Teilchen bestimmte Positionen einnehmen und bestimmte Geschwindigkeiten aufweisen. Da das Wassermolekül H2O im Raum unterschiedlich ausgerichtet sein kann und da dies in der vorliegenden Diskussion eine unerwünschte Komplikation darstellt, ersetzen wir Wasser durch Argon. Das Argon-Molekül ist ein Einzelatom, das wir als kugelsymmetrisch ansehen können, sodass seine Position durch die Koordinaten x = ( x1, x2, x3) seines Mittelpunkts angegeben wird. (Ich werde in der Folge mit ein paar Formeln argumentieren, die den Sachverhalt manchen Lesern klarer machen wird; wem dagegen die Formeln nichts sagen, möge das Folgende einfach rasch durchlesen.) Statt der Geschwindigkeit v wird normalerweise der Impuls p = mv = ( p1, p2, p3) betrachtet, wobei m die Masse eines Argon-Atoms ist. Die Energie der N miteinander in Wechselwirkung stehenden Argon-Atome im Volumen V ist eine Funktion E(x1 , . . . , xN , p1 , . . . , pN )

der N Positionen (im Volumen V) der Atome und ihrer N Impulse. Die klassische statistische Gleichgewichtsmechanik nennt die Wahrscheinlichkeit, dass jede Koordinate der Position in einem (Infinitesimal-)Intervall ( xji, xji + dxji) und jede Komponente des Impulses in einem Intervall ( pji, pji + dpji) liegt; diese Wahrscheinlichkeit ist = Ce

−E(x1 , ..., xN , p1 , ..., pN )/kT

3  N 

dxji dpij ,

i=1 j=1

Dabei ist T die absolute Temperatur, k eine Naturkonstante (BoltzmannKonstante), und die Konstante C wird angeglichen, sodass die Integrale über x1, …, xN im Volumen V und p1, …, pN in R3 gleich 1 ist. Der Einfachheit halber habe ich hier keine quantenmechanischen, sondern klassische Systeme erläutert und, Boltzmann und Gibbs folgend, ein Wahrscheinlichkeitsmaß dargestellt, das den Gleichgewichtszustand

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eines Systems aus einer großen Anzahl N von Teilchen beschreibt. (Dieses Wahrscheinlichkeitsmaß ist in Fachkreisen unter der seltsamen Bezeichnung Kanonisches Ensemble bekannt.) Hingewiesen sei darauf, dass die zeitliche Entwicklung unserer N Teilchen außer Acht gelassen wurde. Dahinter steckt der Gedanke (von Boltzmann, Gibbs und anderen), dass es ein emergentes Verhalten einer Klasse von Zuständen großer Systeme gibt (sogenannter Gleichgewichtszustände), für welche die zeitliche Entwicklung keine Rolle spielt. Das Problem der Rechtfertigung des emergenten Verhaltens von Gleichgewichtszuständen ist äußerst interessant, kann aber, wenn man möchte, ignoriert werden; es liegt außerhalb des Anwendungsbereichs der statistischen Gleichgewichtsmechanik. Die Gründerväter der statistischen Gleichgewichtsmechanik interessierten sich für den Limit großer Systeme; diese Systeme zeigen ein sehr typisches extensives Verhalten. Tatsächlich lernen wir von der Natur, dass bei einer bestimmten Temperatur die Verdoppelung der Molekülanzahl und des Behältervolumens (die Form des Behälters spielt keine allzu große Rolle) auch zur Verdoppelung der Energie des Gleichgewichtszustands führt. (Präziser formuliert müssten wir von der gemittelten Energie im Gleichgewichtszustand sprechen und feststellen, dass sie sich verdoppelt, bis auf geringe Abweichungen.) Die Natur macht also deutlich, dass es für ein großes System im Gleichgewicht intensive Variablen (Temperatur, Druck, …) und extensive Variablen (Anzahl der Teilchen, Volumen, Gesamtenergie, …) gibt derart, dass wir die Werte sämtlicher extensiven Variablen verdoppeln und dabei gleichzeitig die Werte der intensiven Variablen (bis auf geringe Abweichungen) beibehalten können. Offensichtlich gibt es ein Theorem, mit dem sich dieses extensive oder thermodynamische Verhalten erklären lässt, aber die Natur verrät uns nicht, unter welchen Bedingungen es gilt. (Dass die Natur ihre Hinweise so vage formuliert, war unsere dritte wichtige Anmerkung.) Legt stellares Gas etwa ein thermodynamisches Verhalten an den Tag? Nein! Die von Astronomen beobachteten Kugelsternhaufen bilden keine Gleichgewichtszustände: Sie schrumpfen allmählich und verdampfen. Tatsächlich führt die wechselseitige Anziehungskraft der Gravitation zwischen Sternen nicht zu thermodynamischem Verhalten.

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Soeben habe ich an einem Beispiel emergentes (hier: thermodynamisches) Verhalten skizziert, durch welches die Natur auf eine mathematische Theorie hinweist, die Ausformulierung der Details jedoch den mathematischen Physikern überlässt. Eine nicht weniger große Herausforderung stellt die Untersuchung anderer Arten emergenten Verhaltens dar, wie die statistische Nichtgleichgewichtsmechanik oder die hydrodynamische Turbulenz zeigen. Mitunter sind die neuen mathematischen Strukturen, die in Untersuchungen im Bereich der mathematischen Physik entdeckt wurden, aus einem rein mathematischen Gesichtspunkt und auch für Anwendungen von beträchtlichem Interesse, die nichts mit der Physik zu tun haben. Ich werde hierfür ein Beispiel nennen und dazu eine kurze recht technische Beschreibung liefern, die manche Leser als schwere Kost empfinden mögen. Lesen Sie es einfach rasch durch. Wie in einem früheren Kapitel werden Sie vielleicht auch hier die Melodie und die Art des Gesangs zu schätzen wissen, wenn Ihnen die Bedeutung des Lieds im Einzelnen verborgen bleibt. Ich möchte die statistische Gleichgewichtsmechanik eines Systems von Spins auf einem Gitter erörtern. Dazu betrachten wir einen endlichen Behälter (hier als Teil eines zweidimensionalen Gitters dargestellt) mit N Spins σ1, …, σN:



++−+− +−−+− −++++ −+−−+ −−+−−

Jeder Spin im Behälter kann den Wert +1 oder –1 annehmen (dargestellt als + oder –), und es sei eine bestimmte Energiefunktion E (σ1, …, σN). Bei einer Temperatur T liegt das Wahrscheinlichkeitsmaß einer SpinKonfiguration dann bei pσ1 ···σN = Ce−E(σ1 , ..., σN )/kT ,

Dabei ist die Zahl C so zu wählen, dass die Summe sämtlicher 2N Wahrscheinlichkeitsmaße pσ1 ···σN bei 1 liegt. Um thermodynamisches

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Verhalten zu beobachten, müssen wir sogenannte Wechselwirkungen einführen, die (auf eine Weise, die gegenüber Gittertranslationen invariant ist) eine Berechnung der Energiefunktion für beliebige große Behälter erlauben, und anschließend den Limit eines unendlich ausgedehnten Behälters nehmen: · · · · · · ·

· + + − − − ·

· + − + + − ·

· − − + − + ·

· + + + − − ·

· · − · − · + · + · − · · ·

Hier kann man im Limit für das System unendlich vieler Spins auf dem Gitter eine Wahrscheinlichkeitsverteilung definieren; diese wird als Gibbszustand bezeichnet. Für Gibbszustände von Spinsystemen auf einem Gitter existiert eine reiche mathematische Theorie, die zunächst von Dobrushin,8 Lanford und von mir sowie später von vielen anderen, darunter Sinai,9 entwickelt worden ist. Ich selbst habe mich insbesondere mit eindimensionalen Systemen befasst: · · + − + + + − − · ·

Dabei habe ich gezeigt, dass für solche Systeme nur ein Gibbszustand existiert und dass dieser sehr schön von der Wechselwirkung abhängt (in gewissem Sinne eine real-analytische Abhängigkeit). Das war keine allzu große Überraschung: Aus physikalischer Sicht ist zu erwarten, dass eindimensionale Systeme keine Phasenübergänge haben (all dies unter geeigneten technischen Voraussetzungen). An dieser Stelle wechselt die Geschichte der Gibbszustände plötzlich von der mathematischen Physik in einen anderen Bereich: Yasha Sinai hat die Existenz symbolischer Dynamik für Anosov-Diffeomorphismen bewiesen. Das bedeutet, dass es möglich war, die Punkte einer geeigneten differenzierbaren Mannigfaltigkeit M durch einem eindimensionalen Spinsystem entsprechende Sequenzen · · + − + + + − − · ·

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so zu kodieren, dass der Wirkung auf M einer Art differenzierbarer Abbildung, eines sogenannten Anosov-Diffeomorphismus, eine Verschiebung aller ±-Symbole um einen Schritt nach links in der obigen Sequenz entspricht, also auf einem eindimensionalen Gitter. Nun konnten Sinai (und andere, namentlich Bowen10) mit der Untersuchung von Gibbszuständen auf Mannigfaltigkeiten beginnen. Dieser Gedanke führte zu bedeutenden mathematischen Entwicklungen11 und fand bei der Untersuchung des Chaos12 den Weg zurück von der reinen Mathematik zur Physik. Sein großer Wert besteht in der Einführung eines analytischen Instruments (Gibbszustände) in ein geometrisches Problem (Diffeomorphismen). Angemerkt sei, dass sich die Existenz der symbolischen Dynamik im Prinzip auch ohne Kenntnis der statistischen Gleichgewichtsmechanik hätte beweisen lassen; Sinai jedoch hatte im Bereich der statistischen Mechanik gearbeitet und wurde daher von seinem Wissen geleitet. Die nüchterne Zusammenfassung, die ich hier gegeben habe, kann nicht vermitteln, welch besonderes Erlebnis es für mich war, zu jenen zu gehören, die an der Entwicklung einer großartigen mathematischen Idee beteiligt waren, die ihren Ursprung vor dem Hintergrund der mathematischen Physik hatte und mit der Chaostheorie schließlich wieder zur Physik zurückkehrte. Ein großes Glück war für mich außerdem, dass ich unmittelbar mit Menschen zusammenarbeiten durfte, die nicht nur brillante Mathematiker, sondern auch ungewöhnlich nette Menschen waren. Eine wunderbare Zeit lang (einige Jahre um 1970, inmitten des Kalten Kriegs) tauschten die Russen Dobrushin und Sinai, die US-Amerikaner Lanford und Bowen und ich frei unsere Gedanken aus, als in den Grenzbereichen von Physik und Mathematik neue Bereiche erschlossen wurden.

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Die Schönheit der Mathematik

Viele von uns finden physikalische oder biologische Werke der Natur schön: einen Quarzkristall, eine Blume oder einen Schmetterling. Schönheit erkennen wir auch in Werken des Menschen, in einer vollendet geformten Keramik zum Beispiel. Manche von uns schließlich erkennen Schönheit in der Mathematik. Unser Sinn für Schönheit gehört zur menschlichen Natur, darum erkennen wir Schönheit in einem makellosen menschlichen Körper, einer menschlichen Stimme oder in handgefertigter Keramik. Gleichzeitig lenkt uns unser Sinn für das Perfekte, Reine und Einfache, das wir häufig mit Schönheit verbinden, vom menschlichen Elend ab: hin zu Blumen, Kristallen, den Göttern oder Gott. Wir suchen nach etwas, das jenseits unserer alltäglichen menschlichen, biologischen oder physikalischen Welt liegt. Existiert jenseits dieser Welt voller Ungewissheiten etwas? Ja – es gibt die Mathematik, die Wissen hervorbringt und nicht nur Meinungen. Wozu erwähne ich, wenn ich über die Schönheit der Mathematik sprechen will, in der die Logik regiert, die Ungewissheiten der Physik, der Biologie oder der Theologie? Aus dem einfachen Grund, dass unser menschlicher Sinn für Schönheit nicht strenger Logik unterworfen ist. Unser Sinn für Schönheit kann zwar durchaus einen Wunsch nach nicht menschlicher Logik in uns wecken. Derselbe Sinn für Schönheit bleibt aber auch dann nur allzu menschlich und nicht sonderlich logisch. D. Ruelle, Wie Mathematiker ticken, DOI 10.1007/978-3-642-04111-2_23, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010

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In diesem Zusammenhang möchte ich kurz darauf eingehen, dass die Schönheit der Musik auf Intervallen gründet, die einfachen rationalen Verhältnissen zwischen Klangfrequenzen entsprechen. Diese rationalen Verhältnisse werden in unserer temperierten Tonskala jedoch vor allem deshalb über den Haufen geworfen, weil wir nur begrenzt fähig sind, unterschiedliche Klangfrequenzen zu unterscheiden. In arithmetischer Hinsicht ist die temperierte Tonskala eine Monstrosität: Bei unserer Suche nach der Schönheit der Musik haben wir Bequemlichkeit vor Logik gestellt. Wir müssen uns auf die mögliche Erkenntnis einstellen, dass das Perfekte, Reine und Einfache, das wir an der Mathematik lieben, metaphorisch mit einer Sehnsucht nach einer Perfektion, Reinheit und Einfachheit des Menschen verbunden ist. Dieser Umstand könnte erklären, warum Mathematiker häufig einen Hang zur Religion haben. Wir müssen uns jedoch gleichermaßen darauf einstellen, dass unsere Liebe zur Mathematik vor den üblichen menschlichen Widersprüchen womöglich nicht gefeit ist. Viele von uns zarten Menschenwesen fühlen sich von der Mathematik deshalb angezogen, weil diese der Unsicherheit und Relativität des menschlichen Denkens die absolute Gewissheit mathematischer Wahrheit entgegenstellt. Nur in der Mathematik können wir die Richtigkeit einer Aussage überprüfen, indem wir jede Einzelheit ihres Beweises verifizieren, und können uns der Schlussfolgerung schließlich auch dann noch vollkommen sicher sein, wenn der Beweis extrem lang ist. Die Mathematik ist das einzige menschliche Unterfangen, das der Verwendung einer natürlichen Sprache letztlich nicht bedarf. Nur hier ist jegliche Bezugnahme auf unser physikalisches, biologisches oder psychologisches Umfeld überflüssig. Von den verschiedenen Anreizen, die einen dazu führen können, Mathematik zu betreiben, sollte der Wunsch nicht ungenannt bleiben, der Beste oder die Erste zu sein, ein bedeutender Akademiker zu werden und einen Preis von einer Million Dollar zu gewinnen. Ich werde auf diese Aspekte nicht näher eingehen, da sie eigentlich nicht nur in der Mathematik eine Rolle spielen. Wichtig für viele Mathematiker ist das Gefühl, einer handverlesenen Gruppe anzugehören, deren Mitglieder ein gemeinsames geistiges Kulturgut teilen. Vergleichbares trifft

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auch auf andere Menschengruppen zu. Die mathematische Gemeinschaft aber ist insofern anders, als sie sich einig ist, wer zu ihr gehört, dass sie sehr international und (mit wenigen Tausend kreativen Mathematikern) relativ klein ist und dass sie den Austausch pflegt, vor allem aber insofern, als sie eine besondere Gruppe von Menschen ist, die an die Grenzen der geistigen Leistung vorgedrungen sind. Mathematik ist nützlich. Sie ist die Sprache der Physik, und manche Aspekte der Mathematik spielen in allen Wissenschaften und deren Anwendungsbereichen eine wichtige Rolle, ebenso wie im Finanzwesen. Dennoch ist meine persönliche Erfahrung, dass gute Mathematiker selten ein hohes Maß an Pflichtgefühl und Leistungsbereitschaft antreibt, durch das sie sich gedrängt fühlten, etwas Sinnvolles zu tun. Im Gegenteil: Manche Mathematiker halten ihre Arbeit lieber für absolut unnütz. (Worin sie möglicherweise irren: Die Zahlentheorie, die traditionell als schön und nutzlos gilt, hat in der Kryptografie Anwendung gefunden und bedeutende finanzielle und militärische Auswirkungen nach sich gezogen.) Was die Anwendung der Mathematik auf die Physik und andere Wissenschaften betrifft, so denke ich vielfach eher an eine Symbiose. Diese Symbiose ist ein Thema von großem philosophischen Interesse; da sie jedoch außerhalb der eigentlichen Mathematik liegt, habe ich mich auf eine kurze Betrachtung über die mathematische Physik im vorhergehenden Kapitel beschränkt. Zu den nützlichen Dingen in Verbindung mit der Mathematik gehört unbedingt die Lehre, die vielen Mathematikern sehr am Herzen liegt. Man kann nämlich seine Liebe zur Schönheit der Mathematik durchaus auch dann mit anderen teilen wollen, wenn man darauf Wert legt, dass die Mathematik weiterhin unnütz bleibt! Lehre kann das Unterrichten von Studenten bedeuten, Seminarvorträge oder zwanglose Diskussionen. Die Mathematik wuchs und gedieh an einer ganzen Reihe von Orten, wo sie gelehrt und erörtert wurde: vom Alexandria der Antike bis hin zum Göttingen und zum Heidelberg des 19. und 20. Jahrhunderts, sowie an vielen anderen Orten zu anderen Zeiten. Ich persönlich hatte das Glück, während der großen Zeiten an mehreren Orten dabei zu sein, wo die Mathematik lebte und geschaffen wurde,1 und es war eine unvergessliche Erfahrung. Aber ebenso wie in der Kunst währen

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auch in der Mathematik die großen Zeiten nicht ewig. Und während Aufstieg oder Fall eines guten Ortes viele verschiedene Ursachen haben kann, spielt doch oft die Politik eine entscheidende Rolle: eine Diktatur auf Staatsebene oder Machtspielchen auf der Ebene einer einzelnen Einrichtung. Ich hoffe, meine Leser überzeugt zu haben, dass die Liebe zur mathematischen Schönheit für Mathematiker ein zentraler Beweggrund ist, Mathematik zu betreiben und zu lehren. Doch lässt sich in Worte fassen, was die Schönheit der Mathematik ausmacht? Ich möchte hierauf eine Antwort versuchen: Ich meine, die Schönheit der Mathematik liegt in der Sichtbarmachung der verborgenen Einfachheit und Komplexität, die in dem starren logischen Rahmen, den das Fach vorgibt, nebeneinander existieren. Natürlich gehören das Wechselspiel und die Spannung zwischen Einfachheit und Komplexität auch zur Kunst und zur außerhalb der Mathematik liegenden Schönheit. Tatsächlich muss die Schönheit, die wir in der Mathematik sehen, mit der Schönheit verwandt sein, die unsere menschlichen Wesensart an anderer Stelle erkennt. Die Tatsache, dass wir uns gleichzeitig von Einfachheit und von Komplexität, von zwei entgegengesetzten Konzepten also, angezogen fühlen, kommt unserer unlogischen menschlichen Wesensart entgegen. Das Erstaunliche dabei ist jedoch, dass das Zusammentreffen von Einfachheit und Komplexität für die Mathematik wesenhaft ist; sie ist kein menschliches Konstrukt. Man kann daher sagen, dass die Mathematik aus diesem Grund schön ist: Sie verkörpert naturgemäß das Einfache und das Komplexe, nach dem wir uns sehnen. Nun gilt es konkreter zu werden. Ich möchte beginnen, indem ich an zwei schöne Tatsachen erinnere, die historisch alt und bedeutend sind und die beide mit dem Satz des Pythagoras zusammenhängen. Die erste Tatsache fördert unerwartete Einfachheit zutage: Ein Dreieck mit den Seitenlängen 3, 4 und 5 hat gegenüber der Seite mit der Länge 5 einen rechten Winkel. Diese prämathematische Feststellung weist eindrucksvoll auf eine verborgene Einfachheit im Wesen der Dinge hin. Die zweite Tatsache besagt, dass die Diagonale eines Quadrats mit Sei-

23   die schönheit der mathematik        173

√

tenlänge 1 irrational ist:  2 = 1,41421356… kann nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen geschrieben werden. Der Beweis dieser Tatsache macht deutlich, dass die Dinge komplizierter sind, als man geglaubt haben mag, und er zwang die griechischen Mathematiker, die logische Notwendigkeit nicht rationaler Zahlen zu akzeptieren. Ein allgemeines Beispiel für das Wechselspiel zwischen Einfachheit und Komplexität liefert die Tatsache, dass eine kurze mathematische Aussage einen sehr langen Beweis erfordern kann. Als technisches Ergebnis ist dies der Gödel’sche Satz, den wir in Kap. 12 erörtert haben. In der Tat kennen Mathematiker viele Theoreme mit einer kurzen Aussage (den großen Fermat’schen Satz zum Beispiel) und einem sehr langen Beweis. Ebenso wie bei der Schönheit der Kunst spielt in unsere Einschätzung der Schönheit der Mathematik auch der Aspekt der Mode mit hinein. Bourbaki hat einen Strukturaspekt der Mathematik hervorgehoben, in dem viele moderne Mathematiker ein Element der Schönheit sehen. Die antiken Griechen jedoch hatten andere Vorstellungen von Ästhetik, eine deutliche Abneigung gegen Anmaßung zum Beispiel. Was würden sie von mathematischen Beweisen halten, die hunderttausende Seiten lang sind? Unsere Geisteslandschaft und unser Sinn für Schönheit haben sich über die Jahrhunderte zweifellos gewandelt. Platon, Leonardo da Vinci und Newton sahen die Welt unterschiedlich, und doch war jede Sicht vereinheitlicht und der Mensch stand in ihrem Mittelpunkt. Auch die heutige Wissenschaft sucht nach einem vereinheitlichten Bild des Universums; in diesem Bild jedoch treten wir Menschen als unwesentliches Zufallsprodukt auf. Parallel kommt der mathematischen Wahrheit mittlerweile eine noch fundamentalere Rolle zu als der physikalischen Realität. Obwohl der jeweilige Status von Mensch und Mathematik ein radikal anderer ist, haben sich die Beziehungen zwischen beiden Partnern seit den Griechen bemerkenswert wenig verändert. Diese Beziehung (man könnte sagen, diese schöne Beziehung) ein wenig deutlicher zu machen war Ziel dieses Buchs. Am Ende unserer Reise möchte ich eines noch sagen: Wirklich sichtbar wird die Schönheit der Mathematik für uns, während wir

174       wie mathematiker ticken

mathematische Forschung betreiben. Sie blickt uns in dem Moment ins Gesicht, da die zugrunde liegende Einfachheit einer Frage erkennbar wird und wir ihre bedeutungslosen Kompliziertheiten vergessen können. In solchen Momenten fällt Licht auf einen Ausschnitt einer gewaltigen logischen Struktur, und etwas von der Bedeutung, die im Wesen der Dinge verborgen liegt, wird endlich sichtbar.2

Anmerkungen 1  Wissenschaftliches Denken 1  D  . Ruelle, „The obsessions of time“, Comm. Math. Phys. 85 (1982), S. 3–5; „Is our mathematics natural? The case of equilibrium statistical mechanics“, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 19 (1988), S. 259–268; „Henri Poincaré’s ’Science et Méthode’“, Nature 391 (1998), S. 760; „Conversations on mathematics with a visitor from outer space“ in: V. Arnold, M. Atiyah, P. Lax, B. Mazur (Hrsg.): Mathematics: Frontiers and Perspectives; Amer. Math. Soc., Providence, RI (2000), S. 251–259; „Mathematical Platonism reconsidered“, Nieuw Arch. Wiskd. 5 (2000), S. 30–33. 2  Isaac Newton (1643–1727) lässt sich als ein englischer Gelehrter oder Philosoph beschreiben, der vor allem als Mathematiker und theoretischer Physiker in Erinnerung geblieben ist, daneben jedoch auch ganz andere Interessen verfolgte. Die beste Newton-Biographie stammt nach wie vor von R. S. Westfall: Never at Rest: A Biography of Isaac Newton; Cambridge University Press, Cambridge 1980. (Ins Deutsche übersetzt wurde die Kurzfassung [The Life of Isaac Newton; Cambridge University Press, Cambridge 1993]: Isaac Newton. Eine Biographe; Spektrum Verlag, Berlin 1996.) 3  Das öffentliche Interesse an einer esoterischen Auslegung der Heiligen Schrift stieg erneut nach der Veröffentlichung des Buchs The Bible Code von Michael Drosnin (Simon and Schuster, New York 1997; dt. Übs. v. Elisabeth Parada: Der Bibel-Code; Heyne, München 1997). Drosnin verfolgt (unabhängig von den Überlegungen Newtons) den Gedanken, dass im Text der Thora in Buchstabenfolgen mit gleichem Abstand Botschaften verborgen sind. Diese Vorstellung schien bei manchen hervorragenden Mathematikern Unterstützung zu finden, wurde jedoch in Wissenschaftlerkreisen allgemein ablehnend aufgenommen; siehe dazu beispielsweise „The case against the codes“ von Barry Simon (im Internet veröffentlicht).

2  Was ist Mathematik? 1  D  er antike griechische Philosoph Pythagoras lebte um 500 v. Chr. und ist bis heute eine rätselhafte Persönlichkeit. Über seine mathematischen Arbeiten und seinen Bezug zum Satz des Pythagoras ist nur wenig bekannt. 2  Die Schriften des antiken griechischen Philosophen Platon (427–347 v. Chr.) sind auch heute noch eine erstaunlich modern formulierte Lektüre. Eine schöne und kompakte englische Edition wurde von J. M. Cooper und D. S. Hutchinson herausgegeben (Plato: Complete Works; Hackett Publishing, Indianapolis 1997. Die deutsche Übersetzung der Zitate stammt von Rüdiger Rufener in Platon: Der Staat, Artemis & Winkler, Düsseldorf 2000.) Bei der Lektüre von Platons Schriften sollte man sich zweifellos vorbehalten, anderer Meinung zu sein: An modernen Maßstäben gemessen ist Platons Logik manchmal fragwürdig, und seine politischen Ideen mögen uns hier und da als fast faschistisch erscheinen. Weitgehend jedoch hat man das wundervolle Gefühl, sich mit einem sehr intelligenten, aufgeschlossenen und angenehmen Mann zu unterhalten. 3  Euklid lebte um 300 v. Chr. im ägyptischen Alexandria. Die dreizehn Bände seiner „Elemente“ bilden das wichtigste erhaltene Denkmal der antiken griechischen Mathematik.

176        anmerkungen 4  D  er deutsche Mathematiker David Hilbert (1862–1943) war ein herausragender Vertreter der Mathematik. Seine Version der euklidischen Geometrie stellte er 1899 in dem Buch „Grundlagen der Geometrie“ dar. Berühmt wurde Hilbert unter anderem für seine Liste von 23 (damals ungelösten) Problemen, die er der Mathematikergemeinschaft auf dem Internationalen Mathematikerkongress 1900 in Paris präsentierte. Seinen Optimismus hinsichtlich der Macht der Mathematik formulierte Hilbert 1930 in dem Satz: Wir müssen wissen, wir werden wissen. Demgegenüber zeigte Gödel in seinem Artikel aus dem Jahr 1931, dass dem, was man wissen kann, Grenzen gesetzt sind. 5  Der in Österreich geborene Mathematiker und Logiker Kurt Gödel (1906–1998) führte den Beweis einiger atemberaubender Ergebnisse zur logischen Struktur der Mathematik. Seine Unvollständigkeitssätze, die er 1931 veröffentlichte, zeigen, dass es in jedem (nicht allzu einfachen) axiomatischen mathematischen System Annahmen gibt, die sich innerhalb des Systems weder beweisen noch widerlegen lassen. Insbesondere lässt sich die Widerspruchsfreiheit der Sätze nicht beweisen. 6  J. P. Serre: Cours d’arithméthique; Presses Universitaires de France, Paris 1970; engl. Übs.: A course in Arithmetic; Springer, Berlin 1973. Jean-Pierre Serre (geb. 1926) ist ein französischer Mathematiker. 7  S. Smale, „Differentiable dynamical systems“, Bull. Amer. Math. Soc. 73 (1967), S. 747–817. Stephen Smale (geb. 1930) ist ein US-amerikanischer Mathematiker.

3  Das Erlanger Programm 1  D  er deutsche Mathematiker Felix Klein (1849–1925) leistete fundamentale Beiträge zur Geometrie. 2  Reelle und komplexe Zahlen Der Abstand (in einer gegebenen Einheit) zwischen den Punkten O und X auf einer Geraden ist eine positive Zahl d (oder 0, wenn X mit O zusammenfällt). Ist O einmal festgelegt, wird die Position von X bestimmt, wenn wir d ein Vorzeichen geben: + oder – je nach der Position von X entweder rechts oder links von O. Wir bezeichnen +d oder –d als reelle Zahl. Nennen wir sie x: Sie kann positiv, negativ oder null sein. Eine reelle Zahl x bestimmt also exakt die Position eines Punkts auf der Geraden (sobald O und eine Längeeinheit gewählt sind und wir festgelegt haben, welche die rechte und welche die linke Seite von O ist).

Eine komplexe Zahl ist ein Ausdruck wie x + iy, wobei x und y reelle Zahlen sind und i ein neues Symbol. Es wird davon ausgegangen, dass die Multiplikation von i mit sich selbst (also i2) – 1 ergibt. Wenn nun x + iy = 0, dann bedeutet dies, dass sowohl x als auch y gleich 0 sind. Komplexe Zahlen können addiert, subtrahiert und multipliziert werden (für die Multiplikation verwende i2 = –1). Wenn x + iy ≠ 0, dann können wir auch durch x + iy teilen; tatsächlich gilt:

1 x iy = 2 − 2 2 x + iy x + y x + y2

anmerkungen         177 Man zeichne nun zwei Geraden in der Ebene, die senkrecht in O zusammenlaufen. Wir nennen diese Geraden die x-Achse Ox und die y-Achse Oy:

Von einem Punkt Z aus zeichne man zwei Senkrechten ZX auf Ox und ZY auf Oy. x sei der Abstand zwischen X und O, mit einem Pluszeichen + bzw. einem Minuszeichen –, je nachdem ob X rechts oder links von O liegt, und y sei der Abstand zwischen Y und O, mit einem Pluszeichen + bzw. einem Minuszeichen –, je nachdem, ob Y oberhalb oder unterhalb von O liegt. Auf diese Weise haben wir eine Entsprechung des Punkts Z der Ebene und der komplexen Zahl z = x + iy. Mit anderen Worten: Wir können uns komplexe Zahlen als Punkte in der Ebene denken (man spricht dann von der komplexen Ebene).

4 ���������������� Mathematik und Ideologie ��������� 1  I n Fußnote 2 zu Kap. 3 haben wir gesehen, wie die Position eines Punkts Z in der Ebene durch zwei reelle Zahlen x, y ausgedrückt werden kann. Ebenso lässt sich ein Punkt im dreidimensionalen Raum durch drei Zahlen beschreiben. Die systematische Umsetzung dieses Gedankens geht auf den französischen Philosophen und Mathematiker René Descartes (1596–1650) zurück. Mathematiker konnten so die Algebra auf die Geometrie anwenden, eine Entwicklung, die für die Geometrie und allgemein für die Mathematik von grundlegender Bedeutung war. 2  A. Vershik, „Admission to the mathematics faculty in Russia in the 1970s and 1980s“, Math. Intelligencer 16 (1994), S. 45; A. Shen, „Entrance examinations to the Mekh-mat“, Math. Intelligencer 16 (1994), S. 6–10. Zusammen mit einer mathematischen Untersuchung von Aufgaben bei Aufnahmeprüfungen durch I. Vardi sind diese Artikel neben weiteren Beiträgen zu finden in: M. Shifman (Hg.): You Failed Your Math Test, Comrade Einstein; World Scientific, Singapur 2005. 3  Meine Frau formuliert das so: Es gibt unter Mathematikern weniger Dreckskerle und weniger falsche Fuffziger als in der Gesamtbevölkerung, vielleicht aber auch weniger amüsante Menschen!

5  Die Einheitlichkeit der Mathematik 1  E  in Beispiel hierfür ist die Riemann’sche Vermutung, eine berühmte Hypothese über die Verteilung großer Primzahlen, formuliert von dem deutschen Mathematiker Bernhard Riemann

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(1826–1866). Gemessen an Reichtum und Tiefe seiner Arbeiten war Riemann vielleicht der größte Mathematiker überhaupt, obwohl er im Alter von nicht einmal 40 Jahren starb. Der Beweis der Riemann’schen Vermutung ist das achte der 23 Probleme, die Hilbert im Jahr 1900 auflistete. Der gebürtige Schweizer und Mathematiker Leonhard Euler (1707–1783) hat diese Formel im Jahr 1734 bewiesen. Euler lebte damals in St. Petersburg, wo er später auch starb. Der deutsche Philosoph und Mathematiker Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) entwickelte eine Version der Infinitesimalrechnung. Inwieweit seine Ergebnisse unabhängig von jenen Newtons erzielt wurden, ist ungewiss; seine Notation jedoch wird bis heute verwendet. Der deutsche Mathematiker Georg Cantor (1845–1918) trug Grundlegendes zur Mengenlehre bei. Der englische Mathematiker und Logiker Alan Turing (1912–1954) hinterließ unter anderem auch tiefgreifende konzeptuelle Beiträge zu anderen Gebieten. In Kap. 15 wird er nochmals zur Sprache kommen. Von dem französischen Mathematiker Alexander Grothendieck (geb. 1928) wird in den Kap. 6 und 7 erneut die Rede sein. Der gebürtige Belgier und Mathematiker Pierre Deligne (geb. 1944) war in Frankreich tätig und arbeitet heute in den USA. Das Séminaire Bourbaki existiert bis heute und ist noch sehr aktiv. Dreimal jährlich findet in Paris ein Treffen statt, bei dem fünf Vorträge zu aktuellen Themen gehalten werden. Die Zuhörer erhalten vorab den Wortlaut der Vorträge. Das Séminaire Bourbaki ist maßgeblich an der Verbreitung (einiger) neuer mathematischer Ideen beteiligt.

6  Ein kurzer Blick auf algebraische Geometrie und Arithmetik 1  D  ie Arbeiten des französischen Mathematikers Henri Poincaré (1854–1912) umfassen zahlreiche Themen, und seine Bücher zur Wissenschaftsphilosophie sind bis heute aktuell und gut lesbar. 2  Hierbei handelt es sich um einen Sonderfall des Satzes von Bézout. 3  Heute vorwiegend für seine Arbeiten in der Zahlentheorie bekannt, war der französische Mathematiker Pierre Fermat (1601–1665) zu Lebzeiten auch Rechtsanwalt und Stadtrat beim Parlament von Toulouse. 4  Der Beweis des großen Fermat’schen Satzes ergibt sich aus Beiträgen mehrerer Mathematiker; den entscheidenden (und schwierigsten) Schritt jedoch hat der britische Mathematiker Andrew Wiles (geb. 1953) vollzogen, der zurzeit in den USA arbeitet.

7  Mit Alexander Grothendieck nach Nancy 1  P  aul Montel (1876–1975) zählt zu den Vertretern einer französischen Tradition, die herausragende Mathematik mit Langlebigkeit verbindet. Auch Jacques Hadamar (1865–1963) und Henri Cartan (1904–2008) sind dieser Tradition gefolgt. 2  Motchane erscheint in Vercors’ La bataille du silence (Les Éditions de Minuit, Paris 1992 [1967], dt. Übs.: Die Schlacht des Schweigens, in: Sinn und Form, 4/1968). Dieses wunderbare Buch berichtet von einigen Männern und Frauen, die sich im Zweiten Weltkrieg den französi-

anmerkungen         179 schen Behörden und deren Naziherrschern entgegenstellten, indem sie im Untergrund zu einer Zeit Bücher veröffentlichten, als sie damit ihr Leben aufs Spiel setzten. 3  Der US-amerikanische theoretische Physiker J. Robert Oppenheimer (1904–1967) war maßgeblich an der Entwicklung der Atombombe beteiligt. 4  Der französische Mathematiker René Thom (1923–2002) war ein eigenständiger Geist. Er war nicht Mitglied von Bourbaki und beschäftigte sich eine ganze Zeitlang mit seiner Katastrophentheorie und mit philosophischen Fragen. Letztlich wird man sich aber wohl vorwiegend an seine bedeutenden Beiträge zur Geometrie erinnern. 5  Informationen zum Hintergrund Grothendiecks enthalten zwei ähnliche Artikel von P. Cartier, die in französischer („Grothendieck et les motifs“, IHÉS Vorabdruck, 2000) bzw. in englischer Sprache („A mad day’s work, …“, übs. v. Roger Cook, Bull. Amer. Math. Soc. 38, S. 389–408 (2001)) veröffentlicht wurden. Cartier hat sich intensiv und recht erfolgreich bemüht, Grothen­ dieck vor einer vorzeitigen Beerdigung zu bewahren; seine „psychoanalytischen“ Deutungen Grothendiecks jedoch betrachte ich mit Skepsis. Eine weitere interessante Quelle von Alain Herreman (Découvrir et transmettre, IHÉS Vorabdruck, 2000) behandelt den „coup de poing en pleine gueule“, siehe unten. Außerdem gibt es einen hervorragenden Artikel von Allyn Jackson, „Comme appelé du néant – as if summoned from the void: The life of Alexandre Grothendieck“, Notices Amer. Math. Soc. 51 (2004), I: S. 1038–1056, II: S. 1196–1212. Winfried Scharlau arbeitet an einer dreibändigen Biographie Grothendiecks mit dem Titel Wer ist Alexander Grothendieck? Anarchie, Mathematik, Spiritualität. Eine Biographie. Teil I, Anarchie, ist bereits erschienen (Scharlau, Havixbeck 2007). (Weitere Einzelheiten sind auf der sehr inhaltsreichen Internetseite www.grothendieckcircle.org zu finden.) Darüber hinaus habe ich mich unter Zuhilfenahme eigener Aufzeichnungen auf meine persönlichen Erinnerungen an die beschriebene Zeit gestützt. Für eine mathematische Betrachtung von Grothendiecks Arbeiten siehe J. Dieudonné („De l’analyse fonctionelle aux fondements de la géométrie algébrique“, in: The Grothendieck Festschrift, Bd. 1, Prog. Math. 86, Birkhäuser, Boston 1990, S. 1–14). Zitieren möchte ich daraus Dieudonnés Abschlussbemerkung zur Arbeit Grothendiecks im Bereich der algebraischen Geometrie: „Diese sechstausend Seiten zusammenzufassen, kommt nicht in Betracht. In der Mathematik gibt es nur wenige Beispiele für eine so monumentale und fruchtbare Theorie, die in so kurzer Zeit errichtet wurde und maßgeblich auf einen einzigen Mann zurückgeht.“ 6  Der französische Mathematiker Jean Dieudonné (1906–1992) war eine der prägenden Figuren von Bourbaki. Schon früh gehörte er dem IHÉS an. 7  Oder zumindest eine ganz andere. Ich möchte versuchen diese Behauptung zu begründen. Viele erfolgreiche Wissenschaftler haben uns eine Beschreibung ihres Lebens hinterlassen. Diese Autobiographien enthalten in der Regel interessante persönliche und historische Informationen, amüsante Anekdoten und Hinweise, dass der Autor sich neben der Wissenschaft auch für andere Dinge interessierte (Musik zum Beispiel, oder Sex, administrative Angelegenheiten, …). Eine solche Erzählung kulminiert in einem Handschlag des großen Mannes der Wissenschaft mit einem zweiten großen Mann, Präsidenten, König oder Papst. Grothendiecks Récoltes et semailles mögen einem nicht gefallen; in jedem Fall aber offenbart sich hier eine ganz andere Persönlichkeit. 8  Der französische theoretische Physiker Louis Michel (1923–1999) gehörte zu den frühen Mitgliedern des IHÉS. 9  „Vous êtes un fieffé menteur, Monsieur Motchane.“ Das ist sehr hart formuliert und hat einige Menschen verprellt, die Sympathie für Grothendieck hegten. 10 Auf unterschiedliche Formen und Übersetzungen von Alexander Grothendiecks Récoltes et semailles (1985–1986) sowie auf weitere Materialien kann im Internet zugegriffen werden.

180        anmerkungen Nicht immer sind die gleichen Texte eingestellt; der Leser, oder die Leserin, möge daher selbst nachschauen. 11 Gemeint ist der Crafoord-Preis, den Grothendieck gemeinsam mit Pierre Deligne verliehen bekam. Der Crafoord-Preis wird von der Schwedischen Akademie der Wissenschaften für Arbeiten in verschiedenen Disziplinen verliehen, die vom Nobelpreis nicht abgedeckt sind. 12 Siehe Fußnote 5. 13 Pierre-Gilles de Gennes (1932–2007) war ein französischer theoretischer Physiker.

8 � ���������� Strukturen 1  S  oeben haben wir zwei Begriffe aus der Theorie der Mengenlehre eingeführt: Teilmengen und Abbildungen (oder Funktionen). Hier sind zwei weitere Definitionen: Die Schnittmenge zweier Mengen S und T ist die Menge – man schreibt S ∩ T –, die sich aus den Elementen zusammensetzt, die sowohl S als auch T angehören. Die Vereinigungsmenge von S und T ist die Menge – man schreibt S ∪ T –, die sich aus all jenen Elementen zusammensetzt, die S, T oder beiden angehören. Somit gilt {a,b} ∩ {a,c} = {a}, {a,b} ∩ {c} = ∅ (leere Menge) und {a,b} ∪ {a,c} = {a,b,c}. Daneben lassen sich Schnittmenge und Vereinigungsmenge von mehr als zwei Mengen definieren (Mengenfamilien, möglicherweise unendlich). 2  Der polnischstämmige US-amerikanische Mathematiker Samuel Eilenberg (1913–1998) und der Amerikaner Saunders Mac Lane (1909–2005) arbeiteten in den 1940er- und 50er-Jahren zusammen. 3  Der aus Ungarn gebürtige Mathematiker Paul Erdös (1913–1996) mag mit seiner dauerhaften Mutterbindung, seiner Amphetamin-Abhängigkeit und anderen eigentümlichen Wesenszügen als eine etwas extreme Persönlichkeit erscheinen. Bemerkenswert ist jedoch, dass sich diese Persönlichkeit in dem so besonderen Umfeld der Mathematik entfalten konnte. 4  Martin Aigner und Günter M. Ziegler: Proofs from The Book; Springer, Berlin 1998 (3. Aufl. 2004; dt. Übs. von den Autoren selbst: Das BUCH der Beweise, Springer 20032). Wer übrigens Theorem 1 in Kapitel 8 betrachtet – „In jeder Konfiguration aus n Punkten in der Ebene, die nicht alle auf einer Geraden liegen, gibt es eine Gerade, die exakt zwei der Punkte enthält“ –, wird versucht sein, den Beweis mit den Methoden der projektiven Geometrie zu führen. In Das BUCH der Beweise wird erklärt, warum dies nicht funktioniert! 5  Siehe Fußnote 2 in Kap. 2. 6  Um Missverständnissen vorzubeugen, möchte ich betonen, dass ich kein Anhänger der in bestimmten Kreisen populären Auslegung der Wissenschaft bin (dass ein wissenschaftlicher Text – ebenso wie jede andere literarische Erscheinungsform – nur ein Abbild der sozioökonomischen Bedingungen sei, unter denen er entstand, und als solches untersucht werden müsse). Ich glaube, dass dieser Ansatz den wissenschaftlichen Gehalt wissenschaftlicher Texte verkennt und dass diese Kritik nur eine beschränkte Möglichkeit bietet, die Beziehungen des menschlichen Geists zur Wissenschaft zu erforschen, welche er hervorbringt.

9  Die Rechenmaschine und das Gehirn 1  V  on dem aus Ungarn gebürtigen US-amerikanischen Wissenschaftler John (ursprünglich Johann) von Neumann (1903–1957) glauben manche, Stanley Kubrick habe ihn als Vorbild für

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seinen Doktor Seltsam genommen. (Ein weiterer Kandidat für diese Rolle ist der aus Ungarn gebürtige amerikanische Physiker Edward Teller [1908–2003].) John von Neumann: The Computer and the Brain; Silliman Memorial Lectures, Bd. 36, Yale University Press, New Haven, CT 1958 (dt. Übs. v. Charlotte u. Heinz Gumin: Die Rechenmaschine und das Gehirn; Oldenbourg, München 1960) Den antiken griechischen Wissenschaftler Archimedes von Syrakus (287–212 v. Chr.) kennt man bis heute als Ingenieur und Physiker, vor allem aber hat er bedeutende Beiträge zur Mathematik geliefert. Seine Flächen- und Volumenberechnungen nehmen die Integralrechnung von Newton und Leibniz vorweg, und er gilt als einer der größten Mathematiker der Geschichte. Es herrscht allgemein die Ansicht, Denken und Sprechen seien das Gleiche. So schreibt Platon (in Der Sophist): „Also Gedanken und Rede sind dasselbe, nur dass das innere Gespräch der Seele mit sich selbst, was ohne Stimme vor sich geht, von uns ist Gedanke genannt worden“ (dt. Übs. v. Friedrich Schleiermacher in: Platon, Werke in acht Bänden, gr. u. dt., Bd. 6; Wiss. Buchges., Darmstadt 1970). Die Praxis des mathematischen Denkens zeigt die Bedeutung nonverbaler – insbesondere visueller – Elemente. Auf einem Rechner können zufällige Fehler auftreten; sie werden als Computerfehler oder auch mit dem englischen Begriff „Glitch“ bezeichnet. Die Behebung solcher Fehler (durch erneuten Durchlauf, Prüfungen) ist untersucht worden. Mit der derzeit verfügbaren Technologie ist die Fehlerstufe jedoch so niedrig, dass unsere Diskussion hiervon unbeeinflusst bleibt. Siehe „Conversations on mathematics with a visitor from outer space“ in: V. Arnold, M. Atiyah, P. Lax, B. Mazur (Hrsg.): Mathematics: Frontiers and Perspectives; S. 251–259 (2000); Amer. Math. Soc., Providence. G. Ligeti, G. Neuweiler: Motorische Intelligenz: Zwischen Musik und Naturwissenschaft. Wagenbach, Berlin 2007.

10  Mathematische Texte 1  F  ür eine detaillierte Analyse siehe Reviel Netz: The Shaping of Deduction in Greek Mathematics: A Study in Cognitive History, Ideas in Context 51, Cambridge University Press, Cambridge 1999. 2  Vielleicht möchten Sie Ihre Fähigkeiten an dem folgenden Problem trainieren: Man nehme drei gegeneinander senkrechte Achsen Ox, Oy, Oz im Raum und betrachte einen massiven Kreiszylinder Cx mit der Achse Ox und dem Radius R sowie entsprechend Cy und Cz. Diese drei Zylinder (mit gleichen Radien) überschneiden sich in einem massiven S, das vo n einer zylindrisch gewölbten Oberfläche begrenzt ist. Frage: Wie sieht S aus? Wie viele Seitenflächen hat S, wie sind diese geformt und wie fügen sie sich zusammen? Über eine Kombination aus visueller Intuition und logischem Denken kann man zur richtigen Antwort gelangen; das ist jedoch recht anstrengend. Eine Zeichnung auf einem Blatt Papier vereinfacht die Sache erheblich. (Zeichnen Sie dabei jeweils die Überschneidung zweier Zylinder.) 3  Verschiedene Sprachen eröffnen unterschiedliche dichterische Möglichkeiten, da sie sich in Rhythmus, Grammatik, Wortschatz, Bedeutungsähnlichkeit von Wörtern und in Bedeutungsgruppen voneinander unterscheiden. Das Deutsche zum Beispiel ist eine stark betonende Sprache, was in Goethes Versen wirkungsvoll eingesetzt wird:

182        anmerkungen Wer reitet so spät durch Nacht und Wind? Es ist der Vater mit seinem Kind. Demgegenüber eignet sich die schwache Akzentuierung des Französischen für eine sehr subtile Verwendung, etwa wenn Apollinaire schreibt: Le colchique couleur de cerne et de lilas Y fleurit tes yeux sont comme cette fleur-là. Aus der Verbindung der unterschiedlichen Faktoren Form, Bedeutung und Wortassoziation entsteht bisweilen dieses Wunder: ein großartiges Gedicht. Die mir bekannten Versuche, in Versen verfasste Lyrik in Versmaß zu übertragen, überzeugen mich nicht: Dass das gleiche Wunder in einer anderen Sprache ein zweites Mal geschehen soll, ist zu viel erwartet. Sehr schätze ich dagegen die Hilfe, die mir redliche Prosaübersetzungen von Gedichten (wie jener des Johannes vom Kreuz auf Spanisch) bieten, die mir ansonsten verschlossen blieben, weil ich die Sprache des Originals nur wenig oder gar nicht beherrsche. 4  Die meisten Mathematiker tippen ihre Manuskripte heute selbst auf einem Laptop oder an einem Computer und verwendet dabei eine geeignete Software wie TeX. Eine in TeX geschriebene Formel ist einem in Englisch verfassten Satz auf nachvollziehbare Weise ähnlich; die Formel (*) etwa wird geschrieben als $${U - A\over M - A} : {U - B\over M - B} = {M - A\over V - A} : {M - B\over V - B}$$ Für blinde Mathematiker übrigens war TeX eine wunderbare Erfindung: Die oben abgebildete Formel (eine lineare Abfolge einer begrenzten Anzahl unterschiedlicher Symbole) ist für sie leichter lesbar als das Original (*).

11  Ehrungen 1  G  iordano Bruno (1548–1600) war ein italienischer Philosoph und Häretiker. Ihm und zahllosen Anderen, die leiden mussten und bis heute müssen, weil sie sich äußerten, als die Machthaber ihrer Zeit ihnen den Mund verboten, haben wir die Redefreiheit zu verdanken, die wir genießen. 2  Manche Menschen erbringen im Sport einzigartige Spitzenleistungen und -darbietungen und werden vom Publikum reich für ihre Show belohnt. Das ist völlig in Ordnung. Nicht in Ordnung ist, dass die Herrschaft des Geldes den Einsatz von Medikamenten und Betrug fördert und die Legitimierung des Sports als gesundheitsfördernde Aktivität aushebelt. Auch an der großzügigen Belohnung hervorragender wissenschaftlicher Erfolge ist nichts auszusetzen. Im Gegenteil: Ich bin absolut dafür. Dem Geld eine übermäßig große Rolle einzuräumen, birgt jedoch Risiken, und Vorsicht ist geboten. Betrug (die Veröffentlichung gefälschter Ergebnisse und anderes) ist mittlerweile ein Problem in Medizin, Biologie und Physik, und erste Anzeichen deuten darauf hin, dass die korrumpierende Wirkung des Geldes vielleicht auch die Mathematik auf Dauer nicht verschonen wird.

anmerkungen         183 12  Die Unendlichkeit: Nebelwand der Götter 1 Der deutsche Mathematiker und theoretische Physiker Ernst Zermelo (1871–1953) hat Grundlegendes zur Mengenlehre beigetragen. 2 Der deutschstämmige Mathematiker Adolf Fraenkel (1891–1965) siedelte 1929 nach Jerusalem über. 3 Das Encyclopedic Dictionary of Mathematics (in 2. Aufl., 4 Bd., MIT Press, Cambridge, Mass. 1987) ist eine Übersetzung aus dem Japanischen (3. Aufl., K. Itô: Japanische Mathematische Gesellschaft; Tokio 1985). Es ist erstaunlich, wie viel der bedeutenden Mathematik des 20. Jahrhunderts in diesem Kompendium zusammengeführt werden konnte. 4 Als ein Beispiel für ein Paradox in der naiven Mengenlehre möchte ich die Russell’sche Antino­ mie anführen, die folgendermaßen aussieht: Angenommen, x sei eine Menge der ersten Klasse, wenn sie sich selbst nicht als Element enthält (¬ x ∈x), sowie der zweiten Klasse, wenn sie sich selbst als Element enthält ( x ∈x). Eine Menge muss einer der beiden Klassen angehören und kann nicht beiden Klassen angehören. X sei die Menge aller Mengen der ersten Klasse. Wenn nun X der ersten Klasse angehört, so enthält X nicht sich selbst, ist also nicht Teil der Menge aller Mengen der ersten Klasse. Das ist ein Widerspruch, da X der ersten Klasse angehört. Wenn aber X der zweiten Klasse angehört, dann enthält X sich selbst, gehört also zur Menge aller Mengen der ersten Klasse. Das ist ein Widerspruch, da X der zweiten Klasse angehört. Die Bedeutung ist hier, dass das Einführen von Begriffen wie „die Menge aller Mengen“ Probleme nach sich ziehen kann und in einer seriösen axiomatischen Mengenlehre nicht zulässig ist. Der englische Logiker und Philosoph Bertrand Russell (1872–1970) ist außerdem für seine pazifistische politische Einstellung in Erinnerung geblieben. Wer sich für die Entstehung und Lösung von Paradoxa interessiert, dem sei eine bemerkenswerte kommentierte Zusammenstellung von Artikeln der Begründer der mathematischen Logik empfohlen: Jean van Heijenoort (Hrsg.): From Frege to Gödel. A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931; Harvard Univ. Press, Cambridge, MA 1967. 5 Der Beweis hierfür wurde unter der Annahme geführt, dass die Menge von Axiomen, von der man ausgeht, reich genug ist, um daraus die Theorie der natürlichen Zahlen zu entwickeln. 6 Ebenso hat Gödel folgendes bewiesen: Ausgehend von einer Menge von Axiomen, die reich genug ist, um daraus die Theorie der natürlichen Zahlen zu entwickeln, lässt sich die Widerspruchsfreiheit dieses Axiomensystems nicht mit Hilfe von Argumenten beweisen, die mit der aus diesen Axiomen entwickelten Theorie formuliert werden können. Es gibt Widerspruchsbeweise für einige mathematische Theorien, aber Beweise dieser Art verwenden stärkere Theorien. 7 Der US-amerikanische Logiker Alonzo Church (1903–1995) legte 1936 eine präzise Definition intuitiv berechenbarer Funktionen vor. Dieser Vorschlag wird als Church-These bezeichnet; in einer späteren äquivalenten Version dieser These (der Church-Turing-These, deren Äquivalenz mit der Church-These jedoch nicht bewiesen ist) setzte Turing die intuitive Berechenbarkeit mit der Berechenbarkeit durch die von ihm beschriebene Turing-Maschine gleich, einer einfachen Rechenmaschine (einem endlichen Automaten) mit unbegrenztem Speicher. Man kann fordern, dass die Maschine bei jeder Eingabe innerhalb einer endlichen Zeitspanne eine Antwort gibt (dies entspricht der Berechnung einer totalen rekursiven Funktion), oder zulassen, dass die Maschine nicht immer eine Antwort gibt (dies entspricht der Berechnung einer partiellen rekursiven Funktion). Die meisten Mathematiker wollen mit umfassenderen Funktionen arbeiten können, als die intuitiv berechenbaren Funktionen es sind. 8 Genauer gesagt: Die maximale Länge eines Beweises für eine Aussage der Länge L ist keine totale rekursive Funktion von L. Diese Aussage bleibt von der genauen Definition der Länge

184        anmerkungen der Aussage oder des Beweises unberührt. Eingehender behandelt dies z. B. Yu. I. Manin in seinem Buch A Course in Mathematical Logic (ins Engl. übs. v. Neal Koblitz, Grad. Texts in Math. 53, Abschn. VII.8, Springer, New York, 1977).

13  Fundamente 1  I ch möchte eine Gruppe in typischer mathematischer Fachsprache beschreiben – weder in der formalen Sprache der Logiker noch in der Babysprache populärwissenschaftlicher Schreiber. G sei eine nichtleere Menge, und wenn a, b ∈ G, so sei c ∈ G, was als das Produkt von a und b bezeichnet werde, und man schreibe c = ab. Wir nennen G, ausgestattet mit diesem Produkt, eine Gruppe (oder wir sagen, dass das Produkt auf der Menge G eine Gruppenstruktur definiert), wenn die folgenden Eigenschaften (die sogenannten Gruppenaxiome) gelten: (i) Assoziativität: a(bc) = (ab)c (ii) Existenz des Einselements: Es existiert e ∈ G, sodass für jedes a ∈ G gilt: ea = ae = a. (iii) Existenz des Inversen: Für jedes a ∈ G gibt es x ∈ G, wobei ax = xa = e. Beachten Sie, dass das Einselement e eindeutig ist. Wenn stets ab = ba gilt, dann wird die Gruppe als kommutativ bezeichnet. Sind G,G’ Gruppen mit den Einselementen e,e’ und ist f eine Funktion von G auf G’, sodass stets f (ab) = f (a) f (b) gilt, dann wird f als Morphismus G → G’ bezeichnet, und die Teilmenge H mit den Elementen x ∈ G, wobei f (x) = e’, wird als Normalteiler H von G bezeichnet. Sind {e} und G die einzigen Normalteiler H von G, dann wird G als einfache Gruppe bezeichnet. Ich habe all diese fachspezifischen Details angeführt, weil ich nun eine Aussage machen kann: Gruppenstruktur ist wichtig. Wenn Sie in einem Problem, an dem Sie gerade arbeiten, eine Gruppenstruktur entdecken, wird Ihnen dies helfen. Zudem sollten Sie automatisch die Frage stellen, ob die Gruppe kommutativ ist oder nicht, und nach ihren Normalteilern suchen. Die Transformationen beispielsweise, die mit verschiedenen Geometrien in Kapitel 3 verbunden werden, bilden Gruppen von Transformationen (euklidische, affine oder projektive). Gruppen treten in der mathematischen Praxis nützlich auf, und deshalb, und nicht weil Gruppenstruktur relativ leicht zu definieren ist, sind sie natürliche Objekte. 2  Umsichtigerweise haben wir die komplexen Zahlen in Kapitel 3 (Fußnote 2) eingeführt und als Punkte in einer Ebene (der komplexen Ebene) dargestellt. Nun kennzeichnen wir die komplexe Ebene durch C und erinnern uns, dass C ein Zahlkörper ist (aus Kapitel 6 wissen wir, dass komplexe Zahlen addiert, multipliziert und dividiert werden können). Analytische (oder holomorphe) Funktionen einer komplexen Variablen sind Funktionen f mit Werten in C definiert auf einer Teilmenge D von C, sodass für z 0 in D und z in D nahe z, d. h. |z – z0| klein genug, f(z) als eine unendliche Summe

f (z) =

∞  n=0

an (z − z0 )n ,

ausgedrückt werden kann, in der an komplexe Zahlen sind. Analytische Funktionen besitzen erstaunliche Eigenschaften. So existieren, wenn f in D analytisch ist, im Regelfall größere ~ ~ ~ Teilmengen D von C, derart, dass f sich (eindeutig) zu einer analytischen Funktion F auf D erweitern lässt (dies wird als analytische Fortsetzung bezeichnet).

anmerkungen         185 3  R  iemann erkannte, dass die Verteilung der Primzahlen sich mit Eigenschaften einer Funktion in Verbindung bringen lässt, die man heute als die Riemann’sche Zetafunktion kennt. Hadamard und de la Vallée-Poussin folgten Riemanns Gedanken und bewiesen das sogenannte Primzahl-Theorem. Dieses besagt, dass die Anzahl der Primzahlen ≤ n gegen Unendlich strebt wie n/ln n, wobei ln n der Logarithmus von n ist. Die Riemann’sche Vermutung ist eine Annahme über eine Eigenschaft der Zetafunktion, die zu einer Verbesserung des Primzahl-Theorems führen würde. Jacques Hadamard (1865–1963) war ein französischer Mathematiker, Charles de la ValléePoussin (1866–1962) ein belgischer Mathematiker. 4  Neben dem Axiomensystem der Mengenlehre gibt es eine Reihe weiterer wichtiger Axiomensysteme, insbesondere die Peano-Axiome (PA), die die Theorie der natürlichen Zahlen axiomatisieren. Die Peano-Axiome sind jedoch viel schwächer als die ZFC-Axiome. Während die Peano-Axiome daher für Logiker von Interesse sind, werden sie von „normalen“ Mathematikern wenig genutzt. 5  Das Auswahlaxiom (C) besagt Folgendes: Enthält eine Menge X die Teilmengen Aλ, indiziert durch λ ∈ Λ, und ist kein Aλ die leere Menge ∅, dann können wir für jedes: λ ∈ Λ ein xλ in Aλ auswählen (d. h. es gibt eine Funktion f : Λ → X, wobei f(λ) ∈ Aλ für jedes λ ∈ Λ). Wenn Sie die Bedeutung des Auswahlaxioms einmal erfasst haben, werden Sie es vermutlich intuitiv vertretbar finden; beachten Sie jedoch, dass xλ = f(λ) keinesfalls explizit konstruiert wird. 6  Stefan Banach (1892–1945) war ein polnischer Mathematiker, Alfred Tarski (1902–1983) ein polnischstämmiger Logiker. Das Banach-Tarski-„Paradoxon“ besteht in der folgenden Tatsache, die sich mit Hilfe des Auswahlaxioms beweisen lässt: Eine Kugel (im dreidimensionalen Raum) lässt sich in eine endliche Anzahl von Einzelteilen zerlegen, die durch Bewegungen umgeordnet (d. h. durch dreidimensionale Rotationen und Translationen) zu zwei Kugeln von derselben Größe wie die ursprüngliche zusammengefügt werden können. Die Anzahl der Teile kann fünf betragen. Das mag absurd erscheinen, da das Gesamtvolumen der Teile zu Beginn dem einer Kugel entspricht und sich am Ende auf das Doppelte vergrößert hat. Tatsächlich aber haben wir es nicht wirklich mit einem Paradoxon zu tun, denn von einem Volumen der Kugelteile, die bewegt werden, kann man nicht sprechen: Diese Teile sind nicht messbar. Wenn mit Hilfe des Auswahlaxioms Mengen gebildet werden, sind diese normalerweise nicht messbar. Diese Nichtmessbarkeit ist eine ärgerliche Sache; dennoch sind sich Mathematiker derzeit einig, dass es gut ist, das Auswahlaxiom zur Verfügung zu haben, auch wenn dies bedeutet, dass sie mit der Messbarkeit der Mengen, mit denen sie arbeiten, etwas vorsichtig sein müssen. 7  Das Auswahlaxiom ist mit ZF nicht nur widerspruchsfrei, es ist, wie P. Cohen aufgezeigt hat, von ZF unabhängig: Ist ZF widerspruchsfrei, gibt es ein widerspruchsfreies Axiomsystem, zu dem ZF gehört, für das jedoch das Auswahlaxiom nicht gilt. Der US-amerikanische Mathematiker Paul Cohen (1934–2007) ist vor allem für seine Arbeiten zu den axiomatischen Grundlagen der Mengenlehre bekannt, wobei er eine Technik verwendete, die man Forcing nennt. 8  Ein klassisches Beispiel ist die Theorie der Banach-Räume, bei der sich ein wichtiges Resultat – der Satz von Hahn-Banach – nur mit Hilfe des Auswahlaxioms beweisen lässt. Die Verwendung von Hahn-Banach ermöglicht eine schönere allgemeine Theorie der Banach-Räume.

186        anmerkungen Diese Theorie nun ist in Anwendungen recht nützlich, sodass eine puritanische Einstellung, die Verwendung des Auswahlaxioms zu verbieten, hier nicht sehr gern gesehen ist. 9  Endliche einfache Gruppen sind einfache Gruppen (siehe Fußnote 1), die endliche Mengen sind. Diese algebraischen Objekte lassen sich klassifizieren, d. h. auflisten: Die Liste ist unendlich, aber durchaus explizit. In Fachkreisen gilt der Klassifizierungsprozess heute zwar als abgeschlossen, die Veröffentlichung der Beweise zur Untermauerung der Klassifikation aber ist immer noch im Gang und beeindruckt durch ihre Länge: viele Tausend Seiten technisch schwieriger Mathematik. (vgl. dazu etwa R. Solomon, „On finite simple groups and their classification“, Notices Amer. Math. Soc., 42 (1995), S. 231–239; M. Aschbacher, „The status of the classification of the finite simple groups“, Notices Amer. Math. Soc., 51 (2004), S. 736–740) 10 Polynomen sind wir bereits mehrfach begegnet, insbesondere in Kapitel 6. Betrachtet man endlich viele Variablen z1, …, zv, so ist ein Monom in diesen Variablen ein Produkt

cz1n 1 · · · zvn v, Dabei ist c ein Koeffizient, und n1, …, nv sind natürliche Zahlen. Ein Monom erhält man also, indem man aus den Variablen z1, …, zv n1, …, nv te Potenzen zjnj bildet, dann diese multipliziert und hierauf das Produkt mit dem Koeffizienten c multipliziert. Ein Polynom p(z1, …, zv) ist eine endliche Summe von solchen Monomen. Beispielsweise ist p(x, y) = c + c’x + c’’y ein Polynom in den zwei Variablen x, y (mit den Koeffizienten c, c’, c’’), und p(x, y, z) = xn + yn – zn ist ein Polynom in drei Variablen. In der klassischen algebraischen Geometrie sind die Koeffizienten ebenso wie die Variablen komplexe Zahlen. Man betrachte nun ein Polynom P (x1, …, xµ, y1, …, yv) in den µ + v Variablen x1, …, xµ, y1, …, yv, wo die Koeffizienten ganze Zahlen (positive, negative oder null) sind. Mit diesem Polynom P wollen wir eine Menge S von Punkten 〈a1, …, aµ〉 verknüpfen, wo a1, …, aµ natürliche Zahlen sind, d. h. Elemente von N = {0, 1, 2, 3, …}. Anders ausgedrückt: Die Punkte in S werden Sequenzen 〈a1, …, aµ〉 ∈ Nµ sein. Die Menge S bestehe definitionsgemäß aus jenen 〈a1, …, aµ〉, für die es natürliche Zahlen b1, …, bv gibt, sodass gilt: P (a1, …, aµ, b1, …, bv) = 0 Jedes Mal, wenn ein Polynom P (x1, …, xµ, y1, …, yv) vorliegt, für das sich die Teilmenge S von Nµ definieren lässt wie soeben beschrieben, sprechen wir bei S von einer diophantischen Menge. Theorem. Eine Teilmenge S von Nµ ist diophantisch dann und nur dann, wenn sie rekursiv aufzählbar ist. Dies ergibt sich aus den Arbeiten mehrerer mathematischer Logiker, die Beweisführung abgeschlossen hat Jurij Matijasevič im Jahre 1970. In Kapitel 12 haben wir gelesen, dass eine Menge S rekursiv aufzählbar ist, wenn es einen Algorithmus gibt, der systematisch ihre sämtlichen Elemente auflistet. Möglicherweise aber lassen sich jene Elemente nicht auflisten, die nicht zu S gehören. In diesem Fall haben wir sehr wenig Kontrolle über S und wissen womöglich nicht, ob S eine leere oder eine nichtleere Menge ist. Das obige Theorem liefert daher eine negative Lösung zu Hilberts zehntem Problem, das nach einem Algorithmus fragte, der eine Aussage

anmerkungen         187 darüber träfe, ob es für ein beliebiges Polynom P (x1, …, xµ) mit ganzzahligen Koeffizienten ganze Zahlen a1, …, aµ gibt, sodass P (a1, …, aµ) = 0. Tatsächlich kann es einen solchen Algorithmus nicht geben. Die Unlösbarkeit von Hilberts zehntem Problem hat jedoch auch ihr Gutes. So wissen wir anhand des oben genannten Theorems, dass die Menge sämtlicher Primzahlen (die eine Teilmenge von N darstellt) diophantisch ist. Siehe M. Davis, „Hilbert’s tenth problem is unsolvable“, Amer. Math. Monthly, 80 (1973), S. 233–269; M. Davis, Ju. Matijasevič u. J. Robinson, „Hilbert’s tenth problem: Diophantine equations: Positive aspects of a negative solution“, in: Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems (Northern Illinois Univ., De Kalb, Ill., 1994); Proc. Sympos. in Pure Math., 20 (1974), S. 323–378. Der griechische Mathematiker Diophantos von Alexandrien lebte vermutlich im 3. Jh. n. Chr. Er hinterließ eine Aufgabensammlung mit dem Titel Arithmetica (Algebra und Zahlentheorie). 11 Der Bereich D in der komplexen Ebene C setze sich aus den komplexen Zahlen z = x + iy (x und y seien reelle Zahlen) zusammen, wobei x > 1. Die Riemann’sche Zetafunktion ist auf D definiert durch die unendliche Summe

ζ (z) =

∞  1 . nz n=1

Man kann zeigen, dass ζ eine analytische Funktion auf D ist und dass sie eine eindeutige analytische Fortsetzung (die ebenfalls mit ζ bezeichnet wird) auf die komplexe Ebene C ohne den Punkt 1 besitzt. Sei R die Teilmenge C bestehend aus den komplexen Zahlen z = x + iy, mit 1/2 < x < 1. Eine Formulierung der Riemann’schen Vermutung lautet, dass ζ im „verbotenen“ Bereich R nicht verschwindet (d. h. ζ (z) ≠ 0, wenn z ∈ R). Man weiß, dass ζ (z) bei z = –2, –4, –6, … verschwindet, ebenso wie in unendlich vielen Punkten z = 1/2 + iy; die allgemein verwendete Formulierung der Riemann’schen Vermutung besagt, dass es keine weiteren Nullstellen gibt. 12 S. Shelah, „Logical dreams“, Bull. Amer. Math. Soc. (N. S.), 40 (2003), S. 203–228.

14  Strukturen und die Entwicklung von Konzepten 1  s. Kap. 13, Fußnote 1 2 s. Kap. 2, Fußnote 4 3 s. Kap. 12, insbes. Fußnote 8 4 s. Kap. 13, Fußnote 2 5 Die Aussage ist das Maximumprinzip für analytische Funktionen. Ich will Ihnen eine präzise Aussage nennen, ohne vom Rand zu sprechen. Ist f ( z) im Gebiet D = {z:| z – z0| < R} (anschaulich: ein Kreis mit dem Radius R um den Punkt z0) analytisch und gibt es a ∈ D mit f ( a) ≠ f ( z0), dann gibt es b ∈ D mit | f ( b)| > | f ( z0), d. h. der Betrag von f ( z) kann im Zentrum eines Kreises, in dem f ( z) analytisch ist, kein Maximum annehmen. 6 Der Begriff der kompakten Menge gehört zum Bereich der Topologie, und von dieser werde ich Ihnen in dieser Fußnote keine klare Vorstellung davon vermitteln können, wenn Sie sich nie zuvor mit dem Thema befasst haben. Es ist jedoch ein Leichtes, die ihr zugrunde liegenden Definitionen zu nennen, allein um zu zeigen, wie unglaublich simpel sie sind. (Wir werden hier die Begriffe Teilmenge, Abbildung, Schnittmenge und Vereinigungsmenge verwenden,

188        anmerkungen die Sie in Fußnote 1 zu Kap. 8 nachschlagen können; die Wörter Familie und Teilfamilie (von Mengen) sind hier zu verstehen als Menge von Mengen und Teilmenge einer Menge von Mengen.) Eine Topologie auf eine Menge X ist eine Familie von Teilmengen von X, bezeichnet als offene Mengen, wobei die folgenden Sätze erfüllt sind: (1) X und die leere Menge Ø sind offene Mengen. (2) Die Schnittmenge zweier offener Mengen ist eine offene Menge. (3) Die Vereinigungsmenge jeder Familie von offenen Mengen ist eine offene Menge. Angenommen, wir haben Topologien auf beiden, auf der Menge X und auf der Menge Y, und sei f eine Abbildung von X auf Y. Für eine Teilmenge V von Y bezeichnen wir mit f–1V die Menge der Punkte x ∈ X, für die f x ∈ V. Mit dieser Notation wird die Abbildung f als stetig bezeichnet, wenn gilt: Wenn V in Y offen ist, dann ist auch f–1V offen in X. Man sagt, dass Teilmengen Oi von X – die möglicherweise eine unendliche Familie bilden – eine Überdeckung von X bilden, wenn ihre Vereinigung ganz X ist. Ein Raum X, versehen mit einer Topologie, heißt kompakt, wenn jede Überdeckung durch offene Teilmengen Oi, die bereits eine Überdeckung von X bilden, eine endliche Unterfamilie enthält. Angenommen, X und Y besäßen Topologien und f sei eine stetige Abbildung von X auf Y, wobei fX = Y (für jeden Punkt y ∈ Y existiert ein x ∈ X, mit fx = y). Dann gilt: Wenn X kompakt ist, dann ist auch Y kompakt. Wenn Sie diese geraffte Beschreibung der Topologie gelesen haben, werden Sie vielleicht sagen: „Auch ich bin ein Mathematiker!“ und selbst Axiome, Definitionen und Theoreme zu formulieren beginnen. Sie können sich allerdings nicht sicher sein, dass diese für Mathematiker so bedeutsam sein werden wie das Begriffsskelett der Topologie, das ich gerade beschrieben habe. 7 Siehe Fußnote 6 8 Die abstrakte Maßtheorie beginnt mit der Zuordnung eines Maßes (oder einer Masse) m ( X) zu bestimmten Teilmengen X eines Raums M. Die Theorie der Radonmaße nimmt M an als einen kompakten topologischen Raum und beginnt mit der Definition eines Integrals (oder Mittelwerts) m ( A) für kontinuierliche Funktionen A auf M. Die abstrakte Maßtheorie ist allgemeiner. Die Theorie der Radonmaße bildet einen Sonderfall und besitzt daher mehr Theoreme: Sie ist eine reichere Theorie. 9 Siehe M. R. Garey und D. S. Johnson: Computers and Intractability; Freeman, New York 1979. 10 Eben dies habe ich in meinem Artikel „Conversations on mathematics with a visitor from outer space“ in dem Buch: Mathematics: Frontiers and Perspectives, Hrsg. v. V. Arnold, M. Atiyah, P. Lax und B. Mazur; Amer. Math. Soc., Providence, RI 2000, S. 251–259, getan. 11 Diese Aussage bedarf eigentlich einer Korrektur. Das langsame und planlose Wirken der Evolution hat Mechanismen (im Immunsystem und natürlich im Nervensystem) entstehen lassen, die relativ schnelle und intelligente Reaktionen hervorbringen. 12 Eigentlich ist so „Teil 1“ des Aufsatzes überschrieben; Bourbaki ist jedoch nicht viel weiter gegangen. 13 Eigentlich ist es J.-P. Serre, der mit diesem Satz in einem Brief vom 8. Februar 1986 A. Grothendieck zitiert. Der Brief ist Serres Antwort auf Grothendieck, nachdem dieser ihm „Récoltes et semailles“ geschickt hatte. In diesem sehr interessanten Schreiben räumt Serre die Leistungskraft von Grothendiecks Ansatz ein, vertritt jedoch die Auffassung, dass dieser nicht in allen Bereichen der Mathematik funktioniere. Im Original nachzulesen in: Correspondance Grothendieck–Serre, Hrsg. v. P. Colmez und J.-P. Serre, Documents Mathématiques 2, Société Mathématique de France, Paris 2001.

anmerkungen         189 15  Turings Apfel 1 Die Zahl π ist nicht nur irrational, sondern eigentlich transzendental, d. h., sie kann die Gleichung

an π n + an−1 π n−1 + . . . + a1 π + a0 = 0 nicht erfüllen, wenn a0, a1, …, an–1, an ganze Zahlen sind (positiv, negativ oder Null). Das hat im Jahr 1882 der deutsche Mathematiker Ferdinand von Lindemann (1852–1939) bewiesen. 2 Der dänische Mathematiker Harald Bohr (1887–1951) bleibt in Erinnerung durch seine Theorie fastperiodischer Funktionen. Daneben war er der Bruder des Physikers Niels Bohr (1885–1962) und gehörte bei den Olympischen Spielen von 1908 der dänischen Fußballmannschaft an. 3 Ioan James: „Autism in mathematicians“, Math. Intelligencer 25 (2003), S. 62–65. 4 Constance Reid: Hilbert. Springer Verlag, Berlin 1970. 5 Der deutschstämmige US-Mathematiker Richard Courant (1888–1972) studierte bei Hilbert und war später einer von dessen Mitarbeitern. 6 Andrew Hodges: Alan Turing: The Enigma. Simon & Schuster, New York 1983. 7 „Können Maschinen denken?“ Zur Beantwortung dieser Frage schlug Turing vor, einer Person und einer Maschine, die in verschiedenen Räumen eingeschlossen seien, Fragen zu stellen. Person und Maschine würden über einen Bildschirm Antworten ausgeben, die auch Lügen sein könnten (die Maschine würde also vorgeben, eine Person zu sein). Könnte der Fragen­ steller herausfinden, wer die Person und wer die Maschine wäre? Dies ist der Turing-Test: ein Imitationsspiel, bei dem eine Maschine als Person durchgehen kann. Lassen sich Person und Maschine nicht voneinander unterscheiden, kann nur schwer behauptet werden, dass die Maschine nicht denken könne. Interessant ist, dass Turing in seiner Version des Imitationsspiels Frau und Mann und anstelle von Person und Maschine benutzt hat. 8 Zu Beginn der 1950er-Jahre war das Herumexperimentieren mit gefährlichen Chemikalien vermutlich weiter verbreitet und wurde weniger streng unterbunden als heute. Als Turing seine Zyankali-Experimente durchführte, war ich ein Teenager und hatte ein kleines Labor im Keller, wo ich mit Arsen (As2O3), Phosphor und anderen giftigen, brennbaren, explosiven, ätzenden oder stinkenden Substanzen experimentierte. 9 Frank Olver ist heute emeritierter Professor an der Abteilung Mathematik der University of Maryland. Ich bin ihm zu Dank verpflichtet für seine Erzählungen aus der Zeit, in der er Ende der 1940er-Jahre am National Physical Laboratory in England mit Turing bekannt war. 10 Von den Mathematikern, die ich kennen gelernt habe, lebten einige wenige eine offene Homosexualität; ich würde jedoch nicht sagen, dass Homosexualität in diesem Beruf verbreitet ist. Und, falls es Sie interessiert, ich bin nicht schwul, und ich hatte auch keinen Nervenzusammenbruch. Hinsichtlich der Glatze muss ich zugeben, dass ich Geheimratsecken habe. Nun ja, um ehrlich zu sein, einen dauerhaft hohen Haaransatz.

16  Mathematische Erfindung: Psychologie und Ästhetik 1 H. Poincaré: L’invention mathématique, in: Science et méthode; Ernest Flammarion, Paris 1908, Kap. 3; engl. Übs. („Mathematical creation“) in: Science and Method; Dover, New York 1952; dt.: „Mathematische Schöpfung“.

190        anmerkungen 2 J. Hadamard: The Psychology of Invention in the Mathematical Field; Princeton University Press, Princeton NJ, 1945; Nachdruck der erweiterten Ausgabe von 1945 bei Dover, New York 1954. 3 Einsteins Brief ist als Anhang II in Hadamards Buch (s. Fußnote 2) abgedruckt. [Angeführtes Zitat übersetzt v. d. Übs.] 4 Es gibt Ausnahmen. Poincarés philosophische Schriften (s. a. Fußnote 1) sind gute Literatur. Interessanterweise hatte Poincaré in jungen Jahren einen Roman zu schreiben begonnen. Nach allem, was wir über diesen Roman wissen, ist es kein großer Verlust, dass er dieses Projekt aufgab. Dennoch kam Poincaré seine frühe literarische Betätigung eindeutig zugute, als er später über die Wissenschaftsphilosophie zu schreiben begann. 5 Der Satz über implizite Funktionen spielt eine fundamentale Rolle in der Differentialgeometrie (der Untersuchung differenzierbarer Mannigfaltigkeiten). Siehe dazu z. B. S. Lang: Differential Manifolds; Addison-Wesley, Reading MA 1972; bzw., auf Deutsch, W. Blaschke, K. Leichtweiß: Elementare Differentialgeometrie, Springer, Berlin u. a. 1973; oder Chr. Bär: Elementare Differentialgeometrie, de Gruyter, Berlin u. a. 2001. 6 Ein Beispiel hierfür ist der Beweis der stabilen Mannigfaltigkeit hypberbolischer Punkte; s. M. W. Hirsch und C. C. Pugh: Stable manifolds and hyperbolic sets; in: Global Analysis (Berkeley CA 1968), Proc. Sympos. in Pure Math. 14, Amer. Math. Soc., Providence RI 1970, S. 132–163. 7 Genau genommen existieren mehrere Ergodensätze: 1932 entstanden der individuelle Ergodensatz (Birkhoff) und der gemittelte Ergodensatz (von Neumann); später folgten weitere Ergodensätze. Diese Sätze ermöglichen die Definition von „Zeitmittelwerten“ und spielen eine fundamentale Rolle in der Ergodentheorie (s. z. B. P. Billingsley: Ergodic Theory and Information; John Wiley & Sons, New York 1965).

17  Das Kreistheorem und ein unendlich-dimensionales Labyrinth 1 Siehe T. D. Lee und C. N. Yang, „Statistical theory of equations of state and phase transistions, II: Lattice gas and Ising model“, Physical Rev. (2) 87 (1952), S. 410–419, sowie T. Asano, „Theorems on the partition functions of the Heisenberg ferromagnets“, J. Phys. Soc. Japan 29 (1970), S. 350–359. Das Lee-Yang-Kreistheorem fasziniert mich seit Langem (s. D. Ruelle, „Extension of the Lee-Yang circle theorem“, Phys. Rev. Lett. 26 (1971), S. 303–304), und ich glaube, dass es in diesem Bereich noch Rätsel zu entschlüsseln gibt. 2  Der Fundamentalsatz der Algebra ist mehr ein Satz der Analysis als der Algebra. Er besagt,  dass für ein Polynom P(z) = mj=0 aj z j, wo aj komplexe Zahlen und am = 1 sind, komplexe Zah len c1, …, cm existieren, sodass sich das Polynom in der Form P(z) = mj=1 (z − cj ) schreiben lässt.

18  Fehler! 1 Der chinesische Mathematiker Shiing-shen Chern (1911–2004) verbrachte den Großteil seiner beruflichen Laufbahn in den USA. 2 Verwiesen wird auf H. Hopf: „Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche“, Math. Ann. 104 (1931), S. 637–665; „Über die Abbildungen von Sphären auf Sphären niedrigerer Dimension“, Fund. Math. 25 (1935), S. 427–440.

anmerkungen         191 3 Ein Algorithmus löst einen bestimmten Typ Aufgaben nach Vorgabe bestimmter Daten. Beispielsweise könnte das Problem lauten: Ist diese ganze Zahl eine Primzahl? Die ganze Zahl, für die die Frage gestellt wird, ist dann das Vorgabedatum. Diese Daten besitzen eine bestimmte Länge, hier die Anzahl der Ziffern der ganzen Zahl. Aus naheliegenden Gründen interessiert uns, wie schnell ein Algorithmus ist, das heißt, wie viel Zeit er benötigt, um ein gegebenes Problem zu lösen. Für einen Algorithmus in Polynomialzeit beispielsweise ist der Ausführungszeit durch ein Polynom in der Länge der Daten beschränkt. Ein Problem heißt traktabel, wenn es einen Algorithmus in Polynomzeit hat. Erstaunlicherweise gibt es für den Primzahltest (die Feststellung also, ob eine ganze Zahl eine Primzahl ist oder nicht) einen Algorithmus in Polynomialzeit; für die Ermittlung der Primfaktoren einer ganzen Zahl, die keine Primzahl ist, ist jedoch ein Algorithmus mit polynomieller Laufzeit nicht bekannt. (Dass der Primzahltest traktabel ist, wurde 2002 von Manindra Agrawal, Neeraj Kayal und Nitin Saxena bewiesen.) Bei manchen Problemen, bei denen man eine Antwort erraten kann, lässt sich diese Antwort in Polynomialzeit überprüfen, und es existiert eine Klasse derartiger Probleme, die in gewisser Weise äquivalent sind (NP-vollständige Klasse; siehe Fußnote 9 zu Kap. 14). Eine große, bislang offene Frage lautet, ob sich NP-vollständige Probleme tatsächlich in polynomieller Laufzeit lösen lassen. Es ist die allgemeine Meinung, dies sei nicht der Fall; einen Beweis gibt es jedoch nicht. 4 Die Poincaré-Vermutung (1904) charakterisiert die dreidimensionale Kugel unter dreidimensionalen Mannigfaltigkeiten. Nach zahlreichen Versuchen ist die Poincaré-Vermutung von Grigori Perelman 2002 wohl endlich bewiesen. 5 A. Jaffe und F. Quinn, „Theoretical mathematics toward a cultural synthesis of mathematics and theoretical physics“, Bull. Amer. Math. Soc. N.S. 29 (1993), S. 1–3; M. Atiyah et al., „Responses“, Bull. Amer. Math. Soc. N.S. 30 (1994), S. 178–207. 6 Sogenannte seltsame Attraktoren; s. beispielsweise J.-P. Eckmann und D. Ruelle: „Ergodic theory of chaos and strange attractors“, Rev. Modern Phys. 57 (1985), S. 617–656. 7 Angenommen, die Oberfläche der Kugel werde in „Länder“ zerteilt (Ozeane gibt es nicht), jedes Land sei zusammenhängend (bestehe nicht aus unzusammenhängenden Teilen), und wir wollten die Länder so einfärben, dass Länder mit einer gemeinsamen Grenze verschiedene Farben haben (erlaubt sind gleichfarbige Länder mit einer endlichen Anzahl gemeinsamer Grenzpunkte). Wie viele Farben benötigen wir? Kenneth Appel und Wolfgang Haken veröffentlichten 1977 einen Computerbeweis, dass vier Farben ausreichend sind. 8 Der US-amerikanische mathematische Physiker Oscar E. Lanford (geb. 1940) leistete mehrere wichtige Beiträge zur statistischen Mechanik. Sein Computerbeweis ist unveröffentlicht. Ich habe ihn zu einem früheren Zeitpunkt in „Mathematical Platonism reconsidered“ erörtert; siehe Fußnote 1 zu Kap. 1. 9 Siehe M. Aschbacher, „The status of the classification of the finite simple groups“, Notices Amer. Soc. 51 (2004), S. 736–740. 10 Werden kugelförmige Murmeln in einen würfelförmigen Behälter gefüllt, so wird die maximal erreichbare Dichte, die man im Limes eines großen Behälters erreichen kann, als Kugelpackungsdichte bezeichnet. Diese Dichte lässt sich relativ leicht erraten; diesen Wert zu beweisen erscheint jedoch extrem schwierig. Siehe T. C. Hales, „The status of the Kepler conjecture“, Math. Intelligencer 16 (1994), S. 47–58, und B. Casselman, „The difficulties of kissing in three dimensions“, Notices Amer. Math. Soc. 51, (2004), S. 884–885. 11 Siehe Fußnote 4 zu diesem Kapitel. 12 Siehe T. C. Hales, „Formal proof“, Notices Amer. Math. Soc. 55 (2008), S. 1370–1380, sowie die übrigen Artikel in der hier genannten (Dezember-)Ausgabe der Notices.

192        anmerkungen 19  Das Lächeln der Mona Lisa 1 Ein offenkundiger Einwand lautet, der ungenannte Seminarredner habe ungeachtet dessen, was ich meine und behaupte, tatsächlich „antisymmetrisch“ gesagt. Das von mir gehörte Wort „antisemitisch“ wäre dann ein Produkt meines und nicht seines Unbewussten. Ich werde die Gründe für meine Position nicht disputieren, halte jedoch fest, dass fraglos jemandes Unbewusstes am Werk war. Wessen Unbewusstes, ist für die Zwecke der vorliegenden Diskussion nicht von Belang. 2 Dem Kunsthistoriker Meyer Schapiro verdanken wir eine fundamentale und überaus lesenswerte Studie über Freuds Buch („Leonardo and Freud“, Journal of the History of Ideas 17 (1956), S. 147–179). Ich selbst habe die Kindheitserinnerungen in einer zweisprachigen französisch-deutschen Ausgabe gelesen ( Un souvenir d’enfance de Léonard de Vinci, Gallimard, Paris, 1995), die ein langes Vorwort des Psychoanalytikers J-.B. Pontalis enthält, der M. Schapiros Studie verwendet. Freuds Leonardo gibt eine vorstellbare und hochinteressante Interpretation der Persönlichkeit des großen Künstlers und ist sehr gut zu lesen. Man bewahre sich lediglich einen wachsamen und kritischen Verstand! Ein weiteres Buch übrigens, das ich sehr gern gelesen habe, ist Freuds Der Mann Moses und die monotheistische Religion (Allert de Lange, Amsterdam, 1939). 3 Manche glauben, Leonardo sei homosexuell gewesen. Möglicherweise gefällt die Vorstellung besser, er habe eine unglaublich romantische Liebesaffäre mit einer bildschönen Florentiner Adligen gehabt, atemlos und tragisch; inakzeptabel hingegen erscheint der Gedanke, er habe überhaupt kein Liebesleben gehabt! Und doch konnte Freud besser als die meisten Menschen erahnen, was im Kopf eines Menschen vor sich ging; er mag hiermit also durchaus richtig gelegen haben. 4 Diese Zitate Leonardos entstammen dem Buch Freuds. [dt. Originalzitate aus der Ausgabe v. Fischer Verlag, Frankfurt/M., 20002] 5 Siehe Kap. 1, Fußnote 2. 6 Hier folge ich teilweise J. Laplanches und J.-B. Pontalis’ Vocabulaire de la psychoanalyse, Presses Universitaires de France, Paris, 1981.

20  „Tinkering“ und die Konstruktion mathematischer Theorien 1 Die Stärke der Tendenz ließe sich mit Hilfe eines Temperaturwerts beschreiben: starke Tendenz = niedrige Temperatur. Das gängige Bild ist hier die Suche nach einem Energieminimum statt nach einem Maximum an Interessantheit. Ein hoher Temperaturwert entspricht einem Zufallspfad, bei dem häufig hin- und hergesprungen wird, ohne besonders auf eine Reduzierung der Energie zu achten. Bei der Verwendung eines Computers besteht eine gute Strategie, die simulierte Abkühlung, darin, bei einer hohen Temperatur anzusetzen (einen großen Bereich abzulaufen, ohne hängen zu bleiben und in einer breiten Region mit niedriger Energie zu landen). Anschließend wird die Temperatur allmählich gesenkt (um die Auswahl eines niedrigen Energiewerts zu verfeinern). 2 F. Jacob, „Evolution and tinkering“, Science 196 (1977), S. 1161–1166. Der französische Biologe François Jacob (geb. 1920) ist für seine bahnbrechenden Arbeiten über Regulationsmechanismen in Bakterien bekannt. 3 Natürlich hätte die Evolution alle möglichen unterschiedlichen Dinge bewirken können. Ich stelle mir gern vor, sie hätte möglicherweise Wirbeltiere mit sechs statt vier Beinen hervorgebracht, sodass ein Beinpaar leichter zur Verfügung gewesen wäre, um Arme oder Flügel zu bekommen. Wohlbekannte Fabelwesen wären dann womöglich Wirklichkeit geworden: Dra-

anmerkungen         193 chen (mit vier Beinen und zwei Flügeln), Zentauren (mit vier Beinen und zwei Armen) und Engel (mit zwei Beinen, zwei Armen und zwei Flügeln). (s. D. Ruelle, „Here be no dragons”, Nature 411 (2001), S. 27). 4 Aharon Kantorovich: Scientific Discovery, Logic and Tinkering. State University of New York Press, Albany, 1993.

21  Mathematische Erfindung 1 Doron Zeilberger z. B. hat ein (Maple) Computerprogramm zur Verifikation von Identitäten hypergeometrischer Funktionen entwickelt („A fast algorithm for proving terminating hypergeometric identities“, Discrete Math. 80 (1990), S. 207–211). 2 Vgl. Abschn. 1.4.4. in S. Wolfram: The Mathematica Book; Cambridge University Press, Cambridge, 1996. 3 Vgl. den Briefwechsel von E. J. Larson und L. Witham in „Leading scientists still reject God“; Nature 394 (1998), S. 313. Darin findet man bei den Mitgliedern der US-amerikanischen Akademie der Wissenschaft niedrige Werte von Religiosität (14,3% für Mathematiker, 7,5% für Physiker). Höhere Prozentzahlen, die man im Internet für andere Stichproben findet, weisen zur religiösen Neigung von Mathematikern und Physikern dasselbe Verhältnis von 2:1 auf.

22  Mathematische Physik und emergentes Verhalten 1  D  er italienische Mathematiker, Astronom und Physiker Galileo Galilei (1564–1642) ist einer der Begründer der modernen Wissenschaft. Seine freie Denkungsart brachte ihn mit der katholischen Kirche seiner Zeit in Konflikt. Es ist eine interessante Spekulation, mit welchen Autoritäten er in Konflikt geraten wäre, hätte er zur heutigen Zeit gelebt. Galilei beharrte darauf, dass die Philosophie im großen Buch der Welt zu studieren sei, das die Natur geschrieben habe, und nicht in den Schriften des griechischen Philosophen Aristoteles (384–322 v. Chr.). In Saggiatore (1632) steht ein berühmtes Zitat: „La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi a gli occhi (io dico l’universo)… Egli è scritto in lingua mattematica.“ („Die Philosophie steht in diesem großen Buch geschrieben, das unserem Blick ständig offen liegt (ich meine das Universum)… Es ist in der Sprache der Mathematik geschrieben.“). 2 Der Deutsch-Amerikaner Albert Einstein (1897–1955) war wahrscheinlich der größte Physiker des 20. Jahrhunderts. 3 Der US-amerikanische theoretische Physiker Richard Feynman (1918–1988) hat mehrere Aspekte der Quantenmechanik grundlegend überarbeitet. 4 Das folgende Zitat stammt von dem schweizerischen mathematischen Physiker Res Jost (1918–1990): „In den 30er-Jahren beschränkte sich das mathematische Wissen eines theoretischen Physikers unter dem demoralisierenden Einfluss der quantentheoretischen Störungstheorie auf eine rudimentäre Kenntnis des lateinischen und des griechischen Alphabets.“ (auf Englisch zitiert von R. F. Streater und A. S. Wightman in: PCT, spin and statistics, and all that; W. A. Benjamin, New York, 1964). 5 Die moderne Quantenmechanik hat ihren Ursprung in ihrer mathematischen Formulierung durch den Deutschen Werner Heisenberg (1901–1976) im Jahre 1925 sowie, in anderer Form, durch den Österreicher Erwin Schrödinger (1887–1961) im Jahre 1926.

194        anmerkungen 6 Eine zentrale Rolle bei der begrifflichen Begründung der statistischen Mechanik spielten der Österreicher Ludwig Boltzmann (1844–1906) und der US-Amerikaner J. Willard Gibbs (1839–1903). 7 Beachten Sie, dass die Physik stets ein im Kern nicht-mathematisches Element enthält: die operationale Identifikation von „Dingen“ in der Natur, für die man eine mathematische Beschreibung finden möchte. Um einen Gleichgewichtszustand von Wasser zu erreichen, muss man Wasser ausreichend lange stehen lassen, muss sich vergewissern, dass es sich nicht bewegt, muss ein Thermometer bauen und prüfen, dass die Temperatur unabhängig von Standort oder Zeit ist, und so weiter. 8 Der Russe Roland L. Dobrushin (1929–1995) war ein herausragender Wahrscheinlichkeitstheoretiker, der an der statistischen Gleichgewichtsmechanik interessiert war und in diesem Bereich wichtige Ergebnisse erzielte. 9 Der russsische Mathematiker Yakov G. Sinai (geb. 1935) leistete grundlegende Beiträge zur Ergodentheorie dynamischer Systeme sowie zur statistischen Mechanik. 10 Der US-amerikanische Mathematiker Robert E. Bowen (1947–1978), bekannt unter dem Namen Rufus Bowen, trug maßgeblich zur Theorie der glatten dynamischen Systeme bei. (Er erzählte mir, er habe den Namen Rufus gewählt, weil er nicht gern Bob genannt werde.) Bowen war das Gegenteil eines aufgeregten Genies: Wenn er in seiner langsamen, ruhigen Stimme ein mathematisches Problem erklärte, vergaß man alles außer der Frage, die er mit absoluter Klarheit beschrieb. Er gehörte zu den absolut besten Mathematikern seiner Zeit, als er plötzlich und unerwartet an einer Gehirnblutung starb. 11 Einige der hier angesprochenen Gedanken werden in den folgenden fachtechnischen Büchern erörtert: R. Bowen: Equilibrium States and the Ergodic Theory of Anosov Diffeomorphisms; Lecture Notes in Math. 470, Springer, Berlin, 1975; D. Ruelle: Thermodynamic Formalism: The Mathematical Structures of Classical Equilibrium Statistical Mechanics; Addison-Wesley, Reading, MA, 1978; sowie W. Parry und M. Pollicott: Zeta Functions and the Periodic Orbit Structure of Hyperbolic Dynamics; Astérisque 187–188, Soc. Math. de France, Paris, 1990. 12 Siehe z. B. mein Sachbuch Zufall and Chaos [dt. Übs. v. Wolf Beiglböck], Springer, Berlin u. a. 1992. 

23  Die Schönheit der Mathematik 1 Was dynamische Systeme angeht, so habe ich in den 1960er- und ‘70er-Jahren während der großartigen „hyperbolischen“ Zeit von Steve Smale mehrfach Berkeley besucht sowie später das Instituto Nacional de Matématica Pura e Aplicada in Rio de Janeiro zu den Blütezeiten von Jacob Palis und Ricardo Mañé. Was die mathematische Physik betrifft, so war ich zu Beginn der 60er-Jahre bei Res Jost in Zürich (an der Eidgenössischen Technischen Hochschule/ETH Zürich) und später zur Zeit von C.-N. Yang und Freeman Dyson am Institute for Advanced Study in Princeton. Darüber hinaus habe ich von den Bemühungen im Bereich der statistischen Mechanik im Umfeld von Joel Leibowitz an der Yeshiva und später an der Rutgers University profitiert. Und natürlich war ich in der zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts mehrere Jahrzehnte lang in die ständigen mathematischen und mathematisch-physikalischen Aktivitäten am IHÉS in Bures-sur-Yvette involviert. 2 Und dies ist das Ende Eurer Mühsal, o Ihr, geduldiger Leser der Fußnoten! Wir lassen die Akademie und ihre Dispute hinter uns. Wir können nun ein wenig frische Luft atmen und dürfen eine Zeitlang wieder αγεωμετρητοι sein, geometrisch unbeholfen also oder Nichtmathematiker.

Sachverzeichnis A Abbildung (Funktion) siehe Funktion Abbildung (Illustration) 68–70 Ableitungsregel 10f Académie des Sciences de Paris 81 affine Geometrie 16 Algebra 32, 36, 55 Fundamentalsatz der ~ 43, 125, 127, 154, 190 algebraische Geometrie 34, 37, 39,   42f, 47 algebraische Varietät 41f, 44 Algorithmus 87f, 191 Analogie 154–156 Analysis 32, 36, 40 analytische Funktion einer komplexen Variablen 92, 99, 184 Anpassung 77f Antisemitismus 27, 140 Archimedes 61, 181 Aristoteles 193 Arithmetik 32, 42f, 47 Asano, Taro 124, 126 Ästhetik 115–121, 131 Auswahlaxiom (Axiom of Choice, C)   83, 93, 185 Autismus 109 Axiom 10, 15, 34, 36 Gruppen~ 184 ~ der Mengenlehre 83–85,   91–97 ~ der Topologie 187 ZFC-~e 83–85, 91–97 B Banach, Stefan 185 Banach-Tarski-Paradoxon 93, 185 Bedeutung 15, 145, 150, 156f Bewusstsein 116 Bézout-Theorem 178 Bohr, Harald 107, 189 Boltzmann, Ludwig 161, 163f, 194

Bourbaki, Nicolas 35–38, 54–56, 91, 97, 102 Séminaire ~ 178 Bowen, Robert E. 167, 194 Bruchzahl 31, 36 Bruno, Giordano 77, 182 BUCH, Das (Erdös) 67, 180 großes ~ der Natur 159 C Cantor, Georg 35f, 84, 178 Cartan, Henri 35, 45, 47, 178 Chaos 167 Chern, Shiing-shen 131, 190 Chevalley, Claude 35, 47 Choice (Axiom of ~, C) siehe Auswahlaxiom Church, Alonzo 87, 183 Cohen, Paul 185 Computer 59–65, 68, 101, 111, 117f, 133f computergestützter Beweis 132–136 Courant, Richard 111, 198 Crafoord-Preis 180 D Dedekind, Richard 36 Deligne, Pierre 37, 94, 132, 178, 180 Delsarte, Jean 35 Descartes, René 25, 32, 34, 177 Dieudonné, Jean 35, 47, 179 diophantische Gleichung 93 diophantische Menge 186f Diophantos von Alexandria 186f Dobrushin, Roland L. 166f, 194 Doppelverhältnis 19f Drogen 107f E École Normale Supérieure 35, 48, 52 Ehrungen 75–82

196        sachverzeichnis Eilenberg, Samuel 56, 180 Eine-Million-Dollar-Problem 79 Einheit der Mathematik 31–38 Einstein, Albert 109, 117, 119, 159f, 177 emergentes Verhalten 164f endliche einfache Gruppen, Klassifikation von ~ 93, 136, 186 Erdös, Paul 57, 180 Erfindung 115–121 Ergodensatz 121, 190 Erkenntnis 4f, 10, 157 Erlanger Programm 15, 54, 97 Euklid von Alexandria 10f, 26, 54, 61, 86, 175 euklidische Geometrie 16f, 34, 68 Euler, Leonhard 178 Evolution 60, 101 Protein-~ 148f F Fakt, mathematischer 154 Fantasie 85f Fehler 65, 135–138, 151 Felsklettern-Vergleich 98–100 Fermat, Pierre 43, 178 Fermat’scher Satz, großer 43f, 93, 178 Feynman, Richard 159, 193 Fields-Medaille 46, 79 formale Mathematik 53, 58 formalisierter mathematischer Text 13, 135 Formel 71–73 Forschungsdrang (wissensch. Neugier) 140 Fraenkel, Adolf 83, 183 Freud, Sigmund 140–144, 192 Fundamentalsatz der Algebra 43, 125, 127, 154, 190 Funktion (Abbildung) 54 analytische ~ einer komplexen Variable 92, 99, 184 „gute“ ~ 44 intuitiv (tatsächlich) berechenbare ~   87f, 183

rekursive ~ 183 Riemann’sche Zeta~ 93, 187 Funktor 56 G Galilei, Galileo 159, 193 ganze Zahl 31, 35, 42–44, 84f Gedächtnis 59, 62f, 68, 71f Gedanke siehe Idee Gedankennetz (zu Konstruktion math. Theorien) 152 Gehirn 59–65, 68 Gennes, Gilles de 52, 180 Geometrie 7–13, 15–27, 54 affine ~ 16f euklidische ~ 16, 34, 68 komplexe projektive ~ 20 projektive ~ 17f Geometrisierung 69f Gesellschaft 75, 78 Gibbs, J. Willard 161, 163f, 194 Gibbs-Zustand 101, 166 Gleichgewichtsmechanik, statistische siehe statistische G. Gleichung 34, 40 Gödel, Kurt 11, 35, 39, 88, 93, 97, 99, 109, 138, 176, 183 Gödel’scher Unvollständigkeitssatz 85, 87, 89, 106, 111 Gott 57, 77, 87, 110, 156, 169 Grothendieck, Alexander 37, 39f, 43–52, 79, 102, 132, 155, 178f Grundlagen (Fundamente) 91–96 Gruppe 55f, 91, 120, 136, 184 ~naxiom 184 einfache ~ 184 „gute“ Funktion 44 H Hadamard, Jacques 115–119, 129,   178, 185 Hahn-Banach, Satz von 185f Heisenberg, Werner 160, 193

sachverzeichnis         197 Herumprobieren (Herumexperimentieren) siehe „Tinkering“ Hilbert, David 11, 34f, 39, 111, 176, 178 Hilberts zehntes Problem 93, 186 Homosexualität 112 Hopf, Heinz 131 I Idealisierung physikalischer Systeme 162 Idee (Gedanke) 22, 27, 53, 58, 126, 146 Ideologie 23, 77, 155 implizite Abbildungen, Satz über 120 Institut des Hautes Études Scientifiques (IHÉS) 39, 45–50 Intelligenz 153f Intervallarithmetik 134f Introspektion 2 Intuition 156f intuitiv (tatsächlich) berechenbare Funktion 87f, 183 irrationale Zahl 105, 189 J Jacob, François 148f, 192 Jaffe, Arthur 133, 136 Jost, Res 193 K Kantorovich, Aharon 150 Kategorie 56 Klassifikation endlicher einfacher Gruppen 93, 136, 186 Klein, Felix 15, 21–23, 111, 176 kombinatorischer Einsatz des Computers 133 kombinatorisches Denken 117 kompakte Menge 100, 187f komplexe projektive Geometrie 20 komplexe Zahl 19f, 41, 176, 184 Konstruktion mathematischer Theorien 146, 153

Konzept 101 Entwicklung von ~en 97–103 konzeptuelle Mathematik 53, 57 Körper 42, 44 Kreistheorem siehe Lee-Yang-~ K-Theorie 155 Kultur 119–121, 127 siehe auch Landschaft (geistige, mathematische) Kunst 119 L Labyrinth 129f Landschaft (geistige, mathematische) 117, 121, 131, 145, 153 siehe auch Kultur Lanford, Oscar E. 144f, 166f, 191 langer Beweis 98f, 132, 173 Lee, T. D. (Tsung-Dao) 123, 126 leere Menge 84 Lee-Yang-Kreistheorem (L.-Y.-Satz) 123–125 Lehre 171 Leibniz, Gottfried Wilhelm 32, 178 Leonardo da Vinci 140–144, 173 Leray, Jean 47 Lindemann, Ferdinand von 189 Logik 95f M Mac Lane, Saunders 56, 180 Machtbeziehung 106, 109 Machtstruktur 77f Maßtheorie 100, 188 Mathematica 154 mathematische Theorie 99 Konstruktion einer ~ 145, 153 Maximumprinzip für analytische Funktionen 187 Menge 36, 54 leere ~ 84 unendliche ~ 84 Mengenlehre 32, 36 Axiome der ~ 83–85, 91–97 menschliche Mathematik 63–65, 135

198        sachverzeichnis Metamathematik 95f Michel, Louis 49f, 75, 179 Montel, Paul 45, 178 Morphismus 56 Motchane, Léon 45, 49f, 178 Musik 170 N Nahrungsverweigerung 37, 52, 109 Natur 159–163 Nervenzusammenbruch 111 Neumann, John von 59, 180f Neurose 106, 109 Newton, Isaac 4f, 32, 109, 141f, 159f, 173, 175 Nobelpreis 79 nonverbales Denken 117, 156 NP-Vollständigkeit 101 Nutzen der Mathematik 9f, 171 O Olver, Frank 112, 189 Oppenheimer, J. Robert 45, 179 Ordnung 55 P Pappus, Satz von 21 Paradoxon, Banach-Tarski- 93, 185 Peano-Arithmetik (PA) 95, 185 Phantasie siehe Fantasie Phasenübergang 161f Physik 159–167 Planung 153f Platon 10, 27, 58, 89, 173, 175 Platonismus 1, 27, 58, 175 Poincaré, Henri 39, 115f, 119, 121, 129, 175, 178, 190 Poincaré-Vermutung 132, 191 Polynom 40, 123 Primzahl 31, 85f, 92, 187 Primzahltest 191 Primzahl-Theorem 185

Primzahlzwilling 85f Problemlöser 57 projektive Geometrie 17f Psychologie 115–121 Punkt im Unendlichen 18, 41 Pythagoras von Samos 31, 175 Satz des ~ 8f, 33, 99 Q Quinn, Frank 133, 136 R Realität 2–5, 57f, 67, 137f, 155f, 161f reelle Zahl 31f, 36, 42, 176 rekursive Funktion 183 Religion 156 Riemann, Bernhard 41, 133, 185 Riemann’sche Vermutung (RV) 92–95, 178, 187 Riemann’sche Zetafunktion   93, 187 Ring 44 Russell, Bertrand 183 S Satz (Sprache) 70f Satz (Theorem) siehe Theorem Schapiro, Meyer 143, 192 Schmetterlingssatz 24 Schönheit 169–174 Schrödinger, Ernst 160, 193 Schwartz, Erwin 70 Sehkraft 63f, 68–73 Serre, Jean-Pierre 13f, 47, 176, 188 Shelah, Saharon 95 Shen, Alexander 28 simulierte Abkühlung 192 Sinai, Yakov G. 166, 177, 194 Smale, Steve 13f, 176 Sprache 12, 60, 63f, 70f, 118, 181 statistische Gleichgewichtsmechanik 101, 123, 164–167

sachverzeichnis         199 Strategie mathematischer Erfindungen 145, 151 Struktur 11f, 15, 27, 53–58, 91, 97–103, 128f, 165 Strukturvorstellungen 154f Sublimierung 142 symbolische Dynamik 166 T Tarski, Alfred 185 TeX 182 Text 12–14, 67–73, 123, 146 Theorem (Satz) 10f Bézout-~ 178 Ergodensatz 121 Fundamentalsatz der Algebra 43, 125, 127, 154, 190 Gödel’scher Unvollständigkeitssatz 85, 87, 89, 106, 111 großer Fermat’scher Satz 43f, 93, 178 Lee-Yang-Kreis~ (L.-Y.-Satz) 123–125 Primzahl-~ 185 Schmetterlingssatz 24 Satz über das Maximumprinzip für analytische Funktionen 187 Satz über die Klassifikation endlicher einfacher Gruppen 93, 136, 186 Satz über implizite Abbildungen 120 Satz von Hahn-Banach 185f Satz von Pappus 21 Vier-Farben-Satz 133 Theorie-Konstrukteur 57 thermodynamisches Verhalten 164f Thom, René 46, 49, 79, 107, 179 Thurston, William 132f „Tinkering“ 148–150 Topologie 32, 36, 55, 187f Theoreme der ~ 187f Transformation 18, 184 transzendentale Zahl 189 Turbulenz 161 Turing, Alan 35, 97f, 111–113, 178 Turingmaschine 111, 183 Turing-Test 112, 189

U Unbewusstes 115, 139f unendliche Menge 84 Unendlichkeit 83–89 Unentscheidbarkeit 94 V Valée-Poussin, Charles de la 185 Vardi, Ilan 25, 177 Verknüpfung von Gedanken (Ideen) 150 Vershik, Anatoly 28 Vetternwirtschaft 52 Vier-Farben-Satz 133 Viskosität 161f W Weil, André 35, 37, 42 Simone ~ 37 Weil-Vermutungen 37, 42, 94 Widerspruch 11 Wiles, Andrew 43, 178 Wissenschaften, „harte“ 143 „weiche“ ~ 143f wissenschaftliche Methode 1f Y Yang, Chen-Ning 123, 126 Z Zahl Bruch~ 31, 36 ganze ~ 31, 35, 42–44, 84f irrationale ~ 105f, 189 komplexe ~ 19f, 41, 176, 184 Prim~ 31, 85f, 92, 187 reelle ~ 31f, 36, 42, 176 transzendentale ~ 189 Zermelo, Ernst 83, 183 ZFC(-Axiome) 83–85, 91–97 Ziel 145f Zufallsprinzip, Auswahl nach dem 148