Praxisbeispiele Stahlbetonbau: Tragverhalten - Bemessung - Konstruktion, 1. Auflage GERMAN

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Uwe Albrecht

Praxisbeispiele Stahlbetonbau

Uwe Albrecht

Praxisbeispiele Stahlbetonbau Tragverhalten – Bemessung – Konstruktion

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. Prof. Dr.-Ing. Uwe Albrecht studierte Bauingenieurwesen an der TU Hannover und der North Carolina State University. Er promovierte an der TU Darmstadt. Seine langjährige Tätigkeit in der Bauindustrie in Frankfurt/M. und Hamburg umfasste die Bearbeitung und technische Koordination von Brücken und Ingenieurbauten. Bis 2005 lehrte er als Professor für Stahlbetonbau und Ingenieurbaukonstruktionen an der Fachhochschule in Buxtehude und leitete die berufsbegleitende Weiterbildung für Bauingenieure und Architekten. Email:

[email protected]

1. Auflage 2008

Alle Rechte vorbehalten. © B.G. Teubner Verlag / GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2008 Lektorat: Dipl.-Ing. Ralf Harms, Sabine Koch

Der B.G. Teubner Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media. www.teubner.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de Druck und buchbinderische Verarbeitung: Strauss Offsetdruck, Mörlenbach Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Germany

ISBN 978-3-519-00529-2

Vorwort Das Buch enthält eine umfangreiche Aufgabensammlung zur Festigung und Vertiefung der Kenntnisse im Stahlbetonbau. Zu jedem Themengebiet werden praxisbezogene Beispiele mit ausführlichem Lösungsweg und begleitenden Erläuterungen bearbeitet. Vorangestellt ist jeweils eine kurze Einführung in die Thematik; die folgenden Bearbeitungsschritte bauen aufeinander auf, von der Festlegung der Lastabtragung und den Maßnahmen für die Dauerhaftigkeit über die Bemessung und die konstruktive Durchbildung bis zur Darstellung der Bewehrung. Zum Verständnis der Tragverhaltens von Stahlbetonbauteilen wird der Kraftfluss herausgearbeitet, sei es bei der Aufnahme von Biegemomenten, bei der Abtragung der Querkräfte oder in druckbeanspruchten Bauteilen. Die Nachweisführung erfolgt in Einklang mit der DIN 1045-1. Der Randtext stellt den Bezug zum Normentext einschließlich der Auslegungen des Normenausschusses her, gibt Literaturhinweise und zusätzliche Erläuterungen. Es werden bewusst nicht alle Möglichkeiten der Nachweisführung ausgeschöpft, wenn der baupraktische Nutzen gering ist. Die Leser – vor allem Studierende – sollen lernen, sich auf das Wesentliche zu beschränken und den Bearbeitungsaufwand sinnvoll zu begrenzen, auch im Hinblick auf den Umfang von EDV-Berechnungen. Es soll zugleich bewusst gemacht werden, dass die rechnerischen Nachweise nur ein Teil der Tragwerksplanung sind. Das Zusammenwirken von Beton und Bewehrung setzt eine sorgfältige konstruktive Durchbildung voraus. Die Beispiele vermitteln Berufsanfängern und Studierenden die Notwendigkeit sorgfältiger Detailarbeit. Die Bewehrungszeichnungen sind als Vorschlag zu verstehen, die Leser sollen sich frei fühlen, Alternativen zu entwickeln. Dabei sollten sie die baupraktische Umsetzung immer vor Augen haben. Die Aufgaben im Abschnitt Klausurtrainer enthalten Zwischenergebnisse und Kontrollwerte, damit Lösungsweg und Ergebnis nachzuvollziehen sind. Mit den Tafeln im Anhang kann die Mehrzahl der Bemessungs- und Konstruktionsaufgaben ohne zusätzliche Literatur bearbeitet werden. Mein Dank gilt Frau Liane Storbeck für die textliche Bearbeitung und Herrn Dipl.-Ing. Ralf Harms vom B.G. Teubner Verlag für die Anregungen.

Buxtehude, September 2007

Uwe Albrecht

Inhalt 1 Einführung ............................................................................................................................... 1 1.1 Zielsetzung und Aufbau des Buches .................................................................................. 1 1.2 Aufbau der DIN 1045 (2001-07) ....................................................................................... 3 1.3 Begriffe und Formelzeichen............................................................................................... 4 1.4 Sicherheitskonzept ............................................................................................................. 6 2 Baustoffe, Dauerhaftigkeit ...................................................................................................... 9 2.1 Beton .................................................................................................................................. 9 2.2 Betonstahl......................................................................................................................... 10 2.3 Dauerhaftigkeit................................................................................................................. 10 3 Bemessung für Biegung und Querkraft von Bauteilen mit Rechteckquerschnitt............ 15 3.1 Balken .............................................................................................................................. 15 3.1.1 Einfeldbalken ........................................................................................................ 15 3.1.2 Einfeldbalken – Biegung mit Längskraft .............................................................. 22 3.1.3 Balken mit Kragarm.............................................................................................. 25 3.2 Platte ................................................................................................................................ 33 3.3 Fußgängerplattform.......................................................................................................... 41 3.3.1 Allgemeines .......................................................................................................... 41 3.3.2 Platte ..................................................................................................................... 42 3.3.3 Balken ................................................................................................................... 46 4 Plattenbalken.......................................................................................................................... 51 4.1 Fußgängerplattform.......................................................................................................... 51 4.2 Geschossdecke – Zweifeldbalken .................................................................................... 56 4.3 Dreifeldbalken mit Momentenumlagerung ...................................................................... 67 5 Tragfähigkeit schlanker Druckglieder................................................................................. 75 5.1 Gebäudestützen ................................................................................................................ 75 5.1.1 Innenstütze ............................................................................................................ 75 5.1.2 Randstütze............................................................................................................. 79 5.2 Hallenstütze...................................................................................................................... 82 6 Fundamente............................................................................................................................ 89 6.1 Fundament für Lagergebäude .......................................................................................... 89 6.2 Gedrungenes Fundament.................................................................................................. 95 7 Flachdecke ............................................................................................................................ 101 7.1 Momentenverlauf und Bemessung für Biegung............................................................. 101 7.2 Nachweis gegen Durchstanzen – Innenstütze ................................................................ 108 7.3 Nachweis gegen Durchstanzen – Randstütze................................................................. 116 8 Vierseitig gelagerte Platten ................................................................................................. 123 8.1 Einfeldplatte ................................................................................................................... 123 8.2 Zweiachsig gespannte, durchlaufende Platten mit regelmäßigem Raster – System 1........................................................................................................... 125 8.3 Zweiachsig gespannte, durchlaufende Platten mit unregelmäßigem Raster – System 2........................................................................................................... 130

VIII

Inhalt

9 Fertigteile mit Ortbetonergänzung..................................................................................... 139 9.1 Elementplatte mit Ortbetonergänzung............................................................................ 139 9.2 Balken mit Ortbetonergänzung ...................................................................................... 143 10 Fertigteile – Konsole, ausgeklinktes Trägerende .............................................................. 149 10.1 Konsole .......................................................................................................................... 149 10.2 Ausgeklinktes Trägerende.............................................................................................. 155 11 Begrenzung der Rissbreite .................................................................................................. 161 11.1 Kellerwand ..................................................................................................................... 161 11.2 Stützwand....................................................................................................................... 164 12 Torsion – Fußgängerbrücke................................................................................................ 173 13 Klausurtrainer...................................................................................................................... 183 Anhang........................................................................................................................................ 197 Literatur ..................................................................................................................................... 207 Sachwortverzeichnis .................................................................................................................. 209

1 Einführung 1.1 Zielsetzung und Aufbau des Buches Das Buch soll den Einstieg in die Bearbeitung von Stahlbetonbauten erleichtern. Dazu werden die wesentlichen Nachweise und Konstruktionsregeln im Stahlbetonbau vermittelt. Spannbetonbauteile, Bauteile aus Leichtbeton und hochfestem Beton bleiben unberücksichtigt. Alle Beispiele beziehen sich auf Stahlbetonbauteile aus Normalbeton der Festigkeitsklassen bis C50/60. In der Regel werden die Schnittgrößen vorgegeben, Basis ist die linear-elastische Berechnung mit oder ohne Momentenumlagerung. Diese Aufgabensammlung ersetzt kein Grundlagenbuch über Stahlbeton, doch zum besseren Verständnis werden die Beispiele durch begleitenden Text mit den maßgebenden Gleichungen ergänzt. Der Randtext stellt den Bezug zum Normentext her, gibt Literaturhinweise und zusätzliche Erläuterungen. Damit die Leser nicht an die vorgegebene Reihenfolge der Aufgaben gebunden sind, wird der erläuternde Randtext nach Bedarf wiederholt. Es ist nicht beabsichtigt, alle Einzelheiten der DIN 1045-1 zu behandeln. Vielmehr werden in einigen Beispielen bewusst nicht alle Möglichkeiten der Nachweisführung ausgeschöpft, wenn der baupraktische Nutzen gering ist. Die Leser – vor allem Studierende – sollen sich frei fühlen, ingenieurmäßig zu entscheiden und den Bearbeitungsaufwand sinnvoll zu begrenzen. Bemessung und Konstruktion werden als Einheit gesehen. Zweckmäßigerweise wird die Anordnung der Bewehrung bereits zu Beginn einer Berechnung im Wesentlichen festgelegt. Die gewählte Bewehrung und die Bewehrungsskizzen sind als Vorschlag zu verstehen. Grundsätzlich gibt es viele gleichwertige Lösungen und jeder Ingenieur/Studierende sollte mit Kreativität und Sorgfalt die Berechnung in eine Bauzeichnung umsetzen. Tabelle 1.1 vermittelt einen Überblick darüber, welche Nachweise für die einzelnen Beispiele geführt werden. Der letzte Abschnitt – Klausurtrainer – soll die persönliche Sicherheit bei der Bemessung und Konstruktion von Stahlbetonbauteilen festigen. Die Aufgaben beziehen sich auf die Beispiele der Abschnitte 3 bis 12. Mit veränderten Eingangsgrößen ist eine Neubemessung durchzuführen; die Ergebnisse lassen sich mit Hilfe der beigefügten Lösungen kontrollieren.

2

1 Einführung

Tabelle 1.1: Übersicht der Beispiele und Nachweise

4.1 4.2 4.3 5.1.1 5.1.2 5.2 6.1 6.2 7.1 7.2 7.3 8.1 8.2 8.3 9.1

9.2 10.1 10.2 11.1 11.2 12

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Konstruktionsregeln Abstufung Bewehrung Bewehrungsskizzen

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Begrenzung Rissbreite Mindestbewehrung Begrenzung Verformung

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schlanke Druckglieder Stabwerkmodell

Expos.klasse, Betondeckung Lastermittlung Schnittgrößenermittlung

Querkraft Schubkraftaufnahme Durchstanzen

3.3.2

Dauerhaftigkeit Einfeldbalken Biegung mit Längskraft Balken mit Kragarm Platte Fußgängerplattform Platte Fußgängerplattform Balken Fußgängerplattform Balken Geschossdecke Plattenbalken Dreifeldbalken Innenstütze Randstütze Hallenstütze Fundament gedrungenes Fundament Flachdecke Durchstanzen Innenstütze Durchstanzen Randstütze Einfeldplatte durchlaufende Platte 1 durchlaufende Platte 2 Platte + Ortbetonergänzung Balken + Ortbetonergänzung Konsole ausgeklinktes Trägerende Kellerwand Stützwand Torsion – Fußgängerbrücke

Biegung Rechteck Biegung Plattenbalken Momentenumlagerung

2 3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.2 3.3.1

Beispiel

Abschnitt

1

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1.2 Aufbau der DIN 1045 (2001-07)

Die Bemessung und Konstruktion der Stahlbetonbauteile erfolgt nach DIN 1045-1. Da sie sich grundlegend von der vorangegangenen Fassung (1988-07) unterscheidet, werden der Aufbau und die neuen Bezeichnungen im Folgenden vorgestellt. Allen neuen Normen des konstruktiven Ingenieurbaus liegt das Prinzip der Teilsicherheitsbeiwerte zu Grunde. Zum besseren Verständnis ist den Beispielen eine Erläutung des Sicherheitskonzepts nach DIN 1055-100 vorangestellt, Abschnitt 1.4.

1.2 Aufbau der DIN 1045 (2001-07) Die ab 2005 verbindliche DIN 1045 gilt für Tragwerke aus Beton, Stahlbeton und Spannbeton. Sie umfasst vier Teile: Teil 1: Bemessung und Konstruktion Teil 2: Beton – Festlegung, Eigenschaften, Herstellung und Konformität; Anwendungsregeln zu DIN EN 206-1 Teil 3: Bauausführung Teil 4: Ergänzende Regeln für die Herstellung und die Konformität von Fertigteilen Der Inhalt der für den Beton maßgebenden Europäischen Norm DIN EN 206-1 und DIN 1045-2 ist im DIN-Fachbericht 100: Beton zusammengefasst. Im Text der DIN 1045-1 wird an vielen Stellen auf Heft 525 DAfStb [5] verwiesen, das Erläuterungen zum Normentext, ergänzende und alternative Anwendungsregeln und Hintergrundinformationen enthält. Aus der praktischen Anwendung ergeben sich laufend Fragen zur Auslegung der Norm. Der NABau-Arbeitsausschuss „Bemessung und Konstruktion“ nimmt dazu Stellung und macht Auslegungsvorschläge. Die Antworten zu den Auslegungsfragen werden im Internet veröffentlicht [6]. DIN 1045 unterscheidet zwischen Prinzipien und Anwendungsregeln. Prinzipien enthalten allgemeine Festlegungen, Definitionen und Angaben, die unbedingt einzuhalten sind, sowie Anforderungen und Rechenmodelle, für die keine Abweichungen erlaubt sind. Anwendungsregeln sind allgemein anerkannte Regeln, die den Prinzipien folgen und deren Anforderungen erfüllen. Abweichungen sind zulässig, wenn sie mit den Prinzipien übereinstimmen und die gleiche Tragfähigkeit, Gebrauchstauglichkeit und Dauerhaftigkeit wie nach der Norm erreichen. Prinzipien und Anwendungsregeln werden im Text der Norm durch die Schreibweise unterschieden: Prinzipien – gerade Schreibweise Anwendungsregeln – kursive Schreibweise Die Gliederung der DIN 1045-1 entspricht dem Ablauf der technischen Bearbeitung, s. Tab. 1.2.

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1

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1 Einführung

Tabelle 1.2: Gliederung der DIN 1045-1

1

Allgemeines

Grundlagen

Bemessung

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Konstruktive Durchbildung

12 13

Anwendungsbereich Normative Verweise Begriffe und Formelzeichen Bautechnische Unterlagen Sicherheitskonzept Sicherstellung der Dauerhaftigkeit Grundlagen zur Ermittlung der Schnittgrößen Verfahren zur Ermittlung der Schnittgrößen Baustoffe Nachweise in den Grenzzuständen der Tragfähigkeit Nachweise in den Grenzzuständen der Gebrauchstauglichkeit Allgemeine Bewehrungsregeln Konstruktionsregeln

Die Ausgabe 2001 der DIN 1045 misst der Dauerhaftigkeit der Tragwerke die gleiche Bedeutung bei wie der Tragfähigkeit und der Gebrauchstauglichkeit. Zur Sicherstellung der Dauerhaftigkeit sind zu bestimmen: Expositionsklasse Mindestbetondruckfestigkeitsklasse Betondeckung Die wesentlichen Nachweise der Tragfähigkeit umfassen: Nachweis der Lagesicherheit Gleichgewichtszustand unter Längsdruck (Theorie II. Ordnung) Biegung mit/ohne Längskraft Querkraft Durchstanzen Torsion Zu den Nachweisen der Gebrauchstauglichkeit zählen: Begrenzung der Rissbreiten Begrenzung der Verformungen

1.3 Begriffe und Formelzeichen DIN 1055-100 direkte Einwirkung: auf das Tragwerk einwirkende Last (Kraft) indirekte Einwirkung: aufgezwungene oder behinderte Verformung, die z. B. von Temperaturänderungen, Feuchtigkeitsänderungen oder ungleicher Setzung herrührt

1.3 Begriffe und Formelzeichen

DIN 1045-1 üblicher Hochbau: Hochbau, der für vorwiegend ruhende, gleichmäßig verteilte Nutzlasten bis 5,0 kN/m2, ggf. auch für Einzellasten bis 7,0 kN und für PKW bemessen ist Die folgenden Formelzeichen sind ein Auszug aus DIN 1045-1, Abschnitt 3.2. Einwirkungen, Kräfte, Schnittgrößen G ständige Einwirkung/Last g ständige Einwirkung/Last je Längen- oder Flächeneinheit Q veränderliche Einwirkung/Nutzlast q veränderliche Einwirkung/Nutzlast je Längen- oder Flächeneinheit F Kraft N Längskraft n Längskraft je Längeneinheit M Moment m Biegemoment je Längeneinheit V Querkraft v Querkraft je Längeneinheit Indizes: Einwirkungen, Tragwiderstand E Beanspruchung R Tragwiderstand k charakteristischer Wert – ohne Sicherheitsbeiwert – d Bemessungswert – mit Sicherheitsbeiwert – Indizes: Material c Beton s Betonstahl t Zugfestigkeit y Streckgrenze w Querkraft-, Torsions-, Durchstanzbewehrung griechische Buchstaben γ Teilsicherheitsbeiwert ψ Kombinationsbeiwert ρ geometrisches Bewehrungsverhältnis, Bewehrungsgrad δ Verhältnis der umgelagerten Schnittgröße zur Ausgangsschnittgröße übrige griechische Buchstaben wie üblich, s. Text Materialwerte f Festigkeit fck charakteristische Zylinderdruckfestigkeit des Betons fcd Bemessungswert der Druckfestigkeit des Betons fct zentrische Zugfestigkeit des Betons fyk charakteristischer Wert der Streckgrenze des Betonstahls fyd Bemessungswert der Streckgrenze des Betonstahls fyk/γs

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1 Einführung

ftk

1

ftk,cal

charakteristischer Wert der Zugfestigkeit des Betonstahls charakteristischer Wert der Zugfestigkeit des Betonstahls für die Bemessung

geometrische Größen leff effektive Stützweite ln lichte Stützweite bw Stegbreite beff mitwirkende Plattenbreite für einen Plattenbalken h Bauteilhöhe – Dicke – hf Gurtplattendicke d statische Nutzhöhe c Betondeckung Bewehrung As as As,erf As,vorh ds lb lb,net al

Bewehrungsquerschnitt Bewehrungsquerschnitt je Längeneinheit erforderliche Bewehrung vorhandene Bewehrung Stabdurchmesser Grundmaß der Verankerungslänge des Betonstahls Verankerungslänge des Betonstahls Versatzmaß – Konstruktion der Zugkraftlinie –

Beispiel VEd VRd asw

Bemessungswert der einwirkenden Querkraft/aufzunehmende Querkraft, z. B. infolge Gd + Qd – einschließlich Sicherheitsbeiwert – Bemessungswert der aufnehmbaren Querkraft/Querkrafttragfähigkeit – einschließlich Sicherheitsbeiwert – Querkraft-, Torsions- oder Durchstanzbewehrung [cm2/m]

1.4 Sicherheitskonzept Die charakteristischen Werte der Einwirkungen und der Baustoffkennwerte sind mit dem Index k gekennzeichnet. Beim Nachweis der Tragfähigkeit werden Unsicherheiten in den Annahmen – System, Lasten, Material – durch Sicherheitsbeiwerte abgedeckt, und zwar: Teilsicherheitsbeiwert für Einwirkungen (Erhöhung γF der Einwirkungen/Lasten) Teilsicherheitsbeiwert für Baustoffeigenschaften γM (Verminderung der Baustoffkennwerte)

1.4 Sicherheitskonzept

7

Die Bemessungswerte der Einwirkungen ergeben sich durch Multiplikation des charakteristischen Wertes mit dem entsprechenden Teilsicherheitsbeiwert:

1

Gd = γ G ⋅ Gk

ständige Last

Qd = γ Q ⋅ Qk

veränderliche Last

Mit den Bemessungswerten der Einwirkungen werden die aufzunehmenden Schnittgrößen ermittelt, die durch den Index Ed gekennzeichnet sind, z. B. VEd

aufzunehmende Querkraft.

Die Bemessungswerte der Baustoffkennwerte ergeben sich nach Division des charakteristischen Werts durch den entsprechenden Teilsicherheitsbeiwert: f cd = α f yd =

f ck

γc

f yk

γs

Beton

Betonstahl

Der Abminderungsbeiwert α = 0,85 erfasst die Langzeitwirkungen auf die Druckfestigkeit sowie die Abweichungen zwischen Zylinderdruckfestigkeit und einachsiger Druckfestigkeit des Betons. Damit wird der Tragwiderstand berechnet, der durch den Index Rd gekennzeichnet ist, z. B. VRd

Querkrafttragfähigkeit.

DIN 1045-1 gilt nicht für die Bemessung des Brandfalles. Mit Hilfe von DIN 4102-22 (2004-11) ist es möglich, die Zusammenstellung klassifizierter Baustoffe und Bauteile gemäß DIN 4102-4 auf der Basis von Teilsicherheitsbeiwerten anzuwenden. In den Beispielen bleiben die Anforderungen an den Brandschutz unberücksichtigt.

2 Baustoffe, Dauerhaftigkeit 2.1 Beton Die Angaben zum Beton in DIN 1045-1, Abschnitt 9.1, werden ergänzt durch DIN-Fachbericht 100: Beton, der die Europäische Norm DIN EN 206-1 und die Deutschen Anwendungsregeln zusammenfasst. Der entscheidende Wert ist: charakteristische Zylinderdruckfestigkeit fck im Alter von 28 Tagen Würfeldruckfestigkeit wird nur als fck,cube Alternative zur Festigkeitsprüfung genannt Beispiel: Betonfestigkeitsklasse C20/25 = 20 N/mm2 Zylinderdruckfestigkeit fck Würfeldruckfestigkeit fck,cube = 25 N/mm2 Die zentrische Zugfestigkeit kann aus der Druckfestigkeit ermittelt werden:

DIN 1045-1, 9.1.7, Tabelle 9

fctm = 0,30 f ck2/3 Mittelwert der Zugfestigkeit Für die Querschnittsbemessung ist das Parabel-Rechteck-Diagramm, Bild 2.1, oder die bilineare Spannungs-Dehnungs-Linie zugrunde zu legen.

σc f ck

f cd

-2,0

-3,5

εc [% ]

Bild 2.1: Parabel-Rechteck-Diagramm für Normalbeton bis C50/60

DIN 1045-1, 9.1.6, Bild 23 und 24

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2 Baustoffe, Dauerhaftigkeit

2.2 Betonstahl

2

DIN 1045-1, 9.2.2, Tab. 11

DIN 1045-1, 9.2.4, Bild 27

Die maßgebenden Eigenschaften des Betonstahls sind: Streckgrenze fyk Zugfestigkeit ftk Duktilität Die Duktilität kennzeichnet die Dehnfähigkeit des Betonstahls. Das Bauteil soll unter Bruchschnittgrößen noch eine so große Verformungsfähigkeit aufweisen, dass das Versagen angekündigt wird, z. B. durch Risse oder Verformungen, und ein Sprödbruch vermieden wird. Die Duktilität ist entscheidend für die Wahl des Verfahrens der Schnittgrößenermittlung, insbesondere für die Größe der Momentenumlagerung. Unterschieden werden: normale Duktilität (A): Betonstahlmatten BSt 500 M hohe Duktilität (B): Betonstabstahl BSt 500 S Für die Querschnittsbemessung ist eine idealisierte Spannungs-Dehnungs-Linie zugrunde zu legen, Bild 2.2. Es darf der Spannungsanstieg oberhalb der Streckgrenze berücksichtigt werden, vereinfachend kann auch der horizontale obere Ast der Spannungs-DehnungsLinie gewählt werden.

Bild 2.2: Rechnerische Spannungs-Dehnungs-Linie des Betonstahls

2.3 Dauerhaftigkeit

DIN 1045-1, 6.2, Tab. 3

Die Funktionsfähigkeit eines Bauwerks als Ganzes oder eines Bauteils ist mit dem Nachweis der Tragfähigkeit und der Gebrauchstauglichkeit allein nicht gegeben. Vielmehr sind die unterschiedlichen Umgebungsbedingungen zu berücksichtigen, die zu einem Angriff auf die Bewehrung oder den Beton führen können. Jedes Bauteil ist nach den Umgebungsbedingungen zu klassifizieren, d. h. einer Expositionsklas-

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2.3 Dauerhaftigkeit

se, ggf. mehreren Expositionsklassen zuzuordnen. In Abhängigkeit von der Expositionsklasse werden die Kriterien für die Dauerhaftigkeit wie Anforderungen an die Zusammensetzung des Betons, insbesondere Wasserzementwert, Betondeckung und Begrenzung der Rissbreite festgelegt. Der Wasserzementwert beeinflusst die Druckfestigkeit, demzufolge kann anstelle des Wasserzementwerts die Mindestbetonfestigkeit vorgegeben werden, was für die Tragwerksplanung zweckmäßiger ist. Die Betondeckung soll die Bewehrung gegen Korrosion schützen – maßgebend ist die Expositionsklasse – und die Verbundkräfte sicher übertragen – maßgebend ist der Stabdurchmesser. Der Mindestwert der Betondeckung cmin darf um 5 mm vermindert werden für Bauteile, deren Betonfestigkeit um 2 Klassen höher ist als die Mindestbetonfestigkeit. Bei Verschleißbeanspruchung ist cmin zu vergrößern. Zur Berücksichtigung unplanmäßiger Abweichungen ist die Mindestbetondeckung cmin um ein Vorhaltemaß Δc zu vergrößern. Daraus ergibt sich das Nennmaß der Betondeckung cnom . Die Werte cmin , Δc und cnom sind in Abhängigkeit von Expositionsklasse und Stabdurchmesser im Anhang Tafel A7 zusammengestellt. Auf dem Bewehrungsplan ist das Verlegemaß cv der Bewehrung – entspricht der Dicke der Betonabstandshalter, die unter dem äußersten Stab liegen – anzugeben. Damit ist cnom für jeden einzelnen Stab eingehalten, z. B. bei Balken und Stützen: cnom,bü cv = ® ¯cnom,l − d s ,bü

Für das in Bild 2.3 dargestellte Gebäude – Büro mit angrenzendem Lager – sind für die Bauteile 1 bis 4 anzugeben: • Expositionsklasse • Mindestbetonfestigkeit • Betondeckung Für alle Bauteile ist Beton C30/37 vorgesehen. Die Beispiele zeigen, welches Kriterium – Korrosionsschutz oder Verbundsicherung – für die Betondeckung maßgebend wird. Bauteil 1 – Plattenbalken im Büro Expositionsklasse XC1 Mindestbetonfestigkeitsklasse C16/20 Platte – Bewehrung Betonstahlmatte R335 A cmin = 10 mm > d s = 8 mm ǻc = 10 mm cnom = cv = 20 mm

2 DIN 1045-1, 6.3, Tab. 4 DIN 1045-1, 6.3 (7): Vergrößerung cmin um 5/10/15 mm DIN 1045-1, 6.3, Tab. 4 Für die Übertragung von Verbundkräften ist Δc = 10 mm ausreichend [2]. DIN 1045-1, 6.3 (10): Wird gegen unebene Flächen betoniert, sollte Δc um mindestens 20 mm vergrößert werden.

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2 Baustoffe, Dauerhaftigkeit

Stütze 2

2

3 Stützwand 1 Plattenbalken

Büro 4 Bodenplatte Gabelstapler Sauberkeitsschicht

Bild 2.3: Gebäude – Expositionsklassen

Balken – Längsbewehrung Ø25, Bügel Ø8 cmin = 10 mm

Korrosionsschutz Bügel und Längsstab

cmin = 25 mm

Verbundsicherung Längsstab

Δc = 10 mm

Korrosionsschutz und Verbundsicherung

cnom,bü = 10 + 10 = 20 mm

Bügel

cnom,l = 25 + 10 = 35 mm

Längsstab

cv = cnom,l – ds,bü = 35 – 8 = 27 mm Abstandshalter gibt es in Abstufungen von 5 mm: nächst größeren Wert wählen direkte Beregnung

gewählt

cv = 30 mm

Bauteil 2 – Stütze, Außenseite Längsbewehrung Ø20, Bügel Ø6 Expositionsklasse

XC4, XF1

Mindestbetonfestigkeitsklasse

C25/30 (gilt für XC4 und XF1)

cmin = 25 mm > d sl = 20 mm

Korrosionsschutz Bügel und Längsstab

ǻc = 15 mm

cnom,bü = cv = 25 + 15 = 40 mm

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2.3 Dauerhaftigkeit

Bauteil 3 – Stützwand Luftseite, Bewehrung Ø10 Exposititionsklasse Mindestbetonfestigkeitsklasse cmin = 20 − 5 =15 mm > d s = 10 mm

XC3, XF1 C20/25, C25/30

Außenluft, keine direkte Beregnung

Korrosionsschutz

Verminderung der Betondeckung um 5 mm, weil gewählte Betonfestigkeit 2 Klassen höher ist – maßgebend ist Mindestfestigkeitsklasse für Korrosionsschutz vergleichbar mit Gründungsbauteil

Δc = 15 mm cnom = cv = 15 + 15 = 30 mm

Erdseite, Bewehrung Ø20 Expositionsklasse Mindestbetonfestigkeitsklasse

XC2, XF1 C16/20, C25/30

cmin = 20 − 5 = 15 mm

Korrosionsschutz

cmin = 20 mm

Verbundsicherung

ǻc = 15 mm

Korrosionsschutz

ǻc = 10 mm

Verbundsicherung

cnom = 15 + 15 = 30 mm

Korrosionsschutz

cnom = 20 + 10 = 30 mm

Verbundsicherung

cv = 30 mm

Bauteil 4 – Bodenplatte Oberseite: schwerer Gabelstaplerbetrieb, Bewehrung Ø14 Expositionsklasse XC3, XF1, XM2 Mindestbetonfestigkeitsklasse C20/25, C25/30, C30/37 cmin = 20 − 5 + 10 = 25 mm

> d s = 14 + 10 mm

Δc = 15 mm cnom = cv = 25 + 15 = 40 mm

Unterseite: Platte auf Sauberkeitsschicht betoniert, Bewehrung Ø14 Expositionsklasse XC2, XF1 Mindestbetonfestigkeitsklasse C16/20, C25/30 cmin = 20 − 5 = 15 mm > d s = 14 mm ǻc = 15 + 20 = 35 mm cnom = cv = 15 + 35 = 50 mm

Verminderung von cmin: maßgebend ist die Mindestfestigkeitsklasse für Korrosionsschutz DIN 1045-1, 6.3 (7): Vergrößerung cmin wegen Verschleißbeanspruchung

DIN 1045-1, 6.3 (10): Es werden Unebenheiten von bis zu 20 mm angenommen

2

3 Bemessung für Biegung und Querkraft von Bauteilen mit Rechteckquerschnitt Die Beanspruchung infolge von Biegemomenten ist bei Stahlbetonbauteilen grundlegend anders als bei Bauteilen aus homogenen Baustoffen. Der Beton übernimmt die Druckkraft, während die Stahleinlagen auf Zug beansprucht werden. Die Spannungsnulllinie und damit die Höhe der Druckzone und der innere Hebelarm hängen von der Größe des Moments ab und werden darüber hinaus durch eine zusätzliche Längskraft beeinflusst. Die Zusammenhänge werden in Abschnitt 3.1 herausgestellt. In Balken und Platten wirken in der Regel Biegemomente und Querkräfte gemeinsam, demzufolge schließen die Beispiele die Querkraftbemessung mit ein. Bei Balken wird die Querkraft sowohl vom Beton über Rissverzahnung als auch von den Bügeln abgetragen. Typisch für Platten ist das Tragverhalten durch Gewölbewirkung, bei dem keine Querkraftbewehrung erforderlich ist – Abschnitt 3.2. Am Beispiel einer Fußgängerplattform – Abschnitt 3.3 – wird außer der Bemessung für Biegung und Querkraft die Weiterleitung der Lasten verdeutlicht. Der Bemessung für Biegung und Querkraft schließt sich die Wahl der Bewehrung an. Außerdem werden die Verankerungslängen am Endauflager und für die abgestufte Bewehrung nachgewiesen. Die Bewehrungsskizzen zeigen, wie die Bewehrung baupraktisch sinnvoll angeordnet werden kann. Ergänzende Nachweise behandeln die Begrenzung der Durchbiegung von Platten und die Begrenzung der Rissbreite für Lastbeanspruchung. Am Beispiel der durchlaufenden Platte werden die Vorteile und Grenzen der Momentenumlagerung dargestellt.

3.1 Balken 3.1.1 Einfeldbalken Der in Bild 3.1 dargestellte Balken – Innenbauteil – wird für verschiedene Laststufen bemessen, d. h. es wird der Querschnitt der Biege- und Querkraftbewehrung ermittelt. Darüber hinaus werden die Betondruckzone und der innere Hebelarm für alle Laststufen berechnet und dargestellt. Zur Vereinfachung bleibt die Eigenlast des Balkens unberücksichtigt; die Schnittgrößen werden nur für die beiden Einzellasten FEd – einschließlich Teilsicherheitsbeiwert – ermittelt.

16

3 Bemessung für Biegung und Querkraft FEd

FEd

1,50

1,50 6,00

3

MEd

1,5 FEd VEd FEd

Bild 3.1: Einfeldbalken – System, Lasten, Schnittgrößen DIN 1045-1, 5.3.3, Tab. 2: Teilsicherheitsbeiwert Beton γc = 1,5 Betonstahl γs = 1,15 α = 0,85 für Langzeitfestigkeit

Baustoffe Beton

C20/25

f ck = 20 N/mm2

fcd = 0,85⋅ 20/1,5 = 11,33 N/mm2 Betonstahl

BSt 500 S

f yk = 500 N/mm2 f yd = 500 /1,15 = 435 N/mm2

Zu bearbeiten sind: • Festlegung der Expositionsklasse, Betondeckung • Bemessung für Biegung mit μ-Tafeln (dimensionslose Beiwerte) • Darstellung der Druckzone und des inneren Hebelarms • Bemessung für Querkraft Expositionsklasse, Betondeckung

Innenbauteil DIN 1045-1, 6.2, Tab. 3 DIN 1045-1, 6.3, Tab. 4 Annahme: ∅20, Bügel ∅8

XC1

C16/20

cmin = 10 mm

Korrosionsschutz

cmin = ds

Verbundsicherung

= 20 mm

Verbundsicherung Längsstab

Δc = 10 mm

cnom,bü = 10 + 10 = 20 mm Bügel cnom,l = 20 + 10 = 30 mm Längsstab

17

3.1 Balken

cv = cnom,l − d s ,bü = 30 − 8 = 22 mm

Abstandshalter gibt es in Abstufungen von 5 mm: nächst größeren Wert wählen

cv = 25 mm

gewählt

Bemessung für Biegung

d = h − cv − d s,bü − d s ,l / 2

Nutzhöhe

d = 50 − 2,5 − 0,8 − 2, 0 / 2 = 45, 7 cm

gewählt 45,5 cm

3

b = 30 cm Gewählt werden Tafeln mit dimensionslosen Beiwerten. Der Einstieg erfolgt mit dem bezogenen Moment

μEd =

M Ed b ⋅ d 2 ⋅ f cd

verkürzte Schreibweise, weil keine Längskraft NEd vorhanden ist

Abgelesen wird ω zur Berechnung der Bewehrung As

=

ω f yd / f cd

Anhang Tafel A1

⋅b ⋅ d

Aus der Tabelle können außerdem die bezogene Druckzone ξ = x/d und der bezogene innere Hebelarm ζ = z/d, die Dehnungen εc2 und εs1 und die Stahlspannung σsd abgelesen werden. Tabelle 3.1: Biegezugbewehrung FEd

MEd

μEd

ω

ξ

x

ζ

z

εc2

εs1

σsd

As cm2 3,88

kN

kNm

–

–

–

cm

–

cm

‰

‰

N/mm2

50

75

0,1066

0,109

0,140

6,4

0,942

42,9

– 3,50

21,73

453

100

150

0,2132

0,241

0,302

13,7

0,875

39,8

– 3,50

8,15

440

8,57

150

225

0,3197

0,402

0,498

22,7

0,793

36,1

– 3,50

3,52

436

14,28

173,6

260,4

0,3700

0,499

0,617

28,1

0,743

33,8

– 3,50

2,17

435

17,74

Einzelschritte für MEd = 75 kNm = 0,075 MNm

μEd =

0, 075 = 0,1066 0,3 ⋅ 0, 4552 ⋅11,33

alle weiteren Werte sind durch Interpolation gewonnen As =

0,109 ⋅ 30 ⋅ 45,5 = 3,88 cm2 435 /11,33

18

3 Bemessung für Biegung und Querkraft

εs1 = 21,7 ‰

8,15 ‰

2,17 ‰

d

MEd = 150

MEd = 260 z = 33,8

σc = fcd

z = 42,9

εc2 = –3,5 ‰

z = 39,8

3

MEd = 75

Darstellung der Druckzone und des inneren Hebelarms Aus Bild 3.2 ist der Zusammenhang von Dehnungen εc2 und εs1 , Spannungsnulllinie und Höhe der Druckzone x erkennbar. Mit zunehmender Druckzone verschiebt sich die resultierende Druckkraft und damit verringert sich der innere Hebelarm z.

Zs

Bild 3.2: Dehnungen, Betonspannungen, innerer Hebelarm

Außerdem ergibt sich für eine geringere Stahldehnung eine kleinere Stahlspannung, wenngleich dieser Einfluss weniger ausgeprägt ist – Anstieg der Spannung oberhalb der Streckgrenze ≤ 5 %. Demzufolge ist bei Verdoppelung des Moments mehr als die doppelte Bewehrung erforderlich. Für εs = 25 ‰ Maximalwert

σsd = ftk,cal/γs = 525/1,15 = 457 N/mm2 Für εs = 2,17 ‰ ξ = 0,617

Grenzwert

σsd = fyk/γs

DIN 1045-1, 8.2 (3): Sicherstellung ausreichender Duktilität Anhang Tafel A2

= 500/1,15 = 435 N/mm2 Die Bemessung ist unwirtschaftlich, wenn die Stahlspannung den Wert σsd = fvd unterschreitet, dann ist der Grenzwert für die bezogene Druckzone ξ = 0,617. Bei weiterer Laststeigerung ist Druckbewehrung As2 erforderlich. Einige Tabellen wählen Druckbewehrung bereits ab ξ = 0,45, diese Grenze ist für Durchlaufträger relevant. In Tabelle 3.2 ist die Zug- und Druckbewehrung bei zunehmender Last angegeben; Basis ist eine konstante Druckzone ξ = x/d = 0,45. Die Korrekturfaktoren ρ1 und ρ2 berücksichtigen die Wirksamkeit der Druckbewehrung – Abstand d2 vom Rand: d2 = 2,5 + 0,8 + 2, 0 / 2 = 4,3 cm d2/d = 4,3 / 45,5 = 0, 09

19

3.1 Balken

Tabelle 3.2: Balken mit Druckbewehrung FEd

μEd

MEd

ω1

ω2

ρ1

ρ2

As1

As2

cm2

cm2

kN

kNm

–

–

–

173,6

260,4

0,370

0,439

0,076

1,01

1,07

15,76

2,89

200

300

0,426

0,496

0,134

1,01

1,07

17,81

5,09

250

375

0,533

0,606

0,244

1,02

1,07

21,97

9,28

3

Einzelschritte für MEd = 260,4 kNm

μEd =

0, 2604 = 0,370 0,3 ⋅ 0, 4552 ⋅11,33

ω1 = 0, 439

ω 2 = 0, 076

ρ1 = 1, 01

ρ 2 = 1, 07

As1 =

0, 439 ⋅1, 01 ⋅ 30 ⋅ 45,5 435 /11,33

As 2 =

= 15, 76 cm2

0, 076 ⋅1, 07 ⋅ 30 ⋅ 45,5 435 /11,33

= 2,89 cm2

Der Hebelarm der Druckbewehrung ist größer als der Hebelarm der Betondruckkraft, so dass die dafür berechnete Zugbewehrung As1 = 15,76 cm2 geringer ist als ohne Ansatz von Druckbewehrung As = 17,74 cm2. Bei Ansatz einer höheren Betonfestigkeit ist die Druckzone kleiner und demzufolge der innere Hebelarm größer. Es kann ein größeres Moment aufgenommen werden, ohne dass Druckbewehrung erforderlich ist, vergl. Übungsaufgabe. Bemessung für Querkraft Es werden die vereinfachten Gleichungen zur Querkraftbemessung gewählt. Vom Beton wird übertragen VRd ,c = 0, 24 ⋅ f ck1/ 3 ⋅ bw ⋅ z

[7] Gl. (5.17b)

innerer Hebelarm z = 0,9 d ≤ d − cnom,l − 30 mm z = 0,9 ⋅ 45,5 = 41, 0 cm z = 45,5 − (2,5 + 0,8) − 3, 0 = 39, 2 cm VRd ,c = 0, 24 ⋅ 201/ 3 ⋅ 0,3 ⋅ 0,392 ⋅103 = 76, 6 kN

vergl. [7] Abschnitt 5.2.4

maßgebend

cnom,l ist die Betondeckung der Längsbewehrung in der Betondruckzone. Mit der Begrenzung des Hebelarms auf z = d – cnom,l – 30 mm liegt die Betondruckstrebe 30 mm unter Innenkante Bügel, was nach [2] generell ausreichend ist.

20

3 Bemessung für Biegung und Querkraft

Druckstrebenneigung cot θ

[7] Gl. (5.16b)

=

1, 2 1 − VRd ,c / VEd

≤ 3, 0

Bügelbewehrung asw

[7] Gl. (5.19)

=

3

VEd z ⋅ f yd ⋅ cot θ

mit f yd = 435 N/mm2

Alternativ lässt sich die Querkraftbewehrung für die verbleibende Querkraft – nach Abzug des Betontraganteils – mit cotθ = 1,2 ermitteln. asw

[7] Gl. (5.20)

=

VEd − VRd ,c z ⋅ f yd ⋅1, 2

DIN 1045-1, 13.2.3, Tab. 31: größte Abstände von Bügelschenkeln [7] Gl. (5.21)

Der Bügelabstand ist vom Verhältnis VEd/VRd, max abhängig

Berichtigung DIN 1045-1, 13.2.3, Tab. 31

Näherungsweise darf θ = 40° gesetzt werden, was cotθ = 1,2 entspricht.

VRd,max =

VRd,max = DIN 1045-1, 13.2.3 (4), (5) ρw,min = 0,7 ‰ für C20/25

bw ⋅ z ⋅α c ⋅ f cd cot θ + tan θ

mit α c = 0, 75

0,30 ⋅ 0,392 ⋅ 0, 75 ⋅11,33 3 ⋅10 = 492 kN 1, 2 + 1/1, 2

Es ist eine Mindestquerkraftbewehrung erforderlich asw,min = ρ w,min ⋅ bw ⋅ sw Mit sw = 1 m = 100 cm ergibt sich der Bügelquerschnitt pro Längeneinheit asw,min = 0, 70 ⋅10−3 ⋅ 30 ⋅100 = 2,1 cm2/m Die Berechnung der Querkraftbewehrung ist Tabelle 3.3 zu entnehmen. Tabelle 3.3: Querkraftbewehrung VEd = FEd

cotθ

asw

VEd VRd ,max

smax

gewählt

kN

–

cm2/m

–

mm

cm2/m

3,00 3,00 2,45 1,94 1,73

2,10*)

0,10 0,20 0,30 0,41 0,51

300 300 300 250 250

Querschnittstabellen s. Anhang Tafel A9

50 100 150 200 250 *)

2,10*) 3,59 6,03 8,47

Mindestquerkraftbewehrung

∅8-30: ∅8-30: ∅8-25: ∅8-15: ∅8-10:

3,35 3,35 4,02 6,70 10,05

21

3.1 Balken

Einzelschritte für VEd = 150 kN cot θ =

1, 2 = 2, 45 1 − 76, 6 /150

asw =

0,150 ⋅104 = 3,59 cm2/m 0,392 ⋅ 435 ⋅ 2, 45

3

die Schreibweise vereinfacht sich mit f yd = 43,5 kN/cm2 asw =

150 = 3,59 cm2/m 0,392 ⋅ 43,5 ⋅ 2, 45

Alternative Berechnung asw =

150 − 76, 6 = 3,59 cm2/m 0,392 ⋅ 43,5 ⋅1, 2

Diese Gleichung verdeutlicht, dass für die Querkraftbewehrung die Differenz VEd – VRd, c maßgebend ist. Sobald die Querkraftbewehrung größer ist als die Mindestbewehrung, ergibt sich ein konstanter Anstieg asw für die Querkraftzunahme, s. Tabelle 3.3. Bei Ansatz einer höheren Betonfestigkeit ist der Anteil VRd,c, den der Beton aufnimmt, größer und demzufolge reduziert sich der erforderliche Bügelquerschnitt, vergl. Übungsaufgabe.

vergl. [7] Abschnitt 5.2.4, Bild 5.12

Bügelabstand

DIN 1045-1, 13.2.3, Tab. 31: größte Abstände von Bügelschenkeln

VEd VRd ,max

=

150 = 0,30 ≤ 0,30 492

smax = 0, 7 h ≤ 300 mm = 0, 7 ⋅ 500 = 350 mm

maßgebend

300 mm

Die gewählte Bügelbewehrung wird zweckmäßigerweise nach Durchmesser [mm] und Abstand [cm] angegeben. Im mittleren Bereich – VEd = 0 – ist asw, min einzulegen. 2∅20 10 10 ∅10

50

45

25 6∅20 30

Bügel ∅8–15 cv = 2,5 cm

Bild 3.3: Balkenbewehrung für MEd = 300 kN, VEd = 200 kN

22

3 Bemessung für Biegung und Querkraft

[8] Tabelle für größte Anzahl von Stäben in einer Lage

Bild 3.3 zeigt die Biegebewehrung und die Querkraftbewehrung für MEd = 300 kNm, VEd = 200 kN. Die Breite ist ausreichend für 6∅20 in einer Lage. Bügelmaße sind Außenmaße!

3.1.2 Einfeldbalken – Biegung mit Längskraft

3

Bei reiner Biegung sind die Betondruckkraft und die Stahlzugkraft gleich groß. Der innere Hebelarm z ist beanspruchungsabhängig, d. h. bei gegebenen Querschnitts- und Materialwerten verändert er sich mit der Größe des Moments. Wenn zusätzlich eine Längskraft wirkt, verändert sie die Druckzone und den inneren Hebelarm. Außerdem sind die Betondruckkraft und die Stahlzugkraft nicht mehr betragsmäßig gleich groß. Die Längskraft wirkt sich auch auf die Querkraftbemessung aus. 100

100

300

300

(–300)

(–300) 1,50

1,50 6,00

MEd

150 VEd 100 NEd 300 (–300)

Bild 3.4: Einfeldbalken – Biegung mit Längskraft – System, Lasten, Schnittgrößen

Die Auswirkung der zusätzlichen Längskraft wird für den in Abschnitt 3.1.1 bearbeiteten Einfeldbalken dargestellt. Übernommen werden die Geometrie, Bild 3.4, und die Innenbauteil, erforderlich C16/20

Baustoffe Beton

C20/25

fcd = 11,33 N/mm2

Annahme: Längsstab Ø20, Bügel Ø8

Betonstahl

BSt 500 S

fyd = 435 N/mm2

Betondeckung

cv = 25 mm

23

3.1 Balken

Zu bearbeiten sind: • Bemessung für Biegung mit Längskraft • Darstellung der Druckzone und des inneren Hebelarms • Bemessung für Querkraft Bemessung für Biegung mit Längskraft d = h − cv − d s,bü − d s ,l / 2

Nutzhöhe

= 50 − 2, 5 − 0,8 − 2, 0 / 2 = 45, 7 cm

3

gewählt 45,5 cm

Abstand der Zugbewehrung zur Achse zs1 = d − h / 2 = 45,5 − 50 / 2 = 20,5 cm = 0, 205 m

b = 30 cm

Breite

Moment bezogen auf die Zugbewehrung M Ed , s = M Ed − N Ed ⋅ z s1

Gewählt wird die Tafel mit dimensionslosen Beiwerten – kd-Tafeln sind gleichermaßen geeignet. μ Eds =

As =

NEd als Druckkraft negativ Anhang Tafel A1

M Eds b ⋅ d ² ⋅ fcd

ω f yd / fcd

⋅b ⋅ d +

N Ed

σ sd

In Tabelle 3.4 sind zum Vergleich die Werte für MEd = 150 kNm, NEd = 0 aufgeführt. Tabelle 3.4: Biegung mit Längskraft

MEd

NEd

MEds

μEds

ω

ξ

x

ζ

z

εc2

εs1

σsd

As

kNm

kN

kNm

–

–

–

cm

–

cm

‰

‰

N/mm2

cm2

4,12

437

6,29

449

11,34

440

8,57

150

–300 211,5

0,3006

0,370 0,459 20,9 0,809 36,8 -3,50

150

300

88,5

0,1258

0,131 0,167

150

0

150

0,2132

0,241 0,302 13,7 0,875 39,8 -3,50

7,6

Einzelschritte für MEd = 150 kNm NEd = – 300 kN M Eds = 150 − (−300) ⋅ 0, 205 = 211,5 kNm

μ Eds =

0, 2115 = 0,3006 0,30 ⋅ 0, 4552 ⋅11,33

0,931 42,4 -3,50 17,57 8,15

24

3 Bemessung für Biegung und Querkraft

Alle weiteren Werte durch Interpolation. As =

0,370 −0,300 4 ⋅ 30 ⋅ 45,5 + ⋅10 435 /11,33 437

= 13,15 − 6,86 = 6, 29 cm2

Aus Tabelle 3.4 ist zu erkennen, dass eine Druckkraft die erforderliche Zugbewehrung vermindert, wogegen eine Zugkraft zu einer Erhöhung führt. Im Falle einer sehr großen Druckkraft ist keine Zugbewehrung mehr erforderlich – Grundgedanke des Spannbetonbaus.

3

Darstellung der Druckzone und des inneren Hebelarms Aus Bild 3.5 ist der Zusammenhang von Dehnungen εc2 und εs1 und der Druckzone x in Abhängigkeit von der Längskraft erkennbar. Eine Druckkraft vergrößert die Druckzone, damit verringert sich der innere Hebelarm z. Anschaulich ausgedrückt wird die Längskraft ungefähr zur Hälfte der Betondruckzone und zur Hälfte der Bewehrung zugewiesen. Eine Zugkraft entlastet die Druckzone und vergrößert die aufzunehmende Zugkraft. a)

d

8,15 ‰ 4,12 ‰

z = 36,8

z = 42,4

εs1 = 17,6 ‰

NEd = 0 z = 39,8

σc = fcd

NEd = 300

d1

εc2 = –3,5 ‰

b)

NEd = –300

NEd

zs1

h

MEd

Zs

Bild 3.5: Biegung mit Längskraft a) Geometrie b) Dehnungen, Betonspannungen, innerer Hebelarm

Bemessung für Querkraft Die Längskraft beeinflusst den Querkraftanteil, der vom Beton übertragen wird DIN 1045-1, 10.3.4 (3), Gl. (73) und (74)

§ σ VRd ,c = 0, 24 ⋅ f ck1/ 3 ¨1 + 1, 2 cd f cd ©

· ¸ ⋅ bw ⋅ z ¹

25

3.1 Balken

N Ed Ac

σcd

=

σcd

= ±

NEd < 0 als Längsdruckkraft

z = d – cnom,l – 30 mm, vergl. Abschnitt 3.1.1

0,300 = ± 2, 0 N/mm2 0,3 ⋅ 0,5

± 2, 0 · § 3 VRd,c = 0, 24 ⋅ 201/ 3 ¨1 + 1, 2 ¸ ⋅ 0,30 ⋅ 0,392 ⋅10 11,33 ¹ ©

= 92,8 kN

N Ed = 300 kN

= 60,4 kN

N Ed = − 300 kN

cotyθ = =

1, 2 −1, 4 σ cd / f cd ≤ 3, 0 1 − VRd ,c / VEd 1, 2 −1, 4 ⋅ (−2, 0 /11,33) = 3, 65 1 − 60, 4 /100

≥ 3,0 maßgebend

asw

=

3

auch für

N Ed = − 300 kN N Ed = 300 kN

VEd z ⋅σ sd ⋅ cot θ

Der Nachweis erübrigt sich in diesem Beispiel, weil für VEd = 100 kN und NEd = 300 kN bzw. – 300 kN wiederum die Mindestquerkraftbewehrung maßgebend wird, vergl. Tabelle 3.3. Die Längszugkraft bewirkt eine steilere Neigung der Druckstrebe, dadurch vergrößert sich die Querkraftbewehrung. Umgekehrt führt eine Längsdruckkraft zu einer kleineren Querkraftbewehrung. Eine zusätzliche Längskraft verändert die Querkraftbewehrung jedoch weniger als die Längsbewehrung.

3.1.3 Balken mit Kragarm Der in Bild 3.6 dargestellte Balken befindet sich in einer offenen Halle. Die Bemessung für Biegung und Querkraft berücksichtigt die wirklichkeitsnahe Beanspruchung im Auflagerbereich dadurch, dass anstelle der Schnittgrößen in der Stützenachse die günstigeren Bemessungswerte außerhalb der Stützenachse angesetzt werden können. Die Zugkraft der Längsbewehrung hängt sowohl vom Biegemoment als auch von der Querkraft ab. Das verdeutlicht die Gleichung für die Verankerungslänge am Endauflager und für die gestaffelte obere Bewehrung.

Gleichung unverändert, vergl. [7] Gl.(5.19)

26

3 Bemessung für Biegung und Querkraft

A

150

B

1,80

250

2,00 60 60

90

b = 40 50

3

30

2,00

8,00

–390

MEd [kNm]

720 –270

–413

VEd [kN] 351

Bild 3.6: Balken mit Kragarm – System, Lasten, Schnittgrößen

Teilsicherheitsbeiwert Beton γc = 1,5 Betonstahl γs = 1,15 α = 0,85 für Langzeitfestigkeit

Baustoffe Beton C30/37

fck = 30 N/mm2 fcd = 0,85 · 30/1,5 = 17 N/mm2

Betonstahl BSt 500 S fyk = 500N/mm2 fyd

= 500/1.15 = 435 N/mm2

Zu bearbeiten sind: • Festlegung der Expositionsklassen, Mindestbetonfestigkeitsklasse, Betondeckung • Bemessung des Feld- und Stützmoments mit kd-Tafeln (dimensionsgebundene Beiwerte) • Bemessung für Querkraft, Abstufung der Bügelbewehrung • Verankerungslänge am Endauflager B • Abstufung der oberen Bewehrung

DIN 1045-1, 6.2, Tab. 3 DIN 1045-1, 6.3, Tab. 4

Expositionsklassen, Mindestfestigkeitsklasse, Betondeckung Bewehrungskorrosion XC3 C20/25 Betonangriff XF1 C25/30 Die Mindestbetondeckung cmin darf um 5 mm reduziert werden, weil der gewählte Beton C30/37 um 2 Festigkeitsklassen höher ist – maßgebend ist die Mindestbetonfestigkeitsklasse für Bewehrungskorrosion.

27

3.1 Balken

cmin = 20 – 5 = 15 mm Δc = 15 mm cnom = 30 mm cmin = ds = 28 mm

Korrosionsschutz Bügel und Längsstab Verbundsicherung Längsstab

Δc = 10 mm cnom,l = 28 + 10 = 38 mm cv = cnom,l – ds,bü = 38 – 10 = 28 mm = 30 mm gewählt cv

Annahme: ∅28, Bügel ∅10 [2] In den Fällen, in denen die Verbundbedingung maßgebend wird, ist ein Vorhaltemaß Δc = 10 mm ausreichend.

Bemessung für Biegung b = 40 cm d = h − cv − d s ,bü − d s,l / 2

Nutzhöhe

d = 60 − 3, 0 −1, 0 − 2,8 / 2 = 54, 6 cm

untere Bewehrung

d = 54,5 cm

gewählt

d = 60 − 3, 0 − 1, 0 − 2, 0 / 2 = 55 cm

obere Bewehrung

Gewählt werden Tafeln mit dimensionsgebundenen Beiwerten; der Einstieg erfolgt über kd =

d [cm]

Annahme: obere Bewehrung ∅20

Anhang Tafel A3

M Ed [kNm] / b [m]

mit den vorgegebenen Dimensionen. Beim Ablesen des ks-Wertes zur Berechnung der Bewehrung ist die Betonfestigkeitsklasse zu berücksichtigen. As [cm 2 ] = k s

M Ed [kNm] d [cm]

Aus der Tabelle können außerdem die bezogene Druckzone ξ = x/d und der bezogene innere Hebelarm ζ = z/d, die Dehnungen εc2 und εs1 und die Stahlspannung σsd abgelesen werden. Der Vorteil der kd-Tafeln liegt darin, dass die Differenz von einem ksWert zum anderen nur ungefähr 1 % beträgt, so dass es nicht nötig ist zu interpolieren, wenn der ks-Wert für den jeweils kleineren kd-Wert abgelesen wird. Bei Unterschreitung des Wertes kd* – abhängig von der Betonfestigkeit – ist Druckbewehrung erforderlich. Dann sind zusätzliche Faktoren ρ1 und ρ2 zu berücksichtigen, die die Lage und damit die Wirksamkeit der Druckbewehrung erfassen.

d 2 = 3, 0 + 1, 0 + 2, 0 / 2 = 5, 0 cm d2 / d = 5,0 / 54,5 = 0,09

verkürzte Schreibweise, weil keine Längskraft NEd vorhanden ist ks für nächst kleineren kd-Wert ablesen, Ergebnis liegt – geringfügig – auf der sicheren Seite

Abstand Druckbewehrung vom oberen Rand Annahme: obere Bewehrung ∅ 20

3

28

3 Bemessung für Biegung und Querkraft

Feldmoment M Ed = 720 kNm kd =

54,5 720 / 0, 40

= 1, 28 < kd * = 1, 41

Druckbewehrung erforderlich

3

k s1 = 2, 74

k s 2 = 0, 42

ρ1 = 1, 01

ρ2 = 1, 07

As1 = 2, 74

720 720 1, 01 = 36, 6 cm2 As 2 = 0, 42 1, 07 = 5,9 cm2 54,5 54,5

= 36,6 cm2 = 5,9 cm2 2 2 gewählt 6∅28: 37,0 cm 2∅20: 6,3 cm Die verwendete Tabelle begrenzt die Betondruckzone auf x/d = 0,45, demzufolge ist bei höherer Beanspruchung Druckbewehrung erforderlich. Es gibt auch kd-Tabellen, die eine Betondruckzone bis x/d = 0,617 zulassen; das ist der Grenzwert bei dem die Stahlspannung gerade noch σs = fyd erreicht [7]. Bei der in [7] abgedruckten kdTabelle wird der geneigte Ast der Spannungs-Dehnungs-Linie mit dem zusätzlichen Faktor κ erfasst. Danach ergibt sich ks = 3,06 für kd = 1,27: As = 3, 06

[8] Tabelle für größte Anzahl von Stäben in einer Lage

DIN 1045-1, 7.3.2 (3); vergl. [7] Abschnitt 4.2.3

720 = 40, 4 cm2 54,5

gewählt 7∅28: 43,1 cm2 Es passen nur 6∅28 in eine Lage, für die Differenz sind Stäbe in der 2. Lage erforderlich, z. B. 2∅20. Die Zugbewehrung ist größer als zuvor berechnet, weil mit zunehmender Druckzone – x/d > 0,45 – der innere Hebelarm abnimmt. In der Regel liegt die Druckbewehrung oberhalb der resultierenden Betondruckkraft, so dass mit zunehmender Druckbewehrung der gemeinsame innere Hebelarm wieder zunimmt, was zu kleineren ks1Werten führt, s. Anhang Tafel A3. In diesem Beispiel ist die Bemessung mit Druckbewehrung günstiger, weil für die etwas geringere Zugbewehrung 6∅28 ausreichen, die in eine Lage passen. Von der Stützbewehrung brauchen lediglich 2 Stäbe für die Druckbewehrung durchgeführt zu werden. Stützmoment Für die Bemessung darf das Moment am Auflagerrand zu Grunde gelegt werden, weil der Balken monolithisch mit dem Auflager – Balken in Achse A – verbunden ist. M Ed ,red = M Ed − VEd

min

⋅a / 2

29

3.1 Balken

VEd

min

Einzusetzen ist die dem Betrage nach kleinere Querkraft, weil links und rechts der Unterstützung die gleiche Bewehrung liegt.

kleinerer Betrag der Querkraft

M Ed ,red = 390 − 270 ⋅ 0,50 / 2 = 323 kNm kd =

55 323 / 0, 40

= 1,94

ks = 2, 47

gewählt

3

323 As = 2, 47 = 14,5 cm2 55 5∅20: 15,7 cm2

Bemessung für Querkraft Der Balken ist am Auflager A indirekt gelagert – die Last des Balkens wird nicht in der oberen Hälfte des unterstützenden Bauteils eingeleitet, damit ist der Bemessungswert am Auflagerrand zu Grunde zu legen.

links

VEd ,red = 270 − 60 ⋅ 0,50 / 2 = 255 kN

rechts

VEd ,red = 351 − 60 ⋅ 0,50 / 2 = 336 kN

DIN 1045-1, 7.3.1, Bild 8

Zur Abstufung wird die Querkraft x = 1,50 m weiter im Feld nachgewiesen VEd = 351 − 60 ⋅1,50 = 261 kN

Der Balken ist am Auflager B direkt gelagert, so dass der Bemessungswert im Abstand d vom Auflagerrand ermittelt werden darf. VEd ,red = 413 − 60 ⋅ (0,30 / 2 + 0,545) = 371 kN

DIN 1045-1, 10.3.2 (1) und (2): auflagernahe Lastanteile werden direkt in das Auflager eingeleitet

Der Querkraftanteil der Einzellast kann nicht abgemindert werden, weil der Abstand vom Auflagerrand x = 2, 00 − 0,30 / 2 = 1, 75 m größer als 2,5 d = 2,5 ⋅ 0,545 = 1,36 m ist.

Traganteil des Betons

DIN 1045-1, 10.3.4 Vereinfachte Gleichungen [7] Abschnitt 5.2.4

VRd ,c = 0, 24 f ck1/ 3 ⋅ bw ⋅ z

innerer Hebelarm z = 0,9 d ≤ d − cnom,l − 30 mm z = 0,9 ⋅ 54,5 = 49,1 cm z = 54,5 − (3, 0 + 1, 0) − 3, 0 = 47,5 cm

maßgebend

cnom,l ist die Betondeckung der Längsbewehrung in der Betondruckzone. Zur Vereinfachung wird z = 47,5 cm auch für die Querkraftbemessung im Bereich Auflager A zu Grunde gelegt.

30

3 Bemessung für Biegung und Querkraft

VRd ,c = 0, 24 ⋅ 301/ 3 ⋅ 0, 4 ⋅ 0, 475 ⋅103 = 142 kN

Druckstrebenneigung cot θ =

1, 2 ≤ 3, 0 1 − VRd ,c / VEd

Bügelbewehrung

3

asw = DIN 1045-1, 13.2.3 Tabelle 31 Näherungsweise darf θ = 40° gesetzt werden, was cotθ = 1,2 entspricht.

VEd z ⋅ f yd ⋅ cot θ

Bügelabstand abhängig von VEd/VRd,max VRd ,max = =

DIN 1045-1, 13.2.3 (4), (5)

mit f yd = 435 N/mm2

bw ⋅ z ⋅α c ⋅ f cd cot θ + tan θ

mit α c = 0, 75

θ = 40°

0, 40 ⋅ 0, 475 ⋅ 0, 75 ⋅17, 0 3 ⋅10 = 1191 kN 1, 2 + 1/1, 2

Mindestquerkraftbewehrung asw,min = ρ w,min ⋅ bw ⋅ sw = 0,93 ⋅10−3 ⋅ 40 ⋅100 = 3, 72 cm2/m

Die Berechnung der Querkraftbewehrung ist Tabelle 3.5 zu entnehmen. Tabelle 3.5: Querkraftbewehrung Ort

Alinks

VEd

cotθ

asw

VEd VRd ,max

smax

gewählt

kN

–

cm2/m

–

mm

cm2/m

255

2,71

4,55

0,21

300

∅10-30: 5,24

Arechts

336

2,08

7,81

0,28

300

∅10-20: 7,85

x = 1,50

261

2,63

4,80

0,22

300

∅10-30: 5,24

B

371

1,94

9,23

0,31

300

∅10-15: 10,47

Einzelschritte für Alinks cot θ =

Die Berechnung wird übersichtlicher, wenn fyd = 43,5 kN/cm2 eingesetzt wird.

asw =

1, 2 = 2, 71 1 −142 / 255 255 = 4,55 cm2/m 0, 475 ⋅ 43,5 ⋅ 2, 71

VEd / VRd ,max = 255 /1191 = 0, 21 < 0,30

31

3.1 Balken

smax = 0, 7 h = 0, 7 ⋅ 600 = 420 mm maßgebend 300 mm

Bild 3.7 zeigt die Abstufung der Bügelbewehrung. Eine Vergrößerung der Balkenhöhe vermindert die Biegezugbewehrung und die Querkraftbewehrung, vergl. Übungsaufgabe.

Für die Bauausführung ist es vorteilhaft, den Bügeldurchmesser beizubehalten und den Abstand zu variieren.

Verankerungslänge am Endauflager B Zugkraft am Endauflager

3

Fsd = VEd ⋅ al / z

DIN 1045-1, 13.2.2 (7) vergl. [7] Abschnitt 9.2.1

Versatzmaß al = z ⋅ cot θ / 2 = z ⋅1,94 / 2 = 0,97 z Fsd = 413 ⋅ 0,97 z / z = 401 kN As ,erf =

Fsd 401 = = 9, 2 cm2 43,5 f yd

Annahme: alle Stäbe – 6∅28 – laufen bis zum Auflager; Abstufung zum Auflager lohnt nicht

As ,vorh = 37, 0 cm2

Grundmaß der Verankerungslänge lb = 101 cm

guter Verbundbereich

DIN 1045-1, 12.4, Bild 54 Anhang Tafel A8 DIN 1045-1, 12.6.2

Verankerungslänge lb,net = α a ⋅ lb ⋅ As ,erf / As,vorh ≥ lb,min = 0,3 lb ≥ 10 d s

αa = 1,0 für gerade Stabenden

lb,net = 101⋅ 9, 2 / 37, 0 = 25,1 cm ≥ 0,3 lb = 0,3 ⋅101 = 30,3 cm

maßgebend

Verankerungslänge bei direkter Auflagerung lb,dir = (2 / 3) lb,net ≥ 6 d s

DIN 1045-1, 13.2.2 vergl. [7] Abschnitt 9.2.1

= (2 / 3) 30,3 = 20, 2 ≥ 6 d s = 16,8 cm

Zweckmäßigerweise werden die Stäbe so weit wie möglich auf das Auflager geführt, d. h. Abstand cnom,l = 4 cm vom Rand. Abstufung der oberen Bewehrung Von den 5∅20 der oberen Bewehrung sollen 3 Stäbe nur so weit wie erforderlich ins Feld geführt werden. Schnitt x = 1,00 m vom Auflager A

DIN 1045-1, 13.2.2 vergl. [7] Abschnitt 9.2.1

32

3 Bemessung für Biegung und Querkraft

Einzellast nur auf Kragarm: VEd = 289 kN

M Ed = − 390 + 289 ⋅1, 00 − 60 ⋅1, 002 / 2 = − 131 kNm kd =

54,5 131/ 0, 4

As = 2, 29

3

DIN 1045-1, 13.2.2, Bild 66

Maßgebend für die Querkraftbemessung ist der in Bild 3.6 angegebene Verlauf der Querkraft. Für den Schnitt x = 1,00 m ergibt sich cotθ = 2,34

= 3, 01 : k s = 2, 29

131 = 5,5 cm2 54,5

< 2∅20: 6,3 cm2

Maßgebend für die Abstufung der Zugbewehrung ist die Zugkraftlinie. Sie ergibt sich aus der Biegezugkraft MEd / z, deren Verlauf um das Versatzmaß al verschoben wird. al = z ⋅ cot θ / 2 = 47,5 ⋅ 2,34 / 2 = 58 cm

Über den rechnerischen Endpunkt hinaus sind die nicht mehr benötigten Stäbe mit lb,net zu verankern. lb = 104 cm

mäßiger Verbundbereich

Die Stäbe liegen in den oberen 30 cm des Balkens. Es besteht die Gefahr, dass sich der Frischbeton an der Unterseite der Stäbe absetzt und damit der Verbund reduziert ist. DIN 1045-1, 12.6.2 (3)

αa = 1,0 für gerade Stabenden

lb,net = α a ⋅ lb ⋅ As ,erf / As ,vorh = 104 ⋅ 5,5 /15, 7 = 36 cm ≥ 0,3 lb = 0,3 ⋅104 = 31 cm

≥ 10 d s = 20 cm

Damit können 3∅20 im Abstand x = 1,00 + 0,58 + 0,36 = 1,94 m von der Auflagerachse enden, Bild 3.7.

Bild 3.7: Balken mit Kragarm a) Abstufung der oberen Bewehrung b) Abstufung der Bügel

33

3.2 Platte

3.2 Platte Die in Bild 3.8 dargestellte Platte eines Bürogebäudes lagert an den Enden auf Mauerwerk und ist in Achse B monolithisch mit dem Stahlbetonbalken verbunden. Während die Bemessung für Biegung wie beim Balken erfolgt – einachsige Lastabtragung bezogen auf 1 m Breite – wird die Abtragung der Querkraft mit einem anderen Bemessungsmodell nachgewiesen. Bei der Staffelung der Bewehrung ist wiederum die Verknüpfung von Biegung und Querkraft zu berücksichtigen. Darüber hinaus werden die Vorteile und Grenzen der Momentenumlagerung dargestellt. A

3

C

B gd = 9,45 qd = 7,5

22 60 17

5

6,34

40

6,60

5,04

5

17 Mauerwerk

5,30 –77,7

mEd [kNm/m] 35,2

62,3 –67,7

vEd [kN/m] 44,2 Volllast

–30,3

59,6

Bild 3.8: Platte – System, Lasten, Schnittgrößen

Baustoffe Beton

C20/25

f ck = 20 N/mm2 f cd = 0,85 ⋅ 20 /1,5 =

Betonstahl

BSt 500 S

11,33 N/mm2

f yk = 500 N/mm2 f yd = 500 /1,15 = 435 N/mm2

Lasten Eigenlast zuzüglich Ausbaulast 1,5 kN/m2 Nutzlast qk = 5,0 kN/m2

Teilsicherheitsbeiwert Beton γc = 1,5 Betonstahl γs = 1,15 α = 0,85 für Langzeitfestigkeit

34

3 Bemessung für Biegung und Querkraft

Zu bearbeiten sind: • Festlegung des statischen Systems, Kontrolle der Biegeschlankheit • Ermittlung der Bemessungslasten • Festlegung der Expositionsklasse, Betondeckung • Bemessung für Biegung • Bemessung für Querkraft • Abstufung der unteren Bewehrung im Feld 1 • Neubemessung nach Momentenumlagerung

3 DIN 1045-1, 7.3.1 (6) vergl. [7] Abschnitt 4.2.2

DIN 1045-1, 7.3.2 (1)

Statisches System, Biegeschlankheit Die Achse des Endauflagers darf bei Mauerwerk im Drittelspunkt angenommen werden: 17,5/3 = 6 cm Die Achse des Zwischenauflagers ist in der Mitte des Unterzugs: 40/2 = 20 cm. Es darf frei drehbare Lagerung zu Grunde gelegt werden. Damit ergeben sich die effektiven Spannweiten leff ,1 = 0, 06 + 6,34 + 0, 20 = 6, 60 m leff ,2 = 0, 20 + 5, 04 + 0, 06 = 5,30 m

DIN 1045-1, 11.3.2 (1)

DIN 1045-1, 11.3.2 (4) und Tab. 22 Verhältnis angrenzender Stützweiten leff,1/leff,2 = 6,60/5,30 = 1,25 DIN 1045-1, 11.3.2: Nachweis der Begrenzung der Verformungen ohne direkte Berechnung

Die Begrenzung der Durchbiegung darf vereinfachend durch eine Begrenzung der Biegeschlankheit geführt werden. Bei durchlaufenden Platten wird die Ersatzstützweite gewählt. li = α ⋅ leff = 0,8 ⋅ 6, 60 = 5, 28 m

Allgemein ist bei Deckenplatten des üblichen Hochbaus einzuhalten: li ≤ 35 d d ≥ 5, 28 / 35 = 0,151 m

In Hinblick auf Schäden angrenzender Bauteile – Trennwände – gilt: li 150 ≤ d li d ≥ 5, 282 /150 = 0,186 m

DIN 1045-1, 5.3.3, Tabelle 1 Teilsicherheitsbeiwert ständige Lasten γG = 1,35 veränderliche Lasten γQ = 1,5

Bemessungslasten ständige Lasten g k = 25 ⋅ 0, 22 + 1,5 = 7, 0 kN/m2 g d = 1,35 ⋅ 7, 0 = 9, 45 kN/m2

35

3.2 Platte

Nutzlast qd = 1,5 ⋅ 5, 0 = 7,5 kN/m2

Die in Bild 3.8 dargestellten Schnittgrößen sind für die o. g. Lasten und Stützweiten berechnet. Expositionsklasse, Betondeckung Innenbauteil

XC1

C16/20

Zu beachten ist, dass für die maximalen Feldmomente und das Stützmoment die veränderliche Last jeweils in ungünstigster Stellung anzuordnen ist.

gewählt: C20/25

cmin = 10 mm Korrosionsschutz und Verbundsicherung Δc = 10 mm cnom = cv = 10 + 10 = 20 mm Bemessung für Biegung Es werden 2 Lagen Matten R513 angenommen: Längsstäbe 7,0 d (Doppelstäbe) Querstäbe

Vergleichsdurchmesser bei Doppelstäben R513: 7,0 mm dsV = 2 d s = 2 ⋅ 7, 0 = 10 mm

6,0 mm

d = 22 – 2,0 – (0,7 + 0,6/2) = 19 cm > 18,6 cm

ungünstigster Wert Biegeschlankheit

Die Biegeschlankheit ist nur ein Kriterium für die Festlegung der Plattendicke. Außerdem sollte die Biegebewehrung baupraktisch sinnvoll sein und zweckmäßigerweise sollte keine Querkraftbewehrung erforderlich sein. Für die Bemessung des Stützmoments darf das Moment am Auflagerrand zu Grunde gelegt werden, weil die Platte monolithisch – Ortbeton – mit dem unterstützenden Balken verbunden ist. mEd ,red = 77, 7 − 59, 6 ⋅ 0, 40 / 2 = 65,8 kNm/m

Gewählt werden kd –Tafeln (dimensionsgebundene Beiwerte), die Biegebemessung ist Tabelle 3.6 zu entnehmen. Tabelle 3.6: Biegebemessung

mEd

kd

62,3

ks

N/mm2

kNm/m Feld 1

σs

2,41

445

as

gewählt

cm2/m 2,47

8,10

cm2/m 2R513:

10,26

Feld 2

35,2

3,20

455

2,32

4,30

R513:

5,13

Stützmom

65,8

2,34

443

2,52

8,72

2R513:

10,26

DIN 1045-1, 7.3.2 (3) vergl. [7] Abschnitt 4.2.3

Einzusetzen ist die dem Betrage nach kleinere Querkraft, weil links und rechts der Unterstützung die gleiche Bewehrung liegt.

3

36

3 Bemessung für Biegung und Querkraft

kd =

d [cm] mEd [kNm/m] mEd [kNm/m] d [cm]

k s = 2, 47

ks für nächst kleineren kd-Wert ablesen

as = 2, 47

as = k s

3

Einzelschritte Feld 1 19 kd = = 2, 41 62,3

DIN 1045-1, 7.3.2 (5)

DIN 1045-1, 7.3.1 (7), Bild 8: direkte Lagerung vereinfachte Gleichung: [7] Abschnitt 5.2.3

Bemessung für Querkraft Querkräfte dürfen bei üblichen Hochbauten für Vollbelastung aller Felder ermittelt werden. Achse A Bemessungswert im Abstand d vom Auflagerrand vEd ,red = 44, 2 − (9, 45 + 7,5) ⋅ (0,175 / 3 + 0,19) = 40, 0 kN/m

Tragfähigkeit ohne Querkraftbewehrung vRd ,ct = 0,1κ ⋅ (100 ρl ⋅ fck )1/ 3 ⋅ d

κ = 1+ Es wird nur eine Matte R513 bis zum Auflager geführt

62,3 = 8,10 cm2/m 19

ρl =

200 200 = 1+ = 2, 03 d 190

maßgebend 2,0

asl 5,13 = = 0, 0027 100 ⋅19, 0 b⋅d

vRd ,ct = 0,1⋅ 2, 0 ⋅ (100 ⋅ 0, 0027 ⋅ 20)1/ 3 ⋅ 0,190 ⋅103 = 66, 7 kN/m

> 40,0 kN/m DIN 1045-1, 10.3.2 (1): auflagernahe Lastanteile werden direkt in das Auflager eingeleitet Maßgebend ist die obere Bewehrung: 2R513

Achse B vEd ,red = 67, 7 − (9, 45 + 7,5) ⋅ (0, 40 / 2 + 0,19) = 61,1 kN/m

κ = 2,0 unverändert ρl =

10, 26 = 0, 0054 100 ⋅19, 0

vRd ,ct = 0,1⋅ 2, 0 ⋅ (100 ⋅ 0, 0054 ⋅ 20)1/ 3 ⋅ 0,190 ⋅103 = 84, 0 kN/m

> 61,1 kN/m Es ist keine Querkraftbewehrung in der Platte erforderlich. Bei baupraktisch üblichen Abmessungen kann im Allgemeinen auf die Berechnung vEd,red verzichtet werden, vergl. Übungsaufgabe.

37

3.2 Platte

Abstufung der unteren Bewehrung

Bei verschränkter Staffelung der Betonstahlmatten, Bild 3.9, endet eine Matte jeweils im Feld. Nachzuweisen ist, dass die verbleibende Matte das Biegemoment aufnehmen kann. Die endende Matte muss über den rechnerischen Endpunkt um das Versatzmaß al und die Verankerungslänge lb,net geführt werden. Gewählt wird der Schnitt x = 1,00 m vom Auflager A mEd

= 45,9 ⋅1, 0 − (9, 45 + 7,5)1, 002

kd =

as

19 37, 4

= 2,32

/ 2 = 37, 4 kNm/m

DIN 1045-1, 13.2.2, Bild 66 Maßgebend für die Abstufung der Bewehrung ist die Zugkraftlinie, die um das Versatzmaß al gegenüber dem Momentenverlauf verschoben ist. Nutzlast nur im Feld 1: vEd = 45,9 kN/m

= 3,11

37, 4 = 4,57 cm2/m 19

σs = 455 N/mm2 Eine Matte R513 ist ausreichend. DIN 1045-1, 12.6.2 (3)

Verankerungslänge lb,net = α a ⋅ lb ⋅

as,erf as,vorh

αa = 0,7 as,erf as ,vorh

=

berücksichtigt angeschweißte Querstäbe 4,57 10, 26

berücksichtigt Auslastung

Versatzmaß bei Platten ohne Querkraftbewehrung al = d = 19 cm

DIN 1045-1, 13.3.2 (1)

Bei Doppelstäben ist der Vergleichsdurchmesser für die Verankerungslänge maßgebend:

Lagermatte R513: 7,0 mm Doppelstäbe, Abstand 150 mm, Länge 6,00 m

dsV = 2 ⋅ 7, 0 = 10 mm lb = 47 cm

guter Verbundbereich

Das Grundmaß der Verankerungslänge lb ist zu vergrößern, wenn der Anstieg der Stahlspannung – maximal 5 % – oberhalb der Streckgrenze berücksichtigt wird.

σs = 455 N/mm 2 > f yd = 500 /1,15 = 435 N/mm 2 lb,net = 0, 7 (1, 05 ⋅ 47)

4,57 = 15, 4 cm 10, 26

≥ lb,min = 0,3 ⋅α a ⋅ lb = 0,3 ⋅ 0, 7 ⋅ (1, 05 ⋅ 47) = 10, 4 cm > 10 d s = 10 cm

DIN 1045-1, 12.4 Bild 54 Anhang Tafel A8

3

38

3 Bemessung für Biegung und Querkraft

A

B

I 40 175

3

6,60

Feldmoment

1,00

37,4

a)

62,3

2 R513A > al + lb,net

10

6,00

55

2,15

II

20

b) Detail I

c) Detail II 25

15 20

25

2 = cv ue rs ta

40

Q

55 125

b

Bild 3.9: Plattenbewehrung a) verschränkte Staffelung im Feld 1 b) Detail Mattenende am Balken c) Stoß in Querrichtung bei Randsparmatten

Bezogen auf den gewählten rechnerischen Endpunkt x = 1,00 m vom Auflager A ist die Matte um al + lb,net = 19, 0 + 15, 4 = 34, 4 cm

39

3.2 Platte

weiter zum Auflager zu führen. Daraus ergibt sich eine erforderliche Mattenlänge von 6,60 – 1,00 + 0,34 = 5,94 m. Die 6,00 m lange Matte ist für eine verschränkte Staffelung ausreichend. Tatsächlich reicht die Matte noch weiter zum Endauflager A, denn sie kann nicht ganz bis zur Achse B geführt werden, weil die Querstäbe – Abstand 12,5 cm vom Mattenende – gegen die Bügel des Balkens stoßen, Bild 3.9. Zweckmäßigerweise werden die Matten im Grundriss gegeneinander versetzt angeordnet, damit nicht 2 Stöße übereinander liegen. Die Stoßlänge in Querrichtung beträgt eine Masche; unter Berücksichtigung der Stabüberstände von jeweils 2,5 cm ergibt sich eine Stoßlänge von 20 cm, Bild 3.9, die größer ist als die Mindestübergreifungslänge 150 mm. Neubemessung nach Momentenumlagerung Die mit linear-elastischen Verfahren ermittelten Biegemomente dürfen umgelagert werden, d.h. es darf ein abgemindertes Stützmoment bei der Bemessung angesetzt werden. Konsequenterweise müssen die zugehörigen Feldmomente vergrößert werden. Die Momentenumlagerung ist bei Stahl mit normaler Duktilität – Dehnfähigkeit – auf 15 % begrenzt, bei hochduktilem Stahl auf 30 %.

3 DIN 1045-1, 12.8.4, Tab. 28

DIN 1045-1, 8.3

Ermäßigung des Stützmoments um 15 % ΔmEd = − 0,15 ⋅ 77, 7 = −11, 7 kNm/m

m'Ed = −77, 7 − (−11, 7) = –66,0 kNm/m Veränderung der Querkräfte Achse A

v 'Ed = 44, 2 − (−11, 7 / 6, 6) = 46, 0 kN/m

Achse Brechts

v 'Ed = 59, 6 + (−11, 7 / 5,3) = 57, 4 kN/m

Moment am Rand der Unterstützung m 'Ed ,red = 66, 0 − 57, 4 ⋅ 0, 4 / 2 = 54,5 kNm/m

Zur Berücksichtung einer teilweisen Einspannung in die Unterstützung ist ein Mindestmoment einzuhalten. mEd ,min = 0, 65( g d + qd ) ln 2 / 8

ln = 6,34 m

lichte Stützweite

mEd ,min = 0, 65(9, 45 + 7,5) ⋅ 6,342 / 8 = 55, 4 kNm/m

Das Mindestmoment ist für die Bemessung anzusetzen.

DIN 1045-1, 8.2 (5) vergl. [7] Abschnitt 4.2.3, Bild 4.8

40

3 Bemessung für Biegung und Querkraft

19

kd =

55, 4

as = 2, 43

= 2,55

55, 4 = 7, 09 cm2/m 19

gewählt 2R377A

3

DIN 1045-1, 8.3 (3), Gl. (14)

Es ist ein ausreichendes Rotationsvermögen mit Hilfe der bezogenen Druckzonenhöhe nachzuweisen.

ξ = x / d = 0,19 δ ≥ 0, 64 + 0,8 x / d = 0, 64 + 0,8 ⋅ 0,19 = 0, 79 Verhältnis des umgelagerten Moments zum Ausgangsmoment geschweißte Betonstahlmatten sind als normalduktil eingestuft

δ ≥ 0,85

bei normalduktilem Stahl

Im Allgemeinen erübrigt sich dieser Nachweis bei Platten, weil die Druckzonenhöhe gering ist, vergl. Übungsaufgabe. Einige Bemessungstabellen geben den zulässigen δ-Wert mit an, s. Anhang Tafel A1 – A3. Das zugehörige Feldmoment – Volllast – ist mit dem maximalen Feldmoment – Nutzlast nur in Feld 1 – zu vergleichen. mEd =

v 'Ed 2 46, 02 = = 62, 4 kNm/m 2 ( g d + qd ) 2 (9, 45 + 7,5)

≈ max mEd = 62,3 kNm/m

Es ist keine Neubemessung für das Feld erforderlich. Das trifft häufig zu, weil das maximale Feldmoment für eine andere Laststellung als das Stützmoment berechnet wird, Bild 3.10.

Bild 3.10: Momentenumlagerung: maßgebendes Feld- und Stützmoment

41

3.3 Fußgängerplattform

3.3 Fußgängerplattform 3.3.1 Allgemeines Die in Bild 3.11 dargestellte Fußgängerplattform besteht aus den separat hergestellten Bauteilen Platte und Balken. Zwischen der Platte und dem Balken ist ein Streifenlager angeordnet, auch zwischen Balken und Stütze befindet sich ein Lager, damit die Last mittig übertragen wird und Verdrehungen am Auflager nicht behindert sind. Bei monolitischer Verbindung von Platte und Balken – Ortbeton – liegt ein Plattenbalken vor, der in Abschnitt 4.1 bearbeitet wird. Dieses Beispiel soll das Zusammenwirken von Bauteilen und die Weiterleitung der Lasten verdeutlichen. Für Platte und Balken werden die Tragfähigkeit – Bemessung für Biegung und Querkraft – und die Gebrauchstauglichkeit – Begrenzung der Rissbreite – nachgewiesen. Das Bauwerk ist der Außenluft ausgesetzt. Aufgrund der Kunststoffbeschichtung ist die Plattenoberfläche vor direkter Beregnung geschützt. A

a)

I 22 60

40

40 A

1,50

7,00

1,50

II

b)

22 60

10,00

c) Detail I

Detail II

20

Bild 3.11: Fußgängerplattform a) Querschnitt b) Längsschnitt c) Detail Auflagerung

20

3

42

3 Bemessung für Biegung und Querkraft

Baustoffe Teilsicherheitsbeiwert Beton γc = 1,5 Betonstahl γs = 1,15 α = 0,85 für Langzeitfestigkeit

Beton C30/37

f ck = 30 N/mm2 f cd = 0,85 ⋅ 30 /1,5 = 17 N/mm2

Betonstahl BSt 500 S und BSt 500 M f yk = 500 N/mm2

3

f yd = 500 /1,15 = 435 N/mm2

Lasten Eigenlast der Betonkonstruktion Geländer und Beschichtung werden vernachlässigt DIN 1055-3, Tab. 1, Kategorie C5: Flächen für große Menschenansammlungen; z. B. Eingangsbereiche

Nutzlast

qk = 5, 0 kN/m2

Eine mögliche Abminderung für die Weiterleitung bleibt zur Vereinfachung unberücksichtigt. Für die Platte und den Balken sind zu bearbeiten: • Ermittlung der Lasten und Schnittgrößen • Festlegung der Expositionsklassen, Mindestbetonfestigkeitsklasse, Betondeckung • Bemessung für Biegung • Bemessung für Querkraft • Begrenzung der Rissbreite

3.3.2 Platte Teilsicherheitsbeiwert ständige Lasten γG = 1,35 veränderliche Lasten γQ = 1,5

System, Lasten, Schnittgrößen g k = 25 ⋅ 0, 22 = 5,5 kN/m2

g d = 1,35 ⋅ 5,5 = 7, 43 kN/m2

qk = 5, 0 kN/m2

qd = 1,5 ⋅ 5, 0 = 7,50 kN/m2

Feld

mEd =

(7, 43 + 7,50) ⋅ 7, 002 7, 43 ⋅1,502 − 8 2

= 91,5 − 8, 4 = 83,1 kNm/m

Kragarm

mEd =

−(7, 43 + 7,50) ⋅1,502 = −16,8 kNm/m 2

Die ungünstigste Auflagerkraft – maßgebende Last für den Balken – ergibt sich für die Anordnung der Nutzlast L2, Bild 3.12. Diese Lastanordnung wird auch für die Berechnung der Querkraft angesetzt.

43

3.3 Fußgängerplattform max. Feldmoment

L1

qd max. Auflagerkraft

L2

qd gd 1,50

7,00

1,50

3 Bild 3.12: Platte – System, Lasten

(7, 43 + 7,50) ⋅ 7, 00 8, 44 + = 53,5 kN/m 2 7, 00

Querkraft rechts

vEd ,r =

Querkraft links

vEd ,l = (7, 43 + 7,50) ⋅1,50 = 22, 4 kN/m

Auflagerkraft

aEd = 53,5 + 22, 4 = 75,9 kN/m

infolge g

aEd , g =

infolge q

aEd ,q = 75,9 − 37, 2 = 38, 7 kN/m

7, 43 ⋅10, 0 = 37, 2 kN/m 2

Expositionsklassen, Mindestfestigkeitsklasse, Betondeckung Die Platte ist durch die Beschichtung der Oberseite gegen direkte Beregung geschützt, so dass folgende Expositionsklassen zu Grunde zu legen sind: XC3 C20/25 Bewehrungskorrosion XF1 C25/30 Betonangriff Die Mindestbetondeckung cmin darf um 5 mm reduziert werden, weil der gewählte Beton C30/37 um 2 Festigkeitsklassen höher ist – maßgebend ist die Mindestbetonfestigkeitsklasse für Bewehrungskorrosion.

DIN 1045-1, 6.2, Tab. 3 DIN 1045-1, 6.3, Tab. 4

cmin = 20 − 5 = 15 mm ǻc = 15 mm cnom = cv = 30 mm

Bemessung für Biegung d = h − cv − d s / 2

Nutzhöhe

Annahme: Stabstahl ∅12

= 22 − 3, 0 −1, 2 / 2 = 18, 4 cm

Feld

kd =

18, 4 83,1

= 2, 02

kd =

d [cm] mEd [kNm/m]

44

3 Bemessung für Biegung und Querkraft

as = ks

mEd [kNm/m] d [cm]

k s = 2, 47

ks für nächst kleineren kd-Wert ablesen

3

DIN 1045-1, 7.3.2 (2)

as = 2, 47

83,1 = 11, 2 cm2/m 18, 4

gewählt Ø12–10: 11,3 cm2/m, verschwenkte Staffelung, d. h. nur jeder 2. Stab wird bis zum Auflager geführt. Kragarm: Momentenausrundung über die Breite des Lagers

mEd ,red = 16,8 − 75, 9 ⋅ 0, 20 / 8 = 14, 9 kNm/m kd =

18, 4 14,9

= 4, 77

k s = 2, 24 as = 2, 24 ⋅ DIN 1045-1, 13.1.1 (1) vergl. [7] Abschnitt 9.2.1

14,9 = 1,8 cm2/m 18, 4

Ein Versagen des Bauteils ohne Vorankündigung muss vermieden werden – Duktilitätskriterium. Demzufolge ist eine Mindestbewehrung erforderlich, die in der Lage ist, das Rissmoment aufzunehmen. Dabei ist vom Mittelwert der Zugfestigkeit des Betons fctm und der Stahlspannung σs = fyk auszugehen. Bezogen auf einen Rechteckquerschnitt entspricht das näherungsweise einem Bewehrungsgrad

ρ =

f As = 0, 2 ctm b⋅h f yk

ρ = 0, 0004 f ctm as = 0, 0004 ⋅ 2,9 ⋅ 22 ⋅100 = 2,55 cm2/m

DIN 1045-1, 9.1.7 Tab. 9

Das Duktilitätskriterium erfordert mehr Bewehrung als die Bemessung für Biegung. gewählt

R257 A: 2,57 cm2/m

Bei der Mindestbewehrung zur Sicherstellung des duktilen Bauteilverhaltens handelt es sich um einen Tragfähigkeitsnachweis im Gegensatz zur Mindestbewehrung für die Begrenzung der Rissbreite, die den Nachweis der Gebrauchstauglichkeit betrifft. Demzufolge ist die Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Duktilität wesentlich geringer, und es entfällt eine Überprüfung des Durchmessers.

DIN 1045-1, 10.3.2 (1): auflagernahe Lastanteile werden direkt in das Auflager eingeleitet

Bemessung für Querkraft Bemessungswert im Abstand d vom Auflagerrand – maßgebend ist die Breite des Lagers: rechts vEd ,red = 53,5 − (7, 43 + 7,50) (0, 20 / 2 + 0,184) = 49, 2 kN/m

45

3.3 Fußgängerplattform

Aufnehmbare Querkraft ohne Querkraftbewehrung vRd,ct =

0,1κ ⋅ (100 ρl ⋅ f ck )1/ 3 ⋅ d

κ

= 1+

ρl

=

vRd,ct =

200 200 = 1+ = 2, 04 maßgebend 2,0 d 184

asl 11,3 / 2 = = 0, 00307 b⋅d 100 ⋅18, 4 0,1⋅ 2, 0 (100 ⋅ 0, 00307 ⋅ 30)1/ 3 ⋅ 0,184 ⋅103

vereinfachte Gleichung: [7] Abschnitt 5.2.3, Gl. (5.14c)

Maßgebend ist die gewählte Bewehrung. Es wird nur jeder 2. Stab bis zum Auflager geführt.

= 77,1 kN/m > 49,2 kN/m links |vEd,red| = 22,4 – (7,43 + 7,50) (0,20/2 + 0,184) = 18,2 kN/m

κ

= 2,0 unverändert

ρl

=

vRd,ct

= 0,1⋅ 2, 0 (100 ⋅ 0, 00140 ⋅ 30)1/ 3 ⋅ 0,184 ⋅103

2,57 = 0, 00140 100 ⋅18, 4

= 59,4 kN/m > 18,2 kN/m In beiden Schnitten ist vRd,ct > vEd,red , so dass keine Querkraftbewehrung erforderlich ist. Streng genommen ist im rechten Schnitt auch die obere Bewehrung anzusetzen, weil das Moment im Abstand d vom Auflagerrand noch geringfügig negativ ist. Die Wahl der unteren, größeren Bewehrung soll den Einfluss der Längsbewehrung auf die Querkrafttragfähigkeit verdeutlichen. Begrenzung der Rissbreite Bei Bauteilen der Expositionsklasse XC3 ist die Begrenzung der Rissbreite unter quasi-ständigen Lasten nachzuweisen. Der zulässige Rechenwert der Rissbreite beträgt wk = 0,3 mm. Die Begrenzung der Rissbreite kann mit Hilfe der Konstruktionsregeln, die den maximalen Stabdurchmesser oder den maximalen Stababstand in Abhängigkeit von der Stahlspannung angeben, nachgewiesen werden. Stahlspannung unter quasi-ständigen Lasten g k +ψ 2 ⋅ qk = 5,5 + 0, 6 ⋅ 5, 0 = 8,5 kN/m2

DIN 1045-1, 11.2.1, Tab. 18 und 19: Anforderungen an die Begrenzung der Rissbreite

DIN 1055-100, Tab. A2: Kombinationsbeiwert für quasi-ständige Lasten der Kategorie C: ψ2 = 0,6

3

46

3 Bemessung für Biegung und Querkraft

m =

Feldmitte

σs =

innerer Hebelarm: vereinfachend z = 0,9d

3

DIN 1045-1, 11.2.3 Tab. 20

Grenzdurchmesser

d s = d s*

C30/37 fct,0 = 3,0 N/mm2, dafür ist Tab. 20 aufgestellt

DIN 1045-1, 11.2.3 (2): Die Rissbreite ist eingehalten, wenn bei Lastbeanspruchung entweder der Grenzdurchmesser nach Tab. 20 oder der Stababstand nach Tab. 21 eingehalten sind.

m 45,9 = ⋅10 = 245 N/mm² z ⋅ as 0,9 ⋅ 0,184 ⋅11,3

d s* = 18 mm

Der Grenzdurchmesser ist in Abhängigkeit von der wirksamen Betonzugfestigkeit zu modifizieren.

DIN 1045-1, Tab. 9 fct,eff = 2,9 N/mm2 für

DIN 1045-1, 11.2.3 Tab. 21

8,5 ⋅ 7, 002 5,5 ⋅1,502 − = 45,9 kNm/m 8 2

f ct ,eff f ct ,0

= 18

2,9 = 17 mm 3, 0 > 12 mm

max Stababstand

s = 195 mm > 10 cm

In Feldmitte sind beide Kriterien, mit denen die Begrenzung der Rissbreite nachgewiesen werden kann, eingehalten. Es wird nur jeder 2. Stab bis zum Auflager geführt, damit ergibt sich an der ungünstigsten Stelle der Abstufung für m/2 und as/2 wiederum σs = 245 N/mm2. Bei Lastbeanspruchung braucht nur ein Kriterium eingehalten werden, so dass der Stababstand von 20 cm nicht maßgebend ist, weil über den modifizierten Grenzdurchmesser ds = 17 mm > ds = 12 mm die Begrenzung der Rissbreite nachgewiesen ist.

3.3.3 Balken System, Lasten, Schnittgrößen vergl. Auflagerkraft Platte

Eigenlast Platte

g d ,1 = 37, 2 kN/m

Eigenlast Balken

g d ,2 = 1,35 ⋅ 25 ⋅ 0, 40 ⋅ 0, 60 = 8,1 kN/m g d = 45,3 kN/m

Nutzlast

qd = 38, 7 kN/m

Gesamtlast

g d + qd = 84, 0 kN/m

M Ed = 84, 0 ⋅10, 02 / 8 = 1050 kNm VEd = 84, 0 ⋅10, 0 / 2 = 420 kN

vergl. Platte, keine direkte Beregnung des Balkens

Expositionsklassen, Mindestfestigkeitsklasse, Betondeckung XC3 C20/25 Bewehrungskorrosion XF1 C25/30 Betonangriff

47

3.3 Fußgängerplattform

Bei der Betondeckung ist das Kriterium cmin > ds zur sicheren Übertragung der Verbundkräfte zu überprüfen. Angenommen werden Längsstäbe Ø28, Bügel Ø10. cmin = 20 − 5 = 15 mm ≥ d s,bü = 10 mm

Bügel

Δ c = 15 mm

DIN 1045-1, 6.3 (4)

Verminderung, weil gewählter Beton 2 Festigkeitsklassen höher ist

cnom = 15 + 15 = 30 mm

3

cmin ≥ d s = 28 mm

Längsstäbe

Δ c = 10 mm cnom,l = 28 + 10 = 38 mm cv ≥ cnom,l − d s,bü = 38 −10 = 28 mm

[2] In den Fällen, in denen die Verbundbedingung maßgebend wird, ist ein Vorhaltemaß Δc = 10 mm ausreichend.

cv = 30 mm

Verlegemaß

Bemessung für Biegung d = h − cv − d s,bü − d s,l / 2

Nutzhöhe

d = 60 − 3, 0 −1, 0 − 2,8 / 2 = 54, 6 cm

kd =

gewählt d = 54,5 cm kd =

54,5 1050 0, 4

d [cm] M Ed [kNm/m] b [m]

= 1, 06

M [kNm] As = ks Ed d [cm]

< kd * = 1, 41

Anhang, Tafel A3

Es ist Druckbewehrung erforderlich. k s1 = 2, 62

k s 2 = 1, 02

Korrekturfaktoren für d 2 / d = 5,5 / 54,5 = 0,10

ρ1 = 1, 03 As1 = 2, 62 ⋅

Berücksichtigung der Lage/Wirksamkeit der Druckbewehrung

ρ 2 = 1, 08 1050 ⋅1, 03 54,5

= 52, 0 cm2

gewählt 9 Ø28: 55,4 cm2

As 2 = 1, 02 ⋅

1050 ⋅1, 08 54,5

= 21, 2 cm2

2Ø20 + 3Ø28: 24,7 cm2

In einer Lage finden nur 6Ø28 Platz, so dass 3Ø28 in der 2. Lage angeordnet werden, Bild 3.13. Dadurch vermindert sich die statische Nutzhöhe um ǻd =

3⋅ 2 ds 6 = 28 = 19 mm. 3+ 6 9

DIN 1045-1, 12.2 (2): lichter Stababstand zwischen parallelen Stäben 20 mm ≥ ds . Für Größtkorn dg > 16 mm ist der Abstand auf dg + 5 mm zu vergrößern.

48

3 Bemessung für Biegung und Querkraft 2∅20 3∅28 13 13 2∅12 54

60

3 3∅28 6∅28

ds

34 Bügel ∅10–15/30 cv = 3,0 cm

40

Bild 3.13: Balken – Bewehrung im Querschnitt

Bezogen auf den angenommenen Wert d = 54,5 cm sind das 1,9/54,5 = 3,5 %. Andererseits bietet die gewählte Bewehrung As1,vorh – As1,erf = 55,4 – 52,0 = 3,4 cm2 mehr Querschnitt als erforderlich. Die Reserve beträgt 3,4/52,0 = 6,5 %, so dass der Nachteil des kleineren Hebelarms mehr als ausgeglichen ist und eine Neubemessung nicht erforderlich ist. Die vergleichsweise hohe Druckbewehrung – As2 = 0,4 As1 – zeigt, dass der Betonquerschnitt knapp ausgelegt ist. Es ist zweckmäßig, die Querschnittsabmessungen zu vergrößern und/oder eine höhere Betonfestigkeitsklasse zu wählen, vergl. Übungsaufgabe. Bemessung für Querkraft Bemessungswert im Abstand d vom Auflagerrand; es werden nur die Stäbe der unteren Lage bis zum Auflager geführt, so dass der ursprüngliche Wert d = 54,5 cm zutreffend ist. VEd ,red = 420 − 84, 0 (0, 2 / 2 + 0,545) = 366 kN DIN 1045-1, 10.3.4 Vereinfachte Gleichungen [7] Abschnitt 5.2.4 [7] Gl. (5.17b)

Vom Beton wird übertragen VRd ,c = 0, 24 f ck1/ 3 ⋅ bw ⋅ z = 0, 24 ⋅ 301/ 3 ⋅ 0, 40 ⋅ 0, 475 ⋅103 = 142 kN

innerer Hebelarm cnom,l ist die Betondeckung der Längsbewehrung in der Betondruckzone.

z = 0,9 d ≤ d − cnom,l − 30 mm z = 0,9 ⋅ 54,5 = 49,1 cm z = 54,5 − (3, 0 + 1, 0) − 3, 0 = 47,5 cm

Druckstrebenneigung [7] Gl. (5.16b)

cot θ =

1, 2 1, 2 = = 1,96 1 − VRd ,c / VEd 1 − 142 / 366

maßgebend

49

3.3 Fußgängerplattform

Bügelbewehrung asw =

VEd 0,366 104 = 9, 04 cm2/m = z ⋅ f yd ⋅ cot θ 0, 475 ⋅ 435 ⋅1,96

[7] Gl. (5.19)

Alternativ lässt sich die Querkraftbewehrung auch für die verbleibende Querkraft – nach Abzug des Betontraganteils – mit cotθ = 1,2 ermitteln. asw = =

VEd − VRd ,c z ⋅ f yd ⋅1, 2

[7] Gl. (5.20)

366 −142 = 9, 04 cm2/m 0, 475 ⋅ 43,5 ⋅1, 2

vereinfachte Schreibweise mit kN, kN/cm2

Der Bügelabstand ist vom Verhältnis VEd / VRd ,max abhängig. b ⋅ z ⋅α c ⋅ f cd VRd ,max = w cot θ + tan θ

mit α c = 0, 75

DIN 1045-1, 13.2.3 Tab. 31: größte Abstände von Bügelschenkeln [7] Gl. (5.21)

Näherungsweise darf θ = 40 gesetzt werden, was cotθ = 1,2 entspricht. VRd ,max =

0, 40 ⋅ 0, 475 ⋅ 0, 75 ⋅17 3 10 = 1191 kN 1, 2 + 1/1, 2

VEd / VRd ,max = 366 /1191 = 0,31 > 0,30

< 0,60 Damit beträgt der maximale Längsabstand der Bügel smax = 0,5 h ≤ 300 mm

gewählt Bügel Ø10, Abstand 15 cm: 10,5 cm2/m Der Abstand kann im mittleren Bereich auf 30 cm vergrößert werden, s. Übungsaufgabe. Die Bügel sind in der Druckzone zu schließen, Bild 3.13. Begrenzung der Rissbreite Quasi–ständige Lasten g k +ψ 2 ⋅ qk = 45,3 /1,35 + 0, 6 ⋅ 38, 7 /1,5 = 49, 0 kN/m

Die genaue Berechnung des inneren Hebelarms bei Querschnitten mit Druckbewehrung ist aufwändig. In grober Näherung kann die Stahlspannung durch Umrechnung des Bemessungszustands ermittelt werden.

DIN 1045-1, 12.7 Bild 56: Verankerung von Bügeln DIN 1055-100, Tab. A2: Lasten Kategorie C: ψ2 = 0,6 Gleichungen zur Ermittlung der Spannungen im Gebrauchszustand vergl. [8]

3

50

3 Bemessung für Biegung und Querkraft

vergl. [7] Abschnitt 6.2.5

σs ≈ ≈

3

DIN 1045-1, 11.2.3 Tab. 20

DIN 1045-1, 11.2.3, Gl. (131) Es wird die Verminderung der Nutzhöhe durch die 2. Bewehrungslage berücksichtigt d = 0,545 – 0,019 = 0,526 m

g k +ψ 2 ⋅ qk As,erf ⋅ ⋅ f yd g d + qd As,vorh 49, 0 52, 0 ⋅ ⋅ 435 = 238 N/mm2 84, 0 55, 4

Grenzdurchmesser d s* = 19 mm Der Grenzdurchmesser darf in Abhängigkeit von der Bauteilhöhe modifiziert werden. d s = d s* ⋅ = 19 ⋅

σ s ⋅ As 4(h − d ) ⋅ b ⋅ fct ,0

238 ⋅ 55, 4 = 19 ⋅ 3, 7 = 70 mm 4(60 − 52, 6) ⋅ 40 ⋅ 3, 0 > d s = 28 mm

Weiter zum Auflager ist die 2. Lage nicht mehr erforderlich; mit As = 37,0 cm2 (6Ø28) und d = 0,545 m ist der modifizierte Grenzdurchmesser größer als ds = 28 mm. Auch über den Stababstand wäre die Begrenzung der Rissbreite nachgewiesen. Bei eng bewehrten Balken ist die Begrenzung der Rissbreite praktisch immer gegeben.

4 Plattenbalken Der Plattenbalken als typischer Stahlbetonquerschnitt ergibt sich durch die monolithische Verbindung der Platte mit dem Balken. Die Platte rechts und links des Steges – auch Gurte genannt – beteiligt sich an der Aufnahme der Druckkräfte. Am Beispiel der Fußgängerplattform – Abschnitt 4.1 – wird der Vorteil gegenüber dem Rechteckquerschnitt herausgestellt. Die Weiterleitung der Lasten und das Tragverhalten durchlaufender Plattenbalken behandelt Abschnitt 4.2 am Beispiel einer Geschossdecke. Im Anschluss an die Bemessung werden die Zugkraftdeckungslinie gezeichnet und die Verankerungslängen berechnet. Darauf aufbauend folgt eine ausführungsreife Bewehrungsskizze. Im Abschnitt 4.3 werden die Lasteinzugsflächen für den Randbalken, den ersten Innenbalken und die übrigen Innenbalken dargestellt. Bei dem über 3 Felder durchlaufenden Plattenbalken werden die Möglichkeiten und Grenzen der Momentenumlagerung verdeutlicht.

4.1 Fußgängerplattform Die in Abschnitt 3.3 vorgestellte Fußgängerplattform wird als monolithische Konstruktion – Ortbeton – nachgewiesen, Bild 4.1. Die Lastabtragung der Platte ist unverändert, in Längsrichtung nehmen der Balken und die angrenzende Platte gemeinsam die Druckkräfte auf. Um die günstige Lastabtragung des Plattenbalkens zu verdeutlichen, beträgt die Bauhöhe h = 60 cm wie zuvor beim Rechteckbalken. Baustoffe Beton Betonstahl

C30/37 BSt 500 S und BSt 500 M

System, Lasten, Schnittgrößen s. Abschnitt 3.3.3 Feldmitte MEd = 1050 kNm VEd = 420 kN

Auflagerachse

Zu bearbeiten sind: • Bemessung für Biegung • Bemessung für Querkraft einschließlich Gurtanschluss

52

4 Plattenbalken A

a)

22 60 40 1,50

40 A

7,00

1,50

b) 60

4 10,00

Bild 4.1: Fußgängerplattform – Plattenbalken a) Querschnitt b) Längsschnitt

Bemessung für Biegung Übernommen werden h = 60 cm, cv = 3,0 cm Längsstäbe Ø28, Bügel Ø10, damit unveränderte Nutzhöhe: d = 60 – 3,0 – 1,0 – 2,8/2 = 54,6 cm gewählt d = 54,5 cm Anstelle einer genauen Erfassung der Mitwirkung der Platte – weiter vom Balken entfernt liegende Bereiche entziehen sich der Aufnahme der Druckspannungen – wird eine mitwirkende Plattenbreite beff definiert. DIN 1045-1, 7.3.1 (2), Bild 2, vergl. [7] Abschnitt 4.2.2

beff =

¦ beff ,i + bw

beff ,i = 0, 2 bi + 0,1l0

≤ 0, 2l0

l0 wirksame Stützweite bi tatsächlich vorhandene Gurtbreite bw Stegbreite

mitwirkende Plattenbreite links (Kragarm) b1 = 1,50 – 0,40/2 = 1,30 m DIN 1045-1, 7.3.1 (3), Bild 3: für Einfeldträger gilt l0 = leff

l0 = leff = 10,00 m beff ,1 = 0, 2 ⋅1,30 + 0,1⋅10, 00 = 1, 26 m < 0, 2 l0 = 0, 2 ⋅10, 00 = 2, 00 m < b1 = 1,30 m

≤ bi

53

4.1 Fußgängerplattform

mitwirkende Plattenbreite rechts (Feld) b2 = (7, 00 − 0, 40) / 2 = 3,30 m beff ,2 = 0, 2 ⋅ 3,30 + 0,1⋅10, 00 = 1, 66 m < 0, 2 l0 = 2, 00 m < b2 = 3,30 m

mitwirkende Plattenbreite beff = 1,26 + 1,66 + 0,40 = 3,32 m Angenommen wird, dass die Spannungsnulllinie in der Platte liegt, dann können die Tafeln für Rechteckquerschnitte angewendet werden. Als Breite ist die mitwirkende Plattenbreite beff einzusetzen. Gewählt wird die kd-Tafel, s. Anhang Tafel A3 kd =

54,5 1050 3,32

ks = 2,29

Kd =

= 3, 06

d [cm] mEd [kNm/m]

as = K s

ξ = x/d = 0,11

Kontrolle der Spannungsnulllinie x = 0,11⋅ 54,5 = 6, 0 cm

ζ = z/d = 0,96 < hf = 22 cm

Die Anwendung der Tafel für Rechteckquerschnitte ist zulässig. As = 2, 29

Spezielle Bemessungstafeln für Plattenbalken sind nur erforderlich, wenn bei sehr dünnen Platten die Spannungsnulllinie im Steg liegt.

1050 = 44,1 cm2 54,5

6Ø28 = 37,0 cm2 1. Lage 2 2Ø25 = 9,8 cm 2. Lage (Zulage) 46,8 cm2 Durch die 2. Lage verändert sich die Nutzhöhe d, jedoch ist eine Neubemessung wegen der Reserve As,vorh – As,erf nicht erforderlich, s. Abschnitt 3.3.3. Verglichen mit dem Ergebnis für den Rechteckbalken 40 · 60 cm As1 = 52,0 cm2 As2 = 21,2 cm2 gewählt

erfordert der Plattenbalken 7,9 cm2 weniger Zugbewehrung (≈ 15 %) und keine Druckbewehrung. Zur Aufnahme der Biegedruckkraft stehen beff = 3,32 m anstelle von 40 cm Balkenbreite zur Verfügung. Damit erübrigt sich die Druckbewehrung und auf Grund des vergrößerten inneren Hebelarms, vergl. Bild 3.2, reduziert sich die Zugbewehrung.

mEd [kNm/m] d [cm]

ks für nächst kleineren kd-Wert ablesen

4

54

4 Plattenbalken

Bemessung für Querkraft Der Querkraftnachweis für den Steg – Berechnung des Bügelquerschnitts – ist für Plattenbalken und Rechteckquerschnitte gleich. Der günstige innere Hebelarm der Biegebemessung kommt nicht zum Tragen, weil [2], Erläuterung zu 10.3.4 (2) DIN 1045-1, 12.7, Bild 56

4

DIN 1045-1, 10.3.5, Einzelheiten vergl. [7] Abschnitt 5.2.5

z d – cnom,l – 30 mm = 47,5 cm maßgebend ist; auch die Breite ist unverändert. Es werden wiederum Bügel Ø10 im Abstand von 15 bzw. 30 cm gewählt. Allerdings dürfen sie bei Plattenbalken offen sein. Bei Plattenbalken ist der Anschluss der Druckkräfte in den Gurten an den Balkensteg nachzuweisen. Die Längskraft in den Gurten verändert sich analog zum Momentenverlauf. Die Längskraftdifferenz darf über die Länge av – höchstens der halbe Abstand zwischen Momentenhöchstwert und Momentennullpunkt – konstant angenommen werden, das entspricht der Längsschubkraft VEd , s. Bild 4.2. a) MEd

788

av = 2,50

1050

av = 2,50 l = 10,00

b)

beff,1 = 1,26 40

beff,2 = 1,66

beff = 3,32

Bild 4.2: Plattenbalken – Gurtanschluss a) Momentenverlauf b) mitwirkende Plattenbreite

0 ≤ x ≤ av z = ζ ⋅ d = 0,96 ⋅ 0,545 = 0,523 m aus Biegebemessung

¦ ǻFd

=

M Ed ( x = av ) z

=

788 = 1506 kN 0,523

av ≤ x ≤ 2 av

¦ ǻFd =

M Ed ,max − M Ed ( x = av ) z

=

1050 − 788 = 501 kN 0,523

55

4.1 Fußgängerplattform

Die Längskraftdifferenz wird im Verhältnis der Gurtbreite zur gesamten mitwirkenden Plattenbreite aufgeteilt. VEd = ǻFd ,1 =

beff ,1 beff

¦ ǻFd

linker Gurt (Kragarm) VEd =

1, 26 1506 = 572 kN 3,32

Anschlussbewehrung je Längeneinheit asf =

4

VEd 572 = = 4,38 cm 2 /m av ⋅ f yd ⋅ cot θ 2,50 ⋅ 43,5 ⋅1, 2

vereinfachte Schreibweise mit kN, kN/cm2

cotθ = 1,2 für Druckgurte rechter Gurt (Feld) VEd =

1, 66 1506 = 753 kN 3,32

asf =

753 = 5, 76 cm 2 /m 2,50 ⋅ 43,5 ⋅1, 2

Bei gleichzeitiger Wirkung von Biegemomenten in der Platte darf der größere erforderliche Stahlquerschnitt zu Grunde gelegt werden. Für die Oberseite der Platte – Biegezugzone – wird maßgebend: as , Biegung

oder

asf 2

Die Biegebemessung der Platte bzw. das Duktilitätskriterium erfordert, s. Abschnitt 3.3.2: as , Biegung = 2,55 cm 2 /m

Maßgebend ist der Gurtanschluss: asf / 2 = 5,76/2 = 2,88 cm2/m gewählt Betonstahlmatte R335 A Zur Feldmitte könnte eine Abstufung auf R257 A erfolgen; ob sich der Wechsel lohnt, ist im Einzelfall zu prüfen. Auf der Plattenunterseite ist die vorhandene Bewehrung – im Feld Ø12–20, im Kragarm konstruktiv gewählt – im Steg zu verankern.

Mindestbewehrung zur Aufnahme des Rissmoments

56

4 Plattenbalken

4.2 Geschossdecke – Zweifeldbalken Die in Bild 4.3 dargestellte Geschossdecke eines Geschäftshauses besteht aus der über fünf Felder durchlaufenden Platte und den Zweifeldbalken in den Achsen 2 bis 5. Platte und Balken sind monolithisch verbunden, so dass sie als Plattenbalken zu bemessen sind. a)

A

C

B

6

65

Mauerwerk

I

3

5,00

3

5,00

5,00

4

I

4

5

16

4

1

2

b)

365

8,00

40

8,00

365

Bild 4.3: Geschossdecke – Zweifeldbalken a) Grundriss b) Schnitt I-I (anderer Maßstab)

Das Beispiel soll die Weiterleitung der Lasten und das Tragverhalten durchlaufender Plattenbalken verdeutlichen. Die Konstruktionsregeln werden angewendet, damit eine ausführungsreife Bewehrungsskizze erstellt werden kann. Baustoffe Teilsicherheitsbeiwert Beton γc = 1,5 Betonstahl γs = 1,15 α = 0,85 für Langzeitfestigkeit

Beton

C20/25

f ck = 20 N/mm 2 f cd = 0,85 ⋅ 20 /1,5 = 11,33 N/mm 2

Betonstahl

BSt 500 S

f yk = 500 N/mm 2 f yd = 500 /1,15 = 435 N/mm 2

57

4.2 Geschossdecke – Zweifeldbalken

Lasten Eigenlast zuzüglich Ausbaulast 1,0 kN/m2 Nutzlast qk = 5,0 kN/m2

DIN 1055-3, Tab. 1, Kategorie D2: Flächen in Einzelhandelsgeschäften und Warenhäusern

Eine mögliche Abminderung für die Weiterleitung bleibt zur Vereinfachung unberücksichtigt.

DIN 1055-3, 6.1 (5) und (6)

Zu bearbeiten sind: • Lastermittlung für den Balken Achse 3 • Festlegung der Expositionsklasse, Betondeckung • Bemessung für Biegung • Bemessung für Querkraft • Zugkraftdeckungslinie • Verankerungslängen • Anordnung und Länge Übergreifungsstöße • ausführungsreife Bewehrungsskizze – Längs- und Querschnitt – Lastermittlung Balken Achse 3 Die Balken bilden die Auflager für die durchlaufende Platte. Bei durchlaufenden Systemen ist die Auflagerkraft der ersten Innenunterstützung größer als die der übrigen Unterstützungen. Demzufolge sind die Balken Achse 2 und 5 für eine größere Last zu bemessen als die Balken Achse 3 und 4. Vereinfachend dürfen die auf unterstützende Bauteile wirkenden Kräfte ohne Berücksichtigung der Durchlaufwirkung berechnet werden. Damit erhält der Balken Achse 3 jeweils die halbe Last aus dem linken und rechten Plattenfeld.

4

DIN 1045-1, 7.3.2 (4) Die Durchlaufwirkung ist jedoch stets für das erste Innenauflager zu berücksichtigen.

gk,Platte = 25 ⋅ 0,16 + 1, 0 = 5, 0 kN/m2 gk,Balken = 5,0 (5,00/2 + 5,00/2) = 25,0 kN/m gk,Steg

= 25 ⋅ 0,3 (0, 65 − 0,16) =

Geometrie s. Bild 4.3

3,7 kN/m

gk = 28,7 kN/m Bemessungslasten g d = 1,35 ⋅ 28, 7 = 38,8 kN/m qd = 1,5 ⋅ 25, 0 = 37,5 kN/m

Für diese Lasten sind die in Bild 4.4 angegebenen Schnittgrößen ermittelt. Zu beachten ist, dass für das maximale Feldmoment und das Stützmoment die veränderliche Last jeweils in ungünstigster Stellung anzuordnen ist. Die Stützen sind monolithisch mit dem Balken verbunden, so dass ein rahmenartiges Tragwerk vorliegt. Die Rahmenwirkung darf bei Innenstützen vernachlässigt werden.

Teilsicherheitsbeiwert ständige Lasten γG = 1,35 veränderliche Lasten γQ = 1,5 vergl. [8] Abschnitt Statik: Tafeln für Durchlaufträger DIN 1045-1, 7.3.2 (6)

58

4 Plattenbalken –610 MEd

404

–382

4

VEd Volllast

–229

229 382 8,00

8,00

Bild 4.4: Zweifeldbalken – Schnittgrößen

Expositionsklasse, Betondeckung Innenbauteil XC1 C16/20 gewählt C20/25 Angenommen werden Längsstäbe ∅25, Bügel ∅10. cmin = 10 mm

Bügel

Korrosionsschutz und Verbundsicherung

Δc = 10 mm cmin = 25 mm

Längsstab

Verbundsicherung

cnom,l = 25 + 10 = 35 mm Verlegemaß

cv = cnom,l – ds,bü = 35 – 10 = 25 mm

Bemessung für Biegung d = 65 – 2,5 – 1,0 – 2,5/2 = 60,2 cm

gewählt

60 cm

mitwirkende Plattenbreite beff =

¦ beff ,i + bw

beff ,i = 0, 2 bi + 0,1l0 DIN 1045-1, 7.3.1 (3), Bild 3, vergl. [7] Abschnitt 4.2.2

≤ 0, 2l0

≤ bi

Maßgebend für die Verteilungsbreite der Druckspannungen im Gurt sind die Verformungen des Plattenbalkens. Diese sind bei durchlaufenden Systemen kleiner als bei Einfeldbalken. Näherungsweise kann

59

4.2 Geschossdecke – Zweifeldbalken

die wirksame Stützweite l0 zu Grunde gelegt werden. Für den Zweifeldträger gilt: l0 = 0,85 leff = 0,85 ⋅ 8, 00 = 6,80 m

b1 = b2 = (5,00 – 0,30)/2 = 2,35 m

vorhandene Gurtbreite

beff ,1 = beff ,2 = 0, 2 ⋅ 2,35 + 0,1⋅ 6,80 = 1,15 m < 0, 2 l0 = 0, 2 ⋅ 6,80 = 1,36 m < b1 = 2,35 m

bw = 0,30 m

4

Stegbreite

beff = 2 ⋅1,15 + 0,30 = 2, 60 m

Feldmoment Angenommen wird, dass die Spannungsnulllinie in der Platte liegt, dann können die Tafeln für Rechteckquerschnitte verwendet werden. kd =

60 404 2, 60

ks = 2,24

σs = 45,7 kN/cm2

ξ = x/d = 0,07

ζ = z/d = 0,98

Kontrolle der Spannungsnulllinie

As = 2, 24

gewählt

< hf = 16 cm

404 = 15,1 cm 2 60

Stützmoment am Rand der Unterstützung M Ed ,red = 610 − 382 ⋅ 0, 40 / 2 = 534 kNm

Die Druckzone liegt im Steg, somit ist die Breite bw = 0,30 m einzusetzen. 60 534 0,30

= 1, 42

Anwendung der Tafel für Rechteckquerschnitte ist zulässig. Alternativ können auch 5∅20 = 15,7 cm2 oder 3∅28 = 18,5 cm2 gewählt werden.

4∅25 = 19,6 cm2

kd =

d [cm] M Ed [kNm] b [m] M [kNm] As = ks Ed d [cm]

kd =

= 4,81

x = 0, 07 ⋅ 60 = 4, 2 cm

Anhang Tafel A3

< kd* = 1,73

60

4 Plattenbalken

Es ist Druckbewehrung erforderlich. ks2 = 0,78

ks1 = 2,67 ρ1 , ρ2 berücksichtigen die Wirksamkeit der Druckbewehrung.

Korrekturfaktoren für d2/d = 5/60 = 0,08

ρ1 = 1,02 As1 = 2, 67

ρ2 = 1,07 534 1, 02 60

As2 = 0, 78

= 24,2 cm2

4

Die Durchmesser der Stäbe im Steg und in den Gurten brauchen nicht aufeinander abgestimmt zu sein, weil sie sich im vergleichsweise dicken Steg anders als in der dünneren Platte verhalten.

DIN 1045-1, 10.3.2 (1): auflagernahe Lastanteile werden direkt in das Auflager eingeleitet

534 1, 07 60

= 7,4 cm2

Die Zugbewehrung wird auf den Steg und die Gurte verteilt. Üblicherweise orientiert sich der Durchmesser der ausgelagerten Stäbe an der Gurtdicke: ds hf /10. gewählt

3∅25 = 14,7 cm2 2 ⋅ 3 ∅16 = 12,0

cm2

Steg ausgelagert

26,7 cm2 Die Druckbewehrung besteht aus Stäben der Feldbewehrung, die über die Stütze durchgeführt werden. gewählt 2∅25 = 9,8 cm2 Bei Plattenbalken ist die Bemessung des Feldmoments unkritisch, während für das Stützmoment – die Druckzone liegt im Steg – in der Regel Druckbewehrung erforderlich ist. Mit Momentenumlagerung – Einzelheiten s. Abschnitt 4.3 – steigt aufgrund der Begrenzung der Druckzonenhöhe x/d die Druckbewehrung weiter an, vergl. Übungsaufgabe. Bemessung für Querkraft Die Lagerung in Achse A und B ist direkt, damit kann als Bemessungswert die Querkraft im Abstand d vom Auflagerrand gewählt werden. Zur Abstufung der Bügelbewehrung wird außerdem der Schnitt x = 2,00 aus der Achse B nachgewiesen. Achse A: VEd ,red = 229 − (38,8 + 37,5) ⋅ (0,365 / 3 + 0, 60) = 174 kN Achse B: VEd ,red = 382 − (38,8 + 37,5) ⋅ (0, 40 / 2 + 0, 60) = 321 kN

Es werden die vereinfachten Gleichungen zur Querkraftbemessung gewählt, [7] Abschnitt 5.2.4 cnom,l ist die Betondeckung der Längsbewehrung in der Betondruckzone. Mit z = d – cnom,l – 30 mm liegt die Betondruckstrebe 30 mm unter Innenkante Bügel, vergl. [2].

x = 2, 00 :

VEd = 382 − (38,8 + 37,5) ⋅ 2, 00 = 229 kN

Vom Beton wird übertragen VRd ,c = 0, 24 ⋅ f ck1/ 3 ⋅ bw ⋅ z

innerer Hebelarm z = 0,9 d ≤ d − cnom,l − 30 mm z = 0,9 ⋅ 60 = 54 cm z = 60 − (2,5 + 1, 0) − 3, 0 = 53,5 cm

maßgebend

61

4.2 Geschossdecke – Zweifeldbalken

VRd ,c = 0, 24 ⋅ 201/ 3 ⋅ 0,3 ⋅ 0,535 ⋅103 = 104,5 kN

Druckstrebenneigung cot θ =

1, 2 ≤ 3, 0 1 − VRd ,c / VEd [7] Gl. (5.19)

Bügelbewehrung asw =

VEd z ⋅ f yd ⋅ cot θ

mit f yd = 43,5 kN/cm 2

4

Der Bügelabstand ist vom Verhältnis VEd /VRd,max abhängig b ⋅ z ⋅α c ⋅ f cd VRd ,max = w cot θ + tan θ

mit α c = 0, 75

DIN 1045-1, 13.2.3, Tab. 31: größte Abstände von Bügelschenkeln [7] Gl. (5.21)

Näherungsweise darf θ = 40°gesetzt werden, was cotθ = 1,2 entspricht. VRd ,max =

0,30 ⋅ 0,535 ⋅ 0, 75 ⋅11,33 3 ⋅10 = 671 kN 1, 2 + 1/1, 2

Es ist eine Mindestquerkraftbewehrung erforderlich.

DIN 1045-1, 13.2.3 (4), (5), Tab. 29

asw,min = ρ w,min ⋅ bw ⋅ sw

Mit sw = 1 m = 100 cm ergibt sich der Bügelquerschnitt pro Längeneinheit. asw,min = 0, 70 ⋅10−3 ⋅ 30 ⋅100 = 2,1cm 2 /m Tabelle 4.1: Querkraftbemessung Ort

VEd,red cotθ kN

–

asw

VEd VRd ,max

cm2/m

–

smax

gewählt

mm

cm2/m

A

174

3,00

2,49

0,26

300

∅10–30: 5,24

x = 2,00

229

2,21

4,45

0,34

300

∅10–30: 5,24

B

321

1,78

7,75

0,48

300

∅10–20: 7,85

Einzelschritte für Achse A cot θ =

1, 2 = 3, 00 104,5 1− 174

62

4 Plattenbalken

vereinfachte Schreibweise mit kN, kN/cm2

asw =

174 = 2, 49 cm 2 /m 0,535 ⋅ 43,5 ⋅ 3, 00

VEd 174 = = 0, 26 < 0,3 VRd ,max 671

smax = 0, 7 h = 0, 7 ⋅ 65 = 45, 5 cm

maßgebend

300 mm

DIN 1045-1, 12.7 (5)

In allen Schnitten ist VEd /VRd,max < 2/3, so dass offene Bügel zulässig sind. Die Auswirkung veränderter Querschnittsabmessungen auf die Querkraftbewehrung geht aus der Übungsaufgabe hervor.

DIN 1045-1, 10.3.5 (4)

Nachweis Gurtanschluss Auf der Plattenoberseite ist die größere Bewehrung aus dem Nachweis der Plattenbiegung oder des Gurtanschlusses einzulegen:

4

as, Biegung

oder

asf 2

Bei typischen Platte-Balken-Konstruktionen üblicher Hochbauten ist durchweg mehr Bewehrung für die Plattenbiegung erforderlich als für den Gurtanschluss, so dass sich der Nachweis des Gurtanschlusses erübrigt [12].

DIN 1045-1, 13.2.2, Bild 66

Zugkraftdeckungslinie Für die Abstufung der Zugbewehrung ist die Zugkraftlinie Fsd maßgebend. Sie ergibt sich aus der Biegezugkraft MEd /z, deren Verlauf um das Versatzmaß al verschoben wird. Die aufnehmbare Zugkraft der vorhandenen Bewehrung wird durch die Zugkraftdeckungslinie dargestellt; der treppenförmige Verlauf entspricht der Abstufung der Bewehrung. M – Linie z

Maßgebend ist der innere Hebelarm der Biegebemessung. Feldmoment

M 404 = = 687 kN z 0,98 ⋅ 0, 60

Stützmoment

M 534 = = 1035 kN z 0,86 ⋅ 0, 60

Bei Querschnitten mit Druckbewehrung vergrößert sich der innere Hebelarm mit zunehmender Druckbewehrung. Er kann aus den kdTabellen für den jeweiligen ks-Wert aus dem oberen Tabellenteil abgelesen werden: kd = 1,42: ks1 = 2,66 dafür ζ = z/d = 0,86. Zur Vereinfachung wird für den Bereich positiver bzw. negativer Momente jeweils der gleiche innere Hebelarm angesetzt.

63

4.2 Geschossdecke – Zweifeldbalken

Zugkraftlinie Das Versatzmaß al =

DIN 1045-1, 13.2.2 Gl. (147)

z cot θ 2

berücksichtigt die Querkraftabtragung am Fachwerkmodell, demzufolge ist der innere Hebelarm z = d – cnom,l – 30 mm = 0,535 m anzusetzen.

Zur Vereinfachung wird für den Bereich positiver bzw. negativer Momente jeweils nur ein Versatzmaß berechnet.

0,535 3, 00 = 0,80 m 2

Feldbewehrung

al =

Stützbewehrung

0,535 1, 78 = 0, 48 m al = 2

Das Versatzmaß der ausgelagerten Stäbe – Gurtplatte: ∅16 – ist um den Abstand der Stäbe vom Steg zu erhöhen. Die Zugkraft am Endauflager beträgt a 0,80 Fsd = VEd ⋅ l = 229 ⋅ = 343 kN z 0,535

Bild 4.5: Zweifeldbalken – Zugkraftdeckungslinie

4 DIN 1045-1, 13.2.2 (4) Zur Vereinfachung wird die Verankerungslänge entsprechend erhöht. DIN 1045-1, 13.2.2 (7)

64

4 Plattenbalken

Zugkraftdeckungslinie Die gewählte Bewehrung kann die Zugkraft Fsd = As,vorh · σs aufnehmen. σs ist der kd-Tabelle zu entnehmen. Tabelle 4.2: Zugkraftdeckung vorhanden

4

Zur Vereinfachung wird durchweg für die untere bzw. obere Bewehrung jeweils die gleiche Stahlspannung angesetzt.

Feldbewehrung Stützbewehrung

As,vorh

σs

Fsd

cm2

kN/cm2

kN

4∅25

19,6

45,7

896

2∅25

9,8

45,7

448

3∅25 + 6∅16

26,7

43,7

1167

2∅25 + 4∅16

17,8

43,7

778

9,8

43,7

428

2∅25

DIN 1045-1, 12.6.2 (3)

Verankerungslängen Die gestaffelte Zugbewehrung ist über den rechnerischen Endpunkt E zu führen und mit lb,net zu verankern.

lb,net = α a ⋅ lb ⋅ As,erf / As,vorh ≥ lb,min = 0,3 α a ⋅ lb Anhang Tafel A8 obere Stäbe im Steg liegen im mäßigen Verbundbereich: < 30 cm von der Oberkante, obere Stäbe im Gurt liegen im guten Verbundbereich: < 30 cm vom Schalungsboden

αa = 1 lb = 118 cm lb = 169 cm lb = 76 cm

≥ 10 ds gerade Stabenden ∅25 guter Verbundbereich ∅25 mäßiger Verbundbereich ∅16 guter Verbundbereich

Feldbewehrung: E1 2∅25 enden As,erf = 9,8 cm2 (2∅25),

As,vorh = 19,6 cm2 (4∅25)

lb,net = 118 · 9,8/19,6 = 59 cm Stützbewehrung: E2 ∅25 und 2∅16 enden As,erf = 17,8 cm2 (2∅25 + 4∅16) As,vorh = 26,7 cm2 (3∅25 + 6∅16) lb,net = 169 · 17,8/26,7 = 113 cm

∅25

lb,net = 76 · 17,8/26,7 = 51 cm

∅16

zuzüglich Abstand vom Steg 24 cm, Bild 4.6 Stützbewehrung: E3 4∅16 enden As,erf = 9,8 cm2 (2∅25), As,vorh = 17,8 cm2 (2∅25 + 4∅16) lb,net = 76 · 9,8/17,8 = 42 cm

65

4.2 Geschossdecke – Zweifeldbalken

Endverankerung Achse A Die Verankerung ist nachzuweisen für Fsd = VEd As,erf =

al 0,80 = 229 = 343 kN z 0,535

Fsd

σs

=

vergl. Zugkraftlinie

343 = 7,9 cm 2 43,5

As,vorh = 19, 6 cm 2

(4∅25)

lb,net = 118 ⋅ 7,9 /19, 6 = 48 cm

gerade Stabenden

> 0,3 lb = 0,3 ⋅118 = 35 cm > 10 d s = 25 cm

Aufgrund der günstigen Wirkung des Querdrucks bei direkter Auflagerung darf die Verankerungslänge auf lb,dir verringert werden. lb,dir = (2 / 3) lb,net = (2 / 3) 48 = 32 cm ≥ 6 d s = 15 cm

Zweckmäßigerweise werden die Stäbe so weit wie möglich auf das Endauflager geschoben – 36,5 – (cv = 2,5 cm) = 34 cm, so dass die erforderliche Verankerungslänge gegeben ist. Übergreifungsstöße Von der Feldbewehrung werden 2∅25 über das Auflager B geführt und wirken dort als Druckbewehrung. Sie werden außerhalb der Stütze gestoßen, Bild 4.5, so dass die Mindestübergreifungslänge ausreichend ist. ls,min = 0,3 α a ⋅α1 ⋅ lb ≥ 15 d s > 200 mm

α1 = 2,0

ds > 16 mm, Stoßanteil > 30 %

DIN 1045-1, 12.8.2 αa = 1,0 gerade Stabenden, α1 s. Tab. 27

ls,min = 0,3 ⋅ 2, 0 ⋅118 = 71 cm > 15 d s = 37,5 cm

Von der Stützbewehrung werden 2∅25 außerhalb des Bereichs gestoßen, der durch das ungünstigste Stützmoment – Belastung beider Felder – gekennzeichnet ist, Momentennullpunkte s. Bild 4.5. Wird die veränderliche Last nur im Feld 1 angeordnet, ist das zugehörige Stützmoment betragsmäßig kleiner, erstreckt sich jedoch weiter ins Feld 2. Insofern wirkt im gewählten Stoßbereich eine Zugkraft, näherungsweise kann As,erf 0,3 As,vorh angenommen werden. Damit gilt wiederum die Mindestübergreifungslänge. ls,min = 0,3 ⋅ 2, 0 ⋅169 = 101 cm

Die Stäbe liegen im mäßigen Verbundbereich.

4

66

4 Plattenbalken

Bewehrungsskizze und Querschnitt Die Anordnung und die Länge der Bewehrungsstäbe sind in Bild 4.5 dargestellt. Bild 4.6 zeigt die Bewehrung im Querschnitt im Bereich der Stütze. 6∅16

24 16

3∅25

∅ 10–20

3∅10

30

65

4

2∅25

Bild 4.6: Querschnitt – Bewehrung Bereich Stütze

DIN 1045-1, 7.3.1 (3), Bild 3

Die Bewehrung zur Abdeckung der Stützmomente wird auf den Steg und die Gurte verteilt. Die Verteilungsbreite richtet sich nach der mitwirkenden Plattenbreite. Diese ist über Innenstützen wesentlich kleiner als im Feld, weil die wirksame Stützweite nur mit l0 = 0,15 (leff,1 + leff,2) eingeht. l0 = 2 ⋅ 0,15 ⋅ 8, 00 = 2, 40 m beff ,1 = beff ,2 = 0, 2 ⋅ 2,35 + 0,1⋅ 2, 40 = 0, 71 m ≤ 0, 2 l0 = 0, 2 ⋅ 2, 40 = 0, 48 m beff = 2 ⋅ 0, 48 + 0,30 = 1, 26 m

Beachte Klarstellung [6] zu DIN 1045-1, 13.2.1 (2): Konstruktionsregeln

DIN 1045-1, 12.7 (5), Bild 56

Für die ausgelagerte Bewehrung steht die halbe mitwirkende Gurtbreite zur Verfügung, d. h. rechts und links des Steges jeweils 0,48/2 = 0,24 m. An den Seitenflächen der Stege sind jeweils 3∅10 konstruktiv angeordnet, die eine Sicherheit zur Begrenzung der Rissbreite – Sammelrisse – darstellen. Bei Plattenbalken können offene Bügel verwendet werden, die durch die durchgehenden Querstäbe der Platte geschlossen werden.

67

4.3 Dreifeldbalken mit Momentenumlagerung

4.3 Dreifeldbalken mit Momentenumlagerung Die in Bild 4.7 und 4.8 dargestellte Decke eines Lagergebäudes besteht aus der über 5 Felder durchlaufenden Platte und den Dreifeldbalken in den Achsen 1 bis 6. Das Gebäude ist unten offen und oben geschlossen. Das Beispiel soll die unterschiedliche Belastung der Balken – Randbalken, erster bzw. übrige Innenbalken – sowie die Vorteile und Grenzen der Momentenumlagerung verdeutlichen. Baustoffe Beton

4 C30/37

Betonstahl BSt 500 S

Lasten Eigenlast zuzüglich Ausbaulast 1,0 kN/m2 Nutzlast qk = 6,0 kN/m2 Zu bearbeiten sind: • Lastermittlung für den Balken Achse 2 • Darstellung der Lasteinzugsflächen im Grundriss • Momentenumlagerung • Festlegung der Expositionsklassen, Mindestbetonfestigkeitsklasse, Betondeckung • Bemessung für Biegung • Darstellung der Bewehrung im Querschnitt Lastermittlung Balken Achse 2 Die Auflagerkraft der durchlaufenden Platte ist an der ersten Innenstütze – Balken Achse 2 und 5 – größer als an den übrigen Innenstützen – Balken Achse 3 und 4. Konsequenterweise erhalten die Endauflager – Balken Achse 1 und 6 – weniger als die Hälfte der Last des ersten Plattenfeldes.

Näherungsweise können die Lasteinzugsflächen gemäß Bild 4.7 gewählt werden. Demzufolge entfallen 40 % der Last des Randfeldes auf den Balken Achse 1, während 60 % auf den Balken Achse 2 entfallen. Die Last der übrigen Felder wird je zur Hälfte auf die angrenzenden Balken verteilt.

DIN 1055-3, Tab. 1, Kategorie E2: Lagerflächen

vergl. [8] Abschnitt Statik: Durchlaufträger mit gleichen Stützweiten und feldweiser Belastung vergl. DIN 1055-3, Bild 1 analog DIN 1045-1, 7.3.2 (4)

68

4 Plattenbalken

C

B

D

6,50

6,50

3 1 2 0,4l1 0,6l1 0,5l2 0,5l2 0,5l3

4

6,50

4

6,50

5

6,50

6

A

8,00

8,00

8,00

Bild 4.7: Geschossdecke – Lasteinzugsbereich

gk,Platte

= 25 ⋅ 0, 20 +1, 0 = 6, 0 kN/m2

gk,Balken = 6, 0 ( 0, 6 ⋅ 6,5 + 0,5 ⋅ 6,5 ) = 42,9 kN/m gk,Steg

= 25 ⋅ 0,35 (0, 60 − 0, 20)

=

3,5 kN/m 46,4 kN/m

qk,Platte = 6,0 DIN 1055-3, 6.1 (5) und (7)

kN/m2

Für die Weiterleitung der Lasten auf sekundäre Tragglieder – Unterzüge, Stützen, Gründungen usw. – dürfen die Nutzlasten der Platte abgemindert werden. Der Abminderungsbeiwert αA für die Kategorien C bis E1 beträgt:

α A = 0, 7 +

10 ≤ 1, 0 A

A Einzugsfläche des sekundären Tragglieds in m2, s. Bild 4.7 A = (0, 6 ⋅ 6,5 + 0,5 ⋅ 6,5) 8, 0 = 57, 2 m 2

α A = 0, 7 +

10 = 0,87 57, 2

qk , Balken = 0,87 ⋅ 6, 0 (0, 6 ⋅ 6,5 + 0,5 ⋅ 6,5) = 37,3 kN/m

69

4.3 Dreifeldbalken mit Momentenumlagerung

Teilsicherheitsbeiwert ständige Lasten γG = 1,35 veränderliche Lasten γQ = 1,5

Bemessungslasten g d = 1,35 ⋅ 46, 4 = 62, 7 kN/m qd = 1,5 ⋅ 37,3 = 56, 0 kN/m

Für diese Lasten sind die in Bild 4.8 angegebenen Schnittgrößen ermittelt. A

C

B

D

I

3,50

a)

Zu beachten ist, dass für das maximale Feldmoment und das Stützmoment die veränderliche Last jeweils in ungünstigster Stellung anzuordnen ist.

3,50

60 25

35

I

8,00

35

25

8,00

8,00

b) –798 MEd –111

376

628 –563 VEd 419 510

c)

3

2

20 60 35 6,50

6,15 6,50

35 6,50

Bild 4.8: Dreifeldbalken a) System in Längsrichtung b) Schnittgrößen c) Schnitt I–I (anderer Maßstab)

Die Stützen sind monolithisch mit dem Balken verbunden, so dass ein rahmenartiges Tragwerk vorliegt. Die Rahmenwirkung darf bei Innenstützen vernachlässigt werden, d. h. gelenkige Lagerung. Die Randstützen sind jedoch stets als Rahmenstäbe in biegefester Verbindung mit dem Balken zu berechnen.

DIN 1045-1, 7.3.2 (6) und (7)

4

70

4 Plattenbalken

DIN 1045-1, 8.3 (3), Gl. (12) und (14)

4

Momentenumlagerung Die mit linear-elastischen Verfahren ermittelten Biegemomente dürfen umgelagert werden, d. h. es darf ein abgemindertes Stützmoment M ƍ bei der Bemessung angesetzt werden. Konsequenterweise müssen die zugehörigen Feldmomente vergrößert werden. Es ist ein ausreichendes Rotationsvermögen nachzuweisen, das näherungsweise über eine Begrenzung der bezogenen Druckzonenhöhe erfolgen kann. δ ≥ 0,64 + 0,8 x/d ≥ 0,7 hochduktiler Stahl ≥ 0,85 normalduktiler Stahl δ Verhältnis des umgelagerten Moments zum Ausgangsmoment x/d bezogene Druckzonenhöhe nach Umlagerung Stabstahl BSt 500 S nach DIN 488 ist hochduktil, d. h. eine Momentenumlagerung bis zu 30 % ist zulässig. Allerdings ist bei Balken im Allgemeinen die bezogene Druckzonenhöhe so groß, dass der Nachweis des Rotationsvermögens mit der o. g. Gleichung nur für eine geringere Momentenumlagerung gelingt. Gewählt wird eine Momentenumlagerung von 15 %, d. h. δ = 0,85. ′ = − 0,85 ⋅ 798 = − 678 kNm M Ed

Veränderung der Querkräfte Zur Vereinfachung wird das ungünstigste Einspannmoment in Achse A übernommen.

Achse A

′ = (62, 7 + 56, 0) ⋅ 8, 0 / 2 − (678 −111) / 8, 0 = 404 kN VEd

′ = 510 − 0,15 ⋅ 798 / 8, 0 = 495 kN Achse B, rechts VEd

Moment am Rand der Unterstützung ′ ,red = 678 − 495 ⋅ 0,35 / 2 = 591 kNm M Ed DIN 1045-1, 8.2 (5), vergl. [7] Abschnitt 4.2.3, Bild 4.8

Zur Berücksichtigung einer teilweisen Einspannung in die Unterstützung ist ein Mindestmoment einzuhalten. M Ed ,min = 0, 65 ( g d + qd ) ln 2 / 8

ln = 8,00 – 0,25/2 – 0,35/2 = 7,70 m

lichte Stützweite

M Ed ,min = 0, 65 (62, 7 + 56, 0) 7, 702 / 8 = 572 kNm

< 591 kNm Tatsächlich ist das zugehörige Feldmoment etwas größer, weil sich MEd (x = 0) = – 111 kNm aus einer anderen Laststellung ergibt. Das ist bei der Reserve zu MEd,max = 628 kNm hinnehmbar.

Das zugehörige Feldmoment ist zu überprüfen. M Ed = M Ed ( x = 0) + = − 111 +

′ 2 VEd 2 ( g d + qd )

4042 = 577 kNm 2 (62, 7 + 56, 0)

< MEd,max = 628 kNm

71

4.3 Dreifeldbalken mit Momentenumlagerung

Expositionsklassen, Mindestfestigkeitsklasse, Betondeckung Unterseite XC3 C20/25 Bewehrungskorrosion XF1 C25/30 Betonangriff

cmin = 20 – 5 = 15 mm

Bügel

Korrosionsschutz

≥ ds,bü = 10 mm

Verbundsicherung

Δc = 15 mm cnom = 15 + 15 = 30 mm Längsstäbe

cmin ≥ ds = 28 mm

Δc = 10 mm cnom,l = 28 + 10 = 38 mm cv ≥ cnom,l – ds,bü = 38 – 10 = 28 mm

≥ cnom,bü = 30 mm Oberseite XC1

DIN 1045-1, 6.2, Tab. 3: Außenluft hat Zugang, keine direkte Beregnung Verminderung um 5 mm, weil der gewählte Beton C30/37 um 2 Festigkeitsklassen höher ist – maßgebend ist die Mindestbetonfestigkeitsklasse für Bewehrungskorrosion. [2] In den Fällen, in denen die Verbundbedingung maßgebend wird, ist ein Vorhaltemaß Δc = 10 mm ausreichend.

maßgebend

C16/20 Δc = 10 mm

cmin = 10 mm

Bügel und Längsstäbe

Maßgebend ist die Verbundsicherung der Längsstäbe. Damit ergibt sich wiederum cv = 30 mm. Bemessung für Biegung

d = 60 – 3,0 – 1,0 – 2,8/2 = 54,6 cm

gewählt 54,5 cm

Mitwirkende Plattenbreite beff =

¦ beff ,i + bw

beff ,i = 0, 2 bi + 0,1l0 l0 = 0,85 ⋅ 8, 00 = 6,80 m

≤ 0, 2l0

≤ bi

wirksame Stützweite, Randfeld

b1 = b2 = 6,15 / 2 = 3, 08 m tatsächlich vorhandene Gurtbreite bw = 0,35 m

Stegbreite

beff ,1 = beff ,2 = 0, 2 ⋅ 3, 08 + 0,1⋅ 6,80 = 1, 30 m

< 0, 2 l0 = 0, 2 ⋅ 6,80 = 1,36 m < b1 = 3, 08 m beff = 2 ⋅1,30 + 0,35 = 2,95 m

Abstandshalter gibt es nur in Abstufungen von 5 mm.

4

72

4 Plattenbalken

Feldmoment kd =

Anhang Tafel A3: Rechteckquerschnitt

54,5 628 2,95

= 3, 73

ks = 2,27

ξ = x/d = 0,09

x = 0, 09 ⋅ 54,5 = 4,9 cm

< hf = 20 cm

Die Spannungsnulllinie liegt in der Platte.

4 As = 2, 27 5∅28 passen in eine Lage, Tab. s. [8]

628 = 26, 2 cm2 54,5

gewählt 5∅28 = 30,8 cm2 Stützmoment Die Druckzone liegt im Steg b = 0,35 m kd =

Anhang Tafel A4: Rechteckquerschnitt mit Druckbewehrung ξ = x/d = 0,25

54,5 591 0,35

= 1,33

Im Zuge der Bemessung ist mit Hilfe der bezogenen Druckzonenhöhe das Rotationsvermögen nachzuweisen. Bei einer Momentenumlagerung von 15 % – δ = 0,85 – ist eine Bemessungstabelle zu wählen, die x/d = 0,25 vorgibt. Dann ist die Gleichung

δzul ≥ 0, 64 + 0,8 ⋅ 0, 25 = 0,84

< δgew = 0,85 erfüllt.

ks1 = 2,51

ks2 = 1,20

Korrekturfaktoren für d2/d = 5,5/54,5 = 0,10

ρ1 = 1,02

ρ1 , ρ2 berücksichtigen die Wirksamkeit der Druckbewehrung.

As1 = 2,51

ρ2 = 1,08 591 1, 02 54,5

= 27,8 cm2 gewählt Die Abweichung ist hinnehmbar.

As2 = 1, 20

591 1, 08 54,5

= 14,1 cm2

4Ø25 = 19,6 cm2 Steg 2 2 · 2Ø16 = 8,0 cm ausgelagert 27,6 cm2 ≈ 27,8 cm2

Als Druckbewehrung werden 3∅28 = 18,5 cm2 der Feldbewehrung über die Stütze durchgeführt.

73

4.3 Dreifeldbalken mit Momentenumlagerung

Bei Plattenbalken ist häufig Druckbewehrung erforderlich, weil nur die Breite des Steges zur Aufnahme der Druckkräfte zur Verfügung steht. Mit Momentenumlagerung vermindert sich die Zugbewehrung, jedoch ist für den Nachweis des Rotationsvermögens die bezogene Druckzonenhöhe x/d zu begrenzen, was in der Regel zusätzliche Druckbewehrung erfordert. Das ist nicht als Nachteil zu werten, wenn die Feldbewehrung über das Auflager geführt wird und außerhalb der Stütze gestoßen wird, vergl. Bild 4.5. Außerdem ist diese Ausführung vorteilhaft zur Abdeckung positiver Momente an Zwischenauflagern infolge außergewöhnlicher Beanspruchungen. Zum Vergleich der erforderlichen Stützbewehrung mit und ohne Momentenumlagerung erfolgt die Bemessung als Übungsaufgabe ohne Momentenumlagerung. Bemessung für Querkraft vergl. Übungsaufgabe. Bewehrung im Querschnitt Bild 4.9 zeigt die Bewehrung im Bereich der Stütze im Querschnitt. Die obere Bewehrung wird auf den Steg und die Gurte verteilt. Die Verteilungsbreite richtet sich nach der mitwirkenden Plattenbreite, die wegen der kleineren wirksamen Stützweite über Innenstützen wesentlich kleiner ist als im Feld. 4∅16

DIN 1045-1, 13.2.2 (10)

4

Zu beachten ist, dass zwischen den oberen Stäben der Stegbewehrung eine Rüttellücke von mindestens 10 cm verbleibt: 35 – 2(3,0 + 1,0) – (4 + 2)2,5 = 12 cm

60

20

4∅25

3∅10

35

3∅28

Bild 4.9: Querschnitt – Bewehrung Bereich Stütze

l0 = 0,15 (leff ,1 + leff ,2 ) = 2 ⋅ 0,15 ⋅ 8, 00 = 2, 40 m

DIN 1045-1, 7.3.1 (3), Bild 3

beff ,1 = beff ,2 = 0, 2 ⋅ 3, 08 + 0,1⋅ 2, 40 = 0,86 m < 0, 2 l0 = 0, 2 ⋅ 2, 40 = 0, 48 m beff = 2 ⋅ 0, 48 + 0,35 = 1,31 m

Die ausgelagerte Bewehrung ist innerhalb der halben mitwirkenden Gurtbreite anzuordnen, d. h. links und rechts des Steges auf jeweils 0,48/2 = 0,24 m.

Beachte Klarstellung [6] zu DIN 1045-1, 13.2.1 (2): Konstruktionsregeln

5 Tragfähigkeit schlanker Druckglieder Beim Nachweis schlanker Druckglieder sind nicht allein die Schnittgrößen infolge einwirkender Lasten maßgebend, sondern es sind zusätzlich die Momente infolge der Verformung zu berücksichtigen – Theorie II. Ordnung. Das Kriterium, ob die Auswirkungen nach Theorie II. Ordnung zu berücksichtigen sind, ist die Schlankheit des Druckgliedes. Bei ausgesteiften Gebäuden – alle horizontalen Kräfte werden durch Wände oder Bauwerkskerne abgetragen – erübrigt sich bei Rand- und Innenstützen in vielen Fällen der Nachweis der Theorie II. Ordnung – Abschnitt 5.1. Dagegen erfolgt bei Hallenkonstruktionen die Abtragung der horizontalen Lasten häufig allein durch die Stützen, so dass ein verschiebliches System vorliegt. Die Auswirkungen nach Theorie II. Ordnung können nach dem Modellstützenverfahren oder mit Hilfe von Bemessungshilfsmitteln berechnet werden – Abschnitt 5.2. Der Bemessung schließt sich die Wahl der Bewehrung an und unter Beachtung der Konstruktionsregeln für Stützen werden Bewehrungsskizzen für die baupraktische Umsetzung erstellt.

5.1 Gebäudestützen 5.1.1 Innenstütze Die Stütze in Achse B des in Bild 4.8 dargestellten Lagergebäudes – hinreichend ausgesteift – wird im Folgenden nachgewiesen. Sie ist monolithisch mit dem Fundament und der Deckenkonstruktion verbunden, Bild 5.1. Die Stütze ist der Außenluft ausgesetzt, eine direkte Beregnung ist ausgeschlossen; damit treffen die Expositionsklassen und die Betondeckung wie in Abschnitt 4.3 zu.

l0 35 × 35

3,50

Bild 5.1: Innenstütze – Geometrie, System

lcol

76

5 Tragfähigkeit schlanker Druckglieder

Baustoffe Beton C30/37 Stützenlast

Betonstahl BSt 500 S NEd = – 3500 kN

Zu bearbeiten sind: • Nachweis der Schlankheit • Bemessung • Stoß der Bewehrung oberhalb des Fundaments • Darstellung der Bewehrung im Stoßbereich Nachweis der Schlankheit Die Stütze ist am Kopf elastisch in die Deckenkonstruktion eingespannt, am Fuß liegt eine starre Einspannung in das Fundament vor. Die Stützenlänge zwischen den Einspannstellen beträgt lcol = 3,50 m.

5

Für elastisch eingespannte Stützen kann β mit Hilfe eines Nomogramms bestimmt werden, s. [7] Abschnitt 7.2, Bild 7.1. Daraus kann auch für den Standardfall mit einem starr eingespannten und einem gelenkig angeschlossenem Stabende β = 0,7 abgelesen werden.

Ersatzlänge Zur Vereinfachung bleibt die elastische Einspannung in die Deckenkonstruktion unberücksichtigt. Die Ersatzlänge für das in Bild 5.1 dargestellte System beträgt l0 = β ⋅ lcol = 0, 7 ⋅ lcol = 0, 7 ⋅ 3,50 = 2, 45 m

Schlankheit

λ = l0/i i = 0,289 h

Trägheitsradius bei Rechteckquerschnitten

λ = 2, 45 / (0, 289 ⋅ 0,35) = 24, 2 DIN 1045-1, 8.6.3 Gl. (27) bis (29) Die Gleichung für |νEd|< 0,41 kommt bei Stützen mit geringer Beanspruchung zum Tragen, z. B. in den oberen Geschossen von Gebäuden, deren Stützen durchgehend den gleichen Querschnitt haben.

Einzeldruckglieder gelten als schlank, wenn folgende Grenzwerte überschritten werden:

λmax = 25

für ν Ed ≥ 0, 41

λmax = 16 / ν Ed

für ν Ed < 0, 41

ν Ed =

N Ed Ac ⋅ f cd

ν Ed =

−3,5 = 1, 68 > 0, 41 0,352 ⋅17

λ = 24,5 < λmax = 25 Demzufolge brauchen die Auswirkungen nach Theorie II. Ordnung nicht berücksichtigt zu werden.

77

5.1 Gebäudestützen

Bemessung Die Stütze ist für NEd = – 3500 kN zu bemessen. Davon übernimmt der Beton: N Rd ,c = Ac ⋅ fcd = 0,352 ⋅17, 0 ⋅103 = 2083 kN

Die darüber hinaus gehende Druckkraft N Ed − N Rd ,c

ist durch

fyd = fyk /γs = 500/1,15 = 435 N/mm2 = 43,5 kN/cm2

Bewehrung aufzunehmen: N Rd , s = As ⋅ f yd As =

N Ed − N Rd ,c f yd

gewählt 6Ø28 = 37,0 cm2

fcd = 0,85 · fck /γc = 0,85 · 30/1,5 = 17 N/mm2

=

3500 − 2083 = 32, 6 cm 2 43,5

s. Bild 5.2 b)

5

a)

Es gibt Tabellen, die die aufnehmbare Druckkraft des Betons und der Bewehrung angeben, vergl. [7] Anhang Tafel A10.

107 < 15 dsbü ∅10

30 3×10

35

79 > 2 ds

89

3×10

35

∅28

Bild 5.2: Innenstütze – Bewehrung a) Querschnitt b) Stoß

Alternativ kann die Bemessung mit den Tafeln für symmetrische Bewehrung erfolgen – bei zentrischer Beanspruchung unabhängig von d1/h.

ν Ed =

N Ed −3,5 = = − 1, 43 0,35 ⋅ 0,35 ⋅ 20 b ⋅ h ⋅ f cd

μ Ed =

M Ed = 0 b ⋅ h 2 ⋅ f cd

ωtot = 0,6 A s,tot = ωtot

b⋅h 35 ⋅ 35 = 0, 6 = 33,8 cm 2 f yd / f cd 21, 74

Die Abweichung erklärt sich durch die Ablesegenauigkeit. Bei zentrisch gedrückten Stützen ist die Betondruckfestigkeit entscheidend für die erforderliche Bewehrung. Mit zunehmender Druckfestigkeit vermindert sich die Bewehrung – und umgekehrt, s. Übungsaufgabe.

Anhang Tafel A5 Zu beachten ist, dass in diesen Tafeln fcd abweichend definiert ist: fcd = fck /1,5 Einzusetzen ist h (nicht d wie bei Biegung).

5

78

5 Tragfähigkeit schlanker Druckglieder

Stoß der Bewehrung Alle Stäbe werden oberhalb des Fundaments gestoßen, s. Bild 5.2. DIN 1045-1, 12.8.2 (1), Tab. 27

ls = lb,net ⋅α1

≥ 15ds ≥ 200 mm lb,net = α a

DIN 1045-1, 12.4, Bild 54: für lotrechte Stäbe liegen gute Verbundbedingungen vor

As ,erf

lb

As,vorh

αa = 1,0 gerade Stabenden

lb = 101 cm

α1 = 1,0 Druckstoß ls = 1, 0

5

≥ 0,3 α a ⋅α1 ⋅ lb

32, 6 101 = 89 cm 37, 0

> 0,3 ⋅101 = 30,3 cm > 15 ds = 42 cm DIN 1045-1, 12.8.3, Bild 59

Im Bereich von Übergreifungsstößen müssen die Querzugspannungen, die bei der Kraftübertragung entstehen, durch eine Querbewehrung – Bügel – aufgenommen werden. Die Querschnittsfläche aller Bügel im Stoßbereich ¦ Ast muss mindestens dem Querschnitt eines gestoßenen Stabes As entsprechen.

¦ Ast ≥ 1,0 As = 6,16 cm2

DIN 1045-1, 13.5.3 (4) und (5), vergl. [2]: Maximalabstände sind in einem Bild übersichtlich zusammengestellt

∅28

Die Bügel sind je zur Hälfte am Anfang und Ende des Stoßes anzuordnen. Bei Druckstößen ist wegen der Spaltgefahr ein Bügel im Abstand von 50 mm vom Stoßende erforderlich. Gewählt jeweils 4 Bügel Ø10 im äußeren Drittel der Verankerungslänge: 2 · 3,14 = 6,28 cm², s. Bild 5.2. Außerhalb des Stoßes werden die Bügel im Abstand sw = 30 cm

≤ 12 d s ,l = 12 ⋅ 2,8 = 33, 6 cm ≤ hmin = 35 cm ≤ 300 mm

DIN 1045-1, 13.5.2 (2) Der maximale Bewehrungsgrad beträgt 9 %. DIN 1045-1, 12.8.1, Bild 57

angeordnet. Unmittelbar über und unter der Deckenkonstruktion sind die Bügelabstände mit dem Faktor 0,6 zu reduzieren, d. h. es wird ein zusätzlicher Bügel angeordnet. Im Stoßbereich beträgt der Bewehrungsgrad: As / Ac = 2 ⋅ 37, 0 / 352 = 0, 06 < 0, 09

Die gestoßenen Stäbe liegen nebeneinander. Zwischen den gestoßenen Stäben ist ein lichter Abstand von 2 ds,l erforderlich. Für die in Bild 5.2a gewählte Anordnung der Stäbe, Betondeckung cv = 3,0 cm, ergibt sich ein lichter Abstand von (35 − 2 (3, 0 + 1, 0) − 4 ⋅ 2,8) / 2 = 7,9 cm.

79

5.1 Gebäudestützen

Die Bügel sichern die Längsstäbe, jedoch nur bis zu einem Abstand von 15 ds,bü aus der Ecke. Der Abstand des mittleren Stabes vom Eckstab beträgt

DIN 1045-1, 13.5.3 (7), vergl. [2]: erläuterndes Bild

< 15 ds,bü = 15 cm.

35/2 – (3,0 + 1,0) – 2,8 = 10,7 cm

5.1.2 Randstütze Die Stütze in Achse A des in Bild 4.8 dargestellten Lagergebäudes – hinreichend ausgesteift – wird bemessen. Sie ist monolithisch mit dem Fundament und der Deckenkonstruktion verbunden, Bild 5.3. Auf Grund der Randlage ist sie direkter Beregnung ausgesetzt. –28

3,50

5

–56

25

3,50

56

28

Bild 5.3: Randstütze – Ersatzrahmen, Biegemomente

Baustoffe Beton Schnittgrößen NEd = – 1500 kN

C30/37

Betonstahl BSt 500 S

MEd s. Bild 5.3

Zu bearbeiten sind: • Festlegung der Expositionsklassen, Mindestbetonfestigkeitsklasse, Betondeckung • Nachweis der Schlankheit • Bemessung • Darstellung der Bewehrung im Querschnitt Expositionsklasse, Mindestfestigkeitsklasse, Betondeckung XC4 C25/30 Bewehrungskorrosion XF1 C25/30 Betonangriff

DIN 1045-1, 6.2, Tab. 3

80

5 Tragfähigkeit schlanker Druckglieder

DIN 1045-1, 6.3, Tab. 4

cmin = 25 mm Δc = 15 mm cnom,bü = 25 + 15 = 40 mm

Anhang Tafel A7 enthält den jeweils ungünstigsten Wert cnom für Korrosionsschutz oder Verbundsicherung.

Angenommen werden Längsstäbe Ø25, Bügel Ø8. Bei dieser verhältnismäßig großen Betondeckung erübrigt sich die Überprüfung der Verbundsicherung der Längsstäbe – unabhängig vom Durchmesser. cv = 40 mm

Verlegemaß

Nachweis der Schlankheit Die Stütze ist am Kopf elastisch in die Deckenkonstruktion eingespannt, am Fuß liegt eine starre Einspannung in das Fundament vor. Wie bei der Innenstütze, Abschnitt 5.1.1, bleibt zur Vereinfachung die elastische Einspannung in die Deckenkonstruktion unberücksichtigt.

5

lcol = 3,50 m

[7] Abschnitt 7.2, Bild 7.2

DIN 1045-1, 8.6.3 (4) und (9)

Stützenlänge

l0

= 0,7 lcol = 0,7 · 3,50 = 2,45 m

λ

= l0/i

Schlankheit

i

= 0,289 h

Trägheitsradius bei Rechteckquerschnitten

λ

= 2,45/(0,289 · 0,25) = 33,9

Ersatzlänge

Die Stützenverformung hängt nicht nur von der Schlankheit der Stütze, sondern auch vom Verlauf der planmäßigen Biegemomente ab. Es ist vorteilhaft, wenn die Momente nicht in voller Größe über die gesamte Stablänge wirken; am günstigsten sind gegenläufig wirkende Momente an den Stabenden. Demzufolge brauchen die Stützen bei unverschieblichen Tragwerken auch dann nicht nach Theorie II. Ordnung berechnet zu werden, wenn die Schlankheit folgenden Wert nicht überschreitet:

λcrit = 25 (2 − e01 /e02 ) e01 ,e02

Lastausmitten an den Stabenden e02 ≥ e01

Die Stützen sind jedoch zusätzlich zur aufzunehmenden Längskraft NEd mindestens für M Ed = N Ed ⋅ h / 20

zu bemessen. Dabei ist h die Querschnittsseite der Stütze in der betrachteten Richtung. Die Momente sind gegenläufig e02 = (−56) / (−1500)

81

5.1 Gebäudestützen

e01 = (28) / (−1500) = − e02 / 2

λcrit = 25 (2 − (−0,5)) = 62,5 > λ = 33,9 Es ist kein Nachweis nach Theorie II. Ordnung erforderlich. Auch für die Randstütze im Obergeschoss, die an beiden Enden elastisch eingespannt ist, kann der Nachweis nach Theorie II. Ordnung entfallen: l0 = lcol

λ = 3,50 / (0, 289 ⋅ 0, 25) = 48, 4 < λcrit = 62,5

Zur Vereinfachung bleibt die elastische Einspannung bei der Ermittlung der Ersatzlänge unberücksichtigt. In der Regel erübrigt sich bei Randstützen in ausgesteiften Gebäuden der Nachweis nach Theorie II. Ordnung.

5

Mindestmoment M Ed ,min = 1500 ⋅ 0, 25 / 20 = 18,8 kNm

< 56 kNm Bemessung Die Stütze ist zu bemessen für: NEd = – 1500 kN

MEd = 56 kNm

Gewählt wird symmetrische Bewehrung mit dem Achsabstand vom Rand d1 = 4,0 + 0,8 + 2,5/2 = 6,1 cm d1/h = 6,1/25 = 0,24

gewählt

νEd =

N Ed −1,5 = = − 0,86 0,35 ⋅ 0, 25 ⋅ 20 b ⋅ h ⋅ f cd

μEd =

M Ed 0, 056 = = 0,13 2 b ⋅ h ⋅ f cd 0,35 ⋅ 0, 252 ⋅ 20

d1/h = 0,25

ωtot < 0,5 As,tot = ωtot

b⋅h 35 ⋅ 25 = 0,5 = 20,1 cm2 21, 74 f yd / f cd

gewählt 2 · 2 Ø25 = 19,6 cm2 Aus den Diagrammen sind zugleich die Dehnungen abzulesen: εc2 = – 3,5‰ und – 0,67 < εs1 < 0. Der Querschnitt ist voll überdrückt, auch die Bewehrung am minder beanspruchten Rand wird auf Druck beansprucht. Daraus ist zu schließen, dass bei höherer Betondruckfestigkeit weniger Bewehrung erforderlich ist – und umgekehrt, vergl. Übungsaufgabe.

Tafel s. [8] Zu beachten ist, dass in diesen Tafeln fcd abweichend definiert ist: fcd = fck /1,5 Einzusetzen ist h (nicht d wie bei Biegung). Der abgelesene Wert ωtot = 0,5 und die für d1/h = 0,25 gewählte Tafel liegen auf der sicheren Seite, so dass die knapp gewählte Bewehrung vertretbar ist.

82

5 Tragfähigkeit schlanker Druckglieder

Der mechanische Bewehrungsgrad ωtot ist geringer als bei der Innenstütze Abschnitt 5.1.1, so dass sich die Kontrolle der Maximalbewehrung im Stoßbereich erübrigt. In Hinblick auf geringere Bewehrung in den oberen Geschossen wird die Mindestbewehrung nachgewiesen. As ,min = 0,15 N Ed / f yd

DIN 1045-1, 13.5.2 (1), Gl. (155)

NEd

Bemessungswert der aufzunehmenden Druckkraft

As ,min = 0,15 ⋅1500 / 43,5 = 5, 2 cm² DIN 1045-1, 13.5.1 (2)

Bewehrung im Querschnitt Bild 5.4 zeigt die Bewehrung im Querschnitt. Der Bügelabstand beträgt sw = 25 cm

≤ 12 d s ,l = 12 ⋅ 2,5 = 30 cm ≤ hmin = 25 cm ≤ 300 mm.

DIN 1045-1, 13.5.3 (3) mit Hinweis auf Bild 56e)

Die Bügel sind durch Haken zu schließen. Bei der Vermaßung der Bügel ist zu beachten, dass immer die Außenmaße anzugeben sind.

∅8–25

17

2∅25

25

5

vergl. [2] erläuterndes Bild

Konstruktiv ist in jeder Ecke mindestens ein Stab Ø12 anzuordnen.

27 35

Bügel ∅8–25 cv = 4,0 cm

Bild 5.4: Randstütze – Bewehrung

5.2 Hallenstütze DIN 1045-1, 8.6.3 Gl. (27) bis (29)

Die Stützen der in Bild 5.5 dargestellten Halle sind nach Theorie II. Ordnung zu bemessen, weil die Schlankheit die Grenzwerte überschreitet. Zu den planmäßigen Biegemomenten infolge Wind kommen die Momente infolge ungewollter Ausmitte. Die daraus resultierenden Verformungen, die das Biegemoment vergrößern, sind in den Nomogrammen enthalten, die gleichzeitig zur Bemessung dienen. In Längsrichtung ist die Halle ausgesteift; sie ist als geschlossenes Gebäude einzustufen.

83

30

I

6,00

2,00

5.2 Hallenstütze

I

40

Bild 5.5: Hallenstütze

Baustoffe Beton

C40/50

Betonstahl BSt 500 S

Schnittgrößen Die charakteristischen Lasten – ohne Teilsicherheitsbeiwert – erzeugen am Stützenfuß: Eigenlast Nk = – 100 kN Mk = 0 Schnee Nk = – 150 kN Mk = 0 Mk = ± 112 kNm Wind Nk = 0

Die Stütze wird als Fertigteil hergestellt. Die werkseitig geforderte Frühfestigkeit ergibt eine Betonfestigkeit, die größer ist als für die Bemessung erforderlich.

Zu bearbeiten sind: • Ermittlung der ungewollten Ausmitte ea • Ermittlung der Schnittgrößen für verschiedene Lastkombinationen • Bemessung mit dem μ-Nomogramm • Ermittlung der zusätzlichen Ausmitte e2 nach dem Modellstützenverfahren • Nachweis der 2. Richtung (Hallenlängsrichtung) Ungewollte Lastausmitte Maßgebend für die anzusetzende Stützenlänge ist die Höhe der Vertikallast über dem Fundament – die Gesamthöhe von 6,00 + 2,00 = 8,00 m liegt der Momentenermittlung infolge Wind zugrunde. lcol = 6,00 m

Stützenlänge

l0 = 2 lcol = 2 ⋅ 6, 00 = 12, 00 m

Ersatzlänge

[7] Abschnitt 7.2

Ungewollte Lastausmitte ea = α a1 ⋅ l0 / 2

αa = =

1 100 lcol

DIN 1045-1, 8.6.4 (1)

≤

1 100 6, 00

1 200 = 4, 08 ⋅10−3 <

Schiefstellung 1 200

DIN 1045-1, 7.2 (4)

5

84

5 Tragfähigkeit schlanker Druckglieder

DIN 1045-1, 7.2 (5)

Sind mehrere lastabtragende Bauteile vorhanden, darf αa1 mit dem Faktor αn abgemindert werden: 1+1/ n 2

αn =

n = 2 Anzahl der nebeneinander liegenden Stützen

αn =

1 + 1/ 2 = 0,866 2

α a1 ⋅α n = 4, 08 ⋅10−3 ⋅ 0,866 = 3,54 ⋅10−3 ea = 3,54 ⋅10−3 ⋅12, 00 / 2 = 0, 021 m ungewollte Lastausmitte

Momente infolge ungewollter Lastausmitte

5

M k ,a = N k ea

Die Schnittgrößen infolge planmäßiger Lastausmitte e0 und ungewollter Lastausmitte ea ergeben die Schnittgrößen nach Theorie I. Ordnung, Tabelle 5.1. Tabelle 5.1: Schnittgrößen nach Theorie I. Ordnung: charakteristische Werte ständig

Nk M k ,0 M k ,a = Nk ⋅ ea M k ,1 = M k ,0 + M k ,a

DIN 1055-100, 9.4 (4), Tab. 2, vergl. [7] Abschnitt 2.4.3

kN

veränderlich

Gk

Sk

– 100

– 150

0

0

0

112

kNm kNm

2,1

3,2

0

kNm

2,1

3,2

112

Lastkombinationen Bei der Ermittlung der Schnittgrößen für die Anwendung des μ-Nomogramms sind die Teilsicherheitsbeiwerte γ und die Kombinationsbeiwerte ψ zu berücksichtigen. Es ist nur eine veränderliche Einwirkung in voller Größe anzusetzen, die anderen veränderlichen Einwirkungen werden mit dem Kombinationsbeiwert abgemindert. Mit

DIN 1055-100, Tab. A2: Beiwerte ψ

ψ0 = 0,5

für Schnee

ψ0 = 0,6

für Wind

ergeben sich folgende Kombinationen: ständige Lasten γG = 1,35 veränderliche Lasten γQ = 1,5

Wk

(1)

1,35 Gk + 1,5 (Sk + 0,6 Wk) N Ed = − (1,35 ⋅100 + 1,5 ⋅150) = − 360 kN M Ed = 1,35 ⋅ 2,1 + 1,5(3, 2 + 0, 6 ⋅112) = 108 kNm

85

5.2 Hallenstütze

1,35 Gk + 1,5 (0,5 Sk + Wk)

(2)

N Ed = − (1,35 ⋅100 + 1,5 ⋅ 0,5 ⋅150) = − 248 kN M Ed = 1,35 ⋅ 2,1 + 1,5(0,5 ⋅ 3, 2 + 112) = 173 kNm

Bemessung Mit den μ-Nomogrammen wird sowohl die Gesamtausmitte etot als auch die Bewehrung ermittelt. Eingangsparameter: l0/h

bezogene Stablänge

ν Ed =

N Ed Ac ⋅ f cd

μ Ed =

M Ed bezogenes Moment, Theorie I. Ordnung h ⋅ Ac ⋅ fcd

bezogene Längskraft

[8] und Anhang Tafel A6: Zu beachten ist, dass in den Nomogrammen fcd abweichend definiert ist: fcd = fck/1,5 Einzusetzen ist h (nicht d wie bei Biegung).

5

Auswahlkriterium ist die Lage der Bewehrung vom Rand. Angenommen werden Ø20, Bügel Ø6: cv = 2,5 cm

Innenbauteil

Vergl. Anhang Tafel A7 Die Verbundsicherung der Längsstäbe cnom ≥ ds + Δc ist ausschlaggebend.

h1 = 2,5 + 0,6 + 2,0/2 = 4,1 cm h1/h = 4,1/40 = 0,10 Tabelle 5.2: Hallenstütze: Bemessung NEd

MEd

νEd

μEd

ω

As

kN

kNm

–

–

–

cm2

(1)

– 360

108

– 0,113

0,084

0,23

16,9

(2)

– 248

173

– 0,078

0,135

0,34

25,0

Kombination

Einzelschritte für Kombination (2) l0 12, 00 = = 30 0, 40 h

ν Ed =

−0, 248 = − 0, 078 0,3 ⋅ 0, 4 ⋅ 26, 67

μ Ed =

0,173 = 0,135 0,3 ⋅ 0, 42 ⋅ 26, 67

As = 0,34

30 ⋅ 40 = 25, 0 cm2 16,30

gewählt 2 · 4 Ø20 = 25,1 cm2 Das Gesamtmoment am Stützenfuß MEd,tot kann mit Hilfe des Nomogramms ermittelt werden, indem der Schnittpunkt der ω-Linie mit

86

5 Tragfähigkeit schlanker Druckglieder

der νsd-Linie mit dem Fußpunkt der rechten Leiter – l0/h < 4,3 – verbunden wird, s. gestrichelte Linie (4) in den Erläuterungen Tafel A6. Die Verlängerung ergibt auf der Ordinate

μEd,tot = 0,17 M Ed ,tot = μ Ed ,tot ⋅ h ⋅ Ac ⋅ fcd = 0,17 ⋅ 0, 4 ⋅ 0,3 ⋅ 0, 4 ⋅ 26, 67 ⋅103 = 218 kNm Erläuterungen und Beispiel in [7] Abschnitt 7.7

5

DIN 1045-1, 8.6.5 vergl. [7] Abschnitt 7.3

Zu prüfen bleibt, ob die Bemessung mit kleinerer Normalkraft ungünstig wirkt. Anstelle einer Neubemessung kann die erforderliche Bewehrung für eine geringere Normalkraft direkt aus dem Nomogramm abgelesen werden. Die Verbindungslinie von der Ordinate μ zur Leiter l0/h verläuft steiler als die ω-Linie, d. h. eine größere Normalkraft erfordert mehr Bewehrung. Damit ist die Kombination mit 1,0 Gk und ohne Schnee nicht maßgebend. Dennoch wird dieser Nachweis – einschließlich Ermittlung der Bemessungsschnittgrößen – als Übungsaufgabe geführt. Zusätzliche Ausmitte nach dem Modellstützenverfahren Zusätzliche Ausmitte e2 infolge Auswirkungen nach Theorie II. Ordnung: e2 =

1 l02 1 12, 002 = = 0,193 m 2070 d 2070 0,9 ⋅ 0, 40

Damit ergibt sich das zusätzliche Moment für die Kombination (2) M Ed ,2 = N Ed ⋅ e2 = 248 ⋅ 0,193 = 48 kNm

Gesamtmoment am Stützenfuß MEd,tot = MEd,1 + MEd,2 = 173 + 48 = 221 kNm Die Abweichung zum zuvor berechneten Wert MEd,tot = 218 kNm erklärt sich durch die Ablesegenauigkeit. Mit MEd,tot = 221 kNm und NEd = – 248 kN kann die Bewehrung mit Hilfe der Bemessungstafel A5 – Diagramm für symmetrische Bewehrung – ermittelt werden; das Ergebnis stimmt mit Tabelle 5.2 überein. Nachweis der 2. Richtung In Hallenlängsrichtung sind die Stützen in 6 m Höhe mit der aussteifenden Scheibe verbunden, Bild 5.6. Die planmäßige Beanspruchung ist zentrisch, hinzu kommt ein Moment infolge der ungewollten Lastausmitte ea. Vereinfachend wird die Schiefstellung der z-Richtung übernommen, dann ergibt sich in y-Richtung: l0 = 0, 7 ⋅ 6, 00 = 4, 20 m ea = 3,54 ⋅10−3 ⋅ 4, 20 / 2 = 0, 007 m

87

5.2 Hallenstütze

Dagegen beträgt die Lastausmitte nach Theorie I. Ordnung in z-Richtung e1 = 173/248 = 0,698 m.

l0/2 = lcol = 6,00

System z-Richtung

z

b

y

5 System y-Richtung

h

6,00

Bild 5.6: Hallenstütze – Ersatzlänge

Getrennte Nachweise in y- und z-Richtung sind zulässig, wenn die bezogene Lastausmitte in einer Richtung untergeordnet ist, Bild 5.7. h e 0z

z

< 0,2

b e 0z

NEd

< 0,2

b

e 0y

0,2b

e 0y

h e0y b

h

0,2h e0z y

Bild 5.7: Grenzen für getrennte Nachweise in Richtung der beiden Hauptachsen

DIN 1045-1, 8.6.6 Dabei darf der Nachweis in jeder der beiden Richtungen mit der gesamten im Querschnitt angeordneten Bewehrung durchgeführt werden.

88

5 Tragfähigkeit schlanker Druckglieder

0, 007 b = 0,30 = 0, 013 < 0, 2 e0 z 0, 698 0, 40 h

e0 y

DIN 1045-1, 8.6.6 (3): Biegung über die schwächere Achse mit hred

5

Der Nachweis in y-Richtung kann getrennt für NEd und MEd = 0,007 NEd geführt werden. Angesichts der sehr geringen Ausmitte erübrigt sich der Rechengang, auch wenn als Breite ein abgeminderter Wert hred zu berücksichtigen ist.

6 Fundamente Fundamente verteilen die Stützenlast auf den Baugrund, d. h. die punktförmige Stützenlast steht mit den Bodenpressungen im Gleichgewicht. Die Verteilung der Biegemomente ist über die Fundamentbreite veränderlich und nicht konstant wie bei liniengelagerten Deckenplatten. Die Übertragung der Querkraft erfolgt entlang eines Rundschnitts um die Stütze; in Anlehnung an den Bruchmechanismus ist der Begriff Durchstanzen üblich. Bei Einzelfundamenten ist anzustreben, ohne Durchstanzbewehrung auszukommen. Es werden Möglichkeiten aufgezeigt, die Querkrafttragfähigkeit ohne Durchstanzbewehrung nachzuweisen. In Abschnitt 6.1 erfolgt die Bemessung eines typischen Einzelfundaments. Die Besonderheiten für gedrungene Fundamente werden in Abschnitt 6.2 behandelt.

6.1 Fundament für Lagergebäude Nachgewiesen wird das Fundament in Achse B des in Bild 4.8 dargestellten Lagergebäudes. Die Abmessungen sind Bild 6.1 zu entnehmen. Baustoffe Beton Stützenlast

C25/30 NEd = – 3500 kN

Betonstahl BSt 500 S

Die Betonfestigkeitsklasse wird im Zuge des Nachweises gegen Durchstanzen verändert.

Zu bearbeiten sind: • Festlegung der Expositionsklassen, Mindestbetonfestigkeitsklasse, Betondeckung • Ermittlung der Biegemomente • Bemessung für Biegung • Nachweis gegen Durchstanzen • Verteilung der Bewehrung im Grundriss Expositionsklassen, Mindestfestigkeitsklasse, Betondeckung XC2 C16/20 Bewehrungskorrosion XF1 C25/30 Betonangriff cmin = 20 – 5 = 15 mm

Korrosionsschutz

Δc = 15 mm cmin = ds = 20 mm Δc = 10 mm

Verbundsicherung

DIN 1045-1, 6.2, Tab. 3: Gründungsbauteil, das innerhalb der Frosttiefe liegt DIN 1045-1, 6.3, Tab. 4: Verminderung um 5 mm, weil der gewählte Beton 2 Klassen höher ist – maßgebend ist C16/20 für Korrosionsschutz

90

6 Fundamente

DIN 1045-1, 6.3 (10)

Damit ergibt sich für beide Kriterien die gleiche Betondeckung. Das Vorhaltemaß sollte um 20 mm vergrößert werden, wenn gegen unebene Flächen, z. B. Unterbeton, betoniert wird. cv = 15 + (15 + 20) = 50 mm

Verlegemaß

bx = 3,50 Verteilung von mEd,x by/4

by/2

by = 3,00

cy = 35

cx = 35

by/4

6

Verlauf von mEd,x

Bild 6.1: Fundament – Biegemomente: Verlauf und Verteilung

Bemessung für Biegung Vereinfachend wird eine gleichmäßige Verteilung der Bodenpressungen angenommen. Dafür beträgt das ausgerundete Moment in den Achsen des Fundaments, Bild 6.1: NEd ist die Stützenlast, die Eigenlast des Fundaments erzeugt keine Biegemomente.

Die Fundamentbreite wird in 8 Streifen unterteilt, auf die ein jeweils unterschiedlicher Anteil des Gesamtmoments entfällt.

M Ed , x = N Ed M Ed , y = N Ed

bx − cx 3,50 − 0,35 = 3500 = 1378 kNm 8 8 by − c y 8

= 3500

3, 00 − 0,35 = 1159 kNm 8

Die Momente sind über die Breite des Fundaments ungleichmäßig verteilt; sie nehmen vom Rand zur Fundamentachse zu, entsprechend kann auch die Bewehrung abgestuft werden. Die Verteilung der Momente und der Bewehrung über die Fundamentbreite ist in Heft 240 DAfStb [11] angegeben. Es ist zweckmäßig, die Verteilung weiter zu vereinfachen, indem 2/3 des Gesamtmoments der halben Fundamentbreite in der Mitte und das restliche Drittel auf die beiden Randbereiche – jeweils b/4 – zugewiesen werden, Bild 6.1. mEd , x = 1,33 = 1,33

M Ed , x by

mittlerer Bereich by/2

1378 = 611 kNm/m 3, 0

91

6.1 Fundament für Lagergebäude

mEd , y = 1,33 = 1,33

M Ed , y bx

mittlerer Bereich bx/2

1159 = 441 kNm/m 3,5

Die Bewehrung über die lange Seite liegt unten. dx = 80 – 5,0 – 2,0/2 = 74 cm dy = 80 – 5,0 – 2,0 – 2,0/2 = 72 cm kd =

x-Richtung kd =

74 611

asx = 2, 29

= 2,99

as = ks

611 = 18,9 cm2/m 74

ks für nächst kleineren kd-Wert ablesen

gewählt Ø20 – 15 = 20,9 cm2/m

mittlerer Bereich

y-Richtung kd =

72 441

asy = 2, 27

d [cm] mEd [kNm/m]

= 3, 43 441 = 13,9 cm2/m 72

gewählt Ø20 – 20 = 15,7 cm2/m

mittlerer Bereich

Den Randbereichen – jeweils bx/4 bzw. by/4 – werden die Momente mEd , x = 0, 67

M Ed , x by

mEd , y = 0, 67

M Ed , y bx

zugewiesen. Damit kann die Bewehrung auf die Hälfte abgestuft werden. In Hinblick auf den Nachweis des Durchstanzens wird davon zunächst abgesehen, vergl. Verteilung der Bewehrung im Grundriss. Nachweis gegen Durchstanzen Das Bemessungsmodell für den Nachweis gegen Durchstanzen definiert die Querkrafttragfähigkeit längs des kritischen Rundschnitts im Abstand 1,5 d vom Stützenrand. Analog zur Querkraftbemessung wird die Querkraft entweder allein vom Beton – zweckmäßig für Fundamente – oder in Kombination mit Durchstanzbewehrung übertragen.

mEd [kNm/m] d [cm]

6

92

6 Fundamente

1:1

1,5 d

35

3,00

1,5 d

80

,5

1,5 d

6

35

1,5 d

3,50

Bild 6.2: Fundament – Kritischer Rundschnitt

DIN 1045-1, 10.5.2, Bild 37 und 39

Kritischer Rundschnitt, Bild 6.2 d = (dx + dy)/2

mittlere Nutzhöhe

= (0,74 + 0,72)/2 = 0,73 m u = 4 ⋅ 0,35 + 2π ⋅ (1,5 ⋅ 0, 73) = 8, 28 m

Die vom kritischen Rundschnitt eingeschlossene Fläche beträgt: Acrit = 0,352 + 4 ⋅ 0,35 ⋅ (1,5 ⋅ 0, 73) + π (1,5 ⋅ 0, 73)2 = 5, 42 m2

DIN 1045-1, 10.5.3 (4)

Aufzunehmende Querkraft Die Querkraft VEd – Stützenlast – darf um die günstige Wirkung der Bodenpressung abgemindert werden. Dafür ist jedoch eine steilere Neigung (≈ 45°) maßgebend. Näherungsweise darf der Abzugswert aus der Bodenpressung mit Hilfe der kritischen Fläche Acrit für den flacheren Stanzkegel (33,7°) ermittelt werden, indem nur 50 % der Fläche angesetzt werden. VEd ,red = 3500 −

DIN 1045-1, 10.5.3 (2) und Bild 44

3500 5, 42 = 2597 kN 3, 0 ⋅ 3,5 2

Das Fundament ist nicht quadratisch, so dass die Verteilung entlang des kritischen Rundschnitts nicht rotationssymmetrisch ist. Das wird mit dem Beiwert β = 1,05 erfasst. vEd ,red =

β ⋅VEd ,red u

=

1, 05 ⋅ 2597 = 329 kN/m 8, 28

93

6.1 Fundament für Lagergebäude

Querkraftfähigkeit ohne Durchstanzbewehrung vRd ,ct = 0,14 κ ⋅ (100 ρl ⋅ fck )

1/ 3

⋅d

DIN 1045-1, 10.5.4 verkürzte Schreibweise vergl. [7]

Diese Gleichung ist genauso aufgebaut wie die Gleichung für liniengelagerte Platten. Die höhere Querkrafttragfähigkeit infolge des räumlichen Spannungszustands im unmittelbaren Bereich um die Stütze wird durch den Vorfaktor 0,14 – anstatt 0,10 bei liniengestützten Platten – erfasst. 200 d

κ = 1+ d =

d in mm

dx + d y

mittlere Nutzhöhe in mm

2

ρl =

ρlx ⋅ ρly

mittlerer Längsbewehrungsgrad

ρl bezieht sich auf die

ρlx und ρly Zugbewehrung in x-

gewählte Bewehrung innerhalb des Rundschnitts.

und y-Richtung

κ = 1+ ρlx = ρly =

ρl =

200 = 1,52 730

asx 20,9 = = 0, 0028 100 d x 100 ⋅ 74 asy 100 d y

=

15, 7 = 0, 0022 100 ⋅ 72

0, 0028 ⋅ 0, 0022 = 0, 0025

vRd ,ct = 0,14 ⋅1,52 ⋅ (100 ⋅ 0, 0025 ⋅ 25)1/ 3 ⋅ 0, 73 ⋅103

= 286 kN/m

< vEd,red = 329 kN/m Der Nachweis gegen Durchstanzen ist nicht erfüllt. Folgende Maßnahmen sind möglich: • Fundamentdicke vergrößern • Betonfestigkeitsklasse erhöhen • Biegebewehrung vergrößern • Durchstanzbewehrung einlegen Eine Vergrößerung der Fundamentdicke ist für den Nachweis gegen Durchstanzen am günstigsten. Dagegen können ggf. Belange der Baustelle sprechen – einheitliche bzw. vorgegebene Gründungsebene. Einzelfundamente haben in der Regel nur eine untere Bewehrung. Eine Durchstanzbewehrung – Bügel oder Schrägstäbe – würde zur

DIN 1045-1, 10.5.5, Bild 45 und 13.3.3, Bild 72

6

94

6 Fundamente

Lagesicherung eine obere Bewehrung erforderlich machen, was aufwendig ist. Gewählt wird: Anhebung Betonfestigkeit auf C30/37 und Erhöhung Bewehrung x-Richtung Ø20-125 = 25,1 cm2/m ρlx = 0,0034 y-Richtung Ø20-15 = 20,9 cm2/m

ρly = 0,0029

vRd ,ct = 0,14 ⋅1,52 ⋅ (100 ⋅ 0, 0032 ⋅ 30)1/ 3 ⋅ 0, 73 ⋅103

= 330 kN/m

6

> vEd,red = 329 kN/m Damit ist der Nachweis ohne Durchstanzbewehrung erfüllt. Mit zunehmender Fundamentdicke vergrößert sich auch der kritische Rundschnitt. Dadurch verringert sich die aufzunehmende Querkraft vEd und gleichzeitig steigt die Querkrafttragfähigkeit vRd , vergl. Übungsaufgabe. Bewehrung im Grundriss Aus Bild 6.2 ist zu ersehen, dass sich der kritische Rundschnitt über mehr als die halbe Fundamentbreite erstreckt. Dem vorangegangenen Nachweis gegen Durchstanzen liegt die Bewehrung des mittleren Bereichs zu Grunde, so dass sie über die Breite des kritischen Rundschnitts einzulegen ist. Es verbleiben Randbereiche von

DIN 1045-1, 10.5.6 Bei Fundamenten ist die Bewehrung für das Mindestmoment über die Breite des kritischen Rundschnitts einzulegen.

(3,50 − (0,35 + 2 ⋅1,5 d )) / 2 = 0, 48 m

Breite bx

(3, 00 − (0, 35 + 2 ⋅1, 5 d )) / 2 = 0, 23 m

Breite by

Eine Abstufung lohnt nur in der Breite bx : zum Rand werden die Stäbe im Abstand von 25 cm gelegt, Bild 6.3. Der Durchstanznachweis setzt eine ausreichende Biegebewehrung voraus, die sich aus den Mindestmomenten ergibt. mEd , x = mEd , y = 0,125 VEd = 0,125 ⋅ 3500 = 438 kNm/m

< mEd,y = 441 kNm/m

95

6.2 Gedrungenes Fundament

8∅28 2∅10

25

18

18∅20–15

18

25

3,50

3,00

22∅20–15(25)

24∅20–125

6

Bild 6.3: Fundament – Bewehrung

Es zeigt sich, dass auch in Hinblick auf die Mindestmomente die Bewehrung nicht in dem Maße abgestuft werden kann, wie es die Bemessung für Biegung ermöglicht. Zu beachten ist, dass die Anschlussbewehrung für die Stütze auf dem Bewehrungsplan für das Fundament enthalten sein muss, einschließlich einiger Bügel zur Lagesicherung der lotrechten Stäbe.

6.2 Gedrungenes Fundament Bei dem in Bild 6.4 dargestellten Fundament liegt der Rundschnitt im Abstand 1,5 d vom Stützenrand teilweise außerhalb des Fundaments. Demzufolge ist der Nachweis gegen Durchstanzen mit den Regeln für gedrungene Fundamente zu führen. Baustoffe Beton Stützenlast

C20/25 NEd = – 2500 kN

Betonstahl BSt 500 S

Zu bearbeiten sind: • Festlegung der Expositionsklasse, Betondeckung • Bemessung für Biegung • Nachweis gegen Durchstanzen • Verteilung der Bewehrung im Grundriss

DIN 1045-1, 10.5.4, vergl. erläuternden Text in [2]

96

6 Fundamente

1: 1

65

,5

1:1

5

2,00

1,

30

d

d

6 30 2,00

Bild 6.4: Gedrungenes Fundament – Kritische Rundschnitte

DIN 1045-1, 6.2, Tab. 3

DIN 1045-1, 6.3, Tab. 4, angenommen ∅16 Erhöhung des Vorhaltemaßes um 20 mm zur Berücksichtigung der Unebenheiten des Unterbetons

Expositionsklasse, Betondeckung Das Fundament liegt unterhalb des Kellers, eine Frostgefährdung ist ausgeschlossen. XC2 C16/20

≥ ds

cmin = 20 mm Δc = 15 + 20 = 35 mm cv = 20 + 35 = 55 mm

Verlegemaß

Bemessung für Biegung Die Momente sind in beiden Richtungen gleich groß. Bemessen wird für die ungünstigste Nutzhöhe.

dx = 65 – 5,5 – 1,6/2 = 58,7 cm dy = 65 – 5,5 – 1,6 – 1,6/2 = 57,1 cm

gewählt

57 cm

Gesamtmoment in der Fundamentachse M Ed = N Ed

b−c 2, 00 − 0,30 = 2500 = 531 kNm 8 8

97

6.2 Gedrungenes Fundament

Verteilung über die Fundamentbreite mittlerer Bereich b/2 mEd = 1,33

M Ed 531 = 1,33 = 353 kNm/m b 2, 0

Randbereiche je b/4 mEd = 0, 67 kd =

57 353

as = 2,32

Vereinfachter Ansatz, vergl. Abschnitt 6.1 und Bild 6.1

M Ed 531 = 0, 67 = 177 kNm/m b 2, 0 = 3, 03

353 = 14, 4 cm2/m 57

d [cm] mEd [kNm/m]

mittlerer Bereich

kd =

mittlerer Bereich

as = ks

mEd [kNm/m] d [cm]

gewählt Ø16-125 = 16,1 cm2/m Nachweis gegen Durchstanzen Bei gedrungenen Fundamenten darf der Nachweis gegen Durchstanzen im Abstand 1,0 d vom Stützenrand geführt werden. Zur Berechnung der Tragfähigkeit ist außerdem der kritische Rundschnitt im Abstand 1,5 d erforderlich.

6 vergl. [2]: Erläuterungen zu 10.5.4 und [7] Abschnitt 5.4.9

d = 0,65 – 0,055 – 0,016 = 0,58 m mittlere Nutzhöhe Kritischer Rundschnitt Abstand 1,5 d vom Stützenrand

μ r =1,5 d = 4 ⋅ 0,30 + 2 π ⋅ (1,5 ⋅ 0,58) = 6, 67 m Abstand 1,0 d vom Stützenrand

μ r =1,0 d = 4 ⋅ 0,30 + 2 π ⋅ 0,58 = 4,84 m Fläche innerhalb des kritischen Rundschnitts r = 1,0 d Acrit ,r =1,0 d = 0,302 + 4 ⋅ 0,30 ⋅ 0,58 + π ⋅ 0,582 = 1,84 m2

Aufzunehmende Querkraft Die Entlastung infolge der Bodenpressung kann für den Rundschnitt r = 1,0 d zu 100 % berücksichtigt werden. VEd ,red = 2500 −

2500 1,84 = 1350 kN 2, 002

Der kritische Rundschnitt liegt teilweise außerhalb des Fundaments 2 · (1,5 d) + 0,30 = 2,04 m > b = 2,00 m

98

6 Fundamente

Beim quadratischen Fundament kann rotationssymmetrische Verteilung der Querkraft angenommen werden, demzufolge Beiwert β = 1,0. vEd ,red ,r =1,0 d =

VEd

μ r =1,0 d

=

1350 = 279 kN/m 4,84

Querkrafttragfähigkeit ohne Durchstanzbewehrung Für den Schnitt 1,0 d ist der mehraxiale Spannungszustand ausgeprägter als für den Schnitt 1,5 d, so dass sich der Durchstanzwiderstand erhöht. DIN 1045-1, 10.5.4, vergl. erläuternden Text in [2]

vRd ,ct ,r =1,0 d = k (0,14 κ ⋅ (100 ρl ⋅ fck )1/ 3 ) ⋅ d k =

6 =

ukrit ,r =1,5d ukrit ,r =1,0 d

ρl =

Erhöhungsfaktor

6, 67 = 1,38 4,84

κ = 1+ Bei gleicher Bewehrung in x- und y-Richtung erübrigt sich die Berechnung ρl über ρlx und ρly

≥ 1, 2

200 200 = 1+ = 1,59 d 580

as 16,1 = = 0, 0028 100 d 100 ⋅ 58

vRd ,ct ,r =1,0 d = 1,38 ⋅ 0,14 ⋅1,59 (100 ⋅ 0, 0028 ⋅ 20)1/ 3 ⋅ 0,580 ⋅103 = 316 kN/m > vEd ,ct ,r =1,0 d = 279 kN/m

Der Nachweis ohne Durchstanzbewehrung ist erfüllt, was bei Einzelfundamenten in der Regel anzustreben ist, vergl. Übungsaufgabe. Bewehrung im Grundriss Innerhalb des kritischen Rundschnitts – 2 · 0,58 + 0,30 = 1,46 m – ist das Mindestmoment einzuhalten. m Ed = 0,125 VEd = 0,125 ⋅ 2500 = 313 kNm/m

< mEd = 353 kNm/m mittlerer Bereich > mEd = 177 kNm/m Randbereiche Das Mindestmoment ist größer als das Moment in den Randbereichen, so dass die Bewehrung nicht in dem Maße abgestuft werden kann wie es die Bemessung für Biegung ermöglicht. Außerdem liegt dem Nachweis gegen Durchstanzen die Bewehrung des mittleren Bereichs

99

6.2 Gedrungenes Fundament

zu Grunde, so dass sie über die Breite des kritischen Rundschnitts einzulegen ist. Lediglich die beiden Stäbe am Rand können im Abstand von 25 cm verlegt werden, Bild 6.5.

25

2,00

25

2,00

12∅16–125

14∅16–125(25)

12∅16–125

25

14∅16–125(25)

25

Bild 6.5: Gedrungenes Fundament – Bewehrung

6

7 Flachdecke Bei Flachdecken werden die Deckenlasten direkt auf die Stütze übertragen. Aufgrund der punktförmigen Stützung ist die Verteilung der Biegemomente ungleichmäßig, sie konzentrieren sich im Stützbereich. Die Querkraftübertragung ist häufig der entscheidende Nachweis für die Dimensionierung der Platte. Die Berechnung der Biegemomente kann problemlos mit Hilfe von FEM-Programmen erfolgen. Doch zum Verständnis der Lastabtragung sind einfache Näherungsverfahren nach wie vor geeignet. In der Regel ist die Bemessung für Biegung nicht der entscheidende Nachweis. Abweichende Ergebnisse bei FEM-Berechnungen – bedingt durch unterschiedliche Eingabe – und erst recht zu den Näherungsverfahren sind in gewissem Maße tolerabel. Der Momentenermittlung mit Hilfe des in Heft 240 DAfStb angegebenen Näherungsverfahrens schließt sich die Bemessung an und es werden Skizzen für die obere und untere Bewehrung erstellt, Abschnitt 7.1. Die Übertragung der Querkraft erfolgt entlang eines Rundschnitts um die Stütze. In Anlehnung an den Bruchmechanismus ist die Formulierung „Nachweis gegen Durchstanzen“ üblich. Die Querkraft wird entweder allein vom Beton oder in Kombination mit Durchstanzbewehrung aufgenommen. Die Berechnung der Durchstanzbewehrung und deren Anordnung entsprechend den Konstruktionsregeln enthalten die Abschnitte 7.2 und 7.3 für eine Innenstütze bzw. für eine Randstütze.

7.1 Momentenverlauf und Bemessung für Biegung Für die in Bild 7.1 dargestellte Flachdecke eines Bürogebäudes ist der Momentenverlauf mit Hilfe des Näherungsverfahrens nach Heft 240 DAfStb zu ermitteln und darzustellen. Die Bemessung für Biegung und die Bewehrungsskizze sind auf den mittleren Bereich begrenzt. Plattendicke h = 30 cm Innenstützen 40 ⋅ 40 cm 25 ⋅ 40 cm Randstützen Geschosshöhe 3,25 m Baustoffe Beton

C30/37

Lasten Ausbaulast

gk2 = 1,5 kN/m2

Betonstahl BSt 500 S

102

7 Flachdecke

gk3 = 10 kN/m qk = 5 kN/m2

Randlast Nutzlast

1

3

2

5

4

7,50

7,50

7,50

6 7,50

–117,1

–101,5

b) –8,7

C

5,60

40,4

B

–94,9

7,00

A

71,6

7,50

–19,8

Die Randlast berücksichtigt den Überstand der Platte über die Stützenachse und die Fassade.

–117,1

–101,5

a) –24,8

7

–24,8 83,9

57,2

66,4

57,2

83,9

Bild 7.1: Flachdecke – Grundriss a) Momentverlauf mx (Meterstreifen) b) Momentverlauf my (Meterstreifen)

Zu bearbeiten sind: • Kontrolle der Plattendicke über die Biegeschlankheit • Momentenermittlung nach Heft 240 DAfStb • Bemessung für Biegung • Darstellung der Bewehrung für den mittleren Bereich DIN 1045-1, 11.3.2 (4) und Tab. 22: Bei durchlaufenden Platten gelten die α-Werte nur, sofern das Verhältnis angrenzender Stützweiten im Bereich 0,8 leff,1/leff,2 1,25 liegt. Kontrolle y-Richtung: 5,60 /7,00 = 0,8

Biegeschlankheit Die Begrenzung der Durchbiegung darf vereinfacht durch eine Begrenzung der Biegeschlankheit erfolgen. Bei durchlaufenden Platten wird die Ersatzstützweite li = α · leff zu Grunde gelegt. Bei Flachdecken darf der Wert α = 0,9 für Randfelder bzw. α = 0,7 für Innenfelder ab der Festigkeitsklasse C30/37 um 0,1 herabgesetzt werden. Die ungünstigste Ersatzstützweite ergibt sich für das Endfeld in xRichtung.

DIN 1045-1, 11.3.1 (8) und 11.3.2 (2): Die Gebrauchstauglichkeit wird nicht beeinträchtigt, wenn der Durchhang 1/250 der Stützweite nicht überschreitet.

Allgemein ist bei Deckenplatten des üblichen Hochbaus einzuhalten:

li = α ⋅ leff = 0,8 ⋅ 7,50 = 6, 00 m

li = ≤ 35 d

d 6,00/35 = 0,171 m

103

7.1 Momentenverlauf und Bemessung für Biegung

In diesem Beispiel wird davon ausgegangen, dass verformungsunempfindliche Trennwände eingebaut werden, jedoch sind die Verformungen am Rand für die Fassade weiter zu begrenzen. li 150 ≤ d li d ≥ li 2 /150 = 6, 002 /150 = 0, 240 m

Flachdecken biegen sich in der Regel mehr durch als liniengestützte Platten. Vergleichsweise wird für leff die Diagonale des Endfeldes gewählt. leff =

7,502 + 7, 002 = 10, 26 m

DIN 1045-1, 11.3.1 (10) und 11.3.2 (2): Als Richtwert für die Durchbiegung nach Einbau der angrenzenden Bauteile darf 1/500 der Stützweite angenommen werden. [2] Kommentarspalte zu Tab. 22: Für punktgestützte Flachdecken führt die Wahl der Felddiagonalen für leff zu sicheren Ergebnissen.

li = 0,8 ⋅10, 26 = 8, 21 m

d 8,21/35 = 0,235 m Dieser Wert liegt auf der sicheren Seite, doch in Hinblick auf den Nachweis gegen Durchstanzen nach DIN 1045-1 wird h = 30 cm vorgegeben. Momentenermittlung Die Verteilung der Momente mx ist über die y-Richtung der Platte – bzw. Momente my über die x-Richtung – nicht konstant wie bei liniengestützten Platten. Im Bereich der Stützenachsen sind die Momente größer als zwischen den Stützen. Die Momentenermittlung erfolgt näherungsweise mit Hilfe eines Ersatzdurchlaufträgers. Voraussetzung sind annähernd gleiche Stützweiten in jedem Feld. 0,75 lx /ly 1,33 7,50/5,60 = 1,34 ≈ 1,33 Die Platte wird in jeder Richtung in Gurt- und Feldstreifen unterteilt, denen unterschiedliche Anteile des Gesamtmoments zugewiesen werden. Am einfachsten ist es, die Momente eines durchlaufenden Plattenstreifens von 1 m Breite wie üblich zu berechnen und sie anschließend mit den jeweiligen Faktoren zu multiplizieren. Ein Ersatzrahmen ist zu Grunde zu legen, wenn die Einspannung der Platte in die Stützen zu berücksichtigen ist. Das betrifft die monolithisch mit der Platte verbundenen Randstützen. In Anlehnung an Heft 240 DAfStb und den Vergleich in [9] wird die Steifigkeit der Stützen im Vergleich zum 1 m breiten Plattenstreifen herabgesetzt.

Bei Verwendung spezieller Durchstanzbewehrung – „Dübelleisten“ – gilt die Allgemeine bauaufsichtliche Zulassung, die den Nachweis gegen Durchstanzen mit kleinerer Nutzhöhe ermöglicht.

Heft 240 DAfStb, Abschnitt 3.3 Das Näherungsverfahren nach der Plattentheorie – Heft 240, Abschnitt 3.4 – ist gültig für Stützweitenunterschiede bis 0,67.

Heft 240, Abschnitt 3.5: Momente in Rand- und Eckstützen von Flachdecken. [9] Beispiel 4: Die Einspannmomente der Platte an den Rand- und Eckstützen sind nach der FEM-Rechnung deutlich kleiner als nach Heft 240. Relistischer sind die Einspannmomente der FEM-Rechnung.

7

104

7 Flachdecke

2 × 0,1 ly

lx

ly

Feldstreifen

0,6 ly

1/2 Gurtstreifen

2,1 mS 1,4 mS

1,25 mF

0,5 mS

0,84 mF

Momentengrenzlinie Ersatzdurchlaufträger mS mF

Verteilung Feldmomente

Verteilung Stützmomente

1/2 Gurtstreifen

7 Bild 7.2: Verteilung der Biegemomente nach dem Näherungsverfahren

Flächenlasten Teilsicherheitsbeiwert ständige Lasten γG = 1,35 veränderliche Lasten γQ = 1,5

g d = 1,35 (25 ⋅ 0,30 + 1,5) = 12, 2 kN/m2 qd = 1,5 ⋅ 5, 0 = 7,5 kN/m2

Die für den Meterstreifen ermittelten Momente, Bild 7.1, werden mit den Faktoren k multipliziert, Bild 7.2. Damit ergeben sich die Bemessungsmomente mEd [kNm/m]. Bei dem Näherungsverfahren sind die Momente in x- und y-Richtung voneinander unabhängig, so dass veränderte Stützweiten in der einen Richtung auch nur in dieser Richtung zu veränderten Momenten führen, vergl. Übungsaufgabe. Randlast g d = 1,35 ⋅10 = 13,5 kN/m

Die Momente infolge der Randlast in den Achsen A und C werden vereinfacht auf eine Breite by verteilt, die dem Randüberstand und der halben Gurtstreifenbreite entspricht. by = 0, 25 + 0, 25 / 2 + 0, 2 ⋅ 7, 00 = 1, 78 m

Die Ermittlung der Bemessungsmomente geht aus Tabelle 7.1 und 7.2 hervor.

105

7.1 Momentenverlauf und Bemessung für Biegung

Tabelle 7.1: Flachdecke – Momente in x-Richtung Flächenlast Ort

Streifen

Σ

Randlast

mMeter

k

mEd ,x

mEd ,x

mEd ,x

kNm/m

–

kNm/m

kNm/m

kNm/m

101,5 101,5 101,5 101,5 101,5 101,5

2,1 1,4 0,5 2,1 1,4 0,5

213,2 142,1 50,8 213,2 142,1 50,8

34,2 34,2 – – – –

247 176 51 213 142 51

66,4 66,4 66,4

1,25 0,84 1,25

83,0 55,8 83,0

19,2 – –

102 56 83

Stützmomente A3

Gurt/R. Gurt/R. Feld B3 Gurt, i. Gurt, ä. Feld Feldmomente Feld 3 Gurt/R. Feld Gurt

7

Tabelle 7.2: Flachdecke – Momente in y-Richtung Ort

Streifen

mMeter

k

mEd ,y

kNm/m

-

kNm/m

19,8 19,8 19,8 94,9 94,9 94,9

2,1 1,4 0,5 2,1 1,4 0,5

42 28 10 199 133 47

71,6 71,6 40,4 40,4

1,25 0,84 1,25 0,84

90 60 51 34

Stützmomente A3

B3

Gurt, i. Gurt, ä. Feld Gurt, i. Gurt, ä. Feld

Feldmomente Feld 1 Gurt Feld Feld 2 Gurt Feld

Bemessung für Biegung Für das Bürogebäude gilt XC1 cmin = 10 mm

Expositionsklasse ds

Betondeckung

Δc = 10 mm obere Bewehrung, angenommen Ø16 cv = 30 mm

DIN 1045-1, 6.2, Tab. 3 und 6.3, Tab. 4 ∅16: cnom = 16 + 10 = 26 mm, maßgebend Verbund vergl. Anhang Tafel A7

106

7 Flachdecke

Mit der vorgegebenen Genauigkeit ist d besser nachvollziehbar, in Wirklichkeit gibt es Abweichungen wegen der Rippen.

dx = 30 – 3,0 – 1,6/2 = 26,2 cm dy = 30 – 3,0 – 1,6 –1,6/2 = 24,6 cm untere Bewehrung, angenommen Ø12 cv = 25 mm

∅12: cnom = 12 + 10 = 22 mm, maßgebend Verbund

dx = 30 – 2,5 – 1,2/2 = 26,9 cm dy = 30 – 2,5 – 1,2 –1,2/2 = 25,7 cm Die Bemessung erfolgt mit kd-Tafeln, Momente und Bewehrung sind auf 1 m Breite bezogen. Tabelle 7.3: Flachdecke – Bewehrung in x-Richtung Ort

Streifen

mEd ,x

kd

ks

kNm/m

kd =

7

d [cm] mEd [kNm/m]

as = ks

mEd [kNm/m] d [cm]

Kleine Unterschreitungen der gewählten Stützbewehrung sind tolerierbar, zumal das Moment in der Stützenachse zu Grunde liegt.

Stützmomente A3 Gurt/R. Gurt/R. Feld B3 Gurt Gurt Feld Feldmomente Feld 3 Gurt/R. Feld Gurt

as

gewählt

cm2/m

cm2/m

247 176 51 213 142 51

1,67 1,97 3,67 1,80 2,20 3,67

2,61 2,47 2,27 2,52 2,43 2,27

24,6 16,6 4,4 20,5 13,2 4,4

∅20–125: ∅16–125: ∅12–25: ∅16–10: ∅16–125: ∅12–25:

25,1 16,1 4,5 20,1 16,1 4,5

102 56 83

2,66 3,59 2,95

2,32 2,27 2,29

8,8 4,7 7,1

∅12–125: ∅12–20: ∅12–15:

9,0 5,6 7,5

Tabelle 7.4: Flachdecke – Bewehrung in y-Richtung Ort

Streifen

mEd ,y

kd

ks

kNm/m

Die gewählte Bewehrung ist auf die Mindestmomente, s. Abschnitt 7.2 und 7.3, abgestimmt.

as

gewählt

cm2/m

cm2/m2

Stützmomente A3

Gurt, i.

42

3,80

2,27

3,9

∅16–18:

11,2

Gurt, ä.

28

4,65

2,24

2,6

Ø16–25:

8,0

Feld

10

7,78

2,22

0,9

Ø12–25:

4,5

Gurt, i.

199

1,74

2,56

20,7

Ø16–9:

22,3

Gurt, ä.

133

2,13

2,43

13,1

Ø16–125:

16,1

47

3,59

2,27

4,3

Ø12–25:

4,5

Feld 1 Gurt

90

2,71

2,29

8,0

Ø12–125:

9,0

Feld

60

3,32

2,27

5,3

Ø12–20:

5,6

Feld 2 Gurt

51

3,60

2,27

4,5

Ø12–20:

5,6

Feld

34

4,40

2,24

3,0

Ø12–20:

5,6

B3

Feld Feldmomente

107

7.1 Momentenverlauf und Bemessung für Biegung

15∅12–125

Bewehrungsskizze Einen Vorschlag für die Anordnung der Bewehrung im mittleren Bereich enthalten Bild 7.3 und 7.4. Eine häufig anzutreffende Variante sieht oben und unten eine Grundbewehrung mit Betonstahlmatten und in den Gurtstreifen Zulagen aus Stabstahl vor. Bei der verschränkten Staffelung ist der Maximalabstand smax = 250 mm zu beachten. Die gewählte Bewehrung ist ausreichend für die Mindestmomente des Durchstanznachweises, s. Abschnitt 7.2 und 7.3.

4

1,50

4,50

3,00

4,50

7,50

7,00

1,40 4,20

4∅12–125

1,12 1,40 5,60

3,36

23∅12–20

C

23+6+6∅12–20

1,12

4∅12–125

7 23∅12–20

1,50

375

15∅12–20

B

23∅12–20

7+7∅12–15

24∅12–125

13∅12–125

21∅12–20

A

375

3

2

DIN 1045-1, 13.3.2 (4): smax = 250 mm für Plattendicken h ≥ 250 mm

7,50

Bild 7.3: Flachdecke – untere Bewehrung

Zur Vermeidung eines fortschreitenden Versagens ist ein Teil der Feldbewehrung über die Innen- und Randstützen – auch „Kollapsbewehrung“ genannt – hinwegzuführen. As = VEk /fyk

VEk = VEd /1,4

Innenstützen VEd = 1117 kN As =

1117 = 16, 0 cm2 1, 4 ⋅ 50

s. Abschnitt 7.2

DIN 1045-1, 13.3.2 (12) Gemäß Berichtigung 2 zur DIN 1045-1 darf die in die Platte eingeleitete Querkraft mit γF = 1,0 ermittelt werden. fyk = 50 kN/cm2

108

7 Flachdecke

Randstütze VEd = 515 kN 515 = 7, 4 cm2 1, 4 ⋅ 50

3

4

7,00

4,20

4,50

75 75 75 75

7,50

4,50

75 75

375

75 75

5,60

3,36

18∅12–25

5656

5∅20–25

9∅16–18

13∅12–25

3+3∅16–25

2+2∅16–25

B

18∅12–25

C

7

5656 70 70

9∅16–18

6∅16–20

17∅12–25

3+3∅16–25

3+3∅16–25

70 70

A

2

375

5∅20–25

As =

s. Abschnitt 7.2

7,50

Bild 7.4: Flachdecke – obere Bewehrung

Über der Stütze B3 wird die Feldbewehrung in beiden Richtungen auf 4∅12–125 = 4 · 4 · 1,13 = 18,1 cm2 erhöht.

7.2 Nachweis gegen Durchstanzen – Innenstütze Die aufzunehmende Querkraft kann anschaulich über die Lasteinzugsfläche ermittelt werden, die über einen pauschalen Verteilungsschlüssel oder mit Hilfe der Querkraftnullpunkte beschrieben wird. Der Nachweis der Querkrafttragfähigkeit erfolgt entlang eines kritischen Rundschnitts im Abstand 1,5 d vom Stützenrand. Analog zur Querkraftbemessung wird die Querkraft entweder allein vom Beton oder in Kombination mit Durchstanzbewehrung übertragen. Zur Berechnung der Durchstanzbewehrung gehört die Kontrolle der Mindestdurch-

109

7.2 Nachweis gegen Durchstanzen – Innenstütze

stanzbewehrung und der Abstände der Bügelschenkel. Die Querkrafttragfähigkeit ist an eine kräftige Längsbewehrung gekoppelt, die durch Mindestmomente vorgegeben wird. Der Durchstanznachweis ist für die Innenstütze B3 zu führen. Zu bearbeiten sind: • Ermittlung der aufzunehmenden Querkraft • Nachweis der Querkrafttragfähigkeit • Ermittlung der Durchstanzbewehrung • Mindestmomente • Mindestdurchstanzbewehrung, Mindestanzahl der Bügelschenkel • Darstellung der Durchstanzbewehrung Aufzunehmende Querkraft Die Ermittlung der Lasteinzugsfläche kann über einen pauschalen Ansatz erfolgen, Bild 7.5a. 0, 4 l y ,1 ⋅ l x

entfallen auf die Randstütze A3

(0, 6 l y ,1 + 0, 6 l y ,2 ) l x

entfallen auf die 1. Innenstütze B3

A = 0, 4 ⋅ 7, 0 ⋅ 7,5 = 21, 0 m2

Randstütze A3

A = (0, 6 ⋅ 7, 0 + 0, 6 ⋅ 5, 6) 7,5 = 56, 7 m2

Innenstütze B3

Querrichtung analog DIN 1055-3, Bild 1 Längsrichtung nach DIN 1045-1, 7.3.2 (4): Die Durchlaufwirkung darf vernachlässigt werden.

Vergleichsweise wird die Lasteinzugsfläche über die Querkraftnullpunkte für Volllast ermittelt, Bild 7.5b. A = 2,94 (3, 75 + 3, 60) = 21, 6 m2

Randstütze A3

A = (4, 06 + 3, 60) (3, 75 + 3, 60) = 56,3 m2

Innenstütze B3

Der Unterschied ist gering, es wird der pauschale Ansatz gewählt. Bei der Randstütze ist zusätzlich die Randlast eines Feldes zu addieren. VEd = (12, 2 + 7,5) ⋅ 21, 0 + 13,5 ⋅ 7,5 = 515 kN

Randstütze A3

VEd = (12, 2 + 7,5) ⋅ 56, 7 = 1117 kN

Innenstütze B3

Die aufzunehmende Querkraft ist längs des kritischen Rundschnitts zu verteilen, der im Abstand 1,5 d um die Stütze verläuft, Bild 7.6.

DIN 1045-1, 10.5.2, Bild 37 und 39

7

110

7 Flachdecke

3

2

a)

4 7,50

C

7

0,5 × 7,50 = 3,75

0,5 × 7,50 = 3,75

3,60

3,75

7,00 5,60

0,4×5,60 0,6×5,60 = 3,36 = 2,24

B

0,6×7,00 = 4,20

0,4×7,00 = 2,80

A

7,50

C

2,00

Bild 7.5: Lasteinzugsbereich a) pauschale Aufteilung b) Querkraftnullpunkte

5,60

3,60

B

4,06

7,00

2,94

A

b)

111

7.2 Nachweis gegen Durchstanzen – Innenstütze

3 b)

d

25

1, 0,5d

40 1,5d

B

1,5d

2,0 d

a)

U1 U2 U3

Ua

5d

1,

1,5d

40

d 2 sw sw

1,5d

Bild 7.6: Innenstütze B3 a) Kritischer Rundschnitt b) Nachweisschnitte

7

d = (dx + dy) /2

mittlere Nutzhöhe

= (0,262 + 0,246) 2 = 0,254 m u = 4 ⋅ 0, 40 + 2 π (1,5 ⋅ 0, 254) = 4, 00 m

Die nicht rotationssymmetrische Verteilung der Querkraft entlang des kritischen Rundschnitts wird mit dem Beiwert ȕ = 1,05 berücksichtigt. vEd =

β ⋅VEd u

=

1, 05 ⋅1117 = 293 kN/m 4, 00

maßgebend ist die Nutzhöhe der oberen Bewehrung

DIN 1045-1, 10.5.3 (2), Bild 44. Dazu Erläuterung in [2]: Die Beiwerte in Bild 44 gelten für Platten mit Stützweitenunterschieden bis zu 25 %.

Querkrafttragfähigkeit Querkrafttragfähigkeit ohne Durchstanzbewehrung vRd ,ct = 0,14 κ ⋅ (100 ρl ⋅ fck )

1/ 3

⋅d

DIN 1045-1, 10.5.4 vereinfachte Gleichungen [7] Abschnitt 5.4.4

112

7 Flachdecke

Diese Gleichung ist genauso aufgebaut wie die Gleichung für liniengelagerte Platten. Die höhere Querkrafttragfähigkeit infolge des räumlichen Spannungszustands im unmittelbaren Bereich um die Stütze wird durch den Vorfaktor 0,14 – anstatt 0,10 bei liniengestützten Platten – erfasst.

κ = 1+ ρl bezieht sich auf die Bewehrung innerhalb des Rundschnittes.

200 d

d in mm ≤ 0, 40 fcd / f yd ¯ ≤ 0, 02

ρl =

ρlx ⋅ ρly ®

mittlerer Längsbewehrungsgrad ρlx und ρly Zugbewehrung in x- und y-Richtung

κ = 1+

7

gewählte Bewehrung s. Tabelle 7.3 und 7.4

ρlx = ρly =

ρl = Heft 525 DAfStb: α = 0,85 darf unberücksichtigt bleiben fcd = 30 /1,5 = 20 N/mm2.

200 = 1,89 254

asx 20,1 = = 0, 00767 100 d x 100 ⋅ 26, 2 asy 100 d y

=

22,3 = 0, 00907 100 ⋅ 24, 6

0, 00767 ⋅ 0, 00907 = 0, 0083 < 0, 4 ⋅ 20 / 435 = 0, 018 < 0, 02

vRd ,ct = 0,14 ⋅1,89 ⋅ (100 ⋅ 0,0083⋅ 30)1/ 3 ⋅ 0, 254 ⋅103 =196 kN/m < vEd,red = 293 kN/m Es ist Durchstanzbewehrung erforderlich. Die maximal aufnehmbare Querkraft mit Durchstanzbewehrung beträgt:

DIN 1045-1, 10.5.5 (1)

vRd ,max = 1,5 vRd ,ct = 1,5 ⋅196 = 294 kN/m > vEd = 293 kN/m

vergl. Allgemeine bauaufsichtliche Zulassung

Die mögliche Laststeigerung mit Durchstanzbewehrung beträgt nur 50 % und ist damit deutlich geringer als bei liniengestützten Platten. Die Querkrafttragfähigkeit kann durch folgende Maßnahmen erhöht werden: • Plattendicke vergrößern • Betonfestigkeitsklasse erhöhen • Biegebewehrung vergrößern • Verwendung spezieller Bewehrungselemente – sogenannte Dübelleisten –

113

7.2 Nachweis gegen Durchstanzen – Innenstütze

Eine Vergrößerung der Plattendicke ist in der Regel unwirtschaftlich, üblich sind höhere Betonfestigkeit und/oder vergrößerte Biegebewehrung, vergl. Übungsaufgabe. Durchstanzbewehrung Die Querkrafttragfähigkeit setzt sich aus einem Anteil des Betons und der Durchstanzbewehrung – Bügel oder Schrägstäbe – zusammen. Die Durchstanzbewehrung ist für die einzelnen Bewehrungsreihen zu ermitteln. Es sind so viele Bewehrungsreihen anzuordnen bis nachgewiesen ist, dass im Abstand 1,5 d von der letzten Bewehrungsreihe – äußerer Rundschnitt – keine Durchstanzbewehrung mehr erforderlich ist.

Lotrechte Bügel 1. Bewehrungsreihe Abstand 0,5 d wirksame Breite der Bewehrungsreihe d

DIN 1045-1, 10.5.5, Bild 45 vereinfachte Gleichungen [7] Abschnitt 5.4.5

u1 = 4 ⋅ 0, 40 + 2 π ⋅ 0,5 ⋅ 0, 254 = 2, 40 m vEd ,1 = 1, 05 ⋅1117 / 2, 40 = 489 kN/m

κ s = 0, 7 + 0,3

d − 400 254 − 400 = 0, 7 + 0,3 400 400

≥ 0,7 Asw,1 =

7

vEd ,1 − vRd ,ct

κ s ⋅ f yd

u1 =

maßgebend 489 −196 2, 40 = 23,1 cm2 0, 7 ⋅ 43,5

2. Bewehrungsreihe, Abstand 1,25 d wirksame Breite der Bewehrungsreihe sw = 0,75 d u2 = 4 ⋅ 0, 40 + 2 π ⋅1, 25 ⋅ 0, 254 = 3,59 m vEd ,2 = 1, 05 ⋅1117 / 3,59 = 327 kN/m Asw,2 = =

vEd ,2 − vRd ,ct

κ s ⋅ f yd ⋅ d

Beiwert zur Berücksichtigung der Bauteilhöhe auf die Wirksamkeit der Bewehrung

sw ⋅ u 2

327 − 196 0, 75 ⋅ 0, 254 ⋅ 3,59 = 11, 6 cm2 0, 7 ⋅ 43,5 ⋅ 0, 254

3. Bewehrungsreihe, Abstand 2,0 d analog, s. Tabelle 7.5. Die Durchstanzbewehrung – lotrechte Bügel – ist in Tabelle 7.5 zusammengestellt.

[6] Auslegung zu Abschnitt 10.5.3: vEd darf um die Belastung innerhalb des betrachteten Nachweisschnittes reduziert werden – analog zur Regelung bei Fundamenten. Die Verminderung von vEd kann insbesondere für den Nachweis im äußeren Rundschnitt hilfreich sein.

114

7 Flachdecke

Tabelle 7.5: Innenstütze B3 – Durchstanzbewehrung: lotrechte Bügel Reihe

DIN 1045-1, 10.5.5 (4)

Abstand

sw

u

vEd

Asw

m

m

m

kN/m

cm2

1

0,50 d

–

2,40

489

23,1

2

1,25 d

0,75 d

3,59

327

11,6

3

2,00 d

0,75 d

4,79

245

5,8

Äußerer Rundschnitt Mit dem Nachweis im äußeren Rundschnitt wird der Übergang zur Querkrafttragfähigkeit ohne Durchstanzbewehrung erfasst. Abstand 1,5 d von der 3. Bewehrungsreihe Breite des Bereiches mit Durchstanzbewehrung lw = 2,00 d u3,a = 4 ⋅ 0, 40 + 2 π ⋅ (2, 00 + 1,50) ⋅ 0, 254 = 7,19 m vEd ,3a = 1, 05 ⋅1117 / 7,19 = 163 kN/m

7

Die Querkrafttragfähigkeit reduziert sich mit zunehmendem Abstand vom Stützenrand – Übergang zum einaxialen Spannungszustand, was mit dem Beiwert κa erfasst wird.

DIN 1045-1, 10.5.6, Tab. 14: Momentenbeiwerte und Verteilungsbreite der Momente Bild 46: Bereich für den Ansatz der Mindestbiegemomente

κ a = 1−

0, 29 lw 0, 29 ⋅ 2, 00 ⋅ 0, 254 = 1− = 0,834 3,5 d 3,5 ⋅ 0, 254

κ a ⋅ vRd ,ct = 0,834 ⋅196 = 163 kN/m = vEd ,3a = 163 kN/m

Mindestmomente Die Querkrafttragfähigkeit setzt eine ausreichende Biegebewehrung voraus, die für Mindestmomente in beiden Richtungen zu ermitteln ist.

mEd , x = mEd , y = η ⋅VEd

η x = η y = 0,125

[kNm/m] für Innenstützen, Zug an der Plattenoberseite

mEd , x = mEd , y = 0,125 ⋅1117 = 140 kNm/m

Die Mindestmomente sind über eine Breite 0,3 lx bzw. 0,3 ly anzusetzen, d. h. sie gelten auch noch für die halbe Breite des äußeren Gurtstreifens. Die Momente des inneren Gurtstreifens sind deutlich größer, im Folgenden werden die Biegemomente im äußeren Gurtstreifen, Tabelle 7.1 und 7.2, mit den Mindestmomenten verglichen.

Die Abweichung ist tolerabel, weil die gewählte Bewehrung Reserven aufweist.

Biegung:

mEd , x = 142 kNm/m

> Min:

mEd , x = 140 kNm/m

Biegung:

mEd , y = 133 kNm/m

≈ Min:

mEd , y = 140 kNm/m

115

7.2 Nachweis gegen Durchstanzen – Innenstütze

Das knappe Ergebnis verdeutlicht, dass die Momente im Stützenbereich senkrecht zur Biegerichtung nicht zu stark abgemindert werden sollten. Mindestdurchstanzbewehrung Die Durchstanzbewehrung darf in keinem inneren Rundschnitt den Mindestbewehrungsgrad unterschreiten.

ρw =

Asw ≥ ρ w,min sw ⋅ u

ρ w,min = 0,93 ⋅10−3

DIN 1045-1, 10.5.5 (5) und 13.2.3 (5): min ρw s. DIN 1045-1, Tab. 29

C30/37

Asw,min = ρ w,min ⋅ sw ⋅ u

Mit u aus Tabelle 7.5 und sw = 0,75 d = 0,75 · 0,254 (Reihe 1: sw = d) ergibt sich die in Tabelle 7.6 angegebene Mindestdurchstanzbewehrung. Der tangentiale Abstand der Bügelschenkel entlang der Rundschnitte ist auf sw = 1,5 d begrenzt. In Tabelle 7.6 werden der Querschnitt und die Anzahl der Bügelschenkel gemäß Durchstanznachweis mit den Konstruktionsregeln verglichen. Zu Grunde gelegt werden Bügel Ø10, radialer Abstand sw = 0,75 d (Reihe 1: sw = d), tangentialer Abstand 1,5 d. Tabelle 7.6: Innenstütze B3 – Durchstanzbewehrung: Bügelquerschnitt, Anzahl der Bügelschenkel Reihe

u

rechn. Asw

konstr. Asw,min

rechn. nrechn

konstr. nkonstr

1

2,40

23,1

5,7

29,4

7,3

2

3,59

11,6

6,4

14,8

9,4

3

4,79

5,8

8,5

10,8

12,6

DIN 1045-1, 13.3.3 (6): Durchmesser der Durchstanzbewehrung ist auf die mittlere Nutzhöhe d abzustimmen: ds ≤ 0,05 d ≤ 0,05 · 254 = 12,7 mm sowie Bild 72: Anordnung der Durchstanzbewehrung

Einzelschritte 3. Bewehrungsreihe Mindestbewehrung Asw,min = ρ w,min ⋅ sw ⋅ u3 = 0,93 ⋅10−3 ⋅ 0, 75 ⋅ 0, 254 ⋅ 4, 79 = 8,5 cm 2

Anzahl der Bügelschenkel nrechn =

Asw 8,5 = = 10,8 as ,∅10 0, 785

nkonstr =

u 4, 79 = = 12, 6 1,5 d 1,5 ⋅ 0, 254

bezogen auf Mindestbewehrung

7

116

7 Flachdecke

In der 3. Reihe sind sowohl für den Bügelquerschnitt als auch für die Anzahl der Bügelschenkel die Konstruktionsregeln maßgebend. Darstellung der Durchstanzbewehrung 3

7

3

∅16–9

∅16–125

B

∅16–10

∅16–125

a)

25

30

b)

Bügel ∅10

Bild 7.7: Flachdecke – Durchstanzbewehrung a) Grundriss b) Schnitt

Heft 525 DAfStb: Lagetoleranzen der Bügelschenkel: Einzelne Bügelschenkel der ersten Reihe dürfen zwischen 0,5 d und 0,7 d vom Stützenanschnitt verlegt werden, in allen weiteren Reihen dürfen die Bügelschenkel um bis zu 0,2 d von der theoretischen Schnittlinie abweichen.

Einen Vorschlag für die Anordnung der Durchstanzbewehrung enthält Bild 7.7. Alle Bügel werden über die obere Bewehrung der x-Richtung gesteckt, dann können die unteren Bügelschenkel in die äußere Lage geführt werden. Dieses Verlegeschema bietet die beste Verankerung, jedoch sind unterschiedlich breite Bügel erforderlich. Es ist schwierig, die Bügelschenkel entlang der Nachweisschnitte anzuordnen und zugleich den tangentialen Maximalabstand einzuhalten. Die zulässigen Abweichungen sind gering. Alternativ können vorgefertigte Bewehrungselemente – sogenannte Dübelleisten – verwendet werden, deren Bemessungs- und Konstruktionsregeln in der entsprechenden Allgemeinen bauaufsichtlichen Zulassung enthalten sind.

117

7.3 Nachweis gegen Durchstanzen – Randstütze

7.3 Nachweis gegen Durchstanzen – Randstütze Der Durchstanznachweis ist für die Randstütze A3 zu führen. Zu bearbeiten sind: • Nachweis der Querkrafttragfähigkeit • Ermittlung der Durchstanzbewehrung • Mindestmomente • Mindestdurchstanzbewehrung, Mindestanzahl der Bügelschenkel Querkrafttragfähigkeit Die aufzunehmende Querkraft ist längs des kritischen Rundschnitts zu verteilen, der im Abstand 1,5 d um die Stütze und senkrecht zum freien Rand verläuft, Bild 7.8. a)

b)

A

DIN 1045-1, 10.5.2, Bild 41

A

d

40

25 1, d 0,5

U1 U2 U3

Ua

1,5d

3

1,5d

2,0

d

7

25

25

1,5d

25

d 25 2 sw sw

1,5d

Bild 7.8: Randstütze A3 a) Kritischer Rundschnitt b) Nachweisschnitte

d = (0, 262 + 0, 246) / 2 = 0, 254 m u = 2 (0, 25 + 0, 25) + 0, 40 + π (1,5 ⋅ 0, 254) = 2, 60 m VEd = 515 kN vEd = =

β ⋅VEd u

s. Abschnitt 7.2

β = 1,4

1, 4 ⋅ 515 = 277 kN/m 2, 60

DIN 1045-1, 10.5.3, Bild 44: Bei Randstützen ist der Lasterhöhungsfaktor zur Berücksichtigung der nicht rotationssymmetrischen Verteilung β = 1,4.

118

7 Flachdecke

Querkrafttragfähigkeit ohne Durchstanzbewehrung DIN 1045-1, 10.5.4 vereinfachte Gleichungen [7] Abschnitt 5.4.5

vRd ,ct = 0,14 κ ⋅ (100 ρl ⋅ fck )1/ 3 ⋅ d

κ = 1+ ρl =

gewählte Bewehrung s. Tab. 7.3 und 7.4

ρlx = ρly =

7

Heft 525 DAfStb: α = 0,85 darf unberücksichtigt bleiben fcd = 30 /1,5 = 20 N/mm2.

ρ =

200 200 = 1+ = 1,89 d 254

d in mm

≤ 0, 40 f cd / f yk ¯ ≤ 0, 02

ρlx ⋅ ρly ®

asx 25,1 = = 0, 00958 100 d x 100 ⋅ 26, 2 asy 100 d y

=

11, 2 = 0, 00455 100 ⋅ 24, 6

0, 00958 ⋅ 0, 00455 = 0, 0066 < 0, 4 ⋅ 20 / 435 = 0, 018 < 0, 02

vRd ,ct = 0,14 ⋅1,89 ⋅ (100 ⋅ 0, 0066 ⋅ 30)1/ 3 ⋅ 0, 254 ⋅103

= 182 kN/m < vEd = 277 kN/m Es ist Durchstanzbewehrung erforderlich. Maximal aufnehmbare Querkraft mit Durchstanzbewehrung vRd ,max = 1,5 vRd ,ct = 1,5 ⋅182 = 273 kN/m ≈ vEd = 277 kN/m

Das Ergebnis ist knapp, aber vertretbar. Für schlanke Randstützen stellt sich nur ein geringes Stützmoment in y-Richtung – Deckenquerrichtung – ein, so dass der Längsbewehrungsgrad ρy trotz der großzügig gewählten Bewehrung vergleichsweise klein ist. Die Querkrafttragfähigkeit kann durch weitere Erhöhung der Bewehrung in yRichtung vergrößert werden; in Hinblick auf ein günstiges Verlegeschema, s. Bild 7.4, wird darauf verzichtet, vergl. Übungsaufgabe. Durchstanzbewehrung Lotrechte Bügel im Abstand 0,5 d, 1,25 d, 2,00 d vom Stützenrand, s. Bild 7.8.

1. Bewehrungsreihe, Abstand 0,5 d DIN 1045-1, 10.5.5, Bild 45 vereinfachte Gleichungen [7] Abschnitt 5.4.5

u1 = 2 (0, 25 + 0, 25) + 0, 40 + π ⋅ 0,5 ⋅ 0, 254 = 1,80 m vEd ,1 = 1, 4 ⋅ 515 /1,80 = 401 kN/m

119

7.3 Nachweis gegen Durchstanzen – Randstütze

κ s = 0, 7 + 0, 3 Asw,1 =

d − 400 254 − 400 = 0, 7 + 0, 3 ≥ 0, 7 maßgebend 400 400

vEd ,1 − vRd ,ct

κ s ⋅ f yd

u1 =

401 − 182 1,80 = 12,9 cm2 0, 7 ⋅ 43, 5

Beiwert zur Berücksichtigung der Bauteilhöhe auf die Wirksamkeit der Bewehrung

2. Bewehrungsreihe, Abstand 1,25 d u2 = 2 (0, 25 + 0, 25) + 0, 40 + π ⋅1, 25 ⋅ 0, 254 = 2, 40 m vEd ,2 = 1, 4 ⋅ 515 / 2, 40 = 300 kN/m Asw,2 = =

vEd ,2 − vRd ,ct

κ s ⋅ f yd ⋅ d

sw ⋅ u 2

300 −182 0, 75 ⋅ 0, 254 ⋅ 2, 40 0, 7 ⋅ 43,5 ⋅ 0, 254

= 7,0 cm2 3. Bewehrungsreihe analog, s. Tabelle 7.7

7

Tabelle 7.7: Randstütze A3 – Durchstanzbewehrung: lotrechte Bügel Reihe

Abstand

sw

u

vEd

Asw

m

m

m

kN/m

cm²

1

0,50 d

–

1,80

401

12,9

2

1,25 d

0,75 d

2,40

300

7,0

3

2,00 d

0,75 d

3,00

240

4,3

Äußerer Rundschnitt Mit dem Nachweis im äußeren Rundschnitt wird der Übergang zur Querkrafttragfähigkeit ohne Durchstanzbewehrung erfasst. Abstand 1,5 d von der 3. Bewehrungsreihe Breite des Bereiches mit Durchstanzbewehrung lw = 2,00 d u3,a = 2 (0, 25 + 0, 25) + 0, 40 + π ⋅ (2, 00 + 1,50) ⋅ 0, 254 = 4,19 m

Mit zunehmendem Abstand vom Stützenrand wird die Querkraftverteilung gleichmäßiger, so dass der Lasterhöhungsfaktor abnimmt.

βred

=

=

β 1 + 0,1lw / d

≥ 1,1

1, 4 = 1,17 1 + 0,1⋅ 2, 00

vEd,3a = 1,17 · 515/4,19 kN/m = 144 kN/m

[2] Kommentar zu Bild 44: Für Rand- und Eckstützenbereiche im üblichen Hochbau darf ausschließlich für den Nachweis der Tragfähigkeit außerhalb der Durchstanzbewehrung der Lasterhöhungsfaktor reduziert werden.

120

7 Flachdecke

DIN 1045-1, 10.5.5 (4): Der Beiwert κa erfasst die Abnahme der Querkrafttragfähigkeit mit zunehmendem Abstand vom Stützenrand.

κ a = 1−

0, 29 lw 0, 29 ⋅ 2, 00 ⋅ 0, 254 = 1− = 0,834 3,5 d 3,5 ⋅ 0, 254

κ a ⋅ vRd ,ct = 0,834 ⋅182 = 152 kN/m > vEd ,3a = 144 kN/m

Mindestmomente Im Bereich von Randstützen sind Mindestmomente einzuhalten, die sowohl an der Plattenoberseite als auch an der Plattenunterseite – senkrecht zum freien Rand – Bewehrung erfordern. DIN 1045-1, 10.5.6, Tab. 14: Momentenbeiwerte und Verteilungsbreite der Momente Bild 46: Bereich für den Ansatz der Mindestbiegemomente

x-Richtung mEd , x = 0, 25 VEd = 0, 25 ⋅ 515 = 129 kNm/m

Zug an der Plattenoberseite, anzusetzen über 0,15 l y = 0,15 ⋅ 7, 00 = 1, 05 m

Zum Vergleich Biegemomente im Gurt-/Randstreifen, Tabelle 7.1:

7

mEd , x = 247 /176 kNm

maßgebend

y-Richtung mEd , y = 0,125VEd = 0,125 ⋅ 515 = 64 kNm/m [9] Beispiel 4, Erläuterung: Die Verteilungsbreite der Mindestbewehrung rechtwinklig zum Rand hängt von der Verteilung der Drillmomente im Lasteinleitungsbereich der Stütze ab. Ingenieurmäßig wird dieser Bereich mit dem Durchmesser des äußeren Rundschnitts abgeschätzt.

anzusetzen für Zug auf der Plattenoberseite und der Plattenunterseite über die Breite des äußeren Rundschnittes: b = 2 ⋅ (2, 0 + 1,5) 0, 254 + 0, 40 = 2,18 m

Zum Vergleich Biegemoment im Gurtstreifen, Tabelle 7.2: mEd , y = 42 / 28 kNm/m

Das Mindestmoment ist maßgebend; Bemessung: kd =

24, 6 64

= 3, 08

asy = 2, 29

64 = 6, 0 cm2/m 24, 6

oben und unten

Mindestdurchstanzbewehrung DIN 1045-1, 10.5.5 (5) und 13.2.3 (5): min ρw s. DIN 1045-1, Tab. 29

Asw,min = ρ w, min ⋅ sw ⋅ u ρ w,min = 0, 93 ⋅10 −3

C30/37

121

7.3 Nachweis gegen Durchstanzen – Randstütze

In Tabelle 7.7 werden der Querschnitt und die Anzahl der Bügelschenkel gemäß Durchstanznachweis mit den Konstruktionsregeln verglichen. Zu Grunde gelegt werden Bügel Ø10, radialer Abstand sw = 0,75 d (Reihe 1: sw = d), tangentialer Abstand 1,5 d. Tabelle 7.8: Randstütze A3 – Durchstanzbewehrung: Bügelquerschnitt, Anzahl der Bügelschenkel Reihe

u

rechn. Asw

konstr. Asw,min

rechn. nrechn

konstr. nkonstr

1

1,80

12,9

4,3

16,4

5,4

2

2,40

7,0

4,3

8,9

6,3

3

3,00

4,3

5,3

6,8

7,9

DIN 1045-1, 13.3.3 (6): Durchmesser der Durchstanzbewehrung ds ≤ 0,05 d ≤ 0,05 · 254 = 12,7 mm sowie Bild 72: Anordnung der Durchstanzbewehrung

Einzelschritte 3. Bewehrungsreihe Mindestbewehrung Asw,min = ρ w,min ⋅ sw ⋅ u3 = 0,93 ⋅10−3 ⋅ 0, 75 ⋅ 0, 254 ⋅ 3, 00 = 5,3 cm 2 bezogen auf Mindestbewehrung

Anzahl der Bügelschenkel nrechn = nkonstr =

Asw as ,∅10

=

5,3 = 6,8 0, 785

u 3, 00 = = 7,9 1,5 d 1,5 ⋅ 0, 254

Für die 3. Reihe sind durchweg die Konstruktionsregeln maßgebend.

7

8 Vierseitig gelagerte Platten Bei vierseitig gelagerten Platten werden die Lasten in beiden Richtungen und über die Diagonale abgetragen. Auf Grund des günstigen Tragverhaltens ergeben sich deutlich kleinere Biegemomente als bei einachsig gespannten Platten. Die Berechnung der Biegemomente kann problemlos mit Hilfe von FEM-Programmen erfolgen. Doch zum Verständnis sind anschauliche Näherungsverfahren nach wie vor geeignet. Die Momente von Einfeldplatten können mit einfach zu handhabenden Tabellen ermittelt werden, Abschnitt 8.1. Die Biegemomente von Durchlaufplatten mit regelmäßigem Raster und geringen Stützweitenunterschieden werden mit dem Verfahren der Belastungsumordnung ermittelt, Abschnitt 8.2. Für Platten mit unregelmäßigem Raster und größeren Stützweitenunterschieden ist das Verfahren von Pieper und Martens geeignet, Abschnitt 8.3. Auch für die Ermittlung der aufzunehmenden Querkraft bietet sich ein anschauliches Näherungsverfahren an, Abschnitt 8.2. Für das in Abschnitt 8.3 berechnete Plattensystem wird die Anordnung der Betonstahlmatten vorgeschlagen, wobei die entsprechenden Konstruktionsregeln herausgestellt werden.

8.1 Einfeldplatte Die in Bild 8.1 dargestellte Platte ist an allen vier Rändern frei drehbar gelagert, die Ecken sind gegen Abheben gesichert. Die zweiachsige Lastabtragung wird mit den Pfeilrichtungen gekennzeichnet. In Hinblick auf den Vergleich mit der durchlaufenden Platte Nr. 1 des Deckensystems in Abschnitt 8.3 werden die gleichen Lasten gewählt: gd + qd = 12,3 kN/m2

ly = 6,40

y

x lx = 4,60

Bild 8.1: Vierseitig gelagerte Einfeldplatte

124

8 Vierseitig gelagerte Platten

Zu bearbeiten sind: • Ermittlung der Biegemomente • Darstellung des Momentenverlaufs Biegemomente Die Tabellen zur Berechnung der Schnittgrößen in Einfeldplatten sind so aufgebaut, dass lx die kürzere Spannrichtung ist. Infolge der Lastabtragung in x-Richtung entsteht das Biegemoment mx, konsequenterweise erhalten alle Schnittgrößen für die Lastabtragung in yRichtung den Index y. Der Momentenermittlung liegt immer die kürzere Spannweite lx zu Grunde: [8] Beiwert k zur Berechnung der Biegemomente in Einfeldplatten

mxm =

( g d + qd ) ⋅ l x 2 k xm ( g d + qd ) ⋅ l x 2 k ymax

m ymax =

8

[8] unterschiedliche k-Werte für a) volle Drilltragfähigkeit b) herabgesetzte Drilltragfähigkeit c) Drilltragfähigkeit = 0

Moment mx in Feldmitte

größtes Feldmoment my

Die Beiwerte k sind von der Drilltragfähigkeit – Lastabtragung über die Diagonale – abhängig. Wenn die Ecken gegen Abheben gesichert sind, keine großen Aussparungen in den Ecken vorhanden sind und eine entsprechende Drillbewehrung vorhanden ist – vergl. Bewehrungsskizze Abschnitt 8.3, ist die volle Drillsteifigkeit gegeben. ly/lx = 6,40/4,60 = 1,4 volle Drilltragfähigkeit kxm = 15,0 mxm =

kymax = 32,8

12,3 ⋅ 4, 602 = 17, 4 kNm/m 15, 0

m ymax =

12,3 ⋅ 4, 602 = 7,9 kNm/m 32,8

Das Moment mxm ist mehr als doppelt so groß wie das Moment mymax. Damit wird deutlich, dass die Last maßgeblich über die kürzere Seite abgetragen wird, und demzufolge ist der größere Bewehrungsquerschnitt über die kürzere Seite erforderlich. Verglichen mit einachsig gespannten Platten sind die Feldmomente zweiachsig gespannter Platten deutlich geringer, weil die Last sowohl in x- und y-Richtung als auch über die Diagonale – Drillmomente – abgetragen wird. In welchem Maße die Drillmomente das Feldmoment ermäßigen, wird an Hand der Übungsaufgabe deutlich. Die Drillmomente werden in der Regel nicht extra berechnet, sondern nach konstruktiven Regeln abgedeckt, vergl. Abschnitt 8.3.

125

8.2 Durchlaufende Platten mit regelmäßigem Raster

Dabei handelt es sich um eine schematische Darstellung, die für die Anordnung der Bewehrung völlig ausreichend ist.

ly = 6,40

mymax = 7,9

0,2lx

Darstellung des Momentenverlaufs Es ist üblich, den Momentenverlauf mit vereinfachten Momentengrenzlinien darzustellen, Bild 8.2. Im Abstand 0,2 lx vom Rand wird ein konstantes Moment zu Grunde gelegt, und zwar sowohl in x- und in yRichtung.

0,2lx mxm = 17,4

Bild 8.2: Einfeldplatte – vereinfachter Momentenverlauf

lx = 4,60

8.2 Zweiachsig gespannte, durchlaufende Platten mit regelmäßigem Raster – System 1 Die in Bild 8.3 dargestellte Decke eines Bürogebäudes besteht aus vier monolithisch miteinander verbundenen Plattenfeldern. Sie ist an den Rändern frei drehbar gelagert, die Ecken sind gegen Abheben gesichert. 1

3

2

C

6,40

B

6,40

A

a)

b)

Stützung 4

q′

x

6,90

Stützung 1

q′′

lx′ = 6,40

6,90

ly′ = 6,90

Bild 8.3: Durchlaufplatten System 1 a) Grundriss b) Vergleichsplatten

8

126

8 Vierseitig gelagerte Platten

Baustoffe Beton

DIN 1055-3, Tab. 1 Kategorie B1: Flure in Bürogebäuden, Büroflächen, Arztpraxen

C20/25

Betonstahl BSt 500 M

Lasten Eigenlast zuzüglich Ausbaulast 1,0 kN/m2 Nutzlast qk = 2,0 kN/m2 zuzüglich Trennwandzuschlag: Leichte unbelastete Trennwände dürfen durch einen gleichmäßig verteilten Zuschlag zur Nutzlast berücksichtigt werden.

DIN 1055-3, 4 (3) und (4)

Zu bearbeiten sind: • Kontrolle der Plattendicke, Nachweis der Biegeschlankheit • Momentenermittlung nach dem Verfahren der Belastungsumordnung • Darstellung des Momentenverlaufs • Bemessung für Biegung • Ermittlung der Auflagerkräfte/Querkräfte • Bemessung für Querkraft

8

DIN 1045-1, 11.3.2 vergl. [7] Abschnitt 6.3.2, Tab. 6.4 Die Einspannung eines Randes wird mit α = 0,8 erfasst. Bei gleicher Auflagerung in x- und yRichtung ist die kürzere Spannrichtung maßgebend. DIN 1045-1, 11.3.1 (8) und 11.3.2 (2) Durchhang/Durchbiegung ≤ 1/250 der Stützweite DIN 1045-1, 11.3.1 (10) und 11.3.2 (2) Durchbiegung nach Einbau der angrenzenden Bauteile ≤ 1/500 der Stützweite

Plattendicke, Biegeschlankheit Die Begrenzung der Durchbiegung darf vereinfacht durch eine Begrenzung der Biegeschlankheit erfolgen. Bei vierseitig gelagerten, durchlaufenden Platten ist die kleinere Ersatzstützweite maßgebend. li = α ⋅ leff li = 0,8 ⋅ 6, 40 = 5,12 m

y-Richtung

Allgemein ist bei Deckenplatten des üblichen Hochbaus einzuhalten: li ≤ 35 d d ≥ 5,12 / 35 = 0,146 m

In Hinblick auf Schäden an angrenzenden Bauteilen – leichte Trennwände – gilt: li 150 ≤ d li d ≥ 5,122 /150 = 0,175 m

Ausgehend von Q-Matten ergibt sich für die ungünstigste Richtung d = 17 cm, vergl. Bemessung für Biegung, d. h. die Plattendicke h = 20 cm ist hinnehmbar. Heft 240 DAfStb Das Verfahren gilt für Platten mit einem Stützweitenverhältnis lmin/lmax ≥ 0,75 in einer Durchlaufrichtung.

Momentenermittlung Die Schnittgrößen von durchlaufenden, zweiachsig gespannten Platten, deren Auflagerachsen sich kreuzen, können nach dem Verfahren

127

8.2 Durchlaufende Platten mit regelmäßigem Raster

der Belastungsumordnung berechnet werden. Die Stütz- und Feldmomente werden an einer Vergleichseinfeldplatte ermittelt, Bild 8.3. Die Feldmomente werden in zwei Schritten ermittelt: Volllast q ′ = g d + qd / 2 Bei der Vergleichsplatte für Volllast werden die Ränder zum Nachbarfeld als voll eingespannt, die übrigen Ränder frei drehbar gelagert angenommen. q ′′ = ± qd / 2 Schachbrettartige Last Alle Ränder der Vergleichsplatte für schachbrettartige Last werden frei drehbar angenommen. Die größten Feldmomente in beiden Richtungen ergeben sich durch Addition: q ′ + q ′′ = g d + qd

Zur Berechnung der Stützmomente werden wiederum die Ränder zum Nachbarfeld als voll eingespannt, die übrigen Ränder als frei drehbar gelagert angenommen. Angesetzt wird Volllast gd + qd . Bemessen wird für das gemittelte Stützmoment der aneinander stoßenden Platten. Bemessungslasten g d = 1,35 (25 ⋅ 0, 20 + 1, 0) =

8,1 kN/m2

qd = 1,5 (2, 0 + 0,8) = 4, 2 kN/m2 q ′ = 8,1 + 4, 2 / 2 = 10, 2 kN/m2

Stützung 4

q ′′ = ± 4, 2 / 2 = ± 2,1 kN/m2

Stützung 1

Teilsicherheitsbeiwert ständige Lasten γG = 1,35 veränderliche Lasten γQ = 1,5 Trennwandzuschlag 0,8 kN/m2 für Wände, deren Last bis 3 kN/m Wandlänge beträgt

Das Seitenverhältnis der Vergleichsplatten gemäß Darstellung in Bild 8.3b beträgt: lx = 6,90 m

ly = 6,40 m

Die Verwendung der Tabellen erfolgt mit l y ' = 6,90 m

l x ' = 6, 40 m

ε = l y '/ l x ' = 6,90 / 6, 40 = 1, 08 ≈ 1,1 und sinngemäßer Zuordnung der Beiwerte bei der Momentenermittlung: mit ky ergibt sich mx und mit kx ergibt sich my. Feldmomente Beiwerte für volle Drillsteifigkeit mEd , x = =

q ′ ⋅ l x' 2 q ′′ ⋅ l x' 2 + k ymax,4 k ymax,1

10, 2 ⋅ 6, 402 2,1⋅ 6, 40 2 + = 13, 0 kNm/m 42, 0 27, 9

[8] unterschiedliche k-Werte für a) volle Drilltragfähigkeit b) herabgesetzte Drilltragfähigkeit c) Drilltragfähigkeit = 0

8

128

8 Vierseitig gelagerte Platten

q ′ ⋅ l x' 2 q ′′ ⋅ l x' 2 + k xm,4 k xm,1

mEd , y =

10, 2 ⋅ 6, 402 2,1⋅ 6, 402 + = 15, 7 kNm/m 35,1 22, 4

=

Stützmomente mEd , x =

( g d + qd ) ⋅ l x' 2 12,3 ⋅ 6, 402 = − = − 37, 0 kNm/m k yer min,4 13, 6

mEd , y =

( g d + qd ) ⋅ l x' 2 12,3 ⋅ 6, 402 = − = − 39, 7 kNm/m k xer min,4 12, 7

Darstellung des Momentenverlaufs Die Momentengrenzlinien sind in der vereinfachten Form in Bild 8.4 dargestellt. Wie bei der Einfeldplatte wirkt das größere Feldmoment über die kürzere Seite ly = 6,40 m. Der Unterschied zwischen mx und my ist bei größeren Stützweitenunterschieden lx und ly ausgeprägter, vergl. Übungsaufgabe. 1

2

1,28

A

8

6,40

15,7

–37,0

1,28

1,28

–39,7

B

1,28

13,0

6,90

Bild 8.4: Durchlaufplatten System 1 – vereinfachter Momentenverlauf

DIN 1045-1, 6.2 und 6.3, Tab. 3 und 4: angenommen werden Lagermatten ds≤ 8,0 mm oder 7,0 d Doppelstäbe, Vergleichsdurchmesser d sV = 2 d s =10 mm

Bemessung für Biegung XC1 Betondeckung cmin = 10 mm

C16/20

gewählt C20/25

ds

Δc = 10 mm cv

= 20 mm

Verlegemaß unten und oben

129

8.2 Durchlaufende Platten mit regelmäßigem Raster

Untere Bewehrung: Q-Matte. Verlegerichtung wird erst später festgelegt, ungünstigster Ansatz für beide Richtungen: d = 20 – 2,0 – 0,7 – 0,7/2 = 17 cm Obere Bewehrung: R-Matte d = 20 – 2,0 – 0,7/2 = 17,6 cm gewählt 17,5 cm Die Bemessung ist in Tabelle 8.1 zusammengestellt.

Q257: ds = 7 mm in beiden Richtungen R513: 7,0 d Doppelstäbe

Tabelle 8.1: Durchlaufplatten – System 1 – Bewehrung mEd

kd

ks

as

gewählt

kd =

cm2/m

kNm/m Feldmomente x

13,0

4,71

2,24

1,71

Q257 A

y

15,7

4,29

2,27

2,10

Q257 A

Stützmomente x

37,0

2,88

2,38

5,03

R513 A

y

39,7

2,78

2,38

5,40

R513 A

Die Bemessung der Stützmomente berücksichtigt nicht die mögliche Reduzierung – Momentenausrundung bzw. Moment am Rand der Unterstützung. Aufgrund dieser Reserve kann die Unterschreitung der berechneten Bewehrung hingenommen werden, so dass die Matte R513 ausreichend ist. Aufzunehmende Querkraft Näherungsweise können die Auflagerkräfte/Querkräfte zweiachsig gespannter Platten mit den Lastbildern berechnet werden, die sich aus der Zerlegung der Grundrissfläche in Trapeze und Dreiecke ergeben, Bild 8.5.

0,635×6,40 60°

6,40

60°

45°

0,365×6,40

2

A

1

B

45° 6,90

Bild 8.5: Durchlaufplatten System 1 – Lastverteilung

d [cm] mEd [kNm/m]

as = ks

mEd [kNm/m] d [cm]

ks für nächst kleineren kd-Wert ablesen

Die Verlegung der Matten kann analog zu Abschnitt 8.3, Bild 8.8 und 8.9 erfolgen.

Heft 240 DAfStb, vergl. [8]: Die Aufteilung erfolgt unter 45° für Plattenränder mit gleichartiger Stützung; stößt ein voll eingespannter mit einem frei drehbar gelagertem Rand zusammen, beträgt der Winkel 60°.

8

130

8 Vierseitig gelagerte Platten

vEd = ( gd + qd ) ⋅ 0,635 l y

Achse B

= 12,3 ⋅ 0, 635 ⋅ 6, 40 = 50, 0 kN/m vEd = ( g d + qd ) ⋅ 0,365 l y

Achse A

= 12,3 ⋅ 0,365 ⋅ 6, 40 = 28, 7 kN/m

In der Regel lohnt sich bei Platten des üblichen Hochbaus der extra Rechenschritt vEd,red – Abstand d vom Auflagerrand – nicht.

Bemessung für Querkraft Zur Vereinfachung wird die Querkraft in den Achsen zu Grunde gelegt. Tragfähigkeit ohne Querkraftbewehrung, Tabelle 8.2 vRd ,ct = 0,1κ ⋅ (100 ρl ⋅ f ck )1/ 3 ⋅ d Tabelle 8.2: Durchlaufplatten – System 1 – Querkrafttragfähigkeit Achse

8

vereinfachte Gleichung: [7] Abschnitt 5.2.3 Achse A: maßgebend untere Bewehrung Q257 Achse B: maßgebend obere Bewehrung R513

ρl

vRd,ct

cm2/m

–

kN/m

0,170

2,57

0,0015

49,0

0,175

5,13

0,0029

62,9

vEd

d

as

kN/m

m

A

28,7

B

50,0

Einzelschritte Achse B

κ = 1+ ρl =

200 200 = 1+ = 2, 07 175 d

maßgebend 2,0

asl 5,13 = = 0, 0029 100 ⋅17,5 b⋅d

vRd ,ct = 0,1⋅ 2, 0 ⋅ (100 ⋅ 0, 0029 ⋅ 20)1/ 3 ⋅ 0,175 ⋅103

= 62,9 kN/m

Es ist keine Querkraftbewehrung erforderlich.

8.3 Zweiachsig gespannte, durchlaufende Platten mit unregelmäßigem Raster – System 2 Die in Bild 8.6 dargestellte Decke eines Bürogebäudes besteht aus fünf monolithisch miteinander verbundenen Plattenfeldern. Ansonsten sind Außenabmessungen, Randlagerung, Lasten und Baustoffe wie in Abschnitt 8.2. Der Nachweis der Biegeschlankheit und die Bemessung für Querkraft erübrigen sich, denn maßgebend ist die größte Platte Nr. 4, deren Abmessungen die gleichen sind wie in Abschnitt 8.2.

131

8.3 Durchlaufende Platten mit unregelmäßigem Raster

1

3

2

4

4,60

4,60

A

4,60

2

3

B

6,40

1

5

C

6,40

4

6,90

6,90

Bild 8.6: Durchlaufplatten System 2 – Grundriss

Zu bearbeiten sind: • Momentenermittlung nach dem Verfahren von Pieper und Martens • Darstellung des Momentenverlaufs • Bemessung für Biegung • Verlegeskizze für Betonstahlmatten Momentenermittlung Das Verfahren von Pieper und Martens ermöglicht wiederum die Momentenermittlung an Vergleichseinfeldplatten. Den Feldmomenten liegt eine Einspannung von 50 % zu Grunde. Als Stützmoment wird das mittlere Stützmoment der aneinander stoßenden Platten, mindestens 75 % des betragsmäßig größeren Stützmomentes gewählt. Feldmomente mF , x =

( g d + qd ) ⋅ l x 2 k xm

mF , y =

( g d + qd ) ⋅ l x 2 k y max

Stützmomente mS 0,i = mS 0,k =

( g d + qd ) ⋅ l x,i 2 ker ,i ( g d + qd ) ⋅ l x,k 2 ker ,k

Platte i

Platte k

8

[8] Das Verfahren gilt bei größeren Stützweitenunterschieden und für Lasten qd ≤ 0,67 (gd + qd).

132

8 Vierseitig gelagerte Platten

mS 0,i + mS 0,k ≥ 0, 75 mS 0 max 2

mS =

lx ist jeweils die kleinere Stützweite, ggf. ist eine „Drehung“ der Koordinaten zur Anwendung der Momententafeln vorzunehmen. gd + gd = 1,35 (25 · 0,20 + 1,0) + 1,5 (2,0 + 0,8) = 12,3 kN/m2

vergl. Abschnitt 8.2 [8] Beiwerte für volle Drillsteifigkeit

Die Momentenermittlung erfolgt in Tabelle 8.3 und 8.4.

Tabelle 8.3: Durchlaufplatten – System 2 – Biegemomente Nr

Typ

lx m

m

–

–

–

–

–

1=3

4

4,60

6,40

1,4

18,5

39,9

10,0

12,6

ly

ly/lx

kxm

kymax

– kxer

– kyer

– mS0x

– mS0y

mFx

mFy

14,1

6,5

26,0

20,7

kNm/m

2

5

4,60

6,40

1,4

19,8

45,1

12,7

17,5

13,1

5,8

20,5

14,9

4=5

4

6,90

6,40

1,1

34,1

27,3

13,6

12,7

14,8

18,5

37,0

39,7

Platte Nr 4: Momentenbeiwerte abgelesen für ly /lx = 1,1; kx, ky eingetragen für tatsächliche Richtung Tabelle 8.4: Durchlaufplatten – System 2 – Stützmomente

8

Stüt- TragrichmS 0,i zung tung

mS 0,k

i–k 1–2

Es ist üblich, die Momentengrenzlinien geradlinig darzustellen, eine feinere Abstufung der Bewehrung ist baupraktisch ohnehin nicht möglich.

mS 0,i + mS 0,k 2

0,75 mS 0

max

mS

kNm/m

x

26,0

20,5

23,3

19,5

23,3

4–5

x

37,0

37,0

37,0

27,8

37,0

1–4

y

20,7

39,7

30,2

29,8

30,2

2–4

y

14,9

39,7

27,3

29,8

29,8

Darstellung des Momentenverlaufs Die Momentengrenzlinien in Bild 8.7 sind in vereinfachter Form dargestellt. Der Momentennullpunkt wird in beiden Richtungen mit 0,2 lmin angenommen. Verglichen mit dem Deckensystem 1 – Abschnitt 8.2 – ergeben sich größere Feldmomente für die Platte 4 des Deckensystems 2, weil die Einspannung nur mit 50 % angesetzt wird. Die Stützmomente der Platte 4 sind in x-Richtung gleich, jedoch sind sie in y-Richtung für das Deckensystem 2 kleiner, weil eine große Platte – Nr. 4 – mit kleineren Platten – Nr. 1 und 2 – zusammentrifft. Platte 1 hat die gleichen Abmessungen wie die Einfeldplatte in Abschnitt 8.1. Auf Grund der Einspannmomente sind die Feldmomente der durchlaufenden Platte kleiner, allerdings ist die Ermäßigung nicht so ausgeprägt wie bei einachsig gespannten Platten und Balken.

133

8.3 Durchlaufende Platten mit unregelmäßigem Raster

1

3

2

4

4,60

4,60

A

4,60

2

3

6,5

1

6,40

–23,3

92

92 92 13,1

B

1,28 92

–30,2

14,1

5

4

6,40

–37,0

18,5

1,28

C

1,28

14,8

1,28

6,90

6,90

Bild 8.7: Durchlaufplatten System 2 – vereinfachter Momentenverlauf

Bemessung für Biegung Von Abschnitt 8.2 werden übernommen: XC1 C16/20 gewählt C20/25 cv = 2,0 cm unten und oben d = 17 cm unten d = 17,5 cm oben Die Bemessung erfolgt mit Hilfe der kd –Tafel, s. Anhang Tafel A3.

8 Trockene Umgebung Richtung der unteren Matten noch nicht festgelegt; Annahme: Q-Matte unten, R-Matte oben

Tabelle 8.5: Durchlaufplatten System 2 – Bewehrung

Platte

Richtung

mEd

kd

ks

gewählt

cm2/m

kNm/m Feldmomente 1 2 4 1 2 4 Stützmomente 1-2 4-5 1-4 2-4

as

x x x y y y

14,1 13,1 14,8 6,5 5,8 18,5

4,53 4,70 4,42 6,67 7,06 3,95

2,27 2,24 2,27 2,22 2,22 2,27

1,88 1,73 1,98 0,85 0,76 2,47

Q188 A Q188 A Q257 A Q188 A Q188 A Q257 A

x x y y

23,3 37,0 30,2 29,8

3,62 2,87 3,18 3,21

2,29 2,38 2,32 2,32

3,05 5,03 4,00 3,95

R335 A R513 A R513 A R513 A

kd =

d [cm] mEd [kNm/m]

as = ks

mEd [kNm/m] d [cm]

ks für nächst kleineren kd-Wert ablesen

134

8 Vierseitig gelagerte Platten

Trotz der vergleichsweise großen Stützweiten der Platte Nr. 4 – ly = 6,40 m, lx = 6,90 m – können die Momente mit einer Lage Matten abgedeckt werden. Bei größeren Stützweitenunterschieden nehmen die Feldmomente über die kürzere Seite zu, vergl. Übungsaufgabe.

Lagermatten Länge 5,00 m Breite 2,15 m

Verlegeskizze für Betonstahlmatten Untere Bewehrung, Bild 8.8 Platte 1-3: Q188A Platte 4, 5: Q257A 1

3

2

4

4,60

4,60

A

4,60

34

1

6,40

1 ½

B

1

8 ½

2

I

2

C

I

6,40

2

51 6,90

6,90

I–I

1

1

Q188 A

2

Q257 A

34

6 9 175

Bild 8.8: Durchlaufplatten System 2 – untere Bewehrung

Beginn der 2. Reihe mit halber Matte [10] Tragstoß als ZweiEbenen-Stoß, d.h. die Matten werden übereinander gelegt. Lagermatten Länge 5,00 m Breite 2,15 m

Die Stöße in Längsrichtung (x-Richtung) werden versetzt, Bild 8.8, damit nicht 4 Mattenecken übereinander liegen. Q257A Stoßlänge ls = 33 cm in beiden Richtungen Die Matten werden so weit wie möglich auf das Endauflager geschoben, d. h. 9 cm über die Auflagerachse, Detail Bild 8.8. Insgesamt erforderliche Länge: l = 2 (6,90 + 0, 09) + 3 ⋅ 0,33 = 14,97 m

< 3 ⋅ 5, 00 = 15, 00 m

135

8.3 Durchlaufende Platten mit unregelmäßigem Raster

Tatsächliche Stoßlänge: 3 Stöße ls = 34 cm ls = 51 cm 2 Stöße In y-Richtung sind 7 Mattenreihen erforderlich, d. h. es ergeben sich 6 Stöße. Einschließlich des beidseitigen Überstandes über die Lagerachse sind erforderlich: l = 2 (6, 40 + 0, 09) + 6 ⋅ 0,33 = 14,96 m

Die Matten werden nicht gekürzt.

< 7 ⋅ 2,15 = 15, 05 m

Alle Stöße werden mit ls = 34 cm vermaßt. Es ist vertretbar, in Feld 4 unmittelbar neben Achse B die kleinere Matte Q188 zu verlegen, weil sich das Moment erst mit zunehmendem Abstand aufbaut. Vergleiche Konstruktionsregel DIN 1045 (07/88), 20.1.6 (5): Im Randstreifen der Breite 0,2 lmin darf die parallel zum stützenden Rand verlaufende Bewehrung auf die Hälfte der in gleicher Richtung liegenden Bewehrung des mittleren Plattenbereiches abgemindert werden: asRand = 0,5 asMitte. Obere Bewehrung, Bild 8.9 1

3

2

4

4,60

4,60

A

4,60

8

1

1

1

6,40

3

5

5

4

1

B

4

3

6,40

4

2

4

1 C

1

6,90

6,90

1

Q188 A

Pos 1 pauschal für alle Matten Q188

2

Q257 A

3

R335 A

5

Q513 A

4

R513 A

Bild 8.9: Durchlaufplatten System 2 – obere Bewehrung

Stützung 1-2: R335A Zu prüfen ist, ob die halbe Mattenlänge ausreichend ist.

136

8 Vierseitig gelagerte Platten

DIN 1045-1, 13.3.2 (1): für Platten ohne Querkraftbewehrung gilt al = d.

Momentennullpunkt

Versatzmaß al = d = 0,175 m Verankerungslänge außerhalb des Momentennullpunkts lb,min = 0,3 α a ⋅ lb ≥ 10 d s

DIN 1045-1,12.6.2 (3) R-Matten: Überstand der Längsstäbe 125 mm

8

0, 2 l x = 0, 2 ⋅ 4, 60 = 0,92 m

αa = 1,0 kein angeschweißter Querstab innerhalb der Verankerungslänge

DIN 1045-1, 12.4, Bild 54: guter Verbundbereich für alle Stäbe in Bauteilen h ≤ 300 mm

lb = 38 cm Längsstab Ø8, guter Verbundbereich

Lagermatte Länge 6,00 m Breite 2,15 m

Stützung 1-4 und 4-5: R513A Überprüfung der Mattenlänge

DIN 1045-1, 12.9 (2): Doppelstäbe sind mit dem Vergleichsdurchmesser zu berücksichtigen.

lb,min = 0,3 ⋅ 38 = 11, 4 cm > 10 ⋅ 8 = 80 mm

Insgesamt erforderliche Länge: l = 0,92 + 0,175 + 0,114 = 1,21 m < 2,50/2 = 1,25 m

Momentennullpunkt

0, 2 lmin = 0, 2 ⋅ 6, 40 = 1, 28 m

Versatzmaß Verankerungslänge lb = 47 cm

al = d = 0,175 m

d sV = lb,min = 0,3 ⋅ 47 = 14,1 cm

Die Unterschreitung ist hinnehmbar, Reserve: angeschweißter Querstab innerhalb Verankerungslänge Momentenverlauf im Grundriss vergl. [8]

Lagermatte mit beidseitig 2 bzw. 4 Randsparstäben (Einzelstäbe) Länge 6,00 m Breite 2,15 m

7,0 d Doppelstäbe, Vergleichsdurchmesser 2 ⋅ 7, 0 = 9,9 mm

> 10 ⋅ 9,9 = 99 mm

Insgesamt erforderliche Länge l = 1,28 + 0,175 + 0,141 = 1,60 m ≈ 3,00/2 = 1,50 m Kreuzungsbereich B2 bis B3 In den Plattenecken gibt es keine Einspannmomente, weiter zur Plattenmitte sind die Einspannmomente für die Stützung 2-4 und 4-5 abzudecken. Anstelle von R-Matten in x- und y-Richtung werden Q-Matten gewählt: Q513A. Übergreifungslänge in Querrichtung Bei Randsparmatten sind die äußersten 2 bzw. 4 Längsstäbe Einzelstäbe. Damit ergibt sich als Übergreifungslänge in Querrichtung eine Masche bzw. 3 Maschen, Bild 8.10. R 377 A

Q 377 A

20

50

Bild 8.10: Zwei-Ebenen-Stoß: Stoßlänge in Querrichtung bei Randsparmatten

137

8.3 Durchlaufende Platten mit unregelmäßigem Raster

Drillbewehrung Infolge der Lastabtragung über die Diagonale entstehen Drillmomente, die eine obere und untere Bewehrung in den Plattenecken erfordern. as = as,Feld

in beiden Richtungen

Länge 0,3 min leff

DIN 1045-1, 13.3.2 (5) bis (9), Bild 70: pauschale Vorgabe für rechtwinklige Eckbewehrung auf der Ober- und Unterseite

Die Drillbewehrung ist nur in den Ecken erforderlich, in denen zwei Ränder mit frei drehbarer Lagerung zusammentreffen. Gewählt werden Q188A bzw. Q257A wie im Feld. Randbewehrung Das Außenmauerwerk des Ober- und Untergeschosses bewirkt eine Einspannung der Platte – „Schraubstockeffekt“. Bei einer Wanddicke von nur 17,5 cm wird das Einspannmoment nicht den Wert von 25 % des Feldmoments erreichen und auch nicht weit in das Feld reichen. Konstruktiv gewählt Q188A, damit kann der Schneide- und Verlegeaufwand minimiert werden. In Bild 8.9 geben die Positionsnummern den Mattentyp an, die Abmessungen der einzelnen Matten bleiben dabei unberücksichtigt. Anzustreben ist ein möglichst einfaches Verlegeschema und ein geringer Verschnitt. Der dargestellte Bewehrungsvorschlag geht von längs und quer halbierten Lagermatten aus; bei den Randmatten geht das zu Lasten der Stöße quer zur Einspannrichtung, was in diesem Beispiel vertretbar ist.

DIN 1045-1, 13.2.1(1): Rechnerisch nicht erfasste Einspannungen sind für ≥ 25 % des benachbarten Feldmoments zu bemessen. Die Bewehrung ist über die 0,25 fache Länge des Endfeldes einzulegen.

8

9 Fertigteile mit Ortbetonergänzung Es ist häufig wirtschaftlich, Bauteile aus Fertigteilen in Kombination mit Ortbeton herzustellen. Das betrifft vor allem Platten, bei denen die Schalungskosten und die Bauzeit reduziert werden können, wenn vorgefertigte Elementplatten mit Ortbetonergänzung gewählt werden. Bei Plattenbalken kann es vorteilhaft sein, den schalungsaufwendigen Steg als Fertigteil herzustellen, und die Platte nachträglich zu betonieren, entweder vollständig in Ortbeton oder in Kombination mit Elementplatten. Hinsichtlich der Biegung besteht meistens kein Unterschied zu dem in einem Guss hergestellten Bauteil. Ortbeton und Fertigteil wirken zusammen, so dass sich der gleiche innere Hebelarm zwischen der Bewehrung im Fertigteil und der Betondruckkraft im Ortbeton wie bei einer reinen Ortbetonkonstruktion ergibt. Anstelle der üblichen Bemessung für Querkraft tritt der Nachweis der Schubkraftaufnahme in der Fuge. Die Übertragung der Schubkraft – Querkraft dividiert durch den inneren Hebelarm – wird durch die Rauigkeit/Oberflächenbeschaffenheit der Fuge bestimmt. Bei Elementplatten werden die für Transport und Montage ohnehin erforderlichen Gitterträger zur Schubkraftaufnahme herangezogen, Abschnitt 9.1. Die Verbundbewehrung der Balken besteht aus Bügeln, deren Querschnitt jedoch größer ist als bei der üblichen Bemessung für Querkraft, Abschnitt 9.2.

9.1 Elementplatte mit Ortbetonergänzung Die in Bild 9.1 dargestellte Platte eines Bürogebäudes besteht aus einer 6 cm dicken vorgefertigten Elementplatte mit 16 cm Ortbetonergänzung. Die Geometrie und die Lasten entsprechen der in Abschnitt 3.2 nachgewiesenen Ortbetonplatte. Die einbetonierten Gitterträger sorgen im Transport- und Montagezustand für die notwendige Steifigkeit und stellen für den Endzustand die Verbundbewehrung. Zweckmäßigerweise wird die Höhe der Gitterträger so gewählt, dass sie zugleich als Abstandshalter für die obere Bewehrung dienen, Bild 9.2. Baustoffe Beton

C25/30

Betonstahl BSt 500 Gitterträger

Lasten g k = 25 (0, 06 + 0,16) + 1,5 = 7, 0 kN/m2 g d = 1,35 ⋅ 7, 0 = 9, 45 kN/m2

Gitterträger lt. Allgemeiner bauaufsichtlicher Zulassung für Fertigplatten mit statisch mitwirkender Ortbetonschicht Teilsicherheitsbeiwert ständige Lasten γG = 1,35

140

9 Fertigteile mit Ortbetonergänzung

qk = 5, 0 kN/m2

veränderliche Lasten γQ = 1,5

qd = 1,5 ⋅ 5, 0 = 7,5 kN/m2 A

gd = 9,45 qd = 7,5

B

C

22 60 175

6,34

40

5,04

175 Mauerwerk

6,60

5,30 –67,7 (–65,9)

vEd Volllast [kN/m]

–30,3 (–32,5)

44,2 (46,0) 59,6 (57,4)

Klammerwerte nach 15 % Momentenumlagerung

Bild 9.1: Platte mit Ortbetonergänzung

Zu bearbeiten sind: • Vergleich mit der Ortbetonplatte: Schnittgrößen und Bemessung für Biegung • Nachweis der Schubkraftaufnahme

9

Herstellungsbedingt besteht die in die Fertigplatte eingelegte Bewehrung häufig aus Stabstahl.

Schnittgrößen, Bemessung für Biegung Die Schnittgrößen für die Zweifeldplatte werden von Abschnitt 3.2 übernommen, Bild 9.1. Das Feldmoment wird von der Bewehrung in der Fertigplatte und von der Druckzone im Ortbeton aufgenommen. Die Untergurtstäbe der Gitterträger können auf die erforderliche Feldbewehrung angerechnet werden. Die Stützbewehrung liegt im Ortbeton, die zugehörige Druckzone in der Fertigplatte. Die Betondeckung und die statische Nutzhöhe sind wie bei der Ortbetonplatte: cv = 2,0 cm d = 19,0 cm Damit kann die in Abschnitt 3.2 ermittelte Biegezugbewehrung übernommen werden; die höhere Betonfestigkeitsklasse vermindert nur unwesentlich den Stahlbedarf. Nachweis der Schubkraftaufnahme Der übliche Nachweis der Querkraftaufnahme ist in der Regel nicht extra erforderlich, weil der Nachweis der Schubkraftaufnahme in der Verbundfuge maßgebend wird.

141

9.1 Elementplatte mit Ortbetonergänzung

Die aufzunehmende Schubkraft in der Fuge beträgt: vEd = VEd /z

VEd und vEd auf 1 m Breite bezogen

Der innere Hebelarm darf mit z = 0,9 d angesetzt werden, wenn keine Querkraftbewehrung erforderlich ist, was für die meisten Platten des üblichen Hochbaus zutrifft, vergl. Nachweis in Abschnitt 3.2. z = 0,9 d = 0,9 ⋅ 0,19 m

Die Schubkraftübertragung in der Fuge hängt von der Oberflächenbeschaffenheit ab, für die folgende Definitionen gelten: glatt: die Oberfläche wurde abgezogen oder sie blieb nach dem Verdichten ohne weitere Behandlung rau: die Oberfläche weist eine definierte Rauigkeit auf Es wird – auf der sicheren Seite liegend – eine glatte Fuge angenommen. Dafür gelten die Beiwerte:

β ct = 1, 4

Rauigkeitsbeiwert

μ = 0, 6

Reibungsbeiwert

DIN 1045-1, 10.3.6 (1) Angaben zur Überprüfung der Rautiefe s. Heft 525, DAfStb. Stark vereinfacht liegt eine raue Oberfläche bei einer Strukturtiefe von 1 mm vor. DIN 1045-1, 10.3.6, Tab. 13

Bemessungswert der aufnehmbaren Schubkraft in Fugen ohne Verbundbewehrung – bezogen auf 1 m Breite: vRd ,ct = 0, 042 β ct ⋅ fck1/ 3 ⋅ b = 0, 042 ⋅1, 4 ⋅ 251/ 3 ⋅ 1, 0 ⋅103 = 172 kN/m

vereinfachte Gleichungen [7] Abschnitt 5.2.7, Gl. (5.29b) bis Gl. (5.32)

9

Druckstrebenneigung 1, 0 ≤ cot θ ≤

1, 2 μ ≤ 3, 0 1 − vRd ,ct / vEd

Verbundbewehrung as =

vEd f yd ⋅ (cot θ + cot α ) ⋅ sin α

α Neigung der Gitterträger-Diagonalen tan α =

14 = 1, 75 10 − 2

α = 60°

fyd Bemessungswert der Stahlspannung der Diagonalen fyd = 420/1,15 = 365 N/mm2 = 36,5 kN/cm2 Die Verbundbewehrung darf allein aus den Diagonalen der Gitterträger bestehen für: vEd ≤ 0,3 vRd ,max ≤ 0,3 bw ⋅ z ⋅α c ⋅ f cd

cot θ + cot α k 1 + cot 2 θ

Fertigungstechnisch beträgt der Abstand der Diagonalen sD = 20 cm, d. h. mit zunehmender Höhe wächst der Neigungswinkel α. Außerdem ist die Krümmung der Diagonalen zu berücksichtigen. Die Diagonalen bestehen aus glattem Stahl.

142

9 Fertigteile mit Ortbetonergänzung

für α < 55°

k = 1, 0

Der Beiwert k ist in der Gitterträger-Zulassung geregelt.

für α ≥ 55°

= 1 + sin (α − 55°)

b)

6

14

16 22

a)

20

55

Obergurt ∅10 Untergurt ∅10 Diagonale ∅7

Bild 9.2: Elementdecke a) Deckenquerschnitt b) Gitterträger

Die Verbundbewehrung ist in Tabelle 9.1 berechnet. Tabelle 9.1: Platte mit Ortbetonergänzung – Schubkraftaufnahme, bezogen auf 1 m Breite – Ort

9

Abminderung der Querkraft bis zum Auflagerrand vernachlässigt, vergl. Übungsaufgabe.

cotθ 0,3 vRd,max

VEd

vEd

kN

kN/m

–

kN/m

as

gewählt

cm2/m

∅D-sT: as [cm2/m]

A

44,2

258

2,16

287

2,98

∅7–55: 7,00

Bl

67,7

396

1,27

420

6,77

∅7–55: 7,00

Br

59,6

349

1,42

393

5,52

∅7–625: 6,16

C

30,3

177

3,00

212

1,56

∅7–625: 6,16

Einzelschritte für Schnitt Bl vEd = 67, 7 / 0,9 ⋅ 0,19 = 396 kN/m cot θ =

1, 2 ⋅ 0, 6 = 1, 27 1 −172 / 396

k = 1 + sin (60° − 55°) = 1, 087

0,3 vRd ,max = 0,3 ⋅1, 0 ⋅ 0,9 ⋅ 0,19 ⋅ 0, 75 ⋅14,17

1, 27 + 0,58 1, 087 ⋅103 1 + 1, 27 2

= 420 kN/m as =

396 = 6, 77 cm2/m 36,5 ⋅ (1, 27 + 0,58) ⋅ 0,866

143

9.2 Balken mit Ortbetonergänzung

gewählt Gitterträger-Diagonalen ∅D = 7 mm, Abstand in Längsrichtung 20 cm, in Querrichtung sT = 55 cm as ,vorh =

2 ⋅ 0,385 = 7, 00 cm2/m 0, 20 ⋅ 0,55

Die Feldbewehrung ragt aus der Fertigplatte mit der Anschlusslänge heraus. Die Fertigplatte kann auf dem Auflager aufliegen oder vor dem Auflager enden. Über der Fuge ist die Querbewehrung – ≥ 20 % der Längsbewehrung – zu stoßen. Platten des üblichen Hochbaus werden in der Regel für Momente mit 15 % Momentenumlagerung bemessen. Damit verändern sich auch die Querkräfte – Verminderung an der 1. Innenstütze und Erhöhung am Endauflager. Im Rahmen der Übungsaufgabe ist die Schubkraftaufnahme nach Momentenumlagerung nachzuweisen und gleichzeitig sind die Querkräfte am Auflagerrand anzusetzen.

vergl. Zulassung

9.2 Balken mit Ortbetonergänzung Der Plattenbalken in Achse B eines Bürogebäudes, Bild 9.3, besteht aus dem vorgefertigten Steg und der Platte aus Ortbeton (Variante 1) bzw. in Kombination mit vorgefertigten Elementplatten (Variante 2). Die Ermittlung der Lasten und der Schnittgrößen sowie die Bemessung für Biegung sind unabhängig vom Bauverfahren, dagegen tritt der Nachweis der Schubkraftaufnahme an die Stelle des Querkraftnachweises. Baustoffe Beton

C25/30

9

Betonstahl BSt 500 S

Lasten aus der Platte, vergl. Bild 9.3 Zu bearbeiten sind: • Lastermittlung für den Balken, Ermittlung der Schnittgrößen • Bemessung für Biegung • Nachweis der Schubkraftaufnahme Lastenermittlung, Schnittgrößen Die Lasteinzugsfläche des Balkens ist durch die Querkraftnullpunkte der Platte begrenzt. g k , Platte = 25 ⋅ 0, 22 + 1,5 = 7, 0 kN/m2

gk,Balken = 7,0 (3,99 + 3,52) gk,Steg = 25 · 0,4 (0,60 – 0,22)

= =

52,6 kN/m 3,8 kN/m 56,4 kN/m

Ausbaulast Δgk = 1,5 kN/m2

144

9 Fertigteile mit Ortbetonergänzung

A

a)

I

C

B

22 60 175

I

6,34

40

175

5,04 5,30

6,60 b) –67,7 (–65,9)

vEd [kN/m] Volllast Platte 44,2 (46,0)

59,6 (57,4)

Klammerwerte nach 15 % Momentenumlagerung

3,99 (3,89) c)

–30,3 (–32,5)

3,52 (3,39)

I–I 60 30

30 7,50

d)

16

Variante 2

6

60

60

22

Variante 1

9 40

32 40

Bild 9.3: Plattenbalken mit Ortbetonergänzung a) Querschnitt b) Platte – Querkräfte c) Längsschnitt d) Ausführungsvarianten

DIN 1055-3, Tab. 1: Flächen in Bürogebäuden sind der Kategorie B zugeordnet. DIN 1055-3, 6.1 (5) und (6)

qk = 5,0 kN/m2 Für die Weiterleitung der Lasten auf sekundäre Tragglieder – Unterzüge, Stützen, Gründungen usw. – dürfen die Nutzlasten der Platte abgemindert werden. Der Abminderungsbeiwert αA für die Kategorie A, B und Z beträgt: 10 ≤ 1, 0 A A Einzugsfläche des Balkens Achse B

α A = 0,5 +

A = (3,99 + 3,52) ⋅ 7,50 = 56,3 m2

145

9.2 Balken mit Ortbetonergänzung

α A = 0,5 +

10 = 0, 68 56,3

qk , Balken = 0, 68 ⋅ 5, 0 ⋅ (3,99 + 3,52) = 25,5 kN/m

Bemessungslasten, Schnittgrößen gd = 1,35 ⋅ 56, 4 = 76,1 kN/m qd = 1,5 ⋅ 25,5 = 38,3 kN/m gd + qd = 114,4 kN/m M Ed = 114, 4 VEd = 114, 4

7,52 = 804 kNm 8

Betondeckung Bügel

Feldmitte

7,5 = 429 kN 2

Bemessung für Biegung XC1 C16/20

Teilsicherheitsbeiwert ständige Lasten γG = 1,35 veränderliche Lasten γQ = 1,5

Auflagerachse

gewählt

C25/30

DIN 1045-1, 6.2, Tab. 3: Expositionsklassen, Mindestbetonfestigkeitsklasse

cmin = 10 mm ≥ ds,bü = 12 mm cmin = ds = 28 mm

Längsstab

9

Δc = 10 mm cnom,l = 28 + 10 = 38 mm

DIN 1045-1, 6.3, Tab. 4: Mindestbetondeckung und Vorhaltemaß

Verlegemaß

cv = 38 – 12 = 26 mm

Nutzhöhe

d = 60 – 3,0 – 1,2 – 2,8/2 = 54,5 cm

gewählt

cv = 30 mm

Mitwirkende Plattenbreite beff =

¦ beff,i + bw

DIN 1045-1, 7.3.1 (2), Bild 2

beff, i = 0, 2 bi + 0,1l0 l0 = leff = 7,50 m

≤ 0, 2 l0

≤ bi

wirksame Stützweite, Einfeldbalken

b1 = 6,34 / 2 = 3,17 m tatsächlich vorhandene Gurtbreite b2 = 5, 04 / 2 = 2,52 m bw = 0, 40 m

Stegbreite

146

9 Fertigteile mit Ortbetonergänzung

beff,1 = 0, 2 ⋅ 3,17 + 0,1⋅ 7,50 = 1,38 m < 0, 2 l0 = 0, 2 ⋅ 7,50 = 1,50 m < b1 = 3,17 m beff,2 = 0, 2 ⋅ 2,52 + 0,1⋅ 7,50 = 1, 25 m < 0, 2 l0 = 1,50 m < b2 = 2,52 m beff = 1,38 + 1, 25 + 0, 40 = 3, 03 m Anhang Tafel A3 kd = d [cm] M [kNm] b [m]

Angenommen wird ein Rechteckquerschnitt mit der Breite beff kd =

As = ks M [kNm] d [cm]

54,5 804 3, 03

= 3,35

ξ = x/d = 0,11

ks = 2,29

x = 0,11⋅ 54,5 = 6, 0 cm

Die Druckzone ist in der Platte, und zwar vollständig in der Ortbetonergänzung. Damit erübrigt es sich, die Fugen der Elementplatten (Querrichtung) kraftschlüssig zu schließen.

9

804 = 33,8 cm2 54,5

As = 2, 29 6Ø28 passen in eine Lage, Tab. s. [8]

gewählt

6Ø28 = 37,0 cm2

Nachweis der Schubkraftaufnahme Aufzunehmende Schubkraft vEd = VEd /z VEd ,red = 429 −114, 4 ⋅ 0,30 / 2 = 412 kN

Querkraft am Rand der Unterstützung [6] Stellungnahme zu DIN 1045-1, 10.3.6 (2): Wenn Verbundbewehrung erforderlich ist, gilt z d – cnom,l – 30 mm. cnom,l bezieht sich auf die Längsstäbe in der Druckzone, über denen 2 Lagen Betonstahlmatten liegen.

z = 0,9 d = 0,9 ⋅ 54,5 = 49, 0 cm

≤ d − cnom,l − 30 mm = 54,5- 4, 0 -3, 0 = 47,5 cm vEd = 412 / 0, 475 = 867 kN/m

147

9.2 Balken mit Ortbetonergänzung

Variante 1: Ortbetonplatte, Bild 9.3 Angenommen wird eine raue Fuge βct = 2,0 Rauigkeitsbeiwert μ = 0,7 Reibungsbeiwert Die Verbundbewehrung besteht aus lotrechten Bügeln α = 90° Aufnehmbare Schubkraft ohne Verbundbewehrung vRd ,ct = 0, 042 ⋅ β ct ⋅ fck1/ 3 ⋅ b

= 0, 042 ⋅ 2, 0 ⋅ 251/ 3 ⋅ 0, 40 ⋅103 = 98 kN/m

DIN 1045-1, 10.3.6, Tab. 13

vereinfachte Gleichungen [7], Abschnitt 5.2.7 Gl. (5.29b) bis Gl. (5.32)

Druckstrebenneigung cot θ =

1, 2 μ 1, 2 ⋅ 0, 7 = = 0,95 1 − vRd ,ct / vEd 1 − 98 / 867

maßgebend 1,0 Verbundbewehrung as =

vEd f yd ⋅ (cot θ + cot α ) ⋅ sin α

=

867 = 19,9 cm2/m 43,5 ⋅1, 0

9

maximal aufnehmbare Querkraft VRd ,max = =

bw ⋅ z ⋅α c ⋅ f cd cot θ + tan θ

DIN 1045-1, 10.3.4 (6): αc = 0,75

0, 40 ⋅ 0, 475 ⋅ 0, 75 ⋅14,17 3 ⋅10 = 1010 kN 1, 0 + 1, 0

VEd / VRd ,max = 412 /1010 = 0, 4 > 0,3 < 0, 6

Maximaler Bügelabstand smax = 0,5 ⋅ h = 0,5 ⋅ 60 = 30 cm < 300 mm

gewählt: Bügel Ø12-10 = 22,6 cm2/m größerer Abstand zur Feldmitte

DIN 1045-1, 13.2.3, Tab. 31

148

9 Fertigteile mit Ortbetonergänzung

Variante 2: Elementplatte mit Ortbetonergänzung, Bild 9.3 Breite der Anschlussfuge b = 0,32 m vRd ,ct = 0, 042 ⋅ 2, 0 ⋅ 251/ 3 ⋅ 0,32 ⋅103 = 79 kN/m cot θ =

1, 2 ⋅ 0, 7 = 0,92 maßgebend 1,0 1 − 79 / 867

Damit ist die gleiche Verbundbewehrung wie für Variante 1 erforderlich. VRd ,max =

0,32 ⋅ 0, 475 ⋅ 0, 75 ⋅14,17 3 ⋅10 = 808 kN 1, 0 + 1, 0

VEd / VRd ,max = 412 / 808 = 0,51 < 0, 6

Maximaler Bügelabstand unverändert smax = 30 cm Für beide Ausführungsarten ist volle Schubdeckung erforderlich, demzufolge ist der Bügelquerschnitt gleich. Lediglich bei der Abstufung der Bügel zur Feldmitte können sich geringfügige Unterschiede ergeben. Nachweis im Viertelspunkt der Spannweite VEd = 429 − 114, 4 (7,50 / 4) = 215 kN

9

vEd = 215 / 0, 475 = 453 kN/m cot θ =

as =

1, 2 ⋅ 0, 7 = 1, 02 1 − 79 / 453

453 = 10, 2 cm2/m 43,5 ⋅1, 02

gewählt: Bügel Ø12–20 = 11,3 cm2/m Da sich cotθ nur wenig ändert, ist die Abstufung der Bügel fast proportional zum Querkraftverlauf. Die Ausführung Fertigteilsteg mit Ortbetonergänzung erfordert deutlich mehr Bügel als die reine Ortbetonlösung, vergl. Übungsaufgabe.

10 Fertigteile – Konsole, ausgeklinktes Trägerende Im Fertigteilbau sind die Balken in der Regel Einfeldträger und die Stützen laufen über mehrere Geschosse durch. Die Balkenlasten werden über Konsolen in die Stütze eingeleitet. Häufig werden Balken am Ende ausgeschnitten – üblich ist der Begriff „ausgeklinktes Trägerende“, damit die lichte Raumhöhe nicht durch die Konsole eingeschränkt wird. Die Kraftübertragung vom Balken in die Stütze lässt sich mit Hilfe eines Stabwerkmodells einfach nachweisen. Die Hauptaufgabe besteht darin, die erforderliche Bewehrung konstruktiv sinnvoll anzuordnen und ausreichend zu verankern. Nachgewiesen wird die Stützenkonsole – Abschnitt 10.1 – und das ausgeklinkte Trägerende – Abschnitt 10.2 – des in Bild 10.1 dargestellten Knotenpunktes.

10.1 Konsole Der dargestellte Knotenpunkt einer Fertigteilhalle – Außenluft hat Zugang – überträgt die Lasten des Balkens auf die Stütze, Bild 10.1. Zwischengeschaltet ist ein Elastomerlager. Baustoffe Beton C40/50

Betonstahl BSt 500 S

Lasten

Unbewehrte Elastomerlager gleichen Unebenheiten aus, begrenzen die Belastungsflächen und ermöglichen Auflagerverdrehungen des Balkens. Die hohe Betondruckfestigkeit ergibt sich in der Regel aus der herstellungsbedingten Frühfestigkeit des Betons.

FEd = 400 kN HEd = 0,1 FEd = 40 kN zur Erfassung von Zwängungskräften/Rückstellkraft des Lagers Zu bearbeiten sind: • Festlegung der Expositionsklassen, Mindestbetonfestigkeitsklasse, Betondeckung • Bemessung der Konsole • Nachweis der Verankerung • Nachweis des Lagers • Darstellung der Bewehrung

Häufig wird H = 0,2 V vorgeschlagen, bei Elastomerlagern ist die Rückstellkraft in der Regel kleiner.

150

10 Fertigteile – Konsole, ausgeklinktes Trägerende

a2 + Δa2

80

a1

395

a3 + Δa3

1 395

2

b = 35 2

35

40

35

2

Bild 10.1: Stützenkonsole und ausgeklinktes Trägerende

DIN 1045-1, 6.2, Tab. 3 DIN 1045-1, 6.3, Tab. 4

Expositionsklassen, Mindestfestigkeitsklasse, Betondeckung XC3 C20/25 Bewehrungskorrosion XF1 C25/30 Frostangriff Die gewählte Betonfestigkeit ist mehr als 2 Festigkeitsklassen höher, deshalb darf die Mindestbetondeckung um 5 mm vermindert werden. cmin = 20 − 5 = 15 mm ds = 8 mm angenommen Bügel Ø8 Schlaufen Ø12

10

cv = 30 mm ist auch ausreichend für die Stützenbewehrung ∅28 und Bügel ≥ ∅8: cnom,l = dsl + Δc = 28 + 10 = 38 mm Δc = 10 mm für Verbundsicherung cv = cnom,l – dsbü = 38 – 8 = 30 mm

Δc = 15 mm cv = 15 + 15 = 30 mm

Bemessung der Konsole Die Bemessung von Stahlbetonkonsolen erfolgt mit Hilfe eines Stabwerkmodells, das aus einer geneigten Betondruckstrebe und einem horizontalen Zuggurt besteht. Der obere Knotenpunkt ist durch die Krafteinleitung gegeben; der untere Knotenpunkt liegt in der Stütze, der Abstand vom Stützenrand ist lastabhängig. Bei hoher Beanspruchung liegt der Knotenpunkt weiter in der Stütze, demzufolge ist die Druckstrebe flacher geneigt und der innere Hebelarm z0 bezogen auf den Stützenrand kleiner, Bild 10.2. Nutzhöhe, vergl. Bild 10.3 d = 39,5 – 3,0 – 0,8 – 1,2 = 34,5 cm angenommen 4 Schlaufen Ø12 in 2 Lagen, Bügel Ø8

151

10.1 Konsole

ac 2

9

15

9

HEd

aH

FEd

40/2

35

hc = 395

d

z0

ZEd

b = 35

Bild 10.2: Konsole – Stabwerkmodell

Hebelarm Vertikalkraft ac = 2 + 9 + 15/2 = 18,5 cm Hebelarm Horizontalkraft, bezogen auf Schwerpunkt Zuggurt aH = 39,5 – 34,5 + 1,0/2 = 5,5 cm Im Folgenden wird das in Heft 525 DAfStb beschriebene Bemessungsverfahren zu Grunde gelegt. Die Begrenzung der mittleren Betonspannung in der Druckstrebe bzw. im Knoten erfolgt durch den Nachweis für die Querkraft der Konsole. VEd = FEd ≤ VRd ,max = 0,5ν ⋅ b ⋅ z ⋅ fcd

ν ≥ (0, 7 − fck / 200) ≥ 0,5 = (0, 7 − 40 / 200) = 0,5 fcd = fck / γ c = 40 /1,5 = 26, 67 N/mm2

Dauerstandsbeiwert α ist in o. g. Gleichung enthalten

Heft 525 DAfStb: Hegger, Roeser: Zur Ausbildung von Knoten. Aufbau der Gleichungen gemäß EC2

10

152

10 Fertigteile – Konsole, ausgeklinktes Trägerende

z = 0,9 d abweichend von z0 , s. u. = 0,9 ⋅ 0,345 = 0,311 m VRd ,max = 0,5 ⋅ 0,5 ⋅ 0,35 ⋅ 0,311⋅ 26, 67 ⋅103 = 726 kN

Die Lage der Druckstrebe bzw. der innere Hebelarm bezogen auf den Stützenrand folgt aus: § VEd z0 = d ¨1 − 0, 4 ¨ VRd ,max ©

· ¸¸ ¹

400 · § = d ¨1 − 0, 4 ¸ = 0, 78 d = 26,9 cm 726 ¹ ©

Zuggurtkraft Z Ed = FEd = 400 fyd = fyk /γs = 500/1,15 = 435 N/mm2 = 43,5 kN/cm2

ac a +z + H Ed H 0 z0 z0 18,5 5,5 + 26,9 + 40 = 275 + 48 = 323 kN 26,9 26,9

As = Z Ed / f yd = 323 / 43,5 = 7,5 cm2

gewählt 4 Schlaufen Ø12: 9,1 cm2

10

Heft 525 DAfStb: Hegger, Roeser: Zur Ausbildung von Knoten, Bild 8 – Kräfteverlauf und Bewehrungsführung

Der Kräfteverlauf kann vom reinen Stabwerkmodell abweichen, dadurch können weitere Horizontalkräfte unterhalb des Zuggurts entstehen. Für ac / h = 18,5 / 39,5 = 0, 47 < 0,5 sind erforderlich: horizontale Bügel ≥ 0,5 As = 0,5 ⋅ 7,5 = 3,8 cm2 gewählt 3 horizontale Bügel/Schlaufen Ø10: 4,7 cm2 Verankerungslängen Verankerung der Schlaufen in der Konsole – Bild 10.3, Pos. 1 –

DIN 1045-1, 12.6.2 (3) und Tab. 26

DIN 1045-1, 12.4 (2) liegend hergestelltes Fertigteil

lb,net = α a ⋅ lb ⋅

As ,erf As,vorh

≥ 0,3α a ⋅ lb ≥ 10 d s

α a = 0, 7

Schlaufe

lb = 35 cm

guter Verbundbereich ∅12

lb,net = 0, 7 ⋅ 35 ⋅ (7,5 / 9,1) = 20, 2 cm

153

10.1 Konsole

Aufgrund der Querpressung durch das Lager und der direkten Weiterleitung der Kraft über die Druckstrebe in die Stütze kann die Verankerungslänge wie bei einem Endauflager mit direkter Lagerung berechnet werden. lb,dir = ( 2 / 3) lb,net ≥ 6 d s

DIN 1045-1, 13.2.2 (8)

= ( 2 / 3) 20, 2 = 13,5 cm ≥ 6 ⋅ 1, 2 = 7, 2 cm

Die vorhandene Verankerungslänge beträgt 15 + 9 – 3 = 21 cm, Bild 10.3. Lager unbewehrtes Elastomerlager, Lagergröße A = FEd / f Rd = 400 /1 = 400 cm2

gewählt

a1 = 15 cm

b1 = 27 cm

vergl. Prüfzeugnis Hersteller fRd = 10 N/mm2 = 1 kN/cm2

A = 405 cm2

Abstand von der seitlichen Bauteilkante 4,0 cm > cv = 3,0 cm Abstand zur vorderen und hinteren Bauteilkante a2 = a3 > cv = 3,0 cm Zusätzlich sind Herstellungs- und Montagetoleranzen zu berücksichtigen. Grenzabmaß für Abstand der stützenden Bauteile ǻa2 = 10 ≤ l /1200 ≤ 30 mm

Grenzabmaß für die Länge ln des gestützten Bauteils ǻa3 = ln / 2500

Angenommen Stützenabstand l = 8,00 m Balkenlänge ln = 8, 00 − ( 0, 40 + 2 ⋅ 0, 02 ) = 7,56 m ǻa2 = 800 /1200 = 0, 7 cm

maßgebend

10 mm

ǻa3 = 756 / 2500 = 0,3 cm

Der vorhandene Randabstand nach vorne und hinten beträgt 9 cm, Bild 10.2 und 10.3.

Heft 525 DAfStb: Erläuterungen zu DIN 1045-1, 13.8.4 Lagerungsbereiche. Beachte [6] Druckfehlerberichtigung: Δa2 = l/1200

10

154

10 Fertigteile – Konsole, ausgeklinktes Trägerende

DIN 1045-1, 12.8.2: α1 = 1,4

Bewehrungsführung Bild 10.3 enthält einen Vorschlag für die Anordnung der Bewehrung. Es wird angenommen, dass die Hälfte der Konsollast ständig wirkt, und zwar beidseitig der Stütze. Somit können 2 Schlaufen – Pos. 1 – von der linken zur rechten Konsole durchgeführt werden. Jeweils ein Schenkel ist mit ls = 1, 4 ⋅ 35(7,5 / 9,1) = 40 cm zu stoßen. 11

15

9

1 2∅12 2 2∅12 3 3∅10

Bewehrung wie rechte Konsole

4 3∅8

35

40

35

35

10

2 1

2∅12

2∅12 desgleichen für linke Konsole

Bild 10.3: Konsole – Bewehrung

155

10.2 Ausgeklinktes Trägerende

Der veränderliche Lastanteil wird einseitig angesetzt und erzeugt ein Biegemoment in der Stütze. Für die Krafteinleitung werden 2 Schlaufen – Pos. 2 – lotrecht in die Stütze abgebogen. Zur besseren Übersicht sind nur die abgebogenen Schlaufen der rechten Konsole in Bild 10.3 dargestellt. Die horizontalen Bügel – Pos. 3 – werden zweckmäßigerweise von jeder Seite als Steckbügel eingeschoben. Bei Konsolen ist anhand einer sorgfälligen Bewehrungsskizze immer zu überprüfen, ob sich das gewählte Stabwerkmodell einstellen kann, vergl. Übungsaufgabe.

10.2 Ausgeklinktes Trägerende Die Konsole und das Balkenende sind geometrisch aufeinander abgestimmt, Bild 10.1. Baustoffe Beton C40/50 Lasten

Betonstahl BSt 500 S

FEd = 400 kN

vergl. Abschnitt 10.1

HEd = 0,1 FEd = 40 kN Zu bearbeiten sind: • Bemessung des ausgeklinkten Trägerendes • Nachweis der Verankerung • Darstellung der Bewehrung Bemessung der Konsole Ausgehend von Stäben ∅12 gilt wie bei der Konsole cv = 30 mm. Die Bemessung ausgeklinkter Trägerenden erfolgt mit Hilfe eines Stabwerkmodells, Bild 10.4. Die Vertikalkomponente der schrägen Druckstrebe des Balkens – entspricht der Querkraft – muss hochgeführt werden, damit sie wie beim Stabwerkmodell der Konsole ins Lager geführt werden kann. Beim gewählten Stabwerkmodell besteht die Aufhängebewehrung aus lotrechten Bügeln – alternativ können geneigte Schlaufen oder eine Kombination von geneigten Schlaufen und lotrechten Bügeln gewählt werden. Die Aufhängebewehrung ist für die volle Kraft FEd zu bemessen. Asv = 400 / 43,5 = 9, 2 cm2

gewählt 5 Bügel Ø12: 11,3 cm2 Abstand 5 cm vom Rand, 5 cm untereinander, Bild 10.4

10 vergl. Abschnitt 10.1 vergl. Schlaich, J., Schäfer, K.: Konstruieren im Stahlbetonbau. Betonkalender 2001, Teil II

156

10 Fertigteile – Konsole, ausgeklinktes Trägerende

d z

h = 395

a

80

aH

ZEd HEd 9

FEd 15

9 2

b = 35

35

5

4×5 Bügel

Bild 10.4: Ausgeklinktes Trägende – Stabwerkmodell

Nutzhöhe, vergl. Bild 10.5 d = 39,5 − 3, 0 −1, 0 −1, 2 − ≈1, 0 = 33,3 cm

angenommen Bügel Ø10, 6 Schlaufen Ø12 in 3 Lagen mit zusätzlichem Abstandhalter, damit der lichte Abstand 2 cm eingehalten ist. Der obere Knoten des Stabwerks befindet sich im Schwerpunkt der Aufhängebewehrung, d. h. 5 + 2 · 5 = 15 cm vom Ende des 80 cm hohen Balkens, Bild 10.4.

10

Hebelarm Vertikalkraft a = 15 / 2 + 9 + 2 + 15 = 33,5 cm

Hebelarm Horizontalkraft aH = 39,5 − 33,3 + 1, 0 / 2 = 6, 7 cm [2] Kommentar zu DIN 1045-1, 10.3.4 (2): Hebelarmbegrenzung, damit die Druckstrebe durch Bügel umschlossen ist. cnom,l in der Druckzone, Bügel ∅12 der Aufhängebewehrung

Der innere Hebelarm wird analog zur Querkraftbemessung gewählt: z = d − cnom,l − 30 mm = 33,3 − (3, 0 + 1, 2) − 3, 0 = 26,1 cm

157

10.2 Ausgeklinktes Trägerende

Zuggurtkraft a a +z + H Ed H z z

Z Ed = FEd = 400

vergl. Abschnitt 10.1

33,5 6, 7 + 26,1 + 40 = 513 + 50 = 563 kN 26,1 26,1

As = 563 / 43,5 = 13, 0 cm2

gewählt 6 Schlaufen Ø12: 13,6 cm2 Zur Abdeckung von Kräften, die infolge der Abweichung vom reinen Streben-Zuggurtmodell entstehen können, werden zusätzlich 3 horizontale Bügel/Schlaufen Ø10: 4,7 cm2 und 3 lotrechte Bügel Ø10: 4,7 cm2 eingebaut. Die Tragfähigkeit der Druckstrebe wird wie bei der Querkraftbemessung überprüft. VRd ,max =

bw ⋅ z ⋅α c ⋅ f cd cot θ + tan θ

DIN 1045-1, 10.3.4 (6): maximale Querkrafttragfähigkeit θ Druckstrebenwinkel αc = 0,75

cot θ = a / z = 33,5 / 26,1 = 1, 28 VRd ,max =

0,35 ⋅ 0, 261⋅ 0, 75 ⋅ 22, 67 3 10 = 752 kN 1, 28 + 1/1, 28

10

> VEd = FEd = 400 kN

Verankerungslängen Verankerung der Schlaufen Ø12 im auskragenden Balkenende – Bild 10.5, Pos. 2 – analog Schlaufen in der Konsole lb,net = 0, 7 ⋅ 35 (13, 0 /13, 6) = 23, 4 cm lb,dir = (2 / 3) 23, 4 = 15, 6 cm < 15 + 9 − 3 = 21 cm

Bild 10.5

Bei kurzen Auflagern ist die Verankerungslänge der Zugbewehrung entscheidend für die Kraftübertragung, vergl. Übungsaufgabe. Die Aufhängebewehrung – 5 Bügel, s = 5 cm – bildet das Auflager für die unten liegende Balkenbewehrung. Die vorhandene Verankerungslänge von 20 cm ist zu kurz für die Balkenbewehrung, so dass die Kraft des fiktiven Endauflagers von dünnen Stäben aufgenommen werden muss.

guter Verbundbereich, αa = 0,7 Schlaufe direktes Auflager angenommen wegen Querpressung im Lagerbereich

Annahme ∅25 oder ∅28

158

10 Fertigteile – Konsole, ausgeklinktes Trägerende

DIN 1045-1, 13.2.2 (7): Verankerung der Bewehrung am Endauflager bei hochbeanspruchten Balken ist in der Regel cotθ < 2,0

Fsd = VEd

al z

al = ( z / 2) cot θ

Versatzmaß

gewählt cot θ = 2, 0 Fsd = VEd = 400 kN As = VEd / σ sd = 400 / 43,5 = 9, 2 cm2

gewählt 6 Schlaufen Ø10: 9,4 cm2 guter Verbundbereich

αa = 0,7 Schlaufe

DIN 1045-1, 13.2.2 (8): Verankerungslänge bei indirekter Auflagerung

Pos. 5

lb,net = 0, 7 ⋅ 29 (9, 2 / 9, 4) = 19,9 cm ≥ 10 d s = 10 cm lb,ind = lb,net = 19,9 cm < 20 cm

vorhanden

Die Schlaufen sind mit der vorhandenen Balkenbewehrung außerhalb des Verankerungsbereichs zu stoßen. DIN 1045-1, 12.8.2, Tab. 27: Übergreifungslänge

10

ls = α1 ⋅ lb,net lb,net = α a ⋅ lb ( As ,erf /As,vorh )

α a = 1, 0

Stoß mit geraden Stabenden

α1 = 1, 4

ds < 16 mm, Stoßanteil > 33 %

ls = 1, 0 ⋅1, 4 ⋅ 29 (9, 2 / 9, 4) = 40 cm

DIN 1045-1, 12.2 (2)

Bewehrungsführung Bild 10.5 stellt die Bewehrung am Balkenende dar, zur besseren Übersicht ohne die übrige Balkenbewehrung. Die Knotenpunkte von Fertigteilen sind in der Regel eng bewehrt, der lichte Stababstand beträgt häufig nur 2 cm. Demzufolge ist das Größtkorn auf 16 mm zu begrenzen, was auf dem Bewehrungsplan anzugeben ist.

159

10.2 Ausgeklinktes Trägerende

3∅10

1 5∅12

80

395

4

2 3×2∅12 3 3∅10

5

4×5 5 6∅10

35

2 3×2∅12

35

1

5∅12

Bild 10.5: Ausgeklinktes Trägende – Bewehrung

10

11 Begrenzung der Rissbreite In Stahlbetonbauteilen sind Risse bei direkter Beanspruchung, z. B. Biegung infolge Lasten, oder indirekter Beanspruchung, z. B. Zug infolge Zwang, aufgrund der geringen Zugfestigkeit des Betons nahezu unvermeidbar. Entscheidend ist, die Rissbildung so zu begrenzen, dass die ordnungsgemäße Nutzung des Tragwerks, sein Erscheinungsbild und die Dauerhaftigkeit nicht beeinträchtigt werden. Zur Aufnahme der Zwangbeanspruchung bei Abfluss der Hydratationswärme ist eine Mindestbewehrung anzuordnen, nachgewiesen für eine Kellerwand – Abschnitt 11.1 – und eine Stützwand – Abschnitt 11.2. Die Begrenzung der Rissbreite bei Lastbeanspruchung erfolgt durch Überprüfung der gewählten Bewehrung hinsichtlich Durchmesser und Stababstand – Abschnitt 11.2.

11.1 Kellerwand Bei der in Bild 11.1 dargestellten Kelleraußenwand tritt zentrischer Zwang durch Abfluss der Hydratationswärme auf, weil die Verformung durch die vorab hergestellte Sohle behindert ist. Baustoffe Beton Betonstahl

C25/30 BSt 500

wahlweise Stabstahl oder Betonstahlmatten

2,60

Zu bearbeiten sind: • Festlegung der Expositionsklassen, Mindestbetonfestigkeitsklasse, Betondeckung • Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreite infolge Abfließen der Hydratationswärme nach DIN 1045-1 • Mindestbewehrung nach WU-Richtlinie

Lagerraum

25

Bild 11.1: Kellerwand

Die Begrenzung des äquivalenten Wasserzementwerts ergibt als Mindestbetonfestigkeitsklasse C25/30.

162

11 Begrenzung der Rissbreite

DIN 1045-1, 6.2, Tab. 3

Expositionsklassen, Mindestfestigkeitsklasse, Betondeckung XC2 C16/20 außen Bewehrungskorrosion XC1 C16/20 innen XF1 C25/30 Betonangriff Der gewählte Beton ist 2 Klassen höher – bezogen auf Bewehrungskorrosion, deshalb kann cmin um 0,5 mm vermindert werden.

DIN 1045-1, 6.3, Tab. 4 angenommen: Stäbe ≤ 10 mm DIN 1045-1, 11.2.1, Tab. 19: Mindestanforderungsklassen in Abhängigkeit von der Expositionsklasse, Tab. 18: Anforderungen an die Begrenzung der Rissbreite DIN 1045-1, 11.2.2, Gl. (127), vergl. [7] Abschnitt 6.2.2

cmin = 20 – 5 = 15 mm ≥ ds Δc = 15 mm cv = 30 mm Mindestbewehrung nach DIN 1045-1 Wenn keine besonderen Anforderungen gestellt werden, z. B. Wasserundurchlässigkeit, gilt für Stahlbetonbauteile – Anforderungsklasse E – eine Rissbreite wk = 0,3 mm. Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreite bei Zwang As = kc ⋅ k ⋅ f ct ,eff ⋅ Act / σ s kc = 1, 0 k

Beiwert zentrischer Zug Beiwert Eigenspannungen für h ≤ 300 mm

= 0,8

f ct ,eff = 1,3 N/mm2 DIN 1045-1, 9.1.7, Tab. 9: Festigkeitskennwerte

wirksame Zugfestigkeit

Bei Zwang aus Abfließen der Hydratationswärme darf fct,eff = 0,5 fctm , d. h. 50 % der Zugfestigkeit nach 28 Tagen, gesetzt werden. Act = 0, 25 m2

1 m Wandstreifen (horizontal)

σ s zulässige Stahlspannung, abhängig vom Grenzdurch-

11

messer ds* DIN 1045-1, 11.2.3, Tab. 20: Grenzdurchmesser ds*

DIN 1045-1, 11.2.2, Gl. (129): Begrenzung der Rissbreite durch Begrenzung des Stabdurchmessers vergl [7] Abschnitt 6.2.4

Der Grenzdurchmesser ist abhängig von der Rissbreite und der Stahlspannung. Eine höhere Stahlspannung ist nur mit kleineren Stabdurchmessern möglich. Es ist zweckmäßig, zuerst für einen gewählten Durchmesser d den Grenzdurchmesser d * zu berechnen und dafür die Stahlspannung σs aus Tabelle 20, DIN 1045-1, zu entnehmen. d s* = d s ⋅

fct ,0 4 (h − d ) fct ,0 ⋅ ≤ ds ⋅ kc ⋅ k ⋅ ht fct ,eff fct ,eff

163

11.1 Kellerwand

gewählt

ds = 10 mm d = 25 − 3, 0 − 1, 0 / 2 = 21,5 cm ht = h / 2 = 25 / 2 = 12,5 cm kc = 1, 0

k = 0,8

f ct ,0 = 3, 0 N/mm2 Zugfestigkeit auf die die Werte der Tabelle 20 bezogen sind

Heft 525 DAfStb: Bei zentrischem Zwang beidseitig bewehrter Querschnitte gilt ht = h/2.

f ct ,eff = 1,3 N/mm2 d s* = 10 ⋅ > 10

4 (25 − 21,5) 3, 0 ⋅ = 32,3 1, 0 ⋅ 0,8 ⋅12,5 1,3

3, 0 = 23,1 mm 1,3

maßgebend

aus Tabelle 20 folgt für wk = 0,3 mm:

σs = 222 N/mm2 Damit kann die Mindestbewehrung berechnet werden: As = (1, 0 ⋅ 0,8 ⋅1,3 ⋅ 0, 25 / 222) 104 = 11, 7 cm2/m

gewählt

je Seite ∅10–125: 2 ⋅ 6,3 = 12, 6 cm2/m

Im unteren Wandviertel behindert die Sohle die Rissbildung, so dass die Hälfte der berechneten Bewehrung genügt. Mindestbewehrung nach WU-Richtlinie Die DAfStb-Richtlinie für „Wasserundurchlässige Bauwerke aus Beton“ begrenzt die Rissbreite in Abhängigkeit vom Druckgefälle – hWasser /hBauteil. Für Druckgefälle ≤ 10 beträgt die zulässige Rissbreite wk = 0,2 mm. gewählt Listenmatten, Stabdurchmesser 8,0 d Bei Betonstahlmatten mit Doppelstäben darf der Durchmesser eines Einzelstabes angesetzt werden. Modifikation des Durchmessers d s* = 8

3, 0 = 18,5 mm 1,3

aus Tabelle 20 folgt für wk = 0,2 mm:

σs = 198 N/mm2

Heft 400 DAfStb: Schließl: Grundlagen der Neuregelung zur Beschränkung der Rissbreite

Wanddicke h ≥ 24 cm, Begrenzung w/z –Wert durch Mindestfestigkeit C25/30 erfüllt DIN 1045-1, 11.2.3 (8)

Maßgebend ist die Modifikation in Abhängigkeit von der Zugfestigkeit

11

164

11 Begrenzung der Rissbreite

As = (1,0 ⋅ 0,8 ⋅1,3 ⋅ 0, 25 /198) 104 = 13,1 cm2/m Beschreibung Listenmatte: Abstand [mm] – Durchmesser [mm], d kennzeichnet Doppelstäbe

gewählt je Seite 150 – 8,0d: 2 ⋅ 6, 70 cm2/m = 13,4 cm2/m Für die vertikale Richtung wird davon ausgegangen, dass die Biegezugkraft infolge Erd- und Wasserdruck durch die Normalkraft überdrückt wird. Als lotrechte Bewehrung ist die Mindestbewehrung einzulegen: As ,min = 0, 0015 Ac = 0, 0015 ⋅ 25 ⋅100 = 3, 75 cm2/m

DIN 1045-1, 13.7.1 (3) Querstäbe der Listenmatte

gewählt

je Seite 250 – 8: 2 ⋅ 2, 0 cm2/m = 4,0 cm2/m

11.2 Stützwand Die in Bild 11.2 dargestellte Stützwand liegt im Sprühnebelbereich von Verkehrsflächen. Die Vertikalbewehrung ist für Biegung infolge Erddruck zu bemessen und so zu dimensionieren, dass die Rissbreite begrenzt wird. Das Fundament wird vorab betoniert, demzufolge tritt zentrischer Zwang durch die Behinderung der Verformung bei Abfluss der Hydratationswärme auf.

6,00

x

30

11 80

Baustoffe Beton Betonstahl

Bild 11.2: Stützwand

entsprechend der Mindestbetonfestigkeitsklasse BSt 500 S

165

11.2 Stützwand

Bodenkennwerte

Wichte γ = 18 kN/m3 Reibungswinkel ϕ = 30°

Zu bearbeiten sind: • Festlegung der Expositionsklassen, Mindestbetonfestigkeitsklasse, Betondeckung • Schnittgrößenermittlung für Erddruck • Bemessung für Biegung und Querkraft • Begrenzung der Rissbreite für Lastbeanspruchung • Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreite infolge Abfließen der Hydratationswärme • Bewehrungsskizze Expositionsklassen, Mindestfestigkeitsklasse, Betondeckung Bewehrungskorrosion XC4 C25/30 Vorderseite, direkte Beregnung XD1 C30/37c Sprühnebelbereich von Verkehrsflächen XC2 C16/20 Rückseite, Gründungsbauteil Betonangriff XF2 C25/30 (LP) Vorderseite, Sprühnebelbereich XF1 C25/30 Rückseite gewählt C25/30 (LP) Betondeckung cmin = 40 mm Δc = 15 mm cv = 55 mm cmin = 20 – 5 = 15 mm ≥ ds Δc = 15 mm cv = 30 mm

Vorderseite Verlegemaß Vorderseite Rückseite Verlegemaß Rückseite

Erddruck, Schnittgrößenermittlung Die Erddrucklast wird trapezförmig über die Wandhöhe verteilt, die untere Erddruckordinate ist doppelt so groß wie die obere. K agh = 0,33 e ( x = 0) = (0,33 ⋅18 ⋅ 6, 0) / 3 = 12 kN/m2 e ( x = 6, 0) = 2 (0,33 ⋅18 ⋅ 6, 0) / 3 = 24 kN/m2 e ( x = 3,5) = 12 + 12 ⋅ 3,5 / 6 = 19 kN/m2

DIN 1045-1, 6.2, Tab. 3 c Bei Verwendung von Luftporenbeton eine Klasse niedriger

DIN 1045-1, 6.3, Tab. 4, maßgebend XD1

Verminderung, weil der gewählte Beton für Bewehrungskorrosion 2 Klassen höher als erforderlich ist. DIN 4085 (1987-02) Baugrundberechnung des Erddrucks

11

166

11 Begrenzung der Rissbreite

Bemessungsschnittgrößen mEd ( x = 6, 0) =1,35 ⋅ (12 ⋅ 6, 002 /2 + 12 ⋅ 6, 002 /6) = 389 kNm/m

DIN 1054 (2005-1) Baugrund-Sicherheitsnachweise im Erdund Grundbau: γG = 1,35 ständige Einwirkungen, Lastfall LF1, identisch mit DIN 1045-1

mEd ( x = 3,5) = 1,35 ⋅ (12 ⋅ 3,502 /2 + 7 ⋅ 3,502 /6) =119 kNm/m vEd ( x = 6, 0) = 1,35 ⋅ (12 + 12 / 2) 6, 0 = 146 kN/m vEd ( x = 3,5) = 1,35 ⋅ (12 + 7/2) 3,5 = 73 kN/m

Bemessung Biegung Die Vertikalbewehrung liegt auf der Rückseite außen. d1 = cv + d s / 2 = 3, 0 + 1, 4 / 2 = 3, 7 cm

Achsabstand vom gezogenen Rand

gewählt

4 cm

Tabelle 11.1: Stützwand – Bemessung für Biegung

d [cm] mEd [kNm/m] m [kNm/m] as = ks Ed d [cm] kd =

as

gewählt

cm2/m

cm2/m

x

mEd

d

m

kNm/m

cm

6,00

389

76

3,85

2,27

11,6

∅14–125:

12,3

3,50

119

55

5,04

2,24

4,9

∅14–25:

6,2

kd

ks

Es ist ausreichend, nur jeden 2. Stab bis in die obere Wandhälfte zu führen. Querkraft Tragfähigkeit ohne Querkraftbewehrung

11

vRd ,ct = 0,1 κ (100 ρl ⋅ f ck )1/ 3 d

vereinfachte Gleichung [7] Abschnitt 5.2.3

κ = 1+

ρl =

200 ≤ 2, 0 d

asl d

Tabelle 11.2: Stützwand – Querkrafttragfähigkeit

DIN 1045-1, 10.3.2 (4), vergl. [7] Abschnitt 5.2.2

x

d

κ

asl

ρl

vRd,ct

vEd

m

cm

–

cm2/m

6,00

76

–

kN/m

kN/m

1,51

12,3

0,0016

182

146

3,50

55

1,60

6,2

0,0011

123

73

Zur Vereinfachung bleibt die veränderliche Bauhöhe bei der Berechnung vEd unberücksichtigt. Es ist keine Querkraftbewehrung erforderlich.

167

11.2 Stützwand

Begrenzung der Rissbreite Die Breite der Risse infolge Biegung ist auf wk = 0,3 mm zu begrenzen. Bei Lastbeanspruchung kann entweder der Durchmesser der Bewehrungsstäbe oder der Stababstand nach DIN 1045-1, Tabelle 20 oder 21 gewählt werden. Maßgebend ist die Stahlspannung im Zustand II für die quasi-ständige Einwirkungskombination. Im Beispiel resultiert der Erddruck vollständig aus der Hinterfüllung, so dass für den Gebrauchszustand die Bemessungsmomente ohne den Teilsicherheitsbeiwert anzusetzen sind.

DIN 1045-1, 11.2.1, Tab. 19: Mindestanforderungsklassen in Abhängigkeit von der Expositionsklasse, Tab. 18: Anforderungen an die Begrenzung der Rissbreite

m ( x = 6, 0) = 389 /1,35 = 288 kNm/m m ( x = 3,5) = 119 /1,35 = 88 kNm/m

Stahlspannung

σs =

m z ⋅ as ,vorh

Der innere Hebelarm z im Gebrauchszustand ergibt sich für lineare Spannungsverteilung in der Druckzone x.

α ⋅A § 2b⋅d x = e s ¨¨ −1 + 1 + b © α e ⋅ As

[8] Spannungsermittlung für einfach bewehrte Rechteckquerschnitte

· ¸¸ ¹

DIN 1045-1, 9.1.7, Tab. 9: Festigkeitskennwerte

α e = Es /Ecm = 200 000/26 700 = 7,5 Bei Berücksichtigung von Kriecheinflüssen ist Ecm/(1 + ϕ) mit der Kriechzahl ϕ einzusetzen. Üblich ist ein pauschaler Wert αe = 15. x =

15 ⋅12,3 100

§ 2 ⋅100 ⋅ 76 · ¨¨ −1 + 1 + ¸ = 15, 0 cm 15 ⋅12,3 ¸¹ ©

11

z = d − x / 3 = 76 −15, 0 / 3 = 71 cm

σs =

288 = 33, 0 kN/cm2 = 330 N/mm2 0, 71⋅12,3

Grenzdurchmesser DIN 1045-1, 11.2.3, Tab. 20 und Gl. (131)

ds* = 10,3 mm modifizierter Grenzdurchmesser d s = d s* ⋅

σ s ⋅ As 4 (h − d ) ⋅ b ⋅ f ct ,0

≥ d s* ⋅

fct ,eff fct ,0

168

11 Begrenzung der Rissbreite

Zugfestigkeit, die Tab. 20 zu Grunde liegt

fct,0 = 3,0 N/mm2

DIN 1045-1, 9.1.7, Tab. 9: Festigkeitskennwerte

fct,eff = 2,6 N/mm2 d s = 10,3

330 ⋅12,3 = 8, 7 mm 4 (80 − 76) ⋅100 ⋅ 3, 0 2, 6 = 8,9 mm 3, 0

< 10,3

maßgebend

Der modifizierte Durchmesser ist kleiner als der gewählte Durchmesser. Auch der gewählte Abstand ist größer als der Höchstwert nach DIN 1045-1, Tabelle 21 interpoliert für σs = 330 N/mm2

s = 125 mm > smax = 88 mm. Die Begrenzung der Rissbreite ist nicht nachgewiesen. Es wird die Bewehrung vergrößert, um über eine geringere Stahlspannung entweder den Grenzdurchmesser oder den maximalen Stababstand einzuhalten. gewählt ∅14–10: 15,4 cm2/m am Fuß, x = 6,00 m ∅14–20: 7,7 cm2/m oberer Bereich x = 16,6 cm z = 76 – 16,6/3 = 70,5 cm

σs =

= 0,93 d

288 = 26,5 kN/cm2 0, 705 ⋅15, 4

= 265 N/mm2

ds* = 15,9 mm d s = 15,9

11 < 15,9

265 ⋅15, 4 = 13,5 mm 4 (80 − 76) ⋅100 ⋅ 3, 0 2, 6 = 13,8 mm 3, 0

≈ 14 mm

Der modifizierte Grenzdurchmesser entspricht annähernd dem gewählten Stabdurchmesser; der Stababstand liegt eindeutig unter dem Maximalwert: s = 100 mm < 169 mm. Zu prüfen ist, ob für die Abstufung auf ∅14–20 im oberen Bereich die Rissbreite wk = 0,3 mm eingehalten ist. Zur Vereinfachung z = 0,93 d übernehmen:

σs =

88 = 22,3 kN/cm2 0,93 ⋅ 0,55 ⋅ 7, 7

= 223 N/mm2

169

11.2 Stützwand

ds* = 22,4 mm d s = 22, 4

Beachte [6] Druckfehlerberichtigung Tab. 20, Zeile 2

223 ⋅ 7, 7 = 8, 0 mm 4 (59 − 55) ⋅100 ⋅ 3, 0

< 22, 4

2, 6 = 19, 4 mm 3, 0

maßgebend

Zusätzliche Kontrolle des Stababstands: s = 200 mm < 221 mm In diesem Beispiel ist die Stahlspannung unter der charakteristischen Last – ausschließlich ständige Last – sehr hoch, deshalb ist der Nachweis der Begrenzung der Rissbreite maßgebend für die Wahl der Bewehrung. In anderen Fällen ist meistens keine Erhöhung der Bewehrung für den Nachweis der Rissbreitenbegrenzung erforderlich. Mindestbewehrung Die Mindestbewehrung hängt maßgeblich vom Rechenwert der Rissbreite wk ab. Nach DIN 1045-1, Tabelle 18 und 19, kann für Stahlbetonbauteile wk = 0,3 mm zu Grunde gelegt werden. Andere Regelwerke, z. B. DIN-Fachbericht 102: Betonbrücken, fordern teilweise kleinere Rissbreiten. Die Zugspannungen infolge Zwang bei Abfluss der Hydratationswärme vermindern sich zum Wandkopf, und zwar umso ausgeprägter je kleiner das Verhältnis Wandlänge l zu Wandhöhe h ist. Für l/h = 4 stellt sich die in Bild 11.3 dargestellte Spannungsverteilung ein. Außerdem verringert sich die Zugkraft zum Wandkopf, weil die Wanddicke abnimmt.

Beide Kriterien sind erfüllt, dabei ist es ausreichend, entweder den Durchmesser oder den Stababstand zu begrenzen.

Falkner, H.: Fugenlose und wasserundurchlässige Stahlbetonbauten ohne zusätzliche Abdichtung. Vorträge Deutscher Betontag 1983.

l/h = 4

h/3

0,60

11

h/3

0,66

h/3

0,81 1,00 l

Bild 11.3: Stützwand – Spannungsverteilung über die Wandhöhe

Mindestbewehrung As = kh (kc ⋅ k ⋅ f ct ,eff ⋅ Act /σ s )

kh

Beiwert Spannungsverlauf über Wandhöhe, s. Bild 11.3

kc = 1,0

Beiwert zentrischer Zug

k

Beiwert Eigenspannungen

DIN 1045-1, 11.2.2, Gl. (127), vergl. [7] Abschnitt 6.2.2

170

11 Begrenzung der Rissbreite

k = 0,8

h ≤ 300 mm

k = 0,5

h ≥ 800 mm

fct,eff = 0,5 fctm

DIN 1045-1, 9.1.7, Tab. 9: Festigkeitskennwerte

= 1,3

DIN 1045-1, 11.2.2: Begrenzung der Rissbreite durch Begrenzung des Stabdurchmessers, vergl. [7] Abschnitt 6.2.4

wirksame Zugfestigkeit unter Zwang

N/mm2

Zwang aus Abfließen der Hydratationswärme

Act = h

1 m Wandstreifen (horizontal), h Wanddicke

σs

Stahlspannung, abhängig vom Grenzdurchmesser d * fct ,0

d s* = d s

Modifikation Durchmesser ds

fct ,eff

fct,0 = 3,0 N/mm2

Zugfestigkeit, die Tabelle 20 zu Grunde liegt

gewählte Durchmesser untere 3 m: ∅14 d s* = 14

obere 3 m : ∅12

3, 0 = 32,3 mm 1,3

d s* = 12

3, 0 = 27, 7 mm 1,3

DIN 1045-1, 11.2.3, Tab. 20: Grenzdurchmesser in Abhängigkeit von der Rissbreite

Stahlspannung für Rissbreite wk = 0,3 mm

Beachte [6] Druckfehlerberichtigung Tab. 20, Zeile 2

Die Mindestbewehrung ist in Tabelle 11.3 berechnet.

11

kh vergl. Bild 11.3

σ s = 186 N/mm2

σ s = 198 N/mm2

Tabelle 11.3: Stützwand – Mindestbewehrung

σs

gewählt

x

h

kh

k

m

m

–

–

1,50

0,425

0,64

0,725

198

12,9

∅12–175: 2 · 6,5

3,00

0,550

0,74

0,650

198

17,4

∅12–125: 2 · 9,0

4,50

0,675

0,86

0,575

186

23,3

∅14–125: 2 · 12,3

6,00

0,800

1,00

0,500

186

28,0

∅14–20:

As

N/mm2 cm2/m

cm2/m

2 · 7,7

Einzelschritte für Wandfuß, x = 6,00 m kh , k

interpoliert

As = 1, 0 (1, 0 ⋅ 0,5 ⋅1,3 ⋅ 0,80 /186) 104 = 28, 0 cm2/m Heft 400 DAfStb: Schießl: Grundlagen der Neuregelung zur Beschränkung der Rissbreite

Im unteren Wandviertel behindert das Fundament die Rissbildung, so dass die Hälfte der berechneten Bewehrung genügt.

171

11.2 Stützwand

Der Durchmesser darf in Abhängigkeit von der Bauteildicke modifiziert werden; die Tabelle bezieht sich allein auf die notwendige Modifikation in Abhängigkeit von der Zugfestigkeit. fct ,0 4 (h − d ) fct ,0 ⋅ ≤ ds ⋅ kc ⋅ k ⋅ ht f ct,eff fct ,eff

d s* = d s ⋅

h = 0,80 m

Wandfuß

d = 0,80 − 5,5 −1, 4 / 2 = 0, 738 m

Vorderseite

ht = h/2 = 0,40 m d s* = 14 ⋅ ≥ 14

DIN 1045, 11.2.2 vergl. [7] Abschnitt 6.2.4

4 (0,80 − 0, 738) 3, 0 ⋅ = 40,1 mm 1, 0 ⋅ 0,5 ⋅ 0, 40 1,3 3, 0 = 32,3 mm 1,3

Heft 525 DAfStb: Bei zentrischem Zwang beidseitig bewehrter Querschnitte gilt ht = h/2

maßgebend

Die Modifikation in Abhängigkeit von der Bauteildicke bringt keinen Vorteil. Bewehrungsskizze Einen Vorschlag für die Anordnung der Bewehrung enthält Bild 11.4. Die lotrechten Stäbe ∅14 auf der Rückseite sind um das Versatzmaß al und die Verankerungslänge lb,net über den Schnitt x zu führen. 9∅12–175

∅10–20

cv = 5,5 cm Vorderseite cv = 3,0 cm Rückseite

30 ∅14–20, l = 3,

∅14–20

∅12–20

11

7∅14–20

12∅14–125 12∅12–125

DIN 1045-1, 13.2.2, Bild 66: Zugkraftdeckungslinie und Verankerungslängen

Bild 11.4: Stützwand – Bewehrung

172

11 Begrenzung der Rissbreite

x = 6, 00 − 3,50 = 2,50 m

gemessen von Oberkante Fundament DIN 1045-1, 13.3.2 (1): Zugkraftdeckung Platten

DIN 1045-1, 12.6.2: Verankerungslänge, vergl. Anhang Tafel A8

al = d = 55 cm lb,net = lb ⋅ As ,erf /As ,vorh ≥ 0,3 lb ≥ 10 d s lb = 56 cm

guter Verbundbereich

lb,net = 56 ⋅ 4,9 /12,3 = 23 cm

> 0,3 ⋅ 56 = 17 cm Unberücksichtigt sind Regelungen, die über DIN 1045-1 hinausgehen, z. B. DIN-Fachbericht 102: Betonbrücken.

11

> 14 cm

gewählte Stablänge 3,30 > 2,50 + 0,55 + 0,23 = 3,28 m Die vordere lotrechte Bewehrung ist konstruktiv gewählt. Nicht dargestellt sind Anschlussbewehrung und Abstandshalter zwischen den Bewehrungsebenen. Die horizontale Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreite kann insbesondere bei kleinen Rissbreiten größer sein als die vertikale Bewehrung zur Aufnahme der Biegung infolge Erddruck vergl. Übungsaufgabe.

12 Torsion – Fußgängerbrücke

60

Eine Bemessung für Torsion ist nur erforderlich, wenn das Gleichgewicht des Tragwerks von der Torsionssteifigkeit der einzelnen Bauteile abhängt. Die in Bild 12.1 und 12.2 dargestellte Fußgängerbrücke besteht aus einem einstegigen Plattenbalken, der bei halbseitiger Belastung auf Torsion beansprucht wird. Die Endquerträger ermöglichen die Anordnung von 2 Lagern, so dass das Torsionsmoment durch ein Kräftepaar aufgenommen werden kann. a)

40 12,00

b)

c) MEd

Volllast

av = 3,00

av = 3,00

VEd

734

551

halbseitige Last

188

TEd 46

Bild 12.1: Fußgängerbrücke a) Geometrie b) Lasten c) Schnittgrößen

halbseitige Last + Wind

174

12 Torsion – Fußgängerbrücke

Zu bearbeiten sind: • Ermittlung der Lasten und Schnittgrößen • Festlegung der Expositionsklassen, Mindestbetonfestigkeitsklasse, Betondeckung • Bemessung für Biegung • Bemessung für Querkraft • Bemessung für Torsion • Bewehrung der Gurte • Darstellung der Bewehrung im Querschnitt Lasten, Schnittgrößen ständige Lasten g k = 25 (0,15 ⋅ 3, 0 + 0, 4 (0, 6 − 0,15)) + 0,5 = 16,3 kN/m

Geländer 0,5 kN/m, Kunststoffbeschichtung vernachlässigbar

g d = 1,35 ⋅16,3 = 22, 0 kN/m

Verkehrslast DIN 1072 Straßen- und Wegebrücken: Abminderung für l > 10 m vernachlässigt

DIN 1072: Höhe Verkehrsband 1,8 m. Weitergehende Regelungen nach DIN-Fachbericht 101 – Einwirkungen auf Brücken – bleiben unberücksichtigt.

qk = 5, 00 ⋅ 2,50 = 12,5 kN/m qd = 1,5 ⋅ 12,5 = 18,8 kN/m

Wind wk = 0,9 (0, 6 + 1,8) = 2, 2 kN/m wd = 1,5 ⋅ 2, 2 = 3,3 kN/m

Schnittgrößen Volllast M Ed = (22, 0 + 18,8) 12, 002 / 8 = 734 kNm VEd = (22, 0 + 18,8) 12, 00 / 2 = 245 kN

12

halbseitige Last VEd = (22, 0 + 18,8 / 2) 12, 00 / 2 = 188 kN

TEd ,q = (18,8 / 2) (1, 25 / 2) ⋅12, 00 / 2 = 35,3 kNm TEd , w = 3,3 [(1,8 + 0, 6) / 2 − 0, 6 / 2] ⋅12, 00 / 2 = 17,8 kNm

bezogen auf den Schwerpunkt des Rechtecks 0,4 · 0,6 m, das den maßgebenden Torsionsquerschnitt darstellt.

175

12 Torsion – Fußgängerbrücke

1,80

wd

2,50

60

60

15

qd

1,30

40

1,30

3,00

Bild 12.2: Fußgängerbrücke – Querschnitt, Lasten

Es ist nur eine veränderliche Einwirkung in voller Größe anzusetzen, die andere Einwirkung wird mit dem Kombinationsbeiwert abgemindert TEd = TEd ,q +ψ 0 TEd , w = 35,3 + 0, 6 ⋅17,8 = 46, 0 kNm

Expositionsklassen, Mindestfestigkeitsklasse, Betondeckung XC3 C20/25 Bewehrungskorrosion XF1 C25/30 Betonangriff gewählt C30/37 Betondeckung Bügel cmin = 20 − 5 = 15 mm ≥ d s ,bü = 10 mm ǻ c = 15 mm cnom = 15 + 15 = 30 mm Längsstäbe

cmin ≥ d s = 28 mm ǻ c = 10 mm cnom,l = 28 + 10 = 38 mm cv ≥ cnom,l − d s,bü = 38 −10 = 28 mm

Verlegemaß cv = 30 mm

Es werden die Kombinationswerte für Hochbauten zu Grunde gelegt, DIN 1055-100, Anhang A, Tab. A2 Beschichtung der Oberfläche: keine direkte Beregnung

Verminderung, weil gewählter Beton 2 Festigkeitsklassen höher ist [2] In den Fällen, in denen die Verbundbedingung maßgebend wird, ist ein Vorhaltemaß Δc = 10 mm ausreichend.

12

176

12 Torsion – Fußgängerbrücke

Bemessung für Biegung d = h − cv − d s ,bü − d s,l / 2 Nutzhöhe d = 60 − 3, 0 −1, 0 − 2,8 / 2 = 54, 6 cm

gewählt d = 54,5 cm mitwirkende Plattenbreite beff =

DIN 1045-1, 7.3.1 (2), Bild 2

¦ beff ,i + bw

beff ,i = 0, 2 bi + 0,1l0

≤ 0, 2 l0

≤ bi

l0 = leff = 12,00 m

wirksame Stützweite

b1 = 1,30

tatsächlich vorhandene Gurtbreite

bw = 0,40 m

Stegbreite

beff ,1 = beff ,2 = 0, 2 ⋅1,30 + 0,1⋅12, 00 = 1, 46 m < 0, 2 ⋅12, 00 = 2, 40 m > 1,30 m maßgebend beff = 2 ⋅1,30 + 0, 40 = 3, 00 m kd =

kd -Tafel für Rechteckquerschnitt, vergl. Anhang Tafel A3

54,5 734 3, 0

= 3, 48

ξ = x/d = 0,09

ks = 2,27

ζ = 0,97

Kontrolle der Spannungsnulllinie x = 0, 09 ⋅ 54,5 = 4,9 cm

< hf = 15 cm

Die Anwendung der Tafel für Rechteckquerschnitte ist zulässig.

12

As = 2, 27 passen in eine Lage, vergl. [8] DIN 1045-1, 10.4.2 (2)

gewählt

734 = 30, 6 cm2 54,5

5Ø28: 30,6 cm2

Bemessung für Querkraft Zur Vereinfachung dürfen die Querkraftbewehrung und die Torsionsbewehrung getrennt ermittelt werden. Die Bemessung für Querkraft erfolgt wie üblich mit der belastungsabhängigen Druckstrebenneigung

177

12 Torsion – Fußgängerbrücke

cotθ. Der Plattenbalken ist am Endquerträger indirekt gelagert, auf die Abminderung der Querkraft bis zum Rand des Endquerträgers wird verzichtet. Traganteil des Betons VRd ,c = 0, 24 f ck1/ 3 ⋅ bw ⋅ z

DIN 1045-1, 10.3.4 vereinfachte Gleichungen [7] Abschnitt 5.2.4

innerer Hebelarm z = 0,9 d ≤ d − cnom,l − 30 mm z = 0,9 ⋅ 54,5 = 49,1 cm z = 54,5 − (3, 0 + 1, 0 + 0, 6) − 3, 0 = 47 cm maßgebend

cnom,l ist die Betondeckung der Längsbewehrung in der Betondruckzone; beachte Matte oberhalb Bügel, Bild 12.4.

VRd ,c = 0, 24 ⋅ 301/ 3 ⋅ 0, 40 ⋅ 0, 47 ⋅103 = 140 kN

Druckstrebenneigung cot θ =

1, 2 ≤ 3, 0 1 − VRd ,c / VEd

Bügelbewehrung asw =

VEd z ⋅ f yd ⋅ cot θ

f yd = 43,5 kN/cm2

mit

Volllast

halbseitige Last cot θ =

1, 2 = 2,80 1 −140 / 245

cot θ =

1, 2 = 4, 70 1 −140 /188

≥ 3,0 maßgebend asw =

245 0, 47 ⋅ 43,5 ⋅ 2,80

asw =

188 0, 47 ⋅ 43,5 ⋅ 3, 0

12

= 3, 07 cm2/m

= 4, 28 cm2/m

Mindestquerkraftbewehrung asw,min = ρ w,min ⋅ bw ⋅ sw

DIN 1045-1, 13.2.3 vergl. [7] Abschnitt 9.2.2

= 0,93 ⋅10−3 ⋅ 40 ⋅100 = 3, 72 cm2/m

Maximal aufnehmbare Querkraft b ⋅ z ⋅α c ⋅ f cd VRd ,max = w cot θ + tan θ

mit

α c = 0, 75

178

12 Torsion – Fußgängerbrücke

cotθ = 3,0 ergibt den ungünstigsten Wert halbseitige Last

DIN 1045-1, 10.4.2 (2) vergl. [7] Abschnitt 5.3.2 DIN 1045-1, 10.4.1 (4): Aufteilung des Torsionsmoments auf einzelne Querschnittsteile

=

0, 40 ⋅ 0, 47 ⋅ 0, 75 ⋅17, 0 3 ⋅10 = 719 kN 3, 0 + 1/ 3, 0

Bemessung für Torsion Das Bemessungsmodell für Torsion ist ein dünnwandiger geschlossener Querschnitt, Bild 12.3. Die Mittellinien der Wände verlaufen durch die Achsen der Längsstäbe in den Ecken. Zur Aufnahme der Torsion sind Bügel und über den Umfang verteilte Längsstäbe erforderlich. Sie bilden zusammen mit den geneigten Druckstreben des Betons ein Fachwerk. Damit wird das aufnehmbare Torsionsmoment einerseits durch die Tragfähigkeit der Torsionsbewehrung und andererseits durch die Tragfähigkeit der Betondruckstreben begrenzt. Das angreifende Torsionsmoment wird vollständig dem Rechteckquerschnitt – 40 · 60 cm – zugewiesen, weil die Torsionssteifigkeit der Gurte – 15 · 130 cm – vergleichsweise gering ist.

Umfang u k Bügel Längsbewehrung

t eff 2 t eff

Bild 12.3: Ersatzhohlkasten für den Torsionsnachweis

Wanddicke des fiktiven Hohllastenquerschnitts teff = 2 (cv + ds,bü + ds,l/2) = 2 (3,0 + 1,0 + 2,8/2) = 10,8 cm durch die Mittellinien eingeschlossene Fläche

12

Ak = (b – teff)·(h – teff) = (40 – 10,8)·(60 – 10,8) = 1437 cm2 = 0,144 m2 Umfang der Fläche Ak uk = 2 (b – teff) + 2 (h – teff) = 2 (40 – 10,8) + 2 (60 – 10,8) = 157 cm

179

12 Torsion – Fußgängerbrücke

Zur Vereinfachung darf die Bewehrung für Torsion mit θ = 45° ermittelt werden. Dann beträgt die erforderliche Bewehrung je Längeneinheit – Bügel und Längsbewehrung: asw = asl = =

TEd [cm2/m] 2 Ak ⋅ f yd

vereinfachte Gleichung [7] Abschnitt 5.3.2

46 = 3, 67 cm2/m 2 ⋅ 0,144 ⋅ 43,5

Zu beachten ist, dass sich der Querschnitt der Bügel asw auf einen Bügelschenkel bezieht, im Gegensatz zur Querkraftbewehrung, wo mit asw beide Bügelschenkel erfasst werden. Die Torsionslängsbewehrung ist gleichmäßig über den Umfang anzuordnen. In der Biegezugzone ist sie zur Biegezugbewehrung zu addieren. Das maximal aufnehmbare Torsionsmoment beträgt: TRd ,max = 0,525 f cd ⋅ Ak ⋅ teff

vereinfachte Gleichung [7] Abschnitt 5.3.2

= 0,525 ⋅17, 0 ⋅ 0,144 ⋅ 0,108 ⋅ 103 = 139 kNm > TEd = 46 kNm

Der Kernquerschnitt Ak ist maßgebend für die Torsionsbewehrung und für die Torsionstragfähigkeit, vergl. Übungsaufgabe. Bei kombinierter Beanspruchung aus Torsion und Querkraft wird die maximale Tragfähigkeit begrenzt durch: 2

ª TEd º ª VEd º « » +« » «¬VRd ,max ¼» ¬« TRd ,max ¼» 2

§ 46 · § 188 · ¨ ¸ +¨ ¸ © 139 ¹ © 719 ¹

2

≤ 1

DIN 1045-1, 10.4.2, Gl. (94)

2

= 0,18 < 1, 0

12

Die maximale Tragfähigkeit des Querschnitts ist bei Weitem nicht ausgenutzt. Die Bügel werden zur Mitte abgestuft. Wenn die folgenden Gleichungen erfüllt sind, ist außer der Mindestquerkraftbewehrung keine weitere Querkraft- und Torsionsbewehrung erforderlich. x = l/4 VEd = 188 / 2 = 94 kN TEd ≤

TEd = 46 / 2 = 23 kNm

VEd ⋅ bw 94 ⋅ 0, 40 = = 8,3 kNm 4,5 4,5

DIN 1045-1, 10.4.1, Gl. (87) und (88)

180

12 Torsion – Fußgängerbrücke

ª 4,5 TEd º VEd «1 + » ≤ VRd ,ct ¬ VEd ⋅ bw ¼ ª 4,5 ⋅ 23 º = 94 «1 + » = 353 kN > 140 kN ¬ 94 ⋅ 0, 40 ¼

Beide Gleichungen sind nicht erfüllt, so dass die Abstufung entsprechend der Bemessung erfolgt, s. Abschnitt Bewehrung im Querschnitt. Bewehrung der Gurte Bemessung für Biegung g d ,1 = 1,35 ⋅ 25 ⋅ 0,15 = 5, 06 kN/m2 g d ,2 = 1,35 ⋅ 0, 25 = 0,34 kN/m

Geländer

qd = 1,5 ⋅ 5, 0 = 7,5 kN/m2 mEd = 5, 06 ⋅1,302 /2 + 0,34 ⋅1, 05 + 7,5 ⋅1, 052 /2 = 8,8 kNm/m d = 15 − 3 −1, 0 / 2 = 11,5 cm kd =

11,5 8,8

as = 2, 24

DIN 1045-1, 10.3.5, Einzelheiten vergl. [7] Abschnitt 5.2.5

12

= 3,88 8,8 = 1, 71 cm2/m 11,5

Nachweis Anschluss der Gurte Bei Plattenbalken ist der Anschluss der Druckkräfte in den Gurten an den Balkensteg nachzuweisen. Die Längskraft in den Gurten verändert sich analog zum Momentenverlauf. Die Längskraftdifferenz darf über die Länge av – höchstens der halbe Abstand zwischen Momentenhöchstwert und Momentennullpunkt – konstant angenommen werden, das entspricht der Längsschubkraft VEd. 0 ≤ x ≤ av

z=ζ·d = 0,97 · 0,545 = 0,529 m aus Biegebemessung

¦ ǻFd

=

M Ed ( x = av ) 551 = = 1042 kN z 0,529

av ≤ x ≤ 2 av

¦ ǻFd =

M Ed ,max − M Ed ( x = av ) 734 − 551 = = 346 kN z 0,529

181

12 Torsion – Fußgängerbrücke

Die Längskraftdifferenz wird im Verhältnis der Gurtbreite zur gesamten mitwirkenden Plattenbreite aufgeteilt. VEd = ǻFd ,1 = VEd =

beff,1 beff

¦ ǻFd

1,30 1042 = 452 kN 3, 00

Anschlussbewehrung je Längeneinheit asf =

VEd 452 = = 2,88 cm2/m av ⋅ f yd ⋅ cot θ 3, 00 ⋅ 43,5 ⋅1, 2

cotθ = 1,2 für Druckgurte

Bei gleichzeitiger Wirkung von Biegemomenten in der Platte darf der größere erforderliche Stahlquerschnitt zu Grunde gelegt werden. Für die Oberseite der Platte – Biegezugzone – wird maßgebend: as , Biegung oder

asf 2

Die Biegebemessung der Platte erfordert mehr Bewehrung: as , Biegung = 1, 71 cm2/m > 2,88 / 2 = 1, 44 cm2/m

gewählt Betonstahlmatte R188 A

Das Duktilitätskriterium – Mindestbewehrung zur Aufnahme des Rissmoments – ist zugleich erfüllt.

Bewehrung im Querschnitt Längsbewehrung Von den 5∅28 in Feldmitte laufen 3 Stäbe bis zum Auflager. Auf der Stegunterseite ist genügend Reserve als Torsionslängsbewehrung vorhanden, Bild 12.4. Seitlich im Steg gewählt ∅10-20: 3,93 cm2/m > asl = 3,77 cm2/m

12 Bügel x ≤ 3,00 m gewählt ∅10–125: 12,56 cm2/m > asw,V + 2asw,T = 3, 72 + 2 ⋅ 3, 67 = 11, 06 cm 2 /m

x > 3,00 m gewählt ∅10-20: 7,85 cm2/m

> 3, 72 + 2 (3, 67 / 2) = 7,39 cm2/m

182

12 Torsion – Fußgängerbrücke

R188 A

60

20

20

535

3∅10

34 40 3∅28

Bügel ∅10–125/20 cv = 3,0 cm

Bild 12.4: Fußgängerbrücke – Bewehrung im Querschnitt

DIN 1045-1, 13.2.4 (2)

Maximaler Bügelabstand

DIN 1045-1, 13.2.4 (1) und 12.7, Bild 56: Schließen von Bügeln

Die Bügel sind kraftschlüssig zu schließen.

DIN 1045-1, 12.8.2, Tab. 27

Für den horizontalen Winkelhaken gelten mäßige Verbundbedingungen, für den vertikalen Winkelhaken gute Verbundbedingungen.

smax = uk / 8 = 157 / 8 ≈ 20 cm

ls = α s ⋅α a ⋅ lb,net

α s = 1, 4 α a = 1, 0

gerade Stabenden

lb = 36 / 52 cm

guter/mäßiger Verbundbereich

asw,erf = 3, 67 cm2/m

Torsionsanteil

asw,vorh = 12,56 / 2 = 6, 28 cm2/m Bügelschenkel einer Seite ls = 1, 4 ⋅

12

36 + 52 3, 67 ⋅ = 36 cm 2 6, 28

aufgeteilt auf 2 Winkelhaken, Bild 12.4

13 Klausurtrainer Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf die in Abschnitt 3 bis 12 bearbeiteten Beispiele. Verändert werden einige Eingangsgrößen mit denen das Bauteil erneut zu bemessen ist. Zweckmäßigerweise erfolgt die Bearbeitung unabhängig vom vorangegangen Text nur unter Verwendung der Zeichnung für System, Lasten und Schnittgrößen sowie der übrigen Vorgaben. Die Ergebnisse lassen sich mit Hilfe der eingefügten Lösungen kontrollieren. Der Randtext bietet Merksätze, die das Verständnis zur Bemessung und Konstruktion von Stahlbetonbauten fördern sollen.

Zu 3.1.1 Einfeldbalken Verändert: Betonfestigkeitsklasse C30/37 • Bemessung für Biegung einschließlich Berechnung der Druckzone und des inneren Hebelarms Tabelle 13.1: Biegebemessung FEd

MEd

μEd

ω

ξ

x

ζ

z

εc2

εs1

σsd

As

kN

kNm

–

–

–

cm

–

cm

‰

‰

N/mm2

cm2

50

75

0,071

0,071

0,098

4,5

0,961

43,7

–2,72

25,00

457

3,79

100

150

0,142

0,150

0,191

8,7

0,921

41,9

–3,50

14,91

447

8,00

150

225

0,213

0,241

0,301

13,7

0,875

39,8

–3,50

8,16

440

12,86

200

300

0,284

0,344

0,427

19,4

0,823

37,4

–3,50

4,71

437

18,35

250

375

0,355

0,367

0,578

26,3

0,760

34,6

–3,50

2,56

435

19,58

Erhöhung der Betonfestigkeitsklasse ergibt kleinere Druckzone, größeren Hebelarm, geringere Zugbewehrung, Verzicht auf Druckbewehrung.

• Bemessung für Querkraft einschließlich Wahl der Bügel VRd,max = 737 kN Lösung: VRd,ct = 87,7 kN Tabelle 13.2: Querkraftbemessung cotθ

asw

kN

–

cm2/m

50

3,00

2,79*)

100

3,00

2,79*)

150

2,89

3,04

VEd = FEd

*)

VEd

smax

gewählt

–

mm

cm2/m

0,07

300

∅8–30:

3,35

0,14

300

∅8–30:

3,35

0,20

300

∅8–30:

3,35 5,74 8,04

VRd ,max

200

2,14

5,48

0,27

300

∅8–175:

250

1,85

7,92

0,34

250

∅8–125:

Mindestquerkraftbewehrung

Erhöhung der Betonfestigkeitsklasse vermindert Anteil der Querkraft, VEd – VRd,ct, der durch Bügel abzudecken ist.

184

13 Klausurtrainer

Zu 3.1.3 Balken mit Kragarm Höhe h = 65 cm

Verändert:

• Bemessung für Biegung Lösung: Feldmoment As1 = 34,0 cm2 As2 konstruktiv (Stäbe in Bügelecken ausreichend) Stützmoment As = 13,1 cm2 • Bemessung für Querkraft Lösung: VRd,ct = 157 kN

VRd,max = 1317 kN

Tabelle 13.3: Querkraftbemessung Vergrößerung der Höhe wirkt sich günstig für Biegebewehrung und Querkraftbewehrung aus.

Ort

VEd

cotθ

asw

VEd VRd ,max

smax

kN

–

cm2/m

–

mm

gewählt cm2/m

Alinks

255

3,00

3,72*)

0,19

300

∅10–30:

5,24

Arechts

336

2,25

6,54

0,26

300

∅10–20:

7,85

x = 1,50

261

3,00

3,81

0,20

300

∅10–30:

5,24

B

368

2,09

7,71

0,28

300

∅10–20:

7,85

*)

Mindestquerkraftbewehrung

Zu 3.2 Platte Verändert:

13

Höhe h = 20 cm (keine verformungsempfindlichen Trennwände) Achse B: Unterstützung durch 20 cm dicke Wand Schnittgrößen mit 15 % Momentenumlagerung

• Schnittgrößen mit 15 % Momentenumlagerung Lösung:

m 'Ed = 0,85 ⋅ 77, 7 = 66, 0 kNm/m

m 'Ed ,red = 66, 0 − 57, 4 ⋅ 0, 20 / 2 = 60,3 kNm/m mEd ,min = 57,1 kNm/m

A: v 'Ed = 44, 2 + 0,15 ⋅ 77, 7 / 6, 60 = 46, 0 kN/m Bl: v 'Ed = 67, 7 − 0,15 ⋅ 77, 7 / 6, 60 = 65,9 kN/m Br: v 'Ed = 59, 6 − 0,15 ⋅ 77, 7 / 5,30 = 57, 4 kN/m

185

13 Klausurtrainer

• Bemessung für Biegung mit 15 % Momentenumlagerung Tabelle 13.4: Biegebemessung

mEd 62,3

2,15

441

Es ist vorteilhaft, bei Platten Momentenumlagerung zu berücksichtigen.

as

gewählt

cm2/m

cm2/m

9,38

2R513: 10,26

ks

N/mm2

kNm/m Feld 1

σs

kd

2,56

Feld 2

35,2

2,86

450

2,38

4,93

Stützmom

60,3

2,19

441

2,56

9,08

δ zul = 0, 64 + 0,8 ⋅ 0, 25 = 0,84

R513:

5,13

2R513: 10,26

x/d interpoliert

δ gew = 0,85

≥ 0,85

δ zul = 0,85 normale Duktilität s. Anhang Tafel A3 • Bemessung für Querkraft Achse A eine Matte R513 bis zum Auflager geführt vRd ,ct = 61,8 kN/m > 46, 0 kN/m Achse, nach Momentenumlagerung

Achse Bl vRd ,ct = 77,8 kN/m

Platten des üblichen Hochbaus benötigen in der Regel keine Querkraftbewehrung.

> 65,9 kN/m Achse, nach Momentenumlagerung

Zu 3.3.3 Fußgängerplattform Balken Verändert:

Betonfestigkeitsklasse C40/50 Breite b = 45 cm

• Bemessung für Biegung: Feldmitte und Viertelspunkt

13

Tabelle 13.5: Biegebemessung Ort

MEd

kd

ks1

ks2

ρ1

ρ2

As1

As2

gew.

cm2

Feldmitte

1050

1,13

2,74

0,42

1,02

1,08

53,8

9∅28

8,7

3∅20

Viertelspunkt

788

1,30

2,71

–

–

–

39,2

7∅28

–

2∅20

kNm

cm2

gew.

Vergrößerung der Balkenbreite und Erhöhung der Betonfestigkeitsklasse reduzieren maßgeblich die Druckbewehrung.

186

13 Klausurtrainer

• Bemessung für Querkraft: Auflager und x = 1,50 m VRd ,c = 175 kN VRd ,max = 1787 kN Lösung: Tabelle 13.6: Querkraftbemessung Vergrößerung der Balkenbreite und Erhöhung der Betonfestigkeitsklasse erhöhen die Mindestquerkraftbewehrung.

Ort

VEd

cotθ

asw

VEd VRd ,max

smax

kN

–

cm2/m

–

mm

gewählt cm2/m

A

366

2,30

7,70

0,20

300

∅10–20:

7,85

x = 1,50

294

2,96

4,80*)

0,16

300

∅10–30:

5,24

*)

asw,min = 5,04 cm2/m

Zu 4.2 Geschossdecke – Plattenbalken Verändert:

Betonfestigkeitsklasse C25/30 Querschnitt: bw = 35 cm h = 55 cm

• Bemessung für Biegung ohne/mit Momentenumlagerung Lösung: 15 % Momentenumlagerung, vergl. Abschnitt 4.3 Stützmom.

M 'Ed = 0,85 ⋅ 610 = 519 kNm

Achse B

V 'Ed = 382 − 0,15 ⋅ 610 / 8, 00 = 370 kN M 'Ed ,red = 519 − 370 ⋅ 0, 40 / 2 = 445 kNm M Ed ,min = 366 kNm

nicht maßgebend

Tabelle 13.7: Biegebemessung Ort

13

MEd

b

kNm

m

kd

ks1

ks2

ρ1

ρ2

As1 cm2

–

cm2

gew.

Feldmom.

404

2,64

4,04 2,27

–

18,3

4∅25

Stützmom.

534

0,35

1,28 2,67

0,78

1,02 1,08

29,1

4∅25+6∅16

9,0

2∅25

Stützmom.*)

445

0,35

1,40 2,50

1,30

1,02 1,08

22,7

3∅25+4∅16

12,5

3∅25

*)

–

gew.

As2

Anhang Tafel A4: x/d = 0,25

Mit Momentenumlagerung ermäßigt sich die Zugbewehrung. Aufgrund der Begrenzung der Druckzone x/d bei Momentenumlagerung erhöht sich in der Regel die Druckbewehrung.

δ zul = 0, 64 + 0,8 ⋅ 0, 25 = 0,84 < δ gew = 0,85

187

13 Klausurtrainer

• Bemessung für Querkraft (ohne Momentenumlagerung) VRd ,c = 107 kN VRd ,max = 796 kN Lösung: Tabelle 13.8: Querkraftbemessung Ort

VEd

cotθ

asw

VEd VRd ,max

smax

kN

–

cm2/m

–

mm

cm2/m

A

182

2,91

3,31

0,23

300

∅10–30:

5,24

–

x = 2,00

229

2,25

5,38

0,29

300

∅10–30:

5,24*)

B

329

1,78

9,77

0,41

275

∅10–15:

10,48

*)

Die Querkraftbewehrung verändert sich stärker durch Verminderung der Balkenhöhe als durch Vergrößerung der Stegbreite.

gewählt

Querkraftdeckungslinie geringfügig eingeschnitten, vergl. DIN 1045-1, 13.2.3 (9), Bild 68

Zu 4.3 Dreifeldbalken – Plattenbalken Verändert:

Nachweise

ohne Momentenumlagerung

• Bemessung für Biegung Feld 2, Stützmomente ohne Momentenumlagerung Tabelle 13.9: Biegebemessung Ort

MEd kNm

b

kd

ks1

ks2

ρ1

ρ2

As1 cm2

m

Feld 2

376

2,59

4,52

2,24

Stützmom.

709

0,35

1,21

2,70

–

–

–

0,62 1,02 1,08

As2

gew.

15,5

3∅28

35,8

4∅28+6∅16

cm2

gew.

8,7

2∅28

Die Verminderung der oberen Zugbewehrung bei Momentenumlagerung ist baupraktisch vorteilhaft.

• Bemessung für Querkraft Lösung: VRd ,c = 124 kN

VRd ,max = 1042 kN

13

Tabelle 13.10: Querkraftbemessung Ort

A

VEd

cotθ

asw

kN

–

cm2/m

–

mm

339

1,89

8,68

0,33

300

VEd

VRd ,max

smax

gewählt cm2/m ∅10–175:

8,98

Blinks

478

1,62

14,28

0,46

300

∅10–10:

15,70

Brechts

425

1,69

12,17

0,41

300

∅10–125:

12,56

Es ist zweckmäßig, nachzuweisen, in welchem Abstand vom Auflager größere Bügelabstände – z. B. s = 30 cm – möglich sind.

188

13 Klausurtrainer

Zu 5.1.1 Innenstütze Verändert:

Betonfestigkeitsklasse

a) C25/30

b) C40/50

• Bemessung, Kontrolle Stoßbereich Bemessung Innenstütze

Tabelle 13.11: Bei zentrisch gedrückten Innenstützen wirkt sich die Betonfestigkeit maßgeblich auf die Bewehrung aus.

C25/30 C40/50 *)

**)

NEd

NRd,c

NRd,s

As

kN

kN

kN

cm2

3500

1736

1764

40,6

4∅28 + 4∅25*)

723

16,6**)

4∅25

3500

2777

gewählt

Stoßbereich: ρ = 0,072 < 0,09 Eckstäbe ∅25, dazwischen ∅28 ungünstigster lichter Abstand, vergl. Bild 5.2: 5,7 cm > 2 ds As,min = 12,1 cm2

Zu 5.1.2 Randstütze Verändert:

Betonfestigkeitsklasse

a) C25/30

b) C40/50

• Bemessung, Kontrolle Stoßbereich Tabelle 13.12:

Aus der Bemessungstafel [8] ist für beide Festigkeitsklassen abzulesen: εc2 = –3,5‰, und εs1 < 0, d. h. auf beiden Seiten übernimmt die Bewehrung Druckkräfte. *) **)

13

Bemessung Randstütze

NEd

MEd

νEd

μEd

ωtot

As

kN

kNm

–

–

–

cm2

C25/30

–1500

56

–1,03

0,15

0,7

23,5

4∅28*)

C40/50

–1500

56

–0,64

0,10

0,1

5,4**)

4∅14

gewählt

Stoßbereich: ρ = 0,056 < 0,09 As,min = 5,2 cm2

Zu 5.2 Hallenstütze Verändert:

offene Halle Betonfestigkeitsklasse C25/30

• Zusätzliche Lastkombination prüfen Eigenlasten wirken günstig: γG = 1,0 Lösung:

N Ed = − 100 kN M Ed = 2,1 + 168 = 170 kNm

Schnee entfällt

189

13 Klausurtrainer

• Bemessung Lösung: cv = 3,5 cm

Normogramm s. [8]

Bemessung Hallenstütze

Tabelle 13.13: Komb.

d1/h = 0,15

NEd

MEd

νEd

μEd

ω

As

kN

kNm

–

–

–

cm2

gewählt

(2)

– 248

173

– 0,124

0,216

0,65

29,9

6∅25

(3)

– 100

170

– 0,050

0,213

0,62

28,5

6∅25

Die Resultierende liegt für beide Lastkombinationen außerhalb des Querschnitts. Maßgebend ist die Zugbewehrung.

Kombination (3) wird nicht maßgebend, vergl. Erläuterung Abschnitt 5.2

Zu 6.1 Fundament Verändert: Abmessungen bx = 4,25 m Stütze NEd = 4000 kN Betonfestigkeitsklasse C30/37

by = 3,25 m cx = cy = 40 cm

h = 90 cm

• Biegemomente und Bemessung für Biegung Tabelle 13.14: Richt.

MEd

Biegemomente, Biegebemessung

mEd

d

kd

as

gewählt

cm2/m

cm2/m

kx

kNm

kNm/m

cm

x

1925

788

84

2,99 2,29

21,5

∅20–125: 25,1

y

1425

446

82

3,88 2,24

12,2

∅20–20: 15,7

• Nachweis gegen Durchstanzen Lösung: u = 9,42 m Acrit = 7,02 m2 VEd,red = 2984 kN

vEd,red = 333 kN/m vRd,ct = 334 kN/m

13

Zu 6.2 Gedrungenes Fundament Verändert:

Abmessungen bx = by = 1,75 m Stütze NEd = 2000 kN Betonfestigkeitsklasse C25/30

h = 55 cm

• Biegemomente und Bemessung für Biegung Lösung: MEd = 363 kNm mEd = 276 kNm/m as = 13,4 cm2/m

Die Erhöhung der Fundamentdicke wirkt sich auf den Nachweis gegen Durchstanzen stärker aus als auf die Bemessung für Biegung.

gewählt ∅16–15: 13,4 cm2/m

190

13 Klausurtrainer

Der günstige mehraxiale Spannungszustand bewirkt die hohe Tragfähigkeit im Schnitt 1,0 d vom Stützenrand.

• Nachweis gegen Durchstanzen ur = 1,0 d = 4,24 m Lösung: ur = 1,5 d = 5,76 m Acrit,r = 1,0 d = 1,41 m2 VEd,red = 1079 kN

vEd,red,r = 1,0 d = 254 kN/m

vRd,ct = 288 kN/m

Zu 7.1 Flachdecke – Biegung Verändert:

Die veränderten Spannweiten ly ergeben beim Näherungsverfahren nur in y-Richtung veränderte Momente.

Spannweiten y-Richtung l1 = 7,50 m Betonfestigkeitsklasse C35/45

l2 = 6,00 m

• Bemessung für Biegung Momente my pauschal um 15 % erhöhen nur Randstreifen und inneren Gurtstreifen nachweisen obere Bewehrung: ∅20 annehmen Tabelle 13.15: Ort Richt.

A3

Biegemomente, Biegebemessung

mEd

d

kNm/m

cm

x

247

26

kd

ks

gewählt

as cm2/m

1,65

2,56

24,3

cm2/m ∅20–125:

25,1

B3

x

213

26

1,78

2,47

20,2

∅20–15:

20,9

A3

y

48

24

3,46

2,27

4,5

∅20–25:

12,6

B3

y

229

24

1,59

2,56

24,4

∅20–125:

25,1

Zu 7.2 Durchstanzen – Innenstütze Verändert:

Spannweiten y-Richtung l1 = 7,50 m Betonfestigkeitsklasse C35/45

• Aufzunehmende Querkraft Lösung: VEd = 1197 kN

13 Der vergrößerte Bewehrungsgrad ρl allein erhöht die Querkrafttragfähigkeit nur unzureichend; häufig ist gleichzeitig die Betonfestigkeitsklasse heraufzusetzen.

l2 = 6,00 m

„pauschaler Ansatz“

• Nachweis gegen Durchstanzen Lösung: kritischer Rundschnitt u = 3,96 m vEd = 317 kN/m vRd,ct = 210 kN/m vRd,max = 315 kN/m äußerer Rundschnitt u3,a = 7,10 m vEd,3a = 177 kN/m

κa · νRd,ct = 175 kN/m

191

13 Klausurtrainer

Tabelle 13.16: Reihe

Innenstütze – Durchstanzbewehrung

Abstand

sw m

u m

vEd

Asw

Asw,min

kN/m

cm2

cm2 6,1

1

0,50 d

–

2,39

526

24,8

2

1,25 d

0,75 d

3,56

353

12,5

6,8

3

2,00 d

0,75 d

4,74

265

6,4

9,1

Zu 7.3 Durchstanzen – Randstütze Verändert:

Spannweiten y-Richtung l1 = 7,50 m Betonfestigkeitsklasse C35/45

l2 = 6,00 m

• Aufzunehmende Querkraft Lösung: VEd = 443 + 101 = 544 kN „pauschaler Ansatz“ • Nachweis gegen Durchstanzen Lösung: kritischer Rundschnitt vEd = 295 kN/m

Die gewählte Bewehrung in y-Richtung ergibt ein günstiges Verlegeschema, dafür wird ein knappes Ergebnis vRd,max hingenommen.

u = 2,58 m vRd,ct = 193 kN/m vRd,max = 290 kN/m

äußerer Rundschnitt

u3,a = 4,15 m

vEd,3a = 153 kN/m

κa ⋅ vRd ,ct = 161 kN/m

Tabelle 13.17: Reihe

1

Randstütze – Durchstanzbewehrung

Abstand

0,50 d

sw

u

vEd

Asw

Asw,min cm2 4,6

m

m

kN/m

cm2

–

1,79

425

13,7

2

1,25 d

0,75 d

2,38

320

7,5

4,6

3

2,00 d

0,75 d

2,97

256

4,6

5,7

13 Zu 8.1 Einfeldplatte Verändert:

Drillsteifigkeit = 0

• Momentenermittlung Lösung: mxm = 31,7 kNm/m mymax = 14,7 kNm/m

Ohne Drilltragfähigkeit erhöhen sich die Feldmomente um mehr als 50 % – abhängig vom Seitenverhältnis ly/lx.

192

13 Klausurtrainer

Zu 8.2 Durchlaufplatte System 1 Verändert:

Die Lastabtragung über die kürzere Seite – größere Feldmomente – ist umso ausgeprägter je unterschiedlicher die Stützweiten sind.

lx = 7,20 m ly = 6,00 m qk = 5,0 kN/m2

Spannweiten Nutzlast

• Momentenermittlung Lösung: q ' = 11,85 kN/m2

q '' = ± 3, 75 kN/m2

Feldmomente mEd,x = 14,3 kNm/m

mEd,y = 21,3 kNm/m

Stützmomente mEd,x = – 42,9 kN/m

mEd,y = – 48,8 kNm/m

Zu 8.3 Durchlaufplatte System 2 Verändert:

Spannweiten Platte 1-3 Platte 4,5 Nutzlast

lx = 4,80 m lx = 7,20 m qk = 5,0 kN/m2

ly = 6,00 m ly = 6,00 m

• Momentenermittlung Durchlaufplatte System 2 – Biegemomente

Tabelle 13.18: Nr

Typ

lx

ly

ly /lx

kxm

kymax

–kxer

–kyer

mFx

m

m

–

–

–

–

–

kNm/m

mFy

–mS0x –mS0y

1=3

4

4,80

6,00

1,25

22,0

36,6

11,1

12,9

16,3

9,8

32,4

27,9

2

5

4,80

6,00

1,25

23,1

41,5

13,5

17,5

15,6

8,7

26,6

20,5

4=5

4

7,20

6,00

1,20

35,5

23,3

13,1

11,5

15,8

24,1

42,9

48,8

Die Stützmomente sind weniger abhängig vom Seitenverhältnis ly/lx als die Feldmomente. Tabelle 13.19:

13

Stützung

Durchlaufplatte System 2 – Stützmomente Tragrichtung

mS 0,i

mS 0,k

x

32,4

26,6

i–k 1–2

mS 0,i + mS 0,k 2

0, 75 mS 0

max

mS

kNm/m 29,5

24,3

29,5

4–5

x

42,9

42,9

42,9

32,2

42,9

1–4

y

27,9

48,8

38,4

36,6

38,4

2–4

y

20,5

48,8

34,7

36,6

36,6

Die endgültigen Stützmomente ergeben sich durch Mittelung der Stützmomente der angrenzenden Platten – mindestens 75 %.

193

13 Klausurtrainer

Zu 9.1 Elementplatte mit Ortbetonergänzung Verändert:

Querkräfte nach 15 % Momentenumlagerung, vergl. Bild 9.1 Nachweis am Rand der Unterstützung

• Nachweis Schubkraftaufnahme Schubkraftaufnahme – bezogen auf 1 m Breite –

Tabelle 13.20:

Ort V 'Ed V 'Ed ,red

v 'Ed ,red cotθ 0,3 vRd,max

as

gewählt

kN

kN

kN/m

–

kN/m

cm2/m

cm2/m

A

46,0

45,0

263

2,08

295

3,14

∅7–625: 6,16

Bl

65,9

62,5

366

1,36

402

6,00

∅7–625: 6,16

Br 57,4

54,0

316

1,58

365

4,65

∅7–75: 5,13

C

31,5

184

3,00

212

1,63

∅7–75: 5,13

32,5

Es ist vorteilhaft, Querkräfte nach Momentenumlagerung und am Rand der Unterstützung zu berücksichtigen.

Zu 9.2 Balken mit Ortbetonergänzung Verändert:

Spannweite l = 8,00 m Lasteinzugsfläche für Platte mit Momentenumlagerung, vergl. Bild 9.3

• Lastermittlung, Schnittgrößen Lösung:

Lasteinzugsfläche A = (3,89 + 3,39) ⋅ 8, 00 = 58, 2 m2 g d = 68,8 + 5,1 = 73,9 kN/m

α A = 0, 67

qd = 36, 6 kN/m

M Ed = 884 kNm VEd = 442 kN

• Nachweis Schubkraftaufnahme einschließlich Abstufung im Viertelspunkt (Variante 1, vergl. Bild 9.3d) Tabelle 13.21:

Schubkraftaufnahme mit Ortbetonergänzung

Ort

VEd kN

13

Ortbeton

cotθ

as

gewählt

cotθ

as

kN/m

–

cm2/m

cm2/m

–

cm2/m

vEd

A

425

895

1,00

20,6

∅12–10: 22,6 1,75

11,8

x = 2,00

221

465

1,06

10,1

∅12–20: 11,3 3,00

3,6

Die Mischkonstruktion – Fertigteilsteg mit Ortbetonergänzung – erfordert mehr Bügel als die reine Ortbetonkonstruktion.

194

13 Klausurtrainer

• Ortbeton: Bemessung für Querkraft zum besseren Vergleich VEd unverändert, d.h. mögliche Verminderung für VEd im Abstand d vom Auflagerrand nicht berücksichtigt Lösung: VRd,c = 133 kN cotθ, asw s. Tabelle 13.21

Zu 10.1 Konsole Verändert:

Umgebungsbedingungen: Innenbauteil Abmessungen h = 34,5 cm b = 40 cm Konsollänge 30 cm Lager 15 cm (unveränd.)

• Bemessung und Nachweis Verankerungslänge Lösung: cv = 2,0 cm d = 30,5 cm z0 = 23,8 cm ac = 16 cm

aH = 4,5 cm

As = 7,3 cm2 4 Schlaufen ∅12: 9,1 cm2

gewählt

Die Verankerungslänge der Zugbewehrung ist maßgebend für die Kraftübertragung im Knoten des Stabwerks.

3 horizontale Bügel ∅10: 4,7 cm2 Verankerungslänge 13,1 cm < 19,5 cm

Zu 10.2 Ausgeklinktes Trägerende Verändert:

13

Zur Bestimmung des äußeren und inneren Hebelarms ist eine aussagekräftige Bewehrungsskizze erforderlich, vergl. Bild 10.5.

Umgebungsbedingungen und Abmessungen s. Konsole

• Bemessung und Nachweis Verankerungslänge Lösung: cv = 2,5 cm d = 28,8 cm z = 22,1 cm a = 31,0 cm As = 14,1

aH = 6,2 cm

cm2

gewählt

7 Schlaufen ∅12: 15,8 cm2

Verankerungslänge 14,6 cm < 19,0 cm

Zu 11.2 Stützwand Verändert:

Abmessungen

Höhe Dicke ∅12

4,00 m Länge 16,00 m h = 40 cm konstant horizontal und vertikal

195

13 Klausurtrainer

• Begrenzung der Rissbreite für Lastbeanspruchung – wk = 0,3 mm – as = 7,23 cm2/m Wandfuß mEd = 115 kNm/m gewählt ∅12–125: 9,05 cm2/m Lösung: σs = 287 N/mm2 mit z = 0,9 d = 0,327 m ds = 11,7 mm

≈ 12 mm

s = 141 mm

> 125 mm

nur ein Kriterium ist einzuhalten • Mindestbewehrung – wk = 0,3 mm bzw. wk = 0,2 mm – Modifikation Zugfestigkeit Lösung: ds* = 27,7 mm

σs = 198 N/mm2

für

wk = 0,3 mm

σs = 161

für

wk = 0,2 mm

Tabelle 13.22:

N/mm2

Stützwand – Mindestbewehrung wk = 0,3 mm

x

kh*)

as

cm2/m

gewählt

wk = 0,2 mm as

gewählt

cm2/m

1,00 0,64 12,4 ∅12–175:

2 · 6,46

15,3 ∅12–15:

2 · 7,54

2,00 0,74 14,4 ∅12–15:

2 · 7,54

17,7 ∅12–125:

2 · 9,05

3,00 0,86 16,7 ∅12–125:

2 · 9,05

20,6 ∅12–10:

2 · 11,31

4,00 1,00 19,4 ∅12–20:

2 · 5,65**)

∅12–175:

2 · 6,46**)

*) **)

23,9

Die Mindestbewehrung wird geringer bei kleineren Stabdurchmessern; damit verbunden sind engere Stababstände, die ggf. baupraktisch nicht mehr sinnvoll sind.

Beiwert berücksichtigt Spannungsverlauf über die Wandhöhe, s. Abschnitt 11.2 im unteren Wandviertel halbe Bewehrung wegen Behinderung der Rissbildung, s. Bild 11.3

Zu 12 Fußgängerbrücke – Torsion Verändert:

Höhe

h = 70 cm

• Bemessung für Biegung Lösung (Volllast):

Breite

b = 35 cm

As = 25,5 cm2 gewählt 2∅25 (Bügelecke) + 3∅28

• Bemessung für Querkraft Lösung (halbseitige Last): z = 57 cm (Matte oberhalb Bügel) VRd,c = 149 kN cotθ = 3,0 VRd,max = 763 kN asw = 2,53 cm2/m

asw,min = 3,26 cm2/m

Bei der Bemessung für Biegung und für Querkraft wirkt sich die vergrößerte Höhe günstig aus; die reduzierte Breite ist weniger ausschlaggebend.

13

196

13 Klausurtrainer

Bei der Bemessung für Torsion beeinflussen die vergrößerte Höhe und die reduzierte Breite gleichermaßen den Kernquerschnitt Ak , so dass sich praktisch die gleiche Bewehrung ergibt.

• Bemessung für Torsion Lösung: teff = 10,5 cm

uk = 168 cm

TRd,max = 137 kNm asw = asl = 3,62 cm2/m

für x = 0

asw = asl = 1,81 cm2/m

für x = 3,00 m

• Bügel für Querkraft und Torsion 2

Lösung:

13

Ak = 0,146 m2

ª TEd º ª VEd º « » +« » «¬ TRd ,max »¼ «¬ VRd ,max »¼

2

= 0,17 < 1

x < 3,00 m

gewählt ∅10–15: 10,5 cm2/m > 3, 26 + 2 ⋅ 3, 62 = 10,5 cm2/m

x ≥ 3,00m

gewählt ∅10–20: 7,8 cm2/m > 3, 26 + 2 ⋅1,81 = 6,9 cm2/m

Anhang

Tafeln Nr.

Anwendungsbereich

A1

Biegung

A2

Biegung

μs-Tafel μs-Tafel

mit Druckbewehrung

x/d = 0,45

A3

Biegung

kd-Tafel

mit/ohne Druckbewehrung

x/d ≤ 0,45

A4

Biegung

kd-Tafel

mit Druckbewehrung

x/d = 0,25

ohne Druckbewehrung

A5

Biegung mit Längskraft

symmetrische Bewehrung

d1/h = 0,10

A6

Stützen: Theorie II. Ordnung

μ-Nomogramm

h1/h = 0,10

A7

Betondeckung

A8

Grundmaß der Verankerungslänge

A9

Querschnitte von Plattenbewehrungen

A10

Querschnitte von Balkenbewehrungen

Tafel A1 bis A3, A5, A6, A9, A10 aus [8] Tafel A4 aus [13]

198

Anhang

Tafel A1 Rechteckquerschnitt ohne Druckbewehrung, Biegung mit Längskraft BSt 500, bis C50/60

C16/20 N/mm2

fcd in fyd /fcd

A

C20/25 C25/30 C30/37 C35/45 C40/50 C45/55 C50/60

9,07 48,0

μEds

ω

0,02 0,04 0,06 0,08 0,10

11,33 38,4

14,17 30,7

17,00 25,6

19,83 21,9

22,67 19,2

25,50 17,1

28,33 15,3

ξ = kx

ζ = kz

εc2

εs1 %

N/mm2

σsd

δzul

0,019 0,039 0,059 0,080 0,101

0,044 0,066 0,086 0,107 0,131

0,985 0,976 0,967 0,956 0,946

– 1,15 – 1,76 – 2.37 – 3,01 – 3,50

25,00 25,00 25,00 25,00 23,30

457 457 457 457 455

0,700 0,700 0,700 0,706 0,718

0,12 0,14 0,16 0,18 0,20

0,124 0,148 0,172 0,197 0,223

0,159 0,188 0,217 0,248 0,280

0,934 0,922 0,910 0,897 0,884

– 3,50 – 3,50 – 3,50 – 3,50 – 3,50

18,55 15,16 12,61 10,62 9,02

450 447 445 443 441

0,731 0,750 0,770 0,793 0,817

0,22 0,24 0,26 0,28 0,296

0,250 0,278 0,307 0,337 0,363

0,313 0,347 0,382 0,419 0,450

0,870 0,856 0,841 0,826 0,813

– 3,50 – 3,50 – 3,50 – 3,50 – 3,50

7,70 6,60 5,67 4,85 4,28

440 439 438 437 437

0,845 0,877 0,914 0,958 1,000

0,30 0,32 0,34 0,36 0,37 0,38

0,369 0,402 0,438 0,477 0,499 0,572

0,458 0,498 0,542 0,590 0,617 0,640

0,809 0,793 0,774 0,755 0,743 0,734

– 3,50 – 3,50 – 3,50 – 3,50 – 3,50 – 3,50

4,14 3,52 2,96 2,43 2,17 1,97

437 436 436 435 435 394

0,40 0,42 0,44 0,46

0,797 1,190 2,040 5,403

0,695 0,758 0,830 0,921

0,711 0,685 0,655 0,617

– 3,50 – 3,50 – 3,50 – 3,50

1,53 1,12 0,72 0,30

307 224 143 60

As =

ω fyd / fcd

⋅b⋅d +

NEd

σ Sd

%

199

Anhang

Tafel A2 Rechteckquerschnitt mit Druckbewehrung für Biegung mit Längskraft Betonstahl BSt 500, γs = 1,15, ξ = x/d= 0,45, bis C50/60

C16/20

C20/25

C25/30

C30/37

C35/45

C40/50

C45/55

C50/60

9,07 48

11,33 38,4

14,17 30,7

17 25,6

19,83 21,9

22,67 19,2

25,5 17,1

28,33 15,3

fcd in N/mm2 fyd/fcd

Umlagerungsfaktor

μEds

ω1

0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,22 0,24 0,26 0,28 0,296 0,30 0,32 0,34 0,36 0,38 0,40 0,42 0,44 0,46 0,48 0,50 0,52 0,54 0,56 0,58 0,60 0,62 0,64 0,66 0,68 0,70

0,019 0,039 0,059 0,080 0,101 0,124 0,148 0,172 0,197 0,223 0,250 0,278 0,307 0,337 0,363 0,367 0,387 0,408 0,428 0,449 0,469 0,490 0,510 0,531 0,551 0,572 0,592 0,613 0,633 0,654 0,674 0,695 0,716 0,736 0,757 0,777

d2/d 0,03 0,05 0,07 0,09 0,11 0,13 0,15 0,17

0,363 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00

ω2

0,004 0,025 0,045 0,066 0,086 0,107 0,128 0,148 0,169 0,190 0,210 0,231 0,251 0,272 0,293 0,313 0,334 0,355 0,375 0,396 0,416 0,469 1,00 1,00 1,01 1,01 1,02 1,03 1,03 1,04

ρ1 für ω1 0,572 1,00 1,01 1,02 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06

ξ = kx

ζ = kz

εc2

εs1

0,044 0,066 0,086 0,107 0,131 0,159 0,188 0,217 0,248 0,280 0,313 0,347 0,382 0,419 0,450 0,450

0,985 0,976 0,967 0,956 0,946 0,934 0,922 0,910 0,897 0,884 0,870 0,856 0,841 0,826 0,813 0,813

– 1,15 – 1,76 – 2,37 – 3,01 – 3,50 – 3,50 – 3,50 – 3,50 – 3,50 – 3,50 – 3,50 – 3,50 – 3,50 – 3,50 – 3,50 – 3,50

0,450

0,813

– 3,50

0,674 1,00 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,07 1,08

0,777 1,00 1,01 1,02 1,04 1,05 1,06 1,08 1,09

‰

ρ2 1,00 1,02 1,04 1,07 1,09 1,11 1,14 1,17

δzul

‰

σsd

N/mm2

hohe normale Duktilität

25,00 25,00 25,00 25,00 25,00 18,55 15,16 12,61 10,62 9,02 7,70 6,60 5,67 4,85 4,28 4,28

457 457 457 457 455 450 447 445 443 441 440 439 438 437 437 437

0,700 0,700 0,700 0,706 0,718 0,731 0,750 0,770 0,793 0,817 0,845 0,877 0,914 0,958 1,000

4,28

437

0,850 0,850 0,850 0,850 0,850 0,850 0,850 0,850 0,850 0,850 0,850 0,877 0,914 0,958 1,000

A

200

Anhang

Tafel A3 d2

Bemessung Rechteckquerschnitt Betonstahl BSt 500 < C50/60 BFK =

MEd

Hc

As2

NEd zs1

x=kx·d

–

d +

As1 Hs

kd-Wert

εc

C C C C 16/20 20/25 25/30 30/37

kd* =

A

7,43 5,25 4,29 3,71 3,32 3,03 2,81 2,63 2,48 2,35 2,24 2,14 2,06 1,98 1,93

6,64 4,70 3,83 3,32 2,97 2,71 2,51 2,35 2,21 2,10 2,00 1,92 1,84 1,77 1,73

5,94 4,20 3,43 2,97 2,66 2,43 2,25 2,10 1,98 1,88 1,79 1,71 1,65 1,59 1,54

5,42 3,83 3,13 2,71 2,43 2,21 2,05 1,92 1,81 1,72 1,63 1,57 1,50 1,45 1,41

1,92 1,86 1,80 1,75 1,70 1,66 1,62 1,58 1,55 1,52 1,49 1,46 1,43 1,40 1,38 1,36 1,33 1,31 1,29 1,27 1,26

1,71 1,66 1,61 1,57 1,52 1,49 1,45 1,42 1,38 1,36 1,33 1,30 1,28 1,26 1,23 1,21 1,19 1,17 1,16 1,14 1,12

1,53 1,49 1,44 1,40 1,36 1,33 1,30 1,27 1,24 1,21 1,19 1,17 1,14 1,12 1,10 1,08 1,07 1,05 1,03 1,02 1,00

1,40 1,36 1,32 1,28 1,24 1,21 1,18 1,16 1,13 1,11 1,08 1,06 1,04 1,02 1,01 0,99 0,97 0,96 0,94 0,93 0,92

d2/d 0,03 0,05 0,07 0,09 0,11 0,13 0,15 0,17 [

2,82 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00

2,70 1,00 1,00 1,01 1,01 1,02 1,03 1,03 1,04

ρ1 für ks1 2,63 1,00 1,01 1,02 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06

εs

σs

‰

‰

kN/cm2

–1,15 –1,76 –2,37 –3,01 –3,50 –3,50 –3,50 –3,50 –3,50 –3,50 –3,50 –3,50 –3,50 –3,50 –3,50

25,00 25,00 25,00 25,00 23,30 18,55 15,16 12,61 10,62 9,02 7,70 6,60 5,67 4,85 4,28

45,7 45,7 45,7 45,7 45,5 45,0 44,7 44,5 44,3 44,1 44,0 43,9 43,8 43,7 43,7

– 3,5

4,278

43,7

ρ2 2,59 1,00 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,07 1,08

2,55 1,00 1,01 1,02 1,04 1,05 1,06 1,08 1,09

1,00 1,02 1,04 1,07 1,09 1,11 1,14 1,17

ξ=

ζ=

kx

kz

ks1

0,04 0,07 0,09 0,11 0,13 0,16 0,19 0,22 0,25 0,28 0,31 0,35 0,38 0,42 0,45

0,98 0,98 0,97 0,96 0,95 0,93 0,92 0,91 0,90 0,88 0,87 0,86 0,84 0,83 0,81

2,22 2,24 2,27 2,29 2,32 2,38 2,43 2,47 2,52 2,56 2,61 2,66 2,71 2,77 2,82

0,45

ks2

Umlagerungsfaktor δzul hohe norm. Duktilität 0,700 0,700 0,700 0,706 0,718 0,731 0,750 0,770 0,793 0,817 0,845 0,877 0,914 0,958 1,000

2,81 2,78 2,76 2,74 2,72 2,70 2,68 2,67 2,65 2,64 2,63 2,62 2,61 2,60 2,59 2,59 2,58 2,57 2,57 2,56 2,55

0,850 0,850 0,850 0,850 0,850 0,850 0,850 0,850 0,850 0,850 0,850 0,877 0,914 0,958 1,000

0,03 0,18 0,31 0,42 0,52 0,62 0,70 0,78 0,84 0,91 Keine 0,97 Umlagerung 1,02 möglich! 1,07 1,12 1,16 1,20 1,24 1,27 1,31 1,34 1,37

Dehnungszustand für Druckbewehrung

Hc=–3,5‰

x Hs=–4,278‰ Hlim=(x/d)lim≤0,45

d

201

Anhang

MEsd [kNm] = MEd [kNm] – NEd [kN] · zs1 [m] kd =

d [cm]

erf As1[cm2 ] = ks1 ⋅

MEds b[m]

MEds [kNm] NSd [kN] ⋅ ρ1 + d[cm] σ s [kN/ cm2 ]

erf As 2 [cm2 ] = ks 2 ⋅

MEds [kNm] ⋅ ρ2 d [cm]

kd-Wert C C C C 35/40 40/50 45/55 50/60

kd* =

5,02 3,55 2,90 2,51 2,25 2,05 1,90 1,78 1,67 1,59 1,51 1,45 1,39 1,34 1,30

4,70 3,32 2,71 2,35 2,10 1,92 1,78 1,66 1,57 1,49 1,42 1,36 1,30 1,26 1,22

4,43 3,13 2,56 2,21 1,98 1,81 1,67 1,57 1,48 1,40 1,33 1,28 1,23 1,18 1,15

4,20 2,97 2,42 2,10 1,88 1,71 1,59 1,49 1,40 1,33 1,27 1,21 1,17 1,12 1,09

1,30 1,26 1,22 1,18 1,15 1,12 1,10 1,07 1,05 1,02 1,00 0,98 0,97 0,95 0,93 0,92 0,90 0,89 0,87 0,86 0,85

1,21 1,17 1,14 1,11 1,08 1,05 1,02 1,00 0,98 0,96 0,94 0,92 0,90 0,89 0,87 0,86 0,84 0,83 0,82 0,81 0,79

1,14 1,11 1,07 1,04 1,02 0,99 0,97 0,94 0,92 0,90 0,89 0,87 0,85 0,84 0,82 0,81 0,80 0,78 0,77 0,76 0,75

1,08 1,05 1,02 0,99 0,96 0,94 0,92 0,90 0,88 0,86 0,84 0,82 0,81 0,79 0,78 0,77 0,75 0,74 0,73 0,72 0,71

εc

εs

σs

‰

‰

kN/cm2

–1,15 –1,76 –2,37 –3,01 –3,50 –3,50 –3,50 –3,50 –3,50 –3,50 –3,50 –3,50 –3,50 –3,50 –3,50

25,00 25,00 25,00 25,00 23,30 18,55 15,16 12,61 10,62 9,02 7,70 6,60 5,67 4,85 4,28

45,7 45,7 45,7 45,7 45,5 45,0 44,7 44,5 44,3 44,1 44,0 43,9 43,8 43,7 43,7

–3,5

4,278

Momentenumlagerung umgelagertes Moment = δ · Ausgangsmoment

43,7

ξ=

ζ=

kx

kz

ks1

0,04 0,07 0,09 0,11 0,13 0,16 0,19 0,22 0,25 0,28 0,31 0,35 0,38 0,42 0,45

0,98 0,98 0,97 0,96 0,95 0,93 0,92 0,91 0,90 0,88 0,87 0,86 0,84 0,83 0,81

2,22 2,24 2,27 2,29 2,32 2,38 2,43 2,47 2,52 2,56 2,61 2,66 2,71 2,77 2,82

0,45

2,81 2,78 2,76 2,74 2,72 2,70 2,68 2,67 2,65 2,64 2,63 2,62 2,61 2,60 2,59 2,59 2,58 2,57 2,57 2,56 2,55

ks2

Umlagerungsfaktor δzul hohe norm. Duktilität 0,700 0,700 0,700 0,706 0,718 0,731 0,750 0,770 0,793 0,817 0,845 0,877 0,914 0,958 1,000

0,850 0,850 0,850 0,850 0,850 0,850 0,850 0,850 0,850 0,850 0,850 0,877 0,914 0,958 1,000

0,03 0,18 0,31 0,42 0,52 0,62 0,70 0,78 0,84 0,91 Keine 0,97 Umlagerung 1,02 möglich 1,07 1,12 1,16 1,20 1,24 1,27 1,31 1,34 1,37

A

202

Anhang

Tafel A4 b

d2 zs2

+MEd

d h

+NEd

zs1

Hc2

x=[·d

As2

d

As 2 [cm2 ] = ρ2 ⋅ k s 2

Fs1d

d [cm] MEds [kNm] / b[m]

mit MEds = MEd − NEd ⋅ zs1

ξ = 0,25

ks1

ks2

12/15 2,85 2,79 2,73 2,67 2,60

(εs1 = 10,5 ‰, εc2 = – 3,5 ‰) kd für Betonfestigkeitsklasse C .... 16/20 20/25 25/30 30/37 35/45 40/50 45/55 2,47 2,21 1,97 1,80 1,67 1,56 1,47 2,42 2,16 1,93 1,76 1,63 1,53 1,44 2,36 2,11 1,89 1,73 1,60 1,49 1,41 2,31 2,07 1,85 1,69 1,56 1,46 1,38 2,26 2,02 1,80 1,65 1,53 1,43 1,35

50/60 1,40 1,37 1,34 1,31 1,28

2,57 2,56 2,56 2,55 2,55

0 0,10 0,20 0,30 0,40

2,54 2,47 2,41 2,34 2,26

2,20 2,14 2,08 2,02 1,96

1,97 1,92 1,86 1,81 1,75

1,76 1,71 1,67 1,62 1,57

1,61 1,56 1,52 1,48 1,43

1,49 1,45 1,41 1,37 1,33

1,39 1,36 1,32 1,28 1,24

1,31 1,28 1,24 1,21 1,17

1,24 1,21 1,18 1,14 1,11

2,54 2,54 2,53 2,53 2,52

0.50 0.60 0,70 0,80 0,90

2,19 2,11 2,03 1,95 1,86

1,90 1,83 1,76 1,69 1,61

1,70 1,64 1,57 1,51 1,44

1,52 1,46 1,41 1,35 1,29

1,38 1,34 1,29 1,23 1,18

1,28 1,24 1,19 1,14 1,09

1,20 1,16 1,11 1,07 1,02

1,13 1,09 1,05 1,01 0,96

1,07 1,04 1,00 0,96 0,91

2,52 2,51 2,51 2,50 2,50

1,00 1,10 1,20 1,30 1,40

Beiwerte ks1 und ks2

As1[cm2 ] = ρ1 ⋅ k s1 ⋅

Fcd

Hs1

kd =

A

Fs2d

+

As1

d1

Beiwerte ρ1, und ρ2

Hs2

–

ξ = 0,25 ρ1 für ks1 =

d2/d

ρ2

εs2 [‰]

0,06 0,08 0,10

2,57 1,00 1,00 1,00

2,54 1,00 1,00 1,01

2,52 1,00 1,01 1,02

2,50 1,00 1,01 1,02

1,00 – 2,66 1,02 – 2,38 1,08 – 2,10

0,12 0,14 0,16 0,18 0,20

1,00 1,00 1,00 1,00 1,00

1,01 1,02 1,02 1,03 1,03

1,03 1,04 1,05 1,06 1,07

1,04 1,05 1,07 1,08 1,10

1,28 1,54 1,93 2,54 3,65

– 1,82 – 1,54 – 1,26 – 0,98 – 0,70

MEds [kNm] NEd [kN] + d [cm] 43,5[kN / cm2 ] M [kNm] ⋅ Eds d [cm]

Dimensionsgebundene Bemessungstafel (kd-Verfahren); Rechteck mit Druckbewehrung (Normalbeton der Festigkeit ≤ C 50/60 mit α = 0,85; ξlim = 0,25; Betonstahl BSt 500 und γs = 1,15)

203

Anhang

fcd = fck/γc

Tafel A5

Diagramm gilt bis C50/60 f mit fcd = ck

γc

und ... Sd = ... Ed

C12/15 C16/20 C20/25 C25/30 C30/37 C35/45 C40/50 C45/55 C50/60

ω tot =

As,tot fyd ⋅ bh fcd

As,tot = As1 + As 2 = ω tot

bh fyd / fcd

fcd

fyd /fcd

8,00 10,67 13,33 16,67 20,00 23,33 26,67 30,00 33,33

54,35 40,76 32,61 26,09 21,74 18,63 16,30 14,49 13,04

A

204

Anhang

μ - Nomogramm

Tafel A6

fcd = fck/γc

1,0 R2-10 bis C50/60 und BSt 500 h1/h = 0,10 an 2 Seiten je As/2 fyd = 435 N/mm2

0,9

0,8 0,0

-0,1 -0,2

5

2

0

-0,6

MSd1

-0,7 0,5

h1

-0,8 -0,9 -1,0 -1,1 -1,2 -1,3 -1,4 -1,5

1,0

0,4

0,3

30

h1

h

MSd1

bezogene Längskraft QSd=NSd/Ac · fcd

0,5

b

1,

l0 /h

1 erf Z (4)

3

l0

bezogenes Moment PSd =MSd1/h ·Ac·fcd

PSd -0,5

0,6

QSd

tot PSd

-0,4

bezogene Stablänge l0 /h

-0,3 2, 0

0,7

NSd

20

0,2

0,1

0,0

bezogene Bewehrungsverhältnis Z=AS/Ac · fyd/fc

10 < 4,3

0,0

Diagramm und Nomogramm gelten bis C50/60 mit fcd =

fcd fyd/fcd

A

C12/15 8,00 54,35

C16/20 10,67 40,76

C20/25 13,33 32,61

C25/30 16,67 29,09

fck

γc

C30/37 20,00 21,74

und ...Sd = ... Ed

C35/45 23,33 18,63

C40/50 26,67 16,30

C45/55 30,00 14,49

C50/60 33,33 13,04

205

Anhang

Tafel A7 Betondeckung Mindestfestigkeitsklasse C16/20

Expositionsklasse XC1

x a b c

XC2 XC3

C16/20 C20/25

XC4

C25/30

XD1, XS1 XD2, XS2 XD3, XS3

C30/37x C35/45x C35/45x

Stab-∅ [mm] 6-10 12 14 16 20 25 28 6-20 25 28 6-25 28 6-28

Δc [mm] 10a

cmin [mm] 10 12 14 16 20 25 28 20 25 28 25 28 40

cnom [mm] 20 25 30 35 40 35c 35 40 40c 40 55c

15a 10b 10b 15a 10b 15a

bei Verwendung von Luftporenbeton eine Festigkeitsklasse niedriger Vorhaltemaß Korrosionsschutz Vorhaltemaß Verbund Verminderung um 5 mm für Bauteile, deren Betonfestigkeitsklasse um 2 Klassen höher ist als die Mindestbetonfestigkeit

Tafel A8 Grundmaß der Verankerungslänge [cm] Betonfestigkeitsklasse

Verbundbereich

C 16/20

I II I II I II I II I II I II I II I II

C 20/25 C 25/30 C 30/37 C 35/45 C 40/50 C 45/55 C 50/60

Stabdurchmesser

6 33 47 28 41 24 35 22 31 19 27 18 25 16 23 15 22

8 43 62 38 54 32 46 29 41 26 37 24 34 22 31 20 29

10 54 78 47 68 40 58 36 52 32 46 29 42 27 39 25 36

Verbundbereich I Verbundbereich II

12 65 93 57 81 48 69 43 62 38 55 35 50 33 47 30 43

14 76 109 66 95 56 81 51 72 45 64 41 59 38 54 35 51

16 87 124 76 108 64 92 58 83 51 73 47 67 43 62 40 58

20 109 155 95 135 81 115 72 104 64 91 59 84 54 78 51 72

25 136 194 118 169 101 144 91 129 80 114 73 105 68 97 63 90

28 152 217 132 189 113 161 101 145 90 128 82 118 76 109 71 101

gute Verbundbedingungen mäßige Verbundbedingungen

32 174 248 151 216 129 184 116 166 102 146 94 134 87 124 81 116

A

206

Anhang

Tafel A9 s in cm 7,5 8,0 8,5 9,0 9,5 10,0 10,5 11,0 11,5 12,0 12,5 13,0 13,5 14,0 14,5 15,0 15,5 16,0 16,5 17,0 17,5 18,0 18,5 19,0 19,5 20,0 20,5 21 21,5 22 22,5 23 23,5 24 24,5 25

A

Querschnitte von Plattenbewehrungen as in cm2/m s = Stababstand n = Stabzahl Stabdurchmesser ds in mm n 6 8 10 12 14 16 20 25 28 je m 3,77 6,70 10,47 15,08 20,52 26,81 41,9 65,4 82,1 13,3 3,53 6,28 9,82 14,14 19,24 25,13 39,3 61,4 77,0 12,5 3,33 5,91 9,24 13,31 18,11 23,65 37,0 57,9 72,5 11,8 3,14 5,59 8,73 12,57 17,10 22,34 34,9 54,5 68,4 11,1 2,98 5,29 8,27 11,90 16,20 21,16 33,1 51,6 64,8 10,5 2,83 5,03 7,85 11,31 15,39 20,11 31,4 49,1 61,6 10,0 2,69 4,79 7,48 10,77 14,66 19,15 29,9 46,6 58,7 9,5 2,57 4,57 7,14 10,28 13,99 18,28 28,6 44,7 56,0 9,1 2,46 4,37 6,83 9,84 13,39 17,49 27,3 42,7 53,6 8,7 2,36 4,19 6,54 9,42 12,83 16,76 26,2 40,8 51,3 8,3 2,26 4,02 6,28 9,05 12,32 16,09 25,1 39,3 49,3 8,0 2,17 3,87 6,04 8,70 11,84 15,47 24,2 37,8 47,4 7,7 2,09 3,72 5,82 8,38 11,40 14,90 23,3 36,3 45,6 7,4 2,02 3,59 5,61 8,08 11,00 14,36 22,4 35,1 44,0 7,1 1,95 3,47 5,42 7,80 10,62 13,87 21,7 33,9 42,5 6,9 1,89 3,35 5,24 7,54 10,26 13,41 20,9 32,7 41,1 6,7 1,82 3,24 5,07 7,30 9,93 12,97 20,3 31,7 39,7 6,5 1,77 3,14 4,91 7,07 9,62 12,57 19,64 30,7 38,5 6,3 1,71 3,05 4,76 6,85 9,33 12,19 19,04 29,7 37,3 6,1 1,66 2,96 4,62 6,65 9,05 11,83 18,48 29,0 36,2 5,9 1,62 2,87 4,49 6,46 8,79 11,49 17,95 28,0 35,2 5,7 1,57 2,79 4,36 6,28 8,55 11,17 17,46 27,3 34,2 5,6 1,53 2,72 4,25 6,11 8,32 10,87 16,98 26,5 33,3 5,4 1,49 2,65 4,13 5,95 8,10 10,58 16,54 25,8 32,4 5,3 1,45 2,58 4,03 5,80 7,89 10,31 16,11 25,2 31,6 5,1 1,41 2,51 3,93 5,65 7,69 10,05 15,72 24,6 30,8 5,0 1,38 2,45 3,83 5,52 7,50 9,80 15,32 23,9 30,0 4,9 1,35 2,39 3,74 5,39 7,33 9,57 14,96 23,4 29,3 4,8 1,32 2,34 3,65 5,26 7,16 9,35 14,61 22,8 28,6 4,6 1,29 2,28 3,57 5,14 7,00 9,14 14,28 22,3 28,0 4,5 1,26 2,23 3,49 5,03 6,84 8,94 13,96 21,8 27,4 4,4 1,23 2,19 3,41 4,92 6,69 8,74 13,66 21,3 26,8 4,3 1,20 2,14 3,34 4,81 6,55 8,56 13,37 20,9 26,2 4,2 1,18 2,09 3,27 4,71 6,41 8,38 13,09 20,4 25,7 4,2 1,15 2,05 3,21 4,61 6,28 8,21 12,82 20,0 25,1 4,1 1,13 2,01 3,14 4,52 6,16 8,04 12,57 19,6 24,6 4,0

Tafel A10 Querschnitte von Balkenbewehrungen As in cm2 Stabanzahl ds in mm 1 2 3 4 5 6 7 8 6 0,28 0,57 0,85 1,13 1,42 1,70 1,98 2,26 8 0,50 1,01 1,51 2,01 2,52 3,02 3,52 4,02 10 0,79 1,57 2,36 3,14 3,93 4,71 5,50 6,28 12 1,13 2,26 3,39 4,52 5,65 6,78 7,91 9,04 14 1,54 3,08 4,62 6,16 7,70 9,24 10,78 12,32 16 2,01 4,02 6,03 8,04 10,05 12,06 14,07 16,08 20 3,14 6,28 9,42 12,56 15,70 18,84 21,98 25,12 25 4,91 9,82 14,73 19,64 24,55 29,46 34,37 39,28 28 6,16 12,32 18,48 24,64 30,80 36,96 43,12 49,28

9 2,55 4,53 7,07 10,17 13,86 18,09 28,26 44,19 55,44

10 2,83 5,03 7,85 11,30 15,40 20,10 31,40 49,10 61,60

11 3,11 5,53 8,64 12,43 16,94 22,11 34,54 54,01 67,76

12 3,40 6,04 9,42 13,56 18,48 24,12 37,68 58,92 73,92

Literatur [1]

[2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11]

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DIN 1045-1, Tragwerke aus Beton, Stahlbeton und Spannbeton – Teil 1: Bemessung und Konstruktion. Juli 2001. mit: Berichtigung 2 zu DIN 1045-1, Juni 2005. DIN 1045, Tragwerke aus Beton und Stahlbeton – Teil 1: Bemessung und Konstruktion. Kommentierte Kurzfassung. Berlin 2005: Beuth. DIN 1055-100, Einwirkungen auf Tragwerke – Teil 100: Grundlagen der Tragwerksplanung, Sicherheitskonzept und Bemessungsregeln. März 2001. DIN 1055-3, Einwirkungen auf Tragwerke – Teil 3: Eigen- und Nutzlasten für Hochbauten. Oktober 2002. Deutscher Ausschuß für Stahlbeton – Heft 525: Erläuterungen zu DIN 1045-1. Berlin 2003: Beuth. Stellungnahme/Auslegungsvorschlag des NABau-Arbeitsausschusses „Bemessung und Konstruktion“. Fortlaufende Ergänzung: www.nabau.din.de Albrecht, U.: Stahlbetonbau nach DIN 1045-1 – Anwendung auf ein Gebäude. Wiesbaden 2005: Teubner. Wendehorst: Bautechnische Zahlentafeln. Wiesbaden 2004: Teubner. Deutscher Beton- und Bautechnik-Verein E.V.: Beispiele zur Bemessung nach DIN 1045-1 – Band 1: Hochbau. Berlin 2001: Ernst & Sohn. Rußwurm, D., Fabritius, E.: Bewehren von Stahlbeton-Tragwerken nach DIN 1045-1: 2001-7. Düsseldorf 2002: Institut für Stahlbetonbewehrung. Deutscher Ausschuß für Stahlbeton – Heft 240: Hilfsmittel zur Berechnung der Schnittgrößen und Formänderungen von Stahlbetontragwerken nach DIN 1045, Ausgabe 07.88. Berlin 1991: Beuth. Albrecht, U.: Querkraftbemessung nach DIN 1045-1: Benutzerfreundliche Darstellung der Nachweise für Stahlbetonbauteile. Beton- und Stahlbetonbau 2003, S. 268-276, Berlin: Ernst & Sohn. Schmitz, U. P., Goris, A.: Bemessungstafeln nach DIN 1045-1. Düsseldorf 2001: Werner.

Sachverzeichnis Einen Überblick über die in den einzelnen Abschnitten geführten Nachweise vermittelt Tabelle 1.1, S. 2 Anwendungsregeln 3 Aufhängebewehrung 155 Begriffe 4 Bemessung –, Biegung 17 –, Biegung mit Längskraft 23 –, Plattenbalken 52 –, Querkraft 19, 24 –, Stützen 77, 81, 85 –, Torsion 178 Bemessungstafeln 197 Beton 9 –, Mindestbetonfestigkeit 11 –, Parabel-Rechteck-Diagramm 9 Betondeckung 11 Betonstahl 10 –, Duktilität 10 –, Spannungs-Dehnungs-Linie 10 Biegeschlankheit 34, 102, 126 Biegung –, Druckzone 18 –, innerer Hebelarm 18 –, mit Längskraft 22 –, Nutzhöhe, statische 17 Bügelabstand –, Querkraft 20 –, Stützen 78 Dauerhaftigkeit 10 Drillbewehrung 137 Druckbewehrung 18, 73 Druckglieder 75 Druckstrebenneigung 20, 141 Druckzone –, Biegung 18 –, Biegung mit Längskraft 24 –, Momenteumlagerung 72 Duktilität 10 –, Betonstahlmatten 40 –, Stabstahl 70 Durchbiegung 126

–, Begrenzung 34 Durchstanzen –, Fundament 91, 95 –, Innenstütze 108 –, Randstütze 117 Einwirkung –, direkte 4 –, indirekte 4 –, kombinationen 84 Elastomerlager 153 Elementplatte 139 Ersatzlänge 76, 83 Ersatzstützweite 34, 102, 126 Expositionsklasse 10 Flachdecke 101 –, Durchstanzen 108, 117 –, Kollapsbewehrung 107 –, Momentenermittlung 103 Formelzeichen 4 Fundament 89 –, Durchstanzen 91, 95 –, gedrungenes 95 –, Momentenermittlung 90 Gitterträger 139 Gurtanschluss 54, 62, 178 Hallenstütze 82 Hebelarm, innerer –, Biegung 18 –, Biegung mit Längskraft 24 –, Konsole 152 –, Querkraft 19 Hochbau, üblicher 5 Hydratationswärme, Abfließen 161 Innenstütze 75 Kollapsbewehrung 107 Kombinationsregeln –, quasi-ständige Lasten 45

210

Sachverzeichnis

–, seltene Kombination 84, 175 Konsole 149 Last, Abminderungsbeiwert 68, 144 Lastausmitte –, Theorie II. Ordnung 86 –, ungewollte 83 –, zweiachsig 86 Lasteinzugsfläche 67, 109, 143 Lastkombinationen 84 Laststellung 40, 42 Mindestbewehrung –, Duktilitätskriterium 44 –, Durchstanzen 115 –, Querkraft 20 –, Rissbreite 162, 169 –, Stützen 82 –, WU-Richtlinie 163 Mindestmoment –, Durchstanzen 114, 120 –, Momentenumlagerung 39, 70 –, Stützen 80 Modellstützenverfahren 86 Momentenumlagerung 39, 70 Nutzhöhe, statische –, Biegung 17 –, Elementplatte 140 Ortbetonergänzung –, Balken 143 –, Platte 139 Platten –, durchlaufende 125, 130 –, vierseitig gelagerte 123 Plattenbalken 51 Plattenbreite, mitwirkende 52 Prinzipien 3

S

Querkraft –, Bemessungswert 29, 60 –, innerer Hebelarm 19 –, Platten 129 –, Vollbelastung 36

Rahmenwirkung 69 Randsparmatten 136 Randstütze 79 Rissbreite –, Begrenzung 45, 161 –, Lastbeanspruchung 167 –, Zwangbeanspruchung 162, 169 Rotationsvermögen 40, 70 Rundschnitt –, äußerer 114, 119 –, kritischer 92, 109, 117 Schlankheit 76, 80 Schubkraft –, Gurtanschluss 54 –, in Fugen 141, 146 Schubkraftaufnahme 140, 146 Sicherheitskonzept 6 Stabwerkmodell 150 Stützmoment, Bemessungswert 28, 59 Teilsicherheitsbeiwert –, Beton 16 –, Betonstahl 16 –, Lasten 34 Theorie II. Ordnung 75, 82, 86 Torsion 173 Trägerende, ausgeklinktes 155 Übergreifungsstoß 65, 78 –, Betonstahlmatten 134 Verankerungslänge –, ausgeklinktes Trägerende 157 –, gestaffelte Bewehrung 64 –, Endauflager 31 –, Grundmaß, Tafel 205 –, Konsole 152 Verbundbewehrung 141 Vergleichsdurchmesser 37 Versatzmaß –, Balken 31, 63 –, Platten 37 Zugkraftdeckung 62 Zwangbeanspruchung 161