Mathematische Physik: Klassische Mechanik

Mathematische Physik: Klassische Mechanik

Andreas Knauf

Mathematische Physik: Klassische Mechanik

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Prof. Dr. Andreas Knauf Department Mathematik FAU Erlangen-Nürnberg Cauerstr. 11 91058 Erlangen Deutschland [email protected]

ISBN 978-3-642-20977-2 e-ISBN 978-3-642-20978-9 DOI 10.1007/978-3-642-20978-9 Springer Heidelberg Dordrecht London New York Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Mathematics Subject Classification (2010): 37N05 c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012  Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Einbandentwurf: WMXDesign GmbH, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem Papier Springer ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media (www.springer.com)

Inhaltsverzeichnis Bemerkungen zur Mathematischen Physik Motive und Ziele . . . . . . . . . . . . . Inhalte des Buches ,Klassische Mechanik’ Inhalte der Lehrbuchreihe . . . . . . . . . Zur Notation . . . . . . . . . . . . . . . . Kleines Englisch-W¨ orterbuch . . . . . . .

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1 Einleitung

xi xi xiii xiv xv xvi 1

2 Dynamische Systeme 2.1 Iterierte Abbildungen, dynamische Systeme . . . . . . . . . . . . 2.2 Stetige dynamische Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Differenzierbare dynamische Systeme . . . . . . . . . . . . . . .

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3 Gew¨ ohnliche Differentialgleichungen 3.1 Definitionen und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Lokale Existenz und Eindeutigkeit der L¨osung . . . . . 3.3 Globale Existenz und Eindeutigkeit der L¨osung . . . . . 3.4 Transformation in ein dynamisches System . . . . . . . 3.5 Das maximale Existenzintervall . . . . . . . . . . . . . 3.6 Der Hauptsatz der Differentialgleichungstheorie . . . . 3.6.1 Linearisierung der DGL entlang einer Trajektorie 3.6.2 Aussage und Beweis des Hauptsatzes . . . . . . 3.6.3 Folgerungen aus dem Hauptsatz . . . . . . . .

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29 30 35 42 45 48 50 51 53 55

4 Lineare Dynamik 4.1 Homogene lineare autonome DGLn . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Explizit zeitabh¨angige lineare DGLn . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Quasipolynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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5 Klassifikation linearer Fl¨ usse 5.1 Konjugationen linearer Fl¨ usse . . . 5.2 Hyperbolische lineare Vektorfelder 5.3 Lineare Fl¨ usse in der Ebene . . . . 5.4 Beispiel: Feder mit Reibung . . . .

73 74 76 80 84

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6 Hamiltonsche Gleichungen und Symplektische Gruppe 6.1 Gradientenfl¨ usse und hamiltonsche Systeme . . . . . . . 6.1.1 Gradienten–Differentialgleichungen . . . . . . . . 6.1.2 Hamiltonsche Systeme . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Die symplektische Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Lineare hamiltonsche Systeme . . . . . . . . . . 6.2.2 Symplektische Geometrie . . . . . . . . . . . . . 6.2.3 Die symplektische Algebra . . . . . . . . . . . . 6.3 Lineare hamiltonsche Systeme . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Harmonische Oszillatoren . . . . . . . . . . . . . 6.3.2 Harmonische Gitterschwingungen . . . . . . . . . 6.3.3 Teilchen im konstanten elektromagnetischen Feld 6.4 Unterr¨aume symplektischer Vektorr¨aume . . . . . . . . . 6.5 * Der Maslov–Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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7 Stabilit¨ atstheorie 7.1 Stabilit¨at linearer Differentialgleichungen . 7.2 Liapunov-Funktionen . . . . . . . . . . . 7.3 Verzweigungen . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1 Verzweigungen von Ruhelagen . . 7.3.2 Verzweigungen periodischer Orbits 7.3.3 Verzweigungen des Phasenraums .

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8 Variationsprinzipien 8.1 Lagrange- und Hamilton–Gleichungen 8.2 Holonome Zwangsbedingungen . . . . 8.3 Das hamiltonsche Variationsprinzip . . 8.4 Die Geod¨atische Bewegung . . . . . . 8.5 Die Jacobi–Metrik . . . . . . . . . . . 8.6 Das fermatsche Prinzip . . . . . . . . 8.7 Die geometrische Optik . . . . . . . .

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9 Ergodentheorie 9.1 Maßerhaltende dynamische Systeme 9.2 Ergodische dynamische Systeme . . 9.3 Mischende dynamische Systeme . . . 9.4 Der birkhoffsche Ergodensatz . . . . 9.5 Der poincar´esche Wiederkehrsatz . .

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10 Symplektische Geometrie 10.1 Symplektische Mannigfaltigkeiten . . . . . 10.2 Lie–Ableitung und Poisson–Klammer . . . 10.3 Kanonische Transformationen . . . . . . . 10.4 Lagrange–Mannigfaltigkeiten . . . . . . . 10.5 Erzeugende kanonischer Transformationen

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11 Bewegung im Potential 11.1 Allgemein g¨ ultige Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1 Existenz des Flusses . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Reversibilit¨at des Flusses . . . . . . . . . . . . . 11.1.3 Erreichbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Bewegung im periodischen Potential . . . . . . . . . . . 11.2.1 Existenz der asymptotischen Geschwindigkeiten . 11.2.2 Verteilung der asymptotischen Geschwindigkeiten 11.2.3 Ballistische und diffusive Bewegung . . . . . . . 11.3 Himmelsmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.1 Geometrie des Kepler–Problems . . . . . . . . . 11.3.2 Zwei Gravitationszentren . . . . . . . . . . . . . 11.3.3 Das n–K¨ orper-Problem . . . . . . . . . . . . . .

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12 Streutheorie 12.1 Potentialstreuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Die Møller-Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . 12.3 Der differentielle Wirkungsquerschnitt . . . . . . . . . . 12.4 Zeitverz¨ ogerung, Radon–Transform., Inverse Streutheorie 12.5 Kinematik der Streuung von n Teilchen . . . . . . . . . 12.6 * Asymptotische Vollst¨andigkeit . . . . . . . . . . . . .

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13 Integrable Systeme und Symmetrien 13.1 Was bedeutet Integrabilit¨at? Ein Beispiel 13.2 Der Satz von Liouville-Arnol’d . . . . . 13.3 Winkel-Wirkungskoordinaten . . . . . . 13.4 Die Impulsabbildung . . . . . . . . . . . 13.5 * Reduktion des Phasenraums . . . . .

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305 306 309 315 322 330

14 Starre und bewegliche K¨ orper 14.1 Bewegungen des Raumes . . . . . . . . . 14.2 Kinematik starrer K¨ orper . . . . . . . . . 14.3 L¨osung der Bewegungsgleichungen . . . . 14.3.1 Kr¨aftefreie Kreisel . . . . . . . . . 14.3.2 Schwere (symmetrische) Kreisel . 14.4 Bewegliche K¨ orper, anholonome Systeme . 14.4.1 Geometrie beweglicher K¨ orper . . 14.4.2 Anholonome Zwangsbedingungen .

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343 344 345 351 352 358 361 361 364

15 St¨ orungstheorie 15.1 Bedingt-periodische Bewegung des Torus . . . 15.2 St¨orungstheorie f¨ ur eine Winkelvariable . . . . 15.3 Hamiltonsche St¨ orungstheorie erster Ordnung 15.4 KAM-Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.4.1 * Ein Beweis des KAM–Satzes . . . . 15.4.2 Maß der KAM–Tori . . . . . . . . . .

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Inhaltsverzeichnis 15.5 Diophantische Bedingung und Kettenbr¨ uche . . . . . . . . . . . 403 15.6 Cantori: Am Beispiel der Standardabbildung . . . . . . . . . . . 408

16 Relativistische Mechanik 16.1 Die Lichtgeschwindigkeit . . . . . . . 16.2 Die Lorentz– und die Poincar´e–Gruppe 16.3 Geometrie des Minkowski–Raumes . . 16.4 Die Welt in relativistischer Sichtweise . 16.5 Von Einstein zu Galilei — und zur¨ uck 16.6 Relativistische Dynamik . . . . . . . .

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411 412 414 419 425 430 435

17 Symplektische Topologie 437 17.1 Das symplektische Kamel und das Nadel¨ohr . . . . . . . . . . . 438 17.2 Der Satz von Poincar´e–Birkhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442 17.3 Die Arnol’d–Vermutung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446 A Topologische R¨ aume und A.1 Topologie und Metrik A.2 Mannigfaltigkeiten . . A.3 Das Tangentialb¨ undel

Mannigfaltigkeiten 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463

B Differentialformen ¨ B.1 Außere Formen . . . . . . . . . . . . . . B.2 Differentialformen auf dem Rn . . . . . . B.3 Integration von Differentialformen . . . . B.4 Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten . B.5 Innere Ableitung und Lie–Ableitung . . . . B.6 Der Satz von Stokes . . . . . . . . . . . . B.7 Das Poincar´e–Lemma . . . . . . . . . . . B.8 de-Rham–Kohomologie . . . . . . . . . .

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471 472 477 482 485 486 489 493 497

C Konvexit¨ at und Legendre–Transformation 500 C.1 Konvexe Mengen und Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 500 C.2 Die Legendre-Fenchel–Transformation . . . . . . . . . . . . . . 501 D Fixpunkt- und Urbilds¨ atze

505

E Gruppentheorie E.1 Gruppen . . . . . . . . E.2 Lie–Gruppen . . . . . . E.3 Lie–Algebren . . . . . . E.4 Lie–Gruppenwirkungen

508 508 511 514 519

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Inhaltsverzeichnis F B¨ undel, Zusammenhang, Kr¨ ummung F.1 Faserb¨ undel . . . . . . . . . . . . . . . . F.2 Zusammenh¨ange auf Faserb¨ undeln . . . . F.3 Distributionen und der Satz von Frobenius F.4 Holonomie und Kr¨ ummung . . . . . . . .

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522 522 526 532 534

G Morse–Theorie 537 G.1 Morse–Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537 G.2 Singul¨are Homologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541 G.3 Geod¨atische Bewegung und Morse–Theorie . . . . . . . . . . . . 545 H L¨ osungen der Aufgaben

552

Literaturverzeichnis

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Namensregister

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Symboltabelle

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Abbildungsnachweis

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Sachregister

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Bemerkungen zur Mathematischen Physik Motive und Ziele The laws of nature are constructed in such a way as to make the universe as ” interesting as possible.” Freeman Dyson, in Imagined Worlds (1997) In der Mathematischen Physik wird versucht, ausgehend von physikalischen Grundgleichungen und -Annahmen (wie der newtonschen Gleichung, der Boltzmann–Verteilung oder der Schr¨ odinger–Gleichung) physikalische Sachverhalte mathematisch abzuleiten. Im Mittelpunkt steht also das physikalische Problem (zum Beispiel die Frage nach der Stabilit¨at des Sonnensystems, dem Grund f¨ ur die Existenz von Kristallen oder der Lokalisierung von Elektronen im amorphen Festk¨orper). Die zur L¨osung des jeweiligen Problems ben¨otigten Methoden lassen sich mehrheitlich Analysis oder Geometrie zuordnen, aber auch algebraische Techniken spielen eine Rolle. In grober Zuordnung entspricht mathematisch der • Klassischen Mechanik die Theorie der gew¨ ohnlichen Differentialgleichungen, • der Quantenmechanik die Funktionalanalysis und • der (klassischen) Statistischen Mechanik die Wahrscheinlichkeitstheorie. Zu einem Zyklus u ¨ber Theoretische Physik geh¨ort aber auch die Elektrodynamik und damit mathematisch gesehen die Theorie der Maxwell–Gleichung, einer linearen partiellen Differentialgleichung. Die Allgemeine Relativit¨atstheorie, eins der Fundamente der modernen Physik, f¨ uhrt wie viele andere Fragestellungen auf eine nichtlineare partielle Differentialgleichung. Die Quantenfeldtheorie beruht auf einer Vielfalt analytischer, geometrischer wie algebraischer Methoden. Bei dieser Uferlosigkeit des Gebietes stellt sich die Frage, wie es m¨oglich ist, hier in vern¨ unftiger Zeit Boden unter den F¨ ußen zu bekommen, und ob sich die Besch¨aftigung mit Mathematischer Physik lohnt. Der vorliegende erste Band des geplanten dreib¨andigen Kurses zur Mathematischen Physik gibt ein Angebot zur ersten Frage. xi

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Bemerkungen zur Mathematischen Physik

Die zweite Frage muß jeder f¨ ur sich entscheiden. Studierende der Mathematik und der Physik haben hier oft unterschiedliche Motive: • In den Kursusvorlesungen der Theoretischen Physik kann ein mathematisch rigoroser Unterbau aus Zeitgr¨ unden nicht geschaffen werden. Notgedrungen werden etwa Schr¨ odinger-Operatoren wie endliche Matrizen behandelt. Hier bietet die Mathematischen Physik eine sinnvolle Erg¨anzung. Der f¨ ur eine h¨ ohere mathematische Genauigkeit zu zahlende Preis besteht darin, dass ein Kurs zur Mathematischen Physik bei Bachelor-regulierter Zeit nicht die gleiche Vielfalt physikalischer Ph¨anomene behandeln kann, wie das in einem Kurs zur Theoretischen Physik m¨ oglich ist. Stattdessen werden begriffliche Grundlagen gekl¨art und exemplarische Modelle untersucht. • Im Mathematik-Studium wird aus gutem Grund eine deduktive Entwicklung mathematischer Begriffe gew¨ahlt. Hier kann die problem- und nicht methodenorientierte Mathematische Physik die praktische Relevanz dieser Begriffe motivieren, etwa die dynamische Bedeutung der Spektralanteile eines selbstadjungierten Operators. Ein weiterer Grund f¨ ur das Interesse an der Mathematischen Physik ist ein Ph¨anomen, das Eugene Wigner zum Titel eines 1960 erschienenen Essays machte, n¨amlich The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences” ” Oder mit Albert Einstein: Wie ist es m¨oglich, daß die Mathematik, die doch ein von aller Erfahrung un” abh¨angiges Produkt des menschlichen Denkens ist, auf die Gegenst¨ande der Wirklichkeit so vortrefflich paßt?” 1 Unmittelbar bezieht sich das Zitat Einsteins auf alle ,Gegenst¨ande der Wirklichkeit’. Aber seine beste Best¨atigung findet es in der Physik. Hier weisen mathematische Strukturen (wie die Differentialgeometrie f¨ ur die Relativit¨atstheorie oder die Gruppentheorie f¨ ur die Quantenfeldtheorie) oft vor experimentellen Beobachtungen den Weg zur angemessenen Theorie.2 Dagegen sind etwa in der Biologie als neuer Leitwissenschaft naturhistorisch entstandene Strukturen entscheidend. Auch wenn sich viele Ph¨anomene mathematisch modellieren lassen, ist die Voraussagekraft der Modelle begrenzt. Gleiches gilt in verst¨arktem Maß etwa f¨ ur die Wirtschaftswissenschaften. Zwar l¨aßt sich auch die Vielfalt technischer Erfindungen in mathematischer Sprache beschreiben, auch hier wird mehr problem- als methodenorientiert gearbeitet. Ein Unterschied liegt aber in der Zielsetzung. Ziel Mathematischer Physik ist zun¨achst Erkenntnis von Naturvorg¨angen, w¨ahrend es in der Technomathematik letztlich um die Simulation und Optimierung von Strukturen und Prozessen geht. 1 A. Einstein: Geometrie und Erfahrung. Festvortrag, gehalten an der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, am 27. Januar 1921. Berlin: Julius Springer 1921. 2 Dass umgekehrt ,physikalische Beweise’ mathematischer Sachverhalte m¨ oglich sind, zeigt auf sehr unterhaltsame Weise das Buch [Lev] von Mark Levi.

Bemerkungen zur Mathematischen Physik

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Inhalte des Buches ,Klassische Mechanik’ Als μηχαν η´ (mˆechanˆe) bezeichnet man vorwissenschaftlich im Griechischen ” eine Konstruktion, einen Kunstgriff oder auch einen — illegitimen — Trick. Wenn griechische Staatsvertr¨age hinterlistiges Verhalten ausschließen wollten, verboten sie den Einsatz von τ ´χνη (technˆe) oder mˆechanˆe, von Hinterlist und T¨ucke.” [Me], Seite 129 Dies ist der erste Band der geplanten dreib¨andigen Lehrbuchreihe zur Mathematischen Physik. Die logischen Beziehungen zwischen den Kapiteln dieses Buches werden in erster N¨aherung durch den folgenden Baum dargestellt. 2: Dynamische Systeme

3: Gew¨ ohnliche Differentialgleichungen

4: Lineare Dynamik

6: Hamiltonsche Gleichungen und Symplektische Gruppe

5: Klassifikation linearer Fl¨ usse

7: Stabilit¨ atstheorie

8: Variationspr.

13: Integrable Systeme

10: Symplektische Geometrie

14: Der starre K¨ orper

9: Ergodentheorie

17: Symplektische Topologie

11: Potentialbew.

16: Relativistik

12: Streutheorie

15: St¨ orungstheorie

Einer vierst¨ undigen Vorlesung kann beispielsweise (falls Grundkenntnisse u ¨ber gew¨ohnliche Differentialgleichungen vorausgesetzt werden k¨onnen) die folgende Stoffauswahl zugrunde gelegt werden: • Kapitel 2: Dynamische Systeme • Kapitel 6: Hamiltonsche Gleichungen und Symplektische Gruppe • Kapitel 8: Variationsprinzipien • Kapitel 9: Ergodentheorie • Kapitel 10: Symplektische Geometrie • Kapitel 13: Integrable Systeme Erg¨anzend zu den Anh¨angen dieses Buches sei das Taschenbuch der Mathematik [Zei] von Eberhard Zeidler [Hg] empfohlen.

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Bemerkungen zur Mathematischen Physik

Inhalte der Lehrbuchreihe Die geplante Lehrbuchreihe eignet sich als Basis einer dreisemestrigen vierst¨ undigen Vorlesung zur Mathematischen Physik, wie sie an mehreren deutschsprachigen Universit¨aten angeboten wird. Mit dieser Beschr¨ankung des Stoffes ist eine Integration in das Lehrangebot der Mathematik oder der Physik realisierbar. Zus¨atzlich sind die drei B¨ande weitgehend unabh¨angig voneinander, wodurch sie leichter in eine andere Unterrichtsplanung integriert werden k¨onnen. Explizit vorausgesetzt werden nur die Vorlesungen zur Analysis und zur Linearen Algebra. Anh¨ange fassen die wichtigsten Voraussetzungen etwa aus Differentialgeometrie, Gruppentheorie, Topologie und Wahrscheinlichkeitstheorie zusammen. Essentials etwa aus der Theorie gew¨ ohnlicher Differentialgleichungen oder der Funktionalanalysis werden an Ort und Stelle eingef¨ uhrt. Bei entsprechenden Vorkenntnissen k¨ onnen die entsprechenden Kapitel ausgelassen werden. Die B¨ande eignen sich auch zum Selbststudium. Die geplante Lehrbuchreihe kann vorhandene Literatur wie etwa die bekannten vierb¨andigen Werke ,Methods of Modern Mathematical Physics’ von M. Reed und B. Simon oder ,Lehrbuch der Mathematischen Physik’ von W. Thirring nicht ersetzen. W¨ahrend Ersteres wegbereitend f¨ ur die Mathematisierung der Quantenmechanik war, spannte das zweite Werk einen Bogen von den Grundgleichungen bis zum Beweis von Eigenschaften physikalisch realistischer Modelle. Es wird hier ein etwas geringeres mathematisches Ausgangsniveau vorausgesetzt, gleichzeitig aber versucht, die Breite aktueller Fragestellungen abzubilden und Voraussetzungen f¨ ur das Verst¨andnis spezialisierterer Literatur zu schaffen. Die durch einen Stern (*) gekennzeichneten Kapitel sind mathematisch anspruchsvoller, werden aber im Weiteren nicht vorausgesetzt. ¨ Die (in diesem Band u werden teilweise durch ¨ber 100) Ubungsaufgaben L¨ osungstipps erg¨anzt, denn sie variieren stark in ihrem Schwierigkeitsgrad. In einem Anhang findet man die L¨ osungen. Die (f¨ ur den vorliegenden Band etwa 340) Illustrationen sind – soweit m¨ oglich – quantitativ exakt. Danksagung Die geplante Lehrbuchreihe hat ihren Ursprung im Vorlesungszyklus ,Mathematische Physik’, der von Ruedi Seiler am Fachbereich Mathematik der TU Berlin etabliert wurde. Ihm verdanke ich und verdankt die Lehrbuchreihe sehr viel. Robert Schrader, der am Fachbereich Physik der FU Berlin meine Diplomarbeit und Dissertation betreute, hat meine Sicht der Mathematischen Physik entscheidend geformt. Ich danke Frau Irmgard Moch, die in detektivischer Arbeit meine Handschrift entzifferte und dieses Buch schrieb. Christoph Schumacher hat unter Anderem mehrere Aufgaben beigetragen. Viviane Baladi, Tanja Dierkes, Jacques F´ejoz, Herbert Lange, Zhiyi Tang, Stefan Teufel, Stephan Weis sowie zahlreiche weitere Kolleginnen und Kollegen fanden Fehler im Manuskript oder trugen anderweitig zu seiner Verbesserung bei. Frau Herrmann und Herrn Heine vom Springer–Verlag danke ich f¨ ur ihre freundliche Hilfe bei der Ver¨ offentlichung des Buches. Alle Fehler gehen nat¨ urlich auf mein Konto. F¨ ur entsprechende Hinweise bin ich dankbar. Erlangen, im Mai 2011, A.K.

Bemerkungen zur Mathematischen Physik

xv

Zur Notation Teilmengen: Sind A und B Mengen, dann heißt A Teilmenge von B (in Zeichen A ⊆ B), wenn gilt: x ∈ A ⇒ x ∈ B. Insbesondere gilt B ⊆ B. Die echte Inklusion A  B bedeutet, dass A ⊆ B, aber A = B gilt. In der mathematischen Literatur findet man auch das Teilmengenzeichen A ⊂ B. Dies benutzen wir statt ⊆ als Hinweis auf eine echte Teilmenge. Potenzmengen: Ist A eine Menge, dann ist die Potenzmenge von A 2A := {B | B ⊆ A}. Synonym findet man auch die Notationen P(A) und P(A). Funktionen: F¨ ur f : M → N und A ⊆ M ist f (A) := {f (a) | a ∈ A}. F¨ ur B ⊆ N ist f −1 (B) := {m ∈ M | f (m) ∈ B}. F¨ ur b ∈ N ist f −1 (b) := −1 f ({b}). Zahlen: Menge N = {1, 2, . . .} der nat¨ urlichen Zahlen, N0 = {0, 1, 2, . . .}, Ring Z = {0, 1, −1, 2, −2, . . .} der ganzen Zahlen. K¨orper Q, R, C der rationalen, reellen beziehungsweise komplexen Zahlen. F¨ ur einen K¨orper K bedeutet K∗ die multiplikative Gruppe K∗ := K \ {0}, und R+ := {x ∈ R | x > 0} = (0, ∞). Intervalle: F¨ ur a, b ∈ R, a < b ist (a, b) := {x ∈ R | x > a, x < b}

, (a, b] := {x ∈ R | x > a, x ≤ b}

etc.

(Synonym findet man auch die Notation ]a, b[= (a, b), ]a, b] = (a, b] etc.) Matrizen: Mat(m × n, K) bezeichnet den K–Vektorraum der m × n–Matrizen mit Eintr¨agen aus dem K¨ orper K, und Mat(n, K) den Ring Mat(n × n, K). Sph¨ aren und Kugeln: F¨ ur d ∈ N0 ist S d := {x ∈ Rd+1 | x = 1} = ∂B d+1 , also Rand der abgeschlossenen Vollkugel Brd := {x ∈ Rd | x ≤ r} vom Radius r > 0, und B d := B1d . Wir schreiben S 1 ⊂ C f¨ ur {c ∈ C | |c| = 1}, aber auch S 1 := R/Z (mit der Identifikation [x] → exp(2πix)) f¨ ur die multiplikative bzw. additive Gruppe. Das griechische Alphabet: a) Kleinbuchstaben α β γ δ , ε

Alpha Beta Gamma Delta Epsilon

ζ η θ,ϑ ι κ

Zeta Eta Theta Jota Kappa

λ μ ν ξ o

Lambda My Ny Xi Omikron

π ρ, σ,ς τ υ

Pi Rho Sigma Tau Ypsilon

φ, ϕ χ ψ ω

Phi Chi Psi Omega

Ω

Omega

b) Großbuchstaben (soweit verschieden von den lateinischen) Γ Δ

Gamma Delta

Θ Λ

Theta Lambda

Ξ Π

Xi Pi

Σ Υ

Sigma Ypsilon

Φ Ψ

Phi Psi

xvi

Bemerkungen zur Mathematischen Physik

Kleines Englisch-W¨ orterbuch abelian absolute value acceleration accumulation point angular momentum area assertion associativity as. completeness asymptotic value average ball barycenter bifurcation billiard bound bounded box bundle cardinality cartesian product centroid chain rule circle closed complete conditionally periodic connected connection constraint continuity convergent convolution countable covering critical point critically damped cross section curvature degree derivative disjoint disk distance divergent domain empty set equilibrium equivalence class escape time expectation value fibre field fixed point flow force forced oscillation friction function golden ratio/mean graph group group action ill-posed

abelsch Betrag Beschleunigung H¨ aufungspunkt Drehimpuls Fl¨ ache Aussage Assoziativit¨ at as. Vollst¨ andigkeit Grenzwert Mittelwert Vollkugel Schwerpunkt Verzweigung Billard Schranke beschr¨ ankt W¨ urfel B¨ undel M¨ achtigkeit kartesisches Produkt Schwerpunkt Kettenregel Kreislinie abgeschlossen vollst¨ andig bedingt-periodisch zusammenh¨ angend Zusammenhang Zwangsbedingung Stetigkeit konvergent Faltung abz¨ ahlbar ¨ Uberlagerung Ruhelage; kr. Punkt Aperiodischer Grenzfall Wirkungsquerschnitt Kr¨ ummung Abbildungsgrad Ableitung disjunkt Kreisscheibe Abstand divergent Definitionsbereich leere Menge Ruhelage ¨ Aquivalenzklasse Fluchtzeit Erwartungswert Faser K¨ orper Fixpunkt Fluss Kraft erzwungene Schwingung Reibung Funktion Goldener Schnitt Graph Gruppe Gruppenwirkung schlecht gestellt

image imaginary part imgaginary unit inequality initial condition intersection interval inverse mapping limit linking number manifold map measure metric metric space mixing moment of inertia momentum monotonous neighborhood numbers - complex - integer - irrational - natural - rational - real one-to-one onto open order overdamped partition proposition power series power set primes principal bundle proper map real part relation residue class ring root scattering section semicontinuous sequence set sign solution speed stable subsequence subset theorem time delay time reversal triangle inequality underdamped union unit velocity well defined

Bild Imagin¨ arteil imagin¨ are Einheit Ungleichung Anfangsbedingung Durchschnitt Intervall Umkehrabbildung Limes Verschlingungszahl Mannigfaltigkeit Abbildung, Karte Maß Metrik metrischer Raum mischend Tr¨ agheitsmoment Impuls monoton Umgebung Zahlen - komplexe - ganze - irrationale - nat¨ urliche - rationale - reelle injektiv surjektiv offen Ordnung Kriechfall Zerlegung Satz Potenzreihe Potenzmenge Primzahlen Hauptfaserb¨ undel eigentliche Abb. Realteil Relation Restklasse Ring Wurzel Streuung Schnitt halbstetig Folge Menge Signum L¨ osung Betrag der Geschw. stabil Teilfolge Teilmenge Satz Zeitverz¨ ogerung Zeitumkehr Dreiecksungleichung Schwingfall Vereinigung Einheit Geschwindigkeit wohldefiniert

Kapitel 1

Einleitung

Newtons eigenes Exemplar der ersten Auflage seines Buches Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, mit handschriftlichen Korrekturen f¨ ur die zweite Auflage.

Wie alles anfing Und nachdem ihm gesagt worden war, er m¨oge die Wahrheit sagen, sonst ” werde man zur Folter schreiten, Antwortete er: Ich bin hier, um Gehorsam zu leisten, und ich habe besagte Meinung nach der getroffenen Entscheidung nicht aufrechterhalten”. Gerichtsprotokoll des Heiligen Offiziums der Inquisition zum Fall Galilei (1633) 1 Gut f¨ unfzig Jahre vergingen zwischen Galileis Verurteilung und dem Erscheinen der Principia Newtons. In dieser Zeit etablierte sich die moderne Naturforschung, mit der Klassischen Mechanik als Leitwissenschaft. Wir beginnen diese 1 Zitiert

nach Sobel [Sob2], Seite 289.

A. Knauf, Mathematische Physik: Klassische Mechanik, Springer-Lehrbuch Masterclass, c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012 DOI 10.1007/978-3-642-20978-9 1, 

1

2

1. Einleitung

Einf¨ uhrung mit der L¨ osung der Bewegungsgleichung f¨ ur die Planeten, also der Best¨atigung und Pr¨azisierung des heliozentischen Weltbilds von Galileo Galilei. Sowohl die Untersuchung von Differentialgleichungen als auch die physikalisch begr¨ undete Himmelsmechanik gehen auf Isaac Newton (1643–1727) zur¨uck. • Der Mathematiker Newton ist (zusammen mit Leibniz) als Begr¨under der Differentialrechnung bekannt. • Der Physiker Newton gab dem Gesetz Kraft

=

Masse

×

Beschleunigung

(1.1)

seinen Namen. Diese beiden T¨atigkeitsfelder Newtons h¨angen miteinander zusammen. Ist n¨amlich • x(t) ∈ R3 der Ort eines Massenpunktes zur Zeit t ∈ R, dann sind (in 3 Newtons Schreibweise f¨ ur Zeitableitungen) x(t) ˙ = dx dt (t) ∈ R seine Ged2 x 3 schwindigkeit und x ¨(t) = dt2 (t) ∈ R seine Beschleunigung zu diesem Zeitpunkt. • Andererseits kann die Kraft F von Ort und Geschwindigkeit des Teilchens und auch direkt von der Zeit abh¨angen, sodass Gleichung (1.1) die Form F (x, x, ˙ t) = m¨ x besitzt. Dabei ist die Kraftfunktion F als bekannt vorausgesetzt. Dies ist ein Beispiel einer Differentialgleichung, denn es handelt sich um eine Gleichung, die von der gesuchten, hier vektorwertigen Funktion t → x(t) und ihren Ableitungen erf¨ ullt wird. Beispielsweise wirkt auf die Erde (mit demMittelpunkt 2 bei x, der Masse m > 0, und mit der euklidischen Norm x = x21 + x22 + x23 ) die Kraft F (x) = −mγ

x

x 3

wobei vereinfachend vorausgesetzt wird, dass die Sonne im Ursprung des Koordinatensystems ruht. Eine genauere Behandlung zeigt, dass sich das echte 2–K¨ orperproblem, bei dem Erde und Sonne sich um ihren gemeinsamen Schwerpunkt bewegen, auf das diskutierte



 x ∈ R3 \{0} ,

(1.2)

Kraft Sonne Geschwindigkeit Erde Schwerpunkt

2 In Aufgabe 12.37 auf Seite 289 wird gezeigt, dass f¨ ur eine zentralsymmetrische Masseverteilung die Gravitation so wirkt, als ob die Masse im Mittelpunkt konzentriert w¨ are.

1. Einleitung

3

Zentralkraftproblem reduzieren l¨asst, wenn man statt der Erdmasse m die reduzierte Masse mM/(m + M ) einsetzt 3 . Die positive Konstante γ ist das Produkt von Gravitationskonstante und Sonnenmasse. Gleichung (1.1) besitzt hier also nach K¨ urzung durch m die Form x x ¨ = −γ x 3 .

(1.3)

Newton l¨oste diese Differentialgleichung und leitete damit die bisher nur empirisch aus den Beobachtungsdaten abgelesenen keplerschen Gesetze der Planetenbewegung aus dem mechanischen Grundgesetz (1.1) und (1.2) ab. Dies war der erste Triumph der neuen Naturwissenschaft — 1687 in seinem Hauptwerk Philosophiae naturalis principia mathematica”(kurz: Principia) [Ne] ” ver¨offentlicht. Newton war sich der Bedeutung seiner Erkenntnis bewusst, und da er außer zu Mathematik und Physik auch zum Geheimnisvollen und Mystischen neigte, verschl¨ usselte er einen lateinischen Satz in einem Anagramm4 . Der Satz lautete, frei u ¨bersetzt: Es ist n¨ utzlich, Differentialgleichungen zu l¨osen.” ”

Ableitung der keplerschen Gesetze Wir wollen Newtons Rat folgen und (1.3) l¨ osen. 1. Als erstes stellen wir fest, dass der Planet f¨ ur alle Zeiten in der durch seinen Anfangsort und seine Anfangsgeschwindigkeit aufgespannten Bahnebene 5 bleibt, denn x×x d [x × x] ˙ = x˙ × x˙ + x × x ¨ = x˙ × x˙ − γ = 0, dt

x 3

(1.4)

der auf dieser Ebene senkrechte Vektor x(t) × x(t) ˙ ∈ R3 ist also zeitlich konstant. 2. Nun ist es n¨ utzlich, den Ort x(t) in dieser Bahnebene durch eine komplexe Zahl z(t) zu beschreiben, wobei z(t) := x1 (t) + ix2 (t), falls ohne Einschr¨ankung x × x˙ in 3–Richtung weist. Damit ist in Polarkoordinaten z(t) = r(t)eiϕ(t) , also   ¨ eiϕ . z˙ = (r˙ + i rϕ)e ˙ iϕ und z¨ = r¨ − rϕ˙ 2 + i(2r˙ ϕ˙ + rϕ) Nach Division durch eiϕ und Trennung von Real- und Imagin¨arteil f¨ uhrt die newtonsche Kraftgleichung z¨ = −γ |z|z 3 damit zu den beiden verkoppelten 3 Siehe

Beispiel 12.39 auf Seite 291. nach der Einleitung des Buches [Ar3] von Arnol’d. Interessante biographische Notizen zu Newton findet man in [Ar6]. 5 Falls x ˙ parallel zu x ist, erhalten wir statt einer Ebene eine Gerade. 4 Zitiert

4

1. Einleitung reellen Differentialgleichungen (I): r¨ − rϕ˙ 2 +

γ =0 , r2

(II): 2r˙ ϕ˙ + rϕ¨ = 0.

(1.5)

d (r 2 ϕ) ˙ = r(2r˙ ϕ˙ + rϕ) ¨ = 0 ist  := r 2 ϕ˙ = const eine Konstante 3. Wegen dt der Bewegung. Die Multiplikation dieser Gr¨ oße mit der Masse m des Planeten ergibt definitionsgem¨aß den Drehimpuls. Dieser ist also zeitlich konstant.

4. Substitution von ϕ˙ = /r2 in (I) ergibt die Gleichung r¨ −

γ 2 + 2 = 0. r3 r

Auch hier l¨asst sich eine Konstante der Bewegung finden, denn mit 2 γ und H (r, r) − ˙ := 12 r˙ 2 + U (r) 2r 2 r     2 d ˙ = r˙ r¨ − r 3 + rγ2 = 0, H r(t), r(t) ist dt     sodass H zeitlich konstant ist: H r(t), r(t) ˙ = H r(0), r(0) ˙ =: E. Physikalisch wird E m als die Gesamtenergie des Planeten interpretiert, und alle reellen Zahlen treten als Energiewerte auf. U (r) :=

5. Nun sind wir zun¨achst weniger an der L¨ osung der Differentialgleichung  (1.6) r˙ = ± 2(E − U (r)), also der Zeitabh¨angigkeit des Radius interessiert, als an der Bahnform R(ϕ) := r(t(ϕ)). Wir k¨onnen zu ϕ als unabh¨angiger Variable u ¨bergehen, wenn wir voraussetzen, dass  = r 2 ϕ˙ = 0 ist. Dann ergibt sich aus (1.6) ±R2 r˙ dR = = dϕ ϕ˙



2(E − U (R)) 

oder durch Separation der Variablen und Einsetzen von U    dR  = dϕ = ϕ − ϕ0 . ±R 2ER2 + 2γR − 2  Mit den Konstanten e := 1 + der linken Seite umformen:

2E2 γ2

und p := 2 /γ l¨asst sich der Integrand

 p/R  = . 2 2 2 2 e R − (p − R)2 R 2ER + 2γR − 

1. Einleitung

5 

Laut Integraltabelle ist arccos

p/R(ϕ)−1 e

R(ϕ) =



= ϕ − ϕ0 oder

p . 1 + e cos(ϕ − ϕ0 )

(1.7)

Dies ist aber die Gleichung eines Kegelschnittes, wobei die Konstante e als Exzentrizit¨at und p als Parameter des Kegelschnittes bezeichnet wird. Der Winkel ϕ − ϕ0 heißt in der astronomischen Literatur wahre Anomalie.

Ergebnisse 1. Es ergibt sich f¨ ur Energien • E < 0 : 0 ≤ e < 1 (Ellipse)

, mit dem Kreis f¨ ur e = 0

• E = 0 : e = 1 (Parabel) • E>0: e>1

(Hyperbel)

Damit haben wir das erste Keplersche Gesetz abgeleitet.

Parabel Kraft Geschwindigkeit Massenpunkt Schwerpunkt

Hyperbel Kraft

Geschwindigkeit

Massenpunkt Schwerpunkt

2. Das zweite Keplersche Gesetz besagt, dass die Verbindungsstrecke zwischen Sonne und Planet in gleichen Zeiten gleiche Fl¨achen u ¨berstreicht. ˙ denn die im Zeitintervall [t1 , t2 ] Es ergibt sich aus der Konstanz von  = r 2 ϕ, u ¨berstrichene Fl¨ache ist  ϕ2  t2 dϕ 2 1 1 R(ϕ) dϕ = r(t)2 (t) dt = 12  (t2 − t1 ). 2 2 dt ϕ1 t1 3. Ebenso best¨atigen wir das dritte Keplersche Gesetz, nach dem sich die Quadrate der Umlaufzeiten6 wie die dritten Potenzen der großen Halbachsen verhalten. Wir substituieren f¨ ur eine L¨ osung t → x(t) der Kraftgleichung (1.3) X(t) := cx x(t/ct ), mit positiven Parametern cx und ct . Genau f¨ ur c2t = c3x erf¨ ullt die 2 d2 X Kurve t → X(t) wieder die Kraftgleichung, denn dt2 (t) = ccx2 ddt2x (t) und X X3

x = c−2 x x3 .

t

Dies beweist das Gesetz f¨ ur gr¨ oßenskalierte Orbits gleicher Form. 6 Merkregel

f¨ ur die zu quadrierende Gr¨ oße: Times Square.

6

1. Einleitung

1.1 Aufgabe (Drittes Keplersches Gesetz) Zeigen Sie, dass die Umlaufzeit auf einer Kepler–Ellipse nur von deren großer Halbachse abh¨angt7 . Tipp: Zeigen Sie zun¨achst, dass (a) mit den Minimal- und Maximalabst¨anden rmin := R(ϕ0 ), rmax := R(ϕ0 + π) die L¨ange der großen Halbachse gleich dem arithmetischen Mittel a := 12 (rmin + rmax ), die der kleinen Halbachse gleich dem geometrischen Mittel b := (rmin rmax )1/2 ist;

b

p

a

rmax

rmin

(b) Wegen des zweiten Keplerschen Gesetzes die Umlaufzeit gleich 2πab/ ist. −1 (c) Benutzen sie dann die Beziehung 2 = γ 2 e2E zwischen Drehimpuls und Exzentrizit¨at. 3 2

Wir haben also die Differentialgleichung des Kepler–Problems gel¨ost. Ohne dass dies vielleicht klar wurde, profitierten wir von der Symmetrie des untersuchten Systems, n¨amlich der Invarianz von (1.3) unter den orthogonalen Transformationen des R3 , indem wir feststellten, dass bestimmte Gr¨ossen zeitlich konstant sind, und damit die Zahl der Variablen reduzieren konnten. Die newtonsche Gleichung mit einer Zentralkraft ist immer integrabel. In (1.2) kommen maximal zweite zeitliche Ableitungen von x vor, und entsprechend m¨ ussen als Anfangswerte zur Zeit 0 Anfangsort x(0) ∈ R3 und Anfangsgeur alle Zeiten eine schwindigkeit x(0) ˙ ∈ R3 vorgegeben werden. Dann existiert f¨ eindeutige L¨osung von (1.3) (außer f¨ ur den bei linearer Abh¨angigkeit von x(0) und x(0) ˙ auftretenden Fall der Kollision mit der Zentralmasse bei x = 0).

Das n-K¨ orper-Problem Diesem Erfolg Newtons steht aber ein Misserfolg gegen¨ uber. Verallgemeinert kann man die Bewegung von n Massenpunkten untersuchen, die sich gegenseitig anziehen. Man stelle sich zum Beispiel das Sonnensystem mit Sonne und Planeten vor. Da die Kraft auf den i–ten Himmelsk¨ orper mit Position qi ∈ R3 gleich dem Produkt aus seiner Masse mi und seiner Beschleunigung q¨i ist, ergibt sich 8 mit 7 Aus den Formeln f¨ ur die Halbachsen folgt, dass ihr Quotient b/a gleich 1 + O(e2 ) ist, w¨ ahrend der Quotient von rmin und rmax von der Exzentrizit¨ at e in der Form 1−e = 1 − 2e + 1+e

angt. Planetenbahnen mit ihren Exzentrizit¨ aten e < 14 sind also in erster N¨ aherung O(e2 ) abh¨ Kreise, wobei die Sonne um die Ordnung e aus dem Mittelpunkt verschoben ist. Die abgebildete Ellipse hat die Exzentrizit¨ at e = 12 , die Erde e = 0.017. 8 in Einheiten, in denen die Gravitationskonstante Eins ist.

1. Einleitung

7

(1.1) und (1.2) das Differentialgleichungssystem q¨i =

j=i

mj

qj − qi

qj − qi 3

(i = 1, . . . , n).

(1.8)

Daß die Planeten so viel leichter als die Sonne sind, f¨ uhrt zwar dazu, dass die N¨aherungsl¨osung des Zwei-K¨ orperproblems so pr¨azise ist. Jupiter — der schwerste Planet — ist aber immerhin knapp 1/1000 so schwer wie die Sonne. Man kann also erwarten, dass schon nach ca. 1000 Jahren seine Anwesenheit die Erdbahn merklich beeinflusst. Die L¨osung des n¨achst einfachen Problems von drei K¨ orpern w¨are f¨ ur uns also von besonderer Bedeutung. Das 3–K¨orperproblem widerstand aber in den 200 auf das Erscheinen der ,Principia’ folgenden Jahren allen L¨ osungsversuchen 9 . 1885 wurde dem franz¨ osischen Mathematiker Henri Poincar´e ein von K¨onig Oskar II. von Schweden auf die L¨ osung dieses Problems ausgesetzter Preis verliehen. Poincar´e hatte das Problem aber nicht allgemein gel¨ost, sondern Indizien daf¨ ur gefunden, dass L¨ osungsans¨atze divergieren mussten (Diacu und Holmes erz¨ahlen in [DH] die interessante Geschichte). 1.2 Bemerkung (Dreik¨ orperproblem) Tats¨achlich sind die Bahnformen schon des sogenannten restringierten Dreik¨ orperproblems (bei dem sich ein Satellit mit verschwindend kleiner Masse im Gravitationsfeld zweier um ihren Schwerpunkt kreisenden Himmelsk¨ orpern bewegt), sehr kompliziert. In der nebenstehenden numerischen L¨osung der Differentialgleichung sieht man eine Bahnform des Satelliten im mitgedrehten Koordinatensystem, in dem die Orte der beiden Himmelsk¨ orper fix sind. 3 Die Feststellung Poincar´es leitete eine neue Epoche ein, in der mehr Gewicht auf qualitative Eigenschaften von Differentialgleichungen gelegt wurde. Beispielsweise wird gefragt, ob das Sonnensystem stabil ist oder nicht, ob ohne Reibungskr¨afte Himmelsk¨orper eingefangen werden k¨ onnen etc. Beide Typen von Fragen, die nach den expliziten L¨ osungen von Differentialgleichungen und die nach ihren qualitativen Eigenschaften, werden im Buch ihren Platz haben.

Zwangsbedingungen und Reibung Ziel der Klassischen Mechanik ist es also, aus der Form der zwischen den Massenk¨orpern wirkenden Kr¨afte auf die Gestalt ihrer Bewegungen zu schließen. Eine erste Teilaufgabe besteht darin, die Bewegungsgleichung aufzustellen. 9 Siehe

Kapitel 11.3, beginnend auf Seite 238.

8

1. Einleitung

Stellen wir uns etwa die Bewegungen eines Balls vor. Zwar besteht dieser aus einer riesigen Zahl von Atomen. Insoweit deren Abst¨ande aber zeitlich konstant sind, der Ball also als ein sogenannter starrer K¨orper aufgefasst werden kann, reichen sechs Gleichungen zweiter Ordnung aus, um seine Bewegung im Raum zu beschreiben. Davon beschreiben drei die Lage seines Schwerpunktes und drei die Drehung gegen¨ uber seiner Ausgangslage 10 . Rollt der Ball auf einer Unterlage, wird durch diese Zwangsbedingung die Zahl dieser Freiheitsgrade um Eins erniedrigt. Rollt er ohne Schlupf, dann ist eine Schwerpunktbewegung nur bei gleichzeitiger Drehung m¨oglich. Eine Frage ist, ob der Ball durch geeignete Bewegungen jede vorgegebenen Punkt in seinem Konfigurationsraum erreichen kann. W¨ahrend im Fall der Bewegung der Erde um die Sonne in guter N¨aherung von Reibung abgesehen werden konnte, ist dies f¨ ur den auf der Erde rollenden Ball nicht der Fall. Hier ist die Abbremsung proportional zur Geschwindigkeit. Der Ball gibt im Lauf der Zeit durch Reibung Energie an seine Umgebung ab und kommt daher allm¨ahlich zur Ruhe. Wir werden uns zwar vorzugsweise mit hamiltonschen Systemen herumschlagen, bei denen die Energie eine zeitlich erhaltene Gr¨oße ist. Wir werden dabei sehen, dass diese eine geometrische Beschreibung zulassen, wobei diese sogenannte symplektische Geometrie des Phasenraums sich wesentlich von der gewohnteren riemannschen Geometrie unterscheidet. Trotzdem wollen wir auch, und gerade am Anfang, allgemeinere dynamische Systeme, zum Beispiel solche mit Energieverlust, betrachten. Nur so k¨onnen wir die Besonderheit der hamiltonschen Dynamik richtig erkennen.

Diskrete dynamische Systeme Ein letztes Beispiel: In der Hochenergiephysik werden Teilchen auf hohe Energien beschleunigt, um sie dann kollidieren zu lassen. Aus verschiedenen Gr¨ unden m¨ ochte man die Teilchen oft nicht sofort zur Kollision bringen. Daher werden Speicherringe verwandt, in denen die bis fast auf Lichtgeschwindigkeit beschleunigten Teilchen durch ein Magnetfeld auf eine Kreisbahn gezwungen werden (der abgebildete Speicherring steht in Melbourne). Ein konstantes Magnetfeld erzeugt eine spiralf¨ormige Bahn, wobei die Geschwindigkeitskomponente in Magnetfeldrichtung konstant ist 11 . Nach wenigen Uml¨aufen w¨ urden die geladenen Teilchen daher den Speicherring verlassen. Daher werden kompliziertere Anordnungen von Magneten benutzt. Um diese zu studieren, kann man an einer Stelle des Ringes Ort und Geschwindigkeit des Teilchens senkrecht zur Strahlrichtung messen. Wir erhalten 10 Siehe 11 Das

Kapitel 14, beginnend auf Seite 343. wird in Kapitel 6.3.3 auf Seite 113 gezeigt.

1. Einleitung

9

so eine Abbildung, die es gestattet, aus Ort qn und Geschwindigkeit vn des Teilchens beim n–ten Umlauf auf die Werte dieser Gr¨oßen beim (n + 1)–ten Umlauf zu schließen: qn+1 = f1 (qn , vn )

, vn+1 = f2 (qn , vn )

oder kurz xn+1 = F (xn )

mit

xk :=

 qk  vk

und F :=

f1  f2

.

Um die Abbildung F zu bestimmen, muss die Wirkung der Magnete auf die relativistischen Teilchen berechnet werden. Wo befinden sich die Teilchen am Ende der Speicherung, zum Beispiel nach ussen wir im Prinzip die obige 108 Uml¨aufen? Zur Beantwortung dieser Frage m¨ Abbildung iterieren. Wir setzen F n+1 := F ◦ F n

mit

F 0 := Id.

Ist F invertierbar, dann definieren wir analog F −n−1 := F −1 ◦ F −n . Wir erhalten also ein sozusagen stroboskopisches Modell der Bewegung. Bei diesem nimmt der Zeitparameter n Werte in den ganzen Zahlen Z an, w¨ahrend im ersten Fall t ∈ R war. Wieder kann in guter N¨aherung Energieerhaltung vorliegen oder, zum Beispiel durch Abstrahlung, Energie verloren gehen. Eine Ingenieursaufgabe besteht darin, die Magnete so auszulegen, dass Stabilit¨at vorliegt, die Teilchen also nicht den Speicherring verlassen. Es ist dabei rechnerisch ineffektiv, F tats¨achlich 108 mal zu iterieren. Denn es muss ja Stabilit¨at f¨ ur ein Kontinuum von Anfangsbedingungen gezeigt werden. Eine tiefergehende Analyse der Dynamik ist notwendig. Nehmen wir an, dass F (0) = 0 ist, also die ohne Auslenkung von Ort und Geschwindigkeit startenden Teilchen auch wieder so ankommen. Eine erste N¨aherung besteht dann in der Linearisierung von F , das heißt der Untersuchung der Matrix M := DF (0). W¨ urde diese nur komplexe Eigenwerte besitzen, deren Betrag kleiner als Eins ist, dann w¨are die Bewegung stabil. Dies ist aber bei Energieerhaltung nicht der Fall. Das Beste, was hier konstruktiv erreicht werden kann, ist marginale Stabilit¨at, bei der sich alle komplexen Eigenwerte auf dem Einheitskreis befinden. Kann dann immer noch von M auf F geschlossen werden? Dies ist mit der hamiltonschen St¨orungstheorie m¨ oglich, nach dem ber¨ uhmten Satz von Kolmour alle Zeiten. In der Tat stellt man bei gorov, Arnol’d und Moser 12 sogar f¨ Variation der Parameter von F (also der Anordnung der Magnete) fest, dass dies f¨ ur bestimmte Parameterwerte eine Verzweigung von instabilen zu stabilen Verhalten stattfindet. Die Ingenieursaufgabe ist also im Prinzip l¨osbar. 12 Die

KAM-Theorie wird in Kapitel 15.4 behandelt, beginnend auf Seite 387.

10

1. Einleitung

Verh¨ altnis zur Statistischen Mechanik und Quantenmechanik W¨ahrend der aus vielen Atomen bestehende starre K¨orper durch nur sechs verkoppelte Differentialgleichungen beschrieben werden konnte, ist dies etwa f¨ ur Gase nicht der Fall. Trotzdem werden diese in der Statistischen Mechanik sehr effektiv beschrieben. Die Basis ist aber nicht mehr deterministisch sondern wahrscheinlichkeitstheoretisch. Man geht davon aus, dass der Gleichgewichtszustand des Gases durch wenige Parameter wie Dichte und Energie beschrieben werden kann und auf der durch diese Parameter definierten Mannigfaltigkeit gleichverteilt ist. Diese erfolgreiche Annahme muss aber gerechtfertigt werden, indem die ergodischen Eigenschaften des mechanischen Systems analysiert werden. In Wirklichkeit ist die Natur nicht klassisch sondern quantenhaft. Die Newton– Gleichung der Klassischen Mechanik erscheint nur in einer Asymptotik der quantenmechanischen Schr¨ odinger–Gleichung. Trotzdem w¨ urde niemand auf die Idee kommen, etwa die mechanischen Eigenschaften eines Fahrrads quantenmechanisch zu untersuchen. Und auch bei mikroskopischen Objekten wie Atomen und Molek¨ ulen ist es oft effektiv, die Quantendynamik als St¨orung der klassischen Bewegung anzusetzen.

Kapitel 2

Dynamische Systeme

Seeschnecken (Links: Oliva porphyria, Rechts: Conus marmoreus) Jeweils Links: Fotografie, Rechts: Simulation durch ein dynamisches System. Quelle: Fowler und Prusinkiewicz in Meinhardt [FP].

2.1 Iterierte Abbildungen, dynamische Systeme . . . . . . . . 12 2.2 Stetige dynamische Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3 Differenzierbare dynamische Systeme . . . . . . . . . . . 25

Dynamiken kann man unter verschiedenen Blickwinkeln und mit unterschiedlichen Zusatzstrukturen betrachten, und entsprechend gibt es auch verschiedene Definitionen dynamischer Systeme. Wir werden in diesem Kapitel zwar haupts¨achlich sogenannte topologische und differenzierbare dynamische Systeme untersuchen, beginnen aber noch etwas allgemeiner. Erst ab Kapitel 6 r¨ ucken die in der Klassischen Mechanik dominierenden hamiltonschen dynamischen Systeme ins Zentrum. Das sind L¨osungen von speziellen Differentialgleichungen erster Ordnung. Sie besitzen ein zeitinvariantes Maß, was f¨ ur einen Vektorraum als Phasenraum das Lebesgue-Maß ist. Das Kapitel 9 widmet sich solchen (nicht notwendig hamiltonschen) maßerhaltenden dynamischen Systemen. 2.1 Weiterf¨ uhrende Literatur Die Lehrb¨ ucher von Katok und Hasselblatt [KH] und von Robinson [Ro] behandeln allgemeine (nicht notwendig hamiltonA. Knauf, Mathematische Physik: Klassische Mechanik, Springer-Lehrbuch Masterclass, c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012 DOI 10.1007/978-3-642-20978-9 2, 

11

12

2.1. Iterierte Abbildungen, dynamische Systeme 26

1

0

52

17

34

11

22

7

9

2 5

5

4

6

10

11

16

8

4

7

40 9

28

3

2

13

8

14

20

10

1 3

6

12

Abbildung 2.1.1: Iterierte Abbildungen. Links: Beispiel 2.2. Rechts: Collatz–Graph aus Beispiel 2.3 sche) dynamische Systeme, und auch iterierte nicht invertierbare Abbildungen (die oft ebenfalls als dynamische Systeme bezeichnet werden). 3

2.1

Iterierte Abbildungen, dynamische Systeme

Wir m¨ ussen also den gegenw¨artigen Zustand des Weltalls als die Wirkung ” seines fr¨ uheren und als die Ursache des folgenden Zustandes betrachten. Eine Intelligenz, welche f¨ ur einen gegebenen Augenblick alle in der Natur wirkenden Kr¨afte sowie die gegenseitige Lage der sie zusammensetzenden Elemente kennte, und u ¨berdies umfassend genug w¨are, um diese gegebenen Gr¨oßen der Analysis zu unterwerfen, w¨ urde in derselben Formel die Bewegungen der gr¨oßten Himmelsk¨orper wie des leichtesten Atoms umschließen; nichts w¨ urde ihr ungewiß sein und Zukunft und Vergangenheit w¨ urden ihr offen vor Augen liegen.” Pierre-Simon Laplace (1814), [Lap], Seite 1 Gegeben sei eine Abbildung f : M → M einer Menge M in sich. Diese k¨onnen wir iterieren, indem wir die iterierte Abbildung f (0) := IdM

, f (t) := f ◦ f (t−1)

(t ∈ N)

definieren. F¨ ur jedes m ∈ M erhalten wir eine Folge a : N → M, at = f (t) (m). Wir nennen dann M Phasenraum, t Zeitparameter und m Anfangspunkt. Wir haben nicht vorausgesetzt, dass f injektiv ist. Dass verschiedene Anfangspunkte also die gleiche Zukunft haben k¨ onnen, kann man am Graphen von f ablesen. 2.2 Beispiel F¨ ur f : N0 → N0 , m → m/2 ergibt sich der in Abbildung 2.1.1 (links) durch Pfeile von m nach f (m) dargestellte gerichtete Graph. 3 Schon einfache iterierte Abbildungen k¨ onnen zu sehr schwierigen Fragen f¨ uhren. 2.3 Beispiel (Collatz–Vermutung) Auf dem Phasenraum M := N ist f definiert durch f (m) := m/2, falls m gerade und f (m) := 3m+1, falls m ungerade.

2. Dynamische Systeme

13

Zum Beispiel beginnt die Folge mit Anfangspunkt 7 mit 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4 . . . und wird nach Erreichen der Eins zyklisch, siehe Abbildung 2.1.1 (rechts). Die Vermutung von Lothar Collatz, dass jede Folge die 1 enth¨alt, ist seit 1937 weder bewiesen noch widerlegt worden. 3 2.4 Beispiel (Calkin-Wilf-Folge) F¨ ur die Zerlegung x = x + {x} von x ∈ R, mit x ∈ Z und {x} ∈ [0, 1) iterieren wir die Abbildung f : R+ → R+

, x →

f

1 ,

x + 1 − {x}

beginnend mit 1. Die ersten Folgenglieder sind also 1, 12 , 2, 13 , 32 , 23 , 3, 14 , 43 , 35 , 52 , 25 , 53 , 34 , .. . Diese Folge z¨ahlt die positiven rationalen Zahlen ab. Einen Beweis findet man in Calkin und Wilf [CW]. 3

3 =

2 1 1

2.5 Aufgabe (Cantor–Menge) Im Intervall I := [0, 1] befindet sich das Loch L := (1/3, 2/3). Wir iterieren die Abbildung   f : R → R, x → 32 1 − 2 |x − 1/2|

3  2

2

3

x

f

1 =

so oft, bis wir das Loch erreichen. Wir betrachte also f¨ ur den Startwert x0 ∈ I die Folge (xn )n∈N , xn+1 := f (xn ). Zeigen Sie, dass die Menge C := {x0 ∈ I \ L | ∀n ∈ N : xn ∈ I \ L}

0

1  3

2  3

1

der nie in das Loch fallenden Anfangswerte die Cantorsche 1/3–Menge ist.

x 3

2.6 Bemerkung (Invertierbarkeit) Die Grundgleichungen der Natur geben keine Zeitrichtung vor. Daher spielen nicht bijektive, eine Dynamik definierende Abbildungen nur als grobe Modelle physikalischer Geschehnisse eine Rolle. Statt allgemeiner iterierter Abbildungen stehen in der Klassischen Mechanik eher dynamische Systeme im Sinn der folgenden Definition im Mittelpunkt des Interesses. Trotzdem kommen wir gelegentlich auf nicht injektive iterierte Abbildungen zur¨ uck (so die logistische Familie aus Beispiel 2.26). Denn diese k¨onnen schon in Dimension Eins komplizierte Dynamiken aufweisen und eignen sich daher besonders zur Veranschaulichung. 3 2.7 Definition F¨ ur die Gruppen G := (Z, +) beziehungsweise G := (R, +) heißt eine Familie von Abbildungen Φt : M → M (t ∈ G) auf einer Menge M dynamisches System, wenn gilt: Φ0 = IdM

und Φt2 ◦ Φt1 = Φt1 +t2

(t1 , t2 ∈ G).

(2.1.1)

14

2.1. Iterierte Abbildungen, dynamische Systeme

M heißt dann Phasenraum. F¨ ur G = Z heißt das dynamische System diskret, f¨ ur G = R kontinuierlich oder Fluss auf M . 2.8 Beispiel (Diskretes dynamisches System) (Φt )t∈Z ist genau dann ein dynamisches System, wenn f := Φ1 : M → M 3 bijektiv ist mit Φt = f (t) und Φ−t = (f −1 )(t) (t ∈ N0 ). 2.9 Bemerkungen 1. Der Phasenraumpunkt Φ(t, m) gibt den Zustand des dynamischen Systems (also z.B. die Orte und Geschwindigkeiten der betrachteten Himmelsk¨ orper) zur Zeit t an, wenn zur Zeit 0 der Zustand m war. 2. Die Forderung Φ0 (m) = m ist nur billig und stellt sicher, dass die Abbildungen Φt bijektiv sind. ur Die Forderung Φt2 ◦ Φt1 = Φt1 +t2 der Invarianz unter Zeittranslationen ist f¨ G = R erf¨ ullt, wenn Φ die L¨ osung eines autonomen Differentialgleichungssystems ist. Um beispielsweise die Position und Geschwindigkeit der Erde in zehn Monaten zu berechnen, k¨ onnen wir zun¨achst ihren Zustand in sieben Monaten bestimmen, um danach diesen Zeitpunkt als neuen Zeitnullpunkt zu w¨ahlen und den Zustand in drei Monaten zu berechnen. F¨ ur L¨osungen Φ explizit zeitabh¨angiger Differentialgleichungen ist diese Forderung aber nicht erf¨ ullt. Nehmen wir etwa an, dass in acht Monaten ein schneller Komet die Erde ablenkt und sei Φ(t, m) der Zustand der Erde zum Zeitpunkt t. Dann erf¨ ullt diese Abbildung Φ die obige Bedingung nicht. Erst nach Einbeziehung der Kometendynamik durch Vergr¨oßerung des Phasenraums um dessen Ort und Geschwindigkeit erhalten wir wieder ein autonomes Differentialgleichungssystem und als L¨ osung ein dynamisches System. 3 2.10 Definition F¨ ur ein dynamisches System (Φt )t∈G auf dem Phasenraum M und m ∈ M heißt • die Abbildung G → M, t → Φt (m) die Bahnkurve durch m. • ihr Bild O(m) := {Φt (m) | t ∈ G} der Orbit oder die Trajektorie durch m, • m heißt Ruhelage oder Fixpunkt, wenn O(m) = {m}. • m ∈ M heißt periodisch (oder geschlossen) mit Periode T ∈ G, wenn T > 0 und ΦT (m) = m. T heißt dabei Minimalperiode, wenn f¨ ur alle t ∈ (0, T ) gilt: Φt (m) = m. Analoge Definitionen ergeben sich f¨ ur nicht invertierbare iterierte Abbildungen, wenn man von der Gruppe Z zu N0 u ¨bergeht. 2.11 Beispiel (Matrixpotenzen als dynamische Systeme) F¨ ur eine invertierbare positive Matrix A ∈ Mat(n, R) und M := Rn ist

t Φ : Z × M → M , Φ(t, x) := At x mit At = λ∈spek(A) λ Pλ

f¨ ur die Spektraldarstellung A = λ∈spek(A) λPλ von A ein dynamisches System. Falls 1 ∈ spek(A), also kein Eigenwert ist, ist x = 0 die einzige Ruhelage. 3

2. Dynamische Systeme

15

2.12 Aufgaben (Periode) 1. Auf dem Phasenraum S 1 = {c ∈ C | |c| = 1} sei f¨ ur einen Parameter α ∈ R die Drehung um Vielfache von 2πα gegeben durch Φt : S 1 → S 1 , Φt (m) := exp(2πitα) m

(t ∈ Z),

(2.1.2)

siehe Abbildung. Zeigen Sie: (a) Die Abbildungen (2.1.2) bilden ein dynamisches System. (b) F¨ ur rationale Parameterwerte α ∈ Q, also α = pq , q ∈ Z, p ∈ N, q und p teilerfremd, ist jeder Phasenraumpunkt periodisch, mit Minimalperiode p. (c) F¨ ur irrationale α ∈ R \ Q ist kein Phasenraumpunkt periodisch.

Φ1 (m)

S1 m

Φ2 (m) Φ3 (m)

2. Die Abbildung C → C, z → z m mit m ∈ N \ {1} induziert durch Einschr¨ankung auf |z| = 1 eine (nicht invertierbare) Abbildung fm : S 1 → S 1 der Kreislinie auf sich. Berechnen Sie f¨ ur n ∈ N die Anzahl Pn (fm ) der periodischen Punkte von fm mit Periode n (wobei n nicht die Minimalperiode zu sein braucht) und zeigen 3 Sie, dass die Menge der periodischen Punkte von fm dicht in S 1 liegt. 2.13 Satz (Orbiten dynamischer Systeme) 1. Die Relation m1 ∼ m2 , falls m2 ∈ O(m1 ) der Zugeh¨origkeit zum gleichen ¨ Orbit ist eine Aquivalenzrelation auf M . 2. Ist m periodisch mit Periode T , dann gilt dies auch f¨ ur alle Punkte des Orbits O(m) (wir sprechen dann von einem periodischen Orbit). 3. Besitzt der Orbit O die Minimalperiode T > 0, dann ist diese eindeutig, und die Perioden von O bilden die Menge T N = {T n | n ∈ N}. Beweis: ur alle m ∈ M ). 1. • Wegen Φ0 = IdM ist die Relation ∼ reflexiv (d.h. m ∼ m f¨ • Ist m2 = Φt (m1 ), dann gilt Φ−t (m2 ) = Φ−t ◦ Φt (m1 ) = Φt−t (m1 ) = m1 , die Relation also symmetrisch. • Mit m2 = Φt1 (m1 ) und m3 = Φt2 (m2 ) ist m3 = Φt1 +t2 (m1 ), ∼ also transitiv. 2. Ist m = Φt (m), dann ist ΦT (m ) = ΦT +t (m) = Φt ◦ΦT (m) = Φt (m) = m , also T auch Periode von m .

16

2.2. Stetige dynamische Systeme

3. Ist S > 0 ebenfalls Minimalperiode von O, dann gilt T ∈ (0, S), also T ≥ S und umgekehrt S ≥ T . Letzteres gilt f¨ ur alle Perioden S. W¨are S ∈ T N, dann g¨abe es eine eindeutige Darstellung S = nT +r mit n ∈ N und r ∈ (0, T ). Damit w¨are auch r Periode von m ∈ O: Φr (m) = ΦS−nT (m) = ΦS ◦ Φ−nT (m) = ΦS (m) = m, was einen Widerspruch zur Minimalit¨at von T ergeben w¨ urde.

2

F¨ ur die Gruppe G = Z von Zeiten haben die Ruhelagen eine Minimalperiode, n¨amlich 1, f¨ ur G = R haben sie keine. 2.14 Definition Eine Teilmenge N ⊆ M des Phasenraums M heißt • vorw¨ artsinvariant, wenn f¨ ur alle t ∈ G, t ≥ 0 gilt: Φt (N ) ⊆ N . • invariant, wenn f¨ ur alle t ∈ G gilt: Φt (N ) ⊆ N . Invariante Teilmengen N haben die Eigenschaft Φt (N ) = N f¨ ur alle t ∈ G, denn  aus Φ−t (N ) ⊆ N folgt N = Φt Φ−t (N ) ⊆ Φt (N ). Wir nennen eine nicht leere invariante Teilmenge N von M (mengentheoretisch) minimal, wenn sie nicht ihrerseits eine echte solche Teilmenge besitzt. Die minimalen Teilmengen sind also gerade die Orbits. Wir haben also ein dynamisches System (Φt )t∈G verstanden, wenn wir dessen Orbits und die Restriktionen von Φt : M → M auf diese Orbits kennen. 2.15 Aufgabe (Minimalperiode eines dynamischen Systems) Wir nennen T > 0 Periode des dynamischen Systems, wenn ΦT = IdM gilt. Zeigen Sie, dass ein diskretes dynamisches System Φ : Z × M → M auf einer endlichen Menge M = ∅ als Minimalperiode das kleinste gemeinsame Vielfache der Minimalperioden seiner Orbits besitzt. 3

2.2

Stetige dynamische Systeme

Die Zahl der Fragen an ein dynamisches System erh¨oht sich enorm, wenn wir eine Topologie zur Verf¨ ugung haben (siehe Anhang A.1), also zum Beispiel von Grenzwerten sprechen k¨ onnen. 2.16 Definition Ein dynamisches System (Φt )t∈G auf dem Phasenraum M heißt stetiges oder topologisches dynamisches System, wenn M ein topologischer Hausdorff–Raum ist und Φ:G×M →M

,

Φ(t, m) := Φt (m)

stetig 1 ist. 1 Dabei wird (R, +) beziehungsweise (Z, +) als topologische Gruppe (Definition E.16) aufgefasst und die Produkttopologie (Anhang A.1) auf G × M benutzt.

2. Dynamische Systeme

17

2.17 Bemerkungen (Topologische dynamische Systeme) 1. Da Z als topologischer Raum diskret ist, also jede Teilmenge offen ist, ist die Stetigkeit von Φ f¨ ur G = Z gleichbedeutend mit der Stetigkeit der Φt (t ∈ Z). Dies wiederum ist ¨aquivalent dazu, dass Φ1 : M → M ein Hom¨oomorphismus (siehe Definition A.17) ist. Umgekehrt erzeugt jeder Hom¨oomorphismus f : M → M durch Iteration ein stetiges dynamisches System. 2. In fast allen Anwendungen ist der Phasenraum eines dynamischen Systems in nat¨ urlicher Weise ein Hausdorff–Raum. Ob aber die Dynamik stetig ist, muss von Fall zu Fall entschieden werden. Dies ist zum Beispiel bei Billards oder bei St¨oßen von Punktmassen nicht immer der Fall. 3. Verzichtet man auf die Topologie, also auch auf die Forderung der Stetigkeit von Φ, dann verliert man aber die Kontrolle dar¨ uber, dass f¨ ur endliche Zeit t die Φ(t, m ) nahe bei Φ(t, m) bleibt, wenn die Anfangspunkte m, m ∈ M nahe beieinander liegen. Dies ist aber von praktischem Interesse, denn m kann im Experiment nur mit endlicher Genauigkeit gemessen werden. 4. In allen einleitenden Beispielen ist M der Raum der Orte q und Geschwindigkeiten v der betrachteten Massenk¨ orper. Etwa im Fall der Erde im dreidimensionalen Raum ist also M der topologische Raum R3 × R3 und m = (q, v). Der Wert Φ(t, m) gibt den Zustand (also hier Ort und Geschwindigkeit) des K¨orpers nach der Zeit t an, wenn er sich zur Zeit 0 im Zustand m befand. Wir m¨ochten aber auch zum Beispiel die Bewegung einer Perle auf einem kreisf¨ormigen Draht betrachten. Dort ist ihr Ort durch einen Punkt auf dem Kreis S 1 := {x ∈ R2 | x = 1} gegeben und der Phasenraum ist die ur die Geschwindigkeit der Kreisbewegung). Mannigfaltigkeit M := S 1 ×R (R f¨ Im Anhang A.2 wird der Begriff der Mannigfaltigkeit eingef¨ uhrt. 5. Es kommen auch Phasenr¨aume vor, die keine Mannigfaltigkeiten sind. Beispielsweise definiert die quantenmechanische Schr¨odinger–Gleichung dΦt = −i H Φt dt

, Φ0 = 1lH

eines selbstadjungierten Operators H = H ∗ : H → H eine unit¨are Zeitentwicklung Φt = exp(−iHt) (t ∈ R) auf dem C-Hilbert–Raum (H, ·, ·). Letzterer ist als normierter Vektorraum ein topologischer Raum, und die Abbildung Φ : R × H → H , Φ(t, ψ) = Φt (ψ) ur dim(H) < ∞ der Phasenraum eine (endlichist stetig 2 . Allerdings ist nur f¨ dimensionale) Mannigfaltigkeit im Sinn der Definition A.25. 2 Im Fall der in der Quantenmechanik ublichen unbeschr¨ ankten selbstadjungierten Opera¨ toren H ist der Fluss Φ zwar nicht mehr bez¨ uglich der Normtopologie, aber der sogenannten starken Topologie auf H stetig.

18

2.2. Stetige dynamische Systeme

6. Teil unserer Aufgabe wird es sein, Φ zu bestimmen, f¨ ur die Gruppe G = R durch Integration gew¨ ohnlicher Differentialgleichungen und f¨ ur G = Z durch Iteration einer Abbildung. Die Abbildungen Φ werden dabei nicht nur stetig, sondern beliebig oft differenzierbar (,glatt’) sein, falls entsprechendes f¨ ur die Differentialgleichung beziehungsweise f¨ ur die zu iterierende Abbildung gilt. 7. L¨asst man in Definition 2.16 beliebige topologische Gruppen3 (G, ◦) zu (und fordert verallgemeinert Φt2 ◦ Φt1 = Φt2 ◦t1 ), dann kommt man zum Begriff der (topologischen) Gruppenwirkung, genauer Linkswirkung oder -operation, im Gegensatz zur Rechtswirkung mit Φt2 ◦ Φt1 = Φt1 ◦t2 . Solche Gruppenwirkungen k¨onnen z.B. als Symmetrien eines dynamischen Systems auftreten. Der Spezialfall dynamischer Systeme ist zwar insofern einfacher, weil die topologischen Gruppen R und Z abelsch sind. Allerdings sind sie nicht kompakt, was die Analyse erschwert. 3 2.18 Beispiele (Topologische dynamische Systeme) 1. Ein einfaches Beispiel ist die freie Bewegung eines Himmelsk¨ orpers im Vakuum. Der Phasenraum ist wieder M := R3q × R3v . Da nach Voraussetzung am K¨orper keine d2 Kr¨afte angreifen, ist seine Beschleunigung dt 2 q = 0. Damit ist die Geschwind q des Ortes nach der Zeit, zeitlich konstant: digkeit, also die Ableitung v = dt d osung dt v = 0, und wir haben die in Anfangswert m und Zeit t stetige L¨   Φ(t, m) = (q + v t, v) t ∈ R, m = (q, v) ∈ M . 2. Das einleitende Beispiel des himmelsmechanischen Zweik¨orperproblems liefert dagegen im strengen Sinn noch nicht einmal ein dynamisches System im Sinn von Definition 2.7, denn die beiden Himmelsk¨orper k¨onnen in endlicher Zeit kollidieren. Restringiert man aber den Phasenraum durch die (flussinvariante) Bedingung q × v = 0 nicht verschwindenden Drehimpulses, dann erh¨alt man ein stetiges dynamisches System. 3. F¨ ur eine endliche Menge A = ∅ ist auf dem Folgenraum M := AZ = {a : Z → A} = {(ak )k∈Z | ak ∈ A} durch Φt : M → M

,



 Φt (a) k := ak+t

(t ∈ Z)

(2.2.1)

eine diskrete Dynamik definiert. Versieht man das sogenannte Alphabet A mit der diskreten Topologie und den Folgenraum oder Shiftraum M mit der Produkttopologie, dann ist M ein topologischer Raum und der Shift Φ ein stetiges dynamisches System. Nach dem Satz von Tychonoff (Satz A.19) ist dabei der Phasenraum X kompakt. Obwohl sein Phasenraum (f¨ ur |A| > 1) keine Mannigfaltigkeit bildet, kann es, wie wir sehen werden, auch f¨ ur die Analyse physikalisch relevanter chaotischer dynamischer Systeme benutzt werden. 3 3 siehe

Anhang E.1 und E.2.

2. Dynamische Systeme

19

2.19 Aufgabe (Shift) Es sei wie in Beispiel 2.18.3 A ein Alphabet, M := AZ . ¨ (a) Uberpr¨ ufen Sie, dass d : M × M → [0, ∞), gegeben durch   2−|j| dA (xj , yj ) x = (xj )j∈Z , y = (yj )j∈Z ∈ M , d(x, y) := j∈Z

mit dA (a, b) := 0 falls a = b, sonst dA (a, b) := 1, eine Metrik auf M definiert. Zeigen Sie, dass der Shift Φ stetig ist. (b) Wie viele periodische Punkte m ∈ M und wie viele periodische Orbits der Periode n ∈ {2, 3, 4} hat Φ aus (2.2.1) f¨ ur das Alphabet A := {0, 1}? Geben Sie alle Punkte der Minimalperiode n f¨ ur n ∈ {2, 3, 4} an. (c) Zeigen Sie, dass ein x ∈ M mit in M dichtem Orbit existiert, das heißt, es gilt {Φt (x) | t ∈ Z} = M . Bemerkung: Damit ist das stetige dynamische System Φ : Z × M → M topologisch transitiv, das heißt f¨ ur offene, nicht leere A, B ⊆ M gibt es ein t ∈ Z mit Φt (A) ∩ B = ∅. 3 Das Langzeitverhalten eines Punktes im Phasenraum M wird (zumindest f¨ ur kompakte M ) durch seine Limesmengen beschrieben: 2.20 Definition F¨ ur ein stetiges dynamisches System Φ : G × M → M und x ∈ M heißen

 α(x) := y ∈ M ∃(tn )n∈N mit lim tn = −∞ und lim Φ(tn , x) = y , n→∞

n→∞



ω(x) := y ∈ M ∃(tn )n∈N mit lim tn = +∞ und lim Φ(tn , x) = y n→∞

n→∞

α–Limesmenge von x beziehungsweise ω–Limesmenge von x. Diese Mengen sind einerseits Invarianten des Orbits O(x) (das heißt α(y) = α(x) und ω(y) = ω(x) f¨ ur y ∈ O(x)), andererseits selbst invariant. Man ist aber nicht nur an den einzelnen Orbits interessiert, sondern auch am Verhalten benachbarter Orbits. Zum Beispiel ist es beruhigend, dass auch bei einer kleinen Ver¨anderung der Geschwindigkeit der Erde, etwa durch Meteoriteneinschlag, ihre neue Bahn auf Dauer in der N¨ahe der alten bleibt. Zun¨achst untersuchen wir die Stabilit¨at von Fixpunkten, sp¨ater von periodischen Orbits. 2.21 Definition (Stabilit¨ at) Sei m0 ∈ M ein Fixpunkt des stetigen dynamischen Systems Φ : G × M → M . ur jede Umgebung U ⊆ M von m0 eine 1. m0 heißt liapunov–stabil, wenn f¨ (kleinere) Umgebung V von m0 existiert, so dass f¨ ur alle t ≥ 0 Φt (V ) ≡ {Φt (m) | m ∈ V } ⊆ U.

20

2.2. Stetige dynamische Systeme 2. Andernfalls heißt m0 instabil. 3. m0 heißt asymptotisch stabil, falls m0 liapunov–stabil ist und eine vorw¨artsinvariante Umgebung V ⊆ M von m0 existiert mit lim Φt (m) = m0

t→∞

(m ∈ V ).

2.22 Aufgabe (Stabilit¨ at) Auf dem Phasenraum M := C seien f¨ ur den Parameter λ ∈ C \ {0} die Abbildungen Φt : M → M , Φt (m) := λt m (t ∈ Z) gegeben. Zeigen Sie: (a) Diese bilden ein stetiges dynamisches System, und 0 ∈ M ist ein Fixpunkt. (b) Dieser Fixpunkt ist genau dann liapunov–stabil, wenn |λ| ≤ 1. (c) Der Fixpunkt ist genau dann asymptotisch stabil, wenn |λ| < 1.

3

2.23 Definition • Eine kompakte invariante Teilmenge A ⊆ M heißt Attraktor des stetigen dynamischen Systems Φ : G×M → M , wenn eine offene Umgebung U0 ⊆ M von A existiert mit 1. U0 ist vorw¨arts invariant. 2. F¨ ur jede offene Umgebung V von A, A ⊆ V ⊆ U0 gibt es ein τ > 0 mit Φt (U0 ) ⊆ V f¨ ur alle t ≥ τ . • Das Bassin eines Attraktors A ist die Vereinigung aller offenen Umgebungen von A, die 1. und 2. erf¨ ullen. Damit ist das Bassin B selbst eine offene Umgebung von A, die die Eigenschaft 1. besitzt. Wie das n¨achste Beispiel zeigt, ist aber die Eigenschaft 2. f¨ ur B im Allgemeinen nicht erf¨ ullt. 2.24 Beispiel (Attraktor) Auf dem Phasenraum C ist ein stetiges dynamisches System Φ : Z × C → C mit Parameter λ ∈ R gegeben C durch Iteration des Hom¨ oomorphismus Φ1 (m)  iλ m e √ , m = 0 |m| Φ1 (m) := m 0 , m = 0, siehe Abbildung. Hier ist A := S 1 ⊂ C Φ2 (m) ein Attraktor, und sein Bassin ist C \ {0}. Denn Φt : C → C bildet Kreise vom Radius Φ3 (m) −t r > 0 auf solche vom Radius r(2 ) ab, die (abgeschlossene) Kreislinie S 1 ist also invariant, und die Bilder der offenen Kreisringe U (r1 , r2 ) := {c ∈ C | |c| ∈ (r1 , r2 )} ⊂ C \ {0}

2. Dynamische Systeme

21

Sinn gegen A: konvergieren f¨ ur 0 < r1 < 1 < r2 im folgenden   F¨ ur alle c > 1 existiert ein τ ∈ N mit Φt U (r1 , r2 ) ⊆ U (1/c, c) falls t ≥ τ . Wegen Kompaktheit von A enth¨alt aber jede offene Umgebung V von A ein U (1/c, c). Das Bassin von A kann den Fixpunkt 0 ∈ C nicht enthalten, enth¨alt aber die Mengen U (r1 , r2 ), ist also gleich C \ {0}. Der Parameter λ beschreibt die Drehung um den Ursprung. Sein Wert ist wesentlich f¨ ur die Frage, welche Teilmengen von A ebenfalls Attraktoren sind. 3 2.25 Aufgaben (Attraktor) 1. Finden Sie zum dynamischen System aus Beispiel 2.24 alle Fixpunkte und zwei weitere Attraktoren mit Bassin. 2. Es sei Φ : G × M → M ein stetiges dynamisches System. (a) Ist die Vereinigung zweier Attraktoren wieder ein Attraktor?  (b) Zeigen Sie A = t≥0 Φt (U0 ) f¨ ur einen Attraktor A ⊆ M und eine zugeh¨orige offene Menge U0 aus der Definition 2.23 eines Attraktors. 3 2.26 Beispiel (Logistische Familie) F¨ ur Parameterwerte p ∈ [0, 4] betrachten wir die (nicht invertierbare) logistische Abbildung auf M := [0, 1] fp : M → M

, fp (x) := p x (1 − x).

(2.2.2)

ur jeden Parameterwert p auf sich abgebildet, • Der Punkt 0 ∈ M wird von fp f¨ ist also Fixpunkt. • Ist nun der Parameter p ≤ 1, dann ist f¨ ur x > 0 immer fp (x) < x, sodass f¨ ur (t) alle Startwerte m ∈ M folgt: limt→∞ fp (m) = 0. • Dar¨ uber hinaus gibt es f¨ ur Parameterwerte p ∈ (1, 4] einen zweiten Fixpunkt von fp in f , Id p M , n¨amlich yp := p−1 p , siehe nebenstehen- 1 de Abbildung. • F¨ ur p ∈ (1, 3] gilt f¨ ur alle Folgen mit Anfangspunkt m ∈ (0, 1), dass (t) ur limt→∞ fp (m) = yp . Dies sieht man f¨ p ∈ (1, 2] so: Da fp das rechte Intervall [1/2, 1) in das linke Intervall (0, 1/2] ab- 13 bildet, brauchen wir nur Anfangswerte x ∈ (0, 1/2] zu betrachten. F¨ ur x ∈ (0, yp ) gilt: fp (x) ∈ (x, yp ), f¨ ur x ∈ (yp , 1/2] gilt: fp (x) ∈ (yp , x). Der allgemeine Fall soll in Aufgabe 2.27 bearbeitet werden.

p1.5

p1  p 1  3

1  2

1

x

22

2.2. Stetige dynamische Systeme

• F¨ ur Werte p ∈ (3, 4] besitzt die zweifach iterierte Abbildung fp ◦ fp vier Fixpunkte. Diese sind in nebenstehender Abbildung als die Schnittpunkte zwischen der Diagonale und dem Graphen von fp ◦ fp sichtbar. Zwei dieser Fixpunkte sind die schon diskutierten Fixpunkte von fp . Die beiden ande(1) (2) ren, nennen wir sie yp und yp , werden durch die logistische Abbildung   aufeinander (1) (2) abgebildet, das heißt fp yp = yp und   (2) (1) = yp . fp yp

p3.5 f p  f p , Id

1

1 2

0

fp

y1 p

y p y2 p 1  2

1

x

Wegen des Satzes von Bolzano–Weierstraß wissen wir, dass die Folgen t → (t) fp (m) immer einen H¨aufungspunkt besitzen. Wir interessieren uns f¨ ur Menge ihrer H¨aufungs- Häufungspunkte 1 punkte, in Abh¨angigkeit vom Parameter p und vom Startwert m. Wegen fp (0) = 0 exi1  2 stiert f¨ ur m = 0 nur der H¨aufungspunkt 0. F¨ ur typische Startwerte m ergibt sich in Abh¨angigkeit von p p 0 eine komplizierte Struktur 1 2 3 4 der H¨aufungspunkte, siehe nebenstehende Abbildung (mit Startwert m = 0.01). Nebenbei: Die iterierte ¨ logistische Abbildung dient in der Physik als einfaches Modell f¨ ur den Ubergang von laminarer zu turbulenter Str¨ omung von Fl¨ ussigkeiten, wobei große Werte von p dem turbulenten Regime zugeordnet werden, siehe Feigenbaum [Fei]. 3 (n)

2.27 Aufgaben (Logistische Familie) 1. Wir betrachten die n-te Iterierte f4 der logistischen Abbildung (2.2.2). (n) Zeigen Sie, dass f4 genau 2n Fixpunkte in [0, 1] hat, indem Sie die Mono(n) tonieintervalle von f4 untersuchen. 2. Zeigen Sie, dass die logistische Abbildung (2.2.2) f¨ ur Parameterwerte p ∈ (n) (1, 3) den Fixpunkt yp = (p − 1)/p besitzt und dass limn→∞ fp (x) = yp f¨ ur alle x ∈ (0, 1). 3 Tipp: Welche Werte nimmt fp (yp ) im Intervall 1 ≤ p ≤ 3 an? Wir wollen nun stetige dynamische Systeme miteinander vergleichen. 2.28 Definition F¨ ur zwei stetige dynamische Systeme Φ(i) : G × M (i) → M (i) (i = 1, 2)

2. Dynamische Systeme

23

• heißt Φ(2) (topologischer) Faktor von Φ(1) , und Φ(2) zu Φ(1) semikonjugiert, (2) (1) wenn es eine stetige Surjektion h : M (1) → M (2) gibt mit Φt ◦ h = h ◦ Φt f¨ ur alle t ∈ G, das heißt wenn das folgende Diagramm kommutiert: (1)

Φ

M (1) −−−t−→ M (1) ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ h h

(2.2.3)

(2)

Φ

M (2) −−−t−→ M (2) • heißt Φ(2) konjugiert zu Φ(1) , wenn Φ(2) sogar f¨ ur einen Hom¨oomorphismus h : M (1) → M (2) Faktor von Φ(1) ist. h heißt dann Konjugation. 2.29 Bemerkungen (Konjugation) 1. Da die Inversen (und die Komposition) von Hom¨oomorphismen wieder Hom¨ oomorphismen sind, ist die Definition der Konjugation unabh¨angig von der Nummerierung der beiden dynamischen Systeme, und wir erhalten eine Einteilung in Klassen zueinander konjugierter stetiger dynamischer Systeme. 2. Wenn zwei stetige dynamische Systeme u ¨berhaupt konjugiert sind, gibt es im Allgemeinen viele Konjugationen. Denn mit h aus (2.2.3) sind zum Beispiel (1) (1) auch hs := h ◦ Φs , s ∈ G Konjugationen, die aber f¨ ur Φs = IdM (1) von h verschieden sind. 3. Im Beweis des Satzes 2.31 u ¨ber Kreisrotationen wird eine Semikonjugation als Beweistechnik benutzt werden. 3 Da die in diesem Kapitel definierten Begriffe rein topologischer Natur sind, gelten sie gleichermaßen f¨ ur konjugierte Systeme. Insbesondere gilt: 2.30 Aufgabe (Konjugation) Es sei h : M (1) → M (2) eine Konjugation der stetigen dynamischen Systeme Φ(i) : G × M (i) → M (i) . Beweisen Sie: (a) x1 ∈ M (1) ist genau dann Ruhelage von Φ(1) , wenn x2 := h(x1 ) ∈ M (2) Ruhelage von Φ(2) ist. Konjugierte Ruhelagen unterscheiden sich nicht hinsichtlich ihrer Liapunov–Stabilit¨at oder asymptotischen Stabilit¨at. (b) Der Φ(1) –Orbit O(x1 ) durch x1 ∈ M (1) ist genau dann geschlossen, wenn der Φ(2) –Orbit O(x2 ) durch x2 := h(x1 ) ∈ M (2) geschlossen ist. Dann sind auch die Perioden gleich. (c) Das Bild der ω–Limes–Menge ω(x1 ) von x1 ∈ M (1) ist gleich     h ω(x1 ) = ω h(x1 ) .

3

Um zu zeigen, dass zwei stetige dynamische Systeme nicht konjugiert sind, gen¨ ugt es, eine Konjugationsinvariante zu benutzen. Zum Beispiel sind nach

24

2.2. Stetige dynamische Systeme

Aufgabe 2.30.b) die Systeme nicht konjugiert, wenn im ersten System ein periodischer Orbit einer bestimmten Periode existiert, aber nicht im zweiten. Im Beweis des folgenden Satzes ist die sogenannte Rotationszahl (fast) eine solche Invariante. Als Beispiel untersuchen wir n¨amlich, wann die Kreisrotationen aus Aufgabe 2.12.1 konjugiert sind. F¨ ur diese stetigen dynamischen Systeme Φ(γ) : Z × S 1 → S 1

,

Φ(γ) (t, m) = exp(2πiγt) m

(γ ∈ R)

ist genau dann sogar Φ(α) = Φ(β) , falls α − β ∈ Z ist. Wir nehmen also ohne Einschr¨ankung γ ∈ [0, 1) an. 2.31 Satz (Kreisrotationen) Zwei solche Kreisrotationen Φ(α) und Φ(β) sind genau dann konjugiert, wenn α = β oder α = 1 − β gilt. Beweis: • F¨ ur α = β ist IdS 1 eine Konjugation, f¨ ur α = 1 − β die Abbildung S 1 → S 1 , z → z. (β) (α) • Gilt dagegen Φt = h ◦ Φt ◦ h−1 (t ∈ Z) f¨ ur einen Hom¨oomorphismus h : S 1 → S 1 , dann liften wir diese dynamischen Systeme auf den Phasenraum R. Darunter ist Folgendes zu verstehen: Die Abbildung π : R → S1

,

x → exp(2πix)

ist stetig und wickelt anschaulich die Zahlengerade auf der Kreislinie auf. π ist ein Gruppenhomomorphismus von (R, +) auf (S 1 , ·), denn wegen der Funktionalgleichung von exp ist π(x + y) = π(x)π(y). • Wir nennen ein stetiges dynamisches System ˜ (γ) : Z × R → R Φ ˜ t(γ) = Φt(γ) ◦ π π–Lift der Kreisrotation Φ(γ) : Z × S 1 → S 1 , wenn π ◦ Φ gilt, also     ˜ (γ) (x) = exp 2πi(x + α) exp 2πiΦ (x ∈ R),

(t ∈ Z)

1

˜ (γ) (x) = x + α − nγ f¨ ˜ (γ) das heißt Φ ur ein nγ ∈ Z (wegen der Stetigkeit von Φ 1 h¨angt nγ nicht von x ab). ˜ : R → R einen π–Lift der Konjuga¨ • Ahnlich nennen wir eine stetige Abbildung h     1 1 ˜ ˜ tion h : S → S , wenn gilt: π ◦ h = h ◦ π, also exp 2πih(x) = h exp(2πix) . ˜ + 1) = h(x) ˜ ˜ streng monoton ist, Damit muss h(x + n f¨ ur ein n ∈ Z gelten. Da h ˜ ˜ folgt n = 0. Da andererseits kein y ∈ (x, x + 1) existiert mit h(y) − h(x) ∈ Z, kommen f¨ ur n nur n = −1 und n = 1 in Frage. ˜ (γ) ist definiert als • Die Rotationszahl des π–Lifts Φ ˜ (γ) (t, x) Φ t→∞ t

R(γ) := lim

(2.2.4)

2. Dynamische Systeme

25

und in der Tat unabh¨angig vom Startpunkt x ∈ R, n¨amlich R(γ) = γ − nγ . ur zu Φ(α) konjugierte dynamische Systeme Sinnvollerweise w¨ahlen wir nγ := 0. F¨ (β) ˜ Φ kommt also, je nachdem ob h streng monoton steigend oder fallend ist, nur ˜ −1 (x)  α + Z , h ˜ ◦ Φ(α) ◦ h ˜ steigend h t R(β) = lim ∈ ˜ fallend. t→∞ −α + Z , h t in Frage. Das zeigt, dass nur β = α und β = 1 − α L¨osungen sein k¨onnen.

2

Die meisten Kreisrotationen unterscheiden sich also topologisch voneinander. Andererseits kann man auch f¨ ur andere Diffeomorphismen (siehe Def. 2.36) f : S 1 → S 1 der Kreislinie als die Rotationen die Rotationszahl R(f ) der iterierten Abbildung analog zu (2.2.4) definieren, und es gilt folgender erstaunliche Satz (siehe Herman [Her]): 2.32 Satz (Denjoy) Ist f¨ ur den Diffeomorphismus f ∈ C 2 (S 1 , S 1 ) die Rotationszahl R(f ) irrational, dann ist das von f definierte dynamische System zur Kreisrotation Φ(R(f )) konjugiert.

2.3

Differenzierbare dynamische Systeme

Um Techniken der Analysis auf stetige dynamische Systeme anzuwenden, ist es nat¨ urlich anzunehmen, dass deren Phasenraum eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist. Mannigfaltigkeiten werden in Anhang A systematisch eingef¨ uhrt. Hier betrachten wir nur den Fall von Untermannigfaltigkeiten des Rn . Dies ist aber keine wirkliche Einschr¨ankung (siehe Satz A.49). 2.33 Definition F¨ ur eine offene Teilmenge W ⊆ Rn und f ∈ C 1 (W, Rm ) heißt m y ∈ R regul¨ arer Wert von f , wenn f¨ ur alle q ∈ W mit f (q) = y die Ableitung Dq f : Rn → Rm surjektiv ist. Dieser Begriff dient zun¨achst zur Definition von Untermannigfaltigkeiten des Rn . Er wird in (A.45) auf Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten verallgemeinert. 2.34 Definition F¨ ur p ∈ {0, . . . , n} heißt eine Teilmenge M ⊆ Rn p–dimensionale Untermannigfaltigkeit des Rn , wenn jeder Punkt x ∈ M eine Umgebung  Vx ⊆ Rn besitzt, so dass f¨ ur eine geeignete Abbildung f ∈ C 1 Vx , Rn−p mit regul¨arem Wert 0 gilt: M ∩ Vx = f −1 (0). Im einfachsten Fall ist M = f −1 (0), aber man m¨ochte auch Mengen wie im folgenden Beispiel als Mannigfaltigkeiten bezeichnen.

26

2.3. Differenzierbare dynamische Systeme

2.35 Beispiel (M¨ obius–Band) F¨ ur U := R × (−1, 1) und f ∈ C ∞ (U, R3 ),   x (2−y sin 2 ) sin x f (x, y) := (2−y sin x2 ) cos x y cos

x 2

ist M := f (U ) ⊂ R3 das sogenannte 1 f3 2 M¨obius–Band. F¨ ur die Parametrisierung w¨ urde der Win- -1 kelbereich x ∈ [0, 2π) ausreichen, denn -2 f2 zwar kommen Winkel x/2 in f vor, aber 0 -2 f1 f (x + 2π, y) = f (x, −y). f (R × {0}) ist 2 eine Kreislinie vom Radius 2. Da die Fl¨ache M nur eine Seite besitzt, kann sie nicht Niveaumenge f −1 (0) eines regul¨aren Wertes 0 sein, denn sonst w¨ urde ∇f (x) = 0 an jedem Punkt x ∈ M senkrecht auf der Fl¨ache stehen und damit eine von zwei Seiten auszeichnen. 3 2.36 Definition Es sei U ⊆ Rn offen und f ∈ C 1 (U, Rn ). • f heißt Diffeomorphismus auf das Bild V := f (U ) ⊆ Rn , wenn V offen, f : U → V bijektiv und auch f −1 : V → U stetig differenzierbar ist. • f heißt lokaler Diffeomorphismus, wenn jeder Punkt x ∈ U eine offene Umgebung Ux ⊆ U besitzt, f¨ ur die f Ux ein Diffeomorphismus auf das Bild ist. • F¨ ur r ∈ N und U, V ⊂ Rn offen heißt eine Abbildung f ∈ C r (U, V ) ein C r – Diffeomorphismus, wenn f Diffeomorphismus auf das Bild V ist (also die inverse Abbildung f −1 ∈ C r (V, U ) ist). Man kann Diffeomorphismen als Koordinatenwechsel ansehen, und da man gerne dem jeweiligen Problem angepasste Koordinaten verwendet, sind Diffeomorphismen eine h¨aufig verwendete Klasse von Abbildungen. 2.37 Beispiel (Affine Abbildungen) Eine affine Abbildung f : Rn → Rn besitzt die Form f (x) = Ax + b mit A ∈ Mat(n, R) und b ∈ Rn . Sie ist genau dann ein Diffeomorphismus, wenn sie bijektiv ist, d.h. wenn A ∈ GL(n, R) ist. 3 Aus diesem Beispiel liest man ab, dass die Regularit¨at der Jacobi–Matrix Df Einfluss auf die Invertierbarkeit der Abbildung f hat, denn hier ist Df = A. 2.38 Satz (Lokale Diffeomorphismen) F¨ ur U ⊆ Rn offen ist f ∈ C 1 (U, Rn ) genau dann ein lokaler Diffeomorphismus, wenn f¨ ur alle x ∈ U gilt: Df (x) ∈ GL(n, R) Beweis: • Es sei f ein lokaler Diffeomorphismus, x ∈ U , und g : Vx → Ux die Umkehrfunktion des Diffeomorphismus f Ux : Ux → Vx . Dann gilt nach der Kettenregel   Dg f (x) Df (x) = D(g ◦ f )(x) = D IdUx (x) = 1l, also Df (x) ∈ GL(n, R).

2. Dynamische Systeme

27

• Es gelte umgekehrt Df (z) ∈ GL(n, R). Um die lokale Inverse von f bei z ∈ U zu finden, wenden wir den Satz u ¨ber die implizite Funktion auf F : Rn × U → R n

, (y, z) → −y + f (z)   an. Nach Voraussetzung ist f¨ ur X := f (z), z D2 F (X) = Df (z) ∈ GL(n, R)

, und F (X) = 0.

Anwendung des Satzes u ¨ber die implizite Funktion ergibt die Existenz einer auf der Umgebung Vz := Ury (f (z)) des Bildpunktes definierten Abbildung ur die F (y, g(y)) = f (g(y)) − y = 0 ist. g ∈ C 1 (Vz , W ) mit W = Urz (z), f¨ Wir setzen Uz := g(Vz ) ⊆ W . Sowohl g als auch f Uz sind injektiv, denn sonst k¨onnte nicht f ◦ g = IdVz gelten. Damit ist auch g ◦ f Uz = IdUz und nach der Kettenregel Dg(y) ∈ GL(n, R) f¨ ur alle y ∈ Vz . Damit ist Uz nach dem folgenden Satz eine offene Umgebung von z. 2 ar, d.h. gilt 2.39 Satz Es sei U ⊆ Rn offen und f ∈ C 1 (U, Rn ). Ist f regul¨ Df (x) ∈ GL(n, R) f¨ ur alle x ∈ U , dann ist f (V ) offen, falls V ⊆ U offen ist. 2

Beweis: Siehe zum Beispiel Hildebrandt [Hil], Band 2, Kapitel 1.9.

2.40 Bemerkung (Lokale Koordinaten) Wir nehmen an, dass f¨ ur eine offene Teilmenge W ⊆ Rn 0 ∈ F (W ) regul¨arer Wert von F : W → Rm ist. Dann muss offensichtlich m ≤ n sein, und wegen des Satzes u ¨ber die implizite Funktion k¨onnen wir f¨ ur q ∈ M := F −1 (0) eine Umgebung U ⊆ W von q und einen ur n − m < i ≤ n und Diffeomorphismus ϕ : U → Rn finden, sodass ϕ(z)i = 0 f¨ alle z ∈ U ∩M . Die ersten n−m Komponenten von ϕ dienen dann, eingeschr¨ankt auf U ∩ M , als lokale Koordinaten der Mannigfaltigkeit M . Beispielsweise kann man bei q immer geeignete n − m der n kartesischen Koordinaten verwenden.3 2.41 Beispiel (Sph¨ are) Null ist regul¨arer Wert von F : R3 → R, F (x) := 2 u r die Urbilder x ∈ F −1 (0) = S 2 ist DF (x) = 2x = 2. Der

x − 1, dennf¨ 0 Nordpol q := 0 ∈ S 2 besitzt die Umgebung U := {x ∈ R3 | x3 > 0}. Der 1   Diffeomorphismus auf das Bild ϕ : U → V, ϕ(x) := x1 , x2 , F (x) wird durch  die Abbildung ϕ−1 (y) = y1 , y2 , y3 + 1 − y12 − y22 invertiert. Da wir durch Drehung in jedem Punkt q ∈ S 2 eine analoge Konstruktion durchf¨ uhren k¨onnen, haben wir gezeigt, dass S 2 eine zweidimensionale Unter3 mannigfaltigkeit des R3 ist. 2.42 Beispiel Ein Gegenbeispiel hierzu ist F : R2 → R , F (x1 , x2 ) := x21 − x32 , also mit F −1 (0) = {(x1 , x2 ) ∈ R2 | x21 = x32 }. Auch hier ist F unendlich oft differenzierbar, aber 0 kein regul¨arer Wert von F . Nebenstehend sieht man die Niveaumenge F −1 (0), die keine Untermannigfaltigkeit ist. 3

x2 1 1  2

=

1

x23 1

x1

28

2.3. Differenzierbare dynamische Systeme

2.43 Definition Ein stetiges dynamisches System Φ : G × M → M heißt differenzierbar, wenn M eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist und Φ stetig differenzierbar ist. 2.44 Bemerkungen (Differenzierbare dynamische Systeme) 1. Auf differenzierbare dynamische Systeme kann man also die Methoden der Analysis anwenden. Ein Beispiel sind Stabilit¨atsuntersuchungen. So wird im Satz von Liapunov (Satz 7.6) von den Eigenwerten der totalen Ableitung eines Vektorfeldes bei einer Gleichgewichtslage auf die asymptotische Stabilit¨at bez¨ uglich des durch dieses Vektorfeld definierten Flusses geschlossen. 2. Die Diffeomorphismen f : M → M einer Mannigfaltigkeit (siehe Def. A.36) bilden unter Komposition eine Gruppe, die Diffeomorphismengruppe Diff(M ). Ist M kompakt, dann kann man Diff(M ) als unendlich-dimensionale Lie– Gruppe auffassen, deren Lie–Algebra der Raum X (M ) der Vektorfelder ist. Ein differenzierbares dynamisches System Φ : G × M → M ist damit ein Gruppenhomomorphismus G → Diff(M )

, g → Φg .

Diese Sichtweise hilft manchmal beim Verst¨andnis dynamischer Systeme. • Man kann untersuchen, welche Eigenschaften dynamischer Systeme typisch sind. Beispielsweise gilt f¨ ur kompakte M , dass die Diffeomorphismen F ∈ Diff(M ), die nur endlich viele Fixpunkte besitzen, eine offene dichte Teilmenge von Diff(M ) bilden. Allgemein heißt eine Eigenschaft, die diskreten dynamischen Systemen zukommen kann, generisch, wenn die durch sie definierte Teilmenge von Diff(M ) Schnitt abz¨ahlbar vieler offener dichter Mengen ist. • Man kann statt der mengentheoretischen die algebraische Topologie von Diff(M ) untersuchen und beispielsweise feststellen, dass die Diffeomorphismen F ∈ Diff(S 1 ) der Kreislinie S 1 ⊂ C entweder in der Zusammenhangskomponente der Identit¨at oder der der Konjugationsabbildung 3 S 1 → S 1 , z → z liegen. 2.45 Aufgabe (Diffeomorphismengruppe) Zeigen Sie, dass die Diffeomorphismengruppe Diff(M ) einer zusammenh¨angenden Mannigfaltigkeit M transitiv wirkt, das heißt, es f¨ ur alle x, y ∈ M ein f ∈ Diff(M ) gibt mit f (x) = y. Tipp: Beweisen Sie zun¨achst f¨ ur alle y in einer kleinen Umgebung von x ∈ M die Existenz eines Vektorfeldes auf M , dessen Zeit-1-Fluss f ein Diffeomorphismus mit f (x) = y ist. 3 ¨ 2.46 Weiterf¨ uhrende Literatur Eine sehr lesenswerte fr¨ uhe Ubersichtsarbeit zu differenzierbaren dynamischen Systemen ist [Sm1] von Steven Smale. 3

Kapitel 3

Gew¨ ohnliche Differentialgleichungen

Bewegung in einem zuf¨alligen Potential (siehe Seite 231) 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6

Definitionen und Beispiele . . . . . . . . . . . . ¨ Lokale Existenz und Eindeutigkeit der Losung . ¨ Globale Existenz und Eindeutigkeit der Losung . Transformation in ein dynamisches System . . . Das maximale Existenzintervall . . . . . . . . . Der Hauptsatz der Differentialgleichungstheorie

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

30 35 42 45 48 50

A. Knauf, Mathematische Physik: Klassische Mechanik, Springer-Lehrbuch Masterclass, c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012 DOI 10.1007/978-3-642-20978-9 3, 

29

30

3.1. Definitionen und Beispiele

Differentialgleichungen sind so vielf¨altig wie die Naturvorg¨ange, die sie beschreiben. Dieses Kapitel beginnt damit, diese begrifflich zu sortieren, und gew¨ohnliche Differentialgleichungen in eine Normalform (explizite DGL 1. Ordnung) zu u uhren. Danach werden Existenz, Eindeutigkeit und Glattheit der L¨osung ¨berf¨ des Anfangswertproblems untersucht. Es geht dabei noch weniger um konkrete L¨osungstechniken. Sind entsprechende Kenntnisse vorhanden, kann Kapitel 3 problemlos u ¨berschlagen werden.

3.1

Definitionen und Beispiele

Wir beginnen mit (etwas informellen) Definitionen und einer Grobeinteilung: 3.1 Definition • Eine Differentialgleichung (DGL) ist eine Gleichung, in der Ableitungen einer oder mehrerer Funktionen von einer oder mehreren Variablen auftreten. Die gesuchten Unbekannten sind hierbei die Funktionen. • H¨angen die Funktionen von nur einer Variablen ab, so heißt die Differentialgleichung gew¨ ohnlich, sonst partiell. • Werden mehrere Funktionen gesucht, so spricht man von einem Differentialgleichungssystem, sonst von einer Einzel-DGL. 3.2 Beispiele (Differentialgleichungen) 1. F¨ ur c > 0 beschreibt die gew¨ohnliche Einzel–Differentialgleichung dx dt (t)

= −c x(t)

zum Beispiel radioaktiven Zerfall, mit der Stoffmenge x als Funktion der Zeit t und Zerfallskonstante c. Ist die Stoffmenge x zur Zeit t = 0 gleich x0 ∈ R, dann ist 1 x(t) = x0 e−ct

(t ∈ R)

die eindeutige L¨ osung. Wir erhalten also eine einparametrige Schar von L¨ osungen, die linear vom Anfangswert x0 abh¨angt (siehe Abbildung).

1 2

0 0

1

2

t

2. Die Bahn eines geworfenen K¨ orpers im konstanten Schwerefeld der Erde mit Erdbeschleunigung 1 g > 0 wird unter Vernachl¨assigung der Luftreibung durch das gew¨ohnliche DGL–System, d2 x1 dt2 (t)

=0 ,

d2 x2 dt2 (t)

= −g

beschrieben. Dabei bezeichnet x1 die Horizontalkomponente und x2 die Vertikalkomponente des Ortes als Funktionen der Zeit t. 1 In

Bodenh¨ ohe ist g = 9.81m/s2 .

3. Gew¨ohnliche Differentialgleichungen F¨ ur Anfangsort x0 = R2 ist die L¨osung:

 x1,0  x2,0

x1 (t) = x1,0 + v1,0 t

31

∈ R2 und Anfangsgeschwindigkeit v0 = , x2 (t) = x2,0 + v2,0 t − 12 gt2

 v1,0  v2,0

∈

(t ∈ R).

Dies entspricht den Geschwindigkeiten v1 (t) :=

d x (t) dt 1

= v1,0

,

v2 (t) :=

d x (t) dt 2

Die Zeichnung zeigt verschiedene Wurfx2 bahnen bei gleichem Anfangsort und Betrag der Anfangsgeschwindigkeit, 0.2 aber unterschiedlicher Richtung der An0.1 fangsgeschwindigkeit. Der Wurf mit Winkel α = π/4 f¨ uhrt dabei am weitesten, denn f¨ ur die Zeit t := 2v2,0 /g α ist x2 (t) = x2,0 , und wegen v0 = v0 ( cos sin α ) ist

= v2,0 − gt

(t ∈ R).

=

x1 (t) − x1,0 =

0.2

0.4

0.6

x1

2v1,0 v2,0

v0 2 sin(2α) = . g g 2

2

3. Die eindimensionale Wellengleichung ∂∂t2u (x, t) = c2 ∂∂xu2 (x, t) mit Parameter c > 0 (Ausbreitungsgeschwindigkeit) ist ein Beispiel einer partiellen Differentialgleichung. F¨ ur beliebige Funktionen f± ∈ C 2 (R) ist u(x, t) := f+ (x − ct) + f− (x + ct)

(x, t ∈ R)

eine L¨osung. Eine physikalische Anwendung ist die Ausbreitung elektrischer Signale f± in einem Telegraphendraht, wobei die Position mit x, die Zeit mit t bezeichnet wird. 3 Wir werden in diesem Buch nur gew¨ ohnliche Differentialgleichungen (englisch: ordinary differential equations oder o.d.e.) behandeln. 3.3 Definition Die h¨ochste Ordnung eines in der DGL auftretenden Differentialquotienten wird Ordnung der Differentialgleichung genannt. 3.4 Beispiele 1. Die DGL aus Beispiel 3.2.1. ist von erster Ordnung, 2. die aus 3.2.2. ist von zweiter Ordnung. 3. Die Differentialgleichung (1.3) und ihr durch Spezialisierung auf verschwin2 denden Drehimpuls entstehender Radialteil ddt2r (t) = − r2γ(t) sind von zweiter Ordnung. Letztere DGL beschreibt z.B. die Bewegung eines sich radial mit Geschwindigkeit dr dt vom Erdmittelpunkt wegbewegenden Raumschiffes. γ ist das Erde Raumschiff Produkt von Gravitationskonstante und r Erdmasse M > 0, r der Abstand des Raumschiffes vom Erdmittelpunkt und r˙ d r die Radialgeschwindigkeit. 3 r˙ = dt

32

3.1. Definitionen und Beispiele

3.5 Definition • Ein gew¨ohnliches Differentialgleichungssystem f¨ ur die Funktionen x1 , . . . , xm heißt linear, wenn es die Form n

A(i) (t) x(i) (t) = b(t)

i=0 i

i

d d  hat. Dabei bezeichnet x(i) := ( dt den Vektor der i–ten Abi x1 , . . . , dti xm ) (i) leitungen; t → A (t) ∈ Mat(m, R) und t → b(t) ∈ Rm sind vorgegebene Matrix– beziehungsweise vektorwertige Funktionen.

• Andernfalls heißt das Differentialgleichungssystem nicht linear. • Eine lineare DGL heißt homogen, wenn b(t) = 0 f¨ ur alle t, sonst inhomogen. • Die Komponenten bl von b heißen St¨ orfunktionen. So ist Beispiel 3.2.1. linear homogen, Beispiel 3.2.2. ist linear inhomogen und Beispiel 3.4.3. ist nicht linear. Ab jetzt werden viele Begriffe nur f¨ ur Einzel–Differentialgleichungen eingef¨ uhrt. Das meiste u ¨bertr¨agt sich aber auf DGL–Systeme. 3.6 Definition 1. Eine Differentialgleichung heißt implizit, wenn sie die Form   (3.1.1) F t, x, x , . . . , x(n) = 0 hat, explizit, wenn sie die Form   x(n) = f t, x, x , . . . , x(n−1)

(3.1.2)

hat. 2. Eine n–mal differenzierbare auf dem offenen Intervall I definierte Funktion x : I → R heißt explizite L¨ osung der DGL (3.1.1) bzw. (3.1.2), wenn gilt:   F t, x(t), x (t), . . . , x(n) (t) = 0 (t ∈ I)   (t ∈ I). bzw. x(n) (t) = f t, x(t), x (t), . . . , x(n−1) (t) Beispiele 3.2.1.–2. und Beispiel 3.4.3 sind explizite Differentialgleichungen. F¨ ur 3.2.1.–2. wurden auch (die) expliziten L¨ osungen angegeben. 3.7 Bemerkung (L¨ osungsbegriff) Algebraische Gleichungen, wie etwa ax2 + bx + c = 0 mit Koeffizienten a, b, c ∈ R, sind uns vertraut. Diese sind Aussageformen u ¨ber dem Variablenbereich R, es entsteht also eine (entweder wahre oder falsche) Aussage, wenn wir eine Zahl x ∈ R einsetzen. ¨ Ahnlich betrachten wir z.B. eine Differentialgleichung vom Typ (3.1.2) mit stetigem f als Aussageform u ¨ber dem Variablenbereich C n (I, R), wobei die L¨osungen wieder die wahren Aussagen liefern, siehe W¨ ust [Wu], Kap. 5.2. 3

3. Gew¨ohnliche Differentialgleichungen

33

dy + x = 0 ist eine impli3.8 Beispiel (Implizite und explizite L¨ osungen) y dx 2 2 zite nichtlineare DGL. Die Kreisgleichung x + y = c ≥ 0 ist die √ allgemeine L¨o√ sung, aber in impliziter Form. Explizite L¨osung: y(x) = ± c − x2 f¨ ur |x| < c, also

x x dy =− . = ∓√ dx y c − x2

3

3.9 Definition • Eine einzelne L¨osung (ohne frei w¨ahlbare Konstanten) heißt spezielle oder partikul¨ are L¨osung. • Eine parameterabh¨angige L¨osung einer Differentialgleichung n–ter Ordnung heißt allgemeine L¨osung, wenn sie n frei w¨ahlbare Konstanten enth¨alt, • eine parameterabh¨angige L¨osung heißt vollst¨ andig, wenn alle speziellen L¨osungen durch Wahl geeigneter Parameterwerte aus ihr hervorgehen. • Eine nicht zu einer parameterabh¨angigen L¨osung geh¨orende spezielle L¨osung heißt singul¨ ar. Beispiele 3.2.1. und 2.: Die allgemeinen und auch vollst¨andigen L¨osungen wurden angegeben. Eine partikul¨are L¨ osung von 2. ist z.B. x1 (t) = 0, x2 (t) = − 12 gt2 . Beachte: In 2. gab es vier Parameter x1,0 , x2,0 , v1,0 , v2,0 , denn es waren zwei Differentialgleichungen zweiter Ordnung, 2 × 2 = 4. Beispiel 3.8.4.: Hier war c ≥ 0 Parameter der allgemeinen = vollst¨andigen L¨osung. 3.10 Beispiel (implizite Differentialgleichung) (y  )2 − 4xy  + 4y = 0 ist eine implizite nichtlineare DGL erster Ordnung. y Die allgemeine L¨ osung: y(x) = 2cx − 1 c2 , c ∈ R ist eine durch c parametrisierte Geradenschar. 1  2 Dies ist aber nicht die vollst¨andige L¨ osung, denn es existiert noch die sinx gul¨are L¨osung y(x) = x2 . Diese Parabel 1 1 ist die Einh¨ ullende der Geradenschar, siehe Abbildung. 3 Frage:

• Wie findet man L¨ osungen? • Woher weiß man, dass man alle gefunden hat?

Diese Frage besch¨aftigt seit der Zeit Newtons viele Mathematiker (und uns in diesem Kapitel). 2

34

3.1. Definitionen und Beispiele

Wir betrachten zun¨achst die expliziten Einzel-Differentialgleichungen erster Ordnung y  = f (x, y)

y 1

(x, y) ∈ U ⊆ R2 , U offen.

Geometrische Interpretation: Zeichnet man an jedem Punkt (x, y) ∈ U eine Gerade der Steigung f (x, y), dann ist der   graph(˜ y ) = (x, y˜(x)) | x ∈ I ⊂ U

1

x

1

jeder speziellen osung  L¨  y˜ : I → R der Differentialgleichung das Bild einer Kurve I → U, x → x, y˜(x) , die u ¨berall tangential an den lokalen Geraden ist. Beispiel y  = −cy, also f : R2 → R, f (x, y) = −cy, siehe Abbildung. Um also die durch den Punkt (x, y) gehende spezielle L¨osung zu finden, bewegt man sich, von (x, y) ausgehend, tangential zum Richtungsfeld. Vorsicht: Woher wissen wir u ¨berhaupt, dass durch jeden Punkt (x, y) ∈ U ⊂ R2 nur eine L¨osungskurve geht? 3.11 Beispiele (Gegenbeispiele zur eindeutigen L¨ osbarkeit) 1. Implizite Differentialgleichung aus Beispiel 3.10. (3.1.3) (y  )2 − 4xy  + 4y = 0 Hier gehen durch jeden Punkt (x0 , y0 ) unterhalb des Graphen der Parabel y = x2 zwei L¨ osungskurven, das heißt an die Parabel tangentiale Geraden. Deren Steigungen entsprechen den zwei L¨osungen der quadratischen Gleichung (3.1.3) f¨ ur y  am Punkt (x0 , y0 ). Oberhalb des Graphen der Parabel gibt es keine L¨osung.

y

1 1 2

1

1

x

2. Explizite Differentialgleichung mit nicht lipschitz–stetigem f √ 3 Eine allgemeine L¨ osung der DGL v˙ = f (v) mit f (v) := 3 v 2 ist v(t) = (t − c)3 , c ∈ R. 2 Numerische Methoden zur L¨ osung von Differentialgleichungen werden zum Beispiel in Deuflhard und Bornemann [DB] behandelt.

3. Gew¨ohnliche Differentialgleichungen Daneben gibt es aber eine singul¨are L¨osung: v(t) = 0. Durch jeden Punkt auf der t– Achse gehen damit mindestens zwei L¨osungskurven! In diesem Beispiel f¨allt auf, dass die Funktion f zwar stetig, aber bei 0 nicht differenzierbar ist.

35

v 1  2

0

1

t

 12

Der Vergleich mit dem (eindeutigen) Fall f (t) := |t| legt aber nahe, dass nicht die mangelnde Differenzierbarkeit sondern die fehlende Lipschitz–Stetigkeit die Nichteindeutigkeit verursacht. Physikalisch modelliert dieses Beispiel das Wachstum des Volumens v von Regentropfen durch Kondensation von Wasserdampf an der Oberfl¨ache. Dabei wird angenommen, dass die Rate kondensierten Wassers proportional zur Oberfl¨ache des Tropfens, also zu v2/3 ist. Zur eigentlichen Entstehung von Tropfen kann das Modell also nichts aussagen. 3 3.12 Aufgaben (Einzeldifferentialgleichungen erster Ordnung) 1. Skizzieren Sie die Graphen der Geschwindigkeitsfunktionen fi : R → R mit f1 (x) := (x2 − 1)2

,

f2 (x) := (x2 + 1)2 .

Bestimmen Sie die Fixpunkte und die minimalen invarianten Mengen der Differentialgleichungen x˙ = fi (x). Beschreiben Sie, ohne die Differentialgleichungen explizit zu l¨osen, das qualitative Verhalten ihrer L¨ osungen xi (t, x0 ) f¨ ur Zeiten t und Anfangswert x0 . 2. Geben Sie in Abh¨angigkeit von α ≥ 0 und dem Anfangswert x0 > 0 das maximale Zeitintervall an, f¨ ur das das Anfangswertproblem x˙ = f (x) f¨ ur osung besitzt. 3 f : R+ → R, f (x) := xα eine L¨ ¨ Nach dieser informellen Ubersicht u ¨ber die bei gew¨ohnlichen Differentialgleichungen auftretenden Ph¨anomene zeigen wir nun mathematisch rigoros die (lokale) Existenz und Eindeutigkeit der L¨ osung gen¨ ugend regul¨arer expliziter gew¨ohnlicher DGLn 1. Ordnung. Sp¨ater werden wir sehen, dass damit auch die gleiche Frage f¨ ur explizite Differentialgleichungen h¨ oherer Ordnung beantwortet wird.

3.2

Lokale Existenz und Eindeutigkeit der L¨ osung

Wir werden nun sehen, dass bei etwas mehr Regularit¨at von f die Differentialgleichung lokal eindeutig l¨ osbar ist. Dazu schauen wir uns aber gleich die n–dimensionale Situation an:

36

3.2. Lokale Existenz und Eindeutigkeit der L¨osung

3.13 Definition • Ist U ⊆ Rt × Rnx offen und f : U → Rn stetig, dann heißt U erweiterter Phasenraum, f zeitabh¨ angiges Vektorfeld und die Gleichung x˙ = f (t, x) nichtautonome oder explizit zeitabh¨ angige Differentialgleichung. ˜ mit Phasenraum U ˜ ⊆ Rn offen und f von der Form • Ist speziell U = Rt × U x f (t, x) = f˜(x), dann heißt die DGL autonom oder dynamisches System. • Eine differenzierbare Funktion ϕ : I → Rnx auf dem Intervall I ⊆ Rt wird eine L¨ osung der Differentialgleichung genannt, wenn graph(ϕ) ⊂ U und   dϕ = f τ, ϕ(τ ) (τ ∈ I). dt t=τ ugt der Anfangsbedingung (t0 , x0 ), wenn t0 ∈ I, (t0 , x0 ) ∈ • ϕ : I → Rnx gen¨ U und ϕ(t0 ) = x0 gilt. ϕ l¨ ost das Anfangswertproblem (AWP), wenn gilt:   dϕ = f τ, ϕ(τ ) (τ ∈ I) und ϕ(t0 ) = x0 (3.2.1) dt t=τ • Das zeitabh¨angige Vektorfeld f : U → Rn erf¨ ullt - global eine Lipschitz–Bedingung mit Konstante L, wenn   (t, xi ) ∈ U

f (t, x0 ) − f (t, x1 ) ≤ L x0 − x1

- und (lokal) eine Lipschitz–Bedingung, wenn jeder Punkt (τ, x) aus U eine Umgebung V ⊆ U besitzt, sodass f¨ ur eine Konstante L = L(τ, x)  

f (t, x0 ) − f (t, x1 ) ≤ L x0 − x1

(t, xi ) ∈ V . (3.2.2) 3.14 Lemma Ist das zeitabh¨angige Vektorfeld f : U → Rnx stetig differenzierbar, dann ist die lokale Lipschitz–Bedingung (3.2.2) auf einer kompakten konvexen Teilmenge V ⊆ U des erweiterten Phasenraums mit Lipschitz–Konstante L := sup(t,x)∈V Dx f (t, x) erf¨ ullt. Beweis: • Da Dx f : V → Mat(n, R) stetig und V kompakt ist, gilt L < ∞. • F¨ ur die Punkte xs := (1 − s)x0 + sx1 (s ∈ [0, 1]) der Verbindungsstrecke ist wegen der Konvexit¨atsannahme (t, xs ) ∈ V . 1 d • Der Hauptsatz der Integralrechnung sagt: f (t, x1 )−f (t, x0 ) = 0 ds f (t, xs ) ds 1 1 dxs = 0 Dx f (t, xs ) ds ds = 0 Dx f (t, xs )(x1 − x0 ) ds, woraus (3.2.2) folgt: 1 2

f (t, x1 ) − f (t, x0 ) ≤ 0 Dx f (t, xs ) ds x1 − x0 ≤ L x1 − x0 . 3.15 Bemerkungen (Existenz und Eindeutigkeit) 1. Man beachte, dass die Lipschitz–Stetigkeit nur bez¨ uglich der x–Variablen gefragt ist.

3. Gew¨ohnliche Differentialgleichungen

37

2. Die lokale Lipschitz–Bedingung garantiert nach dem Satz von Picard–Lindel¨of (Satz 3.17) schon die Existenz und Eindeutigkeit (siehe Definition 3.16) einer zeitlokalen L¨osung des Anfangswertproblems. Die bloße Existenz einer solchen L¨ osung folgt sogar schon aus unserer Generalannahme, dass f stetig ist (Satz von Peano). 3. Es war schon festgestellt worden, dass aus einer L¨osung ϕ : I → Rnx des AWP durch Restriktion ϕI˜ auf ein kleines, t0 enthaltendes Intervall I˜ ⊆ I eine von ϕ im strengen Sinn verschiedene L¨ osung entsteht, denn die Definitionsbereiche der beiden Funktionen ϕ und ϕI˜ sind ja unterschiedlich. In diesem Sinn ist die L¨osung des Anfangswertproblems also nicht eindeutig. Da wir aber nach dem gr¨ oßtm¨ oglichen Zeitintervall I suchen, f¨ ur das die L¨osung von (3.2.1) definiert ist (siehe Kapitel 3.5), interessiert uns diese triviale Verschiedenheit der L¨ osungen nicht. Daher wird sie wegdefiniert: 3 3.16 Definition Die L¨osung des Anfangswertproblems (3.2.1) ist eindeutig, wenn f¨ ur je zwei L¨osungen ϕ1 : I1 → Rnx und ϕ2 : I2 → Rnx des Anfangswertproblem auf dem Intervall I3 := I1 ∩ I2 gilt: ϕ1 I3 = ϕ2 I3 . Wir werden im Beweis des Satzes 3.17 die eindeutigen lokalen L¨osungen des Anfangswertproblems als Fixpunkte einer kontrahierenden Abbildung auf einem Raum stetiger Funktionen finden. Damit wir sicher sein k¨onnen, dass der Fixpunkt u ¨berhaupt existiert, benutzen wir gem¨aß dem banachschen Fixpunktsatz (Satz D.3 des Anhangs) die in Satz D.1 auf Seite 505 konstatierte Vollst¨andigkeit dieses Raumes. 3.17 Satz (Picard–Lindel¨ of) Das zeitabh¨angige Vektorfeld f : U → Rn auf dem erweiterten Phasenraum uge einer Lipschitz–Bedingung auf U . U ⊆ Rt × Rnx gen¨ Dann existiert f¨ ur (t0 , x0 ) ∈ U ein ε > 0, sodass das Anfangswertproblem x˙ = f (t, x)

, x(t0 ) = x0

(3.2.3)

eine eindeutige L¨osung ϕ : [t0 − ε, t0 + ε] → Rnx besitzt. Beweis: Wir bezeichnen das gesuchte Zeitintervall mit I ≡ Iε := [t0 − ε, t0 + ε]. • Existiert eine solche L¨ osung, dann muss sie die Integralgleichung  t   f s, ϕ(s) ds (t ∈ I) ϕ(t) = x0 +

(3.2.4)

t0

erf¨ ullen, wie man durch Differentiation bzw. Einsetzen von t0 feststellt. Andererseits ist nach dem Hauptsatz der Differential– und Integralrechnung jede stetige L¨osung von (3.2.4) auch schon differenzierbar und damit eine L¨osung des Anfangswertproblems (3.2.3).

38

3.2. Lokale Existenz und Eindeutigkeit der L¨osung

• Es soll nun die L¨ osung ϕ als Fixpunkt einer Abbildung A aufgefunden werden. x A wird stetige Kurven im Phasenraum in solche abbilden. Um den U Definitionsbereich von A g¨ unstig zu x0 w¨ahlen, soll der Phasenraumbereich Vr Vε,r ψ die abgeschlossene Vollkugel V ≡ Vr := Ur (x0 ) sein. Wir setzen Vε,r := Iε × Vr ,

t

und w¨ahlen r so klein, dass Vr,r ⊆ U. Weiter sei L > 0 Lipschitz–Konstante von f Vr,r , N := max(t,x)∈Vr,r f (t, x)

und 3

t0 Iε

  r 1 . ε := min r, , N 2L

(3.2.5)

Damit ist insbesondere Vε,r ⊆ Vr,r ⊆ U . M := C(I, V ) ⊆ C(I, Rn ) bezeichne wieder den metrischen Raum der stetigen Funktionen ψ : I → V , mit Supremumsmetrik d(ψ, ϕ) := sup ψ(t) − ϕ(t) . t∈I

Nach Satz D.1 ist (M, d) ein vollst¨andiger metrischer Raum (denn V ⊆ Rn ist abgeschlossen). • Wir f¨ uhren durch (Aψ)(t) := x0 +

t t0

  f s, ψ(s) ds

(t ∈ I)

eine Abbildung A : M → C(I, Rn ) ein. Von dieser zeigen wir zun¨achst, dass ihr Bild in M bleibt. Der Abstand zwischen (Aψ)(t) und x0 ist  t   t            f s, ψ(s) ds f s, ψ(s) ds ≤  t0 t0  t max(t˜,x)∈Vr,r f (t˜, x) ds ≤ |t − t0 |N ≤ εN ≤ r, ≤ t0

unter Verwendung der Definition (3.2.5) von ε. Damit gilt f¨ ur alle Zeiten t ∈ I: (Aψ)(t) ∈ Uε (x0 ) = V , also Aψ ∈ M . 3 mit

r/N := +∞ f¨ ur N = 0

3. Gew¨ohnliche Differentialgleichungen

39

• Jetzt fehlt uns als Voraussetzung des banachschen Fixpunktsatzes nur noch, dass diese sogenannte Picard–Abbildung A:M →M kontrahierend ist, dass also f¨ ur ein geeignetes 0 < θ < 1 gilt   d Aϕ, Aψ ≤ θ d(ϕ, ψ) (ϕ, ψ ∈ M ). Tats¨achlich ergibt sich   d Aϕ, Aψ = sup Aϕ(t) − Aψ(t)

t∈I  t              ≤ ε sup f s, ϕ(s) − f s, ψ(s)

= sup  f s, ϕ(s) − f s, ψ(s) ds   t∈I s∈I t0

≤ ε L sup ϕ(s) − ψ(s) = ε L d(ϕ, ψ) ≤ s∈I

1 2

d(ϕ, ψ).

Die Definition (3.2.5) von ε wurde wieder in der letzten Ungleichung verwendet. A ist damit eine kontrahierende Abbildung auf dem vollst¨andigen metrischen Raum M . • A besitzt also nach dem banachschen Fixpunktsatz (siehe Seite 506) einen eindeutigen Fixpunkt ϕ ∈ M . Diese Funktion ϕ erf¨ ullt die Integralgleichung (3.2.4) und l¨ost damit das Anfangswertproblem. 2 Die Picard–Iteration xi+1 := Axi , die hier benutzt wurde, um den Fixpunkt ϕ = limi→∞ xi von A zu finden, wurde, kann auch zur L¨osung von Differentialgleichungen verwendet werden: 3.18 Beispiele (Picard–Iteration) 1. Wir approximieren die L¨osung des Anfangswertproblems x˙ = x , x(0) = x0 ∈ R durch  x0 (t) := x0

t

und xi+1 (t) := x0 +

xi (s) ds

(t ∈ R),

0

tk n k0  , n0,...,3 k

also (siehe Abbildung) x1 (t) = x0 (1 + t)   t2 x2 (t) = x0 1 + t + 2 .. . n ti xn (t) = x0 . i! i=0

2

1

1

0

1

t

40

3.2. Lokale Existenz und Eindeutigkeit der L¨osung

∞ i Da x(t) = x0 i=0 ti! = x0 · et , konvergiert f¨ ur alle t ∈ R die n–te Iterierte osung x(t), und zwar gleichm¨aßig auf jedem kompakten xn (t) gegen die L¨ Zeitintervall (aber nicht gleichm¨aßig auf R).

2. Das Anfangswertproblem x˙ = 1 + x2 , x0 = 0 besitzt nur eine L¨osung auf  π π − 2 , 2 , und zwar den Tangens. Wir optimieren die Konstanten im Beweis des Satzes von Picard–Lindel¨of. F¨ ur r > 0 ist N = max|x|≤r f (x) = 1 + r2 , und die Lipschitz–Konstante L =  max|x|≤r f  (x) = 2r. Also ist gem¨aß Definition (3.2.5) ε = min

ε wird maximal f¨ ur r =

√1 , 3

das heißt ε =

√ 3 4 .

.

√

F¨ ur Zeiten |t| <

wir also Konvergenz garantieren. Picard– Iteration mit Anfangswert x0 (t) := x0 ergibt

r 1 1+r 2 , 4r

3 4

k¨onnen

tant 4

x0 (t) = 0

 t x1 (t) = (Ax0 )(t) = 0 1 + x20 (s) ds = t  Π2  t x2 (t) = (Ax1 )(t) = 0 1 + s2 ds = t + t3 /3  t x3 (t) = (Ax2 )(t) = 0 1 + (s + s3 /3)2 ds = t+

t3 3

+

2 5 t 15

+

2 2

 3 Π   4 4

Π 2

t

4

1 7 t , 63

etc. Faktisch konvergiert diese Funktionenfolge nicht nur auf [−ε, ε] gegen den Tangens,die L¨ osung des Anfangswertproblems, sondern auf dem gesamten  Intervall − π2 , π2 . 3 3.19 Aufgabe (Picard–Lindel¨ of) Wir betrachten die Differentialgleichung x˙ = f (x)

mit

f : R → R , f (x) := exp(−x)

und Anfangsbedingung x(0) = 0. Da f lokal lipschitz–stetig ist, existiert nach Satz 3.17 ein ε > 0 und eine Funktion ϕ : [−ε, ε] → R, welche dieses Anfangswertproblem l¨ost. (a) Finden Sie eine untere Schranke an ε, die von diesem Satz garantiert wird. (b) Wie sieht die Picard–Iteration f¨ ur dieses Anfangswertproblem aus? (c) Wie lautet die maximale L¨ osung des Anfangswertproblems?

3

In den naturwissenschaftlichen oder technischen Anwendungen von Differentialgleichungen kennen wir deren Anfangswerte normalerweise nicht genau. Der folgende Satz besagt, dass dies auch gar nicht n¨otig ist. 3.20 Satz Unter den Voraussetzungen des Satzes 3.17 (Picard–Lindel¨of) existiert f¨ ur jeden Punkt (T0 , X0 ) ∈ U des erweiterten Phasenraums eine kompakte Umgebung V ⊂ U und ein Intervall Iε := [−ε, ε], sodass die Familie Φ : Iε × V → U

,

(s; t0 , x0 ) → ϕ(t0 + s)

3. Gew¨ohnliche Differentialgleichungen

41

der L¨osungen des Anfangswertproblems (3.2.3) eine stetige Abbildung ist. Die L¨osungen h¨angen also stetig von ihren Anfangswerten und der Zeit ab. Beweis: • F¨ ur kleine R > 0 und ε > 0 ist [T0 − 2ε, T0 + 2ε] × UR (X0 ) Teilmenge des erweiterten Phasenraums U . Die Menge Vε,r := [T0 − ε, T0 + ε] × Ur (X0 ) von Anfangswerten (t0 , x0 ) ist f¨ ur r ∈ (0, R) darin enthalten. Außerdem ist sie beschr¨ankt und abgeschlossen, also kompakt. F¨ ur die Picard–Iteration benutzen wir statt des Raumes der Kurven den metrischen Raum   M := C Iε × Vε,r , UR (X0 ) mit der Supremumsmetrik d(Φ, Ψ) := sup{ Φ(t; y) − Ψ(t; y) | (t; y) ∈ Iε × Vε,r }

(Φ, Ψ ∈ M ).

• (M, d) ist ein vollst¨andiger metrischer Raum, denn (a) die Bildmenge ist eine abgeschlossene Teilmenge des Rn , also vollst¨andig. (b) der Definitionsbereich ist kompakt. Jede Cauchy–Folge (Φm )m∈N in M besitzt also einen punktweisen Limes Φ mit Φ(t; y) := limm→∞ Φm (t; y). (c) auch das ε/3–Argument aus Satz D.1 u ¨bertr¨agt sich auf diese Situation, Φ ist also stetig und Φ ∈ M . • Wir betrachten f¨ ur Ψ ∈ M die Picard–Abbildung  s   f t0 +τ, Ψ(τ ; t0 , x0 ) dτ (AΨ)(s; t0 , x0 ) := x0 +



 (s; t0 , x0 ) ∈ Iε ×Vε,r .

0

Ist Φ ein Fixpunkt von A, dann bedeutet dies Φ(0; t0 , x0 ) = AΦ(0; t0 , x0 ) = x0 und   d d Φ(s; t0 , x0 ) = (AΦ)(s; t0 , x0 ) = f t0 + s, Φ(s; t0 , x0 ) . ds ds Die Abbildung t → Φ(t−t0 ; t0 , x0 ) l¨ ost also das AWP mit Anfangswert (t0 , x0 ). • Mit der gleichen Argumentation wie im Beweis von Picard–Lindel¨of wird f¨ ur kleine Parameter ε, r > 0 die Picard–Abbildung zu einer Kontraktion A : M → M. Sie hat also nach dem banachschen Fixpunktsatz einen eindeutigen Fixpunkt Φ ∈ M. 2

42

3.3

3.3. Globale Existenz und Eindeutigkeit der L¨osung

Globale Existenz und Eindeutigkeit der L¨ osung

Es ist naheliegend, auch Differentialgleichungen auf Mannigfaltigkeiten zu untersuchen. 3.21 Definition • Ist f : M → T M ein (zeitunabh¨angiges) Vektorfeld auf der Mannigfaltigkeit M (siehe Definition A.39), dann wird eine Kurve ϕ ∈ C 1 (I, M ) L¨ osung der Differentialgleichung x˙ = f (x) genannt, wenn f¨ ur   d ϕ(t) = f ϕ(t) . alle Zeiten t ∈ I gilt: dt • Ein Vektorfeld f : M → T M auf der Mannigfaltigkeit M heißt vollst¨ andig, wenn f¨ ur alle x0 ∈ M das Anfangswertproblem x˙ = f (x), x(0) = x0 eine eindeutige L¨osung ϕ : R → M besitzt. In diesem Abschnitt stellen wir Kriterien f¨ ur die Vollst¨andigkeit von Vektorfeldern vor. Wir beginnen mit dem Fall des Phasenraums M = Rn . 3.22 Beispiele 1. Am Beispiel 3.18.2 der DGL x˙ = f (x) = 1 + x2 des Tangens sehen wir, dass die L¨ osung nicht f¨ ur alle Zeiten existiert (sondern in der Zeit π von Null nach ∞ divergiert), da x → f (x) superlinear w¨achst. Dies steht 2 nicht im Widerspruch zur lokalen Lipschitz–Stetigkeit von f . 2. Dagegen ist in Beispiel 3.18.1 f (x) = x sogar global lipschitz–stetig, und dieses lineare Vektorfeld ist vollst¨andig. Dies ist ganz allgemein so: 3 3.23 Satz • Lipschitz–stetige Vektorfelder f : Rn → Rn sind vollst¨andig. • Allgemeiner sei I ⊆ R ein Intervall, und das zeitabh¨angige Vektorfeld ulle die zeitabh¨angige globale Lipschitz–Bedingung f : I × Rn → Rn erf¨  

f (t, x1 ) − f (t, x2 ) ≤ L(t) x1 − x2

t ∈ I, x1 , x2 ∈ Rn mit stetiger Lipschitz–Konstante L : I → R+ . Dann hat das Anfangswertproblem f¨ ur alle Anfangswerte (t0 , x0 ) ∈ I × Rn eine eindeutige L¨osung ϕ : I → Rn . Beweis: • Der zeitunabh¨angige Fall ergibt sich aus dem zeitabh¨angigen Fall mit I = R und konstantem L. • Es gen¨ ugt, kompakte Intervalle I zu betrachten, denn jedes Intervall I  t0 l¨asst sich als Vereinigung kompakter Intervalle Ik  t0 darstellen. • Dann ist wegen der Stetigkeitsannahme supt∈I L(t) endlich. Es gibt also eine ˜ ≥ 1 mit Lipschitz-Konstante L ˜ x1 − x2

f (t, x1 ) − f (t, x2 ) ≤ L

(t ∈ I, x1 , x2 ∈ Rn ).

Wir w¨ahlen r := f (x0 ) + 21L˜ , sodass N := maxx∈Ur (x0 ) f (x) die Ungleichung N

≤

f (x0 ) + maxx∈Ur (x0 ) f (x) − f (x0 )

≤

˜ max ˜

x − x0 ≤ r + Lr

f (x0 ) + L x∈Ur (x0 )

3. Gew¨ohnliche Differentialgleichungen

43

erf¨ ullt, und die das Zeitintervall definierende Konstante ε aus (3.2.5) unabh¨angig von x0 wird:     r 1 1 1 1 1 ε = min r , , + f (x0 ) , , . = min = ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ N 2L 2L 1 + L 2L 2L • F¨ ur beliebige Zeiten tk ∈ I und Anfangswerte xk ∈ Rn k¨onnen wir nach Satz 3.17 die eindeutige lokale L¨ osung ϕk : Ik → Rn des Anfangswertproblems x˙ = f (t, x) mit ϕk (tk ) := xk auf dem Intervall Ik := [tk − ε, tk + ε] ∩ I finden. ur k ∈ N bei Kenntnis der Mit den Zeiten tk := t0 + 2ε k ∈ I setzen wir nun f¨ L¨osung ϕk−1 den Anfangswert xk := ϕk−1 (tk ). Analog w¨ahlen wir f¨ ur ganzzahlige k < 0 den Anfangswert xk := ϕk+1 (tk ). • Es ist also ϕk−1 (tk ) = ϕk (tk ). Wegen der Eindeutigkeit der L¨osung des Anfangswertproblems im Sinn von Definition 3.16 erhalten wir mit ϕ : I → Rn

,

ϕ(t) := ϕk (t) falls t ∈ Ik

eine eindeutige L¨ osung des Anfangswertproblems x˙ = f (t, x), x(t0 ) = x0 .

2

3.24 Bemerkungen 1. Analog zu Lemma 3.14 hat man das folgende hinreichende Kriterium f¨ ur globale Lipschitz–Stetigkeit. Ist f ∈ C 1 (Rn , Rn ), dann ist f lipschitz–stetig, wenn gilt: sup Df (x) < ∞ .

x∈Rn

2. Insbesondere folgt, dass f¨ ur alle linearen Differentialgleichungen das Anfangswertproblem x˙ = Ax , x(0) = x0 f¨ ur alle Zeiten eindeutig l¨ osbar ist, denn das Vektorfeld f (x) = Ax ist lipschitz– stetig mit Konstante L = A := supv∈S n−1 Av , der Matrixnorm von A ∈ Mat(n, R). In Kapitel 4.1 wird gezeigt, dass diese L¨osung von der Form x(t) = exp(At)x0 ist. 3. Satz 3.23 garantiert die eindeutige globale L¨ osbarkeit unter Voraussetzung der Existenz einer stetig von der Zeit abh¨angigen Lipschitz–Konstante L : I → ur inhomogen-lineare Differentialgleichungen x(t) ˙ = A(t)x(t) + b(t) R+ . F¨ gen¨ ugt es sogar anzunehmen, dass A und b lokal integrabel sind, siehe Weidmann [Weid], Theorem 2.1. 3 3.25 Aufgabe Finden Sie die L¨ osung des Anfangswertproblems x˙ = sin x mit 3 x(0) = π/2. Berechnen Sie limt→−∞ x(t) und limt→∞ x(t). Wie das folgende Beispiel zeigt, ist die Lipschitz–Stetigkeit des Vektorfeldes auf dem gesamten Phasenraum Rn eine hinreichende, aber keineswegs notwendige Voraussetzung f¨ ur seine Vollst¨andigkeit.

44

3.3. Globale Existenz und Eindeutigkeit der L¨osung

3.26 Beispiel (Vollst¨ andiges Vektorfeld) x2 Das Vektorfeld f : P → R2 , x → x 2 ( −x ) auf dem Phasenraum P = R2 ist 1 glatt. Es ist aber nicht global lipschitz–stetig, denn seine Ableitung   2x x2 x21 +3x22 Df : P → Mat(2, R) , Df (x) = −3x12 −x 2 −2x x 1

2

1

2

ist nicht beschr¨ankt. Daher k¨ onnen wir seine Vollst¨andigkeit nicht mit Satz 3.23 beweisen. Wir stellen aber fest, dass f tangential zu den Kreislinien Sr1 := {x ∈ P | x = r} vom Radius r ist, denn es steht senkrecht auf deren Normalenvektoren: f (x), x = 0. In Polarkoordinaten x1 = r cos ϕ, x2 = r sin ϕ lautet die DGL x˙ = f (x) r˙ = 0 ,

ϕ˙ = −r 2 .

Die eindeutige L¨ osung r(t) = r0 , ϕ(t) = ϕ0 − r02 t des Anfangswertproblems existiert f¨ ur alle Zeiten t ∈ R. 3 Entscheidend f¨ ur die globale L¨ osbarkeit war hier die M¨oglichkeit, das Vektorfeld f auf die kompakten Untermannigfaltigkeiten Sr1 des Phasenraums einzuschr¨anken.

3.27 Satz Lipschitz–stetige Vektorfelder auf kompakten Mannigfaltigkeiten sind vollst¨andig. Beweis: • Zun¨achst macht man sich klar, dass lokale Lipschitz–Stetigkeit (und um diese geht es hier) kartenunabh¨angig definiert ist. Denn Kartenwechsel sind Diffeomorphismen offener Teilmengen des Rn , deren Ableitungen auf Kompakta beschr¨ankt sind. • F¨ ur jeden Punkt x ∈ M gibt es nach Satz 3.20 eine kompakte Umgebung Kx und ein εx > 0, sodass das Anfangswertproblem f¨ ur alle x0 ∈ Kx eine eindeutige L¨osung mit Zeitintervall (−εx , εx ) besitzt. Ebenso gibt es im (maximalen) Atlas von M zu jedem x ∈ M Karten (Ux , ϕx ) mit offenen, x enthaltenden Kartengebieten Ux ⊂ Kx und Kartenabbildungen ϕx : Ux → Rn . Da die Mannigfaltigkeit M kompakt ist, werden von diesen Karten nur end¨ lich viele f¨ ur einen Atlas ben¨ otigt (denn jede offene Uberdeckung von M besitzt wegen der Kompaktheit eine endliche Teil¨ uberdeckung). Wir k¨onnen also annehmen, dass die Indexmenge I des Atlas {(Ui , ϕi ) | i ∈ I} von M endlich ist. • Da das Minimum der εi immer noch positiv ist, kann man mit der St¨ uckelungsmethode des Beweises von Satz 3.23 eine eindeutige L¨osung des Anfangswertproblems mit Zeitintervall R konstruieren. 2 2n 3.28 Aufgabe (Existenz des   Flusses) Es sei H : R → R eine glatte Funk−1 (−∞, E] f¨ ur alle E ∈ R kompakt ist. tion, so dass H

(a) Geben Sie ein Beispiel f¨ ur eine solche Funktion H.

3. Gew¨ohnliche Differentialgleichungen

45

(b) Zeigen Sie, dass der Fluss, der von den (hamiltonschen) Differentialgleichungen x˙ j = −

∂H (x) ∂xj+n

,

x˙ j+n =

∂H (x) ∂xj

(j ∈ {1, . . . , n}) 3

generiert wird, f¨ ur alle Zeiten existiert.

3.4

Transformation in ein dynamisches System

Reduktion der Ordnung Auch Differentialgleichungen h¨ oherer als erster Ordnung lassen sich mit den beschriebenen Methoden behandeln, indem man aus einer expliziten Differentialgleichung n–ter Ordnung ein System von n DGLn erster Ordnung macht. 3.29 Satz Die Differentialgleichung der Ordnung n > 1   n−1 dn x = F t, x, dx , . . . , ddtn−1x dtn dt

(3.4.1)

mit F ∈ C 1 (Rn+1 ) ist zum Differentialgleichungssystem ⎛ y2 .. dy . = f (t, y) mit f (t, y) := ⎝ yn dt

⎞ ⎠

(3.4.2)

F (t,y1 ,...,yn )

im folgenden Sinn ¨aquivalent: ⎛ • Ist ϕ : I → R L¨osung von (3.4.1), dann ist ψ := ⎝

ϕ ϕ

.. .

⎞ ⎠ : I → Rn L¨osung

ϕ(n−1)

von (3.4.2). ψ  1 .. • Ist umgekehrt ψ = L¨osung von (3.4.2), dann ist ψ1 L¨osung von (3.4.1). . ψn

Beweis: Nach Definition ist ϕ n–mal differenzierbar, also ψ : I → Rn differend ψk−1 (k = 2, . . . , n), zierbar, und ψk = dt d dt ψn

=

dn ϕ dtn

= F (t, ϕ, ϕ , . . . , ϕ(n−1) ) = F (t, ψ1 , . . . , ψn ).

Die Argumentation l¨asst sich umkehren.

2

3.30 Aufgabe Betrachten Sie die eindimensionale Bewegung x ¨ = x. Finden Sie die L¨osung mit Anfangsbedingung (x0 , x˙ 0 ) = (1, −1). Wieviel Zeit braucht sie, um x = 0 zu erreichen? 3

46

3.4. Transformation in ein dynamisches System

3.31 Beispiel (Kepler–Problem) Das himmelsmechanische 2–K¨orper–Problem beschreibt die z.B. die Bewegung von Erde und Sonne um ihren gemeinsamen Schwerpunkt. Es l¨aßt sich auf das in der Einleitung behandelte sogenannte 1– Zentren-Problem der Bewegung einer Punktmasse am Ort x ∈ R3 \{0} im Schwerefeld eines im Koordinatenursprung befindlichen Himmelsk¨orpers reduzieren. Es gilt dann nach (1.3) x . x ¨ = −γ

x 3 Dieses DGL–System zweiter Ordnung l¨asst sich auf die Differentialgleichung erster Ordnung mit Phasenraum U := (R3 \{0}) × R3  v    x z = (x, v) ∈ U (3.4.3) z˙ = f (z) := −γ x 3 umformen. Der Phasenraum U ist eine offene Teilmenge des R6 , mit einem Vektorfeld f ∈ C ∞ (U, R6 ). Damit k¨onnen wir (3.4.3) mit Picard–Iteration oder einem anderen Verfahren f¨ ur kleine Zeiten l¨ osen. Analoges gilt auch f¨ ur das n–K¨orper-Problem (1.8). 3

¨ Ubergang zu einem zeitunabh¨ angigen System Wir k¨onnen auch explizite zeitabh¨angige Differentialgleichungen auf autonome zur¨ uckf¨ uhren. Statt der DGL x˙ = f (t, x) mit f : U → Rn , U ⊆ Rt × Rnx offen betrachten wir dazu das autonome Differentialgleichungssystem  1  . (3.4.4) g(y) := f (y) y˙ = g(y) mit g : U → Rn+1 , y := ( xs ) Wir erh¨ohen also die Dimension des Phasenraums um Eins, indem wir den Zeitparameter s zum Phasenraumpunkt x hinzuf¨ ugen. Ausgeschrieben hat (3.4.4) die Form d d (3.4.5) dt s = 1 , dt x = f (s, x).   s(t) Ist nun ψ : I → U eine L¨ osung von (3.4.4), dann gilt mit ψ(t) = x(t) s(t) = s(0) + t, bis auf eine zu w¨ahlende additive Konstante ist also die Phasenraumkoordinate s gleich der t. Die L¨ osung ψ = ( xs˜ ) des Anfangswertpro t Zeit  0 blems y˙ = g(y), ψ(0) = x0 ergibt daher eine L¨osung x des Anfangswertpro˜(t − t0 ). blems x˙ = f (t, x), x(t0 ) = x0 . Man setzt einfach x(t) := x Umgekehrt kann man aus einer L¨ osung des AWP x˙ = f (t, x), x(t0 ) = x0 durch Erg¨anzung eine L¨ osung des Anfangswertproblems von (3.4.4) konstruieren. Ist f : U → Rn (in allen Argumenten) lipschitz–stetig, dann auch g. Damit u ¨bertr¨agt sich der Existenz– und Eindeutigkeitssatz (man beachte aber, dass wir f¨ ur nicht autonome DGLn keine Lipschitz–Stetigkeit bez¨ uglich t forderten).

Grundbegriffe f¨ ur autonome Differentialgleichungen Existiert f¨ ur alle x0 ∈ M eine eindeutige L¨ osung ϕx0 : R → M des Anfangswertproblems x˙ = f (x), x(0) = x0 auf der Mannigfaltigkeit M , dann heißt die

3. Gew¨ohnliche Differentialgleichungen

47

Abbildung Φ:R×M →M

, (t, x) → ϕx (t)

(3.4.6)

Phasenfluss oder kurz Fluss der Differentialgleichung. Sie bildet dann ein kontinuierliches dynamisches System im Sinn der Definition 2.7. Es ist aber oft praktisch, die folgenden bis jetzt nur f¨ ur dynamische Systeme definierten Begriffe auch dann zu verwenden, wenn die L¨osung des Anfangswertproblems nicht f¨ ur alle Zeiten existiert: 3.32 Definition Das Vektorfeld f : M → T M auf einer Mannigfaltigkeit M sei lokal lipschitz–stetig. Wir betrachten die Differentialgleichung x˙ = f (x). 1. ϕ : I → M sei eine L¨osungskurve der Differentialgleichung mit maximalem Zeitintervall I. Das Bild ϕ(I) ⊆ U heißt dann Orbit. F¨ ur x ∈ ϕ(I) heißt O(x) := ϕ(I) der Orbit durch x. arer Punkt des Vektorfeldes f , wenn f (xs ) = 0 ist. 2. xs ∈ M heißt singul¨ Ist xs ∈ M singul¨arer Punkt von f , dann heißt xs auch Ruhelage oder Gleichgewichtslage der Differentialgleichung. 3. x ∈ M heißt periodischer Punkt mit (Minimal)-Periode T > 0, wenn ϕx (T ) = x (und ϕx (t) = x falls t ∈ (0, T )). Ein Orbit O(x) heißt geschlossen, wenn x ∈ M ein periodischer Punkt ist 3.33 Bemerkungen 1. F¨ ur einen singul¨aren Punkt xs des Vektorfelds f ist die konstante Funktion x(t) = xs die (einzige) L¨osung des Anfangswertproblems. 2. Singul¨ar heißt der Punkt nicht etwa deswegen, weil das Vektorfeld f dort eine Singularit¨at bes¨aße, sondern weil dessen Richtungsfeld 4 x → f (x)/ f (x)

dort undefiniert ist und sich auch im Allgemeinen nicht stetig auf xs fortsetzen l¨asst. 3. Wie schon in Satz 3.27 verwendet, ist der Definition 3.32 zugrundeliegende Begriff der lokalen Lipschitz–Stetigkeit auch f¨ ur Vektorfelder auf Mannigfaltigkeiten wohldefiniert. 3 3.34 Satz Wenn das durch ein lokal lipschitz–stetiges Vektorfeld f : M → T M definierte Anfangswertproblem x˙ = f (x) eine L¨osung Φ : R × M → M besitzt, ist Φ ein stetiges dynamisches System (im Sinn von Definition 2.16). Beweis: Nach Satz 3.20 ist die Abbildung Φ aus (3.4.6) stetig. Die Bedingung Φ0 = IdM ist wegen der Eigenschaft ϕx0 (0) = x0 der L¨osung des Anfangswertproblems erf¨ ullt, die Kompositionseigenschaft Φt1 ◦ Φt2 = Φt1 +t2 (t1 , t2 ∈ R) wegen der Eindeutigkeit und Translationsinvarianz der L¨osung. 2 4 mit

einer zum Beispiel von einer riemannschen Metrik kommenden Norm

48

3.5. Das maximale Existenzintervall

!n 3.35 Beispiele 1. F¨ ur ein reelles Polynom f (x) = i=1 (x − ai ) mit den Nullstellen a1 < . . . < an ist die Differentialgleichung x˙ = f (x) lokal eindeutig l¨osbar und besitzt f¨ ur x ∈ [a1 , an ] sogar L¨ osungen t → Φt (x) f¨ ur alle t ∈ R. ur x ∈ (ai , ai+1 ) ist f (ai ,ai+1 ) > Die Ruhelagen sind die Punkte a1 , . . . , an . F¨ 0, falls n − i gerade ist. In diesem Fall ist damit ω(x) = {ai+1 } und α(x) = {ai }. Ist dagegen n − i ungerade, also f (ai ,ai+1 ) < 0, dann gilt umgekehrt ω(x) = {ai }, α(x) = {ai+1 }. Periodische Punkte existieren nicht. 2. F¨ ur das (in Polarkoordinaten (r, ϕ) notierte) Differentialgleichungssystem mit Phasenraum R2 r˙ = r(1 − r 2 ) , ϕ˙ = 1 ist der Ursprung (r = 0) die einzige Ruhelage, und {1} × [0, 2π) der einzige periodische Orbit. F¨ ur alle x ∈ R2 \{0} ist ω(x) gleich diesem periodischen Orbit, f¨ ur x < 1 ist α(x) = {0}. 3

3.5

Das maximale Existenzintervall

Zur Vorbereitung des Hauptsatzes bestimmen wir zun¨achst die Struktur des maximalen Definitionsbereichs von Φ. Wir betrachten das Vektorfeld f ∈ C 1 (U, Rn ) auf dem Phasenraum U ⊆ Rn (oder allgemeiner ein Vektorfeld auf einer Mannigfaltigkeit), und wollen f¨ ur die Anfangszeit t0 = 0 allen Anfangswerten x0 aus U das maximale Zeitintervall zuordnen, f¨ ur das die L¨ osung des Anfangswertproblems definiert ist. Nach dem Satz von Picard–Lindel¨ of ist dies eine Umgebung der Null, und (da dies auch f¨ ur alle Punkte des Orbits gilt) offen. Wir k¨ onnen es also in der Form T − (x0 ), T + (x0 ) mit −∞ ≤ T − (x0 ) < 0 < T + (x0 ) ≤ +∞ schreiben. Die entsprechende L¨ osung des Anfangswertproblems wird auch die maximale L¨osung genannt. Wir untersuchen die Fluchtzeiten T ± : U −→ R := {−∞} ∪ R ∪ {+∞}

(3.5.1)

mit Werten in der erweiterten Zahlengerahx de. Dazu wird R mit einer Topologie verse1 hen, bez¨ uglich derer R zum Intervall [−1, 1] hom¨oomorph ist, mit Hom¨ oomorphismus x ⎧ 2 1 1 2 −1 , x = −∞ ⎨ tanh(x) , x ∈ R h : R → [−1, 1], x → ⎩ 1 , x = +∞. 1 Wir sehen an folgendem Beispiel, dass T + und T − im Allgemeinen nicht stetig sind: =

3. Gew¨ohnliche Differentialgleichungen

49

3.36 Beispiel (Fluchtzeiten) Auf dem Phasenraum U := R2 \{0} betrachten wir das Anfangswertproblem f¨ ur das konstante Vektorfeld  f (x) := e1 , also Φt (x) = x + e1 t. Dies ist f¨ ur alle t definiert, falls x = xx12 mit x2 = 0 ist.     F¨ ur x2 = 0 und x1 < 0 ist T − (x), T + (x) = − ∞, |x1 | . 3 In diesem Beispiel springt T + nur nach oben, nicht nach unten. Dies ist typisch f¨ ur alle Differentialgleichungen: 3.37 Definition Eine Funktion f : U → R auf einem topologischen Raum 5 U heißt oberhalbstetig beziehungsweise unterhalbstetig bei x0 ∈ U , wenn f (x0 ) ≥ lim sup f (x) x→x0

bzw.

f (x0 ) ≤ lim inf f (x), x→x0

und oberhalbstetig (beziehungsweise unterhalbstetig), wenn sie f¨ ur alle x0 ∈ U oberhalbstetig (bzw. unterhalbstetig) bei x0 ist. 3.38 Beispiel (floor und ceil) In der Zerlegung von x ∈ R in x = x + {x} mit x ∈ Z und {x} ∈ [0, 1) x x ist die floor –Funktion · : R → 1 1 R (auch Gauss–Klammer genannt) 1 2x oberhalbstetig, w¨ahrend x → {x} 2 1 2 1 1 2x (ebenso wie die ceil–Funktion · : 2 R → R) unterhalbstetig ist. 3 3.39 Satz Die Fluchtzeit T + : U → R aus (3.5.1) ist unterhalbstetig, die Fluchtzeit T − : U → R ist oberhalbstetig. Damit ist der Definitionsbereich    D := (t, x) ∈ R × U | t ∈ T − (x), T + (x) des sogenannten maximalen Flusses Φ : D → U eine offene Teilmenge des erweiterten Phasenraums. Beweis: • Es sei x0 ∈ U . Dann existiert wegen der Offenheit von U eine Umgebung Ur (x0 ) mit Ur (x0 ) ⊂ U . Da Ur (x0 ) kompakt ist, ist die Einschr¨ankung des Vektorfeldes auf diese Menge lipschitz–stetig. Nach dem Satz von Picard– Lindel¨of gibt es ein ε > 0, sodass f¨ ur alle y ∈ Ur/2 (x0 ) das Anfangswertproblem x˙ = f (x), x(0) = y f¨ ur t ∈ (−ε, ε) eindeutig l¨osbar ist. • Wir betrachten nun eine aufsteigende Folge von Zeiten (tn )n∈N mit t1 = 0, limn→∞ tn = T + (x0 ), sodass f¨ ur geeignete rn > 0 und εn > 0 das AWP x˙ = f (x)

,

x(0) = y

f¨ ur alle t ∈ (−εn , εn )

und y ∈ Urn /2 (xn )

l¨osbar ist, wobei wir xn := Φtn (x0 ) setzen. Nach Konstruktion der maximalen L¨osung k¨onnen wir annehmen, dass tn+1 − tn < εn ist. 5 Wir haben es durchweg mit R¨ aumen zu tun, deren  Topologie metrisierbar ist,  verstehen also lim supx→x0 f (x) und im Sinn von limε0 sup f (x) | x ∈ Uε (x0 ) \ {x0 } . Allgemein ist eine solche Funktion genau dann unterhalbstetig, wenn ihr Epigraph abgeschlossen ist.

50

3.6. Der Hauptsatz der Differentialgleichungstheorie

• Es sei nun T + nicht unterhalbstetig bei x0 , also Tˆ := lim inf x→x0 T + (x) < T + (x0 ) und k ∈ N so gew¨ahlt, dass tk ≤ Tˆ < tk+1 . Nach Annahme ist tk + εk > Tˆ . Wegen der Stetigkeit des Flusses in den Anfangsbedingungen (Iteration von Satz 3.20) existiert eine Umgebung V ⊂ U von x0 mit Φtk (V ) ⊂ ur alle y ∈ V gilt Urk /2 (xn ), und f¨ T + (y) = tk + T + (Φtk (y)) ≥ tk + εk > Tˆ . Widerspruch! • Die Oberhalbstetigkeit von T − zeigt man analog. • W¨are D nicht offen, dann w¨ urde eine Folge (tn , xn )n∈N in R × Rn \ D mit Grenzwert (t, x) := limn→∞ (tn , xn ) ∈ D existieren. Wegen der Offenheit von U ⊆ Rn k¨onnen wir (durch Weglassen der ersten Folgenglieder) annahmen, dass xn ∈ U . Also muss f¨ ur jedes n gelten: Entweder ist tn ≥ T + (xn ) oder tn ≤ T − (xn ). Einer der beiden F¨alle tritt unendlich oft auf, zum Beispiel tn ≥ T + (xn ). Wir gehen wieder zur entsprechenden Teilfolge u ¨ber. Wegen (t, x) ∈ D ist t ∈ (0, T + (x)), was wegen lim inf T + (xn ) ≤ lim inf tn = t < T + (x) n→∞

n→∞

der Unterhalbstetigkeit von T + bei x widerspricht.

2

3.40 Bemerkung In diesem Abschnitt haben wir angenommen, dass die Differentialgleichung autonom ist. Ganz analoge Aussagen stimmen aber auch f¨ ur Anfangswertprobleme nicht autonomer Differentialgleichungen, wenn wir eine Anfangszeit t0 fixieren. Denn durch Hinzunahme einer abh¨angigen Variable k¨onnen wir die DGL in autonomer Form schreiben. Diese Tatsache werden wir uns beim Beweis des Hauptsatzes zunutze machen. 3 mit Para3.41 Aufgabe (Fluchtzeit) H : R×(0, ∞) → R, H(p, q) := 12 p2 − m q meter m ∈ (0, ∞) und zugeh¨ origer hamiltonscher Differentialgleichung p˙ = −m/q 2 , q˙ = p beschreibt die radiale Bewegung im Gravitationsfeld. (a) Geben Sie eine obere Schranke f¨ ur die Fluchtzeit (also Kollisionszeit) an. (b) Finden Sie eine untere Schranke an die Fluchtzeit. (c) Finden Sie eine DGL auf R mit – je nach Anfangswert – nur f¨ ur die Vergangenheit, die Zukunft oder immer unendlichen Fluchtzeiten. 3

3.6

Der Hauptsatz der Differentialgleichungstheorie

Wir wissen aus Satz 3.20, dass f¨ ur stetig differenzierbare zeitabh¨angige Vektorfelder f auch die L¨ osungen Φ(t, x0 ) des Anfangswertproblems   (3.6.1) x(t) ˙ = f t, x(t) , x(t0 ) = x0

3. Gew¨ohnliche Differentialgleichungen

51

stetig in der Zeit t und im Anfangswert x0 sind. Der Hauptsatz besagt nun, dass die L¨ osung Φ genauso glatt wie f ist. Die beim Beweis benutzte Gronwall–Ungleichung ist eine in der Differentialgleichungstheorie wichtige Absch¨atzung. Sie ¨ahnelt M¨ unchhausens Methode, sich an den eigenen Haaren aus dem Sumpf zu ziehen.   3.42 Satz (Gronwall–Ungleichung) F¨ ur F, G ∈ C [t0 , t1 ), [0, ∞) gelte mit einem geeigneten a ≥ 0 die Ungleichung 

t

F (t) ≤ a +

F (s)G(s) ds



 t ∈ [t0 , t1 ) .

(3.6.2)

 t ∈ [t0 , t1 ) .

(3.6.3)

t0

Dann ist



t

F (t) ≤ a exp

 G(s) ds



t0

t Beweis: • Ist a > 0, dann gilt f¨ ur die rechte Seite h(t) := a + t0 F (s)G(s) ds der Voraussetzung (3.6.2): h(t) > 0 und h (t) = F (t)G(t) ≤ h(t)G(t), also h (t) h(t) ≤ G(t).     t t G(s) ds, oder h(t) ≤ a exp G(s) ds . Integration ergibt ln h(t) ≤ a t0 t0 Zusammen mit der Ungleichung F (t) ≤ h(t) zeigt dies die Behauptung (3.6.3). • F¨ ur a = 0 gelten Voraussetzung und Resultat f¨ ur alle a ˆ > 0. Also ist F = 0. 2 3.43 Bemerkung (Gronwall–Gleichung) Man kann sich die Absch¨atzung leicht merken, wenn man Gleichheit annimmt. Die Integralgleichung t F (t) = a + t0 F (s)G(s) ds F˙ = F G, F (t0 ) = a mit der L¨osung entspricht ja  dem Anfangswertproblem  t F (t) = a exp t0 G(s) ds . 3

3.6.1

Linearisierung der DGL entlang einer Trajektorie

Zur Vorbereitung des Beweises des Hauptsatzes lernen wir zun¨achst, welcher Differentialgleichung die Ableitung der L¨ osung nach dem Anfangswert gen¨ ugen sollte. Nehmen wir dazu schon einmal an, dass sowohl das Vektorfeld f in (3.6.1) als auch die L¨osung Φ stetig differenzierbar sind und setzen M (t, x) := D2 Φ(t, x) ∈ Mat(n, R). ˜ x) := D2 f (t, x) ∈ Mat(n, R) aus Dann folgt mit A(t, 

t

Φ(t, x) = x + t0

  f s, Φ(s, x) ds

(3.6.4)

52

3.6. Der Hauptsatz der Differentialgleichungstheorie

die Integralgleichung 

t

A(s, x)M (s, x) ds

M (t, x) = 1l +

(3.6.5)

t0

  mit A(s, x) := A˜ s, Φ(s, x) . A ist als Komposition stetiger Abbildungen stetig. Wir untersuchen Integralgleichungen vom Typ (3.6.5) zun¨achst f¨ ur beliebige stetige A. Sie sind ¨aquivalent zum linearen Anfangswertproblem D1 M (t, x) = A(t, x)M (t, x)

,

M (t0 , x) = 1l.

(3.6.6)

Die im folgenden Lemma konstatierte Stetigkeit der L¨osung von (3.6.6) in Zeit t und Parameter x folgt nicht aus schon bewiesenen Aussagen wie Satz 3.34. 3.44 Lemma Es sei D ⊆ Rt ×Rnx eine offene Umgebung von (t0 , x0 ), die (wie D aus Satz 3.39)  die Zeitachsen  Rt × {x} in t0 enthaltenden Intervallen schneidet. F¨ ur A ∈ C D, Mat(n, R) besitzt dann das Anfangswertproblem (3.6.6) eine eindeutige L¨osung M ∈ C D, Mat(n, R) . Beweis: • Nach Satz 3.23 besitzt f¨ ur den Anfangswert (t0 , 1l) das Anfangswertproblem (3.6.6) eine eindeutige L¨ osung. Denn x ist nur ein Parameter, und A ist stetig in t, das zeitabh¨angige Vektorfeld (t, M ) → A(t, x)M also lipschitz–stetig. • Um auch Stetigkeit von M in (t, x) zu zeigen, gen¨ ugt es, sich auf kompakte Umgebungen K ⊂ D von (t0 , x0 ) der Form K := Uδt (t0 ) × Uδx (x0 ) zu beschr¨anken. Es ist k := sup(t,x)∈K A(t, x) < ∞, also nach (3.6.5)  t

M (t, x) ≤ 1 + k

M (s, x) ds t0

und mit dem Gronwall–Lemma (Satz 3.42) sup M (t, x) ≤ ekδt .

(3.6.7)

(t,x)∈K

• Aus (3.6.5) folgt die Identit¨at  M (t, x) − M (t, x0 )

t

= t0 t

 +

t0

  A(s, x0 ) M (s, x) − M (s, x0 ) ds  A(s, x) − A(s, x0 ) M (s, x) ds. (3.6.8)



3. Gew¨ohnliche Differentialgleichungen

53

Der zweite Term besitzt eine radiusabh¨angige obere Schranke a(δx ) > 0 mit limδx 0 a(δx ) = 0. Denn die stetige Funktion A ist auf dem Kompaktum K gleichm¨aßig stetig, und die Norm von M ist durch (3.6.7) beschr¨ankt. Damit ergibt sich f¨ ur Fx (t) := M (t, x) − M (t, x0 ) aus (3.6.8):  t Fx (t) ≤ a(δx ) + k Fx (s) ds . t0

Die Gronwallsche Ungleichung macht daraus Fx (t) ≤ a(δx ) exp(k|t − t0 |) ≤ a(δx ) exp(kδt )



 x ∈ Uδx (x0 ) ,

also limx→x0 M (t, x) = M (t, x0 ) gleichm¨aßig in t ∈ [t0 − δt , t0 + δt ].

2

Damit sind wir in der Lage, den Hauptsatz der Theorie der gew¨ohnlichen Differentialgleichungen zu beweisen.

3.6.2

Aussage und Beweis des Hauptsatzes

Das zeitabh¨angige Vektorfeld f auf dem erweiterten Phasenraum U ⊆ R × Rn sei in C r (U, Rn ). Wir fixieren eine Anfangszeit t0 ∈ R und ur An betrachten f¨ fangswert (t0 , x0 ) ∈ U das maximale L¨ osungsintervall T − (x0 ), T + (x0 ) des AWP (3.6.9) x˙ = f (t, x) , x(t0 ) = x0 . Wie im zeitunabh¨angigen Fall bekommen wir einen in U offenen maximalen Definitionsbereich    D = (t, x) ∈ U | t ∈ T − (x), T + (x) des nichtautonomen Flusses Φ : D → Rn , mit Φ(t0 , x0 ) = x0

und

  d Φ(t, x0 ) = f t, Φ(t, x0 ) . dt

(3.6.10)

Der nichtautonome Fluss ist so glatt wie das Vektorfeld: 3.45 Satz (Hauptsatz der Theorie gew¨ ohnlicher Differentialgleichungen) ur r ∈ N, dann ist Ist in (3.6.9) das zeitabh¨angige Vektorfeld f ∈ C r (U, Rn ) f¨ Φ ∈ C r (D, Rn ). Beweis: • Wir wissen von Satz 3.20, dass f¨ ur r = 1 gilt: Φ ∈ C 0 (D, Rn ). Auch die Zeitableitung der L¨ osung existiert, mit D1 Φ ∈ C 0 (D, Rn ), denn dies folgt aus der zweiten Formel in (3.6.10). Unser erstes Ziel ist zu zeigen, dass aus f ∈ C 1 (U, Rn ) auch Φ ∈ C 1 (D, Rn ) folgt. Da die Zeitableitung D1 Φ stetig ist, muss nur noch die Existenz und

54

3.6. Der Hauptsatz der Differentialgleichungstheorie

Stetigkeit der Ableitung D2 Φ : D → Mat(n, R) nachgewiesen werden. Falls D2 Φ existiert, muss diese Abbildung auch stetig sein, denn dann ist D2 Φ = M mit der L¨osung M der Integralgleichung  t M (t, x) = 1l + A(s, x)M (s, x) ds, t0

siehe Lemma 3.44. Nach Definition der totalen Ableitung muss gezeigtwerden, dass f¨ ur Anfangs wert (t0 , x0 ) ∈ U und Zeiten t ∈ T − (x0 ), T + (x0 ) gilt: Φ(t, x0 + h) − Φ(t, x0 ) = M (t, x0 )h + o ( h ).

(3.6.11)

• Wir k¨onnen das zeitabh¨angige Vektorfeld bei (t, x) nach Taylor entwickeln und erhalten f (t, y) = f (t, x) + D2 f (t, x)(y − x) + R(t, x, y)

(3.6.12)

mit Restterm R(t, x, y) = o ( y − x ).

  Es ergibt sich wegen A(s, x0 ) = D2 f s, Φ(s, x0 ) und (3.6.12) aus (3.6.4) und (3.6.5) die folgende Abweichung von der Linearit¨at:   Φ(t, x0 + h) − Φ(t, x0 ) − M (t, x0 )h  t      f s, Φ(s, x0 + h) − f s, Φ(s, x0 ) − A(s, x0 )M (s, x0 )h ds = t0 t

 =

&   % D2 f s, Φ(s, x0 ) · Φ(s, x0 + h) − Φ(s, x0 ) − M (s, x0 )h ds

t0



t

+

  R s, Φ(s, x0 ), Φ(s, x0 + h) ds.

(3.6.13)

t0

Die Stetigkeit von Φ verbessert sich durch eine Gronwall–Absch¨atzung zun¨achst zur Lipschitz–Stetigkeit   s ∈ [t0 − δt , t0 + δt ] ,

Φ(s, x0 + h) − Φ(s, x0 ) = O( h ) gleichm¨aßig im Zeitintervall. Wegen der Resttermabsch¨atzung ist daher der zweite Term in (3.6.13) von der Ordnung o ( h ). Mit der Abk¨ urzung F (x) := Φ(t, x0 + h) − Φ(t, x0 ) − M (t, x0 )h

schreiben wir damit f¨ ur k := sups D2 f (s, Φ(s, x0 )) den Betrag von (3.6.13) in der Form  t F (s) ds , F (t) ≤ o ( h ) + k t0

3. Gew¨ohnliche Differentialgleichungen

55

also nach Gronwall F (t) = o ( h )ek|t−t0 | = o ( h )



 t ∈ [t0 − δt , t0 + δx ] .

Damit ist (3.6.11) bewiesen. • Um f¨ ur r ≥ 2 und f ∈ C r (U, Rn ) zu zeigen, dass auch der Fluss r–mal stetig differenzierbar ist, benutzen wir ein Induktionsargument. Dazu setzen wir   f˜ : U × Rn → Rn × Rn , f˜(t, x, h) := f (t, x), D2 f (t, x)h . ˜ , Rn × Rn ) ein zeitabh¨angiges Vektorfeld auf dem erDamit ist f˜ ∈ C r−1 (U ˜ := U × Rn . Nach dem eben Bewiesenen ist f¨ weiterten Phasenraum U ur n ˜ := D × R D   ˜ x0 , h0 ) := Φ(t, x0 ), D2 Φ(t, x0 )h0 ˜ :D ˜ → Rn × Rn , Φ(t, Φ eine stetige Abbildung, die das Anfangswertproblem d (x, h) = f˜(t, x, h) dt

, (x, h)(t0 ) = (x0 , h0 )

˜ stetig ist. Um Φ ˜ ∈ l¨ost. Wir wissen auch schon, dass die Zeitableitung D1 Φ 1 ˜ n n ˜ C (D, R ×R ) zu zeigen, m¨ ussen wir nur die Existenz und Stetigkeit von D2 Φ zeigen. Dies geht wie der obige Beweis der Existenz und Stetigkeit von D2 Φ. Der Induktionsschritt l¨asst sich r–mal anwenden, und wir erhalten Dr Φ ∈ C 0 , also Φ ∈ C r (D, Rn ). 2

3.6.3

Folgerungen aus dem Hauptsatz

In der N¨ahe einer Gleichgewichtslage k¨ onnen wir ein autonomes Differentialgleichungssystem zwar linearisieren, aber der Zusammenhang zwischen den L¨osungen der beiden Differentialgleichungen ist nicht immer sehr eng (siehe Kapitel 7). Anders ist die Situation in der N¨ahe einer Nichtgleichgewichtslage: 3.46 Satz (Satz u ¨ber die Begradigung) Es sei U ⊆ Rn offen und f¨ ur ein r ∈ N das Vektorfeld f ∈ C r (U, Rn ). Ist dann x0 ∈ U keine Gleichgewichtslage, dann existiert ein C r –Diffeomorphismus G:V →W von einer Umgebung V von x0 auf W ⊆ R mit DGx f (x) = e1 = n

f¨ ur alle x ∈ V .

1 0

.. .

∈ Rn

0

3.47 Bemerkung In geeigneten Koordinaten auf V ist also das Vektorfeld f konstant und damit die L¨ osung eine affine Funktion der Zeit. 3

56

3.6. Der Hauptsatz der Differentialgleichungstheorie

ur kleine ε > 0 Beweis: Da f (x0 ) = 0 ist, ist f¨ Fε := {x ∈ Uε (x0 ) | x − x0 , f (x0 ) = 0} eine Kreisscheibe der Dimension n − 1, und f (x), f (x0 ) > 0



 x ∈ Uε (x0 ) .

(3.6.14)

Durch eine euklidische Transformation T des R , also eine Komposition einer Translation onnen wir erreichen, dass T (x0 ) = 0 und   und einer Drehung, k¨ T f (x0 ) = λe1 mit λ > 0 gilt, also   T (Fε ) = y ∈ Rn | y1 = 0, y < ε . n

Zur Vereinfachung der Notation nehmen wir an, dass f und x0 selbst schon die Eigenschaften x0 = 0 und f (x0 ) = λe1 mit λ > 0 haben. Wir betrachten den ur kleine δ > 0 ist ΦZδ : Zδ → Uε (x0 ) injektiv, Zylinder Zδ := (−δ, δ) × Fδ . F¨ denn solange Φt (x) ∈ Uε ist, gilt wegen (3.6.14)     d Φ(t, x) = f1 Φ(t, x) > 0, dt 1 wir k¨onnen also mit der Trajektorie nicht zum zweiten Mal Fδ schneiden. Nach dem Hauptsatz ist ΦZδ ein C r –Diffeomorphismus auf sein Bild V := Φ(Zδ ), und auch die Umkehrabbildung G ist ein C r –Diffeomorphismus. 2 Oft h¨angen Differentialgleichungen von Parametern p ∈ P ab, wie etwa Masse und L¨ange eines Pendels. Wir betrachten also das parametrisierte Anfangswertproblem (3.6.15) x˙ = f (t, x, p) , x(t0 ) = x0 mit U ⊆ R × Rn und P ⊆ Rd offen und f ∈ C r (U × P, Rn ). 3.48 Satz Es sei D ⊆ U × P der maximale Definitionsbereich des parametrisierten Anfangswertproblems (3.6.15). Dann ist die L¨osung Φ ∈ C r (D, Rn ). ¨ Beweis: Dies folgt direkt durch Ubergang zum Anfangswertproblem (x, ˙ p) ˙ = f˜(t, x, p) , (x, p)(t0 ) = (x0 , p0 ) mit dem zeitabh¨angigen Vektorfeld     ˜ , Rn × Rd , f˜(t, x, p) := f (t, x, p), 0 f˜ ∈ C r U ˜ := U × P , denn dieses l¨asst den Parameterwert invariant und besitzt eine auf U ˜ ∈ C r (D, Rn+d ). 2 L¨osung Φ Die wichtigste Folgerung aus dem Hauptsatz ist aber: In der N¨ahe eine Nichtgleichgewichtslage besitzen glatte Differentialgleichungen keine lokale Struktur. Alle interessanten Fragen sind globaler Natur, also Fragen an das Verhalten der L¨osung f¨ ur große Zeiten. 3.49 Weiterf¨ uhrende Literatur Standardtexte sind die B¨ ucher von Amann [Am], Arnol’d [Ar1], Heuser [Heu], Perko [Per] und Walter [Wa1].

Kapitel 4

Lineare Dynamik

4.1 Homogene lineare autonome DGLn . . . . . . . . . . . . . 58 ¨ 4.2 Explizit zeitabhangige lineare DGLn . . . . . . . . . . . . . 65 4.3 Quasipolynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Eine besonders wichtige Klasse von Differentialgleichungen sind die linearen, und wir k¨onnen mit Satz 3.29 annehmen, dass das System von erster Ordnung ist. Das inhomogene Anfangswertproblem lautet dann x(t) ˙ = A(t) x(t) + b(t) ,

x(t0 ) = x0 ,

(4.0.1)

mit Systemmatrix A : I → Mat(n, R) und St¨orfunktion b : I → Rn , t0 im Intervall I und x0 ∈ Rn . Die L¨ osungsstrategie besteht darin, zun¨achst das homogene AWP (4.0.2) y˙ = A(t)y , y(t0 ) = x0 A. Knauf, Mathematische Physik: Klassische Mechanik, Springer-Lehrbuch Masterclass, c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012 DOI 10.1007/978-3-642-20978-9 4, 

57

58

4.1. Homogene lineare autonome DGLn

zu l¨osen, und danach (4.0.1) mittels des so genannten Duhamel–Prinzips, d.h. durch eine Integration. Formal ist f¨ ur den Fall einer konstanten Systemmatrix A   y(t) := exp (t − t0 )A x0 (t ∈ R) (4.0.3) die L¨osung von (4.0.2), denn Anwendung der Differentiationsregel exp = exp auf y ergibt Ay, und y(t0 ) = x0 .

4.1

Homogene lineare autonome DGLn

Exponentiation von Matrizen Zur Definition und Rechtfertigung von (4.0.3) untersuchen wir jetzt matrixwertige Funktionen, und zwar f¨ ur Vektorr¨aume u ¨ber den K¨orpern K = R und K = C. Die Exponentialfunktion ist wie in Dimension n = 1 durch ihre Potenzreihe erkl¨art: 4.1 Definition • F¨ ur einen Endomorphismus M ∈ Lin(V ) eines endlich-dimensionalen K–Vektorraums V ist exp(M ) ∈ Lin(V ) definiert durch exp(M ) :=

∞ M (k) k=0

(4.1.1)

k!

(mit M (0) = IdV und M (k+1) = M ◦ M (k) ). • Analog wird das Matrixexponential von Matrizen in Mat(n, K) gebildet. Warum aber l¨ost das Matrixexponential f¨ ur konstante Systemmatrix das homogene Anfangswertproblem (4.0.2)? Diese Frage ist nicht rein akademisch, denn   t ist die Matrix A zeitabh¨angig, dann l¨ ost die Abbildung t → exp t0 A(s) ds x0 (4.0.2) nicht, außer f¨ ur Spezialf¨alle wie Dimension n = 1. Wir haben mit (4.1.1) eine Reihe vor uns, deren Summanden Elemente von Lin(V ), dem Raum der (beschr¨ankten) linearen Abbildungen von V in V sind. Sei etwa V = Kn , mit euklidischer Norm · . Die Operatornorm auf Lin(Kn )

M :=

sup v∈Kn \{0}

M (v) v

=

sup

M (v)

v∈Kn , v=1

ist dann zus¨atzlich zu den Eigenschaften M ≥ 0, M = 0 ⇐⇒ M = 0,

λM = |λ| M

(λ ∈ K)

und M + N ≤ M + N

jeder Norm noch submultiplikativ : 4.2 Lemma F¨ ur M, N ∈ Lin(Kn ) gilt: M N ≤ M N .

4. Lineare Dynamik

59

Beweis: Durch Erweitern ergibt sich f¨ ur M N = supv=0

M N = sup v: N v=0

M N v N v

·

N v v

≤ supw=0

M w w

· supv=0

M N v v : N v v

= M N , 2

außer f¨ ur N = 0, wo sowieso beide Seiten Null sind. Die obige Definition von exp(M ) ist sinnvoll, weil konvergent:

4.3 Lemma (Matrixexponential) F¨ ur M ∈ Lin(Kn ) bilden die Partialsummen

k M () sk := =0 ! (k ∈ N) von exp(M ) eine Cauchy–Folge. Beweis: F¨ ur k1 ≥ k0 ≥ M gilt nach der Dreiecksungleichung und Lemma 4.2

sk1 − sk0

=

  k k1 1  M ()    ≤   !  =k0 +1

≤

M k0 +1 (k0 +1)!

M ()  !

≤

k1 =k0 +1

=k0 +1

k1 −k0 −1 m=0

M m (k0 +1)m

≤

M k0 +1 (k0 +1)!



1−

M  ! M  k0 +1

−1

.

Dieser Ausdruck geht f¨ ur k0 → ∞ gegen Null, denn die Fakult¨at w¨achst schneller als die (reelle) Exponentialfunktion. 2 Nebenbei stellen wir fest, dass wir an keiner Stelle vorausgesetzt haben, dass der lineare Endomorphismus beziehungsweise die Matrix reell ist. Dies ist g¨ unstig, denn die Jordan–Normalform von A in (4.0.2), und damit von exp(At), kann auch komplex sein. Um nun zu sehen, dass (4.0.3) das Anfangswertproblem (4.0.2) tats¨achlich l¨ost, m¨ ussen wir in der Lage sein, die Abbildung R −→ Lin(Kn )

, t −→ exp(At)

nach dem Zeitparameter zu differenzieren. Sp¨ater werden wir uns auch fragen, wie die L¨osungen von eventuellen Parametern der linearen DGL abh¨angen. F¨ ur diese Art von Fragestellungen wertet man die Exponentialfunktion f¨ ur mehr als ein Argument aus, man betrachtet also die Abbildung exp : Lin(Kn ) → Lin(Kn )

, M → exp(M )

in ihrer Abh¨angigkeit vom Argument M . Hier hilft das Weierstraß–Kriterium: 4.4 Satz (Weierstraß) Es sei (V, · ) ein Banach–Raum, X ⊆ V und fl : X → V

(l ∈ N0 )

seien Funktionen

∞ mit supx∈X fl (x) ≤ al mit die Reihe l=0 fl auf X gleichm¨aßig.

∞ l=0

al < ∞. Dann konvergiert

60

4.1. Homogene lineare autonome DGLn

Beweis: Das Beweisargument f¨ ur reelle Funktionenreihen l¨asst sich verallgemeinern: Wegen der Vollst¨andigkeit des metrischen Raumes V haben wir punktweise

l Konvergenz der Partialsummen sl := m=0 fm , das heißt: s(x) := lim sl (x) l→∞

(x ∈ X).

n F¨ ur alle ε > 0 gibt es nach Annahme

n ein m ∈ N mit l=m+1 al < ε (n > m). Daher folgt sn (x) − sm (x) ≤ l=m+1 al < ε (x ∈ X), also gleichm¨aßige Konvergenz auf X. 2 4.5 Satz (Exponentialabbildung) F¨ ur A ∈ Lin(Kn ) ist die Abbildung , t → exp(At)

R → Lin(Kn ) stetig differenzierbar, und es gilt d dt

exp(At) = A exp(At).

(4.1.2) (l)

Beweis: • Setzen wir V := Lin(Kn ) und fl : X → V, M → Ml! in Satz 4.4 ein, so gilt f¨ ur alle l ∈ N: supM ∈V fl (M ) = ∞. Wir k¨onnen also im Satz von Weierstraß als Definitionsbereich X nicht den gesamten Vektorraum V w¨ahlen. • F¨ ur die Vollkugel X := {M ∈ V | M ≤ r} mit Radius r > 0 ist aber al := sup fl (M ) =

∞

M ∈X

  1 rl sup M (l)  ≤ , l! M ∈X l!

ur jede Wahl von r. und die Reihe l=0 al ≤ exp(r) konvergiert f¨ • Deshalb ist die Exponentialabbildung als Limes gleichm¨aßig konvergenter stetiger Funktionen sl X : X → V auch stetig, und, da die Ableitungen Dsl auf X ebenfalls gleichm¨aßig konvergent sind, auch differenzierbar. Damit ist die Formel (4.1.2) richtig, und aus ihr ergibt sich auch die Stetigkeit der Ableitung. 2 Verwendung der Jordan–Normalform Die konkrete Berechnung von exp(At) kann mittels der Jordan–Normalform von A erfolgen. ⎞ ⎛λ 1 0 .. .. ⎠ . .1 ∈ 4.6 Definition • F¨ ur λ ∈ K und r ∈ N heißt Jr (λ) := ⎝ .. . 0 λ Mat(r, K) r × r–Jordan–Block mit Eigenwert λ. • Eine Jordan–Matrix ist eine quadratische Matrix der Form ⎛ J (λ ) ⎞ 0 r1

1

⎜ J =⎝

⎟ ⎠ ≡ Jr1 (λ1 ) ⊕ . . . ⊕ Jrk (λk ).

Jr2 (λ2 )

.. 0

. Jrk (λk )

(4.1.3)

4. Lineare Dynamik

61

• Eine Jordan–Basis eines Operators A ∈ Lin(V ) auf dem K–Vektorraum V ist eine Basis von V , in der die darstellende Matrix von A eine Jordan–Matrix ist. Aus der Linearen Algebra ist der (konstruktive) Beweis des folgenden Satzes bekannt: 4.7 Satz Sei V ein endlich–dimensionaler C–Vektorraum und A ∈ Lin(V ). Dann existiert eine Jordan–Basis f¨ ur A. Da der Vektorraum V isomorph zu Cn mit n := dim(V ) ist, k¨onnen wir A in der Form A = W JW −1

, mit Jordan–Matrix J ∈ Mat(n, C) und W ∈ GL(n, C)

schreiben, wenn wir die darstellende Matrix ebenfalls mit A bezeichnen. Wegen Mat(n, R) ⊂ Mat(n, C) k¨ onnen wir insbesondere reelle quadratische Matrizen A Jordan-diagonalisieren, aber J ist im Allgemeinen nicht mehr reell (wir komplexifizieren A also im Sinne der Linearen Algebra).  0 −1  4.8 Beispiel (Jordan–Basis) A = besitzt die komplexen 1 0  1 1  1 i  Eigenwerte 1 1 −1 √ √ ±i. Die Matrix W := 2 −i i ∈ GL(2, C), mit W = 2 1 −i , diagonalisiert A:  0  W −1 AW = 0i −i 3 = J1 (i) ⊕ J1 (−i). Wie in diesem Beispiel existiert allgemein zu jedem nicht reellen Eigenwert λ von A ∈ Mat (n, R) und Jordan–Block Jr (λ) ein Eigenwert λ gleicher Multiplizit¨at 1 und ein Jordan–Block Jr (λ), denn das charakteristische Polynom von A l¨asst sich in R in Faktoren h¨ ochstens zweiten Grades zerlegen (siehe Abbildung 4.1.1).

Imλ

(2)

(3)

(4)

Reλ (1) (3)

(2)

Abbildung 4.1.1: Komplexe Eigenwerte (mit Multiplizit¨aten) einer reellen Matrix 1 Die algebraische Vielfachheit oder Multiplizit¨ at von λ ∈ C ist die Ordnung der Nullstelle λ des charakteristischen Polynoms x → det(A − x1l), die geometrische der Defekt von A − λ1l.

62

4.1. Homogene lineare autonome DGLn exp(At) = W exp(Jt)W −1

Es gilt

(t ∈ R).

Das folgt aus der Potenzreihe des Matrixexponentials unter Benutzung von Am = (W JW −1 )m = W J m W −1 . Da f¨ ur die Jordan–Matrix J aus (4.1.3) exp(Jt) gleich ⎛   ⎞ exp Jr1 (λ1 )t 0     ⎜ ⎟ .. ⎝ ⎠ ≡ exp Jr1 (λ1 )t ⊕ . . . ⊕ exp Jrk (λk )t .   0

exp Jrk (λk )t

(4.1.4)   = J (0) + λ1 l. Jr (0) ist, gen¨ ugt es, exp Jr (λ)t zu berechnen. Nun gilt Jr (λ) r  und λ1l kommutieren aber, was die Berechnung von exp Jr (λ)t erleichtert: 4.9 Lemma F¨ ur kommutierende (BC = CB) Matrizen B, C ∈ Mat (n, C) gilt exp(B + C) = exp(B) exp(C). Beweis: Formal ergibt sich die Identit¨at durch Einsetzen in die Definition von exp: ∞ ∞ n   1 1 n BC=CB B i C n−i (B + C)n = exp(B + C) = i n! n! n=0 n=0 i=0 ⎞  ⎛ ∞ ∞ ∞ n 1 1 1 = B i C n−i = Bi ⎝ Cj⎠ , i!(n − i)! i! j! n=0 i=0 i=0 j=0 also exp(B) exp(C). Diese formale Rechnung ist nach einem Satz u ¨ber das Cauchy–Produkt von Reihen erlaubt, denn diese sind absolut konvergent. 2 4.10 Bemerkungen 1. Als Gegenbeispiel gilt f¨ ur die Dreiecksmatrizen B := ( 00 10 ) und C := B  = ( 01 00 ): exp(Bt) = ( 10 1t ) und exp(Ct) = ( 1t 01 ), also    2  t t und exp(Ct) exp(Bt) = 1t 1+t . exp(Bt) exp(Ct) = 1+t 2 t 1  10 ( 0 1 ) , n gerade n Dagegen folgt aus (B + C)n = ( 01 10 ) = ( 01 10 ) , n ungerade    

∞

∞ t2m t2m+1 t sinh t exp (B+C)t = ( 10 01 ) m=0 (2m)! + ( 01 10 ) m=0 (2m+1)! = cosh sinh t cosh t . (4.1.5) 2. F¨ ur alle A ∈ Mat (n, K) gilt die Funktionalgleichung   exp(At1 ) exp(At2 ) = exp A (t1 + t2 )

(t1 , t2 ∈ R),

da Vielfache einer Matrix miteinander kommutieren. Der f¨ ur A ∈ Mat (n, R) die Differentialgleichung x˙ = Ax l¨osende lineare Fluss Φt : Rn → Rn

, Φt (x) = exp(At)x

bildet also eine einparametrige Gruppe.

(t ∈ R) 3

4. Lineare Dynamik

63

      F¨ ur die Jordan–Bl¨ ocke in (4.1.4) gilt exp Jr (λ)t = exp Jr (0)t exp λt1l .   ∞ 1  n n exp(λt1l) ist gleich exp(λt)1l und exp Jr (0)t = n=0 n! Jr (0) t mit   n  i, k ∈ {1, . . . , r} , Jr (0) i,k = δi,k−n also

⎛

1 t

··· ···

⎜ ⎜0 1 t   ⎜ exp Jr (λ)t = exp(λt) ⎜ .. . . . . . . ⎜. . . . ⎝. .. .. .. . . 0 ··· ···

tr−1 (r−1)!

.. . .. .

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟. ⎟ ⎠

(4.1.6)

t 1

0

4.11 Aufgabe (Matrixexponential) 1 0 0 L¨osen Sie das Differentialgleichungssystem x˙ = Ax mit A = 1 1 0 . 111

3

Verwendung der reellen Jordan–Normalform F¨ ur A ∈ Mat (n, R) ist es oft sinnvoll, die reelle Jordan–Normalform von exp(At) zu benutzen. Dabei setzt man f¨ ur reelle Eigenwerte einfach JrR (λ) := Jr (λ)

(λ ∈ R).

F¨ ur λ ∈ C\R transformiert man Paare von Jordan–Bl¨ocken der Gestalt   Jr (λ) 0 , 0 J (λ) r

unter Benutzung von X := JrR (λ) := X



√1 2



Jr (λ) 0 0 Jr (λ)

1lr 1lr −i1lr i1lr





X −1 =

in die reelle Normalform 

Jr (μ) −ϕ1lr ϕ1lr Jr (μ)



(λ ∈ C\R)

  mit μ := Re(λ) und ϕ := Im(λ). Es ist exp JrR (λ)t gleich      J (0)t Jr (λ) 0 − sin(ϕt)eJr (0)t −1 μt cos(ϕt)e r Xexp t X , = e Jr (0)t Jr (0)t 0 J (λ)

(4.1.7)

also im Spezialfall r = 1 einfacher Multiplizit¨at     − sin(ϕt) . exp J1R (λ)t = eμt cos(ϕt) sin(ϕt) cos(ϕt)

(4.1.8)

sin(ϕt)e

r

cos(ϕt)e

Bedeutung der Spur Unter einem Diffeomorphismus g : Rn → Rn besitzt das Bild g(Λ) einer kompakten Teilmenge Λ ⊂ Rn das Volumen      det Dg(x) dx, Vn g(Λ) = Λ

64

4.1. Homogene lineare autonome DGLn

der Betrag der Funktionaldeterminante bei x ∈ Λ ist also der Faktor, um den bei x das Volumen durch g vergr¨ oßert wird (Transformationssatz). Betrachten wir nun f¨ ur die Zeit t ∈ R den L¨ osungsoperator der Differentialgleichung x˙ = Ax, also die lineare Abbildung Φt ∈ Lin(Rn )

, Φt (x) = exp(At)x.

Wie bei jeder linearen Abbildung ist die Ableitung konstant: DΦt (x) = exp(At)

(x ∈ Rn ),

(4.1.9)

und es gilt 4.12 Satz F¨ ur A ∈ Lin(Cn ) gilt

    det exp(A) = exp tr(A) .

Beweis: Dies folgt aus der Existenz einer Jordan–Basis, also von W ∈ GL(n, C) mit W −1 AW = J und Jordan–Matrix J. Es ist in der Notation (4.1.3) f¨ ur J         −1 det exp(A) = det W exp(A)W = det exp(W −1 AW ) = det exp(J)   !k !k = =1 det exp(Jr (λ )) = =1 exp(r λ ) 



und andererseits tr(A) = tr(W −1 AW ) = tr(J) =  tr Jr (λ ) =  r λ , sodass sich die Aussage aus der Funktionalgleichung der komplexen Exponentialfunktion ergibt. 2 Folgerung: Der von A ∈ Mat(n, R) erzeugte lineare Fluss Φt (x) = exp(At)x auf dem Phasenraum Rn ist genau dann volumenerhaltend, wenn tr(A) = 0. 4.13 Bemerkung (reelle Allgemeine Lineare Gruppe) GL(n, R), die Gruppe der invertierbaren Matrizen in Mat(n, R), ist das wichtigste Beispiel einer Lie–Gruppe. GL(n, R) ist die offene Teilmenge derjenigen Matrizen ur die det(A) = 0 gilt. Damit A im n2 –dimensionalen Vektorraum Mat(n, R), f¨ wird GL(n, R) zu einer Untermannigfaltigkeit von Mat(n, R), siehe Definition 2.34. Matrizenmultiplikation und Inversion sind in den Matrizeneintr¨agen glatt (letzteres folgt aus der Cramerschen Regel der Linearen Algebra). Betrachten wir die Abbildung Mat(n, R) → GL(n, R) , u → exp(u), dann liegt das Bild der Exponentialfunktion tats¨achlich in GL(n, R), denn     det exp(u) = exp tr(u) > 0. Da g ∈ GL(n, R) mit det(g) < 0 existieren, ist klar, dass exp nicht surjektiv ist (sondern das Bild die Untergruppe GL+ (n, R) ist, siehe Beispiel E.18). Andererseits ist die Exponentialabbildung mindestens f¨ ur A ∈ GL(n, R) mit

1l − A < 1 invertierbar, denn die Potenzreihe der Umkehrfunktion konvergiert dann: ∞   (1l − A)k ln(A) = ln 1l − (1l − A) = − . k k=1

4. Lineare Dynamik

65

Mat(n, R) mit dem Kommutator bildet eine sogenannte Lie–Algebra 2 . Der Kommutator [u1 , u2 ] = u1 u2 − u2 u1 von u1 , u2 ∈ Mat(n, R) misst den Mangel an Kommutativit¨at in der Gruppenmultiplikation, denn exp(εu1 ) exp(εu2 ) exp(−εu1 ) exp(−εu2 ) = 1l + ε2 [u1 , u2 ] + O(ε3 ). Man nennt daher Mat(n, R) die Lie–Algebra von GL(n, R).

4.2

3

Explizit zeitabh¨ angige lineare DGLn

Das homogene Problem Wir betrachten zun¨achst auf dem t0 enthaltenden Zeitintervall I das homogene, lineare, aber nichtautonome (das heißt explizit zeitabh¨angige) Anfangswertproblem y(t) ˙ = A(t)y(t) , y(t0 ) = y0 , (4.2.1) wobei A : I → Mat(n, R) eine stetige matrixwertige Funktion ist. 4.14 Satz Das Anfangswertproblem (4.2.1) hat eine eindeutige L¨osung    t (4.2.2) y : I → R mit y(t) ≤ exp t0 A(s) ds y0 . Beweis: • Es gen¨ ugt, t ≥ t0 zu betrachten, denn (4.2.2) ist invariant unter Zeitumkehr. • Die eindeutige L¨ osbarkeit des Anfangswertproblems f¨ ur das zeitabh¨angige Vektorfeld (t, x) → A(t)x auf dem Intervall I folgt mit der zeitabh¨angigen Lipschitz–Konstante L(t) := A(t) aus Satz 3.23.    t • z(t) := exp − t0 A(s) ds y(t) erf¨ ullt f¨ ur t ∈ I das Anfangswertproblem z(t) ˙ = N (t)z(t)

,

z(0) = y0

mit

N (t) := A(t) − A(t) 1l,

wie man durch Differentiation nachpr¨ uft. Die Absch¨atzung (4.2.2) folgt, wenn wir (t ≥ t0 , t ∈ I) (4.2.3)

z(t) ≤ y0

bewiesen haben. Nun ist mit S(t) := N (t) + N  (t) f¨ ur t ≥ t 0 d 2 dt z(t)

= z(t), ˙ z(t) + z(t), z(t) ˙ = N (t)z(t), z(t) + z(t), N (t)z(t) = z(t), S(t)z(t) ≤ 0,

(4.2.4)

denn S(t) ist selbstadjungiert und besitzt nur Eigenwerte E ≤ 0. 2 Definition: Eine Lie–Algebra ist ein Vektorraum E mit einer bilinearen alternierenden Abbildung [·, ·] : E × E → E, die die Jacobi–Identit¨ at [A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = 0 erf¨ ullt (siehe auch Anhang E.3).

66

4.2. Explizit zeitabh¨angige lineare DGLn

Letzteres sieht man so: W¨are S(t)v = Ev mit v ∈ Rn \ {0} und E > 0, dann w¨ urde auch (A(t) + A(t) )v = (E + 2 A(t) )v gelten, also

A(t) + A(t) > 2 A(t) = A(t) + A(t) , im Widerspruch zur Dreiecksungleichung der Operatornorm. Aus (4.2.4) folgt aber (4.2.3). 2 Sind ϕ1 , ϕ2 : I → Rn L¨ osungen der DGL y(t) ˙ = A(t)y(t) und c1 , c2 ∈ R, dann ist auch c1 ϕ1 + c2 ϕ2 : I → Rn L¨ osung der Differentialgleichung. Die Menge   ˙ = A(t)ϕ(t), t ∈ I (4.2.5) L0 := ϕ ∈ C 1 (I, Rn ) | ϕ(t) der L¨osungen bildet also einen R–Untervektorraum von C 1 (I, Rn ), den (homogenen) L¨osungsraum. Ist t0 ∈ I, so ist wegen der lokalen Existenz und Eindeutigkeit der L¨osung des Anfangswertproblems die lineare Abbildung Bt0 : L0 → Rn

,

ϕ → ϕ(t0 )

ein Isomorphismus, es ist also dim(L0 ) = n. 4.15 Definition Eine Basis des homogenen L¨osungsraumes L0 heißt Fundamentalsystem von L¨osungen der Differentialgleichung. Da die L¨osung des homogenen Differentialgleichungssystems (4.2.1) linear von osung in der Form y0 abh¨angt, erhalten wir die allgemeine L¨ yh (t) = Φ(t, s)yh (s) mit dem L¨osungsoperator Φ : I ×I → Mat(n, R). Im Fall einer zeitunabh¨angigen Matrix A ist   Φ(t, s) = exp (t − s) A (t, s ∈ R). Allgemein gilt d dt Φ(t, s)

= A(t)Φ(t, s) und Φ(s, s) = 1l .

(4.2.6)

4.16 Bemerkungen 1. Auch wenn diese Familie von Matrizen von zwei Parametern, der Anfangszeit s und der Endzeit t abh¨angt, gen¨ ugt es, f¨ ur ein einziges t0 ∈ I die einparametrige Familie t → Φ(t, t0 )

(t ∈ I)

zu kennen, denn es gilt Φ(t, s) = Φ(t, t0 ) Φ(t0 , s) = Φ(t, t0 ) Φ(s, t0 )−1 . 2. Trotzdem ist die L¨ osung dieses homogenen nicht autonomen Problems oft eine Matrix, deren Eintr¨age keine elementaren Funktionen sind, auch wenn die Eintr¨age von A elementare Funktionen sind. Tats¨achlich werden viele sogenannte h¨ohere Funktionen als L¨osungen solcher DGLn definiert, etwa die Bessel–Gleichung und die Mathieu–Gleichung. 3

4. Lineare Dynamik

67

Die Wronski–Determinante 4.17 Definition F¨ ur ein Intervall I und Kurven v1 , . . . , vn ∈ C(I, Rn ) ist die Wronski–Determinante die stetige Funktion   w : I → R , t → det v1 (t), . . . , vn (t) . Wir sind hier an der Wronski–Determinante w von L¨osungen v1 , . . . , vn der DGL (4.2.1) interessiert. Da diese L¨ osungen sogar stetig differenzierbar von der Zeit ullt selbst eine Differentialgleichung. abh¨angen, ist w ∈ C 1 (I, R), und erf¨ 4.18 Satz F¨ ur die Wronski–Determinante w gilt   d w(t) = tr A(t) w(t) dt 

also

t

w(t) = exp

(t ∈ I),

   tr A(s) ds w(t0 ).

(4.2.7)

(4.2.8)

t0

Beweis: Da die L¨ osungen vi ∈ C 1 (I, Rn ) der Differentialgleichung die Ableitung v˙ i (t) = A(t)vi (t)

(i = 1, . . . , n)

besitzen, gilt nach der Produktregel d w(t) dt

=

n i=1

=

n

  det v1 (t), . . . , vi−1 (t), v˙ i (t), vi+1 (t), . . . , vn (t)   det v1 (t), . . . , vi−1 (t), Avi (t), vi+1 (t), . . . , vn (t) .

i=1

F¨ ur die kanonische Basis e1 , . . . , en des Rn gilt tr(A) =

n

(A)i,i =

i=1

n

  det e1 , . . . , ei−1 , Aei , ei+1 , . . . , en ,

i=1

was sich nach der Determinantenproduktregel auf beliebige Vektoren v˜1 , . . . , v˜n ∈ Rn u ¨bertr¨agt: tr(A) det(˜ v1 , . . . , v˜n ) =

n

  det (˜ v1 , . . . , v˜n )(e1 , . . . , ei−1 , Aei , ei+1 , . . . , en )

i=1

=

n n

  det v˜1 , . . . , v˜i−1 , (A)k,i v˜k , v˜i+1 , . . . , v˜n

i=1 k=1

=

n

  det v˜1 , . . . , v˜i−1 , A˜ vi , v˜i+1 , . . . , v˜n .

i=1

Die L¨osung (4.2.8) der DGL (4.2.7) erfolgt durch Separation der Variablen.

2

68

4.2. Explizit zeitabh¨angige lineare DGLn

4.19 Bemerkungen 1. Die Wronski–Determinante eines Fundamentalsystems l¨asst sich also durch Integration berechnen, auch wenn man nur die Anfangswerte v1 (t0 ),. . . , vn (t0 ) kennt. Weil w(t0 ) = det v1 (t0 ), . . . , vn (t0 ) = 0 ist, folgt aus der Gestalt (4.2.8) der L¨ osung auch w(t) = 0 f¨ ur alle t ∈ I. 2. Der Quotient w(t)/w(t0 ) der Wronski–Determinante eines Fundamentalsystems gibt den Faktor an, um den sich das Volumen von Φ(t, t0 )(K) zum Zeitpunkt t gegen¨ uber dem des Kompaktums K ⊂ Rn ver¨andert hat. 3. F¨ ur eine lineare Differentialgleichung n–ter Ordnung der Form y (n) (t) +

n−1

ai (t)y (i) (t) = 0

i=0

mit stetigen Koeffizienten a0 , . . . , an−1 ist die zugeordnete Differentialgleichung erster Ordnung nach Satz 3.29 von der Form ⎛ 0 1 ⎞  x1   x˙  1 .. .. ⎠. . = A ... mit xi = y (i−1) und A = ⎝ . 1 x˙ n

xn

−a0 −a1 ... −an−1

Hier ist also die Wronski–Determinante von L¨osungen y1 , . . . , yn : I → R gleich ⎛ ⎞ y1 (t)

w(t) = det ⎝

...

yn (t)

.. .

(n−1) y1 (t)

⎠

.. . ...

, und

d dt w(t)

= −an−1 (t)w(t).

3

(n−1) yn (t)

Das inhomogene Problem Das inhomogene Anfangswertproblem mit stetiger St¨orfunktion b : I → Rn z(t) ˙ = A(t)z(t) + b(t)

, z(t0 ) = z0

(4.2.9)

l¨asst sich bei Kenntnis des homogenen L¨ osungsoperators aus (4.2.6) leicht l¨osen:

4.20 Satz (,Duhamel–Prinzip’) Die L¨osung des Anfangswertproblems (4.2.9) ist t (t ∈ I). (4.2.10) z(t) = Φ(t, t0 )z0 + t0 Φ(t, s)b(s) ds Beweis: • Wegen Φ(s, s) = 1l ist in (4.2.10) z(t0 ) = z0 . d Φ(t, s) = A(t)Φ(t, s) • Zus¨atzlich gilt wegen dt 

t

z(t) ˙ = A(t)Φ(t, t0 )z0 + A(t)

Φ(t, s)b(s) ds + Φ(t, t)b(t) = A(t)z(t) + b(t). t0

Damit ist (4.2.10) die L¨ osung von (4.2.9).

2

4. Lineare Dynamik

69

Die Menge der L¨osungen der inhomogenen linearen Differentialgleichung Lb := {ϕ ∈ C 1 (I, Rn ) | ϕ(t) ˙ = A(t)ϕ(t) + b(t), t ∈ I} ist also von der Form Lb = L0 + ϕb , mit dem in (4.2.5) definierten homogenen L¨ osungsraum L0 und der partikul¨aren L¨osung  t ϕb ∈ C 1 (I, Rn ) , ϕb (t) = Φ(t, s)b(s) ds t0

Der inhomogene L¨osungsraum Lb ist damit ein affiner Unterraum von C 1 (I, Rn ).

1 x(t)+x(t) ˙ = cos(t) 4.21 Beispiel (Inhomogenes Problem) Die DGL x ¨(t)+ 10 eines ged¨ampften harmonischen Oszillators mit ¨außerer Anregung ist zum System

z(t) ˙ = A(t)z(t) + b(t) 





x(t) mit z(t) := x(t) und A(t) = ˙ die komplexen Eigenwerte

λ1/2 =

1 − 20

±

0 1 −1 −1/10



 1 2 20

und Eigenvektoren

 W1/2 =



, b(t) =

−1=



0 cos(t)

1 20 (−1

±

√



¨aquivalent. A besitzt

399 i),

 √ 399i) ,

1 20 (+1∓

1

sodass mit der diagonalisierenden Matrix  W := (W1 ; W2 ) = und W −1 AW =  exp(At) = W

 λ1

0 0 λ2

1−

√ 399i 20

√ 1+ 399 i 20

1



e λ1 t 0 0 e λ2 t



1

, also W −1 =

gilt. Damit ist mit ω := 

 W

−1

=e

−t/20



−10i √ 399 √10i 399

1 √i 2 − 2 399 1 √i 2 + 2 399



√ 399 20

cos(ωt)+

sin(ωt) √ 399

1 sin(ωt) −ω

1 ω



sin(ωt)

 √ 399 t sin 20 √ cos(ωt)− 399

.

Aus (4.2.10) ergibt sich 

t   z(t) = exp(At)z0 + exp A(t − s) b(s) ds = 0     sin(ωt) 1 −t/20 1 √ sin(t)− ω e sin(ωt) ω sin(ωt) −t/20 cos(ωt)+ 399   e z . + 10 sin(ωt) 0 sin(ωt) 1 cos(t)+e−t/20 − cos(ωt)+ √ √ − ω sin(ωt)

cos(ωt)−

399

399

70

4.3. Quasipolynome

Damit ist die allgemeine L¨ osung der DGL zweiter Ordnung von der Form   x(t) = e−t/20 c1 cos(ωt)−c2 sin (ωt) +10 sin t.

x 5

Die L¨osung des Anfangswertproblems f¨ ur x0 = x0 = 0 ist nebenstehend abgebildet. Die Integration bereitet zwar keine grunds¨atzli- 5 chen Probleme, ist aber schon in diesem einfachen Beispiel rechenintensiv. 3

4.3

75

t

Quasipolynome

Um den Rechenaufwand bei der L¨ osung einer inhomogenen linearen Differentialgleichung zu verringern, benutzt man die Methode der Quasipolynome. Erinnerung: Der L¨ osungsoperator exp(At) der linearen DGL x˙ = Ax hat die Form exp(At) = W exp(Jt)W −1     mit der Jordan–Matrix J = exp Jr1 (λ1 ) ⊕. . .⊕exp Jrk (λk ) , und nach (4.1.6) ⎛

  gilt exp Jr (λ)t = eλt

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ tr−1 (r−1)! ⎟ ⎟ 0 1 t ⎟ ⎟ ⎟ . . . . . ⎟ . . . . . ⎟ . . . . . ⎟ ⎟ ⎟ . . . ⎠ . . . . . t . 0 ··· ··· 0 1

1 t ··· ···

.

Folgerung: Ist A ∈ Mat(n, C) und sind λ1 , . . . , λk ∈ C die Eigenwerte von A mit den Vielfachheiten ν1 , . . . , νk , dann haben die Eintr¨age der Matrix exp(At)

k die Form l=1 eλl t pl (t), wobei pl (t) ein Polynom vom Grad ≤ νl − 1 ist. Diese Folgerung k¨ onnen wir uns zunutze machen, nur unter Benutzung eines entsprechenden L¨ osungsansatzes direkter eine L¨osung linearer DGLn zu finden. 4.22 Definition F¨ ur λ ∈ K und ein Polynom p ∈ K[t] heißt die Funktion t → eλt p(t) λ–Quasipolynom vom Grad grad(p) u ¨ber K. Kennt man nun durch Auswertung des charakteristischen Polynoms von A die Eigenwerte λ1 , . . . , λk und die Multiplizit¨aten ν1 , . . . , νk , dann kann man die L¨osung in der oben angegebenen Form ansetzen. Der K-Vektorraum der λ–Quasipolynome wird durch Differentiation linear in sich abgebildet, und es gilt d dt



   eλt p(t) = eλt p (t) + λp(t) .

Einsetzen des L¨osungsansatzes ergibt f¨ ur jeden Eigenwert λl eine Gleichung f¨ ur   die Polynome pl (im Allgemeinen mehrere, denn x(t) = x1 (t), . . . , xn (t) ). Daraus lassen sich im Prinzip deren Koeffizienten bestimmen.

4. Lineare Dynamik

71

Besonders leicht ist der L¨ osungsansatz f¨ ur lineare Einzel-Differentialgleichungen h¨oherer Ordnung. Ist n¨amlich x(n) + an−1 x(n−1) + . . . + a0 x = 0,  y1  .. , y := dk−1 x dann ergibt sich das ¨aquivalente System y˙ = Ay mit y = k dtk−1 . yn ⎛ 0 1 0 ... ⎞ 0 .. .. ⎜ 0 0 1 . . ⎟ ⎜ ⎟. Es ist damit das charakteristische Polyund A = ⎝ . . . . ⎠ .. .. . . . . 0 nom

0 0 ... 0 1 −a0 −a1 ... −an−2 −an−1

⎛

λ −1 0

...

0

⎜ 0 λ −1 . . . ⎜ det(λ1l − A) = det ⎜ . . . . ⎝ .. . . . . . .

.. .

0 0 0 λ −1 a0 a1 ... an−2 λ+an−1

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ = λn + an−1 λn−1 + . . . + a0 , ⎠

also das Polynom mit den Koeffizienten der Differentialgleichung. Wir brauchen also nicht den Umweg u ¨ber ein Differentialgleichungssystem erster Ordnung zu machen, wenn wir die allgemeine L¨osung in Form eines Quasipolynoms schreiben wollen. 4.23 Beispiele 1. x(4) − ax = 0, a > 0. Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms λ4 − a = 0 sind √ (k = 1, . . . , 4). λk = ik 4 a

4 λk t mit Koeffizienten Jede L¨osung besitzt also die Form x(t) = k=1 ck e ck ∈ C. Ist eine reelle L¨ osung gefragt, dann muss offensichtlich c2 , c4 ∈ R und c1 = c3 gelten. 2. Die Differentialgleichung x ¨ + k x˙ + x = 0 mit k > 0 (siehe Beispiel 4.21) beschreibt einen ged¨ampften harmonischen Oszillator (ohne ¨außere Anregung).   0 1  2 sind nur Die Eigenwerte λ1/2 = − k2 ± k4 − 1 der Matrix A = −1 −k im aperiodischen Grenzfall k = 2 einander gleich: Dann ist λ1 = λ2 = −1, sodass die allgemeine L¨ osung von der Form x(t) = (c1 + c2 t)e−t ist (siehe auch Kapitel 5.4). 3   F¨ ur λ ∈ R (sogar f¨ ur λ ∈ C!) ist cosh(λt) = 12 eλt + e−λt und sinh(λt)   = 1 1 λt −λt iλt −iλt e , und nach der Euler–Formel cos(λt) = e und − e + e 2 2  iλt  1 −iλt sin(λt) = 2i e − e . L¨ osungen linearer DGLn k¨onnen also insbesondere Produkte dieser vier elementaren Funktionen mit t–Potenzen enthalten, denn diese erh¨alt man durch Linearkombination geeigneter Quasipolynome. Das hat eine weitere Konsequenz. Ist n¨amlich x˙ = Ax + b(t), wobei b(t) sich als Summe von Quasipolynomen schreiben l¨asst, dann l¨asst sich die L¨osung dieser

72

4.3. Quasipolynome

inhomogenen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten als Summe von λ–Quasipolynomen schreiben (wobei λ Eigenwert von A ist oder als Exponent in b(t) auftaucht). Dies ergibt sich unmittelbar aus der in diesem Fall g¨ ultigen L¨osungsformel (siehe (4.2.10))   t ϕ(t) = exp(At) x0 + 0 exp(−As)b(s) ds f¨ ur das Anfangswertproblem mit ϕ(0) = x0 , denn Produkte und Integrale von Quasipolynomen sind Quasipolynome. 4.24 Beispiele (inhomogene lineare Differentialgleichungen) 1. x ¨+x = t2 . Eine partikul¨are L¨ osung dieser inhomogenen Differentialgleichung ist xp (t) := t2 − 2, die allgemeine a1 cos t + a2 sin t + xp (t), mit a1 , a2 ∈ R.   2. x(4) + x = t2 et cos t. Die rechte Seite ist von der Form 12 t2 eλt + eλt mit λ := 1 + i. Allgemein hat ein Quasipolynom eλt p(t) die k–te Ableitung dk dtk



k k l (k−l) (t), eλt p(t) = eλt l=0 l λ p



denn nach der Leibniz–Regel gibt es alfaktor l–mal abzuleiten.

k l

(4.3.1)

Wahlm¨oglichkeiten, den Exponenti(4)

Wir setzen die partikul¨are L¨ osung xp in der Form xp = yp + y p mit yp (t) + t2 λt yp (t) = 2 e an, wobei yp (t) := eλt (a2 t2 + a1 t + a0 ) sein soll. Nach Formel (4) (4.3.1) ist die linke Seite yp (t) + yp (t) =   eλt (λ4 + 1)a2 t2 + [(λ4 + 1)a1 + 8λ3 a2 ]t + [(λ4 + 1)a0 + 4λ3 a1 + 12λ2 a2 ] . Vergleich mit der rechten Seite ergibt wegen λ2 = 2i, λ4 = −4 a2 =

1/2 λ4 +1

= − 16 , a1 =

−8λ3 a2 λ4 +1

= 89 (1 − i) und a0 = − 4λ

 2 Damit ist xp (t) = 2Re e(1+i)t (− t6 + 89 (1 − i)t +  2 et (− t3 +

16 9 t) cos t

+ ( 16 9 t−

3

a1 +12λ2 a2 λ4 +1

=

92 27 i.



92 27 i)

184 27 ) sin t

=  .

3

Kapitel 5

Klassifikation linearer Flu ¨sse

5.1 5.2 5.3 5.4

Konjugationen linearer Flusse ¨ . . . Hyperbolische lineare Vektorfelder . Lineare Flusse ¨ in der Ebene . . . . Beispiel: Feder mit Reibung . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

74 76 80 84

Wir kennen den von einer linearen Differentialgleichung x˙ = Ax mit Systemmatrix A ∈ Mat(n, R) auf dem Phasenraum Rn erzeugten Fluss Φt : Rn → Rn

, x → exp(At)x

(t ∈ R),

wollen aber ein vertieftes geometrisches Verst¨andnis erlangen. Insbesondere werden wir f¨ ur kleine Dimensionen n die Phasenportraits von Φ untersuchen. Allgemein versteht man unter dem Phasenportrait eines dynamischen Systems Φ : G × M → M die Zerlegung des Phasenraums M in Orbits. A. Knauf, Mathematische Physik: Klassische Mechanik, Springer-Lehrbuch Masterclass, c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012 DOI 10.1007/978-3-642-20978-9 5, 

73

74

5.1. Konjugationen linearer Fl¨usse

Abbildung 5.1.1: Phasenportraits   von stabilen Spiralen der Differentialgleichung −1 x˙ = Ax. Links: A = −1/5 ; rechts: eine zu A ¨ahnliche Matrix 1 −1/5

5.1

Konjugationen linearer Fl¨ usse

Zun¨achst fragen wir etwas unpr¨azise, wann eine zweite lineare Differentialgleichung x˙ = Bx auf dem Phasenraum Rn ein ¨ahnliches Phasenportrait hat wie das von x˙ = Ax. Naheliegend erscheint dabei zun¨achst vielleicht die folgende Klasseneinteilung. Die Matrizen A, B ∈ Mat(n, R) heißen ¨ahnlich, wenn ein S ∈ GL(n, R) existiert mit B = SAS −1 . Dann gilt f¨ ur den von B erzeugten Fluss Ψt (y) := exp(Bt)y Ψt (y) = S exp(At)S −1 y = SΦt (S −1 y). (5.1.1) Also geht das Phasenportrait von B aus dem von A durch eine Basistransformation des Rn hervor. In Abbildung 5.1.1 sehen wir Phasenportraits zweier ¨ahnlicher Matrizen. ¨ Da bei der Ahnlichkeitstransformation die Eigenwerte mit ihrer Multiplizit¨at ¨ invariant gelassen werden, ist diese Aquivalenzklasseneinteilung linearer Fl¨ usse f¨ ur viele Zwecke zu fein. Angemessener f¨ ur den Vergleich zweier stetiger dynamischer Systeme Φ(i) : R × M (i) → M (i) ist dagegen oft  der Begriff der Konjugation mit einem Hom¨oomorphismus h ∈ C M (1) , M (2) (siehe Definition 2.28). Sind die dynamischen Systeme differenzierbar und ist hsogar ein Diffeomor   phismus (das heißt h ∈ C 1 M (1) , M (2) und h−1 ∈ C 1 M (2) , M (1) ), dann (2) (1) folgt aus Φt ◦ h = h ◦ Φt f¨ ur die Vektorfelder fk :   d  (2) d  (1) f2 ◦ h = Φt ◦ h = h ◦ Φt = Dh ◦ f1 dt dt t=0 t=0 oder

f2 = Dh ◦ f1 ◦ h−1 .

(5.1.2)

5. Klassifikation linearer Fl¨ usse

75

Die den Fluss erzeugenden Vektorfelder werden also durch die Linearisierung von h aufeinander abgebildet. Ist insbesondere x1 ∈ M (1) eine Ruhelage von Φ(1) , dann ist nach Aufgabe 2.30 auch x2 = h(x1 ) eine Ruhelage von Φ(2) , und die Linearisierungen Df1 (x1 ) und Df2 (x2 ) sind ¨ahnliche Matrizen aus Mat(n, R). Angewandt auf die Ruhelage 0 ∈ Rn impliziert dies f¨ ur lineare Fl¨ usse auf dem Rn , dass diese genau dann durch Diffeomorphismen konjugiert sind, wenn die ihre Vektorfelder definierenden Matrizen ¨ahnlich sind. In diesem Fall k¨onnen wir statt allgemeiner Diffeomorphismen des Rn aber gleich die in (5.1.1) durch S ∈ GL(n, R) definierte lineare Abbildung als konjugierenden Diffeomorphismus verwenden. Anders sieht die Situation bei Verwendung nicht differenzierbarer Hom¨oomorphismen h aus. 5.1 Beispiel (Lineare DGLn auf R) F¨ ur Parameter a ∈ R betrachten wir die (a) lineare Differentialgleichung x˙ = ax auf R, mit Fluss Φt (x) = eat x. Dann ist der Ursprung x = 0 f¨ ur alle a ∈ R Ruhelage. Ist nun x ∈ R\{0}, dann ist die α– bzw. ω–Limesmenge von x (siehe Definition 2.20) parameterabh¨angig: • f¨ ur a < 0 :

α(x) = ∅, ω(x) = {0}

• f¨ ur a = 0 :

α(x) = ω(x) = {x}

• f¨ ur a > 0 :

α(x) = {0}, ω(x) = ∅.

Nach Aufgabe 2.30 k¨ onnen also Φ(a) (b) und Φ h¨ochstens dann konjugiert sein, wenn sign(a) = sign(b) gilt. Dann sind die Abbildungen aber auch wirklich konjugiert. Sind n¨amlich a und b beide gr¨oßer als Null oder beide kleiner als Null, k¨onnen wir den f¨ ur α > 0 definierten Hom¨oomorphismus

hΑ 1

=

1

1

x

1

Der konjugierende Hom¨oomorphismus ur α = 1/2, 1 und 2 hα , f¨ hα : R → R , x → sign(x)|x|α −1 von R benutzen. Es ist hα = h1/α und daher f¨ ur α := ab > 0 (a)

hα ◦ Φt

◦ h−1 α (x)

=

hα (eat sign(x)|x|1/α )

=

sign(x)(eat |x|1/α )α = ebt sign(x)|x| = ebt x = Φt (x).

(b)

Wir beachten, dass dieser konjugierende Hom¨ oomorphismus außer an der Stelle Null glatt ist. Der (eindimensionale, da durch a ∈ R parametrisierte) Parameterraum der ¨ eindimensionalen linearen dynamischen Systeme x˙ = ax wird also in drei Aquivalenzklassen zueinander konjugierter Systeme zerlegt. 3

76

5.2

5.2. Hyperbolische lineare Vektorfelder

Hyperbolische lineare Vektorfelder

Wir verallgemeinern jetzt das Beispiel 5.1 auf beliebige Dimensionen. 5.2 Definition • Eine Matrix A ∈ Mat(n, R), das Vektorfeld x → Ax und der Fluss (t, x) → Φt (x) = exp(At)x heißen hyperbolisch, wenn f¨ ur alle Eigenwerte λ ∈ C von A gilt: Re(λ) = 0. • Die Summe der algebraischen Vielfachheiten der Eigenwerte λ mit Re(λ) < 0 heißt der Index von A und wird Ind(A) geschrieben. • E s := {x ∈ Rn | limt→∞ Φt (x) = 0} heißt stabiler Unterraum, E u := {x ∈ Rn | limt→−∞ Φt (x) = 0} instabiler Unterraum von A. 5.3 Satz F¨ ur alle n ∈ N ist die Menge der hyperbolischen Matrizen in Mat(n, R) offen und dicht. Beweis: • Sei A ∈ Mat(n, R) hyperbolisch und λ ∈ iR. Dann ist λ kein Eigenwert von A, und es gilt sogar I(A) := inf{| det(A − λ 1ln )| | λ ∈ iR} > 0. Da die Abbildung det : Mat(n, C) → C stetig ist, gibt es Λ > 0 und eine Umgebung U ⊂ Mat(n, R) von A mit I(B) = inf{| det(B − λ 1ln )| | λ ∈ iR, |λ| ≤ Λ} > 0 f¨ ur B ∈ U . Die Matrizen B ∈ U sind also auch hyperbolisch. • Sei A ∈ Mat(n, R) nicht hyperbolisch. Dann ist f¨ ur c ∈ R die Matrix A+c1ln ∈ Mat(n, R) hyperbolisch, falls |c| ∈ (0, C) mit   C := inf |Re(λ)| | λ ∈ C Eigenwert von A, Re(λ) = 0 ∈ (0, ∞]. Die Menge dieser Matrizen besitzt A als H¨aufungspunkt.

2

5.4 Bemerkungen 1. Wenn auch typische Matrizen in Mat(n, R) hyperbolisch sind, gilt dies nicht mehr, wenn wir uns auf den Untervektorraum der in der Klassischen Mechanik als Systemmatrizen auftretenden infinitesimal symplektischen Matrizen (siehe Seite 95) beziehen. 2. Eine Matrix A ∈ Mat(n, R) ist genau dann hyperbolisch, wenn gilt: Ind(A) + Ind(−A) = n. 3. Im Beispiel 5.1 waren die hyperbolischen dynamischen Systeme mit gleichem Index zueinander konjugiert. Dies werden wir jetzt auch f¨ ur beliebige Dimensionen n zeigen. 4. Die (gebr¨auchlichen) Indices s bzw. u stehen f¨ ur stable bzw. unstable. 5. Der Index einer Ruhelage x0 eines dynamischen Systems x˙ = f (x) ist definiert als Index von Df (x0 ). F¨ ur ein lineares Vektorfeld (f (x) = Ax) ist damit der Index jeder Ruhelage, insbesondere der Null, gleich dem Index der Systemmatrix A. 3

5. Klassifikation linearer Fl¨ usse

77

5.5 Aufgabe (Index) Bestimmen Sie ein Fundamentalsystem der L¨osungen zu  1 1 −1  x˙ = 0 −1 2 x . −2 −1 1

Welche L¨osungen bleiben f¨ ur t → ∞ beschr¨ankt? Ist die Matrix hyperbolisch? Wenn ja, welchen Index hat sie? 3 5.6 Lemma (Index) F¨ ur eine hyperbolische Matrix A gilt dim(E s ) = Ind(A). Beweis: Zun¨achst sind wegen der Linearit¨at des Flusses Φt tats¨achlich E u und E s Unterr¨aume des Phasenraums Rn . • Ist x ∈ Rn Element der direkten Summe der verallgemeinerten Eigenr¨aume zu den Eigenwerten λi mit Re(λi ) < 0, dann sind die Komponenten der vektorwertigen Funktion t → Φt (x) Summen von λi –Quasipolynomen, also x ∈ E s . Damit ist dim(E s ) ≥ Ind(A). • Andererseits ist mit der analogen Argumentation f¨ ur die Eigenwerte mit positivem Realteil dim(E u ) ≥ Ind(−A) = n − Ind(A).

• Außerdem gilt f¨ ur jede Summe f (t) := i pi (t)eλi t von λi –Quasipolynomen: Falls limt→∞ f (t) = limt→−∞ f (t) = 0, dann ist auch f = 0. Also ist E u ∩ E s = {0} und damit dim(E u ) + dim(E s ) = n, was dim(E s ) = Ind(A) und dim(E u ) = n − Ind(A) impliziert. 2 5.7 Beispiel Die Abbildung am Kapitelanfang (Seite 73) zeigt Orbits eines linearen Flusses auf dem R3 , mit Index 3. 3 Betrachten wir das rechte Phasenportrait in Abbildung 5.1.1, dann ist die Trajektorie zwar stabil, n¨ahert sich aber nicht die ganze Zeit dem Ursprung. Der ¨ Ubergang zur ¨ahnlichen Systemmatrix der linken Abbildung behebt diesen Defekt. Dies ist allgemein m¨ oglich: 5.8 Lemma Es sei A ∈ Mat(n, R), und Λ := max{Re(λ) | λ Eigenwert von A}. ur dessen Norm Dann gibt es f¨ ur alle Λ > Λ ein Skalarprodukt auf dem Rn , f¨ gilt: d

Φt (x) ≤ Λ Φt (x)

(x ∈ Rn , t ∈ R). (5.2.1) dt d d Beweis: Wegen dt Φt (x) = ds Φt+s (x)|s=0 = gen¨ ugt es, (5.2.1) f¨ ur t = 0 zu zeigen.

d ds Φs (y)|s=0

mit y := Φt (x)

• (5.2.1) gilt f¨ ur x = 0. Es gen¨ ugt also, die Ungleichung f¨ ur x ∈ Rn \ {0} zu beweisen. Stattdessen zeigen wir sogar, dass f¨ ur ein geeignetes Skalarprodukt auf dem Cn gilt 1 2

d exp(At)x, exp(At)x |t=0 ≤ Λ x, x dt

(x ∈ Cn ).

(5.2.2)

78

5.2. Hyperbolische lineare Vektorfelder

Ohne Beschr¨ankung der Allgemeinheit k¨ onnen wir voraussetzen, dass der Basiswechsel zur Jordan–Normalform schon vorgenommen wurde. Es ist   d exp(At)x, exp(At)x |t=0 = 2Re x, Ax . dt • Ist das Skalarprodukt so gew¨ahlt, dass die Unterr¨aume zu den verschiedenen Jordan–Bl¨ocken orthogonal sind, ist dieser Term eine Summe u ¨ber die Beitr¨age der Jordan–Bl¨ocke. Mit dem Jordan–Block Jr (λ) f¨ ur den Eigenwert λ ist f¨ ur μ := Re(λ) ≤ Λ     Re x, Jr (λ)x = Re x, Jr (μ)x . • F¨ ur ε > 0 konjugieren wir Jr (μ) = μ1lr + Jr (0) mit der Diagonalmatrix Dε := diag(1, ε, ε2 , . . . , εr−1 ) ∈ GL(r, C) (also Dε−1 = D1/ε ): Dε−1 Jr (μ)Dε = μ1lr + Dε−1 Jr (0)Dε = μ1lr + εJr (0). Die Nebendiagonale wurde also mit ε multipliziert. Wir bezeichnen das kanonische Skalarprodukt auf Cr mit ·, ·can . Die Cauchy-Schwarz–Ungleichung impliziert   Re x, Jr (0)xcan ≤ x can Jr (0)x can ≤ x 2can .   Also ist f¨ ur ε ∈ 0, Λ − Λ     = μ x, xcan + ε Re x, Jr (0)xcan Re x, (μ1lr + εJr (0))xcan ≤ (Λ + ε) x, xcan ≤ Λ x, xcan . ) * Wir definieren also das Skalarprodukt durch x, y := Dε−1 x, Dε−1 y can und erhalten f¨ ur x ˜ := Dε−1 x x, Jr (μ)x = ˜ x, (μ1lr + εJr (0))˜ xcan ≤ Λ ˜ x, x ˜can = Λ x, x , insgesamt also

1 d 2 2 dt exp(At)x |t=0

≤ Λ x 2 , das heißt (5.2.2).

2

5.9 Satz (Konjugationsklassen) Die linearen Fl¨ usse zweier hyperbolischer Matrizen A(1) , A(2) ∈ Mat(n, R) sind genau dann konjugiert, wenn gilt:     Ind A(1) = Ind A(2) . (i)

Beweis: Wir bezeichnen die linearen Fl¨ usse mit Φt (x) := exp(A(i) t)x und (i) deren stabile Unterr¨aume mit E (i = 1, 2). · (i) : E (i) → [0, ∞) bezeichnen Normen, die die Ungleichung aus Lemma 5.8 f¨ ur ein Λ < 0 erf¨ ullen. • Existiert ein konjugierender Hom¨ oomorphismus h : Rn → Rn , dann gilt h(0) =  (1)  (2) 0 und auch h E = E , denn die Punkte x ∈ E (i) haben  die definierende   Eigenschaft {0} = ω(x), und es gilt nach Aufgabe 2.30 h ω(x) = ω h(x) . Es ist eine wichtige Eigenschaft von Hom¨ oomorphismen, die Dimension von Vektorr¨aumen invariant zu lassen. Damit ist bei Existenz einer Konjugation h           Ind A(1) = dim E (1) = dim h(E (1) ) = dim E (2) = Ind A(2) .

5. Klassifikation linearer Fl¨ usse

79

    • Wir nehmen jetzt umgekehrt Ind A(1) = Ind A(2) an und konstruieren einen konjugierenden Hom¨ oomorphismus h. Da beide Phasenr¨aume Rn direkte Summen ihrer stabilen beziehungsweise instabilen Unterr¨aume sind, schreiben wir uglich  dieser Zerlegungen den Hom¨oomorphismus in der Form  bez¨ h = h(s) , h(u) mit h(s) : E (1) → E (2) , w¨ahrend h(u) die instabilen Unterr¨aume aufeinander abbildet. • Wir definieren h(s) und zeigen, dass die Abbildung ein Hom¨oomorphismus ist. Zun¨achst ist h(s) (0) := 0, denn Ruhelagen werden auf Ruhelagen abgebildet. (1) Ist x ∈ E (1) \{0}, dann ist limt→∞ Φt (x) = 0 und  (1) (1) limt→−∞ Φt (x) = ∞. Nach Lemma 5.8 gibt es genau ein 

(1) T (x) ∈ R mit ΦT (x) (x) ∈ S (1) := y ∈ E (1) y (1) = 1 , und T : E (1) \ {0} → R ist glatt. ¨ Geometrisch ist S (1) die Sph¨are vom Radius 1 in E (1) . Ahnlich bezeichnet (2) (2) (2) (2) S := {z ∈ E | z = 1} die Einheitssph¨are in E . Da die beiden R–Vektorr¨aume E (1) und E (2) die gleiche Dimension besitzen, gibt es einen Isomorphismus I : E (1) → E (2) , und entsprechend den Diffeomorphismus I(y) . I˜ : S (1) → S (2) , y →

I(y) (2) Wir setzen (2) (1) h(s) (x) := Φ−T (x) ◦ I˜ ◦ ΦT (x) (x)



 x ∈ E (1) \{0} .

Als Verkettung glatter Abbildungen ist h(s) auf E (1) \{0} glatt, und h(s) (x) → 0 f¨ ur x → 0. Analoge Aussagen gelten f¨ ur die Umkehrabbildung von h(s) . (s) Damit ist h ein Hom¨ oomorphismus. (u) ¨ h definiert man analog, durch Ubergang von den Systemmatrizen A(i) zu (i) oomorphismus. −A . Daher ist schließlich auch h ein Hom¨ (1)

• h konjugiert die Fl¨ usse. Denn f¨ ur y := Φs (x) und x ∈ E (1) \ {0} ist (1)

(1)

(1)

(1)

ΦT (x)−s (y) = ΦT (x) ◦ Φ−s (y) = ΦT (x) (x)

, also T (y) = T (x) − s. (2)

F¨ ur alle t ∈ R und (zun¨achst nur) f¨ ur x ∈ E (1) ist daher Φt ◦ h(x) gleich (2)

(1)

(2)

(1)

(1)

(1)

Φt−T (x) ◦ I˜ ◦ ΦT (x) (x) = Φt−T (x) ◦ I˜ ◦ ΦT (x)−t ◦ Φt (x) = h ◦ Φt (x). Daraus folgt mit analoger Argumentation f¨ ur den instabilen Unterraum die Konjugationseigenschaft f¨ ur alle x ∈ Rn . 2 ¨ Es gilt also bez¨ uglich Konjugation genau n + 1 Aquivalenzklassen hyperbolischer Matrizen A ∈ Mat(n, R).

80

5.3. Lineare Fl¨ usse in der Ebene

5.10 Weiterf¨ uhrende Literatur Eine weitergehende Analyse, insbesondere eine Verallgemeinerung auf die lokale Theorie nichtlinearer Differentialgleichungen in der N¨ahe eines hyperbolischen singul¨aren Punktes, findet sich in Palis und de Melo [PdM], sowie in Amann [Am]. 3

5.3

Lineare Fl¨ usse in der Ebene

Nach dem in Beispiel 5.1 behandelten Fall der Phasenraumdimension n = 1 untersuchen wir jetzt den n¨achst einfachen Fall n = 2. a12 ) ∈ Mat(2, R) den Fluss Φ(A) : R × Wir betrachten also f¨ ur A = ( aa11 21 a22 2 2 R → R der linearen DGL x˙ = Ax. Zueinander ¨ahnliche Matrizen f¨ uhren zu Fl¨ ussen, die sich nur durch eine Basistransformation unterscheiden. Die Gr¨oßen tr(A) = a11 + a22 , det(A) = a11 a22 − a12 a21 und D(A) := tr(A)2 − 4 det(A) sind invariant unter Konjugationen A → SAS −1 , und die Eigenwerte λ1/2 ∈ C sind gleich  √  λ1/2 = 12 tr(A) ± D . Nur wenn die Diskriminante D = 0 ist, kann also die komplexe Jordan–Normalform von A aus einem Jordan–Block der Gr¨ oße 2 bestehen, und nur dann ist die Konjugations-Klasse von A nicht schon durch tr(A) und det(A) festgelegt. Nicht hyperbolisch ist die Matrix A genau dann, wenn mindestens einer der Eigenwerte verschwindenden Realteil hat. Dies ist genau dann der Fall, wenn 1. det(A) = 0, also sogar ein Eigenwert 0 ist oder 2. det(A) > 0, aber tr(A) = 0 gilt, also die Eigenwerte rein imagin¨ar sind. In der (tr, det) ∈ R2 –Ebene bilden diese Bedingungen die Abszisse bzw. die positive Ordinate und trennen damit drei Gebiete1 ab, siehe Abbildung 5.3.1. • Ind(A) = 0 gilt f¨ ur den Quadranten mit det(A) > 0 < tr(A). • Ind(A) = 1 gilt f¨ ur det(A) < 0. Hier sind beide Eigenwerte reell. • Ind(A) = 2 entspricht dem Quadranten mit det(A) > 0 > tr(A). Wie im letzten Abschnitt bewiesen, sind die Fl¨ usse innerhalb jedes dieser drei Gebiete untereinander konjugiert, aber Fl¨ usse f¨ ur Matrizen mit verschiedenen Indices sind nicht konjugiert. Der Fall Ind(A) = 1 ist, entsprechend dem Vorzeichen von tr(A), noch weiter unterteilbar. In der Situation tr(A) = 0 zweier Eigenwerte λ1 = −λ2 ∈ R wird das Phasenraumvolumen durch den Fluss erhalten, w¨ahrend es f¨ ur tr(A) < 0 1 Unter einem Gebiet wird eine offene, nichtleere und zusammenh¨ angende Teilmenge eines topologischen Raumes verstanden.

5. Klassifikation linearer Fl¨ usse

81

DetA

Sattel

Spirale ten o Kn D0 . g i e Knoten un

Zentrum

Spirale un eig .K no Knoten ten

trA

Abbildung 5.3.1: Verzweigungsdiagramm f¨ ur Matrizen A ∈ Mat(2, R), mit Diskriminante D ≡ D(A) = tr(A)2 − 4 det(A). tr(A) < 0: Senke; tr(A) = 0: Volumenerhaltender Fluss; tr(A) > 0: Quelle gem¨aß Lemma 4.12 im Limes großer Zeiten mit exponentieller Rate gegen Null geht. Der Fall tr(A) > 0 ist in Abbildung 5.3.2 dargestellt. Die durch die Gleichung D = 0 definierte Parabel trennt die KonjugationsKlassen Ind(A) = 0 und Ind(A) = 2 noch weiter auf. F¨ ur D > 0, also reelle Eigenwerte, erhalten wir sogenannte Knoten als Phasenraumportraits, siehe Abbildung 5.3.3. Diese werden stabil genannt, wenn dim(E s ) = 2, also Ind(A) = 2 ist und instabil f¨ ur Ind(A) = 0. F¨ ur D = 0 kann die Jordan–Normalform von A ein nichttrivialer Jordan– Block sein. Ein entsprechendes Phasenportrait, uneigentlicher Knoten genannt, findet sich ebenfalls in Abbildung 5.3.3. Ist zus¨atzlich tr(A) = 0, sind also beide Eigenwerte gleich Null, erh¨alt man einen eindimensionalen Eigenraum von Gleichgewichtslagen, wie in Abbildung 5.3.4 (links). Der Fall tr(A) = 0, det(A) > 0 f¨ uhrt zu imagin¨aren Eigenwerten und periodischen Orbits (Abbildung 5.3.4 rechts), auch Zentren genannt. Endlich ist f¨ ur D < 0 und tr(A) < 0 die Bewegung spiralf¨ormig und stabil (Abb. 5.3.5), w¨ahrend D < 0 und tr(A) > 0 zu sog. instabilen Spiralen f¨ uhrt. Der reibungsfreie (hamiltonsche) Fall der Klassischen Mechanik entspricht einer Matrix A ∈ Mat(2, R) mit tr(A) = 0. Wir befinden uns also auf der Ordinate des Verzweigungsdiagramms 5.3.1. 5.11 Beispiel (hamiltonsche lineare Differentialgleichungen) Wir betrachten einen Massenpunkt der Masse 1 am Ort q ∈ R, der durch eine Kraft F (q) := a q beschleunigt wird, mit Parameter a ∈ R. Physikalisch kann man etwa an einen Gegenstand denken, der unter dem Einfluss der Schwerkraft reibungsfrei auf einer parabolisch geformten Unterlage gleitet. Nach Newton gilt

82

5.3. Lineare Fl¨ usse in der Ebene

Abbildung 5.3.2: Phasenportrait   von Satteln der Differentialgleichung x˙ = Ax. Links: Systemmatrix A = 03 −20 ; Rechts: zu A ¨ahnliche Matrix.

Abbildung 5.3.3: Phasenportraits von Knoten der DGL x˙ = Ax. Links: instabiler  0   Knoten, f¨ ur A = 01 1/2 ; Rechts: instabiler uneigentlicher Knoten, f¨ ur A = 10 11

Abbildung 5.3.4: Phasenportraits von   x˙ = Ax. Fall rein imagin¨arer Eigenwerur antisymmetrische te. Links: Nilpotente Matrix A = 00 10 ; Rechts: Zentrum, f¨  0 1 Matrix A = −1 0

5. Klassifikation linearer Fl¨ usse

83

Abbildung 5.3.5: Phasenportraits   von stabilen Spiralen der Differentialgleichung −1 x˙ = Ax. Links: A = −1/5 ; rechts: eine nicht zu A ¨ahnliche Matrix 1 −1/5 1

p

0

1

1

1

h q 1

1

q

=

p

0

q

1

1

Abbildung 5.3.6: Abstoßende Kraft (a = 1): Vektorfeld q˙ = p, p˙ = q und Phasenportrait also die DGL zweiter Ordnung q¨ = a q. Durch Einf¨uhrung der Geschwindigkeit p = q˙ ergibt sich das lineare Differentialgleichungssystem erster Ordnung q˙ = p ,

p˙ = a q

oder x˙ = A x mit x = ( pq ) und A := ( a0 10 ).

3

5.12 Aufgabe (Hookesches mit A = ( a0 10 ) f¨ur   Kraftgesetz)  Zeigen Sie, dass q0 den linearen Fluss q(t), p(t) = Φt (q0 , p0 ) = exp(A t) ( p0 ) gilt: √ (a) F¨ ur a > 0 (siehe Abbildung 5.3.6) ist mit ω := a     p0 q(t), p(t) = q0 cosh(ωt) + sinh(ωt) , ωq0 sinh(ωt) + p0 cosh(ωt) . ω (b) F¨ ur a = 0 (siehe Abbildung 5.3.7) ist   q(t), p(t) = (q0 + p0 t, p0 ).

84

5.4. Beispiel: Feder mit Reibung

√ (c) F¨ ur a < 0, (siehe Abbildung 5.3.8) ist mit ω := −a     p0 sin(ωt) , −ωq0 sin(ωt) + p0 cos(ωt) . 3 q(t), p(t) = q0 cos(ωt) + ω 1

p

1

1

q

=

0

1

p

q˙ q

1

0

1

q

Abbildung 5.3.7: Freie Bewegung (a = 0): Vektorfeld q˙ = p, p˙ = 0 und Phasenportrait

1

p

0

1

1

1

h 1

q

1

q

=

1

p

0

q

1

Abbildung 5.3.8: Anziehende Kraft (a = −1): Vektorfeld q˙ = p, p˙ = −q und Phasenportrait Wir bemerken, dass in allen drei F¨allen det(exp(At)) = 1 (t ∈ R) ist. Das folgt aus Satz 4.12. Eine anschauliche Interpretation dieser Tatsache ist die Feststellung, dass der Fluss in R2 fl¨achenerhaltend ist.

5.4

Beispiel: Feder mit Reibung

Als Anwendungsbeispiel der Theorie linearer Differentialgleichungen diskutieren wir den Fall eines an einer Feder aufgeh¨angten Gewichts der Masse m > 0, das sich im Ruhezustand in der H¨ ohe x = 0 befinde. Die Kraft F (x, x), ˙ die auf die Masse wirkt, ist in der einfachsten N¨aherung eine lineare Funktion der Auslenkung x ∈ R und der Geschwindigkeit x˙ ∈ R. Die

5. Klassifikation linearer Fl¨ usse

85

erste Proportionalit¨atskonstante −D mit D > 0 nennt man Federkonstante. Sie ist ein Maß f¨ ur die Steifheit der Feder. Die zweite Konstante −R mit R ≥ 0 beschreibt die Reibung des Massenk¨orpers an der umgebenden Luft und die innere Reibung des Federmaterials2 . Autonomer Fall 2

2

d d d D Es gilt also nach Newton m dt 2 x(t) = −Dx(t) − R dt x(t), oder dt2 x = − m x − m R d d urzt ds x(t(s)) m dt x. Setzt man als neuen Zeitparameter s = D t an, und k¨ mit x˙ ab, so ergibt sich

x ¨ = −x − k x˙

k := √

, mit

R ≥ 0. mD

Eine solche Umskalierung wird h¨aufig benutzt, um eine Differentialgleichung auf eine m¨oglichst einfache Form zu bringen. Mit der Geschwindigkeit v := x˙ ergibt sich das lineare System erster Ordnung  0 1  ( xv˙˙ ) = A ( xv ) mit A := −1 −k .  2 Die Eigenwerte von A ergeben sich als die Nullstellen λ1/2 = − k2 ± i 1 − k4 des charakteristischen Polynoms det(λ1l − A) = λ2 + kλ + 1. Es gilt det(A) = 1 und tr(A) = −k, wir bewegen uns also im Diagramm 5.3.1 auf einer horizontalen Geraden. Je nach Gr¨ oße des Reibungsterms m¨ ussen also drei F¨alle unterschieden werden: 1. Schwingfall:, Kleine Reibung, 0 ≤ k < 2, (siehe auch Aufgabe 5.12).  2 Die allgemeine L¨ osung hat hier mit ω := Im(λ1 ) = 1 − k4 die Form   x(t) = e−kt/2 a cos(ωt) + b sin(ωt) wobei die Koeffizienten a und b aus den Anfangswerten x(0), x(0) ˙ zu bestimmen sind. F¨ ur den reibungsfreien Fall k = 0 liegt ein Zentrum vor, sonst eine Spirale. Die Schwingungsfrequenz ω(k) ist gegen¨ uber ω(0) = 1 verkleinert, aber es gilt noch ω(k) > 0. Die an der Feder aufgeh¨angte Masse pendelt sich allm¨ahlich in ihre Ruhelage (x, x) ˙ = (0, 0) ein.

x 1

=

Π

2Π

4Π

t

Zwei L¨ osungen f¨ ur den Schwingfall (k = 1/2)

2 Im Gegensatz zu dieser geschwindigkeitsproportionalen, nach Stokes benannten Reibung wird die Reibung in einer turbulenten Str¨ omung empirisch durch die zum Quadrat der Geschwindigkeit proportionale Reibung beschrieben.

86

5.4. Beispiel: Feder mit Reibung

2. Aperiodischer k = 2.   0 Grenzfall: 1 Es ist A = −1 −2 , und dieMatrix  1 1 V := −1 mit V −1 = 12 11 −1 1 1 , f¨ uhrt A in obere Dreiecksform u ¨ber:   2 J := V −1 AV = −1 0 −1 . Damit ist eJt = e−t ( 10 2t 1 ) und   t exp(At) = V eJt V −1 = e−t 1+t −1 1−t .

x 1

1  2

Π 2Π 3Π Zwei L¨osungen f¨ ur den Aperiodischen Grenzfall

Beispielsweise ist bei verschwindender Anfangsgeschwindigkeit v0 = 0 x(t) = x0 (1 + t)e−t .

t

Es findet also keine Schwingung mehr statt. Wegen der Nichttrivialit¨at des Jordan–Blockes ist die Bewegung zur Ruhelage hin gegen¨ uber der L¨osung x(t) = x0 e−t verlangsamt. 3. Kriechfall: Große Reibung, k > 2. Hier hat A die beiden reellen negativen Eigenwerte λ1/2 = −

k±

  + √ 4 k2 − 4 k 1± 1− 2 . =− 2 2 k

F¨ ur k → ∞ ist also λ1 ∼ −k −1

,

λ2 ∼ −k.

Das Phasenportrait ist das eines Knotens. Physikalisch bedeutet dies, dass, außer f¨ ur sehr spezielle Anfangswerte (x0 , v0 ) die einem Eigenvektor zum kleineren Eigenwert λ2 entsprechen, die Ann¨aherung an die Ruhelage sich bei Vergr¨ oßerung von k verlangsamt: x(t) = aeλ1 t + beλ2 t .

x 1

1  2

Π Zwei L¨osungen f¨ ur den Kriechfall (k = 2.5)

2Π

t

Nicht autonomer Fall Eine in der Praxis wichtige Erweiterung des eben besprochenen Beispiels besteht darin, dass auf den Massenpunkt zus¨atzlich eine ¨außere Kraft wirkt. Soll beispielsweise dauerhaft eine Schwingung aufrechterhalten werden, kann man den

5. Klassifikation linearer Fl¨ usse

87

Aufh¨angungspunkt zeitperiodisch nach oben und unten bewegen. Die zu behandelnde Differentialgleichung hat dann die Normalform x ¨ + k x˙ + x = f (t) mit einer vorgegebenen ¨außeren Kraft f , etwa f (t) = a cos ωt. Es ist ja cos ωt = urzung der Rechnung nahe, eine partikul¨are Re(eiωt ). Es liegt also zur Verk¨ L¨osung y : R → C der komplexen Differentialgleichung y¨ + k y˙ + y = aeiωt zu suchen, und danach x(t) := Re(y(t)) zu setzen. Physikalisch ist wegen der Reibung zu erwarten, dass der Massenpunkt r, nach einiger Zeit haupts¨achlich eine harmonische Schwingung mit der Kreisfrequenz ω durchf¨ uhrt, die ihm 2 von außen aufgepr¨agt wird. Setzen Π =  iωt 2 wir an: y(t) := Be , so ergibt sich y (k) (t) = (iω)k y(t), also 1 (1 − ω 2 + ikω)y(t) = Aeiωt

1

oder, nach Aufl¨osen nach B: A B= = Ar(ω)e−iϕ(ω) 1 − ω 2 + ikω 1 mit Amplitude r(ω) := √ 2 2

(1−ω ) +(kω)

2

Ω

Amplitude und Phasendifferenz der Erzwungenen Schwingung (k = 12 )   kω der und Phase ϕ(ω) := arctan 2 1−ω 2

erzwungenen Schwingung (siehe Abbildung, ein sogenanntes Bode–Diagramm). Offensichtlich spielt ω = 1 eine besondere Rolle; das ist nicht verwunderlich, denn die homogene Gleichung ohne Reibung hatte ja diese Frequenz ihrer L¨osungen. Wir interpretieren jetzt Amplitude und Phase der L¨osung physikalisch: • Amplitude: F¨ ur kleine anregende Frequenz ω schwingt die Masse etwa mit der Amplitude der Anregung. Ist ω nahe bei der auf 1 normierten Eigenfrequenz, dann kommt es zur Resonanz. Die Schwingungsamplitude wird gr¨ oßer als die anregende Amplitude und zwar um so gr¨ oßer, je geringer die D¨ampfung ist.3  Das Maximum von r(ω) liegt an der Stelle ω0 = 1 − k 2 /2, also zwischen der Eigenfrequenz mit und ohne Reibung. Die Maximalamplitude ist f¨ ur verschwindende D¨ampfung k ! 0 asymptotisch zu 1 1 ∼ . r(ω0 ) =  2 k k 1 − k /4 3 Voraussetzung:

k<

√

2.

88

5.4. Beispiel: Feder mit Reibung

  kω zwischen der ¨außeren • Phase: Die Phasendifferenz ϕ(k) = arctan 1−ω 2 Kraft und der Schwingung hat folgende Eigenschaften. - Es ist limω0 ϕ(ω) = 0. F¨ ur ω " 1 sind ¨außere Kraft und Schwingung also in Phase. ur ω # 1 gegenphasig. - Wegen limω+∞ ϕ(ω) = π sind sie f¨ - F¨ ur ω = 1 sind sie um

π 2

gegeneinander verschoben.

Wir erhalten also als allgemeine L¨ osung der Differentialgleichung x ¨ + k x˙ + x = A cos ωt   x = xH + xI mit xI (t) = r(ω)A cos ωt − ϕ(ω) , und einer L¨osung xH des homogenen Problems.

Kapitel 6

Hamiltonsche Gleichungen und Symplektische Gruppe

Die symplektische Gruppe Sp(2, R) = SL(2, R), mit den Matrizen ±1l und der Hyperfl¨ache der Matrizen mit degenerierten Eigenwerten +1 (rechte H¨alfte) beziehungsweise −1 (linke H¨alfte). 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5

Gradientenflusse ¨ und hamiltonsche Systeme Die symplektische Gruppe . . . . . . . . . . Lineare hamiltonsche Systeme . . . . . . . ¨ ¨ Unterraume symplektischer Vektorraume . . * Der Maslov–Index . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. 90 . 95 . 103 . 116 . 119

Der Energiebegriff ist vielleicht das wichtigste Konzept der Physik. Jedenfalls legt die Hamilton–Funktion (also die Gesamtenergie) eines Systems die TeilA. Knauf, Mathematische Physik: Klassische Mechanik, Springer-Lehrbuch Masterclass, c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012 DOI 10.1007/978-3-642-20978-9 6, 

89

90

6.1. Gradienten߬ usse und hamiltonsche Systeme

chendynamik fest. Das Vektorfeld der Differentialgleichung entsteht dabei durch Drehung aus dem Gradienten der Hamilton–Funktion. Im linearen Fall spielt sich die Dynamik in der symplektischen Gruppe ab.

6.1

Gradienten߬ usse und hamiltonsche Systeme

In diesem Kapitel werden wir Differentialgleichungen mit Vektorfeldern behandeln, die jeweils durch Angabe einer einzigen Funktion fixiert sind: Gradienten– beziehungsweise hamiltonsche Differentialgleichungen. Diese werden einerseits h¨aufig betrachtet, und letztere bilden die Basis der Klassischen Mechanik. Andererseits besitzen sie besondere dynamische Eigenschaften.

6.1.1

Gradienten–Differentialgleichungen

Wir betrachten die Gradienten–Differentialgleichung von H ∈ C 2 (M, R) auf dem in Rn offenen Phasenraum M : ⎧ ∂H ⎪ ⎨ x˙ 1 = ∂x1 (x1 , . . . , xn ) .. oder kurz 1 x˙ = ∇H(x) (6.1.1) . ⎪ ⎩ ∂H x˙ n = ∂xn (x1 , . . . , xn ) Erf¨ ullt H geeignete Bedingungen, so definiert die obige Differentialgleichung ein differenzierbares dynamisches System Φ : R × M → M , den Gradientenfluss. Wir stellen fest, dass H entlang der Bahnkurven anw¨achst: 6.1 Lemma Entweder ist ein Orbit einer Gradienten-Differentialgleichung (6.1.1) eine Ruhelage, oder H steigt entlang der L¨osungskurve streng monoton.   d ϕ(t) = ∇H ϕ(t) . Dann gilt Beweis: Es sei t → ϕ(t) eine L¨ osungskurve, also dt  )   *   d  H ϕ(t) = ∇H ϕ(t) , ϕ(t) ˙ = ∇H ϕ(t) 2 ≥ 0. dt Ist der Gradient von H an der Stelle ϕ(t) Null, dann ist der Orbit eine Gleichgewichtslage. Sonst gilt (f¨ ur den ganzen Orbit!) die strikte Ungleichung. 2 Die Mengen Mc := {m ∈ M | H(m) ≥ c}

(c ∈ R)

sind also vorw¨artsinvariant (Φt (Mc ) ⊆ Mc (t ≥ 0)), das heißt die Trajektorien sind f¨ ur positive Zeiten gewissermaßen in Mc gefangen. Da, wie wir gesehen haben, H entlang der Bahnkurven anw¨achst, gilt: Folgerung: Außer Ruhelagen besitzt (6.1.1) keine periodischen Orbits. 6.2 Beispiel H : R2 → R, H(x1 , x2 ) := x22 + (x21 − 1)2 . Der Gradientenfluss existiert nur f¨ ur alle negativen Zeiten und besitzt die Gleichgewichtslagen (0, 0), (1, 0) und (−1, 0), siehe Abbildung 6.1.1. 3 1 Hierbei

ist ∇ der Gradient bez¨ uglich der kanonischen Metrik auf dem Rn , siehe Seite 470.

6. Hamiltonsche Gleichungen und Symplektische Gruppe 1

0

91

1 1

x2

0

1

x1 Abbildung 6.1.1: Gradientenvektorfeld ∇H(x) und Niveaulinien von H(x) = x22 + (x21 − 1)2 Kriterien, Eigenschaften und Beispiele Wie stellt man nun fest, ob ein vorgegebenes Vektorfeld f Gradienten-Vektorfeld ist? Hilfreich ist daf¨ ur die Theorie der Differentialformen (Anhang B). In kartesischen Koordinaten ist ∇H ja bis auf Transposition gleich der exakten Eins–Form ∂H ∂H dx1 + · · · + ∂x dxn . Die dem Vektorfeld f = (f1 , . . . , fn ) assoziierte dH = ∂x 1 n Eins–Form ω := f1 dx1 + · · · + fn dxn muss also geschlossen sein (dω = 0), wenn f Gradienten-Vektorfeld sein soll. Diese Bedingung ist beispielsweise f¨ ur konvexe Phasenr¨aume auch hinreichend: 6.3 Satz Ist M ⊆ Rn offen und einfach zusammenh¨angend (zum Beispiel konvex), dann ist das Vektorfeld f ∈ C 1 (M, Rn ) genau dann Gradienten-Vektorfeld, wenn ω geschlossen ist, das heißt, wenn gilt ∂fk ∂fi = ∂xk ∂xi

(i, k ∈ {1, . . . , n}).

Beweis: • Dass diese Bedingung notwendig ist, folgt aus fj = Vertauschbarkeit der partiellen Ableitungen von H ∈ C 2 (M, R). • Umgekehrt folgt die Aussage aus dem Poincar´e-Lemma B.48.

(6.1.2) ∂H ∂xj

und der 2

Die Forderung des einfachen Zusammenhangs von M kann man nicht weglassen:

6.4 Beispiel (rotationsfreies Vektorfeld) Das Vektorfeld f ∈ C 1 (M, R2 ),  −x2  1 f (x) := x2 +x1 auf dem Phasenraum M := R2 \{0} besitzt die partiellen Ableitungen

∂f1 ∂x2 (x)

=

x22 −x21 x4

=

∂f2 ∂x1 (x),

erf¨ ullt also (6.1.2).

92

6.1. Gradienten߬ usse und hamiltonsche Systeme

Das Vektorfeld f ist senkrecht zur ra1 . dialen Richtung, und f (x) = x Daher ist das Wegintegral H(x) :=  * 1)  f γx (t) , γx (t) dt (x ∈ M ) nur 0 vom durch γx [0, 1] → M u ¨berstrichenen Winkel abh¨angig. Auf der einfach zusammenh¨angenden geschlitzten Ebene   ˜ := R2 \ {0} × [0, ∞) ⊂ M M

x2 2

2

2

x1

ist das Integral daher gleich dem Winkel zwischen Anfangs- und Endpunkt. f M˜ ist 2 also ein Gradienten-Vektorfeld. Auf M ist H allerdings nicht stetig definierbar. f selbst ist also kein GradientenVektorfeld. 3 Die Orbits des Vektorfeldes im letzten Beispiel sind die Kreise um den Ursprung. Dergleichen kann bei Gradienten-Vektorfeldern nach Lemma 6.1 nicht geschehen. Lineare Gradienten-Vektorfelder Welche linearen Vektorfelder sind Gradienten-Vektorfelder? Nach Satz 6.3 muss ∂fi k = ∂f oder entsprechend mit f (x) = Ax f¨ ur alle Indexpaare (i, k) gelten: ∂x ∂xi k Ai,k = Ak,i . Die linearen Gradienten-Vektorfelder zeichnen sich also dadurch aus, dass ihre Systemmatrix selbstadjungiert ist. f ist dann Gradient der Funktion H : Rn → R

,

H(x) :=

1 2

x, Ax ,

also einer quadratischen Form auf dem Phasenraum Rn . Durch eine Drehung k¨ onnen wir erreichen, dass die Systemmatrix diagonal ist, also ohne Beschr¨ankung der Allgemeinheit A = diag(λ1 , . . . , λn )

mit

λi ∈ R.

(6.1.3)

Damit ist exp(At) = diag(eλ1 t , . . . , eλn t ). Sind nun die λi alle = 0, dann spaltet der Phasenraum in die direkte Summe Rn = E s ⊕ E u zweier Unterr¨aume auf, wobei A die Aufspaltung invariant l¨asst, und AE s < 0, AE u > 0, also Ind(A) = dim(E s ). Es gilt     E s = x ∈ Rn | lim exp(At) x = 0 , E u = x ∈ Rn | lim exp(At) x = 0 , t→∞

t→−∞

so dass E s bzw. E u der stabile bzw. instabile Unterraum aus Definition 5.2 ist. 6.5 Beispiel (Lineare Gradientenfl¨ usse in der Ebene) Da die Diskriminante D(A) = tr(A)2 − 4 det(A) einer symmetrischen Matrix A ∈ Mat(2, R)

6. Hamiltonsche Gleichungen und Symplektische Gruppe

93

nichtnegativ ist, sind die Systemmatrizen der Gradientenfl¨ usse in Abbildung 5.3.1 auf Seite 81 unterhalb der Parabel D = 0 angesiedelt. Andererseits l¨aßt sich jeder Punkt unterhalb dieser Parabel als Gradientensystem realisieren. Nach ist A = diag(λ1 , λ2 ), also die L¨osungen gleich  Diagonalisierung (6.1.3)  x(t) = eλ1 t x1 (0), eλ2 t x2 (0) , siehe Abbildung 6.1.2. 3

x2

x2

1

1

1

1

x1

x 1 1

1

1

1

Abbildung 6.1.2: Links: Gradientenvektorfeld ∇H(x) mit H(x) = −x21 − 0.3x22 . Rechts: Orbits

Gradientenvektorfelder auf riemannschen Mannigfaltigkeiten werden in Anhang G untersucht.

6.1.2

Hamiltonsche Systeme

¨ Durch eine kleine, aber entscheidende Anderung des Differentialgleichungssystems kommen wir zum f¨ ur die Mechanik zentralen Begriff der hamiltonschen Systeme: 6.6 Definition Es sei M ⊆ R2n offen und H ∈ C 2 (M, R). Das DGL-System p˙ i = −

∂H (p, q) ∂qi

, q˙i =

∂H (p, q) ∂pi

(i = 1, . . . , n)

oder, in den Koordinaten x ≡ (p1 , . . . , pn , q1 , . . . , qn ) ≡ (p, q) x˙ = XH (x) mit dem hamiltonschen Vektorfeld XH := J∇H   l ∈ Mat(2n, R), heißt hamiltonsche Differentialgleichung. und J := 10l −1 0 6.7 Bemerkungen 1. H wird Hamilton–Funktion genannt, was auf den Zusammenhang mit der obigen Differentialgleichung hinweisen soll.

94

6.1. Gradienten߬ usse und hamiltonsche Systeme

2. H ist ein gebr¨auchliches Symbol f¨ ur die Hamilton–Funktion, das auf Lagranuckgeht. Wie schon aus dessen Lebensdaten 3 hervorgeht, konnte Lage 2 zur¨ grange bei H nicht an Hamilton gedacht haben. 3. Satz 6.3 liefert uns (wegen des Zusammenhangs ∇H = −JXH mit dem Gradientenvektorfeld) ein Kriterium daf¨ ur, ob ein Vektorfeld X : M → R2n auf einem einfach zusammenh¨angenden Phasenraum M hamiltonsch ist. 3 Wir nehmen im Folgenden einfachheitshalber an, dass das Vektorfeld XH vollst¨andig im Sinn der Definition 3.21 ist, H also ein dynamisches System definiert. 6.8 Satz H ist entlang eines Orbits konstant. Beweis: Mit y := Φ(t, x) ∈ M ist      d  d H Φ(t, x) = DHy Φ(t, x) = DHy J ∇H(y) = ∇H(y), J ∇H(y) . dt dt Es gilt aber f¨ ur v := ∇H(y) ∈ R2n : ) * v, Jv = J v, v = − Jv, v = − v, Jv = 0.

2

Satz 6.8 erlaubt uns, das dynamische System auf die (oft Energieschalen genannten) Niveaumengen H −1 (E) (E ∈ R) zu restringieren. Nach dem Satz u ¨ber die implizite Funktion sind dies f¨ ur regul¨are Werte E von H Untermannigfaltigkeiten von M . ur eine gegebene Dies erm¨oglicht es f¨ ur den Fall n = 1, also M ⊆ R2 , f¨ Funktion H die Orbits, allerdings ohne Zeitparametrisierung, aufzufinden: • Ist ∇H(x) = 0, so ist der Orbit von der Form O(x) = {x}. • Ist dagegen ∇H(x) = 0, dann ist der Orbit O(x) die Zusammenhangskomponente von Σ := {y ∈ M | H(y) = H(x), ∇H(y) = 0}, zu der x geh¨ort. Die Orientierung erhalten wir durch die Richtung, die durch Drehung des Gradienten im Uhrzeigersinn um π/2 entsteht (J entspricht einer solchen Drehung). 1

6.9 Beispiel F¨ ur die Hamilton–Funktion H : R2 → R, H(p, q) := p2 + (q 2 − 1)2 , siehe die nebenstehende Abbildung und Abb. 6.1.1, be3 steht H −1 (1) aus drei Orbits.

0

1

1

p

0

Zusammenfassung der Begriffe: F¨ ur den Phasenraum M ⊆ R2n = Rnp × Rnq nennen wir

1

• n Zahl der Freiheitsgrade, • q ∈ Rnq Ort und p ∈ Rnp Impuls, 2 Joseph

q Niveaulinien von H

Lagrange (1736–1813), franz¨ osischer Mathematiker und mathematischer Physiker. Hamilton (1805–1865), irischer Mathematiker, Physiker und Astronom.

3 William

6. Hamiltonsche Gleichungen und Symplektische Gruppe • q˙ =

∂H ∂p

95

Geschwindigkeit und q¨ Beschleunigung,

• H : M → R Hamilton–Funktion oder Gesamtenergie. • Besitzt der Phasenraum die Form M = Rnp × N mit N ⊆ Rnq , so heißt N Konfigurationsraum.

6.2

Die symplektische Gruppe

6.2.1

Lineare hamiltonsche Systeme

Damit die hamiltonschen DGLn linear werden, muss die Hamilton–Funktion von der Form H : R2n → R , H(x) = H(0) + 12 x, Ax sein mit A ∈ Mat(2n, R) und, ohne Einschr¨ankung der Allgemeinheit, A = A . • Es ergibt sich ∇H(x) = Ax und x˙ = ux mit der Systemmatrix u := JA ∈ Mat(2n, R). • Die Differentialgleichungen bleiben invariant, wenn wir zu H eine Konstante dazuaddieren. Das entspricht physikalisch der Tatsache, dass nicht absolute Energiewerte, sondern nur Energiedifferenzen messbar sind. Wir setzen der Einfachheit halber H(0) := 0. • Die Systemmatrix u erf¨ ullt die Identit¨at u J + Ju = A J J + J2 A = A − A = 0. Das f¨ uhrt uns zu folgender Definition 4 : 6.10 Definition (Symplektische Algebra) Eine Matrix u ∈ Mat(2n, R) und der entsprechende Endomorphismus des R2n heißen infinitesimal symplektisch, wenn (6.2.1) u J + Ju = 0. Da die Bedingung an u linear ist, bilden die infinitesimal symplektischen Endomorphismen einen Unterraum, sp(2n) ⊂ Lin(R2n ). 6.11 Satz tr(u) = 0 f¨ ur u ∈ sp(2n). Beweis: tr (u) = −tr (uJ2 ) = −tr(JuJ) = −tr (u ) = −tr (u).

2

Folgerung: (Lineare) hamiltonsche Systeme sind volumenerhaltend.     Beweis: Nach Satz 4.12 ist det exp(ut) = exp tr(u)t = 1.

2

4 Im Buch [Art] von E. Artin wird die symplektische Algebra uber allgemeinen K¨ orpern ¨ statt dem K¨ orper R der reellen Zahlen untersucht.

96

6.2. Die symplektische Gruppe

Der Fluss eines linearen hamiltonschen Systems hat nicht nur die Eigenschaft, volumenerhaltend zu sein. Es gilt auch 

 exp(ut) J exp(ut) = J

(t ∈ R),

(6.2.2)

  denn exp(ut) = exp(u t), also wegen (6.2.1) 

 −1  . exp(ut) J = J exp(−ut) = J exp(ut)

Gleichung (6.2.2) besagt, dass ein linearer hamiltonscher Fluss die antisymmetrische Bilinearform ω0 : R2n × R2n → R

,

ω0 (u, v) := u, Jv

  invariant l¨asst, das heißt ω0 Φt (u), Φt (v) = ω0 (u, v), ¨ahnlich wie eine orthogonale Transformation das kanonische Skalarprodukt des Rn invariant l¨asst. Den mechanischen Bewegungen entspricht damit eine besondere Art von Geometrie, die wir im n¨achsten Kapitel eingehender untersuchen.

6.2.2

Symplektische Geometrie

Die den mechanischen Bewegungen zugrundeliegende symplektische Geometrie ¨ besitzt gewisse Ahnlichkeiten mit der riemannschen Geometrie. Diese werden wir im Folgenden herausarbeiten. 6.12 Definition (Bilinearformen) Sei E ein R–Vektorraum endlicher Dimension n und ω : E × E → R eine Bilinearform. • Die Transponierte ω von ω ist durch ω  (e1 , e2 ) := ω(e2 , e1 ) gegeben. • ω heißt symmetrisch, wenn ω  = ω, antisymmetrisch, wenn ω  = −ω. • Durch ω wird die lineare Abbildung ω  : E → E ∗ , ω  (e1 ) · e2 := ω(e1 , e2 ) in den Dualraum E ∗ von E induziert. • ω heißt nicht degeneriert, wenn ω  (e) = 0 nur f¨ ur e = 0 gilt. • Bez¨ uglich einer Basis (b1 , . . . , bn ) von E ist die darstellende Matrix J ∈ Mat(n, R) von ω durch (J)ik := ω(bi , bk ), (i, k = 1, . . . , n) gegeben. • Der Rang von ω ist der (basisunabh¨angige) Rang der darstellenden Matrizen von ω. • Ist ρ eine Bilinearform auf F und f ∈ Lin(E, F ), dann heißt die Bilinearform   f ∗ ρ : E × E → R , f ∗ ρ(e1 , e2 ) := ρ f (e1 ), f (e2 ) der pull-back von ρ mit f .

6. Hamiltonsche Gleichungen und Symplektische Gruppe

97

6.13 Satz (Normalformen) Sei ω Bilinearform auf einem n–dimensionalen R–Vektorraum E. 1. (Tr¨ agheitssatz von Sylvester) Ist ω symmetrisch mit Rang r, dann besitzt bez¨ uglich einer geeigneten Basis die darstellende Matrix von ω die Form, mit ηi ∈ {−1, +1}: ⎞ ⎛ η1 .. ⎟ .   ⎜ ⎟ ⎜ ηr J = diag η1 , . . . , ηr , 0 . . . , 0 = ⎜ ⎟ ∈ Mat(n, R). 0 ⎠ ⎝ .. . 0

2. (Satz von Darboux — lineare Version) Ist ω antisymmetrisch mit Rang uglich einer geeigneten Basis besitzt die r, so ist r = 2m, m ∈ N0 und bez¨ darstellende Matrix von ω die Form (mit Einheitsmatrix 1l ∈ Mat(m, R)) J=

0

−1l 0 1l 0 0 0 0 0



∈ Mat(n, R).

Beweis: Diese Aussagen werden oft in der Vorlesung Lineare Algebra bewiesen.   1. Es gilt die Polarisationsidentit¨at ω(e, f ) = 14 ω(e+f, e+f )−ω(e−f, e−f ) . Ist also ω= 0, dann existiert ein Vektor eˆ1 mit c1 := ω(ˆ e1 , eˆ1 ) = 0. Setze e1 := eˆ1 / |c1 | und η1 := ω(e1 , e1 ). Wir betrachten den von e1 aufgespannten eindimensionalen Unterraum E1 ⊂ E und E2 := {e ∈ E | ω(e, e1 ) = 0}. Es gilt E1 ∩E2 = {0} und E1 +E2 = E, denn f¨ ur z ∈ E gilt z − ω(z, e1 )e1 ∈ E2 . Wir betrachten die Einschr¨ankung von ω auf E2 und fahren induktiv fort. 2. F¨ ur ω = 0 existieren eˆ1 , eˆm+1 ∈ E mit c1 := ω(ˆ em+1 , eˆ1 ) = 0. Setze e1 := eˆ1 /c1 und em+1 := eˆm+1 . Es ist ω(e1 , e1 ) = ω(em+1 , em+1 ) = 0 und ω(em+1 , e1 ) = −ω(e1 , em+1 ) = 1. Sei P1 := span(e1 , em+1 ) ⊂ E und   E2 := e ∈ E | ω(e, f ) = 0 f¨ ur alle f ∈ P1 . ur z ∈ E gilt Es gilt E2 ∩ P1 = {0} und E2 + P1 = E, denn f¨ z + ω(e1 , z)em+1 − ω(em+1 , z)e1 ∈ E2 . Wir behandeln induktiv die Einschr¨ankung von ω auf E2 etc.

2

6.14 Definition • Eine symplektische Form auf einem endlich–dimensionalen R–Vektorraum E ist eine nicht degenerierte antisymmetrische Bilinearform ω : E × E → R.

98

6.2. Die symplektische Gruppe

• (E, ω) heißt dann symplektischer Vektorraum. • Sind (E, ω) und (F, ρ) symplektisch, so heißt eine lineare Abbildung f : E → F symplektisch, wenn f¨ ur den pull-back gilt: f ∗ ρ = ω. 6.15 Bemerkungen 1. Auf dem arithmetischen R–Vektorraum E := Rnp × Rnq ist die symplektische Normalform ω0 gleich n      ω0 (p, q), (p , q  ) := qj pj − pj qj

  (p, q), (p , q  ) ∈ E .

(6.2.3)

j=1

  l Auf E entspricht die Multiplikation mit der Matrix J = 10l −1 dem Au0 tomorphismus E → E, (p, q) → (−q, p). Die Abbildung id : E → Cn , (p, q) → p + iq konjugiert also die Multiplikation mit J und die Multiplikation mit der imagin¨aren Einheit i ∈ C. Man bezeichnet daher J als eine komplexe Struktur . Bez¨ uglich des Standard-Skalarproduktes u, v =

n

uj vj



u, v ∈ Cn



j=1

besitzt damit bei Identifikation von E mit Cn die symplektische Form ω0 die Gestalt   u, v ∈ Cn . ω0 (u, v) = Im(u, v) 2. Die symplektischen Abbildungen f ∈ Lin(E) sind diejenigen, die die symplektische Form ω erhalten, das heißt f ∗ ω = ω. Nach Satz 6.13 finden  wir eine l Basis von E, in der die darstellende Matrix von ω gleich J = 10l −1 ist. Es 0 sei A die darstellende Matrix von f . Dann gilt A JA = J.

(6.2.4)

3. Zwar sind symplektische Abbildungen volumenerhaltend, aber im Allgemeinen sind volumenerhaltende Abbildungen nicht symplektisch. Betrachten wir beispielsweise einen vierdimensionalen Vektorraum E mit Basis e1 , . . . , e4 und symplektischer Bilinearform ω mit Matrix J. Dann ist f : E → E, (e1 , e2 , e3 , e4 ) → (−e1 , −e2 , e3 , e4 ) volumenerhaltend, aber   ω f (e1 ), f (e3 ) = −ω(e1 , e3 ). L¨asst dagegen ein Endomorphismus f des R2 die orientierte Fl¨ache invariant, so ist f auch symplektisch. Denn f¨ ur alle Matrizen A ∈ Mat(2, R) gilt (A JA)J−1 = det(A)1l. Daraus folgt (6.2.4) genau dann, wenn der durch A gegebene Endomorphismus f eine fl¨achenerhaltende Abbildung ist. 3 6.16 Satz Sei (E, ω) ein symplektischer Vektorraum, dann bildet die Menge der symplektischen Endomorphismen f : E → E unter der Komposition eine Gruppe, genannt die symplektische Gruppe Sp(E, ω).

6. Hamiltonsche Gleichungen und Symplektische Gruppe

99

6.17 Bemerkung (Orthogonale Gruppe) F¨ ur einen Euklidischen Raum (E, ω) mit positiv definiter symmetrischer Bilinearform ω erhalten wir analog die Orthogonale Gruppe O(E, ω) der Drehspiegelungen von E, siehe Beispiel E.19. 3 Beweis: • Ist f symplektisch, so ist f ∈ GL(E), also existiert f −1 . Es gilt dann (f −1 )∗ ω = (f ∗ )−1 ω = (f ∗ )−1 (f ∗ ω) = ω. Also ist auch f −1 symplektisch. • F¨ ur symplektische f, g ist (f ◦ g)∗ (ω) = g ∗ ◦ f ∗ (ω) = g ∗ ω = ω. • Außerdem ist die Identische Abbildung symplektisch, also Sp(E, ω) = ∅. 2 Wegen Satz 6.13 ist Sp(E, ω) isomorph zur Gruppe Sp(2n) := Sp(2n, R) := Sp(R2n , ω0 ),

(6.2.5)

wobei ω0 bez¨ uglich der kanonischen Basis des R2n die darstellende Matrix J besitzt (ganz analog braucht man nach Satz 6.13 statt O(E, ω) nur die orthogonale Gruppe O(n) := O(Rn , ω0 ) zu betrachten, deren kanonisches inneres Produkt ω0 die darstellende Matrix 1l hat). 6.18 Beispiel Der Zeit–t–Fluss Φt (x) = exp(ut)x, u = JA eines linearen hamiltonschen Systems mit Hamilton–Funktion H(x) = 12 x, Ax, A ∈ Sym(2n, R) ist Element der symplektischen Gruppe Sp(2n), denn es gilt (6.2.2). 3 Der Betrag der Determinante eines symplektischen Endomorphismus ist gleich 1, denn es gilt mit (6.2.4) (det A)2 = (det A)2 det(J) = det(A JA) = det(J) = 1. Wie in Aufgabe B.16 gezeigt werden soll, gilt sogar det(A) = +1. Es folgt unmittelbar, dass das Produkt der C–Nullstellen des charakteristischen Polynoms eines symplektischen Endomorphismus 1 ist. 6.19 Satz (Eigenwerte symplektischer Endomorphismen) Sei f ∈ Sp(E, ω) und λ ∈ C Eigenwert von f mit (algebraischer) Vielfachheit k. Dann sind auch λ, 1/λ und 1/λ Eigenwerte mit Vielfachheit k. Die Multiplizit¨aten etwaiger Eigenwerte +1 und −1 sind gerade. Beweis: Die Zahl der Freiheitsgrade von (E, ω) nennen wir n :=

1 2

dim(E).

• Dass mit λ auch λ Eigenwert ist, folgt aus der Tatsache, dass f reell ist. • Wir beweisen, dass 1/λ Eigenwert ist, indem wir das charakteristische Polynom von f betrachten. Wir w¨ahlen dazu (mit dem Normalform-Satz 6.13) eine Basis von E, in der ω die darstellende Matrix J besitzt und f die Matrix A. Es gilt dann f¨ ur λ ∈ C\{0}     det(A − λ1l) = det J(A − λ1l)J−1 = det JAJ−1 − λ1l     da A JA = J oder JAJ−1 = (A )−1 = det (A )−1 − λ1l     = det A−1 − λ1l = det A−1 (1l − λA) = det(A−1 ) det(1l − λA) = det(1l − λA) = λ2n det(λ−1 1l − A) = λ2n det(A − λ−1 1l).

100

6.2. Die symplektische Gruppe

• Das charakteristische Polynom P (λ) := det(A − λ1l) erf¨ullt also die Gleichung P (λ) = λ2n P (1/λ).

(6.2.6)

Einen Eigenwert λ0 ∈ C der Vielfachheit k k¨ onnen wir abspalten: P (λ) = (λ0 − λ)k Q(λ),

(6.2.7)

so dass mit (6.2.6) und (6.2.7)    k 1 1 1 P = λ−2n P (λ) = λ−2n (λ0 − λ)k Q(λ) = λk0 − λk−2n Q(λ). λ λ λ0 Da Q ein Polynom vom Grad 2n −k in λ ist, ist λ → λk−2n Q(λ) ein Polynom in 1/λ. Also ist 1/λ0 Nullstelle der Multiplizit¨at l ≥ k von P (1/λ). Vertauschen der Rollen von λ0 und 1/λ0 zeigt l = k. • Es gilt genau dann λ0 = 1/λ0 , wenn λ0 ∈ {±1}. Da insgesamt 2n Eigenwerte existieren und die Zahl der Eigenwerte = ±1 gerade ist, muss die Multiplizit¨at der 1 zusammen mit der der −1 gerade sein. Wegen det A = 1 folgt dann auch einzeln gerade Multiplizit¨at. 2 F¨ ur dim(E) = 2 k¨ onnen also die in Abbildung 6.2.1 skizzierten F¨alle auftreten.

λ=

1 λ

λ=

1 λ

(2)

1/λ

(2)

λ=λ

Abbildung 6.2.1: Komplexe Eigenwerte von f ∈ Sp(2) Als Matrixgruppe ist Sp(2n) = {A ∈ Mat(2n, R) | F (A) = J} mit F : Mat(2n, R) → Alt(2n, R)

, A → A JA,

siehe (6.2.4). Da J regul¨arer Wert von F ist, wird die symplektische Gruppe gem¨aß Definition 2.34 zu einer Untermannigfaltigkeit von Mat(2n, R). Sie ist damit sogar eine Lie–Gruppe (siehe Definition E.16), das heißt, Multiplikation und Inversenbildung sind glatte Abbildungen. F¨ ur einen Weg in Sp(E, ω), also eine stetige Abbildung c : [0, 1] → Sp(E, ω), k¨onnen bei Ver¨anderung des Parameters t isolierte Eigenwerte von c(t) auf der reellen Achse beziehungsweise dem Einheitskreis diese nicht verlassen, siehe Bild 6.2.2. Wir werden sehen, dass aus dieser Eigenschaft eine Form von Stabilit¨at hamiltonscher Systeme unter kleinen St¨ orungen folgt.

6. Hamiltonsche Gleichungen und Symplektische Gruppe

101

(2) (2)

Abbildung 6.2.2: Komplexe Eigenwerte von f ∈ Sp(4)

6.2.3

Die symplektische Algebra

In Verallgemeinerung von Definition 6.10 definieren wir: 6.20 Definition • Eine lineare Abbildung u ∈ Lin(E) heißt infinitesimal symplektisch bez¨ uglich einer symplektischen Bilinearform ω, wenn     (e1 , e2 ∈ E). (6.2.8) ω u(e1 ), e2 + ω e1 , u(e2 ) = 0 Die Menge dieser Abbildungen bezeichnen wir mit sp(E, ω). • Der Kommutator von u, v ∈ Lin(E) ist [u, v] := u ◦ v − v ◦ u. Wegen der Linearit¨at von (6.2.8) in u ist sp(E, ω) ein Unterraum von Lin(E). Es gilt sogar   6.21 Lemma sp(E, ω), [·, ·] ist eine Lie–Algebra.   Beweis: • Lin(E), [·, ·] ist eine Lie–Algebra, da der Kommutator bilinear und alternierend ([u, u] = u ◦ u − u ◦ u = 0) ist, und f¨ ur u, v, w ∈ Lin(E) die Jacobi–Identit¨at erf¨ ullt ist: [u, [v, w]] + [v, [w, u]] + [w, [u, v]] = u ◦ v ◦ w − u ◦ w ◦ v −v ◦ w ◦ u + w ◦ v ◦ u + v ◦ w ◦ u − v ◦ u ◦ w − w ◦ u ◦ v + u ◦ w ◦ v +w ◦ u ◦ v − w ◦ v ◦ u − u ◦ v ◦ w + v ◦ u ◦ w = 0 • Da f¨ ur u, v ∈ sp(E, ω) ⊂ Lin(E) und beliebige e1 , e2 ∈ E gilt     ω [u, v]e1 , e2 + ω e1 , [u, v]e2         = ω u ◦ v(e1 ), e2 − ω v ◦ u(e1 ), e2 + ω e1 , u ◦ v(e2 ) − ω e1 , v ◦ u(e2 )         = −ω v(e1 ), u(e2 ) + ω u(e1 ), v(e2 ) − ω u(e1 ), v(e2 ) + ω v(e1 ), u(e2 ) = 0, ist auch [u, v] ∈ sp(E, ω).

2

Analog zu Satz 6.19 u ur sp(E, ω) die ¨ber die symplektische Gruppe erh¨alt man f¨ folgende Aussage:

102

6.2. Die symplektische Gruppe

6.22 Satz (Symplektische Algebra) Sei (E, ω) ein symplektischer Vektorraum. • Ist λ ∈ C Eigenwert von u ∈ sp(E, ω) mit (algebraischer) Multiplizit¨at k, so sind auch −λ, λ, −λ Eigenwerte der Multiplizit¨at k. • Ist Null Eigenwert von u ∈ sp(E, ω), so besitzt er gerade Multiplizit¨at. 3

6.23 Aufgabe (Symplektische Algebra) Beweisen Sie Satz 6.22.

6.24 Beispiel u ∈ sp(R2 ). Hier kann das Eigenwertpaar nur reell oder rein imagin¨ar sein, siehe Abbildung 6.2.3. 3

λ = −λ λ = −λ

λ=λ (2)

−λ = −λ

Abbildung 6.2.3: Eigenwerte von u ∈ sp(R2 ) Analog zur in Bemerkung 4.13 besprochenen Abbildung exp : Mat(u, R) → GL(n, R) betrachten wir die Exponentialabbildung (siehe deren allgemeine Definition (E.3.1)) sp(E, ω) → Sp(E, ω) , u → exp(u) von der symplektischen Lie–Algebra in die symplektische Lie–Gruppe. Tats¨achlich ist exp(u) ∈ Sp(E, ω), denn wegen (6.2.8) ist     ω exp(u)e1 , exp(u)e2 = ω e1 , exp(−u) exp(u)e2 = ω(e1 , e2 ). Wir sehen, dass die Eigenwerte λ von u mit Re(λ) > 0 zu Eigenwerten exp(λ) von exp(u) mit Betrag | exp(u)| > 1 werden. 6.25 Bemerkung (Liapunov-Stabilit¨ at) Erinnern wir uns nun an die Tatsache (Beispiel 6.18), dass f¨ ur die quadratische Hamilton–Funktion H(x) = 12 x, Ax die Differentialgleichung x˙ = XH (x) = JAx die L¨osung Φt (x) = exp(ut)x mit u := JA ∈ sp(R2n ) besitzt, dann wird klar, dass der Fixpunkt 0 h¨ochstens dann liapunov-stabil sein kann, wenn alle Eigenwerte von u rein imagin¨ar sind. 3 6.26 Aufgabe (Symplektische Matrizen) Es sei J =

0

−1l 1l 0



∈ Mat(2n, R).

(a) Zeigen Sie, dass u ∈ Mat(2n, R) genau dann infinitesimal symplektisch ist A B ) mit A, B, C, D ∈ Mat(n, R), D = −A (u J + Ju = 0), wenn u = ( C D und B, C symmetrisch sind. Daraus folgt dim sp(2n) = n(2n + 1).

6. Hamiltonsche Gleichungen und Symplektische Gruppe

103

(b) Zeigen Sie, dass a ∈ Mat(2n, R) genau dann symplektisch ist, also a Ja = A B ) mit A, B, C, D ∈ Mat(n, R), A C und B  D symmeJ, wenn a = ( C D trisch sind und A D − C  B = 1l. (c) Zeigen Sie mit Hilfe von (b) Sp(2, R) ∼ = SL(2, R). Zeigen Sie außerdem, dass Sp(2, R) hom¨ oomorph zum 3–dimensionalen Volltorus S 1 × B, mit der offenen Kreisscheibe B := {x ∈ R2 | x < 1} ist. Verwenden Sie dazu den Satz u ¨ber die Polarzerlegung aus Anhang E.18: Jede Matrix M ∈ GL(n, R) besitzt eine eindeutige Produktzerlegung M = OP mit O ∈ O(n) und P ∈ Sym(n, R) positiv. (d) Zeigen Sie, dass genau dann die Eigenwerte von M ∈ Sp(2, R) degeneriert sind, das heißt beide gleich +1 bzw. gleich −1, wenn in der Polarzerlegung      b  cos(ϕ) − sin(ϕ) gilt: cos(ϕ) = ±1/ cosh a2 + b 2 . M = sin(ϕ) cos(ϕ) exp ab −a Die beiden Hyperfl¨ache dieser parabolischen Matrizen trennen Sp(2, R) in vier offene Zusammenhangskomponenten auf. Zwei von diesen bestehen aus elliptischen Matrizen M , d.h. solchen mit von ±1 verschiedenen Eigenwerten auf dem Einheitskreis. Zwei bestehen aus hyperbolischen Matrizen, das heißt solchen mit von ±1 verschiedenen Eigenwerten auf der reellen Achse. Dies ist in der Illustration am Kapitelanfang, Seite 89, dargestellt. 3 6.27 Weiterf¨ uhrende Literatur Die Normalformen von infinitesimal symplektischen und von symplektischen Abbildungen unter symplektischen Konjugationen werden in den Artikeln [Wil] von Williamson und [LaMe] von Laub und Meyer klassifiziert und konstruiert. 3

6.3

Lineare hamiltonsche Systeme

Die linearen hamiltonschen Vektorfelder X : E → E auf dem symplektischen Vektorraum (E, ω) entsprechen den Elementen von sp(E, ω). Ohne Beschr¨  ankung l der Allgemeinheit nehmen wir an, dass (E, ω) der R2d mit der durch J = 10l −1 0 gegebenen symplektischen Struktur ist. Dann besitzt das Vektorfeld eine Darstellung X(x) = J∇H(x)

mit

H(x) =

1 2

x, Ax

(x ∈ R2d )

und A ∈ Sym(2d, R), also ∇H(x) = Ax. Wie jede lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten wird auch die hamiltonsche Differentialgleichung x˙ = X(x) durch x(t) = exp(Xt)x0 = Φt (x0 ) gel¨ost. Hinter diesen Allgemeinheiten verstecken sich aber viele physikalische und mathematische Besonderheiten, denen wir in diesem Kapitel nachgehen. Zun¨achst bedeutet die Linearit¨at f¨ ur die Bewegung auf der Energiefl¨ache ΣE := H −1 (E), E = 0, dass sich diese durch Skalierung aus der auf Σe , e :=

104

6.3. Lineare hamiltonsche Systeme

 sign(E) ergibt. Ist n¨amlich x ∈ ΣE , dann ist xe := x/ |E| ∈ Σe und Φt (x) =  |E|Φt (xe ). Es gen¨ ugt also immer, die Energien 1, 0 und −1 zu betrachten.

6.3.1

Harmonische Oszillatoren

In der Physik werden harmonische Oszillatoren benutzt, um n¨aherungsweise die Dynamik hamiltonscher Systeme bei kleinen Schwankungen um eine stabile Ruhelage zu beschreiben. Nach Bemerkung 6.25 f¨ uhrt ein solches lineares hamiltonsches Vektorfeld X ∈ sp(E, ω) bestenfalls dann zur Liapunov–Stabilit¨at der Ruhelage 0 bez¨ uglich der Differentialgleichung x˙ = X(x), wenn alle Eigenwerte von X rein imagin¨ar sind. 6.28 Definition Eine lineare Abbildung X ∈ Lin(E) heißt halbeinfach, wenn ihr Minimalpolynom 5 keine quadratischen Faktoren enth¨alt, also die algebraischen und geometrischen Multiplizit¨aten der Eigenwerte u ¨bereinstimmen. 6.29 Lemma 1. Ist X ∈ sp(E, ω) halbeinfach und sind die Eigenwerte von X rein imagin¨ar, dann besitzt X eine symplektische Basis pˆ1 , . . . , pˆd , qˆ1 , . . . , qˆd ∈ E mit X(ˆ pk ) = −ωk qˆk

, X(ˆ qk ) = ωk pˆk

(k = 1, . . . , d)

und den Eigenwerten ±iω1 , . . . , ±iωd von X. 2. Die Voraussetzungen in 1. sind z.B. erf¨ ullt, wenn X hamiltonsches Vektorfeld einer positiv (oder negativ) definiten quadratischen Form H : E → R ist. Beweis: 1. Jedenfalls k¨onnen wir die Eigenwerte von X in der Form ±iωk mit ωk ≥ 0 schreiben und wir w¨ahlen komplexe Eigenvektoren eˆ± k zu diesen Eigenwerten, also X(ˆ e± ˆ± ur ωk = 0 existieren linear unabh¨angige eˆ± k ) = ±iωk e k . Auch f¨ k, denn nach Satz 6.22 ist die Multiplizit¨at des Eigenwertes 0 gerade. ˆk ± iˆ qk mit pˆk , qˆk ∈ Bei Zerlegung in Real- und Imagin¨arteil, das heißt eˆ± k =p E, ergibt sich durch Koeffizientenvergleich X(ˆ pk ) = ∓ωk qˆk

,

X(ˆ qk ) = ±ωk pˆk .

Da X halbeinfach ist, erhalten wir eine symplektische Basis. 2. Nach Voraussetzung gilt ω(X, ·) = dH. Ist H positiv definit, dann definiert diese quadratische Form das Skalarprodukt   ·, ·H : E × E → R , x, yH = 12 H(x + y) − H(x − y) . (6.3.1) 5 das

normierte Polynom p kleinsten Grades, f¨ ur das p(X) = 0 ist.

6. Hamiltonsche Gleichungen und Symplektische Gruppe

105

  Wir w¨ahlen eine Orthonormalbasis von E, ·, ·H . In dieser hat H(x) = 1 1 x, xH die ˜ x, x ˜, und die symplektische Form die Darstellung 2 2 - Gestalt .  ˜ ˜ ω(x, y) = x ˜, J˜ y mit J = −˜ J ∈ Mat(2d, R). Also hat das hamiltonsche Vektorfeld X die Darstellung x ˜ → ˜ J˜ x. Als antihermitesche Matrix ist ˜J nor6 mal und damit halbeinfach, mit rein imagin¨aren Eigenwerten. F¨ ur eine negativ definite quadratische Form H ¨andert man das Vorzeichen in (6.3.1). 2 Unter den Voraussetzungen des ersten Teils von Lemma 6.29 besitzt das hamiltonsche Vektorfeld X in der angegebenen Basis die Hamilton–Funktion H : R2d → R

, H(p, q) =

d

ωk 2 k=1 2 (pk

+ qk2 ).

(6.3.2)

(6.3.2) ist eine Normalform-Darstellung eines harmonischen Oszillators in d Freiheitsgraden und mit den Frequenzen ωk ∈ R. Seine hamiltonschen Gleichungen p˙k = −ωk qk

,

q˙k = ωk pk

besitzen die L¨osungen    cos(ωk t) pk (t) = qk (t) sin(ωk t)

(k = 1, . . . , d)

− sin(ωk t) cos(ωk t)



pk (0) qk (0)

 .

(6.3.3)

Diese sind also alle beschr¨ankt, und die Ruhelage ist liapunov–stabil. Nur dann sind aber alle Energiefl¨achen ΣE = H −1 (E) kompakt, wenn H positiv oder negativ definit ist, die Frequenzen ωk also alle das gleiche Vorzeichen besitzen. 6.30 Bemerkung (Indefinite Hamilton–Funktion) Der Fall einer indefiniten quadratischen Funktion (6.3.2) tritt zum Beispiel bei der Linearisierung himmelsmechanischer Probleme auf (siehe Siegel und Moser [SM], §36). Dann ist es schwieriger zu entscheiden, ob eine kleine St¨orung von (6.3.2) zu einer hamiltonschen Dynamik f¨ uhrt, deren Ruhelage immer noch stabil ist. 3 Wir schauen uns den definiten Fall genauer an und nehmen ohne Beschr¨ankung an, dass alle Frequenzen positiv sind. Die Phasenraumfunktionen  ωk  2 pk + qk2 (k = 1, . . . , d) (6.3.4) Fk : R2d → R+ , Fk (p, q) := 2 f  1 .. ∈ Rd ist genau dann sind Konstanten der Bewegung (6.3.3), und f = . fd

regul¨arer Wert im Bild von

F  1 .. F := : R2d → (R+ )d , . Fd

6A

∈ Mat(n, C) heißt normal, wenn A A = AA .

(6.3.5)

106

6.3. Lineare hamiltonsche Systeme

wenn die fk > 0 sind. Dann ist F −1 (f ) ⊂ R2d eine d–dimensionale Untermannigfaltigkeit des Phasenraums, die flussinvariant und diffeomorph zu einem d–dimensionalen Torus ist. Es ist nun wichtig zu verstehen, dass qualitative Eigenschaften der Dynamik stark von zahlentheoretischen Beziehungen zwischen den Frequenzen abh¨angen. Wir werden dies im Kapitel 13 u ¨ber integrable Systeme noch genauer sehen, erlauben uns aber jetzt schon einen Vorgriff.  ω1  .. ∈ Rd heißt rational un6.31 Definition Der Frequenzvektor ω := . ωd

d abh¨ angig, wenn es kein k ∈ Zd \{0} gibt mit ω, k ≡ i=1 ωi ki = 0. 6.32 Satz F¨ ur jede positiv definite Hamilton–Funktion (6.3.2) des harmonischen Oszillators und Werte E > 0 der Energie gilt: • Es gibt auf ΣE mindestens d periodische Orbits. • Wenn ω rational unabh¨angig ist, gibt es auf ΣE nur d periodische Orbits.   Beweis: • F¨ ur k = 1, . . . , d betrachten wir x(0) = p(0), q(0) ∈ ΣE , gegeben  durch pi (0) = 0 (i = 1, . . . , d) und qi (0) = 2E f¨ ur i = k und qi (0) = 0 sonst. ωk Dann ist der Orbit durch x(0) nach (6.3.3) periodisch mit Minimalperiode 2π/ωk . T > 0, dann muss T ein ganzzahliges • Ist x(0) ∈ ΣE periodisch mit Periode  Vielfaches von 2π/ωk sein, falls Fk X(0) > 0 gilt. Ist dies f¨ ur genau  ein k der Fall, entspricht dies den obigen Normalschwingungen. Sonst sei Fki X(0) > 0 ur geeignete k1 , k2 ∈ N: f¨ ur k1 = k2 , also f¨ T = 2πk1 /ωk1

und T = 2πk2 /ωk2 ,

das heißt ωk1 k2 − ωk2 k1 = 0. Damit ist ω nicht rational unabh¨angig.

2

6.33 Bemerkungen 1. Die im rational unabh¨angigen Fall auftretende Zahl von nur d periodischen Orbits auf ΣE ⊂ R2d ist sehr niedrig, und es wurde gezeigt, dass sie auch f¨ ur große Klassen nichtlinearer hamiltonscher Differentialgleichungen nicht unterschritten wird (siehe Ginzburg [Gi]). 2. Betrachten wir die Bahnkurve t → q(t) im Konfigurationsraum Rd , dann sind deren Bilder f¨ ur den Fall der Normalschwingungen Strecken auf der kten Achse. Im Fall rational unabh¨angiger Frequenzen f¨ ullt allgemeiner die Bahnkurve mit Anfangsbedingungen x0 ∈ R2d undf := F (x0 ) ∈ (R+ )d den Quader 

 k (6.3.6) Q(x0 ) := q ∈ Rd ∀k = 1, . . . , d : |qk | ≤ 2f ωk dicht aus (siehe Abbildung 6.3.1 links). Denn dieser Quader ist die Projektion des Torus F −1 (f ) ⊂ R2d auf den Konfigurationsraum, und die Bahn ist nach 3 Korollar 15.8 auf F −1 (f ) dicht.

6. Hamiltonsche Gleichungen und Symplektische Gruppe

107

Wir schauen uns als N¨achstes Frequenzen ω1 , . . . , ωd > 0 an, die alle ganzzahlige Vielfache einer Grundfrequenz ω0 > 0 sind. Dann sind alle Orbits geschlossen und T := 2π/ω0 ist eine Periode (nicht notwendig die Minimalperiode). In diesem Fall f¨ ullen die Ortsraumtrajektorien den Quader (6.3.6) nicht dicht aus, außer wenn eine Normalschwingung vorliegt. F¨ ur d = 2 heißen die (geschlossenen) Kurven im R2 Lissajous-Figuren (siehe Abbildung 6.3.1 rechts). 6.34 Aufgaben (Lissajous–Figuren) 1. Lesen Sie das Frequenzverh¨altnis ω2 /ω1 ∈ Q des harmonischen Oszillators aus der Lissajous–Figur einer Trajektorie ab (dies ist nur m¨ oglich, wenn keine Normalschwingung vorliegt). 2. Gegeben sei ein harmonischer Oszillator mit zwei Freiheitsgraden und irrationalem Frequenzverh¨altnis ω2 /ω1 . Wir betrachten f¨ ur E > 0 einen Punkt ur die Hamilton–Funktion (6.3.2). Welche Teilq ∈ R2 mit H(0, q) ≤ E f¨ menge des elliptischen Gebiets {Q ∈ R2 | H(0, Q) ≤ E} kann man mit den Anfangswerten {(p, q) | H(p, q) = E} erreichen? Schließen Sie aus diesem Beispiel, dass der Satz G.15 von Hopf und Rinow u ¨ber die Existenz einer Verbindungsgeod¨ate zwischen zwei vorgegebenen Punkten kein allgemeing¨ ultiges Analogon f¨ ur die Bewegung im Potential besitzt (siehe aber Satz 11.6). 3 Dabei beginnen wir mit dem einfachsten Fall ω1 = . . . = ωd = ω0 gleicher Frequenzen. Dann ist die Bewegung (6.3.3) periodisch mit Periode T = 2π/ω0 , und f¨ ur E > 0 sind alle Orbits in ΣE diffeomorph zur Kreislinie S 1 . Ohne Einschr¨ankung nehmen wir E = 12 an, also ΣE = S 2d−1 = {x ∈ R2d | x = 1} ∼ = {y ∈ Cd | y = 1}. ¨ Der Ubergang zu komplexen Koordinaten yk = pk +iqk (k = 1, . . . , d) erm¨oglicht die Darstellung der Bewegung (6.3.3) in der Form   t ∈ R, z0 ∈ S 2d−1 . (6.3.7) z(t) = eiω0 t z0

q2

q2

q1

q1

Abbildung 6.3.1: Lissajous-Figuren: Trajektorien endlicher L¨ange von√harmonischen Oszillatoren mit zwei Freiheitsgraden und Frequenzverh¨altnis 2 (links) beziehungsweise 5/3 (rechts)

108

6.3. Lineare hamiltonsche Systeme

Der Orbit durch z0 ist also die Schnittmenge der Sph¨are S 2d−1 mit dem durch z0 aufgespannten eindimensionalen Unterraum Cz0 ⊂ Cd . Wir erhalten damit folgende Aussage (vergleiche auch mit dem Satz E.36 im Anhang): 6.35 Satz Sind in der Hamilton–Funktion (6.3.2) des harmonischen Oszillators alle Frequenzen ωk gleich, dann ist der Raum aller Orbits auf ΣE der projektive Raum CP(d − 1). Dies ist eine kompakte Mannigfaltigkeit der reellen Dimension   dimR CP(d − 1) = 2(d − 1), was ja aus der Darstellung CP(d − 1) ∼ = S 2d−1 /S 1 folgt. 6.36 Bemerkung (Orbits des harmonischen Oszillators f¨ ur ω1 = ω2 ) Im Fall d = 2 ist damit die Mannigfaltigkeit der Orbits auf ΣE die Zwei-Sph¨are CP(1) ∼ = S 2 . Dies ergibt sich  aus (6.3.7), wenn man beachtet, dass nicht beide Komponenten von z(t) = zz12 (t) verschwinden, und dass (z.B. f¨ ur z2 = 0) der (t)

x3 ∈ C zeitunQuotient zz12 (t) (t) abh¨angig wird. Dieser charakterisiert den Orbit, und mittels zweidimensionaler stereographischer Projektion kann man die Quotienten zz12 und zz21 als zwei die Fl¨ache S 2 u ¨berdeckende Koordinatensystex2 me auffassen. Mittels dreidimensionaler stereographischer Projektion kann man die Energiefl¨ache ΣE ∼ = S 3 mit R3 ∪ {∞} identifizieren und damit die Orbits des harmonischen Oszillators darstellen, siehe x1 Abbildung. Die Surjektion   3 2 π:S →S , (z1 , z2 ) → 2Re(z1 z 2 ) , 2Im(z1 z 2 ) , |z2 |2 − |z1 |2 (mit S 3 = {z ∈ C2 | z = 1} und S 2 = {x ∈ R3 | x = 1}) ist wegen der Konstanz von π flussinvariant (π ◦ Φt = π) und heißt Hopf-Abbildung. Diese besitzt zahlreiche geometrische Anwendungen (siehe auch Kapitel I von Bates und Cushman [CB]). Zwar sind f¨ ur die Basispunkte o ∈ S 2 die Fasern π−1 (o) ⊂ S 3 , also die Orbits, von der Form S 1 , aber das B¨ undel ist nicht trivial, denn S 3 ist nicht diffeomorph 7 7 Das folgt zum Beispiel aus der Feststellung, dass S 3 im Gegensatz zu S 1 , also auch zu angend ist, siehe Definition A.22. S 2 × S 1 , einfach zusammenh¨

6. Hamiltonsche Gleichungen und Symplektische Gruppe

109

zu S 2 × S 1 . Wie man in der (stereographisch auf den R3 projizierten) Abbildung sieht, winden sich die Orbits umeinander. 3 6.37 Bemerkung (Verschlingungszahl) F¨ ur zwei sich nicht schneidende stetig differenzierbare geschlossene Kurven c1 , c2 : S 1 → R3 ist die Gauss–Abbildung G : T2 → S 2

,

(t1 , t2 ) →

c1 (t1 ) − c2 (t2 )

c1 (t1 ) − c2 (t2 )

eine Abbildung zwischen zwei kompakten Fl¨achen, deren Jacobi-Determinante f¨ ur t := (t1 , t2 ) ∈ T2 = S 1 × S 1 und Δc(t) := c1 (t1 ) − c2 (t2 ) gleich     c1 (t1 ) c2 (t2 ) , det DG(t) = det G(t), Δc(t) Δc(t) ist. Da der Fl¨acheninhalt der Sph¨are S 2 gleich 4π ist, ist das Verschlingungsintegral    1 LK(c1 , c2 ) := det DG(t) dt1 dt2 (6.3.8) 4π T2 ganzzahlig. Sein Wert wird Verschlingungszahl genannt und beschreibt anschaulich die Anzahl der Verschlingungen (englisch: linking number ) der beiden Raumkurven.8 Das im Kasten abgedruckte Zitat von Gauss zeigt, dass auch dieses topologische Konzept durch ein mechanisches Problem angeregt wurde. F¨ ur zwei sich nicht schneidende differenzierbare geschlossene Kurven c1 , c2 : S 1 → S 3 gibt es immer einen Punkt n ∈ S 3 , der nicht im Bild der Kurven liegt. uglich n stereographisch auf R3 , so k¨onnen wir analog Projizieren wir S 3 \{n} bez¨ LK(c1 , c2 ) definieren. Diese Zahl ist unabh¨angig von der Wahl von n, denn der Wert ist ganzzahlig und stetig in n. 3 Die Anf¨ ange der Knotentheorie Die m¨oglichen geozentrischen Positionen der Bahn eines Planeten oder Asteroiden bilden eine Teilmenge der Himmelskugel, die von C.F. Gauss Zodiacus genannt wurden. Im Fall der Planeten ist dieser bandf¨ ormig. Um die analoge Fragestellung f¨ ur die neu beobachteten Asteroiden zu erl¨autern, traf Gauss in seiner 1804 erschienenen astronomischen Arbeit eine Unterscheidung: In Ansehung der Lage der Planetenbahn gegen die Erdbahn sind drei ” F¨alle zu unterscheiden. Entweder schließt jene diese ein, oder diese jene, oder beide einander (gleich Kettenringen).” ... Wie sich schon aus Gr¨ unden der ” Geometrie der Lage darthun l¨asst”, nimmt der Zodiacus im letzteren Fall den ” ganzen Himmel” ein. Zitiert nach M. Epple [Ep], Seite 65.

8 F¨ 2 der Gauss–Abbildung G ist die Verschlingungsur einen beliebigen regul¨ aren Wert s ∈ S

  zahl gleich ihrem Abbildungsgrad deg(G) = t∈G−1 (s) sign det(DG(t)) .

110

6.3. Lineare hamiltonsche Systeme

6.38 Aufgabe (Verschlingungszahl) Berechnen Sie f¨ ur die Minimalperiode die Verschlingungszahl der beiden Normalschwingungen eines harmonischen Oszillators. Die Frequenzen seien ω1 = n1 ω0 , ω2 = n2 ω0 , mit teilerfremden n1 , n2 ∈ N. Schließen Sie aus der Stetigkeit von (6.3.8) auf die Verschlingungszahl f¨ ur beliebige Paare voneinander verschiedener Orbits in ΣE . Vergleichen Sie mit der Abbildung auf Seite 108. 3

6.3.2

Harmonische Gitterschwingungen

Wir wissen, dass sich lineare hamiltonsche Differentialgleichungen im Prinzip mit algebraischen Methoden l¨ osen lassen, aber f¨ ur viele Freiheitsgrade ist eine explizite L¨osung des Eigenwertproblems oft schwierig oder unm¨oglich. Manchmal hilft aber eine zus¨atzliche Symmetrie der Hamilton–Funktion. Ein Beispiel bieten die Schwingungen der Atome eines Kristallgitters um ihre Ruhelagen. Eine naheliegende Modellierung des Kristalls ist ein regul¨ares Gitter L ⊂ Rd , zum Beispiel Z3 ⊂ R3 , wobei die Gitterpunkte die Ruhelagen bezeichnen. In diesem Fall m¨ ussten wir aber die Bewegung von unendlich vielen Atomen modellieren, was durch eine gew¨ ohnliche Differentialgleichung nicht m¨oglich ist. Wir benutzen stattdessen ein ,endliches Gitter’ L := (Zn )d mit n ∈ N und der Restklassengruppe Zn := Z/nZ ∼ = {0, 1, . . . , n − 1} (siehe Anhang E.1), also periodische Randbedingungen. Wir nehmen zun¨achst an, dass sich an jedem Gitterplatz  ∈ L ein Atom der Masse m > 0 befindet, und dass sein Abstand von der Ruhelage q ∈ Rd sei. Die Wechselwirkung zwischen den Atomen bei  und m ∈ L sei harmonisch und nur abh¨angig von  − m, also translationsinvariant. d Auf dem Phasenraum P := R2dn ergibt sich die Hamilton–Funktion H:P →R

, H(p, q) =

p 2 ∈L

2m

+

1 2

r∈L

cr



q − q+r 2 ,

∈L

wobei cr ≥ 0 die St¨arke der jeweiligen Wechselwirkung beschreibt. Die hamiltonschen Gleichungen cr (2q − q+r − q−r ) ( ∈ L) (6.3.9) q˙ = p /m , p˙ = − r∈L

werden im Allgemeinen durch den Ansatz q,k (t) mit q (t) := k∈L

(6.3.10)

    q,0 (t) := d0 + d0 t , q,k (t) := dk exp 2πi k,  /n exp(iωk t) k ∈ L\{0} (mit k,  =

d j=1

kj j (mod n) und dk ∈ Cd ) im Komplexen gel¨ost.

6. Hamiltonsche Gleichungen und Symplektische Gruppe

111

6.39 Bemerkung (Translationsinvarianz und Fourier–Transformation) Der Ansatz in (6.3.10) kommt dadurch zustande, dass die Gittertranslationen um den Vektor  ∈ L, also die linearen Abbildungen   (r ∈ L), T : P → P , T (p, q) r = (pr+ , qr+ ) die Hamilton–Funktion und damit die Systemmatrix des linearen Vektorfeldes d invariant lassen. Im komplexifizierten Phasenraum PC := C2dn ∼ = C2d ⊗ CL sind die T unit¨are Abbildungen. Diese besitzen die gemeinsamen orthogonalen Eigenfunktionen ϕk,r,j := ϕk δr δj ∈ PC , wobei   (k, m ∈ L) ϕk ∈ CL , ϕk (m) := exp 2πi k, m /n unabh¨angig von den Indices r ∈ {1, 2}, j ∈ {1, . . . , d} der Impuls- und Ortskomponenten ist. Die L¨ osung der Differentialgleichung l¨asst daher die von den ϕk,j,m aufgespannten Eigenr¨aume invariant. 3 Die Frequenzen ωk in (6.3.10) werden durch Einsetzen in (6.3.9) gefunden: Die L¨osungen dieser Frequenz erf¨ ullen die Gleichungen p˙ = m¨ q = −mωk2 q . Andererseits ist     cr 2q − q+r − q−r = − 2cr 1 − cos(2π k, r /n) q . p˙  = r∈L

r∈L

Zusammengenommen ergibt das ωk2 =

 2  cr 1 − cos(2π k, r /n) . m

(6.3.11)

r∈L

Im einfachsten Fall haben wir eine Kette (das heißt d = 1) von n Atomen, bei der nur die n¨achsten Nachbarn gekoppelt sind, zum Beispiel c1 = 0, cr = 0 (r ∈ Zn \{0}). Es ergibt sich + c1 ωk = 2 | sin(πk/n)|, m siehe Abbildung 6.3.2 (links). Im Limes großer Teilchenzahl n → ∞ folgt die sogenannte Dispersionsrelation + c1 | sin(πK)| ω(K) := 2 m in der Variable K := k/n. Die Ableitung ω  (K) wird Gruppengeschwindigkeit genannt, sie l¨asst sich als Geschwindigkeit des Energietransportes f¨ ur Wellen mit der durch 1/K gegebenen Wellenl¨ange verstehen.  c1Langwellige Gitterschwingungen breiten sich also hier mit fast konstanter, zu ahrend f¨ ur K → 1 die Gruppengem proportionaler Geschwindigkeit aus, w¨ schwindigkeit gegen Null geht. Auf Seite 57, am Anfang von Kapitel 4, sieht

112

6.3. Lineare hamiltonsche Systeme

Ω

Ωo,Ωa

2

2 ]=

1

1

25

50

k

25

50

k

Abbildung 6.3.2: Dispersionsrelationen f¨ ur eindimensionale Gitter mit Teilchenzahl n = 50. Links: N¨achste–Nachbar–Kopplung. Rechts: Zwei Atome verschiedener Masse in der Elementarzelle. Oben: optischer Zweig, unten: akustischer Zweig. man die Dynamik von Atomen, die anfangs in Form einer Gauss-Funktion in der Bildmitte komprimiert sind. Diese bewegen sich nach außen, so dass nach einiger Zeit Kompressionswellen nach links und rechts laufen. Befindet sich in jeder Zelle des Gitters eine Zahl A > 1 von Atomen, dann ergibt sich ein komplizierteres Bild der Dispersionsrelation. 6.40 Aufgabe (Dispersionsrelation) (a) F¨ ur A = 2 Atome pro Gitterzelle sei 2n die Dynamik der Kette durch die Hamilton–Funktion H : R2n p × Rq → R, H(p, q) =

n−1 =0



2 (a) |p |2 

a=1

2m(a)

 / 2  2 0 c  (1) (2) (1) (2) q − q+1 + q − q + 2

gegeben. Dabei sind m(1) , m(2) > 0 die Massen der beiden Atomsorten und c > 0 die Kopplung zwischen ihnen. Zeigen Sie, dass die Dispersionsrelation aus den L¨osungen ⎛ c m(1) +m(2) ±

ωo/a (k) :=⎝



2πk (m(1) −m(2) )2 +m(1) m(2) (cos( 2πk n )(2+cos( n ))+1)

m(1) m(2)

⎞1 2

⎠

besteht, siehe Abbildung 6.3.2, rechts. Die L¨osung ωa heißt in der physikalischen Literatur akustischer, ωo optischer Zweig.9 (b) Berechnen Sie bei Kenntnis der Funktion k → ωk aus der Dispersionsrelation 3 (6.3.11) die Kopplungskonstanten cr . 9 Wenn die Atome der beiden Teilgitter unterschiedlich geladen sind, dann kann durch eine Schwingung des optischen Zweiges eine Lichtwelle erzeugt werden, daher der Name.

6. Hamiltonsche Gleichungen und Symplektische Gruppe

113

6.41 Bemerkungen 1. Der Fall k = 0 in (6.3.10) entspricht einer Bewegung des gesamten Gitters mit konstanter Geschwindigkeit. 2. In einer physikalisch genaueren Beschreibung sind die Gitterschwingungen quantisiert und werden dann Phononen genannt. 3

6.3.3

Teilchen im konstanten elektromagnetischen Feld

Das n¨achste Beispiel f¨ uhrt eigentlich zu affinen Vektorfeldern X : Rk → Rk , also solchen von der Form X(x) = Ax + b

mit A ∈ Mat(k, R) und b ∈ Rk .

Die affine Differentialgleichung x˙ = X(x) ist aber ebenso mit Methoden der Linearen Algebra l¨ osbar wie die linearen Differentialgleichungen. Es gilt n¨amlich nach Satz 6.19    t exp(−As)b ds . (6.3.12) x(t) = exp(At) x0 + 0

Konkret betrachten wir Hamilton–Funktionen der Form H : R2d → R

, H(p, q) = 12 p − e0 Bq 2 + e0 E, q ,

wobei B ∈ Mat(d, R), und E ∈ Rd . Physikalisch wird B als konstantes Magnetfeld und E als konstantes elektrisches Feld interpretiert.10 e0 ∈ R ist dann die Ladung des Teilchens. Die Bewegungsgleichungen haben damit die Form   q˙ = p − e0 Bq , p˙ = e0 B  (p − e0 Bq) − E oder, als Differentialgleichung zweiter Ordnung die Lorentzsche Kraftgleichung   (6.3.13) q¨ = −e0 (B − B  )q˙ + E . Zur Vereinfachung der weiteren Diskussion nehmen wir jetzt ohne Beschr¨ankung der Allgemeinheit an, dass der Magnetfeldtensor B ∈ Mat(d, R) antisymmetrisch ist, denn nur der antisymmetrische Anteil von B geht in (6.3.13) ein (in der Raumdimension d = 1 gibt es also kein Magnetfeld). Ebenso nehmen wir e0 = 1 an. • Ist zun¨achst B = 0, dann besitzt (6.3.13) f¨ ur Anfangswerte q(0) = q0 , q(0) ˙ = v0 die L¨osung q(t) = q0 + v0 t − 12 Et2 . Das Teilchen wird also in Richtung des elektrischen Feldes beschleunigt. • Ist dagegen E = 0, aber B = 0, dann ist 10 Das

lineare Vektorfeld A : Rd → Rd , q → Bq nennt man auch ein Vektorpotential von B.

114

6.3. Lineare hamiltonsche Systeme

 0 b − f¨ ur d = 2 die antisymmetrische Matrix B von der Form B = 12 −b 0 , sodass f¨ ur die Geschwindigkeit v(t) = q(t) ˙ die Differentialgleichung v ˙ =    cos(bt) − sin(bt) v und L¨ o sung v(t) = b J v mit J = 01 −1 gilt. Also ist 0 0 sin(bt) cos(bt) 

t

q(t) = q0 +

v(s) ds = q0 + 0

1  sin(bt) cos(bt)−1  v0 . b 1−cos(bt) sin(bt)

Dies ist die Drehung um das Zentrum bei c := q0 + 1b J v0 , mit Periode 2π/|b| und Radius v|b|0  , auch Larmor–Radius genannt. − F¨ ur gerade d > 2 k¨ onnen wir nach einem Satz der Linearen Algebra durch eine orthogonale Transformation O ∈ SO(d) die antisymmetrische Matrix   1d/2 0 bk 1 −1 = B in die Form OBO bringen, f¨ ur k=1 Bk mit Bk = 2 −bk 0 d−1 1 2 Bk . ungerade d in die Form OBO−1 = 0 ⊕ k=1 Wenden wir diese Transformation nicht nur auf den Ortsvektor q ∈ Rd , sondern auch auf den Impulsvektor p ∈ Rd an, dann bleibt die Form der Bewegungsgleichungen erhalten und wir k¨ onnen diese blockweise l¨osen. − Physikalisch interessant ist davon nur der  Fall  d = 3. B1 1  Hier gilt zwischen dem Vektor B := 2 B2 ∈ R3 und der antisymmetriB3   0 −B3 B2 1  schen Matrix B := i(B) := 2 B3 0 −B1 die Beziehung −B2 B1

 ×V  =BV  B

0



  ∈ R3 , V

(6.3.14)

wir erkennen also die gewohnte vektorielle Form des Magnetfeldes wie der. Durch Drehung  mit O ∈ SO(d) wird die B–Richtung zur 1–Richtung: 0 0 0

OBO−1 = 12 0 0 b . Wir sehen, dass wir in 1–Richtung eine freie Be0 −b 0 wegung, in (2 − 3)–Richtung aber die schon beschriebene Kreisbewegung erhalten. Insgesamt sind die Teilchenbahnen t → q(t) also Schraubenlinien im R3 .

• Wir betrachten f¨ ur d = 2 den Fall nicht verschwindender elektrischer und magnetischer Felder. Wir schreiben (6.3.13) als Differentialgleichung f¨ ur die Geschwindigkeit w := q, ˙ also w˙ = b J w − E. Die L¨ osung der zugeh¨origen homogenen Gleichung v˙ = b J v haben wir schon bestimmt, n¨amlich   − sin(bt) . v(t) = O(t)v0 mit O(t) := cos(bt) sin(bt) cos(bt) Nach (6.3.12) ist also    t  1  w(t) = O(t) v0 + O(−s)E ds = O(t)v0 + J 1l − O(t) E. b 0

6. Hamiltonsche Gleichungen und Symplektische Gruppe

115

Nochmalige Integration ergibt  t  1  1 1l − O(t) q(t) = q0 + w(s) ds = q0 + J 1l − O(t) v0 + J Et + E. b b b2 0 ¨ Es handelt sich also um die Uberlagerung einer Kreisbewegung und einer Bewegung in Richtung JE, das heißt senkrecht zum elektrischen Feld, siehe Abbildung 6.3.3.

Abbildung 6.3.3: Bewegung in der Ebene, bei konstanten elektromagnetischen Feldern und vertikaler Richtung des elektrischen Feldes.

6.42 Aufgabe (Obere Halbebene und M¨ obius–Transformationen) Nach Aufgabe 6.26 ist Sp(2, R) = SL(2, R) = {M ∈ Mat(2, R) | det M = 1}. Die Obere Halbebene ist H := {z ∈ C | Im z > 0}, und H := {z ∈ C | Im z ≥ 0} ∪ {∞}.   (a) Zeigen Sie, dass f¨ ur jedes M = ac db ∈ SL(2, R) die M¨obius–Transformation 2: H → H , M 2z := az + b M cz + d (siehe auch Beispiel 16.17) wohldefiniert ist. 2z (b) Zeigen Sie, dass die Abbildung SL(2, R) × H → H, die durch (M, z) → M gegeben wird, eine Gruppenwirkung ist. (c) M¨obius–Transformationen lassen sich stetig auf H fortsetzen. Eine Matrix M ∈ SL(2, R) mit |tr M | < 2 heißt elliptisch, mit |tr M | = 2 parabolisch und mit |tr M | > 2 hyperbolisch. Zeigen Sie, dass die M¨ obius–Transformation zu einer elliptischen Matrix genau einen Fixpunkt in H hat, w¨ahrend die M¨obius–Transformationen zu parabolischen Matrizen = ±1l genau einen Fixpunkt und zu hyperbolischen Matrizen genau zwei Fixpunkte haben, die alle in ∂H := H \ H liegen.

116

6.4. Unterr¨aume symplektischer Vektorr¨aume

(d) Auf H wird eine Metrik g(z) := (Im z)−2 gEuklid (z)

(z ∈ H)

definiert, wobei gEuklid die euklidsche Metrik auf H  ⊂ bC ist.  0 c  Zeigen Sie, dass die M¨ obius–Transformationen zu a0 a−1 und −c−1 0 mit a, b, c ∈ R, a, c = 0 Isometrien von g sind. Folgern Sie, dass alle M¨obius– Transformationen Isometrien von g sind. (e) sp(R2 ) bezeichnet die Gruppe der infinitesimal symplektischen 2×2–Matrizen. Zeigen Sie sp(R2 ) = sl(R2 ) := {m ∈ Mat(2, R) | tr m = 0}. (f) Eine infinitesimal symplektische Matrix m ∈ sp(R2 ) erzeugt die einparametrige Gruppe {exp(tm) | t ∈ R} ⊆ Sp(2, R). Welche einparametrigen Gruppen werden von  0 1 0 0 01 m ∈ { −1 0 , ( 1 0 ) , ( 1 0 )} erzeugt? Klassifizieren Sie nach elliptisch, parabolisch und hyperbolisch. Welches sind die Fixpunkte der zugeh¨ origen M¨ obius–Transformationen auf H? 3 Wie sehen die Orbits {exp(tm)∧ v | t ∈ R} durch v ∈ H aus?

6.4

Unterr¨ aume symplektischer Vektorr¨ aume

In einem Vektorraum E ist die Gruppe der strukturerhaltenden Abbildungen die Allgemeine Lineare Gruppe GL(E). Zwei Unterr¨aume von E lassen sich genau dann mit einer Abbildung aus GL(E) ineinander u uhren, wenn ihre Dimen¨berf¨ sionen gleich sind. In einem symplektischen Vektorraum (E, ω) ist die Gruppe der strukturerhaltenden Abbildungen, die symplektische Gruppe Sp(E, ω), eine echte Untergruppe von GL(E). Es gibt f¨ ur dim(E) ≥ 4 auch mehr Sp(E, ω)–Invarianten von Unterr¨aumen als nur ihre Dimension, n¨amlich den Rang der auf den Unterraum restringierten Bilinearform ω. Die Unterr¨aume mit Rang Null beziehungsweise mit maximalem Rang sind besonders wichtig: 6.43 Definition Sei (E, ω) ein symplektischer Vektorraum und F ⊆ E ein Unterraum. • Das ω–orthogonale Komplement von F ist der Unterraum   F ⊥ := e ∈ E | ∀f ∈ F : ω(e, f ) = 0 . • F heißt isotrop, wenn F ⊥ ⊇ F , lagrangesch, wenn F ⊥ = F . • F heißt symplektisch, wenn F ⊥ ∩ F = {0}.

6. Hamiltonsche Gleichungen und Symplektische Gruppe

117

uckSymplektische Unterr¨aume (F, ωF ) von E mit Einbettung ı : F → E und zur¨ gezogener Zwei–Form ωF := ı∗ (ω) sind also selbst symplektische Vektorr¨aume, und es kann (außer im Fall dim(E) = 0) ein Unterraum nicht gleichzeitig isotrop und symplektisch sein. 6.44 Beispiele Wir betrachten den Standardfall eines sym ) 2n–dimensionalen  * 0 1l plektischen Vektorraums, also (E, ω0 ) = Rnp × Rnq , ·, −1 l 0 · .     1. F¨ ur 0 ≤ k,  ≤ n und F := Rkp × {0}n−k × {0}n− × Rq ist     × {0} × {0}k × Rn−k . F ⊥ = Rn− p q Ein Unterraum F von dieser Form ist also genau dann isotrop, wenn k +  ≤ n und genau dann lagrangesch, wenn k +  = n. Insbesondere sind die Unterr¨aume Rnp × {0}q und {0} × Rnq von E lagrangesch. 2. Die eindimensionalen Unterr¨aume sind isotrop, da ω0 antisymmetrisch ist. Ist dim E = 2, so sind genau die eindimensionalen Unterr¨aume lagrangesch, denn ω0 ist nicht degeneriert. 3. F¨ ur eine Matrix A ∈ Mat(n, R) sei FA := {(q, Aq) | q ∈ Rn }, also der Graph der A zugeordneten linearen Abbildung. Dieser ist  genau dann lagrangesch,  wenn f¨ ur alle q, q  gilt: 0 = ω0 (q, Aq), (q  , Aq  ) = q, Aq   − Aq, q  , das heißt wenn A symmetrisch ist.     4. F¨ ur die Unterr¨aume F := Rkp × {0}n−k × Rkq × {0}n−k ist     × {0}k × Rn−k , F ⊥ = {0}k × Rn−k p q sie sind also symplektisch.

3

6.45 Aufgabe (Symplektische Abbildungen und Unterr¨ aume) Es sei (E, ω) ein symplektischer Vektorraum. (a) Zeigen Sie, dass es zu zwei beliebigen Vektoren v, w ∈ E \ {0} eine symplektische Abbildung f ∈ Sp(E, ω) gibt mit f (v) = w. (b) Zeigen Sie (durch Angabe eines Gegenbeispiels), dass f¨ ur dim(E) > 2 nicht jeder beliebige 2–dimensionale Unterraum F von (E, ω) durch eine symplektische Abbildung f ∈ Sp(E, ω) auf jeden 2–dimensionalen Unterraum F  abgebildet werden kann. (c) Zeigen Sie, dass jeder symplektische Unterraum F auf jeden symplektischen Unterraum F  mit dim(F  ) = dim(F ) durch eine symplektische Abbildung f ∈ Sp(E, ω) abgebildet werden kann. 3 6.46 Satz Sei (E, ω) ein symplektischer Vektorraum und F ⊆ E ein Unterraum. Dann ist

118

6.4. Unterr¨aume symplektischer Vektorr¨aume

1. dim(F ) + dim(F ⊥ ) = dim(E). 2. F ⊆ E ist genau dann lagrangesch, wenn F isotrop ist und dim F =

1 2

dim E.

Beweis: 1. Wir f¨ uhren die Dimensionsformel auf die f¨ ur orthogonale Unterr¨aume zur¨ uck. Mit dem Normalform-Satz 6.13.2 k¨ onnen wir annehmen, dass E = R2n = uglich des euklidischen Rnp × Rnq und ω von der Form (6.2.3) Dann gilt bez¨   l inneren Produktes ·, · auf R2n : ω0 (X, Y ) = X, JY  mit J = 10l −1 . 0 F¨ ur n = 1 ist J eine Drehung der E–Ebene um π/2, f¨ ur n > 1 eine Drehung um π/2 in allen (pi , qi )–Ebenen. Damit ist F ⊥ = {X ∈ E | ∀ Y ∈ F : X, JY  = 0} der auf JF bez¨ uglich ·, · senkrecht stehende Unterraum, was die 1. Behauptung beweist. 2. Ist dim F = 12 dim E, also wegen 1. auch dim F ⊥ = 12 dim E, dann folgt aus der Isotropie F ⊆ F ⊥ von F schon F = F ⊥ . Ist umgekehrt F lagrangesch, 2 also nach Definition isotrop, folgt dim F = 12 dim E aus 1. 6.47 Aufgabe (Dimensionsformel) Im Beweis von Satz 6.46, Teil 1. wurde ¨ die Antisymmetrie von ω benutzt. Uberlegen Sie sich einen Beweis, der ohne dies auskommt und nur die Nichtdegeneriertheit von ω verwendet, also auch zum Beispiel f¨ ur Orthogonalr¨aume bez¨ uglich des Skalarproduktes (oder einer Lorentz–Metrik) gilt. 3 Die Graphen symplektischer Abbildungen lassen sich als Lagrange–Unterr¨aume auffassen: 6.48 Satz Seien (E1 , ω1 ) und (E2 , ω2 ) symplektische Vektorr¨aume und πi : E1 × E2 → Ei , i = 1, 2, die Projektionen. Dann ist ω1 & ω2 := π1∗ ω1 − π2∗ ω2 . eine symplektische Form auf dem Vektorraum E1 ⊕ E2 . Beweis: Es ist nachzuweisen, dass die antisymmetrische Bilinearform ω := ω1 & ω2 auf E := E1 ⊕E2 nicht degeneriert ist. F¨ ur einen Vektor e = (e1 , e2 ) ∈ E\{0} ist e1 = 0 oder e2 = 0. Im ersten Fall gibt es einen Vektor f1 ∈ E1 mit ur f := (f1 , 0) ω1 (e1 , f1 ) = 0, denn (E1 , ω1 ) ist ein symplektischer Vektorraum. F¨ ist damit ω(e, f ) = ω1 (e1 , f1 ) = 0. Der Fall e2 = 0 ist analog. 2 6.49 Satz Ein Isomorphismus A : E1 → E2 ist genau dann symplektisch, wenn sein Graph ΓA = {(e1 , Ae1 ) | e1 ∈ E1 } ⊂ E1 × E2   ein lagrangescher Unterraum des symplektischen Vektorraums E1 ⊕E2 , ω1 &ω2 ist.

6. Hamiltonsche Gleichungen und Symplektische Gruppe

119

Beweis: Da die lineare Abbildung A ein Isomorphismus ist, gilt dim(E1 ) = dim(E2 ). Weil damit ΓA ein linearer Unterraum der Dimension dim(ΓA ) = 1 2 dim(E1 ⊕ E2 ) ist, ist er lagrangesch genau dann, wenn er isotrop ist, das heißt   ω1 & ω2 (e1 , Ae1 ), (e1 , Ae1 ) = 0 (e1 , e1 ∈ E1 ), oder ¨aquivalent ω1 (e1 , e1 ) − ω2 (Ae1 , Ae1 ) = 0

(e1 , e1 ∈ E1 )

gilt. Das ist genau dann der Fall, wenn A symplektisch ist.

6.5

2

* Der Maslov–Index

Oft tauchen Lagrange–Unterr¨aume als Tangentialr¨aume von flussinvarianten Tori integrabler hamiltonscher Systeme auf (ein Beispiel f¨ ur solche invarianten Tori ur F aus (6.3.5)). In solchen F¨allen betrachten wir ist die Urbildmenge F −1 (f ) f¨ die Abh¨angigkeit des Lagrange–Unterraums vom Punkt des Torus. Um dies vorzubereiten, untersuchen wir jetzt die Menge aller (nicht orientierten) Lagrange– Unterr¨aume. 6.50 Definition • F¨ ur einen R-