Uvod u logiku prvog reda

Filozofska biblioteka izdavač za izdavača preveo recenzenti

računalni slog naslovnica tisak

www.jesenski-turk.hr

Naklada Jesensli i Turt Mišo Nejašmić Ognjen Strpić

dr. Goran Švob dr. Zvonimir Šikić Mario Ostojić Božesačuvaj

Zrinski d. d., čakovec

Uvod u logiku prvog reda

Leigh S. Cauman

Naklada Jesenski i Turk Zagreb. 2004.

Izvornik:

fiNIt·..., .... Aa IlItradllctieft Br L.igh S. C....

© 1998 by Walter de Gruyter GmbH & Co. Kg, Bertin. All rights reserved. Copyright za hrvatsko izdanje © Naklada Jesenski i Turk

Sadržaj

Predgovor . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. . .. . ... . . . . . . . . . .. . .. . .7 .

Uvod

.

.

.

.

•

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

9

.

.

. .

.

.

.

.

.

.

.

. 81

.

.

.

.

.

.

121

.

.

.

.

.

.

.

157

.

.

.

.

.

.

.

.

199

.

.

.

.

.

.

.

.

241

.

.

.

.

Prvi dio Logika istinosnih funkcija 1. poglavlje: Načela izvođenja .. .

2. poglavlje: Istinosne tablice i stabla 3. poglavlje: Ocjena zaključaka

.

.

..

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

17

Drugi dio Logika predikata 4. poglavlje: Načela izvođenja

.

.

5. poglavlje: Istinosna stabla za logiku predikata

Treći dio Logika relacija 6. poglavlje: Nova ograničenja pravila izvođenja

7. poglavile: Istinosna stabla za logiku relacija . .. .

.

..

. 271

Četvrti dio Identitet i opis 8. poglavlje: Logika identiteta 9. poglavlje: Određeni opis

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. . .

.

..

.

.

.

. .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Pogovor: O imenima i varijablama Kazalo ... . .

.

.

.

.

.

.

.

. . .

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

291

.

.

.

.

.

.

319

.

.

.

.

.

. .. 349

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. 355

Predgovor

Sve što je u ovoj knjizi naučila sam ili od svojih učitelja, prije svega Vevie Blair, koja me učila matematiku na Djevojačkoj školi Horace Mann, Paula Weissa, koji me uveo u logiku i filozofiju na Bryn Mawru, W. v. Quinea, mog mentora na postdiplomskom studiju

na Radcliffeu, i jamesa Thomsona, koji je sa mnom razgovarao o logici i podučavanju logike kad je bio na sveučilištu Columbia; ili iz knjiga, svijeta koji mi je otvorio moj otac; ili od studenata, uz čiju sam pomoć istinski uživala u ovih dvadeset i pet godina poučavanja i koji su me ohrabrili da pokušam sabrati ono što sam naučila. Broj­

ni postdiplomci koji su podučavali sa mnom i dodiplomci koji su pohađali našu nastavu služili su se ovom knjigom u vrijeme njezine redakture pred objavljivanje; pri redakturi osobito su mi pomogli jeffrey Barrett, john Bolender, james Murray i Floyd Bodden. Rivka Kfia mi je pomogla u lekturi i u provjeri izvoda i dijagrama. T i-Grace Atkinson služila se knjigom (u rukopisu) u svojim predavanjima i pružila mi je neprocjenjivu pomoć i savjete kod zadnjih revizija pred objavljivanje. Struktura knjige slijedi strukturu Quineove Methods of Logic. Tako

sam je sročila ne samo zato što mi se ta struktura čini ispravnom za

moje ciljeve, nego i zato što bi se ova knjiga mogla koristiti kao uvod

u Methods. Zadaci se temelje na problemima koje su osmislili mnogi autori, među njima Quine, john Cooley, Richard jeffrey i Lewis Car­

roll. Knjiga je namijenjena uvođenju inteligentnih muškaraca i žena u načela i notaciju moderne simboličke logike te bi im trebala pomo­ ći da koriste ta načela i provode tu disciplinu na drugim mjestima.

Leigh 5. Cauman 1

Uvod

Ovo je elementarna knjiga iz logike načinjena za ljude kojima moderna logika nije tehnički bliska ali koji pažljivo razmišljaju. Takvi su ljudi iz iskustva naučili da i najbolji griješe. U mišljenju gri­ ješimo i kad smo prirodno inteligentni i motivirani misliti jasno.

Stoga nam trebaju sistematski postupci uz čiju ćemo pomoć mi­ sliti pouzdano, kao i praksa u tim postupcima. Drugim riječima,

za studij logike postoji praktičan, ali i teorijski razlog: vježba uma. Misaoni učenici znaju da postoji značajna razlika između priku­ pljanja činjenica i njihove upotrebe, između upijanja podataka i

izgradnje koherentne slike svijeta (ili nekog njezinog segmenta) na osnovu tih podataka. Ta razlika je temelj razlikovanja što ga filozo­ fi čine između istine i valjanosti: istina je podloga pouzdanosti po­

dataka; valjanost pouzdanosti mišljenja. Naša je namjera misliti pouzdano, tako da sačuvamo istinu, to jest na taj način da budemo sigurni da iz istinitih premisa nikad nismo izveli neistinitu konklu­ ziju. logika prvog reda tako se, izravno se baveći logičkom praksom, u prvom redu odnosi na valjanost. Pitanje prihvatljivosti podataka se zanemaruje. Zanemaruju se još neka važna pitanja: koliko se može postići metodama logike prvog reda, što se njome ne da postići i zašto.

Ti problemi pripadaju metalogici. Moje je mišljenje da se meta­ logika može bolje razumjeti nakon sustavnog, samosvjesnog svla­

davanja njezina predmeta (tj. logike prvog reda).

9

•

Logika

Logika prvog reda logika je svakodnevnog mišljenja i zaključi­ vanja - koje su logičari stoljećima formalizirali, kritizirali, siste­ matizirali i osvješćivali, ali koje je svejedno oruđe što ga svi mi kori­ stimo u svakodnevnom životu. Osnovni njezini pojmovi poznati su čak i najnesofisticiranijim čitateljima, upravo zato što ih svakodne­ vno koriste. Nepoznata će biti pažnja upravljena razmišljanju, a ne onome o čemu razmišljamo, i strukturi tog razmišljanja. Bavljenje strukturom navodi logičare na uporabu simbola i dijagrama, koji se nekim učenicima isprva čine zastrašujući. Osim toga, oni učenika u početku obično čine neugodno svjesnim svog običnog mišljenja. Slično, student anatomije, dok uči o muskulaturi svojih nogu i radu svog živčanog sustava, možda u većoj mjeri osvijesti običan pos­ tupak hodanja. Na iznenađenje mnogih početnika, učenje logike prvog reda je vježba mašte, disciplinirane mašte u kojoj je moguće otkriti kako misliti sustavno i pouzdano. Krećemo s pretpostavkama - ne uvje­ renjima, ne istinama, nego nekom vrstom igre "što bi bilo kad bi bilo" - s premisama koje uzimamo za dobro rasprave kako bismo vidjeli kamo nas vode. Od tih premisa gradimo zaključke, koma­ diće mišljenja koji daju podršku konkluzijama koje nas zanimaju ili za koje mislimo da su nekako povezane s našim polazištem; i proučavamo zaključke koje su izmislili drugi. Mi odlučujemo koje ćemo pretpostavke istražiti.

Odabiremo ih.

Ponekad to činimo nasumce, iz zabave, kako bismo otkrili koji su nam putovi otvoreni. Mnoga djeca obožavaju takve stvari, i za njih kažemo da su darovita u igri "što bi bilo kad bi bilo". Neki matema­ tičari u tome su genijalci i mogu zavrtjeti čitave sustave iz naizgled nevinih početnih pretpostavki. Ali premise obično izabiremo imajući na umu zadani cilj: u znanosti, to je pronalaženje konzekvencija neke hipoteze, koje se onda mogu provjeriti prema opaženim podacima ili pokusima; u poslovnom odlučivanju, to je određivanje rezultata različitih strategija; u debatiranju, to je opovrgavanje stavova osobe s kojom se ne slažemo. U logici prvog reda vježbamo za to izvorno mišljenje i odabiremo premise kako bismo odnekud mogli početi. Možemo uzeti koje god hoćemo premise; jer pretpostavka, za razliku od tvrdnje ili izjave, ne može biti pogrešna - ona je samo 10

Uvod. polazište za istraživanje. Iz logičkih je se razloga ne može zabraniti, čak ni ako je u sebi proturječna, proizvoljna ili očito neistinita - ta bi zabrana značila odbijanje istraživanja, zatvaranje uma. Pretpostavka, međutim, može biti bespredmetna: irelevantna ili neadekvatna za postavljenu zadaću. Tada možemo pokazati da ona ne vodi nikamo, ili barem da se ne može upotrijebiti za to da se demonstrira ono što želimo pokazati.

Zaključak se sastoji od premise (ili više premisa zajedno) i kon­ kluzije, za koju se kaže da slijedi iz premise. Kritizirat ćemo (i kon­ struirati) zaključke različitih razina složenosti i pritom ćemo otkri­ vati slijedi li konkluzija doista iz premisa, to jest, je li zaključak valjan. Pojam 'valjan zaključak' koristit ćemo kao pojam odobra­ vanja; on se odnosi na zaključak koji je "ispravan", ili "logički sa­ vršen", "pouzdan" utoliko što se ne može upotrijebiti da nas od istine odvede u laž.

Kritizirajući pojedini zaključak dovodit ćemo u pitanje logičku

tvrdnju koju daje, a ne tvrdnje o činjenicama koje daju njegove sa­ stavnice (tj. premise i konkluzije). Pitat ćemo se da li je, pod pret­ postavkom da su premise istinite, zajamčena istinitost konkluZije. Drugim riječima, ozbiljno ćemo shvaćati sadržaj premisa (iako se nećemo izjašnjavati o njihovoj istinitosti); pokušat ćemo vidjeti što iz premisa slijedi, bilo uzetim same za sebe bilo u eksplicitnom kontekstu u kojemu su iznesene. Pritom će nam trebati iskorak u maštu, onakav kakav uvijek radimo kad se bavimo nekim ozbilj­ nim pitanjem. Kritizirat ćemo i iskaze: otkrivat ćemo koje se od njih može s pravom klasificirati među teoreme. Teorem je iskaz za kojega je pokazano da je istinit neovisno o stanju stvari. Ne postoje takve okolnosti u kOjima bi bio neistinit. (Ako kiši, kiši. Ako ti pjevaš a ja plešem, ja plešem. Sunce sja ili sunce ne sja.) Teorem je valjan uto­

liko što se na njega može računati da je istinit; nema načina da ne bude istinit. za njega smo pokazali da je istinit bez obzira na infor­ macije o činjenicama, na temelju valjana zaključka. Teorem sabire jedan dio logičke "informacije". Zaključcima (i teoremima) bavit ćemo se na dva različita ali međusobno povezana načina: ispitat ćemo ih kako bismo vidjeli 11

•

Logiki

jesu li valjani ili nisu, a vidimo li da jesu, pokazat ćemo da im kon­

kluzije uistinu slijede iz premisa. za ispitivanje valjanosti zaključaka i predloženih teorema koristit ćemo istinosna stabla (vidi osobito

drugo i peto poglavlje); a za postupno pokazivanje valjanosti bilo kojeg zaključka ili teorema za koji imamo razloga vjerovati da jest ispravan, koristit ćemo sustav prirodne dedukcije (vidi osobito prvo, četvrto i šesto poglavlje). Te ćemo dvije metode koristiti u tande­ mu. (Uzimam zdravo za gotovo da se one međusobno slažu; izvan je dosega ove knjige da se to i dokaže.)

Istinosna stabla pružaju posrednu,

dijagramsku metodu ispiti­

vanja zaključaka i teorema. Zaključak je valjan ako ne postoji takav skup okolnosti u kojemu bi njegove premise bile istinite, a kon­ kluzija neistinita. Istinosno stablo zaključka dijagramom pokazuje razne načine na koje premise, zajedno s negacijom konkluzije,

mogu biti istinite. Ako su svi mogući putovi - ili grane stabla - bloki­ rani, tj. ako se pokaže da su neprihvatljivi, jer su sve u ovom ili

onom proturječne, tada

nema načina

da premise budu istinite a

konkluzija neistinita; stoga je zaključak valjan. Ali ako samo jedna grana ne bude blokirana - ako postoji izlaz - zaključak je nevaljan. l\Jačini na koje premise mogu biti istinite a konkluzija neistinita mogu se iščitati iz dijagrama istinosnog stabla pa možemo vidjeti zašto zaključak ne funkcionira. Slično, istinosno stablo za tobožnji teorem dijagramom pokazuje različite načine na koje taj "teorem" može dovesti do neistine. Ako samo jedan ogranak dijagrama isti­ nosnog stabla predstavlja istinsku logičku mogućnost - ako nema proturječja - "teorem" otpada; nevaljan je. , opet, razlozi njegove neuspješnosti mogu se iščitati s dijagrama istinosnog stabla.

Istinosna nam stabla, i s obzirom na zaključke i s obzirom na

navodne teoreme, pomažu shvatiti slučajeve

nevaljanosti. valjanosti.

Dedukcije, s druge strane, pojašnjavaju slučajeve

Prirodna dedukcija korak po korak pokazuje zašto valjan zaključak funkcionira. Detaljno, koristeći minimum osnovnih pravila izvo­ đenja, od kOjih je svako intuitivno prihvatljivo i prihvaćeno kao os­ nova za rad, dedukcija pokazuje kako se može krenuti od premise ili skupa premisa i izvesti konkluziju do koje nam je stalo. Proces mišljenja inteligentnog ljudskog bića dedukcija čini eksplicitnim. 12

Uvod_

Kako je konstrukcija dedukcije aktivnost usmjerena nekom cilju i njezin uspjeh ovisi o ljudskoj domišljatosti, tu je metodu teže svla­ dati nego bilo koji rutinski postupak provjeravanja. Ona je i važnija. Stoga sam je stavila na početak. Nakon što prouči poglavlja o pos­ tupcima ispitivanja, čitatelj se može vratiti na PNO poglavlje kako bi jasnije shvatio obje metode.

U vezi s dedukcijom, jedan je pojam od osobite važnosti; to je pojam odbacivanja pretpostavke. Koristimo ga PNO u vezi s načelom

dokaza po implikaciji.

Kad se nakon logičkog rada na osnovu prem­

ise (nazovimo je "to i to"), bilo same za sebe ili u nekom kontekstu, stigne do dane konkluzije (nazovimo je "tako i tako"), ta konkluzija još nije utvrđena. Ne, utvrdili smo "odgovarajuću implikaciju":

ako ako to i to, onda tako i tako. Vraćamo se na ono što smo već postigli, sumiramo i izvlačirno sumarnu konklu­

premise, onda konkluzija;

ziju: ako to i to, onda tako i tako. Sada nam više ne treba pretpo­ stavka od koje smo krenuli. Sumarna konkluzija stoji i bez te pret­ postavke, neovisno o tome je li ona bila istinita ili neistinita. Stoga tu premisu odbacujem o. Ostavljamo je po strani, nju i korake u miš­ ljenju koji su nakon nje uslijedili i koje smo koristili da bismo došli do izvorne konkluzije - kao što se sa završene zgrade odbacuju skele.

Više ne pretpostavljamo tu premisu; vidjeli smo kamo vodi. Taj bi postupak čitatelju trebao biti poznat iz iskustva u zaključi­ vanju, osobito iz srednjoškolske geometrije. Još bi jedan s tim povezan postupak mogao biti otprije poznat: ono što geometri nazi­ vaju dokaz "iz slučajeva", a logičari "dilema". Polazimo od više al­

"p nećemo odbacivati. Zatim svaki disjunkt

ternativa (ili slučajeva), izloženih kao disjunktivni iskaz u obliku ili q ili r ili ... ," i taj iskaz

pretpostavimo zasebno, zasebno istražimo posljedice svakog pojedinog disjunkta i tada, kad smo pokazali da svaki vodi istoj kon­ kluziji, odbacujemo sve zasebne pretpostavke i zaključujemo da ono za što se pokazalo da slijedi iz svakog disjunkta zasebno slijedi i iz početne disjunkcije. (Zamislite da na cesti dođete do putokaza s dva označena smjera. Rečeno nam je da lijevi put, brdska cesta koja prolazi kroz predivan planinski krajolik, vodi u Rim, a da desni put, manje slikovit ali lakši, također vodi u Rim. Time saznajemo da ćemo, kojim god putem pošli, stići u Rim.) 13

•

Logika

Na sličan način odbacujemo pretpostavku u indirektnom dokazu (ili dokazu reductio ad absurdum). U njemu pretpostavku iznosimo kako bismo pokazal i da n ije istin ita. Pretpostavljamo negaciju onoga što se nadamo pokazati i pokušavamo deducirati logički neprihvatlj ivu konkluziju: ako nam pažlj ivim postu pkom u skladu s pravilima uspije izvesti izravno protu rječje, koje n ikako ne može biti istinito, utvrd i l i smo da je dana pretpostavka neistin ita. Tada je, kako bismo iskazal i neisti n itost te pretpostavke, odbacu­ jemo: ono što nas je i mala naučiti sada smo ekspl icitno pokazal i . Kako će se pokazati u poglavlji m a o dedukciji, ta tri načina odbacivanja prem isa odgovaraju tri ma strategijama dokaza, koje pak služe kao razlozi za odabir premisa. Kako smo vidjeli, slobodno možemo odabrati prem i se koje god želimo; ali sloboda, u zaklju­ čivanju kao i u etici, podrazu mijeva odgovornost. Kad uzmemo neku prem isu trebamo na umu imati cilj: pokazati ovo ili ono, kao i plan, barem okvirni, kako to pokazati. Smišljanje neformalnog zaključka i formalnog dokaza je smislena aktivnost, poput gradnje kuće, pripreme jela ili popravka perilice za rublje. A smisao iznoše­ nja prem isa je pokrenuti aktivnost, razu mno i s pogledom prema naprijed. Slično tome, svrha uvođenja pomoćne premise u toku de­ dukcije je pokretanje aktivnosti, iako užeg opsega. Stoga će uvijek biti mudro ispitati svrhu iznošenja određene pretpostavke (time ne dovod i m u pitanje njezinu legitim nost). Valjan zaključak polazi od premisa koje se dovoljno dobro slažu i dovodi do konkl uzije koja nikako ne može biti neistinita ako su premise istinite. Nevaljan zaključak ne zadovoljava taj standard: nje­ gove premise ostavljaj u mogućnost da konkl uzija bude neistin ita. Premise nevaljanog zaključka ne jamče da je konkluzija neistin ita; zaključak se ne može popraviti ispravljanjem kon kluZije. To možda iznenađuje. Na kraju krajeva, ako đačić iz trećeg razreda m isl i da je 7 x 8 54, može razm isliti još jednom i ispraviti se : pravi odgo­ vor je 56. Zaključci, međutim , ne funkcioniraju na taj nač i n: neke prem ise na neka pitanja jed nostavno ne m ogu dati odgovor da i l i ne. Tako ć e otkriće nevaljanosti vjerojatnije pokazati neadekvatnost prem isa, koje su se pokazale i nkonkl uzivne, nego neispravnost iz njih izvedene konkluzije. =

14

Uvod.

Kako bilo, treba razumjeti zašto je zaključak nevaljan ako je n evaljan i zašto je valjan ako je valjan. N adam se da će metode i objašnjenja iz ložena u ovoj knjizi pomoći čitateljici i čitatelju da pre­ poznaju nevaljan i valjan zaključa k, te da konstruiraju vlastite ispravne i pouzdane zaključke.

15

prvi dio

Logika istinosnih funkcija

1

.

poglavlje

Načela izvođenja

Logika prvog reda bavi se pravilima m išljenja, iznalaženjem i oprav­ dava njem takvih pravila te poučavanjem njihovom vještom i pou­ zdanom korištenju. Pretpostavit ću da je nerazumno tražiti od neko­ ga da se oslanja na skup pravila i koristi ih u radu, a da se prvo nije uvjerio da pravila imaju sm isla. Stoga ću za početak pokušati uvje­ riti čitatelja da pravila s kojima ćemo raditi - pravila koja logičari, matematičari, filozofi i znanstvenici koriste već stoljeći m a - ima­ ju smisla. Ali još prije toga, trebat će uvjeriti čitatelja da ima smisla uopće koristiti pravila, oslanjati se na ikakav sku p načela i ntelektualnog rada, a ne samo na jake (i obično pouzdane) intelektualne intuicije, koje imamo svi i na koje ću se na kraj u m orati pozvati kako bih opravdala pravila logike. Na koncu, čak i intelektualne intu i cije najboljih od n as ponekad su nepouzdane; tako svi možemo imati koristi od pravi l n i h i kritičkih sustava rada. Svi m i razm išljamo. Imamo neku informaciju, i l i više njih, ovo i l i ono gledište, i od tih (premisa) polazimo k neko m drugom sta­ jal ištu - obično koncizn ijem od početnog, i l i jas n ijem, i l i sam o korisn ijem z a naše svrhe - z a koje misl imo d a iz njih slijedi. Kreće­ mo se (u mislima) od premisa do konkluzije. Taj je postu pak glavn i nači n u potrebe logike prvog reda i za n as je vrijedan ako konkl u­ zije do koj ih stignemo nisu manje izvjesne od premisa od kojih smo pošl i.

•

Logika

Razmišljanje se javlja i u dvije druge vrste konteksta. Nešto tvrdi­ mo hipotetički kad nismo sigurni u svoje premise, nego želimo vid­ jeti kamo vode: kako bismo ispitali znanstvenu hipotezu, istražili ko­ liko je mudar neki potez ili, ponekad, samo radi vježbe ili igre. I opet će nam razmišljanje biti od pomoći sam o ako su veze što ih njime utvrđujemo jake, ako izvedene konkluzije doista slijede iz premisa. Indirektno pak razmišljamo kad želimo opovrgnuti gledište koje nam izgleda pogrešno. Razmatramo, ili "pretpostavljamo", u pitno stajalište "za dobro rasprave" i pokušavam o pokazati da ono vodi neprihvatljivim konkluzijama. Te konkluzije mogu biti po sebi n epri­ hvatljive jer su u sebi proturječne, ili se mogu protiviti općepri­ hvaćenim gledištima ili stajalištima s kojima se slažemo i mi i naši sugovornici te tako d ovode do proturječja u tom kontekstu. Svrha je takvog razmišljanja diskred itirati stajališta iz kojih je izvedeno proturječje. I tu nam je zaključak koristan - on postiže svoj cilj samo ako se za konkluzije do kojih smo došli pokazalo ela pouz­ dano stoje n a osnovu premisa, ako je razmišljanje bilo čvrsto i i n­ telektualno očuvano, to jest, ako nije moguće da premise budu isti­ nite a kon kluzije neistinite. Kako zajamčiti takvu očuvanost? Reklo bi se da to nije moguće; bu dući da smo ljudi, možemo se samo truditi koliko je u našoj m oći. Važnije je, međutim, uoči­ ti da takvo očuvanje vrlo često nije ni pože ljno . U znanosti, teh ni­ ci i svakodnevnom životu često želimo nešto pogoditi, kreativno se kretati od razu mno sigurnih premisa ka konkluzijam a koje bi lako mogle biti neistinite čak i ako su im premise istinite. Taj "i nduktivni" postu pak - mišljenje u skladu s logikom vjerojatnosti - trebao bi, čini mi se, također biti vođen prema pravilima - ali posve druga­ čijim od pravila koja ćemo mi proučavati. (Proučavat ćemo, naime, deduktivnu logiku.) Htjela bih, međutim, istaknuti da kad se n eele­ du ktivno krećemo od premisa prema konkluzijama koje bi mogle biti neistinite i ako su premise istinite, trebamo znati što radimo . Tada riskiramo. A u rizik se treba upuštati samo s određenim ciljem i sviješću . Ded uktivna logika plVog reda n ije logika u kojoj se riskira. To je logika sigurnosti, očuvanja . A duboko je korisna i u logici induk18

Načela izvođenja.

cije i vjerojatnosti, djelomično zato što istraživaču pomaže uvidjeti u kakav se rizik u p ušta. To znači da ćemo se ograničiti na razmišljanje koje hoće biti si­ gu rno, pouzdano, konzervativno - zašto onda naglasak na pravi­ lima?

mehanizam kojim se kreće mo od jedne pozicije na drugu, priznaje se kao pouzdan na osnovu svoje strukture. Ako je jedan zaključak pouzdan - nazvat ćemo ga valjanim a drugi je "sagrađen" točno poput njega ali se odnosi na drugi sadržaj, drugi je pouzdan točno onol i ko koliko i prvi . To se općenito pri hvaća. Snagu naših zaključaka često potvrđujemo u kazujući na druge zaklj učke koji i maju istu stru ktu ru (ali se možda odnose na manje sporan predmet), a s kojima se naš sugovornik slaže. Č esto poku­ šavamo oboriti zaključke svojih sugovornika u kazujući na to da su isti kao i neki drugi, manje privlačni zaključci. U takvi m rasprava­ ma mi se pridružujemo onima koji prihvaćaju stajalište prema koje­ m u je struktu ra zaklj učka ključ njegove pouzdanosti. Lako je m oguće da je logičarevo pouzdanje u stru ktu ru stvar vjere - vjere u u m , u racionaln ost. Povijest znanosti i teh nologije svjedok je činjenice da je to oslanjanje na razu m imalo p loda - ali mi nećemo koristiti tu plodnost kao dokaz vrijednosti razmišljanja. Sada trebamo uvidjeti da je to oslanjanje na neku vrst strukture ono što racionalnost jest. A mi ćemo se tru diti biti raciona l n i. Upamtimo da je zaključak most po kojem u se krećemo od premise ili skupa premisa prema konkluziji . Kad kritiz i ramo za­ ključak mi ne kritiziramo njegove premise - naše polazišne točke. Ocjenjujemo taj most koji nas prevodi s jedne na drugu stranu. Cilj nam je razvidjeti efektivnu struktu ru toga mosta, artikulirati je i pro­ cijeniti . A to ćemo učiniti uz pomoć pravila izvođenja. Zaključak je prihvatljiv - valjan ako radi prema p ravi lima koja nas ne mogu zavesti od istine u laž. Zaključak je nevaljan ako je moguće da m u prem ise budu istinite, a konkluzija neistinita. Pravila izvođenja stoga moraju biti osmišljena tako da budu pouzdano konzervativna u tom smislu: n ijedan zaključak konstruiran na osnovu bilo kojeg od ti h pravila ne sm ije polazeći od istinitih premisa dovesti do neistinite kon kluzije. Zaključak,

-

-

19

•

Logika

Poželjno je, kako smo vidjeli, da sustav pravila koja koristimo bude ne samo pouzdan, n ego i dostatan za naše svrhe, te potpun u tom smislu da se svako novo i razumno praVilo može izvesti iz onih koji se već u upotrebi. U tom slučaju nisu potrebna dodatna osnov­ na pravila. Pože ljno je, osim toga, m oći dokazati da je tomu tako. Ali takva je pitanja najbolje ostaviti za poslije. Za razmišljanje o snazi i dostatnosti pravila bit će vremena kad ovladamo samim pravilima. Pogledajmo sada osnovna pravila izvođenja. Pozivam čitatelja da ih odmah preispituje. Ona nisu proizvoljna. Ona jesu u upotrebi već veoma dugo jer su m nogi mislioci smatrali da imaju smisla. Ali ako ćete ih koristiti vi, ona za vas moraju imati smisla.

Počinjemo s pravilima koja određuju upo­ trebu "ako", glavnog veznika u implikativnom iskazu. Za taj ćem o veznik koristiti simbol

Pravila za "ako"

"---)00.

to i to konsekvens to obično kažem o,

-

Implikativni iskaz ili implikacija· je tvrdnja da slijedi iz toga i toga antecedensa ili, kako -

-

to i to , ako tako i tako akotako i tako. to i to akotako itaka, onda to i to to i to, ukoliko tako i tako

itd. Na primjer: Tlo

je

m okro ako kiši.

Ako kiš i *

,

tlo je mokro.

E ngl conditional prevodim kao 'implikacija', a biconditional s 'ekvi­ .

valencija', kako je u nas uvriježeno. Vidi također str. 52, 59 i dalje. (op. prev.) 20

Načela izvođenja .

onda je tlo mokro. je mok ro u koliko kiši.

Ako kiši , Tlo

Važno je odmah prepoznati radikalnu razliku između samog im­ plikativnog iskaza i njegova konsekvensa sama za sebe. U ovom sl učaju, nije isto reći da je tlo mokro ako kiši i sam o reći da je tlo mokro. Te je dvije izjave lako pobrkati, ali ne primijetiti razliku me­ đu njima je nebriga koju si osoba koja odgovorno razmišlja ne može priuštiti. Razlika između antecedensa impli kacije i njezina konsekven­ sa također je važna. Riječ je o logičkom poretku - a ne, kako je nadam se očito iz nabrojan ih rečenica, o jezičn om poretku. Riječ 'ako' (ili koji njezin sinonim) uvodi antecedens, bilo na početku bilo na kraju iskaza. Znak '�' u simboličkoj form ulaciji toga iskaza smješta se između antecedensa slijeva i konsekvensa zdesna. ("Stre­ licu" je, barem u početku, možda dobro čitati kao "dakle" ili "vodi ka".) Uz pom oć pokrata 'k' za "kiši" i 'm' za "tlo je m okro", sva četiri gornja iskaza u simboličkoj formulaciji glase: k�m

Cilj implikacije je njezina upotreba. Ako imamo razloga vjero­ vati da je tako i tako (antecedens, ovdje: "kišn, onda imamo razlo­ ga vjerovati da to i to (konsekvens, ovdje: "tlo je mokro"); ako pret­ postavimo da je tako i tako, pretpostavit ćemo i da to i to. (Primijetimo da su te izjave implikacije.) Opravdano je misliti od toga i toga na to i to, od anteced ensa na konsekvens. To je jednosmjerna ulica. Budući da implikacija koju razma­ trama ne kaže: tako i tako ,

pod uvjetom da to i to

niti

ako to i to, onda tako i tako (ako je tl o

mokro onda kiši)

21

•

Logika

ona ne opravdava ni razmišljanje u suprotnom smjeru, od toga i toga na tako i tako. Uzet zajedno, par tvrdnji:

{

Ako tako i tako onda to i to. . To i to.

(Ako kiši. tlo j e mokro.l (TIo je mokro.l

ne jamči nikakvu konkluziju (osim pukog ponavljanja već izreče­ nog); kako bija, on nam ne govori ništa o tome da li tako i tako (da

li kiši). Na tu ćemo asimetričnost implikacije morati stalno paziti.

Možda je dobro tu spomenuti j oš jedan čest izvor z abune, o kojemu ćemo raspravljati kasnije: razliku između 'ako' i 'samo ako'. Kako je značenje tih izraza različito, ne primijetiti riječ 'samo' može voditi zabuni. 'Ako' ukazuje na antecedens implikacije, a 'samo ako' ne.

Prvo pravilo što ćemo ga koristiti je dakle modus ponens 1:

Modus ponens (MP):

Iz implikacije, uzete zajedno s

antecedensonl, njezin konsekvens slijedi ka o konkluzija. Dakle,

p� q p ... q MP pri čemu je p bilo koji iskaz, bilo istinit bilo neistinit, jedno­

stavan ili kompliciran; q je, slično, bilo koji iskaz, ne nužno različit od p; P � q je implikacija: ako p onda q; ... ' znači "dakle"; a crta razdvaja premise od konkluzije. Načelo ,

'Modus panens', latinski naziv koji se nekako održao u upotrebi, p onendo panens", ili "potvrđivanje potvrđi­ vanjem"; konsekvens implikacije tvrdi se "zbog" ili "kao posljedica"

skraćen je od "modus

potvrđenog, ili afirmiranog, antecedensa. Danas se o modusu ponensu često govori kao "pravilu odvajanja"; ako je zadan antecedens implikacije, konsekvens se može "odvojiti" od implikacije i potvrditi sam za sebe. Osim toga, moderni sustavi lingvis­ tičke ili računarske orijentacije često ga nazivaju pravilom "eliminacije ' " � ; znak '� u implikaciji u konkluziji se "eliminira". 22

Načela izvođenja.

m od us ponens nam govori da je, za bilo koj u i m p l i kaciju (recimo, p � q) na m jestu prve prem ise, čiji je antecedens (p) na m jestu druge prem ise, opravdano kao kon kluziju izvesti konsekvens te implikacije (tj . q). Pravilo m odus ponens iznije l i smo na hrvatskom . Njegov sim­ bol i čki prikaz ili "form u lacija" nije pravilo niti njegov dio; to je pri­ mjer, pomoć pri pamćenju stru kture onoga što pravilo kaže. Samo je pravilo dano formulacijom na hrvatskom jeziku koja prethod i si m bol ima. Koristit ćemo dvije vrste simbola: logičke s i m bole (ponekad se nazivaju "logičke konstante") za raz l ičite vezn i ke kOji nam treba­ ju da izbjegnemo višeznačne riječi (kao na primjer strel i ca), i "vari­ jable", pojedina slova koja skraćuju iskaze u prvom dijelu, a kasnije i menske i predi katne izraze. Kad se složeni i skazi (na primjer i mp­ likacije), to jest iskazi izgrađen i od drugih iskaza pom oću logičkih vez n i ka, izraze sim bol i m a, izrazi koji tim e n astaju n az ivaj u se "iskazne forme". Uporaba tih si m bola vodi kratkoći i jasnoći mišljenja jer nam pomaže ostaviti po stran i irelevantne detalje te nam omogućuje da se saberemo na strukturu mišljenja. U cije lom ćemo rad u koristiti sim bole, ne zbog simbola samih niti zbog provedbe kakva neovisna simbol ič kog jezika - koristit ćemo ih prije svega kao intelektualni alat. Oni nam pomažu da prepoznamo strukturu naših zaključaka . Korištenje pravila modus ponens nema nikakvih ograničenja; ono je legitimno u svim slučajevima, to jest, koji god se iskaz u kojem god kontekstu stavi na mjesto 'p' i l i 'q'. Ispravna u potreba modus ponensa, naravno, ovisi o ispravnom čitanju i m plikacije; 'p � q' ne valja brkati s 'q � p'. Druga premisa u tom obliku zaključ­ ka mora biti upravo antecedens korištene implikacije, a izvedena konkl uzija m ora b iti upravo konsekvens i m p l i kacije . Uzmimo jedan primjer. Pretpostavimo d a s m o uvjeren i d a ako je George u Hartfordu (h), George je u Con necticutu (c). Saznam o d a j e George doista u Hartfordu, u posjetu sestri. Zaključujemo da je George u Connecticutu . Zaključak kojim smo se poslužili izgle­ da ovako: 23

•

Logika

h�c h ..

e

i valjan je, p rema nače lu modus ponens. Trebalo bi, s druge strane, biti očito da je budalasto tvrditi ovo: h�

e

e

h

To jest, kad bismo bil i uvjereni da ako je George u Hartfordu , onda je u Con necticutu, a saznali smo da George j est u Connecticutu, ne bismo i m ali razloga vjerovati da je George u Hartfordu. Taj drugi "zaključak" je pri mjer pogreške afirmacije kons ckvensa, što je "odgovarajuća pogreška" uz modus ponens. (Kod modus ponensa potvrđujemo, ili afirmiramo, antecedens kao drugu prem isu . ) Pon ekad se nađemo u iskušenju da ovu drugu shem u zaklj učka pobrkamo s prvom. Treba reći još nešto o značenju implikacije prije nego nastavimo s drugim prav ilom. I m p likacija 'p � q' ili 'q, ako p' ili 'to i to, ako tako i tako', kako ćemo je mi koristiti, ne ukazuje na to zašto nešto stoj i; rečeno je samo da to stoj i . U "realnom svijetu", naravno, kad i mamo razloga vjerovati u neku implikaciju, (obično, barem) imamo razloga vjerovati da postoji neka veza između njezina anteceden­ sa i konse kvensa; primjera je m nogo: [c � oj (k� dJ (Š � kJ

Ako Mary prelazi preko crvenog, u opasnosti je. Ako je Henry u kuhinji, Henry je u kući. Alice će staviti šešir ako pada kiša.

itd.

Svejedno, i m p l i kacije ne govore o tim vezam a; imp l i kacije zane­ maruju razloge koji stoje iza nji h - apstra h i raju od nj ih. Time smo u svoje razmišljanje ugradili faktor sigurnosti. Okolnosti koje bi mo­ gle učvrstiti naše pouzdanje u konkluzij u , a l i nam n isu potrebne, zanemarujemo. 24

Načela izvođenja .

Pri u potrebi modus ponensa ne ovisimo o uzroč n im i drugim vezama između antecedensa i konsekvensa; ovisimo samo o č inje­ nici (ili pretpostavci) da, ovako i l i onako, konsekvens stoji ako stoji antecedens. A sve to unatoč činjenici da su nam, i u fi lozofiji i u društvenom životu, razlozi za neku tvrdnju često važniji i zanimljiviji od sam e tvrdnje . U pravilnom deduktivnom m iš ljenju implikacije s kojima radimo lišene su uzroka, svrhe i d rugih značenja te su sve­ dene na gole tvrdnje. Kre n i m o sada na d rugo pravilo imp l i kacije, pravi lo dokaza po im­ plikaciji. Pri upotrebi toga pravila impl i kacije ne koristimo, nego i h utvrđujemo. Utvrđujemo ih na osnovu znanstvenih, povijesn i h , lo­ gičkih i drugih spoznaja discipliniranog intelekta, u kontekstu. Nače­ lo dokaza po implikaciji mnogi elementarni udžbenici logike ostav­ ljaju za pred kraj izlaganja, ili ga čak posve ispuštaju, kako bi se njime bavili u naprednijim fazama rada . Ja ću ga se p rihvatiti odmah.

Dokaz po implikaciji (DI): P roces valjanog i pravil nog izvođenja kon kluzije iz prem ise ( i li skupa premisa) opravdava tvrd­ nje dan e u odgovarajućoj implikaciji: ako premisa (premise), onda konkl uzija. Dakle, p

q :. p -+ q DI

gdje je p premisa koju smo uveli zbog za ključka, a točke pokra­ ta za neki postupak pravi lnog zaključivanja. Ta shema zaključka javlja se, kako ćemo vidjeti, ili sama za sebe, kao u tom primjeru, ili u kontekstu kom p l iciranijeg zaključka , kad imamo i d rugih premisa . Sama će shema postati jasn ija kad se uvede "sistem zvjezdica" (za još par stranica); sistemom zvjezdica 25

•

Logika

premisa (ovdje, p) se vidljivo odbacuje (vidi Uvod, str. 13) kad se u potrijebi pravilo DI. Rezu ltat pravilnog izvođenja konkluzije (q) iz premise (p) je sumarna konkluzija (p � q), to jest, implikacija koja odgovara izvodu. Taj pri mjer, s tri okomite točke koje skraćuju neko nespecifici­ rano "pravilno" zaklj učivanje, čitatelju m ožda izgleda neobično, osobito s obzirom na to da je primijetio da pravila te pravilnosti još n isu izložena. Ali bit će. Nadalje, što nam dopušta da uvedemo premisu (p)? A što nam brani? Mnogi sustavi, udžbenici, računalni program i itd. koriste se nečim što nazivaju "pravilo premisa" koje nam go­ vori da je OK uvesti bilo koju i bilo kakvu premisu u bilo kojem dijelu zaključka. To je dakako istina, i treba je reći izrijekom i kori­ stiti svjesno. Ali ne čini mi se da je to pravilo. Naravno da smijemo uvesti, ili pretpostaviti, koju god hoćemo premisu; važno je pritom u pamtiti da smo ih uveli, treba ih bi lježiti i gledati kamo nas vode. Onaj tko pravilno zak ljučuje može slobodno pretpostaviti što god že l i , iznijeti bilo koju pre m isu, u b i l o kojem dije l u zaključka. Pravo da iznesemo bilo koju premisu n ij e u pitno; treba međutim preispitati svrh u tog postu pka. A jed na od svrha je utvrditi impli­ kaciju, pomoću načela dokaza po implikaciji. (Druge su svrhe indi­ rektni dokaz il i dokaz reductio ad absu rdu m , kao i dilema; vid i dolje.) Ako možemo pod pretpostavkom d a tako i tako dokazati da to i to, time ćemo utvrditi i m pl i kaciju ako tako i tako, onda to i to. Ako, na osnovu n iza prijašnji h premisa, i pod pretpostavkom da tako i tako, možemo dokazati da to i to, pokazat ćemo, na osnovu niza prijašnjih premisa, među kojima obično nije tako i tako, da ako tako i tako onda to i to. U svakom trenutku sustavnog razmišljanja za od ređeni se broj prem isa može smatrati da su u igri2: "iznijel i smo" te prem i se; sa nj i m a radimo, pokušavamo otkriti kamo vode. (Notacijski, koje su Izraz 'u igri' dugujem Nancy Middleton (uočite analogiju s različitim igrama loptom, posebno nogometom i tenisom). II literaturi se po­ javljuje i izraz 'na snazi', u istom značenju. Ja ću koristiti izraz 'u igri', a na odgovarajućim mjestima i izraz 'na raspolaganju'. 2&

Načela izvođenja.

premise u igri u svakom koraku naših dedukcija pojasnit ćemo nji­ hovi m navođenjem lijevo od zvjezdice i l i - u posebnom s l učaju prav i l a DILeme - odgovarajućim ve liki m slovom koje fu nkcioni ra poput zvjezdice. 3 ) Pravilo dokaza po implikaciji je pravilo za od­ bacivanje premisa.4 Pravilno zaključivanje vodi od prem ise p prema konkluziji q; DI nam kaže da se takvim zaključivanjem jamči konkluzij a im plikacije p --+ q. Stoga, p više n ije potrebno (kao prem isa); vidjeli smo ka mo vod i i saželi tu informaciju u impl ikacij i lp --+ q'. Prem isa p više n ije u igri; odbacili smo je. Konkluzija im plikacije stoji i bez nje. Ponovi mo, i označi mo zvjezdicom sve korake u zaključku u kojima je premisa p i dalje u igri: *

P

PREM

* * *

q :. p--+ q DI

*

3

U upotrebi su različite metode za pojašnjavanje koje su premise u igri u toku dedukcije. Vidi primjerice John M. Anderson i Henry W. John­ stone, Jr.: NaturalDeduction (Belmont, Calif.: Wadsworth Publishing Company, 1962), str. 9 sq. Vidi također Merrie Bergmann, James Moor i Jack Nelson, The Logic Book (New York: Random House, 1980), str. 134 sq. Dobar je svaki nedvosmislen sistem knjigovodstva koji nije previše nespretan. Albert Blumberg, u Logic: A First Course (New York; Alfred A. Knopf, 1976) umjesto zvjezdica stavlja brojeve koraka koje premise u igri imaju unutar dedukci j e po sistemu sličnom si stemu zvjezdica koji se ovdje rabi. Ovaj si stem, koji ćemo il ustrirati na sije­ dećih nekoliko stran i ca izveden je iz W. V. Q uine, Methods of Logic (New York: Henry Holt and Company, 1950), str. 153/4. Podsjetnik na sistem zvjezdica nalazi se na kraju prvog poglavlja ove knj ige ; vidi str. 67-68. ,

,

Mogli bismo ga nazvati "pravilo odbacivanja" po analogiji s "pravilom odvajanja" za modus ponens. Uobičajeniji naziv je 'uvođenje �'. 27

•

Logika

Pri m ijeti mo da kod kon k luzija zvjezdice nema; odbačena je prem isa p kod koje smo uve l i zvjezdicu. Sada je, čini m i se, na mjestu j edan primjer, makar i apstrak­ tan. Demonstrirat ćemo jedan slučaj zaklj učivanja pravilom lan­ ca (tradicionalno zvanog "hipotetički silogizam") - pravila koje je čitatelju nesumnjivo bl iže i i ntu itivno p rihvatljivije nego MP i DI. lANAC: Iz para (ili n iza) im plikacija u koj i m a je konsekvens

jedn e i m p l i kacije antecedens sljedeće, kao kon k l uzija slijedi i m p l i kacija koja kao antecedens i m a prvi antecedens, a kao konsekvens posljednj i konsekvens. Dokažimo:

�q *{Pq�r :. * p� r

Pri čemu pojava zvjezdice kod konkluzije pokazuje da dvije pre­ m i se, koje zajedno čine polazište, nisu odbačene. U dokazu, uvođenje zvjezdice označavat će da se p remisa, par i l i

trojka p remisa pretpostavlja; ispuštanje zvjezdice značit će njezi­ no i l i nji hovo odbacivanje. Pođi m o s parom premisa:

*{1 p� q q� 2

r

i dokažim o: p

�

r.

U kontekstu premisa 1 i 2, pomoćna premisa p, antecedens tra­ žene konkluzije, pretpostavlja se u koraku 3 i označava drugom zvjezdicom; tada se ta premisa u koracima 4 i 5 koristi pri izvođe­ nju kon k l uzije r, konsekvensa tražene kon kluzije. Takve pomoćne premise često su potrebne da bi se započeo neki poddokaz, a dru­ ga zvjezdica (ponekad i treća i četvrta) vizualno pojašnjava domašaj 28

Načela izvot1enja •

poddokaza. Svaka zvjezdica u svakom koraku podsjeća čitatelja da je određena premisa i dalje u igri. ** ** **

3p 4q 5r

PREM 1,3 MP 2,4 MP

Tada u koraku 6 sažimamo obavljeni posao (u koracima 3-5) i donosimo traženu konkluziju: *

6P-H

3-5

U koraku 6 odbacuje se premisa 3 (bilo je to p); njezina se zvjezdica ispušta. Tako nam korak 6 govori (budući da nosi jednu zvjezdicu, a ne dvije) da p --}o r slijedi iz početnih premisa p --}o q i q --}o r, bez p. Primijetimo da oznaka desno od koraka 6 kaže da korak 3 daje korak 5, što je istina: poddokaz je zaista počeo od 3, bilo je to p, i stigao do 5, što je bilo r. Tu deklaraciju ispravne upotrebe načela dokaza po implikadji nazvat ću "deklaracija na pakiranju", po analogiji sa standardnim deklaradjma na pakiranju kakve su na snazi u trgovinama voćem i povrćem i u ljekarnama. Korištenje DI na prevaru, tj. "neistini­ to" u ovom smislu, pogrešno je. Kad se načelo dokaza po impli­ kadji koristi ispravno, izvedena sumarna konkluzija je implikacija čiji je antecedens (zapravo) posljednja uzeta premisa, a konsekvens (zapravo) konkluzija izvedena iz premise u kontekstu dedukcije. Opravdanje za tvrdnju da implikacija stoji u tom je kontekstu pod­ dokaz koji počinje s tom premisom i daje tu konkluziju (ovdje: od 3 do 5, pišemo '3-5' s crticom; ne 3 i 5, što bismo napisali '3, 5' sa zarezom); poddokaz se, vjerno, navodi desno od odgovarajućeg koraka. Poddokaz se sumira i navodi; njegova se premisa od­ bacuje. Quod erat demonstrandum: što jc trebalo dokazati; posao obavljen. oznaku uspjeha koristiti kod konk luz ij e svake uspješne deduk cijc ; nećemo je staviti kod konkluzije "dedukcija" koje ilustriraju pogreške u p os t upku

Tu ćemo

.

29

•

Logika

Ako je taj apstraktn i mali dokaz teško čitati, pokušajte u mjesto 'p' j 'r' sta v i t i rečenice običnog jezika - koje god želite i pročitajte ga ponovo. Evo primjera: Neka p bude "Joe je u k u h i n j i ". Neka q bude "Joe je u kući" . Neka r bude "Joe je u Bosto n u ". Pretpostavi m o da -

*

{

1 Ako je Joe u kuhinji, Joe je u kući. 2 Ako je Joe u kući, Joe je u Bostonu.

PREM

Pravilo lanca kazuje nam da iz tih premisa slijedi da "ako je Joe u kuhinji, Joe je u Bostonu " . Kako bismo to pokazali bez (preu ra­ njenog) osl anjanja na pravi lo lanca, pretpostavi m o nadalje da **

3 Joe je u kuhinji.

PREM

i pogledaj mo što iz toga sl ijedi: ** **

4 Joe je u ku ći.

5 Joe je u Bostonu.

1,3 MP MP

2.4

Konačno, koristeći DI, vidimo da smo pokazali: *

6 Ako je Joe u kuhinji, Joe je u Bostonu.

3-5 DI QEO

Samo jed na zvjezd ica kod šestog koraka registrira činjen icu da ta konkluzija ovisi o prem isama 1 i 2, a l i ne i o premisi 3. Poddokaz 3-5, su m i ran u koraku 6, sada se može odložiti, kao skela koja je posluži l a svojoj svrsi. Zastanimo i pogledajmo što smo napravili. Dal i smo opravdanje za upotrebu pomoćnog pravila, pravila lanca.

LANAC: Iz para

(ili n iza) i m pli kacija u koj i m a je konse kvens jedne i m plikacije antecedens sljedeće, sl ijedi i m p l i kacija koja kao antecedens i m a prvi antecedens, a kao konsekven s po­ sljednji konsekvens.

30

Načela izvođenja _

To smo postigli upotrebom naša prva dva temeljna načela: mo­ dus ponensa i dokaza po implikaciji, koja nismo pokušali utvrdi­ ti. Umjesto toga, pozvali smo čitatelja da ta načela prihvati kao dio našeg polazišta u disciplini logike. Utvrdili smo prihvatljivost (po­ moćnog) pravila lanca dedukcijom jednog primjera zaključka: p� q q� r p �r

to jest, dedukcijom njegove konkluzije iz njegovih premisa. (Mogli smo se poslužiti i duljim primjerom zaključka: p�q q �r r�s p �s

pa čak i još duljim, ali to nije izgledalo potrebno, budući da bi metoda bila ista.) Kako bi ovdje korištena metoda (korištenje samo MP i DI) radila i za svaki "lančani" zaključak, ma kako složen i dug bio, nema potrebe ponavljati te korake; svaki se lančani zaključak može izvesti na sličan način, upotrebom samo MP i DI. Stoga će­ mo, kako bismo uštedjeli vrijeme, snagu i papir kad god je to prikla­ dno odsad koristiti utvrđeno pravilo lanca kao načelo izvođenja. Načelo dokaza po implikaciji nije tako nepoznato kako možda isprva izgleda. Koristimo ga uvijek kad u mislima proračunavamo posljedice nekog plana ili djelovanja, ili moguće ishode događaja. Plan ili događaj uzimamo kao premisu, ili pretpostavku - stavljenu u kontekst naših relevantnih uvjerenja i gledamo kamo vodi. Arti­ kuliramo svoje mišljenje o tome kamo to vodi (naša konkluzija) i dolazimo do implikacije, čiji je antecedens naš plan ili događaj, a konsekvens naša konkluzija, i taj smo iskaz tada spremni braniti na osnovu naših relevantnih uvjerenja. Načelo dokaza po implikaci­ ji koristimo kako bismo takve implikacije utvrdili i stoga mogli dalje koristiti. -

31

•

Logika

Načelo DI n am nudi strategiju dokazivanja, prvu od mnogih koje ćemo isticati putem. Ako i mamo razloga da vjeruje mo kako i m p l i kacija (recimo, Ako je Joe u kuhi nji, Joe je u Bostonu) staji u danom kontekstu, a želje l i bismo i dokazati da je tako, počet ćemo tako da antecedens te im plikacije (Joe je u kuhinji) uzmemo kao premisu i uz njenu pomoć (u ovom slučaju to je pomoćna premisa, jer ima i drugih, važn ijih) pokušavamo dokazati konsekvens (Joe je u Bostonu). Ako nam to pođe za rukom, a obavljen posao sumi­ ramo, pomoću DI, dokazali smo ono što smo htjeli (ovdje, da ako je Joe u kuhinj i, onda je Joe u Bostonu).

Pravilo PONOVI

Sada ću uvesti načelo koje je toliko očito da iz­ gleda n epotrebno te se rijetko koristi izrijekom osim radi jasnoće izlaganja: pravi l o PO NOVI:

PONOVI. Unutar dedukcije uvijek je legitim­ no PO NOViti prem isu koja je još uvijek u igri, ili korak u do kazu čije su premise još uvije k u i gri.

Takva uporaba koraka u dokazu - bila to premisa ili korak izveden iz prem i se - legitimna je ako i samo ako je taj kora k doista u igri (n ije odbačen). Iskoristimo to načelo kako bismo izveli ono što su Grci nazivali "zakon identiteta " - jedan od njihova "tri zakona mišljenja ": iden­ titeta, neproturječja i isključenja trećeg - teore m 'p � p'. Do kažimo: p � p *

"

32

1p

PREM

2p 3p�p

1 PONOVI 1-2 DI QEO

Načela izvođenja .

Teorem je u logici, kao i u geometriji, iskaz za koji se pokaza­ lo da stoji neovisno o činjenicama. Valjan je utol i ko što n e postoje takve okolnosti u koj i m a bi se pokazao n eistinit i m . Dokaz teore­ ma ne sadrži n eodbačene pre m i se. ( Logičari ponekad kažu da je teorem iskaz koji je "dokaziv bez premisa" - to je naravno e l iptičan izraz za "dokaziv bez premisa koje n isu odbačene". Bi lo bi teško pronaći dokaz bez i kakva polazišta.) To, što u zadnjem retku toga izvoda nema zvjezdica, taj redak označava kao teorem: istinit neovisno o bilo kakvoj prem isi i l i pret­ postavci, utvrđen samo na l ogič kim osnovama. Primjeri z a k ona identiteta su sljedeći: Ako kiši , onda kiši.

što je istina, neovisno o tome ka kvo j e vrijeme. Ako Mary voli mrkvu, Mary voli mrkvu .

što je također istina, u bilo koj i m okolnostima. Itd. Još bi jedan teorem mogao biti zanimljiv: p � (q � p). Primjeri su: Ako kiši onda ako volim kišu onda kiši; Ako kiši onda ako ne vo­ lim kišu onda kiši; Ako kiši onda ako je danas četvrtak onda kiši; itd. Naravno da svatko zna da ako kiši onda kiši, sviđalo se to nama i li ne; stoga taj teorem izgleda i i ntuitivno prihvatljivo. Evo dedukcije: Dokažimo p � (q� pl * **

1p

2 q

iH.' 3 p * 4 q�p 5 p� (q�pl

PREM PREM 1 PONOVI 2-3 1-4

DI

DI QED

Možda bi tu dedukciju bilo dobro pon ovo pročitati na hrvat­ skom, što će usput pokazati kako nam strateška razmatranja po­ mažu u konci p i ranju dokaza.

33

•

Logika

Dokažimo: Ako kiši, onda ako je danas četvrtak, onda kiši. Osnovna strategija bit će nam dokaz po imp l i kacij i . Posljednji korak - ne možemo biti sigu rn i kol iko će nam koraka biti potrebno - bit će, recimo, B Ako kiši. on d a ako je d a n as četvrtak, onda kiši.

Prvi bi korak, dakle antecedens tražene konkl uzije, treba lo pret­ postaviti kao p rem isu . Tako imamo: *

1 Kiši.

PREM

I pretposljednji korak, poput prvoga, dikt i ra nam strategija doka­ za po i m p l i kacij i ; bit će to konsekvens tražene konkluzije. Tak o imamo: 7 Ako je danas četvrtak , ond a kiši. B Ako kiši , on d a ako je danas četvrtak, onda kiši.

*

1 -7 DI

Sada moramo izvesti korak 7 - opet po dokazu po i m pl i kacij i ; t o jest, pretpostavljam antecedens: 2 Danas je četvrta k.

**

PREM

Pokušajmo dokazati konsekvens : **

6 Kiši.

No, to je l a ko: taj iskaz slijedi, pravi lom PO NOVI , iz koraka 1 . Stoga kažemo : **

3

Kiši.

1 PONOVI

i popravimo b roj ev e : * **

** 34

1 Kiši. 2 Danas je četvrtak. 3 Kiši.

PREM PREM

1 PONOVI

Načela izvođenja . *

4 Ako je danas četvrtak, onda kiši.

2-3

DI

1 -4

DI QED

5 Ako kiši, onda a ko je danas četvrta k, onda kiši.

Treba prim ijetiti da smo tu dedukciju koncipirali odozdo prema gore : počeli smo s razm išljanjem o onome što žel i mo dokazati. Treba prim ijetiti i da, poput ded u kcije pravila LANAC, ta deduk­ cija zahtijeva korištenje pomoćne prem ise (korak 2 ) označene dru­ gom zvjezdicom; dvije zvjezdice jasno pokazuju doseg poddokaza. I l u strirali smo u potrebu pravila PONOVI. Najzan imljivija nam kod tog pravi la, međutim , n ije njegova korisnost, nego njegova ogra­ n ičen ost, ekspl icitno ogra n i čenje njegova korištenja. Korak u do­ kazu sm ije se ponoviti ako i samo ako je njegova prem isa i dalje u Igri. Kršenje te zabrane ("pogreška nedopuštenog ponavljanja") može dovesti do grozne zabune. Pretpostavimo, na primjer, da smo dodali jedan redak (korak 7 ili korak 7 ') našem lančanom izvodu . *

{

** ** ** * *

1 p� q 2 q� r

PREM

3p 4 q 5 r

PREM

6 p� r 7 r

3-5 DI

1 , 3 MP 2, 4 MP 5 PONOVI (Joe je u Bostonu]

ili *

7' q

4 PONOVI (Joe je u

kući)

Kakva besmisli ca ! Da bilo koja od tih " konkluzija" ( 7 i l i 7') slije­ di iz n aših p remisa ( 1 i 2 ) znači lo b i da ono što slijedi i z zajedn o uzetih 1 , 2 i 3 sl ijedi samo iz 1 i 2 . Nakon koraka 6 , u kojemu se 35

•

Logika

odbacuje premisa 3 i ispušta uz nju vezana zvj ezd ica, koraci 3, 4 i 5 više nisu na raspolaganju, ni za ponavljanje ni za bilo što drugo. Sl ično - i jednako pogrešno - izvodu zakona identiteta mogao bi se pridodati četvrti redak : * 1p * 2P

3 p� p 4p

PREM 1 PONOVI 1 -2 DI 2 PONOVI lili 1 PONOVI)

što bi značilo da bi se samo po logičkoj osnovi mogao dokazati svaki iskaz - recimo "Pada kiša" ili "Alice vol i m rkvu" - koji bi tako postao logički teorem. Malo je vjerojatno da bi razuman dokazivač napravio bilo koju od t i h grešaka, ali često se prave i druge sl ične greške. Poanta je u tome da bi uvijek, u svakom trenutku svakog pažljivog zaključivanja, trebalo biti jasn o koje su pre mise (i iz nji h izvedeni koraci ) u igri, a koje nisu. Za ponavljanje i d rugu u potrebu raspoložive su sam o one p remise i oni koraci koji s u u igri. Notacija zvjezdicama pred­ stavlja knjigovodstveni sistem koji nam pomaže izbjeći greške . Budući d a notacija zvjezdicama registri ra uvođenje i odbaciva­ nje premisa i tako vizualno pokazuje koje su premi se u igri a koje nisu, pogreška nedopuštenog ponavljanja može se izbjeći tako da se pazi na zvjezdice . U puta: izbacite poddokaz kao obavi svoj posao (prem ise su mu odbačene). Drukč ije rečeno: kao opravda­ nje za korak u dokazu ni kad ne navodite prijašnji korak koji je imao zvjezd ice, osim ako se odnose i na korak koji se opravdava.

36

Načela izvođenja .

Sada krećemo n a pravila za "i", koje se piše "/\" i ovdje se shvaća kao veza među i skazima - ne kao veza među stvarima i l i svojstvima. Samo su dva takva pravila: SIMPl ifikacija (el i m i nac ija /\) i ADJ u n kcija (uvođenje /\). Oba je prav i l a lako razu mjeti, prihvatiti i koristiti, ali nepažnjom se lako i zloupotrijebe.

Pravila za " i "

Konjunkcija je složeni iskaz sastavljen od drugih iskaza pomoću vez­ n i ka " i " i l i nekog od njegovih sinon i m a ("te", "ta kođer", " kao i " ; zatim "a", "a l i " itd.); konj u n kcijom se tvrde svi njegovi konjunkti, i l i sastavnice konj u n kcije. Kako bismo ih koristili, konj u nkcije po­ jednostavljujemo i l i simplificiramo: izdvajamo jedan konjunkt i izno­ sim o ga kao korak u zaključku, kako bismo si olakša l i daljnje do­ kazivanje. Da bismo neku konjunkciju utvrdili, slažemo zajed no njezine konju n kte koji smo prije toga odvojeno pretpostavi l i ili do­ kazali; sastavljamo ih ili adju nciramo. Počet ću sa SI MPlifikacijom :

SIMPl ifikacija: Iz konju n kcije sl ijed i svaka njezina konj u n ktivn a sastavnica . Ako znam da Mary vol i m rkvu i Henry vol i grašak, n e m a su m nje da H e n ry vol i grašak; a i da Mary vol i m rkvu . Stoga, P /\ q

P /\ q

---

:. p

SIMP

:. q

SIM P

Nažalost, ograničenja jezika, pisanog i govornog i l i prenošen og znakovim a gl u h i h , zahtijevaju da bar dvaput i l ustri ramo korište­ nje tog pravila, kako bismo pojasnili da n ije važno koju sastavn icu konju nkcije iz nje izvod imo. Možda ne bi bilo loše nastaviti : p /\ q /\ r :. q

itd .

Naime, iz same konjunkcije sl ijedi svaka njezina sastavn ica. To je, rekla bih, intuitivno jasno. Ali jezik se odvija u slijedu, vremenskom 37

•

Logika

i l i određenom smjerom pisanja (slijeva na desno, zdesna na lijevo, odozgo prema dolje itd . ) i zato ne može pren ijeti izravnost ra­ d i kal ne simetrije (ili neusmjerenosti) logičkog "i", kojega sim bolizira ' ' /\ . Naravno, znamo da je, ako kažem nešto od sljedećega: Mary voli mrkvu. a Henry voli grašak. Joe je siromašan. ali Joe je pošten . Snijeg je bijel. a trava je zelena .

posve nevaž no koju sam rečenicu svakoga para spome n u l a prvu . Al i neku moram spome n uti prvu ; ne mogu ih izgovoriti u isto vri­ jeme, ne mogu ih napisati jed nu preko druge, barem ne ako hoću da me se razumije . Zakon si mpl i fi kacije nam dakle dopušta iz konj u n kcije izvesti svaku n jezin u sastavnicu neovisno o poretku koj i m su i zložene, i to zato što je redosl ijed kojim su izložene nevažan. No, kako će pažljiv čitatelj pri m ijetiti, mnogo je rečen ica u koji­ ma redosl ijed izlaganja n ije n evažan. "Mary je ugledala Henryja i istrčala iz kuće" čini se posve različitom od "Mary je istrčala iz kuće i ugledala Henryja". I jedna i druga rečenica mogu se, naravno, tu­ mačiti tako da prenose više nego što se prenosi jednostavnom kon­ j u n kcijom, i sigurno bismo i h tako tu mačili da se pojave u nekom romanu . (Možda se Mary boji Henryja ili, n aprotiv, jedva če ka da bude s nj i m ; možda se H e n ry skrivao iza ograde; itd.) Za naše svrhe, međutim, takve raz l i ke nisu od važnosti . Logičko 'i' i l i ' /\ ' , kao i logičko '-}', apstrahira od uzročnih i drugi h veza između is­ kaza što ih sastavlja. I iz jedne i iz druge reče n ice simp l ifi kacijom možemo izvesti "Mary je vidjela Henryja"; isto vrijed i i za rečenicu "Mary je istrčala iz kuće". A i jedna i druga rečen ica će se smatrati istinitom ako je Mary uči nila i jedno i drugo, ma koj i m redoslije­ dom, iz ma kojeg razloga. Obratno, pravilo ADJ u n kcije nam govori da iz bilo kojih is kaza uzetih odvojeno možemo izvesti njihovu konju n kcij u .

ADJunkcija: I z iskaza koj i su u igri u bilo kojem d ijelu dedu kci­ je, kao kon kl uzija slijedi njihova konju n kcija.

38

Načela izvođenja .

Dakle, p

p

q

q

:. p 1\ q

ADJ

:.

q 1\ P

ADJ itd.

Prvo treba upozoriti na to da iskazi koje sastavljamo m oraju biti "raspoloživi" u dijel u dedukcije u kojem u ih spajamo; to jest, ako su to premise, moraju biti u igri, a ako nisu prem ise, njihove pre­ m ise m oraju biti u igri (vidi gore, ogran ičenje pravila PONOVI). Drugo, konjun kcija mora biti ispravno načinjena. " I l i Mary zan ima glazba, a i H e n ryja, i l i je glazba dosadna" nije konju n kcija iskaza " I l i Mary zan ima glazba i l i j e glazba dosadna" i "Ili Henryja zan ima glazba ili je glazba dosad na", n iti je to kon j u n kcija iskaza "Mary zan i m a glazba" i " I l i Henryja zanima glazba i l i j e glazba dosadna"; to u opće n ije kon j u n kcija, Mnoge rečen ice koje u sebi i maju " i " n i s u konju n kcije, Ogran i čenje s obzi rom na raspoloživost odražava se u siste m u zvjezd ica, Iskaz j e na raspolaganju za ponavljanje i d ruge postupke (u ovom slučaju adjunkciju) ako korak u kojemu će se koristiti nosi barem one zvjezdice koje je nosio i korak na koj i se pozivamo, S ljedeća je "dedu kcija", dakle, pogrešna: Ako Henry bude primljen, studirat će ekonomiju i b o l ni č k i menadžment. D a kl e Henry će studirati bolnički menadžment, a ako bude primljen studirat će ekonomiju. ,

P -'> (e *

1\

Dokažimo: b 1\ [p -'> ej

bl bl

PREM

**

1 p -'> (e 2p 3 e 1\ b

**

4b

3 SIMP

**

5 e

3 SIMP

**

1\

6 p -'> e * 7 b 1\ [p -'> el *

PREM

1 , 2 MP

2-5 DI 4 , 6 POJ 39

•

Logiki

Pogreška pogreška nedopuštenog ponavljanja javlja se u ko­ raku 7 : konj u n kt b n edopušteno j e izveden iz koraka 4, koji nosi dvije zvjezdice; njegova prem isa (p, korak 2) odbačena je u koraku 6 pa n i p n i b n isu raspoloživi u koraku 7 . Usporedite taj nevaljan zaklj uča k s va ljan i m zaključkom koj i ide u su protnom smjeru : -

-

Henry će studirati bolnički menadžment, a ako bude primlje n , studirat će ekonomiju .

Dakle, ako Henry bude p rimlj e n studirat će ekonomiju i bolnički ,

menadžment.

b 1\ ( p � ej 1 b 1\ ( p � el 2p ** 3 b ** 4 p� e ** 5 e ** 6 e l\ b ., 7 p � ( e � bl *

**

Dokaži mo : p � [ e 1\ bl

PREM PREM 1 SIMP 1 SIMP 4, 2 MP 5 , 3 ADJ

2-6 DI QEO

Možda bi bilo korisno pogledati na trenutak logičku stru ktu ru ta dva iskaza. Jedan, 'b 1\ (p � e)' je konju n kcija i može se sim­ pl ificirati (vi d i korake 3 i 4); jedan od njezi n i h kon j u n kta je impli­ kacija. Ta se i m p l i kacija 'p � e' m ože u potrijebiti kao prem isa za modus pone ns (vidi korak 5) a l i čitav iskaz 'b 1\ (p � e)' ne može. Drugi je pak iskaz 'p � (e /\ b)' i m p l i kacija s konju n ktiv n i m kon ­ sekvensom; budući da je i m p l i kacija, n e može s e simplifici rati . Pri m ijeti mo nadalje da je rečen ica običnoga jezika "Ako Hen­ ry bude prim ljen, studirat će ekonom iju i studirat će boln ički me­ nadžment" dvosm islena; može je se pročitati i kao 'p � (e /\ b)' i kao '(p � e) /\ b' ['(P � e) /\ b)' i 'b /\ (p � e)' svode se na isto] . Logička notacija, koja inzistira na upotrebi zagrada za grupiranje, kako bi točno pojasni l a što vezn ici povezuju, i koja "form u le" kao što je 'p � e 1\ b', koje nemaju potrebn i h zagrada, zabranjuje kao loše sastavljene, može biti korisna utoliko što nas tjera da odlučimo

Načela izvođenja .

koje ćemo rečenice običnog jezika njima prenijeti. (Vidi podsjetnik o zagradama, među Podsjetnicima uz ovo poglavlje, str. 68-69. ) Pravilo ADJ nam omogućuje d a sastavimo konjunkciju o d nje­ zinih sastavnica; konjunkcija je, naime, ist inita ako su njezine sa­ stavnice istinite. Pravilo SIMP nam omogućuje razdvoj iti sastavnice konjunkcije; sastavnice su, naime, istinite ako je konjunkcija istini­ ta. To je, dakle, značenje veznika ' i ' . Čitatelj ć e s e sjetiti d a su i m odus ponens i pravi lo lanca počel i s parom premisa uzetih zajedno, iz kojih se zatim mogla izvesti kon­ kluzija. I druga pravila izvođenja - modus tollens, eliminacija i ne­ konjunkcija (vidi dolje) - a i mnogi zaključci što ćemo ih analizirati i ocjenjivati, počinju na taj način. Kad "uzmemo" dvije i l i više pre­ misa "zajedno", zapravo iznosimo samo jednu pretpostavku; pret­ postavljamo konjunkciju tih prem isa. Notacija: *

{1P 2 q

PREM

je dak le pokrata za *

* *

O p l\ q 1 p

O SIMP

2 q

O SIMP

PREM

Budući da je konjunktivna premisa, ovdje pod nadimkom Premisa

O ( Prem isa nula), često neobično n ezgrapna, i ubudu će ćemo kori­

stiti onaj prvi obl i k . Sada, pošto s m o iznije l i p ravila z a ' �' i ' 1\ ' i objasnili sistem zvjezdica, čitate lj može početi s izvođenjem dedu kcija. Problem i 1 1 . 1 do 4 (vidi str. 77) mogu se riješ iti i prije nego što uvedemo pra­ vila za negaciju i disjunkcij u .

41

•

LDgika

Sada idemo na pravila za negaciju, pišemo je '-'. Negacija je temelj n i logički pojam koj i nam je svi m a poznat. Mala djeca obično n auče reći "neli puno prije nego "dali; "neli, osi m toga, ko­ riste ispravno: odguruju h ranu koju ne žele jesti i l i odbijaju učiniti ono što ne žele, ne predlažući pritom altemative. Sofistici ran i j i ljudi često precjenjuju informacijski sadržaj izjave o negi ranj u . Razlog negiranja b rkaju sa sadržajem negiranja. Negi­ ranjem ili negacijom iskaza, što pišemo ' - p ', tvrd i se samo da s iskazom p n ije tako; " pil nema d rugog sad ržaja . Negacija od "Sn ijež i " je li Ne sn ijež i " - što nam ne govori ništa više o vremen u . A negiranjem kompl iciranog iskaza negi ra s e taj iskaz kao cjelina; ne negiraju se (n iti na koji drugi način m ijenjaju) njegove sastavnice . Pravila za negaciju oslanjaj u se na drugi grčki "zakon m išljenja", načelo neprotu rječja: nemoguće je da u sebi protu rječan iskaz bu­ de isti n it. To jest, općen ito, za svako p, - (p /\ p). Č i n i m i se da nema s m isla da pokušam pod uprijeti tu tvrdnju; ona je naočigled točna i svaki bi se zaključak njoj u prilog morao oslanjati na nju . Lako je moguće da je to metafizička pretpostavka - koja je integra l n i dio podu hvata koherentnog m išljenja i neću je pokušavati b ran iti . Prvo pravilo izvođenja z a negacij u j e reductio a d absurdum (redukcija na apsu rd, skraćeno RED, i l i uvođenje - l . Shema nje­ gove u potrebe često se n aziva " i n d i rektni " dokaz. Struktura mu je uglavnom i sta kao kod dokaza po i m p l i kaciji : polazište mu je prem isa koja se uzima s određe n i m ci ljem, za dobro rasprave ; sl i ­ jedi logički rad prema pravi l i ma; prem i sa s e n a kraj u od bacuje pri pozivanju na pravilo.

Pravila za negacij u

-

-

REDuctio ad absurdum: Prema pravi l i m a proveden postu pak izvođenja izravnog proturječja iz premise opravdava negi ra­ nje te prem ise.

42

Načela izvođenja .

Stoga, *

p

* * * *

qA - q

RED

: - p .

pri če m u q n ije n užno različito od p. Postupak izvođenja izravnog protu rječja iz premise, ma koliko ovaj bio složen ( Kiši i ne kiši; brojevi n i m su parni i nije slučaj da su brojevi n i m parn i, itd .), legitimno, prema p ravi l i ma, opravda­ va negiranje te premise. Taj postu pak intuitivno i te kako ima smi­ sla, ako je j asno da je proturječna konkluzija poddokaza u isti n u "apsu rdna" i neprihvatljiva. Pop ut dokaza po im plikaciji, reductio ad a bsurd u m može se pojaviti sam za sebe, kao gore, ili pak u složenijem zaključku u koje­ m u su u igri i d ruge premise . Te d ruge premise mogu se koristiti i u poslu izvođenja proturječja, ključnom koraku red uctia. Sumar­ na konkluzija (ovdje, p) negirat će zadnju iznesenu premisu i nijed n u d rugu premisu i li iskaz, i ta će se premisa (pl odbaciti . Postu pak red uctio ad absu rdu m donosi nam drugu strategiju dokaza . Prva je bila: dokazati im p l i kaciju, uzeti njezin antecedens kao premisu i pokušati dokazati njezin konsekvens. Druga je: da bismo neki iskaz negirali, uzimamo ga kao premisu i pokušavamo iz njega izvesti protu rječje . -

Drugo pravilo negacije: dvostruka negacija, i li DN, posve je dru­ gačije.

Dvostruka negacija (DN): I skaz i njegova dvostruka negacija međusobno su zamjenjivi. Time ćemo se baviti u tri dijela. Raspravljajući o pravilu DN spo­ men ut ćemo i prodiskutirati više alternativnih pravila za dvostruku negaciju (DN', R ED', itd.), ali ih nećemo usvojiti. Namjera nam je objasniti i opravdati pravilo DN, kako smo ga iznijeli. 43

•

Logika

Prvo prim ijetimo da se dvostru ka negacija svakog i skaza m ože izvesti iz tog i skaza, kako sl ijed i : * o o

1 p 2 P 3 p !\ - p 4 -- p _

** *

PREM PREM 2 , 2 ADJ 2, 3 RED QEO

i sada možemo dokazati teorem, kako sl ijed i : 5p � -- p

1 -4 D I QEO

Na pri mjer,
*

1 Pretpostavimo da kiši . 2 Pretpostavimo, nadalje, da n e kiši. 3 U tom slučaju i kiš i i ne kiši.

PREM PREM 1 , 2 AOJ

Ali to je nemoguće. Prem a tome, ako je prva premisa (da kiši) točna, druga pre m i sa (da ne kiši) mora biti pogrešn a: *

4 Ne ne kiši.

2-3

RED

1 -4

DI QED

Stoga zaključujemo da 5 Ako kiši , onda ne n e kiši .

Taj je "dio", dakle, pravi la DN redu ndantan i l i suviša n . Obratan slučaj se, međutim , n a taj n ačin ne može deducirati i n ije redundantan; dapače, diskutabilan je. Duga tradicija u mate­ matici i logici, koja seže barem do rasprave o sutrašnjoj pomorskoj bitci u Aristotelovom O tumačenju, bavila se prvenstveno teo­ remima egzistencije, pitanjima legiti mnosti dedu kcije iskaza iz nje­ gove dvostruke negaci je. Neki matematičari dvadesetog stoljeća, poznati kao "intuicionisti", razvili su veoma razrađen u matematiku 44

Načela izvođenja .

koja je ne koristi . S tim se pitanjima, međuti m , ovdje neću baviti, i u nastavku ću p retpostavljati da je neintu icionistička dvostru ka negacija zapravo OK. To je nače lo jednostavno utvrditi :

DN': Svaki se iskaz može izvesti iz svoje dvostru ke negacije. Stoga, -- p : p

DN '

.

l l i m ožemo uvesti pravilo za e l i m i naciju -, suklad n u s RED, kako sl ijed i :

REDuctio ad absurdum': Postu pak izvođenja izravnog p rotu­ rječja, p rema pravi l ima, iz negacije iskaza, opravdava afir­ maciju tog iskaza. Stoga, * *

-p

* * *

q /\ - q

:. p

RED'

(Iz iste p rem ise i sheme zaklj učka RED dobil i bismo p.) D N ' opravdava RED' (i obratno), te tako, koristeći R E D s R E D ' i l i D N ' možemo pokazati da se iskaz može deduci rati iz svoje dvostru ke negacije i obratno. Umjesto toga, odlučili smo uvesti jedno jače pra­ vilo: p i -- P međusobno su zamjenj ivi . Kako to fu n kcion i ra? Dosad smo rekli da su određen i iskaz i njegova dvostru ka negacija zamjenjivi kao koraci u zaključku : ako je zadano p, onda se i z toga m ože deducirati p i obratno. Ali DN nam govori da su iskaz i njegova dvostru ka negacija zamjenjivi kad god se pojave, u kontekstima koji nas zan i maju; to jest, p i - - P su međusobno zamjenjivi i kao sastavnice složenih iskaza s kojima ćemo rad iti. Od : --

--

45

•

Logika

ako bude kišilo, onda n ije slučaj da nećemo ići u kino, sl ijed i da ćemo ići u kino ako bude kiši lo.6 I ntu itivno, či n i se razu m no riješiti se n espretnog izraza dvostru ke negacije kad se pojavi u zaključku ili je pak uvesti kad nam to odgovara - u razgovoru često ni ne primjećujemo da to či­ n i m o - ali u brižlj ivom je zaključivanju važno prepoznati upotre­ bu DN i biti svjestan njezine opravdanosti . Iskaz i njegova dvostru­ ka negacija su zamjenjivi zato što su ekvivalentni, zato što " se svode na isto". U posebn i m kontekstima, gdje je upitn o "svode li se n a isto", mogu se otvoriti filozofska pitanja. Iako ćem o i h ostaviti p o strani jer su izvan opsega ove knjige, pazit ćemo da budemo eks­ pl icitni pri u potrebi DN i svjesn i njezine korisnosti. Prije nego krenemo na načela za "ili", utvrdit ćemo još dva teorem a u vezi s negacijom. To s u '(p /\ � p ) � q ' , koji n a m kaže da je i m ­ pl i kacija s proturječnim antecedensom valjana, neovisno o konse­ kvensu, i ,� P � (p � q)', koji nam kaže da je i m p l i kacija valjana ako je njezin konsekvens ta kođer i m p l i kacija i kad si njihovi ante­ cedensi uzajamno proturječe. Dokaži m o : (p /\ � pl � q * ** ** * *

6

1 p /\ � p 2 � q 3 p /\ � p 4 �� q

5 q 6 [p /\ - pl � q

PREM PREM 1 PONOVI 2-3 RED 4 DN 1 -5 DI QED

Može se dati i " metalogički " d okaz kOji pokazuje da, ako se jedna re­ čen ica može do kazati iz d ruge i obratno, onda su one među sobno za mje njive n e samo kao koraci u zaključku nego i kao sastavnice slo­ žen i h rečen ica. D N je pose b n i slučaj tog općeg načela m eđu sobne zamjenj ivosti ekvivalenata, o kojemu ćemo raspravljati kasnije u ovom poglavlj u . Metalogički za klj učak kOj i pod ržava to načelo je, međuti m , izva n opsega o v e knjige.

46

Načela izvođenja .

Dokažimo : - p � (p � ql

* l' p ** 2 ' p *** 3 ' - q *** 4 ' p /\ - P ** 5 ' - q -

-

**

*

6' q

7' p � q B'

-

p � (p � q)

PREM PREM PREM 2 ' , 1 ' ADJ

3'- 4 ' RED 5 ' ON 2 '-6 ' DI

1 ' - 7 OI

QED

Alternativno, dokazujući drugi teorem, mogl i smo iskoristiti prvi i nastaviti gornj u dedu kciju, kako sl ijed i : 6 ( p /\ - pl � q

* 7 P ** B p -

** ** ** *

9 p /\ - p 1 0 (p /\ - pl � q

11 q 1 2 p �q 1 3 - p � (p � qJ

(Vidi goreJ PREM PREM 8 , 7 ADJ

PONOVI 1 0 , 9 MP B - 1 1 OI 7- 1 2 DI

QED

Možda je korisno podsjetiti se da je ponavljanje koraka 6, koj i ne nosi n ijed n u zvjezdicu, u koraku 1 0, koji nosi dvije, posve legi­ tim no, iako bi "ponavljanje" u obratnom smjeru bilo pogrešno. U nekom buduće m koraku 1 4 mogl i bismo, ako bismo za to i m a l i razloga, iskoristiti korak 6 , a l i ne i korak 1 0.

4J

•

Logika

Sada dolazimo na pravila z a " i l i ", koje pišemo 'v ' ('v' kao latinsko "vel"). Nažalost, " i l i " je na h r­ vatskom (i u m nogim drugim jezici ma) višezna­ čno i može značiti "isključno ili" (ili "ekskluzivno i l i") i " uključno i l i " (iIj " i nkluzivno i l i ") - iako se mnogo više koristi u uključnom smisl u . Ako se 'ili' shvati uključno, '- ili . . . ' znači da je barem jed no od - i . . . slučaj; ako se 'iJi ' shvati isključno, '- i l i . . . ' znači da je jedno i samo jedno od - i . . . slučaj, a ne oboje. Kako bismo izbjegl i tu višeznačnost, stipufi­ rat ćemo da ćemo u nastavku, barem u formalnim zaključcima, 'ili' rabiti u slabijem, ili uključnom sm islu . (Prim ijetimo da ' i l i', korište­ no tri riječi prije posljednje zagrade, nema n ijedno od ta dva znače­ nja; zarez prije njega označava ga kao apozicijsko 'i l i ', što je skra­ ćeno od "drugi m riječi ma": slabiji smisao u isti nu jes t taj u ključn i . ) ' I l i ' može biti višeznačno; ' y ' ne može. Pod 'v ' m islit ćemo na ovo i l i ono, bez naznake o oboma . Poput konj u n kcije, disj u n kcija je simetrična; n ije važno koja se sastavnica spomene prije.

Prav i l a za " i l i "

Disjunkcija je složeni iskaz sastavljen od drugih iskaza pomoću vezn i ka " i l i " ('y'); disju nkcija tvrdi da bar jedan od njezin i h disjun­ kta, ili d isj u n ktn i h sastavnica, stoj i ; ona ne daje druge informaci ­ je o tome koja stoji i kol i ko i h stoji. Kako bismo koristil i d isjunkCiju istražujemo posljedice svake dis­ j u n ktn e sastavn ice odvojeno, i pokušavamo otkriti koincidiraju l i te posljedice. Ako koincidi raju, možemo koristiti načelo D I Leme. S druge strane, ako žel i mo utvrditi d isju n kciju, trebamo se po­ zabaviti samo s jednim disjun ktom : ako pretpostavimo ili dokaže­ mo makar samo jedan disjunkt, neovisno o drugima, možemo izve­ sti disjunkciju . Načelo DI Leme, i l i eliminacije y , poput DI i RED, uključuje uzi­ manje i odbacivanje pre m isa. Od ti h se prav i l a razl i kuje po tom e što s e dvije i l i više premisa odbacuju istodobno, i p o tome što dis­ j u n ktiv n i iskaz kOjim zaključak počinje diktira koje ćemo prem ise uzeti . Popis uzetih premisa mora se poklapati - i to iscrpno - s popi­ som disjunktn i h sastavn ica te disj u n kcije.

48

Načela izvoilenja • D I lema: Za danu disjunkcij u , ako se za svaki njezin d isj u n kt

odvojen i m zaklju čkom može pokazati da vodi istoj konklu­ ziji, ta konkl uzija slijedi iz d isju n kcije. Na primjer,

L L L L L D D D D D

* * * * * * * * * * *

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

*

12 r

pv q p

PREM PREM

r

q

PREM

r

1 , 2-6 , 7 - 1 1 DIL

ili, m ožda grafički bolje, * 1 p v q PREM L* L* L* L* L*

2 3 4 5 6

p

.

r

PREM

D D D D D

* * * * *

7 q 8 9 10 · 11 r

PREM

. . * 1 2 r 1 , 2-6, 7 - 1 1 DIL

Riječ " D I Lema" - skraćeno za "dvije leme", jer takvi poddo­ kazi poput 2-6 i 7 - 1 1 su "leme" - mogla bi se naravn o zam ijen iti s "tri lema" ako su u disj u n kciji od koje pol azi mo tri d i sj u n kta, i l i "tetralema" ako i h j e četiri. Pravi lo kako sam ga formulirala bi lo bi priklad nije nazvati "pol i lema" - "pol i " kao "mnogo" na grčkom . Ali nećemo se opterećivati takvim izrazima i koristit ćemo standardni naziv "dilema". Prim ijetimo da ' L' (kao "l ijevo") i 'D' (kao "desno") 49

•

Logika

ovdje fun kcion i raju kao zvjezdice; pojašnjavaju koje su prem ise u igri (iskušenju da se koraci iz jedne leme u potrijebe u drugoj moramo se odu prijeti). U tri lemi bi bilo korisno treće slovo, reci ­ mo 'S ' kao "sred i na"; bit će dobar svaki jednoznač n i knj igovod­ stveni sistem. U trenutku kad se pozivamo na to pravilo mora biti jasno da je istražena svaka sastavn i ca disj u n kcije. Načelo di leme nudi nam i treću strategiju dokaza: kako bismo d is­ j u n kciju iskoristi l i u dokazu, uzmemo svaki njezin disj u n kt odvo­ jeno kao premisu i pokušamo dokazati istu konkluzij u iz svake po­ jed inačno, neovisno o drugima. Plani ramo odbacivanje svi h ti h prem isa odjednom . Drugo pravilo za " ili" je pravilo TANjenja (od njemačkog 'VerdO n­ n u ng( 7 ), i l i uvođenja v :

TANjenje: Disj u n kcija slijedi iz bilo koje svoje d i sjunktivne sastavnice. Stoga, q

p :. p v q

TAN

:. p v q

TAN it d .

Jasno je, naravno, da ako kiši, onda doista i l i kiši i l i sn ijež i (iako to ne bi sl ijedi l o da smo " i l i " shvati l i u isključnom smisl u ; ako kiši, iz toga sl ijedi da kiši ili sn iježi, al i ne i da se ne događa oboje). Budući da 'p v q ' znači da bar je jedno od p i q isti nito, a budući da nam premisa kaže da jedno od njih jest istinito, uporaba tanjenja ne mo­ že dovesti od isti ne do neisti ne.

7

50

Gerhard Gentzen, " Untersuchu ngen Ober das logische Schl iesso n " , Mathematische Zeitung, vol . 3 9 ( 1 934/5 ) : 1 76-2 1 0, str. 1 92 . Engles­ ki pri jevod eseja otisnut je u M. E. Szabo, The Collected Works of Ger­ hard Gentzen (Amsterdam : North - H ol land, 1 969), str. 68-1 3 1 ; vidi str. 77 za Gentzenova pravila izvođenja, str. 31 i 83 za njegovu u potre­ bu r ij eči 'ta njenje' .

Načela izvođenja .

Možda je manje jasno koja je korist od pravila tanjenja . Kon kl uzija je očigledno manje i nformativna (tanja) od premise. Koja korist od toga? Uzmimo jedan primjer. Pretpostavimo da znamo da će, ako bude kišilo i l i sniježi lo, škola biti zatvorena. Vidimo da kiši i bez krz­ manja zaključujemo da će škola biti zatvorena. Kako opravdava­ mo tu konkluziju? Modus ponens nam nije izravno na raspolaganju jer nemamo i m p l i kaciju koj u "uzimamo zajedno s nje n i m ante­ cedensom"; druga premisa, "Kiši", ne poklapa se s antecedensom, koji je "Kiši ili sn iježi ". Ali antecedens se može izvesti iz druge prem­ ise, i to pravilom tanjenja. Formal no, *

{

1 (k v sJ - H

2 k ** 3 k v s 4 z

PREM 2 TAN 1 , 3 MP QEO

Još jedna u potreba pravila TANjenja je "si lom " doći do kon­ kluzije u d i le m i u kojoj leme teško dovode do "iste" konkluzije; TANjenje tu koristi mo kao posljednji korak za svaku lem u . Na pri­ mjer, ako su zadane premise : *

{

1 pv q 2 p� r 3 q�s

PREM

konstru i ramo sljedeću dedu kcij u : L L L D

D D

* * * * * * *

4 5 6 7 8 9 10

P r rvs q s rvs rvs

PREM (za OIU 2. 4 MP 5 TAN

PREM (za OIU 3 . 7 MP 8 TAN 1 . 4-6 , 7-9 DIL QEO

Obratite pažnj u na korake 6 i 9 . 51

•

Logika Ti me završava mo popis te melj n i h načela izvođe nja za logi ku iska­ za, n ačel a koja e ksp l ic i raj u p ravi l n u u potrebu četi rij u te melj n i h vezn i ka među i skaz i m a u dedu kcij i . Kao što s m o v i dj e l i , t i vezn i ­ ci su :

ako

�

onda . . .

koji daje koji daje koji daje koji daje

/\

ne ili

v

implikaciju konju nkciju negaciju disjunkciju

Osi m ti h d evet te melj n i h načela trebat će nam još šest dod at­ n i h pravi l a . Prva dva, ZAMjena i TEOREM, omogu ćuj u n a m kori­ štenje logičke kultu re koja se nago m i l ava u toku rada. Ostala četiri su poznate pokrate, red u ndantne utoliko što se njihova pouzdanost može do kazati pomoću temelj n i h pravila - sve što se može napra­ viti s n j i m a može se i bez n j i h - al i su iz n i m n o zgodne. Trebat će nam i peti vez n i k, defi n i ran d rugi m a pa ti m e teorijski red u ndan­ ta n, a l i praktično i poj movno važa n . To je:

ako i samo ako

B

koji daje ekvivalenciju

E kvivalencij u će mo defi n i rati i o njoj rasp raviti u vez i s p ravi l o m ZAMjene.

Prav i l o TEOREM

TEO REM: Sva ka i nstancija teorema, o b l i ka iskaza utvrđe nog samo na logički m teme lj i ma, može se uvesti kao korak u dokazu u b i l o kojem d i j e l u ded u kcije.

Već smo spo m i nj a l i broj n e teoreme, pored osta l i h p � P, P � - - P , P � (q � p ), P � (p � q l , (p /\ p l � q . Očito, b i l o -

-

b i i h gl u po d o kazivati sva ki p u t kad i h že l i mo koristiti, i m u čiti se

s do kazivanjem nj i hovi h instancija, recimo (r v s) � (r v s l i l i (a /\ b) (a /\ b). Prištedjet će mo si nepotre ban trud a ko se podsje � � -

52

N ačela izvođenja .

timo na već postign ute rezultate; u dedukciji možemo n avesti teo­ rem kao pokratu . Pravi lo HOREM daje nam p ravo da koristimo svak i utvrđen i teorem i pokazuje nam kako to č i n iti . Instanciju teorema uvodimo kao korak u dokazu , n a početku dedu kcije i l i bilo gdje n am to odgovara. Ako ga uvedemo na početku, neće m u trebati zvjezdice; drugdje će nositi onol i ko zvjezd ica kol i ko je to potrebno zbog nje­ gova položaja (ne dodajemo još zvjezd ica). S obzirom na nomen klatu ru, recimo i to da se teore m i logike sudova (prvi dio ove knjige) i njihove instancije obično nazivaju "ta­ utologije" . Iskaz je "tautologijski", i l i "tautologija", ako se metoda­ ma logi ke sudova može pokazati da je istin i t neovisno o či nje­ n icama. Zastanimo n a trenutak i raspravimo što to znači "instancija" teo­ rema. Još od prvih stran ica ovog poglavlja neformalno koristim o pojam i nstancijacije, i l i izvođenja instancija, prije svega u vezi s korištenjem pravi la. 'p � q' je instancija i m p l i kacije . To su i 'Ako bude kišilo, pon ijet ću kišobran' i ' Pon ijet ću kišobran ako bude ki­ šilo ili sn iježi lo' i '(p v q) � (q v p)', itd . ; sve su to instancije simbo­ ličkog izraza 'p � q ' . Mod us ponens nam govori da iz svake i mp l i­ kacije, zajedno s njezinim antecedensom, sl ijedi njezin konsekvens, to jest, da se q može izvesti iz p � q, uzetim zajedno s p, koji god iskaz stavili na mjesto p i q, neovisno o sadržaju i složenosti ti h iskaza i neovisno o tome jesu li isti i li različiti . Svako načelo izvođe­ nja potvrđuje da su svi zaključci koj i su njegove i n stancije valj a n i . Ta načela izvođenja, drugi m riječima, tvrde nešto posve općen ito. Tako je i s teoremima. Budući da je svaki teorem dokazano va­ ljan, s l i čan dokaz valjanosti m ože se dati i za bilo koju njegovu in­ stancij u . Varijable izvorne form u l acije supstitu i ramo relevantn i m varijablama i l i iskazima i l i i skaznim formama koje se pojavljuju u instancij i, a zati m izvod imo dokaz potpuno isto kao i prije. To se m ože napraviti uvijek kad su instancije prav i l no načinjene, to jest ako željena instancija kaže o p i q isto ono što izvorn i teorem kaže za (primjeri ce) p i q. Pažljivo izvedena u niform na supstitucija jamči nam da će instan ­ cije biti načinjene p ravi lno. Svaki put kad se varijabla ponavljala u 53

•

Logika

izvorniku, njezin su pstitut se mora ponoviti u instancij i, i sve ostalo mora biti jed nako i u izvorn iku i u i nstanciji - i nače smo neoprav­ dano "prom ijen i l i tem u " . l\J a primjer, pogrešno je m isl iti da je 'p � (p V q )' instancija 'p � p', iako su jedno i drugo teorem i, budući da u 'p � (p v q l ' antecedens i konsekvens n isu isti . Dokaz za 'p � (p v q ) ' bit će značajno drugačiji od dokaza koj i smo dal i za 'p � p ' . S druge strane, '(p v q ) � (p v q l ' jest instancija 'p � p ' ; 'p v q ' je jednoliko supstitu i rano u mjesto 'p ' i u konsekvensu i u antecedensu . Dokazi za ta dva teorema bit će isti, što čitatelj može i provjeriti . U običnom zaključivanj u, kad god koristimo pra-vilo i l i opću tvrdnju, instancije tvarima intu itivno i uglavnom pouzdano. Ipak, mudro se je podsjetiti da se taj postupak mora izvesti pažljivo. Kako smo vidjeli, 'p � p' jest i nstancija ' p � q ', ali 'p� q ' n ije instancija 'p � p'. '(p 1\ q ) � r ' je instancija '(q 1\ p) � s ' i obrat­ no. ' (p 1\ q ) � p' jest instancija '(p 1\ q ) � r ' ali ne i obratno. 'a � (b 1\ e) ' jest instancija 'p � q ', ali n ije i n stancija 'p 1\ q ' . Itd . Do pouzdanosti se dolazi vježbom. l I u strirajmo u porabu tautologija u ded u kciji . Napravit ćemo ded u kciju korištenjem pravila HOREM. Č itatelju će biti jasno da smo ovu dedukciju mogli provesti i bez njega, ali to bi bilo kompa­ rativno nezgodno. Ustvrdit ćemo, i to u d rugom poglavlju, da je i m p l i kacija (p � q ) ekvivalentna disj u n kciji (q v - p) svog konsekvensa (q ) i negaci­ je svog antecedensa (- p). Ovaj bi, dakle, zaključak trebao biti va­ ljan : lli je Mary

u

opasnosti ili ne prelazi ulicu po crvenom .

D a kle, ako Mary prelazi ulicu po crvenom, Mary je

Ov-p

u opasnosti .

Dokaži mo: p � o

Strategija dokaza bit će d i lema. *

L L 54

1 0v-p

PREM

*

2 o

*

3 o � (p � o)

TEOR EM rp � (q � pl l

PREM (za D i ll

Načela izvodenja • L D D D

*

* * *

*

4 p� o 5 P 6 p � (p � ol 7 p� o 8 p�o �

�

3, 2 MP PREM (za Dill TEOREM [- p � (p � qJ I

6 , 5 MP 1 , 2-4 , 5-7 D i Lema QEO

Ako žel imo, možemo napraviti još jedan korak i utvrd iti još jedan teorem : 9 (o v - pl � (p � al

1 - 8 DI QED

To je b i la polovica ekvivalen tnosti koju ćemo nazvati "A KO". Nju obično pišem o : ( - p v ql � (p � ql

[ E kviva lentnost je: AKO : (p � ql � ( � p v ql

pri čem u

'�'

znači "ako i samo ako" (vi d i doljel . ]

Sada ćemo nešto reći o još jednom teorem u, koji

Zakon isklj učenja je povijesno zan imljiv, a i logički koristan : to je trećeg zakon isključenja trećeg, ili tertium non datur, p v - p. Prvo ćemo se baviti njegovom u potre­ bom, a zatim njegovom dedukcijom . Ovo je poznata shema za ključka :

Ako odem u škol u , neću nau čiti ništa. Ako ne odem u škol u , neću naučiti ništa. Dakle, neću naučiti n išta.

55

_ logika

{

o�n -o�n

:. n

I zgleda kao d i lema, a l i nema disj u n kcije potrebne za d i l e m u . Kako bismo popu n i l i p raz n i n u , u potrijebit ćemo zakon isključe­ nja trećeg:

*

{

*

L L

*

O D

* *

1 ov - o

2 o�n

3 -o�n 4 o 5 n 6 - o 7 n

TEOREM PREM PREM

(za Di ll

2 , 4 MP PREM

(za Dill DIL QED

1 , 4-5 , 6-7

Alternativno, prva tri retka mogl i smo napisati ovako: *

{

*

o�n 2 - o�n

3 0v-o

PREM TEOREM

U osnovi, dokaz bi bio isti. Poanta je u tome da ' o v o ' , kako je i nstancija teorema, a ne p retpostavka, u prvom slučaju ne treba zvjezd icu . U d rugom sl učaj u, nosi zvjezdicu koja odgovara položaju u dedu kcij i ; uvođenje toga retka kao koraka u postu pku ne povlači za sobom n i uvođenje n i odbacivanje prem ise . Sada trebamo utvrd iti zakon isključenja trećeg. Dokažimo: p v - p Počn imo tako da pokušamo napraviti kartu strategije. Dokaz po i m p l i kaciji ne možemo iskoristiti jer bismo tom strategijom došli do implikacije, a 'p v p ' n ije implikacija. Da i mamo razloga vjerovati da p, mogl i bismo izvesti p v - p TAN jenjem, al i nemamo razlo­ p, ga vjerovati da p . Također, da imamo razloga vjerovati da mogl i bismo TANjenjem izvesti 'p v p ' , a l i nemamo razloga vje-

-

-

-

56

Načela izvođenja .

rovati n i da - p. Da i mamo još jednu disj u n kciju s kojom možemo rad iti, možda b ismo mogl i izvesti p v - p DI Lemom, ali takve d is­ junkcije nemamo. Prisjetimo se stare matematičke zapovijedi : "Ako i m a sum nje, pokušaj s reductiom . " Pokušajmo, dakle, s reductio. Naš će pNi korak biti da kao prem isu uzmemo negaciju onoga što žel imo dokazati : *

1

- (p v - pl

PREM (Niti p niti ne p. l

Pokušajmo domisliti taj zaključak. Pod pretpostavkom da n iti kiši n iti ne kiši, trebala bih moći pokazati da ne kiši ( - p), jer to, čin i se, govori i prem isa. Možda bih mogla to pokazati reductiom . A ako m i to u spije, možda bih na sl ičan način mogla pokazati da ne n e kiši ( - - p) . Ali tada b i h sama sebi protu rječ i l a (tvrd njom da i ne kiši i da ne ne kiši), a baš to i žel i m . (Moja će strategija u oba pod­ dokaza također b iti red uctio.) Formalno, to izgleda ovako: Dokaži mo: p v - p * ** ** ** *

** ** ** *

*

pv -P (p v - pl /\ - (p V - pJ -p

PREM PREM 2 TAN 3. 1 ADJ 2-4 RED

6

-p 7 pv - P 8 ( p v - pl /\ - (p v - pl 9 -- p

PREM 6 TAN 7 , 1 ADJ 6-8 RED

1 0 - P /\ - - P 1 1 - - (p v - pl

5 , 9 ADJ

12 pv - P

1 1 DN

1

2 2 4 5

- (p v - pl P

QEO

(prvo je uspjelol

(i d rugo je uspjeloj

1 - 1 0 RED

57

•

Logika

( Č itatelju to možda izgleda kao dilema; ali nije.) Prim ijetimo da smo, da bismo dokazali zakon isključenja trećeg, morali u biti kori­ stiti n ačelo dvostruke n egacije (kora k 1 2 ), i to kontroverzni potez ispuštanja dvostruke negacije. Prim ijetimo i da je taj dokaz nezgra­ pan i pun ponavljanja. Malo elegantn ijim bismo ga mogli uči niti na dva načina: (1 ) *

1 2 3 4

�-i! ** ** *

5

**

6

- (p v - pl P

pv - P lp v - pl -p -p

!\

- (p V

-

pl

PREM PREM 2 TAN 3 , 1 AOJ 2-4 RED PREM

i sl ično, 6-8 RED 5 , 9 AOJ 1 - 1 0 RED , DN

9 -- p 1 0 - P !\ - - P 11 pv - p QED

* * *

(2) *

1

**

2 3 4

** ** *

5

*

6 7

*

8

- lp v - pl P

pv - p (p v - pl -p pv - p lp v - pl pv - p

lp v - pl

!\

-

!\

- (p v - pl

PRE M PREM 2 TAN 3 , 1 AOJ 2-4 RED 5 TAN 6 , 1 ADJ 1 - 7 RED ,

DN QEO

Zakon isključenja trećeg, koj i se često sm atra aksiomatskim, zapravo je, dakle, dokaziv i bez aksioma, sam o u z pomoć načela izvođenja koja i nače koristi mo (uključujući DN).

58

Načela izvođenja . Pravi l o

ZAMjene

ZAMjena:

B i l o koj a d v a iskaza z a koje je

pokaza n o da s u e kviva l e n t n i , ili izvedivi jedan iz drugog, mogu se međuso b n o za m ij e n i ti .

Ekvivalenciju,

iskaz obl i ka 'p ako i samo a ko q

'

(Mary će ići na za bavu a ko i sa mo a ko je J o h n pozove ; Voda u lončiću će zavrijeti a ko i samo ako je njezina temperatu ra 1 00 Cel­ zijev i h stu pnjeva ; Jane spava do deset uj utro ako i sa mo a ko je da­ nas subota) defi n i ramo kao konj u n kciju dvije i m p l i kacije s u p rotn i h smjerova ;

Ekvivalentnost'

može m o defi n i rati kao

valjanost e kviva l encije.

Ako se dva iskaza mogu valjano i pouzdano izvesti jedan iz drugog, oni zapravo "tvrde isto" pa se mogu međusobno za m ijen iti u svi m kontekst i m a koj i n a s zan i m aj u , u p ravo o n a ko kako s e is kaz m ože zam ijen iti svo j o m dvost r u k o m n egacijo m . B

koristiti e kvivalentnost. N a pri­ ekviva lentn o s p v q, kako s m o vidje l i u

N ačelo ZAMjene dopušta n a m mjer, b u d u ći da je q v p

raspravi o znače n j u V, valj a n je i sljedeći zaključak. Ako bude kiši lo ili sniježil o , škola će biti zatvorena . Sniježi i l i kiš i . Dakl e , škola ć e biti zatvorena.

{

* *

1

( k v s) � z

2 sv k 3 kv s 4 z

PREM

2 ZAM ( komutacija) MP 1, 3 QEO

ili

*

8

Autorica slijedi Quineovo terminološko razlikovanje ekvivalencije i ekvi­ valentnosti . Ono nije uvriježeno i općenito uzevši, nije pogrešno govo­ riti jednostavno o ekvivalencijama. (op. prev.) Vidi bilješku 6, str. 4 6 . 59

•

Logika

* *

3' 4'

[s v kl �

1 ZAM [ kom utacijal MP 3', 2

z

z

QEO

Da bismo je mogl i koristi l i , ekvivalentnost treba dokazati . De­ d u kcija ekvivalentnosti sastoj i se od dva dokaza po i m p l i kaciji , po jed nog svakom smjeru. Evo dva primjera. Dokaž i m o : (p v q ) H ( q v p l ( komutativnost v l * L �L* 0* 0* *

{-

PREM [sl ijeva na desnoj PREM (za Dill

1 pv q 2 p 3 qv P 4 q 5 qvp 6 qvp 7 (p v ql � [ q v pl 8

2 TAN PREM (za Dill 4 TAN 1 , 2-3 , 4-5 DIL 1 -6 DI [prvo je uspjeloj PREM [zdesna na lijevol

qvp

S l i čn o, 8- 1 3 DI [drugo je u spje l o j

1 4 (q v pl � (p v qJ 1 5 [ [p v qJ � (q v pl l 1\ [ [q v pJ � [p v ql l 1 6 [ P V qJ H [q V pJ

Dokaži mo [p � (p 1\ ql] * ** ** �-l>

*

*

p � [p 1\ q) p p l\ q q p�q [p � [p 1\ qJ l � [p � q)

7

p� q p q

9

QEO

(p � q)

1 2 3 4 5 6

8

60

H

7 , 1 4 ADJ 1 5 DEF H

(apsorpcija)

PREM PREM 1 , 2 MP 3 SIMP

2-4 DI 1 -5 DI [prvo je uspj el a l PREM [slijeva na desnoj PREM 7 , 8 MP

Načela izvođenja . ** *

1 0 p /\ q 1 1 p � [p /\ qJ 1 2 (p � qJ � lp � (p /\ q) [ 1 3 { lp � (p /\ q) [ � (p �

8 , 9 ADJ 8- 1 0 [I I

7 - 1 1 DI

(drugo je uspjeloj

q) } 6 , 1 2 ADJ

/\ { (p /\ qJ � l p � (p /\ q) l } 1 4 lp � (p /\ q) [ f-+ ( p �

1 3 D EF f-+

q)

QEO

Koraci

13

i

14

mogu se staviti u jedan :

1 3 ' lp � (p /\ q) I f-+ (p � q)

6 , 1 2 ADJ, DEF f-+ QEO

Ta dva dokaza po i m p l i kaciji koja čine dokaz ekvivalentnosti ponekad su slični, kao u prvom prikazanom slučaju. ČeŠĆe su posve nesl i čn i . U podsjetn iku u z ovo poglavlje dat ću popis ekvivalent­ nosti koje se mogu koristiti kod zamjene, od koj i h su neke dokazane u tekstu , a neke su ostavljene čitatelju kao zadaci. Treba pri m ijetiti da se pravi lo ZAM, kao i DN, razl ikuje od dru­ gih pravi la izvođenja utoliko što n ije usmjereno: ako korak 7 neke ded u kcije slijedi iz koraka 3 iste dedu kcije po pravi l u ZAM, korak 3 (i njegovo ponavljanje) slijedi i iz koraka 7. I ekvivalentnost se od drugih teorema razli kuje na isti nači n : obrat l ijeve i desne strane glavnog vezn i ka 'f-+' u valjanoj ekvivalentnosti ne m ijenja tu ekvi­ valentnost. Iskaz izveden iz drugog iskaza po pravi l u ZAM ne samo da iz njega slijedi ; on i govore jedno te isto. G nekim se ekvivalentnostima - na primjer, kom utativnosti, kon­ trapoziciji i De Morganovim zakonima - u l iteraturi često govori kao o "pravilima" koja valja razlikovati od pravila izvođenja kao što su SIMPlifikacija i l i TANjenje samo utoliko što n isu usmjerena. Ja ću ja­ sno odvajati takve ekvivalentnosti od pravila izvodenja i tretirat ću i h ne kao procedu ralna pravila nego kao iskaze, kao teoreme koje tek treba dokazati dedukcijom (ili drugim metodama) i kao takve po po­ trebi koristiti - odnosno, koristiti ih po potrebi i dokazati sa strane. Pri u potrebi tih ekvivalentnosti treba se pozvati na pravi lo izvo­ đenja ZAMjena. 61

•

Logika

LANAC: Od dvije ( i l i više) i m p l i kacija kod kojih je konsekvens jedne i m pl i kacije antecedens sljedeće, kao kon kluzija s l ijedi i m p l i kacija koja prvi antecedens ima za svoj antecedens a posljednji konsekvens za svoj

Četiri pomoćna prav i l a

konsekvens. Stoga . p� q q� r

:. p � r

LANAC

p� q q� r r�s

:. p � s

LANAC itd.

Ispravnost postu pka već smo pokazal i , u objašnjenju načel a dokaza po i m p l i kaciji . Uspješna ded u kcija pravila poči nje od pre m isa koje s e uzima za primjer, sve zajedno, i označava jednom zvjezdicom, a završava tipičnom konkl uzijom koju također označavamo jednom zvjezdi­ com . Jasno, u sličn i m slučajevima provode se sl ične dedu kcije. Kad napravimo jednu takvu dedukciju, nauči li smo da se to može učini­ ti i kako to učin iti pa više neće biti potrebno sve raditi iznova. Pri utvrđivanju pomoćnog pravila treba koristiti samo osnovna pravi la izvođenja.

Modus tollens (MT): Iz i m p l i kacije, uzete zajedno s negacijom njezina konsekvensa, sl ijed i negacija antecedensa. Stoga, p�q -q

:. - p

MT

NeKONjunkcija: Iz negacije konjun kcije, uzete zajedno s jed­ nom njezinom sastavn icom, slijedi negacija njezina drugog konju n kta ( i l i ostatak konju n kcije). 62

Načela izvođenjil •

Stoga, - (p

- (p 1\ ql p . .

- q

1\

q 1\ rl

q

NKON

. .

- (p 1\ rl

NKON

i td

.

EUMinacija: Iz disj u n kcije, uzete zajedno s negacijom

disj u n ktivne sastavn ice, slijedi drugi disj u n kt ( i l i ostata k disju n kcije). Dakle, pv qv r - r

pv q - p q

ELI M

pv q

ELI M

itd.

Na sljedeći m se stran icama na lazi popis načela izvođenja; nekoliko bilježaka o sistemu zvjezd i­ ca, o poštenom praćenju odbače n i h prem isa i o upotrebi zagrada; zati m popis teorema i ekvi­ valentnosti koji se mogu koristiti u dedukcijama. Ti bi podsjetn ici trebal i biti od koristi pri rješavanju problema.

Podsjetn i k uz p rvo p oglavlje

Pravila izvođenja, prvo poglavlje Modus ponens (MP) : Iz i m p l i kacije, uzete zajedno s

antecedensom, njezin konsekvens slijedi kao konkl uzija.

63

•

Logika

Primjer: p� q p

---

MP

q

:.

Dokaz po implikaciji (DI): Iz ispravnog izvoda konkluzije iz premise (i l i skupa prem isa) kao odgovarajuća i m p l i kacija sli ­ jedi sum arna kon kluzija: ako prem ise onda konkluzija. Pri mjeri : *

*

.

{�

p

*

q .

DI

p� q

*

r

(p /\ qJ �

. .

r

DI

SIMPl ifikacija: I z konj u nkcije slijedi svaka njez i na konjun ktivna sastavn ica. Primjeri:

� :. p

� :. q

SIMP

p /\ q /\ r S I MP

SIMP

q

ADJunkcija: Iz iskaza koji su u igri u bilo kojem d ijelu dedukci­ je, kao kon kl uzija slijedi njihova konj u n kcija. Pri mjeri : p q

ADJ

p q r

:. r /\ p 1\ q 64

ADJ

Načela izvođenja . REDuctio ad absurdum: Ispravan izvod izravnog proturječja iz

premise povlači negaciju te premise. Primjer:

...

... ..

p

q /\

q

�

�p

RED

Dvostruka negacija (DN) : Iskaz i njegova dvostruka negacija mogu se međusobno zamijeniti, i kao koraci u dedukciji i kao sastavnice tih koraka.

DILema: Za dan u disjunkcij u, ako se za svaki njezin disjunkt odvojenom dedukcijom lema pokazalo da vodi istoj kon­ kluziji, ta konkluzija slijedi iz disju n kcije.

L L L L L

... ... ... ... ...

2

P

PREM

* 1 pv q

PREM

D

3

D

4

D

D

5 6

D

r

. ... 1 2 r

... 7 q ... 8 ... 9 ... 1 0 ... 1 1 r

1 , 2-6, 7-1 1

PREM

DIL

TANjenje: Disjunkcija slijedi iz bilo koje svoje disjun ktivne sastavn ice. Primjeri : p :. p v q

TAN

q

:. p v q TAN

pvq

:. p v r v q TAN

65

•

Logika PONOVI : U n u tar ded u kcije uvijek je legiti mno PO NOViti

prem isu koje je još uvijek u igri, ili korak u dokazu čije su premise još uvijek u igri . Time završavamo popis devet osnovni h nače la zaklj učivanja. TEOREM: Svaku i n stancij u već utvrđenog teorema može se

uvesti kao korak u dokazu u bilo kojem dijelu ded u kcije. Korište n i teorem treba citi rati, pri mjerom ili imeno m .

ZAMjena: B i l o koja dva iskaza z a koje j e pokazano da su ekvi­ valentni, ili izvedivi jedan iz d rugog, mogu se međusobno zam ijen iti, bilo kao koraci u dokazu i l i kao sastavn ice koraka u dokazu. Korište n u ekvivalentnost treba citirati , bilo pri mjerom bilo po imenu. Popis četi ri pomoćna načela zaključivanja nalazi se na posljed njim stranicama poglavlja pa ih ovdje ne treba ponavljati; to su : LANAC, MT, N KON i E L I M .

Deklaracija na pakiranju (po analogiji sa sta ndard n i m a deklaracijama n a paki ranju koje se provode u ljekarnama i trgovi nama) Pri u potrebi načela dokaza po i m p l i kaciji, sumarna je kon kl uzija i m p l i kacija čiji je antecedens (zapravo) posljednja uzeta premisa, a konsekvens (zapravo) kon k l uzija izvedena iz te prem ise u ko n­ tekstu dedu kcije. Tvrdnju da ta i m p l i kacija stoji u tom kontekstu opravdava pod dokaz koji počinje od te prem ise i dovodi do te kon­ kluzije; poddokaz se mora istinito izvijestiti u navodu desno od re­ levantnog koraka. Poddokaz se sum i ra i ostavlja po strani, a njegove se premise odbacuju . Taj zahtjev za točn i m navođenjem vrijed i i kod odbacivanja prem isa u red uctio ad absurd u m i d i lemi . Iskušenje krivog n avo­ đenja osobito je snažno kod dokaza reductiom, gdje i rezultati po66

Načela izvođenja .

grešnog navođenja osobito zastranjuju. Dokaz red uctiom pokazuje da je prem isa od koje se polazi neisti n ita; on ne jamči neistin itost n ijednog drugog koraka i n ijedne druge premise . o

sistemu zvjezdica

Kod svakog je zaključka važno jasno imati na u m u što se pretpo­ stavlja, to jest, koje su premise u svakom trenutku u igri. Sistem zvje­ zdica koji smo koristili trebao bismo olakšati tu vrstu knjigovodstva. Zvjezd ica označava uvođenje pretpostavke, i l i premise, bilo na po­ četku dedukcije i l i kasn ije, i ponavlja se u svakom sljedećem koraku dedu kcije sve dok prem isa ne bude odbačena (ili, u posebnom slu­ čaj u dileme, dok se premisa ne ostavi po strani); kad se premisa od­ baci, zvjezd ica se ispušta. Sve dok se zvjezdica povezana s n ekom premisom pojavljuje u koraku dokaza, za tu se premisu kaže da je u igri. Kad se dvije i l i više premisa uzi ma zajedno, označavaju se vitičastom zagradom ({) i jednom zvjezd icom (obično na početku dedu kcije) i tada se premise shvaća kao nji hovu konjunkciju . Ako ih, dakle, odbacimo, moramo ih odbaciti odjednom, zajedno: nj i­ hova sumarna konkluzija, i l i odgovarajuća implikacija, imat će kon­ j u n kciju ti h premisa kao svoj antecedens. U d i l e m i ( i tri /em i, itd . ), slovo (L, D, S, itd . ) povezano s pre m i ­ som (sastavn icom disjun kcije) s e treti ra kao zvjezdica, i također u kazuje na to da je s n j i m e povezana prem isa u igri u svakom ko­ raku gdje se pojavljuje takvo slovo-zvjezdica. Isto vrijedi i za lem u . A l i kad dođemo d o tražene konkl uzije, slovo-zvjezdicu ostavljamo po stran i (nije da ga posve ispuštamo) i na njezino mjesto, za drugi disj u n kt uzet kao prem isu, u pisujemo drugo slovo. Ta slova treba­ ju pomoći dokazivaču (i onome tko dokaz čita) da leme drži odvo­ jenima i otežava (nedopušteno) "prebacivanje" iz jedne u drugu. Tek kad se svaki disj unkt izvorne disj u n kcije uzme kao premisa, i kad svaki poluči željenu kon kluziju, tada se sve te pomoćne pre­ m ise mogu zajedno odbaciti, a sva slova-zvjezdice ispustiti .

67

•

LDgika

Dedukcija koja završava s jednom zvjezdicom u konkluziji kaže da ta konkluzija slijedi iz prem ise (prem isa) od koj i h je dedu kcija krenula. Takva dedukcija jest uspješna i n otacija "QED" je na mje­ stu . Uspješna s e dedukcija uvijek može nastaviti, ako to žel imo, ka­ ko bi dokazom po implikaciji poluči la i m plikaciju bez zvjezdi ca, tj . teorem . I zostanak zvjezdica u koraku valjane dedu kcije pokazuje da je taj kora k teorem (teorem logi ke iskaza je tautologija ) . Dedu kcija koja završava s dvije ili više zvjezd ica kaže nam da njezin posljednji korak sl ijedi iz svi h oni h premisa (zajedno) s koji­ ma su zvjezdice povezane; te su premise i dalje u igri i dedu kcija je nepotpuna ili neuspješna. Notacija "QED" dakle ne bi bila na mjestu . Budući da sistem zvjezdica registri ra uzimanje i odbacivanje prem isa i tako vizualno pojašnjava koje su pre m ise u igri, a koje nisu, pogreška nedopuštenog ponavljanja može se izbjeći ako se du­ žna pozornost prida zvjezdicama. Korak u dokazu ne sm ije se po­ noviti n iti na drugi način koristiti - za modus ponens, adj u n kciju, itd . - ako on (kada je taj korak sam premisa) ili njegova premisa n isu i dalje u igri, to jest ako korak u kojemu ga koristimo ne nosi barem one zvjezdice koje je nosio citi ran i korak. o

zagradama

Zagrade se koriste zbog gru piranja; one nam kažu da o onome što se nalazi u nutar nj i h razm išljamo kao paketu , kao cje l i n i . One su potrebne zato da otklone višeznačnost. Kad za to nema opasnos­ ti, zagrade nam ne trebaj u . Budući da je '(p A q ) A r' ekvival entno s ' p A (q A r) ' , a '(p v q ) v r' sa 'p v (q v r) ', zagrade u tim slučajevima n isu potrebne; možemo ih ispustiti i pisati 'p A q A r', odnosno 'p v q v r'. U nizovi m a slova jednol iko povezan i h s 'A' (i) i l i IV' (ii i), zagrade n isu potrebne. Zagrade, međutimi jesu potrebne uvijek kad se ponavlja strelica za Iakoi. 'p � q � r' je posve besm isleno, jer '(p � q ) � r ' znači nešto sasvim d rugo od 'p � (q � rl'. A 'p � q � r ' ne znači "ako 68

Načela izvođenja . p onda q i ako q onda r" po krivoj analogi j i s 'x < y < z' u algebri i s ' 2 < 4 < 9' u aritmetici . 'p � q � r' je obična gramatička greška .

Zagrade su, osim toga, uvijek potrebne kod mješovitih vez n i ­ ka. " I ći ćemo u kino a k o b u d e kiši lo, i i ći ćemo na večeru" po značenju se razl ikuje od "Ako bude kišilo, ići ćemo u kino i na večeru". U običnom jeziku tu razli ku ponekad stvara poredak riječi u rečen ici, ponekad "teleskopiranje" i l i neko d rugo sredstvo; kod simbola razliku u značenju stva raju razl i ke u zagradama : (k � fl

1\

V

za razli ku od k � (f 1\ v)

Višeznačno 'k � f 1\ v ' , kao i 'p � q � r' n i kad n ije dopušteno i s matra se loše oblikovanim, n egramatički m . I sto vrijedi i za 'p 1\ q V r'. Bez zagrada, znak '-' za "ne" vrijedi samo za jedno jed i no slovo koje iza njega slijedi ; sa zagradama, vrijedi za čitavu gru pu (složenu rečenicu) koja neposredno slijed i . Bud ući da p ' jed­ ' noznačno znači ' - ( p) zagrade tu n isu potrebne. Pri form aliziranj u složenih rečenica zagrad e koje u kazuju n a gru piranje s u potrebne u svi m osta l i m slučajevima. Nepotrebne zagrade su povremeno gnjavaža, a l i n isu greška. Zagrade koje ne­ dostaj u i stvaraj u višeznačnost jesu greška. U cijeloj knj izi koristi m uglate zagrade za iskaze koje već imaju zagrade, a povremeno i vitičaste zagrade za i skaze koje već imaj u uglate zagrade. Ta praksa olakšava čitanje, a l i n ije riječ o nekom načelu . ,_-

-

o

,

prezentaciji dedukcija

Pri prezentaciji dedu kcija dobro je odmah na početku pojasniti što se že l i pokazati .

to i to {premise, ako ih imal Dokažimo: tako i tako (tražena konkluzija)

Zadano :

Ako je problem postavljen u običnom j eziku, prvo treba defi n i ­ rati kratice, uvođenjem pojed i n i h slova abecede u mjesto rečeni­ ca (npr. neka k kiši) i pritom paziti da se isto slovo ne iskoristi više =

&9

•

Logika

puta (ako 'k' koristi mo za "kiši", ne možemo imati 'k' i za " Ronald nosi kabanicu " ) . Zati m možemo prikazati struktu ru zaključka ( i l i teorema) te zam ijen iti ponekad višeznačne i l i nezgrapne izraze obi­ čnog jezi ku jed noznačn i m si m bol ički m veznicima logi ke sudova. Dedu kcija polazi od premise i l i dvije, tri prem ise uzete zajed­ no, označene jednom zvjezd icom (slijeva), i l i od teorema, bez zvjezdica. Korake dedukcije brojimo slijedno. S desne strane svakog koraka citi ramo opravdanje, i l i garanciju, za taj korak. Kad se koriste kao opravdanje, načela TEO REM i PREMisa ne trebaju d rugi h citata. Međutim, povremeno je korisno spomen uti teorem po imenu i l i ga ispisati . Na prim jer: 1 (s � wl v - (s � wl

TED REM (isključenje trećegl

ili * 7

[r v sl

� [a �

(r v sl ]

TEOREM lp � [ q � p) ]

Pri uzimanju prem ise dobro je ukazati na svrh u uzimanja baš te prem ise : "Dokažimo" to i to, i l i "zbog D I Leme" i l i "zbog REDuc­ tia", Ako opravdanje za određeni korak n ije n i PREM ni TEO REM, mora se citirati neki raniji korak ( i l i koraci, i l i poddokaz), DN, ZAM, PONOVI, SIMp, i TAN koriste samo jedan korak; MP, MT, N KO N i ELIM koriste p o dva; a ADJ i LANAC koriste p o dva i l i više, Oprav­ danje za svaki korak treba do kraja pojasniti odakle taj korak i p rema kojem p ravi l u . Na primjer: * * *

*

3 w l\ s 5 sv r

10 (s 11 - g -

*

3 SIMP

4 s

4 TAN

1\

gl

1 0, 4

N KON

Načela izvoilenja

•

Kod korištenja ZAMjene, citira se samo jedan raniji korak: korak u kojemu se događa zamjena. Citi ran i i opravdani korak moraju se točno podudarati, osi m u za m i jenjenom d ijel u . Dobro je citi rati i korištene ekvivalentnosti , po imenu, ako je moguće . I ako se ekvi­ valentnosti koriste kao teoremi, pravilo ZAMjene ne treba brkati s pravilom T EO REM. Kod ZAM mora se citi rati prethod n i korak u dokazu ; kod TEO REM to n ije potrebno. Kad god citiramo neki korak u dokazu, moramo paziti da pro­ vjerim o je li taj korak u igri (vidi podsjetn i k o sistemu zvjezd ica). Kad koristi mo DILemu, moramo dobro paziti na odvoje nost lema, bez pogrešnih preskakanja. Evo jednog primjera dileme: *

L L L l L

* * *

* *

2 3 4 5 6

1 p v q PREM

PREM

P

D D

D D D

r

.

.

*

12 r

1 , 2-6 , 7 - 1 1

7 q 8 * 9 * 10 * 11 r *

PREM

*

DIL QED

Premise lema moraju se pod udarati - i to iscrpno - s d isju n k­ tivni m sastavn icama disj u nkcije. U lem i D ne smije se citi rati n ijedan korak leme L, i obratno. U kon kluziji dokaza dileme, citi­ ra se disjunkcija i sve leme. Kon kluzija nosi onoliko zvjezd ica koliko i h je i m ala i disjunkcija, što odražava či njenicu da n ismo odbaci l i disj u n kciju, a premise lema jesmo. Pri odbacivanju premise (bilo u DI, DILemi ili REDucti u) ne citi ­ ra se korak u dokazu, nego poddokaz i l i lema; to se pojašnjava pisanjem crtice u mjesto zareza, '4, 9' kod ADl i l i MP znači "koraci 4 i 9 " ; '4-9 ' od nosi se na pod dokaz koj i počinje korakom 4 kao prem;som i završava korakom 9 . Citat danog koraka n e sm ije u sebi imati prethodn i h koraka iz koj i h smo izvel i citi rane korake (te informacije daje sistem zvjez11

•

Logika

dica), a ni drugi h koraka koj i bi nešto sugerira l i o citira n i m koraci ­ ma (kao što j e disjunkcija koja služi kao osnova z a lemu) n iti korake koji, čini se, motivi raju poduzeti korak. Evo jedne česte notacijske greške : *

{

1 [p v q) � r 2p

PREM

Dokažimo: r *

3pv q

*

4 r

1 , 2 TAN [pogrešno) 1 , 3 MP

Korak 1 se nije smio citi rati u koraku 4 (ostatak te male dedu kcije je naravno ispravan). Opravdanje - temelj i l i razlog za neko vjerovanje - treba jasno razli kovati od motivacije - svrhe nekog postu panja - a pojedine korake u izvođenju treba jasno razlikovati od opće pozadine ili kon­ teksta. Naš korak 3 , p v q, izveden je tanje njem prem ise 2, p, i to samo nje; stoga bi citat trebao glasiti ' 2 TAN ' . Svrha poduzimanja koraka 3 je mogućn ost korištenja premise 2 u koraku 4 ; prem isa 1 tu " i nspirira" korak 3, a l i ga ne opravdava. Notacija 'QED' ("quod erat demonstrandum " i l i "posao obav­ Ijen") označava kraj uspješne ded u kcije. Ako je namjera bila po­ kazati valjanost nekog zaklj učka, posljednji korak dedukcije bi tre­ bao biti kon kl uzija toga zaključka, s jednom zvjezdicom koja označava ovisnost konkluzije o prem isama zaključka (koje nose je­ d n u zvjezdicu). Ako je namjera bila utvrđivanje teorema, teorem se treba pojaviti bez zvjezd ica, u kazujući na to da su sve premise odbačene.

Teoremi Svaka ispravno konstru i rana instancija teorema može se uvesti kao korak u dokazu u bilo kojoj fazi dedukcije. Dedu kcija u kojoj se u sve prem ise odbačene i koja u skladu s ti me završava kon kluzi72

Načela izvođenja .

jom koja ne nosi zvjezdice, izvještava da je njezina konk luzija teo­ rem . Primjeri teorem a su : p�p

[zakon identiteta)

p � -- p

(dvostruka negacija)

-- p � p

(dvostruka negacija )

- (p

(neproturječnostl

1\

- pl

p � [ q � p) - p � (p � q) (p

1\

- p) � q

(p

1\

ql � q

p � [p v ql (p � rl � [ (p

1\

ql � rl

[p � rl � [ p � [ q v rI J pv - p

(isključenje trećeg )

Dokazi za neke od ti h teorema i ekvivalencija koji sl ijede dani su u tekstu ili su zadan i kao p roblemi i ostavljen i čitatelj u . Č itatelj ih može sabrati i koristiti vlastiti pomoćn i popis takvih teorema. Pri korištenju nekog teorema dobro je i m ati n a umu njegov dokaz; korištenje teorema je pokrata koja se uvijek može zamijen iti deduk­ cijom u kontekstu . o ekvivalenciji i ekvivalentnosti

Ekvivalencija, iskaz oblika: t o i to a k o i s a m o a k o tako i tako

ili p� q

defin i ra se kao konj u n kcija dvije i m pl i kacije: to i to a ko tako i tako

13

•

Logika

to i to samo ako tako i tako

Stoga, (p B ql

=

def [ (p � ql " ( q � p) ]

DEF B

Ekvivalentnost se defin i ra kao valjanost ekvivalencije. Dvije iskazne forme - pa tako i dva iskaza ekvivalentne su ako je kao teorem utvrdeno da među njima vrijedi ekvivalencija. Za to su potrebne dvije dedu kcije, po jedna u sva kom smjeru, čime se utvrđuj u dvije i m pl i kacije koje se zati m spajaju . Ako je prikladno, takvu se ekvi­ valentnost m ože citi rati kao korak u dokaz u . Na pri mjer, -

3 [ (r " sl � wl

B

[ � (r " sl v w) ]

TEO R EM (AK OJ

Načelo ZAMjene ovlašćuje nas da, u svi m nama zan i m l j ivim konteksti ma, zam ijen i ma b i lo koja dva iskaza za koje se pokaza­ lo da su ekvivalentn i. Na primjer (da iskoristi mo istu ekvivalentnost), ovo bi moglo poslužiti kao korak u dokazu : * *

4 q � (s � tl 5 q � (� s v tl

4 ZAM (AKOJ

Citat 'AKO' i u jed nom i u drugom sl učaju koristan je čitatelju, ali n ije nuža n .

Ekvivalentnosti koje se koriste pri ZAMjen i Apsorpcija: [ p � (p " ql l B (p � ql Eksportacija : [ (p " ql � rl B [p � ( q � r) ] Kontra pozicija: (p � ql B (- q � - pl (p � - ql B (q � - pl Komutativnost: (p " ql B ( q " pl (p v ql B ( q v pl 74

Načela izvođenja .

Asocijativnost:

lp " ( q " rl ) � Hp " ql " rl !p v I q v r) ] � l ip v q) v rl

Redundantnost: [p " pl � p (p v pl � p

AKO : (P � q) � ( - p

v

q)

AKKO : { p � ql H r - p � - ql (p � ql H [{ p " qJ v ( - P A - qJ l

Distribucija : [p " Cq v rH B [ Cp " qJ lp

v

I q " rl )

�

v

Cp " rl )

[ (p v ql " lp v rl l

lp � ( q " rl l � [ [p � ql " Cp � rH

(q v rH v qJ � rl

[p � [ [p

[ (p " q)

Problem i uz

prvo

poglavlje

�

q) v (p � rH ( [ p � rl " (q � rH rl � ( [ p � rl v I q � rl l � [ (p �

�

Predlažem da nakon što proučite prva četiri na­

čela izvođe n j a (za '�' i ' ,, , str. 20-4 1 ), napra­ '

vite sljedeće

dedukcije:

u dijelu I , p ro b l e m 1 ;

u dijelu I I , probleme 1 - 5 .

Zati m, kad se u v e d u načela za negaciju (str. 4 2-47), trebalo bi napraviti sljedeće zadatke : u d i j e l u I , problem e 2 i 3 ; u dije l u / I , pr o b l e m e 6-9 . Kad se uved u načela za " i l i " (str. 48-52), tre balo bi na p raviti sljedeće zadatke : u dij e l u I I , p ro ble m e 1 0- 1 3 ;

N a k o n što se uvedu pravi l a TEOREM (str. 5 2 - 5 5 ) i ZAMjena ( str. 5 9-61 l, treba n a p rav iti s ljed eće zadatke : u dijelu l, p ro b l e m 4 ; u d ij el u I I , p r ob l e m e 1 4- 1 6 . 75

•

Logika

Konačno, prije no prijeđemo na drugo poglavlje, treba napraviti dio dijela I I I, barem prvi primjer; tj. dedukciju ekvivalentnosti zvane "eksportacija". Ostatak dijela I I I može pričekati do, recimo, trećeg poglavlja.

I.

Evo popisa zaključaka-primjera koji ilustriraju četiri pomoćna pravila izvođenja koja su dana na posljednjim stranicama ovog poglavlja. U svakom zadatku si definirajte kratice i na­ značite strukturu zaključka. Zatim deducirajte konkluziju iz zadanih premisa, uzetih zajedno. Koristite samo tih devet osnovnih pravila izvođenja. 1.

pravilo LANAC Ako bude sniježilo nosit ću kaljače. Dobit ću žuljeve ako budem nosio kaljače. Ako dobijem žuljeve, boljet će me noge. Dakle, ako bude sniježi lo boljet će me noge.

2.

Modus tollens (MT) Ako je jučer bila nedjelja, danas je ponedjeljak. Danas nije ponedjeljak. Dakle, jučer nije bila nedjelja.

3. NeKONjunkcija

Nije slučaj da smo u Parizu i da ovdje svatko govori ruski. Ovdje svi govore ruski. Dakle, nismo u Parizu.

4. E Li Minacija

Ova knjiga govori o biologiji ili o geologiji. Ova knjiga ne govori o biologiji. Dakle, ova knjiga govori o geologiji.

(Mali savjet: Jedan od načina da se napravi ova dedukcija je taj da se koristi teorem i pozove, osim na devet osnovnih pravila, i na pravilo TEOREM. Napravite deduk­ ciju a zatim odvojeno, sa strane, deducirajte teorem. Taj će vam postupak pokazati kako možete izmijeniti deduk­ ciju bez pravila TEOREM: u nekoj duljoj dedukciji, umje76

Načela izvođenja .

sto samog teorema, koristite metodu kojom ste deducira l i teorem. Taj je teorem i onako samo pokrata.) I I . Dedu kcijom pokažite da su svi sljedeći zaključci valjan i .

Kratice defi n i rajte eksplicitno. 1 . Ako Alice ode i u trgovi n u i kod mesara, dobit će sve što

treba. Alice će ići kod mesara ako ode u trgovin u . Dakle, ako Al ice ode u trgovinu, dobit će sve što treba. 2. Ako John donese salatu, Henry će imati dobar ručak. Dakle, ako Mary donese savijaču, a John don ese salatu , H enry će imati dobar ručak. 3 . Ako Ma ry donese savijaču , a John donese salatu, H e n ry

će imati dobar ručak. Mary p l a n i ra don ijeti savijaču . Dakle, ako John donese sa latu, Henry će i m ati dobar ručak. 4.

Mary donosi savijaču, a ako John donese salatu, Henry će imati dobar ručak. Dakle, ako John donese salatu, Mary će donijeti savijaču i Joh n će imati dobar ručak.

5. Ako Mary ode u trgovinu na povratku s posla, za veče ru ćemo imati čokoladn u tort u . Mary ć e i ć i u trgovi n u ako ne bude kasn i la. Ona neće kasn iti ako autobus br. 5 bude vozio. Dakle, ako autobus br. 5 bude vozio, za večeru ćemo imati čokoladn u tortu . 6. Henry će ići na pl ivanje ako bude l ijepo vrijeme.

H enry neće ići na plivanje ako ostane dokasna u u redu . Dakle, a k o b u d e l ijepo vrije me, He n ry neće ostati doka­ sna u u redu . 7.

Ako Kleant laže bogovi ga kažnjavaju i o n pati . Ako Kleant l aže ljudi ga nagrađuju i on ne pati . Dakle, Kleant ne laže.

11

•

Logika

8. Ako Alice ne ode u trgov i n u i kod m esara neće i m ati sve

što treba. Ako Al ice ode u trgovi n u n eće ići kod m esara. Dakle, Alice n eće i m ati sve što treba . 9 . Ako n e m isl i m , m i sl i m .

Dakle, m i sl i m . ( Descartes j e , u obranu te premise, smatrao, kad b i tvrd io da ne misli, da bi njegova tvrdnja pokazala da jest m islio. Vaša će dedu kcija pokazati da je gornj i za ključak va ljan . Ako, dakle, su m njate u izvjesnost n jegove kon kl uzije, tre­ bate posum njati u njegovu prem isu . ) 1 0 . Ako Mary donese savijaču i l i Joh n donese salatu , H e n ry će i m ati dobar ruča k. Dakle, ako John donese sa latu, Henry će i m ati dobar ručak. 1 1 . Ako Kleant laže bogovi ga kažnjavaju i o n pati . Ako Kleant govori isti n u ljudi ga kažnjavaju i on pati . Kl eant i l i laže i l i govori isti n u . Dakle, Kleant pat i . 1 2 . Ako Kleant laže bogovi ga kažnjavaj u i on pati . Ako Kleant govori isti n u ljudi ga kažnjavaju i on pati . Kleant i l i laže i l i govori isti n u . Dakle, i l i bogovi kažnjavaju Kleanta i l i g a kažnjavaju l j u d i . 1 3 . A l ice ć e ići i l i u trgovin u i l i kod mesara, i l i ć e p a k ići u k i n o s Mary. Ako Al ice ode kod mesa ra n eće i mati m l ijeka. Ako bude i mala m esa neće ići u trgovi n u . Ako ona i Mary odu u k i n o, Al ice n eće k u p iti n i m esa n i m l ijeka. Dakle, Al ice neće i m ati mesa ili neće i m ati m l ijeka. 1 4 . Ako se Mary kan i upisati i l i n a Francuski i l i n a Kom para­ tivn u književn ost, morat će položiti ispit iz fra ncuskog . Mary ne može položiti ispit iz francuskog . 18

NiI�elil

izvođenja .

Dakle, ne može se u pisati na Kom parativn u književnost 1 5 . ldemo na utakmicu i l i u kino. Ako bude po Al icinom, nećemo ići na utakm icu . Ako bude po Caroli n i nom, neće mo ići u kino. Dakle, i l i Alice ili Caroline n eće dobiti ono što žel i . 1 6. Raspravljajući o korištenju zakona i sklj učenja trećeg, ko­

risti l i smo c

v

- c kao opravdanje sljedećeg zaključka :

Ako odem u školu, neću naučiti ništa . Ako ne odem u školu, neću naučiti ništa . Dakle, neću naučiti ništ a .

0 -'> n - o--'> n -..

n

Napravite ded u kciju tog zaključka a da se ne koristite zakonom isključenja trećeg . Jedna od mogućih strategija je reductio. I I I . Utvrdite sljedeće ekvivalentnosti ded u kcijo m . la sva ku će

trebati po dvije ded u kcije - slijeva na desno i zdesna na l ije­ vo - i konačno adj u n kcija i kOrištenje defi n i cije znaka ' � ' . Primjere takvih dedukcija naći ćete u raspravi o pravi l u ZAMjene s kraja ovog poglavlja. Koristite samo devet osnovn i h pravila izvođenja, i, ako bude potrebno, pravilo ZAMjen e, uz čij u ćete pomoć moći nadograd iti već naprav­ ljen posao. la svaku dajte i neki primjer u običnom jezi ku. la eksportaciju jedan takav primjer bi bio: "Ako plati m naknadu i prođem na ispitu, dobit ću vozačku dozvol u" ekvivalentno je s /IAko pla­ tim naknadu onda ću dobiti vozačku dozvol u ako prođe m na ispitu " . 1 . Eksportacija: 2. Kontrapozicija : 3. Akko :

[ [p A ql -'> rl B [ P -'> ( q -'> rl ] (p -'> ql � (- q -'> - pl [p B ql � ( - P B - ql

19

•

Logika

Tri e kvivale ntnosti za distri bucij u :

4 . [p 1\ ( q v rl l H [ ( P I\ q) V ( p 1\ r) ] 5. [ P � ( q l\ rl l H [ ( P � q) 1\ ( P � rl l 6. [ (p v q) � rl H [ (p � rl 1\ ( q � r) ] 7.

Iz zadanog p rvog pravila distri bu cije (problem 4 ) , izravn o s l i ­

j e d i sljedeća ekvivalentnost: [ p 1\ ( q v - q) ] H [ (p 1\ q)

V

(p

1\

-

q) ]

O bj asnite kako.

Na kraj u , pokažite zasebno da je lijeva form u l a : 'p 1\ (q 1\ q) v (p 1\ kođer e kvivalentn a s 'p' . Možete koristiti teorem .

ekvivalentna s 'p ' i da. je desna form u l a : '(p

80

v

-

-

q)'

q ) ' ta­

2.

poglavlje

I sti nos ne tab l i ce i stab la

U posljednjem s m o poglavlj u vidjel i s k u p pravila izvođenja n a osnovu kojih se mogu konstru irati valjan i zaključci . Ako je i z sku pa prem isa moguće postupno, na osnovu pravi la izvesti konkl uziju , o n d a to pokazuje da j e zaključak o d t i h prem isa do te konkl uzije valjan . Ako, s druge strane, vid imo zaključak i pitamo se je li valjan, ta nam pravila ne moraju biti od velike koristi . Ako zaključak "izgle­ dali va ljano i možemo lako pronaći njegov izvod, od l ično. I opet, ako zaključak "izgledali nevaljano i možemo lako naći protuprimjer - situ aciju u kojoj bi prem ise bile istin ite a konkl uzija neistin ita opet dobro : pravila nam n isu bila od pomoći, al i smo utvrd i l i da je zaključak n evaljan . Pretpostavi mo, međutim , da pokušamo na­ praviti izvod i to nam ne uspije; tada ne znamo ništa. Možda je za­ ključak valjan, ali n ismo i m a l i dovoljno sreće i l i pam eti i l i uporno­ sti da to pokažemo; možda je zaključak nevaljan i okušali smo se u zadaći koju je nemoguće obaviti . Ne znamo. Kada, dakle, ne treba mo pokazati da je zaključak valjan , nego otkriti je li valjan i l i n ije, m oramo učin iti nešto drugo. Razvit ćemo postupak ispitivanja. Odmah na početku prim ijeti mo da svaki takav postupak ispitivanja mora u sebi imati barem sustavn i postu pak za otkrivanje protupri mjera, ako postoje . Počet ćemo s popisom i novim opisom istinosnofun kcijski h vez n i ka o koj i ma s m o već raspravlja l i : � , /\ , , v i B , kojima se grade slože n i iskazi od drugih iskaza. Iskaz može biti istin it ili neis-

81

•

Logika

ti n it. Ako je iskaz istin it, njegova je istinosna vrijednost isti na; ako je neisti n it, istinosna vrijednost mu je neisti na. Složeni iskaz - ili vezn ik koj i m je izgrađen - je istinosnofunkci­ jski ako je njegova istinosna vrijednost fun kcija istinosn ih vrijednosti njegovih sastavn ica, ako je dakle da bismo neupitno odred i l i je l i čitav složeni iskaz istinit i l i neistin it dostatno neupitno odrediti isti n i ­ tost n jegovi h sastavnica. To svojstvo izn i m no je korisno. Kako nam je cilj zaključivati pouzdano, to jest tako da uvijek čuvamo istin i ­ tost i iz isti n iti h prem isa n i kad ne izvedemo neisti n itu kon kl uziju, korisno je moći izračunati istinosnu vrijednost premisa i konkluzije. A ako taj izračun možemo iskoristiti da saznamo je l i u svi m situaci­ jama u koji ma su prem ise istin ite isti n ita i kon kluzija, moći ćem o saznati je l i naša tvrdnja očuvala isti n itost. Naše ćem o zaključke, drugim riječima, ispitati. Da v i d i mo kako to fun kcio n i ra.

---- ---- ------

Počn imo s "ako", i l i J� / . Prisjetimo se da nam implikacija ne kaže da li joj je antecedens istin it, n i da l i joj je konsekvens istin it. I m p l i kacija nam kaže samo da je, ako je antecedens istin it, isti n it i konsekvens; ona dakle isključuje mogućnost da je antecedens istin it, a konsekvens neistin it. Druge mogućnosti nisu isključene. Reci mo da je antecedens neistin it; u tom sl učaj u i m pli­ kacija nam ne daje informacije o istinitosti konsekvensa; možda da, a možda i ne. I l i recimo da je konsekvens istin it; to nam ne daje i n formacije o isti n itosti antecedensa; možda da, a možda i ne. S u m i rajmo ta zapažanja u sljedećoj tabl ici :

I sti n o s n e tab l i ce

82

I stinasne tablice i stabla .

Početne mogućnosti

S itu ac ij a moguća ,

za antecedens

a ko je implika cija

i kon sekvens

i stinita?

a ntecedens

konsekvens

ist i n i t

ist i nit

i stini t

neistinit

ne

n e i s tin i t

istinit

da

neistinit

n e isti nit

da

da

Ako je i m p l i kacija istin ita, moguće je da i antecedens i kon ­ sekvens b u d u istin iti (gornji redak) i l i d a antecedens bude neistin it a konsekvens istinit (treći redak) i l i da i antecedens i konsekven s budu neisti n iti (donj i redak). Jezgrovitije rečeno, i l i je konsekvens istin it (neovisno o antecedensu; gorn j i redak ili treći redak) i l i je antecedens neisti nit (neovisno o konsekvensu ; donja dva retka) . To je zan i m lj iva kon kluzija. Reći da "ako tako i tako, o n d a t o i to" znači reći " i l i nije tako i trtko i l i je to i toli, i ništa više. Već smo pri m ijetil i (na početku prvog poglavlja, raspravljaj ući o načelima izvođenja za "ako") da ćemo kao i relevantne za naš posao ostaviti postran i sve uzročne i druge veze između anteceden­ sa i konsekvensa i m p l ikacijski h i skaza s kojima radimo. Te veze obično služe da opravdaju nečije uvjerenje da je i m p l i kacija i sti n i ­ ta pa čak i kad i h pokušamo razuvjeriti o n i i dalje radije koriste izraz te i m p l i kacije na hrvatskom jeziku. I pak, te veze n isu d i o njezina zn ačenja, n e onaj koj i bi ona trebala prenositi . Č itate lja dakle ne bi trebalo iznenaditi što logičarske i sti nosne tab l ice za "ako" pojašnjavaju m ršavost informacija što i h daje i m ­ plikacijski iskaz: o n n a m kazuje samo to da je ili njegov konsekven s isti n it i l i njegov antecedens n eistin it. To zapažanje je sukladno s ekvivalentnosti AKO, navedenoj u prvom poglavlju među ekvivalentnostim a koje se mogu koristiti kod zamjene, ali koja je tamo samo napola utvrđena. Utvrd i mo je ovdje. Počet ćemo ( rekap itu l i rajući) zdesna nal ijevo:

83

•

Logika

Dokažimo : (p -+ cf! H ( - P v q) *

L L L D D D

*

*

* * * *

*

1 2 3 4 5 6 7 8 9

- pv q -

P

- p -+ (p -+ q) p -+ q q q -+ lp -+ q) p -+ q p -+ q ( - p v q) -+ l p -+ q)

PREM PREM (za Dill TEOREM 3 , 2 MP PREM (za Dill TEOREM 6 , 5 MP 1 , 2-4, 5-7 DIL 1 -8 DI

sada idemo na i m p l i kaciju slijeva na desno: * **

*** ***

*** ***

** ** **

* *

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

p -+ q - ( - p v q) p q - pv q ( - p v q) /\ -p - pv q (- p v q) /\ - - (- p v q) - pv q (p -+ q) -+ ( (p -+ q) H ( -

( - p v q)

( - p v q)

p v q) P V q)

PREM PREM (za RED) PREM (za REDl 1 0 , 1 2 MP 1 3 , TAN 1 4, 1 1 ADJ 1 2- 1 5 RED 1 6 TAN 1 7 , 1 1 ADJ 1 1 - 1 8 RED 1 9 DN 1 0-20 DI 9 , 2 1 ADJ, DEF H QED

(Uočite da je u poddokazima prema reductio korak 1 2 odbačen u koraku 1 6, a korak 1 1 u koraku 1 9 . Redosl ijed u rad u je važa n . ) Rekonstru i rajmo sada ta b l i c u za ' -+ ' u trad icionaln ijem obliku i stinosne tabl i ce. Zatim ćemo konstru i rati istinosne tablice za p reosta la četiri veznika. AKO :

84

p

q

p -+ q

T T O O

T O T O

T O T T

Istino sne

tablice i stabla .

pri čem u T predstavlja "isti n u ", a 'O' "neisti n u " , l i pri čemu nam desn i stupac kaže da "p ---+ q " ostavlja mogućnost da i p i q budu istin iti (gornj i redak), zatim mogućnost da je p neistin ito, a q istini­ to (treći redak), te mogućnost da p bude neistin i to, a q neistin ito (don ji redak), ali i sključuje mogućnost da p bude istinito, a q neis­ tin ito (drugi redak). Ako znamo da je "p ---+ q " isti n ito, ne znamo koje su istinosne vrijednosti njegovih sastavn ica - mogućih kom­ binacija je više. S druge strane, p ---+ q će se smatrati istinitim u svim slučajevima osi m jednog: p T i q O (drugi redak), tada je nei­ stin it; i m p l ikacija je dakle istinosna fu n kcija: ako su nam poznate istinosne vrijednosti antecedensa i konsekvensa, možemo saznati istinosnu vrijednost složenog iskaza 'p ---+ q ' , Prim ijetimo i to da ako znamo da je i m p l i kacija neistinita, pos­ toji samo jedna mogućnost: da je njezin antecedens istin it, a kon­ sekvens neistin it (drugi redak), To opet odražava činjenicu da rad i­ mo s "gol im" i m plikacijama. Reći da je neka i m pl i kacija neistin ita ne znači poreći neku uzročn u i l i drugu povezanost njezina ante­ cedensa i konsekvensa, a ostaviti druge mogućnosti otvorenima; time se tvrdi samo to da je na djel u upravo ona jedna jed i n a mo­ gućnost koju i m p l i kacija zabranjuje: da j oj je antecedens istin i t, a konsekvens neistin it. Istinosna tabl ica za "i", ili 'A', jednostavnija je, Da bi konjunkcija - slože n i iskaz sastavljen s " i " kao svoji m glavn i m vezn i kom - bila istin ita, obje (ili sve) njezine konju n ktivne sastavnice trebaju biti isti­ n ite; i nače je konj u n kcija neistin i ta. =

I:

p

q

T

T O T O

T O O

=

Methods of Logic (New York: Holt, R i n ehart and Win­ 1 950" drugo izd . 1 95 9 . , treće izd . 1 9 7 2 ; četvrto izd . Cambridge, Mass. : Harvard University Press, 1 982), u nastavku Meth­ ods, koristi '.l' za n e i sti n u ; u m nogi m drugi m knj iga ma koristi se T ; w. V. Quine, u ston, prvo izd.

Men i s e najviše svi đa ' O ' zbog pouzdan osti čitanja; ' O ' n e l i č i na T .

85

•

Logika

Prim ijetim o da su istinosne vrijed n osti p i q određene ako je p ;\ q istinito, ali ako je neistinito, onda nisu. Ako je konju nkcija neis­ ti n ita, postoje tri mogućnosti : ili su obje sastavnice neisti nite (donj i redak), i l i je jedna od njih neistinita a druga istinita. " I " je u svakom slučaju istinosna funkcija : ako su istinosne vrijednosti konju nktivnih sastavn ica poznate, možemo saznati i l i doznati istinosnu vrijednost složenog iskaza . Istinosna tablica za "neli je opet jednostavna: ako je iskaz istin it, njegova negacija je neistin ita; ako je iskaz n eistin it, negacija m u je istin ita. Uočite da prihvaćanje ove tvrdnje podrazum ijeva i prihva­ ćanje načela dvostru ke negacije, DN, u ključujući i njegovu spor­ nu sastavn icu : - p � p. -

NE:

P

- p

T

O T

O

B u dući da je, kako se jasno vidi iz tablice, kad god je neki iskaz istin it, njegova negacija neisti n ita, a kad god je neisti nit, njegova n egacija istin ita, m ožemo početi konstruirati isti nosne tabl ice za negacije složen i h iskaza. Prvo dvostruka negacija: P

-p

-- p

T

O T

T O

O

i , ako hoćem o, trostru ka negacija, itd . : P

- p

-- p

T O

O

T O

T

- - -

p

O

T

Prisjeti m o se da ' n e ne . . . ' nije naglašeno ' ne' . Sada ćemo konstru i rati istinosn u tabl icu za negaciju konj u n kcije u kom pj u teraškoj term i n ol ogij i , N I (engl . NAN O ) :

�

86

PA q

PI; m

NI:

T O O

- (p O T T T

T O O O

O T O

A q)

Istinosne tablice i stabla -

Slično tome, k on str u i ra t ćemo istinosnu tablicu za negaciju i m pli­ kaci j e, koj e će se, kako smo već vidjeli, podudarati s istinosnom ta­ blicom za konjunkciju njezina antecedensa s negacijom njezi n a kon­

sekvensa, što je jedini slučaj u koj e m u je implikacija n eisti n ita. Evo i stinosne tablice za NAKO (eng . l'.J I F ) : 2 NAKO :

p

q

p� q

- (p � ql

T T O O

T O T O

T O T T

O T O O

A

A

Kako bismo naglasi l i spomenuto " podu daranje", konstru i rajm o istin osnu tab l icu za p q:

A

p

q

T T O O

T O T O

-

- q

P

T O T T

-

q

O T O O

-

p T T O O

(p

q P � q -P� -q P A -q

Ako spojimo te dvije istin osne ta bl ice, poduda ranje iP q je očito :

T O T O

-

T O T T

-

q

- --

O T O O

T O T T

O T O O

�

q)

Herbert Bohn ert, u Logic: I ts Use and Methods (Wash i ngton, D. C . : U n iversity Press o f A m e rica 1 977), i u svoj i m predavanji ma, uveo je kraticu ' N I F' po ana logij i s ' N O R ' i ' N A N D ' . /" N I F " prevod i m s " NAKO", " N O R " 5 " N J U ", a "NAN D " sa "N J " ; op. prev./ ,

87

•

Logika

Stu pac za - (p � q) izgrađen je "negiranjem " stupca za p � q : stavljanjem O tamo gdje kod p � q stoji T, i stavljanjem T gdje god kod p � q stoji o. Stu pac za - q je izgrađen negiranjem ref­ erentnog stu pca za q, a stu pac za p /\ - q je izgrađen "spajanjem" stu pca za p i stupca za - q; stavljanjem T tamo gdje i kod p i kod - q stoj i T, a d rugdje stavljanjem O. Na kraj u, obrati mo pažnju na dva stu pca za (p � q) i za p /\ - q. Očito je da se točno pok­ lapaj u . Uz pomoć istinosn ih tabl ica utvrdi l i smo ekvivalentnost: -

NAKO :

- [p �

q] � (p

/\

-

q]

Tu smo ekvivalentnost mogl i utvrditi i metodama iz prvog po­ glavlja. Ovako je m n ogo lakše . Sada idemo na i sti nosnu tabl icu za 'v', glavn i vezn i k disj u n k­ tivn ih iskaza. Kao i u prvom poglavlj u , disj u nkcija je isti nita ako je bilo kOj i od njezi n i h disj u n kta isti nit, a i nače je neistinita. lU:

p

pv q

q

ill T O O

T T T O

T

O T O

Ta isti nosna tablica podsjeća na isti nosn u tablicu za i m p l i kaci­ ju, uto l i ko što stu pac za lip v q" sadrži tri T-a i samo jed no o . Isti­ nosna tablica za negaciju disjun kcije pak podsjeća na i sti nosn u tabl icu za negaciju i m pl i kacije : MU:

p

T

T O O

q

pv

O

T T

O

O

T

T

T

q

- ( p v q)

O O O T

Stu pac za (p v q) sadrži samo jedno '1' : tamo gdje su i p i q neisti n iti, to jest, gdje je - p /\ - q i sti nito. Proširimo tu i sti no­ snu tabl icu onako kako smo to uči n i l i za - (p � q) i utvrd i m o još jednu ekvivalentnost : -

88

Istinosne tablice i q

pv q

- (p v ql

-p

- q

- p l\ - q

T O T O

T T T O

O O O T

O O T T

O T O T

O O O T

�

T T O O

stabla .

Stupac za - (p v q) i stu pac za - p 1\ - q i opet se točno po­ klapaj u ; po kazal i smo da stoj i ova ekvivalentnost: - (p v ql B ( - p l\ - ql

N I LI:

Zbog potpu nosti i u rednosti izlaganja, sada se vraćamo vidjeti može li se utvrditi usporediva e kviva lentnost za NAN O. Isti nosna tablica za N I odražava činjenicu da je konjunkcija istin ita samo a ko su joj svi konjun kti istiniti; neistin ita je - a njezina negacija je isti n i ­ ta - a ko joj je bilo koji konjun kt neistin ito Tako, - (p 1\ q) n am go­ vori da ili - P i l i - q. Provjerimo to zapažanje izgradnjom proši rene istinosne tabl ice za N I : q

p l\ q

- (p 1\ ql

-p

- q

- pv - q

T O T O

T O O O

O T T T

O O T T

O T O T

O T T T

m

T T O O

Stupac za :-- (p 1\ q) i stupac za - p v - q su isti; dakle, utvrd i l i s m o ekviva lentnost: N I : - (p 1\ ql B [- P v - ql

Te dVije ekvivalentnosti : N I LI i NI, tradicionalno su poznate kao " De Morganovi zakoni", prema logičaru Augustusu De Morgan u koji je u devetnaestom stoljeću na njih svratio pozornost. Krenimo konačno n a "ako i samo ako", i l i "akko", što p išem o 'B', koj i je glavn i vez n i k ekvivalencije, koj u smo u prvom poglavlju d efi n ira l i kao konjunkciju i m p l i kacije i njezina obrata : PB q

=

def [ (p � ql

1\

(q � pl l DEF B 89

•

Logika

Obrati m o na trenutak pozornost za izraz lako i samo ako ' . 'Akko' je kratica koj u koriste fi lozofi; pri m ij etimo da to nije naglašeno 'ako' n ije n aglašeno 'p � q', 'p ako i samo q ' znači, kao što n i kao što bi se i očekivalo, "p ako q" i lip sam o ako q ". Očito je da desn i konj u n kt, q � p, znači " p ako q ". A l i zašto nam l i jevi kon­ j u n kt, p � q, kaže da lip samo ako q"? M isl i m da je p rirodan način izražavanja lip samo ako q" si m bolima koje smo koristili taj da se taj i skaz rei nterp reti ra prvo kao i m p l i kacija: "ako ne q onda ne q" . Ako vam kažem d a ćemo i ć i p lan i n ariti sam o a k o b u d e sunčano, razu m ij ete me kao da sam rekla da ako ne bude su nčano, neće­ mo ići plan i nariti . Stoga bi se lip sa mo ako q" m oglo sim bol i z i rati kao q � p'. U prvom smo poglavlju međuti m vidje l i da j e q � p, po kontrapoziciji, ekvivalentno i zamjenjivo s p � Cj, kao i to da poredak u konju n kciji n ije važa n . Ekvivalencija p � Cj, p ako i samo ako q, p ako q i P samo ako q, može se dakle p isati kao (q � p) /\ ( q � - p) i l i kao (q � p) /\ (p � q) i l i kao (p � q) /\ (q � p). Svaka od ti h form u lacija j e ispravna; ova posljednja je trad icionalna. Vidjeli smo, također na kraju p rvog poglavlja, da se, ako se pokaže da je ekvivalencija valjana i ti m e predstavlja odnos ekvi­ valentnosti, ona m ože ko ristiti pri zamjen i . [Maloprije sam o kori­ stil i ekvivalentnost: I � � '

,�

�

'�'.

�

�

�

(p � q)

�

( - q � - pl

Kontra pozicija

u izlaganju . ] A l i n isu sve i sti n ite ( i l i pretpostavljene) ekvivalencije valjane (n iti se misli da jesu); "obična" ekvivalencija (Voda na šted­ njaku vrije ako i sa mo ako JOJ j e tem peratu ra 1 00 Celzijevih stu p­ njeva; Ići ću na zabavu ako i samo ako sam pozvana) često se koristi u zaključci m a preko defi n icije : jedna od njezine dvije i m p l i kaci ­ jske sastavnice izvedena j e i z ekvivalencije simplifikacijom i tada se koristi za modus ponens, lanac i l i n ešto drugo. Važno je uvije k i m ati jasno na umu jesu l i tvrd nje što smo i h spre m n i izn ijeti i m pl i kacije i l i ekvivalencije; ekvivalencija, nai m e, iznosi dvije i m p l i kacijske tvrd nje, a i m p l i kacija samo jed n u . p � q dakle ne valja brkati n iti s p � q n iti s q � p (koje, naravno, n a valja brkati n i međusobno). 90

Islinosna tablice i stabla .

Izgrad i m o sada isti nosn u tabl icu za ekvivalenciju i z njezi ne defin icije : P +-'I q

=

def [ (p � ql

p

q

p� q

T T O O

T O T O

T O T T

A

( q � p) ) (p � ql

q�p

T T O T

-

A

( q � pl

T O O T

-

I m amo, dakle, AKKO :

p

q

T T O O

T O T O

Pod pretpostavkom da p akko q , i l i su isti n iti i p i q (gornj i redak), i l i s u i P i q neistin iti (donji redak); p i q su zajedno isti n iti ili zajedno neisti n iti . To se zapaža nje odražava u još jednoj ekvi­ valentnosti što smo je zabi ljež i l i u prvom poglavlj u : AKKO :

(p +-'I ql +-'I [ (p

A

ql v ( - p

A

-

ql l

Č itatelj, ako žel i , može p rovjeriti stoji l i ta ekvivale ntnost bi lo dedu keijom bilo isti nosnom tab l i com . Nadalje, ako n ije slučaj da p akko q (drugi i treći redak isti­ nosne tabli ce za AKKO), to znači da je jedno i sti na, a drugo n ije. Ta ko i mamo još jed n u istin osn u tabl icu za negaciju : NAKKO :

p

q

P +-'I q

- lp +-'I ql

T T O O

T O T O

T O O T

O T T O

91

•

Logika

Ona se, kao i tabl ice za NAKO, N I L I i N I , m ože proši riti tako da dade i d ruge ekvivalentnosti (u ovom s l učaj u tri ) : p

I q

ITl T O O

� (p � ql

- p

- p� q

-q

p� � q

T O O T

O T T O

O O T T

O T T O

O T O T

O T T O

O T O

�!

T T O O

p� q

- p

- q

PA - q

- pA q

O O T T

O T O T

O T O O

O O T O

T O T O

(p A

-

q)

v

( - P A ql

O T T O

Dakle, � (p � ql � ( � p � ql

NAKKO :

�

[p � ql � [p �

� (p � ql � [ (p A

-

ql ql v (

-

P A qJ l

Nadalje možemo pokazati da AKKO :

(p � q) � (- p � � ql

Ekvivalencija nam govori da su dva iskaza jednaka po svojoj isti­ nosnoj vrijednosti ; njihove bi negacije, dakle, također bile jed nake po istinosnoj vrijednosti . Negacija ekvivalencije nam kaže da su dva iskaza razl ičita po svojoj isti nosnoj vrijednosti pa je istinosna vri­ jednost jed n og i stinosna vrijednost negacije d rugog. Istin osne tabl ice mogu se koristiti za izravn u provjeru valjanosti istinosnofun kcijski h zaklj učaka. Izgradi se i stinosna tabl ica za ko­ njun kciju premisa zaključka i odgovarajuća istinosna tabl ica za kon­ kluziju . Ako se pojavi ijedan redak u kojemu se pokaže da su pre­ mise istinite, a konkluzija neistin ita, zaključa k je nevaljan - pronašli smo protu primjer; ako ne, zaključak je valjan. Ispitajmo, primjerice, problem 1 1 -6 iz p rvog poglavlja sa str. 77. Istinosn u tabl icu izgradit ćemo kako sl ijed i : 92

Istinosne tablice i stabla . 1 : Henry će ići na p l iva nj e ( pl ako bu d e l i j e po vrijeme [vl . 2 : Henry neće ići na plivanje ako ostane dokasna u uredu (ul . :. Ako bude sunčano , Henry neće ostati d o kas na u ur e d u .

P2

P1

p

v u

T T T T O O

T T O O T T

PREM /\ P2

KKL

p - p u � - p P1

--

T O T O T O q T [ [I O

�

v�

T T T T O O T T

-u

v �

OK?

-u

--

O O O O T T T T

O T O T O O T T

O T O T T T T T

O T O T O T O T

O T T T O T T T

da

da da da

U svakom retku u kojemu su obje prem ise i sti nite (reci 2, 4, 7 i 8) i konkluzija je istinita . Nasu prot tome, nevaljan zaključak ima bar jedan redak u ko­ jemu su sve premise isti n ite, ali je kon kluzija neistinita. Možemo, na primjer, ispitati i nstanciju "pogreške negacije antecedensa", odgovarajuće pogreške uz modus tollens, kako slijed i : Henry ć e ići n a pliva nje

ako bu d e l ijepo vrijeme.

Vrij e me neće biti lijepo . Dakle, Henry neće ići na p l iv a nje

m T T O O

T o T O

.

P1

P2

v�p

-v

PREM P1 /\ P2

T T O T

O T O T

O T O T

KKL

OK?

�p O O T T

ne

U d rugom retku obje premise su isti n ite, a kon kluzija je neistini­

ta . Moguće je, dakle, da Henry ode na pl ivanje ako je vrijeme lije­ po (Pl ), ali i da, iako vrijeme n ije l ijepo (P2), ipak ode na plivan ­ je (n egacija konkluZije) - zaključa k je, dakle, nevaljan . Taj postupak ispitivanja fu nkcion i ra, a l i može biti izn i m no ne­ zgrapan . Za jednu klasičn u dilemu, kakav je problem 1 1 - 1 1 iz prvog 93

•

Logika

poglavlja, na primjer, trebala bi nam istinosna tablica s 32 retka. Lju­ d i su se dovi n u l i i nekim prečicama. W. V. Quine je smislio m nogo elegantn iju metodu, anal izu istinosn i h vrijed nosti, 3 koja se teme­ lj i na istim defi n icijama te je, kao i isti nosne tabl ice, ogran ičena na zaključke logike sudova. Ja ću pak izložiti varijantu istinosn i h sta­ bala Richarda Jcffreya . 4 Metoda isti nosn i h staba la može se lako proširiti tako da radi i s kvantifikacijskim zaklj učci m a, a dodatna pred nost joj je privlačnost ljudima koji razm išljaj u vizua l no.

I sti nosna stabla

Istinosno stablo je d ijagram koji pokazuje razli­

čite n ači ne n a koje neki iskaz ili konju n kcija iskaza mogu biti istin iti . Jednostavna konjunkcija dva iskaza može b iti i sti nita na samo jedan na­ či n : da obje njezine sastavn i ce budu i stin ite. Konju n kcija se d ijagra m i ra gore-dolje (kao deblo stabla):

I:

I:

Stavke koje se stavljaj u na stablo su "atomarni iskazi" - najjed­ nostavnij i iskazi za dani kontekst - i l i pak njihove negacije. p i\ P se dakle crta kao:

4

94

Methods, prvi dio, peto poglavlje. Richard C. Jeffrey, Formal Logic: Its Scope and Limits (New York: McGraw- H i l l Book Com pany, 1 96 7), prvi dio, pogl. 4 . Metoda koja se preporučuje na neko l i ko sijedeĆih stranica izvedena je iz Jeffreyeva sistema, a l i je pojednostavljena u korist Čitatelja s m i n i m u m om ma­ tematičke profinjenosti . Odvojila sam pravila za dijagramsko pri kazi ­ vanje negacija slože n i h rečenica od četiri osnovna pravila z a d i ja­ gra m i ranje kon j u n kcija, disju n kcija, i m p l i kacija i ekvivalencija - rad i o n i h koji razmišljajU vizualno. U raspravama s učen icima u ovi h mnogo godina naučila sam d a se velik d i o vizualnih prednosti gubi ako se prebrzo uved u pravi la za rad s n egacijom.

Istinosne tablice i stabla .

Ta mogućnost, dakako, n ije realna; p /\ - P je u sebi protu rječno ; pi P ne mogu zajedno biti istiniti. Tu nemogućnost registriramo znakom K: -

To je stabalce zatvoreno. Jednostavna d isju n kcija dvaju iskaza m ože biti isti n ita u jednom od ova dva sl učaja : p v q je isti n ito ako je p i sti nito, a isti n i to je i ako j e q i stin ito. D ijagram s e gra na : ILI:

p

q

Tu nema proturječja; obje su grane otvoren e. Protu rječja nema n i kod dijagrama z a p v p : -

p

- p

Opet su obje grane otvorene. Posljednja su tri mala dijagrama uči n i la vizua lno evidentn i m či­ njenicu da je i skaz obl ika lip /\ p il inkonzisten tan ( n i kako ne mo­ že biti istin it; jedina grana njegova dijagrama istin osnog stabla je " zatvorena, za raz l i ku od on ih kao što su lip V q i l i lip v p ", koje su konzistentni (logički je moguće da budu istin iti; barem jedna gra­ na tih d ijagram a istinosn i h stabala je otvorena). -

-

95

•

Logika

Prim ijeti mo da se riječ 'konzistentan,' koju smo ovdje uveli i koja se (manje-više konzistentno) koristi u logičkoj l iteraturi, po zna­ čenju razlikuje od riječi 'konzistentan', ili 'dosljedan ', u svakodnev­ nom govoru . Otac je dosljedan kad hvali i l i kudi svu svoju djecu zbog istih vrl i na, odnosno prijestu pa. Iskaz je pak konzistentan ako u neki m okolnosti ma može biti isti n it. Istinosna ćemo stabla koristiti u prvom redu za to da vidimo jesu li iskazi i l i konjun keije iskaza konzistentni . Kao d rugo - iako važnije - koristit ćemo i h kao posrednu m etod u provjere valjanosti zaklju­ čaka i teorema, kako bismo otkri l i jesu l i ti zaključci i teorem i va­ ljani . Tre bat će nam još dva osnovna d ijagrama isti nosn i h stabal a : za "ako" i za "ako i samo a ko" . No, prije nego se okrenemo nji ma, da vidimo kako koristiti prva dva za konstrukciju nešto slože n i j i h d ijagrama s kom bin acija ma " i " i " i l i". D ijagram z a (p 1\ q) 1\ ( r 1\ s ) je p q

r s

pri čem u n ij e važan n i poredak n i gru pacija; isto znače i sljedeći d ijagra m i : q p

p

r

s

r s

s r

p

p

q

Dijagra m za (p

p 96

v

q)

v

q

(r

r

s

q

v

q

s) je:

r

s

Istinosne tablice i stabla .

N i tu n ij e važno kako smo ih grupirali; isto znače i ovi :

p

q

r

s

s

r

p

q

itd .

Prvi je najlakše pratiti pa ćemo, a ko nas se spriječi nedostatak prostora, koristiti tu shemu . Treba u pa mtiti da se na istinosno sta­ blo stavljaju pojedina slova i njihove negacije. Kad se, međuti m , pojavljuju i " i li" i "i", grupiranje je važno. Disjunkcija konj u n kcija, (p /\ q) v (r /\ 5) izgledat će ovako:

p

r

q

s

a konju n kcija disj un kcija, (p

v

r)

/\

(r

v

5), ova ko :

A

r

p

AA

q

s

q

s

Uočite razl i k u u shemi ta dva dijagrama : prvi i ma dvije grane, a drugi četi ri. Uzmimo jeda n primjer. Neka je p = Peter ide u kino; q = Qu­ entin ide u k ino; r Rose ide u ki no; s = Susan ide u kino. Pret­ postavi mo da znamo da Peter i Susan idu u ki no. U tom slučaju , =

91

•

Logika

ti nam dijagrami pokazuju da su obje sastavnice istin ite, budući da se p i q pojavljuju zajedno na lijevim granama obaju stabala. Upam­ tite da nam grana govori da iskazi koji se na njoj pojavljuju čine jedan način na koji dijagram i ran i iskaz može biti isti n it. Peter i Quentin i l i Rose i Susan idu u kino (prvi dijagram), ali i : Peter i l i Ro­ se i Quenti n i l i Susan idu u kino, (drugi dijagra m ) . Pretpostavi m o sada da znamo da Quentin i Rose idu u kino. U tom slučaju d rugi dijagram nam govori da je konju n kcija (p v r) i\ (q v s) istinita: q i r se pojavljuju zajedno na trećoj grani stabla. Ali u prvom d ijagra­ mu nema n ijedne grane koja na sebi nosi i q i r, pa nemamo infor­ macija o tome je li (p i\ q) v (r i\ s) istinito. Te dvije sastavnice i maj u razl ičite "uvjete istin itosti", i ta se raz­ l i ka odražava u razlici između njihovih istinosnih stabala: u ta dva slučaja u koj i m a je disj u n kcija istin ita, isti n ita je i konju nkcija, a l i ne vrijedi i obratno. ( U oba dijagrama sve grane s u otvorene; nema negacija koje bi mogle voditi do zatvaranja.) Kakav učinak na stru ktu ru istinosnog stabla ima zatvaranje? Dija­ gramirajmo "isključno i l i ", reci mo, "Mary će jesti pitu od jabuka i l i pitu o d trešanja, a l i ne oboje" : (j v t ) i\ (j i\ t ) . N I n a m kaže da je to ekvivalentno s (j v t) i\ ( j V t). To se može dijagra m i rati na barem dva nači na: -

-

j

t

�

-j X

- t

�

-j

-

t

X

j

X 98

-

t

j

t

X

Istinosne tablice i stabla _

Oba istinosna stabla imaj u samo dvije otvorene grane: (j i v) i (v i j). Ako im žel i m o pridodati još neki iskaz, recimo p, taj će iskaz "visjeti " sa svake otvorene grane, a zatvorene grane će se zane­ m ariti . -

-

t

-

X

i

-

X

t

(Stavljanjem p na zatvoren u gra n u ne bismo dobili n išta; grana bi i dalje bila zatvorena; j /\ j /\ P je jednako nemoguće kao i j /\ -

-

j.)

Sada ćemo napraviti dijagrame za i m p l i kaciju i ekvivalenciju, n o vrati mo s e prije toga na nji hove defin icije istinosnim tab l i cama. Gradeći istinosnu tabl icu za i m p l i kaciju, vidjel i smo da i m p l i kaci­ ja kaže da joj je i l i konsekvens i sti nit i l i antecedens neistinit. Ta se tvrdnja izražava u ekvivalentnosti : AKO :

(p � q)

�

(- p v q)

što se može pokazati, kako smo vidjel i , bilo dedu kcijom bil o isti­ nosnom tab l icom . Dijagra m za p � q stoga je: AKO :

/\

-p

q 99

•

Logika

(To se, prim ijetimo, može crtati i ovako :

/\

q

-p

ali

p

/\

-q

i m a posve drugo značenje; to je dijagram za q � p. ) I stinosna tablica za ekvivalenciju pokazuje da su i l i obje njezine sastavn ice ist inite ili su obje neist i n ite; p B q stoga se crta:

p

-p

q

- q

Možemo provjeriti taj dijagram za e kviva lencij u ako se v rati­ mo na njezi n u def i n i ciju: (p B q)

=

def [ (p � q)

i\

(q � pl l

DEF B

Dijagram za p � q :

/\

-p

q

možemo kombini rati s dijagramom za q � p :

1 00

Istinosne tablice i stabla .

/\

- q

p

pa ćemo dobiti d ijagram za (p

--+

q)

/\

( q --+

p):

A /\ /\ q

-p

- q

p

X

-q

p

X

Ako zanemarimo zatvorene grane, ostat će nam d ijagram s dvje­ ma otvorenim granama.

-p

q

- q

p

Kako smo "predvidjeli", i l i su i P i q neistin iti i l i su i P i q isti n iti.

Sada možemo početi koristiti istinosna stabla za ispitivanje valjanosti zaključaka. Zaključa k je valjan ako je nemoguće da m u s n i m stablom premise budu istin ite, a konkluzija neistin ita. Dijagra m i ramo tu protutvrdnju, kon j u n keiju prem isa i negaciju konkl uzije. Ako sve grane tog istinosn og sta bla budu zatvorene, n ije moguće da protutvrdnja bude istin ita pa je

I spitivanje za­ klj učaka isti no­

1 01

•

Logika

zaklj u čak valjan . Ako istinosno stablo sad rži makar jed n u otvoren u granu, t o j e znak d a je moguće d a premise budu istin ite a kon­ kl uzija neisti n ita pa je zaklj u čak nevaljan . Preostao nam je još dijagram za negaciju kon k l uzije. Negacija se ne da pri kazati slikom. Emanuel Gottl ieb Leutz je nasl ikao kako Wash i n gton prelazi rijeku Delaware. No, pretpostavimo da netko m isli kako Washi ng­ ton n ije prešao Delaware i htio to nasli kati . Što bi nasl i kao? U mjesto da pokušamo iznaći nači n dijagra m i ranja negacije, okren imo se istinosn im stab lima. Negacije koje smo tamo već pro­ našli sada prikažimo kao popis ekviva lentnosti : DN: -- p NAKO : - (p � q) NI: - (p /\ q) - (p v q) NIU: NAKKO : - (p B q) - (p B q) - (p B q)

B B B B B B B

P

(p /\ - q) (- p v - q) ( - P /\ - q) (p B - q) ( - p B q) [ (p /\ - q) v (- p /\ q) ]

Pri ispitivanju valjanosti zaključka prvo iznosi mo prem ise, a zati m i negaciju kon kluzije u simboličkom obl i ku . Navedene ek­ vival entnosti koristimo da bismo internalizirali negaciju (vidi desne strane ekvivalentnosti; znakovi "ne" su u n utra); svaki iskaz zati m d ijagramiramo. Nakon toga dijagra m i ramo protutvrdnj u ; to jest, d ijagra m i ramo konju n kciju tih iskaza, rad i preglednosti prvo stavljamo jednostavn ije i "uže" konju n kte, kao i one koj i se očito "tu ku ", kako bismo izbjegl i suvišna grananja. Sada tražimo otvorenu gran u . Ako otvorena grana postoji, protutvrd nja je konzistentna pa je zaključak nevaljan . Ako su sve grane zatvorene, protutvrd nja je in konzistentna pa je zaključak valjan . Ponovi mo: pri izgradnji istinosnog stabla za složeni iskaz i l i kon­ j u n kciju takv i h iskaza, koristi mo sljedeća osnovna pravila:

102

Istinosne tablice i stabla .

AKO

ILI pv q p q

pB q

p� q

/\ /\ -p

q

p

AKKO

q

p

-p

q

- q

No, prije nego može m o pr i m ijen iti ta pravila, m oramo priprem iti iskaze za d ijagrami ranje tako što im inte rnalizi ram o negacije, onoliko koliko je moguće, tako da se znakovi "ne" odnose samo na pojedina slova. Kod te pri preme služimo se ekvivalent­ nosti ma za negaciju, popisanima gore. Alternativno bismo osim ta četiri osnovna pravi la za istinosna stabla mogl i koristiti J effreyev drugi n iz osnovni h pravi la koja se odnose na negacije složen i h iskaza, 5 kako slijed i : N I LI - ( p v q) q - PA

NI - ( p A q) - pv - q

-

/\

-p

-q

NAKO - ( p � q) PA - q

-p

p

- q

- q

NAKKO - (p B qJ (p A qJ v (- P A qJ -

p

-p

-q

q

Taj d rugi skup pravila je zgodna prečica; zasn iva se na ekvivalent­ nostima za negacij u i primjenj iv je čim te ekvivalentnosti jasno shvatite. Ta četi ri pravila internalizaciju negacije ne čine suvišnom, ali skraćuju posao. Postupak pripreme iskaza za dijagram i ranje prije nego što se mogu unijeti u istinosno stablo ima određenu praktičnu važnost, jer ni iz iskaza našeg običnog jezika ni iz njihove simboličke Vidi Jeffrey, str. 72. 1 03

•

Logika

formulacije nije neposredno jasno kako će izgledati njihovi dija­ grami. Istinosna stabla ne oslikavaju izravno ni implikacije ni negaci­ je složenih iskaza, i stoga su potrebne dVije značajne vrste zamje­ njivanja. Prvo, budući da istinosno stablo predstavlja 'ili', a ne 'ako' ('v', ne '-4'), kad se dijagramira implikacija antecedens te implikacije mora se na stablu zamijeniti njegovom negacijom. Tada se zapra­ vo pozivamo na ekvivalentnost IF, a negacija koja je u impli­ kacijskom iskazu bila implicitna sada se eksplicira u njezinu dija­ gramu istinosnog stabla. Drugo, uvijek kad želimo dijagramirati negaciju složenog iska­ za, prvo ga moramo zamijeniti njemu ekvivalentnim iskazom u kojemu je negacija u potpunosti internalizirana. U obje vrste si­ tuacija, proces pripreme za dijagramiranje mora se provesti paž­ ljivo. Ekvivalentnosti za negaciju korisne su ne samo za negiranje kon­ kluzije, nego i za dijagramiranje premisa kad su negativne ili sadrže negaciju, bilo eksplicitno bilo implicitno. Vidjeli smo kako to funk­ cionira u slučaju "isključnog ili"; obratimo posebnu pažnju na to kako funkcionira kod implikacija sa složenim antecedensima. U prvom poglavlju pokazali smo da je zaključak:

Ako kiši ili s niježi škola će biti zatvorena. Kiši. Dakle. škola će biti zatvorena, .

valjan. Provjerimo ga sada istinosnim stablom. Prvo ćemo ga for­ malizirati. Neka je k Kiši. Neka je s Sniježi. Neka je z Škola će biti zatvorena. =

PREM 1: PREM 2:

=

(kv sl -4 z k z

Sada formuliramo negaciju konkluzije:

104

=

Istinosne tablice

i stabla.

[kvsl�z k -z

PREM 1: PREM 2: - KKL:

Prva premisa sadrži "implicitnu negaciju" - ekvivalentna je s - (k

v s) v z. U skladu s pravilom istinosnih stabala za AKO, dijagram prve premise će imati dvije grane, jednu za negaciju anteceden­ sa, a jednu za konsekvens. Što ide na granu "antecedens"? Kako bi to bilo posve jasno, pogledajmo ekvivalentnost NILI. Vidjet ćemo da se - (k v s) mora zamijeniti svojim ekvivalentom - k

/\

-

s. Kad

smo tako internalizirali negaciju, izradit ćemo sljedeće istinosno stablo: - z

-

k

KKL

PREM 2

-k

z

-s X

X

l

PREM 1

O bje se grane zatvaraju pa je zaključak valjan. Primijetimo da je stablo posve jasno označeno kako bi pokazalo odakle dolazi što. Jednako dobro bi poslužio i sljedeći dijagram, iako je ponešto ne­ zgrapan:

-k -s

k X

z

k -z X

l

PREM 1 PREM 2 - KKL

105

•

Logika

Prije nego što raspravimo o tautologijama - teoremima log i ke istinosn ih fun kcija - pogledajmo kako izgleda dijagram nevaljanog za ključka. Prvo, pogreška afirmacije konsekvensa - naziva se "pogreška " jer je nevaljana i može se zabunom držati za modu s ponens, koj i je valjan . Pokazat ćemo da je

nevaljano. PREM 1: PREM 2: � KKL:

p�q q �p � KKL

�p

PREM 2

q

�p

q

t

t

PREM 1 nevalj ano

gdje strelice svraćaju pažnju na otvorene grane. Taj je obl ik zaključ­ ka nevaljan. Stablo pokazuje dvije otvorene grane; ustvari, sve su mu grane otvorene. I samo jedn a otvorena gran a pokaza la bi ne­ valjan ost - mogli smo stati na pola c1ijagra miranja prve pre mise i opet bismo pokazali što smo htjeli:

10&

Istinosne

-

p

- KKL

q

PREM 2

tablice i stabla .

PREM 1

-p

t nevaljano

Pogledajmo, radi ilustracije pogrešne upotrebe pravila SIMPli­ fikacije, još jedan n eva ljan zaključak: Ako skočim sa balkona i mahnem ujaku. ozlijedit ću se, Dakle. ako mah­ nem ujaku. ozlijedit ću se. (s 1\ ul � o

PREM:

� (s 1\ ul v o (�sv �ulv o

�

KKL: KKL:

u� o

� (u� 01 u

1\

-

-o

t

prema NAKO

o

u

-s

prema AKO prema NI

]-

KKL

-u

o

H

H

PREM

nevaljano

Malo b i ljud i pomisl ilo da je taj primjer valjan, ali bi "druga" kon­ klu zija: "Ako skočim s balkona, ozl ijedit ću se", mogla predstavljati veće is kušenje, i a ko je jednako pogrešn a, budući da je "izvede­ na" iz iste prem ise i na isti način - nepažljivom krivom upotrebom

SIMPlifikacije,

107

•

Logika

Istinosno stab l o ispituje valjanost zaključka tako što ispituje konzistentnost njegove protutvrdnje: ako je protutvrdnja - tvrdnja da su prem ise istinite, a konkluzija ne istinita - inkon zistentna, zaključak j e va ljan . Ako je protutvrdnja konzistentn a, ako n e po­ stoji n ijedna m ogućnost da bude istinita, zaključak je nevaljan. (Ot­ kriti i jedan jed i n i način na koji protutvrd nja m ožda m ože biti istini­ ta znači otkriti protupri mjer za taj zaključak.) Ispitivanje zaključaka istinosn i m stab l i m a je indirektna m etoda. Pretpostavljamo da su premise zaključka istinite, a konkluzija neis­ tinita i tu pretpostavku detaljno d ijagram i ramo. Ako se rezultat isti nosno stabl o - zatvara s ekspl icitni m proturječjem na svi m grana­ ma, pokazal i smo logičku nemogućnost te pretpostavke i ostvari l i svoj ci lj: za klj u čak j e valja n .

Tautologije

Glavno uporište rasprave u prvom poglavlju b i l o j e raz l ikovanje zaključaka od i m pl ikacijski h is­ kaza. Zaključak polazi od premise i dolazi do konkluz ije i (pored ostalog) tvrd i da konkl uz ija pouzdano sl ijedi iz premise . Odgovarajućom im-

p l i kacijom iznosi se nešto slabija tvrdnja: ako pre m isa, onda kon­ k l uzija; i l i stoji kon k l uzija ili prem isa ne stoji . Nače lo d okaza po i m p l i kacij i omogućuje n a m koristiti valjan zaključak za opravdanje (slabi je) tvrdnje da je njegova odgovarajuća i m p l i kacija istinita. Razl i ka između zaključaka i iskaza odražava se u term i no l ogi­ ji koju smo koristi l i. Za zaključke kažemo da su valjani i l i nevaljani. Za iskaze - uključujući i implikacije - kažem o da su isti n iti ili neisti­ n iti. Zaključak je valjan ako udovoljava logičk i m kriterij i m a. Iskaz je isti n i t ako je onako kako se u njem u tvrd i. Ako že l imo utvrd iti jesu li iskaz i , poput "Kiši" i l i "Ako kiši, navlače se oblaci", i sti n iti, trebam o zaviriti kroz prozor, a n e u knj igu iz l ogi ke. Istinosno sta­ blo zaključka nas međuti m tjera da na n je m u odgovaraju ću i m p l i­ kaciju gledamo na ponešto drugačiji način. Protutvrdnja, kojom is­ p itujem o za ključak, u pravo je negacija odgovarajuće i m p l i kacije. 108

Istinosna tablica i stabla.

NAKO: (PA

-

qJ � - (p� qJ

Ako, dakle, istinosno stablo pokazuje da je protutvrdnja inkonzis­ tentna te je stoga zaključak valjan, ono istodobno pokazuje i da je negacija odgovarajuće implikacije inkonzistentna pa sama impli­ kacija nikako ne može biti neistinita. Drugim riječima, ono pokazu­ je ne samo to da je odgovarajuća implikacija istinita, nego i da ne može biti drukčije. Utoliko je prikladno proširiti pojam valjanosti tako da se odnosi i na iskaze i na zaključke. Iskaz će se smatrati valjanim ako ne po­ stoji mogućnost da bude neistinit, ako je istinit bez obzira na okoJ­ nosti, bez obzira na istinosne vrijednosti svojih sastavnica. (Govoriti o zaključku kao "istinitom" ili "neistinitom" pritom je i dalje nepra­ vilno - teško je zamisliti što bi to značilo. Premise i konkluzije mogu biti istinite ili neistinite, ali ne i sam zaključak.) Korisno je moći izdvojiti one složene iskaze koje su valjani. To su tautologije logike istinosnih funkcija, teoremi logike, "sadržaj" ako nešto takvo postaji - logičke kulture. Kako bismo otkrili koji su složeni iskazi valjani, koji su tauto­ logije, možemo koristiti istinosne tablice: njihove tablice imaju 'T' u svim recima. No, vratimo se sada metodi istinosnih stabala.

Ispitivanje iskaza istinosnim

Kad nas se upita je li dani iskaz valjan, čini se da imamo prirodni poriv - kojemu se valja odupri­ jeti - da ga počnemo dijagramirati. Uzmimo, na

stablom

primjer, zakon isključenja trećeg, p

Y

-

p, koji

smo utvrdili u prvom poglavlju. Dijagram njegova istinosnog stabla izgleda ovako:

p

-P

109

•

Logika

što je izn imno nein formativno. On nam govori samo to da je logič­ ki moguće da p v P, budući da mu se grane ne zatvaraju . Pret­ postavi m o sada da u mjesto toga dijagram i ramo P v - P sku pa s njegovo m n egacijom - (p v p), koja, prema NILI, postaje - p ,,-- p. -

-

-p

--p

p

-p

X

X

To se stablo zatvara; ti me nam ono govori nešto, a l i ne ono što smo htjel i znati. Govori nam sam o to da su p v P i njegova negacija međusobno i n konzistentn i - što je isti na za svaki iskaz i njegovu n egacij u . Ako ga pak ozn ačimo ovako : -

-p --p

]-

KKL

p

-p

X

X

PREM

to nam pokazuje da se p v - p m ože valjano deduci rati iz sebe samog . I opet se pogrešan postu pak pokazuje neinforrnativn i m . Al i , podsjetimo s e da je metoda istinosn ih staba la u osnovi neizravna m etoda, jedna verz ija red uctio ad absurdum. Dijagra­ m i raj mo - samo negaciju iskaza p v p, dakle - (p v p), što prema NIU daje - p " -- p : -

110

-

-

Istinosne tablice i stabla .

-p --p

X

I

A to stabalce pokazuje da je p v - p va ljano! U prvom poglavlju nam je trebalo barem osam koraka - i nešto dom i šljatosti - da utvrdimo isti rezultat. (Možda se, međutim, dobro prisjetiti da meto­ da istinosn ih stabala u sebi im a ugrađenu od ređenu količinu logi­ čkih i nform acija - uključujući i sedam ekvivalentnosti za negaciju.) Ta se metoda sada može koristiti za ispitivanje valjanosti zaklj uča­ ka i iskaza, neizravno va ljan osti a izravno konzistentnosti . I isti no­ snim tablicama se može ispitati valjanost i konzistenost iskaza, ali to je često dosta nezgodno. Č itatelju bi sada trebalo biti jasno da se dvije opće metode što smo ih koristili za utvrđivanje valjanosti zaključaka u logici iskaza slažu; ispitivanje i ded ukcija daju iste rezu ltate. To jest, za svaki se zaklju­ čak koj i se na ispitu istinosn i m stablom (i l i istinosnom tablicom) pokaže valja n i m može i dedukeijom pokazati da je va lja n . Svaki zaklj učak za koj i postoj i ispravna ded ukcija proći će i na ispitu va­ ljanosti istinosn i m stablom (i l i isti nosnom tablicom). Za svaki će se složen i iskaz koji se dedukcijom može utvrditi kao teorem , pokaza­ ti da je tautologija (njegova će isti nosna tablica imati "isti n u" za isti­ nosne vrijednosti svih njegovih sastavnica, a istinosno stablo za nje­ govu negaciju će se zatvoriti); i obratno. Tu, međuti m, tvrdnju - da se ded ukcija i ispitivanje slažu - još ni u kom slučaju n ismo utvrdili. Ta tvrdnja n ije izrečena u logici prvog reda, nego o logici prvog reda te joj valja dati potporu radom na "metalogici" u neko d rugo vrije­ me, na nekom drugom mjestu. Poput pitanja konzistencije i pot­ punosti, koja smo spomen u l i u prvim od lomcima prvog poglavlja, ali se n ismo pokušavali uhvatiti u koštac s nj i m a, to ćemo pitanje od ložiti za d rugu prigod u. Prije nego nastavimo s problem ima za te metode, možda će biti dobro ponoviti dio terminologije što smo je uveli u ovom dijelu. 111

•

Logika

Svi valjani iskazi (istiniti u svakom slučaju, istiniti u svakom retku svojih istinosnih tablica) su istiniti (istiniti u retku koji predstavlja stvarnu situaciju u svijetu, s obzirom na svoje sastavnice). Svi su istiniti iskazi konzistentni (možda istiniti, istiniti u barem jednom retku). Svi su inkonzistentni iskazi (neistiniti u svakom retku) neis­ tiniti (neistiniti u retku koji predstavlja stvarnu situaciju u svijetu); svi neistiniti iskazi su nevaljani (neistiniti u barem jednom retku, možda neistiniti). Svi su, dakle, valjani iskazi konzistentni (ali ne i obratno), a svi su inkonzistentni iskazi nevaljani (ali ne i obratno).

Podsjetnik uz drugo p ogl av lje Osnovne istinosne tablice:

AKO:

p T T O O

NE:

-pT O

1 12

T O T T

T O T O

-p O T

ILI:�

I: p /\ q

p�q

q

T T T

T

O O O

AKKO: p T T O O

q

T O T O

O pBq T O O T

Istinosne tablice i stabla.

Osnovna istinosna stabla:

PA q

pvq p----t q q p p� -� ILI

I:

AKO

q

p�q AKKO

-p -q

p q

Pomoćna pravila za istinosna stabla

-(pA -(pv -(p----t -pv-q -PA -q PA - qq) P � I�q -p -q 1-q NI

q)

NILI

q)

NAKO

-(p� A -q) vq)(- P A q) NAKKO

(p

-P (l -q q

Internaliziranje negacije

Negacija složenog iskaza uvijek se može zamijeniti ekvivalentnim iskazom koji nije negacija. Koristimo sljedeći popis ekvivalentnosti za negaciju:

•

Logika

-- p

B

- (p� qJ

�

(p A - qJ

- (p A qJ

�

- (pvqJ

�

DN: NAKO:

- (pBq)

B

(- pv - qJ (- PA - qJ (p� - q)

- [pBql

B

[ - pBql

- [pB ql

B

[[PA - q) v [- PA ql]

NI: NILI: NAKKO:

P

Kad smo i n ternal izira l i negaciju, svak i slože n i iskaz i l i konjun­ kciju iskaza možemo dijagram irati, koristeći samo naša četiri osnov­ n a pravila. o ekvivalentnosti i ekvivalenciji

Ekvivalencija, iskaz obl i ka: to i to ako i samo ako tako i tako

ili

pBq

defin ira se kao konj unkcija dvije i m p l i kacije: to i to ako tako i tako

to i to samo ako tako i tako

Stoga, ( p B q)

=

def[[p � ql A (q� pl]

DEF �

Ekvivalentnost se defi n i ra kao valjanost ekvivalencije . Dvije iskazne forme - pa tako i dva iskaza - su ekvivalentne ako je utvrđeno (ded u keijom , isti nosnom tablicom, ist i n osn i m stab l i m a i l i na koj i drugi način) kao teorem da između njih stoji ekv ivalencija. Za utvr­ đivanje ekvivalentnosti dedukcijom ( i l i ist i nosn im stablom), potreb114

hitinosne tablice i stabla.

ne su dvije dedu kcije ( i l i dva istinosna stabla), po jedna u za svaki smjer, kako bi se utvrdile dvije im plikacije koje se zatim združuj u . Ako žel imo utvrd iti ekvivalentnost istinosnom tabl icom, trebamo samo pokazati da su tabl ice za oba iskaza potpuno iste u svim re­ cima; važno je da se te dvije isti n osne tablice naprave prema istoj referentnoj listi. Takve se ekvivalentnosti mogu, kad je to potreb­ no, citi rati kao korak u dokazu.

Ekvivalentnosti koje se koriste pri ZAMjeni Apsorpcija:

[p� (pA qll

E ks port a cija :

[(pA

Kontrapozicija: Komutativnost: Asocijativnost:

ql �

rl

(p� ql

�

[p� (q� rll

(p � ql � (-

(p � - ql �

q� (q �

- pl - pl

(pA ql � (qA pl

(pv ql � (qv pl [pA (qA rll [pv (qv rll

R edundantnost :

�

� �

HpA qlA rl [(pv qlv rl

(pA pl � P

(pv pl � P

AKO :

(p� ql� (- pv ql

AKK O :

(p� ql � (- p� - ql

D istri bucij a :

(p� ql� [(pA

ql v

(- PA - qll

� [(pA q) V (pA rll � [(pv qlA (pv rll [p� (qA rll � [(P� qlA (P� rl) [p� (qv rll � [(P� qlv (P� rl) {(pv ql� rl � ((p� rlA (q� rl! [pA (qv rll

[pv (qA rll

!rpA ql� rl � [(p � rlv (q� rll

115

•

Logiki Prvi i drugi dio ovih problema mogu se napraviti

Problemi uz drugo poglavlje

nakon uvoda u drugo poglavlje i materijala o i sti­ nosnim tablicama (str. 82-94). Treći dio se može napraviti nakon što se obradi uvod u istinosna stabla (str. 94-108), a četvrti dio na kraju, nakon

dijela o tautologijama. I.

O negaciji. 1. Može li postojati situacija u kojoj su i neki iskaz i njegova negacija istiniti? Ako može, dajte primjer. Ako ne može, objasnite.

2. Može li postojati situacija u kojoj su i neki iskaz i njegova negaci ja neistiniti? Ako može, dajte pri mjer. Ako ne može, objasnite. Za sve sljedeće iskaze nađite negacije. Počni te tako da ga for­ malizirate, zatim definirajte kratice (samo pojedina slova). Formulaciju negacije započnite ovako: Na hrvatskom, Nije slučaj da ... U Simboli ma, �

[ ..J .

Zatim upotrijebite ekvivalenci je za negaciju kako biste inter­ nalizirali negaciju pa ispišite rezultat na običnom jeziku. Tre­ bali bi ste doći do nedvosmisleni h rečenica na govornom hrvatskom.

3 . Ali ce će ostati kod kuće i neće ići na posao samo ako bude vrlo jako kišilo ili ako cesta bude zatvorena.

4. Mary zanima glazba, a Alice zanima likovna umjetnost, dok Noru ne zanima ništa od toga.

5. Ujak George će otići na sastanak ako i samo ako ode i ujak Henry.

6. U Los Angelesu je bio zemljotres, a u St. Louisu poplava. 7. Ako bude jako kiši lo i Glavna ulica poplavi, zatvorit će se

banka i željezari ja.

1 16

Istinosne tablice i stabla 8.

_

George i Alice žele ići na skijanje, ali George želi ići a Alice ne želi.

I I. Korištenjem istinosnih tablica pokažite da vrijede tri ekviva­ lentnosti iz Podsjetnika uz ovo poglavlje: 1 . Apsorpcija:

lp -+ (p A q)] B (p -+ ql

2. Kontrapozicija:

(p -+ql

3.

B (- q -+

-

pl

IpA (qv rll B [(pA qJ V (p v rll Distribucija: Opet koristeći istinosne tablice pokažite da vrijede sljedeći teoremi:

4. (pA - pl -+ q 5.

(pA ql -+ (p v qJ

6. (p -+ r) -+ [(P A q) -+ rl

I I I. Ispitajte valjanost sljedećih zaključaka istinosnim stablom. Ako imate pitanja o ispravnosti svojih rezultata, provjerite ih u isti­ nosnoj tablici. Napravite barem jednu provjeru istinosnom tablicom. 1 . Ako Peter napravi zabavu doći će Quentin ili Rose. Ako dođu Quentin i Rose, bit će pjesme. Dakle, ako Peter napravi zabavu bit će pjesme. 2. Ako Peter napravi zabavu doći će Quentin i Rose.

Ako dođu Quentin ili Rose, bit će pjesme. Dakle, ako Peter napravi zabavu bit će pjesme. 3.

Ako Peter ode u Albany, posjetit će djeda. Ako Peter ode u New York, sudjelovat će u paradi. Dakle, Peter će ili posjetiti djeda ili će sudjelovati u paradi.

4. Ako Peter ode u Albany, posjetit će baku.

Ako ne ode u Albany, sudjelovat će u paradi. Dakle, Peter će ili posjetiti baku ili će sudjelovati u paradi. 5.

Henry je rođen u Philadelphiji ili u San Franciscu. Henry je rođen u San Franciscu.

Dakle, Henry nije rođen u Philadelphiji. 117

•

Logika

6 . Henry nije rođe n i u San Franciscu i u Philadelph i j i. Henry je rođen u San Franciscu . Dakle, Henry nije rođen u Ph iladelphiji. 7. Ako Al ice ode i u trgovi n u i kod mesara, i m at će sve što

treba. Al ice će ići kod mesara ako ode u trgovi n u . Dakle, ako Al ice o d e kod mesara i m at ć e sve što treba.

8. Ako Henry želi da baka bude zadovoljna mora dobiti peticu iz francuskog. I\ko kani dobiti peticu iz francuskog neće im ati vremena za košarku . Ako ne b u d e i m a o vrem ena z a košarku bit ć e u depresiji. Ako bude u depresiji baka neće biti zadovoljna. Dakle, baka neće biti zadovoljna. 10 . Ako George n e posudi Henryju 50 dolara ako ga to Henry zamol i, Henry će biti razočaran . Henry n eće biti razočaran. Dakle, Henry će zamoliti Georgea da m u posudi 50 dolara. 11 . Henry će biti razočaran ako m u George ne posudi 50 dolara ako ga to Henry zamol i. Henry neće biti razočaran. Dakle, George će posuditi Henryju 50 dolara.

12. Vladine statistike su pouzdane i troškovi života su pa l i ili su novi nski izvještaju pouzdani a nezaposlen ost je skočila. Ni vladine statistike n i novi n ska izvješća nisu pouzdani. Dakle, ekonom ija je zbu njujuća.

13 . I\ko su vladi ne statistike pouzdane, troškovi života su pali, a ako su n ovi nski izvještaju poudani, nezaposlenost je skočila. Ni vlad i n e statistike ni novinska izvješća n isu pouzdan i. Dakle, troškovi života nisu pali i nezaposlenost n ije skočila. 118

IstinDsne tablice i stabla.

IV. Koristeći istinosna stabla odlučite jesu li sljedeći iskazi tau­

tologije (istinosnofunkcijski valjani). Svoje odgovore provjerite istinosnom tablicom. 1.

Nije slučaj da ako kiši ne kiši.

2.

Nije slučaj da kiši i ne kiši.

3. Ako se škola zatvori ako bude sniježilo, onda se škola

neće zatvoriti ako ne bude sniježilo. 5.

Ili će se škola zatvoriti ako bude sniježilo ili se škola neće zatvoriti ako bude sniježilo.

6. Ako uzmem kišobran neću staviti šešir ako i samo ako ne

uzme m kišobran ako stavim šešir.

119

3.

poglavlje

Ocjena zaključaka

Vidjeli smo da se zaključku može pristupiti na bar dva različita nači­ na: dedukcijom (prvo poglavlje) i postupkom provjere (drugo poglavlje). Premise zaključka možemo shvatiti ozbiljno, pretpostaviti da su istinite i pokušati iz njih deducirati predloženu konkluziju, korak po korak, prema pravilima. Ili pak možemo statički ispitati zaključak i koristiti se jednim od sistematskih postupaka provjere (istinosnim tablicama, istinosnim stablom ili nekom drugom meto­ dom) kako bismo otkrili je li logički moguće da premise budu isti­ nite a konkluzija neistinita. Postupak provjere što smo ga preporučili u drugom poglavlju je indirektan: pretpostavljamo protutvrdnju, dijagramiramo pretpostavku istinosnim stablom i gledamo posto­ ji li otvorena grana - je li zbilja moguće da premise budu istinite a konkluzija neistinita. Sustavnim radom na istinosnoj tablici ili isti­ nosnom stablu možemo naći protuprimjer za svaki predloženi zaključak ili teorem, ako takav postoji. I jedan i drugi pristup imaju i prednosti i nedostataka. Deduk­ cija nam više razjašnjava, jer se njome pokazuje zašto zaključak funkcionira, ako funkcionira, i na koja se načela izvođenja poziva. Dedukcija se oslanja na ljudsku domišljatost u iznalaženju dokaza i utoliko vježba um. Osim toga, postoje i složeni zaključci koje se ne da ispitati1 ; takvim se zaključcima sustavno možemo baviti samo Takvih zaključaka nema ni u logici iskaza ni u (monadičkojl logici pre­ dikata, to jest u materijalu kaji pokrivaju prvi i drugi dio ove knjige. 121

•

Logika

dedukcijom. Dedukcija, međutim, ima očit nedostatak da se njome ne utvrđuje nevaljanost - čovjek može uzalud potrošiti pu no vre­ mena i energije pokušavaj ući dokazati nešto što ne stoji. Postup­ cima provjere, tamo gdje su pri mjenj ivi, izbjegava se takav uzal u ­ d a n rad . A izbjegava se j o š n ešto : upotreba lju dske domišljatosti ondje gdje može poslUŽiti i ne-u m n a ruti n a. Mehan ički postupci mogu dati odgovor da i l i ne na pitanje je l i neki zaklj uča k valjan. A i metoda istinosnih stabala, budući da je indirektna, može biti in­ formativna uto l i ko što će, a ko je dani zaključak neva ljan, njegovo istinosno stablo dati protupri mjer. I nd i rektni postupci ispitiva nja nam mogu razjasn iti zašto neki zaključak ne fu n kcion i ra ako ne fu n kcion i ra, gdje su mu " rupe " . Vod eći, dakle, računa o prednosti m a i nedostaci m a t a dva pri­ stupa, koristit ćemo ih u tandemu. Istovremeno, radit ćemo i na jednom od dugoročnih ciljeva proučavanja logike: učiti prepoznati, brzo i u određenoj mjeri pouzdano, valjan i nevaljan zaključak. Sto­ ga ćemo za svaki zaključak, čim ga vidimo, prije ispitivanja i pokuša­ ja dedu kcije, gledati i m a li on za nas nekog sm isla. Nakon toga ćemo koristiti isti nosna stabla i (možda) dedukciju kako bismo pro­ vjerili svoje i ntuicije. Prou čavanje pojed i n ih zaključaka trebalo b i poučavati ne samo deduktivni m teh n i kama i tehn ikama ispitivanja, n ego, što je važn ije, razm išljanju.

Prvi korak u ocjeni zaključka je izlaganje njegove stru ktu re. U tome je sm isao korištenja si m bola. Dosad smo uve l i pet simbola za pet vezn i ka istinosn i h funkcija: �, /\, V, i H; za "da kle" smo koristil i ' . . . ', kao uvod u konk l uziju zaklj učka; a kao kratice za rečen ice koristil i smo pojedina slova. Zasad će to biti dovoljno. Uoš smo i numeri ral i premise i korake u dedukciji , te smo uve l i sistem zvjezd ica koj i m smo prati l i prem ise koje su u igri - a l i to s u pitanja knjigovodstva, koja imaju m a l o veze s početnom ocje­ nom zaključka.)

Izlaganje strukture

-

122

Ocjena zaključaka.

Počnimo s definiranjem kratica - ako postoji ikakva mogućnost višeznačnosti, činimo to eksplicitno. Svako pojedino slovo je kra­ tica čitave rečenice - čak i kad izvorni izraz na hrvatskom jezi ku "teleskopira" - ispušta dijelove rečenice radi grupiranja - ili koristi jednom ime, a drugi put zamjenicu. U problemu 111.1 drugog po­ glavlja, primjeri ce, imamo premisu: "Ako Peter bude radio zaba­ vu, Quentin i Rose će doći." Prikladne kratice mogle bi biti: Neka je p Neka je q Neka je r

=

=

=

Peter radi zabavu. Quentin dolazi na zabavu. Rose dolazi na zabavu.

što kao drugi izraz prve premise daje 'p � (q v r)', Pritom 'p' ne stoji umjesto "Peter", niti 'q' umjesto "Quentin", niti 'r' umjesto "Rose"; sva slova predstavljaju gore popisane iskaze. Ako nam 's' bude "Bit će pjesme", naš ćemo zaključak formulirati ovako: p� (qv rl (q /\ rl � s p� s

Kako je čitatelj već vjerojatno i sam uočio, zaključak 111.1 se pokazao nevaljan i m. To jest, možemo naći protu primjer, situaciju u kojoj premise ostavljaju mogućnost da Peter napravi zabavu na koju dođe Quentin, ali ne dođe Rose (ili dođe Rose ali ne dođe Quentin) i na kojoj n e bude pjesme; u tom slučaju konkluzija bi bio neistinita . D a j e taj zaključak b i o ovakav: Ako Peter napravi zabavu, doći će Quentin i Rose. Ako Quentin i Rose dođu na zabavu, bit će pjesme. Dakle, ako Peter napravi zabavu, bit će pjesme.

što je jednostavnije utoliko što su konsekvens prve premise i ante­ cedens druge premise isti pa bismo mogl i koristiti druge kratice koje odražavaju tu jednostavnost. Mogle bi to biti:

123

•

Logika

Neka je p Neka je w Neka je s

=

=

=

Peter radi zabavu. Qu e ntin i Rose dolaze na zabavu. Bit će pjesme.

- što su tri slova, a ne više četi r i kao u d rugom poglavlju. D rugim riječima, oda brane kratice moraju biti dostatne da i zraze stru ktu ru zaključka, u ovom slučaju: p -+ w W -+ S p-+s

ali ne bi smjele, barem u pravi lu, uvoditi nepotrebnu složenost. Naš jedn ostavniji zaklj učak je, naravno, očito valja n i instancija je pra­ vila lanac. Jedno upozorenje: čak i kad se to č i n i očitim rješenjem , n ikad ne stavljajte negativni i skaz u kraticu. Razlozi za to n isu načelni, nego praktičn i. Ako se 'q' koristi u mjesto "Quentin ne zna igrati te­ nis", neobično se lako zaboravlja na "ne" pa se 'q' ponekad koristi umjesto "Quentin zna igrati te n is" i čovjek se tako može gad no zbuniti. Kad smo odred i l i potre bne kratice, možemo tražiti logičku struk­ turu zaključka, o kojoj će ovisiti uspjeh ili neuspjeh zaključka. Sa­ da na mjesto "malih riječi", "logičkih riječi" n eform alno izražen og zaklju čka stavljamo odgovarajuće vezn i ke istinosn ih fun kcija, ako je potrebno parafrazi ram o i n amjerno zanemaruje mo retorička u ljepšanja koja bi mogla p rikriti strukturu zaključka. Vezn ika je u običnom jeziku puno - m n ogi su gotovo isti po svojem značenju - i ponekad su višeznačn i. Logičkih je vezni ka, koji se izražavaj u s i m bol i m a, n aprotiv malo i jednozn ačn i su. I to je revolucionarni doprinos moderne sim boličke logi ke. Upotreba k ratica i varijab l i je stara, barem kol iko i Aristotel; u potreba si mbola za jasno defi n i­ rane l ogičke pojmove je relativno nova, u sedam n aestom ju je sto­ ljeću inicirao Leibn iz, a u devetnaestom su je razvili Boale, De Mor­ gan , C. S. Pei rce i drugi. Rezu ltat je taj da sada znamo artikuli rati

124

Ocjena zaključaka.

strukturu naših zaključaka, radi logičke ocjene i razumijevanja. Da bi se to dobro naučilo potrebna je vježba i bistrina. Već smo vidjeli da implikaciju moramo simbolizirati pažljivo; poanta je u tome da se točno pazi što je antecedens, a što kon­ sekvens. "Samo ako" ne valja brkati s "ako" ili "ako i samo ako". Budući da to znači "ako ne q onda ne pil, 'p samo ako q' se piše ' ' ' kao q � p ili kao kontrapozicija p � q - među ta dva zapisa nema razlike i možemo pisati onako kako nam se sviđa ili kako nam odgovara. Logički poredak, nadalje, ne valja brkati s jezi­ ' ' čnim poretkom; primjerice, 'q, ako p je isto što i 'ako p, q ; tj. 'p '-

-

' �q .

jedno od "retoričkih uljepšanja" koje treba zanemarivati je naglašavanje kontrasta koje prenose riječi poput 'iako', 'međutim', 'naprotiv' ili 'pak', 'a' i 'ali'. Čitatelj je možda primijetio da su se izrazi 'premise su istinite, a konkluzija je neistinita' i 'premise su isti­ nite i konkluzija je neistinita' na ovim stranicama javljali često i bez međusobnog razlikovanja. 'Ali', 'a' i 'i' kao veznici nezavisnih rečenica za naše su potrebe međusobno zamjenjivi; sve ih sim­ boliziramo kao'/\'. 'Osim ako' je sinonimna s 'ako ne'. Mnogi udžbenici logike preporučuju čitanje 'osim ako' kao 'ili'; to je prikladno ali podrazu­ mijeva nešto logičke sofisticiranosti koju ne treba odmah uzeti zdra­ vo za gotovo. Potrudimo se pokazati da q � P i P v q imaju istu istinosnu tablicu te su stoga uvijek međusobno zamjenjivi. (primjer: bit ćeš kažnjen, osim ako budeš tiho; bit ćeš kažnjen ako ne budeš tiho; ako ne budeš tiho bit ćeš kažnjen; bit ćeš tiho ili ćeš biti kažnjen; bit ćeš kažnjen ili ćeš biti tiho.) -

p T T O O

q T O T O

-q O T O T

P T T O O

pv q T T T O

Čitatelj sada može čitati 'osim ako' kao 'ili' ili kao 'ako ne', kako mu drago.

125

•

Logika

Brojn i su rečenični veznici i nizovi veznika koj i se ne mogu promatrati istinosnof u n kcijski . Jedan od njih je protu činjenična (ili kontrafaktična) imp l i kacija (da je p bilo ovako, q bi bilo tako), o kojoj postoji opsežna filozofska Iiteratura .2 Kon­ trafaktična (ili protučinjenična) impli kacija je "impl i kacija" za koj u se zna da joj je antecedens neisti nit a konsekvens je izrečen pogod­ beno lu hrvatskoj gramatici, to je irealna pogodbena rečenica; op. prev.!; na primje r,

Veznici koji nisu istinosno­ -funkcijski

Da je Eleanor Roosevelt živjela u Kini u osamnaestom stoljeću, vezivali bi joj stopala. Da je Leigh Cauman bila dječak, ne bi bila išla u Školu za djevojke Horace Mann. Da je silicij plin, ja bih bio general major.3 Da su Bizet i Verdi bili sunarodnjaci, Bizet bi bio Talijan. Da su Bizet i Verdi bili sunarodnjaci, Verdi bi bio Francuz.

(Dva posljed nja su Quineovi primjeri.4) Sm isao takvih iskaza je u tome da oni tvrde da je ono što nji­ hov konsekvens izriče, uzročno i l i na drugi nač i n, ovisn o o istini­ tosti antecedensa . Drugim riječima, kontrafaktična impli kacija tvrdi upravo one uzročne i druge veze koje smo s mu kom izbaci li iz raz­ matranja . Ako se ta kav iskaz interpretira kao obična implikacija, mora ga se smatrati isti nitim neovisno o konsekvensu, bez daljnjeg istraživanja, jednostavno zato što mu je antecedens ne isti nit. To, međutim, navod i na krivi put. Kontrafaktične implikacije ne treba 2

Nelson Goodman, "T he Problem of Counterfactual Conditionals",

journal od Philosophy, vol. 44 (1977), str. 113-128, i u raznim pretisci­ ma, s mnogim komentarima. Također, Methods, prvi dio, treće poglav­ lje, i Jeffrey,

op. cit. , str. 50-52.

Ovo je citat Jamesa McNeilla Whistlera, u razgovoru, govoreći o či­ 4

126

1852. Methods, prvo izd., str 15; četvrto izd., str 23.

njenici da je ispao s West Pointa

Ocjena zaključaka

•

interpretirati kao implikacije, baš kao što se optuženike za kazneno djelo ne sm atra kr i m i nalcima. Zbog sa t i m povezan ih razloga, 'zato' i njegovi sinon i m i, čak i kad i maju f u n kciju rečeničn ih veznika, ne smiju se smatrat i isti­ nosnofu n kcijsk i m vezn icima. "Prošla sam na ispitu jer sam dala jabu ku učite lju" je očito neistin ito ako n i sam dala jabu ku u čitelju i oč ito neist i n ito ako n i sam prošla, a l i za slučaj u kojemu su obje sastavn ice ist i nite, ambiciozni sastavljač istinosne tabl ice će bit i u nedou m ici jer nema dovoljno osnova za odl u ku o i stinosnoj vri­ jednosti cijelog složenog iskaza. U kontekstu logi ke iskaza prvog reda, rečen i ce obl i ka "p zato što q" se, ako se uopće m oraj u si m­ bolizirati, simboliziraju jednim slovom, recimo 'b'. 'Budući da', za razl iku od 'zbog', obično se ne javlja kao veznik u n ezavisn i m rečen icam a. Nji m e se uvodi prem isa zaključka, baš kao što 'dak le' iJi 'stoga' uvode kon kluziju . 'Ili . . . ili ' često j e zbu njujuće na jedan drugi nači n . Za ta j s e izraz često misli da i ma konotaciju isklju čnog "il i " pa time određuje smisao rečenica u koji ma se javlja. Ali tomu je rijetko tako. Znače­ nje isklj učnog "il i " - simbol izirano '(p v q) /\ (p /\ q)' obično se prenosi kontekstom, gestom, ili podizanjem glasa, a ne riječima ' i l i . . . i l i'. (Možeš dobiti sladoled ili tortu, i to je to", pri mjerice . "Mo­ žeš dobiti sladoled i l i tortu, a l i ne i jedno i drugo" bi bilo jasn ije.) Funkcija 'ili ... ili' (kao i ' i i') obično je stavljanje sastavn ica slo­ žene rečen ice u zagrade zbog gru piranja. Pozoran čitatelj već je shvatio da se zagrade: ( ) - uglate zagrade: [ L i vitičaste zagrade: { } - u logici koriste kao u algebri, za gru pi­ ranje i l i pakiranje, kako bi se pojasn i la stru ktura složenog izraza. U običnom jeziku zagrade se najviše koriste da se nešto stavi na stran u - izrazi i li rečenice koje prekidaju tok rasprave. Vidi odlomak prije ovoga za primjere tih slučajeva. Vidi također odlomak o zagradama u podSjetniku uz ovo poglavlje . Reče nicu : -

-

. . .

John će svirati ili John će pjevati i Mary će pjevati.

127

•

Logika

Qu i ne5 č i n i jednoznačnom teleskopiranjem: John John

će svirati ili pjevati i Mary će pjevati. će svirati ili John i Mary će pjevati.

Rečenicu je moguće učiniti jednoznačnom (u ovom slučaju mnogo manje elegan tno) i umetanjem 'ili . .. i l i', koje se ponekad može povezati s promjenama u poretku riječi u rečen ici: Mary će pjevati i ili će John svirati ili će John pjevati. će svirati ili će i John i pjevati i Mary pjevati.

John

'Il i . . . ili' služi za ograđivanje do kojega dolazi između dvije riječi, i označava taj materijal kao l ijevu sastavnicu d isju nkcije. Slično tome, 'i . . . i' zagrađuje l ijevu sastavnicu konjunkcije. Jasno je da nijedno od tih sredstava ne može ukazati na to gdje završa­ va disjun kcija, odnosno konjunkcija . I 'Niti . . . n iti' zagrađuje n a isti nači n . Osi m toga, ti m se izrazom po­ jašnjava jedna neobična jezična "činjen ica": da je logička struktura NIL! - značajno različita od NI i NAKO - ugrađena u uobičajenu jez­ ičnu uporabu. Ako gledamo samo riječi, očekivali bismo da se "Niti će Mary ići niti će George ići " ("N iti će Mary ići n iti će ići George) intu itivno očita kao negiranje d isjun kcije: " Neće ići ni Mary n i George", " Nije slučaj d a će ići Mary i l i George", u simbol ima, ,­ (m v g)'. "Niti će Mary ići n iti će George ići" zapravo b i se vjerojat­ nije čita l o izravno kao "Mary neće ići, a ni George" pri čemu je glavn i vezni k "i", u simbolima, m /\ g'. Budući da nam NIL! kazuje da su sva ta čitanja ekvivalentna, dobro će biti bilo koje. '-

5

UB

Methods,

-

prvi dio, četvrto poglavlje, te Rješenja zadataka

Ocjena zaključaka • U kompliciranim rečenicama običnog jezika po­ nekad nije odmah jasno kOji je veznik glavni, a koji sporedni. Ima u tome važnosti, jer glavni veznik rečenice određuje njezinu ukupnu struk­ turu - hoće li se klasificirati kao implikacija, ne­ gacija, konjunkcija, disjunkcija ili ekvivalencija - te tako određuje koje će načelo izvođenja biti na nju primjenjivo. Modus ponens, na primjer, govori nam da se implikacija - iskaz čiji je glavni veznik '--*' - može koristiti kao premisa, zajedno sa svojim antecedensom, te da se njegov konsekvens može deduci­ rati kao konkluzija. Dokaz po implikaciji nam, obratno, govori da se implikacija može utvrditi ako se njezin antecedens uzme kao premisa, a konsekvens se deducira. Konjunkcija - iskaz čiji je glavni veznik '1\' može se koristiti pri SIMPlifikaciji, a može se i utvrditi ADJunkcijom. Disjunkcija - iskaz čiji je glavni veznik 'v' može se koristiti pri DILemi ili ELIMinaciji a može se utvrditi TANjenjem. Negacija - iskaz čiji je glavni veznik ,�, može se utvrditi REDuc­ tiom ad absurdum i koristiti na mnogo načina, između ostalog u DN, Modus tollensu i ELiMinaciji. Korisno je stoga jasno prepoznati glavni veznik u rečenicama koje ulaze u zaključke koje želimo razumjeti. Pozabavimo se još jednom zaključkom iz prvog poglavlja (vidi str. 39 i dalje.).

Pronalaženje glavnog veznika

-

Ako Henry bude primljen, studirat će ekonomiju i studirat će bolnički menadžment. Dakle, Henry će studirati bolnički menadžment, a ako bude primljen studirat će ekonomiju.

Pretpostavimo da smo ovlaš pogledali zaključak i imamo dojam da je valjan jer premise i konkluzija, kako se čini, govore otprilike isto. Neka 'p' predstavlja "Henry je primljen"; neka 'e' predstav­ lja "Henry će studirati ekonomiju"; neka 'b' predstavlja "Henry će studirati bolnički menadžment". Uzmimo da je premisa konjunkcija te joj je glavni veznik "i". Formalizirat ćemo je:

129

•

Logika

(p ----') el

1\

b

Taj je zaključak očito (pa čak i trivijalno) valjan, prema komuta­ tivnosti 'I\', što potvrđuje naš prvi dojam. Na premisu se, međutim, može gledati i drukčije. Mogli bismo je shvatiti kao implikaciju s konjunktivnim konsekvensom, te bi njezin glavni veznik bio !Iako", a ne !li". U tom slučaju formalizirani zaključak izgleda ovako:

Da bi taj zakljuČ3k bio valjan, svaka konjunktivna sastavnica nje­ gove konkluzije mora neovisno jedna o drugoj slijediti iz premise. Doduše p ----')e i slijedi iz p ----') (e 1\ b), ali b sigurno ne slijedi, budući da implikacija ne jamči istinitost ni svojeg antecedensa ni svojeg konsekvensa. Zaključak je, dakle, nevaljan. Tu ćemo prosudbu potvrditi istinosnim stablom:

-

PREM: KKL:

- p v (e

1\

prema AKO

bl

-lbl\( p----')eJ

- bv (p----') ej - b v (p 1\ - ej -

prema NI prema NAKO

]

-p

;b -�\ l -e X

-b X

PREM

-e ]

p

-

KKL

X

nevaljano 130

Ocjena zaključaka.

Pouka te priče je da moramo jako paziti kad određujemo glavne vez n i ke u iskaz i m a s kojim a radi mo jer ta odredba za sobom nosi važne posljedice. U ovom primjeru, p remisa je bila izrečena više­ značno. Ta se višeznačnost u hNatskom može lako izbjeći, inter­ p u n kcijom lli teleskopi ranjem : Ako Henry bude primljen. studirat će ekonomiju i bolnički menadžment.

kako je prem isa i izložena u pNom poglavlju, gdje je cilj bio i l u ­ stri rati pogrešku nedopuštenog ponavljanja u danoj ded u kcij i . Pri odgovornom zaključivanju, u kontekstu , takve višeznačnosti valja izbjegavati. Nažalost, običn i jezik gotovo neizbježno podra­ z u m ijeva višeznačnost; s ispravnom formalnom notacijom to nije slučaj . Pažljivom u potrebom zagrada možemo i h izbjeći (o zagra­ dama vid i u podsjetn iku uz ovo poglavlje i za PNO poglavlje).

Sada prelazimo na stvarn u ocjenu zaključaka. S tim ćemo se baviti kratko; kao i prepoznavanje strukture, ocjena zaključaka je, naime, uglavnom stvar vježbe i oštroum lja što pripada učeniku, a ne učitelju. I pak, i tu vrijedi dati neke sugestije. PNO, često je korisno reorganizirati zaključak (barem u glavi) u poznati obl i k i l i u obl i k koj i nam se sviđa. Neki uče n ici vole elim i­ naciju d isju n kcije, drugi pravilo lanca; neki vole d i lem u , drugi reductio. Ponekad se zaključa k može reorgan izirati jednostavnom promjenom poretka premisa, ponekad korištenjem ove i l i one poz­ nate ekvivalentnosti: kontrapozicije, apsorpcije, AKO, NAKO, itd . Na primjer, a ko je zaključa k zadan ovako:

Ocjena zaključaka

Ako je Joe znao za sastanak. planirao je doći. Joe nije planirao doći ili mu je pobjegao vlak. Ako je Joeu pobjegao vlak. doći će kasnim autobusom.

131

•

Logika Dakle, ili Joe nije znao za sastanak ili će doći kasnim autobusom.

1 z�P 2 �pvv V�a

3

�zva

može ga se reorga n izirati u ovaj o b l i k: �pvv � p��z

(Ako Joe nije planirao doći, nije znao za sastanak. l

V�a

PREM 2 PREM 1, prema kontrapozjciji PREM 3

.. �zva

a to izgleda kao d ilem a i vidi se da je valjana. Isti b i se zakl jučak mogao reorga n iz i rati i ovako : PREM 1 PREM 2, prema AKO PREM 3

z�p p�v V�a ..

KKL, prema AKO

z�a

što je jedan valjan lanac. I jed na i druga reorganizacija čin i valja­ nost očiglednom, a ocjen u lakom. Drugo, ponekad je moguće otkriti "rupe" u zaključ ku i odre­ d iti što je potrebno da se te rupe popu ne. Ako se to može u č i n i ­ ti legitimno, zaklj u ča k je valjan , a k o ne može, n ije. Vratimo se, pri mjerice, na problem 111.1 drugog poglavlja : p�(qvrl (q 1\ rl � s

. . p� s Za konstrukciju uspješnog l anca nedostaje "srednja" prem isa: p� (qv rl

d od an o : 132

(qv rl

�

(ql\ rl

Ocjena zaključaka •

..

p� s

Rezultat umetanja srednje premise je valjan lančani zaključak. Međutim, nemamo razloga vjerovati da ako bilo Quentin bilo Rose odu na zabavu, da će ići i Quentin i Rose. (Riječ 'bilo' i izraz 'i . i' ovdje smo koristili zbog naglašavanja, a ne grupiranja.) To je umetanje dakle nedopušteno i zaključak koji smo ocjenjivali je nevaljan. Međutim, zaključak 111.2 je izgledao ovako: . .

p-4 (ql\ rl (qv rl -4 s

. . p-4 S Da popunimo rupu treba nam premisa (q 1\ r) -4 (q v r), što je tau­ tologija. Ako Quentin i Rose idu na zabavu, sigurno ide bar jedno od njih. P -4 (q 1\ rl

dodano (teorem):

(ql\ rl-4 (qvrl (qvrl-4S

.. p-4 S

Zaključak 111.2 je dakle valjan. Otprilike istu razliku možemo vidjeti i kod 111.3 i 111.4. 111.3

8-4 d n-4p

.

.

111.4

dv P 8-4 b

.

.

- 8-4 P bv p

I jedan i drugi zaključak trebaju prvu premisu, disjunkciju, kako bi zadobili poznati oblik dileme. 111.3 treba a v n. 111.4 treba a v-a. Nema razloga da pretpostavimo a v n; a v - a je tautologija. 111.3 133

•

Logika je dakle nevaljan, a (ali?) 111.4 je valjan. Čitatelj je vjerojatno već shvatio da metoda istinosnog stabla potvrđuje te rezultate. Uočimo da je nevaljan zaključak karakteristično inkonkluzivan: premise ne daju dovoljno informacija da zajamče istinitost kon­ kluzije. Nevaljan zaključak nije sličan pogrešci u aritmetici, koja se može ispraviti zamjenom krivog odgovora pravim. Kod upotrebe nevaljanog zaključka najčešće se ne događa da smo izveli krivu kon­ kluziju, nego da smo izveli konkluziju iz premisa koje uopće ne garantiraju (netrivijalnu6) konkluziju. Već smo zapazili da je jedna od prednosti istinosnih stabala to što kad pokazuju da je zaključak nevaljan ona istodobno daju i pro­ tuprimjer. V ratimo se još jednom na problem 111.1. Njegovo isti­ nosno stablo moglo bi izgledati ovako:

PREM 1: p---+ (qv rl PREM 2: (q1\ rl ---+ s KKl: -KKl:

p ---+ s p 1\ - S

p -5

-p q K

-

KKl

r

M

-q-r K t

l

prema NAKO

M

-q-r K t K s

PREM 1

s

PREM 2

K nevaljano

6

134

"Trivijalna kon kl uzija" u ovom kontekstu je konkluzija koja se može izvesti iz samo jedne premise, bez d rugi h .

Ocjena zaključaka •

I mamo dvije otvorene grane, iz koj ih m ožemo i ščitati dva pro­ tu primjera: p A - S A q A - r i p A - S A r A - q. Kon kluzija zaključka m ože biti neisti nita jer prem ise ostavljaju mogućnost da Quentin dođe na za bavu bez Rose i da Rose dođe na zabavu bez Quenti na. Metoda istinosnog stabla ima još jednu zani m ljivu prednost koja opet proizlazi iz njez i na fokusa na inkonzistentnost. Ispitujući jedan zaklj uča k s dvjema prem isama, zapravo ispitujemo tri zaključka odjednom: izvo rn i zaključak i dva druga zaklj učka, od kojih sva k i kao prem isu ima jednu od izvorni h premisa i negaciju izvorne kon­ kl uzije, a kao konkluziju i ma negaciju druge izvorne pre m ise. Kad otkrivamo da su te tri iskaza među sobno i n konzistentna (il i konzis­ tentna), otkrivamo da bilo koja dva od njih i m pl iciraju ( i l i n e impli­ ci raju) negaciju onog trećeg. Drugi m riječi ma, stablo što smo ga maloprije izn ijeli pokazuje neva ljanost tri zaključka : onog s koj i m smo krenuli, a osi m njega i: Ako Peter napravi zabavu. doći će Quentin ili Ros e.

(P1J

Peter će napraviti zabavu ali neće biti pjesme.

(- KKLl

Da kle. Quentin i Rose će doći na zabavu ali neće biti pjesme.

(- P2)

Peter će napraviti zabavu na kojoj neće biti pjesme.

(- KKLl

Ako Quentin ili Rose dođu na zabavu. bit će pjesme.

(P2J

Dakle, Peter će napraviti zabavu, ali neće doći n i Quentin n i Rose.

(- P1J

Ista dva protuprimjera (naravno, bio bi dosta i samo jedan ) oba­ raju sva tri zaključka. Prema premisama svakog zaključka logički je moguće da Peter napravi zabavu, da ne bude pjesme i da dođu Quenti n i l i Rose, al i ne oboje; i u jednom i u d rugom slučaju kon­ kl uzija će biti neistin ita. Klj uč nevaljanosti sva ta tri zaklju čka je u tome da dolazak Quentina ili Rose na zabavu ne jamči da će doći oboje - n iti da (ekvivalentno) nedolazak Quentina ili Rose jamči da neće dođi onaj d rugi . 135

•

Logika Ova ekonomija ispitivanja valjanosti ta tri zaključka istodobno - općenitije rečeno, ekonomija ispitivanja inkonzistencije, a ne ispi­ tivanja valjanosti - više je puta u povijesti filozofije budila teorijski interes. Ona je, primjerice, osnova teorije antilogizma, koju je na prijelomu stoljeća pronašla Christine Ladd-Franklin i koja zamje­ njuje nespretna pravila koja su se tada koristila pri ispitivanju kate­ goričkih silogizama.? Profesorica Ladd-Franklin je svaki silogizam korelirala s njegovom protutvrdnjom, ili antilogizmom, konjunkci­ jom njegove dvije premise s negacijom njihove konkluzije, a zatim je osmislila iznimno jednostavan test kojim se odlučuje predstav­ lja li takav antilogizam uistinu inkonstistentno trojstvo. Ako da, iz­ vorni je silogizam valjan. Nadogradnja Ladd-Franklininog antilogi­ zma može se vidjeti u Quineovoj posrednoj metodi ispitivanja zaključaka u logici predikata u prvom i drugom izdanju Methods. Ispitivanje inkonzistentnosti umjesto ispitivanja valjanosti često re­ zultira zanimljivim uštedama. Osim toga, prepoznati inkonzisten­ tnost protutvrdnje je ponekad lakše nego prepoznati valjanost ili nevaljanost zaključka. Još jedna ponekad korisna strategija ocjene zaključaka je ma­ knuti na stranu ono što izgleda kao irelevantan detalj, kako bi se došlo do glavnog zaključka i zatim njega ocijenilo. Ta se strategi­ ja, naravno, mora koristiti oprezno, jer se ono što u prvi mah izgle­ da kao irelevantan detalj može pokazati važnim. Možda bi bilo dobro dati i primjer:

Moja teta Ellen traži naočale. Ako ih ne bude mogla naći (n) neće moći čitati telefonski imenik (čl, a ako ne bude mogla čitati telefonski imenik neće moći nazvati sestru u Los Angeles (sl. No dobro, reče ona sama sebi, imala sam naočale kad sam jutros za doručkom u kuhinji čitala novine (dj, pa sam ih ili ispravno odložila u etui za naočale (e) ili ih još nosim (J) ili sam ih ostavila u kuhinji (kl. Vidim da je etui za naočale prazan (p): nisam ih odložila. Znači mora da su u kuhinji. Odlično, evo ih na kuhinjskom stolu: našla sam ih. Dakle, sada mogu nazvati sestru. 7

Christine Ladd-Franklin, "On the Algebra of Logic", u Charles Sanders Peirce, ur.: Studies in Logic članova sveučilišta John Hopkins (Boston: Little Brown,

13&

1883).

Ocjena zaključaka _ Tu i m a m o nešto pripovijedanja i dva zaklj učka, oba manjka­ va, a l i svaki na svoj nači n . Prvo :

d 1\ [e v i v kJ o o

p 1\ k

-

8

Kad stavi m o d i P na stranu kao i re levantne, dobivamo glavn i za­ ključak: 8V

iv k

- 8 o

o

k

Taj zaklj učak fu n kc i o n i ra pre m a E L i M i n aciji i izgl edao je valjano u kontekstu p riče . Ali pogled na tako izloženu stru kturu jasno po­ kazuje da

nije valjan, jer teta

E l len nije spome n u l a da više ne nosi

naočale. I st i n osno stablo za cijel i zaklj učak to potvrđuje :

- 8

J

- k

- KKL

p

d

i

8

k X

t

X

PREM 2

1

PR� 1

nevaljano

Sada zaklj učak m ožemo popraviti dodavanjem p rem ise koja n edostaj e :

-

i

-

č i m e ističem o da je teta El len znala da nema na­

očale na nosu iako to n ije rekla, čak n i u se b i . Grci su to naziva l i "enti m e m " - "valjan " zaključak koj i b itn o ovisi o pre m isi koja n e ­ dostaje a koja se " podrazu m ijeva". Takve zaklj učke n ije uvijek lako 131

•

Logika

popraviti : prem ise koje nedostaju možemo ne znati, a važne s u . Kad u zaklju čku koristimo disjunkciju, b i l o u DILemi ili kod ELIMi­ nacije, moramo paziti da obradimo svaku disj u n ktivn u sastavn icu disj u n kcije. I d rugi je zaključak očito nevaljan .

.. s

Pošto smo u oči l i lančan i za klj u čak kod p rve dvije p rem ise i i rele­ vantnost k, zgusnut će mo ga u :

s

Taj glav n i zaključak je očigledno pogrešan , i primjer je pogreške negiranja a n tccedensa, odgova raj uće pogreške modus tol lensa. I opet će istinosno stablo (ili istinosna tabli ca) cijelog zaklju čka potvrd iti tu ocjen u .

Završavajući ovo poglavlje, željela bih ponoviti dio materijala iz prvog poglavlja koji će čitatelju trebati za rješavanje problema u trećem po­ glavlju . Te će p robleme trebati rješavati dedu kcijom samo u on i m slučajevima kad su se iskazi ili zaključci ispitivanjem pokazal i valjan ima. Devet osnovnih načela izvođenja sugeriraju četiri korisne strategije :

Strategija ded u kciji ---���-

u

---

( 1 ) Da bi se dokazala i m p l i kacija, treba uzeti njezin antecedens

kao prem isu i pokušati dokazati njezin konsekvens.

138

Ocjena zaključaka . (2) Da bi se dokazala negacija nekog iskaza, treba uzeti taj iskaz

kao premisu i pokušati izvesti izravno p rotu rječje. (3 ) Da bi se koristi la disj u n kcija, treba kao premise uzeti svaki

njez i n disj u n kt odvojeno i pokušati i zvesti zajed n i čku kon kluziJu . (4) Ako ste n eodl učn i, pokušajte s reductiom . Kao prem isu

uzm ite izravnu negaciju onoga što žel ite dokazati, te plan i rajte na kraju koristiti DN s reductiom . Uvijek, međutim , valja i m ati na u m u da je dedu kcija stvar ljudske dom išljatosti . Uvijek ima m n ogo način a da se izvede dedukcija, i nji hov je odabir, barem djelomično, stvar u kusa. Osobito, ne sm iju se zaboravljati četiri pomoćna pravi la: pravi lo lanca, modus tol lens, nekonju n kciJa i el i m i nacija disj u n kcije. E l i m i nacija je, n a primjer, često prikladn ija od d i leme. Osi m toga, treba upamtiti da dedu kciju, kad je jednom napra­ vimo, nije potrebno raditi iznova; posebnu pozornost tako valja pri­ dati dvama nače l i m a izvođenja koja su osm išljena upravo zato da se njima olakša upora ba već stečen i h logičk i h i nformacija. To su načela TEOREM i ZAMjena. Kratki popis teorema i nešto dulji popi s ekviva lentnosti n aći ćete u podsjetn iku uz treće poglavlje. Tom popisu čitatelj m ože pridodati i one koje je sam utvrdio. Pravilo TEOREM nam omogućuje kao korak u dokazu umetn uti supstiticijsku instanciju bilo kojeg već utvrđenog teorema. Ponekad je zgodno kao teorem citi rati tautologiju za koju smo sigurni da jest teorem i utvrditi je sa strane. Kad se citira na početku dokaza, teo­ rem nema zvjezd ica, a l i kad se citi ra drugdje un uta r dokaza i m a ono l i ko zvjezdica kol i ko to nalaže njegov položaj. Kao opravdanje teore ma ne smije se citi rati d ruge korake u dokazu u koj i m a se on koristi. Načelo ZAMjene dopušta zamjenu e kvivalenata u bilo kojem tre n utku dedu kcije. Iako je pojedina ekvivalentnost koja takvu za­ mjen u opravdava, naravno, teorem, ona se obično ne javlja kao korak u dedukciji. No, onome tko dedukciju čita pomaže ako tu ekvivalentnost citiramo, pored načela ZAMjene, i to ako je moguće po imenu (vi d i korak 6 dolje). Rezultat ZAMjene sl ijedi iz ran ijeg 1 39

•

Logika

koraka koji je po svemu isti kao i on , osi m u pogledu zamjene; rani­ ji korak mora biti u igri i m ora se citirati . Evo pri mje ra dedu kcije koja koristi ova sredstva : Ako je danas srijeda ili petak, M a ry ima sat glazbe. Ako M a ry ima sat glazbe ili termin kod zubara , n e moze i grati košarku .

{1

Dakl e , ako Mary igra koša rku , danas nije petak. *

(s vpJ � g

PREM

2 ( g v zJ � - k

Dokažimo:

k

�

-

p

Pri osmišljava nju te dedukeije odmah ćemo iskoristiti načelo ZAM­ jene, još prije nego krenemo na posao. Primjećujemo da kon ­ trapozicija tražene kon kl uzije - to j est, "Ako je danas petak, Mary neće igrati košarku " - kako se čin i , očito slijedi iz premisa. Naša će strategija stoga biti prvo dokazati taj iskaz, to jest dokazati : p � k, što je ekvivalentno s k � p te tako ZAMjenjivo s k � - P (vidi korake 5 i 6 dolje). -

{

1 ( s vpl � g 2 (g v zl �

Dokažimo: k � *3 *4 *5 *6

-

k

PREM

p

p � ( s vpl g � (g v zJ p� -k k � -p

-

TEOREM TEOREM 3 , 1 , 4 , 2 lANAC 5 ZAM (kontrapozicij a , DN) QEO

Za taj očigledno valjan zaključak mogl i smo pokazati da je va­ ljan i ded ukcijom u kojoj bi koristi l i samo devet osnovni h pravi la ­ ali takva bi dedukcija bila mnogo dulja. Č itatelj možda više voli neku d rugu shemu zaključka, možda red uctio i l i modus tollens u mjesto lanca. Općen itom strategijom dokaza po i m p l ikaciji, na primjer, 140

Ocjena zaključaka .

*

{

1 (s

v

pJ � g

2 (g

v

z) � - k

Dokažimo: k � ** 3 ** 4 ** 5 ** 6 ** 7 ** 8 ** 9 ** 1 0 * 1 1

-

PREM

P

k -- k - (g v zJ - gA z - g - (s v p) -SA -p -p k� - p -

PREM (za Dil 3 DN 2 , 4 MT 5 ZAM ( NILI) 6 SIMP 1 , 7 MT 8 ZAM ( N I LlJ 9 SIMP 3-1 0 DI DEO

Podsj etn i k u z treće poglav lje Načela izvođenja

Modus ponens (MP) : Iz i m p l i kacije, uzete zajedno s

antecedensom, njezi n konsekvens slijedi kao kon k l uzija. Dokaz po implikaciji (DI ) : Iz ispravnog izvoda kon k l uzije iz

prem ise (ili skupa pre misa) kao odgovarajuća i mplikacija sli­ jedi sumarna kon k l uzija: ako premise onda konkluzija. SIMPlifikacija: Iz konj u n kcije sl ijedi sva ka njezina konj u n ktivna

sastavnica. ADJ u n kcija: I z bilo koj i h iskaza koje su u nekom tren utku u igri

u dedu kciji slijedi nji hova konju n kcija. 141

•

Logika REDuctio ad absurd u m : Iz ispravnog izvoda izravnog

protu rječja iz prem ise, kao su marna konkluzija slijed i nega­ cija te premise. Dvostruka negacija (DN): Iskaz i njegova dvostruka negacija su

međusobno zamjenj ivi , i kao koraci stavnice tih koraka.

u

dedu kcij i, i kao sa­

D i lema: Ako je zadana disj u n kcija, i ako se za svaki od njez i n ih

disj u n kta odvojenom dedu kcijom (Iemom) pokazalo da vode k istoj konkluzij i , onda iz disj u n kcije sl ijed i ta ko nkluzija. TANjenje: I z svake disj u n ktivne sastavn ice neke disj u nkcije

slijedi

ta

disj u n kcija.

PONOVI : U toku dedu kcije uvijek je ispravno kao korak u

dokazu ponoviti svaku premisu koja je u igri , kao i sva k i korak u dokazu čija je premisa u igr i . LANAC: Iz dvije (i li više) i mplikacija u koj i ma je ko nsekvens

jedne i mpl ikacija antecedens sljedeće, slijedi i mpli kacija čiji je antecedens prvi antecedens, a čiji je konsekvens posljednji konsekve ns. Modus tollens (MT) : Iz i mpli kacije, uzete zajed no s negacijom

njezina konsekvensa, sl ijedi negacija njezina antecedensa. NeKONjun kcija: Iz negacije konj unkcije, uzete zajedno s

jednom sastavn icom te konj u nkcije, slijed i negacija d rugog konj unkta. EliMi nacija: Iz disj u n kcije, uzete zajedno s negacijom neke

njezine disjun ktivne sastavnice, sl ijedi ostatak disj u nkcije. TEOREM : Svaka utvrđen a supstitucijska i nstancija teorema

može se uvesti kao korak u do kazu u bilo kojem d ije l u ded ukcije.

142

Ocjena zaključakil • ZAMjena: Bilo koja dva iskaza za koje se pokazalo da su ekviva­

lentn i ili deduci b i l n i jedan iz drugoga, m ogu se m eđusobno zam ijen iti, i kao koraci u dokazu i kao sastav n i ce takvih koraka. Osnovne istinosne tablice

p T T O O

q T O T O

AKO :

p� q T O T T

I:

J!..!'..!L T O O O

ILI:

_p v q T T T O

AKKO : P B3 T O O T L T O

NE:

-p O T

143

•

Logika Osnovna istinosna stabla

I LI

p l\ q

pv q

I:

!\

-p

q

-p -q

Na istinosno stablo stavljaju se samo rečen ična slova i l i negacije rečeničnih slova. Vid i gore. Da biste d ijagra m i ra l i negaciju složenog iskaza, zam ijen ite je ekvivalentni m iskazom s internaliziranom negacijom; koristite jednu i l i više ekviva lentnosti za negacij u . Dijagramiranje zahtijeva da se svaka negacija, pa čak i implicitna negacija (vidi dijagrame za "ako" i "akko" gore) u potpunosti i nternaliziraju , tako da se znak odnosi samo na pojed ina slova. Grana istinosnog stabla koja sadrži rečen ično slovo i njegovu ne­ gaciju je zatvorena; to zatvaranje označavamo znakom X. G rana koja takvog protu rječja nema je otvorena. Da bismo provjeri l i je li neka grana otvorena, pratim o je od kraja stabla do njegova vrha, zanemarujući druge grane. Kad stavljamo iskaz na istinosno stablo, moramo paziti da njegov d ijagram stavimo na svaku otvoren u gra­ n u stabla. Iskaz i l i konjunkcija iskaza je konzistentan ako njegov d ijagram isti nosnog stabla ima barem jedn u otvoren u granu, a inkonzisten­ tan je ako su m u sve grane zatvorene. Da bismo ispitali valjanost zaključka, dijagramiramo njegovu protutvrdnju: konjunkciju njegovih prem isa i negaciju njegove kon­ kluzije. Ako se to istinosno stablo zatvori, pokazali smo da je protu­ tvrdnja i n konzistentna i da je zaključak valja n . Ako istinosno stablo sadrži maka r i sam o jedn u otvore n u granu, protutvrdnja je konzi­ stentna i zaključak je nevaljan . Da bismo razumjeli zašto je neki za­ ključak nevaljan, ako je nevaljan, ispitujemo otvoren u gra n u isti­ nosnog stabla te iz nje iščitavam o skup okolnosti u koj i m a su prem ise zaključka istin ite a kon kluzija mu je neistin ita. " _ ,,

144

Ocjena zaključaka . Da b ismo ispitali valjan ost iskaza, d ija g ra m i ramo negaciju tog iskaza . Ako se to istinosno stablo zatvori, iskaz je va ljan ; ako i m a

koju otvore n u granu, negacija je konzistentna p a j e iskaz nevaljan.

Pom oćna pravila za isti nosna stabla NI

NIU

NAKO

- (p 1\ ql

- ( p v ql

- ( p � ql

- pv - q

- p l\ - q

p l\ - q

/\ l

- p

- q

NAKKO

I�

- p - q

( p 1\

q

- (p � ql - ql v (- P 1\ qJ

p

- p

-q

q

Ekvivalentn osti za negaciju DN: NAKO : NI:

NIL!: NAKKO :

- -p � p - fp � q) � (p 1\ - ql - (p

1\

ql � ( -p v - ql

- (p v qJ � ( - p

1\

- ql

- fp � ql � (p � - ql � ( -p � ql � [ [p

1\

- ql v ( -p

1\

ql J

Druge ekvivalentnosti Apsorpcija : Eksportacija :

Kontrapozicija:

lp � (p

1\

q) J � (p � ql

[ (p 1\ ql � rl +-) rp � ( q � rl l (p � ql +-) (- q � - pJ (p � - qJ � ( q � - pl

145

•

logika Komutativnost:

[p /\ q) � ( q /\ p) (p v ql � ( q v pl

Asocijativnost:

[ p /\ (q /\ r) ] � [ [p /\ ql /\ rl [ p v ( q v rl l � [ ( p v ql v rl

R e d u n d antnost:

(p /\ pl � p (p v pl � p

AKO : AKKO :

(p � ql � ( - p v ql (p � ql � ( - p � - ql (p � ql � [ (p /\ ql v ( - P /\ - ql l

Distribucij a :

[p /\ ( q v rl l � [ (p /\ ql v (p /\ rl l I p v ( q /\ rl ] � [ (p v ql /\ (p v rl ] lp � (q /\ rl l � [ (p � ql /\ (p � rl ] [p � ( q v rl l B [ ( p � ql v (p � r) ] [ (p v ql � rl � [ (p � rl /\ ( q � rl l [ (p /\ ql � rl � [ (p � rl v ( q � r) ]

Teoremi p�p

(zakon i d entitetal

p � -- p

(dvostruka negacijal

-- p � p

(dvostruka negacijal

- (p /\ - pl

(neproturječnostl

p � ( q � pl - p � (p � ql (p /\ - pl � q (p /\ ql � q p � ( p v ql (p � rl � [ (p /\ ql � r] (p � rl � Ip � ( q v rl ] pv - p

(isključenje trećeg)

Ova j po pis čitatelj može nastaviti drugim teoremima.

146

Ocjena zaključaka . o zagradama

Zagrade se koriste zbog grupiranja; one nam kažu da o onome što se nalazi u n utar njih razmišljamo kao paketu, kao cjeli n i . One su potre bne zato da odagnaju višeznačnost. Kad nema takve opas­ nosti, zagrade n am ne trebaj u . Budući d a j e '(p 1\ q ) 1\ r ' ekvivalentno s 'p 1\ ( q 1\ r) ', a '(p v q) v r' sa 'p v (q v r) ', zagrade u tim slučajevima n isu potrebne; možemo i h ispustiti i pisati 'p 1\ q 1\ r', odnosno 'p v q v r' . U nizovima slova jednol iko povezan i h s '1\' (i) i l i 'v' (il i), zagrade n isu potrebne. Zagrade, međutim, jesu potrebne uvijek kad se ponavlja stre­ l ica za 'ako'. 'p � q � r' je posve besmisleno, jer '(p � q) � r' znači nešto sasvim drugo od 'p � (q � rl' . A 'p � q � r' ne znači "ako p onda q i ako q onda r" po krivoj analogiji s 'x < y < z' u alge­ bri i s '2 < 4 < 9 ' u aritmetici . 'p � q � r' je obična gramatička gre­ ška. Zagrade su osim toga uvijek potrebne kod mješoviti h veznika. " Ići ćemo u k i n o ako bude kiši lo, i i ć i ćemo na večeru " p o značen­ ju se raz l i kuje od "Ako bude kišilo, ići ćemo u kino i na večeru " . U običnom jeziku tu raz l i k u ponekad pokazuje po redak riječi u rečen ici, ponekad "teleskopi ranje" ili neko drugo sredstvo; kod sim­ bola razliku u znače nju stvaraju razli ke u zagradama: (k � 11 1\ v za razliku od k � ( f 1\ vj

Višezn ačno 'k � f 1\ v', kao i 'p � q � r' n i kad n ije dopušteno i smatra se loše obli kovan im, negramatičkim. Isto vrijedi i za 'p 1\ q V

r' .

Bez zagrada, znak ' - ' za "ne" vrijed i samo za jedno jed ino slovo koje i z a njega sl ijed i ; s a zagradama, vrijed i z a čitavu grupu (sl oženu rečen icu) koja neposred no sl ijed i . Budući da ' - - p' jed­ nozn ačno znači '- (- p)', zagrade tu n isu potrebne. Pri forma lizi ranju slože n i h reče n ica zagrade koje u kazuju na gru piranje su potre bne u svim ostalim sl učajevima. Nepotrebne zagrade su povremeno gnjavaža, ali n i kada n isu greška. Zagrade koje nedostaj u i stvaraj u višeznačnost jesu greška. 141

•

Logika

U cijeloj knjizi koristim uglate zagrade za izraze koje već i maju zagrade, a povremeno i vitičaste zagrade za izraze koje već i m aju uglate zagrade. Ta praksa olakšava čitanje, ali n ije riječ o n ekom načel u .

Prvi dio ovi h problema trebalo bi riješiti kad se prouči prvih 1 0 stranica ovog poglavlja. Kad p roči­ tate cijelo ovo malo poglavlje vrijeme je za ostale probleme - ili iz njih odabrane - kao i za one koje ste možda ostavili za kasn ije kod prvog poglavlja. Ovo je i prigoda da se ponovi djeli prvi dio knjige prije prelaska na drugi dio.

Problemi uz treće poglavlje

I.

Izložite strukturu sljedećih zaključaka. Eksplicitno defi n i rajte sve k ratice koje ćete koristiti (samo pojedi n i m slovima). 1 . Svježu ribu za veče ru Al ice može dobiti samo ako ode u

r ibarn icu u Glavnoj u l ici . A lice ne može otići i u trgov i n u i u ri barn icu. Dakle, Alice ne može dobiti svježu ribu, osim ako ode u r i barn icu al i ne ode u trgovi n u . 2 . Mary ć e morati u pisati pauzu u sljedećem semestru i

zaraditi nešto novca, osi m ako dobije veću stipendiju . Da bi dobila veću sti pendiju treba značaj no povisiti prosjek ocjena. Dakle, ako se Mary i dalje bude više bavi la atl eti kom nego učenjem i ne popravi ocjene, morat će upisati pauzu . 3 . George će d i plom i rati u svi bnju sam o ako zadovolji

zahtjeve znanstvene grupe predmeta . Zadovoljit ć e zahtjeve znanstvene grupe predmeta ako i samo ako iz logike dobije barem četvorku . Dakle, ako George ne dobije barem četvorku iz logi ke i l i ako padne logi ku, George neće diplom i rati u svi bnju . 148

Ocjena zaključaka .

4. Ako se joeovim roditelj i m a svi đa da joe i de na medici nski

faku ltet i ako mogu prikupiti novac za to, joe će ići na medicinski fakultet. Ako se joeovim roditeljima ne sviđa da Joe ide na medi­ cinski faku ltet a l i on dobije stipendij u , joe će ići na medi ­ cinski faku ltet. Joe si je osigu rao sti pendijU za slučaj da mu rod itelji ne daj u n ovac. Dakle, Joe će ići na medicinski faku ltet, sviđalo se to njegovim roditeljima ili ne. II. Ocijenite valjanost četi riju zaklj učaka iz problema I . To jest,

razmisl ite čine li vam se on i valjan i . Zatim provjerite svoju prosudbu istinosnim stablom. Ako je zaključak valjan, pokažite da je valjan formalnom dedukcijom; ako n ije, obja­ snite što mu nedostaje. I I I . Razmotrite sljedeće zaklj učke. Za svaki, ( 1 ) izložite stru ktu ru zaključka ; defi n i rajte kratice, osim a ko n isu posve očite; (2) razmislite izgleda li vam zak ljučak valjan; (3) provjerite mu valjanost isti nosnim stablom; (4) ako je zaključak valjan, pokažite da je tako formalnom dedu keijom; ako n ije, objasnite zašto n ije. 1 . Ako se Joeovim roditeljima sviđa da joe ide na med icinski fakultet, prikupit će novac za to pa će joe moći ići. joe će dobiti stipendiju ako njegovi roditelji ne žele da on ide, i ići će na medicinski fakultet i ova ko i onako. Dakle, sviđalo se to njegovim roditelj ima i l i ne, joe će ići na medicinski faku ltet. 2. Ako Henry ran o ustane i dobro doručkuje, stići će na posao na vrijeme. Henry će dobro doručkovati samo ako rano ustane. Dakle, Henry će stići na posao n a vrijeme samo ako rano ustane.

149

•

Logika 3 . Ako H e n ry rano ustane i dobro doručkuje, stići ć e n a

posao n a vrijeme. Henry će dobro doručkovati ako ran o u stane. Dakle, ako ran o ustane, Henry će sti ći na posao na vrijeme. 4. Ako H enry rano ustane i dobro doru čkuje, stići će na

posao na vrijeme. Henry će dobro doručkovati sam o ako rano ustane. Dakle, ako ran o ustane, H e n ry će stići na posao na vrijeme. 5.

Henry će stići n a posao na vrijeme ako rano ustane i dobro doručkuje. Henry će dobro doručkovati . Dakle, ako ran o ustane, H en ry će stići na posao na vrijeme.

6 . U slučaju snježne o l u j e i l i praznika, prestaju važiti

ograničenja parki ranja. Ako prestan u važiti ogran ičenja parki ranja, moći ćeš sutra ujutro parkirati auto na u l ici . Sutra ne smiješ parkirati na u lici. Dakle, sutra n ij e prazn ik. 7. A lbert će pasti algebru ako mu Mary ne pomogne kod zadataka iz algebre. Ako Al bert padne a lgebru i l i geometrij u, bit će u sosu . A l i ako Mary pomogne Albe rtu s alge brom , neĆe i m ati vremena za učenje pa će biti u sosu . Dakle, u sosu će biti i l i Albert i l i Mary. 8. joe neće dobiti vozačku dozvolu ako n ij e p rešao osam -

naestu i a k o n i je položio vozački ispit. joe i m a dvadeset godi n a i vrlo je dobar vozač. Ako Joe izađe na vozački ispit, p roći će. Dakle, ako joe izađe na ispit iz vožn je, dobit će vozačku dozvolu. 9 . Idemo na plani narenje i ako bude sunčano bit će nam

odl i čno. 1�

Ocjena zaključaka .

Dakle, ako bude su nčano ići ćem o na planinarenje i bit će nam odlično. 1 0 . Ako bude su nčano ići ćemo na plani narenje i b it će nam odl ično. Dakle, ako odemo na p la n i na renje i bude sunčano, bit će nam odl ično. 1 1 . Ako odemo na planinarenje i bude sunčano, bit će nam odlično. Dakle, idemo na planinarenje, i ako bude su nčano bit će nam od l ično. l 3 . Ako bude su nčano ići ćemo na planinarenje i bit će nam odlično. Dakle, bit će nam odlično i a ko bude sunčano ići ćemo na planinarenje. l 4. Alice će na vrijeme stići na sastanak sa mo ako bude vozila opasno brzo. Ako Al ice bude vozila opasno brzo zaustavit će je pol icija na Glavnoj u l ici i odvest će je u policijsku postaju . Ako Alice odved u u pol icijsku postaj u, neće stići na sastanak na vrijeme. Dakle, Al ice neće stići na sastanak na vrijeme. 1 6.Ako ne u pišem i algebru i analizu, neću moći u pi sati n i geologiju n i fiziku . U pisao sam algebru i geologiju. Dakle, m ogu upisati fiziku . 1 7 . Ako ne upiše m i algebru i anal izu, neću m oći u pisati n i geologiju n i fiziku . Upisao sam algebru i geologiju. Dakle, upisao sam analizu. l B . Ako ponudi jamstvo, proizvođač će se smatrati odgovor­ n i m za nepravi lan rad vašeg rad io prijemn i ka ako i samo ako ste poštom poslal i jamstveni list. Proizvođač se neće smatrati odgovorn i m .

1 51

•

Logika

Dakle, iako je proizvođač pon u d io j amstvo, vi niste posla l i poštom svoj jamstve n i l ist. 1 9 . A ko pon u d i jamstvo, proizvođač će se smatrati odgovor­ n i m za nepravilan rad vašeg rad io prije m n i ka ako i samo ako ste poštom poslali jamstve n i l ist. Proizvođač se neće smatrati odgovorn i m . Dakle, proizvođač n ije ponudio jamstvo i l i v i n i ste poslali poštom svoj jamstve n i l i st. 20. N aj a m n i n a za trgovi ne će porasti pa će se isto d ogoditi i s njezi n i m cijenama ako se u ki n e kontrola visi ne najam­ n ine. Najamnine z a trgovine ć e porasti , a k o n e i n terven i ra gradonače l n ica. Dakle, ako se u ki n e kontrol a visi ne najamn i n e, cijene u trgovi n i će porasti a ko ne i n terve n i ra g radonačel n ica. 2 l . Ako se n e nametne stroža kontrola cijena onda a ko poraste naj am n i na za trgovine, porast će i cijene u trgo­ vinama. N aj a m n i n a za trgovi ne će porasti ako gradonače l n ica ne i n te rve n i ra . Dakle, ako s e n e n ametne stroža kontrol a cijena, cijene u trgovi nama će porasti ako gradonače l n i ca ne i n terve n i ra. 2 2 . Ako s e u ki n e kontrola visi n e naja mn i ne, naja m n i n e će porasti , a porast će i cijene. Ako se nametne stroža kontrola cijena, n ajamn i n e će porasti al i ne i cijene u trgovi nama. Ako gradonačel n ica i nterve n i ra, na snag u će stu piti stroža kontrola cijena, a kontrola visine naja m n i n a će ostati ka kva jest. Dakle, ako gradonače l n i ca i n terve n i ra, neće porasti n i najamn i ne n i cijene u trgovi nama. 2 3 . Ako se u ki n e kontrola visine najamn i na, najam n i ne će porasti, a porast će i cijene. Ako se nametne stroža kontro la cijena, naj a m n i n e će porasti ali cijene u trgovi nama neće. 1 52

Ocjena zaključaka .

Ako gradonačeln ica i ntervenira, nametnut će se stroža kontro la cijena, a kontrola visi ne n ajam n ina se neće ukinuti . Dakle, cijene u trgovinama će porasti samo ako grado­ načelnica ne i ntervenira . 24. Ako s e u k i n e kontro la visi ne naja m n ina, naja m n i n e će porasti, a porast će i cije ne. Ako se nametne stroža kontrola cijena, cijene u trgo­ vinama neće porasti a l i najam n i n e hoće. Ako gradonačeln ica intervenira, ukinut će se kontrola visine najam nina a nametn ut će se stroža kontrola cijen a. Dakle, gradonačelnica neće interven i rati . IV. Izložite stru kturu sljedećih iskaza te zatim za svaki odlučite smatrate l i da je tautologija (da je isti nosnofu nkcijski valjan). Svoju prosudbu provjerite i sti nosnim stablom . Ako smatrate da je iskaz tautologija, utvrdite to dedukcijom . 1 . Ako kiši i sn iježi, onda kiši i l i sniježi. 2 . Ako n ije da i kiši i sn iježi onda n iti kiši n iti sn iježi. 3 . Ako n iti kiši n iti sniježi, onda n ije da i kiši i sn ijež i . 4. Ako n iti k i š i n iti sn iježi, o n d a i ne kiši i ne sn iježi . 5. Ako iskaz n ije teorem , njegovo će isti nosno stablo i m ati

neku otvorenu granu a njegova isti nosna tablica će i m ati neki redak s ne istinom, i l i , a ko iskaz jest teorem , njegovo će i sti nosno stablo biti zatvoreno i moći će se izvesti dedukcija. 6. Ako iskaz n ije teorem njegovo će i stin osno stablo i m ati

neku otvorenu granu a njegova i sti nosna tablica će imati neki redak s neisti nom, a ako i skaz jest teorem, njegovo će i sti nosn o stablo biti zatvoreno i moći će se izvesti ded u kcija. 7 . Ako uživam u ten isu i ako dobro igram ten i s a ko i samo ako uživam u njemu, onda sigurno dobro igra m ten is.

153

•

Logika

v. U trećem d ijelu problema uz prvo poglavlje, za dedukciju uz

korištenje devet osnovn ih pravila izvođenja je zadano šest ekvivalentnosti korisnih pri ZAMjen i. S tog su popisa ispuštene sljedeće tri ekvivalentnosti za d istri buciju : [p v [qA rl l H [ [p v ql A [p v rl l [ [p � ql v [p � rl l H [p � [ q v rl l [ [p � rl v [ q � rl l H [ [pA q) � rl

Utvrdite ih, prvo istinosnom tablicom a zatim dedukcijom . Jedan smjer (slijeva na desno) može se napraviti DI Lemom, korištenjem osnovn i h pravi la. U radu na suprotnom smjeru (zdesna n a l ije­ vo) slobodno koristite i ZAM, TEO REM i četiri pomoćna pravi­ la, kao i sve teoreme i ekvivalentnosti koje ste sam i dosad utvrdili.

1 54

d rugi dio Logi ka p r e d i kata

4.

poglavlje

Nače la izvođenja

Pojam općen itosti sve je vrijeme u sred ištu našeg rada . Logičko načelo je prihvatljivo samo ako fun kcion i ra svaki put kad se na njega pozovemo te je uvijek jednako pouzdano. Gledamo neki isti­ nosnofu n kcijski zaključak: ako udovoljava opći m kriterijima va­ ljanosti istinosnofun kcijskog zaključka, zaključak je valjan; ako ne, n ije. G ledamo neku složenu rečen icu : ako su sve rečen ice koje imaju istu strukturu tautologije, ta je rečen ica tautologija; ako su svi iskazi iste stru ktu re i n konzistentn i, iskaz je i n konzistentan; i tako dalje. No, na što mislimo kad kažemo da dva zaključka ili dva iskaza " i m aj u istu stru kturu " ? Kako s m o vidjeli, isti nosnofun kcijsku stru kturu nekog zaključ­ ka ( i l i složenog iskaza) možemo uči n iti ekspl icitnom tako da u njemu pronađemo rečen i ce sastavnice, nadjenemo i m kratice, zatim parafraziramo vez n i ke običnog jezika i zam ije n i m o ih jed­ noznačn im si mboličkim veznicima s jednog vrlo kratkog popisa. Dva zaključka (ili dva iskaza) imaju istu strukturu ako su njihovi sim­ bolički veznici točno isti i ako se njihove iskazne kratice mogu kore­ l i rati jedan na jedan . Da se poslužim jed n i m jednostavn i m i pozn ati m pri mjerom, sljedeća dva zaključka i maju istu stru ktu ru : Ako se Mjesec sastoji od zelenog sira, pojest ću vl astiti šešir.

(m � ŠJ 157

•

Logika

Neću pojesti vlastiti šešir.

( - šl

Dakle. Mjesec se ne sastoji od zelenog sira.

( - mj

George će noćas slaviti ako dobije peticu iz latinskog. George noćas neće slaviti. Valjda . dakle. nije dobio peticu iz latinskog.

(p -"* sj ( - sl ( - pl

Ta stru ktura i m a i svoje i me, 'modus tol l ens'. Ona jamči da su ta dva zaključka valjana. Kod prepoznavanja stru ktu re zaključka ključno je pre poznati koje se njegove kratice podudaraj u . U oba navedena zaklj učka iskaz što ga druga premisa negi ra u pravo j e konsekvens prve pre­ m i se, a i skaz što ga kon kluzija negira upravo je anteceden s prve prem ise . Oba su dakle zak l jučka instancije mod u s tol lensa. I m aj u istu stru ktu r u . B u d ući d a s m o za modu s tollens pokazal i d a je pri­ hvatljivo pravilo izvođenja , sve su njegove i nstancije - u ključuju ći i ove - valjane. Do sada n ismo n i ispitival i n i forma liziral i odnos opće tvrdnje i njezi n i h i n stancija . To je područje teorije kvantifikacije. Potreba za formalizacijom pojmova općen itosti postaje nepo­ sredno jasnom ako obrati mo pažnju na mnogobrojne već poznate struktu re zak ljučka koje smo svi sprem n i ocjenj ivati a l i koj i m a ne možemo baratati u logici iskaza koju smo proučaval i . Na primjer,

158

Sve je zanimljivo. Dakle. ova je knjiga zanimljiva .

(valjano)

Ova je knjiga dosadna. Dakle. sve je dosadno.

(nevaljano)

Svi su liječnici dobro obrazovani. Svatko dobro obrazovan je pročitao Uliksa. Dakle. svi liječ nici su pročitali Uliksa.

(valjanoj

Neki su liječnici d obro obrazovani. Neki dobro obrazovani lju di s u pročitali Uliksa. Dakle. neki su liječnici pročitali Uliksa.

(nevaljano)

Načela izvođenja .

Svi su liječnici dobro obrazovani , Svatko tko je pročitao Uliksa dobro je obrazovan. Dakle, neki su liječnici pročitali Uliksa.

(nevaljano)

Ako netko ima p i što lj Mary se pl aši, Dakle, ako Joe ima pištolj, Mary se plaši,

(valjano)

Ako svatko ima pištolj . Mary se plaš i . Dakle, ako Joe ima pištolj , Mary se plaši.

(nevaljano)

.

U povijesti logike, d io teorije kvantifikacije - logika Aristotelovog silogizma - razvila se prije logi ke iskaza, koj u su razv il i stoici. Al i moderna logi ka gradi logiku kvantifi kacije na temelju logi ke iskaza, obrćući povijesni redoslijed . Č i n i m i se da to svakako i m a smisla, i m aterijal ću izložiti tim redo m . M i n imalno ćem o koristiti tradi­ cionalne aristote lovske metode i nazive.

Počet ćemo u vođenjem nešto n ove notacije koja nam je potrebna da bismo mogl i arti k u l i rati u nutarnju stru ktu ru rečen ice koja tvrdi nešto općen ito. Zatim ćemo se osvrnuti na dva osnovna ( i već po­ znata) načela teorije kvanti fikacije, od koji h jedno ide od općeg i u n iverzal n og k pojedi načnom, a drugo od pojed inačnog k općem al i egzistencijalnom. N akon toga ćemo uvesti d ru ga dva načela iz­ vođenja, komplementarna prvima, i dvije ekvivalentnosti (dokazive i stoga redundantne, a l i važne) za kvantifikacijsku negacij u. PO­ stu pke ispitivanja ćemo ostaviti za sljedeće poglavlje. Univerzalnom tvrdnjom se tvrdi da je to i to (je budalast, je pogrešiv,

je fasciniran francuskim filmovi ma, stvara smiješne zvu kove kao vidi m iša, ima četrdeset i četi ri p rozora, je trajekt, je h rana za m isl i , i l i što već) istinito za sve D a bismo izrazil i takvu tvrdnju, koristimo pre­ f i ks ' 'ix' ( i l i ''iy') tj . obrnuto 1\ s varijablom (x, y, z sa i l i bez crtice i l i i n deksa) - što se č ita liza svako x" i l i "za b i l o koje x" zajed no s n ekom otvorenom rečenicom 1 , recimo 'Fx' ili "x je takvo i takvo , .

-

"

N aziv 'otvo rena rečen ica' koristi m za ono što su White h ead i Russel l nazivali "propozicijska funkcija". Vidi Alfred North Wh itehead i Bertrand Russe l l ,

Principia Mathematica

(Cambridge : University Press, 1 9 70;

d rugo izd . 1 93 5 ; u nastavku PM), Uvod; vidi osobito str. 1 5 .

1 59

•

Logika

pri čem u i prefi ks i otvorenu rečenicu jasno označavamo zagra­ dama ( i l i uglati m zagradama). Egzistencijalna tvrdnja je tvrd nja da je to i to isti n ito za nešto . Da bismo izrazi l i takvu tvrdnju koristi mo p refi ks '::lx' (i l i '::ly' itd . ) : obrn uto E s varijablom, koji s e pridijeva otvoren oj rečenici koja sadrži jed n u i l i više pojavn ica te varijable, pri čem u su opet i pre­ fiks i otvorena rečen ica jasno označe n i zagradama. Pojam varijable bit će otprije poznat čitatelju iz elementarne algebre ili iz fizike. Varijabla je sim bol (obično 'x' i l i 'y' i l i neko grčko slovo) koji se koristi u mjesto i men ice, glagola ili nekog du ljeg izraza, kako bi se izrazila općen itost, pojasnilo da, u relevantnom kon­ tekstu , n ije važno o kojem pojedi nom predmetu govorimo. Ja sam 'to i to' i 'tako i tako' koristi la u pravo na taj način . Pri marna u potre­ ba varijabli (al i n i kako jedini, pa čak n i najvažniji) j e pri a rti ku laciji p ravila i defi n icija. Na primjer, Neka je fiX je sisavac " pokrata za svoj u m l ad u n čad".

fiX

je životi nja koja doji

Otvorena reče n ic a je nešto što jzgleda i zvu či kao rečen ica a l i t o n ije jer j e nepotpuna: u njoj s e bar jednom pojavljuje varijabla na mjestu i men skog ili glagolskog izraza.2 Otvorena rečen ica bez kvantificirajućeg prefiksa ne tvrdi n išta; to uopće n ije rečen ica; ona nema sposobnost izricanja istine ili neistine. Varijabla nije ni imeni­ ca n i glago l ; to je praznina, mehan izam za unakrsno u pućivanje, prikladniji od '-' i ' . . . ', ali isti po značenju . Varijabla je sličn ija za­ mjenici nego bilo kojem drugom dijelu govora, i među njima je U otvorenoj rečenici može se javljati i dvije ili više varijabli . U d r u gom d ijelu bavimo se logi kom otvorenih rečenica (predi kata) sa samo jed­ nom varijablom , monad ičkom logi kom predi kata, a logiku otvorenih rečenica s dvije i l i više varijabli, poliadičku logiku predikata ili logiku relacija, ostavljamo za treće poglavlje. Povremeno ćemo, pored 'x', ko­ ristiti i 'y' i u d rugo m dijelu knjige, ali to ćemo činiti zbog ugn iježđenih kvantifi katora, a n e zbog složenosti predikata. Odvojen i m izlaganjem logi ke predi kata, prije logi ke relacija, slijedi m p ra ks u W V. Quinea, koju j e provodio i u nastavi i u objavljenim pe­ dagoški m dje l i ma; vidi npr. Methods. 1 60

Načela izvođenja .

glavna razli ka u tome što zamjenica u običnom jeziku može držati refe renciju neodređeno d ugo, ovisno o vješti n i govorn ika i pam­ ćenj u slušate lja, varijabla ne posjeduje takvu fleksi bilnost. Ako kon­ tekst posve jasno ne kaže d ru kčije, nema posebnih veza između razl ičiti h pri l i ka kada se koristi . Kvantifi cirajući prefiks, i l i kvantifikator, kaže d ru kčije. U nutar dosega kvantifi katora, to jest, u n utar otvorene reče n ice na koju se kvantifi kator odnosi, varijabla kvantifikacije drži referencij u . Tako '(Vx)(Fx v Gx) ' može biti skraćen ica za "koj i god p red met uzmeš, on će biti zastrašujući, i l i će pak - isti taj predmet - biti dopadljiv", tj . , "Sve je i l i zastrašujuće i l i dopadljivo " . A '(Vy) (Fy � Gy)' može biti pokrata za "Za svaki y, ako je y trajekt, onda je y zelen", i l i "Svi trajekti su zelen i " . Varijabla d rži referenciju u n uta r dosega kvan­ tifikatora - ali ne izva n njega. Ako se ista varijabla pojavi ponovo, a l i bez kvantifi katora, možda i u istom zaključku i l i istoj rečenici, ona ne postiže cilj unakrsnog u pućivanja nego "visi" uprazno. Reći ćem o da kva ntifi kator veže one pojavn ice njegove varijable kvan­ tifi kacije koje su u n utar njegova dosega, a da su d ruge pojavnice iste varijable, koje se nalaze izvan n jegova dosega te stoga n isu vezane, slobodne. Rečenica ' ( Vx )(Fx) v Gx' je dakle otvorena rečen ica, budući da je 'x' u 'Gx ' slobod no. '(Vx) (Fx ) v Gx ' je za­ mjenjivo s '(Vy)(Fy) v Gx ' . 'Fa', naprotiv, n ije pokrata za otvoren u rečenicu, kao n i '(Vx)(Fx) v Fa '. M i n a i m e stipuliramo da 'a ', 'b', 'c' itd . , mala slova s počet­ ka abecede (naime slova 'x', 'yI, 'z' itd. su rezervirana za varijable) predstavljaju prava imena, referirajuće izraze ili pseudoimena, dakle imena uveden a ad hoc zbog nekog tren utn og ci lja. (O poj m u pseudoimena raspravljat ćemo kasn ije u ovom poglavlju.) 'Fa ' dakle može stajati u mjesto, recimo, "Al ice je budalasta" ili "Alfred igra nogomet", a ' (Vx)(Fx) � Fa ' može stajati umjesto, recimo, "Ako svatko vol i vatromet, moja teta Amy vol i vatromet", što je izvjesno istin i to. Sljedeći je za ključak stoga isti nosnofu n kcijski valjan (koristi m o kva ntifi kacijsku notaciju, a ne kvantifi kacijska n ačela izvođenja) :

1 61

•

Logiki

Sve je ili lijepo ili ružno, ili je Alice posve u krivu . Alice nije u krivu. Dakle, sve je lijepo ili ružno. (V x) [ Lx v Rx) v Ka - Ka . . ( V x) [ Lx v Rx)

To je va ljano, prema ELiMi nacij i . Ova b i (jed n ostavn ija) n otacija bila dostatna da se pokaže va ljanost tog zaključka : EvA -A E

Dva p ravila bez ograničenja

Kvantifi kacijsko je za ključivanje, međutim, po­ trebno kod ovog zaključka : Sve je lijepo ili ružno. Dakle, Alice je lijepa ili ružna. (Vx) [ Lx v Rx) :. La v Ra

Tu smo se pozva l i na načelo univerzalne instancijacije ( U l , speci­ fikacija, ili elimi n acija V ) : Un iverzalna instancijacija (Ul): Iz un iverzalno kvantificiranog iskaza bez ogran i čenja sl ijed i svaka njegova instancija.

Notacijski, instancija kvantificiranog iskaza je rezultat ispuštanja kvantifi katora i zamjene varijable kvantifikacije referirajućim izra­ zom u pripadajućoj otvorenoj rečenici. (V x) [ Fx)

Stoga, . .

1&2

Fa

Ul

Načela izvođenja. U l je načelo izvođenja; 'Fx' se dakle može zam ijen iti bilo kojom otvorenom rečen icom, ma kako jednostavna i l i složena bila, neo­ visno o njez i n u sadržaju . Već smo vidjel i da Ul važi za složene isti­ nosnofun kcijske iskaze s otvoren i m rečen icama (koj i su i sam i otvorene rečenice): 'Fx v Gx', 'Fx � Gx' itd. Vidjel i smo i d a načela izvođenja za isti nosne fu n kcije (iz prvog poglavlja) važe za potpu no oblikovane iskaze teorije kvantifikacije (dosad smo imali un iverzalne tvrdnje i s ingularne iskaze kao što je Fa), ali n e i za otvorene reče­ nice teorije kvantifikacije, koje ne mogu biti ni istinite ni neistin ite. Načelo ZAMjene, s druge strane, važi i za te otvorene rečenice i dopušta, u konteksti ma kvantifi kacije, korištenje svi h ekvivalent­ nosti za istinosne fun kcije koje smo prihvatil i i l i utvrd i l i . Tako je, na primjer, prema e kviva lentnosti AKO [(p � q ) � ( � P V q), čija je instancija (Fa � Ga) � (� Fa � Ga)], 'Fx � Gx' zamje-njivo s ' � Fx v Gx' . Prema tome, (\;Ix)(Fx � Gx) je ekvivalentno s (\;Ix) ( Fx v Gx) - reci mo, "Sve ptice i m aj u krila" j e ekvivalentno sa "Sve i l i n ij e ptica i l i i m a kri la". Nadalje, budući da su varijable samo sredstvo koji m se postiže unakrsno upućivanje, m eđusobno su zamjenjive rečenice koje s u iste u svemu osim što i maju raz l ičite varijable kvantifikaci­ , je. Wx)(Fx)' je zamjenjivo s Wy)(Fy)' a (:Jz)(Gz) , s '(:Jw)(Gw) . Treba, naravno , paziti na to da smo u ti m stvari m a konzistentn i : '(\;Ix)(Fx � Gx)' jest zamjenjivo s '(\;Iy)(Fy � Gy)' a l i ne i s '(\;Iz)(Fz � Gy) , . 3 Treba paziti i na to da se Ul koristi tako kako je rečeno, ne " pro_ izvoljno" kako bi se moglo koristiti pravilo zamjene. U l dopušta ispuštanje vanjskog un iverzalnog kvantifikatora ondje gdje taj kvan­ tifikator pokriva cijelu rečen icu . To jest, to pravilo dopušta ovakve izvode : �

3

(\;I x) ( ly � Dx)

Svatko iskren je dobrodošao.

la � Da

Ako je Al bert iskren , dobrodošao je.

O b j e s e tvrdnje o međusobnoj zamjeni mogu dokazati meta logički, ali ćemo i h naprosto koristiti . Ja, možda neopravdano, pretpostavljam da su one i n tu itivno prihvatljive. U d rugoj ih se formu laciji može naći n a stranici 1 79 i u podsjetn i ku uz ovo poglavlje.

1 63

•

Logika

(V x) ( -

Svatko je n eiskre n .

lx)

Nitko nije iskre n . . . Albert nije iskren .

. . - la

Al i ne dopušta ovakve ( pogrešne) izvode: Ako je svatko iskren, Samuel će se zaprepastiti.

(Vx) ( lxl � Zd :

.

.'. Ako je Albert iskren , Samuel će se zaprepastiti.

la � Zd

n iti

"

- (V x) ( Ix)

Nije svatko iskre n .

- la

Al bert nije i s kre n .

U l ne dopušta n i sljedeće izvode, koji jesu valjan i a l i s e to mora pokazati na neki d rugi nači n :

(V x) ( Mx)

v

-

. . Ma v - K R A. (V xl ( Px) . . R A. Pz

K

Sve je m okro ili ne pada kiša .

. . Al ice je mo kra ili ne pada kiša Gotov je rat i sve je poruš eno. Gotov j e rat i ova zgrada je porušen a .

Prije no krenemo na egzistencijaln u ge neralizaciju, treba reći još n ešto. U l nema ogran ičenja. To znači da ako je (Vx)(Fx) i sti n ito reci mo, ako je sve h rana za misli - onda je Al ice Jones h ra n a za misli, gol u b n a krovu je hrana za m isl i , kao i oblak na horizontu i vaša nelagoda i moj bol n i zub. A ako je (Vx)(Fx � Gx) istin ito - re­ cimo svi trajekti su ze l e n i - onda ako je Alice Adams trajekt, Alice Adams je zelena, i ako je gol u b trajekt, gol u b je zelen . Nadalje, i zan i m ljivije, ako je zadano (Vx)(Fx), onda možemo izvesti Fa i kad ne znamo (ili nas n ije briga) što predstavlja 'a', jer može biti bilo što. '(Vx)(Fx)' nam govori da "za svako x, štogod uzeli kao x, x će biti F". S igurno da ćete n ešto moći uzeti ; posluži t će bi lo što. H oćete li zbi lja to moći? A što ako nema ničega? Pravilo U l i m a smisla samo a k o u u n iverzu m u postoji n ešto z a što njegov u n iver­ zal n o kvantifi cira n i iskaz može važiti . I opet dolazimo n a m etafi­ zičku pretpostavku [usp. prvo poglavlje, str. 42, zakon neproturječja : 1 &4

Načela izvođenja _ (p /\ p)l - ovaj put to je: " Postoj i nešto . " I opet, ja n e m ogu tvrditi da je to pretpostavka isti n ita; m e n i se č i n i očigledno i sti n it­ om, već na prvi pogled. A l i mislim da je važno pri m ijetiti da se to pretpostavlja i da je ta pretpostavka na djelu u našem rad u . 4 Osim toga, treba u oč iti kol i ko je ta pretpostavka slaba: ona nam n e go­ vori da postoje trajekti, r i be i l i oblaci, zako n i i l i čak lju dska bića. (Možemo, naravno, postulirati ili tvrditi postojanje takvih predmeta, zasebno i eksplicitno, ako za to i mamo razloga . ) Ali za načelo uni­ verzalne instancijacije potrebno je samo da postoji nešto, da se naše zakljuČivanje odvija u nepraznam u niverzu m u . �

-

Druga vrsta opće tvrdnje kojom ćemo s e baviti j e egzistenCijalna tvrdnja, tvrdnja da je nešto, a n e ništa, takvo i takvo. Poput un iver­ zal n i h tvrdnj i, egzistencija l ne tvrdnje su nespecifične, općen ite, i ta se općenitost i tu notacijski izražava varijablama. Koristimo egzi­ stencija l n i prefiks : obrn uto E, '3 ', s varijablom, pridjenut otvorenoj reče n ici kod te varijable, koj i m se tvrdi da postoj i bar jeda n pred­ met x, takav da je x F, odn osno, da mogu odabrati neki x takav da je x F, i l i jednostavno, da je nešto F. O u n iverza l n i m iskazi m a m ože se m isliti kao o dugačkim kon­ jun kcijama: (Vx)(Fx) nam govori da Fa /\ Fb /\ Fc /\ . . , pri čem u je lista pred meta z koje se kaže da su F nedohvatljivo dugačka i obuh­ vaća sve na svijetu . O egzistencijal n i m se iskazima pak m ože m is­ l iti kao o dugim d i sj u n kcijama : '(3x)(Fx) ' nam govori da Fa v Fb v Fc v . U l je dakle analogno S I M Pl ifi kacij i (iako samo analogno, ne više od toga): ono nam omogućuje d a iz u n iverzal nog deduci­ ram o bilo koju njegovu i n stanciju, i l i "konj u n ktivnu " sastavn icu . A načelo egzistencijalne generalizacije ( EC, kvantifi kacijska tanjenje ili slabljenje, i l i uvođe nje 3) je analogno TANjenj u : ono nam omo­ gućuje da iz bilo koje njegove instancije, njegove "disjunktivne" sas­ tavn ice, deduciramo egzistencija l n i iskaz . .

. .

Vidi, primjerice, Karel Lambert i Baas C. van Fraassen, Derivation and Counterexample ( Encino, Ca l i f. : Dic kenson Publishing Company, 1 972), poglavlje 4, odjeljak 5, i poglavlje 9. Lambert i van Fraassen koriste sistem ("slobodna logi ka"; vidi str. 1 29) koj i ne pretpostavlja da " postoj i nešto " (vidi str. 95). 165

•

Logika Egzis tencijal n a general izacija ( EG) : Egzistencijalno kvantific i ran

iskaz sl ije d i iz bilo koje i nstancije toga iskaza. Stoga, Fa (::J x) (Fx)

EG

Galerija Addisan ima četrdeset i četiri prozora; dakle, nešto ima četrdeset i četi ri prozora. Al ice vol i francuske filmove; dakle, nešto (ili pristojn ije, netko) voli francuske fi lmove. I tako dalje. Kao n i U l , EC nema ogran ičenja. Za razliku od U l , EG n ije opterećeno me­ tafizičkom p rtljagom . Treba biti na oprezu da se ispravno razu m iju iskazi kao što je "Neke ptice imaj u krila"; taj nam iskaz govori da postoji nešto s dva svoJstva : biti ptica i i m ati krila. On nam ne govori samo to da po­ stoji nešto što i ma kri la ako je to nešto ptica. Napokon, to je isti n i ­ to i z a m e n e ( Le igh Cau man, nastavn icu logike u m i rovi n i , ženu, ne pticu) da ako sam ptica, onda i mam krila (vi d i prvi dio), i l i Pc � Ke. Znate da je tako zato što sam vam j a rekla da n isam ptica pa dakle, budući da nisam ptica, znate da ako jesam ptica, da imam krila. Iz toga slijedi, prema EC, da (::Jx)(Px � Kx). A valjda me nećete - i l i tu činje n i cu o men i - smatrati dokazom za stajalište da neke ptice i m aj u kri la. Dok se "Sve ptice i maj u krila" forma l iz i ra kao '('v'x)(Px � Kx) ' , " Neke ptice i maju krila" se mora formal izi rati kao '(::Jx) (Px

1\

Kx)' .

Treba paziti i na t o d a nas ne zavedu jezičn i štosavi , poput:

Onaj tko ide van po ovakvom vremenu je lud. Tko se zadnji s mij e najslađe se smije. Izviđač je u vij e k p ristojan. ,

Sve su to univerzalni iskazi . I\l a kraj u , treba paziti i na to da se jasno razl ikuju specifičn i, i l i singularni iskazi o d egzistencijal n i h iskaza koji s e iz njih m ogu izvesti, koj i su nespecifični i uto l i ko manje i nformativn i . Ta se ra­ z l i ka lako zaboravlja, osobito zato što se u tradicionalnom jezi ku 1 66

Načela izvođenja . aristotelovskog s i logizma reče n i ce oblika " N eki A su B" i l i " N ek i A n isu B" [(3x)(Ax

A

Bx) ili (3x)(Ax

A

�

Bx)] nazivaju " parti k u larne" i l i

" pojedi n ačne" rečenice, a u običnom jeziku ' pojedinosti ' podsje­ ćaju na 'detalje', ' potankosti' . Ja ću pokušati posve izbjegavati u po­ tre b u n aziva ' partiku larna reče n i ca' . Tradicionalna logika kategoričkog si logizma zn atno je ogra n i če n i ­ ja o d moderne l ogike predi kata - sli čno men uetu u uspored bi sa suvremenim društvenim plesovima. Ona se bavi sudovima u obl i ku su bjekt-predi kat, koj i se d i jele na četi ri sljedeća ti pa: A , univerzalno afirmativni ,

Svi A su a

što b is m o s i m bo l ički izrazi l i :

( Ifx) (Ax � ax) E, univerzalno negativni. Nijeda n A nije a.

što b i s m o m i n a p i sal i i l i kao

(If x) (Ax � - ax) i l i kao - (3x) (Ax A ax)

I , partikularno afirmativni, Neki A s u a što m i p išem o : (3x) (Ax A ax)

i O , negativno partikularni, Neki A su B

161

•

Logika

što m i pišemo: L3x) (Ax A

-

Bx)

o " kvantiteti" ( u niverzal n a i l i parti kularna, svi i l i neki) razm išlja se kao o neče m u što pripada subjektu (A), a o " kvaliteti" (afi rmativ­ na i l i negativna) kao o nečemu što pripada pred i katu (B).

Iznenađujuće ve l i k broj rečenica običnog jezika se može para­ frazirati tako da se u klopi u neku od te četi ri sheme. Osobito sud A, u n iverzal n o afirmativa n sud, p renose mnogi različiti hrvatski izričaji : Svi F s u G. Svi F G-uju . Svako F G-uje. Ako n ešto F-uje, ono G-uje. Samo G su F Š togod F-uje , G-uje Tkogod je F je G. Sve što F uje je G. Ako je nešto F, onda je G Sve je G ako je F Ako je netko F, on je G itd itd. -

. ,

S i ngu larni iskazi, kao što je "Sokrat je fi lozof" tradicional n o se asi m i l i raj u m eđu u n iverzalne, kao da se osobna i menica n i malo ne razlikuje od opće imenice, osi m što ima samo jedn og referenta. "Sokrat je fi l ozof", što mi pišemo

Fs bez kvantifik atora tako se i nterpretira kao "Svi Sokrati su fi lozofi " i l i "Svatko tko je Sok rat je fi lozof", i l i (Vx) ( Sx � Px)

Na taj ćemo se p roblem vratiti u osmom poglavlj u . 5 1 68

Načela izvođenja .

Sada idemo na pravila s ogran ičenj i m a ; egzi­ stencijalnu instancijaciju (El, pravilo i menovanja ili elim inacija 3) i un iverzalnu generalizaciju (UG, i l i uvođenje \i), dva pravila koja se, Q u i neovi m riječima, "ne može izravno opravdati, i to s do­ bri m razlogom - ona sl uže za to da deduci raju konkluziju iz pre­ m isa koje nisu dovoljne da bi i m plicirale tu konkluziju " .6 I jedno i drugo pravilo uvod i i koristi p5eudoimena, tj. imena ko­ ja se koriste u dedukciji ali nemaju izvanjske referencije. Pseudoime je ime za primjer koji se koristi privremeno kako bi olakšao zaključi­ vanje. Kad obitelj daje ime djetetu ili kad zajednica i men uje rijeku i l i grad, ime se, za razliku od pseudoi mena, pripisuje entitetu u svi­ jetu i nakana m u je da traje generacijama. (Ne biva uvijek baš tako, a l i to je namjera . ) Pseudoime je s l ično i m e n u u kakvoj pri povijet­ ci; ono svoju referenciju zad ržava privrem eno, u prostoru zaključ­ ka i l i dedu kcije . U tu svrhu, kako smo već napom enu li, koristimo jedno malo slovo s početka abecede; pseudoime na se stoga lako raspoznaju od varijabli, ali ne i od pravih i m ena. Dobro je jasno i m ati na u m u u kojem jezičnom prostoru o n a i maj u svoj identitet. Na oba se p ravila mora gledati kao na nešto što opravdava ko­ rake u ded u kciji , a ne kao ne nešto zasebno. Ded u kcije u kOj i m a su na dje l u m oraj u biti dovršene u sm islu koj i ćemo defi n i rati ma­ Io kasn ije. Pravila ćemo iskazati odvojeno, ali ćem o nji hova ogra­ n ičenja popisati zajedno. Odred imo prvo pravilo i menovanja :

Dva pravi la s ogran ičenj i m a

Egzistencijalna instancijacija ( E l ) : Iz egzistencijal no kvantificira­ nog iskaza možemo i zvesti i n stanciju ako je pseudoi me koje zamjenjuje va rijablu kvantifikacije novo.

s

6

Za domišljenu raspravu o odnosu singu larn i h sudova prema univer­ zaln i m i parti kularnim, na tradicionalan način, vidi Fred Sommers, "Do We Need I d entity?", Journal of Philosophy LXV I , 1 5 (7. kolovoza 1 969): 499-504 . Som mers iznosi domišljatu sugestiju da se singu larn i iskaz tretira kao "džoker kvantiteta" (stranica 502), po analogiji s "džo­ keri ma" u pokeru. Ta će analogija postati jasnija u osmom poglavlju . Methods, drugo izd . , Predgovor, str. vL, 1 69

•

Logika

Dakle, [Jx) ( Fx) Fa

El (a)

gdje je 'a' u zak lj učku novo, ne pojavljuje se u kon k l uziji, i n ije "pravo" i me - to jest, ne pripisuje se nekom entitetu u svijetu . Zam i s l i mo da jednog dana stignemo kući i otkrijemo da se netko zaključao u podrum u . Mogu ga nazvati "Joe" i koristiti ime 'Joe' ob­ jašnjavajući mu kako da radi s bravom ako želi izaći, ali ne sm ijem zaključiti da znam tko je on, n iti da razgovaram s, recimo, joeom Jenkinsom , p rvi m susjedom . Ako i mamo egzistencijal n u tvrdnju, ima s misla dati ime predmetu za koji je rečen o da postoji , kako bismo o njemu mogl i zaključivati i pridavati mu relevantne infor­ macije koje možda posjedujemo, ali to pseudoime je sredstvo koje se treba odbaciti prije nego stignemo do čvrste kon k l uzije. Sada smo vidje l i zašto pseudoime koje je uvel o E l mora biti novo; to ne smije biti p ravo ime, ime koje je već pripisano nekom entitetu u svijetu, n iti ime koje se javlja u premisama i l i konkluzi­ j i istog zaključka. Kad bismo uve l i u ovom smislu "staro" i me, osta­ vil i bismo dokazivača u zabludi da zna nešto što ne zna. M i s l i o b i d a zna o čem u govori . Isti na je pak d a on samo govori o nekom en­ titetu za kojeg zna ili pretpostavlja da postoj i - to jest, o " ovom i l i onom " . Pseudoime što ga uvodi E l mora biti novo u još jednom smislu . Ono se n ije smjelo već pojaviti kao pseudoime u istom zaključku. Uvođenjem i stog pseudoimena u zaključak dvaput, dove l i bismo se u opasnost da koristimo i sti izraz kako bismo u pućivali n a dvije razl ičite stvari, čime bismo širom otvori l i vrata zabu n i . U običnom životu takve zabu ne izbjegavamo na razne načine. Razlikujemo, primjerice, Joh na jonesa m l ađeg i Johna jonesa starijeg, Crace i Ti­ - C race, Mem p h i s u d ržavi Ten nessee i Mem p h i s u starom Egiptu . Takve mehanizme trebamo, naravno, zato što nema n i bl izu dostat­ no imena za sve o čem u pože l i mo govoriti . U l ogici predi kata do 110

Načela izvođenja .

sl ičnog rezu ltata dolazimo propisom prema kojemu se jedno pseu­ doi m e sm ije uvesti samo jednom u dedukcij i . Sada je vrijeme za jedan pri mjer korištenja egzistencijalne i n ­ stancijacije. Utvrdimo valjanost " partikularnog" silogizm a : 7 Neke provalnike uhvati policija. Svi provalnici su nep ošteni. Dakle. neke nepoštene uhvati poli cija.

{1

*

[3x] ( Px /\ Ux)

2 (\7' x] ( Px � Nx)

PREM

Dokažimo : C3xH Nx /\ Ux) *

3 Pa

* * * *

4 5 6 7 8 g

* *

/\

Ua

1 El ( a)

Pa

3 SIMP

Ua

3 SIM P 2 Ul 6 , 4 MP 7 . 5 ADJ 8 EG

Pa � Na Na Na /\ Ua L3xH Nx /\ Ux)

QED

Uočite da premise ne jamče "konkluziju" u koraku 8: Albert je ne­ pošten i uhvati la ga je pol icija . Taj je iskaz nerazum ljiv sam za sebe jer ne znamo tko je Albert - i l i je pak neopravdan ako zam isl i m o da znamo tko j e Albert; ta ne znamo. Prem ise jamče kon kluziju pokazan u u koraku 9, u kojoj se 'a' n e pojavljuje. Uočite i slovo ' a ' u zagradama desno od koraka 3. To je zasta­ vicaB za nas crvena zastavica koja kaže "pazi ! " . Ona nas u po­ zorava na n užnost provjere narušavanja ograničenja El i l i UG. Kad uvodimo neko slovo pri E l i l i ga e l i m i n iramo pri ue, ističemo ga zastavicom . Ogran ičenja E l i ue ćemo artiku l i rati s obzirom na tako i stakn uta slova . -

" Parti kularn i " silogiza m, osi m u n iverzal n e premise (koja je potreba u sva kom slučaju), i ma jed n u "parti kularn u " (egzistencijal n u ) premisu, i "parti kularn u " (egzistencijal n u ) kon kluziju. 8

Methods, prvo izd . , str

1 6 1 ; drugo izd . , str. 1 60. 171

•

Logika U niverzalna genera l izacija ( U G) : Iz iskaza koj i sadrži

pseu doime možemo izvesti u n iverzalno kvantif iciran iskaz kojega je on instancija, ako smo pseu doime koj im smo zam i ­ jen i l i varija blu kvantifi kacije uveli bez posebn i h uvjeta; pred­ met na koj i ono u p ućuje n ije poseban slučaj. Dakle, Fa (Vx) ( Fx)

UG ( a)

pri čemu nema posebn ih uvjeta za a, n iti je 'a ' "stvarno" ime . Genera l izacija u neformal nom zaključivanju je, kako znamo, osjetlj iva stvar. Ne sm ije se generalizirati iz posebnog slučaja. Ako je Susie, m l adoj, jakoj i iskusn oj plani narki, lako popeti se na vrh Katahd i n, iz toga ne sl ijed i da će svakome biti lako popeti se na vrh Katahd i n . S d ruge strane, legitimno je (a često i korisno) genera­ l izirati iz samo jednog s l u čaja kad smo sigurn i da nam razlog zbog kojega vjerujemo u ono što stoj i za taj pojed i n i sl učaj jednako važi i za bilo koji drugi slučaj. Al i moramo biti sigurni da je tako, da ne rad imo s posebn im slučajem. Ogran ičenja na pravi la El i U G, koja ćemo uskoro popisati, smišljena su za to da nas spriječe koristiti UG za neprikladne gene­ ra lizacije, te da nas spriječe neprav i l no koristiti E l , čime bismo napravi l i zabunu dajući isto ime razl ičiti m stvarima. Ta ogran ičenja pojašnjavaju naka n u zahtjeva da pseudoime koje se uvodi pri E l bude novo, kao i o n u paralel nog zahtjeva d a pseudoime koje e l i ­ m i n i ramo p r i UG ne bude posebno. Standard n i pri mjeri ispravne u potrebe U G dolaze iz geometri­ je . Dokazujemo, pri mjerice, da ako je trokut ABC jednakostran ičan, onda su mu i svi kutovi jednaki.; iz toga slijedi da svi jednako­ stranični trokuti imaj u i jednake kutove, budući da je trokut ABC bilo koji trokut.9 Ovdje ćemo uzeti primjer iz logi ke, te ćemo utvrdi9

172

Tu treba jako paziti . N e pažnjom se l a ko pogriješi . J edan poznati zaključak, poznat matematičari ma, poči nje ovako :

Načela izvDđenja

•

ti valjanost "un iverzalnog" si logizma, kl asičnog silogizma AM prve figu re : Sva krilata bića mogu letjeti. Sve ptice imaju kril a . Dakle, s v e p ti c e mogu letjeti.

{

*

1 (V x) (/U' � Lx)

PREM

2 (Vx] (Px � KxJ

Dokažimo : (V x) ( Px � Lx)

-- -----

Neka je ABC trokut.

Povucite okomicu jz vrha A do crte koja prolazi

točkama B i C i označite

sjecište D.

A

.� , D

S a d a , dakle, ima m o BC

=

BO + DC

Iz tog nevinog početka m ože se do kazati da je

Problem je u to me da n e m a mo

BC

=

2

=

o.

B O + D C ; ta j e jednakost išči­

tana iz dijagrama posebnog slučaja . To jest, da je kut B t u p , a ne oštar, imali bismo BC '" DC - DB, a da je B p r avi kut BC bi bilo jednako

D C . Privid o pćen i to sti koji da j e neoprezno (i l i do m i šl jato a l i zločesto) d ijagramiranje može za ve st i .

A

--�, D

B

Za s t i m povezan

geometrijski "dokaz" d a sva ki tro kut i ma dvije jed­ nake stranice, vidi W. E. Jo h nson Logic, drugi dio (Cambridge : Un iver sity Press, 1 92 2 ; New Yo r k : Dover, 1 964), str. 206/7. Johnson taj p ogre š n i "dokaz" izlaže i o bjaš nj ava u k ont e kst u o d l ične ra sprave o ge n e ra li zac i ji u geo m etr iji .

­

.

1 13

•

Logika *

3 Ka � La 4 Pa � Ka ** 5 Pa *

** ** * *

6 Ka 7 La 8 Pa � La 9 (\Ix) (Px � Lx)

1 Ul 2

Ul

PREM (za Dil

4 , 5 MP 3 , 6 MP 5-7 DI 8 UG ( a)

QEO

Uočite da se da ded u kcija efi kasn ije m ogla n apraviti , n a kon kora ka 4, ovako : *

5 ' Pa � La

*

6 ' {\lx) ( Px � Lx)

4 , 3 lANAC 5' UG (a) QEO

Al i ne ovako : *

3 " (\I x) {Px � Lx)

2 , 1 lANAC

Jer pravilo LANAC omogućuje ded u kciju i m p l i kacije iz dvije d ruge implikacije, a n i te premise ni ta kon kluzija nisu i m p l i kacije. Načela Ul i UG nam dopuštaju da od u n iverza l n i h i skaza dođemo do sin­ gularn i h (prema U l), napravimo posao u logici sudova (ovdje, koraci 3 do 8 i l i koraci 4 do 5') i zati m se vrati mo (prema UG). Taj se po­ stupak ne sm ije zaobići . S ljedeći zaključak, bitno razl ičit od prethodnoga, jest i n stanci­ ja p rav i l a LA NAC: Ako sve ima krila, sve može letjeti. Ako je sve ptica, sve ima krila.

Dakle, ako je sve ptica, sve može letjeti. (\lx) ( l<Xl � (\lx) ( Lx) ( \I x) ( Px) � (\I x) (l<X) (\I x) ( Px) � (\I x) (Lx)

lANAC QEO

174

Načela izvođenja .

Sada ću iznijeti popis ograničenja za El i UG, koja valja shvatiti kao dio značenja ta dva načela. Č itate lj će dobro učin iti ako provjeri ta dva dokaza - o provalnicima i pticama - kako bi se uvje rio da se u njima ne krše ta ogran ičenja. 1 . Ded ukcija u kojoj se javlja zastavica mora biti dovršena; to jest, n ijedno istaknuto slovo ne sm ije se pojaviti ni u kon kluziji ni u neod bačenim prem isama . 2 . U n u tar dedu kcije, n ijedno slovo ne smije se dvaput istakn uti zastavicom. Stavljanje dvije zastavice na isto slovo je pogreška dvostruke zastavice.

Tre bat će nam i d ruga ograničenja koja će spriječiti u nakrsno i cik­ lična označavanje zastavicam a . Ali ona će biti irelevantna dok ne stignemo do logi ke re lacija; zasad ću ih preskočiti. l O Navede na ograničenja pota n ko iznose ono što se namjeravalo zahtjevom da pseudoime što ga se uvodi pri El bude "novo", a da pseudoime koje se elimi nira pri UG ne bude "pose bno" . Sada ću navesti nekoliko očigledno neispravnih dedu kcija koje ta ograni­ čenja krše, kako bih pojasn i l a zašto su potrebna . 1 1 Netko je u podrumu i želi izaći. Dakle, Joe Jenkins je u podru m u .

A. * *

1 [:Ix) (lx 1\ lx) 2 lj 1\ lj

*

3 lj

PREM 1 El (j) 2 SIMP

Ta je ded u kcija nedovršena, te joj se istaknuto slovo, j, javlja u kon­ k l u ziji . Ta kon k l uzija ne sl ijedi iz prem ise, ali a ko n astavimo s još jednim korakom koji elim i n i ra istakn uto slovo : *

4 (:lx) (lx) (Netko je u kupaonici . )

3 EG QEO

10 11

Vidi treći dio, šesto poglavlje. U očite da n e bi lježi mo

"QED" na kraj u pogrešn ih ded ukcija; takva

dedu kcija n ije u spješna i ne treba se p raviti da jest. 115

•

Logika

dolaz i m o do valjane kon k l uzije. Ako Mary jede jagode, Mary dobiva osip. D akle, svatko tko jede jagode dobiva osip.

B. "

"

1 Jm � D m 2 (VxHJx � Ox)

PREM

1 UG (mj

To je također nedovršena dedu kcija (istaknuto slovo, 'm', javlja se u prem isi, a ova n ije odbačena), al i nju n ije tako lako popraviti . Da bi general izacija u ovom sl učaju b i l a pri hvatljiva moral i bismo dati razlog za tu prem isu , kaji bi pojasn io da Mary nije poseban sl učaj . Takvog razloga nema. la u sporedbu s ti m nevaljanim zaključkom, pogledajmo još jed­ nom valjan silogistički zaključak o pticama (str. 1 73-1 74). U koraku 9, gdje se "Sve ptice mogu letjeti " izvodi iz "Ako je Albert ptica, Al­ bert može l etjeti" (korak 8) pozivamo se n a UG. No, taj je potez l egiti man jer Al bert n ije pose ban slučaj . Korak 8 smo izve l i iz dvi ­ j u un ive rzal n i h p rem isa koje važe za sve, a ne samo za Alberta . Istaknuto slovo 'a ' se ne j avlja u prem isama 1 i 2; ' a ' s e javlja u prem isi 5, a l i prem isu 5 smo odbaci l i . Taj zaključak se znatno ra­ zl i kuje od pogrešnog zaključka o Mary i jagodama. C.

Neke životinje su m ačke i neke životinje su psi . Dakle, neke mačke s u psi.

"

1 (:lx) (Žx 1\

Mx)

1\

(:lx) (b- 1\ Px)

Dokaži mo : (:lx)(Mx 1\ Px) " 2 [ :l x) L& 1\ Mx) " 3 ( :l x) (b- 1\ Px) " "

" " " "

176

4 5 6 7 B 9

Ža 1\ Ma Ža 1\ Pa

Ma Pa Ma 1\ Pa (:lx) [ Mx 1\ Px)

PREM

1 SIMP 1 S I MP

2 El ( a) 3 El [ al 4 SIMP 5 SIMP 4 . 5 ADJ 9 EG

Načela izvođenja . Pogreška dvostru ke zastavice javlja se u koraku 5, a ta se pogrešno izvedena konkl uzija ne m ože izvesti bez nje. Korak 5 mogl i bismo popraviti u

if

3 E l (bl

5 ' Žb /\ Pb

a l i on bi bio bespred meta n .

Ma

/\

Pb u kora k u 8 ne bi po lučilo

kon kluziju do koje nam je b i l o stalo.

D.

Nešto je zanimljivo. Dakle , sve je zanimljivo. if if if

1 C3x) (Zx) 2 Za 3 (l;;f x) (Zx)

PREM

1 El (al 2 UG (a)

Za ključa k D je očigledno nevalja n . Tehn ički, u njem u je poči nje­ na greška dvostru ke zastavice. Možda vrijed i napomen uti da je obr­ nuti zaključak, u kojem u zastavice ne trebaj u, jednako tako očigled­ no

valjan :

D'.

Sve je zanimljivo, Dakle, nešto je zanimljivo. if

if if

1 (l;;f x) (Zx) 2 Za 3 (3x) (Zx)

PREM Hil

2 EG QEO

Valjanost ovog zaklj učka od ražava pretpostavku , koju smo već iz­ re kli, da rad imo u ne praznom u n iverzu m u . U korak u 2 koristim o

Ul d a bismo uveli pseudoime a, bez zastavice. Tu n e m a pogreške. U koraku 3 mogl i smo koristiti UG da bismo izvel i konkluziju ( l;;fx)(Zx) ili ( l;;fy)(Zy), umjesto (3x)(Zx), i opet bez pogreške, ali to bi bilo neza­ nimljivo - bilo bi to puko pon avljanje i l i reformulacija premise.

E.

Sve je zanimljivo ili nezanimljivo. Dakle, sve je zanimljivo ili sve je nezanimljivo. 11J

•

Logika *

1 (V xl (lx v

*

2 Za

L * L * L �. D * D * D * *

v

�

PREM 1 Ul PREM [za 3 UG ( a)

lx)

la

�

3 la

4 (V x] (lxJ 5 ( V x) (lxJ

6

�

v

( V xl (

�

lx)

4 TAN

PREM (za Dill

la

7 [V xl (

�

lx)

8 (V x) (lx) g [V x) (lx)

Dill

6 UG ( aj

v

( lfx] (

�

v

(V xl (

�

lx)

? TAN

lx)

2, 3 - 5 , 6-8 DILema

Do pogreške dvostruke zastavice došlo je u koraku 7, jer je a dobi­ lo zastavicu već u koraku 4, Ova je pogreška bitna za taj "dokaz", kaji je očito pogrešan, jer on polazi od prem ise za koju se zna da je istin ita i dolazi do kon kluzije za koj u se zna da je neistin ita. Sve navedene "dedukcije" za tri pogrešna zak ljučka e, D i E, poči n i le su pogrešku dvostru ke zastavice. Dvije zastavice u "dedu kcij i " za e rezu ltat su dva korištenja E l, pravila imenovanja : dvama se entiteti ma nadjenulo isto pseudoime što je dovelo do za­ bune. Dvije zastavice u "dedukcij i " za D rezu ltat su jednog kori­ štenja E l, nakon kojega je uslijedilo korištenje UG: generalizirali smo na osnovi pseudoimena označenog zastavicom - posebnog sluča­ ja. U "dedu kciji " za E, dvije zastavice su rezu ltat dvije upotrebe UG i ta druga zastavica upozorava čitatelja na genera l i zaciju iz posebnog slučaja . Č itatelj će dobro učin iti ako ponovo pročita svi h pet zabranje n i h dedu kcija i uvjeri se da mu je pogrešnost sva tri zaključka i ntu itivno jasna : njihove kon kl uzije ne sl ijede iz nji hovih prem i sa. Zaklj učci e i E pojašnjavaju da ove (pogrešn e a l i prim a m ljive) implikacije ne vrijede:

-

[ (:Jx] (Fx)

t\

(:Jx] ( GxJ ] � (:Jx) ( Fx t\ GxJ

(VxHFx v Gx) � [ ( V xHFx)

v

(Vx) ( Gxl l

(:Jx)(Fx) t\ (:Jx}(Gx) dakle nije ekvival entno s (:lx)(Fx t\ Gx), a (Vx)(Fx) v (Vx)(Gx) nije ekvival entn o s (Vx)(Fx v Gx), i ti parovi form u l a nisu 118

N ačela izvođenja .

međusobno zamjenjivi. Ta bi činjen ica trebala u pozoriti čitatelja na važnost opreza kad je u pitanju doseg kvantifi katora. Pobrkati kon ­ j u n kciju egzistencija l n i h iskaza u žeg dosega i egzistencija l n i iskaz šireg dosega kOJ i sadrži konjun ktivnu otvoren u rečenicu, i l i pobrkati disjun kciju u n iverzalnih iskaza užeg dosega i "odgovarajući" un iver­ zal n i iskaz ši reg dosega koj i sadrži disj u n ktivn u otvorenu rečenicu može označiti razl i k u između zbrke i jasn oće u zaključivanj u . S ljedeće dvije e kviva lentnosti , međuti m, stoje : [ (::Jx) [FxJ v C3x) [GxJ ] � (::Jx) [Fx v GxJ [ [Vx) [FxJ A [VxH Gx] ] � (VxHGx A Gxl

i one su često korisne. B i l o b i dobro da č itatelj izvede dokaze za nj i h . Pritom valja paziti da izbjegne pogrešku dvostru ke zastavice. Time smo završili naše izlaganje četi ri osnovna načela izvođenja koja su potrebna za monad ičku logiku pre d i kata (uz pravila izvo­ đenja sudova uvedena u prvom poglavlju), tj . p ravila Ul i EC, koja nemaju ograničenja, i pravila El i UG, koja ih imaj u . Prije nego nas­ tavimo s raspravom o pomoćn im pravi l i ma, podsjetit ću čitatelja na dva kvantifi kacijska načela zamjena, usput spomenuta n a početku ovog poglavlja . Ona eksp licitno pokazuju kako dolazi do zamjene u kvantifi kacijsk i m konte ksti ma.

Kvantifikacijska ZAMjena (K-ZAM) : Međusobno su zamjenj ive svake dvije otvorene rečen ice za čije se i n stancije pokazalo da su e kviva lentne, i l i ded u kcijom izved ive jed n a iz druge m etodama logi ke isti nosn i h fu n kcija . Promjena varijable (PV) : Ekviva lentna su i stoga međusobno zamjenj iva svaka dva kvantificirana iskaza koja su u sve m u ista osi m što imaj u raz l ičite kvantifi kacijske varijable.

1 9

•

Logika

Sada prelazimo na pojam negacije u teoriji kvan­ tifikacije. Odmah bi na početku trebalo biti jasno da će negacija u niverzalno kvanti fici ranog iskaza biti egzistencij alno kvanti ficira n i i skaz . N egi rati da je, na primjer, sve materijalno, znači potvrd i ­ t i da n ešto nije m aterija l no, to jest, da je nešto nematerijalno; to ne znači potvrd iti da je sve nemate rijalno. Isto tako, negacija egzi­ stencijalno kvantificiranog iskaza bit će u n i verzalno kvantificira n i iskaz. Negi rati da postoji nešto materijalno znači potvrd iti da je sve nematerijalno. To zapažanje daje načelo negacije kvan tifi katora (KN) i dvije kvantifikacijske ekvivalencije analogne NI i N I L ! iz teori­ je isti nosnih fun kcija.

Kvantifi kacijska negacija

Negacija kvantifikatora ( KN ) : N egacija u n ive rza l n o kvantifici ra­ nog iskaza je egzistencijalno kvantificirana negacija njegove otvoren e rečen ice. Negacija egzistencijalno kvantifici ranog iskaza je u n iverza lno kvantific i rana negacija njegove otvorene rečen ice. Dakle, - (\fxH Fx) H ( 3 x] ( - Fx) - (3xHFxl H ( \fx) ( - Fx)

KN :

Te ekvivalentnosti n isu nezavisno postu l i rane i l i sti p u l i rane; one sli­ jede iz već naveden i h n ačela. I zvedi m o nji h ove dokaze : Počn i mo od druge : Dokaž i m o : (3x)(Fx ) H (\fx)(- Fx) * 1 (\fx) [- Fxl PREM (za DI, zdesna na lijevo) ** 2 (3x) (Fx) PREM (za REOJ �-* 3 Fa 2 El (a) ** 4 - Fa 'I Ul Fa ** 5 Fa /\ 3 , 4 ADJ * 6 - El xl ( Fxl 2-5 R ED 7 (\fxJ (- Fx) � - (3x) ( Fx) 1 -6 DI -

-

1 80

Načela izvođenja .

Kad se gleda zdesna na l ijevo (kao u gornjem dokazu), strategija re­ ductio nam odmah pada na pamet i m ožemo je odmah i koristiti (vidi korak 2), budući da je tražena konkl uzija (vidi korak 6) negacija. I dući sl ijeva na desno, to jest, kad treba m o pokazati da - ( 3 x) ( Fx) � ( V x) (

-

Fx)

opet ćemo koristiti reductio, a l i potrebna strategija neće baš biti odmah na vidjel u . Budući da treba pokazati da (Vx)(- Fx), posljed­ nji korak mora biti u n iverzalna generalizacija; moramo dakle ciljati n a instanciju form ule (Vx)( - Fx) na osnovu koje će se moći i zvesti posljednji korak. Ne možemo dokazivati Fa jer bi nam tada tre­ bala zastavica a za izvod (Vx)(- Fx), a a je istaknuto u koraku 3 . Radije dokažimo - Fb. Drugi korak u ovom dijelu dedukcije bit će dakle pomoćna premisa Fb (vi d i korak 9 dolje) -

*

8

- [3x) Fx

**

g

Fb

PREM (za RED l

**

10

(3xl ( Fxl

9 EG

**

11

(3xl ( Fxl

*

12

- Fb

*

/\

PREM [za ClIl

-

(3xl (Fxl

1 0 . 8 ADJ 9 - 1 1 RED

1 2 UG [bl

13

( Vxl ( - Fxl

14

- [3x) [ Fxl �

Fxl

8 - 1 3 [1 1

15

- [3x) ( Fxl

Fxl

7 . 1 4 ADJ. DEF �

[ V x) ( � ( Vxl ( -

QED

Ta je ekvivalentnosti, poput N I U, ugrađena u običnu u porabu jezi ka . Zatraži m o li koga da nam parafrazi ra, reci mo, " N i šta n ije sigurno" gledajući da parafraza bude sim bolička, jednako je vjero­ jatn o da pom isl i na u niverza l n u tvrdnju : Sve ie nesig u rno.

(V xl ( -

Sx)

kao i to da pom isl i na negaciju egzistencija l n e : N e postoji ništa sig u rn o . -

[3x) [ Sxl 1 81

•

Logika

To vrije d i i za izraze kao što su 'n itko' , 'ništa', ' n i ka d ' . Druga e kvivalentnost, međut i m n ije tako očita . Dokažimo: (Vx)(Fx) H (::Ix)(- Fx) počevši zdesna na l ijevo: �

*

1

�-*

2

**

3

**

4

**

5

*

6 7

*

8

**

9

**

10

**

11

*

12

*

13 14 15

-

(::Ix) (� Fx) (VxJ (Fxl - Fa Fa Fa A - Fa - (Vx] ( Fxl (::Ix] ( - Fxl � - [Vx) [Fxl - (Vx) (Fxl Fb (V x] (Fx) (V x] (Fx) A (V x) (Fx) Fb (::Ix) (� Fxl - ( V xl [Fxl � (::Ixl [ - Fxl - (Vx] ( Fxl H ( ::I x) (� Fx) �

�

PREM [za [I I ) PREM (za REDl 1 E l [ al 2

Ul

3 , 4 ADJ 2-5 R ED 1 -6 D I PREM

(za

Dil

PREM (za REDl 9 UG ( bl 1 0 , 8 ADJ 9 - 1 1 RED 1 2 EG 8- 1 3 D I 7 , 1 4 ADJ , DEF H QED

Valja spomenuti još jedan (dvostruko red u n dantan) par e kvi­ valentnosti . One i maju povijesn u važnost jer se njima defin i ra " l ogi­ čki kvad rat" aristotel ovske logi ke . A i vrlo su korisne . Negacija u n iverzal no afi rmativnog iskaza je njem u odgova­ raJ ući parti kularn i negativ n i iskaz. N egacija afi rm ativnog par­ tikula rnog iskaza je njemu odgovarajući u n iverza l n i negativn i iskaz.

KN ' :

Dakle, KN ' :

- (Vx) (Ax � Bx) H (::Ix) (Ax A - Bx) (::Ixl [Ax A Bxl H [V xl [Ax � - Bx) �

B u d ući da naša četi ri n ačela teorije kvantifikacij e : U l , EC, E l i UG, polaze od općih i skaza i dolaze do njihovih instancija, i l i obrat­ no, a l i ne u kazuju izravno na to što slijedi iz negacija u niverzalnosti i l i negacija egzistencije, KN (i KN') će nam često biti od koristi pri 182

Načela izvođenja

_

internaliziranju negacije i tako će omogućiti zaključivanje s takvim negacijama. Navest ću dva primjera : S vi učenici slušaju satove matematike.

F.

Ne slušaju svi učenici satove glazbe. Dakle, neki od onih koji slušaju matematiku ne slušaju satove g l azbe .

{

*

1 (Vx) Wx � Mx)

2

Dokaži mo: (3x)(Mx * * * * * * * *

3 4 5

6 7

8 9 10

PREM

- (Vx) Wx � Gx) /\

-

Gx)

2 KN ' 3 El (al

( 3 x) Wx /\ - Gx)

Ua /\ - Ga Ua - Ga Ua � Ma Ma Ma /\ - Ga

4 SIMP 4 SIMP 1 \JI 7, 5 MP 8 , 6 ADJ

9 EG

(3xHMx /\ - Gxl

QEO Iskušenju da u mjesto koraka * 3 ' - Wa � Gal

3

i

4

napravi mo drukčij i " kora k" 2 Ul

3':

treba se od uprijeti, iako 3 ' izgleda e kvivalentno s 4 (a l i n ije, jer kora k 4 nosi zastavicu : (a ). Ul i m a sm isla kod 1 (vi d i kora k 7), a l i n e i kod 2 , jer iskaz 2 nije u n iverzalan . B udući da pogrešan "korak" 3' nema zastavicu, on bi nas doveo u iskušenje da izvedemo razne u n iverza lne kon kluzije pre m a UG iz kora ka 5 , 6, 8 i 9, od koj i h n ijedna nema smisla. (Svatko j e učen i k, i z 5 ; N itko n e sl uša satove glazbe, iz 6; Svatko sluša satove a l ge bre, iz 8; Svatko sl uša satove m atemati ke, al i ne i satove gl azbe, iz 9). G.

Nijedan čovjek nije besmrtan. Nijedan anđeo n ije smrtan. Dakle, nijeda n čovjek nije anđeo. 183

•

Logika

*

{

1 - [3x) (Čx /\ - Sx)

PREM

1 - (3x) (Ax /\ Sx)

Dokažimo: - (3x)(Čx /\ Ax) * *

3 4

(Vx) (Čx � Sx) [Vx) [Ax � - Sx)

1 KN' 2 KN '

N egacija se mora i nternal izi rati barem u prem isama, ali kod kon­ k luzije m ožemo birati - odgovarat će oba sljedeća rješenja: * *

5 6

*

7

*

8 9

*

Ča � Sa Aa � - Sa Sa � - Aa Ča � - Aa (Vx) (Čx � - Ax)

3 Ul 4 Ul 6 lAM (kontrapozicija) 5 , 7 LANAC

8 UG (a)

QED ili **

5'

**

6'

*"1:"

7'

**

8' g' 1 0' 11' 1 2'

** ** ** �"* **

1 3'

*

1 4'

(3x) ( Čx /\ Ax) Ča /\ Aa Ča Aa Ča � Sa Aa � - Sa Sa - Sa Sa /\ - Sa - (3x) [Čx /\ Ax)

PREM (za REDl 5' El ( al 6 ' SIMP 6 ' SIMP 3 Ul

4 Ul g ' , 7 ' MP 1 0' , 8 ' MP 1 1 ' , 1 2' ADJ

5'-1 3 ' RED QED

u jednom i u drugom slučaju imamo jednu zvjezdicu : kad se pse­ udoim e eliminira, prema UG vidi korak 9 i l i kad se pseudoime uvede, prema El - vidi korak 6', Negaciju moramo i nternalizirati uvijek kad namjeravamo koristiti U l i l i El (vid i korake 3 i 4, koji su priprema za koraka 5 i 6 ili 9' i l O'), I

-

1 84

-

N ačela izvođenja .

Rad na takvi m dedukeijama zahtijeva vel i k i oprez kad je riječ o dosegu kvantifi katora. Citatelj se sjeća da je doseg kvantifi katora sa njim povezana otvorena rečenica koju označavaju za­ grade i l i uglate zagrade; dosegom se određuje jezičn i p rostor u n utar kojega varijabla kvantifikacije zadržava svoj identitet i postiže cilj u nakrsnog upućivanja. Kad je doseg svi h kvan­ tifikatora u nekoj form u l i kratak, za form u l u se kaže da je u čistom obliku . Kad su dosezi dugi, a svi kvantifikatori se nalaze ispred jedne otvorene rečen ice, ili neksus3, form ula je u p reneksnoj form i . Ekvi­ valentnosti poput KN i KN' nam omogućuju stezanje i rastezanje dosega određe n i h kvantifi katora. U negacijama ( l ijevi m stranama te četi ri e kvivalentnosti) doseg je kratak, i znak negacije nalazi se izvan njega; u desn im stranama negaciJ3 je i n ternal izirana te je doseg dug i obu hvaća znak negacije. Sada ću navesti popis osam ekvivalentnosti "pravi l a prijela­ za " 1 2 - koje jamče p rav i l n o stezanje i rastezanje d osega kvantifikatora u još osam slučajeva. Kao i pomoćna načela iz prvog poglavlja (modus tol lens itd .), prav i la prijelaza su dokaziva i stoga red undantna; ona su, međutim, korisna kao prečice, a ponekad nam pomažu i razu mjeti struktu ru našeg zaključivanja. No, prije nego se pozabavimo p ravil i ma prijelaza, pogledajmo primjer problema na kakav ci ljaj u ta pravila:

Pravi l a priJ'elaza

<

Ako j e netko telefonirao. Henry je primio poruku. Joe je telefonirao. Dakle . Henry je primio poruku.

Taj je malen i zaključak očigledno valja n . Kako ga formalizirati ? Prvu prem isu možemo čitati na dva nači na: p rvo, kao im p likaciju čij i je antecedens "netko je telefoni rao" i l i "ovaj i l i onaj je tel e­ fon i rao", a konsekven s " H e n ry je p ri m io poruku" : [3 xl ( Txl ---) Ph

12

Methods, četvrto izd . , str.

1 4 2- 1 4 3 . 1 85

•

Logika

a d rugu kao univerzalni iskaz, u kojemu je " H e n ry je prim io poru­ ku" kon sekvens otvorene rečenice, to j est, (\7' x) ( Tx --t Ph)

Dedu kcije će se razlikovati, ovisn o o tome koju verziju p rve prem ise budemo koristi l i . U tom su primjeru obje ded u kcije kratke i lako ih je naći, a l i u kom pl iciranij i m slučajevi ma može biti značaj­ n iji h razl i ka, bilo u čitanju i l i u pogodnosti rada. Evo i dedu kcije : *

{

*

*

1 C3x) ( Tx) --t Ph

2 Tj 3 C:lxl ( Tx)

*

4 Ph

{

i ' (\7' xl ( Tx --t Ph)

2 ' Tj * 3 ' Tj --t * 4 ' Ph

PREM 2 EG 1 , 3 MP QEO

Ph

PREM l ' Ul

3 ' , 2 ' MP QEO

Činjenica da su obje ded u kcije uspješne ( i da obje koriste samo pravila bez ograničenja) sugerira da su oba čitanja prve prem ise ekvivalentna, što u isti nu i jesu ; vidi pravilo prijelaza 7 dolje. Među tim čitanjima prve prem i se dakle možemo, odabrati ono koje nam više odgovara. U drugom zaključku, međutim, kOji bi nepažlj ivom Čitatelju mo­ gao izgledati i sto kao prethod n i , tog izbora nemamo : Ako je netko telefonirao, ostavio je poru ku. George je telefonirao. Dakl e , George je ostavio poruku.

Stru ktu rna razlika među tim zaključci m a je u tome što u ovome subjekt " konsekvensa" p rve prem ise u pućuje na s u bjekt " ante­ cedensa " . Formal izacija kao što je "(:Jx)(Tx) --t Mx" ne bi b i l a dobra jer treće 'x', u "x je ostavio poruku", "visi"; ono ne može u p ućivati 186

Načela izvađenja •

natrag na "x" koji je telefonirao (iako je to namjera) zato što ga kvan­ tifi kator ne pokriva . Tako u tom s l u čaju a lte rnativne form al izacije prve premise nema . Zaključak se mora formal izirati ovako, s u n i­ ve rzalnim kvantifikatorom ši rokog dosega koj i pokriva čitavu prvu prem isu : (V xl ( Tx ---) PxJ

Tg Pg

Više je pou ka koje va lja izvući iz razmatranja o tim zaključci­ ma. Prvo, pri form al izaciji rečen ica koje zvu če poput impl ikacija ( i li neke d ruge vrste slože ne rečenice) i koje u ključu j u općen itost, mudro je biti osjetlj iv na pitanja u nakrsnog upućivanja. Ako namje­ ravamo u nakrsno upućivati među elem enti ma koji se pojavljuju u onome što će u form al izaciji biti različite otvore ne reče n ice, mo­ ramo paziti n a to da kvantifikatori u simboličkoj form u laciji imaju dovoljno dug doseg da pokažu to unakrsno upućivanje. Osjetljivost na pitanja u n akrsnog upućivanja je vrijedna stvar, ne samo radi postizanja ispravne fo rmal i zacije, nego i zato da se zna o čemu se govori. Drugo, ako nam nije namjera u nakrsno upućivati druge sa­ stavnice složene rečen ice koju formal iziramo, ta se rečenica može prikazati i l i s kvantifi katorima kratkog dosega, i tad a j u je rel ativno lako čitati, ili s kvantifikatorima dugog dosega, koji su ponekad prik­ ladn iji. E kvivalentnosti koje s l ijede će pojasn iti zašto su te alterna­ tive moguće. Korisno je ne samo razumjeti da te ekvivalentnosti važe, nego i biti osjetljiv na razlike u značenju lijevih strana (gdje kvantifika­ tor i m a kratak doseg) i desnih strana (gdje je doseg dug). Komen­ ti rat ću neke od njih i napraviti dedu kcije zadnje dvije; bilo bi dobro da čitate lj obrati pažnju na sve . U svima 'Fx ' predstavlja bilo koju otvorenu rečen icu koja sadrži x, a 'p ' bilo koj u rečenicu koja ne sad rži 'x ' .

181

•

Logika

(1 l lp

/\

('Ifx) (Fxl J � ('lfx)(p /\ Fxl

( 2 1 lp

/\

(:lx) ( Fx) ] � (:lx) (p

/\

Fxl

(31 lp v (V xl ( Fxl I � ('If xl (p v Fxl (41 l p v (:l xl ( Fxl I � (:l xl [p v Fxl ( 5 1 Ip � ( Vxl lFxl l � (Vx) (p � Fxl

(6) (p � (:lx) (FxJ I � (:lx) (p � FxJ ( 7 1 I (:lx) (Fxl � pl � ('If xJ [Fx � pl (8J ] ( Vx) (FxJ � pl � (:lx) ( Fx � pJ N avest ću i osam i sti nosnofu n kcijski h e kvivale ntnosti , anal og­ n i h s osam pravila prijelaza, koje mogu pomoći pri razum ijeva n j u ti h pravil a onako kako su N I i N I L I pomogla p r i raz u m ijevanju K N . Dvije od t i h ekvivalentnosti , (1 ') i (4'), trivijal ne s u ; n j i hove su obje strane potp u no iste, osim nepotrebn i h zagrada i ponavljanja p na desnoj stra n i . Ostal i h šest su instancije pravila distribucije; vidi popis ekvivalentnosti za prvo poglavlje. Ekvivalentnost (8'), kao n i (8), n ije i ntuitivna - ali j e i sti n ita:

( 1 'J I p /\ ( Fa /\ Fbl ! � [ (p /\ Fal ( 2 ' 1 [ p /\ [ Fa v Fb] ] � [ (p ( 3 ' 1 [ p v (Fa

/\

/\

(p

/\

Fb) 1

Fal v (p

/\

Fbl l

Fb) ] � [ (p v Fal

/\

/\

(p v FbI I

[ 4 ' 1 [ p v ( Fa v Fb) ] � [ (p v Fal v [p v FbI I [ 5 ' 1 [p � ( Fa /\ Fb) ] � [ (p � Fal

/\

(p � Fbl l

(6'1 lp � (Fa v Fbl l � I (p � Fal v (p � FbI I ( 7 ' 1 [ ( Fa v FbI � pl � [ (Fa � pl /\ [Fb � pJ l ( 8 ' ) [ ( Fa /\ Fb) � pl � [ ( Fa � p) v (Fb � p) ] Prav i l o prije l aza ( 1 ), primjerice, govor i nam da je "Su n ce sja i svi su dobre volje" ekvivalentno sa "Svi su takvi da su n ce sja i o n i su dobre volje"; (4) n a m kaže da j e " I l i ć e se k rov popraviti i l i će se n etko smočiti " ekvivalentno s " N etko je takav da će se i l i k rov popraviti i l i će se on smočiti " . Osam izraza sa "ako" je nešto lakše prepoznati . Riječ 'od rede n ' sugerira dug doseg egzistencijal nog kvantifikatora 1 3 ; riječ 'itko' sugeri ra dug doseg u n iverzal nog1 4 . Tako

lj

Na to

mi je prije dvadeset god i n a u kazao moj uče n i k Charl es John-

son . 14

188

Methods, četvrto izd., str.

1 44 .

Načela izvodenja • bi nam (6) moglo govoriti da je "Ako b u de oluje, netko će stradati " ekvivalentno s "Određe n i l j u d i će stradati ako bude o l uje", a (7) da je "Ako n etko pritisne ti pk u , d izalo će se popeti" ekvivalentno s "Ako itko pritisne ti pku, d izalo će se popeti ". Evo dedukcije za (7): Dokaži m o : [ (3x) ( Fx) � pl � (Vx) ( Fx � pl * 1 (3xHFx) � P PREM (za DI, slijeva na d esnol

2 3

Fa C3x) ( Fxl

2 EG

4

p

1 . 3 MP

5

Fa � p

2-4 DI

(VxJ ( Fx � pl

5 UG (al

[ (3 x) ( Fxl � pJ � ( V x) ( Fx � pl

1 -6 DI

*

6 7 8

(Vx) ( Fx � pl

PREM (za DI. zd esna

**

9

(3x] ( Fx)

**

1 0 Fb

9 El (bl

**

1 1 Fb � p

8 Ul

**

12 p

1 1 . 1 0 MP

1 3 (3x) ( Fxl � p

9- 1 2 DI

** **

** *

*

PREM (za Dil

na lijevo)

*

1 4 (Vx) ( Fx � pl

PREM (za Dil

�

[ (3 x) ( Fxl � pJ

1 5 [ (3x) (Fxl � pl � [Vx) (Fx � p)

8-1 3 DI 7 - 1 4 AOJ. D EF � QEO

Pravi la (1 )

(6) su jasna. (7), iako uključuje promjen u kvan­ tifi katora, izgleda opravdano. Međuti m (8), kao i (8'), može biti il nei ntu itivna: "Ako je sve F, onda p se ne čini ekvivalentno s "Ako il il su n e ke stvari F, onda p . "Ako i Fa i Fb onda p se ne č i n i ekviva­ " lentn o s " l J i ako Fa onda p i l i ako Fb onda p . Problem je i u jed­ -

nom i u drugom s l u čaj u s i m p l i kacijom sl ijeva n a desno, a ne s o n om zdesna na l ijevo . Očito je da ako postoji nešto takvo da je to što je ono F, dovo lj n o za p, onda će i to što je sve F biti dovoljno za p; jednako tako, ako je to što je Fa dovoljno za p ili što je Fb do­ voljno za p, onda je će to da je istodobno i Fa i Fb biti dovoljno za

p. Ali obrat ne i de tako glatko. Tu nam može pomoći kon trast slje­ deća dva pri mjera .

189

•

Logika

Prvo, neka je Fx x skače po krovu, i neka je p krov se u ruša­ va. "Ako svatko skače po krovu , krov se u ru šava" č i n i se ne i m pli­ cira da se krov u rušava ako neki ljudi skaču po krovu , i l i da postoji bar jedna osoba pod kojom će se krov u rušiti ako bude skakala po njem u . N iti, čin i se, "Ako Albert i Bella budu skakal i p o krovu, krov će se u rušiti " i m pl ici ra da "Ako Al bert bude skakao po krovu, krov će se u rušiti i l i ako Bella bude skakala po krovu, krov će se uru šiti " . Drugo, neka je Fx x pokušava riješiti matem atički problem, problem je riješen . Č i n i se da "Ako svatko pokuša i neka je p riješiti matematički problem, problem će biti riješe n " i m p l icira da postoji barem jedan od nas takav da će, ako ga pokuša riješiti, pro­ blem biti riješen. Isto tako, "Ako Albert i Bel l a pokušaj u riješiti ma­ tematički problem, problem će biti riješen", čin i se, impl icira da će problem b iti riješen ako ga A l bert pokuša riješiti i da će problem biti riješen ako ga Bella pokuša riješiti . Razl ika među ta dva slučaja je u tome što smo skloni zam isl iti kako svi skaču po krovu zajedno, a l i da svatko pokušava riješiti matem atički problem sam za sebe. To zam išljeno zajedn i štvo u primjeru s krovom nas zavod i na krivi put. '('I7'x)( Fx)' ne sugerira zajedništvo ništa više od logičkog " i", i l i ' J\ ' . Ako kod primjera s kro­ vom zam isl imo kako ljud i skaču po krovu u razl ičite dane, ekviva­ lentnost će se čin iti smislen ijom . N a (8) i (8') se može gledati na još jedan n ači n koj i će pomoći da nam budu prihvatlj ivi; obratimo pažnju na tvrdnje da su negaci­ je sljedeći h formula ekvivalentne =

=

=

=

- [('I7'xJ(Fxl � pl H �(3xJ (Fx� pl - [(Fa

J\

Fbl � pl H � [(Fa � pl v (Fb� pl ]

S obz i rom n a to da je, kako smo vidjeli u drugom poglavlju , , � P ' ' q ekvivalentno s 'p H q , ako pri hvatimo i shvatimo te ekvi­ valentnosti, i (8) i (8') nam mogu biti smislenije. Ako uvi d i m o da su negacije tih iskaza ekvivalentne, onda i sam i iskazi moraju biti ekvival entn i . Ali [('I7'x)(Fx) � pl nam govori, prema NAKO, da ('I7'x) (Fx) J\ - p , tj . da svatko skače po krovu ali se krov ne u ru šava. S d ruge strane, (3x)(Fx � p ) nam govori , prema KN, da ( 'I7'x)

H

�

-

-

1S0

�

Načela izvođenja (Fx

---+

p), te p rema NAKO, da (l;/x)(Fx

da skače po krovu

1 (1;/ x) ( Fxl

1\

1\

-

pl, tj . da je svatko takav

al i se k rov ne u rušava .

-

pl H (1;/ x) (Fx 1\

-

pl

je samo instancija formule ( 1 ), koja nije neintuitivna. rati da (Fa

(Fa ---+ pl

v

Fb) ---+ P znači tvrditi da Fa (Fb ---+ pl znači tvrditi da Fa 1\

1\

stvar, sam o s

_

1\ -

ponavljanjima.

Evo dedu kcije za (8)

-

Isto tako,

negi­

Fb 1\ p; a negi rati da P 1\ Fb 1\ P, što je ista -

-

počevši sl ijeva na desno, s n ei ntu itivnom

i m p l i kaci jom : Dokaž i m o : [ (1;/ xJ [ Fxl ** . .

" "

..

�-

1 2 3 4 5 6

---+

pl H r:JxJ [ Fx ---+ p)

(1;/ xJ [Fxl ---+ p

PREM [z a DI . slijeva)

Fa

PREM (za D i l

(l;/xl ( Fxl

2 UG ( al

p

1 , 3 MP

Fa ---+ p

2-4 DI 5 EG

( 3 xl (Fx ---+ pl

[ U očite da bi (l;/x)(Fx ---+ p ) p re m a UG (a) bilo pogrešno u koraku 6, jer bi se tim potezom na p rav i l a pogreška dvostru ke za­ stavice . l

1 -6 DI PREM (za DI , z d esnal 8 E l (bl

**

7 J [I;/ xJ [ Fxl ---+ pl ---+ I 3xl f Fx ---+ pl 8 (3x) ( Fx ---+ pl 9 Fb ---+ p 1 0 (1;/ x) (Fxl 1 1 Fb

**

12 p

9 , 1 1 MP

* {**

*

1 3 (1;/ x) (Fxl ---+ p 1 4 (3x) ( Fx ---+ pl

PREM (za Dil 10 Ul 1 0- 1 2 DI

---+

[ ( 1;/ x) ( Fxl ---+ pl

1 5 [ (\I x) ( Fxl ---+ pl H l3xH Fx ---+ pl

8- 1 3 OI 1 - 1 4 ADJ, OEF H QEO

191

•

Logika

Prije nego se pozabavimo ispitivanjem valjanosti zaključaka u logici p redikata, bilo bi dobro da po­ n ovimo n eke deduktivne strategije provedene u ded u kcijama ovoga poglavlja. Prvo, kad je tražena konkluzija kvantificirani iskaz, planirajte deducirati instanciju tog iskaza kao posljednji korak prije same kon k l u zije. Odmah obratite pažnju (kako biste mogli m udro birati pomoćne prem ise) na to hoćete li iz te instancije tražen u kon­ kluziju morati izvoditi prema prav i l u UG, koje zahtijeva označa­ vanje zastavicom, i l i prema EG, koje to ne zahtijeva . Drugo, ako je moguće, mijenjajte pseudoimena kad god bi vam to moglo pomoći u izbjegavanju dvostru kih zastavica. Ako to n ije moguće, kao u pogrešnom dokazu zaključka E (Sve je zan i m ljivo i l i neza n i m lj ivo; dakle, sve je zan imlj ivo ili sve je nezan i m lj ivo), to može biti znak da pokušavate uči n iti nešto što se ne može učin iti . Treće, uvijek, ako Je moguće, koristite E l p rije U I. Ako koristi­ te E l u kasnoj fazi dedukcije, možda ćete morati uvesti nepotrebna pseudoimena i zam u titi vode. Konačno, prisjetite se strategija koje ste nauč i l i u p rvom po­ glavlju . Ako trebate dokazati i m p l i kaciju, uzm ite njezin antecedens kao p rem isu i pokušajte deduci rati konsekvens. Ako trebate doka­ zati negaciju, pretpostavite negirani iskaz i pokušajte deduci rati pro­ turječje. Kako biste koristil i disjunkciju, nezavisno pretpostavite nJe­ zine disj u n kte i pokušajte deducirati zajedničku konkluziju, i l i pak koristite e l i m i naciju disj u n kcije. Ako ste neodlučn i , pokušajte s re­ ductiom . A uvijek i m ajte na u m u da je m n ogo, m n ogo načina da se p rovede dedukcija . Ako to jedna osoba č i n i ovako, a druga onako, oboje mogu biti u pravu .

Strategija u ded u kciji

192

Načela izvođenja .

Podsjetn ik četvrto poglavlje

uz

Prav i l a izvođenja za logiku predikata

Dva pravila bez ograničenja

I z u n iverzalno kvantificiranog iskaza bez og raničenja slijed i svaka njegova instancija

Univerzalna instancijacija ( U l ) :

.

Stoga,

('dx) ( Fx) . . Fa

Ul

Egzistencija l na general izacija (EG):

Egzistencijalno kvantifici ran iskaz slijedi iz bi lo koje instancije toga iskaza bez og rani­ čenja .

St og a ,

Fa . . C3xH Fx)

EG

Dva pravila s ograničenjima Egzistencijal na instancijacija (El ) :

Iz egzisten cijalno kvantifici­ ranog iskaza m ožemo izvesti instancij u ako je pse u doi me koje zamjenjuje var ijab l u kvantifikacije novo.

Dakle,

[lx) (Fx) Fa

B (a)

Iz iskaza koj i sadrži pse u do ime možemo izvesti un iverzalno kvantifici ran iskaz koj ega je on instancija, ako p se u doime koje biva zam ije njeno vari­ jablom kvantifikacije ne u p ućuje na poseban slučaj .

Univerzalna generalizacija (UG):

­

1 93

•

Logika

Dakle,

Fa :. ( VxH Fx)

UG ( a)

Ogra n ičenja koja potanko iznose što se misl i zahtjevom da pse u­ doi me što ga se uvod i pri E l bude novo, a da ono na što se pseu­ doi menom u pućuje pri UG ne bude poseban slučaj. 1 . Ded u kcija u kojoj se javlja zastavica mora biti dovršena ; to jest, n ijedno se istakn uto slovo ne smije pojaviti n i u kon kl uzij i n i u neodbačenim premisama. 2 . U nutar dedu kcije, nijedno slovo se ne smije dvaput ista knuti za­ stavicom. Dvostruko istica nje istog slova je pogreška dvostruke zastavice.

(Treće ograničenje smo odlož i l i do šestog poglavlja.) ZAMjena: B i lo koja dva iskaza za koje je pokazano da su

ekvivale ntn i, i l i izved ivi jedan iz drugog, mogu se međusob­ no zamijen iti . Kva ntifi kacijska ZAMjena ( K-ZAM) : LI kvantifi kacijskim su kon­

te kstima međusobno zamjenj ive svake dvije otvorene rečenice za čije se i nstancije pokazalo da su isti nosnofu n kci­ jski ekvivalentne. Promjena varijable ( PV) : Ekvivalentna su i stoga međusobno

zamjenj iva svaka dva kvantifici rana iskaza koja su u svemu ista osim što imaj u razl ičite kvantifi kacijske va rijable. Ekvivalentnosti za negaciju

KN :

� ( VxH Fx) B C3xH � Fx) � C3xH Fx) B (VxH � Fx)

KN ' :

� (VxHAx � Bx) B E3xHAx J\ � Bx) � C3xHAx J\ Bx) B ( VxHAx � � Bx)

Druge ekvivalentnosti

[ ( VxH Fx) [ ( 3xH Fx) 1 94

J\ v

( VxH GxJ J B ( VxH Fx J\ Gx) [3xH GxJ J B ( 3 xH Fx v Gx)

Načela izvođenja -

Pravila prije laza [ 1 1 lp

/\

(VxH Fx) ) � ( Vx) [p /\ Fxl

( 2 1 lp

/\

[3xH Fx) ) � [3x) [p /\ Fxl

(31 I p v [VxH Fxl ] � (VxJ [p v Fxl (4) lp v (3x) (Fx) ] � (3x] (p v Fxl {51 lp � (V x) ( Fxl l � (V x] (p � Fxl (61 lp � t=3 xH Fx) ] � [3xJ (p � Fxl

(7) [ (3x] (Fxl � pl � (VxJ ( Fx � pl (Bl [ (V x) ( Fx) � pl � (3xJ (Fx � pl

Ovdje je p bilo koja rečenica koja

ne

sadrži

x.

Prvi i drugi dio ovih problema mogu se riješiti kad se prouče stranice [ 1 5 7 do 1 79 četvrtog poglav­ u z četvrto lja. Treći, četvrti i peti dio je najbolje rješavati na poglavlje kraju, kad se pročitaju odjeljci o negaciji i pravilima prijelaza; nadam se da će se posljednji odje­ ljak ovog poglavlja, o strategiji u dedukciji, pokazati korisni m . Problem i

I . Pokažite dedukcijom d a s u sljedeći zaključci valjani : 1.

Sve ose s u zloćudne. Sva štenad su dobroćudna . Dakle, nijedno štene nije osa.

2. Svi brucoši služe se računalima.

Samo se dobro obrazovani služe računalima. Dakle, svi brucoši su dobro obrazovani . 3 . N ijedan kivi ne može letjeti .

Neke ptice su kiviji. Dakle, neke ptice ne mogu letjeti . 4 . Pametan čovjek bježi o d hijena.

Nijedan bankar nije nepametan. Dakle, nema bankara koji ne bježi od hijena.

195

•

Logika 5.

N ijedan škrtac n ije nesebičan . Samo škrci čuvaj u lj uske od jaja. Dakle, svatko tko čuva ljuske od jaja je sebičan .

6.

Svi brucoši moraj u slušati satove h rvatskog . Mary Jones je brucošica i priznata romansijerka . Dakle, n e k i brucoši moraj u slušati satove h rvatskog .

7.

N ijedna ptica, osi m pauna, ne pon osi se svoj i m repo m . Neke ptice, koje s e pon ose svoj i m repom, ne mogu pjevati . Dakle, neki pau n i ne mogu pjevati .

8 . Svi moji ujaci su i l i vrlo darežljivi i l i su ugod n i u društvu .

Svatko tko je darežljiv je ugodan u društvu . Dakle, svi moj i ujaci su ugodni u društvu .

II:

U sljedeći m nevaljan i m zaključci ma ispravite po jednu rečen icu (ili premisu i l i kon kluziju) i l i pa k dodajte kratku p rem isu koja nedostaje da bi se polučio valjan zaključak; zati m nap ravite dedukcij u . Objasn ite zašto je bila potrebna promjena koj u ste u n ijel i .

1 . Svatko tko posjeduje oružje j e društveni problem .

Neki ti nejdžeri n e predstavljaju društveni problem . Dakle, neki posjednici oružja n isu tinejdžeri . 2.

l\J ijed na žaba n ije poetična. Neke patke nisu poetične. Dakle, neke patke nisu žabe .

3 . N ijedna žaba n ije poetična .

Svi labudovi su poetičn i . Dakle, neki labudovi n isu žabe .

19&

4.

Svatko pametan hoda na nogama. Svatko nepametan hoda n a ru kama. Dakle, n itko ne hoda i na rukama i na nogama.

5.

Samo on i koji stu di raju fi lozofij u mogu pohađati ovaj se­ m i nar. Mary i George studi raju fi lozofiju. Dakle, Mary i George mogu pohađati ovaj sem i nar.

Načela izuođenja • 6. Mnogi od o n i h koji koriste automatsku kore kciju

pravopisa ne znaju pravopis. Mnogi privi legirani studenti koriste automatsku korekciju pravopisa. Dakle, neki studenti ne znaju pravopis. I I I : Utvrdite sljedeće teoreme dedu kcijom : 1 . (:3x)(Fx /\ Gx) ---* [(:3x)(Fx) /\ (:3x)(Gx)] 2. [(Vx)(Fx) v (Vx)(Gx)] ---* (Vx)(Fx v Gx)

Utvrdite sljedeće ekvivale ntnosti ded u kcijom : 3 . (:3x)(Fx v Gx) � [ (:3x)(Fx) v (:3x)(Gx)] 4 . ( Vx)(Fx /\ Gx) � [(Vx)(Fx) /\ (Vx)(Gx)] 5. (:3x)(Fx /\ Gx) � (Vx)(Fx ---* Gx) Gx)] 6. (Vx)(Fx ---* Gx) � [(:3x)(Fx /\ �

�

�

�

IV, Pokažite dedu kcijom da su sljedeći zaklj u čci valjan i : 1.

B rucoši mogu biti u košarkaškoj ekipi ako i samo a ko imaju dobre ocjene. Neki članovi košarkaške ekipe nemaj u dobre ocjene. Dakle, neki čl anovi košarkaške eki pe nisu brucoši.

2 . Svi košarkaši su i l i vrlo visoki i l i brzo trče .

Svi vrlo visoki košarkaši brzo trče. Dakle, svi košarkaši brzo trče. 3. Svi visoki košarkaši brzo trče.

Neki košarkaši su visoki i l i pak brzo trče. Dakle, neki košarkaši brzo trče. 4 . Svi ribiči su blagonakloni.

N ijedan sudac n ije blagonaklon . Neki suci su ribiči . Dakle, neke kućan ice su blagonaklone. 5.

Ako tvrtka bankrotira, svi će dobiti otkaz. Dakle, ako tvrtka bankrotira, Joe će dobiti otkaz.

6. Svatko će glasati za Henryja i l i će se Al ice razočarati .

Dakle, Joe će glasati za H enryj a i l i će se Al ice razočarati. 7.

Svatko tko posjeduje oružje je d ruštve n i problem . 197

•

Logika

Dak le, ako netko posjeduje oružje, netko je društve n i problem. 8 . Ako netko posjeduje oružje, svi su u opasnosti .

Dak le, svatko tko posjed uje oružje je u opasnosti . 9.

Ako svaki očevidac zločina i l i kaže isti n u i l i ne kaže isti n u , zločinac ć e biti u hvaće n . Dakle, zločinac ć e biti u hvaćen.

1 0. Postoji netko takav da će se svatko radovati ako on dođe

na sastanak. Postoji netko takav da će se svatko iznenad iti ako se on bude radovao. Dakle, postoji netko takav da će se svatko iznenad iti ako on dođe na sastanak. V. Utvrd ite dedu kcijom svako od sljedeća tri pravi l a prijelaza: 1 . [p !\ (l;;f x )(Fx)] � (I;;fx )(p !\ Fx)

2 . rp !\ (:Jx)(Fx)] � (:Jx)(p !\ Fx)

3 . [p � (l;;fx )(Fx)] � ( I;;fx )(p � Fx) 4. Nastavite dedu kcij u problema 3 tako d a utvrd ite: [p v (l;;fx )(Fx)] � (I;;fx )(p v Fx)

Pod pretpostavkom da nam je posljednji korak bio, reci mo, 2 -1 [p � (l;;f x )(Fx)] � ( I;;fx )(p � Fx)

bez zvjezdica, sljedeći koraci bi mogl i biti : 2 2 [ - P � (l;;fx )(Fx)] � (I;;fx )( - p � Fx) 2 3 [p v (l;;fx )(Fx)] � (I;;fx )(p v Fx)

QED Objasn ite i opravdajte ta dva koraka 5.

198

-

ili ih i spravite.

Konačno, i zvedite nezavisnu dedu kciju , prema d i le m i , te i ste e kvivalentnosti .

5.

poglavlje

I sti n o s n a stab l a za l ogi ku p re d i kata

U drugom poglavlju vidjeli smo da istinosna stabla daJu odgovor da

i l i ne na pitanje: je l i ovaj istinosnofun kcijski zaključak valjan ? Sada ćemo p roši riti metod u isti nosn i h stabala tako da dobijemo sl ičan test za zaključke logi ke predi kata. Metoda će opet biti posredna, i stabla će izgledati vrlo sl ično istinosn i m stablima drugog poglav­ lja. Stavke koje se na tim stablima pojavljuju bit će singu larn i iskazi i l i negacije singula r n i h iskaza; kad budemo i m a l i kvantifikatore, kvantificirane ćemo iskaze zam ijen iti nji hovim i n stancijama. Za to će nam trebati dva nova pravila kojima ćemo jasno defi n i­ rati kako izvesti tu zamjenu . Egzistencijal ni iskazi zamjenjuju se na jedan način, a u n iverza l n i na drugi . Istinosna stabla su smišljena kao d ijagrami koj i slikovno prika­ zuju kako sve iskaz i l i konjun kcija iskaza mogu biti istiniti . Egzisten­ cija l n i iskaz nam govori da postoji barem jedna stvar takva je da otvorena rečen ica tog iskaza za nju istin ita ; to jest, da je barem je­ dna instancija tog egzistencijalnog iskaza istin ita. Sadržaj egzisten­ cijalnog iskaza će dakle biti u potpunosti predstavljen na istinosnom stablu ako ga zam ijenimo jednom od njegovi h i n stancija, a ko je pseudoime korišteno u zamje n i novo. Č itatelj će u mjeti prepoznati da je taj uvjet zapravo ogran ičenje koje se odnosi na pravi lo izvođenja E l . Poanta je u tom e da se ime­ na bila to imena ljudi, mjesta ili predmeta u svijetu, ili imena ljudi, mjesta i l i p re d meta u rom a n i m a ili pri povijetkama, i l i pak 1 99

•

Logika

pseudoimena u ogran ičen im logičkim kontekstima - moraj u oda­ brati i koristiti tako da ne izazovu zbrku . Neka stvar može imati više imena, ali određeno ime se ne smije odnositi na više od jedne stvari - barem unutar danog konteksta u potrebe. Napokon, na svijetu ima tisuće "Mary", ali ako se nađe više od jedne u obitelji, u redu ili uči­ onici, pronalazi mo neki mehan izam uz čiju će pomoć biti jasno o kojoj Mary govorimo. U ograničen im konteksti ma logike kvantifi­ kacije moramo u potpunosti izbjegavati svaku takvu priliku za zbrku. Egzistencijaln i iskaz koji treba ući u istinosno stablo ćemo dakle zam ijen iti jednom njegovom i n stancijom ; varijabl u kvantifikacije zam ijenit ćemo novim pseudoimenom, slovom koje se ne javlja ni u prem isama n i u kon kluziji zaključka koj i ispitujemo, te koje n ije uvedeno pri u lasku d rugog egzistencijalnog iskaza. S univerzalnim iskazom ćemo rad iti drukčije, budući da je nje­ govo značenje sasvim drugačije. U n iverza l n i nam iskaz govori da je njegova otvorena rečen i ca isti nita za sve. Ako dakle govorimo o Mary, isti n it je za Mary, a ako govori mo o rijeci H udson, istin it je za rijeku H u dson . A ako govorimo i o Mary i o rijeci Hudson, istinit je za oboje. Kad na granu istin osnog stabla u nesemo zamjen u za un iverzal ni iskaz, pokušat ćemo izbjeći i m en ovanje ( uvođenje novih imena) te ćemo u mjesto toga u nijeti niz instancija. Na mjesto varijable kvantifikacije stavit ćemo sva imena i l i pseudoimena koja su se već pojavila na toj grani stabla. Tako obuhvaćamo sve relevan­ tne i nstancije - to je naime značenje un iverzalnog iskaza. U n i ­ verza l n i i skaz j e u potpunosti predstavljen na otvorenoj grani onda kad je zam ijenjen iscrpnim popisom svoji h relevantn i h instancija. Ponekad nećemo imati izbora nego započeti s u n iverza l n i m iskazom, u kontekstu u kojemu n e m a imena n i pseudoimena za koja bi ovaj važio. U tom slučaju uvod i mo novo pseudoime, a l i to či n i mo samo jedan put. Valja upamtiti da ako se u danom kontekstu ime i l i pseudoime pojavi dvaput (ili češće), tada dvaput (ili češće) u pućujemo na isto, a l i ako se u istom konte kstu pojave dva različita i mena i l i pse­ udoimena, tada nji hova različitost ne jamči da su i nji hove refere­ n cije raz l ičite; sasvim je m oguće da 'a' i 'b' u pućuju na potpuno istu stvar. 2DD

Istinosno stabla za logiku predikata .

Evo i ta dva nova pravi l a za isti nosna stabla.

ES: Na mjesto egzistenCijalno kvantifi ci rane reče n i ce i l i sas­ tavnice rečen ice koja treba ući na otvore n u gra n u isti nosnog stabla u nosi m o njezi n u i nstanciju ; za svaku novu takvu rečen i cu i l i sastavn icu u nosimo novo i m e .

US: N a mjesto u n ive rza l n o kvantificirane rečen ice i l i sastavn ice rečen ice koja treba ući na otvoren u gra n u istin osnog stabla u nosimo sve njezi n e i n stancije koje koriste i me i l i pseudoi m e koje s e već pojav i l o na toj gran i . Kad i m ate izbora, koristite E S p rije U S . Kad imate izbora, prvo u n es ite "stvarna" i m e n a . Čitatelj ć e prim ijetiti odnos t a d v a p ravi l a p re m a E l i Ul. U očit će i jedn u zn ačaj n u razl iku : i jedno i drugo pravi lo sadrži izraz " i l i sastavn i cu rečenice" . U dedu kCij i se E l i U l mogu koristiti samo ako kvantifikator koji žel imo ispustiti pokriva cijel u rečenicu koju i nstan­ c i ramo. ES i US rade i sa sastavn icama - ali stablo se tada mora pažlj ivo označiti kako bi b i l o jasno kol i k o je d u g opseg e l i m i n i ra­ nog kvantifi kato ra. Stoga bismo od ' (:Jx)(Fx

Fa Ga

I

A

Cx)' mogl i dobiti

PREM 1 , ES ( a)

a od (:Jy)(Fy

v

Cy)

/\

Fa

Ga

PREM 2, ES (a)

201

•

Logika

Međuti m , kad i mamo dva egzistencijalna kvantifikatora, relativno kratkog dosega, ES se mora koristiti dvaput pa ćemo imati dva pseu­ doimena. Od '(3x)(Fx) A (3x) (Gx) ' bismo tako mogli dobiti Fa Gb

a od '(3x) (Fx)

l

ES ( a) ES ( bl v (3x) (Gx ) '

J

/\

Gb

ES ( al Fa

PREM 3

ES ( bl

Kao što nam j e poznato, (3x)(Fx Fa - Fa

l

J

x

ali (3x)(Fx) Fa - Fb

l

A

A

PREM 4

- Fx) Je i n konzistentno :

ES ( a)

(3x) ( - Fx) n ije:

ES ( al ES ( bl

]

PREM 5

t Kod ta dva nova pravi la, ES i US, nema spomena negacije. S negacijama kvantificiran i h rečenica i l i nji hovih sastavnica mora se raditi kao s negacijama složenih rečenica i nj ihovih sastavnica u isti­ nosnofu n kcijskim istinosn im stablima: negacija se internalizira. Da bismo d ijagra m i ra l i negaciju kvanti ficirane kon kl uzije, prvo i nter­ naliziramo negacij u a zatim koristi mo ES, odnosno US. Pri inter­ nalizaciji negacije pomažu nam dva para ekvivalentnosti za nega­ ciju koje smo uve l i u četvrtom poglavlju :

KN: 202

- (V x] ( Fxl � (3x) ( - Fxl - (3x] (Fxl � (Vx] ( - Fxl

Istinosna stabla za logiku predikata .

( '1;1x) (Ax � Bx) B [3x) (Ax /\ - (3x] (Ax /\ Bx) B ('1;1 xJ (Ax �

KN ' :

-

-

-

Bx) Bx]

tu, kao i u drugom poglavlju, problemu "implicitne negacije" valia pridati posebnu pažnju. Kako, primjerice, d ijagra m i rati i m p l i kaci­ ju s kvantificira n i m antecedensom ? Učin iti će mo u p ravo ono što i u drugom poglavliu kad smo htjeli d iiagra m i rati i m p l i kaciju sa slože n i m antecedensom. Podsjetimo se na osnov n i d ijagram za AKO : I

p

-

q

a zatim interna1iziraj mo negaciju u antecedensu prije nego sa­ stav i m o isti nosno stablo. Na pri mjer, Ako je n etko gladan ili žeda n , Joe će ići u trgovi n u po namirnice. Clara je g l a d n a . Dakle, J o e će ići u trgovi n u .

(3x) ( Gx v ŽX) Ge

PREM 1 : PREM 2 :

�

Tj

- Tj

- KKL: PREM 1 :

- [3xJ ( Gx v Žxl v Tj ('1;1 xl - ( Gx v ŽX) v Tj ('1;1 x) ( - Gx /\ ŽXl v Tj

prema AKO pre ma KN prema NIU

-

Ge

- Tj

us

[

Gc Že - GJ

-

-

- Zj X

PREM 2 - KKL

Tj X

l

PREM 1

valj a n o 203

•

Logika

To je sta blo " potpuno" ; negaciju antecedensa n aprav i l i smo i za Claru i za Joea, i ta se grana bavila i glađu i žeđi . Sve bi to bilo po­ trebno da je za ključak bio nevaljan. Važno je znati da nam je sve to na raspolaganj u , al i u ovom se slučaju grana zatvorila n a kon prve stavke pa bi b i l o dostatno i ovo stabalce : Gc

- Tj

us

PREM 2

KKL

PREM 1

- Gc X

valjano

Vrijedi razmotriti još dva pri mjera, između ostalog i zato što uz nji­ hovu pomoć razli ka u značenju između dvije rečenice koje se u njima javljaju postaje sasvim jasna, a i da bismo n aglasili važnost ispravn og bi lježenja dosega kvantifi katora. Ako svatko posjeduje oružje , svatko je u opasnosti. Dakle, svatko tko posjeduje oružje je u o pasnosti.

I ntuitivno, kad pročitamo taj zaključak na h rvatskom, smatramo prem isu isti n itom, a kon k l uziju neisti n itom . Skloni smo pom isl iti, dakle, da je zaključak nevaljan . Ta je sl utnja dakako ispravna, ali iz­ grad nja ispravnog istinosnog stabla ovisi o tome hoćemo li isprav­ no u rediti dosege kvantifikatora i ispravno u potrijebiti ekvivalent­ nosti za n egaciju . P RE M :

KKL: - KKL:

2D4

( lj x) (Px) -+ ( lj x) ( ox) - ( ljx] [Px) v (ljx) ( Ox) (3x) ( - Px) v ( lj x) ( ox) (lj xJ ( Px -+ Ox) (3x) (Px 1\ Ox) -

prema AKO prema KN prema KN '

Istinosna stabla za logiku predikata .

Pa - Oa

ES

(b)

l

- KKl, ES ( a)

PREM , US

Oa X

- Pb

t

neva ljan o

Obratn i zaključak je, međuti m , valjan : Svatko tko pos jed u j e orulje je u opasnosti. Dakl e , a ko svatko posjed uje oružje, svatko je u opasnosti .

(\7 xl ( Px -? Ox) (\7 x) (Px) -? (\7 xl ( Ox) (\7 xJ ( Pxl " - (\7 x) ( oxl (\7x) [ Px) " [3xl ( - Ox)

PREM: KKL: - KKL:

- Oa

ES

Pa

US

- Pa X

( a)

l

-

Oa X

prema NAKO prema KN

KKL

PREM , US valjano

Sada idemo na dva silogizma koja smo dokaza l i uvodeći E l i UG. N e ke provalnike uhvati policij a . S v i provalnici su nepošteni. Dakle, neke nepoštene uhvati po l i c jj a

PREM 1 : PREM 2 : KKL: - KKL:

(3x) (Lx " Ux) (\7 x) ( Lx -? Nxl C3x) (Nx " Ux) (\7x) ( Nx -? - Ux)

.

prema KN ' 205

•

Logika

l

la Ua

�

PREM 1, ES (a)

La

Na

X

PREM 2, US

�

�

Na

�

X

Ua

�

KKl, US

X valjano

Nadalje:

Sva krilata bića mogu letjeti, Sve ptice imaju krila. Dakle, sve ptice mogu letjeti,

PREM 1:

('If x](kX � Lx)

PREM 2:

('If x) (Px � kXl

KKL:

('If x](Px � Lxl (3x](Px /\ � Lx)

�

Pa

KKl:

�

�

l

la

Pa

�

KKl, ES (a)

Ka

X

�

prema KN'

PREM 2, US

~

Ka

X

la

PREM i, US

X valjano

206

Istinosna stabl a za logiku predikata.

Uočite da, i ako poredak premisa u ovom sl učaju nije bio važan, prvo treba unijeti negaciju konkluzije. To n ije stvar načela, nego po­ godnosti. Sljedeći d ijagram pokazuje kako bi izgledalo istinosno sta­ blo u kojemu smo u n ijeli egzistencijal n i iskaz nakon u n iverzaln ih:

- Pa

- Ka

PREM 1, US

La

- Ka

X

Pb

]

Pb

- Lb

- Lb

-Pb

Kb

Kb -Pb

X

PREM 2, US

Ka

/\ !\

PREM 2, US

Kb

-Pb X

-KKL, ES (bl

!\

- Kb

Lb

-Kb

Lb

- Kb

X

X

X

X

X

Lb

PREM 1, US

X

valjano

to stablo radi, samo ako dovoljno pazimo na ponavljanje uni­ verzalnih premisa, budući da one važe i za a i za b ali je nespret­ n o. Sada idemo na nevaljan zaključak kojim smo u poglavlju 4 il us­ trirali pogreš n u upotrebu El i UG. I

-

A. Netko je u podrumu i želi izaći. Dakle, Joe Jen kins je u podrumu. PREM: �

KKL:

[:lx) (Zx 1\ lx) - Zj

•

Logika

- Zj Za /a

t

J

- KKL PREM, ES (a)

nevaljano

Tu valja uočiti tri stvari. Prvo, Za (Albert je, recimo, u podrumu) i zj Uoe Jenkins nije u podrumu) nije proturječno; stabalce je stoga otvoreno. Drugo, otvoreno stablo daje protuprimjer i time pojašnja­ va zašto je izvorni zaključak nevaljan: netko, recimo Albert, jest u podrumu i želi izići, ali Joe Jenkins nije u podrumu - što se tiče pre­ mise, to je sasvim moguće. Treće, poredak u radu je i ovdje važan; tu smo se koristili drugom preporukom: -

Kad god je to moguće, "stvarno ime" ili ime koje se pojavlju­ je u premisama ili konkluziji zaključka koji ispitujete unesite prije nego što budete koristili ES ili US. Ako se prvo koriste ES i US, možemo se naći u iskušenju da uve­ demo pseudoime koje nije prikladno: to jest, koje se 'podudara sa"stvarnim imenom" ako koristimo ES (u slučaju poput ovoga), ili koje se pak ne podudara sa stvarnim imenom ako koristimo US. B. Ako Mary jede jagode, Mary dobije osip. Dakle, svatko tko jede jagode dobije osip. PREM: - KKL:

-Jm Ja - Da

t

208

Jm�Om (3x](Jx /\

-

Ox)

prema KN'

Om Ja �

Da

t

J

PREM - KKL, ES (a)

nevaljano

Istinosna stabla za logiku predikata .

Kao i u d rugom poglavlju, ekvivalentnosti za negaciju su korištene prije nego što su na stablo u nesene stavke. C. Neke životinje s u mačke i neke životinje su psi.

Dakle, neke mačke su ps i PREM: KK L: - KKL:

.

(3x)[ŽX /\ Mx] /\ (3x)(Žx /\ Pxl (3xl[Mx /\ Pxl ('I7'x)(-Mxv -Pxl prema KN'

J J

Ža Ma Žb Pb -Ma

PREM, ES (al PREM, ES (bl

-Pa t

X

- KKL, US

nevaljano

To stablo nije ispravno. I strelica pod desnom granom i notacija "ne­ valjano" napisane su pre u ranjeno. Preuranjeno zato što smo ne­ gaciju konkluzije koristi l i samo jednom, kad smo je pri m ijenili na a; ali i b se javlja na otvorenoj gran i. Potpuno stablo izgleda ovako:

J J

Ža Ma Žb Pb -Ma X

PREM, ES (a) PREM, ES (bl

- Pa

- KKL, US

�

-Mb t

-Pb

- KKL US

X

nevaljano 209

•

Logika

Otvorena grana sada daje protuprimjer koji objašnjava nevaljanost zaključka: da je moguće, što se tiče p remise, da Algernon, koji je životinja, i to mačak, ne bude pas, te da Bertrand, koji je životinja, i to pas, ne bude mačka: takva situacija zadovoljava premisu ali je uskladiva s neistinitošću konkl uzije. N epotpuno stablo daje samo pola ti h informacija. Osim toga, ima slučajeva u kojima treba još jednom koristiti US kako bi se zatvorilo stablo za zaključak kaji će se pokazati valjanim; u tim slučajevima korištenje n epotpunog sta­ bla može dovesti u zabludu, da je valjan zaključak nevaljan . Uočite i struktu ru dijagrama za (Vx)(Fx v Cx), koji smo primi­ jenili n a dva pseudoimena. (Vx)(Fx v Cx) nam govori da (Fa v Cal i (Fb v Cb), tj.

Fa

Ga

AA

Fb

Gb

Fb

Gb

Što je značajno različito od

Fa Fb

lA '

l

Ga Gb

a što je dijagram za (Fa 1\ Fb) v (Ca 1\ Cb) ili za (Vx)(Fx) Za razliku od zaklju čka C, sljedeći zaklju čak: C'. Neke životinje su psi i neke životinje su mačke. Dakle, ima pasa i ima mačaka.

je valjan (iako nezanimljiv).

210

v

(Vx)(Cx).

Istinosna stabla za logiku predikata.

PREM:

- KKL:

(3x)(ŽX" Px]" (3x](Žx" Mxl - [(3x](Px" (3x](Mxl] - (3x](PxJ (Vx](- Pxl

v

-

v

prema NI prema KN

[3x)(Mxl

(Vx)(- Mx)

Ža

Pa

Žb Mb

JS J ES E

(a) (b)

- Ma

[-Pa

1-

- Pb X

Mb

] ]

-

KKL

X

valjano D. Nešto je zanimljivo Dakle, sve je zanimljivo. PREM:

(3x)[/xl

KKL:

(V xl (/xl

la

- KKL: (3x](- lxI

- lb

t

I

prema KN

PREM, ES (a)

- KKL, ES (b) nevaljano

Valjan pak zaključak D' je primjer upotrebe pseudoime kad nema alternative. D' je bio

US

kojom se uvodi

Sve je zanimljivo. Dakle, nešto je zanimljivo.

211

•

Logika

PREM:

(Vx) (bl

� KKL:

� [::Jxl[bl

prem a KN

(Vx) (� bl Za � Za

H

I

PR EM US ,

� KKL. US

valjano

Taj zaključak, što je bilo jasno već kod njegove ded u kcije u četvr­ tom poglavlju, odražava metafizičku pretpostavku koju smo napo­ men u l i u uvodnoj raspravi o Ul, da naime postoji nešto, da radi­ mo u nepraznom un iverzu m u .

S njim " povezan" zaključak je međutim nevaljan. D" Svi mađioničari su zanimljivi. Dakle, neki mađioničari su zanimljivi. PREM:

( V xl (Mx � bl

KKL:

(::Jx) (Mx 1\ b) . � KKL: ( V x) (Mx� �bl

prema KN'

� AA �Ma

Za

�Ma

�Za

�Ma

�Za

t

t

t

H

PR EM US ,

�KKL, us

nevaljano

Nema "metafizičke" pretpostavke prema kojoj postoje mađio­

n i čari . E.

212

Sve je zanimljivo ili nezanimljivo. Dakle, sve je zanimljivo ili sve je nezan imljivo.

Istinosna stabla za logiku predikata .

PREM: KKL:

('
- KKL: - [('
prema NIL! prema KN. DN

- ('
ES (al

lb

ES (bl

]

- KKL

Za

X

lb

- lb

t

X

PREM, US

nevalja n o

Uočite da zastavice koje sam koristila s ES zapravo nisu bile potreb­ n e, a l i su korisne kao podsjetn i k; svaki put kad koristim o ES uvo­ d i m o novo pseudoime. Ako na stablu već ima i mena i l i pseudoi­ mena, korištenjem US se ne uvode n ova pseudoimena; US se primjenjuje na ono što već i mamo. US treba koristiti dovoljno često, a stabla označavati jasno, tako da čitatelj lako vidi otkud svaka stavka.

\jeki problemi u ogici predikata

Pogledajm o sada n e k oliko malo kom pliciranij i h prim j era. Dok rad i mo, naznačit ćemo kako prelim i n arno p roc i j e n iti n j ih ovu valjanost.

F. Svi brucoši moraju slušati ili matem atiku i li fiziku. Ne slušaju svi brucoši matematiku. Dakle. neki koji slušaju fiziku ne slušaju matematiku.

213

•

Logika

(\7'x)[Bx� (Mxv Fx)] �

(\7'x)(Bx � Mx)

.. (:lx) (Fx 1\

�

Mx)

To izgleda valjano; druga nam, naime prem isa govori (ako se sje­ ćamo KN') da neki brucoši ne sl ušaju matematiku, a prva da takvi brucoši, budući da ne slušaju matematiku, moraju slušati fiziku. Ta­ ko smo otkri l i koga konkl uzija proziva: one koj i sl ušaju fizi ku ali ne i matematiku. To će nam poslužiti kao nacrt za dedukciju. Istinosno stablo izgleda ova ko : PREM 1: Prem 2:

(\7'xllBx� (Mx v Fxll �

(\7'x)(Bx� Mx)

(:lx) (8x 1\

KKL: �

[:lx)(Fx 1\

KKL :

prema KN'

Mx)

�

�

Mx)

prema KN'

(\7'x) (Fx� Mx)

]

Ba - Ma

�

Ba

H

PREM 2, ES [al

�

Ma

Fa

PREM 1, US

H

�

Fa

H

Ma

�

KKL , US

H

valjano G. Neki Grci su suci. Neki Grci su kraljevi. Svi suci su pravedni. Svi kraljevi su oholi. Dakle, neki pravedni Grci su oholi.

214

Istinosna stabla za logiku predikata.

Prem Prem Prem Prem KKL:

1:

[lx)(Gx 1\ Sxl

2:

(3x)(Gx 1\ Kxl

3:

(\7'x)( Sx � Pxl

4:

(\7'xl (Kx � oxl C 3 x)[Px 1\ Gx 1\ Ox) - KKL: (\7'x)[- Pxv - Gxv - oxl

Ga Sa Gb Kb

prema KN, NI

] ]

nevaljano

Je l i taj zaključak valjan? Prije n ego što pogledamo njegovo isti­ nosno stablo, pozabavimo se tim pitanjem . Prva prem isa nam ka­ že da su neki Grci suci, a treća da su ti suci pravedni; neki Grci su dakle pravedn i . Druga premisa nam kaže da su neki Grci oho l i. N o , daju li premise razlog da vjerujemo kako te dvije skupine Grka i maju zajedn ičkih članova? Ne d aju. Pokušal i smo izraditi nacrt za dedu kciju, ali naš pokušaj je p ropao. Ocjenj ujemo da je zaključak nevaljan i d a će njegovo istinosno stablo i mati otvorenu gran u . Tako i jest. 215

•

Logika

Otvorena grana, na kojoj se nalazi: Ga, Sa, G b, K b, Pa, - S b, - Ka, Ob, - Oa i - Pb pokazuje da, što se tiče premisa, može postojati

grčki sudac, Aristi d (a), koj i je pravedan ali n ije ni kralj ni ohol, kao i grčki kralj Brasidas ( b), koj i je ohol, ali nije ni sudac ni pravedan, te da je to moguće čak i ako su prem ise istin ite a kon kluzija neis­ ti nita, to jest, i kad nijedan pravedan Grk nije ohol. Zaključak je ne­ valjan. (Da bismo ustanovili nevaljanost bi lo je dovoljno završiti sa­ mo l ijevi dio njegova stabla.) H. Svi brucoši imaju računala.

Ako nitko tko ima računalo ne zna pravopis onda svatko tko ima računalo koristi program za provjeru pravopisa. Dakle, ako bilo koji brucoš ne koristi program za provjeru pravopisa, neki korisnici računala znaju pravopis.

Taj zaključak donosi tri problema formal izacije. Prvi se od nosi na sm išljanje pokrata i izbjegavanje zbrke (i najlakše ga je riješiti), dru­ gi se odnosi na doseg kvanti fi katora, a treći n a riječ 'neki'. Neka je Neka je Neka je Neka je

Bx Rx Px Kx

= = = =

x je brucoš. x posjeduje računalo. x zna pravopis. x koristi program za provjeru pravopisa.

N ad alje, u svemu je tome bitno uočiti da i su druga premisa i kon kluzija impli kativn i iskazi, s kvantificiranim antecedensima i kvantificiran i m konsekvensima. Stoga se treba oduprijeti iskušenju da ijedan od njih formalizi ramo jednim kvantifi katorom kOji pokriva cijel i iskaz. Antecedens druge prem ise treba čitati i li kao '- (3x)(Rx /\ Px)' i l i kao '(Vx)(Rx � - Px)' - u svakom slučaju kao zatvorenu formulu. Konsekvens te premise tada bi bio '(Vx)(Rx � Kx)'. Čita­ nje druge premise kao, na primjer, (Vx)[(Rx � - PxJ � (Rx � KxJl

l ako može zavesti na krivi put. Ta pogrešna formu lacija n ije ekvi­ va le ntn a ispravnoj 21&

Istinosna stabla za logiku predikata. (VxHRx� - Px) � (VxJ(Rx� Kx)

I m a još mogućnosti: - (:lx)(Rx /\ Px)� (Vx)(Rx � Kx) - (3x) (Rx /\ Px) � - (3x)(Rx /\ - Kx) (V xJ[Rx� - Px) � (Vy](Ry � Ky)

Promjena va rijable u posljednjem čitanju pom aže uto l i ko što n a­ glašava kratkoću dosega kvantifikatora te time odsustvo unakrsnog u p ućivanja. Rastezanje dosega oba kvantifi katora po toj osnovi, (:lxJ((Vy)[(Rx� - Px) � (Ry� KylJ

ili (Vy)(3x)[(Rx� - Px) � (Ry� KyIJ

bilo bi legiti m no, a l i ne odviše ko risno. Uočite razliku između ti h form u l a i neisp ravne (Vx)[(Rx� - Px) � (Rx� KxJJ

koju smo prije pred loži l i ( i od bacil i). Dobro je zapaziti da, dok je dug doseg ponekad pogodan u dedukciji , kad treba koristiti El i l i Ul, kratak doseg je obično pogo­ dan pri d ijagrami ranju i stinosnog stabla. Sada idemo na konkl uziju koju može mo pročitati ovako : Ako neki brucoši n e koriste program za provjeru pravopisa,

neki korisnici računala znaju pravopis.

gdje je riječ 'neki' zamijenila sva pojavlj ivanja izraza 'bilo koj i ' u izvorniku . Misl i m da će sličnost u značenju biti intu itivno očigledna većini, a l i vrijed i porazm isliti o tome kako to fun kcionira. Izraz 'bilo koji' (kao i izrazi 'bilo tko', 'bilo što', 'bi l o gdje') i ma snagu univer­ zalnosti , ali ta se sn aga prenosi različitim zamjenama u različitim kontekstima. U potvrdnom kontekstu, izraz 'bilo koj i' se može zam ijen iti riječima 'svaki' i l i 'svi' : 217

•

Logika

Uživam u bilo kojoj aktivnosti na zraku. Ako je bilo što aktivnost na zraku, ja u tome uživam. Uživam u svim aktivnostima na zraku. Uživam u svakoj aktivnosti na zraku. (Vxl (Zx� Uxl

A l i , u n iječnom ko ntekstu , izraz 'bi l o koj i' se ne smije zam ijen iti riječi ma 'svi' ili 'svaki', nego (ako se u opće zamjenjuje) riječj u 'neki' (iako ona ponekad ne zvuči pri rodno): I�e uživam ni u kojoj aktivnosti na zraku. Nije slučaj da uživam u nekoj aktivnosti na zraku. Nije slučaj da postoji bilo koja aktivnost na zraku u kojoj uživam. Nije slučaj da postoji neka aktivnost na zraku u kojoj uživam. - (3x)[Zx

A

Uxl

A rez u ltat uistin u prenosi u n iverzal n ost, jer j e e kviva l enta n s (Vx)[Zx�

�

lUxl

Opet, kako smo vidjel i u vezi sa sedmim pravilom prijelaza, ovo je e kvivalentno: Ako itko pritisne gumb, dizalo će se popeti. Ako netko pritisne gumb, dizalo će se popeti. (Vx)[Px� Dl (3x)[Pxl �

prema pravilu prijelaza (71

D

Da zaključimo, kad se izraz 'bilo koji' pojavlj uje bilo u n iječnom kontekstu bilo da prenosi "kvantitetu" antecedensa i mplikacije, on se simbo lizira egzistencijal nim kvantifi katorom . Drugdje se s i m ­ bol izira u n iverza l n i m kvantifi katoro m . Tako stižemo do sljedeće formalizacije zaključka H: Prem 1: Prem 2:

(Vxl (Bx� Rxl �

(3xl (Rx

(3x)[Rx

218

A

A

Pxl � (Vxl (Rx� Kxl

Pxl

v

(VxHRx� Kxl

prema AKO

Istinosna stabla za logiku predikata.

KKL: - KKL:

[:3x)[Bx 1\ (3x)(Bx 1\ (3x)(Bx 1\

- !(Xl - !(Xl - !(Xl

� (3x)[Rx 1\ Pxl 1\

- (3x)(Rx 1\ Pxl

1\

(Vx)(Rx� - Pxl

prema NAKO prema KN '

No, prije nego što sagradimo istinosno stablo, pogledajmo izgle­ l i taj zaključak valjano. Pretpostavimo da neki brucoši ne koriste program za provjeru pravopisa (sada radimo nacrt mogućeg dokaza po i m p l i kacij i, a to je antecedens željene konkl uzije). Možemo li pokazati da u tom slučaju neki posjedn ici računala znaju pravopis? Budući da nam prva prem isa govori da svi brucoši imaju raču na­ lo te smo pretpostavili da neki brucoši ne koriste program za prov­ jeru pravop isa, iz toga sl ijed i da neki posjednici računala (brucoši) ne koriste program za provjeru pravopisa. N o, to nam govori da je konsekvens druge prem ise (svatko tko posjed u je raču nalo koristi program za provjeru pravopisa) neisti nit pa (prema modus toIlen­ su) neisti nit mora biti i antecedens. To jest, nije slučaj da n itko tko ima raču nalo ne zna pravopis. Antecedens konkluzije nas je doveo do iskaza ekvivalentnog konsekvensu kon k l uzije, i stoga prosuđu­ jem o da je zaključak valjan . No, taj se rezultat mora provjeriti istinosnim stablom i, ako rezul­ tat bu de pozitivan, formalnom dedu kcijom:

da

-�:l ]

A

- Ba

ES (bl

[

Rb Pb

- KKL, US -Rb Je

- KKL, ES (al

Ra

PREM 1, US

�Ra Ka

Je

Je

US

]

PREM 2

�Pb

Je

valjano 219

•

Logika

Treba uočiti da se na lijevoj stran i , gdje smo unije l i zamjenu za '(Vx)(Rx � - Px)' univerzalni kvantifikator odnosi i na a i na b, Na d esnoj strani, gdje smo dvaput koristili US, i m a m o sam o pseu­ doime 'a ', Umjesto

A

- KKL. US- Rb

- Pb

X

X

na d n u stabla, mogla sam staviti:

us

- Pa

- Ra

us - Rb X

- Pb

- Rb

- Pb

X

X

X

Rezultat bi bio kom pl ici ra n iji dijagra m :

_�:I 'J

A

- Ba

ES (bl

US

us

220

[

Rb

-

Ra

KKL. ES [al

PREM 1, US

- Ra Ka

X

Pb

X

A A

X

]

PREM 2

- Pa

- Ra

- Rb

US

- Pb - Rb

X

X

- KKL

- Pb

X

valjano

Istinosna stabla za logiku predikata .

Eksplicitna upotreba "Ra � Pa " i "Rb � Pb" bila bi potrebna kad bismo uspostavljali nevaljanost, ali ovdje, time što smo koristil i prvo 'b' a onda 'a', brzo zatvaramo t u granu i skraćujemo stablo; pokazuje se da bi spomi njanje a na l ijevoj strani bilo i relevantno. Formalnu dedukciju treba izvesti č itateljica, prema tom nefor­ malnom nacrtu, ili, ako joj je draže, prema reductio ad a bsurdum i l i nekom d rugom obrascu dokaZivanja. -

-

Sada ćemo se pozabaviti parom iskaza kojima ćemo ispitati valjanost, i koji će sadržavati ugni­ ježđene kvantifikatore i stoga će, zbog jasnoće, zahtijevati u potrebu dviju varijabl i . Kako se či­ tatelj sjeća iz prvog poglavlja, da bismo ispita l i valjanost nekog iskaza , ispitujemo inkonzistentnost njegove negaci­ je. Uočimo ipak prvo jedan poseban problem pri formalizaciji, po­ vezan s ugnježđivanjem, to jest, pojavu kvantifikatora u nutar dosega drugih kvantifjkatora.

Ugniježđeni kvantifikatori

J. Svatko je takav da, ako je on budalast, onda je svatko budalast.

Trebamo od l učiti je l i taj iskaz valjan. Evo prvog pokušaja njegove forma l izacije: (V xl [ Bx � (V x) (BxJ I

Ta je formu l a teška z a čitanj e j e r d rugo 'Fx' pokrivaju dva kvan­ tifikatora x pa ne m ožemo odmah uočiti kOji se odnosi na x. Pri­ sjetimo se, iz četvrtog poglavlja, da se promjenom varijable (Vx)(Fx) može zam ijen iti s Wy)(Fy)'. Stoga pokušajm o s, J

(Vxl [Bx � (VyHByl l.

Naravno, i '(\fy) [By� (Vx) (BxJI' bi jednako dobro poslužilo svrsI.

221

•

LDgika

Je li taj iskaz valjan? Pomislite na neku budalastu osobu koju poz­ najete, recimo Joea; je li za Joea isti na da ako je on budalast da j e budalast svatko? To jest, budu ći d a Joe jest budalast, j e l i budalast svatko? Vjerojatno n ije. Iskaz izgleda nevalja n . Uočite da t u možemo primijeniti i pravilo (7) iz pravila prijelaza: [(3x)(Bx) � pl

f--)

(Vx)[Bx� pl

Supstitucijom '(Vy)(8y)' umjesto 'p' dobivamo : [(3x)(Bxl � (Vy) [By)]

f--)

(VxHBx� (VyHByl]

i time

J' (3x)(Bxl � (VyHByl

Ako je netko budalast, svatko je budalast. A to je sigu rno neva­ ljano. Provjerimo tu i ntu iciju isti nosni m stablom: - (VxJ[ By� (VyHBy)] (3xl - [Bx� (Vy)(Byll (3xl [Bx /\ - (VyHBy]] (3xl IBx /\ (3y) [- By)] (3x)(Bx) /\ (3y)(- ByJ

prema prema prema prema

KN NAKO KN

pravilu prijelaza (2J

Mogli smo isto tako koristiti i prav i l a prijelaza prije n egiranja, i početi s n egacijom J': - [(3x)(Bxl � (Vy)(Byll (3x)(BxJ /\ - [VyHByJ (3x)(Bxl /\ [3y)(- Byl

prema NAKO prema KN

Kon j u n kcija koj u ćem o dijagrami rati je ista . Dob ivamo Ba - Bb

l

ES

(al

ES (bl

t nevaljano 222

Istioosoa stabla za logiku predikata.

(vx)[Bx --) (vy)(By)] je, kako smo i očekivali, nevalpno. Ali ovaj iskaz: (:Jx)(Bx --) (vy)(By)] je, što možda i nismo očekivali, valja n .

K.

Postoji netko takav da, ako je o n budalast, onda je svatko budalast. C3xllBx --)

(v yHByll

Počinjemo provjerom iskaza istinosnim stablom. Njegova n egac ija Je : [vx)

�

[Bx --) [vyHByll

[vx) [Bx t\ [vxHBx

t\

[vxHBx) - Ba Ba

l

�

(vyHByll

[:J yH - By]] C3y)(- By)

t\

prema KN p rema NAKO prema KN prema pravilu prijelaza (1)

ES [a) US

X valjano

Budući da j e njegova n ega cija i n konzistentna, iskaz (vy)(By)] je valjan . Utvrdimo sada to ded u kc ij o m : *1 *

Ba

(3x)[Bx

--)

PREM 1 UG (a)

2

(vyHBy)

3

B a --) (v y)(Byl

1-2 DI

4

(3xllBx--) (vyHByll

3 EG QEO

Ta mala dedu kcija utvrđuje tu konkl uziju . Ona, međutim, ne " utv rđuj e " korak 3, jer je bez koraka 4 dedukcija nedovršena. Korak 4 eliminira istaknuto slovo a iz konkluzije; korak 4 se d ak l e ne može ispustiti . Ne m ože ga se ni zamijeniti alternativnim: 4'

[vxllBx-) [vyHBy)1

3 UG [a)

Taj bi korak, kad bi bio prihvatljiv, utvrdio J, a ne K. Korak 4' zabra­ njen j e ogra n iče nje m dvostruke zastavice - koje sugerira d a j e J uistinu neva lj a n o. 223

•

Logika

Na kraj u , pogledajmo mogu l i pravila prijelaza baciti nešto svjet­ la na valjanost K. Pravilo (8) kaže nam da [ ( VxHBx) � pJ

H C3xJ(Bx� pJ

te je stoga K, (3x}[Bx � (Vy)(By)] zamje njivo s ( V x J ( Bx J � (VyHByJ

što je očigledno valjano, budući da je instancija "zakona identiteta" (p � p), samo s prom ijenjenom varijablom, koja ne ostavlja posljed ice. Tako smo i treći put pokazali valjanost K: "Postoji netko takav da ako je on budalast, onda je svatko budalast." Pokušajm o sada vidjeti koji je sm isao te neobične tvrdnje. Zam islimo fi lozofa kako, poput Diogena, svjeti ljkom traži ne baš mudrog čovjeka, nego nekoga takvog da ako je taj budalast, onda je svatko budalast. Pretpostavimo da je prvi čovjek s koji m se su­ sretne vrlo budalast; kako filozof ne zna je li svatko budalast, ne zna ni udovoljava li taj čovjek njegovom kriterij u . Traži dalje. Pret­ postavimo da drugi čovjek s kojim se susretne nije budalast; u tom slučaju filozof je pronašao svog čovjeka; za tu nebudalastu osobu je i sti na da ako je budalast, onda je svatko budalast (zbog neis­ tin i tosti antecedensa). Tako imamo dvije mogućnosti: filozof u svo­ j im l utanji m a pronađe nekog (a) tko n ije budalast pa je ' Ba � (Vy)(By)' istinito zbog neisti nitosti antecedensa. Il i pak on gdje god došao nalazi samo ljude koji jesu budalasti i konačno se uvjeri da je svatko budalast, to jest (Vy)(8y), pa je 'Bb � (Vy)(By)' istinito zbog isti n itosti konsekvensa. Ta pričica nije dokaz - ali dokaz smo dali već tri puta. L. Vrati mo se zaključku s ugniježđeni m kvantifikatorima čiju smo dedukciju zadali u četvrtom poglavlju: Postoji netko takav da će se svatko radovati ako on dođe na sastanak. Postoji netko takav da će se svatko iznenaditi ako se on bude radovao. Dakle. postoji netko takav da će svatko iznenaditi ako on dođe na sas­ tanak. 224

Istinosna stabla za logiku predikata

_

(3x) [ Sx� (V'y) (Dyll (3x) [ Dx� (V'yHlyll .. a�HSx� (V'ylllyll

Kako bismo ocijenili valjanost tog zaključka, m isl i m da za poče­ tak možemo dati nacrt dedu keije. Više je n ačina da se to napravi. Prvo, kako već jest: Pretpostavimo da postoji n etko, recimo Alfred, takav da je sva­ kome d rago kad dođe na sastanak, i da postoji netko, recimo Bea­ trice, takva da se svatko iznenadi ako se ona raduje. Pretpostavimo da Alfred dođe n a sastanak. Svatko će se radovati, pa i Beatrice, a budući da se Beatrice raduje, svi će biti iznenađeni. Alfred (prema načelu dokaza po i m p l i kaciji ) udovoljava kriteriju tražene kon­ kl uzije, i zaključak je valjan. Formalno, *

{

1 (3x)[Sx� (V'y)[Dyll

2 (3xJ(Dx� (V'yl(fyll

PREM

Dokaži mo: (::3x)[Sx � (V'y)(Iy)] *

3 Sa � (V'yl !Dyl

*

4 Db � (V' yHlyJ

**

5 Sa

**

6 (V'yl( Dyl

1 E l (al 2 E l (bl

**

7 Db

**

8 (V' yH/yl

PREM 1.5 MP 6 Ul 4.7 MP

*

9 Sa � (V' yH/yl

5-8

*

10 (::3xJ( Sx � (V' ylUyl l 9 EG

DI

QEO

Drugo, u čistoj form i : Pre m ise su, prema p rav i l u prijelaza (8), ekvivalentne s "Ako svatko dođe na sastanak, svatko će se radovati" i "Ako se svatko bude radovao, svatko će se iznenaditi" . Stoga, p ravi lom lanca do­ bivamo "Ako svatko dođe na sastanak, svatko će se iznenaditi", što je opet ekvivalentno traženoj kon kluzij i . Fo rmalno, 225

•

Logika

1 [=3xHSx� [VyHDyll 2 L"l x)[Dx� (Vyl (Jy)] 3 (Vx)(Sxl � (Vy)(Dy) 4 (Vx)(Dx) � (Vy)(/y) 5 (Vy)(Dyl � (VyHly) 6 (VxHSx) � (VyJ(/y) 7 C3x)[Sx� (VyHly)]

* * * * *

PREM 1 ZAM [prema pravilu prijelaza (8) l (takođe r) 2 ZAM 4 ZAM (Oil 3,5 tANAC

6ZAM QEO

Tu smo se triput pozval i na pravilo prijelaza (8); u koracima 3 i 4, da bismo suzi l i doseg kvantifikatora za "x", kako smo uči n i l i i gore s tvrdnjom K, i zatim u suprotnom smjeru, u koraku 7, da bismo proširi l i doseg i vratil i ga u prijašnje stanje . Moguće je d a s e dosjetim o b i l o koje o d t e dvije dedu kcije kao opravdanja ocjene da j e zaključak L valjan; i za jedn u i za d rugu je lako dati n acrt u običnom jezik u . Postoji j oš jedna mogućnost koja intu itivno n ije tako bliska, ali je formalno zgodna. Treće, u preneksnoj form i : *

* * * * * * * * * *

{

1

C3x)[Sx� (Vy)[Dyll

2 (3x)[Dx � (VyHly) l 3 (3x)(Vy)(Sx� Dy) 4 (3x](Vy)(Dx� Iy) 5 (Vy)(Sa � Dy) 6 (Vy)(Db� Iy) 7 Sa� Db 8 Db� lc 9 Sa� lc 10 (V y)(Sa � Iy) 11 ["lx) (Vy) [Sx� Iy) 12 C"lx)[ Sx� (V y)(Jy)]

PREM 1 ZAM [prema pravilu prijelaza (6)] 2 ZAM (također) 3 El [a) 4 E l (b)

5 IJI 6

Ul

7, StANAC 9 UG (c) 'ID EG

1 1 ZAM QEO

Tu smo se triput pozva l i na p ravilo prijelaza (6): u koracima 3 i 4 da bismo proširili doseg kvantifikatora "y", a zatim u koraku 12, da bismo ga suzi l i i povratili izvorn u formu konkluzije. Kako smo 226

Istinosna stabla za logiku predikata.

napomen u l i u četvrtom poglavlju, pravila se prijelaza - poput ekvi­ valentnosti za negaciju - mogu koristiti i za sužavanje i za proširi­ vanje dosega kvantifikatora. Kad su dosezi kvantifikatora kratki pa nema u gnježđivanja, kažemo da je ta form ula u čistoj form i . Kad su dosezi kvantifi katora d ugi, i svi se nalaze ispred jedne jedine otvorene rečen i ce (neksusa), kažemo da je ta rečenica u prenek­ snoj form i . O i ntern al iziranju negacije može se razmišljati kao o nekoj vrsti stavljanja u preneksnu form u . Sada idemo na istinosno stablo za n aš zaključak o sastanku. Bit će nam ga lakše izraditi ako prije dijagram i ranja n apravim o pripremu. PREM 1 : 1 ':

PREM 2: 2': KKL: - KKL:

[3x)[Sx� (Vy)(Dy)1

prema ES [al

Sa� (VylWyl (3xllDx� (V yI (f y) ] Db� (VyI (fyl

prema ES (bl

(VyI Uy)] - [lxllSx� (VyHlyll (Vxl - ISx� (V y)(/yll [Vx][ Sx /\ - (VyHlyl I

prema NAKO

(VxJ(Sx

prema KN

(3x)[Sx�

/\

(Vx)(Sxl

/\

prema KN

(3y)(- ly)1

prema pravilu prijelaza (1 l

(3y](- Iyl

- KKL A:

(Vxl(Sxl

prema SIMP

- KKL B:

[lx][- Iyl

prema SIMP

- lc

prema ES [cl

- lc

ES (bl

ES (a) - Sa - KKL A, US

- KKL B, ES (cl

�

- Db

Db

X

lc

US PREM 2'

X

US PREM l'

Sa

X

valjana 227

•

Logika

Isto tako, čitavo pročišćavanje možemo napraviti i odmah: PREM 1 :

PREM 2:

[3xIISx� ('v'yHDyll ('v'x)(Sxl � ('v'yHDyl - ('v'xHSxl v ('v'yHDyl C3x)(- Sxl v ['v'yHDyl [3xllDx� ('v'yHly)]

prema pravilu prijelaza (Bl prema AKO prema KN

S l ično, (3x)( - Dxl v ['v'yH/yl (3x)[ Sx� ['v'y)(/yll

KKL:

S l ično,

- KKL: - KKLA: - KKL B:

(3x)(- Sxl v ('v'yHlyl ('v'x)(Sxl /\ (3yJ(- Iy)] ('v'xJ(Sxl (3yJ(- Iyl

prema NILI, KN prema SIMP prema SIM P

čime dobivamo vrlo slično stablo: - la

ES (bl

- KKL B. ES (al

�

- Db

la

US PREM 2

X

[

ES (c) - Sc - KKLA. US

Db

US PREM 1

X

Sa Sb Sc

X

valjano

Metoda istinosnog stabla dakle, baš kao i dedukcija, utvrđuje valja nost zaključka L.

228

Istinosna stabla za logiku predikata.

Na kraj u, prije nego što se pozabavimo logikom relacija, željela bih u kratko raspraviti o dva ti pa varljivih zaklju čka.

Neki varljivi zaključci

M. Zaklj u čci koj i ne izgledaj u va ljano a l i to jesu , kao sljedeći: Svi ribolovci su velikodušni. Nijedan sudac nije velikodušan. Neki suci su ribolovci. Dakle, neke domaćice su velikodušne.

PREM 1: PREM 2: PREM 3: KKL: - KKL:

(V xl (Rx � Vxl (V xl (Sx � Vxl -

[:lxl (Sx 1\ Rxl [:lxl (ox 1\ Vxl (V xl (ox � Vxl

prema KN'

-

Sa Ra

l

-Da

PRElIA 3,

ES

- Va

- KKL.

�� � Va

-Ra

- Ra

(al

US

Va PREM 1,

US

X

X

- Sa

- Va

X

X

PREM 2,

US

valjano

Taj zaključak izgleda nevaljano jer je kon kluzija, čin i se, nepovezana s premisama. No, njegovo je stablo zatvoreno. Možda će mo jas­ n ije vidjeti zašto se stablo zatvara ako slijedimo tu i ntuiciju "nepo­ vezanosti" i ponovno izradimo isti nosno stablo s promijenjen im po­ retkom u rad u :

229

•

Logika

�

X

Sa X

REM 3, ES ( a)

�

�

Va

PREM

�

Va

Ra X

2, US

PREM 1 , US

X

valjano

Stablo se zatvara i prije nego što smo un ijel i konk l uziju . To stablo pokazuje da su prem ise bile i nkonzistentne. Iz takvi h premisa se m ože izvesti bilo koja konkluzija, bilo reductiom bilo nekim drugim sličn im sredstvom. Ali takve prem ise, budući i n konzistentne, ne stoje; takvi zaključci stoga nikada nisu u potre­ bljivi takvi kakvi jesu. S druge strane, o n i su bezopasni; kako ne možemo pri hvatiti nji hove prem ise, takvi nas zaključci ne mogu zavarati što se tiče toga kako stvari stoje. Zaključci s i n konzistent­ n im premisama možda ne izgledaju valjano, a l i oni to jesu . N . Zaključci koji izgledaju valjano, ali to nisu, kao sljedeći: Svi Spartanci su hrabri. Svi Spartanci su Grci. Dakle. neki Grci su hrabri.

['17' x) [ Sx � Hx) ['I7'x)( Sx � Gx) [:lx) ( Gx i\ Hx) ('17' x)( Gx � - Hx)

PREM 1: PREM

2:

KKL: - KKL:

prema KN'

�

- Ga

- Ha

�

KKL US

� � Ga PREM 2. US Ga - Sa X� � � - Sa

- Sa

Ha

t

t

�

Sa

t

Ha

- Sa

Ha

X

t

X

PREM 1, US

nevaljano 230

Istinosna stabla za logiku predikata.

Č itatelj će uočiti da sve otvorene grana toga stabla sadrže ,� Sa'. Zaključak je isprva izgledao valjano zbog prirodne pretpostavke da Spartanci postoje. Ako ekspl icitno dodamo "Spartanci posto­ je" m eđu početne premise, dobivamo valjan zaključak, N ' PREM 1:

(\1' x)(Sx � Hx)

PREM 2:

[\1' xl [Sx � Gx)

PREM 3:

[3x)(Sx)

KK L:

(3x)[Gx

� KKL

(\1' x)(Gx

Hx)

A v

prema KN'

� Hx) Sa

PREM 3, ES (a)

�

� Ga

� Ha

� KK L, US

�� �

� Sa

Ga

� Sa

K

K

K

Ga

PREM 2, US

� Sa

Ha

K

K

PREM 1, US

valjano

Ta su dva zaključka primjeri takozvanog "problema egzistencijalne težine u niverzaln i h iskaza". Moderna notacija, kojom se "Svi A su B " piše kao '(\1'x)(Ax � Bx)', predstavlja odmak od aristotelovske tradicije; Aristotel je naime smatrao da "Svi A su B" ima "egzisten­ cijaln u težin u " , da prenosi informaciju da postoje neki A, '(\1'x)(Ax � Bx)' to n e pretpostavlja. Aristotel, koji je bio logičar i filozof, a l i i biolog, m islio je da ne bi i m alo smisla tvrd iti da sve žabe krekeću kad ne b i bilo žaba, ili da sve ribe i m aju škrge kad ne bi bilo ri ba. Modern i logičari, koji žele da njihova notacija, osim za biologiju, bude korisna i za fiziku i za etiku i za pravo, radije ne iznose takve egzistencijalne pret­ postavke. Tvrdnje o savršen i m pli novima i savrše n i m lju d ima ite­ kako i maju smisla, postoja l i savršeni plinovi i ljudi i l i ne. A kad 231

•

Logika

donosimo zakone i kažemo, na primjer, "Svatko tko nezakon ito stu pi na tuđi posjed bit će kažnjen", nadamo se da prijestu pnika neće biti. Zahtjevima biologa može se udovoljiti eksplicitnim iskazivanjem egzistencijalnih tvrdnji kad je to potrebno - i opravdano. Postoje dakle konteksti u kojima se m ože nešto postići sim bol izacijom iskaza kao što je "Svi Spartanci su h rabri" kao : (\7x)( Sx� Hx)

/\

C3x)(Sx)

p ri čemu se eksplicitno tvrdi da je pojam s kojim se radi neprazan. Ali tada to mora zbilja biti tako i tvrdnja o egzistenciji se mora izreći eksplicitno. Za naše svrhe zaključak N' je valjan a zaključak N nije. Još nešto o tumačenju univerzalnih iskaza. Rečenice poput "Svi ljudi nisu ugodni" na hrvatskom su radikalno višeznačne. Može i h se čitati kao univerzalne tvrdnje: (Vx)(Čx � �

�

Ux)

(3x)(Čx /\ Ux)

Svi ljudi su neugodni. Nijedan čovjek nije ugodan.

i l i pak kao negacije univerzal n i h tvrdnji: �

(\7x)(Čx� Ux)

E3x) (ČX /\

�

Ux)

Nisu svi l judi ugodni. Neki ljudi su n e ugodni.

Tu je višeznačnost, kol i ko mi je poznato, moguće izbjeći jedino tako da se potpuno izbjegavaju izrazi poput "Svi A nisu B" (ja se trudim činiti upravo to). U kontekstu moramo nagađati što je govornik mi­ slio i držati se toga.

232

Istinosna stabla

za logiku

p redikata.

ES: Na mjesto egzistencijalrio kvantificirane

Podsjetnik uz peto poglavlje

rečenice i l i sastavn i ce rečen ice koja treba ući n a otvore n u granu istin osnog stabla u n osimo n jezinu i nstancij u ; za svaku novu takvu rečen icu i l i sastavn icu u n osimo novo ime.

US: N a mjesto u n iverzalno kvantifici rane rečen ice ili sastavn ice

rečenice koja treba u ć i na otvorenu granu isti nosnog stabla unosimo sve njezine instancije koje koriste ime i l i pseudoim e koje se već pojavilo na toj gran i . Kad j e to moguće, u nesite "stvarna" i m e n a - imena koja se pojavljuju u prem isama il i u kon kl uziji zaključka koj i i spitujete prije korištenja ES i l i US. Kad i m ate izbora, koristite ES prije US. U svakom slučaju, negaciju internalizirajte ( koristite KN i l i KN') prije n ego što počnete s izradom istinosnog stabla .

-

- (Vxl (Fxl H [:Ix) (- Fx)

KN:

- C3x](Fxl H (Vx](- Fxl KN':

- (Vx](Ax � Bxl H C:lxHAx - (:lxl (Ax

J\

J\

- Bx)

Bxl H (Vxl (Ax � - Bxl

Za pravila izvođenja, vidi Podsjetnik uz četvrto poglavlje.

Problemi uz peto poglavlje I.

Prvi i drugi dio ovih problema ovi se samo o po­ četnom objašnjenju istinosn i h stabala za l ogiku predikata (stran ice 1 99-2 1 3 ) i o komentaru za­ ključka N (stranice 230-231). Ostale je probleme najbolje ostaviti dok se ne prijeđe cijelo poglavlje.

Razmotrite sljedeće zaključke, od koji h su m n ogi adaptacije iz Lewisa Carrolla. Kod svakog se izjasn ite čin i l i vam se zaključak valjan. Provjerite svoju prosudbu istinosnim stablom . Ako je za233

•

Logika

ključak valjan, napravite formalnu dedukciju konkluzije premisa. Ako je zaključak nevaljan, objasnite zašto. 1. Svaki orao leti. Neke svi nje ne lete . Dakle, neke svinje n isu orlovi . 2. Svaki orao leti.

Neke svinje lete. Dakle, neke svinje su orlovi . 3. Svatko tko rado uči mnogo radi.

Neki od ovi h dječaka mnogo rade. Dakle, neki od ovi h dječaka rado uče. 4. Svi lavovi su strašni .

Neki lavovi n e piju kavu . Dakle, neki kavopije n i su strašn i . 5. Svi lavovi su strašna stvorenja.

Neki lavovi ne piju kavu. Dakle, neka strašna stvorenja ne piju kavu. 6. N ijedan ravnatelj škole n ije nestašan .

Neki maj m u ni su nestašn i . Dakle, neki maj m u n i nisu ravnatelji škole. 7. Nema nesebičn i h škrtaca.

Samo škrci čuvaju ljuske od jaja. Dakle, nitko nesebičan ne čuva ljuske od jaja. 8. Sve žabe su nepoetične. Neke patke su poetične. Dakle, neke žabe nisu patke. 9 . Građa n i s a staln i m boravištem m ogu glasati. Samo građani i maju stalno boravište. Dakle, svi koji imaj u stalno boravište mogu glasati. 10. N eće se zaposliti n i jedan i nženjer koji nije n iti školovan n iti iskusan . Nema iskusn i h i nženjera žena. Neke žene i nženjere zapošljavaju . Dakle, neke žene i nženjeri su školovane. 234

IZ

Istinosna stabla za logiku predikata.

11.Svi jastuci su meki. N i jedan žarač nije mek. Dakle, ne ki jastuci nisu žarači. 12. Vinopije su veoma kom uni kativni . Veoma komunikativnoj osobi uvijek se može vjerovati. Dakle, vinopijama se može vjerovati. 1 3. Zubari se užasavaju djece.

Nijedan car nije zu bar. Dakle, carevi se ne užasavaju djece. 14. Svi moji ujaci su ili darežljivi ili zabavni. Oni moji ujaci koji su darežljivi su i zabavni . Dakle, svi moji ujaci su zabavni. 15. Ovom seminaru smiju pristu piti samo studenti fi lozofije

koji sl ušaju logiku . Neki studenti filozofije ne slušaju logiku . Dakle, neki studenti filozofije ne sm iju pristupiti sem i naru . 1 6. N i jedan košarkaš nije šahist.

Neki matematičari su šah isti a neki nisu . Dakle, neki matematičari nisu ni šahisti ni košarkaši . 1 7. Svi košarkaši su šah isti.

Neki m atematičari su šahisti a neki nisu. Dakle, neki matematičari nisu ni šahisti ni košarkaši. 18. Pametni putnici sa sobom nose dosta sitnog novca. Nepametni putnici gube prtljagu, a neki puše cigare. Dakle, neki pušači cigara ne nose sa sobom dosta sitnog novca. 1 9. N ijedan žarač nije mek.

Neki jastuci su meki, a neki nisu . Dak le, n ije sve žarač. 20. Svi šahisti imaj u crtu borbenosti. Svatko tko je informiran i borben može biti dobar u debatama. Dakle, informirani šahisti mogu biti dobri u debatama.

235

•

Logika

21. Nepametn i putnici gu be prtljagu a neki puše cigare. Svi bankari koj i putuju su vrlo pametni . Dakle, neki koji gube prtljagu n isu ban kari. 22. Ban kari koji putuju su vrlo pametni . Nepametn i putnici gube prtljagu. Dakle, nek i koji gu be prtljagu nisu bankari. 23. Da biste se učlani li u ovaj kl ub morate imati ili kotu raljke i l i bicikl. Svi kotura ljkaši u klubu i maju bicikl. Dakle, svi u klubu i maju bicikl. 24. Moji najstariji p rijatelji su žene koje su sa m n om išle u školu. N isu svi koji su sa mnom išl i u školu žene. Dakle, neki koj i su sa mnom išl i u školu n e pripadaju moj i m najstarijim prijateljima. 25. Nitko koga poznajem, osi m rođaka, ne svi ra klavir. Neki čel isti koje poznajem sviraju i klavir. Dakle, neki čelisti su m i rođaci . II. Ocijen ite valjanost sljedeć i h iskaza i provjerite svoju prosudbu istinosn i m stablom . Ako je iskaz valjan, napravite ded u kciju kako biste to utvrdi li. Ako n ije valjan, objasn ite zašto nije. 1.

N ije slučaj da samo sportski tipovi uživaju u ovoj igri, i da n itko tko uživa u ovoj igri n ije sportski tip.

2. Ili vinopije jesu veoma komunikativn i ili vinopije n isu veoma kom u n i kativni. 3. Ako su svi političari koje poznajem pošten i i svi pol itičari koje poznajem su nepošte n i , onda ja ne poznajem n ijednog pol itičara. 4. Nekima od posjetitelja sinoćnjeg koncerta koncert se svidio ili i m se n ije svidio. S.

236

Svi kojima se sinoćnji koncert svidio ili znaju o čemu gov­ ore ili ne znaj u o čem u govore.

Istinosna stabla za logiku predikata .

III. Napravite dedukciju, opisanu u tekstu, za sljedeći zaključak:

Svi brucoši imaju računala. Ako nitko tko ima računalo ne zna pravopis, onda svatko tko i m a računalo koristi program za provjeru p ravopisa . Dakle, a k o n e k i brucoš n e koristi program z a p rovjeru pravopisa, onda neki koj i i maju računalo znaju pravopis. IV. Uz pomoć istinosnog stabla utvrdite sljedeće četiri e kvivalen­

cije koje smo već utvrdil i dedukcijom; rad će biti jasniji ako za svaki zadatak napravite dva istinosna stabla, tako da jed­ n i m utvrdite im plikaciju sl ijeva na desno, a drugi m i m­ pl ikaciju zdesna na lijevo. Stabla jasno označite. 1. [(VxHFxl � pl 2.

OH (3xHFx

� pl

(pravilo prijelaza 81 (pravilo prijelaza 31

[p v (Vx)[Fxll OH (Vx)[p v Fxl

3. [(3xHFxl v 13xHGxll

4. IIVxHFxl

A

OH (3x)(Fxv Gxl

(VxllGxll OH IVxHFx

A

Gx)

V. Ocijenite valjanost sljedećih zaključaka, a svoju prosudbu

provjerite istinosnim stablom. Ako je zaključak valjan, formal­ no deducirajte njegovu konkluziju iz premisa; ako nije valjan, objasnite zašto. 1. Ako itko izađe na ispit pl ivanja i položi ga, Joe će položiti taj ispit ako izađe na njega. Dakle, ako Joe izađe na ispit i položi ga, položit će ga svatko tko izađe na njega. 2. Ako itko izađe na ispit i po loži ga, Joe će položiti taj ispit ako izađe na njega. Dakle, ako Joe izađe na ispit ali ga ne položi, n itko tko izađe na njega n eće ga položiti. 3. Ako itko izađe na ispit i položi ga, Joe će položiti taj ispit ako izađe na n jega. Ako Joe i Henry izađu na ispit, Joe će ga pol ožiti ako ga položi Henry.

237

•

Logika

4. Ako su svi uviđavni, svi su na dobitku. Dakle, svatko tko je uviđavan je na dobitku. 5.

Ako je netko uviđavan, svi su na dobitku. Dakle, svatko tko je uviđavan je na dobitku.

6.

Ako neki očevidac zločina jest rekao istinu ili nije rekao istinu, netko će biti uhapšen. Dakle, netko će biti uhapšen.

7. Svi brucoši imaju računala.

Ako nitko tko ima računalo ne zna pravopis, svatko tko ima računalo koristi program za provjeru pravopisa. Neki brucoši ne koriste program za provjeru pravopisa. Dakle, neki brucoši znaju pravopis. 8.

Ako su novinski izvještaji točni, upravitelju treba vjerovati i nitko od odbjeglih zatvorenika nema oružje. Ako je upravitelju za vjerovati, nisu svi odbjegli zatvorenici opasni. Dakle, ako su novinski izvještaji točni, nisu svi ljudi s oružjem opasni.

9. Ako su novinski izvještaji točni, upravitelju treba vjerovati i nitko od odbjeglih zatvorenika nema oružje. Ako je upravitelju za vjerovati, neki odbjegli zatvorenici su opasni. Dakle, ako su novinski izvještaji točni, nemaju svi opasni ljudi oružje. 1 O.Ako nijedan student povijesti umjetnosti ne bude slušao ekonomiju, neki studenti povijesti umjetnosti slušat će povijest filozofije. Dakle, neki studenti studiraju povijest umjetnosti. 1 1 . Ako neki studenti ili plaćaju školarinu ili ne plaćaju školarinu, neki studenti neće diplomirati. Dakle, neki studenti neće diplomirati. 12. Ako svi studenti ili plaćaju školarinu ili ne plaćaju

školarinu, neki studenti će diplomirati. Dakle, neki studenti će diplomirati. 238

Istinosna stabla za logiku predikata.

13. Ako netko ima pištolj, sva djeca trebaju zaštitu . Dakle, ako neka djeca i maju pištolj, svi trebaju zaštitu. 14. Ako netko ima pištolj, sva djeca trebaju zaštitu . Dakle, ako svatko ima pištolj, sva djeca trebaju zaštitu . 15. Ako netko i m a pištolj, sva djeca trebaju zaštitu. Dakle, sva djeca trebaju zaštitu ako bilo tko ima pištolj. 16. Ako netko ima pištolj, sva djeca trebaju zaštitu . Dakle, ako neka djeca imaju pištolj, neka djeca trebaj u zaštitu . 17. Ako neki ti nejdžeri imaju pištolj, svi ti nejdžeri trebaju zaštitu . Dakle, ako svi tinejdžeri imaju pištolj, svi tinejdžeri tre baju zaštitu . 18. Ako neki tinejdžeri i maju pištolj, sva djeca trebaju zaštitu . Dakle, ako svi tinejdžeri imaju pištolj, sva d jeca trebaju zaštitu . 19 . Ako nekim stu dentima ove godine dobro ide fizika, neki stu denti ove godine će dobiti stipend iju. Dakle, ako nekim stu denti ma ove godine dobro ide fizi ka, ove će godine dobiti sti pendiju. 20. Svi stu denti ove godine koji ma dobro ide fiz i ka, dobit će

sti pendiju . Dakle, ako nekim studentima ove god ine dobro ide fizi ka, neki studenti ove godi ne će dobiti stipendiju .

239

treći dio

Logika relacija

6.

poglavlje

Nova ograničenja pravila izvođenja

Sada krećemo na nešto složeniju kvantifi kaciju od one o kojoj smo raspravljali u drugom dijel u : otvorene rečenice ovdje će imati više od jedne varijable, a kvantifi katori će tipično biti ugn iježđe n i ; to jest kvantifi katori će se pojavlj ivati un utar dosega drugih kvan­ tifi katora. Takva je kvantifi kacija potrebna da bismo mogl i rad iti s odnos i m a. Potreba za logi kom re lacija uočena je davno p rije nego što je osm išljena notacija prikladna za njezin razvoj . Stari su Grci, pri­ mjerice, znal i da su ovakvi zaključci valjani: (1 )

Netko je majka. Dakle, netko ima majku.

(2)

Svaki krug je lik na ravnini. Dakle, svatko tko nacrta krug crta lik na ravnini.

(3)

Postoji netko koga svatko voli. Dakle, svatko nekoga voli.

Ni u aristotelovskoj teoriji si logizma, koja jest adekvatna za veći dio logi ke pred ikata, koju smo obrad i l i u drugom d ijelu, ni u i skazn oj logici stoika, koja se bavi vel i kim dijelom onoga što smo m i obradi l i u prvom dijelu, n ije jasno zašto s u takvi zaklj u čci valjan i . Koristit će mo se načel i m a i zvođenja i notacijom četvrtog poglavlja, pro­ šire n i m a samo utol i ko što će omogućiti postojanje više od jedne 241

•

Logika

varijable u svakoj otvorenoj rečenici, kako bismo mogli utvrditi va­ ljanost ta tri gornja zaključka. Trebat ćemo još neka ograničenja pravila izvođenja, ali o njima ćemo govoriti nakon početne rasprave o tim zaključcima. (1)

Netko je majka Dakle. netko ima majku.1 .

Treba nam samo jedna definicija: Neka je Mxy = x je majka od y.

Ta nam definicija govori da Mab

=

a je

majka od b.

Med

=

e je majka od d.

itd.

Uočimo da 'Mab' ne predstavlja ub je majka od a"; poredak je važan. Definiciju smo mogli postaviti i obratno: "Neka je Mxy y je majka od x" ali nismo. Jednom kad stipuliramo definiciju, moramo je poštovati. A kako je poredak u definiciji važan, moramo uvijek paziti da u tom pogledu budemo eksplicitni i da termine definiramo tako da bude jasno koliko je varijabli i kOji im je redosli­ jed. Uočimo i da su =

-

Neka je Myx

=

y je majka od x.

ili Neka je Mwz

=

w je majka od z.

Čitatelj će vidjeti da to, osim za majke, stoji i za ujake i pretpo­ stavljene, ali ne stoji za inženjere ili Francuze, drugim riječima, da je to u osnovi relacijski zaključak. 242

Nova ograničenja pravila izvođenja .

ista defin icija kao i ona p rijašnja; mogli bismo i h sve zap i sati i ovako: Neka je M_ . . .

=

_

je majka od . . .

Kako onda zapisati tvrdnju da je Alice majka? Ne kao 'Ma ' . U tom kontekstu 'Ma' nam ne govori n išta. To je gramatički neispravan zapis, jer je 'M' defin i rano kao dvomjesni predi kat, kao relacija, a ne kao jednomjesn i predi kat, te j e izraz 'Ma' nedefi n i ran ; u tom relacijskom kontekstu on ne f u n kcion i ra . Tako će nam zatrebati i " pomoćna" defin icija. Reći da je Alice majka znači reći da Alice i m a d ijete : postoj i netko kome je Alice majka; tj. (3yH Mayl

i l i , ako vam se više sviđa, (3x)(Max) ; izbor vezane varijable n ije važa n . Važno je međutim to da se Al ice pojavljuje na p rvom mje­ stu a varijabla kvantifikacije na d rugom mjestu . S l ično, iskaz da Bernard ima majku parafrazi rat ćem o relacij­ : ski postoji netko tko je majka Bernardu; to jest, (3xHMxbl

=

b ima majku .

(3yHMxyJ

=

x je majka.

[3x) ( MxyJ

=

y ima

Stoga imamo:

majku.

Uočite da u oba slučaja defi n i rane formule (obje su otvorene rečenice i sadrže po jednu slobodn u varijablu) karakterizi raju entitet koji naznačava slobod na varijabla, varijabla koju ne vezuje kvan­ tifikator. Prva formu la govori nam o x da je x majka; druga nam kaže o y da y ima majku . Zaključak koji form a l iz i ramo tako postaje 243

•

Logika

L3x) [ [3yHMxy) ] [ Postoji netko [xl tko je majka nekome [yl . ] [3y) [ [lxHMxyl l [Postoji netko [yl ta kav d a m u je n etko [xl majka . 1

[1 l

Kvantifi kator '(3x), u prem isi ima d u g doseg: njegov je doseg kvan ­ tificirana a l i i p a k otvorena rečen ica '(3y)(Mxy)', i l i /Ix je m ajka". I sti kvantifikator u konkluziji i m a kratak doseg: 'Mxy' i l i /Ix je majka od y" . I obratno za ' (3y) ' . Ugl ate zagrade pomažu nam da jasno vidi­ mo tu ugniježđen ost. Ali one zapravo nisu nužne jer su form ule posve jed noznačne i bez nj i h pa ćemo i h obično ispustiti , kad se čitatelj navikne na ugn iježđene kvantifi katore. Evo i dedu kcije : * * * * *

1 [3 xH[3y] [Mxy] ] 2 [3yH Mayl 3 Mab 4 [3xl [Mxbl

PRE M 1 El [al 2 El [bl 3 EG

5

4 EG

(3yH(3x) ( Mxyl l

QEO

Uočite da svak i put kad se koristi mo s E l , vanjski kvantifi kator samo vanjski kvantifi kator - ispada, te da svaki put kad se koristimo s E C uvod i m o vanjski kvantifi kator, kOj i pokriva cije l u formu l u . N ijedna dva kvantifi kacijska koraka, nadalje, ne mogu s e sa­ žeti u jed a n . To je pri lično važno. Ako n e vod i m o računa o tome koj i korak rad i m o prvo, č i n i m o pogrešku . Č itaj ući tu ded u kciju običn i m jezikom dobiva mo : *

*

*

244

1

Netko je majka. To jest, Postoji netko tko je majka nekome.

2 Nazovimo je Alice. Alice je nekome majka. To jest, Postoji netko kom e je Alice majka . 3 Nazovimo ga Bertrand. Alice je majka Bertrandu. Alice je Bertrandova majka.

PREM

1 El ( a)

2 E l (bl

Nova ograničenja pravila izvođenja .

*

4

Postoji

netko tko je Bertrandova majka . jest, Bertrand ima majku.

To

*

5

3 EG

P o s toji netko t ko ima maj k u . To jest , Netko ima majku.

4 EG QEO

Korak po ko ra k , i ta mala dedukcija dobiva sm isao. Ali ne bi imalo smisla s pre m i se ići izravno na korak 4 i ispustiti srednji kvan­ t i fi kato r ' (:3y)' umjesto vanjskog kvan tifi kato r a '(3x)'. Taj bismo izvod m og l i čitati ovako:

1

*

Netko j e majka.

To jest, PREM

Netko ima dijete. *

2'

Nazovimo ga Barry. Barry ima majku .

1 El ( bl

To ba š i n ije razložan direktni izvod . On dakako sl ijedi, kako smo vidjeli, ali to nije i nstan c i j a E l . N a kraj u , uočim o i da su prihvatljive obje sl jede će simboličke varijante koraka 4 i S , iako je go rnju verzij u većini č i tatel ja n ajlakše pratiti : 4 ' (:3zJ ( Mzbl 5' (:3 w) [ (:3z) ( Mzwl l

3 EG 4' EG QEO

II

4 " (3yHMybl

*

5 " {:3xJ { (:3y) (MyxJ I

3 EG 4" EG

* *

QEO Prednost prve verz i j e koraka 4 i 5 je u tome što su otvoren e rečenice u koraci ma 1 i 5 potpuno i ste : 'x' stoji namjesto m ajke; 'yi stoj i namjesto djeteta. Ta vrsta u n iformnosti - gdje ju je m ogu će p o sti ć i - o l akš ava čitanje . Njome se oponaša up otreb a zamjen i ca 245

•

Logika

u običnom jeziku. No, ona uopće n ije relevantna. Č itatelj je možda pri mijetio da u verziji ovog zaključka na običnom jeziku ne izričem gramati čki rod - zaključak bi, naposljetku, funkcion i rao jednako i da govorimo o očevi ma, roditeljima i l i nadređeni ma. Kreni mo na drugi primjer: [21

Svaki krug je lik u ravnini. Dakle , svatko tko nacrta krug crta lik u ravnini.

On pred n as stavlja novi problem s formal izacijom . Znamo kako form a l izirati "Svaki krug je lik u ravni n i " : '(Vx)(Kx � Rx), ili '(Vy)(Ky � Ry) ' . Ali što sa "Svatko tko nacrta krug crta l i k u ravn i n i " ? Neka j e Kx y je krug . Neka je Rx x j e l i k u ravni n i. N eka je Cxy x crta y. I tu lomimo prob lem (formal izacije konk l uzije) n a manje d i jelove i dajemo pomoćne defi n icije. Kon kl uzija na m govori da, ma koga izabra l i , ako on crta krug, on crta l i k u ravn i n i : =

=

=

[ Vxl (x crta krug � x crta l i k u ravninil (V xl ( x � . x .J .

.

. .

Kako formalizi rati antecedens, "x crta krug"? Zapazi l i sm o da otvorena rečenica o x kaže da postoji krug što ga crta x : L:J yl (Ky /\ Cxyl

Konsekvens, "x crta l i k na ravni ni " na sl ičan način postaje L:Jyl ( Ry /\ Cxyl

i l i , ako na m je d raže, L:J zl ( Rz /\ Cxzl

te ta ko kon k l uzija postaje 246

Nova ograničenja pravila izvođenja .

[Vxl [ [3 yH Ky 1\ Cxyl � (3yH Ry 1\ Cxyl l

ili (V x) [ (3yH Ky 1\

Cxyl � [3zHRz 1\ Cxz) ]

Nije važno pod udara li se varijabla kvantifikacije u antecedensu otvorene rečenice s varijablom kvan tifikacije u konsekvensu; to nema nikakvog utjecaja jer i m se dosezi ne preklapaju. Osim toga, rečenica u običnom jeziku ne kaže ništa o tom e je l i nacrta n i krug isti taj nacrtan i l i k u ravn i ni. Ali mora postojati, i postoji, unakrsno upućivanje između 'x' iz antecedensa i 'x' iz konsekvensa - i jedan i d rugi su vezani vanjskim kvantifi katorom '(Vx)' . Kad smo ispravno formalizirali konkluziju, više nije teško naći ni dedukciju . S obzirom na zadanu prem isu, pretpostavljamo da Al­ fred crta krug ( korak 2 dolje). Tu vrijedi uočiti da kao pomoćnu pre­ m isu nismo uzel i " Netko crta krug", nego "Alfred crta krug", a s obzirom na strategiju dokaza koji planiramo slijediti - poznatu iz čet­ vrtog poglavlja. Trebat će nam slovo a, i to bez zastavice, tako da možemo izvesti generalizacij u na kraj u dedukcije (vidi korake 10 i 1 1 dolje). Pokazat ćemo da, budući da Alfred crta krug a svi krugovi su likovi u ravnini, Alfred crta lik u ravnini (korak 9 dolje); zatim ćemo, uz pomoć dokaza po implikaciji i U G, završiti dedukciju . Dokaž i m o : (Vx)[(3y)(Ky 1\ Cxy) � (3z)(Rz 1\ Cxz)] * H· ** **

1 2 3 4

[V xHKx �

Rxl

[3y) [ Ky 1\ Cayl

PREM PREM

Kb

2 El ( bl 3 SIM P

Kb 1\ Gab

**

5

Gab

3 SIMP

**

6

Kb � Rb

**

7

Rb

**

8

Rb 1\ Gab

1 Ul 6, 4 MP 7 , 5 ADJ

**

9

[3zH Rz 1\ Cazl

8

* *

10 [3yH Ky 1\ Cayl � (3zH Rz 1\ Cazl 1 1 [ V x) [ [3yH Ky 1\ Cxyl � (3zH Rz 1\ Cxz) ]

EG 2-9 DI 10 UG ( al DEO

241

•

Logika

Provjeri mo ima l i dvostru kih zastavica; nema. Zaključak je valja n . Ali postu pak provjere još n ije gotov. Odložit ću, međuti m , raspra­ vu o novim ograničenjima potrebn i m za E l i UG (zbog kojih će tre­ bati daljnje provjere) dok ne vidimo kako stoji stvar s posljednjim od n aša tri zaključka. Postoji netko koga svatko voli. Dakle, svatko nekoga voli.

(3) Neka je

Vxy

=

x vo li Y

[3 x) [ (Vy) ( Vyx) ) ..

(Vy) [ [3x) [ Vyxl l

i l i kraće, [3x) (V y) ( Vyx) ..

(V y) (:lx) ( Vyx)

Prije nego izložimo ded u kciju , željela bih dodati još dvije na­ pomene u vezi s verzijom na običnom jez i k u . Prvo, ko nkl uzija "Svatko nekoga voli" je, onako kako je napisana, višeznačna: može je se i nterpretirati onako kako sam je ja i nterpreti rala, ali može je se čitati i kao običnu preformulaciju prem ise . To se može izbjeći m a l i m dodatkom : Dakle, svatko voli neku , ovu ili onu osobu.

što n edvoj beno daje forma ln u verziju dane kon kl uzije. Ali u for­ mal noj verziji - recimo 'v Vyz' - ne treba tražiti n ešto što bi odgo­ varalo izrazu "ovu i l i onu". Izraz "ovu i l i on u " ne dodaje n išta. On sl uži samo za to da otkloni višeznačnost. Drugo, taj zaključak, takav kakav jest, odmah je prepoznatljiv kao valjan : ako postoj i netko koga vole svi, recimo Joe, onda svatko od n as vol i Joea pa tako svatko od nas vol i n ekoga. A l i obratno, za zaključak: Svatko od nas voli neku, ovu ili onu osobu. Dakle, postoji n etko koga svi vole. 248

Nova ograničenja pravila izvođenja .

se isto tako od mah vid i da je

nevaljan . S obzi rom na zada n u p re­

m is u , mogl i bismo voljeti jedno drugo u parovima i l i gru pama, i l i b i polovica nas mogla voljeti jed n u osobu, a d ruga polovica nekog drugog, i tako d a lje - n i šta tu čak n i ne sugerira da postoji neka od ređena osoba koj u vole svi . To nas vodi jednom novom za pažanju - za koje ćemo dati pot­ poru kasn ije u dedukciji i postu pcima ispitivanja - da poredak ugni­ ježđe n i h kvantifikatora od ređuje odnose i m p l ikacij e . Kad su otvo­ rene rečen i ce koje kvantifi kator pokriva i ste, reče n i ca o b li ka (:3x) (Vy)L)

će i m p l i c i rati rečen icu oblika (Vy)(::Jx)(_), ali ne i obratno.

To je zapažanje često korisno, a l i pouzdano je samo kad su rečenice form al izi rane veoma pažlj ivo. Lako je pobrkati ::J V s V ::J , a lako se griješi i u form a l i zaciji otvore n i h rečen ica. Evo dedu kcije za naš valjan i zakl j u čak o l j u bavi : *

1

(::J xJ [V yJ [ Vyxl

*

2

( V yH Vya)

*

3 Vba 4 (::Jx) ( Vbxl

* *

5

(v yl (::J x) ( Vyx)

PREM

1 El (al 2 lli

3 EG 4 UG ( bl

QEO Običn i m jezikom, *

Postoji n etko kog a svi vol e .

PREM

Dokažimo : Svatko voli n e k u , o v u ili onu osobu . *

2

Nazovimo ga Algernon. Svatko voli Algernon a .

1 E l (a)

*

3

Tako , na primjer, Barbara voli Algernon a .

2 UI

*

4

Postoji n etko (Algernonl kog a Barbara voli.

3 EG

To jest , Barbara voli n ekoga. *

5

No . Barbara je zapravo bilo tko (vidi kora k 3) ; stog a svatko voli neku . ovu ili onu osobu .

4 UG (b) QEO

249

- logika

U n a krsne zastavice

Evo i dedu keije za nevaljani zaključak: * 1 *

2

* 3

PREM

['lj y) [:=Jx] [ Vyx)

1 Ul

[:=Jx) [ Vax)

2 El

Vab

[ b)

* 4

(VyH Vyb)

3 UG ( a)

* 5

[ :=J xH V yH Vyx)

4 EG

Što se dogod i lo ? Ded u kcija jest "dovršena"; n i 'a ' n i 'b' se ne pojavljuju n i u premisama n i u kon kluziji. Nema dvostrukih za­ stavica. I pak, ovaj je maleni izvod "utvrdio" očigledno nevaljan zaključak; dakle, mora biti da nešto ne valja. Pročitajmo ga korak po korak na h rvatsko m . *

1

Svat ko voli ba rem nekoga (ovoga

*

2

Stog a , primjerice Albert voli barem nekog a .

1

*

3

Nazovim o je Beatrice ; Al bert voli Beatrice.

1 El [b)

*

4

ili onoga) .

No, Albert je zapravo bilo tko [vidi korak

PREM

Ul

2) ;

budući da Albert voli Beatri c e , *

5

s v i vole Beatrice.

3 U G [ a)

Postoji netko (Beatrice) koga svi vole.

4 EG

Korak 4 nema smisla. Prisj eti mo se da su ogran ičenja upotrebe UG o koj i m a smo raspravlja l i u četvrtom poglavlju smišljena ta ko ga spriječe generalizacij u iz posebnog slučaja. Kad sm o u koraku 3 uveli Alberta, Albert je bio bil o tko; n ije bio ni po čem u poseban . Š togod u tom tren utku pokaza l i da je istin i ­ to z a Alberta značil o b i da j e to istinito z a b i l o koga - da smo, rec­ i mo, pokazali da A l bert nekoga vol i ili da posjeduje ten iski re ket, iz toga bi slijed ilo da svatko vol i nekoga i li da svatko posjeduje tenis­ ki reket. Ali stanje se mije nja u koraku 4, s obzirom na korak 3. U koraku 3 uvodi se specifičnost. Beatrice nije bil o tko; ona je oda­ brana iz vje rojatno vrlo male klase ljudi koje Albert voli, i ta se posebnost registrira zastavicom ' (b)' . Ono za što smo pokaza l i da je i stinito za Al berta u odnosu prema Beatrice lako moguće n ije istin ito za svakoga .

Nova ograničenja pravil a izvođenja .

Da smo u koraku 4 ge nera l i z i rali od b ( Beatrice, u mjesto od Alberta), kako sl ijed i : * *

3 Vab 4 ' ('v'x) ( Vax) (Albert vo l i svakoga . )

2 E l (bl

3 UG (b)

očigledno bismo pogriješ i l i , tj . napravi l i bismo pogrešku dvostruke zastavi ce. Ali i naš korak 4 je jednako pogrešan; u koraku 4, nai me, A l be rt je izgu b i o svoju opće n itost i postao, poput Beatrice, pose­ ban s l u čaj - bare m u odnosu p rema B eatrice. Beatr i c i n a pose b­ nost se p ren ijela n a Al berta. I alternativ n i korak 4 ' je neu spješan jer je b poseban s l u čaj i slovo je istakn uto u koraku 3. Korak 4 , da­ kle, ne uspijeva zato što je a pose ban s l u čaj, kojega j e zaraz i l a posebn ost b. Kako bismo dakle spriječi l i takvo pogrešno zaključivanje, dono­ simo i treće ograničenje2 u vezi s El i U G, i zabranjujemo unakrsne zastavice .

1 . Dedu kcija u kojoj se javlja zastavica mora biti dovršena ; to jest, n ijedno se istaknuto slovo ne smije pojaviti ni u kon kluziji n i u neodbače n i m p re m isama.

2. U n utar dedukcije, n ijedno sl ovo se ne smije dvaput označiti za­ stavicom . Korištenje iste zastavice dva puta je pogreška dvostru­ ke zastavice .

3 . U n utar dedu kcije, ako se jedno pse u doi m e pojavljuje u istom koraku u kojem je istaknuto neko drugo pseudoime, prvo pseu­ doime n e sm ije biti istakn u to ni u kojem koraku u kojemu se javlja drugo pse u doime. Kršenje tog ogra n i čenja j e pogreška unakrsnih zastavica . Kako bi nam bilo lakše provjeriti ima li unakrsn ih zastavica u deduk­ ciji, proširit ćem o sistem zastavica : u svakom ćemo koraku s istaknu­ tom zastavicom označiti pseudoimena koja se u njem u j avljaj u , i to u glati m zagradama. Ta bi malena i pogrešna ded u kcija onda izgledala ovako: 2

Prva dva ograničenja ponovili smo iz četvrtog poglavlja. Vidi također Podsjetnik uz četvrto po glavlje. Novo je to treće ograničenje. 251

•

Logika *

1

*

2

*

3

*

4

*

5

PREM Ul 2 El (b) [ a l

(\;i y)( 3 x)( Vyx) ( 3 x)( Vax) Vab

1

(lJ yH Vyb) ( 3 x ) ( 1J y)( Vyx)

3 UG ( a) [bl 4 EG

X

U koraku 3, a se javlja tamo gdje je istaknuto b. U koraku 4, b se javlja tamo gdje je istaknuto a. Slova smo i zapisali tako da vizualno pokazuju to ukrštanje. Č itatelj sada treba pogledati tri dedukcije iz ovog poglavlja i eksplicitno provjeriti ima li unakrsnih zastavica. Iznesimo konačno i četvrto ograničenje upotrebe El i UG : zabranjena je i ciklička zastavica . Ako se a pojavljuje tamo gdje je istaknuto b, a b se pojavljuje gdje je istaknuto c, i tako sve do nekog pseudoimena n , n se ne smije pojaviti tamo gdje je istaknuto a . To je samo proširenje pojma unakrsne zastavice. Da sumiram, dedukcija u kojoj se koriste El ili UG bit će valjana samo ako je dedukcija ( 1 ) dovršena, ne sadrži (2) dvostruke zasta­ vice, kao i (3) unakrsne zastavice, niti (4) cikličke zastavice. Tu je zanimljiv još jedan s tim povezan zaključak. I ako je on valjan, njegova valjanost je za mnoge studente neintuitivna, i možda bi vri­ jedilo da pokušamo shvatiti zašto je ta ko. Cijeli svijet voli Ijubavnika 3 Netko voli nekoga . Dakle . svatko voli sva koga. 3

To je poznata izreka . Bartlett !John Bartlett, Familiar Quotations (Bo­ ston: Little, Brown & Co. , 1 3 . izd. 1 95 5 ) , str. 4 1 1 J je pripisuje Ralphu Waldou Emerso n u : "Cijelo čovječanstvo voli ljubavnika" u Emer­ sonovu eseju " Ljubav". Vidi Emerson 's Essays (London : l M . Dent & Sons, Everyman Edition, 1 9 7 1 ), str 1 00; "Ljubav" je peti esej u prvom nizu, izvorno objavljen 1 84 1 . U literaturi o logici dvadesetoga stoljeća ta se izreka počela pripisivati Richardu leffreyu; vidi Formal Logic, str. 1 45.

252

_

Nova ograničenja pravila izvođenja.

Za početak, zaključak se bazira na pri lično neobičnoj defin ici­ ji " ljubavnika", kao nekoga tko nekoga vol i , po analogij i s konven­ cionalnom definicijom "maj ke" kao nekoga tko je nekom e m aj ka. O ljubavniku obično misl i m o kao o nekom romantičnom m ladiću poput Shakespeareovog Romea, ili možda kao o životnom sudru­ gu, a ne kao o nekom e tko samo nekoga voli . Ali m islim da zaklju­ čak ne iznenađuje zbog te m i ni m al n e definicije. Ako preform u l i ­ ramo prvu p remisu u skladu s tom definicijom ljubavn i ka, kao recim o "Svi vole svakog tko nekoga vol i ", zakl jučak i dalje iznena­ đuje . Možda b i t u dobro došao nacrt dedu kcije. Pretpostavimo da cije l i svijet doista vol i ljubavnika, to jest, da svakoga tko nekoga vol i vol i m o svi (pre m isa 1). Pretpostavimo na­ d alje da (pre m i sa 2) netko uistinu voli nekoga, d a recimo Romeo vol i J u l iju (pre m a dvama koracima E l ). S obzirom n a t o d a Romeo vol i nekoga, ako prim ijeni m o prvu premisu, dobivamo da svi m i vo l i m o Romea. Svi d akle volimo Romea. Ali voli mo li zato sve? Tvrditi to u ovom bi trenutku bilo pogrešno, bila bi to generalizacija iz posebnog sluča­ ja. Uočimo, m eđutim, da Romeo vol i J ul ij u . Svi vol i mo Romea, al i volimo li uistinu, poput Romea, i juliju? Tvrditi to značilo bi opet general izirati iz posebnog slučaja. Svaki put kad u ovoj fazi poku­ šamo generalizi rati sprečava nas pogreška dvostruke zastavice. Kad to shvatimo, m isl i m da ćemo i m ati potrebu da dovedemo u pita­ nje valjanost tog zaključka. No, bud i m o ustrajni . Nacrt nas je dosad doveo u slijepu ulicu . Ako žel i mo stići do konkluzije "Svatko vol i svakoga", nužno mo­ ramo general izi rati . A ne smijemo general izirati od Romea (ni od J u l i je). Možemo li general izi rati od nekog d rugog? jesmo li poka­ zal i za nekog drugog da je lju bavnik i l i lju bavnica? l l i ljubljeni ? Na­ ravno da jesmo. Svi smo m i ljubavnici, jer svi vol imo Romea. Oda­ beri m o dakle bi lo koga od nas, na pri mjer Pat. Pat je l jubavnica ( i l i ljubavnik), jer vol i Romea. Prva premisa nam stoga govori da svi vo­ l i mo Pat. A sada možemo general izi rati . Svatko vol i Pat; Pat je za­ pravo bilo tko pa svatko vol i svakoga. Q ED.

253

•

Logika

Obavimo sada i formalni posao. Kako je pri mijetio profesor Jef­ frey, prva se prem isa može formalizirati na više ekvivalentni h nači­ na. Evo nekih: (V'xl [ (3 yJ [ Vxyl

�

(V'z) ( Vzxl l

(V' x) ( V'y) [ Vxy � (V' zJ [ Vzxl l (V' xJ [V' y) (V' zJ ( Vxy � Vzx) (V'xJ [V'z) [ (3yJ [ Vxyl

�

Vzxl

Č itatelj bi trebao p rovje riti da se za sve njih (i d ruge) m ože po kazati da su ekvivalentni, uz pomoć pravila prijelaza. Kako je prva fo rmal izacija naj lakša za čitanje - a u ovom s l u čaju i pogo­ dna za dedu kciju - koristit ćemo prvu .

r

�.

1

[V'x) [ (3yH Vxyl

�

( Vz) ( Vzxl l

1 2 (3x) (3y) ( Vxyl

PREM

Dokažimo: (V' x)(Vy)(Vxy) * *

3 (3 yl ( Vryl 4 (3yJ [ Vryl

*

5 (V zJ ( Vzrl

*

6 Vpr 7 L3y) ( Vpy) 8 (3 yJ [ Vpyl

* * *

9 (V' zJ ( Vzp)

*

10 11 12

* *

2 El �

(V'z) [ Vzrl

�

( l1z) ( Vzpl

Vap ( VyH Vayl (V'x) ( Vy) ( Vxyl

(rl

1 Ul 4 , 3 MP 5 Ul 6 EG Hil 8 , 7 MP 9 '-II

1 0 UG (pl 1 1 UG (al QEO

Č itatelj će se sjetiti da "motka " u ovoj dedukciji dolazi nakon koraka 5 (Svatko voli Romea), gdje možemo biti u iskušenj u da ge­ neraliz i ramo od Romea, dakako pogrešno. Tada moramo krenuti drugim pute m . Kad stignemo do koraka 9 (Svatko voli Pat), ge­ nera l izacija je OK. Rezu ltat bi mogao biti

254

Nova ograničenja pravila izvođenja . *

1 0 ' [Vx] (VzH Vzxl

g UG (pl

što je, prema PV, ekvivalentno s *

1 0 " (V x) ( V y) ( Vyxl

1 0 PV

i l i, na hrvatskom, Svatko j e volje n od sva koga .

A l i m i trebamo dokazati (Vxl [Vyl [ VxyJ Svatko voli sva koga. Da bismo dokazali točno ono što želimo dokazati, trebala su nam ta posljednja tri koraka. Alternativno, mogi i smo koristiti UG u koraku 1 0 i odatle iz­ vesti tražen u konkluziju . To bi znači lo da su '(Vx)(Vy)(Vxy)' i '(Vy)(Vx)(Vxy)' - zamjena mjesta un iverza l n i h kvantifikatora - me­ đusobno zamje njive formu l e, i one to u isti n u i jesu. S l ičn o, za­ ključak ( 1 ) o m ajkama, o kojemu smo raspravljali na početku ovog poglavlja, pokazuje d a su '(3x)(3y)(Mxy)' i ' (3y)(3x)(Mxy)' m e­ đusobno zamjenjive formule i one to u istin u jesu . Napokon, obrat od ( 1 ) : Netko ima maj ku. Dakle . netko je majka .

(3 yH:lx) ( Mxyl (3x) (:ly) ( Mxyl

je OČigledno valjan i na sl ičan način dokaziv. D rugim riječima, dva susjedna egzistencijalna kvantifikatora mo­ gu zamjen iti mjesta, baš kao i dva susjed n a u n iverza l n a kvantifi­ katara . Važe sljedeće ekvivalentnosti : 255

•

Logika

( 3 x) (3 y) (Fxy) H ( 3 y) (3 x) ( Fxy) ( V x] ( V yH Fxy) H [ V yHVxHFxy)

Č itatelj bi se trebao uvjeriti da je tome tako i izvesti odgovarajuće ded ukcije, i kad to obavi, te dvije e kviva lentnosti može slobod no koristiti kad god m u zatrebaju .

Već smo napomenu l i (u četvrtom poglavlju) da ispravna formal izacija rečen ica običnoga jezika zahtijeva vel iku pažnju oko dosega kvantifikatora. U logici relacija varijable se m nože, a s nji­ ma i prilike za zabunu, osobito za neuspjeh una­ krsnog u pućivanja. Kako nam je svi ma dobro pozn ato, prirod n i jezici kojima s e koristi mo su bogati zamjenicama i drugim jezičnim sredstvima uz čiju pomoć možemo unakrsno upućivati izvan uskih konteksta u kojima su zamjen ice uvedene; rezultat je da zamjenica može d ržati referenciju gotovo beskrajno, ovisno o vještin i govor­ nika i pamćenju sl ušatelja. Nasuprot tome, kod kvantifi katorske notacije vezana varijabla zadržava identitet samo u n uta r dosega kvantifi katora koj i je vezuje, a unakrsno upućivanje strogo je ogra­ n ičeno. To ogran ičenje vodi problem i ma s forma l izacijom . Pogledajmo nekol i ko primjera.

Doseg kvantifi kato ra

( 1) (2)

Ako se nešto slomi , netko će za to platiti. Svatko tko glasa mora se prvo registrirati.

Kod formal izacije (1 l, u p rvi mah smo j e sk loni smatrati i m p l i ka­ tivn i m iskazom, s antecedensom " N ešto je slomljeno" i konse­ kve nsom " Netko će za to platiti" . [1 ' J

(3 x) [ Sx) � [3 yH Pyx)

Napokon, tek ponešto jed nostavn iji iskaz, "Ako se nešto slomi, nekoga će se globiti " sim bol izirao bi se "sl i čno" : 256

Nova ograničenja pravila izvođenja.

C:lxl l Sx) � !:l yl l Gy)

No, premda ova druga form ula fu nkcion ira, (1') ne funkcion ira. For­ m u la ( 1 ') ne uspijeva prenijeti namjeravano u nakrsno upućivanje. Ono 'to' u kon sekvensu ( 1 ) upućuje u n atrag na "nešto" njegova antecedensa, ali 'x ' u konsekvensu ( 1 ') "visi " : to 'x ' ne može u pući­ vati u natrag na 'x' njegova antecedensa jer je taj antecedens zatvoren ; doseg kvantifi katora '(:lx)' je samo 'Tx ' . Da bismo pren ijel i sm isao ( 1 ), moramo rastegn uti doseg kvan­ tifikatora "x" u ( 1 ') tako da "u hvati mo" viseće 'x ' konsekvensa : [ 1 " ) [V'x) [ Sx � [::Jyl l PyxJ l

Naravn o, sl i čno se može forma l izi rati i rečen i ca o globa m a : [ V' x) [ Sx � l ::J yl l Gy) 1

a l i za to nema potrebe; bit će dobra i prijašnja verzija. Što se tiče ( 1 ) ispravka jest potrebna. Dok je ( 1 ') negramatički - to je otvore­ n a rečen ica sa slobodnom varijablom 'x' pod kri n kom rečenice te je međusobno zamjenjiva s, reci mo, [ ::J z) [Sz) � (::Jy) [Pyx)

gdje nema n i traga unakrsnom u pućivanju (1") je gramatičk i ispravno (to j e rečen ica, a ne otvorena rečen ica) i pokriva sm isao (1). Na prijelaz s (1') na (1") mogli bismo gledati kao da je "oprav­ dan " sed m i m pravi lom p rijelaza : -

(7) 1 (::J xl l Gx) � pl

� (V'x) [ Gx � pl

analogno s prijelazom s naše prve verzije rečen ice o plaćanju na d rugu verziju . No, čudno je o odnosu otvorene, n egram atičke rečenice ( 1 ') i gramatičke rečen ice (1 ") razm išljati kao o odnosu ekvi­ valencije. ( 1 ) zap ravo prenosi ono što ( 1 ') tek pokušava prenijeti . Razu m n ije je međuti m dobro pogledati izvorn u h rvatsku rečenicu ( 1 ) i uvidjeti njezinu i n herentn u u n iverzalnost. (1) nam govori o bilo "

251

•

Logika

kojoj stvari (x) za koju, ako se slomi, netko mora platiti ; stoga je pri­ kladno koristiti vanjski u n iverzalni kvantifikator. Prisjeti mo se da egzi ­ stencijalnim jezikom često obuhvaćamo "obične" u n iverzalne iska­ ze . "Ako je netko građanin, onda ona i l i on može glasati" i "Svi građani mogu glasati " su u h rvatskom međusobno zamjenjivi . Uočimo nadalje da bi kontrastna egz istencijalna "form ulacija" za (1 ) : ( 1 " ' ) C3x) [ Sx � L3 y) [Pyxl l

bila sasvim pogrešna. (1 ' '' l nam govori da postoji nešto takvo da ako se slom i, onda će netko za to platiti, ili možda, da ako se odre­ đene stva ri sl ome, da će za njih netko platiti . Može se za m i sl iti situacija u kojoj će se platiti za neku posebn u ki nesku vazu ako bude slomljena, ali za druge lomove to ne važi. N i ( 1 ) n i ( 1 ' f f l n isu točne formal izacije ( 1 l; fu n kcio n i ra samo ( 1 "). '

Na sl ičan ćemo n ačin formalizirati i ( 2 ) . ( 2 1 Svatko tko glasa mora s e p rvo registrirati.

Počn i m o s (Vx) ( Gx � Rx)

Svatko tko glasa mora s e registrirati .

To gramatički jest ispravno, a l i je neadekvatno; usporedba što je u ( 2 ) izražava riječ 'prvo' ovdje je n estala. (2) nam govori da do registracije mora doći prije glasanja; tu je korištena defi n i cip : Neka je Gx ::: x g l asa . Neka je Rx ::: x se registrira.

a ona ne zadovo ljava . Zbog uspored be, potrebna nam je vre­ menska referencija. N eka je Gxy x glasa u vrijeme y. Neka je Rxy := x se registrira u v rijeme y. :=

258

Nova ogran ičenja pravila izvođenja .

kao i Neka je Pxy

=

x je prije y.

Parafrazirajmo (2) : Svatko tko glasa u određeno vrijeme mora se registrirati neko vrijeme prije toga.

ili možda, Svatko tko glasa u bilo koje vrijeme mora se registrirati neko vrijeme prije toga.

Te dvije parafraze očito govore jedno te isto, ali sugeriraj u različite strategije pri formalizaciji: (\fx) [ (3yHGxy)

--+ x se registrira u vrijeme z, koje je prije

yI

(\f x) (\f y] (G� --+ x se registrira u vrijeme z, koje je prije yl Prvom strategijom napravili bismo istu grešku kao i kod ( 1 'l: 'y' kon­ sekvensa ne može u pućivati unatrag na 'y' antecedensa (vrijeme glasanja), zato što kvantifikator ( 3 y)' pokriva samo antecedens pa se gubi željeno unakrsno upućivanje. Drugom strategijom ta se gre­ ška ispravlja tako što na mjesto egzistencijalnog kvantifikatora kra­ tkog dosega '(3y)' dol azi univerzalni kvantifikator dugog dosega '(\fy)'. Stoga se odlučujemo za drugu verziju i dolazimo do '

(2 ' ) (\fx) ('v'y) [ Gxy --+ [3z) (Rxz A PzyJ l

N a kraju, možemo - ako to želimo - i rastegnuti doseg drugog (unutrašnjeg) kvantifikatora i kod ( 1 ) i kod (2). T ime izvodimo dvije formule u preneksnoj formi, u kojoj su svi kvantifikatori na vanjskoj lijevoj strani, pnje neksusa, tj. otvorene rečenice. Koristit ćemo pra­ vilo prijelaza 6 iz četvrtog poglavlja: 259

•

Logika

[p � C3x) (Fx) ]

�

C3x) (p � Fxl

i dobiti (1 al (lj xl l:3y) (Sx � Pyxl (2al (ljx) (ljyl [3z) [ Gxy � (Rxz /\ Pzy) ]

Tu vrijedi uočiti kako se pravila prijel aza mogu koristiti da bi se bilo koja rečenica stavila u preneksnu formu, ali njihova upotreba u suprotnom smjeru - prema "čistoj" formi, ili uskom dosegu kvan­ tifikatora - ograničena je zahtjevima unakrsnog upućivanja, kako smo upravo vidjeli. Vrijedi uočiti i da pri svakom korištenju pravila prijelaza moramo očuvati poredak ugniježđenih kvantifikatora. Pravila prijelaza su, naposljetku, ekvivalencije koje opravdavaju produžavanje odnosno skraćivanje dosega jednog po jednog kvantifikatora istovremeno. Formulacije kao što su (3y) (1j x) (Sx � Pyxl

ili (ljxJ (3zJ (ljy) [Gxy � ( Rxz /\ Pzy) ]

u koj ima je egzistencijalni kvantifikator pomaknut ulijevo i "pre­ skače" univerzalni, bile bi pogrešne. Kako smo ranije vidjeli, dvama istim kvantifikatorima (oba egzistencijalna ili oba univerzalna) mo­ žemo promijeniti poredak kad se nalaze jedan pokraj drugoga; to je strogo zabranjeno kod dvaju različitih kvantifikatora (1j3 ili 31j). Ako se posluŽimo nekom ekvivalentnosti da bismo opravdali prom­ jenu poretka ugniježđenih kvantifikatora, to moramo učiniti eks­ plicitno. Preneksna forma pokazuje se zgodnom za mnoge svrhe. Prije svega, u njoj je moguće rutinski koristiti U l i E l u dedukcijama. Nažalost, preneksna forma je zloglasno teška za čitanje; mnogo je lakše na prvi pogled vidjeti što znače ( 1 ") i (2') nego ( 1 a) i ( 2 a).

260

Nova ograničenja pravila izvođenja .

Sada prelazimo na problem razli kovanja \I::J i 3 \1 . Reče nice poput "Svi ljudi n isu ugod n i ", kako smo vidjeli (pri kraju petog poglavlja) bez­ nadno su višeznačne, a takve su i m n oge rečen ice običnog jezika koje uključuju ugn iježđene kva ntifikatore ; čitatelj se mora oslon iti na i ntu icij u i l i kontekst da bi od lučio što znače . Na primjer, Abraham Lincoln je nekoć rekao: "Možete varati sve ljude neko vrijeme; čak možete varati neke ljude sve vrijeme; a l i ne možete varati sve ljude sve vrijeme . "4 Je li Lin­ coln (u prvoj rečenici niza) m islio da se svakoga od nas povremeno može prevariti, i l i je m islio da u nekim pri l i kama m ožete prevari­ ti sve? Ako j e razm išljao o tome kakvi su ljudi, o činjenici da sm o svi pogrešivi , možda je m islio ono prvo . Ako se fokusirao na poli­ tičke situacije - m isleći da su u nekim ta kvim situacijama moguće veli ke m a n i p u lacije - možda je mislio ono d rugo. Ako je bio oprezan, m islio je ono prvo; jer je to, budući iskaz \13 , slabije od d rugoga . Ako je davao hrabar iskaz, (to možda sugerira riječ "čak"), m ožda je mislio ono drugo . Formalizi raj mo:

Poredak ugniježđe n i h kvantifi katora

Neka je Ox Neka je Px Neka je Vxy

je osoba. je pril ika . x moze biti prevaren u y.

=

x

=

x

=

Prvu rečen icu sada možemo čit:lti kao : A

(\lx) [ Ox � (3y) (PY A Vxyl ] Svaka osoba moze biti p reva rena

u

nekoj prilici .

ili A'

4

(3y) [ Py 1\ ( \lx) (Ox � VxyJ J Postoje pri li ke u kojima svatko može biti prevaren.

Citi rano

u

Bartlett,

Familia r Quotations, str. 5 4 2 . 261

•

Logika

S l ično, drugu reče n icu možemo čitati kao : B

( V y] [ Py � [:Jx) ( Ox /\ Vxyl J

U svim prili kam a , poneko moze biti p revaren .

ili B'

C3x) [ Ox /\ (Vy] ( Py � Vxy) J Po stoje ljudi koji mogu biti prevareni u svim prilikama.

Ako je Lincoln razm išlpo o lj udima, vjerojatno je m is l io A i B'; ako je razmišljao o pol itičk i m situacija ma, vjerojatno je m islio A' i B. Ako je bio oprezan vjerojatno je m islio A i B ; ako je bio h ra bar vje rojatno je m islio A' i B'. Četi ri su mogućnosti . Kako odl u čiti na što je m islio Lincol n ? U trećoj rečen ici nema takvih višeznačnosti ; n j u j e moguće napisati na više načina, a l i oni su svi među sobno ekvivalentn i . Č itate lj se, a k o žel i, može u to uvjeriti i provjeriti kosi l i se treća s b i l o kojom verzijom preostale dvije. Ja ću se sada vratiti na A i A' i demonstrirati moju dosad nepotvrđen u tvrd nju da A' i m p l icira A. A'

[3y) [ Py /\ ( Vx) ( Ox � VxyJ l

Dokaži m o : A

( Vx) [ Ox � (3y] (Py

/\

Vxyl l

o strategij i : Kad žel ite koristiti kvantificira n i iskaz, počn ite s i n stancijacijom , možda i simpl ifi kacijom , tako da vidite s čime morate raditi; da biste dokazal i kvantificirani iskaz, odaberite jed n u njegovu i nstanciju i plan i rajte dokazati n j u , imajući u vidu da ćete je na kraj u genera l izirati .

262

*

1

C3y) [Py /\ ( V x) ( Ox � VxyJ l

PREM

*

2

Pa /\ ( Vy) ( ox � Vxa J

->

3

Pa

1 El ( a) 2 SIMP

*

4

[V x) ( Ox � Vxa)

2 SIMP

Nova ograničenja pravila izvođenja .

Sada plan i ramo našu dedu kciju odozdo prema gore i namjerava­ mo dokazati i nstanciju konkluzije: to jest, dokazati da Ob � (Jy)(Py /\ Vby) - a ne: Oa � ( 3 y) (Py /\ Vay), jer ćemo na kraju koristiti UG p ri genera l izaciji, a a je istakn uto već u koraku 2. Kao prem isu za dokaz po i m p l ikaciji stoga uzi mamo njezin antecedens Ob : o o o o

5

Ob

6

Ob � Vba

**

7

Vba

**

8

Pa /\

**

9

t:3 y) [ P y /\

"

PREM 4 Ul 6 , 5 MP

Vba

3 , 7 ADJ

8 EG

Vbyl 1 0 Db � (3yHPy /\ Vbyl

5-9

DI

i završavamo dedu kciju kako smo plan i ra l i : "

1 1 (\1'x) [ Ox � (3y ) ( Py

/\

Vxyl ]

1 0 UG ( bl

QEO

Konačno, uočimo da u dedukciji, u koracima 2 i 1 1 , imamo zasta­ vice te provjerimo i ma l i dvostru k i h i l i u n ak rsni h zastavica. Ni a i n i b n ije istakn uto dvaput; u koraku 2, gdje je istakn uto a , ne pojavljuje se b; u koraku 11, ne pojavljuje se a ; dedukc ija je u sp­ ješno dovršena. A što s obratni m slučajem ? Intu itivno - i sjećajući se pogrešnog zaključka o lju bavi s \1'3 � 3 \1' - zapažamo da i zgleda posve mo­ guće da svatko bude pon ekad p revaren a da ne postoji situacija u kojoj bi svi b i l i prevare n i odjednom. Stoga obrat (A . . . N) i zgleda nevaljano. S l ično je i s B ... B ' . Neki iskazi s ugniježđe n i m kvantifikatorima - poput onog Lin­ col n ovog - beznadno su višeznačni, osim ako imamo jasne infor­ macije ( i l i jasnu teoriju) o stavovima i interesima govorn ika, uz čiju pomoć možemo pouzdano saznati na što se m is l i . Drugi takvi iskazi, na primjer Postoji student koji se dosađuje na svakom predavanju [Neka je Oxy x se dosađuje na yl =

(3x) [ Sx /\ (\1'y) (Py � Oxyl ]

263

•

Logika

jednoznačn i su . No, treba biti pažljiv. I sljedeći je iskaz jednozna­ čan, i izrečen na hrvatskom zvuči veoma slično iskazu o studentu : Pošta postoji u svakom gradu.

Al i tu bi rečenicu bilo budalasto formal izirati po uzoru na prijašnju (tako da je Nxy = x se nalazi u y) : [3il l Px J\ ( 't7yH Gy � Nxyl l

Ta nam form ula govori da postoj i pošta koja se n a l az i u svim gradovima - koja se, primjerice, nalazi u Chicagu i u Los Ange l esu - a hrvatska rečenica kaže da svaki grad ima poštu koja se u njemu nalazi, i l i (\fy) [ Gy � C::3 x) (Px /\ NxyJ l

Drugim riječima, čitajući takve rečenice i imajući u vidu njihovu for­ ma l izacij u u logičke svrhe (pa i one koje nam se čine savršeno jasne), moramo paziti ne samo na jezične pojed inosti - poredak riječ;, izrazi kao što su "barem" i tako dalje - moramo u ključiti i zdrav rau m , uobičajene društvene in formacije, kao i kontekst.

Podsjetn i k u z šesto poglavlje Ogran ičenja kod E l i UG

Dva pravila s ograničenjim a u logici kvantifikacije, egzistencijalna instancijacija ( E l ) i univerzalna generalizacija ( U G), zahtijevaju da pseudoi mena koja se uvode pri El ili elim iniraju pri UG budu ozna­ čen a zastavicom u koraku u kojemu se na pravilo poziva, i da se tako istaknuta slova koriste pažljivo. 264

Nova ograničenja pravila izvođenja.

"Stvarno i me" ne sm ije se označiti zastavi com . Stvarno ime je i menica i l i slovo pridruženo entitetu u "stvarnom svijetu" i koje se tako shvaćeno koristi u premisama i l i u konkl uziji zaključka. Pseudoime koje se uvodi pri E l mora biti novo, a pseudoime koje se e l i m ini ra UG ne sm ije upućivati na pos e ba n slučaj. Ti su zahtjevi artiku l i rani u sljedećim ograničenji m a : 1 . Ded ukcija u kojoj s e javlja zastavica mora biti dovršena ; to jest, nijedno se istaknuto slovo ne sm ije pojaviti ni u kon­ kluzij i ni u neodbačenim pre m i sama. 2 . Unutar dedu kcije, nijedno slovo ne sm ije se dvaput označiti

zastavicom . Korištenje i ste zastavice dva puta je pogreška dvostruke zastavice .

3. Unutar ded ukcije, ako se jedno pseudoime pojavljuje u i stom

koraku u kojem je istaknuto neko d rugo pseudoime, prvo pseu­ doime ne smije biti i staknuto ni u kojem koraku u kojemu se javlja d rugo pseudoime. Kršenje tog ograničenja je pogreška unakrsnih zastavica . 4.

Analogno, zabranjena je i ciklička zastavica . Ako se a pojavlju­ je tamo gdje je istaknuto b, a b se pojavljuje gdje je istakn uto c, i tako sve do nekog pseudoimena n , n se ne sm ije pojaviti tamo gdje je istaknuto a. Kršenje tog ograničenja je pogreška cik­ ličke zastavice.

Pravila izvođenja u logici kvantifi kacije U n iverzalna i n stancijacija ( U l ) : Iz univerza lno kvantifici ranog

iskaza bez ograničenja sl ijedi svaka njezi na instancija. Egzistencijal na general i zacija ( EG) : Egzistencijalno kvanti ficiran

iskaz bez ograničenja slijed i iz bilo koje instancije toga iskaza . Egzistencijaln a instancijacija ( E J) : Iz egzistencijalno kvantificira­

nog i skaza možemo izvesti instanciju uz uvjet da je pse u doime koje zamjenj u je varijablu kvantifi kacije novo . 265

•

logika

Iz iskaza koj i sa d rži p seu do ime možemo izvesti univerzalno kvantificiran iskaz kojega je on i n sta n cij a ako pseudoime koje smo za mijenili varijablom kvantifikacije ne u pućuje na poseban slučaj.

U n iverzal n a gene ral izacija (UG) :

,

U kvantifikacijskim su kon­ tekstima međusobno za m je nj i ve svake dvije otvorene reče­ nice za či je se instancije pokazalo da su isti nosnofu n kcijski ekvi valentne.

Kvantifi kacijska ZAMjena ( K-ZAM) :

Ekvivalentna su i stoga m eđusobno zamjenjiva svaka dva kvantificirana iskaza koja su u svemu ista osim što imaju razl ičite kvantifikacijske varijable.

Promjena varijable ( PV) :

Negacija kvantifi katora

KN:

�

( \ixH Fxl � C..l x) [ � Fxl

� (3xl (Fxl � (\i xl (� Fxl

KN':

� ( \i xHAx � Bxl � (3 x) (Ax /\

�

Bxl

� (3x) (Ax /\ Bx) B (\i x) (Ax � � Bx)

Druge ekvivalentnosti 1 (\i xH Fxl

/\

( \i xJ l Gxl l B (\ix) ( Fx /\ Gx)

1 (3 x) ( Fx) v (3x) [ Gx) 1 B (3x) [Fx v Gx) ( \i x) ( \i y) ( Fxy) B (\iy) (\ix) (Fx /\ Gx) (3x) [3y) [Fxyl B (3y) [3x) (Fxyl

Prav i l a prijelaza

Ovdje je p bilo koj a rečen ica koja ne s a d rž i x .

266

( 1 ) lp /\ ( \i x) [Fxl l

B (\ix) ( p

(21 lp /\ (3 x) [ Fx) )

B (3x) [ p

/\

/\

Fxl Fx)

(3) lp v (\i x) [Fx)]

B (\ix) [p v Fx)

(41 lp v (3xH Fx) )

B (3x) (p v Fxl

Nova ograničenja pralIila izvođenja .

(51 lp --). ('lj xl (Fxl l B ( V xl (p --). Fxl [6J l p --). [3x) ( Fx) J � [3x) (p --). Fxl ( 7 J I (3x) (Fxl --). pl B (V x) [ Fx --). pl

(8J { ( V x) ( Fxl --). pl � (3x) ( Fx --). pl

I.

Probl e m i u z šesto pogl avlje B B'

U citatu Lincolna otkri li s m o d v i j e verzije nj egove druge reče n i ce ; "čak možete varati n eke lj u d e sve vrijem e " :

(VyJ l Py --). [3x] ( Ox /\ VxyJ I ( 3 x) [ Ox /\ (Vy) ( Py --). Vxyl )

i zaključil i d a B * *

n e i m p l i ci ra B ' , Evo "dokaza" d a B i m p licira B ' ,

[VyJ l Py --). (3x) ( Ox /\ VxyJ J Pa --). [3x] ( Ox /\ Vxal Pa

**

1 2 3 4 5

**

6

Ob

**

7

Vba

8 9 1D 11

Pa --). Vba (Vy) (Py --). Vby) Ob /\ (VyHPy --). Vby) (3xH Ox /\ (Vy) (Py --). Vxyl l

** **

* * * *

(3x) ( Ox /\ Vxa) Ob

/\

Vba

PREM 1 Ul PREM 2 , 3 MP 4 El ( b) 5 SIMP 5 SIMP 3 7 DI 8 UG (aj 6 , 9 ADJ 1 0 EG -

2&7

•

Logika

Običn i m jezikom : *

1

* 2 *

3

* 4 ** 5 ** 6

** 7 * 8 * 9 *

10

�.

11

U svakoj prili ci netko može biti prevaren . Ako je dan izbora [al p ri l ika , n etko može biti prevaren na dan izbora. Pretpostavimo da je dan izbora prilika. U tom s l u č aju netko može biti prevaren na dan izbora. Nazovimo ga Joe Blow [b) : Joe Blow je osoba koja moze biti prevarena na dan izbora. Joe Blow je osoba. Joe Blow može biti prevaren na dan izbora . Ako je dan izbora ta pri l ika [vidi korak 3) , Joe Blow m ože biti prevaren na dan izbora [vidi kora k 7 1 . Općenito, Joe Blow može b i ti prevaren u svim prilikama. Joe B l ow je osoba koja moze biti prevarena u svim prilikama. Postoji netko tko uvijek moze biti prevaren.

PRE M 1 Ul PREM

,

2, 3 MP

4 El [ bl 5 SIMP 5 SIMP 3-7

DI

B UG [al

6 , 9 ADJ

1 0 EG

u toj se "dedukciji" nalaze dvije pogreške. Pronađite ih i obrazložite. I I . Izved ite dedukcije koje podupiru ovih devet zaključaka: 1.

Postoji Krećanin koji laže svakome. Dakle, postoji Krećanin koji laže sam sebi.

2. Svatko tko šteti svima koji štete njemu, šteti samome sebi.

Dakle, netko šteti nekome. 3. Svi konji su životinje. Dakle, sve konjske glave su životinjske glave. 4. Svatko tko vjeruje svima je budala. Svatko tko ne vjeruje n i kome je cinik. N ije svatko budala ili cinik. Dakle, neki (ljudi) vjeruju nekim (ljudima), a ne vjeruju nekima d rugima.

268

Nova ograničenja privila izvođenja .

(Napomena: riječ "drugima" tu treba zanemariti kao " retoričko u ljepšanje"; 'drugima' još n ije dio našeg logičkog rječn ika . ) 5.

Cijel i svijet vol i lj u bavn ika. Mary voli nekoga tko je ne vol i . Dakle, pojest ć u svoj šeši r.

6. U svakoj k u hinji postoji pećn i ca . Dakle, a k o ne postoj i pećn ica, n itko ne j e d e u ku hinji. 7.

Postoji fi l m koji svaki Njujorča n i n žel i vidjeti . Dakle, svaki Njujorčanin žel i vidjeti neki fil m .

8.

Joe j e naklon prem a svakome tko je zahtjevan prema sebi. Joe n ije naklon prema n i kome tko je zahtjevan prema svi ma koj i rade za njega. Dakle, ako je netko zahtjevan prema svi m a koji rade za njega, netko ne rad i za sebe.

9. Joe je naklon prema svakome tko je zahtjevan prema sebi .

Joe n ije naklon n i kome tko je zahtjevan prema svi m a koj i rade za sebe. Dakle, a ko je netko zahtjevan prema svi ma koj i rade za njega, onda on ne rad i za sebe.

2&9

7.

poglavlje

I sti nos na stab la za logi ku relacija

Kako je čitatelj zasigu rno postao svjestan baveći se problem ima še­ stog poglavlja, prva poteškoća na koju nai lazi učen i k logike relaci­ ja jest iznošenje rečen ica običnoga jezika u simbol ičkom obl i k u . G n iježđenje kvantifikatora donosi novu složenost u izgradnju isti­ nosn i h stabala. Gdje god je to moguće, dobro je poduzeti n užne instancijacije prije početka izrade samog dijagrama. Prvo ćemo pro­ učiti nekol i ko pri mjera. Već smo pokaza l i , dedu kcijom, da je zaključa k (2) šestog po­ glavlja valjan ; taj ćemo rezultat sada potvrditi istin osn i m stablom. Svaki krug je lik

u ravnini.

Dakl e , svatko tko crta krug crta l ik

PREM : KKL: - KKL:

u ravn ini.

( V x) (Kx � Rx) (Vx) [ (3y H Ky !\ Cxy)

�

(3zH Rz !\ exz) ]

- (V x) [ (3 y H Ky !\ Cxy) � [3zH Rz !\ Cxz) ]

KN ' KN' prema ES ( a)

(3x) [ (3yH Ky !\ Cxy) !\ - (3zH Rz !\ Cxz) ]

prema

(3x) [ (3yH Ky !\ Cxy) !\ ( V zHRz � - Cxz) )

prema

13yH Ky !\ Cxy) !\ (V z] ( Rz � - Caz) ]

Tako, simpl ifi kacijo m, v i d i m o da će n aše stablo u sebi sad ržavati predstavn i ke sljedeći h iskaza :

211

•

Logika

krugl

- KKL A:

C3yH Ky A Cayl

(Al bert crta

- KKL B :

(Vz) ( Rz � - Cazl

(Nijedan lik n a ravnini ne crta

PREM :

(V xl (Kx � Rxl

Albert] Počet ćemo s egzistencija l n i m iskazom, a nakon toga s u n iverzal­ n i ma, svejedno koj i m redom : Kb Cab

]

_

Rb

- Kb

X

PREM , US

�

- Rb

X

KKL A, ES ( bl

-

Cab

-

KKL B, US

X valjan o

Na raspolaga nj u su bile još dvije instancije: Ka � Ra, iz prem ise prema US, i Ra � - Caa, iz negacije kon k l uzije, a l i one n isu bile potrebne (u ovom slučaju te dodatne instan cije ne bi imale p u n o smisla), budući da s e t o istinosno stablo zatvara i bez nji h . Kre n i m o sada na još jedan primjer iz šestog poglavlja : Svatko tko glasa mora se prvo re g i s tri rati Dakle, svatko tko

g l asa

.

mora se re g ist ri r ati .

To izgleda kao valjan zaključak, a već smo vidj e l i da se pre m isa i kon k l uzija, svaka za sebe, mogu forma l izi rati kao : (V x) [V yl [ Gxy � ( 3 zHRxz A Pzyl J (V x) ( Gx � Rxl

Al i , što i ne iznenađuje, ta verzija kon kluzije ovdje ne odgovara jer se ne m ože spariti s prem isom . Pokušajmo još jedno m : (Vx) (VyJ [ Gxy � (3 zHRxz A Pzyl ] ( V x) (V y) [ Gxy � RxyJ 212

Istinosna stabla za logiku relacija .

To je još gore jer kon k l uzija ne prenosi ono što smo nam jerava l i . Ta form u la govori da se svatko tko žel i glasati u bi l o koje vrijeme mora registrirati u to vrijeme: a ko Joe že l i glasati na dan izbo ra, mora se registrirati na dan izbora . To, čini se, n ije ono što smo htjeli a u svakom slučaj u ne sl ijedi iz prem ise. Parafraziraj mo stoga n ašu konkluziju još malo pažljivije : Svat ko t ko

u

nekom času glasa mora se

u

nekom času

registrirati. I V xHl 3 yH Gxy) � 13z) [ Rxzl l

PREM : - KKL:

I V x) [ V y] [ Gxy � 13zH Rxz A Pzy) l - ( V x) [ (3 yH Gxy) � ( 3 z) [ Rxz) ] (3x) - [ (3y) [ Gxy) � ( 3 z) ( Rxz) ]

p rema

(3x) [ (3 yH Gxy)

A

- ( 3 zH Rxz) ]

prema NAKO

(3x) [ [ 3yH Gxy)

A

[V z) [ - Rxzll

(3y) [ Gay)

PREM ' :

A

prema

KN KN

prema ES ( a)

( V z) ( - Raz)

[ V yI [ Gay � (3z] [Raz A Pzyl l

prema US (koristeći a)

Stablo će sad ržavati predstavn ike sljedećega: - KKl A :

(Postoji vrijeme kad

(3y) ( Gay)

Albert glasa)

- KKL B:

(Ne postoji vrijeme

( V yH - Ray)

kad se Albert registrira) PREM ' :

( V y) [ Gay � (3z] ( Raz A Pzy) l Gab - Rab - Raa

PREM, US

- KKL

J

A, ES ( b)

- KKl B , US

Rae Peb

]

ES ( e)

273

•

Logika

Č i n i se da je to otvoreno stablo, koje naznačuje nevaljanost zaključka - ali n ije, jer univerza l n i iskaz - KKL B n ije potpuno iskorište n . Dovršeno stablo izgledat će ovako : Gab - Rab - Raa

]

- KKL A, ES (bl - KKL B, US

Rae

PREM, US

Peb

]

- Rae

ES (e] - KKL B , US

K

valjano

Kod tog smo se primjera mogl i osigurati protiv takvih propusta uno­ šenjem prem ise, koja sad rži ugniježđeni egzistencijalni iskaz, prije u n iverzal nog iskaza - KKL B : Gab

PREM , US

;:� ]

- Rae

ES (eJ - KKL B, US

K

valjano

To je d obra pol i ti ka, ali se ne može uvijek provesti . Osim toga, kako smo vidjel i, njezino neprovođenje nas ne mora n avesti na krivi put jer se uvijek možem o vratiti u niverzalnom iskazu, čak i kad smo ga prerano u n ijel i , te ga koristiti ponovno, kao što sm o to učin i l i u prvom stablu. Sada prelazimo na dva s ti m povezana zaklj učka : pogrešn u i nterpretaci j u istog zaklju čka, te njemu obratn i zaključak. 214

Istinosna stabla za logiku relacija .

Prvo, pogrešna i nterpretacija : Svatko tko u nekom času glasa , mora se prvo registrirati . Dakle. svatko tko u n ekom času glasa, m ora se t a d a registrirati. PREM:

('lJx] ( 'lJyH Gxy � E l z) (Rxz A Pzy) ]

KKL: - KKL:

- ( 'lJ xH'lJyH Gxy � Rxyl

('lJ xH'IJ yH Gxy � Rxyl ( ::l x) - ('lJyHGxy � Rxy) [3yH Gay A - Ray) Gab A - Rab

PREM:

( 'lJ yH Gay � (3zHRaz A pzy] ] Gab � (3z) ( Raz A Pzb) Gab - Rab

] Rae

P R E M , US

KN KN ' ES ( al E S ( b) US US

prema prema prema prema prema prema

C3xH 3 yH Gxy A - Rxy)

Peb

- KKL, ES ( a, b)

]

ES ( cl

t nevaljano

S obzirom na premisu, moguće je da Alice glasa u vrijeme b i reg­ istrira se u vrijeme c, prije b, a ne registrira se u vrijeme b. Rac i - Rab međusobno ne proturječe. A sada obratni zaključak: Svatko tko glasa mora se registrirati. Dakle, svatko tko glasa mora se prvo registrirati. PREM :

('lJxH (::J yH Gxy) � (3z] ( Rxzl l

- KKL:

- ( 'lJxH'lJy) [ Gxy � (3z) (RxZ A Pzy) ] (3x) - ( 'lJy] [ Gxy � (3z] (Rxz A Pzy] ] (:J x) (3yH Gxy A - ( :J z) ( Rxz A Pzy) ] (:Jx) (3yH Gxy A ('lJz) [Rxz � - Pzy) ]

prema KN prema KN ' , NAKO prema KN' 275

•

Logika

Kad instanciramo, prema ES ( a)

(:ly] ( Gay /\ (l;jzJ [ Raz � � Pzy) ] Vab /\ ( I;j z) [ Raz � � Pzb) prema E S (b)

PREM ' :

L3yJ ( Gay) � C:l zH Raz)

prema US

(I;jy) [ � Gay)

prema AKO, KN

v

C:lzJ (Raz)

Stablo će sadržavati: � KKL A :

Gab

� KKL B :

(I;j z) (Raz � - Pzb)

PREM ' :

( l;j yH � Gay)

v

C:l zJ ( Raz) Gab

� KKL A

� �

PREM , US � Gab

X

Rae

� Rac

X

ES ( e)

� Peb � KKL B , US

t nevaljano

S obzirom na prem isu, moguće je da Alice glasa u vrijeme b i reg­ istrira se u vrijeme c, prije b; možda se registrirala i poslije, ili u vri­ jeme glasanja. Treba u pamtiti da činjen ica kako su vremena glasa­ nja (b) i registracije (c) označena razl ičitim slovima ne jamči da su to i različita vremena: možda jesu, možda n isu. Osi m toga, n išta u tim rečen icama ne jamči da se Al ice n ije registrira l a više n ego jednom, i l i glasala više nego jed nom. Na kraju, radi potpunosti, napravim o ded u kciju izvornog za­ ključka: [l;jx) [l;jy) [ Gxy � C:lz) ( Rxz /\ pzy) ] ( l;jxHC3y) [ Gxyl � C3zJ ( Rxzl l

Plan nam je pokazati : (:ly)(Cay)

276

� (3z)(Raz)

Istinosna stab la za log iku relacija . *

1

(Vx] ( VyJ [ Gxy � EJ zH Rxz 1\ Pzy] ]

**

2 3 4 5

(3 y) ( Gay)

**

6

( 3 z) ( Raz l\ Pzb)

**

7 8 9

Rae

** ** **

** **

Gab ( Vy) [ Gay � ( 3 z) ( Raz l\ Pzy) 1 Vab � l:lzJ ( Raz 1\ Pzb) Rae 1\ Peb ( 3 zH Razl

*

1 0 (3y) (Gay) � [3zHRaz)

*

1 1 [V xl [ (3 y] ( GxyJ � (3z) [Rxzl

PREM PREM ( z a Dil 1 El ( bl [al 1 Ul 4 Ul 5 , 3 MP 6 E l ( e) [a, b l 7 SIMP 8 EG 2-9 01 1 0 UG ( a) QEO

Sada provjeravamo i ma l i grešaka sa zastavicama. U koraku 3, gdje je ista kn u to b, j avlja se a ; u koraku 7, gdje je ista k n uto c, jav­ ljaju se i a i b; ali u koraku 1 1 , gdje je istakn uto a, ne pojavljuju se ni b ni c. Nema dvostru kih zastavica; nema u nakrsni h zastavica; nema c i kli č kih zastavica. Deduk c iJa je OK.

Razmotrimo sada zaključak ( 3 ) iz šestog poglavlja :

Beskonačna stabla

(3x) (VyH Vyx) ..

PREM: - KKL:

(VyJ (3x) ( Vyx) L3x) (V y ) ( Vyx) [3 yJ - (3x) [ VyxJ (3y) (V x) ( - Vyx)

PREM ' : -

KKL' :

[Vy) ( Vya) [ Vx) (- Vbx) Vaa Vba - Vba - Vbb

prema KN prema KN iz PREM, prema ES ( a) iz KKL. prema ES ( bl -

J ]

iz PREM' prema US

iz - KKL' prema US

x 217

•

Logika

Sada idemo na obratn i zaključak, za koji smo već prosud i l i da je nevalja n . (\7 y] E3x) ( Vyx] ..

C3x) (\7 y) ( Vyx]

PREM :

(\7 y] [3x] ( Vyx]

- KKL:

- [3x) (\7 y) ( Vyx] (\7x] - (\7y) ( Vyx] (\7x) (3y) ( - Vyx]

prema KN prema KN

Pogledajmo sada te dvije form ule svaku za sebe, i uočimo da obje i m aj u stru kturu \73 . PREM :

(\7 y] (3x] ( Vyx] (3x] ( Vax] Vab (3x] ( Vbx] ( Vbc] (3x] ( Vcx] Vcd

prema US prema ES (b] prema US prema ES ( cl prema U S prema E S ( dl

Lista ide u beskonačnost. S l ično je i s negacijom konkluzij e : - KKL:

(\7 xH3 yH - Vyx] (3y] ( - Vyb] - Vb 'b [3yH - Vyb' ] - Vb "b ' (3yH - Vyb" ) - Vb "'b "

prema US (pokušavamo to povezati s premisom] prema ES ( b 1 prema US prema US ( b ' 1 prema US prema ES ( b " 1

i tako dalje. Lista: - Vb 'b . - Vb "b ', - Vb lllb ", . , kao i Vab, Vbc, , ide u beskonačnost, a tako će biti i s Vb'c', Vc 'd', , Vd'e' koju generira prem isa, koja počinje s b', te - Vc "c', - VC '"C ", . .

Vcd,

218

. . .

. . .

Istinosna stabla za logiku relacija.

Ve""e"', . . . koju generira negacija kon k l uzije, koja počinje s e ' . Stablo, koje će se sastojati od beskonačne l iste iskaza obl i ka Vyx i - Vyx, u konju n keiji, ne pokazuje n ikakve znakove zatvaranja, iako je, budući da su neki afi rmativni a drugi negativn i iskazi, moguće da postoji n eko protu rječje koje nije vidljivo na prvi pogled . S d ru­ ge strane, beskonačnost toga stabla ne jamči da su (V'y)(3x)(Vyx) i (V'x)(3y)(- Vyx) konzistentn i, kako smo, dakako, s kloni vjerovati . Stoga, umjesto da pustimo instancije da se umnažaju, zam islimo da se svijet sastoji od samo dva l i ka, a i b. Ako je moguće da u tom malom svijetu (V'y)(3x)(Vyx) i (V'x)(3y)(- Vyx) budu zajedno isti n i ­ ti, onda nijedan od njih ne im plicira n egaciju drugog . Ako imamo samo a i b, (V'y)(3x)(Vyx) se svodi n a konj u n kciju : (3x)(Vax) /\ (3x)(Vbx); a (3x)(Vax) i (3x)(Vbx) se svode na disj u n kcije : Vaa v Vab, odnosno Vba v Vbb. Stoga nam prem isa: [ Vaa v VabJ /\ [ Vba v VbbJ

"Svatko vol i barem nekoga" govori da a vol i a i l i b, te da b voli a i l i b. S l ično, negacija konkluzije ("Netko je voljen od svakoga"), to jest iskaz, "Svatko je nevoljen od barem nekoga", i l i (V'x)(3y)(- Vyx), svod i se na (3y)(- Vya) /\ (3y)(- Vyb), a onda i n a ( - Vaa v - Vbal /\ ( - Vab v - Vbbl

što nam govori da je a i l i nevoljen od a i l i nevoljen od b i da je b i l i n evoljen od a i l i nevoljen od b. PREM : - KKL:

[ Vaa v VabJ /\ [ Vba v VbbJ ( - Vaa v - VbaJ /\ ( - Vab v - VbbJ

279

•

Logika

�

Vab

Vaa

�

� 1\ /\ �a

- Vaa - Vba 1 1

�b

/\

- Vba

va

t

�b

/\

d D : l-1- v{L

- Vaa

_I

�a

PREM :

- Vaa

- V

I

l

- Vba

- Vaa

- Vba

bb- a

t

I

l

l

I

l

-

KKL

valjano

Dvije su otvorene grane: Vaa, Vbb, - Vba, - Vab (a i b vole sam i sebe, a l i ne jed no d rugo) ; te Vab, Vba, - Vaa, - Vbb (a i b vole jedno d rugo, ali ne i sami sebe). Tim se stablom utvrduje da je zaključak o kojem smo raspra­ vljal i nevaljan; ono naime donosi protu primjer za taj zaklju čak, situaciju u kojoj je prem isa isti n ita, ali je kon kluzija neistin ita. No, da se stablo zatvori lo, to ne bi pokazalo da je zaključak va­ ljan. Naposljetku, u još m anjem svijetu, u kojem u je a samo, pre­ m isa bi dala Vaa i negaciju konkl uzije, - Vaa . To bi se stablo zatvo­ rilo: Vaa

PREM

- Vaa

- KKl

X

Sužavanje u n ive rzuma nam može pomoći da pronađemo pro­ tuprimjer, a l i ne i da pokažemo valjanost. Postojanje beskonačn i h stabala znak je važne razlike izmedu logi ke relacija i onoga prije nje. U propozicijskoj logici i isti nosne tablice i istin osna stabla su pružala rutinske - iako često nespretne - metode za dobivanje odgovora da-ne na pitanje: Je l i taj zaključak (ili iskaz za koji se dokazuje da je teorem) valjan? I isti nosna stabla su davala takve odgovore da-ne u logici predikata. Al i, kad dođe280

Istinosna stabla za log iku rel acija .

mo do relacija, isti nosna stabla više n isu na taj način adekvatna. Uvedena je nova razina složenosti. Ako je zaključak valjan, njegovo će se isti nosno stablo zatvoriti, iako i u tim slučajevima treba prije svega obratiti pažnju na strate­ gij u i uz to se oslanjati na ruti nske postupke. Ali ako je zaključak nevaljan, na istinosno stablo se više ne može raču nati da će utvrdi­ ti tu nevaljanost i dati protuprimjer koji se može iščitati iz dovršenog stabla. Neka isti nosna stabla u logici rel acija se ne mogu dovršiti . Nedovršeno stablo će, naravno, i dalje biti i nformativno. Ono, primjerice, m ože sugeri rati kako intel igentna osoba može kon­ strui rati protu primjer koji m opovrgava za ključak (ili iskaz) za koj i j e prosudio da je nevaljan . Ali o n o taj protu primjer neće konstru­ i rati sam o po sebi.

Prije nego što prijeđemo na l ogiku i dentiteta, Što se može p romotrimo još dva za klju čka iz šestog poglav­ obrati s ist i n o sn i h lja : problem I, s Li ncol novim citatom, i zaklj u­ st a b ala ča k iz prem ise "Cijeli svijet vol i lju bavn ika". Istinosno stablo za n evaljan zaključak iz problema I : U svakoj prilici netko moze biti prevaren.

I.

. . Postoji netko tko uvijek moze biti prevaren. (Vy} [ Py � (3xJ (Ox /\ Vxyl l ..

[3x) [ Čx /\ [Vyl ( Py � Vxyl ]

ići će u beskraj, poput isti nosnog stabla za (V y) [3x) [ Vyxl

..

(3 xl ( I;i yH VyxJ .

U n atoč tome, to se kompl iciran ije stablo može izravn o iskoristi­ ti da se pokaže n evaljanost zaključka: 281

•

Logika

PREM : - KKL:

('I7' yl ! Py v (3 yH Ox !\ Vxyl l

(\i xl ! ox � (3y)(Py !\ - Vxyl l

PREM

US

��[

- K

PREM US

[

[

_

Ob

p a

Vab

/\

ES ( bl

Pc

Pc - Vbe

I � /\ _

J

Pc

X

- Vbc

J

ES ( cl

- Pc X

Vod

- Od

- KKL

US

[

Pe

X

- Vde

J

ES

(01 itd .

Sredina toga stabla u m n aža se neuhvatlj ivo - barem s gledišta ono­ ga tko d ijagra m i ra. Desna grana daje poznatu l istu koja u k lj učuje : Vab, - Vbc, Vcd, - Vde, , što je inkonkluzivno, ali sugerira kako konstru i rati manje stablo koje bi m ogl i dati protu primjer. Krajnje l ijeva grana je međuti m savršeno konzistentna i ostat će konzistentna kako raste, budući da su sve stavke na njoj negativne. Ona nam govori da ako ( 'I7'x)(- Py) i ('I7'x)(- Ox), to jest, kad ne bi bilo n i kakve pri l i ke (političke situacije, ako vam je d raže- m ožda je teško zam isl iti svijet bez vremena) n iti ljud i, premisa tog zaključ­ ka bi bila isti n ita, a njegova kon kluzija neisti n ita. Kod problema I uče n i k je trebao pronaći dvije pogreške u za­ da noj ded u kc ij i : . . .

282

Istinosna stabla za lo g iku relaci j a.

1 (Vy) [ Py ---+ [ 3 x) ( Ox /\ Vxyl ] 2 Pa ---+ (:lx) (ox /\ Vxa) 3 Pa

* * ** **

4 5

**

(:lx) ( ox /\ Vxa) Ob /\ Vba

Ob Vba 8 Pa ---+ Vba 9 ( V y) ( Py ---+ Vby) 1 0 Ob /\ (V y) (Py ---+ Vby) 1 1 (:lx) [ ox /\ ( Vy) ( Py ---+ Vxy) l

**

6 7

** * * * *

PREM 1 Ul

PREM 2, 3 MP 4 El (b) 5 SIMP 5 SIMP 3-7 D I 8 UG (a) 6, 9

ADJ

1 0 EG

Na koj i nam nači n to stablo sugerira gdje se nalaze te greške ? Prem isa (Vyl l Py ---+ (:lx) ( ox /\ VxyJ l

će biti istin ita ako nema pri l i ke; rad i neisti nitosti antecedensa nje­ zine otvore ne rečenice, a bit će tad isti n ita čak i a ko nema lj u d i , ka ko pokazuje isti nosno stablo. A l i kon kluzija (:lx) [ ox /\ ( V y) (Py ---+ VxyJ l

kaže da ima lj udi pa je očigledno neistin ita a ko i h nema. U kojem d ijelu dedukcije se nalazi potez kOj i m se uvod i tvrd­ nja da postoje l j u di ? Odakle se stvori lo ono 'Ox' iz konkl uzije ? U "ded u kciji" problema I kon kluzija je izvedena, i t o ispravno, iz koraka 1 0 : Ob /\ ('I7'y)(Py ---+ Vby) a Ob iz kora ka 1 0 je izvede no iz koraka 6. Ali pokazuje se da korak 6 n ije na raspolaganj u ; njegova pre m isa, 'Pa ' u koraku 3, od bačena je u koraku 8. U koraku 1 0, d rugi m riječi ma, učinjena je pogreška n edopuštenog ponavljan ja. To je možda duga priča - ali ona nam pokazuje da kraj nja lije­ va gran a tog isti nosn og stabla ne sa mo da utvrđuje neva ljanost zaključka, nego i u kazuje na pogrešku nedopuštenog ponavljanja u toj neuspjeloj dedukcij i . Pre m i sa nam ne jamči da postoje pri­ l ike ; ako nema prilika, ne jamči n i da postoje ljudi; konkl uzija kaže da i m a ljudi - pa tako zaključa k pada. '

'

283

•

Logika

Druga greška, u nakrsne zastavice u koraku 9, odgovara (sasvim gru boj beskrajnosti stabla; veći na učeni ka lako otkrije tu grešku jer se o u nakrsni m zastavicama raspravljalo u šestom poglavlju, a o nedopuštenom ponavljanju još kod osnovnih isti nosnofu nkcijskih načela iz prvog poglavlja, što se možda zaboravilo. Vrati mo se sada na "Cijeli svijet vol i lju bavnika" : Cijeli svijet voli ljubavnika . Netko voli nekoga. Dakle , svatko voli svakoga. PREM 1 :

( V xJ [(3y) ( Vxyl � ( V zJ [ Vzxl l (V xl i - (3yJ ( Vxy) [ Vxl [[Vyl [ - Vxyl

PRE M 2 -

v v

[V zJ ( Vzxl I (Vz] ( Vzx)]

prema AKO prema KN

(3xl (3 yI ( VxyJ - (V x) [V yl[ Vxyl

KKL

[3x) - (Vyl [ Vxy)

prema KN

(3x)(3y)( - VxyJ

p rema KN

Započnimo to stablo uvođenjem dvaju egzistencijal nih iskaza : d rugom prem isom i negacijom konkl uzije: Vab - Ved

I

PREM 2 , ES [ al , (bl -

KKL, ES (cl , ( dl

vol i b, a e ne vol i d ) . Kod unošenja prve pre m i se , koristeći US, možemo b i rati kako početi . Ima smisla pokušati izvesti proturječje od Vab ili - Ved. Ako prvo eiljamo na proturječje od Vab, gledamo na stranu "anteeedensa", gdje su znakovi "ne", i stavljamo a na mjesto x i b na mjesto y. Ako a voli b, onda svatko (ovdje, a, b, e i dl voli a . Time se zatvara l ijeva grana, a l i desna ostaje otvorena:

(a

284

Istinosna stabla za logiku relacija . Vab

PREM 2, ES [ a l , [bl

- Vcd

PREM 1 , US, dvaput

-

-

Vab X

KKL ES [cl , [dl

]

Vaa Vba Vca Vda

PREM 1 . US. dvaput [stavljamo a na mjesto x , a zatim a, b, c , d na mje sto zl

I m amo protu rječje od Vab ; sada žel i m o protu rječje od

-

Vcd.

Gledamo n a stranu konsekvensa prve prem ise, gdje su afi rmativn i iskazi, i stavljamo

e

na mjesto z i d na mjesto

desna grana i ostavlja grana "antecedensa" :

-

Time se zatvara

x.

Vda, - Vdb, - Vdc,

- Vdd . Odabiremo - Vda i stablo se zatvara : PREM 2 , ES [al , (bl

Vab - Vcd

PREM 1 . US.

[

-

US - Vab X

PREM 1 , US

KK L, ES (cl , (dl

vaa Vba Vca Vda

-

Vda X

]

US

Vcd US X valjano

" Pu na" verzija prve u potrebe PREM l , s a na mjestu

US

[

-

Vaa Vab Vac Vad

Vaa Vba Vca Vda

"Puna" verzija druge u potrebe, s d n a mjestu

l x,

x,

j est:

us

jest: 285

•

Logika

us

[

�

� � �

Vda Vdb Vdc Vdd

(l

Vad Vbd Vcd Vdd

l

us

Du lje nego što je to n užno, ali možda transparentn ije istin osno sta­ blo za taj bi zaključa k izgledalo ovako: Vab

P REM 1 US ,

[

- Vcd

Vaa - Vab Vac Vad �

X

PRE M 1 . U S

[

�

KKL, E S (cl , ( dJ Vaa Vba Vca Vda

�

�

P REM 2 , E S (al , ( bl

- Vda Vdb - Vdc - Vdd

�

X

l

us

Vad Vbd Vcd Vdd

X

l

us

valjano

Tu i mamo još dvije u potrebe koje n isu bile nužne, ali ne postoji jedna u potreba prem ise 1 koja bi bila dovoljna. Ako ste i ma l i problema s izvođenjem ded u kcije, jer ste bili u iskušenju da napravite dvostruku zastavicu i n iste znali kako je izb­ jeći, ovo vam istinosno stablo to govori : tako da prvu prem isu isko­ ristite dva puta.

28&

Istinosna stabla za logiku relacija.

Osnovna isti nosna stabla

Podsjetn i k u z sed mo poglavlje

: Iq

PA

ILI

Aq

P

AKO

AKKO

A A q I: I -q

-P

-P

ES: N a mjesto egzistencijalno kvantificirane rečen i ce i l i sastav­

n ice rečen ice koja treba ući na otvorenu gran u isti nosnog stabla unosimo njezinu instancij u ; za svaku novu takvu rečenicu i l i sastavn icu u n osimo novo ime. U S : Na mjesto u niverzalno kvantificirane rečenice ili sastavnice

rečen ice koja treba ući na otvorenu granu isti nosnog stabla u n osimo sve njezine i nstancije koje n ose i m e ili pseudoime koje se već pojavilo n a toj gra n i . Pogledajte i podsjetn i k uz šesto poglavlje.

Problem i uz sed mo poglavlje

I . N ači n ite istinosna stabla za zaključke prob­

lema l l iz šestog poglavlja. I I . Obratite pažnju na sljedeće zaključke. Prvo, odlučite se o njihovoj valjanosti . Svoju pro­ sudbu zatim potvrdite ( i l i opovrgnite) istinos­ n i m stablom, a rezultat objasn ite . Ako je zaključak valjan, načinite dedukcij u .

281

•

Logika

1 . U sva kom stan u postoji kuhinja.

Postoje stanovi u koj i ma nema ugodnog mjesta za jelo. Dakle, neke kuh i nje nisu ugodna mjesta za jelo. 2. Svatko tko šteti svakome tko našteti njemu, šteti samome sebi . Dakle, svatko šteti barem nekome. 3. Svatko tko šteti svakome tko šteti njem u, šteti samom sebi. Dakle, svatko je oštećen barem od nekoga. 4. Svatko tko vjeruje svakome je budala. Svatko tko ne vjeruje n i kome je cinik. N ije svatko i l i budala ili cinik. Dakle, nekim ljud ima vjeruj u neki, a ne vjeruju d rugi . 5.

Postoji netko tko će premoćno pobijed iti ako svatko tko ga sada podržava bude glasao za njega. Neki ljudi uopće neće glasati, a n itko neće premoćno pobijediti . Dakle, neki ljudi će se predomisl iti kod glasanja (to jest, glasat će za nekoga koga ne pod ržavaju sada i l i neće glasati za n ekoga koga sada podržavaju).

6. Svatko tko vol i sve od Wagnera, ne vol i n i šta od Gersh­

wina. Svatko tko vol i sve od Gershwi na, ne vol i ništa od Wagnera. Dakle, ne postoj i n itko tko vol i nešto od Wagnera i nešto od Gershwina. I I I. Shvaćajući da biti roditelj znači biti nečiji rod itelj, da imati rod itelja znači da je netko nekome roditelj, i da je nečiji djed i l i baka roditelj nekome tko je nečiji rod itelj, razmislite o sljedeći h dvanaest iskaza. Za svaki prosu dite je li valjan - je l i teorem logike relacija. Ako jest, nači n ite dedukciju i to utvrd ite. Ako n ije valjan, objasnite zašto n ije. Počnite formaliziranjem navedenih definicija. Razmišljajući o va­ ljanosti iskaza pazite da ostavite po stran i sve ostalo što znate o rod iteljima i djedovima i bakama. Tim se definicijama, na pri288

Istinosnil stabiiI ZiI logiku relilcijil

•

mjer, neposredno ne isključuje mogućnost da netko bude vla­ stiti roditelj . 1 . Svatko tko je rod itelj i m a roditelja. 2 . Ako je svatko roditelj, svatko ima roditelja . 3 . Ako nitko n ije roditelj, nitko nema roditelja. 4.

Ako nitko nema roditelja, n itko n ije roditelj.

S.

Svatko tko je djed il i baka je roditelj.

6. Svatko tko ima roditelja ima djeda ili baku . 7. Ako svatko ima djeda ili baku, svatko ima roditelja. 8.

Ako svatko ima roditelja, svatko ima djeda i l i baku.

9 . Ako n itko nema roditelja, n itko nema djeda ili baku . 1 0 . Ako n itko nije njegov roditelj, nitko n ij e vlastiti djed ili

baka. 1 1 . Ako nitko nije njezi n djed ili baka, n itko n ij e vlastiti

roditelj. 1 2 . Ako neki muškarci n isu žene, nije isti na da svatko tko ima

oca (rod itelja koji je m uškarac) ima i majku (roditelja koji je žena).

289

četvrti dio

I dentitet i opis

8.

poglavlje

Logi ka i dentiteta

Da sam ja crnac, ne bih Jago htio b iti

.

I služeći njemu, služim samo sebi . . . . Ja nisam, što jesam. OthelIo, čin I , scena 1*

Pojam identiteta ima središnj u u logu u našem uobičajenom razm i­ šljanju, ali se više koristi i m p l icitno nego eksp l icitno, i češće ne­ gativno nego afirmativno. Prije ćemo n ekoga obavijestiti da je a drugo nego b, nego da je a identično s b. Pojmove i dentiteta i dru­ gosti koristimo kad u pozn ajemo svoje prijatelje i rodbinu jedne s drugima, kad identificiramo krivce i l i nekoga oslobađamo krivnje, kad pričamo priče, kad pišemo povijest, kad k l asificiramo biljke i životinje i kad dijagnosticiramo bolesti. U šestom poglavlju ove knjige vidjeli smo da su zaključci poput ovoga valjani : Mary je tolera ntna prema svakome. Dakle, Mary je tolerantna prema sebi.

('v' xl ( Tmx)

Tmm

To jest, znamo da ako je Mary tolerantna p rema svi ma, onda m ora biti tolerantna p re m a sebi. Ali ako nam netko, recimo Henry, kaže

•

prev. M i lan Bogdanović 291

•

Logika

da je Mary tolerantna prema svi ma a l i je netolerantna prema sebi, nećemo optužiti Henryja za inkonzistentnost iako ga bismo optužili za i n konzistentnost da nam je rekao da je Mary tolerantna prema svima ali je netolerantna prema Georgeu. Razm išljajući o Marynoj netolerantnosti prema sebi, mogli bismo držati Mary i n konzistent­ nom u njezinu ponašanju ili stavovima, ali vjerojatno ne bismo sma­ trali Henryja inkonzistentnim u razmišljanj u . Jer, razu mjeli bismo ga da kaže, "Mary je tolerantna prema svakom drugom", što znači da je Mary tolerantna prema svima osim prema Mary. A ta tvrdnja ne impl icira konkl uziju da je Mary tolerantna prema seb i (Tmm) pa se ne sukobljava s Henryjevom tvrdnjom "Mary je netolerantna prema sebi " (- Tmm). Li ngvistički, identitet je problematičan na još jedan nači n : č i n i s e da n as on zavodi u gramatičke zbrke. Učitelj engleskog jezika, primjerice, objašnjava da je George El iot identična s Mary An n Evans. "George El iot i Mary Ann Evans su bile ista osoba", kaže on . Ali ako "su one (ona?) bile" ista osoba onda je postojala samo jedna takva osoba pa je učitelj morao reći "George E liot i Mary Ann Evans je bila ista osoba" - što zvu či grozno. Pokušat ću izbjegavati takve konstru kcije, ali ne očekujem da će mi to poći za rukom . Ponekad ću, osim toga, koristiti i navodn i ke kako bih skrenula pažnju na upotrebu koja je uobičajena a l i može zavesti na krivi put. Pojam identiteta nas često baca u tautologije i red undantnosti ; i jedno i drugo je čest o korisno ali ne i onda kad nam je cilj preni­ jeti informacije. I ma, na primjer, jedna izreka Josepha Butlera koju često citiraju modern i fi lozofi : "Sve je ono što jest i ne nešto dru­ go. ,, 1 To " i " u citatu, poput onog "i" između 'George Eliot' i 'Mary Ann Evans', nekako nije baš na mjestu jer su dvije sastavne rečenice u citatu Butlera ekvivalentne: one prenose istu informaciju, baš kao što ta dva imena denotiraju istu britansku književn icu. Drugost je negacija identiteta; druga rečenica je dakle dvostruka negacija prve. Reći za a i b da su "on i " identičn i jest reći da su "on i " ista stvar, da je tamo samo jedna stvar - ne to d a su "on i " slični, i l i iste vel i Predgovor u Fifteen Sermons Preached a t the Rolls Chapel (Oxfo rd), Stan hope, 1 7 9 2 , par. 3 9 . U razni m p retisci mai dostu pno u Joseph B utler, Five Sermons ( N ew York: Li beral Arts Press, 1 950), str. 1 5 . 292

Logika identiteta .

čine, istog obli ka ili iste vrijednosti, pa čak n i da ih je nemoguće ra­ zlikovati. Ako su a i b uisti n u i dentičn i , iz toga slijedi da su "on i " isti, iste veličine, istog obl ika, iste vrijednosti i nemoguće i h j e razli­ kovati . "On i ", naime, n isu dva, nego jedno.

To je temelj onoga što je postalo poznato kao "Leibnizov zakon " 2 ( LZ), kao jedno od dva n ačela identiteta što ćemo i h koristiti u ovom i sljedećem poglavlj u . Neodgovaraj uće rečeno, Leibn izov za­ kon nam kaže da ako su bilo koje dvije stvari identične, onda je sve što je istin ito za jednu, istin ito za drugu . Naravno, ako imamo iden­ titet, ne postoje dvije svari, n iti više njih. Ono što je drugo je i m e i l i pseudoim e, a ne entitet n a koji se upućuje - to j e jezičn i izraz, a ne prenesena poruka.

N ačel a identiteta

Lei bn izov zakon (LZ):

Ako je da n iskaz identiteta, njegovi ter­ m i n i su međusobno zamjenjivi u n utar bilo kojeg iskaza koj i sadrži bilo koji od ti h termi na.

{x= y Fx

Stoga :

-:::ry- II

{ ;y= :. Fx

a isto tako, Y II

Vlada opće slaganje da je taj naziv pogrešan . Nai me, i a ko je l a ko m oguće da je Leibniz vjerovao da je Leibnizov zakon isti nit, sigu rno nije sebi pripisivao zasluge za njegovo otkriće niti ga je smatrao važnim načelom u svojoj fi lozofiji. Točno je da ga je d u bo ko zan i mao poja m identiteta, a l i m u je b i lo stalo do načela ide ntiteta nerazlučljivih i načela identiteta "salva veritate " , koje je obrat Lei b n izova za kona. Vid i , primjerice, Hide Ishiguro, Leibn iz s Philosophy of Logic and Lan­ guage (Ca m b ridge : U n iversity Press, 2. i zd . , 1 990), str. 1 7, 42. N e znam kada j e i kako taj naziv u šao u opću upotre b u . '

293

•

Logika

Tu koristimo slobodne varijable 'x' i 'y' onako kako smo u prvom dijelu koristi l i 'p ' i 'q', a u drugom i trećem ' F ' i 'C, u simboličkim primjeri ma korištenja pravila. 'a' i 'b' će biti pri klad n i u stvarn i m dedu kcijama i istin osni m stab l i ma . U skladu s tradicijom, posudi l i s m o notaciju iz aritmetike; kori­ stit ćemo znak jednakosti ' = ' za "je identično sa" te znak nejedna­ kosti '*' za "nije identično sa" i l i "je drugo nego". (Aritmetika nam, međutim, neće pomoći u pronalaženju značenja tih znakova. ) Ko­ ristit ćemo ' = ' i '*' za povezivanje imena i l i pseudoimena (ili imen­ skih varijab l i ) , a ne za povezivanje iskaza ili predikata. Leibnizov zakon ćemo koristiti kao načelo izvođenja. Ako je Ge­ orge Eliot identična s Mary Ann Evans i ako je George Eliot napisala Middlemarch, Leibnizov nam zakon dopušta izvesti da je Mary Ann Evans napisala Middlemarch . Leibnizov ćemo zakon koristiti i da bismo deducira l i njegovu negativno iskazanu verziju, izvedeno pravilo Ll' : leibnizov zakon' (LZ') : Ako su dana dva iskaza, jedan afirmati­

van, drugi negativan , koji su i nače posve isti osi m što je par term i n a među sobno zam ijenjen , onda slijedi da predmeti koje ti term i n i denotiraju nisu identičn i . Stoga :

{

Fx �

Fy

:. x * y

LZ '

(Usporedite to s dvama pravi l i ma odvajanja, modus ponensom i modus tol lensom iz prvog poglavlja.) Ll' je načelo koje opravda­ va parničnu strategiju alibija (doslovno prevedeno s latinskog, "drug­ dje"). Ako je u bojica bio na Times Squareu u podne u subotu (izvr­ šavajući u bojstvo) a Joe B low nije bio na Times Squareu u su botu u podne (bio je u San Franciscu), onda u bojica n ije Joe B l ow. Evo dedu kcije reprezentativne i nstancije Ll' :

294

{ *

LDgika identiteta .

1 Fa 2

-

Fb

PREM

Dokažimo: a =t b **

3 a b 4 Fb 5 Fb /\ - Fb

**

6 a =t b

**

=

PREM

3 , 1 II 4, 2 ADJ 3-5 RED QED

Drugo načelo koje će nam trebati da bismo mogl i rad iti s poj­ mom identiteta ne može se sm atrati nače lom izvođenja; to je načelo samo-identiteta, ili " B utie rov zako n " , BZ: Butlero\' zakon (BZ) : Sve je identičn o sa sa m i m sobom.

To jest, (Vx) (x

=

xl

BZ

Istin itost ove tvrdnje čini se očiglednom; teško je zamisliti i kakvu osnovu za njezi no dovođenje u pitanje, jer ona izražava značen ­ je tog jed i n og pojma o kojem govori, pojma identiteta . Treti rat će­ mo je kao da je teorem . Precizn ije, tretirat ćemo je kao aksiom : koristit ćemo je onako kako koristimo teorem , ali joj dokaz n ije po­ treban. Svaka instancija aksioma samo-identiteta se može uvesti kao korak u dokazu u bilo kojoj fazi svake dedu kcije.

295

•

Logika

Počn imo s dokazom da je ' kao i ' (;-7 ' , ' 1\ ' i v ' ', kom utativna, tj . da je, na primjer, 'a b' ekvivalentno s 'b == a ' . Iskaz 'a b' nam govori o a da je ono (a) identično s b, i o b da je a s njim identično. Sl ično, 'b a ' nam govori o b da je ono (b) identično s a, i o a da je b s njim identično. ( Č i n i se da se te "četiri" tvrdnje svode na isto.) O aksiomatskom iskazu 'a = a ' , koji ćemo koristiti u dedukciji, može se m isl iti na tri načina: ono nam govori o a, prvo, da je identično s a , tj. da je ono " a " ; drugo, da je a s nji m i dentično, tj . da je "a ono; i konačno, da je ono identično sa sam im sobom . Usredotočimo se na prvi od tih načina (naravno, i drugi bi poslužio jednako dobro). =

Neke dedukeije

"

=

=

=

=

=

Neka Onda će i '

'Fx' stoji u mjesto 'x ' a

'Fa ' biti a će biti 'b

Fb '

'

.

==

==

/I

' a .

' a .

Ovo će, dakako, biti instancija Leibnizova zakona :

. .

a= b

a= b

a = a

Fa

b= a

Fb

Sl ično, koristeći 'ex' umjesto 'x = b', i ovo će biti i n stancija Leibn izovog zakona:

..

b= a

b

b= b

Gb

a = b

Ga

Ded u kcija će dakle izgledati ovako: Dokažimo: a

296

=

b (;-7 b = a

=

a

Logika identiteta . If

1

a = b

PREM

*

2

a= a

BZ

*

3

b= a

4

a= b� b = a

If

5

b = a

2 II DI PREM

If

6

b= b

BZ

If

7

a= b

5 , 6 ll

1,

1 -3

8

b = a� a = b

5-7

9

a = bH b = a

4 , 8 AoJ ,

DI DEF H

QEO

Taj teorem opravdava uobičajenu praksu (koja m i se čini isprav­ nom) slobodnog međusobnog zamjenj ivanja takvih parova iskaza identiteta. Napokon, nema raz l i ke u značenju između 'a b' i 'b = a', pa intel igentno ljudsko biće može pri rodno zanemariti razli­ ku u poretku riječi. Za razliku od toga, računalo će se možda morati pažlj ivo program i rati i obaviti određene radnje kako bi postiglo us­ pored ivu razinu indiferentnosti . Taj teorem potvrđuje gledište da b' i 'b = a ' , poput 'George El iot' i 'Mary Ann Evans', dva su 'a izraza za istu zbilju. Prva uobičajena predodžba za koju je potreban pojam identi­ teta (d ruga je broj 1) je drugost, jednostavno n ijekanje identiteta. Već smo prije napomenu l i (u vezi s problemom J I .4 iz šestog poglavlja) da naša logička notacija u ranij i m poglavljima n ije mogla prenijeti pojmovnu razliku između toga da se kaže kako nekim lju­ dima vjerujemo, a nekima ne, i toga da se kaže da vjerujemo neki­ ma, a drugima ne. U komentaru smo tada rekli da zasad možemo zanemariti tu razl iku . I ntu itivno znamo da oni kojima ne vjeruje­ mo moraju biti drugi. Zanemarivanje razlike između tih dvaju iskaza nas n ije navod i lo na krivi put jer su ekvivalentn i . Dokažimo sada da drugi iskaz slijed i iz prvog: =

=

Neka je 'Vxy' pokrata za 'x vjeruje y'. (Tada je Vxy x n e vje ruje y.) �

=

297

•

Logika

PREM: N e ki l j u d i vjeruju nekim ljudim a , a nekima ne vjeruju : ( 3x) [ (3yJ ( Vxy) 1\ (3 yH - Vxyl l KKL:

N e ki ljudi vjeruju n ekim ljudi m a , a ne vjeruju d rugima: [3 x] (3y) ( 3 z] ( Vxy 1\ - Vxz 1\ y *- z)

Uočite da, dok se prem isa mogla zapi sati bilo u re lativno čistoj form i, kao gore, b i lo u preneksnoj : ( 3 xJ (3y) (3z) ( Vxy 1\ - Vxz)

[ne (3x)(3 y )(Vxy 1\ - Vxy), što je u sebi protu rječno], je potreban širi doseg , jer sadrži 'y o;t z ' .

u

kon k l uzij i

Očito j e da je obrat valjan : ( 3 xJ (3y) (3zH Vxy 1\ - Vxz 1\ ..

Y *- z)

[3x) ( 3 y) (3 zJ ( Vxy 1\ - VxzJ

Č itatelj će m ožda htjeti samostalno napraviti dedu kcij u. (Za to je potrebno sedam koraka, ne samo jedan .) M i ćemo deducirati sljedeće : E l xl l [:l y) [ VxyJ . .

1\ (3y) ( - VxyJ ] Y *- z)

[lxJ El y) (3z) [ Vxy 1\ - Vxz 1\

*

1

(3xJ l [3y] ( VxyJ

*

2

(3yJ ( Vay)

1\ (3y] ( - VxyJ ] 1\ (3y) ( - Vay)

*

5

Vab

*

6

- Vac

PREM 1 El (a) 2 SIMP 2 SIMP 3 El [ b) 4 El ( ej

*

7

b *- e

5 , 6 11'

*

8 9 10 11

Vab 1\ - Vac 1\ b o;t e

*

3

[3y) [ Vay)

*

4

(3y) [ - VayJ

* * *

[ 3 z) ( Vab 1\ - Vaz 1\ b o;t zJ 8 (3 yH3 zH Vay 1\

-

5, 6, 7

EG

Vaz 1\ y *- zJ

[3 x] [3 y) (3z) [ Vxy 1\ - Vxz 1\

Y *- zI

9 EG 1 0 EG

QED 298

ADJ

Lo g ika identiteta.

Sada prelazimo na broj 1, i poč i njemo s nešto formal izacije.

B roj 1

H e n ry je u sobi : Sh

Samo H e n ry je u sobi N itko razl ičit od Hen ryja n ij e u sobi : i l i, p rema KN', ( V x] (Sx - H

=

hl

H e n ry i sam o Henry je u sob i : Bar jedna osoba je u sobi : Više od jedne osobe je u sob i : U sobi nema više od jedne osobe:

Sh 1\ [V x) [Sx � x hl (3x) [ Sxl (3x) [3y) (Sx 1\ Sy 1\ X 1:- yl - (3x) [3y) [Sx 1\ Sy 1\ X 1:- yl =

ili (Vx) (VyJ I (Sx 1\ SyJ � x

=

yI

U sobi je točno jedna osoba : [3x) [Sxl 1\ [V x) (Vy] [ (Sx 1\ SyJ � x

=

yI

Ovaj posljed nji iskaz se može napisati tako, kao kon j u n kcija dva gornja iskaza, i l i s dugi m dosegom, kako slijed i :

ili (3x] ( Sx 1\ [Vy) [ Sy � Y

=

xJ l

Postoji i zanimljiva konsolidacija prve i treće formule. No, dajmo prvo n ešto pozadine. Ono što zovemo "singu larne" propozicije - " He nry je u sob i ", "Sokrat je m udar" --- Grci su treti ral i n e kao odvojenu kategoriju, nego kao un iverzalne, za razl i ku od partikularn i h iskaza. Za njihove ci ljeve "Sokrat je m u dar" n ije značilo n išta više (n iti manje) nego 299

•

Logika

"Svi Sokrati su mudri" i li "Svatko tko je Sokrat je m udar", što bismo m i danas pisal i ' (Vx)(x s � Mx) ', te je ta analiza postala dijelom tradicije aristotelovskog si logizma. Moderan bi pak student vjerojatno o "Sokrat je m udar" ili " Ne­ tko tko je Sokrat je mudar" razmišljao kao o parti kularn im iskazima, to jest, kao o " Netko po imenu 'Sokrat' je mudar" i l i " Netko tko je Sokrat je mudar" i l i 'C3x)(x s /\ Mx)' . U četvrtom smo poglavlju u pozori l i čitatelja da ne brka rečen ice kao što je "Sokrat je m udar" - Ms - s manje informativnim egzistencijalnim iskazima poput "Netko je m udar" i l i '(3x)(Mx) ' . I to je u pozorenje bilo potrebno. Zan i m ljivo je, međuti m, da ispada da su, sada kad smo uve l i pojam identiteta i notaciju koja n a m treba da bismo s nj ime radi l i, i aristotelovac i m itski "moderan student" u pravu . "Sok rat je m udar" je doista e kvival entno i sa "Svatko tko je Sokrat je mudar" i s "Netko tko je Sokrat je mudar" . 3 Drugim riječi­ ma, stoje sljedeće tri ekviva lentnosti : =

=

(Vx) (x

=

Ms B (Vx) (x Ms B C3x) (x s � Mx) B C3x) (x

= = =

s � Mx) s /\ Mx) s � Mx)

Taj je rezultat neobiča n . Treća ekvivalentnost posebno iznenađu­ je jer tvrdi da je u n iverzal n i iskaz e kvivalentan egzistencijal nom što obično ne vrijedi . Ona, naravno, ovisi o posebn i m svojstvima " relacije" identiteta. Vratimo se sada na prvu ekvivalentnost, jer će ona biti od koristi pri konsol idaciji formu le 'Sh /\ (Vx)(Sx � h x)' . N apravit ćemo ded u kciju za tu ekvivalentnost, a druge dvije ostavljamo čitatelju (vidi probleme 1 . 3 i 1 . 4 dolje). =

Z a zan i m ljivu rasp ravu o o d n o s u s i n gu larn i h iskaza s j e d n e , i u n i ­ verza l n i h i parti ku larn i h s druge strane, na trad icional n i nači n, vid i Fred S o m m ers, " Do We Need I denti ty?", Journal of Philosophy LXV I , 1 5

(7. kol ovoza 1 969.): 499-504 . Sommers iznosi do m i š ljat prijedlog da 502),

se si n gu l arn i iskaz tretira kao iskaz " džo ker kvantitete" (stranica

po analogiji s "džokerima" u po keru . Ovdje iznesene ekviva l entn osti o p ravdavaj u Sommersovu strategij u . 300

Logika identiteta .

Dokaži mo: Fa *

1

Fa

**

2

b =

�

( \7x ) (x

3

Fb

*

4 5 6

b = a � Fb (\7 x) (x = a � Fxl

*

7

(\7x) (x = a � Fxl

8 9

a

*

Fx)

Fa � (\ix) [x = a � Fxl

* *

a �

a

**

*

=

=

a � Fa

a = a

PREM PREM 2, 1 II 2-3 DI 4 UG (bl 1 -5 DI PREM 7 Ul BZ

1 0 Fa

8, 9 MP

1 1 ( \7 x) (x = a � Fxl 12 Fa � ( \7 x) [x = a � {xl

7- 1 0 DI 6, 1 1

ADJ, DEF

�

QEO

Tu možda vrijedi napomen uti da je ded u kcija sl ijeva na desno (koraci 1 do 5) posve drugačija od dedu kcije zdesna na l ijevo (ko­ raci 7 do 1 0). Dedu kcija slijeva na desno koristi Leibnizov zakon i u n iverzal n u genera l izacij u (s ograničenjima) te dokaz po i m p­ l i kac i j i ; ded u kcija zdesna na lijevo koristi zakon samo-identiteta (B utlerov zakon), un iverzalnu instancijaciju (bez ograničenja) i mo­ dus ponens. Pogledaj mo kako jedna i nstancija te dedukcije zvuči na obi­ čnom jeziku : * **

**

*

Arthur je star četrdesetdvije godine. Pretpostavimo da je Buzz identičan s Arthurom - nadjenuli smo Arthuru nadimak "Buzz " . 3 Prema Leibnizovom zakonu slijedi d a je Buzz star četrd esetdvije godine. 4 Zaključujemo (prema dokazu po implikacijil da ako Arthur i Buzz "jes u " identični , ondq je Buzz star četrdesetdvije godine. 1

PREM

2

PREM 2 , 1 ll

2-3 DI

No 'Buzz' je nadimak, koji smo izabrali nasumce, pa možemo ge­ n eral izirati : 301

•

Logika *

5 6

Svatko tko je identičan s Arthuro m je star četrdesetdvije godine. Ako je Arthur star četrdeseLdvije godine, onda je svatko identičan s Arthu rom star četrdesetdvije godine.

4 U G [ bl

1 - 5 DI

Utvrdimo sada obratn i slučaj . *

7

*

8

*

9 10 11

*

Svatko tko je identičan s Arthurom je star četrdesetdvije godine. Stoga, a ko je Arthur identiča n s Arthurom, onda je Arth u r star četrdesetdvije godine. Ali Arthur je identičan s Arthurom. Dakle, Arthur je star četrdesetdvije godine. Pokazali smo da ako je svatko tko je identičan s Arthurom star četrdesetdvije godine, onda je Arth u r star četrdesetdvije godine.

PREM 7 Ul

BZ 8, 9 MP

7- 10 DI

Ako spoj i m o te dvije kon k l uzije vidimo da smo utvrd i l i da 1 2 Arthur je sta r četrdesetdvije godine a ko

i samo ako je svatko tko je identičan s Arthurom 6, 1 1 ADJ, star četrdesetdvije godine. Def B QEO

Sada ćemo vidjeti što nam ta ekvivalentnost pokazuje o načinu formalizacije iskaza " He n ry i samo Henry je u sobi " ili " H e n ry je jedna i jedina osoba u sob i " : Sh /\ [ \;IxJ [ Sx � x

=

hl

Budući da je, kako smo pokazal i , Sh ekvivalentno i stoga za­ mjenjivo s ( \;Ix )(x h � Sx), =

Sh /\ [ \;I x) [ Sx � x

=

može se napisati i ovako :

302

hl

Logika identiteta .

(V X) (X = h � Sx)

1\

(V x) (Sx � x

=

hl

a budući da je ( Vx)(Fx) 1\ (Vx)(Gx) ekvivalentno s ( V x)(Fx 1\ Gx) (vidi ekvivalentnosti popisane u podsjetn ici ma za četvrto i šesto poglavlje), gornja kon j u n kcija se može ovako form u l i rati : (Vx) [ (x = h � Sxl

1\

( Sx � x

=

hI l

i, kon ačno, prema defi n iciji ekvivalencije, (VX) (SX B X

=

hl

o iskazu da je Henry jedna i jed ina osoba u sobi može se razmi ­

šljati kao o konj u n kciji - Henry je u sobi i n itko drugi n ije u sobi - i l i kao o un iverzalno kvantificiranoj e kvivalenciji, što bi općen ito značilo da je netko u sobi ako i samo ako je identičan s Henryjem. To se čini pojmovno ispravno (to zapažanje čitate lj a ko žel i može usporediti s vlastitim i ntuicijama), a notacijski je kratko i jasno. No, ti m e se ne kaže izravno da H e n ry jest u sobi te nam u zaključku može zatrebati i ta i nformacija . Vidjeli smo kako se forma ekvivalencije može izgraditi iz forme konjunkcije; preokrenimo sada taj proces naopako i pogledajmo kako iz ekvivalencijske formulacije izvesti dva konjunkta : H enry je u so bi, i n itko drugi n ije u sobi . *

(VXJ ( SX B X = hl

PREM

Dokaži m o : Sh * * * *

2 3 4 5

Sh B h = h

1 Ul

h = h

BZ

h = h � Sh

2 DEF B , SIMP 4 , 3 MP

Sh

QEO

Dokažimo:

-

(3x)(Sx

1\

x :F- h )

303

•

Logika **

6

**

7

** ** ** ** *

(:3x] ( Sx /\ X;t:. hl Sa /\ a :t::. h h 8 Sa B a 9 Sa � a h 10 (Sa � a hl 1 1 (Sa � a hl /\ (Sa � a 1 2 - (:3x] ( Sx /\ x :t::. hl =

=

-

=

=

-

=

hl

PREM (za REDl 6 El ( al 1 Ul 8 DEF B, SIMP 7 ZAM (NAKO) 9, '1 0 ADJ 6-1 1 RED QED

Uočite raz l i čitost koraka 4 i 9. S i m p l ifici raj ući e kvival encije ( koraci 2 i 8) odabrali smo i m p l i kacije koj e idu u suprotnom smjeru . S l ično tome, iskaz da postoj i točno jedna osoba u sobi, ako na njega PNO gledamo kao n a konju n kcij u dva iskaza : (:3xl ( Sxl Postoji barem jedna osoba u sobi.

(V x) ( V yl [ ( Sx /\ Syl � x yl Postoji najviše jedna osoba u sobi. =

može se kondenzi rati u kvantifi ci ra n u ekvivalencij u : (V x) (V yJ (Sx B x yl Postoji točno jedna osoba u sobi. =

Ta ko smo pronašli dva načina formal izacije broja jedan - ne apstraktno, nego u u potrebi. O pojmu jednosti možemo m isl iti kao o konju nkciji egzistencije i jedinstvenosti - na matematičarski način - ili kao o elegantn ijoj (a l i i ntu itivno manje bliskoj) predodžbi da postoj i nešto takvo da to što ima stanovito svojstvo (ovdje, da je u sobi) znači da to jest to. "I mam jednog ujaka" znači da postoji netko takav da to što je on moj ujak znači da je to on . To je neisti na ako i m am više ujaka i l i ako nemam n ijednog . Ti se pojmovi mogu iskoristiti i da bi se izrazio iskaz da su u sobi dvije osobe: 304

Logika i dentiteta .

E3x) (3y) { Sx /\ Sy /\ x *- Y /\ (\iz) [ Sz � (z

=

xv z

=

yl ] }

ili [3x) (3 y) { x *- y /\ (\iz) [ Sz � ( z

=

xv z

=

yl l }

ali j e to sažimanje u ovom sl učaju manje zan i m ljivo.

Ako nam je namjera koristiti istinosna stabla za ispitivanje valjanosti zaključaka koji sad ržavaj u identitet, morat ćemo odl učiti kako uvesti načela identiteta u rutinu istinosnog stabla. Mogli bismo kao dodatne prem ise takvim zakljuČCima su­ stavno uvoditi i nstancije BZ: (\ix)(x x) i l i pak (\ix)(\iy) [(x x /\ Fx) � Fy)] - čime navodimo LZ kao teorem , a ne kao načelo i zvođe­ nja - i tako koristiti ta načela a da ne poremeti mo rutin u istinosnih stabala. No, to bi bilo nezgodno i nepouzdano: ta ko bismo uveli element ljudske domišljatosti (treba se sjetiti da je teorija identiteta relevantna za dani zaključak) u ono što bi trebalo biti ruti nski po­ stu pak ispitivanja. Rad ije ćemo ta načela ugraditi u sam postupak istinosnih stabala . Stoga ćemo i h iskoristiti da bismo defi n i rali nove načine prepoznavanja i n konzistencije. B udući da je sve identično sa sobom, slijedi da su rečenice poput ' a *- a ' i b *- b u sebi protu rječne. Stoga,

Isti nosna stabla s identitetom

=

'

=

'

BS: Svaki iskaz ob l i ka x "" x predstavlja protu rječj e i zato zatvara

granu istinosnog stabla na kojoj se pojavi. Da vidimo kako to fun kcion i ra u praksi . Kako bismo provjeri l i va­ ljanost zaključka ( \ix)(x a � Fx), : Fa, kOj i smo ded ucirali gore, izradit ćemo sljedeće istinosno stablo: =

PREM : - KKL:

( \i x] ( x

=

.

a � Fxl

- Fa 305

•

Logika

- Fa

- KKL

�

Fa PREM, U S K

valjano

Desna grana se zatvara jer ' - Fa ' protu rječi ' Fa '; l ijeva grana se za­ tvara zato što je 'a *" a' protu rječno u sebi , prema Butlerovom zakon u . Kako bismo na sličan način mogl i koristiti Leibn izov zakon ( LZ, i l i ako vam se više sviđa, LZ'), pogledaj mo njegovu protu tvrdnju . Svaka i n stancija izraza Fx /\ - Fy /\ X

=

Y

takođe r predstavlja proturječje. To zapažanje koristi mo da bismo ispita l i obrat zaklj učka što smo ga ispita l i maloprije, to jest : Fa , : . (I:;fx)(x PREM : - KKL:

=

a � Fx) .

Fa - (I:;fx) (x = a � Fxl C3xl (x a /\ - Fxl =

Fa

l

b= a - Fb K LS

prema KN' PREM

- KKL, ES

(bl

valja no

Tim se dvama isti nosn im stabl i m a utvrđuje ekvivalentnost: Fa � (I:;fx] (x

=

a � Fxl

Nažalost, ta početna form u l acija n ije uvijek dovoljna. U kom pli­ ciran iji m primjeri m a mogu se pojaviti konj u n kcije sljedećeg obli ­ ka, koje su također (očigledno) in konzistentne u odn osu na Leib­ n izov zakon : 306

Logika identiteta.

Fx J\

-

Fy J\ X

Z

=

J\

Y

=

Z

Sada ćemo dati opravdanje za tu tvrdnju, a l i rasp ravu o njezinoj korisnosti ostavljamo za kasn ije. Dokazujemo "rastegn utu" verziju Leibn izova zakona, teore m : ( Fa J\

a= e

J\

b

=

cl

...., Fb

1 Fa 2 a

PREM

e 3b= e 4 Fe 5 Fb =

* <-

6 ( Fa J\ a

2 , 1 Ll 3 , 4 Ll =

e

J\

b

=

cl

...., Fb

( 1 , 2 , 3l ...., 5 D I DEO

Alternativno, mogl i bismo se pozvati na tranzitivnost ' = ' (a i e = b daju a = b) i l i na nače lo (koje podsjeća na Eukl ida) da "ono što je identično s istim je identično i među sobom"; i jedno i drugo očito stoj i zbog zn ačenja identiteta, što je lako dokazati pomoću Leibn izova zakona. Kako bi lo, vjerujem da će čitatelj ovo smatrati pri hvatlj iv i m proširenjem p ravi l a za isti nosna stabl a : =

e

LS:

ili

Svaka konjunkcija obl i ka Fx J\ - Fy J\ X

=

Y

Fx J\ - Fy J\ X

=

Z J\

oblika Y =Z

predstavlja p rotu rječje i stoga zatvara gra n u istinosnog stabla na kojoj se pojavi . 'Fx' i ' - Fy' su naravno u početku konzistentn i, a ne proturječn i, u p ravo zato što 'x' i 'y' m ogu upućivati na različite stvari pa tako,

kako smo vidjeli u petom poglavlj u , ne zatvaraju granu istinosnog stabla na kojoj se pojavljuju zajedno. Ali ako se spoje sa iskazom identiteta kao 'x = y' i l i sa dva iskaza identiteta koji identifi ciraj u 307

•

Logika

i x i Y s nekim "trećim" entitetom z, rezu ltat je protu rječan pa zat­ vara granu na kojoj se pojavi. Tu treba napomenuti dvije stvari. Prvo, Fx /\ Fy /\ x #- Y

ne tvori p roturječje. To je očito već na p rvo pogled . New York je grad i Pariz je grad i New York n ije identičan s Parizom, i u sve m u tome n e m a ničega i n konzistentnog. To je vrijedno spomena samo zato što je lako biti nepažljiv kad je riječ o a-ovima i b-ovima i y­ ima ako se smetne s uma značenje. N egacije identiteta ne pomažu kod Leibnizovog zakona . N a grani istinosnog stabla 'x #- y ' izravno proturječi 'x y ' , a 'x of- x' je i samo u sebi proturječno, prema But­ lerovom zakonu, BZ; korisn e će stavke b iti afi rmacije i de ntiteta. Drugo, iskaz identiteta 'a b' se može čitati kao da o b p redi­ cira da "je identično s a " ili da o a pred icira d a "je identično s bu. Slično, 'a #- b ' nam govori o b da je drugo nego a, i o a d a je drugo nego b. Stoga, =

=

prema Leibnizovom zakonu predstavlja protu rječje. Mora m o se čuvati ovakvih. p rotu rječja.

Neki primjeri

(AJ

3DB

P1 . P2. P3. P4.

Krenimo n a primjere. Prvo, posljedice činjenice da je George Eliot identična s Mary Ann Evans:

Mary Ann Eva ns je bila Engles kinja . Mary Ann Evans je prevela Spinozinu Etiku na engleski . George Eliot j e napisala Middlemarch. George Eliot je bila Mary Ann Evans.

Logika identiteta .

Iz ti h se p re m i sa mogu izvući broj ne kon k l uzije , među osta l i m : C1 . George Eliot j e bila Engleskinja. C2. Mary Ann Evans je napisala Middlemarch. C3. Engleskinja je napisala Middlemarch. C4. Netko je bio i prevoditelj i pisac.

Neka je Ex = x je Engleskinja Neka je Pxy x je prevela y Neka je Nxy = x je napisala y Neka je a Mary Ann Evans Neka j e g George Eliot N ekq je e Spinozina Etika Neka je m Middlemarch =

=

=

=

=

P1 . Ea

C 1 . Eg

P 2 . Pae P3 . Ngm

C2. Nam

P4 . a

=

C3 . L3x) ( Ex /\ Nxml

C4 . (3xl [(3y) ( Pxyl

g

/\

(3yH Nxyl ]

Provjeri m o C3 i C4.

- C3: ( V x) ( - Exv - Nxml

P1

Ngm

P3

a

- Ea X

prema KN , NI

Ea

=

P4

g

- Nam X LS

- C3 , US

valjano -C4:

- (3xl l C3yH Pxy) /\ C31HNxz) ] ( Vxl l - (3yH Pxyl v - L31H Nxll l ( Vx) ( ( V y) ( - Pxy) v ( V x) ( - NXll l

- C4 ' : - C4 " :

( VyH - Pay) v (V zl ( - Naz) ( Vy) ( - Pgyl v ( V z) ( - NgzI

KN , NI KN US US 309

•

Logika

Pae

P2

Ngm

P3

a= g

P4

- C4 ' , US - Pae

- Nam

X

-

C4 ' , US

X LS valjano

Stablo se zatvara i s - C4' i s C4". Sa C4' koristili smo Leibni­ zov zakon na desnoj strani; s C4" koristili bismo ga s l ijeve. A sada mali problem s formalizacijom. -

(8)

Ako je netko telefonirao, telefonirao je Joh n . Dakle, ako je netko telefonirao, bio j e t o John.

Premisu je lako simbolizirati. Mogli bismo je napisati ovako: (3x) ( Tx) �

Tj

ili, ako želimo, možemo rastegnuti doseg kvantifikatora i dobiti (1;;1 x) ( Tx �

Tjl

Ispravno je i jedno i drugo. Konkluzija donosi poznat problem s unakrsnim upućivanjem. Na što, u "Ako je netko telefonirao, bio je to John" upućuje ono "to"? To "to" sigurno upućuje na "nekoga" iz antecedensa, i sigurno je da ćemo trebati koristiti i u niverzalni iskaz dugog dosega i pojam identiteta. Rezultat: (l;;I x )(Tx � x = j).

310

Tj'

PREM :

[3x] ( Tx J �

KKL:

(Vx) ( Tx � x

=

jj

Logika identiteta

- KKL:

[3xJ ( Tx 1\ X o;t j )

_

prema KN '

�l PREM , US - Ta

- KKL, ES ( a)

Tj t

X

nevaljano

Premisa, "Ako je netko telefonirao, telefonirao je John" ne isklju­ čuje mogućnost da je telefo n i rao i netko drugi, recimo Algernon . Tako se pokazuje da je zaključak nevalja n . Zbog nepažljivog čita­ nja mogli smo nagađati da n ije. No, obrat jest valjan . P REM :

(Vx) ( Tx � x

KKL: - KKL:

(:lx) ( Tx)

---+

=

jl

Tj

( :l x) (Txl 1\ - Tj

I:

ES

(a)

A

- Ta X

l

prema NAKO

T.

- KKL

P REM, U S

a=j X LS

valjano I na kraju malo kom pliciraniji primjer: dva povezana zaključka, od

koj i h je jedan očigl edno nevaljan, a d rugi je valjan : (Cl

Neki ljudi vj eruj u sebi i nikom d ru gom Dakle, ne postoji nitko kome vjeruju svi . .

Postoji bar dvoje l ju d i k oji vjeruju sebi i nikom drugom. Dakl e , ne postoji nitko kome vjeruju svi . 311

•

Logika

Prvi : PREM :

L:Jx) [ Vxx /\ ( liyH VxyJ � x = yl ]

KKL: - KKL:

- C3xJ (liyH VyxJ

Vaa /\ (liyH Vay � a

=

yJ

prema D N prema ES ( bl

(3xJ (1iyH Vyxl (liyH Vyb)

P REM , ES ( al

Vaa Vab Vbb

J

- KK L, ES ( bl , US

a= a

- Vaa

X

prema ES ( aj

A

- Vab

a= b

X

t

]

PREM , U S

nevaljano

Moguće je da svatko vjeruje nekom b, koj i j e identičan s a . Drugi : PREM :

(3xJ (:J yl { Vxx /\ Vyy /\ X * Y /\ (Ii zJ [ ( Vxz � x

=

zJ

/\ ( Vyz � Y = zl l } (3yJ { Vaa /\ Vyy /\ a * y /\ (liy) [ ( Vaz � a /\ ( Vyz � Y

=

=

zJ

prema ES ( aj

zJ I }

Vaa /\ Vbb /\ a * b /\ (Ii zJ [ r vaz � a

KKL: - KKL:

C:JxJ (1iyH Vyxl (Ii yJ ( VyeJ

312

=

zJ /\ [ Vbz � b

=

zl l

prem a ES [ bJ

- (3xHIi yH VyxJ

prema DN prema ES ( el

Logika identiteta .

Vaa Vbb a c# b Vae Vbe Vee - Vae X

l l

PREM, ES la, bJ

- KKL, ES

a= e

�b - Vbe X

US

=

e

X LS

US

(e) , US

l

P R EM

valjano

Podsjetnik os mo o p g lavlje uz

Pravila izvođenja za identitet

Ako je dan iskaz i dentiteta, njegovi ter­ m i n i su međusobno zamjenj ivi u nutar bilo kojeg iskaza koji sadrži bilo koji od tih term ina.

leibn izov zakon (lZ) :

Stoga : X= Y Fx . . Fy

Ll

313

•

Logika

Ako su dana dva iskaza, jedan afi rmati­ van , drugi negativan, koji su i n ače posve isti osim što je par term ina međusobno zam ijenje n , onda sl ijedi da predmeti koje ti term i n i denotiraju n isu identični

Lei bnizov zako n ' (LT) :

Stoga: Fx - Fy X :;ć y

Ll'

Aks iom samo-identiteta, ili " Butlerov zakon" ( BZ) :

Sve je

identično sa sam i m sobom. B Z : ('lj x) [x = xl

Taj aksiom treba koristiti kao da je teore m . Može ga se, dakle, uvesti kao korak u dokazu u bilo kojoj fazi svake ded u kcije. A svaka nje­ gova abecedna varijanta, recimo ( 'lj l) [l = II

i svaka njegova i n stancija, rezu ltat supstitucije nekog slova u mje­ sto x, recimo

b=b također se može uvesti kao korak u dokazu . Prav i l a za istinosna stabl a s i dent itetom BS:

Svaki iskaz obl ika x :;ć x

tvori proturječje i stoga uvijek zatvara granu isti nosnog stabla na kojoj se pojavi. 314

Logika identiteta .

lS: Svaka konju n kcija obl i ka

i l i obl i ka Fx /\

-

Fy /\

X

=

Z /\

Y

=

z

predstavlja p rotu rječje i stoga uvijek zatvara gra n u i stin osnog sta­ bla na kojoj se pojav i . Treba napomen uti da s u , za razl i ku o d ovi h , iskazi neidentiteta, i l i d rugosti, bes korisn i za Leibn izov zakon, bilo da ih se uzme kao načelo izvođenja u prirodnoj dedukciji bilo kao pravilo za istinosna stabla.

Problem i uz osmo poglavlje 2.

l.

1 . Dvama istinosn i m stablima provjeri je l i " Netko vjeruje nekima a nekima ne" uisti n u e kvivalentno s " N etko vjeruje nekima, a drugi ma ne" .

N ači n i dedukciju za : Bar dvoje ljudi vjeruje sebi i n i kome drugome. Dakle, ne postoji netko kome vjeruju svi .

3 . Pokaži, i dvama istinosn im stabl i m a i dvjema dedukcija­ ma, da je "Sokrat je m udar" ekvivalentno s "Netko tko je i dentičan sa Sokratom je m udar".

4. Pokaži, i dvama istinosni m stabl i ma i dvjema dedukcija­ ma, da je " Netko tko je identičan sa Sokratom je m udar" ekvivalentno sa "Svatko tko je identičan sa Sokratom je m udar" . 5. Ispitaj sljedeći iskaz istinosn i m stablom i, ako je valjan,

napravi dedukcij u :

315

•

Logika

Ako je Mary tolerantna prema svi ma osim prema sebi, Mary je tol erantna p rema svima. 6. Ispitaj sljedeći iskaz istinosn i m stablom i , ako je valjan, napravi dedukcij u : Ako j e Mary tolerantna prema svi ma, Mary je tolerantna prema svi ma osim prema sebi.

I I . Provjeri sljedeće zaključke istinosni m stablom i napravi ded u kcije za one valjane: 1 . Netko tko ne voli Mary stavio je otrov u njezinu j u h u .

B e l l a godi n ama poznaje Mary i jako je vol i . Dakle, tko god da je stavio otrov u Marynu juhu, to n ije bila Bel la. 2.

Netko tko ne vol i Mary stavio je otrov u njezin u j u h u . Bella godi nama poznaje Mary i jako je vol i . Dakle, n etko tko n ije Bella stavio je otrov u Marynu j u h u .

3. N etko tko ne vol i Mary stavio je otrov u njezinu j u h u . (Za razli ku od Belle) Alice i Clara ne vole Mary. Dakle, Alice i l i Clara su sigurno stavile otrov u Maryn u juhu. 4.

Netko tko ne vol i Mary stavio je otrov u njezin u j u h u . I Henry i Joseph jako vole Mary. Dakle, n i Henry n i Joseph n isu stavi l i otrov u Marynu juhu.

5 . Netko tko n e vol i Mary stavio je otrov u njezinu j u h u .

Svi vole Mary osim Elinor i Dolores. Dakle, i l i E linor i l i Dolores su stavile otrov u Marynu j u h u . 6. N e m a dva (čovjeka) koji vole iste knjige. N itko ne vol i knjigu koju n ije p ročitao. Dakle, ako postoji knjiga koju su pročitala bar dva (čovje­ ka), postoji knjiga koju netko vol i , a netko d rugi ne vol i . 7.

31&

N e m a dva (čovjeka) koji vole iste knjige. N i tko ne vol i knjigu koju n ije pročitao. Dakle, svaku knjigu koju su pročitala bar dva (čovjeka) netko voli, a netko drugi ne voli .

Logika identiteta . 8.

Jedna i jedina (osoba) koju svatko vol i n ije ista ona (osoba) koja voli sve. Dakle, postoje osobe koje neuzvraćeno vole - osobe koje vole ali n isu zauzvrat voljene.

[ Podsjetn ik: U rad u na ti m pri mjeri m a dobro je obratiti pažnju na vlastite i ntu i cij e o valjanosti prije formalnog po s l a a tek tada koris­ titi formalni rad za provje ru intuidja.l ,

317

9.

poglavlje

Od ređeni o p i s

Određen i član (the u engleskom jezi ku, der, die, das u njemačkom, i l i la u francuskom, el ili la u španjolskom i tako dalje) koristi se za m nogo toga, ali glavna m u je svrha ono što je Bertrand Russel l nazvao "određen i opis" . 1 U izrazima poput "knjiga koju čitaš", " kuća u kojoj sam rođen", " ispravan način držanja noža za reza­ nje l u ka" i "cesta za Albany", određeni član je, grubo rečeno, isto­ značan s 'jedan i jedini' i prenosi značenja broja 1. Korištenje takvih izraza pretpostavlja i postojanje i jedinstvenost opisanog entiteta, dok u poraba neodređenog člana (u engleskom a i l i an) naznaču­ je samo postojanje. (Zanimljivo je pritom da je u drugim navedenim jezicim a koji imaju članove, riječ za neodređen i član ista kao i riječ za 'jedan ', iako znači samo "barem jedan " , a ne "točno jedan" . ) Još otkad j e objavljena knjiga Principia Mathematica2 10gičari kao simbol za "jedan i jed i n i " koriste obrn uto grčko jota " 1 " Ja ću se trud iti sl ijediti i objasn iti Russellovu analizu, a l i za samom jota-no-

le

.

B e rtrand Russe l l , " O n D enoti ng", Mind, n . s. vol . 1 4 ( 1 9 0 5 ) , str. 4799 3 , u razn i m p retisc i ma, n p r. Logic and Knowledge, R . C . Marc h ( u r. ) ( Lo n don : A l l e n a n d Unwi n , 1 9 5 6 ) . " Descri ptio ns", pogl . 1 6 u Intro­ duction to Mathematical Philosophy (London, Allen and Unwi n ; N ew Yo rk: Macm i l l a n , 1 9 1 9) , ta kođer u raz n i m p retisci m a .

Al fred North Wh ite h ead i Bertra n d Russe l l (Ca m bri dge : U n ivers i ty Press, 1 9 1 0), nadalje PM. 319

•

Lo g ika

tacijom nećemo imati mnogo potrebe. Povremeno će riječ 'jedini'* u zagradama podsjetiti čitatelja da se radi o određenom opisu . Russe l l j e uočio da rečen ice poput "Autobus koji upravo stiže je prepu n " ( Russel lov o m i ljen i primjer je bio "Sadašnji kralj Fran ­ cuske je ćelav") tvrde tri stvari, u ovom sl učaju : Postoji autobus koji upravo stiže. Ne stiže n ijedan drugi autobus. Taj autobus je prepun.

(egzistencijal (jedinstvenostI (što već)

Prema tome, rečenica "Autobus koji u pravo stiže je prepun" može biti neistin ita iz bilo kojeg od tri razloga: sada ne stiže nijedan auto­ bus; stižu dva i l i tri autobusa; (stiže jedan i samo jedan autobus, ali) on n ije p repu n . Primijetimo odmah da rečenica "Autobus koji u pravo stiže n ije prep u n " nije n egacija iskaza o kojem raspravljamo; njome se nai­ me, kao i u n ašem iskazu, p retpostavlja postojanje i jedi nstvenost a utobusa koji u p ravo stiže. Negacija toga iskaza na h rvatskom se mora izraziti nezgrapnom izjavom kao što je " Nije slučaj da je auto­ bus koj i u p ravo stiže prepu n " - ako n ismo u takvoj poziciji da je jasno ako kažemo sam o "ne". Ta se negacija sastoji od disj u n kci­ je tri člana, tj . Sada ne stiže nijedan autobus, ili Stižu dva ili više autobusa, ili Sada stiže jedan autobus. a l i n ije prepun.

"Autobus koji u pravo stiže n ije prepu n" je samo jedan - treći - od ti h disj u n kta. Neke negativne rečen ice po jezičnoj struktu ri slične toj su slučajno višeznačne; ova n ije. " Knjige koju trebaš nema u knjižnici", na primjer, može se shvatiti na dva načina. Može se shva­ titi kao da znači " Postoji neka određena knjiga koju trebaš koja se ne nalazi u knjižnici" i l i (otprilike) " N ijedna od knjiga u knjižnici n ije ono što ti trebaš". *

320

U izvorn iku engl . one. Prijevod "onaj jed i n i " u daljnjem je tekstu uvje­ tovan n epostojanjem č l a n ova u h rvatskom jeZi ku. (op. prev. )

Određeni opis .

Recimo to na formalniji način . "Onaj jed i n i F je G" u jota-notacij i ćemo zapisati : G (l xHFxl

što se m ože čitati kao: G vrijedi za jedan i samo jedan entitet x takav da x je F. A to se, u notac ij i iz osmog poglavlja, defi n i ra kao : (3x) [ (VyHFY B Y

=

xl

/\

Gxl

ili (3x) [ Fx /\ (V xH Fy � y xl /\ Gyl Postoji jedan i samo jedan F, i on je G. =

PIVa gornja formu l acija (Q u i neova) je kom paktn ija i možda ja­ sn ija . Naposljetku, rečen ica "onaj jed i n i autobus koji upravo stiže je prepu n " kaže nešto posve različito od rečen ice "onaj jedini auto­ bus koj i je prepu n upravo stiže", a naša bi nas notacija trebala pod­ sjetiti na tu razliku. Druga form u lacija (Russellova) s druge je strane prikladn ija za mnoge svrhe. Činjen ica da su te dVije form u lacije ekvivalentne već je demonstrirana u osmom poglavlj u . I ovako i onako, "ovo (jedino) F j e G" shvaća s e kao egzisten­ cijalna tvrd nja, piše se s egzistencija l n i m kvantifi katorom s dugi m dosegom, njegov se doseg ne može skratiti. " Postoji entitet (x) takav da je on F i samo on je F i on je ujedno G . " Usprkos svojoj kom­ pleksn osti, "ovo jedino F je G" se ne može shvatiti kao konjunkcija koja se onda može simplifici rati ; konj u n kcija je njezina otvoren a rečen ica. Simplifikacijom s e sm ijemo poslužiti tek kad s e taj entitet "imenuje", to jest, nakon pri mjene pravila E l . S u k lad no tome, kad se rečenica u obl i ku "ovo F je G " i l i "G (l x)(Fx)" pojavi kao prem isa u dedu kcij i, dedu kcija može početi ovako :

321

•

Logika

if if if

if

C3xl [ (\I y) (Fy � y (\I y) (Fy � Y al

1 2 3

( \l y) (Fy �

4

Ga

=

Y

=

=

/\

xl

/\

PREM 1 E l ( al 2 SIMP 2 SIMP

Gxl

Ga

al

i l i ovako : if if if

if if

1 2 3

C3xH Fx /\ [\I y) (Fy � y Fa /\ (\l y) (Fy � y al Fa

4 5

(\I y) (Fy � y Ga

=

==

=

/\

xl

/\

Gxl

Ga

al

PREM 1 El (al 2 SIMP 2 SIMP 2 SIMP

Ta otvaranja je zgod no sažeti redom ovako : if

{

1 (\ly] (Fy � Y

=

al

PREM (al

2 Ga

odnosno if

{

1 Fa

2 ( \l y] (Fy � Y 3 Ga

=

al

PREM (al

pri čem u izostavljamo kora ke 1 i 2 prvih verzija. Priprema p rem isa prije početka dedu kcije, na ravno, nije novost. Tu je međutim zan i m ljiva zastavica, koja skreće pažnju na prijašnju u potre bu prav i la imenovanja. Prem isa : if

O G (1 x) ( Fx l

koju smo defi n i rali kao egzistencija l n u, takoreći viri iz pozadine, a zastavica '(a)' nas podsjeća na tu činjenicu. A podsjeća nas i na to da bi generalizacija onoga 'a ' kasnije u toku dedukcije bila pogrešna. Prije nego l i se pozabavimo n e k i m primjerima, trebamo spomenuti još jed n u stvar notacije. Od ređen i opisi se opetovano javljaju u kontekstu rečenica kakve su "Joe je onaj ti p o kojem sam ti pričao" ili "Mary je predsjedn ica razreda"; to jest, 322

Određeni

opis .

(Onaj jedinil F je identičan s a . ili [ l xl l Fx ) =

a

Korištenjem gornje defin i cije za 'G(lx)(Fx)' dobivamo (3x) [ [V y) [ Fy B Y

=

xl

1\

x

=

al

što je n ezgrapno. No, u osmom poglavlju smo vidjel i da se "Ovo F je a" može napisati kao (VyH FY B Y = aj

U osmom poglavlju smo vi djel i i da je "Fa " općen ito ekvivalent­ no s "Postoji nešto što je F i identično je s a " . (Tamo smo o tome raspravljali na p rimjeru e kvivalentnosti iskaza "Sokrat je m u dar" i " Postoji netko tko je m udar i identičan je sa Sokratom " . (3x) ( Fx 1\ x = al B Fa

Jedna instancija te e kvivalentnosti - stavljanja (Vy)(Fy B Y = x) na m jesto Fx - je (3x) [ ( VyH FY B Y

=

xl

1\

x = a l B (Vy) [ FY B Y = aj

Stoga možemo po volji koristiti kraću formulaciju iz osmog poglav­ lja, znajući da je obje defi n icije m eđusobno slažu . Stoga ćemo (1 x) ( Fx J = a

pisati kao ( V xH Fx B X = aj

323

•

Lagika

Neke ded u kcije i isti nosna stabla

Evo primjera kako premisa s određenim opisom fun kcion ira u ded u kcij i : (Al

Ona osoba s kojom sam jučer ručala je šarmantna i govori svahili. Dakl e , ona šarmantna osoba s kojom sam jučer ručala govori svahili.

C3x) [ (VyHRy B Y xl /\ Šx /\ Sxl C3xl { (Vy) [ (Šy /\ Ayl B y xl /\ Sx} =

. .

*

* * * * ** ** ** ** ** * ** ** ** ** * * * * *

{

=

1 lVyH RY B Y al 2 Sa 3 Sa 4 Ra B a a 5a a 6 a a � Ra 7 Ra 8 Š b /\ Rb 9 Rb 1 0 Rb B b a 1 1 Rb � b a 12 b a 1 3 ( Šb /\ Rbl � b a 14 b a 1 5 Šb 1 6 Rb 1 7 Šb /\ Rb 1 8 b a � ( Šb /\ Rbl 19 ( Šb /\ Rbl B b a 20 (Vy) [ (� /\ Ryl B y al 2 1 ( Vy) [ (Sy /\ 'iyl B y al /\ Sa 22 C3xl { (Vy) [ ( Sy /\ Ryl B y xl /\ Sx} =

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

= =

=

PREM ( al 1 Ul BZ 4 DEF B, SIMP 6 , 5 MP PREM e SIM P 1 Ui 1 0 DEF B, SIMP 1 1 , 9 MP 8- 1 2 DI PREM 1 4 , 2 Ll 1 4 , 7 Ll 1 5 , 1 6 AOJ 1 4- 1 7 DI 1 3 , 1 8 ADJ, DEF B 1 9 UG ( bl 20 , 3 AOJ 2 1 EG QEO

Istinosno stablo ostavljam čitatelj u . No, proučimo detaljn ije tu dedukciju. S obzirom na prem isu, opisna fraza 'osoba s kojom sam jučer ručala' uspješno denotira; to jest, jedna i samo jedna osoba s kojom sam jučer ručala postoji [Whitehead i Russel]3 bi to zapisali 3

324

PM, p rvo izd . , str. 3 2 ; drugo izd . , str. 30, 3 1 .

Određeni opis.

ovako: E ! (l x)(Lx) ] . Glavni cilj pri izvođenju konkluzije je pokaza­ ti da i du lja opisna izjava 'ona šarm antna osoba s kojom sam jučer ručala' denotira uspješno, to jest, da jedna i jedina šarmantna osoba s kojom sam jučer ručala "također" postoji . (Očigledno, ako takva osoba postoji, ona i l i on govori svah ili - taj dio dedukcije je lak; vidi prem isu 3. ) Premisa 1 i sama za sebe dovoljna je da se pokaže kako sam jučer ručala s ne više od jedne šarmantne osobe. No, premisa 2 nam treba u koraku 1 5 . Drugim riječima, sljedeći zaključak (bez prem ise 2) bio bi nevaljan : Ona osoba s kojom sam jučer ručala govori svahili. Dakle. ona šarmantna osoba s kojom sam jučer ručala govori svahili.

Ta, manje i nformativna prem isa ne omogućuje u potrebu riječi 'šarmantna' u kon kl uzij i . Takve stvari se lako previde. Uoči mo da je nevaljan i obrat zaključka A: Ona šarmantna osoba s kojom sam jučer ručala govori svahili . Dakle, ona osoba s kojom sam jučer ručala je šarmantna i govori svahili.

Č injen ica da 'ona šarmantna osoba s kojom sam j u čer ruča la' us­ pješno denotira ne im plicira da to polazi za rukom i izrazu 'ona oso­ ba s kojom sam j učer ručala'. S obzirom na prem isu, sigu rno je da sam jučer ručala s nekim, ali možda sam ručala s nekoliko ljud i, od koj i h je samo jedan bio šarma ntan . To se potvrđuje u istinosnom stabl u : PREM 1 : PREM 2 : - KKL:

(Vyl [ (Šy /\ Ryl � Y al Sa - [3x) [ (Vy) [Ry � y xl /\ Šx /\ Sxl (V xl - [ (VyHRy � y xl /\ Šx /\ Sxl [Vx) [ - [VyHRy � Y xl v - Šx v - Sxl (Vx] ( (3yl - (Ry � y xl v - Šx v - Sxl [Vx) [ [3y) [ Ry � y * xl v - Šx v - Sxl (3y) ( Ry � }';tal v - Ša v - Sa =

=

=

=

=

prema prema prema prema prema

KN NI KN NAKKo

US

325

•

Logika

PREM 2

Sa

Ša

- Ra a* a X SS

Ra a= a

ES [ bl

[

Rb b*a

- Rb - Sa X b= a

- Ša X

J

l

PREM 1 , US

- KKL

X

LS

Šb

- Šb

- Rb

Rb

b* a

b* a

t

X

b = a

X

l

PREM ' . U S nevaljano

Otvoren i put p redstavlja situaciju u kojoj sam ruča la s dvoje lj udi : s Arnoldom (a) i Be l lom (b) ; Arnold je šarmantan i govori svah i l i ; Bella n ije ša rma ntna . A sad malo kom pliciraniji pri mjer ( koj i bi trebao biti dvostru ko pouča n , to jest, i u p ravopisu i u l ogici). (8)

" Rječnik" se p ravil n o piše sa samo jednim ' i ' . ' Riječnik' je način pisa nja riječi " rječnik" s više o d jednog ' i ' . D a kle, ' riječnik' je nepravilno.

Kako smo vidjel i u trećem poglavlju, iskazn i vezn i k 'samo ako' u h rvatskom je jez i ku jednoznačan ; on ne znači "ako i samo ako". Naravno, može se i tu pogriješiti, ali oba izraza su posve jasna. Stvar se, m eđuti m , kom plicira kad dođemo do onog "samo" u teoriji identiteta. "Samo jedan" lako m ože značiti "točno jedan ", a ne samo "ne više od jedan "; a obično iz konteksta možemo vidjeti na koje se značenje m isl i . Ovaj je zaklj učak upravo takav. 326

Određeni opis .

Prva nam premisa, dakako, govori i da postoji jedan i samo je­ dan način pravil nog pisanja riječi "rječ n i k", i da ona, prav i l no na­ p isana, sadrži j edno i samo jedno slovo ' i ' . Form u l i rati to drugači­ je dovelo bi do zabune. Istodobno, smisao zaključka ovisi o jedinstvenosti, a ne o egzis­ tencij i . "Jezgra" zaključka, koj u skiciramo u glavi kad ocjenjujemo valjanost zaključka B prije n ego ga formal izi ramo, u oba sl učaja ostavlja ono "jedan i" postrani i fokusira se na ono "samo". Sljedeća je jezgra zaključka i ntuitivno valjana: B':

Ne postoji više od jednog načina pravilnog pisanja riječi " rječnik" [nazovimo ga eJ ; e ne sadrži više od jednog slova ' i ' . 'Riječnik' je jedan način pisanja riječi " rječnik" ; ' riječnik' sadrži više od jednog slova ' i ' . Dakle, ' riječnik' je nepravilno napisano.

U n acrt dedukcije za B ' uključi l i bi samo četi ri koraka. Iz oba druga dijela premisa, prema Lei bn izovu zakon u', LL', sl ijedi da 'riječnik' nije identično s c. Instancijacijom prvog d ijela prve pre­ m ise, ako ga shvatimo kao u n iverzalnog, zaključujemo da ako je riječ ' riječn ik' p ravi lno napisana riječ "rječn i k", onda je identična s c. Ali n ije. Tako, prema modus tollensu, 'riječnik' n ije pravilno na­ pisana riječ "rječn ik". Prvi dio druge premise podsjeća nas da je ' riječn i k' jedan nač i n pisanja riječi "rječn ik"; tako p rema nekon­ j u n kciji slijed i da 'riječn ik' n ije pravi lno. QED. Još jedan komentar o jezičkoj upotrebi. Kako smo vidjeli, "samo ako" kao rečenični vezni k : Ići ć u samo a k o m e pozovu .

pa p rema tom e i "samo" u m n oži n i : Samo budale voze kad popiju.

su jednoznačno jednosmjern i . Al i to "samo" u jed n i n i je višezna­ čno te je ponekad m išljeno tako da podrazum ijeva egzistenciju, a ponekad ne. Za razliku od tih slučajeva, "samo" u niječnom obli ­ ku j ednine je (barem većinom) jednoznačno i dio izraza. 327

•

Logika

Nije samo Mary darovita studentica na ovoj godi n i govori nam i drugi h .

da je Mary darovita studentica, a da na

Vrati mo s e n a zaklj u ča k

istoj godini ima

B kako je zadan :

Neka je Rxy Neka je Neka je Neka je N e ka je

.

=

Ixy Px

= :=

a

=

b

=

x je zapis za y. x je slovo 'j' u y. X je pravilno. "rječnik" (hrvatska riječ) . ' riječnik' (zapis) .

Stoga,

x je pravilan zapis riječi " rječnik"

ćemo kao

zapisat

( V' y) [ ( Rya 1\

Py)

� y ::::

xl

a x

z ap i sat

ima samo jedno 'j'

ćemo kao ( V' z) ( V' w) [ (lzx 1\ IwxJ � z

PREM 1 : PREM 2:

(3x) { (V'yJ [ ( Rya 1\ py1 �

=

wl

X yI 1\ (V'z) (V' w) ( (/zx 1\ Iwx) B z Rba 1\ (3z] (3 w] ( Jzb 1\ Iwb 1\ z of: w) =

=

wJ }

Dokažimo: - Cb Prva prem isa (uz

prethodno

i m e n ova n je cl daje :

PREM 1 A : ( V'yl l Rya 1\ Py] � e yi PREM 1 B: (V' z) (V' wJ [ ( /zc 1\ Iwcl � z =

a

wl

d r u ga prem isa daje:

PREM 2A: Rba PREM 2B: (3z) ( 3 w] (Jzb 1\ Iwb 1\ l;tw)

- KKl:

328

=

Pb

prema DN

Određeni opis .

Pb

- KKL

Rba

PREM 2A

b= e Pb Rba - Rba

Ifb Igb f*g

- Pb

H

H

] ]

PREM 1 A , ES, [ cl , U S

PREM 2B, ES,

Ige Ife f=g

]

[f.gl

PREM 1 B, US,

dvostruko

H

- Ife

- Ige

H LS

H LS

valjano

Stablo se zatvara, zak lj u čak je valjan , Prođi m o ga ded u keijom :

*

* * * * * * * * * * *

{

(V yI [ (Py /\ Ryal � y cl 2 (V z) ( V wl l ( fze /\ Iwel � z wl 3 Rba 4 [3z 1 [3 wl (fzb /\ Iwb /\ y wl 5 [3 w) [ ldb /\ Iwb /\ � wl 6 Idb /\ Igb /\ d * g 7 ( V w) [ Ude /\ Iwe l � d wl B Ude /\ Ige l � d g g 9 Ude /\ Ige l � d 1 0 - Ude /\ Ige /\ d * gl 11 b* e 1 2 [ Pb /\ Rba) � b e 1 3 ( Pb /\ Rbal � b e 1 4 - (Pb /\ Rbal 1 5 - Pb =

=

=

=

=

=

=

PREM ( cl

4 E l [ dl 5 E l (gl 2 Ul

l li I B D E F � SIMP ,

ZAM, NAKO 6 , 1 0 ll' Hi l 1 2 DEF �, SIMP 1 3, 1 1 MT 1 4 , 3 N KO N QEO 9

Kao što smo vidje l i , dedu kcija "jezgre" zaključka je znatno jed­ nostavnija: 329

•

Logika

II

II * * II II II

{

cl

1

(Vy) [ ( Py /\ Ryal � y

2

(VZ] (V w] [ ( fze /\ Iwel � Z

3

Rba

4 5 6

(:3z) (3 w) (lzb /\ Iwb /\ u wl - (;3z1 - (V � [ (fze /\ Iwcl -+ z

==

=

wl

- (:3z) (3 wH lze /\ Iwe /\ z ", wl 7 b o# e e Hi l 8 (Pb /\ Rbal -+ b 9 - Pb /\ Rbal 1 0 - Pb

=

PREM (e]

l-1il 2 KN 5 KN '

4 , 6 ll'

==

8 , 7 MT 9 , 3 NKON QEO

Tu se možemo prisjetiti strategije, pred ložene u trećem po­ glavlju (vidi stran icu 1 36), prel i m i narne ocjene zaključka : maknu­ ti sve nebitno i doći do "jezgre" zaključka pa ocjen jivati nju . M is­ l i m da u ovom slučaj u ta strategija pomaže . Autobus koji upravo stiže kasni.

(Cl

Autobus koji upravo stiže je prep u n . D akle , a utobus koji upravo stiže kasni i prepun je. II

{�

(3x][(Vy) ( By � Y

Dokaži m o : (:3x)((Vy)(8y * * II II II * * II * II II * * * *

=

xl /\ Kxl

PREM

( 3 x] [(VyHBy � Y = xl /\ Pxl �

y

=

(VyH By � Y = al (VyH By � y = bl (Vy) ( By � Y al Ba � a a 7 a= a 8 a a -+ Ba 9 Ba 1 0 ( VyH By � Y = bl b 1 1 Ba � a b 1 2 Ba -+ a b 13 a 1 4 Pb 1 5 Pa al 1 6 [Vy)[By � Y 1 7 [ 3 x) [ (VyH By � y

3 4 5 6

x)

/\ Kx /\ Px]

/\ Ka /\ Pb

=

El ( al E l ( bl SI M P

lli BZ

=

==

=

=

=

=

1 2 3 5

/\ Ka /\ Pa = xl /\ Kx /\ Pxl

6 DEF � , SIMP 8 , 7 MP 4 SIMP 1 0 Ul 1 1 DEF � , SIMP 1 2 , 9 MP 4 SIMP 1 4 , 1 3 Ll 3 , 1 5 ADJ 1 6 EG QEO

330

Od ređeni opis .

Kre n i m o sada n a isti nosno stablo: PREM 1 :

(V yHBy (-) y

=

prema ES ( al i SIMP prema ES (bl i SIMP prema KN

al

Ka

PREM 2: - KKL:

(V yHBy (-) y bl Pb (V x) [ [3 yH By (-) y ;to xl =

v

Kx v

-

-

Pxl

Dijagram je podnošljivo n ezgrapan .

a

Ka

PREM 1 . ES ( a)

Pb

PREM 2, ES (b)

Ba

- Ba

a

a i' a

=

]

PREM 1 , US

X

SS

Bb

- Bb

b= b

b i' b X

]

PREM 2, US

SS Bb

]

- Bb

b= a

�a X

PREM 1 , US

SS

ES (e)

[

Bc

- Bc

- Pa

- Ka

8i'e

iJ=e

X

X

LS Bc

- Bc

iJ=e

8i'e

X

LS

X

X

]

]

-

KKL, US

PREM 1 , US

valjano

Izgleda kao p u n o m uke da se dokaže nešto očigled no valjano. No, to stablo ilustrira kol iko je naše svakodnevno m išljenje prožeto 331

•

Logika

zaključivanjem po n ačelima određenog opisa, a pokazuje i snagu pojm a i dentiteta . Naposljetku, jednostavn iji zaključak čija je ovo i nstancij a : [:lx) [Fx /\ Gx) [:lx) [ Fx /\ Hx) (:lx) [Fx /\ Gx /\ Hx)

gdje ' F ' n ij e određe n i opis, zloglasno je nevaljan (vi d i poglavlja 4 i 5). Gornji zaključak utvrđuje težu polovicu (slijeva na desno) jedne korisne ekvivalentn osti , koja se skraćeno može napisati (u "bastard noj" notacij i ) : l G (1 xHFxl

/\

H ( 1 x) [Fxl l � l G /\ Hl [ 1 xH Fxl

I m pl i kaciju zdesna na l ijevo lako je utvrditi prema nače l i m a iz po­ glavlja 4, budući da je sljedeća jednosmjerna i m p l i kacija valjan a : (:lx) (Fx /\ Gx /\ Hx) � [ C3x) (Fx /\ Gx)

/\

[:3x) (Fx /\ Hxl ]

Ekvivalentnost (sada bez kraćenja) : { (:lx) [ ( Vy) ( Fy � y xl /\ Gxl /\ (:lx) [ (V y) (Fy � y � (]x) [ ( Vy) (Fy � y xl /\ Gx /\ Hxl =

=

xl

/\

Hxl }

=

govori nam da je naša p raksa zamjene "Onaj jed i n i F je C i onaj jedi n i F je H" (konju n kcije) sa "Onaj jed i n i F je C i H" (egzisten­ cijaln i m i skazom) logički opravdana .

332

Određeni opis .

Čitatelj j e već pri mijetio da ocjena valja nosti za­ klj uča ka s od ređen i m opisima ovisi, kao prvo, o tome da se određeni opis prepozna i, kao drugo, o pažljivoj analizi značenja svakog takvog opi­ sa; pritom nam često pomaže simbolička for­ m u lacija, pa čak i bez daljnjeg formalnog rada. Sljedeći zaklj učak, na pri mjer, isprva možda izgleda va ljano:

e gz istencijal­ noj teži n i

o

Svi odvjetnici studirali su pravo . Dakle, onaj odvjetn ik koji je oslobodio Sacca i Vanzettija studirao je pravo.

On je, međutim, itekako nevaljan, jer mu je premisa istinita, ali kon­ kl uzija neisti n ita : Sacco i Vanzetti su pogu bljeni u kolovozu 1 9 2 7 ; nitko i h n ije oslobod io. Ne pažlj ivo čitanje koje je u početku suge­ ri ra lo njegovu va ljanost može se izbjeći ako ga formal iziramo: (Vx) ( Ox � PxJ . , (3xJ { (Vy) [ Wy J\ SyJ B Y

==

xl

J\

Px}

Već i površn i m pogledom na taj novi formalni oblik trebalo bi uoči­ ti da je zaklj učak nevaljan. Nai me, ništa u prem isi ne sugerira ono što se zahtijeva u prvom d ijelu otvorene reče n ice kon kl uzije - da je jedan i samo jedan odvjetn i k os lobod io Sacca i Vanzettija. Pre­ misa ne jamči egzistencij u niti jed nog odvjetn i ka, a kamoli "onoga" koj i je oslobod io Sacca i Vanzettija. Poan ta je u tom da opisne rečenice, rečenice obl ika: (3xl { (Vy) [ ( pY B Y

==

xl

J\

Gxl }

daj u jaku izjavu egzistencije - i maj u egzistencijalnu tež i n u - a nj i­ hova negacija i druge u n ive rza l n e tvrd nje ne. Pažlj iva provjera egzistencijalne težine u premisama i kon kl uziji važna je za ocjenu va ljanosti ili nevaljanosti kon kl uzija koje sadrže opise . Možda se tu dobro prisjetiti zaklj učka o S partancima o koj e­ mu smo raspravljali na kraj u petog poglav lja (zaklj učak N ) . Tamo je privid valjan osti stva ra l a pretpostavka o egzistencij i : mora da 333

•

Logika

postoje neki Spartanci, i n ače ne bismo o nj i m a ni govori l i . Ovdje se privi d valjanosti stvara p retpostavkom o egzistenciji još veće težine : da postoj i (određe n i ) odvjetn i k, koj i je oslobodio Sacca i Va nzettija. A da je ta pretpostavka bezrazložn a, postaje očito čim obrati m o pažnj u njezi n u u potrebu. Iz prem ise tog zaključka, međuti m, doista sl ijedi sljedeća im­ p l i kacija : Ako postoji jedan i samo jedan odvjetnik koji je oslobodio Sacca i Vanzettija, onda je onaj odvjetnik koji je oslobodio Sacca i Vanzettija studirao pravo. (3x) (Vy) [ [ Qy !\ SyJ B Y U

=

xl � (3xJ { (Vyl [ [ Qy !\ SyJ B Y

=

xl !\ Px}

jota n otacij i :

E ! [l x) ( Oy !\ SxJ � P[1 x) [ Ox !\ SxJ l l i jezgrovitije, Ako postoji jedan i samo jedan odvjetnik koji je oslobodio Sacca i Vanzettija , onda je taj odvjetni k studirao pravo . (3xJ { (V yH [ Qy !\ SyJ B Y

=

xl !\ Px}

Čitatelj može sam utvrd iti ekvivalentnost te dvije form u lacije. Ja ću pak raspraviti o jednom sličnom, ali jednostavn ijem slučaj u . Pri kraj u osmog pogl avlja (primjer B) formal izi ra l i smo Ako je n etko telefonirao, bio je to John. kao u n iverzalno kvantificiran u implikacij u, i to u preneksnoj form i : (Vx) [ Tx � x

=

JJ

pri če m u smo 'to' i nte rpreti ra l i kao zamje n icu koja u pućuje na onog nekog ("netko") tko je te lefo n i rao . Tu smo reče n icu, među ­ ti m, m ogl i iščitati kao da kaže :

334

Određeni opis .

Ako je netko telefonirao , onaj koj i je telefo nirao je bio Joh n . !:lxHTxl � [ (l xHTxl

=

ji

C3 xHTxl � (\fyHTy B Y

=

jJ

Da l i to čitanje ekviva lentno s '(\fx)(Tx � x

=

jn

Provjeri m o to dvama istinosn im sta b l i m a . PREM : - KKL:

(\fx) ( Tx � x = Jl - [ (3x) ( TxJ � (V yH Ty B Y

=

JI l

(3xH Txl /\ - (VyHTy B Y = JI

prema NAKO

C3x) ( Txl /\ (3y] - ( Ty B y *, JI

prema KN

!:3x) ( Txl /\ !:l y] ( Ty B

I ( Ty /\ Y *' JI

v

( - Ty /\ y= Jl l Ta

prema NAKKO

- KKL. ES ( al

J

- Tb b=j

PREM , US

- Tb

b =j

- Ta

X

X

X

a

=

j

- KKL, ES ( bl

PREM , US

X LS

valjano

Uoči m o da se u desnoj gra n i koristi "rastegn uta" verzija LS. PREM:

( 3 x) ( Txl � (\fy) ( TY B Y (\fx) ( - Txl

- KKL:

v

=

JI

[VyH Ty B Y = JI

- (\fxJ ( Tx � x (3x) ( Tx /\ x *' JI

=

prema AKO , KN

JI

prema KN

335

•

Log ika

Ta

PREM , US

- Ta K

]-

KKL.

ES

I :.T,J.a ]

Ta a=j

OT-

K

(al

P R EM US ,

K

valjano Kao i zakl jučak B iz osm og poglavlja, sljedeći je zaklj učak dakle pogrešan ; Ako je netko telefonirao, telefonirao je Joh n . Dakl e , ako j e netko telefonirao, onaj tko je telefonirao b i o je John.

Onaj tko koristi takav za ključak i l i j e prosudi o da je on va ljan zap ravo (neopravdano) p retpostavlja da n ije telefon i ralo više od jedne osobe. Lako je tako pogriješiti . Još je i lakše pretpostaviti da je ovo teo­ rem : (1 x) (Fx)

=

(l x) (Fx)

zato što je to i nstancija aksioma identiteta, B utlerovog zakona, i l i (Vx)(x = x) . A l i n ije. To znači i l i Postoji jedno jedino F, i ono j e identično s tim jed nim jedinim F. C3x) [ ( Vy) ( FY B Y xl L3x] [ ( Vy) ( FY B y = xl =

/\ /\

x ( 1 x) ( Fx) ] (VyHFY B y = xl l =

ili Ono jed no i jedino F je identično sa samim sobom. (3x) [ ( Vy) (Fy B Y = xl

/\

x

=

xl

a oba značenja su očito i dokazivo e kvival entna s 336

Određeni opis .

C3xHVyH FY B Y xl Postoji jedno i samo jedno F. =

i l i " E ! (lx)(Fx", što defin itivno n ije teorem . Ako i postoji jedan i samo jedan entitet koji je F, onda je taj entitet identičan sa sam i m sobom i "(l x)(Fx) (l x)(Fx)" je isti n ito. Ali taj iskaz identiteta, koj i možda izgleda valjano, nije neovisan o iskazu egzistencije; on m u je e kviva lenta n ; prema tom e n ij e valjan . Kako to kažu Wh itehead i Russe l l , "Ako (l x)(
o

Na kraju, raspravila bih ukratko o problemu for­ maliziranja negativn i h iskaza koji sadrže odre­ đen i opis. Mnogi od njih beznadno su višezna­ čni, na primjer ova dva obl ika: s jedne strane

negaciji

-G!1 xHFxJ - f:3xl l [VyHFY B y xJ I\ Gx! Nije slučaj da (taj jedin il F j e G. =

što je n egacija izraza G (1 xH FxJ C3xJ [ [VyJ [Fy B y (Toj F je G.

=

xJ

1\

Gx!

i s druge strane, Gh xH FxJ C3x) [ (VyHFy B y (To jednoj F je ne G

=

-

4

xJ

1\

-

Gx!

.

PM, 2 . izd . str. 1 74 , 1 7 5 ; stavci * 1 4 . 2 1 , * 1 4 . 1 8, * 1 4 . 2 8 331

•

Logika

U prvom sl učaju n egira se cijela opisna izjava; u drugom sl učaju

samo p redi kat (u tome j e snaga nad-crte, koju sada nakratko i pri­ godn o uvod i m o ali je u l iteraturi uobičajena). Sljedeće rečen i ce po mom m išljenju jed n označno pripadaj u drugoj vrsti : Autobus koji upravo stiže nije prepun. Č ovjek u kutu se ne zabavlja . N e znam gdje s a m stavila ključ o d kuće.

Sve one prenose m i sao da njihov opis n i dio uspješno denotira; to jest, prva da u pravo stiže jedan i samo jedan autobus, druga da je u kutu jedan i samo jedan čovjek, i treća da sam ključ od kuće ostavila n a jednom i sam o jednom mjestu . Stoga bi se mogle napisati ovako: C=Jx) { ['v'yl l By /\ Ay) � Y

=

L=Jx) { ('v'y) [ ( My /\ Cy) � y

xl /\ � Ox}

=

xl

te , ako je Mx x je mjesto , Pxy moj ključ od kuće, =

/\ � Gx} =

stavila sam x na y, Kx

=

znam x, a h

=

C=Jx) { ['v'yl l My /\ Phy) � Y

=

xl

/\ � Kx}

Sljedeće su pak, po mom m išljenju, jednoznačno rečenice prve vrste. Č ovjek koji može riješiti taj problem nije glup. Kuća koja će vam se svidjeti nije dostu pna po vašoj cijeni. Ne znam čovjeka koji moze prebiti mog brata. Ne znam odgovor na vaše pitanje.

Te rečen ice, za razl iku od prethodn ih, nemaju usporedivu egzis­ tencijal n u težinu. Prva, čini se, znači tek "N itko tko može riješiti taj problem n ije glup", i l i � (3x)(Rpx /\ ex). Sl ično vrijedi i za treću, koja bi vjerojatno trebala pren ijeti hvalisanje da n itko ne može p rebiti mog brata, i l i � (3x)(Čx /\ Pxb). Druga i posljednja rečen ica obvezu­ j u na malo što. Možda ima više kuća koje bi vam se svidjele; možda 338

Određeni opis .

nema n i jedne. Možda i m a m n ogo odgovora na vaše pitanje; možda ga uopće nema. Sve je četiri, dakle, najbolje si m bolizirati kao negacije egzistencije, recimo: - (3 xl { ( \fy] [(Ryp � y

=

xl

/\

Gxl }

- (3 xl { ( \fyl ! ( � /\ Sy) � y xl /\ Dx} - (3 xl { ( \fyl [ ( Cy /\ Mybl � y xl /\ Zx} =

=

- (3 x) { ( \fy) [ Oyq � y

=

xl

/\

lx}

U zm i mo j oš jedan poznat primjer. Početkom studenog 1 9 6 3 . god i ne, rečen ica (Sadašnji) predsjed nik Sjedinjenih Država v o l i modernu u mjetnost. V (1 x) ( Pxu) m (3x) [ (\fy) (Pyu � y

=

xl

t\

Vxml

bila je istinita. John Kennedy je bio predsjedn i k Sjedinje n i h Država, i Ken nedy je volio modern u u mjetnost. 22. studenog 1 96 3 . John Kennedy je u bijen i nekol i ko sati, između Ken nedyjeve sm rti i prisege Lyndona Johnsona n a aero­ drom u u Dallasu, n ije bilo predsjedn i ka Sjed injen i h D ržava. Gor­ nja rečenica bila je dakle neisti nita, baš kao i ova : P re d sj e dn ik

Sj ed inj eni h D ržava ne voli modernu umjetnost.

ako je i nterpreti ramo, kao što većina i bi, s egzistencijal nom teži nom : (3x) [ (\fy) (Pyu � x

=

yl

t\

-

Vxml

iako je - (3x] [( \f y] (Pyu � x

=

yl

t\

Vxml

tada, međutim , bila istin ita . Dvadeset i trećeg studenog i neko vrijeme nakon toga, dok je p redsjed nik bio Lyndon Joh nson, i jedna i d ruga rečenica je bila i stin ita. Lyn don Johnson n ije vol io modernu u mj etnost. 339

•

Logika

Mnoge negativne rečen ice s određenim opisom su dvosmislene; n e možemo se odl učiti kako ih n aj bolje i nterpretirati samo na je­ zičnoj osnovi. U konteksti ma zaključka svejedno je važno biti osje­ tljiv na te probleme tumačenja i dosljedno se držati tumačenja koje smo prihvati l i . Korisno je i m ati na u m u da je sljedeći zaključak valjan - a da njegov obrat n ije. (3x) [ (Vy) (FY H Y = x) 1\ - Gx] O naj jedini F nije G. . . - (3x) [ ( VyHFy H y x) 1\ Gx] Nije slučaj da (onqj jedinil Fje G. =

[Prva od tih rečen ica doista i mplicira d rugu, ali sljedeće dvije, kojih su gornje reče n i ce i n stancije: (3x) (Fx 1\ - Gx) - (3xl (Fx 1\ Gx) .

posve su neovisne jedna o drugoj.] Pokažim o tu valjanost dedu kcijom : *

1 (3x) [ (Vy) (FY H y=x) 1\ - Gxl 2 (3x) [ (VyH FY H y=x) 1\ Gxl

PREM PREM

Koristeći se teoremom o kon j u n kciji koj i smo dokaza l i , kon­ soli diramo kon j u n kciju te dvije prem ise : ** ** ** *

3 (3x) [ (VyHFY H y= x) 1\ Gx 1\ - Gxl

4 (Vy) (FY H y= a) 1\ Ga 1\ - Ga 5 Ga 1\ - Ga 6 - (3x) [ (VyHFY H Y = x) 1\ Gx)

Potvrd imo taj rezu ltat istinosn i m stablom .

34 0

1 . 2 ADJ i TEO REM 3 El (a)

4 SIMP 2-5 RED QED

Odreateni opis .

PREM:

(3x) [ (VyHFy H y= xl (Vy) (Fy H Y = al

- KKL:

(3xl [ (Vyl (FY H y (Vy) (Fy H Y

=

bl

i\ =

i\

i\

-

Gx]

prema ES ( al prema DN prema ES (bl

� Ga xl

i\

Gx)

Gb

I stinosno sta blo će se d ijagram i rati ovako :

PREM A: PREM B: -KKL A : - KKL B :

(Vyl (FY H y = al - Ga (VyHFy H Y = bl Gb

PREM B

- Ga Gb

a

=

KKL B

-

Fa

- Fa

a

a* a

]

PREM A. US

X BS

Fb

- Fb

b= b

b* b

]

_

KKL A . US

X

BS

]

Fb b =a

PREM A. US

K LS

valjano Prim ijetimo, za kraj, da je obrat nevaljan : - (3x) [ ( VyHFY H Y = xl ..

(3x) [ (Vy) ( Fy H Y = xl

i\

i\

Gx]

-

Gx]

To isti nosno stablo ne bi i m alo kraja, Jer su i premisa i negacija kon­ kl uzije V3 . No, očito je da tvrdnja o e gz istenc i j i

u

kon k luzij i : da 341

•

Logika

postoj i jedno i samo jedno F, n i kako nema potporu u (un iverzal­ noj) prem isi .

Dvije defi n icije:

Podsjetn ik u z deveto poglavlje

(Onaj) F j e G. Onaj jedini F j e G.

(1)

G (1 xH Fxl C 3 x) [ (VyH Fy � y

=

xl

1\

Gxl (n a

Quineov načinl

il i (3xl [ Fx 1\ (Vy) ( Fy ---+ Y

xl

=

1\

Gxl (na

Russellov način)

(21 x je (onajl F. x je x

=

onaj jedini F. (1 y) [Fy)

(Vy) (Fy � Y

=

xl

ili Fx 1\ (Vy) (Fy � Y

Teore m i

s

=

xl

identitetom

Prvo, neke ekvivalentnosti utvrđene u osmom poglavlj u : Fx � (3y) (Fy 1\ Y Fx � (VyHy (3y) [ (Fy 1\ Y

=

=

=

xl

x ---+ Fyl xl � (Vy) (y

=

x ---+ Fyl

pa p re m a tome i ekvivalentnost n aveden ih defi n icij a : (Vy] ( Fy � Y

=

xl � I Fx 1\ (VyH Fy ---+ y

(3x) [ (Vy) (Fy � y

=

xl

1\

A sada, o određe n i m opisi m a: 1.

Ako x je (onaj jedinil F onda x je F.

(V yH (Fy � Y 342

=

=

xJ J

Gxl � (3x) [ ( Fx 1\ (V y) (Fy ---+ Y

xl ---+ Fx

=

xl

1\

Gxl

Odredeni opis .

2.

Ako x je (onaj jedinil F onda ne postoji nijedan drugi F (V'yl [ ( Fy � Y = x) � � (::ly) (Fy 1\ y,.=x)

3.

Ako ( on a j l F j e G o n d a postoji barem jedno F (::lxl [ (V' y) (Fy 1\ Y = xl 1\ Gx] � (::lx) (Fxl

4.

Ako (onaj F j e G o n d a ne postoji više o d jed nog F (::lx) [ (V'y) (Fy � y xl 1\ Gx] � � (::lx) (::ly) ( Fx 1\ Fy 1\ x;tyl =

5.

Ako (onaj) F j e G onda neki G su F. (::lx) [ (V'y) (Fy � y = xl 1\ Gx] � (::lx) ( Gx 1\ Fxl

6.

Ako (onaj) Fje G i (onaj) G je F onda su " oni" identični. (V' x) ( V'yl { [ (V' z) ( Fz � z = xl 1\ Gx 1\ (V' z) ( Gz � z yl � X = y} =

1\

Fy]

7.

(Onajl F j e G i (onaj) F je H aka i samo ako (onajl F j e G i H. { (::lx) [ ( V'y) ( Fy � y = xl 1\ Gxl l\ (::lx) [ (V'y) (FY I\ y = xl 1\ Hxl } � (::lx) [ (V' yJ ( Fy 1\ Y = xl 1\ Gx 1\ Hxl

8.

Ako (onaj) F je ne-G onda nije slučaj da (onaj) F je G . (3x) [ (V'y) (Fy � y = x) 1\ � Gxl � � (3 x) [ (V'yJ ( Fy � y = xl Gx]

1\

i l i, u jota notaciji, Gh xl Fx � �G(1 xl Fx

(ali

ne

i obrnuto).

Pogledajte i Podsjetni k

uz

osmo poglavlje.

I. Utvrdite teoreme 1 do 6 s gornjeg popisa teorema, i istinosni m stablom i ded u k­ cijom. U rad u barem po jed nom i skoristite Russelovu i Q u i neovu defin iciju "onog jedi nog Fti. Pri klad n o je uvijek koristiti ' a ' i 'b' ' ' (pseudoimena, a ne slobodne varijable) u mjesto 'x' i y , kako su korište n i u zapisu teorema.

Problemi u z deveto poglavlje

343

•

Logika

Teorem 7 je utvrđe n u tekstu i koristi se pri utvrđivanju teo­ re ma 8. N ap ravite ded u kciju teorema 8 a da se ne pozivate n a teorem 7. II.

1 . Provjerite istinosn i m stablom valjanost zaključka (A) iz tek­

sta: Osoba s kojom sam jučer ručala je šarmantn a i govori sva h i l i . Dakle, šarmantna osoba s kojom sam jučer ručala govori svah i l i . 2.

Dedukcijom pokažite da j e "Ako j e netko jučer telefoni­ rao, bio j e to Joh n " ekvivalentno s "Ako je netko jučer tel efo n irao, telefonirao je J oh n " .

3 . Nefo rmalno objasnite zašto s e rečenica "Autor teksta 'O denotiranj u ' napisao je Principia Mathematica" obično smatra istin itom, a "Autor Principia Mathematica napisao

je tekst 'O denotiranj u '" neistin itom. (Ako i h se ne sjećate, činjenice o tom sl učaju nalaze se u bi lješkama za ovo poglavlje.) I I I . Razmotrite sljedeće zaključke . Izrazite i h u simbol ičkoj formi i odlučite jesu li valjan i . Poduprite svoj sud, po mogućnosti dedukcijom i l i isti n osn i m stablom; ako to n ije m oguće, onda jasn i m i pažlj ivi m objašnjenje m . 1 . Čovjek n a prozoru razgovara s Eleanor. Dakle, čovjek koji

razgovara s Eleanor je na prozoru. 2.

Pijan ist koji prati Stephena prati samo darovite glazben ike. Dakle, Stephen je darovit glazbenik.

3 . H rabar mladić na trapezu je nevjern i lju bavnik. Dakle,

neki lju bavn ici su nevjern i . 4.

344

Jed i n i učenik u razredu koj i j e pao n a ispitu i z pl ivanja se boji vode. Neki učenici u razredu se ne boje vode. Dakle, netko u razredu n ije pao na ispitu iz p livanja.

Određeni opis .

5.

Čovjek na prozoru je l iječn ik koji je operirao Al ice. Dakle, l iječn i k koji je operi rao Al ice je na prozoru .

6. Na p rozoru nema nikoga. Dakle, l iječn ik koji je operi rao

Al ice n i je na prozoru . 7.

Pijan ist koj i prati Stephena prati i Teresu. Dakl e, p ijan ist koji prati Teresu prati Stephena.

B. Na to pitanje nema odgovora. Dakle, ja ne znam odgovor

na to pitanje. 9 . Mary j e na prozoru s čašom vina. Alice je na prozoru sa

sendvičem. Dakle, na prozoru stoj i više od jedne osobe. 1 0. George sjedi za stolom u kutu i p ije marti n i . Henry ne pije, ali također sjedi za stolom u k utu . Dakle, više ljudi sjedi za stolom u kutu . 1 1 . 0naj liječn i k koj i je operirao Alice je veoma neugodan. Dakle, svi l iječnici koji su operi rali Alice su veoma neu­ godn i . l 2 . Svi l iječn ici s u neugodn i . Dakle, liječn i k koji j e operirao Al ice j e neugodan. 1 3 . Učen i k u razredu kOji je pao na ispitu iz plivanja se boj i vode. Neki učenici u razredu se ne boje vode. Dakle, u razredu postoje bare m dva učen ika. 1 4. Žena koja je ukrala violi n u ne voli glazbu . Dakle, neke žene ne vole glazbu . I V. "George je najzani m ljiviji m uškarac kojeg poznajem " tu mači

se u sljedećim značenjima: (A) Ja poznajem Georgea, i on je zan i m ljiviji od svi h drugih muška raca koje poznajem . (B) Ja poznajem Georgea, i n ijedan muškarac kojeg poznajem

n ije zan imljiviji od Georgea. (C) George je jedan i jedi n i m uškarac kojeg poznajem koj i je zanimljiviji od svih d rugih muškaraca koje poznajem . 345

•

Logika

(D) George je jedan i jed i n i muškarac kojeg poznajem takav da n ijedan m uškarac kojeg poznajem n ije zan i m ljiviji od njega. Osim toga prešutno obično pretpostavljamo: (E) N itko n ije zan i mljiviji od bilo koga tko je zani m ljiviji od

njega. pa onda i (F) N itko n ije zan i m lj iviji od samog sebe.

A također: (G) Svatko tko je zan i m lj iviji od nekoga zan i m ljivijeg od nekih također je zan i m ljiviji od tih neki h . (H) Svatko tko n ije zan i mljiviji o d nekoga tko nije zan i mljiviji

od nekih n ije zan i m ljiviji ni od ti h nekih . 1 . Formal izi rajte svaku o d tih osam izjava. 2 . Pre l i m inarno p rosu dite predstavljaj u li A, B, e i D zado­

voljavajuću i nterpretaciju izvorne izjave. 3.

Pokažite, isti nosni m stablom i dedukcijom, da E impl icira F.

4. Pokažite, istinosni m stablom i dedukcijom, d a H i E zajed­ no i m p liciraju G. 5. Pokažite, ekonomično kol i ko je moguće, da e i m p l ic i ra A. 6. U sporedite A i B. To jest, pod p retpostavkom E, odlučite

i stinosn i m stablom da l i A i m p l icira B i da l i B i m p licira A. Ako bar jedna i m p l ikacija ne stoji , objasnite zašto. Ako vri­ jede obje, pokažite to dedu kcijom . 7. Pokažite, i istinosni m stablom i ded u kcijom, d a A i E zajedno i m pliciraju C. 8. Pokažite, i istinosn im stablom i ded u kcijom, da D i H

zajedno i m p l iciraju A.

34&

Ddređeni opis .

9. Pokažite, i isti nosn i m stabl om i dedukcijom da ako je A

istin ito, n ijedan m uškarac kojeg poznajem , osi m Georgea, n ije takav da n ijedan muškarac kojeg poznajem n ije zan­ i m lj iviji od njega.

1 0. Konačno, vratite se na pitanje 2, provjerite svoju prosudbu

te razjasn ite kako rezultati do kojih ste u međuvremenu došl i odgovaraju na to pitanje.

347

Pogovor o imenima i varijab lama

Va rijable - si m bol i koj i se kori ste umjesto i menski h izraza, glagol­ skih izraza, rečen ica i l i drugih dijelova govora, da izraze općenitost - zauzimaju, kako smo vidjel i , središnje mjesto u jezi ku logi ke. 1 U ovoj smo se knjizi, uvodeći čitatelja u elementa rn u logi ku prvog reda, prije svega bavi l i arti ku lacijom općih pravila za ključivanja. Stoga smo od početka treba l i osnovna sredstva - va rijable - kako bismo vizualno jasno pokazal i da su pravila zam išljena tako da važe za sve zaključivanje, neovisno o njegovu pred metu . U skladu s tradicijom u tom pod ručju, manje-više proizvoljno smo odabrali slova iz razn ih dijelova a becede, uvijek u kurzivu, te smo ih koristi li pri navođenju i l i objašnjenju pravila i definicija. KorisPrije više od ped eset god i n a napisala sam do kto rsku d i se rtaciju n a te m u varija b l i ; v i d i Leigh D. Ste i n hardt, The Variable i n Its Relation to Semantic Problems , Radc l i ffe Co l l ege, 1 9 40. U to j e doba b i l o iscrp ­ ne literatu re koja se bavi la varijablama. Literatu ra o i m en i ma i navod­ n i c i ma je mahom recentn ija; vidi npr. Sau l Kri p ke , Naming and Neces­ sity (Cambridge , Mass. : H arva rd, 1 9 80) [ u s p . Imenovanje i n užnost

( Kruza k : Zagre b 1 9 99)], prvobitno kao p redavanja na Pri nceto n u 1 9 7 0 . , t e Dona l d Davidso n , " Q u otati o n " , u Inquiries into Truth and Interpretation (Oxford : Clarendon Press, 1 985) [ u sp. Istraživanja o isti­ ni i interpretaciji (Demetra, Zagreb 2000)]. prvobitno objavljeno u The­ ory and Decision , 1 9 7 9 . Vi d i ta kođer ogled W. V. Q u i nea "The Va ri­

able", čitan na Boston Logic Col loq u i u m 1 9 7 2 . , a pretisnut u The Ways of Paradox (Cambri dge, Mass. : H a rvard, 1 9 7 6 ) . 349

•

Logika

ti li smo 'p ' , 'q ' itd . u mjesto rečeni ca, 'x ' , 'y' itd. u mjesto i men ica i l i imenski h izraza, F 'G' itd . umjesto glagola ili glagolskih izraza. Viša razina općenitosti nam n ije bila potrebna. Dijelom i zbog tog razlo­ ga, mogl i smo izbjeći relativno neuobičajen grčki i ćiril ički alfabet. Slova koja se koriste kao varijable nemaj u referenta, n ego stoje u mjesto d rugih si mbola koj i i maj u referente. Ona s u sredstva čiji je cilj odvratiti pažnju s referenta simbola koj i može stu piti na nji ­ hovo mjesto, i svratiti pažnju na logičku strukturu rečenične forme u kojoj se pojavljuju . Nesretna je činjen ica da se u objašnjenjima u potrebe varijabl i često poziva na "sistematsku višeznačnost". (Zaostatak tog stajali­ šta je u korijenjenost pojma 'varijabla', kao da tu nešto "varira" ali što?) . 'Sistematska višeznačnost' je krivi naziv: u u potrebi vari­ jabl i ne bi smjelo biti višeznačnosti . U l i kovnosti i poeziji višeznačnost je često poželjna; u znano­ sti i logici n ij e tako. Jednoznačna u potreba temeljn i h termi n a bit je znanstven e knj ige i l i projekta. Su kladno tome, a osobito nakon Leibn iza i Boolea, logičari se trude govoriti jednoznačni m Jezikom - što je golem doprinos moderne s i m bol ičke logike. Kako višeznačan s i m bol i m a dva i l i više razl ičitih značenja pa ga se stoga može shvatiti na dva i l i više različitih načina, on zbu­ njuje čitatelja. Varijabla ne može na taj n ači n zbu njivati, budući da nema vl astita značenja. Moramo, međutim, paziti da posve j asno odredi m o doseg varijabl i koje koristimo - jezičn i prostor u kojem i maj u svoj identitet - tako da struktura zaključivanja n e može doći u pitanje. Treba paziti i na druge riječi i simbole u našim rečen ič­ n i m formama, osobito na '�', ' 1\ ' i ". lako sam u prvom poglavlju izbjegla raspravu o u potrebi vari ­ jabli - štoviše pokušala sa m izbjeĆi raspravu o jeziku - pokušala sam jasno dati do znanja da varijable korištene u obj ašnjenjima pravila zaključivanja, prvo 'taj i taj ' i 'to i to', a zati m 'p ' , ' q ' i Ir', nemaju referente. Pravila bi trebala univerzalno važiti . Stoga se u mjesto tih varijabl i može staviti bilo koja rečen ica koja nas zan i ma . U tekstu i u zadacima z a čitatelja koristi la sam primjere, jed­ nostavne rečen ice poput "Henry je u kuhinji" i l i " Pada kiša". Vjeru­ jem da će čitate lj shvatiti da je rješavajući te zadatke samo vježbao, '

1350

',

Pogovor .

pripremajući se za pravo zaklj učivanje i donošenje odluka, sl ično glazbeniku kOji vježba ljestvice ili ten isaču kOji vježba udarce p rije meča. Prividna jednostavnost pri mjera je varlj iva; ona je samo pe­ dagoško sredstvo. Jed nostavnost omogućuje učen iku da koristi vari­ jable a da ga one n e zastraše. Prednost 'Al ice' pred 'a' i l i 'x' je u tome što je 'Alice' b l iža i ti m e manje obeshrabruje. U potreba varijabl i je svejedno temelj svake opće rasprave. Nadalje, one n isu tako neuobičajene kako to mnogi od n as ponekad m isle. Aristotel je uveo p redi katne varijable 'A' i ' B ' ('a' i 'w u grčkom) na prvim stranicama djela Analytica Priora 2 bez vidljive potrebe da opravda i l i obrazloži svoj postu pak. U suvre­ meni m raspravama ne koristiti varijable često izgleda u mjetno. Kad nam je cilj istraživanja i zaključivanja usredotočiti se na stru ktu ru, a izbjeći da nam pažnju odvu ku i relevantn i sad ržaji, može biti izv­ ještačeno (pa ponekad i varavo) koristiti primjere u mjesto 'p'-ova i 'q'-ova . U ovoj su knjizi korištene tri vrste varijab l i : slobodne va rijable, vezane varijable i pseudoimena. (Zanemarimo korištenje pri mjera u tekstu .) Možda bi bilo točnije reći da su varijable korištene na tri razl ičita načina; s i m p licitn i m dosegom , s ekspl icitn i m dosegom, i s dosegom ograniče n i m na dani zaključak . Slobodne varijable - varijable koje n isu vezane kvantifikatorom ili kojim drugim mehanizmom "vezivanja", koriste se u cijeloj knjizi. One se pojavljuju u objašnjenj ima pravila, te u defin icija ma, teo­ rem i ma i ekvi valentnosti ma. Sve do ovog pogovora n isam se mučila da skrenem pažnju na tu u potrebU, prije svega zato što sam došla do spoznaje da priča o varijablama često odvuče fokus rasprave s logi ke na fi lozofiju jezi­ ka, što je izvan dometa ove knjige. Tu se jezik koristi kao oruđe u službi logi ke, a logika je smišljena kao oruđe koje se u potrebljava u službi istraživanja i racionalnog odl učivanja. U prvom dijelu pojavljuju se samo rečen ične slobodne varijable ('p'-ovi i 'q'-ovi). U drugom dijelu, kad se uvode zamjen ičke vezane 2

Analytica Priora, knjiga I , d rugi odjeljak, The Works of Aristot/e, engl es­ ki prijevod W. D. Ross, u r. (Oxford : Clarendon P r ess 1 9 28), str. 2 5 a . ,

351

•

Logika

varijable 'x ' i y u objašnjenj u teorije kvantifi kacije, slobodne predikatske varijable ' F ' i 'G' se uvode bez velike pom pe. Slobodne rečen ične varijable iz prvog d ijela bile su potrebne i dalje, osobito kod pravi la prijelaza. Sve te slobodne varijable su impl icitno vezane un iverzalnim kvantifikatorima, budući da su pravila, defin icije i teo­ rem i pri mjenjivi u n iverzalno. U četvrtom poglavlju, s dolaskom teorije kvantifi kacije, uvodi se nova d i menzija. Vezane varijable, koje ekspl icitno pokrivaj u kvantifi katori, očito i maju ogran ičen doseg, određen zagradama. Imamo dvije vrste kvantifi katora; egzistencija l n i i u n iverzalni, koj i ­ ma arti ku l i ramo dvije vrste općeg iskaza, egzistencijalni i univerzal­ n i . Eksplicitnost tog ustroja omogućuje nam i negirati i potvrditi u n i­ verza l n u tvrdnju bez višeznačnosti i bez opasnosti daivrdimo više nego žel imo. Jedine vezane varijable u ovoj knj izi su zamjen ičke varijable, 'x ' , ' ' y itd . , koje dolaze n a mjesto i men ica i imenskih izraza. Njih Whi­ teh ead i Russe l l , po uzoru na Peana, zovu "prividne" varijable. 3 Budući da su kvantifikatori koj i ih vezuju eksplicitni, a njihov doseg - otvorena rečen ica u kojoj se javljaju - je ekspl icitan i uzak, može se posve jasno reći što znači da su reče n ice koje ih sadrže isti n ite, odnosno neisti n ite. "Viseće" varijable, slova pod kri n kom vezanih varijabl i koje međuti m pravilno ne zahvaća kvantifi kator, stigma­ tizi raj u se kao neuspješne, negramatičke. Kon ačno, koristi l i smo pseudoimena, pojedina slova s početka abecede ('a', 'b' itd.) te smo ih ad hoc uveli kod instancijacije kvan ­ tificira n i h iskaza un u tar dedu kcija i l i na isti nosn i m stablima. Pseu­ doi mena n isu vezana kvantifi katorima, ali im je doseg i pak jasno ogran ičen . Pseudoimena podsjećaju na imenice i zamjenice običnog jezi­ ka. Završit ću komentarom o njihovoj uspo red bi. Varijable, kako smo vidjeli, nemaju refe renata. Osobn a i mena, imenice običnog jezi ka, povijesni i zemljopisni nazivi, svi oni imaj u referente : stvari - općen ito rečeno - koje se može n aći i uprti n a PM, I ntroduction, p rvo izd . , str. 1 7, drugo izd. str. 1 6 . O slobo dn i m varijablama, koje Whitehead i Russe l l zovu "prave", raspravlja se na str. 1 8 i 1 9 drugog i zdanja. 352

Pogovor .

n j i h prstom , i l i stvari koj i h se sjećamo da su b i l e pronađene i po­ kazane.

S rastom jezika, i m e n a se pri pisuj u stvari ma, u ključujući

lj ude. Pseudoime gl u m i da j e ime u jednom uskom prostoru - trajanj u zaklj u čka - a l i ga se mora e l i m i n i rati prije nego se dođe do čvrste kon kluzije. Njegov referent je fikcija, usporediva s OthelIom i l i Pepelj u gom . Pse u doi mena su potrebna za dva pravila s ogran ičenj i ma u teorij i kvantifi kacije, UG (un iverza l n u general izacij u ) i El (egzisten­ cijal n u i nstancijacij u ili p rav i l o i menovanja) . U G n a m omogućuje da generaliz i ramo iz pseudoimena koje smo ispravno uveli j amče­ ći ti me da ono ne predstavlja poseban slučaj. UG ne dopušta d ruge ge neral izacije.

El nam, na temelj u iskaza egzistencije, omogućuje da u toku de­ d u kcije uvedemo pseudoime. N o dokazivača treba u pozoriti da pseudoi me more biti novo: n e može biti slovo koje se već koristi , bilo u premisama zaklj u čka o kojem se raspravlja, bilo u pred­ loženoj ko n k l uzij i , i l i igdje d r u gdje u dedu kcij i . Općen itije rečeno, ovo nas posljed nje ogran ičenje podsjeća da, ako že l i mo da j ezik fu nkcion i ra kako treba, entitet može i mati više i m ena, a l i jed no i me smije u p u ć ivati na sa mo jed a n e ntitet, ba r u n utar određenog konte ksta u potrebe . Očito ne postoj i dovoljno i m ena u uspored bi s gol e m i m brojem stvari o koj i ma že l i m o go­ voriti . Potrebno se je dakle discip l i n i rati i brižljivo omeđiti kontekst. U pozorenja o pogrešnoj u potreb i pseudoi mena, koja smo arti k u l i ra l i u četvrtom i šestom poglavlju, kao i s nj i m a povezana u pozorenja o pogrešnoj u potrebi opisn ih izraza u deveto m poglavlj u, suge ri raj u analogna u pozorenj a o pogrešnoj u potrebi vlastiti h i mena. N i kad ne genera l izirajte iz pojedi n og slučaja bez razmišljanja. N i kad ne pripisujte i mena više nego jedan p ut, da n e b i došlo d o zabune. N i kad nemojte pri pisati i me u mjesto opisa a ko nemate dokaze egzistencije i jedinstve nosti . UVijek što je j asn i j e moguće od redite gra n i ce konteksta u potrebe. Ako b u d e m o po­ štoval i ta u pozorenja, ona će nas vod iti u pažlj i vom korištenju va­ rij abli u logici i i me n a u običnom jezi k u ; uto l i ko će nam pomoći da pravilno m i s l i mo .

Kazalo

(svi ) 1 5 9, 1 6 1 , 1 7 2 formule, 2 4 8 ( n e k i ) vidi egzistencijal n i iskaz, 1 60 formule, 2 4 8 3'<;1 / '<;1 3

razl i kovanje, 2 4 9 , 2 6 1 - 2 6 4 (to, jedno i jedino) vidi opis, jata notacija, 3 1 9 - 3 2 3 (dakle) vidi zaključa k, 2 2 , 1 2 7 (ne) vidi negacija, 4 2 - 4 7 (jest, identičan je sa) vidi identitet, 2 94 , 3 2 2- 3 2 3

B

(akko, ako i samo ako) vidi e kvivalencija, 5 2 , 5 9

�

(ako) vidi i m p l i kacija, 2 0- 3 2

of:.

(nije, d rugo je n ego) vidi drugost, 2 94

/\

( i ) vidi konj u n kcija, 3 7 - 4 1

v

( i l i ) vidi d i sj u n kcija, 4 8 - 5 2

355

•

Logika

ADJ u n kcija, 3 8 - 3 9

citi ranje, 7 0- 7 2 , 1 39- 1 40

afirmacija konsekvensa, 2 4 , 1 06-

čista forma, 1 8 5 , 2 2 5 - 2 2 6 , 260,

-107 AKKO (ekvival entnost) , 9 1 - 9 2

Davidson, D o n a l d , 3 4 9

AKKO (isti nosna tabl ica ) , 9 1

De Morga n , Au gustus, 8 9 , 1 2 4

A K KO (pravi lo z a i sti nosna stab la),

De Morga n ovi za ko n i , 61 , 8 9

1 00-1 0 1 A KO (ekvivalentnost), 5 5 , 8 3 A KO (isti n osna tab l i ca), 8 4 AKO (pravi lo z a isti nosna stabla), 99 a ksiom identi teta sa sa m i m sobom ( Bl, Butlerov zakon ) , 2 9 5 , 3 36- 3 3 7 A n d e rson , John M . , 2 7 antecedens, 2 0- 2 1 anti l ogiza m , 1 36 Aristote l , 44, 1 24 , 2 3 1 , 3 5 1 aristotelovska tradicija, 1 5 9 , 1 66- 1 68, 1 7 1 - 1 7 3 , 1 82 , 2 3 1 , 2 4 1 , 299-300 Bergman n , Merrie, 2 7 beskonačna stabla, 2 7 7 - 2 8 1 B izet, Georges, 1 2 6 B l u mberg, A l bert, 2 7 Bohnert, H erbert, 8 7 B oole, George, 1 24 , 3 5 0 broj jedan, 2 9 7 , 2 9 9 - 3 0 5 B S (Butlerov zakon z a istinosna stabla), 305 B u tl e r, Joseph, 2 9 2 Bl ( B utl e rov zako n , i l i aksiom identiteta sa sa m i m sobo m ) , 295 Carro l l , Lewis, 2 3 3 c i k l i čka zastavica, 2 5 2 356

298

d e d u kcija, 1 2- 1 3 vidi također prezentacija

d ed u kcija deklaracija n a pa kira n j u , 29, 66-67 D I (dokaz po i m p l i kacij i ) , 1 3 , 2 5 D I Lema, 48-49, 5 7 d i lema, 1 3 , 48-50, 5 8 d isju n kcija, 48-50

DN (dvostru ka negacija), 43-46, 86 vidi također isti nosna tab l i ca za

NE dokazi e kvivalentnosti , 60-6 1 , 84, 88 doseg kvantifi katora, 1 6 1 , 1 85 - 1 89, 204, 2 1 6- 2 1 7 , 2 5 6-260 dovršena dedu kcija, 1 69, 1 7 5 - 1 76 d r u gost, 2 4 8 - 2 4 9 , 2 69, 2 9 1 - 2 9 4 , 297 dvostru ka zastavica, 1 7 5 , 1 78 , 1 92 , 2 2 3 , 2 5 1 , 2 5 2 E G (egzistencijalna generalizacija), 1 66 egzistencijalna težina, 2 3 1 -2 3 2 , 33 3-334, 338 egzi stencija l n i i s kazi , 1 65 - 1 6 7 , 1 99-200

Kazalo . El (egzistencijal na i n sta ncijacija i l i

pravilo i menovanja), 1 69 , 1 99

identitet sa sam i m sobom, 2 9 5 , 337

ekvivalencija, 5 2 , 5 9 , 89-90

vidi također B Z , B u tl erov zakon

e kvivalentnost, 4 6 , 5 9 - 6 1 , 2 5 7

identitet, 3 2 , 2 9 1 - 3 1 7 , 3 2 3

vidi tak ođer dokazi

vidi tak ođer identitet s a sam i m

ekvival entnosti

sobom

ekvival e ntnosti , 6 1

I LI (isti nosna tablica), 8 8

vidi tak ođer popis e kviva l e n tnosti

I L I (pravi lo z a istinosna stabla), 9 5

ekviva l entnosti za negaciju, 1 0 2 ,

i mena, 1 6 1 , 1 6 9 , 1 99-200, 2 0 8 ,

1 04 , 1 80- 1 8 2

3 5 2- 3 5 3

E L i M i nacija, 6 3

i menovanje, pravilo, 1 6 9

Eliot, George (Mary Ann Evans),

vidi također E l

2 9 2 , 308

i m p l icitna negacija, 1 04 - 1 05 , 2 0 3

Emerso n , Ral p h Waldo, 2 5 2

i mpl i kacija, 2 1

e nti mem, 1 3 7

vidi tako đer odgovarajuća

ES (pravi l o za i stinosna sta b l a kod

egzistencijalnih iskaza), 2 0 1 formal izacija, 1 0, 2 1 , 2 3 , 1 2 2 - 1 2 5 , 1 2 9 - 1 30, 1 5 8 , 1 66

s i d e ntiteto m , 2 9 9 , 3 02-306, u

i m p l i kacija i nd i rektn i dokaz (red u ctio ad absu rd u m), 1 3 , 1 8, 4 2 , 1 08 , 110

i n d u kcija, 1 8- 1 9

3 1 9-3 2 3 , 3 3 7 - 3 3 9

i n konzistentne premise, 2 30

logici pred i kata , 1 8 5 - 1 8 7 ,

i n konzistentnost, 1 8, 2 2 , 9 5 , 1 3 6 ,

2 1 6- 2 1 8, 2 2 1

u l ogici relacija, 2 4 2 -2 4 7 , 2 5 6, 2 6 1 -264, 2 7 1

vidi također jota notacija

292, 305

i n stancije, 5 2 - 5 4 , 1 5 8 , 200-201 i nternalizacija negacije, 1 0 2 - 1 0 3 , 1 83 , 202

gen eral izacija, 1 72 , 2 5 0

Ish i gu ro , Hide, 2 9 3

Gentzen, Gerhard, 5 0

iskaz, 1 1 , 5 2 , 5 3 , 8 1 -82 , 9 5-96,

glavn i vez n ici , 4 1 , 6 1 , 1 2 9- 1 3 1 Good man , Nelson, 1 2 6 grupiranje, 68-69, 9 7 , 1 2 3

1 08 - 1 1 2 , 1 2 6 - 1 2 7, 1 2 9

i sklj u čenje trećeg, 3 2 , 5 5 - 5 8 , 1 09 - 1 1 1

hipotetički si l ogiza m , 2 8

isključno " i l i " , 4 8 , 5 0 , 9 8 , 1 2 7

h ipoteti č ko za ključivanje, 1 8

ispitivanje valjanosti, 1 1 - 1 2, 8 1 - 8 2 ,

I (istinosna ta b l ica), 8 5 I (pravi lo za istinosna stabla), 9 4

9 2 - 94 , 1 01 - 1 02 , 1 08 , 1 09 - 1 1 1

isti na, 9 , 1 1 2

357

•

Logika

istinosna stabla, 1 2 , 94- 1 1 9, 1 99, 2 7 1 , 3 0 5 - 3 1 7 , 3 1 9- 3 4 7 istinosna vrijednost, 82

Leutz, E ma n u e l Gottlieb, 1 02

istinosne fu n kcije, 8 2 , 1 5 7 istinosne tabl ice, 8 2 - 9 4 , 1 1 2

LS (Leibn izov zakon za i stinosna stabla), 307

jednost, 2 9 7 2 9 9 , 304, 3 1 9, 3 36-

LZ (Leibn izov zakon ) , 2 9 3

-337 Jeffrey, R i c h a rd C , 94, 1 03 , 1 26, 252 Joh nson, Charles, 1 88 Joh nso n , W. E . , 1 7 3 Johnstone, H e n ry w., 2 7 jota notacija, 3 1 9 - 3 2 3 KN (kvantifi kacijska n egacija), 1 80 K N ' (aristotelovska KN), 1 8 2 kon kl uzija, l l , 1 7 - 1 8 vidi

također s u marna kon kl uzija

konsekve ns, 2 0- 2 1 kontrafakti čna i m p l i kacija, 1 2 6-1 27 kontrapozicij a, 74, 90 konzistentnost, 9 5 -96, 1 0 1 - 1 0 2 , 1 08, 1 3 5 - 1 36 konju n kcija, 3 7-4 1 Kri pke, Sau l , 3 4 9 kvantifi kacija, 1 5 8 kvantifi kacijska n egacija, 1 80- 1 83 kvantifi katori, 1 5 9 - 1 6 1 vidi

također doseg kvantifi katora

K-ZAM ( kvantifikacijska ZAMjena), 1 6 3 , 1 79 Ladd-Fra n kl i n , Christine, 1 3 6 Lam bert, Kare l , 1 65 LANAC, pravi lo, 28- 30, 62

358

Lei bn iz, Gottfried Wilhelm von ' 1 24 , 2 9 3 , 3 5 0

L l ' (Lei b n i zov zakon u negati vnoj form u lacij i ) , 2 94 mašta, 1 0, 1 1 metafizičke pretpostavke, 4 2 , 1 64 , 2 1 2 , 2 3 1 -2 3 2 metalogi ka, 9, 4 6 , 5 9, 1 1 1 , 1 2 1 , 1 63, 281 M iddleton , N a ncy, 2 6 Moor, James, 2 7 M P (modus po nens), 22 MT (modus tol l ens), 6 2 , 1 5 8 NAKKO (ekvivalentnost) , 92 NAKKO (istinosna tabl ica), 91 NA KKO (pravi l o za i stinosna stabla), 1 03 NAKO (ekviva l entnost), 88 NAKO (istinosna tab l i ca), 8 7 NAKO (pravil o z a istinosna stabla) , 1 03 N E (isti nosna tabl i ca ), 86 nedopušteno ponavljanje, 3 5 - 3 6 , 40, B l , 2 8 3 , 2 84 n edovršena dedu kcija, 1 7 5- 1 7 6 n edovršena stabla, 2 1 0, 2 8 1 n egacija antecedensa, 9 3 , 1 3 8 n egacija, 1 4, 42-4 7, 86-92, 1 801 83 , 2 0 2 - 2 03 , 3 20 , 3 3 7 -340

vidi također ekviva l entnosti za negaciju i intern aliziranje n egacije

Kazalo .

n e - i stinosnofu n kcijski vezn i c i , 1 2 6- 1 2 7

parti ku lam i si logiza m, 1 7 1 Peano, G i useppe, 3 5 2

N e l son , Jack, 2 7

Pi erce, Charles Sand ers, 1 2 4 , 1 3 6

neovlaštena gen e ra l izacija , 1 7 2

pogreška, 2 4 , 1 06 - 1 0 7 vidi također potvrđivanje

n epotp u n a stabla, 209-2 1 0 n e p raz n i u n iverzu m , 1 6 5, 1 7 7 , 212 neprotu rječje, 4 2 , 1 64 n eva l janost, 1 2 , 1 4 - 1 5 , 1 3 5

konsekvensa, u n a krsne zastavice, c i k l i č ka zastavica, n egacija antecedensa , dvostru ka zastavica, n eovlašteno ponavljanje vidi

N I (e kviva lentnost) , 8 9

također prepoznavanje

N I ( i sti nosna ta blica), 8 6

pogreša ka

N I (pravi lo z a i sti nosna stabla), 1 03 N I L ! (ekviva l entnost), 8 9 N I L ! ( i sti nosna tab l i ca), 88 N I L ! (prav i l o za i sti nosna stabla), 1 03 N KO N ( N e KO N J u n kcija), 6 2 ocjena va ljan osti , 1 3 1 - 1 3 8 , 2 1 9 očuvanje isti n e , 9, 1 8- 1 9, 5 0 odbacivanje p r e m i sa , 1 3 - 1 4 , 2 7 , 3 6 , 4 2 - 4 3 , 48, 7 1 odgova raj u ća i m p l i kacija, 1 3, 2 5 - 2 6 , 1 08- 1 09 odgova rajuća pogreška, 2 4 , 9 3 , 1 38 ogra n iče nja za E l i UG, 1 6 9, 1 7 2 , 1 7 5 , 2 4 2, 2 5 1 - 2 5 2 , 264- 2 6 5 ograničenja z a P O N OVI , 3 5 - 3 6 , 39 općen itost, 1 5 7 - 1 5 9 opis, 3 1 9 - 3 2 3

pomoćna p rav i l a za ključ ivanja, 30, 62-63, 76, 1 8 5 pomoćne p re m ise, 1 4 , 2 8 , 3 2 , 247 pon avlja nje, pogreš ka neovl aštenog, 3 5 - 3 6 , 4 0 , 1 3 1 , 283 PO N OVI , 3 2 popisi e kviva lentnosti , 74- 7 5 , 1 02 , 1 1 3 - 1 1 4, 1 4 5 - 1 46, 1 88 , 1 94 , 2 5 6 , 2 6 6 popisi teorema, 7 3 , 1 4 6, 3 4 2- 3 4 3 poredak ugniježđen i h kva nti fi katora, 2 4 9 , 2 60, 2 6 3 potp u nost, 2 0 p rav i l a i zvođenja, 1 7 , 1 9-20, 2 6 , 52, 6 1 , 1 6 1 , 1 6 5 , 2 9 3 - 2 9 5 popisi, 63-66, 1 4 1 - 1 4 3 , 1 9 3- 1 94 , 2 6 5 , 294-295, 3 1 3- 3 1 4 p ravila prije laza , 1 8 5 - 1 9 1 , 2 5 9 - 2 60 p rav i l a za isti n osna stabla, 94, 99-

opravdanje, 2 9 , 3 6 , 70- 7 2

- 1 00, 1 0 2 - 1 0 3 , 2 0 1 , 3 0 5 - 3 08

osi m a ko, 1 2 5

popisi, 1 1 3, 201 , 233

otvo rena rečen ica, 1 5 9, 1 60- 1 6 1 ,

P R E M ( " p ravi l o " PREMisa), 2 6 , 2 8

243-244 359

•

LDgih pre m i se, 1 0- 1 1 , 1 7 , 1 9, 2 6 premise u igri , 2 6 , 3 9 preneksna forma, 1 8 5 , 2 2 6- 2 2 7, 2 5 9-260, 2 9 8

prepoznavanje pogrešaka, 2 8 2 -284

pretpostavke, 1 0- 1 1 prezentacija dedukcija, 69-72 primjer i zaključaka, 23, 3 1 , 6 2 prirodna dedu kcija, 1 2 p rotupri mjer, 8 1 , 9 2 , 1 08, 1 3 4 -135

proturječje, 1 8, 4 2 - 4 3 , 305, 307-308

vidi također (zakon) nep rotu rječnost protutvrd nja, 1 0 1 - 1 02 , 1 08, 1 3 6 pseudoi mena, 1 6 1 , 1 69 , 1 7 8 , 200 - 2 0 2 , 3 5 1 - 3 5 3

PV (promjena varijable), 1 63 , 1 79 Q E D (quod erat

demonstrandom), 2 9 , 6 8 , 1 7 5 Quine, Willard Van Orman, 2 7 , 8 5 , 9 4 , 1 2 6 - 1 2 8 , 1 3 6 , 1 60,

-35 1

SIMPlifi kacija,

37

singularni i s kaz, 1 66 - 1 6 7 , 1 6 9 , 2 9 9 - 3 00

sistem zvjezd ica, 2 5 - 2 6 , 2 7 - 3 0 , 3 6 , 67-68, 1 3 9

slobodne va rijable, 1 6 1 , 2 4 3 , 294, 3 5 1

So mmers, Fred, 1 6 9 -300 Steinhardt, Leigh D . 3 4 9 stoici, 1 5 9 , 2 4 1 strategija u

dedukCiji,

1 3, 32-35,

4 3 , 5 0, 5 6 - 5 7 , 1 3 8 - 1 40, 1 9 2 , 24 7 , 2 6 2 , 3 3 0

strategija u forma l i zaciji, 1 8 7 , 2 1 6 -2 1 8 , 2 4 3 , 2 5 6- 2 5 9 , 2 6 4 , 2 72

strategija u ocjenj ivanju, 1 3 1 - 1 3 2 , 1 3 6, 3 3 0

stru ktura za k ljučka, 1 0, 1 9, 2 3 , 1 2 2 - 1 2 5 , 1 29 , 1 5 7 , 1 8 6

sumarna ko n k l u zija, 1 3 , 2 5- 2 7 TANjenje, 4 8 , 5 0- 5 1

1 6 9, 1 7 1 , 1 8 5 , 1 88 , 3 2 1 , 342,

tautologija, 5 3 , 1 06 , 1 08 - 1 09

349

telesko p i ranje, 1 2 8, 1 3 1

REDuctio ad absurd u m , 4 2

TEOREM, 5 2 - 5 5 , 7 5 - 7 6

rješavanje višezn ačnosti , 1 2 7 - 1 28 ,

teore m i , 1 1 , 3 3 , 4 4 , 46-4 7 , 5 2 -

262-26 4

rupe u za ključku, 1 3 2 - 1 3 3 Russe l l , Bertra nd, 1 5 9 , 3 1 9, 3 20, 3 2 1 , 324, 342

Sacco, N i ccola, 3 3 3 samo, 2 2 , 3 0 2 - 3 0 3 , 3 2 7 samo a k o , 2 2 , 1 2 5 , 3 2 7 s i l ogiza m , 1 3 6 , 1 5 9 , 1 6 7 , 20 5 360

s i m bo l i , 1 0, 2 1 , 2 3 , 8 1 , 1 2 2 , 3 5 0-

- 5 3 , 1 08 - 1 09 , 1 3 9

popisi, 7 3 , 1 4 6, 3 4 2 - 3 4 3 UG (un iverzalna genera l i zacija), 1 72

ugn iježđ e n i kvanti fi katori , 1 60 , 2 2 1 -228, 24 1 , 244, 263, 2 7 1

vidi također poredak ugn iježđe n i h kvantifi katora

Kazalo . Ul ( u n iverza l na i nsta ncijacija), 1 62

unakrsn e zastavice, 2 5 0- 2 5 2 , 284 u n a krsno u p u ć ivanje, 1 60, 1 6 1 , 1 6 3 , 1 8 7 , 24 7 , 2 56-2 5 9 , 3 1 0

u n iverza l n i iskazi, 1 5 9, 1 6 6 US ( p ravi l o za isti nosna stabla za

u n iverzalne iskaze) , 2 0 1 valjanost, 9, 1 1 - 1 2 , 1 5 , 1 9, 5 3 , 8 1 , 1 08

van Fraassen , Baas C, 1 6 5 varijable, 2 3 , 1 60 3 4 9 - 3 5 1 veza ne varijable, 1 6 1 , 3 5 1 - 3 5 2 veznici, 5 2 , 8 1 , 1 2 2 - 1 2 5 , 1 26-1 27

vidi također gl avn i vezn ici, neistinosnofu n kcijski veznici viseće varijable, 1 6 1 , 1 86 - 1 8 7 , 257

vi šeznačnost, 3 8 , 4 8 , 68-69, 2 3 2 , 2 4 8 , 2 6 1 - 2 6 2 , 3 2 0 , 3 3 7-340-350

Wh i stI er, James McNei l l 1 26 Wh itehead, Alfred North 1 5 9 , 3 1 9, 324, 3 3 7 , 3 5 2

zagrade, 40-4 1 , 6 8-69, 1 2 7 , 1 3 1 , 1 47

za klj učak, l l , 1 9, 8 1 zaključivanje, 1 0 , 1 3 ZAMjena e kvivalenata, 4 6 , 5 9-6 1 , 1 63 , 1 7 9

zastavica, 1 69 , 1 7 1

361

CIP - Katalo g iza c i ja u publikacij Nacionalna i sveučmšna knpžnica

UOK

- Zag reb

1 64

leigh S. Uvod u logiku prvog reda I Le i gh S. Cauman ; <preveo Ognjen Strpić>. Zagreb : Naklada Jesenski i Turk 2004 . ­ (Filozofska bib lioteka l

CAUMAN.

-

Prijevod djela : First order logi c

.

.

ISBN 953-222 - 1 75-1

I. M at � matič ka 44 1 0 1 B 1 56

logika -- Osnovni pojmovi

Prikazi knjiga / Book Reviews

117

Leigh S. Cauman, Uvod u logiku prvog reda, preveo Ognjen Strpiæ, Naklada Jesenski i Turk, Zagreb 2004, 361 str.

Nakon du®eg vremena u hrvatskom se prijevodu pojavio ud®benik iz suvremene logike (logike prvog reda). Koliko mi je poznato, posljednji prijevodi knjiga sliènog sadr®aja objavljeni su još osamdesetih godina prošloga stoljeæa (ili ranije) i davno su postali zastarjeli ili nedostupni. Postoji nekoliko knjiga domaæih autora novijeg datuma, koje su, opet, ili teško dostupne širem èitateljstvu ili više prilagoðene srednjoškolskoj razini, pa ne pru®aju obuhvatniji prikaz podruèja. Veæ je i zato objavljivanje Uvoda u logiku prvog reda, èime se barem dijelom ukidaju spomenuti problemi, pohvalno. Prijevod knjige je dobar, a korištena je danas, više ili manje, prihvaæena terminologija. Knjiga je namijenjena, kako autorica u predgovoru istièe, ‘uvoðenju inteligentnih muškaraca i ®ena u naèela i notaciju moderne simbolièke logike, te bi im trebala pomoæi da koriste ta naèela i provode tu disciplinu na drugim mjestima’. Za razliku od sliènih uvoda u kojima autori tvrde kako knjiga ne pretpostavlja prethodno znanje logike ili da je primjerena za èitateljevo samostalno upoznavanje s njom, a što se veæ na prvim stranicama obièno poka®e netoènim, Cauman je ostvarivanje takve pedagoške odlike uistinu i pošlo za rukom. Èitatelji upoznati s Quineovim Methods of Logic brzo æe uoèiti sliènost Uvoda s tom knjigom. Ona nije sluèajna. Autorica upravo Methods istièe kao rad èija joj je struktura poslu®ila pri oblikovanju Uvoda. Utoliko se Uvod u logiku prvog reda mo®e upotrijebiti i kao uvod u tu Quineovu knjigu. Sadr®ajno, Uvod je više ogranièen. Tako, za razliku od Methods, Cauman u svojoj knjizi ne obraðuje metateoriju, te se usredotoèuje iskljuèivo na logiku u quineovskom smislu (ne razmatrajuæi brojeve, skupove i sl.). Knjiga je podijeljena u èetiri dijela (tj. devet poglavlja). U uvodu su neformalno objašnjeni osnovni logièki pojmovi poput ‘premise’, ‘zakljuèka’, ‘teorema’, ‘valjanosti’, i sl., te metode kojima æe se slu®iti u knjizi. Prvi dio Uvoda, ‘Logika istinosnih funkcija’, bavi se logikom na razini iskaza. U prvome su poglavlju uvedeni osnovni logièki veznici, te pravila izvoðenja. Metoda koju autorica razvija u tom poglavlju jest prirodna dedukcija. Drugo poglavlje uvodi metode ispitivanja zakljuèaka: istinosne tablice i istinosno stablo. Prvi dio završava poglavljem koje se bavi pitanjem ocjene zakljuèka, pri èemu se koriste i dedukcija i istinosno stablo. U drugome se dijelu, ‘Logika predikata’, iskazna logika proširuje na logiku predikata, toènije na monadiènu predikatsku logiku koja dopušta samo jednomjesne predikate. U èetvrtom je poglavlju uvedena teorija kvantifikacije. Pravila izvoðenja iz prvoga poglavlja upotpunjena su pravilima za logiku predikata, te je razmotrena dedukcija s kvantifikatorima. Ista je stvar u narednom poglavlju

118

Prolegomena 4 (1/2005)

uèinjena s metodom istinosnog stabla. Treæi dio, ‘Logika relacija’, predstavlja proširenje monadiène predikatske logike na logiku relacija, èime su uvedeni i višemjesni predikati. To, opet, iziskuje daljnja upotpunjenja pravila ranije korištenih metoda. U šestom je poglavlju tako prirodna dedukcija prilagoðena višemjesnim predikatima, a u sedmom je isto uèinjeno s istinosnim stablom. Filozofijski najzanimljiviji, èetvrti dio, ‘Identitet i opis’, u posljednja dva poglavlja obraðuje logiku identiteta (tj. logiku relacija proširenu pravilima za identitet), pri èemu su razmotrena neka formalna svojstva identiteta zajedno s dedukcijom i istinosnim stablom, dok se deveto poglavlje na isti naèin bavi odreðenim opisima. Knjiga završava kraæim pogovorom gdje je ukratko razmotreno pitanje uloge i upotrebe varijabli i imena. Uvod je pisan pristupaèno. Odlikuje ga postupno i strpljivo razvijanje ideja potkrijepljeno dostatnim brojem primjera. To je za posljedicu imalo da stvari koje drugi autori nerijetko izla®u na svega nekoliko stranica, Cauman razvija èak i kroz više poglavlja. Kada se u kasnijim dijelovima knjige obraðuju stvari koje izravno pretpostavljaju ranije uvedene ideje (prvenstveno pravila), autorica ih se ne ustruèava sve ponavljati. Tim je izbjegnuta potreba za èitateljevim prelistavanjem ranijih dijelova knjige u potrazi za pretpostavljenim idejama, te je omoguæen kontinuitet u slijeðenju novog sadr®aja. No to, kao i autorièina postupnost, nikada ne prelaze u zamorno ponavljanje ili odugovlaèenje. Svako poglavlje prate zadatci, nerijetko preuzeti od drugih autora (poput Quinea ili Carrolla), i, što je posebno korisno, sa®etak (podsjetnik) kljuènih ideja uvedenih u tom poglavlju. Autorica u knjizi nije izbjegavala neformalna objašnjenja koja su u ud®benicima logike ponekad svedena na minimum u korist formalizma. Ima li se na umu tip èitatelja kojemu je takva vrsta knjiga prvenstveno namijenjena, takav je autorièin pristup svakako po®eljniji. Neformalna objašnjenja osposobljavaju i ne tako pa®ljivog ili ‘nadarenog’ èitatelja da se uhvati u koštac s naknadnim formalnim dijelovima. Jasnoæi Uvoda pridonio je i autorièin izbor da u raspravi izostavi metateoriju, koja je u knjizi svedena na svega nekoliko usputnih opaski. Time je izbjegnuta potencijalna pomutnja koju bi paralelno izlaganje logike i njezine metateorije moglo uzrokovati pri poèetnim upoznavanjem s podruèjem. Metateoriju je bolje uvesti nakon što je sama glavnina logike svladana, jer je tada lakše pojmiti njihov odnos, a ujedno se smanjuje i moguænost njihova miješanja. Na kraju bih pa®nju skrenuo na svojevrsni propust koji je uèinjen u knjizi. Naime, ne postoje savjeti o prikladnoj literaturi za daljnje èitanje, što bi se ipak trebalo oèekivati od knjige ovoga tipa. To bi bilo od znatne koristi onima koji ®ele nastaviti svoje istra®ivanje. Doduše, autorica se kroz knjigu više puta poziva na radove drugih autora, no uvijek u kontekstu neke specifiène toèke u radu, a ne s ciljem savjetovanja za daljnje bavljenje temom i ne uvijek na najprikladnije radove za pobli®e upoznavanje s njom. Izuzetak su, naravno, kroz knjigu više puta spominjane Quineove Methods of Logic, koje su svakako dobar poèetak za nastavak istra®ivanja. Unatoè tome, sustavni

Prikazi knjiga / Book Reviews

119

popis literature ne bi bio na odmet, posebice danas, kada je èitatelju ponuðeno nepregledno mnoštvo logièke literature, poèevši od raznih uvoda i pregleda podruèja, pa sve do specijaliziranih rasprava èija pristupaènost i opseg znatno variraju. Uvod u logiku prvog reda korisno je izdanje koje æe se, vjerujem, takvim pokazati i u praksi. Knjiga je dobar poèetak za upoznavanje sa suvremenom formalnom logikom, te pregledan podsjetnik onima koji su s disciplinom veæ upoznati. Dušan Do®udiæ Hrvatski studiji Sveuèilišta u Zagrebu Ulica grada Vukovara 68, HR-10000 Zagreb [email protected]

Edmund Husserl, Filozofija kao stroga znanost i druge rasprave, preveo i pogovor napisao Ante Pa®anin, Naklada Ljevak, Zagreb 2003, 303 str.

Nakon Ogleda o izvoru geometrije objavljenog u Osijeku 1982, Kartezijanskih meditacija objavljenih u Zagrebu 1975. i Krize evropskih znanosti i transcendentalne fenomenologije objavljene u Zagrebu 1990, u Zagrebu je 2003. na hrvatski prevedena zbirka èlanaka Edmunda Husserla, utemeljitelja fenomenologije, jednog od najznaèajnijih filozofa prve polovice dvadesetog stoljeæa pod naslovom: Filozofija kao stroga znanost i druge rasprave. Tekst je preveo i pogovor napisao Ante Pa®anin, jedan od najboljih poznavaoca Husserlove filozofije u Zagrebu kojemu je to veæ drugi prijevod jednog Husselova djela i koji je o Husserlovoj filozofiji 1962. doktorirao u Kölnu kod Ludwiga Landgrebea. U proširenom obliku ta je disertacija objavljena na hrvatskom pod naslovom Znanstvenost i povijesnost u filozofiji Edmunda Husserla. Zbirka sadr®i kao glavni tekst prijevod rasprave Filozofija kao stroga znanost u obliku kako ju je popraæenu analizom sadr®aja i pogovorom objavio Wilhelm Szilasi (Frankfurt a/M 1965). (Prvi put je ta rasprava bila objavljena u èasopisu Logos 1911.) Ostale rasprave u zbirci nastale su kasnije, Znanost o realitetu i idealiziranje, Matematiziranje prirode – prije 1928; Prirodoznanstveni i duhovnoznanstveni stav. Naturalizam, dualizam i psihofizièka psihologija – prije 1930; Kriza europskog ljudstva i filozofija – prije 1930; O izvoru geometrije – 1936; Povijest i sjeæanje – 1937; Teleologija u povijesti filozofije 1936/37, a objavljene su još mnogo kasnije, odnosno u cjelokupnom izdanju Husserlovih djela, u šestom svesku Husserliana, Haag 1954. i u dvadesetdevetom svesku Husserliana, Haag, 1993.